Гамильтоновая вихревая и волновая динамика

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ФИЗИКИ АТМОСФЕРЫ им. А. М. ОБУХОВА

УНИВЕРСИТЕТ НАУК И ТЕХНОЛОГИЙ (ЛИЛЛЬ, ФРАНЦИЯ)

RUSSIAN ACADEMY OF SCIENCES A. M. OBUKHOV INSTITUTE OF ATMOSPHERIC PHYSICS UNIVERSITE´ DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE (FRANCE)

V. P. Goncharov, V. I. Pavlov

HAMILTONIAN VORTEX AND WAVE DYNAMICS

Moscow GEOS 2008

В. П. Гончаров, В. И. Павлов

ГАМИЛЬТОНОВАЯ ВИХРЕВАЯ И ВОЛНОВАЯ ДИНАМИКА

Москва ГЕОС 2008

УДК 532.50 : 551.46 + 551.51 ББК 26.21 Г 62 Гончаров В. П., Павлов В. И. Гамильтоновая вихревая и волновая динамика. — М.: ГЕОС, 2008. — 432 с. ISBN 978-5-89118-412-1 Монография отражает развитие и совершенствование моделей и методов, направленных на изучение проблем вихревой и волновой динамики. Книга содержит замкнутое и относительно элементарное изложение того, что известно в современной научной литературе как гамильтонов подход, применительно к гидродинамическим моделям вообще, и к геофизической гидродинамике, в частности. В сравнении с книгой «Проблемы гидродинамики в гамильтоновом описании» [48] тех же авторов, изданной в 1993 г., данная монография претерпела значительные изменения. Вопервых, гамильтонов подход рассматривается в более широком контексте, и прежде всего, как инструмент создания новых более эффективных моделей и асимптотических методов. Во-вторых, в книге нашли отражение последние достижения в области приложений. В частности, включены новые разделы, посвященные гамильтонову подходу к гидродинамическим моделям плазмы, жидких кристаллов, контурной динамики и анизотропным волновым системам. Особое внимание уделено изучению крупномасштабных волновых и вихревых структур, важных для понимания процессов вертикального и горизонтального перемешивания в атмосфере и океане. Теоретические результаты, изложенные в монографии, представляют общефизический интерес и могут найти применение в теории гидродинамической устойчивости, турбулентности и динамической метеорологии. Для научных работников, специализирующихся в области гидродинамики и ее приложений, теоретической и математической физики, прикладной математики, а также для аспирантов и студентов старших курсов.

Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту № 08-05-07048.

Goncharov V. P., Pavlov V. I. Hamiltonian vortex and wave dynamics. — M.: GEOS, 2008. — 432 p. The monograph is devoted to a development and an improvement of models and methods for studying problems of vortex and wave dynamics. The book contains an all-sufficient yet relatively elementary insight into that which is named in modern scientific literature the Hamiltonian approach as applied to hydrodynamic models in general and to geophysical fluid dynamics in particular. This monograph is a significant upgrade in comparison with the book «Problems of fluid dynamics in Hamiltonian descriptions» [48] published by the same authors in 1993. First, the Hamiltonian approach is considered in a broader context and as a tool to create new more effective models and asymptotic methods. Second, the book includes the latest advances in applications. In particular, it contains new sections devoted to the Hamiltonian approach for hydrodynamic models of plasma, fluid crystals, contour dynamics and anisotropic wave systems. Special attention is given to the large-scale wave and vortex structures, which are important for understanding processes of vertical and horizontal mixing in the atmosphere and the ocean. Theoretical results presented in the monograph are of general physical interest and can find a wide use in the theory of hydrodynamic stability, turbulence and dynamic meteorology. The book is suitable for researchers specializing in fluid dynamics and its applications, theoretical and mathematical physics, applied mathematics as well as for post-graduate and advanced students.

c В. П. Гончаров, В. И. Павлов, 2008

c ГЕОС, 2008

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Часть I ОБЩЕТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ГАМИЛЬТОНОВСКОГО ФОРМАЛИЗМА Глава 1. § 1.1. § 1.2.

Математический аппарат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Функционалы и вариационные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дифференцирование функционалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 23

Глава 2.

Основные представления о бесконечномерных гамильтоновых системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Гамильтоновы системы простейшего типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скобки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Гамильтоновские системы общего вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Локальные скобки Пуассона и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 28 29 31

§ § § §

2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Глава 3. § 3.1. § 3.2. § 3.3. Глава 4. § 4.1. § 4.2. Глава 5. § 5.1. § 5.2. § 5.3.

Геометрические свойства фазовых пространств. Симплектические структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Гамильтоновы системы, основанные на концепции дифференциальных 2-форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Аналогия метрических и симплектических пространств. Геометрическая интерпретация канонических переменных . . . . . . . . Введение канонических переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 34 37 38

Вариационный принцип наименьшего действия. Вырожденные гамильтоновские системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Обобщение вариационного принципа на неканонические системы, основанные на дифференциальных 2-формах . . . . . . . . . . . . . . Гамильтоновские системы с вырожденными скобками Пуассона. Инварианты Казимира . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Преобразование динамических переменных в гамильтоновых системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Канонические преобразования и производящие функционалы . Канонические точечные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Канонические переменные для поверхностных волн . . . . . . . . . . .

50 51 54 55

5

41 41

6

Оглавление

§ 5.4. Глава 6. § 6.1. § 6.2. § 6.3.

Преобразование канонических переменных при замене пространственных координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Преобразования симметрии и законы сохранения . . . . . . . . . . Преобразования симметрии в канонических системах. Теорема Нетер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Обобщение теоремы Нетер на неканонические системы. Динамические инварианты и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Калибровочные преобразования симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 59 59 61 65

Часть II ГАМИЛЬТОНОВ ПОДХОД К СИСТЕМАМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА Глава 7. § § § §

7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

Глава 8. § 8.1. § 8.2. § 8.3. § 8.4. § 8.5. Глава 9. § 9.1. § 9.2. Глава 10.

Скобки Пуассона в адвективных гидродинамических системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные уравнения гидродинамики. Аксиоматический подход Структура гамильтониана и принцип относительности Галилея Гидродинамические скобки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Адвективные модели, эволюционирующие под действием независящих от скорости сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Канонические переменные и представление Клебша . . . . . . . Построение канонических переменных. Общий подход . . . . . . . . Скалярный канонический базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Векторный канонический базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Минимальное представление Клебша и эволюция коммутативных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Эволюция гидродинамических систем под действием гироскопических сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Гидродинамические законы сохранения и интерпретация потенциалов Клебша . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Субстанциональные характеристические функции и интегралы движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Топологическая и физическая интерпретации потенциалов Клебша . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Калибровочные симметрии в гамильтоновых системах гидродинамического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 10.1. Канонические импульсы как нефизические переменные и их калибровочные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 10.2. Соотношения взаимности для построения инвариантов движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 10.3. Использование калибровочных преобразований для исключения эффекта секулярного роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 71 74 77 79 81 81 83 84 85 87 90 90 92 94 94 95 97

7

Оглавление

Глава 11. § 11.1. § 11.2. § 11.3. § 11.4.

Понижение числа степеней свободы и редукция представления Клебша . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Максимальная редукция представления Клебша . . . . . . . . . . . . . . . 98 Частичная редукция представления Клебша . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Калибровочные преобразования в гамильтоновых системах с нефизическими каноническими координатами . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Канонические преобразования, сохраняющие спиральность . . . 104

Глава 12. Гидродинамические системы с некоммутативными полями § 12.1. Неадвективные гамильтоновые системы с дополнительным некоммутативным полем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 12.2. Уравнения для структурных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 12.3. Классификация и физическая интерпретация решений . . . . . . . . . § 12.4. Модель ферромагнитной жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 12.5. Канонические переменные для ферромагнитной жидкости . . . . . § 12.6. Модель сверхтекучей жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 12.7. Канонические переменные для сверхтекучей жидкости . . . . . . . .

106

Прямой метод нахождения гамильтоновой структуры . . . . . . Гамильтонова структура баротропной спиновой жидкости . . . . . Гамильтонова структура несжимаемой однородной жидкости . . Гамильтонова структура несжимаемой неоднородной жидкости Ковариантное обобщение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118 118 120 122 127

Глава 14. Принцип наименьшего действия в гидродинамике . . . . . . . . . § 14.1. Ограничения на применимость принципа наименьшего действия в гидродинамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 14.2. Принцип наименьшего действия для баротропной спиновой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130 130

Гамильтонизация систем со связями. Метод Дирака . . . . . . . . Гамильтоновские системы со связями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скобки Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Модель свободного электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134 134 135 137

Глава 13. § 13.1. § 13.2. § 13.3. § 13.4.

Глава 15. § 15.1. § 15.2. § 15.3.

106 107 109 110 112 114 115

131

Часть III КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ДЛЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Глава 16. Небаротропные модели стратифицированных течений . . . . . § 16.1. Движения на фоне изотермического режима равновесия . . . . . . . § 16.2. Неизотермическое равновесие при наличии фонового сдвигового течения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 16.3. Однородное фоновое течение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 16.4. Модели с вертикальным профилем скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143 143 145 148 148

8

Оглавление

Глава 17. § 17.1. § 17.2. § 17.3. § 17.4.

Модели стратифицированной несжимаемой жидкости . . . . . . Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Несжимаемая жидкость без фонового течения . . . . . . . . . . . . . . . . . Модель с фоновым сдвиговым течением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Плоская однородная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150 150 153 154 155

Глава 18. § 18.1. § 18.2. § 18.3.

Ковариантное обобщение канонического описания . . . . . . . . . Ковариантная запись кинетической энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ковариантное представление Клебша для плотности импульса Каноническое описание в лагранжевых координатах . . . . . . . . . . .

156 156 158 159

Канонические переменные для 2D-моделей несжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 19.1. Неплоские двумерные модели несжимаемой жидкости . . . . . . . . § 19.2. Несжимаемая жидкость на вращающейся сфере . . . . . . . . . . . . . . . § 19.3. Гидродинамические модели точечных вихрей . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161 161 164 165

Глава 19.

Глава 20. § 20.1. § 20.2. § 20.3. § 20.4.

Канонические переменные для моделей геофизической гидродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Квазигеострофические модели геофизической гидродинамики . Канонические переменные для непрерывных квазигеострофических моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Каноническое описание многоуровенных моделей . . . . . . . . . . . . . Каноническое описание многослойных квазигеострофических моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169 169 172 175 178

Глава 21. Каноническое описание моделей с границами раздела . . . . . . § 21.1. Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 21.2. Канонические переменные для модели океан—атмосфера . . . . . .

182 182 184

Глава 22. Гамильтонов подход к моделям плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 22.1. Простейшие гидродинамические модели плазмы . . . . . . . . . . . . . . . § 22.2. Модель релятивистской электронной плазмы с электромагнитным полем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 22.3. Магнитогидродинамическая модель идеальной плазмы . . . . . . . .

188 188

Глава 23. § 23.1. § 23.2. § 23.3.

Гамильтонов подход к жидким кристаллам . . . . . . . . . . . . . . . . . Стержнеобразный нематик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дискообразный нематик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Введение канонических переменных в модели нематиков . . . . . .

196 196 199 200

Глава 24. § 24.1. § 24.2. § 24.3. § 24.4. § 24.5.

Гамильтонов подход в кинетике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Бесстолкновительные модели кинетики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Гамильтонизация уравнений Власова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Гамильтонизация уравнений Власова—Максвелла . . . . . . . . . . . . . . Каноническая формулировка уравнений Власова . . . . . . . . . . . . . . . Каноническая формулировка уравнений Власова—Максвелла . .

201 201 203 203 206 208

190 194

9

Оглавление

Часть IV ГАМИЛЬТОНОВ ПОДХОД К МОДЕЛЯМ КОНТУРНОЙ ДИНАМИКИ Глава 25. Гамильтоновские версии 2D-контурной динамики . . . . . . . . . § 25.1. Редукция к гамильтоновой контурной динамике . . . . . . . . . . . . . . . § 25.2. Исходная формулировка для контурной динамики . . . . . . . . . . . . .

213 213 216

Глава 26. § 26.1. § 26.2. § 26.3. § 26.4. § 26.5. § 26.6.

Динамика контура без вихревой пелены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скобка Пуассона в однородной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Декартова параметризация контура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Натуральная параметризация контура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Традиционная форма уравнений контурной динамики . . . . . . . . . Освобождение от связи t2 = 1. Метод Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . Модели с внутренним характерным масштабом . . . . . . . . . . . . . . . .

217 217 218 219 220 221 224

Глава 27. § 27.1. § 27.2. § 27.3.

Модель контура с вихревой пеленой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Соотношения для скобок Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Декартова параметризация контура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Натуральная параметризация контура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227 227 227 229

3D-версии контурной динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Контурная динамика границ раздела плотности . . . . . . . . . . . . . . . . Скобки Пуассона в изотермических координатах . . . . . . . . . . . . . . . Обобщение на криволинейные координаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Контурная динамика для бароклинной квазигеострофической модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 28.5. Скобки Пуассона для вихревой нити . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 28.6. Гамильтониан вихревой нити в безграничной жидкости . . . . . . . § 28.7. Освобождение от связи t2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

231 231 234 235

Глава 28. § 28.1. § 28.2. § 28.3. § 28.4.

Глава 29. Неплоские 2D-модели контурной динамики . . . . . . . . . . . . . . . . § 29.1. Скобки Пуассона для неплоских 2D-вихревых течений неоднородной несжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 29.2. Натуральная параметризация контура для неплоских моделей . § 29.3. Однородная модель без вихревой пелены на контуре . . . . . . . . . . § 29.4. Гамильтониан для неплоских моделей контурной динамики . . . Глава 30. Контурная динамика для послойных моделей . . . . . . . . . . . . . . § 30.1. N -слойные плоскопараллельные модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 30.2. Гамильтонова динамика границ раздела в присутствии вихревой пелены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 30.3. Гамильтонова динамика границ раздела в отсутствие вихревой пелены. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 30.4. Гамильтонизация контурной динамики для неплоских моделей

236 239 242 242 245 245 247 248 250 252 252 254 255 256

10

Оглавление

Часть V ФОРМАЛИЗМ НОРМАЛЬНЫХ МОД: ПРИЛОЖЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ Глава 31. Режимы равновесия в гамильтоновых волновых системах . § 31.1. Стационарные точки и метод линеаризации для гамильтоновых систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 31.2. Классификация точек равновесия в гамильтоновых системах . . § 31.3. Гамильтоново описание пространственно однородной волновой модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261

Глава 32. Равновесные однородные волновые модели . . . . . . . . . . . . . . . . . § 32.1. Нормальные переменные в равновесной однородной волновой модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 32.2. Волновые взаимодействия в однородных моделях. . . . . . . . . . . . . .

266 266 268

Анизотропные волновые модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Модель волн Россби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Нормальные переменные для модели волн Россби . . . . . . . . . . . . . Трехволновые взаимодействия с участием нулевых мод . . . . . . . .

272 272 274 277

Глава 34. Неравновесные волновые модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 34.1. Дисперсионно-волновые свойства неравновесных систем . . . . . . § 34.2. Нормальные переменные для неравновесных систем . . . . . . . . . . .

279 279 280

Глава 35. § 35.1. § 35.2. § 35.3.

Введение нормальных переменных в неоднородные модели Волновая модель баротропной атмосферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дискретный спектр волновых движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Непрерывный спектр волновых движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

284 284 288 288

Глава 36. Гибридизация мод в комбинированных моделях . . . . . . . . . . . . § 36.1. Эффект гибридизации и точки синхронизма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 36.2. Классификация точек синхронизма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

291 291 292

Глава 37. Гибридизация мод в модели океан—атмосфера . . . . . . . . . . . . . . § 37.1. Нормальные переменные для модели: однородный океан — баротропная атмосфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 37.2. Дискретный спектр решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 37.3. Непрерывный спектр решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 37.4. Дисперсионно-волновые свойства в точках синхронизма . . . . . . .

295

Глава 33. § 33.1. § 33.2. § 33.3.

Волновая модель однородного океана и небаротропной изотермической атмосферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 38.1. Каноническая формулировка и нормальные переменные . . . . . . . § 38.2. Дискретный спектр решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 38.3. Непрерывный спектр решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261 263 264

295 297 300 301

Глава 38.

303 303 307 308

11

Оглавление

Глава 39. § 39.1. § 39.2. § 39.3. § 39.4.

Метод нормальных мод в задачах излучения и рассеяния волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Типичные параметризации для гамильтониана взаимодействия в задачах излучения и рассеяния волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Низкочастотное излучение спектрально узким высокочастотным волновым пакетом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Генерация волн движущимся источником . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Излучение внутренних гравитационных волн в атмосферу поверхностным волнением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

310 310 312 314 318

Часть VI ГАМИЛЬТОНОВ ПОДХОД К ЗАДАЧАМ ВОЛНОВОЙ И ВИХРЕВОЙ ДИНАМИКИ Глава 40. 40.1. 40.2. 40.3. 40.4. 40.5.

Вихревые и волновые структуры в течениях со скачком завихренности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Минимальная модель. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Точное решение краевой задачи. Операторный метод . . . . . . . . . . Построение гамильтониана модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Модель вихревого погранслоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Частные решения уравнений вихревого погранслоя . . . . . . . . . . . .

323 323 325 329 330 331

Глава 41. § 41.1. § 41.2. § 41.3. § 41.4. § 41.5. § 41.6.

Вихревые структуры в N -слойных моделях . . . . . . . . . . . . . . . . Общий подход. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Гамильтониан для N -слойной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Плоскопараллельные модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Плоские кольцевые модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Осесимметричные модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Кольцевые модели на сфере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

333 333 336 338 341 344 346

Глава 42. § 42.1. § 42.2. § 42.3.

Вихревые структуры в «течении Пуазейля» . . . . . . . . . . . . . . . . Осесимметричная и плоская модели «течения Пуазейля» . . . . . . Классификация решений плоской модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Классификация решений в осесимметричной модели . . . . . . . . . .

347 347 349 359

Глава 43. § 43.1. § 43.2. § 43.3.

Вихревые структуры в «течении Куэтта» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Плоская модель «течения Куэтта» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Периодические решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Влияние вихревых структур на средний профиль течения . . . . .

363 363 365 366

Глава 44.

Осесимметричные вихревые структуры со свободной границей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Гамильтонова формулировка модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Решения локализованного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Неустойчивость компактонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Коллапс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

368 368 371 374 377

§ § § § §

§ § § §

44.1. 44.2. 44.3. 44.4.

12

Оглавление

Динамика вихревого погранслоя в поле тяжести . . . . . . . . . . . Вихревой слой со скачком плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Стационарные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Неустойчивость компактонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Автомодельный коллапс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

381 382 385 392 394

Вихревые структуры в 2D-моделях плазмы и геофизической гидродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 46.1. Стационарно вращающиеся решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 46.2. N -лепестковые вихревые структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 46.3. Вихревая динамика в поле центробежных сил . . . . . . . . . . . . . . . . .

397 398 400 404

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

412

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

425

Глава 45. § 45.1. § 45.2. § 45.3. § 45.4. Глава 46.

На свете есть вещи поважнее самых прекрасных открытий — это знание метода, которым они были сделаны. Г. Лейбниц

ПРЕДИСЛОВИЕ

Вихревые и волновые структуры как формы движения среды играют весьма важную роль на нелинейной стадии развития большинства гидродинамических процессов, определяющих крупномасштабную изменчивость течений. В консервативных моделях эти формы отвечают собственным внутренним симметриям нелинейной среды и проявляются как области высокоупорядоченного (когерентного) крупномасштабного движения жидкости с высокой концентрацией завихренности. В частности, изучение, основанное на прямом динамическом моделировании структурных элементов, является решающим фактором для понимания процессов перемешивания и дезинтеграции течений. Предлагаемая монография отражает развитие и совершенствование гамильтоновских моделей и методов, преимущественно направленных на решение именно этих задач. Отличительная особенность монографии в том, что гамильтонов подход рассматривается в ней не как формальный способ подачи материала, а прежде всего как инструмент для развития новых, более эффективных моделей и аналитических методов. Основная установка книги такова: большинство интересных физических явлений так сложно, что при современном состоянии наших знаний вряд ли можно рассчитывать на построение универсальной теории, действующей во всей области параметров и на всех временах рассматриваемого процесса. Следовательно, нужно попытаться понять ведущие факторы, которые в тот или иной отрезок времени управляют процессом в той или иной области параметров. Но даже выделив существенные факторы, не менее важно сделать второй шаг — построить простую, но адекватную математическую модель процесса. При этом выбор динамических переменных, который гарантировал бы сравнительно простые уравнения движения в фазовом пространстве этих переменных и наличие эффективных аналитических методов их решения, — определяющий момент любой формулировки. На примере гидродинамики можно убедиться, что в этом отношении возможности традиционных формулировок в значительной мере исчерпаны. На современном этапе именно эта причина стимулировала развитие и применение преимущественно численных методов и отодвинула в тень аналитические методы исследования. В отличие от традиционных методов гамильтонов подход позволяет не только обеспечивать адекватный выбор динамических переменных, но и контролировать искажения внутренних симметрий модели при использовании приближений. С этой точки зрения идея использования гамильтоновских моделей и методов представляется весьма перспективной. В частности, в рамках гамильтоновского подхода легко реализуются оптимальные аппроксимационные стратегии, смысл

14

Предисловие

которых в том, что применение приближенных методов не должно приводить к искажениям симметрий и потере инвариантов движения, ответственных за динамическую индивидуальность модели. В книге делается попытка выделить основные идеи, без которых невозможно обойтись в гамильтоновой теории волновых и вихревых взаимодействий. Особое значение придается соединению наглядных физических рассуждений с математическими методами, зачастую носящими формальный характер. Как показывает опыт, одна из главных трудностей в овладении любой теорией, в том числе и гамильтоновой гидродинамикой, заключается именно в том, чтобы научиться, с одной стороны, превращать физически поставленную задачу в математически компактно сформулированную проблему, а с другой — уяснить физический смысл полученных математических результатов. Для многих изучение гидродинамики началось и закончилось уравнением Навье—Стокса в традиционной формулировке. Нередко приходится сталкиваться с мнением, что если заданы граничные условия, а также известны начальные распределения полей, то с помощью достаточно мощного компьютера можно предсказать эволюцию жидкости для любого сколь угодно позднего момента времени. Однако появление быстрых и мощных компьютеров не привело к обещанной бесконечной предсказуемости в динамике жидкостей. Причин множество, выделим, по крайней мере, две, одна из которых объективная, другая — субъективная. Так, было обнаружено, что даже для сравнительно простых нелинейных систем с нефлюктуирующими управляющими параметрами движение не всегда можно предсказать на большие промежутки времени, поскольку оно становится хаотическим. В гидродинамическом контексте образцом хаотического движения остается турбулентность. Заметим, что помимо того, что исследования нелинейных регулярных и хаотических волновых и вихревых движений приносят с собой новые теоретические идеи, они важны и для прикладных исследований. Например, хаос или шум в механических системах затрудняет предсказание времени работоспособности или анализ надежности системы, поскольку оказывается неизвестной точная зависимость напряжений от времени. Таким образом, осознав, что простые нелинейности способны привести к хаотическим режимам, мы сталкиваемся с вопросами как о границах предсказуемости в классической физике, так и о границах познавательной ценности численного моделирования. Обычно полагают, что чем мощнее станут суперкомпьютеры, тем точнее можно будет предсказывать поведение систем. Однако в нелинейных задачах с возможной в принципе хаотической динамикой, поведение системы даже с малым числом степеней свободы может оказаться чрезвычайно чувствительно не только к начальным условиям, но и к выбору самой аппроксимирующей модели, и тогда точный расчет будущего поведения даже идеальными суперкомпьютерами может оказаться невозможным даже в случае простейшей конфигурации системы. Чего же тогда можно ожидать от систем с бесконечным и даже континуальным числом степеней свободы, примером которых являются классические гидродинамические системы? Другой причиной, способной исказить описание реального развития событий, является неизбежное существование и последующее накопление вычислительных ошибок. Такие ошибки возникают из-за неадекватного выбора математической модели или дискретной схемы, разрушающей, возможно случайно, некоторые внутренние симметрии.

15

Предисловие

На основании этих простейших аргументов становится ясно, что теория волновых и вихревых взаимодействий, к которой мы перейдем ниже, должна быть сформулирована в такой форме, чтобы указанные трудности были сведены к минимуму. Эту возможность дает так называемый гамильтоновский подход. Сразу подчеркнем, что существуют различные возможности реализации такой программы: мы рассмотрим только одну из них. Суть указанного подхода заключается в следующем. Любая гидродинамическая система характеризуется набором конечного числа полевых переменных, таких, как плотность жидкости, скорость, давление, температура и т.п. В традиционной формулировке эволюция идеальной системы описывается уравнениями Эйлера. Каждая полевая величина — функция времени, t, и координат, x = = (x1 , x2 , x3 ), т. е. имеет континуальное число степеней свободы по параметру x. По этой причине для таких систем, если мы переходим к гамильтоновой формулировке, должны быть использованы функциональные производные. Мы будем называть гидродинамическую систему гамильтоновой, если ее эволюция описывается (пока символическими) уравнениями ∂t ui = {ui , H }, или, что то же самое, ∂t ui =

Z

{ui (x), uj (x′ )}

δH dx′ . δuj (x′ )

Здесь слева стоит частная производная по времени от полевой переменной, т. е. скорость изменения этой переменной в данной точке пространства, а справа — причины, вызывающие эти изменения. Величина H — гамильтониан — полная энергия жидкости, которая функционально зависит от полевых переменных ui . Оператор δ/δuj означает функциональную производную по полю uj и является некоторым обобщением обычной частной производной. Все строгие определения мы дадим ниже в основном тексте книги. Здесь же, в Предисловии, важно подчеркнуть, что возможность такой записи уравнений движения является исключительно правом так называемых консервативных моделей и означает, что динамическая система обладает гамильтоновой структурой, которая определяется гамильтонианом H , совпадающим с полной энергией жидкости, и функциональной скобкой Пуассона {ui (x), uj (x′ )}, выполняющей роль ядра интегрального преобразования. Вид скобки Пуассона определяется конкретным типом гидродинамической модели. Предвосхищая некоторые результаты, скажем лишь, что по построению эта скобка антисимметрична, билинейна и удовлетворяет некоторому очень важному свойству, которое называется свойством Якоби. Геометрический смысл этого свойства мы обсудим в первой части книги. Эволюционные уравнения практически всех интересных консервативных гидродинамических систем могут быть представлены в виде, сформулированном выше. Таким образом, для всех таких систем определяющими атрибутами являются гамильтониан и скобка Пуассона. Знание их позволяет описать систему в целом. Причем, если гамильтониан системы фиксирует в фазовом пространстве гиперповерхность, на которой лежит динамическая траектория системы, то скобки Пуассона определяют в качестве своих аннуляторов все остальные инварианты

16

Предисловие

движения. По существу, это означает, что в скобках Пуассона содержится вся информация относительно внутренних свойств симметрии. Если скобка Пуассона зависит от полевых величин, а именно так обстоит дело для моделей, сформулированных в терминах привычных гидродинамических переменных (плотность, давление, скорость и т.п.), то есть риск случайно нарушить для нее свойство Якоби. Это нарушение может произойти при использовании асимптотических или численных методов; при попытке упростить исходную, обычно весьма сложную систему уравнений к виду, доступному для какого-либо анализа. Тогда в ходе развития таких моделей будут накапливаться и, в конце концов, становятся существенными фиктивные эффекты, которые не соответствуют какому-либо реальному процессу. Один из путей для преодоления этих трудностей — переход к переменным, в терминах которых скобка Пуассона не зависит от полей, и, следовательно, автоматически удовлетворяет свойству Якоби. Тривиальным примером таких скобок являются канонические. В канонической формулировке вся информация о динамических свойствах системы по существу содержится (спрятана) в гамильтониане, выраженном в терминах канонических переменных. Поскольку канонические скобки не деформируются, все желаемые аппроксимации производятся только в гамильтониане на самой начальной стадии исследования и их физический смысл легко контролируется. Указанные соображения дают основную идею последующей стратегии и объясняют в какой-то мере основную причину привлекательности гамильтоновского подхода: гидродинамические системы классифицируются по определенным критериям, все расчеты стандартизируются, гамильтонианы сводятся только к нескольким существенным, а следующие из них эволюционные уравнения — к нескольким базовым. Современный этап развития гамильтоновского подхода к бесконечномерным полевым системам стартовал приблизительно лет тридцать назад. До этого, полевые версии гамильтоновского метода рассматривались только в связи с потребностями квантовой теории поля [10, 207]. Применительно к гидродинамическим моделям, первоначально, гамильтонов подход был предложен в основном как эффективный метод для нахождения нелинейных эволюционных уравнений в системе взаимодействующих волн. Было немедленно осознано, что гамильтонов подход обладает рядом преимуществ по сравнению с традиционными методами. В частности, (а) гамильтонов подход не привязан к конкретному выбору полевых переменных; (б) любые версии теории возмущений могут быть упрощены и стандартизированы; (в) метод достаточно экономичен в том смысле, что асимптотические разложения могут быть предприняты в самом начале анализа проблемы и возможные погрешности не самовоспроизводятся по мере вычислений; (г) физический смысл делаемых приближений легко контролируется на любом этапе вычислений. В начале семидесятых, после работ В. Е. Захарова, Д. Д. Фаддеева [93] и К. С. Гарднера [216], стало ясно, что большинство разрешаемых методом обратной задачи теории рассеяния нелинейных эволюционных уравнений являются бесконечномерными аналогами гамильтоновских уравнений классической механики. Приблизительно в то же время было понято, что многие полевые консервативные гидродинамические модели обладают скрытой гамильтоновой структурой. Построение и успешное использование канонических переменных для опи-

Предисловие

17

сания взаимодействия поверхностных гравитационных волн [81, 94] дали один из наиболее впечатляющих примеров применения гамильтонова подхода в динамике жидкостей и послужили толчком для построения общей теории волновых взаимодействий в диспергирующих средах в рамках канонического гамильтоновского формализма [84, 87]. Определение канонических переменных всегда было одной из основных тем в развитии гамильтоновского метода, и долгое время оставалось искусством. Исторически, для многих гидродинамических систем канонические переменные были найдены не из первых принципов, а на интуитивном уровне (некоторые примеры приведены в работах [43–45, 85, 87, 165, 254], список которых, очевидно, может быть продолжен). Это обстоятельство, по-видимому, повлияло на то, что до сих пор встречаются утверждения (см., например, [128], с. 49), что канонические переменные могут быть только угаданы, хотя для систем гидродинамического типа этот вопрос уже давно не актуален [48]. Регулярная процедура нахождения канонических переменных для таких систем не только существует, но и, в некотором смысле, подобна выбору «системы ортогональных координат» в фазовом пространстве динамических переменных. Значительные усилия были предприняты для разработки альтернативной версии гамильтоновского описания, основанного на принципе наименьшего действия в динамике жидкостей. Более детальное описание этого направления можно найти в работах [166, 197, 205, 226–228, 240, 244, 245, 272, 273]. В действительности, если рассматривать также публикации, в которых тема гамильтоновского подхода вообще сколь-нибудь глубоко затрагивалась, мы получим значительно более длинный список работ (см., например, работы [189, 231, 233, 248], а также представленные в них ссылки). Формализм неканонических скобок Пуассона начал интенсивно развиваться в конце семидесятых годов (см. обзоры [139, 211, 241, 254]). На современном уровне классификация и систематическое изучение систем и скобок Пуассона гидродинамического типа проводится в рамках дифференциально-геометрического подхода, который был предложен Б. А. Дубровиным и С. П. Новиковым в [72, 73] и продолжает развиваться их последователями. Весьма качественный обзор этих работ представлен в [137]. Содержание этой книги определяется желанием авторов изложить суть проблематики во вразумительной и относительно полной форме c тем, чтобы книга могла послужить «трамплином» для последующих самостоятельных исследований читателя в области приложений гамильтоновых методов к проблемам волновой и вихревой динамики. Действительно, в настоящее время, несмотря на постоянно возрастающий интерес к гамильтоновскому подходу в гидродинамике, как хорошо известно, учебная или монографическая литература по данному предмету практически отсутствует. Необходимая информация, к сожалению, рассеяна в многочисленных статьях и обзорах. Авторы надеются, что данная книга восполнит существующий пробел. Что касается расположения материала книги, то в первой части подготавливается методическая база — излагаются общетеоретические аспекты гамильтоновского формализма. Во второй части рассматривается гамильтонизация систем гидродинамического типа самого общего вида. Принципиальная проблема ввода канонических переменных для гидродинамических моделей обсуждается в третьей части. Четвертая часть посвящена развитию гамильтоновского подхода к моделям

18

Предисловие

контурной динамики. Формализм нормальных мод, его обобщения и приложения к проблемам излучения и волновым взаимодействиям обсуждены в пятой части книги. В последней, шестой, части рассматриваются гидродинамические модели и методы, основанные на прямом моделировании волновых и вихревых структур, изучение которых является решающим фактором для понимания процессов перемешивания и дезинтеграции течений. Мы старались изложить материал на уровне тех знаний, которые должен иметь студент старших курсов физических факультетов университетов и инженерно-физических специализаций политехнических институтов. Насколько наша попытка удалась — судить читателю. Читатель, знакомый с векторным анализом и тензорными обозначениями, не должен встретить затруднений с чисто математическим содержанием этой книги. Работая над книгой, мы исходили из того, что она достигнет своей цели, только если сможет пробудить интерес к этой новой области науки. При таком интересе читатель, мы надеемся, просмотрит более специализированные работы из списка литературы, где найдет более детальное обсуждение некоторых вопросов. Что касается списка литературы, то авторы ограничились лишь ссылками на работы, результаты которых непосредственно используются или обсуждаются в данной книге, а также на работы обзорного характера, в которых содержится дополнительная библиография. Мы надеемся, что книга поможет восстановить интерес к аналитическим методам исследования в гидродинамике, которые, по-видимому, незаслуженно отодвинуты в сторону мощным развитием «современных» численных методов и подходов. Мы также рассчитываем, что эта книга окажется полезной широкой аудитории, включающей научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов старших курсов университетов и инженерно-физических вузов, интересующихся теоретическими проблемами нелинейной динамики жидкостей, плазмы, астро- и геофизики, физики атмосферы и океана. Монография в значительной мере опирается на результаты и методы, полученные и разработанные в ходе исследований, которые проводились при поддержке грантов РФФИ (проекты №№ 06-05-64185, 03-05-64247, 01-05-64466, 00-05-6419, 96-05-64991, 94-05-16950), программы президиума РАН «Математические методы в нелинейной динамике», гранта Президента РФ НШ-4166. 2006. 5 и гранта РФФИ—Франция (проект № 07-05-92211-НЦНИЛ_а). Пользуясь случаем, авторы выражают глубокую благодарность Г. С. Голицыну, В. М. Грянику, Ф. В. Должанскому, В. И. Кляцкину, В. М. Пономареву, Н. Н. Романовой, И. Г. Якушкину за ценные замечания и плодотворные дискуссии, которые способствовали прояснению ряда затронутых в книге вопросов.

Часть I ОБЩЕТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ГАМИЛЬТОНОВСКОГО ФОРМАЛИЗМА

Проблема интегрирования нелинейных уравнений в частных производных, которые принято называть эволюционными, является классической и особенно актуальна в гидродинамике. Огромную роль на этом пути играет «правильный» выбор переменных, обеспечивающих сравнительно простые уравнения движения и наличие эффективных методов их решения. Как отмечал еще К. Г. Якоби [188, с. 176], «Главная трудность . . . состоит во введении удобных переменных, для разыскания которых нет никакого общего правила. Поэтому мы должны идти обратным путем: найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена». Если не ограничить класс задач, эта рекомендация вряд ли может служить универсальным руководством к действию. Однако для консервативных моделей можно предложить другой более продуктивный путь, основанный на широком использовании гамильтоновых методов. В последние годы этот подход прочно вошел в арсенал современной теоретической физики и зарекомендовал себя как мощный инструмент исследования проблем динамики в широком круге приложений. Одна из причин его привлекательности состоит в том, что он позволяет осуществить выбор удобных динамических переменных, исходя из свойств симметрии задачи и наличия в арсенале методов, которые были бы адекватны изучаемой проблеме в соответствующей формулировке. В первую часть книги включены базовые элементы гамильтоновского подхода, к которым неоднократно будем обращаться в ходе последующего изложения. В первой главе изложены основные понятия функционального анализа и приведены правила дифференцирования функционалов. Во второй и третьей главах обсуждаются два альтернативных способа определения континуальных гамильтоновых систем. Первый основан на скобках Пуассона, а второй — на дифференциальных 2-формах. Обсуждаются свойства скобок Пуассона и геометрические свойства фазовых пространств, в которых эволюционируют гамильтоновы системы. Приводятся примеры гидродинамических моделей, обладающих скрытой гамильтоновой структурой с нетривиальной скобкой Пуассона. Введение канонических переменных с помощью представления Клебша разобрано на простейшем примере уравнения Кортевега—де Вриза (КдВ). Обобщение вариационного принципа на неканонические гамильтоновы системы, основанные на дифференциальных 2-формах, рассматривается в четвертой главе. Один из примеров таких систем — модель вихревой нити — демонстрирует существование вариационного принципа для систем с вырожденной 2-формой. Гамильтоновские системы, основанные на вырожденной скобке Пуассона, и сопутствующие им интегралы движения (казимиры) обсуждаются в последнем разделе этой главы. В пятой главе рассмотрены канонические преобразования и производящие функционалы. Введение канонических переменных для поверхностных волн — один из примеров плодотворного использования точечных канонических преобразований для выбора удобных динамических переменных. Преобразования симметрии, их классификация и связанные с ними законы сохранения обсуждаются в шестой главе. Связь калибровочных симметрий с вырожденными гамильтоновыми системами иллюстрируется примерами, которые позволяют сделать вывод, что калибровочная свобода — непременный атрибут таких систем — проявляется как определенный произвол при выборе канонических переменных.

Глава 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

Универсальный математический аппарат, позволяющий последовательно перенести методы классической механики дискретных систем на континуальные (непрерывные) физические модели, которые используют концепцию поля, может быть сформулирован в рамках функционального анализа.

§ 1.1. Функционалы и вариационные производные В этом разделе мы представим некоторые основные понятия функционально анализа, а затем сформулируем правила функционального дифференцирования. Как мы увидим (см., например: [106–108, 135, 161]), эти правила во многом аналогичны обычным правилам дифференцирования и являются в некотором смысле их обобщением. В теории поля, функционалы и вариационное исчисление играют такую же важную роль, как динамические функции и дифференциальное исчисление в классической механике дискретных систем. Примерами функционалов могут служить кинетическая энергия жидкости K , ее полный импульс P , полная масса M . Эти физически важные величины характеризуют непрерывную гидродинамическую систему в целом и могут быть представлены следующими объемными интегралами:

1 K [̺, v ] = 2

Z

2

̺v dx,

P [̺, v ] =

Z

V

V

̺v dx,

M [̺] =

Z

̺ d x, V

где переменные ̺ (x, t) и v (x, t) — поля, характеризующие распределение плотности и гидродинамической скорости; x — радиус-вектор; t — время, а интегрирование распространяется на весь объем V , занятый жидкостью. Прежде всего дадим общее определение функционала. Будем говорить, что задан функционал F [u] или что F [u] функционально зависит от u, если имеется правило, по которому каждой реализации u(x) из некоторой совокупности функций, зависящих от пространственной координаты x и составляющих область определения функционала, ставится в соответствие число F , называемое значением функционала на этой функции. Если величина F не зависит от детального вида функции u(x), а зависит только от ее интегрального поведения, то в обозначении F [u] можно не указывать зависимость от аргумента x. В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что F не только функционал u, но также и явная функция независимой переменной x или параметра t, будут использоваться обозначения F [u; x] или F [u; t], соответственно. 21

22

Глава 1. Математический аппарат

Простейшим примером является линейный функционал Z Φ[u] = A(x)u(x) dx,

где A(x) — заданная функция. Для непрерывно-полевых моделей достаточно типичными являются так называемые локально-полевые функционалы. В частном случае одномерного скалярного поля u(x) такой функционал имеет вид Z   I[u] = h x, u, u(1) , u(2) , . . . , u(k) dx, (1.1.1)

где плотность функционала h — функция, зависящая от аргумента x, полевой переменной u и ее производных u(s) ≡ ∂ s u/∂xs (s = 1, . . . , k < ∞). В более общем случае h может быть функцией векторного аргумента x, совокупности полевых переменных и их производных конечного порядка относительно x. Часто возникает необходимость рассматривать более сложные функциональные объекты, примером которых может служить величина Z Φ[u; x] = B(x, x′ )u(x′ ) dx′ , (1.1.2)

где B(x, x′ ) — заданная функция двух параметров. Обозначение Φ[u; x] подразумевает, что величина (1.1.2) не только обладает функциональной зависимостью от u, но также является функцией аргумента x. Простейший функционал данного типа — значение функции u(x′ ) в точке x′ = x — может быть u(x) + δu(x) реализован c помощью дельта-функции. Полаu гая в (1.1.2) B(x, x′ ) = δ(x − x′ ), мы получаем Z u(x) u(x) = δ(x − x′ )u(x′ ) dx′ .

Чтобы ввести понятие функциональной, или вариационной, производной, рассмотрим значеx ния функционала F для двух функций u(x) и x0 + ∆x x0 x0 − ∆x u(x) + δu(x), полагая функцию δu(x) равной Рис. 1.1. К определению вариаци- нулю всюду, кроме некоторой малой окрестности ∆x точки x0 (см. рис. 1.1, который иллюонной производной стрирует одномерный случай). По определению (см., например, [108, 135, 161]), функциональной (вариационной) производной функционала F [u] в точке x0 называется предел   δF [u] F [u + δu] − F [u] R = lim (1.1.3) δu(x) dx δu(x0 )dx |∆x|→0 max|δu|→0

при условии, что этот предел существует и не зависит ни от вида δu(x), ни от способа стягивания к нулю объема окрестности ∆x, ни от закона, по которому стремится к нулю максимум модуля функции δu(x).

23

1.2. Дифференцирование функционалов

Отметим, что для функциональной производной более общепринято сокращенное обозначение δF [u]/δu(x0 ), в котором нормировка на элемент объема dx опускается. Во избежание недоразумений об этом полезно помнить, например, при вычислении и сопоставлении размерностей величин, в которые входят функциональные производные. Из определения (1.1.3), в частности, следует, что вариация функционала и вариация функции связаны линейным интегральным соотношением

δF [u] =

Z

δF [u] δu(x) dx. δu(x)

(1.1.4)

Ограничиваясь далее функционалами, по отношению к которым операция (1.1.3) может быть заведомо выполнена, можно предложить более удобную формулу для вычисления вариационной производной, если в качестве функции δu(x) взять дельта-функцию вида λδ(x − x0 ), где λ — малый амплитудный параметр. Тогда, подставляя это выражение в (1.1.3), найдем

δF [u] = lim δu(x0 ) λ→0



 F [u(x) + λδ(x − x0 )] − F [u(x)] = λ   ∂ . (1.1.5) = F [u(x) + λδ(x − x0 )] ∂λ λ=0

Формула (1.1.5) позволяет свести операцию вычисления функциональной (вариационной) производной к обычному дифференцированию.

§ 1.2. Дифференцирования функционалов Аналогично тому, как это делается в дифференциальном исчислении для обычных функций, с помощью (1.1.5) можно сформулировать все основные правила функционального дифференцирования: Правила функционального дифференцирования

 δΦ [u] δΦ [u] δ  1 2 Φ1 [u] + Φ2 [u] = + , δu(x) δu(x) δu(x)  δ  δΦ2 [u] δΦ1 [u] Φ1 [u]Φ2 [u] = Φ1 + Φ2 , δu(x) δu(x) δu(x) δ δΦ[u] F (Φ[u]) = F ′ (Φ[u]) . δu(x) δu(x)

(1.2.1) (1.2.2) (1.2.3)

Фигурирующая в последнем соотношении (1.2.3), F (Φ) — композиция функций F и Φ, а F ′ = ∂F/∂Φ — производная внешней функций по аргументу.

24

Глава 1. Математический аппарат

Чтобы выполнять функциональное дифференцирование на практике, правила (1.2.1)–(1.2.3) необходимо дополнить важной формулой1

δu(x) = δ(x − x′ ), δu(x′ )

(1.2.4)

которую легко получить из (1.1.5), полагая F [u] = u(x). Формулы (1.2.1)–(1.2.4) позволяют дифференцировать большинство функционалов, с которыми приходится встречаться на практике. Из (1.1.5) вытекает важное следствие, что операция функционального дифференцирования по переменной u коммутирует с любыми другими операторами, от u не зависящими. В частности, можно производить функциональное дифференцирование под знаком интеграла или производной. Это обстоятельство позволяет ввести самостоятельный символ функционального дифференцирования δ/δu, правила обращения с которым во многом аналогичны правилам обращения с дифференциальным оператором ∂/∂x ≡ ∂x . В качестве примера приведем правило дифференцирования сложного функционала F [f1 , f2 , . . . , fN ], в котором внутренние функции f1 , . . . , fN , в свою очередь, функционально зависят от функции ϕ(x). Это правило имеет вид Z δF δF δfi′ ′ (1.2.5) = dx δϕ δfi′ δϕ

и внешне напоминает правило обычного дифференцирования сложной функции. В выражении (1.2.5) и далее, если не оговорено иное, по повторяющемуся дискретному индексу подразумевается суммирование, а штрихованные полевые переменные обозначают зависимость от штрихованных пространственных координат: u′ = u(x′ ), u′′ = u(x′′ ). В качестве иллюстрации применения правил функционального дифференцирования вычислим вариационную производную для локально-полевого функционала (1.1.1) по полю u(x). Используя формулу (1.2.5), получим Z δI δI δu′(i) ′ = dx . δu δu′(i) δu Откуда, учитывая соотношения: Вариационная производная локально-полевого функционала

δI ∂h′ = , δu′(k) ∂u′(k)

δu′(k) = ∂xk′ δ(x − x′ ) = (−∂x )k δ(x − x′ ), δu найдем2 , что 1 Формулу (1.2.4) можно рассматривать как бесконечномерный (непрерывный) аналог формулы ∂ui /∂uj = δji , где ui — дискретные величины, а δji — дельта-символ Кронекера, который определяется правилом: δji = 1, если i = j, и δji = 0, если i 6= j. 2 Другой вывод формулы (1.2.6) может быть получен перестановкой оператора δ/δu и интеграла с последующим вычислением производной δh′ /δu по правилу (1.2.3).

1.2. Дифференцирование функционалов

δI ˆ = (−∂x )k ∂h . = Eh δu ∂u(k) ˆ = (−∂x )k ∂/∂u(k) называют оператором Эйлера. Линейный оператор E

25 (1.2.6)

На практике довольно часто возникает необходимость не только дифференцировать функционалы по параметру, в качестве которого может выступать, например, время, но и различать при этом полную и частную производные. Для примера рассмотрим сложный функционал F [u1 , u2 , . . . , uN ; t], зависящий от времени t как явно, так и неявно, т. е. через функциональную зависимость от внутренних функций ui (t, x), (i = 1, 2, . . . , N ). Приведем правило дифференцирования такого функционала по времени: Z dF δF = ∂t F + ∂t ui dx. (1.2.7) dt δui Здесь слева стоит полная производная dF/dt, а справа — частная производная по явному времени ∂t F , которая берется при фиксированных внутренних функциях ui . Частные производные по времени для внутренних функций ∂t ui дают интегральный вклад, определяемый вариационными производными. Для доказательства формулы (1.2.7) ограничимся случаем, когда функционал F [u; t] зависит только от одной внутренней функции u(t, x), и рассмотрим полную производную по параметру t как предел отношения   F [u(t + ∆t, x); t + ∆t] − F [u(t, x); t] dF = lim . ∆t→0 dt ∆t Этот предел можно представить в виде суммы двух пределов:   F [u(t, x); t + ∆t] − F [u(t, x); t] dF = lim + ∆t→0 dt ∆t   F [u(t, x) + ∆t∂t u(t, x); t] − F [u(t, x); t] + lim . (1.2.8) ∆t→0 ∆t Дифференцирование функционалов по параметру

Первый предел есть не что иное, как частная производная ∂t F , т. е. производная по явному времени при фиксированной функции u(t, x). Второй легко вычисляется, если заметить, что, по существу, под знаком предела в числителе стоит вариация функционала δF . Так как эта вариация является откликом на вариацию функции δu = ∆t∂t u, она определяется функциональной производной и, согласно (1.1.4), выражается через интеграл Z δF δF = ∆t ∂t u dx. δu Таким образом, после вычисления пределов из (1.2.8) для полной производной окончательно получим формулу Z dF δF = ∂t F + ∂t u dx, dt δu обобщение которой на более общий случай (1.2.7) представляется очевидным.

26

Глава 1. Математический аппарат

Подобно тому, как функции можно разлагать в обычные ряды Тейлора, функционалы можно разлагать в функциональные ряды Тейлора. Отметим, что такого рода степенные разложения лежат в основе различных версий теории возмущений, к которым часто прибегают, например, при исследовании линейных и нелинейных проблем волновой и вихревой динамики (см. части V и VI). В частности, для простейшего однополевого функционала F [u + η], рассматривая поле u(x) как основное состояние, а поле η(x) как возмущение, можно написать следующее разложение: Разложение функционалов в ряды Тейлора

F [u + η] = F [u] +

Z

δF [u] η(x) dx+ δu(x) ZZ 1 δ 2 F [u] + η(x1 )η(x1 ) dx1 dx2 + · · · . (1.2.9) 2! δu(x1 )δu(x2 )

Если правую часть представить в операторном виде:



Z δ 1 + dx η(x) + δu(x)  ZZ 1 δ2 + · · · F [u] = + dx1 dx2 η(x1 )η(x1 ) 2! δu(x1 )δu(x2 )  Z 2  Z δ 1 δ = 1 + dx η(x) ++ dx η(x) + · · · F [u] δu(x) 2! δu(x)

F [u + η] =

и заметить, что в фигурных скобках имеет место степенное разложение экспоненты, формулу (1.2.9) можно переписать в более изящном виде3  Z δ F [u + η] = exp dx η(x) F [u]. δu(x)

3

По аналогии с псевдодифференциальным оператором eh∂x , который действует на функцию ϕ(x) по правилу ϕ(x + h) = eh∂x ϕ(x) R  δ и сдвигает ее аргумент x на величину h, оператор exp dx η(x) δu(x) иногда называют оператором функционального сдвига.

Глава 2 ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ § 2.1. Гамильтоновы системы простейшего типа Всякий раз, когда говорят о гамильтоновой структуре уравнений, описывающих динамику какой-либо непрерывной (бесконечномерной) системы, по существу, имеют в виду определенную форму записи этих уравнений. Наиболее известна каноническая форма записи, когда система описывается четным числом уравнений вида

∂t q i =

δH , δpi

∂t pi = −

δH , δq i

(2.1.1)

относительно двух групп полевых переменных — обобщенных координат q 1 , . . ., q N и обобщенных импульсов p1 , . . ., pN , которые являются функциями времени t и пространственных координат x. Переменные, обеспечивающие такую структуру уравнений, называются каноническими, а величина H , стоящая под знаком вариационных производных и функционально зависящая от этих переменных, — гамильтонианом. Для консервативных гидродинамических моделей, однако, типична иная ситуация, когда переменные, на фазовом пространстве которых рассматривается динамика, не являются каноническими, а гамильтонова структура уравнений и выглядит совсем иначе, чем (2.1.1). Иными словами, возможны и другие многочисленные версии гамильтоновых систем, которые известны как неканонические. Например, в приложениях часто приходится сталкиваться с проблемами, которые приводят к уравнениям вида

∂t ui =

∂ δH , ∂x δui

(2.1.2)

где x — одна из пространственных координат в выделенном направлении, а ui — полевые переменные, которые зависят от времени t, x, но, вообще говоря, могут зависеть и от других пространственных координат. В частности, если в качестве гамильтониана в (2.1.2) взять по очереди выражения:  Z  1 HKdV = (∂x u)2 + u3 dx, 2 27

28

Глава 2. Основные представления о гамильтоновых системах

HP K =

Z "

1 1 (∂x u)2 + u3 + 2 2

Z

x −∞

2 # ∂y u dx dxdy,

то из (2.1.2) получим соответственно два известных уравнения:

∂ δHKdV = −∂x3 u + 6u∂x u, ∂x δu ∂ δHP K ∂t u = = −∂x3 u + ∂y2 u + 6u∂x u. ∂x δu Если в первом уравнении, которое известно как уравнение Кортевега—де Вриза (КдВ), динамическая переменная u — функция одной пространственной переменной x, т. е. u = u (x, t), то во втором, которое известно как уравнение Кадомцева— Петвиашвили (КП), u является функцией двух пространственных переменных x, y , т. е. u = u (x, y, t). Забегая вперед (см. главу 30), отметим, что в форме (2.1.2) записываются уравнения, описывающие эволюцию границ раздела, которые разбивают двухмерное течение несжимаемой жидкости на слои с постоянной плотностью и завихренностью. ∂t u =

§ 2.2. Скобки Пуассона Каковы же общие требования, предъявляемые к структуре уравнений, описывающих эволюцию бесконечномерных гамильтоновых систем максимально общего вида, и каковы отличительные признаки, позволяющие распознать гамильтоновость? В основе одного из способов современного определения таких систем лежит понятие функциональной скобки Пуассона (см., например: [74, 137, 139, 140]). Скобка Пуассона для двух величин F и G на фазовом пространстве, состоящем из совокупности функционально независимых друг от друга полевых переменных ui (t, x), i = 1, 2, . . . , N , задается тензорным полем U ij [u; x, x′ ] по правилу Z δF δG {F , G } = U ij [u; x, x′ ] j ′ dxdx′ . (2.2.1) i δu (x) δu (x ) Запись U ij [u; x, x′ ] отражает то обстоятельство, что ядро интеграла — так называемый тензор Пуассона U ij , вообще говоря, может являться не только функцией координат x и x′ , но и функционалом полей ui . Подстановка F = ui (t, x), G = uj (t, x′ ) в (2.2.1) приводит к соотношению

{ui (x), uj (x′ )} ≡ U ij [u; x, x′ ],

(2.2.2)

которое выражает очевидный факт: тензор Пуассона может быть задан через так называемые фундаментальные скобки Пуассона {ui (x), uj (x′ )} от базисных функций ui , образующих фазовое пространство. Используя (2.2.2), можно переписать (2.2.1) в виде Z δF δG {ui (x), uj (x′ )} j ′ dxdx′ . {F , G } = δui (x) δu (x )

2.3. Гамильтоновские системы общего вида

29

По определению, скобки Пуассона должны обладать двумя основными свойствами. Во-первых, свойством антисимметричности

{ui (x), uj (x′ )} = −{uj (x′ ), ui (x)}.

(2.2.3)

Во-вторых, скобки Пуассона должны удовлетворить тождеству или свойству Якоби {ui (x), {uj (x′ ), uk (x′′ )}} + ц.п. = 0, (2.2.4)

где сокращенная запись «ц.п.» обозначает слагаемые, полученные из первого циклической перестановкой по индексам и аргументам. Чтобы подчеркнуть особый геометрический смысл свойства (2.2.4), иногда рассматривают так называемый тензор Якоби [225]

T ijk (x, x′ , x′′ ) = {ui (x), {uj (x′ ), uk (x′′ )}} + ц.п. = Z δU jk [u; x′ , x′′ ] = U im [u; x, x1 ] dx1 + ц.п., (2.2.5) δum (x1 ) который играет роль аналога тензора кривизны (см. § 3.2), но для фазового пространства динамической системы. Тогда гамильтоновые системы, требующие соблюдения тождества Якоби, можно охарактеризовать условием

T ijk (x, x′ , x′′ ) ≡ 0, которое можно интерпретировать как отсутствие «кривизны» в фазовом пространстве динамических переменных.

§ 2.3. Гамильтоновские системы общего вида Скобки Пуассона, заданные на фазовом пространстве полей u1 , . . ., uN , позволяют определить так называемые гамильтоновские системы как системы, которые эволюционируют по закону Z δH i i ∂t u = {u , H } = U ij [u; x, x′ ] j ′ dx′ , (2.3.1) δu (x ) где H — гамильтониан системы — величина, функционально зависящая от полей ui . Отметим, что возможность формальной записи уравнений движения в интегральном виде (2.3.1) еще не означает гамильтоновости системы, если для тензорного поля U ij не выполняется свойство антисимметричности

U ij [u; x, x′ ] = −U ij [u; x′ , x] и не соблюдается тождество Якоби Z δU jk [u; x′ , x′′ ] U im [u; x, x1 ] dx1 + ц.п. = 0. δum (x1 )

30

Глава 2. Основные представления о гамильтоновых системах

Нарушение хотя бы одного из этих свойств, что возможно при некоторых аппроксимациях, — явный признак потери консервативности, т. е. разрушения интегралов движения. Если гамильтониан системы явно не зависит от времени и, следовательно, ∂t H = 0, закон сохранения энергии автоматически следует из данной формулировки, так как равенство1

dH = {H , H } = 0 dt выполняется в силу свойства антисимметричности (2.2.3). С точки зрения данных выше определений канонический гамильтоновский формализм (2.1.1) соответствует скобкам Пуассона вида j

{q i , q ′ } = {pi , p′ j } = 0;

{q i , p′ j } = δji δ(x − x′ ),

(2.3.2)

где δji — дельта-символ Кронекера — определяется правилом: δji = 1, если i = j , и δji = 0, если i 6= j . В другом примере (2.1.2) гамильтонова структура определяется скобками Пуассона вида j {ui , u′ } = δ ij ∂x δ(x − x′ ). (2.3.3)

Оба примера являются тривиальными в том отношении, что соответствующее им тензорное поле U ij не зависит функционально от полевых переменных, и, следовательно, свойство (2.2.4) выполняется автоматически. К числу нетривиальных, но сравнительно простых континуальных гамильтоновых систем относятся системы, у которых тензорное поле U ij [u; x, x′ ] линейно зависит от полевых переменных. К этому виду, например, принадлежит уравнение Ландау—Лифшица [126]

∂t n = n ×

δH . δn

(2.3.4)

Здесь знак «×» — обозначает векторное произведение. Это уравнение встречается в физике твердого тела (см.: [110, 128]) и используется для описания динамики классического спинового поля n (x, t) в ферромагнетиках в приближении сплошной среды. Скобки Пуассона, соответствующие структуре уравнения Ландау—Лифшица (2.3.4), определяются уравнением j

{ni , n′ } = eikj nk δ(x − x′ ),

(2.3.5)

1

Напомним (см. более подробно по этому поводу текст на с. 25), что полная производная dΦ/dt от функционала Φ[u1 , . . . , uN ; t], который может зависеть от времени t как явно, так и неявно через функции u1 , . . . , uN , берется следующим образом Z dΦ δΦ = ∂t Φ + ∂t ui dx, dt δui

где ∂t Φ — частная производная функционала по явному времени берется при фиксированных значениях u1 , . . . , uN .

31

2.4. Локальные скобки Пуассона и их свойства

где eikj — единичный антисимметричный тензор (символ Леви—Чивита) — задается следующим правилом: eikj = 0, если среди индексов ikj есть два одинаковых, и eikj = ±1, если все индексы различны. Причем знак «+» реализуется, если упорядоченная система индексов ikj образует четную круговую перестановку чисел 1, 2, 3, и знак «−», если нечетную перестановку. Подавляющее число моделей, с которыми приходится иметь дело в гидродинамике и физике плазмы, обладают скрытой гамильтоновой структурой с нетривиальной скобкой Пуассона. Типичной иллюстрацией является уравнение

∂t ω + (v · ∇) ω − (ω · ∇) v = 0, описывающее эволюцию поля завихренности ω = ∇ × v (v — гидродинамическое поле скорости) в однородной несжимаемой жидкости. Как было показано В. И. Арнольдом [4], на фазовом пространстве поля ω это уравнение можно записать в виде   δH ∂t ω = −∇ × ω × ∇ × , (2.3.6) δω где функционал

H =

1 2

Z

v 2 dx

(2.3.7)

является кинетической энергией жидкости, а векторное поле ∇ × (δH /δ ω) есть не что иное, как гидродинамическая скорость v. Нетрудно убедиться, что уравнение (2.3.6) является гамильтоновым, а фундаментальная скобка Пуассона дается выражением

{ω i , ω ′j } = eipn enlm elkj ∂p ω m ∂k δ(x − x′ ).

(2.3.8)

Здесь и далее ∂i = ∂/∂xi — операторы дифференцирования2 по пространственным координатам (i = 1, 2, 3).

§ 2.4. Локальные скобки Пуассона и их свойства Перечисленные выше скобки (2.3.2), (2.3.3), (2.3.5), (2.3.8) — типичные представители так называемых локальных скобок Пуассона. По определению [74], локальные скобки Пуассона общего вида представляются конечной суммой

{ui , uj′ } = Bkij ∂ kδ(x − x′ ).

(2.4.1)

Эта сумма составлена из дельта-функции δ (x − x′ ) и ее производных с тензорными коэффициентами Bkij [ui ; x], которые зависят от полей ui и их производных 2 По умолчанию, если что-то не оговорено особо, операторы дифференцирования действуют на все, что стоит справа.

32

Глава 2. Основные представления о гамильтоновых системах

в точке x. По поводу других используемых обозначений предполагается, что k = = (k1 , k2 , k3 ) — мультииндекс, по которому в (2.4.1) подразумевается суммирование, ∂ k = ∂1k1 ∂2k2 ∂3k3 — оператор дифференцирования по пространственным координатам ∂i = ∂/∂xi , (i = 1, 2, 3). Суммирование в (2.4.1), как уже говорилось, является конечным и идет по повторяющемуся мультииндексу k так, что суммарный индекс |k| = k1 + k2 + k3 пробегает все целые числа от 0 до K . Целое число K называется порядком скобки. Класс локальных скобок Пуассона естественно возникает при рассмотрении различных консервативных полевых теорий, удовлетворяющих требованию локальности. Физически это требование означает, что эволюция полей в точке x должна зависеть только от значений полей и их производных, взятых в той же самой точке пространства. Последнее условие, например, выполняется для скобок (2.4.1) и локальных гамильтонианов специального вида Z
H = h x, ui , uik dx, (2.4.2) у которых плотность гамильтониана h является аналитической функцией, зависящей от x, ui и частных производных ∂ k ui ≡ uik, где k — мультииндекс, используемый в соответствии с установленным выше правилом ∂ k = ∂1k1 ∂2k2 ∂3k3 . Как легко показать, в этом случае гамильтоновы уравнения (2.3.1) приводят к системе уравнений в частных производных с конечным числом членов. Действительно, в соответствии с правилом (1.2.5), найдем, что вариационная производная локального функционала (2.4.2) определяется выражением

δH = δuj

Z

∂h′ δu′ is ′ ∂h dx = (−1)|s| ∂ s i . i δuj ′ ∂us ∂u s

(2.4.3)

Подставляя (2.4.3) в (2.3.1) и принимая во внимание (2.4.1), получим:

∂t ui = (−1)|s| Bkij ∂ k+s

∂h , ∂uis

где s, так же, как и k, — мультииндекс. Тензорные функции Bkij не являются произвольными и должны удовлетворять вполне определенным требованиям, вытекающим из свойств скобок Пуассона. Так, свойство антисимметричности приводит к условию   Bkij ∂ k + (−∂)k Bkji δ (x − x′ ) = 0. (2.4.4)

Равенство (2.4.4) необходимо понимать в смысле обобщенных функций. Собирая подобные члены, имеющие одинаковый характер сингулярности в точке x = x′ , и приравнивая затем полученный результат нулю, можно показать, что (2.4.4) эквивалентно конечной системе линейных соотношений на функции Bkij , их частные производные по x и на частные производные Bkij по полям uim.

2.4. Локальные скобки Пуассона и их свойства

33

Дополнительные ограничения на функции Bkij накладывает тождество Якоби. Подстановка (2.4.1) в (2.2.4) приводит к условиям

 ∂Bsij  p mk t ∂ Bt ∂ δ (x − x′′ ) ∂ sδ(x − x′ ) + ц.п. = 0, m ∂up

(2.4.5)

где s, p и t — мультииндексы. Аналогичные рассуждения приводят нас к заключению, что равенство (2.4.5) равносильно конечной системе уравнений, квадратичных относительно функций Bkij и их частных производных по x и по uim. Несмотря на ограничения (2.4.4), (2.4.5), в выборе структурных функций Bkij остается значительный произвол. При построении скобок Пуассона этот произвол преодолевается либо в рамках классификационного подхода, который опирается на теоретико-групповой анализ структуры скобок Пуассона (см., например, [137, 140] и цитируемую там литературу), либо в рамках феноменологического подхода. Последний исходит из ряда фундаментальных физических принципов, которые накладывают дополнительные ограничения на скобки Пуассона (см., например, [211]). Некоторые из этих принципов могут быть сформулированы как требование инвариантности гамильтоновских систем относительно тех или иных преобразований. В контексте данного раздела ограничимся обсуждением лишь одного наиболее тривиального следствия, связанного со свойством однородности координатного пространства. Более подробное обсуждение проблемы инвариантности гамильтоновых систем и вытекающих отсюда ограничений на скобки Пуассона отложим на будущее (см. главы 7,8,12). Поскольку свойство однородности координатного пространства предполагает отсутствие физически выделенных точек, это означает, что перенос системы координат как целого не должен сказываться на физических следствиях, вытекающих из математических формулировок, или, как говорят, должна иметь место трансляционная инвариантность теории. Очевидно, что удовлетворяющие этому требованию локальные скобки Пуассона, а, следовательно, и структурные функции Bkij , не должны зависеть явно от пространственных координат x. Такие скобки называются трансляционно инвариантными. Аналогичным образом можно рассмотреть ограничения на выбор структурных функций Bkij , возникающие вследствие инвариантности относительно поворотов осей координат. Как известно, это свойство, обусловленное равноправием всех направлений в пространстве, называется изотропностью, а соответствующие скобки Пуассона — изотропными. Однако следует иметь в виду, что для этого в каждом конкретном случае необходимо знать, как ведут себя при поворотах осей координат полевые переменные ui , которые, вообще говоря, могут иметь не только скалярный или векторный, но и более сложный геометрический характер [34].

Глава 3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФАЗОВЫХ ПРОСТРАНСТВ. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Существует альтернативный способ определения гамильтоновых систем, обладающий не меньшей степенью общности, чем предыдущий, связанный со скобкой Пуассона. В его основе лежит не скобка Пуассона, а понятие о замкнутой дифференциальной 2-форме ω . С физической точки зрения такие системы представляют специальный интерес, поскольку для них, по крайней мере локально, может быть установлен вариационный принцип наименьшего действия.

§ 3.1. Гамильтоновы системы, основанные на концепции дифференциальных 2-форм К подобным гамильтоновым системам можно прийти естественным образом. Рассмотрим с этой целью гамильтоновы системы (2.3.1) с невырожденной скобкой Пуассона. Невырожденность скобки означает, что интегральное уравнение Z Z δC ′ i k δC ik ′ ′ {u , u } dx = U (x , x) dx′ = 0 i ′ δu δu′ i не имеет относительно функционала C , который не зависит от времени явно, никаких других решений, кроме C = const. В этом случае тензор Пуассона U ik имеет обратный ωik , и они связаны друг с другом соотношением Z ωik (x, x′′ )U kj (x′′ , x′ ) dx′′ = δij δ(x − x′ ). (3.1.1) Воспользовавшись (3.1.1), легко установить, что в этом случае эволюционное уравнение (2.3.1) приводится к виду Z δH k ωik (x′ , x) ∂t u′ dx′ = , δui где тензорное поле ωik (x, x′ ) обладает свойствами:

ωik (x, x′ ) = −ωki (x, x′ ); δωki (x, x′ ) δωjk (x′′ , x) δωij (x′ , x′′ ) + + = 0. δuj (x′′ ) δui (x′ ) δuk (x) 34

(3.1.2) (3.1.3)

3.1. Гамильтоновы системы, основанные на концепции 2-форм

35

Эти свойства являются прямым следствием соответствующих свойств (2.2.3), (2.2.4), которыми обладает скобка Пуассона. Не вдаваясь глубоко в теорию внешних дифференциальных форм, укажем, что в конечномерном случае с антисимметричными тензорами ωik связывают так называемые внешние дифференциальные 2-формы, на языке которых гамильтонов формализм излагается столь же последовательно, как и на языке скобок Пуассона. Для более детального знакомства с этим предметом можно рекомендовать специальную математическую литературу (см., например, [5, 75, 143, 181]). Можно перенести терминологию и результаты дифференциальной геометрии из конечномерных фазовых пространств на бесконечномерные, если иметь в виду специфику последних. Это легко сделать, если считать, что независимые переменные (компоненты пространственных координат) играют роль непрерывных индексов, и распространить на них (с соответствующим обобщением) правила обращения с дискретными индексами. Согласно этому обобщению обычные дифференциалы d переходят в функциональные δ , а суммирование по повторяющимся непрерывным индексам равносильно интегрированию по повторяющимся аргументам. Напомним, что в конечномерном случае внешняя дифференциальная 2-форма, соответствующая антисимметричному тензору ωik , записывается как

ω = ωik dui ∧ duk ,

(3.1.4)

где знак «∧» обозначает внешнее произведение, а ui — независимые переменные. В бесконечномерном случае, когда ui и ωik являются непрерывными функциями пространственной координаты x, эта формула должна быть переписана в соответствии с установленным выше правилом как Z k ω = ωik (x, x′ ) δui ∧ δu′ dxdx′ . (3.1.5) Чтобы подчеркнуть отличие от (3.1.4), выражения, подобные (3.1.5), называют функциональными 2-формами. Можно показать, что свойство (3.1.3) является условием замкнутости этой формы, т. е. вытекает из требования равенства нулю ее внешнего функционального дифференциала

δω =

Z

δωik (x, x′ ) i k l δu ∧ δu′ ∧ δu′′ dxdx′ dx′′ = δul (x′′ ) Z 1 k l Sikl (x, x′ , x′′ ) δui ∧ δu′ ∧ δu′′ dxdx′ dx′′ . (3.1.6) = 3

Тензорное поле Sikl определяется выражением

Sikl =

δωik (x, x′ ) δωli (x′′ , x) δωkl (x′ , x′′ ) + + , δul (x′′ ) δuk (x′ ) δui (x)

и возникает как результат процедуры антисимметризации для тензора δωik /δul под знаком интеграла (3.1.6).

36

Глава 3. Геометрические свойства фазовых пространств

Легко убедиться, что ′

′′

Sikl (x, x , x ) =

Z

ωim (x, x1 ) ωkn (x′ , x2 ) ωlj (x′′ , x3 ) × × T mnj (x1 , x2 , x3 ) dx1 dx2 dx3 .

т. е. тензор Sikl представляет собой ковариантный аналог тензора Якоби T ikl , определяемого выражением (2.2.5). По аналогии со скобкой Пуассона, функциональная 2-форма называется невырожденной, если интегральное уравнение Z (3.1.7) ωik (x, x′ ) ξk (x′ ) dx′ = 0 не имеет относительно ξk никаких других решений, кроме ξk = 0. В соответствии с общепринятой в дифференциальной геометрии терминологией [5, 75, 143, 181], замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма (3.1.5) называется симплектической структурой, а фазовое пространство, на котором она определена, симплектическим. Очевидно, что для дискретных систем симплектическое пространство обязательно имеет четную размерность, поскольку в противном случае det ωik = 0. На непрерывные (полевые) системы это утверждение не переносится, так как под размерностью фазового пространства нельзя понимать только дискретную компоненту размерности, которая определяется числом полей ui , перечисляемых дискретным индексом i = 1, 2, . . . , N , а нужно еще иметь в виду бесконечномерность самих полевых переменных ui . Иллюстрацией однополевого симплектического пространства может служить фазовое пространство уравнения Z δH ∂t u′ θ (x − x′ ) dx′ = , (3.1.8) δu где θ(x) = 12 sign(x) при x 6= 0 и θ(x) = 0 при x = 0. Как будет показано далее в § 4.2, уравнение (3.1.8) — просто иная форма записи хорошо знакомого уравнения КдВ. Соответствующая симплектическая форма имеет вид Z ω = θ (x − x′ ) δu ∧ δu′ dxdx′ . (3.1.9) Замкнутость формы ω очевидна, так как δθ/δu = 0. Остается проверить невырожденность, которая означает, что уравнение Z ξ (x′ ) θ (x − x′ ) dx′ = 0 (3.1.10)

не имеет нетривиальных решений. Действительно, после дифференцирования (3.1.10) по x, получим решение ξ(x) = 0.

3.2. Аналогия метрических и симплектических пространств

37

§ 3.2. Аналогия метрических и симплектических пространств. Геометрическая интерпретация канонических переменных Замечательным свойством симплектических пространств дискретных систем является то, что подходящей заменой динамических переменных тензор ωik , а, следовательно, и U ik могут быть одновременно приведены к каноническому виду   0 −E ik ωik = U = , (3.2.1) E 0

(где E — единичная матрица) в по крайней мере малой окрестности любой точки фазового пространства [143]. Переменные, в которых тензоры ωik и U ik принимают специальный вид (3.2.1), как известно, называются каноническими. Этот факт составляет содержание известной теоремы Дарбу и имеет наглядную геометрическую интерпретацию, основанную на качественной аналогии между геометрией метрических пространств и геометрией фазовых пространств гамильтоновых систем [181, 225, 273]. Чтобы провести такую аналогию, напомним вначале некоторые сведения из метрической геометрии (см., например, [157]). Хорошо известно, что метрическое пространство характеризуется симметричным невырожденным метрическим тензором gik , который полностью определяет всю геометрию этого пространства. Если в евклидовом пространстве всегда можно перейти в декартову систему координат, в которой метрический тензор gik принимает диагональный единичный вид, то в римановом этого, вообще говоря, сделать нельзя. Препятствием служит отличие от нуля тензора кривизны. Примером неевклидового пространства является сфера, на поверхности которой невозможно глобально ввести декартовы координаты. Однако любое неевклидово пространство можно сделать евклидовым, вложив его в пространство более высокой размерности. Очевидной иллюстрацией этого утверждения может служить вложение двумерной сферы в трехмерное декартово пространство. Вернемся к рассмотрению гамильтоновых систем. Как уже говорилось, динамика таких систем разворачивается в кососимметричных фазовых пространствах, геометрические свойства которых исчерпывающим образом характеризуются тензором ωik или U ik . Тензорный характер ωik и U ik следует из ковариантности уравнений (2.3.1), описывающих движение гамильтоновых систем, при преобразованиях динамических переменных. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим взаимооднозначное преобразование к новым полевым переменным

ai = ai [u1 , u2 , . . . , uN ; x];

i = 1, . . . , N.

(3.2.2)

Легко показать, что в терминах полей ai уравнение (2.3.1) сохраняет свою гамильтонову структуру Z δH i ∂t a = U ik (x′ , x) ′ k dx′ , δa

38

Глава 3. Геометрические свойства фазовых пространств

где новый тензор Пуассона U ik получен из старого U ik как результат преобразования Z ′j δai kl ′′ ′′′ δa ij i ′j , ) U = {a , a } = U ( x x dx′′ dx′′′ . δu′′ k δu′′′ l Оказывается, что канонические переменные для описания гамильтоновых систем играют ту же роль, что и декартовы координаты в метрической геометрии. Подобно декартовым координатам канонические переменные без изменения размерности фазового пространства могут быть введены только при соблюдении двух условий: невырожденности кососимметричной метрики (det ωik 6= 0 или det U ik 6= 0) и обращении в нуль тензора T ikl . Тензор Якоби T ikl служит грубой аналогией тензора кривизны в метрическом пространстве [225]. Для каждого симплектического пространства существует бесконечно много систем канонических координат, взаимосвязанных каноническими преобразованиями. При этом канонические преобразования являются аналогом твердотельного вращения систем декартовых координат в евклидовом пространстве. Наконец, точно так же, как любое неевклидово пространство можно сделать евклидовым, вложив его в пространство более высокой размерности, любую негамильтоновую систему можно записать в «гамильтоновом» виде, расширив первоначальное фазовое пространство за счет введения дополнительных переменных.

§ 3.3. Введение канонических переменных Как пример того, что любые негамильтоновы системы могут быть сформулированы в «канонической» форме за счет введения дополнительных переменных, рассмотрим метод удвоения переменных. Для системы динамических уравнений Метод удвоения переменных

∂t ui = Fi [u1 , u2 , . . . , uN ; x];

i = 1, . . . , N

(3.3.1)

этот метод реализуется следующим образом. Полагая переменные ui каноническими координатами, введем сопряженные полевые переменные pi , играющие роль канонических импульсов, и построим «гамильтониан»: Z H = pi Fi dx. Тогда, с одной стороны, канонические уравнения (2.1.1), соответствующие такому «гамильтониану», воспроизводят исходную систему уравнений (3.3.1), а с другой — приводят к системе ассоциированных уравнений

δH ∂t pi = − i = − δu

Z

p′i

δFk′ dx′ , δui

решения которой никак не влияют на решения (3.3.1).

39

3.3. Введение канонических переменных

Данный математический трюк необходимо понимать не более как иллюстрацию геометрической идеи переустройства негамильтонового фазового пространства за счет введения дополнительных полевых переменных. Его нельзя использовать как метод преобразования реальных гамильтоновых систем к каноническому виду. Причина состоит в том, что, когда говорят о гамильтоновости, например, системы (3.3.1), то, в соответствии с определением (см. § 2.3), подразумевают существование не только определенной структуры, т. е. скобок Пуассона, но и гамильтониана, заданного в том же фазовом пространстве u1 , . . . , uN . Для реальных физических систем это означает, что гамильтониан не может содержать искусственные переменные типа pi , которые не выражались бы через исходные (физические) переменные ui . Такое свойство, тесно связанное с так называемой калибровочной инвариантностью теории, имеет глубокий физический смысл, и более подробно будет обсуждаться в § 6.3. Геометрическую идею введения канонических переменных за счет расширения числа полей, составляющих фазовое пространство, можно реализовать другим способом. Этот способ продемонстрируем на уже знакомом уравнении КдВ Преобразование Клебша

∂t u = ∂x

δH , δu

(3.3.2)

для которого скобка Пуассона имеет вид

{u, u′ } = ∂x δ(x − x′ ).

(3.3.3)

Что значит ввести канонические переменные? Очевидно, один из возможных ответов на этот вопрос состоит в том, чтобы суметь выразить переменную u через две другие q и p, которые удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям (условиям каноничности):

{q, q ′ } = {p, p′ } = 0;

{q, p′ } = δ(x − x′ ).

(3.3.4)

Таким образом, проблема сводится к поиску такой функциональной зависимости u[q, p], где q и p — канонические переменные, которая бы воспроизводила соотношение (3.3.3). Такого типа зависимости известны как представления или преобразования Клебша, а канонические переменные q и p называют потенциалами или переменными Клебша. Исторически эти названия связаны с А. Клебшем [202], который впервые использовал подобное преобразование для гидродинамической скорости в несжимаемой жидкости 1 . 1

В 1859 г. А. Клебш нашел, что разложение поля гидродинамической скорости v = ∇ϕ + λ∇µ

позволяет переписать уравнения движения идеальной однородной несжимаемой жидкости в замкнутом виде как ∂t λ + v · ∇λ = 0, ∂t µ + v · ∇µ = 0,

40

Глава 3. Геометрические свойства фазовых пространств

Нетрудно догадаться (подсказкой служит вид правой части (3.3.3)), что соответствующее представление Клебша для u[q, p] должно быть билинейным по переменным q, p, и оператору ∂x , т. е.

u = (α1 ∂x + β1 ) q + (α2 ∂x + β2 ) p,

(3.3.5)

где α1 , α2 , β1 , β2 — некоторые константы. Подстановка (3.3.5) в (3.3.3) с использованием (3.3.4) приводит к одному соотношению 1 α1 β2 − α2 β1 = , (3.3.6) 2 на четыре коэффициента α1 , α2 , β1 , β2 . Поэтому (3.3.6) ограничивает, но не устраняет полностью произвол в выборе этих констант. Воспользовавшись оставшимся произволом в выборе констант и положив α1 = 1, β2 = 1/2, α2 = β1 = 0, можно привести (3.3.5) к более простому виду

1 u = ∂x q + p. 2

(3.3.7)

Отметим, что тот же самый результат мог быть достигнут сразу с помощью аффинного преобразования

Q = α1 q + α2 p,

P = 2 (β1 q + β2 p) ,

которое при условии (3.3.6) является каноническим, т. е. вводит новую координату Q и сопряженный импульс P . Однако, кроме параметрического произвола, который удается таким образом устранить, остается еще функциональный, связанный с неоднозначностью выбора канонического базиса q и p при фиксированном «физическом» поле u. Как увидим далее (см. более подробное обсуждение в § 6.3), такая ситуация весьма типична и отражает потенциальную возможность канонических калибровочных преобразований, оставляющих инвариантными все физические величины теории, а, следовательно, существование специфических законов сохранения. С геометрической точки зрения эти законы сохранения фиксируют поверхность, на которой сосредоточено действительное движение системы в симплектическом пространстве q , p. с наложенным на скалярные переменные (потенциалы) λ, µ, и ϕ дополнительным ограничением ∆ϕ = −∇ · (λ∇µ), которое имеет место в силу условия несжимаемости ∇ · v = 0. Хотя Клебш понимал, что полученная система эквивалентна некоторой вариационной задаче, о канонической сопряженности потенциалов λ и µ он не догадывался. Этот факт стал осознан позже (первый шаг был сделан вероятно Г. Лэмбом, 1932 г.), сразу после того, как уравнения Клебша были переписаны в виде δH δH ∂t λ = , ∂t µ = − , δµ δλ где в качестве гамильтониана взята полная энергия несжимаемой жидкости Z 1 H = v 2 dx. 2

Глава 4 ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГАМИЛЬТОНОВСКИЕ СИСТЕМЫ § 4.1. Обобщение вариационного принципа на неканонические системы, основанные на дифференциальных 2-формах Хорошо известно (см., например, работы [9, 13, 33, 120]), что уравнения движения для весьма широкого класса физических систем следуют из вариационного принципа наименьшего действия. В самом общем виде этот принцип утверждает, что существует такой интеграл S , называемый действием,

S=

Z

t1

(4.1.1)

L dt,

t2

где L — лагранжиан динамической системы, что каждое действительное движение, удовлетворяющее уравнениям движения с фиксированными начальным, в момент t1 , и конечным, в момент t2 , состояниями, реализует экстремум этого функционала S : δS = 0. (4.1.2) Ограничиваясь рассмотрением только гамильтоновых систем, вначале выясним существование принципа наименьшего действия применительно к самому простому случаю — каноническим гамильтоновым системам (2.1.1). В этом случае принцип (4.1.1), (4.1.2) формулируется в следующем виде:

δS = 0,

S=

Z

t1 Z

t2

i

pi ∂t q dx − H



dt,

(4.1.3)

с дополнительным условием:

δq i (x, t1 ) = δq i (x, t2 ) = 0,

(4.1.4)

которое означает, что вариация действия берется при фиксированном начальном и конечном состоянии системы в координатном секторе канонического фазового пространства. 41

42

Глава 4. Вариационный принцип наименьшего действия

Обобщение вариационного принципа (4.1.3), (4.1.4) на неканонические гамильтоновы системы можно получить, если в качестве лагранжиана рассмотреть величину Z

L =

Ai ∂t ui dx − H ,

(4.1.5)

а в качестве дополнительных условий взять равенства

δui (x, t1 ) = δui (x, t2 ) = 0, (4.1.6)   полагая при этом, что величины Ai u1 , . . . , uN ; x — некоторые функционалы, зависящие явно, быть может, от координаты x, но только не от времени t. Легко проверить, что уравнения Z δH k , ωik (x′ , x) ∂t u′ dx′ = (4.1.7) δui которые были получены в рамках гамильтоновского формализма, основанного на концепции дифференциальных 2-форм, в точности следуют из обобщенного вариационного принципа, если тензор ωik определить как

ωik (x, x′ ) =

δA′ k δAi − ′k . i δu δu

(4.1.8)

Следует особо подчеркнуть, что правая сторона (4.1.8) автоматически удовлетворяет необходимым условиям антисимметричности (3.1.2) и замкнутости (3.1.3). Поэтому на языке внешних дифференциальных форм соотношение (4.1.8) означает, что ω = δΩ, (4.1.9) где 1-форма Ω определяется выражением Z i Ω = A′ i δu′ dx′ .

(4.1.10)

В этом случае принято говорить, что форма ω является точной. Таким образом, для существования вариационного принципа наименьшего действия у гамильтоновых систем необходимо, чтобы соответствующая замкнутая 2-форма ω была точной глобально, т. е. во всей области фазового пространства, на котором определены решения уравнений (4.1.7). Является ли замкнутая форма точной глобально (локально это всегда так) зависит от топологических свойств фазового пространства. Препятствием для этого может оказаться неодносвязность. Если же область фазового пространства односвязна, т. е., если любой замкнутый путь или петля стягивается по этой области в точку, условие замкнутости (3.1.3) в данной области интегрируется соотношением (4.1.8). Изучением топологических свойств, определяющих связь между замкнутыми и точными формами, занимается теория когомологий, краткий экскурс в которую можно найти в [133, 187].

4.1. Обобщение вариационного принципа

43

Модель вихревой нити (более подробное обсуждение см. в § 28.5 и § 28.6) — один из примеров неканонических гамильтоновских систем, которые имеют вариационный принцип наименьшего действия. Уравнения движения вихревой нити (см., например, [131]) формулируются в виде δH ˆ × ∂s x ˆ= ∂t x (4.1.11) ˆ δx с гамильтонианом Z ˆ · ∂s′ x ˆ′ κ ∂s x dsds′ . H = x 2π ˆ −x ˆ ′

ˆ (s) — пространственные координаты вихревой нити, параметрически заЗдесь x данной с помощью натурального параметра s; ∂s = ∂/∂s; H — гамильтониан, а κ — константа, характеризующая интенсивность вихревой нити. Легко проверить, что в фазовом пространстве динамических переменных x ˆi (s, t), (i = 1, 2, 3) уравнение (4.1.11) может быть переписано как (4.1.7) с тензорным полем ωik вида ωik = eimk δ (s − s′ ) ∂s x ˆm .

(4.1.12)

Зная ωik , из (4.1.8) можно найти соответствующие «потенциалы» Ai :

1 Ai = − einm x ˆn ∂s x ˆm , 3 и построить лагранжиан (4.1.5). В результате, для модели вихревой нити, согласно (4.1.1), можно найти интеграл действия, который описывается выражением:  Z t1  Z 1 ˆ · (∂t x ˆ × ∂s x ˆ ) ds − H dt. S= x 3 t2 Покажем, что рассматриваемая гамильтонова система (4.1.11), описывающая движение вихревой нити, вырождена. Действительно, согласно уравнению (3.1.7), которое в данном случае принимает вид: Z ωik (s, s′ )ξk (s′ ) ds′ = 0 и подстановкой (4.1.12) сводится к уравнению:

ˆ = 0, ξ × ∂s x ˆ , где f (s) — произвольная скалярная существует нетривиальное решение ξ = f ∂s x функция натурального параметра s. Этот пример поучителен в том отношении, что демонстрирует существование вариационного принципа не только для невырожденных гамильтоновых систем, но и для вырожденных — тех, в основе которых лежит вырожденная форма ω .

44

Глава 4. Вариационный принцип наименьшего действия

§ 4.2. Гамильтоновские системы с вырожденными скобками Пуассона. Инварианты Казимира Остановимся теперь кратко на гамильтоновых системах, в основе которых лежит вырожденная скобка Пуассона. К таковым принадлежат практически все известные консервативные гидродинамические модели, сформулированные на языке естественных физических переменных в эйлеровом представлении. Достаточно простое и краткое изложение вопросов, касающихся гамильтоновых систем с вырожденной скобкой Пуассона, можно найти в работе [241] (для более подробного ознакомления с предметом см. [143]). Как уже отмечалось в § 3.1, вырожденность скобки Пуассона означает, что интегральное уравнение Z Z δC ′ i k δC ik ′ ′ {u , u } dx = U (x , x) dx′ = 0 (4.2.1) i ′ δu δu′ i обладает некоторым набором нетривиальных и независимых решений Cn , где целочисленный индекс n пробегает значения n = 1, . . . , K . Независящие явно от времени функционалы Cn называются аннуляторами скобок Пуассона, или функционалами Казимира, или просто казимирами. Из (4.2.1) следует, что казимир Cn коммутирует с любым функционалом F , заданным на фазовом пространстве переменных ui (i = 1, . . . , N ), т. е. их взаимная скобка Пуассона обращается в нуль

{Cn , F } = 0. В частности, в качестве F может выступать гамильтониан системы H . Поэтому казимиры обладают свойством

∂t Cn = {Cn , H } = 0 и, следовательно, являются сохраняющимися величинами или инвариантами движения   Cn u1 , . . . , uN ; x = const . (4.2.2)

Так как в силу (4.2.1) существование сохраняющихся функционалов Cn целиком определяется структурой скобки Пуассона, следует подчеркнуть, что в отличие от обычных интегралов движения казимиры являются инвариантами движения для систем с любым гамильтонианом в данном классе скобок Пуассона. С геометрической точки зрения совокупность K независимых равенств (4.2.2) выделяет в исходном фазовом пространстве K -параметрическую поверхность, на которой и сосредоточено действительное движение гамильтоновой системы. Роль параметров, фиксирующих поверхность, играют константы в правой части (4.2.2). Каждому набору из K параметров соответствует своя поверхность, на которой вырожденная скобка Пуассона становится невырожденной. Геометрически это означает, что первоначальное фазовое пространство расслаивается на семейство симплектических поверхностей — фазовых подпространств, обладающих в силу теоремы Дарбу каноническим базисом.

4.2. Гамильтоновские системы с вырожденными скобками Пуассона

45

Сказанное выше проиллюстрируем конкретными примерами. Простейшим примером однополевой вырожденной гамильтоновой системы является уравнение КдВ δH , ∂t u = ∂x (4.2.3) δu со скобкой Пуассона {u, u′ } = ∂x δ (x − x′ ) . (4.2.4) В этом случае интегральное уравнение (4.2.1) принимает вид

∂x из которого следует, что

C=

δC = 0, δu Z

∞

u dx.

(4.2.5)

−∞

Таким образом, в фазовом пространстве исходной системы, состоящем из одного единственного поля u, условие C = const выделяет подпространство — множество функций u(x, t), достаточно быстро убывающих при |x| → ∞ так, чтобы существовал интеграл (4.2.5). На таком подпространстве скобка (4.2.4) становится уже невырожденной ввиду обратимости оператора ∂x . Можно показать, что в этом случае уравнение (4.2.3) приводится к виду Z δH , θ(x − x′ )∂t u′ dx′ = (4.2.6) δu а соответствующая невырожденная форма Z ω = θ(x − x′ )δu ∧ δu′ dxdx′

(4.2.7)

оказывается точной, т. е. удовлетворяет соотношениям (4.1.9), (4.1.10). Потенциал формы определяется выражением Z 1 A= θ(x − x′ )u′ dx′ . 2 Следовательно, система (4.2.6) имеет вариационный принцип (4.1.5), (4.1.6), основанный на лагранжиане Z 1 L = θ(x − x′ )u′ ∂t u dx′ dx − H . 2 В качестве второго примера рассмотрим динамику спинового поля

∂t n = n ×

δH , δn

со скобкой Пуассона j

{ni , n′ } = eikj nk δ(x − x′ ).

(4.2.8)

46

Глава 4. Вариационный принцип наименьшего действия

Этот пример уже рассматривался нами в § 2.3 (см. уравнение движения (2.3.4) и скобку Пуассона (2.3.5) этого раздела). Инварианты Казимира для спиновой системы находятся из уравнения n×

δC = 0, δn

имеющего элементарное решение C = n2 , которое в соответствии с условием (4.2.2) приводит к ограничению n2 = const. По существу, это означает, что движение спиновой системы в фазовом пространстве векторного поля n происходит по поверхности сферы так, что фазовое пространство расслаивается на сферы (рис. 4.1). Выбирая без ограничения общности радиус сферы равным единице, что соответствует C = 1, в описании можно оставить только две переменные, например, n1 и n2 , которые образуют симплектический базис. Тогда третья компонента n3 исключается подстановкой p n3 = 1 − (n1 )2 − (n2 )2 . (4.2.9) Один из способов введения канонических переменных на симплектическом базисе n1 , n2 можно осуществить с помощью преобразования: r a + a∗ |a|2 1 n = √ 1− , 2 2 (4.2.10) r ∗ 2 a − a |a| n2 = √ 1− , 2 i 2

где a и a∗ — комплексные канонически сопряженные переменные (символ «∗» обозначает комплексное сопряжение), i — мнимая единица. Другой способ решить эту проблему состоит в том, чтобы представить единичный вектор спина n в сферических координатах:

n1 = cos ϑ cos ϕ, n3

n2 = cos ϑ sin ϕ,

n3 = sin ϑ.

ϑ n

n1

0 ϕ n

2

Рис. 4.1. Единичная сфера как фазовое подпространство, в котором реализуется динамика спинового поля. Спин представлен единичным вектором n с угловыми координатами ϑ, ϕ

47

4.2. Гамильтоновские системы с вырожденными скобками Пуассона

Как показано на рис. 4.1, динамические переменные ϑ и ϕ, которые описывают динамику спинового поля, имеют простой геометрический смысл — полярного и азимутального угла, соответственно. Переменные ϑ и ϕ так же, как и n1 и n2 , образуют симплектический базис и могут быть выражены в терминах канонически сопряженных переменных a, a∗ :     a 2 ϑ = arcsin 1 − |a| , ϕ = −i ln . |a|

В терминах канонически сопряженных переменных a, a∗ уравнение движения (4.2.8) принимает вид

∂t a = −i

δH , δa∗

∂t a∗ = i

δH , δa

(4.2.11)

где гамильтониан H [a, a∗ ] для канонического описания получается из исходного гамильтониана H [n] заменой переменных (4.2.9), (4.2.10). Преобразование (4.2.10) от векторного поля n к канонически сопряженным переменным a, a∗ является классическим аналогом преобразования Гольдштейна—Примакова [2, 59] и впервые использовалось в работе [276] для анализа нелинейных процессов в ферромагнетиках. В качестве последнего примера рассмотрим уравнение движения несжимаемой однородной жидкости в форме Арнольда   δH ∂t ω = −∇ × ω × ∇ × . δω Этот пример также уже обсуждался в § 2.3 (см. уравнение движения (2.3.6) и гамильтониан (2.3.7) из этого раздела). Скобка Пуассона j

{ω i , ω ′ } = eipn enlm elkj ∂p ω m ∂k δ(x − x′ ), соответствующая этой модели, является вырожденной, поскольку уравнение   δC ∇× ω×∇× =0 δω имеет нетривиальное решение

C=

Z

v · ω dx.

(4.2.12)

Этот инвариант, как известно [250], несет топологический смысл, а именно: характеризует запутанность вихревых линий и называется спиральностью. Существование топологических инвариантов типично для тех динамических систем, которые эволюционируют так, что топологическая классификация начальных условий переносится без изменений на решения уравнений в произвольный момент времени [185].

48

Глава 4. Вариационный принцип наименьшего действия

Приведем простую и наглядную интерпретацию инварианта спиральности (4.2.12), используя модель двух замкнутых вихревых нитей. Сформулируем вначале описание подобного рода вихревых объектов. Пусть завихренность жидкости ω, связанная со скоростью v соотношением ˆ , который задан в параметω = ∇ × v, сконцентрирована на замкнутом контуре x рической виде x=x ˆ(s, t), с помощью параметра s. Это значит, что в терминах обобщенных функций линейная плотность завихренности описывается распределением

∂s ω = a(s)δ(x − x ˆ).

(4.2.13)

где независящая от времени величина a является функцией только параметра s. Интегрируя равенство (4.2.13), получим контурный интеграл I ω (x) = a(s)δ(x − x ˆ) ds, (4.2.14) где в силу соленоидальности поля вихря ∇ · ω = 0, функция a(s) удовлетворяет условию ˆ. (4.2.15) a(s) = κ∂s x Постоянная κ называется циркуляцией или интенсивностью и является индивидуальной характеристикой нити. ˆ1 и x ˆ 2 с интенсивностями Рассмотрим теперь две замкнутые вихревые нити x κ1 и κ2 , соответственно. Воспользовавшись представлением (4.2.14), (4.2.15), согласно принципу суперпозиции, находим, что полное поле завихренности для двух вихревых нитей может быть представлено как I I ˆ 1 )∂s x ˆ 1 ds + κ2 δ(x − x ˆ 2 )∂s x ˆ 2 ds. ω(x) = κ1 δ(x − x (4.2.16) Подставляя (4.2.16) в (4.2.12) и интегрируя по x, найдем I I C = κ1 v · dˆ x1 + κ2 v · dˆ x2 .

(4.2.17)

Интегралы в (4.2.17) есть не что иное, как циркуляции скорости v по замкнутым жидким контурам, в качестве которых служат сами вихревые нити. В соответствии с теоремой Стокса [132] можно показать, что I I v · dˆ x1 = mκ2 , v · dˆ x2 = mκ1 , (4.2.18) где m — число зацеплений или число витков, которые делает одна нить вокруг другой. Знак m зависит от взаимной ориентации этих вихревых нитей (рис. 4.2).

49

4.2. Гамильтоновские системы с вырожденными скобками Пуассона

а

ˆ2 x

ˆ1 x ˆ1 x

в

б

ˆ1 x

ˆ2 x ˆ2 x

m=0

m = −1

m=2

ˆ1 и x ˆ 2 . Выбор знака в Рис. 4.2. Характер зацепления двух замкнутых вихревых нитей x вариантах б и в определяется относительной ориентацией вихревых нитей

Принято считать, что m является положительным, если направления обхода ˆ1 и x ˆ 2 составляют правовинтовую систему, как по замкнутым вихревым нитям x на рис. 4.2, в, и отрицательным, если направления обхода по этим нитям составляют левовинтовую систему, как на рис. 4.2, б. Для практического определения знака существует простое «правило буравчика». Согласно этому правилу, если при повороте ручки буравчика (правой нарезки) по направлению обхода одного контура острие буравчика пойдет по направлению обхода другого контура, то выбирается знак плюс, если — против, то выбирается знак минус. Подставляя (4.2.18) в (4.2.17), получим

C = 2mκ1 κ2 . Это выражение для спиральности можно без труда обобщить на любое дискретное или непрерывное распределение вихревого поля.

Глава 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ При изучении гамильтоновых систем бросается в глаза очень важная их черта — структурная жесткость уравнений, т. е. сохранение свойств (2.2.3), (2.2.4):

{ui (x), uj (x′ )} = −{uj (x′ ), ui (x)}; {ui (x), {uj (x′ ), uk (x′′ )} + ц.п. = 0,

или свойств (3.1.2), (3.1.3):

ωik (x, x′ ) = −ωki (x, x′ );

δωki (x, x′ ) δωjk (x′′ , x) δωij (x′ , x′′ ) + + = 0, δuj (x′′ ) δui (x′ ) δuk (x) при различных преобразованиях переменных типа (3.2.2):

ai = ai [u1 , u2 , . . . , uN ; x];

i = 1, . . . , N.

Другими словами, новые уравнения, к которым приводят такие преобразования, остаются гамильтоновыми, хотя при этом может изменяться не только скобка Пуассона, но и гамильтониан. Это специфическое качество гамильтоновых систем открывает большие возможности для различных обобщений и упрощений. В методическом отношении гамильтонов формализм представляет собой образец структурного подхода, суть которого может быть сформулирована словами Н. Бурбаки [21, с. 104]: «Структуры являются орудиями математика, каждый раз, когда он замечает, что между элементами, изучаемыми им, имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он должен был бы мучительно выковывать сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта, и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы». С этой точки зрения степень значимости гамильтоновой формулировки с той или иной структурой скобки Пуассона может быть различна и определяется наличием в ее арсенале методов, которые были бы адекватны изучаемой проблеме. Это обстоятельство следует иметь в виду всегда, когда существует альтернатива в выборе гамильтоновой формулировки. 50

5.1. Канонические преобразования и производящие функционалы

51

В частности, особые требования к структуре скобки Пуассона предъявляет необходимость применения асимптотических методов. Очевидно, что наиболее просто такие методы реализуются в рамках тех гамильтоновых формулировок, которые задаются тензором Пуассона, не зависящим от полевых переменных. Действительно, в этом случае объектом для аппроксимационных процедур является одна единственная величина — гамильтониан. Для сравнения отметим, что при традиционном подходе приближения делаются непосредственно в уравнениях движения, поэтому необходимые вычисления тиражируются по числу уравнений и, как правило, носят громоздкий характер. Другой привлекательной стороной гамильтоновых формулировок является то, что при использовании приближенных методов существует возможность автоматически гарантировать консервативность получаемых уравнений в любом порядке теории возмущений. Эта возможность осуществляется, если приближения не затрагивают скобки Пуассона, что легко контролируется в гамильтоновских формулировках. Для традиционного подхода, имеющего дело с уравнениями движения, в которых информация о скобках Пуассона содержится неявно, такой контроль затруднителен, если вообще возможен. Поэтому формальное применение приближенных методов непосредственно к уравнениям иногда может нарушать скобки Пуассона и приводить к эволюционным уравнениям, которые в отличие от исходных не являются консервативными. Подобного рода примером в гидродинамике была попытка по аналогии с двумерными точечными вихрями ввести трехмерные — «вортоны» [138], которые бы служили базовыми элементами для построения конечномерных моделей, описывающих трехмерные вихревые течения в идеальной жидкости. Во всех таких случаях потерю консервативности легко объяснить, если обратить внимание на то, что свойство Якоби (2.2.4) или (3.1.3) может разрушаться, например, при конечно-разностных аппроксимациях. Особое значение это замечание имеет в связи с широким использованием в современной теоретической и вычислительной физике дискретных моделей, возникающих из непрерывных аналогов как результат их точной или приближенной конечномерной редукции (см., по этому поводу работы [1, 14, 74, 91, 171, 172] и цитируемую там литературу). В этом свете каноническую формулировку

∂t q i =

δH , δpi

∂t pi = −

δH δq i

следует рассматривать как один из наиболее развитых в методическом отношении вариантов гамильтонова формализма, не только отвечающего требованию структурной простоты, но и имеющего в своем арсенале целый ряд стандартных подходов к решению разнообразных проблем гидродинамики, физики плазмы и т.д. [1, 84, 87–89, 92, 156, 171, 172, 273].

§ 5.1. Канонические преобразования и производящие функционалы С канонической формулировкой связан важный для приложений класс преобразований, который не изменяет структуру скобки Пуассона, а, следовательно, и

52

Глава 5. Преобразования динамических переменных

структуру уравнений (2.1.1). Такие преобразования, называемые каноническими, подробно описаны в любом курсе классической механики для конечномерных систем (см., например, [5, 28, 33]). Поэтому результаты, изложенные ниже, следует считать своего рода обобщением уже известных на континуальные системы. Как уже отмечалось в § 4.1, канонические уравнения (2.1.1) можно сформулировать в виде вариационного принципа наименьшего действия  Z t1 Z i δS = 0, S = pi ∂t q dx − H dt, (5.1.1) t2

с дополнительным условием

δq i (x, t1 ) = δq i (x, t2 ) = 0, где t1 и t2 — начальный и конечный момент времени, соответственно. Будем интересоваться лишь такими преобразованиями:

Qi = Qi [q, p; t, x],

Pi = Pi [q, p; t, x],

(5.1.2)

при которых новые переменные Qi и Pi опять являются каноническими, и, следовательно, имеют место уравнения:

∂t Qi =

δH , δPi

∂t Pi = −

δH , δQi

(5.1.3)

где H — новый гамильтониан системы. Уравнения (5.1.3), так же, как и (2.1.1), можно сформулировать в виде принципа наименьшего действия  Z t2 Z i δ Pi ∂t Q dx − H dt = 0 (5.1.4) t1

с дополнительным условием

δQi (x, t1 ) = δQi (x, t2 ) = 0. Для того чтобы оба принципа (5.1.1) и (5.1.4) были эквивалентны, необходимо и достаточно выполнение двух требований. Во-первых, подынтегральные выражения, стоящие в скобках (5.1.1) и (5.1.4), могут отличаться лишь на полную производную по времени от некоторого функционала Φ1 : Z
dΦ pi ∂t q i − Pi ∂t Qi dx + (H − H ) = , (5.1.5) dt где Φ может зависеть от времени как явно, так и неявно (через функциональную зависимость по полевым переменным q i , pi , Qi , Pi ).

1 Доказательство этого утверждения для континуальных систем совершенно аналогично доказательству для дискретных систем (см., например, [66, 120]).

5.1. Канонические преобразования и производящие функционалы

53

Во-вторых, будем полагать, что фиксированы не только начальные и конечные координаты, но и импульсы:

δpi (x, t1 ) = δpi (x, t2 ) = 0, δPi (x, t1 ) = δPi (x, t2 ) = 0. Всякое каноническое преобразование характеризуется своим функционалом Φ[q i , pi , Qi , Pi ; t], который называется производящим, поскольку с его помощью находят искомое преобразование. Соответствующая процедура формулируется следующим образом. Найдем выражение для полной производной dΦ/dt в развернутом виде. Учитывая, что Φ может зависеть от времени как явно, так и неявно (через функциональную зависимость по полевым переменным q i , pi , Qi , Pi ), согласно правилу дифференцирования (1.2.7), получим  Z  dΦ δΦ i δΦ δΦ δΦ i = ∂t Φ + ∂ q + ∂ p + ∂ Q + ∂ P d x, (5.1.6) t t i t t i dt δq i δpi δQi δPi где ∂t Φ — частная производная производящего функционала по явному времени, которая берется при фиксированных q i , pi , Qi , Pi . После подстановки (5.1.6) в (5.1.5) и перегруппировки подобных членов под знаком интеграла, найдем

Z 

δΦ pi − i δq





δΦ ∂t q − Pi + δQi i



∂t Qi −

 δΦ δΦ − ∂t pi − ∂t Pi dx + (H − H − ∂t Φ) = 0. δpi δPi

Очевидно, что для реализующихся динамических процессов производные ∂t q i , ∂t pi , ∂t Qi , ∂t Pi не равны тождественно нулю. Поэтому, приравнивая нулю коэффициенты при этих производных, приходим к формулам:

δΦ δΦ , Pi = − i , δq i δQ δΦ = 0, H = H + ∂t Φ, δPi

pi = δΦ = 0, δpi

(5.1.7)

определяющим каноническое преобразование. Рассмотрим четыре наиболее распространенных вида канонических преобразований. Преобразования первого вида

Соответствующий производящий функционал, обозначаемый Φ1 , берется в виде

Φ1 = F1 [q k , Qk ; t].

54

Глава 5. Преобразования динамических переменных

В этом случае, согласно (5.1.7), находим:

pi =

δF1 , δq i

Pi = −

δF1 , δQi

H = H + ∂t F1 .

Разрешая первые две системы равенств относительно Qi и Pi , каноническое преобразование можно сформулировать в виде (5.1.2). Производящий функционал, обозначаемый Φ2 , берется в виде Z Φ2 = F2 [q k , Pk ; t] − Qi Pi dx. (5.1.8)

Преобразования второго вида

После подстановки (5.1.8) в (5.1.7), находим:

pi =

δF2 , δq i

Qi =

δF2 , δPi

H = H + ∂t F2 .

(5.1.9)

Производящий функционал, обозначаемый Φ3 , выбирается в виде Z k Φ3 = F3 [Q , pk ; t] + q i pi dx. (5.1.10)

Преобразования третьего вида

После подстановки (5.1.10) в (5.1.7) получим:

Pi = −

δF3 , δQi

qi = −

δF3 , δpi

H = H + ∂t F3 .

(5.1.11)

Каноническое преобразование задается производящим функционалом Z
Φ4 = F4 [pk , Pk ; t] + q i pi − Qi Pi dx,

Преобразования четвертого вида

которое, в соответствии с (5.1.7), приводит к следующим формулам:

qi = −

δF4 , δpi

Qi = −

δF4 , δPi

H = H + ∂t F4 .

Приведем некоторые примеры, иллюстрирующие использование производящих функционалов.

§ 5.2. Канонические точечные преобразования Очень часто в приложениях возникает необходимость совершать так называемые точечные преобразования, при которых старые координаты выражаются только через новые координаты

q i = f i [Qk ; x, t].

(5.2.1)

5.3. Канонические переменные для поверхностных волн

55

Таким каноническим преобразованиям отвечает производящий функционал третьего вида (5.1.10), для которого Z F 3 = − pi f i d x . (5.2.2)

Следовательно, в соответствии с (5.1.11) новые импульсы Pi и новый гамильтониан H определяются как Z Z δF3 δf ′ n ′ Pi = − i = p′n d x , H = H − pi ∂t f i dx. δQ δQi Аналогичное точечное преобразование для импульсов задается производящим функционалом Z

F2 =

q i fi [Pk ; x, t] dx,

и, согласно (5.1.9), приводит к преобразованию Z ′ n δfn pi = fi [Pk ; x, t], Qi = q ′ d x′ . δPi

(5.2.3)

Следует иметь в виду, что в каноническом формализме различие между импульсами и координатами чисто номенклатурное, т. е. всегда с помощью производящего функционала Z

F1 =

q i Qi dx

можно произвести преобразование

Qi = pi ,

Pi = −q i ,

которое осуществляет взаимное переименование координат и импульсов.

§ 5.3. Канонические переменные для поверхностных волн Несмотря на относительную простоту, точечные преобразования позволяют получать достаточно глубокие и полезные результаты. Поучительной иллюстрацией к этому могут служить канонические переменные для поверхностных волн в несжимаемой однородной жидкости. Эти переменные, а ими оказались форма поверхности и потенциал гидродинамической скорости на поверхности, долгое время оставались в гидродинамике эвристическим фактом, внимание на который, по-видимому, впервые обратил В. Е. Захаров [81]. Этот факт, однако, может быть установлен простым и, что более важно, регулярным способом из первых принципов. Напомним вначале один исторически предшествующий работе [81] промежуточный результат [194], согласно которому при потенциальных движениях сжимаемой идеальной безграничной жидкости канонической координатой служит плотность ̺, а импульсом — гидродинамический потенциал ϕ.

56

Глава 5. Преобразования динамических переменных

В этом результате условие сжимаемости не является принципиальным. Поэтому он универz сален и после почти тривиального обобщения ̺+ , ϕ+ справедлив и для послойных моделей несжимаемой жидкости. Рассмотрим для простоты двухслойную безвихревую модель с контактной поверхностью ̺− , ϕ− z = η(t, x, y), по обе стороны которой плотность несжимаемой жидкости принимает разx личные, но постоянные значения: сверху ̺+ и и − Рис. 5.1. Модель двухслойной без- снизу ̺ (рис. 5.1). Решающим шагом, позволяющим ввести в вихревой жидкости с контактной эту модель канонические переменные, описываповерхностью z = η(t, x, y) ющие самоиндуцированную эволюцию контактной поверхности, является использование функции Хевисайда θ , которая обладает свойством  1, если z ≥ 0; θ(z) = 0, если z < 0.

η(t, x, y)

С помощью θ -функции распределение плотности и гидродинамического потенциала в такой модели можно записать в виде разложений:

̺ = ̺+ θ (z − η) + ̺− θ (η − z) , +

−

ϕ = ϕ θ (z − η) + ϕ θ (η − z) ,

(5.3.1) (5.3.2)

где ϕ+ , ϕ− — гидродинамические потенциалы соответственно для верхнего и нижнего слоев жидкости. Во-первых, такая запись в математически корректной форме учитывает существование контактной поверхности, а во-вторых, открывает возможность для прямого использования сформулированного выше правила, согласно которому для данной модели роль канонической координаты играет плотность (5.3.1), а импульса — гидродинамический потенциал (5.3.2). Рассмотрим теперь соотношение (5.3.1) как точечное преобразование к новой обобщенной координате, роль которой играет форма поверхности η. Отметим попутно, что при этом размерность задачи снижается на единицу. Согласно формулам (5.2.1) и (5.2.2), такому преобразованию соответствует производящий функционал

F3 = −

Z


̺+ θ (z − η) + ̺− θ (η − z) ϕ dxdydz = Z
=− ̺+ ϕ+ θ (z − η) + ̺− ϕ− θ (η − z) dxdydz,

поэтому новый импульс ξ определяется как

ξ=−


δF3 = ̺− ϕ− − ̺+ ϕ+ z=η . δη

(5.3.3)

57

5.4. Преобразование канонических переменных при замене координат

В случае свободной границы раздела, когда ̺+ = 0, в соответствии с (5.3.3) канонический импульс определяется как ξ = ̺− ϕ− z=η .

Полученный результат совпадает с результатом [81] с точностью до постоянного множителя ̺− , который без ограничения общности можно положить равным единице или убрать с помощью простейшего канонического неунивалентного преобразования ξ ′ = ξ/̺− = ϕ z=η , H ′ = H/̺− ,

где H — исходный гамильтониан модели, в качестве которого обычно берут полную энергию. Отметим, что переход к каноническим переменным (η, ξ), описывающим контактную границу, предполагает, что уравнения движения, а, следовательно, и гамильтониан будут сформулированы замкнутым образом в терминах только этих переменных. Типичная процедура, которая возникает на этом пути, — решение краевой задачи для определения гидродинамических потенциалов. Для рассматриваемой здесь модели несжимаемой жидкости такая задача формулируется как

̺− ϕ− − ̺+ ϕ+




z=η

∆ϕ± = 0, 
 = ξ, (ηx ∂x − ∂z ) ϕ− − ϕ+ z=η = 0.

Здесь первое краевое условие выражает связь (5.3.3), а второе означает непрерывность нормальной компоненты гидродинамической скорости на контактной границе. При необходимости данная краевая задача дополняется краевыми условиями на внешних границах области, занятой жидкостью.

§ 5.4. Преобразование канонических переменных при замене пространственных координат Другой пример использования точечных канонических преобразований — это преобразование пространственных координат. Как известно, использование соответствующей криволинейной системы координат очень часто существенно упрощает решение задачи. Поэтому желательно иметь ковариантную формулировку канонического гамильтонова формализма. Оказывается, что решить этот вопрос не представляет труда, если он уже решен в рамках декартовых координат. Для иллюстрации рассмотрим взаимооднозначное непрерывное зависящее от времени преобразование x = x (ξ , t) (5.4.1) пространственных координат x и ξ. Используя (5.4.1), совершим точечное каноническое преобразование Z Pi (ξ , t) = pi (x, t) δ (x − x (ξ , t)) dx,

(5.4.2)

выражающее тот простой факт, что новые импульсы Pi получаются из старых pi путем обычной замены переменных (5.4.1).

58

Глава 5. Преобразования динамических переменных

Учитывая, что система (5.4.1) разрешима относительно координаты ξ, и, следовательно, существует обратное преобразование ξ = ξ (x, t) , отношение (5.4.2) можно записать в несколько ином виде Z pi (x, t) = Pi (ξ , t) δ (ξ − ξ (x, t)) dξ .

(5.4.3)

Сравнивая (5.4.3) с (5.2.3), легко прийти к выводу, что преобразование (5.4.3) соответствует производящему функционалу Z i F2 [q , Pi ] = q i (x, t) Pi (ξ , t) δ (ξ − ξ (x, t)) dxdξ. (5.4.4) Теперь можно определить новые обобщенные координаты Qi . Принимая во внимание известное свойство трехмерной дельта-функции

δ (ξ − ξ (x, t)) = g 1/2 δ (x − x (ξ , t)) , где g 1/2 — якобиан преобразования (5.4.1), получим Z δF2 i Q = = q i (x, t) δ (ξ − ξ (x, t)) dx = g 1/2 q i x=x(ξ, t) . δPi

Чтобы найти новый гамильтониан H , необходимо продифференцировать производящий функционал (5.4.4) по времени при фиксированных полях q i , Pi . В результате, интегрируя по частям и опуская дивергентный член, найдем   Z ∂Pi H = H + ∂t F2 = H + Qi · ∂t ξˆ dξ , (5.4.5) ∂ξ где ∂t ξˆ = ∂ ξ /∂t|x=x(ξ, t) . С точки зрения приложений кроме канонических преобразований заслуживают внимание и другие преобразования. В самом общем случае преобразования полевых переменных приводят к изменению как скобок Пуассона, т. е. структуры уравнений, так и гамильтониана. Это обстоятельство позволяет устанавливать взаимное соответствие между гамильтоновыми системами различного типа. Примером подобного преобразования является преобразование от векторного поля завихренности ω к так называемому n-полю [214]

ω α = Aeαβγ n × (∂β n × ∂γ n) ,

(5.4.6)

где n2 = 1, а A — некоторая размерная константа. Преобразование (5.4.6) переводит уравнения (2.3.4) и (2.3.6) друг в друга, устанавливая, таким образом, взаимное соответствие между гидродинамической и спиновой системами.

Глава 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Особое место среди преобразований динамических переменных занимают преобразования, осуществляющие непрерывное изменение этих переменных без изменения уравнений движения системы. Такие преобразования называются преобразованиями симметрии. Отражая существование у системы соответствующих свойств симметрии, они имеют глубокий физический смысл, так как наличие симметрий тесно связано с законами сохранения. Инструментом, позволяющим получать выражения для сохраняющихся со временем величин, которые называются инвариантами движения или динамическими инвариантами, является теорема Нетер. Существует два варианта формулировки этой теоремы — лагранжева и гамильтонова. Мы отойдем здесь от лагранжевой формулировки теоремы Нетер, которая общепринята в теории поля [10, 60, 278, 279], и приведем ее гамильтонову формулировку [196].

§ 6.1. Преобразования симметрии в канонических системах. Теорема Нетер В общем случае преобразования симметрии, которые допускаются гамильтоновыми системами, должны удовлетворять двум требованиям. Во-первых, они должны оставлять без изменения структуру уравнений, а, следовательно, скобки Пуассона и, во-вторых, должны обеспечивать неизменность гамильтониана системы. Отметим, что для канонических гамильтоновых систем первое требование удовлетворяется автоматически, если ограничиться только каноническими преобразованиями. Поэтому является или нет каноническое преобразование преобразованием симметрии — зависит от выполнения второго требования. Рассмотрим бесконечно малое (инфинитезимальное) каноническое преобразование, при котором канонические переменные q i и pi изменяются на бесконечно малые величины. Очевидно, что производящий функционал такого преобразования также бесконечно мало отличается от функционала тождественного преобразования и имеет вид Z F2 = q i Pi dx + εG [q, P ; t] , где ε — бесконечно малый параметр преобразования. Тогда, согласно равенствам (5.1.9), получим:

pi = P i + ε

δG , δq i

Qi = q i + ε 59

δG , δPi

H = H + ε∂t G,

(6.1.1)

60

Глава 6. Преобразования симметрии и законы сохранения

где Qi — новые координаты, Pi — новые импульсы, функционалы H и H — соответственно новый и старый гамильтониан, а ∂t G — частная производная по времени при фиксированных qi , Pi . Введем величину I [q, p; t] = G|Pi =pi , которая называется генератором бесконечно малого канонического преобразования. Как будет показано ниже, эта величина играет важную роль в формулировке теоремы Нетер. Так как старые и новые импульсы бесконечно мало отличаются друг от друга, с точностью до величин первого порядка малости по ε в равенствах (6.1.1) можно заменить G на I и δG/δPi на δI/δpi . В результате, вместо (6.1.1) будем иметь:

δI δI , q i = Qi − ε , i δq δpi H = H + ε∂t I.

pi = P i + ε

(6.1.2) (6.1.3)

Учитывая (6.1.2) и разлагая величину H [q, p] в функциональный ряд Тейлора по степеням ε, получим асимптотическое равенство

H [q, p] = H [Q, P ] + ε {I, H } + · · · , где

{I, H } =

Z 

δI δH δI δH − δq i δpi δpi δq i



(6.1.4)

dx.

Воспользовавшись равенством (6.1.4), из (6.1.3) получим

H = H [Q, P ; t] + ε (∂t I + {I, H }) , откуда, принимая во внимание, что

∂t I + {I, H } =

dI , dt

можно заключить: если бесконечно малое каноническое преобразование не изменяет гамильтониана, т. е. H = H |qi =Qi ,pi =Pi , то генератор преобразования является инвариантом:

dI = 0. dt

(6.1.5)

Это утверждение и составляет основное содержание теоремы Нетер для канонических гамильтоновых систем. В качестве примера рассмотрим потенциальные движения безграничной идеальной сжимаемой жидкости. Как уже отмечалось в § 5.2, в этом случае канонической координатой служит плотность ̺, а ϕ — потенциал гидродинамической скорости v — служит каноническим импульсом.

6.2. Обобщение теоремы Нетер. Динамические инварианты

61

Так как потенциал определен с точностью до константы, возможно преобразование к новым каноническим переменным

̺′ = ̺,

ϕ′ = ϕ + ε,

(6.1.6)

где аддитивная константа ε — параметр преобразования. Это преобразование является преобразованием симметрии, поскольку не изменяет гамильтониан H , в качестве которого выступает полная энергия  Z  2 v H = ̺ + U (̺) dx, 2 где U (̺) — плотность внутренней энергии и v = ∇ϕ. Соответствующий тривиальному каноническому преобразованию (6.1.6) производящий функционал имеет вид Z Z F2 = ̺ϕ′ dx − ε ̺ dx, откуда, согласно теореме Нетер, легко установить, что сохраняется генератор бесконечно малого канонического преобразования Z I = ̺ d x, имеющий, очевидно, смысл полной массы жидкости.

§ 6.2. Обобщение теоремы Нетер на неканонические системы. Динамические инварианты и их свойства Аналогичным образом можно показать, что для неканонических гамильтоновых систем общего вида ∂t ui = {ui , H } (6.2.1)

наличие законов сохранения (6.1.5) является следствием неизменности уравнений движения (6.2.1) относительно бесконечно малого преобразования

uiε = ui + ε{ui , I},

(6.2.2)

определяющего переход от старых динамических переменных ui к новым uiε (ε — малый параметр). Преобразование (6.2.2) следует рассматривать как обобщение бесконечно малого канонического преобразования (6.1.2) на общий неканонический случай. Необходимо, однако, иметь в виду, что бесконечно малые преобразования симметрии обеспечивают инвариантность лишь в первом порядке по ε. Для точной инвариантности необходимо рассмотреть конечные преобразования симметрии. Отметим, что систематическое изучение свойств симметрий дифференциальных уравнений осуществляется в рамках теории группового анализа [96, 97, 142,

62

Глава 6. Преобразования симметрии и законы сохранения

143]. Здесь же нам понадобятся лишь некоторые сведения, не требующие глубокого проникновения в суть этого предмета. Прежде всего, следуя работе [196], дадим определение преобразования симметрии, которое удобно тем, что сформулировано на хорошо знакомом языке дифференциальных уравнений, и требует поэтому минимальных дополнительных пояснений. Говорят, что дифференциальные уравнения

∂ε ui = Gi [u; x, t] ,

ui |ε=0 = ui0 ,

(6.2.3)

где ui = ui (x, t, ε) — полевые переменные, задают однопараметрическое преобразование симметрии для уравнений движения

∂t ui = F i [u; x, t] ,

(6.2.4)

если для каждого достаточно малого ε решения системы уравнений (6.2.3) удовлетворяют системе уравнений (6.2.4) при условии, что ui0 также являются решениями этой системы уравнений. Дифференцируя (6.2.3) по времени t, а (6.2.4) по параметру ε и сравнивая правые части, легко найти условие1  Z  i δG ′ k δF i ′ k i (6.2.5) ∂t G + F − ′k G dx′ = 0, δu′ k δu при соблюдении которого (6.2.3) является преобразованием симметрии. Если мы ограничимся рассмотрением гамильтоновых систем (6.2.1), правая часть (6.2.4) определяется скобкой Пуассона

F i = {ui , H }.

(6.2.6)

Предположим, что для правой части (6.2.3) имеет место аналогичное представление, т. е. Gi = {ui , I}, (6.2.7)

где функционал I [u; x, t] называется генератором преобразования. Подчеркнем, что, согласно (6.2.7), величина I может быть задана с точностью до аннулятора скобки Пуассона. Поэтому, во избежание неопределенности, говоря далее о генераторе преобразования, будем всегда подразумевать, что он задан за вычетом всех слагаемых — аннуляторов скобки Пуассона. Тогда, если тензор Пуассона не зависит от времени явно, в соответствии с (6.2.5), будем иметь2

{ui , ∂t I} + {Gi , H } − {F i , I} = 0.

(6.2.8)

Подставляя в (6.2.8) вместо F i и Gi их выражения (6.2.6), (6.2.7), и применив тождество Якоби, получим  i u , (∂t I + {I, H }) = 0. (6.2.9) 1

2

Здесь ∂t Gi — производная по явному времени, т. е. при фиксированных полях ui . С учетом предыдущей сноски отметим, что в этом случае ∂t Gi = {ui , ∂t I}.

63

6.2. Обобщение теоремы Нетер. Динамические инварианты

Так как генератор преобразования определен за вычетом всех аннуляторов, из равенства (6.2.9) непосредственно следует закон сохранения

dI = ∂t I + {I, H } = 0. dt

(6.2.10)

Если снять условие, что генератор преобразования определен за вычетом всех аннуляторов, то из (6.2.9) получим другое соотношение

dI = ∂t I + {I, H } = C, dt

(6.2.11)

где C некоторый аннулятор для данной скобки Пуассона. Можно показать, что выбор аннулятора C влияет на определение только тех дополнительных слагаемых в I , которые также являются аннуляторами. Действительно, из (6.2.11) следует, что функционал I можно представить в виде суперпозиции I = P + C1 , где P — нетривиальный динамический инвариант ({ui , P } 6≡ 0), который удовлетворяет закону сохранения

dP = ∂t P + {P, H } = 0, dt а дополнительное слагаемое C1 — зависящий от времени аннулятор такой, что

∂t C1 = C. Таким образом, можно сделать вывод, что, если уравнения

∂ε ui = {ui , I}

(6.2.12)

задают однопараметрическое преобразование симметрии для гамильтоновой системы общего вида (6.2.1), то генератор I , который определен за вычетом всех аннуляторов скобки Пуассона, является динамическим инвариантом. По существу, этот вывод и является обобщением теоремы Нетер на гамильтоновы системы общего вида с вырожденной скобкой Пуассона. Отметим, что в пределе, когда ε → 0, преобразование (6.2.12) воспроизводит инфинитезимальное преобразование (6.2.2). В рамках изложенного выше подхода можно осуществить построение динамических инвариантов для некоторых гамильтоновых систем. В качестве иллюстрации рассмотрим гамильтоново уравнение КдВ

∂t u = ∂x

δH δu

(6.2.13)

в предположении, что гамильтониан H является трансляционно инвариантным. Последнее обстоятельство позволяет утверждать, что, если уравнение (6.2.13) имеет решения u0 (x, t), то функции u0 (x + ε, t), где ε — параметр трансляции,

64

Глава 6. Преобразования симметрии и законы сохранения

также будут решениями. Другими словами, уравнение (6.2.13) допускает однопараметрическое преобразование симметрии

u(x, t, ε) = u0 (x + ε, t). Чтобы найти генератор этого преобразования, отметим, прежде всего, что такой способ зависимости переменной u от x и ε означает, что

∂ε u = ∂x u.

(6.2.14)

В то же время, принимая во внимание структуру скобки Пуассона для уравнения КдВ, преобразование симметрии (6.2.14) обязано иметь вид

∂ε u = ∂x

δI , δu

(6.2.15)

где функционал I[u] — искомый генератор преобразования симметрии для уравнения движения (6.2.14). Сопоставляя (6.2.14) и (6.2.15), получаем функциональное уравнение

δI = u. (6.2.16) δu Выполнив функциональное интегрирование, из (6.2.16) можно установить, что генератор преобразования симметрии имеет вид Z 1 +∞ 2 I= u dx. 2 −∞

Этот интеграл и есть тот динамический инвариант, который обусловлен трансляционной инвариантностью уравнения КдВ. Чтобы убедиться в этом непосредственно, в соответствии с законом сохранения (6.2.10) и уравнением движения (6.2.13) найдем Z +∞ dI δH = {I, H } = u∂x dx. dt δu −∞

Далее, полагая решения уравнения КдВ достаточно быстро убывающими функциями при |x| → ∞, интегрируя по частям и используя соотношение (6.2.14), последовательно получим Z +∞ dI δH =− ∂ε u dx = −∂ε H . (6.2.17) dt δu −∞ Откуда, учитывая трансляционную инвариантность гамильтониана H , т. е. независимость его от трансляционного параметра ε, следует, что dI/dt = 0. Перечислим некоторые свойства динамических инвариантов, предполагая, что скобки Пуассона, т. е. тензор U ij не зависит от времени явно. Во-первых, если I1 и I2 — два инварианта движения, то величина

I3 = {I1 , I2 }

также будет инвариантом движения.

6.3. Калибровочные преобразования симметрии

65

На первый взгляд, это утверждение, называемое теоремой Пуассона, представляет средство для получения новых инвариантов, что, в конечном счете, должно иметь значение для интегрирования уравнений движения. Однако на практике типична ситуация, когда все первые интегралы, которые удается найти, находятся в инволюции {Ij , Ik } = 0 и поэтому не могут быть использованы для получения новых инвариантов. Во-вторых, для динамических систем, гамильтонианы которых не зависят явно от времени ∂t H = 0, справедливо следующее утверждение. Если I есть инвариант движения, зависящий явно от времени, то ∂t I также является инвариантом. Действительно, дифференцируя (6.1.5) по явному времени, получим

∂t (∂t I) + {∂t I, H } = 0.

Применяя это рассуждение далее, находим последовательность инвариантов ∂t I , ∂t2 I, . . . до тех пор, пока не получим инвариант, либо не зависящий от времени явно, либо являющийся следствием инвариантов, вычисленных на более ранних этапах.

§ 6.3. Калибровочные преобразования симметрии Преобразования симметрии можно условно разделить на два основных типа. Преобразования первого типа затрагивают только пространственные координаты и время. Общеизвестно (см., например, [5, 13, 33, 120]), что со свойствами симметрии пространства и времени связаны три фундаментальных закона механики, закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента количества движения. Закон сохранения энергии является следствием инвариантности теории относительно преобразований переноса начала отсчета времени, что означает независимость физических следствий теории от выбора начала отсчета времени. В последнем случае говорят, что имеет место однородность времени. Подобно тому, как из однородности времени следует сохранение энергии, из однородности пространства, которая означает инвариантность теории относительно преобразования пространственных трансляций, следует сохранение полного импульса. Аналогично из инвариантности теории относительно преобразований группы вращений трехмерного координатного пространства, обусловленной его изотропностью, следует закон сохранения полного момента количества движения. Другим важным типом преобразований симметрии являются калибровочные преобразования, которые не затрагивают пространственные координаты и поэтому отражают только внутренние свойства симметрии динамической системы. В теории поля3 калибровочными в широком смысле слова называют преобразования, которые изменяют полевые характеристики (переменные), не являющиеся наблюдаемыми, и не меняют при этом имеющие физический смысл наблюдаемые величины. 3 Квантовая теория поля [32] по ряду аспектов отличается от других теорий. Одно из отличий состоит в том, что для многих модельных постановок в квантовой теории поля не существует «основных уравнений», а существуют лишь принципы симметрии (такие, как галилеева или лоренцева инвариантность), и любые динамические модели, удовлетворяющие этим принципам, считаются приемлемыми.

66

Глава 6. Преобразования симметрии и законы сохранения

Рассмотрим примеры калибровочных преобразований. Простейшим примером калибровочного преобразования в гидродинамике может служить преобразование (6.1.6), изменяющее потенциал ϕ поля гидродинамической скорости на постоянную величину ε. Поскольку физический смысл имеет только величина v = ∇ϕ, определяющая скорость, преобразование (6.1.6) — калибровочное. Следующий классический пример — свободное электромагнитное поле

∂t H = −c∇ × E , ∇ · H = 0,

∂t E = c∇ × H ,

(6.3.1)

∇ · E = 0,

(6.3.2)

где H и E — напряженности соответственно магнитного и электрического полей, а c — скорость света. Как легко убедиться непосредственно, уравнения (6.3.1) можно записать в каноническом виде4 δH δH , ∂t E = (6.3.3) ∂t A = − δE δA с гамильтонианом Z
c H = E 2 + H 2 d x, 2 где H — полная энергия свободного электромагнитного поля, а A — векторный потенциал, связанный с H соотношением H = ∇ × A. Введение векторного потенциала A автоматически разрешает одно из ограничений (6.3.2) ∇ · H = 0, что же касается второго ограничения ∇ · E = 0, то оно не следует из канонической формулировки (6.3.3) и остается для этой формулировки независимым дополнительным условием или связью5 . Чтобы показать, что условие ∇ · E = 0 является следствием калибровочной инвариантности формулировки (6.3.3), рассмотрим каноническое преобразование E′ = E,

A′ = A + ∇ε,

(6.3.4)

где ε — произвольная функция x и t. По существу, (6.3.4) отражает тот простой факт, что при фиксированном магнитном поле H векторный потенциал A определяется с точностью до градиента любой функции. Выясним закон сохранения, который стоит за калибровочным преобразованием (6.3.4). Чтобы сделать это, представим производящий функционал, соответствующий этому преобразованию, как Z Z Z ′ ′ F2 = E · (A − ∇ε) dx = E · A dx + ε∇ · E dx. 4

Подробное изложение процедуры канонической переформулировки уравнений движения свободного электромагнитного поля приведено в § 15.3 в контексте решения проблемы гамильтонизации систем со связями. 5 Более подробную информацию, касающуюся гамильтоновских систем со связями, можно найти в § 15.3 (см. также по этому вопросу специальную литературу [32, 201]).

6.3. Калибровочные преобразования симметрии

Тогда, в силу теоремы Нетер, сохраняется интеграл Z I = ε∇ · E dx.

67

(6.3.5)

Поскольку объемный интеграл (6.3.5) должен сохраняться при любом выборе функции ε (x, t), единственный способ удовлетворить этому требованию — наложить условие ∇ · E = 0,

физический смысл которого — отсутствие каких бы то ни было зарядов в пространстве. Согласно классификации, принятой в теории поля, в первом примере в лице (6.1.6) мы имели дело с так называемым глобальным калибровочным преобразованием, параметром которого служит число ε. Во втором (6.3.4) таким параметром, вообще говоря, служит произвольная функция пространственных координат ε (x). Калибровочные преобразования такого рода называются локальными. Приведенные выше примеры дают возможность проследить, что появление калибровочных симметрий связано с определенным произволом, который существует из-за преобразования Клебша и возникает всякий раз при выборе канонических переменных для гамильтоновых систем с вырожденными скобками Пуассона. С аналогичной ситуацией мы уже сталкивались в § 3.3 при построении канонического базиса для уравнений КдВ (3.3.2). Напомним, что при построении канонического базиса для уравнений КдВ (3.3.2), «преобразование Клебша», связывающее одну «физическую» переменную u и две канонические переменные q и p, имело вид

1 u = ∂x q + p. 2

(6.3.6)

Как нетрудно видеть, преобразование (6.3.6) не фиксирует однозначно выбор q и p и остается инвариантным относительно калибровочного преобразования к новым каноническим переменным Q и P :

1 Q = q + f, 2

P = p − ∂x f,

(6.3.7)

где f (x, t) — произвольная функция аргументов x и t. Легко проверить, что производящий функционал Φ2 , соответствующий каноническому преобразованию (6.3.7), согласно классификации, которая приведена на с. 54, относится ко второму виду и определяется выражением Z Φ2 = F2 [q, P ; t] − QP dx, где

F2 =

Z

qP dx +

Z 

 1 P − ∂x q f dx. 2

68

Глава 6. Преобразования симметрии и законы сохранения

Поэтому в силу теоремы Нетер должен сохраняться интеграл  Z  1 I= p − ∂x q f dx. 2 Поскольку f — произвольная функция, единственный способ удовлетворить этому требованию — наложить условие

1 p − ∂x q = 0, 2

(6.3.8)

которое соответствует значению I = 0. С геометрической точки зрения, соотношение (6.3.8) дает связь, т. е. фиксирует поверхность в симплектическом фазовом пространстве q , p, на которой должно быть сосредоточено движение системы

∂t q =

δH , δp

∂t p = −

δH , δq

(6.3.9)

для того, чтобы ее решения после подстановки в (6.3.6) могли воспроизвести решения уравнения КдВ. Отметим, что, поскольку связь (6.3.8) не согласована со скобками Пуассона (3.3.4), ею можно пользоваться в уравнениях (6.3.9) только после вычисления всех вариационных производных6 .

6

Более подробное обсуждение гамильтоновских систем со связями будет дано в главе 15.

Часть II ГАМИЛЬТОНОВ ПОДХОД К СИСТЕМАМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА

Вторая часть включает главы 7–15 и посвящена гамильтонову подходу к консервативным гидродинамическим системам. В главе 7 для вывода уравнений движения используется аксиоматический подход, в рамках которого эти уравнения формулируются, исходя из субстанциональных законов сохранения, опирающихся на универсальные физические принципы. Аналогия между сплошной средой и системой дискретных частиц показывает, что с точки зрения механики в подавляющем числе консервативные гидродинамические модели не являются свободными системами, а являются гамильтоновыми континуальными системами со связями. В таких гидродинамических моделях единственной причиной движения жидких частиц является реакция на связи. При аксиоматическом подходе важно обратить внимание на два ключевых обстоятельства. Во-первых, эти модели не должны нарушать основополагающие принципы механики, в том числе и принцип относительности Галилея, а вовторых, что на скобки Пуассона влияют не только связи, но и адвективный или неадвективный характер эволюции. В главах 8 и 12 совокупность этих требований и факторов используется как инструмент классификации и построения гидродинамических скобок Пуассона. Именно такая программа гамильтонизации естественным образом приводит к представлению Клебша, выражающего плотность гидродинамического импульса через канонические переменные. Как показано в главах 8 и 9, одна часть из этих переменных характеризует внутренние свойства среды и по характеру эволюции принадлежит к одному из пяти типов полей, в числе которых — плотность, скалярный и векторный лагранжев инвариант, вмороженное поле, импульс Ламба. Другая часть переменных не фигурируют в гамильтониане явно, а входит только через плотность импульса. Тот факт, что такие переменные по построению не являются физическими и могут выбираться свободно, обеспечивает в теории существование калибровочных преобразований и соответственно симметрий (см. главу 10). Вопрос о сокращении числа полей, участвующих в каноническом описании и редукции представления Клебша обсуждается в главе 11. Прямой метод нахождения гамильтоновой структуры, основанный на вычислении скобок Пуассона непосредственно из гидродинамических уравнений движения, рассматривается в главе 13 на примерах баротропной спиновой жидкости и несжимаемой жидкости (однородной и неоднородной). Как показано в этой главе, для того чтобы скобки Пуассона для несжимаемой жидкости были локальными, ее уравнения движения должны формулироваться в терминах завихренности плотности гидродинамического импульса. В главе 14 пример баротропной спиновой жидкости обсуждается в связи с обобщением принципа наименьшего действия на неадвективные гидродинамические системы, способные эволюционировать не только за счет гидродинамического переноса, но и других факторов. Глава 15 содержит краткое введение в гамильтонизацию континуальных систем со связями. Суть этой проблемы в том, что, если связи не согласованы со скобками Пуассона, т. е. не являются их аннуляторами, то при выводе уравнений движения нельзя пользоваться ими до вычисления скобок Пуассона. Метод Дирака, который предназначен для решения этой проблемы и приводит к так называемым скобкам Дирака, иллюстрируется на примере свободного электромагнитного поля.

Глава 7 СКОБКИ ПУАССОНА В АДВЕКТИВНЫХ1 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ § 7.1. Основные уравнения гидродинамики. Аксиоматический подход Одним из общих методов теоретического изучения макроскопических движений в системах, состоящих из достаточно большого числа микроскопических частиц (атомов, молекул, ионов и т.д.) является гидродинамика, рассматривающая такие системы как непрерывные, отвлекаясь от их корпускулярной структуры. Строгое обоснование гидродинамического приближения лежит в статистической физике (см., например, [24]), которая устанавливает взаимосвязь макроскопического и микроскопического поведения вещества. Ограничиваясь рассмотрением консервативных гидродинамических систем, мы будем придерживаться аксиоматического подхода. В рамках этого подхода уравнения движения формулируются из соображений, которые опираются на ряд фундаментальных понятий и универсальных физических принципов. Подробности вывода уравнений гидродинамики в традиционной форме можно найти в любом учебнике соответствующего профиля (см., например, литературу [122, 163, 166]). Здесь же важно подчеркнуть, что непременным атрибутом любой консервативной гидродинамической модели являются два уравнения — уравнение Эйлера и уравнение неразрывности. Первое из этих уравнений является следствием закона изменения импульса (количества движения) под влиянием действующих на жидкую частицу консервативных сил, а второе выражает закон сохранения массы. В рамках аксиоматического подхода законы сохранения обычно постулируются в интегральной форме как утверждения, что интеграл от некоторого поля или комбинации полей, взятый по произвольной области, которая движется вместе с жидкостью и, следовательно, состоит из одних и тех же жидких частиц, сохраняется со временем, т. е. инвариантен. Такие интегралы в силу отмеченной специфики области интегрирования называются субстанциональными. Наиболее очевидный гидродинамический интеграл подобного рода — полная масса жидкости в заданном жидком объеме. Рассмотрим некоторый конечный объем V , движущийся вместе с жидкостью в поле гидродинамической скорости v. Этот объем можно охарактеризовать суб1 Мы будем называть гидродинамические системы адвективными, если изменение полей, характеризующих внутренние свойства среды в фиксированной точке пространства, например, плотности, магнитного поля или температуры, сопровождается движением жидких частиц. Следовательно в адвективных гидродинамических системах временн´ая эволюция не возможна без гидродинамического переноса.

71

72

Глава 7. Скобки Пуассона в адвективных гидродинамических системах

станциональной характеристической функцией θ(x, t), которая по определению обладает свойством  1, если x ∈ V ; θ= 0, если x ∈ / V, и, кроме того, удовлетворяет уравнению

dθ/dt = ∂t θ + (v · ∇)θ = 0,

(7.1.1)

которое, как известно [166], является условием того, что объем V движется вместе с жидкостью. Использование тета-функций — удобный инструмент для преобразований и вычислений определенных интегралов. С их помощью можно довольно просто сформулировать закон сохранения массы и закон изменения импульса жидкой частицы в виде соотношений Z Z Z ∂t ̺θ dx = 0, ∂t π θ dx = f θ dx, (7.1.2) где ̺ — плотность жидкости, π — плотность гидродинамического импульса, а f — плотность действующих на жидкость сил. Отметим, что в соотношениях (7.1.2) интегрирование ведется по всему безграничному пространству и от времени не зависит, что дает право внести операцию дифференцирования по времени под знак интеграла. Выполнив дифференцирование и воспользовавшись свойством (7.1.1), после интегрирования по частям найдем Z Z Z (∂t ̺ + ∇ · (̺v )) θ dx = 0, (∂t π + ∂k (vk π )) θ dx = f θ dx,

откуда в силу произвольности субстанциональной θ -функции следуют локальные уравнения

∂t ̺ + ∇ · (̺v ) = 0,

∂t π + ∂k (vk π ) = f .

(7.1.3) (7.1.4)

Первое из этих уравнений известно как уравнение неразрывности, а второе, если воспользоваться равенством2 π = ̺v, сводится к уравнению Эйлера

̺ (∂t v + vk ∂k v ) = f и выражает закон движения жидкости. Гидродинамические модели, удовлетворяющие уравнениям (7.1.3), (7.1.4), составляют весьма обширный класс и могут включать дополнительные эволюционные уравнения полей

∂t sα + Lα [v , ̺, s1 , . . . , sN ] = 0, 2 Как будет показано ниже, в § 7.2, равенство плотности импульса и потока массы справедливо только для моделей, которые удовлетворяют требованию галилеевой инвариантности. В частности, это равенство не выполняется для релятивистских моделей, где имеет место требование лоренцевской инвариантности.

73

7.1. Основные уравнения гидродинамики

которые описывают дополнительные свойства сплошной среды, например, магнитные, тепловые и др. Дополнительные полевые переменные sα (x, t) (α = 1, 2, . . . , N ) могут не только быть скалярами или векторами, но и могут иметь более сложный геометрический характер [34, 78, 79, 163]. Присутствие таких переменных трактуют как наличие у сплошной среды дополнительных внутренних степеней свободы. Используя аналогию, которая прослеживается между сплошной средой и системой дискретных частиц, можно считать, что уравнение Эйлера (7.1.4) играет роль уравнения Ньютона, а все остальные дополнительные уравнения, описывающие эволюцию среды, рассматривают как «связи» или ограничения на класс течений. Поэтому, с точки зрения классической механики, равнодействующая консервативных сил f не может быть произвольно заданной величиной, а должна быть согласована со связями и, следовательно, должна проявлять себя как равнодействующая сил реакций на эти связи. Например, в модели несжимаемой жидкости в качестве такой связи выступает условие несжимаемости ∇ · v = 0, а в качестве соответствующей силы реакции — градиент давления. Ниже будет показано, что характер связей имеет радикальное влияние на структуру f и, следовательно, на вид правой части уравнения Эйлера (7.1.4). Для иллюстрации рассмотрим некоторые наиболее известные модели гидродинамики. Простейшей гидродинамической моделью является модель сжимаемой баротропной жидкости, которая описывается уравнениями движения

∂t v + (v · ∇)v = −̺−1 ∇p, ∂t ̺ + ∇ · (̺v ) = 0

(7.1.5)

и уравнением состояния p = p [̺], связывающим давление p и плотность ̺. Эта минимальная модель не включает в себя каких-либо дополнительных полей и характеризуется результирующей силой f [̺] = −∇p, функционально зависящей только от плотности ̺. Усложнение модели (7.1.5) за счет включения небаротропного эффекта приводит к уравнениям

∂t v + (v · ∇)v = −̺−1 ∇p,

∂t ̺ + ∇ · (̺v) = 0,

∂t s + (v · ∇)s = 0

с уравнением состояния p = p [̺, s], где дополнительное поле s характеризует плотность энтропии. Отметим, что такое усложнение не изменяет структуру результирующей силы, которая по-прежнему определяется соотношением f [̺, s] = −∇p.

74

Глава 7. Скобки Пуассона в адвективных гидродинамических системах

Для изучения движений в идеальной небаротропной плазме используется модель, которая описывается системой МГД-уравнений

∂t v + (v · ∇)v = −̺−1 ∇p + (4π̺)−1 (∇ × B ) × B , ∂t ̺ + ∇ · (̺v ) = 0,

∂t s + (v · ∇)s = 0,

∂t B + ∇ × (v × B ) = 0,

(7.1.6)

с уравнением состояния p = p [̺, s, B ]. По сравнению с предыдущей эта модель дополнена еще одним уравнением (7.1.6), которое описывает эволюцию магнитного поля B, характеризующего магнитные свойства жидкости. Уравнение (7.1.6) накладывает дополнительные ограничения на класс течений. Как следствие, в жидкости возникает дополнительная сила реакции, действующая на жидкую частицу и изменяющая структуру результирующей силы f [̺, s, B ] = −∇p + (4π)−1 (∇ × B ) × B .

Список подобных примеров может быть продолжен, но он уже достаточен для того, чтобы сделать вывод: в консервативных моделях равнодействующая сил f не является произвольно заданной характеристикой, а определяется внутренними свойствами среды.

§ 7.2. Структура гамильтониана и принцип относительности Галилея С точки зрения гамильтонова формализма динамика рассматриваемых гидродинамических систем разворачивается в фазовом пространстве π, ̺, s1 , . . . , sN и соответственно задается гамильтонианом H и полным набором скобок Пуассона: {πi , πj′ }, {πi , ̺′ }, {πi , s′α }, {̺, ̺′ }, {̺, s′α }, {sα , s′β }, где i, j = 1, 2, 3; α, β = = 1, 2, . . . , N . Если заранее не требовать инвариантности системы относительно галилеевого или лоренцевского преобразования, то в самом общем виде гамильтониан H определяется как функционал энергии в фазовом пространстве гидродинамических переменных π, ̺, s1 , . . ., sN , для которого справедливо соотношение

δH = v. (7.2.1) δπ Для гамильтоновых систем гидродинамического типа это вариационное равенство следует рассматривать как определение гидродинамической скорости v [183]. Как будет показано ниже, для гидродинамических моделей, удовлетворяющих принципу относительности Галилея [5], из этого определения можно установить структуру кинетической части гамильтониана. Рассмотрим следствия инвариантности систем гидродинамического типа относительно преобразования Галилея. Отметим, что это преобразование можно представить в виде произведения трех более элементарных преобразований: сдвига по времени и пространству, поворота осей координат и преобразования x′ = x − ut,

t′ = t,

(7.2.2)

7.2. Структура гамильтониана и принцип относительности Галилея

75

которое описывает переход в систему отсчета (x′ , t′ ), движущуюся равномерно со скоростью u относительно исходной (x, t). Дифференцируя по времени преобразование (7.2.2), найдем закон преобразования для гидродинамической скорости v ′ = v − u,

(7.2.3)

где v = dx/dt и v ′ = dx′ /dt′ — скорости жидкости соответственно в исходной и движущейся системах отсчета. Закон преобразования для гидродинамической скорости позволяет получить еще два важных следствия. Во-первых, в силу преобразования (7.2.3) из инвариантности уравнения неразрывности следует галилеева инвариантность для массовой плотности ̺ = ̺′ , а во-вторых, он позволяет найти закон преобразования для плотности гидродинамического импульса. Действительно, поскольку обе системы отсчета инерциальны, т. е. f = f ′, и законы движения должны выглядеть в них одинаково, требование инвариантности уравнения (7.1.4) для плотности импульса приводит к соотношению3   d π′ − π = 0, (7.2.4) dt ̺ где π ′ — плотность гидродинамического импульса в движущейся системе отсчета. Так как уравнение (7.2.4) должно удовлетворяться для любого динамического состояния, совместимого с уравнениями движения, величина (π′ − π )/̺ должна быть универсальной константой c, зависящей только от параметра преобразования u. Значение универсальной константы c найдем, рассмотрев покой как частный случай динамического состояния жидкости, который реализуется при f = 0. Поскольку в этом состоянии все частицы жидкости покоятся, в исходной системе координат справедливо равенство π = 0. С точки зрения наблюдателя, связанного с движущейся системой отсчета, это же состояние воспринимается как однородный поток со скоростью −u. Таким образом, легко установить, что π ′ = −u̺, откуда c = −u. Таким образом, для галилеево инвариантных систем гидродинамического типа имеет место закон преобразования π ′ = π − u̺

(7.2.5)

для плотности гидродинамического импульса. 3 Для вывода (7.2.4) необходимо записать уравнение для плотности импульса в движущейся системе отсчета
∂t′ π ′ + ∂k′ vk′ π ′ = f ′ . Тогда, после преобразования (7.2.2), (7.2.3), исключив из полученного уравнения величины ∇ · v и f с помощью уравнений (7.1.3), (7.1.4), получим искомое соотношение (7.2.4).

76

Глава 7. Скобки Пуассона в адвективных гидродинамических системах

Выясним теперь, к каким ограничениям и следствиям приводит принцип относительности Галилея применительно к гамильтониану H . В рамках аксиоматического подхода, которого мы здесь придерживаемся, этот вопрос имеет принципиальное значение, поскольку фиксирует кинетическую часть гамильтониана. Из требования галилеевой инвариантности следует, что, если в неподвижной системе отсчета гамильтониан модели жидкости имеет вид H [π , ̺, s1 , . . . , sN ], то в движущейся системе отсчета гамильтониан модели выглядит как H ′ = = H [π ′ , ̺′ , s′1 , . . . , s′N ]. Вычислим производную от H ′ по параметру преобразования u, учитывая, что все дополнительные полевые переменные s′ 1 , . . ., s′ N так же, как и массовая плотность ̺′ , — галилеевы инварианты и, следовательно, после преобразования (7.2.2) от параметра u не зависят. Воспользовавшись соотношениями (7.2.1), (7.2.3) и (7.2.5), получим Z Z Z Z ∂H ′ δH ′ ∂ π ′ ′ = d x = − ( v − u) ̺ d x = − v ̺ d x + u ̺ d x, · ∂u δπ′ ∂ u откуда, интегрируя по u и принимая во внимание, что при u = 0 справедливо H ′ = H , найдем Z Z u2 ′ H = H − u · v ̺ dx + ̺ d x. (7.2.6) 2 Из соотношения (7.2.6), которое квадратично по u, для галилеево инвариантных систем однозначно следует общая структура гамильтониана4 Z 2 π H =K +U, K = dx, U = U [̺, s1 , . . . , sN ] , (7.2.7) 2̺ где функционалы K и U имеют смысл соответственно кинетической и потенциальной энергии. Подчеркнем, что принцип относительности фиксирует структуру гамильтониана с точностью до аддитивной галилеево инвариантной части U . К аналогичному результату можно было бы прийти, рассматривая сплошную среду как континуальный предел системы материальных точек. Заметим, что в классической механике дискретных систем квадратичная по скорости структура кинетической энергии устанавливается также исходя из требований галилеевой инвариантности (см., например, [120]). В релятивистских моделях гидродинамики требование галилеевской инвариантности следует заменить требованием лоренцевской инвариантности. Не углубляясь в детали, укажем, что в этом случае в качестве кинетической энергии следует брать другое выражение Z
1/2 K = c ̺2 c2 + π 2 dx,

4 При доказательстве используется тот факт, что гамильтониан H инвариантен относительно поворотов осей координат, и поэтому обязан быть функционалом квадрата плотности импульса π 2 .

77

7.3. Гидродинамические скобки Пуассона

где c — скорость света. При этом связь гидродинамической скорости и импульса задается универсальной формулой (7.2.1), которая в нерелятивистском случае приводит к соотношению ̺v = π , а в релятивистском к v = cπ ̺2 c2 + π 2


−1/2

.

(7.2.8)

§ 7.3. Гидродинамические скобки Пуассона Ограничиваясь рассмотрением нерелятивистских гидродинамических систем и принимая во внимание структуру гамильтониана (7.2.7), запишем уравнения движения, описывающие эволюцию полей ̺, s1 , . . . , sN , π в терминах скобок Пуассона ! Z " ′2 δU v ∂t ̺ = {̺, H } = vk′ {̺, πk′ } + − {̺, ̺′ }+ δ̺′ 2 # δU + ′ {̺, s′α } dx′ ; (7.3.1) δsα " ! Z δU v′2 ∂t sα = {sα , H } = vk′ {sα , πk′ } + − {sα , ̺′ }+ δ̺′ 2 # δU + ′ {sα , s′β } dx′ ; (7.3.2) δsβ " ! Z δU v′ 2 ∂t πi = {πi , H } = vk′ {πi , πk′ } + − {πi , ̺′ }+ δ̺′ 2 # δU ′ + ′ {πi , sα } dx′ . (7.3.3) δsα Здесь, как и раньше, штрих обозначает зависимость полевых переменных от пространственной координаты x′ , а по повторяющимся дискретным индексам подразумевается суммирование. Сравнивая (7.3.1) и (7.1.3), легко обнаружить, что (7.3.1) воспроизводит уравнение непрерывности (7.1.3), если

{̺, ̺′ } = {̺, s′α } = 0; {̺, πk′ } = −∂k (̺δ),

(7.3.4) (7.3.5)

где обозначение δ подразумевает дельта-функцию Дирака: δ = δ (x − x′ ). Воспользовавшись результатом (7.3.5) и сравнивая уравнение (7.3.3), которому в силу гамильтоновости обязан удовлетворять гидродинамический импульс, с

78

Глава 7. Скобки Пуассона в адвективных гидродинамических системах

уравнением Эйлера (7.1.4), получим условие на равнодействующую гидродинамических сил Z   fi = vk′ {πi , πk′ } − ∂i′ (πk′ δ) + ∂k (πi δ) dx′ + {πi , U }, (7.3.6) где

{πi , U } =

Z 

δU δU {πi , ̺′ } + ′ {πi , s′α } ′ δ̺ δsα



d x′ .

Выше уже подчеркивалось, что, как и любая другая физическая теория, подчиняющаяся законам классической механики, гидродинамика должна удовлетворять основополагающим принципам механики, в том числе и принципу относительности Галилея [5]. Согласно этому принципу, уравнения движения, записанные в инерциальной системе координат, должны быть инвариантны относительно следующей группы преобразований: сдвигов по времени и пространству, поворотов осей координат и переходов от одной к другой равномерно движущейся системе координат. Для локально-полевых гидродинамических систем первые два требования, согласно § 2.4, означают следующее. Во-первых, изучению подлежат лишь не зависящие явно от времени (автономные) трансляционно-инвариантные и изотропные скобки Пуассона типа (2.4.1). Во-вторых, ограничения, возникающие вследствие инвариантности уравнений (7.3.1)–(7.3.3) относительно переходов от одной инерциальной системы координат к другой, движущейся относительно первой с постоянной скоростью, приводят к условиям5 Z Z ′ ′ {πk , sα } dx = ∂k sα , {πk′ , πi } dx′ = ∂k πi . (7.3.9) Выполнение этих условий, в чем легко убедиться непосредственно из (7.3.3) и (7.3.6), гарантирует, с одной стороны, закон сохранения

∂t P = 0, для полного импульса P : P =

Z

π dx;

5

Действительно, совершим преобразование (7.2.2), которое влечет за собой преобразование для скорости (7.2.3) и импульса (7.2.5), оставляя инвариантными переменные ̺, s1 , . . . , sN . Тогда после такого преобразования с учетом соотношений (7.3.4), (7.3.5) вместо равенств (7.3.2), (7.3.3) получим Z (∂t + uk ∂k ) sα = −uk {sα , πk′ } dx′ + · · · ; (7.3.7) Z (∂t + uk ∂k ) πi = −uk {πi , πk′ } dx′ + · · · , (7.3.8)

где многоточием обозначены интегральные члены, идентичные тем, которые собраны в соответствующих правых частях исходных равенств (7.3.2), (7.3.3). Требование галилеевской инвариантности системы означает, что соотношения (7.3.2) и (7.3.3) тождественны с (7.3.7) и (7.3.8). Сравнение этих выражений приводит к условиям (7.3.9). Отметим также, что второе из условий (7.3.9) можно получить аналогичным образом из условия галилеевской инвариантности соотношения (7.3.6) для равнодействующей гидродинамических сил.

79

7.4. Адвективные модели сплошных сред

а с другой — условие замкнутости (консервативности) гамильтоновых систем Z f dx = {P , U } = 0, (7.3.10) которое в галилеево инвариантных системах выполняется автоматически6 . Несмотря на достаточно жесткие ограничения, принцип относительности Галилея не фиксирует полностью все необходимые скобки Пуассона, а лишь определяет их общую структуру (2.4.1) и тензорный коэффициент нулевого порядка для скобок, которые включают гидродинамический импульс:

{πk′ , πi } = δ∂k πi + · · · ,

{πk′ , sα } = δ∂k sα + · · · ,

Здесь многоточием обозначены дополнительные слагаемые, содержащие дельтафункцию под знаком производной первого и более высокого порядков. Таким образом, поскольку скобки Пуассона {πi , πj′ }, {πi , s′α }, {sα , s′β } не определены, гамильтоново описание пока остается незамкнутым. Чтобы решить эту задачу, наложим на гидродинамическую систему ряд предположений относительно физического характера эволюции дополнительных полей и гидродинамических сил, действующих на жидкую частицу.

§ 7.4. Адвективные модели, эволюционирующие под действием независящих от скорости сил Во-первых, для начала рассмотрим сравнительно простые адвективные модели сплошных сред, у которых все дополнительные поля sα эволюционируют только за счет гидродинамического переноса. Другими словами, для адвективных моделей при π = 0 из уравнения (7.3.2) автоматически и независимо от 6

Для доказательства (7.3.10) необходимо вначале раскрыть скобку {P , U } как  Z Z  δU δU ′ ′ {πi , U } dx = {π , ̺ } + {π , s } dx′ dx. i i α δ̺′ δs′α

После интегрирования по аргументу x с использованием соотношений (7.3.9) получим  Z Z  δU δU {πi , U } dx = ∂i ̺ + ∂i sα dx. δ̺ δsα Из требования трансляционной инвариантности системы следует, что после преобразования x → → x + a функционал потенциальной энергии U не должен зависеть от параметра преобразования a. Поэтому, учитывая, что после преобразования переменные ̺, s1 , . . . , sN приобретают зависимость от аргумента x + a, получим  Z  ∂U δU ∂̺ δU ∂sα = + dx = 0. ∂ai δ̺ ∂ai δsα ∂ai Откуда, если принять во внимание соотношения ∂̺/∂ai = ∂̺/∂xi , ∂s/∂ai = ∂s/∂xi , найдем, что  Z  δU δU ∂i ̺ + ∂i sα dx = 0. δ̺ δsα

80

Глава 7. Скобки Пуассона в адвективных гидродинамических системах

специфики, определяемой функционалом U , должно следовать ∂t sβ = 0. Имея в виду структуру уравнений (7.3.2) и (7.3.3), это утверждение означает, что поля sα образуют коммутативный набор

{sα , s′β } = 0, или, как говорят, находятся в инволюции. Следовательно, поля, характеризующие дополнительные свойства такой среды, эволюционируют по закону Z ∂t sα = {sα , H } = vk′ {sα , πk′ } dx′ . (7.4.1) Во-вторых, ограничимся изучением гидродинамических систем, у которых равнодействующая гидродинамических сил f функционально не зависит от скорости или импульса, т. е. δfi /δvk′ = 0. Можно показать, что для таких систем скобка {fi , ̺′ } обращается в нуль. Действительно, принимая во внимание соотношения (7.3.4) и (7.3.5), получим Z δfi ′′ ′ δfi ′ {fi , ̺ } = (7.4.2) {vk , ̺ } dx′′ = ∂k′ ′ = 0. ′′ δvk δvk Если же воспользоваться непосредственно (7.3.6), прямое вычисление этой же скобки дает выражение h i {fi , ̺′ } = ∂k′ {πi , πk′ } − ∂i′ (πk′ δ) + ∂k (πi δ) . (7.4.3) Так как в классе локальных скобок Пуассона условие (7.4.2) выполняется, если обращается в нуль квадратная скобка в (7.4.3), отсюда следует [41], что для рассматриваемых гидродинамических систем справедливы соотношения:

{πi , πk′ } = ∂i′ (πk′ δ) − ∂k (πi δ) , fi = {πi , U }.

(7.4.4) (7.4.5)

Первое из них (7.4.4) фиксирует взаимную скобку Пуассона для импульсов, а второе (7.4.5) является следствием (7.3.6) и гласит, что равнодействующая гидродинамических сил полностью определяется функционалом U или внутренними свойствами среды. Забегая вперед, отметим, что в рамки сформулированных ограничений на характер дополнительных полей и сил попадает достаточно большое число гидродинамических моделей сплошных сред, имеющих практическое значение.

Глава 8 КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛЕБША § 8.1. Построение канонических переменных. Общий подход В предыдущей главе при введении гамильтоновой структуры в гидродинамические системы, у которых гидродинамические силы удовлетворяют требованию независимости от импульса, а эволюция полей sα , описывающих внутренние свойства среды, осуществляется только за счет гидродинамического (адвективного) переноса, остался без ответа вопрос о выборе скобок Пуассона {sα , πk′ }. В соответствии с (7.4.1) эти скобки определяют характер эволюции полей sα и, следовательно, их физический смысл. Исчерпывающий ответ на этот вопрос можно получить в рамках процедуры построения канонических переменных [40]. Эта процедура развита ниже и в идейном отношении аналогична той, которая использовалась в § 3.3 при введении канонических переменных в уравнение КдВ. Говоря о возможности канонической гамильтоновой формулировки для адвективных гидродинамических систем, динамика которых разворачивается в фазовом пространстве π, ̺, s1 , . . ., sN , задается гамильтонианом Z 2 π H = dx + U [̺, s1 , . . . , sN ] 2̺ и скобками Пуассона

{̺, πk′ } = −∂k (̺δ), {πi , πk′ } = ∂i′ (πk′ δ) − ∂k (πi δ) , {̺, ̺′ } = {̺, s′β } = {sα , s′β } = 0,

(8.1.1) (8.1.2) (8.1.3)

здесь и далее в этой главе δ = δ(x − x′ ), будем подразумевать следующее. Существуют канонические переменные — обобщенные координаты qα и обобщенные импульсы pα , (α = 1, . . . , M , M ≤ N ) такие, что: а) для них выполняются условия каноничности

{qα , qβ′ } = {pα , p′β } = 0,

{qα , p′β } = δαβ δ;

б) все физические (наблюдаемые) поля π , ̺, sα могут быть выражены в терминах qα , и pα , а уравнения движения принимают вид (2.1.1). Более того, поскольку в силу (8.1.3) в адвективных моделях переменные ̺, sα (α = 1, .., N ) находятся в инволюции, а в выборе канонических переменных qα и 81

82

Глава 8. Канонические переменные и представление Клебша

pα существует определенный произвол, всегда можно перейти к более удобному каноническому базису, в котором первые N + 1 канонические координаты отождествляются с набором коммутативных физических переменных1 q0 ≡ ̺,

q α ≡ sα ,

α = 1, 2, .., N.

(8.1.4)

Во-первых, такой выбор канонических координат значительно упрощает проблему, так как, по существу, сводит ее к поиску одной единственной функциональной зависимости π [q, p], выражающей гидродинамический импульс через канонические переменные. Эту зависимость в силу причин исторического характера (см., например, [9, 162, 165, 166, 254], а также цитированную там литературу) часто называют представлением или преобразованием Клебша для гидродинамического импульса, а соответствующие канонические переменные qα , pα — потенциалами или переменными Клебша. Во-вторых, выбор (8.1.4) означает, что фиксированный физический смысл имеют только первые N + 1 обобщенные координаты. Все остальные канонические переменные являются нефизическими и возникают в гамильтониане не явно, а только через зависимость π [q, p]. Очевидно, что такая переформулировка гарантирует калибровочную инвариантность теории, поскольку любые канонические преобразования, оставляющие инвариантными физические величины π, ̺, sα , автоматически не будут изменять и гамильтониан H . Более подробно вопросы о калибровочных симметриях и связанных с ними законах сохранения, которые возникают в рамках канонического формализма для систем гидродинамического типа, будут обсуждаться в главах 10,11. Напомним, что в соответствии с (8.1.2) искомое представление Клебша должно удовлетворять соотношению

{πi , πk′ } = ∂i′ (πk′ δ) − ∂k (πi δ) .

(8.1.5)

Рассмотрим это соотношение как функциональное уравнение, в котором левая часть — скобка Пуассона {πi , πk′ } на каноническом базисе qα и pα — раскрывается по правилу  Z  δπi δπk′ δπi δπk′ {πi , πk′ } = − dx′′ . (8.1.6) δqα′′ δp′′α δp′′α δqα′′

Предположим скалярный или векторный характер полей, образующих канонический базис. Тем самым, по существу, мы предполагаем, что исходный канонический базис V представляет собой прямую сумму взаимно ортогональных симплектических подпространств Vl , l = 0, 1, . . .. Каждое из этих подпространств имеет свой независимый канонический базис, образованный или скалярной или векторной парой канонических переменных так, что в каждом подпространстве Vl уравнение (8.1.5) имеет независимое решение π (l) , обладающее свойством

{π (l) , π (m) } = 0, 1

l 6= m.

Под коммутативными физическими переменными здесь понимаются полевые переменные, которые находятся в инволюции со всеми другими полями, исключая плотность гидродинамического импульса π.

83

8.2. Скалярный канонический базис

Такие решения, называемые в дальнейшем фундаментальными, удовлетворяют принципу суперпозиции. Другими словами, общее решение уравнения (8.1.5) строится по формуле X π= π (l) . (8.1.7) l

Таким образом, достаточно рассмотреть фундаментальные решения двух типов: те, которые реализуются на скалярном каноническом базисе q, p, и те, которые реализуются на векторном каноническом базисе q , p.

§ 8.2. Скалярный канонический базис Вначале рассмотрим фундаментальные решения на скалярном каноническом базисе. Будем искать эти решения в виде

πi = aik q∂k p + bik p∂k q,

(8.2.1)

где aik , bik — искомые тензорные константы, а i, k — целочисленные индексы, пробегающие значения 1, 2, 3. Анзац (8.2.1) для фундаментального решения может быть аргументирован следующими соображениями. Пусть искомая зависимость π [q, p] представляет собой степенной функционал, который по переменной q имеет порядок m, по переменной p — порядок n, по оператору дифференцирования ∂ — порядок l. Отразим это символически формулой

[π] = [q]m [p]n [∂]l , которая отражает связь размерностей [π], [q], [p], [∂], входящих в это равенство переменных π , q , p и операции дифференцирования ∂ . Тогда, выполнив операции в соответствии с (8.1.5) и (8.1.6), получим степенные функционалы: слева с размерностью [q]2m−1 [p]2n−1 [∂]2l , а справа с размерностью [q]m [p]n [∂]l+1 . Сравнивая показатели степеней, найдем m = n = l = 1. Этот результат и положен в основу соотношения (8.2.1). Чтобы найти тензорные константы aik , bik , подставим (8.2.1) в уравнение (8.1.5). Приравняв однородные члены, после необходимых вычислений получим систему из шести уравнений. Как показывает анализ, для нетривиальных решений эта система эквивалентна системе всего из двух уравнений:

aik − bik = δik ,

ain δkm − amk δin = 0,

которые имеют очень простые решения

aik = cδik ,

bik = (c − 1)δik ,

(8.2.2)

где c — произвольная константа. Используя эти решения, согласно (8.2.1), получим π = c∇ (qp) − p∇q.

(8.2.3)

84

Глава 8. Канонические переменные и представление Клебша

Отметим, что данный выбор тензорных констант aik и bik можно осуществить из соображений симметрии. Действительно, из требования инвариантности уравнений гидродинамики относительно поворотов осей пространственных координат следует, что этим же свойством симметрии должно обладать и представление (8.2.1). Последнее, очевидно, будет соблюдаться, если тензоры aik и bik являются изотропными. Отсюда, принимая во внимание, что единственным изотропным тензором второго порядка является тензор δik , умноженный на скаляр [61], легко воспроизвести формулу (8.2.2). Чтобы найти явный вид уравнения, описывающего эволюцию скалярного коммутативного поля q , вычислим скобку Пуассона

{q, πk′ } = −cq∂k δ − δ∂k q.

(8.2.4)

Тогда, согласно правилу (7.4.1), получим

∂t q + vi ∂i q + cq∂i vi = 0.

(8.2.5)

Пользуясь параметрическим произволом, связанным с выбором константы c, выделим из совокупности всех допустимых вариантов (8.2.5) случай, который соответствует уравнению неразрывности (7.1.3). Отождествляя каноническую координату q с плотностью ̺ и сравнивая между собой (8.2.5) и (7.1.3) или (8.2.4) и (8.1.1), найдем c = 1. Удобно сделать переименование канонических переменных, положив q = ̺, p = χ в том случае, если c = 1, и оставив за переменными q , p роль обозначений для альтернативных скалярных полей при c 6= 1. Тогда, имея в виду принцип суперпозиции (8.1.7), представление Клебша на скалярном секторе канонического базиса можно представить в виде π = ̺∇χ + π (0) , где ̺∇χ — вклад, обусловленный полем плотности, а π (0) — вклад, обусловленный альтернативными скалярными полями, представляет собой фундаментальное решение типа (8.2.3).

§ 8.3. Векторный канонический базис Рассмотрим теперь фундаментальные решения, которые реализуются на векторном каноническом базисе. Эти решения будем искать в виде

πi = aiknm qn ∂k pm + biknm pm ∂k qn ,

(8.3.1)

где aiknm , biknm — тензорные константы, чей вид надлежит установить, а i, k , n, m — целочисленные индексы, пробегающие значения 1, 2, 3. Анзац (8.3.1) для векторного канонического базиса аргументируется совершенно так же, как и анзац (8.2.1) для скалярного базиса. Подстановка (8.3.1) в (8.1.5) приводит к системе уравнений

aiknm − biknm = δik δnm , aikmp aljpn − aikpn aljmp + aikmn δij − aijmn δkl = 0.

(8.3.2)

85

8.4. Минимальное представление Клебша и эволюция коммутативных полей

Требование инвариантности представления (8.3.1) относительно поворотов в трехмерном пространстве означает, что aiknm и biknm обязаны быть изотропными тензорами четвертого порядка. В силу этого для aiknm имеет место представление общего вида [61]:

aiknm = aδim δkn + bδin δkm + cδik δnm ,

(8.3.3)

где a, b, и c — некоторые константы. Подставляя (8.3.3) в (8.3.2), находим ограничения на константы a и b

ab = 0,

a (a + 1) = 0,

b (b − 1) = 0,

(8.3.4)

при этом константа c остается произвольной. Как показывает анализ (8.3.4), для a и b возможны три варианта решений:

a = b = 0;

a = 0, b = 1;

a = −1, b = 0.

(8.3.5)

Таким образом, для представления Клебша мы имеем три типа фундаментальных решений: (1)

(1)

π (1) = −pk ∇qk + c1 ∇(q(1) · p(1) ), (2)

(2)

(2)

(3)

(3)

(3)

π (2) = −pk ∇qk + ∂k (q(2) pk ) + c2 ∇(q(2) · p(2) ),

(8.3.6)

π (3) = −pk ∇qk + ∂k (p(3) qk ) + c3 ∇(q(3) · p(3) ), каждое из них задано на соответствующем секторе векторного канонического базиса: (q (1) , p(1) ), (q (2) , p(2) ), (q(3) , p(3) ) и характеризуется своим выбором констант a, b и c1 , c2 , c3 .

§ 8.4. Минимальное представление Клебша и эволюция коммутативных полей Минимальное представление Клебша — общее решение для представления Клебша, которое можно построить из минимально полного набора фундаментальных решений, — очевидно, имеет вид π = ̺∇χ + π (0) + π (1) + π (2) + π (3) ,

(8.4.1)

где каждый тип фундаментального решения учтен только один раз. Отметим, что более полное представление Клебша может включать в себя любое число однотипных фундаментальных решений. Поэтому для обобщения минимального представления Клебша (8.4.1) на произвольное число однотипных полей достаточно считать, что каждое из π (0) , π (1) , π (2) , π (3) представляет собой сумму однотипных фундаментальных решений. Покажем теперь, что параметрический произвол, связанный с выбором констант c в (8.2.5) и c1 , c1 , c3 в (8.3.6), устраним, причем без какого-либо ограничения общности можно положить c = c1 = c2 = c3 = 0.

86

Глава 8. Канонические переменные и представление Клебша

Рассмотрим точечное каноническое преобразование от старых координат q , q(1) , q (2) , q (3) к новым σ , I, S, J по формулам

q = ̺c σ,

q(1) = ̺c1 I ,

q(2) = ̺c2 S ,

q(3) = ̺c3 J .

(8.4.2)

Каноническая координата ̺ остается при этом неизменной. Согласно § 5.2, каноническому преобразованию (8.4.2) соответствует производящий функционал Z   F3 = − ̺χ + ̺c pσ + ̺c1 p(1) · I + ̺c2 p(2) · S + ̺c3 p(3) · J dx, с помощью которого новые канонические импульсы определятся по формулам

ϕ=−

δF3 = χ + ̺−1 (cκσ + c1 α · I + c2 β · S + c3 γ · J ) , δ̺ δF3 δF3 = ̺c p, α = − = ̺c1 p(1) , δσ δI δF3 δF3 β=− = ̺c2 p(2) , γ = − = ̺c3 p(3) . δS δJ κ=−

Выражая старые канонические переменные через новые и подставляя в представление Клебша (8.4.1), получим π = ̺∇ϕ + π (0) + π (1) + π (2) + π (3) ,

(8.4.3)

где фундаментальные решения π (0) , π (1) , π (2) , π (3) определяются теперь соотношениями π (0) = −κ ∇σ,

π (2) = −βk ∇Sk + ∂k (βk S ) ,

π (1) = −αk ∇Ik ,

π (3) = −γk ∇Jk + ∂k (γ Jk ) .

(8.4.4)

Нетрудно заметить, что выражения (8.4.4) эквивалентны (8.2.3), (8.3.6), если в последних положить c = c1 = c2 = c3 = 0. Таким образом, параметрический произвол в выборе констант c, c1 , c2 , c3 можно трактовать как свободу в выборе переменных, играющих роль канонических координат, с точностью до умножения их на произвольную степень плотности ̺. Чтобы найти уравнения, которые описывают эволюцию коммутативных гидродинамических полей σ , I, S, J , выступающих в роли канонических координат, вычислим взаимные скобки Пуассона этих полей с импульсом (8.4.3):

{σ, πk′ } = −δ∂k σ, {Si , πk′ }

{Ji , πk′ }

{Ii , πk′ } = −δ∂k Ii ,

= −δ∂k Si − Sk ∂i δ,

= −δ∂k Ji + δik Jn ∂n δ.

(8.4.5) (8.4.6) (8.4.7)

8.5. Эволюция гидродинамических систем под действием гироскопических сил

87

Воспользовавшись этими соотношениями, в соответствии с формулой (7.4.1) найдем, что в адвективных моделях допустимы только следующие эволюционные уравнения ∂t σ + (v · ∇)σ = 0, ∂t I + (v · ∇)I = 0,

∂t S + (v · ∇)S + (S · ∇)v + S × (∇ × v ) = 0,

(8.4.8)

∂t J + (v · ∇)J − (J · ∇)v = 0.

Во всех рассуждениях, проведенных выше, мы ради простоты ограничивались минимальным набором из одного скалярного поля σ и трех векторных полей I, S, J, составляющих вместе с полем ̺ сектор канонических координат. Для обобщения результатов на произвольное число полей достаточно переменные σ , I, S, J и сопряженные им λ, α, β, γ считать зависящими еще и от дискретных индексов, которые позволяют осуществить нумерацию однотипных полей. Тогда, если в выражениях (8.4.4) по повторяющимся индексам подразумевать суммирование, формула (8.4.3) для представления Клебша остается в силе.

§ 8.5. Эволюция гидродинамических систем под действием гироскопических сил Полученные выше результаты можно перенести на случай более сложных адвективных моделей, когда равнодействующая гидродинамических сил f имеет линейную функциональную зависимость от скорости v [40]. Примером таких сил является сила Лоренца, которая возникает в плазме в присутствии магнитного поля, или сила Кориолиса f = 2 (π × Ω ), которая действует на жидкую частицу во вращающейся с угловой скоростью Ω системе координат. С этой целью несколько обобщим полученное представление Клебша для импульса (8.4.3): π = ̺∇ϕ + π (0) + π (1) + π (2) + π (3) − ̺A,

(8.5.1)

добавив в него член −̺A, где A — векторная величина, зависящая как функция от пространственной координаты x и, возможно, функционально от полей, выполняющих роль канонических координат. Отметим, что A можно считать такой же заданной внутренней характеристикой среды, как и потенциальную энергию U . Выбор этих характеристик определяется конкретной спецификой модели среды. Оставаясь в рамках прежних предположений относительно структуры гамильтониана H и характера полей σ , I, S, J , составляющих вместе с π естественное фазовое пространство, на котором формулируется традиционное гидродинамическое описание, выясним, к каким принципиальным изменениям в уравнениях движения приводит модификация представления Клебша. Иначе говоря, если раньше, чтобы определить представление Клебша (8.4.3), мы задавали независимость гидродинамических сил от скорости, то теперь требуется решить обратную задачу: по данному представлению Клебша (8.5.1) необходимо установить характер гидродинамических сил.

88

Глава 8. Канонические переменные и представление Клебша

Прежде всего, заметим, что, поскольку A коммутирует с полями ̺, σ , I, S, J, модификация представления Клебша не меняет скобки Пуассона (8.4.5)–(8.4.7) для этих полей с импульсом. Следовательно, эволюция полей ̺, σ , I, S, J попрежнему описывается уравнениями (7.1.3) и (8.4.8). Однако эта модификация изменяет скобку Пуассона {πi , πk′ }, которая теперь принимает вид

{πi , πk′ } = ∂i′ (πk′ δ) − ∂k (πi δ) + ̺′ {A′k , πi }−

− ̺{Ai , πk′ } + δ̺ (∂i Ak − ∂k Ai ) . (8.5.2)

В том, что новая система скобок удовлетворяет тождеству Якоби, можно убедиться непосредственно. Принимая во внимание, что

∂t π = {π , H } = {π , K } + {π , U }, непосредственно из уравнения Эйлера (7.1.4) найдем f = {π , K } + {π , U } + ∂k (vk π ).

(8.5.3)

После вычисления скобки {π , K } с помощью (8.5.2) и подстановки результата в (8.5.3) получим выражение для гидродинамической силы f = f gyr + {π , U },

(8.5.4)

где f gyr — гироскопическая составляющая силы, обусловленная векторной величиной A, определяется выражением Z f gyr = ̺ (v × ∇ × A − ∂t A) + πk′ {A′k , π } dx′ . (8.5.5) Составляющая f gyr имеет линейную функциональную зависимость от скорости v, и в ее гироскопичности можно убедиться непосредственно [28], вычислив мощность — объемный интеграл от f gyr · v, который оказывается равным нулю2 . Легко видеть, что в том простом случае, когда U и A функционально не зависят от гидродинамических полей σ , ̺, I, S, J , а A есть только функция координаты x, сила (8.5.4) представляет собой обычную силу Лоренца f = ̺v × (∇ × A) ,

(8.5.6)

где A играет роль обычного векторного потенциала. Например, при A = 2Ω × x, выражение (8.5.6) воспроизводит силу Кориолиса f = 2̺ (v × Ω ), где Ω — постоянная угловая скорость вращения системы координат. Можно предложить альтернативную гамильтонову формулировку адвективных моделей с гироскопическими силами. С этой целью наряду с величиной π, 2

Для доказательства этого факта необходимо принять во внимание, что Z ∂t A = {A, H } = vk′ {A, πk′ } dx′ .

8.5. Эволюция гидродинамических систем под действием гироскопических сил

89

имеющей смысл обычного гидродинамического импульса жидкой частицы, по аналогии с теорией поля [121] введем величину (8.5.7)

p = π + ̺A,

которая, если сравнить (8.5.7) с (22.2.8) на с. 192, очевидно, имеет смысл обобщенного импульса. Рассматривая соотношение (8.5.7) как преобразование от π к p, легко убедиться, что это преобразование возвращает стандартный вид скобке Пуассона для обобщенного импульса:

{pi , p′k } = ∂i′ (p′k δ) − ∂k (pi δ). При этом все остальные скобки Пуассона с участием обобщенного импульса p не меняются. В частности, не изменяется скобка Пуассона и для плотности:

{̺, p′k } = −∂k (̺δ). Кроме того, преобразование (8.5.7) изменяет структуру гамильтониана H , который в терминах p принимает вид  Z  2 p H = − p · A dx + U, 2̺ где U — новая потенциальная часть гамильтониана — переопределяется соотношением Z 1 U =U + ̺A2 dx. 2

Если теперь мы хотим получить уравнение Эйлера в терминах скорости v, необходимо записать вначале уравнение

∂t v = {v, H }. Затем, воспользовавшись связью между обобщенным импульсом p и гидродинамической скоростью v: v=

δH δH p = = − A, δπ δp ̺

раскрыть скобку Пуассона {v , H }. В результате получим уравнение

∂t v + (v · ∇)v = v × ∇ × A − ∂t A +

Z

̺′ vk′ {A′k , v } dx′ + {v , U }

с уже знакомой правой частью. Сравнивая ее и (8.5.4), легко заметить, что они совпадают с точностью до нормировки на плотность ̺.

Глава 9 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПОТЕНЦИАЛОВ КЛЕБША В этой главе покажем, что уравнения (8.4.8) имеют статус законов сохранения. В частности, это позволит выяснить физический смысл переменных σ , I, S, J, выступающих в качестве канонических координат.

§ 9.1. Субстанциональные характеристические функции и интегралы движения Как уже отмечалось ранее (см. § 7.1), в гидродинамике многие из уравнений движений формулируются в виде законов сохранения интегралов, которые берутся по произвольной области, движущейся вместе с жидкостью. Такие интегралы в силу отмеченной специфики области интегрирования называются субстанциональными. Существует четыре топологически различных области интегрирования — объем, поверхность, контур и точка, которые можно последовательно описать с помощью обобщенных характеристических функций [23, 30, 105]. Рассмотрим некоторый объем, движущийся вместе с жидкостью. Этот объект можно охарактеризовать функцией g(x, t), обладающей свойством: g(x, t) > 0 — внутри объема, g(x, t) < 0 — снаружи и g(x, t) = 0 — на поверхности. Кроме того, при g(x, t) = 0 функция g должна удовлетворять уравнению

∂t g + (v · ∇)g = 0,

(9.1.1)

которое, как известно [166], является условием субстанциональности, т. е. того, что поверхность g(x, t) = 0 движется вместе с жидкостью. Субстанциональную характеристическую функцию, соответствующую рассматриваемому выше жидкому объему, определим согласно правилу:  1, если g ≥ 0; θ(g) = (9.1.2) 0, если g < 0, где θ — функция, хорошо известная еще как функция Хевисайда, обладает свойством ∂θ/∂g = δ(g).

Воспользовавшись этим свойством и учитывая (9.1.1), легко показать, что субстанциональная θ -функция удовлетворяет уравнению

∂t θ + (v · ∇)θ = 0. 90

(9.1.3)

9.1. Субстанциональные характеристические функции и интегралы движения

91

Использование тета-функций удобно при построении субстанциональных интегралов. С их помощью удается построить подынтегральные выражения, которые автоматически контролируют область интегрирования, обращаясь тождественно в нуль вне ее. При этом сам интеграл можно формально распространить на все трехмерное пространство. Если тета-функция (9.1.2) выделяет конечный жидкий объем, то величина, которая выделяет и характеризует ориентированную замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем, определяется градиентом характеристической функции (9.1.4)

∇θ = δ(g)∇g.

Геометрический смысл этой формулы состоит в том, что дельта-функция δ(g) выделяет поверхность g(x, t) = 0, а градиент ∇g задает вектор внутренней нормали к этой поверхности. Опираясь на геометрическую интерпретацию градиента θ -функций, можно построить величину, выделяющую жидкий ориентированный замкнутый контур: (9.1.5)

∇θ1 × ∇θ2 = δ(g1 )δ(g2 ) (∇g1 × ∇g2 ) ,

где θ1,2 = θ(g1,2) — характеристические функции двух пересекающихся жидких объемов. Геометрический смысл (9.1.5) иллюстрируется рис. 9.1 и заключается в том, что ∇θ1 и ∇θ2 идентифицируют две ориентированные поверхности g1 (x, t) = 0 и g2 (x, t) = 0, пересечение которых образует контур, а величина (∇g1 × ∇g2 ) определяет вектор, касательный к этому контуру. Пересечение жидкого контура и жидкой поверхности, очевидно, дает точку, движущуюся вместе с жидкостью. С помощью (9.1.4) и (9.1.5), имеющих соответствующую интерпретацию, можно сконструировать величину ∇θ · (∇θ1 × ∇θ2 ) = δ(g)δ(g1)δ(g2 )∇g · (∇g1 × ∇g2 ) , которая идентифицирует жидкую частицу, и выражает этот факт математически. Отметим, что формулы (9.1.4) и (9.1.5) относятся лишь к замкнутому или бесконечно протяженному контуру (поверхности). Чтобы располагать величинами, описывающими отдельные элементы этих объектов, (9.1.4) и (9.1.5) следует

θ1 Рис. 9.1. Ориентированный жидкий контур как результат пересечения двух ориентированных жидких поверхностей. Вектор t — касательная к контуру, векторы n1 и n2 — внутренние нормали к этим поверхностям

t n2

θ2

n1

92

Глава 9. Гидродинамические законы сохранения

умножить на характеристическую тета-функцию θ3 , которая вырезала бы соответствующие элементы из исходных объектов. Теперь в зависимости от типа области интегрирования — объем, элемент поверхности, элемент контура и точка — рассмотрим четыре типа сохраняющихся со временем субстанциональных интеграла: Z Z C1 = Dθ dx, C2 = σ ∇θ · (∇θ1 × ∇θ2 ) dx, Z Z (9.1.6) C3 = ̺θ3 (J · ∇θ) dx, C4 = θ3 S · (∇θ1 × ∇θ2 ) dx. Здесь Ci — некоторые константы (i = 1, 2, 3, 4), а смысл полей D, σ, J , S установим ниже.

§ 9.2. Топологическая и физическая интерпретации потенциалов Клебша Дифференцируя интегралы (9.1.6) по времени, используя свойство субстанциональных характеристических функций (9.1.3) и интегрируя по частям, получим: Z h i θ ∂t D + ∇ · (vD) dx = 0, Z h i ∇θ · (∇θ1 × ∇θ2 ) ∂t σ + (v · ∇)σ dx = 0, Z h i ̺θ3 ∇θ · ∂t J + (v · ∇)J − (J · ∇)v dx = 0, Z h i θ3 (∇θ1 × ∇θ2 ) · ∂t S + (v · ∇)S + (S · ∇)v + S × (∇ × v ) dx = 0. Полученные интегральные равенства справедливы при любом выборе θ , θ1 , θ2 , θ3 , определяющих соответствующие области интегрирования. Поэтому подынтегральные выражения, заключенные в квадратные скобки, обязаны обращаться тождественно в нуль. Таким образом, интегральные законы сохранения (9.1.6) эквивалентны следующим уравнениям:

∂t D + ∇ · (v D) = 0,

(9.2.1)

∂t J + (v · ∇)J − (J · ∇)v = 0,

(9.2.3)

∂t σ + (v · ∇)σ = 0,

(9.2.2)

∂t S + (v · ∇)S + (S · ∇)v + S × (∇ × v ) = 0,

(9.2.4)

которые выражают эти законы сохранения в локальном виде. Первое из уравнений (9.2.1) представляет собой уравнение неразрывности, описывающее поля D , которые эволюционируют подобно полю плотности ̺.

9.2. Топологическая и физическая интерпретации потенциалов Клебша

93

Второе (9.2.2) описывает закон сохранения скалярной величины σ при переносе ее жидкой частицей вдоль лагранжевой траектории. Такие величины называются лагранжевыми инвариантами. При этом различают лагранжевы инварианты двух видов: скалярные σ и векторные I. Векторные лагранжевы инварианты удовлетворяют уравнению

∂t I + (v · ∇)I = 0, которое является векторным аналогом (9.2.2). Третье уравнение (9.2.3) описывает векторные поля J, силовые линии которых вморожены в жидкость. Примерами «вмороженных» полей служат магнитное поле и поле завихренности в идеальной несжимаемой однородной жидкости. Наконец, четвертое уравнение (9.2.4) описывает векторные поля S, эволюционирующие вдоль лагранжевых траекторий аналогично дифференциальным ориентированным элементам площади жидкой поверхности [22]. Примером полей данного типа является плотность импульса Лэмба1 в однородной идеальной жидкости [117]. Таким образом, можно сделать вывод, что в гамильтоновых системах гидродинамического типа, которые рассматривались в главах 7 и 8, кроме плотности ̺ реализуются еще четыре вида коммутативных полей σ , I, J, S, чей физический смысл установлен выше.

1 Для однородной несжимаемой жидкости плотность импульса Лэмба совпадает с величиной ̺v V , где v V — так называемая вихревая компонента гидродинамической скорости, которая вычисляется по формуле Z 1 ω(x′ , t) × (x − x′ ) vV = dx′ , 4π |x − x′ |3

а ω(x, t) — завихренность жидкости.

Глава 10 КАЛИБРОВОЧНЫЕ СИММЕТРИИ В ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА Как уже говорилось (см. главу 6), калибровочная симметрия, или инвариантность, любой теории означает неизменность всех физических характеристик при преобразованиях, затрагивающих только те переменные, которые не имеют прямого физического смысла. Применительно к рассматриваемым гамильтоновым системам гидродинамического типа калибровочная инвариантность теории эквивалентна калибровочной инвариантности представления Клебша для импульса. Этот вывод непосредственно следует из результатов главы 8, согласно которым гидродинамическая скорость — единственная физическая величина теории, зависящая от нефизических канонических переменных. Если все канонические импульсы — нефизические по построению, то для канонических координат вопрос о разделении их на физические и нефизические нельзя решить столь однозначно без дополнительной информации. А именно: физическими переменными считаются только те из канонических координат, от которых зависит функционал U — потенциальная часть гамильтониана гидродинамической системы.

§ 10.1. Канонические импульсы как нефизические переменные и их калибровочные преобразования Понятно, что разделение канонических координат на физические и нефизические не осуществимо без указания конкретной специфики среды. Поэтому в первую очередь рассмотрим калибровочные канонические преобразования, затрагивающие исключительно канонические импульсы. В самом общем виде соответствующий производящий функционал, согласно § 5.1, запишем следующим образом Z F = − (̺ϕ + σκ + I · α + S · β + J · γ ) dx + G [̺, σ, I , S , J ], где G — некоторый функционал, зависящий только от канонических координат. Тогда новые импульсы ϕ′ , κ ′ , α′ , β ′ , γ ′ определяются по формулам:

ϕ′ = ϕ −

δG , δ̺

κ′ = κ − 94

δG , δσ

10.2. Соотношения взаимности для построения инвариантов движения

α′ = α −

δG , δI

β′ = β −

δG , δS

γ′ = γ −

95

δG . δJ

Подставляя эти формулы в (8.4.4), из (8.4.3) получим, что в новых переменных представление Клебша для гидродинамического импульса принимает вид π = π ′ + {π , G },

π ′ = π |ϕ=ϕ′ , κ=κ′ ,... .

Очевидно, калибровочная инвариантность, подразумевающая равенство π = = π ′ , будет иметь место, если {π , G } = 0. (10.1.1)

Соотношение (10.1.1) представляет собой условие, при котором G является генератором калибровочного преобразования. Подобного рода величины, чтобы подчеркнуть, что в силу теоремы Нетер они еще и сохраняются, будем называть калибровочными инвариантами. Найти G как результат непосредственного решения функционального уравнения (10.1.1), за исключением некоторых частных случаев, достаточно затруднительно. Для достижения этой цели существует более рациональный путь. Он состоит в том, что любую сохраняющуюся со временем величину G можно представить в виде Z G = ̺Φ dx, (10.1.2)

где Φ — некоторый скалярный лагранжев инвариант, функционально зависящий от полей ̺, σ , I, S, J. Таким образом, для построения функционала Φ необходимо развить процедуру построения лагранжевых инвариантов, функционально зависящих от полей ̺, σ , I, S, J. Как оказывается, эта задача является частным случаем более общего подхода [27, 117, 134], который изложен ниже.

§ 10.2. Соотношения взаимности для построения инвариантов движения Рассмотрим четыре вида полей: плотность, скалярный лагранжев инвариант, вмороженное поле и поле типа импульса Лэмба. Обозначая их соответственно ̺, σ , J , S, будем использовать знак штрих или индексы в том случае, когда необходимо будет различать несколько однотипных полей. Перечисленные выше типы полей связаны соотношениями, называемыми соотношениями взаимности, которые можно получить в несколько этапов. На первом выпишем самые очевидные: J ′ = J σ,

S = S σ,

σ = σ(σ ′ , σ ′′ , σ ′′′ , . . .).

(10.2.1)

Эти формулы легко проверяются и означают, что умножение на скалярный лагранжев инвариант не меняет тип полей, а любая функция лагранжевых инвариантов сама есть лагранжев инвариант. Кроме того, в силу квазилинейности уравнений (9.2.1)–(9.2.4) линейные комбинации полей одного вида принадлежат к тому же виду.

96

Глава 10. Калибровочные симметрии в гамильтоновых системах

На втором этапе также прямой проверкой можно убедиться, что имеют место соотношения:

σ = ̺−1 ∇ · (̺J ),

J = ̺−1 ∇ × S ,

S = ∇σ,

(10.2.2)

в которых фигурируют не только сами поля, но и их производные. Далее, подставляя (10.2.1) в (10.2.2), получим:

σ = J · ∇σ ′ ,

J ′ = ̺−1 S × ∇σ,

(10.2.3)

откуда, имея в виду равенство S ′ = ∇σ ′ , следует:

σ = J · S,

J = ̺−1 S × S ′ ,

J = ̺−1 ∇σ × ∇σ ′ .

(10.2.4)

Комбинируя (10.2.2)–(10.2.4), можно получить следующее поколение соотношений взаимности: S ∇σ ′ S = ̺J × J ′ , σ = · (∇σ ′ × ∇σ ′′ ) , σ = · (∇σ ′′ × ∇σ ′′′ ) . (10.2.5) ̺ ̺ В частности, используя в качестве лагранжевых инвариантов субстанциональные характеристические тета-функции θ , θ1 , θ2 , θ3 , рассмотренные в предыдущем разделе, по формулам (10.2.1), (10.2.2) можно построить лагранжевы инварианты вида:

Φ1 = θσ, −1

Φ2 = θ3 J · ∇θ,

Φ3 = ̺ θ3 S · (∇θ1 × ∇θ2 ) ,

Φ4 = σ ∇θ · (∇θ1 × ∇θ2 ) .

С их помощью по формуле (10.1.2) можно воспроизвести все четыре интегральных закона сохранения (9.1.6), которые, таким образом, являются следствием калибровочной инвариантности. В общем случае в качестве лагранжева инварианта Φ может выступать любая скалярная функция от любых лагранжевых инвариантов, какие только можно построить по формулам (10.2.1)–(10.2.5). В конкретной ситуации, когда исходно имеются векторный лагранжев инвариант I = {I1 , I2 , I3 } и поля ̺, S, J , из этих формул следуют, например, такие лагранжевы инварианты первого поколения:

I0′ = J · S ,

Ik′ = (J · ∇)Ik ,

′ Iik = ̺−1 S · (∇Ii × ∇Ik ) ,

I ′ = ̺−1 ∇I1 · (∇I2 × ∇I3 ) .

(10.2.6)

Лагранжевы инварианты второго поколения можно найти, используя в формулах (10.2.6) вместо I1 , I2 , I3 лагранжевы инварианты первого поколения, отмеченные знаком штрих. Продолжая применять эту рекуррентную процедуру многократно, можно получать лагранжевы инварианты все более и более старшего порядка как по полям ̺, I, S, J , так и по их производным. С точки зрения теории вырожденных гамильтоновых систем, элементы которой изложены в § 4.2, рассмотренные здесь не зависящие от скорости калибровочные инварианты — суть инварианты Казимира весьма частного вида. Использование калибровочных инвариантов представляется методически целесообразным в целом ряде приложений. Эти приложения включают в себя нелинейную теорию устойчивости [3–5, 189, 233, 249], изучение волновых движений, развивающихся на фоне заданного режима равновесия среды и др. [273].

10.3. Использование калибровочных преобразований

97

§ 10.3. Использования калибровочных преобразований для исключения эффекта секулярного роста Остановимся более подробно на применении калибровочных инвариантов для изучения движений в гидродинамических системах [37], фоновый режим равновесия которых характеризуется стационарными распределениями скорости vs , плотности ̺s , а также других физических полей, выполняющих роль канонических координат. Характерной особенностью таких систем является то, что равновесные значения некоторых нефизических канонических переменных, например, импульсов, могут обнаруживать секулярную (линейную) зависимость от времени. Последнее обстоятельство нежелательно, поскольку приводит к определенным техническим трудностям, которые проявляются в том, что некоторые члены разложения гамильтониана в функциональный ряд теории возмущений в окрестности режима равновесия будут содержать явную зависимость от времени. Опишем процедуру, с помощью которой можно устранить эффект секулярного роста. Для краткости вместо обозначений ̺, σ , I, S, J и ϕ, κ , α, β, γ, ассоциированных с конкретными типами гидродинамических полей, которые образуют канонический базис, будем пользоваться их чисто номенклатурными обозначениями qi , pi . Совершим каноническое преобразование к новым импульсам p′ i (не меняя при этом координаты qi ) с помощью производящего функционала Z i F = qi p′ dx + tG [q] + Q[q], (10.3.1) где функционал G — калибровочный инвариант, удовлетворяющий соотношению (10.1.1), а на функционал Q накладывается условие

{π , Q}s = π s .

(10.3.2)

Здесь и далее индексом s отмечены значения соответствующих величин в режиме равновесия. Согласно (5.1.9) найдем формулы преобразования для импульсов

pi = и гамильтониана

δF δG δQ i = p′ + t + , δqi δqi δqi H ′ = H + G.

(10.3.3) (10.3.4)

При этом представление Клебша преобразуется к виду π ′ = π − {π , Q}.

(10.3.5)

Таким образом, из (10.3.2)–(10.3.5) легко видеть, что соответствующий выбор функционала Q и калибровочного инварианта G может обеспечить переход к таким новым импульсам, что в режиме равновесия p′ is = 0, π ′s = 0.

Глава 11 ПОНИЖЕНИЕ ЧИСЛА СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ И РЕДУКЦИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛЕБША § 11.1. Максимальная редукция представления Клебша Результаты, полученные в данном разделе, распространяются на гидродинамические модели, в которых движение жидкости можно математически представить как взаимооднозначное непрерывное отображение, которое переводит каждую частицу жидкости из одного места, где она была в начальный момент, в другое место, в котором она окажется в момент времени t. Пусть ξ — начальная координата какой-нибудь частицы жидкости в момент t = 0, а x — текущая координата той же частицы в момент времени t. Тогда, согласно сказанному выше, движение жидкости считается известным, если для любого t известна связь ξ = ξ (x, t) (11.1.1) между начальным ξ и текущим x местоположениями составляющих ее частиц. Координаты ξ называются лагранжевыми и, как функции x и t, удовлетворяют уравнению ∂t ξ + (v · ∇) ξ = 0, (11.1.2)

которое свидетельствует, что поле ξ (x, t) — векторный лагранжев инвариант. Некоторый произвол, имеющийся в выборе координат ξ, можно ликвидировать с помощью начального условия (11.1.3)

ξ (x, 0) = x.

Это условие однозначно выделяет поле ξ из всего остального многообразия лагранжевых инвариантов. Из физических соображений очевидно, что описание в терминах поля ξ (x, t), означающее знание движения каждой жидкой частицы, дает исчерпывающую информацию об эволюции тех полей, которые эволюционируют только за счет гидродинамического переноса. Следовательно, гидродинамические поля ̺, σ , I, S, J должны в принципе однозначно восстанавливаться по полю ξ и своим начальным данным. В самом деле, используя соотношения взаимности (10.2.1)–(10.2.5), можно установить следующие равенства:

̺ = ̺0 (ξ ) g 1/2 , 0

σ = σ (ξ ) ,

0

I = I (ξ ) , 98

S=

(11.1.4)

Sk0

(ξ ) ∇ξk ,

(11.1.5)

99

11.1. Максимальная редукция представления Клебша

J=

1 −1/2 0 g Ji (ξ ) eikl (∇ξk × ∇ξl ) , 2

(11.1.6)

где g 1/2 — якобиан преобразования (11.1.1), который может быть выражен как

g 1/2 = det (∂ξi /∂xk ) = ∇ξ1 · (∇ξ2 × ∇ξ3 ) , а ̺0 , σ 0 , I 0 , S 0 , J 0 — функции лагранжевой координаты ξ, которые определяются из начальных условий. Действительно, полагая t = 0 в (11.1.4)–(11.1.6) и учитывая (11.1.3), найдем, что

̺0 (x) = ̺ (x, 0) , I 0 (x) = I (x, 0) ,

σ 0 (x) = σ (x, 0) ,

S 0 (x) = S (x, 0) ,

J 0 (x) = J (x, 0) .

Таким образом, ̺0 , σ 0 , I 0 , S 0 , J 0 имеют смысл начальных распределений соответствующих полей. Покажем, что представление (11.1.4)–(11.1.6) позволяет понижать число степеней свободы, т. е. уменьшать число пар канонически сопряженных переменных, которые используются при гамильтоновом описании гидродинамической системы с помощью представления Клебша [40]. С этой целью рассмотрим каноническое преобразование к новым координатам ̺′ , σ ′ , ξ, S ′ , J ′ по формулам:

̺ = ̺0 g 1/2 + ̺′ , S = Sk0 ∇ξk + S ′ ,

J=

σ = σ0 + σ′ ,

I = I 0,

1 −1/2 0 ikl g Ji e (∇ξk × ∇ξl ) + J ′ . 2

(11.1.7)

Преобразование (11.1.7) — точечное, и, согласно § 5.2, ему соответствует производящий функционал Z F = (̺ϕ + σκ + I · α + S · β + J · γ ) dx. (11.1.8) Принимая во внимание, что старые канонические координаты ̺, σ , I, S, J выражаются через новые ̺′ , σ ′ , ξ, S ′ , J ′ по формулам (11.1.7), новые импульсы ϕ′ , κ ′ , λ′ , β ′ , γ ′ найдем как

δF 1 δF δF = ϕ − J · γ , κ′ = = κ, β ′ = = β, ′ ′ δ̺ ̺ δσ δS ′ δF δF λ= = λϕ + λκ + λβ + λα + λγ , γ ′ = = γ, δξ δJ ′

ϕ′ =

(11.1.9)

где λϕ , λκ , λβ , λα , λγ представляют собой результаты почленного варьирования производящего функционала (11.1.8) по ξ и определяются выражениями: Z δ 1 ϕ λi = ̺ϕ dx = − ̺0 eikl (∇ξk × ∇ξl ) · ∇ϕ, δξi 2

100

Глава 11. Понижение числа степеней свободы и редукция представления Клебша

Z ∂σ 0 ∂I 0 δ I · α dx = α · σκ dx = κ , λαi = , ∂ξi δξi ∂ξi  0  Z ∂Sk ∂Si0 δ β − S · β dx = β · ∇ξk , λi = δξi ∂ξi ∂ξk Z   δ γ λi = J · γ dx = ∇ g −1/2 Jk0 eikl (∇ξl × γ ) + δξi
1 ∂ + γ · (∇ξk × ∇ξl ) enkl Jn0 ̺0 + 2̺ ∂ξi   0 ̺ ikl 1 0 + e (∇ξl × ∇ξl ) · ∇ J ·γ . 2 2̺ λκ i =

δ δξi

Z

Несмотря на то, что формулы (11.1.9) описывают достаточно сложное преобразование, после его использования представление Клебша (8.4.3) сохраняет свою структуру с точностью до переобозначений и имеет вид π = ̺′ ∇ϕ′ − κ ′ ∇σ ′ − λi ∇ξi − βi′ ∇Si′ +

+ ∂i (βi′ S ′ ) − γi′ ∇Ji′ − ∂i (γ ′ Ji′ ) . (11.1.10)

Такая инвариантность представления Клебша для импульса приводит к важному результату, который состоит в том, что штрихованные канонические переменные вообще можно исключить из описания. Этот результат заслуживает более подробного обсуждения. Прежде всего, отметим, что штрихованные канонические координаты удовлетворяют тем же уравнениям, что и нештрихованные, и имеют тот же физический смысл. Следовательно, согласно (9.1.6), сохраняются интегралы: Z Z ′ C1 = ̺ θ dx, C2 = σ ′ ∇θ · (∇θ1 × ∇θ2 ) dx, Z Z ′ C3 = ̺θ3 J · ∇θ dx, C4 = θ3 S ′ · (∇θ1 × ∇θ2 ) dx. Отсюда легко показать, что если в начальный момент t = 0 выполнялось условие ̺′ = 0, σ ′ = 0, J ′ = 0, S ′ = 0, то справедливы тождества:1

̺′ (x, t) ≡ 0,

σ ′ (x, t) ≡ 0,

J ′ (x, t) ≡ 0,

S ′ (x, t) ≡ 0.

(11.1.11)

Таким образом, воспользовавшись (11.1.11), из (11.1.10) получим максимально редуцированное представление Клебша для импульса π = −λi ∇ξi . 1

(11.1.12)

В самом деле, так как при t = 0 имеет место C1 = C2 = C3 = C4 = 0, то для выполнения этих равенств при любом выборе субстанциональных характеристических функций θ, θ1 , θ2 , θ3 и любом времени t необходимо и достаточно выполнение тождеств (11.1.11).

11.2. Частичная редукция представления Клебша

101

Использование представления (11.1.12) предполагает, что в гамильтониане Z 2 π H= dx + U [̺, σ, I, S, J ] (11.1.13) 2̺

всюду вместо полей ̺, σ , I, S, J , играющих роль канонических координат, должны фигурировать их выражения (11.1.4)–(11.1.6) через лагранжево поле ξ — идентификатор жидких частиц. По существу, мы доказали, что любую гидродинамическую модель с дополнительными полями, находящимися в инволюции, всегда можно свести к канонической гамильтоновой системе с тремя степенями свободы. В силу замечания в § 8.4, этот результат не зависит от числа полей одного и того же типа в исходной гамильтоновой системе. Построенная выше процедура, позволяющая превращать исходную гамильтонову систему в гамильтонову систему на каноническом базисе меньшей размерности, называется редукцией [71, 180, 181]. Ключевая идея, которая лежит в основе этой процедуры, наиболее просто иллюстрируется на системе обыкновенных дифференциальных уравнений

∂t qi = fi (q1 , q2 , . . . , qn ) , где qi — динамические переменные (i = 1, 2, . . . , n), которые зависят только от времени и составляют n-мерное фазовое пространство. Хорошо известно, что в каждый фиксированный момент времени решения такой системы можно изобразить точкой (q1 , q2 , . . . , qn ) в фазовом пространстве. Тогда эволюция системы во времени изображается траекторией данной точки. Существование у динамической системы соотношения

g (q1 , q2 , . . . , qn ) = const, совместимого с уравнениями движения и называемого интегралом, означает, что движение точки (q1 , q2 , . . . , qn ) происходит по гиперповерхности g = const, размерность которой n−1, т. е. на единицу меньше основного фазового пространства. Такая геометрическая интерпретация соответствует известному в теории дифференциальных уравнений утверждению, что задание интеграла системы позволяет понизить ее порядок на единицу. Соответственно знание m независимых интегралов позволяет понизить порядок на m единиц. В «идеальном» случае для полной интегрируемости динамической системы надо знать n − 1 интеграл. Для гамильтоновых канонических дискретных систем ситуация оказывается еще более благоприятной. Каждый интеграл засчитывается за два интеграла, что позволяет понижать порядок системы не на одну, а на две единицы [71, 180, 181]. Аналогично обстоит дело и для рассмотренных континуальных гамильтоновых канонических систем с той лишь разницей, что гиперповерхность, на которой сосредоточено движение, лежит в континуальном фазовом пространстве и фиксируется равенствами (11.1.4)–(11.1.6).

§ 11.2. Частичная редукция представления Клебша Кроме максимальной редукции, когда число степеней свободы сокращается до трех, можно осуществить частичную редукцию, в результате которой из гамильто-

102

Глава 11. Понижение числа степеней свободы и редукция представления Клебша

нова описания исключаются не все пары канонически сопряженных переменных (̺, ϕ), (σ, κ), (I , α), (S , β ), (J , γ ), а лишь некоторые по выбору. Примером может служить редукция представления Клебша с помощью преобразований (11.1.5) и (11.1.6), не затрагивающих плотность ̺. В результате из описания исключаются все поля, играющие роль канонических координат, кроме ̺ и ξ. При этом соответствующее представление Клебша имеет вид π = ̺∇ϕ − λi ∇ξi .

(11.2.1)

Однако теперь, в отличие от (11.1.9), канонический импульс λ определяется по формуле λ = λκ + λα + λβ + λγ , в которой отсутствует слагаемое2 λϕ . Представление Клебша в форме (11.2.1) оказывается предпочтительным при изучении калибровочных симметрий более общего вида, чем те, которые были рассмотрены в § 10.1. Появление таких симметрий следует ожидать в том случае, если после преобразований (11.1.5) и (11.1.6) выясняется, что потенциальная часть гамильтониана U не зависит от всех или некоторых компонент поля ξ. Это означает, что соответствующие компоненты ξ являются нефизическими. Таким образом, открывается возможность осуществить дополнительные калибровочные преобразования, затрагивающие не только канонические импульсы ϕ, λi , но и координаты ξi .

§ 11.3. Калибровочные преобразования в гамильтоновых системах с нефизическими каноническими координатами Рассмотрим калибровочные преобразования общего вида, которые изменяют как канонические импульсы ϕ, λi , так и координаты ξi . Согласно § 10.1, соответствующий производящий функционал можно представить в виде Z Z ′ F = − (̺ϕ + λi ξi ) dx + G , G = ̺Φ dx, (11.3.1) где ξi′ — новые координаты, а Φ — функция всех возможных для данной модели лагранжевых инвариантов. Пусть все компоненты ξi , (i = 1, 2, 3) являются нефизическими. Это означает, что функционал U — потенциальная часть гамильтониана (11.1.13) — от них не зависит, и, следовательно, δU /δξi = 0. В этом случае Z δH δπj ∂t λi = − = − vj dx = −∇ · (λi v ) . δξi δξi Следовательно, величины µi = λi /̺, так же, как и ξi , имеют смысл лагранжевых инвариантов. 2 Напомним (см. § 11.1), что это слагаемое появляется, когда из канонического описания исключают сопряженную пару {̺, ϕ}, выразив плотность ̺ через лагранжевы координаты ξ.

11.3. Калибровочные преобразования в гамильтоновых системах

103

В отсутствие S- и J-типов полей, согласно § 10.1, нетривиальные лагранжевы инварианты генерируются с помощью рекуррентного применения формулы

I=

1 ∇I ′ · (∇I ′′ × ∇I ′′′ ) . ̺

(11.3.2)

При этом, если на начальном этапе в качестве I ′ , I ′′ , I ′′′ берутся поля µi и ξi , то в дальнейшем в схему включаются все лагранжевы инварианты, полученные на предыдущих этапах. Таким образом, воспроизводится бесконечная серия этих величин, любая функция от которых годится в качестве Φ. В частности, ограничиваясь построением лагранжевых инвариантов первого поколения, получим:

Iξ = ̺−1 ∇ξ1 · (∇ξ2 × ∇ξ3 ) ,

Iµ = ̺−1 ∇µ1 · (∇µ2 × ∇µ3 ) ,

Iξli = ̺−1 eijk ∇µl · (∇ξj × ∇ξk ) , Iµli = ̺−1 eijk ∇ξl · (∇µj × ∇µk ) . В соответствии со сказанным выше на роль функции Φ, построенной из полученных лагранжевых инвариантов, претендует любая функция вида


Φ = Φ ξ , µ, Iξ , Iµ , Iξli , Iµli .

Калибровочные преобразования с соответствующим производящим функционалом (11.3.1) осуществляются по формулам:

Z δΦ′ δF = ξi′ − ̺ d x, δλi δλi Z δF δΦ′ ′ λi = ′ = λi − ̺ ′ dx, δξi δξi Z δF δ ϕ′ = =ϕ− ̺Φ′ dx, δ̺ δ̺ ξi =

(11.3.3)

где ϕ′ , λ′i — новые импульсы, а Φ′ — функция, полученная из Φ заменой ξi на ξi′ во всех ее аргументах: Φ′ = Φ|ξ=ξ′ . В силу теоремы Нетер инвариантность относительно преобразования (11.3.3) означает, что генератор этого преобразования, т. е. интеграл Z G = ̺Φ dx, есть инвариант движения.

104

Глава 11. Понижение числа степеней свободы и редукция представления Клебша

§ 11.4. Канонические преобразования, сохраняющие спиральность Как уже отмечалось в § 10.2, для исходных скобок Пуассона все инварианты Казимира являются калибровочными. Обратное, вообще говоря, не верно, поскольку инварианты Казимира по построению определены на физическом секторе полевых переменных, а калибровочные инварианты могут быть любыми и, в том числе, не выражаться через физические переменные. К числу нетривиальных калибровочных инвариантов, которые выражаются через физически значимые поля, принадлежит спиральность Z G = ε θ v · (∇ × v ) dx, где ε — некоторая константа размерности г · сек · см−2 , которая введена для согласования размерностей слагаемых в формуле (11.3.1). Топологический смысл спиральности уже обсуждался в § 4.2 (см. по этому поводу также работы [185, 250–252]) в том частном случае, когда θ — субстанциональная характеристическая функция, задающая объем интегрирования, во всем пространстве была тождественно равна единице. В более общем случае конечного объема интегрирования θ выбирается специальным образом, так что

(∇ × v ) · ∇θ = 0.

(11.4.1)

Геометрический смысл (11.4.1) состоит в том, что вихревые линии не должны пересекать поверхность субстанционального объема, а должны лежать на этой поверхности. Последнее требование будет удовлетворено, если в качестве субстанционального объема выбирать вихревые трубки. Кроме того, следует отметить, что условие (11.4.1) выполняется во все моменты времени, если обеспечивается в начальный момент. Действительно, воспользовавшись представлением Клебша (11.2.1), запишем левую часть (11.4.1) в виде

(∇ × v ) · ∇θ = (∇ξi × ∇µi ) · ∇θ. Сравнивая это выражение с (11.3.2), легко установить, что стоящая в правой части величина ̺−1 (∇ × v ) · ∇θ является лагранжевым инвариантом. Таким образом, если она обращается в нуль в начальный момент, то остается таковой всегда. Выражение для спиральности с помощью представления Клебша и условия (11.4.1) можно преобразовать к виду Z G = ε µi ∇µk · (∇ξk × ∇ξi ) θ dx, (11.4.2) откуда легко установить, что

Φ=

ε ε µi ∇µk · (∇ξk × ∇ξi ) θ = µn enli Iξli θ. ̺ 2

11.4. Канонические преобразования, сохраняющие спиральность

105

Представляет интерес выписать в явном виде калибровочные преобразования, которые соответствуют сохранению спиральности. В том простом случае, когда θ ≡ 1, по формуле (11.3.3) получим:

2ε (∇ξk′ × ∇ξi′ ) · ∇µk , ̺ λ′i = λi + 2ε (∇ξk′ × ∇µk ) · ∇µi , 2ε ϕ′ = ϕ − µi (∇ξi′ × ∇ξk′ ) · ∇µk = ϕ + µi (ξi − ξi′ ) . ̺ ξi′ = ξi −

Непосредственно можно убедиться, что эти преобразования оставляют без изменения гидродинамический импульс, т. е. π [̺, ϕ, λ, ξ ] = π [̺, ϕ′ , λ′ , ξ ′ ] . Посмотрим теперь, к каким ограничениям на класс течений, а, следовательно, и на представление Клебша приводит требование отсутствия спиральности G = = 0. В этом случае, так как θ , удовлетворяющая (11.4.1), в остальном — произвольная субстанциональная характеристическая функция, из (11.4.2) следует, что

µi ∇µk · (∇ξk × ∇ξi ) = 0. Чтобы условие было выполнено глобально, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение3 λ = ηξ,

(11.4.3)

где η — некоторая скалярная функция x, t. На соотношение (11.4.3) можно смотреть как на точечное каноническое преобразование к новому импульсу η с производящим функционалом Z 1 F = η ξ 2 d x. 2 Такое преобразование позволяет от пары векторных канонически сопряженных переменных ξ, λ перейти к скалярной паре ζ , η, где ζ — новая каноническая координата определяется по формуле

ζ=

δF 1 = ξ2 . δη 2

(11.4.4)

Подставляя (11.4.3) в (11.2.1) и учитывая (11.4.4), найдем модификацию представления Клебша π = ̺∇ϕ − η∇ζ, (11.4.5)

которая соответствует течениям с нулевой спиральностью. Оставаясь в рамках представления (11.4.5), более общий класс течений можно описать только ценой введения многозначных потенциалов Клебша [85, 236]. 3 Напомним здесь, что переменные µk и λk связаны соотношением µk = λk /̺, которым необходимо воспользоваться при выводе (11.4.3).

Глава 12 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С НЕКОММУТАТИВНЫМИ ПОЛЯМИ § 12.1. Неадвективные гамильтоновые системы с дополнительным некоммутативным полем До сих пор при изучении гамильтоновых систем гидродинамического типа предполагалось, что все гидродинамические поля кроме импульса находятся в инволюции. Причем импульс — единственная полевая переменная, некоммутирующая сама с собой и с другими полями. Суммируя результаты предыдущих разделов, можно сделать вывод, что в таких системах гидродинамический импульс π характеризуется взаимными скобками Пуассона вида:

{πi , πk′ } = ∂i′ (πk′ δ) − ∂k (πi δ), {s, πk′ } = −δ∂k s − cs∂k δ, {mi , πk′ } = −δ∂k mi − aklji mj ∂l δ,

(12.1.1) (12.1.2) (12.1.3)

к которым надо добавить условия коммутативности:

{s, s′ } = 0,

{s, m′n } = 0,

{mi , m′n } = 0.

(12.1.4)

Здесь поля, описывающие внутренние свойства среды, имеют либо скалярный (s), либо векторный (m) характер, c — произвольная константа, а aklji — постоянный тензор вида aklji = aδki δjl + bδkj δil + cδkl δjl , (12.1.5) в котором коэффициенты a и b могут принимать три пары значений: (a = 0, b = = 0); (a = −1, b = 0) и (a = 0, b = 1). Как отмечалось в главах 7 и 8, такая структура скобок Пуассона с учетом специфики гамильтониана (7.2.7) с физической точки зрения означает, что гидродинамические силы не зависят от импульса, а эволюция полей, составляющих коммутативный набор, осуществляется только за счет гидродинамического (адвективного) переноса. Гидродинамические системы и поля, удовлетворяющие этим требованиям, хотя и составляют весьма обширный класс, далеко не исчерпывают всех тех, которые реализуются физически. Например, за рамки данного класса выходят ферромагнитная гидродинамика и двухжидкостная гидродинамика. В этих системах реализуются поля, которые могут эволюционировать и без гидродинамического переноса, т. е. при v = 0. 106

12.2. Уравнения для структурных функций

107

Чтобы включить в рассмотрение поля такого сорта, частично откажемся от условия коммутативности1 (12.1.4). А именно: ограничиваясь для простоты одним единственным некоммутативным векторным полем m, рассмотрим гидродинамические модели с локальной скобкой Пуассона первого порядка

{mi , m′n } = B in δ + Csin ∂s δ.

(12.1.6)

В соответствии с § 2.4, тензорные структурные функции B in и Csin , во-первых, не должны зависеть явно от x, а должны зависеть от пространственных координат только через поля и их производные, удовлетворяя таким образом требованиям, вытекающим из трансляционной инвариантности, и, во-вторых, обязаны удовлетворять условиям B in + B ni = ∂s Csin , Csin = Csni в силу антисимметричности скобки (12.1.6). Имея в виду структуру гамильтониана (7.2.7) и обозначая через qα остальные (кроме плотности ̺) поля, образующие коммутативный набор, запишем уравнение эволюции для некоммутативного поля m: ! Z " ′2 δU v ∂t mi = {mi , H } = vk′ {mi , πk′ } + − k {mi , ̺′ } + δ̺′ 2 # δU δU ′ ′ + {mi , mk } + ′ {mi , qα } dx′ . (12.1.7) δm′k δqα Здесь и далее штрих означает зависимость от пространственной координаты x′ , а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Для того чтобы свойства, обусловленные некоммутативностью, целиком определялись спецификой среды, т. е. функционалом U , естественно потребовать, чтобы в приближении δU /δmi = 0 и δU /δqα = 0 динамическое различие между коммутативными и некоммутативными полями исчезало. Как это видно из (12.1.7), установленный принцип соответствия выполним, если, наряду с (12.1.3) и (12.1.5), соблюдается условие

{mi , ̺′ } = 0.

(12.1.8)

§ 12.2. Уравнения для структурных функций Согласно определению гамильтоновости, полная система скобок Пуассона должна удовлетворять условиям антисимметричности и тождествам Якоби. Если ограничиться далее изучением частного, но достаточно физически содержательного случая, когда искомые структурные функции B in и Csin зависят только от поля m и его производных, то существенными для выбора этих функций оказываются только два условия:

{πk′ , {mi , m′′n }} + ц.п. = 0,

{m′k , {mi , m′′n }} + ц.п. = 0,

(12.2.1)

1 Это условие накладывалось ранее на поля, которые описывают внутренние степени свободы и на фазовом подпространстве которых задается потенциальная часть гамильтониана U .

108

Глава 12. Гидродинамические системы с некоммутативными полями

где сокращенная запись «ц.п.» обозначает слагаемые, полученные из первого циклической перестановкой по индексам и аргументам. Легко убедиться, что при этом остальные тождества Якоби с участием полей π и m выполняются автоматически:

{πk′ , {πi , m′′n }} + ц.п. = 0.

Если в описании модели кроме плотности ̺ присутствуют другие коммутативные поля qα , возникают еще два тождества Якоби с участием полей qα :

{πk′ , {qα , m′′n }} + ц.п. = 0,

{m′k , {qα , m′′n }} + ц.п. = 0.

(12.2.2)

Тождества (12.2.2) свидетельствуют о том, что скобки {mi , qα′ } не могут выбираться произвольно, а должны быть согласованы с остальными. Единственным исключением является тривиальный случай, когда {mi , qα′ } = 0. В этом случае поля qα и m не влияют на эволюцию друг друга. Из первого тождества (12.2.1), используя скобки (12.1.3) и (12.1.6), получим:  in  δB in ′ ′ δB ′ ∂k mp − akljp ∂l m′ = δ∂k B in − ′ δmp δm′p j

− δkl B in − aklji B jn − akljn B ij ∂l δ − Csin δlk + akljn Csij , (12.2.3)  in  δCsin ′ ′ δCs ′ ′ ∂k mp − akljp ∂l m = δ∂k Csin − ′ δmp δm′p j
− δkl Csin + δks Clin − akljn Csij − aklji Csij ∂l δ. (12.2.4) Непосредственно из структуры уравнений (12.2.3) и (12.2.4) можно сделать наблюдение, что Csin зависит только от самого поля m, а B in — еще и от первых производных ∂k mi = mi,k . Принимая во внимание такой характер зависимости, функциональные производные по полю m раскрываем следующим образом:

δB in ∂B in ∂B in = δ− ∂s δ, ′ δmp ∂mp ∂mp,s

δCsin ∂Csin = δ. ′ δmp ∂mp

(12.2.5)

Подставляя далее равенства (12.2.5) в функциональные уравнения (12.2.3), (12.2.4) и группируя члены с одинаковым порядком производной от дельта-функции, получим для определения Csin и B in систему из трех уравнений в частных производных:

∂C in akljp s mj + δkl Csin + δks Clin = aklji Csjn + akljn Csij , ∂mp   ∂B in in ij akljp mj + δkl Cs − akljn Cs + · · · = 0, ∂mps  in  ∂B in ∂B ∂B in mpk + akljp mj + mjs = ∂mpl ∂mp ∂mps

(12.2.6) (12.2.7)

= aklji B jn + akljn B ij − δkl B in . (12.2.8)

Многоточие в уравнении (12.2.7) означает выражение, которое получается перестановкой по индексам l и s из выражения, заключенного в квадратные скобки.

12.3. Классификация и физическая интерпретация решений

109

§ 12.3. Классификация и физическая интерпретация решений Требование инвариантности уравнений движения относительно поворотов системы пространственных координат накладывает такое же условие на выбор B in и Csin . Поэтому соответствующие тензоры B in и Csin должны строиться из компонент поля mk и производных mj,k с помощью изотропных тензоров eijk и δik . В частности, уравнение (12.2.6), кроме тривиального решения Csin = 0, имеет еще три претендента на решение:

Csin = δis mn + δns mi + αδin ms , Csin

= mi mn ms ,

Csin = mp (eisp mn + ensp mi ),

(12.3.1) (12.3.2) (12.3.3)

где α — произвольная константа. Каждое из этих решений построено по указанному принципу и удовлетворяет условию симметричности: Csin = Csni . Подстановка этих решений в (12.2.6) с учетом возможных вариантов для коэффициентов a и b приводит к следующим результатам. При a = b = 0 реализуется решение Csin = 0. При a = 0, b = 1 и c = 1 реализуется решение (12.3.1), в котором α = 0. При a = −1, b = 0 и c = −1 реализуется (12.3.2). Вариант (12.3.3) не реализуется ни при каких допустимых значениях a и b. Совершенно аналогично на основе уравнений (12.2.7), (12.2.8) определяется тензорная функция B in . Ее конкретный вид также фиксируется с помощью соображений симметрии. Поскольку схема поиска B in принципиально ничем не отличается от схемы поиска Csin и, в конце концов, сводится к определению ряда констант, приведем окончательный результат:  ins если a = b = 0 и c = 1; e ms , in B = mi,n , если a = 0 и b = c = 1;  mi (ms mn,s + 12 mn ms,s ), если b = 0 и a = c = −1. Таким образом, приходим к трем альтернативным вариантам скобок Пуассона:

{mi , πk′ } = −∂k (mi δ) ,

(12.3.4)

{mi , πk′ } = ∂i′ (m′k δ) − ∂k (mi δ) ,

(12.3.6)

{mi , πk′ } = −δ∂k mi + δik mn ∂n δ + mi ∂k δ, {mi , m′k } = mi ∂k (mn mk δ) − m′k ∂n′ (m′i m′n δ) .

(12.3.8) (12.3.9)

{mi , m′k }

{mi , m′k }

=

∂i′

=e

ikn

(m′k δ)

mn δ;

− ∂k (mi δ) ;

(12.3.5)

(12.3.7)

Каждый из вариантов определяет соответствующий характер эволюции некоммутативного поля m. В том, что все три возможных варианта скобок {mi , m′k }

110

Глава 12. Гидродинамические системы с некоммутативными полями

автоматически удовлетворяют тождеству Якоби — второму из равенств (12.2.1), можно убедиться непосредственно. Выясним теперь физический смысл полученного результата. Предполагая для простоты, что δU /δqα = 0, по формуле (12.1.7) в соответствии с (12.1.8) и (12.3.4)–(12.3.9) последовательно найдем:

∂t mi + ∂k (mi vk ) = eikn ∂t mi + ∂k (mi uk ) + mk ∂i uk = 0, ∂t mi + wk ∂k mi − mk ∂k wi − mi ∂k wk = 0,

δU mn ; δmk

uk = vk +

(12.3.10)

δU ; δmk

wk = vk + mk mn

(12.3.11)

δU . δmn

(12.3.12)

Уравнения (12.3.10), (12.3.11) и соответствующие им скобки (12.3.4), (12.3.5) и (12.3.6), (12.3.7) реализуются физически в некоторых моделях жидкостей, наделенных специальными свойствами. Так, первое из перечисленных уравнений (12.3.10) реализуются в ферромагнитной гидродинамике, а также используется для описания движений спиновой жидкости [6, 123, 232], где переменная m играет роль магнитного момента или спина. Второе уравнение (12.3.11) имеет место в двухжидкостной гидродинамике для описания квантовой жидкости [124, 139, 153, 183, 230]. Здесь переменная m выполняет функцию плотности относительного импульса, а u — скорости нормальной компоненты жидкости. Физическая интерпретация третьего уравнения (12.3.12) пока остается неясной.

§ 12.4. Модель ферромагнитной жидкости Метод скобок Пуассона широко используется для получения бездиссипативных уравнений для гидродинамических моделей с нетривиальными свойствами. В частности, на основе этого подхода могут быть получены уравнения для описания динамики жидких кристаллов: нематиков, смектиков и др. [25, 99, 211]. Преимущество этого метода заключается в том, что уравнения движения получаются из вариационных производных гамильтониана H по гидродинамическим переменным. Поэтому для конкретизации уравнений требуется знать, как зависит энергия H от этих переменных. В приложениях обычно ограничиваются первыми членами разложения H по возмущениям гидродинамических переменных. Если изучаются эффекты, которые требуют учета членов более высокого порядка, достаточно расширить разложение энергии. При этом независимо от порядка теории возмущений всегда получаются приближенные уравнения, автоматически удовлетворяющие всем законам сохранения. Предположим, что система с одной некоммутативной векторной переменной m обладает свойством галилеевской инвариантности и, следовательно, ее гамильтониан H имеет структуру

H =K +U,

K =

Z

π2 dx, 2̺

U = U [̺, m, q1 , . . . , qN ] ,

111

12.4. Модель ферромагнитной жидкости

где q1 , . . . , qN — коммутативные гидродинамические переменные, характеризующие внутренние свойства модели, а функционал U — потенциальная энергия — галилеево инвариантная часть гамильтониана. Скобки Пуассона позволяют легко восстановить уравнения движения и, в том числе, уравнение Эйлера для гидродинамической скорости: (12.4.1)

̺ (∂t v + (v · ∇) v ) = {π , U }, где скобка

{π , U } =

Z 

δU δU {π , m′i } + ′ {π , qα′ } δm′i δqα



d x′

определяет равнодействующую гидродинамических сил, действующих на жидкую частицу. Для иллюстрации рассмотрим ферромагнитную баротропную жидкость, в которой роль коммутативных переменных играет плотность ̺ и магнитная индукция B, а роль некоммутативной переменой играет магнитный момент m, характеризуемый скобкой (12.3.5)

{mi , m′k } = eikn mn δ.

(12.4.2)

Взаимные скобки Пуассона для этих переменных с гидродинамическим импульсом π выписываются на основании классификации, проведенной в предыдущих разделах этой главы и определяются соотношениями:

{̺, πk′ } = −∂k (̺δ) ,

{Bi , πk′ } = −∂k (Bi δ) + δik Bl ∂l δ,

{mi , πk′ } = −∂k (mi δ) ,

(12.4.3)

первое из которых принадлежит к типу скобок (12.1.2), второе и третье — к типу скобок (12.1.3). На основании полученных скобок Пуассона (12.4.2) и (12.4.3), уравнение Эйлера (12.4.1) и остальные уравнения, описывающие движение ферромагнитной баротропной жидкости, записываются в виде:

δU δU δU −B×∇× − mk ∇ , δ̺ δB δmk δU ∂t m + (v · ∇)m + m∇ · v = × m, δm

̺ (∂t v + (v · ∇) v ) = −̺∇

∂t ̺ + ∇ · (v̺) = 0,

∂t B + (v · ∇)B − (B · ∇)v = 0.

(12.4.4) (12.4.5) (12.4.6)

Для модели ферромагнитной жидкости с обменным взаимодействием полная внутренняя энергия в первом приближении определяется выражением  Z  1 α 2 U = ǫ (̺) + (B − 4π m) + m · ∆m dx′ , (12.4.7) 8π 2 где α — коэффициент обменного взаимодействия, а ǫ (̺) — та часть плотности внутренней энергии, которая связана с плотностью.

112

Глава 12. Гидродинамические системы с некоммутативными полями

Подставляя (12.4.7) в (12.4.4) и (12.4.5), находим уравнения движения ферромагнитной жидкости с обменным взаимодействием:

1 ∂ǫ − B × ∇ × (B − 4π m) + ∂̺ 4π +mk ∇ (Bk − 4πmk ) − αmk ∆∇mk ,   1 ∂t m + (v · ∇)m + m∇ · v = B + α∆m × m, 4π

̺ (∂t v + (v · ∇) v ) = −̺∇

∂t ̺ + ∇ · (v̺) = 0,

∂t B + (v · ∇)B − (B · ∇)v = 0.

Для сравнения отметим, что в работе [6] феноменологический вывод первого из этих уравнений был приведен с потерей в правой части члена, описывающего обменное взаимодействие. Таким образом, метод скобок Пуассона позволяет не только регулярным способом получать уравнения движения для новых консервативных моделей, но и корректировать уравнения, полученные из феноменологических соображений для уже известных моделей.

§ 12.5. Канонические переменные для ферромагнитной жидкости Обобщим процедуру введения канонических переменных, развитую в § 8.2 и § 8.3, на гидродинамические модели со скобками Пуассона (12.1.1), (12.3.4), (12.3.5):

{πi , πk′ } = ∂i′ (πk′ δ) − ∂k (πi δ), {mi , πk′ } = −∂k (mi δ) , {mi , m′k } = eikn mn δ.

(12.5.1) (12.5.2) (12.5.3)

По существу, необходимо найти два представления Клебша — один для импульса π, другой для магнитного момента m. Найдем вначале частные решения, предполагая, что канонический базис состоит только из одной пары векторных канонических переменных: а именно, обобщенной координаты a и обобщенного импульса b. Представление Клебша для m будем искать в виде степенного выражения, имеющего по переменным a, b и оператору дифференцирования ∂k соответственно порядок l, n, p. Воспользуемся символической записью

[m] = [a]l [b]n [∂]p , которая отражает связь размерностей [m], [a], [b], [∂], входящих в это равенство величин и операции дифференцирования. Выполним теперь необходимые математические действия в соответствии с равенством (12.5.3), определяющим взаимную скобку Пуассона для магнитного момента m в ферромагнитной жидкости.

12.5. Канонические переменные для ферромагнитной жидкости

113

В результате, имея в виду, что  Z  δmi δm′k δmi δm′k ′ − ′′ dx′′ , {mi , mk } = δa′′n δb′′n δbn δa′′n

для левой и правой частей равенства (12.5.3) получим величины с размерностями [a]2l−1 [b]2n−1 [∂]2p и [a]l [b]n [∂]p , соответственно. Сравнивая показатели степеней, найдем l = n = 1 и p = 0. Таким образом, приходим к представлению

mi = cikl ak bl .

(12.5.4)

Тензор cikl однозначно находится (с точностью до постоянного множителя) из условия инвариантности (12.5.4) относительно поворотов:

cikl = αeikl .

(12.5.5)

ikl

Здесь тензор e — единственный изотропный тензор третьего ранга [61], а коэффициент α = 1 находится прямой подстановкой (12.5.5) в (12.5.3). Окончательно для поля m получим представление

mi = eikl ak bl .

(12.5.6)

Соответствующее представление Клебша для плотности гидродинамического импульса π будем искать в классе фундаментальных решений (8.3.1), которые, как известно, удовлетворяют скобке (12.5.1) автоматически. С этой целью, согласно формулам (8.3.1)–(8.3.3), полагая q = a и p = b, искомое решение представим в виде

πi = −an ∂i bn + a∂n (an bi ) + b∂n (ai bn ) + c∂i (an bn ),

(12.5.7)

π = an ∇bn + π ∗ ,

(12.5.8)

где константы a и b принимают только те значения, которые указаны в (8.3.5). Подставляя (12.5.7) и (12.5.6) в соотношение (12.5.2) найдем, что a = b = = 0, и c = 1. Таким образом, искомое представление Клебша для плотности гидродинамического импульса имеет вид где π ∗ — та часть представления Клебша, которая не зависит от канонических переменных a и b и, следовательно, коммутирует с полем m. В отсутствие других некоммутативных полей, кроме спинового поля m, эта часть плотности гидродинамического импульса определяется в соответствии с формулой (8.4.1) как π ∗ = ̺∇χ + π (0) + π (1) + π (2) + π (3) . Теперь возможно сформулировать уравнение движения (12.3.10) для спина в терминах канонических переменных a и b. Принимая во внимание представления Клебша (12.5.6) и (12.5.8), получим:

δH δU = −a (∇ · v) − (v · ∇) a − a × , δb δm δH δU ∂t b = − = −(v · ∇)b − b × . δa δm

∂t a =

(12.5.9) (12.5.10)

114

Глава 12. Гидродинамические системы с некоммутативными полями

§ 12.6. Модель сверхтекучей жидкости Хорошо известно [183], что сверхтекучую жидкость можно рассматривать как смесь двух взаимопроникающих компонент: нормальной и сверхтекучей. Эти две компоненты существуют одновременно во всем объеме жидкости, имеют плотности ̺n , ̺s , и движутся независимо со скоростями соответственно v n , v s , причем для сверхтекучего движения выполняется условие потенциальности ∇ × vs = 0.

(12.6.1)

Гамильтониан сверхтекучей жидкости с дополнительными коммутативными полями qα , (α = 1, . . . , N ), описывающими внутренние свойства среды, представим в общем виде как Z 2 π H = (12.6.2) dx + U [̺, m, q1 , . . . , qN ] , 2̺ где ̺ — плотность жидкости и π — импульс единицы объема жидкости в неподвижной системе координат. Функционал U [̺, m, q1 , . . . , qN ] — галилеево инвариантная часть гамильтониана, характеризующая внутреннюю энергию сверхтекучей жидкости, а переменная m — относительный импульс единицы объема жидкости в системе отсчета, движущейся со скоростью v s . Поэтому, согласно принципу относительности Галилея: m = π − ̺v s .

(12.6.3)

Тогда для такой двухкомпонентной жидкости справедливы соотношения:

̺ = ̺n + ̺s , π = ̺n v n + ̺s v s , m = ̺n (v n − v s ) ,

(12.6.4) (12.6.5) (12.6.6)

Если первые два соотношения имеют простой физический смысл и выражают принцип суперпозиции для плотности и импульса, то третье есть следствие первых двух и (12.6.3). Заметим, что равенства (12.6.4)–(12.6.6) связывают одну скалярную переменную ̺ и две векторные π, m с двумя скалярными ̺n , ̺s и двумя векторными v n , v s . Таким образом, для замкнутости не хватает еще одного скалярного соотношения между этими переменными. Чтобы найти его, в дополнение к (12.6.4)–(12.6.6) запишем соотношение

δH δU = = vn − v , δm δm

(12.6.7)

которое, вместе с соотношением2

δH π ̺n v n + ̺s v s =v= = , δπ ̺ ̺

(12.6.8)

следует рассматривать как определение скорости нормальной компоненты v n . 2

По поводу этого равенства см. комментарий к формуле (7.2.1) в § 7.2.

12.7. Канонические переменные для сверхтекучей жидкости

115

Принимая во внимание, что функционал U — галилеево инвариантная величина, которая в силу изотропности пространства не должна зависеть от направления вектора m, все последующие рассуждения будем проводить в рамках предположения, что U = U [̺, m, q1 , . . . , qN ] , где m = |m| — модуль относительного импульса нормальной компоненты сверхтекучей жидкости. В этом случае, учитывая, что

δU δU m , = δm δm m и используя (12.6.6) и (12.6.8), из (12.6.7) получим недостающее скалярное соотношение δU ̺s ̺n = m. δm ̺ Решая это равенство совместно с (12.6.4) относительно переменных ̺n , ̺s , найдем:  −1  −1 δU δU 2 δU ̺n = ̺m m + ̺ , ̺s = ̺ m+̺ . δm δm δm Модель обычной одножидкостной гидродинамики реализуется при условии, что δU /δm = 0 и соответственно ̺s = 0, v s = 0, ̺n = ̺, v n = v.

§ 12.7. Канонические переменные для сверхтекучей жидкости С точки зрения результата, полученного в § 12.3, гамильтоновая динамика сверхтекучей жидкости описывается в фазовом пространстве полевых переменных π, ̺, m, q1 , . . . , qN , определяется гамильтонианом (12.6.2) и набором скобок Пуассона (12.3.6) (12.3.7). Среди этих скобок пока не определены возможные варианты для скобок {mi , qα′ } с участием дополнительных коммутативных переменных. Чтобы установить физический смысл дополнительных переменных m, q1 , . . ., qN и выяснить характер их эволюции, поступим так, как поступали в § 8.2 и § 8.3. Иначе говоря, решим этот вопрос в рамках процедуры построения канонических переменных. Прежде всего, отметим, что в силу равенства

{mi , πk′ } = {mi , m′k },

которое следует из сравнения (12.3.6) и (12.3.7), можно установить

{mi , gk′ } = 0.

где g = π − m — величина, которая в соответствии с (12.6.3) удовлетворяет соотношению g = ̺v s .

116

Глава 12. Гидродинамические системы с некоммутативными полями

Перейдем в описании от переменных π, m к переменным g, m. Тогда в результате пересчета скобок Пуассона (12.1.1) и (12.3.6), (12.3.7) в терминах g и m получим:

{gi , gk′ } = ∂i′ (gk′ δ) − ∂k (gi δ),

{gi , m′k } = 0,

{mi , m′k } = ∂i′ (m′k δ) − ∂k (mi δ).

Так как {gi , m′k } = 0, можно сделать вывод, что искомый канонический базис можно разбить на прямую сумму двух ортогональных подпространств. На одном реализуется представление Клебша для g, а на другом — представление Клебша для m, причем каждое из них строится в соответствии с процедурой, изложенной в § 8.2 и § 8.3. Отличительной особенностью канонического базиса для g по сравнению с каноническим базисом m является то, что первый содержит в качестве канонической координаты полевую переменную ̺, а второй ее не содержит. Действительно, из (7.3.5) и (12.1.8) следует, что

{̺, gk′ } = −∂k (̺δ),

{̺, m′k } = 0.

Это позволяет сделать вывод, что в отличие от представления Клебша для относительного импульса нормальной компоненты m представление Клебша для переменной g включает член ̺∇ϕ. А так как в силу условия потенциальности (12.6.1) для сверхтекучей компоненты скорости этот член — единственно возможный, окончательно представление Клебша для g имеет вид g = ̺∇ϕ, где переменные ̺ и ϕ имеют смысл соответственно канонически сопряженных координаты и импульса. Рассмотрим теперь сектор канонических координат, на котором реализуется представление Клебша для m. Этот сектор образован коммутативными полями qα , (α = 1, . . . , N ), для которых

{qα , qβ′ } = {qα , ̺′ } = {qα , ϕ′ } = 0. Поскольку в силу гамильтоновости справедливо уравнение движения

∂t qα = {qα , H } =

Z 

 δU ′ v {qα , π } + {qα , m } dx′ = δ m′  Z  ′ ′ ′ ′ = v {qα , g } + v n {qα , m } dx′ ′

′

и, кроме того {qα , g ′ } = 0, эти поля эволюционируют по закону Z ∂t qα = v′n {qα , m′ }dx′ , который означает эволюцию за счет гидродинамического переноса, осуществляемого нормальной компонентой скорости vn .

12.7. Канонические переменные для сверхтекучей жидкости

117

Так как задача построения скобок Пуассона {qα , m′ } и классификации коммутативных полей qα для гидродинамических систем с некоммутативной скобкой типа (12.3.7) уже была решена, опуская детали, которые приведены в § 8.2 и § 8.3, представим окончательный результат решения этой проблемы. Напомним, что эта задача сводится к задаче построения представления Клебша для m в каноническом базисе сопряженных переменных qα и pα , играющих роль соответственно обобщенных координат и импульсов:

{qα , qβ′ } = {pα , p′β } = 0,

{qα , p′β } = δαβ δ.

На роль обобщенных координат претендует пять типов полей: два скалярных поля s, σ и три векторных ξ, J , S, которые имеют с относительным нормальным импульсом m взаимные скобки Пуассона следующего вида:

{s, m′i } = −∂i (sδ) ,

{σ, m′i } = −δ∂i σ,

{Jk , m′i } = −δ∂i Jk + δki Jn ∂n δ,

{ξk , m′i } = −δ∂i ξk ,

{Sk , m′i } = −δ∂i Sk − Si ∂k δ.

Скалярное поле s эволюционирует подобно плотности нормальной компоненты жидкости: ∂t s + ∇ · (sv n ) = 0. Поля σ и ξ эволюционируют в нормальной компоненте жидкости соответственно как скалярный и векторный лагранжев инвариант

∂t σ + (v n · ∇)σ = 0,

∂t ξ + (vn · ∇)ξ = 0

и, следовательно, переносятся жидкими частицами нормальной компоненты жидкости. Примерами этих полей являются плотность энтропии и лагранжева координата нормальной компоненты сверхтекучей жидкости. Поле J эволюционирует подобно полю, силовые линии которого вморожены в нормальную жидкость:

∂t J + (v n · ∇)J − (J · ∇)vn = 0. Поле S эволюционирует вдоль лагранжевых траекторий подобно дифференциальным ориентированным элементам площади жидкой поверхности:

∂t S + (vn · ∇)S + (S · ∇)v n + S × (∇ × vn ) = 0. Согласно § 11.4, только в том случае, когда нормальная компонента жидкости имеет нулевую спиральность, т. е. Z G = (v n · ∇ × v n ) dx = 0,

но отличную от нуля завихренность, представление Клебша для m приводится к виду m = s∇f − η∇σ,

полученному в работе [153]. Здесь переменные s и σ — обобщенные координаты, а переменные f и η — обобщенные импульсы, которые образуют две канонически сопряженные пары {s, f }, {σ, η}.

Глава 13 ПРЯМОЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СТРУКТУРЫ Построение и классификация гидродинамических скобок Пуассона на базе теоретико-группового анализа — один из наиболее плодотворных путей для аксиоматического построения консервативных гидродинамических систем с принципиально новыми свойствами и соответственно обладающих нетривиальной гамильтоновой структурой. Образцом такого подхода может служить теория скобок Пуассона дифференциально-геометрического типа, развитая в работах [8, 52, 70–74, 137, 140, 154, 184] (см. также ссылки в работах [74, 137]). Однако для тех традиционных гидродинамических моделей, факт гамильтоновости которых или известен априорно, или не вызывает сомнений, можно предложить более простой прямой метод вычисления скобок Пуассона.

§ 13.1. Гамильтонова структура баротропной спиновой жидкости Для иллюстрации этого метода рассмотрим баротропную спиновую жидкость, которая описывается уравнениями движения:

∂t π + (v · ∇) π + π (∇ · v ) = −̺∇

δU δU − mk ∇ , δ̺ δmk

∂t ̺ + ∇ · π = 0, ∂t m + (v · ∇) m + m (∇ · v ) = γ m ×

(13.1.1) (13.1.2)

δU , δm

(13.1.3)

где π — плотность гидродинамического импульса, ̺ — массовая плотность, v = = π /̺ — гидродинамическая скорость, m — спиновый момент жидкости, U — потенциальная энергия как функционал ̺ и m. Отметим, что по описанию эта модель совпадает с моделью ферромагнитной баротропной жидкости, в которой исключена магнитная индукция (сравни уравнения (13.1.1)–(13.1.3) с уравнениями (12.4.4)–(12.4.6) в § 12.4). Непосредственно можно убедиться, что уравнения (13.1.1)–(13.1.3) сохраняют интеграл энергии Z 2 π H = dx + U [̺, m], (13.1.4) 2̺ который в дальнейшем будет выступать в качестве гамильтониана. 118

13.1. Гамильтонова структура баротропной спиновой жидкости

119

Вычислим временные производные полей ̺, m, π в терминах скобок Пуассона, заданных на фазовом пространстве этих переменных. Принимая во внимание (13.1.4) и следуя стандартной процедуре (2.3.1), получим: Z  ∂t ̺ = {̺, H } = vk′ {̺, πk′ }+

   δU v′2 δU ′ ′ + − {̺, mk } dx′ , {̺, ̺ } + δ̺′ 2 δm′k

(13.1.5)

   v′ 2 δU δU ′ ′ + − {mi , ̺ } + {mi , mk } dx′ , δ̺′ 2 δm′k

(13.1.6)

Z  ∂t mi = {mi , H } = vk′ {mi , πk′ }+

Z  ∂t πi = {πi , H } = vk′ {πi , πk′ }+

   δU v′2 δU ′ ′ + − {πi , ̺ } + {πi , mk } dx′ . (13.1.7) δ̺′ 2 δm′k

Напомним, что в соответствии с ранее принятыми правилами штрихованные полевые переменные обозначают зависимость от x′ , а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Воспользовавшись соотношениями (13.1.5)–(13.1.7), исключим из уравнений движения (13.1.1)–(13.1.3) временные производные. Тогда, группируя под знак интеграла с помощью функции δ(x − x′ ) локальные члены, эти уравнения приведем к виду:

   Z  v′ 2 δU δU ′ ′ ′ ′ vk ({̺, πk } + ∂k (̺δ)) + − {̺, ̺ } + {̺, mk } dx′ = 0, δ̺′ 2 δm′k Z  δU vk′ ({πi , πk′ } − ∂i′ (πk′ δ) + ∂k (πi δ)) + ′ ({πi , ̺′ } + ̺∂i δ) + δ̺  δU ′ + ′ ({πi , mk } + mk ∂i δ) dx′ = 0, δmk Z  δU vk′ ({mi , πk′ } + ∂k (mi δ)) + ′ {mi , ̺′ }+ δ̺ 
δU + ′ {mi , m′k } − γǫikl ml δ dx′ = 0. δmk

Очевидно, что для выполнения этих интегральных равенств необходимо и достаточно, чтобы кроме равенств

{mi , ̺′ } = {̺, ̺′ } = 0

(13.1.8)

120

Глава 13. Прямой метод нахождения гамильтоновой структуры

для любого vk′ и U обращались в нуль выражения, стоящие под знаком интегралов в квадратных скобках, т. е.

{πi , πk′ } = ∂i′ (πk′ δ) − ∂k (πi δ), {mi , πk′ } = −∂k (mi δ),

{̺, πk′ } = −∂k (̺δ),

{mi , m′k } = γeikl ml δ.

(13.1.9)

Легко проверить, что полученные скобки (13.1.8), (13.1.9) удовлетворяют всем необходимым требованиям, накладываемым на скобки Пуассона, в том числе и тождеству Якоби (2.2.4).

§ 13.2. Гамильтонова структура несжимаемой однородной жидкости Как и большинство других консервативных гидродинамических моделей, Эйлеровы уравнения движения несжимаемой жидкости обладают скрытой гамильтоновой структурой. Но Эйлерова модель несжимаемой жидкости по сравнению со сжимаемой имеет одну отличительную черту, которая делает процедуру выявления гамильтоновой структуры нестандартной. Эта отличительная черта — условие несжимаемости ∇ · v = 0, которое накладывается как связь или ограничение на класс течений и ответственно за появление в несжимаемой жидкости силы реакции — градиента давления. Это ограничение оказывает радикальное влияние на гамильтонову структуру модели и приводит к нелокальным скобкам Пуассона в фазовом пространстве эйлеровых гидродинамических переменных. Иллюстрацией является несжимаемая однородная жидкость, в которой скобка Пуассона для гидродинамического импульса или скорости v оказывается нелокальной. Рассмотрим несжимаемую однородную жидкость, течение которой ограничено заданным объемом D с условием непротекания на ее границе: n · v = 0, где n внешняя нормаль к границе ∂D . Принимая без ограничения общности плотность жидкости равной единице, запишем ее уравнения движения в эйлеровом представлении:

∂t vi + vk ∂k vi = ∂i p, ∂k vk = 0,

(13.2.1) (13.2.2)

где p — давление. Уравнения движения (13.2.1), (13.2.2) сохраняют интеграл энергии Z v2 H= dx, D 2 который в дальнейшем рассматривается в качестве гамильтониана этой модели жидкости. Для дальнейшего изложения уравнение Эйлера (13.2.1) удобно переписать в форме Громеки—Лэмба   v2 ∂t vi − eikj vk ωj = −∂i p + k , (13.2.3) 2

121

13.2. Гамильтонова структура несжимаемой однородной жидкости

где ωi = eikj ∂k vj — компоненты поля завихренности жидкости, а eikj — символ Леви—Чивита, который обладает свойством: e123 = e231 = e312 = 1, e213 = e132 = = e321 = −1, остальные eikj = 0. Используя условие несжимаемости (13.2.2) и условие непротекания на границе n · v = 0, из уравнения (13.2.3) (после применения к нему операции дивергенции и скалярного умножения на n) получим краевую задачу Неймана:



 vk2 ∆ p+ = eikj ∂i (vk ωj ) , 2 ∂p = −ni vk ∂k vi , при x ∈ ∂D, ∂n

(13.2.4)

которая определяет давление p с точностью до некоторой постоянной. С помощью функции Грина G (x, x′ ), которая удовлетворяет условиям:

∆G = δ (x − x′ ) , ∂G = 0, при x ∈ ∂D, ∂n решение краевой задачи (13.2.4) можно представить в виде

v2 p+ k =− 2

Z

enkj D

∂G (x, x′ ) ′ ′ ′ vk ωj dx . ∂x′n

(13.2.5)

Исключая теперь давление p из (13.2.3) с помощью соотношения (13.2.5), получим, что, с одной стороны,

∂t vi = e

ikj

vk ωj +

Z

D

vk′ ekjn ωj′

∂ 2 G ( x, x′ ) ′ dx . ∂xi ∂x′n

(13.2.6)

С другой стороны, так как в силу гамильтоновости модели справедливо уравнение движения Z δH ∂t vi = {vi , H} = {vi , vk′ } ′ dx′ , δvk D в котором δH/δvk′ = vk′ , легко найдем, что

∂t vi =

Z

vk′ {vi , vk′ } dx′ .

(13.2.7)

Сравнивая правые части (13.2.7) и (13.2.6), введем локальный член eikj vk ωj с помощью дельта-функции δ (x − x′ ) под знак интеграла. После перегруппировки членов под знаком интеграла приходим к интегральному равенству

Z

  ∂ 2 G (x, x′ ) ′ ′ vk′ {vi , vk′ } − eikj ωj δ (x − x′ ) − ekjn ω j dx = 0. ′ ∂x ∂x i D n

(13.2.8)

122

Глава 13. Прямой метод нахождения гамильтоновой структуры

Учитывая бездивергентность жидкости ∂i vi = 0, из (13.2.8) следует, что выражение, стоящее под знаком интеграла в квадратных скобках, обращается в нуль с точностью до члена дивергентного вида, т. е.

{vi , vk′ } − eikj ωj δ (x − x′ ) − ekjn

∂ 2 G ( x, x′ ) ′ ωj = ∂k′ Di (x, x′ ) . ∂xi ∂x′n

Дополнительным условием, позволяющим окончательно установить явный вид искомой скобки Пуассона, является требование ее кососимметричности

{vi , vk′ } = −{vk′ , vi }, из которого немедленно следует, что

Di (x, x′ ) = eijn

∂G (x, x′ ) ωj . ∂xn

В итоге, мы приходим к выводу, что в фазовом пространстве гидродинамической скорости однородная несжимаемая жидкость характеризуется нелокальной скобкой Пуассона следующего вида

{vi , vk′ } = eikj ωj δ (x − x′ ) + ekjn

2 ′ ∂ 2 G (x, x′ ) ′ ijn ∂ G (x , x) ω − e ωj . j ∂xi ∂x′n ∂x′k ∂xn

(13.2.9)

Этот результат отражает тот факт, что уравнения несжимаемой однородной жидкости, сформулированные в терминах одной только гидродинамической скорости, не являются локальными. Переход к переменным, в терминах которых скобка Пуассона становится локальной, равносилен преобразованию, с помощью которого из уравнений несжимаемой однородной жидкости исключают давление p. Традиционный прием, который часто используются для этой цели, заключается в применении к обеим частям (13.2.1) оператора rot. В результате мы приходим к уравнению эволюции поля вихря ω = rot v:

∂t ωi + vk ∂k ωi − ωk ∂k vi = 0, которое, как уже упоминалось в § 2.3, обладает скрытой гамильтоновой структурой с локальной скобкой Пуассона

{ωi , ωk′ } = eipn enlm eljk ∂p ωm ∂j δ (x − x′ ) . Тот же результат может быть получен, если операцию rot дважды (один раз по пространственной координате x, второй раз по x′ ) применить к скобке (13.2.9).

§ 13.3. Гамильтонова структура несжимаемой неоднородной жидкости Если несжимаемая жидкость неоднородна, определение скобок Пуассона на фазовом пространстве эйлеровых переменных представляет значительно более

13.3. Гамильтонова структура несжимаемой неоднородной жидкости

123

сложную задачу, так как для того, чтобы исключить давление p из уравнения Эйлера, необходимо найти функцию Грина для оператора ∇̺−1 ∇, в котором плотность ̺ сама является динамической переменной. В свете этого замечания, более рационально переформулировать уравнения движения неоднородной жидкости таким образом, чтобы давление не присутствовало в уравнениях движения с самого начала. Уравнения движения неоднородной несжимаемой жидкости, сформулированные в терминах традиционных переменных, представляют собой совокупность трех уравнений: уравнение Эйлера

1 1 ∂t vi + vk ∂k vi = − ∂i p + fi , ̺ ̺

(13.3.1)

уравнение неразрывности для эволюции плотности

∂t ̺ + vk ∂k ̺ = 0,

(13.3.2)

∂k vk = 0.

(13.3.3)

и условие несжимаемости Здесь v — гидродинамическая скорость, ̺ — плотность, p — давление, а f — равнодействующая наложенных на систему некоторых внешних сил, которые не нарушают ее консервативность. Это означает, что уравнения движения сохраняют полную энергию системы: Z 1 H = T + U, T = ̺v 2 dx, U = U [̺] , (13.3.4) 2 которая представляет собой сумму кинетической T и потенциальной U энергий, причем без ограничения общности последнюю можно считать произвольным функционалом поля плотности ̺. Кроме того, далее предполагаем, что жидкость неограничена. Найдем уравнение для эволюции плотности гидродинамического импульса π = ̺v. С помощью уравнения Эйлера (13.3.1) и уравнения для эволюции плотности (13.3.2) получим   v2 v2 ∂t πi + vk (∂k πi − ∂i πk ) = −∂i p + ̺ + ∂i ̺ + fi . (13.3.5) 2 2 Затем, взяв ротор от уравнения (13.3.5), исключим давление и найдем   v2 imn nkl ∂t γi = e ∂m e vk γl − ∂n ̺ + fn . 2

(13.3.6)

Это уравнение выражает закон изменения завихренности плотности гидродинамического импульса γ =∇×π (13.3.7)

под действием внешних консервативных сил.

124

Глава 13. Прямой метод нахождения гамильтоновой структуры

Покажем, что уравнения движения несжимаемой жидкости, переформулированные в терминах завихренности гидродинамического импульса, являются гамильтоновыми и на фазовом пространстве полей (γ , ̺) задаются локальными скобками Пуассона, из которых нетривиальны только скобки {γi , γk′ } и {̺, γk′ }. Из гамильтоновости модели следует, что динамическая переменная ̺ удовлетворяет соотношению  Z  ′ δT ′ δU ∂t ̺ = {̺, H} = {̺, γk } ′ + {̺, ̺ } ′ dx′ . (13.3.8) δγk δ̺ Поскольку поле плотности эволюционирует только за счет гидродинамического переноса, независимо от специфики среды, определяемой функционалом U , соблюдается условие {̺, ̺′ } = 0. (13.3.9) Исключим с помощью (13.3.8) из уравнения неразрывности (13.3.2) временн´ую производную поля плотности ∂t ̺. Тогда, учитывая (13.3.8), получим Z δT {̺, γk′ } ′ dx′ + vl ∂l ̺ = 0. (13.3.10) δγk Для того чтобы включить локальный член vk ∂k ̺ под знак интеграла (13.3.8), воспользуемся интегральным представлением для гидродинамической скорости Z Z δT δT δγk′ δT kml ′ vl = = dx = e ∂m δ (x − x′ ) dx′ . (13.3.11) ′ δπl δγk δπl δγk′ После постановки (13.3.11) в (13.3.10) и некоторой перегруппировки членов под знаком интеграла, найдем представление для уравнения неразрывности Z
δT ′ kml ′ {̺, γ } − e ∂ ̺∂ δ ( x − x ) dx′ = 0, l m k δγk′ откуда следует выражение для взаимной скобки Пуассона между полями γ и ̺

{̺, γk′ } = ekml ∂l ̺∂m δ (x − x′ ) .

(13.3.12)

Точно так же, как и для поля плотности, для поля завихренности гидродинамического импульса γ следует из гамильтоновости, что  Z  ′ δT ′ δT ∂t γi = {γi , H} = {γi , γk } ′ + {γi , ̺ } ′ dx′ + {γi , U }. (13.3.13) δγk δ̺ Так как скобка {̺, γk′ } уже известна и

δT 1 = − vk2 , δ̺ 2 равенство (13.3.13) можно переписать в виде

125

13.3. Гамильтонова структура несжимаемой неоднородной жидкости

∂t γi =

Z

{γi , γk′ }

δT dx′ − eiml ∂m δγk′



 v2 ∂l ̺ + {γi , U }. 2

Воспользовавшись уравнением (13.3.6), исключим из этого уравнения временн´ую производную поля завихренности гидродинамического импульса ∂t γ. В результате получим Z
δT {γi , γk′ } ′ dx′ − eimn ∂m enkl vk γl + {γi , U } − eimn ∂m fn = 0. δγk

Чтобы в этом выражении включить под знак интеграла второе слагаемое —
локальный член eimn ∂m enkl vk γl , а затем объединить его с первым, заменим компоненты гидродинамической скорости vk их интегральным представлением (13.3.11). Группируя члены, находим равенство

Z


δT {γi , γk′ } − eipj ejln ekmn ∂p γl ∂m δ (x − x′ ) dx′ + ′ δγk

+ {γi , U } − eimn ∂m fn = 0,

которое, с одной стороны, определяет взаимную скобку Пуассона {γi , γk′ }:

{γi , γk′ } = eipj ejln ekmn ∂p γl ∂m δ,

(13.3.14)

а, с другой, — устанавливает связь равнодействующей внешних сил с потенциальной энергией: {γi , U } = eimn ∂m fn . (13.3.15) Отметим, что равенство (13.3.15) определяет равнодействующую всех действующих на жидкую частицу сил с точностью до произвольного слагаемого градиентного вида. Этот факт является следствием инвариантности уравнений движения (4.1.1)–(4.1.3) относительно преобразования

p → p + φ, fi → fi − ∂i φ, где φ произвольная функция, выбор которой не оказывает влияние на физические следствия теории. Учитывая это обстоятельство, в простейшем случае баротропной жидкости U = U [̺] из (13.3.15) можно установить

fi =

∂̺ δU . ∂xi δ̺

Объединяя формулы (13.3.9), (13.3.12) и (13.3.14), приходим к результату, что полная система скобок Пуассона на фазовом пространстве завихренности гидродинамического импульса γ и плотности ̺ имеет вид:

{̺, ̺′ } = 0,

{̺, γk′ } = ekml ∂l ̺∂m δ,

{γi , γk′ } = eipj ejln ekmn ∂p γl ∂m δ.

(13.3.16) (13.3.17)

126

Глава 13. Прямой метод нахождения гамильтоновой структуры

Движение несжимаемой неоднородной жидкости, отвечающающие данной системе скобок Пуассона, описывается уравнениями:    δH δH ∂t γ = {γ , H} = ∇ × ∇× ×γ + ∇̺ , δγ δ̺ (13.3.18)   δH ∂t ̺ = {̺, H} = − ∇ × · ∇̺. δγ Если в качестве потенциальной энергии в уравнения (13.3.18) подставить выражение Z U = g ̺z dx,

где g — ускорение силы тяжести, а z — вертикальная координата, то, по существу, получим уравнения несжимаемой неоднородной жидкости, которая эволюционирует в однородном гравитационном поле. Отметим, что в этом частном случае гамильтоновость уравнений движения несжимаемой неоднородной жидкости рассматривалась в работе [196]. Как уже говорилось, несжимаемая жидкость не имеет локальной скобки Пуассона для гидродинамического импульса. Причина — в наличии условия несжимаемости, которое накладывает ограничения на характер движения жидкости и ответственно за появление силы реакции — градиента давления. По аналогии со скобкой Пуассона (13.2.9) можно предположить, что аналогичная скобка Пуассона для неоднородной несжимаемой жидкости получается из скобки Пуассона (7.4.4) для сжимаемой жидкости добавлением некоторых нелокальных членов дивергентного вида:

{πi , πk′ } = ∂i′ (πk′ δ) − ∂k (πi δ) + · · · ,

(13.3.19)

которые обозначены многоточием. Чтобы исключить их и получить локальную скобку в терминах поля γ = = rot π, достаточно по отношению к скобке (13.3.19) применить операцию rot дважды (один раз по пространственной координате x, второй раз по x′ ). В результате получим в точности скобку (13.3.17)1 . Этот вывод показывает, что скобки (13.3.16), (13.3.17) универсальны, т. е. справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости. Полученные результаты можно распространить на более сложные гидродинамические модели, когда равнодействующая действующих на жидкую частицу сил имеет гироскопическую составляющую. В этом случае (см. подробности в § 8.5) надо ввести обобщенный импульс: p = π + ̺A, 1

(13.3.20)

Действительно, действуя операторами emli ∂l и enpk ∂p′ на скобку (13.3.19), последовательно найдем: {γm , γn′ } = emli enpk ∂l (πk ∂i − ∂k πi )∂p δ = emli enpk ekit ∂l γt ∂p δ, где γk = ekli ∂l πi — компоненты завихренности гидродинамического импульса.

127

13.4. Ковариантное обобщение

для которого в терминах поля γ = rot p справедливы скобки Пуассона (13.3.16), (13.3.17), и переопределить гамильтониан (13.3.4):  Z  2 p H= − p · A dx + U. 2̺

Здесь векторное поле A [x; ̺] является такой же заданной характеристикой среды, как и потенциальная энергия U [̺]. Отметим, что такое переопределение гамильтониана является следствием преобразования (13.3.20) от обычного гидродинамического импульса к обобщенному.

§ 13.4. Ковариантное обобщение При решении задач, в которых гидродинамические движения обладают определенного типа пространственной симметрией, разумно пользоваться соответствующей системой криволинейных пространственных координат. В этой связи ковариантная формулировка гамильтоновского формализма представляет практический интерес. Ответ на вопрос, как преобразуются уравнения движения при переходе из одной системы координат в другую, для гамильтоновых систем решается в рамках преобразования скобок Пуассона. Поэтому полезно привести ковариантную формулировку результатов (13.3.16), (13.3.17). Наряду с декартовой системой координат x = (x1 , x2 , x3 ), которая использовалась выше и в которой можно не различать ковариантные и контравариантные составляющие векторов2 , введем систему криволинейных координат ζ = = (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 ), где такое различие обязательно. Переход от одних координат к другим будем рассматривать как взаимнооднозначное непрерывное преобразование x = x(ζ).

(13.4.1)

Как известно, геометрические свойства пространства, связанного с криволинейной системой координат, характеризуются либо ковариантным метрическим тензором ∂xl ∂xl gik = , ∂ζ i ∂ζ k либо обратным к нему контравариантным метрическим тензором

∂ζ i ∂ζ k . ∂xl ∂xl Правила, по которым изменяются скалярные и векторные величины под действием преобразования (13.4.1), формулируются следующим образом3 : Z f (ζ ) = f (x) δ (x − x(ζ)) dx, (13.4.2) g ik =

2

Напомним, что контравариантными являются компоненты, образующиеся при разложении вектора по направлениям, параллельным координатным линиям, а ковариантными — соответственно по направлениям, перпендикулярным координатным поверхностям. 3 Более подробное изложение этих правил и обсуждение связанных с ними вопросов можно найти в учебниках по дифференциальной геометрии (см., например, [167]).

128

Глава 13. Прямой метод нахождения гамильтоновой структуры

Z

∂ζ k i u (x) δ (x − x(ζ)) dx, ∂xi Z ∂xi i m uk (ζ ) = gkm u (ζ ) = u (x) δ (x − x(ζ)) dx. ∂ξ k uk (ζ ) =

(13.4.3) (13.4.4)

Для использования этих правил на практике, их необходимо дополнить основным тождеством [167]

∂ζ k ∂ζ p ∂ζ n ≡ g −1/2 ekpn , ∂xi ∂xm ∂xl из которого, в частности, следует: eiml

m l ∂ζ k iml −1/2 kpn ∂x ∂x e ≡ g e , ∂xi ∂ζ p ∂ζ n

e

l ∂ζ p −1/2 kpn ∂x ≡ g e , ∂xi ∂xm ∂ζ n

iml ∂ζ

k

(13.4.5)

(13.4.6)

где eikj ≡ eikj — полностью антисимметричный тензор, известный так же как символ Леви—Чивита (eikj = eikj = 1, если ikj = 123, 231, 312; eikj = eikj = −1, если ikj = 321, 132, 213, и eikj = eikj = 0, если любые два индекса равны). Отметим, что с точки зрения определения (13.4.3), тождество (13.4.5) есть не что иное, как преобразование тензора eikj при переходе (13.4.1) в криволинейную систему координат. В частности, для плотности ̺ и завихренности гидродинамического импульса γ i соотношения (13.4.2) и (13.4.3) дают: Z ̺ (ζ ) = ̺ (x) δ (x − x(ζ)) dx, (13.4.7) Z ∂ζ k i k γ (ζ ) = γ (x) δ (x − x(ζ)) dx. (13.4.8) ∂xi Используя определение (13.3.7) для завихренности гидродинамического импульса γ в декартовых координатах, из (13.4.8) легко найти, что в криволинейных координатах справедливо ковариантное обобщение этого соотношения Z ∂ζ k iml ∂πl ∂πn k γ (ζ ) = e δ (x − x(ζ)) dx = g −1/2 ekpn p , (13.4.9) i m ∂x ∂x ∂ζ где g — определитель метрического тензора, а πn (ζ ) = ̺ul (ζ ) — ковариантные компоненты гидродинамического импульса, заданные в криволинейной системе координат ζ. Ковариантное обобщение для скобок Пуассона (13.3.16), (13.3.17) может быть получено на основании применения правил (13.4.7), (13.4.8) из следующих коммутационных соотношений: Z ′ {̺(ζ ), ̺(ζ )} = {̺(x), ̺(x′ )}δ (x − x(ζ )) δ (x′ − x(ζ ′ )) dxdx′ ,

129

13.4. Ковариантное обобщение ′

k

{̺(ζ ), γ (ζ )} = i

k

′

{γ (ζ ), γ (ζ )} =

Z

Z

∂ζ ′ k {̺(x), γ m (x′ )} δ (x − x(ζ )) δ (x′ − x(ζ ′ )) dxdx′ , ∂x′ m

∂ζ i ∂ζ ′ k n {γ (x), γ m (x′ )}δ (x − x(ζ )) δ (x′ − x(ζ ′ )) dxdx′ . ∂xn ∂x′ m

Подставляя соответствующие выражения (13.3.16), (13.3.17) для скобок, которые фигурируют под знаками интегралов, и используя формулы

∂ζ i npj ∂ ∂xj ∂ e = g −1/2 eipn n p , n p ∂x ∂x ∂ζ ∂ζ ejtl

∂xj ∂xt ∂ζ j 1/2 = g e , nsj ∂ζ n ∂ζ s ∂xl

которые следуют непосредственно из (13.4.6), после ряда преобразований получим скобку Пуассона для компонент завихренности импульса: i

Z

∂ζ i ∂ζ ′ k npj e ejlt emts × ∂xn ∂x′ m ∂ ∂ ∂ ∂ × p γ l s δ(x − x′ ) dxdx′ = g −1/2 eipn ejsn eksm p γj m g 1/2 δ(ζ − ζ ′ ). ∂x ∂x ∂ζ ∂ζ k

′

{γ (ζ ), γ (ζ )} =

δ (x − x(ζ )) δ (x′ − x(ζ ′ ))

В конечном счете, скобки Пуассона для контравариантных компонент γ k и плотности ̺, которые получаются из скобок (13.3.16), (13.3.17) как результат преобразования системы координат (13.4.1), имеют следующий вид:

{̺(ζ ), ̺(ζ ′ )} = 0, ∂ ∂ {̺(ζ ), γ k (ζ ′ )} = g −1/2 ekmn n ̺ m g −1/2 δ(ζ − ζ ′ ), ∂ζ ∂ζ ∂ ∂ {γ i (ζ ), γ k (ζ ′ )} = g −1/2 eipj ejln ekmn p γ l m g −1/2 δ(ζ − ζ ′ ). ∂ζ ∂ζ

(13.4.10) (13.4.11) (13.4.12)

Полученные выше скобки Пуассона (13.3.16), (13.3.17) и их ковариантный аналог (13.4.10)–(13.4.12) будут использованы далее как базовый принцип построения иерархии скобок Пуассона для различных версий гамильтонового описания моделей контурной динамики (см. подробности в части IV).

Глава 14 ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ В ГИДРОДИНАМИКЕ Долгое время основным и, по существу, единственным инструментом, который использовался для выявления гамильтоновой структуры и введения канонических переменных в гидродинамике, оставался вариационный принцип наименьшего действия [9, 165, 166, 193, 197, 200, 202, 205, 212, 213, 226–229, 234, 240, 243, 244, 260, 261, 272, 273]. Тот факт, что уравнения движения жидкости в форме Эйлера в такой же мере могут следовать из соответствующего принципа наименьшего действия, как и уравнения классической механики точки, вообще говоря, не является очевидным. Такая возможность обычно аргументируется аналогией, которая прослеживается между сплошной средой и системой дискретных частиц. В этой аналогии уравнение Эйлера играет роль уравнения Ньютона, а все остальные уравнения, описывающие эволюцию среды, рассматриваются как ограничения на класс течений или связи. Однако следует иметь в виду, что аналогия сплошной среды с системой дискретных частиц проявляется наиболее полно только в лагранжевых координатах, где аналогом дискретной частицы является жидкая частица — индивидуальный элементарный объем жидкости.

§ 14.1. Ограничения на применимость принципа наименьшего действия в гидродинамике При использовании эйлерового описания аналогия сплошной среды с системой дискретных частиц утрачивается. Тем не менее, при формулировке принципа наименьшего действия для жидкости часто исходят из формальных соображений, априорно полагая, что лагранжиан можно представить как разность между кинетической энергией и потенциальной Z 2 π L =K −U, K = dx (14.1.1) 2̺

и что каждая экстремаль функционала, называемого действием Z S = (K − U ) dt,

является течением, удовлетворяющим уравнению Эйлера и ограничениям, роль которых играют остальные уравнения. Обычно по образцу классической механики, чтобы освободить от ограничений вариационную задачу, эти ограничения или связи вводят с помощью лагранжевых множителей в начальный лагранжиан (14.1.1) под знак интеграла. 130

14.2. Принцип наименьшего действия для баротропной спиновой жидкости

131

То обстоятельство, что в рамках сформулированного выше вариационного принципа реализуются только гидродинамические модели с коммутативными дополнительными полями1 , обычно не подчеркивается, но его важно осознавать. Формальное же использование этого принципа для введения канонических переменных в гидродинамические модели с некоммутативными дополнительными полями приводит к некорректным уравнениям для сопряженных переменных, выполнение которых не гарантирует автоматического выполнения уравнения Эйлера. Другими словами, экстремали такой вариационной задачи не являются течениями, совместимыми с уравнением Эйлера. Ретроспективный анализ применения вариационного принципа наименьшего действия в гидродинамике [9, 165, 166, 193, 197, 200, 202, 205, 213, 226–229, 234, 240, 243, 244, 260, 261, 272, 273] весьма наглядно демонстрирует, что принцип наименьшего действия с лагранжианом (14.1.1) срабатывает лишь в том случае, когда дополнительные переменные, описывающие внутренние степени свободы, образуют коммутативный набор. При построении вариационного принципа наименьшего действия для гидродинамических систем с некоммутативными степенями свободы необходимо преодолеть по крайней мере два препятствия. Первое — это определение структуры начального лагранжиана, вид которого для таких систем не сводится к выражению (14.1.1), т. е. не является разностью между кинетической энергией и потенциальной. Второе препятствие — определение скрытых (латентных) связей, которые подобно линевским связям, описывающим динамику лагранжевых координат частиц жидкости (см. по этому поводу [165, 240]), неявно содержатся в исходных уравнениях движения.

§ 14.2. Принцип наименьшего действия для баротропной спиновой жидкости Ограниченность вариационного принципа с лагранжианом (14.1.1) проиллюстрируем на примере классической спиновой жидкости, движение которой описывается уравнениями:

∂t π + (v · ∇) π + π (∇ · v ) = −̺∇

δU δU − mk ∇ , δ̺ δmk

∂t ̺ + ∇ · π = 0, ∂t m + (v · ∇) m + m (∇ · v ) = γ m ×

(14.2.1) (14.2.2)

δU . δm

(14.2.3)

1 Напомним, что, согласно принятой в главе 8 терминологии, коммутативными дополнительными полями (переменными) называется группа полей q1 , q2 , . . . , qN , для которых все взаимные, или внутригрупповые, скобки Пуассона равны нулю, т. е.

{qα , qβ′ } = 0,

α, β = 1, . . . , N.

В гидродинамических системах адвективного типа (см. § 7.4) такие поля могут эволюционировать только за счет переноса и поэтому не имеют других, отличных от нуля скобок Пуассона, кроме скобок с участием гидродинамического импульса.

132

Глава 14. Принцип наименьшего действия в гидродинамике

Поскольку эта гидродинамическая модель уже рассматривалась нами в § 12.4 и § 13.1 (см. соответственно уравнения (12.4.4)–(12.4.6) и (13.1.1)–(13.1.3)), мы сохраняем здесь преемственность в использовании обозначений, принятых в этих разделах. Проблему определения структуры начального лагранжиана для модели спиновой жидкости можно решить в рамках естественного обобщения. Это обобщение легко увидеть, если для модели жидкости, в которой единственной некоммутативной переменной является ее гидродинамический импульс π, начальный лагранжиан (14.1.1) записать в виде Z δH L = π· dx − H . (14.2.4) δπ В случае спиновой жидкости, которая характеризуется еще одним некоммутативным полем m, возникает естественное обобщение формулы (14.2.4)  Z  δH δH L = π· +m· dx − H . δπ δm Использование этой формулы для построения вариационного принципа наименьшего действия в модели спиновой жидкости приводит к следующему выражению для начального лагранжиана  Z  2 δU π L = +m· dx − U [̺, m]. 2̺ δm Выражение в круглых скобках показывает что лагранжиан спиновой жидкости не является просто разностью между кинетической и потенциальной энергиями, как предполагалось в (14.1.1), а включает дополнительный к π 2 /2̺ член, обусловленный наличием в системе еще одной некоммутативной переменной m — спинового момента. Воспользовавшись уравнением неразрывности (14.2.2) в качестве явной связи и уравнением2 δU ∂t a = − (v · ∇) a − a (∇ · v) − a × (14.2.5) δm в качестве скрытой связи, получим следующее выражение для интеграла действия Z S = L ′ dt, с расширенным лагранжианом 2

Напомним, что это уравнение является одним из канонических уравнений движения в модели ферромагнитной жидкости (см. уравнение (12.5.9) в § 12.5), где переменная a играет роль обобщенной координаты, канонически сопряженной импульсу b. Эти канонические переменные вводятся через представления Клебша для спинового (магнитного) момента m и гидродинамического импульса π: m = a × b, π = ai ∇bi + · · · . Здесь многоточием обозначены члены, функционально не зависящие от канонически сопряженных переменных a и b.

133

14.2. Принцип наименьшего действия для баротропной спиновой жидкости

L′ =

Z 

δU π2 + ϕ (∂t ̺ + ∇ · (̺v )) + +m· 2̺ δm   δU + b · ∂t a + (v · ∇) a + a (∇ · v ) + a × dx − U [̺, m], δm

где переменные ϕ, b — соответствующие лагранжевы множители. Вариация действия по переменным v, m, ̺, a приводит к уравнениям:

̺v = ̺∇ϕ + ak ∇bk , ∂t ϕ + (v · ∇)ϕ −

m = a × b,

v 2 δU + = 0, 2 δ̺

∂t b + (v · ∇)b + b ×

δU = 0. δm

(14.2.6) (14.2.7) (14.2.8)

Сравнивая полученные формулы (14.2.6) с формулами (12.5.6), (12.5.8), легко заметить, что первые два соотношения (14.2.6) — это уже знакомые представления Клебша, выражающие поля π = ̺v и m через канонические переменные (̺, ϕ), (a, b). Следующие два уравнения (14.2.7) и (14.2.8) — это канонические уравнения эволюции для обобщенных импульсов ϕ и b. Отметим, что последнее из них (14.2.8) совпадает с аналогичным уравнением (12.5.10). Этот пример отчетливо демонстрирует, что, несмотря на возможность реализации, принцип наименьшего действия для гидродинамических моделей с дополнительными некоммутативными степенями свободы не замкнут хотя бы потому, что в исходной формулировке (14.2.1)–(14.2.3) латентные связи типа (14.2.5) отсутствуют.

Глава 15 ГАМИЛЬТОНИЗАЦИЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ. МЕТОД ДИРАКА § 15.1. Гамильтоновские системы со связями Рассмотрим консервативную динамическую систему, уравнения которой заданы на фазовом пространстве динамических полевых переменных ui (x, t) (i = = 1, 2, . . . , N ) и сформулированы в виде уравнений двух сортов: N уравнений, описывающих движение (15.1.1)

∂t ui = Li [u1 , . . . , uN ] , и M независимых ограничений, именуемых первичными связями,

Φk [u1 , . . . , uN ] = 0,

k = 1, 2, . . . , K,

K < N,

(15.1.2)

которые формулируются в терминах тех же полевых переменных ui (x, t), имеют место во все моменты времени, но не содержат производных по времени от этих переменных. Наличие связей означает, что динамика системы разворачивается не в полном фазовом пространстве, состоящем из N динамических полевых переменных ui (x, t), а в более узком подпространстве, на поверхности связей (15.1.2). Неканоническую гамильтонизацию таких динамических систем, т. е. приведение уравнений (15.1.1) к гамильтоновому виду

∂t ui = {ui , H },

(15.1.3)

можно осуществить по стандартному алгоритму. Вначале необходимо определить гамильтониан системы H — величину, функционально зависящую от полей ui . Его обычно отождествляют с интегралом энергии системы, который, как правило, или уже известен, или находится без особого труда. Затем все временные производные в левых частях равенств (15.1.1) раскрывают согласно правилу (15.1.3), используя для этого фундаментальные скобки Пуассона {ui , u′k }. Получают систему Z δH {ui , u′k } ′ dx′ = Li , (15.1.4) δuk которую решают относительно тензорных элементов {ui , u′k } при дополнительных условиях: {ui (x), uj (x′ )} = −{uj (x′ ), ui (x)}, (15.1.5) {ui (x), {uj (x′ ), uk (x′′ )} + ц.п. = 0, 134

135

15.2. Скобки Дирака

где сокращенная запись «ц.п.» используется для обозначения слагаемых, полученных из первого циклической перестановкой по индексам и аргументам. Эти условия означают, что искомые элементы удовлетворяют всем стандартным требованиям для скобок Пуассона (см. формулы (2.2.3) и (2.2.4) в § 2.2). В результате, приходим к гамильтоновой системе

∂t ui = {ui , H },

Φk = 0,

которая включает первичные связи и, согласно принятой терминологии [32], называется расширенной. Существует правило, которого следует придерживаться при использовании формализма скобок Пуассона в таких системах. Согласно этому правилу, если мы имеем связи, то, вообще говоря, ими нельзя пользоваться до вычисления скобок Пуассона. Другими словами, в случае общего положения все скобки Пуассона должны быть раскрыты до использования связей.

§ 15.2. Скобки Дирака Чтобы разобраться в этом вопросе более детально, рассмотрим гамильтониан H в окрестности поверхности связей. Найдем разложение гамильтониана H с точностью до членов, которые линейны по отклонениям δk от этой поверхности. Так как δk пропорциональны Φk , разложение гамильтониана можно представить в виде функционального степенного ряда Z H = H0 + λi Φi dx, (15.2.1) где H0 — в точности равен гамильтониану на поверхности связей, а λi — некоторые коэффициенты разложения. Члены разложения более высокого порядка по отклонениям δk = Φk можно не учитывать, так как на поверхности связей вклада в уравнение (15.1.3) они не дают. Таким образом, на поверхности связей можно записать равенство Z {ui , H } = {ui , H0 } + λ′k {ui , Φ′k } dx′ , (15.2.2) которое справедливо в слабом смысле, т. е. только при учете уравнений Φk = 0. Рассмотрим две возможности, которые весьма часто встречаются на практике. Очевидно, что если связи согласованы со скобками Пуассона, а именно, являются их аннуляторами {ui , Φk } = 0, то вопрос о переменных λi не возникает. В этом случае справедливо равенство

{ui , H } = {ui , H0 }, и, следовательно, при необходимости такими связями можно пользоваться под знаком скобок Пуассона.

136

Глава 15. Гамильтонизация систем со связями. Метод Дирака

Если же связи не согласованы со скобками Пуассона, то вопрос о переменных λi требует обязательного разрешения. Соответствующая процедура, предложенная П. Дираком [206], состоит в следующем. Так как первичные связи (15.1.2) имеют место во все моменты времени, они являются интегралами на поверхности связей

∂t Φi = {Φi , H } = 0.

Поэтому должны выполняться условия непротиворечивости Z {Φi , H0 } = λ′k {Φ′k , Φi } dx′ ,

(15.2.3)

(15.2.4)

которые получаются как результат прямой подстановки разложения (15.2.1) в уравнение (15.2.3). Из условий, выражаемых равенством (15.2.4), следуют либо новые так называемые вторичные связи, либо уравнения для коэффициентов λi , либо тождества типа 0 ≡ 0. Отсылая за деталями к специальной литературе [32, 201, 282], где приведен анализ возможных ситуаций, отметим, что рекуррентная процедура выявления новых связей в конечном счете приводит к функционально независимой системе связей, из которой новых связей уже не возникает. Если полученные связи таковы, что матрица k{Φi , Φ′k }k не вырождена на поверхности этих связей1 , все коэффициенты λi могут быть однозначно определены из (15.2.4) с помощью соотношений Z λi = − cik (x, x′ ) {Φ′k , H0 } dx′ , где cik (x, x′ ) = k{Φi , Φ′k }k−1 — обратная матрица, такая, что Z cik (x, x′′ ) {Φ′′k , Φ′m } dx′′ = δim δ (x − x′ ) .

Исключая переменные λi из (15.2.2), получим соотношение Z δH0 {ui , H } = {ui , u′k }D ′ dx, δuk

где скобки

{ui , u′k }D

=

{ui , u′k }

−

Z

′ ′′ ′′′ {ui , Φ′′l }clm (x′′ , x′′′ ) {Φ′′′ m , uk } dx dx

(15.2.5)

(15.2.6)

— это так называемые скобки Дирака [65, 206], которые удовлетворяют всем стандартным требованиям (15.1.5), предъявляемым к обычным скобкам Пуассона. Если матрица k{Φi , Φ′k }k, составленная из скобок Пуассона всех связей, вырождена на поверхности этих связей, то это означает, что часть коэффициентов λi не определяется. В этом случае решения уравнений движений со связями первого рода содержат функциональный произвол. 1

Согласно классификации, предложенной Дираком, такие связи называются связями второго рода. В противном случае, когда матрица скобок Пуассона вырождена, т. е. det (k{Φi , Φ′k }k) = 0, говорят о связях первого рода.

137

15.3. Модель свободного электромагнитного поля

§ 15.3. Модель свободного электромагнитного поля В качестве примера гамильтонизации континуальной динамической системы со связями рассмотрим свободное электромагнитное поле. Эта модель формулируется в фазовом пространстве всего двух векторных переменных — магнитного поля H и электрического поля E — и описывается уравнениями движения Максвелла: ∂t H = −c (∇ × E ) , ∂t E = c (∇ × H ) , (15.3.1) где c — скорость света, с двумя первичными связями: ∇ · E = 0,

∇ · H = 0.

Уравнения (15.3.1), сохраняют интеграл энергии Z
1 H = H 2 + E 2 d x, 8π

(15.3.2)

(15.3.3)

который, согласно алгоритму, изложенному в § 15.1, отождествим с гамильтонианом модели. Уравнения (15.1.4) для данной модели, если все локальные члены сгруппировать с помощью δ -функции под знак интеграла, в конечном счете приводят к двум интегральным соотношениям:   Z 1 ′ ′ ilk Hk {Ei , Hk } − ce ∂l δ dx′ = 0, 4π   Z 1 ′ ′ ilk ′ Ek {Hi , Ek } + ce ∂l δ dx′ = 0, 4π из которых в качестве частного решения найдем

{Ei , Hk′ } = 4πceilk ∂l δ.

(15.3.4)

Легко проверить, что найденное решение удовлетворяет всем требованиям для скобок Пуассона и согласовано с ограничениями, а именно: первичные связи (15.3.2) являются аннуляторами этой скобки. Поэтому, согласно предыдущему разделу, для такой гамильтоновой формулировки связи (15.3.2) при необходимости могут быть использованы и до вычисления скобок Пуассона. Посмотрим теперь, как изменится описание при частичном разрешении связей. Разрешим одну из связей ∇ · H = 0. Введем для этой цели векторный потенциал A такой, что H = ∇ × A. Так как векторный потенциал определяется неоднозначно (с точностью до градиента произвольной функции), наложим ограничение ∇ · A = 0, которое известно как кулоновская калибровка.

138

Глава 15. Гамильтонизация систем со связями. Метод Дирака

Вычислим скобки Пуассона в новом фазовом пространстве E, A, отметив, что теперь в нем действуют ограничения

Φ1 = ∇ · E = 0,

Φ2 = ∇ · A = 0.

(15.3.5)

Из скобки (15.3.4), после подстановки в нее представления магнитного поля через векторный потенциал Hk = eklm ∂l Am , следует, что

eklm ∂l′ ({Ei , A′m } − 4πcδim δ) = 0.

(15.3.6)

Покажем, что, в зависимости от выбора решения уравнения (15.3.6) для скобки Пуассона {Ei , A′m }, существуют различные возможности для гамильтоновского описания на поверхности связей (15.3.5). Первая возможность реализуется, если в качестве решения (15.3.6) искать скобку Пуассона, согласованную со связями, как скобку, удовлетворяющую требованиям: ′ {Φ1 , A′m } = 0, {Φ2 , Em } = 0. (15.3.7) Чтобы найти скобку Пуассона, удовлетворяющую этим требованиям, общее решение уравнения (15.3.6) запишем в виде: ′ {Ei , A′m } = 4πcδim δ + ∂m D i ( x, x′ ) ,

(15.3.8)

где выбор структурной функции Di (x, x′ ) согласуем с ограничениями (15.3.5). Подстановка (15.3.8) в (15.3.7) дает равенства: ′ ∂m (4πcδ − ∂i Di ) = 0,

из которых следует, что

Di = −c∂i

∆′ Di = 4πc∂i δ,

1 . | x − x′ |

Использование этого выражения в (15.3.8) приводит к согласованной скобке Пуассона вида 1 {Ei , A′m } = 4πcδim δ + c∂i ∂m . (15.3.9) | x − x′ |

Для такой скобки Пуассона уравнения движения на поверхности первичных связей (15.3.2) могут быть сформулированы в виде

∂t Ei = {Ei , H0 },

∂t A = {Ai , H0 }.

Отличительная особенность этой формулировки, что связи являются казимирами для данной скобки Пуассона. Поэтому, какой бы мы не выбрали функционал H0 качестве гамильтониана на поверхности связей, проблемы вычисления поправки Z λi Φi dx, обусловленной связями, не возникает.

139

15.3. Модель свободного электромагнитного поля

В частном случае свободного электромагнитного поля гамильтониан на поверхности связей определяется равенством Z
1 H0 = E 2 − A · ∆A dx, (15.3.10) 8π

которое получается из (15.3.3), если выразить магнитное поле через векторный потенциал. Вторая возможность для гамильтонизации на поверхности связей реализуется, если в качестве решения (15.3.6) взять несогласованную скобку Пуассона, например, скобку {Ei , A′m } = 4πcδim δ, (15.3.11) которая не коммутирует со связями (15.3.5). Если в соответствии с предыдущим разделом гамильтониан в окрестности поверхности связей (15.3.5) представить в виде Z H = H0 + (λ1 ∇ · E + λ2 ∇ · A) dx,

где H0 — гамильтониан на поверхности связей, то переменные λ1 , λ2 находятся из условий непротиворечивости (см. (15.2.4)): Z {Φ1 , H0 } = λ′2 {Φ′2 , Φ1 } dx′ , (15.3.12) Z {Φ2 , H0 } = λ′1 {Φ′1 , Φ2 } dx′ . По существу, эти равенства означают, что связи Φ1 и Φ2 являются интегралами движения, сохранение которых обусловлено не только структурой скобки Пуассона, но и гамильтонианом. По сравнению с условиями (15.3.7) эти условия являются более слабыми, так как зависят от конкретного вида гамильтониана H0 и поэтому приводят к неуниверсальным ответам для λ1 , λ2 . Действительно, поскольку

{Φ′1 , Φ2 } = −4πc∆δ, после некоторых вычислений из (15.3.12) найдем: Z 1 {Φ′2 , H0 } ′ λ1 = dx , |x − x′ | (4π)2 c Z 1 {Φ′1 , H0 } ′ λ2 = − dx . 2 | x − x′ | (4π) c

(15.3.13)

Для свободного электромагнитного поля, где гамильтониан H0 таков, что

{Φ2 , H0 } = −Φ1 ,

{Φ1 , H0 } = −∆Φ2 ,

140

Глава 15. Гамильтонизация систем со связями. Метод Дирака

из (15.3.13) следует, что на поверхности связей имеют место равенства

λ1 = λ2 = 0. В результате приходим к канонической формулировке уравнений движения свободного электромагнитного поля:

∂t E =

δH0 , δA

∂t A = −

δH0 , δE

где в качестве гамильтониана фигурирует функционал (15.3.10). Следует подчеркнуть, что для других моделей, гамильтониан которых H0 таков, что скобки {Φ2 , H0 } и {Φ′1 , H0 } не обращаются в нуль одновременно, мы приходим к дираковской формулировке (15.2.5). При этом, как показывают вычисления по формуле (15.2.6), скобка Дирака {Ei , A′k }D , совпадает с согласованной скобкой (15.3.9).

Часть III КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ДЛЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Эта часть включает в себя главы 15–24 и содержит сводку результатов по гамильтонизации наиболее широко распространенных гидродинамических моделей. Поскольку название глав достаточно точно отражает их содержание, отметим лишь те моменты, которые имеют принципиальное значение для изложения и предварительного понимания материала. Типичным методическим аспектом, возникающим при выборе удобного канонического базиса, является использование калибровочных инвариантов для устранения секулярной зависимости от времени равновесных значений канонических переменных. Отметим, что эта проблема имеет место всегда, когда в качестве канонических переменных для описания возмущений, развивающихся на фоне заданного режима течения, берут лагранжевы координаты жидкой частицы или используют сопровождающую систему координат. Каноническое описание многоуровневых и многослойных квазигеострофических моделей непосредственно вытекает из гамильтоновой формулировки для непрерывной модели. Процедура вывода канонических версий описана в главе 20 и состоит в последовательном использовании специальной конечноразностной аппроксимации, которая применяется дважды: один раз — по отношению к гамильтониану, а другой — по отношению к представлению Клебша для потенциального вихря. Для многоуровенных моделей такая процедура приводит к тому, что на каждом уровне (а для многослойных моделей в каждом слое) имеет место свой независимый канонический базис. В главе 21 программа гамильтонизации и построения канонических переменных обобщается на кусочно-непрерывные модели, которые имеют внешние (свободные) и внутренние (контактные) границы. Универсальный подход к таким моделям состоит в использовании субстанциональных тета-функций для разложения гидродинамических полей и представления кусочно-непрерывной среды в виде многокомпонентной безграничной жидкости. Если для моделей плазмы и жидких кристаллов введение канонических переменных — рутинная операция, основанная на пересчете уже известных скобок Пуассона и использовании представления Клебша для импульса, то для моделей кинетики это не так. Своеобразие проявляется в том, что основной динамической переменной уравнений кинетики является функция распределения, зависящая от времени, компонент скорости и координат. Для простейших моделей проблема исчерпывается построением одного представления Клебша для функции распределения. Однако для более сложных, таких, как модель Власова—Максвелла, где в игру включается магнитное поле, оказывается, что на том же каноническом базисе следует искать еще одно представление Клебша для магнитного поля.

Глава 16 НЕБАРОТРОПНЫЕ МОДЕЛИ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ ТЕЧЕНИЙ § 16.1. Движения на фоне изотермического режима равновесия Чтобы проиллюстрировать содержательность результатов, полученных в части II, в качестве первого конкретного примера рассмотрим идеальную небаротропную жидкость, находящуюся в поле потенциальных сил. В геофизической гидродинамике эта модель и ее модификации широко используются при изучении динамики атмосферы [31, 51, 68, 147, 148]. В принципиальном отношении вопрос о выборе гамильтониана и канонических переменных для описания небаротропной жидкости можно решить в соответствии с главами 7–11. В общем виде гамильтониан этой модели определяется выражением  Z  2 π H = (16.1.1) + ε (̺, σ) + ̺χ dx, 2̺ где χ — потенциал внешних сил, а плотность внутренней энергии ε является известной функцией плотности ̺ и энтропии σ . В случае, когда модель атмосферы описывается совершенным газом, находящимся в поле тяжести Земли, для ε и χ справедливы соотношения  γ   ̺ γ−1 ε = ε0 exp σ , χ = gz. (16.1.2) ̺0 R

Здесь γ , R, ε0 , ̺0 — газовые постоянные соответствующей размерности; g — ускорение силы тяжести; z — вертикальная координата. Так как внутренние свойства рассматриваемой модели описываются коммутативным набором всего из двух переменных ̺ и σ , которые и составляют физический сектор канонических координат, соответствующее минимальное представление Клебша для плотности импульса имеет вид π = ̺∇ϕ − λ∇σ.

(16.1.3)

Если ограничиться изучением движений, для которых (∇ × v ) · ∇σ = 0, т. е. циркуляция по любому контуру, лежащему на изэнтропической поверхности σ = const, тождественно равна нулю, то представление Клебша (16.1.3) является достаточно общим1 [197]. В частности, его вполне хватает при описании 1 Это представление Клебша описывает течения с нулевой спиральностью (см. пояснение к формуле (11.4.5) на с. 105.)

143

144

Глава 16. Небаротропные модели стратифицированных течений

волновых движений [43–45], развивающихся на фоне изотермического режима равновесия, когда фоновая температура T0 постоянна, а течение отсутствует. В этом режиме справедливы условия:

Ts = T0 = const,

π s = ̺s ∇ϕs − λs ∇σs = 0,

(16.1.4)

где T — абсолютная температура, определяемая как

T = ̺−1

∂ε . ∂σ

Здесь и далее индексом s отмечаются равновесные значения соответствующих величин. Выписав канонические уравнения в приближении равновесия, получим следующие условия для равновесных значений обобщенных импульсов:     ∂ε ∂ε gz + + ∂t ϕs = 0, + ∂t λs = 0, (16.1.5) ∂̺ s ∂σ s и условия

∂t ̺s = 0,

∂t σs = 0

(16.1.6)

для обобщенных координат. Решая (16.1.4)–(16.1.6) совместно с (16.1.2), найдем равновесные значения канонических координат и импульсов:  z z , σs = R, ̺s = ̺0 exp − h  h  (16.1.7) γ ϕs = −gt z + h , λs = −̺s T0 t γ−1 и связь на постоянные ε0 , ̺0 , T0 :

ε0 = (γ − 1)−1 R̺0 T0 . Здесь h = T0 R/g и называется высотой однородной атмосферы, ̺0 — равновесное значение плотности на уровне z = 0, t — время. Переход к новым каноническим импульсам, которые в режиме равновесия тождественно обращаются в нуль, можно осуществить согласно § 10.3 с помощью канонического преобразования по формулам (10.3.3) и (10.3.4):

ϕ′ = ϕ − t

δG δQ δG δQ − , λ′ = λ − t − , δ̺ δ̺ δσ δσ H ′ = H + G,

(16.1.8) (16.1.9)

где ϕ′ , λ′ — новые импульсы, H ′ — новый гамильтониан. Напомним (см. § 10.3), что функционалы G и Q выбираются таким образом, чтобы обеспечить требования

{π , Q} = 0,

{π , Q}s = π s .

16.2. Неизотермическое равновесие при наличии фонового сдвигового течения

145

Так как равновесные значения канонических импульсов ϕs и λs не имеют не зависящих от времени частей и, кроме того, π s = 0, для функционала Q [̺, σ] сразу можно положить Q [̺, σ] = 0. (16.1.10) Функционал G [̺, σ] можно построить сравнительно просто, если искать его в общем виде как Z G = ̺Ψ (σ) dx, (16.1.11)

где Ψ — произвольная функция энтропии. Чтобы зафиксировать Ψ , подставим (16.1.11) в (16.1.8) и рассмотрим режим равновесия ϕ′s = λ′s = 0. Тогда, принимая во внимание (16.1.7), получим   γ Ψ = −T0 σ + R (16.1.12) . γ−1 Подстановка функционалов (16.1.10), (16.1.12) в (16.1.8) приводит к искомому каноническому преобразованию:

ϕ = ϕ′ − tT0



̺ = ̺s + ̺′ ,

σ = σs + σ ′ , (16.1.13)  γ σs + σ ′ + R , λ = λ′ − tT0 (̺s + ̺′ ) . γ−1

Воспользовавшись этим преобразованием, представление Клебша для гидродинамического импульса (16.1.3) приведем к виду: π = (̺s + ̺′ ) ∇ϕ′ − λ′ ∇ (σs + σ ′ ) ,

(16.1.14)

где новые канонические переменные ̺′ , ϕ′ , σ ′ , λ′ принимают нулевые значения в режиме равновесия. Таким образом, в формулировку войдут только равновесные значения обобщенных координат ̺s , σs , при этом равновесные значения обобщенных импульсов ϕs , λs автоматически исключаются. Кратко суммируя результаты раздела, можно сказать, что процедура введения переменных, которые принимают нулевые значения в режиме равновесия, состоит из двух этапов. На первом записывается представление Клебша (16.1.14), с помощью которого вводятся канонические переменные ̺′ , ϕ′ , σ ′ , λ′ . На втором этапе откалиброванный по формуле (16.1.9) гамильтониан модели H˜ переписывается в терминах переменных ̺′ , ϕ′ , σ ′ , λ′ . Делается это с использованием представления Клебша (16.1.14) и соотношений (16.1.13).

§ 16.2. Неизотермическое равновесие при наличии фонового сдвигового течения Результаты, полученные в предыдущем разделе, могут быть обобщены на случай небаротропной жидкости, движение которой развивается на фоне более сложного режима неизотермического равновесия в присутствие стационарного

146

Глава 16. Небаротропные модели стратифицированных течений

сдвигового течения. Таким образом, мы предполагаем, что вместо (16.1.4) выполняются условия равновесия:

Ts = Ts (z) ,

v s = u (z) = (u1 (z) , u2 (z) , 0) ,

(16.2.1)

где Ts и u1 , u2 — вертикальные профили абсолютной температуры и горизонтальных компонент скорости, заданные как функции координаты z . При изучении таких моделей в рамках метода гамильтоновского формализма, если мы хотим ввести канонические переменные без каких-либо ограничений на класс течений, то, согласно § 11.2, целесообразно исходить из более общего, нежели (16.1.4), представления Клебша для гидродинамического импульса π = ̺∇ϕ + π (1) = ̺∇ϕ − λi ∇ξi .

(16.2.2)

Использование (16.2.2) предполагает, что энтропия σ , фигурирующая в потенциальной энергии, должна быть выражена в терминах лагранжевых координат ξ. Это всегда можно сделать, если известно начальное распределение энтропии σ 0 (x) (см. § 11.1). В том случае, когда известно равновесное распределение σs (x), можно поступить аналогичным образом, положив

σ (ξ ) = σs (x)|x=ξ .

(16.2.3)

Обоснованием соотношения (16.2.3) может служить то, что гидродинамическое движение можно рассматривать как смену состояний — взаимооднозначное и непрерывное отображение, которое приводит к деформации начального состояния. Причем в данном случае в качестве последнего рассматривается состояние равновесия. Другой отличительной чертой рассматриваемых моделей с динамическим режимом равновесия v s 6= 0 является то, что в этом режиме не только обобщенные импульсы ϕ и λ, но и обобщенная координата ξ имеют секулярные по времени решения. Действительно, как легко убедиться непосредственно, уравнение идентификации частиц (11.1.2) в режиме равновесия (16.2.1) имеет решение ξ s = x − tu.

(16.2.4)

Это решение выражает очевидный кинематический смысл, который состоит в том, что жидкая частица, имеющая начальную горизонтальную координату x, на каждом уровне z сносится горизонтально со скоростью u (z). Выпишем теперь условия равновесия для остальных полевых переменных ̺, ϕ, λ. Принимая во внимание (16.2.1) и (16.2.4), из представления Клебша (16.2.2) и канонических уравнений движения для равновесных значений этих переменных получим следующую систему уравнений:    u2 λs = ̺s −u1 , −u2 , ∂z ϕs − t , (16.2.5) 2     ̺s σs 1 Ts ln + − ln = 0, (16.2.6) ̺0 R γ−1 T0

16.2. Неизотермическое равновесие при наличии фонового сдвигового течения

∂t λ3s + ̺s Ts

∂σs = 0, ∂z

∂t ϕs −

u2 γRTs + + gz = 0. 2 γ−1

147 (16.2.7)

При выводе этих соотношений предполагалось, что ̺0 и T0 — равновесные значения соответствующих полей на уровне z = 0 и что σs (0) = 0. Разрешая систему (16.2.5)–(16.2.7), найдем равновесные распределения полей ̺s , σs , ϕs , λs :     Z Z z dz T0 g z dz γR Ts ̺s = ̺0 exp − , σs = g + ln , (16.2.8) Ts R 0 Ts γ−1 T0 0 Ts     γRTs u2 ∂σs ϕs = −t gz + − , λs = −̺s u1 , u2 , t Ts . γ−1 2 ∂z

Переход к новым (штрихованным) каноническим переменным, которые в равновесном режиме удовлетворяют условиям: ̺′s = 0, ϕ′s = 0, ξ ′s = 0, λ′s = 0, можно осуществить с помощью соответствующего преобразования. Согласно (10.3.1), это преобразование задается производящим функционалом Z F = (ϕ′ ̺ + λ′ · ξ ) dx + tG + Q, где функционалы G и Q определяются как !   Z 2 γR (λ′ − ̺u) − λ′2 3 G = ̺ g ξ3 + Ts (ξ3 ) + d x, γ−1 2̺ Z   Q= ̺u · ξ + x · (λ′ − ̺u) dx.

Формулы, по которым преобразуются канонические переменные, находятся в соответствии с (5.1.9) и имеют вид: ! 2 ′ ′2 γR ( λ − ̺ u ) − λ 3 ϕ = ϕ′ − ξ ′ · u − t gξ3 + Ts (ξ3 ) + , γ−1 2̺2   γR ∂Ts (ξ3 ) ′ ′ ξ3 = ξ3 + z, λ3 = λ3 − t̺ g + , γ − 1 ∂ξ3   ′ λi ′ ξi = ξi + x + t − ui , λi = λ′i − ̺ui , (i = 1, 2). ̺ Новый гамильтониан определяется выражением: ′

H = H +G =

Z

π2 + ε (̺, z + ξ3′ ) − g̺ξ3′ − 2̺ 2

γR (λ′ − ̺u) − λ′2 3 − ̺Ts (z + ξ3′ ) − γ−1 2̺

!

dx, (16.2.9)

где для плотности внутренней энергии ε и импульса π справедливы выражения:

148

Глава 16. Небаротропные модели стратифицированных течений

ε=

̺0 T0 R γ−1



Ts (ξ3 ) ̺ T0 ̺0

γ

  Z g ξ3 dz exp (γ − 1) , R 0 Ts (z)

π = ̺u − λ′ + ̺∇ϕ′ − ̺ξi′ ∇ui − λ′i ∇ξi′ .

(16.2.10) (16.2.11)

Установим теперь некоторые частные следствия, вытекающие из общей формулировки (16.2.9)–(16.2.11) при определенных модельных упрощениях, которые довольно часто встречаются на практике.

§ 16.3. Однородное фоновое течение Прежде всего, откажемся от фактора сдвига, т. е. будем полагать, что фоновое течение имеет постоянную скорость u = const. Заметим, что, так как наличие постоянной скорости можно убрать галилеевым преобразованием, перейдя в систему координат, движущуюся относительно исходной с той же скоростью, без ограничения общности можно считать u = 0. В этом случае, как легко видеть, λ′i (i = 1, 2) удовлетворяют уравнениям

∂t λ′i = −

δH ′ = −∇ · (v λ′i ) , δξi′

(16.3.1)

из которых следует лагранжевость величин λ′i /̺, что при условии λ′is = 0, означает2 : λ′i ≡ 0. Таким образом, для подобного рода моделей в описании остаются только две пары канонических переменных (̺, ϕ′ ) и (ξ3′ , λ′3 ), и формулы (16.2.9), (16.2.11) принимают более простой вид:  Z  2 π γR ′ ′ ′ ′ H = + ε (̺, z + ξ3 ) − ̺gξ3 − ̺Ts (z + ξ3 ) dx, 2̺ γ−1 π = −λ′3 n + ̺∇ϕ′ − λ′3 ∇ξ3′ ,

где n — вертикальный единичный вектор.

§ 16.4. Модели с вертикальным профилем скорости Еще одно полезное следствие получим, рассматривая модели с постоянным по направлению, но переменным по высоте фоновым течением u = eu (z), где e = (e1 , e2 ) — постоянный единичный вектор в горизонтальной плоскости, означающий, что равновесный поток не меняет направления с высотой z . Учитывая, что переменные λ′i (i = 1, 2) удовлетворяют уравнениям

∂t λ′i = −

δH ′ = ̺ (v · ∇) ui − ∇ · (v λ′i ) , δξi′

легко показать, что для таких течений величина

2

̺−1 n · (e × λ′ ) = ̺−1 (e1 λ′2 − e2 λ′1 ) См. формулу (16.2.3) и замечания к ней на с. 146.

16.4. Модели с вертикальным профилем скорости

149

(здесь n = (0, 0, 1) — вертикальный единичный вектор) оказывается лагранжевой характеристикой. Поэтому, если в состоянии равновесия ̺−1 n · (e × λ′ ) ≡ 0, эта величина остается такой же для всех других состояний, полученных в результате эволюции из состояния равновесия. Следовательно,

λ′ i = ei λ,

(16.4.1)

где для функции λ справедливо соотношение

 1/2 2 2 λ = λ′ 1 + λ′ 2 .

Соотношение (16.4.1) можно интерпретировать как точечное каноническое преобразование от двух канонических импульсов λ′1 и λ′2 к одному новому λ. Согласно § 5.2, соответствующий производящий функционал для такого преобразования определяется выражением Z F = λ (e · ξ ′ ) dx. Тогда новая каноническая координата ξ , сопряженная новому каноническому импульсу λ, находится как δF ξ= = e · ξ′ . δλ Таким образом, движения жидкости описываются только тремя парами канонических переменных (̺, ϕ′ ), (ξ, λ), (ξ3′ , λ′3 ). В терминах этих переменных гамильтониан (16.2.9) и представление Клебша (16.2.11) переформулируются следующим образом:  Z  2 π γR (λ − ̺u)2 ′ ′ ′ ′ H = + ε (̺, z + ξ3 ) − ̺gξ3 − ̺Ts (z + ξ3 ) − d x, 2̺ γ−1 2̺ π = ̺eu − eλ − λ′3 n + ̺∇ϕ′ − ̺ξ ∇u − λ∇ξ − λ′3 ∇ξ3′ .

Глава 17 МОДЕЛИ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ § 17.1. Общий случай Рассмотрим несжимаемую расслоенную жидкость, которая находится в поле сил тяжести с потенциалом χ = gz и в состоянии равновесия характеризуется вертикальными профилями горизонтальной скорости vs = u(z) и плотности ̺s = = ̺0 (z), z — вертикальная координата. Для такой модели интеграл полной энергии, а, следовательно, и гамильтониан, определяется выражением

H =

Z 

 π2 + ̺χ dx, 2̺

(17.1.1)

а представление Клебша для плотности гидродинамического импульса π в соответствии с § 16.2 задается формулой π = ̺∇ϕ − λi ∇ξi .

(17.1.2)

Дополнительным условием, которое определяет специфику введения канонических переменных в такие модели, является условие несжимаемости ∇ · v = 0. Отметим, что в отличие от небаротропной жидкости, рассмотренной в § 16.2, в несжимаемой жидкости плотность ̺ является лагранжевой переменной1 . Поэтому, рассматривая гидродинамическое движение как взаимооднозначное и непрерывное отображение из состояния равновесия, можно написать:2

̺(ξ) = ̺s |z=ξ3 = ̺0 (ξ3 ).

(17.1.3)

Это соотношение подчеркивает, что плотность ̺ зависит только от вертикальной лагранжевой координаты ξ3 . 1 Действительно, поскольку в силу несжимаемости ∇ · v = 0, из условия непрерывности ∂t ̺ + + ∇ · (̺v) = 0 следует, что ∂t ̺ + v · ∇̺ = 0.

Это означает, что ̺ есть функция лагранжевой координаты ξ. 2 Для аргументации см. аналогичную формулу (16.2.3) и замечания к ней на с. 146.

150

151

17.1. Общий случай

Каноническую формулировку уравнений движения несжимаемой расслоенной жидкости можно найти на основании результатов, полученных для сжимаемой жидкости, рассматривая плотность как сумму

̺ = ̺′ + ̺0 ,

(17.1.4)

где ̺′ — «сжимаемая» часть плотности, а ̺0 — «несжимаемая», зависящая в соответствии с (17.1.3) от вертикальной лагранжевой координаты ξ3 . Если соотношение (17.1.4) интерпретировать как каноническое преобразование к новой канонической координате ̺′ , то, по существу, оно означает точечное преобразование типа (5.2.2) с производящим функционалом Z F = (ξ3 λ3 + (̺′ + ̺0 ) ϕ) dx. Это преобразование определяет новые канонические импульсы ϕ′ и λ′3 :

ϕ′ =

δF = ϕ, δ̺′

λ′3 =

δF ∂̺0 = λ3 + ϕ , δξ3 ∂ξ3

оставляя при этом без изменения остальные канонические переменные. В результате, опуская для удобства штрих у новых канонических импульсов ϕ′ , λ′3 , приведем представление Клебша (17.1.2) к виду π = ̺′ ∇ϕ + ∇(̺0 ϕ) − λi ∇ξi .

(17.1.5)

Переход к несжимаемой среде осуществляется с помощью условия ̺′ = 0, которое исключает каноническую переменную ̺′ из описания и равносильно тому, что всюду в гамильтониане (17.1.1) мы полагаем ̺ = ̺0 . Что же касается сопряженной канонической переменной ϕ, то она остается, поскольку в пределе несжимаемой жидкости представление Клебша (17.1.5) приобретает вид π = ∇(̺0 ϕ) − λi ∇ξi . Ее присутствие приводит к тому, что в пределе несжимаемой жидкости из динамического уравнения ∂t ̺′ = δH /δϕ мы получаем связь

δH = ̺0 ∇ · v = 0. δϕ

(17.1.6)

Связь (17.1.6) выражает условие несжимаемости, которое в явном виде можно сформулировать как ∇ · ̺−1 (17.1.7) 0 (∇Φ − λi ∇ξi ) = 0,

где для удобства введено обозначение Φ = ̺0 ϕ. Воспользовавшись этим условием, а именно: разрешив связь (17.1.7) относительно Φ, можно выразить ее через переменные ξi и λi и исключить затем из описания. Возникновение подобного рода связей (возможно, дополненных соответствующими граничными условиями) является типичным моментом при построении канонических переменных для различных моделей несжимаемой жидкости с помощью представления Клебша [26, 35, 37, 228].

152

Глава 17. Модели стратифицированной несжимаемой жидкости

Если известны профили поля скорости u(z) и поля плотности ̺s = ̺0 (z), которые описывают несжимаемую жидкость в режиме равновесия, то равновесные значения канонических переменных находятся стандартным образом. Прежде всего, учтем, что уравнение идентификации частиц, которое следует из канонического уравнения

∂t ξ =

δH = − (v · ∇) ξ , δλ

в этом режиме имеет решение ξ s = x − tu.

(17.1.8)

Далее, используя равенство (17.1.8), из уравнения   δH =0 δξ s легко найти равновесное значение для сопряженной канонической переменной λ: λs = −̺s u − tgz

∂̺s n, ∂z

где n = (0, 0, 1) — единичный вертикальный вектор, а затем из условия несжимаемости получаем равновесное значение для переменной Φ:    Z z u2 u2 ∂̺s − dz . Φs = t ̺s gz + 2 2 ∂z 0 Каноническое преобразование к новым переменным ξ ′ , λ′ , которые в равновесном состоянии удовлетворяют условию ξ ′ = λ′ = 0, осуществим согласно процедуре, описанной в § 10.3, с помощью производящего функционала: Z F = λ′i ξi dx + tG + Q, где функционалы G и Q описываются выражениями:  Z  Z ζ3 ∂̺s (λ′ − ̺0 u)2 − λ′ 23 G =− g z dz + dx, ∂z 2̺0 0 Z   Q=− ̺0 u · (ξ − x) + x · λ′ dx,

(17.1.9) (17.1.10)

которые подобраны так, чтобы выполнялись соотношения

{π , G } = 0,

{π , Q}s = π s .

Отметим, что в (17.1.9), (17.1.10) и далее ̺0 рассматривается как функция ξ3 , определенная согласно правилу (17.1.3), а u, ̺s считаются функциями z .

153

17.2. Несжимаемая жидкость без фонового течения

В результате, пользуясь формулами (5.1.9), получим следующие формулы преобразования к новым переменным:  ′  δF λi δF ′ ξi = − ui , λi = = λ′i − ̺0 ui , (i = 1, 2), ′ = ξi − xi − t δλi ̺0 δξi δF ξ3′ = ′ = ξ3 − z, δλ3   (λ′ − ̺0 u)2 − λ′3 2 δF ∂̺0 ′ ′ ∂̺0 λ3 = = λ3 − u · ξ −t g ξ3 − . δξ3 ∂ξ3 ∂ξ3 2̺20 В новых канонических переменных гамильтониан и представление Клебша задаются формулами: Z  2 π ′ H = H +G = − ̺0 gξ3′ + 2̺0  Z z+ξ′ 3 (λ′ − ̺0 u)2 − λ′3 2 +g ̺s (z)dz − dx, (17.1.11) 2̺0 0 π = ̺0 u + ∇Φ′ − λ′ − ̺0 ξi′ ∇ui − λ′i ∇ξi′ .

(17.1.12)

Переменная Φ′ возникает после замены в результате объединения членов градиентного вида в формуле (17.1.5) под знаком ∇ и исключается с помощью условия несжимаемости (17.1.7), которое в новых переменных дает связь:
−1 ′ ′ ′ ′ ′ ∇ · ̺−1 (17.1.13) 0 ∇Φ = ∇ · ξi ∇ui + ̺0 (λ + λi ∇ξi ) .

§ 17.2. Несжимаемая жидкость без фонового течения

Рассмотрим теперь некоторые практически важные случаи. Самый простой из них u = const, означающий отсутствие сдвига скорости в режиме равновесия, анализируется точно так же, как анализировался он для модели сжимаемой жидкости в § 16.3. В результате для модели несжимаемой неоднородной жидкости в описании остается только одна пара канонически сопряженных переменных (ξ3 , λ′3 ), а выражения (17.1.11)–(17.1.13) принимают более простой вид:  Z  2 Z ξ′ +z 3 π ′ H = − ̺0 gξ3 + g ̺s (z) dz dx, 2̺0 0 π = ∇Φ′ − λ′3 n − λ′3 ∇ξ3′ ,

′ −1 ′ ′ ′ ∇ · ̺−1 0 ∇Φ = ∇ · ̺0 (λ3 n − λ3 ∇ξ3 ) .

Следует отметить, что данная гамильтонова формулировка динамики несжимаемой неоднородной жидкости отличается от аналогичных формулировок, развитых в других работах (см., например, работу [26]), более естественным выбором канонических переменных. Переход от одной к другой связан с точечным

154

Глава 17. Модели стратифицированной несжимаемой жидкости

каноническим преобразованием, в результате которого переменная ξ3 выражается через функцию плотности ̺. Описание в терминах ξ3 оказывается более адекватным и имеет преимущество для моделей с немонотонным профилем ̺s (z), поскольку в этом случае функция ξ3 (̺), обратная к функции ̺ = ̺0 (ξ3 ), не является однозначной. Немонотонный профиль плотности представляет интерес для различных модельных постановок, например, для моделей с расслоенностью в плоскости, перпендикулярной к направлению силы тяжести, или для моделей с отсутствием силы тяжести вообще.

§ 17.3. Модель с фоновым сдвиговым течением Рассмотрим теперь возможность канонической гамильтоновой формулировки для несжимаемой неоднородной жидкости, которая в состоянии равновесия характеризуется плоским профилем скорости u = eu (z), где e = (e1 , e2 ) — постоянный единичный вектор в горизонтальной плоскости — означает постоянство направления скорости фонового течения с высотой z . Редукция канонического описания производится по той же схеме, что и в § 16.4 для модели сжимаемой жидкости. Следуя этой схеме, придем к выводу, что движение описывается только двумя парами канонических переменных (ξ3′ , λ′3 ) и (ξ, λ), в которых переменные ξ , λ определены соотношениями Z δ λ′ = eλ, ξ = λξ ′ · e dx = ξ ′ · e. δλ В терминах этих канонических переменных гамильтониан (17.1.11) и представление Клебша для гидродинамического импульса (17.1.12) переформулируются следующим образом:  Z  2 Z ξ3 +z π (λ − ̺0 u)2 ′ H = − ̺0 gξ3 + g ̺s (z) dz − dx, (17.3.1) 2̺0 2̺0 0 π = ̺0 u + ∇Φ′ − λe − λ′3 n − ̺0 ξ ∇u − λ∇ξ − λ′3 ∇ξ3′ ,

где переменная Φ′ определяется из условия несжимаемости   ′ −1 ′ ′ ′ ∇ · ̺−1 0 ∇Φ = ∇ · ξ ∇u + ̺0 (λe + λ3 n + λ∇ξ + λ3 ∇ξ3 ) .

(17.3.2)

(17.3.3)

Формулировка (17.3.1)–(17.3.3) становится более простой в приближении однородной жидкости, т. е. ̺0 = const. В этом случае в описании динамики жидкости остается только одна пара канонических переменных (ξ, λ). Остальные исключаются в силу соотношения λ′3 ≡ 0, которое следует из лагранжевости переменной λ′3 и условия λ′3s = 0. В конечном счете, полагая без ограничения общности ̺ = 1, придем к следующему результату [37]: Z  1  2 H = π − (λ − u)2 dx, 2 (17.3.4) ′ π = ∇Φ − (λ − u) e − ξ ∇u − λ∇ξ,

∆Φ′ = ∇ · (ξ ∇u + λe + λ∇ξ) .

155

17.4. Плоская однородная модель

§ 17.4. Плоская однородная модель Для плоских двумерных движений, которые совершаются в плоскости (x, z) на фоне стратифицированного по z потока u = (u(z), 0), можно предложить еще один вариант канонической формулировки движений несжимаемой однородной жидкости. Переформулировка модели (17.3.4) достигается, если воспользоваться функцией тока, которая вводится соотношениями

πx − u = −∂z ψ,

πz = ∂x ψ.

Исключив с помощью функции тока ψ из описания переменные π и Φ′ , получим гамильтониан Z
1 H =− ψ∆ψ + λ2 + 2uλ∂x ξ dxdz, 2

и представление Клебша для функции тока ψ

∆ψ = ∂z λ − u′ ∂x ξ + J (ξ, λ) ,

(17.4.1)

где u′ ≡ ∂z u, а J (ξ, λ) — якобиан двух функций, определяемый как

J (ξ, λ) = (∂x ξ) (∂z λ) − (∂z ξ) (∂x λ) .

Уравнения движения для такой модели принимают сравнительно простой вид:

δH = −u∂x ξ + λ + ∂z ψ + J (ξ, ψ) , δλ δH ∂t λ = − = −u∂z λ + u′ ∂x ψ + J (λ, ψ) . δξ ∂t ξ =

(17.4.2)

Если теперь непосредственно продифференцировать по времени представление Клебша для функции тока (17.4.1), легко убедиться, что система канонических уравнений (17.4.2) эквивалентна традиционному уравнению вихря

∂t Ω + J (Ψ, Ω) = 0, где Ω = ∆Ψ — так называемый абсолютный вихрь и Ψ — полная функция тока связаны соотношениями: Z z Ψ =ψ+ u dz, Ω = ∆ψ + u′ .

В заключение параграфа отметим, что при ∂z2 u = 0 реализуется особый класс течений, который характеризуется кусочно-линейным профилем скорости или, другими словами, кусочно-постоянным профилем завихренности Ω . Специфика таких течений, называемых послойными [51], состоит в том, что описание динамики жидкости в силу условия ∆ψ = 0 можно свести к описанию движения границ раздела, на которых претерпевает скачок величина завихренности Ω = = u′ . При этом соответствующие уравнения движения границ — так называемые уравнения контурной динамики — также удается сформулировать в гамильтоновой форме. Более подробно гамильтоновские версии контурной динамики будут обсуждаться в части IV.

Глава 18 КОВАРИАНТНОЕ ОБОБЩЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ Если при выводе и обсуждении основных положений и соотношений гамильтоновского формализма в гидродинамике можно ограничиться декартовыми координатами, то при решении конкретных задач в тех случаях, когда гидродинамические движения обладают определенного типа пространственной симметрией, разумно пользоваться соответствующей системой криволинейных координат. Поэтому необходимо указать способ, позволяющий перейти от гамильтонового описания в декартовых координатах к гамильтоновому описанию в произвольных криволинейных координатах.

§ 18.1. Ковариантная запись кинетической энергии Рассмотрим взаимооднозначное непрерывное преобразование x = x(ζ , t),

(18.1.1)

зависящее, вообще говоря, от времени t и описывающее преобразование от декартовых координат x = (x1 , x2 , x3 ) к криволинейным ζ = (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 ). Как известно [163, 167], с геометрической точки зрения свойства пространства, связанного с криволинейной системой координат, характеризуются ковариантным метрическим тензором ∂x ∂x gik = i · k , ∂ζ ∂ζ либо обратным к нему тензором

g ik =

∂ζ i ∂ζ k · , ∂x ∂x

который в отличие от тензора gik называется контравариантным метрическим тензором и удовлетворяет соотношению gik g kj = δij . Учитывая преобразование (18.1.1), в новых криволинейных координатах ξ представление Клебша для импульса (11.2.1) можно переписать в виде

πi =

∂ζ k (̺∂k ϕ − λl ∂k ξ l ), ∂xi

(18.1.2)

где теперь все полевые переменные, выступающие в роли потенциалов Клебша, являются функциями ζ, t, и соответственно ∂k = ∂/∂ζ k — оператор дифференцирования, означающий частную производную по координате ζ k . 156

18.1. Ковариантная запись кинетической энергии

157

Если ввести обозначение

pk = g 1/2 (̺∂k ϕ − λl ∂k ξ l ), где g — определитель метрического тензора gik (смысл величин pk будет разъяснен ниже), то выражение (18.1.2) записывается в более компактной форме

πi = g −1/2

∂ζ k pk . ∂xi

(18.1.3)

Полученный результат позволяет кинетическую часть гамильтониана гидродинамической системы преобразовать к виду Z 2 Z ik 1 π 1 g pi pk dx = dζ . (18.1.4) 2 ̺ 2 g 1/2 ̺

При выводе (18.1.4) кроме (18.1.3) использовался тот факт, известный из тензорного анализа, что при преобразовании (18.1.1) элемент объема преобразуется по закону dx = g 1/2 dζ = g 1/2 dζ 1 dζ 2 dζ 3 . (18.1.5) Попутно формула (18.1.5) позволяет установить, что величина g 1/2 ̺ имеет смысл плотности в криволинейных координатах. Действительно, если один и тот же элемент жидкости массой dm в x-координатах занимает объем dx и соответственно имеет плотность dm/dx = ̺, то в ζ-координатах, занимая объем dζ = = g −1/2 dx, он будет иметь плотность dm/dζ = g 1/2 ̺. Принимая во внимание последнее обстоятельство и сопоставляя левую и правую части равенства (18.1.4), легко сделать вывод, что величины pk представляют собой ковариантные компоненты гидродинамического импульса в локальном базисе криволинейных координат. Следует отметить, что, если в декарторвых координатах существует весьма простая связь гидродинамического импульса и скорости, то в криволинейных нестационарных координатах эта связь существенно модифицируется. Используя инвариантное определение гидродинамической скорости

uk =

dζ k , dt

(18.1.6)

которое, очевидно, универсально для любых координат, определим так называемые контравариантные компоненты скорости uk в криволинейной системе координат ζ. Полагая в формуле (18.1.6), что ζ k связано с x и t преобразованием, обратным к (18.1.1), найдем ∂ζ k uk = ∂t ζ k + · v, ∂x где v = dx/dt — гидродинамическая скорость в декартовой системе координат. Наконец, учитывая, что v = π /̺, а также (18.1.3), окончательно получим

uk =

dζ k g ki = ∂t ζ k + 1/2 pi . dt g ̺

158

Глава 18. Ковариантное обобщение канонического описания

Это соотношение, с учетом (18.1.4), позволяет выразить гамильтониан (7.2.7) гидродинамической системы в виде Z 1 H = (uk − ∂t ζ k )pk dζ + U . 2

§ 18.2. Ковариантное представление Клебша для плотности импульса Как известно из предыдущих разделов (см. § 5.2), при переходе из декартовой системы координат в криволинейную канонический базис не сохраняется. Однако его легко пересчитать с помощью точечного канонического преобразования. Необходимую процедуру можно осуществить следующим образом. Определим новые канонические переменные ϕ∗ и ξ ∗l , выражая каждую из этих переменных только через одноименную по формулам: Z Z ϕ∗ = ϕδ (x − x(ζ , t)) dx, ξ ∗l = ξ l δ (x − x(ζ , t)) dx, (18.2.1) которые означают просто факт замены переменных (18.1.1). Имея в виду роли, которые играют переменные ϕ и ξ l (ϕ — канонический импульс, а ξ l — канонические координаты в декартовой системе), и рассматривая (18.2.1) как точечное преобразование, согласно § 5.2, можно установить, что этому преобразованию соответствует производящий функционал Z
F = ̺ϕ∗ − λl ξ ∗l δ (x − x(ζ , t)) dxdζ . В результате новые канонические переменные, сопряженные к переменным ϕ∗ и ξ ∗l , и новый гамильтониан гидродинамической системы находятся стандартно по правилам:

δF 1/2 = g ̺ , x=x(ζ,t) δϕ∗ δF λ∗l = ∗l = g 1/2 λl x=x(ζ,t) , δξ Z
1 ∗ uk + ∂t ζ k pk dζ + U . H = H + ∂t F = 2 ̺∗ =

(18.2.2) (18.2.3) (18.2.4)

На основании полученных выше формул в терминах канонических переменных (̺∗ , ϕ∗ ), (ξ l , λ∗l ) для вектора гидродинамической скорости и ковектора импульса имеют место представления:

uk = ∂t ζ k +

g ki pi , ̺∗

pi = ̺∗ ∂i ϕ∗ − λ∗l ∂i ξ ∗l ,

(18.2.5)

которые являются обобщениями представления Клебша (11.2.1) на криволинейные координаты.

18.3. Каноническое описание в лагранжевых координатах

159

Кроме общетеоретического интереса инвариантная формулировка гамильтонова метода описания (18.2.2)–(18.2.5) имеет и прикладное значение. Круг задач, в которых эта формулировка оказывается полезной, достаточно обширен. К ним, например, относятся задачи, связанные с изучением движений среды, развивающихся на фоне заданного (основного) режима течения. Такие движения обычно рассматриваются как возмущения основного течения, и их удобно изучать в движущейся системе координат, которая «вморожена» в жидкость так, что в каждой точке (локально) в основном режиме жидкость покоится. Последнее обстоятельство определяет следующий выбор криволинейных координат:

ζ i = ξsi (x, t), где ξsi — лагранжевы координаты частиц жидкости в основном режиме течения.

§ 18.3. Каноническое описание в лагранжевых координатах Перейдем теперь к формулировке канонического гамильтонового описания в лагранжевых координатах. Математическая специфика такого перехода состоит в том, что преобразование (18.1.1) воспроизводит теперь закон движения жидкости, т. е. функция x(ζ , t) определяет собой взаимооднозначное непрерывное отображение, которое в соответствии с уравнениями движения переводит каждую частицу жидкости из одного места ζ, где она была в начальный момент, в другое место x, в котором она окажется в момент времени t. Переход от канонических переменных (̺, ϕ) и (λl , ξ l ), в терминах которых формулируется гамильтоново описание в декартовой системе координат, к новому каноническому базису, в котором в качестве канонической координаты выступает переменная x(ζ , t), осуществим как результат точечного преобразования с производящим функционалом Z   l F = ̺′ ϕ′ − λ′l ξ ′ dx′ , (18.3.1) где штрих у полевой переменной означает зависимость от штрихованного аргумента x′ . Тогда компоненты нового канонического импульса, сопряженного к компонентам xk (ζ , t), находятся по формуле:

βk (ζ , t) =

δF . δxk (ζ , t)

(18.3.2)

Следует иметь в виду, что при выполнении операции δ/δxk по отношению к функционалу (18.3.1) старые канонические переменные ̺′ и λ′l считаются фиксированными функциями так, что по xk (ζ , t) варьируются только полевые переменные ϕ′ и ξ ′ l . В результате формула (18.3.2) перепишется следующим образом ! Z ′ ′l ′ δϕ ′ δξ βk ( ζ ) = ̺ k − λl k dx′ . (18.3.3) δx (ζ ) δx (ζ )

160

Глава 18. Ковариантное обобщение канонического описания

Фигурирующие здесь вариационные производные следует интерпретировать в свете существования у полей ϕ′ и ξ ′ l соответствующей функциональной зависимости, которая возникает из-за того, что координата x′ этих полей рассматривается как результат отображения ζ ′ → x′ по закону (18.1.1), т. е. x′ = x (ζ ′ , t) .

(18.3.4)

Согласно правилам вариационного исчисления (см. § 1.2) для любого поля f (x′ ), аргумент x′ которого удовлетворяет условию (18.3.4), будем иметь

δf (x′ ) δf [x(ζ ′ )] ∂f (x′ ) = = δ(ζ ′ − ζ ). k ′ δxk (ζ ) δxk (ζ ) ∂x Принимая во внимание (18.3.3) и (18.1.5), из 18.3.3) найдем, что
1/2 l 1/2 βk ( ζ ) = g ̺∂k ϕ − λl ∂k ξ = g πk . x=x(ζ, t) x=x(ζ, t)

Таким образом, при гамильтоновом описании гидродинамических систем в терминах динамических переменных xk (ζ , t), βk (ζ , t), которые, как легко видеть, имеют прямой смысл соответственно физической координаты и импульса жидкой частицы, полностью восстанавливается аналогия жидкости с системой дискретных частиц, с той лишь разницей, что роль индекса, перечисляющего частицы, играет непрерывный параметр ζ. В заключение приведем выражение для гамильтониана и уравнения движения. Принимая во внимание, что производящий функционал (18.3.1) (при фиксированных канонических переменных) не зависит от времени (∂t F = 0), получим Z 2 1 βk ∗ H =H = dζ + U , 2 ̺∗ где ̺∗ — плотность жидкости в лагранжевых координатах. Как известно [122, 163, 166], плотность ̺∗ не зависит от времени и является функцией только лагранжевой координаты ζ. Что же касается уравнений движений, то они, очевидно, имеют вид:

∂t xi =

δH ∗ βi = ∗, δβi ̺

∂t βi = −

δH ∗ δU =− . δxi δxi

Глава 19 КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ДЛЯ 2D-МОДЕЛЕЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ § 19.1. Неплоские двумерные модели несжимаемой жидкости В случае общего положения неплоская двумерная гидродинамика изучает движения жидкости, расслоенные по неподвижным (стационарным) поверхностям, которые фиксируют движения жидких частиц. Частным случаем таких течений являются, например, плоские, сферические или осесимметричные. В зависимости от геометрии, связанной с пространственной симметрией задачи, двумерные движения жидкости естественно изучать в соответствующей системе криволинейных ортогональных координат ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 , которая, как схематически показано на рис. 19.1, обладает следующими свойствами.

ζ3 ζ2

Рис. 19.1. К использованию системы ортогональных криволинейных координат для двумерного описания трехмерных движений жидкости

ζ1

Координатные линии ζ 3 ортогональны к жидким поверхностям ζ 3 = const так, что координата ζ 3 играет роль непрерывного параметра, идентифицирующего эти поверхности. Остальные две координаты ζ 1 и ζ 2 образуют на каждой такой поверхности систему криволинейных ортогональных координат, которые и описывают движение жидкости. Метрический тензор gik , характеризующий геометрические свойства пространства, связанного с данной системой координат, 161

162

Глава 19. Канонические переменные для 2D-моделей

имеет диагональную форму с компонентами g11 , g22 , g33 , а его определитель g = = g11 g22 g33 отличен от нуля. Опираясь на результаты, полученные в предыдущей главе, исходные положения гамильтонового описания двумерной гидродинамики в такой системе координат можно записать следующим образом:

1R α u pα dζ 1 dζ 2 + U [̺], 2 pα = ̺∗ ∂α ϕ∗ − λ∗β ∂α ξ ∗β ,

H =

(19.1.1)

где pα и uα — компоненты соответственно ковектора гидродинамического импульса и вектора гидродинамической скорости, связанные соотношением

pα = ̺∗ gαβ uβ , а (̺∗ , ϕ∗ ) и (λ∗ , ξ ∗ ) — канонически сопряженные пары переменных. Отметим, что греческие индексы, нумерующие векторные и тензорные величины, пробегают значения 1, 2, а плотности жидкости ̺∗ , ̺ в криволинейной и декартовой системах координат связаны между собой как

̺∗ = g 1/2 ̺. В рамках описания (19.1.1) модель несжимаемой неоднородной жидкости реализуется при условии ̺ = ̺(ζ 3 ), т. е., если жидкие поверхности являются поверхностями равной плотности. В этом случае, как и для плоских моделей (см. § 17.3), потенциальная часть гамильтониана исключается потому, что δU = 0, а ϕ∗ исключается с помощью условия несжимаемости   ∂α g 1/2 uα = 0. (19.1.2) Условие (19.1.2) позволяет ввести функцию тока Ψ

uα = −g −1/2 eαβ ∂β Ψ,

(19.1.3)

где eαβ — антисимметричный единичный тензор второго ранга (eαβ = eαβ = 1, если αβ = 1 2; eαβ = eαβ = −1, если αβ = 2 1; и eαβ = eαβ = 0, если любые два индекса равны). С помощью соотношения (19.1.3) гамильтониан H можно преобразовать к виду: Z Z ̺ ̺ H = g 1/2 uα uα dζ 1 dζ 2 = − g 1/2 Ψ Ω dζ 1 dζ 2 , 2 2

Ω = g −1/2 eαβ ∂α uβ = ∆Ψ.

Здесь величина Ω является обобщением понятия вихря на неплоские двумерные течения, uβ — ковариантные компоненты гидродинамической скорости uβ = = gβα uα , а ∆ — двумерный оператор Лапласа   ∆ = g −1/2 ∂1 g22 g −1/2 ∂1 + ∂2 g11 g −1/2 ∂2 .

19.1. Неплоские двумерные модели несжимаемой жидкости

163

Отметим, что плотность ̺ как фиксированную функцию ζ 3 можно исключить из описания с помощью неунивалентного канонического преобразования:

˜ α = λ∗ /̺, λ α

ξ˜α = ξ ∗α ,

H˜ = H /̺.

Принимая во внимание последнее замечание, сформулируем гамильтоново ˜α : описание на каноническом базисе ξ˜α , λ Z 1 ˜ (19.1.4) H =− g 1/2 Ψ Ω dζ 1 dζ 2 , 2   ˜β , Ω = ∆Ψ = g −1/2 J ξ˜β , g −1/2 λ (19.1.5) где величина J (a, b) = (∂1 a∂2 b − ∂2 a∂1 b) — якобиан. Соотношение (19.1.5) играет двоякую роль. С одной стороны, оно устанавливает взаимное соответствие между Ψ и Ω , а с другой — задает представление Клебша для Ω , выражая поле вихря через канонические переменные. Как легко убедиться непосредственно, канонические уравнения двумерной несжимаемой гидродинамики:

  δ H˜ ∂t ξ˜β = = g −1/2 J ξ˜β , Ψ , ˜β δλ   ˜ ˜ β = − δ H = J Ψ, g −1/2 λ ˜β ∂t λ δ ξ˜β

эквивалентны уравнению эволюции вихря для неплоского двумерного движения несжимаемой жидкости

∂t Ω + g −1/2 J (Ψ, Ω) = 0.

(19.1.6)

Можно показать, что описание (19.1.6) в терминах завихренности также представляет гамильтонову, но неканоническую систему, динамика которой разворачивается на фазовом пространстве, состоящем из одной единственной полевой переменной Ω , и определяется скобкой Пуассона {Ω, Ω ′}. Действительно, Z 1/2 1 2 ˜ ∂t Ω = {Ω, H } = − g ′ Ψ ′ {Ω, Ω ′} dζ ′ dζ ′ . Скобку Пуассона {Ω, Ω ′} легко вычислить, например, используя для этого представление Клебша для вихря (19.1.5): ′

{Ω, Ω } =

Z 

δΩ δΩ ′ δΩ δΩ ′ − α ˜ ′′ ˜ ′′ δ ξ˜′′ α δλ δ ξ˜′′ δ λ α α



1

2

dζ ′′ dζ ′′ = = g −1/2 J (g −1/2δ(ζ − ζ ′ ), Ω).

(19.1.7)

164

Глава 19. Канонические переменные для 2D-моделей

§ 19.2. Несжимаемая жидкость на вращающейся сфере В качестве иллюстрации полученные результаты используем для канонического гамильтонового описания движений жидкости (например, волн Россби) на вращающейся с угловой скоростью ω сфере. В данном случае, учитывая симметрию задачи, естественно воспользоваться сферической системой координат ζ 1 = ϑ, ζ 2 = φ, ζ 3 = r , полагая, что r — радиус сферы, а ϑ и φ — соответственно широта и долгота (рис. 19.2). ω

ϑ r Рис. 19.2. Система координат r, ϑ, φ для модели жидкости на вращающейся сфере

0 φ

Твердотельное вращение жидкости с угловой скоростью ω можно представить как фоновое течение, в котором лагранжевы координаты жидких частиц изменяются по закону ξ˜sα = ζ α − uαs t, где uαs — компоненты скорости течения — имеют значения u1s = 0, u2s = ω . Соответствующие равновесные значения остальных переменных, определяющих динамику, находятся из условий равновесия подобно тому, как это делалось для плоских моделей в предыдущих разделах. В результате будем иметь:

˜ 1s = 0, λ

˜ 2s = −r 4 ω sin3 ϑ, λ

Ψs = −r 2 ω cos ϑ,

Ωs = 2ω cos ϑ.

˜ 1 из условия λ ˜ 1s = 0 следует, что λ ˜ 1 ≡ 0, В силу лагранжевости переменной λ 1 ˜ ˜ и, таким образом, пара канонических переменных (ξ , λ1 ) исключается из гамильтонового описания рассматриваемой модели. Чтобы описывать движение жидкости как возмущения на фоне стационарного течения, симулирующего твердотельное вращение сферы, во-первых, перейдем в сопутствующую (вращающуюся) систему координат, где новая долгота φ′ и старая связаны φ соотношением φ′ = φ − ωt,

165

19.3. Гидродинамические модели точечных вихрей

а во-вторых, переформулируем описание в терминах переменных:

ψ=r

ξ = ξ˜2 − ξ˜s2 ,

−2

(Ψ − Ψs ) ,

˜2 − λ ˜ 2s , λ=λ

∆ψ = r

−2

(19.2.1)

(Ω − Ωs ) ,

которые имеют смысл отклонений от своих равновесных значений. Так как якобиан преобразования (19.2.1) равен единице, динамические переменные (ξ, λ) останутся по-прежнему каноническими. За счет нестационарности преобразования изменится лишь гамильтониан, а именно: в соответствии с (18.2.4) будем иметь: Z Z ∂ψ 1 2 ′ 4 ˜ H = H − ωr sin ϑ dϑdφ = − g 1/2 ψ∆ψ dϑdφ′ , ∂ϑ 2    ∂ξ ∂  ∆ψ = g 1/2 2ω ′ cos ϑ − ′ g −1/2 λ + J ξ, g −1/2 λ , ∂φ ∂ϑ где g 1/2 = sin ϑ и

  ∂ ∂ ∂2 −1 −2 ∆ = sin ϑ sin ϑ + sin ϑ ′ 2 . ∂ϑ ∂ϑ ∂φ Канонические уравнения движения в этом случае принимают вид:

δH ∂ψ = −g −1/2 + g −1/2 J (ξ, ψ), δλ ∂ϑ δH ∂ψ ∂t λ = − = g 1/2 2ω ′ cos ϑ + J (ψ, g −1/2 λ) δξ ∂φ ∂t ξ =

и эквивалентны уравнению

∂t ∆ψ + 2ω

∂ψ − g −1/2 J (∆ψ, ψ) = 0, ∂φ′

которое в геофизической гидродинамике используется для анализа планетарных бездивергентных волн Россби.

§ 19.3. Гидродинамические модели точечных вихрей До сих пор при рассмотрении в рамках метода гамильтоновского формализма различных гидродинамических моделей мы исходили из минимального (редуцированного) представления Клебша (11.2.1). Однако в некоторых случаях использование одного из вариантов расширенного представления Клебша может оказаться более целесообразным. Примером такого рода являются двумерные модели, допускающие существование сингулярных точечных вихрей1 , уравнения 1 Тем, кто желает познакомится подробнее с различными аспектами динамики точечных (сингулярных) вихрей и приложениями моделей сингулярных вихрей в механике и геофизической гидродинамике, можно рекомендовать более специальную литературу [14, 15, 56, 57] (см. также приведенные там ссылки).

166

Глава 19. Канонические переменные для 2D-моделей

движения которых можно записать в канонической форме уравнений Гамильтона. И хотя в принципиальном отношении факт канонической записи уравнений движения точечных вихрей никакой новизны не представляет [119, 132, 164, 192, 271], вывод его с помощью канонических преобразований из первых принципов имеет методический интерес. Расширенный вариант представления Клебша можно было ввести с самого начала, если каноническую версию двумерной гидродинамики, изложенную в § 19.1, обобщить в духе § 8.4 путем простого увеличения числа пар канонических переменных ξ˜i , β˜i , полагая при этом, что индекс i, осуществляющий нумерацию этих полей, пробегает значения 1, 2, ...N . Нетрудно убедиться, что все последующие результаты, в том числе и соотношения (19.1.4), (19.1.5), остаются в силе. Рассмотрим теперь в рамках модифицированной таким образом гамильтоновой формулировки эволюцию системы, состоящей из N сингулярных (точечных) вихрей. Иначе говоря, будем предполагать, что поле Ω характеризуется следующим распределением завихренности X Ω = g −1/2 κi δ (ζ − ζ i (t)) , (19.3.1) Неплоские модели точечных вихрей

i

где κi — не зависящие от времени интенсивности вихрей, а ζ i — зависящие от
времени их координаты ζ i = ζi1 (t) , ζi2 (t) . Кроме того, в связи с тем, что по ходу изложения предвидится появление выражений, в которых наличие повторяющегося индекса не подразумевает суммирование, во избежание недоразумений, P временно (до конца раздела) суммирование будем обозначать знаком . Анализируя (19.1.5) с учетом (19.3.1), легко заметить, что необходимое распределение завихренности реализуется, если потенциалы Клебша, фигурирующие в правой части (19.1.5), выбрать в виде:

˜ i = g 1/2 bi θ ζ 2 − ζ 2 , ξ˜i = ai θ ζ 1 − ζi1 , λ (19.3.2) i где ai и bi — не зависящие от времени параметры, удовлетворяющие условию

ai bi = κi . Соотношения (19.3.2) можно трактовать как переход из описания динамики ˜ i к описанию динамики в фазовом пространсистемы в каноническом базисе ξ˜i , λ α стве ζi (t) (α = 1, 2). Причем, с точки зрения гамильтоновского формализма, эволюция системы в терминах переменных ζiα задается полным набором скобок Пуассона {ζiα , ζjβ }, которые можно вычислить, если воспользоваться соотношениями: Z 1 1 2 ˜ ′ } dζ 1 dζ ′ 2 , {ζi , ζj } = g ′−1/2 {ξ˜i , λ j ai bj Z 1 j 2 1 1 {ζi , ζj } = {ξ˜i , ξ˜′ } dζ 1 dζ ′ , (19.3.3) ai aj Z 1 −1/2 ˜ ˜ ′ 2 {ζi2 , ζj2 } = (gg ′ ) {λi , λj } dζ 2 dζ ′ , bi bj которые следуют непосредственно из (19.3.2).

167

19.3. Гидродинамические модели точечных вихрей

Подставляя под знаки интегралов (19.3.3) условия каноничности для перемен˜i: ных ξ˜i , λ j {ξ˜i , ξ˜′ } = 0,

˜ ′ } = δij δ (ζ − ζ ′ ) , {ξ˜i , λ j

˜i, λ ˜ ′ } = 0, {λ j

получим −1/2

{ζiα , ζjβ } = κ−1 i gi

δij eαβ ,

где gi = g(ζ = ζ i (t)). Таким образом, в терминах переменных ζiα динамика системы точечных вихрей будет описываться уравнениями

˜ −1/2 αβ ∂ H ∂t ζiα = {ζiα , H˜ } = κ−1 e , i gi β ∂ζi где для замкнутости формулировки гамильтониан H˜ , который определяется интегралом (19.1.4), необходимо выразить в терминах ζiα . Чтобы решить эту задачу, определим функцию Грина G(ζ , ζ ′ ) как функцию двух переменных, которая удовлетворяет уравнению

g 1/2 ∆G(ζ , ζ ′ ) = δ(ζ − ζ ′ ).

(19.3.4)

Функция Грина позволяет выразить Ψ через Ω с помощью соотношения Z Ψ= g ′1/2 G(ζ , ζ ′ )Ω ′ dζ ′ и переписать (19.1.4) в виде

1 H˜ = − 2

Z

Ω Ω ′ (gg ′ )1/2 G(ζ , ζ ′ ) dζ dζ ′ .

(19.3.5)

Окончательное выражение для H˜ через неявную функцию Грина получим, подставляя (19.3.1) в (19.3.5),

1 H˜ = − 2

X

κi κj G(ζ i , ζ j ).

(19.3.6)

i,j

Выражение (19.3.6), полученное для гамильтониана взаимодействия точечных вихрей, однако, страдает тем недостатком, что имеет неопределенность. Эта неопределенность возникает из-за обращения в бесконечность членов ряда (19.3.6) при i = j , описывающих собственную энергию точечных вихрей. Совершенно очевидно, что только в том случае, когда характер этих бесконечностей не зависит от местоположения вихрей, члены, соответствующие бесконечной энергии самодействия, никак не сказываются на эволюции вихрей и могут быть исключены из гамильтониана (19.3.6) без последствий. Регуляризация гамильтониана

168

Глава 19. Канонические переменные для 2D-моделей

Математическая природа этих бесконечностей универсальна и обусловлена тем, что при |ζ − ζ ′ | → 0 функция Грина, удовлетворяющая уравнению (19.3.4), описывается асимптотическим выражением:

g33 1/2 ln r (ζ , ζ ′ ) , 2π
2
2 ζ 1 − ζ ′2 + g22 ζ 2 − ζ ′2 ,

G= 2

r = g11

(19.3.7)

которое имеет логарифмическую расходимость при ζ → ζ ′ . Так как указанная расходимость проявляется только в приближении точечных вихрей, когда распределение завихренности задается при помощи дельтафункций, следует рассмотреть конечные вихревые объекты, для которых этой проблемы не возникает. Будем считать, что распределение завихренности вблизи вихревого центра ζ i i-того вихря определяется локальной радиально-симметричной функцией κi Ωi = g −1/2 2 θ (ε − r (ζ i , ζ )) , πε которая в пределе, когда размер вихря ε → 0, воспроизводит сингулярное распределение Ωi = g −1/2 κi δ (ζ − ζ i ) для завихренности точечного вихря. Поскольку проблема расходимости связана с собственной энергией вихрей, оценим интеграл самодействия Z 1 ˜ Hi = − Ωi Ωi′ (gg ′ )1/2 G(ζ , ζ ′ ) dζ dζ ′ . 2

Принимая во внимание локальный характер распределения Ω и используя асимптотическое представление для функции Грина (19.3.7), можно показать, что   κ2i 1 1/2 ˜ Hi = − ln ε − g33 + O(ε). 4π 2 ζ = ζi

Как легко заметить, эффект самодействия отсутствует (по крайней мере, в главном порядке по ε), если ∂g33 /∂ζ α = 0. Строго говоря, именно при этом условии оправдана процедура регуляризации гамильтониана в приближении точечных вихрей, основанная на отбрасывании обращающихся в бесконечность членов ряда (19.3.6). В качестве примера системы криволинейных координат, удовлетворяющих этому требованию, могут служить сферические координаты. Отметим, что различные аспекты эволюции точечных вихрей на сфере изучались в многочисленных работах (см., например, [11, 12, 14, 54, 182, 235, 265, 284], а также ссылки в этих работах).

Глава 20 КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ § 20.1. Квазигеострофические модели геофизической гидродинамики Одна из ключевых особенностей геофизической гидродинамики состоит в специфике тех приближений, с помощью которых для описания крупномасштабных движений атмосферы и океана из точных невязких уравнений гидродинамики получают упрощенные модели, учитывающие такие существенные черты, как влияние стратификации, вращения и сферичности. Как известно (см., например, [68, 147]), эффекты вращения определяются параметром Кориолиса f = 2ω0 sin ϑ (где ω0 — угловая скорость вращения Земли, а ϑ — широта), стратификации — ускорением силы тяжести g, а сферичности — радиусом Земли a. В этом случае, руководствуясь соображениями размерности, движение жидкости можно охарактеризовать четырьмя безразмерными параметрами1 : ω0 U D f 2 L2 L f ε= , δ= , F = , ν= , fL L gD a L β -plane где U — характерное значение горизонтальной a скорости, а L и D — характерные пространϑ D ственные масштабы — горизонтальный и вертикальный, соответственно. Приближение крупномасштабности, известное в геофизической гидродинамике как квазигеострофическое приближение, — это область значений U , L, D , в которой все четыре параметра достаточно малы так, что по ним можно развить соответствующую теорию возмущений. Физически квазигеострофическое приближение подразумевает, что мы рассматриваем достаточно малый участок тонкого сферического слоя в окрестности точки, лежащей на широте ϑ (рис. 20.1).

0

Рис. 20.1. Иллюстрация концепции β-плоскости и схема размещения характерных масштабов и параметров, значимых для квазигеострофического приближения

1 Безразмерный параметр ε, который представляет собой отношение адвективного ускорения к ускорению Кориолиса, называют числом Россби.

169

170

Глава 20. Канонические переменные для моделей геофизической гидродинамики

Локально, относительно внешнего наблюдателя, этот слой можно рассматривать как плоский. Тогда крупномасштабные движения в этом слое удобно изучать в декартовых координатах (x, y, z), которые вращаются вместе с ним с угловой скоростью f и ориентированы таким образом, что z — вертикальная координата в слое, а x и y — горизонтальные оси, направленные соответственно на восток и север. Отметим, что в этом случае величина f представляет собой z -компоненту угловой скорости вращения Земли ω 0 . Несмотря на относительное изменение величин ε, δ , F , ν от модели к модели, замечательным следствием квазигеострофического приближения является то, что динамика жидкости описывается универсальным образом в терминах потенциального вихря Ω и функции тока Ψ уравнением

∂t Ω + J (Ψ, Ω) = 0,

(20.1.1)

где J (Ψ, Ω) = (∂x Ψ ) ∂y Ω − (∂y Ψ ) ∂x Ω — якобиан. Уравнение (20.1.1) называется уравнением сохранения квазигеострофического потенциального вихря [68, 147]. Вся конкретная специфика, связанная с выбором модели, проявляется в характере взаимозависимости потенциального вихря Ω и функции тока Ψ . В достаточно общем виде эту зависимость можно отразить формулой:

ˆ + βy, Ω = LΨ

β=

2ω0 cos ϑ, a

(20.1.2)

ˆ — линейный оператор, обладающий свойством где L ˆ + ̺s Ψ = ̺s LΨ. ˆ L

(20.1.3)

Знак «+» означает эрмитово сопряжение, а ̺s (z) — вертикальное равновесное распределение плотности. Кроме того, в формуле (20.1.2) линейное по y слагаемое учитывает в первом приближении эффект сферичности (β -эффект), т. е. изменение параметра Кориолиса с широтой ϑ. Необходимо отметить, что даже в тех случаях, когда уравнение (20.1.2) являˆ ется трехмерным дифференциальным уравнением в частных производных, т. е. L и Ψ зависят от всех трех пространственных переменных x, y, z , движение жидкости, по существу, имеет двумерный характер. Действительно, как легко видеть, на каждом уровне z якобиан

J (Ψ, Ω) = (∂x Ψ ) ∂y Ω − (∂y Ψ ) ∂x Ω

описывает адвективный перенос квазигеострофического потенциального вихря Ω в горизонтальной плоскости x, y с компонентами скорости:

v1 = −∂y Ψ,

v2 = ∂x Ψ.

Уравнения (20.1.1), (20.1.2) представляют собой замкнутую систему, позволяˆ и профиль ̺s (z), явный ющую рассчитывать движение, если заданы оператор L вид которых определяется выбором модели. При этом можно показать, что уравнение движения (20.1.1) сохраняет интеграл: Z Z 1 1 ˆ H=− ̺s Ψ LΨ dx = − ̺s Ψ (Ω − βy) dx, (20.1.4) 2 2

20.1. Квазигеострофические модели геофизической гидродинамики

171

который представляет собой полную энергию квазигеострофического движения жидкости. Перечислим основные квазигеострофические модели атмосферы и океана, использующиеся в геофизической гидродинамике. Аккуратный вывод и подробное обсуждение этих моделей содержится в [68, 147, 148]. По-видимому, простейшей моделью геофизической гидродинамики является горизонтально бездивергентная модель, описывающая движение однородной несжимаемой жидкости в горизонтальном слое с твердыми границами с учетом β -эффекта. Для такой модели

ˆ = ∆ = ∂2 + ∂2, L x y

̺s = const .

Отказ от условия твердой крышки на верхней границе приводит к так называемой баротропной модели, в которой учитывается эффективная двумерная сжимаемость за счет вертикальных смещений свободной поверхности. В этом случае ˆ = ∆ − 1 , ̺s = const, L r2 где r = (gD)1/2 /f — радиус деформации Россби для слоя глубиной D . Отметим, что в однородной жидкости в отличие от неоднородной можно не требовать выполнения условия r ≫ L или F = (L/r)2 ≪ 1, так как отсутствует необходимость в упрощении уравнения неразрывности. Следующей по сложности является бароклинная модель атмосферы, учитыˆ имеет вающая эффект стратификации. Соответствующий этой модели оператор L вид ˆ = ∆ − 1 ∂z ̺s ∂z , L (20.1.5) ̺s S где S — параметр стратификации — определяется выражением

S = N 2 /f 2 ,

(20.1.6)

а N — частота Брента—Вяйсяля — выражается формулой

N 2 = g∂z ln θs

(20.1.7)

через равновесное распределение потенциальной температуры θs . Иногда для частоты N полезно иметь выражение в терминах равновесных распределений плотности ̺s и обычной температуры T . Такие выражения легко вывести, если воспользоваться формулами (16.2.8), связывающими равновесные распределения энтропии, плотности и температуры в приближении адиабатической атмосферы, и учесть, что связь потенциальной температуры θ с удельной энтропией σ определяется соотношением   γ−1 θ = exp σ , (20.1.8) γR где γ , R — газовые постоянные.

172

Глава 20. Канонические переменные для моделей геофизической гидродинамики

ˆ можно поВ случае стратифицированного по плотности океана оператор L лучить из (20.1.5) и (20.1.6) предельным переходом γ → ∞, означающим пренебрежение сжимаемостью, одновременно полагая, что равновесное распределение плотности ̺s слабо изменяется с высотой и мало отличается от постоянного значения ̺0 , принимаемого на поверхности. В силу этого факта справедливо приближение Буссинеска [51], в соответствии с которым для вычисления частоты N следует полагать ̺s = ̺0 = const всюду, кроме формулы (20.1.7). ˆ получим выражение В результате для оператора L ˆ = ∆ − ∂z S −1 ∂z . L

В этом выражении параметр стратификации S , как и прежде, определяется формулой (20.1.6), где частота N должна вычисляться в приближении Буссинеска. При выполнении этих вычислений следует иметь в виду, что, в соответствии с (16.2.6) и (20.1.8), в пределе γ → ∞ имеет место равенство

θs = ̺0 /̺s .

(20.1.9)

Подстановка (20.1.9) в (20.1.7) приводит к соотношению

N 2 = −g∂z (ln ̺s ),

которое в приближении Буссинеска дает N 2 = −g̺−1 0 ∂z ̺s .

§ 20.2. Канонические переменные для непрерывных квазигеострофических моделей Уравнение эволюции (20.1.1) для квазигеострофического потенциального вихря имеет скрытую гамильтоновую структуру, которую можно выявить непосредственно, воспользовавшись стандартной процедурой, описанной в главе 13. С этой целью выразим величину ∂t Ω через скобку Пуассона. Принимая интеграл полной энергии (20.1.4) в качестве гамильтониана и учитывая свойство (20.1.3) при интегрировании по частям, найдем Z ∂t Ω = {Ω, H} = − ̺′s Ψ ′ {Ω, Ω ′} dx′ . (20.2.1)

Здесь и далее штрих означает зависимость соответствующих величин от штрихованной пространственной координаты x′ = (x′ , y ′ , z ′ ). Воспользовавшись (20.2.1), исключим ∂t Ω из уравнения (20.1.1), а затем внесем якобиан под знак интеграла с помощью трехмерной дельта-функции. В итоге после перегруппировки членов под знаком интеграла получим Z   Ψ ′ J (δ (x − x′ ) , Ω) − ̺′s {Ω, Ω ′ } dx′ = 0. (20.2.2) Очевидно, равенство (20.2.2) будет выполнено для любых Ψ , если выражение, стоящее в круглой скобке, тождественно обращается в нуль. Таким образом, скобка Пуассона для потенциальной завихренности задается выражением −1

{Ω, Ω ′} = ̺′ s J (δ (x − x′ ) , Ω) .

(20.2.3)

20.2. Канонические переменные для непрерывных квазигеострофических моделей

173

Легко убедиться непосредственно, что скобка (20.2.3) удовлетворяет всем требованиям (2.2.3) и (2.2.4), необходимым для скобок Пуассона. Поскольку после замены Ω на Ω/̺s скобка (20.2.3) совпадает со скобкой (19.1.7), представление Клебша для квазигеострофического потенциального вихря, нормированного на равновесную плотность ̺s , совпадает с представлением Клебша (19.1.5) для обычной завихренности. Ограничиваясь только одной парой канонических переменных ξ , λ, в плоском случае, когда g −1/2 = 1, из (19.1.5) получим

ˆ + βy = ̺−1 J (ξ, λ) . Ω = LΨ s

(20.2.4)

Переменные ξ , λ, составляющие канонический базис, имеют смысл соответственно канонической координаты и канонического импульса. Таким образом, уравнения движения формулируются в виде:

∂t ξ =

δH = J (ξ, Ψ ) , δλ

∂t λ = −

δH = J (λ, Ψ ) . δξ

(20.2.5)

Для квазигеострофических моделей с бета-эффектом (β 6= 0) проблема определения ненулевых равновесных значений канонических переменных возникает даже в случае отсутствия фонового течения Ψs = 0. Обозначая равновесные значения переменных индексом s, рассмотрим уравнения:

∂t ξs = 0,

∂t λs = 0,

̺s βy = J (ξs , λs ) ,

(20.2.6)

которые следуют в равновесном случае из (20.2.5) и (20.2.4). Воспользовавшись имеющимся в построении решений (20.2.6) произволом, который заключается в свободе выбора одной из переменных ξs , λs , и выбрав ξs = x, получим λs = ̺s βy 2 /2. Удобно ввести новые канонические переменные [37]:

ξ ′ = ξ − ξs ,

λ′ = λ − λs ,

которые в режиме равновесия удовлетворяют условию ξs′ = λ′s = 0. В терминах новых переменных ξ ′ , λ′ представление Клебша для потенциального вихря (20.2.4) и уравнения движения (20.2.5) записываются в виде:

ˆ = ̺s βy∂x ξ ′ + ∂y λ′ + J (ξ ′ , λ′ ) , ̺s LΨ   δH δH 1 ′ ′ ′ 2 ′ ∂t ξ = ′ = J (ξ + x, Ψ ) , ∂t λ = − ′ = J ̺s βy + λ , Ψ . δλ δξ 2

(20.2.7) (20.2.8)

Если в равновесном состоянии имеется зональный профиль течения

u = −∂y Ψs (y, z) , определение равновесных значений канонических переменных ξs и λs требует несколько больших усилий.

174

Глава 20. Канонические переменные для моделей геофизической гидродинамики

В этом случае условия равновесия определятся соотношениями:

∂t ξs = −u∂x ξs ,

∂t λs = −u∂x λs ,

ˆ s + βy = ̺−1 Ωs = LΨ s J (ξs , λs ) ,

(20.2.9)

которые могут быть разрешены при условии, что хотя бы одна из искомых функций ξs , λs является секулярной функцией времени. Процедура, позволяющая перейти к каноническим переменным ξ ′ , λ′ , которые в невозмущенном состоянии обладают свойством ξs′ = λ′s = 0, подробно описана в § 10.3 и в данном случае осуществляется с помощью производящего функционала Z Φ = (ξλ′ + tn + lξ − mλ′ ) dx, где l(x), m(x) и n(λ, z) — некоторые пока произвольные функции указанных аргументов. Прежде всего, выпишем формулы, по которым происходит соответствующее каноническое преобразование. Согласно (5.1.9), получим: Z δΦ ∂n δΦ ′ ′ ˜ ξ = ′ =ξ−m+t , λ= = λ + l, H = H + n dx, δλ ∂λ δξ откуда, учитывая свойство ξs′ = λ′s = 0, легко заметить, что

λs = l,

ξs = m − t

∂ns , ∂λs

ns = n (λs , z) .

(20.2.10)

Подставляя (20.2.10) в условия равновесия (20.2.9) и принимая во внимание тот факт, что λs является функцией только y и z , найдем:

̺s Ωs = (∂x m) (∂y l) ,

u̺s Ωs = ∂y ns .

(20.2.11)

Чтобы найти функции l, m, n, воспользуемся произволом — на определение трех функций l(x), m(x), n(λ, z) имеется только два уравнения. Тогда, полагая из соображений удобства l = y , из (20.2.11) получим:

m = x̺s Ωs ,

n (λ, z) =

Z

λ

u̺s Ωs dy.

§ 20.3. Каноническое описание многоуровенных моделей Хотя квазигеострофическое приближение в значительной степени упрощает анализ динамики крупномасштабных движений, тем не менее, уравнения (20.2.4), (20.2.5) остаются системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных по времени и трем пространственным координатам. Следующий шаг, позволяющий еще более упростить анализ, это использование многоуровенных или многослойных моделей (см., например, [148]), в которых простота в описании достигается ценой потери в точности описания вертикальной структуры движения.

20.3. Каноническое описание многоуровенных моделей

175

Прежде всего сформулируем гамильтоново описание для многоуровенных моделей. Основная идея построений многоуровенных моделей состоит в использовании конечно-разностных аппроксимаций по вертикальной координате z и замене непрерывной модели соответствующим дискретным аналогом. Чтобы осуществить необходимую аппроксимационную процедуру в рамках гамильто- h 1 новского формализма, разобьем среду по верz1 тикали на N основных уровней с фиксиро- h2 ванными координатами zn и введем дополнительно N +1 промежуточных уровней hn , как zn−1 hn показано на рис. 20.2. dn zn Будем пользоваться следующим правилом hn+1 zn+1 приближенного вычисления интегралов. Если оценка подынтегрального выражения берется на основных уровнях zn , то суммирова- hN zN ние, заменяющее интегрирование по z , проh N +1 водится по интервалам dn = hn − hn+1 , к которым относится это оценка. Наоборот, ес- Рис. 20.2. Схема, поясняющая процели оценка берется на промежуточном уровне дуру конечно-разностных аппроксиhn и, следовательно, относится к интервалу маций для построения многоуровен[zn−1 , zn ], то суммирование ведется по интер- ных моделей валам [zn−1 , zn ]. Применим это правило для вычисления гамильтониана бароклинной модели ˆ задается формулой (20.1.5). С этой целью, инте(20.1.4), в котором оператор L грируя по частям, перепишем этот гамильтониан в следующем виде Z   ̺s H= ̺s (∇Ψ )2 + (∂z Ψ )2 dx, (20.3.1) S Гамильтонизация многоуровенных моделей

где ∇ = (∂x , ∂y ) — двумерный градиент в горизонтальной плоскости. Если условиться функцию тока Ψ брать только на основных уровнях zn и ввести обозначения Ψn = Ψ (zn ), ̺n = ̺s (zn ) , то для первого подынтегрального члена получим оценку ̺s (∇Ψ )2 ≈ ̺n (∇Ψn )2 , (20.3.2) z=zn

которая относится к уровню zn и, следовательно, к интервалу [hn , hn+1 ]. Используя конечно-разностную аппроксимацию для производной

∂z Ψ |z=hn ≈

Ψn − Ψn−1 , zn − zn−1

вычислим второй подынтегральный член. В соответствии с теми же правилами найдем оценку  2 Ψn − Ψn−1 ̺s ̺s 2 (∂z Ψ ) ≈ . S zn − zn−1 Ss z=hn z=hn

176

Глава 20. Канонические переменные для моделей геофизической гидродинамики

В отличие от оценки (20.3.2), эта оценка относится к промежуточному уровню hn и, следовательно, к интервалу [zn , zn−1 ]. Используя формулы (20.1.6), (20.1.7), связывающие параметр стратификации S и потенциальную температуру θs , можно получить конечно-разностную оценку величины ̺s f 2 ̺¯n θ¯n (zn−1 − zn ) ≈ , Ss z=hn g (θn−1 − θn ) Здесь ̺¯n = ̺s (hn ), θ¯n = θs (hn ) и θn = θs (zn ). В результате для гамильтониана (20.3.1) найдем конечно-разностное приближение Z N  1 X ˜ (20.3.3) H= ̺n dn (∇Ψn )2 + Fn (Ψn − Ψn−1 )2 dxdy, 2 n=1 где

Fn = f 2 g−1 ̺¯n θ¯n (θn−1 − θn )−1 . (20.3.4) Прежде чем сформулировать для соотношений (20.2.7), (20.2.8) дискретные аналоги, с помощью которых вводятся канонические переменные в квазигеострофические многоуровенные модели, отметим формулу ˆ + βy = βy − 1 δH , Ω = LΨ (20.3.5) ̺s δΨ справедливость которой проверяется непосредственно. Многоуровенная аппроксимация формулы (20.3.5) приводит к соотношению ˜ 1 δH Ωn = βy − , (20.3.6) dn ̺n δΨn где Ωn = Ω (zn ) — значение потенциального вихря на уровне zn . ˜ конечно-разностного выПодстановка в (20.3.6) в качестве гамильтониана H ражения (20.3.3) дает Fn Fn+1 Ωn = ∆Ψn − (Ψn − Ψn−1 ) + (Ψn+1 − Ψn ) + βy. (20.3.7) dn ̺n dn ̺n Эта формула отражает взаимозависимость потенциального вихря и функций тока в многоуровенной квазигеострофической модели. Аналогичная аппроксимационная процедура, выполненная по отношению к формулам (20.2.7), (20.2.8), приводит к неунивалентному каноническому описанию этой модели:

̺n (Ωn − βy) = ̺n βy∂x ξn + ∂y λn + J (ξn , λn ) , ˜ δH = J (ξn + x, Ψn ) , δλn   ˜ 1 −1 δ H 2 ∂t λn = −dn =J ̺n βy + λn , Ψn . δξn 2 ∂t ξn = d−1 n

(20.3.8) (20.3.9) (20.3.10)

Здесь ξn и λn — неунивалентные канонически сопряженные переменные дискретной модели, которые определяются как ξn = ξ ′ (zn ), λn = λ′ (zn ).

20.3. Каноническое описание многоуровенных моделей

177

Чтобы распространить полученный выше результат на случай океана, воспользуемся как и раньше (см. с. 172) процедурой предельного перехода к несжимаемой жидкости. Для этого с помощью равенства (20.1.9) исключим переменные θ¯n и θn в формуле (20.3.4), полагая Каноническое описание многоуровенной модели океана

θn = ̺0 /̺n ,

θ¯n = ̺0 /¯ ̺n .

Реализуя данную процедуру, из (20.3.3)–(20.3.10) последовательно получим каноническое описание многоуровенной модели океана. Гамильтониан этой модели дается выражением

˜ =1 H 2 где

Z X N   2 2 ̺n dn (∇Ψn ) + Fn (Ψn − Ψn−1 ) dxdy,

(20.3.11)

Fn = f 2 g−1 ̺n ̺n−1 (̺n − ̺n−1 )−1 .

(20.3.12)

n=1

Здесь f — параметр Кориолиса2 , учитывающий эффект вращения Земли. Соотношение, связывающее функции тока и канонические переменные, для многоуровенной модели океана имеет вид

̺n ∆Ψn −

Fn Fn+1 (Ψn − Ψn−1 ) + (Ψn+1 − Ψn ) = dn dn = ̺n βy∂x ξn + ∂y λn + J (ξn , λn ) , (20.3.13)

и является, по существу, дискретным аналогом представления Клебша для потенциального вихря. Наконец, неунивалентные канонические уравнения движения для этой модели могут быть сформулированы в виде:

˜ δH = ∂y Ψn + J (ξn , Ψn ) , δλn ˜ δH ∂t λn = −d−1 = ̺n βy∂x Ψn + J (λn , Ψn ) . n δξn ∂t ξn = d−1 n

(20.3.14)

Следует отметить, что для многоуровенных моделей неканоническая скобка Пуассона типа (20.2.3), которая задается на фазовом пространстве, состоящем из дискретного набора Ωn , (n = 1, . . . , N ), имеет вид ′ {Ωn , Ωm }=

δnm J (δ (x − x′ ) , Ωn′ ) . ̺n

(20.3.15)

Здесь, в отличие от (20.2.3), обозначение δ (x − x′ ) = δ (x − x′ ) δ (y − y ′ ) — двумерная дельта-функция. 2 Напомним, что этот параметр определяется как f = 2ω0 sin ϑ, где ω0 — угловая скорость вращения Земли, а ϑ — широта.

178

Глава 20. Канонические переменные для моделей геофизической гидродинамики

§ 20.4. Каноническое описание многослойных квазигеострофических моделей Подобным образом можно получить гамильтоново описание для многослойных квазигеострофических моделей. Так же, как и многоуровенные, многослойные модели, состоящие из конечного числа однородных слоев жидкости разной плотности, преследуют ту же цель: учесть фактор расслоенности так, чтобы математическое описание движений было по возможности простым. Однако, если конечно-уровенная система представляет собой грубую математическую модель точных уравнений, описывающих реальную физическую систему, в случае конечно-слойной системы, наоборот, мы имеем точные математические уравнения, описывающие грубую физическую модель. Наиболее просто переход к N -слойной модели можно осуществить опираясь на результаты, которые изложены выше для N -уровенной модели океана. При этом в формулах (20.3.11)–(20.3.14) достаточно считать, что dn — толщина невозмущенного n-го слоя, ̺n — его постоянная плотность, а Ψn — функция тока, зависящая только от x, y и t. В качестве примера сформулируем каноническое описание двухслойной модели, верхняя граница которой является свободной, а нижняя покоится на твердом плоском основании. Граничные условия можно учесть автоматически, рассмотрев формально четырехслойную модель (рис. 20.3), верхний слой которой ничем не заполнен, т. е. Ψ0 = 0, ̺0 = 0, а нижний заполнен неподвижной очень тяжелой жидкостью так, что Ψ3 = 0, ̺3 → ∞. Для такой модели, как показывают расчеты по формуле (20.3.12), справедливы выражения: f 2 ̺1 ̺2 f 2 ̺2 F1 = 0, F2 = , F3 = , g (̺2 − ̺1 ) g где f — параметр Кориолиса. Поэтому гамильтониан двухслойной модели описывается выражением

˜ =1 H 2

Z 

̺1 d1 (∇Ψ1 )2 + ̺2 d2 (∇Ψ2 )2 + f 2 ̺1 ̺2 f 2 ̺2 2 + (Ψ1 − Ψ2 )2 + Ψ g (̺2 − ̺1 ) g 2 ̺0 = 0

d1 d2



dxdy. (20.4.1)

Ψ0 = 0

̺1

Ψ1

̺2

Ψ2

Рис. 20.3. Двухслойная модель со свободной верхней и жесткой нижней границами. Пунктиром отмечены уровни d1 и d2 , определяющие толщины невозмущенных однородных слоев с плотностями ̺1 , ̺2 и функциями тока Ψ1 , Ψ2 , соответственно

20.4. Каноническое описание многослойных квазигеострофических моделей

179

В приближении, когда скачок плотности ∆̺ = ̺2 − ̺1 мал и, следовательно, справедливо приближение Буссинеска ̺2 = ̺1 = ̺, можно показать, что последний член под знаком интеграла (20.4.1) дает вклад в доступную потенциальную энергию много меньший (примерно в ∆̺/̺ раз) по сравнению с предыдущим. Пренебрегая этим членом и принимая всюду приближение Буссинеска ̺2 = = ̺1 = ̺, получим гамильтониан Z  ̺  ˜ H= d1 (∇Ψ1 )2 + d2 (∇Ψ2 )2 + F (Ψ1 − Ψ2 )2 dxdy, (20.4.2) 2

где F = f 2 g−1 ̺/∆̺. Отметим, что в приближении Буссинеска гамильтониан не чувствителен к условиям на внешних границах. Другими словами, (20.4.2) сохраняет свой вид и в том случае, если на верхней границе поставить условие твердой крышки. Подстановка в (20.3.6) в качестве гамильтониана выражения (20.4.2) дает соотношения: F Ω1 = ∆Ψ1 − (Ψ1 − Ψ2 ) + βy, d1 (20.4.3) F Ω2 = ∆Ψ2 − (Ψ2 − Ψ1 ) + βy. d2 Эти формулы совпадают с аналогичными выражениями, приведенными в книге [148], и описывают взаимозависимость послойных значений потенциального вихря и функций тока для рассматриваемой двухслойной квазигеострофической модели. С их помощью гамильтониан двухслойной модели (20.4.2) можно привести к виду Z ˜ = − ̺ (d1 Ψ1 (Ω1 − βy) + d2 Ψ2 (Ω2 − βy)) dxdy. H 2

С точки зрения аппроксимационной процедуры, рассмотренной выше в § 20.3, это выражение представляет собой конечно-разностную оценку гамильтониана (20.1.4), когда в качестве модели рассматривается модель непрерывно стратифицированного океана в приближении Буссинеска. Для данной двухслойной модели уравнения движения в традиционном представлении могут быть сформулированы как

∂t Ω1 + J (Ψ1 , Ω1 ) = 0,

∂t Ω2 + J (Ψ2 , Ω2 ) = 0

(20.4.4)

и выражают закон сохранения потенциального вихря для каждого слоя. Неунивалентные канонические переменные, в терминах которых уравнения движения (20.4.4) переписываются в виде:

∂t ξn = d−1 n

˜ δH , δλn

∂t λn = −d−1 n

˜ δH , δξn

(n = 1, 2),

согласно (20.3.13), вводятся соотношениями:   F ̺ ∆Ψ1 − (Ψ1 − Ψ2 ) = ̺βy∂x ξ1 + ∂y λ1 + J (ξ1 , λ1 ) , d1

(20.4.5)

180

Глава 20. Канонические переменные для моделей геофизической гидродинамики



F ̺ ∆Ψ2 − (Ψ2 − Ψ1 ) d2



= ̺βy∂x ξ2 + ∂y λ2 + J (ξ2 , λ2 ) .

(20.4.6)

Эти соотношения представляют собой, по существу, послойное представление Клебша для относительного потенциального вихря. Если в рассматриваемой выше двухслойной модели предположить, что в основном состоянии в каждом из слоев существует зональное течение с постоянными скоростями u1 и u2 , мы приходим к так называемой модели Филлипса [262]. Во многих учебниках геофизической гидродинамики (см., например, [148]) эта простая и наглядная модель часто используется для объяснения бароклинной неустойчивости. Формально канонические формулировки модели Филлипса и обычной двухслойной модели ничем друг от друга не отличаются. Отличия обнаруживаются при анализе решений в режиме равновесия (основного состояния). Если для обычной двухслойной модели все канонические переменные в этом режиме имеют нулевые значения, то для модели Филлипса оказывается, что

ξ10 = u1 t, ξ20 = u2 t,

F ̺y 2 (u1 − u2 ) , 2d1 F λ02 = ̺y 2 (u2 − u1 ) . 2d2 λ01 =

Таким образом, равновесные решения для канонических переменных в модели Филлипса оказываются нестационарными и неоднородными. Эта проблема носит общий характер и возникает всегда, когда в состоянии равновесия N -слойная модель характеризуется послойно-постоянной скоростью зонального течения Ψn0 = −un y, (20.4.7) где Ψn0 , un — соответственно равновесная функция тока и скорость в n-ом слое. Решение проблемы нестационарности и неоднородности канонических переменных в режиме равновесия состоит в том, что с помощью канонического преобразования можно всегда перейти к более удобным каноническим переменным, которые имеют нулевые решения в этом режиме. Согласно процедуре, описанной в § 10.3 (см. там формулы (10.3.1)–(10.3.4)), эта проблема решается с помощью канонического преобразования к новым переменным λ′n , ξn′ : λ′n = λn − λ0n , ξn′ = ξn + un t. (20.4.8) Преобразование (20.4.8) соответствует производящему функционалу

Φ=

Z X N n=1


(ξn + un t) λ′n + λ0n dxdy.

Используя дискретное (послойное) представление Клебша для потенциального вихря (20.3.13) и выбирая новые канонические переменные так, чтобы их

20.4. Каноническое описание многослойных квазигеострофических моделей

181

равновесные значения обращались в нуль, можно показать, что λ0n должны удовлетворять соотношениям

λ0n =

y2 (Fn (un − un−1 ) − Fn+1 (un+1 − un )) . 2dn

Новый гамильтониан при этом будет определяться выражением

˜ + ∂t Φ = H ˜+ H =H

Z X N n=1


un λ′n + λ0n dxdy.

В частности, из этого выражения следует, что гамильтониан для модели Филлипса определяется как Z  1  H =− d1 ψ1 Ω1′ + d2 ψ2 Ω2′ + 2Ψ10 J (q1 , p1 ) + 2Ψ20 J (q2 , p2 ) dxdy. 2 Если в это выражение в качестве равновесных функций тока подставить (20.4.7), получим Z  1  d1 ψ1 Ω1′ + d2 ψ2 Ω2′ + 2u1 p1 ∂x q1 + 2u2 p2 ∂x q2 dxdy. H =− 2

Здесь ψ1 и ψ2 — возмущения послойных функций тока, Ω1′ и Ω2′ — соответствующие возмущения потенциального вихря. Переменные q1 , q2 и p1 , p2 — обобщенные координаты и обобщенные импульсы, в терминах которых уравнения движения для модели Филлипса формулируются в каноническом виде:

∂t qn =

δH , δpn

∂t pn = −

δH , δqn

(n = 1, 2).

Эти переменные вводятся преобразованием:

q1 = d1 ξ1′ ,

p1 = λ′1 ,

q2 = d2 ξ2′ ,

p2 = λ′2

и, как легко заметить, получаются соответствующей перенормировкой из старых (неунивалентных) канонических переменных. Отметим, что на основании (20.4.3), (20.4.5) и (20.4.6) все оговоренные выше величины связаны между собой следующими соотношениями:

F (ψ1 − ψ2 ) = d1 F Ω2′ = ∆ψ2 − (ψ2 − ψ1 ) = d2 Ω1′ = ∆ψ1 −

β1 y∂x q1 + ∂y p1 + d1 β2 y∂x q2 + ∂y p2 + d2

1 J (q1 , p1 ) , d1 1 J (q2 , p2 ) , d2

где коэффициенты β1 , β2 определяются как

β1 = β +

F (u1 − u2 ) , d1

β2 = β +

F (u2 − u1 ) . d2

Глава 21 КАНОНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МОДЕЛЕЙ С ГРАНИЦАМИ РАЗДЕЛА В предыдущих разделах программа построения гамильтоновского формализма касалась только безграничных сред, у которых переменные, описывающие динамику, непрерывным образом изменялись во всем координатном пространстве, на котором определены динамические переменные. Для послойных моделей, рассмотренных в конце § 20.3, это условие соблюдалось в силу двумерного характера эволюции и стационарности границ раздела, разбивающих по вертикали среду на плоскопараллельные слои. Очевидно, что применимость непрерывных пространственно неограниченных моделей не всегда имеет место. Более того, для целого ряда важных в физическом отношении эффектов наличие нестационарных свободных границ или границ раздела имеет принципиальное значение. Классическим примером в этом смысле являются волны на поверхности океана.

§ 21.1. Общий случай Решающим шагом, позволяющим в рамки гамильтоновского формализма, который был развит для безграничных гидродинамических моделей, включить кусочно-непрерывную модель, разбитую границами раздела на области непрерывности Gi , является использование субстанциональных характеристических тетафункций, которые обсуждались уже в § 9.1. Напомним, что субстанциональная характеристическая тета-функция определяется как обобщенная функция вида  1, x ∈ Gi , θi = 0, x ∈ / Gi , которая идентифицирует выделенный Gi — объем, движущийся вместе с жидкостью, и в силу этого удовлетворяет уравнению

∂t θi + (v · ∇)θi = 0. К уравнениям движения (21.1.1) следует добавить свойства X θi = 1, θi θj = δij θi ,

(21.1.1)

(21.1.2)

которые означают, что вся жидкость разбита на непересекающиеся области, движущиеся вместе с жидкостью. Основная идея состоит в том, что применение тета-функций позволяет в математически корректной форме переформулировать результаты, полученные для 182

183

21.1. Общий случай

гамильтонизации непрерывных моделей, так, чтобы они сохраняли справедливость и для кусочно-непрерывных. Действительно, любая переменная f , описывающая динамику кусочно-непрерывной среды, может быть представлена в виде разложения по тета-функциям

f=

X

(21.1.3)

f i θi .

Функцию fi (x, t), значение которой в области Gi совпадает со значением переменной f , без ограничения общности можно формально продолжить на все остальное пространство и считать бесконечно дифференцируемой. В частности для плотности ̺ и плотности гидродинамического импульса π кусочно-непрерывной среды будем иметь

̺=

X

̺i θi ,

π=

X

π i θi .

Использование аналогичных разложений для остальных динамических переменных и учет свойства (21.1.2) приводит к следующему представлению для гамильтониана: Z 2 Z X π π2 H= dx + U = Hi , Hi = θi i dx + Ui . 2̺ 2̺i

где Hi — i-ая компонента гамильтониана, а Ui его потенциальная часть. Такое представление свидетельствует о том, что описание кусочно-непрерывной среды сводится к гидродинамике многокомпонентной безграничной жидкости, где плотность каждой компоненты ̺˜i = ̺i θi . При этом использование субстанциональных тета-функций позволяет доопределить переменную ̺i , которая имеет реальный физический смысл лишь в области Gi , так, что уравнение неразрывности ∂t ̺˜i + ∇ · (˜ ̺i v i ) = 0 (21.1.4) формально становится справедливым во всем пространстве. Расщепив уравнение неразрывности (21.1.4) следующим образом:

θi [∂t ̺i + ∇ · (̺i v i )] + ̺i [∂t θi + v i · ∇θi ] = 0,

(21.1.5)

легко видеть, что (21.1.4), по существу, содержит в себе два уравнения. Каждое из них соответствует обращению в нуль соответствующей квадратной скобки в (21.1.5), причем второе из уравнений совпадает с (21.1.1) и, согласно § 9.1, определяет динамику границы Gi области. Канонические переменные для кусочно-непрерывной модели могут быть легко найдены, если они известны для аналогичной непрерывной модели. Соответствующая процедура реализуется как точечное каноническое преобразование с производящим функционалом Z F = pq dx, (21.1.6)

184

Глава 21. Каноническое описание моделей с границами раздела

где q и p, выступающие в роли канонически сопряженной пары для непрерывной модели, в случае кусочно-непрерывной модели должны быть в соответствии с формулой (21.1.3) представлены в виде разложений X X q= q i θi , p = pi θ i . Подставляя эти разложения в производящий функционал (21.1.6) и используя свойства (21.1.2), получим XZ F = θ i q i pi d x .

Тогда, выбирая в качестве нового обобщенного импульса переменную p˜i = pi , соответствующие новые обобщенные координаты определим по формуле

q˜i =

δF = q i θi . δpi

Отметим, что, так как различие между переменными q и p, играющими роль канонически сопряженных координат и импульсов, чисто номенклатурное, существует альтернативная возможность выбрать в качестве новой канонической координаты переменную q˜i = qi . В этом случае сопряженным импульсом оказывается переменная p˜i = pi θi . Таким образом, для кусочно-непрерывной среды каноническая пара (q, p) превращается в совокупность пар (qi , pi θi ) либо пар (qi θi , pi ).

§ 21.2. Канонические переменные для модели океан—атмосфера Аппарат субстанциональных θ -функций оказывается весьма конструктивным не только на этапе формулировки модели, но и с точки зрения техники аналитических вычислений при решении различных конкретных задач [35, 38, 109]. Чтобы проиллюстрировать принципиальные моменты, технические детали и содержательность сформулированного в § 21.1 подхода, рассмотрим введение канонических переменных в безвихревую модель океан—атмосфера. Отметим, что в методическом отношении эта модель может служить эталоном при построении других более сложных кусочно-непрерывных моделей, некоторые из которых будут рассмотрены в последующих главах этой книги. Пусть по обе стороны от границы раздела z = η(x, z), где z вертикальная координата, а x = (x, y) — горизонтальные, в поле силы тяжести с потенциалом χ = gz находятся две среды. Относительно физических свойств каждой будем предполагать, что нижнее полупространство z < η (океан) заполнено однородной несжимаемой жидкостью с постоянной плотностью ̺1 , а верхнее z > η (атмосфера) — сжимаемым баротропным газом с плотностью ̺. Предполагая фоновую стратификацию сжимаемой (баротропной) компоненты такой, что скорость звука c постоянна с высотой, и принимая во внимание соотношение   ∂ p= ̺ − 1 ε, ∂̺

21.2. Канонические переменные для модели океан—атмосфера

185

связывающее давление p и объемную плотность внутренней энергии ε, запишем уравнения:
(21.2.1) ̺∂ 2 ε/∂̺2 s = c2 , (∂ε/∂̺)s = −gz, (c — скорость звука) характеризующие состояние равновесия. Соблюдая преемственность с обозначениями предыдущих разделов, отметим, что здесь и далее индексом s отмечаются равновесные значения соответствующих величин. Легко проверить непосредственно, что первое из этих двух равенств есть прямое следствие постоянства скорости звука, а второе (сравни с первым равенством в (16.1.5)) выражает так называемый гидростатический баланс

∂ps /∂z = −g̺s . Так как уравнения (21.2.1) должны выполняться на каждом уровне z , из них можно найти уравнение состояния и закон стратификации:    z ̺ ε = c2 ̺ ln − 1 , ̺s = ̺0 exp − , ̺0 h где ̺0 — невозмущенная плотность баротропной компоненты на границе раздела, а h = c2 /g — характерный масштаб, именуемый высотой однородной атмосферы. Гамильтоновское описание движений в такой двухкомпонентной среде можно осуществить в рамках предложенного в предыдущем разделе подхода, если принять во внимание, что каноническое описание каждой компоненты отдельно, когда каждая из них непрерывно заполняет все пространство, нам уже известно. Более того, поскольку движение каждой компоненты потенциально, каноническое описание определяется только парой переменных, в которой плотность играет роль канонической координаты, а гидродинамический потенциал — импульса. При сделанных модельных предположениях субстанциональные характеристические функции θ1 и θ2 , идентифицирующие соответственно «океан» и «атмосферу», определяются как

θ1 = θ(η − z),

θ2 = θ(z − η)

с помощью обычной функции Хевисайда:  1, если z ≥ 0, θ(z) = 0, если z < 0. Поэтому на основании (21.1.2) для канонических координат рассматриваемой модели имеем: q1 = ̺1 θ(η − z), q = ̺θ(z − η).

Гамильтониан двухкомпонентной модели получается как результат суперпозиции и представляется интегралом   2  Z   v2 v H = θ1 ̺1 1 + ̺1 gz + θ2 ̺ + ε (̺) + ̺gz dxdz, (21.2.2) 2 2

186

Глава 21. Каноническое описание моделей с границами раздела

где v 1 и v — гидродинамические скорости каждой из двух компонент связаны с каноническими импульсами ϕ1 и ϕ соотношениями: v 1 = ∇ ϕ1 ,

v = ∇ϕ.

Канонические уравнения движения, которые теперь представляется возможным сформулировать для двухкомпонентной модели, имеют вид:

δH , δq1 δH ∂t ϕ = − , δq

∂t ϕ1 = −

δH , δϕ1 δH ∂t q = . δϕ ∂t q1 =

(21.2.3)

Отметим, в частности, что из второго уравнения (21.2.3) в качестве одного из следствий получается условие несжимаемости ∇ · v1 = ∆ϕ1 = 0.

(21.2.4)

Так как каноническая переменная q1 полностью определяется формой границы раздела и ничем более, целесообразно в качестве новой обобщенной координаты выбрать поверхностную переменную η. В качестве второй новой обобщенной координаты возьмем объемную переменную q ′ = ̺′ θ2 , где ̺′ = ̺ − ̺s — отклонение плотности ̺ от ее равновесного значения. Согласно § 5.2, такой выбор соответствует точечному преобразованию с производящим функционалом Z F = (ϕ1 ̺1 θ1 + ϕ (q ′ + ̺s θ2 )) dxdz,

который, не изменяя гамильтониана, приводит к новому каноническому импульсу

ξ = δF/δη = (ϕ1 ̺1 − ϕ̺s )z=η ,

(21.2.5)

сопряженному с поверхностной обобщенной координатой η. Для объемной новой обобщенной координаты q ′ сопряженный канонический импульс остается прежним δF/δq ′ = ϕ. Таким образом, приходим к новым каноническим уравнениям:

δH , δη δH ∂t ϕ = − ′ , δq ∂t ξ = −

δH , δξ δH ∂t q ′ = . δϕ ∂t η =

Чтобы получить замкнутую формулировку задачи, необходимо найти объемную переменную ϕ1 как функционал двух поверхностных переменных ξ и ϕ|z=η и исключить ее из гамильтониана (21.2.2). С этой целью на основании соотношения (21.2.5) и условия несжимаемости (21.2.4) формулируется краевая задача:   ∆ϕ1 = 0, ϕ1 |z=η = ̺−1 ξ + [̺ ϕ] (21.2.6) s z=η , 1

21.2. Канонические переменные для модели океан—атмосфера

187

с дополнительным условием ϕ1 |z→−∞ = 0, которое выражает отсутствие возмущений в «океане» на бесконечности. Задачу (21.2.6), (21.2.5) можно решать разными методами, но для исследования волновых движений, учитывая характер неоднородности модели, целесообразно предварительно сделать перенормировку объемных канонических переменных и перейти от координатного представления к представлению Фурье, выполнив преобразование     ξ ξk Z  1/2  p (z) 1  k   ϕ̺s   =   exp (ik · x) dx  ηk  2π  η  −1/2

q ′ ̺s

qk(z)

по горизонтальной координате x. Это преобразование является каноническим, т. е. уравнения движения, сформулированные в новых переменных ξk, pk, ηk, qk, сохраняют свой обычный вид:

∂t ξk = − ∂t pk(z) = −

δH , δηk∗

δH , δqk∗ (z)

∂t ηk =

δH , δξk∗

∂t qk(z) =

δH . δp∗k(z)

Существенное преимущество, которое достигается от использования новых переменных, заключается в том, что в линейном приближении и краевая задача (21.2.6), (21.2.5) становится локально разрешимой, и квадратичный гамильтониан оказывается локальным. Не останавливаясь на подробном выводе, который достаточно элементарен, приведем результат:   1/2 ϕ1k = ̺−1 ξ + ̺ p | k k z=0 exp (|k | z) . 1 0

Первостепенный интерес линейное приближение имеет при изучении волновых движений и соответствует квадратичному гамильтониану, который получается разложением функционала (21.2.2) по степеням канонических переменных. Выполнив эту процедуру и выделив квадратичную часть, получим   Z  1 1 ∗ 2 2 H2 = pkθ (z) k + 2 − ∂z pk + c2 qk∗ qk+ 2 4h    ̺0 1 ∗ + δ (z) pk |k| − − ∂z pk + g (̺1 − ̺0 ) ηk∗ ηk+ ̺1 2h  |k| ∗ |k| 1/2 ∗ ∗ + ξ ξk + ̺ (ξkpk + pkξk) dkdz. ̺1 k ̺1 0 Отметим, что члены, собранные под знаком интеграла при дельта-функции δ (z), учитывают наличие контактной границы и контролируют выполнение граничных условий.

Глава 22 ГАМИЛЬТОНОВ ПОДХОД К МОДЕЛЯМ ПЛАЗМЫ § 22.1. Простейшие гидродинамические модели плазмы Наиболее простая гидродинамическая модель плазмы — это, пожалуй, модель, описывающая нерелятивистские движения электронной жидкости в самосогласованном электрическом поле, которое создается зарядами, в отсутствие магнитного поля. Фазовое пространство, в котором формулируется традиционное гидродинамическое описание таких моделей, — очень простое и состоит из двух полевых переменных — плотности импульса π = ̺v и массовой плотности ̺. Скобки Пуассона для этих переменных известны и, согласно §§ 7.3, 7.4, имеют стандартный вид:

{πi , πk′ } = ∂i′ (πk′ δ) − ∂k (πi δ) ,

{̺, πk′ } = −∂k (̺δ),

{̺, ̺′ } = 0.

Уравнения движения для таких моделей выписываются также стандартным образом: ∂t ̺ = {̺, H } = ∇ · (̺v ) , (22.1.1) δU , ∂t π = {π , H } = −∂k (vk π ) − ̺∇ δ̺ где роль гамильтониана, который имеет структуру Z 2 π H = dx + U [̺] , 2̺

выполняет полная энергия электронной жидкости. Вся специфика этих моделей отражена в потенциальной части гамильтониана U [̺], которая характеризует внутреннюю энергию. Приведем некоторые примеры [82, 87]. Вначале в качестве иллюстрации рассмотрим модель «холодной» плазмы, внутренняя энергия которой состоит только из электростатической энергии Z 1 U = (∇φ)2 dx, (22.1.2) 8π Модель «холодной» плазмы

где φ — электростатический потенциал взаимодействия — определяется из уравнения Пуассона ̺ − ̺0 ∆φ = −4πe , m 188

22.1. Простейшие гидродинамические модели плазмы

189

а e, m — соответственно заряд и масса электрона; ̺0 — равновесная плотность, определяемая положительно заряженным фоном неподвижных ионов. Вычисление вариационной производной по плотности от величины внутренней энергии (22.1.2) (эта вариационная производная фигурирует в уравнениях движения (22.1.1)) дает δU e = φ. δ̺ m Другим примером является модель так называемой «горячей» плазмы. Эта модель описывает медленные движения в неизотермической электронно-ионной жидкости с горячими электронами, температура которых Te существенно превосходит Ti температуру ионов [7]. Под медленными понимают движения с фазовыми скоростями значиp v = T /m , но много больше тельно меньше тепловой скорости электронов e e p тепловой скорости ионов vi = Ti /M (M — масса ионов). В этом случае можно считать, что электроны находятся в локальном термическом равновесии и их массовая плотность определяется формулой Больцмана   eφ ̺e = ̺e0 exp , (22.1.3) Te Модель «горячей» плазмы

где ̺e0 — плотность электронов в точке φ = 0. Для определения электростатического потенциала взаимодействия φ между заряженными частицами нужно решить уравнение Пуассона

∆φ = 4πe (ne − Zni ) ,

(22.1.4)

где ne и ni — соответственно число электронов и число ионов в единице объема, а Z — зарядовое число, определяющее заряд иона qi = Ze. Если учесть соотношения

ni = ̺i /M,

ne = ̺e /m,

где ̺e и ̺i — массовые плотности электронов и ионов, а также аддитивный характер общей плотности ̺, подразумевающий, что ̺ = ̺i + ̺e , из (22.1.4) с помощью (22.1.3) найдем:      4πeZ eφ M ∆φ = − ̺ − ̺0 exp , ̺0 = ̺e0 +1 . M Te Zm Можно показать (см. работы [82, 87]), что внутренняя энергия этой модели плазмы равна сумме Z 1 U = (∇φ)2 dx + ET , (22.1.5) 8π где      Z Te Z eφ eφ ET = ̺0 1 + − 1 exp dx M Te Te — тепловая энергия электронного газа.

190

Глава 22. Гамильтонов подход к моделям плазмы

Вычисление вариационной производной от интеграла внутренней энергии (22.1.5) по плотности дает δU eZ = φ. δ̺ M Так как с точки зрения структуры скобок Пуассона обе рассмотренные модели принципиально не отличаются от одножидкостной модели гидродинамики, канонические переменные вводятся стандартным образом через представление Клебша для импульса. На основании § 11.4 для движений с нулевой спиральностью представление Клебша записывается в виде π = ̺∇ϕ − η∇ζ, где переменные ̺, ζ выполняют роль канонических координат, а ϕ, η — канонически сопряженные импульсы.

§ 22.2. Модель релятивистской электронной плазмы с электромагнитным полем Сохраняя преемственность с обозначениями предыдущего раздела, рассмотрим гидродинамическую модель релятивистской электронной жидкости (плазмы), взаимодействующей с электромагнитным полем. Движения такой жидкости подчиняются уравнениям релятивистской гидродинамики: e δU ∂t π + (v · ∇)π = eE + (v × H ) − ∇ , c δ̺ (22.2.1) ∂t ̺ + ∇ · (̺v ) = 0,

где H и E — напряженности соответственно магнитного и электрического полей, c — скорость света, а функционал U [̺] по-прежнему характеризует внутреннюю энергию. Напомним (см. по этому поводу замечание на с. 77), что, в отличие от нерелятивистских гидродинамических моделей, где v = π /̺, для релятивистских моделей связь между гидродинамической скоростью и импульсом дается соотношением
−1/2 v = cπ ̺2 c2 + π 2 . К уравнениям механического движения жидкости должны быть добавлены уравнения Максвелла двух сортов — динамические:

∂t H = −c (∇ × E ) ,

e̺ v, m

(22.2.2)

Φ2 = ∇ · H = 0,

(22.2.3)

∂t E = c (∇ × H ) − 4π

описывающие эволюцию электромагнитного поля, и связи:

Φ1 = ∇ · E −

4πe (̺ − ̺0 ) = 0, m

22.2. Модель релятивистской электронной плазмы с электромагнитным полем

191

которые не содержат временных ´ производных и имеют очевидный физический смысл1 . Уравнения (22.2.1), (22.2.2) сохраняют интеграл энергии Z Z

1 2 2 2 1/2 H = c ̺ c +π dx + H 2 + E 2 dx + U [̺] . (22.2.4) 8π

В соответствии со стандартной процедурой2 , можно показать, что нетривиальные скобки Пуассона на фазовом пространстве динамических переменных π, ̺, H, E, отвечающие системе уравнений (22.2.1), (22.2.2), имеют вид:

{̺, πk′ } = −∂k (̺δ),

{πi , πk′ } = ∂i′ (πk′ δ) − ∂k (πi δ) +

{Ei , πk′ } = −

4πe δik ̺δ, m

e̺ ilk e Hl δ, mc

(22.2.5)

{Ei , Hk′ } = 4πceilk ∂l δ.

Все остальные, не перечисленные здесь скобки тождественно обращаются в нуль, т. е. справедливы равенства:

{̺, ̺′ } = {Ei , ̺′ } = {Hi , ̺′ } = {Ei , Ek′ } = {Hi , Hk′ } = {Hi , πk′ } = 0.

(22.2.6)

Скобки Пуассона (22.2.5), (22.2.6) позволяют записать уравнения движения в гамильтоновом виде:

∂t ̺ = {̺, H },

∂t H = {H , H },

∂t π = {π , H },

∂t E = {E , H }.

Легко убедиться, что скобки (22.2.5), (22.2.6) согласованы со связями (22.2.3):

{̺, Φ1,2 } = {π , Φ1,2 } = {H , Φ1,2 } = {E , Φ1,2 } = 0, т. е. связи Φ1 , Φ2 коммутируют с динамическими переменными ̺, π, H, E, составляющими базис фазового пространства. Напомним, что величины, которые являются аннуляторами скобок Пуассона, называются инвариантами Казимира и являются интегралами движения для любых моделей в данном классе скобок Пуассона. Отметим также, что, согласно результатам главы 15, отличительной особенностью систем, у которых скобки Пуассона согласованы со связями, является возможность использования этих связей для вычисления гамильтониана на поверхности связей до взятия скобок Пуассона. Разрешим одну из связей Φ2 = 0. С этой целью введем новую переменную — векторный потенциал A, связанный с H соотношением H = ∇ × A.

(22.2.7)

1 С геометрической точки зрения равенства (22.2.3) фиксируют поверхность, на которой сосредоточено движение гамильтоновых систем, подчиняющихся уравнениям (22.2.1), (22.2.2). 2 Принципиальная схема для нахождения гамильтоновой структуры изложена в § 13.1 (см. с. 118– 120) на примере баротропной спиновой жидкости.

192

Глава 22. Гамильтонов подход к моделям плазмы

Кроме того, удобно ввести так называемый обобщенный импульс p: p=π+

e ̺A, mc

(22.2.8)

а вместо напряженности электрического поля E ввести новую переменную B, связанную с E соотношением B = (4πc)−1E . Так как векторный потенциал A для магнитного поля H определяется из (22.2.7) неоднозначно (с точностью до градиента произвольной функции), наложим ограничение ∇ · A = 0, известное как кулоновская калибровка. В результате приходим к новым связям:

Φ1 = ∇ · B −

e (̺ − ̺0 ) = 0, mc

Φ2 = ∇ · A = 0.

(22.2.9)

На новом фазовом пространстве динамических переменных p, ̺, B, A скобки Пуассона (22.2.5) индуцируют следующие соотношения:

{̺, p′k } = −∂k (̺δ),

e ′ ̺ (δik δ − {Bi , A′k }) , mc {pi , p′k } = ∂i′ (p′k δ) − ∂k (pi δ) ,

{Bi , p′k } =

′ elmk ∂m ({Bi , A′k } − δik δ) = 0,

(22.2.10)

которые можно разрешить относительно скобок {Bi , A′k } и {Bi , p′k }. Если мы ищем скобки Пуассона, которые согласованы со связями (22.2.9), приходим к скобкам:

{̺, p′k } = −∂k (̺δ), {Bi , A′k } = δik δ +

{pi , p′k } = ∂i′ (p′k δ) − ∂k (pi δ) ,

1 1 ∂k ∂i , 4π | x − x′ |

{Bi , p′k } =

e̺′ 1 ∂k ∂i . 4πcm |x − x′ |

Здесь и далее выписываем только нетривиальные скобки Пуассона. Другой путь построения скобок Пуассона — использование приема, представляющего модификацию метода Дирака [32, 63–65]. Этот прием достаточно подробно изложен в § 15.2 и проиллюстрирован в § 15.3 на примере модели свободного электромагнитного поля. Согласно этому приему, в качестве скобок Пуассона можно рассматривать любые решения (22.2.10), удовлетворяющие тождествам Якоби, не налагая на них ограничения, продиктованные связями. В качестве одного из таких решений системы (22.2.10) рассмотрим скобки:

{̺, p′k } = −∂k (̺δ), {Bi , A′k } = δik δ,

{Bi , p′k } = 0,

{pi , p′k } = ∂i′ (p′k δ) − ∂k (pi δ) .

(22.2.11) (22.2.12)

По существу, это решение означает, что фазовое пространство делится на два коммутирующих между собой сектора: сектор чисто гидродинамических переменных p, ̺ и сектор электромагнитных переменных A, B. Последний сектор, как легко заметить, оказывается каноническим.

22.2. Модель релятивистской электронной плазмы с электромагнитным полем

193

Для того чтобы удовлетворить ограничениям, гамильтониан H в окрестности поверхности связей представим в виде первых двух членов разложения в функциональный степенной ряд по связям: Z H = H0 + (λ1 Φ1 + λ2 Φ2 ) dx, где H0 — в точности равен гамильтониану на поверхности связей, а коэффициенты разложения λ1 и λ2 находятся из условий: Z ∂t Φ1 = {Φ1 , H } = {Φ1 , H0 } + λ′2 {Φ1 , Φ′2 } dx′ = 0, (22.2.13) Z ∂t Φ2 = {Φ2 , H } = {Φ2 , H0 } + λ′1 {Φ2 , Φ′1 } dx′ = 0. (22.2.14)

Равенства (22.2.13), (22.2.14) означают, что связи (22.2.9) имеют место во все моменты времени, поэтому частные производные по времени от связей должны обращаться в нуль для всех динамических переменных p, ̺, A, B, удовлетворяющих уравнениям движения. Как уже подчеркивалось в § 15.3, ответы для лагранжевых множителей λ1 и λ2 не универсальны, а зависят от гамильтониана модели. Чтобы найти λ1 и λ2 для рассматриваемой модели, запишем гамильтониан (22.2.4) на поверхности связей в виде

H0 =

Z

  2 1/2 e 2 2 c ̺ c + p− ̺A d x+ mc Z   1 (4πc)2 B 2 − A · ∆A dx + U [̺] . + 8π

Подстановка этого гамильтониана в условия (22.2.13), (22.2.14) приводит к соотношениям: ∆λ2 = 0, ∆λ1 = 4πc2 ∇ · B ,

из которых следует, что на поверхности связей (22.2.9) выполняются равенства: Z ce (̺′ − ̺0 ) ′ λ2 = 0, λ1 = − dx . m | x − x′ |

Таким образом, мы приходим к еще одной гамильтоновой формулировке уравнений движения релятивистской электронной плазмы с электромагнитным полем. Эта формулировка характеризуется системой скобок Пуассона (22.2.11), (22.2.12) и гамильтонианом Z  ce (̺′ − ̺0 )  e H = H0 − ∇ · B − (̺ − ̺ ) dxdx′ , 0 m | x − x′ | mc но не освобождена от связи

∇·B−

e (̺ − ̺0 ) = 0. mc

(22.2.15)

194

Глава 22. Гамильтонов подход к моделям плазмы

Так как сектор электромагнитных переменных A, B является каноническим по построению и не коммутирует с сектором гидродинамических переменных p, ̺, задача введения канонических переменных в модель релятивистской3 электронной плазмы с электромагнитным полем решается с помощью представления Клебша для обобщенного импульса p [82, 87]. По аналогии с § 11.4 можно показать, что для движений с нулевой спиральностью, т. е. при условии Z v · (∇ × v ) dx = 0, представление Клебша для обобщенного импульса выглядит как p = ̺∇ϕ − η∇ζ,

где переменные ̺, ζ выполняют роль канонических координат, а ϕ, η — канонически сопряженные импульсы. Необходимо, однако, помнить, что данная каноническая формулировка является формулировкой со связью, поэтому при получении канонических уравнений движений связь (22.2.15) необходимо использовать только после вычисления всех скобок Пуассона.

§ 22.3. Магнитогидродинамическая модель идеальной плазмы Детали вывода магнитогидродинамических (МГД) моделей идеальной плазмы можно найти, например, в книге [7]. В качестве одной из таких моделей рассмотрим минимальную — одножидкостную МГД модель плазмы, движения которой подчиняются уравнениям:

δU 1 (∇ × H ) × H − ̺∇ , 4π δ̺ ∂t ̺ + ∇ · (̺v) = 0, ∂t H = ∇ × (v × H ) ,

∂t π + (v · ∇)π =

(22.3.1) (22.3.2)

где ̺ — массовая плотность; π = ̺v — плотность гидродинамического импульса; H — напряженность магнитного поля; U [̺] — функционал, который характеризует внутреннюю энергию плазмы. Эти уравнения сохраняют интеграл энергии  Z  2 π H2 H = + dx + U [̺] . (22.3.3) 2̺ 8π Нетривиальные скобки Пуассона на фазовом пространстве π, ̺, H, отвечающие системе уравнений (22.3.1), (22.3.2), вычисляются в соответствии с процедурой, описанной в § 15.1, и имеют вид:

{πi , πk′ } = ∂i′ (πk′ δ) − ∂k (πi δ) ,

(22.3.4)

3 Для нерелятивистской электронной плазмы с электромагнитным полем введение канонических переменных осуществляется совершенно аналогично (см. более подробно в работе [165]).

22.3. Магнитогидродинамическая модель идеальной плазмы

{̺, πk′ } = −∂k (̺δ),

{Hi , πk′ } = −δ∂k Hi + δik Hn ∂n δ,

195 (22.3.5)

Остальные, не перечисленные здесь скобки тождественно обращаются в нуль. Так как скобка Пуассона {Hi , πk′ } в (22.3.5) идентична скобке (8.4.7), поле H можно отождествить с «вмороженным» полем J, которое играет роль канонической координаты. Учитывая это обстоятельство, представление Клебша для плотности гидродинамического импульса можно записать в виде: π = ̺∇ϕ − γk ∇Hk − ∂k (γ Hk ) ,

(22.3.6)

где переменные (̺, ϕ) и (H , γ ) образуют пары канонически сопряженных величин, позволяющих записать уравнения движения в гамильтоновом виде:

δH δH , ∂t ϕ = − , δϕ δ̺ δH δH , ∂t γ = − . ∂t H = δγ δH ∂t ̺ =

Как известно (см. более подробно по этому поводу главу 11, а также [87]), полученное представление Клебша (22.3.6) не является единственным, позволяющим ввести канонические переменные, и допускает различные редукции. Максимальная редукция осуществляется через параметризацию всех физических полей, фигурирующих в гамильтониане, через лагранжевы координаты. Для рассматриваемой МГД модели в гамильтониане (22.3.3) фигурируют два таких поля ̺ и H. Согласно (11.1.4), (11.1.6), параметризация этих полей осуществляется с помощью соотношений:

̺ = ̺0 (ξ ) g 1/2 ,

H=

1 −1/2 0 g Hi (ξ )eikl (∇ξk × ∇ξl ) . 2

Здесь переменные ξ (x, t) — лагранжевы координаты, которые в начальный момент времени, когда деформации отсутствуют, совпадают с декартовыми x, т. е. ξ (x, 0) = x. Заданные функции ̺0 (x) и Hi0 (x) характеризуют недеформированное состояние и имеют смысл начальных распределений соответствующих полей; g 1/2 = det (∂ξi /∂xk ) — якобиан преобразования. Представление Клебша для импульса, которое вводит канонические переменные в модели с такой параметризацией, определяется соотношением π = −λi ∇ξi , где переменные λi и ξi играют роль канонически сопряженных величин — импульсов и координат. В терминах этих переменных уравнения движения принимают вид:

∂t ξ =

δH , δλ

∂t λ = −

δH . δξ

Глава 23 ГАМИЛЬТОНОВ ПОДХОД К ЖИДКИМ КРИСТАЛЛАМ Жидкокристаллическое состояние является особым агрегатным состоянием, которое присуще веществам, состоящим из анизотропных молекул. В этом состоянии вещество, с одной стороны, подобно обычному, твердому, кристаллу обладает ярко выраженной анизотропией, а с другой, — подобно жидкости, течет. Обычно жидкокристаллическое состояние реализуется в узком (около десяти градусов) температурном интервале между жидким и твердым состояниями. В последние годы гамильтонов подход, известный как метод скобок Пуассона, широко используется для построения нелинейных гидродинамических моделей жидких кристаллов. Имеется достаточно обширная литература, посвященная этому вопросу (см., например, [25, 99, 104, 211] и ссылки, указанные там). Один из способов построения таких моделей [99] основан на выделении подалгебры динамических переменных, характеризующих состояния тех или иных жидкокристаллических фаз, из более общей алгебры динамических переменных, для которых скобки Пуассона уже известны. Таким образом, гамильтонизация таких моделей и вывод уравнений движения связаны с пересчетом скобок Пуассона, заданных на одном фазовом пространстве, в скобки Пуассона на другом фазовом пространстве. В этой главе в качестве иллюстрации рассматривается построение минимальных моделей нематика. Отличительной особенностью нематика является то, что наряду с такими динамическими переменными, описывающими состояние изотропной жидкости, как плотность массы ̺(x, t), плотность импульса π (x, t), его макроскопическое состояние описывается дополнительным распределенным параметром — единичным вектором n(x, t). Этот параметр, именуемый директором, характеризует преимущественное направление главной оси молекул нематика, и его введение мотивируется микроскопическими физическими представлениями о молекулярном строении жидкокристаллической среды. Согласно этим представлениям, нематик является системой молекул, центры масс которых расположены в пространстве хаотически, но главные оси молекул имеют выделенное направление. При этом молекулы могут свободно проскальзывать друг относительно друга и вращаться вокруг своих главных осей.

§ 23.1. Стержнеобразный нематик Предположим, что нематик состоит из молекул стержнеобразной формы. Распределение ориентаций таких молекул можно описать с помощью семейства жидких линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением стержней (рис. 23.1). 196

197

23.1. Стержнеобразный нематик

Рис. 23.1. Модель нематика, который состоит из молекул стержнеобразной формы, приклеенных к жидким линиям

Поскольку жидкие линии вморожены в жидкость, и, следовательно, молекулы эволюционируют вдоль лагранжевых траекторий подобно дифференциальным элементам жидких линий, ориентация молекул в каждой точке пространства совпадает с направлением «вмороженного» поля J . Напомним, что этот тип полей наряду с другими видами полей, которые эволюционируют за счет гидродинамического переноса, уже рассматривался в §§ 8.4, 9.2, 10.2, 11.1. В этих разделах давалась физическая интерпретация этих полей, обсуждались их топологические свойства, а также рассматривались скобки Пуассона и соотношения взаимности. На основании установленной выше топологической классификации поля J, характеризующего распределение направлений стержнеобразных молекул нематика, директор можно ввести по формуле n (x, t) = J /J,

(23.1.1)

где J = |J |. Так как скобка Пуассона для «вмороженного» поля J и гидродинамического импульса π известна и определяется соотношением (8.4.7), скобку Пуассона {ni , πk′ } можно вычислить непосредственно: Z δni {ni , π ′ k } = {J ′′ m , π ′ k } dx′′ = J −1 (δim − ni nk ) {Jm , π ′ k }. δJ ′′ m Откуда следует, что

{ni , π ′ k } = −δ∂k ni + (δik − ni nk ) nl ∂l δ.

(23.1.2)

π = ̺∇ϕ − γk ∇Jk + ∂k (γ Jk ) .

(23.1.3)

Канонические переменные в эту модель нематика могут быть введены как результат канонического преобразования. Напомним1 , что в присутствии дополнительного поля J канонические переменные вводятся в виде канонически сопряженных пар (̺, ϕ) и (J , γ ) с помощью представления Клебша для гидродинамического импульса

Рассмотрим преобразование (23.1.1) как точечное каноническое преобразование, которое описывает переход от старых канонически сопряженных переменных (J , γ ) к новым переменным (n, m). 1

См. по этому поводу § 8.4.

198

Глава 23. Гамильтонов подход к жидким кристаллам

Чтобы установить закон, по которому преобразуется импульсы, в соответствии с § 5.2 запишем производящий функционал Z Z Ji F3 = − mi ni dx = − mi dx. J Воспользовавшись правилом, согласно которому старые импульсы находятся как γi = −δF3 /δni , получим соотношение

γi = J −1 mk (δik − ni nk ) ,

(23.1.4)

π = ̺∇ϕ − mk ∇nk + ∂k ((m − n (m · n)) nk ) .

(23.1.5)

связывающее старые и новые канонические импульсы. Подстановка формул (23.1.1) и (23.1.4) в представление Клебша (23.1.3) приводит его к виду Рассмотрим в качестве гамильтониана нематика выражение Z 2 π dx + U [̺, n] , H = 2̺

(23.1.6)

где U — функционал внутренней энергии, зависящий только от ̺ и n. Тогда, используя неканонические скобки Пуассона (7.3.5), (7.4.4) и (23.1.2), получим уравнения движения стержнеобразного нематика в традиционной эйлеровой форме:     δU δU δU ∂t π + (v · ∇)π = −̺∇ ∇nk + ∂l n × × n nl , + δ̺ δnk δn

∂t n + (v · ∇)n = (n · ∇)v − nnk (n · ∇)vk , ∂t ̺ + ∇ · (̺v ) = 0.

Уравнения движения в канонической форме, следуют из уравнений:

δH δH , ∂t ϕ = − , δϕ δ̺ δH δH , ∂t m = − , ∂t n = δm δn если воспользоваться представлением Клебша (23.1.5). Для модели с гамильтонианом (23.1.6) эти уравнения движения в раскрытом виде выглядят как 1 δU ∂t ̺ + ∇ · (̺v) = 0, ∂t ϕ + (v · ∇)ϕ = v 2 − , 2 δ̺ ∂t ̺ =

∂t n + (v · ∇)n = (n · ∇)v − nnk (n · ∇)vk , ∂t m + ∂k (vk m) = (mk − (m · n) nk ) ∇vk + +mnk (n · ∇)vk + (n · m) (n · ∇)v − и предполагают связь n2 = 1.

δU , δn

199

23.2. Дискообразный нематик

§ 23.2. Дискообразный нематик Аналогично можно рассмотреть модель нематика, состоящего из дискообразных молекул. Для дискообразного нематика распределение ориентаций молекул можно описать с помощью семейства жидких поверхностей, касательные плоскости к которым в каждой точке совпадают с плоскостями дисков. Схематическое изображение этих поверхностей показано на рис. 23.2.

Рис. 23.2. Модель нематика, состоящего из дискообразных молекул, «вмороженных» в жидкие поверхности

Поскольку молекулярные диски, из которых состоит такой нематик, «вморожены» в жидкие поверхности, они эволюционируют вдоль лагранжевых траекторий подобно дифференциальным ориентированным элементам жидких поверхностей. Согласно классификации, установленной в § 9.2, этот топологический тип векторных полей обозначается символом S и к нему, например, принадлежит плотность импульса Лэмба. Так как ориентация дискообразных молекул в каждой точке пространства совпадает с направлением поля S, директор, характеризующий распределение направлений молекул в этой модели нематика, можно ввести по формуле n (x, t) = S /S,

(23.2.1)

где S = |S |. Воспользовавшись тем, что скобка Пуассона для переменных S и π определяется соотношением (8.4.6), скобку Пуассона {ni , πk′ } вычислим непосредственно:

{ni , πk′ }

=

Z

δni ′′ {Sm , πk′ } dx′′ = S −1 (δim − ni nk ) {Sm , πk′ } = ′′ δSm = −δ∂k ni − (δik − ni nk ) nl ∂l δ. (23.2.2)

Легко видеть, что скобки Пуассона (23.2.2) и (23.1.2) для моделей нематика с дискообразными и стержнеобразными молекулами отличаются лишь знаком перед последним слагаемым в этих скобках. Чтобы не повторять вывод уравнений движений, достаточно учесть, что смена знака скажется лишь на знаке тех членов уравнений, которые обусловлены этим слагаемым.

200

Глава 23. Гамильтонов подход к жидким кристаллам

§ 23.3. Введение канонических переменных в модели нематиков Отметим, что представления (23.2.1) и (23.1.1), которые допускает поле директора, не является единственно возможными. Если семейство жидких поверхностей нематика допускает параметризацию

σ (x, t) = const, где функция σ — лагранжев инвариант, то в силу определения переменной σ ее градиент ∇σ направлен по нормали к нематической поверхности. В этом случае, компоненты S-поля могут быть заданы по формуле Si = ∂i σ и соответственно директор дискообразного нематика имеет представление

ni = |∇σ|−1 ∂i σ. Рассматривая это соотношение как представление Клебша для поля директора, можно показать (например, с помощью канонического преобразования), что канонические переменные ̺, ϕ и σ , λ, образующие пары канонически сопряженных величин, вводятся в модель дискообразного нематика с помощь представления Клебша для гидродинамического импульса π = ̺∇ϕ − λ∇σ. Для параметризации нематика, состоящего из стержнеобразных молекул, вмороженных в жидкие линии, необходимо иметь два независимых лагранжева инварианта σ1 и σ2 . Тогда, если каждое из уравнений

σ1 (x, t) = const,

σ2 (x, t) = const

(23.3.1)

параметризует семейство жидких поверхностей, то пересечение этих поверхностей идентифицирует молекулярные линии нематика. Так как в силу определения лагранжевых поверхностей (23.3.1) градиенты ∇σ1 и ∇σ2 задают нормали к этим жидким поверхностям, очевидно, что векторное произведение (∇σ1 × ∇σ2 ) определяет ориентацию стержнеобразных молекул, распределенных вдоль нематических линий. Таким образом, для нематика, состоящего из стержнеобразных молекул, представления Клебша для поля директора и поля гидродинамического импульса принимают вид:

ni = eikl ∂k σ1 ∂l σ2 |∇σ1 × ∇σ2 |−1 , π = ̺∇ϕ − λ1 ∇σ2 − λ2 ∇σ2 , где переменные (̺, ϕ), (σ1 , λ1 ) и (σ2 , λ2 ) образуют пары канонически сопряженных величин. В заключение раздела отметим, что модели, описывающие другие возможные жидкокристаллические состояния, рассматривались в работах [25, 99, 104, 211].

Глава 24 ГАМИЛЬТОНОВ ПОДХОД В КИНЕТИКЕ Основной величиной, которая используется при статистическом описании поведения многих частиц в кинетике, является функция распределения частиц f (x, v , t). Она имеет смысл массы (или числа) частиц, находящихся в момент времени t в единичном элементе объема шестимерного пространства, образуемого тремя компонентами пространственной координаты x и тремя компонентами скорости v. Таким образом, масса dm в объеме dxdv равна

dm = f (x, v , t) dxdv . «Частицами» в кинетических моделях могут быть объекты самой различной природы, начиная от электронов и кончая галактиками. Функция распределения удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана

∂t f + v ·

∂f ∂f +F · = C, ∂x ∂v

где F (x, v , t) обозначает силу, действующую на частицу, а C — так называемый столкновительный член, определяющий изменение функции распределения f за счет столкновений между частицами. Вид столкновительного члена зависит от конкретной задачи.

§ 24.1. Бесстолкновительные модели кинетики В бесстолкновительном приближении, которым мы будем пользоваться ниже, полагают C = 0. Получающееся в результате бесстолкновительное кинетическое уравнение ∂f ∂f ∂t f + v · +F · = 0, (24.1.1) ∂x ∂v есть не что иное, как уравнение непрерывности в пространстве (x, v ). Оно означает, что функция распределения не меняется вдоль траектории частицы в этом пространстве1 . 1

Действительно функция распределения не меняется вдоль так называемых характеристик — кривых, которые для уравнения (24.1.1) задаются соотношениями dt =

dx1 dx2 dx3 dv1 dv2 dv3 = = = = = . v1 v2 v3 F1 F2 F3

Легко видеть, что из этих соотношений следуют уравнения движения частиц dx = v, dt

dv = F. dt

201

202

Глава 24. Гамильтонов подход в кинетике

Рассмотрим класс моделей, описывающих бесстолкновительные системы с самосогласованным полем F 2 . В таких системах сила, действующая на частицы, обязана коллективному самосогласованному действию остальных частиц и подчиняется уравнению   ∂ δU F (x, t) = − , (24.1.2) ∂ x δ̺ где U — энергия взаимодействия частиц — является некоторым функционалом плотности ̺, которая связана с функцией распределения f очевидным соотношением Z ̺ (x, t) = f (x, v , t) dv. (24.1.3) Отметим, что в силу этого соотношения δ̺′ /δf = δ (x′ −x) и, следовательно, имеет место равенство Z δU δ̺′ ′ δU δU = dx = , ′ δf (x, v ) δ̺ δf δ̺ (x) из которого можно сделать вывод, что вариационная производная энергии взаимодействия δU /δf не зависит от v и является функцией только пространственной координаты x. Легко убедиться, что система уравнений (24.1.1)–(24.1.3) сохраняет интеграл энергии Z v2 dv dx + U , H = f (24.1.4) 2 и ее динамические свойства характеризуются одной-единственной скобкой Пуассона {f, f ′ }, которую легко вычислить следующим образом. Из гамильтоновости системы следует, что динамическая переменная f удовлетворяет уравнению  ′2  Z v δU ′ ∂t f = {f, H } = {f, f } + d v ′ d x′ . (24.1.5) 2 δf ′ В то же время, воспользовавшись дельта-функцией в шестимерном пространстве (x, v ), кинетическое уравнение (24.1.1) можно переписать в интегральном виде  ′  Z  ′2 v δU ∂f ∂ ∂f ′ ∂ ∂t f = − + ′ − × 2 δ̺ ∂ v ′ ∂ x ′ ∂ x′ ∂ v ′

× δ(x − x′ )δ(v − v ′ ) dv′ dx′ . (24.1.6)

Сравнивая между собой (24.1.6) и (24.1.5), приходим к соотношению  ′  ∂f ∂ ∂f ′ ∂ ′ {f, f } = − δ ( x − x′ ) δ ( v − v ′ ) , (24.1.7) ∂ x ′ ∂ v ′ ∂ v ′ ∂ x′

которое впервые было получено в [253] и, как легко проверить, удовлетворяет всем необходимым требованиям для скобки Пуассона.

2 Силовое поле F называется самосогласованным, если оно создается распределением частиц, которое, в свою очередь, определяется этим же полем.

24.2. Гамильтонизация уравнений Власова

203

§ 24.2. Гамильтонизация уравнений Власова Как пример гамильтонизации уравнений кинетики рассмотрим одножидкостную модель бесстолкновительной плазмы, подчиняющуюся кинетическим уравнениям Власова ∂f ∂t f + (v · ∇)f + E · = 0. (24.2.1) ∂v Здесь E — напряженность электрического поля, которая выражается через электрический потенциал φ: E = −∇φ.

Электрический потенциал φ определяет энергию взаимодействия частиц и, будучи функционалом плотности ̺, связан с функцией распределения: Z e ∆φ = −4π (̺ − ̺0 ) , ̺ = f dv , (24.2.2) m где e и m — соответственно заряд и масса электрона, а ̺0 — плотность однородного ионного фона. Уравнения (24.2.1), (24.2.2) описывают потенциальные колебания электронов в электрическом поле E относительно однородного ионного фона и сохраняют интеграл энергии Z v2 H = f dv dx + U , 2

где U — энергия электростатического взаимодействия: Z Z (̺ − ̺0 ) (̺′ − ̺0 ) 1 e2 2 (∇φ) dx = U = dxdx′ . 8π 2m2 |x − x′ |

Непосредственной проверкой можно убедиться, что с помощью скобки Пуассона (24.1.7) кинетическое уравнение Власова (24.2.1) может быть записано в гамильтоновой форме ∂t f = {f, H }.

§ 24.3. Гамильтонизация уравнений Власова—Максвелла Аналогичным образом неканонические скобки Пуассона вводятся в более сложную бесстолкновительную кинетическую модель, которая описывается уравнениями Власова—Максвелла:   e 1 ∂f ∂t f + (v · ∇)f + E+ v×H · = 0, (24.3.1) m c ∂v Z e ∂t H = −c (∇ × E ) , ∂t E = c (∇ × H ) − 4π v f dv , (24.3.2) m Z e ∇ · E = 4π f dv, ∇ · H = 0. (24.3.3) m

204

Глава 24. Гамильтонов подход в кинетике

Здесь f (x, v , t) — функция распределения, а H (x, t) и E (x, t) — напряженности соответственно магнитного и электрического полей. Отметим, что последние два уравнения (24.3.3) играют роль связей. Уравнения Власова—Максвелла сохраняют интеграл энергии Z Z
1 v2 dv dx + H = f H 2 + E 2 d x. (24.3.4) 2 8π

Скобки Пуассона на фазовом пространстве динамических переменных f , H, E, отвечающие системе уравнений (24.3.1)–(24.3.3) с гамильтонианом (24.3.4), рассматривались в работах [246, 253]. Используя стандартную процедуру гамильтонизации, изложенную в § 15.1, можно воспроизвести этот результат и показать, что нетривиальные скобки Пуассона для этой модели имеют вид:

{f, f ′} =

∂f ′ ∂ ∂f ′ ∂ · − · + ∂ x ′ ∂ v ′ ∂ v ′ ∂ x′ !   e ∂f ∂ + H× · δ ( x − x′ ) δ ( v − v ′ ) , mc ∂v ∂ v′ {E , f ′ } = 4π

e ∂f ′ δ (x − x′ ) , m ∂v′

{Ei , Hk′ } = 4πceilk ∂l δ (x − x′ ) .

(24.3.5) (24.3.6) (24.3.7)

Скобки (24.3.5)–(24.3.7) можно упростить, если вместо магнитного поля H ввести векторный потенциал A: (24.3.8)

H = ∇ × A, вместо переменной E — новую переменную B: E = 4πcB , а в качестве новой независимой переменной — обобщенную скорость u: u=v+

e A. mc

(24.3.9)

Отметим, что замена независимых переменных (24.3.9) индуцирует новую функцию распределения f˜(x, u, t), которая связана со старой f (x, v , t) очевидным равенством Z e ˜ f (x, u, t) = f (x, v , t)δ(v − u + A) dv. mc В результате приходим к новым связям: Z e Φ1 = ∇ · B − f˜ du = 0, mc

Φ2 = ∇ · A = 0.

24.3. Гамильтонизация уравнений Власова—Максвелла

205

Последнее ограничение известно как кулоновская калибровка и мотивируется тем, что векторный потенциал A определяется из равенства (24.3.8) неоднозначно, а с точностью до градиента произвольной функции. На новом фазовом пространстве динамических переменных f˜, B, A скобки Пуассона (24.3.5)–(24.3.7) индуцируют соотношения: ! ˜′ ∂ ˜′ ∂ ∂ f ∂ f {f˜, f˜′ } = · − · δ (x − x′ ) δ (u − u′ ) , (24.3.10) ∂ x ′ ∂ u′ ∂ u′ ∂ x ′

e ∂ f˜′ {Bi , f˜′ } = (δik δ (x − x′ ) − {Bi , A′k }) , mc ∂u′i ′ elmk ∂m ({Bi , A′k } − δik δ (x − x′ )) = 0,

которые можно разрешить относительно скобок {Bi , A′k } и {Bi , f˜′ }. Как мы знаем (см. подробности в § 15.3), в зависимости от того, требуем мы, чтобы эти скобки были согласованы со связями, или нет, существуют два пути решения этой задачи. Если мы не требуем согласованности, то в качестве самого простого решения можно взять:

{Bi , f˜′ } = 0,

{Bi , A′k } = δik δ (x − x′ ) .

(24.3.11)

Это решение означает, что пространство динамических переменных делится на два коммутирующих между собой сектора: сектор функции распределения f˜ и сектор электромагнитных переменных A, B. Последний, как легко заметить, оказывается каноническим. Поскольку новые скобки (24.3.10), (24.3.11) не согласованы со связями3 , проблема определения гамильтониана на поверхности связей становится нетривиальной и должна решаться в соответствии со стандартной процедурой, которая изложена в § 15.2. Эта процедура уже осуществлялась нами в § 22.2 для модели электронной жидкости, взаимодействующей с электромагнитным полем, и применительно к модели Власова—Максвелла не имеет принципиальных отличий. Поэтому приведем окончательный результат, опуская подробности. Итак, новая гамильтоновая формулировка уравнений для модели Власова— Максвелла характеризуется гамильтонианом Z  Z   1 e 2 1 ˜ H = f u− A dudx + (4πc)2 B 2 − A · ∆A dx− 2 mc 8π   Z Z ce f˜′ e ˜ − ∇·B− f du dxdx′ du′ , (24.3.12) m |x − x′ | mc и связью 3

В этом можно убедиться непосредственно, вычислив скобки:



e ∂ f˜′ ∂ {Φ1 , f˜′ } = · δ x − x′ , {Φ2 , B ′ } = ∇δ x − x′ , m ∂u′ ∂x′ которые, как легко заметить, оказываются нетривиальными.

206

Глава 24. Гамильтонов подход в кинетике

Z

e f˜ du = 0, (24.3.13) mc которой, согласно правилам, можно пользоваться только после вычисления скобок Пуассона (24.3.10), (24.3.11). ∇·B−

§ 24.4. Каноническая формулировка уравнений Власова Введение канонических переменных в системы с вырожденными скобками Пуассона можно осуществить различными способами. С одним из таких способов — параметризацией — мы познакомимся на примере бесстолкновительных систем с самосогласованным полем. Ключевая идея подобного рода параметризаций заключается в том, чтобы частично или полностью снять вырождение, связанное с существованием в динамической системе скрытых симметрий. В гидродинамике ярким образцом такой параметризации является представление вихревой нити в виде сингулярного контурного интеграла (4.2.14). Более общим примером является параметризация, названная в работах [113, 115, 116] представлением вихревых линий. Эта параметризация описывает поле завихренности как непрерывный ансамбль вихревых нитей. Действуя в русле этих идей, следуя работе [87], рассмотрим для функции распределения следующую параметризацию Z ˆ (x, ξ, t)) dξ. f (x, v , t) = ̺ˆ (x, ξ, t) δ (v − v (24.4.1) По существу, представление (24.4.1) означает, что эволюция системы сосредоточена на поверхностях ˆ (x, ξ, t) , v=v

которые маркированы непрерывным параметром ξ . Изменяя этот параметр, мы переходим с одной поверхности на другую, пробегая, таким образом, все фазовое пространство. Переменная ̺ˆ (x, ξ, t) имеет смысл плотности числа частиц, нахоˆ (x, ξ, t). дящихся в момент t на поверхности ξ и двигающихся со скоростью v ˆ имеНепосредственная проверка показывает, что, если для переменных ̺ˆ и v ют место скобки Пуассона гидродинамического типа:

∂ (ˆ ̺δ) , ∂xk   1 ∂ˆ vk ∂ˆ vi ′ {ˆ vi , vˆk } = − δ, ̺ˆ ∂xi ∂xk

{ˆ ̺, ̺ˆ′ } = 0,

{ˆ ̺, vˆk′ } = −

где δ = δ (x − x′ ) δ (ξ − ξ ′ ), то для функции распределения f (x, v , t) реализуется скобка Пуассона (24.1.7). Таким образом, между кинетической теорией и гидродинамикой имеет место тесная связь, позволяющая с помощью преобразования (24.4.1) переносить результаты, в том числе, и канонические переменные, на модели кинетики. Подобно пространственным декартовым координатам канонические переменные вводятся не единственным образом. Иначе говоря, если найден какой-либо

24.4. Каноническая формулировка уравнений Власова

207

один вариант введения канонических переменных, то можно указать бесконечно много других вариантов, взаимосвязанных каноническими преобразованиями. В этом свете, учитывая разнообразие задач, с которыми приходится сталкиваться, для каждой динамической системы полезно иметь альтернативу в выборе наиболее адекватной версии канонической формулировки. Ниже для моделей кинетики со скобкой Пуассона (24.1.7) нами предложена еще одна версия, в которой канонические переменные получены с помощью представления Клебша для функции распределения f . Предположим, что канонический базис состоит только из одной пары канонических переменных — обобщенной координаты q (x, v , t) и обобщенного импульса p (x, v , t), и рассмотрим соотношение (24.1.7) как функциональное уравнение. Раскрывая стоящую в левой части скобку Пуассона {f, f ′} по стандартному правилу, получим  Z  δf δf ′ δf δf ′ − dx′′ dv ′′ = δq ′′ δp′′ δp′′ δq ′′   ′ ∂ ∂f ′ ∂ ∂f · − · δ (x − x′ ) δ (v − v ′ ) . (24.4.2) = ∂ x ′ ∂ v ′ ∂ v ′ ∂ x′ Решение этого уравнения f [q, p] будем искать в виде степенного выражения, имеющего по переменным q , p и операторам дифференцирования ∂/∂ x, ∂/∂ v соответственно порядки k , l, n, m. Отразим это символически формулой

[f ] = [q]k [p]l [∂/∂ x]n [∂/∂ v ]m ,

(24.4.3)

которая отражает связь размерностей, входящих в это равенство переменных и операций дифференцирования. Используя символическую запись (24.4.3) и выполнив операции в соответствии с равенством (24.4.2), получим уравнение для размерностей

[q]k [p]l [∂/∂ x]n+1 [∂/∂ v ]m+1 = [q]2k−1 [p]2l−1 [∂/∂ x]2n [∂/∂ v ]2m , откуда, сравнивая показатели степеней, найдем

k = l = n = m = 1. Окончательно структуру представления Клебша f [q, p] можно зафиксировать, если воспользоваться свойствами симметрии модели. Во-первых, это требование инвариантности относительно поворотов в координатном пространстве и, вовторых, — требование калибровочной инвариантности. Последнее подразумевает независимость представления Клебша от выбора канонических переменных, а, следовательно, его инвариантность относительно канонических преобразований. Эти два требования позволяют найти представление4

f=

∂q ∂p ∂q ∂p · − · . ∂x ∂v ∂v ∂x

(24.4.4)

4 В работе [254] это соотношение было получено из аналогии между скобками Пуассона для скалярной завихренности и функции распределения.

208

Глава 24. Гамильтонов подход в кинетике

Уравнения кинетики в канонической форме можно получить из уравнений:

∂t q =

δH , δp

∂t p = −

δH , δq

если воспользоваться представлением Клебша (24.4.4), которое выражает функцию распределения f через канонические переменные q и p. Для моделей с гамильтонианом (24.1.4) эти уравнения в выглядят как

∂t q = −v ·

∂q ∂q ∂ δU , + · ∂ x ∂ v ∂ x δ̺

∂t p = −v ·

∂p ∂p ∂ δU . + · ∂ x ∂ v ∂ x δ̺

§ 24.5. Каноническая формулировка уравнений Власова—Максвелла Полученный результат может быть обобщен на модель Власова—Максвелла. Для решения этой задачи вернемся к той гамильтоновской версии модели, которая была получена в конце § 24.3. Напомним, что эта версия сформулирована для гамильтониана (24.3.12), и в ней нетривиальны только две скобки Пуассона: ! ˜′ ∂ ˜′ ∂ ∂ f ∂ f {f˜, f˜′ } = · − · δ (x − x′ ) , ∂ x′ ∂ u ′ ∂ u ′ ∂ x′

{Bi , A′k } = δik δ (x − x′ ) , причем переменные B и A, описывающие электромагнитное поле, — канонически сопряженные по построению. Единственное препятствие — неканоничность взаимной скобки Пуассона для функции распределения f˜ преодолевается с помощью представления

∂ q˜ ∂ p˜ ∂ q˜ ∂ p˜ f˜ = · − · , ∂x ∂u ∂u ∂x

(24.5.1)

которое аналогично представлению Клебша (24.4.4) вводит дополнительно пару скалярных канонических переменных — обобщенную координату q˜ (x, u, t) и обобщенный импульс p˜ (x, u, t). Особенность представления в (24.5.1) том, что оно получено с помощью преобразования e u=v+ A (x, t) , (24.5.2) mc которое, с одной стороны, «выпрямляет» фазовое пространство динамических переменных, т. е. скобки Пуассона, но, с другой, «искривляет» пространство независимых переменных, выполняющих роль аргументов. Однако этот компромисс не обязателен, и его можно избежать ценой построения не одного, а двух представлений Клебша: одно для функции распределения,

24.5. Каноническая формулировка уравнений Власова—Максвелла

209

другое — для электрического поля. Соответствующая процедура состоит из двух этапов и начинается с возвращения в исходное фазовое пространство (x, v ). Так как это возвращение равносильно преобразованию Z  e  g = g˜δ u − v − A d u, mc

оно затрагивает только те полевые переменные g˜, которые зависят от скоростей u. Поэтому, для любой переменной g , которая в фазовом пространстве (x, u) характеризовалась тривиальной скобкой {B , g˜′ } = 0, после возвращения в фазовое пространство (x, v ) получим

{B , g ′ } =

e ∂g ′ δ (x − x′ ) . mc ∂ v ′

В результате после такого пересчета получим, что, во-первых, кроме прежних скобок Пуассона:

{q, p′ } = δ (x − x′ ) δ (v − v ′ ) , {Bi , A′k } = δik δ (x − x′ ) ,

которые не изменились, появились скобки:

e ∂q ′ δ (x − x′ ) , mc ∂ v ′ e ∂p′ { B , p′ } = δ ( x − x′ ) , mc ∂ v ′ {B , q ′ } =

(24.5.3)

нарушающие каноничность, а во-вторых, из-за преобразования (24.5.2) изменяется представление Клебша для функции распределения   ∂q ∂p ∂q ∂p e ∂q ∂p f= · − · + H· × . (24.5.4) ∂ x ∂ u ∂ u ∂ x mc ∂v ∂v Последний этап — восстановление каноничности — преодолевается с помощью построения еще одного представления Клебша для переменной B. Рассматривая равенства (24.5.3) как функциональные уравнения, легко найти их решение Z e ∂p B =D+ q dv , (24.5.5) mc ∂v где переменная D в соответствии с условием

{Bi , A′k } = δik δ (x − x′ ) образует с векторным потенциалом A канонически сопряженную пару

{Di , A′k } = δik δ (x − x′ ) .

210

Глава 24. Гамильтонов подход в кинетике

Непосредственная подстановка представлений (24.5.4), (24.5.5) в соотношение (24.3.13) приводит к условию бездивергентности ∇ · D = 0. Это условие совместно с условием ∇ · A = 0 играет роль связей для данной гамильтоновой канонической формулировки уравнений Власова—Максвелла. Однако, как показывает анализ5 , если в качестве гамильтониана на поверхности связей взять выражение Z Z   v2 1 dv dx + H = f (4πc)2 B 2 − A · ∆A dx, (24.5.6) 2 8π то поправки из-за наличия этих связей не возникают. Таким образом, уравнения Власова—Максвелла в канонической форме получаются из уравнений:

δH , δp δH ∂t D = , δA ∂t q =

δH , δq δH ∂t A = − , δD

∂t p = −

(24.5.7)

если при вычислении вариационных производных воспользоваться гамильтонианом (24.5.6) и представлениями Клебша (24.5.4), (24.5.5). В конечном счете, если в качестве гамильтониана взять выражение (24.5.6), вычисления по формулам (24.5.7) приводят к следующим уравнениям:   ∂q e 1 ∂q ∂t q = −v · − E+ v×H · , ∂x m c ∂v   ∂p e 1 ∂p − E+ v×H · , ∂t p = −v · ∂x m c ∂v     Z  ∂p 1 e ∂q ∂q ∂p ∂t D = − ∆A + × v× − × v× dv , 4π mc ∂x ∂v ∂x ∂v   Z e ∂p 2 q dv . ∂t A = −4πc D + mc ∂v

5 Этот несложный анализ в точности повторяет тот, который был проведен для модели свободного электромагнитного поля на с. 139–140.

Часть IV ГАМИЛЬТОНОВ ПОДХОД К МОДЕЛЯМ КОНТУРНОЙ ДИНАМИКИ

Четвертая часть посвящена развитию гамильтоновского подхода применительно к моделям контурной динамики, которые имеют многочисленные приложения в геофизической гидродинамике и плазме [58, 152, 191, 221, 270]. Ключевая идея контурной динамики основана на возможности «сокращенного» описания движения жидкости. С этой целью для полей плотности и завихренности используются специальные параметризации, позволяющие эволюцию жидкости свести к самоиндуцированной эволюции объектов меньшей размерности. Классический пример — поверхностные волны на границе тяжелой несжимаемой жидкости. Кроме поверхности (вихревой пелены), можно указать еще два топологически различных объекта: вихревой контур и точечный вихрь. Как известно, самоиндуцированную эволюцию этих объектов можно описать замкнутым образом в терминах координат, идентифицирующих только сам объект, игнорируя описание всей остальной жидкости. Такой подход к описанию эволюции жидкости известен как метод контурной динамики [283]. Отметим, что в идеальной несжимаемой жидкости среди объектов, изучение которых укладывается в рамки этого метода, самым простым, но принципиально трехмерным, объектом является вихревая нить. Более сложные объекты — вихревую пелену или вихревую трубку можно собрать из вихревых нитей одинаковой интенсивности и плотности. Бурное развитие компьютерных технологий и тот факт, что уравнения контурной динамики — сильно нелинейны и нелокальны, стимулировало развитие и применение преимущественно численных методов их решения [62, 208, 264]. Аналитические подходы получили значительно меньшее распространение, поскольку существенным образом зависят от выбора динамических переменных, параметризующих границы раздела или контур. В этих условиях особую роль играет не только достаточно гибкая формулировка задачи, но и контроль искажений, которые может вносить использование асимптотических методов. С этой точки зрения идея использования гамильтоновского подхода для создания эффективных асимптотических методов представляется весьма привлекательной. Эта идея исходит из того, что любая гамильтоновская формулировка уравнений движения предполагает задание двух непременных атрибутов: скобок Пуассона и гамильтониана системы. Причем, если гамильтониан системы фиксирует в фазовом пространстве гиперповерхность, на которой лежит динамическая траектория конкретной системы, то скобки Пуассона определяют, в качестве своих аннуляторов, все остальные инварианты движения, связанные с внутренними симметриями целого класса систем. По существу, это означает, что в скобках Пуассона содержится вся информация относительно внутренних свойств симметрии, ответственных за динамическую индивидуальность класса систем. Поэтому, чтобы избежать потери этих свойств, необходимо использовать только такие приближения, которые не искажают скобки Пуассона. Таким образом, объектом приближений может быть только одна величина — гамильтониан системы.

Глава 25 ГАМИЛЬТОНОВСКИЕ ВЕРСИИ 2D-КОНТУРНОЙ ДИНАМИКИ Хорошо известно (см., например, [62]), что двумерную динамику областей, однородных по плотности и завихренности, можно свести к динамике контура, игнорируя описание всей остальной жидкости. Однако тот факт, что описание может принимать различные гамильтоновы формы в зависимости от способа параметризации контура, не является тривиальным и заслуживает внимания с точки зрения приложений.

§ 25.1. Редукция к гамильтоновой контурной динамике Начнем с двумерного плоского течения, в котором ротор гидродинамического импульса π = ̺v нормален к плоскости течения и, следовательно, имеет только одну отличную от нуля компоненту γ = {0, 0, γ} ,

γ = eik ∂i πk ,

(25.1.1)

где eik — единичный антисимметричный тензор с компонентами e11 = e22 = 0 и e12 = −e21 = 1. Для таких течений несжимаемой неоднородной жидкости скобки Пуассона (13.3.16), (13.3.17), полученные в § 13.3, могут быть переписаны в терминах двух динамических переменных γ , ̺ следующим образом

{̺, ̺′ } = 0,

{̺, γ ′ } = eki ∂i ̺∂k δ (x − x′ ) ,

{γ, γ ′ } = eki ∂i γ∂k δ (x − x′ ) .

(25.1.2) (25.1.3) (25.1.4)

Рассмотрим для простоты одну область G+ , ограниченную замкнутым жидким контуром C , который, как показано на рис. 25.1, отделяет ее от остальной жидкости во внешней области G− и задан в параметрическом виде

ˆ (s, t) . x=x Здесь s — некоторый параметр, от выбора которого, как мы увидим далее, зависит структура уравнений контурной динамики, а, следовательно, и скобка Пуассона. Пусть завихренность и плотность принимают постоянные значения: внутри контура — ω + , ̺+ , а снаружи — ω − , ̺− . Используя «+» и «−» для обозначения 213

214

Глава 25. Гамильтоновские версии 2D-контурной динамики

C G+ ̺ ω+ +

G− ̺ ω− −

Рис. 25.1. Вихревое пятно на фоне течения с постоянной завихренностью. Стрелки показывают направление обхода контура C

переменных соответственно во внутренней G+ и внешней G− областях, запишем гидродинамический импульс и плотность в виде: π = ̺+ v+ θ + + ̺− v − θ − , ̺ = ̺+ θ + + ̺− θ − .

(25.1.5)

Здесь θ + и θ − — взаимно дополнительные субстанциональные характеристические функции областей G+ и G− :   1, если x ∈ G+ ; 1, если x ∈ G− ; + − θ = θ = 0, если x ∈ G− ; 0, если x ∈ G+ ; такие, что

θ + + θ − = 1,

θ + θ − = 0.

(25.1.6)

Напомним, что, по определению (см. § 9.1), субстанциональная характеристическая тета-функция выделяет область, которая движется вместе с жидкостью и соответственно удовлетворяет уравнению

∂t θ + vk ∂k θ = 0. Отметим, что использование субстанциональных тета-функций позволяет не только автоматически контролировать наличие границ раздела, но и формализовать аналитические выкладки так, что необходимости в отдельном учете граничных условий не возникает. В плоском случае θ + -функция допускает аналитическое представление в виде контурного интеграла Z i zˆs ds + θ = , (25.1.7) 2π C z − zˆ

где i — мнимая единица, а z = x1 +ix2 и zˆ = x ˆ1 +iˆ x2 — комплексные обозначения ˆ = (ˆ для векторов x = (x1 , x2 ) и x x1 , x ˆ2 ). Из представления (25.1.7), которое есть не что иное, как следствие формулы Коши, хорошо известной в теории функций комплексных переменных [118], можно получить две важные формулы для обычной и вариационной производной тета-функции, которые потребуются нам в дальнейшем.

25.1. Редукция к гамильтоновой контурной динамике

215

Для этой цели удобно использовать формулу1 [129]

∂ 1 = πδ (x) . (25.1.8) ∂z ∗ z Здесь символ «∗» обозначает комплексное сопряжение. С помощью формулы (25.1.8) из (25.1.7) можно вычислить как обычную, так и вариационную z -производные для субстанциональной θ + -функции: Z ∂θ + i δθ + i ˆ ˆ) , = z ˆ δ ( x − x ) ds, = − zˆs δ (x − x s ∗ ∗ ∂z 2 C δ zˆ 2 а затем пересчитать эти производные в координатном представлении: Z + ˆ ) ds, ∂i θ = ni δ (x − x (25.1.9) C

δθ + ˆ) . = −ni δ (x − x (25.1.10) δx ˆi Здесь n — вектор внутренней нормали к жидкому контуру, связанный с касательˆ соотношением ным вектором t = ∂s x ni = eki tk .

(25.1.11)

Подстановка представления (25.1.5) для гидродинамического импульса во второе из равенств (25.1.1) приводит к выражению

γ = ̺+ ω + θ + + ̺− ω − θ − + β,

(25.1.12)

где для переменной β справедливо соотношение
β = ̺+ vk+ − ̺− vk− eik ∂i θ + .

Если воспользоваться равенствами (25.1.9) и (25.1.11), легко показать, что в координатном пространстве распределение величины β имеет сингулярный (дельта-функционный) характер: Z ˆ ) ds, β= µ (s, t) δ (x − x C
µ (s, t) = tk ̺− vˆk− − ̺+ vˆk+ , где vˆk± — компоненты гидродинамической скорости на контуре, по обе его стороны. Такой характер распределения означает, что величина β описывает вихревую пелену, плотность которой определяется величиной µ — скачком тангенциальной компоненты гидродинамического импульса на контуре. 1

Формула (25.1.8) является почти очевидным следствием более известной формулы
∂x2 + ∂x2 ln |x| = 2πδ (x) .
Действительно, учитывая, что ∂x2 + ∂x2 = 4∂z ∗ ∂z и |x|2 = zz ∗ , в качестве доказательства немедленно получим следующую цепочку равенств:
1 2 ∂ + ∂x2 ln |x| = ∂z ∗ ∂z ln (zz ∗ ) = ∂z ∗ z −1 = πδ (x) , 2 x из которой и следует формула (25.1.8).

216

Глава 25. Гамильтоновские версии 2D-контурной динамики

§ 25.2. Исходная формулировка для контурной динамики В качестве первого шага на пути к гамильтоновским версиям контурной динамики, совершим преобразование от скобок Пуассона (25.1.2)–(25.1.4) заданных в фазовом пространстве динамических переменных (γ, ̺), к скобкам в фазовом пространстве динамических переменных (β, θ + ). Согласно равенствам (25.1.5), (25.1.6) и (25.1.12), можно записать, что
̺ = ̺− + ̺+ − ̺− θ + , (25.2.1)
+ − − + + − − γ = ̺ ω + ̺ ω − ̺ ω θ + β. (25.2.2) Предположим, что

̺+ − ̺− 6= 0.

Тогда подставляя соотношения (25.2.1), (25.2.2) в систему (25.1.2)–(25.1.4) и разрешая ее относительно скобок {θ + , θ +′ }, {θ + , β ′ }, {β, β ′}, получим:

{θ + , θ +′ } = 0,

{θ + , β ′ } = eik ∂k θ + ∂i δ (x − x′ ) ,

{β, β ′} = νeik ∂k θ + ∂i δ (x − x′ ) + eik ∂k β∂i δ (x − x′ ) ,

(25.2.3) (25.2.4) (25.2.5)

где ν = ̺+ ω + − ̺− ω − . Легко сделать вывод, что система скобок (25.2.3)–(25.2.5) непротиворечива, если только β , а, следовательно и µ, тождественно не равны нулю. Причина возможного противоречия заключается в том, что условие ̺+ 6= ̺− не совместимо с требованием µ ≡ 0, которое означает отсутствие вихревой пелены на контуре. Следовательно, вне зависимости от того, имеется или нет скачок плотности на контуре, система скобок Пуассона (25.2.3)–(25.2.5) относится лишь к случаю, когда на контуре имеет место вихревая пелена. В отсутствие вихревой пелены, т. е. при β ≡ 0, исходная система (25.1.2)– (25.1.4) имеет нетривиальное решение только при условии, что скачок плотности на контуре отсутствует и модель однородна по плотности:

̺+ = ̺− = ̺0 . В этом случае, согласно системе (25.1.2)–(25.1.4), приходим к одной единственной скобке {θ + , θ +′ } = ν −1 eik ∂k θ + ∂i δ (x − x′ ) . (25.2.6)

Подводя итог этой главы, подчеркнем, что в зависимости от того, имеется или нет вихревая пелена на контуре, преобразование (25.2.1) и (25.2.2) приводит к двум типам скобок Пуассона для исходной формулировки контурной динамики. Какая гамильтоновская версия контурной динамики следует из них в дальнейшем, зависит от того, каким образом выбирается параметризация субстанциональной тета-функции θ + . Некоторые из наиболее часто используемых параметризаций будут рассмотрены ниже.

Глава 26 ДИНАМИКА КОНТУРА БЕЗ ВИХРЕВОЙ ПЕЛЕНЫ § 26.1. Скобка Пуассона в однородной модели Согласно результатам предыдущего раздела, отсутствие вихревой пелены на контуре автоматически означает отсутствие скачка плотности1 на этом контуре, или однородность модели, т. е. ̺+ = ̺− = ̺0 . В этом случае величина µ, определяющая плотность вихревой пелены, тождественно равна нулю и эволюция контура полностью определяется скобкой Пуассона {θ + , θ +′ }, которая удовлетворяет соотношению {θ + , θ +′ } = ν −1 eik ∂k θ + ∂i δ (x − x′ ) , (26.1.1) где ν = ̺0 (ω + − ω − ). Рассмотрим теперь другие варианты гамильтоновой формулировки контурной динамики, которые следуют из (26.1.1) и соответствуют описанию контура в ˆ (s, t). фазовом пространстве динамической переменной x Скобку Пуассона в левой части (26.1.1) пересчитаем в новом фазовом пространстве, выразив ее через скобку {ˆ xi , xˆ′k } ZZ δθ + (x) δθ + (x′ ) + +′ {ˆ xi , x ˆ′k } dsds′, {θ , θ } = ˆi (s) δ x ˆk (s′ ) C δx откуда, учитывая (25.1.10), получим ZZ
+ +′ ˆ ) δ x′ − x ˆ ′ ni n′k {ˆ {θ , θ } = δ (x − x xi , x ˆ′k } dsds′. C

Одновременно, воспользовавшись соотношением (25.1.9), представим правую часть (26.1.1) как ZZ
∂δ (s − s′ ) ˆ ) δ x′ − x ˆ′ ν −1 eki ∂i θ + ∂k δ (x − x′ ) = ν −1 δ (x − x dsds′. ∂s C
ˆ ) δ x′ − x ˆ′ В результате, группируя члены при общем множителе δ (x − x под знаком двукратного интеграла, получим равенство ZZ 
 ˆ ) δ x′ − x ˆ ′ νni n′k {ˆ δ (x − x xi , x ˆ′k } − ∂s δ (s − s′ ) dsds′ = 0, (26.1.2) C

из которого следует, что

1 Обратное утверждение неверно. Более того, в однородной модели, где скачок плотности отсутствует, есть свобода выбора — можно рассматривать контур либо без вихревой пелены, либо с вихревой пеленой. Для неоднородной модели такой альтернативы нет, поскольку скачку плотности на контуре обязательно сопутствует вихревая пелена.

217

218

Глава 26. Динамика контура без вихревой пелены

νni n′k {ˆ xi , x ˆ′k } = ∂s δ (s − s′ ) .

(26.1.3)

Рассмотрим возможные параметризации контура.

§ 26.2. Декартова параметризация контура В случае декартовой параметризации контура в качестве параметра s выбирается горизонтальная числовая ось:

s = x1 .

(26.2.1)

Если предположить, что выше границы раздела x2 = η (x1 , t) лежит область G+ , а ниже — область G− (рис. 26.1), то субстанциональная характеристическая функция θ + может быть представлена как обычная функция Хевисайда  1, если x2 ≥ η; θ (x2 − η) = 0, если x2 < η.

x2

C η(x1 , t) G+ , ω +

Рис. 26.1. Декартова параметризация контура C, разделяющего две области двумерного течения однородной жидкости G+ и G− с завихренностями ω + и ω −

G− , ω −

x1 Необходимо отметить, что выбор знака перед горизонтальной координатой x1 в равенстве (26.2.1) должен быть согласован с правилом положительного обхода2 контура C . Таким образом, непосредственно из соотношения (26.1.3) можно установить, что соответствующая версия контурной динамики реализуется в фазовом пространстве с одной динамической переменной η и определяется скобкой ∂ {η (x1 , t) , η (x′1 , t)} = ν −1 δ (x1 − x′1 ) , ∂x1 где ν = ̺0 (ω + − ω − ), которая приводит к уравнению КдВ типа ∂ δH ∂t η = {η, H} = ν −1 . ∂x1 δη Несмотря на простоту, очевидны недостатки такой параметризации. Например, она плохо приспособлена для описания замкнутого контура, или тех ситуаций, когда в ходе эволюции происходит опрокидывание профиля η (x1 , t). В этом случае трудности возникают из-за того, что существуют точки поворота, в которых поведение контура таково, что ∂η/∂x1 → ∞. Более подробно модели с декартовой параметризацией контура будут обсуждаться далее в главе 30. 2 Напомним, что положительным называется такое направление обхода, при котором область, охваченная контуром, остается все время слева.

219

26.3. Натуральная параметризация контура

§ 26.3. Натуральная параметризация контура Натуральная параметризация предполагает, что в качестве параметра s выбирается длина контура. По существу, этот выбор означает, что для касательного к контуру вектора t имеет место условие нормировки t2 = 1.

(26.3.1)

Чтобы найти скобку Пуассона, соответствующую такой параметризации, разxi , x ˆ′k }. решим равенство (26.1.3) относительно скобки {ˆ Общее решение с учетом антисимметричности искомой скобки Пуассона запишем в виде

ν{ˆ xi , xˆ′k } = ni n′k ∂s δ (s − s′ ) + ti n′k a (s, s′ ) − t′k ni a (s′ , s) + ti t′k b (s, s′ ) , (26.3.2) где a (s′ , s) и b (s, s′ ) — некоторые структурные функции, причем b (s, s′ ) — антисимметричная функция своих аргументов

b (s, s′ ) = −b (s′ , s) . Выбор структурных функций a (s′ , s) и b (s, s′ ) не может быть произвольным, а должен быть согласован со связью (26.3.1), которая означает, что величина t2 (t, s) является интегралом движения для любой модели контурной динамики в данном классе параметризации. С геометрической точки зрения равенство (26.3.1) ˆ (s, t) поверхность, на которой сосредоточено выделяет в фазовом пространстве x действительное движение таких систем. Как известно, подобные интегралы движения называются казимирами и являются аннуляторами скобок Пуассона, т. е. {t2 , x ˆ′k } = 0. Откуда следует условие

ti ∂s {ˆ xi , xˆ′k } = 0.

(26.3.3)

Подстановка (26.3.2) в это условие дает равенства:

∂s a (s, s′ ) = −ti

∂ni ∂s δ (s − s′ ) , ∂s

∂s b (s, s′ ) = ti

∂ni a (s′ , s) , ∂s

позволяющие определить структурные функции:

a (s, s′ ) =

∂ (κ′ σ (s′ − s)) , ∂s′

b (s, s′ ) =


1 ′2 κ + κ2 σ (s′ − s) , 2

где σ (s − s′ ) = 12 sign (s − s′ ), а κ = ni ∂s ti — кривизна контура. ˆ (s, t) получаем В результате для скобки Пуассона в фазовом пространстве x выражение

{ˆ xi , x ˆ′k }

=ν

−1

 ∂ ni n′k ∂s δ (s − s′ ) − ti n′k ′ (κ′ σ (s − s′ )) + ∂s 
∂ 1 ′ ′2 ′ ′ 2 ′ + tk ni (κσ (s − s)) + ti tk κ + κ σ (s − s) . (26.3.4) ∂s 2

220

Глава 26. Динамика контура без вихревой пелены

Уравнения контурной динамики, соответствующие этой скобке, имеют вид

  ∂ ′ δH ˆ = {ˆ ∂t x x, H} = ν t κ σ (s − s ) ′ n · ′ ds′ + ∂s ˆ δx C     Z δH ∂ ∂ ′ ′ δH n· σ (s − s) t · ′ ds′ + +n +n κ ˆ ∂s δx ∂s C ˆ δx !   Z
1 ′ δH ′2 2 ′ ′ + t κ + κ σ (s − s) t · ′ ds . (26.3.5) 2 C ˆ δx −1

Z

′

′

Подчеркнем, что, так как в этом варианте гамильтоновой формулировки применяется связь (26.3.1), она должна использоваться только после вычисления всех вариационных производных в (26.3.5).

§ 26.4. Традиционная форма уравнений контурной динамики Для широкого класса гидродинамических моделей, встречающихся на практике, гамильтонианы устроены так, что справедливо равенство t·

δH = 0. ˆ δx

В этом случае уравнение (26.3.5) приводится к более простому виду   −1 ∂ δH ni ∂t x ˆi − ν = 0. ∂s δ x ˆi

(26.4.1)

(26.4.2)

Чтобы проследить природу свойства (26.4.1), рассмотрим модель, гамильтониан которой описывается в терминах завихренности импульса γ как Z 1 H =− γγ ′ G (x, x′ ) dxdx′ , (26.4.3) 2 где G — так называемая функция Грина, связывающая функцию тока ψ с распределением завихренности импульса: Z δH ψ=− = γG (x, x′ ) dx′ . δγ В том простом случае, когда модель представляет собой однородное по плотности ̺0 и завихренности ω − двумерное течение, в котором плавает вихревое пятно с той же плотностью и завихренностью ω + , пространственное распределение завихренности импульса можно представить как
γ = ̺0 ω + θ + + ω − θ − .

221

26.5. Освобождение от связи t2 = 1. Метод Дирака

В этом случае непосредственно из гамильтониана (26.4.3), используя (25.1.10), легко найти, что Z Z δθ + δH δH δγ ˆ (26.4.4) = dx = −ν ψ dx = νnk ψ, δx ˆk δγ δ x ˆk δx ˆk где ψˆ — функция тока на контуре. Именно из этого равенства и следует свойство ортогональности (26.4.1). Уравнения контурной динамики в традиционной форме

ˆ ni ∂t x ˆi = ∂ ψ/∂s

(26.4.5)

(см., например, [58]) следуют из (26.4.2), если воспользоваться справедливым для этих моделей соотношением (26.4.4).

§ 26.5. Освобождение от связи t2 = 1. Метод Дирака Чтобы освободить гамильтонову формулировку (26.3.5) контурной динамики от связи (26.3.1), введем две новые переменные ϕ и r , связанные с компонентами вектора t соотношениями

t1 = r cos ϕ,

(26.5.1)

t2 = r sin ϕ.

Согласно рис. 26.2, переменная ϕ имеет простой геометрический смысл угла наклона вектора t, касательного к контуру в точке s, по отношению к горизонтальной оси x1 . Отметим, что описание плоского контура в терминах угла наклона ϕ (t, s) определяет эвоt x2 люцию этого контура с точностью до положения x ˆ2 (s) его в плоскости как целого. s n В терминах новых динамических переменных связь (26.3.1) превращается в условие G− , ω − G+ , ω +

r = 1.

(26.5.2)

Следуя методу П. Дирака [207], в качестве дополнительных связей рассмотрим тождества Z Ii = ti ds ≡ 0, (26.5.3) C

ϕ 0

x ˆ1 (s)

x1

Рис. 26.2. Натуральная параметризация контура вихревого пятна. Единичный вектор n — нормаль к контуру вихревого пятна

которые имеют простой топологический смысл и выражают замкнутость контура C , охватывающего вихревую область G+ плоского течения. Подчеркнем, что, будучи аннуляторами скобки Пуассона (26.3.4), контурные интегралы Ii характеризуют внутренние свойства симметрии, которыми должна ˆ (s, t), и обладать любая модель контурной динамики на фазовом пространстве x являются инвариантами Казимира.

222

Глава 26. Динамика контура без вихревой пелены

Связи (26.5.3) не являются прерогативой только замкнутых контуров, для которых тождества Z Z ∂x ˆi ds ≡ 0 ti ds = C C ∂s

вполне очевидны. Точно такие же связи остаются справедливыми и для разомкнутых бесконечно протяженных контуров, если предположить, что эти контуры виртуально замкнуты на бесконечности (в бесконечно удаленной точке). Поэтому далее для простоты мы рассматриваем разомкнутый бесконечно протяженный контур C , невозмущенный на бесконечности и совпадающий там с горизонтальной осью x1 . Отметим, что так как в приближении слабой кривизны описания моделей с замкнутыми и разомкнутыми контурами локально эквивалентны, результаты, полученные для разомкнутых контуров, могут быть перенесены на замкнутые. В качестве гамильтониана Дирака рассмотрим суперпозицию Z HD = H0 + λi Ii + λ (r − 1) ds. C

Согласно § 15.2 это выражение следует трактовать как разложение исходного гамильтониана модели в окрестности поверхности связей (26.5.2), (26.5.3) с точностью до членов, которые линейны по отклонениям от этой поверхности. Разложение выписано в виде функционального степенного ряда типа (15.2.1), где H0 — в точности равен гамильтониану на поверхности связей, а λ, λi (i = 1, 2) — некоторые коэффициенты разложения, причем δH . λ (s) = (26.5.4) δr r=1

Множители λi определим из требования, чтобы уравнение движения для переменной ϕ на поверхности связи r = 1 определялось скобкой Пуассона {ϕ, ϕ′ }, т. е. Z +∞ δHD ′ ds . ∂t ϕ = {ϕ, HD } = {ϕ, ϕ′ } (26.5.5) δϕ′ −∞ Использование формул для вариационных производных

δϕ ni = 2 ∂s δ (s − s′ ) , ′ δx ˆi r

δr ti = ∂s δ (s − s′ ) , ′ δx ˆi r

(26.5.6)

и интегрирование по частям приводит уравнение (26.5.5) к виду

∂t ϕ =

Z

+∞ −∞

ni n′k

∂ 2 {ˆ xi , x ˆ′k } δHD ′ ds − ∂s∂s′ δϕ′ ∂{ˆ xi , x ˆ′k } − ni ∂s

 +∞ ′ δHD ′ δHD nk + tk . (26.5.7) δϕ′ δr ′ −∞

223

26.5. Освобождение от связи t2 = 1. Метод Дирака

В рамках предположения о том, что на бесконечности возмущения на контуре исчезают, так что при s′ → ±∞ переменная ϕ(s′ ) и все ее производные стремятся к нулю, последний член в правой части (26.5.7) может быть записан как     ∂{ˆ xi , x ˆ′k } 1 3 ′ δHD ′ δHD −1 ni nk + tk =ν ϕsss + ϕs (λ + λ1 ) . (26.5.8) ∂s δϕ′ δr ′ ±∞ 2 Поскольку, согласно (26.5.6), справедливо соотношение: ′

{ϕ, ϕ } =

Z

+∞ −∞

2 δϕ δϕ′ ′′ ′′′ xi , xˆ′k } ′′ ′′′ ′ ∂ {ˆ {ˆ x , x ˆ } ds ds = n n , i i k k δx ˆ′′i δ x ˆ′′′ ∂s∂s′ k

(26.5.9)

легко сделать вывод, что уравнение (26.5.7) может быть переписано в форме (26.5.5), если исключить последний член (26.5.8), положив для этого λ1 = −λ. Откуда, учитывая (26.5.4), получим δH λ1 = − . δr r=1 s=±∞

Так как теория независима от λ2 , этот множитель можно выбирать произвольно без каких-либо последствий для уравнения движения. Для простоты мы положим λ2 = 0. Подставляя в правую часть соотношения (26.5.9) скобку Пуассона (26.3.4) и используя формулы Френе

∂s ti = κni ,

∂s ni = −κti ,

κ = ϕs ,

(26.5.10)

получим ′

{ϕ, ϕ } = −ν

−1

 ∂s3 δ (s − s′ ) + 2ϕs ∂s (ϕs δ (s − s′ )) + ′

+σ (s − s )



ϕ′s

    1 3 1 ′3 ′ ϕsss + ϕs + ϕs ϕsss + ϕs . 2 2

Соответствующее уравнение движения для переменной ϕ получается стандартным образом  
δHD −1 3 ∂t ϕ = {ϕ, HD } = −ν ∂s + 2ϕs ∂s ϕs +I , (26.5.11) δϕ

где поправка I — дополнительный вклад, который обусловлен нелокальной частью скобки Пуассона, определяется выражением     Z +∞ 1 3 1 ′3 δHD ′ ′ ′ ′ I= σ(s − s ) ϕsss + ϕs ϕs + ϕs ϕsss + ϕs ds . 2 2 δϕ′ −∞

224

Глава 26. Динамика контура без вихревой пелены

Поскольку теперь связь r = 1 может быть наложена непосредственно на гамильтониан до вычисления скобки Пуассона {ϕ, HD }, гамильтониан Дирака HD находится по правилу   Z +∞ δH HD = H0 − (26.5.12) cos ϕ ds . δr s=∞ −∞ r=1 Следует отметить (см. следующий § 26.6), что в гидродинамических моделях с характерным внутренним масштабом3 в приближении слабой кривизны основной вклад дает второе слагаемое, обусловленное топологическим инвариантом I1 = = 0, а гамильтониан модели H0 определяет лишь поправки. Этот факт указывает на универсальность теории для описания крупномасштабной динамики контура в таких моделях. Для таких моделей, варьируя гамильтониан (26.5.12) по ϕ, получим δHD δH = sin ϕ. δϕ δr r=1 s=∞

Подставляя этот результат в уравнение (26.5.11), вычислим вначале интеграл в правой части (26.5.11). Учитывая, что при s → ±∞ переменная ϕ и все ее производные стремятся к нулю, найдем что этот интеграл дает вклад  
1 3 δH 3 ϕsss + ϕs − ∂s + 2ϕs ∂s ϕs sin ϕ . 2 δr r=1 s=∞

В результате для уравнения (26.5.11) получим   δH 1 3 ∂t ϕ = −ν −1 ϕ + ϕ . sss δr r=1 2 s s=∞

§ 26.6. Модели с внутренним характерным масштабом Эффективное применение гамильтонового подхода к моделям контурной динамики подразумевает, прежде всего, умение переформулировать их гамильтонианы в терминах тех переменных, для которых сформулированы скобки Пуассона. Для достижения этой цели существуют различные приемы, один из них — метод функции Грина. Для иллюстрации этого метода рассмотрим 2D -модель одиночного вихревого пятна в среде с внутренним характерным масштабом R [221]. Распределение завихренности для данной модели можно представить в виде

ω = ω+ θ+ + ω− θ−,

(26.6.1)

где субстанциональная функция θ + и завихренность ω + характеризуют внутреннюю область пятна, а θ − и ω − — внешнюю. 3

В гидродинамических моделях геофизической гидродинамики роль внутреннего масштаба часто выполняет радиус Россби. В плазменных моделях роль такого масштаба могут играть, например, ларморовский ионный радиус, ширина скин-слоя и др.

26.6. Модели с внутренним характерным масштабом

225

Исходный гамильтониан этой модели совпадает с полной энергией жидкости и, что достаточно типично для широкого класса 2D -гидродинамических моделей плазмы и геофизической гидродинамики (см. § 20.1, ссылку [150], а также цитируемую там литературу), описывается выражением Z 1 H=− (26.6.2) ψω dx, 2 Вывод гамильтониана

где завихренность (потенциальный вихрь) ω и функция тока ψ связаны соотношением
ω = ∆ − R−2 ψ. (26.6.3)

Здесь R — некоторый внутренний масштаб, определяемый спецификой модели, а ∆ = ∂12 + ∂22 — двумерный оператор Лапласа. С помощью функции Грина задача (26.6.3) может быть решена относительно функции тока как Z

ψ=

G (x, x′ ) ω ′ dx′ ,

где G — функция Грина этой задачи удовлетворяет уравнению
∆ − R−2 G = δ (x − x′ ) .

(26.6.4)

(26.6.5)

Если среда безгранична, функция Грина представляется в явном виде   1 |x − x′ | ′ G (x − x ) = − K0 (26.6.6) 2π R

в терминах модифицированной функции Бесселя нулевого порядка K0 . Воспользовавшись (26.6.4), гамильтониан (26.6.2) можно выразить в терминах завихренности Z 1 H =− ωω ′ G (x − x′ ) dxdx′ , 2

а затем, учитывая (26.6.1) и (26.6.5), переписать как

(Rν)2 H= 2

Z

  θ + θ +′ δ (x − x′ ) − ∆G dxdx′ ,

где ν = ω + − ω − — разность завихренностей пятна и фона. Интегрируя это выражение по частям и используя формулу (25.1.9), для гамильтониана H найдем, что Z  Z
′ (Rν)2 ′ + ′ ˆ −x ˆ ti ti dsds . H= θ dx + G x 2 C Отметим, что первый интеграл в круглых скобках Z Z 1 + I = θ dx = − x ˆi ni ds 2 C

226

Глава 26. Динамика контура без вихревой пелены

определяет площадь вихревой области. Как легко убедиться, будучи аннулятором скобки Пуассона (26.1.1), а, следовательно, и скобки (26.3.4), он не влияет на уравнения динамики контура и может быть опущен. Таким образом, для версии контурной динамики, сформулированной в термиˆ , гамильтониан вихревого пятна представляется интегралом нах переменной x Z
(Rν)2 ˆ −x ˆ ′ ti t′i dsds′. H= G x (26.6.7) 2 C В частном случае вихревого пятна в безграничной жидкости подстановка в (26.6.7) функции Грина (26.6.6) дает выражение ! Z x ˆ −x ˆ ′ (Rν)2 H =− (26.6.8) K0 ti t′i dsds′. 4π R C

Предположим, что l — минимальное значение радиуса кривизны контура — много больше внутреннего масштаба R. Тогда становится возможным введение малого параметра ε = R/l, который позволяет в фазовом пространстве переменных (r, ϕ) развить процедуру построения локального приближения для гамильтониана (26.6.8) Z H= h [s; r, ϕ] ds, (26.6.9) Приближение слабой кривизны

C

где плотность гамильтониана h выражается в виде ряда по степеням малого параметра ε  
(Rν)2 3 R3 2 8 R4 4 h= −πRr + π ϕs − ϕs (rs ϕs − rϕss ) + O ε . (26.6.10) 4π 8 r 3 r3 Подставляя (26.6.9) в (26.5.12), мы найдем приближенное выражение4  Z 
3 2 2 R3 ν 2 4 cos ϕ + R ϕs + O ε ds, (26.6.11) HD = 4 8 C

описывающее гамильтониан Дирака для версии контурной динамики, сформулированной в терминах переменной ϕ. Интересно отметить, что, поскольку исходный гамильтониан обеспечивает
поправку, начиная с члена R2 ϕ2s , который имеет порядок O ε2 , основной вклад cos ϕ в гамильтониан Дирака дает функционал первичной связи. В первом приближении из (26.6.11) следует выражение Z R3 ν 2 HD = cos ϕ ds, 4 C которое, в соответствии с (26.5.11), приводит нас к уравнению   R3 ν 1 ∂t ϕ = {ϕ, HD } = − ϕsss + ϕ3s . 4 2 4

В этом выражении опущены первое и третье слагаемые из (26.6.10). Эти члены не дают вклада при вычислении вариационной производной δHD /δϕ, а, следовательно, не влияют на динамику контура.

Глава 27 МОДЕЛЬ КОНТУРА С ВИХРЕВОЙ ПЕЛЕНОЙ § 27.1. Соотношения для скобок Пуассона Рассмотрим более общую модель вихревого пятна, на контуре которого присутствует вихревая пелена. В этом случае, как уже отмечалось в конце § 25.1 на с. 216, вне зависимости от того, имеется или нет скачок плотности на контуре, на фазовом пространстве θ + , β реализуются следующие скобки Пуассона:

{θ + , θ +′ } = 0,

{θ + , β ′ } = eik ∂k θ + ∂i δ (x − x′ ) ,

(27.1.1)

{β, β ′ } = −νeik ∂k θ + ∂i δ (x − x′ ) + eik ∂k β∂i δ (x − x′ ) ,

где ν = ̺+ ω + − ̺− ω − . Дальнейшая классификация возможных гамильтоновых версий проводится с использованием методов и шаблонов параметризаций, описанных в главе 26. В качестве первого шага осуществим переход к контурной динамике в фазоˆ , µ. Из (27.1.1) для скобок Пуасвом пространстве динамических переменных x сона {ˆ xi , x ˆ′k } и {ˆ xi , µ′ } получим следующие соотношения:

ni n′k {ˆ xi , xˆ′k } = 0,

ni ∂s (µ′ t′k {ˆ xi , x ˆ′k }) − ni {ˆ xi , µ′ } = ∂s δ (s − s′ ) ,

∂s ∂s′ (µ′ µti t′k {ˆ xi , x ˆ′k }) −∂s (µti {ˆ xi , µ′ }) −
−∂s′ µ′ t′i {µ, x ˆ′i } + {µ, µ′ } = −ν∂s δ (s − s′ ) .

(27.1.2)

Рассмотрим возможные параметризации контура.

§ 27.2. Декартова параметризация контура Декартова параметризация уже рассматривалась нами в § 26.2, поэтому просто приведем результат, который следует непосредственно из решения системы (27.1.2), если воспользоваться подстановкой s = x1 , x ˆ1 = x1 , x ˆ2 = η(x1 , t). Используя принятую в § 26.2 систему обозначений, из (27.1.2) получим следующие скобки Пуассона:

{η, η′ } = 0,

{η, µ′ } = −

∂δ , ∂x1

{µ, µ′ } = −ν

∂δ . ∂x1

(27.2.1)

Здесь и далее предполагается, что δ = δ (x1 − x′1 ) — одномерная дельта-функция. 227

228

Глава 27. Модель контура с вихревой пеленой

Поэтому для декартовой параметризации уравнения движения границы раздела могут быть сформулированы в гамильтоновой форме как

∂ δH , ∂x1 δµ   ∂ δH δH ∂t µ = {µ, H} = − +ν , ∂x1 δη δµ ∂t η = {η, H} = −

где H — гамильтониан модели. Этот результат, впервые полученный в [38] другим методом и использованный затем работах [39, 220], может быть переформулирован либо в уравнения КдВ типа, если ν 6= 0, либо в уравнения канонического вида. Если ν 6= 0, замена переменных

ξ = µ − νη приводит к скобкам Пуассона КдВ типа:

{ξ, ξ ′ } = ν

∂δ , ∂x1

{ξ, µ′ } = 0,

{µ, µ′ } = −ν

∂δ . ∂x1

(27.2.2)

Полученные скобки соответствуют уравнениям движения:

∂t ξ = {ξ, H} = ν

∂ δH , ∂x1 δξ

∂t µ = {µ, H} = −ν

∂ δH , ∂x1 δµ

которые кроме гамильтониана H сохраняют интегралы: Z Z Z
1 2 2 P = ξ − µ dx1 , T1 = ξ dx1 , T2 = µ dx1 . 2

Если сохранение интеграла P , играющего роль вихревого импульса, связано с трансляционной инвариантностью1 гамильтониана H , то интегралы T1 и T2 являются аннуляторами скобок (27.2.2) и, следовательно, сохраняются независимо от H . Именно поэтому в моделях с такой пуассоновой структурой гамильтониан можно определять с точностью до линейных членов, которые не влияют на уравнения движения. 1

Напомним, что для доказательства этого факта (в качестве образца см. вывод на с. 79), необходимо вычислить величину ∂t P через скобку Пуассона  Z  δH ∂ξ δH ∂ξ ∂t P = {P, H} = + dx1 , δξ δx1 δξ δx1 и показать, что равенство нулю интеграла в правой части следует из требования трансляционной инвариантности гамильтониана H.

229

27.3. Натуральная параметризация контура

Еще одну версию гамильтоновой контурной динамики можно получить, рассмотрев в качестве динамических переменных пару (η, κ), где переменная κ вводится соотношением: ν µ = η + κ. (27.2.3) 2 Переменные (η, κ) приводят к скобкам

{η, η′ } = 0,

{κ, κ′ } = 0,

{η, κ′ } = −

∂δ , ∂x1

которые соответствуют уравнениям движения:

∂ δH , ∂x1 δκ ∂ δH ∂t κ = {κ, H} = − . ∂x1 δη ∂t η = {η, H} = −

Скобки (27.2.1) могут быть приведены и к канонической форме. Самый простой способ сделать это — ввести вместо динамической переменной κ с помощью соотношения κ = ∂p/∂x1 потенциал p. В этом случае из (27.2.3) для переменной µ получаем представление ν ∂p µ= η+ , (27.2.4) 2 ∂x1 которое есть не что иное, как преобразование Клебша (сравни с аналогичной формулой (3.3.7) на с. 40). Действительно, легко проверить, что, если переменные η и p — канонически сопряженные, т. е.

{η, η′ } = 0,

{p, p′ } = 0,

{η, p′ } = δ,

то соотношение (27.2.4) приводит к скобкам Пуассона (27.2.1).

§ 27.3. Натуральная параметризация контура Так как натуральная параметризация предполагает связь t2 = 1, искомые скобки Пуассона должны быть с ней согласованы. Как уже говорилось, эта связь отражает тот факт, что величина t2 (t, s) является инвариантом Казимира и, следовательно, коммутирует с переменными, образующими базис фазового пространства. Поэтому условие (26.3.3) необходимо дополнить еще одним ti ∂s {ˆ xi , µ′ } = 0. Решение системы (27.1.2) при использовании этих двух условий дает скобки ˆ , µ: Пуассона на фазовом пространстве динамических переменных x

{ˆ xi , xˆ′k } = 0,

{ˆ xi , µ′ } = −ni ∂s δ (s − s′ ) + ti ∂s′ (κ′ σ (s − s′ )) , ′

′

{µ, µ } = −ν∂s δ (s − s ) +

∂s ∂s′

′

′

(27.3.1) ′

((κ µ + κµ ) σ (s − s )) .

230

Глава 27. Модель контура с вихревой пеленой

Подчеркнем, что, как и (26.3.4), этот вариант скобок приводит к гамильтоновой формулировке со связью (26.3.1), которая должна использоваться только после вычисления всех скобок Пуассона. Чтобы теперь освободиться от связи t2 = 1, по аналогии с § 26.5, введем две новые переменные ϕ и r , связанные с компонентами вектора t соотношениями (26.5.1). В терминах новых переменных связь превращается в условие r = 1. Скобки Пуассона в фазовом пространстве x ˆi , µ могут быть легко пересчитаны на фазовое пространство ϕ, µ. По существу, в пересчете нуждаются только две первые скобки (27.3.1), в которых фигурируют динамические переменные x ˆi . Формулы для пересчета этих скобок получаются, как и в § 26.5, с использованием равенств (26.5.6) и имеют вид:

∂ ∂ {ˆ xi , xˆ′k }, ∂s ∂s′ ∂ xi , µ′ }. {ϕ, µ′ } = ni {ˆ ∂s

{ϕ, ϕ′ } = ni n′k

(27.3.2)

Подставляя в (27.3.2) скобки Пуассона (27.3.1) и используя формулы Френе (26.5.10), получим:

{ϕ, ϕ′ } = 0,

{ϕ, µ′ } = −∂s2 δ (s − s′ ) + ϕs ∂s′ (ϕ′s σ (s − s′ )) ,

{µ, µ′ } = −ν∂s δ (s − s′ ) + ∂s ∂s′ ((ϕ′s µ + ϕs µ′ ) σ (s − s′ )) . Уравнения контурной динамики, отвечающие данной системе скобок Пуассона, выглядят как I ∂ 2 δHD ∂ δHD ′ ∂t ϕ = {ϕ, HD } = − 2 − ϕs ϕ′s σ (s − s′ ) ′ ds , ∂s δµ ∂s δµ′  I  ∂ 2 δHD ∂ ′ ′ δHD ′ ∂t µ = {µ, HD } = 2 + ϕs ϕs σ (s − s ) ds − ∂s δϕ ∂s δµ′ I  ∂ ∂ δHD ′ ∂ δHD ′ ′ ′ − (ϕs µ + ϕs µ ) σ (s − s ) ′ ds . −ν ∂s δµ ∂s ∂s δµ′ где HD — гамильтониан Дирака, который вычисляется по правилу (26.5.12).

Глава 28 3D-ВЕРСИИ КОНТУРНОЙ ДИНАМИКИ Естественно задать вопрос, существуют ли гидродинамические вихревые объекты, для которых возможно обобщение двумерной контурной динамики. Если в двумерной гидродинамике имеется два топологически различных претендента на эту роль: контур и точка, то в трехмерной, вообще говоря, таких претендентов три: поверхность, линия, точка. Однако следует отметить, что, в отличие от двумерия, где завихренность является скалярной характеристикой, в трехмерии вихревые поля — векторные и, по определению, должны быть бездивергентными, т. е. вихревые линии должны быть замкнутыми, либо начинаться и заканчиваться на границе области. Это означает, что существуют чисто топологические препятствия, запрещающие некоторые конфигурации распределения вихревого поля. В частности, по этой причине в идеальной несжимаемой жидкости без сторонних источников не реализуются трехмерные течения, отвечающих вихревым распределениям с точечным дельта-функционным носителем вида

ˆ (t) δ (x − x ˆ (t)) , γ=γ ˆиx ˆ — зависящие от времени характеристики. где γ

§ 28.1. Контурная динамика границ раздела плотности Простейший пример этого типа — несжимаемая жидкость, которая в равновесном состоянии представляет собой два горизонтальных слоя разной плотности ̺1 и ̺2 . Эта модель является базовой для численных и аналитических исследований не только волновых явлений, существующих при ̺2 > ̺1 , т. е. когда тяжелая жидкость находится под легкой, но и процессов перемешивания [98], возникающих за счет рэлей-тейлоровской неустойчивости при ̺1 > ̺2 , когда жидкость в нижнем слое легче, чем в верхнем. Рассмотрим безвихревое течение, компоненты которого — две несжимаемые однородные жидкости разной плотности. Пусть компонента, заполняющая объем V + , окружена замкнутой поверхностью, которая отделяет ее от другой компоненты жидкости во внешней области V − и задана параметрически как

xi = x ˆi (s, t) , где xi — декартовы координаты (i = 1, 2, 3), а s = (s1 , s2 ) — так называемые поверхностные координаты. В каждой точке s этой поверхности можно ввести два касательных вектора: t=

ˆ ∂x , ∂s1

b=

231

ˆ ∂x , ∂s2

(28.1.1)

232

Глава 28. 3D-версии контурной динамики

которые определяют метрику поверхности, заданную тензором aαβ ,

a11 = t2 ,

a22 = b2 ,

a12 = a21 = t · b,

и единичную внешнюю нормаль n к поверхности

eikl eikl ∂ x ˆk ∂ x ˆl , ni = − √ tk bl = − √ a a ∂s1 ∂s2 где a = a11 a22 − a212 — определитель метрического тензора поверхности. Учитывая потенциальный характер течения и обозначая его плотность и потенциал внутри и снаружи области V + соответственно как ̺+ , ϕ+ и ̺− , ϕ− , распределение для полей гидродинамического импульса и плотности запишем в виде: π = ̺v = θ + ̺+ ∇ϕ+ + θ − ̺− ∇ϕ− , + +

(28.1.2)

− −

̺=θ ̺ +θ ̺ , где θ + и θ − — взаимно дополнительные 3D -субстанциональные тета-функции, такие, что θ + + θ − = 1, θ + θ − = 0. Обычные и вариационные производные для θ + -функции определяются выражениями: I √ + ˆ ) ds, ∂i θ = ni aδ (x − x

√ δθ + ˆ) , = −ni aδ (x − x δx ˆi

которые можно рассматривать как обобщение (25.1.9) и (25.1.10). Чтобы переформулировать скобки Пуассона (25.1.2)–(25.1.4) из фазового пространства переменных (̺, γ ) в пространство переменных, которые заданы на поверхности раздела, выразим ротор гидродинамического импульса γ в терминах этих поверхностных переменных. Подстановка π-представления (28.1.2) в соотношение γi = eikl ∂k πl приводит к интегралу по замкнутой поверхности I ∂x ˆi ∂ξ ˆ ) eαβ γi = δ (x − x ds, ∂sα ∂sβ

(28.1.3)

где поверхностная переменная ξ определяется как скачок величины ̺ϕ на границе раздела: ξ = ̺+ ϕˆ+ − ̺− ϕˆ− ,

а ϕˆ± = ϕ± |x=ˆx — значения гидродинамического потенциала на границе x = ˆ (s, t) по обе ее стороны. =x

233

28.1. Контурная динамика границ раздела плотности

Для пересчета скобок (25.1.2)–(25.1.4) из фазового пространства (̺, γ ) в проˆ ) воспользуемся формулами для вариационных производных: странство (ξ, x

√ δγi ˆ) , = −eikm anm ∂k δ (x − x δξ δγi ∂x ˆl ∂ξ ˆ) , = eikm eplm eαβ ∂k δ (x − x δx ˆp ∂sα ∂sβ которые следуют непосредственно из (28.1.3). Тогда, исходя из соотношений (25.1.2)–(25.1.4), найдем, что искомые скобки Пуассона {ˆ xi , x ˆ′k }, {ˆ xi , ξ ′ }, {ξ, ξ ′ } удовлетворяют требованиям:

ni n′k {ˆ xi , x ˆ′k } = 0, ni n′k {ξ, ξ ′ } +

1 ni {ˆ xi , ξ ′ } = − √ δ (s − s′ ) , a

(28.1.4)

ˆ′p ∂ξ eimn ekjp αβ ∂ x ˆn ∂ξ λµ ∂ x √ e {ˆ xm , xˆ′j }− e ∂sα ∂sβ ∂s′λ ∂s′µ aa′

n′ ∂x ˆn ∂ξ ni ∂x ˆ′ ∂ξ ′ − √k eimn eαβ {ˆ xm , ξ ′ } − √ ekmn eαβ ′n ′ {ξ, x ˆ′m } = a ∂sα ∂sβ ∂sα ∂sβ a′ eink ∂x ˆn ∂ξ = √ eαβ δ (s − s′ ) . (28.1.5) ′ ∂sα ∂sβ aa Общее решение уравнений (28.1.4), (28.1.5) может быть представлено как

{ˆ xi , x ˆ′k } = 0,

{ξ, ξ ′ } =

∂ξ ∂ξ ′ Bα (s, s′ ) − ′ Bα (s′ , s) , ∂sα ∂sα

ni ∂x ˆi {ˆ xi , ξ ′ } = − √ δ (s − s′ ) + Bα (s, s′ ) , a ∂sα

(28.1.6) (28.1.7) (28.1.8)

где Bα (s, s′ ), (α = 1, 2) — структурные функции, которые фиксируются выбором параметризации границы раздела. В случае декартовой параметризации поверхности раздела в качестве параметров sα , (α = 1, 2) выбираются горизонтальные декартовы координаты:

x ˆ 1 = s1 ,

x ˆ 2 = s2 ,

а сама граница раздела описывается уравнением x ˆ3 = η(s, t), где η — форма поверхности — является функцией этих координат и времени t. При таком выборе параметров непосредственно из (28.1.8) можно найти, что структурные функции удовлетворяют соотношениям:

Bα (s, s′ ) = a−1

∂η δ (s − s′ ) . ∂sα

(28.1.9)

234

Глава 28. 3D-версии контурной динамики

Подстановка (28.1.9) в равенства (28.1.6)–(28.1.8) позволяет установить, что скобки Пуассона для данной версии контурной динамики имеют каноническую структуру: {η, η′ } = {ξ, ξ ′ } = 0, {η, ξ ′ } = δ (s − s′ ) и, следовательно, соответствуют уравнениям движения

∂t η = {η, H} =

δH , δξ

∂t ξ = {ξ, H} = −

δH , δη

где H — гамильтониан модели.

§ 28.2. Скобки Пуассона в изотермических координатах В качестве поверхностных координат s1 , s2 рассмотрим так называемые изотермические (конформные) координаты [75], в терминах которых метрика поверхности, задаваемая квадратом дифференциала дуги dl2 , принимает конформный вид
dl2 = a1/2 ds21 + ds22 = a1/2 dsds∗ ,

где s = s1 + is2 и s∗ = s1 − is2 — комплексные поверхностные координаты, такие, что, с одной стороны, 2 ∂x
ˆ 1 2 1/2 ∗ a (s, s ) = = t + b2 , ∂s 4 (напомним, что t и b — касательные векторы, которые определяются в соответствии с (28.1.1)) а с другой — справедливо условие

ˆ /∂s)2 = 0. (∂ x

(28.2.1)

Отметим, что условие (28.2.1) с учетом равенства

эквивалентно двум

ˆ /∂s = ∂x

1 (t − ib) , 2

t2 = b2 ,

t · b = 0.

Другими словами, конформная параметризация контактной поверхности означает, что касательные векторы t и b равны по величине и взаимно ортогональны. Так как условие (28.2.1) выполняется в каждый момент времени, вне зависимости от специфики модели, его следует рассматривать как ограничение (или связь) на движение системы. С геометрической точки зрения равенство (28.2.1) выделяет в фазовом пространстве (ˆ x, ξ) поверхность, на которой сосредоточено действительное движение таких систем. Для того чтобы связи оставались инвариантами движения независимо от гамильтониана модели, они должны быть аннуляторами скобок Пуассона, следовательно выполняется условие

∂x ˆi ∂ {ˆ xi , ξ ′ } = 0. ∂s ∂s

(28.2.2)

235

28.3. Обобщение на криволинейные координаты

Подстановка (28.1.8) в (28.2.2) позволяет найти комплекснозначную структурную функцию B :

B (s, s′ ) = B1 + iB2 =

ˆ′i 1 1 ∂n′i ∂ x . πa′ ∂s∗′ ∂s∗′ s − s′

Таким образом, скобки Пуассона на фазовом пространстве (ˆ x, ξ) в изотермических координатах записываются следующим образом:

{ˆ xi , x ˆ′k } = 0,   ni 1 ∂x ˆi ∂n′k ∂ x ˆ′k 1 ′ ′ + к.с. , {ˆ xi , ξ } = − √ δ (s − s ) + ′ πa ∂s ∂s∗′ ∂s∗′ s − s′ a   1 ∂ξ ∂n′k ∂ x ˆ′k 1 ′ {ξ, ξ } = + к.с. − πa′ ∂s ∂s∗′ ∂s∗′ s − s′   1 ∂ξ ′ ∂nk ∂ x ˆk 1 − + к.с. . πa ∂s′ ∂s∗ ∂s∗ s′ − s

(28.2.3) (28.2.4)

(28.2.5)

Здесь и далее сокращенная запись «к.с.» обозначает слагаемое, полученное комплексным сопряжением из предыдущего.

§ 28.3. Обобщение на криволинейные координаты Для обобщения на криволинейные координаты по аналогии с § 13.4 рассмотрим преобразование x = x( ζ ) от декартовых координат x = (x1 , x2 , x3 ) к криволинейным координатам ζ = = (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 ) и будем изучать контурную динамику в фазовом пространстве (ζˆ , ξ), где переменные Z i ˆ ˆ (s, t)) dx, ζ (s, t) = ζ i (x, t)δ (x − x (28.3.1)

есть не что иное, как динамические переменные, определяющие поверхность раздела ζ = ζˆ(s, t) в криволинейной системе координат. Воспользовавшись интегральным соотношением (28.3.1), мы можем записать правила для пересчета старых скобок Пуассона в новые: Z ∂ζ i ∂ζ ′ k k ˆ (s, t)) δ (x′ − x ˆ (s′ , t)) dxdx′ , (28.3.2) {ζˆi , ζˆ′ } = {ˆ xn , x ˆ′m }δ (x − x ∂xn ∂x′ m Z ∂ζ i i ′ ˆ {ζ , ξ } = ˆ(s, t)) dx, (28.3.3) {ˆ xn , ξ ′ }δ (x − x ∂xn

{ξ, ξ ′ } = {ξ, ξ ′ }|xˆ =x(ζˆ) . Необходимо отметить, что, поскольку используются криволинейные координаты, следует различать ковариантные ni и контравариантные ni компоненты

236

Глава 28. 3D-версии контурной динамики

внешнего единичного нормального вектора к поверхности раздела, которые определяются как r gˆ ∂ ζˆk ∂ ζˆl ni = − eikl , ni = g ik nk . a ∂s1 ∂s2 Здесь gˆ — значение определителя метрического тензора

gik =

∂xl ∂xl ∂ζ i ∂ζ k

ˆ = x(ζˆ ), а тензор g ik является обратным к на поверхности раздела, т. е. при x j kj тензору gik , так что gik g = δi . Подстановка (28.2.3) и (28.2.4) соответственно в (28.3.2) и (28.3.3) после некоторых вычислений дает скобки: k {ζˆi , ζˆ′ } = 0,

! ∂ ζˆi Dn′k ∂ ζˆ′ k 1 + к.с. , ∂s ∂s∗′ ∂s∗′ s − s′ ! ! ∂ξ Dn′k ∂ ζˆ′ k 1 1 ∂ξ ′ Dnk ∂ ζˆk 1 + к.с. − + к.с. . ∂s ∂s∗′ ∂s∗′ s − s′ πa ∂s′ ∂s∗ ∂s∗ s′ − s

ni 1 {ζ , ξ } = − √ δ(s − s′ ) + ′ a πa ˆi

{ξ, ξ ′ } =

1 πa′

′

Здесь D/∂s∗ — оператор абсолютного дифференцирования [167], действующий на компоненты вектора nk по правилу

ˆl Dnk ∂nk ˆ i ni ∂ ζ , = − Γ kl ∂s∗ ∂s∗ ∂s∗   1 in ∂gnk ∂gnl ∂gkl i ˆ Γkl = g + − , 2 ∂ζ l ∂ζ k ∂ζ n ζ=ζˆ (s) где Γˆkli — символ Кристоффеля, значения которого берутся на контактной поверхности ζ = ζˆ (s).

§ 28.4. Контурная динамика для бароклинной квазигеострофической модели Широко используемая в геофизической гидродинамике бароклинная квазигеострофическая модель — еще один пример 3D гидродинамических моделей, допускающих применения метода контурной динамики. Согласно § 20.1, эта модель подчиняется уравнению сохранения потенциального вихря ∂t Ω + (∂1 Ψ ) ∂2 Ω − (∂2 Ψ ) ∂1 Ω = 0, (28.4.1) где Ω — потенциальная завихренность, а Ψ — функция тока.

28.4. Контурная динамика для бароклинной квазигеострофической модели

237

Бароклинный характер модели проявляется в том, что потенциальная завихренность Ω и функция тока Ψ течения рассматриваются как взаимосвязанные функции не только координат x1 , x2 , лежащих в горизонтальной плоскости, но и вертикальной координаты x3 . В достаточно общем виде (см. § 20.1 и более подробно [148]) эту взаимосвязь можно описать соотношением

ˆ + βx2 , Ω = LΨ

(28.4.2)

ˆ — линейный оператор, обладающий свойством где L ˆ + ̺s Ψ = ̺s LΨ. ˆ L Здесь знак «+» обозначат эрмитово сопряжение, а ̺s (x3 ) — равновесное вертикальное распределение плотности. Последний член в (28.4.2) описывает так называемый β -эффект, который учитывает в первом приближении эффект сферичности Земли, т. е. изменение параметра Кориолиса с широтой. Необходимо подчеркнуть, что, хотя уравнение (28.4.1) описывает двумерное движение жидкоˆ могут зависеть от всех трех координат x1 , x2 , x3 . сти, величины Ω , Ψ и L Например, если рассмотрим модель атмосферы (20.1.5), стратифицированную по температуре и плотности, при малых числах Россби так, что β -эффектом ˆ можно представить в виде: можно пренебречь, оператор L

ˆ = ∆ − 1 ∂3 ̺s ∂3 , L ̺s S S = N 2 /f 2 ,

N 2 = g∂3 ln θs ,

где S — параметр стратификации — выражается через квадрат отношения частоты Брента—Вяйсяля N и параметра Кориолиса f = 2Ω0 sin ϑ, Ω0 — угловая скорость вращения Земли, ϑ — широта, g — ускорение силы тяжести и θs — вертикальное распределение равновесной потенциальной температуры. Как известно из § 20.2, модели геофизической гидродинамики, подчиняющиеся уравнению движения (28.4.1), — гамильтоновы. Их скобки Пуассона весьма похожи на скобки (25.1.4) ′ ′ {Ω, Ω ′} = eβα ̺−1 s ∂α Ω∂β δ (x − x ) δ (x3 − x3 ) ,

α, β = 1, 2,

здесь x = (x1 , x2 ) — пространственные координаты в горизонтальной плоскости, а гамильтониан Z 1 H =− ̺s Ψ Ω dxdx3 2

совпадает с полной энергией квазигеострофического движения жидкости. Переход от полного описания (28.4.1) к контурной динамике становится возможным для специального класса моделей, в которых течение жидкости можно представить как совокупность жидких объемов Vi . Каждый из этих объемов движется вместе с жидкостью и характеризуется индивидуальным вертикальным профилем потенциальной завихренности ωi (x3 ).

238

Глава 28. 3D-версии контурной динамики

В этом случае поле потенциального вихря Ω можно представить в виде:

Ω=

N X i=1

ωi θi ,

N X

θi = 1,

i=1

где θi — субстанциональная 3D тета-функция, идентифицирующая жидкий объем Vi , — определяется стандартным образом как θi = 1, если точка x лежит внутри объема Vi , и θi = 0, если точка x лежит вне этого объема. Субстанциональные 3D тета-функции могут быть представлены в той же форме (26.1.2), что и 2D тета-функции, с той лишь разницей, что переменные x ˆ1 иx ˆ2 , описывающие поверхности раздела, зависят теперь не только от параметра s, но и от вертикальной координаты x3 . В том случае, когда один единственный объем V + с завихренностью ω + (x3 ) погружен в окружающую его жидкость с завихренностью ω − (x3 ), скобки Пуассоˆ (s, x3 , t) могут быть получены как результат на для динамической переменной x обобщения скобок (26.3.4):

{ˆ xi , x ˆ′k }

=ν

−1

δ (x3 − − ti n′k

x′3 )

 ni n′k ∂s δ (s − s′ ) −

∂ ∂ (κ′ σ (s − s′ )) + t′k ni (κσ (s′ − s)) + ′ ∂s ∂s 
1 ′ ′2 2 ′ + ti tk κ + κ σ (s − s) , 2

где ν = ̺s (ω + (x3 ) − ω − (x3 )). Таким образом, как показано на рис. 28.1, на каждом уровне x3 = z мы имеем двумерную контурную динамику для сечения вихревой области V + . На каждом таком уровне трехмерная вихревая область описывается как вихревое пятно с постоянной потенциальной завихренностью ω + (z), а окружающая пятно жидкость характеризуется постоянной завихренностью ω − (z).

x3 z +

ω (z) s n 0 x2

ω − (z) t

x1

Рис. 28.1. Контурная динамика для квазигеострофической бароклинной модели. Единичные векторы t и n — касательная и нормаль к контуру в точке s

239

28.5. Скобки Пуассона для вихревой нити

§ 28.5. Скобки Пуассона для вихревой нити Наиболее простым в топологическом отношении 3D -объектом, отвечающим сформулированным выше принципам контурной динамики, является вихревая линия или нить в однородной несжимаемой жидкости ̺ = const. Полагая без ограничения общности, что ̺ = 1, рассмотрим вихревое поле ω, сосредоточенное на пространственной кривой, которая задана в параметрически

xi = x ˆi (s, t) ,

i = 1, 2, 3,

где s — натуральный параметр, так что для касательного вектора ti = ∂s x ˆi имеет место условие нормировки t2i = 1. (28.5.1) Здесь и далее по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Как известно (см., например, [75]), для любой 3D -пространственной кривой имеют место формулы Френе:

∂s ti = κni ,

∂s ni = −κti − τ bi ,

∂s bi = τ ni ,

которые обобщают формулы (26.5.10) на трехмерный случай и связывают между собой касательный вектор t, вектор главной нормали n, вектор бинормали b, кривизну кривой κ и ее кручение τ . В каждой точке вихревой нити векторы t, n, b образуют орторепер (рис. 28.2), т. е. удовлетворяют соотношению

bi = eijm tj nm . Соответствующий характер распределения ω можно описать аналитически в терминах обобщенных функций с помощью контурного интеграла I ˆ (s, t)δ(x − x ˆ ) ds, ω= ω

x3 x ˆ3 (s) Рис. 28.2. Схема, поясняющая систему обозначений для описания динамики вихревой нити

n s b

0 x ˆ2 (s) x2

t

x ˆ1 (s) x1

240

Глава 28. 3D-версии контурной динамики

ˆ — линейная плотность завихренности, которая в силу соленоидальности где ω поля вихря (∇ · ω = 0) должна быть выбрана так, чтобы обращался в нуль контурный интеграл I ˆ) ∂ωi ∂δ(x − x =− ω ds = 0. ˆi ∂xi ∂x ˆi Для замкнутого или бесконечно протяженного контура (виртуально замкнутого на бесконечности) это условие выполняется, если подынтегральное выражение — полный дифференциал, поэтому

ω ˆ i = κ∂ x ˆi /∂s. Скалярная величина κ , называемая циркуляцией или интенсивностью вихревой нити, является ее индивидуальной характеристикой, не зависящей ни от времени, ни от параметра s. По существу, мы получили представление вихревого поля нити в виде контурного интеграла I ˆ ) ds, ω = κ tδ ( x − x (28.5.2)

которое означает, что эволюция жидкости полностью определяется динамической ˆ (s, t). переменной x Соответствующие скобки Пуассона, определяющие динамику вихревой нити ˆ , могут быть получены из первичных скобок Пуассона на фазовом пространстве x (13.3.16), (13.3.17) для неоднородной несжимаемой жидкости. Связь между ними можно установить, рассматривая (28.5.2) как преобразование одного фазового пространства в другое. Заметим, что в случае однородной жидкости единичной плотности остается только одна неисчезающая скобка (13.3.17) для динамической переменной γ = ω. Используя вариационные производные компонент поля γ по компонентам ˆ переменной x δγi (x) ˆ ), = κeilm eknm tn ∂l (x − x δx ˆk (s) преобразуем левую часть равенства (13.3.17) к виду

{γi , γk′ } =

I

δγi δγk′ {ˆ xi , x ˆk } dsds′ = κ 2 δx ˆi δ x ˆ′k

I

× ejip eknm а правую часть к виду

eipj ejln eknm ∂p γl ∂m δ (x − x′ ) = κ

I

ejlα enµβ tl t′µ {ˆ xα , x ˆ′β }×


∂ ∂ ˆ ′ dsds′, ˆ ) δ x′ − x δ (x − x ′ ∂xp ∂xm

ejln tl ejip eknm ×

× δ (s − s′ )


∂ ∂ ′ ′ ˆ ˆ δ ( x − x ) δ x − x dsds′. ∂xp ∂x′m

241

28.5. Скобки Пуассона для вихревой нити

Приравнивая полученные контурные интегралы, найдем соотношение

κejli enmk tl t′m {ˆ xi , x ˆ′k } = ejln tl δ (s − s′ ) . Разрешим это равенство относительно скобки {ˆ xi , x ˆ′k }. Общее решение с учетом ее кососимметричности имеет вид

κ{ˆ xi , xˆ′k } = eilk tl δ (s − s′ ) + ti n′k a (s, s′ ) + ti b′k c (s, s′ ) −

− t′k ni a (s′ , s) − t′k bi c (s′ , s) + ti t′k d (s, s′ ) . (28.5.3)

Здесь a (s′ , s), c (s′ , s) и d (s, s′ ) — некоторые структурные функции, причем d (s, s′ ) — антисимметричная функция своих аргументов. Точно так же, как и в § 26.3, выбор структурных функций a, c и b должен быть согласован со связью (28.5.1), которая накладывает ограничение

ti ∂s {ˆ xi , xˆ′k } = 0. Подстановка (28.5.3) в это условие позволяет установить, что

a (s, s′ ) = 0,

d (s, s′ ) = 0,

c (s, s′ ) = κ′ σ (s − s′ ) ,

где σ (s − s′ ) = 12 sign (s − s′ ). ˆ получаем слеВ результате, для скобки Пуассона на фазовом пространстве x дующее выражение

κ {ˆ xi , x ˆ′k } = eilk tl δ (s − s′ ) +   ′ ∂tm kjm ′ ∂tm ijm ′ + e ti tj ′ + e tk tj σ (s − s′ ) . (28.5.4) ∂s ∂s Уравнение движения для вихревой нити, соответствующее данной скобке, имеет вид

δH ˆ = κ{ˆ κ∂t x x, H} = t × + ˆ δx  ′  Z ∂t δH ′ ′ + t σ (s − s ) t · × ds′ + ∂s′ ˆ′ δx  Z   ∂t ′ ′ δH + t× σ (s − s ) t · ds′ , (28.5.5) ∂s ˆ′ δx где H — гамильтониан, а бинарные операции a × b и a · b обозначают соответственно векторное и скалярное произведение векторов a и b. Подчеркнем, что (28.5.5) является гамильтоновой формулировкой со связью (28.5.1), которая при выводе уравнений движения должна использоваться только после вычисления вариационных производных в скобке {ˆ x, H}.

242

Глава 28. 3D-версии контурной динамики

§ 28.6. Гамильтониан вихревой нити в безграничной жидкости В том случае, когда в качестве модели рассматривается безграничная несжимаемая однородная жидкость, гамильтониан H , который совпадает с интегралом кинетической энергии Z 1 H = v2 dx, 2

ˆ. может быть выражен в терминах переменной x С этой целью воспользуемся альтернативным представлением Z 1 ω (x) ω (x′ ) H = dxdx′ 8π |x − x′ |

(28.6.1)

в терминах завихренности ω = ∇ × v. После подстановки (28.5.2) в (28.6.1) находим гамильтониан вихревой нити в безграничной жидкости Z κ2 t · t′ dsds′ . H = (28.6.2) x 8π ˆ −x ˆ ′

Нелокальный характер и скобок Пуассона (28.5.4), и гамильтониана (28.6.2) предопределяет нелокальность уравнений, описывающих эволюцию вихревой нити, что вызывает дополнительные трудности при исследовании ее динамики. Для гидродинамических моделей, гамильтониан которых подобно (28.6.2) устроен так, что δH t· = 0, ˆ δx уравнение движения вихревой нити (28.5.5) может быть преобразовано к виду

ˆ × ∂s x ˆ = κ −1 ∂t x

δH . ˆ δx

Отметим, что это уравнение уже рассматривалось нами (см. с. 43) в качестве примера гамильтоновой системы, в основе которой лежит вырожденная замкнутая 2-форма. Как следствие, для этой модели существует вариационный принцип наименьшего действия [48] с лагранжианом Z 1 ˆ · (∂t x ˆ × ∂s x ˆ ) ds − H . L =κ x 3

§ 28.7. Освобождение от связи t2 = 1 Существует несколько способов, чтобы исключить из описания связь (28.5.1), возникающую при натуральной параметризации вихревой нити. Например, один из них — выразить касательный вектор t через углы, определяющие его направление в пространстве.

243

28.7. Освобождение от связи t2 = 1

Мы рассмотрим другую возможность и представим вектор t в виде   a + a∗ a − a∗ 1 − aa∗ ,i , , t=r 1 + aa∗ 1 + aa∗ 1 + aa∗

(28.7.1)

где a = u1 + iu2 и a∗ = u1 − iu2 — комплексно сопряженные переменные, составленные из стереографических проекций u1 и u2 единичного вектора t, а r = |t| удовлетворяет условию r = 1, которое является следствием ограничения (28.5.1). Кривизна вихревой нити κ и ее кручение τ выражаются в терминах a, a∗ с помощью соотношений:   √ 2 as a∗s 1 ass as a∗ κ= , τ = Im − , 1 + aa∗ 2 as 1 + aa∗ где as = ∂a/∂s. Найти скобки Пуассона и гамильтониан в фазовом пространстве комплексной переменной a на поверхности связи r = 1 позволяет метод Дирака. На первом этапе, используя формулы для вариационных производных:

δa as = (ni − ibi ) ∂s δ (s − s′ ) , ′ δx ˆi κ δr ti = ∂s δ (s − s′ ) δx ˆ′i r и принимая во внимание соотношение

∂t κ = (n + ib) , ∂a 2as которое следует непосредственно из (28.7.1), можно установить формулы:

{a, a′ } =

2 as a′s xi , xˆ′k } ′ ′ ∂ {ˆ (n − ib ) (n − ib ) , i i k k κκ′ ∂s∂s′

(28.7.2)

{a, a∗′ } =

2 as a∗s ′ xi , x ˆ′k } ′ ′ ∂ {ˆ (n − ib ) (n + ib ) , i i k k κκ′ ∂s∂s′

(28.7.3)

необходимые для пересчета скобок Пуассона. Явный вид скобок {a, a′ } и {a, a∗′ } найдем, подставляя (28.5.3) в (28.7.2) и (28.7.3) и пользуясь правилом

(ni + ibi ) ∂s = (∂s − iτ ) (ni + ibi ) + κti . Это правило позволяет вносить вектор n + ib под знак оператора дифференцирования ∂/∂s.

244

Глава 28. 3D-версии контурной динамики

В результате, из (28.7.2) и (28.7.3) находим две скобки:   as a′s i ∂κ′ i ∂κ {a, a′ } = τ′ + τ − ′ ′ − σ (s − s′ ) , ν κ ∂s κ ∂s "  ! 2 as a∗s ′ ∂ ∗′ 2 {a, a } = i 2 + iτ + κ δ (s − s′ ) + νκκ′ ∂s #   1 ∂κ′ ′ ′ ′ 1 ∂κ +κκ − + iτ + iτ σ (s − s ) . κ ∂s κ′ ∂s′ В сформулированной версии гамильтоновой динамики вихревой нити полный гамильтониан Дирака вычисляется на поверхности r = 1 по правилу Z +∞ δH 1 − aa∗ HD = H |r=1 + ds, (28.7.4) δr s=∞ −∞ 1 + aa∗

причем связь r = 1 используется теперь непосредственно, до вычисления вариационных производных в скобке Пуассона {a, HD }. Дираковская поправка для гамильтониана была вычислена в предположении, что вихревая нить представляет собой разомкнутый контур C , ориентированный на бесконечности так, что t = (0, 0, 1), n = (0, 1, 0) и, следовательно, a = 0, as /κ = −i/2 при s → ±∞. Отметим, что, так как в приближении слабой кривизны описания моделей с замкнутыми и разомкнутыми контурами локально эквивалентны, в этом приближении результат (28.7.4) остается справедливым и для разомкнутых контуров.

Глава 29 НЕПЛОСКИЕ 2D-МОДЕЛИ КОНТУРНОЙ ДИНАМИКИ § 29.1. Скобки Пуассона для неплоских 2D-вихревых течений неоднородной несжимаемой жидкости Рассмотрим жидкость, движение которой расслоено вдоль по неподвижным непересекающимся поверхностям, фиксирующим движение жидких частиц. Изучение таких эффективно двумерных течений удобно проводить в соответствующей системе криволинейных координат ζ i , i = 1, 2, 3, обладающей следующими свойствами: координатные линии ζ 3 совпадают по направлению с вихревыми линиями, а координатные линии ζ 1 и ζ 2 лежат на поверхностях ζ 3 = const, вдоль которых происходит движение жидкости, и образуют на них систему поверхностных криволинейных координат. Если в каждой точке пространства, связанного с такой системой криволинейных координат, задать ковариантный векторный базис с компонентами e1 , e2 , e3 , которые направлены вдоль по касательным к соответствующим координатным линиям (рис. 29.1), то предполагаемый выше слоистый характер течения жидкости означает, что e1 · γ = 0, e2 · γ = 0, e3 · v = 0. Если из первых двух равенств следует, что γ = e3 γ 3 ,

(29.1.1)

то из последнего, учитывая соотношения: v = dζ /dt = ei dζ i /dt,

gik = ei · ek , γ

ζ3 e3

ds

Рис. 29.1. К определению внутренней геометрии на жидкой поверхности.

v

P1 ζ2 e2

245

P2 e1

ζ1

246

Глава 29. Неплоские 2D-модели контурной динамики

где gik (i, k = 1, 2, 3) — компоненты метрического тензора, можно найти дифференциальную связь g3i dζ i = 0. (29.1.2) Эта дифференциальная связь идентифицирует поверхности, вдоль которых движутся жидкие частицы. Определение внутренней геометрии таких поверхностей можно осуществить, если исходить из квадратичной дифференциальной формы

ds2 = gik dζ i dζ k ,

(29.1.3)

где ds — элемент дуги, соединяющей две некоторые близкие точки пространства P1 (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 ) и P2 (ζ 1 + dζ 1 , ζ 2 + dζ 2 , ζ 3 + dζ 3 ). В том случае, когда P1 и P2 — произвольные точки, дифференциалы dζ 1 , dζ 2 , 3 dζ — независимы, и квадратичная дифференциальная форма (29.1.3) характеризует геометрические свойства всего пространства. Однако, если точки P1 и P2 принадлежат жидкой поверхности, возникает связь (29.1.2). Разрешая эту связь относительно dζ 3 и подставляя результат в соотношение (29.1.3), находим квадратичную дифференциальную форму

ds2 = aαλ dζ α dζ λ ,

aαλ = (gαλ −

gα3 g3λ ), g33

α, λ = 1, 2,

(29.1.4)

характеризующую внутреннюю геометрию криволинейной жидкой поверхности. Здесь и далее индексы, обозначенные греческими буквами, пробегают значения 1, 2, а латинские индексы — 1, 2, 3. В такой системе криволинейных координат, как мы уже установили в (29.1.1), векторное поле завихренности гидродинамического импульса γ имеет только одну компоненту, для которой, согласно (13.4.9), имеет место соотношение

eαλ ∂ eαλ ∂ γ3 = γ = √ (̺v ) = (πλ ) , √ λ g ∂ζ α g ∂ζ α

(29.1.5)

где g — определитель метрического тензора gik , а vλ = eλ · v — ковариантная компонента гидродинамической скорости в локальном базисе системы криволинейных координат ζ. Таким образом, скобки Пуассона (13.4.10)–(13.4.12), переформулированные в терминах скалярных переменных γ и ̺, редуцируются к более простому виду:

{̺, ̺′ } = 0,

(29.1.6)

eλα ∂ ∂ δ (ζ − ζ ′ ) {̺, γ ′ } = √ ̺ , √ g ∂ζ α ∂ζ λ g

(29.1.7)

eλα ∂ ∂ δ (ζ − ζ ′ ) {γ, γ ′ } = √ γ , √ g ∂ζ α ∂ζ λ g

(29.1.8)

где ζ = (ζ 1 , ζ 2 ) — двухкомпонентный вектор на криволинейной поверхности.

29.2. Натуральная параметризация контура для неплоских моделей

247

§ 29.2. Натуральная параметризация контура для неплоских моделей По аналогии с плоским случаем, описанным в § 26.2, покажем, что динамика изолированного вихревого пятна, которое находится на криволинейной поверхности (ζ 1 , ζ 2 ) и имеет постоянную завихренность и плотность, может быть сведена к динамике контура. Рассмотрим с этой целью одну единственную область G+ , ограниченную замкнутым контуром C , который отделяет эту область от остальной части жидкости во внешней области G− и задан в параметрическом виде ζ = ζˆ (s, t) , где s — некоторый параметр. Если параметр s — натуральный, т. е. ds совпадает с элементом длины контура, касательный к контуру вектор tα = ∂s ζˆα удовлетворяет условию нормировки

tα tα = aαλ tα tλ = 1,

(29.2.1)

которое является криволинейным аналогом условия (26.3.1). Пусть завихренность и плотность принимают постоянные значения: внутри контура — ω + , ̺+ , а снаружи — ω − , ̺− . Используя знаки «+» и «−» для обозначения переменных соответственно во внутренней G+ и внешней G− областях, запишем плотность и ковариантные компоненты гидродинамического импульса в виде разложений по тета-функциям:

̺vα = ̺+ vα+ θ + + ̺− vα− θ − , ̺ = ̺+ θ + + ̺− θ − ,

(29.2.2)

где θ + и θ − — взаимно дополнительные субстанциональные характеристические функции для внутренней и внешней областей:  1, если ζ ∈ G± ; ± θ = 0, если ζ ∈ / G± , которые, как и в плоском случае (см. § 26.2), обладают свойствами:

θ + + θ − = 1, ∂t θ ± + vα

θ + θ − = 0, ∂θ ± = 0. ∂ζ α

Приведем ковариантное обобщение формул (25.1.9) и (25.1.10) для обычной и вариационной производной θ + -функции: I   + ∂θ + nα  nα  ˆ ds, δθ = − √ ˆ , √ = δ ζ − ζ δ ζ − ζ (29.2.3) ∂ζ α a a δ ζˆα

248

Глава 29. Неплоские 2D-модели контурной динамики

которые потребуются нам в дальнейшем. Здесь nα — ковариантные компоненты внешнего единичного нормального вектора n, связанные с контравариантными компонентами tλ единичного касательного вектора t соотношением √ nα = − aeαλ tλ , а a — определитель тензора aαλ , характеризующего метрику поверхности. Из (29.1.4) легко найти, что

a = det (aαλ ) = g/g33 . Напомним, что как ковариантный единичный антисимметричный тензор eαλ , так и контравариантный eαλ , определены здесь как величины, которые обладают свойством e12 = e12 = 1, e11 = e22 = e11 = e22 = 0 и изменяют знак при перестановке индексов. Подстановка представления (29.2.2) в (29.1.5) приводит к выражению

γ = ̺+ ω + θ + + ̺− ω − θ − + β,

(29.2.4)

где величина


eαλ ∂θ + + + β= √ ̺ vλ − ̺− vλ− α g ∂ζ описывает сингулярную часть завихренности импульса, сосредоточенную на замкнутом контуре C , который охватывает вихревое пятно. Если воспользоваться первым из соотношений (29.2.3), для β можно найти интегральное представление: I  
tα β = µ (s, t) δ ζ − ζˆ ds, µ (s, t) = √ ̺− vˆα− − ̺+ vˆα+ , gˆ где µ — скачок тангенциальной компоненты гидродинамического импульса на контуре — характеризует плотность вихревой пелены. Здесь, как и прежде, символом «крышка» отмечены значения соответствующих величин на этом же контуре.

§ 29.3. Однородная модель без вихревой пелены на контуре Как уже отмечалось в § 26.2, отсутствие вихревой пелены на контуре возможно в только однородных по плотности моделях, где ̺+ = ̺− = ̺0 = const и означает, что плотность вихревой пелены µ, а, следовательно, и переменная β тождественно равны нулю. В этом случае из трех скобок Пуассона (29.1.6)– (29.1.8) остается одна последняя {γ, γ ′ }. Полагая β ≡ 0 и подставляя (29.2.4) в (29.1.8), для скобки Пуассона {θ + , θ ′ + } получим выражение

eαλ ∂θ + ∂ δ (ζ − ζ ′ ) + {θ + , θ ′ } = √ , √ ν g ∂ζ λ ∂ζ α g


ν = ̺0 ω + − ω − ,

29.3. Однородная модель без вихревой пелены на контуре

249

из которого, используя ту же процедуру, что и в главе 26 для плоского случая, найдем, что 1 δ (s − s′ ) λ νnα n′λ {ζˆα , ζˆ′ } = √ ∂s √ . (29.3.1) gˆ33 gˆ33 Так как скобка {ζˆα , ζˆ′ λ } в случае натуральной параметризации контура должна быть согласована со связью (29.2.1), величина tα tα обязана быть аннулятором этой скобки, т. е. λ {tα tα , ζˆ′ } = 0.

Откуда следует условие

D ˆα ˆ′ λ (29.3.2) {ζ , ζ } = 0. ∂s В отличие от плоского случая (см. уравнение (26.3.3)), в этом условии вместо оператора обычного дифференцирования ∂/∂s фигурирует оператор D/∂s, который известен как оператор абсолютного дифференцирования [167]. Этот оператор возникает из-за кривизны жидкой поверхности ζ 3 = const, на которой расположен контур. Если для скалярных величин оператор абсолютного дифференцирования совпадает с обычным, т. е. tα

DA ∂A = , ∂s ∂s то для векторных величин он действует по правилу:

DAα ∂Aα α = + Γλσ Aλ tσ , ∂s ∂s

DAα ∂Aα λ = − Γασ Aλ tσ , ∂s ∂s

α где Γλσ — символ Кристоффеля, связанный с компонентами метрического тензора aαλ , характеризующего метрику жидкой поверхности, формулой   1 ακ ∂aκλ ∂aκσ ∂aλσ α Γλσ = a + − . 2 ∂ζ σ ∂ζ λ ∂ζ κ

Отметим (см., например, [167]), что для контура, расположенного на криволинейной поверхности, можно, как и для обычного контура на плоскости, ввести кривизну. Криволинейный аналог формул Френе можно сформулировать в виде:

Dtα = κ g nα , ∂s

Dnα = −κg tα , ∂s

(29.3.3)

где κg называется геодезической кривизной контура. Из (29.3.3) следует, что

κ g = nα


√ Dtα Dnα α λ σ = −tα = − aeαω tω ∂s tα + Γλσ t t . ∂s ∂s

Чтобы найти скобку Пуассона, соответствующую параметризации (29.2.1), разрешим равенство (29.3.1) относительно скобки {ζˆα , ζˆ′ λ }. Общее решение с учетом кососимметричности искомой скобки запишем в виде

250

Глава 29. Неплоские 2D-модели контурной динамики

nα n′ λ δ(s − s′ ) α ˆ′ λ ˆ ν{ζ , ζ } = √ ∂s √ + gˆ33 gˆ33 λ

λ

λ

+ tα n′ a(s, s′ ) − t′ nα a(s′ , s) + tα t′ b(s, s′ ). (29.3.4) Здесь a(s′ , s) и b(s, s′ ) — некоторые структурные функции, причем b(s, s′ ) — антисимметричная функция своих аргументов

b(s, s′ ) = −b(s′ , s). Выбор структурных функций a(s′ , s) и b(s, s′ ) не может быть произвольным, а должен быть согласован со связью (29.2.1). Подстановка (29.3.4) в условие (29.3.2) дает равенства:

κg δ (s − s′ ) ∂s a (s, s′ ) = √ ∂s √ , gˆ33 gˆ33

∂s b (s, s′ ) = −κg a (s′ , s) ,

из которых находятся структурные функции:

κ′g 1 a(s, s′ ) = p ′ ∂s′ p ′ σ (s′ − s) , gˆ33 gˆ33

1 b(s, s′ ) = 2

κ′ 2g κ2g + ′ gˆ33 gˆ33

!

σ (s′ − s) ,

где σ(s − s′ ) = 12 sign(s − s′ ). Таким образом, для скобок Пуассона в фазовом пространстве ζˆ (s, t) получаем выражение:

 ′  α ′λ δ(s − s′ ) tα n′ λ ∂ κg α ˆ′ λ −1 n n ′ ˆ √ p ′ σ(s − s ) + {ζ , ζ } = ν ∂s √ −p ′ gˆ33 gˆ33 gˆ33 ∂s′ gˆ33 ! !   ′2 2 κ κ t′ λ n α ∂ 1 κg λ g g √ σ(s′ − s) + tα t′ +√ + σ(s′ − s) . ′ 2 gˆ33 gˆ33 gˆ33 ∂s gˆ33

§ 29.4. Гамильтониан для неплоских моделей контурной динамики Для широкого класса моделей несжимаемой неоднородной жидкости гамильтониан обычно априорно известен как величина Z 1 H= g 1/2 ̺vi vi dζ , (29.4.1) 2 которая представляет собой интеграл кинетической энергии течения. В том случае, когда используется одна из гамильтоновых версий контурной динамики, разумно выразить этот интеграл в терминах динамических переменных, которые определены на контуре.

251

29.4. Гамильтониан для неплоских моделей контурной динамики

С этой целью в качестве первого шага, используя условие несжимаемости ∂  1/2 i  g v = 0, ∂ζ i

введем векторный потенциал A — величину, которая удовлетворяет условию ∇ · A = 0 и связана с компонентами гидродинамической скорости соотношением

vi = g −1/2 eikn

∂An . ∂ζ k

(29.4.2)

Отметим, что в случае двумерных течений векторный потенциал имеет только одну компоненту, например A3 , которая ортогональна плоскости течения ζ = = (ζ 1 , ζ 2 ) и выражается в терминах скалярной функции тока ψ как A3 = −ψ. Подставляя (29.4.2) в интеграл (29.4.1) и интегрируя по частям, гамильтониан H можно выразить в терминах завихренности гидродинамического импульса γ и векторного потенциала A: Z 1 H= g 1/2 γ i Ai dζ . 2 Для двумерных течений, которые рассматриваются в соответствующей системе криволинейных координат, где векторные поля γ и A имеют только по одной отличной от нуля компоненте γ 3 = γ и A3 = −ψ, мы приходим к выражению Z 1 H =− (29.4.3) g 1/2 γψ dζ1 dζ2 , 2

где ζ1 , ζ2 — криволинейные координаты в плоскости течения В простейшем случае, когда вихревое пятно и фоновое течение одинаковы по плотности, но различны по завихренности, распределение γ описывается выражением1 γ = ω+ θ+ + ω− θ−, (29.4.4) где ω + и ω − — инварианты движения, обозначающие завихренность соответственно внутри пятна и вне его. Подстановка (29.4.4) в (29.4.3) дает Z
1 H=− g 1/2 ω + θ + ψ+ + ω − θ − ψ− dζ1 dζ2 , 2

где ψ+ и ψ− — значения функции тока соответственно внутри пятна и вне его — находятся из решения краевой задачи:

ω ± = g −1/2 eαλ

∂vλ± eαλ ∂ gλµ eβµ ∂ψ± = , √ √ ∂ζ α g ∂ζ α g ∂ζ β ψˆ+ = ψˆ− .

Знаком « c » — крышки сверху отмечены значения соответствующих величин на контуре. 1

В этом случае без ограничения общности плотность может приниматься равной единице.

Глава 30 КОНТУРНАЯ ДИНАМИКА ДЛЯ ПОСЛОЙНЫХ МОДЕЛЕЙ § 30.1. N -слойные плоскопараллельные модели Динамика послойных моделей с постоянной завихренностью в каждом слое может быть сформулирована исключительно в терминах переменных, определяющих форму границ раздела и скачки тангенциального импульса на этих границах. Результаты этого раздела можно рассматривать как обобщение результатов, полученных в § 26.2 и § 27.2, на случай N границ раздела как в плоских, так и в неплоских послойных течениях. Основная цель — показать, что уравнения движения могут быть записаны в гамильтоновом виде со скобкой Пуассона, или КдВ, или канонического типа. Этот факт представляет интерес как с методической точки зрения, так и для последующих приложений (см. часть VI). Чтобы показать, каким образом это следует из основных принципов, рассмотрим N -слойную плоскопараллельную модель двухмерной несжимаемой жидкости с постоянными завихренностью и массовой плотностью в каждом слое. Без ограничения общности будем считать, что система координат (x1 , x2 ) выбрана так, что горизонтальная координата x1 совпадает с линиями тока невозмущенной стационарной задачи. Тогда, пространственные распределения импульса πα и плотности ̺ могут быть представлены как

πα = e

λα

N X i=0

̺=

θ (x2 − ηi )

N X i=0

∂ (̺i+1 ψi+1 − ̺i ψi ) , ∂xλ

(̺i+1 − ̺i ) θ (x2 − ηi ) .

(30.1.1) (30.1.2)

Здесь ψi и ̺i — соответственно функция тока и постоянная плотность i-го слоя, расположенного между i-ой и (i − 1)-ой границами раздела; ηi = ηi (x1 , t) — динамические переменные, которые описывают форму границ раздела и упорядочены так, что ηi+1 > ηi (рис. 30.1); N — число слоев. При суммировании предполагается, что η0 = L0 и ηN = LN являются внешними твердыми границами (L0 < LN ), причем формально считается, что ̺0 = 0, ̺N +1 = 0. Подстановка (30.1.1) в (25.1.1) дает

γ=

N X i=0

[(ωi+1 ̺i+1 − ωi ̺i ) θ (x2 − ηi ) + µi δ (ηi − x2 )] , 252

(30.1.3)

253

30.1. N-слойные плоскопараллельные модели

LN

̺N ωN

x2

̺i+1

Рис. 30.1. Схема плоского течения, разделенного на слои с постоянной завихренностью и плотностью

ηN −1 ηi+1

ωi+1

ηi

̺i ωi

ηi−1 η1

̺1 ω1 x1

L0

где µi — скачок тангенциальной компоненты импульса на i-ой границе раздела — выражается в терминах послойных функций тока ψi как    ∂ηi µi = ∂2 − ∂1 (̺i+1 ψi+1 − ̺i ψi ) . ∂x1 x2 =ηi Обозначая скачки плотности и завихренности импульса на i-ой границе раздела как σi = ̺i+1 − ̺i , νi = ωi+1 ̺i+1 − ωi ̺i ,

пространственные распределения для плотности (30.1.2) и завихренности импульса (30.1.3) можно переписать в более компактной форме:

̺=

N X i=0

где

qi = σi θ (x2 − ηi ) ,

qi ,

γ=

N X

γi ,

(30.1.4)

i=0

γi = νi θ (x2 − ηi ) + µi δ (x2 − ηi ) .

(30.1.5)

{qi , qn′ } = 0,  ∂qi ∂ − δ (x1 − x′1 ) δ (x2 − x′2 ) , ∂x1 ∂x2  ∂γi ∂ − δ (x1 − x′1 ) δ (x2 − x′2 ) , ∂x1 ∂x2

(30.1.6)

Таким образом, использование субстанциональных тета-функций позволило свести описание N -слойной модели к изучению многокомпонентной жидкости, в которой плотность qi и завихренность импульса γi для каждой компоненты определены соотношениями (30.1.5). По аналогии с § 21.1, легко показать, что скобки Пуассона (25.1.2)–(25.1.4) выполняются для каждой компоненты жидкости отдельно, т. е.

{qi , γn′ } {γi , γn′ }

= δin = δin





∂qi ∂ ∂x2 ∂x1 ∂γi ∂ ∂x2 ∂x1

(30.1.7) (30.1.8)

где δin — символ дельта Кронекера (δin = 1, если i = n, и δin = 0, если i 6= n). Суммирование по повторяющимся индексам здесь не подразумевается.

254

Глава 30. Контурная динамика для послойных моделей

§ 30.2. Гамильтонова динамика границ раздела в присутствии вихревой пелены Полагая µi 6= 0, вначале рассмотрим случай, когда скачки плотности σi на границах раздела также отличны от нуля. Тогда из (30.1.5) получим, что   Z  Z ηi Z  qi νi ηi = dx2 = θ (x2 ) − dx2 , µi = γi − qi dx2 . (30.2.1) σi σi 0 Соотношения (30.2.1) позволяют выразить скобки Пуассона для динамических переменных ηi , µi через скобки (30.1.6)–(30.1.8): ZZ 1 ′ {qi , qn′ } dx2 dx′2 , {ηi , ηn } = (30.2.2) σi σn ZZ 1 {ηi , µ′n } = − {qi , γn′ } dx2 dx′2 , (30.2.3) σi ZZ  νn ′ ′ {µi , µn } = {γi , γn′ } + {q , γi }− σn n  νn νi νi ′ ′ {qi , qn } dx2 dx′2 . − {qi , γn } + (30.2.4) σi σn σi После подстановки скобок (30.1.6)–(30.1.8) в эти соотношения получим:

{ηi , ηn′ } = 0,

{ηi , µ′n } = −δin

∂δ , ∂x1

{µi , µ′n } = −δin νi

∂δ . ∂x1

(30.2.5)

Здесь и далее в этом разделе δ = δ (x1 − x′1 ) — одномерная дельта-функция. Несмотря на то, что скобки (30.2.2)–(30.2.4) получены в предположении σi 6= 6= 0, они не зависят от этих параметров и, следовательно, остаются справедливыми и для σi = 0. Подчеркнем, что исходное предположение о наличии вихревой пелены µi 6= 0 при этом остается в силе. Полученный результат (30.2.5) является обобщением результата § 27.2 на случай N -слойной модели и, по существу, означает, что эволюция каждой границы раздела описывается уравнениями в гамильтоновой форме:

∂t ηi = {ηi , H} = − ∂ ∂t µi = {µi , H} = − ∂x1 где H — гамильтониан N -слойной модели. Если νi 6= 0, замена переменных



∂ δH , ∂x1 δµi δH δH + νi δηi δµi



,

ξi = µi − νi ηi

дает гамильтонову формулировку со структурой скобок Пуассона КдВ-типа:

{ξi , µ′n } = 0,

{ξi , ξn′ } = δin νi

∂δ , ∂x1

{µi , µ′i } = −δin νi

∂δ . ∂x1

30.3. Гамильтонова динамика границ раздела в отсутствие вихревой пелены

255

Скобки Пуассона этого вида соответствуют уравнениям движения:

∂ δH , ∂x1 δξi ∂ δH ∂t µi = {µi , H} = −νi . ∂x1 δµi ∂t ξi = {ξi , H} = νi

(30.2.6)

Скобки Пуассона (30.2.5) могут быть приведены также и к канонической форме. Одна из возможностей сделать это — написать, по аналогии с (27.2.4), для динамической переменной µi представление Клебша

1 ∂pi µi = νi ηi + , 2 ∂x1 которое вводит для канонической координаты ηi канонически сопряженный импульс pi . Действительно, легко проверить, что, если переменные ηi и pi — канонически сопряженные, т. е. выполняются равенства:

{ηi , ηn′ } = 0,

{pi , p′n } = 0,

{ηi , p′n } = δin δ,

то справедливы и скобки (30.2.5). Уравнения движения в терминах канонических переменных ηi и pi записываются в виде: δH δH ∂t ηi = , ∂t pi = − . (30.2.7) δpi δηi

§ 30.3. Гамильтонова динамика границ раздела в отсутствие вихревой пелены Так как, согласно результатам § 30.1, отсутствие вихревой пелены на границе раздела автоматически означает отсутствие скачка плотности на ней, переменная qi тождественно обращается в нуль. В этом случае скобки Пуассона (30.1.6) и (30.1.7) исчезают, и, таким образом, мы имеем только скобку (30.1.8):   ∂γi ∂ ∂γi ∂ ′ {γi , γn } = δin − δ (x1 − x′1 ) δ (x2 − x′2 ) , (30.3.1) ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 в которой, согласно (30.1.5), переменные γi определены теперь как

γi = νi θ (x2 − ηi ) ,

νi = ̺i (ωi+1 − ωi ) .

Из (30.3.2) можно найти соотношение ZZ {γi , γn′ } dx2 dx′2 = νi νn {ηi , ηn′ },

(30.3.2)

(30.3.3)

которое позволяет легко пересчитать скобку Пуассона из фазового пространства переменной γi в фазовое пространство переменной ηi .

256

Глава 30. Контурная динамика для послойных моделей

Подстановка (30.3.1) в (30.3.3) приводит к скобкам Пуассона

{ηi , ηn′ } =

δin ∂ δ (x1 − x′1 ) , νi ∂x1

которые соответствуют гамильтоновым уравнениям КдВ-типа:

∂t ηi = {ηi , H} =

1 ∂ δH . νi ∂x1 δηi

§ 30.4. Гамильтонизация контурной динамики для неплоских моделей Один из примеров неплоских послойных моделей — осесимметричное течение, состоящее из вложенных цилиндрических слоев с постоянной завихренностью и плотностью в каждом слое. В зависимости от типа симметрии течения, послойные модели удобно изучать в соответствующей системе ортогональных криволинейных координат ζ1 , ζ2 , ζ3 , предполагая, что координатные линии ζ3 совпадает с вихревыми, а координатные линии ζ1 и ζ2 лежат на жидких поверхностях, причем ζ1 , совпадает с линиями тока невозмущенной стационарной задачи. Для широкого класса послойных моделей геометрические свойства пространства, связанного с такими системами координат, характеризуются только тремя (g11 , g22 , g33 ) отличными от нуля диагональными компонентами метрического тензора и его детерминантом g , которые так же, как и профиль скорости невозмущенного течения, считаются независимыми от ζ1 . Пространственные распределения для импульса πα и плотности ̺ в этих координатах могут быть написаны как

π1 = −g −1/2 g11 π2 = g

−1/2

N X i=0

g22

̺=

θ (ζ2 − ηi )

N X

θ (ζ2 − ηi )

i=0 N X i=0

∂ (̺i+1 ψi+1 − ̺i ψi ) , ∂ζ2 ∂ (̺i+1 ψi+1 − ̺i ψi ) , ∂ζ1

(̺i+1 − ̺i ) θ (ζ2 − ηi ) ,

(30.4.1) (30.4.2) (30.4.3)

где все обозначения сохраняют тот же смысл, что и для плоской модели. Подстановка (30.4.1) и (30.4.2) в соотношение (29.1.5) позволяет найти распределение завихренности

γ=

N h i X (ωi+1 ̺i+1 − ωi ̺i ) θ (ζ2 − ηi ) + µi g −1/2 δ (ζ2 − ηi ) . i=0

(30.4.4)

30.4. Гамильтонизация контурной динамики для неплоских моделей

257

Здесь величина µi g −1/2 определяет скачок тангенциальной компоненты гидродинамического импульса на i-ой границе раздела, а µi выражается в терминах послойных функций тока ψi следующим образом:     ∂ ∂ηi ∂ µi = g −1/2 g11 − g22 (̺i+1 ψi+1 − ̺i ψi ) . ∂ζ2 ∂ζ1 ∂ζ1 ζ2 =ηi Обозначая скачки плотности и завихренности импульса на i-ой границе раздела как σi = ̺i+1 − ̺i , νi = ωi+1 ̺i+1 − ωi ̺i ,

пространственные распределения для плотности (30.4.3) и завихренности гидродинамического импульса (30.4.4) можно переписать в том же виде (30.1.4), что и для плоской модели. Таким образом, приходим к рассмотрению многокомпонентной жидкости, в которой плотность и завихренность импульса для каждой компоненты определены соотношениями:

qi = σi θ (ηi − ζ2 ) ,

γi = νi θ (ηi − ζ2 ) + µi g −1/2 δ (ηi − ζ2 ) , причем, как и для плоской модели, ковариантные скобки Пуассона (13.4.10)– (13.4.12) выполняются для каждой компоненты отдельно, т. е.

{qi , qn′ } = 0,

eαλ ∂qi ∂ δ {qi , γn′ } = δin √ √ , g ∂ζ α ∂ζ λ g eαλ ∂γi ∂ δ {γi , γn′ } = δin √ √ . g ∂ζ α ∂ζ λ g Здесь δ = δ (ζ1 − ζ1′ ) δ (ζ2 − ζ2′ ) — двумерная дельта-функция, δin — дельта-символ Кронекера, и суммирование по повторяющимся индексам не подразумевается. Все результаты, полученные в § 30.2 и § 30.3 для плоских моделей, можно перенести на неплоские, если вместо динамических переменных qi , γn ввести переменные   Z ηi Z qi 1/2 1/2 κi = g dζ2 = g θ (ζ2 ) − dζ2 , σi 0 (30.4.5)   Z νi 1/2 µi = g γi − qi dζ2 . σi Очевидно, в плоском случае, когда g = 1, соотношения (30.4.5) переходят в соответствующие соотношения (30.2.1). Действуя аналогичным образом, с помощью (30.4.5), можно показать, что для неплоских моделей скобки Пуассона в терминах динамических переменных

258

Глава 30. Контурная динамика для послойных моделей

κi , µi сохраняют тот же вид, что и для плоских (сравни уравнения (30.4.6) с уравнениями (30.2.5)): {κi , κn′ } = 0,

{κi , µ′n } = −δin

∂δ , ∂ζ1

{µi , µ′n } = −δin νi

∂δ , ∂ζ1

(30.4.6)

где δ = δ (ζ1 − ζ1′ ). Этот результат позволяет перенести другие результаты, полученные в § 30.2 и § 30.3 для плоских моделей, на неплоские. В частности, из (30.4.6) следует, что эволюция каждой границы раздела описывается уравнениями:

∂t κi = {κi , H} = − ∂ ∂t µi = {µi , H} = − ∂ζ1



∂ δH , ∂ζ1 δµi

δH δH + νi δκi δµi

(30.4.7)



,

(30.4.8)

которые заменой динамических переменных последовательно могут быть преобразованы к гамильтоновым уравнениям двух типов. Если νi 6= 0, уравнения (30.4.7) и (30.4.8) с помощью замены переменных ξi = µi − νi κi приводятся к гамильтоновым уравнениям (30.2.6) со структурой КДВ типа. Другая замена переменных

1 ∂pi µi = νi κi + 2 ∂x1 приводит эти уравнения к каноническому виду (30.2.7), где вместо переменной ηi нужно подставить переменную κi . В вырожденном случае, когда µi = 0 и, следовательно, σi = 0, т. е. когда вихревая пелена и скачок плотности на границе раздела отсутствуют, контурная динамика слоя может быть описана одной-единственной переменной, которая вводится соотношением Z ηi κi = g 1/2 dζ2 . 0

Так как скобки Пуассона для этих переменных определяются выражением

{κi , κn′ } =

δin ∂δ , νi ∂ζ1

эволюция границ раздела в этом случае описывается уравнениями

∂t κi = {κi , H} =

1 ∂ δH . νi ∂ζ1 δκi

(30.4.9)

Более предметному обсуждению различных гамильтоновых версий контурной динамики для плоских и неплоских послойных моделей будет посвящена последняя шестая часть книги (см. также работы [38, 39, 42, 48, 50, 220, 224]). Там же будут приведены многочисленные примеры решений, описывающие вихревые структуры, возникающие в этих моделях.

Часть V ФОРМАЛИЗМ НОРМАЛЬНЫХ МОД: ПРИЛОЖЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ

В этой части изложен метод, который известен как формализм нормальных мод. Этот метод, основанный на введении специальных переменных, именуемых нормальными координатами, нормальными модами или просто нормальными переменными, широко используется для исследования колебательных режимов как в дискретных, так и в континуальных системах. Суть этого метода заключается в том, что в линейном приближении любое возмущение в системе можно представить в виде суммы собственных колебаний с определенной частотой и амплитудой. После введения нормальных переменных подход к изучению волновых взаимодействий превращается в стандартную процедуру [87, 128], которая реализуется в рамках классической теории возмущений. Поскольку нормальные и канонические переменные связаны линейным преобразованием, наиболее удобный способ введения нормальных переменных — это предварительная каноническая формулировка задачи. Такой способ введения нормальных переменных позволяет исключить многие вычислительные трудности, которые обусловлены «кривизной» фазового пространства и присущи традиционным неканоническим формулировкам. Метод нормальных мод может с успехом использоваться при анализе различных проблем. Интересующиеся конкретными приложениями могут обратиться к работам [48, 84, 85, 87, 128], в том числе к работам, посвященным обсуждению общефизических проблем, связанных с рассеянием, взаимодействием и излучением волн [17–20, 26, 36, 46, 47, 76, 77, 111, 128, 144, 145, 149, 156], где приведена относительно подробная библиография по теме, а также к другим публикациям, приведенным в списках литературы цитируемых работ. Проблематика процессов взаимодействия, рассеяния и излучения волн в гидродинамических системах охватывает чрезвычайно широкий круг задач. Поэтому, мы ограничимся лишь тем, что наметим основные идеи применения подхода, сформулированного и обсужденного в предыдущих разделах книги. Читатель, желающий узнать больше подробностей об области приложения излагаемых ниже методов, может обратиться, например, к работам [83, 84, 87, 90, 95, 128]. Классификацию континуальных волновых систем можно провести в соответствии с типом состояния равновесия (устойчивое, неустойчивое) и тем, какие пространственные симметрии они допускают или не допускают, когда находятся в этом состоянии. Следуя этой классификации, мы будем различать равновесные, неравновесные, однородные, неоднородные и анизотропные волновые модели. Как мы увидим далее, в зависимости от типа волновой модели метод нормальных мод может претерпевать значительные изменения.

Глава 31 РЕЖИМЫ РАВНОВЕСИЯ В ГАМИЛЬТОНОВЫХ ВОЛНОВЫХ СИСТЕМАХ Как и для любых других колебательных систем, существование волновых движений для распределенной гамильтоновой системы тесно связано с наличием в ней так называемого основного (фонового) состояния — режима равновесия, в котором невозмущенная система может находиться бесконечно долго. В этом состоянии все физические характеристики системы, такие, как плотность, скорость и другие, не зависят от времени. Поэтому исследование волновых движений в континуальных гамильтоновых моделях следует начинать с анализа таких состояний равновесия.

§ 31.1. Стационарные точки и метод линеаризации для гамильтоновых систем Согласно § 10.3 (см. также конкретные модели в части III), любая динамическая система при условии, что ее канонические переменные известны, может быть всегда переформулирована к новым каноническим переменным q и p, которые в состоянии равновесия принимают нулевые значения: qs = 0,

ps = 0,

где q и p — вектор-столбцы



 q1  q2    q =  ..  ,  .  qN



 p1  p2    p =  ..  ,  .  pN

обозначающие соответственно обобщенные координаты q 1 , q 2 , . . . , q N и обобщенные импульсы p1 , p2 , . . . , pN , а индекс s указывает на стационарный режим. Так как в этом режиме уравнения движения (2.1.1) эквивалентны равенствам:     δH δH = 0, = 0, (31.1.1) δp s δq s стационарное состояние можно интерпретировать в фазовом пространстве канонических переменных как стационарную точку (q = 0, p = 0), в которой гамильтониан H достигает экстремума. 261

262

Глава 31. Режимы равновесия в гамильтоновых системах

Является это состояние равновесным (линейно устойчивым) или нет, полностью зависит от поведения фазовой траектории системы в окрестности этой точки. Если состояние равновесное, все динамические траектории, лежащие на поверхности H = const, должны быть замкнуты, по крайней мере в достаточно малой окрестности точки равновесия. Физически это означает, что, двигаясь по этим замкнутым траекториям, система совершает периодические (волновые) движения, которые соответствуют достаточно малым отклонениям полевых переменных (q, p) от их равновесных значений (0, 0). Для анализа характера движений в окрестности точки равновесия гамильтоновой системы обычно пользуются методом линеаризации (см., например, [5]). С этой целью для динамических режимов, которые развиваются в окрестности точки равновесия, гамильтониан H представляют в виде разложения

H = H2 + Hint

(31.1.2)

в функциональный ряд теории возмущений по степеням отклонений канонических переменных от их равновесных значений. В силу (31.1.1) это разложение начинается с квадратичного члена H2 , а слагаемое Hint обозначает остальные члены разложения более высокого порядка, которые описывают влияние нелинейных эффектов на поведение системы. В самом общем виде квадратичную часть гамильтониана можно представить в терминах канонических переменных как функционал Z 1 ˆ (x, x′ ) u (x′ , t) dxdx′ , H2 = u+ (x, t) H (31.1.3) 2 где вектор-столбец u(x, t), составленный из канонических переменных, и матˆ имеют следующую блочную структуру ричное ядро H !   ˆ B ˆ p A ˆ = u= , H . ˆ + Cˆ q B Знак «+» — обозначает эрмитово сопряжение. ˆ и Cˆ представляют собой N × N -размерные матрицы, элементы Так как Aˆ, B которых определяются вторыми вариационными производными от гамильтониана H по правилу:  2   2   2  δ H δ H δ H ik ik ik A = , C = , B = , δpi δpk s δq i δq k s δpi δq k s

ˆ Cˆ , а, следовательно, и матрица H ˆ отсюда легко сделать вывод, что матрицы A, эрмитовы, т. е. ˆ =H ˆ +. Aˆ = Aˆ+ , Cˆ = Cˆ + , H Уравнения движения (2.1.1) удобно переписать в матричном виде

δH ∂t u = −iJˆ + , δu

(31.1.4)

31.2. Классификация точек равновесия в гамильтоновых системах

263

где i — мнимая единица, а Jˆ — так называемая симплектическая матрица, которая имеет блочную структуру ! ˆ 0 − E Jˆ = i , ˆ E 0

ˆ — единичная матрица). Определенная таким образом симплектическая матри(E ца Jˆ обладает свойствами ˆ Jˆ = Jˆ+ , Jˆ2 = E. В терминах скобок Пуассона, формулировка (31.1.4) означает, что  u (x) , u+ (x′ ) = −iJˆδ (x − x′ ) .

(31.1.5)

§ 31.2. Классификация точек равновесия в гамильтоновых системах

Для качественного анализа системы (31.1.4), которая описывает эволюцию точки u в бесконечномерном фазовом пространстве, можно использовать те же методы, что и для дискретных динамических систем. В основе качественного анализа лежит геометрическая интерпретация, основанная на том, что правая часть канонической гамильтоновой системы (31.1.4) задает векторное поле: в каждой точке u = (p, q) фазового пространства приложен вектор   δH δH V = − , . δq δp

Векторное поле V интерпретируется как установившийся фазовый поток на гиперповерхности H = const. Каждая фазовая траектория представляет собой линию тока, а вся их совокупность составляет фазовое пространство. Так как для канонических гамильтоновых систем справедливо условие   δ δ , V ≡ 0, δp δq

которое можно трактовать как условие бездивергентности потока в фазовом пространстве полевых переменных u = (p, q ), объем произвольной фазовой области, состоящей в ходе эволюции из одних и тех же фазовых частиц, сохраняется. Это свойство, известное как теорема Лиувилля [5, 80], сильно ограничивает топологический характер поведения фазовых траекторий в окрестности точек равновесия, где V = 0. Например, для простейшей конечномерной гамильтоновой системы с одной степенью свободы запрещены точки равновесия типа узлов или фокусов, показанные на рис. 31.1, а,б. Для такой системы единственно разрешенные невырожденные точки равновесия — центры и седла (см. рис. 31.1, в,г). К сожалению, подобный элементарный топологический анализ поведения фазовых траекторий доступен лишь при малой размерности пространства. C увеличением размерности характер поведения фазовых кривых становится столь сложным, что теряет наглядность.

264

Глава 31. Режимы равновесия в гамильтоновых системах

а

б

в

г

Рис. 31.1. Невырожденные точки равновесия в динамической системе с одной степенью свободы. Фазовые портреты в окрестности узла (а), фокуса (б), центра (в) и седла (г)

Тем не менее, приведенные результаты позволяют сформулировать универсальный вывод: независимо от тех структурных усложнений, которые может привносить размерность в устройство точек равновесия, для гамильтоновых систем возможны два случая: 1) изображающие точки системы в окрестности точки равновесия движутся по замкнутым траекториям, не удаляясь от нее на значительное расстояние; 2) некоторые или все точки из окрестности точки равновесия движутся по разомкнутым траекториям и через некоторое время покидают эту область. Первый из перечисленных случаев соответствует системам с так называемым равновесным (устойчивым) состоянием, а второй — системам с неравновесным (неустойчивым) состоянием.

§ 31.3. Гамильтоново описание пространственно однородной волновой модели Если в дискретных системах колебательный режим может носить только временной характер, то в континуальных — пространственно-временной или волновой. Существование волновых движений — распространяющихся периодических колебаний не только по времени, но и хотя бы по одному из направлений в пространстве — зависит от свойства однородности среды и соответственно от ˆ в этом направлении. трансляционной инвариантности матрицы H Ограничимся далее самым простым случаем среды, однородной по всем трем направлением координатного пространства. Так как свойство однородности подразумевает отсутствие физически выделенных точек, параллельный перенос системы координат не должен сказываться на уравнениях движения. Это свойство симметрии, известное как трансляционная инвариантность, означает, что квадратичный гамильтониан H2 должен быть инвариантен относительно преобразования x → x + a. Из выражения (31.1.3) и этого требования можно установить общий вид допустимых матричных ядер:

ˆ x, x′ ) = H( ˆ x − x′ ). H(

Для изучения волновых движений в однородных средах вместо использования координатного представления для динамических переменных u(x, t) удобно

31.3. Гамильтоново описание пространственно однородной волновой модели

265

перейти к их волновому (импульсному) представлению, применяя для этой цели так называемое симметричное преобразование Фурье1 Z −3/2 uk = (2π) u(x, t) exp(−ik · x) dx, которое обладает очевидным свойством uk = u∗−k (знак «∗» — обозначает комплексное сопряжение). Так как преобразование из координатного x-пространства в импульсное kпространство не изменяет скобки Пуассона, выражения для скобок (31.1.5) и для уравнений движения (31.1.4) остаются в силе:  uk , u + (31.3.1) = −iJˆδ (k − k′ ) , ′ k δH ∂t uk = −iJˆ + . (31.3.2) δ uk Существенное преимущество, которое достигается от использования волнового (импульсного) k-представления, заключается в том, что квадратичная часть гамильтониана для однородных моделей становится локальной, т. е. Z 1 ˆ H2 = u+ k Hk uk d k , 2

ˆ k — матрица, полученная преобразованием Фурье матричного ядра H ˆ: где H Z −3/2 ˆ ˆ x) exp(−ik · x) dx. Hk = (2π) H( ˆ справедливы свойства В силу вещественности и эрмитовости оператора H ˆk = H ˆ+ = H ˆ∗ , H −k k из которых, в свою очередь, легко установить, что

ˆ∗ Aˆk = Aˆ+ k = A−k ,

∗ Cˆk = Cˆk+ = Cˆ− k,

ˆk = B ˆ∗ . B −k

Подчеркнем, что при выяснении типа точки равновесия волновой гамильтоновой системы всегда рассматривается невырожденный случай, который предˆ k, характеризующей квадратичную часть полагает, что определитель матрицы H ˆ k 6= 0. При этом решающую роль гамильтониана, отличен от нуля, т. е. det H в определении характера поведения малых возмущений гамильтоновой системы ˆ k. играет знаковая определенность или неопределенность матрицы H

1 Преобразование Фурье называется симметричным, если перед интегралами прямого и обратного преобразования стоит одинаковый коэффициент, в данном случае (2π)−3/2 .

Глава 32 РАВНОВЕСНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ВОЛНОВЫЕ МОДЕЛИ § 32.1. Нормальные переменные в равновесной однородной волновой модели Для гамильтоновых систем наиболее подходящим инструментом исследования линейных и нелинейных волновых движений является формализм нормальных мод, основанный на возможности введения особых канонических переменных, которые называются нормальными. В линейном приближении, когда H = H2 , из уравнения (31.3.2) следует, что   ˆ k uk = 0. (32.1.1) Jˆ∂t + iH

Подставляя решение uk(t) = f k exp(−iωkt) в (32.1.1), получим матричное уравнение   ˆ k − ωkJˆ f k = 0, (32.1.2) H которое представляет собой хорошо известную задачу по определению собствен(n) (n) ных функций f k и собственных значений ωk . Как известно (см., например, [28]), при положительной или отрицательной ˆ k, в силу эрмитовости H ˆ k и Jˆ, можно заранее знакоопределенности матрицы H (n) утверждать, что, во-первых, совокупность всех собственных функций f k образует полную систему ортонормальных функций, для которых выполнены соответствующие условия нормировки: (m)+

fk

(n) Jˆf k = δmn ,

(32.1.3) (n)

а, во-вторых, что все собственные значения вещественны, т. е. Im ωk могут быть найдены из характеристического уравнения   ˆ k − ωkJˆ = 0. det H

= 0, и

(32.1.4)

ˆk = H ˆ ∗ и Jˆ = −Jˆ∗ , из (32.1.2) легко получить, что Учитывая свойства H −k 

 ˆ k + ω−kJˆ f ∗ = 0. H −k 266

32.1. Нормальные переменные в равновесной однородной волновой модели (n)

267

(n)

Это означает, что если ωk и f k — собственное значение и собственная ∗(n) (n) функция задачи (32.1.2), отвечающие состоянию k, то величины −ω−k и f −k , отвечающие состоянию −k, также являются ими. Поэтому совокупность собственных значений и собственных функций гамильтоновой системы имеет дуальную природу, а именно: состоит из пар     (n) (n) (n) (n)∗ ωk , −ω−k , f k , f −k . (n)

По определению, нормальные переменные ak (t) вводятся как коэффициенты при разложении вектора состояния uk по собственным функциям  X  (n) (n) (n)∗ (n)∗ uk = (32.1.5) ak f k + a−k f −k . n

Если воспользоваться свойством ортонормальности (32.1.3) для собственных функций, из (32.1.5) нетрудно получить соотношение (n)

(n)+

ak = f k

ˆ (n)∗ Jˆuk = −u+ −k J f k ,

а затем с его помощью вычислить соответствующие скобки Пуассона (n)

(m)∗

(n)+

{ak , ak′ } = f k (n)

(m)

ˆ uk, u+′ }Jˆf (m) J{ = −iδnm δ (k − k′ ) , k k′ (n)+

{ak , ak′ } = −f k

ˆ uk, u+ ′ }Jˆf (m)∗ J{ = 0. −k k′

На основании полученных скобок в терминах нормальных переменных уравнения движения (31.1.4) принимают вид (n)

∂t ak = −i

δH (n)∗

δak

.

(32.1.6)

Отличительной особенностью нормальных переменных является то, что после преобразования (32.1.5) квадратичная часть гамильтониана H2 приобретает наиболее простую структуру X Z (n) (n) H2 = ωk |ak |2 dk (32.1.7) n

и описывает систему невзаимодействующих между собой волновых мод. При (n) (n) этом величина ωk |ak |2 — плотность энергии отдельно взятой n-ой волновой моды в импульсном k-пространстве. В линейном приближении, когда H = H2 , уравнения движения (32.1.6) становятся тривиальными (n) (n) (n) ∂t ak = −iωk ak . (32.1.8)

В этом случае динамика системы полностью фиксируется начальными условиями (n) 0(n) (n) ak (0) = ak и частотами ωk , которые определяют закон дисперсии свободных (невзаимодействующих) волн.

268

Глава 32. Равновесные однородные волновые модели

Таким образом, свободные волны, эволюционирующие согласно уравнению (32.1.8), подчиняются закону   (n) 0(n) (n) ak (t) = ak exp −iωk t .

§ 32.2. Волновые взаимодействия в однородных моделях После введения нормальных переменных гамильтонов подход к изучению волновых взаимодействий превращается в стандартную процедуру [87, 128]), которая реализуется в рамках классической теории возмущений, основанной на предположении о малости амплитуд. Ограничиваясь для простоты одним типом волн, разложим гамильтониан в функциональный ряд (31.1.2) по степеням нормальных переменных. Следующие за квадратичным гамильтонианом члены разложения образуют так называемый гамильтониан волновых взаимодействий (32.2.1)

Hint = H3 + H4 + · · · , где H3 — гамильтониан трехволновых взаимодействий:

1 H3 = 2

Z

(Vk,k1 ,k2 a∗kak1 ak2 + к.с.) δ (k − k1 −k2 ) dkdk1 dk2 + Z
1 + Uk,k1 ,k2 a∗ka∗k1 a∗k2 + к.с. δ (k + k1 + k2 ) dkdk1 dk2 , (32.2.2) 3

а H4 — гамильтониан четырехволновых взаимодействий:

1 H4 = 2

Z


Wk,k1 ,k2 ,k3 a∗ka∗k1 ak2 ak3 + к.с. δ (k + k1 − k2 − k3 ) ×

1 × dk dk 1 dk 2 dk 3 + 4

Z


Gk,k1 ,k2 ,k3 aka∗k1 a∗k2 a∗k3 + к.с. ×

× δ (k − k 1 − k 2 − k 3 ) dk dk 1 dk 2 dk 3 +

1 4

Z

Rk,k1 ,k2 ,k3 ×


× a∗ka∗k1 a∗k2 a∗k3 + к.с. δ (k + k1 + k2 + k3 ) dkdk1 dk2 dk3 .

Здесь и далее сокращение «к.с.» обозначает слагаемые, полученные комплексным сопряжением из предыдущих. Необходимость рассматривать члены разложения более высокого порядка возникает крайне редко, поскольку их учет дает лишь малые поправки к той волновой динамике, которая определяется первыми двумя H3 и H4 , описывающими процессы трех- и четырехволновых взаимодействий, соответственно. Коэффициенты разложения V , U и W , G, R называются коэффициентами (матричными элементами) взаимодействия и обладают свойствами, которые следует из перестановочной симметрии подынтегральных выражений, составляющих гамильтонианы взаимодействия в каждом порядке теории возмущений.

32.2. Волновые взаимодействия в однородных моделях

269

Например, для гамильтониана трехволновых взаимодействий (32.2.2) коэффициенты V , U обладают свойствами:

Vk,k1 ,k2 = Vk,k2 ,k1 , Uk,k1 ,k2 = Uk,k2 ,k1 = Uk1 ,k,k2 . Более детальное определение явного вида коэффициентов взаимодействия связано с учетом конкретной специфики волновой системы и может представлять собой достаточно громоздкую задачу. В этой ситуации информация о законах дисперсии может оказаться особенно полезной. Дело в том, что за волновые взаимодействия ответственны лишь те члены в гамильтониане взаимодействия, для которых выполняются так называемые условия синхронизма или резонанса n-го порядка. В частности, первый интеграл в гамильтониане трехволновых взаимодействий (32.2.2) обеспечивает вклад в соответствующем порядке теории возмущений лишь в том случае, если выполнены резонансные условия или условия синхронизма: k − k1 −k2 = 0, (32.2.3) ωk − ωk1 − ωk2 = 0.

Эти условия описывают процесс распада (1 → 2): одной волны k на две k1 и k2 ; и обратный — процесс слияния (2 → 1). Второй интеграл в гамильтониане (32.2.2) дает вклад, если выполнены резонансные условия: k + k1 + k2 = 0, (32.2.4) ωk + ωk1 + ωk2 = 0. Условия (32.2.4) описывают так называемую взрывную неустойчивость, которая ответственна как за одновременную генерацию волновых триад (0 → 3), так и за их одновременное уничтожение (3 → 0). Отметим, что выполнение условий (32.2.4) возможно, если одна из частот противоположна по знаку двум другим. Как правило, такая ситуация возникает в неустойчивых средах, где квадратичная часть гамильтониана не является знакоопределенной величиной, так что задача на собственные значения (32.1.4) может иметь как положительные, так и отрицательные решения для ωk. В последнем случае говорят о присутствии в среде волн с положительной и отрицательной энергией [100, 101]. Эти два типа волн отличаются друг от друга тем, что с ростом амплитуды волны с положительной энергией увеличивают суммарную энергию системы, в то время как волны с отрицательной энергией ее уменьшают. Если волны отрицательной энергии отсутствуют, все члены, пропорциональные a∗ a∗ a∗ и aaa, можно исключить из гамильтониана взаимодействия (32.2.2) с помощью преобразования Z ∗ ∗ ck1 ck2 Uk,k1 ,k2 ak = ck − δ (k + k1 + k2 ) dk1 dk2 , (32.2.5) ωk + ωk1 + ωk2 которое является каноническим с требуемой степенью точности. В некоторых случаях резонансное условие (32.2.3) может также не выполняться. Например, условия (32.2.3) не имеют решений в изотропной волновой

270

Глава 32. Равновесные однородные волновые модели

системе, если в нуле ω(0) = 0 и вторая производная по аргументу ∂ 2 ω(k)/∂k 2 < < 0. Здесь собственное значение ω(k) — изотропная функция, зависящая только от абсолютного значения волнового вектора k = |k|. Именно такая ситуация имеет место, например,pдля поверхностных гравитационных волн, для которых закон дисперсии ωk = g|k|. Во всех таких случаях члены, пропорциональные a∗ aa и aa∗ a∗ , могут быть исключены из гамильтониана взаимодействия (32.2.2) с помощью преобразования

ak = ck −

Z

ck1 ck2 Vk,k1 ,k2 δ (k − k1 − k2 ) dk1 dk2 + ωk − ωk1 − ωk2 Z ck1 c∗k2 Vk∗2 ,k,k1 +2 δ (k2 − k − k1 ) dk1 dk2 . (32.2.6) ωk2 − ωk − ωk1

Подобно (32.2.5) это преобразование является каноническим с требуемой степенью точности. Так как каждое из квазилинейных канонических преобразований независимо, чтобы исключить из гамильтониана все запрещенные трехволновые взаимодействия, необходимо использовать соответствующую линейную комбинацию этих преобразований. Естественно, что такое преобразование изменяет коэффициенты взаимодействий в следующем порядке теории возмущений. Потребность в преобразовании, которое исключает все трехволновые члены, возникает только тогда, когда запрещены все трехволновые взаимодействия, т. е. ни одно из условий (32.2.3), (32.2.4) не выполнено. В этом случае обычно рассматривают процессы четырехволновых взаимодействий, которые описываются гамильтонианом H4 . Среди четырехволновых взаимодействий особый интерес представляет взаимодействие, соответствующее резонансным условиям: k + k 1 = k2 + k 3 ,

ωk + ωk1 = ωk2 + ωk3 , которые описывают процесс рассеяния волн (2 → 2). Этот процесс выделяется тем, что разрешен при любом законе дисперсии, когда все k близки друг другу. Таким образом, если во втором порядке теории возмущений рассматриваются только такие процессы, а трехволновые взаимодействия запрещены, существенным оказывается гамильтониан четырехволновых взаимодействий, который после преобразований (32.2.5), (32.2.6) определяется выражением Z
1 H4 = Tk,k1 ,k2 ,k3 c∗kc∗k1 ck2 ck3 + к.с. δ (k + k1 −k2 −k3 ) dkdk1 dk2 dk3 , 2 где коэффициент взаимодействия Tk,k1 ,k2 ,k3 принимает вид

Tk,k1 ,k2 ,k3 = Wk,k1 ,k2 ,k3 − −2

U−k1 −k2 ,k1 ,k2 U−∗ k3 −k4 ,k3 ,k4 ωk3 +k4 + ωk3 + ωk4

−2

Vk∗1 +k2 ,k1 ,k2 Vk3 +k4 ,k3 ,k4 ωk1 +k2 − ωk1 − ωk2

−

32.2. Волновые взаимодействия в однородных моделях

−2

271

Vk∗ ,k ,k −k Vk3 ,k1 ,k3 −k1 Vk1 ,k3 ,k1 −k3 Vk4 ,k2 ,k4 −k2 −2 2 4 2 4 − ωk4 −k2 + ωk2 − ωk4 ωk3 −k1 + ωk1 − ωk3

−2

Vk∗2 ,k3 ,k3 −k2 Vk4 ,k1 ,k4 −k1 ωk4 −k1 + ωk1 − ωk4

−2

Vk∗1 ,k4 ,k1 −k4 Vk3 ,k2 ,k3 −k2 ωk3 −k2 + ωk2 − ωk3

. (32.2.7)

Дополнительные слагаемые («шуба») в матричном элементе четырехволновых взаимодействий (32.2.7) описывают процессы рассеяния, возникающие во втором порядке теории возмущений по трехволновым процессам взаимодействия. Появление дополнительных слагаемых обусловлено тем, что возникает «виртуальная» вынужденная волна, для которой резонансные условия, естественно, не выполняются и которая ответственна за перенормировку коэффициента взаимодействия: Wk,k1 ,k2 ,k3 → Tk,k1 ,k2 ,k3 .

Глава 33 АНИЗОТРОПНЫЕ ВОЛНОВЫЕ МОДЕЛИ Для некоторых неоднородных или анизотропных волновых систем процедура введения нормальных переменных в том виде, в каком она изложена выше, становится невозможной и требует существенных изменений и обобщений. Одной из отличительных черт анизотропных моделей является существование нулевых мод. Нулевые моды естественно возникают в гамильтоновских версиях анизотропных волновых моделей как следствие нарушения зеркальной симметрии и отражают факт существования некоторого выделенного направления, в котором волны в линейном приближении не распространяются. Это свойство делает введение нормальных переменных в такие модели нетривиальной задачей, которая будет проиллюстрирована ниже на примере модели волн Россби. Отметим, что аналогичная волновая модель, существующая в плазме, известна как модель Хасегавы—Мима. С точки зрения спектральной задачи для нормальных переменных нулевые моды дополняют спектр возможных решений гамильтоновой системы и учитывают существование особого подкласса волновых решений, характеризуемых ненулевым волновым вектором, но нулевой частотой. Если в линейном приближении вклад таких мод в «наблюдаемые» переменные (например, в функцию тока) отсутствует, то в нелинейном, когда возможны межмодовые взаимодействия, ситуация может измениться. По сравнению с однородными основное методическое отличие анизотропных моделей проявляется в том, что после перехода из x- в k-пространство ˆ k, элементами которой оказываются дифференциальные мы получаем матрицу H операторы, а не обычные функции от волнового вектора k. Как увидим ниже, это приводит к тому, что задача по определению собственных функций и собственных значений перестает быть алгебраической, а собственные функции также содержат дифференциальные операторы.

§ 33.1. Модель волн Россби В качестве примера рассмотрим так называемую плоскую баротропную модель волн Россби с учетом бета-эффекта. Согласно главе 20, гамильтониан этой модели записывается в виде Z 1 ˆ dx, H =− ψLψ (33.1.1) 2 где ψ — функция тока двумерного течения, x = (x, y) — декартовы координаты ˆ = ∂ 2 + ∂ 2 − R−2 — линейный оператор, а R — в горизонтальной плоскости, L x y радиус деформации Россби. 272

273

33.1. Модель волн Россби

Канонические переменные q и p в эту модель вводятся с помощью представления Клебша (20.2.7)   ∂q ∂q ∂p ∂q ∂p ∂p ˆ Lψ = + βy + − ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x и имеют смысл обобщенной координаты и импульса, соответственно. Так как рассматриваемая модель характеризуется двумя размерными параметрами β и R, естественно ввести два характерных масштаба: T = (βR)−1 — для времени и R — для пространства. Тогда после преобразования к безразмерным независимым и зависимым переменным: x′ = x/R,

t′ = t/T,

ψ′ = T ψ/R2 ,

q ′ = q/R,

p′ = T p/R,

(знак штрих далее опущен) каноническое описание принимает безразмерный вид:

δH δH , ∂t p = − , δp δq Z 1 H =− ψ (∆ − 1) ψ dx, 2   ∂p ∂q ∂q ∂p ∂q ∂p (∆ − 1) ψ = +y + − . ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂t q =

(33.1.2)

(33.1.3)

Совершив преобразование Фурье для динамических переменных по правилу    Z  1 q(x, t) qk exp(−ik · x) dk, = p(x, t) pk 2π мы найдем выражение для гамильтониана Z
1 H = k2 + 1 ψkψk∗ dk, 2

где функция тока ψk и канонические переменные qk, pk связаны в соответствии с (33.1.3) как

 1 ∂qk ψk = − 2 iσpk − κ + ∂σ k +1  Z 1 + qk1 pk2 (σ1 κ2 − σ2 κ1 ) δ (k − k1 − k2 ) dk1 dk2 . (33.1.4) 2π Здесь κ и σ — компоненты волнового вектора k, т. е. k = (κ, σ). Разлагая гамильтониан H в функциональный степенной ряд по каноническим переменным H = H2 + H3 + · · · ,

274

Глава 33. Анизотропные волновые модели

в главном порядке теории возмущений в матричном представлении получим Z 1 ˆ H2 = u+ k Hk uk d k . 2

ˆ k имеют следующую структуру Вектор-столбец uk и матричный оператор H !   ˆk pk A B k ˆk = uk = , H , ˆ + Cˆk qk B k ˆk и Cˆk определяются выражениями: где матричные элементы Ak, B Ak =

σ2 , k +1 2

ˆk = iσκ ∂ , B k2 + 1 ∂σ

∂ κ2 ∂ Cˆk = − . ∂σ k2 + 1 ∂σ

(33.1.5)

§ 33.2. Нормальные переменные для модели волн Россби В линейном приближении, когда H = H2 , уравнения движения (33.1.2) приводят к уравнению   ˆ k uk = 0, Jˆ∂t + iH (33.2.1)

с которым мы уже имели дело в предыдущей главе (см. с. 266) Однако, так ˆ k — дифференциальные операторы, правило для как теперь элементы матрицы H введения нормальных переменных должно быть изменено, и вместо (32.1.5) необходимо пользоваться разложением ∗

uk = fˆ kak + fˆ −ka∗−k,

(33.2.2)

где собственные векторы fˆ k представляют собой операторы, вообще говоря, некоммутирующие с нормальными переменными ak. Подстановка (33.2.2) в (33.2.1) и использование в качестве нормальной переменной решения волнового типа:

ak(t) = a0k exp(−iωkt), (a0k — некоторое начальное значение) приводят к линейной задаче

ˆ kfˆ k − Jˆfˆ kωk = 0, H

(33.2.3)

где ωk — собственные значения. Важно подчеркнуть, что, поскольку fˆ k — это, вообще говоря, операторы, для которых имеет место неравенство fˆ kωk 6= ωkfˆ k,

275

33.2. Нормальные переменные для модели волн Россби

задача (33.2.3) отличается от аналогичной задачи (32.1.2) для однородных волноˆ k — эрмитова и знаковых систем. Однако, несмотря на это, так как матрица H определена, все свойства, перечисленные в § 32.1 для собственных векторов и собственных значений, остаются в силе. ˆk = H ˆ ∗ , Jˆ = −Jˆ∗ , из равенства (33.2.3) В частности, используя свойства H −k легко получить ˆ kfˆ ∗ + Jˆfˆ ∗ ω−k = 0. (33.2.4) H −k −k

Из сравнения матричных уравнений (33.2.3) и (33.2.4) легко сделать вывод, что если ωk и fˆ k — собственное значение и собственный вектор задачи, то −ω−k ∗ и fˆ −k также являются ими. Поэтому совокупность всех собственных значений и собственных векторов задачи (33.2.3) так же, как и задачи (32.1.2), имеет дуальный характер и состоит из пар. В простейшем случае одномодовой модели, задача (33.2.3) имеет одну пару действительных собственных значений (ωk, −ω−k) и одну пару собственных ∗ векторов (fˆ k, fˆ −k). Последние, как и в обычной однородной волновой системе, рассмотренной выше, образуют систему ортонормальных функций, т. е. удовлетворяют условиям: + + ∗ fˆ k Jˆfˆ k = 1, fˆ k Jˆfˆ −k = 0. (33.2.5)

Поскольку, согласно соотношению (33.1.5), матричный элемент Ak — обычная функция волнового вектора k, из матричного равенства (33.2.3) следует, что собственный вектор имеет структуру  ! −1 ˆk + iωk −A B k fˆ k = εk , (33.2.6) 1

где нормирующий множитель εk и собственное значение ωk находятся с помощью условий ортонормальности (33.2.5). ˆk и Cˆk — Используя представление (33.2.6) и принимая во внимание, что B некоммутирующие операторы, из условий ортонормальности (33.2.5) после ряда преобразований получим соотношения:   ˆ + A−1 − B ˆk , ωk − ω−k = −i Ak B k k   ˆ + A−1 B ˆk , |εk|2 = (ωk + ω−k)−1 Ak. ωkω−k = Ak Cˆk − B k k Подстановка выражений (33.1.5) в эти соотношения дает систему равенств:


−1 ωk − ω−k = −κ k2 + 1 , ωkω−k = 0,
−1 |εk|2 = σ 2 k2 + 1 (ωk + ω−k)−1 ,

которые имеют решение

ωk = −κθ (−κ) k2 + 1


−1

,

εk = σ |κ|−1/2 .

(33.2.7)

276

Глава 33. Анизотропные волновые модели

Здесь θ (κ) — так называемая тета-функция, или функция Хевисайда: θ (κ) = 1, если κ ≥ 0, и θ (κ) = 0, если κ < 0. Соответствующий закон дисперсии волн показан на рис. 33.1. В области волновых чисел, где κ < 0, закон (33.2.7) описывает хорошо известные волны Россби [68, 147], а при κ > 0 в области, где ωk ≡ 0, этот закон соответствует так называемым нулевым модам. Если теперь по правилу (33.2.2) введем нормальные переменные ak, для канонических переменных в модели волн Россби получим представления:      ∂ θ (κ) ∂ θ (−κ) 1/2 ∗ pk = −i |κ| sign (κ) + ak − + a−k , (33.2.8) ∂σ σ ∂σ σ
qk = σ |κ|−1/2 ak − a∗−k . (33.2.9)

С помощью (33.2.8) и (33.2.9) функция тока (33.1.4) модели записывается в виде


ψk = − |κ|−1/2 ωkak + ω−ka∗−k − Z 1
pk2 qk1 (σ1 κ2 − σ2 κ1 ) δ (k − k1 −k2 ) dk1 dk2 . (33.2.10) − 2π k2 + 1

В первом порядке теории возмущений, когда волновые взаимодействия отсутствуют, гамильтониан модели определяется интегралом Z (33.2.11) H2 = ωkaka∗k dk.

Отметим здесь, что благодаря наличию тета-функции θ(−κ) в дисперсионном заподынтегральное выражение −8 σ коне (33.2.7), ωkaka∗k в (33.2.11) является положительно κ −4 определенным и учитывает вклад только 8 4 волн Россби, т. е. тех мод, волновой вектор 0 k которых лежит в левой полуплоскости, Рис. 33.1. Закон дисперсии для волн где справедливо неравенство κ < 0. Что же касается нулевых мод, которые Россби и нулевых мод лежат в правой полуплоскости κ > 0, то в линейном приближении их вклад в гамильтониан отсутствует, даже если их амплитуды отличны от нуля. Более того, на основании соотношения Z 1 ψ (x) = − Re |κ|−1/2 ωkakeikx dk, 2π

которое следует из (33.2.10) в линейном приближении, легко сделать вывод, что в этом приближении нуль-моды не дают вклад и в функцию тока, а, следовательно, не проявляют себя физически. Этот вывод, однако, несправедлив в нелинейном приближении для тех моделей, где волны Россби и нулевые моды взаимодействуют и могут образовывать связанные трехволновые состояния.

33.3. Трехволновые взаимодействия с участием нулевых мод

277

§ 33.3. Трехволновые взаимодействия с участием нулевых мод В анизотропных волновых системах процедура вывода гамильтонианов взаимодействий третьего и более высокого порядка практически ничем не отличается от стандартной, которая рассматривалась выше (см. § 32.2) для обычной однородной волновой системы. Основное отличие заключается в том, что в анизотропных волновых системах коэффициенты взаимодействия это, вообще говоря, операторы, а не функции, зависящие от волновых векторов взаимодействующих волн. Разлагая (33.1.1) в функциональный ряд по степеням нормальных переменных и удерживая члены третьего порядка, гамильтониан трехволновых взаимодействий для модели Россби получим в виде

1 H3 = 2

Z 

 a∗kak1 ak2 Vˆk,k1 ,k2 + к.с. δ (k − k1 −k2 ) dkdk1 dk2 +

1 + 3

Z 

 ˆk,k ,k + к.с. δ (k + k1 + k2 ) dkdk1 dk2 . (33.3.1) a∗ka∗k1 a∗k2 U 1 2

ˆk,k ,k содержат операцию диф«Коэффициенты взаимодействия» Vˆk,k1 ,k2 и U 1 2 ференцирования в k-пространстве, действующую на подынтегральную дельтафункцию, и описываются выражениями: (1) (2) Vˆk,k1 ,k2 = (ωk − ωk1 − ωk2 ) Vˆk,k1 ,k2 + Vk,k1 ,k2 , (2) ˆk,k ,k = (ωk + ωk + ωk ) U ˆ (1) U 1 2 1 2 k,k1 ,k2 + Uk,k1 ,k2 ,

(33.3.2)

(1) ˆ (1) ˆ (2) ˆ (2) Здесь Vˆk,k1 ,k2 и U k,k1 ,k2 — операторы, а Vk,k1 ,k2 и Uk,k1 ,k2 — обычные функции:

i



∂ + κ1 κ2 σ+ ∂σ 2π |κκ1 κ2 |   κ2 κ1 + (σ1 κ2 − κ1 σ2 ) σ1 θ (κ2 ) − σ2 θ (κ1 ) , σ2 σ1  i ∂ ∂ ˆ (1) p U (σ1 κ2 − κ1 σ2 )2 + (σκ2 − κσ2 )2 + k,k1 ,k2 = ∂σ ∂σ1 12π |κκ1 κ2 |  2 ∂ + (σκ1 − κσ1 ) + κ1 κ2 σ + κκ2 σ1 + κ1 κσ2 , ∂σ2  i (κ1 σ2 − σ1 κ2 ) (2) p Vk,k1 ,k2 = (ωk1 κ2 − ωk2 κ1 ) − (ωk1 σ2 − ωk2 σ1 ) × 2π |κκ1 κ2 |   κ κ1 κ2 × θ (κ) + θ (κ1 ) + θ (κ2 ) , σ σ1 σ2 h i i κ (2) p Uk,k1 ,k2 = (ωk1 κ2 − ωk2 κ1 ) − 3 (ωk1 σ2 − ωk2 σ1 ) θ (κ) × σ 12π |κκ1 κ2 | (1) Vˆk,k1 ,k2

=−

p

(σ1 κ2 − κ1 σ2 )2

278

Глава 33. Анизотропные волновые модели

h i κ1 × (σ1 κ2 − κ1 σ2 ) + (ωkκ2 − ωk2 κ) − 3 (ωkσ2 − ωk2 σ) θ (κ1 ) × σ1  h i κ2 × (σκ2 − κσ2 ) + (ωk1 κ − ωkκ1 ) − 3 (ωk1 σ − ωkσ1 ) θ (κ2 ) (σ1 κ − κ1 σ) . σ2

Так как закон дисперсии волн Россби не допускает других трехволновых взаимодействий кроме тех, которые расположены на резонансной поверхности, определяемой условиями:

ωk − ωk1 − ωk2 = 0,

k − k1 − k2 = 0,

(33.3.3)

основной вклад в гамильтониане трехволновых взаимодействий (33.3.1) можно ожидать только от первого из интегралов. В результате для гамильтониана трехволновых взаимодействий получим выражение Z  1  ∗ H3 = (33.3.4) ckck1 ck2 Vˆk,k1 ,k2 + к.с. δ (k − k1 −k2 ) dkdk1 dk2 . 2

При анализе этого выражения следует помнить, что «коэффициент взаимодей(1) ствия» Vˆk,k1 ,k2 включает в себя оператор Vˆk,k1 ,k2 , который содержит операцию дифференцирования, действующую на подынтегральную дельта-функцию. Отдельный интерес представляют трехволновые взаимодействия с участием двух σ волн Россби и нулевой модой. Такие взаиk2 2 модействия реализуются в том случае, коk гда один из волновых векторов в волноk1 вой триаде, предположим k2 , имеет положительную проекцию на горизонтальную κ 0 ось κ, в то время как два других волновых −6 −4 −2 вектора k1 и k имеют отрицательные проекции (рис. 33.2). В этом случае волновой вектор k2 от−2 вечает нулевой моде, для которой на основании (33.2.7) ωk2 = 0, и из резонансных условий (33.3.3) следует соотношение Рис. 33.2. Геометрическое место точек, которые определяют триаду взаимодействующих волн: нулевую моду k2 и две волны Россби k, k1

ωk = ωk1 .

(33.3.5)

Несложные вычисления, проведенные в соответствии с этим равенством, показывают, что геометрическое место точек, в которых находятся концы волновых векторов k1 и соответственно начала волновых векторов k2 = k − k1 , представляет
1/2 собой дугу окружности с радиусом ωk−2 /4 − 1 и центром в точке (−ω −1 k /2, 0) как показано на рис. 33.2. Отметим, что окончательное решение вопроса о взаимодействии волн Россби и нулевых мод зависит от модели и требует вычисления интеграла взаимодействия (33.3.4) на резонансной поверхности (33.3.3).

Глава 34 НЕРАВНОВЕСНЫЕ ВОЛНОВЫЕ МОДЕЛИ Неравновесные консервативные модели — это еще один класс волновых систем, на которые рассмотренная в § 32.1 процедура введения нормальных переменных не может быть перенесена без соответствующего обобщения и некоторых дополнений. Нюансы, возникающие при введении нормальных переменных в неравновесные консервативные модели, можно проследить на однородной волновой модели, ˆ k, хаесли отказаться от условия знакоопределенности матричного оператора H рактеризующего квадратичную часть гамильтониана.

§ 34.1. Дисперсионно-волновые свойства неравновесных систем В качестве простейшей неравновесной гамильтоновой системы рассмотрим пространственно однородную модель, которая уже рассматривалась в § 31.3. Напомним, что в линейном приближении эта модель характеризуется квадратичным гамильтонианом Z 1 ˆ H2 = u+ k Hk uk d k , 2

ˆ k — невырожденная эрмитова матрица. где H ˆ k не является Теперь, в отличие от § 31.3, будем считать, что матрица H знакоопределенной и поэтому вещественность собственных значений ωk задачи (32.1.2) не гарантирована. Другими словами, дисперсионное уравнение   ˆ k − ωkJˆ = 0 det H (34.1.1)

для неравновесных систем может иметь не только вещественные решения ωk, но и комплексные. Области k, в которых все корни ωk дисперсионного уравнения являются вещественными, называются зонами устойчивости, а области k, в которых среди корней ωk появляются комплексные, называются зонами неустойчивости. ˆ k и Jˆ, из (34.1.1) легко показать, что, если Используя эрмитовость матриц H ∗ ω = ωk — решение дисперсионного уравнения, то ω = −ω− k — также его решение. Таким образом, в зоне неустойчивости решения (34.1.1) могут встречаться 279

280

Глава 34. Неравновесные волновые модели

только комплексно сопряженными парами, причем появлению такой пары должно предшествовать слияние двух различных вещественных решений уравнения (34.1.1), которое происходит при переходе через границу устойчивости. Возможность комплексных решений означает, что задача на собственные значения и собственные функции может быть сформулирована двояко. С одной стороны, из уравнений (31.3.2) следует, что   ˆ k − ωk J ˆ f k = 0, H (34.1.2) а с другой —

  ˆ k + ω∗ J ˆ f ∗ = 0. H −k −k

По существу, это означает, что совокупность всех собственных значений и собственных функций состоит из пар: (n)

(n)∗

(ωk , −ω−k ),

(n)

∗(n)

(f k , f −k ).

(34.1.3)

Из общих соображений ясно, что описанную в § 32.1 процедуру введения нормальных переменных можно осуществить только в зонах устойчивости. Действительно, требование приводимости квадратичной части гамильтониана в зоне неустойчивости к виду (32.1.7) не совместимо (в силу вещественности H2 ) с (n) комплексным характером величины ωk . Таким образом, осуществляя переход к переменным ak, a∗k по формальной схеме (32.1.5), для неравновесных гамильтоновых систем правомерно поставить вопрос: как при этом модифицируются уравнения движения и квадратичная часть гамильтониана в зоне неустойчивости.

§ 34.2. Нормальные переменные для неравновесных систем Выясним структуру, которую приобретают уравнения движения и квадратичная часть гамильтониана неравновесной системы после введения нормальных переменных в зонах устойчивости и неустойчивости. Для простоты рассмотрим однородную среду, которая описывается лишь одной парой канонически сопряженных переменных — обобщенной координатой q и обобщенным импульсом p. ˆ k и Jˆ — обычные двухрядные матрицы: В этом случае H     0 −i A B k k ˆk = Jˆ = , H , (34.2.1) i 0 Bk∗ Ck а Ak, Bk, Ck — обычные коэффициенты, зависящие от волнового вектора k и удовлетворяющие условиям:

Ak = A∗k = A∗−k,

∗ Bk = B− k,

∗ Ck = Ck∗ = C− k.

34.2. Нормальные переменные для неравновесных систем

281

Подстановка (34.2.1) в (34.1.1) приводит к уравнению

ω 2 + 2ω Im Bk − AkCk + |Bk|2 = 0.

(34.2.2)

Учитывая характер симметрии (34.1.3), которой обладают собственные значения неравновесной гамильтоновой системы, корни этого уравнения будем искать в виде дуально-сопряженной пары:

ω1 = ωk ,

∗ ω2 = −ω− k.

(34.2.3)

Непосредственной проверкой легко убедиться, что удовлетворяющий требованию (34.2.3) закон дисперсии ωk в такой системе определяется выражением

ωk = − Im Bk + |Dk|1/2 [skθ(Dk) + iνk(1 − θ(Dk))]. Здесь Dk — дискриминант квадратного уравнения (34.2.2) — определен соотношением Dk = AkCk − (Re Bk)2 ,

sk, νk — единичные знаковые множители, обладающие свойством: sk = s−k ,

νk = −ν−k,

s2k = νk2 = 1,

а θ(Dk) — характеристическая функция Хевисайда от аргумента Dk, идентифицирующая в k-пространстве зоны устойчивости там, где θ(Dk ≥ 0) = 1, и зоны неустойчивости там, где θ(Dk < 0) = 0. Собственные функции задачи (34.1.2), которая в нашем случае представляет систему двух однородных линейных уравнений с двумя неизвестными p и q , находятся с точностью до нормировочного множителя в соответствии с общим правилом [29] и имеют вид ! −A−1 k (Bk + iωk ) f k = εk . (34.2.4) 1 Явный вид нормировочного коэффициента εk устанавливается из условий нормировки собственных функций. Введем теперь нормальные переменные ak, a∗k, следуя формально правилу (32.1.5). Используя представление (34.2.4) для собственной функции f k, после подстановки в (32.1.5) получим:
∗ −1 ∗ ∗ pk = −εkA−1 Bk − iω− (34.2.5) k a−k, k (Bk + iωk ) ak − ε−kAk

qk = εkak + ε∗−ka∗−k.

(34.2.6)

Если соотношения (34.2.5) и (34.2.6) рассмотреть как систему уравнений относительно ak и a∗−k, легко найти ∗ ak = iε−1 ωk + ω− k k


−1



∗ Akpk + Bk − iω− k qk .

282

Глава 34. Неравновесные волновые модели

Воспользовавшись этим представлением, вычислим скобки Пуассона для переменных ak, a∗k. Принимая во внимание условия каноничности для переменных qk, pk:

{qk, p∗k′ } = δ(k − k′ ),

{pk, pk′ } = {qk, qk′ } = 0,

получим:

sk {ak, a∗k′ } = −i θ(Dk)Ak|εk|−2 |Dk|−1/2 δ(k − k′ ), 2 νk −1 −1/2 {ak, ak′ } = (1 − θ(Dk)) Akε−1 δ(k + k′). k ε−k |Dk| 2

(34.2.7) (34.2.8)

Нормировочный коэффициент εk и знаковые множители sk, νk выберем так, чтобы для скобок Пуассона (34.2.7) и (34.2.8) выполнялись условия:

{ak, a∗k′ } = −iθ(Dk)δ(k − k′ ),

{ak, ak′ } = −iνk (1 − θ(Dk)) δ(k + k′ ).

(34.2.9) (34.2.10)

Отметим, что скобки (34.2.9), (34.2.10) в зоне устойчивости воспроизводят обычную для нормальных переменных структуру скобок Пуассона. Сравнивая (34.2.9), (34.2.10) и (34.2.7), (34.2.8), получим следующие условия:

|εk|2 =

sk Ak|Dk|−1/2 , 2

i εkε−k = Ak|Dk|−1/2 , 2

из которых следует, что знаковый множитель sk и нормировочный коэффициент εk определяются согласно правилу:

sk = sign(Ak),

εk =

1 + isk |Ak |1/2 |Dk|−1/4 . 2

Что касается второго знакового множителя νk, то условия нормировки не накладывают на его выбор никаких ограничений. Следовательно, его можно выбирать произвольно. Единственно за чем надо следить при выборе множителя νk так это за соблюдением свойства νk = −ν−k, обеспечивающим антисимметричность скобки (34.2.10). Один из вариантов такого выбора:

νk = sign(Im Bk). Преобразование к переменным ak, a∗k и переход к соответствующим скобкам Пуассона (34.2.9), (34.2.10) позволяют переформулировать уравнения движения:

a˙ k = {ak, H } = −iθ

δH δH − iνk (1 − θ) δa∗k δa−k

(34.2.11)

и записать для квадратичной части гамильтониана H неравновесной среды выражение:  Z  1 H2 = θωkaka∗k + (1 − θ) νk (ωkaka−k + к.с.) dk. (34.2.12) 2

34.2. Нормальные переменные для неравновесных систем

283

Нетрудно видеть, что в отсутствие неравновесности, когда во всем волновом k-пространстве имеет место неравенство Dk ≥ 0 и, следовательно, справедливо тождество θ(Dk) ≡ 1, формулы (34.2.11), (34.2.12) воспроизводят результаты, полученные в главе 32 для равновесной среды. На первый взгляд гамильтоновость для неравновесных систем может показаться парадоксом, поскольку неравновесность, означающая неустойчивость, т. е. наличие растущих со временем возмущений, казалось бы, противоречит стоящему за гамильтоновостью принципу консервативности. Противоречие легко снимается, если заметить, что наряду с экспоненциально растущими со временем возмущениями в неравновесной гамильтоновой системе одновременно существуют возмущения, которые убывают по тому же закону, а специальное устройство гамильтониана H автоматически обеспечивает их взаимную компенсацию в зоне неустойчивости. Иллюстрацией к сказанному служит выражение для квадратичного гамильтониана (34.2.12), под знаком интеграла которого такая компенсация обеспечивается с помощью комбинаций aka−k и a∗ka∗−k. Другой важный вопрос, который возникает для неравновесных гамильтоновых систем в связи с их неустойчивостью, — это вопрос о внутренней непротиворечивости теории возмущений. Дело в том, что формализм нормальных мод как для равновесных, так и для неравновесных систем предполагает, что разложение гамильтониана H в ряд по степеням ak, a∗k является сходящимся рядом теории возмущений, т. е. каждый последующий член разложения (32.2.1) должен быть меньше предыдущего. Если для равновесных систем для выполнения этого условия достаточно, чтобы уровень нелинейности, характеризуемый амплитудой волны, был достаточно мал, то для неравновесных может оказаться так, что на решениях линейной задачи ряд (32.2.1) расходится с течением времени при любых сколь угодно малых начальных значениях нормальных переменных ak, a∗k. В этом смысле право на существование той или иной неравновесной модели в качестве волновой зависит от конкретных обстоятельств и должно обсуждаться отдельно. Отметим, что различные аспекты этой проблемы обсуждались в работах [158–160, 266–268], посвященных нелинейным волновым взаимодействиям в сдвиговых течениях.

Глава 35 ВВЕДЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В НЕОДНОРОДНЫЕ МОДЕЛИ Неоднородные гидродинамические модели уже давно широко используются в геофизической гидродинамике для изучения волновых движений в атмосфере и океане [51]. В предыдущих главах уже обсуждалась гамильтонизация подобных моделей, в том числе и тех, которые содержат границы раздела. Наличие стратификации в сочетании с границами раздела может достаточно сильно осложнить решение линейной задачи на собственные функции и собственные значения даже в тех случаях, когда рассматриваются минимальные модели, учитывающие лишь отдельные черты, присущие реальной атмосфере или океану. Введение нормальных переменных в неоднородные модели обнаруживает ряд специфических особенностей, которые заслуживают специального обсуждения.

§ 35.1. Волновая модель баротропной атмосферы Чтобы не загромождать существо вопроса непринципиальными деталями, рассмотрим простейший вариант волновой неоднородной модели — вертикальностратифицированную баротропную жидкость с постоянной скоростью звука. Относительно среды будем предполагать, что она находится в однородном поле тяжести с потенциалом χ = gz (g — ускорение силы тяжести, z — вертикальная координата), заполняет верхнее полупространство z > 0 и ограничена снизу жесткой плоской границей z = 0. По существу, мы уже сталкивались с этой моделью в § 21.2. Напомним, что там рассматривался более сложный вариант, в котором роль нижней границы играла поверхность раздела с однородной несжимаемой жидкостью, заполняющей нижнее полупространство. Очевидно, что при сделанных модельных предположениях субстанциональная характеристическая функция θ , которая идентифицирует область, занимаемую средой, представляет собой функцию Хевисайда

θ = θ(z) =



1, 0,

z ≥ 0; z < 0.

Соблюдая преемственность в обозначениях и опираясь на полученные в § 21.2 результаты, сформулируем каноническое описание потенциальных движений в такой среде. 284

285

35.1. Волновая модель баротропной атмосферы

Прежде всего, запишем выражение для гамильтониана модели     Z ̺ ̺ 2 2 H = θ(z) (∇ϕ) + c ̺ ln − 1 + ̺gz dxdz, 2 ̺0

(35.1.1)

где ̺ — плотность среды, ϕ — ее гидродинамический потенциал, c — постоянная скорость звука, ̺0 — невозмущенная плотность на границе раздела z = 0, x = = (x, y) — координаты в горизонтальной плоскости. Фоновый режим для волновых движений в этой модели — гидростатическое равновесие в поле тяжести, под действием которого устанавливается стационарное распределение плотности

̺s = ̺0 exp (−z/h) . Здесь h = c2 /g — параметр, именуемый высотой однородной атмосферы, — представляет собой характерный масштаб вертикальной стратификации. Канонические уравнения для описания движений, развивающихся на фоне режима равновесия, формулируются стандартным образом в виде системы:

∂t q =

δH , δp

∂t p = −

δH , δq

где q — каноническая координата и p — канонически сопряженный импульс вводятся с помощью соотношений:

q = θ(z) (̺ − ̺s ) ̺−1/2 , s

p = ϕ̺1/2 s .

Считая, что система достаточно слабо отклоняется от состояния равновесия, произведем разложение гамильтониана (35.1.1) в функциональный ряд теории возмущений по степеням отклонений q и p. В результате установим, что квадратичный член разложения имеет вид  Z   1 n 2 2 2 θ(z) ∇p + p + c q dxdz. H2 = (35.1.2) 2 2h Введем вектор-столбец состояния

  p u= , q составленный из канонических переменных, и, принимая во внимание однородность модели в горизонтальной плоскости, совершим преобразование Фурье по аргументу x: Z

uk(z, t) = (2π)−1

u(x, z, t) exp(−ik · x) dx.

После несложных вычислений гамильтониан (35.1.2) приводится к виду Z 1 ˆ H2 = u+ k Hk uk dkdz, 2

ˆ k — эрмитов матричный оператор: где H

286

Глава 35. Введение нормальных переменных в неоднородные модели

! ˆk 0 B , 0 c2

ˆk = H

ˆk = θ(z)k2 + B



   1 1 − ∂z θ(z) + ∂z . 2h 2h

Хотя в принципиальном отношении процедуры введения нормальных переменных для однородных и неоднородных систем имеют много общего, имеется ˆk — ряд специфических особенностей, которые обусловлены тем, что теперь H дифференциальный (по z ) оператор. Прежде всего, это замечание касается решения задачи   ˆ k − ω Jˆ f k = 0 (35.1.3) H

для определения собственных функций f k и собственных значений ω . Несмотря на внешнее сходство с задачей (32.1.2), решение задачи (35.1.3) имеет ряд существенных по сравнению с ней отличий. ˆ k, отметим, что собственные функВо-первых, учитывая характер оператора H ции задачи (35.1.3) для неоднородной модели зависят от аргумента z . Во-вторых, в зависимости от области в пространстве параметров (ω, k) собственные значения и соответствующие им собственные функции могут образовывать либо дискретную, либо непрерывную последовательность. Область, где собственные значения и собственные функции образуют счетное (дискретное) множество, называют дискретным спектром. В этой спектральной области собственные функции и собственные значения можно пронумеровать дискретным индексом n. (n) Если обозначить собственные функции для дискретного спектра как f k (z), условия их нормировки формулируются в виде: Z Z (n)+ (m) (n)+ (m)∗ θ(z)f k Jˆf k dz = δnm , θ(z)f k Jˆf −k dz = 0. (35.1.4) Кроме областей с дискретным спектром, в задаче (35.1.3) могут иметь место области сплошного или непрерывного спектра. В отличие от областей дискретного спектра в этих спектральных областях собственные значения и собственные функции перечисляются непрерывным спектральным параметром κ . Для собственных функций f k,κ (z) сплошного спектра имеют место другие условия нормировки: Z Z ˆf k,κ′ dz = δ (κ − κ ′ ) , ˆ ∗ θ(z)f + J θ(z)f + (35.1.5) k,κ k,κ′ J f −k,−κ′ dz = 0. (n)

Если задача (35.1.3) решена, нормальные переменные ak (для дискретного спектра) и bk,κ (для сплошного) вводятся соотношением uk(z, t) =

X n

 (n) (n) (n)∗ (n)∗ ak f k (z) + a−k f −k (z) + +

Z


bk,κ f k,κ (z) + b∗−k,−κ f ∗−k,−κ (z) dκ

287

35.1. Волновая модель баротропной атмосферы

как коэффициенты при разложении вектора состояния uk по соответствующим собственным функциям. Чтобы найти явные решения для собственных функций рассматриваемой модели, введем обозначения. Пусть pˆk — импульсная и qˆk — координатная компоненты собственной функции f k, т. е.   pˆk fk = . qˆk Тогда, раскрывая матричное уравнение (35.1.3) в терминах переменных pˆk и qˆk, получим систему из двух уравнений:   1 2 2 k + 2 − ∂z pˆk = −iω qˆk, c2 qˆk = iω pˆk (35.1.6) 4h с граничным условием



  1 + ∂z pˆk = 0. 2h z=0

Исключая компоненту собственной функции qˆk, получим уравнение и граничное условие для компоненты pˆk:   
1 2 ∂z + D (k, ω) pˆk = 0, + ∂z pˆk = 0, (35.1.7) 2h z=0 где

  ω2 1 2 D (k, ω) = 2 − k + 2 . c 4h

Как легко видеть, необходимо различать два случая: D > 0 и D < 0. В соответствии с этим, кривая, которая является решением уравнения D (k, ω) = = 0, разбивает плоскость (ω, k = |k|) на две области (рис. 35.1): область, где справедливо неравенство D > 0, и область, где D < 0.

ωh c D>0

0,8 Рис. 35.1. Области существования дискретного D < 0 и сплошного D > 0 волновых спектров в плоскости спектральных параметров ω, k

D<0

0,4

0

0,4

0,8

hk

288

Глава 35. Введение нормальных переменных в неоднородные модели

§ 35.2. Дискретный спектр волновых движений Прежде всего, рассмотрим решения, соответствующие дискретному спектру. Так как в этом случае D < 0, решения уравнений (35.1.7) ищем в виде

pˆk (z) ∼ exp (−αz) , где α > 0. Отметим, что волновые движения данного типа представляют собой краевые волны, убывающие по амплитуде при удалении от границы. Подстановка этого решения в (35.1.7) приводит к системе

α2 + D (k, ω) = 0,

α=

1 , 2h

решив которую относительно ω , получим

ωL (k) = ck, где k = |k| — модуль горизонтального волнового вектора. В физике атмосферы решения с таким законом дисперсии известны как волны Лэмба. Специфическая черта этого волнового режима — отсутствие вертикальных смещений, т. е. на каждом уровне z колебания среды происходят только в горизонтальной плоскости. Так как, согласно (35.1.6), импульсная и координатная компоненты собственной функции дискретного спектра связаны соотношением pˆk = −iω qˆk , структура собственной функции   z  1 (35.2.1) f k = εL (k) exp − iωL /c2 2h

находится с точностью до нормировочного коэффициента εL . Для определения нормировочного коэффициента εL воспользуемся условием нормировки (35.1.4). Из этого условия после простых преобразований и интегрирования следует равенство ωL |εL |2 2h 2 = 1, c разрешив которое относительно εL , найдем

εL (k) = c (2hωL )−1/2 = с1/2 (2kh)−1/2.

§ 35.3. Непрерывный спектр волновых движений В случае непрерывного спектра D > 0 решения уравнений (35.1.7) имеют осциллирующий по z характер. В соответствии с этим решение задачи (35.1.7) следует искать в виде

pˆk(κ, z) = f1 (k, κ) cos κz + f2 (k, κ) sin κz, где κ играет роль непрерывного спектрального параметра.

35.3. Непрерывный спектр волновых движений

Подстановка этого решения в (35.1.7) приводит к соотношениям:   1 1 2 2 2 2 ω − c k + 2 + κ = 0, f1 + κf2 = 0. 4h 2h

289

(35.3.1)

Если из первого следует закон дисперсии для волн непрерывного спектра  1/2 1 2 2 ωa (k, κ) = c k + 2 + κ (35.3.2) , 4h

то из второго (с точностью до нормировочного множителя εa ) находятся импульсная, а затем и координатная части собственной функции непрерывного спектра:     1 ω ω 1 − ∂z sin κz, qˆk = i 2 pˆk = iεa 2 − ∂z sin κz, (35.3.3) pˆk = εa 2h c c 2h Отметим, что, если спектральный параметр κ , который без ограничения общности можно считать положительным (κ ≥ 0), отождествить с вертикальным волновым числом, то в соотношении (35.3.2) легко узнать закон дисперсии акустических волн. Нормировочный коэффициент для собственных функций непрерывного спектра находится как функция εa (k, κ) из условия нормировки (35.1.5). Подстановка (35.3.3) в это условие нормировки приводит к соотношению

где

c−2 εa (k, κ)εa (k, κ ′ ) (ωa (k, κ) + ωa (k, κ ′ )) I = δ (κ − κ ′ ) , I=

Z

∞

B (κ, z) B (κ ′ , z) dz,

(35.3.4)

(35.3.5)

0

B (κ, z) = s1 (κ) cos κz + s2 (κ) sin κz, 1 s1 (κ) = −κ, s2 (κ) = . 2h

(35.3.6)

Отметим, что появление интегралов (35.3.5) весьма типично при определении нормировочных коэффициентов для сплошного спектра. Для вычисления интеграла (35.3.5) его удобно представить в виде Z 1 ∞ I= (s1 s′1 + s2 s′2 ) cos(κ − κ ′ )z + (s1 s′1 − s2 s′2 ) cos(κ + κ ′ )z+ 2 0  + (s2 s′1 + s1 s′2 ) sin(κ + κ ′ )z + (s2 s′1 − s1 s′2 ) sin(κ − κ ′ )z dz,

Здесь для краткости введены обозначения s1,2 = s1,2 (κ), s′1,2 = s1,2 (κ ′ ). Выполнив интегрирование по z и принимая во внимание хорошо известные в теории обобщенных функций (см., например, [105]) соотношения: Z ∞ Z ∞ 1 cos(κz) dz = πδ(κ), sin(κz) dz = Vp , κ 0 0 где δ(κ) и Vp(1/κ) — обобщенные функции, получим

290

Глава 35. Введение нормальных переменных в неоднородные модели

π δ (κ − κ ′ ) (s1 s′1 + s2 s′2 ) + 2 π κs2 s′1 − κ ′ s1 s′2 + δ (κ + κ ′ ) (s1 s′1 − s2 s′2 ) + . (35.3.7) 2 κ 2 − κ ′2 Подстановка (35.3.7) и (35.3.6) в (35.3.4) дает   ωa 1 2 π 2 + κ εa (k, κ) εa (k, κ ′ ) (δ (κ − κ ′ ) − δ (κ + κ ′ )) = δ (κ − κ ′ ) , c 4h2

I=

откуда, учитывая неравенство κ ≥ 0, найдем, что

εa (k, κ) = θ (κ) c2 πωa ωa2 − ωL2



−1/2

.

Полученные результаты позволяют ввести нормальные переменные. Разлагая вектор состояния uk(z, t), составленный из канонических переменных, по найденным собственным функциям, получим:  z 
∗ pk(z) = εL (k) exp − lk + l− k + 2h Z  
1 ∗ + εa (k, κ) ak,κ + a−k,−κ − ∂z sin κz dκ, 2h  z 
ωL ∗ qk(z) = iεL (k) 2 exp − lk − l− k + c   Z 2h
1 ωa ∗ +i εa (k, κ) 2 ak,κ − a−k,−κ − ∂z sin κz dκ, c 2h

где lk — нормальные переменные, соответствующие волнам Лэмба дискретного спектра, а ak,κ — нормальные переменные, описывающие акустические волны сплошного спектра. Учитывая горизонтально-изотропный характер модели, ее дисперсионно-волновые свойства удобно отобразить графически на плоскости безразмерных параметров (ωh/c, hk) (рис. 35.2). На этом рисунке акустическим волнам соответствует затененная область рисунка, а волнам Лэмба — дисперсионная кривая ωL .

ωh c 0,8 ωL

Рис. 35.2. Дисперсионные свойства волновой модели баротропной атмосферы

0,4

0

0,4

0,8

hk

Глава 36 ГИБРИДИЗАЦИЯ МОД В КОМБИНИРОВАННЫХ МОДЕЛЯХ Рассмотренная в предыдущей главе модель ограниченной баротропной атмосферы может служить основой для создания целой иерархии более сложных гидродинамических моделей для более глубокого изучения возможных типов волновых движений и условий их существования. В частности, хотя эта модель представляет собой достаточно грубую идеализацию реальной атмосферы, она показывает, что простейший учет подстилающей поверхности обеспечивает появление нового типа волновых движений — так называемых волн Лэмба. Вопрос о том, как учет тех или иных дополнительных факторов или ограничений влияет на дисперсионно-волновые свойства модели, имеет принципиальное значение не только для качественного понимания физической стороны многих явлений, но и для правильной интерпретации экспериментальных наблюдений. С этой точки зрения особый интерес представляют модели, в которых рассматриваются комбинации только тех факторов, которые приводят к перестройке дисперсионно-волновых свойств за счет эффекта гибридизации.

§ 36.1. Эффект гибридизации и точки синхронизма Возникнет или нет эффект гибридизации в результате объединения двух моделей в одну, можно заранее выяснить, зная дисперсионно-волновые свойства каждой модели в отдельности до объединения. Эффект гибридизации всегда неизбежен, когда при наложении законов дисперсии, участвующих в объединении моделей, обнаруживается пересечение дисперсионных кривых. Пользуясь этим простым правилом, можно заранее предвидеть, что, например, модификация модели ограниченной баротропной атмосферы за счет учета бароклинности не приведет к эффекту гибридизации волн. Совсем иной оказывается ситуация, если в этой модели жесткую плоскую границу заменить поверхностью раздела, под которой находится однородная несжимаемая жидкость. Дисперсионно-волновые свойства для баротропной модели с жесткой нижней границей приведены на рис. 35.2. Что же касается гравитационных волн на поверхности несжимаемой однородной жидкости, то, как известно (см., например, [122]), их дисперсионные свойства описываются законом p ωS = gk, где ωS — частота, k = |k| — модуль горизонтального волнового вектора, а g — ускорение силы тяжести. 291

292

Глава 36. Гибридизация мод в комбинированных моделях

Разместив дисперсионные кривые этих моделей на одном графике (рис. 36.1), легко заметить наличие двух так называемых точек синхронизма [175]. В одной из них (точка A) пунктирная дисперсионная кривая ωS поверхностных волн касается границы области сплошного спектра акустических волн, а в другой (точка B ) пересекает (нарисованную сплошной линией) дисперсионную прямую ωL , которая соответствует волнам Лэмба.

ωh c B 0,8

A ωL

0,4

Рис. 36.1. Точки синхронизма для моделей баротропной атмосферы и поверхностных волн

ωS

0

0,4

0,8

hk

Появление точек синхронизма сигнализирует о том, что в окрестности этих точек дисперсионно-волновые свойства объединенной модели могут испытать достаточно сильную перестройку. Один из сценариев такой перестройки — перезамыкание (гибридизация) ветвей дисперсионных кривых.

§ 36.2. Классификация точек синхронизма Общий метод исследования явления гибридизации тесно связан с проблемой развития неустойчивости и подразумевает классификацию точек синхронизма, типов неустойчивости, а также выработку критериев неустойчивости. Отсылая за подробностями к специальной литературе [127, 175], посвященной этому вопросу, исследуем характер перезамыкания в окрестности точки B , пользуясь простыми качественными соображениями, подкрепленными несложными расчетами. Если бы две дисперсионные ветви ω = ωS (k) и ω = ωL (k) были полностью независимы, то это означало бы, что дисперсионное уравнение распадается на два множителя: (ω − ωS (k)) (ω − ωL (k)) = 0. (36.2.1) Такой случай, однако, нереален, так как после объединения двух волновых подсистем в одну, между ними возникает связь, которая приводит к снятию вырождения равенства (36.2.1) в точке синхронизма B : ω0 = c/h, k0 = 1/h. Математически этот факт проявляется в замене нуля в правой части (36.2.1) на некоторую малую величину ε. В результате вместо (36.2.1) получим уравнение

(ω − ωS (k)) (ω − ωL (k)) = ε.

293

36.2. Классификация точек синхронизма

Рассмотрим это уравнение в окрестности точки синхронизма. Разлагая функции ωS (k) и ωL (k) в ряд в этой точке, найдем:

ωS (k) = ω0 + vS (k − k0 ) , ωL (k) = ω0 + vL (k − k0 ) ,

(36.2.2)

где

vS = (∂k ωS )B = c,

vL = (∂k ωL )B = c/2

есть не что иное, как групповые скорости в точке синхронизма B . После подстановки разложений (36.2.2) в дисперсионное уравнение (36.2.1) и записи его в терминах ω ′ = ω − ω0 и k ′ = k − k0 , имеющих смысл соответствующих отклонений от точки синхронизма, получим уравнение  c  (ω ′ − ck ′ ) ω ′ − k ′ = ε. (36.2.3) 2 Решения этого уравнения

ω ′ (k) =

 1  ′ p 2 ′2 3ck ± c k + 16ε 4

в зависимости от знака ε либо могут быть только вещественными (ε > 0), либо могут оказаться комплексными (ε < 0). Так как отсутствие комплекснозначных решений означает устойчивость, а их наличие — неустойчивость, можно сделать вывод, что в одном случае при ε > 0 уравнение (36.2.3) описывает гибридизацию дисперсионных ветвей без потери устойчивости, а в другом при ε < 0 гибридизация происходит с потерей устойчивости. Оба типа перезамыкания для ветвей дисперсионных кривых показаны на рис. 36.2, а,б.

1,1

ωS B

1 0,9

ωL

ωh/c

ωh/c

а

0,9

B

1

ωL

0,8

1,1

1

1,1 hk

ωS

0,9

б

0,8

0,9

1

1,1

hk

Рис. 36.2. Возможные сценарии гибридизации ветвей дисперсионных кривых, приведенных на рис. 36.1, в окрестности точки синхронизма B. Сценарий а происходит без потери устойчивости, а сценарий б связан с потерей устойчивости. Пунктиром обозначены дисперсионные кривые до гибридизации. Остальные обозначения см. на рис. 35.2 и 36.1

294

Глава 36. Гибридизация мод в комбинированных моделях

Для данной комбинированной модели знак ε, и соответственно тип гибридизации, можно определить, если обратить внимание на то, что волновые движения поверхности обусловлены реакцией среды на существование скачка плотности, который идентифицирует границу раздела. Обозначая плотности сверху и снизу границы раздела как ̺0 и ̺1 , легко сделать вывод, что при равенстве ̺1 − ̺0 = 0 граница раздела, а вместе с ней и поверхностные волны, отсутствуют. Наряду с этим, хорошо известно, что устойчивые волновые движения на границе раздела реализуются, когда тяжелая жидкость находится под легкой, т. е. при ̺1 − ̺0 > 0. В противном случае при ̺1 − ̺0 < 0 имеет место рэлей-тейлоровская неустойчивость, которая инициирует процесс перемешивания. Из этих качественных соображений следует, что

sign ε = sign (̺1 − ̺0 ) . Для более детального анализа эффекта гибридизации одних качественных соображений оказывается недостаточно. В частности, остается неясным характер перестройки дисперсионно-волновых свойств системы в окрестности точек синхронизма типа A. Напомним, что в точках этого типа дисперсионные ветви дискретного спектра касаются границ областей сплошного спектра.

Глава 37 ГИБРИДИЗАЦИЯ МОД В МОДЕЛИ ОКЕАН—АТМОСФЕРА Чтобы выяснить характер перестройки дисперсионно-волновых свойств в окрестности точек синхронизма, обратимся к комбинированной модели океан— атмосфера, в которой сплошной спектр внутренних гравитационных волн отфильтрован и оставлен только сплошной спектр акустических волн. Отметим, что все предварительные результаты, необходимые для исследования волновых движений в этой модели в рамках линейного приближения, получены в § 21.2.

§ 37.1. Нормальные переменные для модели: однородный океан — баротропная атмосфера Соблюдая преемственность в обозначениях и опираясь на полученные в § 21.2 результаты, сформулируем исходные положения канонического описания волновых движений в линеаризованной модели океан—баротропная атмосфера. Прежде всего запишем выражение для квадратичной части гамильтониана   Z  1 1 2 ∗ 2 H2 = pkθ (z) k + 2 − ∂z pk + c2 qk∗ qk+ 2 4h    1 ̺0 ∗ − ∂z pk + g (̺1 − ̺0 ) ηk∗ ηk+ + δ (z) pk k − ̺1 2h  k ∗ k 1/2 ∗ ∗ + ξkξk + ̺0 (ξkpk + pkξk) dkdz, (37.1.1) ̺1 ̺1 где (pk, qk) и (ξk, ηk) — канонически сопряженные пары объемных и поверхностных переменных — удовлетворяют уравнениям движения:

δH2 δH2 , ∂t ηk = , δηk δξk δH2 δH2 ∂t pk = − , ∂t qk = . δqk δpk Воспользовавшись матричным представлением   pk   u k =  ξk  , qk ηk ∂t ξk = −

для вектора состояния u, приведем гамильтониан (37.1.1) к виду 295

(37.1.2)

296

Глава 37. Гибридизация мод в модели океан—атмосфера

1 H2 = 2

Z

ˆ u+ k Hkuk dkdz.

ˆk = H

Aˆk

0 Cˆ

0

!

.

ˆ k — эрмитово сопряженная блочная матрица, в которой по главной диагоЗдесь H нали стоят двухрядные матрицы Aˆk и Cˆ : ! 2 h 0 c Cˆ = , h 0 δ (z) (̺1 − ̺0 ) , Aˆk = k̺−1 1

ˆk δ (z) ̺1/2 k −1 ̺1 B 0 1/2

δ (z) ̺0

δ (z)

!

,

ˆk — самосопряженный дифференциальный оператор где B     1 1 ̺0 2 ˆ Bk = θ(z)k + − ∂z θ(z) + ∂z + δ(z)k . 2h 2h ̺1 Запишем уравнения движения. Воспользовавшись матричным представлениˆ k, в линейном прием и учитывая диагональную структуру блочной матрицы H ближении из уравнений (37.1.2) получим:         qk pk pk qk ˆ ˆ ˆ ˆ ∂t = S Ak , ∂t = −S C , (37.1.3) ηk ξk ξk ηk где Sˆ — матричный оператор

Sˆ =



 1 0 R , 0 dz

(37.1.4)

R в котором dz — оператор интегрирования по вертикальной координате. Рассмотрим осциллирующие решения, которые имеют вид:         pˆk qk qˆk pk (37.1.5) = exp (−iωt) , = exp (−iωt) ˆ , ηk ηˆk ξk ξk где qˆk, ηˆk, pˆk и ξˆk — компоненты собственной функции , зависящие от вертикальной координаты z . Подстановка (37.1.5) в (37.1.3) приводит нас к уравнениям:         pˆk pˆk qˆk qˆk −iω = SˆAˆk ˆ , iω ˆ = SˆCˆ , (37.1.6) ηˆk ηˆk ξk ξk из которых следует, что



ω − SˆAˆkSˆCˆ 2

 qˆ  k

ηˆk

= 0.

(37.1.7)

297

37.2. Дискретный спектр решений

Раскрывая уравнение (37.1.7), получим систему из уравнения    1 2 2 2 2 ω − c k + 2 − ∂z qˆk = 0, 4h и двух граничных условий:    1 1/2 kǫ − − ∂z qˆk + c−2 ω02 ̺0 ηˆk = 0, 2h z=0
−1/2 2 2 2 ω − ω0 ηˆk − c kǫ̺0 qˆk|z=0 = 0,

(37.1.8)

где введены обозначения:

ǫ = ̺0 /̺1 ,

ω02 = (1 − ǫ)c2 k/h.

Исключая поверхностную переменную ηˆk, найдем уравнение и граничное условие для объемной переменной qˆk:
∂z2 + D (k, ω) qˆk = 0, (37.1.9) [(Z (k, ω) + ∂z ) qˆk]z=0 = 0, где D и Z как функции k и ω удовлетворяют соотношениям:   ω2 1 2 D= 2 − k + 2 , c 4h
−1 1 Z = kǫω 2 ω02 − ω 2 + . 2h

(37.1.10)

Как мы уже знаем (сравни с § 35.1), необходимо различать два случая: D > 0 и D < 0. В соответствии с этим кривая, которая является решением дисперсионного уравнения D (k, ω) = 0, разбивает плоскость (ω, k = |k|) на две области (см. рис. 35.1): область сплошного спектра, где имеет место неравенство D > 0, и область дискретного спектра, где справедливо неравенство D < 0.

§ 37.2. Дискретный спектр решений Прежде всего, рассмотрим решения, соответствующие дискретному спектру. Так как в этом случае D < 0, решения уравнений (37.1.9) ищем в виде

qˆk (z) ∼ exp (−αz) , где α — положительный спектральный параметр (α > 0). Отметим, что волновые движения данного типа представляют собой краевые волны, которые экспоненциально убывают по амплитуде при удалении от границы раздела или внешней границы.

298

Глава 37. Гибридизация мод в модели океан—атмосфера

Подстановка этого решения в (37.1.9) приводит к системе:   ω2 1 α2 + 2 − k2 + 2 = 0, c 4h  
1 ω 2 − ω02 kǫ − + α + kǫω02 = 0, 2h

которая относительно ω и α имеет три ветви решений:   1 2 2 2 2 ω1 = c k/h, ω2,3 = ω0 + hk − hα2,3 , 2 s  2 1 k 1 1 k α1 = − k, α2,3 = (1 − ǫ) ± ǫ + − k (1 + ǫ) . 2h 2 h 4 h

(37.2.1)

(37.2.2)

Первая ветвь решений — это хорошо известные поверхностные гравитационные волны. Эта ветвь, обозначенная на рис. 37.1 как ω1 , стартует в точке k = 0, ω = 0 и заканчивается в точке A (k = 0,5/h, ω = 0,707c/h), где происходит касание дисперсионной кривой с границей сплошного спектра. Вторая и третья ветви решений — это гибридные моды, полученные в результате гибридизации поверхностных волн и волн Лэмба. Дисперсионная ветвь ω3 существует только для достаточно малых ǫ < 0,171 в интервале волновых чисел: √ √ 1 − ǫ − 1 + ǫ2 − 6ǫ 1 − ǫ + 1 + ǫ2 − 6ǫ 6 kh 6 , (37.2.3) 4ǫ 4ǫ где справедливо неравенство α3 > 0. В предельных точках этого неравенства, где выполняется равенство α3 = = 0, дисперсионная ветвь гибридной моды ω3 смыкается со сплошным спектром, образуя еще две точки синхронизма B и C . На рис. 37.1 указана только одна из

1,2 ωh c

ω3 D>0 B A

0,8

Рис. 37.1. Дисперсионные кривые для волновой модели: однородный океан — баротропная атмосфера. Пунктиром обозначены кривые при ǫ = 0, когда эффект гибридизации отсутствует

ω2 0,4

ω1

D<0

0 0

0,4

0,8 hk

1,2

299

37.2. Дискретный спектр решений

этих точек B (kh ≈ 0,5 + ǫ), а вторая точка C , для которой kh ≈ 0,5ǫ−1 − 1 − ǫ, находится за пределами рисунка. При ǫ = 0,171 интервал (37.2.3) сжимается в точку, а при ǫ > 0,171 дисперсионная ветвь ω3 перестает существовать. На основании (37.1.8) координатная часть собственных функций для мод дискретного спектра ищется в виде !
  ω 2 − ω02 e−αz qˆk =ε , −1/2 ηˆk c2 kǫ̺0 где в качестве ω и α для каждой моды берутся соответствующие решения (37.2.2). Тогда импульсная часть собственных функций определяется из второго соотношения (37.1.6) как
−αz !     2 2 pˆk ω − ω e SˆCˆ qˆk ε 0 2 = −i = −ic . 1/2 ω ηˆk ω ξˆk ω02 ̺0 Нормировочный множитель ε для каждой моды дискретного спектра находится из условия ! Z 0 −iSˆ−1 + θ (z) f k f k dz = 1, (37.2.4) iSˆ−1 0 где Sˆ−1 — матричный оператор

Sˆ−1 =



 1 0 , 0 δ (z)

для которого оператор (37.1.4) является обратным, т. е. SˆSˆ−1 = 1. Выполнив вычисления в (37.2.4), после интегрирования получим:

2 ω

Z



qˆk θ (z) ηˆk

+

  qˆk ˆ C dz = ηˆk Z  2c2 2 2 = θ (z) h |ˆ qk| dz + (̺1 − ̺0 ) |ˆ ηk| = ωh =

h i
2 c2 |ε|2 ω 2 − ω02 + 2αc4 k 2 ǫ (1 − ǫ) = 1. (37.2.5) ωα

Так как для выражения в квадратных скобках справедливо тождество1

ω 2 − ω02 1


2

+ 2αc4 k 2 ǫ (1 − ǫ) = 3ω 4 −



− 2ω 2 ω12 + ω22 + ω32 + ω12 ω22 + ω12 ω32 + ω22 ω32 ,

Для доказательства этого тождества необходимо воспользоваться соотношениями (37.2.1).

300

Глава 37. Гибридизация мод в модели океан—атмосфера

из условия нормировки (37.2.5) для нормировочных коэффициентов дискретного спектра εi следует формула  1/2 θ (αi ) ωi αi εi (k) = (37.2.6) . 2 ) c (ωi2 − ωn2 ) (ωi2 − ωm Здесь целочисленный индекс i, обозначающий номер дисперсионной ветви (моды), пробегает значения 1, 2, 3, а два других индекса n и m — отличны от i и не равны друг другу, т. е. i 6= n 6= m.

§ 37.3. Непрерывный спектр решений Непрерывный спектр решений реализуется при D > 0. Поскольку в этом случае волновые движения имеют осциллирующий по z характер, решение краевой задачи (37.1.9) следует искать в виде

qˆk(κ, z) = f1 (k, κ) cos κz + f2 (k, κ) sin κz, где κ ≥ 0 — непрерывный спектральный параметр. Подстановка этого решения в (37.1.9) и (37.1.8) приводит к соотношениям:   1 ω 2 − c2 k2 + 2 + κ 2 = 0, (37.3.1) 4h Z (k, ω) f1 + κf2 = 0, (37.3.2)
−1/2 ω 2 − ω02 ηˆk = c2 kǫ̺0 f1 . (37.3.3) Из первого уравнения (37.3.1) следует дисперсионное соотношение r 1 ωa (k, κ) = c k2 + 2 + κ 2 , 4h

(37.3.4)

в котором легко угадать закон дисперсии акустических волн, характерный для баротропных моделей с экспоненциальной стратификацией фоновой плотности. Далее, пользуясь двумя другими соотношениями (37.3.3) и (37.3.3), установим, что
! ! ωa2 − ω02 (∂z − Za ) sin κz qˆk = εa , (37.3.5) −1/2 ηˆk c2 kκǫ̺0 где εa — нормировочный коэффициент для собственной функции непрерывного спектра — находится из условия (35.1.5), а Za = Z (k, ωa ) определяется на основании (37.1.10). Импульсная часть собственных функций находится из второго соотношения (37.1.6) как
! ! ! pˆk ωa2 − ω02 (∂z − Za ) sin κz SˆCˆ qˆk 2 εa = −i = −ic . (37.3.6) 1/2 ω ωa ηˆk ξˆk ω02 κ̺0

301

37.4. Дисперсионно-волновые свойства в точках синхронизма

Вещественный нормировочный множитель εa для моды сплошного спектра получим из нормировочного условия:

Z

θ (z) f + k,κ

!
0 −iSˆ−1 f k,κ′ dz = ωa−1 (k, κ) + ωa−1 (k, κ ′ ) × −1 ˆ iS 0     Z qˆk,κ + ˆ qˆk,κ′ × θ (z) C dz = δ (κ − κ ′ ) . (37.3.7) ηˆk,κ ηˆk,κ′

Подстановка (37.3.5) в (37.3.7) приводит условие нормировки к виду
ωa−1 (k, κ) + ωa−1 (k, κ ′ ) c2 εa (k, κ) εa (k, κ ′ ) ×   c4 ′ 2 × I + κκ k ǫ (1 − ǫ) = δ (κ − κ ′ ) , (37.3.8) h где интеграл I определяется соотношением (35.3.7), в котором

s1 (k, κ) = ωa2 − ω02 κ, s2 (k, κ) = − ωa2 − ω02 Za .

(37.3.9)

Выполнив необходимые вычисления, из (37.3.8) найдем


πc2 εa (k, κ) εa (k, κ ′ ) s22 + s21 (δ (κ − κ ′ ) − δ (κ + κ ′ )) = δ (κ − κ ′ ) , ωa

откуда, учитывая неравенство κ ≥ 0, получим

θ (κ) εa = c



ωa 2 π (s2 + s21 )

1/2

(37.3.10)

.

Если воспользоваться соотношением

s22 + s21 = c−2 ωa2 − ω12




ωa2 − ω22





ωa2 − ω32 ,

(37.3.11)

выражение (37.3.10) можно привести к специальному виду

εa = θ (κ)



ωa 2 2 2 π (ωa − ω1 ) (ωa − ω22 ) (ωa2 − ω32 )

1/2

,

(37.3.12)

который удобен при анализе дисперсионно-волновых свойств модели в точках синхронизма.

§ 37.4. Дисперсионно-волновые свойства в точках синхронизма Полученные результаты позволяют проследить, как перестраиваются дисперсионно-волновые свойства в точках синхронизма, где происходит слияние мод дискретного и сплошного спектра.

302

Глава 37. Гибридизация мод в модели океан—атмосфера

Так как, согласно (37.2.6), для мод дискретного спектра все нормировочные 1/2 коэффициенты εi ∼ αi , в точках синхронизма, где декременты αi = 0, все собственные функции дискретного спектра обращаются в нуль. Таким образом, моды дискретного спектра в точках синхронизма, где происходит их слияние с модами сплошного спектра, вырождаются. Более тонкий вопрос — поведение в точках синхронизма мод сплошного спектра. Нетривиальность вопроса обусловлена тем, что в точках синхронизма в подкоренном выражении (37.3.12) возникают резонансные знаменатели. Поэтому необходим дополнительный анализ собственной функции сплошного спектра для обоснования отсутствия сингулярности в точках синхронизма при κ → 0. Учитывая, что в этих точках спектральный параметр κ = 0, из (37.3.9) и (37.3.11) следует, что в окрестностях точек синхронизма имеют место соотношения s1 ∼ κ , s2 ∼ κ , εa ∼ κ , которые указывают на существование предела f k,0 = lim f k,κ . κ→0

Таким образом, собственная функция сплошного спектра f k,κ принимает конечное значение f k,0 , не зависящее от вертикальной координаты z . Так как вне точек синхронизма, согласно (37.3.5) и (37.3.6), для собственной функции сплошного спектра справедливо равенство f k,0 = 0, мода сплошного спектра κ = 0 возбуждается только в точках синхронизма, т. е там, где происходит ее слияние с модами дискретного спектра. Обозначая k -координаты точек синхронизма как ki (i = 1, 2, 3), можно показать, что в окрестности этих точек собственные функции дискретного f ik и сплошного f k,κ спектра соотносятся как f iki = c (παi )1/2 f ki ,0 , т. е. совпадают с точностью до нормировочного множителя c (παi )1/2 , который в точках синхронизма обращается в нуль вместе с величиной αi — декрементом ослабления амплитуды волн с высотой z .

Глава 38 ВОЛНОВАЯ МОДЕЛЬ ОДНОРОДНОГО ОКЕАНА И НЕБАРОТРОПНОЙ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ АТМОСФЕРЫ В предыдущей главе мы рассматривали волновую модель океана и изотермической атмосферы, в которой условие баротропности атмосферы отфильтровывало сплошной спектр внутренних гравитационных волн. Отказавшись от условия баротропности, можно получить более полную волновую модель [35, 48], если в качестве атмосферы рассмотреть идеальный небаротропный газ, объемная плотность внутренней энергии ε которого описывается уравнением состояния  γ   T0 R ̺ γ−1 ε (̺, σ) = exp σ γ − 1 ̺0 R

и является функцией плотности ̺ и энтропии σ . Здесь T0 — температура, характеризующая изотермический режим равновесия; R и γ — газовые постоянные, а ̺0 — невозмущенная плотность атмосферы на границе раздела z = 0. Таким образом, мы приходим к двухкомпонентной модели, в которой по обе стороны от границы раздела z = η(x, z, t), в поле тяжести с потенциалом χ = = gz находятся две среды: нижнее полупространство z < η (океан) заполнено однородной несжимаемой жидкостью с постоянной плотностью ̺1 , а верхнее z > > η (атмосфера) — идеальным небаротропным газом.

§ 38.1. Каноническая формулировка и нормальные переменные Каноническая формулировка такой комбинированной модели, вытекает из результатов, полученных в § 16.1 для бесконечно протяженной модели бароклинной атмосферы, и их обобщения в духе § 21.2. Гамильтониан двухкомпонентной модели получается как результат суперпозиции и представляется интегралом  2 Z   v2  v 1 H = θ (η − z) ̺1 + ̺1 gz + θ (z − η) ̺ + ̺gz+ 2 2  γ     T0 R ̺ γ−1 γ + exp σ − T0 σ + R dxdz, (38.1.1) γ − 1 ̺0 R γ−1 Здесь v 1 и v — гидродинамические скорости каждой из компонент. 303

304

Глава 38. Волновая модель однородного океана и небаротропной атмосферы

Роль канонических координат в этой модели играют переменные:

q = θ (z − η) ̺,

µ = θ (z − η) σ,

q1 = θ (η − z) ̺1 ,

а сопряженные импульсы ϕ, λ, ϕ1 вводятся с помощью представлений Клебша: v 1 = ∇ϕ1 ,

v = ∇ϕ −

λ ∇σ. ̺

(38.1.2)

Фоновый режим для волновых движений в этой модели — изотермическое равновесие в поле тяжести, под действием которого устанавливаются стационарные распределения для плотности и энтропии:  z z ̺s = ̺0 exp − , σs = R, h h

где параметр h = T0 R/g — высота однородной атмосферы — представляет собой характерный масштаб вертикальной стратификации. Так же, как и в § 21.2, для формулировки волновой модели целесообразно перейти к новым каноническим координатам, выбрав в качестве последних форму поверхности η и еще две переменные:

q ′ = ̺−1/2 θ (z − η) (̺ − ̺s ) , s

µ′ = θ (z − η) ̺1/2 s (σ − σs ) .

Тогда сопряженные импульсы для этой модели находятся по стандартной схеме, изложенной в § 5.2. Поскольку это преобразование является точечным, ему соответствует производящий функционал Z Z  F = (ϕ1 q1 + ϕq + λµ) dxdz = ϕ1 ̺1 θ (η − z) +     ′ −1/2 ′ + ϕ ̺1/2 q + ̺ θ (z − η) + λ ̺ µ + σ θ (z − η) dxdz. (38.1.3) s s s s

Варьируя интеграл (38.1.3) по каноническим координатам η, q ′ , µ′ , найдем соотношения:

δF = [ϕ1 ̺1 − ϕ̺s − λσs ]z=η , δη δF δF p′ = ′ = ̺1/2 λ′ = ′ = ̺−1/2 λ, s ϕ, s δq δµ ξ=

(38.1.4) (38.1.5)

которые и определяют сопряженные им импульсы. Теперь канонические уравнения движения модели представляется возможным записать в виде:

δH δH δH , ∂t λ′ = − ′ , ∂t ξ = − , δq ′ δµ δη δH δH δH ∂t q ′ = , ∂t µ′ = , ∂t η = . δp′ δλ′ δξ

∂t p′ = −

38.1. Каноническая формулировка и нормальные переменные

305

Эта запись предполагает, что мы имеем свободную от связи ∆ϕ1 = 0, замкнутую формулировку, т. е переменная ϕ1 выражена через канонические переменные и, таким образом, исключена из гамильтониана H . Как известно (подробности см. в § 21.2), для этого на основании соотношения (38.1.4) и условия несжимаемости ∇ · v 1 = 0 формулируется краевая задача:  h i  1 1/2 ′ ′ ∆ϕ1 = 0, ϕ1 |z=η = ξ + ̺s (p + λ σs ) , ̺1 z=η

с дополнительным условием ϕ1 |z→−∞ = 0. Если этот пункт программы гамильтонизации модели выполнен и по горизонтальным координатам сделано преобразование Фурье, квадратичную часть разложения функционала (38.1.1) по степеням канонических переменных можно представить в виде ! Z ˆk 0 A 1 ˆ ˆk = H2 = u+ H . k Hk uk dkdz, 2 0 Cˆ

Здесь вектор состояния uk это столбец, элементами которого являются pk, λk, ξk, ˆ k — эрмитово сопряженqk, µk, ηk — фурье-образы канонических переменных; H ˆ ˆ ная блочная матрица, в которой Ak и Ck — трехрядные квадратные матрицы:    1/2  1 1 ̺ ˆk B ∂z − θ (z) δ (z) k 0   h 2h ̺1        θ (z)  1 θ (z) , Aˆk =  ∂z + 0 − h  2 2h h     1/2  ̺0 k  δ (z) k 0 δ (z) ̺1 ̺1     ˆk = θ k2 + 1 − ∂z θ (z) 1 + ∂z + δ (z) k ̺0 , B 2h 2h ̺1   γ−1 0 1   γ   γ − 1 γ − 1  Cˆ = c2  , 0  γ  γ   ̺1 − ̺0 0 0 δ (z) h

c = (RγT0 )1/2 = (gγh)1/2 — адиабатическая скорость звука. ˆ k, запишем уравнения движения: Учитывая блочно-диагональную структуру H         qk pk pk qk ∂t µk = SˆAˆk λk , ∂t λk == −SˆCˆ µk , (38.1.6) ηk ξk ξk ηk где Sˆ — матричный оператор

306

Глава 38. Волновая модель однородного океана и небаротропной атмосферы



 1 0 0 0 , Sˆ = 0 1 R 0 0 dz

R в котором dz — оператор интегрирования по вертикальной координате. Для волновых решений, имеющих вид ˆ k, uk = exp (−iωt) u

(38.1.7)

подстановка (38.1.7) в (38.1.6) приводит к задаче:         pˆk pˆk qˆk qˆk ˆ  ˆ  ˆ ˆ  ˆk = SˆAˆk λ λ µ ˆk , −iω µ , iω = S C  k k

ξˆk

ηˆk

ξˆk

ηˆk

которая является задачей на собственные функции (соответствующие переменные отмечены сверху символом «крышка») и собственные значения ω . Рассматривая одно из этих уравнений (например, первое) как связь между координатными и импульсными собственными функциями, получим     pˆk ˆ  ω 2 − SˆCˆ SˆAˆk λ (38.1.8) k  = 0. ˆ ξk Далее, раскрывая матричное уравнение (38.1.8), найдем систему уравнений:       2  1 γ−1 1 1 1 1 ˆ ω 2 2 − k + 2 − ∂z + ∂z + pˆk = ∂z + − λk, c2 4h γh 2h h 2h γh  2      1 ω γ−1 1 γ−1 1 1 2 2 ˆ + − ∂ + λ = k − ∂ − ∂ + pˆk, z z k z c2 γh 2h γ 4h2 h 2h    1 1ˆ k 1/2 ∂z + − kǫ pˆk − λk = ̺0 ξˆk, 2h h ̺1 z=0
−1/2 pˆk|z=0 = ω 2 − ω02 ω0−2 ̺0 ξˆk,

где введены обозначения

ω02 =

c2 k (1 − ǫ) , γh

ǫ=

̺0 . ̺1

ˆ k и ξˆk из этой системы, получим: Исключив переменные λ
∂z2 + D (k, ω) pˆk = 0, [(P (k, ω) + ∂z ) pˆk]z=0 = 0.

Здесь величины D и P как функции k и ω описывается выражениями:    2 ω2 1 γ − 1 ck D = 2 − k2 + 2 + , c 4h γ2 hω

(38.1.9)

307

38.2. Дискретный спектр решений

  kǫ γ−2 2γ − 1 2 P = 2 c 2 2 −ω − . 2 ω − ω0 γ h 2γh

(38.1.10)

Причем D , в зависимости от своего знака, определяет тип спектра. Как показывает сравнение, учет бароклинности атмосферы изменяет дисперсионно-волновые свойства модели, рассмотренной в предыдущей главе, добавляя еще одну область сплошного спектра для внутренних гравитационных волн. Действительно, характеристические кривые, которые являются решением уравнения D (k, ω) = 0, разбивают плоскость (ω, k) на три области (рис. 38.1): две области сплошного спектра, где D > 0, и область дискретного спектра, где D < 0.

ωh c

I

D>0

0,8 Рис. 38.1. Области существования акустических (I) и внутренних гравитационных (II) волн в изотермической модели бароклинной атмосферы

D<0 0,4 II 0

D>0

0,4

0,8

hk

Дальнейшее решение носит стандартный характер, отработанный на более простой модели в предыдущем разделе. Поэтому, чтобы не загромождать изложение выкладками, приведем результаты решения линейной задачи.

§ 38.2. Дискретный спектр решений В области дискретного спектра, где импульсная и координатная части собственной функции имеют вид:
    pˆk ω 2 − ω02 e−αz
ˆ   γ−1 ω 2 − ω 2 e−αz  λk = ε  , 1 γ

ξˆk 

1/2

ω02 ̺0


 2  ω − (1 − γǫ)ω12 e−αz qˆk ω   µ −γǫω12 e−αz ˆk = iε 2  , c −1/2 ηˆk γǫhω12 ̺0 

(здесь ε — нормировочный множитель) задача (38.1.9) имеет три ветви решений:

ω12 =

c2 k , γh

α1 =

1 − k; 2h

(38.2.1)

308 2 ω2,3 =

Глава 38. Волновая модель однородного океана и небаротропной атмосферы


c2 k k k 2 1 − ǫ2 + −ǫ ∓ 2 γh h s ∓

α2,3

k k k 2 (1 − ǫ2 ) + −ǫ γh h ! ω02 1 =k −ǫ − . 2 ω2,3 2h

2

! k3 2 −4 (1 − ǫ) , γh

(38.2.2) (38.2.3)

Первая ветвь решений — это поверхностные гравитационные волны, вторая и третья — это гибридные моды, полученные в результате «скрещивания» поверхностных волн и волн Лэмба. Каждая из трех мод существует в интервале, где справедливо неравенство αi > 0 (i = 1, 2, 3), которое обеспечивает экспоненциальное затухание волн с высотой z . Следует отметить, что в приближении γ = 1 все три решения (38.2.1)–(38.2.3) переходят в решения (37.2.2). А так как в реальной атмосфере параметр γ не слишком сильно отличается от единицы (γ ≈ 1,4), рис. 37.1 достаточно точно описывает качественное поведение дисперсионных кривых дискретного спектра и для бароклинной модели. Нормировочные множители вычисляются по стандартной схеме, изложенной в § 37.2. В частности, для нормировочных коэффициентов εi дискретного спектра имеет место аналогичное равенство

εi (k) = θ (αi ) c



αi 2 2 2 ) ωi (ωi − ωn ) (ωi2 − ωm

1/2

,

где целочисленный индекс i, обозначающий номер дисперсионной ветви (моды), пробегает значения 1, 2, 3, а два других индекса n и m отличны от i и не равны друг другу, т. е. i 6= n 6= m.

§ 38.3. Непрерывный спектр решений В области сплошного спектра, где D ≥ 0, импульсная и координатная части собственной функции имеют вид:


   pˆk ω 2 − ω02 (∂z − P ) sin κz ˆ   γ−1 ω 2 − ω 2
(∂ − L) sin κz  λk = ε  z , 1

(38.3.1)


 2   ω − (1 − γǫ)ω12 (∂z − G) sin κz qˆk ω   µ −γǫω12 (∂z − F ) sin κz ˆk = iε 2  . c −1/2 2 ηˆk γǫhκω1 ̺0

(38.3.2)





γ

ξˆk

1/2 ω02 κ̺0

309

38.3. Непрерывный спектр решений

Здесь ε — нормировочный множитель, κ ≥ 0 — спектральный параметр сплошного спектра, а P , L, G и F как функции k, ω определяются формулой (38.1.10) и выражениями:

L=k

ω02 1 − kǫ − , ω2 2h



γ ω 2 − ω02 P − (γ − 1) ω 2 − ω12 L G= , ω 2 − (1 − γǫ)ω12

ω 2 − ω02 P − ω 2 − ω12 L . F = ǫω12 Задача на собственные значения ω приводит к уравнению   1 γ − 1 c4 k 2 4 2 2 2 2 ω −c ω k + 2 +κ + = 0, 4h γ 2 h2 которое, в зависимости от того, решается оно в области I или II (см. рис. 38.1), имеет два решения: s " #1/2 2 c 1 1 γ − 1 2 2 2 ωac = √ k + κ + 2 + k + κ2 + 2 − 4 2 2 k2 , (38.3.3) 4h 4h γ h 2

ωin

s #1/2 " 2 c 1 1 γ − 1 = √ k2 + κ 2 + 2 − k2 + κ 2 + 2 − 4 2 2 k2 . 4h 4h γ h 2

(38.3.4)

Соответствующие нормировочные коэффициенты εac и εin находятся из условий нормировки для сплошного спектра и определяются выражениями:

εac = θ (κ) c

2

εin = θ (κ) c

2





ωa 2 2 2 2 − ω 2 ) (ω 2 − ω 2 ) π (ωac − ωin ) (ωac − ω12 ) (ωac ac 2 3 ωin 2 2 2 2 2 π (ωin − ωac ) (ωin − ω12 ) (ωin − ω22 ) (ωin − ω32 )

1/2

1/2

,

(38.3.5)

.

(38.3.6)

Отметим, что, если воспользоваться принятой в физике атмосферы терминологией [51], согласно которой решения, диспергирующие по закону (38.3.3), соответствуют акустическим волнам, а решения, диспергирующие по закону (38.3.4), — внутренним гравитационным волнам, моды ωac и ωin легко можно отождествить с этими известными волновыми режимами.

Глава 39 МЕТОД НОРМАЛЬНЫХ МОД В ЗАДАЧАХ ИЗЛУЧЕНИЯ И РАССЕЯНИЯ ВОЛН Метод нормальных мод, рассмотренный выше, может с успехом использоваться при анализе различных проблем [84, 85, 87, 128], в том числе, связанных с рассеянием и излучением волн [17–20, 26, 36, 47, 76, 77, 111, 128, 144, 145, 149, 156]. На языке нормальных переменных эти волновые процессы в широком диапазоне вызывающих их причин и механизмов можно описать стандартным образом с помощью уравнения XZ δH 2 ∂t am = −i , H = H + H , H = ωkm |am 0 int 0 k k | dk , δam∗ k m

где Hint — поправка к квадратичному гамильтониану H0 , отражающая специфику задачи. Отметим, что перечисляющий моды индекс m может принимать не только дискретные значения, но и непрерывные. В последнем случае суммирование по m следует заменить интегрированием. Существует ряд типичных постановок, для которых функциональная зависимость величины Hint либо уже известна, либо может быть найдена с помощью достаточно простых рецептов. Например, если в качестве причин, которые приводят к эффектам рассеяния и излучения, выступают волновые взаимодействия определенного типа, то Hint выбирают в соответствии с § 32.2. К этим задачам тесно примыкают другие. Например, задача о рассеянии волны на неоднородностях есть частный случай нелинейной задачи о взаимодействии волн, в которой одна из мод отождествляется с внешними полями [77, 149, 156]. Помимо перечисленных постановок возможны и такие, для которых указать явный вид Hint удается сравнительно просто из феноменологических соображений. К этому кругу задач относятся задачи излучения, связанные с наличием в среде источников массы, силы, тепла и т.д.

§ 39.1. Типичные параметризации для гамильтониана взаимодействия в задачах излучения и рассеяния волн В качестве иллюстрации рассмотрим частный, но достаточно важный для гидродинамических приложений случай, когда Z Hint = ̺χ (x, t) dx, (39.1.1) 310

39.1. Типичные параметризации для гамильтониана взаимодействия

311

где ̺ — поле плотности, а χ — заданная функция, характеризующая пространственно-временное распределение источника, смысл которого установим ниже. Чтобы правильно установить физический смысл величины χ и найти тип источника, вычислим скобку Пуассона радиационной поправки (39.1.1) со всеми физическими полями, определяющими динамику среды. Согласно § 7.3 (см. формулы (7.3.4) и (7.3.5)), единственный нетривиальный результат дает скобка {v, Hint } = ∇χ, имеющая смысл силы, с которой источник действует на единицу массы. Следовательно, χ — потенциал этой силы. При конкретизации потенциала χ обычно руководствуются модельными соображениями, достаточными для качественных оценок. Например, параметризация

χ (x, t) = χ (x − x0 (t)) соответствует силовому источнику постоянной интенсивности, движущемуся по заданной траектории x = x0 (t). Очевидно, что наиболее простыми для расчетов являются точечные источники, для которых потенциал χ выражается через дельта-функцию и ее производные. Однако в тех случаях, когда интегральные характеристики излучения выражаются через расходящиеся интегралы, учет размеров источника имеет принципиальное значение. В задачах, связанных с излучением и взаимодействием волн, обычно интересуются их спектральными характеристиками. Поэтому для величин, определяющих эти характеристики, удобно перейти от координатного представления к их фурье-представлениям: Z χk = χ (x, t) e−ik·x dx,

̺k =

Z

̺ (x, t) e−ik·x dx.

Тогда для движущегося с постоянной скоростью u источника, у которого χ (x, t) = χ (x − ut), принимая во внимание, что

̺k =

∂̺k m ∂̺k ak + m∗ am∗ , m ∂ak ∂a−k −k

(здесь по m подразумевается суммирование) получим: Z m Hint = (Λm k ak exp (ik · ut) + к.с.) dk, ∗ Λm k = χk

∂̺k . ∂am k

(39.1.2) (39.1.3)

Такая структура Hint оказывается весьма типичной и реализуется для других механизмов излучения, например, в задачах об излучении низкочастотных колебаний спектрально узким высокочастотным волновым пакетом.

312

Глава 39. Метод нормальных мод в задачах излучения и рассеяния волн

§ 39.2. Низкочастотное излучение спектрально узким высокочастотным волновым пакетом Изучим взаимодействие высокочастотных и низкочастотных волн в рамках формализма нормальных мод, обозначая нормальные амплитуды и частоты соответственно ck, ωk для высокочастотных волн и ak, Ωk для низкочастотных. Будем интересоваться лишь теми взаимодействиями, которые в приближении заданного спектра высокочастотных волн, локализованного в окрестности волнового вектора k0 , приводят к излучению низкочастотных волн. Предполагая интенсивность излучения слабой (ak ≪ ck) и анализируя возможные условия резонансов, согласно § 32.2, закономерно сделать вывод о том, что основным претендентом на роль Hint может быть только гамильтониан трехволновых взаимодействий Z
Hint = Kk,k1 ,k2 akck1 c∗k2 + к.с. δ (k1 −k2 +k) dkdk1 dk2 , (39.2.1) который соответствует условиям резонанса вида: k1 −k2 +k = 0,

ωk1 − ωk2 + Ωk = 0.

(39.2.2)

В первом (линейном) приближении можно считать, что волновой пакет состоит из свободных (невзаимодействующих) мод, каждая из которых изменяется со временем по закону ck = c0k exp (−iωkt) , (39.2.3) где спектральные амплитуды c0k не зависят от времени t и являются функциями только волнового вектора k. Принимая во внимание (39.2.3), в приближении локальности спектра c0k из (39.2.1) получим выражение: Z Hint = (Λkak exp (ik · ut) + к.с.) dk, (39.2.4) Z Λk = Kk,k0 ,k0 c0k1 c0∗ (39.2.5) k1 +k dk1 ,

которое аналогично по структуре выражению (39.1.2), (39.1.3) с той лишь разницей, что скоростью источника является групповая скорость высокочастотного волнового пакета u = ∂ ωk/∂ k|k=k0 . Замечательная особенность задач с гамильтонианом типа (39.2.4) состоит в том, что коэффициент взаимодействия Kk,k1 ,k2 не требует для своего определения какой-либо дополнительной информации, которая бы выходила за рамки линейного анализа волновой системы [92]. Чтобы сформулировать соответствующую процедуру вычисления коэффициента взаимодействия, заметим, что условие спектральной узости пакета высокочастотных волн позволяет полный гамильтониан системы «пакет плюс излучение» Z H = ωkckc∗k dk + Hint , (здесь Hint описывается выражением (39.2.1)) представить в виде:

39.2. Низкочастотное излучение спектрально узким волновым пакетом

H = (2π)−3

Z

ck1 c∗k2 (ωk0 + ∆ωk0 ) exp (i (k1 − k2 ) · x) dk1 dk2 dx, Z ∆ωk0 = (Kk,k0 ,k0 ak exp (ik · x) + к.с.) dk.

313 (39.2.6) (39.2.7)

Запись (39.2.6), (39.2.7) позволяет интерпретировать смысл величины ∆ωk0 как локальной поправки к закону дисперсии высокочастотных волн, которая возникает за счет вариаций равновесных параметров среды, создаваемых низкочастотным излучением. Последнее обстоятельство может быть положено в основу способа вычисления величины Kk,k0 ,k0 . Чтобы вычислить ∆ωk0 , обратим внимание на два эффекта. Во-первых, низкочастотное излучение вызывает дополнительные флуктуации гидродинамической скорости δ v. В результате чего за счет доплеровского эффекта закон дисперсии ωk0 приобретает поправку k0 δ v. Во-вторых, величина ωk может зависеть от равновесных значений ряда характеристик среды qsi , которые в присутствии излучения также испытывают вариации δq i . Поэтому окончательно для величины ∆ωk0 будем иметь

∆ωk0 = k0 · δ v +

∂ωk0 i δq , ∂qsi

где по индексу i подразумевается суммирование. Сравнивая (39.2.7) и (39.2.8) весьма просто можно найти, что Z δ∆ωk0 Kk,k0 ,k0 = exp (−ik · x) dx. δak

(39.2.8)

(39.2.9)

Учитывая, что в приближении слабой интенсивности (независимо от механизма излучения) линейность Hint по излучаемой моде ak — универсальное свойство, вычислим характеристики излучения. Так как спектральная плотность энергии излучаемых волн в терминах нормальных переменных определяется выражением

εk = Ωkaka∗k, соответствующая ей спектральная интенсивность излучения Jk находится как

Jk = ∂t εk = 2Ωk Re (a∗k∂t ak) . Вспоминая, что эволюция моды ak описывается уравнением

∂t ak = −iΩkak − i

δHint , δa∗k

которое при условии ak (t → ∞) → 0 интегрируется в виде Z δHint ak = −i θ (t − τ ) ∗ exp (−iΩk (t − τ )) dτ, δak(τ )

314

Глава 39. Метод нормальных мод в задачах излучения и рассеяния волн

формулу для интенсивности волнового излучения можно переписать в более удобной для приложений форме Z δHint δHint exp (−iΩk (t − τ )) dτ. Jk = 2Ωk Re θ (t − τ ) (39.2.10) δak (t) δa∗k (τ ) Из соотношения (39.2.10) для гамильтонианов Hint с характерной структурой (39.2.4) или (39.1.2) получим Z 2 Jk = 2Ωk |Λk| Re θ (τ ) exp (−i (k · u − Ωk) τ ) dτ =

= 2Ωk |Λk|2 δ (k · u − Ωk) . (39.2.11)

Условие фазировки k · u = Ωk, которое возникает из-за наличия дельтафункции и означает черенковский механизм излучения, делает физический смысл выражения (39.2.11) очевидным.

§ 39.3. Генерация волн движущимся источником В качестве среды, в рамках которой будем изучать излучение, возникающее при движении силового источника, рассмотрим волновую модель однородного океана и небаротропной изотермической атмосферы. Напомним (см. главу 38), что, согласно данной модели, в поле тяжести находятся две среды: нижнее полупространство (океан) заполнено однородной несжимаемой жидкостью, а верхнее (атмосфера) — идеальным небаротропным газом. Относительно источника будем предполагать, что он движется вдоль оси x параллельно границе раздела двух сред на высоте z = z0 с постоянной скоростью v. Так как выбор функции χ, характеризующей источник, обычно аргументируется соображениями математической простоты, для последующих расчетов в качестве χ рассмотрим функцию    1 x2 y 2 + z 2 χ(x) = χ0 exp − + , 2 l2 a2 где 2l и 2a — характерные размеры (продольный и поперечный) источника. Что же касается множителя χ0 , то его выбор мы осуществим из физических соображений, полагая, что основной механизм силового воздействия на среду со стороны движущегося тела есть его лобовое сопротивление. Согласно [67], для осесимметричных источников с a/l ≪ 1, движущихся с дозвуковой скоростью v/c ≪ 1 (c = (gγh)1/2 — адиабатическая скорость звука), давление, оказываемое на среду за счет лобового сопротивления, равно величине ̺0 v2 , где ̺0 — плотность среды. Если предположить, что величина χ0 , которая также имеет смысл давления, обусловлена эффектом лобового сопротивления, то будем иметь равенство χ0 = v2 . Отметим, что к аналогичному результату можно было бы прийти просто из соображений размерности.

39.3. Генерация волн движущимся источником

315

Зная законы дисперсии волновых возмущений (38.2.2), (38.3.3) и (38.3.4), на основании анализа условия излучения k · v = ωk можно сделать вывод, что для достаточно медленных источников (v/c ≪ 1) условие излучения выполняется только для достаточно коротких (kh ≫ 1) поверхностных и внутренних волн. Принимая во внимание, что внутренние волны в отличие от поверхностных являются трехмерными, целесообразно модифицировать соотношение (39.1.3) и записать его как Z δ̺ Λk = χ(x) dx, (39.3.1) δak для того, чтобы оно интегрально учитывало характер пространственного распределения источника. Так как волновые движения могут иметь не только двумерный, но и трехмерный характер, будем придерживаться тех же правил в обозначениях, что и в предыдущей главе. А именно, волновой вектор k = (k1 , k2 ) далее считается двумерным вектором в горизонтальной плоскости r = (x, y), а κ — волновое число, характеризующее вертикальную структуру внутренних гравитационных волн по вертикальной координате z . Считая, что отношение ǫ = ̺0 /̺1 равновесных плотностей газа ̺0 и жидкости ̺1 мало, причем имеет место неравенство (kh)−1 ≪ ǫ ≪ 1, вычислим вариационные производные по нормальным волновым амплитудам. Воспользовавшись результатами предыдущей главы, получим для поверхностных волн:

 ǫ̺0 ωk 1/2 −(kz+ik·r) e , 2γh  1/2 k ωk = ω2 = c , γh

δ̺ γ−2 =i δck 2πc



(39.3.2)

а для внутренних гравитационных волн:

1/2 γ−1 ̺0 ωin e−ik·r sin κz, 2  1/2 c γ − 1 k2 = . h γ 2 k2 + κ2

δ̺ i = δbk,κ 2cπ 2 ωin



(39.3.3)

Найденные выражения (39.3.2), (39.3.3) позволяют с помощью (39.3.1) по формуле (39.2.11) найти интенсивность излучения поверхностных Jks волн:

Jks


(γ − 2)2 ǫ̺0 ωk2 v4 l2 a2 2 2 2 2 = δ ( k · v − ω ) exp −k l − k a × k 1 2 γhc2 Z ∞   2 2 −2 × exp −kz − (z − z0 ) a /2 dz , (39.3.4) 0

и внутренних гравитационных Jkg :

316

Jkg =

Глава 39. Метод нормальных мод в задачах излучения и рассеяния волн 2 4 2 2
(γ − 1)̺0 ωin v l a δ (k · v − ωin ) exp −k12 l2 − k22 a2 × 2 2 c π Z ∞   2 2 −2 × sin κz exp − (z − z0 ) a /2 dz . (39.3.5) 0

Изучим вначале направленность излучения поверхностных волн. Введем полярную систему координат, в которой k · v = kv cos ϕ k1 = k cos ϕ,

k2 = k sin ϕ,

dk = kdkdϕ.

Тогда, интегрируя выражение (39.3.4) по k , в приближении a ≪ l < z0 , z0 /h ≪ ≪ M 2 (M = v/c — число Маха) найдем интенсивность излучения в заданный элемент азимутального угла ϕ:   Z m s s s θ (cos ϕ) J (ϕ) = Jkk dk = J0 exp − 2 , (39.3.6) cos5 ϕ cos ϕ

J0s = 4π

(γ − 2)2 ǫ̺0 g2 a4 l2 , γ 2 h2 v

m=2

z0 g . v2

Вычислим полную интенсивность излучения поверхностных волн. Интегрируя выражение (39.3.6) по углу ϕ, получим s

I =

Z

J s (ϕ) dϕ = π

(γ − 2)2 l2 a4 ǫr0 v3 . γ 2 z02 h2

(39.3.7)

Чтобы сравнить излучательную способность источника в диапазонах поверхностных и внутренних гравитационных волн, выполним в рамках принятых приближений аналогичный расчет для интенсивности излучения внутренних гравитационных волн. Принимая во внимание трехмерный характер излучения, введем сферическую систему координат k · v = qv sin ϑ cos ϕ,

κ = q cos ϑ,

k 2 = q 2 sin2 ϑ,

dkdκ = q 2 sin ϑdqdϑdϕ,

где ϑ и ϕ — соответственно полярный и азимутальный углы. Умножая выражение (39.3.5) на якобиан q 2 sin ϑ и интегрируя по q , в приближении a ≪ l < z0 , z0 /h ≪ M 2 найдем интенсивность излучения в заданный элемент телесного угла dϕdϕ:   Z n g 2 g θ (cos ϕ) g J (ϕ, ϑ) = Jkq sin ϑ dq = J0 exp − 2 × cos3 ϕ cos ϕ   cos ϑ × sin2 ϑ sin2 mM , (39.3.8) cos2 ϕ

317

39.3. Генерация волн движущимся источником

J0g

(γ − 1)3 l2 a4 =2 ̺0 c2 v, πγ 4 h4

n = M −2 a2 (γ − 1) γ −2 h−2 .

Для сравнения излучательных способностей источника необходимо найти интенсивность излучения внутренних волн в заданный элемент азимутального угла dϕ. Эту величину найдем, проинтегрировав (39.3.8) по dϑ:   Z π g θ (cos ϕ) n g g J (ϕ) = J (ϕ, ϑ) dϑ = J0 exp − 2 . (39.3.9) 8 cos3 ϕ cos ϕ Полную интенсивность излучения внутренних гравитационных волн получим, интегрируя (39.3.9) по углу ϕ: g

I =

Z

J g (ϕ) dϑ =

(γ − 1)2 l2 a2 r0 v3 . 4γ 2 h2

Отметим, что учет конечности поперечного размера источника (a 6= 0) имеет принципиальное значение, поскольку в противном случае при a = 0 полная интенсивность излучения внутренних волн выражалась бы через расходящийся интеграл. Таким образом, справедливо отношение

Is = 4πǫ Ig



γ−2 γ−1

2 

a z0

2

,

которое свидетельствует, что в рассматриваемом приближении независимо от скорости источника для поверхностных волн относительный энергетический вклад в излучение мал и квадратично зависит только от отношения поперечного размера источника к высоте его движения. Диаграммы направленности излучения поверхностных волн приведены на рис. 39.1, где 12 в  s для расчетов принималось: g = 9,8 м · с−2 , z0 = J 2 = 10 м и рассматривались три значения скороlg J0s сти источника: а — v = 100 м · с−1 , б — v = б 8 = 200 м · с−1 , в — v = 400 м · с−1 . Что же касается внутренних волн, то их диаа грамма направленности в азимутальной (горизонтальной) плоскости представляет два очень 4 узких лепестка, которые ориентированы практически под углом ± 90◦ к направлению движения источника. Наиболее интенсивно излучаются короткие внутренние гравитационные волны, −1 1 ϕ волновой вектор которых qm ≈ 1,2a−1 опреде−2 ляется только поперечным размером источника. Для сравнения отметим, что максимум интен- Рис. 39.1. Направленность излучесивности излучения поверхностных волн при- ния поверхностных волн движуходится на волновой вектор km ≈ 2,5z0−1 . щимся источником

318

Глава 39. Метод нормальных мод в задачах излучения и рассеяния волн

§ 39.4. Излучение внутренних гравитационных волн в атмосферу поверхностным волнением В настоящее время известен ряд явлений, которые обязаны своим происхождением нелинейным волновым взаимодействиям в системе океан—атмосфера. В частности, одним из таких явлений является излучение инфразвука в результате взаимодействия поверхностных волн [18]. Если учесть кроме акустических и поверхностных волн наличие еще и внутренних гравитационных волн, возникает более сложная ситуация. Например, для поверхностных волн появляется дополнительная возможность переизлучаться во внутренние волны. Кроме того, этот механизм излучения оказывается доминантным, так как, в отличие от механизма излучения инфразвука, он не требует выполнения довольно жестких условий относительно вида пространственного спектра поверхностных волн [16–20, 47, 92, 111, 145]. Используя результаты § 39.2, рассмотрим излучение низкочастотных внутренних гравитационных волн высокочастотным спектрально узким пакетом поверхностных волн. В приближении заданного спектра, локализованного в окрестности волнового вектора k0 (k0 h ≫ 1, h = c2 (gγ)−1 — высота однородной атмосферы), необходимые для волнового излучения условия резонанса (39.2.2) формулируются в виде: Вычисление интенсивности низкочастотного излучения

k · u = ωin (k, κ) ,

u = (∂ω2 /∂ k)k=k0 ,

(39.4.1)

где u — групповая скорость пакета, а ω2 (k) и ωin (k, κ) — законы дисперсии соответственно поверхностных и внутренних гравитационных волн, которые определяются по формулам (38.2.2), (38.3.4). Чтобы вычислить интенсивность излучения, воспользуемся процедурой, которая изложена в § 39.2. Прежде всего заметим, что в приближении kh ≫ 1 и ǫ = ̺0 /̺1 ≪ 1 закон дисперсии поверхностных волн ω2 (k) имеет вид   1 1/2 ω2 (k) = (gk) 1−ǫ− , 2γkh т. е. очень слабо зависит от параметров ǫ и h и, следовательно, нечувствителен к определяемым ими вариациям. Поэтому единственным существенным эффектом, который дает вклад во флуктуационную поправку к закону дисперсии, является эффект Доплера. Этот эффект возникает за счет механизма увлечения поверхностных волн флуктуациями гидродинамической скорости v, которые вызываются низкочастотным излучением внутренних гравитационных волн. С учетом последнего обстоятельства формула (39.2.8) для вычисления поправки к закону дисперсии высокочастотных волн приводится к более простому виду

∆ωk0 = k0 · δ v 0 , где v 0 — горизонтальная компонента скорости, взятая на невозмущенной границе раздела z = 0.

319

39.4. Излучение внутренних гравитационных волн в атмосферу

Так как, согласно (38.1.2), (38.1.5), в первом порядке теории возмущений переменная v 0 определяется соотношением −1/2

v 0 = ̺0

∇p′0 ,

где p′0 = p′z=0 — канонический импульс на невозмущенной границе раздела, по формуле (39.2.9) найдем выражение −1/2

K (κ; k, k0 , k 0 ) = exp (−ik · x) ̺0

∇

δp′0 δbk,κ

для коэффициента взаимодействия поверхностных волн ck с внутренними гравитационными bk,κ . Воспользовавшись формулами (38.3.1), (38.1.10) и вычислив вариационную производную

δp′0 /δbk,κ = (2π)−1 pˆk|z=0 exp (ik · x) ≈ −(2π)−1 ω02 κεin exp (ik · x) , получим: −1/2

K (κ; k, k0 , k 0 ) = −i(2π)−1 ̺0

k · k0 ω02 κεin .

В соответствии с результатами предыдущей главы, фигурирующий здесь нормировочный коэффициент εin для внутренних гравитационных волн описывается выражением (38.3.6), а ω02 = (1 − ǫ)c2 k/h. В результате по формуле (39.2.11) найдем выражение для интенсивности волнового излучения

 ∂ω2 (k0 ) Jk,κ = 2πωin (k, κ) |Λk| δ k · − ωin (k, κ) , ∂ k0 2



(39.4.2)

где, в соответствии с (39.2.5), для |Λk|2 справедливо выражение: 2

2

|Λk| = Ak |K| , 1 |K| = ̺0 2



ω 2 κεin k · k0 0 2π

2

Z 2 0 0∗ Ak = ck1 ck1 +k dk1 ,

c2 k 3 κ 2 = 3 π ̺0 ω2 (k0 ) k0



k · k0 2kk0

5

.

(39.4.3)

Отметим, что вычисление квадрата модуля коэффициента взаимодействия |K|2 проводилось на резонансной поверхности, которая определяется условием фазировки (39.4.1), стоящим под знаком дельта-функции. Хотя спектр поверхностного волнения считается узким, в реальных условиях он не описывает регулярное волновое поле. Поэтому задача генерации должна рассматриваться в статистической постановке [36, 149].

320

Глава 39. Метод нормальных мод в задачах излучения и рассеяния волн

Разумно предположить, что в k-пространстве волновых чисел поле поверхностного волнения c0k является гауссовым дельта-коррелированным случайным процессом с нулевым средним. Это значит, что среднее значение любой физической величины описывается только на языке парных корреляционных функций [106, 146, 161, 170]: Статистическое описание процесса излучения

hc0kc0k1 i = 0,

hc0kc0∗ k1 i = nkδ (k − k1 ) .

Здесь угловые скобки h· · · i обозначают операцию статистического усреднения, а величина nk называется спектральной плотностью волнового поля. Важнейшее свойство таких случайных систем состоит в том, что все четные корреляторы более высокого порядка представляются в виде суммы произведений всех возможных парных корреляторов, а все нечетные равны нулю. В частности, для коррелятора четвертого порядка получим   0∗ 0 0 hc0∗ c c c i = n n δ ( k −k k −k k −k k −k ) δ ( ) + δ ( ) δ ( ) 1 2 1 2 k1 k2 2 4 4 3 . k1 k2 k3 k4 Это алгебраическое свойство, известное под названием теоремы Вика, связано с тем, что распределение плотности вероятности для поля c0k предполагается гауссовым, т. е. hc0ki = 0. Применив по отношению (39.4.2) операцию усреднения и умножив обе части равенства на величину (2π)2 /S , где S — площадь взволнованной поверхности, которую устремим к бесконечности, найдем:   ∂ω2 (k0 ) 2 ¯ ¯ Jk,κ = 2πωin (k, κ) |K| Ak δ k · − ωin (k, κ) , (39.4.4) ∂ k0  Z 2  Z 2 δ (0) ¯ Ak = (2π) δ (k ) nk dk + Φk , Φk = nk1 nk1 +k dk1 . S В выражении (39.4.4) слева стоит величина J¯k,κ = (2π)2 hJk,κi/S , характеризующая излучательную способность единицы взволнованной поверхности, а справа — величина A¯k = (2π)2 hAki/S , которая из-за наличия двумерной дельтафункции δ (0) и S → ∞, содержит неопределенность типа ∞/∞. Чтобы раскрыть ее, воспользуемся хорошо известным представлением для дельта-функции: Z δ (k) = (2π)−2 lim exp (ikx) dx, S→∞

S

откуда, полагая k = 0, немедленно найдем асимптотическое равенство

(2π)2 δ (0) /S = 1. Таким образом, на основании этого равенства и с учетом того, что |K|2 = 0 при k = 0, вместо (39.4.4) будем иметь выражение   ∂ω2 (k0 ) 2 ¯ Jk,κ = 2πωin (k, κ) |K| Φkδ k · − ωin (k, κ) . (39.4.5) ∂ k0

Отметим, что аналогичный результат можно получить и в рамках кинетического подхода к проблеме излучения [36].

Часть VI ГАМИЛЬТОНОВ ПОДХОД К ЗАДАЧАМ ВОЛНОВОЙ И ВИХРЕВОЙ ДИНАМИКИ

Изучение вихревых структур — долгоживущих регулярных образований, играющих существенную роль в переносе импульса, массы, энергии, представляет особый интерес [98, 102, 155, 169, 173, 238, 281]. Для таких объектов, обнаруживающихся во многих типах течений, характерно разнообразие механизмов образования и нелинейность. Именно сильная нелинейность — наиболее общая и главная черта, которая особенно отчетливо проявляется при образовании пространственно-изолированных вихревых структур. Важное значение структурный подход имеет для изучения процессов перемешивания. Хорошо известно, что традиционное диффузионное описание является достаточно грубым и не дает информации о такой существенной черте перемешивания в слоистой среде, как большие доминирующие структуры: термики, струи, пузыри и т.д. Поэтому построение адекватных моделей и развитие новых аналитических методов, основанных на прямом моделировании и изучении структурных элементов подобного типа, является решающим фактором для понимания процессов перемешивания. Так как в точной постановке изучение таких структур сопряжено с решением сложных нелинейных уравнений, прибегают к упрощенным моделям. На линейной стадии эти модели описывают волновую неустойчивость. Однако с ростом неустойчивостей дальнейшее адекватное описание перемешивания становится невозможным и, чтобы составить общую картину развития процесса дальше, требуется от анализа гармоник перейти к рассмотрению доминирующих структур — фундаментальных форм, которые отвечают внутренним свойствам нелинейной среды [42, 50, 224]. Такие формы проявляются как области когерентных движений жидкости с высокой концентрацией завихренности. Эта часть книги посвящена изучению крупномасштабных вихревых и волновых структур в пренебрежении диссипацией. Такая идеализация оправдана во многих реальных течениях, в том числе и турбулентных, при рассмотрении достаточно крупномасштабных структур, когда их характерный размер велик по сравнению с масштабом турбулентных пульсаций. В таких эффективно невязких и нетурбулентных моделях учет влияния вязкости и турбулентности на структуры может осуществляться косвенно через среднее (фоновое) течение. Предположение о крупномасштабности позволяет сделать ряд принципиальных упрощений. Во-первых, оно дает право на использование послойных моделей с постоянными завихренностью и плотностью в каждом слое. Слабая чувствительность крупномасштабных движений к тонкой структуре реального профиля, позволяет надеяться, что даже при грубой аппроксимации небольшим числом слоев, такие модели качественно верно ухватывают крупномасштабную динамику. Во-вторых, предположение о крупномасштабности позволяет выйти за пределы слабой нелинейности. Приближение нелинейной дисперсии, которое используется для этой цели, предполагает не малость возмущений, а малость их производных. Кроме того, послойные модели дают естественную возможность сформулировать динамику в терминах границ раздела, определяющих контуры вихревых структур [39]. Отметим, что для вывода уравнений контурной динамики весьма удобно гамильтоново описание (см. главу 30), в рамках которого легко не только оценить степень универсальности того или иного приближения, но и свести к минимуму технические усилия при решении конкретной задачи.

Глава 40 ВИХРЕВЫЕ И ВОЛНОВЫЕ СТРУКТУРЫ В ТЕЧЕНИЯХ СО СКАЧКОМ ЗАВИХРЕННОСТИ Крупномасштабная динамика сдвиговых течений, начиная с волновых движений и кончая образованием пространственно изолированных вихревых структур, может эффективно изучаться в рамках метода, развитого в главе 30 для двумерных послойно равнозавихренных моделей. В этом отношении наиболее простыми являются плоскопараллельные модели, в рамках которых невозмущенное течение характеризуется непрерывным кусочно-линейным профилем скорости и кусочнопостоянным профилем плотности. Обычно послойные модели рассматриваются как приближения к реальным непрерывно стратифицированным течениям, а недостатки, связанные с изломами и скачками в модельных профилях, оправдываются слабой чувствительностью крупномасштабных движений к тонкой структуре профиля [38, 39, 220]. Последнее позволяет надеяться, что даже при грубой аппроксимации, улавливающей общую структуру реального профиля небольшим числом слоев, послойные модели качественно верно отражают крупномасштабную структуру динамики. Следует, однако, заметить, что экспериментальные наблюдаемые профили — это, как правило, усредненные по времени (или направлению) характеристики течения, и сравнение их с модельными профилями невозмущенной задачи не совсем корректно. Поэтому более естественно проводить их сравнение с усредненными профилями возмущенной задачи. В такой постановке проблемы «углов» и «скачков» в профилях не возникает.

§ 40.1. Минимальная модель. Постановка задачи Рассмотрим минимальную модель послойно равнозавихренного течения в канале с плоскопараллельными стенками (см. рис. 40.1 для пояснения используемых обозначений). Пусть два плоских слоя завихренной жидкости одинаковой (единичной) плотности отделены друг от друга границей раздела z = η(x, t), по обе стороны которой завихренность ω = ∂1 v2 − ∂2 v1 принимает различные, но постоянные значения ω1 и ω2 . В соответствии с главой 30, в динамическом режиме такая модель описывается уравнениями движения, которые могут быть представлены в гамильтоновой форме:

∂ δH , ∂x δµ ∂ δH ∂t ξ = {ξ, H } = ν . ∂x δξ

∂t µ = {µ, H } = −ν

323

(40.1.1)

324

Глава 40. Вихревые и волновые структуры в течениях со скачком завихренности

LN z η(x, t) ω1

Рис. 40.1. Двухслойная равнозавихренная модель. Верхний слой ω2 ограничен твердой крышкой z = LN , а нижний ω1 опирается на жесткую границу z = L0

ω2

x

L0

Здесь ν = ω2 − ω1 — скачок завихренности; переменная µ — скачок тангенциальной компоненты скорости на границе раздела z = η; переменная ξ определяется соотношением ξ = µ − νη; H — гамильтониан, совпадающий с энергией среды. Кроме гамильтониана H уравнения (40.1.1) сохраняют интегралы: Z
1 ξ 2 − µ2 dx, P = 2 Z Z T1 = ξ dx, T2 = µ dx. Отметим (см. по этому поводу § 27.2), что сохранение интеграла P , играющего роль вихревого импульса, связано с трансляционной инвариантностью гамильтониана H , а интегралы T1 , T1 являются аннуляторами скобок Пуассона. Последнее обстоятельство позволяет опускать в гамильтониане линейные по динамическим переменным члены, наличие или отсутствие которых не влияет на уравнения движения. Для данной модели гамильтониан H определяется кинетической энергией, и в терминах послойных функций тока ψ1 , ψ2 имеет вид

1 H = 2

Z    θ (z − L0 ) θ (η − z) (∂z ψ1 )2 + (∂x ψ1 )2 + 

2

+ θ (LN − z) θ (z − η) (∂z ψ2 ) + (∂x ψ2 )

2



dxdz. (40.1.2)

Определение гамильтониана H в терминах динамических переменных ξ и µ связано с решением краевой задачи:
∂x2 + ∂z2 ψ1,2 = ω1,2 ,

[(∂z − ηx ∂x ) (ψ2 − ψ1 )]z=η = µ,

(40.1.3)

[ψ2 − ψ1 ]z=η = 0. Первое краевое условие в (40.1.3) определяет µ — скачок тангенциальной компоненты скорости на границе раздела; второе представляет собой условие

40.2. Точное решение краевой задачи. Операторный метод

325

непрерывности функции тока, которое следует из условия непрерывности нормальных компонент скорости на границе раздела. К этим условиям следует добавить условия:

ψ1 |z=L0 = const,

ψN |z=LN = const,

(40.1.4)

выражающие отсутствие нормальных составляющих скорости на внешних твердых границах z = L0 , z = LN . Запишем послойное представление для функции тока в виде:

ψ1 =

ω1 2 z + ψ1′ , 2

ψ2 =

ω2 2 z + ψ2′ . 2

Тогда для возмущений ψi′ с помощью (40.1.3), (40.1.4) получим уравнения:
′ (40.1.5) ∂x2 + ∂z2 ψ1,2 = 0,

[(∂z − ηx ∂x ) (ψ2′ − ψ1′ )]z=η = µ − νη, ν [ψ2′ − ψ1′ ]z=η = − η2 , 2 ψ1′ |z=L0 = ψ2′ |z=LN = 0,

(40.1.6) (40.1.7) (40.1.8)

где ν = ω2 − ω1 — скачок завихренности на контактной границе z = η.

§ 40.2. Точное решение краевой задачи. Операторный метод Как известно [69, 130], использование техники псевдодифференциальных операторов, позволяет записать общее решение краевой задачи (40.1.5)–(40.1.8) в операторном виде ′ ψ1,2 = exp (−iz∂x ) D1,2 + к.с., (40.2.1) где i — мнимая единица, D1,2 — некоторые комплекснозначные функции аргумента x, а сокращенная запись «к.с.» обозначает слагаемое, полученное комплексным сопряжением из предыдущего. Подставляя (40.2.1) в краевые условия (40.1.6), (40.1.7), получим систему уравнений:

ν exp (−iη∂x ) (D2 − D1 ) + к.с. = − η2 , 2 −i (1 − iηx ) exp (−iη∂x ) ∂x (D2 − D1 ) + к.с. = µ − νη.

(40.2.2)

Воспользовавшись равенством

∂x exp (−iη∂x ) f = (1 − iηx ) exp (−iη∂x ) ∂x f,

(40.2.3)

систему уравнений (40.2.2) удобно переписать в виде:

ν exp (−iη∂x ) (D2 − D1 ) = − η2 + ig, 4

(40.2.4)

326

Глава 40. Вихревые и волновые структуры в течениях со скачком завихренности

∂x exp (−iη∂x ) (D2 − D1 ) =

i (µ − νη) + w, 2

(40.2.5)

где g и w — некоторые действительные функции x. Решим эти уравнения относительно разности D2 − D1 . Для этого, учитывая, что g и w — вещественные функции, и сравнивая равенство (40.2.4) с (40.2.5), вначале найдем: 1 ν ∂x g = (µ − νη) , w = − ∂x η2 . 2 4 Далее, принимая во внимание формулы обращения1 :

exp (−iη∂x ) f = ϕ,

∂x f = exp (i∂x η) ∂x ϕ,

которые имеют место для псевдодифференциальных операторов exp (−iη∂x ) и exp (i∂x η), из (40.2.4) получим

∂x (D2 − D1 ) =

i exp (i∂x η) (µ − ν (1 − iηx ) η) . 2

Для приведения полученного выражения к более удобному виду, к его правой части применим формулы:

exp (i∂x η) ∂x f = ∂x exp (i∂x η) (1 − iηx ) f, exp (i∂x η) ηx = i (1 − exp (i∂x η)) ,

первая из которых является эрмитово сопряженным вариантом формулы (40.2.3), а вторая — следствием первой при f = 1. В результате приходим к выражению

∂x (D2 − D1 ) =

i ν exp (i∂x η) µ + ∂x−1 (1 − exp (i∂x η)) . 2 2

(40.2.6)

Разрешив краевую задачу относительно разности D2 − D1 , мы, по существу, решили наиболее трудную ее часть, связанную с нелинейностью краевых условий на границе раздела. Для окончательного определения комплекснозначных функций D1 и D2 необходимо решить вторую, но уже линейную часть задачи, которая связана с разрешением краевых условий (40.1.8) на внешних границах. Для решения этой последней задачи перейдем от комплексной (40.2.1) к вещественной форме решения. Вещественная форма решения краевой задачи (40.1.5)– (40.1.8) исходно предполагает альтернативную запись решения ′ ψ1,2 = exp (−zΓ ) A1,2 + exp (zΓ ) B1,2 .

(40.2.7)

1 Формулы обращения проверяются непосредственно, если воспользоваться формальными разложениями псевдодифференциальных операторов в ряды Тейлора:

exp (−iη∂x ) =

∞ X 1 n η (−i∂x )n , n! n=0

exp (i∂x η) =

∞ X 1 (i∂x )n η n , n! n=0

строго соблюдая указанный порядок действия некоммутирующих операций — дифференцирования ∂x и умножения на функцию η.

327

40.2. Точное решение краевой задачи. Операторный метод

Здесь коэффициенты A1,2 и B1,2 — некоторые вещественные функции аргумента x; Γ — оператор, который определяется соотношением

ˆ Γ = −∂x H, ˆ — так называемое преобразование Гильберта2 а оператор H Z 1 +∞ f (x′ ) ′ ˆ Hf (x) = dx . π −∞ x′ − x

(40.2.8)

(40.2.9)

Замечательными свойствами этих операторов являются тождества [259]:

ˆ 2 = −1, H ˆ + = −H ˆ Γ 2 = −∂ 2 , Γ + = Γ, H x      ˆ g Hf ˆ + f Hg ˆ ˆ ˆ H = Hg Hf − gf.

Здесь и далее применение символа «+» по отношению к операторам подразумевает операцию эрмитового сопряжения. Отметим, что в ряде случаев вещественная форма записи решения предпочтительна. Например, она позволяет легко проводить упрощения тогда, когда одна или обе внешние границы находятся на бесконечности. Соотношения, устанавливающие связь между двумя формами записи решения и соответствующими коэффициентами, имеют вид:    1 ˆ exp (zΓ ) + 1 1 − iH ˆ exp (−zΓ ) , exp (iz∂x ) = 1 + iH 2 2 (40.2.10)     ˆ ˆ A1,2 = Re 1 + iH D1,2 , B1,2 = Re 1 − iH D1,2 . Если воспользоваться формулами (40.2.10) и перейти к вещественной форме решения (40.2.7) с вещественными коэффициентами A1 , A2 , B1 , B2 , то вместо одного соотношения (40.2.6) получим два:

ν −2 1 Γ (exp (Γ η) − 1) − Γ −1 exp (Γ η) µ, 2 2 ν −2 1 B2 − B1 = Γ (exp (−Γ η) − 1) + Γ −1 exp (−Γ η) µ. 2 2 A2 − A1 =

(40.2.11)

Для записи решения в более компактной форме введем обозначения для следующих псевдодифференциальных операторов: Z z F1 = exp (−zΓ ) , S1 = F1 dz = − (exp (−zΓ ) − 1) Γ −1 , 0

2

Интеграл в правой части (40.2.9) следует понимать в смысле главного значения по Коши Z x−ε  Z +∞ Z +∞ f (x′ ) f (x′ ) f (x′ ) ′ ′ ′ dx = lim dx + dx . ′ ′ ′ ε→0 −∞ x − x −∞ x − x x+ε x − x

328

Глава 40. Вихревые и волновые структуры в течениях со скачком завихренности

F2 = exp (zΓ ) ,

S2 =

Z

z

0

F2 dz = (exp (zΓ ) − 1) Γ −1 ,

D = F2 ∂z F1 − F1 ∂z F2 = −2Γ. С помощью этих обозначений соотношения (40.2.11) представим в виде:   A2 − A1 = −D −1 ν S˜2+ − F˜2+ µ , (40.2.12)   B2 − B1 = D −1 ν S˜1+ − F˜1+ µ ,

где стоящий сверху символ «e » — «тильда» — обозначает, что значения псевдодифференциальных операторов F1,2 , S1,2 взяты при z = η. В связи с появлением исчисления функций от некоммутирующих операций — оператора Γ и умножения на η (x), будем придерживаться следующего правила упорядочивания этих операторов: операторы действуют в порядке записи справа налево. Такое правило позволит в дальнейшем различать сопряженные операторные выражения F (η, Γ ) и F (Γ, η) = F + (η, Γ ), действие которых эквивалентно разным интегральным преобразованиям [130]: Z 1 F (η, Γ ) f = F (η, |k|) exp (ik (x′ − x)) f ′ dx′ dk, 2π Z 1 F (Γ, η) f = F (η′ , |k|) exp (ik (x′ − x)) f ′ dx′ dk. 2π Здесь штрихованные переменные обозначают зависимость от штрихованной координаты x′ . Чтобы найти коэффициенты A1 , A2 , B1 , B2 , дополним решения (40.2.12) соответствующими условиями (40.1.8) на внешних границах. В результате найдем дополнительные условия

F10 A1 + F20 B1 = 0, где

F1N A2 + F2N B2 = 0,

0 F1,2 = F1,2 |z=L0 ,

(40.2.13)

N F1,2 = F1,2 |z=LN .

Решая совместно уравнения (40.2.12) и (40.2.13), получим

A1 = −F20 (ZD)−1UN+ ,

B1 = F10 (ZD)−1UN+ ,

A2 = −F2N (ZD)−1U0+ ,

(40.2.14)

B2 = F1N (ZD)−1U0+ .

Здесь для краткости введены обозначения

Z = F2N F10 − F20 F1N ,     U0+ = −ν F20 S˜1+ − F10 S˜2+ + F20 F˜1+ − F10 F˜2+ µ,     U + = −ν F N S˜+ − F N S˜+ + F N F˜ + − F N F˜ + µ. N

2

1

1

2

2

1

1

2

329

40.3. Построение гамильтониана модели

§ 40.3. Построение гамильтониана модели Для вычисления гамильтониана (40.1.2) в терминах переменных η и µ запишем выражения для возмущенных функций тока:
ψ1′ = F2 F10 − F1 F20 (ZD)−1UN+ , (40.3.1)
ψ2′ = F2 F1N − F1 F2N (ZD)−1U0+ ,

которые получаются после подстановки соответствующих решений (40.2.14) в соотношение (40.2.7). Отметим, что вычисление гамильтониана можно проводить, начиная разложение с квадратичных по η и µ членов. Опуская линейные по этим переменным члены, мы, по существу, опускаем аннуляторы скобок Пуассона, которые не влияют на уравнения движения. После интегрирования по частям и использования условий на границе раздела, интегральное выражение (40.1.2) приводится к виду Z 1 H =− ψ1 µδ (z − η) dzdx− 2 Z Z η Z LN  1  ω1 ψ1 dz + ω2 ψ2 dz dx− − 2 L0 η Z   1 − ω1 L20 ∂z ψ1′ z=L − ω2 L2N ∂z ψ2′ z=L dx. 0 N 4 Подстановка в эти интегралы формул (40.3.1) дает для гамильтониана H выражение

ω1 + ω2 H =− 4

Z

Z ω22 − ω12 µη dx + η3 dx+ 2 · 3! Z Z   1 ν 2 −1 + + U0 (ZD) UN dx − u η − ηµ dx, (40.3.2) 2 2 2

Коэффициент u, стоящий перед последним интегралом, имеет смысл средней (по сечению z ) скорости течения и определяется отношением

u=

Q , LN − L0

1 Q = (L2N ω2 − L20 ω1 ), 2

где в числителе выражения для u стоит расход жидкости Q, а в знаменателе — ширина канала LN − L0 . В данной модели для U0 , UN+ и ZD имеют место следующие выражения:

U0 = 2ν (ch ((L0 − η) Γ ) − ch (L0 Γ )) Γ −1 − 2µ sh ((η − L0 ) Γ ) ,

UN+ = 2νΓ −1 (ch (Γ (LN − η)) − ch (Γ LN )) − 2 sh (Γ (η − LN )) µ, ZD = −4Γ sh ((LN − L0 ) Γ ) .

330

Глава 40. Вихревые и волновые структуры в течениях со скачком завихренности

§ 40.4. Модель вихревого погранслоя Рассмотрим вихревой погранслой в нейтрально стратифицированной жидкости, модель которого следует из § 40.1, если положить, что верхний слой имеет нулевую завихренность (ω2 = 0) и простирается до бесконечности (LN → ∞), а нижний имеет конечную завихренность (ω1 = ω) и опирается на жесткую плоскую границу L0 = 0. Чтобы осуществить переход к безразмерным зависимым и независимым переменным, предположим существование в задаче характерного пространственного масштаба l и рассмотрим ω −1 в качестве характерного масштаба времени T . Тогда для модели вихревого погранслоя гамильтоново описание (40.3.2) в терминах безразмерных переменных переформулируется следующим образом:

∂t ξ = −

∂ δH , ∂x δξ

∂t µ =

∂ δH , ∂x δµ

(40.4.1)

где ξ = µ + η; µ — плотность вихревой пелены на контуре; η — форма границы вихревого погранслоя; H — безразмерный гамильтониан, который, как это следует из выражения (40.3.2), имеет вид

H =−

1 4

Z 

 1 µη2 + η3 dx− 3 Z   1 − (ch (ηΓ ) − 1) Γ −1 + µ sh (ηΓ ) Γ −1 × 2   × Γ −1 (exp (−Γ η) − 1) − exp (−Γ η) µ dx. (40.4.2)

Дальнейшее упрощение этого гамильтониана осуществим на основании дополнительных предположений о соотношении нелинейных и дисперсионных эффектов. Если рассматриваемые возмущения таковы, что в гамильтониане вкладом членов с производными более высокого порядка можно пренебречь, то в первом приближении по Γ из (40.4.2) получим

H=

Z 



1 3 1 3 1 2 2 2 2 ξ − µ − µ −ξ Γ µ −ξ dx. 3! 3! 8

(40.4.3)

Приближение, которым мы только что воспользовались, известно как приближение нелинейной дисперсии [237, 269]. Отличительной чертой большинства эволюционных уравнений, полученных в этом приближении, является существование решений с компактным носителем. Будучи частицеподобными, такие решения, именуемые компактонами, в отличие от волн или солитонов не обладают осциллирующими или установившимися на бесконечности хвостами, хранящими память о невозмущенном (фоновом) режиме. Это замечательное свойство делает их идеальными претендентами на роль структурных элементов, описывающих процессы дезинтеграции течений, инициированные крупномасштабной гидродинамической неустойчивостью [42, 50, 224] на финальной стадии ее развития.

40.5. Частные решения уравнений вихревого погранслоя

331

Соответствующие гамильтониану (40.4.3) уравнения контурной динамики могут быть записаны на основании (40.4.1):



1 ∂t ξ = ∂x ξΓ ξ 2 − µ2 − ξ 2 , 2

1 ∂t µ = ∂x µΓ ξ 2 − µ2 − µ2 . 2

(40.4.4)

Иногда полезна альтернативная формулировка, в которой вместо динамических переменных ξ , µ вводятся новые переменные:

η = ξ − µ,

κ=

1 (ξ + µ) . 2

В терминах этих переменных гамильтониан H и уравнения контурной динамики для модели вихревого погранслоя принимают вид:  Z  1 3 1 2 1 H= (40.4.5) η + ηκ − ηκΓ ηκ dx, 4! 2 2

∂ δH = −∂x (ηκ − ηΓ ηκ) , ∂x δκ   ∂ δH 1 2 1 2 ∂t κ = − = −∂x η + κ − κΓ ηκ . ∂x δη 8 2 ∂t η = −

(40.4.6) (40.4.7)

§ 40.5. Частные решения уравнений вихревого погранслоя Рассмотрим возмущения вихревого погранслоя, полагая, что в невозмущенном состоянии он характеризуется единичной (безразмерной) высотой и имеет бесконечную протяженность по оси x. В отсутствие вихревой пелены (µ = 0), в приближении слабой нелинейности и дисперсии ξ = 1+η′ , (η′ , ηx′ ≪ 1) из уравнений (40.4.4), описывающих вихревой погранслой, следует, что   ∂ 1 ∂t η′ = − (40.5.1) η′ + η′2 − Γ η′ . ∂x 2 Это уравнение, известное как уравнение Бенджамина—Оно, принадлежит к классу полностью интегрируемых и достаточно хорошо изучено [1, 195, 258, 275]. В частности, оно имеет решение в виде нелинейной периодической волны   1 − a2 ′ η =b −1 , (40.5.2) a2 + 1 − 2a cos θ где параметр b характеризует глубину модуляции слоя, θ = k(x − ct) играет роль фазы волны, a — параметр нелинейности (0 ≤ a ≤ 1), а параметры k и c — соответственно волновое число и скорость волны.

332

Глава 40. Вихревые и волновые структуры в течениях со скачком завихренности

Отметим, что такая структура решения может быть установлена метом Хироты [1]. После прямой подстановки (40.5.2) в (40.5.1) мы получаем связи на параметры, из которых легко находим, что

b = −2,

c= 1+k

Решение в виде алгебраического солитона

η′ =

λ2

3 − a2 . 1 − a2

(40.5.3)

4λ , + (x − ct)2

который распространяются со скоростью c = 1 + λ−1 , следует из (40.5.2), (40.5.3), если в этих равенствах положить

a = 1 − δ,

k = δ/λ,

где λ — характерный продольный (вдоль оси x) размер солитона, и перейти к пределу δ → 0 (приближение длинных волн). Покажем теперь, что модель допускает существование решений, которые сосредоточены на компактном носителе и зависят от вреz мени по амплитуде (рис. 40.2). Для этого восη пользуемся уравнениями вихревого пограничω x ного слоя в формулировке (40.4.5)–(40.4.7), и рассмотрим в качестве точного решения завиR −R симости: p Рис. 40.2. Решение эллипсоидальной 1 η = α R2 − x2 , κ = βx, (40.5.4) формы с компактным носителем 4

полагая, что параметры α и β — некоторые функции времени, а [−R, R] — отрезок оси x, на котором сосредоточены решения и вне которого функции η(x) и κ(x) тождественно обращаются в нуль. Учитывая, что на компактном носителе [−R, R] справедливо равенство p 1 ˆ Hx R2 − x2 = R2 − x2 , 2 после подстановки (40.5.4) в уравнения (40.4.6), (40.4.7) найдем:

1 α= , 2

∂t β =


1 1 + β2 . 4

Можно показать, что при этих условиях соблюдаются все требуемые законы сохранения, т. е. интегралы H , P , T1 , T2 от времени не зависят. Если предположить, что в начальный момент времени t = 0 выполнялось условие κ(x) = 0, то для β получим соотношение β = tg(t/4). Таким образом, решение (40.5.4) описывает процесс интенсификации вихревой пелены на стационарном вихревом слое эллиптической формы и в окрестности точки коллапса tc = 2π предсказывает степенной характер поведения величины µ(t) ∼ (2π − t)−1 .

Глава 41 ВИХРЕВЫЕ СТРУКТУРЫ В N -СЛОЙНЫХ МОДЕЛЯХ § 41.1. Общий подход. Постановка задачи В зависимости от симметрии задачи (плоская, осевая и т.д.) двумерные движения несжимаемой жидкости удобно изучать в соответствующей системе ортогональных криволинейных координат. Без ограничения общности будем считать, что движение зависит только от двух из них x1 и x2 , причем координатные линии x1 совпадают с линиями тока невозмущенной стационарной задачи. Для рассмотренного в этой главе широкого класса послойных моделей геометрические свойства пространства, связанного с такой системой координат, характеризуются компонентами метрического тензора g11 , g22 , g33 и его определителем g = g11 g22 g33 , которые считаются так же, как и профиль невозмущенного течения, не зависящими от x1 . Это означает, что в режиме равновесия послойно равнозавихренная модель представляет собой совокупность слоев с границами раздела x2 = li = const. Для таких моделей невозмущенные функции тока ψi0 определяются из условий:

 g11 g −1/2 ∂2

∂2 g11 g −1/2 ∂2 ψi0 = g 1/2 ωi ,
  0  0 ̺i+1 ψi+1 − ̺i ψi0 x =l = µ0i , ψi+1 − ψi0 x 2

i

2 =li

= 0.

(41.1.1)

Здесь ωi и ̺i — завихренность и плотность двумерного криволинейного течения в i-ом слое, который заключен между i-ой и (i − 1)-ой границами раздела, а µ0i — скачок тангенциальной компоненты импульса на i-ой границе раздела. Во избежание недоразумений отметим, что на самом деле величина ωi является контравариантной завихренностью, которая отличается от обычной физической (ковариантной завихренности) Ωi = ωi g 1/2 (g11 g22 )−1/2 и совпадает с ней только в случаях, когда g = g11 g22 . Фундаментальность понятия контравариантной завихренности проявляется при ковариантном обобщении метода контурной динамики (см. § 30.4), позволяющего свести двумерную динамику областей с постоянной завихренностью ωi к динамике границ. Чтобы сформулировать уравнения движения границ раздела в гамильтоновой форме для рассмотренной выше N -слойной модели, воспользуемся результатом главы 30. В этом случае эволюция границ раздела определяется системой скобок Пуассона: ∂ {ξi , ξn′ } = −δin νi δ (x1 − x′1 ) , ∂x1 (41.1.2) ∂ ′ ′ ′ {ξi , µn } = 0, {µi , µi } = −δin νi δ (x1 − x1 ) . ∂x1 333

334

Глава 41. Вихревые структуры в N-слойных моделях

Здесь динамические переменные µi определяют скачки тангенциальной компоненты гидродинамического импульса на границах раздела, а переменные ξi вводятся соотношением Z ηi

ξi = µi − νi

g 1/2 dx2 ,

0

где ηi — форма i-ой границы раздела и νi = ̺i+1 ωi+1 − ̺i ωi . Из скобок Пуассона (41.1.2) следует, что эволюция каждой границы раздела описывается уравнениями:

∂t ξi = {ξi , H } = νi

∂ δH , ∂x1 δξi

∂t µi = {µi , H } = −νi

∂ δH , ∂x1 δµi

где H гамильтониан, совпадающий с энергией среды. В частности, если гамильтониан H совпадает с кинетической энергией, он в терминах полных функций тока ψi имеет вид

H =

1 2

Z

g −1/2

N −1 X i=1

(θ (ηi − x2 ) − θ (ηi−1 − x2 )) ̺i ×   × g11 (∂2 ψi )2 + g22 (∂1 ψi )2 dx1 dx2 . (41.1.3)

Все существующие возможности определения гамильтониана H в терминах динамических переменных ξi и µi связаны с решением краевой задачи:   ∂1 g22 g −1/2 ∂1 + ∂2 g11 g −1/2 ∂2 ψi = g 1/2 ωi , (41.1.4)     ∂ηi g −1/2 g11 ∂2 − g22 ∂1 (̺i+1 ψi+1 − ̺i ψi ) = µi , (41.1.5) ∂x1 x2 =ηi

[ψi+1 − ψi ]x2 =ηi = 0

(41.1.6)

для определения функций тока ψi . Здесь первое краевое условие (41.1.5) выражает существование вихревой пелены на границе раздела, а второе (41.1.6) представляет условие непрерывности функции тока, и эквивалентно условию непрерывности нормальных компонент скорости на границах раздела. К условиям (41.1.5), (41.1.6) следует добавить условия отсутствия нормальных составляющих скорости

ψ1 |x2 =L0 = ψN |x2 =LN = const

(41.1.7)

на внешних твердых границах x2 = L0 , x2 = LN (L0 < LN ) N -слойной среды. Полагая, что все параметры ωi , µ0i , и li , характеризующие N -слойную модель в режиме равновесия, известны, из уравнений (41.1.1) можно вначале найти

335

41.1. Общий подход. Постановка задачи

невозмущенную функцию тока. Тогда для возмущений ψi′ = ψi − ψi0 с помощью (41.1.4)–(41.1.7) получим уравнения:   ∂1 g22 g −1/2 ∂1 + ∂2 g11 g −1/2 ∂2 ψi′ = 0,    
∂ηi −1/2 ′ ′ g g11 ∂2 − g22 ∂1 ̺i+1 ψi+1 − ̺i ψi = ξi − ξi0 , ∂x1 x2 =ηi  ′   0  ′ 0 ψi+1 − ψi x =η = − ψi+1 − ψi x =η , 2

ψ1′ |x2 =L0

2

i

=

′ ψN |x2 =LN

i

= 0,

где ξi0 — невозмущенные значения динамической переменной ξi — определяются соотношениями Z li 0 0 ξi = µi − νi g 1/2 dx2 . 0

Решение краевой задачи можно искать либо методом функции Грина, либо методом псевдодифференциальных операторов, который использовался нами в § 40.2. В конечном счете оба способа эквивалентны. При этом взаимно однозначное соответствие между псевдодифференциальными операторами и интегральными преобразованиями позволяет, получив результат на одном языке, легко переформулировать его на другой. Далее ограничимся рассмотрением однородных по плотности моделей, иначе говоря, будем для простоты полагать, что все слои имеют одинаковую единичную плотность (̺i = 1) и проскальзывание между соседним слоями отсутствует (µi = = 0). В этом случае для возмущений функций тока имеет место следующая краевая задача:   ∂1 g22 g −1/2 ∂1 + ∂2 g11 g −1/2 ∂2 ψi′ = 0, (41.1.8) 
  ′   0  ′ ∂1 ψi+1 − ψi′ x =η = 0, ψi+1 − ψi′ x =η = − ψi+1 − ψi0 x =η , (41.1.9) 2

2

i

ψ1′ |x2 =L0

=

2

i

′ ψN |x2 =LN

= 0.

i

(41.1.10)

Для таких моделей (см. по этому поводу замечание на с. 258) скобки Пуассона и соответствующая гамильтонова формулировка эволюции границ раздела принимают особенно компактный вид

δin ∂ δ (x1 − x′1 ) , νi ∂x1 1 ∂ δH ∂t κi = {κi , H} = , νi ∂x1 δκi

{κi , κn′ } =

(41.1.11) (41.1.12)

где динамическая переменная κi связана только с формой i-той границы раздела и вводится соотношением Z ηi κi = g 1/2 dx2 . 0

336

Глава 41. Вихревые структуры в N-слойных моделях

§ 41.2. Гамильтониан для N -слойной модели Использование метода псевдодифференциальных операторов для решения более общей краевой задачи (41.1.8)–(41.1.10) и построения гамильтониана многослойной модели принципиально не отличается от того, как аналогичная техника использовалась для двухслойной модели в предыдущей главе. Увеличение числа слоев не вносит принципиальных изменений в схему решения, поскольку соотношения (40.2.12) остаются справедливыми для каждой отдельной границы раздела. Соблюдая преемственность с обозначениями § 40.2, на первом этапе общее решение (41.1.8) представим следующим образом:

ψi′ = F1 (x2 , Γ ) Ai + F2 (x2 , Γ ) Bi .

(41.2.1)

Здесь F1 и F2 — псевдодифференциальные операторы, зависящие от x2 и операˆ (40.2.9) с ˆ , который осуществляет преобразование Гильберта H тора Γ = −∂1 H последующим дифференцированием по x1

1 Γ f (x1 ) = − π

Z

+∞

−∞

∂1 f (x′1 ) ′ dx1 , x′1 − x1

а Ai , Bi — некоторые функции переменной x1 . Так как действие псевдодифференциального оператора F (x2 , Γ ) эквивалентно интегральному преобразованию Z 1 F (x2 , Γ ) f (x1 ) = F (x2 , |k|) eik(x−x1 ) f (x) dxdk (41.2.2) 2π и однозначно определяется функцией F (x2 , |k|) — символом псевдодифференциального оператора, прямой подстановкой (41.2.2) в (41.1.4) найдем, что символы F1 и F2 фигурирующих в (41.2.1) операторов являются линейно независимыми решениями уравнения   (41.2.3) ∂1 g22 g −1/2 ∂1 − k 2 g11 g −1/2 F = 0. Подчеркнем, что определение F1 и F2 — отправной пункт для последующих этапов решения краевой задачи. На втором этапе, подставляя (41.2.1) в краевые условия (41.1.9), (41.1.10), получим систему уравнений:  0  F1 (ηi , Γ ) (Ai+1 − Ai ) + F2 (ηi , Γ ) (Bi+1 − Bi ) = ψi+1 − ψi0 x =η , (41.2.4) 2

F1 (ηi , Γ ) ∂1 (Ai+1 − Ai ) + F2 (ηi , Γ ) ∂1 (Bi+1 − Bi ) = 0,

i

(41.2.5)

F1 (L0 , Γ ) A1 + F2 (L0 , Γ ) B1 = 0,

(41.2.6)

F1 (LN , Γ ) AN + F2 (LN , Γ ) BN = 0

(41.2.7)

для определения функций Ai , Bi .

337

41.2. Гамильтониан для N-слойной модели

Прежде чем предъявить решение системы (41.2.4)–(41.2.7), которое находится аналогично тому, как это делалось в § 40.2 для плоской двухслойной модели, введем с помощью F1 , F2 символы следующих операторов: 0 N F1,2 = F1,2 |x2 =L0 , F1,2 = F1,2 |x2 =LN , Z x2 S1,2 = F1,2 (x2 , |k|) g 1/2 dx2 ,

(41.2.8)

0

Z = F2N F10 − F1N F20 ,

D (|k|) =

g11 (F2 ∂2 F1 − F1 ∂2 F2 ) . g 1/2

Здесь все символы, за исключением S1,2 , не зависят от x2 . Введем для краткости дополнительные обозначения: i+ i S1,2 = S1,2 (ηi , Γ ) − S1,2 (li , Γ ) , S1,2 = S1,2 (Γ, ηi ) − S1,2 (Γ, li ) ,

U0i = νi S1i F20 − S2i F10 , UNi = νi S1i F2N − S2i F1N ,

U0i+ = νi F20 S1i+ − F10 S2i+ , UNi+ = νi F2N S1i+ − F1N S2i+ .

(41.2.9)

Тогда в обозначениях (41.2.8), (41.2.9) решения краевой задачи для разностей Ai+1 − Ai и Bi+1 − Bi примут знакомый (сравни с (40.2.12)) вид:

Ai+1 − Ai = −νD −1 S2i+ ,

Bi+1 − Bi = νD −1 S1i+ .

(41.2.10)

Чтобы найти функции Ai , Bi , дополним решения (41.2.10) соответствующими условиями (41.2.6), (41.2.7) на внешних границах, из которых следует, что

F10 A1 + F20 B1 = 0,

F1N AN + F2N BN = 0.

(41.2.11)

Решая совместно уравнения (41.2.10) и (41.2.11), получим:

Ai = −(ZD)−1 Bi = −(ZD)−1

N −1 X

n=1 N −1 X n=1


θ (n − i) F20 UNn+ + θ (i − 1 − n) F2N U0n+ , θ (n −

i) F10 UNn+

+ θ (i − 1 −

n) F1N U0n+




(41.2.12)

.

Здесь θ(m) — функция Хевисайда, равная единице при m ≥ 0 и нулю при m < 0. Используя равенства (41.2.1) и (41.2.12), гамильтониан (41.1.3) можно выразить в терминах границ раздела:

H =−

1 2

Z

N −1 X

νn

n=1

Z

ηn 0


0 g 1/2 ψn+1 + ψn0 dx2 −

− 2γ0 Z −1 UNn+ + 2γN Z −1 U0n+



−

N −1 X

n,i=1

!

U0n σi,n (ZD)−1UNi+ dx1 , (41.2.13)

где коэффициенты γ0 , γN , σin определяются следующими соотношениями:

338

Глава 41. Вихревые структуры в N-слойных моделях

γ0 = ψ10 x

2 =L0

0 γN = ψN x

,

2 =LN

,

σin = θ (i − n) + θ (i − 1 − n) .

Сделаем два важных замечания относительно свойств симметрий, которые соблюдаются для гамильтонианов N -слойных моделей. Во-первых, так как рассматриваемые модели пространственно однородны по координате x1 , уравнения движения должны быть инвариантны относительно галилеева преобразования

x′1 = x1 − ct,

t′ = t,

(41.2.14)

где c — параметр преобразования. Поэтому гамильтониан (41.2.13) должен быть инвариантен относительно преобразования v1′ = v1 − c для контравариантной компоненты скорости v1 . Так как v1 = −g −1/2 ∂2 ψ, в терминах функции тока это означает инвариантность относительно преобразования Z x2 ′ ψ = ψ−c g ′−1/2 dx′2 . c0

Два произвольных параметра c и c0 этого преобразования без потери общности дают возможность выбрать функцию тока так, что 0 ψ10 = γ0 = 0, ψN = γN = 0. x2 =L0

x2 =LN

Во-вторых, галилеева инвариантность системы означает существование инварианта движения Z N −1 X I0 = νn κn2 dx1 , n=1

который можно найти непосредственно из уравнений движения (41.1.12), используя преобразование (41.2.14). Остальные инварианты — это аннуляторы скобок Пуассона Z In = κn dx1 , (n = 1, . . . , N − 1)

именуемые иногда казимирами. Согласно уравнениям движения (41.1.12), определение гамильтониана возможно с точностью до интегралов I1 , . . . IN −1 , которые линейны по динамическим переменным κn и, следовательно, не влияют на динамику границ.

§ 41.3. Плоскопараллельные модели Для этого типа моделей наиболее удобна декартова система координат:

x1 = x,

x2 = z,

x3 = y,

g11 = g22 = g33 = 1,

из которых в описании движения жидкости участвуют только две x, z , а третья y фиксирует плоскость течения, и от нее картина течения не зависит.

339

41.3. Плоскопараллельные модели

В состоянии равновесия модель представляет собой совокупность плоскопараллельных слоев, которые отделены друг от друга границами раздела z = li . Согласно условиям (41.1.1), для равновесной функции тока ψi0 получаем следующие выражения:

ψi0 = ωi

z2 + αi z + σi , 2

αi+1 − αi = −νi li ,

l2 σi+1 − σi = νi i . 2

(41.3.1)

В качестве динамических переменных κi выступают сами границы раздела κi = ηi , а операторы F1 , F2 , D , Z , S1 , S2 , через которые выражается гамильтониан, определяются выражениями:

F1 = exp(−zΓ ), S1 = (1 − exp(−zΓ )) Γ −1 , D = −2Γ,

F2 = exp(zΓ ), S2 = − (1 − exp(zΓ )) Γ −1 .

Z = 2 sh (LN − L0 ) Γ,

В качестве иллюстрации приведем вывод гамильтониана для двухслойной модели (N = 2), в которой распределение завихренности в невозмущенном режиме описывается выражением ( 0, если h < z < ∞; ω= ω0 , если 0 < z < h. Отметим, что эта модель использовалась в работе [263] для численного исследования эффекта филаментации. Явление филаментации достаточно подробно описано, например, в книге [168] и заключается в том, что на границе вихревой области малые возмущения с течением времени становятся круче (обостряются). В результате на границе вихревой области появляются особенности — точки, в которых кривизна контура достигает очень больших значений, что, в конечном счете, приводит к вытягиванию из вихревой области тонких нитей. Согласно формулам (41.3.1), невозмущенная функция тока для такой модели описывается выражениями:   z2 h 0 0 ψ1 = ω0 , ψi = ω0 h z − . (41.3.2) 2 2 Операторы U0 , UN+ , необходимые для построения гамильтониана, вычисляются на основании формул (41.2.9), которые в приближении L0 = 0, LN → ∞ дают:

U0 = −2ω0 (ch (hΓ ) − ch (ηΓ )) Γ −1 ,

Z −1 UN+ = −2ω0 Γ −1 (exp(−Γ h) − exp(−Γ η)) .

(41.3.3)

После подстановки (41.3.2), (41.3.3) в (41.2.13) для гамильтониана данной модели получим интеграл

340

Глава 41. Вихревые структуры в N-слойных моделях

H =−

ω02 2

Z 

1 3 h 2 η + η − (ch(hΓ ) − ch(ηΓ )) × 3! 2! ×Γ

−3

 (exp(−Γ h) − exp(−Γ η)) dx. (41.3.4)

Под знаком этого интеграла присутствуют выражения, зависящие от параметра h — толщины завихренного слоя, который характеризует режим равновесия. Эта зависимость, однако, не актуализируется в уравнениях движения, если заранее не делать каких-либо приближений, требующих представления динамической переменной η как суммы невозмущенного и возмущенного ее значения, а формулировать для переменной η, например, задачу Коши. Один из способов убедиться в этом — разложить интеграл (41.3.4) в формальный ряд по степеням параметра h

H =

X n=0

hn Hn ,

Hn = ∂ n H /∂hn |h=0

и показать, что вклад дает только первый член этого ряда1

H0 = −

ω02 2

Z 

 1 3 η − (1 − ch (ηΓ )) Γ −3 (1 − exp(−Γ η)) dx. 3!

(41.3.5)

Аналогичным образом можно показать, что и в более общей постановке для N -слойной плоской модели параметры li , характеризующие модель в режиме равновесия, не актуализируются. Этот факт можно установить непосредственно из (41.2.13), если пренебречь линейными по ηi членами, которые обнуляют скобку Пуассона и, следовательно, вклада в уравнения движения не дают. В результате для гамильтониана N -слойной плоской модели получим

1 H =− 2

Z N −1 X n=1

νn



−

 ωn+1 + ωn 3 2 ηn − uηn − 3!

N −1 X

n,i=1

(ch (L0 Γ ) − ch ((L0 − ηn ) Γ )) ×

 νn νi σni Γ −3 × (ch (Γ LN ) − ch (Γ (LN − ηi ))) dx. (41.3.6) sh (LN − L0 ) Γ 1 Все следующие члены, кроме H2 , квадратичного по h вклада не дают, поскольку приводят к интегралам от выражений дивергентного вида. Что же касается H2 , то, как показывают вычисления, он равен Z ω2 H2 = 0 η dx 4

и может быть опущен, поскольку линеен по η и, следовательно, не влияет на уравнения движения.

341

41.4. Плоские кольцевые модели

Здесь коэффициент u, стоящий под знаком интеграла перед νi , σni определяются отношениями: (
2, L2N ωN − L20 ω1 1, , νi = ωi+1 − ωi , σni = u= 2 (LN − L0 ) 0,

ηn2 , и коэффициенты если n > i; если n = i; . если n < i;

§ 41.4. Плоские кольцевые модели Естественный выбор для анализа такой модели — плоская полярная система координат:

x1 = ϕ,

x2 = r,

x3 = z,

g11 = g = r 2 ,

g22 = g33 = 1,

где ϕ — полярный угол, r — расстояние от начала координат. Координата z , перпендикулярная к плоскости течения, в описании роли не играет. В состоянии равновесия кольцевая модель представляет собой совокупность концентрических кольцевых слоев, которые отделены друг от друга границами раздела r = li . Согласно (41.1.1), равновесное течение для такой модели определяется уравнениями ∂r r∂r ψi0 = rωi (41.4.1) и краевыми условиями 
 0 ∂r ψi+1 − ψi0 r=l = 0, i

 0  ψi+1 − ψi0 r=l = 0 i

(41.4.2)

для равновесных функции тока ψi0 . Здесь i — номер кольцевого слоя. Решение краевой задачи (41.4.1), (41.4.2) дает:

r2 r + αi ln + σi , 4 R l2 αi+1 − αi = −νi i , 2  2 ! 2 li li σi+1 − σi = νi 1 − ln , 4 R ψi0 = ωi

где R — некоторая фиксированная величина размерности длины. В качестве динамических переменных κi , в терминах которых формулируется гамильтоново описание для кольцевой модели, выступают величины Z ηi η2 κi = r dr = i . 2 0 Операторы F1 , F2 , S1 , S2 , D , Z , необходимые для построения гамильтониана, определяются выражениями:  r −Γ  r Γ F1 = , F2 = , R R

342

Глава 41. Вихревые структуры в N-слойных моделях

 r Γ 1 1 , S2 = r 2 , R 2−Γ R 2+Γ  Γ  Γ LN L0 D = −2Γ, Z = − . L0 LN

S1 = r 2

 r −Γ

Необходимо отметить, что, поскольку полярный угол ϕ — циклическая координата, формула (40.2.9) для преобразования Гильберта, которое содержится в ˆ , должна быть заменена формулой: операторе Γ = −∂ϕ H  ′  Z π 1 ϕ −ϕ ′ ˆ Hf (ϕ) = f (ϕ ) ctg dϕ′ . (41.4.3) 2π −π 2 Рассмотрим простейший случай — двухслойную модель: N = 2, L0 = 0, LN = ∞, ω1 = ω0 , ω2 = 0, l1 = R. Как показано на рис. 41.1, в невозмущенном состоянии такая модель соответствует круговому вихрю радиуса R с завихренностью ω0 , окруженного неограниченной безвихревой жидкостью.

ω2 = 0 ω1 = ω0 0

R ϕ Рис. 41.1. Невозмущенный круглый вихрь

Отметим здесь, что слабо нелинейные варианты этой модели рассматривались в работах [209, 210, 247] (см. также [168], где на с. 220–221 приведено краткое обсуждение результатов этих работ). Невозмущенные функции тока, соответствующие модели кругового вихря, описываются выражениями:     1 1 r 2 0 2 0 2 ψ1 = ω0 r , ψ2 = ω0 R ln −1 , (41.4.4) 4 4 R

а операторы U0 , UN+ , Z , необходимые для построения гамильтониана, в приближении L0 → 0, LN → ∞ дают:     −Γ η 2+Γ 1 L0 2 U0 = −ω0 R −1 , R 2+Γ R (41.4.5)  Γ   +  Γ 2−Γ 1 L η L N N + UN = ω0 R2 −1 , Z= . 2−Γ R R L0

Здесь знак «+», как и прежде, символизирует эрмитово сопряжение, которое означает, что заключенное в скобки операторное выражение должно быть упорядочено в соответствии с приведенным на с. 328 правилом.

343

41.4. Плоские кольцевые модели

После подстановки равенств (41.4.4) и (41.4.5) в интеграл (41.2.13), учитывая, что члены, пропорциональные γ0 и γN , вклада не дают, для гамильтониана в модели круглого вихря получим выражение Z  ω02 R4 π 1 4 1  η 2  η  H = η + ln − 4 2 R R −π 8    +    1 η 2−Γ η 2+Γ −1 −1 dϕ. (41.4.6) − R Γ (1 − Γ 2 ) R

В этом выражении исключены члены, линейные по динамической переменной κ = η2 /2, так как они обнуляют скобку Пуассона и, следовательно, вклада в уравнения движения не дают. Рассмотрим приближение слабой нелинейности, полагая, что возмущения границы раздела достаточно малы (η − R) /R ≪ 1. Выбирая в качестве единиц длины и времени радиус R и величину ω0−1 , переформулируем задачу в терминах безразмерной переменной  1 q= (η/R)2 − 1 , 2

которая играет роль возмущения для динамической переменной κ = η2 /2. Разлагая гамильтониан (41.4.6) в степенной ряд по переменной q и удерживая члены четвертого порядка малости получим   Z  1 3 1 4 1 1 1 2 2 1 π 2 −1 3 q − qΓ q + q + q − 4 qΓ q − q Γ q dϕ. H= 4 −π 3 3 R 3 4 Так как, согласно (41.1.11), скобка Пуассона для динамической переменной q дается соотношением {q, q ′ } = −∂ϕ δ (ϕ − ϕ′ ) , уравнение движения записывается в виде

∂t q = −∂ϕ

δH , δq

откуда находим уравнение для деформаций границы круглого вихря:  
1 1 2 2 3 1 −1 3 2 2 ∂t q = ∂ϕ −q + Γ q + q − q + Γ q − 3q Γ q − 3qΓ q . 2 2 3 6

(41.4.7)

Если учесть справедливость соотношений:

∂ϕ Γ

−1

ˆ (ϕ) , f (ϕ) = Hf

1 Γ f (ϕ) = − 2π

Z

π −π

f (ϕ′ ) dϕ′ , 1 − cos (ϕ − ϕ′ )

уравнение (41.4.7) легко переписать в терминах интегральных преобразований ! Z π  ′ 3 ′ 1 1 1 1 (q − q ) dϕ 2 3 ˆ ∂t q + ∂ϕ q − Hq = ∂ϕ q − q + . 2 4 3 24π −π 1 − cos (ϕ − ϕ′ )

344

Глава 41. Вихревые структуры в N-слойных моделях

Именно в таком виде, но без учета кубичных нелинейных членов, уравнение для деформаций границы круглого вихря впервые было получено непосредственно из уравнений гидродинамики в работе [247]. В работе [210] этот результат был воспроизведен с учетом кубичных нелинейных членов.

§ 41.5. Осесимметричные модели Осесимметричные движения жидкости естественно рассматривать в цилиндрической системе координат:

x1 = x,

x2 = r,

x3 = ϕ,

g11 = g22 = 1,

g33 = g = r 2 ,

где r — расстояние от оси x. Отметим, что угловая координата ϕ, координатные линии которой перпендикулярны к плоскости течения, в описании роли не играет. В состоянии равновесия осесимметричная модель представляет собой совокупность соосных цилиндрических слоев, которые разделены друг от друга границами раздела r = li . Согласно (41.1.1), равновесное течение для такой модели определяется уравнениями ∂r r −1 ∂r ψi0 = rωi , (41.5.1) и краевыми условиями 
 0 ∂r ψi+1 − ψi0 r=l = 0, i

 0  ψi+1 − ψi0 r=l = 0 i

(41.5.2)

для равновесных функций тока ψi0 . Здесь i — номер цилиндрического слоя. Решение краевой задачи (41.5.1), (41.5.2) дает:

r4 + αi r 2 + σi , 8 l2 l4 αi+1 − αi = −νi i , σi+1 − σi = νi i . 4 8 ψi0 = ωi

В качестве динамических переменных κi для цилиндрической модели, так же, как и для полярной, выступают величины Z ηi η2 κi = r dr = i , 2 0

зависящие от времени и координаты x. Операторы F1 , F2 , D , Z , S1 , S2 , необходимые для построения гамильтониана, определяются выражениями:

F1 = rI1 (rΓ ) , S1 = r 2 I2 (rΓ ) Γ −1 , D = 1,

F2 = rK1 (rΓ ) ,


S2 = − r 2 K2 (rΓ ) − Γ −2 Γ −1 ,

Z = L0 LN (K1 (LN Γ ) I1 (L0 Γ ) − K1 (L0 Γ ) I1 (LN Γ )) ,

где I1 и I2 — модифицированные функции Бесселя, а K1 и K2 — функции Макдональда первого и второго порядка, соответственно, [190].

345

41.5. Осесимметричные модели

Отметим, что, так как для динамических переменных ηi (t, x) аргумент x — линейная координата, изменяющаяся от −∞ до +∞, преобразование Гильберта, ˆ , определяется в соответствии с которое содержится в операторе Γ = −∂x H правилом (40.2.9). Рассмотрим простейший случай — двухслойную цилиндрическую модель: N = 2, L0 = 0, LN = a, l1 = l. Невозмущенные функции тока для этой модели описываются выражениями:
2
2 ω2 − ω1 2
2 ω2 2 ω2 2 ψ10 = r − a2 , ψ20 = r − a2 − r − l2 (41.5.3) 8 8 8 и, как показано на рис. 41.2, соответствуют течению с бипараболическим профилем скорости:  ω
2  a2 − r 2 , если l ≤ r ≤ a;  1 2 v = − ∂r ψ =

 r  ω2 a2 − l2 + ω1 l2 − r 2 , если 0 ≤ r ≤ l, 2 2 которое реализуется в круглом канале радиуса a и направлено вдоль оси x.

a

ω2 Рис. 41.2. Двухслойная цилиндрическая модель. а — схема невозмущенного течения в круглом канале: ω1 , ω2 — завихренности внутреннего и пристеночного слоя; б — соответствующий бипараболический профиль скорости v вдоль оси x

ω1

r

l x

v l a

а

r

б

Операторы U0 Z −1 , UN+ , необходимые для построения гамильтониана, в приближении L0 → 0, LN = a дают выражения:

Γ −1 ν , U0 Z −1 = − η2 I2 (ηΓ ) a I1 (aΓ )

 dUN+ = νa K1 (aΓ ) Γ −1 I2 (Γ η) η2 +

+I1 (aΓ ) Γ −1 K2 (Γ η) η2 − 2Γ −2

(41.5.4)




.

После подстановки (41.5.3) и (41.5.4) в (41.2.13) для гамильтониана данной модели получим интеграл

1 H =− 2

Z

ν 2



 ω2 4 ω1 + ω2 6 η − η + ν 2 η2 I2 (ηΓ ) Γ −2 × 8 4!   ! K1 (aΓ ) × I2 (Γ η) + K2 (Γ η) − 2Γ −2 η−2 η2 dx. (41.5.5) I1 (aΓ )

346

Глава 41. Вихревые структуры в N-слойных моделях

§ 41.6. Кольцевые модели на сфере Изучение двумерных движений на сфере удобно проводить в сферической системе координат:

x1 = ϕ,

x2 = ϑ,

x3 = 1,

g22 = 1,

g11 = g = sin2 ϑ,

где ϕ и ϑ — соответственно меридиональный и полярный углы (0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ ϑ ≤ π ), а радиус сферы x3 , который в описании движений не участвует, без ограничения общности, полагается равным единице. В состоянии равновесия невозмущенные границы раздела ϑ = li разбивают сферу на равнозавихренные кольцевые слои так, что соответствующая равновесная функция тока определяется формулами:

ϑ + σi , 2 αi+1 − αi = −νi cos li ,   li σi+1 − σi = −νi ln sin li − (cos li ) ln tg . 2 ψi0 = ωi ln sin ϑ + αi ln tg

В качестве динамических переменных κi для кольцевой модели на сфере выступают величины Z ηi κi = sin ϑ dϑ = 1 − cos ηi , 0

Отметим, что, так как возмущенные границы ηi (t, ϕ) зависят от времени и циклической координаты ϕ, преобразование Гильберта в этой модели осуществляется в соответствии с формулой (41.4.3). Операторы F1 , F2 , D , Z , S1 , S2 , необходимые для построения гамильтониана, определяются выражениями:

    ϑ Γ ϑ −Γ , F2 = tg , tg 2 2  Γ  Γ tg (LN /2) tg (L0 /2) D = −2Γ, Z = − , tg (L0 /2) tg (LN /2)     8 ϑ 2−Γ Γ Γ Γ 2 ϑ S1 = sin , 2 − ; sin , 2 F1 − , 1 − 2−Γ 2 2 2 2 2     8 ϑ 2+Γ Γ Γ Γ 2 ϑ S2 = sin , 1 + , 2 + ; sin , 2 F1 2+Γ 2 2 2 2 2 F1 =

где 2 F1 (α, β, γ; z) — гипергеометрическая функция [190].

Глава 42 ВИХРЕВЫЕ СТРУКТУРЫ В «ТЕЧЕНИИ ПУАЗЕЙЛЯ» Изучим образование вихревых структур в простейших сдвиговых течениях. В рамках послойных моделей вихревые структуры проявляются как решения уравнений с нелинейной дисперсией и описывают предельные модуляции равнозавихренных слоев. Как будет показано ниже, эффект модуляции имеет множество режимов и, в том числе, может приводить к образованию уединенных областей завихренности определенной формы и скорости распространения [39].

§ 42.1. Осесимметричная и плоская модели «течения Пуазейля» Хорошо известно, что ламинарное течение вязкой жидкости в круглой трубе, называемое осесимметричным течением Пуазейля, при постоянном градиенте давления характеризуется параболическим профилем скорости [122, 163]. С точки зрения осесимметричных послойных моделей, рассмотренных в § 41.5, такое течение представляет собой однородный вихревой цилиндрический слой. С позиции контурной динамики однослойная модель интереса не представляет, поскольку граница слоя фиксирована жесткой стенкой трубы. Минимальная осесимметричная модель, которая оказывается содержательной, — двухслойная, — характеризуется бипараболическим профилем для скорости равновесного течения. Точный гамильтониан H такой модели описывается выражением (41.5.5). Если в качестве масштабов длины L и времени T выбрать величины: L = = a, T = −8 (aν)−1 , можно ввести зависимые и независимые безразмерные переменные: q = (η/a)2 , s = x/a, τ = t/T. После обезразмеривания уравнения движения (41.1.12) принимают вид

∂τ q = −∂s

δH , δq

(42.1.1)

где H — безразмерный гамильтониан модели — определяется как

H = 32a−7 ν −2 H . Используя степенные разложения для модифицированных функций Бесселя и Макдональда и ограничиваясь учетом членов до второго порядка по qs , что 347

348

Глава 42. Вихревые структуры в «течении Пуазейля»

соответствует первому приближению нелинейной дисперсии, для безразмерного гамильтониана H получим выражение Z
1 H= q 2 (q − 1 − ln q) qs2 + q 4 + α3 q 3 + α2 q 2 ds, (42.1.2) 2 где коэффициенты α3 и α2 задаются соотношениями:

α3 =

4 ω1 − 2ω2 , 3 ω2 − ω1

α2 =

2ω2 . ω2 − ω1

(42.1.3)

Структура безразмерного гамильтониана (42.1.2) оказывается достаточно универсальной. Тот же качественный характер обнаруживает гамильтониан для более простой плоской модели, описывающей симметричные крупномасштабные возмущения в течении с невозмущенным профилем скорости  ω2 (h − z) , если l ≤ z ≤ h;    ω (l − z) + ω (h − l) , если 0 ≤ z ≤ l; 1 2 v = −∂z ψ =  ω (l + z) + ω2 (h − l) , если −l ≤ z ≤ 0;   1 ω2 (h + z) , если −h ≤ z ≤ −l.

Эту модель можно рассматривать как четырехслойную аппроксимацию плоского течения Пуазейля [122, 163] в канале шириной 2h (рис. 42.1). На этом рисунке величины ω2 , ω1 , −ω1 , −ω2 характеризуют распределение завихренности в послойной модели. Параболический профиль скорости реального течения Пуазейля обозначен пунктирной линией, а его аппроксимация — сплошной. Профиль скорости v приведен в единицах максимальной скорости vmax = ω1 l + ω2 (h − l), которая достигается на оси канала.

h

ω2 ω1 −ω1 −ω2

l x

0

v

Рис. 42.1. Четырехслойная линейная аппроксимация течения Пуазейля в плоском канале

−l −h

Для плоской модели масштабы длины L и времени T выбираются как L = h, T = −4/ν . Используя результаты § 41.3, нетрудно показать, что для симметричных возмущений (η3 = −η1 = η, η2 = 0) уравнения контурной динамики для плоской модели «течения Пуазейля», сформулированные в терминах зависимых и независимых безразмерных переменных

q = η/h,

s = x/h,

τ = t/T,

принимают абсолютно тот же вид (42.1.1), что и для осесимметричной модели.

349

42.2. Классификация решений плоской модели

Отличие заключается лишь в том, что для плоской модели безразмерный гамильтониан1 H определяется точным выражением: Z   1 ω2 + ω1  2 3 H=− q − q2 − 2 ω2 − ω1 3   4   − 1 − ch (qΓ ) 3 1 − ch (Γ (1 − q)) ds. Γ sh Γ

Сходство между моделями становится заметным в крупномасштабном приближении. Действительно, в приближении нелинейной дисперсии, ограничиваясь учетом членов до второго порядка по qs , для безразмерного гамильтониана H плоской модели получим выражение: Z  1 4 2 H= (42.1.4) q (1 − q)2 qs2 + q 4 + α3 q 3 + α2 q 2 ds, 2 3

в котором для коэффициентов α3 и α2 по-прежнему остаются справедливыми соотношения (42.1.3). Таким образом, подынтегральные выражения (42.1.4) и (42.1.2) качественно близки и, как показано на рис. 42.2, отличаются друг от друга лишь поведением множителей, стоящих при qs2 .

0,08

Рис. 42.2. Сравнение множителей, стоящих при qs2 в подынтегральных выражениях гамильтонианов (42.1.4) и (42.1.2) для плоской (кривая а) и осесимметричной (кривая б) моделей

а б

0,04

0

0,5

q

1

§ 42.2. Классификация решений плоской модели Рассмотрим решения для плоской модели. В этом случае, используя в качестве гамильтониана выражение (42.1.4), по формуле (42.1.1) получим уравнение  4 4 ∂τ q = −∂s − q 2 (1 − q)2 qss − q (q − 1) × 3 3  3 2 3 2 × (2q − 1) qs + 2q + α3 q + α2 q . (42.2.1) 2 1 Отметим, что безразмерный гамильтониан H связан с размерным гамильтонианом H соотношением H = ν 2 h4 H/4.

350

Глава 42. Вихревые структуры в «течении Пуазейля»

Будем искать стационарные решения вида q (ς), где ς = s − ct, а c — скорость распространения возмущения. Тогда уравнение (42.2.1) дважды интегрируется и в результате приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению

4 2 q (1 − q)2 qς2 = q 4 + α3 q 3 + (α2 − c) q 2 + α1 q + α0 = 3 = (q − q1 ) (q − q2 ) (q − q3 ) (q − q4 ) . (42.2.2) Здесь α1 , α0 — константы интегрирования, а qi (i = 1, 2, 3, 4) — корни полинома четвертого порядка, который фигурирует в правой части (42.2.2). В силу этого обстоятельства имеют место соотношения:

q1 + q2 + q3 + q4 = −α3 ,

q1 q2 + q1 q3 + q1 q4 + q2 q3 + q2 q4 + q3 q4 = α2 − c.

(42.2.3) (42.2.4)

Как показывает предварительный анализ, существование имеющих физический смысл решений уравнения (42.2.2) возможно только, если все корни qi действительны и удовлетворяют неравенству q1 ≤ q2 ≤ q3 ≤ q4 . Таким образом корни q2 и q3 , обозначающие соответственно нижнюю и верхнюю границы изменения решения, лежат в интервале между нулем и единицей, т. е.

0 ≤ q2 ≤ q ≤ q3 ≤ 1. Рассмотрим вначале случай, когда все корни qi различны. Соответствующие решения уравнения (42.2.2) в этом случае имеют периодический характер и выражаются через эллиптические функции. Вследствие условия несжимаемости справедливо равенство Z T Z 4 q3 (p − q) q (1 − q) p (42.2.5) (p − q) dς = dq = 0, 3 (q − q1 ) (q − q2 ) (q − q3 ) (q − q4 ) 0 q2

Режимы волновых решений

где T — период решения, а p = l/a — параметр модели (p < 1). Отметим, что это равенство можно переписать в терминах полных эллиптических интегралов. Так как три равенства — интегральное равенство (42.2.5) и соотношения (42.2.3), (42.2.4) — связывают между собой восемь параметров: q1 , q2 , q3 , q4 , ω1 , ω2 , p, c, можно выбрать пять из них: q2 , q3 , ω1 , ω2 , p в качестве опорных. Тогда остальные три q1 , q4 , c будут функциями опорных параметров. В случае кратных корней возможны три варианта решений. Первый вариант реализуется при слиянии q1 и q2 , т. е., когда

p = q1 = q2 ≤ q ≤ q3 < q4 .

(42.2.6)

В этом случае дифференциальное уравнение (42.2.2) записывается следующим образом: 4 2 q (1 − q)2 qς2 = (q − p)2 (q3 − q) (q4 − q) , 3 и легко интегрируется в квадратурах так, что решения, которые соответствуют этому случаю, можно представить в неявном виде

351

42.2. Классификация решений плоской модели

p  p 2 p |ς| = √ (q3 − q) (q4 − q) + (2 + α3 ) ln (q3 − q) + (q4 − q) + 3 ! p p (q3 − q) (q4 − p) + (q3 − p) (q4 − q) p (1 − p) ln +p . (42.2.7) (q − p) (q3 − q4 ) (q3 − p) (q4 − p)

Как показано на рис. 42.3, а, эти решения представляют собой возмущения типа уединенных волн положительной полярности с амплитудой A = q3 − p > 0.

z/h

ω2 ς

ω1 −2

−1

0

1

2 −1

а Рис. 42.3. Типы возможных волновых решений для плоской модели «течения Пуазейля»: а и б — уединенные волны положительной и отрицательной полярности, в — возмущение типа ударной волны

z/h

1

ω2 ω1 −2

ς −1

0

1

2 −1

б

z/h

1

ω2

ω1 −2

1

ς −1

0

1

2

в

−1

Второй вариант решений реализуется при слиянии q3 и q4 , т. е., когда

q1 < q2 ≤ q ≤ q3 = q4 = p.

(42.2.8)

В этом случае уравнение (42.2.2) преобразуется к виду

4 2 q (q − 1)2 qς2 = (p − q)2 (q1 − q) (q2 − q) . 3 Соответствующие решения можно представить в неявном виде как


√ √ 2 p |ς| = √ (q − q1 ) (q − q2 ) + (2 + α3 ) ln q − q1 + q − q2 + 3 ! p p (q − q1 ) (p − q2 ) + (q − q2 ) (p − q1 ) p (1 − p) +p ln . (42.2.9) (p − q) (q2 − q1 ) (q1 − p) (q2 − p)

352

Глава 42. Вихревые структуры в «течении Пуазейля»

Эти решения, представляющие собой возмущения типа уединенных волн отрицательной полярности с амплитудой A = q2 − p < 0, показаны на рис. 42.3, б. Отметим, что при |ς| → ∞ оба решения (42.2.7), (42.2.9) ложатся на асимптотику невозмущенной задачи q = p. Из равенства (42.2.3) и неравенств (42.2.6), (42.2.8) следует, что в области параметров (0 ≤ p, ω1 /ω2 ≤ 1), в которой реализуются послойные параметризации течения Пуазейля2 , полярность решений определяется знаком величины

D=

1 ω1 − 2ω2 − p. 3 ω1 − ω2

В соответствии с этим, кривая, которая является решением уравнения D = 0, разбивает область параметров на две части (рис. 42.4): область решений положительной полярности, где D > 0, и область решений отрицательной полярности, где справедливо противоположное неравенство D < 0.

1 D≥0

p

0,5 D≤0

0

0,5

Рис. 42.4. Области существования решений положительной D ≥ 0 и отрицательной D ≤ 0 полярности

ω1 /ω2 1

Третий вариант представляет собой гибрид первых двух и реализуется при слиянии корней q1 с q2 и q3 с q4 , т. е., когда

0 ≤ q1 = q2 ≤ q ≤ q3 = q4 ≤ 1,

p=

q2 + q3 . 2

В этом случае уравнение (42.2.2) записывается как

4 2 q (1 − q)2 qς2 = (q − q2 )2 (q3 − q)2 . 3 Соответствующее решение представляет собой возмущение типа ударной волны (см. рис. 42.3, в) и описывается выражением   2 q3 (1 − q3 ) q3 − q ς = √ q−p− ln 2 + q3 − q2 q3 − q2 3

 ! q2 (1 − q2 ) q − q2 + ln 2 . (42.2.10) q3 − q2 q3 − q2

2 Отметим, что условие 0 ≤ ω1 /ω2 ≤ 1 продиктовано «выпуклостью» профиля скорости течения Пуазейля.

353

42.2. Классификация решений плоской модели

Случаи, соответствующие парному слиянию корней в точках q = 0, q = 1, заслуживают отдельного рассмотрения. В принципе, соответствующие решения могут быть получены предельным переходом (q1 = q2 = p → 0) из решения (42.2.7), предельным переходом (q3 = = q4 = p → 1) из решения (42.2.9) и предельным переходом (q2 → 0, q3 → 1, p = = 1/2) из решения (42.2.10). Однако такой подход не позволяет в полной мере проследить глубокие качественные изменения, происходящие с решениями при их превращении в компактоны — частицеподобные решения, любая суперпозиция которых также является решением. Вихревые компактоны

Вихревые структуры центрального типа. Чтобы найти общее решение для случая парного слияния корней в точке q = 0, запишем уравнение (42.2.2) в виде   4 2 2 2 q (42.2.11) (1 − q) qς − (q3 − q) (q4 − q) = 0. 3 Здесь, согласно (42.2.3), (42.2.4), амплитудный параметр q3 , определяющий поперечный размер вихрей, и параметр q4 связаны соотношениями:

q3 + q4 = −α3 ,

q3 q4 = α2 − c.

Из (42.2.11) следует, что общее решение представляет собой суперпозицию компактонов, т. е. кусочно-непрерывную функцию, склеенную из решений q = 0 и решений уравнения 3 qς2 = − (1 − q)−2 (q3 − q) (α3 + q3 + q) , (42.2.12) 4 заданных на компактных носителях и чередующихся друг с другом. Такое решение описывает произвольную последовательность изолированных дипольных вихревых структур, распространяющихся со скоростью

c = A2 + α3 A + α2 , квадратично зависящей от их поперечного размера A = q3 (рис. 42.5, а). Форма контура каждого вихревого образования определяется выражением

2 p |ς| = − √ (−α3 − q3 − q) (q3 − q)+ 3

√ ! √ −α3 − q3 − q + q3 − q √ + (2 + α3 ) ln , −α3 − 2q3

симметрична относительно оси плоского канала и напоминает «кошачий глаз» (см. рис. 42.5, б). Отметим, что условием существования подобного рода решений является положительность правой части в уравнении (42.2.12), т. е., отрицательность скобки (α3 + q3 + q) при всех значениях q , удовлетворяющих неравенству 0 ≤ q ≤ q3 . Поэтому область допустимых параметров, определяется неравенством

0 ≤ q3 ≤ −α3 /2,

выполнение которого гарантировано «выпуклостью» профиля скорости моделируемого «течения Пуазейля»: 0 ≤ ω1 /ω2 ≤ 1.

354

Глава 42. Вихревые структуры в «течении Пуазейля»

2

1 z/h

c

0,5

1

0 −0,5

а

0

A 0,5

1

ω2 ω1 0

ς 1

б

−1

Рис. 42.5. Зависимость скорости c от амплитудного параметра A (а), и вихревые структуры типа «кошачьего глаза» в плоском «течении Пуазейля» для значений A = 0,3; 0,6; 0,8 (б). В обоих случаях расчеты проводились при ω1 /ω2 = 0

Вихревые структуры пристеночного типа. Случай парного слияния корней q3 , q4 в точке q3 = q4 = 1 может быть рассмотрен аналогично. В этом случае уравнение (42.2.2) записывается в виде   4 2 2 2 (1 − q) q q − (q − q1 ) (q − q2 ) = 0, (42.2.13) 3 ς

где амплитудный параметр q2 , определяющий поперечный размер вихрей, и параметр q1 связаны, согласно (42.2.3), (42.2.4), соотношениями:

q1 + q2 = −α3 − 2,

q1 q2 + 2 (q1 + q2 ) + 1 = α2 − c.

Из (42.2.13) следует, что общее решение представляет собой кусочно-непрерывную функцию, склеенную из решений q = 1 и решений уравнения

3 qς2 = q −2 (q − q2 ) (q + q2 + α3 + 2) , (42.2.14) 4 заданных на компактных носителях и чередующихся друг с другом. Такое решение описывает произвольную последовательность изолированных дипольных вихревых структур (рис. 42.6), которые прижаты к стенкам канала и распространяются со скоростью c = q22 + (α3 + 2) q2 + 2α3 + α2 + 3, квадратично зависящей от их поперечного размера A = 1 − q2 . Форма контура пристеночных вихрей определяется выражением

2 p |ς| = √ (q − q2 ) (q + q2 + α3 + 2)+ 3

√ ! √ q + q2 + α3 + 2 + q − q2 √ + (2 + α3 ) ln . 2q2 + α3 + 2

355

42.2. Классификация решений плоской модели

ω2

z/h

ς

ω1

0 −2

0

−1

1

2

−1 Рис. 42.6. Вихревые структуры пристеночного типа в плоском «течении Пуазейля». Расчет проводился для следующих значений параметров: A = 0,65; 0,5; 0,2; ω1 /ω2 = 0

Отметим, что условием существования подобного рода решений является положительность правой части в уравнении (42.2.14), т. е., положительность скобки (q + q2 + α3 + 2) при всех значениях q , удовлетворяющих неравенству q2 ≤ q ≤ ≤ 1. Поэтому область допустимых параметров q2 , κ = ω1 /ω2 определяется неравенством −α3 /2 − 1 ≤ q2 ≤ 1. Для модели «течения Пуазейля», которая реализуется при 0 ≤ ω1 /ω2 ≤ 1, на рис. 42.7 соответствующая область параметров отмечена более темным фоном. Согласно этому рисунку, в отличие от вихрей центрального типа пристеночные вихри не реализуются при κ = ω1 /ω2 > 1/2 и имеют ограничения на поперечный размер. Предельные пристеночные вихри, которые имеют максимальный поперечный размер 2 1 − 2κ 2 A= ≤ , (42.2.15) 3 1−κ 3 реализуются на нижней границе области.

1

0

q2

c

0,5

−1 а

0

б

ω1 /ω2 0,5

1

−2

0

ω1 /ω2 0,25

0,5

Рис. 42.7. Область существования (выделена темным фоном) для пристеночных вихрей в четырехслойной модели «течения Пуазейля»: а — в плоскости параметров q2 , ω1 /ω2 ; б — в плоскости параметров c, ω1 /ω2

356

Глава 42. Вихревые структуры в «течении Пуазейля»

Как показано на рис. 42.8, эти вихри представляют собой полуограниченные образования, а их форма описывается выражением    21+κ 1 − 2κ u 1+W 2 e , q= 31−κ 1+κ где W — так называемая W -функция Ламберта3 и √ 1 − 2κ 3 3 1 − κ u=2 − ς. 1+κ 2 1+κ

z/h 0,5 0

ω2 ω1 0

Рис. 42.8. Предельные пристеночные вихри в плоском «течении Пуазейля» для случая ω1 /ω2 = 0, A = = 2/3

ς 1

2

−0,5 −1

Скорость пристеночных вихрей также ограничена, причем верхняя граница

cmax =

2κ 1−κ

достигается при минимальном поперечном размере (A = 0), а нижняя

cmin =

2 (κ − 2) (1 + κ) 9 (1 − κ)2

— при максимальном поперечном размере, определяемым (42.2.15). Отметим, что рассматриваемая модель «течения Пуазейля» обладает свойством симметрии. Эта симметрия легко обнаруживается и проявляется как инвариантность описания относительно замены:

q → 1 − q,

ς → −ς,

ω1 → ω2 ,

ω2 → ω1 .

Очевидно, что эта замена является преобразованием симметрии, которое переводит решения, описывающие пристеночные вихри, в решения, описывающие 3

Эта функция введена в аппарат математической физики сравнительно недавно [203] и удовлетворяет следующему уравнению W (z) eW (z) = z, где z — комплексное число.

357

42.2. Классификация решений плоской модели

вихри центрального типа, и наоборот. Препятствием для применения этого рецепта в нашем случае является ограничение 0 ≤ ω1 /ω2 ≤ 1, которое не инвариантно относительно преобразования ω1 → ω2 , ω2 → ω1 . На самом деле, ограничение 0 ≤ ω1 /ω2 ≤ 1 не является принципиальным, поскольку оно навязано модельными соображениями и справедливо только для пространственно локализованных решений. Действительно, на бесконечности, там, где возмущения отсутствуют, такие решения выходят на фоновый режим течения, соответствующий невозмущенной четырехслойной модели «течения Пуазейля». Для решений, описывающих, например, пространственно периодические возмущения, такое представление о фоновом режиме уже несправедливо. Физически более последовательной является другая постановка, в которой априорно на параметр ω1 /ω2 никаких ограничений не накладывается, а правило отбора вихревых решений — это воспроизводимость на этих решениях основных характеристик для осредненного течения. Такая постановка предпочтительна еще и потому, что для большинства реальных течений, находящихся в сложном динамическом режиме, типична ситуация, когда известны лишь осредненные характеристики уже возмущенного течения, а основное состояние, на фоне которого развивались эти возмущения, неизвестно. Вихревые «пробки» в плоском «течении Пуазейля». Чтобы проиллюстрировать сказанное, рассмотрим случай q1 = q2 = 0, q3 = q4 = 1. В этом случае уравнение (42.2.2) записывается в виде   4 2 q 2 (1 − q)2 qς − 1 = 0, 3 причем на основании (42.2.3), (42.2.4) должны выполняться соотношения:

α3 + 2 = 0,

c = α2 − 1.

(42.2.16)

Из (42.2.13) следует, что общее решение представляет собой кусочно-непрерывную функцию, составленную из частных решений √ 3 q = 0, q = 1, q = ± ς + const, (42.2.17) 2 а из (42.2.16), что ω1 = −ω2 и c = 0. Построенная из этого набора последовательность вихревых структур приведена на рис. 42.9. Несмотря на весьма карикатурный вид этих решений и то, что с точки зрения ограничения 0 ≤ ω1 /ω2 ≤ 1 они попадают за рамки применимости к четырехслойной модели «течения Пуазейля», такие решения представляют несомненный интерес, так как в качественном отношении похожи на «пробки» — турбулентные сгустки, которые реально наблюдаются в турбулентном течении жидкости в трубе [102] при числах Рейнольдса, больших 3200. Рассмотрим периодическую последовательность вихревых пробок и выясним их влияние на формирование среднего профиля течения. Как показано на рис. 42.9, такую периодическую последовательность характеризуют отрезки l+ и

358

1 z/h 0

Глава 42. Вихревые структуры в «течении Пуазейля»

ω l+

−ω l−

ω

ς

l L

−1 Рис. 42.9. Вихревые структуры типа «пробок» в модели плоского «течения Пуазейля»

l− , которые на каждом уровне z определяют линейные размеры областей, занятые соответственно завихренностями ω и −ω , и в сумме дают период L: L = l+ + l− . Учитывая характер симметрии модели, при вычислении средних характеристик течения достаточно рассмотреть только верхнюю половину канала. Вначале найдем распределение завихренности в возмущенном течении. На каждом уровне z для средней завихренности ω ¯ будем иметь соотношение     l+ l− l+ ω ¯ (z) = ω − =ω 2 −1 , (42.2.18) L L L которое свидетельствует о том, что средняя завихренность ω ¯ является величиной, средневзвешенной по периоду L. Так как форма границы раздела завихренности известна, из равенств (42.2.17) легко установить, что l+ = l − √43 z , где l — линейный размер области, занятой завихренностью ω на оси канала. Отметим (см. рис. 42.9), что для завихренности −ω аналогичный размер находится, как L − l. Подстановка этого соотношения в (42.2.18) приводит к выражению   l 8 z ω ¯ (z) = ω 2 − 1 − √ . L 3L Учитывая симметрию v¯(z) = v¯(−z), достаточно найти v¯ при z ≥ 0. Соответствующий профиль средней скорости восстанавливается по уравнению

ω ¯ (z) = −∂¯ v (z)/∂z,

(42.2.19)

с дополнительным краевым условием v¯|z=h = 0, которое выполняется на стенке канала. Интегрируя (42.2.19), найдем  z z v¯ = vmax 1 − 1+a , h h где 4ωh2 4h √ vmax = − √ , a= . 3aL 4h + 3 (L − 2l)

Легко показать, что только в случае l = L/2 профиль средней скорости имеет параболический вид. В остальных случаях (рис. 42.10) в точке z = 0 профиль средней скорости имеет заострение.

359

42.3. Классификация решений в осесимметричной модели

1 v¯/¯ vmax Рис. 42.10. Профили средней скорости течения, возмущенного периодической последовательностью вихревых структур, показанных на рис. 42.9

0,5

0 −1

−0,5

0

z/h

1

§ 42.3. Классификация решений в осесимметричной модели Подобным образом можно расклассифицировать и проанализировать решения для осесимметричной модели с бипараболическим профилем течения. Так как гамильтониан для этой модели определяется интегралом Z
1 H= q 2 (q − 1 − ln q) qs2 + q 4 + α3 q 3 + α2 q 2 ds, 2

уравнение для переменной q , которая описывает эволюцию осесимметричных возмущений границы раздела, имеет вид  δH ∂τ q = −∂s = ∂s q 2 (q − 1 − ln q) qss + δq    3 2 3 2 3 2 + q q − 1 − ln q qs − 2q − α3 q − α2 q . (42.3.1) 2 3 2 Для стационарных решений вида q(ς), где ς = s − ct, а c — скорость распространения возмущения, уравнение (42.3.1) дважды интегрируется, что приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению

q 2 (q − 1 − ln q) qς2 = q 4 + α3 q 3 + (α2 − c) q 2 + α1 q + α0 = = (q − q1 ) (q − q2 ) (q − q3 ) (q − q4 ) . (42.3.2)

Здесь α1 , α0 — константы интегрирования, а qi (i = 1, 2, 3, 4) — корни полинома четвертого порядка, который фигурирует в правой части (42.3.2). При прочих равных условиях уравнение (42.3.2) отличается от (42.2.2) только левой частью. Поэтому условия, которым должны удовлетворять корни qi для существования решений в осесимметричной модели, остаются теми же, что и в плоской. А именно: все корни qi действительны, удовлетворяют неравенству q1 ≤ ≤ q2 ≤ q3 ≤ q4 и связаны соотношениями:

q1 + q2 + q3 + q4 = −α3 ,

q1 q2 + q1 q3 + q1 q4 + q2 q3 + q2 q4 + q3 q4 = α2 − c,

(42.3.3)

360

Глава 42. Вихревые структуры в «течении Пуазейля»

причем q2 и q3 , обозначающие границы изменения решения, лежат в интервале 0 ≤ q2 ≤ q ≤ q3 ≤ 1. Как показано на рис. 42.11, различие левых частей уравнений (42.3.2) и (42.2.2) обусловлено различием множителей (q − 1 − ln q) и (1 − q)2 и наиболее сильно проявляется в окрестности точки q = 0. Учитывая это обстоятельство, рассмотрим только те решения, которые включают нулевую точку в область изменения q . Остальные решения для осесимметричной модели имеют качественное сходство с решениями для плоской модели. Отметим, что классификация решений в области параметров задачи является одинаковой независимо от типа модели, поскольку основана на системе равенств (42.3.3), в которых коэффициенты α3 и α2 задаются универсальными соотношениями (42.1.3).

3 а

2 Рис. 42.11. Поведение множителей, определяющих различие уравнений (42.3.2) и (42.2.2): а — график функции (q − 1 − ln q) 2 и б — график функции (1 − q)

1 б

0

q

0,5

1

Рассмотрим решение, полагая парное слияния корней q1 = q2 = 0. В этом случае, который соответствует режиму уединенных вихрей, сосредоточенных в центре цилиндрического канала, уравнение (42.3.2) записывается в виде
q 2 (q − 1 − ln q) qς2 − (q3 − q) (q4 − q) = 0, (42.3.4) Вихревые компактоны центрального типа

где амплитудный параметр q3 , определяющий квадрат поперечного размера вихрей, и параметр q4 связаны теми же соотношениями:

q3 + q4 = −α3 ,

q3 q4 = α2 − c,

(42.3.5)

которые были справедливы и для плоской модели. Из (42.3.4) следует, что общее решение может быть получено склейкой решений двух уравнений:

q = 0,

qς2 = − (q − 1 − ln q)−1 (q3 − q) (α3 + q3 + q)

и описывает последовательность изолированных тороидальных вихревых структур, одинаковых по амплитуде, но расположенных с различной скважностью. Соответствующие примеры отдельных вихревых структур приведены на рис. 42.12.

361

42.3. Классификация решений в осесимметричной модели

1 1/2

q 0,5

ω2 ω1

Рис. 42.12. Вихревые компактоны центрального типа в осесимметричном «течении Пуазейля»: ω1 /ω2 = 0, q3 = 0,7; 0,25; 0,04; 0,0025

0 0

ς 1

0,5 1 Исключив из системы (42.3.5) параметр q4 , можно найти

c = q32 + α3 q3 + α2 .

(42.3.6)

Это равенство связывает между собой две безразмерных характеристики — скорость распространения вихревых структур c и амплитудный параметр q3 , который, в свою очередь, связан с истинным поперечным размером вихревых структур R соотношением q3 = (R/a)2 , где a — радиус цилиндрического канала. Если мы примем ω2 = 0, ω1 = ω и R/a ≪ 1, то из уравнения (42.3.6) в первом приближении по малому параметру найдем  2 4 R c=− . 3 a

Вспоминая, что масштабы длины L и времени T для осесимметричной модели определяются соотношениями

L = a,

T = −8(aν)−1,

ν = ω2 − ω1 = −ω,

легко найти скорость распространения в размерном виде

1 u = cLT −1 = − ωR2 . (42.3.7) 6 Здесь знак минус указывает на то, что положительно завихренные структуры, которые вращают жидкость по часовой стрелке вокруг вихревых линий, движутся в отрицательном направлении оси x. Интересно отметить, что (42.3.7) хорошо согласуется выражением для скорости распространения вихря Хилла [132]. Напомним, что последний, будучи точным решением уравнений гидродинамики, представляет собой равнозавихренный (ω = const) сферический вихрь радиуса R, движущийся с постоянной скоростью 2 ωR2 15 в безграничной неподвижной жидкости. u=

362

Глава 42. Вихревые структуры в «течении Пуазейля»

В число решений, которые включают нулевую точку в область изменения q , попадают также вихревые структуры, именуемые «пробками». Этот режим реализуется при слиянии корней в точках: q1 = q2 = 0, q3 = q4 = 1. В этом случае уравнение (42.3.2) записывается в виде   q 2 (q − 1 − ln q) qς2 − (1 − q)2 = 0, (42.3.8) Вихревые пробки

причем из условий (42.3.3) следует тот же вывод, что и для плоской модели:

ω1 = −ω2 ,

c = 0.

Из анализа (42.3.8) следует, что общее решение представляет собой комбинацию решений трех уравнений

q = 0,

q = 1,

qς2 = (1 − q)2 (q − 1 − ln q)−1 .

Построенная из такого набора частных решений уединенная вихревая структура приведена на рис. 42.13.

1 −ω

ω

q 1/2

ς

0 −2

−1

0

1

2

1 Рис. 42.13. Вихревая «пробка» для модели «течения Пуазейля» в круглом канале

Для решений подобного типа полностью сохраняет силу аргументация, приведенная на с. 357. Действительно, хотя вихревые пробки не укладываются в рамки ограничения 0 ≤ ω1 /ω2 ≤ 1, они, как и аналогичные решения для модели плоского «течения Пуазейля», имеют полное право на существование. Основанием является то, что по аналогии с плоской моделью всегда можно предложить такой сценарий развития течения, который приводит к выпуклому профилю для средней скорости. В заключение раздела отметим, что осесимметричная модель может обслуживать и другие физические ситуации. При этом в общем случае получаемые уравнения контурной динамики могут быть нелокальными. Например, такая ситуация реализуется при рассмотрении равнозавихренного цилиндрического слоя, моделирующего затопленную струю или спутное течение (след). Соответствующий гамильтониан модели может быть получен из (41.5.5) при a → ∞ с последующим приближением крупномасштабности.

Глава 43 ВИХРЕВЫЕ СТРУКТУРЫ В «ТЕЧЕНИИ КУЭТТА» В настоящем разделе мы рассмотрим крупномасштабные вихревые структуры в сдвиговом потоке с профилем средней скорости типичным для турбулентного течения Куэтта. Здесь будет показана возможность образования пространственно изолированных стационарных вихревых структур различного типа. Также будет проанализировано их влияние на средний профиль течения.

§ 43.1. Плоская модель «течения Куэтта» Хорошо известно [122], что плоское течение Куэтта реализуется в вязкой жидкости между двумя параллельными стенками, движущимися в противоположные стороны с одинаковой скоростью, и в турбулентном режиме характеризуется профилем скорости, который в середине канала имеет пологий вид, а возле стенок круто загибается. Эквивалентная трехслойная равнозавихренная модель, обладающая нужными качественными свойствами (рис. 43.1, а), описывается невозмущенным профилем скорости  если l ≤ z ≤ h;  Ωl + ω (z − l) , Ωz, если −l ≤ z ≤ l; v = ∂z ψ =  −Ωl + ω (z + l) , если −h ≤ z ≤ −l.

Этот профиль показан на рис. 43.1, б, и, как частный случай более общей N слойной плоскопараллельной модели (см. § 41.3), характеризуется следующими параметрами: ω1 = ω3 = ω, ω2 = Ω, L3 = −L0 = h.

1

z/h

ω Рис. 43.1. Трехслойная модель (а) и кусочно-линейная аппроксимация скорости (б) для турбулентного течения Куэтта в плоском канале. Величины ω, Ω характеризуют распределение завихренности

Ω

x v

−1 363

ω а

б

364

Глава 43. Вихревые структуры в «течении Куэтта»

Выполнив вычисления по формуле (41.3.6), приведем точное выражение для гамильтониана H : Z  
 1 1 ω+Ω 3 2 H = − (ω − Ω) η1 − η23 + ch (hΓ ) − ch (h + η1 ) Γ × 2 3! ω − Ω     −3 Γ × ch Γ (h − η1 ) − ch Γ (h − η2 ) + ch (hΓ ) − ch (h − η2 ) Γ × sh (2hΓ )  Γ −3  × ch Γ (h + η1 ) − ch Γ (h + η2 ) dx. (43.1.1) sh (2hΓ ) Соответствующие уравнения движения формулируются как

∂t η1 = (ω − Ω)−1 ∂x

δH , δη1

∂t η2 = − (ω − Ω)−1 ∂x

δH . δη2

(43.1.2)

Для изучения контурной динамики в такой модели удобно ввести новые зависимые и независимые безразмерные переменные и безразмерный гамильтониан:

η2 − η1 η2 + η1 x , s= , ξ= , 2h 2h h t 3 H τ = (ω − Ω) , H = . 3 2 (ω − Ω)2 h4 q=

В терминах новых переменных уравнения (43.1.2) запишутся в виде:

∂τ q = ∂ξ

δH , δs

∂τ s = ∂ξ

δH . δq

(43.1.3)

Используя в (43.1.1) степенные разложения для гиперболических функций и ограничиваясь учетом в разложении только членов второго порядка по производной ∂ξ , получим необходимое приближение1 для безразмерного гамильтониана

Z 

 
ω − 2Ω 2 3ω 2 2 2 2 2 2 2 q − 3q 1 − s − s q + sξ q (1 − q) + 3s + ω−Ω ω−Ω  

2 2 2 2 2 2 4 + 4qξ sξ qs 1 − q − s + qξ (1 − q) (1 + 2q) + s 3q − 2 + s dξ.

1 H =− 2

Рассмотрим вихревые структуры, симметричные относительно оси канала и удовлетворяющие условию s = 0. Так как разложение гамильтониана H не содержит линейных по s членов, уравнения (43.1.3) эквивалентны уравнениям:

∂τ q = 0,

δH = const . δq

1 Отметим, что описанная процедура соответствует так называемому приближению нелинейной дисперсии, которое уже обсуждалось на с. 330.

365

43.2. Периодические решения

Таким образом, симметричные вихревые структуры являются стационарными образованиями, удовлетворяющими нелинейному дифференциальному уравнению

qξ2 (1 − q)2 (1 + 2q) = βq 3 − 3q 2 + β1 q + β0 =

= β (q − q0 ) (q − q1 ) (q − q2 ) . (43.1.4)

Здесь β1 , β0 — константы интегрирования; β = (ω − 2Ω) (ω − Ω)−1 , а q0 , q1 , q2 — корни полинома, стоящего в правой части уравнения (43.1.4), которые удовлетворяют соотношению β (q0 + q1 + q2 ) = 3. (43.1.5) Отметим, что так как турбулентное течение Куэтта моделируется при ω > > Ω ≥ 0, физический интерес представляет область параметра β ≤ 1. Можно получить и более точные уравнения для описания стационарных вихревых структур, если учесть в разложении точного выражения для гамильтониана члены более высокого порядка по оператору Γ . Такой гамильтониан может быть получен непосредственно из (43.1.1) при η1 = −η2 = qh и имеет вид  Z  1ω+Ω 3 Γ −3 1 q − 3 (ch Γ − ch (1 − q) Γ ) sh Γ q dξ. H = 2 2ω−Ω ch Γ

Хотя формально этот гамильтониан является нелокальным, в любом конечном порядке теории возмущений он приводит к локальным уравнениям движения, описывающим эволюцию вихревых структур.

§ 43.2. Периодические решения Рассмотрим периодические решения уравнения (43.1.4). Будем предполагать, что все корни q0 , q1 , q2 действительны и различны, причем без ограничения общности справедливо неравенство

0 ≤ q0 ≤ q ≤ q1 ≤ 1.

(43.2.1)

В этом случае q0 и q1 играют роль свободных амплитудных параметров, которые определяют соответственно нижнюю и верхнюю границы изменения контура q и фиксируют глубину модуляции слоев. Так как третий корень q3 связан с q0 и q1 соотношением (43.1.5), вихревые структуры, удовлетворяющие условию (43.2.1), описываются уравнением

qξ2 = (1 − q)−2 (1 + 2q)−1 (q1 − q) (q − q0 ) (3 − β (q0 + q1 + q))

и представляют собой периодические возмущения, осциллирующие между q0 и q1 с периодом Z q1  −1/2 λ=2 (1 + 2q)1/2 (1 − q) (q1 − q) (q − q0 ) (3 − β (q0 + q1 + q)) dq. q0

Примеры периодических вихревых структур, возникающих в плоском течении Куэтта, приведены на рис. 43.2, а,б.

366

Глава 43. Вихревые структуры в «течении Куэтта»

1 0

−2

Ω 0

Ω 0 −1

−2

а

ξ

−1 в

ω ξ 0 ω

1 0

2 ω

−1 1

ω

2

ω −2 ω

б

Ω 0

ξ 2

Рис. 43.2. Периодические (а, б) и уединенные (в) вихревые структуры в плоском течении Куэтта: а — Ω/ω = 0,23, q0 = 0,4, q1 = 0,9; б —- Ω = 0, q0 = 0, q1 = 0,75; в —- Ω = 0, q0 = 0,1

Если q1 = 1, эта модель допускает существование решений с компактным носителем, которые удовлетворяют уравнению

  2 (1 − q) (1 − q) (1 + 2q) qξ − (q − q0 ) (3 − β (q0 + q1 + q)) = 0. Легко показать, что общее решение этого уравнения представляет собой кусочно-непрерывную функцию, склеенную из решений q = 1 и вихревых компактонов, удовлетворяющих уравнению

qς2 =

(q − q0 ) (3 − β (1 + q0 + q)) , (1 − q) (1 + 2q)

которые можно чередовать между собой. Пример решения, построенного по этому рецепту в виде уединенной пары пристеночных вихрей, приведен на рис. 43.2, в.

§ 43.3. Влияние вихревых структур на средний профиль течения При изучении большинства реальных течений типична ситуация, когда известны лишь осредненные характеристики течения, но основное состояние, на фоне которого происходит эволюция жидкости, не известно. Незнание фонового (свободного от возмущений) состояния может стать причиной неправильной оценки роли тех или иных механизмов в эволюции жидкости и интерпретации наблюдательных данных. Поэтому при теоретическом анализе важно иметь в виду по возможности все модели и сценарии, которые воспроизводят осредненные характеристики наблюдаемого течения [147]. С этой точки зрения изучение влияния существенно нелинейных динамических режимов на средний профиль скорости в послойных моделях представляет особый интерес. Выясним влияние найденных выше периодических вихревых структур на средний профиль «течения Куэтта». Учитывая характер симметрии модели, при

367

43.3. Влияние вихревых структур на профиль течения

вычислении средних характеристик течения достаточно рассмотреть только верхнюю половину канала. Придерживаясь этого правила, вначале найдем распределение завихренности в возмущенном течении (43.3.1)

ω (ζ, ξ) = Ωθ (q − ζ) + ωθ (ζ − q) ,

где ζ = z/h — безразмерная вертикальная координата, а θ (z) — тета-функция. Среднюю завихренность ω ¯ (ζ) легко найти, полагая контур q периодической функцией ξ с периодом λ и усредняя выражение: (43.3.1) Z Z 1 λ ω−Ω λ ω ¯ (ζ) = ω (ζ, ξ) dξ = Ω + θ (ζ − q (ξ)) dξ. λ 0 λ 0

Поскольку средняя скорость и средняя завихренность связаны соотношением d¯ u/dz = −¯ ω ,профиль средней скорости восстанавливается по формуле Z ζ Z h (Ω − ω) λ ′ ′ u ¯ (ζ) = −h ω ¯ (ζ ) dζ = −hΩζ + (ζ − q (ξ)) θ (ζ − q (ξ)) dξ. λ 0 0

где

Для численного счета этот интеграл более удобно переписать как  q0 ≤ ζ ≤ 1;  −hΩζ + f (q0 ) + ωh (q0 − ζ) , −hΩζ + f (ζ) , q1 ≤ ζ ≤ q0 ; u ¯ (ζ) =  −hΩζ, 0 ≤ ζ ≤ q1 ,

f (ζ) =

2h (Ω − ω) λ

Z

ζ

q1

(ζ − q) (1 − q) (1 + 2q)1/2 p dq. (q0 − q) (q − q1 ) (3 − β (q0 + q1 + q))

(43.3.2)

Результаты, полученные с помощью численного интегрирования выражения (43.3.2), приведены на рис. 43.3. На этом рисунке показаны нормированные на максимум профили средней скорости течения, возмущенного периодическими вихревыми структурами, которые изображены на рис. 43.2. Для сравнения на этом же рисунке приведены профили средней скорости турбулентного течения Куэтта [186] с числом Рейнольдса Re = 2900 и ламинарного течения Куэтта.

u ¯/¯ umax Рис. 43.3. Нормированные профили средней скорости течения, возмущенного одноименными вихревыми структурами а и б, приведенными на рис. 43.2. Пунктирные кривые в и г — профиль ламинарного течения Куэтта и экспериментальный профиль турбулентного течения Куэтта с числом Рейнольдса Re = 2900, соответственно

в

0,5 0 −0,5

z/h а б г

−0,5

0

0,5

Глава 44 ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СТРУКТУРЫ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ Рассмотрим осесимметричные движения несжимаемой жидкости без закрутки (т. е. вращение вокруг оси отсутствует). Естественной системой координат для изучения таких движений являются цилиндрические координаты: радиальная r и осевая x. Будем предполагать, что в каждой плоскости течения плотность жидкости и величина ω = Ω/r , где Ω — азимутальная компонента завихренности1 , являются постоянными характеристиками областей, которые отделены друг от друга границами раздела. Далее такие осесимметричные течения по аналогии с плоскими мы будем называть равнозавихренными. Простейшим примером осесимметричного равнозавихренного течения может служить круглая струя с параболическим профилем скорости. Другим, менее тривиальным примером является вихрь Хилла [132, 168].

§ 44.1. Гамильтонова формулировка модели Здесь мы ограничимся изучением осесимметричных равнозавихренных течений со свободной границей. Гамильтонову формулировку для этой модели можно получить как частный случай двухслойной осесимметричной модели, в которой плотность внутреннего слоя равна 1, а наружного — 0. Иными словами, предполагается (рис. 44.1), что жидкость единичной плотности сосредоточена только внутри области G и ограничена контуром C , на котором r = η(x, t) и имеет место единичный скачок плотности. Отметим, что аналогичные модели течений, но без скачка плотности, рассматривались в предыдущих разделах (см. главы 40–43). Полагая, что в задаче существует характерный пространственный масштаб L, введем соответствующий масштаб времени T = (ωL)−1 и осуществим переход к безразмерным зависимым и независимым переменным. Тогда для данной модели гамильтоновы уравнения движения формулируются в терминах двух переменных ξ(x, t) и µ(x, t) и, согласно § (41.1), выглядят следующим образом:

∂ δH ∂ δH , ∂t µ = {µ, H} = . ∂x δξ ∂x δµ Здесь гамильтониан H совпадает с кинетической энергией Z   1 2 2 −1 H= r θ (η − r) (∂r ψ) + (∂x ψ) dxdr, 2 ∂t ξ = {ξ, H} = −

(44.1.1)

1 Отметим, что величины ω и Ω связаны друг с другом как азимутальные компоненты контравариантной и ковариантной завихренности.

368

369

44.1. Гамильтонова формулировка модели

r Рис. 44.1. Схема равнозавихренного осесимметричного течения со свободной границей

C ω

G x

и выражается через функцию тока Стокса ψ(x, r), для которой имеет место краевая задача:
(44.1.2) ∂x r −1 ∂x + ∂r r −1 ∂r ψ = r, [ψ]r=0 = 0, [(∂r − ηx ∂x ) ψ]r=η = −ηµ. (44.1.3)

Уравнение (44.1.2) это обычное уравнение Пуассона, связывающее функцию тока Стокса и завихренность, но записанное в безразмерном виде. Первое краевое условие в (44.1.3) это «калибровка» функции тока Стокса на оси r = 0, а второе означает существование на границе r = η скачка импульса, или вихревой пелены, которая характеризуется интенсивностью µ. Отметим, что нестационарная вихревая пелена (∂t µ 6≡ 0) — обязательный атрибут динамики контактной границы, разделяющей жидкости разной плотности. Она генерируется, даже если в начальный момент отсутствовала µ ≡ 0. Гамильтоново описание модели замыкается соотношением

ξ − µ = η2 /2,

связывающим динамические переменные ξ , µ с формой струи η. Краевая задача позволяет переписать гамильтониан H как Z  1  θ (η − r) ψr + µψδ (η − r) dxdr. H =− 2

(44.1.4)

(44.1.5)

Так как невозмущенная функция тока известна: ψ0 = r 4 /8, опираясь на результаты главы 41, общее решение этой задачи следует искать в виде 1 ψ = r 4 + rI1 (rΓ ) A, (44.1.6) 8 где I1 — модифицированная функция Бесселя первого порядка, а Γ — псевдодифференциальный оператор: Z 1 +∞ f (x′ ) ′ ˆ ˆ Γ = −∂x H, Hf (x) = dx . π −∞ x′ − x Подстановка (44.1.6) в гамильтониан (44.1.5) приводит к выражению Z 
1
1 1 4 2 H=− η η − 3 + µη2 η2 − 2 + 2 2 · 4! 8  + η2 I2 (ηΓ ) Γ −1 A + µηI1 (ηΓ ) A dx. (44.1.7)

370

Глава 44. Осесимметричные вихревые структуры со свободной границей

В этом выражении опущены линейные по µ и квадратичные по η члены, которые не дают вклад в уравнения движения (44.1.1). Подстановка (44.1.6) в краевое условие (44.1.3) приводит к уравнению

ˆ = ξ, ∂x I0 (ηΓ ) HA решение которого будем искать методом последовательных приближений в виде асимптотического ряда A = A0 + A1 + · · · .

Разлагая функции от псевдодифференциальных операторов в степенные ряды и ограничиваясь вторым порядком теории возмущений, в приближении нелинейной дисперсии2 получим

1 Γ A1 = ∂x η2 ∂x Γ A0 . 4

Γ A0 = −ξ,

Откуда с соответствующей степенью точностью найдем   1 2 Γ A = − 1 + ∂x η ∂x ξ. 4

(44.1.8)

Подстановка (44.1.8) в (44.1.7) дает для гамильтониана (44.1.7) выражение  Z 
1 1 3 2 2 3 H= ξ − µ − (ξ − µ) ξx dx. 3! 4!

Соответствующие уравнения контурной динамики выписываются на основании (44.1.1) и в данном приближении имеют вид:   ∂ δH 1 1 1 2 2 2 ∂t ξ = − = − ∂x ξ − (ξ − µ) ξx + ∂x (z − µ) ξx , ∂s δξ 2 2 2 (44.1.9)   ∂ δH 1 1 2 2 ∂t µ = = − ∂x µ − (ξ − µ) ξx . ∂s δµ 2 2 Отметим, что эти уравнения, кроме двух очевидных интегралов движения Z Z T1 = ξ dx, T2 = µ dx,

сохраняют интеграл

P =

1 2

Z


ξ 2 − µ2 dx.

(44.1.10)

Сохранение интеграла (44.1.10), играющего в данной задаче роль вихревого импульса, как уже отмечалось на с. 324, связано с трансляционной инвариантностью гамильтониана H . 2 Напомним, что в этом приближении степенные разложения ведутся не по возмущениям, а по их производным, и в гамильтониане удерживают лишь члены второго порядка по ∂x .

371

44.2. Решения локализованного типа

§ 44.2. Решения локализованного типа Рассмотрим решения в виде так называемых стационарных возмущений:

ξ = ξ(s),

µ = µ(s),

s = x − ct,

распространяющихся с постоянной скоростью c без деформации профиля. После подстановки стационарных решений в уравнения (44.1.9) и интегрирования, эти уравнения принимают вид:


ξ 3 − µ3 1 + (ξ − µ)2 ξs2 − c ξ 2 − µ2 + c1 ξ − c2 µ − c3 = 0, 3 4 1 µ2 − (ξ − µ) ξs2 − 2cµ + c2 = 0, 2

(44.2.1) (44.2.2)

где c1 , c2 , c3 — константы интегрирования. Эти константы фиксируются, если известен тип решения, который определяется поведением ξ , µ при s → ±∞.

Прежде всего рассмотрим решения, соответствующие локализованным возмущениям с компактным носителем. В отличие от традиционных солитонных решений, такие возмущения, называемые компактонами [269], не обладают исчезающими на бесконечности хвостами и, следовательно, не хранят память о невозмущенном режиме. В рамках рассматриваемой модели существование компактонов можно интерпретировать как финальную стадию развития сильно нелинейного возмущения. На этой стадии струя разбивается на отдельные вихревые сгустки. Для уравнений (44.2.1), (44.2.2) соответствующий класс решений реализуется при выборе параметров c2 = c1 = c3 = 0. В этом случае для уравнения (44.2.1) следует возможность параметризации Компактоны

ξ = c (1 − cos ϕ + 2 sin ϕ) ,

µ = c (1 − cos ϕ − sin ϕ) ,

которая приводит уравнение (44.2.2) к виду

3c (sin ϕ + 2 cos ϕ)2 ϕ2s = 4 cos ϕ.

(44.2.3)

Так как в силу (44.1.4) справедливо соотношение η2 = 2 (ξ − µ), для определения формы компактона имеет место простая связь

η2 = 6c sin ϕ. На основании этой формулы, легко установить, что, если в качестве масштаба длины выбрать поперечный полуразмер компактона a, то в системе единиц L = a и T = (ωa)−1 безразмерная скорость компактона является постоянной величиной c = 1/6. Чтобы пересчитать скорость компактона v в размерных единицах, нужно воспользоваться формулой v = cL/T, которая приводит к соотношению

ω 2 a , 6 где полуразмер компактона a выполняет роль управляющего параметра. v=

372

Глава 44. Осесимметричные вихревые структуры со свободной границей

Полагая без ограничения общности, что максимальное значение η = 1 достигается в точке s = 0 при ϕ = π/2, из (44.2.3) получаем решение  π   ϕ  √ 1 1/2 s=± 2 cos ϕ + E ,2 − E ,2 , 2 4 2

где E (ϕ, k) — эллиптический интеграл второго рода. Таким образом, форма поверхности компактона описывается параметрически двумя уравнениями:  π   ϕ  √ 1 1/2 1/2 η = sin ϕ, s = ± 2 (44.2.4) cos ϕ + E ,2 − E ,2 . 2 4 2

Графики для решений ξ , µ и соответствующее изображение компактона приведены на рис. 44.2 и 44.3.

3 2

ξ/c

s −1

1 0

−1 µ/c

1 s

0

Рис. 44.2. Графики решений ξ/c и µ/c, определяющих форму компактона

0

1

Рис. 44.3. Компактон для модели равнозавихренной струи

Рассмотрим теперь решения классического солитонного типа, которые, экспоненциально убывая при s → ±∞, выходят на режим невозмущенной струи η|s=∞ = ε, µ|s=∞ = 0, Солитоны

где положительная величина ε — безразмерный радиус струи. Чтобы отфильтровать решения этого типа, во-первых, положим, что при s → → ±∞ справедливы соотношения: ξs ∼ (ξ − ε2 /2), µ ∼ (ξ − ε2 /2)2 , а во-вторых, что в точке s = 0 решение характеризуются предельными значениям µ(0) = 0 и η(0) = 1. Последнее означает, что в качестве пространственного масштаба L выбрана амплитуда решения. В этом случае из (44.2.1), (44.2.2) следуют необходимые для реализации этого режима константы интегрирования:

c2 = 0,

c1 =


ε2 2 + ε2 , 12

c3 =

ε4 , 24

условие существования солитонных решений ε ≤ 1 и соотношение


1 1 + 2ε2 , 6 которое связывает скорость распространения и параметр ε. c=

373

44.2. Решения локализованного типа

Используя полученные результаты, из (44.2.1), (44.2.2) получим однопараметрическую систему уравнений:



2 1 2 ε − 3c + ξ ε2 − 2ξ + 6cξµ − 3(4c + ξ)µ2 + 5µ3 = 0, 2 (44.2.5) 1 µ2 − (ξ − µ) ξs2 − 4cµ = 0, 2 описывающую солитон. Интегральная кривая для уравнений (44.2.5) изображена на рис. 44.4 и в плоскости (ξ, ξs ) описывается петлей сепаратрисы. Внутри петли сепаратрисы лежат траектории, соответствующие периодическим решениям уравнений (44.2.1), (44.2.2). Отвечающая солитону сепаратриса проходит через точки A = (ε2 /2, 0) и B = (1/2, 0), при этом седловая точка A достигается при s → ±∞, а точка B — при s = 0 и характеризует амплитуду солитона. Вторая кривая (рис. 44.5) — зависимость амплитудных значений переменной µ от параметра ε приводится для обоснования √ неравенства |µ| ≪ 1/2. Как видно из этого рисунка, наибольшего значения ( 2 − 1)/6 ≈ 0,07 величина |µmax | достигает при ε = 0 и заведомо обеспечивает неравенство при других значениях параметра ε. −

0,4

0,5

0 µmax −0,02

B

−0,04

ξs

0,2 0

0,1 A

0,3 ξ

−0,2 −0,4 Рис. 44.4. Интегральная кривая, отвечающая солитонному решению

−0,06 0

0,5

ε

1

Рис. 44.5. Амплитудные значения µmax как функция параметра ε

Этим обстоятельством можно воспользоваться, если нас интересуют качественные характеристики решений. Полагая в этом случае ξ ≫ µ, из (44.2.5) получим приближенные уравнения:
2
2ξ − ε2 (1 − 2ξ) 1 −2 2 2 2 ξs = ξ 2ξ − ε (1 − 2ξ) , µ = − , (44.2.6) 6 4ξ (1 + 2ε2 ) Уравнения (44.2.6) без труда интегрируются, и решение может быть представлено в параметрическом виде как
3
2
ε2 − 1 th2 σ 1 2
, ξ= 1 − 1 − ε th σ , µ = 2 2 (1 + 2ε2 ) ch2 σ 1 + ε2 sh2 σ (44.2.7) r  

3 −1/2 s= 1 − ε2 ε2 σ + 1 − ε2 th σ , 2 где σ — параметр (−∞ ≤ σ ≤ ∞).

374

Глава 44. Осесимметричные вихревые структуры со свободной границей

В частном случае ε = 0, который соответствует компактону, из (44.2.7) мы получаем приближенные решения:   1 1 2 1 2 2 2 ξ = − s , µ=− s 1− s , 2 3 3 3  1/2 √ 4 η = 2 (ξ − µ)1/2 = 1 − s4 . (44.2.8) 9 На примере компактона сравнение точного решения (44.2.4) и приближенного (44.2.8) показывает (рис. 44.6)), что погрешность, связанная с менее точным учетом влияния переменной µ, заметно сказывается лишь на солитонах, поперечный размер которых значительно превосходит радиус R невозмущенной струи. Изображение равнозавихренной струи, возмущенной солитонным решением, показано на рис. 44.7. Эти решения имеют характер вздутий струи, и с ростом их амплитуды происходит уплощение и удлинение.

1 η 0,5 0 −0,5

а б

−1

0

s

1 s

−10

−5

0

5

10

−1 Рис. 44.6. Точная (а) и приближенная (б) формы компактона

Рис. 44.7. Внешний вид солитонного возмущения

Скорость распространения таких локализованных возмущений квадратично зависит от их амплитуды a:   a2 2 c = v0 2 + 2 3 R и превышает скорость жидкости v0 = ωR2 /4 — на оси невозмущенной струи.

§ 44.3. Неустойчивость компактонов Изучим теперь устойчивость полученных решений. Особое значение вопрос об устойчивости локализованных решений приобретает в связи с явлением коллапса — образованием особенности за конечное время [86, 114]. В частности, это явление может проявляться как перманентное самосжатие локализованного возмущения, которое при фиксированных интегралах движения должно сопровождаться бесконечным ростом его амплитуды. Для исследования неустойчивости введем новые динамические переменные:

q = ξ − µ,

κ=

1 (ξ + µ) . 2

375

44.3. Неустойчивость компактонов

Так как на фазовом пространстве этих переменных отлична от нуля только их взаимная скобка Пуассона {q, κ′ } = −∂x δ(x − x′ ), уравнения контурной динамики (44.1.9), гамильтониан H и, что особенно следует подчеркнуть, интеграл движения P принимают более удобный для последующего анализа вид:

1 I1 = 4!

Z

∂ δH , ∂x δκ

∂ δH ∂t κ = , ∂x δq Z H = I1 − I2 , P = qκ dx,  2 Z
3 1 3 2 2 q + 12qκ dx, I2 = q qx + κx dx. 4! 2 ∂t q = −

(44.3.1) (44.3.2) (44.3.3)

Солитонные и компактонные решения можно рассматривать как точку равновесия в бесконечномерном фазовом пространстве полей q , κ. Действительно, на стационарных решениях уравнения движения (44.1.9) принимают вид:

δH − cq + c′1 = 0, δκ

δH − cκ − c′2 = 0, δq

(44.3.4)

где константы c′1 , c′2 — константы интегрирования:

c′1 = (c1 + c2 )/2,

c′2 = (c1 − c2 )/4.

Таким образом, уравнения (44.3.4) могут быть истолкованы как следствия вариационной задачи

δ (H − cP + c′1 J1 + c′2 J2 ) = 0, в которой c, c′1 , c′2 — играют роль множителей Лагранжа, а интегралы J1 , J2 так же, как и P , — инварианты движения: Z Z J1 = κ dx, J2 = q dx. В частности, компактонные решения реализуются тогда, когда для множителей Лагранжа выполнено условие

c′1 = 0,

c′2 = 0,

c = 1/6.

В этом случае вариационная задача (44.3) переформулируется к виду

δ (H − cP ) .

(44.3.5)

В свете формулировки (44.3.5) компактонные решения уравнений (44.2.1), (44.2.2) можно рассматривать как точку равновесия в бесконечномерном фазовом пространстве. Действительно, вариационное равенство (44.3.5) указывает, что в этой точке реализуется экстремум функционала H при фиксированном P . В соответствии с теоремой Ляпунова [5, 28], данная стационарная точка гамильтоновой системы устойчива, если она реализует экстремум (минимум или

376

Глава 44. Осесимметричные вихревые структуры со свободной границей

максимум), поскольку только в этом случае все фазовые траектории, по которым эволюционирует система в окрестности точки равновесия, замкнуты. Если же стационарная точка представляет собой седловую точку, то данное решение является неустойчивым. Для изучения типа стационарной точки можно применить специальный прием [204]. Этот прием основан на рассмотрении преобразований, которые содержат непрерывную зависимость от параметров и оставляют инвариантным интеграл движения P . После применения таких преобразований гамильтониан H становится обычной функцией параметров, что позволяет легко выяснить тип стационарной точки. В качестве одного из таких преобразований возьмем двухмасштабное преобразование, которое изменяет решения по правилу: x x q → βα−1/2 q , κ → β −1 α−1/2 κ , α α где α и β — параметр этого преобразования. Рассмотрим вначале случай β ≡ 1. Применяя соответствующее преобразование к гамильтониану H , получим

H (α) = α−1/2 I1 − α−3 I2 , Так как на компактонных решениях интегралы I1 , I2 связаны соотношениями:

I1 + I2 = cP,

1 I1 − 3I2 = 0, 2

первое из которых следует из равенства (44.2.1), а второе — из условия равновесия ∂H/∂α|α=1 = 0, для гамильтониана H(α) найдем  cP  −1/2 H H(α) = 6α − α−3 , 7 cP б где величина cP — положительна. Положи1 тельность следует из соотношения а cP = 7I2 . График этой функции (кривая а) приведен на рис. 44.8. При α → 0 функция H(α) не ограничена снизу, при α → ∞ стремится 0 к нулю, а в точке равновесия α = 1 реализу2 ется максимум. β α 0 1 Случай α ≡ 1 рассматривается аналоРис. 44.8. Гамильтониан компактона гично. В частности, из графика для функции как функция параметров масштабного H(β) , который приведен на том же рис. 44.8 преобразования: а — зависимость от α, б — зависимость от β (кривая б), видно, что теперь, наоборот, при β → 0 и β → ∞ функция H(β) не ограничена сверху, а в точке равновесия β = 1 реализуется минимум. Таким образом, компактонным решениям соответствует седловая точка функционала H , что указывает на неустойчивость этих решений.

377

44.4. Коллапс

§ 44.4. Коллапс Для того чтобы на качественном уровне изучить развитие неустойчивости во времени, сконструируем точно решаемую дискретную модель процесса, который можно интерпретировать как коллапс, обусловленный генерацией асимметричной моды в распределении вихревой пелены на контуре. Вывод подобных моделей концептуально сформулирован Э. Ферми в работах [177–179], посвященных тейлоровской неустойчивости несжимаемой жидкости. Предложенный им подход исходит из вариационного принципа и основан на введении коллективных координат, которые надлежащим образом учитывают симметрии, ответственные за динамические инварианты системы. Наиболее простой путь формулировки вариационного принципа для уравнений (44.3.1) — назначить переменную q «обобщенной координатой» и ввести так называемый «обобщенный импульс» p с помощью соотношения px = κ. В терминах переменных q и p уравнения движения становятся каноническими, поэтому вариационный принцип формулируется стандартным образом. В качестве действия рассматривается величина Z S = L dt, Дискретная модель коллапса

где лагранжиан L определяется как Z L = qpt dx − H.

(44.4.1)

Следующий шаг — это параметризация динамических переменных — обобщенной координаты q и импульса p — так называемыми пробными функциями. С этой целью рассмотрим преобразование, представляющее собой комбинацию масштабного и градиентного преобразований3 : x x x q → α−1 q (44.4.2) , κ→κ + κα∂x q . α α α

Здесь α и κ — параметры преобразований. Выбор преобразования (44.4.2) в качестве параметризации мотивирован следующими соображениями: во-первых, преобразование (44.4.2) оставляет инвариантным интеграл движения P , во-вторых, не изменяет интеграл4 Z Z 1 I = q dx = η2 dx, 2 3

Отметим, что градиентное преобразование в (44.4.2) — лишь частный случай более общего ˆ (q), где L ˆ — любой оператор, который обладает свойством преобразования κ → κ + L Z ˆ ds = 0. f Lf 4 Этот интеграл обязан сохраняться в силу условия несжимаемости, поскольку он имеет смысл объема захваченной компактоном жидкости.

378

Глава 44. Осесимметричные вихревые структуры со свободной границей

и, наконец, содержит градиентную поправку, которую можно интерпретировать как возбуждение асимметричной моды в распределении вихревой плены на свободной границе. По существу, введением этой поправки предполагается, что основной физический механизм неустойчивости компактона обусловлен наличием вихревой плены, которая, как известно [168], отличается крайней неустойчивостью и в ходе эволюции имеет тенденцию к потере гладкости и к свертыванию. Пусть теперь параметры преобразования α, κ зависят от времени, а в качестве функций q , κ, фигурирующих в правых частях соотношений (44.4.2), возьмем компактонные решения:   1 q = 3c cos ϕ, κ = c 1 − cos ϕ + sin ϕ . 2 Возникающие в результате такой параметризации функции в левых частях (44.4.2) будем называть пробными. Подстановка пробных функций в (44.4.1) и интегрирование приводят к дискретной модели с обобщенными координатами α, κ и лагранжианом5

L = ακ ˙ −H , в котором величина H , играющая далее роль гамильтониана для дискретной модели, определяется выражением

H = H(α, κ)/J. R Здесь J = 21 q 2 ds — численный коэффициент, а H(α, κ) — гамильтониан исходной модели, вычисленный на пробных функциях. Как показывают численные вычисления, гамильтониан дискретной модели H определяется выражением H = 0,213 κ 2 − 0,053 α−3 κ 2 + 0,221 α−2 −

− 0,040 α−3 − 0,052 α−4 − 0,023 α−5 .

Причем главными членами, определяющими поведение динамической системы вблизи точки коллапса t = t0 , являются первые два члена. Поэтому для качественного исследования ограничимся «укороченным» гамильтонианом   C 2 H˜ = κ B − 3 , B = 0,213, C = 0,053, α для которого уравнения движения имеют вид:

  ∂ H˜ C α˙ = = 2κ B − 3 , ∂κ α 5

При выводе этого выражения было учтено, что лагранжиан определяется с точностью до полной производной по времени от любой функции обобщенных координат и времени и что умножение лагранжиана на произвольную постоянную не отражается на уравнениях движения.

379

44.4. Коллапс

κ˙ = −

∂ H˜ κ2 = −3C 4 . ∂α α

Поскольку в точке коллапса t = t0 имеет место баланс главных членов, справедливо равенство B = C/α3 , откуда легко найти предельное значение α0 = = (C/B)1/3 = 0,63, которое достигает в этой точке ответственный за масштабное преобразование параметр α. Следовательно, в окрестности коллапса, где α = α0 + α′ (α′ — слабое возмущение), можно записать приближенные уравнения:

α˙ ′ = 6

B κα′ , α0

κ˙ = −3

B 2 κ , α0

имеющие степенные решения:

κ ∼ (t0 − t)−1 ,

α′ ∼ (t0 − t)2 .

Эти решения описывают коллапс, обусловленный генерацией асимметричной моды в распределении вихревой пелены на свободной границе. Для того чтобы окончательно составить картину развития неустойчивости, обратимся к непрерывной модели. Во-первых, убедимся в том, что установленный на основе дискретной модели автомодельный сценарий коллапса: Автомодельный сценарий коллапса

q = qˆ(x − ct),

κ = (t0 − t)−1 κ ˆ (x − ct),

(44.4.3)

где c — скорость распространения возмущения, не является артефактом. Во-вторых, выясним пространственный характер этого процесса, определяемый структурными функциями qˆ, κ ˆ. Перейдем в сопровождающую систему координат s = x − ct. Учитывая, что этот переход влечет за собой преобразование H → H + cP , для гамильтониана (44.3.2) получим  2  Z  1 1 3 1 2 1 2 H = I1 − I2 + cP = 2cqκ + qκ + q − q qs + κ s ds. (44.4.4) 2 12 4 2 Предполагая, в соответствии со сценарием (44.4.3), что в окрестности коллапса главную роль играют самые старшие по κ члены, из выражения (44.4.4) получим «укороченный» гамильтониан  Z  1 1 2 2 2 Hcol = qκ − q κs ds, 2 4

отличающийся от (44.4.4) тем, что в нем отброшены все менее значимые члены. Соответствующие гамильтониану Hcol уравнения движения имеют вид:  
δHcol 1 2 ∂t q = −∂s = −∂s qκ + ∂s q κs , δκ 4 (44.4.5)   1 2 1 2 δHcol ∂t κ = −∂s = −∂s κ − qκs . δq 2 4

380

Глава 44. Осесимметричные вихревые структуры со свободной границей

После подстановки автомодельных решений (44.4.3) в (44.4.5) для структурных функций qˆ, κ ˆ получим уравнения:


1 ˆs , qˆκ ˆ = − ∂s qˆ2 κ 4


1 κ ˆ (1 + κ ˆ s ) = ∂s qˆκ ˆ 2s . 4

У этих уравнений есть интеграл qˆ2 κ ˆ s (3ˆ κs + 2) = const, и, как следствие, они имеют единственное регулярное решение:

qˆ = b2 − s2 ,

2 κ ˆ = − s, 3

(44.4.6)

которое соответствует выбору const = 0 и локализовано на отрезке −b ≤ s ≤ b. Отметим, что на автомодельных подстановках (44.4.3) автоматически обеспечиваются условия Hcol = 0, P = 0, T1 = −T2 = const. Таким образом, автомодельные решения не нарушают законы сохранения и соответствуют сценарию слабого коллапса. ˆ харакЕсли структурная функция qˆ характеризует форму возмущения, то κ теризует распределение автомодельной компоненты вихревой пелены. На основании (44.4.6) легко установить, что на автомодельной стадии возмущение представляет собой сплющенный эллипсоид вращения с отношением полуосей a/b = √ = 2. Полуоси эллипсоида (продольную b и поперечную a) можно вычислить на основании закона, предписывающего сохранение интеграла Z 4 I = q dx = b3 . 3 В частности, если в качестве начального состояния выбирается компактон, то I = = 1,09 и, следовательно, b = 0,93, a = 1,32. На поверхности этого эллипсоида со временем по закону (t0 −t)−1 и с распределением κ ˆ = − 23 s происходит интенсификация асимметричной моды вихревой пелены. Более того, в рамках автомодельного подхода не только находит полное подтверждение использованный нами в (44.4.2) закон пропорциональности κ ˆ ∼ ∼ ∂s qˆ, но и удается получить более точный результат κ ˆ = 13 ∂s qˆ. Полученные результаты позволяют сделать вывод, что для равнозавихренных струйных течений с числом Атвуда6 , близким к 1 (большой контраст плотности на контактной границе), существует механизм, который приводит к дроблению струи на отдельные вихревые сгустки — компактоны. Представленный здесь модельный подход позволил выяснить форму этих структур и исследовать их неустойчивость. Кроме того, установлено, что неустойчивость компактонов имеет характер коллапса, который происходит почти без деформации их формы, но приводит к интенсификации вихревой пелены.

6 Числом Атвуда называется отношение абсолютной величины разности плотностей на контактной границе к их сумме.

Глава 45 ДИНАМИКА ВИХРЕВОГО ПОГРАНСЛОЯ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ

В главе 40 динамика плоского погранслоя рассматривалась нами в рамках простейшей модели, в которой на границе раздела учитывался лишь скачок завихренности. В физике высоких плотностей энергий, в физике реагирующих систем, а также в астро- и геофизике, актуальны и другие более сложные модели, связанные с изучением динамики контактных границ, на которых могут испытывать скачок не только завихренность, но и плотность. Хорошо известно (см., например, [98]), что наличие таких границ раздела является причиной различного рода гидродинамических неустойчивостей, которые на нелинейной стадии своего развития могут приводить к дезинтеграции слоев и появлению доминирующих структур — локализованных пространственных образований, структурно устойчивых в широком диапазоне граничных и начальных условий. Как уже подчеркивалось, гамильтонов подход обеспечивает возможности для адекватного выбора не только динамических переменных, но и оптимальной аппроксимационной стратегии. Применительно к контурной динамике, цель такой стратегии — вывод нелинейных уравнений, которые в числе своих решений содержат решения с компактным носителем, описывающие доминирующие структуры как пространственно замкнутые области когерентных движений захваченной жидкости. Требуемого вида решения известны как компактоны [237, 269] и являются следствиями уравнений, полученных в приближении нелинейной дисперсией. С аппроксимационной стратегией и решениями подобного типа мы уже сталкивались в предыдущих разделах. В частности, в предыдущей главе скачок плотности и завихренности на контуре рассматривался в рамках модели осесимметричного струйного течения, но в отсутствие силы тяжести. Учет или не учет силы тяжести несомненно играют определенную роль. На это указывают качественные соображения, которые можно сделать, рассматривая плоское течение завихренной жидкости со свободной границей [42]. Действительно, в отсутствие силы тяжести в такой системе существует только один характерный масштаб движения — временной T = ω −1 , где ω — завихренность. Присутствие силы тяжести меняет ситуацию, и в задаче возникает масштаб длины L = |g|ω −2 (g — ускорение силы тяжести), который делит движения на мелкомасштабные и крупномасштабные. Цель данной главы — построение модели для изучения нелинейного сценария развития неустойчивости в вихревом слое со свободной границей и с учетом влияния силы тяжести. В § 45.1 сформулирована гамильтоновская версия контурной динамики для равнозавихренных плоских течений с разрывом плотности и завихренности на 381

382

Глава 45. Динамика вихревого погранслоя в поле тяжести

контактной границе. Модель вихревого погранслоя со свободной границей в поле сил тяжести рассматривается в конце § 45.1. Здесь же выведены уравнения динамики контура в приближении нелинейной дисперсии. Следующий § 45.2 посвящен анализу решений, которые описывают достаточно сильные деформации контура и которые можно интерпретировать как вихревые структуры, возникающие на предтурбулентной стадии развития сильно возмущенного течения. В § 45.3 обсуждается неустойчивость компактонных решений, а в § 45.4 рассматривается автомодельный сценарий их коллапса.

§ 45.1. Вихревой слой со скачком плотности Обобщим модель вихревого пограничного слоя, рассмотренную нами в § 40.4. Напомним, что в этом разделе рассматривалось плоское течение однородной по плотности жидкости, в которой на границе раздела z = η(x, t) завихренность претерпевала скачок. Причем, верхний слой имел нулевую завихренность ω + = = 0 и простирался до бесконечности, а нижний имел постоянную завихренность ω − = ω и опирался на жесткую границу z = 0. Будем полагать теперь, что эти контактирующие слои имеют различную, но постоянную плотность ̺+ и ̺− и находятся в поле сил тяжести с ускорением g. Очевидно, что сделанное обобщение не влияет на гамильтонову структуру уравнений движений, описывающих динамику контура:

∂ δH , ∂x δµ ∂ δH , ∂t ξ = {ξ, H} = ν ∂x δξ

∂t µ = {µ, H} = −ν

(45.1.1)

Здесь ν = ̺+ ω + − ̺− ω − — скачок завихренности плотности гидродинамического импульса на контактной границе, а H — гамильтониан. Для данной модели гамильтониан H определяется суммой потенциальной и кинетической энергии, и в терминах послойных функций тока ψ± имеет вид Z   
2
2 1 H= θ + ̺+ ∂z ψ+ + ∂x ψ+ + 2gz + 2  

− − − 2 − 2 +θ ̺ ∂z ψ + ∂x ψ + 2gz dxdz. (45.1.2)

Гамильтониан модели

Субстанциональные характеристические функции θ + и θ − , идентифицирующие жидкие слои различной плотности и завихренности, определены здесь как

θ + = θ(z)θ(η − z),

θ − = θ(z) − θ + ,

где θ(z) — обычная функция Хевисайда, обладающая свойством:  1, z ≥ 0; θ = θ(z) = 0, z < 0.

383

45.1. Вихревой слой со скачком плотности

Определение гамильтониана H в терминах динамических переменных µ и ξ = µ − νη связано с решением краевой задачи:

(∂x2 + ∂z2 )ψ± = ω ± ,

h i (ηx ∂x − ∂z )(̺− ψ− − ̺+ ψ+ )

h i ψ− − ψ+

z=η

z=η

= 0,

ψ− z=0 = 0,

= µ,

ψ+ z=∞ = 0.

Первое краевое условие определяет µ — скачок тангенциальной компоненты скорости импульса на границе раздела, второе представляет собой условие непрерывности для функции тока, третье — означает отсутствие нормальной компоненты скорости на границе z = 0, а четвертое — отсутствие возмущений при z → ∞. Учитывая, что плотность и завихренность — послойно постоянные параметры модели, выберем в качестве единицы времени величину T = ω −1 , единицы длины — L = |g|ω −2 и единицы плотности — ̺− . В такой системе единиц краевая задача переписывается в безразмерном виде:

(∂x2 + ∂z2 )ψ+ = 0, (∂x2 + ∂z2 )ψ− = 1, h i h i (ηx ∂x − ∂z )(ψ− − ǫψ+ ) = µ, ψ− − ψ+ = 0, z=η z=η ψ− z=0 = 0, ψ+ z=∞ = 0

(45.1.3) (45.1.4) (45.1.5)

где безразмерный параметр ǫ = ̺+ /̺− характеризует отношение плотностей верхнего (̺+ ) и нижнего (̺− ) слоев. Уравнения контурной динамики (45.1.1) после обезразмеривания выглядят следующим образом:

∂t ξ = −

∂ δH , ∂x δξ

∂t µ =

∂ δH , ∂x δµ

(45.1.6)

а гамильтониан (45.1.2) после интегрирования по частям и использования краевых условий приводится к виду Z Z  1  − − σ − H=− θ ψ + δ (η − z) ψ µ dxdz + (1 − ǫ) η2 dx (45.1.7) 2 2

Здесь безразмерный параметр σ может принимать три значения 0, 1, −1 в зависимости от типа равновесия в модели. Устойчивому равновесию (g > 0) соответствует σ = 1, неустойчивому (g < 0) — σ = −1, а σ = 0 означает отсутствие силы тяжести. Отметим, что при ǫ = 1, т. е при отсутствии скачка плотности на границе раздела, параметр σ также «выключается» и не проявляет себя в теории. Таким образом, чтобы окончательно определить гамильтониан H необходимо определить функцию тока ψ− для нижнего (пограничного) слоя. С учетом условий (45.1.5) на внешних границах решение краевой задачи (45.1.3)–(45.1.4) будем искать в виде:

1 ψ− = z 2 + sh (zΓ ) A, ψ+ = e−zΓ B, 2 где A и B — некоторые неизвестные функции.

(45.1.8)

384

Глава 45. Динамика вихревого погранслоя в поле тяжести

Подстановка решений (45.1.8) в гамильтониан (45.1.7) дает выражение

H=

1 2

 Z  1 1 σ (1 − ǫ) η2 − η3 − µη2 dx− 3! 2 Z  1  − (ch (ηΓ ) − 1) Γ −1 + µ sh (ηΓ ) A dx. 2

а аналогичная подстановка в краевые условия (45.1.4) приводит к уравнениям:   ˆ + ǫe−ηΓ HB ˆ ∂x ch (ηΓ ) HA = ξ, (45.1.9) 1 2 −ηΓ η + sh (ηΓ ) A − e B = 0, 2 из которых можно найти функцию A, необходимую для окончательного определения гамильтониана H . Решения псевдодифференциальных уравнений (45.1.9) в приближении нелинейной дисперсии удобно искать, разлагая A и B в ряды теории возмущений по степеням оператора Γ . Выполнив эту процедуру и ограничиваясь вторым порядком теории возмущений по Γ , для функции A получим     i
1 ǫ h ˆ − Hη ˆ ∂x − ǫηΓ µ2 − ξ 2 . Γ A = − 1 + ∂x η2 ∂x ξ − Γ 1 − ηH 2 2

Теперь, воспользовавшись полученным результатом, можно найти в том же приближении гамильтониан модели:

H=

1 2

Z

σ (1 − ǫ) (ξ − µ)2 + +


1 1 3 ξ − µ3 − (ξ − µ)3 ξx2 + 3 3



ǫ

2 ǫ 2 ξ − µ2 Γ µ2 − ξ 2 − (ξ − µ) ∂x µ2 − ξ 2 + 4 4 !

2 ǫ dx (45.1.10) + (1 − ǫ) (ξ − µ) Γ µ2 − ξ 2 4

Как легко видеть, если контактная граница не свободна ǫ 6= 0, нелокальность, ˆ , который связанная с присутствием под знаком интеграла оператора Гильберта H ˆ , носит принцивходит в состав псевдодифференциального оператора Γ = −∂x H пиальный характер и проявляется в уравнениях движения уже в первых порядках теории возмущений. Этот эффект устраним, только если ǫ = 0, т. е. когда вихревой погранслой контактирует с невесомой жидкостью. Отметим, что при ǫ = 1, т. е. при отсутствии разрыва плотности на границе раздела, выражение (45.1.10), если опустить члены второго порядка малости по производным ξx и µx , воспроизводит выражение (40.4.3), которое было получено для гамильтониана H в § 40.4.

385

45.2. Стационарные решения

Поскольку наличие свободной границы равносильно условию ̺+ = 0 или ǫ = 0, будем предполагать далее, что слой жидкости плотности ̺− и завихренности − ω = ω находится в поле сил тяжести с ускорением g, снизу ограничен горизонтальной твердой поверхностью, а сверху контактирует с невесомой несжимаемой жидкостью (рис. 45.1). Модель вихревого слоя со свободной границей

z Рис. 45.1. Модель вихревого плоского пограничного слоя со свободной поверхностью z = η(x) в поле тяжести

̺+ , ω + = 0

̺− , ω − 6= 0

η(x, t)

x

Как уже отмечалось, тип возможного равновесия в такой модели зависит от знака g, а именно, при g > 0 равновесие устойчиво, а при g < 0 — неустойчиво. В последнем случае она эквивалентна так называемой модели «опрокинутой мелкой воды», в которой весомый слой жидкости ограничен сверху горизонтальной твердой поверхностью, а снизу опирается на невесомую жидкость. Необычное, на первый взгляд, неустойчивое равновесие невозмущенного состояния обеспечивается равенством гидростатических давлений на контактной границе. Таким образом, уравнения движения свободной границы на вихревом слое есть не что иное, как уравнения (45.1.6) с гамильтонианом H :  Z 
1 1 1 3 2 3 2 3 H= σ (ξ − µ) + ξ − µ − (ξ − µ) ξx dx, 2 3 3 который следует из более общего выражения (45.1.10) при ǫ → 0. Соответствующие уравнения контурной динамики выписываются на основании (45.1.6) и в приближении нелинейной дисперсии выглядят как   1 2 3 2 2 2 ∂t ξ = − ∂x 2σ (ξ − µ) + ξ − (ξ − µ) ξx + ∂x (ξ − µ) ξx , 2 3 (45.1.11)   1 2 ∂t µ = − ∂x 2σ (ξ − µ) + µ2 − (ξ − µ) ξx2 . 2

§ 45.2. Стационарные решения Рассмотрим решения в виде так называемых стационарных возмущений:

ξ = ξ(s),

µ = µ(s),

s = x − ct,

распространяющих с постоянной скоростью c без деформации профиля. После подстановки стационарных решений в уравнения (45.1.11) и интегрирования, эти уравнения принимают вид:

µ2 + 2σ (ξ − µ) − (ξ − µ)2 ξs2 − 2cµ + c2 = 0,

(45.2.1)

386

Глава 45. Динамика вихревого погранслоя в поле тяжести


ξ 3 − µ3 1 + (ξ − µ)3 ξs2 − c ξ 2 − µ2 + 3 3 +σ (ξ − µ)2 + c1 ξ − c2 µ − c3 = 0,

(45.2.2)

где c1 , c2 , c3 — константы интегрирования. Константы интегрирования фиксируются типом решения, который определяется поведением контура η = ξ − µ и интенсивностью µ вихревой пелены при s → ±∞. Анализ уравнений (45.2.1), (45.2.2) показывает, что они могут иметь как периодические, так и локализованные решения (солитоны и компактоны). Решения с полуограниченным носителем, которые также имеют право на существование, здесь не рассматриваются. По аналогии с § 44.2, решения классического солитонного типа можно определить как решения, которые, экспоненциально убывая при s → ±∞, выходят на режим: Солитоны

η|s=±∞ = ε,

µ|s=∞ = 0,

где положительная величина ε — безразмерная толщина невозмущенного слоя. В этом случае из (45.2.1), (45.2.2) можно найти, что решения данного типа реализуются при выборе:   2 2 2 c1 = 2ε (c − σ) − ε , c2 = −2εσ, c3 = ε c − σ − ε , (45.2.3) 3 где c — скорость солитона. Дальнейший анализ решений выполним, предполагая, что форма солитона η достигает максимального значения в некоторых точках s = ±sm , симметрично расположенных относительно центральной точки s = 0, в которой имеет место локальный минимум. Это означает, что в окрестностях этих точек с точностью до членов первого порядка по отклонениям s′ справедливы разложения

ξ = a + b + ds′ · · · ,

µ = b + ds′ · · · ,

(45.2.4)

где a и b — амплитудные значения функций η и µ, а d — значение производной функции µ в этих точках. Подставляя разложения (45.2.4) в уравнение (45.2.2), в первом порядке теории возмущений найдем соотношение


4b2 a + b 3a2 − 8ac + 6cε − 3ε2 + (a − ε)×

× ((a − ε) (a − 3c + 2ε) + σ(5a − 3ε)) = 0, (45.2.5)

связывающее параметры a и b с параметрами c, ε, σ . В точках максимума (d 6= 0) уравнение (45.2.5) решается совместно с равенством 8ba + 3a2 − 8ac + 6cε − 3ε2 = 0, (45.2.6)

387

45.2. Стационарные решения

при соблюдении неравенства

b2 − 2bc + 2σ(a − ε) ≥ 0.

(45.2.7)

Отметим, что равенство (45.2.6) следует из (45.2.2) как результат подстановки разложений (45.2.4) в следующем приближении, если d 6= 0. В этом случае та же подстановка разложений (45.2.4) в уравнение (45.2.1) в первом порядке приводит к неравенству (45.2.7). Аналогично анализируется точка минимума (d = 0). В точке минимума равенство (45.2.6) исключается, а неравенство (45.2.7) заменяется на равенство, которое решается совместно с (45.2.5). Кроме ограничения (45.2.7) есть еще два условия существования солитонных решений a ≥ ε, c2 (c + σ)−1 ≥ ε, (45.2.8)

гарантирующие экспоненциальное убывание возмущений при s → ±∞. С помощью неравенств (45.2.7), (45.2.8) и соотношений (45.2.5), (45.2.6) можно определить область существования солитонных решений. Области существования приведены на рис. 45.2 в плоскости параметров (a, ε). При σ = 0 или σ = −1 верхняя граница области описывается одной гладкой кривой D или E , а при σ = 1 состоит из трех участков A, B, C . Кривые A, B, C, D, E представляют собой геометрическое место точек, где соответствующие неравенства превращаются в равенства. На кривых A, C , D и E в равенство превращается неравенство (45.2.7), а на кривой B — второе из неравенств (45.2.8). Один из выводов, который следует из рис. 45.2, состоит в том, что амплитуда солитонов должна превышать некоторое пороговое значение, зависящее от параметра устойчивости σ и толщины слоя ε.

2

2 а

ε σ=1 1

0

A

ε 6

ε σ=0

B

1

σ = −1

4

D

C

1

б

в

E

2 2 a

0

5

10

15 a

0

20

40

60

80 a

Рис. 45.2. Области существования (выделено более темным фоном) солитонных решений в плоскости параметров (a, ε) при трех различных значениях параметра устойчивости σ: а — σ = 1; б — σ = 0; в — σ = −1

Профили возможных солитонных решений показаны на рис. 45.3. В центральной части форма солитонных возмущений η, имеет прогиб (локальный минимум), по обе стороны от которого расположены два локальных максимума. Исключением являются маргинальные решения, соответствующие точкам, которые лежат на тех участках границы области существования, где неравенство (45.2.7) превращается в равенство. Эти решения имеют только один максимум.

388

Глава 45. Динамика вихревого погранслоя в поле тяжести

η

0,5

а

б

2

η 0

−1 −0,5

s

1 −4

µ

s

0 30

−1 η −100 µ

µ

1

η

10

в

40 100

s

−40

4 г

µ

−10

s

40

Рис. 45.3. Профили функций η и µ для солитонных решений: а — σ = 1, a = 0,5, ε = 0,1, c = −0,757; б — σ = 1, a = 2, ε = 0,1, c = 1,77; в — σ = −1, a = 60, ε = 4, c = 20,8; г — σ = 1, a = 20, ε = 1, c = 8,62. Толщина невозмущенного слоя ε отмечена пунктиром

Решения с компактным носителем представляют интерес с точки зрения изучения финальной стадии развития сильно возмущенного течения, когда слой разбивается на отдельные вихревые сгустки. Как уже отмечалось, в отличие от традиционных солитонных решений, такие возмущения, называемые компактонами [237, 269], не обладают установившимися или исчезающими на бесконечности хвостами, что имеет весьма глубокие физические следствия. Во-первых, это означает, что компактоны не хранят память о невозмущенном режиме, а во-вторых, что любая суперпозиция неперекрывающихся компактонных решений тоже является решением. Именно поэтому компактоны — идеальные кандидаты на роль структурных элементов, с помощью которых можно описывать процессы дезинтеграции течений. Для уравнений (45.2.1), (45.2.2) соответствующий класс решений реализуется при следующем выборе констант интегрирования: Компактоны

c1 = 0,

c2 = 0,

c3 = 0.

(45.2.9)

Этот выбор можно рассматривать как результат предельного перехода в формулах (45.2.3) при ε → 0. Условия (45.2.9) позволяют понизить порядок и привести систему уравнений (45.2.1), (45.2.2) к виду:

2µ2 + ξ 2 + ξµ − 3cξ − 5cµ + 5σ(ξ − µ) = 0, 4(ξ − µ)ξs2 = 3(c + σ) − 2µ − ξ.

(45.2.10) (45.2.11)

Можно еще более упростить задачу, если на основании уравнения (45.2.10), которое является обычным алгебраическим уравнением, униформизировать класс

45.2. Стационарные решения

389

компактонных решений, т. е. описать переменные ξ и µ в терминах одной функции u(s) с помощью соотношений:

25 4 ξ = c − σ + ǫu, 7 7 √
1/2  15 ǫ µ=c+ σ− u + 7 1 − u2 . 7 7

(45.2.12)

Здесь для удобства введено обозначение ǫ = (14c2 + 50σ 2 )1/2 . Униформизация, с одной стороны, дает выражение для формы контура √
1/2  40 ǫ 5u + 7 1 − u2 η =ξ−µ= − σ, (45.2.13) 7 7 а с другой, — после подстановки (45.2.12) в (45.2.11) приводит к уравнению √
 2 2 1/2 7 1 − u + (λ − u) 4 ǫ2 u2s = √ 2 , (45.2.14) 1/2 2 7 7 (1 − u ) − 5(λ − u) где λ = 8σǫ−1 , а функция u изменяется в интервале umin ≤ u ≤ umax . При |λ| ≤ 1 границы этого интервала umin и umax определяются как нули соответственно знаменателя и числителя правой части (45.2.14) и зависят от параметра λ следующим образом: √
1/2 25 7 umin = λ − 32 − 25λ2 , 32 32 (45.2.15) √
λ 7 2 1/2 8−λ . umax = + 8 8 √ При 1 ≤ λ ≤ 4 2/5 границы интервала определяются только нулями знаменателя правой части (45.2.14). Поэтому вторая формула в (45.2.15) для верхней границы в этом случае заменяется соотношением √
1/2 25 7 umax = λ + 32 − 25λ2 . (45.2.16) 32 32 В явном виде решения уравнения (45.2.14) сравнительно легко находятся лишь для некоторых частных случаев. Пусть сила тяжести отсутствует, σ = 0 и, следовательно λ = 0, ǫ2 = 14c2 . В этом случае уравнение (45.2.14) заменой √ √ 2 u= (cos ϕ + 7 sin ϕ) (45.2.17) 4 приводится к уравнению  2  2 2 3 c2 1 + 2 cos 2ϕ − √ sin 2ϕ ϕ2s = − sin2 ϕ, 4 7

390

Глава 45. Динамика вихревого погранслоя в поле тяжести

которое решается при |ϕ| ≤ arcsin 34 в эллиптических интегралах

l 1 s = ±c +√ 2 7

   ! q 4 4 2 9 − 16 sin ϕ + 3E ϕ, + F ϕ, . 3 3

Здесь E (ϕ, k), F (ϕ, k) — эллиптические интегралы второго рода, а константа интегрирования l     3 3 − 2K ≈ 6,726, l = 8E 4 4 характеризует продольный (вдоль оси s) размер компактона. Параметрическое описание компактона замыкается соотношениями:     2 4 ξ = c 1 − 2 sin ϕ + √ cos ϕ , µ = c 1 − √ cos ϕ , 7 7   3 η = ξ − µ = 2c √ cos ϕ − sin ϕ , 7

которые следуют из равенств (45.2.12), (45.2.13) после подстановки в них замены (45.2.17) и условия σ = 0. В общем случае наиболее рациональный путь решения уравнения (45.2.14) — классификация решений в области параметров и численное интегрирование для некоторых типичных значений. Графики решений для типичных значений параметров a и σ приведены на рис. 45.4. Согласно (45.2.13), в общем случае амплитуда компактона a определяется выражением  8 p 2 a = ηmax = 7c + 25σ 2 − 5σ . (45.2.18) 7

2

4

а

ξ

µ

ξ η

1

µ

−2

1s 20

ξ

2

µ

−1 η

η

б

−20

в

20 −10

2

s

2

η

ξ

s µ

−2

1

г

2

s

−1

Рис. 45.4. Профили функций η, ξ и µ для компактонов на равнозавихренном слое тяжелой жидкости: а — σ = 1, a = 0,75; б — σ = 1, a = 2; в — σ = −1, a = 24; г — σ = 0, a = 2

391

45.2. Стационарные решения

Это значение, характеризующее локальный максимум, функция η принимает при √ u = 5 2/8 в двух точках, которые расположены симметрично по обе стороны от центральной точки s = 0. Если |λ| ≤ 1, то при u = umax , что соответствует s = 0, в центральной части компактона имеет место прогиб контура (локальный минимум)

ηmin = 3

p

c2

+

3σ 2



− 2σ .

Согласно этому равенству при λ = 1, что соответствует c = 1, σ = 1, прогиб контура достигает дна ηmin = 0, и вместо локального минимума в точке s = 0 возникает особенность — скачок первой производной. По существу, √ во-первых, это сигнализирует о том, что при переходе в область 1 ≤ λ ≤ 4 2/5 ≈ 1,13, где σ = 1 и 0 ≤ c ≤ 1, меняется тип компактонных решений. Во-вторых, это означает, что при расчетах в этой области вместо второй формулы (45.2.15) должна использоваться формула (45.2.16), которая дает значение ηmin = 0 для всех решений в этой области параметров. В контексте рассматриваемой задачи параметр σ принимает три фиксированных значения 1, 0, −1, указывая на тип стратификации. Устойчивому типу стратификации соответствует ветвь σ = 1, неустойчивому σ = −1, а ветвь σ = 0 соответствует или нейтральной стратификации, или отсутствию силы тяжести. Каждая ветвь компактонных решений имеет свои условия существования. Эти условия, учитывая неравенства1

c + σ ≥ 0,

a ≥ ηmin ≥ 0,

можно сформулировать в виде ограничений как на скорость компактонов c, так и на их амплитуду a: σ = 1 σ = 0 σ√ = −1 (45.2.19) c≥ 0 0 33 a≥ 0 0 24 Один из выводов, который следует из неравенств (45.2.19), состоит в том, что при неустойчивом типе стратификации (σ = −1) и скорость, и амплитуда компактона должны превышать указанные пороговые значения. Кроме того, так как, независимо от типа устойчивости, все значения безразмерной скорости c неотрицательны, направление движения компактонов всегда совпадает со знаком их завихренности2 ω . На основании (45.2.18) можно найти нелинейное дисперсионное соотношение

c=


1/2 1 7a2 + 80σa . 8

которое выражает скорость движения компактона через его амплитуду. 1

Первое из неравенств следует из неотрицательности левой части (45.2.11). Этот вывод следует из того, что в качестве масштаба времени используется обратная к завихренности величина. 2

392

Глава 45. Динамика вихревого погранслоя в поле тяжести

В центральной части компактона всегда имеет место прогиб контура. Наиболее ярко прогиб выражен при устойчивом типе стратификации (σ = 1) у компактонов со значениями параметров √ 0 ≤ c ≤ 1, 0 ≤ a ≤ 8(4 2 − 5)/7 ≈ 0,75. В этом случае прогиб достигает предельно возможного значения, при котором контур касается дна ηmin = 0, и в точке касания нарушается аналитичность контура — образуется особенность. Прогиб исчезает, сливаясь с локальными мак(σ = −1) у компактонов с симумами, при неустойчивом типе стратификации √ пороговыми значениями параметров c = 33, a = 24.

§ 45.3. Неустойчивость компактонов Изучим устойчивость компактонов в модели плоского вихревого погранслоя. Как мы знаем из предыдущей главы, где аналогичные решения изучались в рамках осесимметричной модели, развитие неустойчивости приводит к коллапсу, который происходит почти без деформации формы компактона, но приводит к интенсификации антисимметричной моды в распределении вихревой пелены на поверхности компактона. Несмотря на различие уравнений движений, качественное сходство этих двух моделей позволяет надеяться на близость их поведения в финальной стадии развития неустойчивости. Для исследования неустойчивости введем новые переменные:

η = ξ − µ,

κ=

1 (ξ + µ) , 2

в терминах которых уравнения контурной динамики (45.1.11), гамильтониан H и, что особенно следует подчеркнуть, интеграл движения P принимают более удобный для последующего анализа вид:

∂t η = −

∂ δH , ∂x δκ

∂t κ = −

∂ δH , ∂x δη

H = σI0 + I1 − I2 , Z 1 η2 dx, P = ηκ dx, I0 = 2   2 Z  Z 1 3 1 2 1 1 I1 = η + ηκ dx, I2 = η3 ηx + κx dx. 4! 2 3! 2

(45.3.1) (45.3.2)

Z

Компактонные решения можно рассматривать как точку равновесия в бесконечномерном фазовом пространстве полей η, κ. Действительно, на компактонных решениях уравнения движения записываются в виде:

cη −

δH = 0, δκ

cκ −

δH = 0, δη

что может быть истолковано как следствие вариационной задачи

393

45.3. Неустойчивость компактонов

δ (H − cP ) = 0,

(45.3.3)

в которой скорость компактона c играет роль множителя Лагранжа. Вариационное равенство (45.3.3) указывает, что в этой точке реализуется экстремум функционала H при фиксированном P . В соответствии с теоремой Ляпунова, данная стационарная точка гамильтоновой системы устойчива, если она реализует минимум или максимум гамильтониана. Если же стационарная точка представляет собой седловую точку, то данное состояние неустойчиво. Для исследования типа стационарной точки рассмотрим преобразования, которые содержат непрерывную зависимость от параметров и оставляют инвариантным интеграл движения P . После применения таких преобразований гамильтониан H становится обычной функцией параметров, что позволяет легко выяснить тип стационарной точки. В качестве одного из таких преобразований возьмем3 : x x η → α−1/2 η , κ → α−1/2 κ + βx, (45.3.4) α α где α и β — параметры преобразования. Рассмотрим вначале случай β ≡ 0. Применяя соответствующее преобразование к гамильтониану H , получим

H(α, 0) = σI0 + α−1/2 I1 − α−7/2 I2 , На компактонных решениях интегралы I0 , I1 , I2 и P связаны соотношениями:

σI0 + I1 + I2 = cP,

I1 = 7I2 .

(45.3.5)

Первое из этих равенств следует из уравнения (45.2.2) при c1 = c2 = c3 = 0 после его интегрирования по x, а второе — из условия равновесия ∂H/∂α|α=1 = 0. Учитывая соотношения (45.3.5), для гамильтониана H(α, 0) найдем   H(α, 0) = H0 + I2 7α−1/2 − α−7/2 − 6 . Здесь I2 > 0, а H0 — значение гамильтониана H(α, β) в точке равновесия:

1 H0 = H α=1 = (σI0 + 3cP ) = σI0 + 6I2 . 4 β=0

График функции

∆H/I2 = 7α−1/2 − α−7/2 − 6, 3 Отметим, что преобразование (45.3.4) — лишь частный случай более общего преобразования κ → κ + L(x, η, ηx , ηxx , . . .), где L любая дифференциальная функция, которая обладает свойством Z ηL(x, η, ηx , ηxx , . . .) dx = 0.

Другим таким, но менее тривиальным, примером является преобразование, в котором L = βηx .

394

Глава 45. Динамика вихревого погранслоя в поле тяжести

которая характеризует нормированные отклонения гамильтониана от равновесного значения H0 в плоскости β = 0, приведен на рис. 45.5. Согласно этому рисунку, при α → 0 функция H(α, 0) не ограничена снизу, при α → ∞ она стремится к величине σI0 , а в точке α = 1 реализуется максимум. Аналогично рассматривается случай α ≡ 1. В этом случае применение преобразования (45.3.4) к гамильтониану H приводит к зависимости:  Z  1 1 2 2 2 H(1, β) = H0 + β J, J = η x − η dx. 2 3

Как показывает численный анализ√(рис. 45.6), знак √ интеграла J положителен для всех допустимых значений − 2/4 ≤ λ ≤ 4 2/5. Это означает, что в точке β = 0 реализуется минимум функции H(1, β). Таким образом, компактонным решениям соответствует седловая точка функционала H , что указывает на неустойчивость этих решений.

0

∆H I2

−1

−2

lg J

0 −4 −8

1

2

α

−0,5

Рис. 45.5. Зависимость величины ∆H/I2 от параметра масштабного преобразования α

0

0,5

λ

1

Рис. 45.6. Зависимость величины lg J от параметра λ

§ 45.4. Автомодельный коллапс Для того чтобы изучить финальную стадию развития неустойчивости, рассмотрим автомодельный сценарий коллапса, полагая, что вблизи точки коллапса t ≈ t0 справедливы зависимости:

η = ηˆ(x − ct),

κ = (t0 − t)−1 κ ˆ (x − ct),

(45.4.1)

где c — скорость распространения возмущения, а ηˆ, κ ˆ — структурные функции, характеризующие форму возмущения и распределение завихренности. Перейдем в сопровождающую систему координат s = x − ct. Учитывая, что этот переход влечет за собой преобразование H → H + cP , для гамильтониана (45.3.2) получим: Z  1 H = σI0 + I1 − I2 + cP = 2cηκ + ση2 + 2  2  1 1 1 + ηκ2 + η3 − η3 ηs + κs ds. (45.4.2) 12 3 2

395

45.4. Автомодельный коллапс

Предполагая, в соответствии с (45.4.1), что в окрестности коллапса главную роль играют самые старшие по κ члены, из (45.4.2) получим «укороченный» гамильтониан  Z  1 1 3 2 2 Hcol = ηκ − η κs ds, 2 3

отличающийся от (45.4.2) тем, что в нем отброшены все менее значимые члены. Соответствующие гамильтониану Hcol уравнения движения (45.3.1) имеют вид:  
δHcol 1 3 = −∂s ηκ + ∂s η κs , ∂t η = −∂s (45.4.3) δκ 3   δHcol 1 2 1 2 2 ∂t κ = −∂s (45.4.4) = −∂s κ − η κs . δη 2 2 После подстановки (45.4.1) в (45.4.3), (45.4.4) для структурных функций ηˆ, κ ˆ получим уравнения:


1 ηˆκ ˆ = − ∂s ηˆ3 κ ˆs , 3


1 κ ˆ (1 + κ ˆ s ) = ∂s ηˆ2 κ ˆ 2s . 2

(45.4.5)

На решениях этих уравнений, сосредоточенных на носителе −R ≤ s ≤ R, интегралы движения принимают значения: Z R
R 1 3 1 3 R 1 2 2 Hcol = − η κκs −R , P = − η κs −R , κds = η κs − κ2 −R , 3! 3 2 откуда, учитывая свойства решений — нулевые краевые значения ηˆ и нечетность κ ˆ , легко сделать вывод, что Z Hcol = 0, P = 0, κ dx = 0.

Таким образом, автомодельные решения не нарушают законы сохранения и соответствуют сценарию слабого коллапса. Явные решения уравнений (45.4.5) легко найти, если заметить, что они имеют интеграл ηˆ3 κ ˆ s (1 + 2ˆ κs ) = const . Единственное нетривиальное регулярное решение:

ηˆ =

p

R 2 − s2 ,

1 κ ˆ=− s 2

(45.4.6)

соответствует выбору const = 0 и локализовано на отрезке −R ≤ s ≤ R. Если структурная функция ηˆ характеризует форму контактной границы, то κ ˆ характеризует распределение автомодельной компоненты вихревой плены. На основании (45.4.6) легко установить, что на автомодельной стадии возмущение представляет собой полукруг с радиусом R. На поверхности этого полукруга со

396

Глава 45. Динамика вихревого погранслоя в поле тяжести

временем по закону (t0 − t)−1 и с распределением κ ˆ = − 12 s происходит интенсификация асимметричной моды вихревой пелены. Если в качестве начального возмущения рассматривать компактон, чей поперечный размер характеризуется параметром a, то на основании закона сохранения интеграла Z π I = η dx = R2 2 можно рассчитать зависимость R(a). Согласно графику на рис. 45.7 отношение R/a изменяется в пределах 1,39 ≤ ≤ R/a ≤ 1,51. Это свидетельствует о том, что коллапс не приводит к большим деформациям формы. Происходит лишь сравнительно небольшое увеличение поперечного размера компактона при соответствующем сокращении продольного.

1,5 R/a Рис. 45.7. Зависимость отношения R/a от параметра σ/a. Значение, которое асимптотически достигается при σ/a → ∞, отмечено пунктиром

1,45 1,4 0

0,25

0,5

σ/a

Полученные результаты свидетельствуют о том, что крупномасштабные движения равнозавихренного слоя жидкости со свободной границей в поле тяжести неустойчивы, и этот факт не зависит от типа стратификации (направления поля тяжести). Даже для достаточно узких слоев δ ≪ 1, для которых, согласно (45.3.1), на начальной стадии имеет место линейное приближение:

∂t η = 0,

∂t κ = −σ∂x η,

эти уравнения предсказывают быстрый (линейный по времени) рост интенсивности вихревой пелены, если ηx 6≡ 0. Это означает, что применимость линейного приближения достаточно быстро нарушается и дальнейшее адекватное описание процесса неустойчивости требует нелинейного подхода. Анализ нелинейных режимов показал существование компактонов — стационарных частицеподобных решений, претендующих на роль вихревых структур, доминирующих в сильновозмущенных слоистых течениях на стадии их дезинтеграции. Представленный здесь модельный подход позволил выяснить форму этих вихревых образований и исследовать механизм их неустойчивости — коллапс. Как оказалось, сценарий коллапса не зависит от силы тяжести. Установлено, что в окрестности этого режима форма компактона стабилизируется и он превращается в полукруг, радиус которого отличается от начального поперечного размера компактона приблизительно в 1,4−1,5 раза. По существу, эффект коллапса сводится к интенсификации вихревой пелены, интенсивность которой µ растет со временем по закону µ ∼ (t0 − t)−1 .

Глава 46 ВИХРЕВЫЕ СТРУКТУРЫ В 2D-МОДЕЛЯХ ПЛАЗМЫ И ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ Эта глава посвящена изучению двумерных гидродинамических режимов, которые обусловлены стационарно вращающимися экранированными вихрями конечного размера. Существование подобных вихрей достаточно типично для широкого класса 2D -моделей плазмы и геофизической гидродинамики, обладающих внутренним характерным масштабом [49, 221, 222]. К числу таких моделей принадлежит, например, модель квазигеострофической баротропной жидкости. В плазме примерами являются: модель Хасегавы—Мима [150] и аксиальная модель электронной жидкости. Все эти модели могут быть единообразно описаны уравнением для эволюции потенциального вихря

∂t ω + (∂1 ψ) ∂2 ω − (∂2 ψ) ∂1 ω = 0

в терминах потенциальной завихренности ω и функции тока ψ, которые связаны соотношением
ω = ∆ − R−2 ψ. Здесь R — некоторый внутренний масштаб, определяемый спецификой модели, а ∆ = ∂12 + ∂22 — двумерный оператор Лапласа. В модели квазигеострофической баротропной жидкости роль внутреннего масштаба R играет радиус деформации Россби (см. с. 171). В модели Хасегавы— Мима роль внутреннего масштаба R играет ларморовский ионный радиус RL , определяемый как RL = (mi Te )1/2 cB0−1 e−1 , где mi — масса ионов, Te — температура электронов, e - заряд электрона, c — скорость света, B0 , — индукция однородного фонового магнитного поля. Электрический потенциал Φ и электронная плотность ne для этой модели могут быть выражены в терминах функции тока как   B0 B0 e Φ= ψ, ne = n0 exp ψ , c Te c где n0 — невозмущенная плотность плазмы. В аксиальной модели электронной жидкости роль параметра R играет ширина скин-слоя RS , определяемая как  m 1/2 e RS = c , 4πne2 397

398

Глава 46. Вихревые структуры в 2D-моделях

где me — масса электронов, а n — постоянная плотность плазмы. Аксиальное магнитное поле B в этой модели связано с функцией тока ψ соотношением

B = −4πnec−1ψ.

§ 46.1. Стационарно вращающиеся решения Напомним, что гамильтонова версия контурной динамики для данного класса моделей была сформулирована в главе 26. В частности, для вихревого пятна на фоне течения с постоянной завихренностью (рис. 46.1) в приближении слабой кривизны было получено уравнение

t

x2

s ω+

ω− ϕ

0

∂t ϕ = {ϕ, HD } =

R3 ν =− 4

x1

  1 3 ϕsss + ϕs , (46.1.1) 2

описывающее динамику контура пятна. Здесь ν = ω + − ω − — разность завихренностей вихРис. 46.1. Модель вихревого пятна на фоне течения с постоянной ревого пятна и фона, динамическая переменная ϕ — угол наклона касательной t к контуру, s — завихренностью натуральный параметр (длина контура). Рассмотрим решения уравнения (46.1.1), которые соответствуют стационарно вращающимся вихревым структурам [221]. Такие решения имеют вид

ϕ (t, s) = ϕ′ (s − ct) − ω0 t,

(46.1.2)

где ω0 — угловая скорость твердотельного вращения контура. Подставляя (46.1.2) в уравнение контурной динамики (46.1.1) и выбирая в качестве масштабов длины L и времени T  1/3 R ν L L= , T = , (46.1.3) 2 ω0 c после интегрирования для кривизны κ = ∂ϕ/∂s′ в системе отсчета, вращающейся вместе с вихревой структурой, получим безразмерное уравнение  2 ∂κ 1 = − κ4 + c1 κ2 + κ + c2 , (46.1.4) ∂s′ 4 где s′ = (s − ct) L−1 , c1 = c (2ω0 L)−1 и c2 — константа интегрирования. Уравнение (46.1.4) имеет целое семейство периодических решений

κ = b + (a − b) (1 − α sn (λs′ |m))

−1

,

(46.1.5)

где функция sn — эллиптический синус, зависящий как от аргумента λs′ , так и от параметра m, которые отделены друг от друга вертикальной чертой. Параметры α

46.1. Стационарно вращающиеся решения

399

и m рассматриваются как основные или управляющие. Все остальные параметры a, b, λ, выражаются через основные с помощью соотношений
 −1/3 a = − 1 + m − 2α2 2α−2 (1 − m)2 (m − α4 ) ,
 −1/3 b = α2 + m(α2 − 2) 2α4 (1 − m)2 (m − α4 ) ,   −1/3 λ = (α2 − m)1/2 (1 − α2 )1/2 2α(1 − m)2 (m − α4 ) .

Отметим, что условия непрерывности (гладкости контура) и вещественности решений уравнения (46.1.4) накладывают на свободные параметры α и m ограничения 0 ≤ α ≤ 1, m < α2 . Для вывода уравнения контура, описывающего границу вихревой структуры, необходимо проинтегрировать уравнение

∂ zˆ = exp (iϕ′ ) , ∂s′ где zˆ = (ˆ x1 + iˆ x2 ) /L — безразмерная комплексная координата контура. Это можно сделать с помощью (46.1.4). В результате найдем, что    ∂κ κ2 zˆ = 2 + i c1 − exp (iϕ′ ) . ∂s′ 2

(46.1.6)

Согласно этой формуле, для построения контура необходимо, кроме кривизны контура, знать еще величину ϕ′ — угол наклона касательного вектора, который получается интегрированием выражения (46.1.5) ′

′

ϕ (s ) =

Z

s′


a−b κ(s) ds = bs′ + Π α2 ; am (λs′ |m) |m − λ 0 n h io p p − 2 Im ln cn (λs′ |m) α2 − m + i dn (λs′ |m) 1 − α2 . (46.1.7)

Здесь функция Π(n; ϑ|m) — неполный эллиптический интеграл третьего рода, а am(µ|m) — амплитудная функция Якоби am(µ|m) = arcsin (sn(µ|m)). Ограничимся изучением вихревых структур конечной площади с замкнутым контуром без самопересечений. Подчеркнем, что исключение из рассмотрения самопересекающихся контуров мотивировано лишь приближением слабой кривизны и ни в коей мере не продиктовано какими-либо другими причинами, препятствующими существованию решений с такой топологией контура. В связи с этим замечанием отметим, что, так как из-за самопересечения контура вихревая область становится неодносвязной, рассмотрение таких контуров требует некоторого обобщения модельных предположений в исходной постановке задачи. Если топология самопересекающегося контура известна, кусочно-однородное распределение завихренности легко воспроизвести, зная, что скачок завихренности является инвариантом при обходе контура в одном из направлений. По существу, вопрос о включении или не включении решений подобного типа в рамки нашей теории, это вопрос о том, чувствителен или нет глобальный характер решений к локальному нарушению приближения слабой кривизны. Ответ на

400

Глава 46. Вихревые структуры в 2D-моделях

него можно получить из сопоставления аналитических решений с результатами численного моделирования. Если характер решений слабо чувствителен к локальному нарушению приближения слабой кривизны, то такие решения имеют право на рассмотрение и могут уточняться с помощью различных численных процедур, например, «контурной хирургии» [208].

§ 46.2. N -лепестковые вихревые структуры Условие замкнутости контура, наряду с периодичным характером изменения его кривизны по параметру s′ , означает, что вихревые структуры, которые мы будем рассматривать, имеют n-лепестковый характер. Пример трехлепестковой вихревой структуры приведен на рис. 46.2. Из рисунка и анализа решения (46.1.5) ясно, что кривизна контура n-лепестковой структуры, будучи периодической функцией с периодом 4K(m)/λ, достигает экстремумов в точках K(m) s∓ = (4j − 2 ± 1) , λ где K — полный эллиптический интеграл первого рода, а j — целое число, пробегающее значения 1, 2, . . . , n. В этих точках кривизна контура принимает экстремальные значения

κ± = b +

a−b m(α + 2) − α(1 + 2α) = 2−1/3 . 1∓α [(1 − m)2 α(m − α4 )]1/3

Здесь и далее для краткости используются обозначения f∓ = f (s∓). Расположение экстремальных точек s− или s+ зависит от параметров α и m. Какие именно из них находятся в вершинах лепестков, а какие — в ложбинах между лепестками, можно установить, если вычислить расстояние этих точек от центра симметрии. Обозначая через r и θ полярные координаты текущей точки s′ так, что zˆ(s′ ) = = reiθ , на основании (46.1.6) и (46.1.4) найдем соотношения:  
∂κ/∂s′ 2 2 + ϕ′ , r = 4 c1 + c2 + κ , θ = arcctg (46.2.1) c1 − κ2 /2 из которых следует, что

x2

s+ =

2

K(m) λ

∆θ = π/n s∗ s− = 3 K(m) λ

0

−2 −2

0

2

x1

Рис. 46.2. Трехлепестковая вихревая структура. Точка s+ = K(m)/λ находится в вершине лепестка, а точка s− = 3K(m)/λ лежит между соседними лепестками. В точке s∗ происходит самокасание контура

401

46.2. N-лепестковые вихревые структуры 2 r±

=2

2/3

 2 m(1 ± 2α) − α3 (α ± 2)

α(m − α4 ) [(1 − m)2 α(m − α4 )]1/3

.

Взаимное положение экстремальных точек зависит от того, больше либо меньше единицы отношение  2 r− 8α(α2 − m)(m − α4 ) . (46.2.2) =1+ r+ [m(1 + 2α) − α3 (α + 2)]2 Легко видеть, что неравенство α4 ≤ m ≤ α2 влечет за собой неравенство r− ≥ ≥ r+ , так что в этой области параметров в вершинах лепестков будут находиться точки s− . Если же имеет место неравенство m ≤ α4 , которое влечет за собой неравенство r+ ≤ r− , то в вершинах лепестков будут располагаться точки s+ . Очевидно, что не все решения из доступной области параметров m < α2 ≤ 1 соответствуют вихревым структурам с замкнутым контуром. Условие замкнутости контура для периодических решений (46.1.5) формулируется как требование π ∆θ = θ+ − θ− = . (46.2.3) n Условие (46.2.3) имеет простой геометрический смысл, который иллюстрируется на рис. 46.2. Из рисунка легко видеть, что величина 2∆θ есть не что иное, как угловое расстояние между соседними лепестками. Для вычисления этой величины, достаточно заметить, что в экстремальных точках радиус-вектор и касательная взаимно ортогональны, так что π θ± = ϕ′± + ∆± , 2 где знаковый фактор ∆± , принимающий значения ±1, определяется выражением   ∆± = sign m(1 ± 2α) − α3 (α ± 2) , (46.2.4) а значения ϕ′± легко находятся из (46.1.7):

ϕ′± =


 (4j − 2 ∓ 1)  bK(m) + (a − b) Π α2 |m − π, λ

(46.2.5)

где Π(w|m) = Π(w; π2 |m) — полный эллиптический интеграл третьего рода. Установленные выше формулы позволяют записать (46.2.3) в виде  
π 1 2 bK(m) + (a − b) Π α |m = λ ∆ − , (46.2.6) 2 n где параметр ∆, который определяется выражением

  1 1 ∆ = (∆+ − ∆− ) = sign m(1 + 2α) − α3 (α + 2) − 2 2   − sign m(1 − 2α) − α3 (α − 2) ,

может принимать всего три значения +1, 0, −1.

402

Глава 46. Вихревые структуры в 2D-моделях

0

n=2

m

n=3 n=4 n=5

−1

Численный анализ (46.2.6) показывает, что решения в виде n-лепестковых вихревых структур у этого уравнения есть только в области

m ≤ α3 (α − 2)(1 − 2α)−1 ,

n=7 n=9

где ∆ = 0, для n ≥ 2. На рис. 46.3 соответствующая область 0 0,2 0,4 α 0,6 выделена темным фоном, а маргинальные Рис. 46.3. Характеристические кривые точки, в которых выполняется условие самоmn (α) для семейства n-лепестковых касания контура, т. е. реализуются вихревые вихревых режимов в плоскости α, m структуры, достигающие предельной формы, отмечены как «•». Семейство режимов в этой области параметризуется характеристическими кривыми, определяющими для каждого фиксированного числа лепестков n зависимость mn (α). Это означает, что в качестве свободного параметра для n-лепестковой структуры можно выбрать один-единственный параметр α. Изменение формы вихря для n = 2, 3 в зависимости от α показано на рис. 46.4 и рис. 46.5. Для каждого n-лепесткового режима на характеристической кривой всегда имеется маргинальная точка, в которой реализуется решение предельного типа с самокасанием контура. Справа от этой точки находятся решения с самопересечением контура, а слева — без самопересечения. Условия самокасания контура формулируются на основании геометрических соображений, которые следуют из рис. 46.2. Прежде всего, заметим, что в точке

−2

1

2

а

0

0

−1 2

−1

0

1

−2 2

в

0 −2

б

−2

0

−2

0

2

0

0

−2

−2

2

г

2

0 −2 −2 2

2 а

0

2

Рис. 46.4. Форма границы двухлепестковой вихревой структуры в зависимости от параметра α: α = 0,050 (а), α = 0,200 (б), α = 0,300 (в), α = 0,353 (г)

−2

0

−2

2

в

0

2

0

2

2 г

0

0

−2

−2 −2

б

0

2

−2

Рис. 46.5. Форма границы трехлепестковой вихревой структуры в зависимости от параметра α: α = 0,050 (а), α = 0,200 (б), α = 0,300 (в), α = 0,371 (г)

403

46.2. N-лепестковые вихревые структуры

касания s∗ имеет место равенство θ(s∗) = ϕ′ (s∗ ), из которого, если принять во внимание второе из соотношений (46.2.1), немедленно находим первое условие

κ2 (s∗ ) = 2c1 .

(46.2.7)

Еще одно условие получим, учитывая, что при обходе контура от точки s+ до точки касания s∗ касательный вектор поворачивает на угол π/2. Таким образом,

ϕ′ (s∗ ) − ϕ′+ = π/2. Используя (46.2.7), а также тот факт, что на основании (46.2.5) для j = 1 и (46.2.6) имеет место соотношение   π 1 ϕ′+ = ∆− − π, 2 n можно сделать вывод, что в точке касания контура выполняются равенства   π 1 ′ ∗ ϕ (s ) = ∆ − − 1 , κ2 (s∗ ) = 2c1 . 2 n

Эти условия вместе с (46.2.6) фиксируют все безразмерные параметры предельных режимов. Численные значения основных безразмерных параметров, характеризующих предельные режимы, приведены в таблице. Значения основных параметров, характеризующих предельные режимы

n 2 3 4 5 6 10

α 0,352823 0,371469 0,348897 0,323504 0,300157 0,231285

m -0,245778 -0,580662 -0,844407 -1,0545 -1,22456 -1,66566

κ− -0,456761 -0,820287 -1,01623 -1,15832 -1,27263 -1,60011

κ+ 1,79081 1,95339 2,03108 2,08942 2,13903 2,29932

r− 0 0,193635 0,42446 0,635998 0,83048 1,49709

r+ 2,12018 3,3365 3,51701 3,65998 3,78634 4,22362

Чтобы получить представление о прикладном использовании полученных результатов и продемонстрировать область их применимости, рассмотрим две модели плазмы [150] — модель Хасегавы—Мима и аксиальную модель электронной жидкости. Согласно экспериментальным данным [112], параметры RL и RS могут изменяться в широком диапазоне значений. Так, например, ларморовский ионный радиус RL варьируется от 103 см для межпланетного газа и до 10−2 см для солнечной короны, а ширина скин-слоя RS в зависимости от типа плазмы варьируется от 5 · 105 см до 5 · 10−3 см. Для численных оценок примем в модели Хасегавы—Мима следующие значения параметров: Te = 104 ◦К, n0 = 1014 см−3 , mi = 1,67 · 10−24 г, B0 = 104 гаусс. Отметим, что эти значения являются типичными для газового разряда низкого давления. Тогда, в соответствии с (46.2.2), мы находим RL ≈ 10−2 см.

404

Глава 46. Вихревые структуры в 2D-моделях

Поскольку предельные решения имеют только два управляющих параметра — угловую скорость вращения ω0 и скачок завихренности ν = ω + − ω − , для вычисления характеристик трехлепесткового дрейфового вихря положим ω0 = 10 с−1 , ω − = 0 и ω + = 106 с−1 . В этом случае из уравнения (46.1.3) находим, что L ≈ ≈ 10 · RL = 10−1 см, следовательно, каждый лепесток такого вихря имеет длину r+ L ≈ 3,3 · 10−1 см. Величину электрического потенциала Φ и электронной плотности ne в центре вихря можно найти, если известна величина ψ(0). Численное интегрирование уравнения (46.2.4), результаты которого показаны на рис. 46.6 и 46.7, позволяет с достаточной степенью точности установить, что ψ(0) ≈ 5,07 · L2 ω + .

1,6

а

1,2 б

0,8 0,4 0 Рис. 46.6. Нормированное распределение функции тока ψ(x)/ψ(0) или электрического потенциала Φ(x)/Φ(0) для трехлепесткового предельного вихря

1

2

3

r

4

Рис. 46.7. Радиальные профили для решения, показанного на рис. 46.6. Профили а и б соответствуют сечениям в направлении θ = 60◦ и θ = 48◦

Таким образом, в соответствии с (46.2.3), получим, что Φ(0) ≈ 4,4 · 102 в и ne (0) ≈ 1,5 · 1016 см−3 .

§ 46.3. Вихревая динамика в поле центробежных сил В отличие от движений атмосферы Земли, развивающихся на фоне геострофического равновесия, когда горизонтальный градиент давления уравновешивается горизонтальной компонентой ускорения, для полярных областей быстровращающихся планетных атмосфер более приемлемой гипотезой принято считать гипотезу о циклострофическом балансе. Динамика на фоне циклострофического равновесия означает, что горизонтальный градиент давления уравновешивается центробежной силой. Простейшая двумерная недиссипативная модель, которая описывает динамику несжимаемой жидкости во вращающейся с угловой скоростью Ω системе координат в поле центробежных сил, формулируется с помощью уравнений [53]:

̺ (∂t vi + vk ∂k vi ) = −∂i p + ̺Ω 2 xi + 2Ω̺εik vk , ̺ + vk ∂k ̺ = 0,

∂k vk = 0.

(46.3.1)

Здесь vi — компоненты скорости во вращающейся системе координат xi (i = 1, 2), p — давление, ̺ — плотность. Относительно последней предполагаем далее, что

405

46.3. Вихревая динамика в поле центробежных сил

она не зависит от давления, а зависит только от температуры T и связана с ней линейным соотношением ̺ = ̺0 (1 − βT ) ,

где ̺0 — постоянная плотность основного (невозмущенного) состояния, а β — коэффициент теплового расширения. Следуя гипотезе о циклострофическом балансе, примем за основное состояние — стационарное состояние, в котором горизонтальный градиент давления уравновешивается центробежной силой:

∂i p0 = ̺0 Ω 2 xi , где p0 — фоновое давление. В этом случае, предполагая малость отклонений от невозмущенных значений для давления p′ = p − p0 и плотности ̺′ = ̺ − ̺0 = ̺0 βT (β ≪ 1), в первом приближении перепишем уравнения (46.3.1) в виде: ′ ik 2 ∂t vi + vk ∂k vi = −̺−1 0 ∂i p + 2Ω̺ε vk + Ω βT xi ,

T˙ + vk ∂k T = 0,

∂k vk = 0.

(46.3.2)

Чтобы модель отражала факт возрастания температуры от полюса к экватору, в качестве фонового распределения температуры примем параболический закон:

Ts (x) = T0 +

γ 2 x , 2

γ > 0.

(46.3.3)

Если постоянную T0 интерпретировать как температуру на полюсе, этот закон можно рассматривать как результат разложения некоторого радиально симметричного стационарного распределения Ts (x) в ряд Тейлора вблизи полюса. Условие несжимаемости позволяет выразить компоненты скорости в терминах функции тока ψ: vk = −εki ∂i ψ. Взяв ротор от обеих частей первого из уравнений (46.3.2) и исключив тем самым из него давление p′ , мы приходим к уравнениям эволюции вихря ∆ψ и возмущений температуры τ = T − Ts :

∂t ∆ψ + εik ∂i ψ∂k ∆ψ = Ω 2 βεik xi ∂k τ, ∂t τ + εik ∂i ψ∂k τ = γεik xi ∂k ψ.

(46.3.4)

Рассмотрим те решения этих уравнений, которые описывают стационарные вихревые структуры, вращающиеся с постоянной угловой скоростью ω0 вокруг полюса. Учитывая, что при переходе во вращающуюся систему координат, где структуры покоятся, временн´ая производная преобразуется по закону

∂t = −ω0 εik xi ∂k ,

406

Глава 46. Вихревые структуры в 2D-моделях

из уравнений (46.3.4) мы получим следующую систему стационарных уравнений:   x2 ik ε ∂i ψ − ω0 (46.3.5) ∂k ∆ψ = Ω 2 βεik xi ∂k τ, 2     x2 x2 ik ε ∂i ψ − ω0 ∂k τ + γ = 0. (46.3.6) 2 2 Чтобы найти их решение, прежде всего заметим, что, согласно второму из этих уравнений, имеет место соотношение:   x2 x2 τ = f ψ − ω0 −γ , (46.3.7) 2 2 где f — произвольная функция. Функциональный произвол в (46.3.7) устраняется физическим требованием локальности полей: т. е. ψ → 0, τ → 0, при x → ∞. Это свойство обеспечивается, если f является линейной функцией, что приводит к равенству

τ =−

γ ψ. ω0

Подставляя (46.3.8) в (46.3.5), находим уравнение   x2 ik ε ∂i ψ − ω0 ∂k q = 0, 2

в котором величина q играет роль потенциального вихря
q = ∆ − R−2 ψ,

(46.3.8)

(46.3.9)

(46.3.10)

R характеризует внутренний масштаб задачи R = R0 |ω0 /Ω| ,

R0 = (γβ)−1/2 ,

(46.3.11)

а R0 определяет температурный масштаб, на котором реализуется параболический закон (46.3.3) для температурного хода вблизи полюса. Чтобы избежать недоразумений, подчеркнем, что в общем случае уравнения движения (46.3.4) не обладают каким либо инвариантом типа потенциального вихря, который переносился бы вместе с жидкостью. Аналогия между циклострофическими и геострофическими моделями имеет место только в том частном случае, когда эволюция сводится к обычному стационарному вращению. Действительно, только для таких циклострофических вихревых движений можно ввести величину q — аналог «потенциального вихря», который связан с функцией тока соотношением (46.3.10). Относительно характера пространственного распределения фигурирующей в уравнении (46.3.9) величины q будем предполагать, что она принимает постоянное значение q0 внутри области D и обращается в нуль вне ее:

q = q0 θ,

(46.3.12)

46.3. Вихревая динамика в поле центробежных сил

407

где θ — характеристическая функция области течения D , обладающая свойством: θ = 1, если x ∈ D , и θ = 0, если x ∈ / D. Как известно (см. с. 215), если граница D задана в параметрическом виде x=x ˆ (s) , где s — натуральный параметр контура, то производные θ -функции по пространственным координатам могут быть найдены как контурный интеграл I ki ∂i θ = ε tk δ(x − x ˆ) ds, (46.3.13) в котором под знаком интеграла фигурируют компоненты касательного к контуру единичного вектора t = ∂ x ˆ/∂s, (t2 = 1). Подстановка (46.3.12) в (46.3.9), после использования формулы дифференцирования θ -функции (46.3.13), приводит к равенству     I x2 x ˆ2 ∂ ik ˆ q0 ε ∂i ψ − ω0 ∂k θ = q0 δ (x − x ˆ) ψ − ω0 ds = 0, 2 ∂s 2 из которого следует, что на контуре выполняется уравнение1 2

x ˆ = c, ψˆ − ω0 2

(46.3.14)

где c — некоторая константа, а ψˆ = ψ|x=ˆx — значения функции тока на контуре. ˆ решим уравнение Чтобы выразить величину ψˆ через параметры контура x (46.3.10), в котором правая часть задана соотношением (46.3.12). Учитывая, что функция Грина G(x, x′ ) задачи (46.3.10) определяется выражением

G ( x, x′ ) = −


1 K0 |x − x′ | R−1 , 2π

где K0 — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, для функции тока получим: Z
q0 ψ (x) = − θ (x′ ) K0 |x − x′ | R−1 dx′ . (46.3.15) 2π

Для преобразования интеграла (46.3.12) в контурный воспользуемся равенством K0 = R2 (∆K0 + 2πδ (x − x′ )) ,

справедливость которого следует непосредственно из определения функции Грина (см. уравнение (26.6.5) на с. 225). 1

Отметим, что к точно такому же уравнению можно прийти непосредственно из формулировки (26.4.5) на с. 221, если учесть преобразование ∂t x ˆi = −ω0 εik ∂s x ˆk , которое имеет место при переходе во вращающуюся с постоянной угловой скоростью ω0 систему координат.

408

Глава 46. Вихревые структуры в 2D-моделях

Полагая что x → x ˆ и x находится снаружи области D , после интегрирования по частям и очевидных преобразований из (46.3.15) найдем:

2q0 R2 ψˆ (s) = π

Z


∂θ ∂ K0 |ˆ x−x ˆ′ | R−1 dx′ = ′ ′ ∂xi ∂xi Z
x ˆ′ · (ˆ x−x ˆ′ ) ′ Rq0 = K1 |ˆ x−x ˆ′ | R−1 s ds . (46.3.16) ′ 2π |ˆ x−x ˆ|

ˆ/∂s)2 = 1, справедТак как нормальная параметризация контура означает (∂ x ливо представление

∂x ˆ1 /∂s = cos ϕ,

∂x ˆ2 /∂s = sin ϕ,

(46.3.17)

где ϕ(s) — угол наклона касательного к контуру вектора в точке s. Для контуров с достаточно слабой кривизной κ = ∂ϕ/∂s ≪ 1/R под знаком интеграла (46.3.16) в первом приближении справедливы оценки:

|ˆ x−x ˆ′ | ≈ |s′ − s| ,

x ˆ′s · (ˆ x−x ˆ′ ) ≈

1 2 κ(s) (s′ − s) . 2

С их помощью из (46.3.16) находим приближенное локальное соотношение

q0 R 3 ψˆ = κ, 4

(46.3.18)

которое связывает значения функции тока ψˆ на контуре с его кривизной κ. Контурная динамика интенсивных вихрей

Для вывода уравнений, описывающих поведение контура в координатной плоскости (ˆ x1 , xˆ2 ) в терминах кривизны κ, воспользуемся представлением:

x ˆ1 = a cos ϕ − b sin ϕ,

x ˆ2 = a sin ϕ + b cos ϕ,

(46.3.19)

где a и b так же, как и ϕ, — некоторые функции натурального параметра s, связанные на основании (46.3.17) друг с другом соотношениями

as − κb = 1,

bs + κa = 0.

Еще одно уравнение, замыкающее описание контура, получим после подстановки (46.3.18) и (46.3.19) в (46.3.14)


q0 R 3 κ − a2 + b2 = c. 2ω0

Уравнения, описывающие поведение контура, удобно переписать в безразмерном виде, выбрав в качестве масштаба длины

L=

R 2



q0 ω0

1/3

.

(46.3.20)

46.3. Вихревая динамика в поле центробежных сил

409

Тогда в безразмерных переменных, не меняя обозначений, будем иметь следующую систему уравнений:

as − κb = 1,

bs + κa = 0,

κ−


1 2 a + b2 = c. 4

(46.3.21)

Из первых двух уравнений (46.3.21) легко можно получить выражения для переменных a и b через кривизну

a = 2κs ,

b = 2c1 − κ2 ,

а после их подстановки в третье найти уравнение для самой кривизны

1 κ2s = − κ4 + c1 κ2 + κ + c2 , 4 где c1 и c2 — константы интегрирования уравнений (46.3.21), параметризующие решения задачи (c21 + c2 = c). Так как это уравнение совпадает с уравнением (46.1.4), все результаты, полученные в § 46.1 и § 46.2 для моделей, основанных на уравнении эволюции потенциального вихря, переносятся и на случай стационарно вращающихся циклострофических вихрей. Напомним, что условие применимости уравнения (46.3) — слабая кривизна контура — подразумевает неравенство κ ≪ L/R = 21 (q0 /ω0 )1/3 , которое всегда может быть обеспечено, если рассматривать сравнительно интенсивные вихри, характеризующиеся достаточно большими значениями отношения q0 /ω0 . Прямые наблюдения облачности в полярной области Венеры показывают существование дипольной вихревой структуры, состоящей из двух горячих пятен, расположенных на высотах приблизительно 60 км. Впервые это явление было обнаружено в результате обработки данных, полученных с борта космического корабля Пионер [280], и подтверждено наблюдениями с бортов АМС 228 «Венера-15» и «Венера-16» [125]. Как пока234 зано на рис. 46.8, вихревые пятна, располо238 238 женные симметрично относительно полюса ◦ 80◦ 70◦ на широте 75 ÷ 85 , имеют радиус порядка 236 236 ◦ 5 и вращаются вокруг полюса с периодом 234 232 Ta ∼ 3 сут [125, 277, 280]. 230 224 Одно из первых убедительных объяснений наблюдаемого явления с точки зрения вихревой динамики было предложено в работе [55] в рамках модели вихревого диполя, состоящего из точечных циклострофи- Рис. 46.8. Изотермы яркостной темпеческих вихрей. Несколько позже это явле- ратуры, указывающие на существование рассматривалось как двухлепестковый ние горячих вихревых пятен в полярвихрь конечного размера [217]. ной области Венеры [125] Горячие вихревые пятна в атмосфере Венеры

410

Глава 46. Вихревые структуры в 2D-моделях

Для того чтобы аргументировать применимость циклострофической модели для объяснения физического механизма, инициирующего подобные вихри, приведем некоторые дополнительные факты, поддержанные данными наблюдений. Во-первых, атмосфера Венеры вращается с большой угловой скоростью, значительно опережая вращение планеты. Согласно наблюдениям, период вращения атмосферы составляет T ≈ 4 сут в то время как период собственного вращения планеты — 243 сут. Это явление, именуемое как суперротация, проявляет себя как сильная зональная циркуляция со скоростями u ∼ 100 м · с−1 на экваторе и показано на рис. 46.9. На этом рисунке кружками и звездочками отмечены значения зональной скорости, которые двумя различными способами были восстановлены из данных радиозондирования, полученных со спутника «Пионер-Венера» (см. подробности в работе [239]). Именно существование зональной циркуляции со столь большими скоростями дает основание предположить, что крупномасштабные движения атмосферы Венеры развиваются на фоне циклострофического равновесия, который подразумевает баланс между меридиональным градиентом давления и центробежной силой. Во-вторых, на высотах z ∼ 60 км, где расположены горячие пятна, полярная атмосфера заметно (на ∼ 20÷40 ◦К) холодней, чем на низких широтах. Данные по радиационному излучению на этих высотах показывают отсутствие заметного изменения средней температуры вплоть до широты 55◦ . Затем падение температуры становится более ощутимым и на полюсе формируется параболический минимум (рис. 46.10). Отметим, что этот важный фактор, так же как и циклострофический баланс, учитывается моделью. Таким образом, горячие вихревые пятна в полярной области Венеры можно попытаться описать в рамках двухлепестковых вихрей (n = 2) предельного типа, т. е. с самокасанием контура в центре вращения (см. рис. 46.4, г). Так как размер двухлепесткового предельного вихря с достаточно хорошей точностью (см. таблицу на с. 403) определяется соотношением

l = 2r+ L ≈ 4L, u

T

100

300

50

280

0

30

60

ϕ◦

90

Рис. 46.9. Зависимость скорости зональной циркуляции u (м · с−1 ) от широты ϕ◦ [239]. Сплошная линия — зональная скорость суперротации атмосферы с постоянной угловой скоростью

260

0

30

60

ϕ◦

90

Рис. 46.10. Зависимость температуры T К от широты ϕ◦ [257]. Пунктирная линия соответствует параболической аппроксимации температурного хода вблизи полюса (γ = 6,7 · 10−6 ◦К · км−2 ) ◦

411

46.3. Вихревая динамика в поле центробежных сил

а масштаб длины L, в свою очередь, определяется равенством (46.3.20), прежде всего находим связь l = 2R (q0 /ω0 )1/3 . (46.3.22) Для того чтобы воспользоваться температурными данными для количественных оценок, необходимо интенсивность вихря q0 выразить через температурные параметры модели. Соответствующее соотношение легко получить, если воспользоваться уравнением
(46.3.23) ∆ − R−2 ψ = q0 ,

которое выполняется внутри каждого вихревого лепестка, полагая при этом, что их размер l/2 значительно превосходит внутренний характерный масштаб R. Пренебрегая первым членом в силу неравенства l/R ≫ 1, из (46.3.23) получим соотношение ψ ≈ R 2 q0 , (46.3.24) откуда, учитывая соотношения (46.3.8), (46.3.11) и вычисляя коэффициент теплового расширения как β ≈ T0−1 , найдем

q0 ≈

Ω 2 τ0 , ω0 T0

(46.3.25)

где τ0 — характерное значение относительной температуры пятна. Подставляя в соотношении (46.3.22) вместо q0 и R их выражения (46.3.25) и (46.3.11), получим равенство

τ0 1 = T0 8



l R0

3

Ω , ω0

(46.3.26)

которое связывает три безразмерных отношения: τ0 /T0 , l/R0 , Ω/ω0 . Таким образом, для определения относительной температуры пятен τ0 необходимо знать температуру на полюсе T0 , температурный масштаб R0 = (γβ)−1/2 ≈ ≈ (γ/T0 )−1/2 , на котором возникает тепловой контраст между полюсом и экватором, угловую скорость суперротации Ω , угловую скорость вращения вихря ω0 и его размер l. В работе [217] соотношение (46.3.26) применялось для определения нижней границы области существования вихревых режимов. Если воспользоваться данными наблюдения, которые были уже продемонстрированы на рисунках, то можно зафиксировать часть параметров, взяв их численные значения γ ≈ 6 · 10−6 ◦К · км−2 , l ≈ 3 · 103 км, T0 ≈ 250 ◦К. Так как, согласно приведенным выше экспериментальным данным, период вращения вихревых пятен Tv ≈ 3 сут, а период вращения атмосферы составляет Ta ≈ 4 сут, можно оценить угловую скорость суперротации Ω = 2π/Ta и относительную угловую скорость вращения вихря ω0 = |Ω − 2π/Tv |, а также найти их отношение Ω Tv = ≈ 3. ω0 Ta − Tv Тогда из (46.3.26) мы можем найти оценку τ0 ≈ 10 ◦К для относительной температуры вихревых пятен.

ЛИТЕРАТУРА

1.

Абловиц М., Сигур Х . Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987.

2.

Антиферромагнетизм / Ред. С. В. Вонсовский. — М.: Наука, 1967.

3.

Арнольд В. И. Об одной априорной оценке теории гидродинамической устойчивости // Изв. вузов. Математика. 1966. Т. 5, № 54, С. 3–5.

4.

Арнольд В. И. Гамильтоновость уравнений Эйлера динамики твердого тела и идеальной жидкости // УМН. 1969. Т. 24, № 3. С. 225–226.

5.

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989.

6.

Ахиезер И. А., Ахиезер И. Т. Колебания ферромагнитной жидкости // ЖЭТФ. 1984. Т. 86, вып. 1. С. 120–124.

7.

Ахиезер И. А., Ахиезер И. Т., Половин Р. В., Ситенко А. Г., Степанов К.Н. Электродинамика плазмы. — М.: Наука, 1974.

8.

Балинский А. А., Новиков С. П. Скобки Пуассона гидродинамического типа, фробениусовы алгебры и алгебры Ли // ДАН СССР. 1985. Т. 283, № 5. С. 1036–1039.

9.

Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. — М.: Наука, 1983.

10. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1985. 11.

Богомолов В. А. Динамика завихренности на сфере // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1977. Т. 17, № 6. С. 57–65.

12. Богомолов В. А. О двумерной гидродинамике на сфере // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1979. Т. 15, № 1. С. 29–36. 13. Богуш А. А., Мороз Л. Г. Введение в теорию классических полей. — Минск: Наука и техника, 1968. 14. Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механнике. — Ижевск: Изд-во РХД, 1999. 15. Борисов А. В., Мамаев И. С. Математические методы динамики вихревых структур // Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. / Ред. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, М. А Соколовский. — Москва; Ижевск: ИКИ, 2003. С. 17–178. 16. Бреховских Л. М. О некоторых проблемах акустики океана // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1968. Т. 4, № 12. С. 1291–1304. 17. Бреховских Л. М., Гончаров В. В., Куртепов В. М., Наугольных К. А. О резонансном возбуждении внутренней волны при нелинейном взаимодействии поверхностных волн // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1972. Т. 8, № 2. С. 192–203. 18. Бреховских Л. М., Гончаров В. В., Куртепов В. М., Наугольных К. А. К вопросу об излучении инфразвука в атмосферу поверхностными волнами в океане // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1973. Т. 9, № 9. С. 899–907.

412

Литература

413

19. Бреховских Л. М., Гончаров В. В., Куртепов В. М., Наугольных К. А. О взаимодействии внутренних волн в океане с поверхностными // Океанология. 1975. Т. 15, № 2. С. 205–212. 20. Бреховских Л. М., Гончаров В. В., Наугольных К. А., Рыбак С. А. Волны в океане // Изв. ВУЗов. Радиофиз. 1976. Т. 19, № 5/6. С. 842–863. 21. Бурбаки Н. Архитектура математики // Мат. просвещение. 1960. № 5. С. 99–112. 22. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973. 23. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1976. 24. Власов А. А. Статистические функции распределения. — М.: Наука, 1966. 25. Воловик Г. Е., Кац Е. И. О нелинейной гидродинамике жидких кристалов // ЖЭТФ. 1981. Т. 81, вып. 1(7). С. 240–248. 26. Воронович А. Г. Гамильтоновский формализм для внутренних волн в океане // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1979. Т. 15, № 1. С. 82–91. 27. Гаврилин Б. Л., Заславский М. М. О лагранжевых инвариантах динамики невязкой сжимаемой жидкости // ДАН СССР. 1970. Т. 192, № 1. С. 48–51. 28. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. — М.: Наука, 1966. 29. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. 30. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. Т. 1. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. 31. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Т. 1. — М.: Мир, 1986. 32. Гитман Д. М., Тютин И. В. Каноническое квантование полей со связями. — М.: Наука, 1986. 33. Голдстейн Г. Классическая механика. — М.: Наука, 1975. 34. Голубятников А. Н. Сплошная среда со спинорными и векторными характеристиками // ДАН СССР. 1966. Т. 169, № 2. С. 299–302. 35. Гончаров В. П. Волновые взаимодействия в системе океан–атмосфера в рамках метода гамильтоновского формализма // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1980. Т. 16, № 5. С. 473–482. 36. Гончаров В. П. Излучение внутренних гравитационных волн в атмосферу поверхностными волнами // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1980. Т. 16, № 6. С. 572–581. 37. Гончаров В. П. Гамильтоново представление уравнений гидродинамики и его использование для описания волновых движений в течениях со сдвигом // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1984. Т. 20, № 2. С. 125–135. 38. Гончаров В. П. Нелинейные волны в послойно равнозавихренных течениях // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1986. Т. 22, № 5. С. 468–477. 39. Гончаров В. П. Вихревые структуры в сдвиговых течениях // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1986. № 2. С. 65–75. 40. Гончаров В. П. Построение канонических переменных и проблема «калибровочной» свободы в гидродинамике // ДАН СССР. 1990. Т. 313, № 1. С. 27–30. 41. Гончаров В. П. О скобках Пуассона для гидродинамических моделей с внутренними степенями свободы // ДАН СССР. 1990. Т. 313, № 6. С. 1420–1424. 42. Гончаров В. П. Нелинейный сценарий развития неустойчивости вихревого слоя в поле тяжести // ЖЭТФ. 2007. Т. 132, вып. 5(11). С. 1222–1234.

414

Литература

43. Гончаров В. П., Красильников В. А., Павлов В. И. Метод гамильтоновского формализма для стратифицированных сред // Труды VI Международного симпозиума по нелинейной акустике. Т. 1. — М: Изд-во МГУ, 1976. С. 119–128. 44. Гончаров В. П., Красильников В. А., Павлов В. И. К теории волновых взаимодействий в стратифицированных средах // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1976. Т. 12, № 11. С. 1143–1151. 45. Гончаров В. П., Красильников В. А., Павлов В. И. Гамильтоновский формализм для стратифицированных сред // Вестн. МГУ, Сер. 3. Физика, астрономия. 1976. № 5. С. 603–607. 46. Гончаров В. П., Красильников В. А., Павлов В. И. О черенковском излучении внутренних гравитационных волн // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1976. Т. 12, № 12. С. 1310–1314. 47. Гончаров В. П., Павлов В. И. О генерации поверхностных волн движущимся источником // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1982. Т. 1, № 8. С. 887–889. 48. Гончаров В. П., Павлов В. И. Проблемы гидродинамики в гамильтоновом описании. — М.: Изд-во МГУ, 1993. 49. Гончаров В. П., Павлов В. И. Гамильтонова контурная динамика // Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. / Ред. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, М. А. Соколовский. — Москва; Ижевск: ИКИ, 2003. С. 179–237. 50. Гончаров В. П., Павлов В. И. Доминирующие структуры в струйных течениях // Письма в ЖЭТФ. 2006. Т. 84, вып. 7/8. С. 459–465. 51. Госсард Э., Хук У . Волны в атмосфере. — М.: Мир, 1978. 52. Гринберг Н. И. О скобках Пуассона гидродинамического типа с вырожденной метрикой // УМН. 1985. Т. 40, № 4. С. 217–218. 53. Гринспен Х . Теория вращающихся жидкостей. — Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 54. Громека И. С. О вихревых движениях на сфере: Собрание протоколов заседания секции физ.-мат. общества естествоиспытателей при Казанском университете // Громека И. С. Собрание сочинений. — М.: Изд-во АН СССР, 1952. С. 184–205. 55. Гряник В. М. О вихревой природе горячих пятен в полярной области Венеры // ДАН СССР. 1990. Т. 313, № 2. С. 299–305. 56. Гряник В. М. Теоретические модели динамики локализованных квазигеострофических вихрей // Исследования вихревой динамики и энергетики атмосферы и проблемы климата. — Л.: Гидрометеоиздат, 1990. С. 31–60. 57. Гряник В. М., Соколовский М. А., Веррон Ж. Динамика бароклинных вихрей с нулевой сумарной интенсивностью // Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей / Ред. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, М. А. Соколовский. — Москва; Ижевск: ИКИ, 2003. С. 547–622. 58. Грузинов А. В. Контурная динамика уравнения Хасегавы—Мима // Письма в ЖЭТФ. 1992. Т. 55, вып. 1. С. 75–78. 59. Гуревич А. П. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках. — М.: Наука, 1973. 60. Девитт Б.С. Динамическая теория групп и полей. — М.: Наука, 1987. 61. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. Т. 1. — М.: Мир, 1969. 62. Дим Г., Забуски Н. Стационарные V-состояния, их взаимодействие, возврат и разрушение // Солитоны в действии. / Ред. Л. Лонгрен и Э. Скотт. — М.: Мир, 1981. С. 289–304.

Литература

415

63. Дирак П. А. М. Лекции по квантовой механике. — М.: Мир, 1968. 64. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. 65. Дирак П. А. М. К созданию квантовой теории поля. — М.: Наука, 1990. 66. Добронравов В. В. Основы аналитической механики. — М.: Высш. шк., 1976. 67. Докучаев В. П. К линейной теории обтекания тел. Метод силовых источников // ПММ. 1966. Т. 30, № 6. С. 1006–1014. 68. Должанский Ф. В. Лекции по геофизической гидродинамике. — М.: ИВМ РАН, 2006. 69. Дубинский Ю. А. Алгебра псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами и ее приложения к математической физике // УМН. 1982. Т. 37, № 5. С. 97–137. 70. Дубровин Б. А. О дифференциально-геометрических скобках Пуассона на решетке // Функцион. анализ и его прил. 1989. Т. 23, № 2. С. 57–59. 71. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 4. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985. С. 179–285. 72. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Гамильтонов формализм одномерных систем гидродинамического типа и метод усреднения Боголюбова—Уизема // ДАН СССР. 1983. Т. 270, № 4. С. 781–785. 73. Дубровин Б. А., Новиков С. П. О скобках Пуассона гидродинамического типа // ДАН СССР. 1984. Т. 279, № 2. С. 294–297. 74. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток. Дифференциальная геометрия и гамильтонова теория // УМН. 1989. Т. 44, № 6. С. 29–98. 75. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. — М.: Наука, 1985. 76. Ермаков С. А., Пелиновский Е. Н. К теории низкочастотного поверхностного волнения, индуцированного внутренними волнами в океане // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1976. Т. 12, № 3. С. 312–318. 77. Ермаков С. А., Пелиновский Е. Н. О роли нелинейных взаимодействий в формировании средних полей // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1977. Т. 13, № 5. С. 537–542. 78. Желнорович В. А. Спинор как инвариантный объект // ПММ. 1966. Т. 30, № 6. С. 1087–1097. 79. Желнорович В. А. Модели материальных сплошных сред, обладающих внутренним электромагнитным и механическим моментами. — М.: Изд-во МГУ, 1981. 80. Заславский Г. М., Сагдеев Р. З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. — М.: Наука, 1988. 81. Захаров В. Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости // ПМТФ. 1968. № 2. С. 86–94. 82. Захаров В. Е. Гамильтоновский формализм для гидродинамических моделей плазмы // ЖЭТФ. 1971. Т. 60, вып. 5. С. 1714–1726. 83. Захаров В. Е. Коллапс ленгмюровских волн // ЖЭТФ. 1972. Т. 62, вып. 5. С. 1745– 1760. 84. Захаров В. Е. Гамильтоновский формализм для волн в нелинейных средах с дисперсией // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17, № 4. С. 431–453.

416

Литература

85. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. Гамильтоновский формализм для систем гидродинамического типа. Новосибирск, 1982 (Препринт ИАЭ СО АН СССР; № 186). 86. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. Квазиклассическая теория трехмерного волного коллапса // ЖЭТФ. 1986. Т. 91, вып. 4(10). С. 1310–1324. 87. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. Гамильтоновский формализм для нелинейных волн // УФН. 1997. Т. 167, № 11. С. 1137–1167. 88. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А., Рубенчик А. М. Устойчивость солитонов. Новосибирск, 1983 (Препринт ИАЭ СО АН СССР; № 199). 89. Захаров В. Е., Львов В. С. О статистическом описании нелинейных волновых полей // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т. 18, № 10. С. 1470–1487. 90. Захаров В. Е., Манаков С. В. Теория резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейной среде // ЖЭТФ. 1975. Т. 69, вып. 5(11). С. 1654–1673. 91. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980. 92. Захаров В. Е., Рубенчик А. М. О нелинейном взаимодействии высокочастотных и низкочастотных волн // ПМТФ. 1972. № 5. С. 84–98. 93. Захаров В. Е., Фаддеев Д. Д. Уравнение Кортевега—де Фриза — вполне интегрируемая гамильтонова система // Функцион. анализ и его прил. 1971. Т. 5, № 4. С. 18–27. 94. Захаров В. Е., Филоненко Н. Н. Спектр энергии стохастических гравитационных волн // ДАН СССР. 1966. Т. 170, № 6. С. 1292–1296. 95. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции в нелинейных средах // ЖЭТФ. 1971. Т. 61, вып. 1(7). С. 118–134. 96. Ибрагимов Н. Х . Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983. 97. Ибрагимов Н. Х . Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // УМН. 1992. Т. 47, № 4. С. 83– 144. 98. Иногамов Н. А., Демьянов А. Ю., Сон Э. Е. Гидродинамика перемешивания. — М.: Изд-во МФТИ, 1999. 99. Исаев А. А., Ковалевский М. Ю., Пелетминский С. В. О гамильтоновом подходе к динамике сплошных сред // ТМФ. 1995. Т. 102, № 2. С. 283–296. 100. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1988. 101. Кадомцев Б. Б., Михайловский А. Б., Тимофеев А. В. Волны с отрицательной энергией в диспергирующих средах // ЖЭТФ. 1964. Т.47, вып. 6. С. 2266–2268. 102. Кантуэлл Б. Дж. Организованные движения в турбулентных потоках // Вихри и волны / Ред. П. Райнс, М. Холт, Ф. Буссе. — М.: Мир, 1984. С. 9–79. 103. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. — М.: Наука, 1973. 104. Кац Е. И., Лебедев В. В. Динамика жидких кристаллов. — М.: Наука, 1988. 105. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. — М.: Мир, 1978. 106. Кляцкин В. И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. — М.: Наука, 1975. 107. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения глазами физика (Основные положения, точные результаты и асимптотические приближения). — М.: Физматлит, 2001. 108. Кляцкин В. И. Диффузия и кластеризация пассивной примеси в случайных гидродинамических потоках. — М.: Физматлит, 2005.

Литература

417

109. Конторович В. М., Кравчик Х ., Тиме В. Гамильтоново описание непотенциального движения при наличии свободной поверхности в обычной и магнитной гидродинамике. Харьков, 1980 (Препринт ИРЭ АН УССР; № 158). 110. Косевич А. М., Иванов Б. А., Ковалев А. С. Нелинейные волны, волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. — Киев: Наук. думка, 1983. 111. Красильников В. А., Павлов В. И., Треблер П. М. Гамильтонов подход к задачам об излучении звука движущимися источниками массы // Акуст. журн. 1976. Т. 27, № 4. С. 539–545. 112. Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. — М.: Мир, 1975. 113. Кузнецов Е. А. Представление вихревых линий для течений идеальной и вязкой жидкости // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 76, вып. 6. С. 406–410. 114. Кузнецов Е. А. Интегральные критерии волновых коллапсов // Изв. вузов. Радиофизика. 2003. Т. 56, № 5–6. С. 342–358. 115. Кузнецов Е. А., Рубан В. П. Гамильтоновская динамика вихревых линий в системах гидродинамического типа // Письма в ЖЭТФ. 1998. Т. 67, вып. 12. С. 1015–1020. 116. Кузнецов Е. А., Рубан В. П. Коллапс вихревых линий в гидродинамике // ЖЭТФ. 2000. Т. 118, вып. 4(10). С. 893–905. 117. Кузьмин Г. А. Гидродинамика стратифицированной жидкости в терминах плотности импульса Ламба // ПМТФ. 1984. № 4. С. 25–31. 118. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1965. 119. Ламб Г. Гидродинамика. — М.: Гостехиздат, 1947. 120. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — М.: Наука, 1965. 121. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1973. 122. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986. 123. Лебедев В. В., Халатников И. М. Лагранжевы и гамильтоновы уравнения гидродинамики анизотропной сверхтекучей жидкости He3 -A // ЖЭТФ. 1977. Т. 73, вып. 4(10). С. 1537–1548. 124. Лебедев В. В., Халатников И. М. Гамильтоновы уравнения гидродинамики квантовой жидкости в присутствии солитонов // ЖЭТФ. 1978. Т. 75, вып. 6(12). С. 2313– 2316. 125. Линкин В. М., Шефер К., Мацыгорин И. А., Делер В., Мороз В. И., Дюбуа Р., Дьячков А. В., Шпенкух Д., Кержанович В. В., Эртель Д., Засова Л. В., Нопираковский И., Устинов Е. А., Беккер-Рос Х ., Липатов А. Н., Штадтхаус В., Шурупов А. А. Инфракрасный эксперимент на АМС «Венера-15» и «Венера-16» // Космич. исслед. 19785. Т. 23, № 2. С. 248–258. 126. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика, Часть 2, Теория конденсированного состояния. — М.: Наука, 1978. 127. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979. 128. Львов В. С. Нелинейные спиновые волны. — М.: Наука, 1987. 129. Маделунг Э. Математический аппарат физики. — М.: Физматгиз, 1960. 130. Маслов В. П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973. 131. Мигдал А. А. Вихревое уравнение Фокера—Планка // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. / Ред. А. В. Гапонов-Грехов, М. И. Рабинович. — М.: Наука, 1987. С. 159–174.

418

Литература

132. Милн—Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964. 133. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Изд-во МГУ, 1980. 134. Моисеев С. С., Сагдеев Р. З., Тур А. В., Яновский В. В. Об интегралах вмороженности и лагранжевых инвариантах в гидродинамических моделях // ЖЭТФ. 1982. Т. 83, вып. 1(7). С. 215–226. 135. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидродинамика. Т. 2. — М.: Наука, 1967. 136. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. — М.: Мир, 1980. 137. Мохов О. И. Симплектические и Пуассоновы структуры на пространствах петель гладких многообразий и интегрируемые системы // УМН. 1998. Т. 53, № 3. С. 85– 192. 138. Новиков Е. А. Обобщенная динамика трехмерных вихревых особенностей (вортонов) // ЖЭТФ. 1983. Т. 84, вып. 3. С. 975–981. 139. Новиков С. П. Гамильтонов формaлизм и многозначный аналог теории Морса // УМН. 1982. Т. 37, № 5. С. 3–49. 140. Новиков С. П. Геометрия консервативных систем гидродинамического типа. Метод усреднения для теоретико-полевых систем // УМН. 1985. Т. 40, № 4. С. 79–89. 141. Новиков С. П., Фоменко А. Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Наука, 1987. 142. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. 143. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. — М.: Мир, 1989. 144. Павлов В. И., Слабейциус Ю. Затухание поверхностной волны в океане, обусловленное излучением волн в атмосферу // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1983. Т. 19, № 5. С. 559–557. 145. Павлов В. И., Сухоруков А. И., Треблер П. М. К теории переходного излучения и переходного рассеяния поверхностных волн // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25, № 4. С. 412–417. 146. Паташинский А. З., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. — М.: Наука, 1982. 147. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. Т. 1. — М.: Мир, 1984. 148. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. Т. 2. — М.: Мир, 1984. 149. Пелиновский Е. Н. Распространение волн в статистически неоднородном океане // Нелинейные волны. / Ред. А. В. Гапонов-Грехов. — М.: Наука, 1979. С. 331–355. 150. Петвиашвили В. И., Похотелов О. А. Уединенные волны в плазме и атмосфере. — М.: Энергоатомиздат, 1989. 151. Питаевский Л. П. Вихревые нити в идеальном Бозе–газе // ЖЭТФ. 1961. Т. 18, вып. 2. С.646–651. 152. Погуце О. П., Грузинов А. В. Контурная динамика конвекции замагниченной плазмы // Письма в ЖЭТФ. 1992. Т. 55, вып. 9. С. 509–511. 153. Покровский В. Л., Халатников И. М. Гамильтонов формализм в классической и двухжидкостной гидродинамике // Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 23, вып. 11. С. 653–656. 154. Потемкин Г. В. О скобках Пуассона дифференциально-геометрического типа // ДАН СССР. 1986. Т. 286, № 1. С. 39–42.

Литература

419

155. Рабинович М. И., Сущик М. М. Когерентные структуры в турбулентных течениях // Нелинейные волны. Самоорганизация. / Ред. А. В. Гапонов-Грехов, М. И. Рабинович. — М.: Наука, 1983. С. 58–84. 156. Раевский М. А. О рассеянии и трансформации волн в средах с пространственновременными случайными параметрами. Горький, 1983 (Препринт ИПФ АН СССР; № 81). 157. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Наука 1967. 158. Романова Н. Н. Резонансные взаимодействия внутренних волн в атмосферных сдвиговых течениях с участием маргинально неустойчивых мод // Изв. РАН. Физ. атмосф. и океана. 1998. Т. 34, № 6. С. 755–761. 159. Романова Н. Н., Анненков С. Ю. Трехволновое резонансное взаимодействие с участием неустойчивых волновых пакетов // Докл. РАН. Сер. механика. 2003. Т. 391, № 5. С. 628-633. 160. Романова Н. Н., Якушкин И. Г. Гамильтоново описание движений в идеальной расслоенной жидкости // Докл. РАН. Сер. механика. 2001. Т. 380, № 5. С. 630–634. 161. Рытов С. М., Кравцов Ю. А., Татарский В. И. Введение в статистическую радиофизику. Т. 2: Случайные поля. — М.: Наука, 1978. 162. Салтанов Н. В. Аналитическая гидромеханика. — Киев: Наук. думка, 1984. 163. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. — М.: Наука, 1973. 164. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2. — М.: Наука, 1973. 165. Селиджер Р. Л., Уитем Г. Б. Вариационные принципы в механике сплошной среды // Механика. 1969. № 5. С. 99–123. 166. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. — М.: Издво иностр. лит., 1963. 167. Сокольников И. С. Тензорный анализ. — М.: Наука, 1971. 168. Сэфмэн Ф. Дж. Динамика вихрей. — М.: Научный мир, 2000. 169. Структурная турбулентность: Сб. науч. тр. ИТФ СО АН СССР. — Новосибирск, 1982. 170. Татарский В. И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. — М.: Наука, 1967. 171. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. — М.: Наука, 1986. 172. Тода М. Теория нелинейных решеток. — М.: Мир, 1984. 173. Турбулентные сдвиговые течения. 2 / Ред. Л. Дж. С. Брэдбери, Ф. Дурст, Б. Е. Лаундер, Ф. В. Шмидт, Дж. Г. Уайтлоу. — М.: Машиностроение, 1983 174. Уиттекер Э. Т. Анлитическая динамика. — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. 175. Федорченко А. М., Коцаренко Н. Я. Абсолютная и конвективная неустойчивость в плазме и твердых телах. — М.: Наука, 1981. 176. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968. 177. Ферми Э. О тейлоровской неустойчивости // Э. Ферми. Научные труды. Т. 2. — М.: Наука, 1972. С. 490–492. 178. Ферми Э. Тейлоровская неустойчивость несжимаемой жидкости // Э. Ферми. Научные труды. Т. 2. — М.: Наука, 1972. С. 493–497.

420

Литература

179. Ферми Э., фон Нейман Дж. Тейлоровская неустойчивость на границе двух несжимаемых жидкостей // Э. Ферми. Научные труды. Т. 2. — М.: Наука, 1972. С. 498–501. 180. Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. — М.: Изд-во МГУ, 1983. 181. Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. — М.: Изд-во МГУ, 1988. 182. Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей / Ред. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, М. А. Соколовский. — Москва; Ижевск: ИКИ, 2003. 183. Халатников И. М. Теория сверхтекучести. — М.: Наука, 1971. 184. Царев С. П. О скобках Пуассона и одномерных гамильтоновых системах гидродинамического типа // ДАН СССР. 1985. Т. 282, № 3. С. 534–537. 185. Шварц А. С. Квантовая теория поля и топология. — М.: Наука, 1989. 186. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974. 187. Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М.: Мир, 1984. 188. Якоби К. Лекции по динамике. — Москва; Ленинград: ГОНТИ, 1936. 189. Abarbanel H. D. I., Holm D. D., Marsden J . E., Ratiu T. S. Nonlinear stability analysis of stratified fluid equilibria // Philos. Trans. R. Soc. London. 1986. Ser. A318. P. 349– 409. 190. Abramowitz M., Stegun I. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — Washington, D.C.: U.S. Government Printing Office, 1972. 191. Alonso L. M., Medina E. Exact solutions of integrable 2D contour dynamics // Phys. Lett. Ser. B. 2005. V. 610, N 3/4. P. 277–282 192. Aref H. Intergrable, chaotic and turbulent vortex in two-dimentional flow // Ann. Rev. Fluid Mech. 1983. V. 15. P. 345–389. 193. Bateman H. Notes on a differential equation which occurs in the two-dimentional motion of a compressible fluid and the associated variational problems // Proc. Roy. Soc. London. 1929. Ser. A. V. 125, N 799. P. 598–618. 194. Bateman H. Partial differential equations of mathematical physics. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1932. 195. Benjamin T. B. Internal waves of permanent form in fluids of great depth // J. Fluid Mech. 1967. V. 29. P. 559–592. 196. Bowman S. A note on Hamiltonian structure // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1987. V. 102. P. 172–189. 197. Bretherton F. P. A note on hamilton’s principle for perfect fluids // J. Fluid Mech. 1970. V. 44, pt. 1. P. 19–31. 198. Broer L. J . F., Kobussen J . A. Canonical transformations and generating functionals // Physica. 1972. V. 61. P. 275–288. 199. Broer L. J . F., Kobussen J . A. Conversion from material to local coordinates as a canonical transformation // Appl. Sci. Res. 1974. V. 29. P. 419–129. 200. Calkin M. G. An action principle for magnetohydrodynamics // Can. J. Phys. 1963. V. 41. P. 2241–2251. 201. Chaichian M., Nelipa N. F. Introduction to gauge field theories. Lecture Notes Phys. — Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer-Verlag, 1984. 202. Clebsh A. Ueber die integration der hydrodynamschen gleichungen // J. reine angew. Math. 1859. V. 56. P. 1–10.

Литература

421

203. Corless R. M., Gonnet G. H., Hare D. E., Jeffrey D. J ., Knuth D. E. On the Lambert W function // Adv. Comp. Math. 1996. V. 5. P. 329–359. 204. Derrick G. H. Comments on nonlinear wave equations as models for elementary particles // J. Math. Phys. 1964. V. 5, N 9. P. 1252–1254. 205. Detyna E. Perfect inviscid fluids and gauge theory // Am. Inst. Phys. Conf. Proc. 1982. V. 88. P. 99–107. 206. Dirac P. A. M. Generalized Hamiltonian dynamics // Can. J. Math. 1950. V. 2, N 2. P. 129–148. 207. Dirac P. A. M. Generalized Hamiltonian dynamics // Proc. Roy. Soc. Lond. Ser. A. 1958. V. 246. P. 326–332. 208. Dritschel D. G. Contour surgery: a contour dynamics method for long-time behaviour of two-dimensional, inviscid, rotational flow // J. Comp. Phys. 1988. V. 77. P. 240–266. 209. Dritschel D. G. The repeated filamentation for two-dimensional vorticity interfaces // J. Fluid Mech. 1988. V. 194. P. 511–547. 210. Dritschel D. G. Contour dynamics/surgery on the sphere // J. Comput. Phys. 1988. V. 79. P. 477–483. 211. Dzyaloshinskii I. E., Volovik C. E. Poisson brackets in condensed matter physics // Ann. Phys. 1980. V. 125. P. 67–97. 212. Eckart C. The electrodynamics of material media // Phys. Rev. 1938. V. 54. P. 598–618. 213. Eckart C. Variation principles of hydrodynamics // Phys. Fluids. 1960. V. 3, N 3. P. 421–427. 214. Faddeev L. D. Some comments on the many-dimensional solitons // Lett. Math. Phys. 1976. V. 1, N 4. P. 289–293. 215. Frenkel A., Levich E., Shtilman L. Hamiltonian descriotin of ideal MHD revealing new invariants of motion // Phys. Lett. Ser. A. 1982. V. 88, N 9. P. 461–465. 216. Gardner C. S. The Korteweg—de Vries equation and generalization I. The Korteweg—de Vries equation as a Hamiltonan system // J. Math. Phys. 1971. V. 12, N 8. P. 1548– 1551. 217. Goncharov V . P., Gryanik V . M., Pavlov V . I. Venusian “hot spots”: Physical phenomenon and its quantification // Phys. Rev. Ser. E. 2002. V. 66(6), 066304(11). DOI: 10.1103/PhysRevE.66.066304 218. Goncharov V . P., Pavlov V . I. Some Remarks on the Physical Foundation of the Hamiltonian Description of Fluid Motions // Eur. J. Mech., B/Fluids. 1997. V. 16, N 4. P. 509–555. 219. Goncharov V . P., Pavlov V . I. On the Hamiltonian approach: Applications to geophysical flows // Nonlin. Proc. Geophys. 1998. N. 5. P. 219–240. 220. Goncharov V ., Pavlov V . Large-scale vortex structures in shear flows // Eur. J. Mech., B/Fluids. 2000. V. 19, N 6. P. 831–854. 221. Goncharov V . P., Pavlov V . I. Multipetal vortex structures in two-dimensional models of geophysical fluid dynamics and plasma // JETP. 2001. V. 119, N 4. P. 685-699. 222. Goncharov V . P., Pavlov V . I. Cyclostrophic vortices in polar regions of rotating planets // Nonlin. Proc. Geophys. 2001. N 4/5. P. 301-311. 223. Goncharov V ., Pavlov V . Null-modes effect in Rossby wave model // Nonlin. Proc. Geophys. 2004. N. 11. P. 281–293. 224. Goncharov V ., Pavlov V . Model of compactons on jet streams and their collapse // Phys. Rev. Ser. E. 2007. V. 76(6), 066314(15). DOI: 10.1103/PhysRevE.76.066314

422

Литература

225. Green J . M. Noncononial Hamiltonian mechanics // Am. Inst. Phys. Conf. Proc. 1982. V. 88. P. 91–98. 226. Henyey F. S. Canonical construction of a Hamiltonian for dissipation-free magnetohydrodynamics // Phys. Rev. Ser. A. 1982. V. 26, N 1. P. 480–483. 227. Henyey F. S. Gauge groups and noether’s theorem for continuum mechanics // Am. Inst. Phys. Conf. Proc. 1982. V. 88. P. 85–89. 228. Henyey F. S. Hamiltonian description of stratified fluid dynamics // Phys. Fluid. 1983. V. 26, N 1. P. 40–47. 229. Herivel J . W . The derivation of the equations of motion of an ideal fluid by Hamilton’s principle // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1955. V. 51, pt. 2. P. 344–349. 230. Holm D. D., Kupershmidt B. A. Poisson structures for superfluids // Phys. Lett. 1982. Ser. A. V. 91. P. 425–430. 231. Holm D. D., Kupershmidt B. A. Poisson brackets and Clebsch representations for magnetohydrodynamics, multifluid plasmas, and elastcity // Physica D. 1983. V. 6. P. 347–363. 232. Holm D. D., Kupershmidt B. A. Hamiltonian formulation of ferromagnetic hydrodynamics // Phys. Lett. Ser. A. 1988. V. 129, N 2. P. 93–100. 233. Holm D. D., Marsden J . E., Ratiu T., Weinstein A. Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria // Phys. Reports. 1985. V. 123, N 1/2. P. 1–116. 234. Ito H. Variational principle in hydrodynamics // Progr. Theor. Phys. 1953. V. 9, N 2. P. 117–131. 235. Kimura Y ., Okamoto H. Vortex motion on a sphere // J. Phys. Soc. Japan. 1987. V. 56, N 12. P. 4203–4206. 236. Kuznetsov E. A., Mikhailov A. V . On the topological meaning of canonical Clebsch variables // Phys. Lett. Ser. A. 1980. V. 77, N 1. P. 37–38. 237. Li Y . A., Olver P. J . Convergence of solitary-wave solutions in a perturbed bi-Hamiltonian dynamical system: I. Compactons and peakons // Discrete Contin. Dynam. Systems. 1997. V. 3, N 3. P. 419–432. 238. Lecture notes on turbulence and coherent structures in fluids, plasmas and nonlinear media / Eds. M. Shats, H. Punzmann / World Scientific Lecture Notes in Complex Systems. V. 4. — New Jersey; London; Singapore; Beijing; Shanghai; Hong Kong; Taipei; Chennai: World Scientific, 2006. 239. Limaye S. S. Venus atmospheric circulation: Known and unknown // Adv. Space Res. 1990. V. 10, N 5. P. 91–101. 240. Lin C. C. Hydrodynamics of heluim II / Proceedings of the International Scool of Physics, Enrico Fermi. V. 21. — N. Y.; London: Acad. Press, 1963. P. 93–146. 241. Littlejohn R. G. Singular Poisson tensors // Am. Inst. Phys. Conf. Proc. 1982. V. 88. P. 47–66. 242. Lonquet-Higgins M. S. and Gill A. E. Resonant interactions between planetary waves // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1967. V. 299. P. 120-140. 243. Luke J . C. A variational principle for fluid with free surface // J. Fluid. Mech. 1967. V. 27, pt. 2. P. 395–397. 244. Lundgren T. S. Hamilton’s variational principle for a perfectly conducting plasma continuum // Phys. Fluids. 1963. V. 6, N 7. P. 898–904. 245. Lynch P. Hamiltonian methods for geophysical fluid dynamics: An introduction. IMA, University of Minnesota, Preprint 1838, 2002. http://www.ima.umn.edu/preprints/feb02/ 1838.pdf

Литература

423

246. Marsden J . E., Weinstein A. The Hamiltonian structure of the Maxwell—Vlasov equations // Physica D. 1982. V. 4. P. 394–406. 247. Marsden J . E., Weinstein A. Coadjoint orbits, vortices and Clebsch variables for incompressible fluids // Physica D. 1983. V. 7. P. 305–323. 248. Marsden J . E., Ratiu T. S. Introduction to mechanics and symmetry. Texts in Applied Mathematics, V. 17, 2nd ed. — N. Y.: Springer-Verlag, 1998. 249. McIntyre M. E., Shepherd T. G. An exact local conservation theorem for finite-amplitude disturbances to non-parallel shear flows, with remarks on Hamiltonian structure and on Arnol’d’s stability theorems // J. Fluid Mech. 1987. V. 181. P. 527–565. 250. Moffatt H. K. The degree of knottedness of tangled vortex lines // J. Fluid Mech. 1969. V. 35. P. 117–129. 251. Moffat H. K. Magnetic field generation in electrically conducting fluids. Lecture Notes Phys. — Cambridge: University Press, 1978. 252. Moffat H. K. The topological (as opposite to the analytical) approach to fluid and plasma flow problems // Topological Fluid Mechanics. / Eds. H. K. Moffat, A. Tsinober. — Cambridge: University Press, 1990. P. 1–10. 253. Morrison P. J . The Maxwell—Vlasov equations as a continuous Hamiltonian system // Phys. Lett. Ser. A. 1980. V. 80, N 5/6. P. 383–386. 254. Morrison P. J . Poisson brackets for fluids and plasmas // Am. Inst. Phys. Conf. Proc. 1982. V. 88. P. 13–46. 255. Newel A. C. Rossby wave packet interactions // J. Fluid Mech. 1969. V. 35, pt. 2. P. 255–271. 256. Newel A. C. The Post Bifurcation Stage of Baroclinic Instability // J. Atmos. Sci. 1972. V. 29. P. 291–299. 257. Newman M., Schubert G., Kliore A., Patel I. Zonal winds in the middle atmosphere of Venus from Pionear Venus radio occultation data // J. Atmos. Sci. 1984. V. 41. P. 1901–1913. 258. Ono H. Algebraic solitary waves in stratified fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1975. V. 39, N. 4. P. 1082–1091. 259. Pandey J . N. The Hilbert transform of Schwartz distributions and applications. — N. Y.: Wiley, 1996. 260. Penfield P. Hamilton’s principle for fluids // Phys. Fluids. 1966. V. 9, N 6. P. 1184– 1194. 261. Penfield P., Haus H. A. Hamilton’s principle for electromagnetic fluids // Phys. Fluids. 1966. V. 9, N 6. P. 1195–1204. 262. Phillips N. A. Energy transformation and meridional circulation associated with simple baroclinic waves in a two-level quasigeostrophic model // Tellus. 1954. V. 6. P. 273– 286. 263. Pullin D. I. The nonlinear behavior of a constan vorticity layer at a wall // J. Fluid Mech. 1981. V. 108. P. 401–421. 264. Pullin D. I. Contour dynamics method // Ann. Rev. Fluid Mech. 1991. V. 24. P. 84–115. 265. Reznik G. M. Dynamics of singular vortices on a beta-plane // J. Fluid Mech. 1992. V. 240. P. 405–432. 266. Romanova N. N. Hamiltonian description of wave dynamics in nonequilibrium media // Nonlin. Proc. Geophys. 1994. N 1. P. 234–240. 267. Romanova N. N. Hamiltonian approach to the derivation of evolution equations for wave trains in weakly unstable media // Nonlin. Proc. Geophys. 1998. N 5. P. 241–253.

424

Литература

268. Romanova N. N., Annenkov S. Yu. Three-wave resonant interactions in unstable media // J. Fluid Mech. 2005. V. 539. P. 57–91. 269. Rosenau P. What is a compacton? // Notices of the AMS. 2005. V. 52, N 7. P. 738–739. 270. Ruban V . P., Senchenko S. L. Local approximation for contour dynamics in effectively two-dimensional ideal electron-magnetohydrodynamic flows // Phys. Scr. 2004. V. 69. P. 227–233. 271. Saffman P. G., Baker G. R. Vortex interactions // Ann. Rev. Fluid Mech. 1979. V. 11. P. 95–122. 272. Salmon R. Hamilton’s principle and Ertel’s theorem // Am. Inst. Phys. Conf. Proc. 1982. V. 88. P. 127–135. 273. Salmon R. Hamiltonian fluid mechanics // Ann. Rev. Fluid Mech. 1988. V. 20. P. 225– 256. 274. Salmon R. Lecture on geophysical fluid dynamics. — N. Y.; Oxford: Oxford University Press, 1997. 275. Satsuma J ., Ishimori Y . Periodic wave and rational solition solutions of Benjamin—Ono equation // J. Phys. Soc. Japan. 1979. V. 46, N 2. P. 681–687. 276. Schlomann E., Saunder J . H., Sirvetz M. H. L-band ferromagnetic resonance experiments at high peak power levels // Trans. IRE, MTT-8. 1960. V. 1. P. 96–100. 277. Schubert G., Covey A. Del Genio. Structure and circulation of the Venus atmosphere // J. Geophys. Res. 1980. V. 85, N A13. P. 8007–8025. 278. Soper D. E. Classical field theory. — N. Y.: Wiley, 1976. 279. Sudarshan E. C. G., Mukunda N. Classical dynamics: A modern perspective. — N. Y.: Wiley 1974. 280. Taylor F. W ., Beer R., Chahine M. T. Structure and meteorology of the middle atmosphere of Venus: Infrarared remote sensing from the Pioneer orbiter // J. Geophys. Res. 1980. V. 85, N A13. P. 7963–8006. 281. The role of coherent structures in modeling turbulence and mixing / Lecture Notes Phys. V. 136. — Berlin: Springer-Verlag, 1981. 282. Wipf A. W . Hamilton’s formalism for systems with constraints: Lectures given at the seminar “The canonical formalism in classical and quantum general relativity”, Bad Honnef, 1993. http://lanl.arxiv.org/abs/hep-th/9312078 283. Zabusky N. J ., Hughes M. H., Roberts K. V . Contour dynamics for the euler equations in two-dimensions // J. Comput. Phys. 1979. V. 30. P. 96–106. 284. Zabusky N. J ., McWilliams J . S. A modulated point vortex for geostrophic beta-plane dynamics // Phys. Fluids. 1982. V. 25, N 12. P. 2175–2182. 285. Zakharov V . E., Kuznetsov E. A. Hamiltonian formalism for systems of hydrodynamic type // Sov. Sci. Rev. Sec. C: Math. Phys. Rev. V. 4. / Ed. S. P. Novikov. — Harwood: Academic Publishers, 1984. P. 167-220.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Генератор преобразования 62 — калибровочного 95 — канонического 60

А Аксиоматический подход 70–74 Аннуляторы скобок Пуассона 44, 62 Антисимметризация тензора 35

Д 2-форма 34–36 — внешняя дифференциальная 35 — — условие замкнутости 35 — функциональная 35 — — невырожденная 36 Динамика контурная 212 — для бароклинной модели 236–238 — для послойных моделей 252–258 Директор 196, 197 Дифференцирование — функционала по параметру 25 — функциональное 21–26

Б Баланс — геострофический 404 — циклострофический 405 β-эффект 173, 237, 272 В Вектор — бинормали 239 — внутренней нормали — — к плоскому контуру 215 — — к поверхности 91 — главной нормали 239 — касательный 239 — — к плоскому контуру 215 — состояния 267 Вихрь — Хилла 361, 368 — абсолютный 155 — потенциальный 225 — точечный 165–168 Волны — Лэмба 288, 290 — Россби 276 — акустические 289, 290, 300, 309 — внутренние гравитационные 307, 309 — поверхностные 270, 298, 308 — ударные 351, 352 — уединенные 351, 352 Вортоны 51 Высота однородной атмосферы 285, 304

З Завихренность — ковариантная 333 — конравариантная 333 Закон — дисперсии — — акустических волн 289, 300, 309 — — внутренних гравитационных волн 309 — преобразования элемента объема 157 — сохранения — — генератора преобразования 63 — — импульса 65, 72, 78 — — массы 72 — — момента количества движения 65 — — энергии 65 Зоны — волновой неустойчивости 279 — волновой устойчивости 279

Г Гамильтониан 27 — Дирака 222, 224 — волновых взаимодействий 268 — локальный 32 — укороченный 378, 379, 395

И Импульс — жидкой частицы 160 — обобщенный 27, 89, 126, 192, 377 — полный 21, 78

425

426 Инвариант — Казимира 44–49 — движения 44, 59 — динамический 59, 61–65 — калибровочный 95, 97 — лагранжев 93, 95–96 — спиральности 47 — топологический 47 Инвариантность — галилеева 74, 76 — калибровочная 39, 94 — — представления Клебша 207 — лоренцевская 76 — трансляционная 63 Инволюция — интегралов движения 65 — полей или динамических переменных 80, 81, 106 Интеграл — в смысле главного значения по Коши 327 — вихревого импульса 228, 370 — действия 41 — — для баротропной спиновой жидкости 132 — — для модели вихревой нити 43 — самодействия для точечных вихрей 168 — субстанциональный 71, 90, 92 Интенсивность — вихревой нити 43, 48, 240 — вихревой пелены 369, 386, 396 — вихря 411 — излучения 313 К Казимиры 44 Калибровка — кулоновская 137, 192, 205 — функции тока Стокса 369 Классификация — вихревых структур — — в осесимметричной модели 359–362 — — в плоской модели 349–358 — гидродинамических скобок Пуассона 118 — калибровочных преобразований 67 — канонических координат 94 — континуальных волновых систем 260 — некоммутативных переменных 109 — связей 136 — топологическая гидродинамических полей 92–93 — точек равновесия 263–264

Предметный указатель — точек синхронизма 292–294 Коллапс 374 — автомодельный 379–380, 394–396 — слабый 380 Компактон 330, 371 Компоненты — гидродинамической скорости — — ковариантные 162 — — контравариантные 157 — ковариантные и контравариантные вектора 127 — собственной функции 287, 288, 296 Координаты — вмороженные в жидкость 159 — изотермические (конформные) 234 — коллективные 377 — лагранжевые 98 — нормальные 260 — обобщенные 27, 261 — поверхностные 231 — текущие жидкой частицы 98 — физические жидкой частицы 160 Коэффициент — взаимодействия — — волнового 268, 277, 312 — — обменного 111 — — поверхностных и внутренних гравитационных волн 319 — нормировочный 281, 282, 288, 289, 300, 308, 309 — теплового расширения 405, 411 Кривизна — контура 219 — — геодезическая на криволинейной поверхности 249 — пространственной кривой 239 Л Лагранжиан — начальный 130 — расширенный 132 М Метод — Дирака 135–136 — — в контурной динамике 221 — — модификация 192 — Хироты 332 — контурной динамики 212 — линеаризации 262 — нахождения гамильтоновой структуры 118–129 — нормальных мод 260, 310

Предметный указатель — скобок Пуассона 110, 196 — удвоения переменных 38–39 — функции Грина 224 Модель — Филлипса 180–181 — Хасегавы– Мима 397 — адвективная 79–80 — вихревого погранслоя — — в нейтрально стратифицированной жидкости 330–332 — — со свободной границей 385 — — со скачком плотности 381–396 — вихревой нити 42–43, 239–244 — волн Россби 272–274 — волновая — — анизотропная 272–278 — — неоднородная 284–290 — — неравновесная 279–283 — — однородная 264–265 — — океан– атмосфера 295–309 — — равновесная 266–271 — дискретная, коллапса 377–379 — жидкости — — с дополнительными коммутативными полями 131 — — сверхтекучей 114–117 — — сжимаемой баротропной 73 — — ферромагнитной 110–113 — — электронной, аксиальная 397 — квазигеострофическая — — бароклинная 171 — — баротропная 171 — — бездивергентная 171 — — многослойная 178–181 — — многоуровенная 175–177 — — стратифицированного океана 172 — контура — — без вихревой пелены 217–224 — — с вихревой пеленой 227–230 — небаротропной жидкости — — изотермической, без сдвига 143–145 — — неизотермической, со сдвигом 145–148 — нематика 196 — — дискообразного 199 — — стержнеобразного 196–198 — несжимаемой жидкости — — двумерная 161–168 — — плоской, однородной 155 — — стратифицированной 150–155 — опрокинутой мелкой воды 385 — плазмы

427 — — бесстолкновительной 203 — — горячей 189 — — магнитогидродинамической 194–195 — — небаротропной 74 — — холодной 188 — свободного электромагнитного поля 137–140 — электронной плазмы — — нерелятивистской 188–190 — — релятивистской 190–194 Моды — гибридные 298 — нормальные 260 — нулевые 272, 276 Момент магнитный (спиновый) 110, 111, 118, 132 Н Неустойчивость — взрывная 269 — волновая 322 — гидродинамическая 330 — компактонных решений 379–380, 392–394 — решения по Ляпунову 376 — рэлей=тейлоровская 231, 294 Нить вихревая 48, 212, 239 О Оператор — Гильберта 384 — Лапласа 162 — Эйлера 25 — абсолютного дифференцирования 236, 249 — псевдодифференциальный 325–328 П Параметр — Кориолиса 169 — глубины модуляции слоя 331 — кривой натуральный 247 — натуральный 43 — нелинейности волны 331 — непрерывный спектральный 286, 288, 300 — преобразований 61–68 — стратификации 171 — трансляционный 64 Пелена вихревая 212, 216, 369 Переменные — Клебша 82 — канонические 27, 38

428 — — для поверхностных волн 55–57 — — для сверхтекучей жидкости 115–117 — — для ферромагнитной жидкости 112–113 — — нефизические 82, 94, 97 — — физические 94 — коммутативные 82, 131 — нормальные 260, 267 Плотность — вихревой пелены 215, 248, 330 — гамильтониана 32 — гидродинамического импульса 72 — завихренности (линейная) 48, 240 — импульса Лэмба 93 — массовая электронов и ионов 189 — нормальной и сверхтекучей компонент 114 — относительного импульса 110 — спектральная — — волнового поля 320 — — энергии излучаемых волн 313 — функционала 22 — числа частиц 206 Поле — вмороженное 93 — коммутативное 131 — самосогласованное 202 — свободное электромагнитное 66, 137 — сил тяжести 150, 382, 385 — спиновое 30 Потенциал — Клебша 39–40, 82 — векторный — — гидродинамической скорости 251 — — магнитного поля 66 — силы 143, 311 — электричекий 397 — электростатического взаимодействия 188 Правило — буравчика 49 — дифференцирования функционалов 23–24 — обращения с дискретными индексами 35 — положительного обхода контура 218 Представление Клебша 39–40 — для гидродинамического импульса 82 — для завихренности 163 — для импульса сверхтекучей компоненты 116

Предметный указатель — для квазигеострофического потенциального вихря 173 — для магнитного момента 113 — для модели релятивистской электронной плазмы 194 — для поля директора 200 — для потенциального вихря — — дискретный аналог 177 — для течений с нулевой спиральностью 105 — для функции распределения 208 — для функции тока 155 — ковариантное 158 — максимально редуцированное 100 — минимальное 85 — послойное для относительного потенциального вихря 180 Представление вихревых линий 206 Преобразование — Галилея 74 — Гильберта 327 — Гольдштейна– Примакова 47 — Клебша 39–40 — Фурье, симметричное 265 — калибровочное 65–68 — — глобальное 67 — — локальное 67 — каноническое 51–68 — — бесконечно малое 59 — — неунивалентное 57 — — точечное 54–58 — симметрии 59–68 — — конечное 61 — — однопараметрическое 62 Приближение — Буссинеска 172 — адиабатической атмосферы 171 — бесстолкновительное 201 — длинных волн 332 — квазигеострофическое 169 — конечно-разностное для гамильтониана 176 — нелинейной дисперсии 330, 348, 349, 370, 384 — слабой кривизны 222, 226 Принцип — вариационный наименьшего действия 41–43 — — в модели вихревой нити 43 — — в неканонических гамильтоновых системах 41 — — в спиновой жидкости 131–133

Предметный указатель — относительности Галилея 74–79 — суперпозиции для представления Клебша 83 Пробка вихревая — в осесимметричной модели 362 — в плоской модели 357–358 Производная — вариационная 21–26 — функционала по времени — — полная 25, 53 — — частная 25, 53, 62 — функциональная 21–26 Пространство — симплектическое 36 — фазовое 28 Пятна горячие вихревые 409 Р Радиус — деформации Россби 171, 272 — кривизны контура 226 — ларморовский ионный 397, 403 Редукция представления Клебша 97–105 Режим — невозмущенной струи 372 — равновесия 261 — — изотермического 144, 304 — — неизотермического 146 — уединенных вихрей 360 Решения — автомодельные 379–380, 394–396 — компактонные 374–376, 388–392 — солитонные 372–374, 386–387 С Свойство — Якоби 29 — антисимметричности 29 — однородности координатного пространства 33 Связи 73, 130, 134–140 — вторичные 136 — второго рода 136 — латентные 131, 133 — первичные 134 — первого рода 136 Сила — Кориолиса 87 — Лоренца 88 — гироскопическая 88 Символ — Кристоффеля 236, 249 — Леви– Чивита 31

429 — дельта Кронекера 24, 30 — псевдодифференциального оператора 336 Системы — гамильтоновы 27–33 — — гидродинамические, адвективного типа 71–80 — — гидродинамические, неадвективного типа 106–110 — — канонические 27 — — неканонические 27 — негамильтоновы 38 Скобки — Дирака 136 — Пуассона 28–33 — — вырожденные 44–49 — — изотропные 33 — — локальные 31 — — невырожденные 34 — — порядок 32 — — структура 33 — — трансляционно инвариантные 33 — — фундаментальные 28 Соленоидальность поля вихря 48, 240 Соотношения взаимности 95 Состояние — неравновесное (неустойчивое) 262–264 — основное (фоновое) 261 — равновесное (устойчивое) 262–264 Спин 110 Спиральность 47–49, 104–105, 117, 190, 194 Структура — гамильтонова 27 — — баротропной спиновой жидкости 118–120 — — 2D-вихревых течений 213–216 — — несжимаемой неоднородной жидкости 122–129 — — несжимаемой однородной жидкости 120–122 — — скрытая 31 — симплектическая 36 — скобок Пуассона 33, 51 Структуры — вихревые — — пристеночные 354–357 — — центральные 353 — — N -лепестковые 400–404 — доминирующие 322 Суперротация в атмосфере Венеры 410

430 Т Тензор — Пуассона 28 — Якоби 29 Теорема — Вика 320 — Дарбу 37, 44 — Лиувилля 263 — Ляпунова 375 — Нетер 59, 60, 63 — Пуассона 65 — Стокса 48 Течение — Куэтта 363 — Пуазейля 347 — осесимметричное — — равнозавихренное 368 Течения — двумерные 161 Тождество Якоби 29 Точка коллапса 394 Точки — равновесия гамильтоновой системы 263 — синхронизма 292 — стационарные (равновесия) 261 Трубка вихревая 104, 212 У Уравнение — Бенджамина– Оно 331 — Власова– Максвелла 208 — КП (Кадомцева– Петвиашвили) 28 — КдВ (Кортевега– де Вриза) 20, 28, 63 — Ландау– Лифшица 30 — Пуассона 189 — Эйлера 72 — — в форме Громеки–Лэмба 120 — вихревого пограничного слоя 332 — движения вихревой нити 43, 241, 242 — завихренности для плотности гидродинамического импульса 123 — идентификации частиц 146 — кинетическое — — Больцмана 201 — — Власова 203 — — бесстолкновительное 201 — неразрывности 72 — сохранения квазигеострофического потенциального вихря 170 — эволюции вихря 31, 163 Уравнения — МГД (магнитогидродинамики) 194

Предметный указатель — движения — — Максвелла (свободного электромагнитного поля) 137 — — баротропной спиновой жидкости 118 — — коммутативных гидродинамических полей 87 — — несжимаемой неоднородной жидкости 123 — — несжимаемой однородной жидкости 120 — — релятивистской плазмы 190 — — стержнеобразного нематика 198 — — точечных вихрей 166 — — ферромагнитной жидкости 111 — — электронной жидкости 188 — контурной динамики — — без вихревой пелены 220 — — с вихревой пеленой 230 Условие — бездивергентности — — жидкости 122 — — фазового потока 263 — волновой фазировки 314 — гладкости контура 399 — замкнутости — — 2-формы 35 — — контура 400, 401 — каноничности 39, 81, 167 — коммутативности 106, 107 — консервативности системы 79 — непрерывности — — нормальных компонент скорости на границах раздела 334 — — функции тока 334 — — функции тока на границе раздела 325 — непротекания 120 — непротиворечивости для связей 136, 139 — несжимаемости 40, 73, 120, 121, 123, 150, 151, 162, 186 — нормировки собственных функций 266 — отсутствия — — зарядов 67 — — нормальных составляющих скорости на внешних твердых границах 334 — потенциальности сверхтекучей компоненты 114 — резонансное волновое 269 — самокасания контура 402

431

Предметный указатель — свободной границы 385 — синхронизма волновое 269 — слабого коллапса 380 — субстанциональности жидкой поверхности 90 — существования — — вариационного принципа наименьшего действия 42 — — компактонных решений 375, 391 — — солитонных решений 372, 387 — фазировки 319 Ф Формализм — гамильтоновский — — канонический 30 — нормальных мод 260 Формула — Коши 214 — обращения для псевдодифференциального оператора 326 Формулы Френе — для плоской кривой 223 — для пространственной кривой 239 — криволинейный аналог 249 Функционал 21–26 — Казимира 44 — линейный 22 — локально-полевой 22 — производящий 53–58 — тождественного преобразования 59 Функция — Грина 121, 123, 167, 220, 225, 407 — Ламберта 356 — Хевисайда 90, 185 — дифференциальная 393 — корреляционная парная 320 — пробная 377 — распределения частиц 201 — тока Стокса 369 — характеристическая субстанциональная 72

Х Характеристики кинетического уравнения 201 Ц Циркуляция 48, 240 Ч Частота Брента– Вяйсяля 171 Число — Атвуда 380 — Маха 316 — Рейнольдса 357, 367 — Россби 169, 237 — зарядовое 189 — зацеплений (витков) 48 — степеней свободы 99 Ш Ширина скин-слоя 224, 397, 403 Э Энергия — внутренняя ферромагнитной жидкости 111 — жидкости — — кинетическая 21 — — полная 61 — — потенциальная 111 — полная электронной жидкости 188 — свободного электромагнитного поля 66 — электронной жидкости — — тепловая 189 — электростатического взаимодействия 203 Эффект — Доплера 318 — гибридизации 291–292 — самодействия для точечных вихрей 168 — секулярного роста 97 — филаментации контура 339

Научное издание

Виктор Петрович Гончаров Вадим Иванович Павлов

ГАМИЛЬТОНОВАЯ ВИХРЕВАЯ И ВОЛНОВАЯ ДИНАМИКА

Редактор И. М. Ерофеева

Подписано к печати 20.04.2008 Формат 70 ×100 1/16. Бумага офсет № 1, 80 г/м2 Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л. 36,0. Уч.-изд. л. 35,0. Тираж 300 экз. Тип. ВТИИ. Москва, зак. № . Издательство ПК ГЕОС 125315, 1-й Амбулаторный пр., 7/3-114. Тел./факс: (495) 152-19-14, тел. 230-80-92. Факс: (495) 953-07-60 E-mail: geos@ ginras.ru