Основы теории тепломассообмена: Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

Г. Н. Дульнев, С. В. Тихонов ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОМАССООБМЕНА

Учебное пособие 

Санкт-Петербург 2010 1

Дульнев Г. Н., Тихонов С. В. Основы теории тепломассообмена, – СПб: СПбГУИТМО, 2010. – 93с. В пособии излагаются основы тепло- и массообмена, при этом основное внимание уделено кондуктивному процессу переноса тепловой энергии. Рассматриваются тепловые модели, позволяющие решать прикладные инженерные задачи. Приводятся примеры по применению теории к решению характерных задач. Рекомендовано Учебно – методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Техническая физика». Протокол № УМК-30-10 от 10.06.2010г.

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «СанктПетербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы. ©Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2010 ©Г.Н.Дульнев, С.В.Тихонов, 2010

2

Введение Тепломассообмен – учение о процессе распространения тепла и массы в природе. Основы были заложены еще акад. М.В.Ломоносовым, он создал механическую теорию теплоты и установил законы сохранения массы и энергии. В дальнейшем учение о тепломассообмене развивалось как один из разделов технической физики. В XIX веке в связи с изобретением паровой машины, паровой турбины и двигателя внутреннего сгорания основное внимание уделялось превращению энергии в работу. В дальнейшем в связи с ростом мощности отдельных агрегатов тепловых машин стала возрастать роль процессов тепломассообмена. Этим процессам большое внимание стали уделять и в других отраслях техники – строительной, металлургической, холодильной, машиностроительной, электротехнической, в атомной энергетике, радиоэнергетике и др. Например, тепловые ограничения играют решающую роль при эксплуатации электрических машин и в радиоэлектронных устройствах. Их нагрев лежит в основе многообразных теплофизических процессов, которые могут угрожать жизнеспособности конструкции. При этом опасность повреждения связана не только с уровнем температуры, но и его распределением в пространстве и во времени. Отсюда вытекает необходимость в достоверной и подробной информации о распределении температур в данном агрегате. Охлаждение высокоэффективных реактивных и газотурбинных двигателей, «тепловой барьер» при больших скоростях движения летательных аппаратов, отвод малых тепловых потоков в атомных реакторах, генерация пара сверхвысоких параметров и другие проблемы новейшей техники расширили область практических приложений теории тепло- и массообмена. Во многих случаях знания процессов тепло- и массообмена являются определяющим фактором при выборе облика и параметров объекта. Современный уровень развития науки тепло- и массообмена предполагает использование системного подхода к их созданию в том числе и моделированию процессов переноса тепла и массообмена в различных средах и конструкциях. Правильное применение методов моделирования подразумевает увязку математического и физического (экспериментального) процессов областях на различных этапах проектирования и испытаний. Знакомство с учебной и монографической литературой показало, что усилиями зарубежных и отечественных ученых и педагогов созданы в течении XX столетия прекрасные пособия, в которых в строгой и доступной форме изложены основы теплообмена (теплопередача) и массообмена. Поэтому авторы считали естественным использовать имеющийся богатый научный и методический опыт. При этом возникает

3

обычный вопрос, зачем публиковать еще одно учебное пособие, когда можно воспользоваться имеющимися книгами. Прежде всего, для освоения предлагаемого материала студенту пришлось бы пользоваться примерно десятью книгами, которые к тому же малодоступны. Во-вторых, в данном учебном пособии использован и современный материал. В-третьих, отдельные разделы могут быть рекомендованы студентам других специальностей, которые сталкиваются с процессами теплообмена. В настоящем учебном пособии из-за ограниченного объема отсутствуют задачи и лабораторные работы, которые студенты решают на практических и лабораторных занятиях. По данным вопросам можно рекомендовать специальные учебные пособия. Надеемся, что наличие доступного для студентов учебного пособия поможет увеличить эффективность учебного процесса.

4

Обозначения t – температура (обычно по шкале Цельсия), 0С T – температура по шкале Кельвина, К Δt - перепад температур, К ϑ - перегрев относительно некоторой температуры, К τ - время, с n – нормаль к поверхности, Q – количество теплоты, Дж Ф – тепловой поток, Вт q – плотность теплового потока, Вт/м2 W – объемная плотность внутренних источников теплоты, Вт/м3 А – площадь (поверхности, сечения), м2 λ - теплопроводность материала, Вт/м.К 2 α - коэффициент теплоотдачи, Вт/м .К -1 β - коэффициент объемного расширения, К ; также температурный коэффициент изменения теплопроводности, К-1 ср – удельная теплоемкость при постоянном давлении, Дж/кг.К 2 ν - кинематическая вязкость, м /с 2 a - температуропроводность материала, м /с g – ускорение силы тяжести, м/с2 u – скорость, м/с ϕ - угловой коэффициент F – тепловой коэффициент, К/Вт R – тепловое сопротивление, К/Вт l – расстояние, геометрический размер, м δ - толщина, м V – объем, м3 U – периметр, м. Подстрочные индексы с – среда i,j – номер тела, поверхности пр – приведенное значение п – пластина ц – цилиндр ш – шар, сфера к – конвективная составляющая л – лучистая составляющая x,y,z – указывает соответствующее направление эф – эффективное значение

5

Оглавление Введение…………………………………………………………………………………...4 Обозначения……………………………………………………………………………….6 I. Основные закономерности процессов тепло- и массообмена...........................................................8 1.1. Процессы тепло- и массообмена в природе .....................................................................................8 1.2. Перенос тепловой энергии кондукцией. Основные понятия и определения.....................9 1.3. Перенос энергии конвекцией. Закон Ньютона-Рихмана.........................................................14 1.4 Перенос энергии излучением...............................................................................................................17 1.5 Тепловое сопротивление и тепловой коэффициент...................................................................19 1.6. Тепловое сопротивление плоской, цилиндрической и сферической стенок..................21 1.7. Составные стенки. Применение законов Кирхгофа..................................................................22 1.8. Сложный теплообмен.............................................................................................................................26 II. Кондукция...........................................................................................................................................................28 2.1. Уравнение теплопроводности. Краевые условия.......................................................................28 2.1.1. Уравнение теплопроводности для анизотропного тела с источником энергии и переменными теплофизическими параметрами............................................................................28 2.1.2. Частные случаи уравнения Фурье.............................................................................................31 2.1.3. Краевые условия...............................................................................................................................33 2.2. Стационарное поле температур оболочек простейшей формы............................................35 2.2.1. Плоская стенка...................................................................................................................................35 2.2.2. Цилиндрическая стенка.................................................................................................................38 2.2.3. Шаровая стенка.................................................................................................................................39 2.2.4. Тепловое сопротивление от сферы к неограниченному пространству.....................40 2.3. Стационарное поле температур тел с источниками тепла......................................................42 2.4. Нестационарный тепловой режим тела с равномерным полем температур...................48 2.4.1. Дифференциальное уравнение процесса...............................................................................48 2.4.2. Интегрирование системы уравнений (2.61), (2.64).............................................................50 2.4.3. Нагревание или охлаждение тела в среде с постоянной температурой....................52 2.4.4. Нагревание или охлаждение в среде, температура которой изменяется во времени с постоянной скоростью.........................................................................................................55 2.4.5. Температурный режим тела, помещённого в среду с гармонически меняющейся температурой.....................................................................................................................57 2.4.6. Термическая инерция тела............................................................................................................59 2.4.7. Внутренние источники энергии в теле....................................................................................61

6

2.5. Стационарное температурное поле стержней и пластин.........................................................61 2.5.1. Особенности теплообмена стержней и пластин. Дифференциальные уравнения........................................................................................................................................................61 2.5.2. Дифференциальное уравнение теплопроводности для стержня.................................62 2.5.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности для пластины..............................66 2.5.4. Дифференциальное уравнение для диска..............................................................................68 2.6. Критерии неравномерности поля температур в теле.................................................................69 2.7. Температурное поле стержня с источником тепла.....................................................................73 2.8. Температурное поле пластины и диска...........................................................................................80 2.8.1. Обобщенное решение уравнения Бесселя.............................................................................80 2.8.2. Круглое ребро постоянной толщины.......................................................................................82 2.8.3. Эффективность круглого ребра постоянной толщины....................................................84 2.9. Анализ ошибки измерения температуры.......................................................................................85 2.10. Принцип суперпозиции температурных полей........................................................................88 Библиографический список..............................................................................................................................90

7

 

Основные закономерности процессов тепло- и массообмена 1.1. Процессы тепло- и массообмена в природе Тепломассообмен – раздел физики, в котором рассматриваются процессы переноса теплоты (энергии) и массы (вещества). Явления теплообмена связаны с необратимым переносом энергии из одной части пространства в другую и вызваны разностью температур. Явления массообмена связаны с необратимым перемещением вещества из одной части пространства в другую и вызваны разностью концентраций. Если оба явления сопутствуют друг другу и их приходится рассматривать во взаимосвязи, то соответствующие процессы называют тепломассообменом. Когда явления теплообмена и массообмена мало влияют друг на друга, их можно рассматривать порознь, иногда имеет место только какое-нибудь одно явление. Соответствующие процессы в этих случаях называют процессами тепло- и массообмена, теплообмена, массообмена. Перенос теплоты и вещества происходит благодаря молекулярному или конвективному процессу. Молекулярный перенос осуществляется микрочастицами (атомами, молекулами) в среде с неоднородным распределением температуры или концентрации. Конвективный перенос осуществляется макрообъёмами среды при их перемещении. Перенос энергии происходит с помощью механизма теплопроводности, конвекции и излучения. Теплопроводность – молекулярный перенос энергии в сплошной среде, вызванной разностью температур. Конвекция – перенос энергии совместно молекулярными и конвективными механизмами, вызванный также разностью температур. Излучение – перенос энергии электромагнитными волнами. Этот процесс обусловлен превращением внутренней энергии вещества в энергию излучения, переносом излучения и его поглощением веществом. Перенос массы происходит с помощью двух механизмов: диффузии и конвективного массообмена. Диффузия - молекулярный перенос вещества в среде, вызванный разностью концентраций (концентрационная диффузия), температур (термодиффузия) или давлений (бародиффузия). Конвективный массообмен – перенос массы, вызванный совместным действием конвективного переноса вещества и диффузии. Приведём примеры, связанные с переносом тепла и массы в природе. Теплообмен человека со средой (тепло- и массообмен); перенос тепла из жилища в окружающую среду и, наоборот, из среды в жилище (теплообмен); перенос энергии от Солнца к Земле (теплообмен); различные способы переработки вещества и продуктов – от приготовления 8

пищи до сложных производственных технологических процессов – также связаны с переносом энергии и вещества в пространстве (тепломассообмен). Такие процессы, как испарение, сушка, образование облаков, представляют собою целый комплекс явлений тепломассообмена, сопровождающихся фазовыми превращениями. В некоторых случаях имеют место какие-нибудь одни процессы. Например, процессы диффузии при производстве транзисторов, интегральных схем. В других случаях эти процессы настолько переплетаются, что трудно выделить один из них в качестве основного. Например, при взаимодействии мощных потоков лазерного излучения с веществом происходит нагревание последнего до температуры плавления, затем испарение; испарившееся вещество выбрасывается в окружающее пространство; дальнейшее поступление энергии приводит к ионизации паров, образованию плазмы и т.д. Благодаря сложности процессов тепломассообмена, целесообразно начать их изучение отдельно, т.е. рассмотреть порознь явления кондукции, конвекции, излучения, диффузии, конвективного массообмена, а затем обратить внимание на более глубокое изучение методов исследования таких явлений, в которых процессы могут встречаться в любой комбинации. 1.2. Перенос тепловой энергии кондукцией. Основные понятия и определения Две системы могут обмениваться теплом лишь в том случае, если они находятся при различных температурах, причём перенос тепла происходит в направлении от системы с более высокой к системе с более низкой температурой. Здесь не рассматривается вопрос о механизме переноса тепловой энергии кондукцией, конвекцией и излучением; основное внимание обращено на знакомство с феноменологическими законами переноса тепла. Количественные зависимости, связывающие разность температур систем с величиной теплового потока в случае кондукции, конвекции и излучения, имеют различный характер. Рассмотрим перенос тепла кондукцией (теплопроводностью) в различных телах и системах тел. Совокупность тел с различными теплофизическими параметрами (коэффициент теплопроводности, объёмная теплоёмкость) и явно выраженными границами раздела будем называть системой тел или неоднородным телом (рис. 1.1).

9

Рис. 1.1. Системы тел. Неоднородное тело (рис а) Каждая часть такой системы будет однородным телом. Однородные тела могут быть изотропными и анизотропными. В изотропном теле теплофизические параметры одинаковы во всех направлениях, в анизотропном – они различны в разных направлениях, но могут быть постоянными в выбранном направлении. Тепловое состояние тела или системы количественно характеризуется его температурным полем, т.е. совокупностью численных значений температуры в различных точках системы в данный момент времени. В том случае, когда температура во всех точках системы не изменяется с течением времени, поле температур называется стационарным, если же температуры в теле с течением времени изменяются, то поле температур называется нестационарным (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Изменение температуры во времени (иллюстративный пример) Если температуры всех точек некоторого объёма равны между собою в любой момент времени, то это поле температур называют равномерным. Температурное поле в частном случае может зависеть только от одной координаты, тогда его называют одномерным. 10

Аналогичный смысл имеют термины двумерное и трёхмерное поле температур. Если тела находятся при различных температурах, то, как указывалось выше, возникает поток тепла, направленный от тела с более высокой температурой к телу с более низкой температурой. Для количественного описания этого процесса вводят два основных понятия: изотермическая поверхность и градиент температуры. Изотермической поверхностью называют геометрическое место точек, имеющих одинаковую температуру. По определению, через каждую точку внутри тела можно провести в данный момент времени только одну изотермическую поверхность. На рис. 1.3 линиями S1 , S2 изображены следы на плоскости чертежа различных изотермических поверхностей в фиксированный момент времени.

Рис. 1.3. Изотермические поверхности и линии теплового потока Вдоль изотермы температура не изменяется, в любом другом направлении – изменяется, причём в направлении нормали к изотермической поверхности наблюдается наибольшее изменение температуры на единицу длины. Возрастание температуры в направлении нормали к изотермической поверхности характеризуется отношением изменения температуры ∆t между выбранными изотермами к расстоянию между ними по нормали ∆n. Предел этого отношения при устремлении ∆n к нулю называется градиентом температуры (grad t). 11

Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры, т.е. Δt K ∂t = n0 = grad t , К/м Δ n → 0 Δn ∂n lim

(1.1)

G n0 - единичный вектор, направленный по нормали в сторону ∂t возрастания температуры (рис. 1.3); -производная температуры по ∂n

где

направлению нормали. За положительное направление градиента температуры принимают направление, в котором температура возрастает. Линии, перпендикулярные к изотермическим поверхностям, называют линиями теплового потока, или, короче, линиями тока. На рис. 1.3 эти линии обозначены стрелками. В дальнейшем будем использовать следующие понятия: - количество теплоты, Q, Дж; - мощность источников тепла или тепловой поток (если рассматривается перенос тепла через поверхность) P=

Q

τ

, Вт; τ - время, с;

- поток на единицу площади q=

P Вт , S м2

называется удельным тепловым потоком или плотностью теплового потока. Основной закон, устанавливающий количественную связь между тепловым потоком и перепадом температур при кондуктивном теплообмене, называется законом Фурье по имени французского математика Ж.Фурье (1768 – 1830). Плотность теплового потока прямо пропорциональна градиенту температуры, т.е. G ∂t q = −λgradt = −λ∇t = −λn0 , ∂n

(1.2)

где λ - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплопроводности; grad, ∇ -математические символы, обозначающие градиент.

12

В математике положительное изменение функций направлено в сторону возрастания функции. В рассматриваемом случае тепловой поток направлен в сторону убывания температуры. Чтобы устранить противоречие между математическим и физическим определением положительного направления функции в зависимость (1.2) вводится знак «-». Соотношение (1.2) является обобщением опытных данных и лежит в основе всей современной теории теплопроводности. Выражение (1.2) можно представить в виде суммы составляющих градиента по осям декартовых координат gradt = i

∂t ∂t ∂t + j +k , ∂z ∂x ∂y

(1.3)

где i, j , k -ортогональные между собою единичные векторы, направленные по координатным осям. ∂t Рассмотрим неизменное во времени ⎛⎜ = 0 ⎞⎟ одномерное поле ⎝ ∂τ

⎠

температур, изменяющееся лишь в одном направлении x. Математическая формулировка этих условий имеет вид ∂t ∂t ∂t ∂t = = 0; ≠ 0; =0 ∂y ∂z ∂x ∂τ

Пусть, кроме этого, градиент температур

∂t будет постоянной ∂x

величиной, т.е. температура линейно изменяется с координатой x, тогда ∂t t 2 − t1 = = const , где t1 и t2 – значения температур на поверхностях x1 и x2 ∂x x 2 − x1

,причём t1 > t2 , x2. > x1 . Величину плотности теплового потока q можно определить по формуле, которая следует из (1.2), q=

t −t Q =λ 1 2 , Aτ x 2 − x1

(1.4)

Из (1.4) запишем выражение для коэффициента теплопроводности λ=

Q x 2 − x1 Aτ t1 − t 2

т.е. коэффициент теплопроводности равен плотности теплового потока при перепаде температур на единице длины нормали, равном одному градусу. Размерность коэффициента теплопроводности в системе Си – Вт/м·К. 13

1.3. Перенос энергии конвекцией. Закон Ньютона-Рихмана Прежде всего, отметим, что капельные жидкости и газ здесь и в дальнейшем называем жидкостью. При конвективном теплообмене между твердым телом и жидкостью связь теплового потока Ф с температурами поверхности тела t и жидкости tc устанавливается формулой Ньютона-Рихмана P = α (t − tс ) S ,

(1.5)

где α - коэффициент теплообмена (теплоотдачи) конвекцией, А - площадь поверхности теплообмена. Если температура жидкой среды выше чем температура поверхности твердого тела, то P = α (tс − t ) S . Параметры, входящие в формулу (1.5), имеют следующие единицы измерения в системе СИ: [Ф] = Вт; [t] = [tс]= К; [t - tс]= К; [А] = м2; [α] = Вт/м2·К . Коэффициент теплообмена конвекцией численно характеризует тепловой поток, который рассеивает или воспринимает единица поверхности твердого тела при разности температур между твердым телом и средою в один Кельвин. Вся сложность теплообмена в формуле (1.5) концентрируется в одной величине - коэффициенте теплообмена α, который представляет собой сложную функцию большого числа параметров, существенно влияющих на процесс теплообмена. Так, для естественной конвекции α = f ( t, t c , β , λ , cp , ν , a, g , Ф),

(1.6)

где β – коэффициент объемного расширения, [1/K]; в частности, для газа 1 1 , для жидкостей берется из справочников; = β= Т c t c + 273

λ – коэффициент теплопроводности жидкости, Вт/(м·К); c p – удельная теплоемкость жидкости при постоянном давлении, Дж/(кг·К); 2 ν – коэффициент кинематической вязкости жидкости, м /с; a – коэффициент температуропроводности жидкости, м2/c; g – ускорение силы тяжести, м/c2; Φ – символическое обозначение совокупности параметров, характеризующих форму, строение поверхности и ее размеры. К выводу о том, что в условиях естественной конвекции коэффициент теплообмена должен зависеть от перечисленных выше параметров, можно придти на основании анализа физической картины переноса. Предположим, что вертикально ориентированная стенка имеет 14

более высокую температуру, чем омывающий ее газ. В этих условиях объём газа, соприкасающегося со стенкой, получает от нее энергию благодаря столкновению молекул газа со стенкой; молекулы газа начинают двигаться с большей скоростью, первоначальный объем рассматриваемого количества газа увеличивается. Отсюда следует, что процесс переноса энергии должен быть связан с параметрами t , t c , β, c p . Увеличенный объем газа имеет меньшую плотность по сравнению с окружающими объемами, что приводит к движению этого объема вверх. Движение является результатом действия на объем газа нескольких сил: силы тяжести (появляется параметр g), силы Архимеда и сил внутреннего трения (последние связаны с коэффициентом кинематической вязкости ν ). Приведенные рассуждения показывают, что процессы движения объема газа связаны с его плотностью ρ, которая, однако, не фигурирует в перечне параметров. Плотность все-таки косвенно учитывается через соотношение между параметрами a, c p , ρ: acp ρ = λ

(1.7)

Так как в (1.6) есть параметры a, c p и λ, то тем самым косвенно учтено и влияние плотности ρ. Действительно, вместо параметра а можно было бы ввести ρ на основании соотношения (1.7). Такой сложный учет величины ρ имеет свои объяснения, которые будут приведены при более детальном знакомстве с процессом конвективного теплообмена. Перенос тепла от твердого тела к жидкости осуществляется не только благодаря движению макрообъемов жидкости, но также и за счет кондуктивного переноса тепла. В рассматриваемом примере кондуктивный перенос связан с движением и столкновением между собой молекул газа. Обычно конвективный и кондуктивный перенос тепла связаны с такой физической характеристикой, как теплопроводность газа, которая по указанной причине и фигурирует в функциональной зависимости (1.6). Конвективный перенос тепла связан c движением жидкости, а характер этого движения во многом зависит от геометрических характеристик тела и его ориентации в пространстве, чем объясняется присутствие в (1.6) параметра Φ. Часто движение жидкости или газа возле нагретой стенки является результатом не только температурного перепада t - tс, но и внешних воздействий (перепад давлений, создаваемый насосом, вентилятором или каким-либо другим путём), приводящих к перемещению жидкости или газа. Такой процесс называется вынужденной конвекцией. При малых скоростях движения наблюдается струйный характер течения (ламинарный режим), а при больших – неупорядоченно-вихревой (турбулентный режим). Этот факт был установлен О. Рейнольдсом с помощью следующих опытов. В протекающую по трубе воду вводилась тоненькая струйка

15

окрашенной жидкости. При скоростях течений, не превышающих некоторой критической Uкр, отдельные части окрашенной струйки движутся только по направлению всего потока (рис. 1.4 а), но при U>Uкр окрашенная струйка на небольшом расстоянии от входа в трубу размывалась и окрашивала всю воду. Из этого следует, что продольное движение частиц сопровождается движением, в котором частицы приобретают также значительные радиальные составляющие скорости (рис. 1.4 в). Напомним, что при переходе ламинарного режима в турбулентный сопротивление трения в трубе резко возрастает. Существует также весьма неустойчивый переходный режим движения жидкости (рис. 1.4 б).

Рис. 1.4. Опытные результаты О. Рейнольдса а) ламинарное течение б) переходный режим течения в) турбулентное течение При вынужденной конвекции коэффициент основном, зависит от следующих параметров α = α(U, ν , λ, a, Φ)

теплоотдачи,

в (1.8)

Здесь через U обозначена скорость потока, омывающего поверхность тела. Молекулярный перенос тепла так же, как и в случае свободной конвекции, зависит от коэффициента теплопроводности жидкости и количества переносимой жидкости, которое, в свою очередь, связано с ее скоростью U. Силы противодействия движению потока жидкости связаны с ее вязкостью ν и совокупностью геометрических параметров Φ. Меньшее влияние при вынужденной конвекции оказывают температуры поверхности и жидкости, поэтому в (1.8) температуры в явном виде не фигурируют.

16

V

V

Рис. 1.5. Характер теплообмена при наличии вынужденной и естественной конвекции Возможен конвективный перенос, в котором и вынужденная, и естественная конвекции вносят соизмеримые доли в общий процесс (рис. 1.5). Тогда коэффициент теплоотдачи зависит от всех параметров, фигурирующих в зависимостях (1.6) и (1.8). Приведём порядок величин коэффициентов конвективной теплоотдачи: - естественная конвекция: - для газов α = 2 - 10, Вт/м2 ·К; - для масла α = 200 - 300, Вт/м2 ·К; - для воды α = 400 - 600, Вт/м2 ·К; - вынужденная конвекция: - для газов α = 10 - 100, Вт/м2 ·К; - для масла α = 300 - 1000, Вт/м2 ·К; - для воды α = 1000 - 10.000, Вт/м2 ·К, в зависимости от режима течения; - кипение воды - α = 20.000 - 40.000, Вт/м2 ·К, однако для фреонов эта величина на порядок меньше; - конденсация паров воды - α = 30.000 - 50.000, Вт/м2 ·К,. Данные значения являются сугубо ориентировочными и не могут служить основанием для расчетов. 1.4 Перенос энергии излучением В разделе 4 будет обоснована следующая зависимость между потоком энергии Фij, излучаемым через прозрачную среду с поверхности тела i с площадью Аi, к поверхности тела j с площадью Аj (рис. 1.6):

( ) − ( ) ⎤⎥⎦ϕ

~ T Фij = ε прij C ⎡ 100i ⎢⎣

4

Tj

100

17

4

ij

Аi

(1.9)

где Ti , T j - абсолютные температуры поверхностей тел, К; ~ 2 4 C =5,67 Вт/м ·К - коэффициент излучения абсолютно черного тела.

Коэффициент εnpij носит название приведенной степени черноты и учитывает физические свойства поверхностей, их взаимное расположение, форму и размеры. Параметр ϕij - коэффициент облученности j -го тела i -ым – учитывает долю потока от тела i, попадающего на тело j. Представим (1.9) в форме, аналогичной закону Ньютона-Рихмана (1.5) для конвективного теплообмена: Фij = α лij (t i − t j ) Аi

(1.10)

где α лij - коэффициент теплообмена излучением между поверхностями i и j. Если тело i находится в неограниченной среде, то tj равно температуре среды tс.

Рис. 1.6. К расчету теплообмена излучением между двумя телами В формуле (1.10) вся сложность процесса теплообмена излучением сконцентрирована в одной величине - α лij , структуру которой нетрудно определить, приравнивая правые части (1.9) и (1.10) α лij = ε прij ϕ ij f (t i , t j ); f (t i , t j ) = 5.67 ⋅ 10

−8

(1.11)

Ti 4 − T j4 ti − t j

(1.12)

Если температуры t i и t j близки, то f (ti , t j ) можно рассчитывать по приближенной формуле 18

3

⎛ T ⎞ ⎟ ; T = 0.5(Ti + T j ) f (t i , t j ) = 0.227⎜⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠

(1.13)

1.5 Тепловое сопротивление и тепловой коэффициент Обозначим через Ф = qА =

Q

τ

тепловой поток, проходящий через

поверхность А, и преобразуем уравнение (1.4): (1.14)

t1 –t2 = ФF; F=

х 2 − х1 . λА

(1.15)

где параметр F - тепловой коэффициент. Структура параметра F в выражении (1.15) справедлива для плоского тела с одномерным стационарным полем температур. В общем случае, когда градиент температуры зависит от координат х, y, z, выражение для F можно получить из (1.2) и (1.14). Представим (1.2) в виде ∂t = −

Ф ∂n и найдем разность температур Аλ

между изотермами t1 и t2 , расположенными на расстоянии 11 и 12 от начала отсчета (рис. 1.3): t1 - t2 = - (t2 - t1) =

l2

Ф(l )∂n . А λ l1

∫

(1.16)

Сравнивая последнее выражение с (1.14), находим общее выражение для F: F=

1 Ф1

l2

Ф(l )∂n

∫ λ (l ) А(l ) ,

(1.17)

l1

где ∂n - элемент длины пути теплового потока; А(l) - аналитическое выражение площади изотермической поверхности на расстоянии l от начала отсчета; Ф(l) - величина теплового потока через изотермическую поверхность А(l); Ф1 - величина теплового потока через изотермическую поверхность А(l1); l1 и l2 - расстояния от начала отсчета изотермических поверхностей А1 и А2 (рис. 1.3). Если на пути теплового потока между изотермами А1 и А2 отсутствуют источники или стоки энергии как в теле, так и на его 19

границах, то поток Ф в этой области не меняет своей величины, т.е. Ф = Ф1 и (1.17) приобретает более простой вид: l2

∂n . λ (l ) А(l )

F= ∫ l1

(1.18)

При неизменном значении коэффициента теплопроводности: F=

1

l2

∂n

. λ ∫ А(l )

(1.19)

l1

Значительное число задач стационарной теплопроводности по существу состоит в определении теплового коэффициента F. Рассмотрим аналогию между переносом тепла через твердое тело и протеканием электрического тока через проводник. Сила электрического тока I и разность потенциалов (U1 – U2) связаны между собой законом Ома I=

U1 − U 2 , Rэ

(1.20)

где Rэ - электрическое сопротивление между эквипотенциальными поверхностями А1 и А2. Сопоставляя выражения (1.14) и (1.20), видим, что аналогом температуры является электрический потенциал, теплового потока электрический ток, а теплового коэффициента - электрическое сопротивление. Если между эквипотенциальными поверхностями отсутствуют источники тока, границы области имеют абсолютную изоляцию, а удельная электрическая проводимость σ является постоянной величиной, то электрическое сопротивление также можно представить в форме, аналогичной (1.19): Rэ=

1

l2

∂n

. σ ∫ A(l )

(1.21)

l1

Приведенная аналогия объясняет, почему параметр F часто называют тепловым сопротивлением. Укажем границы применимости рассмотренной здесь аналогии. Зависимость (1.20) между током и разностью потенциалов в проводнике справедлива при указанных выше условиях, а именно: в проводнике отсутствуют стоки электрического тока (например, утечка с боковой поверхности) и источники, создающие дополнительный ток внутри

20

проводника. Эти условия можно обобщить следующим образом: если между двумя изопотенциальными поверхностями (изотермическими или эквипотенциальными поверхностями) отсутствуют стоки и источники энергии, то поток энергии (тепловой поток, электрический ток) остаётся неизменным; в этом случае справедлива аналогия между процессами переноса тепла и электричества в цепях с распределёнными параметрами. Аналогом электрического сопротивления Rэ является тепловой коэффициент F, который будем обозначать в этом случае через R и называть тепловым сопротивлением. Величины Rэ и R определяются из одинаковых по структуре выражений (1.19) и (1.21). Эту аналогию можно продолжить и применить разработанные в электротехнике приёмы, основанные на законах Кирхгофа для электрических цепей, для расчета теплового сопротивления сложной цепи. Если сформулированное выше условие не выполняется, то электрическое сопротивление Rэ не является аналогом теплового коэффициента F. 1.6. Тепловое сопротивление плоской, цилиндрической и сферической стенок На рис. 1.7 изображены однородные стенки различной конфигурации, поверхности которых x=l1 и x=l2 являются изотермическими с температурами t1 и t2 , а торцы плоской и цилиндрической стенок являются адиабатическими; внутренние источники тепла в стенке отсутствуют; коэффициент теплопроводности материала - λ. Найдем выражение для стационарного теплового потока Ф через эти стенки. Воспользуемся зависимостями (1.14) и (1.15), связывающими разность температур (t1 - t2) с тепловым потоком Ф, а значение теплового коэффициента F найдем для каждого конкретного случая с помощью выражения (1.19). Элемент длины dп пути теплового потока для плоской (п), цилиндрической (ц) и шаровой (ш) стенок равен dп = dx, а аналитические выражения А(x) изотермических поверхностей имеют вид Аn =L1 L2 , Ац =2πxLц , Аш =4πx2, где L1 и L2 –длина и ширина плоской стенки; Lц – длина цилиндрической стенки. Поскольку по условиям задачи между изотермическими поверхностями отсутствуют источники и стоки энергии, коэффициент F имеет смысл теплового сопротивления, которое для плоской, цилиндрической и шаровой стенок обозначим через Rп , Rц , Rш . Учитывая неизменность потока тепла Ф(х)=const и подставляя значения dn и А(x) в выражение (1.19), получим

21

l2

Rэ= ∫ l1

l −l ∂х δ = 2 1 = ; λL1 L2 λL1 L2 λAn

l2

а)

l

l ∂х 1 2 dx 1 Rц= ∫ = = ln 2 ; ∫ λ 2πxLц 2πλLц l1 x 2πλLц l 2 l1 l2

б)

(1.22)

l2

∂х 1 dx 1 ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟, = = 2 2 ∫ 4πλ l1 x 4πλ ⎜⎝ l1 l 2 ⎟⎠ l1 λ 4πx

Rш= ∫

в)

где δ = l2 – l1 – толщина плоской стенки.

Рис. 1.7. К расчёту теплового сопротивления стенок различной конфигурации 1.7. Составные стенки. Применение законов Кирхгофа Рассмотрим теперь последовательно составленную плоскую стенку, состоящую из n разнородных, ориентированных перпендикулярно потоку тепла слоев, толщины и коэффициенты теплопроводности которых – δi и λi .Температура наружных поверхностей стенок равны t1 и tn+1 (см. рис. 1.8 а). Изотермическими поверхностями в этом случае являются плоскости, параллельные поверхности стенок. Между изотермическими поверхностями отсутствуют стоки и источники энергии и тепловой поток, не изменяясь, проходит через все стенки. Следовательно, каждой стенке

22

Рис. 1.8. Последовательное соединение стенок можно приписать тепловое сопротивление Ri ,все тепловые сопротивления, как это видно согласно рис. 1.8 б, соединены последовательно, т.е. суммарное тепловое сопротивление: n

n

i =1

i =1

R= ∑ Ri = ∑

δi 1 n δ = ∑ i . λi A A i =1 λi

(1.23)

На основании (1.14) между температурами t1 и tn+1 и тепловым потоком Ф справедлива зависимость t1 − tn +1 = PR =

P n δi ∑ . S i =1 λi

(1.24)

Проведём аналогичные рассуждения для тепловых сопротивлений последовательно составленных цилиндрической и сферической неоднородных стенок, состоящих из n неоднородных слоёв, расположенных перпендикулярно потоку тепла: Rц =

Rш =

n

1 Lц

∑ 2πλ

1

1 4π

∑λ

i =1

n

i =1

i

ln

l i +1 . li

1 ⎛1 1 ⎞ ⎜⎜ − ⎟, li +1 ⎟⎠ i ⎝ li

(1.25) (1.26)

где li – радиус i-го цилиндрического или сферического слоя; Lц – длина цилиндра. Найдём выражение для теплового сопротивления параллельносоставной стенки, образованной системой плоских стенок, расположенных параллельно потоку тепла (рис. 1.9 а). 23

Рис. 1.9. Параллельное соединение стенок Ограничивающие поверхности с температурами t1 и t2 являются равноотстоящими плоскостями, ориентированными перпендикулярно тепловому потоку. Для определения теплового сопротивления параллельно-составной стенки введем допущение, что разнородные стенки отделены одна от другой бесконечно тонкими адиабатическими (не проводящими тепла) прослойками. Тогда температурное поле в каждой стенке становится одномерным, и ее тепловое сопротивление может быть рассчитано по формуле (1.22 а). Тепловые сопротивления отдельных стенок соединены параллельно (см. рис. 1.9 в), поэтому их общее тепловое сопротивление потоку тепла равно n n λA 1 1 =∑ =∑ i i ; R i =1 Ri i =1 δ

R=

δ n

∑λ A i =1

i

.

(1.27)

i

Принятое допущение о наличии адиабатических прослоек позволило существенно упростить вывод выражения для теплового сопротивления параллельно-составной плоской стенки. Нетрудно получить выражение и для теплового сопротивления параллельно-составной цилиндрической стенки (рис. 1.9 б). Полагая, что разнородные стенки отделены одна от другой адиабатическими прослойками, из формулы (1.22 б) для Rц и схемы соединений сопротивлений (рис. 1.9 в) получим

R=

δ n

1 ∑ i =1 Ri

,

Ri =

1 2πλi Li

ln

l2 , l1

ln R=

l2 l1

n

2π ∑ λi Li i =1

24

,

(1.28)

где Li - длина i-го участка цилиндрической стенки. Сложное соединение стенок. При расчете тепловых сопротивлений различных технических устройств чаще встречаются случаи сложного соединения, в которых тела в системе соединены как последовательно, так и параллельно. Примером такого соединения может служить крепление некоторых деталей к шасси с помощью болта (рис. 1.10 а). В этом случае корпус детали электрически изолирован от шасси шайбами 2 и 4 из электроизоляционных материалов, которые одновременно являются и теплоизоляцией.

Рис. 1.10. Пример сложного соединения стенок Болт 2 отделен от шасси воздушной прослойкой 8, поэтому теплообмен через прослойку между болтом и шасси практически отсутствует. Тепло от детали к шасси поступает двумя потоками Ф1 и Ф2 Поток Ф1 идет непосредственно через изоляцию 2, поток Ф2 - более сложный путем: от детали 7 через болт 1, гайку 6, шайбу 5 и слой изоляции 4. На рис. 1.10,а пути тепловых потоков обозначены стрелками. В данном случае тепловые потоки Ф1 и Ф2 движутся параллельно, преодолевая тепловое сопротивление R2 участка 2 и тепловое сопротивление нескольких последовательно соединенных элементов. На рис. 1.10,б представлена общая схема соединения тепловых сопротивлений для рассматриваемого случая. Если предположить, что тепловой поток, проходящий через отдельные участки системы, не рассеивается, то результирующее тепловое сопротивление R крепёжного соединения найдем на основании закона Кирхгофа, а именно:

25

R=

δ R ' R" , R' = R2 = 2 , R '+ R" λ 2 A2

R" =

δ δ δ1 δ + 4 + 5 + 6 . λ1 A1 λ 4 A4 λ 5 A5 λ 6 A6

Параметры δ 4 и А6 в данном примере довольно условны, приближенные методы их определения устанавливаются в каждом конкретном случае. 1.8. Сложный теплообмен Зависимости между тепловым потоком и разностью температур (t1 – t2) можно представить для кондуктивного, конвективного и лучистого механизмов переноса в единой форме: Ф12 m =

t1 − t 2 ,. R12 m

(1.29)

где m - индекс, характеризующий механизм переноса (кондуктивный (m=Т), конвективный (m=K) и лучистый (m=Л)); Ф12m - тепловой поток между изотермическими поверхностями 1 и 2 для механизма m; t1 и t2 - температуры изотермических поверхностей 1 и 2; R12m - тепловое сопротивление потоку между изотермическими поверхностями 1 и 2 для механизма переноса m. Если сопоставить формулу (1.29) с формулами для различных механизмов переноса, например, с формулами (1.5), (1.10), (1.14), то получаем следующие выражения для теплового сопротивления: кондуктивный перенос R12T =R, где R- тепловое сопротивление, определяемое по формуле (1.16), а для частных случаев плоской, цилиндрической и шаровой стенок - по формулам (1.22); конвективный перенос (1.30) −1 R12 K = (α K А) , где α K - конвективный коэффициент теплообмена; лучистый перенос −1 R12 Л = (α Л А) ,

(1.31)

где α Л - коэффициент теплообмена излучением, структура которого дана формулой (1.11). Если все три механизма переноса тепла существуют одновременно,

26

то тепловой поток Ф12 между изотермическими поверхностями 1 и 2 равен Ф12 = Ф12K + Ф12T + Ф12Л ;

(1.32)

Заметим, что все приведенные здесь зависимости получены в предположении отсутствия стоков или источников энергии между изотермическими поверхностями 1 и 2. Расширим понятие теплопередачи от одной жидкой среды к другой через твердую стенку. С этой целью рассмотрим перенос тепла в трубчатом теплообменнике, где жидкость с температурой tс1 , протекающая по трубе длиной L, нагревает жидкость с температурой tс2, омывающую наружную поверхность трубы (см. рис. 1.11).

Рис.1.11. К расчету теплового сопротивления трубчатого теплообменника На основании закона Кирхгофа тепловой поток от среды с температурой tc1 проходит через стенку к жидкости с температурой tc2, преодолевая следующие последовательно соединенные тепловые сопротивления: среда-стенка (Rc1), стенка (R12) и стенка-среда (Rc2); общее сопротивление потоку R равно: R= Rc1 + R12 + Rc2 ,

(1.33)

где R12 - тепловое сопротивление простой или многосоставной стенки, определяется по формулам (1.22), (1.25), а Rc1 , Rc2 равны: R c1 =

1 1 . , Rc 2 = α 1 A1 α 2 A2

27

(1.34)

Здесь α1 и α2 - полные коэффициенты теплообмена (конвективнокондуктивный и лучистый) между средой и поверхностями стенок; А1 =2πLl1 и А2 =2πLl2 - площади поверхностей 1 и 2. Из формул (1.33), (1.34) следует, что 1 ⎛ 1 1 l 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟. + ln 2 + 2πL ⎝ α1l1 λ l1 α 2l2 ⎟⎠

R=

(1.35)

Анализ формулы (1.35) приводит к выводу, что тепловой поток через отдельные сопротивления для рассматриваемого цилиндрического тела уменьшается непропорционально увеличению толщины изоляции. При росте l2 и неизменном l1 тепловое сопротивление тепловое сопротивление

1 l ln 2 увеличивается, а 2πLλ l1

1 уменьшается. Такого рода двойной эффект 2πLl2α 2

означает, что для цилиндрической стенки существует определенный критический радиус lкр, при котором потеря тепла является максимальной. Дифференцируя значение R из (1.35) по l2 и приравнивая производную нулю, найдем выражение для lкр - критического радиуса изоляции: lкр =

λ , α2

(1.36)

при котором будет наименьшее сопротивление R потоку.

II. Кондукция 2.1. Уравнение теплопроводности. Краевые условия 2.1.1. Уравнение теплопроводности для анизотропного тела с источником энергии и переменными теплофизическими параметрами Из обширного класса анизотропных тел рассмотрим такие, в которых тело имеет различные коэффициенты теплопроводности λx, λy, λz в трех взаимно перпендикулярных направлениях, принятых за оси координат x, у, z. Если принять это ограничение, то останется справедливой запись закона Фурье в форме (1.2). Предположим, что в объеме ΔV= ΔхΔуΔz могут находиться источники тепла, удельная мощность которых в момент времени τ равна W(х, у, z, τ), Вт/м3 (рис.2.1). Рассмотрим изменение теплового состояния объема ΔV за промежуток времени dτ. При этом будем базироваться на двух законах: законе сохранение энергии и законе Фурье. 28

Количество тепла, поступающего в объем слева через поверхность ΔуΔz за время dτ, обозначим dQx, а количество тепла, выходящее из объема ΔV через правую поверхность ΔуΔz, обозначим dQ'x. Аналогично введем обозначения dQy , dQ’y , dQz , dQ’z. Пусть за время dτ температура t( x, y, z, τ ) объема ΔV повысилась на dt градусов, тогда количество тепла, поглощенное объемом, равно cρΔVdt; действие источников тепла вызовет дополнительное поступление энергии, равное WΔVdτ. На основании закона сохранения энергии: dQx + dQ y + dQz + WΔVdτ = dQ'x+dQ'y +dQ'z+cρΔVdt,

(2.1)

Рис. 2.1. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности На основании закона Фурье имеем ⎛ ∂t ⎞ dQx = qx ΔyΔzdτ = −λx ΔyΔz⎜ ⎟ dτ ; ⎝ ∂x ⎠ x ∂t dQ'x =q'x ΔyΔzdτ = −λ x ΔyΔz⎛⎜ ⎞⎟ dτ , ⎝ ∂x ⎠ x + Δx

(2.2)

где qx, q'x - удельные тепловые потоки в направлении оси х. Аналогично записываем выражения для направлений у и z: ⎛ ∂t ⎞ dQy = q y ΔxΔzdτ = −λ y ΔxΔz⎜⎜ ⎟⎟ dτ ; ⎝ ∂y ⎠ y ⎛ ∂t ⎞ ⎟⎟ dτ ; ⎝ ∂y ⎠ y + Δy

dQ'y =q'y ΔxΔzdτ = −λ y ΔxΔz⎜⎜

29

(2.3)

⎛ ∂t ⎞ dQz = qz ΔxΔydτ = −λz ΔxΔy⎜ ⎟ dτ ; ⎝ ∂z ⎠ z ∂t dQ'z =q'z ΔxΔydτ = −λ z ΔxΔy⎛⎜ ⎞⎟ dτ . ⎝ ∂z ⎠ z + Δz

Подставим (2.2) и (2.3) в равенство (2.1): ⎛ ∂t ⎞ ⎛ ∂t ⎞ ⎛ ∂t ⎞ − λ x ΔyΔz⎜ ⎟ dτ − λ y ΔxΔz⎜⎜ ⎟⎟ dτ − λ z ΔxΔy⎜ ⎟ dτ + WΔxΔyΔzdτ = ⎝ ∂x ⎠ x ⎝ ∂z ⎠ z ⎝ ∂y ⎠ y

(2.4)

⎛ ∂t ⎞ ⎛ ∂t ⎞ ⎛ ∂t ⎞ − λx ΔyΔz ⎜ ⎟ dτ − λ y ΔxΔz ⎜⎜ ⎟⎟ dτ − λz ΔxΔy⎜ ⎟ dτ + cρ ΔхΔуΔz dt. ⎝ ∂x ⎠ x + Δх ⎝ ∂z ⎠ z + Δz ⎝ ∂y ⎠ y + Δу

∂t Заметим, что t есть функция x, y, z, τ, а следовательно, произведение ⎛⎜ λi ⎞⎟ ⎝

∂i ⎠

есть функция x, y, z, τ; здесь i = x, y, z. Обозначим последнее произведение через Φi , т.е. ⎛ ∂t ⎞ ⎜ λi ⎟ = Фi , ⎝ ∂i ⎠i

⎛ ∂t ⎞ ⎜ λi ⎟ = Фi +Δi ⎝ ∂i ⎠i +Δi

(2.5)

Используя обозначение (2.5), перепишем равенство (2.4): Фx+Δx − Фx Фy+Δy − Фy Фz+Δz − Фz ∂t + + W = cρ . + ∂τ Δx Δz Δy

(2.6)

Переходя в (2.6) к пределу при Δi→0 и используя определение производной Φ i +Δi − Φ i ∂Φ i = Δi →0 ∂i ∂i lim

Получим

∂t ∂Φx ∂Φ y ∂Φz + + W = cρ + ∂τ ∂x ∂z ∂y

на основании определения (2.5) ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂t ⎜ λx ⎟ + ⎜⎜ λ y ⎟⎟ + ⎜ λz ⎟ + W = cρ . ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂τ

(2.7)

Это и есть дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого класса анизотропных тел с источниками тепла и теплофизическими параметрами, зависящими от температуры. Рассмотрим класс анизотропных тел в цилиндрической системе координат. Пусть коэффициенты теплопроводности в направлениях x и z равны λх и λz. Тело ограничено плоскостями, перпендикулярными оси z. 30

Для таких тел уравнение теплопроводности с учётом осевой симметрии имеет вид 1 ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂t . ⎜ λ x x ⎟ + ⎜ λ z ⎟ + W = cρ x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂τ

(2.8)

Замечание. Как уже отмечалось, в общем случае для анизотропной среды направление вектора теплового потока в какой-либо точке, вообще говоря, не совпадает с направлением нормали к изотерме, проходящей через эту точку, а закон Фурье записывается в ином виде: ∂t ∂t ∂t + λ12 + λ13 ; ∂x ∂y ∂z ∂t ∂t ∂t − q y = λ21 + λ22 + λ23 ; ∂x ∂y ∂z ∂t ∂t ∂t − qz = λ31 + λ32 + λ33 ; ∂x ∂y ∂z − qx = λ11

где λrs -коэффициенты теплопроводности (компоненты тензора второго ранга). Общая теория переноса тепла через анизотропные среды изложена в [10]. 2.1.2. Частные случаи уравнения Фурье а) Пусть коэффициенты теплопроводности λх, λу и λz не зависят от координат, но зависят от направления; тогда уравнение (2.7) примет вид λx

∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ∂t + + + W = cρ λ λ . y z 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂τ

(2.9)

б) Если λх = λу = λz =λ, то тело изотропное и уравнение (2.9) становится более простым: ∇ 2t +

W

λ

=

1 ∂t , a ∂τ

a=

λ . cρ

(2.10)

Здесь через обозначен коэффициент температуропроводности материала. Разъясним физический смысл этого коэффициента. Температуропроводность характеризует способность материала повышать свою температуру с большей или меньшей скоростью

∂t под ∂τ

действием притекающего тепла. Если в каком-либо слое материала происходит повышение температуры, то скорость этого повышения будет, 31

прежде всего, определяться тем, какое количество тепла передается этому слою в единицу времени от соседних с ним слоев. Это последнее количество тепла пропорционально теплопроводности, а, следовательно, скорость повышения температуры пропорциональна λ. С другой стороны, чем больше теплоемкость единицы объема материала сρ=Cvol (Cvol – объемная теплоемкость), тем меньше будет повышаться температура рассматриваемого слоя; следовательно, скорость повышения температуры слоя обратно пропорциональна Cvol. Отсюда приходим к заключению, что свойство, характерное для поведения материала при изменяющейся температуре, должно определяться параметром a = λ = λ .Единица 2

C vol

cρ

измерения температуропроводности в системе Си – м /с. Покажем, что путем тождественных преобразований уравнение (2.9) можно привести к форме, аналогичной (2.10). Введем новые координаты x'= x

λ λ λ , y'= y , z'= z , λx λz λy

(2.11)

где λ - так называемая базовая теплопроводность, выбор которой произволен; обычно за λ принимают одно из трех значений коэффициентов теплопроводностей λх, λу и λz. Подставим новые значения координат (2.11) в уравнение (2.9), для этого предварительно проделаем следующие выкладки: ∂t ∂t ∂x' = ⋅ = ∂x ∂x' ∂x

λ ∂t ; λ x ∂x'

∂ 2t λ ∂ 2t = ; ∂x 2 λ x ∂ ( x' ) 2

(2.11)

Аналогично ∂ 2t λ ∂ 2t ; = ∂y 2 λ y ∂ ( y ' ) 2

∂ 2t λ ∂ 2t = . ∂z 2 λ z ∂ ( z ' ) 2

Уравнение (2.9) принимает после преобразования вид ∂ 2t W 1 ∂t ∂ 2t ∂ 2t + + + = , 2 2 2 ∂ ( x' ) ∂( y' ) ∂( z ' ) λ a ∂τ

(2.12)

аналогичный по форме уравнению (2.10). Преобразованию типа (2.11) подвергаются и граничные условия, так как в них всегда входят координаты и геометрические параметры. Итак, преобразования (2.11) позволяют свести решение задачи для анизотропных твёрдых тел к решению соответствующих задач для изотропных тел. Напомним, что этот вывод справедлив только для рассматриваемого здесь 32

класса анизотропных тел, определение которого указано в начале раздела. Для цилиндрической системы координат уравнение (2.8) с помощью преобразований x'= x

λ λx

и z'= z

λ , λz

(2.13)

приводится к виду, характерному для изотропных тел ∂ 2t 1 ∂t ∂ 2t W 1 ∂t + + + = . 2 2 x' ∂x' ∂ ( z ' ) λ a ∂τ ∂ ( x' )

(2.14)

в) Если в теле отсутствуют источники энергии W=0, то уравнение (2.10) переходит в следующее a∇ 2 t =

∂t . ∂τ

(2.15)

Большинство исследований по аналитической теории теплопроводности связано с решением этого уравнения. г) В стационарных условиях

∂t =0, и уравнения (2.7), (2.9), (2.10) ∂τ

записываются в более простой форме: ∂ ⎛ ∂ t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂ t ⎞ ⎜ λx ⎟ + ⎜ λ y ⎟ + ⎜ λz ⎟ + W = 0; ∂x ⎜⎝ ∂x ⎟⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂z ⎜⎝ ∂z ⎟⎠ ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t + + λ λ + W = 0; y z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 W ∇ 2t + = 0. λ

λx

(2.16) (2.17) (2.18)

2.1.3. Краевые условия Задача теории теплопроводности состоит в определении поля температур в теле в данный момент времени. Для решения этой задачи, кроме дифференциального уравнения, необходимо знать поле температур для какого-нибудь предшествующего момента времени (начальное условие), а также форму тела и закон взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела (граничные условия). Начальное и граничные условия в совокупности называются краевыми условиями. Начальное условие определяется заданием закона распределения температуры в теле в начальный момент времени, т.е. 33

t( x, y, z, 0) = Ψ(x, y, z).

(2.19)

Граничные условия можно представить в различной форме в зависимости от характера явлений, протекающих на границе тела. а) Например, может быть задано распределение температуры на поверхности тела в любой момент времени (задача Дирихле, или условие первого рода) ts (τ) = f(τ),

(2.20)

где ts(τ) – температура на поверхности тела в момент времени τ. б) Задано распределение плотности теплового потока в любой момент времени (задача Неймана, или условие второго рода) qs (τ) = f(τ),

(2.21)

где qs(τ) – плотность теплового потока на поверхности тела. в) Задан закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей жидкой или газообразной средой (условие третьего рода). Математически выражение этого закона может быть получено на основании следующих рассуждений. По закону Ньютона удельный тепловой поток на границе тело-среда равен: qs(τ) = α (ts - tc ) ,

(2.22)

где α – коэффициент теплообмена. По закону Фурье к поверхности изнутри тела подходит удельный поток ⎛∂ t⎞ ⎟⎟ , n ∂ ⎠S ⎝

q's = - λ ⎜⎜

(2.23)

где n – внешняя нормаль к поверхности тела. Если на границе тело-среда отсутствуют стоки или источники энергии, то qs(τ) = q's(τ) и граничное условие принимает вид: ⎛∂ t⎞ ⎟ + α (ts - tc ) = 0 ⎝ ∂n ⎠ S

λ ⎜

(2.24)

Если на границе тела имеется источник энергии, производительность которого равна q,

Вт , то граничное условие нетрудно получить, м2

основываясь на законе сохранения энергии

34

(2.25)

q's +q= qs

В последнее равенство следует вместо q's и qs подставить их выражение (2.22) и (2.23). г) Условия теплообмена на границе двух твёрдых тел (условия четвертого рода): - отсутствие температурного скачка на границе (при отсутствии контактного теплового сопротивления) t1 S = t2

S

,

(2.26)

где S – символическое обозначение границы. - если на границе двух тел имеется источник (или сток) энергии, поверхностная мощность которого q, то на основании закона сохранения энергии λ1

∂t1 ∂n

+q = λ2 S

∂t2 , ∂n S

(2.27)

где n - нормаль к поверхности раздела тел. 2.2. Стационарное поле температур оболочек простейшей формы 2.2.1. Плоская стенка Полагая в уравнении (2.16) W=0 и принимая во внимание, что ∂t ∂t = = 0, ∂y ∂z

получим d ⎛ dt ⎞ ⎜ λ ⎟ = 0 и зададим граничные условия dx ⎝ dx ⎠ t (0) = t1 , t (l ) = t2

Будем считать, что λ = f(t), тогда, интегрируя (2.28), получим f (t )

dt = C1 , dx t1

∫

f (t )dt = C1 dx ,

t

35

0

f (t )dt = ∫ C1dx = −C1 x x

(2.28)

Постоянная С1 имеет простой физический смысл. Сравним выражение λ

dt = C1 dx

с законом Фурье λ

dt = −q , dx

тогда С1 = - q, т.е. С1 численно равна удельному тепловому потоку через стенку, взятому с обратным знаком. Следовательно,

t1

∫ f (t )dt = qx. t

Рассмотрим частные случаи. Пусть λ=const. t1

∫ λdt = λ (t

1

− t ) = qx ;

t

При x = l , t = t 2 и q = λ

q=λ

t1 − t . x

(2.30)

t1 − t2 l

Пусть λ=λ0(1+βt). t1

qx = λ0 ∫ (1 + βt )dt =λ0 (t1 − t ) + βλ0 t

t12 − t 2 t +t = λ0 (t1 − t )(1 + β 1 ). 2 2

(2.31)

Если β>0, то распределение температур в плоской стенке изобразится параболой с выпуклостью, обращённой в сторону (+t) (рис. 2.2). Если β<0, то распределение температур в плоской стенке будет иметь вогнутый вид, представленной на рис. 2.2

Рис. 2.2. Характер изменения температуры плоской стенки 36

При x=l, t=t2 и q=

λ0 l

(1 + β t )(t1 − t 2 ),

где t = 0,5(t1 + t 2 ) Обозначим λ = λ0 (1 + β t ), тогда q=

λ (t1 − t2 ) l

(2.32)

.

Тепловое сопротивление плоской стенки равно Rn =

t1 − t2 l = , Sq λS

где S - площадь плоской изотермической поверхности. Отклонение распределения температур от прямой линии можно найти из формулы (2.31). Полагая в этой формуле x = l , получим t +t ⎤ ⎡ ql = λ0 (t1 − t2 ) ⎢1 + β ( 1 2 ) ⎥. 2 ⎦ ⎣

Отношение

qx ql

равно t1 + t x t1 − t 2 = ⋅ l t1 − t2 1 + β t1 + t2 2 1+ β

Ошибки в оценке расстояния x, на котором наблюдается заданная температура t, дана вторым множителем (дробью) в правой части последней формулы. Пример 1. Для большинства технических материалов-диэлектриков можно принять: λ=λ0(1+βt), β>0.

Например, теплопроводность кирпича следующим образом зависит от температуры λ0 = 1,0 + 10 −3 t ,

Вт . м⋅К

Пусть l = 0,4 м, t1 =900ºC, t2 =100ºC , тогда 37

500 Вт = 1,5 1000 м⋅К , 900 − 100 Вт q = 1,5 = 3000 2 0,4 м

λ = 1,0 +

Если бы пренебрегли зависимостью λ=λ(t), то в определение теплового потока внесли бы ошибку в 1,5 раза. Пример 2. Пробковая стенка: коэффициент теплопроводности изменяется с температурой по закону λ = 0,04(1 + 4,5 ⋅ 10−3 t ), l=0,1 м, t1=30 ºC, t2= -20 ºC, t1 + t 2 = 5 0 C λ = 0,04 (1 + 4 ,5 ⋅ 10 − 3 ⋅ 5 ) = 0,0409 Вт 2 м⋅К 30 − (−20) Вт q = 0,0409 = 20,45 2 0,1 м

Если не учитывать зависимость λ=λ(t), то ошибка составила бы 2,25%. Отсюда видно, что, смотря по обстоятельствам, зависимостью λ от t можно иногда пренебрегать, особенно если рассматривается неширокий диапазон температур. 2.2.2. Цилиндрическая стенка

Из

уравнения

неограниченного

(2.8)

цилиндра

для

стационарного

⎛ ∂ 2t ⎞ ⎜⎜ 2 = 0 ⎟⎟ ⎝ ∂z ⎠

без

режима

источников

тепла

⎛ ∂t ⎞ = 0⎟ ⎜ ⎝ ∂τ ⎠

(W=0),

получаем уравнение dt 1 d ( λ x ) = 0. x dx dx

(2.33)

Проинтегрируем это уравнение: λx

dt = C1 dx

(2.34)

Найдём значение постоянной интегрирования С1 из следующих рассуждений. Выражение для теплового потока через цилиндрическую поверхность имеет вид: Р = −λ

dt 2πxL. dx

38

(2.35)

Сравнивая (2.34) и (2.35), находим C1 = − P . 2πL

Проинтегрируем уравнение (2.34) от изотермической поверхности радиуса x1 до поверхности радиуса x, температуры этих поверхностей соответственно равны t1 и t: t1

x1

t

x

x dx x = C1 ln 1 = −C1 ln x x x1

∫ λdt = ∫ C1

Если λ=λ0(1+βt), то согласно (2.31) t1

∫ λdt = λ (t 0

1

− t )(1 + β

t

t1 + t 2 ), 2

и температура t связана с тепловым потоком P выражением: t +t P x ln = λ0 (t1 − t )(1 + β 1 ). 2πL x1 2

(2.36)

В частности, при β = 0, P ln t1 − t =

x x1

2πLλ0

.

(2.37)

Найдём выражение для теплового сопротивления цилиндрической стенки Rц =

t1 − t 2 . P

Для этого положим x=x2 и t=t2 и введём средний коэффициент теплопроводности (2.32), тогда

Rц =

ln x 2

x1

2πLλ 0

.

Итак, выражение для Rц получено иным методом, чем в разделе 1.5, с использованием решения уравнения теплопроводности. 2.2.3. Шаровая стенка

Тепловой поток через сферическую изотермическую поверхность радиуса х равен 39

dt 4πx 2 , dx

P = −λ

откуда

P − 4π

x1

t

dx 1 ∫x x 2 = ∫t λdt

Принимая во внимание выражение (2.31) для правого интеграла и вычисляя интеграл в левой части последнего равенства, получим −

P 4π

⎛ 1 1⎞ t1 + t ). ⎜ − ⎟ = λ0 (t1 − t )(1 + β 2 ⎝ x1 x ⎠

(2.38)

В частности, при β=0 получаем t1 − t =

P

4πλ0

(

1 1 − ). x1 x

(2.39)

Положим теперь в (2.38) х=х2 и t=t2 и найдём выражение для потока через шаровую стенку P=

где

4π λ (t1 − t2 ) , 1 1 − x1 x2

(2.40)

λ = λ0 (1 + β t ); t = 0,5(t1 + t2 )

2.2.4. Тепловое сопротивление от сферы к неограниченному пространству

Пусть в неограниченном пространстве расположена сфера радиуса х1, поверхность которой поддерживается при температуре t1; на большом удалении от сферы температура пространства равна t2 (рис. 2.3 а). Определить сопротивление R тепловому потоку Р от сферы к неограниченному пространству. По определению R=

t1 − t2 , P

следовательно, задача сводится к нахождению величины теплового потока Р, который на основании закона Фурье равен

40

Рис. 2.3. К определению теплового сопротивления от сферы к неограниченному пространству P = −λ

dt dx

⋅ 4π x12 .

(2.41)

x = x1

Итак, необходимо найти температурное поле в неограниченном пространстве, окружающем сферу. Дифференциальное уравнение теплопроводности без источников тепла в установившемся режиме имеет в сферических координатах вид d 2t 2 dt 1 d2 + = 0 или ( xt ) = 0, dx 2 x dx x dx 2

откуда d ( xt ) = C1 , dx

xt = C1 x + C2

(2.42)

Запишем условия на границах: (2.43)

t(x1) = t1, t(∞) = t2

Из (2.42) и (2.43) следует, что (2.44)

С1 = t2 , С2 = (t1 - t2)х1

Итак,

t = t 2 + (t1 − t 2 )

x1 x

Из (2.41) и (2.42) находим величину Р: P = 4πλ (t1 − t2 ) x1 ,

41

R=

1 4πλ x1

(2.45)

Найдём выражение для теплового сопротивления полупространства с адиабатической границей, в поверхность которого вдавлена полусфера с постоянной температурой поверхности (рис. 2.3 б). Этот случай отличается от предыдущего только тем, что весь поток Р направлен вглубь полупространства. В предыдущей задаче этот поток поровну распределился в верхнюю и нижнюю части полупространства вследствие симметричности тела. Следовательно, для полупространства тепловое сопротивление должно быть вдвое больше, чем для пространства, т.е. R=

1

(2.46)

2πλx1

2.3. Стационарное поле температур тел с источниками тепла

Введём следующие ограничения: тела рассматриваются с постоянным тепловыделением по объему; на границах тел теплообмен подчиняется закону Ньютона (условия третьего рода); теплопроводность и теплоотдача не зависят от температуры. Неограниченная пластина. Из уравнения (2.9) при λ

∂ 2t ∂ 2t = = 0 следует, что ∂y 2 ∂z 2

d 2t + W = 0, 0 ≤ x ≤ δ . dx 2

(2.47)

Запишем условия на границах (рис. 2.4 а) ⎛ dt ⎞ −λ ⎜ ⎟ = α1 (tc1 − t ) x =0 , ⎝ dx ⎠ x =0 ⎛ dt ⎞ −λ ⎜ ⎟ = α 2 (t − tc2 ) x =δ . ⎝ dx ⎠ x =δ

(2.48) (2.49)

Решение d ⎛ dt ⎞ W ⎜ ⎟=− , dx ⎝ dx ⎠ λ

dt W = − x + C1 , dx λ

t=−

W 2 x + C1 x + C2 . 2λ

(2.50)

Постоянные интегрирования С1 и С2 найдём из уравнений (2.48) – (2.49): W δα1 α δ αα (1 + 2 ) − 1 2 (tc1 − tc2 ); 2λ λB Bλ α t αδ α δ α 2tc2 Wδ 1 c1 (1 + 2 ) + (1 + 2 ) + ; С2 = 2λ Bλ B B λ С1 =

42

B = α1 +

α 1α 2 δ + α2. λ

Рис. 2.4. К определению стационарных полей температур тел с источниками энергии Рассмотрим частные случаи tc1 = tc2 = tc ;

Тогда

α1 = α 2 = α . С1 =

Wδ ; 2λ

С2 = t c +

Wδ . 2α

Подставим значения С1 и С2 в (2.50): t = tc +

W δ 1 x x2 ( + − ). 2 α λ λδ

Последнее выражение преобразуем, введя новую систему координат: x' = x −

δ

= x − L;

L=

δ

. 2 WL WL ⎡ ( x '+ L) 2 ⎤ WL WL 2 L − x '− L + = + t − tc = ( x '+ L)[ ]= ( x '+ L ) − ⎢ ⎥ 2L ⎦ α 2L α λ ⎣ λ WL WL ( L − x ') WL W 2 = + = + ( x '+ L) ( L − x '2 ). 2L α λ α 2λ 2

(2.51)

Найдём максимальную температуру tmax , которая соответствует центру пластины x=L, а x ' =0. 43

tmax − tc =

WL WL2 + . α 2λ

Неограниченный сплошной цилиндр. уравнение и граничные условия имеют вид

Дифференциальное

d 2t 1 dt W + =− ; 2 dx x dx λ dt ⎡ dt α ⎤ = 0, + (t − tc ) ⎥ = 0. ⎢ dx x =0 ⎣ dx λ ⎦ x=L

(2.52)

Представим (2.52) в виде d dt W ( x ) = − x. dx dx λ

Решение этого уравнения dt W 2 dt Wx C1 x + C1 , =− =− + , dx dx 2λ 2λ x W 2 t=− x + C1 ln x + C2 . 4λ x

Найдём постоянные интегрирования С1 и С2. При х = 0, абсурдно, поэтому полагаем С1 = 0 и запишем решение в виде t=−

t=-∞, что

W 2 x + C2 . 4λ

Из условий на границе x=L определим С2. dt Wx WL =− =− , 2λ x = L 2λ dx x = L WL α W 2 − + (− L + C2 − tc ) = 0. 2λ λ 4λ

Окончательно температурное поле цилиндра имеет вид t − tc =

W 2 W (L − x2 ) + L 4λ 2α

(2.53)

Полный неограниченный цилиндр (рис. 2.4 б). Дифференциальное уравнение для неограниченного цилиндра имеет вид (2.52), его решение было получено выше. 44

t=−

W 2 x + С1 ln x + C2 4λ

На границах x = R1 и x = R2 теплообмен происходит по закону Ньютона со средами, температуры которых равны t c и t c , а коэффициенты теплообмена - α1 и α 2 . Граничные условия имеют вид 1

λ λ

dt dx dt dx

x = R2

x = R1

= α 2 (tc2 − t ) = α1 (t − tc1 )

2

x = R2

(2.54) x = R1

Используя эти условия, найдём постоянные С1 и С2: αα W W 1 [α1α 2 (tc2 − tc1 ) + ( R2α1 + R1α 2 ) + 1 2 ( R22 − R12 )]; 2 4λ B 2 2 α R W α 1α 2 2 1 W αR W ( R1 ln R2 − R22 ln R1 ) − (α1 R2 ln R1 + α 2 R1 ln R2 ) + С2 = [ ( 1 1 + 2 2 ) + 4λ 2 B 4 R2 R1 α1tc α 2 tc2 W λ R2 R1 + ( − ) + α1α 2 (tc1 ln R2 − tc2 ln R1 ) + λ ( 1 + )]; 2 R1 R2 R2 R1 С1 =

B = α1α 2 ln

⎛α α ⎞ R2 +λ⎜ 1 + 2 ⎟ R1 ⎝ R2 R1 ⎠

Пример. Полый электрический проводник охлаждается водой, текущей в его внутренней полости и естественной конвекцией на наружной поверхности, находящейся в воздухе. Размер проводника R1 = 2 мм, R2 =3 мм, удельное сопротивление материала ρ=0,1 Ом мм2 / м, λ= 15 Вт/м·К, сила тока I=1000 А, α1 =1000 Вт/м2·К, α2 =10 Вт/м2 ·К, tc = 30ºC, 1

tc2 =

20ºC. Требуется определить максимальную температуру проводника. Решение: Найдём координату x 0 , соответствующую максимальной температуре dt dx

= x = x0

C1 W − x0 = 0; x0 2λ

x0 =

2λC 1 = 0, 00298м W

Поскольку R1<x0
при такой высокой температуре следует рассмотреть вопрос кипения воды. Шар с источником энергии. Дифференциальное уравнение имеет вид: d 2t 2 dt W + =− ; 2 λ dx x dx

0≤ x≤ L

(2.55)

На границе x=L теплообмен происходит по закону Ньютона, поэтому граничное условие имеет вид −λ

dt dx

x=L

= α (t − tc ) x = L

Максимальная температура должна быть в центре шара, что позволяет записать dt dx

= 0. x =0

Покажем решение приведённой выше системы уравнений. Представим (2.55) в форме 1 d 2 ( xt ) W =− 2 λ x dx

W ⎛ d ( xt ) ⎞ d⎜ ⎟ = − xdx . λ ⎝ dx ⎠

Интегрируя дважды последнее уравнение, получим d ( xt ) W x2 W x2 =− + C1 , d ( xt ) = − dx + C1 dx, λ 2 λ 2 dx C Wx 2 W x3 tx = − + C1 x + C2 ; t = − + C1 + 2 , λ 2⋅3 x 6λ

где С1 и С2 - постоянные интегрирования. Устремим x→0, тогда t →∞, что физически абсурдно, поэтому Wx 2 + C1 . полагаем С2 = 0 и t = − 6λ

На основании условия (2.56) определим С1: dt WL =− , dx x= L 3λ

−

WL WL2 λ = α [− + C1 − tc ] ; 3λ 6λ

запишем выражение для искомой температуры: 46

t − tc =

W 2 W (L − x2 ) + L 6λ 3α

(2.57)

Приведём сводку формул для трех тел простейшей формы: W 2 W ( L − x 2 ) + L; α 2λ W 2 W (L − x2 ) + tцил − tc = L; 4λ 2α W 2 W (L − x2 ) + t ш − tc = L. 6λ 3α tпл − tc =

Во всех случаях температурное поле тела представляется параболическим законом. При α=∞ и x=0: tпл − tc =

WL2 ; 2λ

tц − tc =

WL2 ; 4λ

tш − tс =

WL2 . 6λ

Найдём среднюю объёмную температуру пластины, цилиндра и шара; по определению tV − tс =

1 (t − tс )dV , V V∫

(2.58)

где V и dV – объём и элемент объёма тела. VП = 2 L ⋅ 1 ⋅ 1,

dVП = dx ⋅ 1 ⋅ 1,

−L≤ x≤ L;

VЦ = π L ⋅ 1,

dVЦ = 2π xdx ⋅ 1,

0 ≤ x ≤ L;

4 3 πL , 3

dVШ = 4πx 2 dx,

0 ≤ x ≤ L.

2

VШ =

Подставляя в (2.58) значения разности температур из (2.51), (2.53) и (2.57) и производя интегрирование, получим после простых преобразований выражение для среднеобъемного перегрева tV − tс = ϑV =

P αV (1 + n ) αS λS

(2.59)

где P=W·V – полная мощность источников в теле; V и S – объём и теплоотдающая поверхность в теле; n – коэффициент, равный для пластины, цилиндра и шара

47

1 nП = , 3

nц =

1 , 2

3 nш = . 5

(2.60)

Формулу (2.59) можно также применять для оценки средней объёмной температуры тел иных конфигураций с распределёнными источниками энергии. Для этого следует все тела разбить на три группы: тела группы шара имеют все три измерения одного порядка; тела группы цилиндра имеют два конечных измерения одного порядка и третье измерение неограниченно большое ( L1 ≈ L2 << L3 ); тела группы пластины обладают одним измерением конечной величины с двумя другими неограниченно большими измерениями ( L1 << L2 ≈ L3 ). При оценке ϑV для тел указанных групп следует выбирать соответствующие значения n из (2.60) или промежуточные значения этих величин. 2.4. Нестационарный тепловой режим тела с равномерным полем температур 2.4.1. Дифференциальное уравнение процесса

Рассмотрим тело произвольной конфигурации, которое имеет мощность источника W( τ ). В начальный момент времени τ = 0 тело имеет температуру t 0 t τ =0 = t 0 ,

(2.61)

и вносится в среду, температура t c (τ ) которой изменяется во времени; теплообмен тела со средой подчиняется закону Ньютона (2.24). Задача состоит в определении температуры тела в любой момент времени. Температурное поле такого тела описывается дифференциальным уравнением (2.10) ∇ 2t +

W

λ

=

cρ ∂t , λ ∂τ

граничным условием (2.24) и начальным условием (2.61). Приведём эту систему уравнений к иному виду, применив ко всем членам системы уравнений следующую операцию: L[ f ] =

1 V

∫ fdV .

Рассмотрим сначала (2.10): 48

1 1 W 1 cρ ∂t ∇ 2 tdV + ∫ dV = ∫ dV . ∫ VV VV λ V V λ ∂τ

(2.62)

Используем теорему Грина

∫ ∇ tdV = ∫ gradtdS 2

V

S

и преобразуем первый член (2.62), при этом будет использовано граничное условие (2.24): α (t − tс ) αS dS = − (t − t ), λ λ s с S

∫ gradtdS = −∫ S

ts =

Тогда

1 tdS S ∫S

1 αS ∇ 2tdV = − (t − t ) . ∫ λV s c VV

По определению

∫ WdV = P,

V

1 tdV = tV , V V∫

где Р – полная мощность источников тепла в теле; tV - средняя объёмная температура тела. В этих преобразованиях предположено, что коэффициенты α , λ , c не зависят от температуры. Используем полученные результаты и перепишем (2.62) в виде dtV P (τ ) + m0ts = m0tc (τ ) + , dτ C αS . m0 = C = cρV , C

(2.63)

Если предположить, что поле температур в теле равномерное, то tV = ts = t , и уравнение (2.63) примет вид dt P (τ ) + m0t = m0tc (τ ) + dτ C .

49

(2.64)

Система уравнений (2.61) и (2.64) полностью описывает температуру тела с равномерным полем температур. 2.4.2. Интегрирование системы уравнений (2.61), (2.64)

Используем следующий метод определения t(τ): представим эту величину в виде произведения двух неизвестных пока величин V и W: t (τ ) = V (τ ) ⋅ W (τ )

(2.65)

и подставим (2.65) в (2.64): W(

dV dW P (τ ) + m0V ) + V = m0tc (τ ) + . dτ dτ C

Выберем функцию V = V (τ ) так, чтобы сумма в скобках обратилась в нуль: dV + m0V = 0; dτ

решение этого уравнения даёт выражение для V в виде: V = C1e − m0τ

(2.66)

где С1 –постоянная интегрирования. Из (2.64) и (2.65) получаем дифференциальное уравнение для W: dW 1 P (τ ) = [m0tc (τ ) + ], dτ V C

решение, которого имеет вид W=

m0 m0τ P (τ ) ]dτ + C2 e [tc (τ ) + ∫ C1 m0C

где С2 – новая постоянная интегрирования. Принимая во внимание это выражение, а также (2.64) и (2.66), получаем t (τ ) = e − m0τ {D + m0 ∫ e m0τ Fdτ },

50

(2.67)

где

D = C1C2 ,

F = tc +

P . m0C

Неопределённый интеграл в (2.67) заменим определённым, взяв его в пределах от τ 0 до τ . При τ = τ 0 последнее выражение примет вид τ0

t0 = e − m0τ 0 [ D + m0 ∫ e m0τ Fdτ ]. τ0

Интеграл в последнем выражении равен нулю, отсюда D = t0e − m0τ 0 .

Подставив значение D в (2.67), получим τ

t (τ ) = t 0 e

− m0 (τ −τ 0 )

+ m0 e

− m0τ

∫e τ

m0τ

Fdτ .

(2.68)

0

Далее применим к интегралу интегрирования по частям τ

m0 ∫ e τ0

m0τ

τ

F (τ )dτ = ∫ F (τ )d (e

в

m0τ

правой

) = [ F (τ )e

части

(2.68)

формулу

τ

]τ 0 − ∫ e m0τ F ' (τ )dτ ,

m0τ τ

τ0

τ0

после чего формула (2.68) примет вид τ

t = t 0 e − m0 (τ −τ 0 ) + e − m0τ {Fe m0τ − F0 e m0τ 0 − ∫ e m0τ F ' dτ } ,

(2.69)

τ0

где F0 = t c 0 +

Р0 , m0 С

F = tc +

Р . m0 С

Последнее выражение перепишем в несколько ином виде: t − F = (t 0 − F0 )e

− m0 (τ −τ 0 )

−e

− m0τ

τ

∫е τ

m0τ

F ' dτ .

(2.70)

0

Дальнейший анализ можно проводить, если задан вид функциональных зависимостей t c = t c (τ ) и Р = Р (τ ) . Здесь возможны различные сочетания, поэтому рассмотрим случаи, наиболее часто встречающиеся на практике.

51

2.4.3. Нагревание или охлаждение тела в среде с постоянной температурой

Пусть P=0 , и тело помещено в среду с постоянной температурой t c = сonst . Тогда F0 = F = t c = сonst , и зависимость (2.70) примет вид Θ=

t - tc = e − m0 (τ −τ 0 ) . t0 - tc

(2.71)

Из последнего выражения следует, что разность температур тела и среды изменяется по закону экспоненты (рис. 2.5 а). Прологарифмируем формулу (2.71): ln Θ = −m0 (τ − τ 0 ) = − m0τ + m0τ 0 = − m0τ + сonst.

Рис. 2.5. Охлаждение или нагревание тела в среде с постоянной температурой 52

(2.72)

На рис. 2.5, б дано графическое представление этой зависимости в полулогарифмических координатах. Из рис. 2.5, б и формулы (2.72) следует, что m0 =

ln Θ1 − ln Θ 2 ln(t1 − t c ) − ln(t 2 − t c ) = τ 2 −τ1 τ 2 −τ1

(2.73)

Последнее выражение позволяет определить параметр m0 , который в дальнейшем будем называть темпом охлаждения (нагревания) тела, опытным путём. Пусть из опыта получена зависимость (t − t c ) = f (τ ) ; построив её в полулогарифмических координатах ln(t − t c ) = f1 (τ ) и выбрав два каких-либо момента времени τ 1 и τ 2 , находим по формуле (2.73) величину m0 . Полезно аналитическое представление темпа охлаждения тела m0 в иной форме: дифференцируя (2.72), получим d ln Θ = − m0 или dτ d (t − t c ) dΘ = = − m0 Θdτ (t − t c )dτ

(2.74)

Рассмотрим теперь простое нагревание тела в среде с температурой t c > t 0 . Вычтем из правой и левой частей уравнения (2.71) по единице. После преобразований получим t − t0 = 1 − е − m0 (τ −τ 0 ) tc − t0 t − t0 = (tc − t0 )[1 − e

или − m0 (τ −τ 0 )

(2.75)

]

Графическая зависимость представлена на рис. 2.5. Сделаем следующие тождественные преобразования с выражением (2.75): t − t 0 = t − t 0 + t c − t c = (t c − t 0 ) − (t c − t ); (t c − t 0 ) − (t c − t ) = (t c − t 0 )[1 − е − m0 (τ −τ 0 ) ]; t c − t = (t c − t 0 )е − m0 (τ −τ 0 ) .

Представим, наконец, это выражение в виде ln

tc − t = −m0τ + const tc − t0 53

и изобразим последнюю зависимость графически (рис. 2.5). Если имеется экспериментальная зависимость t = f (τ ) по нагреванию тела в среде с температурой t c > t 0 , то можно определить темп нагревания тела по аналогии с темпом охлаждения тела. В этом случае результаты опытов следует обрабатывать в форме m0 =

ln(t c − t1 ) − ln(t c − t 2 ) . τ 2 −τ1

(2.76)

При простом нагревании или охлаждении тела с равномерным полем температур темпы нагревания и охлаждения, как это видно из всех предыдущих выводов, равны между собой. 2.4.4. Нагревание или охлаждение тела в среде, температура которой изменяется во времени с постоянной скоростью

Рассмотрим следующий случай (рис. 2.6 е): t c = b(τ − τ 0 ) + t c 0 , P = P0 = 0.

(2.77)

Согласно (2.69) F0 = t c 0 , F = t c , и из формулы (2.70) следует, что τ

t − t c = (t 0 − t c 0 )e − m0 (τ −τ 0 ) − be − m0τ ∫ e m0τ dτ . τ0

После преобразований получим t − tc = −

b b + (t0 − tc 0 + )e − m0 (τ −τ 0 ) . m0 m0

(2.78)

Графическое представление разновидностей рассматриваемых режимов дано на рис. 2.6, из которого видно, что возможны случаи пересечения кривых t (τ ) и t c (τ ) , однако, такое пересечение может быть только в одной точке, соответствующей максимуму (рис.2.6 г) или минимуму (рис. 2.6 б). Запишем условие пересечения t (τ ∗ ) = t c (τ * )

(2.79)

и найдём время τ * , когда происходит пересечение кривых. Из (2.79) и (2.78) следует, что 54

Рис. 2.6. Охлаждение или нагревание тела в среде, температура которой меняется по линейному закону b b − m0 (τ * −τ 0 ) = (t 0 − t c 0 + )e , m0 m0

Откуда τ* = τ 0 +

t −t 1 ln(1 + 0 c 0 ). m0 b / m0

55

(2.80)

Если t 0 = t c 0 , то пересечение происходит в точке τ * = τ 0 (рис. 2.6 а). При t 0 > t c 0 и b>0 точка пересечения соответствует времени τ * > τ 0 (рис. 2.6 б). Рассмотрим отдельно случай t c 0 > t 0 , b>0.

Как следует из (2.80), аргумент ln будет меньше единицы, и второй член в правой части этого уравнения всегда будет отрицательным, т.е. уравнение имеет решение лишь для τ * < τ 0 . Последнее означает, что пересечение никогда не произойдёт, так как рассматриваются процессы, протекающие при τ > τ 0 , а τ * > τ 0 (рис. 2.6 в). Для b<0 и tc 0 > t0 выражение

t0 − tc0 > 0 и, b / m0

следовательно, τ * > τ 0 , т.е. возможно пересечение кривых t (τ ) и t c (τ ) (рис. 2.6 г). Наконец, для b<0 и tc 0 < t0 выражение

t0 − tc0 < 0 , т.е. τ * < τ 0 , что b / m0

означает невозможность пересечения кривых t (τ ) и t c (τ ) (рис. 2.6 д). Рассмотрим теперь, как изменяется ход кривой t (τ ) с течением времени. Со временем второе слагаемое в (2.78), содержащее экспоненту e − m (τ −τ ) в качестве множителя, становится пренебрежимо малым по сравнению с первым, т.е. разность температур тела и среды стремится стать постоянной 0

0

t − tc = −

b m0

(2.81)

при больших значениях (τ − τ 0 ) . Из рис. 2.6 видно, что с течением времени кривые t (τ ) и t c (τ ) становятся практически параллельными. Обозначим время, начиная с которого с заданной степенью точности можно не учитывать второе слагаемое в (2.78), через τ Р и тепловой режим тела при τ > τ Р назовём регулярным режимом второго рода, а при τ < τ P иррегулярным (дорегулярным) режимом. Слово регулярный (regular) дословно означает «правильный», «закономерный». Здесь оно употребляется в смысле «упорядоченный» и в рассматриваемом конкретном случае означает, что спустя некоторое время начальное температурное состояние перестаёт влиять на температурное поле тела. Иногда такой режим называют «квазистационарным». Из сопоставления общего выражения для температурного поля тела (2.78) с выражением (2.81), а также анализа рисунков 2.6 следует, что для всех случаев соотношений t0 и t c 0 при τ > τ Р разность температур (t P − t c ) изменяется по одинаковому закону (2.81). В развёрнутом виде уравнение (2.81) примет вид 56

t P (τ ) = tc 0 + b(τ − τ 0 ) −

b , m0

b≤0

(2.82)

Выражение (2.78) является точным решением задачи, а (2.82) – приближенным. Для некоторых технических задач часто бывает удобно использовать такого рода приближенные выражения. В заключение заметим, что процесс нагревания или охлаждения тела в среде, температура которой изменяется во времени с постоянной скоростью, в чистом виде встречается редко, а для своего осуществления требует применения специальных средств регулирования. Однако некоторые явления, протекающие в естественных или лабораторных условиях, можно в первом приближении свести к рассмотренному здесь процессу или к их совокупности. Например, охлаждение метеозонда при его подъёме можно с довольно грубым приближением описать с помощью приведённых выше уравнений. 2.4.5. Температурный режим тела, помещённого в среду с гармонически меняющейся температурой

Простейший закон периодического (гармонического) изменения температуры среды: tc = tc + A cos(

2πτ ) = tc + A cos ωτ , T

(2.83)

где tc -среднее значение температуры среды, около которой происходят её колебания, Т- период колебаний, ω =

2π . Т

Применим для отыскания разности температур (t − tc ) общую формулу (2.70), в которой F = tc , F0 = tc 0 , F ' = − Aω sin ωτ . Тогда t − t c = ( t0 − t c 0 ) e

− m0 (τ −τ 0 )

+ Aω e

− m0τ

τ

∫e τ

m0τ

sin ωτ dτ .

0

Интеграл в правой части является табличным: mτ ∫ e 0 sin ωτ dτ =

em0τ (m0 sin ωτ − ω cos ωτ ); m02 + ω 2

57

применив его, получим t − tc = ( t0 − tc 0 ) e− m0 (τ −τ 0 ) + A*ωe − m0τ [em0τ sin ωτ cos β − em0τ cos ωτ sin β −(em0τ 0 sin ωτ 0 cos β − em0τ 0 cos ωτ 0 sin β )]

или t − tc = ( t0 − tc 0 ) e − m0 (τ −τ 0 ) + A*ω e − m0τ [sin(ωτ − β ) − sin(ωτ 0 − β )e − m0 (τ −τ 0 ) ]

.

Здесь использованы следующие обозначения и формулы: tg β =

ω m0

, β = arctg

ω m0

, A∗ =

Аω m02 + ω 2

= A sin β ,

1 1 1 cos 2 β = ⋅ = m02 + ω 2 m02 1 + tg 2 β m02

(2.84)

Разность температур представим теперь в следующем виде: t − tc = [t0 − tc 0 − A* sin(ωτ 0 − β )]e − m0 (τ −τ 0 ) + A* sin(ωτ − β )

(2.85)

По прошествии некоторого времени от начала процесса экспоненциальный сомножитель в (2.85) становится столь малым, что первым членом в (2.85) можно будет пренебречь по сравнению со вторым, т.е. ϑР = А* sin(ωτ − β ) ,

(2.86)

где индекс «р» означает, что рассматривается только та часть процесса, в которой начальное температурное состояние (t0 , tc ) , а также момент фиксации начала процесса τ 0 уже не играют роли, т.е. изучаемый процесс вступил в наиболее простую, упорядоченную (регулярную) стадию. Этот температурный режим называют в литературе регулярным режимом третьего рода, или квазистационарным режимом. Более наглядное представление о колебаниях t получим, если сравним колебания обоих температур tc и t около среднего значения tc (рис. 2.7). Для этого в последней формуле заменим tc с использованием выражения (2.83), а А* - через A sin β ; тогда получим t − tc − A cos ωτ = A sin β sin(ωτ − β )

или 58

(2.87)

t − tc = B cos(ωτ − β ), B = A cos β

Рис. 2.7. Температурный режим тела, помещённого в среду с гармонически изменяющейся температурой Из (2.87) следует, что амплитуда В колебаний температуры тела в cos β раз меньше амплитуды А колебаний температуры среды; отставание по фазе дано величиной β , которая согласно (2.84) заносит от периода колебаний Т и параметра m0 . 2.4.6. Термическая инерция тела

Рассмотренные выше три случая изменения температуры тела в среде с переменной во времени температурой нашли широкое применение в задаче о тепловой инерции различных термоприемников. Из анализа полученных ранее формул видно, какую важную роль во всех типичных случаях играет параметр m0 . Величину, обратную m0 , ε=

С 1 = m0 αS

(2.88)

называют показателем тепловой инерции. В том случае, когда tc = const , параметр ε всецело определяет

59

быстроту приближения системы к тепловому равновесию со средой. В двух других случаях тепловая инерционность выражается более сложным комплексом, который, однако, по истечении некоторого времени становится прямо пропорциональным ε . В табл. 2.1. приведены значения комплекса U, определяющего тепловую инерцию тела для трёх вышеприведённых случаев. Таблица 2.1 Характеристика тепловой инерционности

Закон изменения tc = const

ε

tc = tc 0 + b(τ − τ 0 )

bε

tc = tc + А cos ωτ

εω

Изложенная выше теория справедлива не только для однородного тела, но и для системы тел, если выполняется основная предпосылка: температурное поле системы тел равномерно. Пусть полная теплоёмкость С системы: C =

т

∑

i=1

С

i

где Ci - полная теплоёмкость i-ой части системы, n - число тел в системе. т

ε=

∑С i =1

αS

i

,

где S – наружная площадь системы, участвующая в теплообмене со средой. Укажем ещё один важный параметр, служащий для характеристики инерционных свойств тела - это время установления Z температуры тела или системы тел. Временем установления Z системы называют время, по истечении которого разность ( t − tc ) температур системы и среды станет меньше заданной величины Δ (например, 0,05 град). Часто под Δ понимают ту небольшую разность температур, которая находится на пределе точности измерений, осуществляемых данной аппаратурой. Если tc неизменна во времени, то Z определяется из формулы (2.71), в которой положим

(τ − τ 0 ) = Z ,

t − tc = Δ, а (t0 − tc ) будем считать заданными, тогда z = ε ln

t 0 − tC Δ

(2.89) 60

2.4.7. Внутренние источники энергии в теле

Рассмотрим неизменные значения мощности источников и температуры среды: tc = const , P = const

Из (2.68) найдём температуру t тела в любой момент времени: t = t0 e

− m0 (τ −τ 0 )

+ m0 e

− m0τ

τ

P (tc + ) е m0τ dτ m0С τ∫0

или t = tc +

P Р − m0 (τ −τ 0 ) + (t0 − tc − )e m0С m0С

При τ = ∞ наступит стационарный режим, и температура тела станет равной tст = t (∞) = tc +

Р . m0С

Учитывая это, перепишем формулу для t: tст − t = (tст − t0 )e − m0 (τ −τ 0 ) .

(2.90)

Эта формула аналогична формуле (2.71) для простого нагревания тела в среде с более высокой температурой. Таким же способом, как это было выполнено выше, возможно рассмотреть другие случаи определения температуры тела при изменении температуры среды tc или внутренних источников Р по иным законам. 2.5. Стационарное температурное поле стержней и пластин 2.5.1. Особенности теплообмена стержней и пластин. Дифференциальные уравнения

Характерной чертой стержней и пластин является малый градиент температуры в поперечном сечении этих тел, обычно его считают равным нулю. Примером стержней могут служить проводники радиотехнических деталей, термоэлектроды термопар, проводники термометров сопротивлений и т.д. Стержень вытянут в одном измерении, в котором движется поток тепла, остальные два размера тела по сравнению с первым 61

малы. В пластинах, толщина которых по сравнению с другими размерами тела мала, тепловой поток движется в плоскости. Если температурное поле пластин обладает круговой симметрией, то их называют дисками. К ним можно отнести рабочий элемент полупроводникового выпрямителя радиаторного типа, отдельное ребро радиатора; шасси, на котором производится монтаж детали и т.д. Однако следует помнить, что «стержень» и «пластина» – это физические модели и связь с геометрическими размерами не всегда однозначная. Процесс распространения тепла в стержнях и пластинах существенно отличается от процесса распространения тепла в стенках: тепловой поток, протекающий через любую изотермическую поверхность стенки без внутренних источников тепла, будет в установившемся режиме неизменным, а через различные изотермические поверхности стержней и пластин проходит разный по величине тепловой поток. Это объясняется тем, что при передаче тепловой энергии кондукцией в стержне или пластине происходит непрерывное рассеяние или приток тепловой энергии с поверхности этих тел в окружающую газообразную или жидкую среду благодаря конвекции и излучению.

2.5.2. Дифференциальное уравнение теплопроводности для стержня

Температурное поле стержня или пластины может быть получено на основании решения соответствующего дифференциального уравнения для стержня или пластины вместе с граничными условиями. Такое уравнение обычно выводят специально, анализируя процесс переноса тепла в стержне или пластине. Однако оно может быть получено из общего уравнения Фурье, так как стержень или пластина представляют собою частные случаи тел с двух- и трёхмерным полем температур. Рассмотрим наиболее общий случай – анизотропное тело, все три размера которого имеют один порядок; пусть в теле равномерно распределены источники тепла удельной мощностью W Вт/м3 . Стационарное поле температур в таком теле описывается дифференциальным уравнением (2.16) для параллелепипеда λх

∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t + λ + λ +W = 0 y z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

Для ограниченного цилиндра в стационарном режиме можно использовать уравнение (2.8), положив в нём

∂t = 0: ∂τ

∂t ∂ ∂t 1 ∂ ( λ x x ) + (λ z ) + W = 0 x ∂x ∂x ∂z ∂z

62

(2.91)

Рассмотрим сначала температурное поле параллелепипеда, на границах y = ±l y и z = ±lz которого справедливы условия (2.24) третьего рода (рис. 2.8): ⎡ ∂t α y ⎤ = 0; ⎢ ± + (t − tc ) ⎥ ⎢⎣ ∂y λ y ⎥⎦ y =± l y

⎡ ∂t α z ⎤ =0 ⎢ ± + (t − tc ) ⎥ ∂ λ z ⎣ ⎦ z =± lz z

Обозначим t − tc = ϑ и, в силу симметрии температурного поля, перепишем граничные условия в виде ( (

∂ϑ α y + ϑ ) y =l y = 0, ∂y λ y ∂ϑ α z + ϑ ) z =lz = 0, ∂z λz

⎫ = 0⎪ ⎪ у =0 ⎬ ∂ϑ = 0 ⎪⎪ ∂z z =0 ⎭ ∂ϑ ∂у

а)

(2.92)

в)

Условия на границах х = ±lх пока не оговариваем. Предположим, что градиент температур в данном теле в направлениях y и z мал и покажем, как можно учесть эту особенность температурного поля в дифференциальном уравнении (2.16), которое представим в форме λх

∂ 2ϑ ∂ 2ϑ ∂ 2ϑ + + +W = 0 λ λ y z ∂х 2 ∂y 2 ∂z 2

(2.93)

Проведем над уравнением (2.93) следующую операцию: 1 I yz [ f ] = l ylz

l y lz

∫ ∫ f ( x, y, z )dydz,

(2.94)

0 0

т.е. умножим почленно уравнение на dydz и проинтегрируем его в пределах от 0 до ly и lz , а затем разделим результат на произведение lylz . Физически по отношению к ϑ ( x, y, z ) эта операция означает осреднение температурного поля в теле по направлениям y и z. Обозначим осредненное в направлениях y и z значение температуры (рис. 2.8 а) 1 ϑ ( х) = I yz [ϑ ( x, y, z )] = l ylz

Итак,

63

l y lz

∫ ∫ ϑ ( x, y, z)dydz. 0 0

(2.95)

1 ∂ 2ϑ I yz [λх 2 ] = l ylz ∂х

l y lz

∂ 2ϑ 1 ]= 2 ∂y l ylz

ly lz

I yz [λ y

∂2 1 ∂ 2ϑ dydz = λ λ [ х ∫0 ∫0 х ∂х 2 ∂х 2 l y l z

∫ ∫ λy 0 0

l y lz

∫ ∫ ϑdydz] =λх 0 0

∂ 2ϑ ; ∂х 2

ly

λ y z ∂ 2ϑ ∂ 2ϑ = dydz [ dy ]dz ∂y 2 l y l z ∫0 ∫0 ∂y 2 l

Рис. 2.8. К выводу дифференциальных уравнений параллелепипеда, пластины и стержня Поскольку в последнем выражении интегрирование и дифференцирование происходит по одной переменной y, то эти операции нельзя менять 64

местами. Рассмотрим интеграл ly

l

l

y y ⎛ ∂ϑ ⎞ ∂ϑ ∂ 2ϑ ∂ ⎛ ∂ϑ ⎞ ∫0 ∂y 2 dy = ∫0 ∂y ⎜⎜⎝ ∂y ⎟⎟⎠dy = ∫0 ∂⎜⎜⎝ ∂y ⎟⎟⎠ = ∂y

ly

= 0

∂ϑ ∂y

− ly

∂ϑ ∂ϑ = ∂y 0 ∂y

=− ly

αy ϑ ( x, l y , z ). λy

Последнее преобразование сделано на основании условия (2.92 а). Следовательно, αλ z α ∂ 2ϑ I yz [λ y 2 ] = y y ∫ ϑ ( x, l y , z )dz = − y ϑz ( x), l y lz λ y 0 ly ∂y l

(2.96)

где l

1 z ϑz ( x) = ∫ ϑ ( x, l y , z )dz - значение осреднённой по z температуры на lz 0

грани y=ly . Аналогично проведём операцию I yz над третьим членом уравнения (2.93). Используем условия (2.92): I yz [λz

∂ 2ϑ α ] = − z ϑ y ( x), 2 ∂z lz

(2.97)

ly

1 ϑ y ( x) = ∫ ϑ ( x, y, lz )dy, ly 0

ϑ y (x ) - значение осреднённой по у температуры на грани z = l z . 1 I yz [W ( x, y, z )] = l ylz

l y lz

∫ ∫ W ( x, y, z )dydz = W

*

( x).

0 0

Если W ( x, y, z ) = const , то W * = W . Перепишем уравнение (2.93) с учётом преобразований λх

∂ 2ϑ ( x ) α y α − ϑ z ( x ) − z ϑ y ( x ) + W * = 0. 2 ly lz ∂х

Введём обозначения ϑz ( x ) = Ψz; ϑ ( x)

ϑ y ( x) = Ψy ϑ ( x) 65

(2.98)

Поясним физический смысл безразмерных параметров Ψz и Ψ y (см. рис. 2.8 а). Ψz -отношение осреднённой по z температуры на грани y = l y к средней по сечению yz температуре. В общем случае Ψz и Ψ y должны изменяться с x. Используя (2.98), перепишем последнее уравнение в следующем виде: ∂ 2ϑ W − b 2 ϑ + = 0, 2 λx ∂x

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ α y Ψ z lz + α z Ψ y l y ⎪ 2 b = . ⎪ l y l z λx ⎭

а) (2.99) б)

Если градиент температур по сечению yz стремится к нулю, то это означает, что средняя по сечению температура и температура на гранях l y и l z стремятся друг к другу, т.е. Ψ y → 1 и Ψz → 1 . Тогда выражение для b 2 примет вид b2 =

α ylz + α zl y λxl ylz

(2.100)

Уравнение (2.99), в котором b определяется по формуле (2.100), является дифференциальным уравнением для стержня с источником тепла. Если стержень имеет периметр U и площадь поперечного сечения S , а теплообмен на границах происходит по закону Ньютона с коэффициентом теплообмена α , то можно обосновать следующее выражение для b : b2 =

αU λx S

(2.101)

2.5.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности для пластины

Рассмотрим температурное поле параллелепипеда, в котором градиент температур в направлении z мал, и составим для такого тела дифференциальное уравнение теплопроводности. Проведём над всеми членами уравнения (2.93) операцию I z : 1 Iz[ f ] = lz

lz

∫ fdz 0

.

66

(2.102)

где f ( x, y, z ) - функция координат x, y, z . Обозначим l

1 z ϑ1 ( x, y ) = ∫ ϑ ( x, y, z )dz , lz 0

здесь ϑ1 ( x, y) - осреднённая параллелепипеда (рис. 2.8 б). Итак, I z [λ x

∂ 2ϑ ∂ 2ϑ1 = ] ; λ x ∂x 2 ∂x 2

по

I z [λ y

оси

(2.103)

z температура

в

точке

∂ 2ϑ1 ∂ 2ϑ ] λ = ; y ∂y 2 ∂y 2

l

l

l

∂ 2ϑ 1 z ∂ 2ϑ λ z ∂ϑ λ ∂ϑ z α I z [λz 2 ] = ∫ λz 2 dz = z ∫ d ( ) = z = − z ϑ ( x, y, l z ). ∂z l z 0 ∂z l z 0 ∂z l z ∂z 0 lz

x, y

(2.104)

Последнее преобразование сделано на основании условия (2.92). l

1 z I z [W ( x, y, z )] = ∫ W ( x, y, z )dz = W1 ( x, y ). lz 0

(2.105)

В частности, при W = const имеем W1 = W . Запишем теперь уравнение (2.93) после проведения операции I z над всеми его членами: λx

∂ 2ϑ1 ∂ 2ϑ1 α z λ + − ϑ ( x, y, lz ) + W1 = 0. y ∂x 2 ∂y 2 lz

Обозначим Ψ1 =

ϑ ( x, y , l z ) , ϑ1 ( x, y )

(2.106)

где Ψ1 – отношение температуры в точке x, y на грани z = lz параллелепипеда к средней по направлению z температуре на отрезке 0 ≤ z ≤ lz с теми же координатами ( x, y ) (рис. 2.8 б). Учитывая (2.106), перепишем последнее уравнение ⎫ ∂ 2ϑ1 ∂ 2ϑ1 λ + − b12ϑ1 + W1 = 0, ⎪ y 2 2 ∂x ∂y ⎪ ⎬ αΨ ⎪ b12 = z 1 ⎪⎭ lz

λx

67

(2.107 )

Если в направлении оси z градиент температур стремится к нулю, то Ψ1 → 1 и b12 →

αz lz

. Этот случай соответствует пластине с двумерным полем

температур. 2.5.4. Дифференциальное уравнение для диска

Приведём теперь операцию I z над всеми членами дифференциального уравнения (2.91) для ограниченного цилиндра с источниками энергии. Обозначим при этом (рис. 2.8 в) l

ϑ2 ( x) =

1 z ϑ ( x, z )dz , lz ∫0

(2.108)

Тогда I z[

∂ϑ ∂ϑ 1 ∂ 1 d (λx x )] = (λx x 2 ). x ∂x x dx ∂x ∂x

Операции I z над вторым и третьим членами уравнения (2.91) приведут к выражениям (2.104), а l

I z [W ( x, z )] =

1 z W ( x, z )dz = W2 ( x). lz ∫0

После проведения указанной операции уравнение (2.91) примет вид 1 d dϑ W ⎫ ( x 2 ) − b22ϑ2 + 2 = 0⎪ x dx dx λx ⎪ ⎬ α z Ψ2 ϑ ( x, l z ) 2 ⎪ , Ψ2 = b2 = ⎪⎭ λxl z ϑ2 ( x)

а) (2.109) б)

Здесь Ψ2 – отношение температуры в точке x на грани z = lz ограниченного цилиндра к средней по длине цилиндра температуре в той же точке x (рис. 2.8 в). При стремлении градиента температур по длине цилиндра к 0 ϑ ( x, lz ) → ϑ2 ( x) и Ψ2 → 1 . Для Ψ2 = 1 приходим к дифференциальному уравнению (2.109) для температурного поля пластины с круговой симметрией; такие пластины называются дисками. Температурное поле пластины с двумерным полем температур описывается уравнением (2.107), а для диска – уравнением (2.109). Прежде 68

чем переходить к решению этих уравнений, проведём некоторое их обобщение, позволяющее рассмотреть следующий более широкий класс задач: температура среды с разных граней параллелепипеда или со стороны торцов цилиндра разная, тогда [

∂t α 'z + (t − t 'cz )]z =lz = 0, ∂z λz

[

∂t α "z − (t − t '' cz )]z =− lz = 0. ∂z λz

Если при проведении преобразований, приведших к зависимости (2.104), учесть условия на границах в приведённой здесь форме, то уравнение (2.107) сохранило бы свой вид b = 2

α z' + α z'' 2lz

,

но значение ϑ было бы другим, а именно: ϑ ( x, y ) = t ( x, y ) − tc эф,

tc эф =

α 'z tcz + α "z t "cz , α 'z + α "z

(2.110)

где tc эф - эффективная температура среды. Если α 'z = α "z , то tc эф = 0,5(t 'cz + t "cz ) ,

(2.111)

т.е. эффективная температура в этом случае будет равна среднеарифметической температуре двух сред. Тот же вывод остается справедливым и для уравнения (2.109). 2.6. Критерии неравномерности поля температур в теле

Критерии Ψ z ,Ψ y ,Ψ1,Ψ 2 , определенные выражениям (2.98), (2.106), (2.109), характеризуют неравномерность температурного поля в поперечном сечении тела. Можно попытаться найти точное значение для этих критериев. Для этого необходимо иметь точные аналитические выражения температурного поля и произвести с ними операции, указанные формулами (2.98), (2.106), (2.109). В общем случае эти критерии будут изменяться с координатами, что затруднит интегрирование дифференциальных уравнений (2.99), (2.107), (2.109). Для случая Ψ z = Ψ y = Ψ 1 = Ψ 2 = 1 (стержни и пластины) интегрирование этих уравнений, как будет показано ниже, не представляет труда и приводит к сравнительно простым выражениям. Однако для того, чтобы знать 69

величину критерия Ψ в каждом конкретном случае и быть уверенным в возможности свести задачу к пластине или к стержню, необходимо получить хотя бы приближенные зависимости для оценки Ψ . Предположим, что критерий Ψ не зависит от координат; численные значения этого критерия для многомерного и одномерного температурного поля незначительно отличаются друг от друга. Эти два предположения существенно упрощают задачу отыскания аналитического выражения для Ψ . Изложим один из путей решения этой задачи. Рассмотрим процессы переноса тепла в твёрдом теле и покажем физический смысл приведённых выше операции осреднения. На рис. 2.9, а показан элементарный объём dxdy, в левую грань которого входит удельный поток q1 ( x, y), а из правой – выходит q2 ( x, y), с верхней и нижней граней рассеиваются удельные потоки q3 ( x, y ) и q4 ( x, y) . Обычно при составлении уравнения баланса энергии рассматриваем малый объём dxdy и рассчитываем ту часть потока QT , которая за счёт теплопроводности пришла (или ушла) в данный объём QT = (q1 − q2 )dy + (q3 − q4 )dx,

а затем, учитывая другие источники или стоки энергии Q , на основе закона сохранения энергии QT = Q . Если теперь произвести операцию осреднения по одной из осей, например у, ly

1 I[ f ] = ly

то от локальных потоков

∫ fdy, 0

q1 ( x , y ) и

q2 ( x, y) перейдём к осреднённым потокам

ly

1 q1(x) = ∫ q1(x, y)dy, ly 0

ly

1 q2 ( x) = ∫ q2 ( x, y ) dy, ly 0

а вместо локальных потоков q3 ( x, y) и q4 ( x, y) будем рассматривать их частные значения при y = 0 и y = l y , т.е. q3 ( x, l y ) ,

q4 (x,0) .

Тогда пришедший (или ушедший) в элемент l y dx поток выразится в виде QT = [q1 ( x) − q2 ( x)]l y + [q3 ( x, l y ) − q4 ( x,0)]dx.

70

ly

Другие источники или стоки для объёма l y dx дадут поток Q = ∫ Qdy, и закон 0

сохранения примет вид QT = Q.

Рис. 2.9. Анализ физического смысла операций осреднения Из этих рассуждений следует, что при осреднении по одной из осей (например, у), разность между вошедшим и вышедшим из объёма потоком, во-первых, рассматривается для осредненных значений потоков (рис. 2.9 б), а во-вторых, эта разность потоков может быть представлена в виде внутреннего (в данном элементе l y lx ) источника энергии постоянной мощности. Следовательно, для оценки критерия неравномерности температурного поля в каком-либо направлении возможно рассмотреть простейшую задачу об одномерном температурном поле тела с постоянным источником энергии. Заметим, что здесь идёт речь не о точном вычислении критериев неравномерности поля, а только об их оценке. Например, для неограниченной пластины толщиной 2lх с постоянным источником энергии и условиями третьего рода на границах x = −lx и x = lx на основании (2.15) имеем t − tс = ϑ =

Wl W 2 (lx − x 2 ) + x . 2λ α

Найдём отношение средних на поверхности ( x = l x ) и по объёму перегревов ϑS и ϑV . Из приведённого выражения следует, что

71

ϑS = ϑ x = l = x

Wlx

α

,

l

ϑV =

Wl 1 x 1 αl x ϑdx = x (1 + ). ∫ α 3 λ lx 0

Отношение температуры ϑS и ϑV по определению является критерием неравномерности поля температур. Для пластины ΨП равно ΨП =

ϑS 1 , = ϑV 1 + 1 Bi

Bi =

α lx λ

(2.112)

3

Температурное поле неограниченного цилиндра с источником тепла описывается выражением (2.53). Определяя температуры ϑS и ϑV для цилиндра: ϑS = ϑ x = R ,

ϑV =

R

2 ϑ ( x) xdx R 2 ∫0

и беря их отношение, найдём критерий ΨЦ : ΨЦ =

1 ; 1 1 + Bi 4

Bi =

αR . λ

(2.113)

Предположим теперь, что критерии Ψ не зависят от координат, и численные значения этих критериев для одномерного и многомерного полей температур незначительно отличаются друг от друга. Специально проведённый для многочисленных конкретных случаев анализ показал, что для стационарного режима сделанные допущения, а также способ оценки критерия Ψ по формулам (2.112) и (2.113) для простейших тел с равномерно-распределёнными источниками тепла приводят к удовлетворительным результатам. Зависимость (2.112) позволяет оценить критерий Ψz и Ψy для приведённых выше случаев. Ψy =

1 . 1 α yly 1+ 3 λy

Ψ z = Ψ1 = Ψ 2 =

1 . 1 α z lz 1+ 3 λz

72

(2.114)

Эти формулы позволяют решить вопрос о возможности использовать уравнения (2.99), (2.107), (2.109) для нахождения температурного поля стержня и пластины. Пример. Параллелепипед, размеры граней которого равны 2lx = 20 см , 2l у = 2l z = 8 см , обменивается теплом с окружающей средой по закону Ньютона, коэффициенты теплообмена на границах параллелепипеда α x = 15 Вт /( м 2 ⋅ К ), α у = α z = 5 Вт /( м 2 ⋅ К ). Коэффициенты теплопроводности параллелепипеда в направлениях осей x, y, z: λx = 0,2 Вт /( м ⋅ К ), λx = λz = 0,4 Вт /( м ⋅ К ). Оценить возможность рассматривать температурное поле такого тела по формулам для стержня. Решение. Найдём значение критериев Bi и вычислим по формулам (2.114) критерии Ψx , Ψy , Ψz : Bix = Ψx =

α xlx 1,5 ⋅10−1 = = 7,5; 2 ⋅10−1 λx 1 = 0, 286; 7,5 1+ 3

Bi y = Biz =

Ψy = Ψz =

5 ⋅ 4 ⋅10−2 = 0,5; 4 ⋅10−1

1 = 0,86. 0,5 1+ 3

Следовательно, по осям y и z отношение среднего поверхностного перегрева к среднеобъёмному близко к единице, т.е. градиент температур в этих направлениях мал. В направлении оси х существенна неравномерность поля температур. В данном случае параллелепипед можно рассматривать как стержень. Если в дифференциальных уравнениях (2.99), (2.107), (2.109) полагать Ψ не равным единице, а подставлять их значения, вычисленные по формулам (2.113), (2.114), получим более точные выражения для температурного поля стержней и пластин. Естественно, такие поправки следует вводить для значений Ψ , близких к единице, например, Ψ > 0 , 8 . Для Ψ < 0 , 8 , по-видимому, следует искать точное решение задачи. 2.7. Температурное поле стержня с источником тепла

Пусть стержень имеет постоянное поперечное сечение S и периметр U . Теплообмен стержня со средой описывается законом Ньютона, средний коэффициент теплообмена равен α . Материал стержня имеет постоянный коэффициент теплопроводности λ . На одном торце стержня x = 0 задан тепловой поток P , а на другом торце x = l x теплообмен происходит по закону Ньютона с коэффициентом теплообмена αT . Температура окружающей среды всюду постоянна и равна tc .

73

Полагая в (2.99) W * = const = W и принимая b 2 по формуле (2.103), получим дифференциальное уравнение, описывающее температурное поле стержня (рис. 2.10): d 2ϑ W − b 2ϑ + = 0, 2 dx λ

b2 =

αU , λS

ϑ = t ( x) − t c .

Условия на границах имеют вид dϑ dx

⎫ ⋅S = P ⎪ ⎪ x =0 ⎬ dϑ α T + ( ϑ ) x =l x = 0⎪⎪ dx λ ⎭ −λ

Рис. 2.10. Стержень произвольного сечения Общий интеграл равен ϑ ( x) = C1chbx + C 2 shbx +

W . λb 2

(2.115)

Из граничных условий находим C2 = −

P λSb

C1 =

αTW P ; A− αT λ Sb 2 2 λ b (bshblx + chblx ) λ

74

αT α shblx 1 + T thblx λb λb A= = . αT αT shblx + chblx thblx + λb λb chblx +

Окончательное решение примет вид αT chbx P W b λ ( Achbx − shbx ) + 2 (1 − ). ϑ= α λ Sb λb shbl x + T chblx λb

(2.116)

Рассмотрим частные случаи. а) Теплообмен с торца x = l x отсутствует (адиабатический торец). Это означает что α T = 0 и (2.116) примет вид ϑ=

P W ( Achbx − shbx ) + 2 , λSb λb

A = cthbl x

или ϑ=

P chb (l x − x ) W + 2, λSb shbl x λb

(2.117)

б) То же, что и (а), но отсутствуют внутренние источники энергии W = 0 . ϑ=

P chb(lx − x) . λbS shblx

(2.118)

Обозначим температуру торца x = 0 в этом случае через ϑ0 и найдём связь между ϑ0 и P ϑ=

P cthbl x λSb

P = ϑ0 λSbthbl x .

(2.119)

Условие (2.119) позволяет записать формулу (2.118) для случая, когда задана на границе x = 0 не мощность Р , а перегрев ϑ0 ; действительно, ϑ = ϑ0

chb(l x − x) . chbl x

(2.120)

Из сопоставления (2.116) и (2.117) следует, что расчётная формула существенно упрощается, когда соблюдено условие αT = 0 . Покажем, как 75

для α T ≠ 0 можно решение (2.116) привести к приближенной формуле, имеющей структуру (2.117), из условия сохранения общего теплового баланса. Для того, чтобы в (2.117) учесть теплоотдачу с торца стержня (снять условие αT = 0 ), следует условно увеличить площадь боковой поверхности стержня путем увеличения длины стержня. Тогда условная длина стержня станет равной l x' . Эти параметры связаны очевидными соотношениями: (l x' − l x ) ⋅ U ⋅ α = Sα T

Откуда l x' = l x +

S αT ⋅ U α

(2.121)

Подставив в уравнение (2.117) вместо l x условную длину l x' , учтём теплообмен торца с окружающей средой. в) Полуограниченный стержень l x = ∞ . Выражение для А примет вид A l =∞ = 1, а x

ϑ=

P −bx W e + 2. λSb λb

(2.122)

Здесь использованы известные зависимости chx =

1 x (e + e − x ); 2

shx =

1 x (e − e − x ). 2

Пример 1. Для увеличения рассеяния тепловой энергии с поверхности S 0 торца функционального микроминиатюрного элемента выведено n медных ( λ = 400 Вт/м·К) жил диаметром 2 R = 10 −3 м, длиной l = 10 мм (рис. 2.11). Пусть S 0 = 1 см2, коэффициент теплообмена между поверхностью и средой при отсутствии жил α 0 = 10 Вт/м2К, коэффициент теплообмена одной жилы с окружающей средой α = 20 Вт/м2·К. Найти, во сколько раз увеличится отток тепла с поверхности при наличии жил. При решении задач считать, что наличие жил не изменяет значений коэффициентов теплообмена α и α 0 . Решение. Обозначим мощность, рассеиваемую с поверхности жил, − P; мощность, рассеиваемую оставшейся поверхностью (при наличии жил), − P1. Требуется вычислить отношение

P + P1 . P0

76

Рис. 2.11. Увеличение интенсивности теплообмена с помощью медных жил Найдём P0 = α 0ϑ0 S 0

Здесь через ϑ0 обозначен перегрев над средой поверхности S 0 . Если пренебречь количеством тепла, рассеиваемым с открытого торца жилы в среду, то на основании (2.119) P = nϑ0 λSbthbl

Значение P1 найдем из очевидного равенства P1 = α 0ϑ0 ( S 0 − nπR 2 )

.

Итак, nλbSthbl + α 0 S 0 (1 − n

πR 2 ) S0

P + P1 nλbS πR 2 ; thbl + 1 − n = = S0 P0 α0 S0 α 0 S0 αU 2α 2 ⋅ 20 1 1 = = b2 = = 200 2 ; b = 14,1 ; −3 λS λR 400 ⋅ 0,5 ⋅ 10 м м bl = 0,14; thbl ≈ 0,14; P + P1 ≅ 1 + n ⋅ 0,62. P0

Если n = 10 , то рассеяние увеличивается в 7 раз. Замечание. Вывод (2.119) сделан в предположении, что основание жилы

77

имеет температуру ϑ 0 , а коэффициент теплоотдачи на поверхности жилы α остается неизменным. Однако с увеличением количества жил, если не принимать специальных мер, интенсивность теплообмена на их боковых поверхностях будет снижаться и последняя формула дает завышенный результат. Дальнейшее увеличение количества жил приведет к противоположному эффекту. Пример 2. Полупроводниковое термосопротивление типа бусинки имеет следующие параметры (рис. 2.12): диаметр бусинки d1 = 1 мм, диаметр медных проводников d 2 = 0,1 мм, их коэффициент теплопроводности λ 2 = 400 Вт/м·К, длина проводников во многом превышает их диаметр, т.е. можно считать l 2 = ∞ . Бусинка находится в воздухе, коэффициент теплообмена проводов и бусинки со средой α = 40 Вт/м2·К.

Рис. 2.12. Полупроводниковое сопротивление бусинкового типа Необходимо найти величину измерительного тока, при котором погрешность измерения температуры t c воздуха из-за перегрева термосопротивления не превысит 0,1 % ; tc = 40 ºC. Электрическое сопротивление R =2500 Ом при tc = 40 ºC. Решение. Обозначим допустимый измерительный ток через Iд , он связан с рассеиваемой допустимой мощностью Pд зависимостью I д2 R = Pд , откуда

Iд =

Pд , R

где R – электрическое сопротивление термистора. Погрешность измерения δ за счёт перегрева термосопротивления равна δ=

t − tс ϑ = = 0,001 = 10 −3 ,ϑд = 10 −3 t с tс tс

(а)

Это значение ϑ будем считать допустимым и обозначать ϑд . Установим 78

связь между ϑд и Pд . Для этого представим термистор в виде бусинки с равномерным полем температур и двумя стержнями (рис. 2.12 б). В стержни отводится поток P2 , а со свободной поверхности ПТС рассеивается поток P1 . Полная мощность Pд равна Pд = P1 + P2

(б)

Найдём P1 : P1 = αϑд S1 = αϑд (π d12 −

π d 22 4

⋅ 2) = ϑд ⋅1, 25 ⋅10−4 Вт

Полагая, что P2 / 2 -поток, входящий в один торец бесконечного стержня с температурой основания ϑд , по формуле (2.119) найдём P2 = ϑд λ2b2 S2thbl2 , 2

2α 4α = , λ2 R2 λ2 d 2

b2 =

S2 =

πd 22 4

Поток, входящий в оба проводника, равен P2 = 2ϑд λ2 b2 S 2 = ϑд ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 10

2

4 ⋅ 40 π ⋅ 10 −8 = 4 ⋅ 10 − 4 ϑд Вт. −4 4 400 ⋅ 10

Итак, Pд = (1, 25 + 4) ⋅10−4ϑд = 5, 25 ⋅10−4ϑд Вт.

Из (а) и (б) находим Pд = 5, 25 ⋅10−4 ⋅10−3 ⋅ 40 = 2,1⋅10−5 Вт.

Из (а) также следует, что перегрев термосопротивления при этой мощности будет равен ϑ = 10 −3 t с = 0,04 К,

т.е. электрическое сопротивление следует брать при температуре t = 40,04 ºC; будем считать его мало отличающимся от заданного R =2500 Ом при t = 40 ºC. Тогда

79

Iд ≤

2,1⋅10−5 = 92 мкА 2,5 ⋅103

2.8. Температурное поле пластины и диска 2.8.1. Обобщенное решение уравнения Бесселя

Постановка задач теплопроводности в цилиндрической системе координат часто приводит к уравнению Бесселя. В частности, уравнение теплопроводности (2.109) для диска является уравнением Бесселя. Уравнение этого типа путём преобразований обычно приводится к канонической форме, для которой известны решения. Иногда бывает довольно сложно найти такую замену независимой переменной, которая позволила бы преобразовать (если это вообще возможно) заданное дифференциальное уравнение в обычное уравнение Бесселя или же такое уравнение, общее решение которого содержало бы линейные комбинации функции Бесселя. Однако простое сравнение заданного дифференциального уравнения с приводимым ниже обобщённым уравнением Бесселя позволяет просто ответить на вопросы: сводится ли данное дифференциальное уравнение к уравнению типа Бесселя и каково решение этого уравнения. Одна из форм обобщенного уравнения Бесселя имеет вид [7]: x2

d2y dy + [(1 − 2 A) ⋅ x − 2 Bx 2 ] + [C 2 D 2 x 2C + B 2 x 2 − B(1 − 2 A) x + A 2 − C 2 n 2 ] y = 0, 2 dx dx

(2.123)

где n определяет порядок уравнения Бесселя. Обобщённое решение имеет вид [7]: y = x A e Bx [C1 J n ( Dx C ) + C 2Yn ( Dx C )],

(2.124)

где С1 и С2 –постоянные интегрирования; J n и Yn - функции Бесселя первого и второго рода порядка n. Рассмотрим простейшую форму уравнения Бесселя вида x2

d2y dy + x + x 2 y = 0, 2 dx dx

Его решение имеет вид y = C1 J 0 ( x) + C 2Y0 ( x),

80

(2.125)

где J 0 ( x) и Y0 ( x) - функции Бесселя вещественного аргумента нулевого порядка, вторую из них иногда называют функцией Неймана. Напомним некоторые свойства функций Бесселя. J 0 ( x) и Y0 ( x) Первые производные функций нулевого порядка являются функциями Бесселя первого порядка J ' 0 ( x) = − J 1 ( x),

Y '0 ( x) = −Y1 ( x)

(2.126)

Рис. 2.13. Функции Бесселя и Неймана вещественного аргумента нулевого и первого порядков На рис. 2.14 представлен вид функций Бесселя I 0 ( x) , K 0 (х) нулевого порядка и первого порядка K1 ( x) и I1 ( x) . Функция K v (z) называется функцией Макдональда. Функции K 0 ( x) и K1 ( x) при малых значениях аргумента могут быть представлены в виде 2 K 0 ( x) ≈ ln( ) − 0,577 x −1 K1 ( x) ≈ x x < 0,5

81

(2.127)

Рис. 2.14. Функция Бесселя мнимого аргумента K0(x), K1(x), I0(x), I1(x) 2.8.2. Круглое ребро постоянной толщины

На рис. 2.15 изображено круглое ребро, радиусы которого R1 и R2 , а толщина δ ; поверхности ребра находятся в теплообмене со средой по закону Ньютона, причём со стороны верхней поверхности коэффициент теплообмена α' z , температура среды t'cz , а со стороны нижней поверхности эти параметры равны α" z , t"cz . На границе x = R1 в ребро входит постоянный поток Р, на границе x = R2 теплообмен со средой настолько мал, что им можно пренебречь. Теплопроводность материала диска λ . Требуется найти температурное поле диска.

Рис. 2.15. Круглое ребро постоянной толщины

82

Задача сводится к решению уравнения (2.109), которое в нашем случае примет вид d 2ϑ dϑ W ⋅ x2 2 2 + − + = 0, x b x ϑ dx λ dx 2 ϑ ( x) = t ( x) − t c эф , x2

t с эф =

(2.128)

α' +α" z α ' z t ' cz +α " z t"cz . , b2 = z λδ α ' z +α " z

Граничные условия P = −λ

dϑ dx

⋅ 2πR1 ⋅ δ , x = R1

dϑ dx

=0 x =R2

Сопоставив соответствующее (2.128) однородное обобщённым уравнением Бесселя (2.123), находим

уравнение

с

A=В=0, n=0, C=1, D2 =- b2.

Используя обобщённое решение (2.124), получаем для соответствующего (2.125) однородного уравнения решение ϑ0 = C1 J 0 (ibx) + C 2Y0 (ibx) = C3 I 0 (bx) + C 4 K 0 (bx).

Частное решение (2.128) имеет вид ϑч =

W , тогда общее решение λb 2

уравнения (2.128) ϑ = C3 I 0 (bx) + C4 K 0 (bx) +

W ; λb2

С3 и С4 найдём из граничных условий. Окончательно ϑ=

K (bR2 ) I 0 (bx) + K 0 (bx) I 1 (bR2 ) P W ⋅ 1 + 2. 2πR1δλb I 1 (bR2 ) K1 (bR1 ) − I 1 (bR1 ) K1 (bR2 ) λb (2.129)

Приведём последнее выражение к форме, в которой фигурируют только безразмерные параметры: N=

(t − tc эф )λδ Р

,

γ = Вi ,

83

Вi =

(α z' + α z" )

λδ

⋅ R22 ,

γ1 = γ

R1 ; R2

(2.130)

N=

x x ) + K1 (γ ) I 0 (γ ) R2 R2 W δ R22 + . I1 (γ ) K1 (γ 1 ) + K1 (γ ) I1 (γ 1 ) PBi

I1 (γ ) K 0 (γ

1 2πγ 1

2.8.3. Эффективность круглого ребра постоянной толщины

Рассмотрим дальше частный случай W = 0, т.е. круглый диск без источников тепла, и найдём эффективность ребра е: отношение полного количества тепла, рассеянного ребром, к тому количеству, которое рассеивалось бы в случае, если бы вся поверхность ребра находилась при температуре t0 основания ребра (или λ = ∞ ), т.е. e=

P , P0

P0 = (α ' z +α " z )π ( R 22 − R12 )(t 0 − t c эф ).

Эффективность ребра является важной технической характеристикой при выборе параметров ребра. Обозначим B=

I1 (γ ) K1 (γ 1 ) − K1 (γ )I1 (γ 1 ) , I1 (γ ) K 0 (γ 1 ) + K1 (γ )I0 (γ 1 )

тогда эффективность ребра e=

2πλδγ 1 B 2B R = = e(ε , 2 ), 2 2 (α 'z + α "z )π ( R2 − R1 ) (1 + R2 / R1 )ε R1

α 'z + α "z ε = ( R2 − R1 ) . αδ

Зависимость e = e(ε ,

R2 ) приведена на рис. 2.16. Если R1

(2.131)

R2 → ∞ , то

I 1 (bR2 ) → ∞ и решение (2.129) принимает вид

ϑ=

K 0 (bx) P . 2πR1λδb K1 (bR1 )

(2.132)

Покажем в заключение, что решение (2.129) можно обобщить, учтя приближенно отвод тепла с торца x = R2 . Пусть толщина ребра значительно меньше ( R2 − R1 ) , тогда некоторым увеличением радиуса R2 до R20 можно учесть дополнительный отвод тепла с торца в среду с температурой tс эф . 84

Рис. 2.16. Эффективность круглого ребра постоянной толщины Величину R20 найдём из равенства 2πR202 = 2πR22 + 2πR2 δ ,

Откуда R20 = R2 (1 +

δ R2

)

2.9. Анализ ошибки измерения температуры

Ошибки за счёт оттока тепла по проводам термопары могут быть полностью устранены только в случае равенства температур пластины и окружающей среды. Такой предельный случай встречается редко, поэтому рассмотрим реальный процесс измерения температуры термопарой (рис. 2.17 а). Пусть поверхности 1 и 2 тонкой пластины омываются средами с температурами t с1 и t с2 с коэффициентами теплообмена α1 и α 2 ; термопара прикреплена к поверхности 1 пластины и находится в среде 1. Рассмотрим случай, когда t с1 > t с2 , тогда термопара становится источником, а разность между тепловым потоком Р1 , подводимым к спаю, 85

и потоком Р2 , рассеянным на лицевой стороне круглого источника, равна P = P1 − P2 мощности источника. Выразим P1 и P2 через термические проводимости (рис. 2.17 б)

Рис. 2.17. К оценке погрешностей измерения температуры с помощью термопары P1 = σ 1T (t с1 − t1 ) ,

P2 = σ 2 (t1 − t с 2 ) ,

где σ 1T - тепловая проводимость термопары между спаем и средой 1, σ 2 тепловая проводимость между лицевой поверхностью 2 источника и средою 2. Тогда P = (σ 1T tс1 + σ 2tс 2 ) − (σ 1T + σ 2 )t1

(2.133)

Для вычисления температуры t1 можно воспользоваться соотношением (2.132) K 0 (bR1 ) P , 2πR 1δλb K 1 (bR1 ) α t + α 2tс2 α +α , b2 = 1 2 . = 1 с1 λδ α1 + α 2

t1 = t с эф + t с эф

Подставим в последнее выражение значение P : t1 − tс эф =

(σ 1T tс1 + σ 2tс 2 ) − (σ 1T + σ 2 )t1 K 0 (bR1 ) ⋅ 2π R 1δλ b K1 (bR1 )

Заметим, что t1 - температура, зарегистрированная термопарой; tс эф характеризует или температуру пластины в точке x = ∞ , или температуру пластины при отсутствии термопары. Разность (t1 − t с эф ) представляет собой абсолютную ошибку измерения температуры контактным способом

86

с помощью термопары. Обычно σ 1T >> σ 2 , поэтому можно положить σ 2 = 0 , и последняя формула примет вид t1 − tс эф tс1 − tс эф

=

1

K (bR ) λδ 1 + 2π bR 1 1 1 K 0 (bR1 ) σ 1T

.

(2.134)

На рис. 2.18 приведена зависимость t1 − t с эф t с1 − t с эф

= f(

λδ , bR1 ), σ 1T

ϑ = (t с1 − t с эф ) f (

λδ , bR1 ), σ 1T

где по оси абсцисс отложено отношение проводимости диска к проводимости термопары.

Рис. 2.18. График зависимости

t1 − t с эф t с1 − t с эф

= f(

λδ , bR1 ), σ 1T

Для определения σ 1T можно воспользоваться результатами решения задачи о стержне (2.119). Обозначим теплопроводность термопары λT , площадь её поперечного сечения – ST , параметр b для термопары – через bT , её длину – lT ; учтём также, что термопара состоит из двух электродов 1 и 2, поэтому (2.119) запишем в виде 87

P1 = (t с1 − t1 )σ 1T = (t с1 − t1 )(λT 1bT 1 S T 1thbT 1lT 1 + λT 2 bT 2 S T 2 thbT 2 lT 2 ).

Далее примем во внимание, что длина термоэлектродов значительна, так что thbT lT ≈ 1. Тогда σ 1T = λT 1bT 1ST 1 + λT 2bT 2 ST 2 , α U α U bT21 = T 1 T 1 , bT2 2 = T 2 T 2 . λT 1ST 1 λT 2 ST 2

Окончательно получим σ 1T = (α T 1U T 1λT 1ST 1 ) 2 + (α T 2U T 2λT 2 ST 2 ) 2 . 1

1

Если провода термопары изолированы, то изоляцию можно представить по формуле для плоской стенки. В последнюю формулу в этом случае следует вместо α Ti подставить α 'Ti , найденное из формулы 1 1 Δi = + α 'Ti α Ti λi

(i = 1, 2),

где Δi и λi – толщина и теплопроводность изоляции электрода. Вычисления по формуле (2.134) можно упростить, если вместо K1 (bR1 ) и K 0 (bR1 ) подставить асимптотические выражения, справедливые для малых x = bR1 : ⎛2⎞ K1 ( x) = x −1 , ( x < 0,05); K 0 ( x) = ln⎜ ⎟ − 0,577 , ( x < 0,05) . ⎝ x⎠

2.10. Принцип суперпозиции температурных полей

Для линейных задач теплопроводности справедлив принцип суперпозиции (сложения) температурных полей: температурное поле тела, которое формируется в результате нескольких тепловых воздействий, может быть представлено в виде алгебраической суммы температурных полей, вызванных каждым из воздействий в отдельности. Под «тепловыми воздействиями» понимается любая неоднородность в уравнении теплопроводности и краевых условиях. Так, для уравнений (2.8), (2.14), это величина W, для граничных условий (2.20), (2.21) – t (τ ) , для (2.24 – 2.25) – величины tс и q, а для начального условия (2.19) – Ψ ( x, y, z ) . Покажем на примере задачи (2.47) – (2.49) применение принципа суперпозиции. Поле температур в этой задаче формируется в результате 88

следующих тепловых воздействий: W , tc , tc . Два последних воздействия одинаковы по своей природе, и их логично объединить (хотя можно рассмотреть порознь). Таким образом, искомая температура будет складываться из двух составляющих: 1

2

t ( x ) = t1 ( x) + t2 ( x),

где t1 ( x) - поле температур под действием только внутреннего источника W (tc = tc = 0) , а t2 ( x) - поле температур только под действием температур окружающих сред tc и tc (W=0). Соответствующие математические постановки задач для t1 ( x) и t2 ( x) имеют вид: 1

2

1

2

d 2t1 +W = 0 dx 2 ⎛ dt ⎞ −λ ⎜ 1 ⎟ + α1t1( x =0) = 0; ⎝ dx ⎠ x =0

λ

d 2t2 = 0; dx 2 ⎛ dt ⎞ −λ ⎜ 2 ⎟ = α1 (tc1 − t2 ) x =0 ; ⎝ dx ⎠ x =0

⎛ dt ⎞ − λ ⎜ 1 ⎟ + α 2t2( x =δ ) = 0; ⎝ dx ⎠ x =δ

−λ

⎛ dt ⎞ − λ ⎜ 2 ⎟ = α 2 (t2 − tc2 ) x =δ , ⎝ dx ⎠ x =δ

Принцип суперпозиции полезен при качественном анализе температурных полей и тестировании программ.

89

Библиографический список

1. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М., «Энергия», 1973. 2. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С., Теплопередача. М., «Энергия», 1975. 3. Болгарский А.В., Мухачева Г.А., Щукин В.К. Термодинамика и теплопередача. М., «Высшая школа», 1964. 4. Жуковский В.С. Основы теории теплопередачи. М., «Энергия», 1969. 5. Кондратьев Г.М. Тепловые измерения. М.-Л., Машгиз, 1957. 6. Дульнев Г.Н., Тарновский Н.Н. Тепловые режимы электронной аппаратуры. Л., «Энергия», 1971. 7. Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности. М., ИИЛ, 1960 8. Спэрроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением. Л., «Энергия», 1971. 9. Эккерт Э.Р., Дрейк Р.М. Теория тепло- и массообмена. М.-Л., Госэнергоиздат, 1961. 10. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М., «Наука», 1964. 11. Варгафтик Н.Б. Справочные по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М., «Наука», 1972. 12. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. Новосибирск, «Наука», 1970

90

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «СанктПетербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.

КАФЕДРА КОМПЬЮТЕРНОЙ ТЕПЛОФИЗИКИ И  ЭНЕРГОФИЗИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА

Начало теплофизической научной школы в университете было положено организацией в 1938 году кафедры приборов теплосилового контроля, заведующим которой стал профессор, доктор технических наук Г.М.Кондратьев (1887-1958). В 1954 году вышла в свет его монография «Регулярный тепловой режим». Изложенные в ней идеи впоследствии были успешно применены в различных областях, например, при создании нового типа приборов для исследования теплофизических свойств веществ и параметров теплообмена. В начале 50-х годов началась разработка методов теплового расчета радиоэлектронных устройств, а в дальнейшем и других приборов – оптических, оптико-электронных, гироскопических. Серия этих работ была выполнена под руководством Заслуженного деятеля науки и техники РСФСР, профессора, доктора технических наук Дульнева Г.Н., возглавлявшего кафедру с 1958 года по 1995 год. В результате был создан новый математический аппарат анализа теплового режима сложных технических систем и приборов, разработаны методы проектирования приборов с заданным тепловым режимом. Комплекс этих работ признается и в нашей стране, и за рубежом как новое научное направление в теплофизике. Кафедра приборов теплосилового контроля за свою многолетнюю историю не раз изменяла свое название. Так, с 1947 года она именовалась кафедрой тепловых и контрольно-измерительных приборов, с 1965 года – кафедрой теплофизики, с 1991 года – кафедрой компьютерной теплофизики и энергофизического мониторинга. Однако 91

основным направлением ее научной и педагогической деятельности оставалось применение учения о теплообмене в физике и приборостроении. С 1995 года заведующим кафедрой является профессор, доктор технических наук А.В.Шарков. Многолетняя деятельность кафедры привела к созданию научной и педагогической школы теплофизиков-приборостроителей, из которой вышли доктора наук А.Н.Гордов, А.И.Лазарев, Г.Н.Дульнев, Б.Н.Олейник, Е.С.Платунов, Н.А.Ярышев, В.Н.Васильев, Ю.П.Заричняк, А.В.Шарков и другие ученые-теплофизики. Сотрудники кафедры принимали участие в разработке нового поколения вычислительных машин, исследовании термооптических явлений в космических комплексах, в реализации международных программ космических исследований. Так, предложенные на кафедре методы были использованы при проектировании телевизионных камер космических аппаратов в проекте «ВЕГА», при создании лазерного устройства в проекте «ФОБОС». Возможности разработанных на кафедре методов математического моделирования тепловых процессов в сложных системах и технике теплофизического эксперимента были продемонстрированы при анализе процессов теплообмена в организме человека; при создании электрогенераторов, работа которых использует явления сверхпроводимости; при создании оригинальных образцов оборонной, медицинской и измерительной техники. В рамках традиционных направлений развиваются работы по созданию методов и приборов для измерения температуры, тепловых потоков, теплофизических свойств веществ, исследования коэффициентов переноса в неоднородных средах, а также работы по созданию принципиально новых композиционных материалов – особо прочных, термостойких, теплоизоляционных и т.д. В последние годы наряду с традиционными научными направлениями появился ряд новых направлений, связанных с экологическим мониторингом, энергосберегающими технологиями, биологией и медицинским теплофизическим приборостроением. На базе ведущихся на кафедре научных исследований осуществляется обучение молодых специалистов, первый выпуск которых по специальности «Теплофизика» состоялся в 1969 году. В 1998 году кафедра получила также право обучения по новому для нашего университета направлению – «Техническая физика». В июне 1998 года состоялся первый выпуск бакалавров, а в 2000 году – магистров. На кафедре ведется подготовка научных кадров высшей квалификации в аспирантуре и докторантуре по специальностям 01.04.14 – «Теплофизика и теоретическая теплотехника» и 05.11.01 «Приборы и методы измерения тепловых величин». Сейчас коллектив кафедры продолжает развитие как ставших уже традиционными научных направлений и направлений подготовки специалистов, так и ведет поиск в новых областях науки и техники. 92

Дульнев Геннадий Николаевич Тихонов Сергей Васильевич

Основы теории тепломассообмена Учебное пособие

В авторской редакции Редакционно-издательский отдел Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики Зав. РИО Н.Ф. Гусарова Лицензия ИД № 00408 от 05.11.99 Подписано к печати Заказ № Тираж Отпечатано на ризографе

93