Математическая логика. Курс лекций

Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ «®£¨ª  ‚. …. «¨±ª®

1. °¥¤¬¥² ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¨

 §¢ ­¨¥ ¤¨±¶¨¯«¨­», ª®²®°³¾ ¬» ­ ·¨­ ¥¬ ¨§³· ²¼, ±®±²®¨² ¨§ ¤¢³µ ±«®¢: À«®£¨ª Á ¨ À¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿Á. ‹®£¨ª  ®¡»·­® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª ª ­ ³ª  ® ±¯®±®¡ µ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¨ ®¯°®¢¥°¦¥­¨©. ‘«®¢® À¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿Á ¢ ­ §¢ ­¨¨ ¨§³· ¥¬®© ­ ¬¨ ¤¨±¶¨¯«¨­» ¨¬¥¥² ¤¢®¿ª¨© ±¬»±«. ‚®-¯¥°¢»µ, ®­® ®§­ · ¥², ·²® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ «®£¨ª  | ½²® ° §¤¥« ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, § ­¨¬ ¾¹¨©±¿ ¯°¨¬¥­¥­¨¥¬ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ¬¥²®¤®¢ ¢ «®£¨ª¥. ‚ ½²®¬ ±¬»±«¥ ®­  ±°®¤­¨ ² ª¨¬ ° §¤¥« ¬ ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, ª ª ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ «¨­£¢¨±²¨ª , ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ ±² ²¨±²¨ª , ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ ´¨§¨ª  ¨ ¤°. ® ¥±²¼ ¨ ¤°³£®© ¢ ¦­»© ±¬»±« ¢ ±«®¢¥ À¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿Á: ½²® ±«®¢® ®§­ · ¥², ·²® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ «®£¨ª  ¨§³· ¥² ±¯®±®¡» ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¨ ®¯°®¢¥°¦¥­¨©, ². ¥. ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ° ±±³¦¤¥­¨©. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª³¾ «®£¨ª³ ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ª ª ­ ³ª³ ® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ° ±±³¦¤¥­¨¿µ, ¯®«¼§³¾¹³¾±¿ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¬¨ ¬¥²®¤ ¬¨. ®²°¥¡­®±²¼ ¢ ² ª®© ­ ³ª¥ ¢®§­¨ª«  ¢ ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ¢ ª®­¶¥ XIX { ­ · «¥ XX ¢¥ª®¢. Š ª®­¶³ XIX ¢¥ª  ¢ ° ¡®² µ Š®¸¨, ®«¼¶ ­®, ‚¥©¥°¸²° ±± , Š ­²®° , „¥¤¥ª¨­¤  ¨ ¤°. ¡»«  § ¢¥°¸¥­  ² ª ­ §»¢ ¥¬ ¿  °¨´¬¥²¨§ ¶¨¿ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£®  ­ «¨§ .   ¬¥±²® ²³¬ ­­®© £¥®¬¥²°¨·¥±ª®© ¨­²³¨¶¨¨ ¯°¨¸«® ²®·­®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®£® ·¨±«  ª ª ®¡º¥ª² , ¯®«³·¥­­®£® ­¥ª®²®°®© ²¥®°¥²¨ª®-¬­®¦¥±²¢¥­­®© ª®­±²°³ª¶¨¥© ¨§ ­ ²³° «¼­»µ, ¶¥«»µ ¨ ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥«, ² ª ·²® ±¢®©±²¢  ¤¥©±²¢¨²¥«¼­»µ ·¨±¥« ¢ ª®­¥·­®¬ ±·¥²¥ ±¢®¤¨«¨±¼ ª ±¢®©±²¢ ¬ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«. ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ”°¥£¥ ° §¢¨« ²¥®°¨¾ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« ¢ ° ¬ª µ ª ­²®°®¢±ª®© ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨©  ­ «¨§ ¨ ¢±¥ ®±­®¢ ­­»¥ ­  ­¥¬ ° §¤¥«» ¬ ²¥¬ ²¨ª¨ ¡»«¨ ±¢¥¤¥­» ª ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢ ¨, ª § «®±¼, ¯®«³·¨«¨ ¥¤¨­®¥ ¨ ¯°®·­®¥ ®¡®±­®¢ ­¨¥. ¥³¤¨¢¨²¥«¼­® ¯®½²®¬³, ·²® ®¡­ °³¦¥­¨¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨© ¢ ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢ ¿¢¨«®±¼ ¤° ¬ ²¨·¥±ª¨¬ ±®¡»²¨¥¬ ¢ ¨±²®°¨¨ ¬ ²¥¬ ²¨ª¨.  ±±¬®²°¨¬ ¤¢  ² ª¨µ ¯°®²¨¢®°¥·¨¿.  ° ¤®ª± Š ­²®°  (1899). ³±²¼ M | ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¬­®¦¥±²¢, ·¥°¥§ P (M) ®¡®§­ · ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¥£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢. ® ²¥®°¥¬¥ Š ­²®°  ¬®¹­®±²¼ ¬­®¦¥±²¢  M ±²°®£® ¬¥­¼¸¥ ¬®¹­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  P (M). ® P (M)  M, ² ª ª ª M ±®¤¥°¦¨² ¢ ±¥¡¥ ¢±¥ ¬­®¦¥±²¢ . ‡­ ·¨², ¬®¹­®±²¼ ¬­®¦¥±²¢  P (M) ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² ¬®¹­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  M. ®«³·¨«¨ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥.  ° ¤®ª±  ±±¥«  (1903). ³±²¼ T | ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¬­®¦¥±²¢, ª®²®°»¥ ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ±¢®¨¬¨ ½«¥¬¥­² ¬¨, ². ¥. T = fxjx 62 xg. ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, x 2 T ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  x 62 x. ‚§¿¢ §¤¥±¼ T ¢ ª ·¥±²¢¥ x, ¯®«³· ¥¬, ·²® T 2 T ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  T 62 T . ²® ² ª¦¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥. ‚ 1908 £®¤³ ­¥¬¥¶ª¨© ¬ ²¥¬ ²¨ª –¥°¬¥«® ¯°¥¤«®¦¨« ±¨±²¥¬³  ª±¨®¬ ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢, ª®²®° ¿ ¢¯®±«¥¤±²¢¨¨ ¡»«  ° ±¸¨°¥­  ”°¥­ª¥«¥¬ ¨ ­®±¨² ­ §¢ ­¨¥ ±¨±²¥¬» –¥°¬¥«® { ”°¥­ª¥«¿ ZF. €ª±¨®¬» ZF ¨ ¤°³£¨µ ¨§¢¥±²­»µ  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ¯®¤®¡° ­» ² ª, ·²® ­  ¨µ ®±­®¢¥ ¬®¦­® ¤®ª § ²¼ ¢±¥ ®¡»·­»¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ²¥®°¥¬», ­® ­¥«¼§¿ ¢®±¯°®¨§¢¥±²¨ ¨§¢¥±²­»¥ ¯ ° ¤®ª±».  ¯°¨¬¥°, ¯ ° ¤®ª±» Š ­²®°  ¨  ±±¥«  ­¥ ¢®§­¨ª ¾² ¯®²®¬³, ·²® ¢ ²¥®°¨¨ ZF ­¥ ³¤ ¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® ±®¢®ª³¯­®±²¼ ¢±¥µ ¬­®¦¥±²¢ ¨ À¬­®¦¥±²¢®Á T ¿¢«¿¾²±¿ ¬­®¦¥±²¢ ¬¨, ¯®±ª®«¼ª³ ¢ ½²®© ²¥®°¨¨  ª±¨®¬» ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¬­®¦¥±²¢ ¯®§¢®«¿¾² ®±³¹¥±²¢«¿²¼ ®¡»·­»¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ²¥®°¥²¨ª®-¬­®¦¥±²¢¥­­»¥ ª®­±²°³ª¶¨¨, ­® ®£° ­¨·¨¢ ¾² ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ± ¬®£® ¢ ¦­®£® ª ­²®°®¢±ª®£® ¯°¨­¶¨¯  | ² ª ­ §»¢ ¥¬®£® ¯°¨­¶¨¯  ±¢¥°²»¢ ­¨¿, ±®£« ±­® ª®²®°®¬³, ª ª®¢® ¡» ­¨ ¡»«® ¤ ­­®¥ ±¢®©±²¢®, ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¬­®¦¥±²¢®, ±®±²®¿¹¥¥ ¢ ²®·­®±²¨ ¨§ ¢±¥µ ²¥µ ®¡º¥ª²®¢, ª®²®°»¥ ®¡« ¤ ¾² ½²¨¬ ±¢®©±²¢®¬. Ž¤­ ª® ²®² ´ ª², ·²® ¢  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª®© ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢ ­¥ ³¤ ¥²±¿ ¢®±¯°®¨§¢¥±²¨ ¨§¢¥±²­»¥ ¯ ° ¤®ª±», ¥¹¥ ­¥ ®§­ · ¥², ·²® ¯ ° ¤®ª±» (². ¥. ¯°®²¨¢®°¥·¨¿) §¤¥±¼ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ­¥¢®§¬®¦­». —²®¡» ±²°®£® ¤®ª § ²¼ ­¥¤®ª §³¥¬®±²¼ ¯°®²¨¢®°¥·¨¿, ­³¦­® ¨§³· ²¼ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ . ²¨¬ ¢ ®±­®¢­®¬ ¨ § ­¨¬ ¥²±¿ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ «®£¨ª .

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2. ‹®£¨ª  ¢»±ª §»¢ ­¨© 2.1. ‚»±ª §»¢ ­¨¿ ¨ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨

‚»±ª §»¢ ­¨¥ | ½²® ¯®¢¥±²¢®¢ ²¥«¼­®¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ¤«¿ ª®²®°®£® ¨¬¥¥² ±¬»±« £®¢®°¨²¼ ® ¥£® ¨±²¨­­®±²¨ ¨«¨ «®¦­®±²¨. ²¨¬ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ®²«¨· ¾²±¿, ­ ¯°¨¬¥°, ®² ¯®¢¥«¨²¥«¼­»µ ¨«¨ ¢®¯°®±¨²¥«¼­»µ ¯°¥¤«®¦¥­¨©.  ¯°¨¬¥°, À2  2 = 4Á, À¨¬ | ±²®«¨¶  ”° ­¶¨¨Á ±³²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¿,   ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ ÀŠ®²®°»© · ±?Á ¨«¨ À¥¸¨²¼ ³° ¢­¥­¨¥ x2 + 3x 2 = 0Á ¢»±ª §»¢ ­¨¿¬¨ ­¥ ¿¢«¿¾²±¿. ®¤ ¨±²¨­­®±²­»¬ §­ ·¥­¨¥¬ ¯®­¨¬ ¥²±¿  ¡±²° ª²­»© ®¡º¥ª² (À¨±²¨­ Á ¨«¨ À«®¦¼Á), ±®¯®±² ¢«¿¥¬»© ¢»±ª §»¢ ­¨¾ ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ²®£®, ¿¢«¿¥²±¿ ½²® ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ¨±²¨­­»¬ ¨«¨ «®¦­»¬. Œ®¦­® ±ª § ²¼, ·²® À¨±²¨­ Á (À«®¦¼Á) | ½²® ²® ®¡¹¥¥, ·²® ¯°¨±³¹¥ ¢±¥¬ ¨±²¨­­»¬ (±®®²¢¥²±²¢¥­­®, «®¦­»¬) ¢»±ª §»¢ ­¨¿¬. ‚ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥ ¤«¿ ®¡®§­ ·¥­¨¿ ¨±²¨­­®±²­»µ §­ ·¥­¨© À¨±²¨­ Á ¨ À«®¦¼Á · ¹¥ ¢±¥£® ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ·¨±«  1 ¨ 0 ¨«¨ ¡³ª¢» ˆ ¨ ‹, T ¨ F ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.  ¯°¨¬¥°, ¢»±ª §»¢ ­¨¥ À2  2 = 4Á ¨¬¥¥² ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ 1,   À¨¬ | ±²®«¨¶  ”° ­¶¨¨Á | ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ 0. ˆ­®£¤  £®¢®°¿², ·²® ¨±²¨­­®±²­»¥ §­ ·¥­¨¿ 0 ¨ 1 ¤¢®©±²¢¥­­» ¤°³£ ¤°³£³. ˆ§ ®¤­¨µ ¢»±ª §»¢ ­¨© ° §«¨·­»¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦­® ±²°®¨²¼ ­®¢»¥, ¡®«¥¥ ±«®¦­»¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿. ‹®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿ | ½²® ² ª®© ±¯®±®¡ ¯®±²°®¥­¨¿ ±«®¦­®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¨§ ¤ ­­»µ ¢»±ª §»¢ ­¨©, ¯°¨ ª®²®°®¬ ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ ±«®¦­®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¯®«­®±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¨±²¨­­®±²­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨ ¨±µ®¤­»µ ¢»±ª §»¢ ­¨©.  ±±¬®²°¨¬ ­¥ª®²®°»¥ ¯°¨¬¥°» «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©. Ž²°¨¶ ­¨¥ | «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿, ¢ °¥§³«¼² ²¥ ª®²®°®© ¨§ ¤ ­­®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ A ¯®«³· ¥²±¿ ­®¢®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ À¥¢¥°­®, ·²® AÁ. Ž²°¨¶ ­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ A ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ :A. Š®­º¾­ª¶¨¿ | «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿, § ª«¾· ¾¹ ¿±¿ ¢ ±®¥¤¨­¥­¨¨ ¤¢³µ ¢»±ª §»¢ ­¨© A ¨ B ¢ ­®¢®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ÀA ¨ BÁ. Š®­º¾­ª¶¨¾ ¢»±ª §»¢ ­¨© A ¨ B ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ A & B. „¨§º¾­ª¶¨¿ | «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿, § ª«¾· ¾¹ ¿±¿ ¢ ±®¥¤¨­¥­¨¨ ¤¢³µ ¢»±ª §»¢ ­¨© A ¨ B ¢ ­®¢®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ÀA ¨«¨ BÁ. „¨§º¾­ª¶¨¾ ¢»±ª §»¢ ­¨© A ¨ B ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ A _ B. ˆ¬¯«¨ª ¶¨¿ | «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿, § ª«¾· ¾¹ ¿±¿ ¢ ±®¥¤¨­¥­¨¨ ¤¢³µ ¢»±ª §»¢ ­¨© A ¨ B ¢ ­®¢®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ À…±«¨ A, ²® BÁ. ˆ¬¯«¨ª ¶¨¾ ¢»±ª §»¢ ­¨© A ¨ B ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ A  B. ª¢¨¢ «¥­¶¨¿ | «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿, § ª«¾· ¾¹ ¿±¿ ¢ ±®¥¤¨­¥­¨¨ ¤¢³µ ¢»±ª §»¢ ­¨© A ¨ B ¢ ­®¢®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ÀA ° ¢­®±¨«¼­® BÁ. ª¢¨¢ «¥­¶¨¾ ¢»±ª §»¢ ­¨© A ¨ B ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ A  B. ‹®£¨·¥±ª ¿ (¨«¨ ¡³«¥¢ ) ´³­ª¶¨¿ | ½²® n-¬¥±²­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ®¯°¥¤¥«¥­­ ¿ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¨±²¨­­®±²­»µ §­ ·¥­¨© f0; 1g ¨ ¯°¨­¨¬ ¾¹ ¿ §­ ·¥­¨¿ ¢ ½²®¬ ¦¥ ¬­®¦¥±²¢¥. ‘ ª ¦¤®© (n-¬¥±²­®©) «®£¨·¥±ª®© ®¯¥° ¶¨¥© ' ¥±²¥±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ±¢¿§ ­  (n-¬¥±²­ ¿ ¦¥) «®£¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ f' : ¥±«¨ v1 ; : : :; vn | ­¥ª®²®°»© ­ ¡®° ¨±²¨­­®±²­»µ §­ ·¥­¨©, ²® f' (v1 ; : : :; vn ) ¥±²¼ ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ '(P1 ; : : :; Pn), £¤¥ P1; : : :; Pn | ² ª¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿, ·²® ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ Pi ¥±²¼ vi (i = 1; : : :; n). ‹®£¨·¥±ª¨¥ ´³­ª¶¨¨, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ° ±±¬®²°¥­­»¬ ¢»¸¥ «®£¨·¥±ª¨¬ ®¯¥° ¶¨¿¬, ¬®£³² ¡»²¼ § ¤ ­» ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ¨±²¨­­®±²­»¬¨ ² ¡«¨¶ ¬¨:

X f: (X) 0 1 1 0

X 0 0 1 1

Y f& (X; Y ) f_ (X; Y ) f (X; Y ) f (X; Y ) 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1

‚ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥ ¯°¨­¿²® ­¥ ° §«¨· ²¼ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨ ± ®¤¨­ ª®¢»¬¨ ¨±²¨­­®±²­»¬¨ ² ¡«¨¶ ¬¨ ­¥§ ¢¨±¨¬® ®² ²®£®, ª ª®¥ ±«®¢¥±­®¥ ®´®°¬«¥­¨¥ ¨¬¥¾² ½²¨ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨.  ¯°¨¬¥°, ¢»±ª §»¢ ­¨¥ A  B ¬®¦¥² ¯¥°¥¤ ¢ ²¼±¿ ¯®±°¥¤±²¢®¬ ¢»° ¦¥­¨© À…±«¨ A, ²® BÁ, ÀA ¢«¥·¥² BÁ, À‚ ±«³· ¥ A ¨¬¥¥² ¬¥±²® BÁ, À„«¿ A ­¥®¡µ®¤¨¬® BÁ, ÀA, ²®«¼ª® ¥±«¨ BÁ ¨ ². ¯. ‚®² ¿§»ª®¢»¥ ½ª¢¨¢ «¥­²» ¤«¿ ¤°³£¨µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©. :A ¬®¦¥² ·¨² ²¼±¿ ª ª À¥ AÁ, ÀA ­¥ ¨¬¥¥² ¬¥±² Á, ÀA ­¥¢¥°­®Á. ‚»° ¦¥­¨¥ A & B ¬®¦¥² ®§­ · ²¼ ÀA ¨ BÁ, À¥ ²®«¼ª® A, ­® ¨ BÁ, ÀŠ ª A, ² ª ¨ BÁ. ‚»° ¦¥­¨¥ A _ B ¬®¦¥² ·¨² ²¼±¿ ª ª ÀA ¨«¨ B ¨«¨ ®¡ Á, ÀA ¨«¨ BÁ, ÀA, ¥±«¨ ­¥ BÁ.  ª®­¥¶, A  B ¬®¦¥² ¯¥°¥¤ ¢ ²¼±¿ ª ª ÀA, ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ BÁ, À…±«¨ A, ²® B, ¨ ®¡° ²­®Á, ÀA ½ª¢¨¢ «¥­²­® BÁ, ÀA ° ¢­®±¨«¼­® BÁ, ÀA ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  BÁ. € ¢®² ¯°¨¬¥° ®¯¥° ¶¨¨ ­ ¤ ¢»±ª §»¢ ­¨¿¬¨, ª®²®° ¿ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ «®£¨·¥±ª®© ®¯¥° ¶¨¥©: ¯® ¢»±ª §»¢ ­¨¾ A ±²°®¨¬ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ÀŸ §­ ¾, ·²® AÁ. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¨±²¨­­®±²¼ ¨«¨ «®¦­®±²¼ ² ª®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ § ¢¨±¨² ­¥ ²®«¼ª® ®² ¨±²¨­­®±²­®£® §­ ·¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ A, ­® ¨ ®² ®±¢¥¤®¬«¥­­®±²¨ «¨¶ , ¯°®¨§­®±¿¹¥£® ½²® ¢»±ª §»¢ ­¨¥.

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‡ ¤ ·¨

1) ³²¥¸¥±²¢¥­­¨ª ¯®¯ « ¢ ±²° ­³, ­ ±¥«¥­­³¾ ¤¢³¬¿ ¯«¥¬¥­ ¬¨. —«¥­» ®¤­®£® ¯«¥¬¥­¨ ¢±¥£¤  «£³², ·«¥­» ¤°³£®£® £®¢®°¿² ²®«¼ª® ¯° ¢¤³. ³²¥¸¥±²¢¥­­¨ª ¢±²°¥· ¥² ¤¢³µ ²³§¥¬¶¥¢. À‚» ¢±¥£¤  £®¢®°¨²¥ ²®«¼ª® ¯° ¢¤³?Á | ±¯° ¸¨¢ ¥² ®­ ¢»±®ª®£® ²³§¥¬¶ . ’®² ®²¢¥· ¥²: À’ ° ¡ ° Á. ÀŽ­ ±ª § « '¤ ', | ¯®¿±­¿¥² ²³§¥¬¥¶ ¯®¬¥­¼¸¥ °®±²®¬, | ­® ®­ ³¦ ±­»© «¦¥¶Á. Š ª ª®¬³ ¯«¥¬¥­¨ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª ¦¤»© ¨§ ²³§¥¬¶¥¢? 2) Ž¤¨­ ¦¨²¥«¼ ®±²°®¢  Š°¨² ±ª § «: À‚±¥ ª°¨²¿­¥ | «¦¥¶»Á. ˆ±²¨­­® ¨«¨ «®¦­® ¢»±ª §»¢ ­¨¥, ¯°®¨§­¥±¥­­®¥ ½²¨¬ ª°¨²¿­¨­®¬? (‹¦¥¶ | ·¥«®¢¥ª, ª®²®°»© ¢±¥£¤  £®¢®°¨² ­¥¯° ¢¤³.) 3) Ž¤¨­ ª°¨²¿­¨­ ±ª § «: À’®, ·²® ¿ ±¥©· ± £®¢®°¾, | «®¦¼Á. Ÿ¢«¿¥²±¿ «¨ ¢»±ª §»¢ ­¨¥¬ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ¯°®¨§­¥±¥­­®¥ ½²¨¬ ª°¨²¿­¨­®¬? 4) ‚ ª ª¨¥ ¤­¨ ­¥¤¥«¨ ¨±²¨­­® ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ) À…±«¨ ±¥£®¤­¿ ¢²®°­¨ª, ²® § ¢²°  ¯®­¥¤¥«¼­¨ªÁ; ¡) À…±«¨ ±¥£®¤­¿ ¯®­¥¤¥«¼­¨ª, ²® § ¢²°  ¢²®°­¨ªÁ? 2.2. €«´ ¢¨², ¡³ª¢ , ±«®¢®

Š ª ¡»«® ±ª § ­® ¢ ° §¤¥«¥ 1, ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ «®£¨ª  ¢ ®±­®¢­®¬ § ­¨¬ ¥²±¿ ¨§³·¥­¨¥¬ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ° ±±³¦¤¥­¨©. ‚ ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ° ±±³¦¤¥­¨¿ ®¡»·­® ®´®°¬«¿¾²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ²¥ª±²®¢. ®½²®¬³ ¡³¤¥² ³¬¥±²­® ° ±±¬®²°¥²¼ ­¥ª®²®°»¥ ®¡¹¨¥ ¯®­¿²¨¿, ®²­®±¿¹¨¥±¿ ª ¯¨±¼¬¥­­»¬ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¬ ¿§»ª ¬. «¥¬¥­² °­»¥ §­ ª¨, ¨§ ª®²®°»µ ±®±²®¨² ²¥ª±², ­ §»¢ ¾²±¿ ¡³ª¢ ¬¨. °¨ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¨ ²®£® ¨«¨ ¨­®£® §­ ·ª  ¢ ª ·¥±²¢¥ ¡³ª¢» ­ ± ­¥ ¨­²¥°¥±³¾² · ±²¨ ½²®£® §­ ·ª ,   «¨¸¼ ½²®² §­ ª ¢ ¶¥«®¬.  ¯°¨¬¥°, ¡»«® ¡» ­¥¯° ¢¨«¼­® ³²¢¥°¦¤ ²¼, ·²® ¬¿£ª¨© §­ ª ¿¢«¿¥²±¿ · ±²¼¾ ¡³ª¢» À»Á. °¨ ¢»¡®°¥ ¡³ª¢ ­¥®¡µ®¤¨¬® ¡»²¼ ³¢¥°¥­­»¬ ¢ ²®¬, ·²® ¢±¿ª¨© ° §, ° ±±¬ ²°¨¢ ¿ «¾¡»¥ ¤¢¥ ­ ¯¨± ­­»¥ ¡³ª¢», ¬» ±¬®¦¥¬ ®¯°¥¤¥«¨²¼, ®¤¨­ ª®¢» ½²¨ ¡³ª¢» ¨«¨ ° §«¨·­». €«´ ¢¨² | ½²® ª®­¥·­»© ±¯¨±®ª ¡³ª¢. ‘«®¢® ¢ ¤ ­­®¬  «´ ¢¨²¥ | ª®­¥·­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¡³ª¢ ½²®£®  «´ ¢¨² .  ¯°¨¬¥°, ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¡³ª¢ À  "Á ¿¢«¿¥²±¿ ±«®¢®¬ ¢  «´ ¢¨²¥, ±®±²®¿¹¥¬ ¨§ ¡³ª¢ ; ; ; ; ; "; #; ; ; ;; ; o; ; . „«¿ ³¤®¡±²¢  ° ±±¬ ²°¨¢ ¾² ² ª¦¥ ¯³±²®¥ ±«®¢® | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ­¥ ±®¤¥°¦ ¹³¾ ­¨ ®¤­®© ¡³ª¢». ³±²®¥ ±«®¢® ¿¢«¿¥²±¿ ±«®¢®¬ ¢ «¾¡®¬  «´ ¢¨²¥. …£® ®¡»·­® ®¡®§­ · ¾² ±¨¬¢®«®¬ . ‘«®¢® XY , ¯®«³·¥­­®¥ ¯°¨¯¨±»¢ ­¨¥¬ ±¯° ¢  ª ±«®¢³ X ±«®¢  Y , ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ±«®¢ X ¨ Y . Ž·¥¢¨¤­®, ·²® X = X = X ¤«¿ «¾¡®£® ±«®¢  X. Ž¯¥° ¶¨¿ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ±«®¢  ±±®¶¨ ²¨¢­ , ­® ­¥ ª®¬¬³² ²¨¢­ . ‘«®¢® X ­ §»¢ ¥²±¿ ­ · «®¬ ±«®¢  Y , ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ±«®¢® Z, ·²® Y = XZ. ‘«®¢® X ­ §»¢ ¥²±¿ ª®­¶®¬ ±«®¢  Y , ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ±«®¢® Z, ·²® Y = ZX. Š ª®¢® ¡» ­¨ ¡»«® ±«®¢® X, ª ¦¤®¥ ¨§ ±«®¢  ¨ X ¿¢«¿¥²±¿ ­ · «®¬ ¨ ª®­¶®¬ ±«®¢  X. ‘®¡±²¢¥­­®¥ ­ · «® ±«®¢  X | ½²® «¾¡®¥ ­ · «® ±«®¢  X, ®²«¨·­®¥ ®²  ¨ X. ‘®¡±²¢¥­­»© ª®­¥¶ ±«®¢  X | ½²® «¾¡®© ª®­¥¶ ±«®¢  X, ®²«¨·­»© ®²  ¨ X. Ž²¬¥²¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¥ ®·¥¢¨¤­»¥ ´ ª²»:  ¥±«¨ X ¨ Y | ­ · «  ±«®¢  Z, ²® X | ­ · «® ±«®¢  Y ¨«¨ Y | ­ · «® ±«®¢  X;  ¥±«¨ X ¨ Y | ª®­¶» ±«®¢  Z, ²® X | ª®­¥¶ ±«®¢  Y ¨«¨ Y | ª®­¥¶ ±«®¢  X. ƒ®¢®°¿², ·²® ±«®¢® X ¢µ®¤¨² ¢ ±«®¢® Y , ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ±«®¢  U ¨ V , ·²® Y = UXV . ‘«®¢® U ­ §»¢ ¥²±¿ «¥¢»¬ ª°»«®¬ ¤ ­­®£® ¢µ®¦¤¥­¨¿ ±«®¢  X ¢ ±«®¢® Y ,   V | ¯° ¢»¬ ª°»«®¬ ½²®£® ¢µ®¦¤¥­¨¿.  §«¨·­»¥ ¢µ®¦¤¥­¨¿ ±«®¢  X ¢ ±«®¢® Y ° §«¨· ¾²±¿ «¥¢»¬¨ ¨ ¯° ¢»¬¨ ª°»«¼¿¬¨ ½²¨µ ¢µ®¦¤¥­¨©. ³±²¼ ±«®¢® X ¢µ®¤¨² ¢ ±«®¢® Y , ¨ ¯³±²¼ Z | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ±«®¢®. ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ­¥ª®²®°®¥ ¢µ®¦¤¥­¨¥ ±«®¢  X ¢ Y , ². ¥. ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ±«®¢  Y ¢ ¢¨¤¥ UXV . ’®£¤  ±«®¢® UZV ­ §»¢ ¥²±¿ °¥§³«¼² ²®¬ § ¬¥­» ¤ ­­®£® ¢µ®¦¤¥­¨¿ ±«®¢  X ¢ ±«®¢® Y ­  ±«®¢® Z. ‡ ¤ ·¨

1) ‘ª®«¼ª® ¢µ®¦¤¥­¨© ¨¬¥¥² ¯³±²®¥ ±«®¢® ¢ ±«®¢® À¡ ®¡ ¡Á? 2) ‘ª®«¼ª® ¨¬¥¥²±¿ ° §«¨·­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ±«®¢  À¡ Á ¢ ±«®¢® À¡ ®¡ ¡Á? „«¿ ª ¦¤®£® ¨§ ­¨µ ­ ©²¨ °¥§³«¼² ² § ¬¥­» ¥£® ­  ¯³±²®¥ ±«®¢®. 3) „®ª § ²¼, ·²® ¢±¿ª®¥ ­ · «® ±«®¢  X ¿¢«¿¥²±¿ ­ · «®¬ ±«®¢  XY ,   ¢±¿ª¨© ª®­¥¶ ±«®¢  Y ¿¢«¿¥²±¿ ª®­¶®¬ ±«®¢  XY . 3

2.3. °®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¥ ´®°¬³«»

€«´ ¢¨² «®£¨ª¨ ¢»±ª §»¢ ­¨© | ½²® ¬­®¦¥±²¢® fP; :; &; _; ; ; (; )g. ‘«®¢  (P ); (P P ); (P P P); :: : ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¬¨ ¯¥°¥¬¥­­»¬¨ ¨ ®¡®§­ · ²¼ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® P1 ; P2; P3; : : :. “±«®¢¨¬±¿ ¯¨± ²¼ P ¢¬¥±²® P1, Q ¢¬¥±²® P2, R ¢¬¥±²® P3, S ¢¬¥±²® P4. ‘¨¬¢®«» :; &; _; ;  ­ §»¢ ¾²±¿ «®£¨·¥±ª¨¬¨ ±¨¬¢®« ¬¨ ¨«¨ «®£¨·¥±ª¨¬¨ ±¢¿§ª ¬¨. ®­¿²¨¥ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®© ´®°¬³«» (¨«¨ ´®°¬³«» «®£¨ª¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¨­¤³ª²¨¢­® ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:  ‚±¿ª ¿ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­ ¿ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ ¥±²¼ ´®°¬³«  (² ª ¿ ´®°¬³«  ­ §»¢ ¥²±¿  ²®¬­®© ´®°¬³«®© ¨«¨  ²®¬®¬).  …±«¨ A ¨ B | ´®°¬³«», ²® (:A), (A & B), (A _ B), (A  B), (A  B) | ´®°¬³«». ˆ­¤³ª²¨¢­»© µ ° ª²¥° ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ´®°¬³«» ¤ ¥² ¢®§¬®¦­®±²¼ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ µ ² ª ­ §»¢ ¥¬»© ¯°¨­¶¨¯ ¨­¤³ª¶¨¨ ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«». € ¨¬¥­­®, ¯³±²¼ ²°¥¡³¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® ¢±¥ ´®°¬³«» ®¡« ¤ ¾² ­¥ª®²®°»¬ ±¢®©±²¢®¬ P . „«¿ ½²®£® ¤®±² ²®·­® ³±² ­®¢¨²¼, ·²® 1) ª ¦¤»©  ²®¬ ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ P ; 2) ¥±«¨ ´®°¬³«  A ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ P , ²® ´®°¬³«  (:A) ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ P ; 3) ¥±«¨ ´®°¬³«» A ¨ B ®¡« ¤ ¾² ±¢®©±²¢®¬ P ,    | ®¤­  ¨§ ±¢¿§®ª &; _; ; , ²® ´®°¬³«  (AB) ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ P . ˆ­¤³ª²¨¢­»© µ ° ª²¥° ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ´®°¬³«» ¯®§¢®«¿¥² ² ª¦¥ ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» § ¤ ¢ ²¼ ´³­ª¶¨¨, ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¢±¥µ ´®°¬³«. € ¨¬¥­­®, ¯³±²¼ 1) ª ¦¤®¬³  ²®¬³ A ¯®±² ¢«¥­ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ­¥ª®²®°»© ®¡º¥ª² F (A); 2) § ¤ ­® ¯° ¢¨«®, ®¯°¥¤¥«¿¾¹¥¥, ª ª®© ®¡º¥ª² F (:A) ±² ¢¨²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ´®°¬³«¥ (:A), ¥±«¨ ´®°¬³«¥ A ¯®±² ¢«¥­ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ®¡º¥ª² F (A); 3) § ¤ ­® ¯° ¢¨«®, ®¯°¥¤¥«¿¾¹¥¥, ª ª®© ®¡º¥ª² F (AB) ±² ¢¨²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ´®°¬³«¥ (AB), £¤¥  | ®¤­  ¨§ ±¢¿§®ª &; _; ; , ¥±«¨ ´®°¬³« ¬ A; B ³¦¥ ¯®±² ¢«¥­» ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ®¡º¥ª²» F (A), F (B). ’®£¤  ¤«¿ ª ¦¤®© ´®°¬³«» A ®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¥­ ®¡º¥ª² F (A). ³±²¼ A | ±«®¢® ¢  «´ ¢¨²¥ «®£¨ª¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©, l(A) | ·¨±«® «¥¢»µ ±ª®¡®ª À(Á ¢ A, r(A) | ·¨±«® ¯° ¢»µ ±ª®¡®ª À)Á ¢ A. —¨±«® s(A) = l(A) r(A) ­ §®¢¥¬ ±ª®¡®·­»¬ ¨²®£®¬ ±«®¢  A. „«¿ ¨««¾±²° ¶¨¨ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ¨­¤³ª¶¨¨ ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» ¤®ª ¦¥¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ²¥®°¥¬³. ‘ª®¡®·­»© ¨²®£ ´®°¬³«» ° ¢¥­ 0. ‘ª®¡®·­»© ¨²®£ ¢±¿ª®£® ±®¡±²¢¥­­®£® ­ · «  ´®°¬³«» ¯®«®¦¨²¥«¥­. ‘ª®¡®·­»© ¨²®£ ¢±¿ª®£® ±®¡±²¢¥­­®£® ª®­¶  ´®°¬³«» ®²°¨¶ ²¥«¥­. ’¥®°¥¬  2.1 (²¥®°¥¬  ® ±ª®¡®·­®¬ ¨²®£¥).

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚±¥ ²°¨ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ¡³¤¥¬ ¤®ª §»¢ ²¼ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«». …±«¨ ´®°¬³«  A |  ²®¬ (P : : :P ), ²® l(A) = r(A) = 1. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, s(A) = 0. ‹¾¡®¥ ±®¡±²¢¥­­®¥ ­ · «® X  ²®¬  (P : : :P ) ¨¬¥¥² ¢¨¤ ( ¨«¨ (P : : :P , ¨ ¢ «¾¡®¬ ±«³· ¥ l(X) = 1, r(X) = 0, ² ª ·²® s(X) = 1 0 = 1 > 0. ‹¾¡®© ±®¡±²¢¥­­»© ª®­¥¶ Y  ²®¬  (P : : :P ) ¨¬¥¥² ¢¨¤ P : : :P ) ¨«¨ ), ¨ ¢ «¾¡®¬ ±«³· ¥ l(Y ) = 0, r(Y ) = 1, ² ª ·²® s(Y ) = 0 1 = 1 < 0. ³±²¼ ´®°¬³«  A ¨¬¥¥² ¢¨¤ (:B), ¯°¨·¥¬ ¤«¿ ´®°¬³«» B ¢»¯®«­¥­® ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ². ¥. s(B) = 0, ±ª®¡®·­»© ¨²®£ ¢±¿ª®£® ±®¡±²¢¥­­®£® ­ · «  ´®°¬³«» B ¯®«®¦¨²¥«¥­,   ±ª®¡®·­»© ¨²®£ ¢±¿ª®£® ±®¡±²¢¥­­®£® ª®­¶  ´®°¬³«» B ®²°¨¶ ²¥«¥­. Ž·¥¢¨¤­®, l(A) = l(B) + 1, r(A) = r(B) + 1, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, s(A) = l(A) r(A) = l(B) r(B) = s(B) = 0. ‘®¡±²¢¥­­»¬¨ ­ · « ¬¨ ´®°¬³«» A ¿¢«¿¾²±¿ ±«®¢  (, (:,   ² ª¦¥ ±«®¢  ¢¨¤  (:X, £¤¥ X | ­ · «® ´®°¬³«» B, ² ª ·²® s(X)  0. Ž·¥¢¨¤­®, s(() = s((:) = 1 > 0; s((:X) = 1+s(X)  1 > 0, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ‘®¡±²¢¥­­»¬¨ ª®­¶ ¬¨ ´®°¬³«» A ¿¢«¿¾²±¿ ±«®¢  ), :B),   ² ª¦¥ ±«®¢  ¢¨¤  X), £¤¥ X | ª®­¥¶ ´®°¬³«» B, ² ª ·²® s(X)  0. Ž·¥¢¨¤­®, s()) = s(:B)) = 1 < 0; s(X)) = s(X) 1  1 < 0, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ³±²¼ ´®°¬³«  A ¨¬¥¥² ¢¨¤ (BC), £¤¥  | ®¤­  ¨§ ±¢¿§®ª &, _, , ,   B ¨ C | ´®°¬³«», ¤«¿ ª®²®°»µ ¢»¯®«­¥­® ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ². ¥. s(B) = 0, s(C) = 0, ±ª®¡®·­»© ¨²®£ ¢±¿ª®£® ±®¡±²¢¥­­®£® ­ · «  ´®°¬³« B ¨ C ¯®«®¦¨²¥«¥­,   ±ª®¡®·­»© ¨²®£ ¢±¿ª®£® ±®¡±²¢¥­­®£® ª®­¶  ´®°¬³« B ¨ C ®²°¨¶ ²¥«¥­. Ž·¥¢¨¤­®, l(A) = l(B) + l(C) + 1; r(A) = r(B) + r(C) + 1; ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, s(A) = l(A) r(A) = l(B) + l(C) r(B) r(C) = s(B) + s(C) = 0: ‘®¡±²¢¥­­»¬¨ ­ · « ¬¨ ´®°¬³«» A ¿¢«¿¾²±¿ ±«®¢® (, ±«®¢  ¢¨¤  (X, £¤¥ X | ­ · «® ´®°¬³«» B, ² ª ·²® s(X)  0, ±«®¢® (B,   ² ª¦¥ ±«®¢  ¢¨¤  (BY , £¤¥ Y | ­ · «® ´®°¬³«» C, ² ª ·²® s(Y )  0. Ž·¥¢¨¤­®, s(() = 1 > 0;

4

s((X) = 1 + s(X)  1 > 0; s((B) = 1 + s(B) + s() = 1 > 0; s((BY ) = 1 + s(B) + s() + s(Y )  1 > 0; ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ‘®¡±²¢¥­­»¬¨ ª®­¶ ¬¨ ´®°¬³«» A ¿¢«¿¾²±¿ ±«®¢® ), ±«®¢  ¢¨¤  X), £¤¥ X | ª®­¥¶ ´®°¬³«» C, ² ª ·²® s(X)  0, ±«®¢® C),   ² ª¦¥ ±«®¢  ¢¨¤  Y C), £¤¥ Y | ª®­¥¶ ´®°¬³«» B, ² ª ·²® s(Y )  0. ’®£¤  s()) = 1 < 0; s(X)) = s(X) 1  1 < 0; s(C)) = s() + s(C) 1 = 1 < 0; s(Y C)) = s(Y ) + s() + s(C) 1 = s(Y ) 1  1 < 0; ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 ’®«¼ª® ·²® ¤®ª § ­­ ¿ ²¥®°¥¬  ¯®§¢®«¿¥² ¤®ª § ²¼ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼ «®£¨·¥±ª®£®  ­ «¨§  ¢±¿ª®© ´®°¬³«». ‚±¿ª ¿ ´®°¬³« , ­¥ ¿¢«¿¾¹ ¿±¿  ²®¬®¬, ¬®¦¥² ¡»²¼ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­  ¢ ®¤­®¬ ¨§ ¢¨¤®¢ (:A), (A & B), (A _ B), (A  B), (A  B) ¤«¿ ­¥ª®²®°»µ ´®°¬³« A ¨ B . ’¥®°¥¬  2.2.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®§¬®¦­®±²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ «¾¡®© ´®°¬³«», ­¥ ¿¢«¿¾¹¥©±¿  ²®¬®¬, ¢ ®¤­®¬ ¨§ ¢¨¤®¢ (:A), (A & B), (A _ B), (A  B), (A  B) ¢»²¥ª ¥² ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ´®°¬³«». Ž±² ¥²±¿ ¤®ª § ²¼ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼ ² ª®£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ «¾¡®© ´®°¬³«» ¢ ¢¨¤¥ (:A), £¤¥ A | ´®°¬³« , ¥±«¨ ®­® ±³¹¥±²¢³¥², ¥¤¨­±²¢¥­­®. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ ±«®¢  (:A1 ) ¨ (:A2) ±®¢¯ ¤ ¾², ²®, ®·¥¢¨¤­®, ±«®¢® A1 ±®¢¯ ¤ ¥² ±® ±«®¢®¬ A2. „®ª ¦¥¬, ·²® ­¨ª ª ¿ ´®°¬³«  ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­  ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢ ¢¨¤¥ (:A) ¨ ¢ ¢¨¤¥ (BC), £¤¥  | ®¤­  ¨§ ±¢¿§®ª &, _, , ,   A, B ¨ C | ´®°¬³«». „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ (:A) = (BC), ²® :A = BC, ¨ ¯®«³· ¥²±¿, ·²® ´®°¬³«  B ­ ·¨­ ¥²±¿ ± ±¨¬¢®«  :, ·²®, ª ª ¢¨¤­® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ´®°¬³«», ­¥¢®§¬®¦­®. „®ª ¦¥¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¥±«¨ ´®°¬³«  ¯°¥¤±² ¢«¥­  ¢ ¢¨¤¥ (AB) ¨ ¢ ¢¨¤¥ (CD), £¤¥ ;  2 f&; _; ; g,   A, B, C, D | ´®°¬³«», ²®  = , A = C, B = D. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ (AB) = (CD), ²® AB = CD. ’®£¤ , ¥±«¨ A ¨ C ­¥ ±®¢¯ ¤ ¾², ²® «¨¡® A | ±®¡±²¢¥­­®¥ ­ · «® ´®°¬³«» C, «¨¡® C | ±®¡±²¢¥­­®¥ ­ · «® ´®°¬³«» A. ‚ «¾¡®¬ ±«³· ¥ ¯®«³· ¥¬ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ± ²¥®°¥¬®© ® ±ª®¡®·­®¬ ¨²®£¥ (²¥®°¥¬  2.1). ‡­ ·¨², A = C, ¨ ²®£¤   = , B = D, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 ³±²¼ Q1; : : :; Qn | ¯®¯ °­® ° §«¨·­»¥ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, A1 ; : : :; An | ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¥ ´®°¬³«». ˆ­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» A ®¯°¥¤¥«¨¬ ´®°¬³«³

A(Q1 n A1 ; : : :; Qn n An ); ª®²®° ¿ ¿¢«¿¥²±¿ °¥§³«¼² ²®¬ ®¤­®¢°¥¬¥­­®© ¯®¤±² ­®¢ª¨ ´®°¬³« A1 ; : : :; An ¢¬¥±²® Q1; : : :; Qn ¢ A. ³±²¼ A |  ²®¬­ ¿ ´®°¬³« . …±«¨ A ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¯¥°¥¬¥­­®© Qi (i = 1; : : :; n), ²® A(Q1 n A1 ; : : :; Qn n An ) ¥±²¼ Ai. …±«¨ A ®²«¨·­  ®² ¢±¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ Q1 ; : : :; Qn, ²® A(Q1 n A1 ; : : :; Qn n An) ¥±²¼ A. ³±²¼ A ¨¬¥¥² ¢¨¤ (:B). ’®£¤  ®¯°¥¤¥«¿¥¬ A(Q1 n A1 ; : : :; Qn n An ) ª ª (:B(Q1 n A1; : : :; Qn n An )).  ª®­¥¶, ¥±«¨ A ¨¬¥¥² ¢¨¤ (BC), £¤¥  | ®¤¨­ ¨§ «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢ &; _; ; , ²® ®¯°¥¤¥«¿¥¬ A(Q1 n A1; : : :; Qn n An ) ª ª (B(Q1 n A1 ; : : :; Qn n An )C(Q1 n A1 ; : : :; Qn n An )): ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ´®°¬³«  A ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤´®°¬³«®© ´®°¬³«» B, ¥±«¨ A ¢µ®¤¨² ¢ B. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢±¿ª ¿ ´®°¬³«  A ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤´®°¬³«®© ´®°¬³«» A. ®¤´®°¬³«  ´®°¬³«» A, ®²«¨·­ ¿ ®² ± ¬®© ´®°¬³«» A, ­ §»¢ ¥²±¿ ±®¡±²¢¥­­®© ¯®¤´®°¬³«®© ´®°¬³«» A. ° ª²¨·¥±ª¨, § ¯¨±»¢ ¿ ´®°¬³«», ¬» ¡³¤¥¬ ®¯³±ª ²¼ ­¥ª®²®°»¥ ±ª®¡ª¨, ° ±±¬ ²°¨¢ ¿ ¯®«³·¥­­»¥ ¢»° ¦¥­¨¿ ª ª ±®ª° ¹¥­­»¥ § ¯¨±¨ ¨±µ®¤­»µ ´®°¬³«. ‚ · ±²­®±²¨, ¬» ­¥ ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ ¢­¥¸­¨¥ ±ª®¡ª¨ ³ ´®°¬³«,   ² ª¦¥ ¢¬¥±²® ¯®¤´®°¬³« ¢¨¤  (:C) ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ :C. „ «¼­¥©¸ ¿ ½ª®­®¬¨¿ ±ª®¡®ª ¢®§¬®¦­ , ¥±«¨ ¯°¨­¿²¼ ±®£« ¸¥­¨¥ ® ²®¬, ª ª¨¥ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨ À±¨«¼­¥¥Á ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ª ª ª®¬, ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ¸ª®«¼­®©  «£¥¡°¥ ®¯¥° ¶¨¿ ³¬­®¦¥­¨¿ À±¨«¼­¥¥Á ®¯¥° ¶¨¨ ±«®¦¥­¨¿. „«¿ ½²®£® ° ±¯®«®¦¨¬ «®£¨·¥±ª¨¥ ±¨¬¢®«» ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯®°¿¤ª¥: :; &; _; ; , ¨ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¨§ ¢±¥µ ¢®§¬®¦­»µ ¢ ¯¥°¢³¾ ®·¥°¥¤¼ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ²  ®¯¥° ¶¨¿, ª®²®° ¿ ¢ ½²®¬ ±¯¨±ª¥ ±²®¨² «¥¢¥¥,   ¨§ ­¥±ª®«¼ª¨µ ®¤¨­ ª®¢»µ ®¯¥° ¶¨© ¢»¯®«­¿¥²±¿ ² , ª®²®° ¿ ¢±²°¥· ¥²±¿ ¢ ¢»° ¦¥­¨¨ ° ­¼¸¥.  ¯°¨¬¥°, ´®°¬³«³ (((P1  P2) & (P3  P4))  (((:P2) _ P4)) ¬®¦­® ±®ª° ¹¥­­® § ¯¨± ²¼ ² ª: (P1  P2 ) & (P3  P4)  :P2 _ P4,   ¢»° ¦¥­¨¥ P1  P2 & P3  P4  :P2 _ P4 ¿¢«¿¥²±¿ ±®ª° ¹¥­­»¬ ®¡®§­ ·¥­¨¥¬ ´®°¬³«» (((P1  (P2 & P3 ))  P4 )  ((:P2) _ P4)). 5

‡ ¤ ·¨

1) Ž¯°¥¤¥«¨²¼, ª ª¨¥ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ±«®¢ ¿¢«¿¾²±¿ ´®°¬³« ¬¨:  ) ((P & Q)R:S); ¡) ((P & Q)  R); ¢) (((S  P) & :P)); £) (((:P)  Q)  (:(R _ S))). 2) ‚®±±² ­®¢¨²¼ ¢±¥ ±ª®¡ª¨ ¢ ´®°¬³« µ:  ) P  :P  :P ; ¡) :P & Q  R & ::(P _ Q)  S. 3) „®ª § ²¼, ·²® °¥§³«¼² ² ®¤­®¢°¥¬¥­­®© ¯®¤±² ­®¢ª¨ ´®°¬³« A1; : : :; An ¢¬¥±²® ¯¥°¥¬¥­­»µ Q1; : : :; Qn ¢ ´®°¬³«³ A ¿¢«¿¥²±¿ ´®°¬³«®©. 4) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ´®°¬³«  A ¿¢«¿¥²±¿ ±®¡±²¢¥­­®© ¯®¤´®°¬³«®© ´®°¬³«» (:B), £¤¥ B | ´®°¬³« , ²® A ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤´®°¬³«®© ´®°¬³«» B. 5) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ´®°¬³«  A ¿¢«¿¥²±¿ ±®¡±²¢¥­­®© ¯®¤´®°¬³«®© ´®°¬³«» (BC), £¤¥  | ®¤¨­ ¨§ «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢ & ,_, , , B ¨ C | ´®°¬³«», ²® A ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤´®°¬³«®© ´®°¬³«» B ¨«¨ ¯®¤´®°¬³«®© ´®°¬³«» C. 6) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ A | ¯®¤´®°¬³«  ´®°¬³«» B, ²® °¥§³«¼² ² § ¬¥­» ¢±¿ª®£® ¢µ®¦¤¥­¨¿ A ¢ B ­  ´®°¬³«³ C ¿¢«¿¥²±¿ ´®°¬³«®©. 7) ‚»¯¨± ²¼ ¢±¥ ¯®¤´®°¬³«» ±«¥¤³¾¹¨µ ´®°¬³«:  ) (((P  Q) & (R  S))  ((:Q) _ S)); ¡) ((P  Q)  ((P  (:Q))  (:Q))). 2.4. ˆ±²¨­­®±²­»¥ ² ¡«¨¶»

³±²¼ V = fP1; P2; P3; : : :g | ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ. Ž¶¥­ª®© ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿ g : V ! f0; 1g. ˆ­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» A ®¯°¥¤¥«¨¬ §­ ·¥­¨¥ g(A) ´®°¬³«» A ¯°¨ ®¶¥­ª¥ g. „«¿ «¾¡®©  ²®¬­®© ´®°¬³«» A §­ ·¥­¨¥ g(A) § ¤ ­® ®¶¥­ª®© g. ®«®¦¨¬ g(:A) = f: (g(A)), g(AB) = f (g(A); g(B)), £¤¥  | «¾¡®© ¨§ «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢ &; _; ; . ’¥®°¥¬  2.3. ‡­ ·¥­¨¥ ´®°¬³«» A ¯°¨ ®¶¥­ª¥ g § ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®² §­ ·¥­¨© ®¶¥­ª¨ g ­  ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ A; ¨­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¥±«¨ g1 ¨ g2 | ¤¢¥ ®¶¥­ª¨, ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¥ ­  ¢±¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ A, ²® g1(A) = g2(A). „®ª § ²¥«¼±²¢®. ˆ­¤³ª¶¨¿ ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» A. ³±²¼ A ¥±²¼  ²®¬ Pi . ’®£¤ , ¯® ³±«®¢¨¾, g1(Pi ) = g2(Pi ), ¨ g1(A) = g1(Pi ) = g2(Pi ) = g2(A); ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ³±²¼ A ¨¬¥¥² ¢¨¤ (:B) ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ´®°¬³«» B, ¯°¨·¥¬, ¥±«¨ g1 ¨ g2 | ¤¢¥ ®¶¥­ª¨, ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¥ ­  ¢±¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ B, ²® g1(B) = g2(B). ³±²¼ g1 ¨ g2 | ¤¢¥ ®¶¥­ª¨, ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¥ ­  ¢±¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ A. ’®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, ®­¨ ±®¢¯ ¤ ¾² ¨ ­  ¢±¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ B; §­ ·¨², g1(B) = g2 (B). ’¥¯¥°¼ ¨¬¥¥¬: g1(A) = f: (g1(B)) = f: (g2 (B)) = g2 (A); ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ³±²¼ A ¨¬¥¥² ¢¨¤ (BC), £¤¥  | ®¤¨­ ¨§ «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢ &, _, , ,   B ¨ C | ´®°¬³«», ¤«¿ ª®²®°»µ ¢»¯®«­¥­® ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ². ¥. ¥±«¨ g1 ¨ g2 | ¤¢¥ ®¶¥­ª¨, ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¥ ­  ¢±¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ B, ²® g1(B) = g2 (B), ¨ ¥±«¨ g1 ¨ g2 | ¤¢¥ ®¶¥­ª¨, ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¥ ­  ¢±¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ C, ²® g1(C) = g2 (C). ³±²¼ g1 ¨ g2 | ¤¢¥ ®¶¥­ª¨, ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¥ ­  ¢±¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ A. ’®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, ®­¨ ±®¢¯ ¤ ¾² ­  ¢±¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ B, ¨ ­  ¢±¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ C; §­ ·¨², g1(B) = g2(B) ¨ g1(C) = g2(C). ’¥¯¥°¼ ¨¬¥¥¬: g1(A) = f (g1(B); g1 (C)) = f (g2(B); g2 (C)) = g2 (A); ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 ’¥®°¥¬  2.3 ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ §­ ·¥­¨¿ ´®°¬³«» A ¯°¨ ¤ ­­®© ®¶¥­ª¥ ¤®±² ²®·­® §­ ²¼ «¨¸¼ §­ ·¥­¨¿ ½²®© ®¶¥­ª¨ ­  ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ A. ²® ¯®§¢®«¿¥² ¯°¥¤±² ¢«¿²¼ § ¢¨±¨¬®±²¼ §­ ·¥­¨¿ ´®°¬³«» ®² ®¶¥­ª¨ ¢ ¢¨¤¥ ² ª ­ §»¢ ¥¬®© ¨±²¨­­®±²­®© ² ¡«¨¶». ³±²¼ Q1; : : :; Qn | ­¥ª®²®°»© ±¯¨±®ª ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¢ª«¾· ¾¹¨© ¢±¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ´®°¬³«³ A. ˆ±²¨­­®±²­®© ² ¡«¨¶¥© ´®°¬³«» A ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1 ; : : :; Qn ­ §»¢ ¥²±¿ ² ¡«¨¶  ±«¥¤³¾¹¥£® ¢¨¤ : 6

Q1 : : : Qn A ::: ::: ::: ::: 1 : : : n  ::: ::: ::: ::: Š°®¬¥ § £®«®¢ª  ½²  ² ¡«¨¶  ±®¤¥°¦¨² 2n ±²°®ª, ¢ ª®²®°»µ ¢»¯¨± ­» ¢±¥ ° §«¨·­»¥ ­ ¡®°» ­³«¥© ¨ ¥¤¨­¨¶ 1 : : :n ¨ §­ ·¥­¨¿  2 f0; 1g ´®°¬³«» A ¯°¨ ®¶¥­ª¥, ±®¯®±² ¢«¿¾¹¥© ¯¥°¥¬¥­­»¬ Q1 ; : : :; Qn ±®®²¢¥²±²¢¥­­® §­ ·¥­¨¿ 1; : : :; n. ‚ ª ·¥±²¢¥ ¯°¨¬¥°  ° ±±¬®²°¨¬ ¯®±²°®¥­¨¥ ¨±²¨­­®±²­®© ² ¡«¨¶» ¤«¿ ´®°¬³«» P  (Q _ R  (R  :P )): ’ ª ª ª ´®°¬³«  ±®¤¥°¦¨² 3 ¯¥°¥¬¥­­»¥ P; Q; R, ¥¥ ¨±²¨­­®±²­ ¿ ² ¡«¨¶  ±®±²®¨² ¨§ 8 ±²°®ª. Ž²¬¥²¨¬ ¢ ´®°¬³«¥ ¯®°¿¤®ª ¢»¯®«­¥­¨¿ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©. ®¤ §­ ª®¬ ª ¦¤®© ®¯¥° ¶¨¨ ¢»¯¨¸¥¬ ±²®«¡¥¶ §­ ·¥­¨© ²®© ¯®¤´®°¬³«», £« ¢­®© ®¯¥° ¶¨¥© ¢ ª®²®°®© ¿¢«¿¥²±¿ ¤ ­­ ¿. P Q R P 5 (Q _1 R 4 (R 3 :2P )) 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 ‘­ · «  ¢»·¨±«¿¾²±¿ §­ ·¥­¨¿ ¯®¤´®°¬³«» Q _ R ¢ ª ¦¤®© ±²°®ª¥ ­  ®±­®¢¥ §­ ·¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­»µ Q ¨ R ¨ §­ ·¥­¨¿ ¯®¤´®°¬³«» :P ­  ®±­®¢¥ §­ ·¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© P . ‡ ²¥¬ ¢»·¨±«¿¾²±¿ §­ ·¥­¨¿ ¯®¤´®°¬³«» R  :P ­  ®±­®¢¥ §­ ·¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© R ¨ ¯®¤´®°¬³«» :P . „ «¥¥ ¢»·¨±«¿¾²±¿ §­ ·¥­¨¿ ¯®¤´®°¬³«» Q _ R  (R  :P) ­  ®±­®¢¥ §­ ·¥­¨© ¯®¤´®°¬³« Q _ R ¨ R  :P .  ª®­¥¶, ¢»·¨±«¿¾²±¿ §­ ·¥­¨¿ ¢±¥© ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®© ´®°¬³«» ­  ®±­®¢¥ §­ ·¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© P ¨ ¯®¤´®°¬³«» Q _ R  (R  :P ). ‡­ ·¥­¨¿ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®© ´®°¬³«» ¤«¿ ­ £«¿¤­®±²¨ ¢»¤¥«¥­» ¢ ² ¡«¨¶¥ ¯®«³¦¨°­»¬ ¸°¨´²®¬. ‘²®«¡¥¶ ¢»¤¥«¥­­»µ §­ ·¥­¨© ¨ ¥±²¼ ±²®«¡¥¶ §­ ·¥­¨© ¤ ­­®© ´®°¬³«». ‡ ¤ ·¨

®±²°®¨²¼ ¨±²¨­­®±²­»¥ ² ¡«¨¶» ¤«¿ ±«¥¤³¾¹¨µ ´®°¬³«: 1) (P  Q) _ (P  Q & P); 2) P & (Q  P)  :P; 3) ((P & :Q)  Q)  (P  Q); 4) (P  (Q  R))  ((P  Q)  (P  R)); 5) P & (Q _ :P) & ((:Q  P ) _ Q). 2.5. Ž¡¹¥§­ ·¨¬»¥ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¥ ´®°¬³«»

’ ¢²®«®£¨¿ (®¡¹¥§­ ·¨¬ ¿ ´®°¬³« , ²®¦¤¥±²¢¥­­® ¨±²¨­­ ¿ ´®°¬³« ) | ½²® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­ ¿ ´®°¬³« , §­ ·¥­¨¥ ª®²®°®© ¯°¨ «¾¡®© ®¶¥­ª¥ ° ¢­® 1. ˆ±²¨­­®±²­ ¿ ² ¡«¨¶  ² ¢²®«®£¨¨ ®¡« ¤ ¥² ²¥¬ ±¢®©±²¢®¬, ·²® ¢ ±²®«¡¶¥ ¥¥ §­ ·¥­¨© ¢® ¢±¥µ ±²°®ª µ ±²®¨² 1. Š ¦¤ ¿ ² ¢²®«®£¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ ±µ¥¬®© ¨±²¨­­»µ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¨ ¢ ½²®¬ ±¬»±«¥ ¢»° ¦ ¥² ­¥ª®²®°»© «®£¨·¥±ª¨© § ª®­. ‚®² ­¥ª®²®°»¥ ² ¢²®«®£¨¨ («®£¨·¥±ª¨¥ § ª®­»): P  P (§ ª®­ ²®¦¤¥±²¢ ); P _ :P (§ ª®­ ¨±ª«¾·¥­­®£® ²°¥²¼¥£®); :(P & :P ) (§ ª®­ ¯°®²¨¢®°¥·¨¿); ::P  P (§ ª®­ ¤¢®©­®£® ®²°¨¶ ­¨¿); (P  Q)  (:Q  :P ) (§ ª®­ ª®­²° ¯®§¨¶¨¨); :(P & Q)  (:P _ :Q), :(P _ Q)  (:P & :Q) (§ ª®­» ¤¥ Œ®°£ ­ ). °®²¨¢®°¥·¨¥ (¯°®²¨¢®°¥·¨¢ ¿ ´®°¬³« , ²®¦¤¥±²¢¥­­® «®¦­ ¿ ´®°¬³« ) | ½²® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­ ¿ ´®°¬³« , §­ ·¥­¨¥ ª®²®°®© ¯°¨ «¾¡®© ®¶¥­ª¥ ° ¢­® 0. ˆ±²¨­­®±²­ ¿ ² ¡«¨¶  ¯°®²¨¢®°¥·¨¿ ®¡« ¤ ¥² ²¥¬ ±¢®©±²¢®¬, ·²® ¢ ±²®«¡¶¥ ¥¥ §­ ·¥­¨© ¢® ¢±¥µ ±²°®ª µ ±²®¨² 0. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ´®°¬³«  A ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥© ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ´®°¬³«  :A ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥¬, ¨ ·²® ´®°¬³«  A ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥¬ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ´®°¬³«  :A ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©.

7

’¥®°¥¬  2.4 (²¥®°¥¬  ® ¯®¤±² ­®¢ª¥). …±«¨ ´®°¬³«  A ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥© (¯°®²¨¢®°¥·¨¥¬), ²® ´®°¬³«  A(Q1nA1 ; : : :; QnnAn) ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥© (±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ¯°®²¨¢®°¥·¨¥¬), ª ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ¯®¯ °­® ° §«¨·­»¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥ Q1 ; : : :; Qn ¨ ª ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ´®°¬³«» A1; : : :; An. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ´®°¬³«  A | ² ¢²®«®£¨¿, Q1 ; : : :; Qn | ¯®¯ °­® ° §«¨·­»¥ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, A1; : : :; An | ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ´®°¬³«», g | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ®¶¥­ª . ³±²¼ g1 | ®¶¥­ª , ª®²®° ¿ ±®¢¯ ¤ ¥² ± g ­  ¢±¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ®²«¨·­»µ ®² Q1; : : :; Qn,   g1(Qi ) = g(Ai ) (i = 1; : : :; n). ‹¥¬¬  2.1. ³±²¼ Q1 ; : : :; Qn | ¯®¯ °­® ° §«¨·­»¥ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, A1 ; : : :; An | ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ´®°¬³«», g | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ®¶¥­ª . ³±²¼ g1 | ®¶¥­ª , ª®²®° ¿ ±®¢¯ ¤ ¥² ± g ­  ¢±¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ®²«¨·­»µ ®² Q1 ; : : :; Qn,   g1(Qi ) = g(Ai ) (i = 1; : : :; n). ³±²¼ A | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´®°¬³« . ’®£¤ 

g(A(Q1 nA1; : : :; QnnAn)) = g1(A):

(1)

ˆ­¤³ª¶¨¿ ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» A. …±«¨ A ¥±²¼  ²®¬, ®²«¨·­»© ®² Q1; : : :; Qn, ²® A(Q1nA1 ; : : :; QnnAn ) ±®¢¯ ¤ ¥² ± A, g1(A) ±®¢¯ ¤ ¥² ± g(A), ¨ ³±«®¢¨¥ (1) ¢»¯®«­¥­®. …±«¨ ¦¥ A ¥±²¼ ®¤­  ¨§ ¯¥°¥¬¥­­»µ Qi (i = 1; : : :; n), ²® A(Q1 nA1; : : :; QnnAn ) ¥±²¼ Ai, g1(Qi ) = g(Ai ). ®½²®¬³ ¨¬¥¥¬: g(A(Q1 nA1; : : :; QnnAn)) = g(Ai ) = g1(Qi ) = g1(A): ³±²¼ A ¨¬¥¥² ¢¨¤ (:B), ¯°¨·¥¬ ¤«¿ ´®°¬³«» B ¢»¯®«­¥­® ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ². ¥. „®ª § ²¥«¼±²¢®.

g(B(Q1 nA1; : : :; QnnAn)) = g1(B): ’®£¤  A(Q1 nA1; : : :; QnnAn) ¥±²¼ (:B(Q1 nA1; : : :; QnnAn )), ¨

(2)

g(A(Q1 nA1 ; : : :; QnnAn)) = f: (g(B(Q1 nA1 ; : : :; QnnAn )) (¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ §­ ·¥­¨¿ ´®°¬³«» A ¯°¨ ®¶¥­ª¥ g) = f: (g1(B)) (¢ ±¨«³ ³±«®¢¨¿ (2)) = g1(A) (¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ §­ ·¥­¨¿ ´®°¬³«» A ¯°¨ ®¶¥­ª¥ g1 ); ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ³±²¼, ­ ª®­¥¶, A ¨¬¥¥² ¢¨¤ (BC), £¤¥  | ®¤¨­ ¨§ «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢ &, _, , ,   B ¨ C | ´®°¬³«», ¯°¨·¥¬ ¢»¯®«­¥­» ³±«®¢¨¿ (2) ¨ g(‘(Q1 nA1; : : :; QnnAn)) = g1(‘):

(3)

’®£¤  A(Q1 nA1; : : :; QnnAn) ¥±²¼ (B(Q1 nA1 ; : : :; QnnAn )C(Q1 nA1; : : :; QnnAn)); ¨ g(A(Q1 nA1; : : :; QnnAn )) = f (g(B(Q1 nA1; : : :; QnnAn); g(C(Q1 nA1; : : :; QnnAn)) (¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ §­ ·¥­¨¿ ´®°¬³«» A ¯°¨ ®¶¥­ª¥ g) = f (g1 (B); g1 (C)) (¢ ±¨«³ ³±«®¢¨© (2) ¨ (3)) = g1 (A) (¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ §­ ·¥­¨¿ ´®°¬³«» A ¯°¨ ®¶¥­ª¥ g1 ), ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ‹¥¬¬  ¤®ª § ­  °®¤®«¦¨¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬». ‚ ±¨«³ «¥¬¬» 2.1, g(A(Q1 nA1; : : :; QnnAn )) = g1 (A) = 1; ² ª ª ª A | ² ¢²®«®£¨¿. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, g(A(Q1 nA1; : : :; QnnAn)) = 1 ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g, ². ¥. ´®°¬³«  A(Q1 nA1; : : :; QnnAn) ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ‘®¢¥°¸¥­­®  ­ «®£¨·­® ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ±«³· ©, ª®£¤  A | ¯°®²¨¢®°¥·¨¥. 2 —²®¡» ¯°®¢¥°¨²¼, ¿¢«¿¥²±¿ «¨ ¤ ­­ ¿ ´®°¬³«  ² ¢²®«®£¨¥©, ¤®±² ²®·­® ¯®±²°®¨²¼ ¥¥ ¨±²¨­­®±²­³¾ ² ¡«¨¶³. ’¥®°¥¬  2.4 ¯®§¢®«¿¥² «¾¡³¾ ¤ ­­³¾ ² ¢²®«®£¨¾ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ±µ¥¬³ ¡¥±ª®­¥·­®£® ·¨±«  ­®¢»µ ² ¢²®«®£¨©, ¯®«³· ¾¹¨µ±¿ ¨§ ¤ ­­®© ¯®¤±² ­®¢ª®© ¢ ­¥¥ ¯°®¨§¢®«¼­»µ ´®°¬³« ¢¬¥±²® ¯¥°¥¬¥­­»µ. ’ ª, ¯³²¥¬ ¯®±²°®¥­¨¿ ¨±²¨­­®±²­®© ² ¡«¨¶» ¬®¦­® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ´®°¬³«  (P  Q)  ((Q  R)  (P  R)) ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ’®£¤ , ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 2.4, ² ¢²®«®£¨¥© ¿¢«¿¥²±¿ «¾¡ ¿ ´®°¬³«  ¢¨¤  (A  B)  ((B  C)  (A  C)); £¤¥ A; B; C | ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ´®°¬³«». ®±²°®¥­¨¥ ¨±²¨­­®±²­®© ² ¡«¨¶», ª®²®°®¥ ¨­®£¤  ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¤®¢®«¼­® ²°³¤®¥¬ª¨¬ (­ ¯°¨¬¥°, ¢ ±«³· ¥ ¡®«¼¸®£® ·¨±«  ¯¥°¥¬¥­­»µ ¨«¨ «®£¨·¥±ª¨µ ±¢¿§®ª ¢ ´®°¬³«¥), ¿¢«¿¥²±¿ ­¥ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ±¯®±®¡®¬ ¯°®¢¥°ª¨ ²®£®, ¿¢«¿¥²±¿ «¨ ¤ ­­ ¿ ´®°¬³«  ² ¢²®«®£¨¥©.   ¯° ª²¨ª¥ ¬®¦­® ¯°®±²® ¯®¯»² ²¼±¿ ­ ©²¨ ª®­²°¯°¨¬¥° ¤«¿ ¤ ­­®© ´®°¬³«», ². ¥. ² ª®© ­ ¡®° §­ ·¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­»µ, ­  ª®²®°®¬ ¤ ­­ ¿ ´®°¬³«  ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 0. …±«¨ ¯®¨±ª ² ª®£® ­ ¡®°  ®ª ¦¥²±¿ ³±¯¥¸­»¬, ¬» ¤®ª ¦¥¬, ·²® ´®°¬³«  ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¬» ¬®¦¥¬ ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ¡¥±¯«®¤­®±²¨ ­ ¸¨µ ¯®¯»²®ª ¨ ²¥¬ ± ¬»¬ ¤®ª § ²¼, ·²® ´®°¬³«  ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. °¨ ½²®¬ ¯®¨±ª ª®­²°¯°¨¬¥°  ¬®¦­® ¢¥±²¨ ¤®¢®«¼­® ¶¥«¥­ ¯° ¢«¥­­®, ³·¨²»¢ ¿ «®£¨·¥±ª³¾ ±²°³ª²³°³ ´®°¬³«». ®¯»² ¥¬±¿, ­ ¯°¨¬¥°, ­ ©²¨ ª®­²°¯°¨¬¥° ¤«¿ 8

´®°¬³«» (P  Q)  (Q  P).  ±±³¦¤ ¥¬ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. —²®¡» ¯°¨ ­¥ª®²®°®© ®¶¥­ª¥ ´®°¬³«  ¢¨¤  A  B ¯°¨­¨¬ «  §­ ·¥­¨¥ 0, ­¥®¡µ®¤¨¬® ¨ ¤®±² ²®·­®, ·²®¡» ¯°¨ ½²®© ®¶¥­ª¥ ´®°¬³«  A ¯°¨­¨¬ «  §­ ·¥­¨¥ 1,   ´®°¬³«  B | §­ ·¥­¨¥ 0. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­ ¬ ­ ¤® ­ ©²¨ ² ª³¾ ®¶¥­ª³ g, ¯°¨ ª®²®°®©  ) ´®°¬³«  P  Q ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1, ¡) ´®°¬³«  Q  P ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 0. “±«®¢¨¥ ¡) ¢»¯®«­¿¥²±¿ «¨¸¼ ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  g(Q) = 1, g(P ) = 0. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ³±«®¢¨¥  ) ² ª¦¥ ¢»¯®«­¥­®. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ª®­²°¯°¨¬¥° ¤«¿ ¤ ­­®© ´®°¬³«» ­ ©¤¥­, ¨ ²¥¬ ± ¬»¬ ¤®ª § ­®, ·²® ®­  ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©.  ±±¬®²°¨¬ ¤°³£®© ¯°¨¬¥°. ®¯°®¡³¥¬ ­ ©²¨ ª®­²°¯°¨¬¥° ¤«¿ ´®°¬³«» (P  R)& (Q  S) & (:R _ :S)  :P _ :Q: „«¿ ½²®£®, ®·¥¢¨¤­®, ¤®±² ²®·­® ­ ©²¨ ² ª³¾ ®¶¥­ª³, ¯°¨ ª®²®°®©  ) ´®°¬³«  P  R ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1, ¡) ´®°¬³«  Q  S ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1, ¢) ´®°¬³«  :R _ :S ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1, £) ´®°¬³«  :P _ :Q ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 0. ‚ ±¢®¾ ®·¥°¥¤¼, ³±«®¢¨¥ £) ¢»¯®«­¥­® ²®«¼ª® ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  g(P ) = g(Q) = 1. ® ²®£¤ , ¤«¿ ¢»¯®«­¥­¨¿ ³±«®¢¨©  ) ¨ ¡), ­¥®¡µ®¤¨¬® g(R) = g(S) = 1. Ž¤­ ª® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ­¥ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ³±«®¢¨¥ ¢). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­¥ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ®¶¥­ª¨, ¤«¿ ª®²®°®© ¢»¯®«­¿«¨±¼ ¡» ³±«®¢¨¿  ) { £). Œ» ³¡¥¤¨«¨±¼ ¢ ¡¥§­ ¤¥¦­®±²¨ ­ ©²¨ ª®­²°¯°¨¬¥° ¤«¿ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®© ´®°¬³«» ¨ ²¥¬ ± ¬»¬ ¤®ª § «¨, ·²® ®­  ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¨±²¨­­®±²­ ¿ ² ¡«¨¶  ¤«¿ ½²®© ´®°¬³«» ±®¤¥°¦¨² 16 ±²°®ª, ¨ ¥¥ ¯®±²°®¥­¨¥ § ­¿«® ¡» ¤®¢®«¼­® ¬­®£® ¢°¥¬¥­¨. ‡ ¤ ·¨

1) „®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«» ¿¢«¿¾²±¿ ² ¢²®«®£¨¿¬¨:  ) (P  Q) _ (Q  P ); ¡) P  (Q  P & Q); ¢) P  (Q  P); £) P _ :P ; ¤) P & Q  P; ¥) P & Q  Q; ¦) P  P _ Q; §) Q  P _ Q; ¨) ::P  P ; ª) P _ P  P ; «) ((P  Q)  P)  P ; ¬) :P  (P  Q). 2) „®ª § ²¼, ·²® ª ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ´®°¬³«» A; B; C, ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«» ¿¢«¿¾²±¿ ² ¢²®«®£¨¿¬¨:  ) (A  B) _ (B  A); ¡) A  (B  A & B); ¢) A  (B  A); £) A & B  A; ¤) A  A _ B; ¥) ((A  B)  A)  A. 3) „®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«» ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ² ¢²®«®£¨¿¬¨:  ) ((P  Q & R)  (:Q  :P))  :Q; ¡) P _ Q _ R  (P _ Q) & (P _ R).

9

2.6.  ¢­®±¨«¼­»¥ ´®°¬³«»

”®°¬³«» A ¨ B ­ §»¢ ¾²±¿ ° ¢­®±¨«¼­»¬¨ (¨«¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­»¬¨), ¥±«¨ ´®°¬³«  A  B ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. …±«¨ ´®°¬³«» A ¨ B ° ¢­®±¨«¼­», ½²®² ´ ª² ®¡®§­ · ¥²±¿ ² ª: A  B. Ž²¬¥²¨¬ ±«¥¤³¾¹¨© ®·¥¢¨¤­»© ´ ª²: ´®°¬³«» A ¨ B ° ¢­®±¨«¼­» ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  g(A) = g(B) ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g. ‚®² ­¥ª®²®°»¥ ¯°¨¬¥°» ° ¢­®±¨«¼­®±²¥©, ¢»²¥ª ¾¹¨¥ ¨§ ®¡¹¥§­ ·¨¬®±²¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¥©: ::P  P; (P  Q)  (:Q  :P ); :(P & Q)  (:P _ :Q); :(P _ Q)  (:P & :Q); (P  Q)  ((P  Q) & (Q  P)). ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ­¥ª®²®°®¥ ¢µ®¦¤¥­¨¥ ´®°¬³«» A ¢ ´®°¬³«³ C ¨, ¨¬¥¿ ½²® ¢ ¢¨¤³, ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ C ª ª CA. ³±²¼ B | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´®°¬³« . —¥°¥§ CB ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ´®°¬³«³, ¯®«³·¥­­³¾ ¢ °¥§³«¼² ²¥ § ¬¥­» ¢»¤¥«¥­­®£® ¢µ®¦¤¥­¨¿ ´®°¬³«» A ¢ C ­  B. ’¥®°¥¬  2.5 (²¥®°¥¬  ®¡ ½ª¢¨¢ «¥­²­®© § ¬¥­¥). Š ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ´®°¬³«» A; B; C , ¥±«¨ A ¢µ®¤¨² ¢ C ¨ A  B , ²® ¤«¿ «¾¡®£® ¢µ®¦¤¥­¨¿ ´®°¬³«» A ¢ C ¨¬¥¥² ¬¥±²® CA  CB . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ² ª¨¥ ´®°¬³«» A ¨ B, ·²® A  B, ¨ ¤®ª ¦¥¬ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» C. …±«¨ C |  ²®¬­ ¿ ´®°¬³« ,   A | ¥¥ ¯®¤´®°¬³« , ²® A ±®¢¯ ¤ ¥² ± C. ’®£¤  CA ¥±²¼ A, CB ¥±²¼ B, ¨ ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ®·¥¢¨¤­®. ³±²¼ C ¨¬¥¥² ¢¨¤ (:D), ¯°¨·¥¬ ¤«¿ ´®°¬³«» D ¢»¯®«­¥­® ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥: ¥±«¨ A ¢µ®¤¨² ¢ D, ²® DA  DB . ³±²¼ ´®°¬³«  A ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤´®°¬³«®© ´®°¬³«» C. ’®£¤  «¨¡® A ±®¢¯ ¤ ¥² ± C, «¨¡® A ¿¢«¿¥²±¿ ±®¡±²¢¥­­®© ¯®¤´®°¬³«®© ´®°¬³«» C. …±«¨ A ±®¢¯ ¤ ¥² ± C, ²® CA ¥±²¼ A, CB ¥±²¼ B, ¨ ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ®·¥¢¨¤­®. …±«¨ ¦¥ A ¿¢«¿¥²±¿ ±®¡±²¢¥­­®© ¯®¤´®°¬³«®© ´®°¬³«» C, ²®, ¢ ±¨«³ § ¤ ·¨ 4) ¨§ ° §¤¥«  2.3, A ¢µ®¤¨² ¢ D, ¨ CA ¨¬¥¥² ¢¨¤ (:DA ). ’®£¤  CB ¨¬¥¥² ¢¨¤ (:DB ), ¨ ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g ¨¬¥¥¬: g(CA ) = g(:DA ) = f: (g(DA )) = f: (g(DB )) = g(:DB ) = g(CB ); ². ¥. CA  CB , ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ³±²¼ C ¨¬¥¥² ¢¨¤ (DE), £¤¥  | ®¤¨­ ¨§ «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢ &, _, , ,   C ¨ D | ´®°¬³«», ¤«¿ ª®²®°»µ ¢»¯®«­¥­® ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥: ¥±«¨ A ¢µ®¤¨² ¢ D, ²® DA  DB , ¨ ¥±«¨ A ¢µ®¤¨² ¢ E, ²® EA  EB . ³±²¼ ´®°¬³«  A ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤´®°¬³«®© ´®°¬³«» C. ’®£¤  «¨¡® A ±®¢¯ ¤ ¥² ± C, «¨¡® A ¿¢«¿¥²±¿ ±®¡±²¢¥­­®© ¯®¤´®°¬³«®© ´®°¬³«» C. …±«¨ A ±®¢¯ ¤ ¥² ± C, ²® CA ¥±²¼ A, CB ¥±²¼ B, ¨ ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ®·¥¢¨¤­®. …±«¨ ¦¥ A ¿¢«¿¥²±¿ ±®¡±²¢¥­­®© ¯®¤´®°¬³«®© ´®°¬³«» C, ²®, ¢ ±¨«³ § ¤ ·¨ 5) ¨§ ° §¤¥«  2.3, A ¢µ®¤¨² ¢ D ¨«¨ A ¢µ®¤¨² ¢ E, ¨ CA ¨¬¥¥² ¢¨¤ (DA E) ¨«¨ ¢¨¤ (DEA ). ‚ ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ CB ¨¬¥¥² ¢¨¤ (DB E), ¨ ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g ¨¬¥¥¬: g(CA ) = g(DA E) = f (g(DA ); g(E)) = f (g(DB ); g(E)) = g(DB E) = g(CB ); ². ¥. CA  CB , ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ‘®¢¥°¸¥­­®  ­ «®£¨·­® ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ¢²®°®© ±«³· ©. 2 ‡ ¤ ·¨

1) „®ª § ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¥ ° ¢­®±¨«¼­®±²¨:  ) P & P  P ; ¡) P & Q  Q & P; ¢) P & (Q _ P)  P; £) P _ P  P ; ¤) P _ Q  Q _ P; ¥) P _ Q & P  P . 2) „®ª § ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¥ ° ¢­®±¨«¼­®±²¨, £¤¥ A, B, C | ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ´®°¬³«»:  ) ::A  A; ¡) A  B  :A _ B; ¢) :(A  B)  A & :B; £) A & (B _ :B)  A; ¤) A _ B & :B  A; ¥) A  :A  :A; ¦) (A _ B) & (B _ C) & (C _ A)  A & C _ B & C _ C & A; 10

3)

4) 5) 6) 7)

8)

9) 10)

§) (A _ B) & (A _ :B)  A; ¨) A _ :A & B  A _ B; ª) A  B  (A  B) & (B  A). „®ª § ²¼, ·²® ´®°¬³«  A  B ° ¢­®±¨«¼­  ª ¦¤®© ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ´®°¬³«:  ) :B  :A; ¡) A & :B  :A; ¢) A & :B  B; £) :(A & :B). ®±²°®¨²¼ ´®°¬³«³, ¨±¯®«¼§³¾¹³¾ ²®«¼ª® ±¢¿§ª³ , ° ¢­®±¨«¼­³¾ ´®°¬³«¥ P _ Q. ®±²°®¨²¼ ´®°¬³«³, ¨±¯®«¼§³¾¹³¾ ²®«¼ª® ±¢¿§ª¨  ¨ , ° ¢­®±¨«¼­³¾ ´®°¬³«¥ P & Q. Š ª®¥ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ª®«¨·¥±²¢® ¯®¯ °­® ­¥° ¢­®±¨«¼­»µ ´®°¬³« ¬®¦­® ¯®±²°®¨²¼, ¨±¯®«¼§³¿ «¨¸¼ ¯¥°¥¬¥­­»¥ P1 ; : : :; Pn? ³²¥¸¥±²¢¥­­¨ª ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¤­®¬ ¨§ £®°®¤®¢ € ¨«¨ , ­® ¢ ª ª®¬ ¨¬¥­­® | ¥¬³ ­¥¨§¢¥±²­®. Ž­ § ¤ ¥² ±®¡¥±¥¤­¨ª³ ®¤¨­ ¢®¯°®±, ­  ª®²®°»© ¬®¦¥² ¯®«³·¨²¼ ®²¢¥² À¤ Á ¨«¨ À­¥²Á, ¯°¨·¥¬ ®²¢¥² ¥£® ±®¡¥±¥¤­¨ª  ¬®¦¥² ¿¢«¿²¼±¿ ¯° ¢¤®© ¨«¨ «®¦¼¾ (·¥¬ ¨¬¥­­®, ¥¬³ ²®¦¥ ­¥¨§¢¥±²­®). °¨¤³¬ ²¼ ¢®¯°®±, ¯® ®²¢¥²³ ­  ª®²®°»© ¬®¦­® ¡¥§®¸¨¡®·­® ±³¤¨²¼, ¢ ª ª®¬ £®°®¤¥ ­ µ®¤¨²±¿ ¯³²¥¸¥±²¢¥­­¨ª. „®ª § ²¼, ·²®:  ) A  A  B  B; ¡) A  (B  C)  (A  B)  C; ¢) A  B  B  A. „®ª § ²¼, ·²® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­ ¿ ´®°¬³« , ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ²®«¼ª® ±¢¿§ª³ , ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥© ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ª ¦¤ ¿ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ ¢µ®¤¨² ¢ ­¥¥ ·¥²­®¥ ·¨±«® ° §. „®ª § ²¼, ·²® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­ ¿ ´®°¬³« , ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ²®«¼ª® ±¢¿§ª¨  ¨ :, ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥© ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ª ¦¤ ¿ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ ¨ §­ ª ®²°¨¶ ­¨¿ ¢µ®¤¿² ¢ ­¥¥ ·¥²­®¥ ·¨±«® ° §.

2.7. ”®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨

€²®¬­»¥ ´®°¬³«» ¨ ¨µ ®²°¨¶ ­¨¿ ­ §»¢ ¾²±¿ «¨²¥° ¬¨. …±«¨ Q | ¯¥°¥¬¥­­ ¿, ²® «¨²¥°» Q ¨ :Q ­ §»¢ ¾²±¿ ª®­²° °­»¬¨. ®­¿²¨¥ ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¨­¤³ª²¨¢­® ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 1) ¢±¿ª ¿ «¨²¥°  ±·¨² ¥²±¿ ´®°¬³«®© ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨; 2) ¥±«¨ A ¨ B | ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨, ²® (A & B), (A _ B) | ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨. ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ´®°¬³«  ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨ | ½²® ² ª ¿ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­ ¿ ´®°¬³« , ª®²®° ¿ ±®¤¥°¦¨² «¨¸¼ ±¢¿§ª¨ :, &, _, ¯°¨·¥¬ ±¢¿§ª  : ¢±²°¥· ¥²±¿ ¢ ­¥© «¨¸¼ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¯¥°¥¤ ¯¥°¥¬¥­­»¬¨. ’¥®°¥¬  2.6.

®²°¨¶ ­¨¿¬¨.

„«¿ «¾¡®© ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®© ´®°¬³«» ±³¹¥±²¢³¥² ° ¢­®±¨«¼­ ¿ ¥© ´®°¬³«  ± ²¥±­»¬¨

„®ª § ²¥«¼±²¢®. Œ» ¤®ª ¦¥¬ ±«¥¤³¾¹¥¥, ¡®«¥¥ ®¡¹¥¥, ³²¢¥°¦¤¥­¨¥: ª ª®¢  ¡» ­¨ ¡»«  ´®°¬³«  A, ±³¹¥±²¢³¾² ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨ A0 ¨ A ² ª¨¥, ·²® A0  A, A  :A. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ½²®£® ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» A. …±«¨ A ¥±²¼ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ Q, ²®, ®·¥¢¨¤­®, ¢ ª ·¥±²¢¥ A0 ¬®¦­® ¢§¿²¼ «¨²¥°³ Q,   ¢ ª ·¥±²¢¥ A | «¨²¥°³ :Q. ³±²¼ ´®°¬³«  A ¨¬¥¥² ¢¨¤ (:B), ¯°¨·¥¬ ¤«¿ ´®°¬³«» B ¯®±²°®¥­» ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨ B 0 ¨ B  ² ª¨¥, ·²® B 0  B, B   :B. ’®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, ¢ ª ·¥±²¢¥ A0 ¬®¦­® ¢§¿²¼ ´®°¬³«³ B  . ‚ ª ·¥±²¢¥ A ¬®¦­® ¢§¿²¼ ´®°¬³«³ B 0 . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, :A ¥±²¼ ´®°¬³«  ::B, ° ¢­®±¨«¼­ ¿ ´®°¬³«¥ B (±¬. § ¤ ·³ 2 ) ¨§ ° §¤¥«  2.6), ª®²®° ¿, ¢ ±¢®¾ ®·¥°¥¤¼, ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ B 0 .

11

 ±±¬ ²°¨¢ ¿ ¤°³£¨¥ «®£¨·¥±ª¨¥ ±¢¿§ª¨, ¬» ­¥ ¡³¤¥¬ ®±² ­ ¢«¨¢ ²¼±¿ ­  ¯®¤°®¡­®¬ ®¡®±­®¢ ­¨¨ ¢»¡®°  ´®°¬³« A0 ¨ A , ®±² ¢«¿¿ ½²³ § ¤ ·³ ¤«¿ ·¨² ²¥«¿. ³±²¼ ´®°¬³«  A ¨¬¥¥² ¢¨¤ (BC), £¤¥  ¥±²¼ & ¨«¨ _, ¯°¨·¥¬ ¤«¿ ´®°¬³« B ¨ C ¯®±²°®¥­» ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨ B 0 , B  , C 0, C  ² ª¨¥, ·²® B 0  B; B   :B; C 0  C; C   :C:

(4)

’®£¤  ¢ ª ·¥±²¢¥ A0 ¬®¦­® ¢§¿²¼ ´®°¬³«³ (B 0 C 0 ),   ¢ ª ·¥±²¢¥ A | ´®°¬³«³ (B   C  ), £¤¥  =



&; ¥±«¨  = _; _; ¥±«¨  = &:

³±²¼ ´®°¬³«  A ¨¬¥¥² ¢¨¤ (B  C), ¯°¨·¥¬ ¤«¿ ´®°¬³« B ¨ C ¯®±²°®¥­» ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨ B 0 , B  , C 0, C  ² ª¨¥, ·²® ¢»¯®«­¥­» ³±«®¢¨¿ (4). ’®£¤  ¢ ª ·¥±²¢¥ A0 ¬®¦­® ¢§¿²¼ ´®°¬³«³ (B  _ C 0),   ¢ ª ·¥±²¢¥ A | ´®°¬³«³ (B 0 & C  ). ³±²¼, ­ ª®­¥¶, ´®°¬³«  A ¨¬¥¥² ¢¨¤ (B  C), ¯°¨·¥¬ ¤«¿ ´®°¬³« B ¨ C ¯®±²°®¥­» ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨ B 0 , B  , C 0, C  ² ª¨¥, ·²® ¢»¯®«­¥­» ³±«®¢¨¿ (4). ’®£¤  ¢ ª ·¥±²¢¥ A0 ¬®¦­® ¢§¿²¼ ´®°¬³«³ (B  _ C 0) & (C  _ B 0 ),   ¢ ª ·¥±²¢¥ A | ´®°¬³«³ (B 0 & C  ) _ (C 0 & B  ). 2 „®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» 2.6 ¤ ¥²  «£®°¨²¬ ¯°¨¢¥¤¥­¨¿ ¯°®¨§¢®«¼­®© ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®© ´®°¬³«» ª ¢¨¤³ ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨, ². ¥. ¯®±²°®¥­¨¿ ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨, ° ¢­®±¨«¼­®© ¤ ­­®© ´®°¬³«¥.  ±±¬®²°¨¬, ­ ¯°¨¬¥°, ´®°¬³«³ ((P  Q)  (R  :P ))  (:Q  :R). ®«¼§³¿±¼ ®¡®§­ ·¥­¨¿¬¨ ¨ ° ±±³¦¤¥­¨¿¬¨ ¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» 2.6, ¯®«³· ¥¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¶¥¯®·ª³ ° ¢­®±¨«¼­®±²¥©: (((P  Q)  (R  :P))  (:Q  :R))0  ((P  Q)  (R  :P )) _ (:Q  :R)0 

 (P  Q)0 & (R  :P) _ (:Q) _ (:R)0  (P  _ Q0 ) & R0 & (:P ) _ Q _ :R  (:P _ Q) & R & P _ Q _ :R: 2.8. ®°¬ «¼­»¥ ´®°¬» ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³«

®­¿²¨¥ ¤¨§º¾­ª²  ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 1) ¢±¿ª ¿ «¨²¥°  ±·¨² ¥²±¿ ¤¨§º¾­ª²®¬; 2) ¥±«¨ D | ¤¨§º¾­ª², L | «¨²¥° , ²® ´®°¬³«  D _ L ¿¢«¿¥²±¿ ¤¨§º¾­ª²®¬. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯®«¼§³¿±¼ ±®£« ¸¥­¨¥¬ ®¡ ®¯³±ª ­¨¨ ±ª®¡®ª, ª ¦¤»© ¤¨§º¾­ª² ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ L1 _ : : : _ Ln , £¤¥ L1 ; : : :; Ln | «¨²¥°», n  1. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ² ª®© ¤¨§º¾­ª² ¯°¨­¨¬ ¥² ¯°¨ ¤ ­­®© ®¶¥­ª¥ §­ ·¥­¨¥ 0 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢±¥ «¨²¥°» L1 ; : : :; Ln ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 0. Ž²±¾¤ , ¢ · ±²­®±²¨, ±«¥¤³¥², ·²® ¤¨§º¾­ª² L1 _ : : : _ Ln ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥© ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ±°¥¤¨ «¨²¥° L1 ; : : :; Ln ¥±²¼ ª®­²° °­»¥. ®­¿²¨¥ ª®­º¾­ª²  ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 1) ¢±¿ª ¿ «¨²¥°  ±·¨² ¥²±¿ ª®­º¾­ª²®¬; 2) ¥±«¨ K | ª®­º¾­ª², L | «¨²¥° , ²® ´®°¬³«  K & L ¿¢«¿¥²±¿ ª®­º¾­ª²®¬. ®«¼§³¿±¼ ±®£« ¸¥­¨¥¬ ®¡ ®¯³±ª ­¨¨ ±ª®¡®ª, ª ¦¤»© ª®­º¾­ª² ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ L1 & : : :& Ln , £¤¥ L1 ; : : :; Ln | «¨²¥°», n  1. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ² ª®© ª®­º¾­ª² ¯°¨­¨¬ ¥² ¯°¨ ¤ ­­®© ®¶¥­ª¥ §­ ·¥­¨¥ 1 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢±¥ «¨²¥°» L1 ; : : :; Ln ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 1. Ž²±¾¤ , ¢ · ±²­®±²¨, ±«¥¤³¥², ·²® ª®­º¾­ª² L1 & : : :& Ln ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥¬ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ±°¥¤¨ «¨²¥° L1 ; : : :; Ln ¥±²¼ ª®­²° °­»¥. Š®­º¾­ª²¨¢­ ¿ ­®°¬ «¼­ ¿ ´®°¬  (Š”) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ² ª: 1) ¢±¿ª¨© ¤¨§º¾­ª² ¥±²¼ Š”; 2) ¥±«¨ A ¥±²¼ Š”, D | ¤¨§º¾­ª², ²® ´®°¬³«  A & D ¥±²¼ Š”. ®«¼§³¿±¼ ±®£« ¸¥­¨¥¬ ®¡ ®¯³±ª ­¨¨ ±ª®¡®ª, ª ¦¤³¾ ª®­º¾­ª²¨¢­³¾ ­®°¬ «¼­³¾ ´®°¬³ ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ D1 & : : :& Dn , £¤¥ D1 ; : : :; Dn | ¤¨§º¾­ª²», n  1. „¨§º¾­ª²¨¢­ ¿ ­®°¬ «¼­ ¿ ´®°¬  („”) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ² ª: 1) ¢±¿ª¨© ª®­º¾­ª² ¥±²¼ „”; 12

2) ¥±«¨ A ¥±²¼ „”, K | ª®­º¾­ª², ²® ´®°¬³«  A _ K ¥±²¼ „”. ®«¼§³¿±¼ ±®£« ¸¥­¨¥¬ ®¡ ®¯³±ª ­¨¨ ±ª®¡®ª, ª ¦¤³¾ ¤¨§º¾­ª²¨¢­³¾ ­®°¬ «¼­³¾ ´®°¬³ ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ K1 _ : : : _ Kn , £¤¥ K1 ; : : :; Kn | ª®­º¾­ª²», n  1. ³±²¼ Q | ¯¥°¥¬¥­­ ¿,  2 f0; 1g. —¥°¥§ Q ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ «¨²¥°³ Q, ¥±«¨  = 1, ¨ «¨²¥°³ :Q, ¥±«¨  = 0. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g ¢»¯®«­¿¾²±¿ ³±«®¢¨¿: g(Q ) = 1 , g(Q) = ; g(Q ) = 0 , g(Q) =  ; £¤¥  ¥±²¼ ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥, ¤¢®©±²¢¥­­®¥ §­ ·¥­¨¾ , ². ¥.  ¥±«¨  = 1;  = 0; 1; ¥±«¨  = 0: ³±²¼ Q1; : : :; Qn | ­¥ª®²®°»© ³¯®°¿¤®·¥­­»© ±¯¨±®ª ¯®¯ °­® ° §«¨·­»µ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¨ ¯³±²¼ g | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ®¶¥­ª . ®«®¦¨¬ i = g(Qi ) (i = 1; : : :; n). Š ¦¤»© ­ ¡®°  = 1 : : :n ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ¤¢®¨·­³¾ § ¯¨±¼ ­¥ª®²®°®£® ­ ²³° «¼­®£® ·¨±«  . ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ­ ¡®° ±¤¥¤³¥² §  ­ ¡®°®¬ , ¥±«¨   . ‘² ­¤ °²­»© ª®­º¾­ª² ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1 ; : : :; Qn, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ­ ¡®°³  = 1 : : :n, | ½²® ª®­º¾­ª² Q1 1 & : : :& Qnn . Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g ¢»¯®«­¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥¥ ³±«®¢¨¥: g(Q1 1 & : : :& Qnn ) = 1 , (8i 2 f1; : : :; ng)g(Qi ) = i :

³±²¼ K1 ; : : :; Km (m  1) ±³²¼ ­¥ª®²®°»¥ ±² ­¤ °²­»¥ ª®­º¾­ª²» ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1 ; : : :; Qn, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ­ ¡®° ¬ 1 ; : : :; m, ¢»¯¨± ­­»¬ ¢ ¯®°¿¤ª¥ ±«¥¤®¢ ­¨¿. ”®°¬³«  K1 _: : :_Km ­ §»¢ ¥²±¿ ±®¢¥°¸¥­­®© ¤¨§º¾­ª²¨¢­®© ­®°¬ «¼­®© ´®°¬®© (‘„”) ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1 ; : : :; Qn. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g ¨¬¥¥² ¬¥±²® g(K1 _ : : : _ Km ) = 1 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ­ ¡®° g(Q1 ); : : :; g(Qn) ±®¢¯ ¤ ¥² ± ®¤­¨¬ ¨§ ­ ¡®°®¢ 1; : : :; m . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ­¨ª ª ¿ ‘„” ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥¬. °¨¢¥¤¥­­»¥ ° ±±³¦¤¥­¨¿ ¯®§¢®«¿¾² ¤«¿ «¾¡®© ´®°¬³«» A, ­¥ ¿¢«¿¾¹¥©±¿ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥¬, ¯®±²°®¨²¼ ° ¢­®±¨«¼­³¾ ¥© ‘„” ­ ¤ «¾¡»¬ ±¯¨±ª®¬ ¯¥°¥¬¥­­»µ Q1 ; : : :; Qn, ¢ª«¾· ¾¹¥¬ ¢±¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ A. € ¨¬¥­­®, ¯³±²¼ 1; : : :; m | ¢±¥ ­ ¡®°» §­ ·¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­»µ Q1 ; : : :; Qn, ¢»¯¨± ­­»¥ ¢ ¯®°¿¤ª¥ ±«¥¤®¢ ­¨¿, ­  ª®²®°»µ ´®°¬³«  A ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1, ¨ ¯³±²¼ K1 ; : : :; Km | ±² ­¤ °²­»¥ ª®­º¾­ª²» ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1; : : :; Qn, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ­ ¡®° ¬ 1 ; : : :; m. ’®£¤  ‘„” K1 _ : : : _ Km ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ A, ² ª ª ª ®¡¥ ½²¨ ´®°¬³«» ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 1 ¢ ²®·­®±²¨ ¯°¨ ®¤­¨µ ¨ ²¥µ ¦¥ ®¶¥­ª µ. ‘² ­¤ °²­»© ¤¨§º¾­ª² ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1 ; : : :; Qn, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ­ ¡®°³  = 1 : : :n , | ½²® ¤¨§º¾­ª² Q1 1 _ : : : _ Qnn . Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g ¢»¯®«­¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥¥ ³±«®¢¨¥: g(Q1 1 _ : : : _ Qnn ) = 0 , (8i 2 f1; : : :; ng)g(Qi) = i :

³±²¼ D1 ; : : :; Dm (m  1) ±³²¼ ­¥ª®²®°»¥ ±² ­¤ °²­»¥ ¤¨§º¾­ª²» ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1; : : :; Qn, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ­ ¡®° ¬ 1; : : :; m, ¢»¯¨± ­­»¬ ¢ ¯®°¿¤ª¥ ±«¥¤®¢ ­¨¿. ”®°¬³«  D1 & : : : & Dm ­ §»¢ ¥²±¿ ±®¢¥°¸¥­­®© ª®­º¾­ª²¨¢­®© ­®°¬ «¼­®© ´®°¬®© (‘Š”) ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1; : : :; Qn. „«¿ ­ ¡®°   = 1 : : :n ·¥°¥§  ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ¤¢®©±²¢¥­­»© ¥¬³ ­ ¡®° 1 : : :n. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g ¨¬¥¥² ¬¥±²® g(D1 & : : :& Dm ) = 0 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ­ ¡®° g(Q1 ); : : :; g(Qn ) ±®¢¯ ¤ ¥² ± ®¤­¨¬ ¨§ ­ ¡®°®¢ (1) ; : : :; (m ) . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ­¨ª ª ¿ ‘Š” ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. °¨¢¥¤¥­­»¥ ° ±±³¦¤¥­¨¿ ¯®§¢®«¿¾² ¤«¿ «¾¡®© ´®°¬³«» A, ­¥ ¿¢«¿¾¹¥©±¿ ² ¢²®«®£¨¥©, ¯®±²°®¨²¼ ° ¢­®±¨«¼­³¾ ¥© ‘Š” ­ ¤ «¾¡»¬ ±¯¨±ª®¬ ¯¥°¥¬¥­­»µ Q1; : : :; Qn, ¢ª«¾· ¾¹¥¬ ¢±¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ A. € ¨¬¥­­®, ¯³±²¼ 1 ; : : :; m | ¢±¥ ­ ¡®°» §­ ·¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­»µ Q1 ; : : :; Qn, ­  ª®²®°»µ ´®°¬³«  A ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 0. ‚»¯¨¸¥¬ ¢ ¯®°¿¤ª¥ ±«¥¤®¢ ­¨¿ ­ ¡®°» 1 = (1 ) ; : : :; m = (m ) . ³±²¼ D1 ; : : :; Dm | ±² ­¤ °²­»¥ ¤¨§º¾­ª²» ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1 ; : : :; Qn, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ­ ¡®° ¬ 1 ; : : :; m . ’®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, ‘Š” D1 & : : :& Dm ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ A, ² ª ª ª ®¡¥ ½²¨ ´®°¬³«» ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 0 ¢ ²®·­®±²¨ ¯°¨ ®¤­¨µ ¨ ²¥µ ¦¥ ®¶¥­ª µ. ‡ ¤ ·¨

1) „«¿ ª ¦¤®© ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ´®°¬³« ¯®±²°®¨²¼ ° ¢­®±¨«¼­³¾ ¥© „” ¨ Š”:  ) ((P  Q)  (R  :P ))  (:Q  :R); ¡) ((((P  Q)  :P )  :Q)  :R)  R; 13

¢) (P  (Q  R))  ((P  :R)  (P  :Q)). 2) „«¿ ª ¦¤®© ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ´®°¬³« ¯®±²°®¨²¼ ‘„”, ° ¢­®±¨«¼­³¾ ¥©:  ) ((P  Q)  :P )  (P  Q & P); ¡) :(P & Q  :P ) & :(P & Q  :Q). 3) „«¿ ª ¦¤®© ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ´®°¬³« ¯®±²°®¨²¼ ‘Š”, ° ¢­®±¨«¼­³¾ ¥©:  ) (R  P)  (:(Q _ R)  P ); ¡) :(P & Q  P) _ (P & (Q _ R)). 2.9. °¨­¶¨¯ ¤¢®©±²¢¥­­®±²¨

³±²¼ A | ´®°¬³«  ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨,   A0 | ´®°¬³«  ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨, ¯®«³·¥­­ ¿ ¨§ A § ¬¥­®© ±¢¿§ª¨ & ­  _, ±¢¿§ª¨ _ ­  & ¨ ª ¦¤®© «¨²¥°» ­  ª®­²° °­³¾ ¥©. ’®£¤  :A  A0 . ’¥®°¥¬  2.7.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ˆ­¤³ª¶¨¿ ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨ A. …±«¨ A ¥±²¼ «¨²¥° , ²® A0 | ª®­²° °­ ¿ ¥© «¨²¥° , ¨ ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ®·¥¢¨¤­®. ³±²¼ A ¨¬¥¥² ¢¨¤ B & C, £¤¥ B ¨ C | ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨, ¤«¿ ª®²®°»µ ¯®±²°®¥­» ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨ B 0 ¨ C 0, ² ª ·²® :B  B 0 , :C  C 0. ’®£¤  A0 ¥±²¼ B 0 _ C 0 , ¨ :A = :(B & C)  :B _ :C  B 0 _ C 0 = A0 ; ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ‘®¢¥°¸¥­­®  ­ «®£¨·­® ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ±«³· ©, ª®£¤  A ¨¬¥¥² ¢¨¤ B _ C, £¤¥ B ¨ C | ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨. 2

³±²¼ A ¨ B | ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨,   A ¨  B | ´®°¬³«» ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨, ¯®«³·¥­­»¥ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¨§ A ¨ B § ¬¥­®© ±¢¿§ª¨ & ­  _,   ’¥®°¥¬  2.8 (¯°¨­¶¨¯ ¤¢®©±²¢¥­­®±²¨).

±¢¿§ª¨ _ ­  &. ’®£¤  1) ¥±«¨ A | ¯°®²¨¢®°¥·¨¥, ²® A | ² ¢²®«®£¨¿; 2) ¥±«¨ A | ² ¢²®«®£¨¿, ²® A | ¯°®²¨¢®°¥·¨¥; 3) ¥±«¨ A  B , ²® A  B  ; 4) ¥±«¨ ´®°¬³«  A  B ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©, ²® ´®°¬³«  B   A ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® § ¬¥­³ ¢ ´®°¬³«¥ ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨ A ¢±¥µ «¨²¥° ­  ª®­²° °­»¥ ¬®¦­® ¯°®¢¥±²¨ ¢ ¤¢  ½² ¯ . ‘­ · «  ¢ ´®°¬³«³ A ¯®¤±² ¢«¿¥¬ ´®°¬³«» :Q1; : : :; :Qn ¢¬¥±²® ¢±¥µ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ ­¥¥ ¯¥°¥¬¥­­»µ Q1; : : :; Qn. ‡ ²¥¬, ¯®«¼§³¿±¼ ° ¢­®±¨«¼­®±²¿¬¨ ::Qi  Qi (i = 1; : : :; n), ®¯³±ª ¥¬ ¢±¥ ¢®§­¨ª¸¨¥ ¤¢®©­»¥ ®²°¨¶ ­¨¿ ¯¥°¥¤ ¯¥°¥¬¥­­»¬¨, ¯®«³· ¿ ° ¢­®±¨«¼­³¾ ´®°¬³«³. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ´®°¬³«  A0 , ° ±±¬®²°¥­­ ¿ ¢ ²¥®°¥¬¥ 2.7, ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥, ¯®«³·¥­­®© ¨§ A ³ª § ­­®© ¯®¤±² ­®¢ª®©. €­ «®£¨·­®, ´®°¬³«  A ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥, ¯®«³·¥­­®© ¨§ ´®°¬³«» A0 ²®© ¦¥ ¯®¤±² ­®¢ª®©. ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¥±«¨ Q1; : : :; Qn | ¢±¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ´®°¬³«³ ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨ A, ²®

A0  A (Q1n:Q1; : : :; Qnn:Qn);

A  A0 (Q1n:Q1; : : :; Qnn:Qn):

(5)

1) ³±²¼ A | ¯°®²¨¢®°¥·¨¥. ® ²¥®°¥¬¥ 2.7 ´®°¬³«  A0 ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ :A, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯®¤±² ­®¢ª¥ (²¥®°¥¬  2.4) ´®°¬³«  A0 (Q1 n:Q1; : : :; QnnQn ) ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¢ ±¨«³ (5), ½²  ´®°¬³«  ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ A , ª®²®° ¿, ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. 2) ²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤®ª §»¢ ¥²±¿  ­ «®£¨·­® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³. 3) ³±²¼ A  B. ’®£¤ , ¯® ²¥®°¥¬¥ ®¡ ½ª¢¨¢ «¥­²­®© § ¬¥­¥, :A  :B. ® ²¥®°¥¬¥ 2.7 ®²±¾¤  ±«¥¤³¥² A0  B 0 , ². ¥. ´®°¬³«  A0  B 0 ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ³±²¼ Q1; : : :; Qn | ¢±¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ½²³ ´®°¬³«³. ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯®¤±² ­®¢ª¥ ´®°¬³«  A0(Q1 n:Q1; : : :; Qnn:Qn)  B 0 (Q1 n:Q1; : : :; Qnn:Qn) ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¢ ±¨«³ (5) ¨ ²¥®°¥¬» ®¡ ½ª¢¨¢ «¥­²­®© § ¬¥­¥ (²¥®°¥¬  2.5), ½²  ´®°¬³«  ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ A  B  , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, A  B  . 4) ³±²¼ ´®°¬³«  A  B ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ’®£¤  ¨ ° ¢­®±¨«¼­ ¿ ¥© ´®°¬³«  :B  :A ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 2.7 ¨ ²¥®°¥¬» ®¡ ½ª¢¨¢ «¥­²­®© § ¬¥­¥ ½²  ´®°¬³«  ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ B 0  A0 , ª®²®° ¿, ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯®¤±² ­®¢ª¥ ´®°¬³«  B 0 (Q1 n:Q1; : : :; Qnn:Qn)  A0 (Q1n:Q1; : : :; Qnn:Qn) ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¢ ±¨«³ (5) ¨ ²¥®°¥¬» ®¡ ½ª¢¨¢ «¥­²­®© § ¬¥­¥, ½²  ´®°¬³«  ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ B   A , ª®²®° ¿ ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. 2

14

‡ ¤ ·¨

³±²¼ ¤ ­  ¤¨§º¾­ª²¨¢­ ¿ (ª®­º¾­ª²¨¢­ ¿) ­®°¬ «¼­ ¿ ´®°¬  A. Š ª ¯®±²°®¨²¼ ª®­º¾­ª²¨¢­³¾ (±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ¤¨§º¾­ª²¨¢­³¾) ­®°¬ «¼­³¾ ´®°¬³ ¤«¿ :A? 2.10. ‚»¯®«­¨¬®±²¼ ¨ ²¥®°¥¬  ª®¬¯ ª²­®±²¨ ¢ «®£¨ª¥ ¢»±ª §»¢ ­¨©

Œ­®¦¥±²¢® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³« ­ §»¢ ¥²±¿ ¢»¯®«­¨¬»¬, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®¶¥­ª  g, ·²® (8A 2 )g(A) = 1. °®¯®§¨¶¨®­ «¼­ ¿ ´®°¬³«  A ­ §»¢ ¥²±¿ ¢»¯®«­¨¬®©, ¥±«¨ ¢»¯®«­¨¬® ¬­®¦¥±²¢® fAg. ¥±ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³« ¢»¯®«­¨¬® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢»¯®«­¨¬® ¢±¿ª®¥ ª®­¥·­®¥ ¥£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢®. ’¥®°¥¬  2.9 (²¥®°¥¬  ª®¬¯ ª²­®±²¨).

„®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³« ¢»¯®«­¨¬®, ²® ¢»¯®«­¨¬® «¾¡®¥ ¥£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢®, ¢ · ±²­®±²¨, «¾¡®¥ ª®­¥·­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢®. „®ª ¦¥¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¢»¯®«­¨¬®, ¥±«¨ ¢»¯®«­¨¬® «¾¡®¥ ª®­¥·­®¥ ¥£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢®. ®±ª®«¼ª³ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³« ±·¥²­®, ¡¥±ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ² ª¦¥ ±·¥²­®. ³±²¼ = fA1; A2 ; A3; : : :g. ®«®¦¨¬
n = fA1; : : :; Ang (n  1): Ž·¥¢¨¤­®, ª ¦¤®¥ ¨§ ¬­®¦¥±²¢
n | ½²® ª®­¥·­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¬­®¦¥±²¢  , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ®­® ¢»¯®«­¨¬® ¯® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾. ³±²¼ gn | ² ª ¿ ®¶¥­ª , ¯°¨ ª®²®°®© ¢±¥ ´®°¬³«» ¨§
n ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 1. ®±²°®¨¬ ®¶¥­ª³ g, ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® n ®¯°¥¤¥«¨¢ §­ ·¥­¨¥ g(Pn ) ¤«¿ ª ¦¤®© ¯¥°¥¬¥­­®© Pn. ®«®¦¨¬ g(P1) = 1, ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® fnjgn(P1) = 1g ¡¥±ª®­¥·­®. ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¯®«®¦¨¬ g(P1 ) = 0. Ž·¥¢¨¤­®, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¡¥±ª®­¥·­® ¬­®¦¥±²¢® fnjgn(P1 ) = 0g. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ «¾¡®¬ ±«³· ¥ ¬­®¦¥±²¢® M1 = fnjgn(P1) = g(P1)g ¡¥±ª®­¥·­®. „®¯³±²¨¬, ·²® ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥­» §­ ·¥­¨¿ g(P1 ); : : :; g(Pk ) ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® k  1, ¯°¨·¥¬ ¬­®¦¥±²¢® Mk = fnjgn(P1) = g(P1 ); : : :; gn(Pk ) = g(Pk )g ¡¥±ª®­¥·­®. ®«®¦¨¬ g(Pk+1) = 1, ¥±«¨ ¡¥±ª®­¥·­® ¬­®¦¥±²¢® fnjn 2 Mk ; gn(Pk+1 ) = 1g. ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¯®«®¦¨¬ g(Pk+1) = 0. Ž·¥¢¨¤­®, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¡¥±ª®­¥·­® ¬­®¦¥±²¢® fnjn 2 Mk ; gn(Pk+1 ) = 0g. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ «¾¡®¬ ±«³· ¥ ¬­®¦¥±²¢® Mk+1 = fnjn 2 Mk ; gn(Pk+1) = g(Pk+1 )g = fnjgn(P1) = g(P1); : : :; gn(Pk ) = g(Pk ); gn(Pk+1 ) = g(Pk+1 )g ¡¥±ª®­¥·­®. „®ª ¦¥¬, ·²® g(An ) = 1 ¤«¿ «¾¡®£® n  0. ‚ ´®°¬³«¥ An ¨±¯®«¼§³¥²±¿ «¨¸¼ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ¯¥°¥¬¥­­»µ. ³±²¼ ¢±¥ ®­¨ ±®¤¥°¦ ²±¿ ±°¥¤¨ ¯¥°¥¬¥­­»µ P1; : : :; Pk. ® ¯®±²°®¥­¨¾ ¬­®¦¥±²¢® Mk ¡¥±ª®­¥·­®, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¢ ­¥¬ ¥±²¼ ½«¥¬¥­² l  n. ’ ª ª ª l 2 Mk , ²® gl (P1) = g(P1); : : :; gl (Pk ) = g(Pk ). ‡ ¬¥²¨¬, ·²® An 2
l ,   gl | ² ª ¿ ®¶¥­ª , ¯°¨ ª®²®°®© ¢±¥ ´®°¬³«» ¨§
l ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 1. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, gl (An ) = 1. ® ®¶¥­ª  g ±®¢¯ ¤ ¥² ± ®¶¥­ª®© gl ­  ¢±¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ An , ¨ ¯® ²¥®°¥¬¥ 2.3 g(An ) = gl (An ) = 1, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 ¥¢»¯®«­¨¬®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ­ §»¢ ¥²±¿ ² ª¦¥ ­¥±®¢¬¥±²­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬.

Œ­®¦¥±²¢® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³« ­¥±®¢¬¥±²­® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ­¥±®¢¬¥±²­® ­¥ª®²®°®¥ ª®­¥·­®¥ ¥£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢®. ’¥®°¥¬  2.10.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ­¥ª®²®°®¥ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ª®­¥·­®¥) ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© ­¥±®¢¬¥±²­®, ²® ¨ ¬­®¦¥±²¢® ­¥±®¢¬¥±²­®. Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ¬­®¦¥±²¢® ­¥±®¢¬¥±²­®. „®¯³±²¨¬, ®¤­ ª®, ·²® ¢±¿ª®¥ ª®­¥·­®¥ ¥£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¢»¯®«­¨¬®. ’®£¤ , ¯® ²¥®°¥¬¥ ª®¬¯ ª²­®±²¨ (²¥®°¥¬  2.9) ¬­®¦¥±²¢® ² ª¦¥ ¢»¯®«­¨¬®. ®«³·¥­­®¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­®¥ ­¥±®¢¬¥±²­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¬­®¦¥±²¢  . 2 ‡ ¤ ·¨

1) „®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«» ¢»¯®«­¨¬»:  ) :(P  P ); ¡) (P  Q)  (Q  P); ¢) (Q  P & R) & (P _ R  Q). 2) Ž¯°¥¤¥«¨²¼, ¢»¯®«­¨¬» «¨ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¬­®¦¥±²¢  ´®°¬³«:  ) fP _ Q _ R; P  R; :Qg; ¡) fP _ Q _ R; P  R; :Rg; ¢) fP _ Q _ R; P  Q; :Q; :Rg; 15

£) fP _ Q; Q  R; P  Qg; ¤) fP _ Q; Q  R; :Rg; ¥) fP _ Q; Q  R; P  Q; :Rg. 2.11. ‹®£¨·¥±ª®¥ ±«¥¤®¢ ­¨¥ ¢ «®£¨ª¥ ¢»±ª §»¢ ­¨©

Ž¡»·­»¬ § ­¿²¨¥¬ ¤«¿ ¬ ²¥¬ ²¨ª®¢ ¿¢«¿¥²±¿ ³±² ­®¢«¥­¨¥ ²®£® ´ ª² , ·²® ­¥ª®²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢»²¥ª ¥² ¨«¨, ª ª £®¢®°¿², «®£¨·¥±ª¨ ±«¥¤³¥² ¨§  ª±¨®¬. Ž¤­®© ¨§ § ¤ · ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¨ ¿¢«¿¥²±¿ ³²®·­¥­¨¥ ¯®­¿²¨¿ «®£¨·¥±ª®£® ±«¥¤®¢ ­¨¿. ˆ­²³¨²¨¢­®, ²®² ´ ª², ·²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ A «®£¨·¥±ª¨ ¢»²¥ª ¥² ¨§ ³²¢¥°¦¤¥­¨© A0 ; : : :; An , ®¡»·­® ¯®­¨¬ ¥²±¿ ² ª, ·²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ A ¨±²¨­­® ¢±¥£¤ , ª®£¤  ¨±²¨­­» ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ A0 ; : : :; An . ‚ «®£¨ª¥ ¢»±ª §»¢ ­¨© ½²® ¯®­¿²¨¥ ³²®·­¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: £®¢®°¿², ·²® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­ ¿ ´®°¬³«  A «®£¨·¥±ª¨ ±«¥¤³¥² ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³« , ¨ ¯¨¸³² j= A, ¥±«¨ g(A) = 1 ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g, ¯°¨ ª®²®°®© ¢±¥ ´®°¬³«» ¨§ ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 1. …±«¨ = fA0 ; : : :; An g, ²® ¢¬¥±²® j= A ¨­®£¤  ¯¨¸³² A0 ; : : :; An j= A. ’¥®°¥¬  2.11.

Š ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ´®°¬³«» A0 ; : : :; An; A, ¨¬¥¥² ¬¥±²®

A0 ; : : :; An j= A

(6)

A0  (: : :(An 1  (An  A)) : : :)

(7)

²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ´®°¬³«  ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¨¬¥¥² ¬¥±²® (6). „®ª ¦¥¬, ·²® ´®°¬³«  (7) ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ³±²¼ g | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ®¶¥­ª . Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ¯°¨ ½²®© ®¶¥­ª¥ µ®²¿ ¡» ®¤­  ¨§ ´®°¬³« A0 ; : : :; An ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 0, ²® ´®°¬³«  (7) ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1. …±«¨ ¦¥ ¯°¨ ®¶¥­ª¥ g ¢±¥ ´®°¬³«» A0 ; : : :; An ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 1, ²® ¢ ±¨«³ (6) g(A) = 1, ¨ ´®°¬³«  (7) ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°¨ «¾¡®© ®¶¥­ª¥ g ´®°¬³«  (7) ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ®­  ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ³±²¼ ´®°¬³«  (7) ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©, ². ¥. ¯°¨ «¾¡®© ®¶¥­ª¥ ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1. „®ª ¦¥¬ (6). ³±²¼ g | ² ª ¿ ®¶¥­ª , ¯°¨ ª®²®°®© ¢±¥ ´®°¬³«» A0 ; : : :; An ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 1. ’ ª ª ª ¨ ´®°¬³«  (7) ¯°¨­¨¬ ¥² ¯°¨ ½²®© ®¶¥­ª¥ §­ ·¥­¨¥ 1, ²® ­¥®¡µ®¤¨¬® g(A) = 1. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g, ¯°¨ ª®²®°®© ¢±¥ ´®°¬³«» A0; : : :; An ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 1, ¨¬¥¥² ¬¥±²® g(A) = 1, ·²® ¨ ®§­ · ¥² (6). 2 ’¥®°¥¬  2.12.

Š ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³« ¨ ´®°¬³«  A, ¨¬¥¥² ¬¥±²®

j= A;

(8)

¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® [ f:Ag ­¥±®¢¬¥±²­®. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¨¬¥¥² ¬¥±²® (8). „®¯³±²¨¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® [ f:Ag ¢»¯®«­¨¬®. ‡­ ·¨², ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®¶¥­ª  g, ·²® ¢±¥ ´®°¬³«» ¨§ ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 1 ¨ g(:A) = 1, ². ¥. g(A) = 0, ·²® ­¥¢®§¬®¦­® ¢ ±¨«³ (8). ‡­ ·¨², ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ¬­®¦¥±²¢® [ f:Ag ­¥±®¢¬¥±²­®. ³±²¼ ¬­®¦¥±²¢® [ f:Ag ­¥±®¢¬¥±²­®. „®ª ¦¥¬, ·²® ¨¬¥¥² ¬¥±²® (8). ³±²¼ g | ² ª ¿ ®¶¥­ª , ·²® ¢±¥ ´®°¬³«» ¨§ ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 1. ’®£¤  ®¡¿§ ²¥«¼­® g(A) = 1, ¨¡® ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ g(:A) = 1, ¨ ¬­®¦¥±²¢® [ f:Ag ¢»¯®«­¨¬®. ‡­ ·¨², g(A) = 1 ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g, ¯°¨ ª®²®°®© ¢±¥ ´®°¬³«» ¨§ ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 1, ². ¥. ¨¬¥¥² ¬¥±²® (8). 2 ‡ ¤ ·¨

1) ‘°¥¤¨ ´®°¬³« Q _ R, P _ :Q  R, P & :Q ­ ©²¨ ¢±¥ ² ª¨¥, ª®²®°»¥ «®£¨·¥±ª¨ ±«¥¤³¾² ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ´®°¬³« f(P  Q) & (P _ R); P  Rg. 2) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ´®°¬³«  A «®£¨·¥±ª¨ ±«¥¤³¥² ¨§ ¡¥±ª®­¥·­®£® ¬­®¦¥±²¢  ´®°¬³« , ²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ª®­¥·­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢®
¬­®¦¥±²¢  , ·²®
j= A. 3) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ´®°¬³«  A «®£¨·¥±ª¨ ±«¥¤³¥² ¨§ ¡¥±ª®­¥·­®£® ¬­®¦¥±²¢  ´®°¬³« , ²® ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ´®°¬³«» A0 ; : : :; An ¨§ , ·²® ´®°¬³«  A0  (: : :(An 1  (An  A)) : : :) ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. 16

3. €«£¥¡°  «®£¨ª¨ 3.1. °®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¥ ´®°¬³«» ¢ ¯°®¨§¢®«¼­®¬ ¡ §¨±¥

Š ª ¡»«® ®²¬¥·¥­® ¢ ° §¤¥«¥ 2.1, ª ¦¤®© «®£¨·¥±ª®© ®¯¥° ¶¨¨ ' ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¯®¤µ®¤¿¹ ¿ ¡³«¥¢  (¨«¨ «®£¨·¥±ª ¿) ´³­ª¶¨¿ f' . ³¤¥¬ ®²®¦¤¥±²¢«¿²¼ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨, ª®²®°»¬ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ®¤­  ¨ ²  ¦¥ ¡³«¥¢  ´³­ª¶¨¿.  °¿¤³ ± ®¡»·­»¬¨ «®£¨·¥±ª¨¬¨ ®¯¥° ¶¨¿¬¨ :, &, _, ,  ¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¤¢³¬¥±²­»¥ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨: + (±«®¦¥­¨¥), j (¸²°¨µ ˜¥´´¥° ), # (±²°¥«ª  ¨°± ). ‘¬»±« ½²¨µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© ¯®«­®±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬¨ ¨¬ ¡³«¥¢»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨: X 0 0 1 1

Y f+ (X; Y ) fj (X; Y ) f# (X; Y ) 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0

³±²¼ ¤ ­ ­¥ª®²®°»© ­ ¡®° «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© F = f'1; : : :; 'ng. ²®² ­ ¡®° ¬®¦¥² ¢ª«¾· ²¼ ¨ 0¬¥±²­»¥ ®¯¥° ¶¨¨, ². ¥. ª®­±² ­²» 0 ¨ 1. Ž¡®§­ ·¥­¨¿ '1 ; : : :; 'n ®¯¥° ¶¨© ¨§ ­ ¡®°  F ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ «®£¨·¥±ª¨¬¨ ±¢¿§ª ¬¨. °®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¥ ´®°¬³«» ¢ ¡ §¨±¥ F | ½²® ±«®¢  ¢  «´ ¢¨²¥ V [f'1; : : :; 'n; (; ); ; g, ®¯°¥¤¥«¿¥¬»¥ ¨­¤³ª²¨¢­® ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 1) ¢±¥ ª®­±² ­²» ¨§ F ¨ ¢±¥ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥ ±³²¼ ´®°¬³«» ¢ ¡ §¨±¥ F (² ª¨¥ ´®°¬³«» ­ §»¢ ¾²±¿  ²®¬­»¬¨); 2) ¥±«¨ ' | ±¨¬¢®« n-¬¥±²­®© «®£¨·¥±ª®© ®¯¥° ¶¨¨ ¨§ F ,   A1; : : :; An | ´®°¬³«» ¢ ¡ §¨±¥ F , ²® ±«®¢® '(A1 ; : : :; An ) | ´®°¬³«  ¢ ¡ §¨±¥ F. …±«¨ ' | ±¨¬¢®« ®¤­®¬¥±²­®© «®£¨·¥±ª®© ®¯¥° ¶¨¨ ¨§ F , ²® ¢¬¥±²® '(A) ³±«®¢¨¬±¿ ¯¨± ²¼ ('A),   ¥±«¨ ' | ±¨¬¢®« ¤¢³¬¥±²­®© «®£¨·¥±ª®© ®¯¥° ¶¨¨ ¨§ F, ²® ¢¬¥±²® '(A; B) ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ (A'B). Š ª ¨ ¢ ±«³· ¥ ®¡»·­»µ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³«, ¤«¿ ´®°¬³« ¢ ¡ §¨±¥ F ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ²¥®°¥¬  ® ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨ «®£¨·¥±ª®£®  ­ «¨§ , ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ §­ ·¥­¨¥ ² ª®© ´®°¬³«» ¯°¨ ¤ ­­­®© ®¶¥­ª¥, ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¯®­¿²¨¥ ° ¢­®±¨«¼­®±²¨ ´®°¬³« ¢ ¡ §¨±¥ F, ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ²¥®°¥¬  ®¡ ½ª¢¨¢ «¥­²­®© § ¬¥­¥. ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® n-¬¥±²­ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿ ' ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  F, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ´®°¬³«  A ¢ ¡ §¨±¥ F , ·²® '(P1 ; : : :; Pn)  A. ‚»° §¨²¼ n-¬¥±²­³¾ «®£¨·¥±ª³¾ ®¯¥° ¶¨¾ ' ·¥°¥§ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  F | ½²® §­ ·¨² ¯®±²°®¨²¼ ² ª³¾ ´®°¬³«³ A ¢ ¡ §¨±¥ F , ·²® '(P1 ; : : :; Pn)  A. Œ­®¦¥±²¢® «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© F ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®«­»¬, ¥±«¨ «¾¡ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿ ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  F . ‡ ¤ ·¨

1) ‘ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ° §«¨·­»µ n-¬¥±²­»µ ¡³«¥¢»µ ´³­ª¶¨©? 2) ‚»° §¨²¼  ) & ¨  ·¥°¥§ _ ¨ :; ¡) _ ¨  ·¥°¥§ & ¨ :; ¢) _ ¨ & ·¥°¥§  ¨ :; £) : ·¥°¥§  ¨ 0; ¤) : ·¥°¥§ + ¨ 1; ¥) _ ·¥°¥§ ; ¦)  ·¥°¥§  ¨ &. 3) „®ª § ²¼, ·²® ­¥«¼§¿ ¢»° §¨²¼  ) : ·¥°¥§ &, _,  ¨ ; ¡)  ·¥°¥§ & ¨ _; ¢) & ·¥°¥§  ¨ _. 17

4) ƒ®¢®°¿², ·²® «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿ ' ±®µ° ­¿¥² 0 (1), ¥±«¨ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ° ¢­®±¨«¼­®±²¼ '(0; : : :; 0)  0 (±®®²¢¥²±²¢¥­­®, '(1; : : :; 1)  1). ‘ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ° §«¨·­»µ n-¬¥±²­»µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©, ±®µ° ­¿¾¹¨µ 0 (1)? 5) „®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ¬­®¦¥±²¢  «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© ¿¢«¿¾²±¿ ¯®«­»¬¨:  ) f&; _; :g; ¡) f_; :g; ¢) f&; :g; £) f; :g; ¤) fjg; ¥) f#g; ¦) f; 0g; §) f+; _; 1g. 6) „®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ¬­®¦¥±²¢  «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ¯®«­»¬¨:  ) f&; _; g; ¡) f:g. 3.2. ‡ ¬ª­³²»¥ ª« ±±» «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©

Œ­®¦¥±²¢® «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© F ­ §»¢ ¥²±¿ § ¬ª­³²»¬, ¥±«¨ ·¥°¥§ ®¯¥° ¶¨¨ ¨§ F ¢»° ¦ ¾²±¿ ²®«¼ª® ®¯¥° ¶¨¨, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨¥ ¬­®¦¥±²¢³ F.  ¯°¨¬¥°, ­¥²°³¤­® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ¬­®¦¥±²¢® «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©, ±®µ° ­¿¾¹¨µ 0 (±¬. § ¤ ·³ 4 ¨§ ° §¤¥«  3.1), ª®²®°®¥ ¬» ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ C0, ¿¢«¿¥²±¿ § ¬ª­³²»¬. ‡ ¬ª­³²® ² ª¦¥ ¬­®¦¥±²¢® C1 ¢±¥µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©, ±®µ° ­¿¾¹¨µ 1.  ±±¬®²°¨¬ ­¥ª®²®°»¥ ¤°³£¨¥ § ¬ª­³²»¥ ¬­®¦¥±²¢  «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©, ª®²®°»¥ ¡³¤³² ¨£° ²¼ ¢ ¦­³¾ °®«¼ ¢ ¤ «¼­¥©¸¥¬. 3.2.1. ‘ ¬®¤¢®©±²¢¥­­»¥ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨

Ž¶¥­ª  g ­ §»¢ ¥²±¿ ¤¢®©±²¢¥­­®© ª ®¶¥­ª¥ g, ¥±«¨ g (Pi ) 6= g(Pi ) ¤«¿ «¾¡®© ¯¥°¥¬¥­­®© Pi ; ¨­»¬¨ ±«®¢ ¬¨,  ¥±«¨ g(Pi ) = 1;  g (Pi ) = 0; 1; ¥±«¨ g(Pi ) = 0:

°®¯®§¨¶¨®­ «¼­ ¿ ´®°¬³«  A ­ §»¢ ¥²±¿ ¤¢®©±²¢¥­­®© ª ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®© ´®°¬³«¥ B, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g ¢»¯®«­¿¥²±¿ ³±«®¢¨¥ g (A) 6= g(B). …±«¨ ´®°¬³«  A ¤¢®©±²¢¥­­  ª ´®°¬³«¥ B, ²® ¨±²¨­­®±²­ ¿ ² ¡«¨¶  ¤«¿ A ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ¨±²¨­­®±²­®© ² ¡«¨¶» ¤«¿ B § ¬¥­®© ¢ ­¥© ¢±¾¤³ 0 ­  1,   1 ­  0. °®¯®§¨¶¨®­ «¼­ ¿ ´®°¬³«  A ­ §»¢ ¥²±¿ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­®©, ¥±«¨ ®­  ¤¢®©±²¢¥­­  ª ± ¬®© ±¥¡¥, ². ¥. g (A) 6= g(A) ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ´®°¬³«  A ¿¢«¿¥²±¿ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­®©, ²® ¢±¿ª ¿ ´®°¬³« , ° ¢­®±¨«¼­ ¿ ´®°¬³«¥ A, ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­®©. ƒ®¢®°¿², ·²® n-¬¥±²­ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿ ' ¿¢«¿¥²±¿ ¤¢®©±²¢¥­­®© ª n-¬¥±²­®© ¦¥ «®£¨·¥±ª®© ®¯¥° ¶¨¨ , ¥±«¨ ´®°¬³«  '(P1 ; : : :; Pn) ¤¢®©±²¢¥­­  ª ´®°¬³«¥ (P1 ; : : :; Pn), ¨­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¥±«¨ '(P1; : : :; Pn)  : (:P1; : : :; :Pn):  ¯°¨¬¥°, ®¯¥° ¶¨¿ & ¤¢®©±²¢¥­­  ª ®¯¥° ¶¨¨ _,   ®¯¥° ¶¨¿ _ ¤¢®©±²¢¥­­  ª ®¯¥° ¶¨¨ &. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ®¯¥° ¶¨¿ ' ¤¢®©±²¢¥­­  ª ®¯¥° ¶¨¨ , ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ­ ¡®°  ­³«¥© ¨ ¥¤¨­¨¶  = 1; : : :; n ¨¬¥¥² ¬¥±²® f' () 6= f ( ), £¤¥  | ­ ¡®°, ¤¢®©±²¢¥­­»© ­ ¡®°³  (±¬. ° §¤¥« 2.8). ‹®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿, ¤¢®©±²¢¥­­ ¿ ª ± ¬®© ±¥¡¥, ­ §»¢ ¥²±¿ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­®©. n-¬¥±²­ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿ ' ¿¢«¿¥²±¿ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­®©, ¥±«¨ ´®°¬³«  '(P1; : : :; Pn) ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­ . ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ° ¢­®±¨«¼­®±²¼ :'(P1; : : :; Pn)  '(:P1; : : :; :Pn).  ¯°¨¬¥°, ®¯¥° ¶¨¿ : ¿¢«¿¥²±¿ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­®©. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ®¯¥° ¶¨¿ ' ¿¢«¿¥²±¿ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­®©, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ­ ¡®°  ­³«¥© ¨ ¥¤¨­¨¶  = 1; : : :; n ¨¬¥¥² ¬¥±²® f' () 6= f' ( ). —¥°¥§ S ®¡®§­ ·¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­»µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©. ’¥®°¥¬  3.1. Œ­®¦¥±²¢® «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© S ¿¢«¿¥²±¿ § ¬ª­³²»¬. „®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²® ª ¦¤ ¿ ´®°¬³«  A ¢ ¡ §¨±¥ S ¿¢«¿¥²±¿ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­®©. „®ª ¦¥¬ ½²® ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» A. ‚ ±«³· ¥, ª®£¤  A ¥±²¼  ²®¬ Pi , ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g ¨¬¥¥¬: g(A) = g(Pi ) 6= g (Pi) = g (A), ². ¥. g(A) 6= g (A), ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ³±²¼ A ¨¬¥¥² ¢¨¤ '(A1 ; : : :; An), £¤¥ ' 2 S,   A1 ; : : :; An | ´®°¬³«» ¢ ¡ §¨±¥ S. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ´®°¬³«» A1 ; : : :; An ¿¢«¿¾²±¿ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­»¬¨, ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® A | ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­ ¿ ´®°¬³« . 18

³±²¼ g | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ®¶¥­ª , i = g(Ai ) (i = 1; : : :; n). ’®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, ¤«¿ «¾¡®£® i = 1; : : :; n ¨¬¥¥² ¬¥±²® ° ¢¥­±²¢® g (Ai ) = (i) ¢ ±¨«³ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­®±²¨ ´®°¬³« Ai . ®«®¦¨¬  = 1 ; : : :; n. ’®£¤  g(A) = f' (g(A1 ); : : :; g(An )) = f' ();  g (A) = f' (g (A1 ); : : :; g (An )) = f' ( ): ® f' () 6= f' ( ), ² ª ª ª ' | ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­ ¿ ®¯¥° ¶¨¿. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, g(A) 6= g (A), ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 3.2.2. ‹¨­¥©­»¥ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨

”®°¬³«  A, ­¥ ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ®²«¨·­»µ ®² Q1 ; : : :; Qn, ­ §»¢ ¥²±¿ «¨­¥©­®©, ¥±«¨ ®­  ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ ¢ ¡ §¨±¥ f0; 1; +g ¢¨¤  0 +1 &Q1 +: : :+n &Qn, £¤¥ i 2 f0; 1g (i = 1; : : :; n). ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ´®°¬³«³ 0 + 1&Q1 + : : :+ n&Qn ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ «¨­¥©­»¬ ¢»° ¦¥­¨¥¬ ¤«¿ ´®°¬³«» A. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ´®°¬³«  A ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­®©, ²® ¢±¿ª ¿ ´®°¬³« , ° ¢­®±¨«¼­ ¿ ´®°¬³«¥ A, ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­®©. n-¬¥±²­ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿ ' ­ §»¢ ¥²±¿ «¨­¥©­®©, ¥±«¨ ´®°¬³«  '(P1; : : :; Pn) ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­®©. —¥°¥§ L ®¡®§­ ·¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ «¨­¥©­»µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©. ’¥®°¥¬  3.2. Œ­®¦¥±²¢® «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© L ¿¢«¿¥²±¿ § ¬ª­³²»¬. „®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²® ª ¦¤ ¿ ´®°¬³«  A ¢ ¡ §¨±¥ L ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­®©. „®ª ¦¥¬ ½²® ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» A. ‚ ±«³· ¥, ª®£¤  ´®°¬³«  A ¥±²¼  ²®¬ Pi, ®­  ¨¬¥¥² «¨­¥©­®¥ ¢»° ¦¥­¨¥ 0 + 1&Pi , ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ³±²¼ A ¨¬¥¥² ¢¨¤ '(A1 ; : : :; An), £¤¥ ' 2 L,   A1 ; : : :; An | ´®°¬³«» ¢ ¡ §¨±¥ L. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ´®°¬³«» A1 ; : : :; An ¿¢«¿¾²±¿ «¨­¥©­»¬¨, ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® A | «¨­¥©­ ¿ ´®°¬³« . ‚ ±¨«³ «¨­¥©­®±²¨ ®¯¥° ¶¨¨ ' ¨¬¥¥² ¬¥±²® ° ¢­®±¨«¼­®±²¼ '(P1 ; : : :; Pn)  0 + 1&P1 + : : : + n&Pn : ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯® ²¥®°¥¬¥ ®¡ ½ª¢¨¢ «¥­²­®© § ¬¥­¥, '(A1 ; : : :; An)  0+1 &A1 +: : :+n &An : ’¥¯¥°¼ ¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ¢ ¯° ¢³¾ · ±²¼ ½²®© ° ¢­®±¨«¼­®±²¨ ¢¬¥±²® ´®°¬³« A1 ; : : :; An ¯®¤±² ¢¨²¼ ¨µ «¨­¥©­»¥ ¢»° ¦¥­¨¿,   § ²¥¬, ¯®«¼§³¿±¼ ¨±²¨­­®±²­®© ² ¡«¨¶¥© ¤«¿ ®¯¥° ¶¨¨ +,   ² ª¦¥ ±¢®©±²¢ ¬¨ ª®¬¬³² ²¨¢­®±²¨ ¨  ±±®¶¨ ²¨¢­®±²¨ ½²®© ®¯¥° ¶¨¨, ¯°¨¢¥±²¨ ¯®¤®¡­»¥ ·«¥­», ²® ¯®«³·¨²±¿ «¨­¥©­®¥ ¢»° ¦¥­¨¥ ¤«¿ ´®°¬³«» '(A1 ; : : :; An). 2 3.2.3. Œ®­®²®­­»¥ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨

³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ®¶¥­ª  h ¬ ¦®°¨°³¥² ®¶¥­ª³ g, ¨ ¯¨± ²¼ g  h, ¥±«¨ g(Pi )  h(Pi) ¤«¿ «¾¡®© ¯¥°¥¬¥­­®© Pi . ”®°¬³«  A ­ §»¢ ¥²±¿ ¬®­®²®­­®©, ¥±«¨ g(A)  h(A) ¢±¿ª¨© ° §, ª®£¤  g  h. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ´®°¬³«  A ¿¢«¿¥²±¿ ¬®­®²®­­®©, ²® ¢±¿ª ¿ ´®°¬³« , ° ¢­®±¨«¼­ ¿ ´®°¬³«¥ A, ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¬®­®²®­­®©. n-¬¥±²­ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿ ' ­ §»¢ ¥²±¿ ¬®­®²®­­®©, ¥±«¨ ´®°¬³«  '(P1 ; : : :; Pn) ¿¢«¿¥²±¿ ¬®­®²®­­®©. ³±²¼  = 1 ; : : :; n ¨ = 1 ; : : :; n | ­ ¡®°» ­³«¥© ¨ ¥¤¨­¨¶. ³¤¥¬ ¯¨± ²¼   , ¥±«¨ i  i ¤«¿ «¾¡®£® i = 1; : : :; n. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ®¯¥° ¶¨¿ ' ¿¢«¿¥²±¿ ¬®­®²®­­®©, ¥±«¨ f' ()  f' ( ) ¢±¿ª¨© ° §, ª®£¤    . —¥°¥§ M ®¡®§­ ·¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¬®­®²®­­»µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©. ’¥®°¥¬  3.3. Œ­®¦¥±²¢® «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© M ¿¢«¿¥²±¿ § ¬ª­³²»¬. „®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²® ª ¦¤ ¿ ´®°¬³«  A ¢ ¡ §¨±¥ M ¿¢«¿¥²±¿ ¬®­®²®­­®©. „®ª ¦¥¬ ½²® ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» A. ‚ ±«³· ¥, ª®£¤  ´®°¬³«  A ¥±²¼  ²®¬ Pi , ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ®·¥¢¨¤­®. ³±²¼ A ¨¬¥¥² ¢¨¤ '(A1 ; : : :; An ), £¤¥ ' 2 M,   A1 ; : : :; An | ´®°¬³«» ¢ ¡ §¨±¥ M. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ´®°¬³«» A1 ; : : :; An ¿¢«¿¾²±¿ ¬®­®²®­­»¬¨, ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® A | ¬®­®²®­­ ¿ ´®°¬³« . ³±²¼ g ¨ h | ² ª¨¥ ®¶¥­ª¨, ·²® g  h. ®«®¦¨¬ i = g(Ai ), i = h(Ai ) (i = 1; : : :; n),  = 1; : : :; n, = 1 ; : : :; n . ’®£¤    ¢ ±¨«³ ¬®­®²®­­®±²¨ ´®°¬³« A1; : : :; An, ¨ f' ()  f' ( ). ’¥¯¥°¼ ¨¬¥¥¬: g(A) = f' (g(A1 ); : : :; g(An )) = f' ()  f' ( ) = f' (h(A1 ); : : :; h(An)) = h(A): ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, g(A)  h(A), ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 ‡ ¤ ·¨

1) 2) 3) 4) 5) 6)

 ©²¨ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨, ¤¢®©±²¢¥­­»¥ ª®­±² ­² ¬ 0, 1 ¨ ®¯¥° ¶¨¿¬ , , +, j, #.  ©²¨ ¢±¥ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­»¥ ¤¢³¬¥±²­»¥ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨. ‘ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ° §«¨·­»µ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­»µ n-¬¥±²­»µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©? ‘ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ° §«¨·­»µ «¨­¥©­»µ n-¬¥±²­»µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©?  ©²¨ ¢±¥ «¨­¥©­»¥ ¤¢³¬¥±²­»¥ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨.  ©²¨ ¢±¥ ¬®­®²®­­»¥ ¤¢³¬¥±²­»¥ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨. 19

3.3. Œ­®£®·«¥­»

³±²¼ Q1; : : :; Qn | ° §«¨·­»¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥. Ž¤­®·«¥­®¬ ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1 ; : : :; Qn ­ §®¢¥¬ ª®­±² ­²³ 1 ¨ «¾¡³¾ ´®°¬³«³ ¢¨¤  Qi1 & : : :& Qim , £¤¥ 1  i1 < : : : < im  n. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¨¬¥¥²±¿ °®¢­® 2n ° §«¨·­»µ ®¤­®·«¥­®¢ ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1; : : :; Qn. Œ­®£®·«¥­®¬ ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1 ; : : :; Qn ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ª®­±² ­²³ 0,   ² ª¦¥ «¾¡³¾ ´®°¬³«³ ¢¨¤  A1 + : : : + Am , £¤¥ A1 ; : : :; Am | ° §«¨·­»¥ ®¤­®·«¥­» ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1 ; : : :; Qn. Œ­®£®·«¥­» ­ §»¢ ¾²±¿ ² ª¦¥ ¯®«¨­®¬ ¬¨ †¥£ «ª¨­ . ³¤¥¬ ®²®¦¤¥±²¢«¿²¼ ¬­®£®·«¥­», ±®±² ¢«¥­­»¥ ¨§ ®¤­¨µ ¨ ²¥µ ¦¥ ®¤­®·«¥­®¢ ¨ ° §«¨· ¾¹¨¥±¿ «¨¸¼ ¯®°¿¤ª®¬, ¢ ª®²®°®¬ ®­¨ ¢»¯¨± ­». ’®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, ±³¹¥±²¢³¥² °®¢­® 22n ° §«¨·­»µ ¬­®£®·«¥­®¢ ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1; : : :; Qn. ³±²¼ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­ ¿ ´®°¬³«  A ±®¤¥°¦¨² «¨¸¼ ¯¥°¥¬¥­­»¥ ¨§ ±¯¨±ª  Q1; : : :; Qn. ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² °®¢­® ®¤¨­ ¬­®£®·«¥­ ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1; : : :; Qn, ° ¢­®±¨«¼­»© ´®°¬³«¥ A. ’¥®°¥¬  3.4.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ®±²°®¨¬ ¤«¿ ´®°¬³«» A ¨±²¨­­®±²­³¾ ² ¡«¨¶³ ®²­®±¨²¥«¼­® ±¯¨±ª  Q1 ; : : :; Qn. …±«¨ ´®°¬³«  A | ¯°®²¨¢®°¥·¨¥, ®­  ° ¢­®±¨«¼­  ¬­®£®·«¥­³ 0. ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¯³±²¼ 1; : : :; m | ¢±¥ ° §«¨·­»¥ ­ ¡®°» §­ ·¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­»µ Q1; : : :; Qn, ­  ª®²®°»µ ´®°¬³«  A ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1, ¨ ¯³±²¼ K1 ; : : :; Km | ±² ­¤ °²­»¥ ª®­º¾­ª²» ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1 ; : : :; Qn, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ­ ¡®° ¬ 1 ; : : :; m (±¬. ° §¤¥« 2.8). Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ´®°¬³«  K1 + : : :+ Km ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1 ¢ ²®·­®±²¨ ­  ­ ¡®° µ 1 ; : : :; m, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ®­  ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ A. ‚ ª ¦¤®¬ ¨§ ª®­º¾­ª²®¢ K1 ; : : :; Km § ¬¥­¨¬ ¢±¿ª³¾ «¨²¥°³ ¢¨¤  :Qi ­  ° ¢­®±¨«¼­³¾ ¥© ´®°¬³«³ (Qi + 1). ®±«¥ ½²®£®, ¯®«¼§³¿±¼ § ª®­®¬ ¤¨±²°¨¡³²¨¢­®±²¨ ª®­º¾­ª¶¨¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ®¯¥° ¶¨¨ +, ¢»° ¦ ¾¹¨¬±¿ ° ¢­®±¨«¼­®±²¿¬¨ A & (B + C)  A & B + A & C ¨ (B +C) & A  B & A+C & A, § ¬¥­¨¬ ª ¦¤»© ª®­º¾­ª² Kj ­  ° ¢­®±¨«¼­»© ¥¬³ ¬­®£®·«¥­. ‚ ¯®«³·¥­­®© ´®°¬³«¥, ª®²®° ¿ ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ±³¬¬³ ¬­®£®·«¥­®¢, ¯°¨¢¥¤¥¬ ¯®¤®¡­»¥ ·«¥­», ¯®«¼§³¿±¼ ° ¢­®±¨«¼­®±²¿¬¨ A + A  0 ¨ A + 0  A. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³·¨¬ ¬­®£®·«¥­, ° ¢­®±¨«¼­»© ´®°¬³«¥ K1 + : : : + Km ,   §­ ·¨², ¨ ´®°¬³«¥ A. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤®ª § ­® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¬­®£®·«¥­ , ° ¢­®±¨«¼­®£® ´®°¬³«¥ A. …¤¨­±²¢¥­­®±²¼ ² ª®£® ¬­®£®·«¥­  ­¥¬¥¤«¥­­® ¢»²¥ª ¥² ¨§ ¯°¨¢¥¤¥­­®£® ¢»¸¥ ¯®¤±·¥²  ·¨±«  ° §«¨·­»µ ¬­®£®·«¥­®¢ ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1 ; : : :; Qn. ˆµ ®ª § «®±¼ 22n | °®¢­® ±²®«¼ª® ¦¥, ±ª®«¼ª® ¨ ° §«¨·­»µ ¨±²¨­­®±²­»µ ² ¡«¨¶ ®²­®±¨²¥«¼­® ±¯¨±ª  Q1; : : :; Qn. ‡­ ·¨², ° §«¨·­»¥ ¬­®£®·«¥­» ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ Q1; : : :; Qn ¨¬¥¾² ° §«¨·­»¥ ¨±²¨­­®±²­»¥ ² ¡«¨¶» ®²­®±¨²¥«¼­® ½²®£® ±¯¨±ª  ¨ ¯®²®¬³ ­¥ ¬®£³² ¡»²¼ ° ¢­®±¨«¼­» ®¤­®© ¨ ²®© ¦¥ ´®°¬³«¥. 2 ‚ ° §¤¥«¥ 2.4 ¬» ¯®±²°®¨«¨ ¨±²¨­­®±²­³¾ ² ¡«¨¶³ ¤«¿ ´®°¬³«» P  (Q _ R  (R  :P )): ®±²°®¨¬ ¬­®£®·«¥­, ° ¢­®±¨«¼­»© ®²°¨¶ ­¨¾ ½²®© ´®°¬³«». „¥©±²¢³¥¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ¤®ª § ²¥«¼±²¢®¬ ²¥®°¥¬» 3.4. ”®°¬³«  :(P  (Q _ R  (R  :P))) ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1 ²®«¼ª® ­  ­ ¡®° µ 101 ¨ 111, ¯®½²®¬³ ®­  ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ P & :Q & R+P & Q & R. ‡ ¬¥­¨¢ §¤¥±¼ ¯®¤´®°¬³«³ :Q ­  ° ¢­®±¨«¼­³¾ ¥© ´®°¬³«³ Q+1, ¯®«³·¨¬ P & (Q + 1) & R + P & Q & R. ®«¼§³¿±¼ ¤¨±²°¨¡³²¨¢­®±²¼¾ ®¯¥° ¶¨¨ & ®²­®±¨²¥«¼­® + ¨ ° ¢­®±¨«¼­®±²¼¾ A & 1 & B  A & B, ¯®«³· ¥¬ ° ¢­®±¨«¼­³¾ ´®°¬³«³ P & Q & R + P & R + P & Q & R. ¥°¢®¥ ¨ ²°¥²¼¥ ±« £ ¥¬»¥ ¢ ½²®© ´®°¬³«¥ À¢§ ¨¬­® ³­¨·²®¦ ¾²±¿Á, ² ª ·²® ´®°¬³«  :(P  (Q _ R  (R  :P ))) ° ¢­®±¨«¼­  ¬­®£®·«¥­³ P & R. ‡ ¤ ·¨

1)  ©²¨ ¬­®£®·«¥­ ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ ¯¥°¥¬¥­­»µ P; Q; R; S, ¯°¨­¨¬ ¾¹¨© §­ ·¥­¨¥ 1 ²®«¼ª® ­  ­ ¡®° µ  ) 1110, 1101, 1011, 0111; ¡) 1000, 0100, 0010, 0001; ¢) 1100, 1001, 1010, 0110, 0101, 0011, 1111. 2)  ©²¨ ¬­®£®·«¥­», ° ¢­®±¨«¼­»¥ ´®°¬³« ¬ :P, P & Q, P _ Q, P  Q, P  Q, P jQ, P # Q, P _ Q _ R, P & Q _ Q & R _ P & R, P & Q & :R _ P & :Q & R _ :P & Q & R. (P  Q)  R. 3) Š ª¨¥ ¨§ ´®°¬³«, ¯¥°¥·¨±«¥­­»µ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥© § ¤ ·¥, ¿¢«¿¾²±¿ «¨­¥©­»¬¨? 3.4. Š°¨²¥°¨© ¯®«­®²» ¬­®¦¥±²¢  «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©

‚ ° §¤¥«¥ 3.2 ¡»«¨ ° ±±¬®²°¥­» ¯¿²¼ § ¬ª­³²»µ ª« ±±®¢ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©: C0 | ª« ±± ®¯¥° ¶¨©, ±®µ° ­¿¾¹¨µ 0; C1 | ª« ±± ®¯¥° ¶¨©, ±®µ° ­¿¾¹¨µ 1; S | ª« ±± ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­»µ ®¯¥° ¶¨©; L | ª« ±± «¨­¥©­»µ ®¯¥° ¶¨©; M | ª« ±± ¬®­®²®­­»µ ®¯¥° ¶¨©. ’ ª ª ª ª ¦¤»© ¨§ ½²¨µ ª« ±±®¢ § ¬ª­³² ¨ ­¥ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¬­®¦¥±²¢®¬ ¢±¥µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©, ²® ®·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ­¥ª®²®°®¥ ¬­®¦¥±²¢® «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© F ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ®¤­®¬ ¨§ ª« ±±®¢ C0 , C1 , S, L, M, ²® F ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯®«­»¬. Žª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¢¥°­® ¨ ®¡° ²­®¥: ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯®«­»¬, ²® ®­® ¢ª«¾·¥­® ¢ ®¤¨­ ¨§ ª« ±±®¢ C0, C1 , S, L, M. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ½²®£® ´ ª²  ­ ¬ ¯®²°¥¡³¾²±¿ ­¥ª®²®°»¥ ¢±¯®¬®£ ²¥«¼­»¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿. 20

³±²¼ ' | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ­¥± ¬®¤¢®©±²¢¥­­ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿. ’®£¤  ¬®¦­® ¢»° §¨²¼ 0 ¨ 1 ·¥°¥§ ' ¨ :. ’¥®°¥¬  3.5.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ' ¥±²¼ n-¬¥±²­ ¿ ­¥± ¬®¤¢®©±²¢¥­­ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿. ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­ ¡®° ­³«¥© ¨ ¥¤¨­¨¶  = 1; : : :; n, ·²® f' () = f' (). „®¯³±²¨¬, ·²® f' () = f' ( ) = 0. ³±²¼ Ai ¥±²¼ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ P, ¥±«¨ i = 0, ¨ ´®°¬³«  :P , ¥±«¨ i = 1. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g, ¥±«¨ g(P) = 0, ²® g(Ai ) = i,   ¥±«¨ g(P) = 1, ²® g(Ai ) = i . ”®°¬³«  '(A1 ; : : :; An) ¿¢«¿¥²±¿ ´®°¬³«®© ¢ ¡ §¨±¥ f'; :g ¨ ±®¤¥°¦¨² ²®«¼ª® ¯¥°¥¬¥­­³¾ P. „®ª ¦¥¬, ·²® ½²  ´®°¬³«  ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ 0. ³±²¼ ¤ ­  ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ®¶¥­ª  g. …±«¨ g(P) = 0, ²® g('(A1 ; : : :; An)) = f' (g(A1 ); : : :; g(An )) = f' () = 0. …±«¨ ¦¥ g(P) = 1, ²® g('(A1 ; : : :; An)) = f' (g(A1 ); : : :; g(An)) = f' ( ) = 0. ˆ² ª, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® 0  '(A1 ; : : :; An). ’®£¤  1  :'(A1; : : :; An). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, 0 ¨ 1 ¢»° ¦ ¾²±¿ ·¥°¥§ ' ¨ :. ‘®¢¥°¸¥­­®  ­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¥±«¨ f' () = f' ( ) = 1, ²® 1  '(A1 ; : : :; An), 0  :'(A1 ; : : :; An ). 2 ’¥®°¥¬  3.6. ³±²¼ ' | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ­¥¬®­®²®­­ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿. ’®£¤  ¬®¦­® ¢»° §¨²¼ : ·¥°¥§ ' ¨ ª®­±² ­²» 0 ¨ 1. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ' | ­¥ª®²®° ¿ n-¬¥±²­ ¿ ­¥¬®­®²®­­ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿. ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ­ ¡®°» ­³«¥© ¨ ¥¤¨­¨¶  = 1 ; : : :; n, = 1 ; : : :; n , ·²®   , ­® f' () > f' ( ), ². ¥. f' () = 1, f' ( ) = 0. ³±²¼ Ai ¥±²¼ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ P, ¥±«¨ i < i (². ¥. i = 0, i = 1), ¨ ª®­±² ­²  i, ¥±«¨ i = i . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ g, ¥±«¨ g(P) = 0, ²® g(Ai ) = i ,   ¥±«¨ g(P ) = 1, ²® g(Ai ) = i . ”®°¬³«  '(A1 ; : : :; An ) ¿¢«¿¥²±¿ ´®°¬³«®© ¢ ¡ §¨±¥ f'; 0; 1g ¨ ±®¤¥°¦¨² ²®«¼ª® ¯¥°¥¬¥­­³¾ P . „®ª ¦¥¬, ·²® ½²  ´®°¬³«  ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ :P. ³±²¼ ¤ ­  ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ®¶¥­ª  g. …±«¨ g(P ) = 0, ²®

g('(A1 ; : : :; An)) = f' (g(A1 ); : : :; g(An )) = f' () = 1: …±«¨ ¦¥ g(P ) = 1, ²®

g('(A1 ; : : :; An)) = f' (g(A1 ); : : :; g(An)) = f' ( ) = 0: ˆ² ª, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® :P  '(A1 ; : : :; An), ². ¥. : ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ ' ¨ ª®­±² ­²» 0 ¨ 1. 2 ’¥®°¥¬  3.7.

', 0, 1 ¨ :.

³±²¼ ' | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ­¥«¨­¥©­ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿. ’®£¤  ¬®¦­® ¢»° §¨²¼ & ·¥°¥§

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ' | ­¥ª®²®° ¿ n-¬¥±²­ ¿ ­¥«¨­¥©­ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿. ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 3.4, ±³¹¥±²¢³¥² ¬­®£®·«¥­ ­ ¤ ±¯¨±ª®¬ ¯¥°¥¬¥­­»µ P1; : : :; Pn, ° ¢­®±¨«¼­»© ´®°¬³«¥ '(P1 ; : : :; Pn). ®±ª®«¼ª³ ®¯¥° ¶¨¿ ' ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­®©, ²® ¬­®£®·«¥­, ° ¢­®±¨«¼­»© ´®°¬³«¥ '(P1 ; : : :; Pn), ®¡¿§ ²¥«¼­® ¤®«¦¥­ ±®¤¥°¦ ²¼ ®¤­®·«¥­, ­¥ ¿¢«¿¾¹¨©±¿ ª®­±² ­²®© 1 ¨«¨ ¯¥°¥¬¥­­®©. ¥§ ¯®²¥°¨ ®¡¹­®±²¨ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ¢ ­¥¬ ¥±²¼ µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ®¤­®·«¥­, ±®¤¥°¦ ¹¨© ª®­º¾­ª¶¨¾ P & Q. ®«¼§³¿±¼ § ª®­ ¬¨ ª®¬¬³² ²¨¢­®±²¨ ¨  ±±®¶¨ ²¨¢­®±²¨ ®¯¥° ¶¨¨ +,   ² ª¦¥ § ª®­ ¬¨ ¤¨±²°¨¡³²¨¢­®±²¨ ª®­º¾­ª¶¨¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ®¯¥° ¶¨¨ +, ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»© ¬­®£®·«¥­ ¬®¦­® ¯°¨¢¥±²¨ ª ° ¢­®±¨«¼­®¬³ ¢¨¤³ P & Q & A + P & B + Q & C + D, £¤¥ A, B, C, D | ¬­®£®·«¥­», ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¨¥ ¯¥°¥¬¥­­»µ P ¨ Q. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ´®°¬³«  A ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥¬, ² ª ª ª ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¬» ¯®«³·¨«¨ ¡» ¤°³£®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ´®°¬³«» '(P1; : : :; Pn) ¢ ¢¨¤¥ ¬­®£®·«¥­ , ° ¢­®±¨«¼­®£® ´®°¬³«¥ P & B + Q & C + D, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨«® ¡» ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ «®£¨·¥±ª®© ®¯¥° ¶¨¨ ¢ ¢¨¤¥ ¬­®£®·«¥­ . ‡­ ·¨², g(A) = 1 ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ®¶¥­ª¨ g. „«¿ i = 3; : : :; n ¯³±²¼ i = g(Pi ). ‚ ´®°¬³«» B, C, D ¢¬¥±²® ª ¦¤®© ¯¥°¥¬¥­­®© Pi (i = 3; : : :; n) ¯®¤±² ¢¨¬ ª®­±² ­²³ i . Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ª®­±² ­²» b, c, d, ·²® b  B(P3 n3; : : :; Pnnn), c  C(P3n3; : : :; Pnnn), d  D(P3 n3; : : :; Pnnn). ’®£¤  ´®°¬³«  '(P; Q; 3; : : :; n) ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ P & Q+b & P +c & Q+d. °®±²»¬¨ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿¬¨ ­¥²°³¤­® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ´®°¬³«  P & Q ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ '(P + c; Q + b; 3; : : :; n) + bc + d,   ¯®±«¥¤­¿¿ | ´®°¬³«¥ ¢ ¡ §¨±¥ f'; 0; 1; :g (¤¥©±²¢¨²¥«¼­®, ­ ¯°¨¬¥°, P + c  P, ¥±«¨ c = 0, ¨ P + c  :P, ¥±«¨ c = 1). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ´®°¬³«  P & Q ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ ¢ ¡ §¨±¥ f'; 0; 1; :g, ². ¥. & ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ ', 0, 1 ¨ :. 2 ’¥¯¥°¼ ¬®¦­® ¤®ª § ²¼ ²¥®°¥¬³ ®±² , ¤ ¾¹³¾ ª°¨²¥°¨© ¯®«­®²» ¬­®¦¥±²¢  «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©.

Œ­®¦¥±²¢® «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© ¿¢«¿¥²±¿ ¯®«­»¬ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­® ­¥ ±®¤¥°¦¨²±¿ ­¨ ¢ ®¤­®¬ ¨§ ª« ±±®¢ C0 , C1, S , L, M . ’¥®°¥¬  3.8 (²¥®°¥¬  ®±² ).

„®ª § ²¥«¼±²¢®. Š ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼ ¢»¸¥, ²®² ´ ª², ·²® ¯®«­®¥ ¬­®¦¥±²¢® «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© ­¥ ±®¤¥°¦¨²±¿ ­¨ ¢ ®¤­®¬ ¨§ ª« ±±®¢ C0 , C1 , S, L, M, ±«¥¤³¥² ¨§ § ¬ª­³²®±²¨ ½²¨µ ª« ±±®¢ ¨ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©, ­¥ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ ½²¨ ª« ±±». „®ª ¦¥¬ ®¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. ³±²¼ F | ­¥ª®²®°®¥ ¬­®¦¥±²¢® «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©, ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¥¥±¿ ­¨ ¢ ®¤­®¬ ¨§ ª« ±±®¢ C0 , C1, S, L, M. ³±²¼ '0 2 F n C0 , '1 2 F n C1, 's 2 F n S, 'l 2 F n L, 'm 2 F n M (±°¥¤¨ ®¯¥° ¶¨© '0 , '1 , 's ,

21

'l , 'm ¬®£³² ¡»²¼ ®¤¨­ ª®¢»¥). —¥°¥§ A ®¡®§­ ·¨¬ ´®°¬³«³ '0(P; : : :; P). ³±²¼ g0 | ² ª ¿ ®¶¥­ª , ·²® g0(P) = 0. ’®£¤  g0(A) = 1, ² ª ª ª '0 ­¥ ±®µ° ­¿¥² 0.  ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ®¶¥­ª³ g1 ² ª³¾, ·²® g1(P ) = 1. …±«¨ g1(A) = 1, ²®, ®·¥¢¨¤­®, A  1. …±«¨ ¦¥ g1 (A) = 0, ²® A  :P . €­ «®£¨·­® ³¡¥¦¤ ¥¬±¿, ·²® ¥±«¨ B | ½²® ´®°¬³«  '1(P; : : :; P), ²® «¨¡® B  0, «¨¡® B  :P . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, «¨¡® 1) ·¥°¥§ ®¯¥° ¶¨¨ '0 ¨ '1 ¢»° ¦ ¾²±¿ ®¡¥ ª®­±² ­²» 0 ¨ 1, «¨¡® 2) ·¥°¥§ ®¯¥° ¶¨¨ '0 ¨ '1 ¢»° ¦ ¥²±¿ ®¯¥° ¶¨¿ :. ‚ ±«³· ¥ 1), ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 3.6, ¨±¯®«¼§³¿ ®¯¥° ¶¨¾ 'm , ¬®¦­® ¢»° §¨²¼ ®¯¥° ¶¨¾ :,   ¢ ±«³· ¥ 2), ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 3.5, ¨±¯®«¼§³¿ ®¯¥° ¶¨¾ 's , ¬®¦­® ¢»° §¨²¼ ª®­±² ­²» 0 ¨ 1. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® ·¥°¥§ ®¯¥° ¶¨¨ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  F ¬®¦­® ¢»° §¨²¼ 0, 1 ¨ :. ’¥¯¥°¼, ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 3.7, ¨±¯®«¼§³¿ ®¯¥° ¶¨¾ 'l , ¬®¦­® ¢»° §¨²¼ ®¯¥° ¶¨¾ &. ˆ² ª, ·¥°¥§ ®¯¥° ¶¨¨ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  F ¬®¦­® ¢»° §¨²¼ : ¨ &,   ² ª ª ª ¬­®¦¥±²¢® f:; &g ¿¢«¿¥²±¿ ¯®«­»¬, ²® ¯®«­® ¨ ¬­®¦¥±²¢® F . 2 Œ­®¦¥±²¢® «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© F ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥§ ¢¨±¨¬»¬, ¥±«¨ ­¨ª ª³¾ ®¯¥° ¶¨¾ ' 2 F ­¥«¼§¿ ¢»° §¨²¼ ·¥°¥§ ®¯¥° ¶¨¨ ¨§ F nf'g. ®«­®¥ ­¥§ ¢¨±¨¬®¥ ¬­®¦¥±²¢® «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© ­ §»¢ ¥²±¿ ¡ §¨±®¬ ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  ¢±¥µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©. ’¥®°¥¬  3.9.

¶¨©.

‚±¿ª¨© ¡ §¨± ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  ¢±¥µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© ±®¤¥°¦¨² ­¥ ¡®«¥¥ ·¥²»°¥µ ´³­ª-

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 3.8 «¾¡®© ¡ §¨± ±®¤¥°¦¨² ­¥ ¡®«¥¥ ¯¿²¨ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©, ² ª ª ª ¢ ¯®«­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ ®¯¥° ¶¨© F ®¡¿§ ²¥«¼­® ±®¤¥°¦ ²±¿ ®¯¥° ¶¨¨ '0 62 C0 , '1 62 C1, 's 62 S, 'l 62 L, 'm 62 M. Š ª ¢¨¤­® ¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» 3.8, ·¥°¥§ ®¯¥° ¶¨¨ '0 ¨ '1 «¨¡® ¢»° ¦ ¾²±¿ ®¡¥ ª®­±² ­²» 0 ¨ 1, ­¥ ¿¢«¿¾¹¨¥±¿ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­»¬¨, ² ª ·²® ¬®¦­® ®¡®©²¨±¼ ¡¥§ ®¯¥° ¶¨¨ 's, «¨¡® ¢»° ¦ ¥²±¿ ®¯¥° ¶¨¿ :, ­¥ ¿¢«¿¾¹ ¿±¿ ¬®­®²®­­®©, ² ª ·²® ¬®¦­® ®¡®©²¨±¼ ¡¥§ ®¯¥° ¶¨¨ 'm . 2 ‡ ¤ ·¨

1) „®ª § ²¼, ·²® ²°¥µ¬¥±²­ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ®¯¥° ¶¨¿ , § ¤ ¢ ¥¬ ¿ ¬­®£®·«¥­®¬ P & Q + P & R + Q & R, ¿¢«¿¥²±¿ ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­®©. 2) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ª ¬­®¦¥±²¢³ C0 ¯°¨±®¥¤¨­¨²¼ «®£¨·¥±ª³¾ ®¯¥° ¶¨¾, ­¥ ±®µ° ­¿¾¹³¾ 0, ²® ¯®«³·¨²±¿ ¯®«­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ®¯¥° ¶¨©. 3) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ª ¬­®¦¥±²¢³ C1 ¯°¨±®¥¤¨­¨²¼ «®£¨·¥±ª³¾ ®¯¥° ¶¨¾, ­¥ ±®µ° ­¿¾¹³¾ 1, ²® ¯®«³·¨²±¿ ¯®«­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ®¯¥° ¶¨©. 4) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ª ¬­®¦¥±²¢³ S ¯°¨±®¥¤¨­¨²¼ ­¥± ¬®¤¢®©±²¢¥­­³¾ «®£¨·¥±ª³¾ ®¯¥° ¶¨¾, ²® ¯®«³·¨²±¿ ¯®«­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ®¯¥° ¶¨©. 5) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ª ¬­®¦¥±²¢³ L ¯°¨±®¥¤¨­¨²¼ ­¥«¨­¥©­³¾ «®£¨·¥±ª³¾ ®¯¥° ¶¨¾, ²® ¯®«³·¨²±¿ ¯®«­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ®¯¥° ¶¨©. 6) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ª ¬­®¦¥±²¢³ M ¯°¨±®¥¤¨­¨²¼ ­¥¬®­®²®­­³¾ «®£¨·¥±ª³¾ ®¯¥° ¶¨¾, ²® ¯®«³·¨²±¿ ¯®«­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ®¯¥° ¶¨©. 7)  ©²¨ ¢±¥ ² ª¨¥ ¤¢³¬¥±²­»¥ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨ ', ·²® f'g | ¡ §¨± ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  ¢±¥µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©. 8) „®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ¬­®¦¥±²¢  «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© ­¥§ ¢¨±¨¬»:  ) f:; g; ¡) f:; +g; ¢) f; +g; £) f; _g. 9) „®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ¬­®¦¥±²¢  «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© ¿¢«¿¾²±¿ ¡ §¨± ¬¨ ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  ¢±¥µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©:  ) f; 6g, £¤¥ P 6 Q  :(Q  P ); ¡) f; _; 0g. 10)  ©²¨ ¢±¥ ¡ §¨±» ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  ¢±¥µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©, ±®±² ¢«¥­­»¥ ¨§ ®¯¥° ¶¨© 0, 1, :, &, _, , , +, j, #. 11) Ÿ¢«¿¥²±¿ «¨ § ¬ª­³²»¬ ª« ±± ¢±¥µ ¬®­®²®­­® ³¡»¢ ¾¹¨µ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©? 12) ‘ ¯®¬®¹¼¾ ²¥®°¥¬» ®±²  ¤®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ¬­®¦¥±²¢  «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©, £¤¥ (P; Q; R)  P + Q + R, ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ¯®«­»¬¨:  ) f0; &; g; ¡) f1; &; g. 22

4. ˆ±·¨±«¥­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨© 4.1. Ž¡¹¥¥ ¯®­¿²¨¥ ¨±·¨±«¥­¨¿

³²¥¬ ¯®±²°®¥­¨¿ ¨±²¨­­®±²­®© ² ¡«¨¶» ¤«¿ ¤ ­­®© ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®© ´®°¬³«» ­¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼, ¿¢«¿¥²±¿ «¨ ½²  ´®°¬³«  ®¡¹¥§­ ·¨¬®©. Ž¤­ ª® ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ¨­²¥°¥± ¨ ¤°³£®© ±¯®±®¡ ®¯¨± ­¨¿ ®¡¹¥§­ ·¨¬»µ ´®°¬³« | ± ¯®¬®¹¼¾ ¨±·¨±«¥­¨¿. ³±²¼  | ­¥ª®²®°»©  «´ ¢¨². ˆ±·¨±«¥­¨¥ ¢  «´ ¢¨²¥  § ¤ ¥²±¿ ¯³²¥¬ ³ª § ­¨¿  ª±¨®¬ | ­¥ª®²®°»µ ¢»¤¥«¥­­»µ ±«®¢ ¢  «´ ¢¨²¥  | ¨ ¯° ¢¨« ¢»¢®¤ , ¯®§¢®«¿¾¹¨µ ¨§ ®¤­®£® ¨«¨ ­¥±ª®«¼ª¨µ ±«®¢ ¢  «´ ¢¨²¥  ¯®«³· ²¼ ­®¢»¥ ±«®¢  ¢  «´ ¢¨²¥ . ‚»¢®¤ ¢ ¤ ­­®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ | ½²® ª®­¥·­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±«®¢ w1; : : :; wn ¢  «´ ¢¨²¥  ² ª ¿, ·²® ¤«¿ ª ¦¤®£® i = 1; : : :; n ±«®¢® wi «¨¡® ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬®©, «¨¡® ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ª ª¨µ-­¨¡³¤¼ ¯°¥¤¸¥±²¢³¾¹¨µ ±«®¢ ½²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¯® ®¤­®¬³ ¨§ ¯° ¢¨« ¢»¢®¤ . ƒ®¢®°¿², ·²® ±«®¢® w ¢  «´ ¢¨²¥  ¢»¢®¤¨¬® ¢ ¤ ­­®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤, ®ª ­·¨¢ ¾¹¨©±¿ ±«®¢®¬ w. ‚»¢®¤ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ±«®¢ (² ª ­ §»¢ ¥¬®£® ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§) ¢ ¤ ­­®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ | ½²® ª®­¥·­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±«®¢ w1; : : :; wn ¢  «´ ¢¨²¥  ² ª ¿, ·²® ¤«¿ ª ¦¤®£® i = 1; : : :; n ±«®¢® wi «¨¡® ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬®©, «¨¡® ¿¢«¿¥²±¿ £¨¯®²¥§®© (². ¥. ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ ), «¨¡® ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ª ª¨µ­¨¡³¤¼ ¯°¥¤¸¥±²¢³¾¹¨µ ±«®¢ ½²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¯® ®¤­®¬³ ¨§ ¯° ¢¨« ¢»¢®¤ . ƒ®¢®°¿², ·²® ±«®¢® w ¢  «´ ¢¨²¥  ¢»¢®¤¨¬® ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¢ ¤ ­­®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤ ¨§ , ®ª ­·¨¢ ¾¹¨©±¿ ±«®¢®¬ w. ‚ ¤ «¼­¥©¸¥¬ ¬» ¡³¤¥¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ² ª ­ §»¢ ¥¬»¥ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¥ ¨±·¨±«¥­¨¿. ²® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢  «´ ¢¨²¥ «®£¨ª¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©,  ª±¨®¬» ª®²®°»µ ±³²¼ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¥ ´®°¬³«»,   ¯° ¢¨«  ¢»¢®¤  ¯®§¢®«¿¾² ¨§ ´®°¬³« ¯®«³· ²¼ ²®«¼ª® ´®°¬³«». ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¬®£³² ¢»¢®¤¨²¼±¿ ²®«¼ª® ´®°¬³«». 4.2. Š« ±±¨·¥±ª®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨©

€ª±¨®¬ ¬¨ ª« ±±¨·¥±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨© ­ §»¢ ¾²±¿ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¥ ´®°¬³«» «¾¡®£® ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨¤®¢, £¤¥ A; B; C | ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ´®°¬³«»: 1) A  (B  A); 2) (A  B)  ((A  (B  C))  (A  C)); 3) A & B  A; 4) A & B  B; 5) A  (B  A & B); 6) A  A _ B; 7) B  A _ B; 8) (A  C)  ((B  C)  (A _ B  C)); 9) (A  B)  (A  B); 10) (A  B)  (B  A); 11) ((A  B) & (B  A))  (A  B); 12) (A  B)  ((A  :B)  :A); 13) ::A  A. ‚»° ¦¥­¨¿ 1) { 13) ­ §»¢ ¾²±¿ ±µ¥¬ ¬¨  ª±¨®¬ ª« ±±¨·¥±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨©. …¤¨­±²¢¥­­»¬ ¯° ¢¨«®¬ ¢»¢®¤  ª« ±±¨·¥±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤³± ¯®­¥­± (modus ponens; ±®ª° ¹¥­­®: MP) | ¯° ¢¨«®, ª®²®°®¥ ¯®§¢®«¿¥² ¨§ ´®°¬³« A ¨ A  B ¯®«³·¨²¼ ´®°¬³«³ B. ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ´®°¬³«  B ¿¢«¿¥²±¿ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­»¬ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ´®°¬³« A ¨ A  B. ‚ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ®¡¹¨¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬, ¢»¢®¤®¬ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨© ±·¨² ¥²±¿ ² ª ¿ ª®­¥·­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« A1 ; : : :; An, ¢ ª®²®°®© ª ¦¤ ¿ ´®°¬³«  ¿¢«¿¥²±¿ «¨¡®  ª±¨®¬®©, «¨¡® ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­»¬ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ª ª¨µ-­¨¡³¤¼ ¤¢³µ ¯°¥¤¸¥±²¢³¾¹¨µ ´®°¬³«. ”®°¬³«  A ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤, ®ª ­·¨¢ ¾¹¨©±¿ ´®°¬³«®© A; ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ ` A. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢±¿ª ¿  ª±¨®¬  ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©. 23

’¥®°¥¬  4.1.

§»¢ ­¨©.

Š ª®¢  ¡» ­¨ ¡»«  ´®°¬³«  A, ´®°¬³«  A  A ¢»¢®¤¨¬  ¢ ª« ±±¨·¥±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª -

‘«¥¤³¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ´®°¬³«» A  A: (A  (A  A))  ((A  ((A  A)  A))  (A  A)) ( ª±¨®¬  2); A  (A  A) ( ª±¨®¬  1); (A  ((A  A)  A))  (A  A) (¯®«³·¥­  ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ ´®°¬³« 1 ¨ 2); (A  ((A  A)  A) ( ª±¨®¬  1); A  A (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ ´®°¬³« 3 ¨ 4). 2

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

1) 2) 3) 4) 5)

…±«¨ ­¥ª®²®°®¥ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ±®¤¥°¦¨² ±µ¥¬»  ª±¨®¬ 1, 2 ¨ ¯° ¢¨«® ¢»¢®¤  modus ponens, ²®, ª ª®¢  ¡» ­¨ ¡»«  ´®°¬³«  A, ¢ ½²®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»¢®¤¨¬  ´®°¬³«  A  A. ‘«¥¤±²¢¨¥ 4.1.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¯®±²°®¥­­»© ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ²¥®°¥¬» 4.1 ¢»¢®¤ ´®°¬³«» A  A ¢ ª« ±±¨·¥±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¡³¤¥² ¢»¢®¤®¬ ¢ «¾¡®¬ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨, ª®²®°®¥ ±®¤¥°¦¨² ±µ¥¬»  ª±¨®¬ 1, 2 ¨ ¯° ¢¨«® ¢»¢®¤  modus ponens, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ´®°¬³«  A  A ¢»¢®¤¨¬  ¢ «¾¡®¬ ² ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨. 2 ³±²¼ | ­¥ª®²®°®¥ ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³«. ‚ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ®¡¹¨¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬, ¢»¢®¤®¬ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ ­ §»¢ ¥²±¿ ² ª ¿ ª®­¥·­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« A1; : : :; An, ¢ ª®²®°®© ª ¦¤ ¿ ´®°¬³«  «¨¡® ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬®©, «¨¡® ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ , «¨¡® ¿¢«¿¥²±¿ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­»¬ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ª ª¨µ­¨¡³¤¼ ¤¢³µ ¯°¥¤¸¥±²¢³¾¹¨µ ´®°¬³«. ”®°¬³«  A ¢»¢®¤¨¬  ¨§ £¨¯®²¥§ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤ ¨§ £¨¯®²¥§ , ®ª ­·¨¢ ¾¹¨©±¿ ´®°¬³«®© A; ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¬» ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ ` A. Ž·¥¢¨¤­®,·²® ¢±¿ª ¿  ª±¨®¬  ¨ ¢±¿ª ¿ ´®°¬³«  ¨§ ¢»¢®¤¨¬» ¨§ £¨¯®²¥§ . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢±¿ª¨© ¢»¢®¤ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ¨§ ¯³±²®£® ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§, ¯®½²®¬³ ` A ®§­ · ¥² ²® ¦¥ ± ¬®¥, ·²® ¨ ; ` A. ‘«¥¤³¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ fA  B; B  C g ´®°¬³«» A  C, ª ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ´®°¬³«» A; B; C: 1) (A  B)  ((A  (B  C))  (A  C)) ( ª±¨®¬  2); 2) A  B (£¨¯®²¥§ ); 3) (A  (B  C))  (A  C) (¯®«³·¥­  ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ ´®°¬³« 1 ¨ 2); 4) (B  C)  (A  (B  C)) ( ª±¨®¬  1); 5) B  C (£¨¯®²¥§ ); 6) A  (B  C) (¯®«³·¥­  ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ ´®°¬³« 4 ¨ 5); 7) A  C (¯®«³·¥­  ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ ´®°¬³« 3 ¨ 6). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨ fA  B; B  C g ` A  C. Ž²¬¥²¨¬ ­¥ª®²®°»¥ ®·¥¢¨¤­»¥, ­® ¢ ¦­»¥ ±¢®©±²¢  ¢»¢®¤¨¬®±²¨. ’¥®°¥¬  4.2 (¬®­®²®­­®±²¼). Š ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ¬­®¦¥±²¢  ´®°¬³« ¨
¨ ´®°¬³«  A, ¥±«¨ 
¨ ` A, ²®
` A. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ A1 ; : : :; An | ¢»¢®¤ ´®°¬³«» A ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ´®°¬³« . Š ¦¤ ¿ ¨§ ´®°¬³« Ai (i = 1; : : :; n) «¨¡® ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬®©, «¨¡® ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ (  §­ ·¨², ¨ ¬­®¦¥±²¢³
), «¨¡® ¿¢«¿¥²±¿ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­»¬ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ¯°¥¤»¤³¹¨µ ´®°¬³«, ². ¥. ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ A1 ; : : :; An ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¢»¢®¤  ¨§ ¬­®¦¥±²¢ 
. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤ ´®°¬³«» A ¨§
, ². ¥.
` A. 2 ’¥®°¥¬  4.3 (²° ­§¨²¨¢­®±²¼). Š ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ¬­®¦¥±²¢  ´®°¬³« ¨
¨ ´®°¬³«  A, ¥±«¨ ` A, ¨
` B ¤«¿ «¾¡®© ´®°¬³«» B 2 , ²®
` A. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ A1 ; : : :; An | ¢»¢®¤ ´®°¬³«» A ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ´®°¬³« . ‚±¾¤³ ¢ ½²®¬ ¢»¢®¤¥ § ¬¥­¨¬ ª ¦¤³¾ ´®°¬³«³ ¨§ ­  ¥¥ ¢»¢®¤ ¨§ ¬­®¦¥±²¢ 
. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¯®«³·¥­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ´®°¬³«» A ¨§
. 2

24

’¥®°¥¬  4.4 (ª®¬¯ ª²­®±²¼).

³±²¼

A | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´®°¬³« . …±«¨
` A.

| ¯°®¨§¢®«¼­®¥ (¢®§¬®¦­®, ¡¥±ª®­¥·­®¥) ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³«, ² ª®¥, ·²®

` A, ²® ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢®


„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ A1 ; : : :; An | ¢»¢®¤ ´®°¬³«» A ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ´®°¬³« . ³±²¼
| ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ´®°¬³« ¨§ , ¢±²°¥· ¾¹¨µ±¿ ¢ ½²®¬ ¢»¢®¤¥. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ A1 ; : : :; An ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¢»¢®¤  ¨§
. ‡­ ·¨², ´®°¬³«  A ¢»¢®¤¨¬  ¨§ ª®­¥·­®£® ¬­®¦¥±²¢ 
 . 2 ’¥®°¥¬  4.5 (²¥®°¥¬  ® ª®°°¥ª²­®±²¨).

Š ª®¢  ¡» ­¨ ¡»«  ´®°¬³«  A, ¥±«¨ ` A, ²® A ®¡¹¥§­ ·¨¬ .

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥²°³¤­® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ª ¦¤ ¿  ª±¨®¬  ª« ±±¨·¥±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨© ®¡¹¥§­ ·¨¬ . Ž·¥¢¨¤­® ² ª¦¥, ·²® ¥±«¨ ´®°¬³«» A ¨ A  B ®¡¹¥§­ ·¨¬», ²® ¨ ´®°¬³«  B ®¡¹¥§­ ·¨¬ . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­®¥ ±«¥¤±²¢¨¥ ¤¢³µ ®¡¹¥§­ ·¨¬»µ ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ®¡¹¥§­ ·¨¬®© ´®°¬³«®©. ³±²¼ ²¥¯¥°¼ ¤ ­ ¢»¢®¤ A1; : : :; An ´®°¬³«» A ¢ ª« ±±¨·¥±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©. ˆ­¤³ª¶¨¥© ¯® i ­¥²°³¤­® ¤®ª § ²¼, ·²® ª ¦¤ ¿ ´®°¬³«  Ai ¢ ½²®¬ ¢»¢®¤¥ ®¡¹¥§­ ·¨¬ , ¢ · ±²­®±²¨, ®¡¹¥§­ ·¨¬  ¯®±«¥¤­¿¿ ´®°¬³«  ¢ ½²®¬ ¢»¢®¤¥, ². ¥. A. 2 ’¥®°¥¬  4.6 (²¥®°¥¬  ® ¤¥¤³ª¶¨¨).

²® ` A  B .

„«¿ «¾¡»µ ´®°¬³« A; B ¨ ¬­®¦¥±²¢  ´®°¬³« , ¥±«¨ [ fAg ` B ,

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ A1; : : :; An | ¢»¢®¤ ´®°¬³«» B ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ [fAg. ˆ­¤³ª¶¨¥© ¯® i ¤®ª ¦¥¬, ·²® ` A  Ai ¤«¿ ª ¦¤®© ¨§ ´®°¬³« Ai (i = 1; : : :; n). …±«¨ i = 1, ²® Ai | «¨¡®  ª±¨®¬ , «¨¡® £¨¯®²¥§  ¨§ , «¨¡® ´®°¬³«  A. …±«¨ Ai |  ª±¨®¬  ¨«¨ £¨¯®²¥§  ¨§ , ²® ±«¥¤³¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ´®°¬³«» A  Ai ¨§ : 1. Ai  (A  Ai ) ( ª±¨®¬  1); 2. Ai ( ª±¨®¬  ¨«¨ £¨¯®²¥§ ); 3. A  Ai (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ 1. ¨ 2.). …±«¨ ¦¥ Ai ±®¢¯ ¤ ¥² ± A, ²® ¯®±²°®¥­­»© ¢ ²¥®°¥¬¥ 4.1 ¢»¢®¤ ´®°¬³«» A  A ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ¨§ ´®°¬³«» A  Ai . „®¯³±²¨¬, ·²® ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® k < n ¢»¯®«­¥­®, ·²® ¤«¿ ª ¦¤®© ¨§ ´®°¬³« A1; : : :; Ak ´®°¬³«  A  Ai (i = 1; : : :; k) ¢»¢®¤¨¬  ¨§ . „®ª ¦¥¬, ·²® ´®°¬³«  A  Ak+1 ¢»¢®¤¨¬  ¨§ . …±«¨ Ak+1 |  ª±¨®¬  ¨«¨ £¨¯®²¥§  ¨§ [ fAg, ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ²®·­® ² ª ¦¥, ª ª ¢ ±«³· ¥ i = 1. ³±²¼ ´®°¬³«  Ak+1 | ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­®¥ ±«¥¤±²¢¨¥ ´®°¬³«» Ai ¨ ´®°¬³«» Aj (¨¬¥¾¹¥© ¢¨¤ Ai  Ak+1 ), £¤¥ i; j  k. ® ¨­¤³ª²¨¢­®¬³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾,

` A  Ai ; ` A  (Ai  Ak+1 ):

(9) ‘«¥¤³¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ fA  Ai ; A  (Ai  Ak+1 )g ´®°¬³«» A  Ak+1 : 1. (A  Ai )  ((A  (Ai  Ak+1 ))  (A  Ak+1 )) ( ª±¨®¬  2); 2. A  Ai (£¨¯®²¥§ ); 3. (A  (Ai  Ak+1))  (A  Ak+1) (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ ´®°¬³« 1 ¨ 2); 4. A  (Ai  Ak+1) (£¨¯®²¥§ ): 5. A  Ak+1 (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ ´®°¬³« 3 ¨ 4). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® fA  Ai ; A  (Ai  Ak+1 )g ` A  Ak+1 : Ž²±¾¤  ¨ ¨§ (9) ¢ ±¨«³ ±¢®©±²¢  ²° ­§¨²¨¢­®±²¨ ¢»¢®¤¨¬®±²¨ ¢»²¥ª ¥² ` A  Ak+1 , ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼. ’ ª ª ª An ¥±²¼ B, ²® ¬» ¤®ª § «¨, ·²® ` A  B. 2 …±«¨ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ±®¤¥°¦¨² ±µ¥¬»  ª±¨®¬ 1 ¨ 2, ¨ ¥£® ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ¯° ¢¨«®¬ ¢»¢®¤  ¿¢«¿¥²±¿ modus ponens, ²® ¤«¿ ½²®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢¥°­  ²¥®°¥¬  ® ¤¥¤³ª¶¨¨: ª ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³« ¨ ´®°¬³«» A; B , ¥±«¨ [ fAg ` B , ²® ` A  B .

‘«¥¤±²¢¨¥ 4.2.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾ ²¥®°¥¬», ²® ¤«¿ ½²®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ®±² ¥²±¿ ¢ ±¨«¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» 4.6. 2 ’¥®°¥¬  4.7 (®¡®¡¹¥­­ ¿ ²¥®°¥¬  ® ª®°°¥ª²­®±²¨).

¥±«¨ ` A, ²® j= A.

25

„«¿ «¾¡»µ ¬­®¦¥±²¢  ´®°¬³« ¨ ´®°¬³«» A,

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ` A. ® ²¥®°¥¬¥ 4.4 ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢®
= fA1 ; : : :; Ang  ² ª®¥, ·²®
` A. °¨¬¥­¿¿ n ° § ²¥®°¥¬³ ® ¤¥¤³ª¶¨¨, ¯®«³· ¥¬ ` A1  (: : :  (An  A) : : :). ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 4.5, ´®°¬³«  A1  (: : :  (An  A) : : :) ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. „®ª ¦¥¬, ·²® j= A. ³±²¼ g | ² ª ¿ ®¶¥­ª , ¯°¨ ª®²®°®© ¢±¥ ´®°¬³«» ¨§ ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 1. ‚ · ±²­®±²¨, g(Ai ) = 1 (i = 1; : : :; n). ’ ª ª ª A1  (: : :  (An  A) : : :) | ² ¢²®«®£¨¿, ²® g(A1  (: : :  (An  A) : : :)) = 1. Ž²±¾¤  ¨ ¨§ ¨±²¨­­®±²­®© ² ¡«¨¶» ¤«¿ ¨¬¯«¨ª ¶¨¨ ¯®«³· ¥¬ g(A) = 1, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 Œ­®¦¥±²¢® ´®°¬³« ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®²¨¢®°¥·¨¢»¬, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ´®°¬³«  B, ·²® ` B ¨ ` :B. ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¬­®¦¥±²¢® ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢»¬. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ²® «¾¡®¥ ¡®«¥¥ ¸¨°®ª®¥ ¬­®¦¥±²¢®
 ² ª¦¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ²® «¾¡®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢®
 ² ª¦¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ’¥®°¥¬  4.8 (¯°¨­¶¨¯ ¯°¨¢¥¤¥­¨¿ ª  ¡±³°¤³). …±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³« [ fAg ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ²® ` :A. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¤«¿ ´®°¬³«» B ¨¬¥¥² ¬¥±²® [ fAg ` B ¨ [ fAg ` :B. ’®£¤ , ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» ® ¤¥¤³ª¶¨¨ (²¥®°¥¬  4.6),

` A  B; ` A  :B: (10) ®±²°®¨¬ ¢»¢®¤ ´®°¬³«» :A ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ fA  :B; A  :B g: 1. A  B (£¨¯®²¥§ ); 2. A  :B (£¨¯®²¥§ ); 3. (A  B)  ((A  :B)  :A) ( ª±¨®¬  12); 4. (A  :B)  :A (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ 1 ¨ 3); 5. :A (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ 2 ¨ 4). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® fA  :B; A  :B g ` :A. Ž²±¾¤  ¨ ¨§ (10), ¢ ±¨«³ ²° ­§¨²¨¢­®±²¨ ¢»¢®¤¨¬®±²¨, ¢»²¥ª ¥² ` :A, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼. 2 …±«¨ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ±®¤¥°¦¨² ±µ¥¬³  ª±¨®¬ 12, ¨ ¤«¿ ½²®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢¥°­  ²¥®°¥¬  ® ¤¥¤³ª¶¨¨, ²® ¤«¿ ½²®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢¥°¥­ ¯°¨­¶¨¯ ¯°¨¢¥¤¥­¨¿ ª  ¡±³°¤³: ¥±«¨ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ´®°¬³« [ fAg ¢»¢®¤¨¬® ¯°®²¨¢®°¥·¨¥, ²® ` :A. ‘«¥¤±²¢¨¥ 4.3.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾ ²¥®°¥¬», ²® ¤«¿ ½²®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ®±² ¥²±¿ ¢ ±¨«¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» 4.8. 2 ‡ ¤ ·¨

1) ®±²°®¨²¼ ¢»¢®¤» ±«¥¤³¾¹¨µ ´®°¬³«:  ) A _ A  A; ¡) A  A; ¢) (A  :A)  :A. 2) „®ª § ²¼, ¯®±²°®¨¢ ¢»¢®¤»:  ) A  B ` B  A; ¡) A & B ` B & A; ¢) A _ B ` B _ A. 3) „®ª § ²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ²¥®°¥¬» ® ¤¥¤³ª¶¨¨:  ) A  (B  C) ` B  (A  C); ¡) ` :A  (A  B); ¢) :A  :B ` B  A. 4) „®ª § ²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ²¥®°¥¬» ® ¤¥¤³ª¶¨¨ ¨ ¯°¨­¶¨¯  ¯°¨¢¥¤¥­¨¿ ª  ¡±³°¤³:  ) ` A  ::A; ¡) ` (A  B)  (:B  :A); ¢) ` A  (:B  :(A  B)). 4.3. „®¯³±²¨¬»¥ ¯° ¢¨«  ¢»¢®¤ 

’¥®°¥¬  ® ¤¥¤³ª¶¨¨ ¨ ¯°¨­¶¨¯ ¯°¨¢¥¤¥­¨¿ ª  ¡±³°¤³ ¯®§¢®«¿¾² ¤®ª §»¢ ²¼ ¢»¢®¤¨¬®±²¼ ­¥ª®²®°»µ ´®°¬³« ª®±¢¥­­»¬ ®¡° §®¬, ¡¥§ ¯®±²°®¥­¨¿ ¢»¢®¤ . ²¨ ²¥®°¥¬» ¬®¦­® ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ² ª ­ §»¢ ¥¬»µ ¤®¯³±²¨¬»µ ¯° ¢¨« ¢»¢®¤ . € ¨¬¥­­®, ²¥®°¥¬  ® ¤¥¤³ª¶¨¨ ¢»£«¿¤¨² ² ª: `; AA`BB . ²® ¯° ¢¨«® ­ §»¢ ¥²±¿ À¢¢¥¤¥­¨¥ ¨¬¯«¨ª ¶¨¨Á. ‘¬»±« ¥£® ² ª®©: ¥±«¨ ¢¥°­® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢ ¯®±»«ª¥ ¯° ¢¨«  (À·¨±«¨²¥«¥Á), ²® ¢¥°­® ¨ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢ ¥£® § ª«¾·¥­¨¨ (À§­ ¬¥­ ²¥«¥Á). °¨­¶¨¯ ¯°¨¢¥¤¥­¨¿ ª  ¡±³°¤³ ´®°¬³«¨°³¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ² ª®£® ¤®¯³±²¨¬®£® ¯° ¢¨« : ; A ` B ` :;AA ` :B (¢¢¥¤¥­¨¥ ®²°¨¶ ­¨¿). ‘«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬  ¤ ¥² ¯°¨¬¥°» ¤°³£¨µ ¤®¯³±²¨¬»µ ¯° ¢¨«. ’¥®°¥¬  4.9.

‚ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¤®¯³±²¨¬» ±«¥¤³¾¹¨¥ ¯° ¢¨«  ¢»¢®¤ :

26

 ` `A A & `B B (¢¢¥¤¥­¨¥ ª®­º¾­ª¶¨¨);  ` A` &A B , ` A` &B B (³¤ «¥­¨¥ ª®­º¾­ª¶¨¨);  ` A` A_ B , ` A` B_ B (¢¢¥¤¥­¨¥ ¤¨§º¾­ª¶¨¨);  ; A ;`AC_ B ;`BC` C (³¤ «¥­¨¥ ¤¨§º¾­ª¶¨¨);  ; :A ` B ` A; :A ` :B (³¤ «¥­¨¥ ®²°¨¶ ­¨¿);  ` A  `BA  `BB  A (¢¢¥¤¥­¨¥ ½ª¢¨¢ «¥­¶¨¨);  `` AA  BB , `` AB  BA (³¤ «¥­¨¥ ½ª¢¨¢ «¥­¶¨¨).

„®ª ¦¥¬ ¤®¯³±²¨¬®±²¼ ¯° ¢¨«  ¢¢¥¤¥­¨¿ ª®­º¾­ª¶¨¨. ³±²¼ ` A; ` B: (11) ‘«¥¤³¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ´®°¬³«» A & B ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ fA; B g: 1) A  (B  A & B) ( ª±¨®¬  5); 2) A (£¨¯®²¥§ ); 3) B  A & B (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ 1 ¨ 2); 4) B (£¨¯®²¥§ ); 5) A & B (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ 3 ¨ 4). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, fA; B g ` A & B. Ž²±¾¤  ¨ ¨§ (11) ¢ ±¨«³ ±¢®©±²¢  ²° ­§¨²¨¢­®±²¨ ®²­®¸¥­¨¿ ` (²¥®°¥¬  4.3) ¢»²¥ª ¥² ` A & B, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. „®ª ¦¥¬ ¤®¯³±²¨¬®±²¼ ¯° ¢¨«  ³¤ «¥­¨¿ ª®­º¾­ª¶¨¨. ³±²¼ ` A & B: (12) ‘«¥¤³¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ´®°¬³«» A ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ fA & B g: 1) A & B  A ( ª±¨®¬  3); 2) A & B (£¨¯®²¥§ ); 3) A (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ 1 ¨ 2). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, fA & B g ` A. Ž²±¾¤  ¨ ¨§ (12) ¢ ±¨«³ ±¢®©±²¢  ²° ­§¨²¨¢­®±²¨ ®²­®¸¥­¨¿ ` ¢»²¥ª ¥² ` A, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ‘®¢¥°¸¥­­®  ­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¯°¨ ¢»¯®«­¥­¨¨ ³±«®¢¨¿ (12) ¨¬¥¥² ¬¥±²® ` B. „®ª ¦¥¬ ¤®¯³±²¨¬®±²¼ ¯° ¢¨«  ¢¢¥¤¥­¨¿ ¤¨§º¾­ª¶¨¨. ³±²¼ ` A: (13) ‘«¥¤³¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ´®°¬³«» A _ B ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ fAg: 1) A  A _ B ( ª±¨®¬  6); 2) A (£¨¯®²¥§ ); 3) A _ B (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ 1 ¨ 2). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, fAg ` A _ B. Ž²±¾¤  ¨ ¨§ (13) ¢ ±¨«³ ±¢®©±²¢  ²° ­§¨²¨¢­®±²¨ ®²­®¸¥­¨¿ ` ¢»²¥ª ¥² ` A _ B, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ‘®¢¥°¸¥­­®  ­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¥±«¨ ` B, ²® ` A _ B. „®ª ¦¥¬ ¤®¯³±²¨¬®±²¼ ¯° ¢¨«  ³¤ «¥­¨¿ ¤¨§º¾­ª¶¨¨. ³±²¼ ; A ` C ¨ ; B ` C. ˆ§ ½²¨µ ³±«®¢¨©, ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» ® ¤¥¤³ª¶¨¨, ¯®«³· ¥¬ ` A  C; ` B  C: (14) ‘«¥¤³¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ´®°¬³«» C ¨§ ¬­®¦¥±²¢  fA  C; B  C; A _ B g: 1) (A  C)  ((B  C)  (A _ B  C)) ( ª±¨®¬  8); 2) A  C (£¨¯®²¥§ ); 3) (B  C)  (A _ B  C) (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ 1 ¨ 2); 4) B  C (£¨¯®²¥§ ); 5) A _ B  C (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ 3 ¨ 4); 6) A _ B (£¨¯®²¥§ ); 7) C (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ 5 ¨ 6). „®ª § ²¥«¼±²¢®.

27

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, fA  C; B  C; A _ B g ` C. Ž²±¾¤  ¨ ¨§ (14), ¢ ±¨«³ ²° ­§¨²¨¢­®±²¨ ®²­®¸¥­¨¿ `, ¢»²¥ª ¥² ; A _ B ` C, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. „®ª ¦¥¬ ¤®¯³±²¨¬®±²¼ ¯° ¢¨«  ³¤ «¥­¨¿ ®²°¨¶ ­¨¿. ³±²¼ ; :A ` B ¨ ; :A ` :B. ˆ§ ½²¨µ ³±«®¢¨©, ¢ ±¨«³ ¯°¨­¶¨¯  ¯°¨¢¥¤¥­¨¿ ª  ¡±³°¤³, ¢»²¥ª ¥² ` ::A: (15) ‘«¥¤³¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ´®°¬³«» A ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ f::Ag: 1) ::A  A ( ª±¨®¬  13); 2) ::A (£¨¯®²¥§ ); 3) A (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ 1 ¨ 2). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, f::Ag ` A. Ž²±¾¤  ¨ ¨§ (15), ¢ ±¨«³ ²° ­§¨²¨¢­®±²¨ ®²­®¸¥­¨¿ `, ¢»²¥ª ¥² ` A, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. „®ª § ²¥«¼±²¢® ¤®¯³±²¨¬®±²¨ ¯° ¢¨« ¢¢¥¤¥­¨¿ ¨ ³¤ «¥­¨¿ ½ª¢¨¢ «¥­¶¨¨ ¯°¥¤« £ ¥²±¿ ¢ ª ·¥±²¢¥ ³¯° ¦­¥­¨¿. 2 Œ­®¦¥±²¢® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³« «¾¡ ¿ ´®°¬³«  ¢»¢®¤¨¬  ¨§ . ’¥®°¥¬  4.10.

¯°®²¨¢®°¥·¨¢® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ 

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³« ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ¨ ¯³±²¼ A | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´®°¬³« . Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¬­®¦¥±²¢® [ f:Ag ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ’®£¤ , ¢ ±¨«³ ¯° ¢¨«  ³¤ «¥­¨¿ ®²°¨¶ ­¨¿, ¨¬¥¥² ¬¥±²® ` A. Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ «¾¡ ¿ ´®°¬³«  ¢»¢®¤¨¬  ¨§ . ‚ · ±²­®±²¨, ª ª®¢  ¡» ­¨ ¡»«  ´®°¬³«  A, ¨¬¥¥² ¬¥±²® ` A ¨ ` :A,   ½²® ª ª ° § ¨ ®§­ · ¥², ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. 2 °¨¬¥°».

1. „®ª ¦¥¬, ·²® ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¢»¢®¤¨¬  ´®°¬³«  (:A  :B)  (B  A). ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» ® ¤¥¤³ª¶¨¨, ¤«¿ ½²®£® ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²® :A  :B ` B  A: (16) ‚ ±¨«³ ²®© ¦¥ ²¥®°¥¬», (16) ¡³¤¥² ¤®ª § ­®, ¥±«¨ ¬» ¤®ª ¦¥¬, ·²® :A  :B; B ` A: (17) ‚ ±¨«³ ¯° ¢¨«  ³¤ «¥­¨¿ ®²°¨¶ ­¨¿, ¤«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  (17) ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³« = f:A  :B; B; :Ag ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ® ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ² ª: ` B (² ª ª ª B 2 ) ¨ ` :B (² ª ª ª :B ¯®«³· ¥²±¿ ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ £¨¯®²¥§ :A  :B ¨ :A). °¨¢¥¤¥­­®¥ ° ±±³¦¤¥­¨¥ ¬®¦­® ±¤¥« ²¼ ¡®«¥¥ À¯°¿¬»¬Á: 1) :A  :B; B; :A ` B (² ª ª ª B 2 ); 2) :A  :B; B; :A ` :B (² ª ª ª :B ¯®«³· ¥²±¿ ¯® ¯° ¢¨«³ MP ¨§ £¨¯®²¥§ :A  :B ¨ :A); 3) :A  :B; B ` A (¯®«³· ¥²±¿ ¯® ¯° ¢¨«³ ³¤ «¥­¨¿ ®²°¨¶ ­¨¿ ¨§ 1 ¨ 2); 4) :A  :B ` B  A (¯®«³· ¥²±¿ ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ¤¥¤³ª¶¨¨ ¨§ 3); 5) ` (:A  :B)  (B  A) (¯®«³· ¥²±¿ ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ¤¥¤³ª¶¨¨ ¨§ 4), ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2. ‘ ¯®¬®¹¼¾ ¤®¯³±²¨¬»µ ¯° ¢¨« ¤®ª ¦¥¬, ·²® ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¢»¢®¤¨¬  ´®°¬³«  A _ :A; (18) ¢»° ¦ ¾¹ ¿ § ª®­ ¨±ª«¾·¥­­®£® ²°¥²¼¥£®. ‚ ±¨«³ ¯° ¢¨«  ³¤ «¥­¨¿ ®²°¨¶ ­¨¿ ¤«¿ ½²®£® ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³« f:(A _ :A)g ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ®ª ¦¥¬, ·²® :(A _ :A) ` A (19) ¨ :(A _ :A) ` :A: (20) „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  (19), ¢ ±¨«³ ¯° ¢¨«  ³¤ «¥­¨¿ ®²°¨¶ ­¨¿, ¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³« = f:(A _ :A); :Ag ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ® ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ² ª: ` :(A _ :A) (² ª ª ª :(A _ :A) 2 ) ¨ ` A _ :A (¢ ±¨«³ ¯° ¢¨«  ¢¢¥¤¥­¨¿ ¤¨§º¾­ª¶¨¨, ² ª ª ª, ®·¥¢¨¤­®, ` :A). „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  (20), ¢ ±¨«³ ¯° ¢¨«  ¢¢¥¤¥­¨¿ ®²°¨¶ ­¨¿, ¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³« = f:(A _ :A); Ag ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ® ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ² ª: ` :(A _ :A) (² ª ª ª :(A _ :A) 2 ) ¨ ` A _ :A (¢ ±¨«³ ¯° ¢¨«  ¢¢¥¤¥­¨¿ ¤¨§º¾­ª¶¨¨, ² ª ª ª, ®·¥¢¨¤­®, ` A). ˆ§ (19) ¨ (20) ±«¥¤³¥², ·²® ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³« f:(A _ :A)g ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ` A _ :A, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 28

‡ ¤ ·¨

1) „®ª § ²¼ ¤®¯³±²¨¬®±²¼ ¯° ¢¨« ¢¢¥¤¥­¨¿ ¨ ³¤ «¥­¨¿ ½ª¢¨¢ «¥­¶¨¨. 2) „®ª § ²¼, ·²® ¬­®¦¥±²¢® fA _ B; :A; :B g ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ª ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ´®°¬³«» A ¨ B. 3) ‘ ¯®¬®¹¼¾ ¤®¯³±²¨¬»µ ¯° ¢¨« ¤®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«» ¢»¢®¤¨¬» ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©:  ) :::A  :A; ¡) :(A _ B)  (:A & :B); ¢) :(A & B)  (:A _ :B); £) A & B  :(A  :B); ¤) A  B  :(A & :B); ¥) :(A& :A); ¦) A& (A _ B)  A; §) A _ B & C  (A _ B) & (A _ C); ¨) (A  B)  ((C  A)  (C  B)); ª) (A  B)  ((B  C)  (A  C)); «) (A  B)  ((C _ A)  (C _ B)); ¬) (A  B)  ((C & A)  (C & B)); ­) (A  B) _ (B  A); ®) (A  B)  :A _ B; ¯) :A _ B  (A  B). 4.4. ®«­®²  ª« ±±¨·¥±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨©

Œ­®¦¥±²¢® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³« ­ §»¢ ¥²±¿ ¬ ª±¨¬ «¼­»¬, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®© ´®°¬³«» A ¨¬¥¥² ¬¥±²® A 2 ¨«¨ (:A) 2 . ’¥®°¥¬  4.11. Š ª®¢® ¡» ­¨ ¡»«® ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³« , ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢®
, ·²® 
. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³«. Œ­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³« ±·¥²­®. ³±²¼ A1; A2 ; : : :; An ; : : : | ª ª®©-«¨¡® ¯¥°¥±·¥² ¢±¥µ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³«. „«¿ ª ¦¤®£® ­ ²³° «¼­®£® n ¨­¤³ª²¨¢­® ®¯°¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³«
n ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ®«®¦¨¬
0 = . …±«¨ ¬­®¦¥±²¢®
i ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥­®, ¯³±²¼  i [ fAi g; ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢®
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i ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. Œ­®¦¥±²¢®
0, ±®¢¯ ¤ ¾¹¥¥ ± , ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢® ¯® ³±«®¢¨¾. „®¯³±²¨¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢®
i ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ¨ ¤®ª ¦¥¬ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®±²¼ ¬­®¦¥±²¢ 
i+1 . …±«¨ ¬­®¦¥±²¢®
i [fAig ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ²®
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i+1 ² ª¦¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ’®£¤ , ¢ ±¨«³ ¯°¨­¶¨¯  ¯°¨¢¥¤¥­¨¿ ª  ¡±³°¤³ (²¥®°¥¬  4.8), ¨¬¥¥² ¬¥±²®
i ` ::Ai,   ª°®¬¥ ²®£®, ®·¥¢¨¤­®,
i ` :Ai, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ ® ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®±²¨ ¬­®¦¥±²¢ 
i . ‡­ ·¨², ¨ ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¬­®¦¥±²¢®
i+1 ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ³±²¼
| ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¢±¥µ ¬­®¦¥±²¢
i. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, =
0 
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i+1  : : : 
: Œ­®¦¥±²¢®
¿¢«¿¥²±¿ ¬ ª±¨¬ «¼­»¬. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯® ¯®±²°®®¥­¨¾, ¤«¿ «¾¡®© ´®°¬³«» Ai ¨¬¥¥² ¬¥±²® «¨¡® Ai 2
i+1 , ¨ ²®£¤  Ai 2
, «¨¡® (:Ai ) 2
i+1, ¨ ²®£¤  (:Ai ) 2
. „®ª ¦¥¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢®
­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥. ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ´®°¬³«  A, ·²®
` A ¨
` :A. ‚ ±¨«³ ±¢®©±²¢  ª®¬¯ ª²­®±²¨ (²¥®°¥¬  4.4), ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ª®­¥·­»¥ ¬­®¦¥±²¢ 
0 
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, ·²®
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00 ` :A. Ž·¥¢¨¤­®, ·²®
0 [
00 
i ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® i. ’®£¤ , ¢ ±¨«³ ±¢®©±²¢  ¬®­®²®­­®±²¨ (²¥®°¥¬  4.2), ¯®«³· ¥¬
i ` A ¨
i ` :A, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®±²¨ ¬­®¦¥±²¢ 
i. ‡­ ·¨², ¬­®¦¥±²¢®
­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. 2

ɱǬ
| ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³«, ²®, ª ª®¢  ¡» ­¨ ¡»«  ´®°¬³«  A, ¥±«¨
` A, ²® A 2
.

’¥®°¥¬  4.12.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼
| ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³«, ¨ ¯³±²¼
` A. „®¯³±²¨¬, ·²® A 62
. ’®£¤  (:A) 2
¢ ±¨«³ ¬ ª±¨¬ «¼­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢ 
. ® ²®£¤ 
` :A, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ ® ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®±²¨ ¬­®¦¥±²¢ 
. ‡­ ·¨², A 2
. 2 ’¥®°¥¬  4.13.

¢»¯®«­¨¬®.

ɱǬ
| ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³«, ²®


„®ª § ²¥«¼±²¢®.

±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

³±²¼
| ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³«. Ž¶¥­ª³ g ®¯°¥¤¥«¨¬ g(Pi ) =



1; ¥±«¨ Pi 2
; 0; ¥±«¨ Pi 26
: 29

„®ª ¦¥¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ´®°¬³«» A ¢»¯®«­¿¥²±¿ ³±«®¢¨¥ g(A) = 1 , A 2
: (21) ˆ­¤³ª¶¨¿ ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» A. …±«¨ A ¥±²¼  ²®¬­ ¿ ´®°¬³«  Pi, ²® ¤«¿ ­¥¥ ³±«®¢¨¥ (21) ¢»¯®«­¥­® ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¶¥­ª¨ g. ³±²¼ ´®°¬³«  A ¨¬¥¥² ¢¨¤ :B, ¯°¨·¥¬ ¤«¿ ´®°¬³«» B ¢»¯®«­¥­® ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ². ¥. g(B) = 1 , B 2
: (22) „®ª ¦¥¬ (21). ³±²¼ g(A) = 1. ’®£¤  g(B) = 0, ¨, ¢ ±¨«³ ³±«®¢¨¿ (22), B 62
. ’®£¤  A 2
¢ ±¨«³ ¬ ª±¨¬ «¼­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢ 
. Ž¡° ²­®, ¥±«¨ A 2
, ²® B 62
¢ ±¨«³ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®±²¨ ¬­®¦¥±²¢ 
. € ²®£¤ , ¢ ±¨«³ (22), g(B) = 0 ¨, §­ ·¨², g(A) = 1, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ³±²¼ ´®°¬³«  A ¨¬¥¥² ¢¨¤ B & C, ¯°¨·¥¬ ¢»¯®«­¥­» ³±«®¢¨¿ (22) ¨ g(C) = 1 , C 2
:

(23)

„®ª ¦¥¬ (21). ³±²¼ g(A) = 1. ’®£¤  g(B) = 1 ¨ g(C) = 1 ¨, ¢ ±¨«³ ³±«®¢¨© (22) ¨ (23), B 2
¨ C 2
. ® ¯° ¢¨«³ ¢¢¥¤¥­¨¿ ª®­º¾­ª¶¨¨ ¨¬¥¥¬
` A. ’®£¤  A 2
¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 4.12. Ž¡° ²­®, ¥±«¨ A 2
, ²® ¯® ¯° ¢¨«³ ³¤ «¥­¨¿ ª®­º¾­ª¶¨¨ ¨¬¥¥¬
` B ¨
` C,   ²®£¤  B 2
¨ ‘ 2
¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 4.12. ’¥¯¥°¼ ¢ ±¨«³ ³±«®¢¨© (22) ¨ (23) ¯®«³· ¥¬ g(B) = 1 ¨ g(C) = 1, §­ ·¨², g(A) = 1, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ³±²¼ ´®°¬³«  A ¨¬¥¥² ¢¨¤ B _ C, ¯°¨·¥¬ ¢»¯®«­¥­» ³±«®¢¨¿ (22) ¨ (23). „®ª ¦¥¬ (21). ³±²¼ g(A) = 1. ’®£¤  g(B) = 1 ¨«¨ g(C) = 1 ¨, ¢ ±¨«³ ³±«®¢¨© (22) ¨ (23), B 2
¨«¨ C 2
. ® ¯° ¢¨«³ ¢¢¥¤¥­¨¿ ¤¨§º¾­ª¶¨¨ ¢ ®¡®¨µ ±«³· ¿µ ¨¬¥¥¬
` A. ’®£¤  A 2
¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 4.12. Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ A 2
. ’®£¤  B 2
¨«¨ C 2
, ¨¡® ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ (:B) 2
¨ (:C) 2
,   ²®£¤  ¬­®¦¥±²¢®
¯°®²¨¢®°¥·¨¢® (±¬. § ¤ ·³ 2 ¨§ ° §¤¥«  4.3). ‚ ±¨«³ ³±«®¢¨© (22) ¨ (23) ¯®«³· ¥¬ g(B) = 1 ¨«¨ g(C) = 1, §­ ·¨², g(A) = 1, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ³±²¼ ´®°¬³«  A ¨¬¥¥² ¢¨¤ B  C, ¯°¨·¥¬ ¢»¯®«­¥­» ³±«®¢¨¿ (22) ¨ (23). „®ª ¦¥¬ (21). ³±²¼ g(A) = 1. ’®£¤  g(B) = 0 ¨«¨ g(C) = 1 ¨, ¢ ±¨«³ ³±«®¢¨© (22) ¨ (23), B 62
¨, §­ ·¨², (:B) 2
, ¨«¨ C 2
. ® ¯° ¢¨«³ ¢¢¥¤¥­¨¿ ¤¨§º¾­ª¶¨¨, ¢ ®¡®¨µ ±«³· ¿µ ¨¬¥¥¬
` :B _ C. ’®£¤  (:B _ C) 2
¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 4.12. ®, ¢ ±¨«³ § ¤ ·¨ 3¯) ¨§ ° §¤¥«  4.3, ´®°¬³«  :B _ C  (B  C) ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©. ‡­ ·¨²,
` A ¨ A 2
. Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ A 2
. „®ª ¦¥¬, ·²® g(A) = 1. „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥, ². ¥. g(A) = 0. ’®£¤  g(B) = 1 ¨ g(C) = 0. ‚ ±¨«³ ³±«®¢¨© (22) ¨ (23) ¯®«³· ¥¬ B 2
¨ C 62
, ². ¥. (:C) 2
. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, fB  C; B; :C g 
, ¨ ¬­®¦¥±²¢®
¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ‡­ ·¨², g(A) = 1, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼.  ±±¬®²°¥­¨¥ ±«³· ¿, ª®£¤  ´®°¬³«  A ¨¬¥¥² ¢¨¤ B  C, ¯°¥¤« £ ¥²±¿ ¢ ª ·¥±²¢¥ ³¯° ¦­¥­¨¿. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¨¬¥¥¬ g(A) = 1 ¤«¿ «¾¡®© ´®°¬³«» A ¨§ ¬­®¦¥±²¢ 
. ²® ®§­ · ¥², ·²® ¬­®¦¥±²¢®
¢»¯®«­¨¬®. 2 ’¥®°¥¬  4.14.

‚±¿ª®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³« ¢»¯®«­¨¬®.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ | ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³«. ® ²¥®°¥¬¥ 4.11 ±³¹¥±²¢³¥² ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢®
² ª®¥, ·²® 
. ® ²¥®°¥¬¥ 4.13 ¬­®¦¥±²¢®
¢»¯®«­¨¬®, ². ¥. ±³¹¥±²¢³¥² ®¶¥­ª  g, ¯°¨ ª®²®°®© ¢±¥ ´®°¬³«» ¨§
, ¢ · ±²­®±²¨, ¢±¥ ´®°¬³«» ¨§ , ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 1. ‡­ ·¨², ¬­®¦¥±²¢® ² ª¦¥ ¢»¯®«­¨¬®. 2 ’¥®°¥¬  4.15 (®¡®¡¹¥­­ ¿ ²¥®°¥¬  ® ¯®«­®²¥).

´®°¬³« ¨ ´®°¬³«  A, ¥±«¨ j= A, ²® ` A.

Š ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ j= A. ’®£¤ , ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 2.12, ¬­®¦¥±²¢® [ f:Ag ­¥±®¢¬¥±²­®, ². ¥. ­¥¢»¯®«­¨¬®. Ž²±¾¤  ¨ ¨§ ²¥®°¥¬» 4.14 ±«¥¤³¥², ·²® ®­® ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ® ²®£¤ , ¢ ±¨«³ ¯° ¢¨«  ³¤ «¥­¨¿ ®²°¨¶ ­¨¿, ` A. 2 ’¥®°¥¬  4.16 (²¥®°¥¬  ® ¯®«­®²¥). „®ª § ²¥«¼±²¢®.

‚±¿ª ¿ ² ¢²®«®£¨¿ ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©.

…±«¨ A | ² ¢²®«®£¨¿, ²® ; j= A, ¨ ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 4.15 ¨¬¥¥¬ ; ` A, ². ¥. ` A. 2

30

5. ‹®£¨ª  ¯°¥¤¨ª ²®¢ 5.1. ‚»±ª §»¢ ²¥«¼­»¥ ´®°¬» ¨ ª¢ ­²®°»

¥ ¢±¿ª®¥ ¯®¢¥±²¢®¢ ²¥«¼­®¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ¬®¦¥² ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼±¿ ª ª ¢»±ª §»¢ ­¨¥.  ¯°¨¬¥°, ­¥«¼§¿ ±² ¢¨²¼ ¢®¯°®± ®¡ ¨±²¨­­®±²¨ ¨«¨ «®¦­®±²¨ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ ÀŽ±² ²®ª ®² ¤¥«¥­¨¿ ·¨±«  n ­  7 ° ¢¥­ 3Á. ³ª¢  n, ¢µ®¤¿¹ ¿ ¢ ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ¨£° ¥² °®«¼ ¯¥°¥¬¥­­®©, ¯°¨ ¯®¤±² ­®¢ª¥ ¢¬¥±²® ª®²®°®© ®¡®§­ ·¥­¨¿ ª ª®£®-«¨¡® ­ ²³° «¼­®£® ·¨±«  ¯®«³· ¥²±¿ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ (¨±²¨­­®¥ ¨«¨ «®¦­®¥). ‚®®¡¹¥, ¯¥°¥¬¥­­ ¿ | ½²® ¿§»ª®¢®¥ ¢»° ¦¥­¨¥, ±«³¦ ¹¥¥ ¤«¿ ®¡®§­ ·¥­¨¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ®¡º¥ª²  ¨§ ­¥ª®²®°®£® ´¨ª±¨°®¢ ­­®£® ¬­®¦¥±²¢ , ­ §»¢ ¥¬®£® ®¡« ±²¼¾ ¢®§¬®¦­»µ §­ ·¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®©. …±«¨ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ ³¯®²°¥¡«¿¥²±¿ ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ·²® ¤®¯³±ª ¥²±¿ ¯®¤±² ­®¢ª  ¢¬¥±²® ­¥¥ ¨¬¥­ (². ¥. ®¡®§­ ·¥­¨©) ®¡º¥ª²®¢ ¨§ ®¡« ±²¨ ¢®§¬®¦­»µ ¥¥ §­ ·¥­¨©, ²® ½²  ¯¥°¥¬¥­­ ¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ±¢®¡®¤­®©. ’ ª®¢», ­ ¯°¨¬¥°, ¯¥°¥¬¥­­»¥ x, y ¨ z ¢ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿µ x < y ¨ z = x + 1. …±«¨ ¦¥ ¯® ±¬»±«³ ¢»° ¦¥­¨¿, ±®¤¥°¦ ¹¥£® ¯¥°¥¬¥­­³¾, ¯®¤±² ­®¢ª  ¢¬¥±²® ­¥¥ ¨¬¥­ ª®­ª°¥²­»µ ®¡º¥ª²®¢ ­¥¤®¯³±²¨¬ , ²® ½²  ¯¥°¥¬¥­­ ¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ±¢¿§ ­­®©.  ¯°¨¬¥°, 2 ¢ ¢»° ¦¥­¨¨ xlim !a x = y ¯¥°¥¬¥­­ ¿ x ¿¢«¿¥²±¿ ±¢¿§ ­­®©,   ¯¥°¥¬¥­­»¥ a ¨ y | ±¢®¡®¤­»¬¨. ‚ ®¤­®¬ ¢»° ¦¥­¨¨ ®¤­  ¨ ²  ¦¥ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ ¬®¦¥² ³¯®²°¥¡«¿²¼±¿ ¨ ª ª ±¢®¡®¤­ ¿, ¨ ª ª ±¢¿§ ­­ ¿.  ¯°¨¬¥°, Rx 2 ¢ ¢»° ¦¥­¨¨ x dx ®¡  ¢µ®¦¤¥­¨¿ ¯¥°¥¬¥­­®© x ¢ ¯®¤»­²¥£° «¼­®¥ ¢»° ¦¥­¨¥ ¿¢«¿¾²±¿ ±¢¿§ ­­»¬¨,   0 ¢µ®¦¤¥­¨¥ ¥¥ ¢ ª ·¥±²¢¥ ¢¥°µ­¥£® ¯°¥¤¥«  ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ | ±¢®¡®¤­»¬. ‚®®¡¹¥, ±«¥¤³¥² £®¢®°¨²¼ ¨¬¥­­® ® ±¢®¡®¤­»µ ¨ ±¢¿§ ­­»µ ¢µ®¦¤¥­¨¿µ ¯¥°¥¬¥­­®© ¢ ¤ ­­®¥ ¢»° ¦¥­¨¥. ‚»° ¦¥­¨¥, ±®¤¥°¦ ¹¥¥ ±¢®¡®¤­»¥ ¢µ®¦¤¥­¨¿ ¯¥°¥¬¥­­»µ ¨ ¯°¥¢° ¹ ¾¹¥¥±¿ ¢ ¨¬¿ ­¥ª®²®°®£® ®¡º¥ª²  (¨«¨ ¢»±ª §»¢ ­¨¥) ¢±¿ª¨© ° §, ª®£¤  ¢¬¥±²® ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ª ¦¤®© ¯¥°¥¬¥­­®© ¯®¤±² ¢«¿¥²±¿ ¨¬¿ ª ª®£®-«¨¡® ®¡º¥ª²  ¨§ ®¡« ±²¨ ¥¥ ¢®§¬®¦­»µ §­ ·¥­¨©, ­ §»¢ ¥²±¿ ¨¬¥­­®© ´®°¬®© (±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­®© ´®°¬®©). ¥°¥¬¥­­»¥, ¨¬¥¾¹¨¥ ±¢®¡®¤­»¥ ¢µ®¦¤¥­¨¿ ¢ ¨¬¥­­³¾ ¨«¨ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­³¾ ´®°¬³, ­ §»¢ ¾²±¿ ¥¥ ¯ ° ¬¥²° ¬¨. ˆ¬¥­­³¾ ¨«¨ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­³¾ ´®°¬³ ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ n-¬¥±²­®©, ¥±«¨ ®­  ±®¤¥°¦¨² °®¢­® n ¯ ° ¬¥²°®¢. ‚ · ±²­®±²¨, ¬®¦­® £®¢®°¨²¼ ¨ ® 0-¬¥±²­»µ ¨¬¥­­»µ ¨ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­»µ ´®°¬ µ, ¯®­¨¬ ¿ ¯®¤ ­¨¬¨ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¨¬¥­  ¨ ¢»±ª §»¢ ­¨¿. ˆ­®£¤  ¤«¿ k-¬¥±²­®© ¨¬¥­­®© ¨«¨ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­®© ´®°¬» ³¯®²°¥¡«¿¾² ®¡®§­ ·¥­¨¥ F (x1; : : :; xk ), ¿¢­® ³ª §»¢ ¿ ¢±¥ ¥¥ ¯ ° ¬¥²°». ’®£¤ , ¥±«¨ a1 ; : : :; ak | ¨¬¥­  ª ª¨µ-«¨¡® ®¡º¥ª²®¢ ¨§ ®¡« ±²¥© ¢®§¬®¦­»µ §­ ·¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­»µ x1 ; : : :; xk ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ²® ·¥°¥§ F (a1; : : :; ak ) ®¡®§­ · ¥²±¿ ¢»° ¦¥­¨¥, ¯®«³·¥­­®¥ ¨§ F(x1; : : :; xk) ¯®¤±² ­®¢ª®© a1 ; : : :; ak ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¢¬¥±²® ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­»µ x1 ; : : :; xk. °¨¬¥°». Ry

R6

1) —¥°¥§ F(x; y) ®¡®§­ ·¨¬ ¨¬¥­­³¾ ´®°¬³ yx2 dx. ’®£¤  F (3; 6) ¥±²¼ ¢»° ¦¥­¨¥ 6x2dx, ª®²®°®¥, x 3 ®·¥¢¨¤­®, ¿¢«¿¥²±¿ ¨¬¥­¥¬ ·¨±«  378. 2) —¥°¥§ A(i; k; l) ®¡®§­ ·¨¬ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­³¾ ´®°¬³ ¢ ­¨¥

11 P

12 i=7 i

< xlim !3 log2 x (®·¥¢¨¤­®, ¨±²¨­­®¥).

l P

12 i i=k

< xlim !i log2 x. ’®£¤  A(3; 7; 11) ¥±²¼ ¢»±ª §»-

Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ­ ¤ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­»¬¨ ´®°¬ ¬¨ ¬®¦­® ±®¢¥°¸ ²¼ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨. ’ ª,  ¡±®«¾²­® ¿±¥­ ±¬»±« ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­»µ ´®°¬ :A, A & B, A _ B, A  B, ¥±«¨ A ¨ B | ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­»¥ ´®°¬».  °¿¤³ ± ² ª¨¬¨ ®¯¥° ¶¨¿¬¨ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ª¢ ­²®°», ¯®§¢®«¿¾¹¨¥ ¨§ ¤ ­­®© ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­®© ´®°¬» ¯®«³· ²¼ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­³¾ ´®°¬³ ± ¬¥­¼¸¨¬ ·¨±«®¬ ¯ ° ¬¥²°®¢, ¢ · ±²­®±²¨, ¨§ ®¤­®¬¥±²­®© ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­®© ´®°¬» | ¢»±ª §»¢ ­¨¥. Š¢ ­²®° ¢±¥®¡¹­®±²¨ ¯® ¯¥°¥¬¥­­®© x ¯®§¢®«¿¥² ¨§ ¤ ­­®© ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­®© ´®°¬» A(x) ± ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ¯ ° ¬¥²°®¬ x ¯®«³·¨²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ À„«¿ ¢±¥µ x ¨¬¥¥² ¬¥±²® A(x)Á. ¥§³«¼² ² ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ª¢ ­²®°  ¢±¥®¡¹­®±²¨ ¯® ¯¥°¥¬¥­­®© x ª ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­®© ´®°¬¥ A(x) ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ 8xA(x). ‚»±ª §»¢ ­¨¥ 8xA(x) ±·¨² ¥²±¿ ¨±²¨­­»¬ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¯°¨ ¯®¤±² ­®¢ª¥ ¢ A(x) ¢¬¥±²® ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© x ¨¬¥­¨ «¾¡®£® ®¡º¥ª²  a ¨§ ®¡« ±²¨ ¥¥ ¢®§¬®¦­»µ §­ ·¥­¨© ¢±¥£¤  ¯®«³· ¥²±¿ ¨±²¨­­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ A(a). ‚»±ª §»¢ ­¨¥ 8xA(x) ¬®¦¥² ·¨² ²¼±¿ ² ª¦¥ À„«¿ «¾¡®£® x ¨¬¥¥² ¬¥±²® A(x)Á, À„«¿ ¢±¥µ x ¢¥°­® A(x)Á, ÀŠ ¦¤»© x ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ A(x)Á¨ ². ¯. Š¢ ­²®° ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¯® ¯¥°¥¬¥­­®© x ¯®§¢®«¿¥² ¨§ ¤ ­­®© ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­®© ´®°¬» A(x) ± ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ¯ ° ¬¥²°®¬ x ¯®«³·¨²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ À‘³¹¥±²¢³¥² ² ª®© x, ·²® ¨¬¥¥² ¬¥±²® A(x)Á. ¥§³«¼² ² ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ª¢ ­²®°  ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¯® ¯¥°¥¬¥­­®© x ª ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­®© ´®°¬¥ A(x) ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ 9xA(x). ‚»±ª §»¢ ­¨¥ 9xA(x) ±·¨² ¥²±¿ ¨±²¨­­»¬ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢ ®¡« ±²¨ ¢®§¬®¦­»µ §­ ·¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© x ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ®¡º¥ª² a, ·²® ¯°¨ ¯®¤±² ­®¢ª¥ ¥£® ¨¬¥­¨ ¢ A(x) ¢¬¥±²® ±¢®¡®¤­»µ 31

¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© x ¯®«³· ¥²±¿ ¨±²¨­­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ A(a). ‚»±ª §»¢ ­¨¥ 9xA(x) ¬®¦¥² ·¨² ²¼±¿ ² ª¦¥ À„«¿ ­¥ª®²®°»µ x ¨¬¥¥² ¬¥±²® A(x)Á, À‘³¹¥±²¢³¥² x, ¤«¿ ª®²®°®£® A(x)Á, À•®²¿ ¡» ¤«¿ ®¤­®£® x ¢¥°­® A(x)Á¨ ². ¯. Ž²¬¥²¨¬ ¥¹¥ ° §, ·²® ¢ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿µ 8xA(x) ¨ 9xA(x) ¯¥°¥¬¥­­ ¿ x ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±¢®¡®¤­®©: ª¢ ­²®°» À±¢¿§»¢ ¾²Á½²³ ¯¥°¥¬¥­­³¾. Ž·¥¢¨¤­® ² ª¦¥, ·²® ª¢ ­²®°» ¯® ¯¥°¥¬¥­­®© x ¬®¦­® ¯°¨¬¥­¿²¼ ¨ ª ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­»¬ ´®°¬ ¬, ±®¤¥°¦ ¹¨¬ ­ °¿¤³ ± x ¨ ¤°³£¨¥ ¯ ° ¬¥²°». ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³·¨²±¿ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­ ¿ ´®°¬ , ¨¬¥¾¹ ¿ ²¥ ¦¥ ¯ ° ¬¥²°», ·²® ¨ ¨±µ®¤­ ¿, ª°®¬¥ x. ‚ ¦­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¤«¿ «®£¨ª¨ ¨¬¥¥²  ­ «¨§ «®£¨·¥±ª®© ±²°³ª²³°» ¢»±ª §»¢ ­¨© ¨ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­»µ ´®°¬, ². ¥. ¢»¿¢«¥­¨¥ ²®£®, ª ª¨¬ ®¡° §®¬ ¤ ­­®¥ ¯®¢¥±²¢®¢ ²¥«¼­®¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ¯®±²°®¥­® ¨§ ¡®«¥¥ ¯°®±²»µ ¯°¥¤«®¦¥­¨© ± ¯®¬®¹¼¾ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ®¯¥° ¶¨© ¨ ª¢ ­²®°®¢. ‹®£¨·¥±ª¨©  ­ «¨§ ¯°¥¤«®¦¥­¨© ¥±²¼ ±¢®¥£® °®¤  ¨±ª³±±²¢®, ¯° ª²¨·¥±ª¨¥ ­ ¢»ª¨ ª®²®°®£® ¬®¦­® ¯°¨®¡°¥±²¨ ¯³²¥¬ ³¯° ¦­¥­¨©. ³±²¼, ­ ¯°¨¬¥°, M ¨ N | ¤¢  ¬­®¦¥±²¢ , ±®±²®¿¹¨¥ ¨§ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­»µ ·¨±¥«. ’®£¤ , ¨±¯®«¼§³¿ ¯¥°¥¬¥­­³¾ x, ¢®§¬®¦­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨ ª®²®°®© ¿¢«¿¾²±¿ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­»¥ ·¨±« , ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ÀŠ ¦¤»© ½«¥¬¥­² ¬­®¦¥±²¢  M ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ NÁ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 8x(x 2 M  x 2 N),   ¢»±ª §»¢ ­¨¥ À¥ª®²®°»¥ ½«¥¬¥­²» ¬­®¦¥±²¢  M ¯°¨­ ¤«¥¦ ² ¬­®¦¥±²¢³ NÁ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ² ª: 9x(x 2 M & x 2 M). ‡ ¤ ·¨

 ©²¨ ¨±²¨­­®±²­»¥ §­ ·¥­¨¿ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢»±ª §»¢ ­¨©, £¤¥ ¢®§¬®¦­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨ ¯¥°¥¬¥­­»µ ¿¢«¿¾²±¿ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­»¥ ·¨±« : 1) 8x9y(x + y = 3); 2) 9y8x(x + y = 7); 3) 9x9y(x + y = 11); 4) 8x9y(x + y = 3)  7 = 11; 5) 8x(9y(xy = 3)  a 6= 0); 6) 9a8b9x(x2 + ax + b = 0). 5.2. ®­¿²¨¥ ¯°¥¤¨ª ² 

‹®£¨·¥±ª¨©  ­ «¨§ ¯°¥¤«®¦¥­¨© ¢® ¬­®£®¬  ­ «®£¨·¥­ £° ¬¬ ²¨·¥±ª®¬³  ­ «¨§³ ±«®¦­®-±®·¨­¥­­»µ ¨ ±«®¦­®-¯®¤·¨­¥­­»µ ¯°¥¤«®¦¥­¨©. Ž¤­ ª® ¨­®£¤  ­ ± ¡³¤¥² ¨­²¥°¥±®¢ ²¼ ¨ ¢­³²°¥­­¿¿ ±²°³ª²³°  ¯°®±²»µ ¯°¥¤«®¦¥­¨©: ·²® ¨ ® ·¥¬ £®¢®°¨²±¿ ¢ ¤ ­­®¬ ¯°¥¤«®¦¥­¨¨. ‚ ² ª®¬ ±«³· ¥ ¢ £° ¬¬ ²¨ª¥ ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ¯®­¿²¨¿ ±³¡º¥ª²  ¨ ¯°¥¤¨ª ² . ‘³¡º¥ª² (¨«¨ ¯®¤«¥¦ ¹¥¥) | ½²® ²®, ® ·¥¬ ¨«¨ ® ª®¬ £®¢®°¨²±¿ ¢ ¯°¥¤«®¦¥­¨¨,   ¯°¥¤¨ª ² (­ §»¢ ¥¬»© ² ª¦¥ ±ª §³¥¬»¬ ¨«¨ £°³¯¯®© ±ª §³¥¬®£®) ¢»° ¦ ¥² ²®, ·²® £®¢®°¨²±¿ ® ±³¡º¥ª²¥. ‚ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¡®«¥¥ ¸¨°®ª ¿ ²° ª²®¢ª  ±³¡º¥ª²­®-¯°¥¤¨ª ²­®© ±²°³ª²³°» ¯°¥¤«®¦¥­¨¿. °¥¦¤¥ ¢±¥£®, ¢ ª ·¥±²¢¥ ±³¡º¥ª²®¢ ¤ ­­®£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ ¬» ¬®¦¥¬ ¢»¤¥«¨²¼ ®¤­® ¨«¨ ­¥±ª®«¼ª® ¨¬¥­ ª ª¨µ-«¨¡® ¯°¥¤¬¥²®¢, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥. ‡ ¬¥­¨¢ § ²¥¬ ¢»¤¥«¥­­»¥ ¨¬¥­  ­  ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¬» ¯®«³·¨¬ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­³¾ ´®°¬³, À¢ ·¨±²®¬ ¢¨¤¥Á ¢»° ¦ ¾¹³¾ ²®, ·²® £®¢®°¨²±¿ ® ±³¡º¥ª²¥ ¨«¨ ±³¡º¥ª² µ. ²³ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­³¾ ´®°¬³ ²®¦¥ ­ §»¢ ¾² ¯°¥¤¨ª ²®¬.  ±±¬®²°¨¬, ­ ¯°¨¬¥°, ¢»±ª §»¢ ­¨¥ À12 ¤¥«¨²±¿ ­  3Á, ª®²®°®¥, ¨±¯®«¼§³¿ ®¡¹¥¯°¨­¿²³¾ ±¨¬¢®«¨ª³, ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ² ª: 3j12 (À·¨±«® 3 ¤¥«¨² ·¨±«® 12Á). ‚»¡° ¢ ¢ ª ·¥±²¢¥ ±³¡º¥ª²  ·¨±«® 12, ¬» ¯®«³· ¥¬ ®¤­®¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ² 3jx (Àx ¤¥«¨²±¿ ­  3Á). …±«¨ ¦¥ ¢ ª ·¥±²¢¥ ±³¡º¥ª²  ¢§¿²¼ ·¨±«® 3, ²® ¯®«³·¨¬ ¤°³£®© ®¤­®¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ² yj12 (À12 ¤¥«¨²±¿ ­  yÁ).  ª®­¥¶, ±·¨² ¿ 12 ¨ 3 ±³¡º¥ª² ¬¨ ½²®£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿, ¯®«³· ¥¬ ¤¢³¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ² yjx (Àx ¤¥«¨²±¿ ­  yÁ). ‘® ¢±¿ª¨¬ ¯°¥¤¨ª ²®¬, ¯®­¨¬ ¥¬»¬ ª ª ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­ ¿ ´®°¬ , ¥±²¥±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ±¢¿§ ­  ´³­ª¶¨¿, ª®²®° ¿ ª ¦¤®¬³ ­ ¡®°³ §­ ·¥­¨© ±¢®¡®¤­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ ±®¯®±² ¢«¿¥² ¢»±ª §»¢ ­¨¥, ¯®«³· ¾¹¥¥±¿ ¨§ ¤ ­­®© ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­®© ´®°¬» ¯®¤±² ­®¢ª®© ¢¬¥±²® ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­»µ ¨¬¥­ ®¡º¥ª²®¢, ¢»¡° ­­»µ ¢ ª ·¥±²¢¥ §­ ·¥­¨© ½²¨µ ¯¥°¥¬¥­­»µ. Ž¡®¡¹ ¿ ½²® ­ ¡«¾¤¥­¨¥, ¬» ¯°¨µ®¤¨¬ ª ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¾ ® ¯°¥¤¨ª ²¥ ª ª ® ´³­ª¶¨¨, §­ ·¥­¨¿¬¨ ª®²®°®© ¿¢«¿¾²±¿ ¢»±ª §»¢ ­¨¿.  ª®­¥¶, ¥±«¨ ¬» ­¥ ¡³¤¥¬ ° §«¨· ²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¿, ¨¬¥¾¹¨¥ ®¤­® ¨ ²® ¦¥ ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥, ²® ¯°¨¤¥¬ ª ±«¥¤³¾¹¥¬³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¾: k-¬¥±²­»¬ ¯°¥¤¨ª ²®¬ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ M ­ §»¢ ¥²±¿ ´³­ª¶¨¿ P : M k ! f0; 1g, £¤¥ M k | ¤¥ª °²®¢  ±²¥¯¥­¼ ¬­®¦¥±²¢  M, ². ¥. ¯°¿¬®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ k ®¤¨­ ª®¢»µ ¬­®¦¥±²¢, ° ¢­»µ M. Ž¤­®¬¥±²­»¥ ¯°¥¤¨ª ²» ­ §»¢ ¾² ² ª¦¥ À±¢®©±²¢ ¬¨Á. 32

³±²¼ P ¥±²¼ k-¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ² ­  ¬­®¦¥±²¢¥ M. ‘®¢®ª³¯­®±²¼ ¢±¥µ ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢  M k (². ¥. ª®°²¥¦¥© ¤«¨­» k ­ ¤ ¬­®¦¥±²¢®¬ M), ­  ª®²®°»µ ¯°¥¤¨ª ² P ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1, ­ §»¢ ¥²±¿ ®¡« ±²¼¾ ¨±²¨­­®±²¨ ¯°¥¤¨ª ²  P. ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ®¡« ±²¼ ¨±²¨­­®±²¨ ¯°¥¤¨ª ²  P | ½²® ¬­®¦¥±²¢® fha1; : : :; ak ija1; : : :; ak 2 M & P (a1 ; : : :; ak ) = 1g. °¨¬¥°».

1)   ¯°®¨§¢®«¼­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ M ¬®¦¥² ¡»²¼ ®¯°¥¤¥«¥­ ¤¢³¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ² E : M ! f0; 1g ² ª, ·²® E(x; y) = 1 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  x ¨ y ±®¢¯ ¤ ¾². ²®² ¯°¥¤¨ª ² ­ §»¢ ¾² ¯°¥¤¨ª ²®¬ ° ¢¥­±²¢  ¨ ¢¬¥±²® E(x; y) ¯¨¸³² x = y. 2)   ¯°®¨§¢®«¼­®© ±®¢®ª³¯­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢ M ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¤¢³¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ² P : M ! f0; 1g ² ª, ·²® P(x; y) = 1 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¬­®¦¥±²¢® x ¿¢«¿¥²±¿ ½«¥¬¥­²®¬ ¬­®¦¥±²¢  y. ²®² ¯°¥¤¨ª ² ­ §»¢ ¾² ¯°¥¤¨ª ²®¬ ¯°¨­ ¤«¥¦­®±²¨ ¨ ¢¬¥±²® P (x; y) ¯¨¸³² x 2 y. 5.3. «¥¬¥­² °­»¥ ¿§»ª¨

—²®¡» ±¤¥« ²¼ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ²®·­»¬¨ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¬¨ ®¡º¥ª² ¬¨, ¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥ ¨±¯®«¼§³¾² ¨±ª³±±²¢¥­­»¥ ¿§»ª¨. ‘ ¬»© ° ±¯°®±²° ­¥­­»© ¢¨¤ ² ª¨µ ¿§»ª®¢ | ² ª ­ §»¢ ¥¬»¥ «®£¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ¿§»ª¨ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ¨«¨ ½«¥¬¥­² °­»¥ ¿§»ª¨. Š ¦¤»© ½«¥¬¥­² °­»© ¿§»ª § ¤ ¥²±¿ ±¢®¥© ±¨£­ ²³°®© | ­ ¡®°®¬ ¨§ ²°¥µ ¬­®¦¥±²¢ = hCn; F n; P ri, £¤¥ Cn | ¬­®¦¥±²¢® (¯°¥¤¬¥²­»µ) ª®­±² ­², Fn | ¬­®¦¥±²¢® ´³­ª¶¨®­ «¼­»µ ±¨¬¢®«®¢, P r | ¬­®¦¥±²¢® ¯°¥¤¨ª ²­»µ ±¨¬¢®«®¢. °¨ ½²®¬ ± ª ¦¤»¬ ´³­ª¶¨®­ «¼­»¬ ¨ ¯°¥¤¨ª ²­»¬ ±¨¬¢®«®¬ ®¤­®§­ ·­® ±¢¿§ ­® ­¥ª®²®°®¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® | ª®«¨·¥±²¢®  °£³¬¥­²®¢ (¨«¨ ¢ «¥­²­®±²¼) ½²®£® ±¨¬¢®« . ‚ «¥­²­®±²¼ «¾¡®£® ´³­ª¶¨®­ «¼­®£® ±¨¬¢®«  ¯®«®¦¨²¥«¼­ ,   ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®« ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ¨ ­³«¥¢³¾ ¢ «¥­²­®±²¼. ”³­ª¶¨®­ «¼­»© ¨«¨ ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®«, ¢ «¥­²­®±²¼ ª®²®°®£® ° ¢­  k, ­ §»¢ ¾² k-¬¥±²­»¬. ‚® ¢±¿ª®¬ ½«¥¬¥­² °­®¬ ¿§»ª¥ ¨¬¥¥²±¿ ±·¥²­»© ­ ¡®° (¯°¥¤¬¥²­»µ) ¯¥°¥¬¥­­»µ. «¥¬¥­² °­»© ¿§»ª ± ±¨£­ ²³°®© ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ¿§»ª®¬ . ˆ§ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ª®­±² ­², ´³­ª¶¨®­ «¼­»µ ¨ ¯°¥¤¨ª ²­»µ ±¨¬¢®«®¢ ± ¯®¬®¹¼¾ ±ª®¡®ª (, ), § ¯¿²»µ ¨ «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢ :, &, _, , 8, 9 ±²°®¿²±¿ ¢»° ¦¥­¨¿, ­ §»¢ ¥¬»¥ ²¥°¬ ¬¨ ¨ ´®°¬³« ¬¨. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ²¥°¬  ­®±¨² ¨­¤³ª²¨¢­»© µ ° ª²¥° ¨ ±®¤¥°¦¨² ²°¨ ¯³­ª² :

 ª ¦¤ ¿ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ ¥±²¼ ²¥°¬;  ª ¦¤ ¿ ª®­±² ­²  ¥±²¼ ²¥°¬;  ¥±«¨ f ¥±²¼ k-¬¥±²­»© ´³­ª¶¨®­ «¼­»© ±¨¬¢®«,   t1; : : :; tk | ²¥°¬», ²® ¢»° ¦¥­¨¥ f(t1 ; : : :; tk ) ¥±²¼ ²¥°¬.

…±«¨ f | ¤¢³¬¥±²­»© ´³­ª¶¨®­ «¼­»© ±¨¬¢®«, ²® ¨­®£¤ , ±«¥¤³¿ ²° ¤¨¶¨¨, ¢¬¥±²® f(t1 ; t2) ¯¨¸³² (t1 ft2 ) ¨«¨ ¯°®±²® t1 ft2 .  ¯°¨¬¥°, ¯°¨ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¨ ´³­ª¶¨®­ «¼­®£® ±¨¬¢®«  + ®¡»·­® ¯¨¸³² x + y,   ­¥ +(x; y). …±«¨ f | ®¤­®¬¥±²­»© ´³­ª¶¨®­ «¼­»© ±¨¬¢®«, ²® ¨­®£¤  ¢¬¥±²® f(t) ¯¨¸³² ft. ˆ­¤³ª²¨¢­»© µ ° ª²¥° ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ²¥°¬  ¤ ¥² ¢®§¬®¦­®±²¼ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ µ ¯°¨­¶¨¯ ¨­¤³ª¶¨¨ ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ²¥°¬ . € ¨¬¥­­®, ¯³±²¼ ²°¥¡³¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® ¢±¥ ²¥°¬» ®¡« ¤ ¾² ­¥ª®²®°»¬ ±¢®©±²¢®¬ P. „«¿ ½²®£® ¤®±² ²®·­® ³±² ­®¢¨²¼, ·²®

 ª ¦¤ ¿ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ P ;  ª ¦¤ ¿ ª®­±² ­²  ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ P ;  ¥±«¨ f ¥±²¼ k-¬¥±²­»© ´³­ª¶¨®­ «¼­»© ±¨¬¢®«,   ²¥°¬» t1 ; : : :; tk ®¡« ¤ ¾² ±¢®©±²¢®¬ P , ²® ²¥°¬ f(t1 ; : : :; tk ) ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ P.

€²®¬­»¥ ´®°¬³«» (¨«¨  ²®¬») | ½²® ¢»° ¦¥­¨¿ ¢¨¤  P (t1; : : :; tk ), £¤¥ P ¥±²¼ k-¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®« (k  1),   t1 ; : : :; tk | ²¥°¬». ‚±¿ª¨© 0-¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®« ±·¨² ¥²±¿  ²®¬®¬. …±«¨ P | ¤¢³¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®«, ²® ¨­®£¤ , ±«¥¤³¿ ²° ¤¨¶¨¨, ¢¬¥±²® P (t1 ; t2) ¯¨¸³² (t1 P t2) ¨«¨ ¯°®±²® t1P t2.  ¯°¨¬¥°, ¯°¨ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²­®£® ±¨¬¢®«  ° ¢¥­±²¢  = ®¡»·­® ¯¨¸³² x = y,   ­¥ = (x; y). ”®°¬³«» ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ¨­¤³ª²¨¢­® ± ¯®¬®¹¼¾ ±«¥¤³¾¹¨µ ·¥²»°¥µ ¯³­ª²®¢.

 Š ¦¤»©  ²®¬ ¥±²¼ ´®°¬³« .  …±«¨  | ´®°¬³« , ²® : | ´®°¬³« . 33

 …±«¨  ¨ | ´®°¬³«», ²® ( & ), ( _ ), (  ) | ´®°¬³«».  …±«¨  | ´®°¬³« , x | ¯¥°¥¬¥­­ ¿, ²® 8x ¨ 9x | ´®°¬³«». ‘¨¬¢®«» :; &; _;  ­ §»¢ ¾²±¿ «®£¨·¥±ª¨¬¨ ±¢¿§ª ¬¨,   9 ¨ 8 | ª¢ ­²®° ¬¨ ¨«¨ ª¢ ­²®°­»¬¨ ±¨¬¢®« ¬¨. ‚ ´®°¬³« µ ¢¨¤  9x ¨ 8x ¢»° ¦¥­¨¥ 8x ¨«¨ 9x ­ §»¢ ¥²±¿ ª¢ ­²®°­®© ¯°¨±² ¢ª®©,   ´®°¬³«   | ®¡« ±²¼¾ ¤¥©±²¢¨¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ª¢ ­²®°­®© ¯°¨±² ¢ª¨. ‚ ¤ «¼­¥©¸¥¬ ¢»° ¦¥­¨¥   , £¤¥  ¨ | ´®°¬³«», ¡³¤¥¬ ¯®­¨¬ ²¼ ª ª ±®ª° ¹¥­­®¥ ®¡®§­ ·¥­¨¥ ´®°¬³«» (  ) & (  ). ‚µ®¦¤¥­¨¥ ¯¥°¥¬¥­­®© x ¢ ´®°¬³«³  ­ §»¢ ¥²±¿ ±¢¿§ ­­»¬, ¥±«¨ ®­® ¢µ®¤¨² ¢ ª¢ ­²®°­³¾ ¯°¨±² ¢ª³

8x ¨«¨ 9x ¨«¨ ¢ ®¡« ±²¼ ¤¥©±²¢¨¿ ² ª®© ª¢ ­²®°­®© ¯°¨±² ¢ª¨. ‚µ®¦¤¥­¨¥ ¯¥°¥¬¥­­®©, ­¥ ¿¢«¿¾¹¥¥±¿

±¢¿§ ­­»¬, ­ §»¢ ¥²±¿ ±¢®¡®¤­»¬. ”®°¬³« , ­¥ ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­»µ, ­ §»¢ ¥²±¿ § ¬ª­³²®© ´®°¬³«®© ¨«¨ ¢»±ª §»¢ ­¨¥¬. ˆ­¤³ª²¨¢­»© µ ° ª²¥° ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ´®°¬³«» ¤ ¥² ¢®§¬®¦­®±²¼ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ µ ¯°¨­¶¨¯ ¨­¤³ª¶¨¨ ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«»,   ² ª¦¥ ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» § ¤ ¢ ²¼ ´³­ª¶¨¨, ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¢±¥µ ´®°¬³«. ‚ ª ·¥±²¢¥ ¯°¨¬¥°  ² ª®© ´³­ª¶¨¨ ° ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ´³­ª¶¨¾. ³±²¼ ¤ ­» ¯°®¨§¢®«¼­»© ±¯¨±®ª ¯®¯ °­® ° §«¨·­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ x1 ; : : :; xk ¨ ±¯¨±®ª (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ° §«¨·­»µ) ²¥°¬®¢ t1 ; : : :; tk . „«¿ ª ¦¤®© ´®°¬³«»  ¨­¤³ª²¨¢­® ®¯°¥¤¥«¨¬ ´®°¬³«³ [t1=x1; : : :; tn=xn].

 …±«¨ ´®°¬³«   ¥±²¼  ²®¬, ²® [t1 =x1; : : :; tn =xn] | ´®°¬³« , ¯®«³·¥­­ ¿ ¢ °¥§³«¼² ²¥ ®¤­®¢°¥¬¥­­®© ¯®¤±² ­®¢ª¨ ¢  ²¥°¬®¢ t1; : : :; tk ¢¬¥±²® ¯¥°¥¬¥­­»µ x1; : : :; xk ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.  …±«¨ ´®°¬³«   ¨¬¥¥² ¢¨¤ : , ¯°¨·¥¬ ´®°¬³«  [t1=x1 ; : : :; tn=xn] ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥­ , ²® [t1 =x1; : : :; tn =xn] * ) : [t1=x1; : : :; tn=xn];

£¤¥ ±¨¬¢®« * ) ³¯®²°¥¡«¿¥²±¿ ¢¬¥±²® ±«®¢ À¥±²¼ ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾Á.  …±«¨  ¨¬¥¥² ¢¨¤ ( 1  2 ), £¤¥  2 f&; _; g, ¨ ´®°¬³«» 1[t1 =x1; : : :; tn=xn ] ¨ 2 [t1=x1 ; : : :; tn=xn] ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥­», ²® [t1=x1; : : :; tn=xn] * ) ( 1 [t1=x1; : : :; tn=xn] 2 [t1=x1; : : :; tn=xn]):

 …±«¨ ´®°¬³«   ¨¬¥¥² ¢¨¤ x , £¤¥  | ª¢ ­²®° 8 ¨«¨ 9, ¯°¨·¥¬ ¤«¿ «¾¡®£® ±¯¨±ª  ¯®¯ °­® ° §«¨·­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ y1 ; : : :; ym ¨ «¾¡®£® ±¯¨±ª  ²¥°¬®¢ s1 ; : : :; sm ®¯°¥¤¥«¥­  ´®°¬³«  [s1 =y1 ; : : :; sm =ym ], ²® * x [t1=x1; : : :; tn=xn]; [t1 =x1; : : :; tn =xn] )

¥±«¨ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ x ®²«¨·­  ®² ¢±¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ x1; : : :; xk , ¨ * x [t1=x1; : : :; ti 1=xi 1; ti+1 =xi+1; : : :; tn=xn]; [t1 =x1; : : :; tn=xn] ) ¥±«¨ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ x ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¯¥°¥¬¥­­®© xi (i = 1; : : :; k). ”®°¬³«³ [t1=x1 ; : : :; tn=xn] ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ °¥§³«¼² ²®¬ ¯®¤±² ­®¢ª¨ ²¥°¬®¢ t1 ; : : :; tk ¢¬¥±²® ¯¥°¥¬¥­­»µ x1; : : :; xk ¢ ´®°¬³«³ . ° ª²¨·¥±ª¨ ´®°¬³«  [t1=x1; : : :; tn=xn] ¯®«³· ¥²±¿ ¢ °¥§³«¼² ²¥ ®¤­®¢°¥¬¥­­®© ¯®¤±² ­®¢ª¨ ²¥°¬®¢ t1; : : :; tk ¢¬¥±²® ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¢ ´®°¬³«³  ¯¥°¥¬¥­­»µ x1 ; : : :; xk ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ¥²°³¤­® § ¬¥²¨²¼, ·²® ¥±«¨ ´®°¬³«   ­¥ ±®¤¥°¦¨² ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­»µ x1; : : :; xk (¢ · ±²­®±²¨, ¥±«¨ ®­  § ¬ª­³² ), ²® [t1=x1 ; : : :; tn=xn ] ±®¢¯ ¤ ¥² ± . ˆ¬¥¿ ¢ ¢¨¤³ ¤ «¼­¥©¸³¾ ¯®¤±² ­®¢ª³ ²¥°¬®¢ t1 ; : : :; tk ¢¬¥±²® ¯¥°¥¬¥­­»µ x1; : : :; xk ¢ ´®°¬³«³ , ¨­®£¤  ¬» ¡³¤¥¬ ³¯®²°¥¡«¿²¼ ¤«¿ ½²®© ´®°¬³«» ®¡®§­ ·¥­¨¥ (x1 ; : : :; xk),   ¤«¿ ´®°¬³«» [t1=x1; : : :; tn=xn] | ®¡®§­ ·¥­¨¥ (t1 ; : : :; tk ).  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ (x; y; z) ¥±²¼ ´®°¬³«  (P (x)  8x(Q(x; y; z) & P (g(x; y)))); ²® (f(y); g(a; x)); f(a)) ¥±²¼ ´®°¬³«  (P(f(y))  8x(Q(x; g(a; x); f(a)) & P (g(x; g(a; x))))): ° ª²¨·¥±ª¨, § ¯¨±»¢ ¿ ´®°¬³«», ¯°¨­¿²® ®¯³±ª ²¼ ­¥ª®²®°»¥ ±ª®¡ª¨. ‚ · ±²­®±²¨, ®¡»·­® ®¯³±ª ¾² ¢­¥¸­¨¥ ±ª®¡ª¨. „ «¼­¥©¸ ¿ ½ª®­®¬¨¿ ±ª®¡®ª ¢®§¬®¦­ , ¥±«¨ ¯°¨­¿²¼ ±®£« ¸¥­¨¥ ® ²®¬, ª ª¨¥ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨ À±¨«¼­¥¥Á. „«¿ ½²®£® ° ±¯®«®¦¨¬ «®£¨·¥±ª¨¥ ±¨¬¢®«» ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯®°¿¤ª¥: 8; 9; :; &; _; ;  ¨ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¨§ ¢±¥µ ¢®§¬®¦­»µ ¢ ¯¥°¢³¾ ®·¥°¥¤¼ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ²  ®¯¥° ¶¨¿, ª®²®° ¿ ¢ ½²®¬ ±¯¨±ª¥ ±²®¨² ° ­¼¸¥.  ±±¬®²°¨¬ ­¥ª®²®°»¥ ¯°¨¬¥°» ½«¥¬¥­² °­»µ ¿§»ª®¢. ‘¨£­ ²³°  ¿§»ª  ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢ ±®±²®¨² ¨§ ®¤­®£® ¤¢³¬¥±²­®£® ¯°¥¤¨ª ²­®£® ±¨¬¢®«  2. ‘«¥¤³¿ ³±² ­®¢¨¢¸¥©±¿ ²° ¤¨¶¨¨, ³±«®¢¨¬±¿ ¯¨± ²¼ t1 2 t2 ¢¬¥±²® 2 (t1 ; t2). Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ²¥°¬ ¬¨ ¿§»ª  ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢ ¿¢«¿¾²±¿ ²®«¼ª® ¯¥°¥¬¥­­»¥. ‚®² ¯°¨¬¥°» ´®°¬³« ½²®£® ¿§»ª . 34

 8z(z 2 x  z 2 y). Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ½²  ´®°¬³«  ¿¢«¿¥²±¿ § ¯¨±¼¾ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ x  y.  8y:y 2 x. ²  ´®°¬³«  ¿¢«¿¥²±¿ § ¯¨±¼¾ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ x = ;. ‘¨£­ ²³°  ¿§»ª  ´®°¬ «¼­®©  °¨´¬¥²¨ª¨ ±®±²®¨² ¨§ ª®­±² ­²» 0, ®¡®§­ · ¾¹¥© ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® 0, ®¤­®¬¥±²­®£® ´³­ª¶¨®­ «¼­®£® ±¨¬¢®«  s, ®¡®§­ · ¾¹¥£® ´³­ª¶¨¾ s(x) = x+1, ¤¢³¬¥±²­»µ ´³­ª¶¨®­ «¼­»µ ±¨¬¢®«®¢ + ¨
, ®¡®§­ · ¾¹¨µ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ®¯¥° ¶¨¨ ±«®¦¥­¨¿ ¨ ³¬­®¦¥­¨¿, ¨ ¤¢³¬¥±²­®£® ¯°¥¤¨ª ²­®£® ±¨¬¢®«  =, ®¡®§­ · ¾¹¥£® ®²­®¸¥­¨¥ ° ¢¥­±²¢ . “±«®¢¨¬±¿ ¢¬¥±²® +(t1 ; t2),
(t1; t2), = (t1 ; t2) ¯¨± ²¼ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® (t1 +t2 ), (t1
t2), t1 = t2. ˆ­®£¤  ¡³¤¥¬ ®¯³±ª ²¼ ±ª®¡ª¨ ¢ ²¥°¬ µ, ¨¬¥¿ ¢ ¢¨¤³, ·²®  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨ ¢»¯®«­¿¾²±¿ ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯®°¿¤ª¥: s;
; +.  ¯°¨¬¥°, ²¥°¬ ((x
y) + s(ss0
z)) ¬®¦­® ª° ²ª® § ¯¨± ²¼ ² ª: x
y + s(ss0
z). °¨¬¥° ¬¨ ²¥°¬®¢ ½²®£® ¿§»ª  ¿¢«¿¾²±¿ ¢»° ¦¥­¨¿ s0; ss0; sss0; : : :, ®¡®§­ · ¾¹¨¥ ·¨±«  1; 2; 3; : ::. ‚®² ¯°¨¬¥°» ´®°¬³« ¿§»ª  ´®°¬ «¼­®©  °¨´¬¥²¨ª¨.  9z(z + x = y). Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ½²  ´®°¬³«  ¿¢«¿¥²±¿ § ¯¨±¼¾ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ x  y.  9z(sz + x = y). ²  ´®°¬³«  ¿¢«¿¥²±¿ § ¯¨±¼¾ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ x < y. ‘¨£­ ²³°  ¿§»ª  ³¯®°¿¤®·¥­­»µ ¬­®¦¥±²¢ ±®±²®¨² ¨§ ¤¢³µ ¤¢³¬¥±²­»µ ¯°¥¤¨ª ²­»µ ±¨¬¢®«®¢: = (° ¢¥­±²¢®) ¨  (®²­®¸¥­¨¥ ¯®°¿¤ª ). “±«®¢¨¬±¿ ¯¨± ²¼ t1 = t2 ¨ t1  t2 ¢¬¥±²® = (t1; t2) ¨  (t1; t2) ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ²®² ¿§»ª ¯°¥¤­ §­ ·¥­ ¤«¿ § ¯¨±¨ ³²¢¥°¦¤¥­¨© ®¡ ³¯®°¿¤®·¥­­»µ ¬­®¦¥±²¢. € ¨¬¥­­®, ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿ ´¨ª±¨°®¢ ­­»¬ ­¥¯³±²®¥ ¬­®¦¥±²¢® M, ­  ª®²®°®¬ § ¤ ­® ¡¨­ °­®¥ ®²­®¸¥­¨¥ .   ½²®¬ ¿§»ª¥  ª±¨®¬» · ±²¨·­® ³¯®°¿¤®·¥­­®£® ¬­®¦¥±²¢  ¬®£³² ¡»²¼ § ¯¨± ­» ¢ ¢¨¤¥ ±«¥¤³¾¹¨µ ´®°¬³«:  8x(x  x) (°¥´«¥ª±¨¢­®±²¼);  8x8y(x  y & y  x  x = y) ( ­²¨±¨¬¬¥²°¨·­®±²¼);  8x8y8z(x  y & y  z  x  z) (²° ­§¨²¨¢­®±²¼). ‡ ¤ ·¨

1) ³±²¼ f | ®¤­®¬¥±²­»©, g | ¤¢³¬¥±²­»©, h | ²°¥µ¬¥±²­»© ´³­ª¶¨®­ «¼­»¥ ±¨¬¢®«»,   x; y; z | ¯¥°¥¬¥­­»¥. Ž¯°¥¤¥«¨²¼, ª ª¨¥ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢»° ¦¥­¨© ¿¢«¿¾²±¿ ²¥°¬ ¬¨: f(g(x; y)); g(f(z; h(x; y; z))); f(g(x); h(x; y; z)): 2) ³±²¼ f | ®¤­®¬¥±²­»©, g | ¤¢³¬¥±²­»©, h | ²°¥µ¬¥±²­»© ´³­ª¶¨®­ «¼­»¥ ±¨¬¢®«», P | ®¤­®¬¥±²­»©, Q | ²°¥µ¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ²­»¥ ±¨¬¢®«»,   x; y; z | ¯¥°¥¬¥­­»¥. Ž¯°¥¤¥«¨²¼, ª ª¨¥ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢»° ¦¥­¨© ¿¢«¿¾²±¿  ²®¬­»¬¨ ´®°¬³« ¬¨: P(f(g(x; y))); Q(g(f(z); h(x; y; z))); Q(x; P (y); f(z)): 3) “ª § ²¼ ±¢®¡®¤­»¥ ¨ ±¢¿§ ­­»¥ ¢µ®¦¤¥­¨¿ ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ ±«¥¤³¾¹¨µ ´®°¬³« µ:  ) 9y(P(z; y) & 8zQ(z; x)  R(z)); ¡) 8x(P (x; y) & 8yQ(y; x)  R(x)); ¢) 8y9z(P (y; z) & Q(z; x)  R(y)); £) 8y9z(P (z; y) & 8zQ(z; x)  R(y)). 4) ‡ ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ´®°¬³« ¿§»ª  ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢: x = fyg; x = fy; z g; y = P (x) (P (x) | ±¥¬¥©±²¢® ¢±¥µ ¯®¤¬­®¦¥±²¢ ¬­®¦¥±²¢  x); z = x [ y; z = x \ y. 5) ‡ ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ´®°¬³« ¿§»ª  ´®°¬ «¼­®©  °¨´¬¥²¨ª¨:  ) Àx | ·¥²­®¥ ·¨±«®Á; ¡) Àx | ­¥·¥²­®¥ ·¨±«®Á; ¢) Àx | ¯°®±²®¥ ·¨±«®Á; £) Àx ¤¥«¨²±¿ ­  yÁ; ¤) Àz | ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ®¡¹¥¥ ª° ²­®¥ ·¨±¥« x ¨ yÁ; ¥) Àz | ­ ¨¡®«¼¸¨© ®¡¹¨© ¤¥«¨²¥«¼ ·¨±¥« x ¨ yÁ; 35

¦) Àz | ®±² ²®ª ®² ¤¥«¥­¨¿ ·¨±«  x ­  yÁ. 6) ‡ ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ´®°¬³« ¿§»ª  ³¯®°¿¤®·¥­­»µ ¬­®¦¥±²¢:  )  ª±¨®¬» «¨­¥©­® ³¯®°¿¤®·¥­­®£® ¬­®¦¥±²¢ ; ¡) Àx | ­ ¨¬¥­¼¸¨© ½«¥¬¥­²Á; ¢) Àx | ­ ¨¡®«¼¸¨© ½«¥¬¥­²Á; £) Àx | ¬¨­¨¬ «¼­»© ½«¥¬¥­²Á; ¤) Àx | ¬ ª±¨¬ «¼­»© ½«¥¬¥­²Á. 5.4. €«£¥¡° ¨·¥±ª¨¥ ±¨±²¥¬»

•®²¿ ¯°¨ ¯®±²°®¥­¨¨ ª®­ª°¥²­®£® «®£¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ¿§»ª  ®¡»·­® ¯®¤° §³¬¥¢ ¥²±¿ ­¥ª®²®°»© ±¬»±« ±®±² ¢«¿¾¹¨µ ¥£® ±¨¬¢®«®¢, ½²®² ±¬»±« ­¨ª ª ­¥ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¯°¨ ±¨­² ª±¨·¥±ª®¬ ®¯¨± ­¨¨ ¿§»ª . ®±«¥ ²®£® ª ª ¢»¡° ­  ±¨£­ ²³°  ¿§»ª , ¬» ¢¯° ¢¥ ­ ¤¥«¿²¼ ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ­¥¥ ±¨¬¢®«» ­®¢»¬ ±¬»±«®¬, ®²«¨·­»¬ ®² ²®£®, ª®²®°»© ¢ª« ¤»¢ «±¿ ¢ ­¨µ ­  ½² ¯¥ ¯®±²°®¥­¨¿ ¿§»ª . ®«¥¥ ²®£®, ° ±±¬®²°¥­¨¥ ° §«¨·­»µ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨© ®¤­®£® ¨ ²®£® ¦¥ ¿§»ª  ¿¢«¿¥²±¿ ®¤­¨¬ ¨§ ¢ ¦­¥©¸¨µ ¯°¨¥¬®¢, ¨±¯®«¼§³¥¬»µ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥. —²®¡» § ¤ ²¼ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¾ ¿§»ª  ± ±¨£­ ²³°®© = hCn; F n; P ri, ­³¦­® 1) § ´¨ª±¨°®¢ ²¼ ­¥¯³±²®¥ ¬­®¦¥±²¢® M, ­ §»¢ ¥¬®¥ ®±­®¢­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¨«¨ ­®±¨²¥«¥¬ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨; 2) ª ¦¤®© ª®­±² ­²¥ c 2 Cn ±®¯®±² ¢¨²¼ ­¥ª®²®°»© ½«¥¬¥­² c 2 M | §­ ·¥­¨¥ ª®­±² ­²» c ¢ ¤ ­­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨; 3) ª ¦¤®¬³ (k-¬¥±²­®¬³) ´³­ª¶¨®­ «¼­®¬³ ±¨¬¢®«³ f 2 F n ±®¯®±² ¢¨²¼ ­¥ª®²®°³¾ (k-¬¥±²­³¾) ´³­ª¶¨¾ f : M k ! M | §­ ·¥­¨¥ ´³­ª¶¨®­ «¼­®£® ±¨¬¢®«  f ¢ ¤ ­­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨; 4) ª ¦¤®¬³ (k-¬¥±²­®¬³) ¯°¥¤¨ª ²­®¬³ ±¨¬¢®«³ P 2 P r ±®¯®±² ¢¨²¼ ­¥ª®²®°»© (k-¬¥±²­»©) ¯°¥¤¨ª ² P : M k ! f0; 1g | §­ ·¥­¨¥ ¯°¥¤¨ª ²­®£® ±¨¬¢®«  P ¢ ¤ ­­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨. …±«¨ P ¥±²¼ 0-¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®«, ²® ¥¬³ ±®¯®±² ¢«¿¥²±¿ §­ ·¥­¨¥ 0 ¨«¨ 1. ¥¯³±²®¥ ¬­®¦¥±²¢® M, ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®¥ ¢¬¥±²¥ ± ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¥© ­  ­¥¬ ¢±¥µ ±¨¬¢®«®¢ ±¨£­ ²³°» , ­ §»¢ ¥²±¿  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬®© ±¨£­ ²³°» ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ M = hM; i. Œ­®¦¥±²¢® M ­ §»¢ ¾² ­®±¨²¥«¥¬  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» hM; i. Œ®¹­®±²¼¾  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» ­ §»¢ ¥²±¿ ¬®¹­®±²¼ ¥¥ ­®±¨²¥«¿. ³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ­  ­¥ª®²®° ¿  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬  M = hM; i.  °¿¤³ ± ±¨£­ ²³°®© ¡³¤¥¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ±¨£­ ²³°³ 0 , ¯®«³·¥­­³¾ ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ (¨¬¥­) ¢±¥µ ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢  M ª ¬­®¦¥±²¢³ ª®­±² ­² ±¨£­ ²³°» . Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢±¿ª¨© ²¥°¬ ¢ ±¨£­ ²³°¥ ¿¢«¿¥²±¿ ²¥°¬®¬ ¢ ±¨£­ ²³°¥ 0 , ¨ ¢±¿ª ¿ ´®°¬³«  ¢ ±¨£­ ²³°¥ ¿¢«¿¥²±¿ ´®°¬³«®© ¢ ±¨£­ ²³°¥ 0 . ³±²¼ t | ²¥°¬ ±¨£­ ²³°» 0, ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¨© ¯¥°¥¬¥­­»µ. ˆ­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ²¥°¬  t ®¯°¥¤¥«¨¬ ½«¥¬¥­² [t] 2 M | §­ ·¥­¨¥ ²¥°¬  t ¢  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ M:  ¥±«¨ t ¥±²¼ ª®­±² ­²  c 2 Cn, ²® [t] * ) c;  ¥±«¨ t ¥±²¼ ª®­±² ­²  m 2 M, ²® [t] * ) m;  ¥±«¨ t ¨¬¥¥² ¢¨¤ f(t1 ; : : :; tn), £¤¥ f 2 Fn ¥±²¼ n-¬¥±²­»© ´³­ª¶¨®­ «¼­»© ±¨¬¢®«,   t1; : : :; tn | ²¥°¬»,  1]; : : :; [tn]). ¤«¿ ª®²®°»µ ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥­» §­ ·¥­¨¿ [ti] (i = 1; : : :; n), ²® [t] * ) f([t ³±²¼  | § ¬ª­³² ¿ ´®°¬³«  ±¨£­ ²³°» 0. ‹®£¨·¥±ª®© ¤«¨­®© ´®°¬³«»  ­ §®¢¥¬ ª®«¨·¥±²¢® ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ ­¥¥ «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢, ². ¥. «®£¨·¥±ª¨µ ±¢¿§®ª ¨ ª¢ ­²®°®¢. ˆ­¤³ª¶¨¥© ¯® «®£¨·¥±ª®© ¤«¨­¥ ´®°¬³«»  ®¯°¥¤¥«¨¬ ¥¥ ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ [] 2 f0; 1g ¢  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ M.  ³±²¼ «®£¨·¥±ª ¿ ¤«¨­  § ¬ª­³²®© ´®°¬³«»  ° ¢­  0, ². ¥. ¢ ­¥© ¢®®¡¹¥ ­¥² «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢. ’®£¤   |  ²®¬ P (t1; : : :; tn), £¤¥ P 2 Pr ¥±²¼ n-¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®«,   t1 ; : : :; tn | ²¥°¬», ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¨¥ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¤«¿ ª®²®°»µ ¢»¸¥ ®¯°¥¤¥«¥­» ¨µ §­ ·¥­¨¿ [t1]; : : :; [tn] ¢  «£¥¡° ¨·¥±ª®©  1]; : : :; [tn]). ±¨±²¥¬¥ M. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¯®«®¦¨¬ [] * ) P([t „®¯³±²¨¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®© § ¬ª­³²®© ´®°¬³«» , «®£¨·¥±ª ¿ ¤«¨­  ª®²®°®© ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² n, ®¯°¥¤¥«¥­® ¥¥ ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ [ ] ¢  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ M, ¨ ¯³±²¼  | § ¬ª­³² ¿ ´®°¬³« , «®£¨·¥±ª ¿ ¤«¨­  ª®²®°®© ° ¢­  n + 1.

36

 …±«¨  ¨¬¥¥² ¢¨¤ : , ²® «®£¨·¥±ª ¿ ¤«¨­  § ¬ª­³²®© ´®°¬³«» ° ¢­  n, ¨, ¢ ±¨«³ ¨­¤³ª²¨¢­®£®

¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿, ¤«¿ ´®°¬³«» ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥­® ¥¥ ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ [ ]. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ [] ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ¨±²¨­­®±²­®© ² ¡«¨¶¥© ¤«¿ «®£¨·¥±ª®© ®¯¥° ¶¨¨ :: [] ¥±²¼ 0, ¥±«¨ [ ] = 1, ¨ 1 ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥.  …±«¨  ¨¬¥¥² ¢¨¤ ( 1  2 ), £¤¥  | «¾¡ ¿ ¨§ «®£¨·¥±ª¨µ ±¢¿§®ª &; _; , ²® «®£¨·¥±ª ¿ ¤«¨­  ª ¦¤®© ¨§ § ¬ª­³²»µ ´®°¬³« 1 ¨ 2 ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² n, ¨, ¢ ±¨«³ ¨­¤³ª²¨¢­®£® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿, ¤«¿ ´®°¬³« 1 ¨ 2 ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥­» ¨µ ¨±²¨­­®±²­»¥ §­ ·¥­¨¿ [ 1 ] ¨ [ 2]. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ §­ ·¥­¨¥ [] ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ¨±²¨­­®±²­®© ² ¡«¨¶¥© ¤«¿ «®£¨·¥±ª®© ®¯¥° ¶¨¨ .  …±«¨  ¨¬¥¥² ¢¨¤ 9x (x), ²® ¤«¿ «¾¡®£® ½«¥¬¥­²  m 2 M «®£¨·¥±ª ¿ ¤«¨­  § ¬ª­³²®© ´®°¬³«» (m) ° ¢­  n, ¨, ¢ ±¨«³ ¨­¤³ª²¨¢­®£® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿, ¤«¿ ´®°¬³«» (m) ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥­® ¥¥ ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ [ (m)]. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥, ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, [] ¥±²¼ 1 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ½«¥¬¥­² m 2 M, ·²® [ (m)] = 1.  ¥±«¨  ¨¬¥¥² ¢¨¤ 8x , ¯°¨·¥¬ ¤«¿ «¾¡®£® ½«¥¬¥­²  m 2 M ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥­® ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ ´®°¬³«» (m), ²®, ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, §­ ·¥­¨¥ [] ¥±²¼ 1 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  [ (m)] = 1 ¤«¿ «¾¡®£® ½«¥¬¥­²  m 2 M. ®±ª®«¼ª³ «¾¡ ¿ § ¬ª­³² ¿ ´®°¬³«   ±¨£­ ²³°» ¿¢«¿¥²±¿ ² ª¦¥ § ¬ª­³²®© ´®°¬³«®© ±¨£­ ²³°»

0, ²® ¤«¿ ­¥¥ ®¯°¥¤¥«¥­® ¥¥ ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ [] ¢  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ M. ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ´®°¬³«   ¨±²¨­­  ¢  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ M, ¥±«¨ [] = 1, ¨ «®¦­  ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥. ‡ ¯¨±¼ M j=  ¡³¤¥² ®§­ · ²¼, ·²® [] = 1,   § ¯¨±¼ M 6j=  ¡³¤¥² ®§­ · ²¼, ·²® [] = 0. 5.5. ‚»¯®«­¨¬®±²¼ ¨ ®¡¹¥§­ ·¨¬®±²¼

€«£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬  M ±¨£­ ²³°» ­ §»¢ ¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ § ¬ª­³²®© ´®°¬³«»  ¢ ±¨£­ ²³°¥ , ¥±«¨ M j= , ¨ ª®­²°¬®¤¥«¼¾ ´®°¬³«» , ¥±«¨ M 6j= . ‡ ¬ª­³² ¿ ´®°¬³«   ­ §»¢ ¥²±¿ ¢»¯®«­¨¬®©, ¥±«¨ ®­  ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¼. Œ­®¦¥±²¢® § ¬ª­³²»µ ´®°¬³« ­ §»¢ ¥²±¿ ¢»¯®«­¨¬»¬, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬  M, ·²® M j=  ¤«¿ «¾¡®© ´®°¬³«»  2 ; ¢ ½²®¬ ±«³· ¥  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬  M ­ §»¢ ¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢  ´®°¬³« . ‡ ¯¨±¼ M j= ®§­ · ¥², ·²® M | ¬®¤¥«¼ ¬­®¦¥±²¢  . ”®°¬³«  (x1; : : :; xn), ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ±¢®¡®¤­® «¨¸¼ ¯¥°¥¬¥­­»¥ x1; : : :; xn, ­ §»¢ ¥²±¿ ¢»¯®«­¨¬®©, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¾²  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬  M = hM; i ¨ ½«¥¬¥­²» m1 ; : : :; mn 2 M ² ª¨¥, ·²® M j= (m1 ; : : :; mn). ¥²°³¤­® § ¬¥²¨²¼, ·²® ´®°¬³«  (x1; : : :; xn) ¢»¯®«­¨¬  ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢»¯®«­¨¬  § ¬ª­³² ¿ ´®°¬³«  9x1 : : : 9xn (x1; : : :; xn). ‡ ¬ª­³² ¿ ´®°¬³«   ¢ ±¨£­ ²³°¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ®¡¹¥§­ ·¨¬®© ¨«¨ ²®¦¤¥±²¢¥­­® ¨±²¨­­®©, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®©  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» M ±¨£­ ²³°» ¨¬¥¥² ¬¥±²® M j= . ‡ ¯¨±¼ j=  ®§­ · ¥², ·²® ´®°¬³«   ®¡¹¥§­ ·¨¬ . ”®°¬³«  (x1 ; : : :; xn), ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ±¢®¡®¤­® «¨¸¼ ¯¥°¥¬¥­­»¥ x1; : : :; xn, ­ §»¢ ¥²±¿ ®¡¹¥§­ ·¨¬®© ¨«¨ ²®¦¤¥±²¢¥­­® ¨±²¨­­®©, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®©  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» M = hM; i ¨ «¾¡»µ m1 ; : : :; mn 2 M ¨¬¥¥² ¬¥±²® M j= (m1 ; : : :; mn ). ¥²°³¤­® § ¬¥²¨²¼, ·²® ´®°¬³«  (x1 ; : : :; xn) ®¡¹¥§­ ·¨¬  ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®¡¹¥§­ ·¨¬  § ¬ª­³² ¿ ´®°¬³«  8x1 : : : 8xn(x1; : : :; xn). ƒ®¢®°¿², ·²® ²¥°¬ t ±¢®¡®¤¥­ ¤«¿ ¯¥°¥¬¥­­®© x ¢ ´®°¬³«¥ , ¥±«¨ ­¨ª ª®¥ ±¢®¡®¤­®¥ ¢µ®¦¤¥­¨¥ x ¢  ­¥ ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¤¥©±²¢¨¿ ª¢ ­²®°  ¯® ¯¥°¥¬¥­­®©, ¢µ®¤¿¹¥© ¢ t.  ¯°¨¬¥°, ²¥°¬ f(x) ±¢®¡®¤¥­ ¤«¿ ¯¥°¥¬¥­­®© y ¢ ´®°¬³«¥ 8zP (y; z),   ²¥°¬ f(z) ­¥ ±¢®¡®¤¥­ ¤«¿ ¯¥°¥¬¥­­®© y ¢ ²®© ¦¥ ´®°¬³«¥. ’¥®°¥¬  5.1. …±«¨ ²¥°¬ t ±¢®¡®¤¥­ ¤«¿ x ¢ ´®°¬³«¥ (x), ²® ´®°¬³«» 8x(x)  (t) ¨ (t)  9x(x) ®¡¹¥§­ ·¨¬».

Œ» ­¥ ¡³¤¥¬ ¤®ª §»¢ ²¼ ½²³ ²¥®°¥¬³. “¡¥¤¨¬±¿ «¨¸¼, ·²® §¤¥±¼ ±³¹¥±²¢¥­­® ²°¥¡®¢ ­¨¥, ·²®¡» ²¥°¬ t ¡»« ±¢®¡®¤¥­ ¤«¿ ¯¥°¥¬¥­­®© x ¢ ´®°¬³«¥ (x). ³±²¼, ­ ¯°¨¬¥°, ±¨£­ ²³°  ±®±²®¨² ¨§ ®¤­®£® ¤¢³¬¥±²­®£® ¯°¥¤¨ª ²­®£® ±¨¬¢®«  P,   (x) ¥±²¼ ´®°¬³«  9yP (x; y). ‚ ª ·¥±²¢¥ ²¥°¬  t ¢®§¼¬¥¬ y. (Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ²¥°¬ t ­¥ ±¢®¡®¤¥­ ¤«¿ ¯¥°¥¬¥­­®© x ¢ ´®°¬³«¥ (x).) ’®£¤  (t) ¥±²¼ ´®°¬³«  9yP (y; y). ®ª ¦¥¬, ·²® ´®°¬³«  8x(x)  (t), ª®²®° ¿ ¥±²¼ 8x9yP(x; y)  9yP (y; y); (24) ­¥ ®¡¹¥§­ ·¨¬ .  ±±¬®²°¨¬  «£¥¡° ¨·¥±ª³¾ ±¨±²¥¬³ M = hM; i, £¤¥  b) = P(b;  a) = 1; P (a; a) = P(b;  b) = 0: M = fa; bg; P(a; Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢ ½²®©  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ ¯®±»«ª  ´®°¬³«» (24) ¨±²¨­­ ,   ¥¥ § ª«¾·¥­¨¥ «®¦­®, ² ª ·²® ´®°¬³«  (24) «®¦­  ¢  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ M ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ­¥ ®¡¹¥§­ ·¨¬ . 37

‡ ¤ ·¨

1) „«¿ ª ¦¤®© ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ´®°¬³« ­ ©²¨ ®¤­³ ¬®¤¥«¼ ¨ ®¤­³ ª®­²°¬®¤¥«¼:  ) 9x8yP(x; y); ¡) 8x9yP(x; y); ¢) 8xP (x; f(x)); £) 8x8y(P(x; y)  9z(P (x; z) & P(z; y)); ¤) 8x8y9zQ(x; y; z). 2) °¨¢¥±²¨ ¯°¨¬¥° ²¥°¬  t ¨ ´®°¬³«»  ² ª¨µ, ·²® ´®°¬³«  (t)  9x(x) ­¥ ®¡¹¥§­ ·¨¬ . 3) °®¢¥°¨²¼, ¢»¯®«­¨¬» «¨ ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«»:  ) 9xP (x): ¡) 8xP(x); ¢) 9x8y(Q(x; x) & :Q(x; y)); £) 9x9y(P(x) & :P (y)); ¤) 9x8y(Q(x; y)  8zR(x; y; z)); ¥) P (x)  8yP (y). 4) °®¢¥°¨²¼, ®¡¹¥§­ ·¨¬» «¨ ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«»:  ) 9xP (x)  8xP(x); ¡) :(9xP(x)  8xP(x)); ¢) 9x8yQ(x; y)  8y9xQ(x; y); £) 8x9yQ(x; y)  9y8xQ(x; y); ¤) :9xP(x)  :8xP(x); ¥) 8x(P (x)  :Q(x))  :(9xP (x) & 8xQ(x)); ¦) 8x(P (x)  :Q(x))  :(8xP (x) & 9xQ(x)). 5) „®ª § ²¼, ·²® ´®°¬³«  8x8y8z(P(x; y) & P(y; z)  P (x; z)) & 8x:P (x; x) & 8x9yP (x; y) ¢»¯®«­¨¬ , ­® ­¥ ¨¬¥¥² ª®­¥·­®© ¬®¤¥«¨. 6) „®ª § ²¼, ·²® ´®°¬³«  8x9y(P(x; y) & :P(y; x) & :(P (x; x)  P (y; y))) ­¥ ¨¬¥¥² 3-½«¥¬¥­²­®© ¬®¤¥«¨. 7) „®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«» ¢»¯®«­¨¬», ­® ­¥ ¨¬¥¾² ª®­¥·­»µ ¬®¤¥«¥©:  ) 8x9y8z((P(y; z)  P(x; z)) & P(x; x) & :P(y; x)); ¡) 8x8y8z(P(x; x) & (P(x; z)  P (x; y) _ P(y; z))) & 8y9z :P (y; z). 5.6.  ¢­®±¨«¼­»¥ ´®°¬³«»

”®°¬³«»  ¨ ±¨£­ ²³°» ­ §»¢ ¾²±¿ ° ¢­®±¨«¼­»¬¨, ¥±«¨ ´®°¬³«    ®¡¹¥§­ ·¨¬ . ’®² ´ ª², ·²® ´®°¬³«»  ¨ ° ¢­®±¨«¼­», ®¡®§­ · ¥²±¿ ² ª:   . ¥²°³¤­® § ¬¥²¨²¼, ·²® § ¬ª­³²»¥ ´®°¬³«» (¢»±ª §»¢ ­¨¿)  ¨ ° ¢­®±¨«¼­», ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ¢ «¾¡®©  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ ¨±²¨­­®±²­»¥ §­ ·¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨©  ¨ ±®¢¯ ¤ ¾²,   ´®°¬³«» ±® ±¢®¡®¤­»¬¨ ¯¥°¥¬¥­­»¬¨ (x1; : : :; xn) ¨ (x1 ; : : :; xn) ° ¢­®±¨«¼­» ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢ «¾¡®©  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ M = hM; i ¤«¿ «¾¡»µ ½«¥¬¥­²®¢ a1; : : :; an 2 M ¨±²¨­­®±²­»¥ §­ ·¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨© (a1 ; : : :; an) ¨ (a1 ; : : :; an) ±®¢¯ ¤ ¾². Ž·¥¢¨¤­® ² ª¦¥, ·²® ®²­®¸¥­¨¥  °¥´«¥ª±¨¢­® (  ), ±¨¬¬¥²°¨·­® (¥±«¨   , ²®  ) ¨ ²° ­§¨²¨¢­® (¥±«¨ 1  2 ¨ 2  3 , ²® 1  3). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬,  | ®²­®¸¥­¨¥ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¢±¥µ ´®°¬³« ±¨£­ ²³°» . ’¥®°¥¬  5.2. Š ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ´®°¬³«  (x), ´®°¬³«  , ­¥ ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ±¢®¡®¤­® ¯¥°¥¬¥­­³¾ x, ¨ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ y, ­¥ ¢µ®¤¿¹ ¿ ¢ ´®°¬³«³ (x), ¨¬¥¾² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ° ¢­®±¨«¼­®±²¨: 1) :8x(x)  9x:(x); 2) :9x(x)  8x:(x); 3) (8x(x) & )  8x((x) & ); 4) ( & 8x(x))  8x( & (x)); 5) (9x(x) & )  9x((x) & ); 6) ( & 9x(x))  9x( & (x)); 7) (8x(x) _ )  8x((x) _ ); 38

8) ( _ 8x(x))  8x( _ (x)); 9) (9x(x) _ )  9x((x) _ ); 10) ( _ 9x(x))  9x( _ (x)); 11) (8x(x)  )  9x((x)  ); 12) (  8x(x))  8x(  (x)); 13) (9x(x)  )  8x((x)  ); 14) (  9x(x))  9x(  (x)); 15) 8x(x)  8y(y); 16) 9x(x)  9y(y). „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚±¥ ½²¨ ° ¢­®±¨«¼­®±²¨ ¤®ª §»¢ ¾²±¿ ­¥±«®¦­»¬¨ ° ±±³¦¤¥­¨¿¬¨, ®¯¨° ¾¹¨¬¨±¿ ­  ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨±²¨­­®±²¨ ´®°¬³«» ¢ ¤ ­­®©  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥. „«¿ ¯°¨¬¥°  ° ±±¬®²°¨¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ° ¢­®±¨«¼­®±²¨ (8x(x) _ )  8x((x) _ ). ³±²¼ M = hM; i | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬ . ‚±¥¬ ±¢®¡®¤­»¬ ¯¥°¥¬¥­­»¬ ´®°¬³« (8x(x) _ ) ¨ 8x((x) _ ) ¯°¨¤ ¤¨¬ ª®­ª°¥²­»¥ §­ ·¥­¨¿ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  M. „«¿ ¯®«³·¥­­»µ ¢»±ª §»¢ ­¨© ±®µ° ­¨¬ ®¡®§­ ·¥­¨¿ (8x(x) _ ) ¨ 8x((x) _ ) ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® M j= (8x(x) _ ) , M j= 8x((x) _ ): ³±²¼ M j= (8x(x) _ ). ²® ®§­ · ¥², ·²® ¢ M ¨±²¨­­® µ®²¿ ¡» ®¤­® ¨§ ¢»±ª §»¢ ­¨© 8x(x) ¨ . …±«¨ M j= 8x(x), ²® M j= (a) ¤«¿ «¾¡®£® a 2 M. ® ²®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, M j= (a) _ ¤«¿ «¾¡®£® a 2 M,   ½²® ®§­ · ¥², ·²® M j= 8x((x) _ ). …±«¨ ¦¥ M j= , ²®, ®·¥¢¨¤­®, M j= (a) _ ¤«¿ «¾¡®£® a 2 M, ®²ª³¤  ±­®¢  ¯®«³· ¥¬ M j= 8x((x) _ ). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® ¥±«¨ M j= (8x(x) _ ), ²® M j= 8x((x) _ ). ³±²¼ ²¥¯¥°¼ M j= 8x((x) _ ). ²® ®§­ · ¥², ·²®

M j= (a) _ ¤«¿ «¾¡®£® a 2 M:

(25)

…±«¨ ¯°¨ ½²®¬ M j= , ²®, ®·¥¢¨¤­®, M j= (8x(x) _ ). …±«¨ ¦¥ M 6j= , ²®, ª ª ±«¥¤³¥² ¨§ (25), M j= (a) ¤«¿ «¾¡®£® a 2 M. ® ²®£¤  M j= 8x(x), ¨ ±­®¢  M j= (8x(x) _ ). 2 ‘«¥¤³¾¹¥¥ ¤®¢®«¼­® ®·¥¢¨¤­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ­ §»¢ ¾² ²¥®°¥¬®© ®¡ ½ª¢¨¢ «¥­²­®© § ¬¥­¥. ’¥®°¥¬  5.3. …±«¨ ´®°¬³«  0 ¯®«³·¥­  § ¬¥­®© ¢ ´®°¬³«¥  ­¥ª®²®°®© ¥¥ ¯®¤´®°¬³«» ­  ´®°¬³«³ 0 , ¯°¨·¥¬  0 , ²®   0 . ²  ²¥®°¥¬  ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ­¥±«®¦­®© ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«»  ± ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨±²¨­­®±²¨ ´®°¬³«» ¢  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥. ’¥®°¥¬  5.3 ¤ ¥² ¢ ¦­»© ±¯®±®¡ ° ¢­®±¨«¼­»µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨© ´®°¬³«: ¥±«¨ · ±²¼ ´®°¬³«»  § ¬¥­¿¥²±¿ ­  ° ¢­®±¨«¼­³¾, ²® ¢ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³· ¥²±¿ ´®°¬³« , ° ¢­®±¨«¼­ ¿ ´®°¬³«¥ . ‡ ¤ ·¨

°¨¢¥±²¨ ¯°¨¬¥°» ² ª¨µ ´®°¬³«  ¨ , ·²® (8x & ) 6 8x( & ); ( & 8x) 6 8x( & ); (9x & ) 6 9x( & ); ( & 9x) 6 9x( & ); (8x _ ) 6 8x( _ ); ( _ 8x) 6 8x( _ ); (9x _ ) 6 9x( _ ); ( _ 9x) 6 9x( _ ); (8x  ) 6 9x(  ); (  8x) 6 8x(  ); (9x  ) 6 8x(  ); (  9x) 6 9x(  ). 5.7. °¥¤¢ °¥­­»¥ ´®°¬³«»

”®°¬³«  ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¥¤¢ °¥­­®©, ¥±«¨ ®­  ¡¥±ª¢ ­²®°­ ¿ (². ¥. ­¥ ±®¤¥°¦¨² ª¢ ­²®°®¢) ¨«¨ ¨¬¥¥² ¢¨¤ Q1x1 : : :Qnxn , £¤¥  | ¡¥±ª¢ ­²®°­ ¿ ´®°¬³« ,   Qi (i = 1; : : :; n) ¥±²¼ ª¢ ­²®° 8 ¨«¨ 9.  ¯°¨¬¥°, 8x(P(x) _ Q(y)) | ¯°¥¤¢ °¥­­ ¿ ´®°¬³« ,   ´®°¬³«  8xP (x) _ Q(y) ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¤¢ °¥­­®©. ’¥®°¥¬  5.4.

„«¿ «¾¡®© ´®°¬³«»  ±³¹¥±²¢³¥² ¯°¥¤¢ °¥­­ ¿ ´®°¬³«  ² ª ¿, ·²®   .

39

’¥®°¥¬  ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«» . …±«¨  |  ²®¬­ ¿ ´®°¬³« , ²®  | ¡¥±ª¢ ­²®°­ ¿, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯°¥¤¢ °¥­­ ¿ ´®°¬³« , ¨ ¢ ª ·¥±²¢¥ ¬®¦­® ¢§¿²¼ . ³±²¼ ´®°¬³«   ¨¬¥¥² ¢¨¤ :1, ¯°¨·¥¬ ¤«¿ ´®°¬³«» 1 ¯®±²°®¥­  ° ¢­®±¨«¼­ ¿ ¥© ¯°¥¤¢ °¥­­ ¿ ´®°¬³«  1 . ’®£¤ , ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» ®¡ ½ª¢¨¢ «¥­²­®© § ¬¥­¥ (²¥®°¥¬  5.3),   : 1. ³±²¼ ´®°¬³«  1 ¨¬¥¥² ¢¨¤ Q1 x1 : : :Qn xn 01 , £¤¥ Q1; : : :; Qn | ª¢ ­²®°­»¥ ±¨¬¢®«»,   01 | ¡¥±ª¢ ­²®°­ ¿ ´®°¬³« . ’®£¤    :Q1x1 : : :Qnxn 01. °¨¬¥­¿¿ ° ¢­®±¨«¼­®±²¨ 1) ¨ 2) ¨§ ²¥®°¥¬» 5.2, ¯®«³· ¥¬, ·²® :Q1x1 : : : Qnxn 01  Q 1x1 : : : Q nxn: 01 , £¤¥ 8 ¥±²¼ 9,   9 ¥±²¼ 8. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ª ·¥±²¢¥ ¬®¦­® ¢§¿²¼ ´®°¬³«³ Q 1x1 : : : Q nxn : 01. ³±²¼ ´®°¬³«   ¨¬¥¥² ¢¨¤ 12 , £¤¥  ¥±²¼ &, _ ¨«¨ , ¯°¨·¥¬ ¤«¿ ´®°¬³« 1 ¨ 2 ³¦¥ ¯®±²°®¥­» ° ¢­®±¨«¼­»¥ ¨¬ ¯°¥¤¢ °¥­­»¥ ´®°¬³«» 1 ¨ 2 . ’®£¤    1  2 . ˆ­¤³ª¶¨¥© ¯® ±³¬¬ °­®¬³ ª®«¨·¥±²¢³ n ª¢ ­²®°®¢ ¢ ´®°¬³« µ 1 ¨ 2 ¤®ª ¦¥¬, ·²® ¤«¿ ´®°¬³«» 1  2 ±³¹¥±²¢³¥² ° ¢­®±¨«¼­ ¿ ¥© ¯°¥¤¢ °¥­­ ¿ ´®°¬³« , ¨ ¯®¯³²­® ¯®ª ¦¥¬, ª ª ¥¥ ±²°®¨²¼. …±«¨ n = 0, ²® 1 ¨ 2 | ¡¥±ª¢ ­²®°­»¥ ´®°¬³«», ¨ ´®°¬³«  1  2 ± ¬  ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¤¢ °¥­­®©. ³±²¼ ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢¥°­® ¤«¿ n = k. …±«¨ ²¥¯¥°¼ n = k + 1, ²® µ®²¿ ¡» ®¤­  ¨§ ´®°¬³« 1 ¨ 2 ±®¤¥°¦¨² ª¢ ­²®°. ³±²¼ ´®°¬³«  1 ¨¬¥¥² ¢¨¤ Qx 01(x), £¤¥ 01(x) | ¯°¥¤¢ °¥­­ ¿ ´®°¬³« . ’®£¤  ´®°¬³«  1  2 ¨¬¥¥² ¢¨¤ Qx 01(x) 2 . ³±²¼ ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ Q ¥±²¼ 8,    ¥±²¼ &. …±«¨ x ­¥ ¢µ®¤¨² ±¢®¡®¤­® ¢ 2 , ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ° ¢­®±¨«¼­®±²¼¾ 3) ¨§ ²¥®°¥¬» 5.2. ®«³·¨¬, ·²® (Qx 01(x) 2 )  Qx( 01 (x) 2 ). ‘³¬¬ °­®¥ ª®«¨·¥±²¢® ª¢ ­²®°®¢ ¢ ´®°¬³« µ 01 (x) ¨ 2 ° ¢­® k, ¨ ¯® ¨­¤³ª²¨¢­®¬³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ ´®°¬³«  01 (x) 2 ° ¢­®±¨«¼­  ­¥ª®²®°®© ¯°¥¤¢ °¥­­®© ´®°¬³«¥ 00. ‡­ ·¨², Qx( 01 (x) 2 )  Qx 00, ¨ ¢ ª ·¥±²¢¥ ¬®¦­® ¢§¿²¼ ´®°¬³«³ Qx 00. …±«¨ ¦¥ x ¢µ®¤¨² ±¢®¡®¤­® ¢ 2 , ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ° ¢­®±¨«¼­®±²¼¾ 15) ¨§ ²¥®°¥¬» 5.2 ¨, ¢»¡° ¢ ¯¥°¥¬¥­­³¾ y, ­¥ ¢µ®¤¿¾¹³¾ ±¢®¡®¤­® ¢ 2 ¨ ¢®®¡¹¥ ­¥ ¢±²°¥· ¾¹³¾±¿ ¢ ´®°¬³«¥ 01 (x), § ¬¥­¨¬ ´®°¬³«³ Qx 01 (x) ­  ° ¢­®±¨«¼­³¾ ¥© ´®°¬³«³ Qy 01 (y), ¨ ¤ «¥¥ ° ±±³¦¤ ¥¬, ª ª ¢»¸¥. °¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ ¤°³£¨µ ±«³· ¥¢ ¤«¿ ª¢ ­²®°­®£® ±¨¬¢®«  Q ¨ ±¢¿§ª¨  ­³¦­® ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¯®¤µ®¤¿¹¨¬¨ ¨§ ° ¢­®±¨«¼­®±²¥© 5), 7), 9), 11), 13), 15), 16) ²¥®°¥¬» 5.2. …±«¨ ´®°¬³«  1 ¿¢«¿¥²±¿ ¡¥±ª¢ ­²®°­®©,   ´®°¬³«  2 ¨¬¥¥² ¢¨¤ Qx 02(x), £¤¥ 02 (x) | ¯°¥¤¢ °¥­­ ¿ ´®°¬³« , ° ±±³¦¤ ¥¬ ²®·­® ² ª ¦¥, ¯®«¼§³¿±¼ ° ¢­®±¨«¼­®±²¿¬¨ 4), 6), 8), 10), 12), 14), 15), 16) ²¥®°¥¬» 5.2. ³±²¼ ´®°¬³«   ¨¬¥¥² ¢¨¤ Qx1, £¤¥ Q ¥±²¼ 8 ¨«¨ 9, ¯°¨·¥¬ ¤«¿ ´®°¬³«» 1 ¯®±²°®¥­  ° ¢­®±¨«¼­ ¿ ¥© ¯°¥¤¢ °¥­­ ¿ ´®°¬³«  1 . ’®£¤  ´®°¬³«   ° ¢­®±¨«¼­  ¯°¥¤¢ °¥­­®© ´®°¬³«¥ Qx 1 , ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 ®±²°®¥­¨¥ ¯°¥¤¢ °¥­­®© ´®°¬³«», ° ¢­®±¨«¼­®© ¤ ­­®© ´®°¬³«¥ , ­ §»¢ ¾² ¯°¨¢¥¤¥­¨¥¬ ´®°¬³«»  ª ¯°¥¤¢ °¥­­®¬³ ¢¨¤³ ¨«¨ ¯°¥¤¢ °¥­­®© ´®°¬¥. „®ª § ²¥«¼±²¢®.

‡ ¤ ·¨

°¨¢¥±²¨ ª ¯°¥¤¢ °¥­­®© ´®°¬¥ ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«»: 1) :9x8y9z 8uP(x; y; z; u); 2) 9x8yP(x; y) & 9x8yQ(x; y); 3) 9x8yP(x; y) _ 9x8yQ(x; y); 4) 9x8yP(x; y)  9x8yQ(x; y); 5) 8x9y(P(x)  Q(y; z))  9x8z(Q(x; z) & P(y)); 6) 8xP(x)  8y(8zQ(x; z)  8uP (u)). 5.8. €ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨¥ ²¥®°¨¨

€ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨© ¬¥²®¤ ¯®±²°®¥­¨¿ ­ ³·­®© ²¥®°¨¨ ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ­¥ª®²®°»¥ ¨±µ®¤­»¥ ¯®«®¦¥­¨¿, ­ §»¢ ¥¬»¥  ª±¨®¬ ¬¨ ¨«¨ ¯®±²³« ² ¬¨, ¯°¨­¨¬ ¾²±¿ À¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ Á,   ¢±¥ ¤°³£¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ½²®© ²¥®°¨¨ ¢»¢®¤¿²±¿ ¨§ ­¨µ ¯³²¥¬ ° ±±³¦¤¥­¨¿. €ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨© ¬¥²®¤ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ¢¯¥°¢»¥ ¡»« ¨±¯®«¼§®¢ ­ …¢ª«¨¤®¬ ¢ III ¢¥ª¥ ¤® ­. ½. ¢ ¥£® ª­¨£¥ À · « Á ¯°¨ ¨§«®¦¥­¨¨ ®±­®¢ ½«¥¬¥­² °­®© £¥®¬¥²°¨¨, ²¥®°¨¨ ·¨±¥«,  «£¥¡°» ¨ ¤°³£¨µ ° §¤¥«®¢  ­²¨·­®© ¬ ²¥¬ ²¨ª¨. À · « Á …¢ª«¨¤  ±®±² ¢«¥­» ¯® ®¯°¥¤¥«¥­­®© ±µ¥¬¥, ±«®¦¨¢¸¥©±¿ ¥¹¥ ¤® …¢ª«¨¤  ¢ ¤°¥¢­¥£°¥·¥±ª®© ­ ³ª¥: ±­ · «  ¯°¨¢®¤¿²±¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨ ¯®±²³« ²»,   § ²¥¬ ´®°¬³«¨°®¢ª¨ ²¥®°¥¬ ¨ ¨µ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ . ¥ª®²®°»¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢ À · « µÁ | ½²® ¯°®±²® ®¯¨± ­¨¿ ¨±µ®¤­»µ ¯®­¿²¨©.  ¯°¨¬¥°, À’®·ª  ¥±²¼ ²®, ·²® ­¥ ¨¬¥¥² · ±²¥©Á. Ÿ±­®, ·²® ² ª®¥ À®¯°¥¤¥«¥­¨¥Á ¢°¿¤ «¨ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¨±¯®«¼§®¢ ­® ¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ µ. Ž¤­ ª® ¢ À · « µÁ ¨¬¥¾²±¿ ¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ¿¢«¿¾¹¨¥±¿ ² ª®¢»¬¨ ¢

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±®¢°¥¬¥­­®¬ ±¬»±«¥: ®­¨ ­ §»¢ ¾² ¯®­¿²¨¿.  ¯°¨¬¥°, À ° ««¥«¼­»¥ ±³²¼ ¯°¿¬»¥, ª®²®°»¥, ­ µ®¤¿±¼ ¢ ®¤­®© ¯«®±ª®±²¨ ¨ ¡³¤³·¨ ­¥®£° ­¨·¥­­® ¯°®¤®«¦¥­» ¢ ®¡¥ ±²®°®­», ­¨ ± ²®©, ­¨ ± ¤°³£®© ±²®°®­» ¬¥¦¤³ ±®¡®© ­¥ ¢±²°¥· ¾²±¿Á. ‚±«¥¤ §  ®¯°¥¤¥«¥­¨¿¬¨ ¢ À · « µÁ ¨¤³² ¯®±²³« ²». ±°¥¤¨ ­¨µ | §­ ¬¥­¨²»© V ¯®±²³« ² …¢ª«¨¤ : À…±«¨ ¯°¿¬ ¿, ¯¥°¥±¥ª ¾¹ ¿ ¤¢¥ ¯°¿¬»¥, ®¡° §³¥² ± ­¨¬¨ ¢­³²°¥­­¨¥ ®¤­®±²®°®­­¨¥ ³£«», ±³¬¬  ª®²®°»µ ¬¥­¼¸¥ ¤¢³µ ¯°¿¬»µ, ²® ½²¨ ¯°¿¬»¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ ± ²®© ±²®°®­», £¤¥ ½²  ±³¬¬  ¬¥­¼¸¥ ¤¢³µ ¯°¿¬»µÁ.   ®±­®¢¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ¨ ¯®±²³« ²®¢ ¯³²¥¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¢»¢®¤¿²±¿ ­®¢»¥ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ | ²¥®°¥¬». ®±ª®«¼ª³ ¯°¥¤¯®« £ «®±¼, ·²® £¥®¬¥²°¨¿ ¥±²¼ ®¯¨± ­¨¥ °¥ «¼­®£® ´¨§¨·¥±ª®£® ¯°®±²° ­±²¢ , ¢¯®«­¥ ¥±²¥±²¢¥­­®, ·²® …¢ª«¨¤ ±·¨² « ¯®±²³« ²» À± ¬®®·¥¢¨¤­»¬¨ ¨±²¨­ ¬¨Á. Ž¤­ ª® V ¯®±²³« ² ª ¦¥²±¿ ±«¨¸ª®¬ ±«®¦­»¬, ·²®¡» ¥£® ¬®¦­® ¡»«® ¯°¨·¨±«¨²¼ ª À± ¬®®·¥¢¨¤­»¬ ¨±²¨­ ¬Á. ®½²®¬³ ­  ¯°®²¿¦¥­¨¨ ¢¥ª®¢ ¡»«® ¯®²° ·¥­® ¬­®£® ³±¨«¨© ­  ¯®¯»²ª¨ ¤®ª § ²¼ V ¯®±²³« ² ­  ®±­®¢¥ ®±² «¼­»µ ¯®±²³« ²®¢. •®²¿ ¢±¥ ½²¨ ¯®¯»²ª¨ ®ª § «¨±¼ ­¥³¤ ·­»¬¨, ®­¨ ¢±¥ ¦¥ ¯°¨¢¥«¨ ª ­¥ª®²®°»¬ ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬ °¥§³«¼² ² ¬. ‚ · ±²­®±²¨, ¡»«® ¤®ª § ­®, ·²® V ¯®±²³« ² …¢ª«¨¤  ½ª¢¨¢ «¥­²¥­ ±«¥¤³¾¹¥¬³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¾: À—¥°¥§ ²®·ª³, ­¥ «¥¦ ¹³¾ ­  ¤ ­­®© ¯°¿¬®©, ¯°®µ®¤¨² °®¢­® ®¤­  ¯°¿¬ ¿, ¯ ° ««¥«¼­ ¿ ¤ ­­®© ¯°¿¬®©Á. Š ­ · «³ XIX ¢¥ª  ­ · «® ¢®§­¨ª ²¼ ¯®¤®§°¥­¨¥ ® ­¥¤®ª §³¥¬®±²¨ V ¯®±²³« ²  …¢ª«¨¤ . ²® ¯®¤®§°¥­¨¥ ¯¥°¥¸«® ¯®·²¨ ¢ ¯®«­³¾ ³¢¥°¥­­®±²¼, ª®£¤  ¢ 1826 £®¤³ ¢¥«¨ª¨© °³±±ª¨© ¬ ²¥¬ ²¨ª . ˆ. ‹®¡ ·¥¢±ª¨© ¯®±²°®¨« £¥®¬¥²°¨·¥±ª³¾ ²¥®°¨¾, ®±­®¢ ­­³¾ ­  ±¨±²¥¬¥ ¯®±²³« ²®¢, ¢ ª®²®°®© V ¯®±²³« ² …¢ª«¨¤  § ¬¥­¥­ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥¬, ­¥±®¢¬¥±²¨¬»¬ ± ­¨¬: À—¥°¥§ ²®·ª³, ­¥ «¥¦ ¹³¾ ­  ¤ ­­®© ¯°¿¬®©, ¯°®µ®¤¨² ¡®«¥¥ ·¥¬ ®¤­  ¯°¿¬ ¿, ¯ ° ««¥«¼­ ¿ ¤ ­­®© ¯°¿¬®©Á. •®²¿ À¨±²¨­­®±²¼Á ² ª®©  ª±¨®¬» ª ¦¥²±¿ ±®¬­¨²¥«¼­®©, ¯°¨ ¢»¢®¤¥ ±«¥¤±²¢¨© ¨§ ­¥¥ ª ª¨¥-«¨¡® ¯°®²¨¢®°¥·¨¿ ­¥ ¢±²°¥· ¾²±¿. ‘«¥¤³¾¹¨¬ ±®¡»²¨¥¬ ­  ¯³²¨ ¯®±²°®¥­¨¿ ­¥¥¢ª«¨¤®¢®© £¥®¬¥²°¨¨ ¿¢¨«®±¼ ¯®±²°®¥­¨¥ ° §«¨·­»µ ¬®¤¥«¥© £¥®¬¥²°¨¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£® ±°¥¤±²¢ ¬¨ £¥®¬¥²°¨¨ …¢ª«¨¤ .  ¯°¨¬¥°, ¢ ¬®¤¥«¨, ¯°¥¤«®¦¥­­®© ¢»¤ ¾¹¨¬±¿ ­¥¬¥¶ª¨¬ ¬ ²¥¬ ²¨ª®¬ Š«¥©­®¬ ¢ 1871 £®¤³, ¯«®±ª®±²¼ ¨­²¥°¯°¥²¨°³¥²±¿ ª ª ¢­³²°¥­­®±²¼ ª ª®£®­¨¡³¤¼ ª°³£ ,   ¯°¿¬ ¿ | ª ª µ®°¤  ½²®£® ª°³£  ¡¥§ ±¢®¨µ ª®­¶®¢. ‚ ² ª®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ®ª §»¢ ¾²±¿ ¨±²¨­­»¬¨ ¢±¥  ª±¨®¬» £¥®¬¥²°¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£®.  «¨·¨¥ ¯®¤®¡­»µ ¬®¤¥«¥© ¯®ª §»¢ ¥², ·²® £¥®¬¥²°¨¿ ‹®¡ ·¥¢±ª®£® ±²®«¼ ¦¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢ , ª ª ¨ £¥®¬¥²°¨¿ …¢ª«¨¤ . ®±²°®¥­¨¥ ¬®¤¥«¥© £¥®¬¥²°¨¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£® ¨¬¥«® ¯°¨­¶¨¯¨ «¼­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¤«¿ ° §¢¨²¨¿  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª®£® ¬¥²®¤ , ¯®±ª®«¼ª³ ®­® ¯°¨¢¥«® ª ®±®§­ ­¨¾ ¢®§¬®¦­®±²¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª³¾ ²¥®°¨¾ ·¨±²® ´®°¬ «¼­®, ­¥ ¯°¥¤¯®« £ ¿ § ° ­¥¥ ª ª®¥-«¨¡® ®¯°¥¤¥«¥­­®¥ §­ ·¥­¨¥ ®±­®¢­»µ ¯®­¿²¨©. ®«¥¥ ²®£®, ¬» ¢®«¼­» ¢»¡¨° ²¼ §­ ·¥­¨¿ ½²¨µ ¯®­¿²¨© ª ª¨¬ ³£®¤­® ®¡° §®¬, «¨¸¼ ¡» ¯°¨ ½²®¬ ®ª §»¢ «¨±¼ ¨±²¨­­»¬¨  ª±¨®¬». ®«­ ¿ ±¢®¡®¤  ®² ª ª®©-«¨¡® ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¯®§¢®«¿¥² ° ±¸¨°¨²¼ ¨ ± ¬® ¯®­¿²¨¥  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª®© ²¥®°¨¨. °¥¤±² ¢«¥­¨¥ ®¡  ª±¨®¬ µ ª ª À± ¬®®·¥¢¨¤­»µ ¨±²¨­ µÁ ²¥°¿¥² ±¬»±«: ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ®·¥¢¨¤­®¥ ¢ ®¤­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨, ¬®¦¥² ­¥ ¡»²¼ ² ª®¢»¬, ®±² ¢ ¿±¼ ¨±²¨­­»¬, ¢ ¤°³£®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨.  ± ¡³¤³² ¨­²¥°¥±®¢ ²¼ ²®«¼ª® ² ª¨¥  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨¥ ²¥®°¨¨,  ª±¨®¬» ª®²®°»µ § ¯¨±»¢ ¾²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ´®°¬³« ¯®¤µ®¤¿¹¥£® ½«¥¬¥­² °­®£® ¿§»ª . 5.9. «¥¬¥­² °­»¥ ²¥®°¨¨

«¥¬¥­² °­®© ²¥®°¨¥©, ¨«¨²¥®°¨¥© ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ­¥ª®²®°®£® ½«¥¬¥­² °­®£® ¿§»ª . ‚»±ª §»¢ ­¨¿, ±®±² ¢«¿¾¹¨¥ ²¥®°¨¾, ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼  ª±¨®¬ ¬¨ ½²®© ²¥®°¨¨. ’¥®°¨¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ±®¢¬¥±²­®©, ¥±«¨ ®­  ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¼. ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ²¥®°¨¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥±®¢¬¥±²­®©.  ±±¬®²°¨¬ ­¥ª®²®°»¥ ¯°¨¬¥°» ½«¥¬¥­² °­»µ ²¥®°¨©. 1.  ¨¢­ ¿ ²¥®°¨¿ ¬­®¦¥±²¢. Ÿ§»ª ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢ ° ±±¬ ²°¨¢ «±¿ ¢ ° §¤¥«¥ 5.3. …£® ±¨£­ ²³°  ±®±²®¨² ¨§ ®¤­®£® ¤¢³¬¥±²­®£® ¯°¥¤¨ª ²­®£® ±¨¬¢®«  2.   ½²®¬ ¿§»ª¥ ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¬­®£¨¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿, ®²­®±¿¹¨¥±¿ ª ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢.  ¯°¨¬¥°, 8u(u 2 z  (z 2 x _ z 2 y) ®§­ · ¥² z = x [ y. ‚ ª ­²®°®¢±ª®© ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢ ®±­®¢®¯®« £ ¾¹¨¬ ¿¢«¿¥²±¿ ² ª ­ §»¢ ¥¬»© ¯°¨­¶¨¯ ±¢¥°²»¢ ­¨¿: ¥±«¨ ¨¬¥¥²±¿ ­¥ª®²®°®¥ ±¢®©±²¢®, ª®²®°»¬ ¬®£³² ®¡« ¤ ²¼ ¨«¨ ­¥ ®¡« ¤ ²¼ ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ¬­®¦¥±²¢ , ²® ±³¹¥±²¢³¥² ¬­®¦¥±²¢®, ±®¤¥°¦ ¹¥¥ ²®«¼ª® ²¥ ¬­®¦¥±²¢ , ª®²®°»¥ ®¡« ¤ ¾² ½²¨¬ ±¢®©±²¢®¬. …±«¨ ®£° ­¨·¨²¼±¿ ° ±±¬®²°¥­¨¥¬ ²®«¼ª® ² ª¨µ ±¢®©±²¢ ¬­®¦¥±²¢, ª®²®°»¥ ¢»° ¦ ¾²±¿ ´®°¬³« ¬¨ ¿§»ª  ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢, ³ª § ­­»© ¯°¨­¶¨¯ ¬®¦­® ¢»° §¨²¼ ¯®±°¥¤±²¢®¬ ±µ¥¬»  ª±¨®¬ 9x8y(y 2 x  ), ­ §»¢ ¥¬®©  ª±¨®¬®© ±¢¥°²»¢ ­¨¿, £¤¥  | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´®°¬³«  ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®£® ¿§»ª , ­¥ ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ±¢®¡®¤­® ¯¥°¥¬¥­­³¾ x. ’¥®°¨¿, ±®±²®¿¹ ¿ ¨§ ³­¨¢¥°± «¼­»µ § ¬»ª ­¨© ¢±¥µ ¯°¨¬¥°®¢  ª±¨®¬» ±¢¥°²»¢ ­¨¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ­ ¨¢­®© ²¥®°¨¥© ¬­®¦¥±²¢. 2. ’¥®°¨¿ £°³¯¯. Ÿ§»ª ²¥®°¨¨ £°³¯¯ ±®±²®¨² ¨§ ®¤­®© ª®­±² ­²» 0, ®¤­®£® ¤¢³¬¥±²­®£® ´³­ª¶¨®­ «¼­®£® ±¨¬¢®«  + ¨ ¯°¥¤¨ª ²­®£® ±¨¬¢®«  ° ¢¥­±²¢  =. “±«®¢¨¬±¿ ¯¨± ²¼ (t1 + t2 ) ¨ t1 = t2 ¢¬¥±²® +(t1 ; t2) ¨ = (t1; t2) ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.   ½²®¬ ¿§»ª¥  ª±¨®¬» £°³¯¯» § ¯¨±»¢ ¾²±¿ ±«¥¤³¹¨¬ ®¡° §®¬: G1. 8x8y8z((x + y) + z = x + (y + z));

41

G2. 8x(x + 0 = x & 0 + x = x); G3. 8x9y(x + y = 0 & y + x = 0). ’¥®°¨¿, ±®±²®¿¹ ¿ ¨§ ¢»±ª §»¢ ­¨© G1 { G3, ­ §»¢ ¥²±¿ ²¥®°¨¥© £°³¯¯. ˆ­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ²¥®°¨¨ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ¢ ¿§»ª¥, ±®¤¥°¦ ¹¥¬ ±¨¬¢®« ° ¢¥­±²¢ , ­ §»¢ ¥²±¿ ­®°¬ «¼­®©, ¥±«¨ ¢ ­¥© ±¨¬¢®« = ¨­²¥°¯°¥²¨°³¥²±¿ ¨¬¥­­® ª ª ° ¢¥­±²¢®. ‚±¿ª ¿ ­®°¬ «¼­ ¿ ¬®¤¥«¼ ²¥®°¨¨ £°³¯¯ ¿¢«¿¥²±¿ (¨«¨ ­ §»¢ ¥²±¿) £°³¯¯®©. 3. ’¥®°¨¿ · ±²¨·­® ³¯®°¿¤®·¥­­»µ ¬­®¦¥±²¢. Ÿ§»ª ³¯®°¿¤®·¥­­»µ ¬­®¦¥±²¢ ±®¤¥°¦¨² ²®«¼ª® ±¨¬¢®« ° ¢¥­±²¢  ¨ ¤¢³¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®« . “±«®¢¨¬±¿ ¯¨± ²¼ t1  t2 ¨ t1 = t2 ¢¬¥±²®  (t1 ; t2) ¨ = (t1; t2) ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ’¥®°¨¿ · ±²¨·­® ³¯®°¿¤®·¥­­»µ ¬­®¦¥±²¢ ±®±²®¨² ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ  ª±¨®¬: O1. 8x:(x  x); O2. 8x8y(x  y & y  x  x = y); O3. 8x8y8z(x  y & y  z  x  z). ‚±¿ª ¿ ­®°¬ «¼­ ¿ ¬®¤¥«¼ ½²®© ²¥®°¨¨ ¿¢«¿¥²±¿ · ±²¨·­® ³¯®°¿¤®·¥­­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬. ‡ ¤ ·¨

1) „®ª § ²¼, ·²® ­ ¨¢­ ¿ ²¥®°¨¿ ¬­®¦¥±²¢ ­¥±®¢¬¥±²­ . (“ª § ­¨¥: ° ±±¬®²°¥²¼ ¯°¨¬¥°  ª±¨®¬» ±¢¥°²»¢ ­¨¿, ª®£¤   ¥±²¼ ´®°¬³«  :(y 2 y).) 2) ‚»¯¨± ²¼  ª±¨®¬» ²¥®°¨¨ «¨­¥©­® ³¯®°¿¤®·¥­­»µ ¬­®¦¥±²¢. 3) Ž¯¨± ²¼ ½«¥¬¥­² °­»¥ ¿§»ª¨ ¤«¿ ²¥®°¨¨ ª®«¥¶ ¨ ²¥®°¨¨ ¯®«¥©. ‚»¯¨± ²¼  ª±¨®¬» ª®«¼¶  ¨  ª±¨®¬» ¯®«¿. 5.10. ‹®£¨·¥±ª®¥ ±«¥¤±²¢¨¥

ƒ®¢®°¿², ·²® ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ¿§»ª  «®£¨·¥±ª¨ (±¥¬ ­²¨·¥±ª¨) ±«¥¤³¥² ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© T ¿§»ª  , ¨ ¯¨¸³² T j= , ¥±«¨  ¨±²¨­­® ¢® ¢±¿ª®© ¬®¤¥«¨ ¬­®¦¥±²¢  T . ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ­ §»¢ ¥²±¿ «®£¨·¥±ª¨¬ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© T. ’¥®°¥¬ ¬¨ ²¥®°¨¨ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  T ¢ ¿§»ª¥ ­ §»¢ ¾²±¿ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¿§»ª  , ª®²®°»¥ «®£¨·¥±ª¨ ±«¥¤³¾² ¨§ T . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ²¥®°¥¬  ¤ ­­®© ²¥®°¨¨ T | ½²® ¢»±ª §»¢ ­¨¥, ¨±²¨­­®¥ ¢® ¢±¥µ ¬®¤¥«¿µ ²¥®°¨¨ T. ‚»±ª §»¢ ­¨¥  ¿§»ª  ¿¢«¿¥²±¿ «®£¨·¥±ª¨¬ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© T ¿§»ª  ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© T [ f:g ­¥¢»¯®«­¨¬®.

’¥®°¥¬  5.5.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. 1) ³±²¼  ¿¢«¿¥²±¿ «®£¨·¥±ª¨¬ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© T, ². ¥. T j= . „®ª ¦¥¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® T [ f:g ­¥¢»¯®«­¨¬®. „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥, ². ¥. ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ¬®¤¥«¼ M ¬­®¦¥±²¢  T [ f:g. ’®£¤  M j= T ¨ M j= :. ® ² ª ª ª  «®£¨·¥±ª¨ ±«¥¤³¥² ¨§ T , ²®  ¨±²¨­­® ¢ «¾¡®© ¬®¤¥«¨ ¬­®¦¥±²¢  T , ¢ · ±²­®±²¨, M j= , ·²® ­¥¢®§¬®¦­®. ®«³·¥­­®¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¬­®¦¥±²¢® T [ f:g ­¥¢»¯®«­¨¬®. 2) ³±²¼ ¬­®¦¥±²¢® T [ f:g ­¥¢»¯®«­¨¬®. „®ª ¦¥¬, ·²® T j= . ³±²¼ M | ¬®¤¥«¼ ¬­®¦¥±²¢  T. ’®£¤  ­¥¯°¥¬¥­­® M j= , ¨¡® ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ M ¡»«  ¡» ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢  T [ f:g, ·²® ­¥¢®§¬®¦­®. 2 ’¥®°¥¬³ 5.5 ¬®¦­® ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ² ª: ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ¿¢«¿¥²±¿ ²¥®°¥¬®© ²¥®°¨¨ T ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¯°¨ ¤®¡ ¢«¥­¨¨  ª±¨®¬» : ª ²¥®°¨¨ T ¯®«³· ¥²±¿ ­¥±®¢¬¥±²­ ¿ ²¥®°¨¿. ‡ ¤ ·¨

1) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ T | ­¥±®¢¬¥±²­ ¿ ²¥®°¨¿ ¢ ¿§»ª¥ , ²® «¾¡®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ¿§»ª  ¿¢«¿¥²±¿ ²¥®°¥¬®© ²¥®°¨¨ T . 2) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ , ·²®  ¨ : ¿¢«¿¾²±¿ ²¥®°¥¬ ¬¨ ²¥®°¨¨ T, ²® T ­¥±®¢¬¥±²­ . 3) Ÿ¢«¿¥²±¿ «¨ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ 8x8y(x + y = y + x) ²¥®°¥¬®© ²¥®°¨¨ £°³¯¯? 4) „®ª § ²¼, ·²® ¢»±ª §»¢ ­¨¥ 8x8y(x + y = x & y + x = x  y = 0) ¿¢«¿¥²±¿ ²¥®°¥¬®© ²¥®°¨¨ £°³¯¯. 5) ³±²¼  ¥±²¼ ´®°¬³«  9x8y(x  y). „®ª § ²¼, ·²® ­¨ , ­¨ : ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ²¥®°¥¬ ¬¨ ²¥®°¨¨ · ±²¨·­® ³¯®°¿¤®·¥­­»µ ¬­®¦¥±²¢. 42

6. ˆ±·¨±«¥­¨¥ ¯°¥¤¨ª ²®¢

 µ®¦¤¥­¨¥ «®£¨·¥±ª¨µ ±«¥¤±²¢¨© ¨§ ±¨±²¥¬»  ª±¨®¬ ¤ ­­®©  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª®© ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ²¥®°¨¨ ±®±² ¢«¿¥² ®±­®¢­®¥ ±®¤¥°¦ ­¨¥ ¤¥¿²¥«¼­®±²¨ ¢±¿ª®£® ¬ ²¥¬ ²¨ª . Š ª ¯° ª²¨·¥±ª¨ ¨±ª ²¼ «®£¨·¥±ª¨¥ ±«¥¤±²¢¨¿ ¨§ ¤ ­­®© ±¨±²¥¬»  ª±¨®¬? Ÿ±­®, ·²® ­¥² ±¬»±«  ¤¥©±²¢®¢ ²¼ ¢ ¯®«­®¬ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ «®£¨·¥±ª®£® ±«¥¤±²¢¨¿, ². ¥. ¯¥°¥¡° ²¼ ¢±¥ ¬®¤¥«¨ ¤ ­­®© ±¨±²¥¬»  ª±¨®¬ ¨ ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ¢ ­¨µ ¨±²¨­­® ¤ ­­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ¨¡® ³ ±®¢¬¥±²­®© ²¥®°¨¨ ¡¥±ª®­¥·­® ¬­®£® ¬®¤¥«¥©. ‚±¥ ¦¥ ¨­®£¤  ¯³²¥¬ ­¥ª®²®°®£® ° ±±³¦¤¥­¨¿ ³¤ ¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® ²® ¨«¨ ¨­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ «®£¨·¥±ª¨ ±«¥¤³¥² ¨§  ª±¨®¬. ’ ª®¥ ° ±±³¦¤¥­¨¥ ¬» ­ §»¢ ¥¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®¬,   ¯®«³·¥­­®¥ ± ¥£® ¯®¬®¹¼¾ ±«¥¤±²¢¨¥ ¨§  ª±¨®¬ | ²¥®°¥¬®©. Žª §»¢ ¥²±¿, ·²® ² ª¨¬ ®¡° §®¬ ¬®¦­® ¤®ª § ²¼ «¾¡®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, «®£¨·¥±ª¨ ¢»²¥ª ¾¹¥¥ ¨§  ª±¨®¬, § ¯¨± ­­»µ ¢ ¢¨¤¥ ´®°¬³« ¿§»ª  ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª ,   ­¥®¡µ®¤¨¬»¥ ¤«¿ ½²®£® ¬¥²®¤» ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¬®¦­® ¯®«­®±²¼¾ ®¡®§°¥²¼ ¨ ±¨±²¥¬ ²¨§¨°®¢ ²¼. ²® ¤¥« ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ² ª ­ §»¢ ¥¬®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢. 6.1. Š« ±±¨·¥±ª®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ¯°¥¤¨ª ²®¢

³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ­ ­¥ª®²®°»© ½«¥¬¥­² °­»© ¿§»ª ±¨£­ ²³°» . ˆ±·¨±«¥­¨¥ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ¢ ±¨£­ ²³°¥

§ ¤ ¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ­ ¡®°®¬ ±µ¥¬  ª±¨®¬: 1) A  (B  A); 2) (A  B)  ((A  (B  C))  (A  C)); 3) A & B  A; 4) A & B  B; 5) A  (B  A & B); 6) A  A _ B; 7) B  A _ B; 8) (A  C)  ((B  C)  (A _ B  C)); 9) (A  B)  ((A  :B)  :A); 10) ::A  A; 11) 8vA(v)  A(t); 12) A(t)  9vA(v). ‚ ±µ¥¬ µ 11 ¨ 12 A(v) | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´®°¬³«  ±¨£­ ²³°» , v | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ¯¥°¥¬¥­­ ¿, t | ²¥°¬ ±¨£­ ²³°» , ±¢®¡®¤­»© ¤«¿ ¯¥°¥¬¥­­®© v ¢ ´®°¬³«¥ A(v) (². ¥. ­¨ª ª®¥ ±¢®¡®¤­®¥ ¢µ®¦¤¥­¨¥ ¯¥°¥¬¥­­®© v ¢ ´®°¬³«³ A(v) ­¥ ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¤¥©±²¢¨¿ ª¢ ­²®°  ¯® ¯¥°¥¬¥­­®©, ¢µ®¤¿¹¥© ¢ t), A(t) | °¥§³«¼² ² ¯®¤±² ­®¢ª¨ ²¥°¬  t ¢¬¥±²® ¢±¥µ ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© v ¢ ´®°¬³«³ A(v). ° ¢¨« ¬¨ ¢»¢®¤  ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ¿¢«¿¾²±¿: (I) A; AB B (modus ponens); B (II) 9A vA  B (³¤ «¥­¨¥ ª¢ ­²®°  ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿); (III) BB8A vA (¢¢¥¤¥­¨¥ ª¢ ­²®°  ¢±¥®¡¹­®±²¨). ‚ ¯° ¢¨« µ (II) ¨ (III) A ¨ B | ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ´®°¬³«» ±¨£­ ²³°» , v | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ¯¥°¥¬¥­­ ¿, ­¥ ¨¬¥¾¹ ¿ ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¢ ´®°¬³«³ B. ‚»¢®¤®¬ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ­ §»¢ ¥²±¿ ª®­¥·­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« 1; : : :; n ² ª ¿, ·²® ¤«¿ ª ¦¤®£® i = 1; : : :; n ´®°¬³«  i «¨¡® ¥±²¼  ª±¨®¬ , «¨¡® ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ®¤­®© ¨«¨ ¤¢³µ ¯°¥¤»¤³¹¨µ ´®°¬³« ¯® ®¤­®¬³ ¨§ ¯° ¢¨« ¢»¢®¤ . ƒ®¢®°¿², ·²® ´®°¬³«   ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ¨ ¯¨¸³² ` , ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢, ®ª ­·¨¢ ¾¹¨©±¿ ´®°¬³«®© . ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ¯° ¢¨«  (II) ¨«¨ (III) ±¢¿§»¢ ¥² ¯¥°¥¬¥­­³¾ v. °¨¬¥°. ‘«¥¤³¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ´®°¬³«» 8xP (x)  8yP (y): 1. 8xP(x)  P(y) ( ª±¨®¬  11); 2. 8xP(x)  8yP (y) (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ (III) ¨§ ´®°¬³«» 1). ‚ ½²®¬ ¢»¢®¤¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ¯° ¢¨«  (III) ±¢¿§»¢ ¥² ¯¥°¥¬¥­­³¾ y. 43

³±²¼ | ­¥ª®²®°®¥ ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³«, ª®²®°»¥ ¬» ³±«®¢­® ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ £¨¯®²¥§ ¬¨. Š¢ §¨¢»¢®¤®¬ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ ­ §»¢ ¥²±¿ ª®­¥·­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« 1; : : :; n ² ª ¿, ·²® ¤«¿

ª ¦¤®£® i = 1; : : :; n ´®°¬³«  i «¨¡® ¥±²¼  ª±¨®¬ , «¨¡® ¥±²¼ £¨¯®²¥§  (². ¥. ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ ), «¨¡® ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ®¤­®© ¨«¨ ¤¢³µ ¯°¥¤»¤³¹¨µ ´®°¬³« ¯® ®¤­®¬³ ¨§ ¯° ¢¨« ¢»¢®¤ . „«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ª¢ §¨¢»¢®¤  1; : : :; n ¨ ¤«¿ ª ¦¤®£® i = 1; : : :; n ®¯°¥¤¥«¨¬ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨ ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³«
(i)  : 1) 2) 3) 4)

¥±«¨ i ¥±²¼  ª±¨®¬ , ²®
(i) = ;; ¥±«¨ i ¥±²¼ £¨¯®²¥§ , ²®
(i) = fig; ¥±«¨ ´®°¬³«  i ¯®«³·¥­  ¯® ¯° ¢¨«³ modus ponens ¨§ k ¨ l (k; l < i), ²®
(i ) =
(k ) [
(l ); ¥±«¨ ´®°¬³«  i ¯®«³·¥­  ¯® ¯° ¢¨«³ (II) ¨«¨ (III) ¨§ ´®°¬³«» k (k < i), ²®
(i) =
(k ).

…±«¨ £¨¯®²¥§   2 ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³
(i), ¡³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ¢ ¤ ­­®¬ ª¢ §¨¢»¢®¤¥ ´®°¬³«  i § ¢¨±¨² ®² £¨¯®²¥§» . ‚»¢®¤®¬ ¨§ ­ §»¢ ¥²±¿ ª¢ §¨¢»¢®¤ ¨§ , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨© ±«¥¤³¾¹¥¬³ ³±«®¢¨¾: ¢±¿ª®¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ¢ ½²®¬ ª¢ §¨¢»¢®¤¥ ¯° ¢¨«  (II) ¨«¨ (III) ª ´®°¬³«¥ i ±¢¿§»¢ ¥² ¯¥°¥¬¥­­³¾, ­¥ ¢µ®¤¿¹³¾ ±¢®¡®¤­® ­¨ ¢ ®¤­³ ¨§ ´®°¬³« ¨§ ¬­®¦¥±²¢ 
(i). ƒ®¢®°¿², ·²® ´®°¬³«   ¢»¢®¤¨¬  ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ ¨ ¯¨¸³² ` , ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤ ¨§ , ®ª ­·¨¢ ¾¹¨©±¿ ´®°¬³«®© . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® `  ®§­ · ¥² ²® ¦¥ ± ¬®¥, ·²® ¨ ; ` . °¨¬¥° 1. ‘«¥¤³¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ´®°¬³«» Q(x) ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ fP (x); 8y(P (y)  Q(y))g: 1. 8y(P(y)  Q(y)) (£¨¯®²¥§ ); 2. 8y(P(y)  Q(y))  (P (x)  Q(x)) ( ª±¨®¬  11); 3. P(x)  Q(x) (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ modus ponens ¨§ ´®°¬³« 1 ¨ 2); 4. P(x) (£¨¯®²¥§ ); 5. Q(x) (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ modus ponens ¨§ ´®°¬³« 3 ¨ 4). °¨¬¥° 2. ³±²¼ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ u ­¥ ¢µ®¤¨² ¢ ´®°¬³«³ (v). ‘«¥¤³¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ´®°¬³«» 9u(u) ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ f9v(v)g: 1. 9v(v) (£¨¯®²¥§ ); 2. (v)  9u(u) ( ª±¨®¬  12); 3. 9v(v)  9u(u) (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ (II) ¨§ ´®°¬³«» 2); 4. 9u(u) (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ modus ponens ¨§ ´®°¬³« 1 ¨ 3).

Ž²¬¥²¨¬ ­¥ª®²®°»¥ ®·¥¢¨¤­»¥, ­® ¢ ¦­»¥ ±¢®©±²¢  ¢»¢®¤¨¬®±²¨. 1) Œ®­®²®­­®±²¼: ¥±«¨ `  ¨ 
, ²®
` . 2) Š®¬¯ ª²­®±²¼: ¥±«¨ ` , ²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢®
 , ·²®
` . ¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ª ¦¤ ¿  ª±¨®¬  ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ®¡¹¥§­ ·¨¬ , ². ¥. ¨±²¨­­  ¢ «¾¡®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¯°¨ «¾¡®© ®¶¥­ª¥ ±¢®¡®¤­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ. „®¢®«¼­® ®·¥¢¨¤­  ² ª¦¥ ª®°°¥ª²­®±²¼ ª ¦¤®£® ¨§ ²°¥µ ¯° ¢¨« ¢»¢®¤ : ¯°¨ ¯°¨¬¥­¥­¨¨ ½²¨µ ¯° ¢¨« ª ®¡¹¥§­ ·¨¬»¬ ´®°¬³« ¬ ¯®«³· ¥²±¿ ®¡¹¥§­ ·¨¬ ¿ ´®°¬³« . ²® ¯®§¢®«¿¥² ³²¢¥°¦¤ ²¼, ·²® ¢¥°­  ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬  ® ª®°°¥ª²­®±²¨ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢. ’¥®°¥¬  6.1.

‚±¿ª ¿ ´®°¬³« , ¢»¢®¤¨¬ ¿ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢, ®¡¹¥§­ ·¨¬ .

’ ¢²®«®£¨¥© ¢ ¿§»ª¥ ­ §®¢¥¬ ´®°¬³«³, ¯®«³· ¾¹³¾±¿ ¯®¤±² ­®¢ª®© ´®°¬³« ¿§»ª  ¢¬¥±²® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­³¾ ² ¢²®«®£¨¾.  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨  | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´®°¬³«  ¿§»ª  , ²® ´®°¬³«     ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥© ¢ ¿§»ª¥ . ’¥®°¥¬  6.2.

‚±¿ª ¿ ² ¢²®«®£¨¿ ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ² ¢²®«®£¨¿ ¯®«³·¥­  ¯®¤±² ­®¢ª®© ­¥ª®²®°»µ ´®°¬³« 1 ; : : :; n ¢ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­³¾ ² ¢²®«®£¨¾ A(p1 ; : : :; pn) ¢¬¥±²® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ p1 ; : : :; pn, ². ¥. ¨¬¥¥² ¢¨¤ A(1 ; : : :; n ). ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» ® ¯®«­®²¥ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨© (²¥®°¥¬  4.16), ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤ ´®°¬³«» A(p1 ; : : :; pn) ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©. ®±ª®«¼ª³ ¢±¥ ±µ¥¬»  ª±¨®¬ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¿¢«¿¾²±¿ ±µ¥¬ ¬¨  ª±¨®¬ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢, ²®, § ¬¥­¨¢ ¢ ½²®¬ ¢»¢®¤¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥ p1 ; : : :; pn ­  ´®°¬³«» 1; : : :; n,   ®±² «¼­»¥ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥ | ­  ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ´®°¬³«» ¿§»ª  , ¯®«³·¨¬ ¢»¢®¤ ´®°¬³«» A(1 ; : : :; n) ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼. 2

44

‡ ¤ ·¨

1) Ž¯°¥¤¥«¨²¼, ¿¢«¿¾²±¿ «¨ ¢»¢®¤ ¬¨ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ´®°¬³«:  ) 1. 8x9yP(x; y)  9yP(f(y); y); ¡) 1. 8xP(x)  P (f(y)), 2. 8xP(x)  8yP (f(y)); ¢) 1. P(x)  9xP(x), 2. (P(x)  9xP(x))  (8xP (x)  (P(x)  9xP (x))), 3. 8xP(x)  (P (x)  9xP (x)). 2) ®±²°®¨²¼ ¢»¢®¤» ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ±«¥¤³¾¹¨µ ´®°¬³«:  ) 8x8yP (x; y)  8y8xP (x; y); ¡) 9x9yP (x; y)  9y9xP (x; y); ¢) 9x8yP (x; y)  8y9xP (x; y); £) 8x8yP (x; y)  8xP (x; x); ¤) 9xP (x; x)  9y9xP (x; y): 3) ³±²¼ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ y ­¥ ¢µ®¤¨² ±¢®¡®¤­® ¢ ´®°¬³«³ (x) ¨ ±¢®¡®¤­  ¤«¿ x ¢ (x). „®ª § ²¼, ¯®±²°®¨¢ ¢»¢®¤»:  ) 9y(y) ` 9x(x); ¡) 8y(y) ` 8x(x). 4) ³±²¼ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ x ­¥ ¢µ®¤¨² ±¢®¡®¤­® ¢ ´®°¬³«³ . ®±²°®¨²¼ ¢»¢®¤» ±«¥¤³¾¹¨µ ´®°¬³«:  )   8x; ¡) 9x  . 5) ®±²°®¨²¼ ¢»¢®¤» ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ f8x(P (x)  Q(x))g ±«¥¤³¾¹¨µ ´®°¬³«:  ) 9xP (x)  9xQ(x); ¡) 8yP(y)  8zQ(z). 6) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ` 8vA(v), ²® ` A(t) ¤«¿ «¾¡®£® ²¥°¬  t, ±¢®¡®¤­®£® ¤«¿ v ¢ A(v). 7) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ` A(t) ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® ²¥°¬  t, ±¢®¡®¤­®£® ¤«¿ v ¢ A(v), ²® ` 9vA(v). 6.2. ’¥®°¥¬  ® ¤¥¤³ª¶¨¨

’¥®°¥¬  6.3 (²¥®°¥¬  ® ¤¥¤³ª¶¨¨).

[ fg ` , ²® `   .

Š ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³«

¨ ´®°¬³«» , , ¥±«¨

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‘­ · «  ®²¬¥²¨¬ ®¤­® ¯°®±²®¥, ­® ¢ ¦­®¥ ±¢®©±²¢® ¢»¢®¤¨¬®±²¨. ³±²¼ ¨¬¥¥²±¿ ¢»¢®¤ 1 ; : : :; n ´®°¬³«» ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ , ¢ ª®²®°®¬ ­¥ § ¢¨±¨² ®² £¨¯®²¥§»  2 . ‚»·¥°ª­¥¬ ¨§ ­¥£® ¢±¥ ´®°¬³«» i , ¤«¿ ª®²®°»µ  2
(i). ¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ¯®«³·¨¢¸ ¿±¿ ­®¢ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  nfg ¨ ®ª ­·¨¢ ¥²±¿ ´®°¬³«®© , ². ¥. ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ´®°¬³«» ¨§ n fg. ®«¥¥ ²®£®, ¢ ¯®«³·¥­­®¬ ¢»¢®¤¥ ª ¦¤ ¿ ´®°¬³«  § ¢¨±¨² ®² ²¥µ ¦¥ £¨¯®²¥§, ®² ª®²®°»µ ®­  § ¢¨±¥«  ¢ ¨±µ®¤­®¬ ¢»¢®¤¥. °¨±²³¯¨¬ ª ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ²¥®°¥¬» ® ¤¥¤³ª¶¨¨. ³±²¼ 1; : : :; n | ¢»¢®¤ ´®°¬³«» ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ [ fg. „«¿ i = 1; : : :; n ·¥°¥§
0(i ) ®¡®§­ ·¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ²¥µ £¨¯®²¥§ ¨§ , ®² ª®²®°»µ ¢ ½²®¬ ¢»¢®¤¥ § ¢¨±¨² ´®°¬³«  i (¨­»¬¨ ±«®¢ ¬¨,
0 (i ) =
(i ) \ ). ® ¨­¤³ª¶¨¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® i = 1; : : :; n ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤ ¨§ ´®°¬³«»   i , ¢ ª®²®°®¬   i ­¥ § ¢¨±¨² ®² £¨¯®²¥§, ­¥ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢
0 (i ). ‘­ · «  ° ±±¬®²°¨¬ ±«³· ©, ª®£¤  ¢ ¢»¢®¤¥ 1; : : :; n ´®°¬³«  i ­¥ § ¢¨±¨² ®² . ’®£¤ , ª ª ¬» § ¬¥²¨«¨ ¢»¸¥, ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤ ´®°¬³«»  ¨§ , ¢ ª®²®°®¬ i § ¢¨±¨² ®² ²¥µ ¦¥ £¨¯®²¥§, ·²® ¨ ¢ ¨±µ®¤­®¬ ¢»¢®¤¥. °®¤®«¦¨¬ ½²®² ¢»¢®¤ ¤® ¢»¢®¤  ´®°¬³«»   i ¨§ : : : : [¢»¢®¤ ´®°¬³«»  ¨§ ] a) i (§ ¢¨±¨² ®²
(i ));

45

a+1) i  (  i ) ( ª±¨®¬  1, § ¢¨±¨² ®² ;); a+2)   i (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ modus ponens ¨§ ´®°¬³« a) ¨ a+1), § ¢¨±¨² ®²
(i )). ’¥¯¥°¼ ° ±±¬®²°¨¬ ±«³· ©, ª®£¤  i ¥±²¼ ´®°¬³«  . ’®£¤  ±«¥¤³¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¢®¤®¬ ´®°¬³«»   i , ². ¥. ´®°¬³«»   , ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢: 1) 2) 3) 4) 5)

(  (  ))  ((  ((  )  ))  (  )) ( ª±¨®¬  2);   (  ) ( ª±¨®¬  1); (  ((  )  ))  (  ) (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ modus ponens ¨§ ´®°¬³« 1 ¨ 2);   ((  )  ) ( ª±¨®¬  1);    (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ modus ponens ¨§ ´®°¬³« 3 ¨ 4).

²®² ¢»¢®¤ ¿¢«¿¥²±¿ ² ª¦¥ ¢»¢®¤®¬ ´®°¬³«»    ¨§ , ¯°¨·¥¬ ¢ ½²®¬ ¢»¢®¤¥ ´®°¬³«     ­¥ § ¢¨±¨² ­¨ ®² ª ª¨µ £¨¯®²¥§, ¢ · ±²­®±²¨, ­¥ § ¢¨±¨² ®² £¨¯®²¥§, ­¥ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢
0 (i). ¥°¥©¤¥¬ ª ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨ ¤«¿ ®¡¹¥£® ±«³· ¿. …±«¨ i = 1, ²® ´®°¬³«  i «¨¡® 1) ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬®© ¨«¨ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ , «¨¡® 2) ±®¢¯ ¤ ¥² ± . ‚ ±«³· ¥ 1) i ­¥ § ¢¨±¨² ®² , ¨ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤®ª § ­® ¢»¸¥. ‚ ±«³· ¥ 2) ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ² ª¦¥ ¤®ª § ­® ¢»¸¥. ³±²¼ i = k + 1, ¨ ¤«¿ ª ¦¤®£® j  k ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢¥°­®, ². ¥. ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤ ¨§ ´®°¬³«»   j , ¢ ª®²®°®¬ j ­¥ § ¢¨±¨² ®² £¨¯®²¥§, ­¥ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢
0(j ). ‚ ±«³· ¿µ, ª®£¤  i ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬®© ¨«¨ £¨¯®²¥§®© ¨§ [ fg, ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ³¦¥ ¤®ª § ­®.  ±±¬®²°¨¬ ±«³· ©, ª®£¤  ¢ ¨±µ®¤­®¬ ¢»¢®¤¥ ¨§ [ fg ´®°¬³«  i ¯®«³·¥­  ¯® ®¤­®¬³ ¨§ ¯° ¢¨« ¢»¢®¤ . ³±²¼ ´®°¬³«  i ¯®«³·¥­  ¯® ¯° ¢¨«³ modus ponens ¨§ ´®°¬³« j ¨ l (j; l  k), ¯°¨·¥¬ ´®°¬³«  l ¨¬¥¥² ¢¨¤ j  i . ‚ ½²®¬ ±«³· ¥
0(i ) =
0(j ) [
0(l ). ® ¨­¤³ª²¨¢­®¬³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾, ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤ ¨§ ´®°¬³«»   j , ¢ ª®²®°®¬   j ­¥ § ¢¨±¨² ®² £¨¯®²¥§, ­¥ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢
0(j ),   ² ª¦¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤ ¨§ ´®°¬³«»   l , ¢ ª®²®°®¬   l ­¥ § ¢¨±¨² ®² £¨¯®²¥§, ­¥ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢
0(j ). ‚»¯¨¸¥¬ ¯®¤°¿¤ ½²¨ ¢»¢®¤» ¨ ¯°®¤®«¦¨¬ ¨µ ¤® ¢»¢®¤  ¨§ ´®°¬³«»   i : : : : [¢»¢®¤ ¨§ ´®°¬³«»   j ] a)   j (§ ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®²
0(j )); : : : [¢»¢®¤ ¨§ ´®°¬³«»   l ] b)   (j  i ) (§ ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®²
0 (l )); b+1) (  j )  ((  (j  i ))  (  i )) ( ª±¨®¬  2, § ¢¨±¨² ®² ;); b+2) (  (j  i ))  (  i ) (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ modus ponens ¨§ ´®°¬³« a) ¨ b+1), § ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®²
0 (j ); b+3)   i (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ modus ponens ¨§ ´®°¬³« b) ¨ b+2), § ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®²
0 (j ) [
0 (l ) = 0
(i ). ³±²¼ ´®°¬³«  i ¯®«³·¥­  ¯® ¯° ¢¨«³ (II) ¨§ ´®°¬³«» j (j  k). ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ´®°¬³«  j ¨¬¥¥² ¢¨¤ 0  ,   ´®°¬³«  i ¨¬¥¥² ¢¨¤ 9v0  , £¤¥ 0 ¨ | ´®°¬³«» ±¨£­ ²³°» , v | ¯¥°¥¬¥­­ ¿, ­¥ ¨¬¥¾¹ ¿ ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¢ . °¨ ½²®¬
(i ) =
(j ). ‘«³· ©, ª®£¤  i ­¥ § ¢¨±¨² ®² , ­ ¬¨ ³¦¥ ° ±±¬®²°¥­. ®½²®¬³ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® i § ¢¨±¨² ®² . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, j ² ª¦¥ § ¢¨±¨² ®² . Ž²±¾¤  ¨ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢»¢®¤  ¨§ £¨¯®²¥§ ¢»²¥ª ¥², ·²®  ¨ ¢±¥ ´®°¬³«» ¨§
0(j ) ­¥ ±®¤¥°¦ ² ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© v. ® ¨­¤³ª²¨¢­®¬³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾, ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤ ¨§ ´®°¬³«»   j (². ¥. ´®°¬³«»   (0  )), ¢ ª®²®°®¬   j ­¥ § ¢¨±¨² ®² £¨¯®²¥§, ­¥ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢
0 (j ). °®¤®«¦¨¬ ¥£® ¤® ¢»¢®¤  ¨§ ´®°¬³«»   i (². ¥. ´®°¬³«»   (9v0  )), ¢ ª®²®°®¬   i ­¥ § ¢¨±¨² ®² £¨¯®²¥§, ­¥ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢
0(i ): : : : [¢»¢®¤ ¨§ ´®°¬³«»   (0  )] a)   (0  ) (§ ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®²
0(j )); : : : [¢»¢®¤ ´®°¬³«» 0  (  ) ¨§ ´®°¬³«»   (0  ) ±°¥¤±²¢ ¬¨ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨©]; b) 0  (  ) (§ ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®²
0(j )); b+1) 9v0  (  ) (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ (II) ¨§ b), § ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®²
0 (j )); : : : [¢»¢®¤ ´®°¬³«»   (9v0  ) ¨§ ´®°¬³«» 9v0  (  ) ±°¥¤±²¢ ¬¨ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨©]; c)   (9v0  ) (§ ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®²
0(j ) =
0 (i )). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ±«³· ©, ª®£¤  ´®°¬³«  i ¯®«³·¥­  ¯® ¯° ¢¨«³ (II), ¯®«­®±²¼¾ ° ±±¬®²°¥­. ³±²¼ ´®°¬³«  i ¯®«³·¥­  ¯® ¯° ¢¨«³ (III) ¨§ ´®°¬³«» j (j  k). ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ´®°¬³«  j ¨¬¥¥² ¢¨¤  0 ,   ´®°¬³«  i ¨¬¥¥² ¢¨¤  8v0 , £¤¥ 0 ¨ | ´®°¬³«» ±¨£­ ²³°» , v | ¯¥°¥¬¥­­ ¿, ­¥ ¨¬¥¾¹ ¿ ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¢ . °¨ ½²®¬
(i ) =
(j ). ‘«³· ©, ª®£¤  i ­¥ § ¢¨±¨² ®² , ­ ¬¨ ³¦¥ ° ±±¬®²°¥­. ®½²®¬³ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® i § ¢¨±¨² ®² . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, j ² ª¦¥ § ¢¨±¨² ®² . Ž²±¾¤  ¨ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢»¢®¤  ¨§ £¨¯®²¥§ ¢»²¥ª ¥², ·²®  ¨ ¢±¥ ´®°¬³«» ¨§
0(j ) ­¥ ±®¤¥°¦ ² ±¢®¡®¤­»µ 46

¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© v. ® ¨­¤³ª²¨¢­®¬³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾, ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤ ¨§ ´®°¬³«»   j (². ¥. ´®°¬³«»   (  0 )), ¢ ª®²®°®¬   j ­¥ § ¢¨±¨² ®² £¨¯®²¥§, ­¥ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢
0 (j ). °®¤®«¦¨¬ ¥£® ¤® ¢»¢®¤  ¨§ ´®°¬³«»   i (². ¥. ´®°¬³«»   (  8v0 )), ¢ ª®²®°®¬   i ­¥ § ¢¨±¨² ®² £¨¯®²¥§, ­¥ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢
0(i ): : : : [¢»¢®¤ ¨§ ´®°¬³«»   (  0 )] a)   (  0 ) (§ ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®²
0(j )); : : : [¢»¢®¤ ´®°¬³«»  &  0 ¨§ ´®°¬³«»   (  0 ) ±°¥¤±²¢ ¬¨ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨©]; b)  &  0 (§ ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®²
0(j )); b+1)  &  8v0 (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ (III) ¨§ ´®°¬³«» b), § ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®²
0(j )); : : : [¢»¢®¤ ´®°¬³«»   (  8v0 ) ¨§ ´®°¬³«»  &  8v0 ±°¥¤±²¢ ¬¨ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨©]; c)   (  8v0 ) (§ ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®²
0(j ) =
0 (i )). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ±«³· ©, ª®£¤  ´®°¬³«  i ¯®«³·¥­  ¯® ¯° ¢¨«³ (III), ² ª¦¥ ¯®«­®±²¼¾ ° ±±¬®²°¥­. ’¥®°¥¬  6.3 ¤®ª § ­ .  ±±¬®²°¨¬ ®¤­® ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ® ¤¥¤³ª¶¨¨. ’¥®°¥¬  6.4 (®¡®¡¹¥­­ ¿ ²¥®°¥¬  ®² ª®°°¥ª²­®±²¨).

¨ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ , ¥±«¨ ` , ²® j= .

Š ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨©

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ` . ’®£¤ , ¢ ±¨«³ ±¢®©±²¢  ª®¬¯ ª²­®±²¨, ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢®
= f1; : : :; ng  ² ª®¥, ·²®
` . °¨¬¥­¿¿ n ° § ²¥®°¥¬³ ® ¤¥¤³ª¶¨¨, ¯®«³· ¥¬ ` 1  (: : :  (n  ) : : :): ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» ® ª®°°¥ª²­®±²¨ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢ (²¥®°¥¬  6.1), ´®°¬³«  1  (: : :  (n  ) : : :) ®¡¹¥§­ ·¨¬ . „®ª ¦¥¬, ·²® j= . ³±²¼ M | ¬®¤¥«¼ ¬­®¦¥±²¢  . ’®£¤  ¢±¥ ´®°¬³«» 1 ; : : :; n ¨±²¨­­» ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M. ’ ª ª ª, ª°®¬¥ ²®£®, ®¡¹¥§­ ·¨¬ ¿ ´®°¬³«  1  (: : :  (n  ) : : :) ¨±²¨­­  ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M, ²®, ®·¥¢¨¤­®, ´®°¬³«   ² ª¦¥ ¨±²¨­­  ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M. ’¥®°¥¬  6.4 ¤®ª § ­ . ‡ ¤ ·¨

1) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ` ,   ¯¥°¥¬¥­­ ¿ v ­¥ ¢µ®¤¨² ±¢®¡®¤­® ¢ ´®°¬³«» ¨§ , ²® ` 8v. 2) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ;  ` ,   ¯¥°¥¬¥­­ ¿ v ­¥ ¢µ®¤¨² ±¢®¡®¤­® ¢ ´®°¬³«» ¨§ ¨ ¢ ´®°¬³«³ , ²® ; 9v ` . 3) „®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«» ¢»¢®¤¨¬» ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢:  ) 8xP (x) & 8xQ(x)  8x(P (x) & Q(x)); ¡) 8x(P (x) & Q(x))  8xP (x) & 8xQ(x); ¢) 9xP (x) _ 9xQ(x)  9x(P (x) _ Q(x)); £) 9x(P (x) _ Q(x))  9xP (x) _ 9xQ(x); ¤) 9x(P (x) & Q(x))  9xP (x) & 9xQ(x); ¥) 8xP (x) _ 8xQ(x))  8x(P(x) _ Q(x)); ¦) 9x(P (x)  Q(x))  (8xP (x)  9xQ(x)); §) (8xP (x)  9xQ(x))  9x(P(x)  Q(x)); ¨) 8x(P (x)  Q(x))  (8xP (x)  8xQ(x)); ª) 8x(P (x)  Q(x))  (9xP (x)  9xQ(x)). 4) „®ª § ²¼, ·²® ª ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ´®°¬³«  (x), ´®°¬³«  , ­¥ ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ±¢®¡®¤­® ¯¥°¥¬¥­­³¾ x, ¨ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ y, ­¥ ¢µ®¤¿¹ ¿ ¢ ´®°¬³«³ (x), ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«» ¢»¢®¤¨¬» ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢: :8x(x)  9x:(x); 9x:(x)  :8x(x); :9x(x)  8x:(x); 8x:(x)  :9x(x); (8x(x) & )  8x((x) & ); 8x((x) & )  (8x(x) & ); ( & 8x(x))  8x( & (x)); 8x( & (x))  ( & 8x(x)); 9x((x) & )  (9x(x) & ); (9x(x) & )  9x((x) & ); ( & 9x(x))  9x( & (x)); 9x( & (x))  ( & 9x(x)); (8x(x) _ )  8x((x) _ ); 8x((x) _ )  (8x(x) _ ); ( _ 8x(x))  8x( _ (x)); 8x( _ (x))  ( _ 8x(x)); (9x(x) _ )  9x((x) _ ); 9x((x) _ )  (9x(x) _ ); ( _ 9x(x))  9x( _ (x)); 9x( _ (x))  ( _ 9x(x)); (8x(x)  )  9x((x)  ); 9x((x)  )  (8x(x)  ); (  8x(x))  8x(  (x)); 8x(  (x))  (  8x(x)); (9x(x)  )  8x((x)  ); 8x((x)  )  (9x(x)  ); (  9x(x))  9x(  (x)); 9x(  (x))  (  9x(x)); 8x(x)  8y(y); 9x(x)  9y(y). 47

6.3.  ±¸¨°¥­¨¿ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢»µ ²¥®°¨©

Œ­®¦¥±²¢® ´®°¬³«

­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®²¨¢®°¥·¨¢»¬, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ´®°¬³«  , ·²®

` :. ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¬­®¦¥±²¢® ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢»¬. °¥¤«®¦¥­¨¥ 6.1.

´®°¬³«  .

`¨

Œ­®¦¥±²¢® ¯°®²¨¢®°¥·¨¢® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ` , ª ª®¢  ¡» ­¨ ¡»« 

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®ª ¦¥¬, ·²® ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ²® ` , ª ª®¢  ¡» ­¨ ¡»«  ´®°¬³«  . ‚ ±¨«³ ¬®­®²®­­®±²¨ ®²­®¸¥­¨¿ ¢»¢®¤¨¬®±²¨, ®·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ²® ¯°®²¨¢®°¥·¨¢® ¨ ¬­®¦¥±²¢® [ f: g, ª ª®¢  ¡» ­¨ ¡»«  ´®°¬³«  . ‡­ ·¨², ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ´®°¬³«  , ·²® [f: g `  ¨ [f: g ` :. ® ²¥®°¥¬¥ ® ¤¥¤³ª¶¨¨ (²¥®°¥¬  6.3) ®²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® ` :   ¨ ` :  :. ®±²°®¨¬ ¢»¢®¤ ´®°¬³«» ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ f:  ; :  :g: 1. :   (£¨¯®²¥§ ); 2. :  : (£¨¯®²¥§ ); 3. (:  )  ((:  :)  :: ) ( ª±¨®¬  9); 4. (:  :)  :: (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ modus ponens ¨§ ´®°¬³« 1 ¨ 3); 5. :: (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ modus ponens ¨§ ´®°¬³« 2 ¨ 4); 6. ::  ( ª±¨®¬  10); 7. (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ modus ponens ¨§ ´®°¬³« 5 ¨ 6). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® f:  ; :  :g ` . Ž²±¾¤  ¨ ¨§ ²° ­§¨²¨¢­®±²¨ ®²­®¸¥­¨¿ ¢»¢®¤¨¬®±²¨ ±«¥¤³¥², ·²® ` . ’®² ´ ª², ·²® ¥±«¨ ` ¤«¿ «¾¡®© ´®°¬³«» , ²® ¬­®¦¥±²¢® ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ®·¥¢¨¤¥­. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®© ´®°¬³«»  ¨¬¥¥² ¬¥±²® `  ¨ ` :. 2 ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ª ª³¾-­¨¡³¤¼ § ¬ª­³²³¾ ´®°¬³«³  ¨ ·¥°¥§ ? ®¡®§­ ·¨¬ ´®°¬³«³  & :. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¯°®²¨¢®°¥·¨¢® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ` ?. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ²® ¢ ±¨«³ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 6.1 ¨¬¥¥² ¬¥±²® ` ?. Ž¡° ²­®, ¥±«¨ ` ?, ². ¥. `  & :, ²® ± ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥¬  ª±¨®¬ 3 ¨ 4 ¬®¦­® ¢»¢¥±²¨ ¨§ ´®°¬³«»  ¨ :. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ¤ «¼­¥©¸¥¬ ¢¬¥±²® ±«®¢ À¬­®¦¥±²¢® ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®Á ¬®¦­® ¯¨± ²¼ ` ?. ˆ§ ±¢®©±²¢ ¬®­®²®­­®±²¨ ¨ ª®¬¯ ª²­®±²¨, ª®²®°»¬¨ ®¡« ¤ ¥² ®²­®¸¥­¨¥ ¢»¢®¤¨¬®±²¨, ¢»²¥ª ¥², ·²® ¬­®¦¥±²¢® ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢±¿ª®¥ ª®­¥·­®¥ ¥£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®.  ª®­¥¶, ®²¬¥²¨¬ ¥¹¥ ­¥ª®²®°»¥ ¢ ¦­»¥ ´ ª²».

1) Š ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³« ¨ ´®°¬³«  , ¨¬¥¥² ¬¥±²® [ f g ` ? ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ` : . 2) Š ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³« ¨ ´®°¬³«  , ¨¬¥¥² ¬¥±²® [ f: g ` ? ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ` . °¥¤«®¦¥­¨¥ 6.2.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. 1) ³±²¼ [ f g ` ?. ’®£¤  ¤«¿ «¾¡®© ´®°¬³«»  ¨¬¥¥² ¬¥±²® [ f g `  ¨ [ f g ` :. ® ²¥®°¥¬¥ ® ¤¥¤³ª¶¨¨ ®²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® `   ¨ `  :. ‘°¥¤±²¢ ¬¨ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨© ­¥²°³¤­® ¯®±²°®¨²¼ ¢»¢®¤ ´®°¬³«» : ¨§ ¬­®¦¥±²¢  £¨¯®²¥§ f  ;  :g. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, f  ;  :g ` : . Ž²±¾¤  ¨ ¨§ ²° ­§¨²¨¢­®±²¨ ®²­®¸¥­¨¿ ¢»¢®¤¨¬®±²¨ ±«¥¤³¥², ·²® ` : . Ž¡° ²­®, ¥±«¨ ` : , ²® ¢ ±¨«³ ¬®­®²®­­®±²¨ ®²­®¸¥­¨¿ ¢»¢®¤¨¬®±²¨ ¨¬¥¥² ¬¥±²® [ f g ` : . ’ ª ª ª, ± ¤°³£®© ±²®°®­», [ f g ` , ¯®«³· ¥¬, ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¬­®¦¥±²¢® [ f g ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. 2) ³±²¼ [ f: g ` ?. ’®£¤  ¢ ±¨«³ ²®«¼ª® ·²® ¤®ª § ­­®£® ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 1) ¨¬¥¥² ¬¥±²® ` :: . Ž²±¾¤  ± ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥¬  ª±¨®¬» 10 «¥£ª® ¯®«³· ¥²±¿ ` . Ž¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ²®·­® ² ª ¦¥, ª ª ¢ ±«³· ¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 1). 2

 ¸  ¡«¨¦ ©¸ ¿ ¶¥«¼ | ¤®ª § ²¼, ·²® ¢±¿ª®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±®¢¬¥±²­®, ². ¥. ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¼. ³±²¼ 0; 1; 2; : : : | ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢»¥ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» , ¯°¨·¥¬ 1 S 0  1  2  : : :  n  n+1  : : :. ’®£¤  ¬­®¦¥±²¢® = n ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®.

’¥®°¥¬  6.5.

n=1

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®¯³±²¨¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ’®£¤  ¯°®²¨¢®°¥·¨¢® ­¥ª®²®°®¥ ª®­¥·­®¥ ¥£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢®
 . Ž·¥¢¨¤­®, ·²®
 n ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® n. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¬­®¦¥±²¢® n ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ·²® ­¥¢®§¬®¦­® ¯® ³±«®¢¨¾. ‡­ ·¨², ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ¬­®¦¥±²¢® ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. 2 Œ­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ¬ ª±¨¬ «¼­»¬, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿  ±¨£­ ²³°» ¨¬¥¥² ¬¥±²® «¨¡®  2 , «¨¡® : 2 .

48

…±«¨ | ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» , ²®, ª ª®¢® ¡» ­¨ ¡»«® ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ±¨£­ ²³°» , ¥±«¨ ` , ²®  2 . °¥¤«®¦¥­¨¥ 6.3.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®¯³±²¨¬, ·²® ` , ­®  62 . ’®£¤  : 2 ¢ ±¨«³ ¬ ª±¨¬ «¼­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  , ¨ ` :, ·²® ­¥¢®§¬®¦­® ¢ ±¨«³ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  . 2 ’¥®°¥¬  6.6. …±«¨ | ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨©, ²® ¤«¿ «¾¡»µ ¢»±ª §»¢ ­¨©  ¨ ¨¬¥¥² ¬¥±²® 1) : 2 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤   62 ; 2)  & 2 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤   2 ¨ 2 ; 3)  _ 2 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤   2 ¨«¨ 2 ; 4)   2 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤   62 ¨«¨ 2 . „®ª § ²¥«¼±²¢®. 1) …±«¨ : 2 , ²®  62 ¢ ±¨«³ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  . Ž¡° ²­®, ¥±«¨  62 , ²® : 2 ¢ ±¨«³ ¬ ª±¨¬ «¼­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  . 2) …±«¨  & 2 , ²® ` , ` , ¨ ¢ ±¨«³ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 6.3 ¨¬¥¥¬  2 ¨ 2 . Ž¡° ²­®, ¥±«¨  2 ¨ 2 , ²® `  & , ¨ ¢ ±¨«³ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 6.3 ¨¬¥¥¬  & 2 . 3) ³±²¼  _ 2 , ­®  62 ¨ 62 . ’®£¤  : 2 ¨ : 2 ¢ ±¨«³ ¬ ª±¨¬ «¼­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  . ”®°¬³«  :  (:  :( _ )) ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 6.2, ®­  ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢. ’¥¯¥°¼ ®·¥¢¨¤­®, ·²® ` :( _ ). ® ²®£¤  ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ‡­ ·¨², ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¥±«¨  _ 2 , ²®  2 ¨«¨ 2 . Ž¡° ²­®, ¥±«¨  2 ¨«¨ 2 , ²® `  _ , ¨  _ 2 ¢ ±¨«³ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 6.3. 4) ³±²¼   2 , ­®  2 ¨ 62 . ’®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, ` ,   ± ¤°³£®© ±²®®°®­», : 2 ¢ ±¨«³ ¬ ª±¨¬ «¼­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  , ·²® ­¥¢®§¬®¦­®, ² ª ª ª ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. Ž¡° ²­®, ¤®¯³±²¨¬, ·²®  62 ¨«¨ 2 . …±«¨  62 , ²® : 2 ,   ² ª ª ª ´®°¬³«  :  (  ) ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥© ¨ ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢, ²® `   ¨   2 ¢ ±¨«³ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 6.3. …±«¨ ¦¥ 2 , ²® `   , ² ª ª ª ´®°¬³«   (  ) ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬®©. 2 ’¥®°¥¬  6.7. …±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ²® ±³¹¥±²¢³¥² ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© 0 ±¨£­ ²³°» ² ª®¥, ·²®  0 . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ±¨£­ ²³°  ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­ . ’®£¤  ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» ±·¥²­®. ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ¯¥°¥±·¥² 0; 1; 2; : : : ¢±¥µ ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» . Ž¯°¥¤¥«¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢»µ ¬­®¦¥±²¢ ¢»±ª §»¢ ­¨© 0 ; 1; 2; : : : ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ®«®¦¨¬ 0 = . ³±²¼ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© n ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥­®. …±«¨ n ` :n, ®¯°¥¤¥«¿¥¬ n+1 ª ª n [ f:ng. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¬­®¦¥±²¢® n+1 ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ² ª ª ª ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ n `  ¢ ±¨«³ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 6.2, ·²® ­¥¢®§¬®¦­®, ² ª ª ª n ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. …±«¨ ¦¥ n 6` :n, ®¯°¥¤¥«¿¥¬ n+1 ª ª n [ fn g. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¬­®¦¥±²¢® n+1 ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢® ¢ ±¨«³ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 6.2. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¯®«³·¨«¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢»µ ¬­®¦¥±²¢ ¢»±ª §»1 S ¢ ­¨© 0 ; 1; 2; : : :, ¯°¨·¥¬ 0  1  2  : : :  n  n+1  : : :. ® ²¥®°¥¬¥ 6.5 ¬­®¦¥±²¢® 0 = n n=1 0 ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ˆ§ ¯®±²°®¥­¨¿ ¬­®¦¥±²¢ n ¢¨¤­®, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ ¬ ª±¨¬ «¼­»¬. 2 Œ­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ­ ±»¹¥­­»¬, ¥±«¨ ¢±¿ª¨© ° §, ª®£¤  ´®°¬³«  ¢¨¤  9v(v) ¢»¢®¤¨¬  ¨§ , ¨¬¥¥² ¬¥±²® ² ª¦¥ ` (c) ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ª®­±² ­²» c ¨§ . ’¥®°¥¬  6.8. ³±²¼ | ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» , ¨ ¯³±²¼ ±¨£­ ²³° 

0 ¯®«³·¥­  ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ª ±·¥²­®£® ¬­®¦¥±²¢  ¤®¯®«­¨²¥«¼­»µ ª®­±² ­². ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ­ ±»¹¥­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© 0 ±¨£­ ²³°» 0 ² ª®¥, ·²®  0. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ±¨£­ ²³°  0 ¯®«³·¥­  ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ª ¬­®¦¥±²¢  ¤®¯®«­¨²¥«¼­»µ ª®­±² ­² M = fc0; c1; c2; : : :g. Œ­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ¢¨¤  9v ±¨£­ ²³°» 0 ±·¥²­®. ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ­¥ª®²®°»© ¯¥°¥±·¥² ² ª¨µ ´®°¬³«

9v00 ; 9v11 ; 9v22 ; : : ::

(26) Ž¯°¥¤¥«¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¬­®¦¥±²¢ ¢»±ª §»¢ ­¨© 0; 1; 2; : : :, ¯°¨·¥¬ n (n = 0; 1; 2; : : :) ¡³¤¥² ­¥ª®²®°»¬ ¬ ª±¨¬ «¼­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¢ ±¨­ ²³°¥ n, ¯®«³·¥­­®© ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ª «¨¸¼ ª®­¥·­®£® ·¨±«  ª®­±² ­² ¨§ ¬­®¦¥±²¢  M. °¨ ½²®¬ ¢ µ®¤¥ ¯®±²°®¥­¨¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ 0 ; 1; 2; : : : ­¥ª®²®°»¥ ´®°¬³«» ¨§ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ (26) ¡³¤³² ¢»·¥°ª¨¢ ²¼±¿. ®«®¦¨¬ 0 = , 0 | ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ° ±¸¨°¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢  ¢ ±¨£­ ²³°¥ 0, ±³¹¥±²¢³¾¹¥¥ ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 6.7. ³±²¼ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® n ¢ ±¨£­ ²³°¥ n ¯®±²°®¥­®. ³±²¼ 9v(v) | ¯¥°¢ ¿ ¥¹¥ ­¥ 49

¢»·¥°ª­³² ¿ ´®°¬³«  ±¨£­ ²³°» n ¨§ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ (26) ² ª ¿, ·²® n ` 9v(v). ³±²¼ c | ¯¥°¢ ¿ ª®­±² ­²  ¨§ ¬­®¦¥±²¢  M, ­¥ ¢±²°¥· ¾¹ ¿±¿ ¢ ´®°¬³« µ ¨§ n ¨ ¢ ´®°¬³«¥ (v). ³±²¼ n+1 | ±¨£­ ²³° , ¯®«³·¥­­ ¿ ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ª n ª®­±² ­²» c. „®ª ¦¥¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© n [ f(c)g ¢ ±¨£­ ²³°¥ n+1 ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥, ². ¥. ·²® n [ f(c)g ` ?. ’®£¤ , ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» ® ¤¥¤³ª¶¨¨, ±³¹¥±²¢³¥² ¢»¢®¤ ¨§ n ´®°¬³«» (c)  ?. ‡ ¬¥­¨¬ ¢±¾¤³ ¢ ½²®¬ ¢»¢®¤¥ ª ¦¤®¥ ¢µ®¦¤¥­¨¥ ª®­±² ­²» c ­  ¯¥°¥¬¥­­³¾ u, ª®²®° ¿ ­¥ ¢±²°¥· ¥²±¿ ­¨ ¢ ®¤­®© ¨§ ´®°¬³« ½²®£® ¢»¢®¤ . °¨ ² ª®© § ¬¥­¥ ±®µ° ­¿¥²±¿ «®£¨·¥±ª ¿ ±²°³ª²³°  ´®°¬³«, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ª ¦¤ ¿  ª±¨®¬  ¯°¥¢° ²¨²±¿ ¢  ª±¨®¬³. ƒ¨¯®²¥§», ². ¥. ´®°¬³«» ¨§ n, ¢®®¡¹¥ ­¥ ¨§¬¥­¿²±¿. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬ ¬» ¯®«³·¨¬ ¢»¢®¤ ¨§ n ´®°¬³«» (u)  ?. °¨¬¥­¨¢ ª ½²®© ´®°¬³«¥ ¯° ¢¨«® (II), ¯®«³·¨¬ ¢»¢®¤ ¨§ n ´®°¬³«» 9u(u)  ?. ‘ ¯®¬®¹¼¾ ¯°¨¬¥° , ° ±±¬®²°¥­­®£® ¢ ° §¤¥«¥ 6.1, ¨ ²¥®°¥¬» ® ¤¥¤³ª¶¨¨ ­¥²°³¤­® ¯®ª § ²¼, ·²® ´®°¬³«  9u(u)  ? ¢»¢®¤¨¬  ¨§ ´®°¬³«» 9v(v)  ?. ®½²®¬³ n ` 9v(v)  ?,   ² ª ª ª n ` 9v(v), ²® n ` ?, ·²® ­¥¢®§¬®¦­® ¢ ±¨«³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ® ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  n . ‚ ª ·¥±²¢¥ n+1 ¢®§¼¬¥¬ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ° ±¸¨°¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢  n [ f(c)g ¢ ±¨£­ ²³°¥ n+1, ±³¹¥±²¢³¾¹¥¥ ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 6.7. 1 1 S S ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ 0; 1; 2; : : : ¯®±²°®¥­ . ®«®¦¨¬ 0 = n , 0 = n . ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 6.5, ¬­®¦¥n=1 n=1 0 0 ±²¢® ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. „®ª ¦¥¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ ¬ ª±¨¬ «¼­»¬ ¢ ±¨£­ ²³°¥ 0 . ³±²¼  | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ±¨£­ ²³°» 0. ”®°¬³«   ±®¤¥°¦¨² «¨¸¼ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ª®­±² ­² ¨ ¯®²®¬³ ¿¢«¿¥²±¿ ¢»±ª §»¢ ­¨¥¬ ­¥ª®²®°®© ±¨£­ ²³°» n. ’®£¤  ¯°¨ ¯®±²°®¥­¨¨ ¬­®¦¥±²¢  n ¢ ­¥£® ¤®«¦­  ¡»«  ¯®¯ ±²¼ ®¤­  ¨§ ´®°¬³«  ¨ :. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ®¤­  ¨§ ½²¨µ ´®°¬³« ¯®¯ «  ¢ 0 .  ª®­¥¶, ¤®ª ¦¥¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® 0 ¿¢«¿¥²±¿ ­ ±»¹¥­­»¬. ³±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ¢¨¤  9v(v) ¢»¢®¤¨¬® ¨§ . ’®£¤  n ` 9v(v) ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® n. ® ½²® ®§­ · ¥², ·²® ¯°¨ ¯®±²°®¥­¨¨ ¬­®¦¥±²¢ i (i > n) ° ­® ¨«¨ ¯®§¤­® ¡»«  ° ±±¬®²°¥­  ´®°¬³«  9v(v), ¨ ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ª®­±² ­²» c ´®°¬³«  (c) ¡»«  ¢ª«¾·¥­  ¢ 0 . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, 0 ` (c). Ž·¥¢¨¤­® ² ª¦¥, ·²®  0 . 2 6.4. ’¥®°¥¬  ƒ ¥¤¥«¿ ® ¯®«­®²¥ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢

’¥®°¥¬  6.9.

¤¥«¼.

‚±¿ª®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ­ ±»¹¥­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ¨¬¥¥² ¬®-

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ | ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ­ ±»¹¥­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» . ˆ­²¥°¯°¥² ¶¨¾ M ®¯°¥¤¥«¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. …¥ ­®±¨²¥«¥¬ ¡³¤¥² ¬­®¦¥±²¢® M ¢±¥µ ²¥°¬®¢ ±¨£­ ²³°» , ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¨µ ¯¥°¥¬¥­­»µ. „«¿ «¾¡®© ª®­±² ­²» c ±¨£­ ²³°» ¯®«®¦¨¬ c = c. „«¿ ª ¦¤®£® (±ª ¦¥¬, n-¬¥±²­®£®) ´³­ª¶¨®­ «¼­®£® ±¨¬¢®«  f ±¨£­ ²³°» ¨ ¤«¿ «¾¡»µ ½«¥¬¥­²®¢ (². ¥. ²¥°¬®¢) t1 ; : : :; tn 2 M ¯®«®¦¨¬ f  (t1; : : :; tn) = f(t1 ; : : :; tn). „«¿ ª ¦¤®£® (±ª ¦¥¬, n-¬¥±²­®£®) ¯°¥¤¨ª ²­®£® ±¨¬¢®«  P ±¨£­ ²³°» ¨ ¤«¿ «¾¡»µ ½«¥¬¥­²®¢ (². ¥. ²¥°¬®¢) t1 ; : : :; tn 2 M ¯®«®¦¨¬ P (t1 ; : : :; tn) = ˆ, ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ´®°¬³«  P(t1 ; : : :; tn) ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ . „®ª ¦¥¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿  ±¨£­ ²³°» ¨¬¥¥² ¬¥±²® M j=  ,  2 : (27) ˆ­¤³ª¶¨¿ ¯® ª®«¨·¥±²¢³ «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢ ¢ ´®°¬³«¥ . …±«¨ ¢  ­¥² «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢, ²®  ¨¬¥¥² ¢¨¤ P(t1; : : :; tn), ¨ ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ (27) ¢»¯®«­¥­® ¢ ±¨«³ § ¤ ­¨¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M. „®¯³±²¨¬, ·²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ (27) ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¤«¿ «¾¡®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ , ±®¤¥°¦ ¹¥£® ­¥ ¡®«¥¥ n «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢, ¨ ¤®ª ¦¥¬ ½²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤«¿ «¾¡®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ , ¢ ª®²®°®¬ n + 1 «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢. ³±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ¨¬¥¥² ¢¨¤ : ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ . ’®£¤  ±®¤¥°¦¨² n «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢, ¨ ¢ ±¨«³ ¨­¤³ª²¨¢­®£® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ¨¬¥¥² ¬¥±²® M j= , 2 : (28) „®ª ¦¥¬ (27). ³±²¼ M j= . ’®£¤  M 6j= , ¨ ¢ ±¨«³ (28) 62 . ’®£¤   2 ¢ ±¨«³ ¬ ª±¨¬ «¼­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  . Ž¡° ²­®, ¥±«¨  2 , ²® 62 ¢ ±¨«³ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  . ’®£¤ , ¢ ±¨«³ (28), ¨¬¥¥² ¬¥±²® M 6j= ,   §­ ·¨², M j= . ³±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ¨¬¥¥² ¢¨¤ 1 & 2 ¤«¿ ­¥ª®²®°»µ ¢»±ª §»¢ ­¨© 1 ¨ 2 . ’®£¤  ª ¦¤®¥ ¨§ ¢»±ª §»¢ ­¨© 1 , 2 ±®¤¥°¦¨² ­¥ ¡®«¥¥ n «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢, ¨ ¢ ±¨«³ ¨­¤³ª²¨¢­®£® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ¨¬¥¥² ¬¥±²® M j= i , i 2 (i = 1; 2): (29) „®ª ¦¥¬ (27). ³±²¼ M j= . ’®£¤  M j= i (i = 1; 2), ¨ ¢ ±¨«³ (29) i 2 (i = 1; 2). ’®£¤   2 ¢ ±¨«³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 2) ²¥®°¥¬» 6.6. Ž¡° ²­®, ¥±«¨  2 , ²® i 2 (i = 1; 2) ¢ ±¨«³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 2) ²¥®°¥¬» 6.6. ’®£¤ , ¢ ±¨«³ (29), ¨¬¥¥² ¬¥±²® M j= i (i = 1; 2),   §­ ·¨², M j= .

50

³±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ¨¬¥¥² ¢¨¤ 1 _ 2 ¤«¿ ­¥ª®²®°»µ ¢»±ª §»¢ ­¨© 1 ¨ 2 . ’®£¤  ª ¦¤®¥ ¨§ ¢»±ª §»¢ ­¨© 1 , 2 ±®¤¥°¦¨² ­¥ ¡®«¥¥ n «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢, ¨ ¢ ±¨«³ ¨­¤³ª²¨¢­®£® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ¨¬¥¥² ¬¥±²® (29). „®ª ¦¥¬ (27). ³±²¼ M j= . ’®£¤  M j= 1 ¨«¨ M j= 2 , ¨ ¢ ±¨«³ (29) 1 2 ¨«¨ 2 2 . ’®£¤   2 ¢ ±¨«³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 3) ²¥®°¥¬» 6.6. Ž¡° ²­®, ¥±«¨  2 , ²® 1 2 ¨«¨ 2 2 ¢ ±¨«³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 3) ²¥®°¥¬» 6.6. ’®£¤ , ¢ ±¨«³ (29), ¨¬¥¥² ¬¥±²® M j= 1 ¨«¨ M j= 2 ,   §­ ·¨², M j= . ³±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ¨¬¥¥² ¢¨¤ 1  2 ¤«¿ ­¥ª®²®°»µ ¢»±ª §»¢ ­¨© 1 ¨ 2 . ’®£¤  ª ¦¤®¥ ¨§ ¢»±ª §»¢ ­¨© 1 , 2 ±®¤¥°¦¨² ­¥ ¡®«¥¥ n «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢, ¨ ¢ ±¨«³ ¨­¤³ª²¨¢­®£® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ¨¬¥¥² ¬¥±²® (29). „®ª ¦¥¬ (27). ³±²¼ M j= . ’®£¤  M 6j= 1 ¨«¨ M j= 2 , ¨ ¢ ±¨«³ (29) 1 62 ¨«¨ 2 2 . ’®£¤   2 ¢ ±¨«³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 4) ²¥®°¥¬» 6.6. Ž¡° ²­®, ¥±«¨  2 , ²® 1 62 ¨«¨ 2 2 ¢ ±¨«³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 4) ²¥®°¥¬» 6.6. ’®£¤  ¢ ±¨«³ (29) ¨¬¥¥² ¬¥±²® M 6j= 1 ¨«¨ M j= 2,   §­ ·¨², M j= . ³±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ¨¬¥¥² ¢¨¤ 9v (v) ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ´®°¬³«» (v), ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¥© ±¢®¡®¤­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ®²«¨·­»µ ®² v. ’®£¤ , ª ª®¢ ¡» ­¨ ¡»« ²¥°¬ t 2 M, ¢»±ª §»¢ ­¨¥ (t) ±®¤¥°¦¨² n «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢, ¨ ¢ ±¨«³ ¨­¤³ª²¨¢­®£® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ¨¬¥¥² ¬¥±²® M j= (t) , (t) 2 :

(30)

„®ª ¦¥¬ (27). ³±²¼ M j= . ’®£¤  ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® ²¥°¬  t 2 M ¨¬¥¥² ¬¥±²® M j= (t), ¨ ¢ ±¨«³ (30) (t) 2 . ’®£¤  ` 9v (v), ¨  2 ¢ ±¨«³ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 6.3. Ž¡° ²­®, ¥±«¨  2 , ²® (c) 2 ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ª®­±² ­²» c ¢ ±¨«³ ­ ±»¹¥­­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  . ’®£¤ , ¢ ±¨«³ (30), ¨¬¥¥² ¬¥±²® M j= (±),   §­ ·¨², M j= . ³±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ¨¬¥¥² ¢¨¤ 8v (v) ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ´®°¬³«» (v), ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¥© ±¢®¡®¤­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ®²«¨·­»µ ®² v. ’®£¤ , ª ª®¢ ¡» ­¨ ¡»« ²¥°¬ t 2 M, ¢»±ª §»¢ ­¨¥ (t) ±®¤¥°¦¨² n «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢, ¨ ¢ ±¨«³ ¨­¤³ª²¨¢­®£® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ¨¬¥¥² ¬¥±²® (30). „®ª ¦¥¬ (27). ³±²¼ M j= . ’®£¤  ¤«¿ «¾¡®£® ²¥°¬  t 2 M ¨¬¥¥² ¬¥±²® M j= (t), ¨ ¢ ±¨«³ (30) (t) 2 ¤«¿ «¾¡®£® ²¥°¬  t 2 M:

(31)

„®¯³±²¨¬, ®¤­ ª®, ·²®  62 . ’®£¤  : 2 ¢ ±¨«³ ¬ ª±¨¬ «¼­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  . ¥²°³¤­® ¤®ª § ²¼, ·²® ¨§ ´®°¬³«» :8v (v) ¢»¢®¤¨¬  ´®°¬³«  9v: (v). ‚ ±¨«³ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 6.3, ´®°¬³«  9v: (v) ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ . ’®£¤  : (c) 2 ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ª®­±² ­²» c ¢ ±¨«³ ­ ±»¹¥­­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  . ® ½²® ­¥¢®§¬®¦­® ¢ ±¨«³ (31) ¨ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  . ‡­ ·¨²,  2 . Ž¡° ²­®, ¥±«¨  2 , ²® ¤«¿ «¾¡®£® ²¥°¬  t 2 M ¨¬¥¥² ¬¥±²® ` (t) ¨ (t) 2 . ’®£¤ , ¢ ±¨«³ (30), ¨¬¥¥² ¬¥±²® M j= (t) ¤«¿ «¾¡®£® ²¥°¬  t 2 M,   §­ ·¨², M j= . ˆ§ ¤®ª § ­­®£® ±«¥¤³¥², ·²® M ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢  . 2 ’¥®°¥¬  6.10.

‚±¿ª®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¼.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ | ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» . ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 6.8, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ­ ±»¹¥­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© 0 ±¨£­ ²³°» 0 , ¯®«³·¥­­®© ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ª ±·¥²­®£® ¬­®¦¥±²¢  ¤®¯®«­¨²¥«¼­»µ ª®­±² ­², ·²®  0. ® ²¥®°¥¬¥ 6.9, ±³¹¥±²¢³¥² ¬®¤¥«¼ M0 ¬­®¦¥±²¢  0 . ²® ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ±¨£­ ²³°» 0.  ±±¬®²°¨¬ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¾ M ±¨£­ ²³°» ± ²¥¬ ¦¥ ­®±¨²¥«¥¬, ·²® ¨ M0, ¢ ª®²®°®¬ ±¨¬¢®«» ¨§ ¨­²¥°¯°¥²¨°³¾²±¿ ²®·­® ² ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ M0. ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, M | ½²® ¯® ±³²¨ ²  ¦¥ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ M0 , ¢ ª®²®°®© ­ ± ­¥ ¨­²¥°¥±³¾² §­ ·¥­¨¿ ±¨¬¢®«®¢, ­¥ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ ±¨£­ ²³°³ . „®¢®«¼­® ®·¥¢¨¤­® (µ®²¿ ½²® ¬®¦­® ¤®ª § ²¼ ±²°®£®), ·²® ¢±¿ª®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ±¨£­ ²³°» ¨±²¨­­® ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­® ¨±²¨­­® ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M0. ’ ª ª ª ¢±¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¨±²¨­­» ¢ M0, ²® ®­¨ ¨±²¨­­» ¨ ¢ M. ‡­ ·¨², M | ¬®¤¥«¼ ¬­®¦¥±²¢  . 2 ’¥®°¥¬  6.11 (²¥®°¥¬  ‹ ¥¢¥­£¥©¬  { ‘ª³«¥¬ ). ‹¾¡®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ¢ ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­®© ±¨£­ ²³°¥ ¨¬¥¥² ±·¥²­³¾ ¬®¤¥«¼. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ | ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ¢ ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­®© ±¨£­ ²³°¥ . ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 6.8, ±³¹¥±²¢³¥² ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ­ ±»¹¥­­®¥ ¥£® ° ±¸¨°¥­¨¥ 0 ¢ ±¨£­ ²³°¥ 0 , ¯®«³·¥­­®© ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ª ±·¥²­®£® ¬­®¦¥±²¢  ¤®¯®«­¨²¥«¼­»µ ª®­±² ­². °¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ²¥®°¥¬» 6.9 ¡»«  ¯®±²°®¥­  ¬®¤¥«¼ ¬­®¦¥±²¢  0 , ­®±¨²¥«¥¬ ª®²®°®© ¿¢«¿¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ²¥°¬®¢ ±¨£­ ²³°» 0, ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¨µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ª®²®°®¥, ®·¥¢¨¤­®, ±·¥²­®. Œ®¤¥«¼ ¬­®¦¥±²¢  , ¯®±²°®¥­­ ¿ ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ²¥®°¥¬» 6.10, ¨¬¥¥² ²®² ¦¥ ­®±¨²¥«¼, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ½²  ¬®¤¥«¼ ±·¥²­ . 2 ’¥®°¥¬  6.12 (²¥®°¥¬  ƒ ¥¤¥«¿ ® ¯®«­®²¥).

¤¨ª ²®¢.

‹¾¡ ¿ ®¡¹¥§­ ·¨¬ ¿ ´®°¬³«  ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥-

51

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼  | ®¡¹¥§­ ·¨¬ ¿ ´®°¬³« . …±«¨ ¢ ­¥© ¥±²¼ ±¢®¡®¤­»¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥ v1; : : :; vn, ²® § ¬ª­³² ¿ ´®°¬³«  8v1 : : : 8vn , ª®²®°³¾ ¬» ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ , ² ª¦¥ ®¡¹¥§­ ·¨¬ . „®ª ¦¥¬ ` . „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥, ². ¥. ·²® 6` . ’®£¤ , ¢ ±¨«³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 2) ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 6.2, ¬­®¦¥±²¢® f: g ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ® ²¥®°¥¬¥ 6.10, ®­® ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¼. ‚ ½²®© ¬®¤¥«¨ ´®°¬³«  «®¦­ , ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¥¥ ®¡¹¥§­ ·¨¬®±²¨. ‡­ ·¨², ` 8v1 : : : 8vn,   ²®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, ¨ ` . 2 ’¥®°¥¬  6.13.

‚ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ¢»¢®¤¨¬» ¢±¥ ®¡¹¥§­ ·¨¬»¥ ´®°¬³«» ¨ ²®«¼ª® ®­¨.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢»²¥ª ¥² ¨§ ²¥®°¥¬» 6.12 ¨ ²¥®°¥¬» ® ª®°°¥ª²­®±²¨ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢ (²¥®°¥¬  6.1). 2

³±²¼ | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» ,  | ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ±¨£­ ²³°» , ¯°¨·¥¬ j= . ’®£¤  ` .

’¥®°¥¬  6.14 (®¡®¡¹¥­­ ¿ ²¥®°¥¬  ƒ ¥¤¥«¿ ® ¯®«­®²¥).

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ j= . „®¯³±²¨¬, ·²® 6` . ’®£¤ , ¢ ±¨«³ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 6.2, ¬­®¦¥±²¢® [ f:g ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ® ²¥®°¥¬¥ 6.10, ®­® ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¼ M, ² ª ·²® M j= ¨ M j= :. ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¥±«¨ M j= , ²® M j= , ¨¡® j= . ®«³·¥­­®¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ` . 2

‚»±ª §»¢ ­¨¥  «®£¨·¥±ª¨ ±«¥¤³¥² ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤   ¢»¢®¤¨²±¿ ¨§ . ’¥®°¥¬  6.15.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢»²¥ª ¥² ¨§ ²¥®°¥¬» 6.14 ¨ ®¡®¹¥­­®© ²¥®°¥¬» ® ª®°°¥ª²­®±²¨ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢ (²¥®°¥¬  6.4). 2 ’¥®°¥¬  6.16 («®ª «¼­ ¿ ²¥®°¥¬  Œ «¼¶¥¢ ).

±ª §»¢ ­¨©

¨¬¥¥² ¬®¤¥«¼, ²® ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¼.

…±«¨ «¾¡®¥ ª®­¥·­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¬­®¦¥±²¢  ¢»-

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ «¾¡®¥ ª®­¥·­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¼. ®ª ¦¥¬, ·²® ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¼. ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 6.10, ¤«¿ ½²®£® ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®. ® ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ² ª, ¨¡® ¥±«¨ ¡» ¡»«® ¯°®²¨¢®°¥·¨¢®, ²® ¢ ±¨«³ ±¢®©±²¢  ª®¬¯ ª²­®±²¨ ®²­®¸¥­¨¿ ¢»¢®¤¨¬®±²¨ ¡»«® ¡» ¯°®²¨¢®°¥·¨¢® ­¥ª®²®°®¥ ª®­¥·­®¥ ¥£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢®, ª®²®°®¥ ¢ ² ª®¬ ±«³· ¥ ­¥ ¨¬¥«® ¡» ¬®¤¥«¨ ¢®¯°¥ª¨ ³±«®¢¨¾ ²¥®°¥¬». 2 ’¥®°¥¬  6.17 (²¥®°¥¬  Œ «¼¶¥¢  ® ª®¬¯ ª²­®±²¨). ³±²¼ | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» ,  | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ±¨£­ ²³°» , ¯°¨·¥¬ j= . ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢®
 ² ª®¥, ·²®
j= . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ j= . ’®£¤  `  ¯® ²¥®°¥¬¥ 6.14. ‚ ±¨«³ ±¢®©±²¢  ª®¬¯ ª²­®±²¨ ®²­®¸¥­¨¿ ¢»¢®¤¨¬®±²¨ ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢®
 ² ª®¥, ·²®
` . ‘®£« ±­® ®¡®¡¹¥­­®© ²¥®°¥¬¥ ® ª®°°¥ª²­®±²¨ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¨¬¥¥² ¬¥±²®
j= . 2 6.5. ’¥®°¨¨ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ± ° ¢¥­±²¢®¬

°¨ ´®°¬ «¨§ ¶¨¨ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ²¥®°¨© ®·¥­¼ · ±²® ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¯°¥¤¨ª ² ° ¢¥­±²¢  =. Ž¤­ ª®, ¥±«¨ ¢ ¿§»ª¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ¨¬¥¥²±¿ ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®« =, ¬» ¢®¢±¥ ­¥ ®¡¿§ ­» ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ¥£® ¨¬¥­­® ª ª ° ¢¥­±²¢®. €«£¥¡° ¨·¥±ª³¾ ±¨±²¥¬³ M ±¨£­ ²³°» [ f=g ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ­®°¬ «¼­®©  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬®©, ¥±«¨ ¢ M ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®« = ¨­²¥°¯°¥²¨°³¥²±¿ ¨¬¥­­® ª ª ¯°¥¤¨ª ² ° ¢¥­±²¢ . —¥°¥§ Eq( ) ®¡®§­ ·¨¬ ±«¥¤³¾¹¥¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» [ f=g: Eq1. 8x(x = x); Eq2. 8x8y(x = y  y = x); Eq3. 8x8y8z(x = y & y = z  x = z); Eq(f). 8x1 : : : 8xn8y1 : : : 8yn (x1 = y1 & xn = yn  f(x1 ; : : :; xn) = f(y1 ; : : :; xy )) ¤«¿ ª ¦¤®£® (n-¬¥±²­®£®) ´³­ª¶¨®­ «¼­®£® ±¨¬¢®«  f ±¨£­ ²³°» ; Eq(P). 8x1 : : : 8xn8y1 : : : 8yn (x1 = y1 & xn = yn  P(x1; : : :; xn)  P (y1; : : :; xy )) ¤«¿ ª ¦¤®£® (n-¬¥±²­®£®) ¯°¥¤¨ª ²­®£® ±¨¬¢®«  P ±¨£­ ²³°» . Œ­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» [f=g ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¬­®¦¥±²¢® [ Eq( ) ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¼.

’¥®°¥¬  6.18.

52

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®¯³±²¨¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ¢ ±¨£­ ²³°¥ [ f=g ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼ M. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢±¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¨§ Eq( ) ¨±²¨­­» ¢ «¾¡®© ­®°¬ «¼­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨, ¢ · ±²­®±²¨, ¢ M. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, M ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢  [ Eq( ). Ž¡° ²­®, ¤®¯³±²¨¬, ·²® M | ­¥ª®²®° ¿ ¬®¤¥«¼ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© [ Eq( ), ¨ ¬­®¦¥±²¢® M | ­®±¨²¥«¼ ½²®© ¬®¤¥«¨. ³±²¼ E ¥±²¼ = , ². ¥. ¤¢³¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ² ­  M, ¨­²¥°¯°¥²¨°³¾¹¨© ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®« =. Ž¯°¥¤¥«¨¬ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ M ¡¨­ °­®¥ ®²­®¸¥­¨¥  ±«¥¤³¾¹¨¬ ³±«®¢¨¥¬: ¥±«¨ a; b 2 M, ²® a  b ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  E(a; b) = ˆ. ’ ª ª ª ¢ M ¨±²¨­­» ¢»±ª §»¢ ­¨¿ Eq1 { Eq3, ²®  | ®²­®¸¥­¨¥ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ­  M. ®«¥¥ ²®£®, ² ª ª ª ¤«¿ ª ¦¤®£® ´³­ª¶¨®­ «¼­®£® ±¨¬¢®«  f ¢ M ¨±²¨­­® ¢»±ª §»¢ ­¨¥ Eq(f), ²® ´³­ª¶¨¿ f  , ¨­²¥°¯°¥²¨°³¾¹ ¿ ¢ M ´³­ª¶¨®­ «¼­»© ±¨¬¢®« f, ±®£« ±®¢ ­  ± ½²¨¬ ®²­®¸¥­¨¥¬ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ¥±«¨ a1  b1 ; : : :; an  bn, ²® f  (a1 ; : : :; an)  f  (b1; : : :; bn):  ª®­¥¶, ² ª ª ª ¤«¿ ª ¦¤®£® ¯°¥¤¨ª ²­®£® ±¨¬¢®«  P ¢ M ¨±²¨­­® ¢»±ª §»¢ ­¨¥ Eq(P ), ²® ¯°¥¤¨ª ² P , ¨­²¥°¯°¥²¨°³¾¹¨© ¢ M ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®« P, ±®£« ±®¢ ­ ± ®²­®¸¥­¨¥¬ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨  ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ¥±«¨ a1  b1; : : :; an  bn , ²® P (a1 ; : : :; an) = P  (b1; : : :; bn): ³±²¼ M=  | ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ª« ±±®¢ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ¯® ®²­®¸¥­¨¾ . Ž¯°¥¤¥«¨¬ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¾ M=  ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ®±¨²¥«¥¬ ¥¥ ¡³¤¥² ¬­®¦¥±²¢® M= . ‡­ ·¥­¨¥¬ ª®­±² ­²» c ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M=  ¡³¤¥² ª« ±± ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ [c], ª®²®°®¬³ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ½«¥¬¥­² c , ¨­²¥°¯°¥²¨°³¾¹¨© ª®­±² ­²³ c ¢ M. ‡­ ·¥­¨¥¬ ´³­ª¶¨®­ «¼­®£® ±¨¬¢®«  f ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M=  ¡³¤¥² ´³­ª¶¨¿, ª®²®° ¿ ª ¦¤®¬³ ­ ¡®°³ ª« ±±®¢ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ [a1]; : : :; [an] ±®¯®±² ¢«¿¥² ª« ±± ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ½«¥¬¥­²  f  (a1; : : :; an). ‚ ±¨«³ ³¯®¬¿­³²®© ¢»¸¥ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ´³­ª¶¨¨ f  ± ®²­®¸¥­¨¥¬ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ , ² ª®¥ § ¤ ­¨¥ ´³­ª¶¨¨ ª®°°¥ª²­® ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ¥¥ §­ ·¥­¨¥ ­  ­ ¡®°¥ ª« ±±®¢ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®°  ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¥© ½²¨µ ª« ±±®¢. ‡­ ·¥­¨¥¬ ¯°¥¤¨ª ²­®£® ±¨¬¢®«  P ±¨£­ ²³°» [ f=g ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M=  ¡³¤¥² ¯°¥¤¨ª ², ª®²®°»© ­  «¾¡®¬ ­ ¡®°¥ ª« ±±®¢ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ [a1]; : : :; [an] ¯°¨­¨¬ ¥² ² ª®¥ ¦¥ §­ ·¥­¨¥, ª ª ¨ ¯°¥¤¨ª ² P  ­  ­ ¡®°¥ a1 ; : : :; an. ‚ ±¨«³ ³¯®¬¿­³²®© ¢»¸¥ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ¯°¥¤¨ª ²  P  ± ®²­®¸¥­¨¥¬ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ , ² ª®¥ § ¤ ­¨¥ ¯°¥¤¨ª ²  ª®°°¥ª²­® ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ¥£® §­ ·¥­¨¥ ­  ­ ¡®°¥ ª« ±±®¢ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®°  ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¥© ½²¨µ ª« ±±®¢. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¯°¨ ½²®¬ ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®« = ¨­²¥°¯°¥²¨°³¥²±¿ ¢ ±¨±²¥¬¥ M=  ¨¬¥­­® ª ª ° ¢¥­±²¢®, ². ¥. M=  | ­®°¬ «¼­ ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿. ³±²¼ g | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ®¶¥­ª  ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M, ². ¥. ´³­ª¶¨¿, ±®¯®±² ¢«¿¾¹ ¿ ª ¦¤®© ¯¥°¥¬¥­­®© ­¥ª®²®°»© ½«¥¬¥­² ¬­®¦¥±²¢  M. —¥°¥§ g0 ®¡®§­ ·¨¬ ®¶¥­ª³ ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M= , ª®²®° ¿ ª ¦¤®© ¯¥°¥¬¥­­®© v ±®¯®±² ¢«¿¥² ª« ±± ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ [g(v)]. ¥±«®¦­®© ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ²¥°¬  t ±¨£­ ²³°» ¬®¦­® ¤®ª § ²¼, ·²® §­ ·¥­¨¥ g0 (t) ²¥°¬  t ¯°¨ ®¶¥­ª¥ g0 ¥±²¼ ª« ±± ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ [g(t)] §­ ·¥­¨¿ ²¥°¬  t ¯°¨ ®¶¥­ª¥ g. ‘ ¯®¬®¹¼¾ ½²®£® ³²¢¥°¦¤¥­¨¿, ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«»  ±¨£­ ²³°» ¬®¦­® ¤®ª § ²¼, ·²® ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ ´®°¬³«»  ¯°¨ ®¶¥­ª¥ g0 ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M=  ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¨±²¨­­®±²­»¬ §­ ·¥­¨¥¬ ´®°¬³«»  ¯°¨ ®¶¥­ª¥ g ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M. ‚ · ±²­®±²¨, ¤«¿ «¾¡®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿  ¥£® ¨±²¨­®±²­»¥ §­ ·¥­¨¿ ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿µ M ¨ M=  ±®¢¯ ¤ ¾². ’ ª ª ª ¢±¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¨§ ¨±²¨­­» ¢ M, ²® ¢±¥ ®­¨ ¨±²¨­­» ¨ ¢ M= , ². ¥. M=  | ­®°¬ «¼­ ¿ ¬®¤¥«¼ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© . 2 ˆ±·¨±«¥­¨¥¬ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ± ° ¢¥­±²¢®¬ ¢ ±¨£­ ²³°¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ¨±·¨±«¥­¨¥, ¯®«³·¥­­®¥ ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ª ®¡»·­®¬³ ¨±·¨±«¥­¨¾ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ¢ ±¨£­ ²³°¥ ¬­®¦¥±²¢   ª±¨®¬ Eq( ).

…±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» [ f=g ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢® ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ± ° ¢¥­±²¢®¬, ²® ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼.

’¥®°¥¬  6.19.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ’ ª ª ª ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ± ° ¢¥­±²¢®¬ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© ­¥ ¢»¢®¤¨²±¿ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥, ²® ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© [ Eq( ) ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢® ¢ ®¡»·­®¬ ±¬»±«¥. ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 6.10, ¬­®¦¥±²¢® [ Eq( ) ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¼,   ²®£¤ , ¯® ²¥®°¥¬¥ 6.18, ¬­®¦¥±²¢® ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼. 2 ’¥®°¥¬  6.20. ‚±¿ª®¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®¥ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ± ° ¢¥­±²¢®¬ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ¢ ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­®© ±¨£­ ²³°¥ [ f=g ¨¬¥¥² ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­³¾ ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ’ ª ª ª ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ± ° ¢¥­±²¢®¬ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© ­¥ ¢»¢®¤¨²±¿ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥, ²® ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© [ Eq( ) ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢® ¢ ®¡»·­®¬ ±¬»±«¥. ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» ‹¥¢¥­£¥©¬  { ‘³«¥¬  (²¥®°¥¬  6.11), ¬­®¦¥±²¢® [ Eq( ) ¨¬¥¥² ±·¥²­³¾ ¬®¤¥«¼ M. Š ª ¯®ª § ­® ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ²¥®°¥¬» 6.18, ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼ ¢¨¤  M= , ª®²®° ¿, ®·¥¢¨¤­®, ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­ . 2

‚±¿ª®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ±¨£­ ²³°» [ f=g, ¨±²¨­­®¥ ¢ «¾¡®© ­®°¬ «¼­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨, ¢»¢®¤¨¬® ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ± ° ¢¥­±²¢®¬ ¢ ±¨£­ ²³°¥ [ f=g. ’¥®°¥¬  6.21.

53

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ±¨£­ ²³°» [ f=g ¨±²¨­­® ¢ «¾¡®© ­®°¬ «¼­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨. „®¯³±²¨¬, ·²®  ­¥ ¢»¢®¤¨²±¿ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ± ° ¢¥­±²¢®¬. ’®£¤  ¬­®¦¥±²¢® f:g ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢® ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ± ° ¢¥­±²¢®¬. ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 6.19, ¬­®¦¥±²¢® f:g ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼, ·²® ­¥¢®§¬®¦­®, ¨¡® ¢ «¾¡®© ­®°¬ «¼­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¨±²¨­­® ¢»±ª §»¢ ­¨¥ . 2

³±²¼ | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» [ f=g, ¯°¨·¥¬ «¾¡®¥ ª®­¥·­®¥ ¥£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼. ’®£¤  ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼.

’¥®°¥¬  6.22.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ «¾¡®¥ ª®­¥·­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» [ f=g ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼. ’®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, «¾¡®¥ ª®­¥·­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¬­®¦¥±²¢  [ Eq( ) ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¼. ‚ ±¨«³ «®ª «¼­®© ²¥®°¥¬» Œ «¼¶¥¢  (²¥®°¥¬  6.16), ¬­®¦¥±²¢® [ Eq( ) ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¼,   ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 6.18 ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 ’¥®°¥¬  6.23. …±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» [ f=g ¤«¿ «¾¡®£® ­ ²³° «¼­®£® n ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼ ¬®¹­®±²¨, ¡®«¼¸¥© n, ²® ¨¬¥¥² ¡¥±ª®­¥·­³¾ ¬®¤¥«¼. „®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ª ¦¤®£® ­ ²³° «¼­®£® n  1 ®¯°¥¤¥«¨¬ ´®°¬³«³ En ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ‚ ª ·¥±²¢¥ E1 ¢®§¼¬¥¬ ´®°¬³«³ 9x(x = x). °¨ n  2 ´®°¬³«  En ¢»£«¿¤¨² ² ª:   & :(x = x ) : 9x : : : 9x

1

n

1i<j n

i

j

Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ´®°¬³«  En ¨±²¨­­  ¢® ¢±¿ª®© ­®°¬ «¼­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨, ±®¤¥°¦ ¹¥© ­¥ ¬¥­¥¥ n ½«¥¬¥­²®¢. ³±²¼
= [ fE1; E2; : : :g. ‚±¿ª®¥ ª®­¥·­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¬­®¦¥±²¢ 
¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, «¾¡®¥ ª®­¥·­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¬­®¦¥±²¢ 
±®¤¥°¦¨² «¨¸¼ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ¢»±ª §»¢ ­¨© ¢¨¤  En ¨ ¯®²®¬³ ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤¬­®¦¥±²¢®¬ ¬­®¦¥±²¢  [ fE1; : : :; Em g ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® m. ® ³±«®¢¨¾, ¨¬¥¥² ª®­¥·­³¾ ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼ ¬®¹­®±²¨ > m. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢ ½²®© ¬®¤¥«¨ ¨±²¨­­» ¢±¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ E1; : : :; Em, ² ª ·²® ®­  ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢  [ fE1; : : :; Em g. ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 6.22, ¬­®¦¥±²¢®
¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼, ª®²®° ¿, ®·¥¢¨¤­®, ¬®¦¥² ¡»²¼ ²®«¼ª® ¡¥±ª®­¥·­®©. Ž­  ¦¥ ¡³¤¥² ¨ ¡¥±ª®­¥·­®© ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢  . 2 ¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ±¨£­ ²³°» [ f=g, ª®²®°®¥ ¡»«® ¡» ¨±²¨­­»¬ ¢® ¢±¥µ ª®­¥·­»µ ­®°¬ «¼­»µ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿µ ¨ «®¦­»¬ ¢® ¢±¥µ ¡¥±ª®­¥·­»µ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿µ. ’¥®°¥¬  6.24.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®¯³±²¨¬, ·²® ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ¨±²¨­­® ¢® ¢±¥µ ª®­¥·­»µ ­®°¬ «¼­»µ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿µ. ’®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, ¤«¿ «¾¡®£® ­ ²³° «¼­®£® n ¬­®¦¥±²¢® fg ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­³¾ ¡¥±ª®­¥·­³¾ ¬®¤¥«¼ ¬®¹­®±²¨, ¡®«¼¸¥© n, ¨ ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 6.23 ¨¬¥¥² ¡¥±ª®­¥·­³¾ ¬®¤¥«¼. ‡­ ·¨²,  ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ «®¦­»¬ ¢® ¢±¥µ ¡¥±ª®­¥·­»µ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿µ. 2 6.6. €ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¥ ª« ±±»  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬

Š« ±± K  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°» ­ §»¢ ¥²±¿ (ª®­¥·­®)  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¬, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² (ª®­¥·­®¥) ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» ² ª®¥, ·²® K ¥±²¼ ¢ ²®·­®±²¨ ª« ±± ¢±¥µ ¬®¤¥«¥© ¬­®¦¥±²¢  (¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ­ §»¢ ¥²±¿  ª±¨®¬ ²¨ª®© ª« ±±  K). ³±²¼ K1 ¨ K2 | (ª®­¥·­®)  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¥ ª« ±±»  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°» . ’®£¤  ¨µ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ K1 \ K2 ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ (ª®­¥·­®)  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¬ ª« ±±®¬.

’¥®°¥¬  6.25.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ K1 ¨ K2 |  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¥ ª« ±±»  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°» , ¨ ¯³±²¼ 1 |  ª±¨®¬ ²¨ª  ª« ±±  K1 ,   2 |  ª±¨®¬ ²¨ª  ª« ±±  K1 . ²® ®§­ · ¥², ¢ · ±²­®±²¨, ·²® (8 2 1)(8M 2 K1 )M j= ; (32)

(8 2 2)(8M 2 K2 )M j= : (33) „®ª ¦¥¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© 1 [ 2 ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬ ²¨ª®© ª« ±±  K1 \ K2 . ’°¥¡³¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²®  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬  M ±¨£­ ²³°» ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª« ±±³ K1 \ K2 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  M ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¤«¿ 1 [ 2 . ˆ² ª, ¯³±²¼ M ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª« ±±³ K1 \ K2 . ²® ®§­ · ¥², ·²® M 2 K1 ; (34) M 2 K2 : (35) 54

³±²¼  | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  1 [ 2. ’®£¤   2 1 ¨«¨  2 2 . „®ª ¦¥¬, ·²® M j= . ³±²¼  2 1 . ’®£¤  ¨§ (34) ¨ (32) ­¥¬¥¤«¥­­® ¢»²¥ª ¥² M j= . €­ «®£¨·­®, ¥±«¨  2 2, ²® ¨§ (35) ¨ (33) ² ª¦¥ ¢»²¥ª ¥² M j= . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® ¢±¿ª ¿  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬  ¨§ ª« ±±  K1 \ K2 ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© 1 [ 2 . „®ª ¦¥¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¢±¿ª ¿ ¬®¤¥«¼ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© 1 [ 2 ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª« ±±³ K1 \ K2. ˆ² ª, ¯³±²¼ M ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¤«¿ 1 [ 2 . ²® ®§­ · ¥², ·²® ¢ M ¨±²¨­­® «¾¡®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ¨§ 1 [ 2. ‚ · ±²­®±²¨, ¥±«¨  | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  1 , ²® M j= , ². ¥. M ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢  1 ,   ²®£¤  ¨¬¥¥² ¬¥±²® (34), ² ª ª ª 1 |  ª±¨®¬ ²¨ª  ª« ±±  K1 . €­ «®£¨·­®, ¥±«¨  | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  2 , ²® M j= , ². ¥. M ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢  2,   ²®£¤  ¨¬¥¥² ¬¥±²® (35), ² ª ª ª 2 |  ª±¨®¬ ²¨ª  ª« ±±  K2 . ˆ§ (34) ¨ (35) ¯®«³· ¥¬ M 2 K1 \ K2 , ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® «¾¡ ¿  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬  ±¨£­ ²³°» ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© 1 [ 2 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­  ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª« ±±³ K1 \ K2. ²® ª ª ° § ¨ ®§­ · ¥², ·²® 1 [ 2 ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬ ²¨ª®© ª« ±±  K1 \ K2 . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢  1 ¨ 2 ®¡  ª®­¥·­», ²® ¨µ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ 1 [ 2 ² ª¦¥ ª®­¥·­®. ’¥¬ ± ¬»¬ ¬» ¤®ª § «¨, ·²® ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ «¾¡»µ ¤¢³µ ª®­¥·­®  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»µ ª« ±±®¢ ¿¢«¿¥²±¿ ª®­¥·­®  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¬ ª« ±±®¬. 2 ³±²¼ K1 ¨ K2 | (ª®­¥·­®)  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¥ ª« ±±»  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°» . ’®£¤  ¨µ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ K1 [ K2 ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ (ª®­¥·­®)  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¬ ª« ±±®¬.

’¥®°¥¬  6.26.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ K1 ¨ K2 |  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¥ ª« ±±»  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°» , ¨ ¯³±²¼ 1 |  ª±¨®¬ ²¨ª  ª« ±±  K1 ,   2 |  ª±¨®¬ ²¨ª  ª« ±±  K1 . ²® ®§­ · ¥², ¢ · ±²­®±²¨, ·²® ¢»¯®«­¿¾²±¿ ³±«®¢¨¿ (32) ¨ (33). „®ª ¦¥¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© = f1 _ 2 j1 2 1 ; 2 2 2 g ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬ ²¨ª®© ª« ±±  K1 [ K2 . ’°¥¡³¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²®  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬  M ±¨£­ ²³°» ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª« ±±³ K1 [ K2 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  M ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¤«¿ . ˆ² ª, ¯³±²¼ M ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª« ±±³ K1 [ K2 . ²® ®§­ · ¥², ·²® ¢»¯®«­¿¥²±¿ µ®²¿ ¡» ®¤­® ¨§ ³±«®¢¨© (34) ¨ (35). ³±²¼  | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  . ’®£¤   ¨¬¥¥² ¢¨¤ 1 _ 2, £¤¥ 1 2 1, 2 2 2 . „®ª ¦¥¬, ·²® M j= . ³±²¼ ¢»¯®«­¥­® ³±«®¢¨¥ (34). ’®£¤  ¨§ (32) ­¥¬¥¤«¥­­® ¢»²¥ª ¥² M j= 1 ,   §­ ·¨², M j= . €­ «®£¨·­®, ¥±«¨ ¢»¯®«­¥­® ³±«®¢¨¥ (35), ²® ¨§ (33) ¢»²¥ª ¥² M j= 2 ¨ M j= . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® ¢±¿ª ¿  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬  ¨§ ª« ±±  K1 [ K2 ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© . „®ª ¦¥¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¢±¿ª ¿ ¬®¤¥«¼ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª« ±±³ K1 [ K2 . ˆ² ª, ¯³±²¼ M ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¤«¿ . ²® ®§­ · ¥², ·²® ¢ M ¨±²¨­­® «¾¡®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ¨§ . „®¯³±²¨¬, ®¤­ ª®, ·²® M ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª« ±±³ K1 [ K2 . ’®£¤  M 62 K1 , M 62 K2 . ’ ª ª ª 1 ¨ 2 |  ª±¨®¬ ²¨ª¨ ª« ±±®¢ K1 ¨ K2 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ­ ©¤³²±¿ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ 1 2 1 ¨ 2 2 2 ² ª¨¥, ·²® M 6j= 1 ¨ M 6j= 2. ® ²®£¤  M 6j= 1 _ 2, ·²® ­¥¢®§¬®¦­®, ¨¡® ¢»±ª §»¢ ­¨¥ 1 _ 2 ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ ,   M ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¤«¿ . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® «¾¡ ¿  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬  ±¨£­ ²³°» ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­  ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª« ±±³ K1 [ K2 . ²® ª ª ° § ¨ ®§­ · ¥², ·²® ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬ ²¨ª®© ª« ±±  K1 [ K2. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢  1 ¨ 2 ®¡  ª®­¥·­», ²® ¬­®¦¥±²¢® ² ª¦¥ ª®­¥·­®. ’¥¬ ± ¬»¬ ¬» ¤®ª § «¨, ·²® ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ «¾¡»µ ¤¢³µ ª®­¥·­®  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»µ ª« ±±®¢ ¿¢«¿¥²±¿ ª®­¥·­®  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¬ ª« ±±®¬. 2

Š« ±± K  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°» ¿¢«¿¥²±¿ ª®­¥·­®  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¬ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¨ ª« ±± K , ¨ ¥£® ¤®¯®«­¥­¨¥ K ¢ ª« ±±¥ ¢±¥µ  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°»

 ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬». ’¥®°¥¬  6.27.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ª« ±± K  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°» ª®­¥·­®  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬, ¨ ¯³±²¼ f1; : : :; ng | ¥£® ª®­¥·­ ¿  ª±¨®¬ ²¨ª . ³±²¼  ¥±²¼ ´®°¬³«  1 & : : : & n . ’®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, ª ª®¢  ¡» ­¨ ¡»«   «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬  M ±¨£­ ²³°» , ¢»¯®«­¿¥²±¿ ³±«®¢¨¥ M 2 K , M j= , ®²ª³¤  ¢»²¥ª ¥² M 62 K , M 6j= , ². ¥. M 2 K , M j= :. ²® ®§­ · ¥², ·²® ¬­®¦¥±²¢®, ±®±²®¿¹¥¥ ¨§ ®¤­®£®  ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® ¥±«¨ ª« ±± K ª®­¥·­® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ :, ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬ ²¨ª®© ª« ±±  K.   ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬, ²® ¨ ®­, ¨ ¥£® ¤®¯®«­¥­¨¥ K  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬». „®ª ¦¥¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¥±«¨ ª« ±± K ¨ ¥£® ¤®¯®«­¥­¨¥ K ®¡   ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬», ²® K ª®­¥·­®  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬. ˆ² ª, ¯³±²¼ ª« ±±» K ¨ K  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬», ¨ ¯³±²¼ |  ª±¨®¬ ²¨ª  ¤«¿ K,   0 |  ª±¨®¬ ²¨ª   Š ª ¢¨¤­® ¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» 6.25, ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© [ 0 ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬ ²¨¤«¿ K.  ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¬­®¦¥±²¢® [ 0 ­¥ ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¥©. ‚ ±¨«³ «®ª «¼­®© ²¥®°¥¬» ª®© ¯³±²®£® ª« ±±  K \ K, Œ «¼¶¥¢  (²¥®°¥¬  6.16), ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢®
  [ 0 , ª®²®°®¥ ­¥ ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¥©. Ž¡  ¬­®¦¥±²¢ 
=
 \ ¨
0 =
 \ 0 ª®­¥·­». „®ª ¦¥¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢®
¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬ ²¨ª®© ª« ±±  K.

55

 ¨ ¢ M ¨±³±²¼ M | ¬®¤¥«¼ ¬­®¦¥±²¢ 
. „®ª ¦¥¬, ·²® M 2 K. „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥. ’®£¤  M 2 K, 0  0 ²¨­­» ¢±¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¨§
. ‡­ ·¨², ¢ M ¨±²¨­­» ¢±¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¨§
=
[
, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ ® ­¥¢»¯®«­¨¬®±²¨ ¬­®¦¥±²¢ 
 . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® ¢±¿ª ¿ ¬®¤¥«¼ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨©
¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª« ±±³ K. Ž¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ·²® ¢±¿ª ¿  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬  M ¨§ ª« ±±  K ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢ 
, ®·¥¢¨¤­®, ² ª ª ª
 ,   ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬ ²¨ª®© ª« ±±  K, ² ª ·²® ¢ «¾¡®©  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ ¨§ K, ¢ · ±²­®±²¨, ¢ M, ¨±²¨­­» ¢±¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¨§ , ¢ · ±²­®±²¨, ¢±¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¨§
. 2 Š« ±± K ­®°¬ «¼­»µ  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°» ± ° ¢¥­±²¢®¬ [ f=g ­ §»¢ ¥²±¿ (ª®­¥·­®)  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¬, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² (ª®­¥·­®¥) ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© ±¨£­ ²³°» [ f=g ² ª®¥, ·²® K ¥±²¼ ¢ ²®·­®±²¨ ª« ±± ¢±¥µ ­®°¬ «¼­»µ ¬®¤¥«¥© ¬­®¦¥±²¢  (¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ­ §»¢ ¥²±¿  ª±¨®¬ ²¨ª®© ª« ±±  K). °¨¬¥° ¬¨  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»µ ª« ±±®¢ ¿¢«¿¾²±¿ ª« ±±  ¢±¥µ £°³¯¯, ª« ±± ¢±¥µ  ¡¥«¥¢»µ £°³¯¯, ª« ±± ¢±¥µ ª®«¥¶, ª« ±± ¢±¥µ ª®«¥¶ ¡¥§ ¤¥«¨²¥«¥© ­³«¿, ª« ±± ¢±¥µ ¯®«¥©, ª« ±± ¢±¥µ ¯®«¥© ´¨ª±¨°®¢ ­­®© µ ° ª²¥°¨±²¨ª¨ p > 0. ’¥®°¥¬  6.28. ³±²¼ K |  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»© ª« ±±  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°» [ f=g, ±®¤¥°¦ ¹¨© ª®­¥·­»¥ ­®°¬ «¼­»¥  «£¥¡° ¨·¥±ª¨¥ ±¨±²¥¬» ±® ±ª®«¼ ³£®¤­® ¡®«¼¸¨¬ ·¨±«®¬ ½«¥¬¥­²®¢. ’®£¤  K ±®¤¥°¦¨² ¡¥±ª®­¥·­³¾ ­®°¬ «¼­³¾  «£¥¡° ¨·¥±ª³¾ ±¨±²¥¬³.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ K |  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»© ª« ±±  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°» [ f=g, ¨ | ¥£®  ª±¨®¬ ²¨ª . ³±²¼ K ±®¤¥°¦¨² ª®­¥·­»¥ ­®°¬ «¼­»¥  «£¥¡° ¨·¥±ª¨¥ ±¨±²¥¬» ±® ±ª®«¼ ³£®¤­® ¡®«¼¸¨¬ ·¨±«®¬ ½«¥¬¥­²®¢. ® ³±«®¢¨¾, ¤«¿ «¾¡®£® ­ ²³° «¼­®£® n ¢ ª« ±±¥ K ¨¬¥¥²±¿ ª®­¥·­ ¿ ­®°¬ «¼­ ¿  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬ , ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ¡¥«¥¥ n ½«¥¬¥­²®¢, ª®²®° ¿, ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ¿¢«¿¥²±¿ ­®°¬ «¼­®© ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨© . ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 6.23, ¬­®¦¥±²¢® ¨¬¥¥² ¡¥±ª®­¥·­³¾ ­®°¬ «¼­³¾ ¬®¤¥«¼, ª®²®° ¿ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª« ±±³ K, ² ª ª ª |  ª±¨®¬ ²¨ª  ª« ±±  K. ‡ ¤ ·¨

1) „®ª § ²¼, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°» ¿¢«¿¥²±¿ ª®­¥·­®  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¬. 2) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ª« ±± ­®°¬ «¼­»µ  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ K ±¨£­ ²³°» ± ° ¢¥­±²¢®¬ [ f=g  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬, ²® ª« ±± ¢±¥µ ¡¥±ª®­¥·­»µ ­®°¬ «¼­»µ ±¨±²¥¬ ¨§ K ² ª¦¥  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬. 3) ‚»¯¨± ²¼  ª±¨®¬ ²¨ª¨ ±«¥¤³¾¹¨µ ª« ±±®¢  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬:  ) ª« ±± ¢±¥µ £°³¯¯; ¡) ª« ±± ¢±¥µ  ¡¥«¥¢»µ £°³¯¯; ¢) ª« ±± ¢±¥µ ª®«¥¶; £) ª« ±± ¢±¥µ ª®«¥¶ ¡¥§ ¤¥«¨²¥«¥© ­³«¿; ¤) ª« ±± ¢±¥µ ¯®«¥©; ¥) ª« ±± ¢±¥µ ¯®«¥© ´¨ª±¨°®¢ ­­®© µ ° ª²¥°¨±²¨ª¨ p > 0; ¦) ª« ±± ¢±¥µ ¯®«¥© µ ° ª²¥°¨±²¨ª¨ 0. 4) „®ª § ²¼, ·²® ­¥ ¿¢«¿¾²±¿  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¬¨:  ) ª« ±± ¢±¥µ ª®­¥·­»µ £°³¯¯; ¡) ª« ±± ¢±¥µ ª®­¥·­»µ  ¡¥«¥¢»µ £°³¯¯. 5) „®ª § ²¼, ·²® ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ª®­¥·­®  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¬¨:  ) ª« ±± ¢±¥µ ¡¥±ª®­¥·­»µ £°³¯¯; ¡) ª« ±± ¢±¥µ ¡¥±ª®­¥·­»µ  ¡¥«¥¢»µ £°³¯¯; ¢) ª« ±± ¢±¥µ ¯®«¥© µ ° ª²¥°¨±²¨ª¨ 0. 6) „®ª § ²¼, ·²® ª« ±± ¢±¥µ ¯®«¥© ­¥­³«¥¢®© µ ° ª²¥°¨±²¨ª¨ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¬. 7) „®ª § ²¼, ·²® ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»µ ª« ±±®¢ ­®°¬ «¼­»µ  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°» ± ° ¢¥­±²¢®¬ [ f=g ¿¢«¿¾²±¿  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¬¨. 8) „®ª § ²¼, ·²® ª« ±± K ­®°¬ «¼­»µ  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°» ± ° ¢¥­±²¢®¬ [ f=g ¿¢«¿¥²±¿ ª®­¥·­®  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¬ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¨ ª« ±± K, ¨ ¥£® ¤®¯®«­¥­¨¥ K ¢ ª« ±±¥ ¢±¥µ ­®°¬ «¼­»µ  «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ±¨±²¥¬ ±¨£­ ²³°» [ f=g ¿¢«¿¾²±¿  ª±¨®¬ ²¨§¨°³¥¬»¬¨. 56

7. Œ¥²®¤ °¥§®«¾¶¨© 7.1. °¥¤±² ¢«¥­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¢ ±ª³«¥¬®¢±ª®© ´®°¬¥

³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ­ ­¥ª®²®°»© ¿§»ª ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ±¨£­ ²³°» . —¥°¥§ V ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ¬­®¦¥±²¢® ¯¥°¥¬¥­­»µ, ·¥°¥§ T | ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ²¥°¬®¢ ±¨£­ ²³°» . ”®°¬³«» ¢¨¤  P (t1; : : :; tn), £¤¥ P | ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®«, t1 ; : : :; tn 2 T, ­ §»¢ ¾²±¿  ²®¬ ¬¨. …±«¨ A |  ²®¬, ²® ´®°¬³«» A ¨ :A ­ §»¢ ¾²±¿ «¨²¥° ¬¨. ³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ­  ­¥ª®²®° ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ M ±¨£­ ²³°» , ¯°¨·¥¬ ¬­®¦¥±²¢® M | ­®±¨²¥«¼ (¯°¥¤¬¥²­ ¿ ®¡« ±²¼) ½²®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨. Ž¶¥­ª®© ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿ v : V ! M. „«¿ ª ¦¤®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¨ ª ¦¤®© ®¶¥­ª¨ ®¯°¥¤¥«¥­® §­ ·¥­¨¥ «¾¡®£® ²¥°¬  ¢ ½²®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¯°¨ ½²®© ®¶¥­ª¥,   ² ª¦¥ ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ «¾¡®© ´®°¬³«» ¢ ¤ ­­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¯°¨ ¤ ­­®© ®¶¥­ª¥. ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ´®°¬³«   ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ±² ­¤ °²­®© ´®°¬¥, ¥±«¨ ª ¦¤ ¿ ¥¥ ¯®¤´®°¬³«  ¢¨¤  1  2 , £¤¥  2 f&; _; g, ®¡« ¤ ¥² ² ª¨¬ ±¢®©±²¢®¬: ¥±«¨ ª ª ¿-«¨¡® ¯¥°¥¬¥­­ ¿ x ±¢¿§ ­  ¢ 1 ( 2 ), ²® x ­¥ ¢µ®¤¨² ¢ 2 (±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ¢ 1 ).  ¯°¨¬¥°, ´®°¬³«  8xP (x) & Q(y) ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ±² ­¤ °²­®© ´®°¬¥,   ´®°¬³«  8xP (x) & 8xQ(x) | ­¥². Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¯³²¥¬ ¯¥°¥¨¬¥­®¢ ­¨¿ ±¢¿§ ­­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ ª ¦¤³¾ ´®°¬³«³ ¬®¦­® ¯°¨¢¥±²¨ ª ±² ­¤ °²­®© ´®°¬¥, ². ¥. ¯®±²°®¨²¼ ° ¢­®±¨«¼­³¾ ¥© ´®°¬³«³ ¢ ±² ­¤ °²­®© ´®°¬¥. ’ ª, ´®°¬³«  8xP (x) & 8xQ(x) ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ 8xP (x) & 8yQ(y), ª®²®° ¿, ®·¥¢¨¤­®, ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ±² ­¤ °²­®© ´®°¬¥. ƒ®¢®°¿², ·²® ´®°¬³«»  ¨ ° ¢­®¢»¯®«­¨¬», ¨ ¯¨¸³²  sat , ¥±«¨  ¢»¯®«­¨¬  ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢»¯®«­¨¬ . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨   , ²®  sat . Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ±³¹¥±²¢³¾² ²®«¼ª® ¤¢  ª« ±±  ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ®²­®±¨²¥«¼­® sat : ª« ±± ¢»¯®«­¨¬»µ ¨ ª« ±± ­¥¢»¯®«­¨¬»µ ´®°¬³«.  ¯°¨¬¥°, ´®°¬³«» 8xP(x; a) ¨ 8xP(a; x) ®¡¥ ¢»¯®«­¨¬», ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ®­¨ ° ¢­®¢»¯®«­¨¬» (­® ­¥ ° ¢­®±¨«¼­»). ”®°¬³«  9xP(x; a) & :P (b; a) ¢»¯®«­¨¬ ,   ´®°¬³«  P (b; a) & :P (b; a) ­¥¢»¯®«­¨¬ , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ½²¨ ´®°¬³«» ­¥ ° ¢­®¢»¯®«­¨¬».  ¸¥© ¶¥«¼¾ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ § ¬ª­³²»µ ´®°¬³« ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ¢ ­¥ª®²®°®¬ ±¯¥¶¨ «¼­®¬ ¢¨¤¥, ³¤®¡­®¬ ¤«¿ ¯°¨¬¥­¥­¨¿  ¢²®¬ ²¨·¥±ª¨µ ¬¥²®¤®¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬. ¥°¢»© ¸ £ ¢ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¨ ´®°¬³«»  ±®±²®¨² ¢ § ¬¥­¥ ¥¥ ­  ° ¢­®±¨«¼­³¾ ´®°¬³«³ (), ­¥ ±®¤¥°¦ ¹³¾ ±¨¬¢®«  , ¢ ª®²®°®© ±¨¬¢®« : ±²®¨² ²®«¼ª® ¯¥°¥¤  ²®¬ ¬¨ (² ª ¿ ´®°¬³«  ±²°®¨²±¿ ¨§ «¨²¥° ± ¯®¬®¹¼¾ «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢ &; _; 8; 9). „«¿ ¯®«³·¥­¨¿ ´®°¬³«» () ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¥ ° ¢­®±¨«¼­®±²¨:

     

1  2  :1 _ 2; :(1 & 2 )  :1 _ :2; :(1 _ 2 )  :1 & :2 ; ::  ; :8x  9x:; :9x  8x:.

°¨¬¥°.

®¡° §®¬:

…±«¨  ¥±²¼ ´®°¬³«  :8x9y(P(x; y) & Q(y)  R(y)), ²® ´®°¬³«  () ±²°®¨²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬

:8x9y(P(x; y) & Q(y)  R(y))  9x:9y(P (x; y) & Q(y)  R(y))  9x8y:(P (x; y) & Q(y)  R(y))   9x8y:(:(P (x; y) & Q(y)) _ R(y))  9x8y(::(P(x; y) & Q(y)) & :R(y))  9x8y(P (x; y) & Q(y) & :R(y)): ”®°¬³«³ ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ -­®°¬ «¼­®©, ¥±«¨ ª ­¥© ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥  ³¦¥ ­¥¯°¨¬¥­¨¬®, ². ¥. ®­  ­¥ ±®¤¥°¦¨² ±¨¬¢®«  ,   ±¨¬¢®« : ±²®¨² ²®«¼ª® ¯¥°¥¤  ²®¬ ¬¨ ‘«¥¤³¾¹¨© ¸ £ ¢ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¨ ´®°¬³«»  ±®±²®¨² ¢ § ¬¥­¥ ¥¥ ­  ° ¢­®¢»¯®«­¨¬³¾ ´®°¬³«³ (), ­¥ ±®¤¥°¦ ¹³¾ ±¨¬¢®«  9. ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ´®°¬³«   ³¦¥ ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ±² ­¤ °²­®© ´®°¬¥, ¨ ¿¢«¿¥²±¿ -­®°¬ «¼­®©. ‘²°®¨¬ ´®°¬³«³  ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. …±«¨ ¢  ­¥² ª¢ ­²®°®¢ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ 9, ²®  ¥±²¼ . ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ­ µ®¤¨¬ ¯¥°¢®¥ ±«¥¢  ¢µ®¦¤¥­¨¥ ª¢ ­²®°  ¢¨¤  9x. ³±²¼ ½²® ¢µ®¦¤¥­¨¥ ­¥ ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¤¥©±²¢¨¿ ­¨ª ª®£® ª¢ ­²®°  ¢±¥®¡¹­®±²¨. —¥°¥§ 9x ®¡®§­ ·¨¬ ´®°¬³«³, ¯®«³·¥­­³¾ ¢»·¥°ª¨¢ ­¨¥¬ ¨§  ½²®£® ¢µ®¦¤¥­¨¿ ª¢ ­²®°  9x. ’®£¤   ¥±²¼ ´®°¬³«  9x [a=x], ¯®«³·¥­­ ¿ § ¬¥­®© ¢ ´®°¬³«¥ 9x ¢±¥µ ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© x ­  ­®¢³¾ ª®­±² ­²³ a. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥  | ½²® ´®°¬³«  ¢ ¡®«¥¥ ¸¨°®ª®© ±¨£­ ²³°¥. …±«¨ ¯¥°¢®¥ ±«¥¢  ¢µ®¦¤¥­¨¥ ª¢ ­²®°  ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ 9 57

­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¤¥©±²¢¨¿ ª¢ ­²®°®¢ ¢±¥®¡¹­®±²¨ 8y1 ; : : :; 8yn , ¯¥°¥·¨±«¿¥¬»µ ¢ ¯®°¿¤ª¥ ¨µ ¯®¿¢«¥­¨¿ ¢ ´®°¬³«¥ ±«¥¢  ­ ¯° ¢®, ²®  ¥±²¼ ´®°¬³«  9x [f(y1 ; : : :; yn )=x], ¯®«³·¥­­ ¿ ¢»·¥°ª¨¢ ­¨¥¬ ¨§  ª¢ ­²®°  9x ¨ § ¬¥­®© ¢ ¯®«³·¥­­®© ´®°¬³«¥ ¢±¥µ ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© x ­  ²¥°¬ f(y1 ; : : :; yn), £¤¥ f | ­®¢»© ´³­ª¶¨®­ «¼­»© ±¨¬¢®«. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¨ ¢ ½²®¬ ±«³· ¥  | ´®°¬³«  ¢ ¡®«¥¥ ¸¨°®ª®© ±¨£­ ²³°¥. —¥°¥§ () ®¡®§­ ·¨¬ °¥§³«¼² ² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®£® ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ª ´®°¬³«¥  ®¯¥° ¶¨¨  ¤® ¯®«­®£® ³±²° ­¥­¨¿ ª¢ ­²®°®¢ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿. °¨¬¥°.

…±«¨  ¥±²¼ ´®°¬³«  (8x9yP(x; y) _ 8u9v:Q(u; v)) & 9z :P (z; z);

²®  | ½²® ´®°¬³«   | ½²® ´®°¬³« 

(8xP (x; f(x)) _ 8u9v:Q(u; v)) & 9z :P (z; z); (8xP (x; f(x)) _ 8u:Q(u; g(u))) & 9z :P (z; z);

­ ª®­¥¶,  (®­  ¦¥ ()) ¥±²¼ ´®°¬³« 

(8xP (x; f(x)) _ 8u:Q(u; g(u))) & :P (a; a): ®±²°®¥­¨¥ ´®°¬³«» () ®¡»·­® ­ §»¢ ¾² ±ª³«¥¬¨§ ¶¨¥© ¢ ·¥±²¼ ­®°¢¥¦±ª®£® «®£¨ª  ‘ª³«¥¬ , ±® ¢²®°  ²¥®°¥¬» ‹¥¢¥­£¥©¬  { ‘ª³«¥¬ ,   ± ¬³ ´®°¬³«³ () ­ §»¢ ¾² ±ª³«¥¬®¢±ª®© ´®°¬®© ´®°¬³«» . „®ª ¦¥¬, ·²® ¥±«¨ ´®°¬³«   § ¬ª­³² , ²®  sat (). „«¿ ½²®£® ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²® ¤«¿ «¾¡®© § ¬ª­³²®© -­®°¬ «¼­®© ´®°¬³«»  ¨¬¥¥² ¬¥±²®  sat  . ³±²¼  ¥±²¼ -­®°¬ «¼­ ¿ ´®°¬³« , ­ µ®¤¿¹ ¿±¿ ¢ ±² ­¤ °²­®© ´®°¬¥, ¨ ¯³±²¼  ±®¤¥°¦¨² ¢µ®¦¤¥­¨¥ ª¢ ­²®°  x, ª®²®°®¥ ­¥ ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¤¥©±²¢¨¿ ­¨ª ª®£® ¤°³£®£® ª¢ ­²®° . —¥°¥§ x ®¡®§­ ·¨¬ ´®°¬³«³, ¯®«³·¥­­³¾ § ·¥°ª¨¢ ­¨¥¬ ¢  ½²®£® ¢µ®¦¤¥­¨¿ ª¢ ­²®°  x. ’®£¤    xx . ‹¥¬¬  7.1.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‹¥¬¬  ¯® ±³¹¥±²¢³ ³²¢¥°¦ ¥², ·²® ¨§ -­®°¬ «¼­®© ´®°¬³«», ­ µ®¤¿¹¥©±¿ ¢ ±² ­¤ °²­®© ´®°¬¥, «¾¡®© ª¢ ­²®°, ª®²®°»© ­¥ ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¤¥©±²¢¨¿ ­¨ª ª®£® ¤°³£®£® ª¢ ­²®° , ¬®¦­® À¢»­®±¨²¼ ­ °³¦³Á, ¯®«³· ¿ ¯°¨ ½²®¬ ° ¢­®±¨«¼­³¾ ´®°¬³«³. „®ª §»¢ ¥²±¿ «¥¬¬  ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ª®«¨·¥±²¢³ ±¢¿§®ª & ¨ _ ¢ ´®°¬³«¥ . …±«¨ ² ª¨µ ±¢¿§®ª ­¥², ²®, ¯®±ª®«¼ª³ ´®°¬³«   ¿¢«¿¥²±¿ ­®°¬ «¼­®©, ®­  ¨¬¥¥² ¢¨¤ 1 x1 : : :nxn , £¤¥ | «¨²¥° . ’®£¤  ¢µ®¦¤¥­¨¥ ª¢ ­²®°  x, ® ª®²®°®¬ ¨¤¥² °¥·¼ ¢ «¥¬¬¥, ¥±²¼ 1x1 . ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ xx ±®¢¯ ¤ ¥² ± , ¨ ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ®·¥¢¨¤­®. „®¯³±²¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ «¥¬¬» ¢¥°­® ¤«¿ «¾¡®© ´®°¬³«», ¢ ª®²®°®© ­¥ ¡®«¥¥ k ±¢¿§®ª & ¨ _, ¨ ° ±±¬®²°¨¬ ´®°¬³«³ , ¢ ª®²®°®© k + 1 ±¢¿§®ª & ¨ _. …±«¨  ¨¬¥¥² ¢¨¤ x , ²®, ª ª ¨ ° ±±¬®²°¥­­®¬ ¢»¸¥ ±«³· ¥, xx ±®¢¯ ¤ ¥² ± , ¨ ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ®·¥¢¨¤­®.  ±±¬®²°¨¬ ±«³· ©, ª®£¤   ¨¬¥¥² ¢¨¤ 1  2 , £¤¥  2 f&; _g. „®¯³±²¨¬, ·²® ª¢ ­²®° x, ® ª®²®°®¬ ¨¤¥² °¥·¼ ¢ «¥¬¬¥, ¢µ®¤¨² ¢ ´®°¬³«³ 1 . Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢ 1 ­¥ ¡®«¥¥ k ±¢¿§®ª & ¨ _, ² ª ·²® ¢ ±¨«³ ¨­¤³ª²¨¢­®£® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ¨¬¥¥¬ 1  x 1x . ’®£¤    x 1x  2 . ’ ª ª ª  ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ±² ­¤ °²­®© ´®°¬¥, ²® ¯¥°¥¬¥­­ ¿ x ­¥ ¢µ®¤¨² ±¢®¡®¤­® ¢ 2 , ¨ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ° ¢­®±¨«¼­®±²¼ x 1x  2  x( 1x  2 ). ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ®·¥¢¨¤­®, ·²® 1x  2 ª ª ° § ¨ ¥±²¼ x , ² ª ·²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤®ª § ­®. ‘«³· ©, ª®£¤  ª¢ ­²®° x, ® ª®²®°®¬ ¨¤¥² °¥·¼ ¢ «¥¬¬¥, ¢µ®¤¨² ¢ ´®°¬³«³ 2 , ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ±®¢¥°¸¥­­®  ­ «®£¨·­®. 2 ‹¥¬¬  7.2.

 sat  .

³±²¼  | § ¬ª­³² ¿ -­®°¬ «¼­ ¿ ´®°¬³« , ­ µ®¤¿¹ ¿±¿ ¢ ±² ­¤ °²­®© ´®°¬¥. ’®£¤ 

…±«¨ ¢  ­¥² ª¢ ­²®°®¢ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ 9, ²®  ¥±²¼ , ¨ ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ®·¥¢¨¤­®. …±«¨ ¯¥°¢®¥ ±«¥¢  ¢µ®¦¤¥­¨¥ ª¢ ­²®°  ¢¨¤  9x ­¥ ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¤¥©±²¢¨¿ ­¨ª ª®£® ª¢ ­²®°  ¢±¥®¡¹­®±²¨, ²® ½²® ¢µ®¦¤¥­¨¥ ­¥ ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¤¥©±²¢¨¿ ­¨ª ª®£® ª¢ ­²®° , ¨ ¯® «¥¬¬¥ 7.1 ¨¬¥¥¬   9x9x . ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¢ ½²®¬ ±«³· ¥  ¥±²¼ ´®°¬³«  9x [a=x], ¯®«³·¥­­ ¿ § ¬¥­®© ¢ ´®°¬³«¥ 9x ¢±¥µ ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© x ­  ­®¢³¾ ª®­±² ­²³ a. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼, ·²® 9x9x sat 9x [a=x]. Ž¡®§­ ·¨¬ ´®°¬³«³ 9x ·¥°¥§ ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® 9x sat [a=x]. ³±²¼ ´®°¬³«  [a=x] ¢»¯®«­¨¬ , ². ¥. ¨±²¨­­  ¢ ­¥ª®²®°®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨. ’®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, ¢ ²®© ¦¥ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¨±²¨­­  ¨ ´®°¬³«  9x , ². ¥. ½²  ´®°¬³«  ² ª¦¥ ¢»¯®«­¨¬ . Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ´®°¬³«  9x ¢»¯®«­¨¬ . ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿, ¢ ª®²®°®© ½²  ´®°¬³«  ¨±²¨­­ . ˆ±²¨­­®±²¼ ´®°¬³«» 9x „®ª § ²¥«¼±²¢®.

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®§­ · ¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®¶¥­ª  f, ¯°¨ ª®²®°®© ¢ ½²®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¨±²¨­­  ´®°¬³«  . °¨¤ ¤¨¬ ª®­±² ­²¥ a §­ ·¥­¨¥ f(x). ’®£¤  ¢ ¯®«³·¥­­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¡³¤¥² ¨±²¨­­  ´®°¬³«  [a=x], §­ ·¨², ®­  ² ª¦¥ ¢»¯®«­¨¬ . ³±²¼ ¯¥°¢®¥ ±«¥¢  ¢µ®¦¤¥­¨¥ ª¢ ­²®°  ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ 9x ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¤¥©±²¢¨¿ ª¢ ­²®°®¢ ¢±¥®¡¹­®±²¨ 8y1 ; : : :; 8yn , ¯¥°¥·¨±«¿¥¬»µ ¢ ¯®°¿¤ª¥ ¨µ ¯®¿¢«¥­¨¿ ¢ ´®°¬³«¥ ±«¥¢  ­ ¯° ¢®. ’®£¤  ª¢ ­²®° 8y1 ­¥ ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¤¥©±²¢¨¿ ­¨ª ª®£® ¤°³£®£® ª¢ ­²®° , ¨ ¯® «¥¬¬¥ 7.1 ¨¬¥¥² ¬¥±²®   8y1 8y1 . °¨¬¥­¿¿ ²¥¯¥°¼ «¥¬¬³ 7.1 ª ´®°¬³«¥ 8y1 , ¯®«³· ¥¬, ·²®   8y1 8y2 8y18y2 . °®¤®«¦ ¿ ½²¨ ° ±±³¦¤¥­¨¿ ¤ «¼¸¥, ¯®«³· ¥¬, ·²®   8y1 8y2 : : : 8yn 8y18y2:::8yn . ’®£¤  ¢ ´®°¬³«¥ 8y18y2:::8yn ª¢ ­²®° 9x ­¥ ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¤¥©±²¢¨¿ ­¨ª ª®£® ¤°³£®£® ª¢ ­²®° , ¨ ¯® «¥¬¬¥ 7.1 ¨¬¥¥² ¬¥±²® 8y18y2:::8yn  9x , £¤¥ ¥±²¼ ´®°¬³«  8y18y2:::8yn9x . ’®£¤    8y1 8y2 : : : 8yn 9x . ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¢ ½²®¬ ±«³· ¥  ¥±²¼ ´®°¬³«  9x[f(y1 ; : : :; yn)=x], ¯®«³·¥­­ ¿ ¢»·¥°ª¨¢ ­¨¥¬ ¨§  ª¢ ­²®°  9x ¨ § ¬¥­®© ¢ ¯®«³·¥­­®© ´®°¬³«¥ ¢±¥µ ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© x ­  ²¥°¬ f(y1 ; : : :; yn), £¤¥ f | ­®¢»© ´³­ª¶¨®­ «¼­»© ±¨¬¢®«. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢ ´®°¬³«¥ 9x [f(y1 ; : : :; yn)=x] ¬®¦­® À¢»­¥±²¨ ­ °³¦³Á ª¢ ­²®°» 8y1 8y2 : : : 8yn ¯®¤®¡­® ²®¬³, ª ª ¬» ½²® ±¤¥« «¨ ¢»¸¥ ± ´®°¬³«®© . ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³·¨²±¿ ´®°¬³«  8y1 8y2 : : : 8yn [f(y1 ; : : :; yn)=x], ° ¢­®±¨«¼­ ¿ ´®°¬³«¥ 9x [f(y1 ; : : :; yn)=x]. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ²¥¯¥°¼ ¤®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼, ·²® 8y1 8y2 : : : 8yn 9x sat 8y1 8y2 : : : 8yn [f(y1 ; : : :; yn )=x]: ³±²¼ ´®°¬³«  8y1 8y2 : : : 8yn [f(y1 ; : : :; yn )=x] ¢»¯®«­¨¬ , ². ¥. ¨±²¨­­  ¢ ­¥ª®²®°®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨. ’®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, ¢ ²®© ¦¥ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¨±²¨­­  ¨ ´®°¬³«  8y1 8y2 : : : 8yn 9x , ². ¥. ½²  ´®°¬³«  ² ª¦¥ ¢»¯®«­¨¬ . Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ´®°¬³«  8y1 8y2 : : : 8yn 9x ¢»¯®«­¨¬ . ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿, ¢ ª®²®°®© ½²  ´®°¬³«  ¨±²¨­­ . ˆ±²¨­­®±²¼ ´®°¬³«» 8y1 8y2 : : : 8yn 9x ®§­ · ¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ´³­ª¶¨¿ f  , ª®²®° ¿ ª ¦¤®¬³ ­ ¡®°³ a1 ; : : :; an ±®¯®±² ¢«¿¥² ² ª®© ½«¥¬¥­² b, ·²® ¢ ½²®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¨±²¨­­  ´®°¬³«  ¯°¨ ®¶¥­ª¥, ª®²®° ¿ ±®¯®±² ¢«¿¥² ¯¥°¥¬¥­­»¬ y1 ; : : :; yn §­ ·¥­¨¿ a1 ; : : :; an,   ¯¥°¥¬¥­­®© x | §­ ·¥­¨¥ b. °¨¤ ¤¨¬ ´³­ª¶¨®­ «¼­®¬³ ±¨¬¢®«³ f ¢ ª ·¥±²¢¥ §­ ·¥­¨¿ ³ª § ­­³¾ ´³­ª¶¨¾ f  . ’®£¤  ¢ ¯®«³·¥­­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¡³¤¥² ¨±²¨­­  ´®°¬³«  8y1 8y2 : : : 8yn [f(y1 ; : : :; yn )=x], §­ ·¨², ®­  ² ª¦¥ ¢»¯®«­¨¬ . 2 ˆ§ «¥¬¬» 7.2 ­¥¬¥¤«¥­­® ±«¥¤³¥², ·²® § ¬ª­³² ¿ ´®°¬³«   ¨ ¥¥ ±ª³«¥¬®¢±ª ¿ ´®°¬  () ° ¢­®¢»¯®«­¨¬». ‡ ¤ ·¨

°¨¢¥±²¨ ª ±ª³«¥¬®¢±ª®© ´®°¬¥ ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«»: 1) :(8xP (x)  9y8zQ(y; z)); 2) 8x(:P (x; a)  9y(P (y; g(x)) & 8z(P(z; g(x))  P(y; z)))); 3) :(8xP (x)  9yP (y)). 7.2. °¥¤±² ¢«¥­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¢ ¢¨¤¥ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢

‚ ±ª³«¥¬®¢±ª®© ´®°¬¥ () ¢»±ª §»¢ ­¨¿  ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ²®«¼ª® ª¢ ­²®° 8, «®£¨·¥±ª¨¥ ±¢¿§ª¨ &, _ ¨ ±¢¿§ª  :, ª®²®° ¿ ¢±²°¥· ¥²±¿ ²®«¼ª® ¯¥°¥¤  ²®¬ ¬¨. ’ ª ª ª () ¥±²¼ -­®°¬ «¼­ ¿ ´®°¬³« , ­ µ®¤¿¹ ¿±¿ ¢ ±² ­¤ °²­®© ´®°¬¥, ²® ¢ ±¨«³ «¥¬¬» 7.1 ®­  ° ¢­®±¨«¼­  ¯°¥¤¢ °¥­­®© ´®°¬³«¥, ¯®«³·¥­­®© ·¨±²® ¬¥µ ­¨·¥±ª¨¬ À¢»­¥±¥­¨¥¬ ­ °³¦³Á ¢±¥µ ª¢ ­²®°®¢, ² ª ·²® () ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ ¢¨¤  8y1 : : : 8yn , £¤¥ | ¡¥±ª¢ ­²®°­ ¿ ´®°¬³« , ¯®±²°®¥­­ ¿ ¨§ «¨²¥° ± ¯®¬®¹¼¾ ±¢¿§®ª & ¨ _. ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ±ª³«¥¬®¢±ª ¿ ´®°¬  «¾¡®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¨¬¥¥² ¨¬¥­­® ² ª®© ¢¨¤. ‚ «®£¨ª¥ ¢»±ª §»¢ ­¨© ´®°¬³«», ¯®¤®¡­»¥ , ­ §»¢ ¾² ´®°¬³« ¬¨ ± ²¥±­»¬¨ ®²°¨¶ ­¨¿¬¨. ®«¼§³¿±¼ § ª®­®¬ ¤¨±²°¨¡³²¨¢­®±²¨ 0 _ 1 & 2  (0 _ 1 ) & (0 _ 2 ); ´®°¬³«³ ¬®¦­® ¯°¨¢¥±²¨ ª ª®­º¾­ª²¨¢­®© ­®°¬ «¼­®© ´®°¬¥ ¢¨¤  D1 & : : : & Dm , £¤¥ ª ¦¤ ¿ ¨§ ´®°¬³« Di (i = 1; : : :; m) ¥±²¼ ¤¨§º¾­ª², ². ¥. ¨¬¥¥² ¢¨¤ L1 _ : : :Lk , £¤¥ L1 ; : : :; Lk |  ²®¬». ²³ ´®°¬³«³ «¥£ª® ¢®±±² ­®¢¨²¼ ¯® ¥¥ ¡¥±ª¢ ­²®°­®© · ±²¨ (L11 _ : : :L1k1 ) & : : : & (Lm1 _ : : :Lmkm ), ª®²®°³¾ ¬» ®¡®§­ ·¨¬ () ¨, ¢ ±¢®¾ ®·¥°¥¤¼, ¯°¥¤±² ¢«¿¥¬ ¥¥ ¢ ¢¨¤¥ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ D() = fL11 _: : :_L1k1 ; : : :; Lm1 _: : :_Lmkm g. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿  ¢ ¢¨¤¥ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ ¯®«³· ¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬  «£®°¨²¬®¬: 1) ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ¯°¨¢®¤¨¬ ª ±² ­¤ °²­®¬³ ¢¨¤³ ¨ ±²°®¨¬ ´®°¬³«³ (), ª®²®° ¿ ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ , ­¥ ±®¤¥°¦¨² ±¨¬¢®«  ,   ±¨¬¢®« : ±²®¨² ¢ ­¥© ²®«¼ª® ¯¥°¥¤  ²®¬ ¬¨; 2) ¯® ¢»±ª §»¢ ­¨¾ () ±²°®¨¬ ±ª³«¥¬®¢±ª³¾ ´®°¬³ ´®°¬³«»  | ´®°¬³«³ (), ª®²®° ¿ ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ ¢¨¤  8y1 : : : 8yn , £¤¥ | ¡¥±ª¢ ­²®°­ ¿ ´®°¬³« , ¯®±²°®¥­­ ¿ ¨§ «¨²¥° ± ¯®¬®¹¼¾ ±¢¿§®ª & ¨ _, ¯°¨ ½²®¬ ´®°¬³«» () ¨  ° ¢­®¢»¯®«­¨¬»; 59

3) ¢ ´®°¬³«¥ () ®²¡° ±»¢ ¥¬ ª¢ ­²®°», ¡¥±ª¢ ­²®°­³¾ · ±²¼ ¯°¨¢®¤¨¬ ª ª®­º¾­ª²¨¢­®© ­®°¬ «¼­®© ´®°¬¥ ¨ ¯®«³· ¥¬ ´®°¬³«³ () ¢¨¤  D1 & : : : & Dm , £¤¥ D1 ; : : :; Dm | ¤¨§º¾­ª²»; ²®£¤  ¨±ª®¬®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¥±²¼ D() = fD1; : : :; Dm g. °¨¬¥°.

´®°¬³« 

³±²¼  ¥±²¼ ´®°¬³«  :(8x9yP (x; y) & 8u8v(:P (u; v)  R(u))  8zR(z)): ’®£¤  () ¥±²¼

  () ¥±²¼ ´®°¬³«   ª®­¥¶, () ¥±²¼ ´®°¬³«  ¨

8x9yP(x; y) & 8u8v(:P (u; v) _ R(u)) & 9z :R(z); 8xP (x; f(x)) & 8u8v(:P (u; v) _ R(u)) & :R(a): P (x; f(x)) & (:P (u; v) _ R(u)) & :R(a); D() = fP (x; f(x)); :P (u; v) _ R(u); :R(a)g:

‚¢¥¤¥¬ ¢ ¿§»ª ª®­±² ­²³ ?, ª®²®° ¿ ¡³¤¥² ±·¨² ²¼±¿  ²®¬®¬, ®¡®§­ · ¾¹¨¬ À«®¦¼Á. ²®²  ²®¬ ¬®¦­® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¢ ¤¨§º¾­ª² µ, ¯°¨·¥¬ ®·¥¢¨¤­» ±«¥¤³¾¹¨¥ ° ¢­®±¨«¼­®±²¨: A _ ? _ B  A _ B, ? _ ?  ?. ‹¨²¥°  ¢¨¤  A, £¤¥ A |  ²®¬, ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®«®¦¨²¥«¼­®©,   «¨²¥°  ¢¨¤  :A, £¤¥ A |  ²®¬, ­ §»¢ ¥²±¿ ®²°¨¶ ²¥«¼­®©. ‹¨²¥°» A ¨ :A ­ §»¢ ¾²±¿ ª®­²° °­»¬¨. 7.3. °¡° ­®¢±ª¨© ³­¨¢¥°±³¬

„®¯³±²¨¬, ·²® ­ ± ¨­²¥°¥±³¥² ¢®¯°®± ® ¢»¯®«­¨¬®±²¨ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ . Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¤®±² ²®·­® °¥¸¨²¼  ­ «®£¨·­»© ¢®¯°®± ¤«¿ ±ª³«¥¬®¢±ª®© ´®°¬» ¢»±ª §»¢ ­¨¿ , ¨¡® ¢»±ª §»¢ ­¨¿  ¨ () ° ¢­®¢»¯®«­¨¬». Žª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¤«¿ ¢»±ª §»¢ ­¨©, ­ µ®¤¿¹¨µ±¿ ¢ ±ª³«¥¬®¢±ª®© ´®°¬¥, ¢®§¬®¦­»¥ ¬®¤¥«¨ ¬®¦­® ¨±ª ²¼ ±°¥¤¨ ¤®¢®«¼­® ®£° ­¨·¥­­®£® ª« ±±  ¢®§¬®¦­»µ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨© | ² ª ­ §»¢ ¥¬»µ ½°¡° ­®¢±ª¨µ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨©, ª ®¯¨± ­¨¾ ª®²®°»µ ¬» ¯¥°¥µ®¤¨¬. ³±²¼ ¨¬¥¥²±¿ ­¥ª®²®°®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ C . —¥°¥§ CS(C ) ®¡®§­ ·¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ª®­±² ­², ¢±²°¥· ¾¹¨µ±¿ ¢ ¤¨§º¾­ª² µ ¨§ C , ·¥°¥§ FSn(C ) | ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ n-¬¥±²­»µ ´³­ª¶¨®­ «¼­»µ ±¨¬¢®«®¢, ¢±²°¥· ¾¹¨µ±¿ ¢ ¤¨§º¾­ª² µ ¨§ C . ˆ­¤³ª¶¨¥© ¯® n ®¯°¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ²¥°¬®¢ ¡¥§ ¯¥°¥¬¥­­»µ Hn ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ³±²¼ H0 = CS(C ), ¥±«¨ ½²® ¬­®¦¥±²¢® ­¥ ¯³±²®. …±«¨ ¦¥ ¢ ¤¨§º¾­ª² µ ¨§ C ­¥² ­¨ ®¤­®© ª®­±² ­²», ¯³±²¼ H0 = fag, £¤¥ a | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ª®­±² ­² . „®¯³±²¨¬, ·²® ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® i  1 ®¯°¥¤¥«¥­® ¬­®¦¥±²¢® ²¥°¬®¢ Hi 1. ’®£¤  ¯³±²¼ Hi = Hi 1 [ ff(t1 ; : : :; tn)jf 2 F Sn(C ); t1 ; : : :; tn 2 Hi 1; n 2 Ng: 1 S

®«®¦¨¬ H(C ) = Hi. Œ­®¦¥±²¢® H(C ) ­ §»¢ ¥²±¿ ½°¡° ­®¢±ª¨¬ ³­¨¢¥°±³¬®¬ ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ªi=0 ²®¢ C . ³±²¼ C = f:P(x) _ P(f(x)); P (h(x; x)); :P (h(u; v)) _ Q(v)g. ’®£¤  H0 = fag; H1 = fa; f(a); h(a; a)g; H2 = fa; f(a); h(a; a) f(f(a)); f(h(a; a)); h(f(a); f(a)); h(f(a); h(a; a)); h(h(a; a); f(a)); h(h(a; a); h(a; a))g: °¨¬¥°.

³±²¼ C | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢, P Sn(C ) | ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ n-¬¥±²­»µ ¯°¥¤¨ª ²­»µ ±¨¬¢®«®¢, ¢±²°¥· ¾¹¨µ±¿ ¢ ¤¨§º¾­ª² µ ¨§ C . Œ­®¦¥±²¢® AS(C ) = fP(t1; : : :; tn)jP 2 P Sn (C ); t1; : : :; tn 2 H(C ); n 2 Ng ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢®¬  ²®¬®¢ ¤«¿ C . Œ­®¦¥±²¢® LS(C ) = AS(C ) [ f:AjA 2 AS(C )g ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢®¬ «¨²¥° ¤«¿ C . ³±²¼ C | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢, D | ¤¨§º¾­ª² ¨§ C . Ž±­®¢­»¬ ¯°¨¬¥°®¬ ¤¨§º¾­ª²  D ­ §»¢ ¥²±¿ «¾¡®© ¤¨§º¾­ª², ¯®«³·¥­­»© ¯®¤±² ­®¢ª®© ¢ D ½«¥¬¥­²®¢ ½°¡° ­®¢±ª®£® ³­¨¢¥°±³¬  H(C ) ¢¬¥±²® ¯¥°¥¬¥­­»µ. 60

°¨¬¥°. ³±²¼ C = fP (x) _ P(f(x)); :P(a); :P(f(a))g. ’®£¤  P (a) _ P (f(a)) ¨ P (f(a)) _ P (f(f(a))) ±³²¼ ®±­®¢­»¥ ¯°¨¬¥°» ¤¨§º¾­ª²  P(x) _ P(f(x)) ¨§ C . °¡° ­®¢±ª ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ C ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. …¥ ­®±¨²¥«¥¬ ¿¢«¿¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® H(C ). …±«¨ a 2 CS(C ), ²® a = a. …±«¨ f 2 F Sn(C ), ²® f  ¥±²¼ ´³­ª¶¨¿, ª®²®° ¿ ª ¦¤®¬³ ­ ¡®°³ h1 ; : : :; hn ½«¥¬¥­²®¢ ¨§ H(C ) ±®¯®±² ¢«¿¥² ²¥°¬ f(h1 ; : : :; hn) ¨§ H(C ). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½°¡° ­®¢±ª ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ |½²® ­¥ ²® ¦¥ ± ¬®¥, ·²® ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿, ­®±¨²¥«¥¬ ª®²®°®© ¿¢«¿¥²±¿ ½°¡° ­®¢±ª¨© ³­¨¢¥°±³¬. ‚ ¦­®, ·²® ª®­±² ­²» ¨ ´³­ª¶¨®­ «¼­»¥ ±¨¬¢®«» ¨­²¥°¯°¥²¨°³¾²±¿ ®¯°¥¤¥«¥­­»¬ ¢»¸¥ ±² ­¤ °²­»¬ ®¡° §®¬.  §«¨·­»¥ ½°¡° ­®¢±ª¨¥ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ®²«¨· ¾²±¿ ¤°³£ ®² ¤°³£  ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¥© ¯°¥¤¨ª ²­»µ ±¨¬¢®«®¢. °¨¬¥°. ³±²¼ C = fP (x) _ P(f(x)); P(a); :P(f(z)) _ Q(u); :Q(g(y; y))g. ’®£¤  H(C ) = fa; f(a); g(a; a); f(f(a)); : : :g: ‚ ±«³· ¥ ½°¡° ­®¢±ª®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ §­ ·¥­¨¿ ±¨£­ ²³°­»µ ±¨¬¢®«®¢ ² ª®¢», ·²® a = a, f  (h) = f(h) ¤«¿ «¾¡®£® h 2 H(C ), g (h1 ; h2) = g(h1 ; h2) ¤«¿ «¾¡»µ h1; h2 2 H(C ). Š ¦¤»© ¨§ ¯°¥¤¨ª ²­»µ ±¨¬¢®«®¢ P ¨ Q ¬®¦¥² ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼±¿ ± ¬»¬¨ ° §«¨·­»¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨. ®«®¦¨¬, ­ ¯°¨¬¥°, P (h) = 1 ¤«¿ «¾¡®£® h ¨§ H(C ), Q (h1; h2) = 0 ¤«¿ «¾¡»µ h1; h2 2 H(C ). ‚ ½²®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¯¥°¢»© ¤¨§º¾­ª² (¯°¥¤±² ¢«¿¾¹¨© ´®°¬³«³ 8x(P(x) _ P (f(x)))) ¨¬¥¥² §­ ·¥­¨¥ 1  , ±ª ¦¥¬, ²°¥²¨© ¤¨§º¾­ª² (¯°¥¤±² ¢«¿¾¹¨© ´®°¬³«³ 8z 8u(:P(f(z)) _ Q(u))) ¨¬¥¥² §­ ·¥­¨¥ 0. 7.4. ‘³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ ¢»¯®«­¨¬®£® ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢

°¡° ­®¢±ª ¿ ¨­²¥°¯¥² ¶¨¿ ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ C µ ° ª²¥°¨§³¥²±¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¥© ¯°¥¤¨ª ²­»µ ±¨¬¢®«®¢,   ¨¬¥­­®, ¬­®¦¥±²¢®¬  ²®¬®¢ ¤«¿ C , ¨±²¨­­»µ ¢ ½²®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨. ‚ ¦­®±²¼ ° ±±¬®²°¥­¨¿ ½°¡° ­®¢±ª¨µ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨© ®¡³±«®¢«¥­  ±«¥¤³¾¹¥© ²¥®°¥¬®©. ’¥®°¥¬  7.1.

¬®¤¥«¼.

Œ­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ ¢»¯®«­¨¬® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­® ¨¬¥¥² ½°¡° ­®¢±ª³¾

„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ¬ ­³¦­® ¤®ª § ²¼, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ C ¢»¯®«­¨¬®, ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ½°¡° ­®¢±ª ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ¤«¿ C , ¢ ª®²®°®© ¢±¥ ¤¨§º¾­ª²» ¨§ C ¨±²¨­­», ². ¥. ¨±²¨­­  ´®°¬³« , ¯°¥¤±² ¢«¥­­ ¿ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¤¨§º¾­ª²®¢ C . Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ½°¡° ­®¢±ª ¿ ¬®¤¥«¼ ¤«¿ C , ²® C ¢»¯®«­¨¬®. „®ª ¦¥¬ ®¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. „®¯³±²¨¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ C ¢»¯®«­¨¬®, ¨ ¯³±²¼ M | ¥£® ¬®¤¥«¼ ± ­®±¨²¥«¥¬ M. „«¿ ¯°®¨§¢®«¼­»µ c 2 CS(C ), f 2 F S(C ), P 2 P S(C ) ¯®±°¥¤±²¢®¬ c ; f  ; P  ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ¨µ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¢ M. Ž¯°¥¤¥«¨¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ! : H(C ) ! M ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. …±«¨ c 2 CS(C ), ²® !(c) = c . …±«¨ CS(C ) = ; ¨ H0 = fag, ²® ¯³±²¼ !(a) | ¯°®¨§¢®«¼­»© (­® ´¨ª±¨°®¢ ­­»©) ½«¥¬¥­² ¨§ M. …±«¨ ¤«¿ ²¥°¬®¢ t1; : : :; tn 2 H(C ) ®¯°¥¤¥«¥­» §­ ·¥­¨¿ !(t1 ); : : :; !(tn ), ¨ f 2 F Sn(C ), ²® !(f(t1 ; : : :; tn)) = f  (!(t1 ); : : :; !(tn )). ¥²°³¤­® § ¬¥²¨²¼, ·²® ¥±«¨ CS(C ) 6= ;, ²® ¤«¿ «¾¡®£® ²¥°¬  t 2 H(C ) ½«¥¬¥­² !(t) ¥±²¼ t | §­ ·¥­¨¥ ²¥°¬  t ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M. ’¥¯¥°¼ ¯®±²°®¨¬ ½°¡° ­®¢±ª³¾ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¾, ª®²®°³¾ ¬» ®¡®§­ ·¨¬ H(M), ¢ ®¯°¥¤¥«¥­­®¬ ±¬»±«¥ ±®£« ±®¢ ­­³¾ ± ¬®¤¥«¼¾ M. „«¿ § ¤ ­¨¿ ½°¡° ­®¢±ª®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¤®±² ²®·­® ³ª § ²¼ §­ ·¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²­»µ ±¨¬¢®«®¢. „«¿ P 2 P Sn(C ) ¯°¥¤¨ª ² P, ¨­²¥°¯°¥²¨°³¾¹¨© ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®« P ¢ H(M), ®¯°¥¤¥«¨¬ ² ª: P(t1 ; : : :; tn) = P (!(t1 ); : : :; !(tn )) ¤«¿ «¾¡»µ ²¥°¬®¢ t1 ; : : :; tn 2 H(C ). „®ª ¦¥¬, ·²® ² ª ¯®±²°®¥­­ ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ H(M) ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ C . ³±²¼ C = fD1 ; : : :; Dm g. ’®£¤  C ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ´®°¬³«³ 8y1 : : : 8yp (D1 & : : :& Dm ), £¤¥ y1 ; : : :; yp | ¢±¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ¤¨§º¾­ª²» D1 ; : : :; Dm . „®¯³±²¨¬, ·²® ½²  ´®°¬³«  «®¦­  ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H(M). ®ª ¦¥¬, ·²® ¢ ² ª®¬ ±«³· ¥ ®­  «®¦­  ¨ ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M. Ž²±¾¤  ¡³¤¥² ±«¥¤®¢ ²¼ ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ² ª ª ª M | ¬®¤¥«¼ ¤«¿ C . ˆ² ª, ¯³±²¼ ´®°¬³« , ¯°¥¤±² ¢«¥­­ ¿ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¤¨§º¾­ª²®¢ C , «®¦­  ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H(M). ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ®¶¥­ª  v : V ! H(C ), ¯°¨ ª®²®°®© ­¥ª®²®°»© ¤¨§º¾­ª² Di ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 0 ¢ ¨­²¥°¯°°¥² ¶¨¨ H(M). ³±²¼ ½²®² ¤¨§º¾­ª² ¨¬¥¥² ¢¨¤ L1 _ : : :_ Lk , £¤¥ L1 ; : : :; Lk | «¨²¥°». ³±²¼ L 2 fL1 ; : : :; Lk g. ’®£¤  «¨²¥°  L ² ª¦¥ ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 0 ¢ ¨­²¥°¯°°¥² ¶¨¨ H(M) ¯°¨ ®¶¥­ª¥ v. ‹¨²¥°  L ¨¬¥¥² ¢¨¤ P (t1; : : :; tn) ¨«¨ :P(t1; : : :; tn) ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® ¯°¥¤¨ª ²­®£® ±¨¬¢®«  P 2 P S(C ) ¨ ­¥ª®²®°»µ ²¥°¬®¢ t1; : : :; tn. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®¶¥­ª  ¯¥°¥¬¥­­»µ v0 : V ! M, ·²® ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ «¾¡®£®  ²®¬  ¯°¨ ®¶¥­ª¥ v0 ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¨±²¨­­®±²­»¬ §­ ·¥­¨¥¬ ½²®£®  ²®¬  ¯°¨ ®¶¥­ª¥ v ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H(M). „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ² ª ª ª ¯°¨ ®¶¥­ª¥ v «¨²¥°  L ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 0 ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H(M), ²® ¯°¨ ®¶¥­ª¥ v0 ½²  «¨²¥°  ¯°¨¬¥² §­ ·¥­¨¥ 0 ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M. ®±ª®«¼ª³ ½²® ¢¥°­® ¤«¿ «¾¡®© «¨²¥°» L 2 fL1 ; : : :; Lk g, ²® ¯°¨ ®¶¥­ª¥ v0 ¤¨§º¾­ª² Di ¯°¨¬¥² §­ ·¥­¨¥ 0 ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M. ‡­ ·¨², ´®°¬³« , ¯°¥¤±² ¢«¥­­ ¿ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¤¨§º¾­ª²®¢ C , «®¦­  ¢ ¨­²¥°¯°°¥² ¶¨¨ M.

61

Ž¶¥­ª³ v0 ®¯°¥¤¥«¨¬ ² ª: v0 (x) = !(v(x)) ¤«¿ «¾¡®© ¯¥°¥¬¥­­®© x. ˆ±¯®«¼§³¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ !, ­¥²°³¤­® ¤®ª § ²¼, ·²® ¨¬¥¥² ¬¥±²® ° ¢¥­±²¢® v0 (t) = !(v(t)) ¤«¿ «¾¡®£® ²¥°¬  t. ‡­ ·¥­¨¿¬¨ ²¥°¬®¢ t1; : : :; tn ¯°¨ ®¶¥­ª¥ v ¡³¤³² ­¥ª®²®°»¥ ²¥°¬» h1 ; : : :; hn 2 H(C ). ’®£¤  §­ ·¥­¨¿¬¨ ½²¨µ ²¥°¬®¢ ¯°¨ ®¶¥­ª¥ v0 ¡³¤³² ½«¥¬¥­²» !(h1 ); : : :; !(hn ) 2 M: ‡­ ·¥­¨¥¬  ²®¬  P (t1 ; : : :; tn) ¯°¨ ®¶¥­ª¥ v0 ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ M ¡³¤¥² P  (!(h1 ); : : :; !(hn)),   §­ ·¥­¨¥¬ ½²®£®  ²®¬  ¯°¨ ®¶¥­ª¥ v ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H(M) ¡³¤¥² P (h1; : : :; hn). ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H(M), ½²¨ §­ ·¥­¨¿ ±®¢¯ ¤ ¾². ‡­ ·¨², v0 | ¨±ª®¬ ¿ ®¶¥­ª . 2 ’¥®°¥¬  7.1 ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¤«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ­¥¢»¯®«­¨¬®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ C ¤®±² ²®·­® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ½²® ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ ­¥ ¨¬¥¥² ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨. ®±ª®«¼ª³ ¢ ½°¡° ­®¢±ª¨µ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿µ ¤«¿ C ¢±¥ ª®­±² ­²» ¨ ´³­ª¶¨®­ «¼­»¥ ±¨¬¢®«» ¨¬¥¾² ´¨ª±¨°®¢ ­­»© ±¬»±«, ¢±¥ ¢­¨¬ ­¨¥ ¤®«¦­® ³¤¥«¿²¼±¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¯°¥¤¨ª ²­»µ ±¨¬¢®«®¢, ª®²®°³¾ ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ¯°¨¯¨±»¢ ­¨¥ ¨±²¨­­®±²­»µ §­ ·¥­¨©  ²®¬ ¬ ¨§ AS(C ). € ¨¬¥­­®, ¢»¯®«­¨¬®±²¼ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ C ®§­ · ¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ¯°¨¯¨±»¢ ­¨¥ ¨±²¨­­®±²­»µ §­ ·¥­¨©  ²®¬ ¬ ¨§ AS(C ), ¯°¨ ª®²®°®¬ ¢±¥ ®±­®¢­»¥ ¯°¨¬¥°» ¤¨§º¾­ª²®¢ ¨§ C ¨±²¨­­». °¨¬¥°. ³±²¼ C = fP (x; f(a)); :P(u; v) _ Q(f(v)); :Q(z)g. ‘°¥¤¨ ®±­®¢­»µ ¯°¨¬¥°®¢ ¤¨§º¾­ª²®¢ ¨§ C ¥±²¼ ² ª¨¥: P (a; f(a); :P (a; f(a)) _ Q(f(f(a))); :Q(f(f(a))): Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ®­¨ ­¥ ¬®£³² ¡»²¼ ¨±²¨­­» ®¤­®¢°¥¬¥­­®, §­ ·¨², ¬­®¦¥±²¢® C ­¥¢»¯®«­¨¬®. ‡ ¤ ·¨

1) Ž¯°¥¤¥«¨²¼, ±³¹¥±²¢³¥² «¨ ½°¡° ­®¢±ª ¿ ¬®¤¥«¼ ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢  ) fP (x); :Q(f(y))g; ¡) fP (x); :P (f(y))g. 2) „®ª § ²¼, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ fP(x); :P(y) _ Q(y; a); :Q(z; a)g ­¥¢»¯®«­¨¬®. 7.5. ’¥®°¥¬  °¡° ­ 

Œ­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ C ­¥¢»¯®«­¨¬® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­®¥ ­¥¢»¯®«­¨¬®¥ ¬­®¦¥±²¢® ®±­®¢­»µ ¯°¨¬¥°®¢ ¤¨§º¾­ª²®¢ ¨§ C . ’¥®°¥¬  7.2 (²¥®°¥¬  °¡° ­ ).

„®¯³±²¨¬, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­®¥ ­¥¢»¯®«­¨¬®¥ ¬­®¦¥±²¢® C 0 = fD10 ; : : :; Dk0 g ®±­®¢­»µ ¯°¨¬¥°®¢ ¤¨§º¾­ª²®¢ ¨§ C . Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ´®°¬³«  D10 & : : :& Dk0 ¯®«³· ¥²±¿ ¯®¤±² ­®¢ª®© ²¥°¬®¢ ¨§ H(C ) ¢ ´®°¬³«³ ¢¨¤  D1 & : : :& Dk , £¤¥ D1 ; : : :; Dk | ­¥ª®²®°»¥ ¤¨§º¾­ª²» ¨§ C . ’ ª ª ª ´®°¬³«  D10 & : : :& Dk0 ­¥¢»¯®«­¨¬ , ²® ­¥ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨, ¢ ª®²®°®© ¢±¥ ®±­®¢­»¥ ¯°¨¬¥°» ¢±¥µ ¤¨§º¾­ª²®¢ ¨§ C ¡»«¨ ¡» ¨±²¨­­». ²® ®§­ · ¥², ·²® ¬­®¦¥±²¢® C ­¥¢»¯®«­¨¬®. Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ C ­¥¢»¯®«­¨¬®. ’®£¤ , ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 7.1, ­¥ ±³¹¥±²¢³¥² ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ C ,   ½²® ®§­ · ¥², ·²® ­¥¢»¯®«­¨¬® ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ®±­®¢­»µ ¯°¨¬¥°®¢ ¤¨§º¾­ª²®¢ ¨§ C . ‚ ±¨«³ «®ª «¼­®© ²¥®°¥¬» (²¥®°¥¬  6.16), ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­®¥ ­¥¢»¯®«­¨¬®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ½²®£® ¬­®¦¥±²¢ , ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 „®ª § ²¥«¼±²¢®.

‡ ¤ ·¨

1)  ©²¨ ­¥¢»¯®«­¨¬®¥ ¬­®¦¥±²¢® ®±­®¢­»µ ¯°¨¬¥°®¢ ¤¨§º¾­ª²®¢ ¨§ C , ¥±«¨  ) C = fP (x; a; g(x; b)); :P (f(y); z; g(f(a); b))g; ¡) C = fP (x); Q(y; f(y)) _ :P (y); :Q(g(u); v)g. 2) „®ª § ²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ²¥®°¥¬» °¡° ­ , ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«» ®¡¹¥§­ ·¨¬»:  ) 8x9yP(x; y)  9y8xP (x; y); ¡) :9xP (x)  :8xP (x); ¢) (8x(P (x)  :Q(x))  :(9xP (x) & 8xQ(x)); £) (8x(P (x)  :Q(x))  :(8xP (x) & 9xQ(x)).

62

7.6. Œ¥²®¤ °¥§®«¾¶¨© ¤«¿ «®£¨ª¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©

³±²¼ C | ª®­¥·­®¥ ¨«¨ ¡¥±ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢, ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¨µ ¯¥°¥¬¥­­»µ. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥  ²®¬» ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¨¡® ° §«¨·­»¥  ²®¬» ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¿ 0 ¨ 1 ­¥§ ¢¨±¨¬® ¤°³£ ®² ¤°³£ . Œ» ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¤¨§º¾­ª²» ª ª ¬­®¦¥±²¢  «¨²¥°. ²® §­ ·¨², ·²® ¯®°¿¤®ª «¨²¥° ¢ ¤¨§º¾­ª²¥ ­¥ ¨£° ¥² ­¨ª ª®© °®«¨, ¨ ¢ ¤¨§º¾­ª²¥ ­¥² ¯®¢²®°¿¾¹¨µ±¿ «¨²¥°. ³±²®© ¤¨§º¾­ª² ®¡®§­ · ¥²±¿ ? ¨ ±·¨² ¥²±¿ ²®¦¤¥±²¢¥­­® «®¦­»¬. ³±²¼ ¤¨§º¾­ª²» D1 ¨ D2 ±®¤¥°¦ ² ª®­²° °­»¥ «¨²¥°», ². ¥. ¨¬¥¾² ¢¨¤ C1 _ P ¨ C2 _ :P , £¤¥ C1; C2 | ¤¨§º¾­ª²», P | ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­ ¿ ¯¥°¥¬¥­­ ¿. ¥§®«¼¢¥­²®© ¤¨§º¾­ª²®¢ D1 ¨ D2 ­ §»¢ ¥²±¿ ¤¨§º¾­ª² ‘1 _ ‘2 . ²³ °¥§®«¼¢¥­²³ ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ °¥§®«¼¢¥­²®© ¯® ¯¥°¥¬¥­­®© P . ‚ ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤  ¤¨§º¾­ª²» D1 ¨ D2 ¨¬¥¾² ¢¨¤ A ¨ :A, £¤¥ A |  ²®¬, ¨µ °¥§®«¼¢¥­²®© ±·¨² ¥²±¿ ¯³±²®© ¤¨§º¾­ª². °¨¬¥°.

„¨§º¾­ª² Q _ R ¿¢«¿¥²±¿ °¥§®«¼¢¥­²®© ¤¨§º¾­ª²®¢ P _ R ¨ :P _ Q _ R ¯® ¯¥°¥¬¥­­®© P .

° ¢¨«® °¥§®«¾¶¨¨ ¯®§¢®«¿¥² ¨§ ¤¢³µ ¤¨§º¾­ª²®¢, ±®¤¥°¦ ¹¨µ ª®­²° °­»¥ «¨²¥°», ¯®«³·¨²¼ ¨µ °¥-

§®«¼¢¥­²³.

’¥®°¥¬  7.3.

…±«¨ D | °¥§®«¼¢¥­²  ¤¨§º¾­ª²®¢ D1 ¨ D2 , ²® fD1 ; D2 g j= D:

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¤¨§º¾­ª²» D1 ¨ D2 ¨¬¥¾² ¢¨¤ C1 _ A ¨ C2 _ :A, £¤¥ C1 ¨ C2 | ¤¨§º¾­ª²» (¢®§¬®¦­®, ¯³±²»¥), A |  ²®¬. ’®£¤  D ¥±²¼ C1 _ C2,   fD1; D2 g j= D ®§­ · ¥², ·²® ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ v, ¥±«¨ v(C1 _ A) = 1 ¨ v(C2 _ :A) = 1, ²® v(C1 _ C2 ) = 1. ³±²¼ v | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ®¶¥­ª , ¤«¿ ª®²®°®© v(C1 _ A) = 1, v(C2 _ :A) = 1. …±«¨ v(A) = 0, ²®, ®·¥¢¨¤­®, v(C1 ) = 1,   ¥±«¨ v(A) = 1, ²® v(C2 ) = 1. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ «¾¡®¬ ±«³· ¥ v(D) = 1, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 ¥§®«¾¶¨®­­»¬ ¢»¢®¤®¬ ¤¨§º¾­ª²  D ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ C ­ §»¢ ¥²±¿ ª®­¥·­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¤¨§º¾­ª²®¢, ¢ ª®²®°®© ª ¦¤»© ¤¨§º¾­ª² «¨¡® ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ C , «¨¡® ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ¤¢³µ ¯°¥¤¸¥±²¢³¾¹¨µ ¤¨§º¾­ª²®¢ ¯® ¯° ¢¨«³ °¥§®«¾¶¨¨,   ¯®±«¥¤­¨© ¤¨§º¾­ª² ¥±²¼ D. °¨¬¥°. ‘«¥¤³¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¤¨§º¾­ª²®¢ ¿¢«¿¥²±¿ °¥§®«¾¶¨®­­»¬ ¢»¢®¤®¬ ¯³±²®£® ¤¨§º¾­ª²  ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ C = f:P _ Q; :Q; P g: 1) :P _ Q; 2) :Q; 3) P; 4) :P (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ °¥§®«¾¶¨¨ ¨§ ¤¨§º¾­ª²®¢ 1 ¨ 2); 5) ? (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ °¥§®«¾¶¨¨ ¨§ ¤¨§º¾­ª²®¢ 3 ¨§ ¨ 4). …±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² °¥§®«¾¶¨®­­»© ¢»¢®¤ ¤¨§º¾­ª²  D ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ C , ¯¨¸³² C ` D. ’¥®°¥¬  7.4.

…±«¨ C ` D, ²® C j= D.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ v | ² ª ¿ ®¶¥­ª  ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ·²® v(C ) = f1g. ³±²¼ D1 ; : : :; Dn | °¥§®«¾¶®­­»© ¢»¢®¤ ¤¨§º¾­ª²  D ¨§ C (½²® ®§­ · ¥², ¢ · ±²­®±²¨, ·²® Dn ¥±²¼ D). ˆ­¤³ª¶¨¥© ¯® i ¤®ª ¦¥¬, ·²® v(Di ) = 1. …±«¨ ¤¨§º¾­ª² Di ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ C , ²® v(Di ) = 1 ¯® ³±«®¢¨¾. ‚ · ±²­®±²¨, v(D1 ) = 1. ³±²¼ ¤«¿ ¢±¥µ j < i ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢¥°­®, ¨ ¯³±²¼ ¤¨§º¾­ª² Di ¯®«³·¥­ ¯® ¯° ¢¨«³ °¥§®«¾¶¨¨ ¨§ ¤¨§º¾­ª²®¢ Dk ¨ Dl , £¤¥ k; l < i, ² ª ·²® v(Dk ) = v(Dl ) = 1. ’®£¤ , ¯® ²¥®°¥¬¥ 7.3, v(Di ) = 1, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 Œ¥²®¤ °¥§®«¾¶¨© ¬®¦¥² ¡»²¼ ¨±¯®«¼§®¢ ­ ¤«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ­¥¢»¯®«­¨¬®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢. ’¥®°¥¬  7.5.

…±«¨ C ` ?, ²® ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ C ­¥¢»¯®«­¨¬®.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥¢»¯®«­¨¬®±²¼ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ C ®§­ · ¥², ·²® ­¥ ±³¹¥±²¢³¥² ®¶¥­ª¨ v, ¯°¨ ª®²®°®© ¢±¥ ¤¨§º¾­ª²» ¨§ C ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 1. „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥, ². ¥. v(C ) = f1g ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ®¶¥­ª¨. …±«¨ ¯°¨ ½²®¬ C ` ?, ²®, ¯® ²¥®°¥¬¥ 7.4, v(?) = 1, ·²® ­¥¢®§¬®¦­®. 2 ’¥®°¥¬  7.6 (²¥®°¥¬  ® ¯®«­®²¥ ¬¥²®¤  °¥§®«¾¶¨©).

²® C ` ?.

63

…±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ C ­¥¢»¯®«­¨¬®,

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ C ­¥¢»¯®«­¨¬®. ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» ª®¬¯ ª²­®±²¨ ¤«¿ «®£¨ª¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©(²¥®°¥¬  2.9), ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­®¥ ­¥¢»¯®«­¨¬®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® C 0 ¬­®¦¥±²¢  C . …±«¨ ¬» ¤®ª ¦¥¬, ·²® C 0 ` ?, ²®, ®·¥¢¨¤­®, ¡³¤¥² ¤®ª § ­® C ` ?. ˆ² ª, ¯³±²¼ C 0 ` ? | ª®­¥·­®¥ ­¥¢»¯®«­¨¬®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢. ˆ­¤³ª¶¨¥© ¯® ª®«¨·¥±²¢³ ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ ¤¨§º¾­ª² µ ¨§ C 0 ¤®ª ¦¥¬, ·²® C 0 ` ?. …±«¨ ¢ C 0 ¢®®¡¹¥ ­¥² ¯¥°¥¬¥­­»µ, ²® C 0 ±®±²®¨² ²®«¼ª® ¨§ ¯³±²®£® ¤¨§º¾­ª²  ?, ¨ ²®£¤  C 0 ` ?. ³±²¼ ±³¹¥±²¢³¥² °¥§®«¾¶¨®­­»© ¢»¢®¤ ¯³±²®£® ¤¨§º¾­ª²  ¨§ «¾¡®£® ­¥¢»¯®«­¨¬®£® ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢, ±®¤¥°¦ ¹¥£®  n ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¨ ¯³±²¼ C 0 | ª®­¥·­®¥ ­¥¢»¯®«­¨¬®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢, ¢ ª®²®°®¬ n + 1 ¯¥°¥¬¥­­»µ. ³±²¼ P | ¯¥°¥¬¥­­ ¿, ¢µ®¤¿¹ ¿ ¢ C 0 . Œ®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ¢ C 0 ­¥² ¤¨§º¾­ª²®¢, ª®²®°»¥ ±®¤¥°¦ «¨ ¡» ®¤­®¢°¥¬¥­­® «¨²¥°» P ¨ :P , ² ª ª ª ¯°¨ ³¤ «¥­¨¨ ² ª¨µ ¤¨§º¾­ª²®¢ ¨§ ­¥¢»¯®«­¨¬®£® ¬­®¦¥±²¢  ¯®«³· ¥²±¿ ­¥¢»¯®«­¨¬®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢. —¥°¥§ C00 ®¡®§­ ·¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ²¥µ ¤¨§º¾­ª²®¢ ¨§ C 0 , ª®²®°»¥ ­¥ ±®¤¥°¦ ² ¯¥°¥¬¥­­³¾ P , ·¥°¥§ C+0 ®¡®§­ ·¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ ¨§ C 0 , ª®²®°»¥ ±®¤¥°¦ ² «¨²¥°³ P ,   ·¥°¥§ C 0 | ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ ¨§ C 0 , ª®²®°»¥ ±®¤¥°¦ ² «¨²¥°³ :P . „®¯³±²¨¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® C 0 ¯³±²®. ’®£¤  ª ¦¤»© ¤¨§º¾­ª², ±®¤¥°¦ ¹¨© ¯¥°¥¬¥­­³¾ P , ¨¬¥¥² ¢¨¤ D _ P , £¤¥ D | ¤¨§º¾­ª². ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ C00 ­¥¯³±²® ¨ ­¥¢»¯®«­¨¬®. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ ¡» ­ ¸« ±¼ ®¶¥­ª  v, ¤«¿ ª®²®°®© v(C00 ) = f1g, ²®, ¯®«®¦¨¢ v(P ) = 1, ¬» ¯®«³·¨«¨ ¡», ·²® v(C+0 ) = f1g, §­ ·¨² ¨ v(C 0 ) = f1g, ·²® ­¥¢®§¬®¦­®, ² ª ª ª, ¯® ³±«®¢¨¾, ¬­®¦¥±²¢® C 0 ­¥¢»¯®«­¨¬®. Œ­®¦¥±²¢® C00 ±®¤¥°¦¨²  n ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¨, ¯® ¨­¤³ª²¨¢­®¬³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾, ¨¬¥¥² ¬¥±²® C00 ` ?, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, C 0 ` ?. €­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® C 0 ` ?, ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® C+0 ¯³±²®.  ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ±«³· ©, ª®£¤  ¬­®¦¥±²¢  C 0 ¨ C+0 ®¡  ­¥ ¯³±²». Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ C10 ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ °¥§®«¼¢¥­² ¤¨§º¾­ª²®¢ ¨§ C 0 ¨ C+0 ¯® ¯¥°¥¬¥­­®© P. „®ª ¦¥¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® C00 [C10 ­¥¢»¯®«­¨¬®. „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥, ². ¥. ·²® ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ®¶¥­ª¨ v ¨¬¥¥² ¬¥±²® v(C00 ) = f1g ¨ v(C10 ) = f1g. °®¤®«¦¨¬ ½²³ ®¶¥­ª³ ­  ¯¥°¥¬¥­­³¾ P , ¯®«®¦¨¢ v(P ) = 1. ’ ª ª ª ¬­®¦¥±²¢® C 0 ­¥¢»¯®«­¨¬®, ²® ¢ ­¥¬ ­ ©¤¥²±¿ ¤¨§º¾­ª², ª®²®°»© ¯°¨ ² ª®© ®¶¥­ª¥ ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 0. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ®­ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ C 0 ¨ ¨¬¥¥² ¢¨¤ D1 _ :P , ¯°¨·¥¬ v(D1 ) = 0. …±«¨ ¦¥ ®¶¥­ª³ v ¯°®¤®«¦¨²¼ ­  ¯¥°¥¬¥­­³¾ P, ¯®«®¦¨¢ v(P ) = 0, ²® ­ ©¤¥²±¿ ¤¨§º¾­ª² ¨§ C+0 ¢¨¤  D2 _ P , £¤¥ v(D2 ) = 0. ¥§®«¼¢¥­²  ¤¨§º¾­ª²®¢ D1 _ :P ¨ D2 _ P ¥±²¼ D1 _ D2 ¨ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ C10 , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, v(D1 _ D2 ) = 1. ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», v(D1 _ D2 ) = v(D1 ) _ v(D2 ) = 0. ®«³·¥­­®¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ¬­®¦¥±²¢® C00 [ C10 ­¥¢»¯®«­¨¬®. ‚ ½²®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ n ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¨, ¯® ¨­¤³ª²¨¢­®¬³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾, ¨§ ­¥£® ¢»¢®¤¨¬ ¯³±²®© ¤¨§º¾­ª². ’ ª ª ª ª ¦¤»© ¤¨§º¾­ª² ¬­®¦¥±²¢  C00 [C10 ¢»¢®¤¨¬ ¨§ C 0 , ¢ ±¨«³ ²° ­§¨²¨¢­®±²¨ ®²­®¸¥­¨¿ ¢»¢®¤¨¬®±²¨ ¯®«³· ¥¬ C 0 ` ?, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼. 2 ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ ¿¢«¿¥²±¿ ­¥¢»¯®«­¨¬»¬ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¨§ ­¥£® ¢»¢®¤¨²±¿ ¯³±²®© ¤¨§º¾­ª². ‡ ¤ ·¨

1) ‘ ¯®¬®¹¼¾ ¬¥²®¤  °¥§®«¾¶¨© ¤®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ ­¥¢»¯®«­¨¬»:  ) fP _ Q _ R; :P _ R; :Q; :Rg; ¡) fP _ Q; :Q _ R; :P _ Q; :Rg. 2) ‘ ¯®¬®¹¼¾ ¬¥²®¤  °¥§®«¾¶¨© ¤®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«» ²®¦¤¥±²¢¥­­® ¨±²¨­­»:  ) P _ :P & Q  P _ Q; ¡) (P _ Q) & (P _ :Q)  P; ¢) (P _ Q) & (Q _ R) & (R _ P)  P & Q _ Q & R _ R & P . 7.7. €«£®°¨²¬ ³­¨´¨ª ¶¨¨

³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ­ ­¥ª®²®°»© ¿§»ª ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ±¨£­ ²³°» . ®¤±² ­®¢ª®© ­ §»¢ ¥²±¿ · ±²¨·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¯¥°¥¬¥­­»µ V ¢ ¬­®¦¥±²¢® T ¢±¥µ ²¥°¬®¢ ±¨£­ ²³°» ± ª®­¥·­®© ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿. …±«¨  | ¯®¤±² ­®¢ª  ± ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ fx1; : : :; xm g, ¯°¨·¥¬ (xi ) = si (i = 1; : : :; m), ²® ¯¨¸³²  = fx1 ! s1 ; : : :; xm ! sm g:  ¯°¨¬¥°, ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯®¤±² ­®¢ª¨ fx ! f(z); z ! yg ±®±²®¨² ¨§ ¯¥°¥¬¥­­»µ x ¨ z, ¯°¨·¥¬ ¯¥°¥¬¥­­®© x ½²  ¯®¤±² ­®¢ª  ±®¯®±² ¢«¿¥² ²¥°¬ f(z),   ¯¥°¥¬¥­­®© z | ²¥°¬ y. ³±² ¿ ¯®¤±² ­®¢ª  ®¡®§­ · ¥²±¿ ". „«¿ ª ¦¤®£® ²¥°¬  t ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¥£® ¯®±²°®¥­¨¾ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ²¥°¬ t | °¥§³«¼² ² ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ¯®¤±² ­®¢ª¨  ª ²¥°¬³ t. …±«¨ t ¥±²¼ x 2 V , ¯°¨·¥¬ x 62 fx1; : : :; xng, ²® t = t. …±«¨ ²¥°¬ t ¥±²¼ x 2 fx1; : : :; xng, ²® t = (x). …±«¨ ²¥°¬ t ¨¬¥¥² ¢¨¤ f(t1 ; : : :; tn), £¤¥ f | ´³­ª¶¨®­ «¼­»© ±¨¬¢®«, t1; : : :; tn 2 T, ²® t = f(t1 ; : : :; tn).   ½²®¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ²¥°¬  t § ¢¥°¸¥­®. ® ±³²¨, °¥§³«¼² ² ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ¯®¤±² ­®¢ª¨  = fx1 ! s1 ; : : :; xm ! sm g ª ²¥°¬³ t | ½²® °¥§³«¼² ² ¯®¤±² ­®¢ª¨ ¢ t ²¥°¬®¢ s1 ; : : :; sm ¢¬¥±²® ¢±¥µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­»µ x1; : : :; xm ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. 64

°¨¬¥°. ³±²¼  = fx ! f(x); y ! g(x; z), ²¥°¬ t ¥±²¼ g(f(x); g(f(z); y)). ’®£¤  t ¥±²¼ ²¥°¬ g(f(f(x)); g(f(z); g(x; z))).

„«¿ ª ¦¤®© ´®°¬³«»  ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¥¥ ¯®±²°®¥­¨¾ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³«   | °¥§³«¼² ² ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ¯®¤±² ­®¢ª¨  ª ´®°¬³«¥ . …±«¨  ¥±²¼  ²®¬ P(t1 ; : : :; tn), £¤¥ P | ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®«, t1; : : :; tn 2 T, ²®  ¥±²¼ ´®°¬³«  P(t1 ; : : :; tn ). …±«¨  ¨¬¥¥² ¢¨¤ 1 2 , £¤¥  2 f&; _; g, ²®  ¥±²¼ ´®°¬³«  ( 1 )( 2 ). …±«¨  ¨¬¥¥² ¢¨¤ : , ²®  ¥±²¼ ´®°¬³«  :( ).  ª®­¥¶, ¥±«¨  ¨¬¥¥² ¢¨¤ x , £¤¥  2 f8; 9g, x 2 V , ¯°¨·¥¬ x 62 fx1; : : :; xng, ²®  ¥±²¼ ´®°¬³«  x( ). …±«¨ ¦¥  ¨¬¥¥² ¢¨¤ x , £¤¥  2 f8; 9g, x 2 fx1; : : :; xng, ²®  ¥±²¼ ´®°¬³«  x( 0 ), £¤¥ 0 = jfx1 ;:::;xn gnfxg , ². ¥. 0 ¥±²¼ ±³¦¥­¨¥ ¯®¤±² ­®¢ª¨  ¯³²¥¬ ¢»¡° ±»¢ ­¨¿ ¯¥°¥¬¥­­®© x ¨§ ¥¥ ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿.   ½²®¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ´®°¬³«»  § ¢¥°¸¥­®. ® ±³²¨, °¥§³«¼² ² ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ¯®¤±² ­®¢ª¨  = fx1 ! s1 ; : : :; xm ! sm g ª ´®°¬³«¥  | ½²® °¥§³«¼² ² ¯®¤±² ­®¢ª¨ ¢  ²¥°¬®¢ s1 ; : : :; sm ¢¬¥±²® ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­»µ x1 ; : : :; xm ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ³±²¼ ¤ ­» ¯®¤±² ­®¢ª¨  = fx1 ! t1 ; : : :; xn ! tng ¨  = fy1 ! u1 ; : : :; ym ! um g. °®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ (¨«¨ ª®¬¯®§¨¶¨¥©) ¯®¤±² ­®¢®ª  ¨  ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®¤±² ­®¢ª , ®¡®§­ · ¥¬ ¿   , ª®²®° ¿ ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  fx1 ! t1; : : :; xn ! tn; y1 ! u1; : : :; ym ! um g ¢»·¥°ª¨¢ ­¨¥¬ ¢±¥µ ½«¥¬¥­²®¢ xj ! tj , ¤«¿ ª®²®°»µ tj  = xj , ¨ ¢±¥µ ½«¥¬¥­²®¢ yi ! ui , ¤«¿ ª®²®°»µ yi 2 fx1; : : :; xng. °¨¬¥°.

³±²¼  = fx ! f(y); y ! z g;  = fx ! a; y ! b; z ! yg. ’®£¤     = fx ! f(b); z ! yg:

°®¨§¢¥¤¥­¨¥    ¯®¤±² ­®¢®ª  ¨  ®¡« ¤ ¥² ²¥¬ ±¢®©±²¢®¬, ·²® E(  ) = (E) ¤«¿ «¾¡®£® ¢»° ¦¥­¨¿ E. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® "   =   " = ; ª ª®¢  ¡» ­¨ ¡»«  ¯®¤±² ­®¢ª  . ®¤±² ­®¢ª   ­ §»¢ ¥²±¿ ³­¨´¨ª ²®°®¬ ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  ¢»° ¦¥­¨© fE1; : : :; Ekg, ¥±«¨ E1  = : : : = Ek . Œ­®¦¥±²¢® ¢»° ¦¥­¨© ­ §»¢ ¥²±¿ ³­¨´¨¶¨°³¥¬»¬, ¥±«¨ ¤«¿ ­¥£® ±³¹¥±²¢³¥² ³­¨´¨ª ²®°. °¨¬¥°. Œ­®¦¥±²¢®  ²®¬®¢ fP(a; y); P(x; f(b))g ³­¨´¨¶¨°³¥¬®. ®¤±² ­®¢ª  fx ! a; y ! f(b)g ¿¢«¿¥²±¿ ¥£® ³­¨´¨ª ²®°®¬.

“­¨´¨ª ²®°  ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  ¢»° ¦¥­¨© W ­ §»¢ ¥²±¿ ­ ¨¡®«¥¥ ®¡¹¨¬ ³­¨´¨ª ²®°®¬ ¤«¿ W , ¥±«¨, ª ª®¢ ¡» ­¨ ¡»« ³­¨´¨ª²®°  ¤«¿ W , ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¯®¤±² ­®¢ª  , ·²®  =   . Žª §»¢ ¥²±¿, ¤«¿ «¾¡®£® ³­¨´¨¶¨°³¥¬®£® ¬­®¦¥±²¢  ¢»° ¦¥­¨© ±³¹¥±²¢³¥² ­ ¨¡®«¥¥ ®¡¹¨© ³­¨´¨ª ²®°. Ž­ ¬®¦¥² ¡»²¼ ­ ©¤¥­ ± ¯®¬®¹¼¾ ±«¥¤³¾¹¥£®  «£®°¨²¬ . ³±²¼ ¤ ­® ¬­®¦¥±²¢® ¢»° ¦¥­¨© W . Œ­®¦¥±²¢® ° ±±®£« ±®¢ ­¨© ¤«¿ W ¯®«³· ¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ‚ ¢»° ¦¥­¨¿µ ¨§ W ¢»¿¢«¿¥¬ ¯¥°¢³¾ ±«¥¢  ¯®§¨¶¨¾, ­  ª®²®°®© ­¥ ¢® ¢±¥µ ¢»° ¦¥­¨¿µ ¨§ W ±²®¨² ®¤¨­ ¨ ²®² ¦¥ ±¨¬¢®«, ¨ ¢»¯¨±»¢ ¥¬ ¨§ ª ¦¤®£® ¢»° ¦¥­¨¿ ¨§ W ²¥ ¥£® ¯®¤¢»° ¦¥­¨¿, ª®²®°»¥ ­ ·¨­ ¾²±¿ ± ½²®© ¯®§¨¶¨¨. ®«³·¥­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¯®¤¢»° ¦¥­¨© ¨ ¥±²¼ ¬­®¦¥±²¢® ° ±±®£« ±®¢ ­¨© ¤«¿ W . °¨¬¥°. ³±²¼ W ¥±²¼ fP (x; f(y; z)); P(x; a); P(x; g(h(k(x))))g. Œ» ¢¨¤¨¬, ·²® ­ · «  P (x; ¢® ¢±¥µ ½²¨µ ¢»° ¦¥­¨¿µ ®¤¨­ ª®¢»¥,   ° §«¨·¨¿ ­ ·¨­ ¾²±¿ ± ¯¿²®© ¯®§¨¶¨¨, ¨ ¬­®¦¥±²¢® ° ±±®£« ±®¢ ­¨© ¤«¿ W | ½²® ¬­®¦¥±²¢® ²¥°¬®¢ ff(y; z); a; g(h(k(x)))g.

€«£®°¨²¬ ³­¨´¨ª ¶¨¨ ° ¡®² ¥² ¯® ¸ £ ¬.   k-¬ ¸ £¥ ±²°®¿²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢»° ¦¥­¨© Wk ¨ ¯®¤±² ­®¢ª  k . °¨ k = 0 ¯®« £ ¥¬ W0 = W , 0 = ". ³±²¼ ¬­®¦¥±²¢® ¢»° ¦¥­¨© Wk ¨ ¯®¤±² ­®¢ª  k ¯®±²°®¥­». …±«¨ Wk ±®±²®¨² ²®«¼ª® ¨§ ®¤­®£® ¢»° ¦¥­¨¿, ²® k | ­ ¨¡®«¥¥ ®¡¹¨© ³­¨´¨ª ²®° ¤«¿ W , ¨ ¢»¯®«­¥­¨¥  «£®°¨²¬  ­  ½²®¬ § ª ­·¨¢ ¥²±¿. …±«¨ ¦¥ ¢ Wk ¤¢  ¨«¨ ¡®«¥¥ ¢»° ¦¥­¨©, ²® ­ µ®¤¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ° ±±®£« ±®¢ ­¨© ¤«¿ Wk , ª®²®°®¥ ®¡®§­ ·¨¬ Dk . …±«¨ ±°¥¤¨ ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢  Dk ¥±²¼ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ vk ¨ ²¥°¬ tk ² ª¨¥, ·²® vk ­¥ ¢µ®¤¨² ¢ tk , ²® ¯®« £ ¥¬ k+1 = k  fvk ! tk g, Wk+1 = Wk fvk ! tk g ¨ ¯¥°¥µ®¤¨¬ ª ±«¥¤³¾¹¥¬³ ¸ £³. ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¬­®¦¥±²¢® W ­¥ ³­¨´¨¶¨°³¥¬®, ¨ ¢»¯®«­¥­¨¥  «£®°¨²¬  § ª ­·¨¢ ¥²±¿. °¨¬¥°. ³±²¼ W = fP (a; x; f(g(y))); P(z; f(z); f(u))g. ’®£¤  0 = "; W0 = W: ’ ª ª ª ¢ W0 ¡®«¥¥ ®¤­®£® ½«¥¬¥­² , ­ ©¤¥¬ ¬­®¦¥±²¢® ° ±±®£« ±®¢ ­¨© ¤«¿ ­¥£®: D0 = fa; z g. ¥°¥¬¥­­ ¿ z ­¥ ¢µ®¤¨² ¢ ²¥°¬ a, ² ª ·²® ¯®« £ ¥¬ 1 = fz ! ag; W1 = W0 fz ! ag = fP(a; x; f(g(y))); P (a; f(a); f(u))g: ’ ª ª ª ¢ W1 ¡®«¥¥ ®¤­®£® ½«¥¬¥­² , ­ ©¤¥¬ ¬­®¦¥±²¢® ° ±±®£« ±®¢ ­¨© ¤«¿ ­¥£®: D1 = fx; f(a)g. ¥°¥¬¥­­ ¿ x ­¥ ¢µ®¤¨² ¢ ²¥°¬ f(a), ¯®½²®¬³ ¯®« £ ¥¬

2 = 1  fx ! f(a)g = fz ! a; x ! f(a)g; 65

W2 = W1fx ! f(a)g = fP(a; f(a); f(g(y))); P (a; f(a); f(u))g: ’ ª ª ª ¢ W2 ¡®«¥¥ ®¤­®£® ½«¥¬¥­² , ­ ©¤¥¬ ¬­®¦¥±²¢® ° ±±®£« ±®¢ ­¨© ¤«¿ ­¥£®: D2 = fg(y); ug. ¥°¥¬¥­­ ¿ u ­¥ ¢µ®¤¨² ¢ ²¥°¬ g(y), ¯®½²®¬³ ¯®« £ ¥¬ 3 = 2  fu ! g(y)g = fz ! a; x ! f(a); u ! g(y)g; W3 = W1 fx ! f(a)g = fP(a; f(a); f(g(y))); P (a; f(a); f(g(y)))g = fP (a; f(a); f(g(y))): Œ­®¦¥±²¢® W3 ±®±²®¨² ²®«¼ª® ¨§ ®¤­®£® ¢»° ¦¥­¨¿. ‡­ ·¨², 3 | ­ ¨¡®«¥¥ ®¡¹¨© ³­¨´¨ª ²®° ¤«¿ W . ‡ ¤ ·¨

°¨¬¥­¨²¼  «£®°¨²¬ ³­¨´¨ª ¶¨¨ ª ±«¥¤³¾¹¨¬ ¬­®¦¥±²¢ ¬  ²®¬®¢: 1) fQ(a); Q(b)g; 2) fQ(a; x); Q(a; a)g; 3) fQ(a; x; f(x)); Q(a; y; y)g; 4) fQ(x; y; z); Q(u; h(v; v); u)g; 5) fP(x1; g(x1); x2; h(x1; x2); x3; k(x1; x2; x3)); P(y1 ; y2; e(y2 ); y3 ; f(y2 ; y3); y4 )g. 7.8. Œ¥²®¤ °¥§®«¾¶¨© ¤«¿ «®£¨ª¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢

…±«¨ ¤¢¥ ¨«¨ ¡®«¥¥ «¨²¥° ¤¨§º¾­ª²  D ¨¬¥¾² ­ ¨¡®«¥¥ ®¡¹¨© ³­¨´¨ª ²®° , ²® ¤¨§º¾­ª² D ­ §»¢ ¥²±¿

±ª«¥©ª®© ¤¨§º¾­ª²  D.  ¯°¨¬¥°, ¯¥°¢ ¿ ¨ ¢²®° ¿ «¨²¥°» ¤¨§º¾­ª²  P(x)_P (f(y))_:Q(x) ¨¬¥¾² ­ ¨¡®«¥¥

®¡¹¨© ³­¨´¨ª ²®° fx ! f(y)g, ¨ ¤¨§º¾­ª² P (f(y)) _ :Q(f(y)) ¿¢«¿¥²±¿ ±ª«¥©ª®© ½²®£® ¤¨§º¾­ª² . ³±²¼ D1 ¨ D2 | ¤¢  ¤¨§º¾­ª² , ª®²®°»¥ ­¥ ¨¬¥¾² ®¡¹¨µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ¨ ¯³±²¼ D1 ±®¤¥°¦¨² «¨²¥°³ A1 ,   D2 ±®¤¥°¦¨² «¨²¥°³ :A2 , £¤¥ A1 ; A2 |  ²®¬», ¨¬¥¾¹¨¥ ­ ¨¡®«¥¥ ®¡¹¨© ³­¨´¨ª ²®° . ’®£¤  ¤¨§º¾­ª² (D1  n fA1g) [ (D2  n f:A2g) ­ §»¢ ¥²±¿ °¥§®«¼¢¥­²®© ¤¨§º¾­ª²®¢ D1 ¨ D2 . °¨ ½²®¬ «¨²¥°» A1 ; :A2 ­ §»¢ ¾²±¿ ®²°¥§ ¥¬»¬¨ «¨²¥° ¬¨.  ¯°¨¬¥°, °¥§®«¼¢¥­²®© ¤¨§º¾­ª²®¢ P (x) _ Q(x) ¨ :P (a) _ R(y) ¿¢«¿¥²±¿ ¤¨§º¾­ª² Q(a) _ R(y),   °¥§®«¼¢¥­²®© ¤¨§º¾­ª²®¢ P (f(a)) ¨ :P (y) ¿¢«¿¥²±¿ ¯³±²®© ¤¨§º¾­ª² ?. ° ¢¨«® °¥§®«¾¶¨¨ ±®±²®¨² ¢ ¯®«³·¥­¨¨ ¨§ ¤¢³µ ¤¨§º¾­ª²®¢ ¨µ °¥§®«¼¢¥­²». ¥§®«¾¶¨®­­»¬ ¢»¢®¤®¬ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ ­ §»¢ ¥²±¿ ª®­¥·­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¤¨§º¾­ª²®¢, ¢ ª®²®°®© ª ¦¤»© ¤¨§º¾­ª² «¨¡® ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ , «¨¡® ¿¢«¿¥²±¿ ±ª«¥©ª®© ª ª®£®-­¨¡³¤¼ ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¨µ ¤¨§º¾­ª²®¢, «¨¡® ¯®«³· ¥²±¿ ¯® ¯° ¢¨«³ °¥§®«¾¶¨¨ ¨§ ª ª¨µ-­¨¡³¤¼ ¤¢³µ ¯°¥¤»¤³¹¨µ ¤¨§º¾­ª²®¢. ƒ®¢®°¿², ·²® ¤¨§º¾­ª² D ¢»¢®¤¨²±¿ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ , ¨ ¯¨¸³² ` D, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² °¥§®«¾¶¨®­­»© ¢»¢®¤ ¨§ , ¯®±«¥¤­¨¬ ¤¨§º¾­ª²®¬ ª®²®°®£® ¿¢«¿¥²±¿ D. ’¥®°¥¬  7.7 (ª®°°¥ª²­®±²¼ ¬¥²®¤  °¥§®«¾¶¨©).

¤¨§º¾­ª² D, ¥±«¨ ` D, ²® j= D.

Š ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢

¨

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ˆ­¤³ª¶¨¿ ¯® ¤«¨­¥ k °¥§®«¾¶¨®­­®£® ¢»¢®¤  ¤¨§º¾­ª²  D ¨§ . …±«¨ k = 1, ²® D 2 , ¨ ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ®·¥¢¨¤­®. „®¯³±²¨¬, ·²® ²¥®°¥¬  ±¯° ¢¥¤«¨¢  ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  ¤«¨­  ¢»¢®¤  < k. ³±²¼ ±³¹¥±²¢³¥² °¥§®«¾¶¨®­­»© ¢»¢®¤ D ¨§ , ¨ ¤«¨­  ½²®£® ¢»¢®¤  ° ¢­  k. …±«¨ D 2 , ²® ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ®·¥¢¨¤­®. ³±²¼ D ¥±²¼ ±ª«¥©ª  ­¥ª®²®°®£® ¤¨§º¾­ª²  C, ª®²®°»© ¢±²°¥· ¥²±¿ ¢ ½²®¬ ¢»¢®¤¥ ° ­¼¸¥, ·¥¬ D. ’®£¤ , ¯® ¨­¤³ª²¨¢­®¬³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾, j= C. „®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼, ·²® ´®°¬³«  C  D ®¡¹¥§­ ·¨¬ .   ± ¬®¬ ¤¥«¥ ®­  ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯³±²¼ x1; : : :; xn | ¢±¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ¤¨§º¾­ª² C. ’®£¤  C ¿¢«¿¥²±¿ ±®ª° ¹¥­­®© § ¯¨±¼¾ ´®°¬³«» 8x1 : : : 8xn C,   D ¯®«³· ¥²±¿ ¯®¤±² ­®¢ª®© ¢ C ­¥ª®²®°»µ ²¥°¬®¢ t1 ; : : :; tn ¢¬¥±²® x1; : : :; xn ¨ ¿¢«¿¥²±¿ ª° ²ª®© § ¯¨±¼¾ ´®°¬³«» 8y1 : : : 8ym D, £¤¥ y1 ; : : :; ym | ¢±¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ¤¨§º¾­ª² D. ’®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, ´®°¬³«  C  D ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ± ¯®¬®¹¼¾  ª±¨®¬ 11, ¯° ¢¨«  ±¨««®£¨§¬  ¨ ¯° ¢¨«  (III). ³±²¼ D ¥±²¼ °¥§®«¼¢¥­²  ¤¨§º¾­ª²®¢ D1 ¨ D2 , ª®²®°»¥ ¢±²°¥· ¾²±¿ ¢ ½²®¬ ¢»¢®¤¥ ° ­¼¸¥, ·¥¬ D. ’®£¤ , ¯® ¨­¤³ª²¨¢­®¬³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾, j= D1 , j= D2 . „®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼, ·²® fD1 ; D2g j= D. „¨§º¾­ª² D1 ¨¬¥¥² ¢¨¤ C1 _ A1,   ¤¨§º¾­ª² D2 ¨¬¥¥² ¢¨¤ C2 _:A2, ¯°¨·¥¬  ²®¬» A1 ¨ A2 ¨¬¥¾² ­ ¨¡®«¥¥ ®¡¹¨© ³­¨´¨ª ²®° . ’®£¤  D ¨¬¥¥² ¢¨¤ C1 _ C2. ³±²¼ x1; : : :; xn | ¢±¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¢µ®¤¿¹¨¥ µ®²¿ ¡» ¢ ®¤¨­ ¨§ ¤¨§º¾­ª²®¢ D1 ; D2. ’®£¤ , ®·¥¢¨¤­®, fD1; D2 g j= 8x1 : : : 8xn((C1 _ A1 ) & (C2 _ :A2 )): ‘ ¯®¬®¹¼¾  ª±¨®¬» 11 ¨ ¯° ¢¨«  ±¨««®£¨§¬  ¯®«³· ¥¬, ·²® ´®°¬³«  8x1 : : : 8xn((C1 _ A1 ) & (C2 _ :A2))  (C1 _ A) & (C2  _ :A);

66

£¤¥ A ¥±²¼ ®¤­®¢°¥¬¥­­® A1  ¨ A2 , ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢. ®±ª®«¼ª³ «¾¡ ¿ ´®°¬³«  ¢¨¤  (1 _ ) & (2 _: )  (1 _ 2), ®·¥¢¨¤­®, ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®© ² ¢²®«®£¨¥© ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢, ²®, ¯® ¯° ¢¨«³ ±¨««®£¨§¬ , ¯®«³· ¥¬ ¢»¢®¤¨¬®±²¼ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ´®°¬³«» 8x1 : : : 8xn ((C1 _ A1) & (C2 _ :A2 ))  (C1 _ C2 ): Ž²±¾¤  ± ¯®¬®¹¼¾ ¯° ¢¨«  (III) ¯®«³· ¥¬ ¢»¢®¤¨¬®±²¼ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ´®°¬³«» 8x1 : : : 8xn((C1 _ A1 ) & (C2 _ :A2))  8y1 : : : 8ym (C1 _ C2); £¤¥ y1 ; : : :; ym | ¢±¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ C1  _ C2. Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥² fD1 ; D2g j= D, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 …±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² °¥§®«¾¶¨®­­»© ¢»¢®¤ ¯³±²®£® ¤¨§º¾­ª²  ? ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ , ²® ¬­®¦¥±²¢® ­¥¢»¯®«­¨¬®.

‘«¥¤±²¢¨¥ 7.1.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ` ?. ’®£¤  ¬®¤¥«¨, ¯®±ª®«¼ª³ ? ­¥ ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¨. 2 ’¥®°¥¬  7.8 (¯®«­®²  ¬¥²®¤  °¥§®«¾¶¨©).

j= ? ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 7.7, ®²ª³¤  ±«¥¤³¥², ·²® ­¥ ¨¬¥¥² …±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢

­¥¢»¯®«­¨¬®, ²® ` ?.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ ­¥¢»¯®«­¨¬®. ’®£¤ , ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» °¡° ­  (²¥®°¥¬  7.2), ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­®¥ ­¥¢»¯®«­¨¬®¥ ¬­®¦¥±²¢® ®±­®¢­»µ ¯°¨¬¥°®¢ ¤¨§º¾­ª²®¢ ¨§ . Ž¡®§­ ·¨¬ ½²® ¬­®¦¥±²¢®
. ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» ® ¯®«­®²¥ ¬¥²®¤  °¥§®«¾¶¨© ¤«¿ «®£¨ª¨ ¢»±ª §»¢ ­¨© (²¥®°¥¬  7.6), ±³¹¥±²¢³¥² °¥§®«¾¶¨®­­»© ¢»¢®¤ ¨§
¯³±²®£® ¤¨§º¾­ª²  ?. ³±²¼ ½²®² ¢»¢®¤ ¨¬¥¥² ¢¨¤ D1 ; : : :; Dn, ¯°¨·¥¬ Dn ¥±²¼ ?. ˆ­¤³ª¶¨¥© ¯® i ¤®ª ¦¥¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® ¤¨§º¾­ª²  Di (i = 1; : : :; n) ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ¤¨§º¾­ª² Ci, ·²® ` Ci ¨ Di = Ci  ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ¯®¤±² ­®¢ª¨ . …±«¨ Di 2
(¢ · ±²­®±²¨, ¯°¨ i = 1), ²® Di ¥±²¼ ®±­®¢­®© ¯°¨¬¥° ­¥ª®²®°®£® ¤¨§º¾­ª²  ¨§ , §­ ·¨², ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ¤¨§º¾­ª² Ci , ·²® ` Ci ¨ Di = Ci ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ¯®¤±² ­®¢ª¨ . °¨ ½²®¬, ¢®§¬®¦­®, ¢ °¥§³«¼² ²¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ¯®¤±² ­®¢ª¨  ª ¤¨§º¾­ª²³ Ci ­¥ª®²®°»¥ «¨²¥°» ¢ ­¥¬ ®²®¦¤¥±²¢¨«¨±¼. ²® ®§­ · ¥², ·²® Di ¯®«³· ¥²±¿ ­¥ª®²®°®© ¯®¤±² ­®¢ª®© 0 ¨§ ­¥ª®²®°®£® ¤¨§º¾­ª²  Ci0, ¿¢«¿¾¹¥£®±¿ ±ª«¥©ª®© ¤¨§º¾­ª²  Ci. ’®£¤  Di = Ci00 , ¯°¨·¥¬ ` Ci0 . ³±²¼ ¤¨§º¾­ª² Di ¯®«³·¥­ ¯® ¯° ¢¨«³ °¥§®«¾¶¨¨ ¨§ ¤¨§º¾­ª²®¢ Dk ; Dl , £¤¥ k; l < i. ˆ­¤³ª²¨¢­®¥ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ±³¹¥±²¢³¾² ¤¨§º¾­ª²» Ck ¨ Cl ² ª¨¥, ·²® ` Ck , ` Cl ¨ Dk = Ck k , Dl = Cl l ¤«¿ ­¥ª®²®°»µ ¯®¤±² ­®¢®ª k ¨ l . Œ®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ¤¨§º¾­ª²» Ck ¨ Cl ­¥ ¨¬¥¾² ®¡¹¨µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ² ª ·²® Dk = Ck , Dl = Cl , £¤¥  = 1 [ 2 . ’ ª ª ª ª ¤¨§º¾­ª² ¬ Dk ¨ Dl ¯°¨¬¥­¨¬® ¯° ¢¨«® °¥§®«¾¶¨¨, ²® Dk ¨¬¥¥² ¢¨¤ Dk0 _ A,   Dl ¨¬¥¥² ¢¨¤ Dl0 _ :A ¤«¿ ­¥ª®²®°®£®  ²®¬  A. ’®£¤ , Ck ¨¬¥¥² ¢¨¤ Ck0 _ Ak ,   Cl ¨¬¥¥² ¢¨¤ Cl0 _ :Al ¤«¿ ­¥ª®²®°»µ  ²®¬®¢ Ak ; Al , ¯°¨·¥¬ Dk0 = Ck0 , Dl0 = Cl0, A = Ak  = Al . ²® §­ ·¨², ·²®  ²®¬» Ak ¨ Al ³­¨´¨¶¨°³¥¬» ¨ ¨¬¥¾² ­ ¨¡®«¥¥ ®¡¹¨© ³­¨´¨ª ²®° ,   ² ª ª ª  ²®¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¨µ ³­¨´¨ª ²®°®¬, ²®  =    ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ¯®¤±² ­®¢ª¨ . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ª ¤¨§º¾­ª² ¬ Ck ¨ Cl ¯°¨¬¥­¨¬® ¯° ¢¨«® °¥§®«¾¶¨¨, ¯°¨·¥¬ °¥§®«¼¢¥­²®© ¿¢«¿¥²±¿ ¤¨§º¾­ª² Ck0  _ Cl0, ª®²®°»© ¨ ¬®¦­® ¢§¿²¼ ¢ ª ·¥±²¢¥ Ci . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ` Ci , ¯°¨·¥¬ Di = Dk0 _ Dl0 = Ck0  _ Cl0 = Ck0 (  ) _ Cl0(  ) = Ci. °¨ i = n ¯®«³· ¥¬, ·²® ` ?, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 ‡ ¤ ·¨

1)  ©²¨ ±ª«¥©ª¨ ±«¥¤³¾¹¨µ ¤¨§º¾­ª²®¢ (¥±«¨ ®­¨ ±³¹¥±²¢³¾²):  ) P (x) _ Q(y) _ P (f(x)); ¡) P (x) _ P (a) _ Q(f(x)) _ Q(f(a)); ¢) P (x; y) _ P (a; f(a)); £) P (x) _ P (f(y)) _ Q(x; y). 2)  ©²¨ ¢±¥ ¢®§¬®¦­»¥ °¥§®«¼¢¥­²» ±«¥¤³¾¹¨µ ¯ ° ¤¨§º¾­ª²®¢ (¥±«¨ ®­¨ ±³¹¥±²¢³¾²):  ) :P(x) _ Q(x; b) ¨ P(a) _ Q(a; b); ¡) :P(x) _ Q(x; x) ¨ :Q(a; f(a)); ¢) :P(x; y; u) _ :P (y; z; v) _ :P (x; v; w) _ P(u; z; w) ¨ P (g(x1 ; y1); x1; y1). 3) „®ª § ²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ¬¥²®¤  °¥§®«¾¶¨©, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ ­¥¢»¯®«­¨¬»:  ) f:P (x) _ Q(f(x); x); P (g(b)); :Q(y; z)g; ¡) fP(x); Q(x; f(x)) _ :P(x); :Q(g(y); z)g. 67

7.9. °¨¬¥­¥­¨¥ ¬¥²®¤  °¥§®«¾¶¨© ¤«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬

³±²¼ ¤ ­   ª±¨®¬ ²¨·¥±ª ¿ ²¥®°¨¿ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  T. „«¿ ¯°®±²®²» ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¬­®¦¥±²¢®  ª±¨®¬ ²¥®°¨¨ T ª®­¥·­®,   §­ ·¨², ¥£® ¬®¦­® § ¬¥­¨²¼ ®¤­®© § ¬ª­³²®© ´®°¬³«®© A | ª®­º¾­ª¶¨¥© ¢±¥µ  ª±¨®¬. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, ²¥®°¥¬ ¬¨ ²¥®°¨¨ T ¿¢«¿¾²±¿ «®£¨·¥±ª¨¥ ±«¥¤±²¢¨¿ ¨§ A. ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 5.5, ª ª®¢® ¡» ­¨ ¡»«® ¢»±ª §»¢ ­¨¥ , ¨¬¥¥² ¬¥±²® A j=  ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© fA; :g ­¥¢»¯®«­¨¬®. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¯®±«¥¤­¥¥ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ­¥¢»¯®«­¨¬  ´®°¬³«  A & :. Ž¡®§­ ·¨¬ ½²³ ´®°¬³«³ . °¨¢¥¤¥¬ ´®°¬³«³ ª ±ª³«¥¬®¢±ª®© ´®°¬¥. ®«³·¨¬ ´®°¬³«³  , ° ¢­®¢»¯®«­¨¬³¾ ± ´®°¬³«®© . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¤«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ A j=  ¤®±² ²®·­® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ´®°¬³«   ­¥ ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¨. „«¿ ½²®£® ¯°¥¤±² ¢¨¬ ´®°¬³«³  ¢ ¢¨¤¥ ¬­®¦¥±²¢  ¤¨§º¾­ª²®¢ C ¨ ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ¬¥²®¤®¬ °¥§®«¾¶¨©,   ¨¬¥­­®, ¯®¯»² ¥¬±¿ ¯®±²°®¨²¼ °¥§®«¾¶¨®­­»© ¢»¢®¤ ¨§ C ¯³±²®£® ¤¨§º¾­ª²  ?. …±«¨ ½²® ³¤ ±²±¿, ²® ²¥¬ ± ¬»¬ ¡³¤¥² ¤®ª § ­®, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ C ­¥¢»¯®«­¨¬®, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ´®°¬³«   ­¥ ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¨,   §­ ·¨², ´®°¬³«  ² ª¦¥ ­¥ ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¨,   ²®£¤  A j= , ². ¥. ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ¿¢«¿¥²±¿ ²¥®°¥¬®© ²¥®°¨¨ T. ²®² ¬¥²®¤ ­ µ®¤¨² ¯° ª²¨·¥±ª®¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ¢ ®¡« ±²¨  ¢²®¬ ²¨·¥±ª®£® ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬. °¨¬¥°. „®ª ¦¥¬ ± ¯®¬®¹¼¾ ¬¥²®¤  °¥§®«¾¶¨©, ·²® f8x8y8z(P (x; y)  (P(y; z)  P(x; z)); 8x:P (x; x)g j= :9x9y(P (x; y) & P (y; x)): „«¿ ½²®£® ¤®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼, ·²® ´®°¬³«  8x8y8z(P (x; y)  (P(y; z)  P(x; z)) & 8x:P (x; x) & ::9x9y(P (x; y) & P (y; x)) ­¥ ¨¬¥¥² ¬®¤¥«¨. -­®°¬ «¼­ ¿ ´®°¬  ½²®© ´®°¬³«» ¨¬¥¥² ¢¨¤ 8x8y8z(:P (x; y) _ :P(y; z) _ P(x; z)) & 8u:P (u; u) & 9v9w(P (v; w) & P (w; v)): ‘ª³«¥¬®¢±ª ¿ ´®°¬  ½²®© ´®°¬³«» ¢»£«¿¤¨² ² ª: f8x8y8z(:P (x; y) _ :P (y; z) _ P(x; z)) & 8u:P (u; u) & P (a; b) & P(b; a): ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¿ ´®°¬³«  ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¤¨§º¾­ª²®¢: 1) :P(x; y) _ :P(y; z) _ P(x; z) 2) :P(u; u) 3) P(a; b) 4) P(b; a) °®¤®«¦¨¬ ½²®² ±¯¨±®ª ¤® °¥§®«¾¶¨®­­®£® ¢»¢®¤  ¯³±²®£® ¤¨§º¾­ª² : 5) :P(b; z) _ P (a; z) (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ °¥§®«¾¶¨¨ ¨§ ¤¨§º¾­ª²®¢ 1 ¨ 4) 6) P(a; a) (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ °¥§®«¾¶¨¨ ¨§ ¤¨§º¾­ª²®¢ 4 ¨ 5) 7) ? (¯®«³·¥­® ¯® ¯° ¢¨«³ °¥§®«¾¶¨¨ ¨§ ¤¨§º¾­ª²®¢ 3 ¨ 6) ˆ² ª, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¤¨§º¾­ª²®¢ ­¥¢»¯®«­¨¬®, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ­¥¢»¯®«­¨¬  ¨ ¯°¥¤±² ¢«¿¥¬ ¿ ¨¬ ´®°¬³« . ‡ ¤ ·¨

„®ª § ²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ¬¥²®¤  °¥§®«¾¶¨©: 1) f8xP(x)  9xQ(x)g j= 9x(P (x)  Q(x)); 2) f9x(P (x)  Q(x))g j= 8xP (x)  9xQ(x); 3) f9x8yP(x; y)g j= 8x9yP (y; x); 4) j= 8x8yP(x; y)  8y8xP (x; y); 5) j= 9x9yP(x; y)  9y9xP (x; y); 6) j= (9xP (x)  8xQ(x))  8x(P(x)  8xQ(x)); 7) j= (8x(P (x)  8xQ(x))  (9xP (x)  8xQ(x)). 68

7.10. •®°­®¢±ª¨¥ ¤¨§º¾­ª²»

„¨§º¾­ª² ­ §»¢ ¥²±¿ µ®°­®¢±ª¨¬, ¥±«¨ ®­ ±®¤¥°¦¨² ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®© ¯®«®¦¨²¥«¼­®© «¨²¥°». ³±²®© ¤¨§º¾­ª² ? ¿¢«¿¥²±¿ µ®°­®¢±ª¨¬. …±«¨ ­¥¯³±²®© µ®°­®¢±ª¨© ¤¨§º¾­ª² ­¥ ±®¤¥°¦¨² ¯®«®¦¨²¥«¼­»µ «¨²¥°, ®­ ­ §»¢ ¥²±¿ § ¯°®±®¬ (¯°¨·¨­» ¤«¿ ² ª®£® ­ §¢ ­¨¿ ¢»¿±­¿²±¿ ¯®§¤­¥¥). ‡ ¯°®± ¨¬¥¥² ¢¨¤ :A1 _ : : : _ :An; £¤¥ n  1, A1; : : :; An |  ²®¬», ¨ ¿¢«¿¥²±¿ ±®ª° ¹¥­­®© § ¯¨±¼¾ ´®°¬³«» 8x1 : : : 8xm (:A1 _ : : : _ :An), £¤¥ x1; : : :; xm | ¢±¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ¤¨§º¾­ª². ²  ´®°¬³«  ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ 8x1 : : : 8xm :(A1 & : : : & An ): …±«¨ µ®°­®¢±ª¨© ¤¨§º¾­ª² ±®¤¥°¦¨² ®¤­³ ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ «¨²¥°³ ¨ ­¥±ª®«¼ª® ®²°¨¶ ²¥«¼­»µ, ®­ ­ §»¢ ¥²±¿ ¯° ¢¨«®¬ ¨«¨ ¯°®¶¥¤³°®©. ° ¢¨«® ¨¬¥¥² ¢¨¤ A _ :A1 _ : : : :An; £¤¥ n  1, A; A1 ; : : :; An |  ²®¬», ¨ ¿¢«¿¥²±¿ ±®ª° ¹¥­­®© § ¯¨±¼¾ ´®°¬³«» 8x1 : : : 8xm (A _ :A1 _ : : : :An), £¤¥ x1; : : :; xm | ¢±¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ¤¨§º¾­ª². ²  ´®°¬³«  ° ¢­®±¨«¼­  ´®°¬³«¥ 8x1 : : : 8xm (A1 & : : : & An  A): …±«¨ ­¥¯³±²®© µ®°­®¢±ª¨© ¤¨§º¾­ª² ­¥ ±®¤¥°¦¨² ®²°¨¶ ²¥«¼­»µ «¨²¥°, ®­ ­ §»¢ ¥²±¿ ´ ª²®¬. ” ª² ¨¬¥¥² ¢¨¤ A, £¤¥ A |  ²®¬, ¨ ¿¢«¿¥²±¿ ±®ª° ¹¥­­®© § ¯¨±¼¾ ´®°¬³«» 8x1 : : : 8xm A, £¤¥ x1; : : :; xm | ¢±¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ½²®²  ²®¬. ³±²¼ | ¬­®¦¥±²¢® µ®°­®¢±ª¨µ ¤¨§º¾­ª²®¢, H | ­¥ª®²®°®¥ ±¥¬¥©±²¢® ½°¡° ­®¢±ª¨µ ¬®¤¥«¥© ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  . ³±²¼ ½°¡° ­®¢±ª ¿ ¬®¤¥«¼ H0 ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¤«¿ «¾¡®£® (n-¬¥±²­®£®) ¯°¥¤¨ª ²­®£® ±¨¬¢®«  P ¨ ½«¥¬¥­²®¢ ½°¡° ­®¢±ª®£® ³­¨¢¥°±³¬  h1 ; : : :; hn 2 H ’¥®°¥¬  7.9.

P H0 (h1 ; : : :; hn) = 1 * ) (8H 2 H)P H (h1 ; : : :; hn) = 1:

’®£¤  H0 ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¤«¿ .

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®ª ¦¥¬, ·²® «¾¡®© ¤¨§º¾­ª² ¨§ ¨±²¨­¥­ ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H0 .  ±±¬®²°¨¬ ±«³· ©, ª®£¤  ½²®² ¤¨§º¾­ª² ¿¢«¿¥²±¿ § ¯°®±®¬. ’®£¤  ®­ ¿¢«¿¥²±¿ § ¯¨±¼¾ ´®°¬³«» ¢¨¤  8x1 : : : 8xm (:A1 _ : : : _ :An): ®±ª®«¼ª³ ½²  ´®°¬³«  ¨±²¨­­  ¢ ª ¦¤®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¨§ H, ²® ¤«¿ «¾¡»µ §­ ·¥­¨© h1; : : :; hm 2 H ¯¥°¥¬¥­­»µ x1 ; : : :; xm ¨ «¾¡®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ ­ ©¤¥²±¿ ² ª®©  ²®¬ Ai (i = 1; : : :; n), ª®²®°»© ¯°¨ ½²¨µ §­ ·¥­¨¿µ ¯¥°¥¬¥­­»µ ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 0. ® ²®£¤ , ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H0, §­ ·¥­¨¥  ²®¬  Ai ¯°¨ ½²¨µ §­ ·¥­¨¿µ ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ H0 ² ª¦¥ ¥±²¼ 0,   ²®£¤  §­ ·¥­¨¥ «¨²¥°» :Ai ¨ ¢±¥£® ¤¨§º¾­ª²  ¥±²¼ 1. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°¨ «¾¡»µ §­ ·¥­¨¿µ ¯¥°¥¬¥­­»µ x1 ; : : :; xm ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»© ¤¨§º¾­ª² ¨±²¨­¥­ ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H0 , §­ ·¨², ´®°¬³«  8x1 : : : 8xm (:A1 _ : : : _ :An) ¨±²¨­­  ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H0, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼.  ±±¬®²°¨¬ ±«³· ©, ª®£¤  ¤¨§º¾­ª² ¨§ ¿¢«¿¥²±¿ ¯° ¢¨«®¬. ’®£¤  ®­ ° ¢­®±¨«¥­ ´®°¬³«¥ 8x1 : : : 8xm (A1 & : : : & An  A): ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»¥ §­ ·¥­¨¿ h1 ; : : :; hm 2 H ¯¥°¥¬¥­­»µ x1; : : :; xm . „®¯³±²¨¬, ·²® ¯°¨ ½²¨µ §­ ·¥­¨¿µ ¯¥°¥¬¥­­»µ  ²®¬» A1 ; : : :; An ¨±²¨­­» ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H0, ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® ²®£¤  ¨  ²®¬ A ¨±²¨­¥­ ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H0 . ˆ±²¨­­®±²¼  ²®¬®¢ A1 ; : : :; An ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H0 ®§­ · ¥², ·²® ®­¨ ¨±²¨­­» ¢ «¾¡®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¨§ H. ®±ª®«¼ª³ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¿ ´®°¬³«  ² ª¦¥ ¨±²¨­­  ¢ «¾¡®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¨§ H, ²®  ²®¬ A ¯°¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»µ §­ ·¥­¨¿µ ¯¥°¥¬¥­­»µ ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1 ¢ «¾¡®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¨§ H,   §­ ·¨², ®­ ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 1 ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H0 , ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼.  ª®­¥¶, ° ±±¬®²°¨¬ ±«³· ©, ª®£¤  ¤¨§º¾­ª² ¨§ ¿¢«¿¥²±¿ ´ ª²®¬. ’®£¤  ®­ ° ¢­®±¨«¥­ ´®°¬³«¥ 8x1 : : : 8xm P (x1; : : :; xm). ®±ª®«¼ª³ ½²  ´®°¬³«  ¨±²¨­­  ¢ «¾¡®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¨§ H, ²® ¤«¿ «¾¡»µ ½«¥¬¥­²®¢ ½°¡° ­®¢±ª®£® ³­¨¢¥°±³¬  h1 ; : : :; hm ¨ «¾¡®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H 2 H ¨¬¥¥² ¬¥±²® P H (h1; : : :; hm ) = 1. ’®£¤ , ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H0 , ¨¬¥¥² ¬¥±²® P H0 (h1 ; : : :; hm ) = 1 ¤«¿ «¾¡»µ ½«¥¬¥­²®¢ ½°¡° ­®¢±ª®£® ³­¨¢¥°±³¬  h1; : : :; hm ,   ½²® ®§­ · ¥², ·²® ´®°¬³«  8x1 : : : 8xm P (x1; : : :; xm ) ¨±²¨­­  ¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ H0, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 2 ‚ ±«³· ¥, ª®£¤  H | ±¥¬¥©±²¢® ¢±¥µ ½°¡° ­®¢±ª¨µ ¬®¤¥«¥© ¤«¿ , ½°¡° ­®¢±ª ¿ ¬®¤¥«¼ H0, ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ª®²®°®© ³²¢¥°¦¤ ¥²±¿ ¢ ²¥®°¥¬¥ 7.9, ­ §»¢ ¥²±¿ ¬¨­¨¬ «¼­®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¼¾ ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  µ®°­®¢±ª¨µ ¤¨§º¾­ª²®¢ .

69

’¥®°¥¬  7.10.

³±²¼ | ­¥ª®²®°®¥ ¬­®¦¥±²¢® µ®°­®¢±ª¨µ ¤¨§º¾­ª²®¢, ¯°¨·¥¬

j= 9x1 : : : 9xm (A1 & : : : & An); £¤¥ A1 ; : : :; An |  ²®¬», x1; : : :; xm | ¢±¥ ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ­¨µ ¯¥°¥¬¥­­»¥. ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¯®¤±² ­®¢ª   = fx1 ! h1; : : :; xm ! hm g, £¤¥ h1 ; : : :; hm 2 H , ·²® j= A1  & : : : & An.

’ ª ª ª j= 9x1 : : : 9xm (A1 & : : : & An ), ²® ¬­®¦¥±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨© [ f:9x1 : : : 9xm (A1 & : : : & An )g ­¥¢»¯®«­¨¬®. ®±«¥ ±ª³«¥¬¨§ ¶¨¨ ¯®«³· ¥¬, ·²® ­¥¢»¯®«­¨¬® ¬­®¦¥±²¢® µ®°­®¢±ª¨µ ¤¨§º¾­ª²®¢ [ f:A1 _ : : : _ :Ang: ²® ®§­ · ¥², ·²® ¢ «¾¡®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ ´®°¬³«  8x1 : : : 8xm (:A1 _ : : : _ :An) «®¦­ , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¥¥ ®²°¨¶ ­¨¥ 9x1 : : : 9xm (A1 & : : : & An ) ¨±²¨­­®. ‚ · ±²­®±²¨, ½²  ´®°¬³«  ¨±²¨­­  ¢ ¬¨­¨¬ «¼­®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ . ²® ®§­ · ¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ §­ ·¥­¨¿ h1; : : :; hm 2 H ¯¥°¥¬¥­­»µ x1; : : :; xm , ¯°¨ ª®²®°»µ  ²®¬» A1 ; : : :; An ¨±²¨­­» ¢ ¬¨­¨¬ «¼­®© ¬®¤¥«¨. ® ²®£¤  ¢±¥ ®­¨ ¨±²¨­­» ¢ «¾¡®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ , ². ¥. j= A1  & : : : & An ; £¤¥  = fx1 ! h1; : : :; xm ! hm g. 2 „®ª § ²¥«¼±²¢®.

7.11. ‹®£¨·¥±ª¨¥ ¯°®£° ¬¬»

‹®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬®© ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¯°®¶¥¤³° ¨ ´ ª²®¢. °®¶¥¤³°³, ° ¢­®±¨«¼­³¾ ´®°¬³«¥ 8x1 : : : 8xm (A1 & : : : & An  B); ¢ «®£¨·¥±ª®¬ ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¨ ¯°¨­¿²® § ¯¨±»¢ ²¼ ¢ ¢¨¤¥ B A1; : : :; An; (36)   ´ ª² B | ¢ ¢¨¤¥ B . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°®¶¥¤³°» ¨ ´ ª²» § ¯¨±»¢ ¾²±¿ ¥¤¨­®®¡° §­® ¢ ¢¨¤¥ (36), £¤¥ n  0 (¯°¨ n = 0 ±¯¨±®ª  ²®¬®¢ ±¯° ¢  ®² ±·¨² ¥²±¿ ¯³±²»¬). ‚ ¤ «¼­¥©¸¥¬ ¬» ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ¯°®¶¥¤³° ¬¨ «¾¡»¥ ¢»° ¦¥­¨¿ ¢¨¤  (36). °¨ ½²®¬  ²®¬ B ­ §»¢ ¥²±¿ § £®«®¢ª®¬ ¯°®¶¥¤³°» (36),   ±¯¨±®ª  ²®¬®¢ A1 ; : : :; An | ¥¥ ²¥«®¬. ˆ­²³¨²¨¢­»© ±¬»±« «®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬» ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ®­  ¢ ´®°¬¥ µ®°­®¢±ª¨µ ¤¨§º¾­ª²®¢ ­  ¯®¤µ®¤¿¹¥¬ ¿§»ª¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ®¯¨±»¢ ¥² ­¥ª®²®°³¾ ±¨²³ ¶¨¾.  ±±¬®²°¨¬, ­ ¯°¨¬¥°, ±«¥¤³¾¹¨© ¿§»ª ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ¤«¿ ®¯¨± ­¨¿ °®¤±²¢¥­­»µ ±¢¿§¥© ¬¥¦¤³ ·«¥­ ¬¨ ±¥¬¼¨ ‘¨¬¯±®­®¢, ±®±²®¿¹¥© ¨§ ƒ®¬¥°  ‘¨¬¯±®­  (®¡®§­ ·¨¬ ¥£® h), ¥£® ¦¥­» Œ °¤¦ (®¡®§­ ·¨¬ ¥¥ m), ¨µ ±»­   °²  (b) ¨ ¤®·¥°¥© ‹¨§ (l) ¨ Œ½££¨ (n). ³±²¼ P | ¤¢³¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ² ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¢±¥µ «¾¤¥© ² ª®©, ·²® P (x; y) ®§­ · ¥² À·¥«®¢¥ª x | °®¤¨²¥«¼ ·¥«®¢¥ª  yÁ,   Q | ² ª®© ¤¢³¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ² ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¢±¥µ «¾¤¥©, ·²® Q(x; y) ®§­ · ¥² À·¥«®¢¥ª x | ®²¯°»±ª ·¥«®¢¥ª  yÁ. …±²¥±²¢¥­­ ¿ ±¢¿§¼ ¬¥¦¤³ ½²¨¬¨ ¯°¥¤¨ª ² ¬¨ ¢»° ¦ ¥²±¿ ¯°®¶¥¤³° ¬¨ 1) Q(x; y) P(x; y); 2) P(x; y) Q(x; y). Š ­¨¬ ¬®¦­® ¤®¡ ¢¨²¼ ² ª¨¥ ´ ª²»: 3) P(h; b) ; 4) P(h; l) ; 5) P(h; n) ; 6) P(m; b) ; 7) P(m; l) ; 8) P(m; n) . ” ª² ¢°®¤¥ Q(b; h) ¢ª«¾· ²¼ ¢ «®£¨·¥±ª³¾ ¯°®£° ¬¬³ ­¥®¡¿§ ²¥«¼­®, ¯®±ª®«¼ª³ ®­ ±«¥¤³¥² ¨§ ´ ª²  3) ¨ ¯° ¢¨«  1).  ¡®²  «®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬» ­ ·¨­ ¥²±¿, ª®£¤  ³ª § ­ § ¯°®±. ³±²¼, ­ ¯°¨¬¥°, ­ ± ¨­²¥°¥±³¥² ¢®¯°®±, ¿¢«¿¥²±¿ «¨ Œ °¤¦ °®¤¨²¥«¥¬ ‹¨§. ²®² ¢®¯°®± ¬» § ¯¨±»¢ ¥¬ ² ª: ?P (m; l). »² ¿±¼ ®²¢¥²¨²¼ ­  ½²®² ¢®¯°®± ± ¯®¬®¹¼¾ ¤ ­­®© «®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬», ¬» ¯® ±³¹¥±²¢³ µ®²¨¬ ¢»¿±­¨²¼, ¿¢«¿¥²±¿ «¨ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ P (m; l) «®£¨·¥±ª¨¬ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ¨§ ¢»±ª §»¢ ­¨©, ±®±² ¢«¿¾¹¨µ «®£¨·¥±ª³¾ ¯°®£° ¬¬³. „«¿ ½²®£® ­ ¤® ª ¯°®£° ¬¬¥ ¤®¡ ¢¨²¼ ®²°¨¶ ­¨¥ ¨­²¥°¥±³¾¹¥£® ­ ± ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¨ ¯®¯»² ²¼±¿ ³±² ­®¢¨²¼ ­¥¢»¯®«­¨¬®±²¼ ¯®«³·¥­­®£® ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨©. ²® ¤¥« ¢¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ¬¥²®¤  °¥§®«¾¶¨©. ˆ² ª, ¬» § ¬¥­¿¥¬ §­ ª ¢®¯°®±  ? ­  ±¨¬¢®« ®²°¨¶ ­¨¿ : ¨ ´®°¬¨°³¥¬ § ¯°®± 9) :P(m; l). ®«³·¨¢ § ¯°®±, «®£¨·¥±ª ¿ ¯°®£° ¬¬  ­ ·¨­ ¥² ¢»¯®«­¿²¼±¿. Ž²»±ª¨¢ ¥²±¿ ¯°®¶¥¤³° , ª®²®° ¿ ®²¢¥· ¥² ­  § ¯°®±, ². ¥. ² ª ¿ ¯°®¶¥¤³° , § £®«®¢®ª ª®²®°®© ³­¨´¨¶¨°³¥¬ ± § ¯°®±®¬. ‚ ­ ¸¥¬ ±«³· ¥ ­ 

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§ ¯°®± ®²¢¥· ¥² ¯°®¶¥¤³°  7).  ¨¡®«¥¥ ®¡¹¨¬ ³­¨´¨ª ²®°®¬ § ¯°®±  ¨ § £®«®¢ª  ½²®© ¯°®¶¥¤³°» ¿¢«¿¥²±¿ ¯³±² ¿ ¯®¤±² ­®¢ª ,   ¨µ °¥§®«¼¢¥­²®© | ¯³±²®© ¤¨§º¾­ª² ?, ·²® ±¢¨¤¥²¥«¼±²¢³¥² ®¡ ³±¯¥¸­®© ®¡° ¡®²ª¥ § ¯°®±  ¨ ¯®«³·¥­¨¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ®²¢¥²  ­  ­¥£®. 7.12. ‚»·¨±«¨²¥«¼­»¥  ±¯¥ª²» «®£¨·¥±ª®£® ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¿

³±²¼ ¤ ­» «®£¨·¥±ª ¿ ¯°®£° ¬¬   ¨ § ¯°®± ?A1; : : :; An (A1 ; : : :; An |  ²®¬»). Ž¡° ¡®²ª  § ¯°®±  ±®±²®¨² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. ‘°¥¤¨ ¯°®¶¥¤³°, ±®±² ¢«¿¾¹¨µ ¯°®£° ¬¬³ , ®²»±ª¨¢ ¥²±¿ ² ª ¿, ª®²®° ¿ ®²¢¥· ¥² ­  § ¯°®±, ². ¥. § £®«®¢®ª ª®²®°®© ³­¨´¨¶¨°³¥¬ ± ®¤­¨¬ ¨§  ²®¬®¢ A1 ; : : :; An. ³±²¼, ­ ¯°¨¬¥°, ´ ª² B, ¢µ®¤¿¹¨© ¢ ¯°®£° ¬¬³ , ³­¨´¨¶¨°³¥¬ ±  ²®¬®¬ Ai (i = 1; : : :; n). ’®£¤  ±²°®¨²±¿ ­ ¨¡®«¥¥ ®¡¹¨© ³­¨´¨ª ²®°   ²®¬®¢ B ¨ Ai . ¥§®«¼¢¥­²®© ´ ª²  B ¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®£® § ¯°®±  ¿¢«¿¥²±¿ ­®¢»© § ¯°®± ?A1; : : :; Ai 1; Ai+1 ; : : :; An, ª®²®°»© ¨ ¯®¤«¥¦¨² ¤ «¼­¥©¸¥© ®¡° ¡®²ª¥. …±«¨ ¦¥ ­  § ¯°®± ®²¢¥· ¥² ¯° ¢¨«® B C1; : : :; Cm, ². ¥.  ²®¬ B ³­¨´¨¶¨°³¥¬ ± ®¤­¨¬ ¨§  ²®¬®¢Ai (i = 1; : : :; n), ²® ±²°®¨²±¿ ­ ¨¡®«¥¥ ®¡¹¨© ³­¨´¨ª ²®°   ²®¬®¢ B ¨ Ai . ¥§®«¼¢¥­²®© ´ ª²  B ¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®£® § ¯°®±  ¿¢«¿¥²±¿ ­®¢»© § ¯°®± ?A1; : : :; Ai 1; Ai+1 ; : : :; An; C1 ; : : :; Cm ; ª®²®°»© ¯®¤¢¥°£ ¥²±¿ ¤ «¼­¥©¸¥© ®¡° ¡®²ª¥. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­  ª ¦¤®© ±² ¤¨¨ ° ¡®²» ¯°®£° ¬¬», ¨«¨ ¢»·¨±«¥­¨¿, ±³¹¥±²¢³¥² ²¥ª³¹¨© § ¯°®±. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ § ¯°®±®¢, ª®²®°»¥ ®¡° ¡ ²»¢ ¾²±¿ ¢ ¯°®¶¥±±¥ ¢»·¨±«¥­¨¿, ­ §»¢ ¾² ¯°®²®ª®«®¬ ¢»·¨±«¥­¨¿. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°®²®ª®« ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© °¥§®«¾¶¨®­­»© ¢»¢®¤ ¨§ ¯°®£° ¬¬» ¨ § ¯°®± , µ ° ª²¥°¨§³¾¹¨©±¿ ²¥¬, ·²® ­  ª ¦¤®¬ ¸ £¥ ±²°®¨²±¿ °¥§®«¼¢¥­²  § ¯°®±  ¨ ®¤­®© ¨§ ¯°®¶¥¤³° (  ­¥ ¤¢³µ ¯°®¶¥¤³°). ‚»·¨±«¥­¨¥ ±·¨² ¥²±¿ ³±¯¥¸­»¬, ¥±«¨ ¥£® ¯°®²®ª®« ®ª ­·¨¢ ¥²±¿ ¯³±²»¬ ¤¨§º¾­ª²®¬ ?. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥, ¯°¥¤±² ¢«¥­­®¥ ¨±µ®¤­»¬ § ¯°®±®¬, «®£¨·¥±ª¨ ±«¥¤³¥² ¨§ ¢»±ª §»¢ ­¨©, ±®±² ¢«¿¾¹¨µ ¯°®£° ¬¬³. Œ®¦­® ¤®ª § ²¼ ¨ ®¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥: ¥±«¨ § ¯°®± «®£¨·¥±ª¨ ±«¥¤³¥² ¨§ «®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬», ²® ±³¹¥±²¢³¥² ³±¯¥¸­®¥ ¢»·¨±«¥­¨¥, ². ¥. °¥§®«¾¶¨®­­»© ¢»¢®¤ ³ª § ­­®£® ±¯¥¶¨ «¼­®£® ¢¨¤ , ®ª ­·¨¢ ¾¹¨©±¿ ¯³±²»¬ ¤¨§º¾­ª²®¬. ‚»·¨±«¥­¨¥ ± ¯®¬®¹¼¾ «®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬» ­¥¤¥²¥°¬¨­¨°®¢ ­® ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ­  ª ¦¤®¬ ¸ £¥ ¢»¡®° ¯°®¶¥¤³°», ®²¢¥· ¾¹¥© ­  ²¥ª³¹¨© § ¯°®±, ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ­¥®¤­®§­ ·¥­: ¬®¦¥² ­ ©²¨±¼ ¬­®£® ¯°®¶¥¤³°, ®²¢¥· ¾¹¨µ ­  § ¯°®±, ¯°¨·¥¬ ³­¨´¨¶¨°³¥¬»¬¨ ± § £®«®¢ª ¬¨ ¯°®¶¥¤³° ¬®£³² ®ª § ²¼±¿ ° §«¨·­»¥  ²®¬», ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ § ¯°®±. ®½²®¬³ ¯°¨ ®¡° ¡®²ª¥ ¤ ­­®£® § ¯°®±  ¬®¦¥² ¢®§­¨ª­³²¼ ¬­®£® ° §«¨·­»µ ¢»·¨±«¥­¨©, ª®²®°»¥ ±®±² ¢«¿¾² ² ª ­ §»¢ ¥¬®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ¢»·¨±«¥­¨©. °®±²° ­±²¢® ¢»·¨±«¥­¨© ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢«¿²¼ ¢ ¢¨¤¥ ¤¥°¥¢ , ª®°­¥¬ ª®²®°®£® ¿¢«¿¥²±¿ ¨±µ®¤­»© § ¯°®±, ¢¥°¸¨­» ±®®²¢¥²±²¢³¾² § ¯°®± ¬, ¯®«³· ¾¹¨¬±¿ ¢ ¯°®¶¥±±¥ ¢»·¨±«¥­¨©,   °¥¡°  ±®¥¤¨­¿¾² ¤ ­­»© § ¯°®± ± § ¯°®± ¬¨, ¯®«³· ¾¹¨¬¨±¿ ­  ¯¥°¢®¬ ¸ £¥ ¯°¨ ®¡° ¡®²ª¥ ¤ ­­®£® § ¯°®± . ‚¥²¢¨ ² ª®£® ¤¥°¥¢  ±³²¼ ° §«¨·­»¥ ¢»·¨±«¥­¨¿ (²®·­¥¥ | ¨µ ¯°®²®ª®«»). “±¯¥¸­®¬³ ¢»·¨±«¥­¨¾ ®²¢¥· ¥² ª®­¥·­ ¿ ¢¥²¢¼. Š®­¥·­ ¿ ¢¥²¢¼ ¬®¦¥² ±®®²¢¥²±²¢®¢ ²¼ ¨ ¢»·¨±«¥­¨¾, ­¥ ¿¢«¿¾¹¥¬³±¿ ³±¯¥¸­»¬, ¥±«¨ ®­® ®ª ­·¨¢ ¥²±¿ ­¥¯³±²»¬ § ¯°®±®¬, ­  ª®²®°»© ­¥ ®²¢¥· ¥² ­¨ ®¤­  ¯°®¶¥¤³° . ‚®§¬®¦­» ² ª¦¥ ­¥³±¯¥¸­»¥ ¡¥±ª®­¥·­»¥ ¢»·¨±«¥­¨¿. ‡­ ·¥­¨¥¬ «®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬» ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ®±­®¢­»µ  ²®¬®¢ A ² ª¨µ, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ³±¯¥¸­®¥ ¢»·¨±«¥­¨¥ ± § ¯°®±®¬ ?A. ’¥®°¥¬  7.11. ‡­ ·¥­¨¥ «®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬»  ±®±²®¨² ¨§ ¢±¥µ ²¥µ ®±­®¢­»µ  ²®¬®¢, ª®²®°»¥ ¨±²¨­­» ¢ ¬¨­¨¬ «¼­®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ®±­®¢­®©  ²®¬ A ¯°¨­ ¤«¥¦¨² §­ ·¥­¨¾ «®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬» , ². ¥. ±³¹¥±²¢³¥² °¥§®«¾¶¨®­­»© ¢»¢®¤ ¯³±²®£® ¤¨§º¾­ª²  ? ¨§ ¬­®¦¥±²¢   [f:Ag. ²® ®§­ · ¥², ·²® ¨§ ¬­®¦¥±²¢   «®£¨·¥±ª¨ ±«¥¤³¥² ¢»±ª §»¢ ­¨¥ A, ² ª ·²® A ¨±²¨­­® ¢ «¾¡®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ , ¢ · ±²­®±²¨, ¢ ¬¨­¨¬ «¼­®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ . Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ A, ¿¢«¿¾¹¥¥±¿ ®±­®¢­»¬  ²®¬®¬, ¨±²¨­­® ¢ ¬¨­¨¬ «¼­®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ . ’®£¤ , ¢ ±¨«³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¬¨­¨¬ «¼­®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨, ®­® ¨±²¨­­® ¢ «¾¡®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ . „®¯³±²¨¬, ®¤­ ª®, ·²® A ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ «®£¨·¥±ª¨¬ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ¨§ . ’®£¤  ¬­®¦¥±²¢®  [f:Ag ¢»¯®«­¨¬®. ‡­ ·¨², ±³¹¥±²¢³¥² ½°¡° ­®¢±ª ¿ ¬®¤¥«¼ ¤«¿ ½²®£® ¬­®¦¥±²¢ , ¿¢«¿¾¹ ¿±¿, ®·¥¢¨¤­®, ¨ ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¼¾ ¤«¿ , ¢ ª®²®°®© ¢»±ª §»¢ ­¨¥ A «®¦­®, ·²®, ª ª ¬» ¢¨¤¥«¨, ­¥¢®§¬®¦­®. 2 ’¥®°¥¬  7.12. „«¿ § ¯°®±  ?A1 ; : : :; An ±³¹¥±²¢³¥² ³±¯¥¸­®¥ ¢»·¨±«¥­¨¥ «®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬»  ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢ ¬¨­¨¬ «¼­®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿  ¨±²¨­­® ¢»±ª §»¢ ­¨¥ 9x1 : : : 9xk (A1 & : : :& An ); £¤¥ x1; : : :; xk | ¢±¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ´®°¬³«³ A1 & : : : & An . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¤«¿ § ¯°®±  ?A1; : : :; An ±³¹¥±²¢³¥² ³±¯¥¸­®¥ ¢»·¨±«¥­¨¥ «®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬» . ²® ®§­ · ¥², ·²® ¢»±ª §»¢ ­¨¥9x1 : : : 9xk (A1 & : : :& An ) ¿¢«¿¥²±¿ «®£¨·¥±ª¨¬ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ¨§ .

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® ²®£¤  ½²® ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ¨±²¨­­® ¢ «¾¡®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ , ¢ · ±²­®±²¨, ¢ ¬¨­¨¬ «¼­®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ . Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ 9x1 : : : 9xk (A1 & : : : & An) ¨±²¨­­® ¢ ¬¨­¨¬ «¼­®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ . ²® ®§­ · ¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¯®¤±² ­®¢ª   = fx1 ! h1 ; : : :; xk ! hk g, £¤¥ h1; : : :; hk | ½«¥¬¥­²» ½°¡° ­®¢±ª®£® ³­¨¢¥°±³¬ , ·²® ¢ ¬¨­¨¬ «¼­®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿  ¨±²¨­­» ®±­®¢­»¥  ²®¬» A1 ; : : :; An . ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 7.11, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¢±¥ ½²¨  ²®¬» «®£¨·¥±ª¨ ±«¥¤³¾² ¨§ . ® ²®£¤  ¨ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ 9x1 : : : 9xk (A1 & : : :& An ) «®£¨·¥±ª¨ ±«¥¤³¥² ¨§ , ². ¥. ±³¹¥±²¢³¥² ³±¯¥¸­®¥ ¢»·¨±«¥­¨¥ ¤«¿ § ¯°®±  ?A1 ; : : :; An . 2 ³±²¼ M | ­¥ª®²®°®¥ ¬­®¦¥±²¢® ®±­®¢­»µ  ²®¬®¢. ƒ®¢®°¿², ·²® ¤ ­­ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ¯°®£° ¬¬  ª®°°¥ª²­  ®²­®±¨²¥«¼­® M, ¥±«¨ §­ ·¥­¨¥ ¯°®£° ¬¬»  ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤¬­®¦¥±²¢®¬ ¬­®¦¥±²¢  M. °®£° ¬¬   ¯®«­  ®²­®±¨²¥«¼­® M, ¥±«¨ M ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤¬­®¦¥±²¢®¬ §­ ·¥­¨¿ ¯°®£° ¬¬» . …±«¨ § ¯°®± ¨¬¥¥² ¢¨¤ ?A1 ; : : :; An, £¤¥ A1 ; : : :; An |  ²®¬» ± ¯¥°¥¬¥­­»¬¨ x1; : : :; xm, ²® ³±¯¥¸­®¥ ¢»·¨±«¥­¨¥ ®§­ · ¥², ·²® ¢»±ª §»¢ ­¨¥ 9x1 : : : 9xk (A1 & : : :& An ) ¿¢«¿¥²±¿ «®£¨·¥±ª¨¬ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¢»±ª §»¢ ­¨©, ±®±² ¢«¿¾¹¨µ ¯°®£° ¬¬³. Ž¤­ ª® «®£¨·¥±ª®¥ ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¥ ¯®§¢®«¿¥² ¯®«³·¨²¼ ­¥·²® ¡®«¼¸¥¥ | §­ ·¥­¨¿ ¯¥°¥¬¥­­»µ x1; : : :; xm , ¯°¨ ª®²®°»µ ´®°¬³«  A1 & : : : & An ¨±²¨­­ . „«¿ ½²®£® ¢ µ®¤¥ ¢»·¨±«¥­¨¿ ­³¦­® ¢¥±²¨ ² ª ­ §»¢ ¥¬»© ¯°®²®ª®« ±¢¿§»¢ ­¨© ¤ ­­®£® ¢»·¨±«¥­¨¿, ¢ª«¾· ¾¹¨© ²¥ ¯°¨±¢ ¨¢ ­¨¿ ¨§ ­ ¨¡®«¥¥ ®¡¹¨µ ³­¨´¨ª ²®°®¢, ±²°®¿¹¨µ±¿ ­  ª ¦¤®¬ ¸ £¥, ª®²®°»¥ ¢«¨¿¾² ­  §­ ·¥­¨¿ ¯¥°¥¬¥­­»µ x1; : : :; xm . —²®¡» ¯°®²®ª®« ±¢¿§»¢ ­¨© ¯®«³·¨«±¿ ­¥ ®·¥­¼ £°®¬®§¤ª¨¬, ¨ ¨§ ­¥£® ¬®¦­® ¡»«® ¡» ¤®±² ²®·­® ¯°®±²® ¨§¢«¥·¼ ®²¢¥², ±«¥¤³¥² ±®¡«¾¤ ²¼ ² ª¨¥ ¯° ¢¨« . 1) …±«¨ ­  ª ª®¬-²® ¸ £¥ ¯¥°¥¤ ¯°¨¬¥­¥­¨¥¬ ¯° ¢¨«  °¥§®«¾¶¨¨ ­¥®¡µ®¤¨¬® ¯¥°¥¨¬¥­®¢ ­¨¥ ¯¥°¥¬¥­­»µ ¢ § ¯°®±¥ ¨«¨ ¢ ¯°®¶¥¤³°¥, ²® ¤¥« ¥²±¿ ¯¥°¥¨¬¥­®¢ ­¨¥ ¯¥°¥¬¥­­»µ ¨¬¥­­® ¢ ¯°®¶¥¤³°¥,   ­¥ ¢ § ¯°®±¥. 2) …±«¨ ¯°¨ ¯®±²°®¥­¨¨ ­ ¨¡®«¥¥ ®¡¹¥£® ³­¨´¨ª ²®°  ¢®§¬®¦­® ¯°¨±¢®¥­¨¥ §­ ·¥­¨¿ ¯¥°¥¬¥­­®©, ¢µ®¤¿¹¥© ¢ § ¯°®±, ¨«¨ ¦¥ ª ª®©-«¨¡® ¨­®© ¯¥°¥¬¥­­®©, ²® §­ ·¥­¨¥ ¯°¨±¢ ¨¢ ¥²±¿ ¨¬¥­­® ²®© ¯¥°¥¬¥­­®©, ª®²®° ¿ ¢µ®¤¨² ¢ § ¯°®±. ‹®£¨·¥±ª¨¥ ¯°®£° ¬¬» ¬®¦­® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¤«¿ ¢»·¨±«¥­¨¿ ·¨±«®¢»µ ´³­ª¶¨©. ³±²¼ ±¨£­ ²³° 

±®¤¥°¦¨² ¥¤¨­±²¢¥­­³¾ ª®­±² ­²³ 0 ¨ ¥¤¨­±²¢¥­­»© ®¤­®¬¥±²­»© ´³­ª¶¨®­ «¼­»© ±¨¬¢®« s. ’®£¤  ½°¡° ­®¢±ª¨© ³­¨¢¥°±³¬ ±®±²®¨² ¨§ ²¥°¬®¢ 0; s(0); s(s(0)); : : :, ª®²®°»¥ ¬®¦­® ®²®¦¤¥±²¢¨²¼ ± ­ ²³° «¼­»¬¨ ·¨±« ¬¨ 0; 1; 2; : : :. ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ½°¡° ­®¢±ª¨© ³­¨¢¥°±³¬ ¥±²¼ ¢ ²®·­®±²¨ ­ ²³° «¼­»© °¿¤. ³±²¼ f | ­¥ª®²®° ¿ n-¬¥±²­ ¿ · ±²¨·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨§ N ¢ N. ³±²¼ ±¨£­ ²³°  ±®¤¥°¦¨² (n + 1)¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®« Pf ,   ² ª¦¥, ¢®§¬®¦­®, ¤°³£¨¥ ¯°¥¤¨ª ²­»¥ ±¨¬¢®«». ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® «®£¨·¥±ª ¿ ¯°®£° ¬¬   ¢ ¿§»ª¥ ±¨£­ ²³°» ¢»·¨±«¿¥² ´³­ª¶¨¾ f, ¥±«¨, ª ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±«  k1; : : :; kn; k, ®±­®¢­®©  ²®¬ Pf (k1; : : :; kn; k) ¯°¨­ ¤«¥¦¨² §­ ·¥­¨¾ ¯°®£° ¬¬»  ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  f(k1 ; : : :; kn) = k. ‹®£¨·¥±ª ¿ ¯°®£° ¬¬ , ¢»·¨±«¿¾¹ ¿ ´³­ª¶¨¾ f, ¯®§¢®«¿¥² °¥¸ ²¼ ° §«¨·­»¥ § ¤ ·¨, ª ± ¾¹¨¥±¿ ´³­ª¶¨¨ f. ‚®-¯¥°¢»µ, ®­  ¯®§¢®«¿¥² ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ¨±²¨­­®±²¨ ° ¢¥­±²¢  ¢¨¤  f(k1 ; : : :; kn) = k ¤«¿ ª®­ª°¥²­»µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« k1; : : :; kn; k. „«¿ ½²®£® ¤®±² ²®·­® ³ª § ²¼ § ¯°®± ?Pf (k1; : : :; kn; k). ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ³±¯¥¸­®¥ ¢»·¨±«¥­¨¥ ®§­ · ¥² ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¼ ¯°®¢¥°¿¥¬®£® ° ¢¥­±²¢ . ‚®-¢²®°»µ, «®£¨·¥±ª ¿ ¯°®£° ¬¬  ¯®§¢®«¿¥² ¢»·¨±«¨²¼ §­ ·¥­¨¥ f(k1 ; : : :; kn) ¤«¿ ª®­ª°¥²­»µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« k1; : : :; kn. „«¿ ½²®£® ¤®±² ²®·­® ³ª § ²¼ § ¯°®± ?Pf (k1; : : :; kn; x). ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ³±¯¥¸­®¥ ¢»·¨±«¥­¨¥ ®§­ · ¥², ·²® §­ ·¥­¨¥ f(k1 ; : : :; kn) ®¯°¥¤¥«¥­®,   ¯®«³·¥­­®¥ ¨§ ¯°®²®ª®«  ±¢¿§»¢ ­¨© §­ ·¥­¨¥ ¯¥°¥¬¥­­®© x ¥±²¼ ¨±ª®¬®¥ §­ ·¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ f. ‚-²°¥²¼¨µ, ¯°®£° ¬¬  ¯®§¢®«¿¥² °¥¸ ²¼ ³° ¢­¥­¨¿ ¢¨¤  f(t1 ; : : :; tn ) = t, £¤¥ ª ¦¤»© ¨§ ²¥°¬®¢ t1; : : :; tn; t ¥±²¼ «¨¡® ¯¥°¥¬¥­­ ¿, «¨¡® ª®­ª°¥²­®¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«®. „«¿ ½²®£® ¤®±² ²®·­® ³ª § ²¼ § ¯°®± ?Pf (t1 ; : : :; tn; t). ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ³±¯¥¸­®¥ ¢»·¨±«¥­¨¥ ®§­ · ¥², ·²® ³° ¢­¥­¨¥ ¨¬¥¥² °¥¸¥­¨¥,   ¯®«³·¥­­»¥ ¨§ ¯°®²®ª®«  ±¢¿§»¢ ­¨© §­ ·¥­¨¿ ¯¥°¥¬¥­­»µ ¤ ¾² ¨±ª®¬®¥ °¥¸¥­¨¥. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ´³­ª¶¨¿ ¢»·¨±«¿¥²±¿ ­¥ª®²®°®© «®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬®©, ²® ®­  ¢»·¨±«¨¬  ¢ ¨­²³¨²¨¢­®¬ ±¬»±«¥, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¢ ±¨«³ ²¥§¨±  —¥°· , ¿¢«¿¥²±¿ · ±²¨·­®-°¥ª³°±¨¢­®©. ’¥®°¥¬  7.13.

£° ¬¬ .

„«¿ «¾¡®© · ±²¨·­®-°¥ª³°±¨¢­®© ´³­ª¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¢»·¨±«¿¾¹ ¿ ¥¥ «®£¨·¥±ª ¿ ¯°®-

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚±¿ª ¿ · ±²¨·­®-°¥ª³°±¨¢­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®«³·¥­  ¨§ ¡ §¨±­»µ ´³­ª¶¨© s(x) = x + 1, o(x) = 0, Imn (x1; : : :; xn) = xm (1  m  n) ± ¯®¬®¹¼¾ ®¯¥° ¶¨© ¯®¤±² ­®¢ª¨, °¥ª³°±¨¨ ¨ ¬¨­¨¬¨§ ¶¨¨. ®½²®¬³ ¤«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» ¤®±² ²®·­® ­ ¯¨± ²¼ «®£¨·¥±ª¨¥ ¯°®£° ¬¬» ¤«¿ ¢»·¨±«¥­¨¿ ¡ §¨±­»µ ´³­ª¶¨© ¨ ¯®ª § ²¼, ª ª ¯®«³·¨²¼ «®£¨·¥±ª³¾ ¯°®£° ¬¬³ ¤«¿ ¢»·¨±«¥­¨¿ ´³­ª¶¨¨, ¯®«³·¥­­®© ¨§ ­¥ª®²®°»µ ¤ ­­»µ ´³­ª¶¨© ± ¯®¬®¹¼¾ ®¯¥° ¶¨¨ ¯®¤±² ­®¢ª¨, °¥ª³°±¨¨ ¨«¨ ¬¨­¨¬¨§ ¶¨¨, ¥±«¨ ¨¬¥¾²±¿ «®£¨·¥±ª¨¥ ¯°®²° ¬¬» ¤«¿ ¢»·¨±«¥­¨¿ ¤ ­­»µ ´³­ª¶¨©. ”³­ª¶¨¿ s ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥© «®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬®© s :

Ps(x; s(x)) 72

:

¥²°³¤­® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ¢ ¬¨­¨¬ «¼­®© ½°¡° ­®¢±ª®© ¬®¤¥«¨ ¤«¿ ½²®© ¯°®£° ¬¬» ¨±²¨­­» ¢±¥ ®±­®¢­»¥  ²®¬» ¢¨¤  Ps(n; n + 1) ¨ ²®«¼ª® ®­¨. ”³­ª¶¨¿ o ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥© «®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬®©: Po (x; 0)

:

”³­ª¶¨¿ Imn (x1 ; : : :; xn) = xm (1  m  n) ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥© «®£¨·¥±ª®© ¯°®£° ¬¬®©: PImn (x1 ; : : :; xn; xm )

:

³±²¼ n-¬¥±²­ ¿ (n  1) · ±²¨·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ h ¯®«³· ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ®¯¥° ¶¨¨ ¯®¤±² ­®¢ª¨ ¨§ k-¬¥±²­®© ´³­ª¶¨¨ f ¨ n-¬¥±²­»µ ´³­ª¶¨© g1; : : :; gk , ². ¥. ¤«¿ «¾¡»µ x1; : : :; xn 2 N ¨¬¥¥² ¬¥±²® ³±«®¢­®¥ ° ¢¥­±²¢® h(x1 ; : : :; xn) ' f(g1 (x1; : : :; xn); : : :; gk (x1; : : :; xn)); ¨ ¯³±²¼ ¨¬¥¾²±¿ «®£¨·¥±ª¨¥ ¯°®£° ¬¬» f ; g1 ; : : :; gk , ¢»·¨±«¿¾¹¨¥ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ´³­ª¶¨¨ f; g1 ; : : :; gk. ’®£¤  ´³­ª¶¨¿ h ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥© ¯°®£° ¬¬®©: 8 f > > > > < g1 ::: > > gk > > : Ph (x1 ; : : :; xn; y) Pg1 (x1 ; : : :; xn; y1 ); : : :; Pgk (x1 ; : : :; xn; yk ); Pf (y1 ; : : :; yk ) ³±²¼ (n + 1)-¬¥±²­ ¿ (n  1) · ±²¨·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ h ¯®«³· ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ®¯¥° ¶¨¨ °¥ª³°±¨¨ ¨§ n¬¥±²­®© ´³­ª¶¨¨ f ¨ (n + 2)-¬¥±²­®© ´³­ª¶¨¨ g, ². ¥. ¤«¿ «¾¡»µ x1; : : :; xn; y 2 N ¢»¯®«­¿¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¥ ³±«®¢­»¥ ° ¢¥­±²¢ : h(x1; : : :; xn; 0) ' f(x1 ; : : :; xn); h(x1; : : :; xn; y + 1) ' g(x1 ; : : :; xn; y; h(x1; : : :; xn; y)); ¨ ¯³±²¼ ¨¬¥¾²±¿ «®£¨·¥±ª¨¥ ¯°®£° ¬¬» f ¨ g , ¢»·¨±«¿¾¹¨¥ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ´³­ª¶¨¨ f ¨ g. ’®£¤  ´³­ª¶¨¿ h ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥© ¯°®£° ¬¬®©: 8 f > > < g Ph (x1; : : :; xn; 0; z) Pf (x1; : : :; xn; z) > > : Ph (x1; : : :; xn; s(y); z) Ph (x1 ; : : :; xn; y; u); Pg (x1; : : :; xn; y; u; z) ‚®² ª ª, ­ ¯°¨¬¥°, ¢»£«¿¤¨² «®£¨·¥±ª ¿ ¯°®£° ¬¬  + ¤«¿ ¢»·¨±«¥­¨¿ ±«®¦¥­¨¿: 

P+ (x; 0; x) P+ (x; s(y); s(z)) P+ (x; y; z) € ¢®² «®£¨·¥±ª ¿ ¯°®£° ¬¬   ¤«¿ ¢»·¨±«¥­¨¿ ³¬­®¦¥­¨¿: 8 < + P (x; 0; 0) : P (x; s(y); z) P (x; y; v); P+ (x; v; z) ³±²¼ n-¬¥±²­ ¿ (n  1) · ±²¨·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ g ¯®«³· ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ®¯¥° ¶¨¨ ¬¨­¨¬¨§ ¶¨¨ (¨«¨ ®¯¥° ²®° ) ¨§ (n+1)-¬¥±²­®© · ±²¨·­®© ´³­ª¶¨¨ f, ². ¥. ¤«¿ «¾¡»µ x1; : : :; xn; y 2 N §­ ·¥­¨¥ g(x1 ; : : :; xn)

®¯°¥¤¥«¥­® ¨ ° ¢­® y ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¤«¿ «¾¡®£® z < y §­ ·¥­¨¥ f(x1 ; : : :; xn; z) ®¯°¥¤¥«¥­® ¨ ­¥ ° ¢­® 0,   f(x1 ; : : :; xn; y) = 0, ¨ ¯³±²¼ ¨¬¥¥²±¿ «®£¨·¥±ª ¿ ¯°®£° ¬¬  f , ¢»·¨±«¿¾¹ ¿ ´³­ª¶¨¾ f. ’®£¤  ´³­ª¶¨¿ g ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥© ¯°®£° ¬¬®©: 8 f > > > > <  Q(x1 ; : : :; xn; 0; s(0)) > > Q(x1 ; : : :; xn; s(y); z) Q(x1; : : :; xn; y; u); Pf (x1; : : :; xn; y; v); P(u; v; z) > > : Pg (x1 ; : : :; xn; z) Q(x1; : : :; xn; s(z); 0); Q(x1; : : :; xn; z; s(v)) 73

‡ ¤ ·¨

1) ‘ ¯®¬®¹¼¾ ¯°®£° ¬¬» + :  ) ¡) ¢) £)

¯°®¢¥°¨²¼ ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¼ ´ ª²  2+2=4; ¢»·¨±«¨²¼ ±³¬¬³ 1+3; °¥¸¨²¼ ³° ¢­¥­¨¥ x + x = 4; °¥¸¨²¼ ³° ¢­¥­¨¥ x + y = 3.

2) ‘ ¯®¬®¹¼¾ ¯°®£° ¬¬»  :  ) ¡) ¢) £)

¯°®¢¥°¨²¼ ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¼ ´ ª²  2  2 = 4; ¢»·¨±«¨²¼ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ 2  2; °¥¸¨²¼ ³° ¢­¥­¨¥ x2 = 4; °¥¸¨²¼ ³° ¢­¥­¨¥ x  y = 3.

3)  ¯¨± ²¼ «®£¨·¥±ª¨¥ ¯°®£° ¬¬» ¤«¿ ¢»·¨±«¥­¨¿ ±«¥¤³¾¹¨µ ´³­ª¶¨©:  ) f(x; y) = xy (§¤¥±¼ 00 = 1); ¡) f(x) = x! (§¤¥±¼ 0! = 1);  ¥±«¨ x > 0; ¢) sg(x) = 1; 0; ¥±«¨ x = 0;  ¥±«¨ x > 0; £) sg(x) = 0; 1; ¥±«¨ x = 0;  x 1; ¥±«¨ x > 0; ¤) p(x) = 0; ¥±«¨ x = 0;  y; ¥±«¨ x  y; ¥) d(x) = x0; ¥±«¨ x < y; ¦) jx yj; §) max(x; y); ¨) min(x; y); ª) x y; «) xy ; p ¬) y x; ­) x2 ;   ®) x2 .

74

8. ˆ­²³¨¶¨®­¨±²±ª ¿ «®£¨ª  8.1. —²® ² ª®¥ ¨­²³¨¶¨®­¨§¬

ˆ§ ²¥®°¥¬ ® ª®°°¥ª²­®±²¨ ¨ ¯®«­®²¥ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¢»²¥ª ¥², ·²® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­ ¿ ´®°¬³«  ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨© ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­  ¿¢«¿¥²±¿ ² ¢²®«®£¨¥©. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬®¦¥² ¯®ª § ²¼±¿ ¨§«¨¸­¨¬ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¤«¿ ®¯¨± ­¨¿ «®£¨·¥±ª¨µ § ª®­®¢. Ž¤­ ª® ½²® ­¥ ±®¢±¥¬ ² ª. ‚®-¯¥°¢»µ, «®£¨·¥±ª¨¥ § ª®­» ­¥ ¨±·¥°¯»¢ ¾²±¿ § ª®­ ¬¨ «®£¨ª¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©, ¨, ±ª ¦¥¬, ®¯¨± ­¨¥ § ª®­®¢ «®£¨ª¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ¢ ¢¨¤¥ ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­® ¢®§¬®¦­»¬. ‚®-¢²®°»µ, ­ °¿¤³ ± ¨§³· ¥¬®© ­ ¬¨ ª« ±±¨·¥±ª®© «®£¨ª®© ¢®§¬®¦­» ¤°³£¨¥, ­¥ª« ±±¨·¥±ª¨¥ «®£¨·¥±ª¨¥ ±¨±²¥¬», ¨ §¤¥±¼ ®¡»·­® «®£¨·¥±ª¨¥ ¯°¨­¶¨¯», ¯°¨¥¬«¥¬»¥ ± ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®© ²®·ª¨ §°¥­¨¿, ®¯¨±»¢ ¾²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ¯®¤µ®¤¿¹¥£® ¨±·¨±«¥­¨¿, ¨ «¨¸¼ § ²¥¬ ±² ¢¨²±¿ ¢®¯°®± ® ¢®§¬®¦­®±²¨ ° ±¯®§­ ¢ ­¨¿ ½²¨µ ¯°¨­¶¨¯®¢ ±°¥¤¨ «®£¨·¥±ª¨µ ´®°¬³«. ‚ ª ·¥±²¢¥ ¨««¾±²° ¶¨¨ ¯®§­ ª®¬¨¬±¿ ± ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© «®£¨ª®©. Ž¡­ °³¦¥­¨¥ ¯ ° ¤®ª±®¢ ¢ ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢ ¢»§¢ «® ¨­²¥°¥± ¬ ²¥¬ ²¨ª®¢ ª ¯®¨±ª ¬ ¯°¨·¨­ ¨µ ¢®§­¨ª­®¢¥­¨¿. ‚ 1908 £. ¯®¿¢¨« ±¼ ° ¡®²  £®«« ­¤±ª®£® ¬ ²¥¬ ²¨ª  ° ³½°  À¥¤®±²®¢¥°­®±²¼ «®£¨·¥±ª¨µ ¯°¨­¶¨¯®¢Á. ‚ ­¥© ®²¬¥· «®±¼, ·²® ¯°¨­¶¨¯» ª« ±±¨·¥±ª®© «®£¨ª¨, ¤®¸¥¤¸¨¥ ¤® ­ ± ®² €°¨±²®²¥«¿ (4-© ¢¥ª ¤® ­. ½.),  ¡±²° £¨°®¢ ­» ®² ®¡° ¹¥­¨¿ ± ª®­¥·­»¬¨ ±®¢®ª³¯­®±²¿¬¨. ‡ ¡»¢ ¿ ®¡ ½²®¬, ¢¯®±«¥¤±²¢¨¨ ½²³ «®£¨ª³ ®¸¨¡®·­® ¯°¨­¿«¨ §  ­¥·²® ¯¥°¢¨·­®¥ ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ¨ ¢ ª®­¶¥ ª®­¶®¢ ±² «¨ ¯°¨¬¥­¿²¼ ¥¥ ¡¥§ ª ª®£®-«¨¡® ®¯° ¢¤ ­¨¿ ª ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ¡¥±ª®­¥·­»µ ¬­®¦¥±²¢. Ž¤­ ª® ­¥ ¢±¥ ¯°¨­¶¨¯», ¨±²¨­­»¥ ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ ª®­¥·­»µ ¬­®¦¥±²¢, ¯¥°¥­®±¿²±¿ ­  ¡¥±ª®­¥·­»¥.  ¯°¨¬¥°, À–¥«®¥ ¡®«¼¸¥ «¾¡®© ±®¡±²¢¥­­®© · ±²¨Á ¨«¨ À‚® ¢±¿ª®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« ¨¬¥¥²±¿ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«®Á. °¨­¶¨¯®¬ ª« ±±¨·¥±ª®© «®£¨ª¨, ª®²®°»© ° ³½° ­¥ ¯°¨­¨¬ ¥² ¤«¿ ¡¥±ª®­¥·­»µ ¬­®¦¥±²¢, ¿¢«¿¥²±¿ § ª®­ ¨±ª«¾·¥­­®£® ²°¥²¼¥£®: À„«¿ «¾¡®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ , «¨¡® , «¨¡® ­¥ Á. ³±²¼  ¥±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ À‘³¹¥±²¢³¥² ½«¥¬¥­² ¬­®¦¥±²¢  D, ®¡« ¤ ¾¹¨© ±¢®©±²¢®¬ P Á, ¯°¨·¥¬ ±¢®©±²¢® P ² ª®¢®, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® ½«¥¬¥­²  ¨§ D ¬» ¬®¦¥¬ ®¯°¥¤¥«¨²¼, ®¡« ¤ ¥² «¨ ®­ ±¢®©±²¢®¬ P . ’®£¤  À­¥ Á ½ª¢¨¢ «¥­²­® ³²¢¥°¦¤¥­¨¾ ÀŠ ¦¤»© ½«¥¬¥­² ¨§ D ­¥ ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ PÁ. …±«¨ D | ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢®, ²® ¢ ¯°¨­¶¨¯¥ ¬®¦­® ®¡±«¥¤®¢ ²¼ ¯® ®·¥°¥¤¨ ¢±¥ ¥£® ½«¥¬¥­²» ¨ «¨¡® ­ ©²¨ ½«¥¬¥­², ®¡« ¤ ¾¹¨© ±¢®©±²¢®¬ P , «¨¡® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ¢±¥ ½«¥¬¥­²» ­¥ ®¡« ¤ ¾² ±¢®©±²¢®¬ P , ² ª ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ±¯° ¢¥¤«¨¢ § ª®­ ¨±ª«¾·¥­­®£® ²°¥²¼¥£®. …±«¨ ¦¥ D ¡¥±ª®­¥·­®, ²® ¯°¨­¶¨¯¨ «¼­® ­¥¢®§¬®¦­® § ª®­·¨²¼ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¥ ¢±¥µ ¥£® ½«¥¬¥­²®¢. „«¿ ­¥ª®²®°»µ ¬­®¦¥±²¢ D ¨ ±¢®©±²¢ P ¬» ¬®¦¥¬ ­ ©²¨ ½«¥¬¥­², ®¡« ¤ ¾¹¨© ±¢®©±²¢®¬ P , ¨«¨, ­ ¯°®²¨¢, ¤®ª § ²¼ ¯®±°¥¤±²¢®¬ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ° ±±³¦¤¥­¨¿, ·²® ª ¦¤»© ½«¥¬¥­² ¬­®¦¥±²¢  D ­¥ ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ P (ª ª, ­ ¯°¨¬¥°, ± ¯®¬®¹¼¾ ¨§¢¥±²­®£® ° ±±³¦¤¥­¨¿ ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ­¥ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª¨µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« m ¨ n, ·²® m2 = 2n2). Ž¤­ ª® ­¥² ­¨ª ª®© ³¢¥°¥­­®±²¨ ¢ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¨ ² ª®£® °¥¸¥­¨¿ ¢®¯°®±  ®¡ ¨±²¨­­®±²¨ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿  ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥. ° ¢¤ , ¬®¦­® ¡»«® ¡» ±·¨² ²¼, ·²® ¢±¿ª ¿ ¯°®¡«¥¬  ° §°¥¸¨¬  À¢ ¯°¨­¶¨¯¥Á, ­® ½²® ®§­ · «® ¡» ¯°¨¢«¥·¥­¨¥ ´¨«®±®´±ª¨µ ¤®¯³¹¥­¨©, ·²® ¢ ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ¤¥« ²¼ ­¥ ¯°¨­¿²®. ‚ ®²«¨·¨¥ ®² ²° ¤¨¶¨®­­®©, ª« ±±¨·¥±ª®© «®£¨ª¨, ° ³½° ¨ ¥£® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¨ ° §¢¨¢ «¨ ¤°³£³¾ «®£¨ª³, ¯®«³·¨¢¸³¾ ­ §¢ ­¨¥ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®©. ²® ­ §¢ ­¨¥ ®¡³±«®¢«¥­® ²¥¬, ·²® ¢ ª ·¥±²¢¥ ¥¤¨­±²¢¥­­®£® ª°¨²¥°¨¿ ¨±²¨­­®±²¨ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ° ³½° ¯°®¢®§£« ±¨« ¨­²³¨¶¨¾. °¨ ½²®¬ ¡° ³½°®¢±ª³¾ ¨­²³¨¶¨¾ ­¥ ±«¥¤³¥² ¯®­¨¬ ²¼ ¢ ª ª®¬-²® À¬¨±²¨·¥±ª®¬Á ±¬»±«¥. ‘®£« ±­® ª®­¶¥¯¶¨¨ ° ³½° , ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ®¡º¥ª²» °®¦¤¥­» ·¥«®¢¥·¥±ª®© ¬»±«¼¾, ¯®½²®¬³ ¨±²¨­­®±²¼ ±³¦¤¥­¨© ® ­¨µ ¯®«­®±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿¬¨ ®¡ ½²¨µ ®¡º¥ª² µ ²®£® ¬ ²¥¬ ²¨ª , ¢ ±®§­ ­¨¨ ª®²®°®£® ¢®§­¨ª«¨ ½²¨ ®¡º¥ª²». ‘²°®£® £®¢®°¿, ± ²®·ª¨ §°¥­¨¿ ¨­²³¨¶¨®­¨§¬ , ±ª®«¼ª® ¬ ²¥¬ ²¨ª®¢ | ±²®«¼ª® ¨ ¬ ²¥¬ ²¨ª. Ž¤­ ª® ¢ ±¨«³ ­¥ª®²®°»µ ®¡¹¨µ ±¢®©±²¢ ·¥«®¢¥·¥±ª®£® ¬»¸«¥­¨¿ ¢®§¬®¦­® ®¡° §®¢ ­¨¥ ¢ ±®§­ ­¨¨ ° §­»µ «¾¤¥© ±µ®¤­»µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ¯®­¿²¨©. Š ­¨¬ ®²­®±¨²±¿, ­ ¯°¨¬¥°, ¯®­¿²¨¥ ­ ²³° «¼­®£® ·¨±« . Ž²¯° ¢«¿¿±¼ ®² ½²®£® ¯®­¿²¨¿, ­  ®±­®¢¥ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª¨µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨© ° ³½°®¬ ¨ ¥£® ¸ª®«®© ¡»«  ° §¢¨²  ±¢®¥®¡° §­ ¿ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ ²¥®°¨¿. ‘ ²®·ª¨ §°¥­¨¿ ¨­²³¨¶¨®­¨§¬ , ª ª ª®­±²°³¨°®¢ ­¨¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ®¡º¥ª²®¢, ² ª ¨ ° ±±³¦¤¥­¨¿ ® ­¨µ ¤®«¦­» ¯®¤·¨­¿²¼±¿ ª°¨²¥°¨¾ ¨­²³¨²¨¢­®© ¿±­®±²¨ ¨ ³¡¥¤¨²¥«¼­®±²¨. ‚ ª®­ª°¥²­»µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ¯®±²°®¥­¨¿µ ¨­²³¨¶¨®­¨§¬ ¯°®¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¦¤¥ ¢±¥£® ¢ ®²ª §¥ ®² ° ±±¬®²°¥­¨¿ ¡¥±ª®­¥·­®© ±®¢®ª³¯­®±²¨ ª ª  ª²³ «¼­® ¤ ­­®© ¢ § ¢¥°¸¥­­®¬ ¢¨¤¥. ‚ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ¡¥±ª®­¥·­®±²¼ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ «¨¸¼ ª ª ±² ­®¢¿¹ ¿±¿, ¨«¨ ¯®²¥­¶¨ «¼­ ¿. Š ª ¯¨± « ƒ. ‚¥©«¼, À° ³½° ®²ª°»« ­ ¬ £« §  ¨ ¯®ª § «, ª ª ¤ «¥ª® ª« ±±¨·¥±ª ¿ ¬ ²¥¬ ²¨ª , ¢±ª®°¬«¥­­ ¿ ¯°¥¢®±µ®¤¿¹¥© ¢±¿ª³¾ ·¥«®¢¥·¥±ª³¾ ±¯®±®¡­®±²¼ °¥ «¨§ ¶¨¨ ¢¥°®© ¢ " ¡±®«¾²­®¥", ¨¤¥² ¤ «¼¸¥ ² ª¨µ ³²¢¥°¦¤¥­¨©, ª®²®°»¥ ¬®£³² ¯°¥²¥­¤®¢ ²¼ ­  °¥ «¼­»© ±¬»±« ¨ ¨±²¨­­®±²¼, ®±­®¢ ­­³¾ ­  ¤®ª § ²¥«¼±²¢ µÁ. ‚ ª ·¥±²¢¥ ¯°¨¬¥°  °¥ «¨§ ¶¨¨ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© ¯°®£° ¬¬» ¢ ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ° ±±¬®²°¨¬ ¨­²³¨¶¨®­¨±²ª®¥ ¯®±²°®¥­¨¥ ²¥®°¨¨ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­»µ ·¨±¥«. Š ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼ ¢»¸¥, ¯®­¿²¨¥ ­ ²³° «¼­®£® ·¨±«  ±·¨² ¥²±¿ ¨­²³¨²¨¢­® ¿±­»¬.  ²³° «¼­»© °¿¤ ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²ª®© ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ­¥ ª ª 75

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‚ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ³¬®§ ª«¾·¥­¨¿ ­¥ ¯°®¨§¢®¤¿²±¿ ¯® § ° ­¥¥ ³±² ­®¢«¥­­»¬ ¯° ¢¨« ¬, ². ¥. ­¥ ´¨ª±¨°³¥²±¿ ª ª ¿-«¨¡®  ¯°¨®°­ ¿ «®£¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬ . “¡¥¤¨²¥«¼­®±²¼ ª ¦¤®£® «®£¨·¥±ª®£® ¸ £  ¤®«¦­  ¯°®¢¥°¿²¼±¿ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ¨­²³¨¶¨¥©. °¨ ½²®¬ ­¥±ª®«¼ª® ¨­®©, ·¥¬ ¢ ²° ¤¨¶¨®­­®©, ª« ±±¨·¥±ª®© «®£¨ª¥, ±¬»±« ¨­²³¨¶¨®­¨±²» ¯°¨¤ ¾² ¨±µ®¤­»¬ «®£¨·¥±ª¨¬ ¯®­¿²¨¿¬. ’ ª, ¢ ²° ¤¨¶¨®­­®© «®£¨ª¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ¯®­¨¬ ¥²±¿ ª ª ² ª®¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ª®²®°®¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¨±²¨­­»¬ ¨«¨ «®¦­»¬, ² ª ·²® ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¥±²¼ ­¥¯°¥¬¥­­»©  ²°¨¡³² ¢±¿ª®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿. ˆ­²³¨¶¨®­¨±²±ª¨© ¢§£«¿¤ ­  ¨±²¨­­®±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¡®«¥¥ ²°¥§¢»¬ ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ¯° ª²¨ª¥. ‘ ²®·ª¨ §°¥­¨¿ ¨­²³¨¶¨®­¨§¬ , ¨±²¨­­®±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ±¢¿§ ­  ± ¢®§¬®¦­®±²¼¾ ¥£® ¤®ª § ²¥«¼±²¢ . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ±·¨² ¥²±¿ ¨±²¨­­»¬, ¥±«¨ ¨¬¥¥²±¿ ¥£® ¤®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚ ½²®¬ ª®­²¥ª±²¥ ¯®­¨¬ ¾²±¿ ¨ ²° ¤¨¶¨®­­»¥ «®£¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨ ­ ¤ ¢»±ª §»¢ ­¨¿¬¨. ’ ª, ¢»±ª §»¢ ­¨¥  & ±·¨² ¥²±¿ ¨±²¨­­»¬ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¨±²¨­­» ®¡  ¢»±ª §»¢ ­¨¿  ¨ , ². ¥. ¬» 76

° ±¯®« £ ¥¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®¬ ª ¦¤®£® ¨§ ½²¨µ ¢»±ª §»¢ ­¨©. ‚»±ª §»¢ ­¨¥  _ ±·¨² ¥²±¿ ¨±²¨­­»¬ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¨±²¨­­® µ®²¿ ¡» ®¤­® ¨§ ¢»±ª §»¢ ­¨©  ¨ , ². ¥. ¬» ° ±¯®« £ ¥¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®¬ ¢»±ª §»¢ ­¨¿  ¨«¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®¬ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ . ‚»±ª §»¢ ­¨¥   ±·¨² ¥²±¿ ¨±²¨­­»¬ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¨¬¥¥²±¿ ­¥ª¨© ®¡¹¨© ¬¥²®¤, ¯®§¢®«¿¾¹¨© «¾¡®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨¿  ¯°¥®¡° §®¢ ²¼ ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ . Ž²°¨¶ ­¨¥ : ¢»±ª §»¢ ­¨¿  ±·¨² ¥²±¿ ¨±²¨­­»¬, ¥±«¨ ¨±²¨­­® ¢»±ª §»¢ ­¨¥   ?, £¤¥ ? | ­¥ª®²®°®¥ § ¢¥¤®¬®  ¡±³°¤­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ (­ ¯°¨¬¥°, 0 = 1). ³±²¼ (x) | ­¥ª®²®°®¥ ±¢®©±²¢®, ª®²®°»¬ ¬®£³² ®¡« ¤ ²¼ ¨«¨ ­¥ ®¡« ¤ ²¼ ®¡º¥ª²» ¯®¤µ®¤¿¹¨¬ ®¡° §®¬ § ¤ ­­®£® ¬­®¦¥±²¢ . ’®£¤  ¢»±ª §»¢ ­¨¥ 9x(x) ±·¨² ¥²±¿ ¨±²¨­­»¬, ¥±«¨ ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® ª®­ª°¥²­®£® ®¡º¥ª²  a ¨§ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®£® ¬­®¦¥±²¢  ¬» ¨¬¥¥¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ (a).  ª®­¥¶, ¢»±ª §»¢ ­¨¥ 8x(x) ±·¨² ¥²±¿ ¨±²¨­­»¬, ¥±«¨ ¨¬¥¥²±¿ ®¡¹¨© ¬¥²®¤, ¯®§¢®«¿¾¹¨© ¤«¿ «¾¡®£® ª®­ª°¥²­®£® ®¡º¥ª²  a ¨§ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®£® ¬­®¦¥±²¢  ¯®«³·¨²¼ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ (a). ®­¿²¨¥ «®¦­®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ± ¬®±²®¿²¥«¼­»¬ ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²ª®© «®£¨ª¥: ¢»±ª §»¢ ­¨¥  ±·¨² ¥²±¿ «®¦­»¬, ¥±«¨ ­ ¬ ³¤ «®±¼ ¤®ª § ²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ :. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ®²«¨·¨¥ ®² ª« ±±¨·¥±ª®© «®£¨ª¨, £¤¥ ª ¦¤®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ «¨¡® ¨±²¨­­®, «¨¡® «®¦­®, ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© «®£¨ª¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ¯®¤° §¤¥«¿¾²±¿ ­  ²°¨ ª« ±± : ¨±²¨­­»¥, «®¦­»¥ ¨ ¢±¥ ¯°®·¨¥, ¨«¨ ­¥¯°®¢¥°¥­­»¥, ¯°¨ ½²®¬ ²®«¼ª® ¯°¨­ ¤«¥¦­®±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ ª ®¤­®¬³ ¨§ ¯¥°¢»µ ¤¢³µ ª« ±±®¢ ¿¢«¿¥²±¿ ®ª®­· ²¥«¼­®©,   ¢±¿ª®¥ ­¥¯°®¢¥°¥­­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ± ²¥·¥­¨¥¬ ¢°¥¬¥­¨ ¢ °¥§³«¼² ²¥ ¨±±«¥¤®¢ ²¥«¼±ª®© ¤¥¿²¥«¼­®±²¨ ·¥«®¢¥ª  ¬®¦¥² ¯¥°¥©²¨ ¢ ° §°¿¤ ¨±²¨­­»µ (¥±«¨ ³¤ ±²±¿ ¤®ª § ²¼ ¥£®) ¨«¨ ¢ ° §°¿¤ «®¦­»µ (¥±«¨ ³¤ ±²±¿ ¥£® ®¯°®¢¥°£­³²¼, ². ¥. ¤®ª § ²¼ ¨±²¨­­®±²¼ ®²°¨¶ ­¨¿ ½²®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿). Œ» ¢¨¤¨¬, ·²® ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¥ ¯®­¨¬ ­¨¥ ­¥ª®²®°»µ ¢¨¤®¢ ¢»±ª §»¢ ­¨© ±³¹¥±²¢¥­­® ®²«¨· ¥²±¿ ®² ª« ±±¨·¥±ª®£®. ³±²¼, ­ ¯°¨¬¥°, ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ¨¬¥¥² ¢¨¤  _ :. …±«¨  | ¨±²¨­­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥, ­ ¯°¨¬¥°, 0=0, ²® ¢»±ª §»¢ ­¨¥  _ : ² ª¦¥ ¨±²¨­­®. €­ «®£¨·­®, ¢»±ª §»¢ ­¨¥  _ : ¨±²¨­­®, ¥±«¨  | «®¦­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥, ­ ¯°¨¬¥°, 0=1. …±«¨ ¦¥  | ­¥¯°®¢¥°¥­­®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ (² ª®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ­¥²°³¤­® ­ ©²¨ ¢ ±®¢°¥¬¥­­®© ­ ³·­®© «¨²¥° ²³°¥, £¤¥ ´®°¬³«¨°³¾²±¿ ­¥°¥¸¥­­»¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ¯°®¡«¥¬»), ²® ¬» ­¥ ¬®¦¥¬ ³²¢¥°¦¤ ²¼, ·²® ¢»±ª §»¢ ­¨¥  _: ¨±²¨­­®. ® ± ª« ±±¨·¥±ª®© ²®·ª¨ §°¥­¨¿ ½²® ¢»±ª §»¢ ­¨¥ ¨±²¨­­®, ¯° ¢¤ , ¥¤¨­±²¢¥­­»¬  °£³¬¥­²®¬ §¤¥±¼ ¿¢«¿¥²±¿ ²¥§¨±, ·²® ² ª®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ À¨±²¨­­® ¢±¥£¤ Á.  ±±¬®²°¨¬ ¥¹¥ ®¤¨­ µ°¥±²®¬ ²¨©­»© ¯°¨¬¥° ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ¤®ª § ²¥«¼±²¢ , ª®²®°®¥ ­¥¯°¨¥¬«¥¬® ± ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© ²®·ª¨ §°¥­¨¿. ’¥®°¥¬  8.1.

‘³¹¥±²¢³¾² ¨°° ¶¨®­ «¼­»¥ ·¨±«  a ¨ b ² ª¨¥, ·²® ·¨±«® ab ° ¶¨®­ «¼­®.

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 ±±¬®²°¨¬ ·¨±«® 2 2 . …±«¨ ½²® ·¨±«® ° ¶¨®­ «¼­®, p p2 p ²® ¬®¦­® ¢§¿²¼ a = 2, p p p2 b = 2. …±«¨ ¦¥ ·¨±«® 2 ¨°° ¶¨®­ «¼­®, ¬®¦­® ¢§¿²¼ a = 2 , b = 2. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ «¾¡®¬ ±«³· ¥ ­³¦­»¥ a ¨ b ±³¹¥±²¢³¾². 2 ²® ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ ¿°ª¨¬ ®¡° §¶®¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  À·¨±²®£® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿Á, ª®£¤  ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ­¥ª®²®°®£® ®¡º¥ª²  ¡¥§ ¿¢­®£® ¯°¥¤º¿¢«¥­¨¿ ¥£®. ’ ª¨¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  · ±²® ¢±²°¥· ¾²±¿ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ¨ ¤ ¦¥ ±·¨² ¾²±¿ ®±®¡¥­­® ¨§¿¹­»¬¨. ® ¤«¿ ¨­²³¨¶¨®­¨±² , ®·¥¢¨¤­®, ² ª®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ­¥¯°¨¥¬«¥¬®. Š ±· ±²¼¾, ¤«¿ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®© ²¥®°¥¬» ¨¬¥¥²±¿ ¨ ¤°³£®¥, ¡®«¥¥ £«³¡®ª®¥ p p2 p p2 ¤®ª § ²¥«¼±²¢®, ¯®ª §»¢ ¾¹¥¥, ·²® ·¨±«® 2 ¨°° ¶¨®­ «¼­®, ² ª ·²® ¨±ª®¬»¥ ·¨±«  ² ª®¢»: a = 2 , p b = 2. „®ª § ²¥«¼±²¢®.

8.3. ˆ­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨©

Š ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼ ¢»¸¥, ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª ¿ ¬ ²¥¬ ²¨ª  ­¥ ¯®«¼§³¥²±¿ ª ª®©-«¨¡®  ¯°¨®°­®© «®£¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬®©, ®¯° ¢¤»¢ ¾¹¥© ±®¢¥°¸¥­¨¥ ²®£® ¨«¨ ¨­®£® ¸ £  ¢ ° ±±³¦¤¥­¨¿µ. …¤¨­±²¢¥­­»¬ ª°¨²¥°¨¥¬ ¯° ¢¨«¼­®±²¨ ° ±±³¦¤¥­¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ ¨­²³¨²¨¢­ ¿ ¿±­®±²¼ ª ¦¤®£® «®£¨·¥±ª®£® ¸ £ . ²®, ®¤­ ª®, ­¥ ¨±ª«¾· ¥² ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ­¥ª®²®°»µ ®¡¹¨µ «®£¨·¥±ª¨µ ¯° ¢¨«, ª®²®°»¥ ¯®§¢®«¿¾² ¨§ ¤ ­­»µ ¨±²¨­­»µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ³²¢¥°¦¤¥­¨© ¨­²³¨²¨¢­® ¿±­»¬ ¯³²¥¬ ¯®«³· ²¼ ¤°³£¨¥ ¨±²¨­­»¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿. ‚»¿¢«¥­¨¥ ¨ ¨§³·¥­¨¥ ² ª¨µ ®¡¹¨µ ¯° ¢¨« ±®±² ¢«¿¥² ¯°¥¤¬¥² ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© «®£¨ª¨, ¿¢«¿¾¹¥©±¿ ¢ ¦­»¬ ° §¤¥«®¬ ±®¢°¥¬¥­­®© ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¨. ‘«¥¤³¥² § ¬¥²¨²¼, ·²®, ª ª ¨ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ «®£¨ª  ¢ ¶¥«®¬, ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª ¿ «®£¨ª  § ­¨¬ ¥²±¿ ¨§³·¥­¨¥¬ ²®«¼ª® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ° ±±³¦¤¥­¨© ¨ ­¥ ¯°¥²¥­¤³¥² ­  ¢®§¬®¦­®±²¼ ¸¨°®ª®£® ¥¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ¢­¥ ¬ ²¥¬ ²¨ª¨. Ž¤­¨¬ ¨§ ¥±²¥±²¢¥­­»µ ¯³²¥© ¯®±²°®¥­¨¿ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© «®£¨ª¨ ¿¢«¿¥²±¿ ª°¨²¨·¥±ª¨©  ­ «¨§ ª« ±±¨·¥±ª®© «®£¨ª¨ ¨ ¢»¿¢«¥­¨¥ ²¥µ ¥¥ ¯°¨­¶¨¯®¢, ª®²®°»¥ ¯°¨¥¬«¥¬» ¨²³¨¶¨®­¨±²±ª¨. ¥°¢ ¿ ¯®¯»²ª  ¯®±²°®¥­¨¿ ±¨±²¥¬»  ª±¨®¬ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© «®£¨ª¨ ¡»«  ¯°¥¤¯°¨­¿²  €. . Š®«¬®£®°®¢»¬ ¢ 1925 £. Ž­ ¨±µ®¤¨« ¨§ ¯°¥¤«®¦¥­­®© ƒ¨«¼¡¥°²®¬ ¢ 1923 £. ±¨±²¥¬» ª« ±±¨·¥±ª®© «®£¨ª¨, ±®±²®¿¹¥© ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ±µ¥¬  ª±¨®¬: 77

ƒ1. A  (B  A); ƒ2. (A  (A  B))  (A  B); ƒ3. (A  (B  C))  (B  (A  C)); ƒ4. (B  C)  ((A  B)  (A  C)); ƒ5. A  (:A  B); ƒ6. (A  B)  ((:A  B)  B). „°³£¨¥ § ª®­» ª« ±±¨·¥±ª®© «®£¨ª¨ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¬®£³² ¡»²¼ ¯®«³·¥­» ¨§  ª±¨®¬ ± ¯®¬®¹¼¾ ¯° ¢¨«  modus ponens. ˆ±·¨±«¥­¨¥, § ¤ ¢ ¥¬®¥ ±µ¥¬ ¬¨  ª±¨®¬ ƒ1 { ƒ6 ¢¬¥±²¥ ± ¯° ¢¨«®¬ ¢»¢®¤  modus ponens, ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ¨±·¨±«¥­¨¥¬ ƒ¨«¼¡¥°² . ®¤¢¥°£ ¿ ½²³ ±¨±²¥¬³  ª±¨®¬ ª°¨²¨·¥±ª®¬³  ­ «¨§³ ± ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© ²®·ª¨ §°¥­¨¿, €. . Š®«¬®£®°®¢ ¯°¨µ®¤¨² ª ±¨±²¥¬¥  ª±¨®¬ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© «®£¨ª¨, ±®±²®¿¹¥© ¨§ ±µ¥¬  ª±¨®¬ ƒ1 { ƒ4 ¨±·¨±«¥­¨¿ ƒ¨«¼¡¥°² ,   ² ª¦¥ ±«¥¤³¾¹¥© ±µ¥¬»  ª±¨®¬: (A  B)  ((A  :B)  :A): ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ Š®«¬®£®°®¢  ¨¬¥¥² ±«¥¤³¾¹¨¥ ±µ¥¬»  ª±¨®¬: Š1. A  (B  A); Š2. (A  (A  B))  (A  B); Š3. (A  (B  C))  (B  (A  C)); Š4. (B  C)  ((A  B)  (A  C)); Š5. (A  B)  ((A  :B)  :A): …¤¨­±²¢¥­­»¬ ¯° ¢¨«®¬ ¢»¢®¤  ¿¢«¿¥²±¿ modus ponens. ˆ±·¨±«¥­¨¥ Š®«¬®£®°®¢  ¿¢«¿¥²±¿ ¨±²®°¨·¥±ª¨ ¯¥°¢®©  ª±¨®¬ ²¨§ ¶¨¥© ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© «®£¨ª¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©. ®§¤­¥¥ ¤°³£¨¥ ±¨±²¥¬»  ª±¨®¬ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© «®£¨ª¨ (± ¡®«¥¥ ¸¨°®ª¨¬ § ¯ ±®¬ ¢»¢®¤¨¬»µ ´®°¬³«) ¡»«¨ ¯°¥¤«®¦¥­» ‚. ˆ. ƒ«¨¢¥­ª® (1929 £.), ƒ¥©²¨­£®¬ (1930 £.), ƒ¥­¶¥­®¬ (1935 £.). ‚±¥ ®­¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­» ¬¥¦¤³ ±®¡®© ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ¨§ ­¨µ ¢»¢®¤¨¬» ®¤­¨ ¨ ²¥ ¦¥ «®£¨·¥±ª¨¥ ¯°¨­¶¨¯», ¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­» ±«¥¤³¾¹¥© ±¨±²¥¬¥  ª±¨®¬: ˆˆ‚1. A  (B  A); ˆˆ‚2. (A  B)  ((A  (B  C))  (A  C)); ˆˆ‚3. A & B  A; ˆˆ‚4. A & B  B; ˆˆ‚5. A  (B  A & B); ˆˆ‚6. A  A _ B; ˆˆ‚7. B  A _ B; ˆˆ‚8. (A  C)  ((B  C)  (A _ B  C)); ˆˆ‚9. (A  B)  ((A  :B)  :A); ˆˆ‚10. A  (:A  B). ²¨ ±µ¥¬»  ª±¨®¬ ¢¬¥±²¥ ± ¯° ¢¨«®¬ modus ponens § ¤ ¾² ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨©. žµ ­±®­ (1937 £.) ¢¢¥« ¢ ° ±±¬®²°¥­¨¥ ¨±·¨±«¥­¨¥, § ¤ ¢ ¥¬®¥ ±µ¥¬ ¬¨  ª±¨®¬ ˆˆ1 { ˆˆ9, ¨ ­ §¢ « ¥£® ¬¨­¨¬ «¼­»¬ ¨±·¨±«¥­¨¥¬. …±«¨ ¨§ ¬¨­¨¬ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¨±ª«¾·¨²¼  ª±¨®¬³ ˆˆ9, ²® ¯®«³·¨²±¿ ² ª ­ §»¢ ¥¬®¥ ¯®§¨²¨¢­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥, ° ±¬®²°¥­­®¥ ƒ¨«¼¡¥°²®¬ ¨ ¥°­ ©±®¬ (1934 £.). ’ ª ª ª ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬, ¬¨­¨¬ «¼­®¬ ¨ ¯®§¨²¨¢­®¬ ¨±·¨±«¥­¨¿µ ±°¥¤¨ ±µ¥¬  ª±¨®¬ ¥±²¼ ±µ¥¬» ˆˆ1 ¨ ˆˆ2,   ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ¯° ¢¨«®¬ ¢»¢®¤  ¿¢«¿¥²±¿ modus ponens, ²®, ¢ ±¨«³ ±«¥¤±²¢¨¿ 4.2, ¤«¿ ª ¦¤®£® ¨§ ½²¨µ ¨±·¨±«¥­¨© ¢¥°­  ²¥®°¥¬  ® ¤¥¤³ª¶¨¨: ª ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³« ¨ ´®°¬³«» A; B, ¥±«¨ [ fAg ` B, ²® ` A  B. ’ ª ª ª ±°¥¤¨ ±µ¥¬  ª±¨®¬ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®£® ¨ ¬¨­¨¬ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨© ¥±²¼ ±µ¥¬  ˆˆ9, ²®, ¢ ±¨«³ ±«¥¤±²¢¨¿ 4.3, ¤«¿ ½²¨µ ¨±·¨±«¥­¨© ¢¥°¥­ ¯°¨­¶¨¯ ¯°¨¢¥¤¥­¨¿ ª  ¡±³°¤³: ¥±«¨ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ´®°¬³« [ fAg ¢»¢®¤¨¬® ¯°®²¨¢®°¥·¨¥, ². ¥. [ fAg ` B ¨ [ fAg ` :B ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ´®°¬³«» B, ²® ` :A. ‘®®²­®¸¥­¨¥ ¬¥¦¤³ ¨±·¨±«¥­¨¥¬ Š®«¬®£®°®¢  ¨ ¬¨­¨¬ «¼­»¬ ¨±·¨±«¥­¨¥¬ ¢»° ¦ ¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥© ²¥®°¥¬®©. 1) ‚±¿ª ¿ ´®°¬³« , ¢»¢®¤¨¬ ¿ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ Š®«¬®£®°®¢ , ¢»¢®¤¨¬  ¨ ¢ ¬¨­¨¬ «¼­®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨. 2) ‚±¿ª ¿ ´®°¬³« , ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ²®«¼ª® «®£¨·¥±ª¨¥ ±¢¿§ª¨  ¨ : ¨ ¢»¢®¤¨¬ ¿ ¢ ¬¨­¨¬ «¼­®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨, ¢»¢®¤¨¬  ¨ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ Š®«¬®£®°®¢ . ’¥®°¥¬  8.2.

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬®¦­® ±ª § ²¼, ·²® ¨±·¨±«¥­¨¥ Š®«¬®£®°®¢  | ½²® ¨¬¯«¨ª ²¨¢­®-­¥£ ²¨¢­»© ´° £¬¥­² ¬¨­¨¬ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿.

78

‡ ¤ ·¨

„®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«» ¢»¢®¤¨¬» ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©: 1) A  ::A; 2) :::A  :A; 3) (A  B)  (:B  :A); 4) :(A _ B)  (:A & :B); 5) A & B  :(A  :B); 6) A  B  :(A & :B); 7) :(A& :A); 8) A  (:B  :(A  B)). 9) A _ B & C  (A _ B) & (A _ C); 10) (A  B)  ((C  A)  (C  B)); 11) (A  B)  ((B  C)  (A  C)); 12) (A  B)  ((C _ A)  (C _ B)); 13) (A  B)  ((C & A)  (C & B)); 14) :A _ B  (A  B). 8.4. ‹®£¨·¥±ª¨¥ ¬ ²°¨¶»

‹®£¨·¥±ª®© ¬ ²°¨¶¥© ­ §®¢¥¬ ­ ¡®° M = hM; 1;
; +; !; i, £¤¥ M | ­¥¯³±²®¥ ¬­®¦¥±²¢® (­®±¨²¥«¼ ¬ ²°¨¶» M), 1 2 M,  | ®¤­®¬¥±²­ ¿,  
, +, ! | ¤¢³¬¥±²­»¥ ®¯¥° ¶¨¨ ­  M, ¯°¨·¥¬ ¤«¿ «¾¡»µ ½«¥¬¥­²®¢ x; y 2 M ¢»¯®«­¿¾²±¿ ³±«®¢¨¿:  ¥±«¨ 1 ! x = 1, ²® x = 1;  ¥±«¨ x ! y = y ! x = 1, ²® x = y. ‚ ¤ «¼­¥©¸¥¬ ½«¥¬¥­²» ¬­®¦¥±²¢  M ¬» ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ½«¥¬¥­² ¬¨ «®£¨·¥±ª®© ¬ ²°¨¶» M ¨ ¨­®£¤  ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ x 2 M ¢¬¥±²® x 2 M. Ž¶¥­ª®© ¢ «®£¨·¥±ª®© ¬ ²°¨¶¥ M ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ª®²®° ¿ ª ¦¤®© ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®© ¯¥°¥¬¥­­®© ±®¯®±² ¢«¿¥² ­¥ª®²®°»© ½«¥¬¥­² ¨§ ¬­®¦¥±²¢  M. ‚±¿ª³¾ ®¶¥­ª³ f ¬®¦­® ¯°®¤®«¦¨²¼ ­  ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³«, ¯®«®¦¨¢ f(A & B) = f(A)
f(B); f(A _ B) = f(A) + f(B); f(A  B) = f(A) ! f(B); f(:A)  f(A): ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ´®°¬³«  A ¨±²¨­­  ¢ «®£¨·¥±ª®© ¬ ²°¨¶¥ M, ¥±«¨ f(A) = 1, ª ª®¢  ¡» ­¨ ¡»«  ®¶¥­ª  f ¢ M. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ «®£¨·¥±ª ¿ ¬ ²°¨¶  M ­ §»¢ ¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®© ´®°¬³«» A. …±«¨ ¦¥ ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ®¶¥­ª¨ f ¨¬¥¥² ¬¥±²® f(A) 6= 1, ²® £®¢®°¿², ·²® ´®°¬³«  A ®¯°®¢¥°£ ¥²±¿ ¢ ¬ ²°¨¶¥ M,   ¬ ²°¨¶  M ­ §»¢ ¥²±¿ ª®­²°¬®¤¥«¼¾ ¤«¿ ½²®© ´®°¬³«». ‹®£¨·¥±ª ¿ ¬ ²°¨¶  M ­ §»¢ ¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¤ ­­®£® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿, ¥±«¨ ¢±¥ ´®°¬³«», ¢»¢®¤¨¬»¥ ¢ ½²®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨, ¨±²¨­­» ¢ ¬ ²°¨¶¥ M. ‹®£¨·¥±ª ¿ ¬ ²°¨¶  ­ §»¢ ¥²±¿ ²®·­®© ¬®¤¥«¼¾ ¤ ­­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿, ¥±«¨ ¢ ½²®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»¢®¤¨¬» ²¥ ¨ ²®«¼ª® ²¥ ´®°¬³«», ª®²®°»¥ ¨±²¨­­» ¢ ½²®© ¬ ²°¨¶¥. ³±²¼ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ² ª®¢®, ·²® ¥£® ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ¯° ¢¨«®¬ ¢»¢®¤  ¿¢«¿¥²±¿ modus ponens. ’®£¤  «®£¨·¥±ª ¿ ¬ ²°¨¶  M ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ½²®£® ¨±·¨±«¥­¨¿, ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ¢±¥  ª±¨®¬» ½²®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¨±²¨­­» ¢ M. ’¥®°¥¬  8.3.

79

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ «®£¨·¥±ª ¿ ¬ ²°¨¶  M ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ¤ ­­®£® ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿. ®±ª®«¼ª³ ¢±¥  ª±¨®¬» ½²®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»¢®¤¨¬» ¢ ­¥¬, ®­¨ ¨±²¨­­» ¢ M ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¬®¤¥«¨. Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ¢ «®£¨·¥±ª®© ¬ ²°¨¶¥ M ¨±²¨­­» ¢±¥  ª±¨®¬» ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿, ¢ ª®²®°®¬ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ¯° ¢¨«®¬ ¢»¢®¤  ¿¢«¿¥²±¿ modus ponens, ¨ ¯³±²¼ A1 ; : : :; An | ­¥ª®²®°»© ¢»¢®¤ ¢ ½²®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨. ˆ­¤³ª¶¨¥© ¯® i ¤®ª ¦¥¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® i = 1; : : :; n ´®°¬³«  Ai ¨±²¨­­  ¢ ¬ ²°¨¶¥ M. °¨ i = 1 ´®°¬³«  Ai ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬®© ¨ ¨±²¨­­  ¢ M ¯® ³±«®¢¨¾. ³±²¼ ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® k  n ª ¦¤ ¿ ¨§ ´®°¬³« Ai ¯°¨ i < k ¨±²¨­­  ¢ M. „®ª ¦¥¬, ·²® ´®°¬³«  Ak ² ª¦¥ ¨±²¨­­  ¢ M. …±«¨ ´®°¬³«  Ak ¿¢«¿¥²±¿  ª±¨®¬®©, ²® ®­  ¨±²¨­­  ¢ M ¯® ³±«®¢¨¾. …±«¨ ¦¥ Ak ¯®«³·¥­  ¯® ¯° ¢¨«³ modus ponens ¨§ ´®°¬³« Al ¨ Am , £¤¥ l; m < k, ¯°¨·¥¬ Am ¨¬¥¥² ¢¨¤ Al  Ak , ²®, ¯® ¨­¤³ª²¨¢­®¬³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾, ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ f ¨¬¥¥² ¬¥±²® f(Al ) = 1 ¨ f(Am ) = f(Al ) ! f(Ak ) = 1 ! f(Ak ) = 1. Ž²±¾¤  ¨ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ «®£¨·¥±ª®© ¬ ²°¨¶» ±«¥¤³¥², ·²® f(Ak ) = 1 ¤«¿ «¾¡®© ®¶¥­ª¨ f, ². ¥. ´®°¬³«  Ak ¨±²¨­­  ¢ ¬ ²°¨¶¥ M. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, «¾¡ ¿ ´®°¬³« , ¢»¢®¤¨¬ ¿ ¢ ¤ ­­®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨, ¨±²¨­­  ¢ ¬ ²°¨¶¥ M. ‡­ ·¨², M ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¤¥«¼¾ ½²®£® ¨±·¨±«¥­¨¿. 2 Œ®¤¥«¼¾ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¿¢«¿¥²±¿, ­ ¯°¨¬¥°, «®£¨·¥±ª ¿ ¬ ²°¨¶  1 M1 = hf0; ; 1g;
; +; !; i; 2   1; ¥±«¨ x  y; 1; ¥±«¨ x = 0; £¤¥ x
y = min(x; y); x + y = max(x; y); x ! y = y; ¥±«¨ x > y;  x = x ! 0 = 0; ¥±«¨ x 6= 0: ’¥®°¥¬  8.4.

¢ ­¨©.

”®°¬³«  (A  B)  ((:A  B)  B) ­¥¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»-

 ±±¬®²°¨¬ ² ª³¾ ®¶¥­ª³ f ¢ M1, ·²® f(A) = f(B) = 12 : ‚»·¨±«¥­¨¿ ¯®ª §»¢ ¾², ·²® §­ ·¥­¨¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®© ´®°¬³«» ¯°¨ ½²®© ®¶¥­ª¥ ° ¢­® 12 , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ½²  ´®°¬³«  ­¥ ¨±²¨­­  ¢ ¬®¤¥«¨ M1 ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¨ ¯®²®¬³ ­¥¢»¢®¤¨¬  ¢ ½²®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨. 2 „®ª § ²¥«¼±²¢®.

’¥®°¥¬  8.5.

”®°¬³«  (A  B)  ((:A  B)  B) ­¥¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ Š®«¬®£®°®¢ .

„®ª § ²¥«¼±²¢®. “²¢¥°¦¤¥­¨¥ ±«¥¤³¥² ¨§ ²¥®°¥¬» 8.4 ¨ ²®£® ´ ª² , ·²® ¢±¿ª ¿ ´®°¬³« , ¢»¢®¤¨¬ ¿ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ Š®«¬®£®°®¢ , ¢»¢®¤¨¬  ¨ ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©. 2 ’ ª¨¬ ®¡° §®¬,  ª±¨®¬  ƒ6 ¨±·¨±«¥­¨¿ ƒ¨«¼¡¥°²  ­¥¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ Š®«¬®£®°®¢ . ‡ ¬¥²¨¬ ² ª¦¥, ·²® ¯°¨ ² ª®© ®¶¥­ª¥ f ¢ M1 , ·²® f(A) = 12 , f(B) = 1, ´®°¬³«  (:A  :B)  (B  A) ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ 12 ; ¯°¨ ² ª¨µ ®¶¥­ª µ ´®°¬³«» A_:A ¨ ::A  A ² ª¦¥ ¯°¨­¨¬ ¾² §­ ·¥­¨¥ 21 . ‡­ ·¨², ¢±¥ ½²¨ ´®°¬³«» ² ª¦¥ ­¥¢»¢®¤¨¬» ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ Š®«¬®£®°®¢ . ‚®² ¥¹¥ ®¤¨­ ¯°¨¬¥° ¬®¤¥«¨ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨©: M2

= hf0; 1g2 [ f1g; 1;
; +; !; i;

£¤¥ 1
a = a
1 = a; 1 + a = a + 1 = 1; 1 ! a = a; a ! 1 = 1;  1 = h0; 0i (§¤¥±¼ a | ¯°®¨§¢®«¼­»© ½«¥¬¥­² ¬ ²°¨¶» M2 ),   ®¯¥° ¶¨¨ ­ ¤ ½«¥¬¥­² ¬¨ ¢¨¤  ha; bi, £¤¥ a; b 2 f0; 1g, ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ² ª:

ha1 ; b1i
ha2; b2i = hmin(a1 ; a2); min(b1 ; b2)i; ha1 ; b1i + ha2 ; b2i = hmax(a1 ; a2); max(b1; b2)i; 

a = b = 0;  ha; bi = h1;1 ¥±«¨ a; 1 bi; ¥±«¨ a 6= 0 ¨«¨ b 6= 0; ha1; b1i ! ha2 ; b2i = ( ha1 ; b1i + ha2 ; b2i);  ¥±«¨ x = h1; 1i; £¤¥ (x) = 1; x ¥±«¨ x 6= h1; 1i: ¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼, ­ ¯°¨¬¥°, ·²® ¥±«¨ f(A) = h0; 1i, ²® ¯°¨ ² ª®© ®¶¥­ª¥ f ´®°¬³«  :A _::A ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ h1; 1i. ‡­ ·¨², ®­  ­¥ ¨±²¨­­  ¢ ¬®¤¥«¨ M2 ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¨ ­¥¢»¢®¤¨¬  ¢ ½²®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ (  ¯®²®¬³ ¨ ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ Š®«¬®£®°®¢ ).

80

‡ ¤ ·¨

„®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«» ­¥¢»¢®¤¨¬» ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©: 1) P _ (P  Q); 2) (P  Q) _ (Q  P); 3) (P  Q)  :P _ Q; 4) :(P & Q)  (:P _ :Q); 5) :(P  Q)  P & :Q. 8.5. Œ®¤¥«¨ Š°¨¯ª¥ ¤«¿ «®£¨ª¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©

Œ®¤¥«¼ Š°¨¯ª¥ ¤«¿ «®£¨ª¨ ¢»±ª §»¢ ­¨© | ½²® ­ ¡®° K = (K; ; j=), £¤¥ (K; ) | · ±²¨·­® ³¯®°¿¤®·¥­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® (². ¥. ®²­®¸¥­¨¥  ­  ¬­®¦¥±²¢¥ K °¥´«¥ª±¨¢­®,  ­²¨±¨¬¬¥²°¨·­® ¨ ²° ­§¨²¨¢­®), ­ §»¢ ¥¬®¥ ¸ª «®© Š°¨¯ª¥,   j= | ­¥ª®²®°®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ ¬­®¦¥±²¢®¬ K ¨ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¢±¥µ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ®¡« ¤ ¾¹¥¥ ²¥¬ ±¢®©±²¢®¬, ·²® ¥±«¨ ; 2 K, P | ¯¥°¥¬¥­­ ¿,  j= P ¨   , ²® j= P. ‘®®²¢¥²±²¢¨¥ j= ­ §»¢ ¥²±¿ ®¶¥­ª®©. Œ®¤¥«¼ Š°¨¯ª¥ K = (K; ; j=) ­ §»¢ ¥²±¿ ª®­¥·­®©, ¥±«¨ ª®­¥·­® ¬­®¦¥±²¢® K. ˆ­²³¨²¨¢­»© ±¬»±« ¬®¤¥«¥© Š°¨¯ª¥ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª¨¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿¬ ® ±² ­®¢¿¹¥¬±¿ µ ° ª²¥°¥ ¨±²¨­­®±²¨ ¢»±ª §»¢ ­¨¿. € ¨¬¥­­®, ½«¥¬¥­²» ¬­®¦¥±²¢  K ¬®¦­® ²° ª²®¢ ²¼ ª ª À¬®¬¥­²» ¢°¥¬¥­¨ Á, ¯°¨·¥¬   ¤«¿ ; 2 K ®§­ · ¥², ·²® ¬®¬¥­²  ¯°¥¤¸¥±²¢³¥² ¬®¬¥­²³ . °¨ ½²®¬ ¬®¬¥­²» ¢°¥¬¥­¨ ¬®¦­® ¯®­¨¬ ²¼ ­¥ ¢ À´¨§¨·¥±ª®¬Á ±¬»±«¥,  , ² ª ±ª § ²¼, ¢ À«®£¨·¥±ª®¬Á: ª ¦¤»© ¬®¬¥­² ¢°¥¬¥­¨ µ ° ª²¥°¨§³¥²±¿ ±®±²®¿­¨¥¬ §­ ­¨© ¢ ½²®² ¬®¬¥­². ®½²®¬³ ¨ ¸ª «  Š°¨¯ª¥ (À¢°¥¬¥­­ ¿ ¸ª « Á), ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­® ³¯®°¿¤®·¥­­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬, ¨¡® ¢ ¡³¤³¹¥¬ ° §¢¨²¨¥ §­ ­¨© ¬®¦¥² ¯®©²¨ ° §­»¬¨ ¯³²¿¬¨.  j= P ·¨² ¥²±¿ À ¢»­³¦¤ ¥² P Á ¨«¨ ÀP ¨±²¨­­® ¢ ¬®¬¥­² Á. ˆ­²³¨²¨¢­®,  j= P ®§­ · ¥², ·²® ¢ ¬®¬¥­²  ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ P ¿¢«¿¥²±¿ ¤®ª § ­­»¬,   ²® ³±«®¢¨¥, ·²® ¥±«¨  j= P ¨   , ²® j= P, ¢»° ¦ ¥² ² ª ­ §»¢ ¥¬»© ¯°¨­¶¨¯ ±®µ° ­¥­¨¿ ¨±²¨­­®±²¨: ²®, ·²® ¨±²¨­­® ¢ ¤ ­­»© ¬®¬¥­², ®±² ¥²±¿ ¨±²¨­­»¬ ¢±¥£¤  ¢ ¡³¤³¹¥¬.   ®±­®¢¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¿ j= ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ ¬­®¦¥±²¢®¬ K ¨ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¢±¥µ ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­»µ ´®°¬³«, ®¡®§­ · ¥¬®¥ ²¥¬ ¦¥ ±¨¬¢®«®¬ j=. ²® ±®®²¢¥²±²¢¨¥ § ¤ ¥²±¿ ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ´®°¬³«». „«¿ ¯¥°¥¬¥­­»µ ®­® ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥­®. „ «¥¥ ¯®« £ ¥¬:   j= (A & B) * ) [ j= A ¨  j= B];   j= (A _ B) * ) [ j= A ¨«¨  j= B];   j= (A  B) * ) (8  )[ 6j= A ¨«¨ j= B];   j= :A * ) (8  ) 6j= A. ¥²°³¤­® ¤®ª § ²¼, ·²® ¯°¨­¶¨¯ ±®µ° ­¥­¨¿ ¨±²¨­­®±²¨ ®±² ¥²±¿ ¢¥°­»¬ ¨ ¤«¿ ´®°¬³«: ¥±«¨  j= A ¨   , ²® j= B. ƒ®¢®°¿², ·²® ´®°¬³«  A ¨±²¨­­  ¢ ¬®¤¥«¨ Š°¨¯ª¥ K = (K; ; j=) ¨ ¯¨¸³² K j= A, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£®  2 K ¨¬¥¥² ¬¥±²®  j= A. …±«¨ ´®°¬³«  A ­¥ ¨±²¨­­  ¢ ¬®¤¥«¨ Š°¨¯ª¥ K, ². ¥. K 6j= A, ²® K ­ §»¢ ¾² ª®­²°®¬®¤¥«¼¾ ¤«¿ A. ˆ¬¥¥² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬  ® ª®°°¥ª²­®±²¨ ¨ ¯®«­®²¥ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨© ®²­®±¨²¥«¼­® ¬®¤¥«¥© Š°¨¯ª¥: °®¯®§¨¶¨®­ «¼­ ¿ ´®°¬³«  ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨© ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­  ¨±²¨­­  ¢ «¾¡®© ª®­¥·­®© ¬®¤¥«¨ Š°¨¯ª¥.

’¥®°¥¬  8.6.

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ «¾¡®© ¯°®¯®§¨¶¨®­ «¼­®© ´®°¬³«» A ¬®¦­® «¨¡® ¯®±²°®¨²¼ ¥¥ ¢»¢®¤ ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©, «¨¡® ­ ©²¨ ª®­²°¬®¤¥«¼ ¤«¿ A. °¨¬¥°. „®ª ¦¥¬, ·²® ´®°¬³«  P _ :P ­¥¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©, ¯®±²°®¨¢ ¤«¿ ­¥¥ ª®­²°¬®¤¥«¼ Š°¨¯ª¥. ³±²¼ K = f; g, ¯°¨·¥¬   ,   ,  . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¸ª «  Š°¨¯ª¥ ±®±²®¨² ¨§ ¤¢³µ À¬®¬¥­²®¢Á:  (À±¥£®¤­¿Á) ¨ (À§ ¢²° Á). ®«®¦¨¬ j= P . „®ª ¦¥¬, ·²®  6j= P _ :P . ‚ ±¨«³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®²­®¸¥­¨¿ j= ¤«¿ ¤¨§º¾­ª¶¨¨,  6j= P _ :P ®§­ · ¥², ·²® ¢»¯®«­¿¥²±¿ µ®²¿ ¡» ®¤­® ¨§ ³±«®¢¨©: 1)  j= P ¨«¨ 2)  j= :P . “±«®¢¨¥ 1), ®·¥¢¨¤­®, ­¥ ¢»¯®«­¥­®. “±«®¢¨¥ 2), ¢ ±¨«³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®²­®¸¥­¨¿ j= ¤«¿ ®²°¨¶ ­¨¿, ®§­ · ¥², ·²®  )  6j= P ¨ ¡) 6j= P . “±«®¢¨¥  ), ®·¥¢¨¤­®, ¢»¯®«­¥­®,   ³±«®¢¨¥ ¡) | ­¥². ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ³±«®¢¨¥ 2) ² ª¦¥ ­¥ ¢»¯®«­¥­®. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬,  6j= P _:P .

81

‡ ¤ ·¨

„®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«» ­¥¢»¢®¤¨¬» ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©, ¯®±²°®¨¢ ¤«¿ ª ¦¤®© ¨§ ­¨µ ª®­²°¬®¤¥«¼ Š°¨¯ª¥: 1) P _ (P  Q); 2) ::P  P ; 3) (P  Q) _ (Q  P); 4) P  P & (Q _ :Q); 5) (P  Q)  :P _ Q; 6) (P  Q) _ (P  :Q); 7) ((P  Q)  P)  P; 8) :(P  Q)  P & :Q; 9) :(P & Q)  (:P _ :Q); 10) (:P  :Q)  (Q  P); 11) (:Q  :P)  ((:Q  P)  Q). 8.6. ˆ­²³¨¶¨®­¨±²±ª¨¥ ½«¥¬¥­² °­»¥ ¿§»ª¨

Š« ±±¨·¥±ª ¿ «®£¨ª  ¯°¥¤¨ª ²®¢, ª®²®° ¿ ° ±±¬ ²°¨¢ « ±¼ ¢ ° §¤¥« µ 5 ¨ 6, ¨§³· ¥² ° ±±³¦¤¥­¨¿, ¯°®¢®¤¨¬»¥ ­  ª ª®¬-«¨¡® ½«¥¬¥­² °­®¬ ¿§»ª¥. °¥¤±² ¢«¿¥² ¨­²¥°¥± ° §° ¡®²ª  ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© «®£¨ª¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢. ® ¤«¿ ½²®£® ¯°¥¦¤¥ ­³¦­® ®±¬»±«¨²¼, ·²® ² ª®¥ ½«¥¬¥­² °­»© ¿§»ª ± ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© ²®·ª¨ §°¥­¨¿. Š ª ¬» ¢¨¤¥«¨ ¢ ° §¤¥«¥ 5.3, ¯°¨ ¯®±²°®¥­¨¨ ½«¥¬¥­² °­®£® ¿§»ª  ´¨ª±¨°³¥²±¿ ­¥ª®²®° ¿ ­¥¯³±² ¿ ¯°¥¤¬¥²­ ¿ ®¡« ±²¼ M,   § ²¥¬ ­¥ª®²®°»¬ ®¡º¥ª² ¬ ¨§ M, ®¯¥° ¶¨¿¬ ¨ ¯°¥¤¨ª ² ¬ ­  M ¤ ¾²±¿ ¨¬¥­ , ¨ ² ª ¢®§­¨ª ¾² ª®­±² ­²», ´³­ª¶¨®­ «¼­»¥ ¨ ¯°¥¤¨ª ²­»¥ ±¨¬¢®«», ±®±² ¢«¿¾¹¨¥ ±¨£­ ²³°³ ±®§¤ ¢ ¥¬®£® ¿§»ª . ®±¬®²°¨¬ ­  ½²®² ¯°®¶¥±± ± ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© ²®·ª¨ §°¥­¨¿. Š®­¥·­®, ­¥² ¯°®¡«¥¬ ± ° ±±¬®²°¥­¨¥¬ ª ª®©-­¨¡³¤¼ ­¥¯³±²®© ¯°¥¤¬¥²­®© ®¡« ±²¨ M ª ª ¬­®¦¥±²¢ , § ¤ ­­®£® ¯° ¢¨«®¬ ¯®°®¦¤¥­¨¿ ¥£® ½«¥¬¥­²®¢ ¨«¨ ±¢®©±²¢®¬, ¢»¤¥«¿¾¹¨¬ ¥£® ½«¥¬¥­²» ±°¥¤¨ ½«¥¬¥­²®¢ ¤°³£®£®, ° ­¥¥ § ¤ ­­®£® ¬­®¦¥±²¢ . ¥ ¢»§»¢ ¥² ²°³¤­®±²¥© ¨ ¯®¯»²ª  ¤ ²¼ ¨¬¥­  ­¥ª®²®°»¬ ½«¥¬¥­² ¬ ¯°¥¤¬¥²­®© ®¡« ±²¨ M. € ª ª ²° ª²®¢ ²¼ ¯®­¿²¨¥ ¯°¥¤¨ª ² , § ¤ ­­®£® ­  M? ‚ ° §¤¥«¥ 5.2 ¬» ° ±±¬ ²°¨¢ «¨ ­¥±ª®«¼ª® ¢®§¬®¦­»µ ¢ °¨ ­²®¢ ¯®­¿²¨¿ ¯°¥¤¨ª ² . ‚®-¯¥°¢»µ, ª®­ª°¥²­»© ¯°¥¤¨ª ² ¬®¦­® ²° ª²®¢ ²¼ ª ª ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­³¾ ´®°¬³ P (x1; : : :; xn), § ¯¨± ­­³¾ ­  ­¥´®°¬ «¼­®¬, ­® ¯®­¿²­®¬ ¿§»ª¥, ¨ ¯°¨ ½²®¬ ± ­¨¬ ¥±²¥±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ±¢¿§ ­  ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ±®¯®±² ¢«¿¾¹ ¿ ª ¦¤®¬³ ­ ¡®°³ a1 ; : : :; an §­ ·¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­»µ x1; : : :; xn ¢»±ª §»¢ ­¨¥ P (a1; : : :; an). ’ ª®¥ ¯®­¨¬ ­¨¥ ¯°¥¤¨ª ²  ¢¯®«­¥ ¯°¨¥¬«¥¬® ± ²®·ª¨ §°¥­¨¿ ¨­²³¨¶¨®­¨§¬ . „ «¥¥, ° ±±¬ ²°¨¢ ¿ «¨¸¼ ¨±²¨­­®±²­»¥ §­ ·¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨© P(a1; : : :; an), ¬» ¯°¨µ®¤¨«¨ ª ¯®­¨¬ ­¨¾ ¯°¥¤¨ª ²  ª ª ´³­ª¶¨¨, § ¤ ­­®© ­  ¯°¥¤¬¥²­®© ®¡« ±²¨ M ¨ ¯°¨­¨¬ ¾¹¥© §­ ·¥­¨¿ 1 (À¨±²¨­ Á) ¨ 0 (À«®¦¼Á). ²®² ¸ £, ª®­¥·­® ¦¥, ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª¨ ­¥¯°¨¥¬«¥¬, ¨¡®, ª ª ¬» §­ ¥¬, ¨±²¨­­®±²­®¥ §­ ·¥­¨¥ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ®¡¿§ ²¥«¼­»¬  ²°¨¡³²®¬ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ¢»±ª §»¢ ­¨¿. ˆ² ª, ¬» ¤®«¦­» ®±² ­®¢¨²¼±¿ ­  ²° ª²®¢ª¥ ¯°¥¤¨ª ²  ª ª ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­®© ´®°¬», § ¯¨± ­­®© ­  ¯®¤µ®¤¿¹¥¬ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ´®°¬ «¼­®¬) ¯®­¿²­®¬ ¿§»ª¥. …¹¥ ¡®«¼¸¥ ²°³¤­®±²¥© ¢®§­¨ª ¥² ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ ¯®­¿²¨¿ ¯°®¨§¢®«¼­®© ®¯¥° ¶¨¨, ¨«¨ ´³­ª¶¨¨. Œ» £®¢®°¨¬, ·²® § ¤ ­  n-¬¥±²­ ¿ ®¯¥° ¶¨¿ f ­  ¬­®¦¥±²¢¥ M, ¥±«¨ ª ¦¤®¬³ ­ ¡®°³ a1 ; : : :; an ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢  M ±®¯®±² ¢«¥­ ®¤¨­ ®¯°¥¤¥«¥­­»© ½«¥¬¥­² ¨§ M, ®¡®§­ · ¥¬»© f(a1 ; : : :; an). ˆ­²³¨¶¨®­¨±²±ª ¿ ²° ª²®¢ª  ² ª®£® ¯®­¨¬ ­¨¿ ´³­ª¶¨¨ ®§­ · ¥², ·²® ¨¬¥¥²±¿ ®¡¹¥¥ ¯° ¢¨«®, ±®¯®±² ¢«¿¾¹¥¥ ª ¦¤®¬³ ­ ¡®°³ a1 ; : : :; an ½«¥¬¥­² f(a1 ; : : :; an). ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ²®«¼ª® ´³­ª¶¨¨, ¤«¿ ª®²®°»µ ¨¬¥²±¿ ¯° ¢¨«® ¤«¿ ¨µ ¢»·¨±«¥­¨¿. Ÿ±­®, ·²® ½²® ¤ «¥ª® ®² ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ® ¯®­¿²¨¨ ¯°®¨§¢®«¼­®© ´³­ª¶¨¨. ƒ®° §¤® ¡®«¥¥ ¥±²¥±²¢¥­­»¬ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ® ´³­ª¶¨¨ f ª ª ® ´³­ª¶¨®­ «¼­®¬ ®²­®¸¥­¨¨, ². ¥. ² ª®¬ ¯°¥¤¨ª ²¥ F(x1; : : :; xn; y), ·²® ¤«¿ «¾¡»µ a1 ; : : :; an ¨±²¨­­® ¢»±ª §»¢ ­¨¥ F (a1; : : :; an; f(a1 ; : : :; an)). ’¥¬ ± ¬»¬ ¤«¿ ° ±±¬®²°¥­¨¿ ª®­ª°¥²­®© ´³­ª¶¨¨ ¬» ­¥ ®¡¿§ ­» ®¡« ¤ ²¼ ¯° ¢¨«®¬ ¤«¿ ¥¥ ¢»·¨±«¥­¨¿,   «¨¸¼ ¤®«¦­» ¨¬¥²¼ ¯®­¿²­® ±´®°¬³«¨°®¢ ­­®¥ ³±«®¢¨¥, ±¢¿§»¢ ¾¹¥¥ §­ ·¥­¨¿ ´³­ª¶¨¨ ¨ §­ ·¥­¨¿ ¥¥  °£³¬¥­²®¢. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯®­¿²¨¥ ´³­ª¶¨¨ ¯¥°¥±² ¥² ¡»²¼ ¨±µ®¤­»¬,   ±¢®¤¨²±¿ ª ¯®­¿²¨¾ ¯°¥¤¨ª ² . ®½²®¬³ ¢ ° ¬ª µ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© «®£¨ª¨ ¬» ¡³¤¥¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ «¨¸¼ ½«¥¬¥­² °­»¥ ¿§»ª¨, ±¨£­ ²³°  82

ª®²®°»µ ­¥ ±®¤¥°¦¨² ´³­ª¶¨®­ «¼­»µ ±¨¬¢®«®¢. € ¢¬¥±²® ª ª®©-«¨¡® ª®­ª°¥²­®© n-¬¥±²­®© ´³­ª¶¨¨ f, ¢ ±«³· ¥ ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¨, ¬» ¬®¦¥¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ (n + 1)-¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ² f(x1 ; : : :; xn) = y. ‚ ¦­»¬ ¬®¬¥­²®¬ ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ ½«¥¬¥­² °­»µ ¿§»ª®¢ ¿¢«¿¥²±¿ ®¯¨± ­¨¥ ¨µ ±¥¬ ­²¨ª¨. …±«¨ ¢ ±«³· ¥ ª« ±±¨·¥±ª®© «®£¨ª¨ ½²® ³¤ ¥²±¿ ±¤¥« ²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ²®·­®£® ¯®­¿²¨¿  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬», ²® ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨§¬¥ ¤¥«® ®¡±²®¨² ­¥±ª®«¼ª® ±«®¦­¥¥. ˆ­²³¨¶¨®­¨±²±ª ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ¤ ­­®£® ½«¥¬¥­² °­®£® ¿§»ª  ±¨£­ ²³°» ­ ·¨­ ¥²±¿ ± ¢»¡®°  ­¥ª®²®°®© ­¥¯³±²®© ¯°¥¤¬¥²­®© ®¡« ±²¨ M, § ¤ ­­®© ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª¨ ¯°¨¥¬«¥¬»¬ ®¡° §®¬. ‡ ²¥¬ ª®­±² ­² ¬ ¨§ ±®¯®±² ¢«¿¾²±¿ ¢ ª ·¥±²¢¥ §­ ·¥­¨© ­¥ª®²®°»¥ ½«¥¬¥­²» ¨§ M,   ¯°¥¤¨ª ²­»¬ ±¨¬¢®« ¬ ¨§ | ª®­ª°¥²­»¥ ¯°¥¤¨ª ²», ². ¥. ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­»¥ ´®°¬» ­¥ª®²®°®£® ¯®­¿²­®£® ¿§»ª  ± ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ·¨±«®¬ ¯ ° ¬¥²°®¢. ®±«¥ ½²®£® ª ¦¤ ¿ § ¬ª­³² ¿ ´®°¬³«  ±¨£­ ²³°» ¯°¥¢° ¹ ¥²±¿ ¢ ¢»±ª §»¢ ­¨¥, ¨­²³¨¶¨®­¨±²±²ª¨© ±¬»±« ª®²®°®£® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±²ª¨¬ ¯®­¨¬ ­¨¥¬ «®£¨·¥±ª¨µ ±¢¿§®ª ¨ ª¢ ­²®°®¢. …±«¨ ¦¥ ´®°¬³«  ±®¤¥°¦¨² ±¢®¡®¤­»¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥, ®­  ¯°¥¢° ¹ ¥²±¿ ¢ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­³¾ ´®°¬³, ¨­²³¨¶¨®­¨±²±²ª¨© ±¬»±« ª®²®°®© ² ª¦¥ ¯®­¿²¥­. °¨¢¥¤¥­­®¥ ®¯¨± ­¨¥ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© ±¥¬ ­²¨ª¨ ½«¥¬¥­² °­»µ ¿§»ª®¢ ­¨ ¢ ª®¥¬ ±«³· ¥ ­¥«¼§¿ ±·¨² ²¼ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨ ±²°®£¨¬. ‚®-¯¥°¢»µ, ¯®­¿²¨¥ ¯°¥¤¨ª ²  ­¥ ¡»«® ³²®·­¥­® ¤®±² ²®·­® ±²°®£¨¬ ®¡° §®¬. ‚®-¢²®°»µ, ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª¨© ±¬»±« «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© ¨ ª¢ ­²®°®¢ ² ª¦¥ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨ ²®·­»¬. Œ®¦­® ±ª § ²¼, ·²® ³ ­ ± ¥±²¼ «¨¸¼ ¨­²³¨²¨¢­®¥ ¯®­¨¬ ­¨¥ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© ±¥¬ ­²¨ª¨ ½«¥¬¥­² °­»µ ¿§»ª®¢. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ² ª¨µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨© ¤®±² ²®·­®, ·²®¡» ­ · ²¼ ° §° ¡®²ª³ ´®°¬ «¼­»µ ±¨±²¥¬ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®© «®£¨ª¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢. 8.7. ˆ­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ¯°¥¤¨ª ²®¢

³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ­  ±¨£­ ²³°  , ±®¤¥°¦ ¹ ¿ «¨¸¼ ª®­±² ­²» ¨ ¯°¥¤¨ª ²­»¥ ±¨¬¢®«». ˆ­²³¨¶¨®­¨±²-

±ª®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ¢ ±¨£­ ²³°¥ § ¤ ¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±µ¥¬ ¬¨  ª±¨®¬:

ˆˆ1. A  (B  A); ˆˆ2. (A  B)  ((A  (B  C))  (A  C)); ˆˆ3. A & B  A; ˆˆ4. A & B  B; ˆˆ5. A  (B  A & B); ˆˆ6. A  A _ B; ˆˆ7. B  A _ B; ˆˆ8. (A  C)  ((B  C)  (A _ B  C)); ˆˆ9. (A  B)  ((A  :B)  :A); ˆˆ10. A  (:A  B); ˆˆ11. 8vA(v)  A(t); ˆˆ12. A(t)  9vA(v). ‚ ±µ¥¬ µ ˆˆ11 ¨ ˆˆ12 A(v) | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´®°¬³«  ±¨£­ ²³°» , v | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ¯¥°¥¬¥­­ ¿, t | ²¥°¬ ±¨£­ ²³°» (². ¥. ¯¥°¥¬¥­­ ¿ ¨«¨ ª®­±² ­² ), ±¢®¡®¤­»© ¤«¿ ¯¥°¥¬¥­­®© v ¢ ´®°¬³«¥ A(v) (². ¥., ¥±«¨ t ¥±²¼ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ u, ²® ­¨ª ª®¥ ±¢®¡®¤­®¥ ¢µ®¦¤¥­¨¥ ¯¥°¥¬¥­­®© v ¢ ´®°¬³«³ A(v) ­¥ ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¤¥©±²¢¨¿ ª¢ ­²®°  ¯® ¯¥°¥¬¥­­®© u), A(t) | °¥§³«¼² ² ¯®¤±² ­®¢ª¨ ²¥°¬  t ¢¬¥±²® ¢±¥µ ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© v ¢ ´®°¬³«³ A(v). ° ¢¨« ¬¨ ¢»¢®¤  ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ¿¢«¿¾²±¿: (I) A; AB B (modus ponens); B (II) 9A vA  B (³¤ «¥­¨¥ ª¢ ­²®°  ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿); A (¢¢¥¤¥­¨¥ ª¢ ­²®°  ¢±¥®¡¹­®±²¨). (III) BB8vA °¨ ½²®¬ ¢ ¯° ¢¨« µ (II) ¨ (III) ´®°¬³«  A ­¥ ±®¤¥°¦¨² ±¢®¡®¤­»µ ¢µ®¦¤¥­¨© ¯¥°¥¬¥­­®© v. Œ» ¢¨¤¨¬, ·²® ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ®²«¨· ¥²±¿ ®² ª« ±±¨·¥±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢, ®¯¨± ­­®£® ¢ ° §¤¥«¥ 6, «¨¸¼ ±µ¥¬®©  ª±¨®¬ ˆˆ10, § ¬¥­¿¾¹¥© § ª®­ ¤¢®©­®£® ®²°¨¶ ­¨¿. Š ª ¨ ¢ ±«³· ¥ ª« ±±¨·¥±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢, ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ¯®­¿²¨¿ ª¢ §¨¢»¢®¤  ¨§ £¨¯®²¥§ ¨ ¢»¢®¤  ª ª ² ª®£® ª¢ §¨¢»¢®¤ , ¢ ª®²®°®¬ ±®¡«¾¤ ¾²±¿ ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ®£° ­¨·¥­¨¿ ­  ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ¯° ¢¨« (II) ¨ (III). Ž¯° ¢¤ ­¨¥¬ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ½¯¨²¥²  À¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¥Á ª ½²®¬³ ¨±·¨±«¥­¨¾ ¿¢«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨© ´ ª². ³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ­  ­¥ª®²®° ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ¤ ­­®£® ¿§»ª  ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ±¨£­ ²³°» , ². ¥. ¢»¡° ­  ­¥ª®²®° ¿ ­¥¯³±² ¿ ¯°¥¤¬¥²­ ¿ ®¡« ±²¼ M, ª®­±² ­² ¬ ¨§ ±®¯®±² ¢«¥­» ¢ ª ·¥±²¢¥ §­ ·¥­¨© ­¥ª®²®°»¥ ½«¥¬¥­²» ¨§ M,   ¯°¥¤¨ª ²­»¬ ±¨¬¢®« ¬ ¨§ | ª®­ª°¥²­»¥ ¯°¥¤¨ª ²» ­  M (². ¥. ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­»¥ ´®°¬» ­¥ª®²®°®£® ¯®­¿²­®£® ¿§»ª  ± ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ·¨±«®¬ ¯ ° ¬¥²°®¢). ’®£¤  1) ¢±¥  ª±¨®¬» ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ±¨£­ ²³°» ±² ­®¢¿²±¿ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª¨ ¨±²¨­­»¬¨ ¢»±ª §»¢ ­¨¿¬¨ ¨«¨ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­»¬¨ ´®°¬ ¬¨, § ¬»ª ­¨¿ ª®²®°»µ ª¢ ­²®° ¬¨ ¢±¥®¡¹­®±²¨ ¯® ¢±¥¬ ¯ ° ¬¥²° ¬ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª¨ ¨±²¨­­» ¢ ¤ ­­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨; 2) ¯° ¢¨«  ¢»¢®¤  ±®µ° ­¿¾² ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª³¾ ¨±²¨­­®±²¼. 83

„«¿ ±µ¥¬  ª±¨®¬ ˆˆ1 { ˆˆ10 ½²®² ´ ª² ®²¬¥· «±¿ ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨©, ±µ¥¬ ¬¨  ª±¨®¬ ª®²®°®£® ®­¨ ¿¢«¿¾²±¿.  ±±¬®²°¨¬ ±µ¥¬³  ª±¨®¬ ˆˆ11. ³±²¼ ´®°¬³«  A(v) ±®¤¥°¦¨² ±¢®¡®¤­® «¨¸¼ ¯¥°¥¬¥­­³¾ v,   ²¥°¬ t ¥±²¼ ª®­±² ­²  c. ‚ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ´®°¬³«  A(v) § ¤ ¥² ª®­ª°¥²­»© ®¤­®¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ² P (v),   §­ ·¥­¨¥¬ ª®­±² ­²» c ¿¢«¿¥²±¿ ­¥ª®²®°»© ½«¥¬¥­² m ¨§ ¯°¥¤¬¥²­®© ®¡« ±²¨ M. ‚ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª¨¬ ¯®­¨¬ ­¨¥¬ ¨¬¯«¨ª ¶¨¨, ¨±²¨­­®±²¼ ´®°¬³«» 8vA(v)  A(t) ¢ ¤ ­­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ®§­ · ¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ®¡¹¨© ¬¥²®¤, ¯®§¢®«¿¾¹¨© «¾¡®¥ ®¡®±­®¢ ­¨¥ (À¤®ª § ²¥«¼±²¢®Á) ¢»±ª §»¢ ­¨¿ 8vP (v) ¯°¥®¡° §®¢ ²¼ ¢ ®¡®±­®¢ ­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ P(m). ˆ² ª, ¯³±²¼ ¤ ­® ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ 8vP(v). ‚ ±¨«³ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®£® ¯®­¨¬ ­¨¿ ª¢ ­²®°  ¢±¥®¡¹­®±²¨, ½²® ®§­ · ¥², ·²® ­ ¬ ¤ ­ ®¡¹¨© ¬¥²®¤, ¯®§¢®«¿¾¹¨© ¤«¿ «¾¡®£® ½«¥¬¥­²  a 2 M ¯®«³·¨²¼ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ P(a). °¨¬¥­¨¬ ½²®² ¬¥²®¤ ª ½«¥¬¥­²³ m. ’®£¤  ¬» ¯®«³·¨¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¢»±ª §»¢ ­¨¿ P(m), ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼. ’¥¯¥°¼ ° ±±¬®²°¨¬ ±«³· ©, ª®£¤  ´®°¬³«  A(v) ±®¤¥°¦¨² ±¢®¡®¤­® ¯¥°¥¬¥­­»¥, ®²«¨·­»¥ ®² v,   ²¥°¬ t ² ª¦¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¥¬¥­­®© u, ¯°¨·¥¬ ­¨ª ª®¥ ±¢®¡®¤­®¥ ¢µ®¦¤¥­¨¥ ¯¥°¥¬¥­­®© v ¢ ´®°¬³«³ A(v) ­¥ ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ®¡« ±²¨ ¤¥©±²¢¨¿ ª¢ ­²®°  ¯® ¯¥°¥¬¥­­®© u. ³±²¼ w1; : : :; wk | ¢±¥ ¯ ° ¬¥²°» ´®°¬³«» 8vA(v)  A(t) (¢ · ±²­®±²¨, ²¥°¬ t ¬®¦¥² ¡»²¼ ®¤­®© ¨§ ¯¥°¥¬¥­­»µ w1; : : :; wk). ’°¥¡³¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® ´®°¬³«  8w1 : : : 8wk 8vA(v)  A(t) ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª¨ ¨±²¨­­  ¢ «¾¡®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨. ³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ­  ­¥ª®²®° ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ±¨£­ ²³°» . °¨¤ ¤¨¬ ¯¥°¥¬¥­­»¬ w1; : : :; wk ¯°®¨§¢®«¼­»¥ §­ ·¥­¨¿ ¨§ ¯°¥¤¬¥²­®© ®¡« ±²¨. ’®£¤  ´®°¬³«  A(v) ¯°¥¢° ²¨²±¿ ¢ ®¤­®¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ² P (v),   §­ ·¥­¨¥¬ ²¥°¬  t ¡³¤¥² ­¥ª®²®°»© ½«¥¬¥­² m ¨§ ¯°¥¤¬¥²­®© ®¡« ±²¨. ‚»¸¥ ¡»« ®¯¨± ­ ®¡¹¨© ¬¥²®¤, ¯®§¢®«¿¾¹¨© ¨§ ®¡®±­®¢ ­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ 8vP (v) ¯®«³·¨²¼ ®¡®±­®¢ ­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ P(m). ²®² ¬¥²®¤, ®·¥¢¨¤­®, ­¥ § ¢¨±¨² ®² ²®£®, ª ª¨¥ ¨¬¥­­® §­ ·¥­¨¿ ¬» ¯°¨¤ «¨ ¯¥°¥¬¥­­»¬ w1; : : :; wk . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¢»±ª §»¢ ­¨¥ 8w1 : : : 8wk 8vA(v)  A(t) ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª¨ ¨±²¨­­®. ¥²°³¤­® ¯°®¢¥±²¨  ­ «®£¨·­»¥ ­¥´®°¬ «¼­»¥ ° ±±³¦¤¥­¨¿, ¯®ª §»¢ ¾¹¨¥, ·²® ±µ¥¬   ª±¨®¬ ˆˆ12 ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±µ¥¬®© ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª¨ ¨±²¨­­»µ ¢»±ª §»¢ ­¨© ¨«¨ ²®¦¤¥±²¢¥­­® ¨±²¨­­»µ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼­»µ ´®°¬. ° ¢¨«® ¢»¢®¤  modus ponens, ®·¥¢¨¤­®, ±®µ° ­¿¥² ¨­²³¨¶¨®­¨±²±²ª³¾ ¨±²¨­­®±²¼. ®ª ¦¥¬, ·²® ¯° ¢¨«® (II) (¯° ¢¨«® ³¤ «¥­¨¿ ª¢ ­²®°  ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿) ² ª¦¥ ±®µ° ­¿¥² ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª³¾ ¨±²¨­­®±²¼. ³±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ 8w1 : : : 8wk 8v(A(v)  B), £¤¥ w1 ; : : :; wk | ¢±¥ ¯ ° ¬¥²°» ´®°¬³«» A(v)  B, ®²«¨·­»¥ ®² v, ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª¨ ¨±²¨­­® ¢ ¤ ­­®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨. „®ª ¦¥¬, ·²® ¢»±ª §»¢ ­¨¥ 8w1 : : : 8wk (9vA  B) ² ª¦¥ ¨±²¨­­® ¢ ½²®© ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨. °¨¤ ¤¨¬ ¯¥°¥¬¥­­»¬ w1; : : :; wk ¯°®¨§¢®«¼­»¥ §­ ·¥­¨¿ m1 ; : : :; mk ¨§ ¯°¥¤¬¥²­®© ®¡« ±²¨. ’®£¤  ´®°¬³«  A(v) ¯°¥¢° ²¨²±¿ ¢ ­¥ª®²®°»© ®¤­®¬¥±²­»© ¯°¥¤¨ª ² P (v),   ´®°¬³«  B | ¢ ­¥ª®²®°®¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¥ Q. „®ª ¦¥¬, ·²® ¨±²¨­­® ¢»±ª §»¢ ­¨¥ 9vP (v)  Q. „«¿ ½²®£® ­ ¤® ®¯¨± ²¼ ®¡¹¨© ¬¥²®¤, ª®²®°»© ¯®§¢®«¿¥² ¨§ «¾¡®£® ®¡®±­®¢ ­¨¿ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ 9vP (v) ¯®«³·¨²¼ ®¡®±­®¢ ­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ Q. ˆ² ª, ¯³±²¼ ¤ ­® ®¡®±­®¢ ­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ 9vP(v). ²® ®§­ · ¥², ·²® ¤ ­ ­¥ª®²®°»© ½«¥¬¥­² m ¨§ ¯°¥¤¬¥²­®© ®¡« ±²¨ ¨ ®¡®±­®¢ ­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ P (m). ‚ ±¨«³ ¨±²¨­­®±²¨ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ 8w1 : : : 8wk 8v(A(v)  B), ¬®¦­® ­ ©²¨ ®¡®±­®¢ ­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ P (m)  Q. ’¥¯¥°¼, ¨¬¥¿ ®¡®±­®¢ ­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ P (m), ¬» ¯®«³· ¥¬ ®¡®±­®¢ ­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ Q, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼. ‚ ¯°¨¢¥¤¥­­®¬ ° ±±³¦¤¥­¨¨ ®¯¨± ­­®¥ ®¡®±­®¢ ­¨¥ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ 9vP (v)  Q ­¥ § ¢¨±¥«® ®² ½«¥¬¥­²®¢ m1 ; : : :; mk , ² ª ·²® ¨±²¨­­®±²¼ ¢»±ª §»¢ ­¨¿ 8w1 : : : 8wk (9vA  B) ¤®ª § ­ . ‘®¢¥°¸¥­­®  ­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¯° ¢¨«® (III) (¯° ¢¨«® ¢¢¥¤¥­¨¿ ª¢ ­²®°  ¢±¥®¡¹­®±²¨) ±®µ° ­¿¥² ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª³¾ ¨±²¨­­®±²¼. ‡ ¤ ·¨

1) „®ª § ²¼, ·²® ¤«¿ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ²¥®°¥¬  ® ¤¥¤³ª¶¨¨: ª ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ¬­®¦¥±²¢® ´®°¬³« ¨ ´®°¬³«» ; , ¥±«¨ [ fg ` , ²® `   . 2) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ` ,   ¯¥°¥¬¥­­ ¿ v ­¥ ¢µ®¤¨² ±¢®¡®¤­® ¢ ´®°¬³«» ¨§ , ²® ` 8v. 3) „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ¨¬¥¥² ¬¥±²® [fg ` ,   ¯¥°¥¬¥­­ ¿ v ­¥ ¢µ®¤¨² ±¢®¡®¤­® ¢ ´®°¬³«» ¨§ ¨ ´®°¬³«³ , ²® [ f9vg ` . 4) „®ª § ²¼, ·²® ª ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ´®°¬³«  (x), ´®°¬³«  , ­¥ ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ±¢®¡®¤­® ¯¥°¥¬¥­­³¾ x, ¨ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ y, ­¥ ¢µ®¤¿¹ ¿ ¢ ´®°¬³«³ (x), ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«» ¢»¢®¤¨¬» ¢ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢:  ) 9x:(x)  :8x(x); ¡) :9x(x)  8x:(x); ¢) 8x:(x)  :9x(x); £) (8x(x) & )  8x((x) & ); ¤) 8x((x) & )  (8x(x) & ); 84

¥) ¦) §) ¨) ª) «) ¬) ­) ®) ¯) °) ±) ²) ³) ´) µ) ¶) ·) ¸) ¹)

( & 8x(x))  8x( & (x)); 8x( & (x))  ( & 8x(x)); 9x((x) & )  (9x(x) & ); (9x(x) & )  9x((x) & ); ( & 9x(x))  9x( & (x)); 9x( & (x))  ( & 9x(x)); (8x(x) _ )  8x((x) _ ); ( _ 8x(x))  8x( _ (x)); (9x(x) _ )  9x((x) _ ); 9x((x) _ )  (9x(x) _ ); ( _ 9x(x))  9x( _ (x)); 9x( _ (x))  ( _ 9x(x)); 9x((x)  )  (8x(x)  ); (  8x(x))  8x(  (x)); 8x(  (x))  (  8x(x)); (9x(x)  )  8x((x)  ); 8x((x)  )  (9x(x)  ); 9x(  (x))  (  9x(x)); 8x(x)  8y(y); 9x(x)  9y(y).

8.8. Œ®¤¥«¨ Š°¨¯ª¥ ¤«¿ «®£¨ª¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢

³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ­ ¿§»ª ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ± ±¨£­ ²³°®© , ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¥© ´³­ª¶¨®­ «¼­»µ ±¨¬¢®«®¢. Œ®¤¥«¼ Š°¨¯ª¥ ¤«¿ ¿§»ª  ±¨£­ ²³°» | ½²® ­ ¡®° K = (K; ; D; j=), £¤¥ (K; ) | · ±²¨·­® ³¯®°¿¤®·¥­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® (¸ª «  Š°¨¯ª¥), D | ´³­ª¶¨¿, ª ¦¤®¬³ ½«¥¬¥­²³  2 K ±®¯®±² ¢«¿¾¹ ¿ ­¥¯³±²®¥ ¬­®¦¥±²¢® D , ¯°¨·¥¬ D  D , ¥±«¨   . …±«¨ ±¨£­ ²³°  ±®¤¥°¦¨² ª®­±² ­²³ c, ²® ¥© ±®¯®±² ¢«¿¥²±¿ ­¥ª®²®°»© ®¡º¥ª² c, ª®²®°»©, ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, ¯°¨­ ¤«¥¦¨² «¾¡®¬³ ¬­®¦¥±²¢³ D ¤«¿  2 K. ‚ ¤ «¼­¥©¸¥¬ ª®­±² ­²  c ®²®¦¤¥±²¢«¿¥²±¿ ± ½«¥¬¥­²®¬ c.  ª®­¥¶, j= | ­¥ª®²®°®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ ¬­®¦¥±²¢®¬ K ¨ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¢±¥µ  ²®¬®¢ ¢¨¤  P (aS1; : : :; an), £¤¥ P ¥±²¼ (n-¬¥±²­»©) ¯°¥¤¨ª ²­»© ±¨¬¢®« ±¨£­ ²³°» ,   a1; : : :; an | ½«¥¬¥­²» ¬­®¦¥±²¢  D , ®¡« ¤ ¾¹¥¥ ²¥¬ ±¢®©±²¢®¬, ·²® ¥±«¨  2 K, P (a1; : : :; an) |  ²®¬ 2K ³ª § ­­®£® ¢¨¤  ¨  j= P(a1; : : :; an), ²® fa1 ; : : :; ang  D , ¨ ¥±«¨   , ²® j= P (a1 ; : : :; an). ‘®®²¢¥²±²¢¨¥ j= ­ §»¢ ¥²±¿ ®¶¥­ª®©  ²®¬®¢ ¢ ¤ ­­®© ¬®¤¥«¨ Š°¨¯ª¥. Š ª ¨ ¢ ±«³· ¥ ¬®¤¥«¥© Š°¨¯ª¥ ¤«¿ «®£¨ª¨ ¢»±ª §»¢ ­¨©,  j= P(a1; : : :; an) ·¨² ¥²±¿ À ¢»­³¦¤ ¥² P (a1; : : :; an)Á ¨«¨ ÀP (a1; : : :; an) ¨±²¨­­® ¢ ¬®¬¥­² Á.   ®±­®¢¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¿ j= ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ ¬­®¦¥±²¢®¬ K ¨ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¢±¥µ § ¬ª­³S ²»µ ´®°¬³« ±¨£­ ²³°» , ° ±¸¨°¥­­®© §  ±·¥² ª®­±² ­² ¤«¿ ®¡®§­ ·¥­¨¿ ¢±¥µ ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢  D , 2K ®¡®§­ · ¥¬®¥ ²¥¬ ¦¥ ±¨¬¢®«®¬ j=. ²® ±®®²¢¥²±²¢¨¥ § ¤ ¥²±¿ ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® «®£¨·¥±ª®© ¤«¨­¥ ´®°¬³«», ². ¥. ª®«¨·¥±²¢³ «®£¨·¥±ª¨µ ±¨¬¢®«®¢ ¢ ­¥©. „«¿  ²®¬®¢ ®­® ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥­®. „ «¥¥ ¯®« £ ¥¬:   j= (A & B) * ) [ j= A ¨  j= B];   j= (A _ B) * ) [ j= A ¨«¨  j= B];   j= (A  B) * ) (8  )[ 6j= A ¨«¨ j= B];   j= :A * ) (8  ) 6j= A;   j= 9vA(v) * ) (9a 2 D ) j= A(a);   j= 8vA(v) * ) (8  )(8a 2 D ) j= A(a).

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‡¤¥±¼   ®§­ · ¥²   ,   A(a) ¥±²¼ °¥§³«¼² ² ¯®¤±² ­®¢ª¨ ª®­±² ­²» a ¢¬¥±²® ¯¥°¥¬¥­­®© v ¢ ´®°¬³«³ A(v). ƒ®¢®°¿², ·²® ´®°¬³«  A ¨±²¨­­  ¢ ¬®¤¥«¨ Š°¨¯ª¥ K = (K; ; D; j=) ¨ ¯¨¸³² K j= A, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£®  2 K ¨¬¥¥² ¬¥±²®  j= A. …±«¨ ´®°¬³«  A ­¥ ¨±²¨­­  ¢ ¬®¤¥«¨ Š°¨¯ª¥ K, ². ¥. K 6j= A, ²® K ­ §»¢ ¾² ª®­²°®¬®¤¥«¼¾ ¤«¿ A. ˆ¬¥¥² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬  ® ª®°°¥ª²­®±²¨ ¨ ¯®«­®²¥ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ®²­®±¨²¥«¼­® ¬®¤¥«¥© Š°¨¯ª¥: ’¥®°¥¬  8.7. ‡ ¬ª­³² ¿ ´®°¬³«  ±¨£­ ²³°» ¢»¢®¤¨¬  ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­  ¨±²¨­­  ¢ «¾¡®© ¬®¤¥«¨ Š°¨¯ª¥.

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ «¾¡®© § ¬ª­³²®© ´®°¬³«» A ¬®¦­® «¨¡® ¯®±²°®¨²¼ ¥¥ ¢»¢®¤ ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢, «¨¡® ­ ©²¨ ª®­²°¬®¤¥«¼ ¤«¿ A. °¨¬¥°. „®ª ¦¥¬, ·²® ´®°¬³«  ::8x(P(x) _ :P (x)) ­¥ ¢»¢®¤¨²±¿ ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢, ¯®±²°®¨¢ ª®­²°¬®¤¥«¼ ¤«¿ ½²®© ´®°¬³«». ³±²¼ K = N, ¯°¨·¥¬ m  n * ) m  n ¤«¿ «¾¡»µ m; n 2 N. ³±²¼ Dn = f0; : : :; ng. ®«®¦¨¬ m j= P(n) * ) m > n. „®¯³±²¨¬, ·²®

0 j= ::8x(P(x) _ :P (x)):

(37)

‚ ±¨«³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®²­®¸¥­¨¿ j= ¤«¿ ®²°¨¶ ­¨¿, (37) ®§­ · ¥², ·²® (8m 2 N)m 6j= :8x(P (x) _ :P (x)). ‚ · ±²­®±²¨, 0 6j= :8x(P (x) _ :P(x)). ²® ®§­ · ¥², ·²® m j= 8x(P (x) _ :P (x)) ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® m 2 N. Ž²±¾¤  ¨ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®²­®¸¥­¨¿ j= ¤«¿ ª¢ ­²®°  ¢±¥®¡¹­®±²¨ ±«¥¤³¥², ·²® m j= P (m) _ :P (m), ² ª ª ª m 2 Dm . ‚ ±¨«³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®²­®¸¥­¨¿ j= ¤«¿ ¤¨§º¾­ª¶¨¨, ½²® ®§­ · ¥², ·²® «¨¡® 1) m j= P (m), «¨¡® 2) m j= :P (m). Ž¤­ ª® ­¨ ²®, ­¨ ¤°³£®¥ ­¥ ¨¬¥¥² ¬¥±² . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ³±«®¢¨¥ 1) ­¥ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ¢ ±¨«³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®²­®¸¥­¨¿ j= ¤«¿  ²®¬®¢. „®ª ¦¥¬, ·²® ³±«®¢¨¥ 2) ² ª¦¥ ­¥ ¢»¯®«­¿¥²±¿. „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥, ². ¥. m j= :P (m). ‚ ±¨«³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®²­®¸¥­¨¿ j= ¤«¿ ®²°¨¶ ­¨¿, ½²® ®§­ · ¥², ·²® (8n  m)n 6j= P (m). ® ½²® ­¥ ² ª, ¨¡® m + 1 j= P (m). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥ (37) ¯°¨¢®¤¨² ª ¯°®²¨¢®°¥·¨¾. ‡­ ·¨², 0 6j= ::8x(P(x) _:P(x)), ¨ ¯®±²°®¥­­ ¿ ¬®¤¥«¼ Š°¨¯ª¥ ¿¢«¿¥²±¿ ª®­²°¬®¤¥«¼¾ ¤«¿ ´®°¬³«» ::8x(P (x) _:P (x)). ‡ ¤ ·¨.

³²¥¬ ¯®±²°®¥­¨¿ ¯®¤µ®¤¿¹¥© ª®­²°¬®¤¥«¨ ¤®ª § ²¼, ·²® ª ¦¤ ¿ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ´®°¬³« ­¥ ¢»¢®¤¨²±¿ ¢ ¨­²³¨¶¨®­¨±²±ª®¬ ¨±·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¨ª ²®¢: 1) :8xP(x)  9x:P (x); 2) 8x(P(x) _ Q)  8xP (x) _ Q; 3) (8xP(x)  Q)  9x(P(x)  Q); 4) (Q  9xP(x))  9x(Q  P (x); 5) 8x(P(x) _ :P (x)) & ::9xP (x)  9xP (x). ‹¨²¥° ²³° 

[1] ˆ. €. ‹ ¢°®¢, ‹. ‹. Œ ª±¨¬®¢ . ‡ ¤ ·¨ ¯® ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢, ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥ ¨ ²¥®°¨¨  «£®°¨²¬®¢. Œ.: ”¨§¬ ²«¨², 1995. [2] . Œ¥­¤¥«¼±®­. ‚¢¥¤¥­¨¥ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª³¾ «®£¨ª³. Œ.:  ³ª , 1971. [3] ‹. ‘²¥°«¨­£, . ˜ ¯¨°®. ˆ±ª³±±²¢® ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¿ ­  ¿§»ª¥ °®«®£. Œ.: Œ¨°, 1990. [4] ‚. €. “±¯¥­±ª¨©, . Š. ‚¥°¥¹ £¨­, ‚. …. «¨±ª®. ‚¢®¤­»© ª³°± ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¨. Œ.: ”ˆ‡€’‹ˆ’, 2002. [5] Š. •®££¥°. ‚¢¥¤¥­¨¥ ¢ «®£¨·¥±ª®¥ ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¥. Œ.: Œ¨°, 1988. [6] —. —¥­¼, . ‹¨. Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ «®£¨ª  ¨  ¢²®¬ ²¨·¥±ª®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬. Œ.:  ³ª , 1983.

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