Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: Методические указания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики

О.М. ШЕПТУХИНА, В.В. РИСКОВЕЦ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Оренбург 2004

ББК 22.161 я7 Ш 48 УДК 517.1(07) Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики ОГУ Отрыванкина Т. М.

Шептухина О.М., Рисковец В.В. Ш 48 Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: Методические указания. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. – 108 с.

Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей очно–заочной формы обучения.

ББК 22.161 я7

© Шептухина О.М., 2004 © Рисковец В.В., 2004 © ГОУ ОГУ, 2004 2

Введение Методическая разработка «Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» задуманы как методические указания для студентов первого курса экономических отделений университета очно-заочной формы обучения. Вместе с тем, данная методическая разработка не должно представляться студенту лишь длинной цепью «определений» и «теорем», она должна служить руководством к действию. Именно этот материал и овладение им составляет фундамент для дальнейшего изучения и его приложений. Методическая разработка позволит студенту, особенно заочнику, дополнить лекционный курс и разобраться в решении типовых задач, связанных с вычислением пределов, производных, исследований функций.

3

1 Числовые последовательности 1.1 Числовые последовательности и арифметические действия над ними Числовые последовательности изучают уже в средней школе. Примерами таких последовательностей могут служить: 1) натуральный ряд N; 2) последовательность всех членов арифметической и геометрической прогрессии; 3) последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в данную окружность; 4) последовательность х1=1, х2=1.4, х3=1.41,… приближенных значений 2 . Уточним понятие числовой последовательности. Определение: Если каждому числу п из натурального ряда чисел 1,2,3,…,…п поставлено в соответствие вещественное число хп, то множество вещественных чисел х1, х2, х3,…,хп,… (1) называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Числа х1, х2, х3, …,хп,… называются элементами (или членами) последовательности (1), символ хп - общим элементом (или членом) последовательности, а число п – его номером. Сокращенно последовательность (1) обозначается 1  символом {x n }. Так, например, символ   обозначает последовательность 1, n  1 1 1 , ,..., ,…. 2 3 n Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого её элемента. Например, формула x n = 1 + (− 1)n задает последователь1 ность: 0,2, 0,2,… Обращая дробь в десятичную и оставляя один, два, три и 3 т.д. знака после запятой, получаем последовательность x1 = 0,3; x 2 = 0,33; x3 = 0,333,..; x n = 0,333...3,... По определению последовательность содержит бесконечное число элементов: любые два её элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами. Пример 1. Написать пять первых элементов каждой из последовательностей, заsin(πn / 2) 1 n данных их общими элементами: а) x n = ; б) x n = n +1 ; в) x n = . 2n + 1 n 2 1 1 1 1 1 Р е ш е н и е. а) {x n }: ; ; ; ; ;... 3 5 7 9 11

4

1 2 3 4 5 б) {x n }: ; ; ; ; ;... 4 8 16 32 64 −1 1 в) {x n }: 1; 0; ; 0; ; ... 3 5 Пример 2. Зная несколько первых элементов последовательности, написать формулу ее общего элемента: 1 ; 32 1 ; б) 1; 1⋅ 2 в) − 1; 1;

а) 1;

1 1 ; ;... . 2 5 72 1 1 ; ;... . 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 − 1; 1; − 1;... .

1

Р е ш е н и е. а) {x n } =

. (2n − 1) 2 1 б) {x n } = . n! в) {x n } = (−1) n или {x n } = cos πn.

Геометрически последовательность изображается на координатной прямой в виде последовательности точек, координаты которых равны соответствующим элементам последовательности. На рисунке 1 (а и б) изображены соn  (− 1)  1  ответственно последовательности {х n } =   и {х n } =  . n n      1 4

а) -1 х1 б)

0

1 3

1 2

1 х1

х4 х3 х2

- 13 - 15 - 17

1 1 6 4

х

1 2

х3 х5х7 0 x6 х4 х2

х

Рисунок 1

Введем арифметические действия над числовыми последовательностями. Пусть даны последовательности {х n } и {у n } . Произведением последовательности {х n } на число т назовем последовательность тх1, тх2,…, тхп,…; суммой данных последовательностей назовем последовательность x1 + y1 , x 2 + y 2 ,..., x n + y n ,...; разностью – последовательность x1 − y1 , x 2 − y 2 ,..., x n − y n ,...;

5

частным

–

последовательность

x x1 x 2 , ,.., n ,..., если y1 y 2 yn

все

члены

последовательности {у n } отличны от нуля. Указанные действия над последовательностями символически записываются так: m{xn } = {mxn }, {xn } + {yn } = {xn + yn }, {xn } − {yn } =

= {xn − yn }, {xn }⋅ {yn } = {xn yn },

{xn } =  xn , ∀y ≠ 0, n ∈ N . {yn }  yn  n

∀y n ≠ 0 означает, что значения y n отличны от нуля при любом n. 1.2 Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение: Последовательность {x n } называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (число т) такое, что любой элемент хп этой последовательности удовлетворяет неравенству x n ≤ M ( x n ≥ m ) . Определение: Последовательность {x n } называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют числа т и М такие, что любой элемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенствам т ≤ x n ≤ M . Пусть A = max{m , M }. Тогда условие ограниченности последователь-

ности можно записать в виде x n ≤ A . Определение: Последовательность {x n } называется неограниченной, если для любого положительного числа А существует элемент хп этой последовательности, удовлетворяющий неравенству x n > A (т.е. либо хп>A, либо хп<-A). Из данных определений следует, что если последовательность ограничена сверху, то все её элементы принадлежат промежутку (− ∞, M ]; если она ограничена снизу – промежутку [m,+∞ ), а если ограничена и сверху и снизу – промежутку [m, M]. Неограниченная последовательность может быть ограничена сверху (снизу). Примеры ограниченных и неограниченных последовательностей: а) последовательность 1, 2, 3,….,п,… ограничена снизу, но не ограничена сверху; б) последовательность -1, -2, -3,….,-п,… ограничена сверху, но не ограничена снизу; в) последовательность 1, 1/2, 1/3,….,1/п,… ограничена, так как любой элемент хп этой последовательности удовлетворяет неравенствам 0 ≤ х п ≤ 1(т = 0, М = 1); г) последовательность -1, 2, -3, 4, -5,….,(-1)пп,… – неограниченная. В самом деле, каково бы ни было число А, среди элементов хп этой последовательности, найдутся элементы, для которых будет выполняться неравенство хп > A . 6

С помощью логических символов данные выше определения можно записать следующим образом: последовательность {х п } ограничена сверху, если (∃М )(∀х п ) : х п ≤ М ; последовательность {х п } ограничена снизу, если (∃т )(∀х п ) : х п ≥ т; последовательность {х п } ограничена, если (∃А > 0 )(∀х п ) : х п ≤ A;

последовательность {х п } не ограничена, если (∀A > 0 )(∃х п ) : х п > A. Сравнивая запись с помощью логических символов двух последних определений, видим, что при построении отрицаний символы ∃ и ∀ заменяют друг друга. Пример 3. Какие из последовательностей являются ограниченными: (−1) n 1 1 1 1 1 а) − 1; ; − ; ; − ; ;...; ;...; 2 3 4 5 6 n б) 2; 4; 6; 8; 10; 12;...;2n;...; в) sin 1; sin 2; sin 3; sin 4; ...; sin n ;…; г) 1; − 2; 3; − 4; 5; − 6; 7;...; (−1) n +1 n;... . Р е ш е н и е. а) Ограничена (−1 ≤ x n ≤ 1 / 2). б) Не ограничена. г) Не ограничена. в) Ограничена ( sin n ≤ 1). 1.3 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение: Последовательность {х п }называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство х п > A . «При n>N» означает: «для всех элементов последовательности с номерами n>N». Символическая запись определения бесконечно большой последовательности имеет вид: (∀A > 0)(∃N )(∀n > N ) : х п > A.

Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3,..,1, п, 1, п+1,…не является бесконечно большой, поскольку при A>1 неравенство х п > A выполняется не для всех элементов хп с нечетными номерами. Примеры бесконечно больших последовательностей: а) {x n } = {− n} : −1,−2,−3,−4,−5,...,− n,...; б) {x n } = n 2 : 1, 4, 9, 16, 25,..., n 2 ,...;

{

в) {x n } = (−1)

n +1

}

{ }

⋅ n : 1, − 2, 3,−4, 5,... .

7

Пример 4. Используя определение, докажем, что последовательность {n} является бесконечно большой. Возьмем любое число A>0. Из неравенства x n = n > A получаем n > A.

Если взять N ≥ A , то для всех n > N будет выполняться неравенство x n > A , т.е. согласно определению последовательность {n} – бесконечно большая. Пример 5. Доказать, что последовательность {x n } = n 2 является бесконечно большой. Р е ш е н и е. Возьмём любое число A > 0. Из неравенства x n = n 2 > A,

{ }

[ ]

получаем n 2 > A, т. е. n > A. Если взять N = A , то для всех n > N будет выполняться неравенство x n > A, т.е. n 2 > A, т.е. согласно определению бес-

{ }

конечно большой последовательности {x n } = n 2 − бесконечно большая. 1 Замечание: Символ [1 / ε] означает целую часть числа , т. е. наи-

ε

большее целое число, не превосходящее х.

{ }

Пример 6. Доказать, что последовательность {x n } = 3 n является бесконечно большой. Р е ш е н и е. Возьмём любое число A > 0. Для того, чтобы найти номер N , необходимо решить неравенство x n = 3 n = 3 n > A. Логарифмируем обе

 lg A  lg A . Если взять N =  , то для lg 3  lg 3  всех n > N , выполняется неравенство x n > A, т.е. последовательность 3 n является бесконечно большой последовательностью. Определение: Последовательность {α п } называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство α n < ε . Символическая запись определения бесконечно малой последовательности имеет вид: (∀ε > 0 )(∃N )(∀n > N ) : α n < ε его части, получаем n lg 3 > lg A, откуда n >

{ }

Примеры бесконечно малых последовательностей:  (−1) n  1 1 1 1 а)   : −1, ,− , ,− ,...; 2 3 4 5  n 

1  б)  k  (k > 0). Например, n 

8

1 1 1 1 1 k = 2 :  2  : 1, , , , ,...;  n  4 9 16 25 3  1  1 1 1 : : 1, , , ,.. ..  2  n 3  8 27 64  2n  2 4 6 8 в)  ,... . : , , ,  n 2 + 1  2 5 10 26 Пример 7. Используя определение бесконечно малой последовательности, докажем, что последовательность {1/n} является бесконечно малой. Возьмем любое число ε > 0. Из неравенства α n = 1 / n < ε получаем n>1/ ε. Если взять N = [1/ ε], то для всех n > N будет выполняться неравенство n ≥ [1 / ε] + 1 > 1 / ε , откуда 1 / n = α n < ε . Таким образом, согласно определению 2 последовательность {1/n} является бесконечно малой. Между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями существует связь. Она выражается в следующем. Теорема 1. Если {хп} – бесконечно большая последовательность, и все 1 её члены отличны от нуля, то последовательность   – бесконечно малая, и,  хп  обратно, если {αп} – бесконечно малая последовательность и α п ≠ 0 , то послеk=

 1  довательность   - бесконечно большая. α п  Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть {хп} – бесконечно большая последова1 тельность. Возьмем любое ε > 0 и положим A = . Согласно определению бесε конечно большой последовательности для этого А существует номер N такой,

что при n >N будет х п > A . Отсюда получаем, что 1 = 1 < 1 = ε для всех xn

xn

A

1  n >N. А это значит, что последовательность   – бесконечно малая.  хп  Доказательство второй части теоремы проводится аналогично. Что и требовалось доказать (ч.т.д).

1.4 Основные свойства бесконечно малых последовательностей Теорема 2. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности. Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть {αп} и {βп} – бесконечно малые последовательности. Требуется доказать, что последовательность {α п ± β п } – бесконечно малая. Пусть ε – произвольное положительное число, N1 – номер, ε ε начиная с которого α п < , а N2 – номер, начиная с которого β п < . (Такие 2 2 9

номера N1 и N2 найдутся по определению бесконечно малой последовательности.) Возьмем N = max{N1 , N 2 }; тогда при n > N будут одновременно выполε ε няться два неравенства: α п < , β п < . Следовательно, при n > N 2 2 ε ε α п ± βп ≤ α п + βп < + = ε 2 2 Это значит, что последовательность {α п ± β п } бесконечно малая. Ч.т.д. Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Теорема 3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть {αп} и {βп} – бесконечно малые последовательности. Требуется доказать, что последовательность {α п ⋅ β п } – бесконечно малая. Так как последовательность {αп} бесконечно малая, то для любого ε > 0 существует номер N1 такой, что α п < ε при n > N1, а так как {βп} – также бесконечно малая последовательность, то для ε =1 существует номер N2 такой, что β п < 1 при n > N2. Возьмем N = max{N1 , N 2 }; тогда при n > N будут выполняться оба неравенства. Следовательно, при n > N α п ⋅ βп = α п ⋅ βп < ε ⋅1 = ε Это означает, что последовательность {α п ⋅ β п } бесконечно малая. Ч.т.д. Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Замечание: Частное двух бесконечно малых последовательностей может не быть бесконечно малой последовательностью и может даже не иметь смысла. Например, если αп=1/п, βп=1/п, то все элементы {α п / β п } равны единице и данная последовательность является ограниченной. Если αп=1/п, βп=1/п2, то последовательность {α п / β п } бесконечно большая, а если αп=1/п2, βп=1/п, то – бесконечно малая. Если, начиная с некоторого номера, элементы {βп} равны нулю, то {α п / β п } не имеет смысла. Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность. Д о к а з а т е ль с т в о: Пусть {хп} – ограниченная, а {αп} – бесконечно малая последовательности. Требуется доказать, что последовательность {х п ⋅ α п } бесконечно малая. Так как последовательность {хп} ограничена, то существует число A>0 такое, что любой элемент хп удовлетворяет неравенству x n ≤ A . Возьмем любое ε > 0. Поскольку последовательность {αп}

10

– бесконечно малая, для положительного числа

ε существует номер N такой, A

ε . Следовательно, при n>N A ε xn ⋅ α n = xn ⋅ α n < A ⋅ = ε A Это означает, что последовательность {х п ⋅ α п } бесконечно малая. Ч.т.д. Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность. что при n>N выполняется неравенство α n <

11

2 Сходящиеся последовательности 2.1 Понятие сходящейся последовательности Определение: Число а называется пределом последовательности {хп}, если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство xn − a < ε . (2)

С помощью логических символов это определение можно записать в виде

(∀ε > 0 )(∃N )(∀n > N ) : xn − a < ε .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если последовательность {xn} сходится и имеет своим пределом число а, то символически это записывается так: lim x n = a или xn → a при n → ∞

п →∞

(3)

(limes (лат.) – предел). Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся. Пример 8. Используя определение предела последовательности, докаn жем, что lim = 1. n→∞ n + 1 1 n , то для Возьмем любое число ε > 0. Так как xn − 1 = −1 = n +1 n +1 нахождения значений п, удовлетворяющих неравенству xn − 1 < ε , достаточно решить неравенство 1 / (n + 1) < ε , откуда получаем n > (1 − ε ) / ε . Следовательно, в качестве N можно взять целую часть числа (1 − ε ) / ε , т.е. N = [(1 − ε ) / ε] . Тогда неравенство xn − 1 < ε будет выполняться при всех n >N. Этим и доказано, что n lim = 1. n→∞ n + 1 2n + 3 Пример 9. Известно, что lim = 2. Найти номер N , начиная с коn →∞ n + 1 2n + 3 − 2 < ε, где ε = 0,1; 0,01; 0,001. торого выполняется неравенство n +1 Р е ш е н и е.

12

2n + 3 2n + 3 − 2(n + 1) 1 − 2 < ε; = < ε . Данное n +1 n +1 n +1 1  неравенство выполняется при n > N =  − 1. При ε = 0,1 неравенство выε  полняется, начиная с N = 10. При ε = 0,01 – начиная с N = 100. При ε = 0,001 – начиная с N = 1000. n2 − n + 2 1 Пример 10. Доказать, что lim 2 = . n→∞ 3n + 2n − 4 3 Р е ш е н и е. Возьмём любое число ε > 0. Найдём номер N , начиная с n2 − n + 2 1 − < ε. Необходимо решить последнее которого при n > N 3n 2 + 2n − 4 3 неравенство: − 5n + 10 n2 − n + 2 1 3(n 2 − n + 2) − (3n 2 + 2n − 4) 5n < − = = 3n 2 + 2n − 4 3 3(3n 2 + 2n − 4) 3(3n 2 + 2n − 4) 3(3n 2 − 4) Решим неравенство

<

5n 3n 2

<

2 . n

Поэтому если уже (2/n)<ε, то и подавно будет выполняться неравенство n2 − n + 2 1 − < ε. Следовательно, для нахождения значений n, удовлетво3n 2 + 2n − 4 3 1 2 < ε, достаточно решить неравенство < ε, откуда 3 n 1 то для всех n > N будет выполняться x n − < ε, т. е. 3

ряющих неравенству x n − 2 2 n > . Если взять N=  , ε ε n2 − n + 2

1 = . n→∞ 3n 2 + 2n − 4 3 lim

Замечание 1. Пусть последовательность {xn} имеет своим пределом число а. Тогда {αn}={xn – a} является бесконечно малой последовательностью, так как для любого ε > 0 существует номер N такой, что при n >N выполняется неравенство α n = xn − a < ε . Следовательно, любой элемент хп последовательности, имеющей пределом число а, можно представить в виде xn = a + α n ,

(4)

где αn – элемент бесконечно малой последовательности {αn}. Очевидно, справедливо и обратное: если xn можно представить в виде xn=а+ αn , где {αn} - бес13

конечно малая последовательность, то lim xn = a . Представление (4) используn→∞

ется при доказательствах теорем о пределах последовательностей.  n  Пример 11. Представим последовательность {x n } =   в виде  n + 1 xn = a + α n . Р е ш е н и е. Любой элемент последовательности {x n } можно представить следующим образом: n +1−1 1 xn = =1− = a + α n , где а=1 - предел последовательности xn, n +1 n +1 n 1   lim = 1 ; {α n } = −  - бесконечно малая последовательность. n →∞ n + 1  n + 1 Замечание 2. Неравенство х п − а < ε равносильно неравенствам − ε < xn − a < ε или a − ε < xn < a + ε, которые означают, что элемент xn находится в ε-окрестности точки а (рисунок 2). Поэтому определение предела последовательности можно сформулировать следующим образом: число а называется пределом последовательности {xn}, если для любой ε-окрестности точки а существует номер N такой, что все элементы xn с номерами n >N находятся в этой ε-окрестности.

а-ε

a

хп

а+ε

х

Рисунок 2 Замечание 3. Очевидно, что бесконечно большая последовательность {xn} не имеет предела. Иногда говорят, что она имеет бесконечный предел, и пишут lim xn = ∞ . n→∞

Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности положительны (отрицательны), то пишут lim x n = +∞ lim x n = −∞  . n →∞  n →∞  Предел последовательности, как он был определен ранее, будем называть иногда в отличие от бесконечного предела конечным пределом. Пример 12. а) lim (− n) = −∞. n →∞

б) lim (n 2 ) = +∞. n →∞

14

в) lim (−1) n n = ±∞. n →∞

Замечание 4. Очевидно, всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число а=0. Пример 13. (−1) n а) lim = 0. n →∞ n 1 б) lim k = 0. n →∞ n  2n  в) lim  2  = 0. n →∞ n + 1  2.2 Основные свойства сходящихся последовательностей

Докажем лемму, которая понадобится при доказательстве теоремы 5. Лемма 1. Если все элементы бесконечно малой последовательности {αn} равны одному и тому же числу с, то с=0. Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть α n = c, ∀ n ∈ N , lim α n = 0 . Предполоn →∞

с . Тогда по определению бесконечно малой по2 следовательности существует номер N такой, что при n >N выполняется нерас венство α п < ε . Так как αn=с, а ε = , то последнее неравенство можно пере2 с 1 писать в виде с < , откуда 1 < . Полученное противоречие доказывает, что 2 2 неравенство с ≠ 0 не может иметь места, и, значит, с=0. Ч.т.д. Теорема 5. Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Д о к а з а т е л ь с т в о: Предположим противное, т.е. что сходящаяся последовательность {xn} имеет два предела a ≠ b . Тогда по формуле (3) для элементов xn получаем xn = a + α n и xn = b + β n , жим, что с ≠ 0 . Положим ε =

где αп и βп – элементы бесконечно малых последовательностей {αп} и {βп}. Приравнивая правые части этих соотношений, найдем, что αп - βп=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {αп - βп} равны одному и тому же числу b – а, то по лемме 1 b – а=0, т.е. b = а, следовательно сходящаяся последовательность имеет только один предел. Ч.т.д. Теорема 6. Сходящаяся последовательность ограничена. Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть {xn}- сходящаяся последовательность, и число а – её предел. Пусть, далее, ε – произвольно положительное число и N – номер, начиная с которого выполняется неравенство x n − a < ε . Тогда 15

xn = (xn − a ) + a ≤ xn − a + a < a + ε для всех n > N. Пусть A = max{a + ε, x1 , x 2 , ...., x N }. Очевидно, x n ≤ A для всех номеров п, что и означает ограниченность последовательности {xn}. Ч.т.д. Замечание. Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность –1, 1, -1,…, (-1)п,…, очевидно, ограничена, но не сходится. Докажем это. Предположим, что данная последовательность имеет предел–число а. Тогда для ε=1/2 существует номер N такой, что при n >N будет x n −a < 1 / 2 . Так как xn принимает попеременно значения 1 и –1, то 1 − a < 1 / 2 и (− 1) − a < 1 / 2 . Используя эти неравенства, получаем 2 = 1 − a + a − (− 1) ≤ 1 − a + a − (− 1) < 1 / 2 + 1 / 2 = 1 , т.е. 2<1. Полученное противоречие доказывает расходимость данной последовательности. Теорема 7. Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей {xn} и {уn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей {xn} и {уn}. Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть a и b – соответственно пределы последовательностей {xn} и {уn}. Тогда по формуле (4): xn = a + α n , y n = b + β n , где {αп} и {βп} – бесконечно малые последовательности. Следовательно,

(x n ± y n ) − (a ± b ) = α n ± β n , по теореме 2 последовательность {α п ± β п } бесконечно малая. Таким образом, последовательность {( x n ± y n ) − (a ± b )} также бесконечно малая, и поэтому последовательность {x n ± y n } сходится и имеет своим пределом число a ± b . Ч.т.д. Теорема 8. Произведение сходящихся последовательностей {xn} и {уn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {xn} и {уn}. Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть a и b – соответственно пределы последовательностей {xn} и {уn}. Тогда по формуле (4): xn = a + α n , y n = b + β n где {αп} и {βп} – бесконечно малые последовательности. Следовательно, x n y n − ab = aβ n + bα n + α n β n .

16

{

}

Согласно теоремам 2 – 4 последовательность aβ n + bα n + α n β n бесконечно малая. Таким образом, последовательность {x n y n − ab} также бесконечно малая, и поэтому последовательность {xn уn} сходится и имеет свои пределом число ab. Ч.т.д. Теорема 9. Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {уn}, при условии, что предел {уn} отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {уn}. (Без доказательства). 2n 2 + n + 1 Пример 14. Найдем lim . n→∞ 3n 2 − 1 Р е ш е н и е. При n → ∞ числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, следовательно, применить теорему о пределе частного нельзя, так как в условии этой теоремы предполагается существование конечных пределов. Поэтому сначала преобразуем формулу общего члена данной последовательности, разделив числитель и знаменатель на n2. Затем, применяя теоремы о пределе частного и о пределе суммы, найдем lim (2 + 1 / n + 1 / n 2 ) 2n 2 + n + 1 2 + 1 / n + 1 / n 2 n →∞ lim = = lim = 2 2 n →∞ 3n 2 − 1 n →∞ 3 − 1/ n lim (3 − 1 / n ) n →∞

=

lim 2 + lim (1 / n) + lim (1 / n 2 )

n →∞

n →∞

n →∞ 2

lim 3 − lim (1 / n )

n →∞

n →∞

Пример 15. Найти lim

=

2+0+0 2 = . 3−0 3

2n 3 + 4

. n2 + 5 Р е ш е н и е. При n → ∞ числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, следовательно, в этом примере также применить теорему о пределе частного нельзя. Преобразовываем данное выражение: делим числитель и знаменатель на n2. Затем применяем теоремы о пределе частного и суммы, принимаем во внимание то, что lim 2n = ∞ . n →∞

n →∞

lim

n →∞

2n 3 + 4 n2 + 5

= lim

n →∞

2n + 4 / n 2 1 + 5 / n2

Пример 16. Найти lim

=

lim 2n + lim 4 / n 2

n →∞

n →∞

lim 1 + lim 5 / n 2

n →∞

n →∞

=

∞+0 = ∞. 1+ 0

2n − 3

. n2 + 1 Р е ш е н и е. При n → ∞ числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, следовательно, применить теорему о пределе частного нельзя. Преобразовываем данное выражение: делим числитель и знаменатель на n . Заn →∞

17

тем применяем теоремы о пределе частного и суммы. Следует иметь в виду, 3 что lim = 0; lim n = ∞. n →∞ n n →∞ lim 2 − lim 3 / n 2n − 3 2 − 3 / n n →∞ 2−0 n →∞ lim 2 = lim = = = 0. n →∞ n + 1 n →∞ n + 1 / n lim n + lim 1 / n ∞ + 0 n →∞

Пример 17. Найти lim

n sin n! 2

n →∞

.

(n + 1) Р е ш е н и е. Применяем теорему о пределе произведения: предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению пределов. Первый сомножитель является бесконечно малой последовательностью, n т. е. lim 2 = 0, второй – ограниченной последовательностью sin n! ≤ 1. n →∞ n + 1 Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью. n sin n! n lim 2 = lim 2 ⋅ lim sin n! ≤ 0 ⋅ 1 = 0. n →∞ ( n + 1) n →∞ n + 1 n → ∞ n →∞

Пример 18. Найти lim ( n + 1 − n ). n →∞

Р е ш е н и е. Применим имеющиеся теоремы о пределах, а именно: предел разности равен разности пределов. При n → ∞ и вычитаемое и уменьшаемое стремятся к бесконечности, следовательно, применить теорему о пределе разности нельзя, т.к. по условию теоремы предполагается существование конечных пределов. Поэтому сначала преобразуем выражение n + 1 − n : ( n + 1 − n )( n + 1 + n ) ( n + 1) 2 − ( n ) 2 n +1− n lim = lim = lim = n→∞ n→∞ n→∞ ( n + 1 + n ) ( n + 1 + n) ( n + 1 + n) 1 1 = lim = lim =0 n→∞ ( n + 1 + n ) n→∞ ∞ + ∞

sin n   5n + Пример 19. Найти lim  . n →∞ n + 1 n  Р е ш е н и е. Применяем имеющиеся теоремы о пределах, а именно: предел суммы двух сходящихся последовательностей равен сумме пределов. Рассмотрим каждый предел отдельно. Первый предел находим, поделив числитель и знаменатель на n, второй предел представляет произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, т.е. он является пределом бесконечно малой последовательности:

18

sin n  5n sin n 5n : n 1  5n lim  + + lim = lim + lim sin n lim =  = lim n →∞ n + 1 n →∞ ( n + 1) : n n →∞ n →∞ n n  n →∞ n + 1 n →∞ n 5 = + 1 ⋅ 0 = 5. 1+ 0 2.3 Предельный переход в неравенствах Теорема 10. Если элементы сходящейся последовательности {x n }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x n ≥ b ( x n ≤ b ) , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b ) . Д о к а з а т е л ь с т в о : Пусть все элементы x n , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x n ≥ b и lim x n = a . Требуется доказать n →∞

неравенство a ≥ b . Предположим противное, т.е. что a < b. Так как a - предел {x n }, то для ε = b − a существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство x n − a < b − a, которое равносильно следующим двум неравенствам: − (b − a ) < x n − a < b − a. Из правого неравенства получаем: x n < b при n>N, а это противоречит условию теоремы. Следовательно, a ≥ b. Случай x n ≤ b рассматривается аналогично. Ч.т.д. Следствие 1. Если элементы сходящихся последовательностей {x n } и {y n }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x n ≤ y n , то их пределы удовлетворяют неравенству lim x n ≤ lim y n . n →∞

n →∞

В самом деле, начиная с некоторого номера, элементы последовательнопоэтому неотрицателен и ее предел: сти {y n − x n } неотрицательны, а lim ( y n − x n ) = lim y n − lim x n ≥ 0. Откуда следует, что lim x n ≤ lim y n . n →∞

n →∞

n →∞

n →∞

n →∞

С л е д с т в и е 2 . Если все элементы сходящейся последовательности {x n } принадлежат отрезку [a, b], то и ее предел с также принадлежит этому отрезку. В самом деле, так как a ≤ x n ≤ b, то a ≤ c ≤ b. Теорема 11. Пусть даны три последовательности {x n } , {y n } и {z n }, причем {xn } ≤ {y n } ≤ {z n } для всех n ∈ N , и пусть последовательности {x n } и {z n } имеют один и тот же предел a . Тогда последовательность {y n } также имеет предел a . Д о к а з а т е л ь с т в о : Возьмем любое ε > 0. Для последовательности {x n } найдется номер N1 такой, что x n − a < ε при n>N1, т.е. a − ε < x n < a + ε. .

(5) 19

По этому же ε для последовательности {z n } найдется номер N2 такой, что z n − a < ε при n>N2, т.е. a − ε < zn < a + ε .

{

(6)

}

Пусть N = max N 1 , N 2 . . Тогда при n>N будут выполняться одновременно неравенства (5) и (6). Используя подчеркнутые неравенства, а также неравенства, данные в условии теоремы, получаем a − ε < x n ≤ y n ≤ z n < a + ε при n>N. Отсюда a − ε < y n < a + ε или y n − a < ε при n>N. Это значит, что предел последовательности {y n } равен a . Ч.т.д. 2.4 Определение и признак сходимости монотонных последовательностей Определение: Последовательность {x n } называется возрастающей, если x n < x n +1 для всех n ∈ N ; неубывающей, если x n ≤ x n +1 для всех n ∈ N ; убывающей, если xn>xn+1 для всех n ∈ N ; не возрастающей, если x n ≥ x n +1 для всех n∈ N . Все такие последовательности объединяются общим названием: монотонные последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными. Пример монотонных последовательностей. а) Последовательность 1,1/2,1/3,…,1/n,…– убывающая и ограниченная. б) Последовательность 1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3…, 1/n, 1/n,…– невозрастающая и ограниченная. в) Последовательность 1, 2, 3, …n, … – возрастающая и неограниченная. г) Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, …n, n, … – неубывающая и неограниченная. д) Последовательность 1/2, 2/3, 3/4,…, n/(n+1), … – возрастающая и ограниченная. Отметим, что монотонные последовательности ограничены, по крайней мере, с одной стороны например, неубывающие последовательности - снизу ( x n ≥ x1 для всех n ∈ N ). Оказывается, что если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, т. е. просто ограничена, то она сходится. Немонотонные последовательности этим свойством не обладают. Так, немонотонная последовательность (−1) n ограничена, но не сходится.

{

20

}

Теорема 12. Монотонная ограниченная последовательность сходится. Пример 20. Доказать, что последовательность с общим элементом n xn = монотонно возрастающей. 2n + 1 n +1 n +1 Р е ш е н и е. Найдём x n +1 : = . Найдём разность 2(n + 1) + 1 2n + 3

(2n + 1)(n + 1) − n(2n + 3) 2n 2 + 3n + 1 − 2n 2 − 3n n +1 n x n +1 − x n : − = = = 2n + 3 2n + 1 (2n + 3)(2n + 1) (2n + 3)(2n + 1) 1 = . (2n + 3)(2n + 1) Так как 1 > 0, (2n + 3) > 0 , (2n + 1) > 0, n ∈ N , то ( x n +1 − x n > 0 ) Следовательно, x n +1 > x n для всех n ∈ N . Это означает, что последовательность {x n } – возрастающая. Пример 21. Доказать, что последовательность с общим элементом n x n = n – монотонно убывающая. 5 Р е ш е н и е. Рассмотрим отношение последующего элемента x n +1 к x n +1 n + 1 n (n + 1)5 n n + 1 1 1 + 1 / n 1 + 1 2 = n +1 : n = = = ≤ = < 1; предыдущему xn: xn n 5 5 5 5 5 5 5 n 5n Следовательно, x n > x n +1 для любого n ∈ N , что и требовалось доказать. Пример 22. Доказать, что последовательность с общим элементом x n = n 2 – монотонно возрастающая. Р е ш е н и е. Действительно, x n +1 = (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1 > n 2 = x n , что

{ }

выполняется при любом n ∈ N . Следовательно, n 2 – монотонно возрастающая последовательность.

21

3 Понятие функции 3.1 Определение функции

При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, при изучении движения пройденный путь рассматривается как переменная, изменяющая в зависимости от изменения времени. Здесь пройденный путь есть функция времени. Рассмотрим другой пример. Известно, что площадь круга выражается через радиус так: Q = πR 2 . Если радиус R будет принимать различные числовые значения, то площадь Q также будет принимать различные числовые значения. Таким образом, изменение одной переменной влечет изменение другой. Здесь площадь круга Q есть функция радиуса R. Сформулируем определение понятия «функция». Определение: Если каждому значению переменной х, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной у, то у есть функция от х или, в символической записи, y = f ( x), y = ϕ( x) и т.п. Переменная х называется независимой переменной или аргументом. Зависимость переменных х, и у называется функциональной зависимостью. Буква f в символической записи функциональной зависимости y = f (x) указывает, что над значением х нужно произвести какие-то операции, чтобы получить значение у. Вместо записи y = f ( x), u = ϕ( x) и т.д. иногда пишут y = y ( x), u = u ( x) и т.д., т.е буквы у, и и т.д. обозначают и зависимую переменную, и символ совокупности операций над х. Запись у = С, где С – постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении х одно и тоже и равно С. Определение: Совокупность значений х, для которых определяются значения у в силу правила f(x), называется областью определения функции (или областью существования функции). Пример 23. Функция y = sin x определена при всех х. Следовательно, ее областью определения будет бесконечный интервал − ∞ < x < +∞ . Замечание. Иногда в определении понятия функции допускают, что каждому значению х, принадлежащему некоторой области, соответствует не одно, а несколько значений у или даже бесконечное множество значений у. В этом случае функцию называют многозначной в отличие от определенной выше функции, которую называют однозначной. В дальнейшем, говоря о функции, мы будем иметь в виду только однозначные функции. Если в силу необходимости придется иногда иметь дело с многозначными функциями, то мы будем делать специальные оговорки. Наряду с термином «функция» употребляют равнозначный термин «отображение», а вместо записи у=f(x) пишут f : x a y и 22

говорят, что отображение f отображает число х в число y, или, что тоже самое, число у является образом числа х при отображении f. При вычислениях запись y = f ( x) обычно удобнее записи вида

f : x a y. Например, запись f ( x) = x 2 значительно удобнее и проще использо-

вать при аналитических преобразованиях, чем запись f : x a x 2 . Определение: Про функцию f(x), определенную на некотором множестве Х, говорят, что она ограничена сверху (снизу) на этом множестве, если существует число М (m) такое, что для любого x ∈ X выполняется неравенство f ( x) ≤ M ( f ( x)) ≥ m). Функция, ограниченная сверху и снизу на множестве Х, называется ограниченной на этом множестве. Условие ограниченности функции f(x) можно записать в виде: существует число М ≥ 0 такое, что для любого x ∈ X выполняется неравенство f ( x) ≤ M . Например, функция f(x)=sinx ограничена на всей числовой прямой, так как sin x ≤ 1 при любом х, а функция f(x)=1/x не является ограниченной сверху на интервале (0,1),так как не существует числа М такого, что для любого x ∈ (0;1) выполняется неравенство 1 / x ≤ M . График функции может представлять собой некоторую «сплошную» линию (кривую или прямую), а может состоять из отдельных точек (х, у), координаты которых связаны соотношением y=f(x), например график функции y=n! (рисунок 3). Не всякая линия является графиком какой-либо функции. Например, окружность x 2 + y 2 = 1 не является графиком функции, так как каждому

x ∈ (−1,1)

соответствуют

два

различных

значениям

у:

y1 = 1 − x 2

и

y 2 = − 1 − x 2 , что противоречит требованию однозначности в определении функции (рис.4). Однако часть окружности, лежащая в нижней полуплоскости,

является графиком функции y = − 1 − x 2 , а другая ее часть, лежащая в верхней полуплоскости, - графиком функции y = 1 − x 2 . у 4!

y y1 = 1 − x 2

3!

-1

2! 1! 0

0

x

1

x

y2 = − 1 − x 2

1 2 3 4 Рисунок 3

x Рисунок 4 23

3.2 Способы задания функций

Задать функцию f - значит указать, как по каждому значению аргумента х находить соответствующее ему значение функции f(x). Существуют три основных способа задания функции: аналитический, табличный и графический. 1) А н а л и т и ч е с к и й с п о с о б. Этот способ состоит в том, что зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента. Пример 24. а) Формула y = x 2 задаёт функцию, область определения которой – числовая прямая (−∞; + ∞) , а множество значений – полупрямая [0,+∞ ) (рисунок 5 (а)). у у 1

0

х а)

Рисунок 5

-1

0

1

х

б)

б) Формула y = 1 − x 2 задаёт функцию, областью определения которой является отрезок [− 1,1] , а множеством значений отрезок - [0,1] (рисунок 5 (б)). в) Формула у=n! ставит в соответствие каждому натуральному числу (т.е. целому положительному числу) n число y = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n . Таким образом, формула y=n! задаёт функцию, область определения которой {1, 2, 3, ...n, ...}, а множество значений - {1!, 2!, 3!, ..., n!, ...} (рисунок 3). + 1, еcли х > 0,  г) y= sgn x =  0, если х = 0, − 1, если х < 0.  (Термин sgn происходит от латинского слова signum-знак.) Данная функция задана с помощью нескольких формул. Она определена на всей числовой прямой (− ∞, + ∞ ) , а множество её значений состоит из трёх чисел: -1, 0, +1 (рисунок 6). д) Функция Дирихле 1 , если х − рациональное число , y = 0 , если х − иррациональное число. 24

у 1

х

0 -1 Рисунок 6

Эта функция определена на всей числовой прямой (− ∞, + ∞ ) , а множество её значений состоит из двух чисел: 0 и 1. Функцию Дирихле изобразить графически не представляется возможным. 2)Т а б л и ч н ы й с п о с о б. Приведём следующую таблицу:

х у

0 -1

0,1 10

0,2 1

3 -2

0,6 -8

4 0,5

0,8 -2

1,5 5

2 7

Поставим в соответствие каждому х, записанному в первой строке таблицы, число у, стоящее во второй строке под этим числом х, и будем говорить, что полученная функция задана таблицей. Областью определения данной функции является множество, состоящее из девяти чисел х, перечисленных в первой строке таблицы, а множеством значений – множество, состоящее из девяти чисел у, перечисленных во второй её строке. С помощью таблицы можно задать функцию только при конечном числе значений аргумента. Таблицы часто используют для задания функций. Так, хорошо известны, например, таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и многие другие. Примером табличного способа задания функции может служить расписание движения поезда, которое определяет местоположение поезда в отдельные моменты времени. 3) Г р а ф и ч е с к и й с п о с о б. Графический способ задания функции обычно используют в практике физических измерений, когда соответствие между переменными х и у задаётся с помощью графика. Во многих случаях такие графики чертятся с помощью самопипишущих приборов. 3.3 Классификация функций Определение: Постоянная функция f(x)=C ,С=соnst, степенная функция x (α − любое число), показательная функция a x (0 < a ≠ 1) , логарифмическая α

25

функция log a x (0 < a ≠ 1), тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x и обратные тригонометрические функции: arcsin x, arcos x, arctg x, arcctg x называются простейшими элементарными функциями. Определение: Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также суперпозицией (или наложением) этих функций, составляют класс элементарных функций. Примерами элементарных функций являются:

f ( x) = x

( x = x 2 ); f ( x) = lg3 arctg 2 x + sin 3 x; f ( x) = lg sin 3 x − e arctg

x

и т. д. Классификация элементарных функций. Определение: Функция вида

P( x) = a 0 x m + a1 x m −1 + ... + a m −1 x + a m , где m ≥ 0 − целое число; a 0 , a1 , ..., a m - любые числа – коэффициенты (а 0 ≠ 0) , называется целой рациональной функцией или алгебраическим многочленом степени т. Многочлен первой степени называется также линейной функцией. Определение: Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций

R( x) =

a 0 x m + a1 x m −1 + ... + a m −1 x + a m b0 x n + b1 x n −1 + ... + bn −1 x + bn

,

называется дробно-рациональной функцией. Определение: Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырёх арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями и не являющаяся рациональной, называется иррациональной функцией. Например, f (x) = x, f (x) = x + x, f (x) = (5x2 + 4x − 7) /(3x2 − 8x + 4) + (5 x + x)3 и т. д. – иррациональные функции. Определение: Всякая функция, не являющаяся рациональной или иррациональной, называется трансцендентной функцией. Это, например, функции f ( x) = sin x, f ( x) = sin x + x и т. д.

26

4 Предел функции 4.1 Предел функции при x → x0

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Х и пусть точка x0 ∈ X . Возьмём из Х последовательность точек, отличных от x0 :

х1, х2, х3,…, хn,…,

(7)

сходящихся к x0 . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

f (х1), f (х2),f (х3),…, f (хn),…,

(8)

и можно ставить вопрос о существовании её предела. Определение: Число A называется пределом функции f ( x) в точке x = x0 (или при x → x0 ), если для любой сходящейся к x0 последовательности (7) значений аргумента х, отличных от х 0 , соответствующая последовательность (8) значений функции сходиться к числу А. Символически это записывается так: lim f ( x) = A. x → x0

Функция f (x) может иметь в точке x0 только один предел. Это следует из того, что последовательность { f ( x n )} имеет только один предел. Пример 25. а) Функция f ( x) = C , С = const , имеет предел в каждой точке x 0 числовой прямой. В самом деле, если (7) – любая последовательность, сходящаяся к x 0 , то последовательность (8) имеет вид C, C, C, …, C, …, т. е. f ( x n ) = C. Отсюда заключаем, что f ( xn ) → C при n → ∞ или lim f ( x) = C. x → x0

б) Функция f ( x) = x имеет в любой точке x 0 числовой прямой предел, равный x0 .В этом случае последовательности (7) и (8) тождественны, т.е. f(xn)=xn. Следовательно, если x n → x0 , то f ( xn ) → x0 при n → ∞ или lim f ( x) = lim x = f ( x 0 ) = x 0 . x → x0

x → x0

в) Функция f ( x) = sin(1 / x), определённая для всех x ≠ 0, в точке x = 0 не имеет предела. Действительно, возьмём две последовательности значений аргумента x : 1/π, 1/(2π), 1/(3π), ..., 1/(nπ), ..., и x : 2 / π, 2 /(5π), 2 /(9π), ..., 2 /[(4n − 3)π], ..., сходящиеся к нулю. Для них соответствующими последовательностями значений функции являются: 1  1   1   1  f  , f  , f  , ..., f  n ,... . Так как при любом 2 3 π π π n π         27

  2 (4n − 3)π  1   = sin f   = sin nπ = 0, а f  = 1, то для первой последова2  nπ   (4n − 3)π  тельности lim f ( x n ) = lim sin nπ = 0, а для второй последовательности n →∞

n →∞

(4n − 3)π = 1. Таким образом, для двух сходящихся к нулю n →∞ n →∞ 2 последовательностей значений аргумента x соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы. А это по определению предела функции и означает, что lim f ( x) не существует. lim f ( x n ) = lim sin

x →0 2

x + x −1 имеет в точке x=0 предел, равный 1. Дейстx −1 вительно, возьмём любую последовательность значений аргумента x, сходящуюся к нулю, т. е. lim x n = 0, и x n ≠ 0 тогда в силу теорем 7 - 9 имеем г) Функция f ( x) =

n →∞

xn ) 2 + lim xn − 1 x 2 n + xn − 1 ( nlim n→∞ lim f ( xn ) = lim = →∞ = 1. n→∞ n→∞ xn − 1 lim xn − 1 n→∞

Таким образом, существует lim f ( x n ) = 1, и так как он не зависит от выбора n →∞

последовательности {xn }, сходящейся к нулю, то на основании определения предела функции заключаем, что lim f ( x n ) = 1, сходящейся к нулю, то на осn →∞

новании определения предела функции заключаем, что lim f ( x) = 1. x →0

д) Функция Дирихле, значения которой в рациональных точках равны единице, а в иррациональных – нулю, не имеет предела ни в одной точке x0 числовой прямой. Действительно, для сходящейся к точке x0 последовательности рациональных значений аргумента предел соответствующей последовательности значений функции равен единице, а для сходящейся к точке x0 последовательности иррациональных значений аргумента предел соответствующей последовательности значений функции равен нулю. Существует другое определение предела функции. Определение: Число A называется пределом функции f (x) в точке x = x0 , если для любого числа ε > 0 существует число δ > 0 такое, что для всех х∈ X , x ≠ x0 , удовлетворяющих неравенству x − x0 < δ , выполняется неравенство f ( x) − A < ε. Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке ε − δ ». Теорема 13. Первое и второе определения предела функции эквивалентны.

28

4.2 Предел функции при x → x0 − и при x → x0 + , х →∞, при х → –∞, и при х → +∞. Определение: Число А называется правым (левым) пределом функции f (x) в точке x0 , если для любой сходящейся к x0 последовательности (7), элементы xn которой больше (меньше) x0 , соответствующая последовательность (8) сходится к А. Символическая запись: lim f ( x) = A , ( lim f ( x) = A ). x→ x0 +

x→ x0 −

В качестве примера можно рассмотреть функцию f ( x) = sgn x . Она имеет в точке х=0 правый и левый пределы: lim sgn x = 1 , lim sgn x = −1 . x→ x0 +

x→ x0 −

Действительно, если (7) –любая сходящаяся к нулю последовательность значений аргумента этой функции, элементы xn которой больше нуля ( xn >0), то sgn x n =1 и lim sgn x = 1 . Аналогично устанавливается, что lim sgn x = −1. x →0 +

x →0 −

Теорема 14. Функция f (x) имеет в точке x0 предел тогда и тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам. Определение: Число А называется пределом функции f (x) при x → ∞ , если для любой бесконечно большой последовательности (7) значений аргумента соответствующая последовательность значений функции (8) сходится к А. Символическая запись: lim f ( x) = A . x →∞

Определение: Число А называется пределом функции f (x) при x → +∞ ( x → −∞) , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы xn которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А. Символическая запись: lim f ( x) = A ( lim f ( x) = A) . x→+∞

x → −∞

1 имеет предел при x → ∞ , равный нулю. x Действительно, если {xn } − бесконечно большая последовательность значений аргумента, то соответствующая последовательность значений функции: 1 / x1 , 1 / x2 , …1 / xn , … является бесконечно малой и поэтому имеет предел, равный нулю, т. е. lim (1 / x) = 0 (рисунок 7) . Пример 26. Функция f ( x ) =

x →∞

29

у

х

0

Рисунок 7 4.3 Бесконечно малые и бесконечно большие функции 4.3.1 Бесконечно малые функции Определение: Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке х=х0 (или при x → x0 ), если lim f ( x) = 0 . x → x0

Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞ , x → +∞ , x → −∞ , x → x 0 − , x → x0 + . Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε − δ ». Определение: Функция f(x) называется бесконечно малой в точке х=х0, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x ∈ X , x ≠ x 0 , удов-

летворяющих неравенству x − x0 < δ, выполняется неравенство f ( x) < ε; или с помощью логических символов: (∀ε > 0 ) (∃δ > 0) (∀x ∈ X , x ≠ x 0 , x − x 0 < δ ) : f ( x) < ε ; Можно определеить бесконечно малую функцию и «на языке последовательностей»: Определение: Функция f(x) называется бесконечно малой в точке х=х0, если для любой сходящейся к х0 последовательности (7) значений аргумента хn отличных от х0, соответствующая последовательность (8) является бесконечно малой. Определение: Функция y=f(x) называется бесконечно малой при х → а или при х → ∞ , если lim f ( x) = 0 или lim f ( x) = 0 , т.е. бесконечно малая x→a

x →∞

функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Пример 27. а) Функция f(x)=(x–1)2 является бесконечно малой при х → 1 , т.к. lim f ( x) = lim( x − 1)2 = 0 (см. рисунок 8) x →1

30

x →1

б) Функция f(x)=tgx – бесконечно малая при х → 0 . в) f(x)=ln(1+x) - бесконечно малая при х → 0 .

г) f(x)=1/x – бесконечно малая при х → ∞ . у

1 0

х

1 Рисунок 8

Теорема 15. Если функция у=f(x) представимa при х → а в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α ( х) : f ( x) = b + α ( x) то lim f ( x) = b . x→a

Обратно, если lim f ( x) = b , то f ( x) = b + α( x) , где α(х) - бесконечно маx→a

лая при х → а . Д о к а з а т е л ь с т в о: 1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f ( x) = b + α ( x) следует f ( x) − b = α ( х) . Но т.к. α(х) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки а, при всех х из которой значения α(х) удовлетворяют соотношению α (х) < ε . Тогда f ( x) − b < ε . А это и значит, что lim f ( x) = b . x→a

2. Если lim f ( x) = b , то при любом ε >0 для всех х из некоторой δ – окx→a

рестности точки а будет f ( x) − b < ε . Но если обозначим f(x)-b=a, то α (х) < ε , а это значит, что α(х) – бесконечно малая.Ч.т.д. 4.3.1.1 Свойства бесконечно малых функций Теорема 16. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая. Д о к а з а т е л ь с т в о: Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x) = α(x)+β(x), где lim α ( x ) = 0 и lim β( x ) = 0 . Нам нужно доказать, что x→a

x→a

при произвольном, как угодно малом ε > 0 найдется δ > 0, такое, что для х, удовлетворяющих неравенству |x-а| < δ, выполняется |f(x)| < ε . Итак, зафиксируем произвольное число ε < 0. Так как по условию теоремы α(х) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1 > 0, что при х − а < δ1 имеем |α (х)| < ε /2. Аналогично, так как β(х) – бесконечно малая, то найдется такое δ2 > 0, что при |х-а| < δ2 имеем |β(х)| < ε /2. 31

Возьмем δ = min{δ1,δ2}. Тогда в окрестности точки а радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств | α(х)|< ε /2 и |β(х)|< ε /2. Следовательно, в этой окрестности будет f ( x ) = α ( x ) + β ( x ) ≤ α ( x ) + β ( x ) < ε / 2 + ε / 2 = ε , т.е. f ( x ) < ε , что и требовалось доказать. Ч.т.д. Теорема 17. Произведение бесконечно малой функции α(х) на ограниченную функцию f(x) при х → а (или при х → ∞ ) есть бесконечно малая функция. Д о к а з а т е л ь с т в о: Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях х из некоторой окрестности точки а|ƒ(х)| ≤ М. Кроме того, так как α(х) – бесконечно малая функция при х→а, то для произвольного ε > 0 найдется окрестность точки а, в которой будет выполнятся неравенство |a(х)| < ε /M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем α ( х) ⋅ f ( х) < ε / M = ε . А это и значит, что α(х) · f(x) – бесконечно малая. Для случая х→∞ доказательство проводится аналогично. Ч.т.д. Из доказанной теоремы вытекают: Следствие 1. Если lim α ( x ) = 0 и lim β( x ) = 0 , то lim αβ = 0 . x→a

x→a

x→a

Следствие 2. Если lim α ( x ) = 0 и c = const, то lim ca( x ) = 0 . x→a

x→a

Теорема 18. Отношение бесконечно малой функции α(х) к функции f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция. Д о к а з а т е л ь с т в о : Пусть limα( x) = 0 , lim f ( x) = b ≠ 0 . x→a

x→a

α (х ) 1 1 = α (x ) есть ограниченная функция. Поэтому дробь f (x ) f (x ) f (x ) есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая. Ч.т.д. Теорема 19. Для выполнения равенства lim f ( x) = A необходимо и Тогда

x → x0

достаточно, чтобы функция α( x) = f ( x) − A была бесконечно малой при x → x0 . Д о к а з а т е л ь с т в о: Необходимость. Пусть lim f ( x) = A . Расx → x0

смотрим разность f ( x) − A = α( x) и покажем, что α(x) - бесконечно малая функция при x → x0 . Действительно, пределы f(x) и А при x → x0 равны А, и поэтому в силу теоремы 1 (пункт 5)

limα(x) = lim( f (x) − A) = lim f (x) − lim A = A − A = 0.

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

Достаточность. Пусть f ( x) − A = α( x) , где α(x) - бесконечно малая функция при x → x0 . Покажем, что lim f ( x) = A .Так как f ( x) = A + α( x), то x → x0

lim f ( x) = lim ( A + α( x)) = lim A + lim α( x) = A + 0 = A .

x → x0

32

x → x0

x → x0

x → x0

Из данной теоремы получаем специальное представление для функции, имеющей в точке х=х0 предел, равный А: f ( x) = A + α( x), где lim α( x) = 0 . x → x0

При этом обычно говорят, что функция f(x) в окрестности точки х0 отличается от А на бесконечно малую функцию. Ч.т.д. Теорема 20. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x0 , являются бесконечно малыми функциями при x → x0 . Всё сказанное о бесконечно малых функциях при x → x0 справедливо и для бесконечно малых функций при x → ∞, x → +∞, x → −∞, x → x0 −, x → x0 + . 4.3.2 Бесконечно большие функции Определение: Функция f(x) называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в точке х=х0 (или при x → x0 ), если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x ∈ X , x ≠ x0 , удовлетворяющих неравенству x − x0 < δ, выполняется неравенство f ( x) > ε. В этом случае пишут lim f ( x) = ∞ и говорят, что функция стремится к x→ x0

бесконечности при x → x0 , или что она имеет бесконечный предел в точке х=х0. Если же выполняется неравенство f (x) > ε ( f ( x) < −ε ) , то пишут lim f ( x) = +∞ ( lim f ( x) = −∞ ) и говорят, что функция имеет в точке х0 бесx→ x0

x→ x0

конечный предел, равный + ∞ (−∞ ) . Используя логические символы, определение можно записать в виде (∀ε > 0 ) (∃δ > 0) (∀x ∈ X , x ≠ x 0 , x − x 0 < δ ) : f ( x) > ε . По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и бесконечные односторонние пределы:

lim f ( x) = +∞ , lim f ( x) = −∞ , lim f ( x) = +∞, lim f ( x) = −∞. x→x0 +

x→x0 +

x→x0 −

x→x0 −

Аналогично определяются бесконечно большие функции при x → ∞, x → +∞ и x → −∞ . Определение: Функция f (x) называется бесконечно большой при x → ∞, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x ∈ X , удовлетворяющих неравенству x > δ, выполняется неравенство f ( x) > ε . При этом пишут lim f ( x) = ∞ . x →∞

Символическая запись определения бесконечно большой функции при x → ∞: 33

(∀ε > 0 ) (∃δ > 0) (∀x ∈ X ,

x > δ ) : f ( x) > ε .

В заключении скажем, что между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует такая же связь, как и между соответствующими последовательностями, т. е. функция, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и наоборот. 4.3.3 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Было показано, что сумма, разность и произведение бесконечно малых функций являются бесконечно малыми функциями. Этого, вообще говоря нельзя сказать о частном: деление одной бесконечно малой на другую может привести к различным результатам. Так, например, если α( x) = x , β( x) = 2 x , x α( x) 1 то lim = = lim x →0 2 x x→0 β( x) 2 1 α( x) β( x) Если же α( x) = x , β( x) = x 2 , то lim = lim = ∞ , lim = lim x = 0 . x →0 x x →0 x → 0 β( x ) x →0 α( x) Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций. Пусть при x → x0 функции α(x) и β(x) являются бесконечно малыми. Тогда: α( x) = 0, то α(x) - бесконечно малая более высокого поряд1) если lim x → x0 β( x ) ка, чем β(x) (говорят также, что α(x) имеет более высокий порядок малости, чем β(x) ; при x → x0 ); α ( x) 2) если lim = A ≠ 0 (А – число), то α(x) и β(x) - бесконечно малые x → x0 β( x ) одного порядка; α( x) = 1, то α(x) и β(x) - эквивалентные бесконечно ма3) если lim x → x0 β( x ) лые. Эквивалентность обозначается так: α(x) ~ β(x) . α( x) 4) если lim n = A ≠ 0, то α(x) − бесконечно малая n − го порядка x → x0 β ( x ) относительно β(x). Существуют аналогичные правила для сравнения бесконечно малых функций при x → ∞, x → −∞, x → +∞, а также при x → x0 справа и слева.

34

4.3.4 Соотношение между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями Теорема 21. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a 1 является бесконечно малой при x→a. то функция у = f (x ) Д о к а з а т е л ь с т в о : Возьмем произвольное число ε >0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε ) при всех х, для которых |х-а|<δ, вы1 1 < ε , а это и будет означать, что функция – полняется неравенство f (x ) f (x ) бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при х→а, то найдется δ>0 такое, что как только |х-а|< ε , так 1 < ε . Ч.т.д. |ƒ(х)|>1/ ε . Но тогда для тех же х f (x ) Пример 28. а) Ясно, что при x→+∞ функция у = х2+1 является бесконечно большой. 1 - бесНо тогда согласно сформулированной выше теореме функция у = 2 х +1 1 конечно малая при x→+∞, т.е. lim 2 = 0. x →∞ x + 1 1 б) lim e − x = lim x = 0 . x → +∞ x → +∞ e Теорема 22. Если функция f(x) – бесконечно малая при x→a (или х→∞) 1 является бесконечно большой функцией. и не обращается в нуль, то у = f (x ) Пример 29. 1 а) lim = ∞ . x →0 x sin x 1 б) lim = lim sin x =0 x →∞ x x →∞ x 6 1  6 1  в) lim  5 − + 2  = 5 , так как функции – и 2 являются произведеx →∞ x x  x x нием постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 21 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство. Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: А А А≠0: А·∞ = ∞, = ∞, ∞ + А = ∞, +∞+∞=∞, = 0 . 0 ∞ 35

5 Теоремы о пределах функции Теорема 23. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е. lim ( f ( x ) + g ( x )) = lim f ( x ) + lim g ( x ) . x→a

x →a

x →a

Д о к а з а т е л ь с т в о: Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно производится также. Пусть lim f ( x) = b, lim g ( x) = c . Тогда f ( x) = b + α ( x) и g ( x) = c + β ( x), где α и β – x→a

x →a

бесконечно малые функции. Следовательно, f ( x) + g ( x) = (b + c ) + (α ( x) + β ( x) ). Так как b + с есть постоянная величина, а α(х) + β(х) – функция бесконечно малая, то lim ( f ( x ) + g ( x )) = b + c = lim f ( x ) + lim g ( x ) . Ч.т.д.

x→a

x →a

x 2 + 2x

Пример 30. lim

x →∞

x2

x→a

2 2  = lim 1 +  = lim 1+ lim = 1 + 0 = 1 . x →∞ x  x →∞ x →∞ x

Теорема 24. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций: lim ( f ( x ) ⋅ g ( x )) = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) . x→a

x→a

x→a

Д о к а з а т е л ь с т в о : Пусть lim f (x) = b, lim g(x) = c . Следовательно, x→a

x→a

f ( x ) = b + α ( x ) и g ( x ) = c + β( x ) и fg = (b + α )(c + β ) = bc + (bβ + cα + αβ ) . Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + cα + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому lim ( f ( x ) ⋅ g ( x )) = b ⋅ c = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) . Ч.т.д. x→a

x →a

x→a

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: lim c ⋅ f ( x ) = c ⋅ lim f ( x ). x→a

x →a

Следствие 2. Предел степени равен степени предела: lim ( f ( x ))

x→a

п

=  lim f ( x )  x →a 

п

Пример 31. lim 5 x 3 = 5 lim x 3 = 5 ⋅ 8 = 40 . x→2

x →2

Теорема 25. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. 36

lim f ( x) f ( x) x→a lim = , если lim g ( x) ≠ 0 . x →a g ( x) x→a lim g ( x) x →a

Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть lim f (x) = b, lim g(x) = c ≠ 0 . x→a

x→a

Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α(х), β(х) – бесконечно малые. f ( x) b + α ( х) b  b + α ( х) b  b cα ( х) − bβ ( х) Рассмотрим частное = = + − = + . g ( x) c + β ( х) c  c + β ( х) c  c c(c + β ( х)) cα ( х) − bβ ( х) является бесконечно малой функцией, так как числитель Дробь c(c + β ( х)) есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c 2 ≠ 0 . Ч.т.д. Пример 32. lim(3 x + 5) 3 lim x + 5 3 x + 5 x →1 3 ⋅1 + 5 8 = = x→1 = = = 4. а) lim x →1 4 x − 2 lim(4 x − 2) 4 lim x − 2 4 ⋅ 1 − 2 2 x →1

б) lim

x→2

x−2 2+ x

=

lim ( x − 2)

x →2

lim 2 + x

x →1

= 0.

x →2

x . При х→1 числитель дроби стремится к 1, а знаx →1 x − 1 lim( x − 1) х −1 х − 1 x →1 менатель стремится к 0. Но так как lim = = 0 , т.е. есть бесx →1 х lim x х в) Рассмотрим lim

x →1

x =∞. x →1 x − 1 Теорема 26. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x) удовлетворяющие неравенствам u ( x) ≤ f ( x) ≤ v( x) . Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при х→а (или х→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если lim u ( x) = lim v( x) = b , то lim f ( x) = b . Смысл этой теоремы понятен из конечно малая функция при х→1, то lim

x→a

рисунка 9.

x →a

x→a

у

b

f(x)

v(x) u(x) х

0 Рисунок 9

37

Теорема 27. Если при при х→а (или х→∞) функция y = f(x) принимает неотрицательные значения у ≥ 0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b ≥ 0 . Д о к а з а т е л ь с т в о: Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b < 0, тогда y − b ≥ b , и следовательно, модуль разности не стремится к нулю при х→а. Но тогда у не стремится к пределу b при х→а, что противоречит условию теоремы. Ч.т.д. Теорема 28. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента f ( x) ≥ g ( x) и имеют пределы х удовлетворяют неравенству lim f ( x) = b, lim g ( x) = c , то имеет место неравенство b ≥ c. x→a

x →a

Д о к а з а т е л ь с т в о: По условию теоремы f ( x) − g ( x) ≥ 0 , следовательно, по теореме 5 lim ( f ( x) − g ( x) ) ≥ 0 или lim f ( x) − lim g ( x) ≥ 0 . Ч.т.д. x→a

x→a

x→a

5.1 Односторонние пределы

До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда х→а произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располагались значения х по отношению к а – слева или справа. Однако, довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если х→а, оставаясь с одной стороны от а, слева или справа. Поэтому вводят понятия односторонних пределов. у

0

а

х

Рисунок 10 Определение: Если f(x) стремится к пределу b при х, стремящимся к некоторому числу а, так, что х принимает только значения, меньшие а, то пишут lim f ( x) = b и называют b пределом функции f(x) в точке а слева. x→a −0

Таким образом, число b называется пределом функции у=f(x) при х→а слева, если каково бы ни было положительное число ε , найдется такое число δ (меньшее а), что для всех х ∈ (δ, а ) выполняется неравенство f ( x) − b < ε . Определение: Если х→а и принимает значения, большие а, то пишут lim f ( x) = b и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b x→a + 0

называется пределом функции у=f(x) при х→а справа, если каково бы ни было 38

положительное число ε, найдется такое число δ (большее а), что для всех х ∈ (а, δ ) выполняется неравенство f ( x) − b < ε . Заметим, что если пределы слева и справа в точке а, для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а. Пример 33. а) Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0,1] следую x − 1, при 0 ≤ x < 3, (См. рисунок 11.) щим образом f ( x) =  3 x , при 3 x 4 . − ≤ ≤  у 210 1 2 3 4 -1-

х

Рисунок 11 Найдем пределы lim f ( x) = lim ( x − 1) = 2,

x →3 − 0

x → 3− 0

функции f(x) при х→3. lim f ( x) = lim (3 − x) = 0 .

x →3+ 0

Очевидно,

x →3 + 0

1 1 1     б) lim 1 + 2 x  =  x → 0 − 0 ⇒ → −∞ ⇒ 2 x → 0 = 1 , x →0 − 0 x    1 1 1     lim 1 + 2 x  =  x → 0 + 0 ⇒ → +∞ ⇒ 2 x → +∞  = +∞ . x →0 + 0 x    1 1   в) lim 8 5− x =  x → 5 − 0 ( x < 5) ⇒ 5 − x → 0 + 0 ⇒ → +∞  = +∞ . x →5 − 0 5− x   1  x → −2 − 0 ( х < −2) ⇒ x 2 → 4 + 0 ( x 2 > 4) ⇒ 2  1  х −4   = 0. = г) lim   1 2  x → −2 − 0 3  ⇒ x −4→0+0⇒ 2 → +∞   x −4

39

6 Замечательные пределы 6.1 Первый замечательный предел

sin x = 1. x →0 x Рассмотрим дугу окружности радиуса R=1 с центральным углом, радианная мера которого равна x (0<x< π / 2 ) (рисунок 12) . Т Докажем, что lim

М

х

0

К

А

Рисунок 12 Тогда ОА=1, sin x =MK, tgx= AT.

(9)

Очевидно, что площадь треугольника ОАМ меньше площади сектора ОАМ, которая меньше площади треугольника ОАТ, или, что то же самое, (1/2) ∪

OA ⋅ MK <(1/2) OA ⋅ AM <(1/2) OA ⋅ AT . Принимая во внимание равенства (9), последнее соотношение можно записать в виде (1/2) sin x<(1/2) x <(1/2) tg x, откуда получаем sin x< x< tg x . (10) Разделив эти неравенства на sin x,получим 1 <

x 1 < , или sin x cos x

sin x < 1. x sin x Так как функции cos x и – чётные, то полученные неравенства x π справедливы и при − < x < 0. Переходя к пределу при x → 0 , получим 2 lim 1 = 1, lim cos x = 1 . На основании признака существования предела промеcos x <

x →0

40

x →0

sin x sin x не определена при х=0, так как = 1. Функция x →0 x x числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке. Пример 34. sin 5 x  0  5 sin 5 x а) lim =   = lim = 5 ⋅1 = 5 . x →0 x → 0 0 5 x x   жуточной функции lim

б) lim

x→0

tg 2 x2

x 2

2 x

sin 2 0 =   = lim 2  0  x→0 x cos 2

2 sin 1 − cos x  0  =   = lim в) lim x→0 x  0  x →0 x

x 2

=

2 x 2

1 sin x lim 2 x 2 x →0 2

= lim

sin 2x x 2

x →0

⋅

1 sin x 2 2 x 2

sin

⋅

1 cos 2

x 2

=

1 1 1 ⋅ ⋅1 = . 2 2 4

x x = lim sin = 0 . 2 x →0 2

x2 − 4 ( x − 2)( x + 2) 0 = lim ( x + 2) = 4 . =   = lim x→2 sin( x − 2) x →2  0  x→2 sin( x − 2)

г) lim

(1 − 1 − x )(1 + 1 − x ) x 1− 1− x 0 = lim = =   = lim x→0 sin 4 x x→0 (1 + 1 − x ) sin 4 x  0  x→0 (1 + 1 − x ) sin 4 x 4x 1 1 1 = lim = = . x→0 sin 4 x 4(1 + 1 − x ) 4(1 + 1) 8

д) lim

6.2 Второй замечательный предел Определение: Числом е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности

1  e = lim 1 +  n →∞ n

n

e ≈ 2,718281...., т.е. число е - иррациональное число. x

Можно показать, что функция y = 1 + 1  при x → +∞ и при x → −∞ , x  где х, в отличие от натурального числа n, «пробегает» все значения числовой оси (не только целые) имеет предел, равный числу е: x

 1 e = lim 1 +  . x →∞  x 41

Число е (число Эйлера, неперово число) играет весьма важную роль в математическом анализе. График функции y = e x получил название экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию е, называемые натуральными: log e x = ln x . К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т. п. Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составил Q0 денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р% годовых. Необходимо найти размер вклада Qt через t лет. При использовании простых процентов размер вклада будет ежегодно p увеличиваться на одну и ту же величину т.е. Q0 , 100 pt  2p  p     Q1= Q0 1 +  . На практике значительно  , Q2= Q0 1 +  , ....., Qt = Q0 1 +  100   100   100  чаще применяются сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число 1 + p  раз, т. е.  100  t

2

p  p p    Q1 = Q0 (1 + ), Q2= Q0 1 +  .  , ..., Q1= Q0 1 + 100 100  100   

Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а n раз, то при том же ежегодном приросте p% процент начисления за 1 - ю часть года соn ставит p %, а размер вклада за t лет при nt начислениях составит n nt p   Qt = Q0 1 +  .  100n  Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие день (n = 2) , ежеквартально (n = 4) , ежемесячно (n = 12) , каждый (n = 365) , каждый час (n = 8760) и т.д., непрерывно (n → ∞) . Тогда размер вклада за t лет составит p   Qt = lim Q0 1 +  n →∞  100n 

nt

или с учётом при x = 100n → ∞ p 42

100 n   p  p   = Q0 lim 1 +    100n  n→∞   

pt 100

Qt = Q0

pt 100 e .

Последняя формула выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при p>0) или убывания (при р <0). Она может быть использована при непрерывном начислении процентов. Чтобы почувствовать результаты расчетов в зависимости от способа начисления процентов, в таблице в качестве примера приводятся размеры вкладов Qt, вычисленные при Q0=1 ден.ед., p=5%, t=20 лет. Формула Формула Формула сложных процентов простых непрерывного процентов начисления n=1 n=2 n=4 n=12 n=365 процентов Размер 2,6355 2,6851 2,7015 2,7126 2,7181 вклада, 2,0000 2,7182 ден. ед Пример 35. 1  а) lim 1 +  n → ∞ n

n+5

[ ] ∞

=1

[ ]

n

5

1  1  = lim 1 +  ⋅ 1 +  = e ⋅ 1 = e . n →∞ n  n 3

3 1 б) lim (1 + x ) x = 1∞ = lim  (1 + x ) x  = e 3 .  x →0 x → 0

[ ]

x

2  в) lim 1 +  = 1∞ x →∞ x 3 x

[ ]

4  г) lim 1 +  = 1∞ x → ∞ x д) lim (2 x − 3)

1 x−2

x →2

 x + 3 е) lim  x→∞ x −1 

x+3

2

x  2  2   = lim  1 +   = e 2 . x →∞   x   

4

x 3  4 4  4   = lim  1 +   = e 3 . x →∞   x   

[ ] = lim (1 + 2 x − 4) ∞

=1

[ ]

x→2

 x −1+ 4  = 1∞ = lim  x→∞ x −1 

x+3

1 ⋅ 2 x −4 2 x−4 x −2

= lim e

2( x −2) x−2

x→2

4   = lim1+  x→∞ x −1

x−1 4( x+3) ⋅ 4 x−1

= e2 .

= lim e x→∞

4 x+12 x−1

= e4 .

43

7 Типы неопределенностей и способы их раскрытия Часто при вычислении пределов какой-либо функции непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применить эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. 0 ∞ Условные выражения , , 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞, 1∞ , 0 0 , ∞ 0 0 ∞ характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей. 0 I. Неопределенность . 0 Пример 36. ( x − 1)( x 2 + x + 1) x3 − 1 x2 + x + 1 3 0 lim 2 = lim = = 1. =  = lim x →1 2 x − x − 1  x →1 2 x + 1 3  0  x →1 2( x − 1)(x + 12 ) Пример 37. x3 − 6x2 +11x − 6 0 (x −1)(x2 − 5x + 6) x2 − 5x + 6 lim =   = lim = lim = lim(x − 3) = −2. x→1 x→1 x→1 x −2 x2 − 3x + 2 0 x→1 (x −1)(x − 2)

При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число х=1 является корнем многочлена х3-6х2+11х-6, то при делении получим х 3 − 6 х 2 + 11 х − 6 −

х −1 х 2 − 5х + 6

х3 − х2 − 5 х 2 + 11 х − 6 −

− 5х 2 + 5х 6х − 6 −

6х − 6 0

Пример 38.

lim

x→7

44

(

)(

)

2+ х −3 0 2+ х −3 2+ х +3 2+ х −9 1 1 =lim =lim = . = =lim х −7 0 x→7 (х −7) 2+ х +3 x→7 (х −7) 2+ х +3 x→7 2+ x +3 6

(

)

(

)

Пример 39.

(х

2

2

х − 64  0  =  = lim x→8 8 3 х − 2   0  x→8 8 3

lim

= lim

(

)

(

( х − 8 )(х + 8 ) (3

х

) ( х)

− 64   х − 2  

) (3 х )2

)2 + 23 х + 4 

 8( х − 8 )

x→8

2

3

=

+ 2 3 х + 4  = + 2 3 х + 4  

16 ⋅ 12 = 24 . 8

Пример 40.

2 sin 2 (3 x 2 ) sin (3 x 2 ) 1 − cos 3x  0  lim =   = lim = lim = 0. x →0 sin 3 x  0  x →0 2 sin (3 x 2 ) cos(3 x 2 ) x →0 cos(3 x 2 )

II. Неопределенность Пример 41.

∞ . ∞

3 − 53 ∞  x lim 4 =   = lim 2 1 x →∞ x + x − 2  ∞  x →∞ 1 + 2 − 3x 4 − 5 x

x

2 x4

=

3−0 = 3. 1+ 0 − 0

При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на х в старшей степени. Пример 42. 1 − 2 + 1 0−0+0 ∞  x5 х2 х4 = = = = 0. lim 5 lim  ∞  x →∞ 1 + 3 − 2 x →∞ х + 3 х 3 − 2 х 1 + 0 − 0 2 4

1 − 2х 3 + х

x

x

Пример 43.

1 − 1x + 32 x 2 − x + 3 ∞  1 − 0 + 0  =   = lim 1 2 х =  = ∞. lim x →∞ x+2  ∞  x →∞ x + 2  0 + 0  x

Пример 44.

1 + 2− 1 + 2х − 1 ∞  х =   = lim lim x →∞ x−5 1 − 5x  ∞  x →∞ 2

1 х2

0 + 2 − 0  =  =− 2.  1− 0 

При вычислении предела воспользовались равенством х 2 = − х , если x<0. Следующие виды неопределенностей с помощью алгебраических преобразований функции, стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотрен0 ∞ ных выше случаев или . 0 ∞ III. Неопределенность 0·∞. 45

Пример 45.

2 sin x ⋅ cos x ⋅ cos x  0  =   = lim 2 cos 2 x = 2 . x →π sin x  0  x→π

lim sin 2 x ⋅ ctgx = [0 ⋅ ∞] = lim

x→π

IV. Неопределенность ∞ –∞. Пример 46.

(

lim х − х

x → +∞

= lim

x → +∞

2

(х − + 5 х ) = [∞ − ∞] = lim x → +∞

(х +

−5 ∞  =   = lim х + х 2 + 5 х  ∞  x →+∞ 1 + 1 +

(

− 5х

)

)(

х 2 + 5х х + х 2 + 5х

(

5 x

х 2 + 5х

)

=

)

)=

−5 = −2,5. 1+1

Пример 47.  3 −1− x − x2 1  3 1   3   [ ] lim lim = lim = − = ∞ − ∞ = −  2 2  x→11 − x3 1 − x  x→1 x → 1 1 − x (1− x) 1+ x + x   (1− x) 1+ x + x

(

= lim x→1

2 − x − x2

(1− x)(1+ x + x

2

Пример 48.

lim

x → −∞

(x

2

)

= lim x→1

Р е ш е н и е.

lim

(x

(1− x)(1+ x + x

2

)

= lim

(x + 2)

x→1 1 + x + x2

)

=1

)

x →+∞

x →+∞

− ( x −1)( x + 2)

(

+ 1 − x = [∞ + ∞] = ∞ .

Пример 49. Найти lim

2

)

(x

2

)

)

+ 4x − x .

+ 4 x − x = [∞ − ∞ ] = lim

x →+∞

(x

2

)

+ 4x − x ⋅

( x 2 + 4 x + x) ( x 2 + 4 x + x)

=

    2 2   x + 4x − x 4x 4x ∞  = lim =   = lim  = lim = 2 2 x →+∞ x →+∞ x → +∞ ∞   ( x + 4 x + x)   ( x + 4 x + x)  x 1 + 4 + 1     x   

(

)

2

    4 4 = = lim  =2  x →+∞ 4 1+ 0 +1  1 + + 1 x   Пример 50. Найти lim

x →+∞

46

(x

2

)

+ 3x + 1 − x 2 − 3x − 4 .

Р е ш е н и е.

)

(

lim x 2 + 3x +1 − x 2 − 3x − 4 = [∞ − ∞] =

x→+∞

( x + 3x +1 + x −3x − 4) = = lim ( x + 3x +1 − x − 3x − 4 )⋅ ( x + 3x +1 + x −3x − 4) ( x + 3x +1) − ( x −3x − 4) = lim (x + 3x +1) − (x −3x − 4) = = lim ( x + 3x +1 + x −3x − 4) ( x + 3x +1 + x −3x − 4) (6x + 5) : x 6x + 5  ∞ = lim =   = lim = ∞ ( x + 3x +1 + x −3x − 4)   ( x + 3x +1 + x −3x − 4): x 2

2

x→+∞

2

2

x→+∞

x→+∞

= lim

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x→+∞

x→+∞

2

5  6 +  x 

 x 2 + 3x + 1 x 2 − 3 x + 4   + 2   x x2   6+0 6 = = = 3. 1+ 0 + 1+ 0 2 x → +∞

2

=

 lim  x → +∞

2

2

2

2

2

5  lim  6 +  x → +∞ x = 3 1 3 4  1 + + 2 + 1 − + 2  x x x x 

47

8 Понятие непрерывности функции Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если предел функции и её значение в этой точке равны, т. е.

lim f ( x) = f ( x0 ).

x → x0

(11)

Другими словами: Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 , если она удовлетворяет следующим трём условиям: 1) определена в точке x0 (т. е. существует f ( x0 ) ); 2) имеет конечный предел при х → х 0 lim f ( x) ; x→ x0

3) этот предел равен значению функции в точке x 0 , т. е. lim f ( x) = f ( x0 ).

x → x0

Так как lim x = x 0 , то соотношение (11) можно записать в виде: x → x0

  lim f ( x ) = f  lim x  x → x0  x → x0  т.е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела. Можно привести равносильное определение непрерывности функции «на языке последовательностей»: функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если для любой последовательности значений аргумента х: х1, х2, х3, …, хn, …, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции: f(х1), f(х2), f(х3), …, f(хn), … сходится к f(х0). Сформулируем определение непрерывности функции «на языке ε − δ ». Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству x − x0 < δ, выполняется неравенство f ( x) − f ( x0 < ε. Данные определения эквивалентны следующей записи, использующие логические символы: (∀ε > 0) ( ∃δ > 0 ) (∀x ∈ X , x − x0 < δ) : f ( x) − f ( x0 < ε.   Если lim f ( x) = f ( x0 )  lim f ( x) = f ( x0 ) , то функцию f(x) называют x → x0 +  x → x0 −  непрерывной в точке х0 справа (слева). Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и слева и справа, то она непрерывна в этой точке. Можно привести еще одно определение непрерывности функции, которое является перефразировкой первого определения. Так как условия x → x0 и x − x0 → 0 равносильны, то получаем 48

lim [ f ( x) − f ( x0 )] = 0

(12)

x − x0 → 0

Определение: Разность х-х0 называется приращением аргумента х в точке х0 и обозначается, как правило, ∆х, а разность f(x) - f(x0) – приращением функции в точке х0, вызванным приращением аргумента ∆х, и обозначается ∆у. Таким образом,

∆х=х-х0, ∆у= f(x)-f(x0). При фиксированной точке х0 ∆у является функцией аргумента ∆х. Геометрический смысл приращений ясен из рисунке13. Равенство (12) в новых обозначениях принимает вид lim ∆y = 0

(13)

∆x → 0

Соотношение (13) является ещё одним определением непрерывности функции, которое можно сформулировать так. Определение: Функция называется непрерывной в точке х0, если её приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при ∆x → 0. Последнее определение для практического использования бывает иногда более удобным, и им довольно часто пользуются. у

y=f(x)

f(x0+∆x)

∆у = f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) f(x0) 0

∆х

x0

x0+∆x

х

Рисунок 13 Теорема 29. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0.. Тогда f ( x) функции f ( x) ± g ( x) , f ( x) ⋅ g ( x) и также непрерывны в этой точке (поg ( x) следняя при g ( x) ≠ 0 ). ( Без доказательства)

49

9 Непрерывность некоторых элементарных функций 9.1 Непрерывность рациональных функций

Простейшим примером функции, непрерывной в любой точке x0 числовой прямой, может служить постоянная функция f ( x) = C. Действительно, в этом случае lim f ( x) = C = f ( x 0 ), т.е. постоянная функция непрерывна в кажx → x0

дой точке числовой прямой. Непрерывна также в каждой точке x 0 числовой прямой функция f ( x) = x, так как lim x = x0 = f ( x0 ), т.е. предел функции в точке x0 равен её x → x0

значению в этой точке. Из сказанного и теоремы следует, что в любой точке x 0 функции x2 = x ⋅ x, x3 = x2 ⋅ x, x4 = x3 ⋅ x, ...., xn = xn−1 ⋅ x (n –натуральное число) непрерывны. Как известно, функция f ( x) = x n называется степенной, а функция вида P( x) = C 0 x n + C1 x n −1 + C 2 x n −2 + ... + C n −1 x + C n , где n ≥ 0 - целое число; С 0 , С1 , С 2 , ..., С n − любые числа, - алгебраическим многочленом. Каждое из слагаемых C 0 x n , C1 x n −1 , C 2 x n − 2 ,..., C n −1 x, C n есть произведение двух непрерывных функций (постоянной и степенной). По теореме (п. 8) оно непрерывно в любой точке x. Многочлен Р(х) является, таким образом, суммой функций, непрерывных в любой точке x, и, следовательно, непрерывен в любой точке x∈ R . Дробно-рациональная функция, т. е. функция вида R( x) =

P ( x) , Q( x)

где P(x) и Q(x) - алгебраические многочлены, непрерывна во всех таких точках x, в которых её знаменатель не равен нулю (т. е. во всех точках, за исключением корней знаменателя), как частное непрерывных функций. Например, функция R( x) = (3x 2 + 7 x − 1) /( x 2 − 1) непрерывна во всех точках х, отличных от - 1 и +1. 9.2 Непрерывность тригонометрических функций

Рассмотрим тригонометрические функции sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x, cosec x. Покажем, что функция sin x непрерывна в любой точке х. Воспользу-

50

емся последним определением непрерывности функции. Задав аргументу х приращение ∆x , получим приращение функции ∆x ∆x ∆y = sin ( x + ∆x) − sin x , или ∆y = 2 cos( x + ) sin . 2 2 Переходя к пределу в левой части равенства при ∆x → 0 , получаем ∆x ∆x   lim ∆y = 2 lim cos( x + ) sin  = 0 , ∆x →0 ∆х →0  2 2 так как cos( x + ∆x / 2) ≤ 1, lim sin ∆x →0

∆x sin( ∆x / 2) ∆x 1 = lim lim = ⋅ 1 ⋅ lim ∆x = 0 , 2 ∆x→0 ∆x / 2 ∆x→0 2 2 ∆x → 0

а произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая. Таким образом, функция sin x непрерывна в любой точке х. Непрерывность функции cos x в любой точке х доказывается аналогично. Из непрерывности функций cos x и sin x по теореме 29 следует непрерывность функций tg x=sinx /cosx и sec x=1/cos x во всех точках, где cos x ≠ 0, т. е. во всех точках, кроме x = π / 2 + πn, и функций ctgx= cosx/sinx и cosec x=1/sin x во всех точках, кроме x = nπ (n = 0, ± 1, ± 2,...). 9.3 Непрерывность функции f ( x) = x .

Функция f ( x) = x , график которой изображён на рисунке 14, определена и непрерывна во всех точках числовой прямой. Действительно, в точках интервала (0,+∞) она непрерывна, так как при x > 0 f ( x) = x (см. п. 9.1). В точках интервала (−∞,0) функция f (x) также непрерывна, так как при x < 0 f ( x) = − x, её можно представить как произведение двух непрерывных функций (-1) и x и применить теорему 4.7 о непрерывности произведения. Чтобы установить непрерывность функции x в точке x=0, вычислим односторонние пределы функции в этой точке: lim x = lim (− x) = − lim x = 0; lim x = lim x = 0. x →0 −

x →0 −

x →0 −

x →0 +

x →0 +

Пределы функции в точке x = 0 слева и справа совпадают и равны значению функции в этой точке. Отсюда следует, что функция x непрерывна в точке x = 0 и, следовательно, непрерывна во всех точках числовой прямой.

51

у у= х

0 Рисунок 14

52

х

10 Основные свойства непрерывных функций Теорема 30. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 и f ( x0 ) ≠ 0. Тогда существует δ > 0 такое, что для всех x ∈ ( x0 − δ, x0 + δ) функция f (x) имеет тот же знак, что f ( x 0 ) . Рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке. Эти свойства приведем без доказательства. Определение: Функцию у = f(x) называют непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках а и b, непрерывна соответственно справа и слева. Теорема 31. Функция, непрерывная на отрезке [a,b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее. у

0

а

х2

х 2′

b=x1

х

Рисунок 15 Теорема утверждает, что если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется хотя бы одна точка х1∈ [a,b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f ( x1 ) ≥ f ( x ) для ∀х ∈ [а; b]. Аналогично найдется такая точка х2, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f ( x 2 ) ≤ f ( x ) ∀х ∈ [а; b]. Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке 15 показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках х 2 и х 2′ . Замечание: Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (а,b). Действительно, если рассмотреть функцию у = х на (0,2) , то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нем ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области. Также теорема перестает быть верной для разрывных функций. Теорема 32. Пусть функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a,b] найдется, по крайней мере, одна точка х=с, в которой функция обращается в ноль: f (с ) = 0 где а<с
53

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y=f(x), соответствующие концам отрезка [а,b] лежат по разные стороны от оси Ох, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ох. Разрывные функции этим свойством могут не обладать, рисунок 16. у f(b)

0 f(a)

х

b

с а Рисунок 16

Эта теорема допускает следующее обобщение. Теорема 33 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция у = f ( x ) непрерывна на отрезке [a,b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа С, заключенного между А и В, найдется внутри этого отрезка такая точка с∈ [a,b], что f(c) = C. Эта теорема геометрически (рисунок 17) очевидна. Рассмотрим график функции у = f ( x ). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая у = С, где С – любое число, заключенное между А и В, пересечет график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением х = С, при котором f(c) = C. Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности: Следствие. Если функция у = f ( x ) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями. у B C A 0

а

c

с′

Рисунок 17 54

с ′′

b

х

Теорема 34 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке. Теорема 35 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своих точных граней, т. е. существуют точки x1 , x 2 ∈ [a, b] такие, что f ( x1 ) = M = sup f ( x), f ( x 2 ) = m = inf f ( x) . [ a ,b ]

[ a ,b ]

55

11 Классификация точек разрыва функции 11.1 Определение и классификация точек разрыва функции Определение: Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в точке x0 не является непрерывной. Разрывы функций классифицируются следующим образом. Р а з р ы в 1-го р о д а. Точка х0 называется точкой разрыва 1-го рода функции f(x), если в этой точке f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы:

lim

x → x0 + 0

f ( x) ≠ lim

x → x0 − 0

f ( x) .

Пример 51. Для функции f(x)=sgn x точка x=0 является точкой разрыва 1-го рода, так как lim sgn = 1 , lim sgn = −1 . x →0 + 0

x →0 − 0

Р а з р ы в 2-го р о д а. Точка х0 называется точкой разрыва 2-го рода функции f(x), если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. 1 Пример 52. Для функции f ( x) = точка х=0 является точкой разрыва 2x го рода, так как lim (1 / x) = +∞, lim (1 / x) = −∞. x →0 + 0

x →0 − 0

Пример 53. Исследовать непрерывность в точке х=0 заданных функций:  x 2 при х ≠ 0,  x + 1 при х ≥ 0, 1 а) y = ; б) y =  в) y =  г) y = x 2 . x  x − 1 при x < 0; 1 при x = 0;

y

y 1

0

a)

x

0

y

y •1 -1

x

0

в)

б)

x

0

г)

Рисунок 18 Решение. а ) В точке х=0 функция y = f (x) не является непрерывной, так как нарушено первое условие непрерывности –существование f (0). 56

x

б) В точке х=0 функция y = f (x) (рисунок 18б) не является непрерывной –первое условие непрерывности выполнено, ( f (0) = 1), но нарушено второе условие – отсутствует lim f ( x) ( точнее говоря, здесь существуют одноx→0

сторонние пределы функции слева lim f ( x) = −1 и справа lim f ( x) = 1, но x →0 −

x →0 +

общего предела при x → 0 не существует). в) В точке х=0 функция y = f (x) (рисунок 18в) не является непрерывной –первые два условия непрерывности выполнены –существуют f (0) = 1 и конечный предел lim f ( x) = 0, но нарушено третье основное услоx →0

вие: lim f ( x) ≠ f (0). x →0

г) В точке х=0 функция y = f (x) (рисунок 18г) непрерывна, так как выполнены все три условия непрерывности - lim f ( x) = f (0) = 0. x →0

11.2 Кусочно–непрерывные функции Определение: Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках отрезке [a, b], за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках a и b. Пример 54. Функция f ( x) = [x ] кусочно-непрерывна как на любом отрезке, так и на всей числовой прямой. График функции f ( x) = [x ] изображен на рисунке 19, функция [x ] в точках x=n ( n = 0,±1,±2, ...) непрерывна справа и разрывна слева. Во всех других точках она непрерывна как справа, так и слева (рисунок 19). у

4 3 2 1

-3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3

х

Рисунок 19

57

12 Понятие сложной функции Определение: Если на некотором промежутке Х определена функция z = ϕ (x) с множеством значений Z, а на множестве Z определена функция y = f (z ), то функция y = f [ϕ ( x)] называется сложной функцией от x , а переменная z - промежуточной переменной сложной функции. Пример 55. Функция y = sin x 2 - сложная функция, определённая на

всей числовой прямой, так как y = f ( z ) = sin z , z = ϕ ( x) = x 2 . Теорема 36. Пусть функция z = ϕ(x) непрерывна в точке х0, а функция y = f (z ) непрерывна в точке z0 = ϕ ( x0 ) . Тогда сложная функция z = f [ϕ ( x)] непрерывна в точке х0. Д о к а з а т е л ь с т в о: Возьмём из Х любую последовательность точек х1, х2, х3, …, хn, …,сходящуюся к точке х0. Тогда в силу непрерывности функции z=φ(x) в точке х0 имеем: lim z n = lim ϕ ( xn ) = ϕ ( xn ) =z0 , т. е. соответn →∞

n→∞

ствующая последовательность точек z1, z2, z3, …, zn, …сходится к точке z0. В силу же непрерывности функции f(z) в точке z0 получаем lim f ( z n ) = f ( z 0 ) , т. е. lim f [ϕ( x n )] = f [ϕ( x 0 )] . n →∞

n →∞

Следовательно, предел функции f [ϕ( x)] в точке х0 равен её значению в этой точке, что и доказывает непрерывность сложной функции f [ϕ( x)] в точке х0. Ч.т.д.

58

13 Понятие производной 13.1 Определение производной

Пусть имеем некоторую функцию у = f ( x ), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента х из этого промежутка функция у = f ( x ) имеет определенное значение. Рассмотрим два значения аргумента: исходное х0 и новое х. Разность х − х 0 называется приращением аргумента х в точке х0 и обозначается ∆x. у

y=f(х) f(х)

y ∆y y0 0

∆y f(х0) x0

∆x

x

х

Таким образом, ∆x = х – х0 (приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что х = х 0 + ∆х , т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке х0 значение функции было f(x0), то в новой точке х функция будет принимать значение f(x) = f(x0 + ∆x). Разность у − у 0 = f ( x ) − f ( x 0 ) называется приращением функции у = f ( x ) в точке х0 и обозначается символом ∆y. Таким образом, ∆y = f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆x) - f(x)

(14)

Обычно исходное значение аргумента х0 считается фиксированным, а новое значение х – переменным. Тогда у0 = f(x0) оказывается постоянной, а у = f ( x ) - переменной. Приращение ∆y и ∆x также будут переменными и формула (14) показывает, что ∆y является функцией переменной ∆x. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента ∆у f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) f ( x ) − f ( x 0 ) = = ∆x ∆x ∆x Найдем предел этого отношения при ∆x→0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке х0 и обозначают f '(x0). Итак, f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆y f ′( x 0 ) = lim = lim . ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x 59

Производная функции y = f (x) в точке x0 обозначается: f ′( x0 ) , y ′( x0 ) . Если для некоторого значения х0 выполняется условие ∆y ∆y = + ∞ (или lim = − ∞ ), ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x lim

то говорят, что в точке х0 функция имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус). В отличие от бесконечной производной определённую выше производную функции иногда называют конечной производной. Если функция f (x) имеет конечную производную в каждой точке x ∈ X , то производную f ′(x) можно рассматривать как функцию от х, также определённую на Х. Из определения производной вытекает и способ её вычисления. Пример 56. 1 Найти производную функции у = х2 а) в произвольной точке; б) в точке х = 2. а) 1. f(x+∆x) = (x+∆x)2 = x 2 + 2 x∆x + (∆x )2 2. ∆y= (x+∆x)2 – х2 = 2х ∆x +(∆ х)2 2 x∆x + (∆x )2 3. у ′ = lim = lim (2 x + ∆x ) = 2 x ∆x →0 ∆x → 0 ∆x б) f' (2) = 4 2 Используя определение, найти производную функции у = 1 + 2 х в произвольной точке. 1. f ( x + ∆x ) = 1 + 2( x + ∆x ) 2. ∆y = 1 + 2( x + ∆x ) − 1 + 2 x

3

dy 1+ 2x + 2∆x − 1+ 2x 2∆x 1 = lim = lim = ∆x→0 ∆x 1+ 2x + 2∆x + 1+ 2x dx ∆x→0 ∆x 1 + 2x

(

)

13.2 Геометрический смысл производной

Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке. Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М0 (см. рисунок 20). Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую М0М. Если точка М начинает перемешаться по кривой, а точка М0 остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М0 с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М0Т, то прямая М0Т называется касательной к кривой в данной точке М0 (рисунок 20). 60

у М0 М

•

М″

•

М′

0

х

Рисунок 20 Таким образом, касательной к кривой в данной точке М0 называется предельное положение секущей М0 М, когда точка М стремится вдоль кривой к точке М0. Рассмотрим теперь непрерывную функцию y = f(х) и соответствующую этой функции кривую (рисунок 21). При некотором значении х0 функция принимает значение y0 = f(х0). Этим значениям х0 и у0 на кривой соответствует точка М0(х0;у0). Дадим аргументу х0 приращение ∆x. Новому значению аргумента соответствует значение функции y0 + ∆y = f(х0 + ∆x). Получаем точку М(х0 + ∆х; у0 + ∆у). Проведем секущую М0 М и обозначим через φ угол, образованный ∆y секущей с положительным направлением оси Ох. Составим отношение и ∆x ∆y заметим, что tgϕ = . ∆x у М у0 + ∆у у = f(x) у0

α

М0

φ ∆x

α

φ 0

∆y

х0

у0 х0 + ∆х

Рисунок 21 Если теперь ∆х → 0, то в силу непрерывности функции ∆у → 0, и поэтому точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М0. Тогда секущая М0 М будет стремиться занять положение касательной к кривой к точке М0, а угол φ → α при ∆х → 0, где через α обозначали угол между касательной и положительным направлением оси Ох. Поскольку функция tgφ непрерывно зависит от φ при φ ≠ π/2 то при φ→α tgφ→tgα и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:

61

∆y = f ′( x ) , ∆x →0 ∆x

tgα = lim tgϕ = lim ∆x → 0

(15)

т.е. f ′( x ) = tgα. Таким образом, геометрически y'(x0) представляет угловой коэффициент касательной к графику функции y = y (x) в точке x0, т.е. при данном значении аргумента х производная равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М0(х;у) с положительным направлением оси Ох. В этом и состоит геометрический смысл производной. Пример 57. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х2 в точке М(-1;1). Ранее мы уже видели, что (х2)'=2х. Но угловой коэффициент касательной к кривой есть tg α = y'|x = -1 = –2. 13.3 Механический смысл производной

Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v ⋅ t , где s – путь, пройденный к моменту времени t, v – скорость равномерного движения. Однако большинство движений, происходящих в природе, неравномерно, поэтому в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние s будет зависеть от времени t, т.е. будет функцией времени. Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s = s(t). Отметим некоторый момент времени t0. К этому моменту точка прошла путь s = s(t0). Определим скорость v материальной точки в момент времени t0. Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t0 + ∆t. Ему соответствует пройденный путь s = s(t0 + ∆t). Тогда за промежуток времени ∆t точка прошла путь ∆s = s(t0 + ∆t) - s(t). ∆s Рассмотрим отношение = v cp . Оно называется средней скоростью в ∆t промежутке времени ∆t. Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t0 (т.к. движение неравномерное). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени ∆t. Скоростью движения в данный момент времени t0 (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t0 до t0 + ∆t, когда ∆t → 0: ∆s = s ′(t ) , v = lim ∆x →0 ∆t т.е. скорость неравномерного движения – это производная от пройденного пути по времени. В этом состоит механический смысл производной

62

14 Дифференцируемость функций. Непрерывность дифференцируемой функции 14.1 Понятие дифференцируемости функции в данной точке Определение: Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение ∆y в данной точке можно представить в виде

∆y = A∆x + α(∆x) ∆x ,

(16)

где А- некоторое число, не зависящее от ∆x , а α(∆x) - функция аргумента ∆x , являющаяся бесконечно малой при ∆x → 0, т. е. lim α(∆x) = 0 . ∆x →0

Установим связь между дифференцируемостью функции в данной точке и существованием производной в той же точке. Теорема 37. Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируемой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Д о к а з а т е л ь с т в о : Необходимость. Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке х0 , т. е. её приращение в этой точке можно представить в виде (16): ∆y = A∆x + α(∆x) ∆x . Поделим это равенство на ∆x (при ∆x ≠ 0 ), получим: ∆y = A + α (∆x). ∆x Переходя к пределу при ∆x → 0, имеем ∆y = lim ( A + α (∆x)) = A . ∆x →0 ∆x ∆x →0 lim

отсюда следует, что производная в точке х0 существует и равна А: f ′( x0 ) = A. Достаточность. Пусть существует конечная производная f ′( x0 ), т.е. ∆y ∆y = f ′( x0 ). Пусть f ′( x0 ) = A; тогда функция α(∆x) = lim − A является ∆x→0 ∆x ∆x бесконечно малой при ∆x → 0 . Из последнего равенства имеем ∆y = A∆x + α(∆x), где

lim α(∆x) = 0. Получено представление (16), тем самым доказано,

∆x →0

что функция y = f (x) дифференцируема в данной точке х0.

63

Таким образом, для функций одной переменной дифференцируемость и существование производной – понятия равносильные. Именно поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием. Рассмотрим на рисунке 22 точки а, b, c. В точке а при ∆х → 0 отношение ∆y не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при ∆х → 0-0 и ∆x ∆х →0+0). В точке А графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к1 и к2. Такой ∆y тип точек называют угловыми точками. В точке В при ∆х → 0 отношение ∆x ∆y является знакопостоянной бесконечно большой величиной lim = +∞. ∆x →0 ∆x Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" вертикальной касательной. у

В

A

0

a

b

С

c

х

Рисунок 22 В точке С односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиеся вертикальные касательные. Тип - "точка возврата" с вертикальной касательной – частный случай угловой точки. Пример 58. 1 Рассмотрим функцию у = |x| (рисунок 23). Эта функция непрерывна в точке х = 0, т.к. lim x = 0 = f (0 ). Покажем, что она не имеет производной в этой x →0

точке. f (0 + ∆x ) = f (∆x ) = ∆x . Следовательно, ∆y = f (∆x ) − f (0 ) = ∆x . Но тогда при ∆x<0 (т.е. при ∆x стремящемся к 0 слева). ∆x ∆x lim = lim − = −1 . ∆x →0 − 0 ∆x ∆x →0 − 0 ∆x ∆x ∆x = 1. = lim а при ∆x>0. lim ∆x →0 + 0 ∆x ∆x →0 + 0 ∆x

64

∆y при ∆х → 0 справа и слева имеет раз∆x личные пределы, а это значит, что отношение предела не имеет, т.е. производная функции у=|x| в точке х=0 не существует. Геометрически это значит, что в точке х=0 данная "кривая" не имеет определенной касательной (в этой точке их две). y Таким образом, отношение

0

x

Рисунок 23 2 Функция y = 3 x (рисунок 24) определена и непрерывна на всей числовой прямой. Выясним, имеет ли эта функция производную при х=0. f ( x + ∆x ) = f (∆x ) = 3 ∆x ∆y = f (∆x ) − f (0 ) = 3 ∆x

3 ∆y ∆x 1 = lim = lim = +∞ lim 2 ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x 3 Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке х = 0. Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол π/2, т.е. совпадает с осью Оу. y

у=3 х 0

x

Рисунок 24

65

14.2 Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности Теорема 38. Если функция y = f (x) дифференцируема в данной точке х0, то она и непрерывна в этой точке. Д о к а з а т е л ь с т в о : Так как функция y = f (x) дифференцируема в точке х0, то её приращение в этой точке может быть представлено соотношением (16) . Тогда, переходя к пределу при ∆x → 0, получаем

lim ∆y = A lim ∆x + lim α(∆x) lim ∆x = 0, ∆x →0

∆x →0

∆x →0

∆x →0

что и означает непрерывность функции y = f (x) в точке х0 согласно третьему определению непрерывности функции в точке. З а м е ч а н и е . Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т. е. не иметь производной в этой точке. (Примером такой функции является y = x , непрерывна, но не дифференцируемая в точке х=0).

66

15 Понятие дифференциала 15.1 Определение и геометрический смысл дифференциала Определение: Функция у=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке х0, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если ∆y существует и конечен. предел отношения ∆x Определение: Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [a;b] или интервала (a;b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [a;b] или соответственно в интервале в интервале (a;b). Напомним, что если функция y = f (x) дифференцируема в точке х0, то её приращение ∆y в этой точке можно записать в виде двух слагаемых:

∆y = A∆x + α(∆x) ∆x, где lim α(∆x) = 0 . Слагаемое A∆x является при ∆x → 0 бесконечно малой од∆x → 0

ного порядка с ∆x (при A ≠ 0 ), оно линейно относительно ∆x. Слагаемое α(∆x)∆x при ∆x → 0 - бесконечно малая более высокого порядка, чем ∆x α(∆x)∆x   = 0 .  lim ∆x  ∆x →0  Таким образом, первое слагаемое (при A ≠ 0 ) является главной частью приращения функции y = f (x) . Определение: Дифференциалом функции y = f (x) в точке х0 называется главная, линейная относительно ∆x , часть приращения функции в этой точке: dy = A∆x .

(17)

Если А=0, то A∆x = 0 , и поэтому слагаемое A∆x уже не является главной частью приращения ∆y , так как слагаемое α(∆x)∆x , вообще говоря, отлично от нуля. Однако и в этом случае по определению полагаем дифференциал функции в точке х0 равным A∆x , т.е. здесь dy = 0 . Принимая во внимание теорему 37, т. е. учитывая, что A = f ′( x0 ) , формулу (17) можно записать в виде dy = f ′( x0 )∆x .

(18)

Пусть f ( x) = x . Тогда по формуле (18) ( x + ∆x ) − x 0  ∆x    dy = dx = ( x 0 ) ′∆x =  lim 0 ∆x =  lim ∆x = 1∆x = ∆x. ∆x  ∆x →0 ∆x   ∆x → 0 

67

Дифференциалом независимой переменной х назовём приращение этой переменной dх = ∆x. Соотношение (18) принимает теперь вид dy = f ′( x0 )dx .

(19)

Заметим, что с помощью равенства (19) производную f ′( x0 ) можно вычислить как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу dx независимой переменной, т. е. dy f ′( x0 ) = . dx Дифференциал функции имеет следующий геометрический смысл: дифференциал dy для функции y=f(x) в точке x0 численно равен приращению «ординаты касательной» MS к графику этой функции в точке М (x0, f(x0)), а приращение функции ∆y есть приращение «ординаты самой функции» y=f(x) в точке x0, соответствующее приращению аргумента, равному ∆x (рисунок 25). у P

S

Q

∆у

dy M α y=f(x) 0

α

N ∆х

x0

x0+∆x

х

Рисунок 25 15.2 Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Из определения дифференциала следует, что он зависит линейно от ∆x и является главной частью приращения функции ∆y . Само же ∆y зависит от ∆x более сложно. Например, если f(x)=x3, то ∆y =(x0 + ∆x)3 − x03 =3x02∆x +3x0(∆x)2 + (∆x)3, в то время как  ( x 0 + ∆x) 3 − x0 3   ′ dy = f ( x 0 )∆x = lim ∆x = 3 x 0 2 ∆x.   ∆x → 0 ∆x   Во многих задачах приращение функции заменяют дифференциалом функции в этой точке: ∆y ≈ dy . Тогда 68

f ( x + ∆x) ≈ f ( x) + f ′( x)∆x.

(20)

Абсолютная погрешность при такой замене равна ∆y − dy и является при ∆x → 0 бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆x. Пример 59. Найти

дифференциал dy и приращение ∆y функции

y = x2 : 1) при произвольных значениях x и ∆x; 2) при x = 20, ∆x = 0,1. Р е ш е н и е. 1) ∆y = ( x + ∆x) 2 − x 2 = 2 x∆x + ∆x 2 , dy = ( x 2 ) ′ = 2 x∆x. 2) Если x = 20, ∆x = 0,1, то ∆y = 2 ⋅ 20 ⋅ 0,1 + (0,1) 2 = 4,01, dy = 2 ⋅ 20 ⋅ 0,1 = 4,00. Погрешность при замене ∆y на dy равна 0,01. Во многих случаях её можно считать малой по сравнению с ∆y = 4,01 и ею пренебречь. Рассмотренная задача наглядно иллюстрируется на рисунке 26. x∆x ∆x ∆x x2

x∆x

x Рисунок 26 Пример 60. Вычислить приближённое значение sin 46°. Р е ш е н и е. Пусть f ( x) = sin x, тогда f ′( x) = cos x. В этом случае приближённое равенство примет вид: sin ( x + ∆x) ≈ sin x + cos x∆x.

(20′)

π (что соответству4 π π π ет углу в 450), ∆x = (соответствует углу в 10), x + ∆x = + . Подставляя 180 4 180 в (20′), будем иметь: π  π π π π sin 46° = sin  + cos  ≈ sin + 4 180 4  4 180  или Вычислим приближённое значение sin 46°. Положим x =

69

2 2 π + = 0,7071 + 0,7071 ⋅ 0,0175 = 0,7191. 2 2 180 Пример 61. Если f ( x) = x, то формула (20) даёт: 1 x + ∆x ≈ x + ∆x. 2 x Полагая x = 1, ∆x = α, получаем приближённое равенство: 1 1 + α ≈ 1 + α. 2 В частности, 1,0003 ≈ 1,00015 при α = 0,0003. sin 46° ≈

70

16 Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций Теорема 39. Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное – при условии, что v( x) ≠ 0 ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы: ′ u u ′v − uv ′  (u ± v) ′ = u ′ ± v ′ , (u ⋅ v) ′ = u ′v + uv ′ ,   = . (21) v v2 Д о к а з а т е л ь с т в о : Для вывода формул (21) воспользуемся определением производной, равенством f ( x + ∆x) = f ( x) + ∆y и теоремой (23, 24, 25) . Тогда получим: [u(x + ∆x) + v(x + ∆x)] − [u( x) + v(x)] = (u + v)′ = lim ∆x→0 ∆x u( x + ∆x) − u( x) v(x + ∆x) − v(x) u( x + ∆x) − u( x) v( x + ∆x) − v( x)  = lim  + = lim + lim =  ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x ∆x ∆x  ∆x→0 ∆u ∆v = lim + lim = u′ + v′; ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x

u(x +∆x)v(x +∆x) − u(x)v(x) [u(x) +∆u][v(x) + ∆v] − u(x)v(x) = = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x u(x)v(x) + ∆uv(x) +u(x)∆v +∆u∆v − u(x)v(x) ∆v ∆u  ∆u = lim v(x) +u(x) +∆v = = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x ∆x ∆x  ∆u ∆v ∆u = v lim + u lim + lim∆v lim =vu′ + uv′ + 0⋅ u′ = u′v + uv′, ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x→0 ∆x

(uv)′ = lim

так как lim ∆v = 0, а множители u и v не зависят от ∆x; ∆x →0

u ( x + ∆x ) u ( x ) − u ( x + ∆x )v ( x ) − u ( x )v ( x + ∆x ) v ( x + ∆x ) v ( x ) u = lim =   = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆xv ( x + ∆x )v ( x ) v [u ( x ) + ∆u ]v ( x ) − u ( x )[ v ( x ) + ∆v ] uv + ∆uv − uv − u∆v = = lim = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆xv (v + ∆v ) ∆xv ( x )[ v ( x ) + ∆v ] ∆v ∆v ∆u ∆u − u lim v lim −u v u ′v − uv ′ ∆x → 0 ∆ x ∆ x = ∆x → 0 ∆ x . = = lim ∆2x ∆x → 0 v + v∆ v v 2 + v lim ∆v v2 ′

∆x → 0

71

17 Вычисление производных основных элементарных функций 17.1 Производная постоянной функции

Производная функции y = C , где С – постоянное число, выражается формулой y′ = 0 (22) Д о к а з а т е л ь с т в о : Для любых х и ∆x имеем f ( x + ∆x) = C и ∆y = 0 при любом ∆x ≠ 0 и, следователь∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) = 0 . Отсюда ∆x но, ∆y = 0. y ′ = lim ∆x →0 ∆x 17.2 Производная степенной функции

Производная функции y = x n , показатель n которой является целым положительным числом, выражается формулой y ′ = n ⋅ x n−1 .

(23)

Д о к а з а т е л ь с т в о : Хорошо известные формулы (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 , (a

2

+ b) = C 20 a 2 + b) 3 = C30 a 3

+ C 21 ab + C 22 b 2 , + C31a 2 b + C32 b 2 a

можно записать так:

(a + C33b 3 . Аналогичные формулы будут справедливы для четвёртой, пятой и вообще любой натуральной степени бинома. Например, ( a + b) 4 = C 40 a 4 + C 41 a 3 b + C 42 a 2 b 2 + C 43 ab 3 + C 44 b 4 . Теорема 40. Для произвольных чисел a и b и произвольного натурального числа n справедлива формула (a + b) n = C n0 a n + C n1 a n −1b + ... + C nk a n − k b k + ... + C nn b n . Формула носит имя великого английского физика и математика И. Ньютона. Правая её часть называется разложением натуральной степени бинома. Коэффициенты C nk называются биномиальными коэффициентами. Отметим некоторые характерные особенности формулы Ньютона. а) Правая часть формулы Ньютона содержит (n+1) слагаемых. б) Каждое слагаемое имеет вид C nk a n − k b k . 72

Запись C nk означает число сочетаний из n элементов по k элементов и определяется следующей формулой: C nk =

n! . (n − k )! k!

в) Показатели степени при a в каждом следующем члене разложения на единицу меньше, чем в предыдущем, показатели степени при b – на единицу больше. Сумма показателей степени при a и b в каждом члене разложения равна n. г) Коэффициенты разложения, одинаково удалённые от нулевого и от n − го члена разложения, равны, так как C nk = C nn − k . Используя формулу бинома Ньютона, можно записать: n(n − 1) n − 2 ∆y = ( x + ∆x) n − x n = [ x n + nx n −1 ∆x + x (∆x) 2 + ... + (∆x) n ] − x n = 2! n(n − 1) n − 2 = nx n −1 ∆x + x (∆x) 2 + ... + (∆x) n . 2!

Таким образом, при ∆x ≠ 0 имеем: ∆y n(n + 1) n − 2 = nx n −1 + x ∆x + ... + (∆x) n −1 . ∆x 2! Так как lim ∆x = 0, lim (∆x) 2 = 0, …, lim (∆x) n −1 = 0, то ∆x →0

∆x →0

∆y = nx n −1 . Ч.т.д. ∆x →0 ∆x

∆x →0

y ′ = lim

17.3 Производные тригонометрических функций

Производная функции y = sin x выражается формулой y ′ = cos x.

(24)

Д о к а з а т е л ь с т в о : Имеем ∆y = sin(x + ∆x) − sin x = 2 sin (∆x / 2) cos(x + ∆x / 2). Таким образом, при ∆x ≠ 0 ∆y 2 sin(∆x / 2) cos( x + ∆x / 2) sin(∆x / 2) = = cos( x + ∆x / 2). ∆x / 2 ∆x ∆x sin(∆x / 2) Так как lim = 1 (первый замечательный предел), а ∆x →0 ∆x / 2 lim cos( x + ∆x / 2) = cos x в силу непрерывности функции cos x, то

∆x →0

73

∆y = cos x. Ч.т.д. ∆x →0 ∆x Производная функции y = cos x выражается формулой y ′ = lim

y ′ = − sin x.

(25)

Д о к а з а т е л ь с т в о : Имеем ∆y = cos ( x + ∆x) − cos x = −2 sin(∆x / 2) sin( x + ∆x / 2). Таким образом, при ∆x ≠ 0 2 sin(∆x / 2) sin( x + ∆x / 2) sin(∆x / 2) ∆y =− sin( x + ∆x / 2). =− ∆x / 2 ∆x ∆x Так как lim sin( x + ∆x / 2) = sin x в силу непрерывности функции sin x , ∆x →0

то

∆y = − sin x. Ч.т.д. ∆x →0 ∆x Производная функции y = tg x выражается формулой 3) y ′ = lim

y′ =

π   x ≠ + n π  . 2  cos 2 x  1

(26)

Д о к а з а т е л ь с т в о : Так как tg x = sin x / cos x, то по теореме (39 получим (sin x)′ cos x − sin x(cos x)′ cos x cos x − sin x(− sin x) cos 2 x + sin 2 x y′ = = = , cos 2 x cos 2 x cos 2 x

следовательно, y′ =

1 cos 2 x

. Ч.т.д.

Производная функции y = ctg x выражается формулой y′ = −

1 sin 2 x

( x ≠ nπ).

(27)

Д о к а з а т е л ь с т в о : Так как ctg x = cos x / sin x, то аналогично предыдущему имеем (cos x)′ sin x − cos x(sin x)′ (− sin x) sin x − cos x cos x sin 2 x + cos 2 x y′ = = = − , 2 2 2 sin x sin x sin x

следовательно, 74

y′ = −

1 sin 2 x

.

Таблица производных основных элементарных функций. 1 1 (C ) ′ = 0. 8 (ctg x) ′ = − 2 . sin x 1 . 2 ( x α ) ′ = α x α −1 , α ∈ R. . 9 (arcsin x) ′ = 2 1− x x x 3 (a ) ′ = a ln a 1  x ′ x . 10 (arccos x) ′ = −  в частности, e = e . 2   1− x

( )

4 (log a x) ′ =

1 x ln a

1 (в частности, (ln x) ′ = ). x 5 (sin x) ′ = cos x.

11 (arctg x) ′ =

1 1+ x2

12 (arcctg x) ′ = −

6 (cos x) ′ = − sin x . 1 . 7 (tg x) ′ = cos 2 x Пример 62.

. 1

1+ x2

.

′ 1  3 −3 3  −1 ′ , то y ′ =  3 ⋅ . 1 y = 3⋅  =3x 2 =− x 2 =− 2 x 2 x x x   3 2 2 y = x − 3 x + 5 x + 2 . Найдем y ′(−1) . y′ = 3x2 − 6x + 5 . Следовательно, y ′(−1) =14. 3 y = lnx·cosx, то y ′ = (ln x )′ cos x + ln x(cos x )′ = 1 / x ⋅ cos x − ln x ⋅ sin x. ′ x3 x 3 cos x − x 3 (cos x )′ 3 x 2 cos x + x 3 sin x = 4 y= , y′ = cos x cos 2 x cos 2 x

( )

1

( )

75

18 Правило дифференцирования сложной функции Напомним что называется сложной функцией. Пусть y = f(u), a u = u(x). Получаем функцию у, зависящую от аргумента х : у = f (u ( x) ) . Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией. Областью определения функции у = f (u (x) ) является либо вся область определения функции и = и(х) либо та её часть, в которой определяются значения u , не выходящие из области определения функции y = f(и). Операция «функция от функции» может проводиться неоднократно, а любое число раз. Установим правило дифференцирования сложной функции. Теорема 41. Если функция и = и(х) имеет в некоторой точке х0 производную и ′х = и ′( х 0 ) и принимает в этой точке значение и0 = и(х0), а функция y = f(и) имеет в точке и0 производную y u′ = f ′(u 0 ) , то сложная функция у = f (u (x) ) в указанной точке х0 тоже имеет производную, которая равна y ′x = f ′(u 0 ) ⋅ u ′( x 0 ) ,

(28)

где вместо и должно быть подставлено выражение и = и(х). Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента по х. Д о к а з а т е л ь с т в о: При фиксированном значении х0 будем иметь u 0 = u ( x 0 ), y 0 = f (u 0 ) . Для нового значения аргумента х0+∆х: ∆и = и ( х 0 + ∆х ) − и ( х 0 ), ∆у = f (u 0 + ∆u ) − f (u 0 ). Так как и – дифференцируема в точке х0, то и непрерывна в этой точке. Поэтому при ∆х → 0 ∆и → 0 . Аналогично при ∆и → 0 ∆у → 0 . ∆y По условию lim = y u′ (u 0 ) . Из этого соотношения, пользуясь опреде∆u →0 ∆x лением предела, получаем (при ∆и→0) ∆у = у и′ + α ∆и где α →0 при ∆и→0, а следовательно, и при ∆х→0. Перепишем это равенство в виде: ∆у = у и′ ∆и + α ⋅ ∆и Полученное равенство справедливо и при ∆и = 0 при произвольном α,так как оно превращается в тождество 0 = 0. При ∆и = 0 будем полагать α = 0. Разделим все члены полученного равенства на ∆х 76

∆у ∆и ∆и = у и′ ⋅ +α⋅ . ∆х ∆х ∆х ∆и = и ′х , lim α = 0 . Поэтому, переходя к пределу при ∆х →0 ∆x ∆x →0 ∆х→0, получим y ′x = y u′ ⋅ u ′x .Ч.т.д. Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию у = f (u (x) ) , нужно взять производную от «внешней» функции f, рассматривая её аргумент просто как переменную, и умножить на производную от «внутренней» функции по независимой переменной. Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной у ′х осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы. По доказанному правилу имеем y ′x = y u′ ⋅ u ′x . Применяя эту же теорему для u ′x получаем u ′x = u v′ ⋅ v ′x , т.е. y ′x = y ′x ⋅ u v′ ⋅ v ′x = f u′ (u ) ⋅ u v′ (v ) ⋅ v ′x ( x ) . По условию lim

Пример 63. y = e arctg x ,

y′ − ?

Р е ш е н и е . y = e u , u = arctg x. Тогда по формуле (28) 1 y ′( x) = y ′(u ) u ′( x) = e u . 1+ x2

Заменяя u на arctg x, окончательно получим y ′ = e arctgx Пример 64. y = tg 2 x 2 + 1

1

1+ x2

.

y′ − ?

Р е ш е н и е . Данную функцию можно представить в виде y = u 2 , где

u = tg v, а v = w и w = x 2 + 1. Тогда получаем, y ′( x) = y ′(u ) u ′(v) v ′( w) w′( x) = (u 2 ) ′(tgv) ′( w ) ′( x 2 + 1) ′ = = 2u

1

1

2

cos v 2 w

Пример 65.

2x =

2 xtg x 2 + 1 cos

2

2

2

x +1 x +1

.

( )′ = cos x

1 y = sin x 2 . Тогда y ′ = cos x 2 ⋅ x 2

2

⋅ 2 x.

99 ′ 2 2 2     ⋅  x +  = 100 x +  ⋅ 1 − 2  . x x   x   1 . 3 y = ln 3 ( x + 3), y ′ = 3 ln 2 ( x + 3) ⋅ (ln( x + 3) )′ = 3 ln 2 ( x + 3) x+3 1 − 2x , 4 y = ln cos 3

2  2 y =x +  x 

100

2  , y ′ = 100 x +  x 

99

77

′ ′ −1 −1 1 − 2x  2  1 − 2x  1 − 2x  1−2x  1  ⋅−  = ⋅ cos ⋅ sin ⋅ y′= =  = 1−2 x ⋅ sin 1−2 x  1−2 x 3  3 3  3  cos 3 3  cos 3 cos 3 

(

2 1 − 2x . = tg 3 3

78

)

19 Понятие логарифмической производной функции Вычислим производную функции y = ln x ( x ≠ 0 ). Так как (ln x) ′ = 1 / x,  (ln (− x)) ′ = (− x) ′ / − x = 1 / x, (последнее равенство получено на основании правила дифференцирования сложной функции), то производная данной функции выражается следующей формулой: y ′ = (ln x ) ′ =

1 . x

(29)

Учитывая формулу (29), вычислим производную сложной функции y = ln u , где u = f (x) - дифференцируемая функция. y ′ = (ln u ) ′ =

u ′ f ′( x) = , или u f ( x)

(ln f ( x) ) ′ =

f ′( x) . f ( x)

(30)

Определение: Производная (ln f ( x) ) ′ называется логарифмической производной функции f (x) . Вычислим с помощью логарифмической производной производную показательно-степенной функции y = u ( x) v ( x ) , где u и v – некоторые функции от x (u>0), имеющие в данной точке x производные u ′ (x) и v ′ (x) . Так как ln y = v( x) ln u ( x) , то, используя формулу (30), получаем

y′ u ′( x) = [ v( x) ln u ( x)]′ = v ′ ( x) ln u ( x) + v ( x) . y u ( x) Отсюда, учитывая, что y = u ( x) v ( x ) , получаем формулу для производной показательно-степенной функции  u ′( x)  , y ′ = u ( x) v ( x ) v ′( x) ln u ( x) + v( x) u ( x)   y ′ = v( x) ⋅ u ( x) v ( x ) −1 ⋅ u ′( x) + u ( x) v ( x ) ⋅ ln u ( x) ⋅ v ′( x) .

(31)

Таким образом, для того чтобы найти производную показательно–степенной функции, достаточно дифференцировать её сначала как степенную, а затем как 79

показательную, и полученные результаты сложить (напомним, что для сложной функции справедливы следующие формулы (u n ) ′ = nu n −1u ′ и (a u ) ′ = a u ⋅ ln a ⋅ u ′ ). Пример 66. Вычислить производную функции y = x x . Р е ш е н и е . y = x x , ln y = x ⋅ ln x , y′ 1 (ln y ) ′ = ; ( x ⋅ ln x) ′ = x ′ ln x + x(ln x) ′ = 1 ⋅ ln x + x ⋅ = ln x + 1 ⇒ y x y′ = ln x + 1 ⇒ y ′ = y (1 + ln x) ⇒ y ′ = x x (1 + ln x) . y О т в е т : y ′ = x x (1 + ln x). 2

Пример 67. Вычислить производную функции y = (sin x) x . 2

Р е ш е н и е . y = sin x x , ln y = x 2 ln sin x,

(ln y)′ =

 cos x  y′  = ; ( x2 ln sin x)′ = ( x2 )′ ln sin x + x2 (ln sin x)′ = 2x ln sin x + x2  sin x y  

= 2x ln sin x + x2ctgx ; 2

y′ = y(2x ln sin x + x2ctgx) = (sin x) x (2x ln sin x + x2ctgx). 2

О т в е т : y ′ = (sin x) x (2 x ln sin x + x 2 ctgx) .

80

20 Дифференцирование обратной функции Определение: Функция у = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке, если большему значению аргумента х из этого отрезка соответствует большее значение функции, т.е. если x2 > x1, то f(x2) > f(x1). Определение: Функция называется убывающей на некотором отрезке, если меньшему значению аргумента из этого отрезка соответствует большее значение функции, т.е. если x2 < x1, то f(x2) > f(x1). Пусть дана возрастающая или убывающая функция

y = f (x), определённая на некотором отрезке [a, b] (a < b) . Пусть f (a ) = c, f (b) = d . Для определённости будем рассматривать возрастающую функцию (рисунок 27). у d

у1 а

0 с

х1

у2 х2

b

х

Рисунок 27 Рассмотрим два различных значения x1 и x 2 , принадлежащих отрезку [a, b]. Из определения возрастающей функции следует, что если x1 < x 2 и y1 = f ( x1 ), y 2 = f ( x 2 ), то y1 < y 2 . Следовательно, двум различным значениям x1 и x 2 соответствуют два различных значения функции y1 и y 2 . Справедливо и обратное, т. е. если y1 < y 2 , y1 = f ( x1 ), y 2 = f ( x 2 ), то из определения возрастающей функции следует, что x1 < x 2 . Таким образом, между значениями x и соответствующими им значениями y устанавливается взаимно однозначное соответствие. Рассматривая эти значения y как значения аргумента, а значения x как значения функции, получаем x как функцию y : x = ϕ( y ).

(33)

81

Эта функция называется обратной для функции y = f (x). Очевидно, что и функция y = f (x) является обратной для функции x = ϕ( y ). Рассуждая аналогичным образом, можно доказать, что и убывающая функция имеет обратную. З а м е ч а н и е 1 . Если возрастающая (или убывающая) функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], причём f (a ) = c, f (b) = d , то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [c, d ]. Пример 68. Пусть дана функция y = x 3 . Эта функция - возрастающая на бесконечном интервале − ∞ < x < +∞ и она имеет обратную функцию x = 3 y. Заметим, что обратная функция x = ϕ( y ) находится путём решения уравнения y = f (x) относительно x. Пример 69. Пусть дана функция y = e x . Эта функция – возрастающая на бесконечном интервале − ∞ < x < +∞. Она имеет обратную x = ln y. Область определения обратной функции 0 < y < +∞. З а м е ч а н и е 2 . Если функция y = f ( x) не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций (рисунок 28). Теорема 42. Если для функции y = f ( x) существует обратная функция x = ϕ( y ) , которая в рассматриваемой точке y имеет производную ϕ′( y ) , отличную от нуля, то в соответствующей точке x функция y = f ( x) имеет произ1 водную f ′( x), равную , т. е. справедлива формула ϕ′( y ) 1 . (34) f ′( x) = ϕ′( y )

y

y

y=ex x=lnу

y =х3 х=3 у

y=lnx

0 1 0

x

Рисунок 28 82

1

ℓ

x

Д о к а з а т е л ь с т в о : Возьмём приращение ∆y, тогда на основании

(33)

∆x = ϕ( y + ∆y ) − ϕ( y ).

так как ϕ( y ) есть функция монотонная, то ∆x ≠ 0. Напишем тождество ∆y 1 = . ∆x ∆x ∆y

(35)

Так как функция ϕ( y ) непрерывна, то ∆x → 0 при ∆y → 0. Переходя к пределу при ∆y → 0 в обеих частях равенства (35), получим: 1 1 , или f ′( x) = y ′x = x ′y ϕ′( y ) что и требовалось доказать. Рассмотрим применение этой теоремы на примерах. Пример 70. у = ех. Обратной для этой функции является функция 1 x = lny. Мы уже доказали, что x ′y = (ln y )′ = . Поэтому согласно сформулироy ′ 1 ванной выше теореме y ′x = = у = е х . Итак, е х = е х . x ′y

( )

Пример 71. y=arcsin x. Рассмотрим обратную функцию x = siny. Эта функция в интервале – π/2 < y < π/2 монотонна. Её производная х ′ = cos y не обращается в этом интервале в нуль. Следовательно, по теореме о производной 1 1 обратной функции y ′x = . Но на = x ′y cos y

(− π / 2; π / 2 )

cos y = 1 − sin 2 y = 1 − x 2 . Поэтому (arcsin x )′ = 1 . 1 − x2

Пример 72. y=arctg x. Эта функция по определению удовлетворяет условию существования обратной функции на интервале – π/2 < y < π/2. При этом 1 обратная функция x=tg y монотонна. По ранее доказанному x ′ = . Слеcos 2 y 1 1 . довательно, y ′ = cos 2 y . Но cos 2 y = = 1 + tg 2 y 1 + x 2 1 Поэтому (arctgx )′ = . 1 + x2

83

( )′ = a

Аналогично можно показать, что a x

(arcctgx )′ = −

84

1 1+ x

2

.

x

ln a, (arccos x )′ = −

1 1− x

2

,

21 Неявная функция и её дифференцирование Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением, которое символически можно обозначить так: F ( x, y ) = 0 .

(36)

Так, например, уравнение x2 + y2 − a2 = 0

(37)

неявно определяет следующие элементарные функции y = a2 − x2,

(38)

y = − a2 − x2.

(39)

После подстановки в уравнение (37) этих значений, получаем тождество x 2 + ( a 2 − x 2 ) − a 2 = 0.

Выражения (38) и (39) получились путём решения уравнения (37) относительно y . Но не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т. е. можно представить в виде y = f ( x), где f ( x) есть элементарная функция. Так, например, функции, заданные уравнениями y6 − y − x2 = 0 1 y − x − sin y = 0, или 4 не выражаются через элементарные функции, т. е. эти уравнения нельзя разрешить относительно y . Замечание: Термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют не природу функции, а способ её задания. Каждая явная функция y = f ( x) может быть представлена и как неявная y − f ( x) = 0. Укажем правило нахождения производной неявной функции, не требующее преобразования её в явное выражение. Допустим, что функция задана уравнением x 2 + y 2 − a 2 = 0.

Дифференцируя обе части этого тождества по x , считая, что y есть функция от x , получим (пользуясь правилом дифференцирования сложной функции): 85

2 x + 2 yy ′ = 0, откуда

y ′ = − x / y.

Если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию y = a2 − x2,

то получилось бы: y′ = −

x

x =− , y a2 − x2

Рассмотрим ещё один пример неявной функции: y 6 − y − x 2 = 0.

Дифференцируем по x : 6 y 5 y ′ − y ′ − 2 x = 0, откуда

86

y′ =

2x 6y5 −1

.

22 Параметрическое задание функции и её дифференцирование 22.1 Параметрическое задание функции

Пусть даны две функции x = ϕ(t ),

y = ψ (t )

(40)

одной независимой переменной t , определённые и непрерывные в одном и том же промежутке. Если x = ϕ(t ) строго монотонна, то обратная к ней функция t = Φ ( x) однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому y можно рассматривать как функцию, зависящую от переменной x посредством переменной t , называемой параметром: y = ψ[Φ ( x)].

В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически с помощью уравнений (40) . Пример 73. Пусть x = r cos t , y = r sin t (0 ≤ t ≤ π ). Так как функция x = r cos t убывает при 0 ≤ t ≤ π, то данные уравнения задают параметрически функцию y от x . Если выразить t через x из первого уравнения и подставить во второе, то получим искомую функцию переменной x в явном виде. Это ещё легче сделать, если заметить, что x 2 + y 2 = r 2 (cos 2 t + sin 2 t ) = r 2 . Отсюда y = r 2 − x 2 или y = − r 2 − x 2 .  y = r 2 − x 2 , 0 ≤ t ≤ π,   y = − r 2 − x 2 , π ≤ t ≤ 2π Пример 74. Пусть x = a cos t , y = b sin t (0 ≤ t ≤ 2π ). Данные равенства являются параметрическими уравнениями эллипса. Исключая из этих уравнений параметр t (разрешая их относительно cos t и sin t , возводя полученные равенства в квадрат и складывая), получаем ( x / a ) 2 + ( y / b) 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1 или x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 − уравнение эллипса. 22.2 Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями:  x = ϕ (t ), t0 ≤ t ≤ T.   y = ψ (t ),

(41)

87

Предположим, что эти функции имеют производные и что функция x = ϕ(t ) имеет обратную t = Φ ( x) , которая также имеет производную. Тогда определенную параметрическими уравнениями функцию у=f(x) можно рассматривать как сложную функцию y = ψ(t ), t = Φ ( x), t – промежуточный аргумент. По правилу дифференцирования сложной функции получим: y ′x = y t′ t ′x = ψ t′ (t ) Φ ′x ( x).

(42)

На основании теоремы о дифференцировании обратной функции следует: Φ ′x ( x) =

1 ϕ′t (t )

Подставляя последнее выражение в равенство (42), получаем: y ′x =

или

ψ ′(t ) ϕ′(t )

y t′ (43) xt′ Выведенная формула дает возможность находить производную y ′x от функции, заданной параметрически, не находя выражение непосредственной зависимости y от x. Пример 75. Функция у от х задана параметрическими уравнениями:  x = a cos t , (0 ≤ t ≤ π ) .   y = a sin t , dy π : 1) при любом значении t; 2) при t = . Найти производную dx 4 ( asin t )′ a cos t = = −ctg t ; 2) ( y ′x )t = −ctg(π / 4) = −1 . Решение. 1) y′x = ′ − a t sin (acost ) y ′x =

88

23 Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей 0 / 0 и ∞ / ∞. Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределённостей вида 0 / 0 и ∞ / ∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределённостей. Теорема 43 (правило Лопиталя). Пусть функции f ( x) и g ( x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть lim f (x) = lim g(x) = 0 или lim f ( x) = lim g ( x) = ∞. Тогда, x→a

x→a

x→a

x→a

если существует предел отношения производных этих функции lim

x→a

существует и предел отношения самих функции

lim

x→a

f ( x) = lim g ( x) x→a

f ′( x) , то g ′( x)

f ( x) при x → a, причём g ( x)

f ′( x) . g ′( x)

(44)

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных. Замечание: Отметим, что формула (44) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует. x + sin x Пример 76. Найти lim . x →∞ x x + sin x  sin x  Этот предел существует: lim = lim 1 +  = 1. x →∞ x →∞ x x  Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cosx при x → ∞ не стремится ни к какому значению. Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределённость вида 0 / 0 или ∞ / ∞ , то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее. Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределённостей: ∞ ⋅ ∞; 0 ⋅ ∞. Для раскрытия неопределённостей 1∞ , 10 , ∞ 0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел её логарифма.

89

1 ln x sin x 1 ∞  = . =   = lim x = lim Пример 77. lim x →0 1 + 2 ln sin x  ∞  x→0 2 cos x x→0 2 x cos x 2 sin x 1 − cos 4 x  0  4 sin 4 x Пример 78. lim = = lim  0  x →0 2 x = 8. 2 x →0 x 1 ln x  0  Пример 79. lim x ln x = [0 ⋅ ∞] = lim =   = lim x = − lim x = 0. x→0 x→0 1 x→0  0  x→0 − 1 2 x x 1  ln x − x + 1 0 1− x  1 − =   = lim = Пример 80. lim   = [∞ − ∞] = lim x→1  x − 1 ln x  x→1 ( x − 1) ln x 0 x→1 x ln x + x − 1 −1 1 = lim =− . x→11 + ln x + 1 2 Пример 81.

Обозначим

lim (1 +

1 2 x x )

= ∞0 .

y = (1 +

1 2 x x )

и

x →0

[ ]

прологарифмируем

ln(1 + x 2 ) 1 2 ln y = ln(1 + x ) = . Найдём x x ln(1 + x 2 )  ∞  2x 2 lim ln y = lim =   = lim = lim = 0. x → +∞ x → +∞ x  ∞  x →+∞ 1 + x 2 x →+∞ 2 x Так как функция ln y непрерывна, то ln lim y = lim ln y = 0. x → +∞

lim y = e 0 или lim (1 +

x → +∞

1 x2 ) x

x → +∞

это

Следовательно,

= 1.

x → +∞

Задания для самостоятельного решения. Найти пределы функций. 2x 2 − 5x − 3 при : а ) x 0 = 2, б ) х 0 = 3, в ) х 0 = ∞; 1) lim x → x0 3 x 2 − 4 x − 15 1) 3n + 2 x −1 − 7 − x 3x  2n − 3  2) lim ; 3) lim ; 4) lim  .  x →4 x →0 arctg 4 x x →0 2n + 5  x−4

90

равенство

1) lim 2)

3)

4x 2 − 7x − 2 2x 2 − x − 6

x → x0

tg 2 x  3n + 2  2) lim ; 3) lim ; 4) lim  .  x →2 x + 2 − 6 − x x →0 sin 5 x n →∞ 3n − 4  2 x 2 + 5x − 3 при : а ) x 0 = 3, б ) х 0 = −3, в ) х 0 = ∞; 1) lim 2 x → x0 x + 5 x + 6 ctg 3 x x −1 − 9 − x n − 6 ; 4) lim  ; 3) lim  x →0 ctg 6 x n → ∞ n − 4  x−5

x →5

1) lim

5)

3 x 2 + 11x + 10 2 x 2 + 5x + 2

x → x0

1) lim

x → x0

n −3

.

x+7 − 3− x  4n − 5  ; 3) lim tg 2 xctg 3 x; 4) lim   x →0 n →∞ 4n − 3  x+2

4 x 2 − 25 x + 25 2

2 x − 15 x + 25

1) lim

x → x0

2) lim

x →4

1) lim

x → x0

2) lim

x→ 3

arctg 7 x x+4 − 8− x  2n − 5  ; 3) lim ; 4) lim   x →0 n →∞ 2n + 3  x−2 5x

2 x 2 + 15 x + 25 x 2 + 15 x + 50 x−4

2 x 2 + 3x − 5

.

5n +3

.

4 n −5

.

при : а ) x 0 = 5, б ) х 0 = −5, в ) х 0 = ∞;

tg 5 x  3n − 1  ; 4) lim  ; 3) lim  x →0 tg 4 x n →∞ 3n + 6  x−2 − 6− x

3x 2 + 5 x − 8

3n + 5

при : а ) x 0 = 2, б ) х 0 = 5, в ) х 0 = ∞;

n − 4 2) lim ; 3) lim sin 6 xctg 2 x; 4) lim   x → −1 x + 5 − 3 − x x →0 n →∞ n + 5  7 x 2 + 26 x − 8 при : а ) x 0 = 1, б ) х 0 = −4, в ) х 0 = ∞; 1) lim x → x0 2 x 2 + x − 28 x→ 2

9)

при : а ) x 0 = −3, б ) х 0 = −2, в ) х 0 = ∞;

x +1

2) lim

8)

.

4x  5n − 3  2) lim ; 3) lim ; 4) lim   x →2 x + 3 − 7 − x x →0 arcsin 2 x n →∞ 5n + 6  3 x 2 − 14 x + 8 при : а ) x 0 = 2, б ) х 0 = 4, в ) х 0 = ∞; 1) lim x → x0 2 x 2 − 7 x − 4 x→ −2

7)

4n+ 2

x−2

2) lim

6)

2 n −7

x−2

2) lim

4)

при : а ) x 0 = 0, б ) х 0 = 2, в ) х 0 = ∞;

2n +3

.

при : а ) x 0 = −2, б ) х 0 = 1, в ) х 0 = ∞;

x−2 − 4− x sin 3 x  5n − 3  ; 3) lim ; 4) lim   x →0 tg 2 x n → ∞  5n + 4  x−3

n+ 4

.

91

1) lim 10)

6 x 2 + 13x + 7

x → x0

3x 2 + 8 x + 5

при : а ) x 0 = −2, б ) х 0 = −1, в ) х 0 = ∞;

x−3− 9− x arcsin 8 x  4n + 1  ; 3) lim ; 4) lim   x →0 n →∞ 4n − 3  x−6 4x

2) lim

x →6

5 n −1

.

Найти производные заданных функций 3

4  1 − 5x  2 1 а) y = (3x − 4 + 2) 5 ; б) y = ln 5   ; в) y = arccos2 x + 1 − 4 x ; x  1 + 5x  г ) y = 2 tgx + x sin 2 x. 4

4

2

2

5

3

а ) y = (5 x + 4 x + 3) ; б ) y =

ln 6

1 − x6 1+ x

2 в y = arctg x − 1; ; ) 6

г ) y = e 3 x − 2 xtg 3 x.

1 4x − 1 а) y = ( x 8 + 88 x 3 − 1) 3 ; б ) y = ln 4 4 ; в ) y = arccos x 2 + 1; 4 3 x +1 г ) y = 3cos x − x sin 2 x. 1 5 x3 − 3 3 3 3 а) y = ( x + 3x x − 4) ; б ) y = ln 3 ; в ) y = arctg x − 1; 5 4 x +2 2

г ) y = xctg 3x − 2 x . 5

8

5

2

5

а ) y = (3 x + 5 x − 3) ; б ) y = г) y = 5

x

2

ln 5

2  5x + 3  ;  5  ; в ) y = arctg x−3  x +1

− x 2 tg 2 x. 4

2 1 − 8x   6 а) y =  5 x 4 − ; в ) y = arccos 1 − x ; + 3  ; б ) y = ln 4 8 x x x +1   1 − sin 3 x . г) y = 3 x + 1 + sin 3 x 7

5  x6 −1 3  3   ; в ) y = arcctg x − 1; 7 а ) y =  4 x + 3 − 2  ; б ) y = ln 6   6 x 5 + x x    

г) y = 2 x

92

2

+1

− x sin 4 x.

4

4   3 2  3x − 4  5 2   3 8 y = 7 x − 3 x x − 6 ; б ) y = ln   ; в ) y = arcsin 3 x − 1 − 9 x ;    3x + 1   

г ) y = e tgx − x cos 2 x. 3

5  x6 − 3 4  4   ; в ) y = arctg 1 ; 9 y =  3x − 4 − 3  ; б ) y = ln 2   x −1 x    6x + 2 

г ) y = xtg 3 x + 2 x − 2 5

3

  9  7x − 4  10 у =  8 x 3 − 2 + 6  ; б ) y = ln 7  7  ; в ) y = arcsin 1 − x ; 3 x x  x − 2   г ) y = 3 sin x + 3 xtg 3 x.

93

24 Экстремумы функции Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке 29. Значение функции в точке х1 будет больше значений функции во всех достаточно близких соседних точках как слева, так и справа от х1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке х1 максимум. В точке х3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку х2, то соответствующее ей значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке х2 минимум. Аналогичное справедливо для точки х4. у

0

а

х1

х2

х3 х4 b

х

Рисунок 29 Определение: Функция y=f(x) в точке х0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х0, т.е. если существует такая окрестность точки х0, что для всех х ≠ х 0 , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) < f(x0). Определение: Функция y=f(x) имеет минимум в точке х0, если существует такая окрестность точки х0, что для всех х ≠ х 0 , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) > f(x0). Определение: Точки, в которых функция достигает максимума или минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции. Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка. Отметим, что если функция имеет в некоторой точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция принимает наибольшее значение на всей области определения. На рисунке 29 функция в точке х1 имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке х1. В частности, минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близких к точке максимума.

94

Теорема 44 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке х=х0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль. Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть для определенности в точке х0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях ∆х имеем f ( x 0 + ∆x ) < f ( x 0 ) , т.е. f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) < 0 . Но тогда

f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) > 0 при ∆x < 0 < 0 при ∆x > 0 . ∆x ∆x Переходя в этих неравенствах к пределу при ∆x → 0 и учитывая, что производная f ′( x 0 ) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как ∆x → 0 , получаем: при ∆x → 0 − 0 f ′( x 0 ) ≥ 0 , а при ∆x → 0 + 0 f ′( x 0 ) ≤ 0 . Так как f ′( x 0 ) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f ′( x 0 )=0. Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находится только среди тех значений аргумента, в которых производная обращается в нуль. Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Пример 82. а) y = x . Функция не имеет производной в точке х=0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как у(0)=0, а при всех х ≠ 0 у > 0 . б) Функция y = 1 − 3 x 2 (рисунок 30) не имеет производной при х=0, так 2 как y ′ = − 3 обращается в бесконечность при х=0. Но в этой точке функция 3 x имеет максимум. у 1

-1

0

1

х

Рисунок 30

y′ =

в) 1 3x

2

Функция

y = 3 x не

имеет

производной

при

х=0,

так

как

→ ∞ при x → 0 . В этой точке функция не имеет ни максимума, ни

3

95

минимума. Действительно, f(x) = 0 и при x < 0 f(x) < 0, а при x >0 f(x) > 0. (рисунок 31а) Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует. Однако, если в некоторой точке х0 мы знаем, что f ′( x 0 ) = 0 , то отсюда нельзя делать вывод, что в точке х0 функция имеет экстремум. Например, функция y = x 3 . y ′ = 3 x 2 при x = 0 y ′ = 0 (рисунок 31б). у у

0

а)

х

Рисунок 31

х

0

б)

Но точка х=0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ох, а справа выше. Определение: Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками. Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находится среди критических точек, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема. Теорема 45 (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку х0, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке х = х0 функция имеет максимум. Если же при переходе через х0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум. Таким образом, если а) f ′( x ) > 0 при x < x0 и f ′( x ) < 0 при x > x0, то х0 – точка максимума; б) f ′( x ) < 0 при x < x0 и f ′( x ) > 0 при x > x0, то х0 – точка минимума. Д о к а з а т е л ь с т в о: Предположим сначала, что при переходе через х0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех х, близких к точке

96

х 0 f ′( x ) > 0 для х < x 0 , f ′( x) < 0 для x > x0. По теореме Лагранжа f ( x) − f ( x 0 ) = f ′(c)( x − x 0 ) , где точка с лежит между х и х0. 1 Пусть x < x0. Тогда c < x0 и f ′(c) > 0 . Поэтому f ′(c)( x − x 0 ) < 0 и, следовательно, f ( x) − f ( x 0 ) < 0 , т.е. f ( x) < f ( x 0 ). 2 Пусть x > x0. Тогда c > x0 и f ′(c) < 0 . Значит f ′(c)( x − x 0 ) < 0 . Поэтому f ( x) − f ( x 0 ) < 0 , т.е. f ( x) < f ( x 0 ). Таким образом, для всех значений х достаточно близких к x 0 , f ( x) < f ( x 0 ). А это значит, что в точке х0 функция имеет максимум. Аналогично доказывается вторая часть теоремы – о точке минимума. Ч.т.д. Проиллюстрируем смысл этой теоремы (рисунок 32). у

0

х1

х2

х3

х

Рисунок 32 Пусть f ′( x1 ) = 0 и для любых х, достаточно близких к х1, выполняются неравенства f ′( x) < 0 при x < x1 , f ′( x) > 0 при х > x1. Тогда слева от точки х1 функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при х = х1 функция переходит от возрастания к убыванию, т.е. имеет максимум. Аналогично рассуждая можно сделать вывод, что точка х2 является точкой минимума, а х3 – не точка экстремума. Все вышесказанное можно изобразить на схеме:

f ′(x) f(x)

+

– x1 max

+ x2 min

+ x3 нет

тах

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум:

1 Найти область определения функции f(x). 2 Найти первую производную функцию f ′(x) . 3 Определить критические точки, для этого: а) Найти действительные корни уравнения f ′( x) = 0 . 97

б) Найти все значения х∈ ОДЗ, при которых производная f ′(x) не существует. 4 Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки. Сделать вывод о наличии точек экстремума. 5 Вычислить значение функции в точках экстремума. Пример 83. Исследовать функции на минимум и максимум.

1 y = ( x − 1)3 x 2 . Область определения функции D(y)=R. Найдем производную заданной 2 2 5x − 2 функции: y ′ = x 3 + ( x − 1) 3 = 3 3 x 3 x 5x − 2 2 Определим критические точки: 3 = 0, x1 = . Производная не суще5 3 x ствует при x 2 = 0 . Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных проме1 жутков: f (− 1) > 0, f   < 0, f (1) > 0 . 5 +

–

+

0 max Итак, y max = f (0) = 0 , y min

x 2 5 2 2  4 3 4 min = f   =  − 1 3 = − ⋅3 . 5 25  5   5  25

2

 x − 3 2 y =  . D( y) = (− ∞;−1) ∪ (−1;+∞), x + 1   +

x −3  x − 3  x +1 − x + 3 y′ = 2 = 8 . ⋅ 2 3 x + 1   ( x +1) (x +1)

– -1

+ 3 min

х

Критическая точка функции х=3. Точка х= –1 не входит в область определения функции. y min = f (3) = 0.

98

24.1 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Определение: Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений. Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [a,b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего значения, либо на границе отрезка, либо внутри его. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точки отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, т.е. достигается в критических точках. Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a,b]. 1 Найти все критические точки функции в интервале (a,b) и вычислить значения функции в этих точках. 2 Вычислить значения функции на концах отрезка при х = a, х = b. 3 Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Пример 84. 4 1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 2 − 8 x − 15 x на отрезке [–2; –0,5]. 8 8 + 8x 3 , x = −1 . Найдем критические точки функции: y ′ = − 3 − 8 = − x x3 Вычислим значения функции в найденной точке и на концах заданного отрезка: f (− 1) = −3, f (− 2 ) = 2, f (− 1 / 2 ) = 5 . Итак, min f ( x) = f (− 1) = −3, max f ( x) = f (− 1 / 2 ) = 5 . x∈[− 2; −1 / 2 ] x∈[− 2; −1 / 2 ] 2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x − 2 ln x на отрезке [1; е]. 2 x−2 y′ = 1 − = , x1 = 2 . x x f (2) = 2 − 2 ln 2 ≈ 0.6, f (1) = 1, f (e) = e − 2 ≈ 0.7 y наиб = f (1) = 1, y наим = f (2) ≈ 0.6 . 3) Чему равна наименьшая площадь боковой поверхности прямого кругового конуса объема 3π? S бок = πrl (l- длина образующей конуса) (рисунок 33). 1 3V 9 Так как Vk = πr 2 h, r 2 = = . 3 πh h

99

9 1 + h2 = 9 + h3 . h n

По теореме Пифагора l = r 2 + h 2 =

l h

r Рисунок 33 Следовательно, S бок = π 3h2

S ′ = 3π

3

2 9+h

− 9 + h3 h

2

9 + h3 9 + h = 3π , (h > 0 ) h h

3

1

h

= 3π

3

3h 3 − 18 − 2h 3 2h

2

9+h

3

= 3π

h 3 − 18 2h

2

9+n

3

.

Найдем критические точки функции S : S ′ = 0 , т.е. h = 3 18 . Покажем, что при найденном значении h функция S бок достигает минимума. S′

–

+ 3

S

18 ≈ 2,5 min

h

S ′(1) < 0, S ′(3) > 0 S наим =

3π 9 + 18 3

18

=

9π 3 3

18

=

π 3 3 18 2

.

4) Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R. Пусть r- радиус основания цилиндра, h – высота.

100

Нам нужно максимизировать объем цилиндра V = πr 2 h .

B R h

r A

C Рисунок 34

Используя условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме Пифа1 гора из треугольника АВС следует, что 4 R 2 = h 2 + 4r 2 . Отсюда r 2 = R 2 − h 2 . 4 1  1  V = π  R 2 − h 2 h = πR 2 h − πh 3 , 0 ≤ h ≤ 2 R. 4  4  2 3 V ′ = πR 2 − πh 2 ; V ′ = 0, если h = R. 4 3 Покажем, что при найденном значении h функция V принимает наибольшее значение.

+ 0

– 2 3

R

2R h

1 2 πR > 0, 4 27 2 3  V ′ R  = πR 2 − πR < 0 . 16 2 

V ′(R ) =

Таким образом, Vmax при h =

2 3

R, откуда r =

2 R. 3

101

25 Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба Определение: График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (а; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. Определение: График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (а; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. На рисунке 35 показана кривая, выпуклая на (а; b) и вогнутая на (b; с).

y

a

b

x

c

Рисунок 35 Пример 85.

а) Полуокружность y = 1 − x 2 выпукла на [-1; 1]. б) Парабола у=х2 вогнута на интеграле (− ∞;+∞ ) в) График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y=sin x на [0; 2π] – выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый – в интервале (π; 2 π) (рисунок 36). Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интеграле выпуклым или вогнутым. y

1 0 -1

π 2

π

3π 2 x

2π

х

Рисунок 36 Теорема 46. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a;b). Если во в всех точках интервала (a;b) вторая производная функции y=f(x) отрицательная, т.е. f ′′( x ) < 0 , то график функции на этом интеграле выпуклый, если же f ′′( x ) > 0 вогнутый. 102

Д о к а з а т е л ь с т в о: Предположим для определенности, что f ′′( x ) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике функции y=f(x) произвольную точку М0 с абсциссой x 0 ∈ (a; b) и проведем через точку М0 касательную (рисунок 37). Ее уравнение y = f ′( x 0 )( x − x 0 ) + f ( x 0 ) . Мы должны показать, что график функции на (a;b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении х ордината кривой y=f(x) будет меньше ординаты касательной у .

y у=f(х) M0

0

a

x0

b

x

Рисунок 37 Итак, уравнение кривой имеет вид y=f(x). Уравнение касательной y = f ′( x 0 )( x − x 0 ) + f ( x 0 ) . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении х будет y − y = f ( x ) − f ( x 0 ) − f ′( x 0 )( x − x 0 ) . Разность f ( x) − f ( x 0 ) преобразуем по теореме Лагранжа f ( x) − f ( x 0 ) = f ′(c)( x − x 0 ) , где с – точка лежащая между х и х0. Таким образом, y − y = f ′(c)( x − x0 ) − f ′( x0 )( x − x0 ) = [ f ′(c) − f ′( x0 )]( x − x0 ) К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: y − y = f ′′(c1)(с − x0 )( х − х0 ) , где с1 – точка лежащая между с и х0. По условию теоремы f ′′( x) < 0 . Определим знак произведения второго и третьего сомножителей. 1. Предположим, что х > x0. Тогда х0 < С1 < C < х, следовательно, (х − х 0 ) > 0 и (c − х0 ) > 0 . Поэтому y − y < 0 . 2. Пусть х < x0, следовательно, x < c < c1 < x 0 и ( х − х 0 ) < 0 , (c − х 0 ) < 0 . Поэтому вновь y − y < 0 . Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях х и х0 ∈ (a; b), a это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично. Ч.т.д. 103

Пример 86. а) Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой у = 2 - х2. Найдем у" и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна: у' = -2х, у" = -2 < 0 на (-∞; +∞;), следовательно, функция всюду выпукла (рисунок 38). б) у=ех. Так как у"=ех>0 при любых х, то кривая всюду вогнута (рисунок 39).

y

y

y

2

у=2-х2

у=х3

у=ех 1

0

Рисунок 38

0

x

0

x

Рисунок 39

x

Рисунок 40

в) у = х3. Так как у" = 6х, то у" < 0 при х < 0 и у" > 0 при х > 0. Следовательно, при х < 0 кривая выпукла, а при х > 0 вогнута (рисунок 40). Определение: Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны - над нею. Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба. y

y А

0

х Рисунок 41

0

х

Рисунок 42

Теорема 47. Пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если f"(х0) = 0 или f"(х0) не существует, и при переходе через значение х = х0 производная f"(х) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой х=х0 есть точка перегиба. 104

Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть f"(х0) < 0 при x < x0 и f"(х0) >0 при x > x0. Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно, точка А, лежащая на кривой, с абсциссой х0 есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f"(х0) >0 при x < x0 и f"(х0) < 0 при x > x0. Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует. Ч.т.д. Пример 87. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривых.

1) y = ( x − 1) 3 . D( y ) = R . Найдем производные данной функции до вто2 2 рого порядка. y ′ = 1 / 3( x − 1)− 3 . y ′′ = − . Вторая производная не суще5 3 9( x − 1) ствует при х = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб. 1

у″

+

– 1

у

х

Итак, точка перегиба х =1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на (-∞; 1). 2

2

2) у = е − х . D( y ) = R. y ′ = −2 xe − x , 2

2

2

(

)

y ′′ = −2e − x + 4 x 2 e − x = 2e − x 2 x 2 − 1 . Возможные точки перегиба 2

найдем, решив уравнение 2х – 1 = 0. Отсюда х1, 2 = ±1 / 2 . у″

+

у

(− 1

3) у′ =

−

Точки перегиба: − 1 2 ;1 − 2х 1− х2

)

–

(

1

2 ,+ 1

2 и вогнута на − ∞; − 1

(

)

+ 1

2

х

2

2 . Функция выпукла на интервале

) (

2 ∪ 1

)

2;+ ∞ .

y = ln 1 − x 2 . Область определения функции D(y) = (-1; 1). , у ′′ =

(

− 21 + х2

(1 − х )

2 2

) < 0 при всех х из (-1; 1). Следовательно, f(x) – вы-

пуклая на (-1; 1).

105

26 Асимптоты графика функции При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой. а)

б) y

y

d М d 0

М(x; у) х

0

х

Рисунок 43 Определение: Прямая называется асимптотой графика функции y=f(x), (рисунок 43) если расстояние от переменной точки М графика до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую (рисунок 43). Если обозначим через d расстояние от точки М кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность. Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные. 26.1 Вертикальные асимптоты

Пусть при х →х0 с какой-либо стороны функция y=f(x) неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. lim f ( x) = ∞ , или lim f ( x) = ∞ , x → x0

или

lim

x → x0 + 0

x → x0 − 0

f ( x) = ∞ . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая х =

х0 является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая х = х0 является асимптотой, то lim f ( x) = ∞ . x → x0

Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая х = х0, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий х → х0 – 0 или х → х0 + 0 (рисунок 44).

106

y

у = f(x) х0

0

х

Рисунок 44 Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения х = х0, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение х = х0. Пример 88. 1 а) Найти вертикальные асимптоты графика функции y = x + . x−2 1  1    Так как lim  x +  = −∞, lim  x +  = +∞ , то прямая х=2 x → 2 − 0 x → 2 + 0 x − 2 x − 2 является вертикальной асимптотой. 1   y = e1 / x . lim e1 / x = +∞, lim e1 / x = e −∞ = ∞  = 0 . Прямая б) x →0 + 0 x →0 − 0 e   х = 0 – вертикальная асимптота. 26.2 Наклонные асимптоты Теорема 48. Прямая y = kx+b служит наклонной асимптотой при х →+∞ для графика функции y=f(x) тогда и только тогда, когда f ( x) , b = lim [ f ( x) − kx]. Аналогичное утверждение верно и при k = lim x → +∞ x x → +∞ х → – ∞. Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть МР – длина отрезка, равного расстоянию от точки М до асимптоты (рисунок 45). По условию lim MP = 0 . Обознаx → +∞

чим через ϕ угол наклона асимптоты к оси Ох. Тогда из ∆MNP следует, что MP . MN = y cos ϕ y=f(x) M. φ 0

N

P

К Рисунок 45

х 107

Так как φ – постоянный угол

(ϕ ≠ π / 2 ) ,

то

lim MN = 0 , но

x → +∞

MN = MK − NК = y − y кac = f ( x) − (kx + b) . Следовательно, мы можем записать следующее равенство:

b  f ( x) lim [ f ( x) − (kx + b)] = lim x  −k − =0 x → +∞ x → +∞  x x Так как х→+∞, то должно выполняться равенство b b  f ( x) − k −  = 0 . Но при постоянных k и b lim = 0 и lim k = k . lim  x → +∞ x x → +∞  x x → +∞ x f ( x) f ( x) Следовательно, lim − k = 0 , т.е. k = lim . x → +∞ x x → +∞ x Если число k уже известно, то lim [ f ( x) − kx − b] = 0 , поэтому x → +∞

b = lim [ f ( x) − kx] . x → +∞

Для доказательства в случае х→ – ∞ все рассуждения аналогичны. Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заменить, что выполняется равенство lim [ f ( x) − (kx + b)] = 0 . Действительно, x → +∞

 f (x)  f (x)   lim [ f (x) − (kx + b)] = lim  f (x) −  x lim + lim f (x) − lim  x lim  = x→+∞ x→+∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ x x    = lim  f (x) − lim f (x) = 0  x→+∞ x→+∞  Следовательно, прямая y=kx+b есть асимптота. Теорема полностью доказана. Ч.т.д. Сделаем несколько замечаний. Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот нужно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет. Замечание 2. В случае, когда k=0 асимптота y=b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы lim f ( x) = b или lim f ( x) = b . x → +∞

x → −∞

Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при х→+∞ и х→ – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при х→+∞ и х→ – ∞. Пример 89. Найти асимптоты кривых. х 2 + 2х − 1 1) у = х x 2 + 2x − 1 x 2 + 2x − 1 а) Вертикальные: lim = +∞, lim = +∞ . x →0 − 0 x →0 + 0 x x 108

Таким образом, х= 0 – вертикальная асимптота.  x 2 + 2x − 1  x 2 + 2x − 1   = 2. б) Наклонные: k = lim = 1 , b = lim − x  x → +∞ x → +∞ x x2   При х→– ∞ получаем те же значения k и b. Прямая y = x+2 является наклонной асимптотой. 2) y = e − x sin x + x а) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, следовательно, вертикальных асимптот нет. e − x sin x + x   sin x б) k = lim = lim  x + 1 = 1 x → +∞ x → +∞ e x x 

(

)

b = lim e − x sin x = 0 x → +∞

Итак, при х→+∞ наклонная асимптота у=х.  e −x  e − x sin x + x k = lim = lim  sin x + 1 = ∞ , т.к. x → −∞ x → −∞ x  x   e−x lim  x → −∞ x  птот нет.

(

)

  = lim − e − x = −∞ , поэтому при х→–∞ наклонных асим x →−∞ 

3) y = x − 2arctgx . а) Вертикальных асимптот нет. x − 2arctgx 2arctgx   = lim 1 − б) k = lim  = 1. x → +∞ x → +∞ x x  b = lim (− 2arctgx ) = − π . Наклонная асимптота y = x − π при x → +∞

х→+∞.

x − 2arctgx = 1, lim (− 2arctgx) = π. Таким образом, пряx→−∞ x→−∞ x мая y = x + π является наклонной асимптотой графика функции y = x − 2arctgx при х→ – ∞. k = lim

109

27 Общая схема исследования функции и построения графиков 1 а) Найти ОДЗ и точки разрыва функции; б) Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 2 Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные; б) наклонные. 3 Провести исследование функции с помощью первой производно, т.е. найти точки экстремума функции и интегралы возрастания и убывания. 4 Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, т.е. найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. 5 На основании проведенного исследования построить график функции. Заметим, что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция четной или нечетной. Напомним, что функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f(–x) = f(x), и функция называется нечетной, если f(–x) = – f(x). В этом случае достаточно исследовать функцию и построить ее график при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента, график достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно оси Оу, а для нечетной относительно начала координат. Пример 90. Исследовать функции и построить графики следующих функций: 1 1 y = x 3 + 9 x 2 + 15 x − 9 . 4 1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D( y ) : x ∈ (− ∞;+∞ ) , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот. 2) Исследуем функцию на экстремум и найдём интервалы монотонности. С этой целью вычислим ее производную и решим уравнение у ′ = 0 : 1 y ′ = 3 x 2 + 18 x + 15 ; x 2 + 6 x + 5 = 0. 4 Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки: x1 = −5, x 2 = −1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:

(

)

(

x f ′( x ) f (x ) 110

(− ∞,−5) +

)

–5 0 max

(− 5,−1) –

–1 0 min

(− 1,+∞ ) +

[ [

]

1 (− 5)3 + 9(− 5)2 + 15(− 5) − 9 = 4; 4 1 y min = y (− 1) = (− 1)3 + 9(− 1)2 + 15(− 1) − 9 = −4 . 4 3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю: 1 y ′′ = (6 x + 18); x + 3 = 0; x = −3. 4 Итак, функция имеет одну критическую точку 2 рода: x = −3. Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной: y max = y (− 5) =

(− ∞,−3)

x f ′′( x ) f (x )

–

]

(− 3,+∞ )

–3 0

+

т.п.

Значение x = −3 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки: 1 y (− 3) = (− 3)3 + 9(− 3)2 + 15(− 3) − 9 = 0. 4 4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y = kx + b воспользуемся формулами: f (x ) ; b = lim ( f ( x ) − kx ). k = lim x →∞ x x →∞ Имеем  1 3 x + 9 x 2 + 15 x − 9   1  = lim 1  x 2 + 9 x + 15 − 9  = ∞ . k = lim  4 x →∞ 4  x x  x →∞ 4      Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет. 5) Найдем наибольшее и наименьшее значение заданной функции на отрезке [− 3;0] . Для этого посчитаем значения функции на концах этого отрезка, в критических точках 1 рода, попавших на отрезок, и сравним результаты: 9 y (− 3) = 0; y (− 1) = −4; y (0 ) = − . Очевидно, min f ( x ) = −4; max f ( x ) = 0 . [−3;0 ] [−3;0 ] 4 Проведем дополнительные исследования: Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума A1 (− 5;4 ), минимума A2 (− 1;−4 ), перегиба A3 (− 3;0 ), точку пере-

[

]

(

)

111

9  сечения графика с осью Оу A4  0;−  , точки пересечения с осью Ох 4  А5 (−6,4;0) , А6 (0,4;0) . На основании результатов предыдущего исследования построим кривую (см. рисунок 46).

у А1

-6,4

5 4 3 2 1

0,4 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -9/4 -3 -4 А2 -5

х

Рисунок 46 x 2 + 20 . 2 y= x−4 1) Область определения D( y ) = (− ∞;4)U (4;+∞ ) . 2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва. Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки x = 4. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке: x 2 + 20 lim f ( x ) = lim = −∞; x→4−0 x →4−0 x − 4 x 2 + 20 lim f ( x ) = lim = +∞. x→4+ 0 x→4+ 0 x − 4 Таким образом, точка x = 4 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая x = 4 – вертикальной асимптотой графика. 3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.

112

y′ =

(

2 x( x − 4 ) − x 2 + 20

( x − 4 )2

x 2 − 8 x − 20

(x − 4) (− ∞,2 )

x

f ′( x )

+

f (x )

2

)= x

2

− 8 x − 20

( x − 4 )2

;

= 0; x 2 − 8 x − 20 = 0; х1 = −2, х 2 = 10.

(− 2,4 )

–2 0

4 не сущ.

–

(4,10) –

max

10 0

(10,+∞ ) +

min

y max = y (− 2 ) = −4; y min = y (10 ) = 20. 4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба. ( 2 x − 8)( x − 4 )2 − 2( x − 4 ) x 2 − 8 x − 20 y ′′ = = 4 (x − 4)

(

=

[

(

2( x − 4 )( x − 4 )2 − x 2 − 8 x − 20

( x − 4 )4

)

)] =

2 ⋅ 36

(x − 4 )3

Так как y ′′ ≠ 0 , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости: x f ′′( x ) f (x )

(− ∞,−4 )

4

(4,+∞ )

–

не сущ

+

5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот. 20  2 1 x +   f (x ) x 2 + 20 x2   = 1; k = lim = lim = lim 2 x→∞ x x→∞ x − 4 x x→∞ 4 2 x 1 −  x   x 2 + 20  4 x + 20 − х  = lim = 4. b = lim ( f ( x ) − kx ) = lim  x →∞ x →∞ x →∞ x − 4 − 4 x   Таким образом, прямая y = x + 4 – наклонная асимптота графика. 6) Построение графика.

113

Очевидно, график заданной функции пересекает ось Оу в точке (0;−5) и на основе обобщения результатов всех предыдущих исследований имеет вид, представленный на рисунке 47. y 20 16 12 8 -20 -16 -12 -8 -4 –2 4 4 8 12 16 20 0 -4 -5 -8 -12 -16 -20

х

Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию Рисунок 47 y = f (x) и построить её график 1 1 3 1 f ( x) = ( x 3 − 14 x 2 + 49 x − 36). 2 f ( x) = ( x − 25 x 2 + 143x − 119). 3 20 1 4 f ( x) = ( x 3 − 16 x 2 + 69 x − 54). 3 f ( x) = x 3 − 8,5 x 2 + 20 x − 12,5. 3 1 5 f ( x) = ( x3 − 29x2 + 215x −187). 6 f ( x) = x 3 − 9,5 x 2 + 26 x − 17,5. 20 1 1 3 7 f ( x) = ( x 3 − 8 x 2 + 5 x + 14). 8 f ( x) = ( x − 19 x 2 + 55 x + 75). 3 20

114

Список использованных источников 1 Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – 5-е изд., стер.– М.: Высшая школа, 2002. – 479с. 2 Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов. – 3-е изд., стер. – М..: Высшая школа, 2003. – 304с. 3 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учебное пособие для вузов, Т.1.– М.: Наука, 1972. – 456с. 4 Виноградов И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: Пособие для университетов, пед.вузов. В 2 ч. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2001. – 725с. 5 Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.–2 –е. изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 471с. 6 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.1. – М., 1966. – 608с. 7 Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1965. – 664с. 8 Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. – М.: Наука, 1982. – 192с. 9 Мартынов Г.П. Высшая математика. – Новосибирск: НИИГАиК, 1993. – 90с.

115