Изучение картины дифракции Фраунгофера на периодической структуре и сравнение с теорией: Методические указания к лабораторной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ Новосибирский государственный университет Физический факультет Кафедра общей физики

В. Ф. Климкин, К. А. Медведко, Вл. В. Пикалов

ИЗУЧЕНИЕ КАРТИНЫ ДИФРАКЦИИ ФРАУНГОФЕРА НА ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ И СРАВНЕНИЕ С ТЕОРИЕЙ Описание лабораторной работы 1.8 по физической оптике

НОВОСИБИРСК 1996

www.phys.nsu.ru 2

Представленное описание лабораторной работы составляет часть практикума по физической оптике для студентов второго курса физического факультета НГУ. В упрощенном варианте лабораторная работа может выполняться студентами других естественнонаучных факультетов. Цель работы − изучение распределения интенсивности света при дифракции Фраунгофера на различных объектах, регистрация картины дифракции прибором с зарядовой связью с помощью персонального компьютера, проведение численного моделирования дифракции и сравнение распределения интенсивности с теорией.

www.phys.nsu.ru Рецензент д. ф. - м. н., проф., И. М. Бетеров

© Интернет версия подготовлена для cервера Физического факультета НГУ http://www.phys.nsu.ru

©Новосибирский государственный университет, 1996

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 3

АННОТАЦИЯ

Распределение интенсивности света при дифракции Фраунгофера изучается с использованием персонального компьютера. Картина дифракции записывается ПЗС-линейкой. Численно моделируется дифракция плоской монохрома-тической волны, проходящей через решетку с различным числом прямоугольных щелей. Студенты должны экспериментально изучить распределение интенсивности в дифракционной картине для одиночной щели в зависимости от ее ширины и сравнить с результатами моделирования. Другая задача для студентов − найти ширину щели из записанной дифракционной картины решением обратной задачи. Такие же упражнения должны быть выполнены для решеток, состоящих из 2-10 щелей, необходимо определить ширину щелей и период решетки.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 4

1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Рассмотрим задачу о дифракции плоской монохроматичес-кой волны с длиной λ, падающей нормально на решетку (рис. 1). Для нахождения амплитуды поля в плоскости экрана Э воспользуемся дифракционной формулой Френеля-Кирхгофа в приближении Фраунгофера [1].

(

)

E xp , yp , z =

(

)

k ⎡ ik 2 ⎤ exp(ikz) ⋅ exp⎢ x p + y p2 ⎥ × 2πiz ⎣ 2z ⎦

+∞

×

∫ ∫ E(x, y) exp[−i ( k x + k y)]dxdy, x

y

(1)

−∞

где E(x,y) − поле в плоскости объекта, а

kx = kθ x ≈ k

xp

,

www.phys.nsu.ru ky = kθ y ≈ k

z

yp

, kz ≈ k . При этом должно быть выполнено z условие поля в дальней зоне

(

z >> x 2 + y 2

)

max

λ.

(2)

Отметим, что в выражении (1) E(xp,yp) и E(x,y) образуют пару функций, связанных преобразованием Фурье [1,2]. Таким образом, в дифракции Фраунгофера распределение комплексных амплитуд есть Фурье-образ (по волновым числам kx, ky) поля в плоскости объекта. С другой стороны, соотношение (1) можно рассматривать как разложение прошедшего через объект излучения по плоским волнам. Ограничиваясь случаем одномерной амплитудной решетки с прямоугольной функцией пропускания и точками наблюдения Р, расположенными достаточно близко от оси, находим, что E( x p , z ) =

k exp(ikz) 2πiz

N −1 nd + s

∑ ∫E

0

exp( −ikx x)dx.

n = 0 nd

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 5

Здесь E0 − амплитуда волны от одной щели, N - число щелей решетки, kx = kθ . Заметим, что переход к одномерному случаю привел к k k на [1]. Интегрируя и суммируя 2πiz 2πiz возникающую геометрическую прогрессию, для интенсивности света в точке Р получаем

замене множителя

2

2

⎛ sin α ⎞ ⎛ sin N β ⎞ I ( p) = I 0 ⎜ ⎟ , ⎟ ⎜ ⎝ α ⎠ ⎝ sin β ⎠ где α =

1 2

kθs , а β =

1 2

(3)

k θd .

xp

x

www.phys.nsu.ru P

s

θ

z 0

d

Э

Рис. 1. Дифракция плоской волны на решетке

Выражение (3) представляет собой произведение двух функций, ⎛ sin α ⎞ одна из которых I 0 ⎜ ⎟ ⎝ α ⎠

2

соответствует дифракции на одиночной

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 6

2

⎛ sin Nβ ⎞ щели, а вторая ⎜ ⎟ − обусловлена интерференцией излучений ⎝ sin β ⎠ от N щелей. Анализ дифракционного множителя показывает, что интенсивность максимальна и равна I0 в центре дифракционной картины ( θ = 0 − максимум нулевого порядка). При некоторых углах, удовлетворяющих условию α = ±nπ , где n = 12 , ,3, ... , будет наблюдаться отсутствие света. Условие возникновения минимумов можно записать в виде

sθ = ± nλ .

(4)

Первый минимум наблюдается под углом, удов-летворяющим условию θ = ± λ s , и основная часть потока энергии сосредоточена в этих пределах изменения угла дифракции. Между последующими минимумами расположены побочные максимумы, соответствующие углам дифракции:

www.phys.nsu.ru θ1 = ±143 , λ s,

θ 2 = ±2,46 λ s, θ 3 = ±3,47 λ s.

(5)

Отношение интенсивностей первых трех побочных максимумов к интенсивности I0 составляет 0,045; 0,016; 0,008. При уменьшении ширины щели s (λ постоянна) будет возрастать ширина главного максимума и расстояние между побочными максимумами. Иными словами, чем уже световой пучок в пространстве, тем шире спектр, необходимый для его описания. Анализ интерференционного множителя показывает, что при β = 0, ± π, ± 2π и т. д., т. е. при θ = 0, ± λ d , ± 2 λ d ,..., ± m λ d

(6)

выполняется условие главных максимумов (определяются точками совпадения нулей числителя и знаменателя), интенсивность которых 2

⎛ sin α ⎞ ~ N 2 . Дифракционное распределение, имеющее огибающую ⎜ ⎟ , ⎝ α ⎠ изменяет интенсивность интерференционного распределения. При фиксированной λ интенсивность главных максимумов уменьшается с увеличением порядка спектра m как

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 7

2

Im

πs ⎞ ⎛ ⎜ sin m ⎟ d ⎟ . = I 0N 2 ⎜ ⎜⎜ m πs ⎟⎟ ⎝ d ⎠

Между главными максимумами имеется

(N − 1) точек

(7)

с нулевой

интенсивностью. Положение этих минимумов (числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля) определяется условием dθ =

(N − 1) λ. λ 2λ , , ..., N N N

(8)

Кроме главных максимумов, имеется (N − 2) побочных максимумов, ⎡ (2m + 1)πs ⎤ интенсивность которых ~ I 0 sin 2 ⎢ ⎥ и значительно меньше. ⎢⎣ 2Nd ⎥⎦ Отношение

www.phys.nsu.ru d m = s n

(9)

определяет число интерференционных максимумов, располо-женных между дифракционными минимумами. Итак, параметры решетки приводят к следующим особенностям дифракционной картины: 1) ширина щелей определяет величину модуляции. Если щели обладают конечной шириной, то главные максимумы не имеют одинаковой интенсивности. Определенные порядки могут даже исчезнуть; 2) период решетки определяет положение главных максимумов, которые эквидистантны с периодом ~ 1 d ; 3) ширина решетки b характеризует ширину главных максимумов λ λ⎞ ⎛ = ⎟. ⎜ Δθ = ⎝ Nd b ⎠

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 8

2. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Первая часть работы заключается в проведении численного моделирования дифракции Фраунгофера на решетке. Это позволяет выявить особенности распределения интенсивности света на экране в зависимости от ширины и числа щелей, периода решетки. После включения компьютера вы попадаете в оболочку Norton Comander. Нажмите клавишу {F2} и выберите из предложенного меню пункт "Лабораторная работа 1.8". После запуска программы выберите пункт меню Type of work/Modelinq. На экране появится панель моделирования. Программа позволяет задавать параметры решетки (ширину щелей − s, период решетки − d, число щелей − N), расстояние от объекта до экрана − L, длину волны (Lambda), рассчитать соответствующее распределение интенсивности и вывести его на экран монитора (при нажатии кнопки Draw). Все размерные величины задаются в Международной системе единиц (СИ). Точность расчетов зависит от выбора шага. Величина шага должна быть меньше, чем полуширина главного максимума по основанию (Lλ/Nd). Максимальное число шагов составляет 1024 и вместе с величиной шага (15 мкм) определяет размер дифракционной картины на экране. Например, при d s = 3 , s = 50 мкм, L=1 м, λ = 0,6328 мкм (He-Ne лазер) полуширина главного максимума равна примерно 400 мкм для N=10, а расстояние до первого минимума − около 1,2 см. На экран выводится как график совместного распределения (3), так и отдельно распределение интенсивности при дифракции на одной щели и результат интерференции N источников. В качестве примера на рис. 2 представлены результаты компьютерного моделирования. Рис. 2а показывает характерные особенности интерференционной структуры при N=5. Рис. 2б соответствует распределению интенсивности при дифракции на одиночной щели s = 50 мкм. Рис. 2в − совместное распределение. Графики нормированы на максимум интенсивности. По оси абсцисс отложены 1024 точки расстояние между которыми 15 мкм

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 9

а

1.0

⎛ sin N β ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ sin β ⎠

2

0.5

0.0 0

400

800

1200

1.0

б ⎛ sin α ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ α ⎠

2

www.phys.nsu.ru 0.5

0.0 0

400

800

1200

в

1.0

2

⎛ sin α ⎞ ⎛ sin N β ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎝ α ⎠ ⎝ sin β ⎠

2

0.5

0.0 0

400

800

1200

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 10

Рис. 2. Результаты компьютерного моделирования дифракции Фраунгофера: Lambda=6.328e-7; s=50e-6; d=100e-6; N=5; L=0.5.

3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА Вторая часть работы заключается в проведении физического эксперимента. Принципиальная схема экспериментальной установки приведена на рис. 3. IBM PC 386

АЦП АЦП

КК

www.phys.nsu.ru КАМАК-крейт

Набор дифракционных объектов

Блок ПЗС

He-Ne лазер

Рис. 3. Принципиальная схема экспериментальной установки

Пучок света He-Ne лазера проходит через дифракционный объект и попадает на приборы с зарядовой связью (ПЗС), которые применяются в качестве пространственного детектора лазерного излучения. Основным процессом взаимодействия излучения с ПЗС является внутренний фотоэффект. Энергия поглощенных квантов расходуется на образование носителей зарядов, которые накапливаются в потенциальных ямах ПЗС-структуры и формируют

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 11

выходной сигнал [3]. Приборы с зарядовой связью имеют определенные преимущества перед традиционным фотографическим методом регистрации изображений. Высокая чувствительность, возможность непосредственной связи с ЭВМ и оперативность получения результатов измерений делают перспективным применение ПЗС-линеек и матриц при регистрации оптических изображений. Их недостатком является дискретность считывания изображений. Блок ПЗС содержит две основные платы, обеспечивающие поддержку линейной фоточувствительной микросхемы типа 1200ЦЛ1. Микросхема представляет собой ПЗС с трехфазной организацией и поверхностным каналом и выполнена на кристалле n-кремния с поликремниевой электродной структурой. Основная фоточувствительная область содержит линейный массив из 1024 ячеек размером 15×15 мкм (плоские МОП конденсаторы), что соответствует длине 15 мм. Модуль ПЗС содержит КАМАК-блок, набор счетчиков, коммутатор источников запуска, первый микропрограммный автомат и схему обработки аналогового сигнала. Модуль также вырабатывает сигналы управления внешним аналого-цифровым преобразователем (АЦП): импульсы “запуск”, “такт”, “стоп”. ПЗС регистрирует изменение интенсивности светового пучка, которое с помощью АЦП-101S преобразуется в соответствующий цифровой код. Для организации связи между функциональными модулями, установленными в крейте, и персональным компьютером используется контроллер крейта К0607 (КК) и плата ППИ-4. Электроннная аппаратура разработана в ИЯФ СО РАН. Сигнал старта поступает с компьютера на модуль ПЗС. Модуль ПЗС считывает данные с блока ПЗС, запускает АЦП и передает ему данные. После получения и преобразования данных в цифровой вид АЦП информирует компьютер о необходимости их считывания. Программа дает возможность производить сбор, накопление, оперативную обработку данных, а также позволяет выводить на экран пространственное распределение интенсивности света в плоскости ПЗС-линейки (экрана) для различных дифракционных объектов. Калибровка системы осуществляется с помощью щели заданной ширины. Следует отметить, что применение автоматизированной системы позволяет повысить точность измерений и значительно увеличить скорость получения и обработки экспериментальных данных. На рис. 4 представлены типичные картины дифракции Фраунгофера на плоской щели шириной 50 мкм (а) и проволочке

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 12

такого же размера (б). При дифракции на проволочке общий вид картины сохраняется. Однако, как видно из рис. 4б, для центрального максимума характерно появление дополнительной интерференционной структуры [4].

Рис.4. Картины дифракции Фраунгофера на щели (а) и проволочке(б)

www.phys.nsu.ru В

5.0

4.0

3.0

2.0

1.0

ячейки 0.0 0

400

800

1200

Рис. 5. Экспериментальное распределение интенсивности света при дифракции Фраунгофера, N=3

В качестве примера на рис. 5 приведено экспериментальное распределение интенсивности света при дифракции Фраунго-фера, зарегистрированное с помощью ПЗС-линейки. Здесь по оси ординат

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 13

отложено напряжение, снятое с каждой ячейки ПЗС-линейки, а по оси абсцисс − 1024 ячейки, с интервалом15 мкм.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 14

4. МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ

Расположим систему координат (x,y) в плоскости экрана таким образом, чтобы ось ox совпадала с расположением ячеек ПЗСx=0 соответствует центру линейки. Пусть координата дифракционной картины. Если воспользоваться, например, условием главных максимумов (6), то можно определить постоянную решетки d из соотношения d=

mλL , xm

(10)

где xm − координата главного максимума порядка m, L − расстояние от решетки до ПЗС-линейки. Аналогичным образом можно определить ширину щели или другие характерные параметры дифракционных объектов. Эти измерения производятся с помощью программы. Выберите пункт меню Type of work/Experiment. На экране компьютера появится панель эксперимента: Start − после нажатия этой кнопки начинается циклическое считывание данных с ПЗС-линейки. Stop − останавливает считывание данных с ПЗС-линейки и “замораживает” текущую картину. Type of experiment. При определении ширины одиночной щели переключатель в этом поле нужно установить на Calculate slit (при запуске программы устанавливается по умолчанию). При определении периода решетки − на Calculate grid. При определении ширины щелей у решетки - на Slit и Grid. Input parameters. В этом поле необходимо задать три параметра: Lambda − длина волны лазера, L − расстояние от дифракционного объекта до приемника и N − количество щелей. Umax и Umin. Это поле служит для изменения масштаба по оси ординат. М1 содержит информацию о маркере М1. Здесь видны две кнопки с изображением стрелок, параметр U, параметр R и параметр Cell. Маркер можно плавно перемещать, нажимая кнопки с изображениями стрелок (будет перемещаться с шагом в одну точку), а также предварительно задать положение маркера в поле Cell от 0 до 1023 ячейки. Параметр U показывает напряжение в текущей точке (в

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 15

вольтах), а параметр R − расстояние от нулевой точки до текущего положения маркера (в метрах). М2 содержит информацию о маркере М2. Это поле идентично полю маркера М1. Параметр dR показывает расстояние между маркерами М1 и М2 (в метрах). Calculate. При нажатии этой кнопки начинается расчет задачи на основе положения маркеров. Output values. Здесь выводятся результаты расчета. Перед проведением измерений установите Не-Nе лазер и другие элементы установки вдоль оптической оси. В работе имеется щель с плавно регулируемой шириной и набор различных решеток с числом щелей до 10. Они изготовлены путем нанесения "царапин" на металлическом покрытии (толщиной << λ) стеклянных пластинок. Поэтому на главном максимуме наблюдается провал интенсивности, обусловленный интерференцией проходящего и дифрагированного пучков. Нажмите кнопку Start. Правильность установки дифракционных объектов проверьте по виду дифракционной картины на экране компьютера. Зафиксируйте полученное распределение (с помощью кнопки Stop). При необходимости измените масштаб по оси ординат выбирая величину напряжения в поле Umax и Umin. Экспериментальное распределение можно сгладить выбирая в меню Smoothing пункт 5 points.

www.phys.nsu.ru Определение ширины одиночной щели В поле Type of experiment установите переключатель на Calculate slit. Задайте значения параметров в поле Input parametrs. Определите маркером М1 положение первого левого минимума, а маркером М2 − правого. Нажмите кнопку Calculate. В поле Output values получите рассчитанную ширину одиночной щели (s) и теоретическое распределение интенсивности на экране.

Определение периода решетки В поле Type of experiment установите переключатель на Calculate grid. Задайте значения параметров в поле Input parameters. Определите маркером М1 положение левого главного максимума, а маркером М2 − правого. Нажмите кнопку Calculate. В поле Output values получите рассчитанный период решетки (d).

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 16

Определение ширины щелей решетки

В поле Type of experiment установите переключатель на Slit и Grid. Задайте значения параметров в поле Input parameters. Определите маркером М1 положение левого побочного максимума, а маркером М2 − правого. Нажмите кнопку Calculate. В поле Output values получите рассчитанную ширину щелей решетки (s).

Сравнение экспериментальных распределений интенсивности с теорией Выберите поле Type of work/Compare. На экране компьютера появится панель сравнения: Input parameters. В этом поле необходимо задать параметры: Lambda − длина волны He-Ne лазера, L − расстояние от дифракционного объекта до приемника, N − количество щелей (N должно быть >1), s − ширина щелей, d − период решетки. М1 (см. ранее). М2 содержит информацию о маркере М2. Здесь видны две кнопки Up и Down и параметр U. Маркер можно перемещать, нажимая кнопки Up и Down. При этом он будет перемещаться с шагом, указанным в поле Step. М3 идентично полю М2. Draw theory. После нажатия этой кнопки, основываясь на положениях маркеров М1, М2, М3 и информации из поля Input parameters, получите теоретическое распределение. Redraw стирает с графика теоретическое распределение, оставляя экспериментальное. Установите маркер М1 на центр дифракционной картины, а маркеры М2 и М3 на максимум и минимум соответственно. В поле Input parameters задайте значения параметров. Нажмите кнопку Draw theory. Получите теоретическое распределение интенсивности, наложенное на экспериментальное. Проведите анализ полученных результатов, оцените погрешности измерений.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 17

Вывод на принтер

В программе предусмотрена возможность вывода на принтер изображения экрана. Для этого в меню File выберите пункт Print. На экране высветится панель установки принтера. Нажмите кнопку Print для начала печати или кнопку Cancel для отмены печати.

Описание пунктов меню File Save − запоминает в файл распределение напряжения, снятого с ПЗС-линейки (доступно только в эксперименте). Print − выводит текущий экран на принтер. Exit − выход (можно нажать в любое время {Alt}{F4}). Smoothing 5 points − сглаживание экспериментальных данных (доступно только в эксперименте). Type of work Experiment − переход к эксперименту. Modeling − переход к моделированию. Compare − переход к сравнению. Options (доступно только в эксперименте) Setup ACP and PZS − установки для АЦП и ПЗС . Preferences... − здесь можно установить число раз линейного сглаживания по 5-ти точкам экспериментальных распределений интенсивности. Help About − название работы. Text − описание лабораторной работы.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 18

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Каковы условия наблюдения дифракции Фраунгофера? 2. Каков вид распределения интенсивности при дифракции света на решетке Фуко (период решетки в два раза больше ширины щелей)? 3. Как влияют параметры решетки (ширина щелей, период, ширина решетки) на особенности изображения. 4. Каким дифракционным объектам соответствуют приведенные ниже картины дифракции Фраунгофера [5].

www.phys.nsu.ru ЛИТЕРАТУРА 1. Мешков И. Н., Чириков Б. В. Электромагнитное поле. Новосибирск: Наука, ч. 2, 1987, 253 с. 2. Вячеславов Л. Н. Дифракция света. Метод. указ. к лаб. работам по физ. оптике. Новосибирск: НГУ, 1991, 56 с. 3. Пресс Ф. П. Фоточувствительные приборы с зарядовой связью. М.: Радио и связь, 1991. 4. Климкин В. Ф., Ломакин Г. С. О пространственном разрешении и точности интерферометрии фазовых микрообъектов. ПМТФ, № 2, 1985, с. 40-45. 5. Колфилд, Оптическая голография, т.1, М.: Мир, 1982, 374 с.

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 19

ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 20

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 21

Учебное издание

Климкин Виктор Федорович Медведко Константин Анатольевич Пикалов Владимир Валерьевич

ИЗУЧЕНИЕ КАРТИНЫ ДИФРАКЦИИ ФРАУНГОФЕРА НА ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ И СРАВНЕНИЕ С ТЕОРИЕЙ

www.phys.nsu.ru Описание лабораторной работы 1.8 по физической оптике

© Интернет версия подготовлена для cервера Физического факультета НГУ http://www.phys.nsu.ru Подписано к печати 10.12.96 Офсетная печать Заказ № 37

Формат 60×84/16 Уч.-изд. л. 1,1 Тираж 100

Лицензия ЛР № 020853 от 31 января 1994 г. Издательство НИИ математико-информационных основ обучения Новосибирского государственного университета

www.phys.nsu.ru