ディリクレ形式とマルコフ過程 (紀伊國屋数学叢書 5)

紀伊國屋数学叢書 5

編集委員 伊藤 戸 田

清 三   (東京大学教授) 宏  

(京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉 沢

尚 明   (京都大学教授)

福

島

正

俊

デ ィ リク レ形 式 と マ ル コ フ過 程 紀伊國屋書店

ま

え

が

き

  ポ テ ン シ ャル 論 とマ ル コ フ過 程 論 は古 くか ら相 互 の深 い関 連 が認 識 され なが ら も各 々独 自な発 展 を遂 げ て きた.本

書 は,1950年

代 末 に な っ て 定 式 化 され

た デ ィ リク レ形 式 の理 論 と標 準 マル コフ過 程 の理 論 の各 々 を入 門 的 に 解 説 しつ つ,と

りわけ 前 者 が 後者 や拡 散 過 程 の研 究 に ど の よ うに 役 立 つ か を 明 らか に す

る.   デ ィ リク レ形 式 な る概 念 は,古 典 的 な デ ィ リク レ積 分 や 円 周 上 のDouglas 積 分 の ヒル ベ ル ト空 間 論 的 な 公理 化 と して1959年A.

BeurlingとJ.

Deny

に よ っ て導 入 され た も の であ る.ポ テ ンシ ャル 論 の 発展 とい う観 点 か らは,変 分 原 理 を 徹 底 した も の と してGaussやH.

Cartanの

系 譜 の延 長 上に そ れ を

位 置 づ け る こ とが で き るで あ ろ う.し か しそ れ は古 典 的 概 念 の 単 な る公 理 化 に と ど ま らず,当 初 か ら新 しい 内 容 と新 しい具 体 性 を具 えた 概 念 と して登 場 した. この点 を充 分 に理 解 す るた めに は マ ル コフ過 程 との対 応 を念 頭 に 置 い てみ る必 要 が あ る と思 う.   実 際 本 書 で扱 うL2空 で あ ろ う.第1は

間 上 の デ ィ リク レ形 式 の特 徴 は 次 の3点 に 要 約 され る

そ の関 数 解 析 学 的 側 面 で あ り,そ れ がL2空

間 上 の マル コ フ

的 な対 称 線 型 作 用 素 のな す 強 連 続 半 群 と一 意 的 に 対 応 して い る こ とで あ る.マ ル コ フ過 程 の境 界 問 題 等 に 解 析 的 に 答え る上 で デ ィ リク レ形 式 が 有 効 な枠 組 と な り得 る のは この た め で あ る.第2は

そ の ポ テ ンシ ャル 論 的側 面 で あ って,形

式 の 定 義 域 に 属 す 関 数 に 関す る除外 集 合 を測 度0の 集 合か ら容 量0の

集合へ と

よ り細 か くす る こ とが 可 能 な 点 で あ る.滑 らか な標 本路 を もつ 標 準 マ ル コ フ過 程 を 形 式 に 応 じて構 成 した り,標 準 マ ル コ フ過 程 の ポテ ンシ ャル論 を形 式 の ポ テ ン シ ャル 論 との 関 連 に於 い て 展 開 した りで き るの は こ の た め で あ る.第3の 特 徴 は デ ィ リク レ形 式 が そ の 適 当 な芯 上 で 微 積分 表 示 され,一 定 の確 率 論 的意 味 を も った 測 度 の組{νij,φ,m,k}に

対 応 す る とい う そ の 具 体 性 に あ る.こ

の うちνijは 拡 散 方 程 式 に 於 け る拡 散 係 数 を 関 数 か ら測 度 へ と拡 げ た もの とい う特 色 を もつ.   本 書 は第 Ⅰ部 「デ ィ リク レ形 式 」 と第 Ⅱ部 「対 称 マ ル コフ過 程 」 の2つ の部 分 に わ かれ,各

々3つ の 章 と関 連 文 献 表 か ら成 る.本 文 を進 め る た め の必 要 事

項 は 「補 足 」 と して最 後 に ま とめ た.ま た 各 章 ご とに 「序 」 を設 け そ の章 の性 格 を ご く簡 単 に説 明 した が,第4章

と第6章 の 序 文 で は マ ル コ フ過 程 や 拡散 過

程 の研 究 の 直 観 的 背 景 や歴 史 的経 過 につ い て も少 しば か り触 れ て お い た.対 称 マル コフ過 程 とい う確 率 論 的概 念 とデ ィ リク レ形 式 とい う解 析 学 的 概 念 は 一 見 疎 遠 な も のに 見 え な が ら実 は 同 じ事柄 の表 裏 を な し切 り離 す こ とが で きな い. 本 書 が こ の よ うな認 識 を 深 め るの に わ ず か で も役 立 て ば幸 い に思 う.   本 書 の執 筆 を お す す め 下 さ った の は 飛 田武 幸教 授 で あ る.中 尾 慎 太 郎氏 は原 稿 を通 読 し有 益 な助 言 を寄 せ られ た.真 鍋 昭 治郎 氏 に は校 正 等 の 手助 け を して い た だ い た.ま た 本 書 の作 成 に 関 して紀 伊 國 屋 書 店 出版 部 の渦 岡 謙一 氏 に色 々 とお世 話 に な っ た.こ れ らの方 々に 心 か ら の感 謝 の 意 を表 わ した い.

1975年4月 

福

島 正

俊

目

次

まえ が き

第Ⅰ 部   デ ィ リク レ形 式 第1章   対 称 形 式 の 理 論  §1.0  序 

3

 §1.1  対 称 形 式 に 関 す る 諸 概 念 

3

 §1.2  マ ル コ フ 対 称 形 式 の 具 体 例 

9

 §1.3  対 称 作 用 素 の 半 群 と 閉 対 称 形 式 19  §1.4  マ ル コ フ 対 称 作 用 素 の 半 群 と デ ィ リ ク レ形 式 

第2章

 マル コ フ対 称 形 式 とデ ィ リク レ形 式 の 範

29

囲

 §2.0  序 

37

 §2.1  マ ル コ フ 対 称 形 式 の 最 小 閉 拡 大 

37

 §2.2  マ ル コ フ 対 称 形 式 の 徴 積 分 表 示 

40

 §2.3  対 称 作 用 素 の 自 己 共 役 拡 大 族 

45

 §2.4  デ ィ リ ク レ拡 大 族 の 最 大 元 

52

第3章 

デ ィ リク レ形 式 の ポ テ ンシ ャル論

 §3.0  序 

58

 §3.1  集 合 の 容 量 と関 数 の 準 連 続 性 

58

 §3.2  エ ネ ル ギ ー 有 限 な 測 度 と そ の ポ テ ン シ ャ ル 

65

 §3.3  平 衡 ポ テ ン シ ャ ル と 被 約 関 数 

71

第 Ⅰ部 あ とが き 

79

文 献 そ の Ⅰ 

83

第 Ⅱ部  対 称 マ ル コフ過 程 第4章  対 称 標 準 マ ル コ フ過 程 の構 成  §4.0  序 

89

  §4.1  マ ル コ フ 推 移 関 数 と マ ル コ フ過 程 

92

 §4.2  標 準 マ ル コ フ過 程 

97

 §4.3  正 則 デ ィ リ ク レ形 式 に 適 合 し た マ ル コ フ 過 程 の 存 在 と 一 意 性 

111

  §4.4  構 成 の た め の 解 析 的 準 備 

117

  §4.5  正 則 な 標 本 路 の 構 成 

122

第5章 

対 称 マ ル コ フ過 程 の

ポテ ン シ ャ ル 論

  §5.0  序 

129

 §5.1  平 衡 ポ テ ン シ ャ ル と概 極 集 合 の 確 率 論 的 記 述 

130

 §5.2  準 連 続 性 と細 連 続 性 

136

 §5.3  到 達 分 布 に よ る 平 均 と射 影 作 用 素 

143

 §5.4  デ ィ リ ク レ形 式 と マ ル コ フ 過 程 の 開 集 合 上 で の 部 分 

149

 §5.5  ポ テ ン シ ャ ル 論 再 考 

156

第6章  対 称 拡 散 過 程   §6.0  序 

167

 §6.1  デ ィ リ ク レ形 式 の 局 所 性 と標 本 路 の 連 続 性 

170

 §6.2  ブ ラ ウ ン 運 動 と ソ ボ レ フ 空 間 

175

 §6.3  反 射 壁 ブ ラ ウ ン運 動 とそ れ に 類 似 な 拡 散 過 程 

182

  §6.4  多 次 元 拡 散 過 程 と局 所 型 微 積 分 形 式 

188

  §6.5  ス ピ ー ド測 度 と 消 滅 測 度 

194

第 Ⅱ部 あ と が き 

204

文 献 そ の Ⅱ 

209

補

足(積

索

引 

分,容

量,確

率 過 程,マ

ル チ ン ゲ ー ル) 

214 233

第Ⅰ

部   デ ィ リク レ形 式

第1章 

対 称形式 の理論

 §1.0  序  第1章

で は本 書で扱 う種 々 の対 称 形 式 の定 義 と例 を与 え,更 に 閉 対 称 形 式 と

デ ィ リク レ形 式 の果 たす 基 本 的 な役 割 を 明 らか にす る.   §1.1で 対 称 形 式 の閉 性,マ

ル コフ性,正 則 性,局

所 性等 の定 義 を 与え,同

時 に そ れ らが 本 書 の ど の部 分 で 主 な 役 割 を 果 た す か を 説 明す る.こ の 意 味 で, §1.1は 本 書 の 構 成 を 理 解 して い た だ くの に も役 立 つ と思 う.ち

なみ に デ ィ リ

ク レ形 式 とは マ ル コフ的 で閉 じた 対 称 形 式 の こ と であ る.   §1.2で は ユ ー ク リ ッ ド空 間 上 で 微 積 分 表 示 され た マ ル コフ対 称 形 式 の種 々 の 例 を 扱 う.こ の よ うな 表 示 の 一般 性 は第2章

で示 され る.局 所 型 微 積 分 形 式

は 第6章 で 再 び と り上 げ られ るで あ ろ う.   §1.3で は 一 般 の 実 ヒル ベ ル ト空 間 を扱 い,そ

の上 の 閉対 称 形 式 の全 体,正

の半 定 符 号 の 自己 共 役 作 用 素 の全 体,縮 小 的 な 対 称 作 用 素 の 強 連 続 半 群 の 全 体, 縮 小 的 な 対 称 作用 素 の強 連 続 リゾル ベ ン トの全 体 等 が,互

いに1対1に

対応す

る こ とが 示 され る.   §1.4で は 閉対 称 形 式 のマ ル コフ性 が,対 応す る半群 や リゾル ベ ン トの マル コ フ性 に 相 当す る こ とが示 され る.§1.3と リク レ形 式,つ

§1.4は 広 い意 味 の閉 対 称 形 式 や デ ィ

ま り定 義 域 が 必ず し も稠 密 で な い形 式 を も取 り扱 う.そ れ らに

は 必 ず しも強 連 続 で な い リ ゾル ベ ン トや マル コフ リゾル ベ ン トが対 応 して い る.

  §1.1  対 称 形 式 に 関 す る 諸 概 念   集 合Hが space)と

次 の3条

件 を 満 た す と き,Hは

呼 ば れ る.R1=(-∞,∞)と

お く.

実 ヒ ル ベ ル ト空 間(real

Hilbert

  (H.1) 

Hは

線 型 空 間.

  (H.2) 

任 意 のu,υ

∈Hに

実 数 値(u,υ)が

対 応 し て 次 の 性 質 を 満 た す:

(u,υ)=(υ,u),(u+υ,w)=(u,w)+(υ,w),a(u,υ)=(au,υ),u,υ,w∈H, a∈R1.ま

た,任

意 のu∈Hに

対 し て(u,u)≧0で

等 号 が 成 立 す る の はu=0

の と き に 限 る.   (H.3) 

un∈H,(un-um,un-um)→0,n,m→

∞

⇒∃u∈H,(un-u,un-u)→0,n→

∞.

  次 の こ と に 注 意 し て お こ う.(H.2)の (inner

product)と

呼 ば れ る.条

性 質 を も つ 量(,)はH上

件(H.1)と(H.2)だ

は 前 ヒ ル ベ ル ト空 間 と 呼 ば れ る.条

件(H.3)はHが

の 内 積

け を 要 請 す る な らH 内 積(,)か

らきまる

距 離 に 関 し て 完 備 で あ る と い う要 請 に ほ か な ら な い.   しば ら く実 ヒル ベ ル ト空 間Hが 合Jが

あ っ て,Hの

相 の 意 味 で).Jの

与 え られ て い る も の と し よ う.Hの

任 意 の 元 に 対 しそ れ に い く らで も近 い(内 元 が 選 べ る と き,JはHで

稠 密(dense)で

部分 集

積(,)の

位

あ る と い う.H

の あ る 稠 密 な 線 型 部 分 集 合 上 で 定 義 さ れ た 正 の 半 定 符 号 の 対 称 双 線 型 形 式 を, 単 にH上 metric

の 対 称 形 式 と 呼 ぶ こ と に す る .即 form)で

  (E.1)  Hの

あ る とは,次

の2条

ちEがH上

の 対 称 形 式(sym

件 が 満 た され る こ とで あ る.

稠 密 な 線 型 部 分 集 合D[E]が

あ っ て,EはD[E]×D[E]上

の

実 数 値 関 数 で あ る.   (E.2)  E(u,υ)=E(υ,u),E(u+υ,w)=E(u,w)+E(υ,w),aE(u,υ)= E(au,υ),u,υ,w∈D[E],a∈R1.ま   D[E]は (,)は Eが

対 称 形 式Eの 全 空 間Hで

定 義 域(domain)と

常 に 非 負 で あ る. ら か にHの

内 積

定 義 さ れ た 対 称 形 式 の 特 別 な も の に な っ て い る.対

称形式

与 え ら れ た と き,各

(1.1.1) 

た,E(u,u)は

α>0に

呼 ば れ る.明

対 し

Eα(u,υ)=E(u,υ)+α(u,υ),D[Eα]=D[E]

とお く こ と に よ っ て 新 しい 対 称 形 式Eα

が 得 ら れ る.こ

の 場 合D[E]はEα

を

内 積 とす る 前 ヒル ベ ル ト空 間 に な っ て い る こ と に 注 意 し よ う.   D[E]がE1か

ら定 ま る 距 離 に 関 し て 完 備 で あ る 場 合,対

称 形 式Eは

閉 じて

い る(closed)と

い わ れ る.つ

ま り,次

の 条 件 を 満 たすH上

の対 称 形 式 を閉

対 称 形 式 と 呼 ぶ わ け で あ る.   (E.3) 

un∈D[E]がE1(un-um,un-um)→0,n,m→

あ る 元u∈D[E]が

 問1.1.1 

∞,を

存 在 し てE1(un-u,un-u)→0,n→

EがH上

満 た す な ら,

∞.

の閉 対 称 形 式 な らば,D[E]は

各 α>0に

対 し内 積Eα に 関 す

る実 ヒル ベ ル ト空 間 とな る こ とを示 せ.   対 称 形 式Eが (1.1.2) 

次 の 条 件 を 満 た す と き 可 閉(closable)と

い わ れ る.

un∈D[E]がE(un-um,un-um)→0,n,m→

→0,n→

∞,を

でE(1)=E(2)な

拡 大(closed 実 際H上

拡 大 と い う.対

称 形 武Eが

extension)を

.

あ っ て,D[E(1)]⊂D[E(2)]且

らば,E(2)をE(1)の

持 つ た め の 必 要 十 分 条 件 はEが

の 可 閉 な 対 称 形 式Eが

ら な るE1の

且 つ(un,un)

満 た す な らE(un,un)→0,n→∞

  2つ の 対 称 形 式E(1),E(2)が D[E(1)]上

∞

意 味 で のCauchy列

つD[E(1)]×

可 閉 な こ とで あ る.

与 え ら れ た と 仮 定 し よ う.D[E]の の 全 体 をUと

す る.2つ

満 た す と き,こ

で あ る と 定 義 し,Uの

お く.

  問1.1.2 

上 の 手続 きに よ りH上

の 閉対 称 形 式Eが

要 素 か

のCauchy列{un},

{u′n}がE1(un-u′n,un-u′n)→0,n→∞,を 同 値 類 の 全 体 をD[E]と

閉

の2つ は 同 値

自然 に 定 義 され,EはEの

最

小 閉 拡 大 とな る こ とを 示 せ1).   問1.1.3

以 下 は,対 称 形 式Eが

可 閉 で あ るた め の十 分条 件 で あ る こ とを示 せ.

(1.1.3)  un∈D[E],(un,un)→0,n→∞,な   さ て 対 称 形 式 の詳 しい 理 論,特

らばE(un,υ)→0,∀

υ∈D[E].

に デ ィ リ ク レ形 式 の 理 論 を 展 開 す る た め に は,

実 ヒル ベ ル ト空 間 と し て 特 別 な も の,即

ちL2-空

間 を と り上 げ ね ば な ら な い.

L2-空 間 と い っ て も あ ま り一 般 な 測 度 空 間 を 基 礎 に と る の は 実 際 的 で な い.そ こ で 本 書 で は,充

分 に よ い 性 質 を も つ 位 相 空 間 とそ の 上 のRadon測

度 が与え

ら れ た と し て 話 を 進 め る こ と に す る.   Xを Radon測

局 所 コ ソ パ ク トで 可 分 なHausdorff空 度 と し よ う.即

1)  例 え ば,吉

ちmはX上

田 耕 作[Ⅰ;1]第4編,第1章

間 と し,mを

の 位 相 的Borel集 参 照.

そ の 上 の 正 の 合 族 を 定 義 域 とす る

測 度 で,任

意 の コ ン パ ク ト集 合Kに

た る 所 稠 密 で あ る と す る.即 >0.X上

ち,任

対 しm(K)<∞.更 意 の 空 で な い 開 集 合Gに

殆 ん ど い た る所 で(m-a.e.)定

数 値 関 数 の 全 体 をL2(X;m)ま

に,mはX上

い

対 して はm(G)

義 さ れ た 自乗 可 積 分 でm-可

た は 単 にL2で

測 な実

表 わ す.

(1.1.4) と お く.我

々はL2(X;m)を

と る こ と に す る が,こ

上 述 の よ う な 実 数 値 関 数 の 集 合 とみ な す 立 場 を

れ は ま た2つ

の 関 数 がm-a.e.に

に よ る 同 値 類 の 集 合 と み な す こ と に よ り,内 間 と な る.以

後L2(X;m)を

等 しい とい う同値 関 係

積(1.1.4)を

持 つ 実 ヒ ル ベ ル ト空

ヒル ベ ル ト空 間 と し て 扱 う と き は,断

わ りな し

に こ の よ うな 見 方 の 修 正 を 前 提 とす る.   こ こ でL2-空

間 上 の 対 称 形 式 の マ ル コ フ 性 な る 概 念 を 導 入 し よ う.読

天 下 り的 な 印 象 を 与 え る か も しれ な い が,マ で 次 第 に 明 ら か に され て 行 く で あ ろ う.実 称 形 式Eが  (E.4) 

次 の 条 件 を 満 た す と き,Eは 任 意 の ε>0に

在 し て 以 下 の2条

ル コ フ と い う言 葉 の 自 然 さ は 本 章 ヒ ル ベ ル ト空 間L2(X;m)上

(1.1.6) 

の対

マ ル コフ 的 で あ る と い わ れ る.

対 し て 適 当 な 実 変 数 関 数φε(t),-∞
存

件 を 満 た す:

(1.1.5) φε(t)=t,∀t∈[0,1]. 

t
者 には

,∀t∈(-∞,∞).ま

た 

な ら 任 意 のu∈D[E]に

対 し 合 成 関 数φε(u)もD[E]に

属 し,且

つ

E(φε(u),φε(u))≦E(u,u).   ヒ ル ベ ル ト空 間L2(X;m)上 レ 形 式(Dirichlet

form)と

の マ ル コ フ 的 な 閉 対 称 形 式 の こ とを デ ィ リ ク 呼 ぶ.

  対 称 形 式 の マ ル コ フ性(E.4)よ u,υ ∈L2(X;m)に

対 しu∨υ

り も 強 い 重 要 な2つ ∈L2(X;m)を

max{u(x),υ(x)};xでuと (u∨

の 概 念 を 次 に 与 え よ う.

υ が 定 義 さ れ て い る と き,

υ)(x)={

0;そ に よ っ て 定 義 す る.maxの

れ 以外 の とき 代 わ りにminを

と る こ と に よ っ てu∧

υ∈L2(X;

m)が

同 様 に 定 義 さ れ る.L2(X;m)を

ヒ ル ベ ル ト空 間 と み な し て も記 号 ∨,

∧ が 意 味 を も つ こ とは 明 らか で あ ろ う.X上 じaで

表 わ す.a(>0)は

u∧aはL2の

一般 にL2の

要 素 と し て(L2を

  ヒ ル ベ ル ト空 間L2(X;m)上 (stable under

the unit

で 恒 等 的 にaに

等 しい 関 数 を 同

要 素 で は な い が,u∈L2に

ど の よ うに み な して も)意 の 対 称 形 式Eが

contraction)と

は,そ

対 して

味 を 持 つ.

単 位 縮 小 に 関 し安 定 で あ る

れ が 次 の条 件 を満 たす こ とで あ

る.   (E.4)′  任 意 のu∈D[E]に

対 し,υ=(0∨u)∧1も

ま たD[E]に

属 し

E(υ,υ)≦E(u,u).   条 件(E.4)′

の 代 わ り に 次 の 条 件(E.4)″

は 全 て の 正 規 縮 小 に 関 し安 定 で あ る(stable

が 満 た さ れ る と き,対 under

every

normal

称 形 式E

contraction)

と い わ れ る.   (E.4)″   u∈D[E],υ

∈L2(X;m)に

い た る 所 で 定 義 さ れ たBorel可

対 し て 各 々 とm-a.e.に 測 関 数u,υ

が 存 在 し て￨υ(x)￨≦￨u(x)￨,

∀x∈X,￨υ(x)-υ(y)￨≦￨u(x)-u(y)￨,∀x,y∈X,が υ は ま たD[E]に  

問1.1.4 

等 し くX上

成 立 す る な らば,

属 しE(υ,υ)≦E(u,u).

上 述 の 諸条 件 の 間 に は(E.4)″

⇒(E.4)′

⇒(E.4)な

る関 係 が あ る こ

とを 示 せ.   §1.4で

示 さ れ る こ と で あ る が,対

同 値 で あ る.従

称 形 式 が 閉 じ て い れ ば 上 の3条

っ て デ ィ リ ク レ形 式 の 定 義 と して は,閉

うち の ど の 条 件 を 課 し て も 同 じ わ け で あ る.し うに,最

件は実は

対 称 形 式 に 対 して こ の

か し次 節 の 具 体 例 で 見 ら れ る よ

初 か ら 閉 じ た 対 称 形 式 が 与 え ら れ る こ と は む し ろ 稀 で あ る.し

じ て い な い 対 称 形 式 の 多 くは マ ル コ フ 的 で は あ っ て も,単 で な い.更

に 我 々 は §2.1に

位 縮 小 に 関 して安 定

於 い て,マ ル コ フ対 称 形 式 が 可 閉 な ら ば そ の 最 小

閉 拡 大 も ま た マ ル コ フ 的 で あ り従 っ て デ ィ リ ク レ 形 式 と な る こ と,ま に 於 い て,マ

か も閉

た §2.2

ル コ フ対 称 形 式 が 一 般 の条 件 の下 で 次 節 の 微 積 分 形 武 に 帰 着 され

る こ とを 見 る で あ ろ う.こ

の よ う に 具 体 的 な 対 称 形 式 か ら 出 発 して デ ィ リ ク レ

形 式 を 構 成 す る と い う 実 際 的 な 要 求 に 対 し て は,我

々 の 条 件(E.4)の

方 が

(E4)′ や(E.4)″

に比 べ て,ず っ と有 用 で あ る と いえ るの で あ る.

  この節 で導 入 され る諸 概 念 の最 後 の も の と して,こ 局 所 性 の定 義 を与 えよ う.X上

こで 対 称 形 式 の正 則 性 と

の実 数 値 有 界 連 続 関 数 の全 体 をC(X)と

す る.

これ は ノル ム

(1.1.7) に 関 す る 実Banach空 C(X)の

間 で あ る.mが

い た る 所 稠 密 で あ る と い う仮 定 に よ っ て,

部 分 空 間L2(X;m)∩C(X)は

空 間 とみ な せ る,つ

ヒ ル ベ ル ト空 間L2(X;m)の

ま り前 者 に 属 す る 相 異 な る2つ

素 を 定 め る と い う こ と に 注 意 し て お こ う.C(X)の る も の の 全 体 と 無 限 遠 で0に 表 わ す.任

意 の ε>0に

∀x∈X-K,が C∞(X)は

の 関 数 は 後 者 の 槙 異 な る要 要 素 で 台 が コ ソ パ ク トで あ

な る も の の 全 体 を 各 々C0(X)お

対 し適 当 な コ ソ パ ク ト集 合Kが

成 立 す る よ う な 関 数u∈C(X)の ノル ム(1.1.7)に

の 稠 密 部 分 集 合 で あ る.今 これ に 対 し て 対 称 形 式Eの

よ びC∞(X)で あ っ て￨u(x)￨<ε,

全 体 がC∞(X)で

関 す る可 分 なBanach空 後C∞(X)の

部 分

あ る.

間 で あ り,C0(X)は

そ

位 相 は 常 に こ の ノ ル ム に 関 し て 考 え る.

定 義 域D[E]の

位 相 は,断

わ ら な い 限 り 内 積E1

の 位 相 の 意 味 で 考 え る も の とす る.   L2(X;m)上

の 対 称 形 式Eに

あ っ て,DがD[E]内 式Eの

対 し,D[E]∩C∞(X)の

お よ びC∞(X)内

芯(core)と

  L2(X;m)上

線 型 部 分 集 合Dが

で 各 々稠 密 で あ る と き,Dは

対称形

呼 ば れ る.

の 対 称 形 式Eが

次 の 条 件 を 満 た す と き,Eは

正 則(regular)

で あ る と い わ れ る.   (E.5)  Eは

芯 を も つ.

  こ の 条 件 はD[E]∩C∞(X)自

体 がEの

芯 で あ る と い う要 請 と 同 値 で あ る.

も っ と強 い 条 件   (E.5)′  D[E]∩C0(X)はEの を 仮 定 す る と き,EはC0-正   第3章

か ら第5章

で はL2(X;m)上

芯 であ る 則 と呼 ば れ る.

ま で は 正 則 デ ィ リ ク レ形 式 に 関 す る理 論 で あ る.即 の 任 意 の 形 式Eで(E.1)∼(E.5)を

ちそ こ

満 たす もの が 与 えら

れ た と して 出発 す る.3章

ではEに

関 す るポ テ ン シ ャル 論 が 解 析 的 に 展 開 さ

れ る.4章

で は3章 の結 果 を使 用 しつ つEに

成 す る.正

則性 の条 件(E.5)は

適 舎 した 標 準 マル コ フ過 程 を構

次 節 で 記 述 され る型 の 具体 的 な対 称 形 式 に対

して極 め て検 証 しやす い条 件 で あ るた め に,4章

の 一般 論 は 今 まで 知 られ て い

る よ りず っ と多 くの対 称標 準 マ ル コ フ過 程 の存 在 を保 証す る こ とに な る.こ の 点 は特 に 第6章 で 明 らか に な るで あ ろ う.Eに

適 合 した 標 準 マ ル コ フ 過 程 に

関す るポ テ ン シ ャル論 と3章 に於 け る ポ テ ソシ ャル 論 との詳 しい対 応 は5章 の テ ー マで あ る.但

し5章 の 最 後 の 節 で は 更 に 進 んで この よ うな対 応 がEの

正

則 性 を外 して も どの程 度 保 存 され るか を 論 ず るで あ ろ う.   さて 関 数u∈L2(X;m)に (1.1.8) 

対し

x∈X;xの

supp[u]={

任 意 の 近 傍U(x)に

対 し 

} と お き,こ

れ をuの

台(support)と

ヒル ベ ル ト空 間L2の 密 だ か ら,uが

い う.明

要 素 ご と に 一 意 的 に 定 ま る も の で あ る.mは

更 にC(X)の

要 素 の と き はsupp[u]は

一 致 す る:supp[u]={x∈X; 

}の

  ヒ ル ベ ル ト空 間L2(X,m)上 は 局 所 性(local   (E.6) 

らか に こ れ は 閉 集 合 で あ り,ま た

u,υ ∈D[E]に

普 通 の意 味 で の台 と

閉 包.

の 対 称 形 式Eが

property)を

いた る所 稠

次 の 条 件 を 満 た す と き,E

も つ と い わ れ る.

対 しsupp[u]とsupp[υ]が

互いに素な コ ンパ ク ト

集 合 な らば 常 にE(u,υ)=0.   正 則 デ ィ リ ク レ形 式 の 局 所 性 は,対 る た め の 必 要 十分 条 件 で あ る.こ (E.6)は

応 す る標 準 マル コフ過 程 が 拡 散 過 程 で あ

の 事 実 は 第6章

で 示 さ れ る で あ ろ う.つ

ま り

マ ル コ フ過 程 の 標 本 路 の 連 続 性 の た め の 条 件 な の で あ る.

 §1.2  マ ル コ フ 対 称 形 式 の 具 体 例  

Xが

ユ ー ク リ ッ ド空 間 で あ る 場 合,我

さ れ た マ ル コ フ 対 称 形 式 に 関 心 を も つ.n次

々は 次 の よ うに具 体 的 に 微 積 分表 示 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 をRn,そ

の

1つ

の 領 域 をDと

く.D上

し,x=(x1,x2…,xn)∈Rnに

対 し 

の 無 限 回 微分 可 能 な 関数 でそ の台 がD内

うな も の の全 体 をC∞0(D)で

表 わす.こ

とお

の コンパ ク ト集 合 で あ る よ

の とき

(1.2.1)

(1.2.2) 

D[E]=C∞0(D)

はL2(D;m)上

の マ ル コ フ対 称 形 式 で あ る.

  但 し,mはD上 D上

の い た る所 稠 密 な 正 のRadon測

の 必 ず し も 正 で な いRadon測

意 の ξ∈Rnに

度,νij(1≦i,j≦n)は

度 で あ っ て 任 意 のBorel集

合E⊂Dと

任

対 し

(1.2.3) を 満 たす もの,Φ は直 積D×Dか 正 のRadon測

らそ の対 角 集 合dを

度 であ っ て任 意 の コンパ ク ト集 合K⊂Dに

除 い た 集合 上 の対 称 な 対 し

(1.2.4) を 満 た す も の,そ

し てkはD上

の 正 のRadon測

  先 ず(1.2.1),(1.2.2)がL2(D;m)上 み よ う.実 L2(D;m)の

際mはD上

の 対 称 形 式 を定 義 す る こ とを見 て

で い た る 所 稠 密 なRadon測

部 分 空 間 と み な せ る.ま

の 右 辺 の 積 分 は 有 限 で あ り,こ にE(u,u)≧0,u∈C∞0(D),は

たC∞0(D)の

れ はC∞0(D)上

お い て)を

(1.2.5)

の 線 型 双 一 次 形 式 で あ る.更

あ る よ う な 立 方 体 の 直 和 に 分 割 し,そ

と

関 数 に 対 し て は(1.2.1)

お

右 辺 の第

示 し さ え す れ ば よ い.Rnを

含 ま れ て し ま う立 方 体 の 全 体 を{C1,…,Cl(δ)}と

を と り 

度 だ か ら,C∞0(D)は

次 の よ う に し て わ か る.(1.2.1)の

1項 が 非 負 な る こ と(υ=uと さ が δ>0で

度 で あ る.

辺 の長

の 閉 包(closure)がDに す る.各Ck内

く.す る とLebesgueの

に1点

η(k)

有 界 収束 定 理 に よ っ て

従 っ て こ の 左 辺 は(1.2.3)に

よ り非 負 で あ る.

  対 称 形 式(1.2.1),(1.2.2)の (E.4)に

マ ル コ フ 性 を 示 す に は,マ

於 け る 関 数φ ε(t)と し て(1.1.5)を

満 た し,且

ル コフ性 の 条 件

つ 無 限 回 微 分 可能 な

も のを選 べ ば

(1.2.6)

  0≦ φ ′ε(t)≦1, 

が 成 立 す る こ と に 注 意 す れ ば よ い.こ ∀u∈C∞0(D),で

と な る が,こ

∀t∈(-∞,∞)

の よ うな φεに 対 し て はφε(u)∈C∞0(D),

あ りE(φε(u),φε(u))は

の 第1項

を 使 い,第2項

を 再 び(1.2.5)の

と第3項

を 適 用 す れ ばE(φ

よ う に 変 形 し た 上 で(1.2.3),(1.2.6)

に 各 々 不 等 式￨φε(t)-φε(s)￨≦￨t-s￨,￨φε(t)￨≦￨t￨

ε(u),φε(u))≦E(u,u)が

る 対 称 形 式 は マ ル コ フ性 の 条 件(E.4)を  問1.2.1  を 満 た し,且

C∞0(Rn)に

属 す 関 数j(x)で

つ 台 が 単 位 球￨x￨≦1上

子 で あ る.こ

特 にj(x)≧0,j(-x)=j(x),  に あ る も の は 軟 化 子(mollifier)と

そ の 外 で0と

こで

γ は 単 位 球 上 の 積 分 を1に

対 しjδ(x)=δ-nj(δ-1x)と

((-ε)∨t)∧(1+ε)とR1上

ち 今 問題 に して い

満 た し て い る わ け で あ る.

えば単位球 内で 

δ>0に

得 られ る.即

お く.さ

の 軟 化 子j(x)に

等 し く さ す 規 格 化 定 数.軟 て ε>0に

呼 ば れ る.例

お い て得 られ る関 数 は軟 化

対 し てR1上

化 子j(x)と の 関 数

ψε(t)=

よ っ て 

で定 義 され る関 数 φε(t)は(1.1.5)を

満 た し無 限 回 微 分 可 能 で あ

る こ とを 示せ.   さ て マ ル コ フ 対 称 形 式(1.2.1),(1.2.2)が 件 は,(1.2.1)の

右 辺 の 第2項

に 示 そ う.Φ=0が

の 測 度 Φ が0と

な る こ と で あ る.こ

れを以下

局 所 性 を 意 味 す る こ と は,局

所 性 の 条 件(E.6)か

ら明 ら

か で あ る.逆

に 

K,K′

あ っ て Φ(K×K′)>0.u,υ

⊂Dが

と仮 定 す れ ば,K∩K′=φ

で 正 でsupp[u]∩supp[υ]=φ 性 質 を も つu,υ

局 所 性 を もつ た め の 必 要 十 分 条

∈C0(D)を

な る 適 当 な コ ン パ ク ト集 合

∈C∞0(D)を

な る 非 負 関 数 とす る.u,υ 選 び,Rn上

の 軟 化 子j(x)と

各 々Kお

よ びK′

上

を 作 るに は 先 ず 同 じ 充 分 小 さ い δ とに

よ っ てu=jδ*u,υ=jδ*υ 合 列 を 選 び,(1.2.1)の

と お け ば よ い.す 第2項

る とKl↑Dな

る コ ン パ ク ト集

の 積 分 領 域D×D-dを 

で 近 似 す る こ と に よ っ て, 

が 導 か れ る.つ ま りEは

局所的で な

い.

  こ の よ うに 第2項 Eの

局 所 性 を 規 定 す る こ とが わ か っ た が,一

方

局 所 性 が 標 準 マ ル コ フ 過 程 の 標 本 路 の 連 続 性 に 対 応 す る こ と が 第6章

で

示 さ れ る.こ

の 意 味 で 我 々 は(1.2.1)の

を 局 所 型(local に す る.こ れ,基

type),第2項

右 辺 の 第1項

の型 の マル コフ対 称 形 式

の 型 の も の を 飛 躍 型(jump

れ に 対 し て 第3項

礎 のL2空

measure)と

の 有 無 がEの

の 測 度kは

間L2(D;m)を

type)と

消 滅 測 度(killing 定 め る 測 度mは

呼 ぶ こ と

measure)と

呼ば

ス ピ ー ド測 度(speed

呼 ば れ て 各 々確 率 論 的 意 味 を も っ て い る.

  今 まで マル コ フ対 称形 式(1.2.1)の

定 義 域D[E]と

してC∞0(D)を

て きた が これ は あ る意 味 で 最小 の もの で あ って,(1.2.1)の を もつ 限 りC∞0(D)よ

りも も っ と広 いL2(D;m)の

採用 し

右 辺 の積 分 が 意 味

部 分 空 間 をD[E]に

と

っ て も マル コ フ対 称形 式 が 得 られ る.以 下 に い くつ か の特 殊 な 具 体 例 に つ い て こ の点 を 考 察 す るが,そ れ と同時 に個 々の形 式 の可 閉 性 や 閉 性 を も調 べ よ う. 特 に飛 躍 型 対 称形 式 の具 体 例 は,基 礎 の空 間Xが

ユ ー ク リ ッ ド空 間 の領 域 の

場 合 に限 らず 一般 の場 合 に デ ィ リク レ形 式 と して与 え ら れ る.以 Lebesgue測

度dxに

関す るL2空

間 を 単 にL2(D)と

後D上

の

記 す こ とにす る.

 例1 (1.2.6) は(1.2.2)つ

ま りC∞0(D)を

あ る.但 しaijはD上 x∈Dに

定義 域 とす るL2(D)上

の局 所 可 積 分 なBorel関

の局 所 型 の マル コ フ対 称 形 式 で

数 で あ って 任 意 の ξ∈Rnと

任意の

対 して

(1.2.7) を 満 た す も の とす る.こ れ は 測 度νijが 絶 対連 続 な場 合 に相 当す る.   この形 式 は 閉 じて は い な い が,も

し もaijが 次 の2条 件 の うち のいず れ か 一 方 を 満 た

せ ば 可 閉 で あ る こ とを 示 そ う.   (1°.a)  aijの 超 関 数 と し て の1回

偏 導 関 数 がD上

で局 所 可 積 分 な 関 数 で あ る.1≦

i,j≦n.  (1°.b)  aij(x)は

Rnと

一 様 に 楕 円 型 で あ る:適

す べ て のx∈Dに

 (1°.a)を

-(u ,Sυ)がu,υ

対 して成 立す る.こ

代 わ り に(1°.b)を

の表示に よ ってEが

仮 定 し よ う.ul∈C∞0(D)が 

を なす.と

ころ がDは(1°.a)を

普 通 の デ ィ リク レ積 分D

満 たす 特 別 な 形式 だ か ら 

が 成 立 す る.従 って 必 要 な ら部 分 列 を 選 ぶ こ とに よ って  収 束 す る.Lebesgue積

最 後 の項 はmを

条件

可 閉 で あ る.

を 満 た す もの とす る.仮 定 に よ りulは

a.e.に0に

ξ∈

D(S)=C∞0(D),

∈D[E]=C∞0(D)に

に 関 してCauchy列

べ ての

の対 称 線型 作 用 素 を 定義 し,且 つE(u,υ)=

満 た す こ とが わ か る.故 にEは

 (1°.a)の

δ が 存 在 し て,す

仮 定 し て み よ う. 

とお く と,こ れ は 仮定 に よ ってL2(D)上

(1.1.3)を

当な正数

対 して

分 に 開 す るFatouの

はD上

で

補題 に より

充 分 大 き くとれ ば い く らで も小 さ くで きる.つ

ま りEが

可 閉で あ る

こ とが示 せ た.   例2 

mをI=(r1,r2)上

の い た る 所 稠 密 な 正 のRadon測

度 とし

(1.2.8) (1.2.9) 

と お く.そ (D,FR)で

FR={u∈L2(I;m);uは

絶 対 連 続 でD(u,u)<∞}

し てE=D,D[E]=FRに

よ って定 羲

表 わ す こ と に す る.こ

っ て デ ィ リ ク レ形 式 で あ る.こ  任 意 の

ε>0と

φε(u)∈FRも   (D,FR)が

対 し て 問1.2.1の

関数

φε(t)に よ っ て 合 成 関 数

よ っ て 

明 ら か だ か ら,(D,FR)は

マル コ フ 的 で あ る.

閉 じ て い る こ と を 示 す た め に,ul∈FRがD(ul-um,ul-um)→0,

(ul-um,ul-um)→0,l,m→

 はL2(I)内 (I;m)に

の対 称 形 式 を

れ を 示 そ う.

任 意 のu∈FRに

φ ε(u)を 作 る.(1.2.8)に

さ れ るL2(I;m)上

の 形 式 は マ ル コ フ で あ る の み な らず 閉 じ て い て,従

∞,を

満 た す と す る.L2-空

で あ る関 数f∈L2(I)に,ulはL2(I;m)内

各 々収 束 す る.証

な る こ と で あ る.先

明す べ き こ とは,uの

ず 部 分 列 を 適 当 に 選 べ ばI上

間 の 完 備 性 に よ っ て,

で あ る 関 数u∈L2

絶 対 連 続 修 正uが

存 在 し, 

でm-a.e.にulk(x)→u(x),lk

→∞,と

で き る.こ

式 を 適 用 す れ ば,関

れ が 成 り立 つ 点 をaに 数 列{ulk}がI上

様 収 束 す る こ と が 導 か れ る.勿

選 び ,補

足 の(0.1.1)にSchwarzの

の 任 意 の 有 界 閉 区 間 上 で,あ

論u=um-a.e..従

連続 性とdu/dx=fが

  FRの

関 す る)をF0と

部 分 空 間C∞0(I)の

る 連 続 関 数uに

一

って

ここで補足の定 理0.1.5を使え ば,uの絶対

F0)は

不等

閉 包(距 離E1に

可 閉 な マル コフ対 称 形 式(D,C∞0(I))の

わか る.

書 く.閉 対 称 形 式(D,

最 小 閉 拡 大 に他 な ら な い.(D,F0)

が ま た マ ル コフ的 であ り従 って デ ィ リク レ形 式 で あ る こ とは 後 の 一般 論 に よ ら な く て も,次 の よ うに 直 接 確 か め る こ とが で き る.  区 間Iの

左 境 界点r1が

条件

-∞
(1.2.10) 

を 満 た す と き,r1は

(r1
正 則 境 界(regular

も 同 様 に 定 義 さ れ る.(0.1.1)か

boundary)と

ら 容 易 に わ か る よ うにriが

は有限 な境界値  こ の 逆 も 正 し い.即

を も つ.更

 を 測 度0の集

えればuが

意 のu∈FR

ら ば,u(ri)=0で

関す る ヒル ベ ル ト空 間FR内

構 造 を詳 し く調 べ ね ば な らな い.u∈FRがH1に

E1(u,φ)=0,∀φ

正 則 な ら ば,任

にu∈F0な

正則性

あ る.

正 則 な らu(ri)=0,i=1,2}.

  これ を示 す た めに は 内 積E1に H1の

境 界 点r2の

ち,

F0={u∈FR;riが

(1.2.11) 

呼 ば れ る.右

で のF0の

直交補空間

属すための必 要 十 分 条 件 は

∈C∞0(I),が 成 立 す る こ と で あ る.定

理0.1.5に

合 上 で修正 す る こ とに よ り 

よ れ ば,こ

れは

が成 り立 つ こと,い い か

積分方程式

(1.2.12) を 満 た す こ と を 意 味 す る.但 関 数(1-harmonic 作 り,基 h(2)が

しh,kは

function)と

底 と し て は,I上

い う.I上

の1-調

般 に(1.2.12)の

和 関 数 全 体 は2次

で 狭 義 単 調 減 少 で 正 の も のh(1)と

取 れ る こ と が 知 ら れ て い る1).一

について

1)  伊 藤 清[Ⅰ;1]§61参

適 当 な 定 数.一

照.

方 公 式(0.1.3)に

解 を1-調

和

元 ベ ク トル 空 間 を

狭 義 単 調 増 加 で 正 の もの よ り,殆

ん ど す べ て のa,b

が 導 か れ る.こ の右 辺 の極 限 的 挙 動 も よ く知 られ て いて(a,b)↑Iと い のはriが

した と き発 散 しな

正 則 の とき且 つ そ の とき に限 る1).従 ってh(i)がFRに

要 十 分 条 件 はriが

属 す るた め の 必

正 則 な こ とで あ る.

 次 の こ と が わ か った. H1={c1h(1)+c2h(2);riが

(1.2.13) 

これ は(1.2.11)を が, 

意 味 す る.実

の 要 素 はF∩H1に

(1.2.11)が

右 辺 をFと

属 し 従 っ て0.つ

形 式(D,F0)の

  例3  再 びRnの

正 則 で な け れ ばci=0}.

際(1.2.11)の

お く とF0⊂Fで

ま りF=F0で

あ る

な け れ ば な ら な い.

マ ル コ フ 性 を 意 味 す る こ と は 自 明 で あ ろ う.

領 域Dを

考え

(1.2.14) H1(D)={u∈L2(D);uの

(1.2.15) 

超 関数

の意味での 微分

 がL2(D)の とお く.H1(D)は 基 礎 の 測 度mと

例2のFRに

関数,1≦i≦n}

相 当 す る も ので あ るが,話 をず っ と簡 単 に す るた め に

し てLebesgue測

度 を と る.そ

して 例2と 並 行 した 議 論 が ど う展 開 さ

れ るか を 見 て 行 く こ とにす る.   (D,H1(D))はL2(D)上

の デ ィ リク レ形 式 で あ る.実 際 これ が 閉 じて い る こ とは 超

関 数 の意 味 の微 分 の定 義 か らす ぐにわ か る こ とで あ る2).ま た マル コ フ性 は 以 下 に 述 べ る空 間H1(D)の H1(D)の

特徴づけを 使 っ て例2の 場 合 と 全 く同様 に して示 せ る.u∈L2(D)が

要素 で あ るた め の 必要 十 分条 件 は,各i(1≦i≦n)に

u(i)(u(i)=u

a.e.)が とれ てu(i)はD上

で絶対連続で あ って,(従 ってD上a.e.に L2(D)に

対 しuの

の 殆 ん どい た る所 のxi-軸

適 当 な修 正

に平 行 な直 線 上

存在す る)普通 の 偏微分 

属 す る こ とで あ る.こ の特 徴 づ け は補 足 の定 理0.1.5の

が更

に

場 合 と 同様 に し て証

明 で き る3).   C∞0(D)のH1(D)内

で の 閉 包 をH10(D)と

記す.閉

上 の可 閉 な マ ル コフ 対 称 形 式(D,C∞0(D))の H10は1位

の ソボ レフ 空 間(Sobolev

space)と

対 称 形 式(D,H10(D)))はL2(D)

最 小 閉 拡 大 に 他 な ら な い.空 呼 ば れ,偏

性 を もつ もの で あ るた め,そ の構 造 は よ く調べ られ て い る.特 ス の超 閉 曲画 の と きは,任 意 のu∈H1(D)はa.e.の ∈L2(∂D)を

持 つ.そ れ のみ な らずuはDを

1)  伊 藤 清[Ⅰ;1]§61参

照.

2)  溝 畑 茂[Ⅰ;1]命

題2.3参

照.

3)  溝 畑 茂[Ⅰ;1]定

理2.7参

照.

間H1と

微分方程式論で 初歩的重要 に 境 界 ∂DがC2-ク

ラ

境 界 点 で法 線 に 沿 って境 界 値 γu 越 え てH1(Rn)の

要 素 に 拡 張 で ぎる.

例2の(1.2.11)に

相 当 して H10(D)={u∈H1(D);γu=0,∂D上

(1.2.16) 

こ れ と 問1.2.1の

関 数φε(t)を

殆 ん ど い た る 所 で}1).

使 え ば,直

ち に 形 式(D,H10(D))の

マ ル コ フ性 が わ

か る.

  D上

の関

数uが1/2Δu(x)=αu(x),x∈D, 

α-調和 関 数 といわ れ,α=0の 数 の全 体 をHα   問1.2.2 

を 満 た す と き,uは

と きは 単 に 調 和 とい わ れ る.H1(D)に

で表 わ す.H0を

単 にHと

Dα(u,υ)=D(u,υ)+α(u,υ)に

関 す る ヒ ル ベ ル ト空 間H1(D)は 

と直 和 分 解 さ れ る こ と を 示 せ.但

  こ こ で 例3に

於 け るHの

D={x∈R2;￨x￨<1}の

構 造 をDが

し α>0.2)

非 常 に簡 単 な 場 合,つ

場 合 に 述 べ て お こ う.境

θ(0≦ θ<2π)に

属 す る α-調和 関

書 く.

ま り単 位 円 板

界 ∂D={x;￨x￨=1}は

よ っ て 表 わ さ れ る.φ∈L1(∂D)のPoisson積

分 をHφ

経数 で表

わ す:

 更 にL2(∂D)上

の 対 称形 式Cを

(1.2.17) D[C]={φ

(1.2.18) 

に よ っ て 導 入 す る.Cは glas積

∈L2(∂D); 

境 界 上 の 対 称Cauchy過

分 と呼 ば れ る も の で あ り,次

も の に あ た っ て い る.u∈Hを 示 し,Greenの

C(φ,φ)<∞}

の 例4の

そ の境界値

程 に 対 応 す る 形 式 でDou 飛 躍 型 デ ィ リ ク レ形 式 の 特 別 な

γuでu=H(γu)とPoisson表

公 式 を 使 う と 次 の 関 係 に 到 る.即

ち対 称形 式 の間 の対 応

(1.2.19) は,1対1

ontoで

(Dα,Hα)に

内 積 を 保 存 す る.(1.2.17)の

つ い て も 同 様 な 結 果 が 得 ら れ る3).こ

か ら出発 して も境 界 値

γ を 取 る操 作 に よ っ て,あ

変 え られ る と い う認 識 は 重 要 で あ る. 1)  溝 畑 茂[Ⅰ;1]定 2)  Weylの 3)  M.

補 題(補

理3.12参

照 .

足 §0.1(g))を

Fukushima[Ⅰ;1]参

照.

使 う.

積 分 表 示 を 少 し修 正 す れ ば の よ う に 拡 散 型 の 形 式D る飛 躍 型 の 形 式 の話 に 移 し

 

  と こ ろ で境 界 ∂Dが

必 ず し も滑 らか で な い 場 合 は,H10(D)やHは

う に 特 徴 づ け られ るで あ ろ うか.一 般 間D*がDの

に 局 所 コ ンパ クト で 可 分 なHausdorff空

拡 張(enlargement)で

あ る と い う の は,Dか

らD*の

部 分 集 合 上 へ の 同 相 写 像 が あ る と き の こ とで あ る.DをD*の な しΔ=D*-DをDの 他 の1例

境 界 と い う.勿

と し てMartin境

どの よ

界 が あ る.こ

論 ∂Dは れ はD上

部 分 空 間 とみ

こ の 意 味 で も境 界 で あ る が, の 非負調 和 関 数 のPoisson

表 示 を 可 能 な ら しめ る 目的 で 遵 入 さ れ た も の で あ る.一 般 のDに の 代 わ りにMartin境

界Δ

にH1(D)の

拡 張D*と

相当す る

い う概 念 は こ の よ う

部 分 空 間 を 記 述 す る 上 で 有 効 で あ る け れ ど も,我

れ をH1(D)に

対 し て も ∂D

を 採 用 す れ ば(1.2.16)や(1.2.19)に

こ とが 成 り立 つ こ とが 知 られ て い る1).Dの

稠 密

々 は 第6章

でそ

関 係 す る 様 々 な デ ィ リク レ形 式 の 正 則 化 と い う違 っ た 角 度 か ら

再 び 取 り上 げ る.   例4  Xとmを

前 節 の 通 りとす る.Xの

相 に見合 った 距 離 ρを1つ E)がX上

と って 固 定 して お く.さ

の 核(kernel)で

あ る とは,次

固定 す る とν(x,・)はB(X)上 可 測 関 数.核ν れ をνu(x)と

 今,次  

てX×B(X)上

位

の非 負関 数ν(x,

の条 件 が 満 た され る こと で あ る.x∈Eを

の 測 度,E∈B(X)を

と可 測 関 数uに

合 族 をB(X),Xの

固定 す る とν(・,E)はB(X)が 意 味 を もつ 限 り,こ

対 し て,積 分 

書 く こ と に す る.

の2条 件 を 満 た すX上

(ν.1)  任 意 の ε>0と

ν(x,K-Uε(x))はmに

(ν.2) X上

こ のν

位 相 的Borel集

の核 が 与 え られ た と し よ う.

任 意 の コ ン パ ク ト集 合Kに 関 し て 局 所 可 積 分.但

の任 意 の 非 負 可 測 関 数u,υ

に 対 し,X×X-d(dは

対 角 集 合)上

対 し,x∈Xの

しUε(x)はxの

関数 ε-近傍,

に 対 して

の 非 負Radon測

度Φ(dx,dy)を

(1.2.20)

に よ って定 義す る.(1.2.20)の

右辺 は 条 件(ν.1)に

よ りC0(X×X-d)上

型 汎 関 数 だ か らこ の よ うなΦ が 一 意的 に存 在 す る.更 1) 

J.L.

Doob[Ⅰ;1]参

照.

にfの

の正 値 線

台 を 適 当 な長 方 形 集 合

E1×E2(E1,E2はXの

コンパ ク ト集 合 でE1∩E2=φ)の

直和でおおい

合上でfを 

,各 長 方 形 集

なる形 の関数列で 一様近似す

る こ と に よ っ て,(ν.2)か

ら Φ(dx,dy)の

対称性

(1.2.21)

が 導 か れ る.そ こ で

(1.2.22) (1.2.23) 

D[E]={u∈L2(X;m);uはBorel可

と お く とEはL2(X;m)上

測 でE(u,u)<∞}

の デ ィ リク レ形 式 で あ る.以 下 に これ を示 す.

 先 ずEがL2(X;m)上

の 対 称 形 式 と考 え られ る た め に は,Borel可

測 関 数uに

対

して (1.2.24) 

u=0

m-a.e.⇒E(u,u)=0

な る関 係 を示 す 必 要 が あ る.u=0 ト集 合Kに

m-a.e.と

対 し Γk,ε={(x,y)∈K×K;ρ(x,y)>ε}と

ε↓0,K↑Xと   Eの

仮定 す る.任 意 の ε>0と お く と 

し てE(u,u)=0を

マ ル コ フ性 の 証 明 は 対 称 形 式(1.2.1)に

た の はEの

とす る.ulはL2-収

ulはL2内

得る.

対 し て 行 な っ た の と 同 様 で あ る.残

閉 性 で あ る.ul∈D[E]がE1(ul-um,ul-um)→0,l,m→ 束 す る か ら,部

選 ぶ とulk(x)はX-N上 く と,ulk=ulk

任 意 の コ ンパ ク

でuに

分 列lkとm(N)=0な

で 収 束 す る.ulkをN上

m-a.e.で

あ り,ulk(x)はX上

収 束 す る.一

で あ る が 最 後 の 項 は(1.2.24)に

∞

方Fatouの

るN∈B(X)を で0と

っ

を満たす 適 当 に

修 正 し た も の をulkと

い た る 所 で 極 限 値u(x)を

も つ.勿

お 論

補題に より

よ り 

に 等 し く,こ

を 充 分大 に とれ ば い く らで も小 さ くで き る.即 ちumはu∈D[E]に(E1の

れ はm

距 離 で)収

束 す る こ とがわ か った.  容 易 に わ か る よ うにX=D⊂Rnの 任 意 の コ ンパ ク ト集 合K⊂Dに   (ν.3) 

場 合,C∞0(D)⊂D[E]な

るた め の 必要 十分 条 件 は,

対 し がxの

関 数 と してmに

関 し局 所 可 積 分.

   

  ν はLevy測

度 と いわ れ る.我 々は(ν.3)に

べ て のx∈Xに

於 け るLevy測

度 に関 す る積 分 が,す

対 して 有 限 とな る こ とは 要 求 して い な い こ とに 注 意 して お こ う.(ν.3)

が 満 た され 

の と きは,Eは

局 所 性 を 持 た な い.こ の証明 は 例1の 前 に与 え て あ

る.

 §1.3  対 称 作 用 素 の 半 群 と閉 対 称形 式   この節 で は抽 象 実 ヒル ベ ル ト空 間Hの たす 役割 を 考 え る.Hの   H上

内積 を(,)で

の 線 型 作 用 素Aの

operator)と

表 わ さ れ る.D(A)がHで

∈D(A),が い う.こ

称 作 用 素Aが

と きAは

  H上

各TtはD(Tt)=Hな

るH上

(Tt.2) 

半 群 の 性 質:TtTs=Tt+s,t,s>0

(Tt.3) 

縮 小 性:(Ttu,Ttu)≦(u,u),t>0,u∈H.

こ の と き{Tt,t>0}をH上 素 し か 扱 わ な い の で)単  (Tt.4) 

にH上

あ る

の 線 型 作 用 素 の 族{Tt,

 (Gα.3) 

書 で は対称作用

い う.更

に

強 連 続 性:(Ttu-u,Ttu-u)→0,t↓0,u∈H

強 連 続 な 半 群 と い わ れ る. は 次 の条 件 を満 たす 対 称 作 用 素 の 族

こ とで あ る.

 (Gα.1)  各Gα  (Gα.2) 

の対称作用素

の 半 群(semi-group)と

の リ ゾ ル ベ ン ト(resolvent)と

{Gα;α>0}の

更に

よ う.H上

の 対 称 作 用 素 の 半 群 ま た は(本

を 要 請 す る と き{Tt,t>0}は H上

semi-definite)で

次 の 条 件 を 満 た す とす る.

 (Tt.1) 

 

自 己 共 役(self-adjoint)

満 た さ れ る こ と で あ る.

の 半 群 と リ ゾ ル ベ ン トの 定 義 を与え

t>0}が

対称

共 役作用 素A*がAの

正 の 半 定 符 号(positive

と い う の は(Au,u)≧0,∀u∈D(A),が

稠

満 た さ れ る と きAを

れ はAの

拡 大 で あ る と い う こ とに 等 し い.A=A*の と い わ れ る.対

の上 の閉 対 称 形 式 の 果

表 わす.

定 義 域 はD(A)で

密 で あ り,(Au,υ)=(u,Aυ),∀u,υ 作 用 素(symmetric

み を 扱 い,そ

はD(Gα)=Hな

るH上

の対 称 作 用 素

リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式:Gα-Gβ+(α-β)GαGβ=0,α,β>0 縮 小 性:(αGαu,αGαu)≦(u,u),α>0,u∈H.

 (Gα.4) 

強 連 続 性:(αGαu-u,αGαu-u)→0,α

を 要 請 す る と き,{Gα,α>0}は  問1.3.1 

H上

→

強 連 続 な リゾ ル ベ ン

の 半 群{Tt,t>0}が

∞,u∈H

ト と い わ れ る.

与 え られ た と き

(1.3.1) とお き,こ れ を{Tt,t>0}の H内

リゾル ベ ン トと い う.但 し右 辺 の積 分 はRiemann和

で の 強収 束 極 限 と して定 義 す る.実 際 に,こ の{Gα,α>0}はH上

トと な る こ とを 示 せ.ま

た{Tt,t>0}が

の

の リゾル ベ ン

強 連 続 な らそ の リゾル ベ ン トも強連 続 で あ る

こ とを 示 せ.   強 連 続 な 半 群{Tt;t>0}に

対 し,そ

の 生 成 作 用 素(generator)Aを

(1.3.2) Auが に よ っ て 定 義 す る.一 定 義 す る た め にGα =0と

仮 定 す る と,リ

っ て(Gα.4)よ

方,強

強 収 束 極 限 と して存 在 す る

連 続 な リ ゾ ル ベ ン ト{Gα,α>0}の

が 可 逆(invertible)で

生 成 作用 素 を

あ る こ と に 注 意 し よ う.実

ゾ ル ベ ン ト方 程 式 よ り全 て の β に 対 し てGβu=0

り 

際Gαu .従

そ こで Au=αu-G-1αu

(1.3.3){

D(A)=Gα(H) と お く.リ

ゾ ル ベ ト方 程 式 に よ り,こ

る.(1.3.3)のAを

のAが

α に 無 関 係 な こ とが 容 易 に わ か

強 連 続 な リ ゾル ベ ン ト{Gα,α>0}の

  補 題1.3.1 

(ⅰ)  H上

生 成 作 用 素 と い う.

の 強 連 続 半群 の生 成 作用 素 は そ の リゾル ベ ン トの

生 成 作 用 素 に 等 しい.   (ⅱ)  H上

の 強 連 続 リゾル ベ ン トの生 成 作 用 素 は 負 の 半定 符 号 の 自 己 共 役

作 用 素 で あ る.   証 明   (ⅱ)の

証:{Gα;α>0}をH上

の 強 連 続 リ ゾ ル ベ ン トと し よ う.

Gα はH全

体 で 定 義 さ れ た 対 称 作 用 素 で あ る か ら,そ

で あ り,従

っ て 生 成 作 用 素Aも

=(u

,Gαu)と

自己 共 役 で あ る.次

お く と リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式 に よ り 

の 逆G-1α にu∈Hに

は 自己 共 役 対 しf(α)

≦0.条

件(Gα.3)よ

α→

り 

の 半 定 符 号 で あ る.こ れ は また-Aが u∈D(A)に

∞.従

っ てGα

は正

同 じ性 質 を もつ こ とを 意味 す る.実 際

つ い て,

  (ⅰ)  の 証:H上

の 強 連 続 半 群{Tt,t>0}が

ベ ン トを{Gα,α>0}と A′ とす る.先

ずA′

お く.Ttお ⊂Aを

す る とuはGα

つAu=αu-υ=A′uが

υ,∃ υ∈H,

導 か れ る. w=u-Gα

対 し 

を 示 す た め に は,w=0を

い え ば よ い.と

で あ る か ら(-Aw,w)+α(w,w)=0.一

我 々 をH上

υ

と お

く.

こ ろ が 

方,条

件(Tt.3)に

こ れ でw=0が   補 題1.3.1は

よび

り

こ れ か ら容 易 にu∈D(A)且

A⊂A′

の リゾル

の 生 成 作 用 素 を 各 々Aお

示 そ う.u∈D(A′)と

と表 わ さ れ る.(1.3.1)よ

 逆 にu∈D(A)に

与 え られ た と し,そ

よ びGα

よ り 

示 せ た.(証

の 半群 か ら 自己 共 役 作 用 素 へ と導

終)

く.本

節の以

後 の 議 論 は 主 に 自己 共 役 作 用 素 に 関 す る ス ペ ク トル 計 算 に 基 づ い て 行 な わ れ る. H上

の 対 称 作 用 素SでD(S)=H,S2=Sを

う.H上

満 た す も の を 射 影 作 用 素 とい

の 射 影 作 用 素 の 族{Eλ;-∞<λ<∞}が

family)で

ス ペ ク トル 族(spectral

あ る と は 次 の 条 件 が 満 た さ れ る こ と で あ る:EλEμ=Eλ,λ  ∀u∈H.こ

に 対 し(Eλu,u)は

≦ μ,

の と き 任 意 のu∈H

明 らか に λ の 非 負 非 減 少 関 数 で あ っ て, 

ま た 任 意 のu,υ

∈Hに

対 し て(Eλu,υ)はR1上

の 有界 変 動 関 数 で

あ る.   H上 R1上

の ス ペ ク トル 族{Eλ;-∞<λ<∞}が の 任 意 の 連 続 関 数 φ(λ)に 応 じ て,H上

よ っ て 一 意 的 に 定 め ら れ る1).こ

1)  吉 田 耕作[Ⅰ;1]定

理13.5参

のAを 

照.

与 え ら れ た と し よ う.こ の 自己 共 役 作 用 素Aが と 書 く.

の とき 次式に

(1.3.4) (1.3.5) この と き (1.3.6) 

EλAu=AEλu, 

λ∈R1,u∈D(A)

が 成 立 す る こ とに注 意 して お く.  逆 に 自己 共 役 作 用 素Aに {Eλ;-∞<λ<∞}が

対 して,

一 意 的 に 存 在 す る こ と が 知 ら れ て い る1).こ

ス ペ ク トル 表 示(spectral と き は,対

 を 満 た す ス ペ ク ト ル 族

representation)と

い う.更

応 す る ス ペ ク トル 族 はEλ=0,∀

λ<0を

  以 上 の 事 実 に 基 づ い て 先 ず 補 題1.3.1の

にAが

れ をAの

正 の半 定 符 号 の

満 た す.

逆 の 主 張 を 示 そ う.-AをH上

の

正 の 半定 符 号 の 自己 共 役 作 用 素 と し,そ の ス ペ ク トル表 示 を  とす る.φ を[0,∞)上

の任 意 の非 負連 続 関 数 とす れ ば,自

 は再 び正 の半 定 符 号 とな る.こ れ を φ(-A)で   補 題1.3.2 

(ⅰ)  -AをH上

己共役作用 素 表 わす.

の 正 の 半 定 符 号 の 自己 共 役 作 用 素 とす る.

こ の と き{Tt=exp(tA),t>0},{Gα=(α-A)-1,α>0}は

各 々H上

の強 連

続 半 群 お よ び 強 連 続 リ ゾル ベ ン トを 定 義 す る.   (ⅱ)  (ⅰ)に い.ま

たAを

於 け るTtお

よびGα

の 生 成 作 用 素 は 与 え ら れ たAに

等 し

生 成 作 用 素 とす る 強 連 続 半 群 お よ び 強 連 続 リ ゾ ル ベ ン トは 各 々

一 意 的 で あ る.   補 題1.3.2(ⅰ)に

於 け るTt,Gα

を 各 々Aの

生 成 す る半群 お よび リゾル

ベ ン トと い う.   証 明   (ⅰ)の 証:[0,∞)上

を使えば(ⅰ)は

の連 続 関 数

φ,ψ に 対 して 成 り立 つ 関 係

殆ん ど自明である.例 えば

1)  吉 田 耕 作[Ⅰ;1]定

理17.3参

照.

から

 α

∈H,な

るGα

  (ⅱ)の

の 強 連 続 性 が 従 う.

証:Gα

の 生 成 作 用 素 がAで

(α-A)Gαu=u,∀u∈H,お

に 等 し い.最

れ はGα(H)⊂D(A)を

がTtの(1.3.1)の

に 注 意 す る と,前

意 味 す る.他

生 成 作 用 素 はGα

は 自明 で あ

の そ れ に 等 し く従 っ てA

生 成 作 用 素 とす る 他 の 強 連 続 リ ゾ ル ベ ン ト{G′ α,α>0}

が あ っ た と し,w=Gαu-G′αu,u∈H,と 半 定 符 号 だ か らw=0で 意 性 は(Ttu,υ),u,υ

の

意 味 で の リ ゾル ベ ン トに に な っ て い る こ と

補 題 よ りTtの

後 にAを

る2つ

使 え ば 

∀u∈H.こ にGα

あ る こ と を 示 す に はGα(H)⊂D(A),

よ びGα(α-A)u=u,∀u∈D(A),な

関 係 を い え ば よ い.(1.3.6)を

る.次

→∞,u

お く と(α-A)w=0.-Aが

な け れ ば な ら な い.ま ∈Hのtに

た 強 連 続 半 群{Tt,t>0}の

つ い て の 右 連 続 性 と,Laplace変

正 の 一 換に関す

る 一 意 性 の 定 理 か ら導 か れる.  (証 終)   以 上 の2つ

の 補 題 に よ っ て,H上

の 正

の 半 定 符 号 の 自己 共 役 作 用 素-Aの

全 体,

強 連 続 半 群{Tt,t>0}の

全 体 お よび 強 連

続 リ ゾ ル ベ ン ト{Gα,α>0}の は,右

全 体 の間 に

に 図 示 す る よ う な1対1対

応があ る

こ とが わ か っ た.  問1.3.2 

上 図 に 於 け る対応(※)が,次

の様 に 与 え られ る こ とを 示 せ.

(1.3.7)   次 に こ の節 の 主 定 理 を 証明 す る.   定 理1.3.1  H上 の閉 対 称 形 式Eの 全 体 と正 の 半 定 符 号の 自己 共 役 作 用 素 -Aの 全 体 とは1対1に 対 応 す る .こ の対 応 は次 式 に よ って規 定 され る.

(1.3.8) (1.3.9)  証 明  (ⅰ):先

ずH上

の正 の 半 定 符 号 の 自己 共 役 作 用 素-Aが

与 え られ

た と す る. 

は 再 び 正 の 半 定 符 号 の 自 己 共 役 作 用 素 で あ る か ら,特

上 の 閉 作 用 素 で あ る.従

っ て(1.3.8),(1.3.9)に

上 の 対 称 形 式 と な る の み な らず 閉 じ て い る.実 がH内

でun→υ, 

っ て 

こ を はEが

にH

よ っ て 定 義 さ れ るEはH 際 閉 作 用 素 の 定 義 か ら,  を 満 た せ ば, 

であ

閉 じ て い る と い う こ と に 他 な ら な い.こ

の こ と に 注 意 し て お こ う.-Aの

こで 次

生 成 す る 強 連 続 リ ゾ ル ベ ン トを{Gα,α>0}

とす る と (1.3.10) 

Gα(H)⊂D[E],Eα(Gαu,υ)=(u,υ),u∈H,υ

が 成 立 す る.こ

れ はAの

∈D[E]

ス ペ ク トル 表 示

 に よ って

(1.3.11) (1.3.12) とEが

記 述 され る こ とか ら容 易 に わ か る こ と で あ る.

  (ⅱ):逆 (ⅰ)の υ∈D[E]と

にH上

の 閉 対 称 形 式Eが

与 え ら れ た と し,Eが

よ うに 決 ま る こ と を 示 そ う.α>0とu∈Hを

 で あ るか ら Φ はEα

積 と す る 実 ヒル ベ ル ト空 間D[E]上

ら

固 定 し,Φ(υ)=(u,υ),

お く.

表 現 定 理1)に

適 当 なAか

の 連 続 線 型 汎 関 数 で あ る.従

を内

っ てRieszの

よ って

(1.3.13) 

Eα(Gαu,υ)=(u,υ),∀

な る 要 素Gαu∈D[E]が   こ の よ うに してEか

υ∈D[E]

一 意 的 に 存 在 す る. ら 決 ま る 線 型 作 用 素{Gα;α>0}がH上

の リゾル ベ

ン トに な る こ と を 見 る の は 容 易 で あ る.例 え ば 縮 小 性 の 条 件(Gα.3)は

α(Gαu,

Gαu)≦Eα(Gαu,Gαu)=(u,Gαu)とSchwarzの

に{Gα,

α>0}は

不 等 式 か ら 従 う.更

強 連 続 で あ る こ とが 次 の よ うに し て わ か る.u∈D[E]に

対 し て は

β(βGβu-u,βGβu-u)≦Eβ(βGβu-u,βGβu-u)=β2(Gβu,u)-β(u,u)+ E(u,u)≦E(u,u)だ 1)  吉 田 耕 作[Ⅰ;1]定

か ら,H内 理4.5参

で 照.

βGβu→u,β

→∞.u∈Hに

つい て 同

 

じ 主 張 を す るた め に は,任 の よ う に 選 び,Gα

  Eか

よ っ て 決 ま る 強 連 続 リ ゾ ル ベ ン ト{Gα,α>0}の

す る と,-Aは

(1.3.8),(1.3.9)に

りGα(H)⊂D[E′]で

び(D[E],Eα)内 よ り0し とEは

でE′=E.一 で のGα(H)の

か 含 ま な い.即

りEα(Gαu,Gα

方2つ

υ)=(Gαu,υ),

υ)に 等 し い.即

ち よ

直 交 補 空 間 は 各 々(1.3.10)と(1.3.13)

ちGα(H)は

こ れ ら の 空 間 内 で 稠 密.こ

対 し(1.3.8),(1.3.9)を

に 注 意 す る 必 要 が あ る.(ⅰ)に

よ り,こ

.3.10)を

の よ うなAの

満 た す.と

一 意 的 で あ る か ら,Aも

の よ う にE′

で 一 致 す る か らE′=E.

  (ⅲ)  最 後 に 与 え ら れ たEに

で き ま る{Gα,α>0}は

示

の ヒ ル ベ ル ト空 間(D[E′],E′α)お

各 々 の 定 義 域 の 稠 密 部 分 集 合Gα(H)上

ベ ン ト{Gα,α>0}は(1

ら

とす る.E′=Eを

且 つE′α(Gαu,Gα

あ る が こ れ は ま た(1.3.13)よ

Gα(H)×Gα(H)上

生成

正 の 半 定 符 号 の 自 己 共 役 作 用 素 で あ る.Aか

よ っ て 定 義 さ れ る 閉 対 称 形 式 をE′

せ ば よ い.(1.3.10)よ u,υ ∈Hで

対 し,u∈D[E]を 

の 縮 小 性 を 使 って 次 の 評 価 を 出 せ ば よ い.

ら(1.3.13)に

作 用 素 をAと

意 の ε>0に

満 た すAの

一意性

生 成 す る強 連 続 リ ゾ ル

こ ろ がEに

対

して(1.3.10)

一 意 的 で な け れ ば な ら な い.

(証 終)   後 の 必 要 の た め こ こ で い くつ か の 補 題 を 示 し て お く.   補 題1.3.3 

閉 対 称 形 式Eと

正 の 半 定 符 号 の 自 己 共 役 作 用 素-Aが

理 の よ うに 対 応 し て い る も の とす る.Aに

前 定

対 応 す る強 連 続 半 群 お よ び 強 連 続

リ ゾ ル ベ ン トを 各 々{Tt,t>0},{Gα,α>0}と

す る.こ

の とき

(ⅰ)   (ⅱ) 

Gα(H)⊂D[E],Eα(Gαu,υ)=(u,υ),u∈H,υ∈D[E].

  (ⅲ) 

任 意 のu∈D[E]に

対 し,D[E]内

t↓0, α

→

で(即

ちE1の

位 相 で)Ttu→u,   t↓0,αGαu→u,

∞.

  証 明   (ⅱ)は(1.3.10)で

示 し た.他

の 証 明 も そ れ と 同 様 で あ る.-Aの

ス

ペ ク トル 族 を{Eλ,λ u)で

≧0}と

積 分 す れ ば(ⅰ)が

し,不

等式

得 ら れ る.ま

 を 測 度d(Eλu, た

 に 対 し  t↓0,u∈

D[E].(証

終)

  一 般 にH上

の 半 群{Tt,t>0}と

リ ゾル ベ ン ト{Gα,α>0}に

対 し,H上

の 対 称 形 式E(t),E(β)を

(1.3.14) (1.3.15) に よ っ て 定 義 す る.こ ximate

symmetric

  補 題1.3.4 

れ を 各 々Ttお

form)と

呼 ぶ.こ

E,-A,Tt,Gα

よ びGα

の 言 葉 の 正 当 性 を 以 下 に 示 す.

は 補 題1.3.3の

の 定 め る近 似 対 称 形 式 を 各 々E(t),E(β)と   (ⅰ)  任 意 のu∈Hに

の 定 め る 近 似 対 称 形 式(appro

通 り とす る.Ttお

よびGα

す る.

対 し,E(t)(u,u)はt↓0の

と き非 減 少 で

(1.3.16)

  (ⅱ)  任 意 のu∈Hに

対 しE(β)(u,u)は

β ↑∞

の と き非 減 少 で

(1.3.17)

  こ の 補 題 の 証 明 は 前 補 題 の 場 合 と 同 様 の ス ペ ク トル 計 算 で 得 ら れ るの で 省 略 す る.補

題1.3.3と1.3.4に

ベ ン ト{Gα;α>0}の

よ っ て 特 に わ か る こ と は,H上 全 体 と 閉 対 称 形 式Eの

全 体 と の1対1対

の 強 連続 リゾル 応が 次の よ う

に 直 接 与 え られ る こ とで あ る.

この よ うな 対応 は実 は 必 ず しも強 連 続 で な い リゾル ベ ン トに対 して も成 り立 つ こ とが 知 られ て い る.そ れ を定 理 と して 述 べ て お こ う.こ の場 合,対 称形 式 に

対 す る要請 も弱 め られ ね ば な ら な い.対 称 形 式Eの

定 義 か ら,"D[E]がH

で 稠 密 で あ る"と い う条 件 を 取 り除 い た と き,Eを

広 い 意味 で の対 称形 式 と

呼 ぶ こ とにす る.   定 理1.3.2  α>0}が

任 意 のu∈Hに 17)の

(ⅰ) 

H上

の(必

与 え ら れ た と し,対

ず し も 強 連 続 で な い)リ

対 しE(β)(u,u)は

β ↑∞

右 辺 に よ っ て 定 義 さ れ るEはH上

  (ⅱ)  逆 にEをH上

ゾル ベ ン ト{Gα;

応 す る近 似 対 称 形 式 をE(β)と

す る.こ

の と き 非 減 少 で あ る.更

に(1.3.

の 広 い 意 味 で の 閉 対 称 形 式 で あ る.

の 広 い 意 味 で の 閉 対 称 形 式 と す る.こ

で 定 ま る{Gα,α>0}はH上

の と き,

の(必

ず し も 強 連 続 で な い)リ

の と き(1.3.13) ゾ ル ベ ン トで あ

る.   (ⅲ)  (ⅰ)に

於 け る対 応 と(ⅱ)に

於 け る対 応 は 互 い に 他 の 逆 対応 に な って

い る.   証 明   (ⅰ)  u∈Hと 1.3.1の

す る.リ

証 明 と 同 様 に し て,Gβ

ゾル ベ ン ト方 程 式 とGβ

の 縮 小 性 に よ り補 題

が 正 の 半 定 符 号で あ り且 つ

(1.3.18) が 成 立 す る こ と が わ か る.こ   {Gα,α>0}の

れ はE(β)(u,u)≧0を

強 連 続 性 は 仮 定 さ れ て い な い か ら,補

ク トル 計 算 に よ っ てE(β)(u,u)の い.し

意 味 し て い る. 題1.3.4の

よ うに ス ペ

β に 関 す る非 減 少 性 を示 す こ とは で き な

か し再 び リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式 に よ り

(1.3.19) 但し が 導 か れ る.(1.3.19)の

第1の

式 はE(β)(u,u)が

β ↑∞

の と き非 減 少 で あ

る こ と を 意 味 し て い る.   そ こ で(1.3.17)の

右 辺 に よ っ てH上

す る こ と が で き る が,こ   un∈D[E]が

の 広 い 意 味 で の 対 称 形 式Eを

定 義

れ の 閉 性 は 次 の よ う に し て直 接 確 か め 得 る.

内 積E1(u,u)=E(u,u)+(u,u)に

関 しCauchy列

を な し

た とす る.こ

の と きHの

るが,(1.3.18)に

任 意 の ε>0に る.そ Eが

一 意 元uが

よ り各

β>0に

対 し,nを

あ っ て(un-u,un-u)→0が

成立す

対 して

充 分 大 き く取 れ ば こ の 最 後 の 項 は ε よ り小 さ く な

こ で β ↑∞ と し て,u∈D[E],E(un-u,un-u)≦

ε.こ の よ う に し て

広 い 意 味 で の 閉 対 称 形 式 で あ る こ と が わ か っ た.

  こ こ で 次 の2つ

の 事 実 に 注 意 し て お こ う.

(1.3.20) u,υ

∈Hに

対 しE(β)α(u,υ)=β(u-βGβ+αu,υ)と

お くと

(1.3.21)   (1.3.20)は(1.3.19)の

結 果 で あ る.(1.3.21)を

υ)-E(β)(u,υ)=β2((Gβ-Gβ+α)u,υ)=α と 変 形 し て み れ ば よ い.最

み る た め に は,E(β)α(u,

β2(Gβ+αGβu,υ)=α(βGβu,βGβ+α

後 の項 は

β→ ∞

の と き(1.3.20)に

よ り

υ) α(u,υ)

に 収 束 す る.   Gα

と そ れ か ら 上 の よ う に し て 作 っ たEと

り 立 つ.実

際u∈Hに

対

の 間 に は(1.3.13)の

し て,E(β)α(Gαu,Gαu)=β(Gβ+αu,Gαu)=β(u,

Gβ+αGαu)=(u,Gαu)-(u,Gβ+αu)→(u,Gαu),β (1.3.21)に

よ りGαu∈D[E]且

υ∈D[E]に

対 し て は(1.3.20)よ

  (ⅱ)  逆 にH上 1.3.1の

証 明(ⅱ)と

→∞,が

つEα(Gαu,Gαu)=(u,Gαu).ま

成

り立 つ か ら た任 意 の

り

の 広 い 意 味 で の 閉 対 称 形 式Eが 全 く同 様 に し て,Eに

の リ ゾ ル ベ ン ト{Gα,α>0}が

関 係 が 成

与 え られ た とす る.定

対 して(1.3.13)を

理

満 た すH上

一 意 的 に存 在 す る こ と が わ か る.

  (ⅲ)  ど ち ら の 対 応 も関 係(1.3.13)に

よっ て規 定 され て い る こ とに注 意す

,れば よ い.(証

終)

 問1.3.3 

定 理1.3.1に

 (1.3.22) 

お け る 対 応 は,次

の 関 係 に よ っ て も 規 定 で き る こ と を 示 せ.

D(A)⊂D[E],E(u,υ)=(-Au,υ),∀u∈D(A),∀

υ∈D[E].

  §1.4  マ ル コフ 対 称 作 用 素 の 半 群 と デ ィ リ ク レ 形 式   位 相 空 間Xと

そ の上 の測

度mを

§1.1の

通 り とす る.こ

m)上

の デ ィ リ ク レ形 式 の 果 た す 役 割 を 考 え る.L2(X;m)上

m)な

る 有 界 線 型 作 用 素Sが

の 節 で はL2(X; のD(S)=L2(X;

マ ル コ フ的 で あ る とい う の は,Sが

次 の条 件 を

満 た す こ と で あ る: u∈L2(X;m),0≦u≦1 m-a.e.な

次 の 定 理 は 特 にL2(X;m)上

ら0≦Su≦1 m-a.e..

の デ ィ リ ク レ形 式 の 全 体 とL2(X;m)上

ル コ フ 的 対 称 作 用 素 の 半 群 で 強 連 続 な も の の 全 体 とが1対1に

の マ

対 応 す る こ とを

意 味 し て い る.   定 理1.4.1 

EをL2(X;m)上

応 す るL2(X;m)上 0},{Gα,α>0}と

の 閉 対 称 形 式 と し,Eに

の 強 連 続 半 群 お よ び 強 連 続 リ ゾ ル ベ ン トを 各 々{Tt;t> す る.こ

の と き 以 下 の5条

件 は 互 い に同 値 で あ る.

  (a) 

各t>0に

対 し,Ttは

マ ル コ フ 的.

  (b) 

各

対 し,αGα

は マ ル コ フ 的.

  (c) 

Eは

マ ル コ フ 的.

  (d) 

Eは

単 位 縮 小 に 関 し安 定.

  (e) 

Eは

す べ て の 正 規 縮 小 に 関 し安 定.

α>0に

  関 係(a)⇒(b)お

よび(b)⇒(a)は

らか で あ る.(e)⇒(d)⇒(c)は 1.4.1の

前 節 の仕 方 で 対

各 々(1.3.1),(1.3.7)よ 問1.1.4の

内 容 で あ る.従

証 明 の た め に は,(c)⇒(b)と(b)⇒(e)の2つ

り明 っ て定 理

の関係を示

し さ え す れ ば よ い.   (c)⇒(b)の m-a.e.を

証 明 正 数 α お よ びL2(X;m)の

満 た す も の を 固 定 す る.D[E]上

の2次

形式

要 素uで0≦u≦1 ψ を

(1.4.1) に よ っ て 定 義 す る と,(1.3.13)を (1.4.2) 

ψ(Gαu)+Eα(Gαu-υ,Gαu-υ)=ψ(υ),υ

を 得 る.つ

ま りGαuはD[E]上

  さ てEが

∈D[E]

で ψ を 最 小 に す る 一 意 的 な 要 素 で あ る.

マ ル コ フ 的 で あ る と 仮 定 す る と,任

の 条 件(E.4)を

満 た す 実 変 数 関 数 t∈R1,と

(1.4.3)  ま た￨φ

使 っ て等 式

意 の ε>0対

φε(t)が 存 在 す る.そ

お き 更 にw=φ

ε(Gαu)と

ル コフ性

こ で 

お くと

w∈D[E],E(w,w)≦E(Gαu,Gαu).

t∈R1,が

ε(t)-s￨≦￨t-s￨,  m-a.e..従

こ れ と(1.4.3)と

っ て 

ψ(w)≦

こ れ と(1.4.2)か

成 り立 つ か ら 

を 合 わす と

(1.4.4)  らw=Gαu.特

ψ(Gαu). に 

m-a.e..ε

で あ っ た か ら αGα の マ ル コ フ 性 が 示 せ た こ と に な る.(証   関 係(b)⇒(e)を m)な

し,マ

証 明 す る た め に 補 題 を1つ

るL2(X;m)上

の 線 型 作 用 素Sが

あ る と は,u∈L2(X;m),0≦u,m-a.e.な

は

任

意

終)

準 備 す る.D(S)=L2(X;

正 値 作 用 素(positive る 限 り0≦Su

operator)で

m-a.e.が

成立す る

こ と で あ る.   補 題1.4.1 

(ⅰ)  SをL2(X;m)上

件 を 満 た す 積 空 間X×X上 m)に

属 す る任 意 のBorel可

の 正 値 対 称 作 用 素 と す る と,次

の 対 称 な 正 のRadon測 測 関 数u,υ

の条

度 σ が 存 在 す る:L2(X;

に対 して

(1.4.5)   (ⅱ)  Sが (1.4.6) 

さ ら に マ ル コ フ的 な らば σ(X×E)≦m(E),∀E∈B(X).

 証 明  (ⅱ)は(ⅰ)か

ら直 ち に 従 う.(ⅰ)を

証 明 す るた めに先ず積空間

X×X上

に対 し

の 関 数 

(1.4.7) を 示 そ う. 

と お く.各uiは

続 だ か ら,任 意 の ε>0に 対 し,Kの びξk∈Ek,1≦k≦p,を i≦lと

コ ン パ ク ト集合K上

およ

有 限 分 割 

選 ん で￨ui(x)-ui(ξk)￨<ε,∀x∈Ek,1≦k≦p,1≦ と お く と 

で き る. 

で あ るが,fは Sfξk≧0

で一様連

m-a.e..従

非負 で あ るか ら

っ て

(1.4.8) 一 方uiの

作 り方 か ら容 易 に わ か る よ うに,  が 成 立 す る.ε は 任 意 で あ っ た か ら,(1.4.7)が

証 明 で き た. と

 そ こで  に対 しI(f)を

お き,f∈C0(X×X), 

(1.4.9) に よ っ て 定 義 す る.(1.4.7)よ

り,Iはf∈C0(X×X)の

表 わ し方 に 依 存 せ

ず 定 ま り,C0(X×X)上

の 正 値 線 型 汎 関 数 と な る.C0(X×X)はC0(X×X)

の 稠 密 部 分環 で あ り1),ま

たX×Xの

元 がC0に

存 在 す る か ら,定

のRadon測 任 意 のBorel可 Sは

任 意 の コ ン パ ク ト集 合 上 で1に

理0.1.3(ⅱ)に

度 を 定 め る こ とが わ か る.更 測 関 数u,υ

∈L2(X;m)に

等 しい

よ り(1.4.9)がX×X上 に 定 理0.1.1を

の正

使 っ て(1.4.5)が

対 して 成 立 す る こ と が 導 か れ る.

対 称 で あ る か ら σ も対 称 で あ る.

 (b)⇒(e)の 1)  C0はC0の 対 し て  C0はC∞(X×X)で

証 明   αGα が マ ル コ フ的 で あ る と仮 定 す る と,補 題1.4.1 部 分 環 で あ りX×Xの

点 を 分 離 し,ま

な るf∈C0が 存 在 す る.従 稠 密 で あ る(Loomis[Ⅰ;1]参

た 任 意 の(x,y)∈X×Xに

っ てStone-Weierstrassの 照).

定理 よ り

   

よ りX×X上

の対 称 で正 なRadon測

度 σαが 存 在 し

(1.4.10) が す べ て のBorel可 形 式(1.3.15)は

測 なu,υ

∈L2(X;m)に

任 意 のBorel関

対 し て 成 立 す る.従

数u∈L2(X;m)に

っ て,近

似

対 して

(1.4.11)

と 変 形 で き る.但 補 題1.4.1よ

しsα(x)は

σα(X×dy)のm(dy)に

関 す る 密 度 関 数.

り

(1.4.12) 

0≦sα(x)≦1 

  こ の 表 現(1.4.11)と

m-a.e..

補 題1.3.4か

て い る こ と が 容 易 に 導 か れ る.(証

ら,Eが

全 て の 正 規 縮 小 に 関 して 閉 じ

終)

  我 々 は §1.1に

於 い て,L2(X;m)上

の マ ル コフ閉 対 称 形 式 を デ ィ リ ク レ

形 式 と呼 ん だ.デ

ィ リ ク レ形 式 は 定 理1.4.1の

す べ て の 条 件(a)∼(e)を

満

た す.  

X上

でm-a.e.に

定 義 さ れ た 関 数uに

対 し

(1.4.13) と お き,‖u‖∞<∞  定 理1.4.2  (ⅰ) 

u,υ

な るuをmに

L2(X;m)上

  (ⅲ)  u∈D[E]に

υ,u∧

はmに

υ,u∧1∈D[E].

関 し本 質 的 に 有 界

対 しun=((-n)∨u)∧nと

⇒u・ υ∈D[E]且

お く と,unはD[E]に

つ

属 し

位 相 の 意 味 でun→u,n→∞.

  証 明 

D[E]で

の デ ィ リ ク レ形 式 は 次 の 性 質 を もつ.

∈D[E]⇒u∨

(ⅱ)  u,υ ∈D[E],u,υ

E1の

関 し て 本 質 的 に 有 界 な 関 数 と い う.

(ⅰ) 

あ る.後

u∈D[E]な

ら,定

理1.4.1(e)よ

り￨u￨∈D[E],u∧1∈

は,u∨υ=1/2{u+υ+￨u-υ￨},u∧υ=1/2{u+υ-￨u-υ￨}

に 注 意 す れ ば よ い.(ⅱ)定

理1.4.1の

関 係(b)⇒(c)の

証 明 と全 く同

 

様 に し て 次 の 事 実 が 証 明 で き る.u1,u2∈D[E],w∈L2(X;m)に のBorel修

正u1,u2,wが

存在

対 し,各

し て￨w(x)-w(y)￨≦￨u1(x)-u1(y)￨+

￨u2(x)-u2(y)￨,￨w(x)￨≦￨u1(x)￨+￨u2(x)￨,x,y∈X,な

ら ば,w∈D[E]

且 つ 

そ こ で(ⅱ)の

υ に 対 して はw=u・υ,u1=‖u‖∞ unはuの

正 規 縮 小 で あ り,ま

E(un,un)は E(β)を n→∞,β

→∞

題1.3.4よ

∞,∀

たm
らumはunの

た近 似 形式

り  わ か る.

りE1(un,G1υ)=(un,υ)→(u,υ)=E1(u,G1υ),n→

υ∈L2(X;m).G1(L2)はD[E]でE1の

un)は

先ず

正規縮小 だ か ら

り大 き く な い.ま

と し てE(un,un)↑E(u,u)が

  一 方(1.3.13)によ

条 件 を 満 た すu,

・ υ,u2=‖ υ‖∞ ・uと お けば よ い.(ⅲ) 

単 調 非 減 少 で 極 限 はE(u,u)よ

考 え る と,補

位 相 で 稠 密 で あ り,E1(un,

一 様 有 界 で あ っ た か ら,E1(un,w)→E1(u,w),∀w∈D[E].こ

unのE-ノ

々

れ と

ル ム の 収 束 と を 合 わ す と,E1(un-u,un-u)→0,n→∞. (証 終)

  デ ィ リ ク レ形 式 の 定 義 か ら"D[E]がL2(X;m)で

稠 密 で あ る"と

い う条

件 を 取 り除 い た もの を 広 い 意 味 で の デ ィ リ ク レ形 式 と い う.定 理1.4.1の

証 明

か ら次 の 定 理 が 成 り立 つ こ と が わ か る.   定 理1.4.3 

(ⅰ)必

ず し も強 連 続 で な いL2(X;m)上

の マ ル コ フ リ ゾル

ベ ン トの 全 体 と 広 い 意 味 で の デ ィ リ ク レ形 式の 全 体 と は,定 1対1に

広 い 意 味 の デ ィ リ ク レ形 式 に 対 し て も成 立 す る.

  本 節 の 話 題 に 密 接 に 関 連 した も の と し て,X上

のm-対

数 と マ ル コ フ リ ゾ ル ベ ン ト核 に つ い て 触 れ て お こ う.一 間 とす る と きS×B上 の を(S,B)上

測.こ

対応で

対 応 す る.

(ⅱ)  定 理1.4.2は

B上

理1.3.2の

の関 数

の 核(kernel)と

の 正 の 測 度,各A∈Bを の上 さ らに

κ(x,A),x∈S,A∈B,で 呼 ぶ:各x∈Sを固 固 定 す る と きS上

κ(x,S)≦1,∀x∈S,を

称 な マ ル コフ推 移 関 般 に(S,B)を

可測 空

次 の条 件 を満 たす も 定 す る と き κ(x,・)は の 関数

κ(・,A)はB-可

満 た す 核 を マ ル コ フ 核(Markov

kernel)と

い う.S上

の 非 負 ま た は 有 界 なB-可

の核 κ に よ る積 分 

を

測 関 数uに

κu(x)と

対 し(S,B)上

記 す.κu(x)は

ま たB-可

測 で あ る.   (S,B)上

の マ ル コ フ 核 の 族{pt,t>0}が

を(S,B)上

次 の 条 件 を 満 た す と き に,こ

の マ ル コ フ 推 移 関 数(Markov

(1.4.14) 

transition

function)と

れ

い う.

ptpsu=pt+su,∀t,s>0,∀u∈B.

但 しBはS上

の 有 界B-可

測 関 数 の 全 体.ま

た マ ル コ フ 核 の族{αRα,α>0}

が あって (1.4.15) 

Rαu-Rβu+(α-β)RαRβ=0,α,β>0,u∈B

を 満 た す と き 族{Rα,α>0}を(S,B)上 resolvent

kernel)とい

  (X,B(X))ま

の マ ルコ

フ リ ゾ ル ベ ン ト核(Markov

う.

た は(X,B*(X))上

の核

κ が 任 意 の 非 負 可 測 関 数u,υ

に

対 し

(1.4.16) を 満 た す と き κ はm-対  今m-対

称(m-symmetric)で

称 な マ ル コ フ核

あ る と い わ れ る.

κ が 与え ら れ た と し よ う.こ

の とき不 等 式

(1.4.17) が 成 り立 つ.実

際Schwarzの

≦ κu2(x),x∈X,の を 使 え ば(1.4.17)が の 元 をL2の

不 等 式 よ り導 か れ る 式(κu(x))2≦

両 端 をmに

よ っ て 積 分 し,κ

得 ら れ る.(1.4.17)に

元 に 移 す 写 像 と み な せ るが,そ

コ フ 的 で 縮 小 的 な 対 称 作 用 素Kに ル コフ 対 称核

のm-対

よ り,κ

κ1(x)・κu2(x)

称 性 と マ ル コフ性

は 本 質 的 に 有 界 なL2

れ は さ らにL2(X;m)上

のマル

一 意 的 に 拡 張 さ れ る こ とが わ か る.Kを

マ

κ の 決 定 す る 対 称 作 用 素 と呼 ぶ こ とに す る.

  次 に(X,B(X))ま

た は(X,B*(X))上

ン ト核{Rα,α>0}が

与 え られ た と し よ う.容

の 決 定 す るL2上

のm-対

称 なマル コ フ リ ゾル ベ

易 に わ か る よ う に{Rα,α>0}

の 対 称 作 用 素 の 族{Gα,α>0}はL2上

で な い マ ル コ フ リ ゾ ル ベ ン トで あ る.定

理1.4.3に

の必 ず し も 強 連 続 よ り,こ

れ に応 じ てL2上

の広 い意 味 の デ ィ リク レ形 式Eが れ るL2上

定 まる.Eは

次 の条 件 に よ って特 徴 づ け ら

の広 い 意 味 で の 閉 対称 形 式 で あ る. R1(B∩L2(X;m))⊂D[E],

(1.4.18) {

E1(R1u,υ)=(u,υ),∀u∈B∩L2(X;m),∀

 同様 に してm-対

υ∈D[E].

称 マル コフ推 移 関 数 はL2上

の必 ず し も強 連 続 で な い マ ル

コ フ半 群 を決 定 す る.こ れ が 強 連 続 とな るた め の条 件 を 与 え よ う.   補 題1.4.2 

(ⅰ)  (X,B(X))ま

た は(X,B*(X))上

コ フ推 移 関 数 を{pt,t>0}と

し,そ

半 群 を{Tt,t>0}と

し

す る.も

pt(x,A)はt>0に

のm-対

れ の 決 定 す るL2(X;m)上

称 な マル のマル コ フ

つ い て 可 測,

(1.4.19) {

が 満 た さ れ れ ば,{Tt,t>0}は   (ⅱ)  (X,B(X))ま

強 連 続 で あ る.

た は(X,B*(X))上

ン ト核 を{Rα,α>0}と

し,そ

ベ ン トを{Gα,α>0}と

す る.も

のm-対

称 な マ ル コフ リ ゾ ル ベ

れ の 決 定 す るL2(X;m)上

の マル コ フ リゾル

し

(1.4.20) が 成 立 す れ ば{Gα,α>0}は   証 明   (ⅱ)か αGαuはuに

強 連 続 で あ る.

ら証明 し よ う.L20(X;m)={u∈L2(X;m);α 強 収 束}と

Gα(L2)⊂L20.Rは

お く とL20はL2の

α>0に

→∞ の とき

閉 部 分 空 間 で あ り,R=

依 存 し な い.υ ∈L2がL20と直

交 す る とす れ ば  ε>0を

に 与 え,コ る.こ

ン パ ク ト集 合Kを

の と き,α>0に

ま たLebesgueの ε>0は =L2を   (ⅰ)を

で任 意

な ら しめ

適 当 に 選 ん で 

関 し一 様 に 

収 束 定 理 に よ り  任 意 で あ っ た か ら 結 局(u,υ)=0.従

っ て υ=0.こ

意 味 す る. 示 す た め にptのLaplace変

換 をRα

と お く;

れ はL20

(1.4.21) {Rα,α>0}はm-対 す るL2上

称 な マ ル コ フ リ ゾ ル ベ ン ト核 と な り,{pt,t>0}の

の マ ル コ フ 半 群{Tt,t>0}と{Rα,α>0}の

マ ル コ フ リ ゾル ベ ン ト{G

同 じ性 質 を 示 せ ば よ い.と い る か ら,後

条 件(1.4.20)を

よ り特 に 次 の こ と が わ か る.(X,B(X))ま

こ と を{Pt;t>0}の

同 様 の 意 味 で(1.4.20)を

意 味 して

終)

称 な マ ル コ フ 推 移 関 数{pt,t>0}が

を 満 た せ ば,{pt;t>0}はL2(X;m)上 め る.Eの

っ

強 連 続 性 を 示 す た め に は{Gα,α>0}の

の 性 質 は 証 明 ず み で あ る.(証

のm-対

の

関 係 で 結 ば れ て い る.従

こ ろ が 条 件(1.4.19)は

  こ の 補 題 と 定 理1.4.1に (X,B*(X))上

決 定 す るL2上

α,α>0}は(1.3.1)の

て 前 節 の 結 果 に よ り,{Tt,t>0}の

決定

たは

あ っ て(1.4.19)

の デ ィ リ ク レ 形 式Eを

一意的に定

決 定 す る デ ィ リ ク レ 形 式 と呼 ぶ こ と に す る.

満 た すm-対

称 な リ ゾル ベ ン ト核 は,あ

る デ ィ リク

レ形 式 を 一 意 に 決 定 す る.   逆 にL2上

の デ ィ リ ク レ形 式 を 与 え れ ば,定

な マ ル コ フ半 群 が 一 意 に 対 応 す る が,こ

理1.4.1よ

正 則 な ら ば,(1.4.19)を

意 味 で 一 意 的 に 存 在 し,Eや さ れ る.こ

れ は 第4章

の強 連 続

の 半群 が適 当 な マ ル コフ推 移 関 数 に よ

っ て 決 定 され て い る か ど うか は 一 般 に は 不 明 で あ る.し 式Eが

りL2上

か し も しデ ィ リ ク レ形

満 た す マ ル コ フ 推 移 関 数{pt,t>0}が そ れ に 対 応 す る半 群 が{pt,t>0}に

で 証 明 さ れ る こ と で あ る が,そ

あ る よ って 決 定

の た め に は 正則 デ ィ リク

レ形 式 の ポ テ ン シ ャ ル 論 と マ ル チ ンゲ ール の 基 本 定 理 を 用 い ね ば な らな い .

第2章 

  §2.0 

マル コフ対 称 形 式 とデ ィ リク レ形 式 の範 囲

序

  マル コ フ対 称形 式 や デ ィ リク レ形 式 が対 称 形 式 全 体 の中 で どれ 位 の範 囲 を 占 め るか とい う問 題 を い くつ か の 角度 か ら検 討 す る のが 本 章 の 課 題 で あ る.   デ ィ リク レ形 式 の 定 義 域 を そ の 稠 密 線型 部分 空 間 で(1.1.5)を φε との合 成 を とる操 作 に関 して閉 じた も のに 制 限 す れ ば,明

満 たす 関 数 らか に可 閉 な マ

ル コフ対 称形 式 が 得 られ る.実 は 可 閉 な マ ル コフ対 称 形 式 は こ の よ うな も の に 限 る とい うのが §2.1の 一 つ の 内 容 で あ る.一 方,§1.2で

導 入 した微 積 分 形

式 は マ ル コフ対 称 形 式 の 例 を 与 え た わ け で あ るが,実 は 可閉 な マ ル コフ対 称 形 式 は 一般 な 条 件 の 下 で この よ うに表 示 され る もの に 限 る とい うの が §2.2の 一 つ の 内容 で あ る.   一 般 に正 の半 定 符 号 の対 称 作 用 素Sの をA(S),そ

正 の半 定 符 号 の 自己 共 役 拡 大 の全 体

の うち マ ル コ フ作用 素 の 半群 を 生 成 す る もの の 全 体 をAM(S)と

お く.AM(S)がA(S)の

中 で どれ だ け の範 囲 を 占 め るか を対 称 形 式 を用 い て

具 体 的 に 明 らか にす る こ とは,一 つ の関 数 解 析 学 的 課 題 で あ る.§2.3と で は対 称形 式 とデ ィ リク レ形 式 を用 い てA(S)とAM(S)の

§2.4

各 々の最 大元 を

記 述 し,そ れ らを比 較 す る とい う立 場 か らこ の問 題 を と り上 げ る.こ の よ うな や り方 で ソボ レフ空 間H1の

関 数 解 析 学 的 な 位 置 が 明 らか に され る.§2.4の

最 後 に 境 界 条件 との対 応 につ い て も触 れ るで あ ろ う.

  §2.1  マ ル コ フ 対 称形 式 の最 小 閉拡 大   Xとmは

§1.1の

通 り とす る.L2(X;m)上

最 小 閉 拡 大 を 取 る操 作 に よ っ て,も

の 対 称 形 式 が 可 閉 な と き,

と の 形 式 が 持 つ と仮 定 した 性 質,例

えば マ

ル コ フ 性 や 局 所 性 が 保 存 さ れ る で あ ろ うか.こ   定 理2.1.1 

L2(X;m)上

最 小 閉 拡 大Eは

の 可 閉 な 対 称 形 式Eが

ま た マ ル コ フ 的 で あ り,従

  証 明   閉 対 称 形 式Eに 定 理1.4.1に

マ ル コ フ的 な ら ば,Eの

っ て デ ィ リ ク レ形 式 で あ る.

対 応 す る 強 連 続 リ ゾル ベ ン トを{Gα,α>0}と

よ り,αGα

  u∈L2(X;m)が

れ が 本 節 の テ ー マ で あ る.

す る.

の マ ル コ フ 性 を 示 せ ば よ い.

不 等 式0≦u≦1

m-a.e.を

満 た す と す る.(1.4.1)に

の2次

か る.GαuはD[E]上

で ψ を 最 小 に す る 一 意 的 な 要 素 で あ り,υn∈D[E]が

Gαuに

位 相E1の

形 式 ψ を 考 え る と,(1.4.2)よ

よ

っ て 定 義 さ れ るD[E]上

り次 の こ とが わ

意 味 で 収 束す るた め の必 要 十 分 条 件 は 

な る こ と で あ る.   と こ ろ でD[E]はD[E]内

で 位 相E1の

意 味 で 稠 密 で あ る か ら,上

う なυnをD[E]か

ら選 ぶ こ と が で き る.任

フ 性 の 条 件(E.4)を

満 たす 実 変 数 関数

t∈R1,wn=φ

ε(υn)と

てwn∈D[E]且

お く.定

つ ψ(wn)≦

故 にwnはGαuに

意 の ε>0に

対 し,Eの

マル コ

φε(t)を 選 び,φ ε(t)=1/α φαε(αt),

理1.4.1の(c)⇒(b)の証

明 と同様 に し

ψ(υn)が わ か る.従

位 相E1で

の よ

収 束 す る.こ

必 要 な ら 部 分 列 を 選 ん でwn→Gαu m-a.e..一

っ て  れ はL2-収

束 で も あ る か ら, m-a.e.

方, 

ε は 任 意 で あ っ た か ら αGα の マ ル コ フ 性 が 示

だ か ら,  さ れ た こ と に な る.(証

終)

 次 に局 所 性 の保存 に 関す る定 理 を一 つ 与 え よ う.   定 理2.1.2  (ⅰ)Eは

L2(X;m) 

上 の 可 閉 な 対 称 形 式Eが

マ ル コ フ 的.(ⅱ)Eは

局 所 性 を も つ.(ⅲ)D[E]はC∞(X)の

稠 密 部 分 集 合 で 積 に 関 して 閉 じ て い る.(ⅳ)任 包 が コ ン パ ク トな 任 意 の 開 集 合G⊃Kに ∀x∈X-G,を

 こ の ときEの

満 た すu∈D[E]が

最 小 閉 拡 大Eは

次 の 性 質 を も つ とす る.

意 の コ ンパ ク ト集 合Kと

閉

対 し て,u(x)≧1,∀x∈K,u(x)=0, 存 在 す る.

正 則 な デ ィ リ ク レ形 式 で あ り且 つ局 所 性 を

もつ.  証 明  性 質(ⅰ)と

前 定理 に よ ってEは

デ ィ リク レ形 式 で あ る.Eの

正則

性 は(ⅲ)よ (2.1.1) 

り従 う.従

っ てEの

E(u,υ)=0,∀u,υ

局所 性

∈D[E],但

しuと

υ の 台 は コ ン パ ク トで 互 い

に素

を 示 し さえ す れ ば よ い.以 明 す る.υ

∈D[E]な

下 υ はD[E]に

属 す 場 合 に つ い て(2.1.1)を

る 一 般 の 場 合 の 証明 も 同 様 で あ る.我々

ず に 更 に0≦u≦1 m-a.e.と

仮 定 でき る.実

u+l=(0∨u)∧l,u-l=-((-l)∨u)∧0と ⊂supp[u],0≦u+l,u-l≦l,で

証

は 一 般 性 を失 わ

際 一 般 のu∈D[E]に

対 し て,

お け ばsupp[u+l]⊂supp[u],supp[u-l] あ る の み な ら ず,定

理1.4.2に

よ り 

が 成 立 す るか らで あ る.   そ こ でu∈D[E],0≦u≦1 m-a.e.,υ

∈D[E]な

ン パ ク トで 互 い に 素 で あ る と 仮 定 す る.E1の位 か ら選 ぶ.一 な るGに

方K=supp[u]と

対 して 性 質(ⅳ)を と お く.但

るu,υ

を と りそ れ ら の 台 は コ

相 でuに

収 束 す るunをD[E]

閉 包 が コ ン パ ク トなG⊃KでG∩supp[υ]=φ 満 た すw∈D[E]を

し φε,ε>0,はEに

選 ぶ.そ

し て 

対 す るマ ル コ フ性(E.4)を

満たす実変

数 関 数 で あ る.   D[E]が

積 に 関 し て 閉 じ て い るか ら(性

(2.1.2) 

(un-u,un-u)→0,n→

質(ⅲ))un∈D[E]で

あ る が,更

に

∞

(2.1.3) が 成 立 す る こ と に 注 意 し よ う.unはuにL2-収 un′→u

m-a.e.な

る部 分 列n′

を 含 む.こ

束す るか ら どん な 無 限 列 も の と き 明 らか にun′

→u m-a.e.で

あ る か ら有 界 収 束 定 理 に よ り

こ れ は(2.1.2)を

意 味 す る.(2.1.3)は

 さ て(2.1.2)と(1.3.13)よ (2.1.4) 

G1(L2)はE1の

り,任

定 理1.4.2(ⅱ)の 意 のw∈G1(L2)に

E1(un,w)→E1(u,w), n→

位 相 でD[E]内

対 し ∞.

で 稠 密 で あ り,ま

E1-ノ ル ム は 一 様 有 界 で あ るか ら,上

結 果 で あ る.

の 関 係(2.1.4)は

た(2.1.3)に

よ りunの

実 は 全 て のw∈D[E]

に 対 して 成 立す る.特

に 

supp[un]∩supp[υ]=φ

で あ る が,un,υ

だ か ら 性 質(ⅱ)を

使 っ てE(u,υ)=0が

∈D[E],

導 か れ る. (証 終)

 §2.2  マル コフ対 称 形 式 の 微 積 分 表 示   §1.2に

於 い て 我 々は(1.2.1)の

例 を 与 え る こ と を 見 た.前 一 般 な もの で あ る こ と に(1.2.1)の

,即

型 の微 積 分 表 示 が マ ル コフ対 称形 式 の具 体

節 と §1.4の 結 果 を 使 え ば,こ

の表示 が実 は 非 常 に

ち 任 意 の マ ル コ フ 対 称 形 式 は 自 然 な 条 件 の 下 で,常

型 に 表 現 さ れ る こ と が 証 明 で き る.

 (X,m)を

§1.1の

 定 理2.2.1 

も の と す る.

L2(X;m)上

の 可 閉 な マ ル コ フ 対 称 形 式Eで

次 の 性 質 を もつ

も の が 与 え ら れ た とす る. (2.2.1)  D[E]はC0(X)の

稠 密 部 分 環 で あ り,任

閉 包 が コ ン パ ク トな 開 集 合G⊃Kに ∀x∈X-G,な

対 し,u(x)=1,∀x∈K,u(x)=0,

る 非 負 関 数u∈D[E]が

 こ の と きEは

意 の コ ンパ ク ト集 合Kと

存 在 す る.

次 の よ う に 表 わ され る.

(2.2.2)

こ こ にElocは (2.2.3) 

局 所 性 を も つ マ ル コ フ対 称 形 式(D[Eloc]=D[E])で

u∈D[E]が

を 満 た す も の,Φ 対 称 な 正 のRadon測

υ∈D[E]の

  証 明   (2.2.1)を が(2.2.2)の り,最

台 の 近 傍 で 定 数 な らEloc(u,υ)=0

は 直 積 集 合X×Xか 度,kはX上

  更 に こ の よ うなEloc,Φ

らそ の 対 角 集 合dを の 正 のRadon測

お よ びkはEか

ら一 意 的 に 定 ま る.

満 た す 可 閉 な マ ル コ フ 対 称 形 式Eが

デ ィ リ ク レ形 式 で あ り,従

マ ル コ フ リ ゾ ル ベ ン ト{G

α,α>0}お

除 いた 空 間 上 の

度 で あ る.

よ うに 一 意 的 に 表 わ さ れ る こ と を 示 す.前

小 閉 拡 大Eは

あ り,

与え ら れ た と し,E 節 の 定 理2.1.1に

よ

対 応 す るL2上

の

っ てEに

よ び そ れ と(1.4.10)の

関係で結ばれ る

X×X上

の 対 称 で 正 なRadon測

度σα(dx,dy)を

  先 ずsupp[u]∩supp[υ]=φ

な るu,υ

考 え る こ とが で き る.

∈D[E]に

対 して

(2.2.4) が 成 立 す る こ と に 注 意 し よ う.実

際 こ の と き(1.3.15)で与え

の近 似 形 式E(β)(u,υ)は-β2(u,Gβυ),即 で あ る.(2.2.4)お X×X-d上

ち(2.2.4)の

よび 補 足 の 定 理0.1.4に

の 対 称 で 正 のRadon測

ら れ るE(u,υ) 左 辺 に等 しいか ら

よ り適 当 な 部 分 列βn↑

度Φ

∞

と

が 選べ て

上 で漢収束

(2.2.5) 

と で き る.   次 にG⊂G⊂DでGが

コ ン パ ク トな 開 集 合Gを

る 任 意 のu∈D[E]を

と る.そ

固 定 し,supp[u]⊂Gな

し て 近 似 形 式E(β)(u,u)を(1.4.11)と

同

様 の 仕 方 で 次 の よ うに 変 形 しよ う.

(2.2.6)

 こ の式 は特 に

(2.2.7) を意 味 す る.従 って 必要 な ら βnの 部 分 列 を選 ん で

上 で漠収束

(2.2.8) 

と で き る.こ

こ にkGはG上

く こ と に よ りX上

の 測 度 とみ な す こ と に す る.更

各 コ ン パ ク ト集 合Kへ X上

の 有 界 正 の 測 度 で あ る が,X-G上

の 正 のRadon測

の 制限 はG⊃Kな 度kが

Γ={(x,y)∈G×G;ρ(x,y)≧

お

す れ ばkGの

つ き単 調 減 少 で あ る か ら,

存在 し

(2.2.9) kG→k,G↑X,    さ てρ(x,y)をXの

るGに

にG↑Xと

で0と

X上

で 漠 収 束.

位 相 に 見 合 っ た 距 離 と し,X×X-dの δ}がΦ

部分集合

の 連 続 集合 で あ る と仮 定 す る:Γ

の 内 点 の 集 合 を

Γ0と

す る と きΦ(Γ-Γ0)=0.但

δ>0.supp[u]⊂Gな

るu∈D[E]に

か ら(2.2.5),(2.2.6)お

しGは

上 述 の開 集 合 で

対 し てE(βn)(u,u)→E(u,u)で

よ び(2.2.8).よ

あ る

り

(2.2.10)

  こ の 式 に 於 い て δ ↓0,G↑Xと が 収 束 し,結

す る.(2.2.9)に

注 意 す れ ば,右

求 め る表 示(2.2.2)に

辺 の各 項

局E(u,υ),u,υ

∈D[E],の

到 達 す る.

δ は(2.2.10)の

前 に 述 べ た 性 質 を 満 た す も の を と る こ と に す る.

但 し

(2.2.11.)

右 辺 のGと こ の よ うなGと 見 れ ばElocが

δ の 列 が 選 べ る こ と は 明 らか で あ ろ う.(2.2.11)の 条 件(2.2.3)を

満 た す(従

っ局所性

を も つ)マ

右辺を ル コフ対 称

形 式 で あ る こ と が 直 ち に わ か る.   最 後 にEが

別 のE′loc,Φ′,k′ に よ っ て(2.2.2)の

先 ず 台 が 互 い に 素 なu,υ∈[E]を で 性 質(2.2.3)を

  定 理2.2.1に

と る こ と に よ りΦ=Φ′

使 えばk=k′,Eloc=E′locが

は 一 意 的 で あ る.(証

得 ら れ る.即

が 導 か れ る.そ

こ

ち 表 示(2.2.2)

終)

よ り可 閉 な マ ル コフ対 称 形 式Eか

局 所 的 で(2.2.3)を

よ うに 書 け た と し よ う.

満 たす 部 分Elocを

ら((2.2.1)の

仮 定 の 下 で)

分 離 す る こ とが で きた.Xが

更に微

分 構造 を もて ば,局 所 的 マル コフ対 称 形 式 は次 の よ うに局 所 型 微 積 分 形 式 と し て表 わ され る.   定 理2.2.2 

Dをn次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnの

領 域 と す る.L2(D;m)

上 の 可 閉 で 局 所 性 を も つ マ ル コ フ 対 称 形 式Eで  の が 与 られ た とす る.こ 1≦i,j≦n,とD上

の と き(1.2.3)を

の 正 のRadon測

を 満 たす も

満 た すD上 度kが

のRadon測

一意的に存在 し

度νij,

(2.2.12) が 任 意 の 

に 対 し て 成 立 す る.こ

要十 分 条 件 はEが

条 件(2.2.3)を

  証 明   定 理2.1.1と前定理に Eloc

,Φ,kに

所 性 を も つ と仮 定 し て い る か らΦ≡0で

従 っ て 定 理2.2.2の (2.2.12)に

Radon測

度

(2.2.13) 

わ され る.と

こ ろ がEは

な け れ ば な ら な い(§1.2参

満 た す こ と とk≡0で

局

照).更

に

あ る こ と は 同 値 と な る.

証 明 の た め に は 最 初 か らEが(2.2.3)を

於 い てk≡0と

  さ て(2.2.3)を

に 対 してE(u,υ)は

よ うに一 意 的に表

.2.3)を

あ るた め の必

満 た す こ と で あ る. よ れば, 

よ っ て(2.2.2)の

一 意 性 に よ りEが(2

こ で 更 にk≡0で

満 たす と し て

し た 式 を 導 け ば 充 分 で あ る.

仮 定 す れ ば 前 定 理 の 証 明 に よ り,D×D上

の対 称 な正 の

σβnで βnσβnはD×D-d上

で0測

度 に漢 収 束

を 満 た す も の が 存 在 し,E(u,υ)が(2.2.11)の が わ か る.特

にG⊂G⊂DでGが

に含 ま れ る 

右辺 に よ って表 わ され る こ と

コ ン パ ク トな 開 集 合Gと,台 に 対 し て は,δ>0が

が共 にG

充 分 小 さい とき

(2.2.14) が 成 立 す る.右 とυ

辺 が δ>0に

依 存 し な い の は(2.2.13)の

結 果 で あ る.ま

の 台 に 応 じ て δ を 充 分 小 さ く と っ て 固 定 す れ ば,Gの

な る 任 意 の 開 集 合Gを (2.2.12)を

と 

固定 し よ う.G⊂G′

の関 係 を 利 用 して

⊂G′⊂DでG′

で

(2.2.15) を 満 た す も のを 選 ぶ.そ

(2.2.16)

代 わ りにG⊃G

導 こ う.

  上 の 性 質 を もつG⊂Dを な 開 集 合G′

と っ て も右 辺 の 値 は 変 わ ら な い.こ

たu

してG′ 上 の 測 度 

を

が コン パ ク ト

に よ っ て 定 義 す る.(2.2.14)に

ま た 

  で あ り,

よ り

の全変分 は 

に よ って押 え られ るか ら,必 要 な

ら部 分 列 を選 ん で

(2.2.17) とで き る.但

しνijはG′

上 の有 界 な測 度 で,収

束 はG′ 上 の弱 収 束 の意 味

で あ る.  νijは(1.2.3)を

満 た す.実

際(2.2.16)よ

り 

で あ る か ら,極 も 同 じ 性 質 を も つ.更 と(2.2.16)か

にνijは

δ>0の

と り方 に 依 存 しな い.こ

限 のνij

れ は(2.2.13)

ら 明 ら か な こ と で あ る.

 さ て 

でsupp[u]⊂Gな

これ を(2.2.14)でυ=uと

る も の を 展 開 す る と,x,y∈Gの

とき

お い た 式 に代 入す る と

(2.2.18)

右 辺 の第1項 は βn→ ∞ のとき δ>0に νij(dx)に ￨x-y￨<δ

収 束 す る.余 と,被

依 存 しな い量 

りの 積 分 項I(n,δ)に

積 分 関 数 にfi(x)-fi(y)な

含 まれ て い る こ とを 考 慮 す る と    以 上 に よ りsupp[u]⊂Gな

る 

つ い て は,積

分 範 囲 の条 件

る 型 の 関 数 の3個

以上 の積 が

従っ て  に 対 して

(2.2.19) が 得 られ た.こ

の 式 は 特 にG上

の 有 界 測 度νij(1≦i,j≦n)がEか

ら一

意 的 に 定 ま る こ とを 示 し て い る.Gは 測 度νijの

任 意 で あ っ た か ら,(2.2.12)を

存 在 と 一 意 性 が 証 明 さ れ た.(証

満たす

終)

  §2.3  対 称 作 用 素 の 自 己共 役 拡 大 族   本 節 で は 再 び §1.3の 抽 象 的 な 設 定 に 戻 り,内 積(,)を ベ ル ト空 間Hを

扱 う.そ

してH上

持 った抽 象実 ヒル

に 与え られ た 対 称作 用 素 の 自己 共役 拡大

の うち あ る意 味 で 最 小 の もの(Friedrichs拡

大)と 最 大 の もの(Krein拡

大)

を 対 称 形 式 に よ って 記 述 す る.こ れ は §1.3に 於 け る閉 対 称 形 式 の 理 論 が それ 自体 と して も有 用 な もの で あ る こ とを示 す こ とに もな る で あ ろ う.   以 後,H上

の 対 称 作 用 素Sで,D(S)がHで

稠 密 で あ り且 つ(-Su,u)

≧0,u∈D(S),を

満 た す も の を1つ

(2.3.1) 

E(S)(u,υ)=(-Su,υ), D[E(S)]=D(S)

と お く.明

らか にE(S)はH上

れ は 可 閉 で あ る.E(S)の

と っ て固 定 す る.そ

の 対 称 形式 で あ り,ま

最 小 閉 拡 大E(S)に

して

た 問1.1.3に

対 応 す るH上

よ り,こ

の正 の半 定 符 号 の

自 己 共 役 作 用 素 及 び 強 連 続 リ ゾ ル ベ ン トを 各 々  下 に 見 る よ うにA0はSの

拡 大 で あ り,SのFriedrichs拡

  補 題2.3.1 

拡 大 で あ る.

A0はSの

  証 明   u∈D(S)に

対 し(α-S)u=fと

おけ

と お く.以 大 と呼 ば れ て い る.

ば 

明 らか に こ の 式 はυ ∈D[E(S)]に 対 し て も成 立 す る か ら  Su=A0uが

で あ り,ま

た 

か ら

従 う.(証終)

  補 題2.3.2 

{Gα,α>0}をH上

に 対 し て(Gαu,u)は

α ↓0の

の リ ゾ ル ベ ン ト とす れ ば,任 と き単調非

減 少 で あ る.そ

意 のu∈H

こで

(2.3.2) とお く と,JはH上

の 広 い 意味 で の(D(J)が

必 ず しもHで

稠 密 で な い)閉

対 称 形 式 で あ る.   証 明   (Gαu,u)が (ⅱ)の

非 負 で あ り ま た α に 関 し単 調 で あ る こ と は,補

証 明 中 に 示 した.α>0に

対 しJα(u,υ)=J(u,υ)+α(u,υ)と

題1.3.1, お く.

い まun∈D[J]がJ1(un-um,un-um)→0,n,m→

ば,unは

あ るu∈HにHの

位 相 で収 束 す る.一

で あ る か ら,各α>0に

 α ↓0と

∞,を

満 た す とす れ

方 

つ い て(Gα(un-u),un-u)→0,n→

∞.従

し て 

の とき0に

って

こ れ はn→

∞

収束 す る.(証 終)

  SのFriedrichs拡

大 の 生 成 す る リ ゾ ル ベ ン ト{G0α,α>0}か

き ま る 形 式 をJ0と

書 く.ま

たSの

共 役 作 用 素S*と

ら(2.3.2)で

α≧0に

対 して

(2.3.3) と お く.Nα

の 要 素uで 

 補 題2.3.3 

が 有限 な もの の全 体 がN0α で あ る.

-AをH上

の正 の半 定 符 号 の 自己 共 役 作 用 素 とす る.

  (ⅰ) A⊃S⇔S*⊃A.  

(ⅱ) A⊃Sな

ら ば,Aか

式EAはE(S)の

ら 定 理1.3.1に

よ っ て き ま るH上

の閉 対 称 形

閉 拡 大 で あ る.

(2.3.4) EA(u,υ)=E(S)(u,υ), u,υ

  (ⅲ)  A⊃Sな

∈D[E(S)].

ら ば,各

α>0に

対 し ヒル ベ ル ト空間(D[EA],EA,α)は

次

の よ うに 直 和 分 解 さ れ る.

但し

(2.3.5) 

更 に次 の不 等 式 が成 立す る.

(2.3.6)   注 意   一 般 に,(ⅱ)の 与 え る と,Sの

逆 の主 張 は成 立 しな い.Sと

自己 共 役 拡大 はSに

して最 初 か ら 自己 共 役 な もの を

一 致 して しま うけ れ ど も,E(S)の

閉 拡 大 は 一般 に

は 一 意 的 で は な い か らで あ る 。   証 明   (ⅰ) S*⊃Aな る1).(ⅱ) 

S⊂Aな

らA⊃S**.と

1) 

閉 拡 大 で も あ り,(2.3.4)が F.

Riesz

and

最小閉拡大であ

ら ばD[E(S)]=D(S)⊂D(A)⊂D[EA]で,E(S)(u,υ)

=(-Su,υ)=(-Au,υ)=EA(u,υ),∀u,υ E(S)の

こ ろ がS**はSの

B.

sz.

Nagy[Ⅰ;1]117節

∈D[E(S).こ

れ か らEAが

成 立 す る こ とが 導 か れ る.(ⅲ) D[E(S)] 参 照.

は ヒル ベ ル ト空間(D[EA],EA,α)の と書 く こ と に す る.即

閉 部 分 空 間 だ か ら,そ

の 直 交 補空 間 をHα

ち

(2.3.7) S⊂Aだ

か ら こ の と きEA

ま たHα=Nα

,α(u,υ)=(u,(-S+α)υ)=0.従

∩D[EA]と

  (ⅲ)  の 証 明 を 完 結 す る た め に は,不 これ は 同時 にHα 対 し てNα 1対1の

⊂D[J0]を

とNβ

っ て(2.3.7)は

い う 主 張 と 同 値 で あ る.

等式(2.3.6)を

示 し さ え す れ ば よ い.

も 意味 す る か らで あ る.そ

の た め に,α,β>0に

の間 に は 次 式 で 定 義 さ れ る変 換Pβ,α:Nα

対 応 が あ り,Pβ ,α の 逆 変 換 はPα,β

→Nβ

に よ って

で あ る と に 注 意 して お こ う.

(2.3.8) 実 際(ⅰ)に

よ りA0⊂S*で, 

が 成 立 す る か ら,u∈Nα

に

対 し て はPβ,αu∈D(S*)で,(β-S*)Pβ,αu=(β-α)u+(α-β)u=0.つ Pβ,α∈Nβ で あ る.ま

ま り

た リ ゾ ル ベ ン ト方 程式 より直 ち にPα,βPβ ,αu=u,u∈Nα

が わ か る.   そ こで

α>0とu∈Hα

を 固 定 し,Pβ,αuをuβ

と 書 く こ と に す る.(2.3.

5)に 注意 して 計 算 す れ ば,  故 に  β ↓0と

 Sの 自己 共 役 拡 大Aで で表 わそ う.A(S)内に

あ って,-Aが 順 序〓

得 る.(証

終)

正 の半 定 符 号な も の の全 体 をA(S)

を

(2.3.9) 

EA1(u,u)≧EA2(u,u),u∈D[EA1]

に よ っ て 導 入 す れ ば,A(S)は SのFriedrichs拡 に 最 大 元AKが Krein拡

し て(2.3.6)を

半 順 序 集 合 と な る.補

大A0はA(S)の

題2.3.3(ⅱ)に

最 小 元 で あ る.M.G.

KreinはA(S)

存 在 す る こ と を 示 した.AKをSのKrein拡

大 は 次 の 条 件 で 特 徴 づ け られ るA(S)の

よ り,

大 と呼 ぶ.

一 意 元 で あ る.

(2.3.10) D[EA]⊂D[EAK],EA(u,u)≧EAK(u,u),∀A∈A(S). と こ ろ で 補 題2.3.3(ⅲ)は 実 際,次

我 々 にAKの

の 定 理 を 証 明 す る こ とが で き る.

具 体 的 な 与 え 方 を 示 唆 し て い る.

  定 理2.3.1 

各

α>0に

対 し て,H上

の 形 式EKを

(2.3.11)

(2.3.12)

に よ って定 義す る.EKは な る.そ

してEKに

α>0に

依 存 せ ず に定 ま り,H上

の閉 対 称 形 式 と

対 応 す る正 の 半 定 符 号 の 自己共 役 作 用 素 が-AK(Krein

拡 大)で あ る.   証 明   (ⅰ)  変 換(2.3.8)は 与 え て い る.も

明 らか にN0α

とN0β

の 間 の1対1対

応 を も

し

(2.3.13) な りば

(2.3.14) で あ る か ら(2.3.11)の   補 題2.3.3(ⅲ)に ら れ る.従

右 辺 は 集 合 と し て α に 依 存 しな い こ と が わ か る. 於 い て 特 にA=Aoと

っ てu∈D[EK]を(2.3.13)の

関 係 して 一 意 的 で あ る.そ を(2.3.13)の

こ でu∈D[EK]を

よ う に 表 わ し,(2.3.12)を

定 め る こ とが で き る.こ

お け ばD[E(S)]∩N0α={0}が よ う に 表 わ す 仕 方 は α>0の 固 定 し,各 使 え ばEK(u,u)の

α>0に

得 み に

対 してu

値 を一意的 に

れ は α に 依 存 す る か も しれ な い か ら, 

と

書 い て お く ことに す る と

(2.3.15) 一 方(2

.3.14)よ

り導 か れ る 関 係

(2.3.16) を 使 っ て 計 算す る と,  お よび 

が得 ら れ る.こ

れ よ り 

が 従 うか ら  と な り(2.3.12)は

α に 依 存 しな い量EKを定

義.

 

す る こ と が わ か っ た.ま

た 

だ か ら,EKはH上 (ⅱ)  対 称 形 式EKが

の 対 称 形 式 で あ る.

閉 じ て い る こと,即

完 備 で あ る こ と は,(2.3.15)か よ りD[J0]はJ01に

ちD[EK]が

位 相EK,1に

ら 殆 ん ど 明 ら か で あ る.実

関 し て 完 備で あ る が,N01は

際,補

関 して

題2.3.2に

そ の 閉 部 分 空間 で あ る こ と

に 注 意 し さ え す れ ば よ い.

  (ⅲ)  EKに A=AKを

対 応 す るH上

の正 の半 定 符 号 の 自己 共 役 作 用 素 を-Aと

示 す.先 ずA⊃Sを

とお く.wはD[EK]の

示 す た め にw∈D(A)に

元 で もあ るか ら 

対 して(α-A)w=f と表 わす と

こ れ よ り 

が わ か る.ま で あ る か らw∈D(S*),(α-S*)w=f.つ

ら,補

題2.3.3(ⅰ)よ

  AがAKを 2.3.3か

りA⊃Sで

 も しあ る定 数γ>0が (2.3.17) 

た  ま りA⊂S*だ

か

あ る.

特 徴 づ け る 条 件(2.3.10)を ら 明 ら か で あ る.(証

し,

満 た す こ と は,EKの

定 義 と補 題

終)

存 在 し,Sが (-Su,u)≧

条件

γ(u,u), 

を 満 た す ときは,SのKrein拡

u∈D(S)

大 は 次 の様 に極 め て単 純 な もので あ る こ とが

わか る.   定 理2.3.2 Sが

条 件(2.3.17)を

満 た す な らば,

(2.3.18) D[EAK]=D[E(S)]+N0 E(S)(u,υ),u,υ (2.3.19) 

∈D[E(S)]の

と き

EAK(u,υ)={

0,    証 明  条 件(2.3.17)よ u∈D[E(S)]に し, 

u,υ

り,不

対 し て 得 ら れ る.従

の ど ち ら か 一 方 がN0に

等 式E(S)(u,u)≧γ(u,u)が っ てRieszの

が 一 意 的 に存 在 し

は方 程 式 

任 意 の

表 現 定 理 に よ り,f∈Hに

(2.3.20) が 成 立 す る. 

属 す と き.

を満 たす.

対

 G00をH上 の α≧0に

の0位

の リ ゾ ル ベ ン ト と い う.上

対 し,G0α

の 不 等 式 を 再 び 使 っ て,任

意

の有 界 性

(2.3.21) を 導 く こ とが で き る.ま 式 を 満 た す.特

た 

は

込 め て リ ゾ ル ベン ト方 程

に ,u∈D[J0]=Hが

  更 に, ∀α≧0,で の1対1対

α=0も

わ か る. あ り,変

応 は,α,β

の 一 方 が0の

に よ りD[eAK]=D[E(S)]+N0.ま

換(2.3.8)に

場 合 に も 拡 張 され る.従 たu∈N0に

と お け ば(2.3.15)よ

よ るNα

とNβ

の間

っ て 定 理2.3.1

対 し て, 

り 

の証 明 も同様 で あ る.(証 終)   つ い で な が ら 以 下 の こ とを つ け 加 え て お く.Sが 合 に は,定

理2.3.2の

結 果Krein拡

  定 理2.3.3 Sが

条 件(2.3.17)を

満 たす 場

大 そ の も の を 直 接 記 述 で き る.

条 件(2.3.17)を

満 たす な ら

(2.3.22) D(AK)=D(S**)+N0 S**u, u∈D(S**) (2.3.23) 

AKu={ 0, 

u∈N0.

 証 明   (ⅰ)  先 ず (2.3.24) D(AK)⊃N0,AKu=0,∀u∈N0 を 示 す.u∈N0な 従 っ てAKの

らば,定 理2.3.2に 生 成 す る リ ゾ ル ベン

で あ り(α-AK)u=αu,即 の 閉 拡 大 で あ り,一

よ りEAK,α(u,υ)=α(u,υ),∀υ トをGα

ちAKu=0.さ 方S**はSの

∈D[EAK].

とす れ ば,u=Gα(αu)∈D(AK) てAKは

線 型 作 用 素 と し てS

最 小 閉 拡 大 だ か ら,(2.3.24)を

考慮す る と

(2.3.25)   (ⅱ)  後 はD(AK)⊂D(S**)+N0を

示 せ ば よ い.そ

の た め の 準 備 と して 次

の 関 係 を 示 す. (2.3.26) M={u∈H,(u,φ)=0,∀φ

∈N0}と

お く とM=R(S**).

 

 先ず   u∈HがR(S**)と

(2.3.27)

直交

が 成 立 す る こ と に 注 意 す る.u∈H,(u,S**υ)=0,∀υ S*の

∈D(S**),と

閉 性 か ら 導 か れ る 関 係(S**)*=(S*)**=S*を

は(S*u,υ)=0,∀υ

∈D(S**),に

れ はS*u=0即

ちu∈N0と

  (2.3.27)は

考 慮 す る と,こ

等 し い.D(S**)はHで

意 味 し,ま

属 し従 っ て0で

稠 密 で あ り,こ

R(S**)はHの

たMの

元 でR(S**)と

あ る こ と を 意 味 して い る.即

の 稠 密 部 分 集 合 で あ る こ と が わ か っ た.従 (2.3.28) 

の仮 定

同 値 で あ る.

特 にR(S**)⊂Mを

る も の はN0に

仮 定 す る.

っ て(2.3.26)の

直交す

ちR(S**)がM ためには

閉部分集合

を い え ば よ い.  こ の た め に は 不 等 式(2.3.17)がS**=Sに 注 意 す れ ば よ い.即

(2.3.29)

対 して も成 立 し て い る こ と に

ち

 (-S**u,u)≧

こ れ にSchwarzの

γ(u,u), 

u∈D(S**).

不 等 式 を 使 え ば(S**u,S**u)≧

従 っ て 今un∈D(S**)が

γ2(u,u),∀u∈D(S**).

あ っ て{S**un}がHのCauchy列

も 同 様 で あ る.unの

極 限 をu∈Hと

S**un→S**u.つ

ま りR(S**)は

を な せ ば,{un}

す る と,S**の

閉 性 よ りu∈D(S**),

閉 じ て い る.

  (ⅲ)  最 後 に  

(2.3.30) を 証 明

D(AK)⊂D(S**)+N0

し よ う.u∈D(AK)に

(2.3.31)   実 際,定

対 しw=AKuと

∃υ∈D(S**),  理2.3.2よ

あ る か ら(2.3.26)か

  さて

と お く と,φ

成 立 す る.実

際

φ ∈D[EAK]だ

φ0∈D[E(S)],φh∈N0,と (2.3.17)よ

w=S**υ(=AKυ).

り-(w,φ)=(-AKu,φ)=EAK(u,φ)=0,∀

つ ま りw∈Mで φ=u-υ

お く と

り φ0=0.

ら(2.3.31)が

∈D(AK),AKφ=0,で か

ら,定

φ ∈N0. 従 う. あ る が,更

理2.3.2に

よ

に φ ∈N0が り

書 け る が,0=(-AKφ,φ0)=EAK(φ,φ0)=E(s)(φ0,φ0).

φ=φ0+φh,

  u=υ+φ,υ

 問2.3.1 

∈D(S**),φ

∈N0,だ

一 般 にH上

か ら(2.3.30)が

わ か っ た.(証

終)

の線 型 作 用 素Aを D(A)=D[E(S)]∩D(S*)

(2.3.32) {

Au=S*u,u∈D(A) に よ っ て 定 義 す る.AはSのFriedrichs拡

大A0に

等 し い こ とを 示 せ1).

  §2.4  デ ィ リク レ拡 大族 の 最 大元   (X,m)を

§1.1の もの と しL2(X;m)上

が 与 え られ た とす る.§2.1の

結 果 に よ りこの と きEの

ク レ形 式 で あ る.し か し一 般 にEの うな 設 問 が 可 能 で あ る.Eの

の 可 閉 な マ ル コ フ対 称 形 式E 最小閉拡大はデ ィリ

閉 拡 大 は一 意 的 で な い の で,当

然次の よ

閉 拡 大 全 体 の 中 で デ ィ リク レ拡 大 の 全 体 は どの

よ うな範 囲 を 占 め るで あ ろ うか.特 に 後 者 の中 に あ る意 味 で の 最 大 元 が存 在す るで あ ろ うか.   本 節 で は簡 単 の た め にEがLaplace作用

素S=1/2Δ

け て い る場 合 に つ い て この問 題 を 考 察 す る.そ ソボ レフ空 間H1が

に よ っ てE(S)と

書

して §1.2に 例 と して登 場 した

上 記 の 特 徴 づ け を 与 え る空 間 で あ る こ とを示 す で あ ろ う.

そ の結 果 と してSのKrein拡

大 は一 般 に は マ ル コ フ半 群 を生 成 しな い こ とが

導 かれ る.最 後 に触 れ る よ うに,こ の 間 の 事 情 は1次 元 の場 合 に は境 界 条 件 の 言 葉 で 述べ る こ とが で き る.  

Rnの

領 域 をDと

し,Laplace作

用素

(2.4.1) を 考 え る.(2.3.1)よ

り

(2.4.2) で あ るか ら,1.2節

1)  Aは

の 結 果 に よ り こ れ はL2(D)上

自己共 役作 用 素A0の

の マ ル コ フ対 称 形 式 で あ る.

拡大 で あ るか ら,Aが

さ えす れ ば よい.対 称 性 の 証 明 は吉 田耕 作[Ⅰ;1]定

対 称作 用 素 で あ る こと を示 し

理44.1参

照.

 1/2Δ

の 自己 共 役 拡 大Aで

あ って,-Aが

正 の半

定 符 号 な もの の 全 体 を

 と し

(2.4.3) Aの と お く.定

理1.4.1に

 に は,(2.3.9)に

H10(D)を

こ で,1.2節 思 い起

の 例3で

こそ う.上

の 半 群 は マル コ フ 的

 の定 め る閉 対 称 形 式 は デ ィ リ

ょ り,

ク レ 形 式 で あ る. て い る.こ

生 成 す るL2(D)上

よ り半 順 序 構 造 が 導 入 さ れ

導 入 さ れ た ソ ボ レ フ 空 間H1(D)お

に 述 べ た よ う に1/2Δ

 の 最 小 元 で あ る が,更

よび

のFriedrichs拡

大A0は

にEA0(u,υ)=D(u,υ),D[EA0]=

H10(D).   定 理2.4.1 

L2(D)上

の デ ィ リク レ形 武(D,H1(D))の

の正 の半 定 符 号 の 自己 共 役 作 用 素 を-ARと

定 め るL2(D)上

す る と,ARは

 の

最 大 元 で あ る. な らば,Aの

  補 題2.4.1 

定 め るL2(D)上

の デ ィ リク レ

形 式EAは,D[EA]⊂H1(D),EA(u,u)≧D(u,u),u∈D[EA],を

満 た す.

  α>0とu,f∈L2(D)に

あ るた め の

必 要 十 分 条 件 は,容

対 し て,u∈D(S*),(α-S*)u=fで 易 に わ か る よ うに超 関 数 の意 味 で

(2.4.4) が 成 立 す る こ と で あ る.特

にARの

し,u=GRαf,f∈L2,は(2.4.4)を と 補題2.3.3(ⅰ)か 2.4.1の

(2.4.5) 

満 た す こ と が わ か る か らAR⊂S*.こ

れ

の 拡 大 で あ る こ と が 従 う.従

題2.4.1を

証 明  α>0を

 に対 し

固 定 し, ∩D[EA]

際u∈D[EA]は ∩D[EA],と

っ て定 理

示 し さ えす れ ば よい.

EA(u,u)≧D(u,u),u∈Nα

を い え ば 十 分 で あ る.実 u0∈H10(D),uh∈Nα

対

ら,ARが1/2Δ

証 明 の た め に は,補

  補 題2.4.1の

生 成 す る リ ゾ ル ベ ン ト{GRα,α>0}に

補 題2.3.3に 分 解

よ りu=u0+uh,

さ れ,EA.α(u,u)=Dα(u0,u0)+

EA,α(uh,uh).一

方(2.4.4)よ

り

(2.4.6) で あ る か ら(2.4.5)を =Dα(u,u)が

認 め れ ばEA,α(u,u)≧Dα(u0,u0)+Dα(uh,uh)

従 う.

  (2.4.5)を

示 す た め の 準 備 と し てAの

{Gα,α>0}を

生 成 す るL2(D)上

考 え よ う.補 題2.3.3(ⅰ)よ

f∈L2,は(2.4.4)を Gαfをa.e.で

満 た す.特

りA⊂S*で

にf∈C∞0(D)な

適 当 に 修 正 す れ ば,Gαfは

の リゾル ベ ン ト あ る か らu=Gαf,

ら,Weylの

補 題1)に よ り,

無 限 回 微 分 可 能 で し か も(2.4.4)

を 普 通 の 意 味 で 満 た す.更

に αGα の マ ル コ フ 性 が 仮 定 さ れ て い る か ら,補

の 定 理0.1.3よ

の 核Gα(x,E)が

り,D上

足

存 在 して

(2.4.7) 以 後Gα

と書 け ば,核Gα

￨f￨と￨Gαf￨が (2.4.4)を β → ∞,∀

に よ る 積 分 作 用 素 を 意 味 す る も の とす る.Gαfは,

共 にD上 満 た す.こ

で 局 所 可 積 分 で さえ あ れ ば,超

関数 と して方 程 式

の と き ま た,∞>(Gβ￨f￨,￨φ￨)=(￨f￨,Gβ￨φ￨)↓0,

φ∈C∞0(D),で

あ る か ら,

 従 って￨f￨とGα￨f￨が

局 所 可積 分 な らば 超 関 数 の

意味 で (2.4.8)   こ の よ うに し て 得 ら れ た 関 係(2.4.8)を

使 え ば(2.4.5)の

る.u∈Nα

補 題 に よ っ て,uは

∩D[EA]と

す る.再

能 で(α-1/2Δ)u(x)=0,∀x∈D,を 形 式E(β)A(u,u)を(1.4.11)の

(2.4.9)

1)  補 足

§0.1(g)参

照.

びWeylの

証 明は 容 易 で あ 無限回微分可

満 た す と し て よ い.EA(u,u)の よ うに変 形 す る と

近似

と こ ろ がfβ=-β(u2-βGβu2)+2βu(u-βGβu)+βu2(1-βGβ1)で uが

無 限 回 微 分 可 能 な こ と と(2.4.8)を

あ る か ら,

使 うと

(2.4.10) 特 に(2.4.9)よ

りfβ ≧0,∀

 φ ∈C∞0(D),0≦φ

≦1と

す

β≧0だ

か ら,1/4Δu2-αu2≧0.

る.(2.4.9)と(2.4.10)に

よ り 

こ こで

φ ↑1と

し て 

(証 終)   最 後 にRnの

領 域Dが

有 界 で あ る と仮 定 す る とPoincareの

不 等 式1)

(2.4.11) が成立

す る.つ ま り作用 素1/2Δ

のKrein拡

大 をAKと

=0 ,∀u∈N0.但 定 す る と,定

は 条件(2.3.17)を

す る と,定

理2.3.2に

満 た して い る.従 って そ

よ りN0⊂D[EAK],EAK(u,u)

しN0={u∈L2(D);Δu=0}.  数 で な いu∈N0に

≧D(u,u)>0.こ

と仮

対 し て,補

れ は 矛 盾 で あ る.従

題2.4.1よ

って

 定理2.4.2  Dが有 界領域 の とき,L2(D)上 はC∞0(D))のKrein拡

りEAK(u,u)

の対称作用素1/2Δ(定

大 の 生 成 す る 半 群 は マ ル コ フ 的 で は な い.

  実 は 定 理2.3.2の

代 わ りに 定 理2.3.1を

使 う こ と に よ り,上

が 必 ず し も 有 界 で な い 場 合 に 拡 張 す る こ とが 可 能 で あ る.例 Dが

半 空 間D={x∈Rn;xn>0}の

場合 に も1/2Δ

フ半 群 を 生 成 しな い こ とが わ か る.し か しn=1の

の 定 理 をD

え ばn≧2で

のKrein拡大

はマル コ

場 合 は,有 界 な 調 和 関 数が

定 数 しか な い とい う事 情 の た め に 例 外 的 な 現象 が起 こ る.即 ち,  例2.4.1 

D=(0,∞)の

と す る とAK=AR.即  実 際 定 理2.3.1お

1)  溝 畑 茂[Ⅰ;1]補

義域

と きSu=1/2u″,u∈C∞0((0,∞))のKrein拡大をAK ちAKは

マ ル コ フ 半 群 を 生 成 す る.

よ び 定 理2.4.1の

題3.3参

照.

直 前 の 注 意 に よ りD[EAK]=H10((0,∞))+N0α.

 と ころ がL2((0,∞))に属

しau-1/2u″=0を

 

満た す も の の全 体Nα

は1次 元空間 で

の定 数 倍 か ら成 る.uα は またN0α

に属 し

一方

従 っ てEAK=(D,H1((0,∞))).つ

  前 節 か ら今 まで,対

ま りAK=AR.

称 作 用 素Sを

与 え てA(S)やAM(S)内

の典 型 的 な

元 を対 称 形 式 で 特 徴 づ け る問題 を 考 え て きた が,以 後 この問 題 を少 し別 の角 度 か ら眺 め て み る こ とに し よ う.   補 題2.3.3(ⅰ)に て い る.即

よれ ば,一

般 に 任 意 のA∈A(S)はS*の

ち あ る 付 帯 条 件(lateral

condition)Lが

D(A)={u∈D(S*);uはLを

縮小にな っ

あ って 満 た す}

(2.4.12) {

Au=S*u,u∈D(A).

この よ うに してA∈A(S)を 件Lを

定 め る とい う問 題 は(2.4.12)に

於 け る付 帯条

で き るだ け わ か り易 い形 で定 め る とい う問 題 に 置 きか え る こ とが で き

る.特

にD(A)の

全 て の元 が 適 当な 意 味 で の"境 界値"を

て い る場 合 に は,Lを

持 つ こ とが わ か っ

境 界値 に 関 す る条 件 で 記 述 し よ う とす るの は 自然 な こ

とである.実際,特殊な1次元区間の場合にはA(1/2Δ)の

各元を境界条件

で 記 述 で き る こ とが知 られ てい る.  の 場 合.

  例2.4.2

 容 易 にわ か る よ うに D(S*)={u∈L2((a,b));uは (2.4.13) {

微 分 可 能 でu′ は 絶 対 連 続,u″

∈L2((a,b))}

S*u=1/2u″.

 更 に 次 の事 実 が知 られ て い る1).

(2.4.14) 定 理2.3.3よ ら な い.従 1) 

T.

 

D(S**)={u∈D(S*);u(α)=u′(α)=u(b)=u′(b)=0}.

りD(AK)=D(S**)+N0でN0は(a,b)上 っ て(2.4.14)よ Kato[Ⅰ;1],Example

の1次

り 5.32,参

照.

関 数 の全 体 に他 な

と お く と,D(AK)=D(S*)∩{u;uはLKを

満 た す}.つ

ま りAKは

境 界 条 件LK

に よ っ て 決 定 さ れ る.   SのFriedrichs拡 よ びLRは

大A0お

よ びAM(S)の

最 大 元ARを

記 述 す る 境 界 条 件L0お

よ く知 られ て い て1)

L0:u(a)=u(b)=0, LR:u′(a)=u′(b)=0.

  実 際,問2.3.1よ

りD(A0)=D(S*)∩H10((a,b))で

D(A0)=D(S*)∩L0.次 =H1((a

,b))で

にu∈D(AR)を考え

あ る か ら,任

にu∈D(S*)∩LRを

任意の

こ れ はu∈D(AR)を

対 し

れ よ りuがLRを

満 た す こ とが わ か

 とお くと,部

とり

υ∈H1((a,b))に

り

る と,ARu=1/2u″,u∈D[EAR]

意 のυ ∈H1((a,b))に

部 分 積 分 に よ り u′(b)υ(b)-u′(a)υ(a)=0.こ る.逆

あ る か ら,(1.2.11)よ

分積分に よ り

対 し

意 味 す る.

 な お 一 般 の

 を記 述 す る境 界 条 件 の1つ の型 は 次 の も ので あ る.

(2.4.14) こ の と きAの Π12≦O,マ 2,で

生 成 す る半 群 が

正(u≧0⇒Ttu≧0)で

ル コフ的 で あ るた め の必 要 十 分 条 件 は

あ る こ と が わ か っ て い る2).LRは

Πij=0の

あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は Π12≦0お

よび

Πi1+Πi2≦0,i=1,

場 合 で あ る か らARは

群 を 生 成 す るが,LKは

マル コ フ半

 に 対 応 す るか らAKの

生成

す る半 群 は 正 で さえ な い.   L0は

吸 収 壁 あ るい は 固 定 端 の 境 界 条 件,LRは

い わ れ,各 LRのRは

反射 壁(reflecting

barrier)の 頭 文 字 を と った もので あ る.

1)  多 次 元 の 領 域 の 場 合 は §6.2と 2) 

W.

反 射 壁 あ る いは 自 由端 の境 界 条 件 と

々の 言葉 に相 当 す る確 率 論 的 な い しは力 学 的 な意 味 を も って い る.ち なみ に

Feller[Ⅰ;1]参

照.

§6.3を

参 照.

第3章

  §3.0 

  デ ィ リ ク レ形 式 の ポ テ ン シ ャ ル 論

序

 本 章 で は 正 則 デ ィ リク レ形 式 に 関す るポ テ ン シ ャル論 を扱 う.  §3.1で(1-)容 更 にD[E]の

量 の定 義

を 与 え,そ れがChoquet容

元 が 準 連 続 修 正 を もつ こ とや,D[E]に

量 で あ る こと を示 す. 属す 準 連 続 関 数 列 の 収 束

に 関す る基 本 定 理 を 証 明す る.こ の節 で導 入 され る正 則 巣 な る概 念 は第4章

に

於 け る標 準 マル コ フ過 程 の構 成 に於 い て重 要 な役 割 を 果 たす.   §3.2で エ ネル ギ ー有 限 な 測 度 の 族 を 定 義 す る.こ レ形 式 の芯 の選 び 方 に依 存 して定 ま るが,実

の族 は見 か け上 デ ィ リク

はそ れ に依 存 しな い こ とが 明 らか

に され る.ま た エ ネ ル ギ ー有 限 な測 度 の ポ テ ンシ ャルが 概 超 過 関 数 との関 係 で 特 徴 づ け られ る.   §3.3で は 容 量 有 限 なBorel集

合 の 平 衡 ポ テ ンシ ャルや 概 超 過 関 数 のBorel

集 合上 へ の被 約 関 数 等 を定 義 し,そ れ らの い くつ か の特 徴 づ け を 与 え る.こ れ らの特 徴 づ け は,第6章

に於 い て標 準 マ ル コ フ過 程 の諸 量 との対 応 を つ け る上

で 有 効 で あ る.

 §3.1 集 合 の 容 量 と関 数 の 準 連 続 性   位 相 空 間Xと L2(X;m)上 し,こ x∈Xに

そ の 上 の 測 度mは

の 正 則 な デ ィ リ ク レ形 式Eが

の 節 の 前 半 で はEの

Xの

通 り とす る.以

関 し殆 ん ど 全 て のx∈Aに

記 す こ と に す る.m-a.e.(X)を

開 部 分 集 合 の 全 体 をOと

し,A∈Oに

後 本 章 で は,

与 え られ た と し て 話 を 進 め る.但

正 則 性 は 使 わ れ な い.AをXの

関 す る あ る 主 張 が,mに

と き,m-a.e.(A)と  

§1.1の

部 分 集 合 とす る. 対 して 成 立 す る

単 にm-a.e.と 対 して

記 す.

   

(3.1.1)

 

m-a.e.

(3.1.2) とお く.更 に 任 意 の 集 合A⊂Xに

対 して は

(3.1.3) と お き,こ

れ をAの1-容

  定 理3.1.1 

量 ま た は 単 に 容 量 と い う.

CapはChoquet容

と す る と き,補

量 で あ る.即

足 の §0.2(b)の

ちF={A⊂X;Aはcampact}

意 味 で のF-容

量 に な っ て い る.ま

たCap

は 可 算 劣 加 法 的 で あ る.  こ の 証 明 の た め に 補 題 を1つ

準 備 し よ う.

  補 題3.1.1 

と お く.

(ⅰ)  A∈O0に

対 し,LAの

(3.1.4)

 

一 意 元eAが

存 在 して

E1(eA,eA)=Cap(A).

(ⅱ) 

eAは

次 の 性 質 を も つ:0≦eA≦1.m-a.e.,eA=1 m-a.e.(A).

  (ⅲ) 

eAは

次 の2条

a.e.(A). (ⅳ) 

件 で 特 徴 づ け ら れ るD[E]の

E1(eA,υ)≧0,∀

υ∈D[E],υ

一 意 元 で あ る:eA=1m-

≧0,m-a.e.(A).

υ∈D[E],υ=1.m-a.e.(A)な

ら ばE1(eA,υ)=Cap(A).

 ま た 明 らか にLAはD[E]内

 証 明  (ⅰ)

で

閉 じてい る.従 って 中 線 定 理

(3.1.5) を 使 っ て,次 に 選 べ ば,unは

あ るeA∈LAにE1の

ま た(3.1.4)を

満 た すeA∈LAは

  (ⅱ) 

 の よ う

の こ と が わ か る.un∈LAを

u=(0∨eA)∧1と

位 相 で 収 束 し,(3.1.4)が 一 意 的 で あ る.

お く と,u∈LAで

よ りE1(u,u)≦E1(eA,eA)=Cap(A).従   (ⅲ) 

υ∈D[E],υ

∈LAだ

か らE1(eA+ε

≧0 m-a.e.(A)と υ,eA+ε

成 立 す る.

あ

り,ま

たEの

性 質(E.4)′

ε>0に

対 しeA+ε

っ てu=eA. す

る と,任

υ)≧E1(eA,eA).故

意 の

に2E1(eA,υ)+εE1(υ,υ)

υ

≧0.ε

↓0と

し てE1(eA,υ)≧0を

ち,u=1m-a.e.(A)で

に あ るu∈D[E]が

あ る と仮 定 す る.u∈LAで

はw=u+(w-u)と ≧E1(u,u).従

得 る.逆

あ り,ま

書 け,w-u≧0m-a.e.(A)が

た 任 意 のw∈LA

成 立 す るか らE1(w,w)

っ てu=eA.(ⅳ)は(ⅲ)か

  さ て 定 理3.1.1の

この 性 質 を も

ら直 ち に 従 う.(証

証 明 の た め に は,補

足 の 定 理0.2.3に

終)

よ り,次

の補 題 を

示 せ ば 十 分 で あ る.   補 題3.1.2 

(3.1.6) 

Cap(A),A∈O,は

単 調 非 減 少 で,次

の 性 質 を も つ.

Cap(A∪B)+Cap(A∩B)≦Cap(A)+Cap(B),A,B∈O.

(3.1.7)   証 明   Capの よ い.こ

単 調 性 は 自 明 で あ る.(3.1.6)は,A,B∈O0の

と きに 示 せ ば

の と き 

こ こ でu∈D[E]に 規 縮 小 で あ る こ と と,Eの

性 質(E.4)″

正

を 使 っ て い る.

 の 場 合 に 証 明 す れ ば よ い.n>mと

 (3.1.7)は

3.1.1を

対 して,￨u￨がuの

し,補

題

使 っ てE1(eAn-eAm,eAn-eAm)=E1(eAn,eAn)-2E1(eAn,eAm)+E1(eAm,

eAm)=Cap(An)-Cap(Am)→0,n,m→

∞.従

収 束 す る.明

ら か にu=1m-a.e.(A).但

m-a.e.(A)な

らば

っ てeAnは

あ るu∈D[E]に

 ま た

し

υ∈D[E],υ

  故 にu=eAで

≧0

あ り,

 (証終)   補 題3.1.1 

のeAを

開 集 合A∈O0の1-平

の 平 衡 ポ テ ン シ ャ ル(equilibrium

potential)と

衡 ポ テ ン シ ャル,ま い う.平

た は 単 にA

衡 ポテ ン シ ャル は 更

に 次 の 性 質 を も つ.   補 題3.1.3    (ⅱ)  t>0に

Eに

(ⅰ) 

A,B∈O0,A⊂B⇒eA≦eB,m-a.e..

対 応 す るL2(X;m)上

の 半 群 を{Tt,t>0}と

す る と,任

対 し,e-tTteA≦eAm-a.e..

  証 明   (ⅰ) 一 般 にu∈D[E]に と お く とE1(u+,u-)≦0が

対 し 

成 立 す る こ と に 注 意 す る.eA-eA∧eB=(eA-eB)+

意 の

 

はA上

でm-a.e.で0に

等

し い か

らE1(eA-eA∧eB,eA-eA∧eB)=E1(-eA∧eB,

(eA-eB)+)=E1((eA-eB)-,(eA-eB)+)-E1(eB,(eA-eB)+)≦0.故

にeA=eA

∧eBm-a.e..

(ⅱ)  Eに

対 応 す るL2上

を と る.(1.3.1)よ

の リ ゾ ル ベ ン ト{Gα,α>0}と

負 元 υ∈L2

が 得 られ る が,Ttは

り 

ル コ フ 的 だ か ら,こ

し,非

れ は 非 負 で あ る.従

っ て,補

題1.3.3に

マ

注 意 し て 

(証 終)   この 節 の 後 半 の テ ー マは 関数 の準 連 続 性 に つ い て で あ る.先 ず い くつ か の概 念 と記 号 を 導 入 しよ う.   容 量0の

集 合 の こ と を 概 極 集 合(almost

測 度 は0で

あ る こ と に 注 意 し て お こ う.こ れ は 開 集 合Aに

≧m(A)が

成 立 す る こ と か ら わ か る.AをXの

す る あ る 主 張 が,全

て のx∈A-N(但

polar

set)と

しNは

対 し不 等 式Cap(A)

適当 な 概 極集合)に

記 す こ と に す る.q.e.(X)は

はquasi-everywhereの

略 で あ る.

無 限 遠 点Δ

極 集 合 のm

部 分 集 合 とす る.x∈Xに

立 す る と き,q.e.(A)と

  Xに

い う.概

関

対 し て成

単 にq.e.と記

す.q.e.

を つ け加え て コ ンパ ク ト化 した 空 間 をXΔ

と書 く.Xが

既 に コンパ ク トの と き はΔ は 孤立 点 と してつ け 加 え る.A⊂Xに

対 してA∪

の 位 相 はXΔ

で の相 対 位 相 を考 え る こ とに す る.XΔ

上 の 部分 集 合 上 で定 義 さ

れ た 関 数 は 常 に Δ で は0の 値 を と る もの と約 束 して お く.特 にA⊂X上 数uは

断 わ りな しにu(Δ)=0と

この意 味 で例 えばC∞(X)に   さ てX上q.e.で と は,任

意 の ε>0に

の が あ っ て,u￨X-Gが X-G上

お く こ とに よ ってA∪

属す 関数 はXΔ

定 義 さ れ た 関 数uが 対 し,適

か え た も の を 要 請 す る と き,nは

の関

Δ 上 の 関数 とみ なす.

上 の 連 続 関 数 で あ る.

準 連 続(quasi-continuous)で

当 な 開 集 合G⊂Xで,Cap(G)<ε

連 続 で あ る こ と で あ る.こ

へ の 制 限 を 表 わ す.上

Δ

あ る を満 たす も

こ にu￨X-Gはuの

の 定 義 に 於 い てu￨X-Gをu￨XΔ-Gに 狭 い 意 味 で(in

the restricted

お き sense)準

連続

で あ る と い う.  Fk,k=1,2,…,が

単 調 非 減 少 な 閉 集 合 列 でCap(X-Fk)→0,k→

∞,を 満

た す と き{Fk}をX上 (m-regular)で

の 巣(nest)と

あ る と は,任

呼 ぶ こ と に す る.閉

意 のx∈Fと,xの

任 意 の 近 傍U(x)に

  が 成 り立 つ こ と で あ る.各Fkがm-正 {Fk}の

則 対 し て,

則 であ る よ うな 巣

こ と を 正 則 巣 と い う.

  補 題3.1.4  U(x)に

{Fk}をX上

の 巣 とす る と き,F′k={x∈Fk;xの

対 して

則 巣 とな る.こ

 k=1,2,…,と の 操 作 を{Fk}の

  証 明   明 ら か にF′kは

任 意 の近 傍

お く と{F′k}はX上

正 則 化(regularization)と

閉 集 合 で,F′k⊂Fk.先

(3.1.8) 

の正

い う.

ず

m(Fk-F′k)=0

を 示 そ う.Gk=Fck,G′k=(F′k)cと =0

集 合Fがm-正

お く と,Gk⊂G′k={x∈X;m(U(x)-Gk)

,∃U(x)}.Lindelofの

被 覆 定 理 に よ っ て,∃{xl}⊂G′k, 

で あ る か ら,m(G′k-Gk)=0.   (3.1.8)か xの

任 意 の 近 傍U(x)に

>0.更 k→  

らF′kがm-正

ち{F′k}は

の 巣{Fk}に

正 則 巣 で あ る.(証

(3.1.10) 

C∞({Fk})={u;各kに

対 しu￨Fkは

連 続}

対 しu￨FkUΔ

は 連 続}

らか にC∞({Fk})⊂C({Fk}),C∞(X)⊂C∞({Fk}),C(X)⊂C({Fk}).

  定 理3.1.2 

(ⅰ)  SをX上

可 算 集 合 とす る と,X上

  (ⅱ) 

終)

対 して

C({Fk})={u;各kに

C∞({Fk}))が

意 のx∈F′kと,

意 味 す る か らCap(G′k)=Cap(Gk)→0,

(3.1.9) 

と お く.明

際,任

対 し てm(U(x)∩F′k)≧m(U(x)∩Fk)-m(Fk-F′k)

に(3.1.8)はLG′k=LGkを

∞.即

X上

則 で あ る こ と が 従 う.実

の 準 連 続 関 数(狭

の 適 当 な 正 則 巣{Fk}が

い 意 味 で の 準 連 続 関 数)の 存 在 し てS⊂C({Fk})(S⊂

成 り立 つ.

{Fk}をX上

の 正 則 巣,u∈C({Fk})と

す る.u≧0

m-a.e.な

ら ば,

u(x)≧0,

 証 明  (ⅰ)  uを

準 連 続 関 数 とす る と,適 当 な閉 集 合 列{Fk}が   u￨Fkは

{Fk}は

連 続,と

で き る.そ

こで

巣 と な り,ま た 容 易 に わ か る よ うにu∈C({Fk}).

存 在 して,  と お け ば,

  次 にS={ul}な

る 可 算 個 の 準 連 続 関 数 に 対 し て は,各lに

対 し て 巣{F(l)k}

 を 満 た す よ うに す る. 

を 選 ん でul∈C({F(l)k}), と お く と,Fkは

単 調 な 閉 集 合 列 で あ り,ま

に よ り

たCapの

  即 ち{Fk}は

C({Fk}).あ

と は 補 題3.1.4に

従 っ て{Fk}を

可 算劣加法性 巣 で あ り,u∈

正 則 化 す れ ば よ い.Sが

狭 い意

味 の準 連 続 関 数 の 可 算 集 合 の 場 合 の 証 明 も 同 様 で あ る.   (ⅱ)  あ るx∈Fkに

対 しu(x)<0と

u(y)<0,∀y∈U(x)∩Fk.と で あ り,こ

す る と,uの

こ ろ がFkはm-正

れ はu≧0 m-a.e.に

準 連 続 性 に よ り,∃U(x),

則 だ か らm(U(x)∩Fk)>0

矛 盾 す る. (証 終)

  定 理3.1.2の

特 別 な 場 合 と し て 次 の こ と が わ か る:uがX上

u≧0

らu≧0

m-a.e.な

す る こ と が で き る.Xの 位 相)を

q.e..こ

の 主張 は 以 下 の よ うに任 意 の 開 集 合 に局 所 化

代 わ りに,最

考 え る と き,G上

でq.e.に

合 と 全 く同 様 に 定 義 で き る.補

と き,u≧0

GをXの m-a.e.(G)か

初 か ら そ の 開 部 分 集 合G(位

定 理3.1.2に

の場

相 当 す る主 張 が こ の

の 補 題 を 得 る.

開 集 合 と し,uをG上 らu≧0

  さて本 節 の最 後 に,D[E]の

相 は 相 対

定 義 さ れ た 関 数 の 準 連 続 性 がX上

題3.1.4や

場 合 に 対 して も 成 立 す る か ら,次   補 題3.1.5 

で準連続で

の 準 連 続 関 数 とす る.こ

q.e.(G)が

の

従 う.

元 の 準 連 続 修 正 に関 す る極 め て重 要 な2つ

の基

本定 理 を述 べ る こ とに し よ う.今 までは デ ィ リク レ形 式 の正 則 性 の仮 定 を 使 わ ず に 話 を進 め て 来 た が,以 下 の2定 理 が 成 立 す る の は全 く正則性 の おか げ な の で あ る.   定 理3.1.3 

任 意 のu∈D[E]に対

し てu=u m-a.e..uをuの modification

in

the

し,狭

い 意 味 で の 準 連 続 関 数uが

存 在

狭 い 意 味 で の 準 連 続 修 正(quasi-continuous restsicted

  証 明   先 ずu∈D[E]∩C(X),λ>0に

sense)と呼

ぶ.

対 し

(3.1.11) が 成 立 す る こ と に 注 意 し よ う.実 際G={x∈X;￨u(x)￨>λ}と

お く と,こ

れ

 

は開集合で   

Eの

で あ るか ら

正 則 性 に よ り,∀u∈D[E],∃un∈D[E]∩C∞(X),E1(un-u,un-u)

→0,n→

∞.従

っ て 必 要 な ら{un}の

とす れ ば 

部 分 列 を と っ て 

とで きる.但

k=1,2,….そ

N≧kな

と お く.Fkは

こ で 

列 で 

k→

し 

∞.ま

た 任 意 のx∈Fkに対

し,n,m>

らば 

これ は 各kに

対 して,un￨Fk∪Δ

が(un(Δ)=0と

と を 意 味 し て い る.そ

お い て).n→

の 極 限 関 数 をuと

∞

の と き一 様 収 束 す る こ

す る と,u∈C∞({Fk})で

  で あ る か らu=u m-a.e.. 

  D[E]に

 証明 

不 等 式(3.1.11)は

u∈D[E]に

と そ の 極 限uを

任 意 のu∈D[E]に

対 し て 定 理3.1.3の 考 え る.補

題3.1.5よ

た

お く.

対 し て 成 立 す る.

証 明 中 の 関 数un∈D[E]∩C∞(X りu=u

対 して 適 当 な 開 集 合GでCap(G)<ε

unがuに一様

あ り,ま

(証 終)

属 す る関 数 の 狭 い 意 味 で の 準 連 続 修 正 の 全 体 をD[E]と

  補 題3.1.6 

>0に

単調な 閉集 合

q.e.で

あ る か ら,任

意 の ε

な る も の が 存 在 し,X-G上

収 束 す る よ う に で き る.従

っ てλ>0に

で

対 し,λ>ε1>0な

る

任 意 の ε1を 取 れ ば,{x∈X;￨u(x)￨>λ}⊂{x∈X;￨un(x)￨>λ-ε1}∪Gが 十 分 大 き いnに

対 し て 成 立 す る.(3.1.11)よ こ こ でn→

  定 理3.1.4 

uにE1の

∞,ε1→0,ε→0,と

(ⅰ)  un∈D[E]がE1に

部 分 列nkとu∈D[E]が

り  す れ ば よ い.  (証 終)

関 し てCauchy列

存 在 し て,unk(x)→u(x)

を な せ ば,適 q.e..こ

当な

の と ぎunは

位 相 で 収 束 す る.

(ⅱ)  un∈D[E]がE1に un∈D[E]がX上q.e.に

たunはuにE1の   証 明   (ⅱ)は(ⅰ)か

関 しCauchy列 あ る 関 数uに

を な し,ま

たunの

収 束 す れ ば,u∈D[E]で

適 当 な修 正 あ り,ま

位 相 で 収束 す る. ら直 ち に 得 られ る か ら,(ⅰ)だ

け を 示 せ ば よ い.補

     

題3.1.6を

使 え ば,定

理3.1.3の

単 調 減 少 な 集 合 列 ωk∈B(X)が nl→

∞

ε>0に

  unl￨XΔ-ωkは

存 在 して

の と き 一 様 収 束 す る よ うに で き る.こ 対 し 

G1⊃ωkと

な る開 集 合G1を

で き る.ま

た 各unlは

に よ り

選 び,十

意 の

対 して

理3.1.2(ⅰ)

対 し てunl￨XΔ-G2

お く と,Cap(G)<ε

一 様 収 束 す る.従

お く.任

分 大 な るkに

選 び,各nlに

こ でG=G1∪G2と

unl￨XΔ-Gはu￨XΔ-Gに

の 極 限 関 数 をuと

狭 い 意 味 で 準 連 続 だ か ら,定

 な る開 集 合G2を

を 連 続 な ら しめ 得 る.そ

E1の

証 明 と 全 く同 様 に して 適 当 な 部 分 列unlと

で あ り,ま

た

っ て,u∈D[E].unがuに

位 相 で 収 束 す る こ と は 明 ら か で あ る. (証 終)

  §3.2  エ ネ ル ギ ー 有 限 な 測 度 と そ の ポ テ ン シ ャ ル   u∈L2(X;m)が excessive

次 の 性 質 を も つ と き,uを1位

function)と

(3.2.1) 

い う. u≧0,e-tTtu≦u,m-a.e.,t>0.

  補 題3.1.3に

よ り特 にeA,A∈O0,は

  補 題3.2.1 u∈D[E]に (ⅰ)   uは

概超過

(ⅲ) 

E1(u,υ)≧0,∀υ∈D[E],υ

≧0,m-a.e..

  証 明   (ⅰ)⇒(ⅱ)は(1.3.1)か

≧0な

ら導 か れ る.(ⅱ)が

ら 非 負 で(ⅲ)が

が(3.1.5)を

これ

成 立 す る.(ⅲ)を

≦E1(u,u)だ

e-tTtG1υ)≧0を

得 る.即

たυ

凸 集 合Lu

最 小 にす る一 意 元 で あ る こ と

に￨u￨∈Luで

か ら,u=￨u￨≧0.ま

題3.1.3(ⅱ)の

仮 定 す れ ば,uは

でE1(w,w)を

使 っ て わ か る.特

  こ こ でEの

成 立 す る とす れ ば,

リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式 よ り 

={w∈D[E];w≧u m-a.e.}上

対 し,補

件 は 同 値 で あ る.

的.

u≧0,αGα+1u≦u,m-a.e.,α>0.

補 題1.3.4と

概 超 過 的 で あ る.

対 し て 次 の3条

(ⅱ) 

はυ

の 概 超 過 関 数(1-almost

あ る が,一

∈L2,υ

≧0

m-a.e.な

方E1(￨u￨,￨u￨) る 任 意 のυ

証 明 と 同 様 に し て(u-e-tTtu,υ)=E1(u,G1υち(ⅰ)が

芯D(⊂D[E]∩C∞(X))の

導 け た.  (証 終) 定 義 を 思 い 起 こ そ う(§1.1).

に

D[E]∩C∞(X)自 芯 で あ り,し

体Eの1つ

の 芯 で あ るが,そ

か もEはD×D上

れ よ り狭 い 空 間DもEの

で のみ 具 体 的 に微 積 分 表 示 され て い る こ と

が 実 際 上 は よ く起 こ る.例 え ば 定 理2.1 .2に 於 け る正 則 デ ィ リク レ形 式Eに 対 して は,そ こで 最 初 に 与 え たD[E]が 慮 す る とEに

芯 とな っ て い る.こ の よ うな事 情 を 考

関 す る諸 量 の 記 述 は,Eの

芯D上

の条 件 の み に よ っ て与 え ら

れ る こ とが望 ま しい.  以 後Eの

芯Dで

あ って 次 の2つ の性 質 の うち の 少 な く と も一 方 を 満 た す

もの を取 って 固定 し よ う.  (D.1)  (D.2)  

D⊂D[E]∩C0(X).Dは

に 対 し(1.1.5)を

満 た す 関 数φε(t)が

  定 理1.4.2(ⅰ)に

え ばD[E]∩C0(X)が

にEがC0-正則

た 任 意 の ε>0

あ っ てφε(u)∈D,∀u∈D.

よ れ ばD[E]∩C∞(X)は(D.1)を

よ う な 芯 は 空 で は な い.特

 X上

積 に 関 し閉 じ て い る.ま

満 た す か ら,こ

な ら(D.2)を

の

満 た す 芯 が あ る.例

そ うで あ る.

の正 のRadon測

度 μ で 次 の条 件 を満 たす も の の 全 体 をM0(D)と

お く.

(3.2.2) 

D⊂L1(X;μ)

(3.2.3)   u∈D[E]が  (3.2.3)

る.こ

存在 して

 に 於 け るuは

芯Dの

れ を μ の(1-)ポ

定 義 か ら μ∈M0(D)に

テ ン シ ャ ル と い い,u=Uμ

  こ こで 問題 な の は,測 度 族M0(D)が とで あ る.実 はDに

見 か け上 芯Dの

対 して一 意的 に決 ま

と 書 く.

選 び方 に依 存 す る こ

無 関 係 に特 徴 づ け られ る こ と を示す のが 本 節 の 目標 の一

つ で あ る.先 ず ポ テ ンシ ャル と概 超 過 関 数 の関 係 を調 べ て お こ う.  補 題3.2.2 

u∈D[E]が

ポ テ ンシ ャル で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 はuが

の2条 件 を満 たす こ とで あ る.

(3.2.4) (3.2.5) 特 に 芯Dが(D.2)を

満 た し て い る 場 合 は(3.2.5)は

不 要 で あ る.

次

  証 明   必 要 性 は 明 らか で あ る.逆 と 仮 定 しL=D上 (D.1)を

補 題 の 条件 を 満 た して い る

の 線 型 汎 関 数I(υ)=E1(u,υ),υ

満 た す と き は 補 足 の 定 理0.1.3(ⅰ)よ

た す と き は 定 理0.1.3(ⅱ)よ あ り,ま

にu∈D[E]が

た(3.2.2)が

  定 理3.2.1 

りIは

度

μ の積 分 で

満た

不 要 で あ る. 満 た す と し て,そ

導 け ば よ い.先 ≧0 m-a.e.な

束 す る も の を 選 ぶ.こ わ か る.実

一 意 的 な 正 のRadon測

ず 芯Dが(D.1)を

れ よ り強 い 性 質 で あ る補 題 満 た す 場 合 を 考 え よ う.

る 任 意 の υ に 対 し,υn∈Dで の と き υ+n∈Dは

υ にE1の

際E1(υ+n,υ+n)≦E1(υn,υn)だ

υ にE1の

意 味 で 弱 収 束 す る こ とが

 ∀f∈L2,が

∩C0(X)に

満 た す 場 合 を 考 え る.こ

対 して(3.2.4)を

し て 導 く こ と が で き る.そ

を υ にE1の w≧1な

仮 定 して,同

の と きEはC0-正

要 な ら定 数 倍 す る こ と に よ り,0≦ υ(x)≦1と

る もの を と り

様 に し て υnは

場 合 は 上 と同様 に

こで 非 負 関 数 υ∈D[E]∩C0(X)を

位 相 で 収 束 す る よ う に 選 ぶ.ま

に

でE1に

と り,K=supp[υ] 仮 定 し て よ い.υn∈D

た 非 負 関 数w∈DでK上

 と お く.定

υ にD[E]上

理2.1.2の

証 明 と全

で く同

関 し て 弱 収 束 す る こ とが 示 され る.特   は 非 負 で あ り,

 と こ ろ が

また

則 で あ

じ不 等 式 が 任 意 の 非 負 な υ∈D[E]

対 して も 成 立 す る こ と さ え い え れ ば,υ ∈D[E]の

と お く.必

成 立 す るか

って

  次 に 芯Dが(D.2)を る か ら,uに

位 相 で収

か らE1(υ+n,υ+n)は 一 様 有 界 で あ り,

また ら で あ る.従

満

満 た す 概 超 過 関 数 で あ る こ と で あ る.芯Dが(D.2)を

  証 明   u∈D[E]が(3.2.4)を

υ∈D[E],υ

たDが(D.2)を

ポ テ ン シ ャ ル で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,uが

して い る 場 合 は(3.2.5)は

3.2.1(ⅲ)を

り,ま

考 え る.Dが

成 立 す る こ と が わ か る. (証 終)

u∈D[E]が

条 件(3.2.5)を

∈L,を

  で あ る か ら,(3.2.4)よ

り 

(証 終)   以 後,μ ∈M0(D)の Dに

詳 しい 性 質 を 調 べ る こ と に よ っ て,測

依 存 し な い こ と を 示 す.そ

の た め に,μ

度 の 族M0(D)が

を基 礎 の 測 度 に 絶 対 連 続 な測 度

の列 で近 似 す る こ とか ら始 め よ う.   補 題3.2.3 

μ∈M0(D)に

(3.2.6) 

対 し

gn=n(Uμ-nGn+1(Uμ)), 

と お く とgn≧0

m-a.e.で

n=1,2,…,

あ る.ま

対 し￨υ(x)￨≦υ0(x),x∈X,を

たX上

の 連 続 関 数υ

が,あ

るυ0∈Dに

満 た しさえ す れ ば

(3.2.7) 特 に 測 度gn・mは

μ に 漠 収 束 す る.

  証 明   定 理3.2.1よ a.e.で Uμ)に

あ る.ま

り,ポ

たυ ∈Dに

等 し い か らUμ

gn・mは

テ ン シ ャルUμ

は 概 超 過 的 で あ る か らgn≧0 m-

対 し て は(3.2.7)の

左 辺 は 補 題1.3.4よ

の 定 義 に よ りそ れ は また 右 辺 に 等 し い.特

りE1(υ, に 測 度 列

各 コ ン パ ク ト集 合 上 で 一 様 有 界 で あ る.

  次 に 補 題 の条 件 を 満 たす 一 般 のυ に 対 して も(3.2.7)が そ う.Dが

条 件(D.2)を

満た して い る とき に は これ は 明 らか で あ る.実

こ の場 合,補 題 の主 張 はgn・mが 上 の注 意 に よ りgn・mの

任 意 の 部 分 列 は あ る正 のRadon測

満 た して い る 場 合 を 考 え よ う.連

の 性 質 を も つ と す る と 明 ら か にυ ∈C∞(X)で υk∈D,k=1.2.…,が

度μ′に 漠 収 束す

 υ∈D,で

条 件(D.1)を

際

μ に漠 収 束 す る とい う こ と と同値 で あ る.

る部分列を含むが   さ てDが

成 立 す る こ とを 示

存 在 す る.必

あ り,X上

要 な らυkの

と る こ と に よ っ て￨υk(x)￨≦υ0(x),x∈X,と

あ る か ら μ′=μ. 続 関 数υ

が補題

でυ に 一 様 収 束 す る

代 わ りに(-υ0∨υk)∧υ0を

仮 定 で き る.次

の不 等 式 に注 意

す る.

(3.2.8)

こ の 右 辺 の 各 項 を 各 々Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ

とれ ば

と お く.任

意 の ε>0に

 とで き る.そ こでkを

対 し,δ

を充 分 小 さ く

適 当に 選 ん でⅡ<ε/2,

｜υ(x)-υk(x)￨<δ,x∈X,を だ か ら(3.2.8)の

左 辺 のnに

  正 のRadon測 (3.2.9) 

満 た す よ う に し て お く. 

度

関 す る上 極 限 は ε を 越 え な い.  (証 終)

μ の 台 を 次 の 様 に 定 義 す る.

supp[μ]={x∈X;xの

  補 題3.2.4 

任 意 の 近 傍U(x)に

μ∈M0(D)の

な 開 集合E⊃supp[μ]に が 存 在 し,n→

∞

対 し μ(U(x))>0}.

台 が コ ン パ ク トで あ る と す る.閉 対 し,supp[fn]⊂Eな

包 が コンパ ク ト

る 非 負 関 数 列fn∈L2(X;m)

のとき

(3.2.10) 

fn・m→

μ,漠

収 束

(3.2.11) 

E1(G1fn,υ)→E1(Uμ,υ),υ

  証 明   (3.2.6)のgnに

∈D[E].

対 して

(3.2.12) 

fn=gn・IE

と お い て,こ

れ が 補 題3.2.4の

 先 ず 補 題3.2.3の

性 質 を も つ こ と を 示 す.

条 件 を 満 た す 任 意 の 連 続 関 数υ に対 し

(3.2.13) を 示 す.supp[μ]上

で1,X-E上

を 選 べ ば,￨υ￨(1-φ)は

こ れ と(3.2.7)か

  C0(X)の

で0な

再 び 補 題3.2.3の

ら(3.2.13)が

≦1な

る もの

条 件 を満 たす か ら

条 件 を 満 た す か ら,(3.2.10)は(3.2.13)の

た(3.2.13)は

こ とを 意 味 す る.DはD[E]で

で0≦φ

従 う.

元 は 補 題3.2.3の

別 な 場 合 で あ る.ま

る連 続 関 数φ

特 にυ∈Dに 稠 密 で あ り,ま

対 し て(3.2.11)が

特 成立す る

た

  E1(G1fn,G1fn)=(fn,G1fn)≦(gn,G1gn)=(gn,nGn+1(Uμ))≦(gn,Uμ)

で あ っ て,こ (3.2.11)は

れ は 補 題1.3.4に 全 て のυ ∈D[E]に

  補 題3.2.5 

μ∈M0(D)と

よ りE1(Uμ,Uμ)で

一 様 に 評 価 され る か ら

対 し て 成 立 す る. (証 終) コ ン パ ク ト集 合Kに

対 し て,μK(E)=μ(E∩

K),E∈B(X),に

よ っ て 測 度 μKを

(3.2.14) 

定 義 す る と,μK∈M0(D)で

且つ

E1(UμK,UμK)≦E1(Uμ,Uμ).

 証明 不等式  υ∈D,が μKに

対 し て(3.2.3)を

成 り立 つ か ら,Rieszの

満 た すμ ∈D[E]が

存 在 す る.即

表現定理に よ り ち

μK∈M0(D).

しか も 上 の 不 等 式 よ り υ∈D[E]に

 が任意の

対 して 成 立 す る.υ=UμKと

  補 題3.2.4と3.2.5か   補 題3.2.6 

Aが

 証 明   E∈O0に

お い て(3.2.14)を

得 る.

ら 次 の 重 要 な 補 題 が 導 か れ る. 概 極 集 合 な ら μ(A)=0,∀

μ∈M0(D).

対 して,不 等 式

(3.2.15) を 示 せ ば 十 分 で あ る.K⊂Eな を 満 た し,E1が し て は,補

る 任 意 の コ ン パ ク ト集 合 を 考 え,K⊂E1⊂E

コ ン パ ク トで あ る よ う な 開 集 合E1を

題3.2.5に

よ り μK∈M0(D)だ

選 ぶ.μ

か ら 補 題3.2.4が

∈M0(D)に

対

μKとE1に

適 用 で き て,  但 しeEはEの

平 衡 ポ テ ン シ ャ ル.  こ れ と(3.2.14)及

従 っ て, 

び(3.1.4)よ

り(3.2.15)が

得

られ

る.

(証終)  定 理3.2.2 

μ∈M0(D)で

(3.2.16) 

D[E]⊂L1(X;μ),

(3.2.17) 

適 当 なUμ

あ るため の 必 要 十 分 条 件 は

∈D[E]が

が 成 立す る こ とで あ る.但

存 在 し て,

しuはu∈D[E]の

任 意 の(狭 い 意 味 の)準 連 続 修 正.

  証 明   μ∈M0(D)を

固 定 して(3.2.16),(3.2.17)を

u∈D[E]の2つ

い 意 味 で の)準

L1(X;μ)に

の(狭

属 す とす る.補

よ りuはL1(X;μ)内

題3.1.5に

でuと

導 き さ え す れ ば よ い.

連 続 修 正u,uに よ りu=u

対 し,そ q.e.だ

同 じ 同 値 類 に 属 す.従

の 一 方uが

か ら,補

題3.2.6

っ て(3.2.17)をuの

1つ の(狭

い 意 味 で の)準

  u∈D[E]と

す る.u≧0 m-a.e.と

証 明 中 のunと あ り,u≧0

連 続 修 正 に 対 して だ け 示 せ ば よ い. 仮 定 し て さ しつ か え な い.定

そ の 極 限u∈C∞({Fl})を q.e.が

unはuにE1の

成 立 す る.特

考 え る と,uはuの

にunはDか

位 相 で 収 束 し,各Fl上

理3.1.3の 準連続修正で

ら選べ る こ と に 注 意 し て お く. でunはuに

一 様 収 束 し て い る.

 を満たす

 今,単 調 非 減 少 な コ ンパ ク ト集 合 列KlをKl⊂Fl, よ う に 選 ぶ.補

題3.2.5よ

りμKl∈M0(D)で

あ る が,更

に

(3.2.18) が 成 立 す る.実

際υ ∈Dに

で あ る か ら,(3.2.18)が   一 方,各lを

従 って

対 し て は,補

成 立 す る.あ

題3.2.6に

注意す る と

と は 不 等 式(3.2.14)に

注 意 す れ ば よ い.

固定す る と

(3.2.18)

よ り

(証 終)   こ の 定 理 に よ っ て,M0(D)が(D.1)ま

た は(D.2)を

の と り方 に 依 存 しな い こ と が わ か っ た.そ M0∋

μ を(1-)エ

満 た すEの

こ で 以 後M0(D)をM0と

芯D 記 し,

ネ ル ギ ー 有 限 の 測 度 と い う.

 は μ の(1-)

エ ネ ルギー 積 分 とい わ れ る.

  §3.3  平 衡 ポ テ ン シ ャ ル と 被 約 関 数   u∈D[E]に uの

対 し て,そ

の 狭 い 意 味 の 準 連 続 修 正 をuと書

選 び 方 は 一 意 的 で は な い が,例

と い う条 件 はuの

え ば あ る 集 合Aに

く.一

対 し,u≧0

選 び 方 に 依 存 し な い こ と に 注 意 し て お こ う.前

般 に 修 正 q.e.(A) 節 と 同様 に

条 件(D.1)ま

た は(D.2)を

 補 題3.3.1 

Kを

満 た すEの

芯 をDで

表 わ す.

コ ンパ ク ト集 合 とす る.u∈D[E]に

対 して 次 の条 件 は互

い に 同値 で あ る.   (ⅰ) 

uはsupp[μ]⊂Kな

  (ⅱ) 

E1(u,υ)≧0,∀υ∈D,υ(x)≧0,x∈K.

  (ⅲ) 

E1(u,υ)≧0,∀υ

  証 明   定 理3.2.2に か だ か ら,(ⅱ)か   (ⅱ)を

るあ る

∈D[E],υ

≧0

仮 定 し,uが

意 味 す る.(ⅲ)⇒(ⅱ)は

明 ら

導 け ば よ い.

あ る μ∈M0の

補 題3.2.2の

ポ テ ン シ ャ ルに な っ て い る こ と を 示 す.

条 件 を 満 た す こ と を い え ば よ い.(3.2.4)は

明 ら か だ か ら,芯Dが(D.1)を ∈D,υn↓0と

ポ テ ン シ ャ ル.

q.e.(K).

よ り(ⅰ)は(ⅲ)を ら(ⅰ)を

そ の た め に はuが

μ ∈M0の

満 た す 場 合に(3.2.5)を

す る.w(x)≧1,x∈Kな

に収 束 す るか ら

るw∈Dを

導 け ば よ い.υn

選 ぶ .υnはX上

 と お く と,(ⅱ)に

で一 様

よ り

0≦E1(u,υn)≦anE1(u,w)→0,n→∞.

 従 っ て

 supp[μ]⊂Kを

る と,K∩K′=φ

な る コ ン パ ク ト集 合K′

で 稠 密 だ か ら,K′ Dが(D.1)を

り大,K上

が 存 在 し て μ(K′)>0.DはC∞(X) で 負 なw∈Dが

満 た す 場 合 はυ=-(w∨0)∈Dを

-μ(K′)<0と =K0と

上 で1よ

な り矛 盾 で あ る .Dが

お き

,

否 定 す

選 べ る.そ

こ で,芯

考 え る と,0=E1(u,υ)≦

条 件(D.2)を

満 た す 場 合 に は,supp[w]

 を 考 え る と, 

で あ る か らnを

十 分 大 き く と る と矛 盾 が 生 ず る.supp[μ]⊂Kが

示 せ た. (証 終)

  3.1節

の 始 め に 開 集 合A∈O0の

は 補 題3.1.1(ⅲ)の 題3.1.5に (3.3.1) 

(3.3.2) 

特 にAが

平 衡 ポ テ ン シ ャルeAを

条 件 に よ っ て 特 徴 づ け られ るD[E]の

注 意 す る と,こ

の 特 徴 づ け は 次 の2条 eA=1

E1(eA,υ)≧0,∀υ

導 入 し た が,そ

れ

要 素 で あ っ た.補

件 で お き か え る こ とが で き る.

q.e.(A).

∈D[E],υ

コ ンパ ク トな 開 集 合AはO0に

≧0

q.e.(A).

属 す る.し か も この と き 前 補 題 と

 

(3.3.2)に Aな

よ っ て,平

衡 ポ テ ン シ ャ ルeAは

あ る 測 度νA∈M0でsupp[νA]⊂

る も の の ポ テ ン シ ャ ル に な っ て い る.νAをAの

distribution)と

呼 ぶ.こ

の と き更 に

(3.3.3)

 

が 成 立 す る.実 際A上 3.1.1(ⅳ)よ

平 衡 分 布(equilibrium

Cap(A)=νA(A)

で1に 等 しいw∈D[E]∩C∞(X)が

存 在 す るが,補 題

り

  こ こで 一般 に 容量 有 限 なBorel集

合Bに

対 して 開集 合 の場 合 と平 行 した 議

論 を展 開 し よ う.

(3.3.4)

 L B={u∈D[E];u≧1

と お く.Cap(B)<∞ LBはE1の

q.e.(B)}

だ か ら 

で あ り,ま

た 定 理3.1.4(ⅰ)に

位 相 に 関 し て 閉 じ た 凸 集 合 で あ る.補

く同 じ理 由 に よ っ てLB内 す る.eBは

更 に 次 の2条

でE1(u,u)を

題3.1.1(ⅰ)の

証 明 と全

最 小 に す る 一 意 元eB∈LBが

件 で 特 徴 づ け られ るD[E]の

(3.3.5)

ょ り

存在

元 で あ る.

 eB=1 q.e.(B).

(3.3.6)

 

  eBはBorel集

E1(eB,υ)≧0,∀υ

合Bの(1-)平

ン パ ク ト集 合Kの

∈D[E],υ

衡

場 合 に は,補

≧0

q.e.(B).

テ ン シ ャ ル と 呼 ば れ る.特

題3.3.1に

よ り(3.3.6)は

にBが

コ

次 の条 件 と 同値

で あ る こ と に 注 意 し て お こ う.

(3.3.7)

 

E1(eK,υ)≧0,∀υ

∈D,υ(x)≧0,x∈K.

ま た 補 題3.3.1よ

りeKはsupp[νK]⊂Kな

ャ ル で あ る.νKを

コ ン パ ク ト集 合Kの

 定 理3.3.1 

Bを

容量 有 限 なBorel集

るM0の

一 意 元νKのポ

テ ンシ

平 衡 分 布 と い う. 合 と し,そ

の 平 衡 ポ テ ン シ ャ ル をeB

と す る.   (ⅰ)   (ⅱ) eBは Kに

あ る 測 度νB∈M0の

ポ テ ン シ ャ ル で あ る.特

対 し て はCap(K)=νK(K).

(ⅲ) 

コ ン パ ク ト集 合Kに

対 して は

に コ ン パ ク ト集 合

但 しDK={u∈D;u(x)≧1,∀x∈K}.   証 明   (ⅰ)  後 の 等 式 はeBの い.先

ずBが

定 義 よ り 自 明 で あ る か ら前 の 等 式 を 示 せ ば よ

コ ン パ ク ト集 合Kの

  任 意 の ε>0に

場 合 に こ れ を 示 す.

対 し 開 集 合A⊃KをCap(K)+ε>Cap(A)な

(3.3.1),(3.3.5)お

よ び(3.3.6)よ

る 如 く に選 ぶ.

りE1(eA,eK)=E1(eK,eK)で

0≦E1(eA-eK,eA-eK)=Cap(A)-E1(eK,eK).こ Cap(K)≧E1(eK,eK)を

あ るか ら

の よ うに して不 等式

得 る.

  逆 の 不 等 式 を 得 る た め に,Anが An⊃An+1,

コン パ ク トで あ る よ う な 開 集 合 列{An}で

 を満 たす もの を選 ぶ.そ

してAnに

対 す る平 衡 ポテ ン

シ ャ ル と 平 衡 分 布 を 各 々en,νnと

す る.E1(en-em,en-em)=Cap(An)-

Cap(Am),n<m,で

あ るe0∈D[E]にE1の

あ る か らenは

位 相 で 収 束 す る.

そ こで

(3.3.8)

  e0=eK

を 示 そ う.en=1 を 満 た す.一

q.e.(An)で

あ る か ら,定

理3.1.4(ⅰ)に

方supp[νn]⊂Anでνn(An)=Cap(An)≦Cap(A1)が

か ら必 要 な 部 分 列 を 選 べ ば,νnはsupp[ν0]⊂Kな  ν∈D,に

そ こで 等 式

  が 得 ら れ,e0が(3.3.7)を れ で(3.3.8)が

示 せ た.(3.3.8)よ

  以 上 で(ⅰ)の

る 測 度ν0に

漠 収 束 す る.

於 い てn→∞

とす る とE1

満 た す こ と が わ か る.こ

り

量 有 限 な 一 般 のBorel集

Choquet容

量 で あ る こ と(定

(3.3.9)

 

合Bに

理3.1.1)とBの

足(0.2.2))に

よ り

Cap(K)

が 成 立 し て い る こ と に 注 意 し て,Kn⊂B⊂Anな

開 集 合 の 減 少列{An}を

対 し て は,Capが

可 容 性(補

Cap(B)= sup K⊂B,Kはコン

な ら しめ 得 る.今

成 立 す る

等 式 が コ ン パ ク ト集 合 と 容 量 有 限 な 開 集 合 に対 し て は 成 立 す

る こ と が わ か っ た.容

{Kn}と

よ りe0は(3.3.5)

パクト

る コ ン パ ク ト集 合 の 増 大 列

選 ん で 

ま で と 同 様 の 議 論 を す れ ば,D[E]の

元e0が

あ っ てE1(e0,

 

e0)=Cap(B)且

つE1の

位相で

(3.3.10) が 成 立 す る こ とが わ か る.e0=eBを

示 せ ば よ い の だ が,そ

け る条 件(3.3.5)と(3.3.6)がe0に 質 か ら導 か れ る こ と(前   (ⅱ)  eBの

者 に は 定 理3.1.4(ⅰ)を らeBが

か ら υnはX上

と お く とan↓0.こ 従 っ て(3.3.6)か

で 一 様 に 収 束 し て い る.特

仮

に 

考 慮 す る とaneB-υn≧0

q.e.(B).

∞.

ポ テ ン シ ャ ル で あ る こ と が わ か っ た.既

ン パ ク ト集 合Kに

対 し て はsupp[νK]⊂Kで

に 述

あ り,(ⅰ)と

よ りCap(K)=νK(K).

(ⅲ) 

とお き,

(3.1.5)を

使 う とunがE1の

u0∈D[E]は

 な るun∈DKを

位 相 でCauchy列

こ の よ うな{un}の

を な し,し

選 ぶ.

か も極 限 関 数

選 び 方 に 依 存 しな い こ と が わ か る.

(3.3.11.)

  u0=eK

を 示 し さえ す れ ば よ い.K上 DKで

示 す た め に υn∈D,υn↓0,と

の と き(3.3.5)を

あ る νB∈M0の

べ た よ う に,コ

注 意 す れ ば よ い.

条 件 を 満 た す こ とを 導 け

ら0≦E1(eB,υn)≦anCap(B)→0,n→

  こ れ でeBが

特徴づ

対応す る性

使 っ て)に

補 題3.2.2の

明 らか で あ る.(3.2.5)を

定 す る.υn∈C∞(X)だ

(3.2.17)に

対 し て 各 々eAnとeKnの

性 質(3.3.6)か

ば よ い.(3.2.4)は

れ に はeBを

あ る か

らE1(un+ε

で 非 負 な υ,un+ε

2E1(u0,υ)+εE1(υ,υ)≧0.ε

↓0と

υ∈Dと

ε>0に

対 し て は,un+ε

υ)≧E1(u0,u0).こ

こ でn→

∞

す る こ と に よ っ てu0が(3.3.7)を

υ∈ と し て 満 た

す こ と が わ か る.

 (3.3.5)を (D.2)を

示 す た め に,Dが(D.1)を

と お く と υnはDKに

満 た す と き は 

≦E1(un,un)で

満 た す と き に は υn=un∧1と

あ る か ら υnはu0にE1の

属 し,E1(υn,υn)

位 相 で 収 束 す る.従

q.e.(K)が

得 られ る. (証 終)

  こ こ で 定 理3.3.1の 3.3.1(ⅲ)の

って 定 理3.1.4 これ よ り

(ⅰ)に よ って,必 要 な ら部 分 列 を選 ん で  u0=1

お き,

等 式 は,コ

意 味 す る こ と を 少 し 考 え て み る こ と に し よ う.定 ン パ ク ト集 合 の 容 量 がEの

そ の 芯D上

理

の値 のみ に

基 づ い て 直 接 計 算 で き る こ と を 示 し て い る.前

節 の 始 め に 述 べ た こ と で あ る が,

こ れ は 応 用 上 大 切 な こ と で あ る.   定 理3.3.1(ⅱ)は

特 に 次 の こ と を 意 味 し て い る.Borel集

正 で あ れ ば(3.3.9)に >0.こ

よ り適 当 な コン パ ク ト集 合K⊂Bが

の と きKの

平 衡 分 布νK∈M0はB上

  従 っ て 補 題3.2.6と   定 理3.3.2 

Borel集

合Bが

あ っ てCap(K)

に 正 の 質 量 を も つ.

概 極 集 合 で あ るた め の 必要 十分 条 件 は

  前 節 の始 め にL2(X;m)に

μ ∈M0.

属 す 関 数 の(1-)概

超 過 性 の 定 義 を 与 え た.一

属 す 測 度 の ポ テ ン シ ャル の全 体 の族 は,D[E]に

体 の族 に含 まれ て い る.特 (例 え ばEがC0-正

にEが(D.2)の

属す概超過関数全

性 質 を 満 た す芯Dを

もつ 場合

則 の場 合)に は,前 者 と後 者 が 一 致 す る こ とが わか って い

る(定 理3.2.1).後 あ る.本

容量 が

合 わす と

μ(B)=0,∀

般 にM0に

合Bの

者 は この 意 味 で デ ィ リク レ形 式 に と って重 要 な関 数 族 で

節 の最 後 に概 超 過 関数 族 上 の1つ の 基 本的 な変 換 と して,Xの

部分

集 合 上 へ の被約 関 数 を 作 る とい う操 作 に触 れ て お こ う.被 約 関 数 を 特 徴 づ け る 上 で,次

の補 題 が 大 切 な 役 割 を 果 たす.

  補 題3.3.2 

u1はL2(X;m)に

過 関 数 とす る.も

しu1≦u2

属 す 概 超 過 関 数,u2はD[E]に m-a.e.な

らu1もD[E]に

属す概超

属 し,E1(u1,u1)≦

E1(U2,U2).   証 明   (u1-e-tTtu1,u1)≦(u1-e-tTtu1,u2) =(u1

こ の 不 等 式 の 両 端 をtで

,u2-e-tTtu2)≦(u2,u2-e-tTtu2).

割 っ てt↓0と

す る.補

題1.3.4に

よ り 

こ れ はu1∈D[E],E1(u1,u1)≦E1(u2,u2),を

意

味 す る. (証終)   fをD[E]に

属 す 概 超 過 関 数 と し,BをXの

し て(3.3.4)と

類 似に

(3.3.12)

  Lf,B={w∈D[E];w≧f

と お く.Lf,BはD[E]内

任 意 の 部 分 集 合 とす る.そ

q.e.(B)}

の 空 で な い 閉 凸 集 合 で あ る か ら,Lf,B上

でE1(w,

w)を

最 小 に す る 一 意 元 が 存 在 す る.こ

(1-)被

約 関 数(1-reduced

れ をfBと表

function)と呼

わ し,fのB上

へ の

ぶ.

  明 らか に (3.3.13) 

E1(fB,υ)≧0,∀

補 題3.2.1に い る.そ

よ れ ば(3.3.13)はfBが

こ でu=fB∧fと

補 題3.3.2に u=fBで

υ∈D[E],υ

≧0

再び 概 超 過 的 で あ る こ と を 意 味 して

お く と,uは

ま た 概 超 過 的 で あ り,u≦fB

よ りE1(u,u)≦E1(fB,fB).と

な け れ ば な らな い.即

q.e.(B).

こ ろ がuはLf,Bに

m-a.e.. 属す か ら

ち

(3.3.14) fB≦f m-a.e.. (3.3.15) fB=f

  補 題3.1.1と   補 題3.3.3 

q.e.(B).

全 く同 様 に し て 次 の 補 題 を 得 る. D[E]に

属 す 超 過 関 数fのB上

(3.3.13)と(3.3.15)に   X上

のm-可

へ の 被 約 関 数fBは

よ っ て 特 徴 づ け られ るD[E]の

測 関 数uで

次 の3条

0≦u≦f m-a.e.,

(3.3.17) 

uは

(3.3.18) u=f

一 意 元 で あ る.

件 を 満 た す も の の 全 体 をUf,Bと

(3.3.16) 

条 件

お く.

概 超 過 的, q.e.(B).

条 件(3.3.16)はu∈L2を 定 義 が 可 能 で あ り,ま

意 味 す る か ら(3.3.17)に た(3.3.16),(3.3.17)は

於 け るuの

補 題3.3.2に

を 意 味 す る か ら準 連 続 修 正 に 関 す る 条 件(3.3.18)をuに

概超過性の

よ りu∈D[E]

課 す こ とが 可 能 に な

る わ け で あ る.   定 理3.3.3 

fをD[E]に

属 す 概 超 過 関 数,BをXの

任 意 の部 分 集 合 と

す る.   (ⅰ) fのB上

へ の 被 約 関 数fBはUf,Bの

最 小 元 で あ る.即

ちfB∈

Uf,B,fB≦u,∀u∈Uf,B.   (ⅱ)  X上 =f

q .e.(B),を

  (ⅲ)  Bを

のm-可

測 関 数 が あ っ て,0≦u≦fB m-a.e.,uは

満 た す と す る.こ 容量 有 限 なBorel集

の と きu=fB 合,eBを

概 超 過 的,u

m-a.e..

そ の 平 衡 ポ テ ン シ ャ ル とす る.X

上 のm-可

測 関 数uが

(B),を

あ っ て,0≦u≦eB m-a.e.,uは

満 た す と す る.こ

お く.u′

≦E1(fB,fB).一

≦u.最

既 に 示 し た.任

は 概 超 過 的 でu′ ≦fBだ 方u′ ∈Lf,Bで

  (ⅱ) uが(ⅱ)の

意 のu∈Uf,Bに

対 し てu′=fB

か ら補 題3.3.2に

も あ る か らu′=fB即

性 質 を 満 た せ ばu∈Uf,Bで

よ っ てE1(u′,u′) ちfB≦u m-a.e..

あ る か ら(ⅰ)に

よ りfB

初 の 不 等 式 と合 わ せ てu=fB.

  (ⅲ)  補 題3.3.3は

特 に(eB)B=eBを

満 た せ ば(3.3.5)と(ⅰ)に u=eB. 

意 味 し て い る.uが(ⅲ)の

よ りeB=(eB)B≦u.最

性質 を

初 の 不 等 式 と合 わ せ て

(証 終)

  被 約 関 数 を と る 操 作 に 双 対 な も の と して,エ の 変 換 で,掃   μ∈M0の

で あ る.こ

ネ ル ギ ー 有 限 な 測 度 の 族M0上

散 と呼 ば れ る も の を 定 義 す る こ と が で き る. ポ テ ン シ ャ ル をuと

き,uのB上

す る.Bを

へ の 被 約 関数uBは れ は 補 題3.3.3を

れ る こ とで あ る.μ out)と

q.e.

の と きu=eB m-a.e..

  証 明   (ⅰ)  fB∈Uf,Bは ∧uと

概 超 過 的,u=1

い う.特

容 量 有 限 なBorel集

あ る 一 意 的 な 測 度ν ∈M0の

使 っ て 定 理3.3.1(ⅱ)の

にν を 対 応 さす 変 換 を,B上

にBが

散 に よ っ て 得 ら れ る 測 度 はB上

に 集 中 して い る.

ポ テ ン シ ャル

証 明 と同 様 に し て示 さ

へ の(1-)掃

コ ンパ ク ト集 合 の と き に は,補

合 とす る と

散(1-sweeping

題3.3.1に

よ り,掃

第Ⅰ 部 あ とが き

  第1章

  対 称形 式 の理 論

  §1.1  A.

Beurling-J.

Deny[Ⅰ;1]が

最 初 に 導 入 し た デ ィ リ ク レ形式Eは,

次 の 条 件 と正 規 縮 小 に 関 す る 安 定性 の 条 件(E.4)"を れ る:D[E]はEに 分 で あ り,更

J. Deny[Ⅰ;4]で

関 し て ヒ ル ベ ル ト空 間 を な し,D[E]の に 各 コ ン パ ク ト集 合Kに

各元 は 局所 可 積

対 して 定 数CKが

あ って

は 次 の よ うな 場 合 も扱 わ れ て い る:D[E]はEに

ベ ル ト空 間 で あ り,D[E]の

§1.4の

結 果 か らわ

ル コ フ 推 移 半 群 や マ ル コ フ リ ゾ ル ベ ン トに 主 眼 を 置 く と い う立

場 か ら は こ の 定 義 が 最 も 自 然 な も の で あ ろ う.M. D[E]がL2で

あ って

の 閉 対 称 形 式 で あ っ て マ ル コ フ 性(E.

も つ も の と して デ ィ リ ク レ形 式 を 定 義 す る.§1.3や

か る よ う に,マ

関 し ヒル

各 元 は 自乗 可 積 分 で 且 つ あ る 定 数Cが

  こ れ に対 し て 本 書 で はL2(X;m)上 4)を

満 たす もの と して定 義 さ

Fukushima[Ⅰ;1]で

稠 密 で あ る と い う仮 定 が 外 し て あ る が,こ

は 更に

れ は 境 界条 件 を 記 述

した りす る 上 で 必 要 な こ と で あ る.   しか し本書 の 定 義 だ け か ら で は0次

の デ ィ リ ク レ形 式Eに

次 の ポ テ ン シ ャ ル 作 用 素 が 直 接 定 義 で き ず,従 シ ャ ル の 理 論 等 と の 対 応 が つ き に くい.こ Lions[Ⅰ;1],M. stein[Ⅱ,1]等

Brelot[Ⅰ;2],J.

関 す る 容量 や0

っ て 古 典 的 な ニ ュ ー トンポ テ ン

の 点 を 補 うた め に はJ.

Deny[Ⅰ;2],[Ⅰ;3],[Ⅰ;4],M.L.

Deny-J.L. Silver-

を 参 照 さ れ た い.

  ま た 本 書 で は 非 対 称 な デ ィ リ ク レ形 式 は 扱 っ て い な い.こ

れ に 関 して は

M. Ito[Ⅰ;1],H. [Ⅰ;2],G.

Kunita[Ⅰ;1],[Ⅰ;2],J.

Stampacchia[Ⅰ;1],T.

  §1.3  定 理1.3.1の Theorem2.23参

Bliedner[Ⅰ;1],[Ⅰ;2]

Kato[Ⅰ;1]等

別 証 に つ い て はM.G.

照.ヒ

,J. Elliott

を 参 照 さ れ た い. Krein[Ⅰ;1],T.

Kato[Ⅰ;1]Ⅵ

ル ベ ル ト空 間 上 の 閉 対 称 形 式 の 重 要 性 は 対 称 作 用 素 の

自己 共 役 拡 大 に 関 す るFriedrichs[Ⅰ;1]の

理論 に よ って 認 識 され た もの で あ

る.Friedrichs拡

大 に つ い て は 本 書 の §2.3の

茂[Ⅰ;1]第8章10節

を あ げ て お く.定

他 に 吉 田 耕 作[Ⅰ;1]§44,溝

理1.3.2の

畑

証 明 は 著 者[Ⅰ;1]に

よ

る.   §1.4  定 理1.4.1.はA.

  第2章

Beurling-J.

Deny[Ⅰ;1],J.

Deny[Ⅰ;3]に

負 う.

  マ ル コフ 対 称 形 式 と デ ィ リ ク レ 形 式 の 範 囲

  §2.2  定 理2.2.1と

定 理2.2.2は

明 な しに 述 べ ら れ た も の で あ る.本

最 初A.

Beurling-J.

Deny[Ⅰ;1]に

証

書 の 証 明 は 池 田 信 行-渡 辺 信 三[Ⅰ;1]に

於

け る 証 明 を 参 考 に さ せ て い た だ い た.   §2.3  定 理2.3.1は M.G.

新 し い も の で あ る.定

Krein[Ⅰ;1]に

渡 辺 毅 氏 に 負 う(M.

参 照).A(1/2Δ)の各

[Ⅰ;1]Vol Ⅱ参 W.

元 を境界 条件 る.M.G.

Fukushima[Ⅰ;1],Theorem

N.A.

Akhiezer-I.M.

よ って 得 られ た.本書

で は 多 次元 の場 合 にAM(1/2Δ) 有 界 領 域 の 場 合,DのMartin

境 界 上 の ディ リ ク レ形 式 の あ る 族 に よ ってAM(1/2Δ)の

全 体が特 徴 づ け ら

た 対応 す る 境 界 条 件 が 記 述 さ れ る こ と が 知 られ て い る(M.

[Ⅰ;1]).こ

の 結 果 はH.

[Ⅰ;3],[Ⅱ,1]に

Kunita[Ⅰ;2],

よ っ て作用

  あ ら か じ め 作 用 素Sが

Glazman

境 界条 件 に よ る特徴 づ け は一次 元 の 場 合

の 最 小 元 と最 大 元 しか 問題 に して い な い が,Dが

れ,ま

5.1

よ って特 徴 づ け る こ とは,一次 元の場 合

Krein[Ⅰ;2],

照.AM(1/2Δ)の

Feller[Ⅰ;1]に

定 理2.3.3は

負 う.

  §:2.4  定 理2.4.1は

に は よ く知 られ て い

理2.3.2と

素Sが1/2Δ

J. Elliott[Ⅰ;1], と異 なる場合に拡

与え られ た と き,Sの

M.L.

Fukushima Silverstein

張 され て い る.

拡 大 で あ って マル コ フ作 用 素

の 半 群 を 生 成 す る よ う な も の の 全 体 は ど れ だ け あ る か?こ

の 設 問 は"マ

ル コ

フ 過 程 の 境 界 問 題″

と 呼 ば れ,W.

Fellerの

過 程 の 研 究 の 重 要 な テ ー マ の1つ て は 上 述 の 諸 論 文 の 他 にJ. Ueno [Ⅰ;1], tzell

T.

[Ⅰ;1]を

Shiga-T.

L.

研 究[Ⅰ;1],[Ⅰ;2]以

で あ っ た.こ Doob

の問 題 へ の解 析 学 的 接 近 に つ い

[Ⅰ;1],

Watanabe

来 マ ル コ フ

E. B.

[Ⅰ;1],

Dynkin

M.

[Ⅰ;1],

K.

[Ⅰ;1],

A. D. Wen

I. Visik

あ げ て お く.

 第3章 

デ ィリ ク レ形 式 の ポ テ ン シ ャル 論

  §3.1  デ ィ リ ク レ形 式 を 使 っ て 定 義 さ れ る 容 量 がChoquet容 (定 理3.1.1)は

最 初 にJ.

び 補 題3.1.5は

著者[Ⅰ;2]に

基 本 定 理 で あ る(J.   容 量0の

Sato-T.

Deny

[Ⅰ;2]に

よ る.定

Deny-J.

よ っ て 示 さ れ た.定

理3.1.3と

L. Lions

[Ⅰ;1]参

あ る.つ

ま りq.e.で

ちFourier級

よ

Denyの

照). 明 らか に され る で あ ろ う.概

成 り立 つ と い う主 張 はa.e.で

つ と い う主 張 よ り も よ り詳 し い わ け で あ る.と 問 題に 於 け る 除 外 集 合,即

理3.1.2お

定 理3.1.4はJ.

集 合 を 概 極 集 合 と呼 ぶ 理 由 は §5.1で

極 集 合 の 測 度 は0で

量で あるこ と

こ ろ でFourier解

成 り立

析 や境 界 値

数 が 収束 しな い 点 の 集 合 や 関 数 の 法

線 に 沿 っ て の 境 界 値 が 存 在 し な い 境 界 点 の 集 合 を,測

度0の

集 合 か ら概 極 集 合

へ と細 か く で き る と い う型 の 定 理 が あ り,最 も 有 名 な も の はA. Beurlingの 理[Ⅰ;1]で

あ る.こ

[Ⅰ;1], L. Carleson

の 定 理 の 拡 張 に つ い て はN. [Ⅰ;1]参

照.C.

K. Bary

J. Preston

定

[Ⅰ;1], A. Zygmund

[Ⅰ;1]は

円 周 上 の デ ィ リク

レ形 式 に 関 す る 極 大 不 等 式 を 導 い て こ れ ら の 結 果 を 拡 張 し た.円

周上の対称加

法 過 程 と の 関 連 で 興 味 深 い も の で あ る.   §3.2  定 理3.2.2はA. J. Deny

[Ⅰ;4]で

Beurling-J.

[Ⅰ;1]で

結 果 だ け が 述 べ ら れ,

証 明 が 与 え られ た も の で あ る.

  §3.3  補 題3.3.2はM.

L.

的 に はM.

よ る.

  第3章

Deny

L. Silversteinに

Silverstein

[Ⅰ;1]に

よ る.定

理3.3.2も

の 記 述 は 主 に 第Ⅱ 部 へ の 応 用 を 意 識 した も の で あ り,ポ

自 身 を で き る だ け 一 般 的 に 展 開 す る と い う立 場 は と っ て い な い.ポ 論 の 歴 史 的 沿 革 を も 含 め て こ の 点 を 補 うた め にO.

Frostman

本質

テ ン シ ャル 論 テ ン シ ャル

[Ⅰ;1], H. Cartan

[Ⅰ;1],

M.

Brelot

宮 信 幸[Ⅰ;1]を

[Ⅰ;1], J. あ げ て お く.

Deny

[Ⅰ;4],井

上 正 雄[Ⅰ;1],岸

正 倫[Ⅰ;1]

,二

文献 その Ⅰ

N.I.Akhiezer  [Ⅰ;1] 

and Theory

I.M.Glazman of

linear

operators

in

1961(Vol.Ⅰ),1963(Vol.Ⅱ),ヒ

Hilbert

space,Frederick

ル ベ ルト空

間 論(上

Ungar,New

・下),千

York,

葉 克 裕 訳 ,共

立 出

版. N.K.Bary  [Ⅰ;1] 

A

treatise

on

trigonometric

series,Pergamon,Oxford,1964(Vol,1).

A.Beurling  [Ⅰ.1] 

Ensemble

A.Beurling

exceptionnels,Acta

 [Ⅰ;1] 

and

Math.,72(1939),1-13.

J.Deny

Dirichlet

spaces,Proc.Nat.Acad.Sci.U.S.A.,45(1959),208-215.

J.Bliedner  [Ⅰ;1] 

Functional

Ⅱ,Lecture   [Ⅰ;2] 

spaces

Notes

and

their

exceptional

sets,Seminar

on

Potential

Theory

in Math.,no.226,Springer,Berlin-Heidelberg-New

Dirichlet

forms

Elements

de

on

regular

functional

spaces,同

York. 上.

M.Brelot  [Ⅰ;1]  de

documentation

 [Ⅰ;2] 

Etude

la theorie

classique

du

potentiel,Les

Cours

de

Sorbonne,Centre

Universitaire,1959. et

extensions

du principe

de

Dirichlet,Ann.Inst.Fourier,5(1953/

54),371-419. L.Carleson  [Ⅰ;1] 

Selected

problems

Theorie

du

on

exceptional

sets,Van

Nostrand,Princeton(1967).

H.Cartan  [Ⅰ;1] 

potentiel

newtonien;energie,capacite,suites

Soc.Math.France,73(1945),74-106. G.Choquet  [Ⅰ;1] 

Theory

of

capacities,Ann.Inst.Fourier,5(1953/54),131-295.

de potentiels,Bull.

J.Deny  [Ⅰ;1] 

Les

potentiels

 [Ⅰ;2] 

Theorie

de

dirige par  [Ⅰ;3] 

d'energie

la capacite

finie,Acta dans les

espaces

M.Brelot,G.Choquet

Principe

et

complet

du

Math.,82(1950),107-183. fonctionnels,Sem.Theorie

Potentiel,

J.Deny,1964/65

maximum

et

contractions,Ann.Inst.Fourier,15

(1965),259-272.  [Ⅰ;4] 

Methodes

Hilbertiennes

Internazionale J.Deny

and

 [Ⅰ;1] 

Matematico

et

theorie

du

potentiel,Potential

Estivo,Edizioni

Theory,Centro 

Cremonese,Roma

1970.

J.L.Lions

Les

espaces

du

type

de

Beppo

of

functions

Levi,Ann.Inst.Fourier,5(1953/54),305-

370. J.L.Doob  [Ⅰ;1] 

Boundary

properties

with finite

Dirichlet

integrals,Ann.Inst.

Fourier,12(1962),573-621. E.B.Dynkin  [Ⅰ;1] 

General

boundary

Veroyatnost.i

conditions

for

denumerable

Markov

processes,Teor.

Primenen.,12(1967),227-257.

J.Elliott  [Ⅰ;1] 

Dirichlet

spaces

and

boundary

conditions

for

submarkovian

resolvents,J.

Math.Anal.App.,36(1971),251-282.  [Ⅰ;2] 

On unsymmetric

Dirichlet

forms,Can.J.Math.,25(1973),252-260.

W.Feller  [Ⅰ;1] 

Generalized

tions,Illinois  [Ⅰ;2] 

On

second

order

differential

equations

and

their

lateral

condi

differential

equa

J.Math.,1(1957),459-504.

boundaries

and

lateral

conditions

for

the

Kolmogorov

tions,Ann.Math.,65(1957),527-570. K.Friedrichs.  [Ⅰ;1] 

Spektraltheorie

Spektralzerlegung

halbbeschrankter von

Operatoren und

Anwendung

auf

die

Differentialoperatoren,Math.Ann.,109(1934),465-487.

O.Frostman  [Ⅰ;1]  a la

Potentiel theorie

d'equilibre des

et

capacite

fonctions,Medd.Lund

des

ensembles

avec

quelques

applications

Univ.Mat.Sem.,3,1935.

M.Fukushima  [Ⅰ;1] 

On

boundary

conditions

for

multi-dimensional Brownian

motions

with

symmetric   [Ⅰ;2] 

resolvent

Dirichlet

densities,J.Math.Soc.Japan,21(1969),58-93.

spaces

and

strong

Markov

processes,Trans.Amer.Math.Soc.,

162(1971),185-224. 池 田信

行-渡辺

 [Ⅰ;1] 

信 三

拡 散 過 程 の 局 所 構 造Sem.on

Prob.,vol

35,確

率 論 セ

ミ ナ ー,1971.

井 上 正 雄  [Ⅰ;1]  伊 藤

ポ テ ソ シ ャ ル 論(共

立 全 書)1952.

清

 [Ⅰ;1] 

確 率 過 程Ⅱ,岩

波 書 店(現

代 応 用 数 学 講 座),1957.

M.Ito  [Ⅰ;1] 

A

note

on

extended

regular

functional

spaces,Proc.Jap.Acad.,43(1967),

435-440. 伊 藤 清 三  [Ⅰ;1] 

ル ベ ー グ 積 分 入 門,裳

華 房,1963.

T.Kato  [Ⅰ;1] 

Perturbation

theory

for

linear

operators,Springer,Berlin-Heidelberg-New

York,1966. 岸

正 倫

 [Ⅰ;1] 

ポ テ ン シ ャ ル 論,森

北 出 版,1974.

M.G.Krein  [Ⅰ;1] 

The

mations [Ⅰ;2] 

theory and

同上

of

their

self-adjoint

extensions

of

semi-bounded

Hermitian

transfor

applications,Part Ⅰ,Mat.Sbornik,20(62):3(1947),431-495. 

Part Ⅱ,Mat.Sbornik,21(63):3(1947),366-404.

H.Kunita  [Ⅰ;1] 

Sub-Markov

on

Functional

 [Ⅰ;2] 

General

Math.Kyoto

semi-groups Analysis

and

boundary

in related

conditions

Banach

lattices,Proc.International

conference

topics,1969,Tokyo. for

multi-dimensional

diffusion

processes,J.

Univ.,10(1970),273-335.

L.H.Loomis  [Ⅰ;1] 

An

introduction

to

abstract

harmonic

analysis,Van

Nostrand,Princeton,

1953. P.A.Meyer   [Ⅰ;1]  溝 畑

茂

Probability

and

Potentials,Ginn

Blaisdell,Waltham,Massachusetts,1966.

  [Ⅰ;1] 

偏 微 分 方 程 式 論,岩

波 書 店,1965.

ポ テ ン シ ャ ル 論,共

立 出 版,1969.

二 宮 信 幸  [Ⅰ;1]  C.J.Preston  [Ⅰ;1] 

A

theory

Advances F.Riesz

and

 [Ⅰ;1] 

川,清

 [Ⅰ;1] 

application

to

some

convergence

results,

York,1955.関

数 解 析 学(上

・下),秋

立 出 版.

T.Ueno

Multidimensional

diffusion

processes

and

the

Markov

process

on

T.Watanabe

On

Markov

chains

similar

to

the

reflecting

barrier

Brownian

motion,

J.Math.,5(1968),1-33.

M.L.Silverstein  [Ⅰ;1] 

Dirichlet

spaces

 [Ⅰ;2] 

The reflected

 [Ⅰ;3] 

Classification

and

random

Dirichlet of

stable

time

change,Ill.J.Math.,17(1973),1-72.

space,Ill.J.Math.,18(1974),310-355. symmetric

Markov

chains,Indiana

J.Math.,24

(1974),29-77. G.Stampacchia  

[Ⅰ;1] Formes Paris

bilineaires

coercitives

sur

les

ensemble

convexes,C.R.Acad.Sc.

258(1964),4413-4416.

M.I.Visik  [Ⅰ;1] 

On

general

boundary

problems

for

elliptic

differential

equations,Trud.

Moskov.Mat.Obsc.,1(1952),187-246. A.D.Wentzell  [Ⅰ;1] 

On

boundary

Veroyatnost.i

conditions

for

multidimensional

diffusion

processes,Teor.

Primenen.,4(1959),172-185.

吉 田 耕 作  [Ⅰ;1]   

ヒ ル ベ ル

[Ⅰ;2] Functional

ト空 間 論(共

立 全 書),1953.

analysis,Springer,Berlin-Heidelberg-New

A.Zygmund  [Ⅰ;1] 

Trigonometric

the

Univ.4(1965),526-606.

and

Osaka

its

analysis,Ungar,New 原 訳,共

boundary,J.Math.Kyoto T.Shiga

and

B.St.Nagy

and

 [Ⅰ;1] 

capacities

Math.,6(1971),78-106.

Functional

月,絹 K.Sato

of

in

series,Cambridge,1959.

York,1965.

第Ⅱ

部  対 称 マル コ フ過程

第4章

 対 称 標 準 マ ル コ フ過程 の構 成

  §4.0  序   この 章 で は 正 則 デ ィ リク レ形 式 を 任 意 に 与 え た と き,そ れ に 適合 した 標 準 マ ル コフ過 程 が 存 在 す る こ と,お

よびq.e.の

出 発点 を 除 い て は そ の 有 限 次 元 結

合 分 布 が一 意 的 に定 ま る こ とを 示 す.   確 率 現 象 の系 列,即

ち補 足 §0.3の 意 味 でT={0,1,2,…}を

す る確 率 過 程Xt,t∈T,を

考 え る とき,系

時刻集合 と

列 の 各段 階 の 相 互依 存 性 とい う立

場 か ら見 て最 も単 純 な もの が 独 立 試 行過 程 で あ り,次 に 単純 な もの が マ ル コフ 過 程 と呼 ば れ る もの であ る.銅 貨 を何 度 も く り返 して投 げ る と い う実 験 を 想 定 してみ よ う.ま ず 表 が 出 るか裏 が 出 るか とい う結 果 だけ に 関心 が あ る 場 合, t+1回

目の試 み で表 が 出 る とい う確 率 は1/2で

あ って そ れ はt回

目まで の試

み の結 果 に全 く依 存 しな い.こ れ が独 立試 行過 程 の特 徴 で あ る.同 じ実 験 でt 回 目 まで に 表 が 出 た 回 数Xtに

関 心を もつ場 合,系

列{Xt}は

もは や 独 立 試

行 過 程 で は な くな る.   しか し例 え ばX10=6(10回目 か らX11は6ま

まで の試 み で 表 が6回 出 た)と い う条 件 だけ

た は7の 値 を確 率1/2ず

つ で と る とい う こ とが 自動 的 に従 う

ので あ り,そ れ は どの よ うな経 過 でX10=6と

な った か,つ

ま りX1か

らX9

まで の 結 果 が ど うで あ った か とい う こ とに依 存 しな い.い い か え る と将 来 の結 果 の確 率 は 現 在 の状 態 を 知 れ ば過去 の 履歴 に依 存 せず に 一意 的 に 予 測 で き る. マ ル コフ過 程 は こ の よ うな 性 格 に よ って 特 徴 づ け られ る確 率 過 程 の こ とで あ り, この うち特 に上 の例 の よ うに時 刻 集 合が 離 散 的 な 場 合 を 離 散 時間 の マル コ フ過 程 と呼 ん で い る.   本 書 で は,時 刻 集 合 が 連 続 無 限半 区間[0,∞)で

あ るマ ル コ フ過 程 を扱 う.

即 ちXt,t∈[0,∞),が

マル コフ過 程 で あ る とは,任 意 のt≧0に

状 態 空 間 の あ る値xを

とる と い う条 件 の下 で は,s時

過 去{xt′;t′
対 しXtが

間 後 のXt+sの

依存 しな い で 定 ま る こ とで あ る.こ

分布が

の 分 布 をp(t,x;

表 わ しマル コ フ過 程 の 推 移 関 数 とい う.こ れ がtに

も依存 せず時

け に 関 係 す る と き,即 ちp(t,x;t+s,・)=ps(x,・)と

表 わ され る

と きマ ル コ フ過 程 は時 間 的 に一 様 で あ る とい わ れ る.本 書 で は 時 間 的 に一 様 な マ ル コ フ過 程 のみ を扱 う.   マ ル コ フ過 程 の典 型 的 な 例 と して ブ ラ ウ ン運 動 とPoisson過 の上 に浮 か ん だ花 粉 の時 刻tに の 力 を 受 け てXtは

時 刻tの

於 け る位 置 をXtと

程 が あ る.水

す る とき,水

の分子運動

経 過 と共 に極 め て複 雑 な連 続 図形 を 描 く.一 方,

t時 刻 まで に電 話 局 に か か った呼 の総 数 をXtと

す る と,こ

れ は時 刻tの

経

過 と共 に1ず つ飛 躍 す る右 連 続 な階 段 関 数 で あ る.こ れ らの確 率 現 象 は 共 に 上 述 の 直 観 的 な 意 味 で の マル コ フ過 程 を なす もの と考 え られ るで あ ろ う.実 際 こ れ ら の数 学 的 模 型 が2次 元 ブ ラ ウ ン運 動 とPoisson過 り,各

程 と呼 ば れ る もの で あ

々推 移 関 数

 お よび を もつ マ ル コフ過 程 と して定 義 され る.こ の2例 は 時 間 的 に 一様 で あ るの み な らず 空 間 的 に も 一様(推 移 関 数 が 空 間 のず ら しに 関 して不 変)な

もの で あ る こ

とに注 意 して お こ う.   §4.1で 定 義 され る マル コ フ推 移 関 数 や マ ル コフ過 程 は こ の よ うな 実 際 的 背 景 を もつ もの で あ る.そ

して 上 に 直 観 的 に 述 べ た マ ル コ フ性 を数 式 で表 わ した

もの が(M.3),(M.3)′

あ るい は(4.1.4)で

あ る.

  §4.1で 見 る よ うに マ ル コ フ推 移 関 数 の全 体 とマ ル コフ過 程 の 同値 類(ど

の

出 発 点に 対 して も有 限 次元 結 合 分 布が 等 しい とい う同値 関 係 に よる もの)の 全 体 は1対1に

対 応 して い る.と ころ で マ ル コ フ過 程 の研 究 を よ り進 ん だ もの と

す る た め に は,そ

の同 値 類 の 中 か ら 数 学 的 に 扱 い や す く且 つ 自 然 な 性 質 を も っ

た も の を と りだ す 必 要 が あ る.こ さ れ て で き 上 っ た の が §4.2で

の よ うな 要 請 の 下 に1950年

代 に 次第 に整 理

定 義 す る 標 準 マ ル コ フ 過 程 の 概 念 で あ る.こ れ

は マ ル コ フ 性 の み で な くそ の 他 に標 本 路 の 滑 ら か さ(右 連 続性 と左 極 限 の 存 在) や い わ ゆ る 強 マ ル コ フ 性 等 を 満 た す マ ル コ フ 過 程 と し て 定 義 さ れ る も の で あ る. こ の よ う な 性 質 を 前 提 と し た お か げ で50年

代 か ら60年

代 に か け て マル コフ

過程 独 自 の ポ テン シ ャ ル 論 や そ の 変 換 論 が 展 開 で き た の で あ り,そ G.

Huntの

論 文[Ⅱ;1]やE.B.

Getoor[Ⅱ;1]の

の 成 果 は

Dynkin[Ⅱ;2], R.M. Blumenthal-R.K.

教 科 書 等 に 記 さ れ て い る.

 この よ うに標 準 マ ル コ フ過 程 の理 論 は 大 いに 発 達 した の で あ るが,そ れ で は 標 準 マル コ フ過 程 が い つ存 在す るの か,そ れ が どの よ うな 解 析 的 デ ー タ に よっ て 定 ま るか とい う事情 は 決 して充 分 にわ か っ てい るわ け で は な い.第 一 に 上 に 述 べ た マル コ フ過 程 の 同値 類 の 中 か ら常 に標 準 マ ルコ フ過 程 が と りだ され る と は 限 らな い ので あ る.そ の た め に は 推移 関 数 が一 定 の滑 らか さの 条 件 を 満 た さ ね ば な らな い.   標 準 マ ル コ フ 過 程 を 構 成 し う る た め のマ ル コ フ 推 移 関 数ptに ら れ た 十 分 条 件 は §4.2の最 続 関 数 の 空 間C∞ t↓0,が 各 点xで

後 に 述 べ るFellerの

を 不 変 に し,且

つ 任 意 のf∈C∞

群 と い わ れ る.ブ

れ はptが

た 一 次 元 拡 散 過 程 の 推 移 関 数(§6.5参

連

に 対 し てptf(x)→f(x), の と きptはC∞

ラ ウ ン運 動 やPoisson過

関 数 の よ う に 空 間 的 に 一様 な も の は §4.2で す し,ま

条 件 で あ る.こ

成 立 す る と い う条 件 で あ る.こ

の 半 群 と 考 え てFeller半

対 す る よ く知

見 る よ うにFellerの 照)や

上 の作 用 素 程 の推 移 条件を満た

滑 らか な 係 数 を もつ放 物

型 偏 微 分 方 程 式 の 滑 ら か な 領 域 に 於 け る境 界 値 問 題 の 基 本 解 はFeller半

群 を

決 定 す る こ と が 知 ら れ て い る.し

か し 推 移 関 数 に 対 す るFellerの

に は か な り強 い 要 請 で あ っ て,実

際 に この条 件 を確 か め るの は 困難 な場 合 が 多

い.第Ⅰ

部 で 我 々 は,デ

ィ リ ク レ形 式 を 与 え る と そ れ に 応 じ てL2上

フ 的 対 称 作 用 素 の 半 群{Tt,t>0}が

定 ま る の を 見 た が,こ

群 を 作 る こ と は 一 般 に は 不 可 能 に 近 い の で あ る.

条 件 は 一般

のマル コ

れ か らFeller半

 け れ ど もデ ィ リク レ形 式 が 正 則 な らば,3章

の ポ テ ン シ ャル論 の おか げ で充

分 多 くのfに

もち,ま た適 当な 数 列tn↓0に

対 しTtfは

準 連 続 修 正Ttfを

沿 って はTtnf(x)→f(x)がq.e.に t>0}はC∞

上 のFeller半

成 立 す る.こ の 意 味 でL2上

の半 群{Tt,

群 よ りもあ ま りひ ど く悪 い もの で は な い とい うこ

とが で き る.こ の 点 に 着 目 し,Feller半 群 か ら標 準 マル コ フ過 程 を構 成 す る場 合 と同 じ道 筋 を た ど りな が ら,し か し具 合 の悪 い概 極 集 合(容 量0の 集 合)は 逐 次無 視 して 行 くこ とに よ って 適 当 なBorel概

極 集 合 の外 側 に標 準 マ ル コ フ

過 程 を 構 成 す る こ とが で き る.こ れ が §4.4と

§4.5で 行 な う事 柄 の内 容 で あ

る.最 終 的 には,除 外 した 概極 集 合 の 点 を 全 て 不変 点 と してつ け加 え て,正 則 デ ィ リク レ形 式 に 適 合 したX上

の標 準 マル コフ過 程 を 得 るわ け で あ る.

 この よ うに我 々 の 構 成 法 はFeller半 相 違 は 次 の点 にあ る:正

群 の場 合 と類似 な の で あ るが,重

則 な標 本 路 を 構 成 す る問 題 を,Feller半

は優 マ ル チ ンゲ ー ル の標 本 路 の 正 則 性(補 足 §0.4(d))に が,我

要な

群 の場 合 に

帰 着 さす の で あ る

々の場 合 には そ れ と同時 に 優 マル チン ゲ ール に 関 す る任 意抽 出定 理(補

足 §0.4(c))を

も用 いね ば な らない(補 題4.5.1).標

本 路 の 閉 包 が適 当 な

概 極 集 合 の 外 側 に 留 ま る こ とを 保 証 す るた め に で あ る.  上 の 説 明 か ら推 察 され る よ うに,正 則 デ ィ リク レ形 式 に 適 合 した標 準 マ ル コ フ過 程 は"全 て の 出発 点 に対 して有 限 次 元 結 合 分 布 が 等 しい"と い う意 味 で の 一 意 性 を もた な い .し か し"全 て の出 発 点 に対 して"と い う条 件 を"あ るBorel 概 極 集 合 の外 側 の全 て の 出発 点 に対 して"に 弱 め れ ば 一 意 性 が 成 立 す る.こ の よ うな一 意 性 の定 式 化 は 存 在定 理 の 定 式 化 と共 に §4.3で 与え ら れ る.§4.4 と §4.5の 議 論 は そ の 性 格 上 や や微 細 な もの な ので,読 者 は 最 初 は こ こを飛 ば して先 の章 に 進 まれ て さ しつ か え な い.但 結 果 と して得 られ る 補題4.5.1の

しマ ル チ ンゲ ール の任 意 抽 出 定 理 の

不 等 式 は §5.1で 再 び 用 い られ るで あ ろ う.

  §4.1  マ ル コ フ 推 移 関 数 と マ ル コ フ 過 程  (S,B)を B,の

可 測 空 問 とす る と き,次

非 負 関 数pt(x,A)を(S,B)上

の 条 件 を 満 た す3変 の(時

数t>0,x∈S,A∈

間 的 に 一 様 な)マ

ル コフ 推 移 関

数(Markov

transition

 (p.1) 

function)と

各t>0とx∈Sに

い う.

対 し,pt(x,・)は(S,B)上

の測 度 でpt(x,S)

≦1.  (p.2) 

各t>0とA∈Bに

対 し,pt(・,A)∈B.

  (p.3)

最 後 の 関 係 はChapman-Kolmogorov方 義 に 於 い てt,sがQ+(正

程 式 と い わ れ る.本

の 有 理 数 の 全 体)上

よ うな 場 合 に はpt(x,A)を

特 にQ+を

書 で は,上

の定

の み を 動 く 場 合 も考 え,そ

の

パ ラ メ タ ー とす る マ ル コ フ 推 移 関 数

と 呼 ぶ.   Sに

属 さ な い 一 点Δ

れ る σ-加法 族 をBΔ 関 数 をpt(x,A)と

を 考 え,SΔ=S∪{Δ}と

と 記 す.勿 す る と,こ

論Δ

お き,SΔ

内 でBか

∈BΔ で あ る.(S,B)上

れ はAに

の マ ル コフ推 移

関 し て(S,B)上

ず し も な い.し

か し 次 の よ うに(SΔ,BΔ)上

と に よ っ て,確

率 測 度 の 場 合 に 帰 着 で き る.

ら生 成 さ

の確 率 測 度 で は 必

の マ ル コ フ推 移 関 数 に 拡 張 す る こ

(4.1.1)  問4.1.1(S,B)上

の マ ル コ フ推 移 関 数pt(x,A)か

れ るp′tは,(SΔ,BΔ)上

  Tで

も っ て,[0,∞],[0,∞)ま

る.Tを

時 刻 集合 と し,可

に 関 す る)マ

  (M.1) 

 (M.2) 

測 空 間(S,B)を

い ず れ か を表 わ す こ と に す 状 態 空 間 と す る よ う な({Mt}

の 条 件 を 満 た す 確 率 過 程 の 組M={Ω,M,

に 対 し,{Ω,M,Px,(Xt)t∈T}は,Tを

状 態 空 間 に も つ 確 率 過 程 で あ っ て,{Mt}に

{Mt}t∈TはMの Mt⊂Mg,を

よ って 定 義 さ

の こ と で あ る.

各x∈SΔ

(SΔ,BΔ)を

た は{0}∪Q+の

ル コ フ 過 程 と は,次

Mt,Xt,Px}x∈SΔ

ら(4.1.1)に

の マ ル コ フ 推 移 関 数 に な る こ と を 示 せ.

あ る 指 定 され た 部 分

時 刻 集合 とし 適 合 して い る.但

し

σ-加法 族 の 集 合 でt,s∈T,t<s⇒

満 た す も の. 各t∈TとA∈Bに

対 し てPx(Xt∈A)はx∈SのB-可

測 関 数.

 (M.3)

  (M.4) 

各 点x∈SはBに

属 しPx(X0=x)=1,x∈S.

  (M.5) PΔ(Xt=Δ)=1,t∈T.   条 件(M.3)はMの{Mt}に はMの

関 す る マ ル コ フ 性 の 条 件 とい わ れ る.(M.4)

正 規 性(normality)と

呼 ば れ,Pxがxか

ら出 発 す る 標 本 路 の 法 則 で

あ る こ と を 意 味 して い る.Δ

は 便 宜 上 つけ 加 え る も の でMの

point)と

部 分 σ-加法 族 の 組 を

呼 ば れ る.今Mの

死 点(terminal

(4.1.2) に よ っ て 定 義 す る.但

し右 辺 の 記 号 は{ 

加 法 族 を 意 味 す る.も

しMが{Mt}に

必 ず{F0t}に (M.3)の

}内 の 関 数 族 を 可 測 に す る 最 小 の σ関 し て マ ル コ フ過 程 で あ れ ば,そ

関 し て も マ ル コ フ 過 程 に な る.実

両 辺 の 確 率 変 数 のF0tに

際,F0t⊂Mtで

 Px-

が 得 ら れ る か ら で あ る.今 M,Xt,Px}x∈SΔ

後{Mt}を

あ る か ら,

関 す る 条 件 付 平 均 を と り,(0.4.4)を

 (M.3)′

れ は

使 えば

a.e.,

特 に 指 定 せ ず に,確

率 過 程 の 組M={Ω,

が マ ル コ フ過 程 で あ る と い う と き に は,{F0t}に

関す る マ ル

コ フ過 程 を 指 す も の とす る .  さ て マ ル コ フ過 程Mに (4.1.3) 

対 し

P′t(x,A)=Px(Xt∈A),t∈T,x∈SΔ,A∈BΔ

と おき,P′tの(S,B)へ マ ル コフ 過 程Mの (t∈T-{0}に で あ り,ま

の 制 限 をptと 推 移 関 数 と い う.こ

対 し て)各 た 関 係(4.1.1)を

均 を と り(0.4.6)を

々(SΔ,BΔ)お 満 た す.実

書 く.そ

し て{pt;t∈T-{0}}を

の よ う に し て 定 義 さ れ たp′tとptは よ び(S,B)上 際(M.3)の

の マ ル コ フ推 移関 数 両 辺 のPxに

関す る平

使 え ば  が 得 ら れ る.他

の 関 係 は 自明 で あ る.

1)  部 分σ-加 法 族 に関 す る条 件 つ き確 率 や 条 件 つき 平 均 値 の 定 義 と そ の 初 等 的 性質 に 関 して は補 足 §0.4参 照. 2)  確 率 測 度Pxに 関す る平 均(§0.4参

照)をExで

表わす.

 補 題4.1.1 

M={Ω,M,Xt,Px}x∈SΔ,を

 (ⅰ) p′tを(4.1.3)に

マ ル コ フ 過 程 と す る.

よ っ て 定 義 す る とき,

(4.1.4)

が 任 意 のx∈SΔ,0≦t1
対 し て 成 立 す る.但

の δ-測度)と

約 束 す る.ま

た(BΔ)n

直 積 σ-加法 族 を 表 わ す.

 (ⅱ)  任 意 のΛ∈F0に

対 し て,Px(Λ)はx∈SΔ

の関 数 と し てBΔ-可

  証 明  (ⅰ)と(M.2)お

よ び 単 調 族 定 理(補

従 う.(ⅰ)の

意 の 非 負 関 数f1,f2,…,fn∈

た め に は,任

足 §0.1(b))か

測.

ら(ⅱ)が

…BΔ に 対 し て

(4.1.5)

が 示 さ れ れ ば よ い.n=1の (4.1.5)がnに対

と き(4.1.5)はP′tの

定 義 に 他 な ら な い.

し て 成立 し た とす る と(M.2)と(M.3)′

よ り

但し こ れ で(4.1.5)がn+1の  (4.1.4)は

と き成 立 す る こ と が わ か っ た.(証

マ ル コ フ 過 程 の 有 限 次 元 分 布 が,そ

終)

の推 移 関 数 に よ って 一 意 的 に

記 述 さ れ て い る こ と を 示 し て い る.逆

に 可 測 空 間(S,B)上

数ptを

与 え た と き,そ

か?こ

れ は 次 の 設 問 と 同 じ で あ る.ptか

る と き,有

れ を 推 移 関 数に も つ マ ル コ フ過 程 が 存 在 す る で あ ろ う

限 次 元 分 布 が(4.1.4)の

組 が 存 在 す る か?こ

のマ ル コ フ推 移 関

ら(4.1.1)に

よ っ てp′tを

定義す

右 辺 に よっ て 与え ら れ る よ う な 確 率 過 程 の

の よ う な 組 は 明 らか に(M.2),(M.3)′,(M.4),(M.5)を

満 た す か ら で あ る.

 これ に答 え るた め に (4.1.6) Ω=(SΔ)T,Xt(ω)=ωt,ω∈Ω,t∈T と お く.Ω

は写 像

わ す.Mと

し て は,Xt,t∈T,を

の 部 分 集 合Λ

ω:T→SΔ

の 全 体 で あ り,ωtは

set)と

い う.Mは

を 固 定 し,筒

集 合Λ

程 式 を 使 う と,

名 なKolmogorovの

っ てS

拡 張 定 理1)に

訴

の あ る確 率 測 度 に 一 意 的 に 拡張 す る こ とが で

ち

  定 理4.1.12) 

Sを 局 所 コ ン パ クト で 可 分 なHausdorff空

集 合 の 全 体,SΔ

をSの

M,Xt,Px}x∈SΔ

お く.こ

の と き(S,B)上

対 し て,ptを

が 一 意 的 に 存 在 す る.即

率 測 度 の 組Px,x∈SΔ,が

Ito[Ⅱ;4]定

そ のBorel

よ っ てΩ,Xt,

の 任 意 のマ ル コ フ 推 移

推 移 関 数 と す る マ ル コ フ過 程M={Ω, ち こ の 条 件 を 満 た す(Ω,M)上

一 意 的 に 存 在 す る.

ユ ー ク リ ッ ド空 間 の 場 合 に つ い て はA. 

2)  詳 し くはK. 

間,Bを

一 点 コ ン パ ク ト化 とす る.(4.1.6)に

定 義 しM=F0と

関 数{pt,t∈T-{0}}に

1)  Sが

の 測 度Px(Λ)を

の 筒 集 合 と し て の 表 現 の 仕 方 に 無 関 係 な こ と が わ か る.従

え る こ と に よ り こ の 測 度 をM上

t∈T,を

筒 集 合全 体 を含 む 最

右 辺 に よ っ て 定 義 す る.Chapman-Kolmogorov方

が よ い 性 質 を も つ 位 相 空 間 の 場 合 は,有

き る.即

と る.Ω

で

小 のσ-加 法 族 に ほ か な ら な い.x∈SΔ

こ の 値 がΛ

於 け る値 を 表

可 測 に す る 最 小 のσ-加 法 族F0を

と 表 わ さ れ る も の を 筒 集 合(cylinder

(4.1.4)の

ω のtに

理59.1参

照.

Kolmogorov[Ⅱ;3]参

照.

の確

 マ ル コ フ 過 程M={Ω,M,Mt,Xt,Px}x∈SΔ

に 於 い て,Ω

の 直 積 集 合 の あ る部 分 集 合 で あ り,Xtが(4.1.6)で {F0t}か Mを

が(4.1.6)の

与 え られ,ま

型

た{Mt}が

あ る い は そ の 一 定 の 完 備 化 に よ っ て 得 ら れ る も の で あ る と き,我

関 数 空 間 型(function

space

type)と呼

フ 過 程M={Ω,M,Mt,Xt,Px}x∈SΔ られ た と き,も Xt,Px}が とMは

のマル コ が与え

対 し て{Ω,M,Mt,Xt,Px}と{Ω,M,Mt,

確 率 過 程 と し て 同 値(即

っ た こ とに な る:Sが

の2つ

とM={Ω,M,Mt,Xt,Px}x∈SΔ

し任 意 のx∈Sに

同 値 で あ る と い う.補

ん で い る.S上

々は

ち 有 限 次 元 結 合 分 布 が 等 しい)の

題4.1.1と

定 理4.1.1に

と きM

よ り次 の こ と が わ か

局 所 コ ンパ ク トで 可 分 なHausdorff空

間 な らマ ル コ フ

推 移 関 数 の 全 体 と マ ル コ フ 過 程 の 上 の 意 味 で の 同 値 類 の 全 体 と は1対1に す る.そ

対応

し て 各 同 値 類 の 中 か ら 関 数 空 間 型 の マ ル コ フ過 程 を 代 表 と し て 選 ぶ こ

と が で き る.

  §4.2  標 準 マ ル コ フ 過 程

 本 節 で は マ ル コ フ過 程 に 対す る マル コ フ性 以 外 の い くつ か の 条 件 を 述 べ た 後 に標 準 マル コ フ過 程 やHunt過   以 後 §1.1の 考 え,そ

位 相 空 間,即

のBorel部

分 空 間 とみ な す.そ

 

(M.6) 

一 つ 取 っ て 固 定 す る.XΔ

間Xを をXの

も 述 べ た よ うにSΔ=S∪{Δ}をXΔ

し て 特 に 断 ら な い 限 り,本

{Ω,M,Mt,Xt,Px}x∈SΔ .5)の

ち 局 所 コ ン パ ク トで 可 分 なHausdorff空

分 集合S∈B(X)を

点 コ ン パ ク ト化 と し,§3.1で

∼(M

程 の概 念 を 導 入 す る.

一

の位相 部

節 で 考 え る マ ル コ フ過 程M=

は 時 刻 集 合T=[0,∞]を

も ち,前

節 の 条 件(M.1)

他 に 標 本 路 に 関 す る 次 の 条 件 を 常 に 満 た す も の と す る. (ⅰ) 

X∞(ω)=Δ,∀

ω ∈Ω.

 (ⅱ)  任 意 の ω∈Ω に 対 しXt(ω)=Δ,∀t≧ 本 路 のΔ

ζ(ω).但

し ζ(ω)は

ω の標

へ の 到 達 時 刻inf{t≧0;Xt(ω)=Δ}

を 表 わ す.   (ⅲ)  任 意 の ω∈Ω に 対 し,そ (0,ζ(ω))上

で 左 極 限 を(SΔ

の 標 本 路 は[0,∞)上

内 に)持

つ.

で 右 連 続 で あ り,且

つ

  (ⅳ)  任 意 のt∈[0,∞]に ∀S∈[0,∞],を

満 た す.但

対 しΩ 上 の 変 換θtが 存 在 しX3(θtω)=Xs+t(ω), し θ∞ ω=ω Δ.ω Δ はX0(ω

Δ)=Δ な るΩ

の 特別 な 要

素.  ζ(ω)は ω の 標 本 路 の 生 存 時 間(life ば 標 本 路 は 死 点Δ

time)と

い わ れ る.生

に 留 ま る と い う条 件 が(M.6)(ⅱ)で

路 の 滑 ら か さ を 表 わ し,(ⅳ)に

於 け る変 換

存 時 間 を過 ぎ れ

あ る.(ⅲ)は

θtは ず ら し(shift)と

  次 に マ ル コ フ 過 程M={Ω,M,Mt,Xt,Px}x∈SΔ

標 本

呼 ば れ る.

の 強 マ ル コ フ性 と準 左 連 続

性 の 定 義 を 与 え よ う. (4.2.1) 

Mは{Mt}に

関 し 強 マ ル コ フ(strong

⇔(ⅰ){Mt}t∈[0,∞)は

右 連 続.(ⅱ)任

Markov)

意 の{Mt}-停

止 時 刻σ

に対 して

Px-a.e., (4.2.2) 

Mは{Mt}に

関 し(0,ζ)上

⇔{σn}が{Mt}-停

(4.2.3)  に 対 し,そ

止 時 刻 の 増 大 列 で 

Mは{Mt}に

関 し(0,∞)上

の 標 本 路 は(0,∞)上

に 於 い て ζ を∞

で 準 左 連 続(quasi-left

continuous)

のとき

で 準 左 連 続 ⇔(ⅰ)任

で も左 極 限 を(SΔ

内 に)も

意 の

ω∈

Ω

つ.(ⅱ)(4.2.2)

に 置 き か え た 式 が 成 立 す る.

 強 マ ル コ フ性(4.2.1)は

マル コフ性 の 条 件(M.3)に

於 け る時刻tを

ラン

ダ ムな停 止時 刻 σに お きかえ る こ とに よ って ラ ンダ ム化 した もの とい うこ とが で き る.強 マ ル コ フ性 や準 左連 続性 は マ ル コフ過 程 の理 論 を真 に有 効 な もの と す るた め に欠 か せ な い条 件 で あ る.従っ て,マ ル コフ過 程 が いつ 強 マ ル コフ性 や 準 左 連 続 性 を もつ か とい うこ とを そ の 推 移関 数 の性 質 に よ っ て判 定 す る こ と は 重 要 で あ る.こ こで は 本章 の 後 の議 論 に応 用 しや す い形 で 十 分 条 件 を 与え て お こ う.  マ ル コ フ過 程Mの 1)  停 止時 刻 σ やMσ

推 移 関数 をptと

し,f∈bB2)に

の 定 義 につ い て は補 足 §0.3参 照.

対し

(4.2.4) と お く.ま

たX上

の 関 数f∈bB(X)に対

し て,そ

を 作 用 さ せ た も の を 改 た め てptfと お こ う.S上

ま た はX上

関 数 に 拡 張 す る.す

書 く こ と に す る.こ

の 関 数fは

上 の 関 数 に 拡 張 す る.更

のSへ

常 にf(Δ)=0と

の 制限f￨sにpt こで 次 の 約 束 を して

お い て,SΔ

に(4.2.4)のptfもptf(Δ)=0とお

る とf∈bBま

い てSΔ

た はf∈bB(X)に

(4.2.5) ptf(x)=Ex(f(Xt)),

ま た はXΔ 上 の

対 して

x∈SΔ,t∈(0,∞)

が 成 立 す る こ と に注 意 す る.

 定 理4.2.1  と し{Mt}は (4.2.6) 

マ ル コ フ 過 程M={Ω,M,Mt,Xt,Px}x∈SΔ 右 連 続 で あ る と す る.任

意 のs∈+Q+とf∈C∞(X)に

Px(psf(Xt)はt∈[0,∞)に関

と 仮 定 す る と,Mは{Mt}に   定 理4.2.2 

の 推 移関 数 をpt 対 し

し右 連 続)=1,x∈S

関 し強 マ ルコ フ で あ る.

マ ル コ フ 過程M={Ω,M,Mt,Xt,Px}x∈SΔ

と す る.{Mt}は

右 連 続 で あ り,任

上 で 左 極 限 を も つ と す る.任

意 の ω∈Ω に対

の 推 移 関 数 をpt し そ の 標 本 路 は(0,∞)

意 のs∈Q+とf∈C∞(X)に

対 し,条

件(4.2.6)

に加 えて

(4.2.7) を 仮 定 す る と,Mは{Mt}に   定 理4.2.1の

証 明  Mの

定 し て い る か ら,補 Mσ

関 し(0,∞)上

標 本 路 は 右 連 続 で あ りま た{Mt}も

足 の 定 理0.3.2に

とf∈C(XΔ)に

で 準 左 連 続 で あ る.

ょ りXσ ∈Mσ/BΔ.従

右 連 続 と仮

っ て,任

意 のΛ ∈

対 して

(4.2.8) が 示 さ れ れ ば よ い.と 自 明 で あ る.ま

こ ろ で こ の 等 式 はfがXΔ

たf∈C(XΔ)に

対 しg(x)=f(x)-f(Δ)と

p′sf(x)=psg(x)+f(Δ),x∈SΔ,が 任 意 のΛ ∈Mσ

とf∈C∞(X)に

2)  記 号 に つ い て は 補 足

上 の 定 数 関 数 で あ る場 合 は

§0.1(a)参

成 立 す る か ら,(4.2.8)は 対 して 照.

お く と,g∈C∞(X), 次 と 同 値 で あ る.

(4.2.9)   先 ず(4.2.9)をs∈Q+に

対 し て 示 そ う.σ

σnを 定 理0.3.1(ⅱ)に

を 上 か ら近 似 す る 停 止 時 刻 列

従 っ て 定 義 す る.各kに

が 成 立 す る か ら,マ

ル コ フ性(M.3)よ

  つ ま り σnに 対 し て は(4.2.9)が 連 続 性 と 条 件(4.2.6)よ

り

成 立 す る.n→∞

り(4.2.9)が

  次 に 関 係(4.2.5)と

対 し て 

標 本 路 の 右 連 続 性 が,psf(x),x∈SΔ,のs∈(0,∞)に

て 上 か ら近 似 す れ ば,こ

  定 理4.2.2の

本 路 の右

σ に 対 し て 成 立 す る こ と が わ か る.

関 す る 右 連 続 性 を 導 く こ と に 注 意 しつ つ,(4.2.9)に

が で き る.s=0の

と す る と,標

れ が 任 意 のs>0に

と き は 自 明 で あ る.(証 証 明  {Mt}-停

於 い てsを

有理数に沿 っ

対 して も成 立 す る こ とを 示 す こ と 終)

止 時 刻 列σn↑ σ を 考 え る.{σ<∞}上

でXσn

→Xσ

を 示 す の だ か ら,最 初 か ら σ(ω)<∞ ,∀ ω∈Ω,と 仮 定 し て さ しつ か え な

い.必

要 な ら σn,σの 代 わ りにσn∧t,σ∧tを

で あ る.そ

こ で 

於 け る 条 件 を 仮 定 す れ ば,前

た 前 定 理 の 証 明 中 の 注 意 に よ り,任

に 対 し て,p′sfは

条 件(4.2.7)を

路 の右 連 続 性 に よ り 意 のf,g∈C(XΔ)に

とす れ ば よい か ら

と お く.明

 こ こ で 定 理4.2.2に コ フ.ま

と っ てt→∞

満 た す.更

定 理 に よ りMは

意 のs∈Q+と にMの

強 マ ル

任 意 のf∈C(XΔ) 正 規 性(M

  従 っ て,任 対 し

らか に

.4)と

標本

意 のx∈Sと

任

単 調 族 定 理(補 ∈bB(XΔ

足 §0.1(b))に

×XΔ).特

てPx(Z=Xσ)=1を

得 る.(証

  以 上 見 て き た よ う に,マ

してX上 終)

合B∈Bへ

れ らの性 質 が 有 効 に 生 か され るた め に は 少 な くと の標 本路 の到 達 時 刻

刻 に な っ て い る こ と が望 ま し い.補 {Mt}は

の有 界 な距 離 を と る こ と に よ っ

ル コフ過 程 は 一 定 の 条 件 の下 で 強 マル コフ性 や 準 左

連 続 性 を も つ の で あ るが,こ も 任 意 のBorel集

よ っ てEx(h(Z,Xσ))=Ex(h(Z,Z)),∀h

にh(x,y)と

σBや

足 の 定 理0.3.3に

σ′Bが{Mt}-停

よ れ ば,そ

止時

のためには

単 に 右 連 続 で あ る の み で な く適 当 に 完 備 化 さ れ て い な け れ ば な ら な い.

  そ こ で マ ル コ フ 過 程M={Ω,M,Xt,Px}x∈SΔ に よ っ て 定 義 さ れ るMの

部 分 σ-加法 族F0,F0tの

=P(SΔ,BΔ)で(SΔ,BΔ)上 よ り μ∈P(SΔ)に

が 与 え ら れ た と し,(4.1.2) 完 備 化 を 考 え よ う.P(SΔ)

の 確 率 測 度 の 全 体 を 表 わ す.補

対 し(Ω,F0)上

の 確 率 測 度Pμ

題4.1.1(ⅱ)に

を

(4.2.10) に よ って定 義 す る こ とが 可 能 で あ る.Mの

正 規 性(M.4)に

か ん が み て,Pμ

は μ を 初 期 分布 とす る標 本路 の確 率 法 則 を表 わ す.   さて

(4.2.11) (4.2.12) と お く.但

こ の ときFtはFの

し 

部 分 σ-加法

族 で あ り,

(4.2.13) で あ る こ とが 容 易 に わ か る.Λ ∈F,Pμ(Λ)=0,∀ 元 で あ る が,こ

れ は 必 ず し も(4.2.13)の

の よ う に(4.2.13)の あ ろ う2).Pμ

のF0か

る Λ はFtの

右 辺 に 属 す と は 限 ら な い.Ftを

こ

右 辺 よ り広 く取 っ て お く と 便 利 な こ と は や が て わ か る で らF上

1)  記 号 の 意 味 に つ い て は,補 2)  定 理4.2.3(ⅰ)の

μ∈P(SΔ),な

へ の 拡 張 を 同 じ記号Pμ 足

証 明 参 照.

§0.1(a)参

照.

で 表 わ す.

 

  補 題4.2.1 

(ⅰ)  非 負 関 数Z∈Fに

ま た 各t≧0に

対 し

対 し てEx(Z)はxに

関 し 普 遍 可 測.

は{Ft}に

関 し て もマ ル コ フ

  (ⅱ)  マ ル コ フ過 程M={Ω,M,Xt,Px}x∈SΔ 性 を も つ.更

に 任 意 の 非 負 関 数Z∈Fに

  証 明   (ⅰ)  任 意 の μ∈P(SΔ)を

対 して

と る.Z∈Fに

対 しZ1,Z2∈F0が

存 在 し

従 って

補 題4.1.1(ⅱ)に

よ りEx(Zi),i=1,2,はBΔ-可

Ex(Z)が(BΔ)μ-可

測 で あ る こ と を 意 味 し て い る.

  次 にE∈B*Δ (SΔ,BΔ)上

と し,任

意 の μ∈P(SΔ)に

の 測 度 ν を 定 義 す る.ν

⊂E2,ν(E2-E1)=0な

測 で あ る か ら,こ

対 し ν(A)=Pμ(Xt∈A)に

  (ⅱ)  (ⅰ)に Ft-可

x→Ex(Z),の

っ て(ⅱ)の Ex(IΛ

が 任 意 の Λ∈Ftに よ り Λ∈F0tに

合 成 関 数EXt(ω)(Z)は

た め に は等 式

・Z゜ θt)=Ex(IΛ

・EXt(Z))

対 し て 成 立 す る こ と を 証 明 す れ ば よ い.ま

たFtの

定義に

対 し 証 明 す れ ば 充 分 で あ る.

  こ の 式 がZ∈F0に か ら補 題4.1.1(ⅰ)の

対 し て 成 立 す る こ と はF0tに

関 す る マ ル コ フ 性(M.3)′

証 明 と同 様 に し て 導 か れ る こ と で あ る.実

が 任 意 の 非 負 なf1,f2,…,fn∈BΔ か ら,後

を意 味 す る.

り

よ り 

測 で あ る.従

でE1⊂E

れ は 

つ ま り  μ は 任 意 で あ っ た か ら(4.2.13)よ

よ って

に 対 し 適 当 なE1,E2∈BΔ

る も の が 存 在 す る が,こ

れ は

と0≦s1<s2<…<snに

は 単 調 族 定 理 を 使 え ば よ い.

1)  記 号 に つ い て は 補 足 §0.1(a)参

照.

際

対 し て 成 り立 つ

 次 に 非 負 関 数Z∈Fを

と りν(A)=Px(Xt∈A)で

定 義 され るBΔ 上 の 測 度

ν を 考 え る. 

な るZ1,Z2が

存在

す るが

従 って

(証終)  問 題4.2.1  らば(従

マ ル コフ過 程M={Ω,M,Xt,Px}x∈SΔ

って 定 義 に よ り{Ft}の

と任 意 の{Ft}-停止

が{Ft}に

右 連 続 性 も仮 定 され て い る),任

関 し強 マル コ フな 意 の非 負関 数Z∈F

時 刻 σ に 対 して Px-a.e.,

  マ ル コ フ 過 程M={Ω,M,Xt,Px}x∈SΔ 4),(M.6)の dard

他 に)次

Markov

の2条

process)と

が((M.1),(M.2),(M.3)′,(M.

件 を 満 た す と き,Mを い う.

  (M.7) 

Mは{Ft}に

関 し て 強 マ ル コ フ,

  (M.8) 

Mは{Ft}に

関 し て(0,ζ)上

更 に(M.8)よ

で 準 左 連 続.

りも強 い条 件

  (M.8)′  Mは{Ft}に

関 し て(0,∞)上

を 要 請 す る と き,MはHunt過   Hunt過

標 準 マ ル コ フ 過 程(stan

程 の 公 理 はG.

の で あ る.Huntは

で準 左 連 続

程 とい わ れ る. Huntが

そ の 論 文[Ⅱ;1]で

仮 説(A)と

呼んだ も

こ の 公 理 に 基 づ い て 今 日確 率 論 的 ポ テ ン シ ャ ル 論 と呼 ば れ

て い る も の の 基 礎 を 作 っ た.E.B. 標 準 過 程 と呼 ん だ.そ

Dynkinは

こ の 公 理 を 上 の よ うに 少 し 弱 めて,

し て ラ ン ダ ム な 加 法 的 汎 関 数(additive

乗 法 的 汎 関 数(multiplicative

functional)に

functional)や

よ る標 準 過 程 の 変 換 論 を 系 統 的 に

展 開 した.   マ ル コ フ 過 程 が い つ 標 準 マ ル コ フ 過 程 やHunt過 題 は 勿 論 重 要 で あ る.こ こ う.

程 に な る か と い う判 定 の 問

こで 本 章 で の 応 用 を 意 識 した 判 定 条 件 を 一 つ 与 え て お

 

  定 理4.2.3 

マ ル コ フ 過 過M={Ω,M,Xt,Px}x∈SΔ

ω∈ Ω の 標 本 路 は(0,∞)上   (ⅰ)  Mが (4.2.14) 

意 の

条件

Mは{F0t+}に

を 満 た せ ば{Ft}は

関 して マル コ フ性 を もつ

右 連 続 で あ る.

  (ⅱ)  Mが

条 件(4.2.6)を

  (ⅲ)  Mが

条 件(4.2.6)と(4.2.7)を

  証 明   (ⅰ) μ ∈P(SΔ)を 性(M.3)′

が 与 え ら れ,任

で 左 極 限 を も つ も の とす る.

か ら,補

満 た せ ば(4.2.14)が

成 立 す る.

満 た せ ばMはHunt過

任 意 に と っ て 固 定 す る.{F0t}に

題4.1.1の

程 で あ る. 関す るマ ル コ フ

証 明 と全 く 同 様 に し て 以 下 の 等 式 が 導 か れ る.

任 意 の0≦t1<…
非 負 関 数f1,f2,…,fn∈BΔ

に対

して Pμ-a.e..

{F0t+}に

関 す る マ ル コ フ性 の 仮 定(4.2.14)か

ら も全 く同様 の 式 が 導 か れ る

か ら Pμ-a.e..

こ こで単 調 族 定 理 を 使 え ば,任 意 の非 負 関 数Y∈F0に Pμ-a.e..

(4.2.15) 

そ こ で Λ ∈F0t+に a.e.が

対し

得 られ る.つ

対 し,Y=IΛ

と お く と(4.2.15)か

ま り Λ はF0t-可

らIΛ=Eμ(IΛ/F0t)Pμ-

測 集 合 とPμ-測 度0し

か 違 わ な い.μ

は

任 意 で あ っ た か ら次 の こ と が わ か っ た こ と に な る.

 これ は{Ft}の

右連 続性 を 意 味す る.実 際 

とす れ ば  と お く と 

従 っ て Λ∈Ft. (ⅱ)  任 意 の Λ∈F0t+とs∈Q+,f∈C∞(X)に

対 して

(4.2.16) を 示 せ ば よ い.そ

うす れ ば 定 理4.2.1の

証 明 と 全 く同 様 に し て,Mt=F0t+に

∀μ,

関 す る マ ル コ フ性(M.3)が

従 うか ら で あ る.と

な るt′ を と れ ば(4.2.16)は 関 す る マ ル コ フ性(M.3)′ (4.2.16)を

成 立 す る.実

補 題4.2.1に

仮 定 す れ ば(ⅰ)と(ⅱ)に

よ りMは{Ft}に

し 条 件(4.2.6)を

使 って

か る.更

仮 定 す れ ば,定

に(4.2.7)を

よ り{Ft}は

で 準 左 連 続 と な る.即

関 し強 マ ル コ フ 性 を も つ こ と が わ 理4.2.2に

ちMはHunt過

応 用 と し て,Hunt過

し て つ け 加 る こ と に よ っ てSを

よ りMは{Ft}に

関 し

程 で あ る. (証 終)

程 の 殆 ん ど 自 明 な2つ

そ の 不 変 部 分 集 合 上 に 制 限 す る 操 作 と,逆

M={Ω,M,Xt,Px}x∈SΛ

右 連 続 で あ る.

関 し て も マ ル コ フ 性 を も つ か ら,再 び(4.2.6)

よ りMが{Ft}に

  定 理4.2.3の

 

際 Λ ∈F0t′ だ か らMの{F0t}に

を 使 え ば よ い.t′↓tと

を 使 え ば 定 理4.2.1に

空 間Sを

代 わ り にt′>t

得 る.

  (ⅲ)  (4.2.6)を

(0,∞)上

こ ろ でtの

にS以

の 変 換,即

ち状 態

外 の 点 を 不変 点 と

拡 張 す る 操 作 に つ い て 触 れ て お く.

をHunt過

程 と す る.一

般性 を 失 う こ と な く

M⊃F と仮 定 し て よ い.Mの

状 態 空 間SのBorel部

分 集 合S∈Bに

対 して

(4.2.17) とお く.補

題 の 定 理0.3.3に

達 時 刻 σ′(ω)はF-可 達時刻

σ もF-可

測 で あ る.同

測 で あ る.従

  さ てS∈BがM-不

Ω)上

の到

って

の と きM∩

あ る とは

Ω={Λ

∩Ω;Λ ∈M}と

お き,Xt,Px

記 す と,M={Ω,M∩

Ω,Xt,

状 態 空 間 とす る マ ル コ フ過 程 と な る こ と を 容 易 に 確

か め る こ と が で き る.MをMの 状 態 空 間 の 点x∈SがMに

(4.2.19) 

様 に 標 本 路 の 左 連 続 修 正 のS-Sへ

へ の 制 限 を 改 め てXt,Pxと

P x}x∈SΔ が(S,B(S))を

は 罠(trap)で

の到

Px(Ω)=1, ∀x∈S

が 成 立 す る こ と で あ る.こ

  Mの

合S-Sへ

変(M-invariant)で

(4.2.18) 

の(Ω,M∩

よ れ ば ω の 標 本 路 のBorel集

そ の 不 変 集 合S上

関 し不 変 点(invariant

あ る とは Px(Xt=x, 

へ の 制 限 と い う.

∀t∈[0,∞))=1

point)あ

る い

が 成 立 す る こ と で あ る.   次 の 定 理 の 後 半 の 主 張 は,特 た すHunt過

に(S=Sと

お く と)(4.2.6)と(4.2.7)を

満

程 と し て は 常 に 関 数 空 間 型 の も の が とれ る こ と を 意 味 し て い る.

  定 理4.2.4 

条 件(4.2.6)と(4.2.7)を

満 た すHunt過

程M={Ω,M,Xt,

Px}x∈SΔ が 与 え ら れ た とす る.   (ⅰ)  Mの

そ の 不 変 部 分 集 合S(⊂S)上

へ の 制 限 は(S,B(S))上

のHunt

過 程 で あ る.   (ⅱ)  S⊃S,S∈B(X)な た す(S,B(S))上

る 任 意 のSに

対 し て,(4.2.6)と(4.2.7)を

の 関 数 空 間 型 のHunt過

程Mで

満

次 の 性 質 を もつ もの が 存

在 す る.  

(a)  し てMと

 

(b) 

SはMの

不 変 集 合 で あ り,MのS上

へ の制 限 は マ ル コフ過 程 と

同 値. S-Sの

各 点 はMの

  証 明   (ⅰ)  Mの

不 変 点.

そ の 不 変 集 合S上

の 推 移 関 数 はMの

へ の 制 限 をMと

そ れ を(S,B(S))上

し て も(4.2.6)と(4.2.7)が

す る.明

ら か にM

に 制 限 した も の で あ る か ら,Mに

成 立 す る.従

対

っ て 前 定 理 に よ りMもHunt過

程 で あ る.   (ⅱ) 

な る関 数

ω=ω(t)で

次 の 性 質 を 満 た す もの の 全

体 Ω を 考 え る.   (Ω.1)  ω(∞)=Δ.   (Ω.2)  ω(s)=Δ

な ら ω(t)=Δ,  ∀t≧s.

  (Ω.3)  ω(t)は[0,∞)上

で 右 連 続 で あ り,(0,∞)上

で(SΔ

内 に)左 極 限

を も つ.   Xt(ω)=ω(t),ω

∈ Ω,と お く.Xtか

族F0,F0t,t≧0を(4.1.2)に 程M={Ω,M,Xt,Px}x∈SΔ

ら生 成 さ れ る Ω の 部 分 集 合 の σ-加法

よ っ て 定 義 す る.与 の 性 質(M.6)に

え られ たS上

よ り Ω か ら Ω 上 へ の 写像

が 次 式 に よ っ て 定 義 で き る. (4.2.20) 

Xt(Π ω)=Xt(ω), 

のHunt過

ω∈ Ω,  t∈[0,∞].

Π

こ の と き 明 らか に

Π-1{Xt∈A}={Xt∈A}が

立

成す る か ら

(4.2.21) 従 っ て(Ω,F0)上

に 次 の よ う な 確 率 測 度 が 定 義 で き る.

(4.2.22) 但 し ωxは[0,∞)上

で 恒 等 的 にxに

  この よ うに して定 義 された 確 率 過 B(S))上

程 の組M=(Ω,F0,Xt,Px)x∈SΔ

が(S,

の マ ル コ フ過 程 で あ る こ と を 確 か め る の は 容 易 で あ る.実

(M.1),(M.4),(M.5),(M.6)は Sの

等 し い Ω の 元 を 表 わ す.

と き,筒

集 合Λ

す れ ば よ い.ま

自 明 で あ り,(M.2)に

に 対 し て δ{ωx }(Λ)がxに

たf∈bB(SΔ)と

際,条

件

つ い て は,x∈S-

つ い て可 測 で あ る こ とに 注 意

Λ∈F0tに 対 し て,x∈SΔ

の と き, 

が成 立す る. 但 しg(x)=Ex(f(Xs))=Ex(f(Xs)).こ を 意 味 す る.x∈S-Sの

 

Mの

れ はMに

対 す る マ ル コフ 性(M.3)′

と ぎ の マ ル コ フ 性 は 自 明 で あ る.

推 移 関 数ptは

pt(x,A)={

(4.2.23) 

で 与 え られ る.但 に よ り,Mが

しptはMの

pt(x,A∩SΔ), 

x∈SΔ,

δ(x)(A), 

x∈S-S

推 移 関 数.従

っ てMの

性 質(4.2.6),(4.2.7)

同 じ性 質 を も つ こ と が わ か る1).定 理4.2.3(ⅲ)に

は 特 にMがHunt過

程 で あ る こ と を 意 味 し て い る.Mの

よれ ば,こ れ

性 質(a),(b)は

作 り方 か ら 明 らか で あ る. (証 終)   本 節 で は マ ル コ フ 過 程 と い う と き 常 に 冒 頭 に 述 べ た 標 本 路 の 正 則 性(M.6) を 満 た す も の の み を 考 え て きた.前 相 空 間 な ら,勝 1)  Mに と お け ば,こ

節 で 述 べ た よ うにSが

手 な マ ル コ フ推 移 関 数 を 与 え た と き,そ

対 す る(4.2.6),(4.2.7)の

よい 性 質 を もつ 位

れ を 推 移 関 数 に もつ マ

左 辺 の 括 弧 内 の 集 合 を 各 々 Ω1.f,Ω2.f,f∈C∞(X),

れ ら の 集 合 の 可 算 個 の 共 通 部 分 は 常 にPx-外

測 度1を

も つ(x∈X).そ

こ

で 補 足 の §0.1(a)に 従 っ て σ-加 法 族F0の 拡 大Mを 作 れ ば,Ωi.f,i=1,2,f∈ C∞(X) ,をPx-測 度1の 可 測 集 合 と す る こ と が で き る.(a)の 前 半 の主 張 の証 明 に も 同 じ 注 意 が 必 要 で あ る.

ル コ フ過 程 と し て(M.1)∼(M.5)の 般 に は(M.6)を

条 件 を 満 た す も の は 存 在 す る.し

も満 た す マ ル コ フ過 程 が 存 在 す る と は 限 ら な い.こ

か し一 こでそ の

た め の よ く知 られ た 一 つ の 十 分 条 件 を 述 べ て お こ う.   Sが

全 空 間Xと

等 しい 場 合 を 考 え よ う.(X,B(X))上

数{pt,t>0}が

の マ ル コフ推 移 関

次 の 性 質 を も つ と き,{pt,t>0}はFellerの

条件を満たす

と い わ れ る.

(4.2.24)

(4.2.25) 但 しC∞(X)は C∞(X)上

無 限 遠 で0に

等 し い 連 続 関 数 の 全 体 で あ る.こ

の 半 群 と考 え てFeller半

  補 題4.2.2 

(X,B(X))上

す る(X,B(X))上   §4.5に 対 し(M.6)を

群 と も い わ れ る.

のFeller半

群 に 対 し て は,そ

の マ ル コ フ 過 程Mで(M.6)を

於 い て 我 々 は,Feller半

れを推移関 数 と

満 足 す る も の が 存 在 す る.

群 よ りず っ と弱 い 性 質 し か も た な い 半 群 に

満 た す マ ル コ フ 過 程 を 構 成 す る.そ

省 略 す る が,こ

れ に つ い て は 例 え ばR.M.

Theorem

参 照 さ れ た い.と

9.4]を

の よ う なptは

の た め 補 題4.2.2の

Blumenthal-R.K.

こ ろ で 補 題4.2.2の

ら か に 性 質(4.2.6)と(4.2.7)を

満 た す.従

証 明は

Getoor[Ⅱ;1,

マ ル コ フ 過 程Mは

っ て 定 理4.2.3(ⅲ)に

明 よ って

次 の 定 理 を 得 る.   定 理4.2.5 

(X,B(X))上

す る(X,B(X))上

のFeller半

のHunt過

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rn上

程 の 対 応 に つ い て 触 れ て お こ う.Rn上

νt*νs=νt+s, 

(4.2.27) 

t↓0の

の 合成 積 半 群 と

の 確 率 測 度 の 組{νt;t>0}で

次 の 条 件 を 満 た す も の を 連 続 な 合 成 積 半 群(convolution (4.2.26) 

れを推移関数 と

程 が 存 在 す る.

  最 後 に こ の 定 理 の 応 用 と してn次 Levy過

群 に 対 し て は,そ

semi-group)と

い う.

t,s>0.

と き νtは 原 点 の δ 測 度 に 弱 収 束.

但 し νt*vs(A)は 

で 定 義 さ れ,νtと

νsの 合 成 積 と 呼 ば

れ る.   連 続 な 合 成 積 半 群{νt,t>0}の

全 体 と,次

の 性 質 を 満 た すRn上

のマル コ

フ 推 移 関 数{pt,t>0}の

全 体 と は,pt(x,A)=νt(A-x)な

る 関 係 で1対1

に 対 応 し て い る. (4.2.28) 

pt(x,A)=pt(x+y,A+y), 

∀y∈Rn,

(4.2.29) 

pt(x,Rn)=1,

(4.2.30) 

t↓0の

  §4.0で

述 べ た ブ ラ ウ ン 運 動 やPoisson過

と きpt(0,・)は

原 点 の δ 測 度 に 弱 収 束. 程 の推 移関 数が この よ うな推 移関

数 の 例 と な っ て い る こ と を 確 か め る の は 容 易 で あ ろ う.   と こ ろ で 上 の 性 質 を も つ マ ル コ フ 推 移 関 数{pt,t>0}はFellerの

で あ る か ら,こ れ か ら性 質(4.2.24),

た す.実 際  (4.2.25)を

導 くの は 簡 単 で あ る.従

移 関 数 とす るRn上

のHunt過

っ て 定 理4.2.5に

よ り{pt,t>0}を

程M={Ω,M,Xt,Px}x∈Rnが

  特 に 原 点 か ら 出 発 す る確 率 過 程{Ω,M,Xt,P0}を νtで あ り,更 (4.2.31) 

推

存 在 す る. 考 え る と,Xtの

分布は

に こ の 確 率 過 程 は 次 の 性 質 を もつ.

殆 ん ど全 て の ω∈ Ω に 対 し そ の 標 本 路 は[0,∞)上

と る右 連 続 関 数 で あ り,(0,∞)上 (4.2.32) 

条 件 を満

0≦s
対 しXt-Xsの

に 任 意 の0
でRn内

でRnの

値 を

に 左 極 限 を も つ.

分 布 は 時 刻 差t-sの

み に 関 係 す る.更

対 し,Xt1,Xt2-Xt1,…,Xtm-Xtm-1は

独 立.

(4.2.33)   (4.2.31)はHunt過 は(4.2.30)か

程 の 標 本 路 の 性 質 と(4.2.29)か ら 従 う.(4.2.32)を

合A1,A2,…,Amを

ら,ま

確 か め る た め に,任

た(4.2.33)

意 のn次

元Borel集

選 ぶ と

但 し  こ こ でy1=x1,y2=x2-x1,…,ym=xm-xm-1な 28)に

注 意 す る と,上

わ か る.こ

式 が

れ は 特 にXtk-Xtk-1の

る 変 数 変 換 を行

νt1(A1)νt2-t1(A2)… 分 布 が

νtm-tm-1(Am)に

νtk-tk-1に

な い(4.2.

等 し い こ とが

等 し い こ と を 示 し,同

時

にXt1,Xt2-Xt1,…,Xtm-Xtm-1の

独 立 性 を も示 す.

  一 般 に(4.2.32),(4.2.33)を

満 た す 確 率 過 程 を,時

な 加 法 過 程(additive

process)と

と き,こ

程 と い わ れ る.Levy過

れ はLevy過

呼 ん で い る.更

間 的 に一 様 で 確 率 連 続

に(4.2.31)が

程 のXtの

{νt,t>0}は

明 ら か に 連 続 な 合 成 積 半 群 を な す.逆

に 対 し て,そ

の 分 布 に 従 うLevy過

満 た され る

分 布 を νtと す れ ば

に 任 意 の連 続 な 合 成 積 半群

程 が 存 在 す る こ と が 上 の よ うに し て わ か っ

た わ け で あ る.   連 続 な 合 成 積 半 群{νt,t>0}の

全体は

(4.2.34)

な る 対 応 に よ っ て,次

の 性 質 を も つ3つ

の 成 分 の 組{a,S,Φ}の

全 体 と1対1

に 対 応 す る こ とが 知 られ て い る. (4.2.35)

a∈Rn,Sは

正 の 半 定 符 号 のn×n対

はRn-{0}上

の

を 満 た す.

 測度 で    (4.2.34)はLevyの

称 行 列,Φ

公式 と呼 ば れ る もの で あ る.こ れ に 対 して 任 意 のLevy

過 程 の 標 本 路Xtを,直

接Gauss過

分 的 結 合 と し て表 わ すLevy-Itoの

程 の標 本 路 とPoisson過

程 の標 本路 の 積

表 現 と呼 ば れ る もの が あ る.そ

して 後 者 の

各 項 の平 均 として 前 者 の 各 項 が 得 られ る とい う仕 組 にな って い るの で あ る1). こ の よ うな研 究 は1930年

代 か ら40年

代 初 期 にか け て の も ので あ るが,今 で

も標 準 マ ル コフ過 程 や マル チ ンゲ ール を 研 究す る上 で の確 か な指 針 の1つ

とな

っ て い る.   つ い で な が らLevyの

公 式 を 利 用 してRn上

の 空 間 的 に一 様 な マ ル コ フ 推

移 関数 で 特 に 対称 な も の の 定め る デ ィ リ ク レ形 式 を計算   (4.2.28)∼(4.2.30)を 度 に 関 し(1.4.16)の 1) 

P.

Levy[Ⅱ;1],

し て お く.

満 た す マ ル コ フ 推 移 関 数{pt,t>0}がLebesgue測 意 味 で 対 称 で あ る と 仮 定 し よ う.明 K.

Ito[Ⅱ;1],[Ⅱ;5],[Ⅱ;6],[Ⅱ;7]等

らか に この仮 定 は対 を 参 照.

応 す る連 続 な 合 成 積 半 群{νt,t>0}お

よびLevy公

式 に 於 け る3成

分{a,S,

φ}に 対 す る 以 下 の 仮 定 の 各 々 と 同 値 で あ る.   (4.2.36) νtは   (4.2.37) 

原 点 に 関 し 対 称:νt(A)=νt(-A),A∈B(Rn).

a=0,φ

は 原 点 に 関 し対 称.

  こ の と き{pt,t>0}は(1.4.19)を 上 の あ る デ ィ リ ク レ形 式Eを リ ゾ ル ベ ン ト核 はC∞(Rn)を

満 た す か ら,補 決 定 す る.Eは

題1.4.2に

正 則 で あ る.実

不 変 に す る か ら で あ る.さ

際{pt,t>0}の

て

 に 対 して

 且 つ 任 意 の

(4.2.38) 

よ りL2(Rn)

{

な る表示 を 導 こ う.sijは   Plancherelの

行 列Sの(i,j)要

定理 を 使 っ て1)Eの

但 しへ はFourier変

素 で あ る.

近 似 形 式(1.3.14)を

換 を 表 わ す.t↓0と

し て 補 題1.3.4を

計 算す る と

使 うと

(4.2.39)

  (4.2.39)  を 書 き直 した も の が(4.2.38)で

ある.(4.2.38)は

勿 論 §2.2に

於 け る微 積 分 表 示 の 特 別 な 場 合 に あ た っ て い る.

 §4.3  正 則デ ィリク レ形 式 に適 合 した マ ル コ フ過 程 の 存 在 と一 意 性   位相 空 間Xと L2(X;m)上

そ の上 の 測 度mは

§1.1の 通 りと し,以

の正 則 デ ィ リク レ形 式Eが

1) Plancherelの

定 理 に つ い て は 溝 畑[Ⅰ;1]参

後本 章 を 通 じて

与 え ら れ た も の と す る.Eに 照.

は

L2(X;m)上

の マ ル コ フ 対 称 作 用 素 の 半 群{Tt,t>0},リ

α>0}が

一 意 的 に 対 応 し(§1.3,§1.4),ま

テ ン シ ャ ル{eA,A∈O0}⊂D[E]が D[E]の

たEに

よ って 開集 合 の平 衡 ポ

定 義 さ れ る(§3.1).§3.1によ

任 意 の 元 は 狭 い 意 味 で の 準 連 続 修 正 を もつ.今

正 の こ と を 単 に 準 連 続 修 正 と呼 ぶ こ と に す る.D[E]の をD[E]で

れ ば,

後狭 い意 味 の準 連 続 修 元 の準 連 続 修 正 の全 体

表 わ す.

  と こ ろ で 補 題1.3.3に

よ れ ばTt(L2)⊂D[E],Gα(L2)⊂D[E],で

我 々 はTtu,Gαu(u∈L2),eA(A∈O0),等 る.こ

ゾル ベ ン ト{Gα ,

あ るか ら

の準 連 続 修 正 を 考 え る こ とが で き

れ ら の 解 析 的 資 料 に 基 づ い て,正

則 デ ィ リ ク レ形 式Eに

適 合 した標 準

マ ル コ フ過 程 を 構 成 す る の が 本 章 の 課 題 で あ る.   {pt,t>0}を(X,B(X))上 分 集 合Dで,条

の マ ル コ フ 推 移 関 数 とす る.今C0(X)の

部

件

(4.3.1) を 満 た す もの が あ っ て{pt,t>0}がDに (4.3.2) 

任 意 のt>0とf∈Dに

関 し 次 の 性 質 を も つ とす る. 対 し,ptfはTtfの

こ の と き マ ル コ フ 推 移 関 数{pt,t>0}は

準 連 続 修 正.

正 則 デ ィ リ ク レ形 式Eに

適 合 して い

る と い う.   [0,∞]を あ っ て,そ い う.但

時 刻 集 合 と し(X,B(X))を の 推 移 関 数 がEに

し本 節 で はMが

件(M.1)∼(M.5)を し な い.そ

状 態 空 間 とす る マ ル コ フ 過 程Mが

適 合 し て い る と き,MはEに

適 合 して い る と

単 に マ ル コ フ 過 程 で あ る と い う と き に は §4.1の

満 た す も の を 考 え,§4.2の

冒 頭 の 条 件(M.6)は

し て 任 意 の ω∈Ω に 対 し て そ の 標 本 路 がXΔ

条

要求

上で右連続で あ る よ

う な マ ル コ フ 過 程 の こ とを 右 連 続 な マ ル コ フ過 程 と呼 ぶ.   次 の こ とに 注 意 し て お こ う.右 連 続 な マ ル コ フ過 程Mの は(1.4.19)を t>0に

満 た す.実

際ptf(x),x∈X,f∈C∞(X),は(4.2.5)によ

関 し て 右 連 続 で あ りt↓0の

てptのLaplace変換(1.4.21)に {Rα,α>0}が

推 移 関 数{pt,t>0}

定 義 で き る.こ

と きf(x)に

収 束 す る か ら で あ る.従

よ っ て(X,B(X))上 れ は ま たMの

り っ

の リ ゾ ル ベ ン ト核

リ ゾ ル ベ ン ト核 と も呼 ば れ る.

(4.2.5) 

の両 辺 のLaplace変

換 を とれ ば

(4.3.3) が 成 立 す る.但

しf∈bBは(4.2.5)に

於 け る 規 約 通 りにf(Δ)=0と

XΔ 上 の 関 数 に 拡 張 さ れ て い る も の と す る.明

ら か にRα

おいて

は(1.4.20)を

満た

す.   次 の 補 題 は 特 に 適 合 性 の 定 義 が(4.3.1),(4.3.2)に

於 け る 関 数 族Dの

方 に 依 存 し な い こ と を 意 味 す る.ま

適 合 性 がMの

たMへ

のEの

ン トの 条 件 で も 与 え う る こ と を 示 し て い る が,こ   補 題4.3.1 

[0,∞]を

の 右 連 続 な マル コ フ

に 対 し て は,次

の条 件 は 互 いに 同値 で あ

  (ⅰ)  MはEに

適 合 し て い る.

  (ⅱ)  (4.3.1)を

満 た すC0(X)の

部 分 集 合Dが

対 し て,ptfはTtfの

対 し て,ptfはTtfの

属 す任 意 の 非 負Borel可

満 た すC0(X)の

部 分 集 合Dが

対 し て,RαfはGαfの

  (ⅴ)  任 意 の

α>0とL2(X;m)に

測 関 数fに

存 在 し て,任

  証 明   (ⅱ)⇒(ⅰ):任

意 のt>0に

対 し,tn↓tな

選 ぶ と,

方 補 題1.3.3よ

あ り且 つTtnf=Ttn-t(Ttf)は,tn→tの っ て 定 理3.1.4(ⅱ)に

測 関 数f

るtn∈Q+を

し て,ptnf(x)→ptf(x),tn→t,x∈X.一

収 束 す る.従

意 の α>0

属 す る 任 意 の 非 負Borel可

準 連 続 修 正.

Ttf∈D[E]で

意 のt∈Q+

準 連 続 修 正.

に 対 し て,RαfはGαfの

f∈Dに対

存 在 し て,任

準 連 続 修 正.

  (ⅳ)  (4.3.1)を とf∈Dに

で 表 わ す.

準 連 続 修 正.

  (ⅲ)  任 意 のt>0とL2(X;m)に

Ttfに

れ は 応 用上 有 用 で あ る.

推 移 関 数 と リ ゾ ル ベ ン ト核 を 各 々pt,Rα

とf∈Dに

リゾル ベ

時 刻 集合 とす る(X,B(X))上

過 程M={Ω,M,Mt,Xt,Px}x∈XΔ る.Mの

と り

と き,E1の よ りptfはTtfの

り 位 相で

準連 続修正

で あ る.   (ⅰ)⇒(ⅲ):t>0を固 で,ptfはTtfの

定 し,H={f∈L2(X;m);fは 準 連 続 修 正}と

お き,Hが

非 負Borel可

補 足 の 定 理0.1.2の

条 件(H.

測

1)∼(H.3)を

満 た す こ と を 確 か め れ ば よ い.(H.1)は

よ り(H.3)も m)と

満 た さ れ て い る.(H.2)を

し よ う.こ

自 明 で あ り,ま

た仮 定

示 す た め にfn∈H,fn↑f∈L2(X;

の と きptfn(x)↑ptf(x),∀x∈X.一

方 補 題1.3.3よ

り

(4.3.4) が 成 立 す る か ら,TtfnはTtfにE1の (ⅱ)よ

りptfはTtfの

準 連 続 修 正 で あ る.即

  (ⅲ)⇒(ⅳ):任

意 のf,g∈C0(X)に

こ れ はRαf=Gαfm-a.e.を の準 連 続 修 正 で あ Rαf(x),t↓0.一 E1の

位 相 で 収 束 す る.従

た 仮 定(ⅲ)よ

性 質(1.4.19)よ

方 補 題1.3.3よ

位 相 で 収 束 す る.従

ちf∈H.

対 して

意 味 す る.ま り,ptの

っ て 定 理3.1.4

りptRαfはTtGαf

りptRαf(x)=Rαptf(x)→

りTtGαfはt↓0の

と きGαf∈D[E]に

っ て 再 び 定 理3.1.4(ⅱ)に

よ りRαfはGαfの

準 連 続 修 正 で あ る.   (ⅳ)⇒(ⅴ):不

等式

(4.3.5) を 使 っ て(ⅰ)⇒(ⅲ)の証   (ⅴ)⇒(ⅰ):任 にtに

明 と 全 く 同様に 証 明 で き る 意 のf,g∈C0(X)に

対 し,(ptf,g)と(Ttf,g)は

関 し連 続 で あ り,任 意 の α>0に

た 仮 定(ⅴ)よ

性 質(1.4.20)よ 題1.3.3よ す る か ら,今

れ はptf=Ttfm-a.e.を

りRαptfはGαTtfの

準 連 続 修 正 で あ り,Rα

り αGαptf(x)=pt(αRαf)(x)→ptf(x),α

り αGαTtfはα

→∞

の と きTtf∈D[E]にE1の

ま で と 同 様 の 理 由 でptfはTtfの

  (ⅰ)⇒(ⅱ):自

明 で あ る.(証

  こ の 補 題 か ら 明 ら か な よ う に,Eに

共

対 して

が 成 立 す る か ら(ptf,g)=(Ttf,g),∀t>0.こ 味 す る.ま

.

→∞.一方

意 の 補

位 相 で収束

準 連 続 修 正 で あ る.

終) 適 合 した 右 連 続 な マ ル コ フ過 程 の 推 移 関

 

数 と リ ゾ ル ベ ン ト核 は(1.4.16)の

意 味 でm-対

称 で あ る.

  さ て 以 下 に 述 べ る 存 在 と一 意 性 の 定 理 が 本 章 全 体 を 通 じ て の 主 定 理 で あ る.   定 理4.3.1 

正 則 デ ィ リ ク レ形 式Eに

適 合 した(X,B(X))上

のHunt過

程 が 存 在 す る.   定 理4.3.2 

(ⅰ)  (X,B(X))上

の2つ

の 右 連 続 マ ルコ フ 過 程M(1)={Ω(1),

M(1),X(1)x,P(1)x}x∈XΔ,M(2)={Ω(2),M(2),X(2)t,P(2)x}x∈XΔ

が共に正則 デ ィ リ

ク レ形 式Eに

適 合 し て い る とす る.この

極 集 合N∈B(X)

が 存 在 し,任

意 のx∈X-Nに

P(2)x,X(2)t)は (ⅱ) 

と き 適 当 なBorel概

対 し て(Ω(1),M(1),P(1)x,X(1)t)と(Ω(2),M(2),

確 率 過 程 と し て同 値 で あ る.

(ⅰ)に

於 い て 特 にΩ(1)=Ω(2),X(1)t=X(2)t,t∈[0,∞)な

らば

(4.3.6)

  こ の2つ

の 定 理 は 次 の 補 題 に 基 づ い て 証 明 さ れ る.

  補 題4.3.2 

適 当 なBorel集

合Y⊂Xと(Y,B(Y))上

過 程MY={Ω,M,Mt,Xt,Px}x∈YΔ   (MY.1) 

X-Yは

  (MY.2) 

任 意 のt∈Q+と

Ttfの

準 連 続 修 正.但

  (MY.3) 

概 極 集 合. 任 意 のf∈C0(X)に

し{pt}t>0はMYの

で左 極 限 を(YΔ

={Xs(ω);0≦s≦t}の   (MY.4) 

が 存 在 し て 次 の 性 質 を 満 た す.

任 意 の ω∈Ω に対 し,ω

を 満 た し,[0,∞)上

の適 当 な マ ル コ フ

閉 包Rt(ω)はYの

正 則 巣{Fk}が

対 し,Y上

の 関 数ptfは

推 移 関 数 で あ る. の 標 本 路Xt(ω)は 内 に)持

つ.ま

正 則 性 の 条 件(M.6) たt<ζ(ω)な

らRt(ω)

コ ン パ ク ト部 分 集 合.

存 在 し て 次 の 性 質 を 満 た す.  (b)

 (a)

  但 しC∞({Fk})に

属 す る 関 数 のY上

へ の 制 限 の 全 体 をC∞({Fk};Y)で

表

わ す.   (c) 

Y-Fkへ

の 標 本 路 の 到 達 時 刻 をσ′k(ω)1)と す る と,任

1)  σ′k(ω)=inf{t≧0;Xt(ω)∈Y-Fk}.

意 の ω∈ Ω

 に対 して   (MY.5) 

N1⊂Xを

N⊃N1が

任 意 のBorel概

極 集 合 とす る と適 当 なBorel概

存 在 し て,Y-NはMY不

  この 補 題 の証 明 が め た 上 で,定

§4.4と

理4.3.1と

  補 題4.3.2⇒

§4.5の

f∈C∞(X)を

テ ー マ で あ る.本

定 理4.3.2の

定 理4.3.1の

M,Mt,Xt,Px}x∈YΔ

節 で は この補 題 を 認

証 明 を 与 え よ う.

証 明   補 題4.3.2の

マ ル コ フ 過 程MY={Ω,

は 前 節 の 条 件(4.2.6),(4.2.7)を と る と,条

極 集合

変 集 合 と な る.

件(MY.4)よ

り,任

満 た す.実 意 の

ω∈ Ω

際s∈Q+,

と 

に対 し

(4.3.7) 但 しpsはMYの

推移関数.

  従 っ て 定 理4.2.4よ

り(X,B(X))上

のHunt過

程M={Ω,M,Xt,Px}x∈XΔ

が 存 在 して (4.3.8) 

YはMの

し てMYと (4.3.9) 

不 変 集 合 で あ り,MのY上

へ の 制 限 は マル コフ過 程 と

同 値,

X-Yの

各 点 はMの

不変 点

を 満 た す.   こ のMはEに

適 合 し て い る.実

よ りptf(x)=ptf(x),x∈Y,で (4.3.10) ptfはTtfの 補 題4.3.1に

よい.Eに

れ はMのEへ

う.MもEに

定 理4.3.2の

証 明   定 理4.3.2の

り

推 移 関 数 を{p(i)t,t>0}と 測 関 数f∈L2(X;m)に

終)

前 半 の主 張 だ けを 示 せ ば 共に補助的な ものと

ら 上 の よ うに し て 作 っ たHunt過

適 合 し(4.3.8),(4.3.9)を

の 非 負Borel可

す る と(4.3.8)

の 適 合 性 を 意 味 す る.(証

適 合 した 右 連 続 な マ ル コ フ過 程M(1),M(2)と

し て 補 題4.3.2のMYか

  M(i)の

推 移 関 数 をptと

準 連 続 修 正,∀t∈Q+,∀f∈C0(X).

よ れ ば,こ

  補 題4.3.2⇒

際Mの

あ る か ら(MY.1)と(MY.2)よ

程Mを

考え よ

満 た す. す る,i=1,2.補

題4.3.1に

対 しp(i)tf,ptfはTtfの

よ り任 意 準連 続

修 正 で あ る か ら,補 て 特 に(4.3.1)を

題3.1.5よ

り

 q .e..従

満 た す 可 算 集 合Dに

対 し て 適 当 なBorel概

っ

極 集合N1が

存在 して

(4.3.11) tに

関 す る 右 連 続 性 と単 調 族 定 理(定

理0.1.2)を

使 え ば,こ

れ よ り

(4.3.12) が 導 か れ る.   次 にBorel概

極 集 合N⊃N1を

(4.3.13) 

適 当に 選 ん で

pt(x,N)=0,∀t>0,∀x∈X-N

と で き る こ と に 注 意 し よ う.実

際MYの性

N′ ⊃N1でY-N′

がMY不

N=N′∪(X-Y)と

お け ば,(4.3.8)に

質(MY.5)よ

りBorel概極

集 合

変 集合 で あ る よ うな も の が 存 在 す る.そ よ り,x∈X-N=Y-N′

pt(x,N)=pt(x,Y∩N′)=pt(x,Y∩N′)=0.但

こで

に 対 し ては

しptはMYの

推移関数

で あ る.   一 般 に(X,B(X))上 (4.3.14) 

の マ ル コ フ 推 移 関 数{pt,t>0}に pt(x,X-S)=0, 

を 満 た す と き,Sを{pt,t>0}に はX-Nが

∀t>0,∀x∈S 関 す る 不 変 集合 と い う.(4.3.12)と(4.3.13)

推 移 関 数{p(1)t,t>0},{p(2)t,t>0}お

通 の 不 変 集 合 で あ り,こ と を 意 味 し て い る.従

を う る.(証

対 し,S∈B(X)が

よ び{pt,t>0}に

れ ら の(X-N,B(X-N))上

っ て 特 にx∈X-Nに

関 す る共

への制限が一致す るこ 対 し て は,(4.1.4)よ

り

終)

  §4.4  構 成 の た め の 解 析 的 準 備   補 題4.3.2の な う.次

マ ル コ フ 過 程 を 構 成 す る た め に,本

節ではその解析的準備を行

の 補 題 か ら始 め る.

  補 題4.4.1 

Fを

抽 象 集 合 と し,Fの

可 算 部 分 集 合GとF×Fか

らFへ

 

の 写 像 の 可 算 集 合Sを   a)  G⊂H⊂F, 

考 え る.こ b) 

を 満 た す 最 小 の 集 合Hは   証 明   Sの

のとき

∀s∈S,s(H×H)⊂H 可 算 集 合 で あ る.

元 か ら な る可 算 列{s1,s2,…}を

考 え,こ

の 中 に は 各s∈Sが

無

限 回 現 わ れ る よ うに し て お く.G0=G,Gn+1=Gn∪sn+1(Gn×Gn),n=0,1,2, … ,と お く と,可 実 際,任

算 集 合 

意 のx,y∈Hと

が 条 件a),b)を 任 意 のs∈Sに

従 っ てs(x,y)∈Gn+1⊂H.(証

対 し て,∃n,x,y∈Gn,s=sn+1.

終)

  こ こ で 前 節 の 始 め に 述 べ た 解 析 的 諸 量Tt,Gα,eAを

  (Ⅰ)  積 分 核pt(t∈Q+),R1の   補 題4.4.2 

満 た す 最 小 の も の で あ る.

考 え よ う.

構 成

適 当 な 正 則 巣{F0k}と(X,B(X))上

の 全 測 度 が1を

い 測 度 の 族{pt(x,・),t∈Q+,x∈Y0},{R1(x,・),x∈Y0}が

条 件 を満 たす.但   u∈bB(X)ま

し 

存 在 して 次 の

と す る.

た はu∈B(X)+に

と お く.R1u(x)も

越 え な

対 して

同 様 に 定 義 す る.こ

の とき

(ⅰ)   (ⅱ)  L2(X;m)に とG1uの

属 す 非 負 可 測 関 数uに

対 し,ptuとR1uは

各 々Ttu

準 連 続 修 正.

  証 明   先 ず 可 算 集 合B0⊂D[E]∩C∞(X)で

次 の性 質 を もつ もの を 選 べ る こ

と に 注 意 す る. (4.4.1) 

B0はC∞(X)内

(4.4.2) 

u,υ ∈B0,a∈Q⇒￨u￨∈B0,u+υ

  実 際C∞(X)は む.各ukとnに

で 稠 密.

可 分 で あ る か ら,あ 対 し 

∈B0,au∈B0. る 可 算 稠 密 部 分 集 合{u1,u2,…}を な るun,k∈D[E]∩C∞(X)を

含 選 び,

G={uk,n;k,n=1,2,…}と

お く.Gは

{D[E]∩C∞(X)}2→D[E]∩C∞(X)な

勿 論C∞(X)で

稠 密 で あ る.ま

る 写 像s0,s1,s2,…

をs0(u,υ)=￨u￨,

s1(u,υ)=u+υ,si(u,υ)=aiu,i=2,3,…,に

よ っ て 定 義 す る.但

…}=Q

前 補 題 を 適 用 す れ ば(4.4.1),

.そ

(4.4.2)を

こ でGとS={s0,s1,s2,…}に 満 た す 可算

集 合B0⊂D[E]∩C∞(X)が

た

し{a2,a3,

得 ら れ る.

  次 に

(4.4.3) と お く と,補

題1.3.3よ

り,H0はD[E]の

に そ の 準 連 続 修 正uを1つ (ⅰ)に

対応 さ せ,uの

よ っ て 適 当 な 正 則 巣{F0k}が

 今

全 体 をH0と

お く と,定

存 在 し,H0⊂C∞({F0k})と

 と お く.t∈Q+を固

の 存 在 を 示 そ う.R1に

可 算 部 分 集 合 で あ る.各u∈H0

定 し,補

題(ⅰ)(ⅱ)を

つ い て の 証 明 も 同 様 で あ る.定

理3.1.2

な る. 満 た す 積 分 核pt

理3.1.2(ⅱ)よ

り,

(4.4.4) (4.4.5) ま たTtの

マル コ フ性 に よ り

(4.4.6) (4.4.5)と(4.4.6)よ

り容 易 に 次 の 不 等 式 が 導 か れ る.

(4.4.7)  以 上 に よ り各x∈Y0に

関 係 したC∞(X)上

の正 値 線 型 汎 関 数lxが

一意的

こ存 在 し,次 を満 たす.

(4.4.8)   実 際,任

意 のu∈C∞(X)に

が 任 意 のx∈Y0に ば よ い.こ はxの

一 様 収 束 す るun∈B0を

つ い て 成 立 す る.そ

の 収 束 はxに

選 ぶ と

こ でTtun(x)の

関 し 一 様 で あ りTtun∈C∞({F0k})で

関 数 と し てC∞({F0k})に

極 限 をlx(u)と

おけ

あ る か ら,lx(u)

属 す る こ と に 注 意 し て お こ う.

  lxに

対 し て は,全

測 度 が1を

越 え な い(X,B(X))上

の 測 度pt(x,・)が

存 在 して (4.4.9) 

lx(u)=ptu(x), 

を 満 た す.上

の 注 意 に よ りptは

  性 質 (ⅱ)に

性 質(ⅱ)を

補 題の 性 質(ⅰ)を

つ い て は,u∈C0(X)+に

あ る こ と を い え ば よい.そ

うす れ ば,補

るwを

題4.3.1に

一様 収 束 す るun∈B0を

と り,υn=(0∨un)∧wと

の 意 味 で も 収 束 して い る こ と が わ か る.従 位 相 で 収 束 す る.一

の と きptu(x)に

収 束 す る.故

お く とυn∈B0で

続 修 正 で あ る.(証

終)

  (Ⅱ)  正 則 巣{Fk}の構   {An}をXの

選 ぶ. あ る が,

収 束 定 理 に よ りL2(X;m)

っ て,不

方Ttυnの にptuは

準連続修正で

於 け る 証 明 と 同 様 に し て,

一 様 収 束 す る の み な らずLebesgueの

TtuにE1の

満 た す こ とが わ か る.

対 し てptuがTtuの

導 く こ とが で き る.u∈C0(X)+に

w∈B0,w≧uな υnはuに

x∈Y0,u∈C∞(X)

等 式(4.3.4)よ

りTtυnは

準 連 続 修 正 で あ るptυnはx∈Y0 定 理3.1.4(ⅱ)よ

りTtuの

準連

成

開 集 合 の 可 算 基 底 とす る.Anは

コ ン パ ク トで あ る と 仮 定 し

て さ し つ か え な い. (4.4.10) 

O1={A;Aは

と お く とO1⊂O0で 連 続 修 正 でbB(X)に

有 限 個 のAnの あ る.各A∈O1に 属 す も のeAを1つ

  今Hを

次 の 条 件 を 満 た すD[E]∩bB(X)の

  (H.1) 

H⊃B0,{eA;A∈O1},

  (H.2) 

∀t∈Q+,pt(H)⊂H,R1(H)⊂H,

  (H.3) 

HはQ上

  Hは

対 し て そ の 平 衡 ポ テ ン シ ャルeAの 対 応 さ せ る. 最 小 の 部 分 集 合 と す る.

の 多 元 環.

可 算 集 合 で あ る.実

×{D[E]∩bB(X)}か

合 併 集 合}

際G=B0∪{eA;A∈O1}と

らD[E]∩bB(X)へ

し,{D[E]∩bB(X)} の 写 像 で 次 の も の を 考 え る .s1;

(u,υ)→u+υ,s2,a;(u,υ)→au,s3;(u,υ)→u・υ,s4,t;(u,υ)→Ptu, s5;(u,υ)→R1u.補

題4.4.1をGとS={s1,s2

,a,s3,s4,t,s5;a∈Q,t∈

準

 

Q+}に

適 用 す れ ば,Hが

  補 題4.4.3 

可 算 集 合 で あ る こ とが わ か る.

適 当 な 正 則 巣{Fk}が

あ って 以 下 の条 件 を満 た す. 

と お く.

  (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)

(ⅳ) (ⅴ) (ⅵ) (ⅶ)   (ⅷ)   証 明   (3.3.1)よ 合N1が

りeA(x)=1q.e.(A).O1は

可 算集 合 だ か ら適 当 な概 極 集

存 在 して

(4.4.11) eA(x)=1,∀x∈A-N1,∀A∈O1.   ま た 補 題1.3.3と tk↓0が

定 理3.1.4(ⅰ)よ

り,u∈Hに

対 して 適

当 な 部 分 列

あ って

(4.4.12) がq.e.に

成 立 す る.Hの

と 概 極 集 合N2が

可 算 性 か ら対 角 線 論 法 に よ っ て,uに

選 べ て,(4.4.12)が

全 て のx∈X-N2に

無 関 係 なtk

対 し て 成 り立 つ よ

うに で き る.  そ こ で 定 理3.1.2(ⅰ)を を 満 た す 巣{Fk}を こ れ が(ⅰ)∼(ⅲ)を   (ⅳ),(ⅴ)は

選 ぶ.そ

考 慮 しつ つ,条 し て{Fk}のm-正

件(ⅰ)と  則 化 を 改 め て{Fk}と

記 す.

満 た す こ と は 明 らか で あ る.

各々 の 両 辺 がH⊂C∞({Fk})に

と か ら従 う.(ⅵ)∼(ⅷ)は,補

題3.1.1(ⅱ)と

属 し,ま

たm-a.e.に

補 題3.1.3の

等 しい こ 結 果 で あ る. (証 終)

 

  (Ⅲ) 

(X,B(X))上

  補 題4.4.4 

の マ ル コ フ 推 移 関 数{pt}t∈Q+の

(ⅰ)  適 当 なBorel集

合Y2⊂Y1が

pt(x,X-Y2)=0,∀x∈Y2,∀t∈Q+,を

構成

存 在 しCap(X-Y2)=0,

満 た す.

  (ⅱ)

(4.4.13) と お く と,{pt}t∈Q+は(X,B(X))上

の マ ル コ フ推 移 関 数 で あ る.

  証 明   (ⅰ) m(X-Y1)=0よ (ⅱ)よ

りTtIX-Y1(x)=0

りpt(x,X-Y1)はTtIX-Y1の

m-a.e.が

従 う.補 題4.4.2

準 連 続 修 正 だ か ら,適

当 なBorel集

合

Y(1)1⊂Y1が あ って  が 成 立 す る.同

様 に し て,Borel集

が 存 在 し, 

合 列 

そ こで  と お け ば よ い. (ⅱ)  (4.4.13)で

定 義 さ れ るptが

半群 の 性 質

(4.4.14) を 満 た す こ とを 示 し さえ す れ ば よい.x∈X-Y2の あ る.x∈Y2と る が,こ

す る.(ⅰ)よ

元 をB0の

u∈C0(X)に

な り自 明で

りptpsu(x)=pt(psu)(x)=pt(psu)(x)で

れ は 前 補 題 の(ⅳ)よ

し い.C0(X)の

と き は0=0と

り,u∈Hの

あ

と き は,pt+su(x)=pt+su(x)に

等

元 で 一様 近 似 す る こ と に よ り,(4.4.14)が

全 ての

対 し て 成 立 す る こ と が わ か る.あ

と は 単 調 族 定 理 を 使 え ば よ い. (証 終)

  §4.5  正 則 な 標 本 路 の 構 成   補 題4.4.4  え よ う.定 (X,B(X))上 但 しQ′+は ま た,

で 構 成 し た(X,B(X))上

理4.1.1に

よれ ば,ptを

の マ ル コ フ推 移 関 数{pt}t∈Q+を 推 移 関 数 と し,Q′+を

時 刻 集 合 とす る

の マ ル コ フ過 程M0={Ω0,M,M0t,X0t,Px}x∈XΔ 非 負 有 理 数 の 全 体 を 表 わ し,正

考

の 有 理 数 の 全 体Q+と

が 存 在 す る. 区 別 す る.

(4.5.1) (4.5.2)   補 題4.4.4と(4.1.4)に わ か る.即

よ り,Y2はM0に

関 す る不 変 集 合 で あ る こ と が

ち

(4.5.3)  任 意 のt≧0に

対 して

(4.5.4) と お く.但

しN={Γ

∈M;Px(Γ)=0,∀x∈Y2}.こ

加 法 族 の 集 合{Mt}t≧0,{M′t}t≧0は

  さて 前 節(Ⅱ)に

の よ うに し て 得 られ る σ-

右 連 続 で あ る.

於 け る開 集 合A∈O1に

対 応 して きめ られ た 関 数eAを

え,次 の 基 本 的 な 不 等 式 を 導 こ う.一 般 にXの

部 分 集 合Fに対

考

して

(4.5.5) と お く.{}内

が 空 の と き は σ0F(ω)=∞

と お き,ま

たe-∞=0と

規 約 す る.

  補 題4.5.1

 証 明   x∈Y2を

固定 し

(4.5.6) と お く と,確 実 際,補

率過 程 

題4.3.3によ

は 非 負 有 界 な 優 マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る. りY2上

で は 

が 成 立 し て い る か ら,(4.5.3)とM0の Px-a.e.,且

マ ル コ フ性 に 注 意 す れ ば, 

つ 

Px-a.e.,

t>s,t,s∈Q+.   今Q+の

任 意 の 有 限 部 分 集 合Cに対

し,時

刻

(4.5.7) を 考 え る.但 は(M0s)s∈Cに

し{}内

く.σ0A(C)

関 す る 停 止 時 刻 で あ る.

s
とお

が 空 の と き は 

成 り立 つ か ら で あ る.そ σ0A(C)お

適 用 す れ ば 

よびa=mintにDoobの

こ で 優 マ ル チ ン ゲ ー ル  任 意 抽 出 定 理(定 一 方(4.5.3)と

補 題4.4.3(ⅱ)

理

に よ り 

ま た 補 題4.4.3(ⅵ)

よ り 

従 って

(4.5.8)  こ こ でb∈Q+を

固 定 しC↑Q+∩(0,b]と

す れ ば,

(4.5.9) これ は 勿 論,補 題 の 主張 を意 味 して い る.(証 終)   補 題4.5.1  か ら容 易 に 次 の結 果 が導 か れ る.   補 題4.5.2 

(ⅰ)任

準 連 続 修 正eGに

意 のG∈O0と,そ

の 平 衡 ポ テン シ ャルeGの

任意の

対 し, q.e..

  (ⅱ) Gn∈O0,Gn↓,Cap(Gn)→0,な

らば q.e..

  証 明   (ⅰ)  G∈O0に (ⅷ)に

対 し てAn↑Gな

よ りeAn(x),x∈Y2,はnに

と お く と,前

るAn∈O1が

補 題 か ら不 等 式 

準 連 続 修 正 だ か ら定 理3.1.4に

題4.4.3

関 し て 単 調 非 減 少 で あ る.そ の 極 限 をeG(x) が 導 か れ る.ま

E1(eG-eAn,eG-eAn)=Cap(G)-Cap(An)→0,n→

従 っ てeGの

選 べ る.補

∞,で

よ り,上

任 意 の 準 連 続 修 正 は,補

のeGはeGの

題3.1.5よ

た

あ り,eA nはeAnの 準 連 続 修 正 で あ る.

りeGとq.e.に

一 致 し(ⅰ)

の 結 論 が 得 られ る.   (ⅱ)  eGnの1つ だ か らeGnの か ら(ⅱ)が   補 題4.5.3  在 し,次

の 準 連 続 修 正 をeGnと

す る.E1(eGn,eGn)=Cap(Gn)→0

あ る 部 分 列 はX上q.e.に0に 導 か れ る.(証

収 束 す る.従

っ て(ⅰ)の

不等 式

終)

適 当 なBorel集

合Y3⊂Y2でCap(X-Y3)=0な

る も のが 存

の 性 質 を 満 た す. s∈Q+,はY1∪

  (ⅰ)  内 に 右 極 限 と左 極 限 を も つ},Ω1=Ω01∩Ω02,と   (ⅱ)  ω∈Ω1,t≧0に

対 して

(4.5.10) と お く とPx(Xt=X0t,∀t∈Q+)=1,x∈Y3.

お く とPx(Ω1)=1,x∈Y3.

Δ

  (ⅲ) 

Px(X0=x)=1,x∈Y3.

  (ⅳ)  Rt(ω)={Xs(ω);0≦s≦t},ω に 対 しXt(ω)∈Xな =1,x∈Y3

∈ Ω1,と お き,Ω2={ω

ら ばRt(ω)はXの

∈ Ω1;あ

コ ン パ ク ト集合}と

るt>0

す る とPx(Ω2)

.

  証 明   (ⅰ)  補 題4.5.2(ⅱ)よ

り,適

-Y3)=0

満 た す も の が 選 べ る.

,Px(Ω01)=1,∀x∈Y3,を

当 なBorel集

合Y3⊂Y2でCap(X

  以 下 の 包 含 関 係 を 次 に 証 明 し よ う.

は

(4.5.11) 

あ るt≧0で   先ず 補 題4.4.3よ

りR1(H+)はC∞({Fk})の

点 を 分 離 す る こ と が わ か る.実 ∀u∈H+,と

仮 定 す れ ば 

∀u∈H+,だ

か ら,補

右極 限 を 持 た な い}.

部 分集合 で あ り,Y1∪Δ

際x,y∈Y1∪Δ

の

に対 し てR1u(x)=R1u(y), ,

題4.4.3(ⅲ)に

よ りu(x)=u(y),∀u∈H+.従

って

x=y.   ω∈Ω01-Ω02に

対 し て は,適

で 右 また は 左 極 限 をY1∪Δ σ0x-Fk(ω).tで

当 なt≧0が

存 在 し て{X0s(ω);s∈Q+}はt

内 に 持 た な い.ま

た

ω∈ Ω01だ

か ら∃k,t<

右 極 限 を 持 た な い 場 合 を 考 え る と,  R1(H+)はY1∪Δ

を 分 離 し で い る か ら, 

こ れ とR1u￨Fk∪Δ

性 を 考 慮 す る とR1u(X0s),s∈Q+,はtで よ うに し て(4.5.11)が   (4.5.11)か (4.5.12) 

右 極 限 を 持 た な い こ と に な る.こ の

得 られ た.

Px(Ω01-Ω02)=0, 

よ

際x∈Y2とu∈H+を

x∈Y2 固 定 す る と,補

題4.4.3(ⅴ)と

り  Px-a.e.,s
は 非 負 有 界 な 優 マ ル チ ン ゲ ー ル で あ り,補 (4.5.12)が

の連 続

ら

が 導 か れ る.実 (4.5.3) 

の点

得 られ る.

っ て 

足 の 定 理0.4.4と(4.5.11)か

ら

  (ⅱ) u∈C(XΔ),υ 題4.4.3(ⅲ)お

∈B0,t∈Q+,x∈Y2,に よ び(4.5.3)を

を 得 る.こ

対 し て,M0の

れ か ら単 調 族 定理 に よ っ て  と し て 特 にXΔ

=1が

マ ル コ フ 性,補

使 って

上 の 有 界 な 距 離 を と れ ば,Px(Xt=X0t)

得 られ る.

  (ⅲ) 補

題   4.4.3(ⅲ)よ

り 

u∈B0,

x∈Y2.

  (ⅳ)  コ ンパ ク ト集 合 列Kn↑Xを 満 た すun∈B0を

と る.補

選 び,0≦un≦1,un(x)>0,x∈Kn,を

題4.4.3(ⅲ),(ⅴ)よ

正 で あ る か ら, 

りR1unはKn∩Y1上

で

とお くと

(4.5.13) 後 の 不 等 式 は 補 題4.4.3(ⅴ)の   さ てυ

はC∞(X)+に

結 果 で あ る.

属 す か ら 補 題4.4.2(ⅰ)によ

りR1υ ∈C∞({Fk})で

あ り,

(4.5.14)   一 方x∈Y2を (4.5.13)よ

固 定 し 

考え

る と,

は 非 負 有 界 な優 マル チ ン ゲー ル で あ る.従

り, 

っ て 定 理0.4.5に

と な る.但

ω ∈Ω0,s∈Q+,を

は また 非 負 有 界 な優 マ ル チ ン ゲ ー ル

よ り 

し 

この 極 限 が 存 在 しな い とき はZt(ω)=0

と お く.  と こ ろ で(4.5.14)は 

意 味 す る が,こ

を

の 右 辺 のPx-測

度 は 補 足 の 定 理0.4.3に

  補 題4.5.4 

Y⊂Y3,Cap(X-Y)=0な

を もつ.Γ={ω

∈Ω2;あ

に 属 す る}と

るt≧0が

お く と,∃ Γ0∈M,Γ

よ り0で

るBorel集 あ っ てXt(ω)ま

合Yが

あ る.(証 終)

存 在 し次 の性 質

た はXt-(ω)がX-Y

⊂ Γ0,Px(Γ0)=0,∀x∈Y.

  証 明   Gn⊃X-Y3,Gn↓,Cap(Gn)→0,な

る 開 集 合 列{Gn}を

選び

また は

と お く と,Γ3⊂

Γ03で

な るBorel集

あ る.補

合Y4が

代 わ り にY4に

の よ う に し てY3⊃Y4⊃ が 構 成

4,…

りY4⊂Y3,Cap(X-Y4)=0

存 在 し てPx(Γ03)=0,∀x∈Y4.

  上 の 操 作 をY3の

⊂ …

題4.5.2(ⅱ)よ

適 用 し て,集

… ⊃Yk⊃

…,Γ3⊂

作 る.こ

…,Γ03⊂

Γ04⊂ … Γ0k

Γ0k,Px(Γ0k)=0,∀x∈Yk+1,k=3,

こ で 

  が 成 り立 つ.そ

Γ4,Γ04,Y5を

Γ4⊂ … ⊂Γk⊂

さ れCap(X-Yk)=0,Γk⊂

が 成 立 す る.そ

合

と お

く と,Cap(X-Y)=0で

あ

り

に 対 し て補 題 の主 張 が 成 立 す る.

し て 

(証 終)

  以 上 で 本 章 の 主 題 で あ る 補 題4.3.2の Ω=Ω2-Γ0と

証 明 を 行 な う準 備 を 完 了 した.さ

お き,M,M0t,Mt,X0t,Xt,Px(x∈YΔ),のΩ

て 同 じ記 号 で 表 わ す こ と に す る.そ

て

へ の 制限 を 改 め

して

MY={Ω,M,Mt,Xt,Px}x∈YΔ を 考 え る.   補 題4.5.5 MYは(Y,B(Y))上 条 件(MY.1)∼(MY.5)を   証 明  MYの

の 条 件(M.1)を B)と

明 らか で あ る.補

題4.5.3(ⅰ),(ⅳ)と

お こ う.こ

補 題

意 味 す る.

マ ル コ フ 過 程 で あ る こ と を 示 そ う.s∈Q+に

で あ る か ら,そ

題4.3.2の

満 た す.

性 質(MY.1)は

4.5.4は(MY.3)を   MYが

の マ ル コ フ 過 程 で あ り,補

対 し て は 

の 右 極 限 と し てXt∈Mt￨B(YΔ),∀t≧0.即 満 た す.(M.2)も

容 易 に 示 さ れ る.MYの

の と き補 題4.5.3(ⅱ)よ

ちMYは

§4.1

推 移 関 数 をpYt(x,

り

(4.5.15) 但 しptはM0の

(4.5.16)

推 移 関 数 で あ る.(4.5.15)と

補題4.4.1(ⅰ)よ

り

即 ちMYの

条 件(MY.4)(b)が

  マ ル コ フ 性(M.3)を t,s′>s,t′,s′

示 す た め に,t,s≧0,f∈C∞(X),Λ

∈Q+,を

  (4.5.15),(4.5.16)に =E

選 ぶ と,Λ

ち(M.3)が

  補 題4.5.3(ⅲ)はMYの

↓t,s′

か ら 得 ら れ る.(MY.5)の証明

↓sと

し,t′>

マ ル コ フ性 に よ り

す る とEx(f(Xt+s);Λ)

得 ら れ る. 正 規 性(M.4)を意味

∈Ω,から従

∈Mt,と

∈M0t′ だ か らM0の

注 意 し つ つ,t′

x(pYsf(Xt);Λ)即

σ′k(ω)=σ0x-Fk(ω),ω

導 かれる.

し てい

る.(MY.4)(c)は

う.(MY.2)は(4.5.15)と補題4.4.2(ⅱ) は補題4.5.4の

証 明 と 全 く 同様で

あ る.(証

終)

  第5章 

対 称 マ ル コ フ 過 程 の ポ テン シ ャ ル 論

  §5.0  序   本 章 で は最 後 の節 を除 い ては 正 則 デ ィ リク レ形式Eと で 適 合 した 標 準 マ ル コフ過 程Mが

与 え られ た と し,第3章

関 す る ポ テ ンシ ャル論 的 諸概 念 をMの ン シ ャル と到 達 確 率,容

そ れ に §4.3の 意 味 で導 入 され たEに

言 葉 で記 述 す る.そ の結 果,平 衡 ポ テ

量0の 集 合 と殆 ん ど全 て の 出発 点 か ら の到達 確 率 が0

の 集 合,準 連 続 関数 と細 連 続 関 数(標

本路 に沿 っ て の右 連 続 関 数)等 が 各 々同

一 視 さ れ る(§5.1,§5.2).   §5.4で はMの

開 集 合G上

で の部 分(標 本 路 をGか

して得 られ る吸 収 壁 過 程)が,EのG上 の外 側 でそ の準 連 続 修 正 がq.e.に0と

で の 部 分(D[E]の

m)上

らの流 出時 刻 で 吸収 元 の うち特 にG

な る もの のみ を 考 え て 得 られ るL2(G,

の デ ィ リク レ形 式)と 対 応 して い る こ とを 明 らか にす る.こ

述 の よ うなD[E]の

れ は丁 度 上

部 分 空 間 の直 交 補 空間 へ の射 影 作 用 素 が,X-Gへ

の 到達

分 布 に よ る平 均 と して表 現 され る と い う §5.3の 結 果 を い い か え た もの で あ る. 強 マ ル コ フ性 を 使 っ て 得 られ る リ ゾル ベン トの分 解 に 関 す るDynkinの が,こ

公式

れ らの空間 へ の 直 和 分解 を表 わす 式 に他 な らな い こ とを示 す のが §5.3

の 議 論 の一 つ の鍵 で あ る.§5.1∼ §5.4の 諸 結 果 は 次 章 で 拡 散 過 程 を 調 べ る際 に 用 い られ るで あ ろ う.   §5.5で は対 称 なHunt過

程 に 対 す る推 移 関 数 の 絶 対 連 続 性 と リゾ ル ベ ン ト

核の 絶 対 連 続 性 とが 同値 な 条 件 で あ る こ とを 示す.こ

の 事 実 は 正則 デ ィ リク レ

形 式 に適 合 した 対 称 な標 準 マ ル コフ過 程 に 対 しては §5.1で 証 明 ず み の もの で あ る.対 称 な標 準 マ ル コフ過 程 やHunt過

程 を 任 意 に与え た と きそ れ の 決 定す

る デ ィ リク レ形 式 が正則 に な る か ど うか 一 般 に は わ か らな い.け れ ど も与 え ら

れ た 位 相 に 関 す る 関 数 の 連 続 性 の 代 わ り にHunt過 を 採 用 す る こ と に す れ ば,第3章 と い う のが

§5.5の

や §5.1と

程 の 細 位 相 に 関 す る連 続 性

平 行 した 議 論 が 有 効 に 展 開 で き る

内 容 で あ る.

  §5.1  平 衡 ポ テ ン シ ャ ル と 概 極 集 合 の 確 率 論 的 記 述   (X,m)は Eに

§1.1の

も の と し,L2(X,m)上

適 合 し た(X,B(X))上

の 正 則 デ ィ リ ク レ形 式Eと,

の 標 準 マ ル コ フ過 程M={Ω,M,Xt,Px}x∈XΔ

が 与 え ら れ た と す る.   B∈B(X)へ

の2種

類 の 到 達時 刻(hitting

time)

(5.1.1) を 考 え よ う.但 Bへ

しinfφ=∞

と規 約 し て お く.σB(ω)は

の 到 達 時 刻 と 呼 ば れσ′B(ω)と 区 別 さ れ る.そ

特 に 時 刻0+以

後での

し て関 数

(5.1.2) を 考 え る.こ か らBへ

こ でe-∞=0と

の(1-)到

に 呼 ぶ わ け は,Mの フ 過 程 の 法 則 をP(1)xと

規 約 し て お く.こ

達 確 率(hitting 推 移 関 数ptの

の うち 普 通pB(x)の

probability)と

方 を,x

呼 ん で い る.こ

の よう

代 わ りにe-tptを

推 移 関 数 とす る マル コ

し た と き,pB(x)=P(1)x(σB<∞)と

表 わ し得 る こ と が

知 られ て い る か ら で あ る.   本 節 の 第1の

目 的 はpBお

よ びp′Bが

§3.3で

定 義 さ れ たBの(1-)平

ポ テン シ ャ ル の 準 連 続 修 正 と な っ て い る こ と を 示 す こ と に あ る.そ 題 を2つ

衡

の た め に補

準 備 し よ う.

  補 題5.1.1 pBお

よ びp′BはX上

の 普 遍 可 測 関 数 で あ り,且

つ

(5.1.3) (5.1.4)   証 明   補 足 の 定 理0.3.3に 従 っ て 補 題4.2.1(ⅰ)に

よ りσBお よ りpB(x)お

よび σ′Bは{Ft}-停 よ びp′B(x)はxに

止 時 刻 で あ る. 関 し普 遍 可 測 で

あ る.次

に

なら

(5.1.5)

なら

(5.1.6) が 成 り立 つ こ と と,{Ft}に

関 す るMの

い れ ば(5.1.3)と(5.1.4)を

マ ル コ フ性(補

導 く こ と が で き る.例

題4.2.1(ⅱ))を

用

え ば(5.1.3)は

(証終)

 一般 にX上

の非 負普遍可測 関数uが

(5.1.7) を 満 た す と き,uは あ る と い わ れ る.補   補 題5.1.2 

X上

マ ルコ フ 過 程Mに 題5.1.1に

関 して(1-)超

よ れ ばpBは

超 過 的 で あ る.

の 非 負 な 普 遍 可 測 関 数uがD[E]に

が 存 在 す る とす る.こ

  証 明   MはEに

適合

u∈D[E]がBorel可 Eに

の と きυ

はuの

つ

準 連 続 修 正 で あ る.

し て い る か ら,定

測な らptuはTtuの

対応 す るL2(X;m)上

  こ の関 係 はuが

理4.3.1(ⅲ)よ

普 遍 可 測 の と き に も 成 り立 つ.実

だ か らptu1=ptu2 m-a.e..と 題3.1.5よ

続 関 数ptu1とq.e.に

負関数 しTtは

の 半 群.

の と きptu1≦ptu≦ptu2で

る か ら,補

り,非

準 連 続 修 正 で あ る.但

u1(x)≦u(x)≦u2(x),∀x∈X,u1=u2 m-a.e.,な る.こ

属 し,且

q.e.

(5.1.8) 

な るυ

過 的(1-excessive)で

あ る が,ptのm-対

こ ろ がptu1,ptu2共 り,こ

の 等 式 はq.e.で成

等 し く,そ

れ自身Ttuの

際uが

普 遍 可 測 な ら,

るu1,u2∈B(X)が

存 在す

称性 に よ り

にTtuの 立 す る.従

準連 続修 正 で あ っ てptuは

準 連 続 修 正 で あ る.

準連

  さ て補 題1.3.3に

よ りE1の

に よ り(5.1.8)が

位 相 でTtu→u,t↓0.故

に 定 理3.1.4(ⅱ)

υ の 準 連 続 性 を 意 味 す る こ と が わ か る.(証

  容 量 有 限 なBorel集

合Bの(1-)平

衡

ポテ ン シ ャ ルeBの

終) 定 義 は §3.3の

後 半 に 与 え て あ る.   定 理5.1.1 

容 量 有 限 なBorel集

平 衡 ポ テ ン シ ャ ルeBの   証 明   (ⅰ)  Bが

合Bに

対 し,pBお

準 連 続 修 正 で あ る.

容 量 有 限 な 開 集 合(こ

き は 明 らか にpA=p′Aで

あ る.従

れ をAと

pA=eA 

を 証 明 し さ え す れ ば よ い.と

こ ろ で 補 題5.1.1に

従 っ て,定

pA≦eA 

を 示 す だ け で 充 分 で あ る.ま

開 性 に よ り,こ

に,補

題4.5.5の

満 た す よ う に作 っ たHunt過

補 題4.5.2(ⅰ)と

補 題4.5.3(ⅱ)お

に 対 し て は(5.1.11)は

よ び(4.3.8)か

既 に 証 明 ず み で あ る.即

(5.1.12)

 

共 にEに

マ ル コ フ過 程MY 程(そ

れ をMと

Px,Xt)は,各x∈X-Nに

考 え よ う.

ら明 らか な よ うに,M

m-a.e..

意 性 の 定 理(定

理4.3.2)

存 在 し て,(Ω,M,Px,Xt)と(Ω,M,

対 し て 同 じ 有 限 次 元 結 合 分 布 を も つ.特

Ex(e-σA(C))=Ex(e-σA(C)),x∈X-N.但 於 け るX0tを して

表わ

ち

適 合 し て い る か ら,一

当 な 概 極 集 合N∈B(X)が

とす る.C↑Q+と

れは

m-a.e.

関 す る 量 に は そ の 頭 に ・を つ け て 区 別 す る こ と に す る)を

σA(C)は(4.5.7)に

超

し

か ら(4.3.8),(4.3.9)を

に よ り,適

測,概

m-a.e.

た 標 本 路 の 右 連 続 性 とAの

  今 扱 っ て い る マ ル コ フ 過 程Mと同時

  一 方MとMは

り

ために は 不 等 式

(5.1.11)

し,Mに

の と

開 性 に よ りpA(x)=1,∀x∈A.

 

と同 じで あ る.但

補 題5.1.2よ

よ り,pAはm-可

よ り,(5.1.9)の

(5.1.10) 

場 合:こ

m-a.e.

た 標 本 路 の 右 連 続 性 とAの

理3.3.3(ⅲ)に

表 わ す)の

っ て 補 題5.1.1と

(5.1.9) 

過 的 で あ り,ま

よ びp′Bは 共 にBの

し 有 限 集 合C⊂Q+に 各 々Xt,Xtに

に

対 しσA(C),

お きか え て 定 義 され る もの

(5.1.13) (5.1.12)と(5

.1.13)か

ら求 め る 不 等 式(5.1.11)が

  (ⅱ)  容 量 有 限 なBorel集

合Bの

を含 む 開 集 合 の 減 少列{An}が

場 合:定

あ っ てE1の

得 られ る.

理3.3.1の

証 明 に よ れ ば,B

位 相 で 

そ こで

(5.1.14) と お く.(ⅰ)に

よ りpAnはeAnの

に よ っ て,q(x)はeBの

準 連 続 修 正 で あ る か ら,定

準 連 続 修 正 で あ る こ と が わ か り,し

理3.1.4(ⅱ) か も

(5.1.15)   一 方 補 題5.1.1に ∀x∈B.従

よれ ば,p′Bはm-可

っ て 定 理3.3.3(ⅱ)を

不 等 式 か ら等 式p′B=eB 意 味 す る か ら,補

超 過 的 で し か もp′B(x)=1,

用 い る こ と に よ っ て,(5.1.15)の

m-a.e.を

題5.1.1と

測,概

後半 の

導 く こ と が で き る.更 に これ はp′B∈D[E]を

補 題5.1.2に

よ っ てpBがp′Bの

準連 続修 正 で

あ る こ とが わ か る.   結 局pBとqは

共 にeBの

そ し て(5.1.15)の

準 連 続 修 正 で あ りq.e.に

如 く両 者 に 挾 ま れ るp′Bは

等 し い(補

ま たeBの

題3.1.5).

準連 続 修 正 で な け れ

ば な ら な い.  (証 終)

  定 理5.1.1の

お か げ で,概

可 能 に な る.M-不   定 理5.1.2    (ⅰ)  Aは

極 集 合 を 次 の よ う に 確率 論 的 に 特 徴 づ け る こ と が

変集 合 の 定 義 は §4.2の

後 半 参 照.

次 の 条 件 は 互 い に 同 値 で あ る. 概 極 集 合.

  (ⅱ)  適 当なBorel集

合B⊃Aが

存 在 し,m-a.e.のx∈Xに

対 して

Px(σB<∞)=0.  (ⅲ)  適 当 なBorel集

合B⊃Aでm(B)=0且

つX-BはM-不

変集 合

な る も の が 存 在 す る.   証 明   (ⅰ)⇒(ⅲ):開 0,n→ 5.1.1と

集 合 の 単 調 減 少 列{An}でAn⊃A,Cap(An)→

∞,を 満 た す も の が 選 べ る.E1(eAn,eAn)=Cap(An)で 定 理3.1.4(ⅱ)に

よ りpAn(x)→0q.e..従

あ る か ら,定 っ て

理

 と お く と,こ

q.e..

(5.1.16) 

Px(あ

を 意 味 す る.即

るt≧0が ち,あ

要 な らB2の

こ と に よ り,B2はBorel概

が 選 べ て,全  

Px(あ

るt≧0が

Px(あ

x∈X-Bに =0.即

代 わ りに,そ

るBorel概

た はXt-がB1∪B2に

極 集 合 列{Bn}を

選 ん で,任

存 在 し てXtま

極 集 合B3

るt≧0が

属 す)=0.

意 のx∈X-Bn+1に

た はXt-が

対 し,

 に 属 す)=0.

極 集 合 で あ り,(5.1.17)の

対 し て 成 立 す る.そ

対 し てPx(あ

こ でn→

存 在 し てXtま

∞

等式

と す れ ば,任

意 の

た はXt-はBに

関 し不 変 な こ と が わ か っ た .Bは

属 す)

概極集合だか ら

あ る.

  (ⅲ)⇒(ⅱ):自

明 で あ る.

  (ⅱ)⇒(ⅰ):(ⅱ)のBorel集

合B⊃Aに

従 っ て 任 意 の コ ン パ ク ト集 合K⊂Bに

対 し て はpB(x)=0

対 しpK(x)=0

m-a.e..定

よ りCap(K)=E1(pK,pK)=0.CapはChoquet容 =supCap(K)=0.即 K⊂B,Kは

極 集合を とる

対 し

存 在 し てXtま

ちX-BがMに

勿 論m(B)=0で

q.e.

全 て のx∈X-B2

れ を 含 むGδ-概

適 用 す る と,あ

 と お く.BはBorel概

は 全 て のx∈X-Bに

属 す)=0

選 べ て(5.1.16)は

極 集 合B1∪B2に

るt≧0が

 こ こ で

た はXt-がB1に

極 集 合 で あ る と 仮 定 し て よ い.

て のx∈X-B3に

  同 様 に し てBorel概 (5.1.17) 

存 在 し てXtま

る 概 極 集 合B2が

に 対 し て 成 立 す る.必

  こ の 論 法 をBorel概

れは

m-a.e.. 理5.1.1に

量 で あ っ た か らCap(B)

ちAは

概 極 集 合 で あ る. (証 終)

コンバ ク ト

  こ こ で 定 理5.1.2の 集 合A⊂Xが

意 味 を も う少 し 詳 し く考 え て み る こ と に し よ う.一

標 準 マ ル コ フ過 程Mに

関 し て 極 集 合(polar

う の は 次 の 条 件 が 成 立 す る こ と で あ る:適 (5.1.18)    但 しBが

Px(σB<∞)=0,  概Borel集

合(nearly

に 対 し適 当 なBorel集

合B1,B2で

(5.1.19)

Borel

当 な 概Borel集

set)で 合B⊃Aが

般に

あ る とい 存在 し

∀x∈X. set)で

あ る と は,任

意 の μ∈P(X)

を 満 た す も の が 存 在 す る こ と と し て 定 義 さ れ る.一 刻 は{Ft}-停

止 時 刻 だ あ っ た か ら,Ftの

集 合 へ の 到 達 時 刻 も{Ft}-停

般 にBorel集

定 義(4.2.12)に

止 時 刻 と な る.従

合 へ の 到達 時

か ん が み て 概Borel

っ て 勿 論(5.1.18)の

左 辺 の量

は 定 義 可 能 で あ る.   さ て 任 意 の 極 集 合 は 概 極 集 合 で あ る.実 を 満 た す 概Borel集

合B⊃Aを

でf(x)>0,∀x∈Xな

即 ち,定

合B1,B2が

っ てmに

存 在 す る.(5.1.18)を

関 し殆 ん ど全 て のx∈Xに

理5.1.2の(ⅱ)条

き た の で あ る.そ

々 は 容 量0の

対 し て(5.1.18) 数f∈L1(X;m) 対 し(5.1.19)

考 慮 す れ ばPf・m(σB2 対 し てPx(σB2<∞)=0.

件 が 満 た さ れ た か らAは

  こ の よ うな 事 情 が あ る の で,我

うか?以

集 合Aに

る も の を と る と,測 度 μ=f・mとBに

を 満 た すBorel集 <∞)=0.従

際,極

考 え て み る.非負Borel関

概 極 集 合 で あ る.

集 合 の こ とを概 極 集 合 と呼 ん で

れ で は 逆 に 任 意 の概 極 集 合 が 極 集 合 とな る こ とが あ るで あ ろ

下 に 述 べ る よ うに,そ

れ は 推 移 関 数 や リ ゾ ル ベ ン ト核 の 絶 対 連 続 性

の 条 件 と完 全 に 対 応 し て い る.   定 理5.1.3 

次 の 条 件 は 互 い に 同 値 で あ る.

  (ⅰ)  概 極 集 合 と極 集 合 は 等 し い.   (ⅱ)  任 意 の α>0とx∈Xに

対 しMの

リ ゾ ル ベ ン ト核Rα(x,・)はm

に 関 し て 絶 対 連 続.   (ⅲ)  任 意 のt>0とx∈Xに

対 しMの

推 移 関 数pt(x,・)はmに

関 し

て 絶 対 連 続.   証 明   (ⅲ)⇒(ⅱ):Rα(x,・)はPt(x,・)のtに

関 す る ラプ ラス変 換

だ か ら これ は 自 明 で あ る.   (ⅱ)⇒(ⅰ):Aを

概 極 集 合 とす れ ば,適

てu(x)=0m-a.e..但

しu(x)=Px(σB<∞).uはMに

あ るか ら任 意 のx∈Xに

対し

が 正 しけ れ ば こ の 右 辺 は0に

等 し い.

  (ⅰ)⇒(ⅲ):Borel集

合Aがm(A)=0を

のm-対

称 性 に よ りpt(x,A)=0がmに

当 なBorel集

合B⊃Aが

あ っ

関 して超 過 関 数 で   が 成 り立 つ が,も

し(ⅱ)

満 た す とす れ ば,推

移関数

つ い て 殆 ん ど 全 て のx∈Xに

つ い

て 成 立 す る.と

こ ろ が 補 題4.3.1に

あ り,補 題3.1.5に ば,適

当 なBorel極

よ りpt(x,A)はTtIAの

よ れ ばpt(x,A)=0q.e..そ 集 合Nが

準連続修正 で

こ で 条 件(ⅰ)を

存 在 しpt(x,A)=0,∀x∈X-N.従

っ て

p2t(x,A)=Ex(pt(Xt,A))=Ex(pt(Xt,A);Xt∈X-N)=0が に つ い て 成 立 す る.t>0も   こ こ で2つ

仮定す れ

任 意 のx∈X

任 意 で あ っ た か ら,こ れ は(ⅲ)を

の 点 に 注 意 し て お か ね ば な らな い.定

(ⅲ)の 同 値 性 は マ ル コ フ 過 程Mのm-対

意 味 す る. (証 終)

理5.1.3に

於 け る(ⅱ)と

称 性 を 反 映 し た も の で あ り,m-対

で な い マ ル コ フ過 程 に 対 し て は 成 立 し な い こ と が あ る と い う こ と が 第1点 る.成

立 しな い 例 と し て,直

動 が あ る.こ

線R1上

を 速 度1で

称 であ

右 に移 動 す る 粒 子 の 等 速 度 運

れ は 次 の 推 移 関 数 を も つ マ ル コ フ過 程 で あ る.

(5.1.20) これ は 勿 論1次 bB(X)に

対 しptf(x)=f(x+t)だ

ベ ン ト核Rα

A)は

元 ル ベ ー グ 測 度 に 関 し て 絶 対 連 続 で は な い.と か ら,そ

は 

こ ろ がf∈

の ラプ ラ ス変 換 と して の リゾル と表 わ され る.つ

ま りRα(x,

ル ベ ー グ測 度 に 関 す る密度

(5.1.21) 

eα(x-y) 

x
0 

x≧y

Rα(x,y)={

を も つ.   第2点

は,定

理5.1.3を

証 明 す る 際 我 々 はm-対

応 す る デ ィ リク レ形 式 の 正 則 性 を 前 提 と し,正 ル 論 を 使 っ た と い う こ と で あ る.し 則 性 へ の 従 属 か ら脱 し て 定 理5.1.3の

称 な マ ル コ フ 過 程Mに

対

則 デ ィ リ ク レ形 式 の ポ テ ン シ ャ

か し こ の 章 の 最 後 の 節 で は,こ

の よ うな 正

一 般 化 が 行 な わ れ る で あ ろ う.

  §5.2  準 連 続 性 と 細 連 続 性   本 節 の テ ー マ は 準 連 続 性 の 確 率 論 的 特 徴 づ け に つ い て で あ る.先 コ フ過 程Mに

関 す る 単 純 だ が 重 要 な 法 則 を 述 べ よ う.

  補 題5.2.1(Blumenthalの0-1法 (5.2.1) 

Px(Λ)=0ま

則)  Λ∈F0な た は1, 

x∈X.

らば

ず 標 準 マル

 証 明   A∈Fの

Ω 上の 変 換 θ0を 考 え る と,定 と き に は 

4.2.1)とMの

義 か ら θ-10Λ=Λ,∀ Λ∈F0,で 従 っ て{Ft}に

正 規 性(M.4)に

あ るか ら

関 す る マ ル コ フ 性(補

題

より

(証終)   σ を{Ft}-停

止 時 刻 とす る.{σ=0}∈F0で

値 の み を と る.そ

あ る か らPx(σ=0)は0か1の

こ で 次 の 定 義 が可 能 と な る.

xは

σ に対 し正 則(regular)

xは

σ に 対 し非 正 則(irregular)

(5.2.2)  {

  今,集

合B⊂Xへ

の 到 達 時 刻 σBが{Ft}-停

こ の と き,x∈Xが 正 則)で σBは

σBに 対 し正 則(非 正 則)な

あ る と い う.特

にBがXのBorel集

上の 仮 定 を 満 た す か ら,Bの

止 時 刻 で あ る と仮 定 し よう. らば,xはBに

関 し正 則(非

合 な らば,定

正 則 点,非

理0.3.3に

よ り

正 則 点 な る概 念 が 定 義 可 能 とな

る.   直 観 的 な 言 い 方 を す れ ば,xか を 訪 れ る と き,xはBに 則 の と き に は,殆

ら 出 発 し た 殆 ん ど全 て の 標 本 路 が 直 ち にB

関 し正 則 で あ る と い う.そ

うで な い と き,即

ん ど全 て の 標 本 路 が 一 斉 に しば ら く の 間(そ

ち非 正

の時 間 は標 本 路

に 依 存 す る け れ ど も)Bの

外 部 に と ど ま る わ け で あ る.こ

の よ う な2つ

の両 極

端 な 現 象 だ け が 起 こ り,中

間 的 な 状 態 が 起 こ り得 な い と い う の が0-1法

則 の

内 容 で あ る.   点 が 集 合 に 関 し て 非 正 則 で あ る と い う こ と の 別 の 表 現 と し て,次 入 し て お く.集 Borel集

合A⊂Xが

合B⊃Aが

Aの

各 点xに

Borel集

関 し尖 細(thin)で

存 在 し,xがBに

  さ て こ こ でXのMに に 関 し て)細

点x∈Xに

open

set)で

あ る と は,Aの

関 し て 尖 細 な こ と で あ る.即

合B=B(x)⊃X-Aが

(5.2.3)  が 成 立 す る と き,Aは

あ る と は,あ

る

関 し非 正 則 な る こ と で あ る.

関 す る 細 位 相 の 定 義 を 与 え よ う.集

開 集 合(finely

の言 葉 を導

存在 し Px(σB>0)=1 細 開 集 合 と呼 ば れ る.

ち,各x∈Aに

合A⊂Xが(M 補 集 合X-Aが 対 し,適

当な

  Aの

任 意 の 点 か ら 出 発 した 殆 ん ど 全 て の 標 本 路 が,し

ど ま る と き に,Aは

細 開 集 合 と い わ れ る わ け で あ る.従

性 に よ っ て,Xの

ば ら くの 間A内 っ て,標

に と

本路 の右 連 続

元 の 位 相 で の 開 集 合 は 常 に 細 開 集 合 と な る.

  細 開 集 合 の 全 体 はXにHausdorff位 こ れ をXのMに

関 す る 細 位 相(fine

す る連 続 性 を 細 連 続(finely

相 を 与 え,こ

れ は 元 の 位 相 よ り も強 い.

topology)と

い う.関

continuous)と

い う.普

数 の細 位 相 に関

通 の意 味 で の連 続 関数

は 常 に 細 連 続 で あ る.   X上

でq.e.に

(q.e.finely X-Nは

定 義 さ れ た 関 数uが

continuous)と

次 の 性 質 を 満 た す と き,uはq.e.細

呼 ば れ る:あ

細 開 集 合,uはX-N上

るBorel概

でBorel可

連続

極 集 合Nが

あ っ て,

測 で 細 連 続.

  本 節 の 目 標 は 次 の 定 理 の 証 明 に あ る.   定 理5.2.1 

(ⅰ)  準 連 続 関 数 はq.e.細

  (ⅱ)  D[E]に   補 題5.2.2  Nが

属 す るq.e.細 uを

連 続 で あ る.

連 続 関 数 は 準 連 続 で あ る.

準 連 続 関 数 とす る.こ

の と きm(N)=0な

存 在 し,X-NはM-不変,uはX-N上

のx∈X-Nに

ついて

(5.2.4) 

Px(u(Xt)はt∈[0,ζ)に

が 成 立 す る.但 u(Δ)=0と

でBorel可

にuが

存 在 して,u∈C∞({Fk})と

⇒(ⅲ)の

証 明 に よ れ ば,m(N)=0な

(5.2.5) (5.2.6) 

(5.2.7) と で き る.

X-NはM-不

変,

つ全 て

ζを ∞

狭 い 意 味 で 準 連 続 な らば,

に お き か え る こ とが で き る.

  証 明   uが 狭 い 意 味 で 準 連 続 な 場 合 を 考 え,u(Δ)=0と 巣{Fk}が

測 で,且

合

関 し右 連 続 で

し ζ は 標 本 路 の 生 存 時 間.特

お く こ と に よ り(5.2.4)の

るBorel集

仮 定 す る.定

お く.即 理5.1.2に

るBorel集合Nを

ちX上

於 け る(ⅰ) 選んで

の

 こ れ に よ り補 題 の 主 張 は 明 ら か と な る.実

際x∈X-Nに

対 し,X0(ω)=x, 

な る標 本 路 ω を 考 え れ ば,任 意 のT>0に 号kが

存 在 し てXt(ω)∈Fk∪Δ,∀t∈[0,T).こ

∪Δ,∀t∈(0,T).uのFk∪ [0,T)上

の と き ま た,Xt-(ω)∈Fk

Δ へ の 制 限 は 連 続 関 数 だ か ら,u(Xt(ω))は  ∀t∈(0,T).

で 右 連 続 で あ り,

  但 し,こ

対 し,適 当 な番

こ で は 標 本 路 が(0,ζ)上

の み で な く(0,∞)上

で も左 極 限 を もつ

と し て い る. (証 終)   補 題5.2.3  す る.こ

G⊂XをBorelな

の と きuがG上

細 開 集 合 と し,uはG上のBorel関

数 と

で 細 連 続 で あ るた め の必 要 十 分 条 件 は

(5.2.8) が 成 立 す る こ と で あ る.

  こ の 補 題 の 証 明 は 後 ま わ し に し て,補 理5.2.1が

を 考 る と,定

証 明   (ⅰ)  準 連 続 関 数uに 理5.1.2に

で あ る か ら,勿

論,細

よ りNは

  (ⅱ)  u∈D[E]がq.e.細 でX-Nが

(5.2.9) 

と お く.定

理1.4.2(ⅲ)に

→u,k→

∞.

gueの

.2.8)よ

題5.2.2の

集 合N

たX-NはM-不

こ で 補 題5.2.3に

変

於 け るGと

して

連 続 で あ る と す る と,適 でBorel可

当 なBorel概

測 で 細 連 続,な

極 集 合N る もの が選

対 し

uk(x)={

  一 方(5

ら定

連 続 性 が わ か る.

細 開 集 合,uはX-N上 然 数kに

対 し て,補

概 極集 合 で あ る.ま

開 集 合 で あ る.そ

考 え れ ば,uのq.e.細

べ る.自

よ び5.1.2か

簡 単 に 導 け る こ と を 示 そ う.

  定 理5.2.1の

X-Nを

題5.2.2,5.2.3お

k 

u(x)>k,

u(x) 

-k≦u(x)≦k, 

-k 

u(x)<-k

り

有 界 収束 定 理 を使 っ て

よ りukは

x∈X-N,

再 びD[E]に

属 し,E1の

  ∀x∈X-N.従

位 相 でuk

っ てLebes

(5.2.10) こ れ はukの   k→

∞

あ る(定

準 連 続 性 を 意 味 し て い る(補 と し てukの

準 連 続 性 か ら,uの

理3.1.4(ⅱ)).(証

  補 題5.2.3の

題5.1.2). そ れ を 導 く仕 方 は い つ も の 通 りで

終)

証 明 だ け が 残 っ て い る が,そ

の た め に は 以 下 に述 べ る よ う な 到

達 時 刻 に 関 す る 近 似 定 理 が 必 要 と な る.   定 理5.2.2  きBに

μ をXΔ

上 の 確 率 測 度,B⊂XをBorel集

合 とす る.こ

含 ま れ る コ ン パ ク ト集 合 の 増 大 列{Kn}と,Bを

列{Gn}を

の と

含む開集合 の 減 少

選 んで

(5.2.11) (5.2.12) とで き る.更 にBに

含 まれ る コ ンパ ク ト集 合{Kn}の

増 大 列 を 適 当 に選 べ ば,

(5.2.13) ま たMがHunt過

程 の と き に は(5.2.12)を

以 下 に お き かえ る こ と が で き る:

(5.2.12)′

  証 明   い くつ か の 段 階 に 分 け て 証 明 す る.   (ⅰ)  開 集 合 の 全 体O上の

集

(5.2.14) 

I(A)=Eμ(e-σA), 

に よ っ て 定 義 す る.但 0.2.3の

合 関 数Iを

し σAはσA∧

条 件 を 満 た す.即

(5.2.15) 

A∈O

ζ を 表 わ す も の と す る.こ

れ は補 足 の定 理

ち

I(A∪B)+I(A∩B)≦I(A)+I(B)

(5.2.16)  実 際,明

らか な 不 等 式

か ら(5.2.15)が

従 う.(5.2.16)は

 の 結 果 で あ る.

 

(ⅱ)  A⊂Xに

対し

(5.2.17) と お く と,定 がBorel集

理0.2.3に

よ りI*はX上

のChoquet容

量 と な る が,実

はB

合 な らば

但し

(5.2.18) 

が 成 立 す る こ とを 示 そ う.   そ のた めに 標 準 マ ル コフ過 程Mの(0,ζ)上 導 か れ る一 つ の結 論 を 述 べ る.Kを

で の 準 左連 続 性(M.8)か

任 意 の閉 集 合,{An}を

 な る も の とす る.こ

ら

開 集 合 の減 少 列 で

の とき

(5.2.19) 実 際 

とお くと明 らか に 

そ こ で も し τ=ζ (M.8)よ

τ=σ ′K=ζ.ま

た{τ<ζ}な

るPμ-a.e.の

ω に 対 し て は,

り

即 ち,こ

の よ うな

で(5.2.19)が   Bが

ら,上

な ら

ω に 対 して

σ ′K≦τ<ζ

が 成 立 し,こ

の と き も

τ=σ ′K.こ れ

示 せ た.

コ ン パ ク ト 集 合Kの

の よ うな{An}に

が,(5.2.19)に

場 合,(5.2.18)は(5.2.19)か

ぜ な

 であ る

対 して は

よ り こ れ はEμ(e-σ

し て は,(5.2.17)よ

ら 従 う.な

′K)に 等 しい.一

り 

般 のBorel集

と こ ろ がBはI*に

合Bに

対

関 し 可 容,

つ ま り

(5.2.20)

は コ ンパク ト

で あ る か ら,Kに

対 す る 等 式(5.2.18)を

使 っ て 

が 得

ら

れ る.   (ⅲ)  (5.2.17)よ

求 め る等 式 の

う ち(5.2.11)と(5.2.12)は

り 導 か れ る.(5.2.11)を

示 す た め に,コ

各

々(5.2.20)お

ン パ ク ト集 合Kn⊂Bを 

よ び

な る 如 く選 ぶ.K1∪K2∪ と に よ りKnは

… ∪Knを

改 め てKnと

で あ る が,(5.2.18)よ

増 大 列 と仮 定 し て よ い. 

た(5.2.17)を

使 え ば,同

 と で き る.こ

んで   (ⅳ)  Mが

特 にHunt過

(5.2.19)は の σAを

れ は 特 に(5.2.12)を

程 な ら ば,Mは(0,∞)上

意 味 す る.

量I(A)を

  つ ま り(5.2.12)′

  (ⅴ)  最 後 に(5.2.13)を Pμ(Xtk∈A)に

こ で(5.2.14) 定 義 す る こ とに

σ′Bに対 し て で は な く σ′Bに対 し て 成 立 す る.従

り

示 す.単

よ っ てXΔ

調 に0に

対 し適 当 な コ ン パク ト集 合Kkn⊂Bの

っ て,

が 導 け るわ け で あ る.

収 束 す るtkを

上 の 測 度 列{νk}を

選

で準 左 連 続 だ か ら

σAに お き か え る こ と に よ りChoquet容

(5.2.17)よ

各kに

様 に 開 集 合 の 減 少 列Gn⊃Bを

σAn,σ ′Kを各 々 σAn,σ′Kにお き か え て 成 立 す る.そ

す れ ば,(5.2.18)は

り

 こ れ は(5.2.11)

 と な る か ら, と 同 値 で あ る.ま

お くこ

選 び,νk(A)=

定 義 す る.(5.2.11)に

よ り,

増 大 列 で 

な る も の が 選 べ る.  と お く.Knは で あ る が,更

単 調 増 大 なBの

コ ン パ ク ト集 合 列

に

(5.2.21) が 成 立 す る.  実 際Knは k≦n,に っ てMの

 が 存 在 す るが,Kkn⊂Kn⊂B,

増大列だか ら

よ りPνk(σ=σ ′B)=1が

全 て のkに

つ い て 成 立 す る こ とが わ か る.従

マ ル コフ性 に よ っ て

 (5.2.21)に

よ りPμ

に 関 し殆 ん ど確 実 に

こ こに 登 場 した2重 級 数 はkに

つ い て も,nに

限 操 作 の順 序 の交 換 が 可 能 な わ け で あ る.(証 終)

つ い て も単 調 減 少 な の で,極

  補 題5.2.3の し,任

証 明   Borel細

意 のx∈Gを

と る.任

開 集 合G上

でBorel関

意 の ε>0に

U={y∈G;￨u(y)-u(x)￨<ε}

と お く と,Uはxを

含 むBorel細

 ε ↓0と

らXt∈Uで

し て(5.2.8)を

  逆 にG上

Borel集

あるか ら

数uが(5.2.8)を

意 の ε>0に

にUが

￨u(y)-u(x1)￨<ε-ε1}と

よ っ てUを

意 のx∈G

定 義 す る と,こ

れ は

細 開 集 合 で あ る こ と を 示 せば よい.

し￨u(x1)-u(x)￨<ε1<ε

る か ら,Uの

満 た す と仮 定 し,任

対 し(5.2.22)に

合 で あ る が,更

  x1∈Uと

開 集 合 で あ る か らPx(σX-U>0)=1.

得 る.

のBorel関

を と る.任

細 連 続 と仮 定

対 し

(5.2.22) 

  0
数uが

な る ε1を 選 ぶ.そ

お く.明

ら か にU1はBorel集

し てU1={y∈G; 合 でU1⊂Uで

あ

細 開性 を示 す た め に は

(5.2.23) 

Px1(σx-U1>0)=1

が い え れ ば 充 分 で あ る.   (5.2.23)を

否 定 す る.即

に 属 す か ら,こ

ちPx1(σx-U1=0)=1.x1はBorel細

れ はPx1(σG-U1=0)=1に

同 値 で あ る.と

開 集合G こ ろ で 定 理5.2.2に

よ れ ば,G-U1に

含 ま れ る 単 調 増 加 な コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}が

(σKn↓ σG-U1,n→

∞)=1.こ

(5.2.8)の

仮 定 に よ りPx1に

こ れ は 矛 盾 で あ る.(証

の と き 明 ら か にXσKn∈G-U1で

選 べ て,Px1 あ る が,一

方

関 し殆 ん ど 確 実 に

終)

  §5.3  到 達 分 布 に よ る 平 均 と 射 影 作 用 素  

X上q.e.で C({Fk})に

非 負 な 関 数uが

準 連 続 な ら ば,適

属 し,u(x)≧0,

と定 義 す れ ば,uは この節 でq.e.で

あ っ て,uは

 そ こ で 例 え ばu(x)=0, 

全 空 間X上

非 負 な 関数uが

と きに は断 りな しに

当 な 巣{Fk}が

で 定 義 され た 非 負Borel可

測 関 数 とな る.

準 連 続 で あ る とか 準 連 続 修 正 で あ る とか い う

(5.3.1) 

uはX上

い た る所 で 定 義 され 普 遍 可 測 でu(x)≧0,∀x∈X

を 仮 定 す る も の と す る.上

に 説 明 し た よ うに,こ

に 何 ら制 限 を 加 え る こ と に は な ら な い し,ま

の 仮 定 は 以下 の 議 論 の 一般 性

た 積 分 核 に よ るuの

変換 を考え

る た め に 必 要 な こ と で も あ る.   α>0とB∈B(X)と

を固定 し

(5.3.2) と お く.HBα(x,・)はxか

らBへ

と 呼 ば れ る も の で あ る.補 にF-可

測 で あ るか ら

B*(X))上

,補

のα-到

達 分 布(α-hitting

足 の 定 理0.3.2,定 題4.2.1(ⅰ)に

理0.3.3に

よ り σB,XσBは

訴 え れ ばHBα

の 積 分 核 と 考 え る こ と が で き る.特

にuが

distribution) 共

を 可 測 空 間(X,

非 負 また は 有 界 な 普 遍

可 測 関 数 の とき

(5.3.3) はxの

関 数 と し て 再 び 普 遍 可 測 と な る.

  次 の こ と に 注 意 し て お こ う.m-a.e.に 続 修 正 をfと

す る と き,HB1fはfの

一 意 的 で あ る .実 際fを 理5.1.2に

非 負 な 関 数f∈D[E]に

選 び 方 に 依 存 す るが,q.e.を

他 の 準 連 続 修 正 とす る とf=f

よ っ て 適 当 なBorel概

f(x)=f(x),x∈X-N,と

対 しそ の 準連

極 集 合Nを

で き る.こ

q.e.で

除 いては

あ る か ら,定

選 ん でX-NはM-不

変,

の と き明 らか に

が 成 り立 って い るか ら   補 題5.3.1 

{u1,u2,…,un}をD[E]に

を 任 意 の概 極 集 合 とす る.こ X-NはM-不 (5.2.4)を

属 す 準 連 続 な 概 超 過 関 数 と し,N0

の と き 適 当 なBorel概

変,各uiはx∈X-Nに 満 た し,更

極 集 合Nで,N⊃N0,

対 し て 補 題5.2.2に

於 け る条 件

に

(5.3.4) が 成 り立 つ よ う な も の を 選 ぶ こ と が で き る.   証 明   各uiに

対 し,補

題5.2.2を

成 り立 た し め る 概 極 集 合 をNiと

す る.

補 題5.1.2の

証 明 に よ りptuiは

e-tptui(x)≦ui(x)

q.e..こ

り,N⊃N0∪N1∪ t∈Q+に

準 連 続 で あ る か ら,uiの

こで 定 理5.1.2を

… ∪Nn,X-NはM-不

変,且

極 集 合Nを

つ 不 等 式(5.3.4)を

対 し て 成 立 さす よ う に す る こ とが で き る.任

の 選 び 方 に よ り,x∈X-Nの

概 超 過 性 に よ って

使 っ てBorel概

意 のt>0に

作

任意 の

対 し て はNi

とき

(証終)  §3.3の 最 後 に 概 超 過 関 数 の 被約 関数 を定 義 しそ の 性 質 を 調 べ た.こ

の節 の

第1の 目標 は,被 約 関 数 が 到 達 測 度 に よる平 均 と して 表 現 され る こ とを 示 す こ とに あ る.以

下 に 見 る よ うに 証 明 の鍵 は,被

約 関 数 の特 徴 づ け に 関 す る 定 理

3.3.3と 優 マル チ ン ゲ ール に 関す る任 意 抽 出定 理(補 足 §0.4)で あ る.  定理5.3.1 

fをD[E]に

属 す 概 超 過 関 数,BをBorel集

と きHB1fはfのB上

へ の被 約 関数fBの

合 とす る.こ の

準 連 続 修 正 で あ る.但

しfは

fの 任 意 の準 連 続 修 正.  証 明  fお

よびfBの

準 連 続 修 正f,fBを固

(5.3.5)

  t↓0,q.e.

(5.3.6)

 

q.e.

(5.3.7)

  q.e.(B)

を 示 す.(5.3.5)はHB1fが 3.3.3(ⅱ)に

概 超 過 的 で あ る こ と を 意 味 し て い る か ら,定

訴 え れ ば,上

(5.3.5)はHB1fの   fBの定

定し

の3条

件 か らHB1f=fB

準 連 続 性 を 意 味 す る(補

義 に よ りfB=f

q.e.(B)だ

m-a.e.が

導 け る.更

理 に

題5.1.2).

か ら

(5.3.8) と お く とN0は N0に

概 極 集 合 で あ る.前

適 用 す れ ば,適

当 なBorel概

(5.3.9) 

e-tptf(x)≦f(x),t>0,x∈X-N,

(5.3.10) 

e-tptfB(x)≦fB(x),t>0,x∈X-N,

(5.3.11) 

fB(x)=f(x),x∈B∩(X-N),

(5.3.12) 

Px(f(Xt),fB(Xt)はt∈[0,∞)に

補 題 を 概 超 過 関 数f,fBお 極 集 合Nを

よび 概 極 集 合

選 ん で,X-NはM-不

関 し 右 連 続)=1,x∈X-N

変,

と で き る.こ

れ を 使 っ て(5.3.5)と(5.3.6)を

  x∈X-Nを

固 定 す る.Mの

{e-tf(Xt),Ft,Px}は

導 こ う.

マ ル コ フ 性 と(5.3.9),(5.3.12)に

非 負 右 連 続 な 優 マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る.従

の 任 意 抽 出 定 理(定

理0.4.2)を{Ft}-停

よ り っ てDoob

止 時 刻 σB(ω)とt+σB(θtω)に

適

用で きて

こ の 不 等 式 の 両 端 は,特 HB1f(x)を

にe-tptHB1f(x)がt↓0の

とき単 調 非減 少で 極 限 は

越 え な い こ と を 意 味 し て い る.一 方t+σB(θtω)→

あ る か ら最 初 の 部 分 にFatouの

補 題 を 適 用 し,(5.3.12)に

きの不等式

 を 得 る.こ

  同 様 に(5.3.10),(5.3.12)か

注 意 す れ ば,逆

れ で(5.3.5)が

ら{e-tfB(Xt),Ft,Px}が

ル チ ン ゲ ール で あ る こ とが導 け る.再

向

示 せ た.

非 負右 連 続 な優 マ

び任 意 抽 出 定 理 に よ り 

一 方σB(ω)<∞ な るtn(ω)が

σB(ω),t↓0,で

存 在 す

な ら 

る か

ら(5.3.11)と(5.3.12)よ

り

  従 っ て  これ で(5.3.6)が   (5.3.7)は 5.1.1よ

わ か っ た.

定 理5.1.1か

ら導 か れ る.実

り

  q.e..特

際Cap(B)<∞ にx∈Bの

のと き に は 定理 と き,こ

の 右 辺 は1に

等 しい か ら (5.3.13) 

Px(σB=0)=1

こ れ は 勿 論(5.3.7)を

意 味 す る.(5.3.13)は

(5.3.14)  但 しBγ

q.e.(B). 言いかえれば

Cap(B-Bγ)=0. はBの

に 含 まれ るBの   一 般 のBorel集

正 則 点 の 全 体(正

則 点 の 定 義 は 前 節 の 初 め を 参 照).即

ちB

非 正 則 点 の 全 体 は 概 極 集 合 で あ る. 合Bも(5.3.14)満

コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}を

また 容 易 に わ か る よ うに

た す.こ

と り,Bn=B∩Knと

れ を 見 る た め にKn↑Xな お く とCap(Bn)<∞  が 成 立 す る.そ

る で あ り,

こ でCapの

劣 加 法 性 を 使 え ば よ い.(証

終)

  こ こ で 本 節 の 後 半 の テ ー マ に 移 ろ う.再 (5.3.15) 

びBorel集

FX-B={u∈D[E];u=0

と お く.各

α>0に

で あ る.そ

対 しFX-Bは

合B⊂Xを

q.e.(B)}

ヒ ル ベ ル ト空 間(D[E],Eα)の

こ で そ の 直 交 補 空 間 をHBα

固定 し

と お く.即

閉部分空間

ち

(5.3.16) こ の よ う な 直 和 分 解 の 確 率 論 的 意 味 を 明 らか に す る の が こ れ か ら の 目 的 で あ る.  

Mの

リ ゾ ル ベ ン ト核 を{Rα,α>0}と

す る.即

ち

(5.3.17) Rα は(X,B(X))上

の 積 分 核 で あ る が,更

に

(5.3.18) と お い て 得 られ るpX-Bt,RX-Bα っ て 定 義 さ れ たHBα

は(X,B*(X))上

の 核 と な る.(5.3.2)に

と 同 じ理 由 に よ っ て で あ る.X上

の 全 体 をB*で

表 わ そ う.

  補 題5.3.2 

(ⅰ)  (Dynkinの

の マ ル コ フ推 移 関 数 で あ る.

で あ るが,Mの

 証 明  (ⅰ)  強 マ ル コ フ 性(問

  (ⅱ) 

Mの

の有 界 な 普 遍 可 測 関 数

公 式):

  (ⅱ)  {pX-Bt,t>0}は(X,B*(X))上

題4.2.1)に

マ ル コ フ 性(補

よ り

題4.2.1(ⅱ))に

よ り

よ

(証終)   f∈B*∩L2(X;m)の Eに

と きRαfはGαfの

対 応 す るL2上

の リ ゾ ル ベ ン ト.こ

準 連 続 修 正 で あ る.但

れ は 補 題4.3.1を

しGα

使 っ て,補

は

題5 .1.2

の 証 明 中 の 議 論 と 全 く同 様 に し て 示 せ る こ と で あ る.と

こ ろ で上 の補 題 に於 け

るDynkinの

意 味 で の直 和 分 解 を 表

公 式 は 丁 度Rαf∈D[E]の(5.3.16)の

わ し て い る.α=1の

と き,こ

∩L2(X;m),f≧0,と

の こ と を 示 し て み よ う.そ

の た め に はf∈B*

 を示せば充分であ

して

る.

 先 ずR1fが1-超

過 的 で あ る こ とに注 意す る:R1fは  t↓0.従

HB1R1fはR1fのB上

へ の1-被

約 関 数 の 性 質(3.3.13)に

約 関 数(R1f)Bの

方(5.3.13)に

=R1f-HB1R1f∈FX

っ て 定 理5.3.1に

よ り

準 連 続 修 正 で あ る.1-被

よ り特 に

E1((R1f)B,υ)=0,υ 即 ちHB1R1f∈HB1.一

非 負普 遍 可 測 で あ り,

∈D[E],υ=0 よ りRX-B1f(x)=0

q.e.(B). q.e.(B).故

にRX-B1f

-B.

  以 上 の 観 察 に よ り 更 に 次 の こ と が わ か っ た こ と に な る.RX-B1fは

準 連 続 で

(5.3.19) 実 際,左

辺

 ま た リ ゾ ル ベ ン ト

方 程 式 よ り明 ら か な よ う に,Rα

の 値 域R*=Rα(B*∩L2(X;m))は

α>0

に 無 関 係 で あ る が, (5.3.20) 

任 意 のu∈R*に

但 しPHB1は

対 しHB1uはPHB1uの

ヒル ベ ル ト空 間(D[E],E1)の

準 連 続 修 正. 閉 部 分 空 間HB1上

へ の射 影 作 用 素

を 表 わ す も の とす る.   定 理5.3.2 

(ⅰ)  任 意 のf∈B*∩L2(X;m)に

属 す 準 連 続 関 数 で(5.3.19)を   (ⅱ)  uをD[E]に す る と き,HB1uはPHB1uの   証 明   (ⅰ)は

対 しRX-B1fはFX-Bに

満 た す.

属 す 任 意 の 非 負 関 数 と し,uを

そ の任 意 の準 連 続 修 正 と

準 連 続 修 正 で あ る.

証 明 ず み で あ る.(ⅱ)uが

非 負 の み な らず 有 界 で あ る 場 合,

従 っ てu∈B*の un=u∧nを

場 合 に 示 せ ば 充 分 で あ る.一 考 えn→∞

り,任

準 連 続 修 正 で あ る.一

成 り立 つ か ら(補

方E1の

意 の α>0に

対 し てHB1(Rαu)

位 相 で αGαu→u,α α →∞.従

題1.3.3), 

(5.3.21)

 

が わ か れ ば,定

対 しては

とす れ ば よ い か ら で あ る.

  と こ ろ で 有 界 な 場 合 に は(5.3.20)よ はPHB1Gαuの

般 の 非 負u∈D[E]に

理3.1.4(ⅱ)に

→∞,が っ て も し

q.e.

よ りHB1uがPHB1uの

準連 続 修 正 で あ る と

結 論 す る こ と が で き る.   (5.3.21)はuの

準 連 続 性 か ら 従 う.実

集 合Nで,X-NがM-不 も の が 選 べ る.こ

際,補

題5.2.2に

の と きx∈X-Nに

が 成 立 す るか ら,x∈X-Nに

よ りBorel概

極

 ∀x∈X-N,な

変,

る

対 して

対 しては (証 終)

 §5.4  デ ィ リク レ形 式 と マル コ フ過 程 の 開 集 合 上 で の 部 分   本 節 で は前 節 に お け る定 理5.3.2(ⅰ)の

主 張 の意味 を 考 え て み る こ とに す

る.

  補 題5.3.2(ⅱ)に

よ り{pX-Bt,t>0}は(X,B*(X))上

関 数 で あ る か ら,そ

のLaplace変

ゾ ル ベ ン ト核 で あ る.こ

のマ ル コ フ 推 移

換{RX-Bα,α>0}は{X,B*(X)}上

れ は ま たm-対

称 で あ る.実

際(5.3.19)に

の リ よ り 

f,g∈B*∩L2(X;m),で

り,RX-B1はm-対

称 で あ る が,リ

対 し て もRX-Bα   §1.4の L2(X;m)上

がm-対

あ

ゾ ル ベ ン ト方 程 式 を 使 え ば 任 意 の α>0に

称 で あ る こ とが わ か る わ け で あ る.

後 半 に 述 べ た よ うに,m-対

称 な リ ゾ ル ベ ン ト核{RX-Bα,α>0}は

の 必 ず し も強 連 続 と は 限 ら な い リ ゾ ル ベ ン トを 決 定 す る.そ

して

L2(X;m)上

の 広 い 意 味 の デ ィ リク レ形 式 が 一 意 的 に 対 応 す る が,(5.3.19)

は そ れ が 丁 度(FX-B,E)に

一 致 す る こ と を 意 味 し て い る((1.4.18)参

こ の よ うに 推 移 関 数 をptか

らpX-Btに

(D[E],E)か -Bが

ら(FX-B,E)に

変 換 す る操 作 と,デ

ィ リク レ形 式 を

変 え る 操 作 と が 対 応 し て い る わ け で あ る が,X

開 集 合 の 場 合 に こ の 対 応 を も っ と詳 し く調 べ る こ と に し よ う

  先 ず マ ル コ フ 推 移 関 係 を{pt,t>0}か 次 の よ う な 標 準 マ ル コ フ 過 程Mの   補 題5.4.1 

照).

開 集 合G⊂Xを

ら{pX-Bt,t>0}に

.

変 え る こ と は,

変 換 に 対 応 し て い る. 考 え,B=X-Gと

お く,そ

して

(5.4.1) とお く.こ

の と き 確 率 過 程 の 組MG={Ω,M,Xt,Px}x∈GΔ

の 標 準 マ ル コ フ 過 程 で あ り,そ >0}の(G,B(G))上

の 推 移 関 数 は(5.3.18)で

8)を

§4.2の

定 義 さ れ る{pGt,t

へ の 制 限 に 等 し い.

  証 明  MGが(G,B(G))上 §4.1と

は(G,B(G))上

の 標 準 マ ル コ フ 過 程 で あ る こ と を 示 す に は,

条 件(M.1),(M.2),(M.4),(M.6),(M.7)お

確 か め ね ば な らな い.い

よ び(M.

くつ か の 段 階 に 分 け て こ れ ら を 確 か め よ う.

  (ⅰ)  {Xt}t∈[0,∞]は{Ft}t∈[0,∞]に 条 件(M.1)を

適 合 した(GΔ,B(GΔ))上

で あ る.即

ちMGは

満 た す.実

∈B(G)に

対 し て は{Xt∈A}={Xt∈A}∩{t<σ

際XtはGΔ

の確 率 過 程 の 値 を と り,A

′B}であ る が,σ′Bは{Ft}-停

止 時 刻 で あ る か ら{Xt∈A}∈Ft.   次 にpt(α,A)=Px(Xt∈A),t>0,x∈G,A∈B(G),と (5.4.2) 

お くと

pt(x,A)=Px(Xt∈A,t<σB),t>0,x∈G,A∈B(G).

即 ち{pt,t>0}は(5.3.18)で

定 義 さ れ た{pGt,t>0}の(G,B(G))上

の 制 限 で あ る.こ こで 閉 集 合B=X-Gに

へ

対 して 

な

る開 集 合 列 を と り

と お い て み る,σAnは{F0t}-停 はB(X)-可

測 で あ り,従

止 時 刻 で あ る か ら,補 っ て そ のG上

題4.1.1(ⅱ)に

へ の 制 限 はB(G)-可

よ りun

測 で あ る.と

こ ろ が(5.2.19)によ

り 

こ れ でpt(x,A)がxに MGに

対 す る 条 件(M.2)が

  (ⅱ)  MGに

関 しB(G)可

測 で あ る こ と,つ

ま り

導 け た.

対 す る 条 件(M.4),(M.6)は

自 明 で あ る.(M.7),(M.8)を

示 す前 に (5.4.3) MGは{Ft}に関

し強 マ ル コ フ

な る こ と を 証 明 す る.   任 意 の{Ft}-停

止時 刻

σ とΛ∈Fに

関 係 が 成 立 し て い る(問

強 マ ル コ フ性 に よ り次 の Px-a.e..そ

題4.2.1): 

で 明 ら か な 関 係{σ<σB}∈Fσ x∈Gの

対 し,Mの

と(5.1.5)に

こ

注 意 す る と,A∈B(G)に

対 し,

とき

Px-a.e..   (ⅲ)  Xtか

ら(4.1.2)に

(4.2.12),(4.2.11)に

よ っ て 完 備 化 し た も の をFt,Fと

条 件(M.7),(M.8)は

各々,{Ft}が

フ で あ る こ と,お あ る.但

  と こ ろ で{Ft}は

し,そ

お こ う.証

右 連 続 でMGが{Ft}の

よ びMGが{Ft}に

し ζ はMGの

も っ て い る.特

よ っ て き ま る σ-加 法 族 をF0t,F0と

関 し(0,ζ)上

れを

明す べ き

関 し強 マル コ

で 準 左 連 続 で あ る こ とで

生 存 時 間 で あ りσB∧ ζ に 等 し い. 右 連 続 で あ り,MGは{Ft}に

にMGは{F0t+}に

連 続 性 を 意 味 す る の で(定

関 し て は 上 の2つ

関 し マ ル コ フ性 を も つ.こ

理4.2.3(ⅰ)),後

の性 質 を

れ は{Ft}の

右

は

(5.4.4) Ft⊂Ft, t≧0 を 示 し さえ す れ ば よ い.以

下 にF⊂Fな

る 関 係 の み を 証明 し よ う.(5.4.4)

の 証 明 の 仕 方 も 同 様 で あ る.   先 ず 次 の こ と に 注 意 し て お く.Γ0={X0=Δ}と ら ばΛ=φ

ま た はΛ=Γ0.実

るΛ1,Λ2∈F0が

存 在 す る が 

お く と き,Λ ∈F,Λ

⊂Γ0な

際 こ の と き 

な で あ る か らΛ1お

よびΛ2は

空

集 合か

Γ0に 等 し い か の ど ち ら か で な け れ ば な ら な い.Λ1=φ,Λ2=Γ0な

PΔ(Λ2-Λ1)=PΔ(Γ0)=1と

な っ て 矛 盾 す る か ら,結

局

ら

Λ は φ ま た は Γ0で

し か あ り得 な い.   そ こ で Λ∈Fを ∩Γ0を

と る.上

の 注 意 に よ っ て,必

要 な ら ば Λ の 代 わ り に Λ-Λ

考 え る こ とに よ り

(5.4.5) と仮 定 しつ つ Λ∈Fの

証 明 を 行 な っ て よ い.任

意 の μ∈p(XΔ)に

GΔ とB(=X-G)へ

の 制 限 を 各 々 μ1,μ2と す る.す

が あ っ て 

対 し μ の

る と適 当 な Λ1,Λ2∈F0

を 満 た す.明

らかに 

従 っ てPμ(Λ2-Λ1)=0.Λ1,Λ2∈Fで

か ら,こ

あ る

れ は

を 意 味 す る.(証

終)

  補 題5.4.1のMGを

マ ル コ フ 過 程MのG上

G)と

ら 得 ら れ るG上

呼 ぶ.ま

process)と

たMか

で の 部 分(part of

で の 吸 収 壁 過 程(absorbing

on

も い う.

  さ て 開 集 合Gに

対 して

(5.4.6) 

m-a.e.

と お く.B=X-G.L2GはL2の

閉 部 分 空 間 で あ り,自

ル ベ ル ト空 間L2(G;m)と

同 一 視 で き る.一

る 空 間FGはL2G(X;m)の

ま たL2(G;m)上

形 式 と 考 え な お す こ と が でき る.こ ィ リ ク レ 形 式EのG上

  定 理5.4.1 

MのG上

よ っ て 定 義 され

っ てL2(X;m)上

の広 い意

の広 い意 味 の デ ィ リ ク レ

の よ う に み な した 形 式(FG,E)をEGと で の 部 分(part

下 に 示 す よ うに 実 はEGはL2(G;m)上 あ り,し か もMGの

明 な対 応 に よっ て実 ヒ

方(5.3.15)に

部 分 空 間 で あ る.従

味 の ディ リ ク レ形 式(FG,E)は

表 わ し,デ

M

barrier

of

E on

G)と

呼 ぶ.以

の 普 通 の 意 味 で の デ ィ リク レ形 式 で

推 移 関 数 に よ っ て 決 定 さ れ て い る. で の 部 分MGの

推 移 関 数 はm-対

称 で あ り,そ

れ

の 決 定 す るL2(G;m)上 0}に

の 半 群{Tt,t>0}は

対 応 す るL2(G;m)上

強 連 続 で あ る.ま

の デ ィ リ ク レ形 式 は 丁 度EのG上

た{Tt,t> で の 部 分EG

に 等 し い.   証 明  MGの

推 移 関 数 を{pt,t>0}と

のpGtの(G,B(G))上

す る と前 補 題 に よりptは(5.3.18)

へ の 制 限 で あ る.従

α>0}は{RGα,α>0}の(G,B(G))上 5.3.2(ⅰ)を

っ てMGの

リ ゾ ル ベ ン ト核{Rα,

へ の 制 限 と な っ て い る.そ

い い か え る と,f∈bB(G)∩L2(G;m)に

(5.4.7) 

R1f∈D[EG]且

一 方MGの

対 し

つEG,1(R1f,υ)=(f,υ),∀υ

正 規 性(M.4)と

標 本 路 の右連 続性に

こで定 理

∈D[EG].

よ り

(5.4.8) が 成 立 す る.   こ の 節 の 初 め に 説 明 した こ と と全 く同 様 に し て(5.4.7)か 論 さ れ る.{Rα,α>0}は(G,B(G))上 そ れ の 決 定 す るL2(G;m)上 ((5.4.8)お m)上

のm-対

よ び 補 題1.4.2(ⅱ)).そ

対 し て 標 本 路 の 右 連 続 性 よ りptf(x)の か らLaplace変

換 の 一意 性 に よ り{pt,t>

称 で あ る こ と が わ か り,そ れ の 決 定 す るL2(G;m)上

t>0}のLaplace変 よ り{Tt,t>0}も

換 が{Gα,α>0}に 強 連 続 で,そ

あ る.(証

な っ て い る.従

っ て §1.3の

れ に 対 応 す るL2(G;m)上

開 集 合G上

の部 分EGが

そ の 条 件 を 一般 に 与 え る こ と は 難 し い.し 任 意 の コ ン パ ク ト集 合Kと

  に 等 し くX-G上 を 満 た す 場 合,次

の 半 群{Tt, 結果に

の デ ィ リ ク レ形

終)

  正 則 デ ィ リ ク レ形 式Eの

(5.4.9) 

応 す るL2(G;

等 し い.

関 す る 右 連 続 性 が 従 う.だ

式 はEGで

強 連 続 で あ る

し て{Gα,α>0}に対

  と こ ろ で 各f∈C∞(G),x∈G,に

0}もm-対

称 な リ ゾ ル ベ ン ト核 で あ り,

の リ ゾ ル ベ ン ト{Gα,α>0}は

の デ ィ リ ク レ形 式 はEGに

t>0に

ら以 下 の こ とが 結

で0に

そ の 任 意 の 開 近 傍Gに

正 則 ディリ

満 た す と す る.

と な る か,

条件

等 し い 関 数 がD[E]∩C∞(X)内

に 示 す よ う にEGは

  定 理5.4.2 Eが(5.4.9)を

か しEが

い つ まに正則

対 し,K上

で1

に存在す る

ク レ形 式 と 同 じ機 能 を もつ.

  (ⅰ)  集 合A⊂GがEGに

関 し概 極 集 合 で あ る こ と と,Eに

関 し概 極 集 合

で あ る こ と と は 同 値 で あ る.   (ⅱ) D[EG]の

任 意 の 元 はEGに

を{pt,t>0}と

関 す る 準 連 続 修 正 を も つ.MGの

す る と,f∈bB(G)∩L2(G;m)に

続 修 正 で あ る.但

し{Tt,t>0}はEGに

の 意 味 でMGはEGに

推移 関数

対 しptfはTtfの 対 応 す るL2(G;m)上

準連 の 半 群.こ

適 合 し て い る.

  証 明   (ⅰ)  開 集 合A⊂GのEG関 (5.4.10) 

す る(1-)容

量 をCapG(A)と

表 わす と

CapG(A)≧Cap(A).

実 際,B=X-Gと

お き,"q.e."は"Eに

関 す る概 極 集 合 を 除 い て"と

い う意

味 に取 り

(5.4.11) とお く とき,EGの

定 義 に よ りLA(G)はLGA(X)の

元 のG上

へ の 制 限 の全

体 に 他 な らな いが

  (5.4.10)は

特 にEGに

る こ と を 意 味 し て い る.こ

関 す る 概 極 集 合 がEに

の 逆 の 関 係 を 証 明 す る た め に,AがGの

ト部 分 集 合 な る 開 集 合Aを を 考え る.そ

関 す る概 極 集 合 と な っ て い

と り,AのEGに

関 す る1-平

コ ンパ ク

衡 ポ テ ン シ ャ ルeGA(x)

して

但 し 

(5.4.12) 

が 成 立 す る こ とを 示 そ う.そ の た め に はpGAがeGAを

特 徴 づ け る3つ の条 件

(5.4.13) 

(5.4.14) 

pGA(x)=1 m-a.e.(A)

(5.4.15) 

を 満 た す こ と を い え ば よ い.   K=AとGに

対 し て(5.4.9)の

と 容 易 に わ か よ うに  よ り

条 件 を 満 た すu∈D[E]∩C∞(X)を 従 っ て 定 理5.3.2(ⅱ)に

とる

(5.4.16) 明 ら か にpGA(x)=1,x∈A.ま

た(5.3.13)に

でpGAが(5.4.13)と(5.4.14)を へ の 制 限 は,MGの

よ りpGA(x)=0

満 た す こ と が わ か っ た.一

推 移 関 数{pt,t>0}に

関 し1-超

q.e.(B).こ

れ

方pGAのG上

過 的 で あ る:

従 って (5.4.17) 

m-a.e., 

こ の よ う なυ

とpGAのG上

へ の 制 限 を 同 じ記 号 で 表 わ す と,定

が 成 り立 つ か ら で あ る.(5.4.16),(5.4.17)お が 導 か れ る.実 補 題5.1.2に

q.e.

際(5.4.15)に よ りBorel概

於 け るυ

よ び 定 理5.3.2(ⅱ)か

理5.4.1よ

ら(5.4.15)

に 対 し て そ の 準 連 続 修 正υ

極 集合NでX-NがM-不

υ(x)≧0,∀x∈A-N,υ(x)=0,∀x∈B-N.こ

り

を と る と,

変 な る も のが 存 在 し のとき

が 成 立 す るか ら

  こ の よ う に し て(5.4.12)を 合 で あ る と し,こ

れ がEGに

コ ン パ ク ト,N⊂Gと A1,は

り,AnのEに

一 方 よ く使 って きた 関 係

∞,と

で き る.

衡 ポ テ ン シ ャ ル はpAn(x)=Ex(e-σAn)に あ る か ら 

 よ り (5.4.18) 

集合 の 減 少 列An⊃Nで

る も の を 選 びCap(An)↓0,n→

関 す る1-平

等 し く,Cap(An)=E1(pAn,pAn)で

関 し概 極 集

関 し て も概 極 集合 で あ る こ と を 証明 し よ う.Nは

仮 定 し て さ し つ か え な い.開

コ ン パ ク ト,A1⊂G,な

§5.1よ

示 す こ と が で き た.N⊂GがEに

m-a.e..

m-a.e..不

等 式

か らeGAnがEG,1の

位 相 で あ るe0∈D[EG]に

と こ ろ が(5.4.12)と(5.4.18)よ

が わ か っ た.つ   (ⅱ)  (ⅰ)に

りe0=0m-a.e.(G).こ

ま りNはEGに

よ れ ば,X上

の 制 限 はEGに

収 束 す る こ とが わ か る. れ で 

関 し て も 概 極 集 合 で あ る. で 定 義 さ れEに

関 し し準 連 続 と な る.従

関 し て 準 連 続 な 関 数 のG上

っ てEの

正 則 性 か ら(ⅱ)の

へ

前半 の

主 張 は 明 ら か と な る.   次 にMGの

リ ゾ ル ベ ント核Rα

の(G,B(G))上

とす る と,前

へ の 制 限 で あ る.そ

∩L2(G;m)が

定 理 の 証 明 に よ りRα

こ で 定 理5.3.2(ⅰ)と

はRGα

空 間Rα(bB(G)

α に 依 存 しな い こ と を 考 慮 す る と,任 意 の α>0とf∈bB(G)

∩L2(G;m)に

対 し て,RαfがGαfのEGの

と が わ か る .但 しGα

はEGに

意 味 で の 準連 続修 正 で あ る こ

対 応 す るL2(G;m)上

の 後 半 の 主 張 は こ れ を 用 い て,補

題4.3.1の

のリ ゾ ル ベ ン ト.(ⅱ)

証 明 を 全 く同 様 に し て 導 く こ と

が でき る.  (証 終)

  §5.5  ポ テ ン シ ャル論 再 考   (X,m)は

今 まで 通 りとす る.本 節の 目標 は 次 の定 理 を証 明す る こ とに あ る.

m-対 称 な推 移 関 数 を もつ マル コフ 過 程 の こ とをm-対   定 理5.5.1 

MをX上

のm-対

称 なHunt過

称 と呼 ぶ.

程 とす る.こ の と き次 の2条

件 は 同値 で あ る.   (ⅰ)  任 意 のt>0とx∈Xに

対 し,Mの

推 移 関 数pt(x,・)はmに

関

し て 絶 対 連 続.   (ⅱ)  任 意 の mに

α>0とx∈Xに

対 し,Mの

リ ゾ ル ベ ン ト核Rα(x,・)は

関 し て 絶 対 連 続.

  既 に 定 理5.1.3で

こ の 主 張 を 証 明 した が,そ

こ で はMが

正 則 デ ィ リ ク レ形

式 に 適 合 して い る と い う こ と が 前 提 と さ れ て い た.実 際 本 章 で は §5.1に ず 前 節 ま で ず っ と 正 則 デ ィ リ ク レ形 式 が ま ず 与え られ た と し,そ 標 準 マ ル コ フ 過 程 の 性 質 を3章

限 ら

れ に 適 合 した

で 展 開 され た 正則 デ ィ リ クレ 形 式 の ポ テ ン シ ャ

ル 論 を 使 っ て 調 べ る と い う立 場 を と っ て き た.   本 節 で は 逆 に ま ず 任 意 のm-対 与 え られ た と し て み よ う.Mの L2(X;m)上

ちD[E]が

程M={Ω,M,Xt,Px}x∈XΔ

推 移 関 数 は 性 質(1.4.19)を

の あ る デ ィ リ ク レ形式Eを

る か ど うか,即

決 定 す る.け

満 た す か らそ れ は

れ ど もEが

でE1の

位 相 で稠 密

で あ り し か も 以 下 に 示 す よ う に 関 数R1f,f∈B∩L2,はMに

X上

しBはX上

関 す る細 位 相

の 有 界Borel可

に あ ら か じ め 与 え ら れ た 位 相 の 代 わ りにMに

§3.1や

§5.1と

定 理5.5.1が

Rα はptの (5.5.2) 

示 せ る だ ろ う.こ

証 明 す る た め に は(ⅱ)⇒(ⅰ)を

導 き さえ す れ ば よ い.

対 しRα(x,・)はmに

こで 以 後

関 し て絶 対 連 続

の 仮 定 は 以 下 の 議 論 を 簡 素 化 す る の に 役 立 つ.

の 非 負 普 遍 可 測 関 数uがe-tptu(x)↑u(x),t↓0,x∈X,を 過 関 数 と 呼 ば れ た.こ

fが

(5.5.4) 

超 過 関 数 の 単 調 増 大 列 の 極 限 は ま た 超 過 的.

  補 題5.5.1 

非 負 普 遍 可 測 な らR1fは

(ⅰ)  超 過 関 数 はBorel可

超 過的.

測.

  (ⅱ)  u∈L2(X;m)がptの

定 め るL2上

超 過 関 数 な らば,u=u m-a.e.な

る 超 過 関 数uが

正則 化(regularization)ま

満たす と

の 定 義 か ら 簡 単 に 次 の こ とが わ か る.

(5.5.3) 

をuの

証 明 と全 く 同 様 に し て

れ が 本 節 の考え 方 で あ る.

任 意 の α>0とx∈Xに

き,uは(1-)超

っ て,

関 す る細 位 相 を 採 用 し,

ラ プ ラ ス 変 換 で あ り逆 の 関 係 は 自 明 だ か ら で あ る.そ

と仮 定 し て 話 を 進 め よ う.こ   X上

測 関 数 の 全 体.従

平 行 し た 議 論 が で き れ ば 定 理5.3.3の

  さ て 定 理5.5.1を

正則であ

ころが

R1(B∩L2(X;m)はD[E]内

の 意 味 で 連 続 で あ る.但

が

充 分 に 多 くの 連 続 関 数 を 稠 密 に含 ん で い る か ど うか

は 一 般 に は わ か ら な い.と (5.5.1) 

称 なHunt過

の 半 群Ttに

関 し(1位

の)概

一 意 的 に存 在 す る.こ

のu

た は 超 過 的 修 正(excessive modification)

と 呼 ぶ.   証 明   (ⅰ)  uが1-超 だ か らBorel関 仮 定(5.5.2)に

過 的 な ら αRαu(x)↑u(x),α

数u1,u2でu1≦u≦u2な よ りαRαu(x)はBorel可

→ ∞.uは

る も の が 存 在 しu1=u2 測 関 数αRαu2(x)に

普遍可測 m-a.e.. 等 し く,そ

の 極 限uもBorel可

測 で あ る.

  (ⅱ) u∈L2(X;m)がm-a.e.に れば,補

題3.2.1に

非 負 で あ り1位

よ り

(5.5.5) 

αGα+1u≦u m-a.e..

但 し{Gα,α>0}は{Tt,t>0}の なBorel可

リ ゾ ル ベ ン ト.uはX上

い た る所 で 非 負

測 関 数 と し て さ し つ か え な い.

  そ こ でun=u∧nと

お く と,{Gα,α>0}が{Rα,α>0}か

る こ と に よ りRαun=Gαun a.e..β>α

の概 超 過 関 数 で あ る と す

m-a.e..従

と し て こ の 両 辺 にRβ+1を

ら決 定 さ れ て い

っ て(5.5.5)よ

り

αRα+1un≦un

作 用 さ せ 仮 定(5.5.2)に

注 意

mす れ ば

 が 得 られ る.即 ち

(5.5.6) こ の よ う にαRα+1un(x)は

α に つ い て 単 調 増 大 だ か ら そ の 極 限 をunと

お く

と 明 らか に

(5.5.7) が 成 立 す る.と っ てR1fと

こ ろ でRα+1un(x)は

表 わ さ れ る.従

更 に(5.5.4)と(5.5.7)か

っ て(5.5.3)に らunの

  一 方{Gα,α>0}の αkGαk+1un→un

非 負Borel関

強 連 続 性 に m-a.e.と

で き る.従

(5.5.8) un=un

こ こ でn→

数f=un-αRα+1unに

よ りαRα+1unは

よ

超 過 的 で あ り,

超 過 性 が 従 う. よ り 適 当 な 部 分 列αk↑

∞

を 選 ん で,

っ て m-a.e..

∞

と し て 再 び(5.5.4)に

定 義 さ れ る 関 数uが

超 過 的 で あ り且 つuの

こ の よ うな 修 正 の 一 意 性 は(5.5.2)を

に よっ て

注 意 す れ ば 

修 正 に な っ て い る こ と が わ か る.

使 え ば す ぐに 得 られ る.(証

終)

  こ の 補 題 の 証 明 と 同 じ や り方 で 次 の 主 張 が 示 さ れ る こ と に 注 意 し て お こ う: uが

超 過 的 な らば 適 当 な 非 負 有 界Borel関

(5.5.9) 

R1υn(x)↑u(x), 

  実 際υn=n{un-nRn+1un}と が 成 り立 つ か ら,こ

おけ

n→

数 列υnが ∞, x∈X.

ば よ い.こ

れ は 単 調 に 増 大 し てuに

あ って

の と きR1υn(x)=nRn+1un(x) 近 づ く.

  こ こで §5.2に 於 け る細 位 相 の定 義 を 思 い出 そ う.   定 理5.5.2 

超 過 関 数 は 細 連 続 で あ る.

  証 明  uを 超 過 関 数 とす る.こ の とき任 意 のBorel集 Bの

任 意 の正 則 点xに

合BとMに

関す る

対 して 不 等 式

(5.5.10) が 成 立 す る こ と を 示 し さ え す れ ば よ い.   実 際(a,b)を b)}と

任 意 の1次

お く と き,Aが

補 題 に よ りAはBorel集 ら ば(5.5.10)に x∈B.こ

元 区 間 と しA=u-1((a,b))={y∈X;u(y)∈(a,

細 開 集 合 な ら ば 定 理 が 示 さ れ た こ とに な る.と 合 で あ り,ま

よ りx∈B,同

たxがB=u-1([b,∞])の正

則点な

様 にxがB=u-1((-∞,a])の

の よ うに 任 意 の 点x∈AはAcに

か らAの

こ ろが 前

正則点 な ら

関 し 尖 細 で あ る.つ

ま り(5.5.10)

細 開 性 が 導 け る わ け で あ る.

  (5.5.10)の

左 側 の 不 等式 を 示 す た め に,先

ず 任 意 のBorel集合Bへ

の到

達 時 刻 σBに 対 し て

(5.5.11) が 成 り立 つ こ と に 注 意 す る.こ 5.3.2)か

公 式(補

題

ら 得 ら れ る.

 そ こで  正 則 点xに

と お く.任 対 し て(5.5.11)よ

こ こ で 近 似(5.2.13)を =1に

れ は 近 似(5.5.9)とDynkinの

意 の コ ン パ ク ト集合K⊂Bと

任 意 のBの

り

使 う とK⊂Bを

適 当 に 選 べ ばEx(e-σK)をEx(e-σB)

い く ら で も近 づ け る こ と が で き る.こ

れ で(5.5.10)の

左 側 の 不 等式 が

示 せ た.   (5.5.10)の

右 の 不 等 式 はuがu=R1υ

ば 充 分 で あ る.但 似(5.5.9)を

しυ

は 非 負 有 界Borel可

と表 わ され て い る と きに示 さ れ れ 測 関 数.一

使 え ば よ い か らで あ る.u=R1υ

の 公 式 を 使 う と,任

意 の コ ン パ ク ト集 合K⊂Bに

般 のuに

つ いて は 近

に 対 し て は 補 題5.3.2のDynkin 対 し,

再 び 近 似(5.2.13)とxがBの

正 則 点 で あ る こ と を 使 っ て,こ の 右 辺 の 第1

項 を い く ら で も小 さ くで き る.(証

終)

  以 上 の 準 備 の 下 に 本 節 の 本 題 に 入 ろ う.Mの 上 の デ ィ リ ク レ形 式 をEと 入 す る.先

ずBorel細

し,Eに

推 移 関 数 の 決 定 す るL2(X;m)

関 す る 集 合Aの

開 集 合Aに

細 容 量Capf(A)を

導

対 し

(5.5.12) LA={u∈D[E];u≧1

m-a.e.(A)}

(5.5.13) とお く.任 意 の集 合Aに

対 して は

Capf(A)=infCapf(B)

(5.5.14) 

A⊂B,BはBorel細

と お く.Capf(A)をAの  

な るBorel細

あ る か ら §3.1で

開集合

細 容 量(fine 開 集 合Aの

定 義 したCapと

(5.5.15) 

capacity)と

全 体 をOfと 今 のCapfと

呼 ぶ.

お く.O0⊂Ofな

る関 係 が

の間 に は

Capf(A)≦Cap(A), ∀A⊂X

な る不 等 式 が 成 立 す る.  

A∈Ofに

対 し て はLA上

補 題3.1.1の

性 質(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)(ⅳ)を

全 く 同 じで あ る.こ りeAは1位

でE1(u,u)を

のeAをAの

最 小に す る 一 意 元eAが 満 た す.証

明 は 補 題3.1.1の

平 衡 ポ テ ン シ ャル とい う.補

の 概 超 過 関 数 で あ る か ら,補 題5.5.1(ⅱ)の

存 在 し, 場合 と

題3.2.1に

よ

意 味 で そ の 正 則 化eA

が 一 意 的 に 存 在 す る.   こ こ で 定 理5.1.3の   定 理5.5.3 

直 前 に 与え た 極 集 合 の 定 義 を 思 い 出 そ う.

(ⅰ) A∈Ofの

平 衡 ポ テ ン シ ャ ルの 正 則 化 をeAと

す ると

(5.5.16)   (ⅱ)  Xの

部 分 集 合 の 細 容 量 が0で

あ る こ と と,そ

れ が 極 集 合 で あ るこ と

とは 同 値 で あ る .   証 明   (ⅰ)  先 ず 次 の こ と が わ か る. (5.5.17)  実際 が

eA(x)=1, ∀x∈A. 空 で ない と す る と,定

理5.5.2に

よ りA′ は

Borel細

開 集 合 だ か ら 

従 って 条件

(5.5.2)に

よ りm(A′)>0.こ

れ はeAがeAの

a.e.に1に

等 しい こ とに 反 す る.

  そ こ で 超 過 関 数eAとAへ (5.5.17)に

修正 で あ り従 っ てA上

の到 達 時 刻

σAに 対 し て(5.5.11)を

でm-

適 用 し,

注 意 し て 次 の 不 等 式 を 得 る.

(5.5.18) 

eA(x)≧Ex(e-σA), 

x∈X.

  こ の 不 等 式 か ら求 め る 等 式(5.5.16)が 関 数 をu(x)と u∈D[E]且

お く と,uも

得 られ る.実

際(5.5.18)の

超 過 的 で あ りeA≧uだ

つCapf(A)=E1(eA,eA)≧E1(u,u).と

あ る こ とに よ りu(x)=1,x∈A.つ

か ら補 題3.3.2に こ ろ がAが

ま りu∈LA.従

右辺の

っ てu=eA

よ り

細 開集合 で m-a.e..超

過

的 修 正 の 一 意 性 に よ り こ の 等 式 は い た る 所 で 成 立 す る.  

(ⅱ) 

0,な

Capf(N)=0と

す る.単

調 減 少 列An∈OfでAn⊃N,Capf(An)→

る も の を 選 ぶ.Capf(An)=E1(eAn,eAn)≧(eAn,eAn)だ

か ら(5.5.16)に

よ り m-a.e..

(5.5.19) 

と お く と,N′

そ こで 

はNを

含 むBorel集

合 で あ り,(5.5.19)

に よ り Ex(e-σN′)=0

(5.5.20) 

m-a.e..

こ の左 辺 は0の 超過 修正 だ か ら,こ の 等 式 は 全 て のx∈Xに 即 ちNは

対 して 成 立 す る.

極 集 合で あ る.

  逆 にNが

極 集 合 で あ る とす る.Nは

ま た §3.1の

場 合 と同 じ く細 容 量 の 可 算 劣 加 法 性 が わ か る か ら,Nは

トで あ る と し て よ い.こ f∈L2を

の と き 更 にN上

とれ ば 

と定 理5.5.2に (5.5.21) 

概Borel集

コ ンパ ク

り真 に 大 き な 有 界連 続 関 数 な る 関 係 が 成 立 す る が,(5.5.3)

よ りRnfは

N⊂Aな

1)  (5.1.18)参

で1よ

合 で あ る と し て よ い1).

るA∈Ofが 照.

細 連 続 で あ り し か もD[E]に 存 在す る

属 す.従

って

と し てCapf(N)=0を

導 け ば よ い.

 先ず (5.5.22) 

m(N)=0

に 注 意 し て お く.実 際Nは る がFatouの

極 集 合 だ か らpt(x,N)=0,∀t>0,∀x∈X,で

補題に よ り

な るBorel可

  今f(x)>0,x∈X,  μ=f mと

集 合Nに

の 減 少 列Anを

定 理5.2.2の(5.2.12)′

測 関 数fを

を 適 用 す る と1),適

選 ん でAn⊃N, 

と り測 度 当な開集合

こ こ で(5.5.22)を

で あ り,結

慮 す る と 

局 

考

従 って m-a.e..

(5.5.23)    そ こ で(5.5.21)のAとAnの

共 通 部 分 を 改 め てAnと

と な る の で,(5.5.16)と(5.5.23)に

お

く とAn∈Of

よ り m-a.e..

(5.5.24) 

と ころでAnは

単 調 減 少 だ か ら補 題3.1.1の

つ ま りeAnはE1の e0=0.故

位 相 で あ るe0∈D[E]に

性 質(ⅳ)を

∞.An⊃Nで

理5.5.3(ⅱ)に

同 じで あ る.定

い う記 号 を"細

容 量0の

よ り こ れ は"極

理5.5.3(ⅱ)が

  こ こで §5.2と

1)  Mを

あ っ た か ら

集 合 を 除 い て"と

集 合 を 除 い て"と

い うこ と と全 く

集 合 が 存 在 す る.

平 行 に 次 の 概 念 を 導 入 し よ う.X上q.e.に

連 続 で あ る と は,適

い う意 味

更 に 次 の こ とを意 味 して い る こ とを注 意 して

意 の 極 集 合 に 対 し そ れ を 含 むBorel極

uがq.e.細

よ り

終)

  こ の 節 で は 以 後"q.e."と に 使 う.定

使 って

収 束 す る が,(5.5.24)に

にCapf(An)=E1(eAn,eAn)→0,n→

Capf(N)=0.(証

お く:任

あ

当 なBorel極

標 準 マル コフ過程 よ り も強 くHunt過

(5.2.12)′ を 使 う とい う理 由 のみ のた め で あ る.

集 合Nが

定 義 され た 関 数 あ っ てuはX-N

程 で あ る と仮 定 した の は,こ

こで

上 で(こ

れ は 細 開 集 合 で あ る)Borel可

後 半 の テ ー マ はD[E]の て 定 理3.1.4の

測 且 つ 細 連 続 な る こ と で あ る.本

任 意 の 元 がq.e.細

節 の

連 続 な修 正 を も ち且 つそ れ に つ い

型 の 収 束 定 理 が 成 立 す る こ と を示 す こ と に あ る.そ

の ため に い

くつ か の 補 題 を 準 備 し な け れ ば な ら な い.   補 題5.5.2 fnをX上

の 超 過 関 数 の 単 調 減 少 列 と しそ の 極 限 関 数 をfと

す る.も

らばf=0

しf=0

m-a.e.な

  証 明   ε>0に

q.e..

対 しKをAε={x∈X;f(x)≧

す れ ば(5.5.11)でB=K,u=fnと

ε}の コ ン パ ク ト 部 分 集 合 と お い た 式 でn→

∞

とす る こ とに よ り

(5.5.25) が 得 ら れ る.   f=0 m-a.e.と は(1-)超

仮 定 す れ ば(5.5.25)よ

りEx(e-σk)=0 m-a.e..こ

過 的 だ か ら 一 意 性 の 補 題5.5.1(ⅱ)に

こ こ でBorel集合Aε

の 近 似(5.2.13)を

と し てEx(e-σA)=0,x∈X,を

得 る.但

が 極 集 合 で あ る こ と を 意 味 し,従   補 題5.5.3 

Borel集

合Bと

よ りEx(e-σK)=0,x∈X.

使 え ばEx(e-σAε)=0,x∈X.ε

↓0

しA={x∈X;f(x)>0}.こ

っ てf=0

q.e..(証

点x∈X-Bを

傍 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,xがBの (5.5.26) 

の左 辺

れ はA

終)

考 え る.X-Bがxの 非 正 則 点 で あ る こ と,即

細近 ち

Px(σB>0)=1

が 成 立 す る こ とで あ る.   証 明   必 要 性 は 細 開 集 合 の 定 義 よ り 自 明 で あ る か ら十 分 性 だ け を 示 せば よ い.   一 般 にBorel集

合Bに

X;Ex(e-σn)=1}だ

対 し て そ の 正 則 点 の 全 体 をBrと

か ら 定 理5.5.2に

(5.5.27) 

よ りBrはBorel集

Px(σBr<σB)=0, 

が 成 立 す る.実

際,コ

合 で あ るが

x∈X

ン パ ク ト集 合K⊂Brに

が 成 り立 つ が,XσK∈K⊂Brだ

か ら こ れ は0に

(5.2.13)を

得 る.

使 っ て(5.5.27)を

書 く.Br={x∈

対 し て,強

マ ル コフ性 よ り

等 し い.そ

こ でBrの

近似

  (5.5.27)は B∪Brの

特 に(Br)r⊂Brを

意 味 す る.従

非 正 則 点 で あ る.つ

xが(5.5.26)を

ま りX-B∪Brは

  X上q.e.に

各 点 は にX-Bの

点

れ はX-Bがxの

細

終)

定 義 され た関 数 が 細 位 相 の意 味 で 準連 続 で あ る と は,任

対 しCapf(A)<ε

Borel可

細 開 集 合.特

満 た せ ばx∈X-BUBr⊂X-B.こ

近 傍 で あ る こ と を 意 味 し て い る.(証

ε>0に

っ てX-B∪Brの

な るA∈Ofが

測 で あ り且 つX-A上

  定 理5.5.3,補

題5.5.2そ

存 在 してuのX-A上

意の

へ の制 限 が

の相 対 細 位 相 に 関 し連 続 とな る こ とで あ る. れ に 補 題5.5.3に

よ り,次

の補 題 を容 易 に 示 す

こ と が で き る.

  補 題5.5.4  uがq.e.細

関数uが

細 位 相 の意 味 で 準 連 続 で あ るた め の必 要 十 分 条 件 は,

連 続 で あ る こ とで あ る.

  証 明   必 要 性 の み を 示 せ ば よ い.uが

細 位 相 の意 味 で準 連続 な ら単 調減 少列

An∈Ofを

∞,uの

選 ん でCapf(An)→0,n→

続 と で き る.こ 題5.5.2よ

の と き 定 理5.5.3(ⅰ)を

成 立 す る か ら補

り q.e..

於 け る 除 外 集 合 をCと

集 合 と し て よ い.そ る.し

へ の制 限 は 細 連

使 え ば,(5.5.19)が

(5.5.28) 

 (5.5.28)に

各X-An上

す る.Cは

こ で 

か も 任 意 のx∈X-Bに

そ こ でBlumenthalの0-1法

と お く とBはBorel極

則(補

題5.2.1)を

集合 であ

考 慮 す れ ば,充 で き る.補

細 近 傍 で あ る.uのX-C∪Anへ

意 味 で 連 続 で あ っ た か ら,こ

たBorel

対 し

を と っ てx∈X-C∪An,Px(σC∪An>0)=1,と X-C∪Anはxの

極 集 合 で あ り,ま

れ でuがxに

題5

分 大 き なn .5.3に

よ り

の制 限 は相 対 細 位 相 の

於 い て 細 連 続 で あ る こ とが わ か っ

た.  (証 終)   補 題5.5.5 

q.e.細 連 続 な 関 数uがm-a.e.に0に

  証 明   uのq.e.細 合 

連 続 性 の 定 義 に 於 け るBorel極 は 細 開 集 合 で あ り,従

等 しい な らばu=0 集 合Nを

q.e..

考え る と,集

っ て(5.5.17)の

証 明 と

全 く同 様 にu=0 m-a.e.か

らA=φ

が 導 か れ る.(証

終)

  以 上 の 準 備 の 下 に 本節 の 後 半 の 主 定 理 を 示 す こ とが で き る.   定 理5.5.4 

(ⅰ)  D[E]の

  (ⅱ)  D[E]に

属 すq.e.細

任 意 の 元uはq.e.細

連 続 な 修 正uを

も つ.

連 続 関 数unがE1に

関 しCauchy列

適 当 な 部 分 列nkとq.e.細

連 続 関 数u∈D[E]が

存 在 し てunk(x)→u(x)

q.e..ま

位 相 で 収 束 す る.

たunnはuにE1の

  (ⅲ)  un∈D[E]がE1に

関 しCauchy列

細 連 続 修 正unがX上q.e.に すq.e.細

を な し,ま

あ る 関 数uに

細 連 続 で あ る.そ

存 在 す る.定 こ でD[E]に

属

位 相 で も収 束 す る.

よ り任 意 のu∈D[E]にE1の

列R1fn,fn∈B∩L2,が

適 当 なq.e.

収 束 す れ ば,uはD[E]に

連 続 関 数 で あ り,unはuにE1の

  証 明   (ⅰ)  (5.5.1)に

たunの

を な せ ば,

位 相 で 収束 す る 関 数

理5.5.2と(5.5.3)に

属 すBorel可

よ り各R1fnは

測 な 細 連 続 関 数uに

対 す る評 価

(5.5.29) を 使 え ば,定

理3.1.1の

証 明 と 全 く 同 様 に して,あ

意味で準連続な関数uが わ か る.こ

る部 分 列nkと

存在 し 

の と き 明 ら か にu=u

細位相 の

q.e.が 成 立 す る こ と が

m-a.e..ま

た 補 題5.5.4に

よ りuはq.e.

細 連 続 で あ る.   (ⅱ)  補 題5.5.5を (5.5.29)を

使 え ば,補

任 意 のq.e.細

題3.1.6の

証 明 と 全 く同 様 に して,不

連 続 関 数u∈D[E]に

こ れ を 使 え ば 後 は 定 理3.1.4の

証 明 と同様 で あ る.

  (ⅲ) (ⅱ)と

ら従 う.(証

補 題5.5.5か

  本 節 の 最 初 に 述 べ た 定 理5.5.1は

等式

対 して 成 立 さ す こ と が で き る.

終)

以上 の ポ テ ン シ ャル論 を用 い る こ とに よ っ

て 次 の よ うに 証 明 で き る.   定 理5.5.1の (5.5.30) 

証 明   条 件(ⅱ)を

f∈B∩L2に

対 しptf(x)はq.e.細

な る こ と を 示 せ ば よ い.実 pt(x,B)=0 m-a.e.で

仮 定 す る.こ

際m(B)=0と

あ る か ら(5.5.30)と

の と き(ⅰ)を

導 くに は

連続 仮 定 す れ ばptのm-対 補 題5.5.5に

称性に よ り

よ りpt(x,B)=0,

x∈X-N.こ

こにNは

適 当 なBorel極

集 合 で あ る.あ

とは 定 理5.1.3の

証

明 と同 じ く

こ れ で 条 件(ⅰ)が   (5.5.30)を

導 け た こ と に な る.

示 す た め にptの

ゾ ル ベ ン ト{Gα,α>0}を (5.5.31)f∈C0(X)に

決 定 す るL2上

考 え る.そ

の 半 群{Tt,t>0}と

対 しptfはTtfのq.e.細

連続な修正

を 示 す.ptRαf(x)=Rαptf(x)はGαTtf∈D[E]の   x∈X.一

の と きTtfにE1の (5.5.31)が   (5.5.31)か

そ の リ

して

細 連 続 修 正 で あ り,

方 補 題1.3.3よ

り

位 相 で 収 束 し て い る か ら,定

αGαTtfは

α→

理5.5.4(ⅲ)に

得 ら れ る. ら(5.5.30)を

証 明 と 同 じ で あ る.但

し,そ

を 使 わ ね ば な ら な い.  (証 終)

導 く や り方 は,補 の 際 定 理3.1.4(ⅱ)の

題4.2.1の(ⅰ)⇒(ⅲ)の 代 わ り に 定 理5.5.4(ⅲ)

∞

よ り

第6章

 対 称拡散 過程

  §6.0  序   殆 ん ど 全 て の 標 本 路 が 連 続 で あ る よ う な標 準 マ ル コ フ過 程 を 拡 散 過 程 と い う. 第4章

で は,正

則 デ ィ リ ク レ形 式 に 適合 し た 標 準 マ ル コ フ過 程 の 存 在 が 示 さ れ

た の で あ る が,§6.1で

は,形

式 が 更 に §1.1の

意 味 で の 局 所 性 を も つ こ と とそ

れ に 適 合 した 拡 散 過 程 が 存 在 す る こ と と が同値 な 条 件 で あ る こ と が 証 明 され る.   Fellerの

条 件 を 満 た す マ ル コ フ 推 移 関 数ptに

に 標 準 マ ル コ フ 過 程Mを Kinneyの

対応 さ せ る こ と が で き る が,ptが

述べた よ う

更 にDynkin-

条 件 と呼 ば れ る性 質 Kは

(6.0.1) 

を も て ばMは

コ ンパ ク ト

実 は 拡 散 過 程 と な る こ と が 知 ら れ て い る.(6.0.1)と

条 件 はLindeberg型

の 条 件 と呼 ば れ,標

くか ら知 られ た も の で あ る.と (E.6)は(6.0.1)よ

こ ろ で デ ィ リ ク レ形 式 に 関 す る 局 所 性 の 条 件

り もず っ と弱 い も の で あ る に も か か わ らず,第5章

を 導 く こ と が で き る.そ え ばR.M.

同 じ型 の

本 路 の連 続 性 のた め の条 件 と して古

ン シ ャ ル 論 を 使 う こ とに よ っ て(E.6)か

や り方(例

対 して は §4.2で

ら(6.0.1)に

の 結 果(6.0.1)か

近 い 性 質(補

のポテ 題6.1.2)

ら標 本 路 の 連 続 性 を 証 明 す る 普 通 の

Blumenthal-R.K.

Getoor[Ⅱ;1]の(9.10)参

照)と

類 似 な 方 法 で 拡 散 過 程 を 対 応 させ う る の で あ る.   推 移 関 数 に 対 す るDynkin-Kinneyの

条 件 は1次

の 連 続 性 の た め の 十 分 条 件 で しか な い.し 必 要 条 件 で も あ る.こ   §6.2で

はRn上

元 の場 合 を除 い て は標 本 路

か し条 件(E.6)の

の 証 明 の た め に は §5.3の の ブ ラ ウ ン運 動 と 開 集 合D上

方 は そのための

結 果 を 用 い ね ば な ら な い. の 吸収 壁 ブ ラ ウ ン運動 が 各

各1位

の ソ ボ レ フ 空 間H1(Rn)とH10(D)に

た ブ ラ ウ ン推 移 関 数 のL2の の 一 部 は §5.4の   §6.3か

適 合 し て い る こ と を 証 明 し,ま

意 味 で の 生 成 作 用 素 を 決 定 す る.§6.2と

結 果 の 応 用 と い う性 格 を も っ て い る.

ら §6.5ま

で は §6.1の

定 理 の 具 体 的 応 用 を 扱 う.空

定 義 域 とす る デ ィ リク レ積 分 はL2(D)上 則 で は な い が,Dの

適 当 な 拡 張D*を

過 程 で あ っ て,D上

考 え,L2(D*)上

の デ ィ リ ク レ形 式 と く てD*上

の拡 散

の 吸 収 壁 ブ ラ ウ ン運 動 の 拡 張 とな って い る もの を 対 応 さ

せ る こ と が で き る.こ

の よ う に 状 態 空 間 の 拡 張 に よ る デ ィ リ ク レ形 式 の 正 則 化

と そ の 確 率 論 的 意 味 を 明 ら か に す る の が §6.3の

Rn上

間H1(D)を

の デ ィ リ ク レ形 式 と し て は 一 般 に 正

考 え な お せ ば 正 則 で しか も 局 所 性 を も つ こ とが 示 され る.か

 1930年

§6.3

代A.N.

課 題 で あ る.

Kolmogorov[Ⅱ;1,2]やW.

Feller[Ⅱ;1]等

の マ ル コ フ 推 移 関 数Pt(x,A)がLindeberg型

則 条 件 の 下 で は2階

に よ っ て,

の条 件 を 含 む 適 当 な正

の放 物 型 微 分 方 程 式

(6.0.2)

に 従 う こ と が 明 ら か に さ れ た.但 号,c≧0.aijは

拡 散 係 数(diffusion

coefficient),cは   そ れ 以 来,次 れ た と き,そ

しaij(x)はi,jに

消 滅 係 数(killing

関 し対 称 で 正 の 半 定 符

coefficient),biは coefficient)と

の 設 問 が 問 題 に さ れ て き た.解 の 推 移 関 数 が 方 程 式(6.0.2)に

ず れ の 係 数(drift

呼 ば れ る.

析 的 試 料{aij,bi,c}が

与え ら

従 う よ うな拡 散 過 程 が 一 意 的 に 存

在 す る か?係

数 が 滑 らか な 場 合 に は こ の 設 問 は2通

られ て い る.一

つ は ブ ラ ウ ン 運 動 に 関 す る伊 藤 積 分 を 使 っ た 確 率 微 分 方 程 式 を

解 き,求

りの仕 方 で肯 定 的 に答 え

め る 標 本 路 を 直 接 構 成 す る と い う方 法 で あ る1).他

は偏微分方程式論

で 得 られ て い る 放 物 型 方 程 式 の 基 本 解 の 性 質 を 使 っ て,そ Dynkin-Kinneyの 1) 

K.

2) 

例え

Ito[Ⅱ;3,4,5] ばE.B.

れ がFellerや

条 件 を 満 た す こ と を 確 か め る と い う解 析 的 方 法 で あ る2).

, H.P. Dynkin[Ⅱ;2]Chap.

McKean[Ⅱ;2]等 5を

を 参 照. 参 照.

 これ に 対 し本 書 で は(6.0.2)の

右 辺 が形 式 的 に 自己 共 役 な 場 合

(6.0.3) に 関 心 を もつ.し

か し作 用 素Sを

直 接 考え る代 わ りに,そ

れ か ら導 か れ る対

称形式 (6.0.3)′

を 眺 め て み よ う.既

に 本 書 で は §1.2に

於 い て,こ

の 右 辺 よ り も ず っ と一般

な もの

(6.0.4) を 扱 っ て い る.こ

の 形 式Eは

フ対 称 形 式 と 考 え て,局 式(6.0.4)に

新 た な 測 度mに

基 づ くL2(D;m)上

所 型 微 積 分 形 式 と 呼 ば れ た.作

於 け る 測 度 νijやkが

のマル コ

用 素(6.0.3)は

特 にLebesgue測度に

対 称形

関 し絶 対 連 続 で あ

る と い う特 別 な 場 合 に あ た っ て い る わ け で あ る.   そ こ で 我 々 の 設 問 は 次 の 通 り と な る:解 た と き,対

在 す る か?第2章

お よ び §6.1の

答 え る こ と が で き る(定 閉 な ら ば,そ

析 的 試 料{νij,m,k}が

応 す る 局 所 型 微 積 分 形 式 に 見 合 っ たD上

の 意 味 で 一 意 的 で あ る.逆 芯 に も つ も の は,こ

結 果 を 総 合 し て,こ れ に 対 し て 次 の よ うに

理6.4.1):L2(D;m)上

の 最 小 閉 拡 大 に適合 にm-対

与 え られ

の 拡散 過 程 は 一意 的 に存

し たD上

の 対 称 形 式(6.0.4)が の 拡 散 過 程 が 存 在 し,定

称 で 正 則 なD上

可

理4.3.2

の 拡 散 過 程 でC∞0(D)を

の よ うに して 得 ら れ る も の に 限 る.

  こ の よ うに 我 々 の 設 問 は さ しあ た っ て 局 所 型 微 積 分 形 式 の 可 閉 性 と い う解 析 的 問 題 に 帰 着 さ れ る.そ §6.5で

はmとkに

こ で §6.4で

は 可 閉 性 の た め のνijに

対 す る条 件 を 問 題 に す る.現

的 条 件 を 用 意 す る の は 困 難 で あ る が,§6.4で

対 す る 条 件 を,

段 階 で はνijに 対 す る 一 般

はνijがLebesgue測

度に 関 し

絶 対 連 続 で あ る 場 合 に 限 ら ず 可 閉 性 の た め の い くつ か の 十 分 条 件 を 与 え る で あ ろ う.

  §6.5で

は 特 に 正 則 区 間 上 の1次

さ れ る.そ

元 拡 散 過 程 が デ ィ リ ク レ形 式 を 用 い て 構 成

の 結 果 上 述 のmとkが1次

元 の 場 合 よ く知 られ た ス ピ ー ド測 度 と

消 滅 測 度 に 他 な ら な い こ と が 明 ら か に な る.

  §6.1  デ ィ リ ク レ 形 式 の 局 所 性 と 標 本 路 の 連 続 性   (X,m)は

§1.1の

(X,B(X))上

も の と す る.殆

ん ど全 ての 標 本 路 が 連 続 で あ る よ う な

の 標 準 マ ル コ フ過 程 を 拡 散 過 程(diffusion

即 ち 標 準 マ ル コ フ過 程M={Ω,M,Xt,Px}x∈XΔ (6.1.1) 

Px(Xt(ω)はt∈[0,ζ(ω))に

process)と

い う.

が 関 し連 続)=1,x∈X

を 満 た す と き,Mを(X,B(X))上

の 拡 散 過 程 と呼 ぶ わ け で あ る.

  本 節 の 目 的 は 次 の 定 理 を 示 す こ と で あ る.   定 理6.1.1 

L2(X;m)上

の 正 則 デ ィ リ ク レ形 式Eに

関 す る 次 の2つ

の条

件 は 互 い に 同 値 で あ る.   (a) 

Eは

局 所 性 を も つ.

  (b) 

Eに 適 合 し た(X,B(X))上

  以 後 しば ら くL2(X;m)上

の 拡 散 過 程 が 存 在 す る.

の 正 則 デ ィ リ ク レ 形 式Eと

(X,B(X))上

のHunt過

程M={Ω,M,Xt,Px}x∈XΔ

  補 題6.1.1 

z∈Xと0<ε1<ε2<ε3を

固 定 す る.こ

と 非 負 普 遍 可 測 関 数 列u(1)k,u(2)k∈D[E],k=1,2,…,が も つ.各kに

そ れ に 適 合 した を と っ て 固 定 し よ う. の と き 適 当 な 巣{Fk} 存 在 して 次 の 性 質 を

ついて

  (ⅰ)  supp[u(1)k]とsupp[u(2)k]は

互 い に 素 な コ ン パ ク ト集 合 で あ る.

  (ⅱ)

但 し あ らか じ めX上 るzの

の位 相 に見 合 った 距 離

ρ を 固 定 し,Uε(z)は

ρに関す

ε 近 傍 を 表 わ す も の とす る:Uε(z)={y∈X;ρ(y,z)<ε}.

証 明   ε1<ε1<ε2<ε2<ε3<ε3な 義 さ れ る(X,B*(X))上

る ε1,ε2,ε3を 選 ぶ.そ

の リ ゾ ル ベ ン ト核 

して(5.3.18)で

定

を各 々

R(1)α,R(2)α

と お く.こ

の と きX上

い た る所正

に 対 し てsupp[R(1)1f]とsupp[R(2)1f]は

な 関 数f∈C(X)∩L2(X;m)

互 い に 素 な コ ン パ ク ト集 合 で あ り,

(6.1.2) が 成 立 す る.実

際R(1)1fとR(2)1fの

に 含 ま れ る.ま

たR(1)αf(x)は

と な る.定

 

↑∞,が

成 立 す る か ら(6.1.2)の

対 し

最 初 の主 張

に つ い て も同 様 で あ る.

  さ て 定 理5.3.2(ⅰ)に 数 だ か ら,適

と

α に 関 し単 調 減 少 で あ る が,x∈Uε1(z)に

て はαR(1)αf(x)→f(x)>0,α が 得 られ る.後

台 は 各 々 

よ りR(1)1fとR(2)1fは

当 な 巣{Fk}が

理1.4.2に

共 にD[E]に

存 在 し こ れ ら の 関 数 の 各Fkへ

属す準連続関

の制 限 は 連 続 関 数

注 意す れ ば

とお い て 得 られ る関 数 列 が 補題 の条 件 を満 たす こ とが わ か る.但 し (証終)   補 題6.1.2  と ε>0に

Eが

対 し,適

局 所 性 を も つ とす る.こ 当 な 巣{Fk}が

但 し{pt,t>0}はMの   証 明   Kは

の と き 任 意 のコ ン パ ク ト集 合K

存 在 して 各kご

とに

推 移 関 数 で あ る.

コ ン パ ク トだ か ら,有  が 成 立 す る.こ

限 個 の 点x1,x2,…,xn∈Kが

の と き任 意 のBorel集

合Fに

あ っ て 対 し,

(6.1.3)

  実 際,任

意 のx∈Uε(xj)に

∩F⊂(K-U2ε(xj))∩F.従

対 して 既U2ε(xj)⊂U3ε(x)だ っ て(6.1.3)の

よ り大 き くな く,こ な い.

か ら(K-U3ε(x))

左 辺 は 

れ は ま た(6.1.3)の

右辺 よ り大 き く

  い ま1≦j≦nな

るjを

固 定 し,ε3を 充 分 大 き く取 っ てε3>2ε,Uε3(xj)⊃K

が 成 立 す る よ う に し て お く.そ

し て 前 補 題 をz=xj,ε1=ε,ε2=2ε

に 適 用 し,巣{Fjk}と

関 数 列u(1)k,u(2)k,k=1,2,…,を

き 補 題1.3.4とEの

局 所 性 の 仮 定 に よ り,各kに

お よ び ε3

対 応 させ る.こ

のと

つ い て, 

また  そ こで (6.1.3)の と き0に

  k=1,2,…,と

右 辺 に 於 け るFをFkに 収 束 す る こ と が わ か る.(証

  定 理6.1.1(a)⇒(b)の す る.Eに え る.即

取 り,こ

れ をtで

巣

と な り,

割 っ た も の はt↓0の

終)

証 明   正 則 デ ィ リ ク レ形 式Eの

適 合 したMと ちMは

お く と{Fk}は

し て 特 に 第4章

補 題4.3.2のMYに

局所 性 を仮 定

の 後 半 で 構 成 したHunt過

対 し て(4.3.8)と(4.3.9)を

程 を考 満たす

も の とす る.

と お く.Λ

の 可 測 性 を 調 べ る た め に,正

={ω ∈Ω;r<ζ(ω)}∈F0,r∈Q+,を

∈Ω;Xt(ω)は[0,

  は[0,r]上

で 一 様 連 続}∪Ωcr]で

あ

右連 続 性 に よ り

{ω∈Ωr;Xt(ω)は[0,r]上

つ ま りΛ ∈F0.そ しか も1-超

よ び 集 合Ωr

考 え る.Ω-Λ={ω

ζ(ω))上 で 連 続} る が,Xt(ω)の

の 有 理 数 の 全 体Q+お

こ でq(x)=Px(Λ),x∈X,と

過 的 で あ る:補

 さて性 質(b)を

で 一 様 連続}

題4.2.1よ

お く とqはBorel可

測 で,

り

導 くに は

(6.1.4) な る関 係 を任 意 の非 負有 界Borel関

数f∈L2(X;m)に

対 して示 せ ば充 分 で

あ る こ と を 以 下 に 述 べ よ う.(6.1.4)が D[E]の

自 明 な 要 素 と な り,し

に よ りq=0

q.e..そ

X-NがM-不

か も1-超

こ で 定 理5.1.2を

正 しけ れ ばq(x)=0 m-a.e..qは 過 的 だ か ら補 題5 使 え ば,適

.1.2と

当 なBorel概

補 題3.1.5 極 集 合Nで

変 な も のが選 べ て

(6.1.5) q(x)=0, x∈X-N. と こ ろ でMYの

性 質(4.3.7)に

い る の でMに

定 理4.2.4(ⅰ),(ⅱ)の

変 集 合X-Nに

制 限 し,そ

に よ っ て 得 られ るX上   M′

よ りMは(4.2.6)と(4.2.7)を

は 拡 散 過 程 で あ る.実

はMと

Mの

に 対 す る 性 質(6.1.1)はx∈Nの

と き も正 し い.出

適合 して い る.こ

対 し て は

対 し て は 性 質(6 たM′

で 一 致 す る か ら,Mと

の よ うに して(6.1.4)か

とき に

発 点x∈X-Nに

も 同 じ性 質 を も つ わ け で あ る.ま

そ れ と(X-N,B(X-N))上

そ の不

と し よ う.

同 じ有 限 次 元 結 合 分 布 を も つ が,Mに

成 立 し て い る か らM′

にMを

各 点 を不 変 点 と して つ け加 え る こ と

程 をM′

際M′

は 自 明 で あ る が,x∈X-Nの M′

操 作 を 適 用 で き る.特

の 上 でNの

のHunt過

満 た して

の 推 移 関数 は

共 にM′

ら定 理6.1.1に

.1.5)が

もEに

於 け る(b)が

導

か れ る わ け で あ る.   (6.1.4)を

示 す た め に 非 負 有 界 可 測 関 数f∈L2(X;m)を

補 題4.3.2のMYと

は 出 発 点x∈Yに

つ か らPx(t<ζ(ω)な

らRt(ω)はXの

Rt(ω)={Xs(ω);0≦s≦t}.従

K:コ

但 しΛt,ε,K={ω

(6.1.6) 

対 し て は同 じ有 限 次 元 結 合 分 布 を も コ ン パ ク ト集 合)=1,x∈Y.こ

こに

って

ン パ ク ト

 Xs(ω))>ε,Rt(ω)⊂K}.

∈Ω;

以 上 に よ り(6.1.4)の K⊂Xに

固 定 す る.Mと

た め に は,任

意 のt>0,ε>0そ

対 して Pf・m(Λt,ε,K)=0

を い え ば 充 分 で あ る こ と が わ か っ た.

し て コ ンパ ク ト集 合

  (6.1.6)は

も っ と特 殊 な 場 合 に 帰 着 で き る.ε>0と

じ て 定 ま る補 題6.1.2の

巣{Fk}を

考え る.番

コ ン パ ク ト集 合Kに

号kを

応

任 意に固定 し

(6.1.7) n≧1,と

お く.(6.1.6)を

示 す に は

(6.1.8) を い え ば 充 分 で あ る.実 x∈Xに

際,定

理5.1.2の

対 し

 従 って

つ い て

で右 連 続 で あ り,左 極 限 を もつ か ら明 らか に 

これ で(6.1.8)か   い ま やEの 題6.1.2を

    一 方Xt(ω)はtに

と お く と,

[0,∞)上

証 明 の 最 初 の 部 分 よ り,q.e.の

ら(6.1.6)が

従 う こ と が わ か っ た.

局 所 性 か ら(6.1.8)を 使 え ば よ い.先

が 成 立 す る.但

ずMの

導 く こ と だ け が 残 っ て い る.こ マ ル コ フ 性(補

よ り

し

そ こで

 と お き,ptのm-対

補 題6.1.2に

題4.2.1)に

れ に は補

よ り,こ

の 最 後 の 項 はn→∞

称 性 を使 う と

の と き0に

収 束 す る.(6.1.7)が

示 せ た.  (証 終)   定 理6.1.1(b)⇒(a)の に 適 合 し た(X,B(X))上 と 仮 定 す る.Eの i=1,2,が

証 明   正 則 デ ィ リク レ形 式Eに の 拡 散 過 程M={Ω,M,Xt,Px}x∈XΔ

局 所 性 を 示 す た め に,u1,u2∈D[E]で

コ ン パ ク トで あ りK1∩K2=φ

対 し て,そ

れ

が存 在 す る あ っ てKi=supp[ui],

な る も の を 考 え る.そ

し てE(u1,u2)

=0を

導 き た い の で あ る が ,一

必 要 な らuiの

般性

を 失 わ ず にui≧0 m-a.e.と

代 わ り にu+i=ui∨0,u-i=-(ui∧0)を

  K1⊂A,Aは

コ ン パ ク ト,A∩K2=φ

っ て 定 義 さ れ る{D[E],E1}の 射 影 作 用 素 をPと

考 え れ ば よ い か ら で あ る.

な る開 集 合Aを

閉 部 分 空間FAを

と り(5.3.15)に

考 え る.そ

よ

し てFA上

へ の

お き

(6.1.9) Pu1=u1, 

Pu2=0

を 示 そ う.(6.1.9)よ =0が

仮 定 し て よ い.

り,求

め る 関 係E(u1,u2)=E1(u1,u2)=E1(Pu1,Pu2)

従 う.

  さ て 定 理5.3.2(ⅱ)に

よ り,u∈D[E]がm-a.e.で

非 負 な ら

(6.1.10) が 成 立 し て い る こ と に 注 意 して お こ う.こ で 補 題3.1.5に

よ りui=0

味 す る か ら(6.1.9)の

こ にuはuの

準 連 続 修 正.と

q.e.(X-Ki),i=1,2.こ

前 半 の式 が わ か っ た.後

ころ

れ は 特 にu1∈FAを 半 に つ い て は,先

意

ず(5.3.13)

に より

が わ か る.一 はX-Aの

方x∈Aの 境 界 ∂Aに

と き,Mの

標 本 路 の連 続 性 の 仮 定 に よ りHX-A1(x,・)

集 中 し て い る:

(6.1.11) と こ ろ がu2=0 合NでX-NはM-不 と き(6.1.11)よ

こ こ で(6.1.10)を

q.e.(∂A)な

る 関 係 と 定 理5.1.2に 変,u2(x)=0,x∈

∂A-N,な

りHX-A1u2(x)=0,x∈A-N.更

使 っ て(6.1.9)の

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnを

後 半 を 得 る.(証

(6.2.1)

考 え る.

なBorel概

極 集

る も の が 選 べ る.こ にu2=0

  §6.2  ブ ラ ウ ン 運 動 と ソ ボ レ フ 空 間  n次

よ り 適当

終)

q.e.(A)だ

の

か ら

に よ っ て 定 義 さ れ る{pt

,t>0}は

コ フ推 移 関 数 で あ る.こ tion)と

い う.ブ

容 易 に わ か る よ う に(Rn,B(Rn))上

れ を ブ ラ ウ ン 推 移 関 数(Brownian

ラ ウ ン 推 移 関 数 は,Fellerの 条 件(6.0.1)を

確 か め ら れ る.従

推 移 関 数 とす るRn上

Xt,Px}x∈Rnが Brownian

存 在 す る が,こ motion)と

  Rn上

の 位 数1の

れ をn次

transition

func

条 件(4.2.24),(4.2.25)を

す の み で な くDynkin-Kinneyの っ て(6.2.1)を

のマル

満た

も満 た し て い る こ とが 容 易 に の 拡 散 過 程M={Ω,M,

元 ブ ラ ウ ン 運動(n-dimensional

呼 ぶ. ソ ボ レ フ 空 間H1(Rn)は

§1.2の

例3で

導 入 さ れ た.即

ちH1(Rn)={u∈L2(Rn);D(u,u)<∞},  微 分 は 超 関 数 の 意 味 に と る.§1.2で H1(Rn))はL2(Rn)上 (6.2.2) 

の デ ィ リ ク レ形 式 で あ る.し

C∞0(Rn)はH1(Rn)内

即 ちH10(Rn)=H1(Rn).従

選 ぶ と,u∈H1(Rn)に

の と きuに

を も ち,問1.2.1で と,δ ↓0の

でD(u,u)+(u,u)の

位 相 で 稠 密. 正 則 な デ ィ リ ク レ形

確 か め る た め に 先 ずw(x)=1,￨x￨<1;w(x)=0,￨x￨

るw∈C∞0(Rn)を

はR→∞

称 形 式E=(D,

か も

っ て 特 にE=(D,H1(Rn))は

式 で あ る.(6.2.2)を >2,な

説 明 し た よ うに,対

上 の 位 相 で 収 束 す る.と 考 え た 軟 化 子jδ

と き こ れ は 同 じ 位 相 でuRに

対 し,  こ ろ でuRは

コ ン パ ク トな 台

に よ っ て 関 数jδ*uR∈C∞0(Rn)を 収 束 す る.こ

れ で(6.2.2)が

作 る 示せた

こ と に な る.   次 の 定 理 はn次   定 理6.2.1  H1(Rn))に

元 ブ ラ ウ ン運 動 とH1(Rn)の (ⅰ) n次

基 本 的 な 関 係 を 示 す.

元 ブ ラ ウ ン 運 動 は 正 則 デ ィ リ ク レ 形 式E=(D,

適 合 し て い る.

  (ⅱ)  ブ ウ ラ ン 推 移 関 数 の 定 め るL2(Rn)上

の 半 群 の 生 成 作 用 素 をAと

す

ると

(6.2.3) 但 しラ プ ラス微 分 作 用 素

 は 超 関 数 の意 味 に とる.

  証 明   (ⅰ)  ブ ラ ウ ン 推 移 関 数{pt,t>0}は

ルベ ー グ測度 に 関 して対 称 で

あ り(1.4.19)を

満 た し て い る か ら,補

続 な マ ル コ フ 半 群{Tt,t>0}を レ形 式 をE′

題1.4.2に

定 め る.こ

よ り,L2(Rn)上

れ に 対 す るL2(Rn)上

の強 連 の デ ィ リク

とす る と き

(6.2.4) 

E′=E(=(D,H1(Rn)))

を 示 せ ば よ い.f∈L2(Rn)∩C∞(Rn)に対 連 続 修 正 で あ る が,(6.2.4)が で あ る か ら,{Pt,t>0}が

し てptf(∈C∞(Rn))はTtfの

正 し け れ ばTtfは §4.3の

意 味 でEに

勿 論Eに

準

対応 してい るわ け

適 合 して い る とい え るわ け で

あ る.   先ず

(6.2.5) な る 関 係 を 証 明 し よ う.u∈C∞0(D)に Taylor展

開 し,gt(y)がyの

関 係 しな い 定 数.  C′ もxに

従 って 定 数.uの

ま わ りで

回 転 に 関 し不 変 で あ る こ とを 使 え ば

  Cはxに

但し

対 しu(x+y)をy=0の

台 は コ ン パ ク トで あ る か ら,ル

補 題1.3.4に

よ れ ば,こ

れ は(6.2.5)を

関 係 しな い

ベ ー グ の 有 界 収 束 定 理 に よ り

意 味 す る.

  次 に ブ ラ ウ ン推 移 関 数 の ラ プ ラ ス 変 換 と し て 得 ら れ る リ ゾ ル ベ ン ト核{Rα, α>0}を考え,

(6.2.6)  だ か ら

を 示 す.実 際   従 っ てSchwarzの

不等式 よ り

  (6.2.5)と(6.2.6)か

ら 求 め る 関 係(6.2.4)が

簡 単 に 導 け る.実

はH1(Rn)内

で 稠 密 で あ っ た か ら((6.2.2)),(6.2.5)よ

(6.2.7) 

D[E]⊂D[E′],E′(u,u)=E(u,u),∀u∈D[E].

一 方(6

.2.6)に

内 でE′1の =E.だ

よ りR1(C∞0(Rn))⊂D[E]で

位 相 で 稠 密.と

.2.4)が

よ り,R1(C∞0(Rn))上

そ の リ ゾ ル ベ ン トの 関 係(1.3.3)お

関 係(1.3.10)に (6.2.8) 

の 強 連 続 半 群 の生 成 作 用 素

結 果 に よ り デ ィ リ ク レ形 式E=(D,H1(Rn))に

  一 般 にAと

よ り,次

対 応 し て い る.

よ び リ ゾ ル ベ ン トとEの

の 同 値 性 が 成 立 す る こ と に 注 意 し よ う.

u∈D(A),Au=f⇔u∈D[E],E(u,υ)=-(f,υ),∀υ

い ま の 場 合(6.2.8)の ∈C∞0(Rn),な

∈D[E].

右 側 の 条 件 は,u∈H1(Rn),D(u,υ)=-(f,υ),∀

る 条 件 と 同 値 で あ る.(6.2.2)が

導 け た.(証

  これ でn次

υ

成 立 し て い る か ら で あ る.明

らか に こ の 条 件 はu∈H1(Rn),1/2Δu=f(∈L2(Rn)),と同 (6.2.3)が

で はE′

示 せ た.

  (ⅱ)  ブ ラ ウ ン推 移 関 数 の 決 定 す るL2(Rn)上 Aは(ⅰ)の

り,

あ る が,R1(C∞0(Rn))はD[E′]

こ ろ が(6.2.7)に

か らD[E′]⊂D[E].(6

際C∞0(Rn)

値 で あ るか

終)

元 ブ ラ ウ ン運 動 と ソボ レフ空 間 の対 応 が わ か った か ら両者 に 第

5章 の 結 果 を 適 用 す る こ と が で き る.ブ

ラ ウ ン 運 動 の リ ゾ ル ベ ン ト核 は ル ベ ー

グ測 度 に関 し絶 対 連 続 で あ り,そ の 密 度 は 関 数 て 記 述 さ れ る.従

っ て 定 理5.1.3に

意 味 で の 概 極 集 合 は,n次 で の 極 集 合 に 等 し い.つ

よ り デ ィ リ ク レ形 式E=(D,H1(Rn))の

元 ブ ラ ウ ン運 動M={Ω,M,Xt,Px}x∈Rnの

量 を 定 義 す る と き,一

0で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,適

当 なBorel集

Px(σB<∞)=0, 

が 成 立 す る こ と で あ る.但   H1(Rn)の

 に よ っ

意 味

ま り

に よ っ て 開 集 合Aの1-容

(6.2.9) 

ら

任 意 の 元uは

しσBは

時 刻0+以

準 連 続 修 正uを

般 の 集 合A⊂Xの 合B⊃Aが

外容量が

あ って

x∈Rn 後 で のBへ も つ.補

の 到 達 時 刻.

題5.2.2と

標 本 路 の連

続 性 に よ り,uに

対 して は 適 当 なBorel集

合N⊂Rnが

あ っ てNは

ブ ラ ウ

ン運 動 の 極 集 合 で あ り且 つ (6.2.10) 

Px(u(Xt)はt∈[0,∞)に

が 成 立 す る.(6.2.10)に

関 し連 続)=1,x∈Rn-N

於 け る区間[0,∞)は

ン運 動 の 生 存 時 間 ζ が 確率1で∞

  こ こ で 領 域D⊂Rnを固

-Dへ

あ る が,ブ

定 し,§5.4の

定 義 に 従 っ てn次

元 ブラウン運 動

で の 部 分MD={Ω,M,Xt,Px}x∈DΔ

義 に よ れ ばMDの標

本 路Xtは

を考

ブ ラ ウ ン運 動 の 標 本 路XtをRn

の 到 達 時 刻 で 吸 収 して 得 られ る も の で あ る .MDをD上

ウ ン 運 動(absorbing

barrier

よ りMDはD上

Brownian

motion)と

の標 準 マ ル コ フ 過 程 で あ る.ま

続 性 の 条 件(6.1.1)を

ラウ

あ る こ とを 使 っ て い る:

M={Ω,M,Xt,Px}x∈RnのD上 え よ う.定

本 来[0,ζ)で

満 た す.つ

の吸収壁ブラ

呼 ぶ.補

題5.4.1に

た 明 ら か に 標 本 路Xtは

ま り吸 収壁 ブ ラ ウ ン 運 動MDはD上

連 の拡

散 過 程 で あ る.   MDに

対 し て 定 理6.2.1に

で 導 入 し たD上 はH1(D)内

の ソボ レ フ 空 間H1(D)お で のC∞0(D)の

(DD,H10(D))はL2(D)上 閉 拡 大 で あ り,従 る.但

相 当 す る 定 理 を 示 す こ とが で き る.§1.2の

考 え よ う.H10(D)

閉 包 と し て 定 義 さ れ る.§1.2で

述 べ た よ うに

の 可 閉 な マ ル コ フ対 称 形 式(DD,C∞0(D))の っ て 定 理2.1.1に

よれ ばL2(D)上

最小

の デ ィ リ ク レ形式

で あ

し

と お い て,こ

れ をRn上

の デ ィ リ ク レ積 分Dと

リ ク レ形 式(DD,H10(D))は正   定 理6.2.2 

(ⅰ)  領 域D上

ィ リ ク レ形 式(DD,H10(D))に   (ⅱ)  D上 Aと

よ びH10(D)を

例3

す ると

区 別 し て い る.明

らか に デ ィ

則 で あ る. の 吸 収 壁 ブ ラ ウ ン 運 動 はL2(D)上

の正 則 デ

適 合 し て い る.

の 吸 収 壁 ブ ラ ウ ン 運 動 の 定 め るL2(D)上

の半群の生成作用素 を

(6.2.11)

  この定 理 を証 明す るた め に1つ の補 題 を準 備 す る.  補 題6.2.1 

D上

の関 数uが

ラ プ ラ ス作 用 素Δ に 関 し α-調和 で あ る とす

る.即 ち

(6.2.12) この ときGがDの

コ ンパ ク ト部 分 集 合 で あ る よ うな任 意 の 開 集 合Gに

対

して

(6.2.13)   証 明   (6.2.12)を に よ りuはD上

満 た すuと

上 記 の 性 質 を も つGを

と る.Weylの

で 無 限 回 微 分 可 能 で あ る.υ(x)=1,x∈G,な

補 題1)

るυ∈C∞0(D)

を考え,w(x)=u(x)・υ(x),x∈D;w(x)=0,x∈Rn-D,とおくとw∈ C∞0(Rn).そ

 とお け ば

こで

(6.2.14) w(x)=Rαf(x),  が 成 立 す る.但 あ る.実 素Aを

x∈Rn

し{Rα,α>0}はRn上

際,ブ

ラ ウ ン推 移 関 数 の 定 め るL2(Rn)上

考 え る と,定

理6.2.1に

の リ ゾ ル ベ ン トを{Gα,α>0}と びRαfの

す る とw=Gαf=Rαf

っ てA a.e..こ

れ とwお

よ

従 う. 公 式 をw=Rαfと

ブ ラ ウ ン 運 動 のGc=Rn

の 到 達 時 刻 σGcに 適 用 し て

と こ ろ が(6.2.12)よ G上

の強 連 続 半 群 の生 成 作 用

よ りw∈D(A),(α-A)w=f.従

連 続 性 よ り(6.2.14)が

  こ こ で 補 題5.3.2のDynkinの -Gへ

の ブ ラ ウ ン 運 動 の リ ゾ ル ベ ン ト核 で

でw=uで 1)  補 足

りf(x)=0,x∈G,で あ り,ブ

§0.1(g)参

照.

あ る か ら右 辺 の 第1項

は0.ま

ラ ウ ン 運 動 の 標 本 路 の 連 続 性 に よ りXσGcはGの

た 境

界 ∂Gに

属 す.(6.2.13)が

  定 理6.2.2の て(ⅰ)か

示 せ た.  (証 終)

証 明   (ⅰ)が

示 さ れ れ ば よ い.(ⅱ)は

ら 導 け る か らで あ る.と

ウ ン運 動MDは

こ ろ で §5.4の

定 理5.4.2(ⅱ)の

結 果 に よ れ ば,吸

意味 でED適

デ ィ リ ク レ形 式E=(D,H1(Rn))のD上

前 定 理 と全 く同 様 に し

合 し て い る.こ

で の 部 分.従

収壁 ブ ラ こにEDは

っ て(ⅰ)の

ためには

(6.2.15) を い え ば よ い こ と に に な る.   い まH1(Rn)の2つ

の 閉部 分 空 間

(6.2.16) FD={u∈H1(Rn); u=0

q.e.(Rn-D)}

の閉包

(6.2.17) 

を 考え る.但

しC∞0(Rn;D)はC∞0(D)の

に 拡 張 した も の の 全 体.H1(Rn)の の と す る.定

元 をRn-D上

リク レ形 式(DD,H10(D))はL2(Rn)上

関す る も

の 広 い 意 味 の デ ィ リ ク レ形 式(D,

の デ ィ リ ク レ形 式 と み な した も の.一

と 同 一 視 で き る.従

お い てRn上

位 相 は 常 にD(u,u)+(u,u)に

義 に よ りEDはL2(Rn)上

FD)をL2(D)上

で0と

方L2(D)上

の デ ィ

の 広 い 意 味 の デ ィ リ ク レ形 式(D,FD)

っ て 求 め る 関 係(6.2.15)は

(6.2.18) FD=FD と 同 等 で あ る.   広 い 意 味 の デ ィ リ ク レ形 式(D,FD)と(D,FD)に 対 応 す る,必 α>0}お

ず し も強 連 続 で な いL2(Rn)上

よ び{Gα,α>0}と

な る こ と と 同 等 で あ る が,そ (6.2.19) 

G1f=G1f, 

定 理1.4.3の の リ ゾ ル ベ ン トを,各

す る.(6.2.18)はL2(Rn)上

意 味で 々{Gα,

でGα=Gα,α>0

のためには ∀f∈L2(Rn)∩C∞(Rn)

が 示 さ れ れ ば よ い.   f∈L2(Rn)∩C∞(Rn)に Gα

とGα

また

(6.2.20)

対 しu=G1f-G1fと

お きu=0

は 共 に マ ル コ フ リ ゾ ル ベ ン トだ か ら,uは

a.e.を

示 そ う.

本 質 的 に 有 界 で あ る.

実 際 自 明 な 関 係FD⊃FD⊃C∞0(Rn;D)に を 使 う と,υ ∈C∞0(Rn;D)の

注 意 しG1とG1の

と き(6.2.20)の

性 質(1.3.13)

左 辺 は(f,υ)-(f,υ)=0に

等 し い.  (6.2.20)はuのD上

へ の 制 限 が 超 関 数 の 意 味 で 

す こ と を 意 味 す る.Weylの

補 題 よ り,uにD上

存 在 し てuはD上

で1-調

和 で あ る.uが

D上

こ でuをRn-D上

で 有 界 連 続.そ

に 拡 張 す る.こ

連 続 修 正u′ ま たu′=0

でa.e.に

で0と

お く こ とに よ りRn上 で 有 界 で あ り,ま

際u∈FDはH1(Rn)の

を もつ が,u′=u

の関 数 たuの

元 だ か ら少 な く と も1つ

a.e.(D).補

q.e.(Rn-D).結

等 し い 関 数uが

本 質 的 に 有 界 で あ った か らuは

の と き 拡 張 さ れ た 関 数uはRn上

準 連 続 修 正 と な る.実

を 満た

局u=u′

題3.1.5に

q.e..こ

よ りu′=u

れ は 特 にuの

の準

q.e.(D).

準 連 続 性 を意 味

す る.   閉 包 が コ ン パ ク トな 開 集 合 列{An}でAn⊂An⊂An+1,An↑Dな

選 び 

と お く.ま

極 集 合 をNと

す る.uがRn上

補 題6.2.1お

よ び(6.2.10)を

と こ ろ がXσ x∈D-N.結

∈ ∂Dで

たuに

成 り立 つ よ う なBorel

で 有 界 で あ りD上

で1-調

和 で あ る こ と,

使 って

あ り,ま

局u=0

る もの を

対 し(6.2.10)の

たRn-D上

q.e.,u=0

a.e.が

でu=0で

あ る か

示 せ た.(証

らu(x)=0,

終)

  §6.3  反 射壁 ブ ラ ウ ン 運動 と それ に 類似 な拡 散 過 程   前 節 の 後 半 で はRnの D内

領 域D上

の吸 収 壁 ブ ラ ウ ン運 動 を 扱 った が,こ れ は

か ら出発 し た ブ ラ ウ ン 運 動 の標 本 路 をDの

境 界 ∂Dに 到 達 し た 時 刻

σ∂Dで 吸収 して 得 られ る もの で あ った.し か しσ∂Dで 吸収 して し ま う 代 わ り に,σ ∂D以 後連 続 的 にD内

に 入 り込 む よ うに し,D内

で は再 び も との ブ ラ ウ

ン運 動 の 法 則 に 従 って動 く よ うな標 本 路 を もつ 拡 散 過 程 を 考 え る こ とが で き る. この際,内

部 に 入 る傾 向 と境界 に 再 び接 近 す る傾 向 とが 瞬間 的 に せ り合 うの で

そ の標 本路 は非 常 に複 雑 な軌 跡 を画 き,直 接 構 成 す る のは 容 易 な こ とで は な い.

こ の よ うな 運 動 の 中 で 一 番 典 型 的 な も の が 反射 壁 ブ ラ ウン 運 動 と 呼 ば れ る も の で あ り,こ

れ はH10(D)に

で な くH1(D)に

  先 ず 簡 単 の た め にDが2次 え て み よ う.対

元 上 半 平 面{(x1,x2)∈R2;x2>0}の

場合 を 考

応 す る 反 射 壁 ブ ラ ウ ン 運 動 はD={(x1,x2)∈R2;x2≧0}上

拡 散 過 程 で あ っ て,推 (6.3.1) 

の

移 関 数 が ル ベ ー グ測 度 に 関 す る密 度

pt(x,y)=gt(x-y)+gt(x-y), 

を も つ も の と し て 定 義 され る.但 る.2次

関 係 し て い る.

x,y∈D

しy=(y1,y2)に

対 しy=(y1,-y2)と

元 ブ ラ ウ ン運 動M={Ω,M,Xt,Px}x∈R2の

す

標 本 路Xtを(X(1)t,X(2)t)

と座 標 成 分 表 示 す る と き

(6.3.2) と お い て 得 ら れ るD上

の 拡 散 過 程M={Ω,M,Xt,Px}x∈Dが

丁 度D上

の

反 射 壁 ブ ラ ウ ン 運 動 に な っ て い る こ と を 見 る の は 容 易 で あ ろ う.   一 方 §1.2で

も 触 れ た よ うに,H10(D)の元

境 界 ∂D={(x1,x2)∈R2;x2=0}に

に 含 ま れ 且 つ そ こ で 稠 密 で あ る.い れ はL2(D)上

属 す 関 数 で あ っ て,

於 け る 境 界 値 がa.e.に0に

し て 特 徴 づ け られ る こ と が 知 られ て い る.従

か ら,こ

はH1(D)に

等 しい もの と

っ てH1(D)∩C∞(D)はH10(D)

ま の 場 合H1(D)はH10(D)よ

の デ ィ リ ク レ形 式(DD,H1(D))が

り真 に 広 い 正則ではない こと

を 意 味 し て い る.   し か し な が ら 基 礎 の 空 間Dの

代 わ り に そ の 拡 張Dを

と 同 一 視 す る こ と に よ り(DD,H1(D))をL2(D)上 す と き,こ

れ は 正 則 で あ る.実

際C∞0(Rn)のD上

考 え,L2(D)をL2(D) の デ ィ リ ク レ形 式 と み な へ の 制 限 をC∞0(D)と

お

くと (6.3.3) 

C∞0(D)はH1(D)内

で稠密

と な る こ と が 知 ら れ て い る た め,本 ∩C∞(D)がH1(D)とC∞(D)の   補 題6.3.1 

示 す よ うにH1(D)

双 方 で 稠 密 で あ る と い え る か ら で あ る.

上 半 平 面D上

デ ィ リ ク レ形 式(DD,H1(D))に   証 明   f∈C∞0(D)を

節 の 終 りの 部 分(b)で

と る.Mの

の 反 射 壁 ブ ラ ウ ン 運 動MはL2(D)上

の正 則

適 合 し て い る. リ ゾル ベン ト核 を{Rα,α>0}と

す る と,

(6.3.1)よ

り

(6.3.4)  但 しRα

Rαf(x)=Rαf1(x)+Rαf2(x),  は2次

元 ブ ラ ウ ン 運 動 の リ ゾ ル ベ ン ト核,f1はfをR2-D上

0と お い てR2上 f2(y)=f(y)と R2上

x∈D.

に 拡 張 し た も の,f2はD上 し て 定 義 さ れ るR2上

の 関 数 は 定 理6.2.1に

理6.2.1とWeylの

で

で0,y∈R2-Dに

の 関 数.(6.3.4)の

よ りH1(R2)に

対 して は

右辺で定義 さ れ る

属 す か らRαf∈H1(D).ま

補 題 に よ りRαfはD上

た定

で 無 限 微 分 可 能 で あ り,普

の 微分 の意 味で 

x∈D,を

通

満 た す.

 と ころで,簡 単 な計 算 で 確 か め られ る よ うに

(6.3.5) 従 って任 意 のυ ∈C∞0(D)に 対 し,部 分 積 分 を実 行 して

を 得 る.(6.3.3)と

補 題4.3.1よ

り,Mが(DD,H1(D))に

適 合 して い る こ

と が わ か っ た.  (証 終)   D上

の 反 射 壁 ブ ラ ウン 運 動 の 推 移 関 数{pt,t>0}の

群 の 生 成 作 用 素Aに

つ い て,定

記 述 を 行 な う こ と は,上

理6.2.1(ⅱ)や

定 め るL2(D)上 定 理6.2.2(ⅱ)に

相 当す る

半 平 面 の よ うな 簡 単 な 場 合 に も既 に 容 易 で は な い.f

が 滑 ら か な ら ばRαfは(6.3.5)な

る 境 界 条 件 を 満 た す が,一

に つ い て は こ の よ う な 条 件 を 記 述 し に く い た め で あ る.し 関 数 族 を ∂D上 の 関 数 族 に 移 す 線 型 写 像Lで ized normal

の半

derivative)と

般 のf∈L2(D)

か しD上

の一 定 の

一 般 化 さ れ た 法 線 微 分(general

呼 ば れ る も の が 定 義 可 能 で あ り,Aが

(6.3.6) と 記 述 さ れ る こ と が 知 られ て い る1).   再 び一般 の 領 域D⊂Rnの 1)  こ の よ う な 記 述 は,一 界 を 考 え れ ば 成 立 す る.J.L.

場 合 に 戻 ろ う.§6.1の 般 の 領 域Dに Doob[Ⅰ;1],

対 し て も ∂Dの M.

結 果 と上 記 の 観 察 に 基 づ 代 わ りにDのMartin境

Fukushima[Ⅰ;1]参

照.

い て,Dに

関 係 し た 反 射 壁 ブ ラ ウ ン 運 動 や,そ れ に 類 似 の 拡 散 過 程 を 定 式 化 し

構 成 す る こ と が 可 能 で あ る.話 (6.3.7) 

を 一 般 に して

H10(D)⊂L⊂H1(D),(DD,L)はL2(D)上

を 満 た す よ うなH1(D)の

部 分 空 間Lを

ハ ウ ス ドル フ 空間D*が

boundary)と

つC∞(D*)の

関 す るDの

拡 張 で あ

部 分 集 合 と し て 位相D(u,u)+(u,u)に

関 し稠 密

部 分 集 合 と して一様 に 稠 密 で あ る と き,D*をLに

拡 張 と す る.こ

m(A)=￨A∩D￨, 

に よ っ て 定 義 す る.但

し￨ ￨は

Radon測

際,任

度 で あ る.実

A∈B(D*)

拡 張D*が

れ は 明 らか に 正 則 で あ る.

少 な く と も1つ

存 在 す る と き,Lを

の と き 上 述 の よ うに(DD,L)をL2(D*;m)上

(regularization)と   定 理6.3.1 

(ⅰ)  (6.3.7)を

関 す るDの1つ

礎 空 間Dの

拡 張 に よ る)正

  (ⅱ)  D*上

の 拡 散 過 程MのD上

書 く.

部 分 空間Lが

す る.こ

適 合 し たD*上

存 在 す る.

属 す 関 数 で,D*上

満 た すH1(D)の

の 拡 張 をD*と

Xt,Px}x∈D*が

体 を,L∩C∞(D*)と

正則化可

の正 則 デ ィ リク 則化

呼 ぶ.

の 正 則 デ ィ リ ク レ形 式(DD,L)に

1) Lに

対 し て,u(x)≧1,

同 一 視 す る こ とに よ っ て,(DD,L)をL2(D*;

レ 形 式 と み な す こ と を,(DD,L)の(基

と し,Lに

い た る所 稠 密 な

存 在 す る か ら, 

の デ ィ リ ク レ形 式 とみ な す と き,こ 関 す るDの

の 測 度mを

意 の コ ン パ ク ト集 合K⊂D*に

るu∈L∩C∞(D*)が

能 と い う.こ

の と きD*上

ル ベ ー グ 測 度 を 表 わ す.mは

L2(D*;m)をL2(D)と

  Lに

い う.D*-DをD

呼 ぶ こ と が あ る.D*がDの

関 す るDの

(6.3.8) 

m)上

所 コ ン パ クト で 可 分 な

稠 密部 分 集 合上 へ の 同相 写像

拡 張 と呼 ぶ.

  D*をLに

x∈K,な

らD*の

拡 張(enlargement)と

り,L∩C∞(D*)1)がLの で あ り,且

考 え よ う.局

あ っ て,Dか

が 存 在 す る と き,D*をDの の 理 想 境 界(ideal

の デ ィ リ ク レ形 式

正則化可能

の と きL2(D*;m)上 の 拡散 過 程M={Ω,M,

で の 部 分MD={Ω,M,Xt,Px}x∈Dは

に適 当 に拡 張 す れ ばC∞(D*)の

元 とみ なせ る もの の 全

L2(D)上

の デ ィ リ ク レ形 式(DD,H10(D))に

  こ の 定 理 の 後 半 の 主 張 は,特 し てはD上

適 合 し て い る.

にD*上

の 拡 散 過 程Mがq.e.の

の 吸 収 壁 ブ ラ ウ ン運 動 のD*上

を 意 味 し て い る.実

際,定

理6.2.2に

よ りD上

={Ω ,M,Xt,Px}x∈Dも(DD,H10(D))に 理(定

理4.2.2)に

N⊂Dが

意 のx∈D-Nに

  定 理6.3.1の

対 し て;確

よ り,Nはn次

る か ら で あ る.u1,u2∈LのD*上

き る.Ui∩D=U0iと

お く.u1は

(DD,L)は

うす れ ば 定 理6.1.1が

開 集 合U02上

適用 で き

共 に コ ン パ ク トでK1∩

適 当 な 開 近 傍Uiを

でa.e.に0.u2の

選 ん でU1∩U2=φ

でa.e.に0だ

か ら,そ

とで の超 関

超 関 数 と し て の 導 関 数 はU01 つ まり

っ て 

局 所 性 を も つ.

  (ⅱ)  定 理6.2.2(ⅰ)の -Dを

理

の 正 則 デ ィ リ クレ 形 式(DD,L)

で の 台K1,K2が

数 と し て の 導 関 数 もU02上 でa.e.に0.従

率 過 程{Ω,M,Xt,Px}は

元 ブ ラ ウ ン 運 動の 極 集 合 で あ る.

証 明   (ⅰ)  L2(D*;m)上

が 成 立 す る とす る.Kiの

極 集合

同 じ 有 限次 元 結 合 分 布 を も つ.定

が 局 所 性 を も つ こ と を 示 し さ え す れ ば よ い.そ

K2=φ

って一 意 性 の定

関 す る 適 当 なBorel概

吸 収 壁 ブ ラ ウン 運 動{Ω,M,Xt,Px}と 5.4.2(ⅰ)と(6.2.9)に

の 吸 収 壁 ブ ラ ウ ン 運 動MD

適 合 し て い る.従

よれ ば,(DD,H10(D))に

存 在 し,任

出発点に対

へ の連 続 的延 長 に な って い る こ と

と っ て)証

証 明 と 全 く 同 様 に し て(Rn-Dの

代 わ りにD*

明 で き る . (証 終)

  こ の よ うに(6.3.7)を

満 た すH1(D)の

部 分 空間Lが

正則 化 可 能 な ら ば,

こ れ に 対 し て 吸 収 壁 ブ ラ ウン 運 動 の 延 長 と して の 拡 散 過 程 を対 応 さす こ と が で き る こ と が わ か っ た.そ

れ で は い つLが

正 則 化 可 能 か と い う 問 題 が 生 じ る.

こ れ を い くつ か の 場 合 に つ い て 考 察 し て み よ う.   (a) L0=H10(D):(DD,H10(D))は す るDの

拡 張 で あ る.対

既 に 正 則 で あ り,D自

応 す る 拡 散 過 程 は 勿 論D上

身 がL0に

の 吸 収 壁 ブ ラ ウン 運 動

で あ る.   (b) L1=C∞0(D)のH10(D)内

で の 閉 包:但

関

しC∞0(D)はC∞0(Rn)のD

上 へ の制 限 で あ る.(DD,L1)は Rn内

正 則 化 可 能 な デ ィ リ ク レ形 式 で あ り,Dの

で の 閉 包DがL1に

  実 際 §2.1で

関 す るDの

拡 張 と な る.

の 議 論 か ら 明 ら か な よ うに(DD,C∞0(D))はL2(D)上

コ フ 対 称 形 式 で あ る か ら,定

理2

.1.1に

の マル

よ りL1はL2(D)上

の デ ィ リク レ

形 式 で あ る.

(6.3.9) で あ る か らL1∩C∞(D)はL1内

で 稠 密.次

こ と を 示 す た め に,C∞(D)の す る.u∈C0(D)に

元 がC0(D)の

対 し て は,Tietzeの

に 拡 張 しu∈C0(Rn)と

に こ れ がC∞(D)で

元 で 一 様 に 近 似 で き る こ とに 注 意 拡 張 定 理 を 使 っ てuをRn上

す る こ と が で き る.問  と お く と,Rn上

こ ろ がuδ

のD上

へ の 制 限 はC∞0(D)に

L1∩C∞(D)がC∞(D)で   L1に

題1.2.1の

適 用 す れ ば,D上

L2=H1(D):Dが

注 意 す れ ば

の 対 称 な 拡 散 過 程 で あ っ て,吸

拡 張D*と

か しDが

充 分 滑 らか な らば(例

してDが

持 型 空 間 と呼 ば れ る も とれ る か ど うか 一 般

有 界 で あ っ て も な くて も,DのRn内 えば

満 た す の で2)L2=L1.(b)に

∂DがC1-級

よ っ て,こ

収壁

存 在 す る こ とが わ か る.

正 則 化 可 能 な こ と が 知 られ て い

し て は,Martin-倉

の を 具 体 的 に 構 成 し な け れ ば な ら な い.D*と

∂Dが

と

属 す か ら,(6.3.9)に

有 界 の と きL2は

関 す るDの

に は 不 明 で あ る.し

軟 化 子jδ に よ っ て

稠 密 で あ る こ と が わ か っ た.

定 理6.3.1を

る1).L2に

に連 続

で 一 様 に 

ブ ラ ウ ン 運 動 の 延 長 と な っ て い る も の が 少 な く と も1つ   (c) 

も稠 密 で あ る

な ら ば)Dは

の と きD上

で の境 界 条 件(6.3.3)を

の 拡 散 過 程 がL2に

対

応 す る.

  一 般 にH1(D)が

正 則 化可 能 で あ る と き,こ

定 理6.3.1の

意 味 で 対 応 す る 拡 散 過 程 をD*上

ing

Brownian

barrier 1)  M.

Fukushima[Ⅱ;1]参

2)  溝 畑 茂[Ⅰ;1],169頁

motion)と 照. 参 照.

呼 ぶ.Dが

れ に関 す るDの

拡 張D*上

に

の 反 射 壁 ブ ラ ウ ン 運 動(reflect た また ま半 空 間 の 場 合 に は

(6.3.2)に

よ って ブ ラ ウ ン運 動 を折 り返 して得 られ るD上

の拡 散 過 程 は,こ

の意 味 で 反 射 壁 ブ ラ ウ ン運動 に な って い る(補 題6.3.1).上 Dが

に 見 た よ うに,

有 界 な 場 合 や ∂Dが 滑 らか な 場 合 に は 反 射 壁 ブ ラ ウ ン運 動 が存 在す る.

  §6.4  多次 元 拡 散 過 程 と局 所 型 微 積 分形 式  DをRnの

領 域 と し,mをD上

いた る所 稠 密 なRadon測

度 とす る.§1.2

で 定 義 した よ うに

(6.4.1)

に よ っ て 与 え られ るL2(D;m)上 う.但 はD上

しνij,1≦i,j≦n,は(1.2.3)を の 正 のRadon測

  D上

の対称 形 式 の こ とを 局 所型 微積 分形 式 と い

称)で

のRadon測

度 の 組.k

度.

の マ ル コ フ過 程Mが

移 関 数 がm-対

満 た すD上

右 連 続 な 標 本 路 を も ち 且 つm-対

あ る と す る.こ

ち そ の推

結 果 に よ り,Mの

推 移

関 数 はL2(D;m)上

の 強 連 続 な マ ル コ フ 対 称 作 用 素 の 半 群 を 定 め,そ

れ に対

し て はL2(D;m)上

の デ ィ リ ク レ形 式Eが

正 則 で あ り更 に §4.3の る と い う.そ

の と き §1.4の

称(即

意 味 でMがEに

  定 理6.4.1 

D上

れ に §6.1の のm-対

同 値 類1)の 全 体 と,L2(D;m)上

し こ のEが

適 合 し て い る と き,Mを

し て 正 則 デ ィ リク レ形 式Eの

  §1.2,§2.1,§2.2,そ

一 意 に 対 応 す る.も

芯 をMの

正則 であ

芯 と も呼 ぶ.

結 果 を 総 合 し て 次 の 定 理 を 得 る.

称 で 正 則 な 拡 散 過 程 でC∞0(D)を

芯 に もつ も の の

の 可 閉 な 局 所 型 微 積 分 形 式 の 全 体 とは1対1

に 対 応 す る.   証 明   MをD上 る.Mの Eに

のm-対

称 で 正 則 な 拡 散 過 程 と しC∞0(D)を

決 定 す る デ ィ リ ク レ形 式 をEと

適 合 し て い る の だ か ら 定 理6.1.1に 1)  L2(D;m)上

す る と,Mは よ りEは

芯 に もつ とす

正 則 デ ィ リク レ 形 式

局 所 性 を も つ.従

の 同 じ半 群 を決 定 す る もの は 同 値 とみ な す.定 理4.3.2に

同値 な も の 同士 はq.e.の

出発 点 に 対 して 同じ 有 限 次 元 結 合 分 布 を もつ.

っ てE よれ ば,

のC∞0(D)上

へ の 制限 を 改 め てEと

も つ マ ル コ フ 対 称 形 式 で あ る.こ な 測 度νij,kに

述 べ た よ うにEは

定 理2.1.2に

か も 局 所 性 を も つ.そ

て そ れ に 適 合 したD上

のm-対

よ りL2(D;m)上

のm-対

可 閉であ

の正 則 デ

こ で 定 理6.1.1をEに

称 な 拡 散 過 程Mを

芯 に も っ て い る.(証 よ り,D上

の 対 称 形 式Eが

局 所 性 を もつ マル コ フ対 称 形 式 で

ィ リ ク レ形式 で あ り,し

  定 理6.4.1に

一 意的

よ うに 表 わ さ れ る こ と が わ か る.

っ て そ の 最 小 閉 拡 大Eは

か にMはC∞0(D)を

可閉で局 所 性 を

適 用 す れ ば,Eが

よ っ て 与 え られ るL2(D;m)上

る と 仮 定 し よ う.§2.1に あ る.従

らか にEは

れ に 定 理2.2.2を

よ っ て(6.4.1)の

  逆 に(6.4.1)に

お く と,明

適用 し

作 る こ と が で き る.明

ら

終)

称 で 正 則 な 拡 散 過 程 でC∞0(D)を

芯 に も

つ も の を 決 定 す る 問 題 が 次 の 解 析 的 な問 題 に 帰 着 さ れ た こ と に な る:L2(D; m)上

の 局 所 型 微 積 分 形 式(6.4.1)を

可 閉 な ら し め る た め に 測 度 の組(νij,k)

の 満 た す べ き 必 要 十 分 条 件 は 何 か?   こ の 問 題 に 一 般 的 な 答 を 用 意 す る の は 困 難 で あ る が,以 条 件 を 与 え て み よ う.本

節 で はmは

ル ベ ー グ 測 度,k≡0の場

つ ま り問 題 は 次 の 通 りで あ る:(1.2.3)を {νij;1≦i,j≦n}が

下 に い くつ か の 十 分

満 た すD上

合 を 調 べ る.

のRadon測

度 の組

ど の よ うな 条 件 を 満 た す と き

(6.4.2) はL2(D)上

の 対 称 形 式 と し て 可 閉 で あ る か?

  (1°) νijが ル ベ ー グ 測 度 に 関 し絶 対 連 続 の と き 即ち (6.4.3) νij(dx)=aij(x)dx,  と 書 け{aij(x),1≦i,j≦n}はD上 を 満 た す も の とす る.こ 考 察 し た.そ は(6.4.2)は   (1°.a) 

1≦i, j≦n の 局 所 可 積 分 関 数 の 族 で あ っ て(1.2.7)

の よ うな 場 合 の 可 閉 性 に つ い て は §1.2の

れ に よ れ ば{aij}が

次 の2条

例1で

既 に

件 の うち の ど ち ら か を 満 た す 場 合 に

可 閉 で あ る. aij(x)の

超 関 数 と し て の1回

偏 導 関 数 がD上

の局 所 可積 分 な 関数

で あ る.1≦i,j≦n.   (1°.b) aij(x)は ξ∈Rnと

一 様 に 楕 円 型 で あ る:適

全 て のx∈Dに

  こ の よ うに{aij}が

当 な 正 数 δ が 存 在 し て,全

ての

対 して, 一 様 に 楕 円 型 で あ る か,ま

滑 ら か で あ れ ば(6.4.2)の

た そ うで な い 場 合 で も 適 当 に

可 閉 性 が 保 障 さ れ る.し

し 滑 ら か さ が 壊 れ て い る 場 合 で も,次

か しaij(x)の

の よ うに(6.4.2)が

退 化 も許

可 閉 とな る場 合 が あ

る.   簡 単 の た めD=Rnと  (1°.c) 

す る.い

1≦k≦n-1に

ま,全

て の1≦i,j≦nに

対 し て は 超 関 数 微 分 

は 

で あ る が, 

ついて

はRn上

局所 可 積

上 だ け で 普 通 の 意 味 で存 在 しそ こ

で連続 と仮定 す る.こ

の と き(6.4.2)は

可 閉 で あ る.実

際,x=(x1,…,xn)に

しx′=(x1,…,xn-1)と

表 わ す こ とに し,F0={u∈C∞0(Rn);適

あ っ て,xn∈(-δ,δ)な

らu(x)はx′

く.(1°.a)の

の み に 依 存 しxnに

場 合 の 証 明 と全 く 同 様 に し て,形

制 限 した も の は 可 閉 で あ る こ と が わ か る.次

式(6.4.2)の

関 し定 数}と

お

定 義 域 をF0に 対 し

≦xn≦2δ

u(x′,xn-2δ) 

(6.4.4) υδ(x)={

当 な δ>0が

に 任 意 のu∈C∞0(D)に

u(x′,0) -2δ

対

xn>2δ

u(x′,xn+2δ) xn<-2δ と お き,更

に 問1.2.1のjδ

しか も δn↓0の

に よ っ てuδ(x)=jδ*υδ(x)と

と きuδnは

(6.4.2)の

関

(6.4.5)

従 って

し てE1(uδn-u,uδn-u)→0,n→∞.こ

可 閉 性 が(1°.c)のaijに

  以 下 は(1°.c)の

特別

∈F0.

共 通 の コン パ ク ト集 合 に 含 ま れ,x∈{x∈Rn;

 に 対 し 一 様 有 界 にuδn(x)→u(x),  (6.4.2)のEに

お けばuδ

対 し て 証明

な 場 合 で あ る.

の よ う にし で き た.

て

但

し,c1,c2≧0,Rn+={x∈Rn;xn>0},Rn-={x∈Rn;xn<0}.特

c2=0の

と き を 考 え よ う.L2(Rn)上

適 合 したRn上 xn≧0}上

の1つ

に 関 し不 変 点,即

の 可 閉 対 称 形 式(6.4.5)の

の 拡 散 過 程Mは

で はMは

にc1=1/2,

次 の も の で あ る:閉

反 射 壁 ブ ラ ウ ン 運 動(6.3.2).下 ちx∈Rn-か

明 は 補 題6.3.1か

最小 閉 拡 大 に

上 半 空 間{x∈Rn;

半 空 間Rn-上

ら 出 発 した 標 本 路 は 確 率1で

の 点 はM

そ こ に 留 ま る.証

ら 明 ら か で あ る.

  (2゜)  νijが ル ベ ー ゲ 測 度 に 関 し 必 ず し も絶 対 連 続 で な い 場 合   Rn上

の 微 積 分 形 式(6.4.2)の

可 閉 性 が,1次

元 低 い 空 間Rn-1上

の微 積 分

形 式 の 可 閉 性 に 帰 着 で き る 場 合 を 考 察 し よ う.   簡 単 の た めD=Rnと

し,一

つ の 一 般 的 な 定 理 を 用 意 す る.次

の条件を満た

す も の が 与 え ら れ た と す る. (6.4.6) 

あ る 補 助 的 な σ-有 限 な 測 度 空 間{Θ,B(Θ),μ}と

ー 集 合と す るRnの (6.4.7) 

各

θ∈Θ

超 平 面 の 集 合{Fθ;θ に 対 し,n-1次

度 に 関 す るL2空

しuθ

はuのFθ

  こ の と き δ>0と

す る と き,L2(Fθ)上

上の ル ベー グ測

の 可 閉 な 対 称 形 式Eθ

る も の.

(6.4.8)  任 意 のu∈C∞0(Rn)に 可 積.但

元 ユ ー ク リ ッ ド 空間Fθ

間 をL2(Fθ)と

でD[Eθ]=C∞0(Fθ)な

Θ をパ ラメータ

∈ Θ} .

対 しEθ(uθ,uθ)は

θ∈ Θ の 関 数 と し て μ-

上 へ の 制 限 を 表 わ す.

し て 次 の よ う な 形 式 を 導 入 す る.

(6.4.9) つ ま りn-1次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Fθ

重 ね 合 せ(superposition)と

上 の可 閉 な 対 称 形 式 の測 度

μ による

デ ィ リ ク レ積 分 の 定 数 倍 の 和 と してEを

定 義す

る わ け で あ る.   定 理6.4.2 

(ⅰ)  (6.4.6)∼(6.4.8)な

義 され るL2(Rn)上   (ⅱ)  更 に(6.4.7)に

る 条 件 の 下 で(6.4.9)に

よ って定

の 対 称 形 式 は 可 閉 で あ る. 於 け るEθ

がFθ

上 の可 閉 な 局 所 型 微 積 分 形 式 な ら

ば,Eも

可 閉 な 局 所 型 微 積 分 形 式 で あ る.

  簡 単 だ が 重 要 な 補 題 を 準 備 し よ う.   補 題6.4.1 

x=(x1,x2,…,xn)∈Rnに

対 しx′=(x1,x2,…,xn-1)と

書

くと

(6.4.10) 但 しCはu∈C∞0(Rn)に

よ ら な い 定 数.

  証 明   C∞ 関 数φ(xn)でxn=0の を と る.そ

近 傍 で1,xn≧1の

と き0と

して 

な る も の

にSchwarzの

不

等式 を適用 し

こ れ に よ り(6.4.10)は   定 理6.4.2の 理2.2.2を  

(ⅰ)の

証 明   (ⅰ)の

終)

み を 示 せ ば よ い.こ

れ か ら(ⅱ)を

導 くに は定

使 え ば よ い. た め にuk∈C∞0(Rn),E(uk-ul,uk-ul)→0,k,l→∞,(uk,uk)

→0,k→∞,と   E(u,u)≧

明 ら か で あ る.(証

仮 定 しE(uk,uk)→0を δD(u,u)が

導 く.

成 り立 っ て い る こ と と,形

まず こ の と きD(uk,uk)→0,k→

∞.と

こ ろ が,補

式Dの

可 閉 性 と に よ り,

題6.4.1とDirichlet

積 分 の座 標 変 換 に関 す る不 変 性 に よ り

(6.4.11) が 任 意 の θ∈Θ ベ ー グ 測 度.従

に 対 して 成 立 して い る.こ

こ にdx′

はFθ

上 のn-1次

元 ル

っ て 各 θ∈Θ に つ き

上で

(6.4.12) 

 さ て{uk}はEに

関 しCauchy列

を な す か ら,部  と で き る.μ

な るΘl∈B(Θ)が

分 列kj→∞

は σ-有 限 だ か ら 

存 在 す る が,各lに

つ い て不 等 式

を選んで

が成 立 す るか ら μ に 関 す る殆 ん ど全 て の θ∈ Θ に対 して

(6.4.13) つ ま り(6.4.13)が Cauchy列

成 り立 つ よ うな θ に 対 し て は{uθkj}は

に な っ て い る.と

り立 っ て い る か ら,こ

こ ろ がEθ

は 可 閉 で あ り,し

形 式Eθ

の意 味 で

か も(6.4.12)が

成

の よ うな θ に対 して は

(6.4.14)   従 っ てFatouの

補 題 と3角

最 後 の 項 はnと

不等式 に より

共 に い く ら で も 小 さ くな る.(証

  例 え ばD=R2の

場 合,νij,1≦i,j≦2,が

(6.4.2)は(6.4.9)の

終)

次 の よ うに 与 え ら れ る 微 積 分 形 式

特 別 な 場 合 に あ た っ て い る.

(6.4.15)

但 し μ お よび に は,定

ν は1次

理6.4.1と

元 の 正 のRadon測

定 理6.4.2に

よ り,R2上

  最 後 に 次 の 点 に 注 意 し て お こ う.補 代 わ りにRn内 に そ の 領 域Dを

度.こ

の よ う な{νij,1≦i,j≦2}

の 拡 散 過 程 が 対 応 し て い る.

題6.4.1は

超 平 面{x∈Rn;xn=0}の

の 滑 ら か な 超 曲 面 に 対 して も 成 立 す る1).従 と り,超

平 面 族{Fθ}の

曲 面 族 を と っ て も 定 理6.4.2が

代 わ り にDに

成 立 す る.こ

含 ま れ るC∞

の よ うに 考 え る と,例

中 心 と す る 同 心 球 面 上 の 対 称 拡 散 過 程 を 適 当 にsuperposeし,そ 運 動 に 加 え る こ と に よ っ てRn上 1)  溝 畑 茂[Ⅰ;1],定

理3.8.

っ てRnの

代わ り 級の超

えば 原 点 を

れ をブ ラウン

の 新 しい 拡 散 過 程 を 得 る こ と が 可 能 で あ る.

こ の よ うな 拡 散 過 程 を 記 述す る微 積 分 形 式 と しては,(6.4.2)の

よ うな 直 交座

標 を 使 った表 示 よ りも極 座 標 表 示 の方 が便 利 で あ ろ う.

  §6.5  ス ピー ド測 度 と消 滅 測 度   前 節 では,領 域D⊂Rn上

のm-対

称 で 正 則 な 拡 散 過 程 でC∞0(D)を

芯に も

つ も の を決 定 す る問 題 が 次 の解 析 的 問 題 に 帰 着 され る の を 見 た:L2(D;m) 上 の局 所 型 微 積 分 形 式(6.4.1)を

可 閉 な ら しめ るた め の測 度 の 組{νij,k}の

満 た す べ き必 要 十 分 条 件 は 何 か?   こ の設 問 は さ しあ た って2つ に 分 け て 考 え る こ とが で き る.即 ち   (Ⅰ)  mが

ル ベ ー グ測 度 で あ り,k≡0の

場 合 に(6.4.2)を

可閉 な ら しめ る

た め の{νij}の 条 件 は何 か?   (Ⅱ)  {νij}がL2(D)上 この ときD上

の微 積 分形 式(6.4.2)を

の どの よ うなRadon測

微 積 分 形 式(6.4.1)は   前 節 では(Ⅰ)に

可 閉 にす る と仮 定す る.

度mとkに

対 してL2(D;m)上

の

可 閉 とな るか?

対 す る十 分 条 件 をい くつ か与 え た わ け で あ る.設 問(Ⅱ)の

方 は,ユ ー ク リ ッ ド空 間 の領 域 上 の 局所 型 微 積 分形 式 に 対 して だ け で な く,も っ と一 般 に 定 式 化 で き る の で,本   (X,m)を

§1.1の

通 り と し,EをL2(X;m)上

式 で あ っ て,D[E]がC0(X)の の と きEの

節 で は 先 ず そ の 点 に 簡 単 に 触 れ て お こ う.

あ る 稠 密 部 分 集 合Dに

最 小 閉 拡 大Eは

定 理1.2.1に

ク レ形 式 と な るか ら,こ れ に 対 して §3.1の 容 量Cap(A)が

の 可 閉 な マ ル コ フ対 称 形

定 義 で き る.定

等 し い も の とす る.こ

よ りL2(X;m)上 意 味 でXの

理3.3.1(ⅲ)に

各 部 分 集 合Aの(1-)

よれ ば コ ン パ ク ト集 合Kに

対 して は

(6.5.1) が 成 立 す る.容

量0の

  定 理6.5.1 

m′ とkをX上

(6.5.2) 

集 合 は 概 極 集 合 と呼ば れ た. の 正 のRadon測

m′(B)≧m(B),∀B∈B(X),

の正 則 デ ィ リ

度 で各 々

(6.5.3) 

任 意 の 概 極 集 合A⊂Xに

を 満 た す も の とす る.こ

対 しk(A)=0

の とき

(6.5.4) に よ っ て 定 義 さ れ るEは,L2(X;m′)上

の マル コ フ 対 称 形 式 と し て 可 閉 で

あ る.   証 明   un∈DがEに n→∞

関 しCauchyを

が 成 り立 つ と仮 定 す る.こ

もCauchyを

な し,ま

E(un,un)→0,n→

部 分 列nkが

な し,且

つ 

の と き定 理 の 条 件 に よ りunはEに

従 ってEの

た  ∞,が

成 立 す る が.定

あ って, 

可閉 性 に よ り

理3.1.4と(6.5.3)に

k-a.e..故

関 して

よ り適 当 な

で

に 

な けれ ば な らな い.こ れ でE(un,un)→0,n→∞,即

ちEの

可閉性が示 さ

れ た. (証終)   §1.2で 少 し 触 れ た こ とで あ るが,マ ド測 度(speed

measure),kは

消 滅 測 度(killing

上 の 定 理 の よ うに ス ピ ー ド測 度 をmか ば,Eの

ル コフ対 称 形 式 に と ってmは measure)と

らm′ に,測 度 を0か

最 小 閉 拡 大 に 適 合 した標 準 マ ル コフ過 程MはEの

合 した 標 準 マル コ フ過 程Mに 変 換 が,mやkの

ス ピー

呼 ば れ る.

らkに 変 更す れ 最小閉拡大に適

移 され る こ とに な る.し か しMか

らMへ

の

名前 が 示 唆す る よ うな確 率 論 的変 換 に よ って 実現 され う る

も のか ど うか 一 般 に は 不 明で あ る.お そ ら くkの

変 更 は,Mを

適 当 な概 極 集

合 の外 部 に 制限 し た も の の あ る乗 法 的 汎 関数 に よ る変 換 を意 味 し,mの

変更

は 適 当 な概 極 集 合 の 各点 を不 変 点 に す る操 作 とそ の 外 部 に 於 い て の あ る加法 的 汎 関 数 に よ る時 間 変 更 を行 な う操 作 との 結 合 を意味 す る もの と思 わ れ る.   いず れ にせ よ概 極 集 合 な る概 念 は,こ

の種 の変 換 論 に 於 い て も重 要 な 役 割 を

果 た して い る.と こ ろが1次 元 拡 散 過 程 に 対 して は 非 常 に 特 別 な場 合 を 除 い て は,空 集 合 以 外 の概 極 集 合は 存 在 しな い.こ に 到達 す る た め に は,区

間(a,b)の

れ は,連

続 な標 本路 がaか

らb

全 て の点 を通 過 しな け れ ば な らな い と い

う1次 元 空 間 の 特 殊 性 を反 映 した もの で あ る.概 極 集合 の不 在 性 が,1次

元拡

散 過 程 の 研 究 を 多 次 元 拡 散過 程 の そ れ よ りもず っ と易 し く して い る理 由 の1つ に な って い る.以 下 に §1.2の 例2に 関 連 して この 間 の事 情 を考 え てみ る こ と に しよ う.   mを1次

元 区 間I=(r1,r2)上

の い た る と ころ稠 密 な正 のRadon測

度 と し,

(6.5.5) (6.5.6) 

FR={u∈L2(I;m);uは

(6.5.7) 

絶 対 連 続 でD(u,u)<∞}

F0={u∈FR;riが

と お く.但

し 境 界 点r1,r2の

正 則 境 界 な らu(ri)=0,i=1,2} 正 則 性 は 条 件(1.2.10)に

よ って定 義 され る もの

と す る.   §1.2で

示 し た よ う に 形 式(D,FR)及

局 所 性 を も つ デ ィ リ ク レ形 式 で あ る.特

び(D,F0)は

共 にL2(I;m)上

に 後 者 はL2(I;m)上

の

の 対 称 形 式(D,

C∞0(I))の 最 小 閉 拡 大 に等 し く正 則 で あ る.ま たun∈FRが  に 関 し てu∈FRに 間[α,β]⊂I上

任意の閉区

で 一 様 に 収 束 す る.

  正 則 デ ィ リ ク レ形 式E=(D,F0)の す る と き,上

収 束 す れ ば,unはuに

性 質 を 調 べ よ う,任

で 見 た よ うに 対 応 

意 のy∈Iを

固定

は 連 続 で あ る か らRiesz

の 表 現 定 理 に よ って

(6.5.8) な るg01(・,y)∈F0が の 再 生 核(reproducing

一 意 的 に 存 在 す る.g01(x,y)は kernel)と

ヒ ル ベ ル ト空 間(F0,E1)

呼 ば れ る も の で あ る.

  こ こで

(6.5.9) に 注 意 し て お こ う.g01(y,y)が

有 限 な ご と は 明 らか で あ る が,も

で な い と す る とE1(g01(・,y),g01(・,y))=g01(y,y)≦0.故 ∀x∈I,と

な り,(6.5.8)の

矛 盾 で あ る.

右 辺 は 全 て の υ∈F0に

し これが 正

にg01(x,y)=0, 対 し て0と

な る.こ

れ は

 さ てEか

ら §3.1の

意 味 で 定 め られ る(1-)容

量 をCapと

す る と き,

(6.5.10) の §3.1の

が 成 立 す る こ とを 示 そ う.開 区 間  (1-)平

衡 ポ テ ン シ ャ ル をpn(∈F0)と

はn→∞

の と きE1の

位 相 で あ るp∈F0に

pn(x)はp(x)に

収 束 す る.と

らpn(y)=1が

従 うか らp(y)=1.ま

の δ>0に

す る と,§3.1で

使 っ た 論 法 に よ りpn

収 束 す る.従

こ ろ がpn=1

意味で の

っ て 各 点x∈Iで

m-a.e.(Jn)とpnの

た υ∈F0がyで

連続 性 か

非 負 と す る と,任

対 し て υδ(x)=υ(x)+δg01(x,y)はx=yの

 δ↓0と E1(p,υ)≧0.結

局pが

意

近 傍で正 であ るか ら し て

次 の 性 質 を も つ こ と が わ か っ た.

(6.5.11) こ の 性 質 はpをF0の (6.5.8)と

元 と し て 一 意 的 に 特 徴 づ け る も の で あ る.そ

こで 等 式

比 較 す る こ とに よ り

(6.5.12) を 得 る.一

方Choquet容

こ れ に(6.5.12)を

量 の性 質 に よ り

代 入 す れ ば(6.5.10)が

  こ の よ う に 局 所 性 を もつL2(I;m)上 に 関 し て は,Iの

の 正 則 デ ィ リ ク レ 形 式E=(D,F0)

各 点 が 正 の 容 量 を も つ こ と が わ か っ た.Eに

の 拡 散 過 程 をM0={Ω,M,X0t,P0x}x∈Iと い の だ か ら,定

理4.2.2に

一 意 的 に 定 ま る .特 か ん が み て,M0はI上 は,吸

得 られ る.

よ りM0は

にmがI上

し よ う.空

集 合 以 外 に概 極 集 合が な

任 意 のx∈Iに

対 して確 率過 程 と して

の ル ベ ー グ 測 度 の 場 合 に は,§6.2の

の 吸 収 壁 ブ ラ ウ ン 運 動 と 一 致 す る.一

収 壁 ブ ラ ウ ン 運 動 の 標 本 路 をmに

時 間 変 更す る こ と に よ りM0が

適 合 したI上

般 のmの

結 果に 場合

応 じた 適 当 な加 法 的 汎 関 数 に よ って

得 られ る の で あ る が,本

書 で は こ の点 に 詳 し く

は 触 れ な い.   一 般 にu∈F0と

同 じL2(X;m)の

限 る.実

際,他

3.1.5に

よ りu=u

∀x∈I.従

同 値 類 に 属 す 関 数 の 準 連 続 修 正 はuに

に 準 連 続 修正uが

m-a.e.だ

か ら,補

題

q.e..と こ ろ が 概 極 集 合 は 空 集 合 しか な い か らu(x)=u(x)

っ てM0の

{Rα,α>0}と

あ っ た とす る とu=u

,

推 移 関 数 と リ ゾ ル ベ ン ト核 を 各 々{pt,t>0}お

す る と,補

題4.2.1に

よ び

よ り

(6.5.13) 但 しBはI上 pは

の 有 界Borel関

§3.3の

数 の 全 体.ま

意 味 で の1点{y}の(1-)平

て 定 理5.1.1に

た(6.5.11)で

特 徴 づ け られ る

衡 ポ テ ン シ ャ ル に 他 な らず,従

っ

より

(6.5.14) 但 しE0xはP0xに   M0の

よ る 平 均 を 表 わ す.

推 移 関 数 はm-対

称 で あ る.従

ベ ン ト核 の み な らず 推 移 関 数 もmに る.定

理5.5.1に

っ て(6.5.13)は,特

ル

関 して 絶 対 連 続 で あ る こ とを 意 味 して い

訴 え る 必 要 は な い.ま

こ と に よ りE0y(-σ{y})=1を

にM0のリゾ

得 る.こ

た(6.5.14)に

於 い てx=yと

れ は 各 点y∈Iが

お く

そ れ 自身 に 対 し てM0

に 関 す る 正 則 点 で あ る こ と を 意 味 して い る.  こ こ でpを

も う少 し詳 し く表 示 し て み よ う.§1.2に

の 解,つ 上 の 正 の1-調 (1.2.10)の =0)を

ま り積 分 方 程 式(1.2.12)の

和 関 数u1(u2)で

解 の こ と を1-調

狭 義 単 調 増 加(狭

意 味 で 正 則 境 界 点 な らu1(r1)=0(r2が

於 い て,方

和 と 呼 ん だ.I

義 単 調 減 少)で

あ り,r1が

正 則 境 界 点 な らu2(r2)

満 た す も の が 存 在 す る こ と が 知 ら れ て い る .こ

(6.5.11)で

程式

のu1とu2を

使 えば

特 徴 づ け られ るpが の と き 

(6.5.15) 

と 表 わ さ れ る こ とが わ か る.実

際(6.5.11)に

ま う よ うな 任 意 の 関 数φ ∈C∞0(I)に 見 た よ うにpが

区間(r1,y)上

の とき よ り台 が(r1,y)に

対 して は,E1(p,φ)=0.こ

で1-調

含 まれ て し れ は §1.2で

和 で あ る こ と を 意 味 す る.し

か も

p∈F0だ

か らr1が

(r1,y)上

正 則 な らp(r1)=0.ま

たp(y)=1.こ

れ ら3つ x∈(r1,y),も

の 関 数 を 一意 的 に 決 定 す る も の で あ る. 

じ 条 件 を 満 た す か ら(6.5.15)の

の条 件 は

最 初 の 等 式 が 得 ら れ る.後

同

の 等 式 も同様 に し

て わ か る.   (6.5.15)は り,Iの

特 にp(x)>0,∀x∈I,を

任 意 の2点

間 にM0に

意 味 し て い る.従

関 す るcommunicationが

っ て(6.5.14)に あ る こ と,即

よ ち

(6.5.16) が わ か る.(6.5.15)か

ら は 更 にg01(x,y)の

表示

Cは

(6.5.17) 

を 得 る こ と が で き る.実 (6.5.12)と(6.5.15)に

際(6.5.8)か

らg01(x,y)の

正の定 数

対 称 性 が わ か る か ら,

これ をCと

よ り 

け ば よ い.g01(x,y)が(6.5.17)の の 両 辺 をf・dmで

お

よ うに 変 数 分 離 形 に な っ た の で(6.5.8)

積 分 し,そ

の 左 辺 の 微 分 と積 分 の 順 序 を 入 れ か え れ ば,

(6.5.18) が 導 か れ る.即

ち 再 生 核g01はM0の

リ ゾ ル ベ ン ト核 のmに

と な っ て い る こ と が わ か っ た.同 (6.5.8)の

関す る 密度 関数

様 に して エ ネ ル ギ ー 有 限 な 測 度

両 辺 を 積 分 し(3.2.17)と

比 較 す る こ と に よ り,μ

μ によって

の ポ テ ンシ ャル

Uμ が

(6.5.19) と表 わ され る こ とが わ か る.   以 上,正 M0の

則 デ ィ リ ク レ形 式E=(D,F0)と

性 質 を 調 べ て き た.こ

は 正 則 で な い.し

そ れ に 適 合 し たI上

の拡 散 過 程

れ に 対 し て デ ィ リ ク レ形 式E=(D,FR)は

一般 に

か し §6.3の

場 合 と 同 様 に 状 態 空 間Iの

を 正 則 化 す る こ とが 可 能 で あ る.即 (r1,r2)に

ち,も

しriが

拡 張 に よ って これ

正 則 な ら ば,こ

れ を 区 間

境 界 点 と して つ け 加 え る こ と に よ っ て 得 られ る 新 た な 区 間 をIと

表

わ す こ と に し,m(ri)=0と はL2(I;m)上

お い てmをI上

る とE=(D

,FR)

の デ ィ リ ク レ形 式 とみ な し て 正 則 で あ る こ と を 証 明 す る こ と

が で き る.勿

論Eは

局 所 性 を も つ か ら,こ

が 存 在 す る.(E,M)に にIの

散 過 程MのI上

で の 部 分 が 丁 度M0に(マ

各 点 のEに

れ は 定 理5.4.2の

の 拡 散 過 程M

対 す る場 合 と同様 の性 質 を導 く

関 す る 容 量 は 正 で あ る .ま

たI上

の拡

ル コ フ過 程 の 同 値 性 を 除 い て)等

結 果 で あ る.

  本 節 の 後 半 で は §1.2の 例2に の で あ るが,§1.2の

れ に 適 合 したI上

対 し て も(E,M0)に

こ と が で き る.特

し い.こ

に 拡 張 す る.す

例2を

関 連 した1次

元 拡 散 過 程 の 性 質 を 調 べ て きた

も う少 し一 般 に し て ,こ

れ に 消 滅 測 度kを

形 式 を 考 え て も全 く 同 じ 結 果 を 導 く こ と が で き る.こ

加 えた

れ を 定 理 の形 で ま とめ て

お こ う.   区 間I=(r1,r2)上 Radon測

の 測 度mは

い ま ま で 通 り と す る.kをI上

度 と し,(6.5.5)と(6.5.7)の

の正 の

代 わ りに

(6.5.5)′

(6.5.7)′  D[E]={u∈L2(I;m);uは

絶 対 連 続 でD(u,u)<∞,

u∈L2(I;k),riが に よ っ て 定 義 され るL2(I;m)上 r1の

正 則 性 は(1.2.10)の

正 則 な らu(ri)=0,i=1,2}

の デ ィ リク レ形 式Eを

考 え る.但

し境 界 点

度mとkが

与 え

代 わ りに

(6.5.20) に よ っ て 定 義 す る.r2に   定 理6.5.2  られ,mは

つ い て も 同 様 で あ る.

1次 元 区 間I=(r1,r2)上

の 正 のRadon測

い た る 所 稠 密 で あ る と す る.こ

  (ⅰ)  (6.5.5)′ リ ク レ形 式Eは,局

お よ び(6.5.7)′

の と き,

に よ っ て 定 義 さ れ るL2(I;m)上

所 性 を も ち 且 つ 正 則 で あ る.Iの

各 点 のEに

の デ ィ 関 す る1-

容 量 は 正 で あ る.   (ⅱ)  Eに

適 合 したI上

のm-対

称 な 拡 散 過 程Mが,マ

同 値 性 を 除 い て 一 意 的 に 存 在 す る.Mに

関 し 区 間Iは

ル コ フ過 程 と し て の 性 質(6.5.16)を

もつ.

  (ⅲ)  Mの

推 移 関 数 の 定 め るL2(I;m)上

の 半 群 の生 成 作 用 素 をAと

す

ると {の適 当 な 修 正 は 有 界 変 動.測 度  はmに

関 し絶 対 連 続 で密 度 はL2(I;m)に

属す

(6.5.21)

  証 明   (ⅰ)と(ⅱ)はk≡0の もEの

と き に は 既 に 証 明 ず み で あ る. 

正 則 性 を 除 い て は 全 く 同 じ 証 明 が 適 用 で き る.Eが

示す に は,C∞0(I)がD[E]内

でE1の

注 意 し て,§1.2の

 の解 の境 界近

例2の

場 合 と 全 く同 様 に 証 明 で き る.

  (ⅲ)  の 証 明 の た め に はC∞0(I)がD[E]内 使 う.即

で 稠 密 で あ る こ と と(6.2.8)を

ちu∈D(A),Au=f(∈L2(I;m))な

u∈D[E],E(u,υ)=-(f,υ),∀ 定 理0.1.5に

正 則 で あ る こ とを

位 相 で 稠 密 で あ る こ と を い え ば よ い.

しか しこれ は1-調 和 関 数,即 ち方 程 式 傍 で の 挙 動1)に

の とき

るた め の必 要 十 分 条 件 は

υ∈C∞0(I).こ

の 方 程 式 は(6.5.5)′

と 補足 の

よれ ば

(6.5.22) な るI上

のRadon測

度 に 関 す る 等 式 と 同 値 で あ る.こ

れ で(6.5.21)が

示

せ た.  (証 終)   最 後 に,こ

の 定 理 の 拡 散 過 程 が1次

元 拡 散 過 程 の 全 体 の 中 で ど の よ うな 位 置

を 占 め る か に つ い て 述 べ て お き た い.   一 般 にR1上 (r1,r2)の

の 拡 散 過 程 に 対 し条 件(6.5.16)が

こ と を,こ

満 た さ れ る よ う な 区 間I=

の 拡 散 過 程 に 関 す る 正則 区 間(regular

interval)と

い う.

以 下 の こ と が 知 ら れ て い る.   定 理6.5.32) 

R1上

の 拡 散 過 程 が 与 え られ た と し.そ の 正 則 区 間I=(r1,r2)

1) 

K.

Ito-H.P.

McKean[Ⅱ;1]の

2) 

K.

Ito-H.P.

McKean[Ⅱ;1]Chap.4参

藤 清[Ⅰ;1]に

も 証 明 が あ る.

§4.6,table

1参

照.k≡0に

照. 対 応 す る 場 合 に つ い て は 伊

上 で の 部 分 をMと

す る.こ

の と きMに

対 し次 の 条 件 を 満 た す 組{s,m,k}

が 存 在 す る.   (ⅰ)  sはI上

の 狭 義 単 調 増 加 な 連 続 関 数,mとkはI上

測 度 で あ り,mはI上   (ⅱ)  sに

の 正 のRadon

い た る 所 稠 密.

よ る 区 間Iの

の と み な し,s(I)を

位 相 変 換 に よ っ てM,m,kを

改 め てI=(r1,r2)と

核 をRα(x,A)と

す る.こ

す る と,f∈C(I)に

像 区 間s(I)上 の と きMの

の も

リゾル ベ ン ト

対 し関 数u(x)=Rαf(x),x∈I,は

次 の 性 質 を もつ: (6.5.23) 

uは 絶 対 連 続 で あ りdu/dxの

  (6.5.20)の

適 当 な 修 正 は 有 界 変 動.境

界 点riが

意 味 で 正 則 な ら 境 界 値u(ri)は0(i=1,2).

(6.5.24)   定 理6.5.3(ⅱ)に

於 け るM,m,kを

考 え よ う.こ

のmとkに

対 し定 理

6.5.2に

よ っ て 対 応 す る 区 間I=(r1,r2)上

の 拡 散 過 程 をM′

はMに

マ ル コ フ 過 程 と し て 同 値 で あ る.こ

れ を 証 明 す る た め に 境 界 点r1,r2

が共 に 正 則 で あ る と仮 定 して よ い.つ (6.5.25) 

と す る と,M′

ま り

-∞
と す る.M,M′ f∈C(I),と

の リ ゾ ル ベ ン ト核 を 各 々Rα,R′ お く.定

理6.5.2(ⅲ)に

よ れ ば,u′

α と しu=Rαf,u′=R′

αf,

は 次 の 条 件 で 特 徴 づ け られ

て い る. (6.5.26) 

u′∈D[E].u′

一 方uは(6

.5.24)を

質 的 に 有 界 で あ る.従 も(6.5.26)を =R′α,つ

は(6.5.24)を

満 た す か ら(6.5.25)を

m-a.e.が

ちu

わ か っ た が 両 者 は 共 に 連 続 だ か らRα

度sに

も の に 限 る と い う こ と が,以

と こ ろ で 定 理6.5.2で

よ りu∈D[E].即

で本

は 同 値 で あ る.

  1次 元 正 則 区 間 上 の 拡 散 過 程 は,尺 は 定 理6.5.2の

考 慮 す れ ば,du/dxはI上

っ て(6.5.23)と(6.5.25)に

満 た す.u=u′

ま りMとM′

満 た す.

よ る位 相 変 換 の 自 由 性 を 除 い て 上 の よ うに し て わ か る わ け で あ る.

そ の 存 在 を 保 証 さ れ た と こ ろ のI上

の 拡 散 過 程 は,実

は1次

元 ブ ラ ウ ン 運 動 にmとkに

っ て 具 体 的 に 構 成 で き る.こ と 呼 ぶ 根 拠 で あ る.定

応 じ た 時 間 変 更 と消 滅 操 作 を 施 す こ と に よ

れ がmとkを

理6.5.3に

各 々 ス ピ ー ド測 度 お よ び 消 滅 測 度

於 け る組{s,m,k}の

動 の 変 換 に よ る 確 率 論 的 構 成 ま で に 至 る1次 W.

Feller, E.B.

果 はK.

Ito-H.P.

れ て い る.

Dynkin,伊

藤 清,H.

McKean[Ⅱ;1]お

発見 か らブ ラ ウ ン運

元 拡 散 過 程 の 研 究 は,1950年

McKean等 よびE.B.

に よ っ て 行 な わ れ,そ Dynkin[Ⅱ;2]に

代 の成

ま とめ ら

第 Ⅱ部 あ とが き

  第4章

 対 称 標 準 マ ル コ フ過 程 の 構 成

  §4.2  (M.1)∼(M.6)を

満 た す マ ル コ フ過 程 が 与 え られ た と き,そ

れが更

に 強 マ ル コ フ 性 や 準 左 連 続 性 を も つ た め の 条 件 と し て 本 書 で は(4.2.6), (4.2.7)を α>0}に

挙 げ た が,そ

理4.2.1,定

理4.2.2お

リ ゾ ル ベ ン ト核{Rα,

4.2.3(ⅲ)の

要 十 分 条 件 は(4.2.6)′ XIV,

代 わ りに 条

を と っ て も 成 立 す る こ と が 知 ら れ て い る.更

主 張 は 次 の よ うに 強 め ら れ る:MがHunt過

Chap.

と 呼 ぼ う.定

よ び 定 理4.2.3は(4.2.6),(4.2.7)の

件(4.2.6)′,(4.2.7)′

[Ⅱ;2],

れ ら の 中 の{ps,s∈Q+}を

お き か え て 得 られ る条 件 を 考 え 各 々(4.2.6)′,(4.2.7)′

と(4.2.7)′ T

た も の が 再 びHunt過

11, T

程 で あ るた め の 必

が 成 立 す る こ と で あ る.証

15参

照.こ

に 定理

明 はP.A.

の 判 定 条 件 はHunt過

Meyer

程 を変 換 し

程 と な る こ と を 示 した い と き 非 常 に 有 効 な も の で あ る.

例 え ば これ を 使 え ば 定 理4.2.4が

実 は 無 条 件 で,即

ち(4.2.6),(4.2.7)の

仮

定 な し で 成 立 す る こ とが わ か る.   推 移 関 数 に 対 す るFellerの ル ベ ン ト核{Rα,α>0}に

条 件 に 類 似 で あ るが よ り弱 い 条 件 と し て,リ 対 す るRayの

条 件 と呼 ば れ る も の が あ る.そ

以 下 の 条 件 で あ る:Rα(C∞)⊂C∞,∃C1⊂C∞,C1は 分 離 し,ま

たu≧0,αRα+1u≦u,∀u∈C1.Rayリ

可 算 集 合 で あ り,XΔ の 点 を ゾ ル ベ ン トに 対 し て はX

上 の 右 連 続 な 強 マ ル コ フ過 程 が 対 応 す る こ と が 知 られ て い る(D. しか し こ の 際 に マ ル コ フ 過 程 の 定 義 か ら 正 規 性 の 条 件(M.4)を な らな い.ま

た 準 左 連 続 性 も よ り弱 い 形 で しか 成 立 しな い.本

の しか 扱 わ な い の で,あ れ て お い た.

ゾ れは

Ray[Ⅱ;1]). 取 り除 か ね ば

書では正規な も

らか じ め マ ル コ フ 過 程 の 定 義 の 中 に 条 件(M.4)を

入

  対 称 加 法 過 程 の デ ィ リ ク レ形 式 の 解 析 的 理 論 に つ い て はJ. 照.(4.2.39)の

等 式 は 任 意 のu∈D[E]に

対 して 成 立 す る.

  §4.3  適 合 性 に 関 す る補 題4.3.1と の で あ る.Hunt過

で あ っ た.本

著 者[Ⅰ;2]が

新 しい も 最初に得た

明 は デ ィ リ ク レ形 式 の 正 則 表 現 を 使 う 間 接 的 方 法 に よ る も の

書 の 証 明(§4.4と

方 法 に 従 い,そ

一意 性 に 関 す る 定 理4.3.2は

程 の 存 在 に 関 す る補 題4.3.2は

も の で あ るが,証

Deny[Ⅰ;4]参

§4.5)はM.L.

Silverstein[Ⅰ;1]の

れ を 技 術 的 に 改 良 した 著 者[Ⅱ;5]の

  §4.4  F. Knight[Ⅱ;1]やH.

Kunita-T.

リ ゾ ル ベ ン トの 構 成 の 際 に も補 題4.4.1の

直接的

も の を 採 用 し た.

Watanabe[Ⅱ;1]に

よ るRay

原 理 が使 われ て い る こ とに注 意 して

お く.   §4.5  補 題4.5.1の

証 明 はM.L.

と で あ る が,Feller半 更 に 補 題4.5.1の

  第5章    §5.1か

Silversteinに

も触 れ た こ

群 か ら正 則 な 標 本 路 を 作 る場 合 と の 違 い は,我

々 の場 合

不 等 式 を 使 う と い う点 に あ る.

対 称 マ ル コ フ過 程 の ポ テ ン シ ャル 論 ら5.3ま

で の 諸 定 理 は,定

理5.2.2を

を 改 良 し 整 理 し な お し た も の で あ る.特 M.L

よ る.§4.0で

Silverstein[Ⅰ;2]の

除 き 著 者[Ⅰ;2]§3の

に 定 理5.1.1と

定 理5.3.1の

考 え 方 に 負 う も の で あ り,実

の 任 意 抽 出 定 理 を 使 っ て 定 理3.3.3に

際,優

結果 証明は

マル チ ン ゲー ル

帰 着 させ る この証 明 法 が も っ と も 自然 な

も の で あ ろ う.   定 理5.1.3を

特 にn次

次 の こ と が わ か る:ブ

結 果に よ り

ラ ウ ン運 動 の 極 集 合 は デ ィ リ ク レ積 分 に 関 す る1-容

0の 集 合 と 一 致 す る.こ Doob[Ⅱ;2]に

元 ブ ラ ウ ン運 動 に 適 用 す れ ば,§6.2の

の 種 の 対 応 は 最 初 にS.

よ って 発 見 さ れ た.そ

Kakutani[Ⅱ;2]とJ.L.

れ に よ れ ば,2次

元 ブ ラ ウ ン運 動 の 極

集 合 は 対 数 容 量0の

集 合 と 一致 す る.

  定 理5.2.1をn次

元 ブ ラ ウ ン運 動 に 適 用 す れ ば 次 の こ とが わ か る:H1(Rn)

に 属 す 関 数 が 準 連 続 で あ る こ と と,ブ こ と と は同 値 で あ る.こ

の 主 張 はJ.

ラ ウ ン 運 動 に 関 し てq.e.細 Deny-J.L.

量

連続 で あ る

Lions[Ⅰ;1]のTheoreme

3.2に

相 当 す る も の で あ る.実

際J.

Deny-J.L.

Lionsは

の 劣 調 和 関 数 を 連 続 な ら し め る最 弱 位 相 と してH.

細 位 相 と して,任

Cartanに

意

よ って導 入 さ れ

た も の を 考 え た.Cartanの

細 位 相 が ブ ラ ウ ン運 動 に 関 す る 本 書 の 意 味 で の 細

位 相 と一 致 す る こ とはJ.L.

Doob[Ⅱ;2]に

  Borel集

よ っ て 発 見 さ れ た.

合 へ の 到 達 時 刻 に 関 す る 近 似 定 理-定 理5.2.2はG.

Hunt[Ⅱ;1]

の 基 本 定 理 の 一 つ で あ る.   古 典 的 な デ ィ リ ク レ問 題,即

ち 境 界 関 数 を 与 え た と き内 部 で 調 和 な関 数 を 求

め る と い う問 題 を 解 く方 法 と し て い くつ か の 原 理 が 知 られ て い る.そ S. Kakutani[Ⅱ;2]とH. 原 理 が あ る.1つ

Weyl[Ⅱ;1]に

よ っ て 明 ら か に さ れ た 次 の2つ

の

は 境 界 関 数 を 内 部 か ら出 発 す る ブ ラ ウ ン 運 動 の 境 界 へ の 到 達

分 布 に よ っ て 平 均 す る と い う方 法 で あ る.他 L2の

の うち

元 を 作 り,そ

れ をa.e.に

は 正 射 影 の方 法 に よ っ て 適 当 な

修 正 し て 調 和 な 関 数 を 得 る と い う方 法 で あ る.

本 書 の定 理5.3.2(ⅱ)の

主 張 は,1-調

げ た と い う性 格 を もつ.な

お 上 述 の 確 率 論 的 原 理 に つ い て の 詳 し い 解 説 はK.

Ito[Ⅱ;6],

E.B.

  §5.4の2つ

Dynkin[Ⅱ;2]を

和 関 数 に 対 して こ の2つ

の 原理 を つ な

参 照 さ れ た い.

の 定 理 は 新 しい も の で あ る.

  定 理5.5.1はA.D.

Wentzellの

の 得 た も の で あ る が,本

結 果[Ⅱ;1]の

一 般 化 と し て 著 者[Ⅱ;4]

書 で は 細 容 量 に 関 す るM.

Takano[Ⅱ;1]の

結果 を

改 良 し応 用 す る と い う全 く異 な る 証 明 法 を 取 っ た.   超 過 関 数 の 細 連 続 性 に 関 す る定 理5.5.2はG.A. の 一 つ で あ り,リ

ゾ ル ベ ン トに 対 す る 絶 対 連 続 性(5.5.2)の

標 準 マ ル コ フ過 程 に 対 し て 成 立 す る.ま あ る.証

明 はG.A.

Hunt[Ⅱ;3]の

  一 般 の 標 準 マ ル コ フ過 程Mに 集 合(semi-polar 1]).Mが

set)な

あ る測 度mに

と し よ う.こ

Hunt[Ⅱ;1]の

基本定理

仮 定 な しで一 般 の

た 一 般 に 超 過 関 数 は 概Borel可

も の が 最 も わ か りや す い と 思 う. 関 す る 除 外 集 合 と して は,極

る 概 念 が あ る(R.M.

Blumenthal-R.K.

集合 の他 に 半極 Getoor[Ⅱ;

対 し て 双 対 関 係 に あ る 標 準 マ ル コ フ過 程Mを

の 仮 定 はMのm-対

測 で

称 性 よ りず っ と 弱 い も の で あ り,例

意 の 加 法 過 程 は ル ベ ー グ 測 度 に 関 し こ の 仮 定 を 満 た す.こ

もつ えば 任

の と き 定 理5.1.2

(ⅱ)の

性 質 を も つ 集 合 の こ と を 改 め てMに

関 す る 概 極 集 合 と 呼 び,"q.e."な

る 言 葉 も こ の 意 味 で 解 釈 す る こ と に し よ う.す [Ⅱ;6]):任

意 の 半 極 集 合 が 概 極 集 合 と な る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Mに

す るq.e.細

連 続 関 数 全 体 の 族 とMに

の よ うにMの る.概

る と 次 の 主 張 が 成 立 す る(著 者

関 す る そ れ と が 一 致 す る こ と で あ る.こ

半 極 集 合 と概 極 集 合 の 関 係 はMの

極 集 合 の 概 念 はS.C.

し て 導 入 さ れ,essentially

Port-C.J. polar

あ る種 の 対 称 性 の 目安 とな

Stone[Ⅱ;1]に

setと

呼 ば れ た.な

除 外 集 合 に 関 す る重 要 な 文 献 で あ る.ま 細 位 相,除

関

た2つ

よ って も加 法 過 程 に 対 おJ.L.

Doob[Ⅱ;3]は

の 標 準 マ ル コ フ過 程 の 正 則 点,

外 集 合 等 を 比 較 す る 問 題 に つ い て,M.

Kanda[Ⅱ;1]の

研究が あ

る.

  第6章 

対称拡散過程

  §6.0  境 界 条 件 を も つ 多 次 元 拡 散 過 程 の 構 成 に つ い て は,確 解 に よ る も の と し てS. てK.

Sato-T.

Watanabe[Ⅱ;3],偏

Ueno[Ⅰ;1]を

微 分 方程 式 の解 に よ る もの と し

あ げ て お く.

  §6.1  定 理6.1.1は著者[Ⅱ;7]に   §6.2  定 理6.2.1(ⅱ)に

率 微 分 方程 式 の

よ る.

於 い てL2(Rn)の

代わ りに 有界可測関数全体の

作 る 空 間 を と っ た 場 合 に つ い て は,K.

Ito[Ⅱ;6,7]に

  定 理6.2.2(ⅰ)の

滑 らか な 境 界 を もつ 領 域 で 内 か ら近 似

し,Greenの Theorem

主 張 は 領 域Dを

公 式 を 使 う こ と に よ っ て も 証 明 で き る(例 3.1参

RαfのD上

照).し

か し そ の 際,吸

えば

著 者[Ⅰ;1],

収壁 ブ ラ ウ ン 運 動 の リ ゾ ル ベ ン ト

で の デ ィ リ ク レ積 分 が 有 限 で あ る こ と を 何 らか の 方 法 で 保 証 し

な け れ ば な ら な い.そ (ⅰ))を

よ る 記 述 が あ る.

の た め に は(6.2.6)とDynkinの

使 っ て 補 題3.3.2に

公 式(補

訴 え れ ば よ い こ と に 注 意 し て お く.微

解 の 導 関 数 の 性 質 を 調 べ た りす る 必 要 は な い わ け で あ る.本 6.2.2(ⅰ)の 必 要 も な く,ま

証 明 は,§5.4の た 定 理6.3.1(ⅱ)の

一 般 論 に 基 づ く も の で,Greenの

題5.3.2 分方程式 の

書 に 於 け る定 理 公式 を使 う

証 明 に そ の ま ま 適 用 で き る も の で あ る.

  §6.3  状 態 空 間 の 拡 張 に よ る デ ィ リ ク レ形 式 の 正 則 化 と い う 立 場 か ら,

Riemann面

の 研 究 で 扱 わ れ て き た 種 々 の 境 界 論 を 見 直 して み る こ と は 確 率 論

的 に 意 味 の あ る こ と で あ ろ う.実

際,定

理6.3.1と

著 者[Ⅰ;1],§8の

結果

に よ り,そ れ は 吸 収 壁 ブ ラ ウ ン 運 動 の 連 続 的 拡 張 で あ っ て 境 界 か ら の デ ィ リ ク レ 形 式 へ の 寄 与 の な い も の の 全 体 を 決 定 す る と い う問 題 に つ な が っ て い る か ら で あ る.な

お 次 の こ と に 注 意 し て お く.(D,L1∩L∞)と(D,L2∩L∞)が

数 環 と し て 同 型 な ら ば,正

則 化 に 伴 う状 態 空 間 の 拡 張D*1とD*2の

量 を 保 存 す る よ う な 準 位 相 的 対 応 が あ る(著 倉 持 境 界 やRoyden境 Cornea[Ⅱ;1],中

井 三 留[Ⅱ;1],M.

そ の 応 用 と して あ げ た 拡 散 測 度 系(6.4.15)に S. Watanabe[Ⅱ;1]に て は,拡

を 参 照 さ れ た い.

理6.4.2は

新 し い も の で あ る.

対 応 す る拡 散 過 程 は,N.

於 い て よ り具 体 的 に 考 察 さ れ て い る.こ

Ikeda-

の文 献 に於 い

散 測 度 系 が ル ベ ー グ 測 度 に 関 して 必 ず し も絶 対 連 続 で な い 対 称 拡 散 過

程 の い くつ か の 例 が 考 察 さ れ,対 (K.

の

Constantinescu-A.

Ohtsuka[Ⅱ;1]等

佐 藤 健 一 氏 に よ る.定

間に は容

者[Ⅰ;2],§2).Riemann面

界 等 の 詳 し い 解 説 に つ い て は,C.

  §6.4  例(1°.c)は

関

Ito[Ⅱ;3],

H.P.

応 す る デ ィ リ ク レ形 式 が 伊 藤 積 分 の 変 換 公 式

McKean[Ⅱ;2])を

使 っ て 計 算 され て い る.

  §6.5  正 則 デ ィ リ ク レ形 式 に 於 け る ス ピ ー ド測 度mの

変 換 と,対

応 す る標

準 マ ル コ フ 過 程 の 加 法 的 汎 関 数 に よ る 時 間 変 更 の 関 係 を 最 初 に 論 じ た の は, M.L.

Silverstein[Ⅰ;1]で

[Ⅱ;1]が

あ る.な

つ い て は,H.P.  

M.L.

あ る.こ

McKean-H.

Silversteinは

Tanaka[Ⅱ;1]とE.B.

更に[Ⅱ;1]に

Hunt[Ⅱ;2],

M.

Dynkin[Ⅱ;2]参

於 い て 消 滅 測 度kと

照.

飛 躍 測 度Φ

の確率

々の 考 え て き た標 準 マ ル コフ過 程 の標 本 路 は 時

ら 出 発 す る も の と し て い る が,こ

た 概 念(G.

Hijikuro

お 多 次 元 ブ ラ ウ ン運 動 の 時 間 変 更 に 関 す る 古 典 的 な 結 果 に

論 的 特 徴 づ け を 論 じ て い る.我 刻0か

れ に 関 連 し た 研 究 と し てK.

の文 献 で は 出発 時 刻 を も ラン ダ ムに し

Weil[Ⅱ;1])が

用 い ら れ て い る.対

称な デ ィ

リ ク レ形 式 を 扱 う際,こ

の よ うに マ ル コ フ 過 程 を 時 間 的 に も対 称 化 す る こ と は

自 然 な こ と で あ ろ う.な

お 推 移 関 数 の 空 間 的 対 称 性 と マ ル コ フ過 程 の 時 間 的 可

逆 性 の 関 係 を 最 初 に 論 じ た の はA.  

Kolmogorov[Ⅱ;4]で

あ る.

1次 元 拡 散 過 程 の ディ リ ク レ形 式 に よ る構 成 は 著 者[Ⅱ;4]に

よ る.

文献そ の Ⅱ

R.M.Blumenthal  

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[Ⅱ;1] 

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motions

for

hounded

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Dirichlet

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and

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rings,Proc.Japan

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433-436.  [Ⅱ;3] 

Regular

representations

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Dirichlet

spaces,Trans.Am.Math.Soc.,155

(1971),455-473.   [Ⅱ;4] 

On

transition

Math.Kyoto   [Ⅱ;5] 

probabilities

of

symmetric

On

the

Japan-USSR

generation

of

symp.on

Markov

processes

probability

Almost

polar

sets

by

Markov

symmetric

theory,Lecture

Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg-New  [Ⅱ;6] 

strong

processes,J.

Univ.,12(1972),431-450.

Notes

forms,Proc.2nd in

Math.,vol.330,

York,1973. 

and

an

ergodic

theorem,J.Math.Soc.Japan,26(1974),

17-32.  [Ⅱ;7] 

Local

property

of

Dirichlet

Wahrscheinlichkeitstheorie

forms

and

continuity

of

sample

paths,Z.

verw.Gebiete,29(1974),1-6.

K.Hijikuro  [Ⅱ;1]  of

On

the

a

regularity

Tokyo

of

Kyoiku

quasi-everywhere

excessive

functions,Science

reports

Daigaku,Sec.A,12,No.319(1972),40-45.

G.A.Hunt  [Ⅱ;1] 

Markoff

processes

and

potentials Ⅰ,Ⅱ

and Ⅲ,Illinois J.Math.,1(1957),

44-93;1(1957),316-369;2(1958),151-213.  [Ⅱ;2] 

Markov

chains

and

Martin

boundaries,Illinois

J.Math.,4(1960),313-

340.  [Ⅱ;3]  N.Ikeda [Ⅱ;1]  2nd

Martingales and

et

processus

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S.Watanabe 

The

local

structure

Japan-USSR

of

symp.on

a

class

of

probability

Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg-New

diffusions

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related Notes

problems,Proc. in

Math.,vol.330,

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K.Ito  [Ⅱ;1] 

On

stochastic

processes(Ⅰ)(infinitely

divisible laws

of

probability),Jap.

J.Math.,18(1942),261-301.  [Ⅱ;2]    [Ⅱ;3] 

Stochastic On

a formula

integral,Proc.Imperial concerning

stochastic

Acad.,Tokyo

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differentials,Nagoya Math

J.,3(1951),

 

  55-65. [Ⅱ;4] 

On

stochastic

  [Ⅱ;5] 

確 率 論,岩

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S.Kakutani   [Ⅱ;1] 

On

  [Ⅱ;2] 

Two-dimensional

Brownian

motion

in

n-space,Proc.Acad.Japan,20(1944),648-652.

Brownian

motion

and

harmonic

functions,Proc.Acad.

Japan,20(1944),706-714. M.Kanda   [Ⅱ;1] 

Comparison

processes

of

theorems

transient

on

regular

type,Nagoya

points

for

multidimensional

Math.J.,44(1971),165-214.

F.Knight   [Ⅱ;1] 

Note

on

regularization

of

Markov

processes,Illinois

J.Math.,9(1965),

548-552. A.Kolmogorov  [Ⅱ;1] 

Uber

die

analytischen

Methoden

in

der

Wahrscheinlichkeitsrechnung,

Math.Ann.,104(1931),415-458.   [Ⅱ;2] 

Zur

Theorie

der

stetigen

zufalligen

Prozesse.,Math.Ann.,108(1933),

149-160.  [Ⅱ;3]  Berlin

Grundbegriffe 1933,確

  [Ⅱ;4] 

Zur

  [Ⅱ;5] 

Zur

der

Wahrscheinlichkeitsrechnung,Ergebn.Math.,2,No.3,

率 論 の 基 礎 概 念,根

Theorie

der

Markoffsche

Umkehrbarkeit

der

本 伸 一,一

条 洋 訳,東

京

図 書.

Ketten,Math.Ann.112(1935),155-160.

statistischen

Naturgesetze,Math.Ann.,113(1936),

766-772. H.Kunita   [Ⅱ;1]  H.Kunita

and On and

S.Watanabe square

integrable

T.Watanabe

martingales,Nagoya

Math.J.,30(1967),209-245.

Markov

 

[Ⅱ;1]  Fifth

Some

theorems

Berkeley

concerning

resolvents

over

Symp.Math.Statist.and

locally

Probability

compact

spaces,Proc.

vol. Ⅱ,  Berkeley,1967,

131-164. P.Levy   [Ⅱ;1] 

Theorie

de l'addition

des

variables

aleatoires,Gauthier-Villars,Paris,

1937. H.P.McKean,Jr.   [Ⅱ;1] 

Elementary

solutions

for

certain

parabolic

partial

differential

equations,

Trans.Am.Math.Soc.,82(1956),519-548.   [Ⅱ;2] 

Stochastic

H.P.McKean   [Ⅱ;1] 

integrals,Academic

Jr.and

Press,New

York-London,1969.

H.Tanaka

Additive

functionals

of

the

Brownian

path.,Memoirs

Coll.Sci.Univ.

Kyoto,A.Math.,33(1961),479-506. P.A.Meyer   [Ⅱ;1] 

Fonctionnelles

multiplicatives

et additives

de

Markov,Ann.Inst.Fourier,

12(1962),125-230.   [Ⅱ;2] 

Processus

de

Markov,Lecture

Berlin-Heidelberg-New M.Motoo

and

  [Ⅱ;1] 

On

Notes

in

Math.,vol.26,Springer-Verlag,

York,1967.

S.Watanabe a

class

of

additive

functionals

of

Markov

processes,J.Math.Kyoto

Univ.,41(1965),429-469.

中井三留   [Ⅱ;1] 

Riemann面

に お け る 関 数 環 の 方 法 に つ い て,数

学13(1962),128-140.

M.Ohtsuka  

[Ⅱ;1] 

An

elementary

Univ.Ser.A-I S.C.Port  

[Ⅱ;1] 

and

introduction

of

Kuramochi

boundary,J.Sci.Hiroshima

Math.,28(1964),271-299. C.J.Stone

Infinitely

divisible

processes

and

their

potential

theory,Ann.Inst.Fourier,

21(1971),157-275. D.Ray   [Ⅱ;1] 

Resolvents,transition

Math.,70(1959),43-72. M.L.Silverstein

functions,and

strongly

Markovian

processes,Ann.

 [Ⅱ;1] 

Symmetric

Markov

processes,Lecture

Verlag,Berlin-Heidelberg-New

Notes

in

Math.,vol.426,Springer

York,1974.

M.Takano   [Ⅱ;1] 

On

a

fine

capacity

related

to

a

symmetric

Markov

process,Proc.Japan

Acad.,48(1972),599-602. S.Watanabe  [Ⅱ;1] 

On

stable

processes

with

boundary

conditions,J,Math.Soc.Japan

14

(1962),170-198.   [Ⅱ;2] 

On

discontinuous

process,Japanese  [Ⅱ;3]  cesses

On

stochastic

with

additive

functionals

and

Levy

measures

of

a

Markov

J.Math.,34(1964),53-70. differential

boundary

equations

for

multi-dimensional

conditions,J.Math｡Kyoto

diffusion

pro

Univ.11(1971),169-180.

M.Weil  [Ⅱ;1] 

Quasi-processus,Seminaire

vol.124,Springer

de

Probabilites

Verlag,Berlin-Heidelberg-New

IV,Lecture

Notes

in

Math.,

York,1970.

H.Weyl   [Ⅱ;1] 

The

method

of

orthogonal

projection

in

potential

theory,Duke

Math.J.,

7(1940),414-444. A.D.Wentzell  [Ⅱ;1] 

On

generalized

absolute Brownian

continuity

of

transition

motions,.Teor.Veroyatnost

probabilities

of

multi-dimensional

i Primenen.,13(1968),3-16.

補

足

 §0.1  積 分   (a)    fが

可 測 性 に関 す る記 号 と注 意 可 測 空 間(E1,B1)か

ら 可 測 空 間(E2,B2)へ

即 ちf-1(B)∈B1,∀B∈B2,が

成 立 す る と きf∈B1/B2と

[-∞,∞],B2がE2のBorel集 にfが

合 の 全 体 の と き は,単

有 界 の と き はf∈bB1と

を,xがAに A∈B1と

書 か れ る.A⊂E1に

属 す と き1,そ い う条 件 は,上

の 他 の と き0,と

る もの が存 在 す る こ と で

と 記 す.Bμ

は σ-加 法 族 で あ り,μ

れ を 再 び μ と書 く.f∈Bμ

sally

はBの

  確 率空 間(Ω,F,P)を

set)と

測 度 が1に

の 確 率 測 度 の 全 体 をp(E,B)と 元 は(E,B)上

等 しい し

の 普 遍 可 測 集 合(univer

呼 ば れ る.

考 え よ う.即

ちPは

で あ る.Г ⊂ Ω が 外 測 度1で

あ る と は,Г

=1を

の と きP*(Г)=1と

満 た す こ と で あ る .こ

の 族Uで

へ

な るた め の必 要 十 分 条 件 は

μ に 関 す る 完 備 化 と い わ れ る.全

Bμ と お く.B*の

measurable

はBμ

な る ものが 存 在 す る

測 度 を 確 率 測 度 と い う.(E,B)上  

書 く.更

記 さ れ る わ け で あ る.

f1,f2∈Bでf1≦f≦f2,  こ と で あ る.Bμ

にf∈B1と

μ-可 測 で あ る と は,適

当 なB1,B2∈BでB1⊂A⊂B2,μ(B2-B1)=0な

自 然 に 拡 張 さ れ る.そ

にE2=

お く こ と に よ っ て 定 義 す る と,

の 測 度 とす る.A⊂Eが

測 集 合 の 全 体 をBμ

記 す.特

対 しそ の 特 性 関 数IA(x)

の 記 号 に よ れ ばIA∈B1と

  μ を 可 測 空 間(E,B)上

あ る.μ-可

の 可 測 写 像 で あ る と き,

可 測 空 間(Ω,F)上

⊂ Λ,Λ ∈F,な

の確率測度

る 任 意 の Λ がP(Λ)

表 わ す.い

ま Ω の部 分 集 合

次 の 性 質 を もつ も の が 与 え られ た と す る:  こ の と きFとUを

含 む 最 小 の σ-加法 族LをMと

お く

と,PはM上 る1).こ

の 確 率 測 度 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ,P(Г)=1,∀ の よ う な(F,P)の

Г ∈U,が

成立す

拡 張 は 完 備 化 と共 に 確 率 論 で よ く用 い ら れ る操 作

で あ る.   (b) 

単 調族 定理

  集 合 Ω の 部 分 集 合 の 族Oが,(ⅰ)Ω を 満 た す と き,Oを

∈O,(ⅱ)A,B∈O⇒A∩B∈O

乗 法 族 と い う.集

合 族DがDynkin族

(ⅰ)A,B∈D,A⊂B⇒B-A∈D, 

で あ る と は,

(ⅱ)An∈D, 

が 満 た さ れ る こ と で あ る.   定 理0.1.12) 

乗 法 族Oを

含 む 最 小 のDynkin族

は,Oか

ら生 成 さ れ る σ-

加 法 族 と一 致 す る.

 一 般 に 定 理0 .1.1に 訴 え て得 られ る以 下 の型 の定 理 を単 調 族 定 理 と呼 ぶ.   定 理0.1.2 

位 相 空 間Xと

の 実 数 値 関 数 の 族Hが

そ の 上 の 測 度mを

f1,f2∈H.c1f+c2f≧0(c1,c2は

 (H.2) 

fn∈H+3),fn↑f∈L2(X:m)⇒f∈H,

任 意 の 開 集 合A⊂Xに

こ の と きHはL2(X;m)に

定 数)⇒c1f+c2f∈H,

対 し て,∃fn∈H+,fn↑IA. 属 す 全 て の 非 負Borel可

  証 明   コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 開 集 合E⊂Xを Borel集

合 でIA∈H}と

分 集 合 を 含 む.更 る か ら,定

で 任 意 の 非 負Borel可 列fnを

作 り,ま

考 え,D={A⊂E;Aは

お く.(H.2)と(H.3)よ

りDはEの

分 集 合 全 体 と 一 致 す る.そ

測 関 数f∈L2(X;m)に

たKn↑Xな

1)  P.A.

Meyer[Ⅰ;1],Ⅱ,T27参

2)  E.B.

Dynkin[Ⅱ;1]Lemma

対 し,fn↑fな

る コ ン パ ク ト集 合 列Knを っ て(H.2)よ

りf∈H.(証

終)

照. 1.1ま

た はR.M.

Blumenthal-R.K.

属 す 元 で 非 負 な も の の 全 体 をH+と

書 く.

こ

る非 負単 関数

選 ん でgn=fn･IKn

照.

3)  一 般 に 関 数 族Hに

全 て の開 部

である こと を意 味 す

り,DはEのBorel部

と お く と,gn∈H,gn↑f.従

1] (2.2)参

測 関 数 を 含 む.

に(H.1),(H.2)はDがDynkin族

理0.1.1よ

通 り と す る.X上

次 の 条 件 を 満 た す とす る:

 (H.1) 

  (H.3) 

§1.1の

Getoor[Ⅱ;

  (c) 

Daniell積

  集 合E上

分

の 実 数 値 有 界 関 数 の 集 合Lが

実 線 型 空 間 で あ っ て,且

つu,υ

次 の 条 件 を 満 た す と す る:Lは

∈L⇒u∨

υ,u∧ υ,u∧1∈L.L上

の実 線

のDaniell積

対 して

型 汎 関 数Iが   正 値 性:u∈L,u≧0⇒I(u)≧0,   連 続 性:un∈L,un↓0⇒I(un)→0, を 満 た す と き,IをDaniell積

分 と い う.L上

は,Lか

合 族Ba上

ら 生 成 さ れ るBaire集

が 成 立 す る1).但

しA∈Baと

の測 度

はIAがLを

分Iに

μ が一意的に存在 し

含 む 最 小 の単 調族 に属 す る こ と

で あ る.

  (d)  Radon測

度

  位 相 空 間Xお る.C0(X)上

よびX上

の正 値 線 型 汎関 数Iは

積 分 で あ る.Iま Radon測

の連 続 関 数 族C0(X),C∞(X)を

た はIの

定 め る測 度 を特 に正 のRadon測

度 とい う.X上

あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は,μ ク ト集 合Kに

対 し μ(K)が

  定 理0.1.3 

がBorel集

(ⅰ)  LをC∞(X)の

度 という.正

の

の線 型 汎 関数(ま た は 加 法 的 集 の測 度 μ が,正

のRadon測

度で

合 族 上 の測 度 で且 つ 任 意 の コ ンパ

稠 密 線 型 部 分 空 間 で,(c)に のDaniell積

分 の 定 め る 測 度 はX上

於 け る条 の正 の

度 で あ る.

  (ⅱ)  LをC0(X)の ま た 次 の(α),(β)の の コ ン パ ク ト集 合Kに 任 意 の ε>0に 1) 

ってDaniell

有 限 な こ とで あ る.

件 を 満 た す も の とす る と き,L上 Radon測

連 続 性 の 条 件 を 満 た し,従

度 の 差 と して も表 わ され るC0(X)上

合 関 数)を 単 にRadon測

§1.1の 通 りとす

L.H.

稠 密 線 型 部 分 空 間 で 積 に 関 し て 閉 じ て い る も の とす る. ど ち らか 一 方 の 条 件 が 満 た さ れ て い る とす る:(α)任 対 し,u(x)=1,x∈K,な

対 し(1.1.5)を

Loomis[Ⅰ;1]参

るu∈Lが

意

存 在 す る.(β)

満 た す 実 変 数 関 数 φε(t)が 存 在 し て φε(u)∈ 照 .

L,∀u∈L.こ

の と きL上

の 正 値 線 型 汎 関 数 は 正 のRadon測

度 に一 意 的 に

拡 張 さ れ る.   証 明   (ⅰ)  u∈C∞(x)に

一 様 収 束 す るun∈Lが

 だ か ら,uはLを の 生 成 す るBaire集 Kに

対 し,K上

合 族 はBorel集 で1よ

選 べ る が,こ

の と き

含 む 最 小 の 単 調 族 に 属す.故 合 族 で あ る.ま

にL

た 任 意 の コ ン パ ク ト集 合

り小 さ くな い 非 負 関 数w∈Lが

存 在 す る か ら μ(K)

≦I(w)<∞.   (ⅱ)  (β)が 満 た され る場 合 の 証 明 を 与 え よ う.任

意 の コ ン パ ク ト集 合K

に 対 し,K上

存 在 す る.し

で1よ

supp[υ]⊂Kな C0(X)を

り小 さ くな い 非 負 関 数wK∈Lが

ら不 等 式￨I(υ)￨≦‖ υ‖ ∞・I(wK)が 成 立 す る.従

 と お く こ と に よ っ てC0(X)上

型 汎 関数 を一 意 に定 め る こ とが 可能 で あ る.と υn∈Lを

はuに

  (e)    X上

っ て 任 意 のu∈

台 が 共 通 の コ ンパ ク ト集 合 に 含 ま れ る よ うな 関 数 列 υn∈Lに

一 様 近 似 で きれ ば ,

す る

か も υ∈L,

 と お け ば,明

選 び,K′=supp[u],

一 様 収 束 しsupp[υn]⊂supp[wK′]. 

Radon測

の正 値 線

一様収束 ら か に υn

(証 終)

度 列 の収 束

のRadon測

vergence)す

こ ろでu∈C0(X)に

よって

度 の 列 μnが

あ るRadon測

度 μ に 漠 収 束(vague

con

る とは

が 成 立 す る こ と で あ る.   定 理0.1.4 

X上

のRadon測

度 列 μnに 対 して,任

で μnの 全 変 分 が 一 様 有 界 な らば,適 Radon測   (f) 

当 な 部 分 列nκ

意 の コ ン パ ク ト集 合 上 が 存 在 して

μnκは あ る

度 に 漠 収 束 す る. R1上

  J=(r1,r2)を

のRadon測

有 限 ま た は 無 限 の1次

有 界 閉 部 分 区 間 で)有 上 のRadon測

度 元 区 間 と す る.J上

界 変 動 な 関 数 は,Riemann-Stieltjes積

度 を 一 意 的 に 定 め る.こ

れ をduと

か く.特

で 局 所 的 に(即

ち各

分 に よ っ てJ にJ上

の局 所 可 積

分 関 数fが

あ っ てdu=fdxと

書 け る と き,即

ち

(0.1.1) が 常 に 成 立 す る と き,uは

絶 対 連 続 関 数 と い わ れ,fはdu/d

か れ る.実 際 この と きUは 成 立す る.J上

た はu′

連 続 で あ り,

の絶 対 連 続 関 数uとR1上

φ(u)は またJ上

xま

と書  が

の絶 対 連 続 関 数 φ との合 成 関 数

で絶 対 連 続 で

(0.1.2)  J上 の局 所 的 に有 界変 動 な関 数u,υ 次 の 部 分積 分 の公 式 が成 立 す る1).

の うち 少 な く と も一 方 が 連 続 な らば,

(0.1.3)

 定 理0.1.5 

uをJ上

この と き,uが

あ る局 所 有 界変 動 関 数uに

の局 所 可積 分関 数,υ

を局 所 有 界 変 動 関 数 と す る.

殆 ん どい た る所 等 し く且 つdu=dυ

とな るた め の必 要 十 分 条 件 は

(0.1.4) 特 に連続関数uと

局所可積分関数fに

対し

(0.1.5) が 成 立 す る と き は,uは

絶 対 連 続 で あ っ て,u′=fが

  この定 理 は公 式(0.1.3)と

成 立 す る.

以 下 の注 意 か ら導 か れ る こ とで あ る:J上

の局

所 可積 分 関 数 が あ る定 数 に 殆 ん どい た る所 で 等 しい た め の 必要 十 分 条 件 は,任 意 の φ∈C∞0(J)に  (g) 

Weylの

 (0.1.5)に

 が成 立 す る こ とで あ る.

対 して 補題

於 い てuを

1)  伊 藤 清 三[Ⅰ;1]定

局 所 可 積 分,fを 理20.2参

照.

連 続 とす れ ば,uは

あ る微 分 可 能

な 関 数uに

殆 ん ど い た る 所 で 等 し く,u′(x)=f(x),x∈J,が

よ う に 方 程 式 の 弱 い 意 味 の 解 がa.e.に

成 立 す る.こ

の

修 正 す れ ば 真 の解 に な る とい う 型 の 定

理 は 多 次 元 の 場 合 に 詳 し く調 べ られ て い て,以

下 に 述 べ るWeylの

補 題 はそ

の 特 別 な も の に あ た る:

  Dをn次 D上

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnの

開 集 合 と し,λ

で無 限 回 微分 可 能 な関 数 とす る.D上

を任 意 の実 数,fを

で局 所 的 に可 積 分 な関 数uが,方

程式

(0.1.6)

 Δu+λu=f

を超 関 数 の意 味 で 満 た す とす る.即 ち

こ の と きu=u D上

a.e.(D)な

で(0.1.6)を

る 無 限 回 微 分 可 能 な 関 数uが

存 在 し て,uは

普 通 の 意 味 で 満 た す.

  §0.2  容 量(capacity)   (a)    Fを

F-解

析 集 合(F-analytic

抽 象 集 合 と す る.こ

と し て お く.Fの 分)と

set)

の 節 で 扱 う部 分 集 合 族 は 常 に 空 集 合 φ を 含 む も の

部 分 集 合 族Fに

対 し て,Fの

し て 表 わ さ れ る 集 合 の 全 体 をFσ(Fδ)と

の 任 意 の 部 分 族(可

算 部 分 族)で

を 有 す る と き,Fは (i=1,2)の

対 し て,直

をF1×F2={A1×A2;Ai∈Fi,i=1,2}に   さ てFと る と は,準

そ の 部 分 集 合 族Fが コ ン パ ク ト族Oを

あ る 部 分 集 合B∈(O×F)σ こ と で あ る.F-解   定 理0.2.11)  1) 

P.A.

δ=(Fσ)δ と お く.F

コ ンパ ク ト族)と

呼 ば れ る.集

積 集 合F1×F2の

部 分 集 合 族F1×F2

与 え られ た と き,A⊂FがF-解 備 え た あ る補 助 的 集 合Cと,積

δが 存 在 し て,AがBのF上 書 く.

F⊂A(F).

Meyer[Ⅰ;1],Ⅲ,T8,T9,T12参

合Fi

よ って定 義す る 。

析 集 合 の 全 体 をA(F)と (i) 

書 く.Fσ

通部

有 限 交 叉 性 を もつ の は 必 ず 空 で な い 共 通 部 分

コ ン パ ク ト族(準

部 分 集 合 族Fiに

元 の 可 算 個 の 合 併(共

照.

析集合 であ 集 合C×Fの へ の 射影 に 等 しい

  (ⅱ)  Fの

元 の 補 集 合 が 常 にA(F)に

完 全 加 法 族B(F)を

生成す る

含 む.

  (ⅲ)  FiをFi(i=1,2)の と す る.こ

属 す な ら,A(F)はFの

部 分 集 合 族 と し,F1は

の と き 任 意 のA′ ∈A(F1×F2)のF2へ

準 コ ン パ ク ト族 で あ る の 射 影AはA(F2)に

属

す.   (b) 

F-容

  集 合Fと

量 そ の 部 分 集 合 族FでA,B∈F⇒A∪B,A∩B∈F,を

も の が 与 え ら れ た とす る.Fの の 値 を と る 集 合 関 数Iが

満 たす

全 て の部 分 集 合 に対 して定

成次 の3条

さ れ た[-∞,∞]

件 を 満 た す と き,IをF上

のChoquet

F-

容 量 と呼 ぶ.   (α)  Iは

単 調 非 減 少:A⊃B⇒I(A)≧I(B).

 (β)  (γ) こ の と き,A⊂FがIに

関 して 可 容(capacitable)で

あ る とい うの は

(0.2.1) が 満 た さ れ る こ と で あ る.   定 理0.2.21)  はIに

IをF上

のChoquetF-容

意 のF-解

析 集合

関 し可 容 で あ る.

  特 別 な 場 合 と し て,Xを 全 体 と す る と き,X上 と 呼 ば れ る.こ 的 で あ り,従

§1.1の

 (c) 

位 相 空 間,FをXの

のChoquetF-容

の と き定 理0.2.1に っ て 上 の 定 理 に よ りIに

(0.2.2)

量Iは よ り,任

単 にX上

コ ン パ ク ト集 合 の のChoquet容

意 のBorel集

関 し可 容 で あ る.即

合A⊂Xは

量 解析

ち

B:compact

Choquet容

  定 理0.2.3§1.1の 1) 

量 とす れ ば,任

P.A.

量 の構 成 位 相 空 間Xの

Meyer[I;1],Ⅲ,T19参

開 部 分 集 合 の 全 体 をOで 照 .

表 わ す.O上

で 定 義 され[0,∞]の

値 を と る 集 合 関 数Iが

(0.2.3) 

単 調 非 減 少,

(0.2.4) 

I(A∪B)+I(A∩B)≦I(A)+I(B), 

A,B∈O,

(0.2.5) を 満 た す と す る.こ

の と き,任

意 のA⊂Xに

対 し

(0.2.6) と お い て 得 ら れ る 集 合 関 数I*は,X上 拡 張 で あ り,ま   証 明   I*の

のChoquet容

量 で あ る.I*はIの

た 可 算 劣 加 法 的 で あ る. 単 調 性(α),劣

加 法 性 お よ びI*がIの

か ら 明 ら か で あ る.O0={A∈O;I(A)<∞}と   先 ずAm⊂Bm,Am,Bm∈O0に

拡 張 で あ る こ と は定 義

お く.

対 し

(0.2.7) が 成 立 す る こ とに 注 意 す る.実

際(0.2.4)よ

(B2∪A1))≦I(B1)+I(B2∩A1).単 I(B2∪A1).同

りI(B1∪(B2∪A1))+I(B1∩

調 性 よ りI(B1∪B2)+I(A1)≦I(B1)+

様 にI(B2∪A1)+I(A2)≦I(B2)+I(A1∪A2).こ

の不 等 式 を このよ う

加 え る こ と に よ り  に し てn=2の

場 合 が 得 ら れ る.一

 次 に 性 質(β)を と き に, 

示 す.An↑

般 の 場合 も 同 様 で あ る.

と し 

の

と お く. 

を 導 け ば 十 分 で あ る.∀

ε>0,∃On∈O0,An⊂

この と き

On, 

(0.2.8) ま たm≦nな

だ か ら,

ら   従

っ て(0.2.7)よ

り 

故に

(0.2.9) い ま 

と お く とO∈O,O⊃Aだ

か ら(0.2.5)よ

こ れ と(0.2.8),(0.2.9)よ

り, 

を得

り 

る.

  性 質(γ)を

示 す た め に,Anが

コ ン パ ク トでAn↓

の と き, 

と仮 定 す る. 

を い え ば よ い.∀

と ころ が この と き,あ

ε>0,∃O∈O0, 

る番 号 か ら先 のAnはO

に 含 まれ て し ま う.   I*の   (d) 

可 算 劣 加 法 性 は,そ

の 劣 加 法 性 と性 質(β)か

(Ω,F,P)を

完 備 な 確 率 空 間 とす る.Fの

B∈G⇒A∪B,A∩B∈G,を

 証 明   任 意 の集 合A⊂

  特 にXを

§1.1の

同 様 に し て 示 さ れ る.特 即 ち∃B′

か らA∈F.(証 も の,B(X)は

ン パ ク ト集 合 の 全 体 をKと B*(X)に

あ る. P(C)と

Ω に 対 し, 

I*-可 容 だ か ら  ⊂C′,P(C′-B′)=0.だ

部 分 族Gが,A,

満 た す な ら,A(G)⊂Fで

量 と な る こ と が 定 理0.2.3と

お く と,I*が にA∈A(G)は

∈Gδ σ,∃C′ ∈Gσδ,B′ ⊂A

終) そ のBorel集

す れ ば,任

意 のK-解

合 族 とす る と き,Xの

コ

析 集 合 は普 遍 可 測 集 合 族

属 す こ と が わ か る.

  §0.3  確 率 過 程(stochastic   (a) 

終)

解析 集 合 の 可測 性

  定 理0.2.4 

G-容

ら導 か れ る.(証

process)

確率過程の同値性

  (Ω,F,P)を

確 率 空 間,(E,B)を

各t∈Tに

対 し て Ω か らEへ

t∈T}を

確 率 過 程 と 呼 び,TをXの

空 間(state

space)と

可 測 空 間,そ の 写 像Xt∈F/Bが

し てTを

抽 象 集 合 と す る.

与 え ら れ た と きX={Xt;

パ ラ メ タ ー 集 合,(E,B)をXの

い う.また(Ω,F)はXの

基 礎 空 間(base

状態 space)

と 呼 ば れ る.本 Tを

書 で はTが[0,∞]か

時 刻 集 合(time

set)と

へ の 関 数t→Xt(ω)を   同 じ 時 刻 集 合Tと

ま た は そ の 部 分 集 合 の 場 合 の み を 扱 い,

い う.そ

し て,各

ω∈ Ω に 対 し て,Tか

ω の 標 本 路(sample 同 じ状 態 空 間(E,B)を

path)と もつ2つ

呼 ぶ.

の 確 率 過 程 は,そ

の 有 限 次 元 分 布 が 一 致 す る と き に 同 値 で あ る と い わ れ る.即 過 程(Ω,F,P,(Xt)t∈T)と(Ω′,F′,P′,(X′t)t∈T)が

らE

れ ら

ち こ の よ うな 確 率

同 値 で あ る と はP(Xt1

∈A1,Xt2∈A2,…,Xtn∈An)=P′(X′t1∈A1,X′t2∈A2,…,X′tn∈An)が のt1,t2,…,tn∈T,A1,A2,…,An∈B,に   確 率 過 程 は,時 的 現 象x∈Eの

刻t∈Tの

対 し て 成 立 す る こ とで あ る.

経 過 と 共 に 一定 の 確 率 法 則 に 従 っ て 変 動 す る 物 理

数 学 的 模型 で あ る.し

し て 観 測 し う る の は,せ

か し我 々 が 物 理 的現象

られ た と き,そ

の 類 の な か か らで き る だ け 数 学 的 に 扱 い や す い 代 表 を 選

程 の 研 究 に 於 け る重 要 な テ ー マ の 一 つ な の で あ る."数 の 資 格 と して 本 書 で 特 に 関 心 を も つ 条 件 は,標 え ば 右 連 続 性,連

続 性)と,次

る 数 学 的 解 析 を 可 能 に す る と い う2点   (b) 

停 止 時 刻(stopping

  (Ω,B)を

こで 有 限

れ に 従 う確 率 過 程 は み な 同 じ 類 に 属

ん だ り構 成 し た りす る と い うの が 我 々 の 立 場 で あ る.実

こ と(例

か ら確 率 法 則 と

い ぜ い そ の 有 限 次 元 確 率 分 布 で しか な い.そ

次元 分 布 と い う資 料 が与え す と み な し た 上 で,そ

全 て

際,構

成問題は確率過

学 的 に 扱 い や す い 代 表"

本 路 が で き る だ け 滑 らか で あ る

に 述べ る よ うな ラ ンダ ム な時 刻 に 関 す で あ る.

time)

可 測 空間,{Ft}をt∈[0,∞)を

パ ラ メ ー タ とす るFの

加 法 族 の 集 ま りで,s≦t⇒Fs⊂Ft,を

満 た す も の と す る.(Ω,F)上

[0,∞]の

関 す る)停

値 を と る 可 測 関 数 σ が((Ft)に

(0.3.1) 

{σ≦t}∈Ft, 

部 分 σの

止時 刻 で あ る とは

∀t∈[0,∞)

が 成 立 す る こ とで あ る.   停 止 時 刻 σ に対 して (0.3.2) Fσ={Λ と お く と,こ

∈F;Λ

∩{σ≦t}∈Ft,∀t∈[0,∞)}

れ は σ-加法 族 で あ る.特

  直 観 的 に い え ば,Ftは

に σ が 定 数s≧0の

あ る ラ ン ダ ム な 物 理 過 程 の 時 刻tま

と き はFσ=Fs. で の情 報 を全 て

含 む もの で あ り,σ は そ の物 理 過 程 に関 連 した あ る ラ ン ダ ムな現 象 が起 こる時 刻 と考え て よい.そ の現 象 が 時 刻tま で に起 き るか 起 きな い か は,物 理 過 程 の tま で の情 報 のみ で 定 ま る とい う要 請 が(0 .3.1)で   各t≧0に

対 し 

と お き,Ft=Ft+,∀t∈[0,∞),の

を 右 連 続 と い う.{Ft}が

と き{Ft}

右 連 続 な ら条 件(0.3.1)を

(0.3.3) 

{σ
∀t∈(0,∞)

な る よ り弱 い 条 件 に お き か え る こ と が で き る.次   定 理0.3.1 

あ る.

の 定 理 の 証 明 は 容 易 で あ る.

(ⅰ)  σ1,σ2が 停 止 時 刻 な ら σ1∨σ2,σ1∧σ2も 停 止 時 刻.停

止

時 刻 の 単 調 増 加 列 の 極 限 は ま た 停 止 時 刻.   (ⅱ)  停 止 時 刻 σ はFσ-可

測.

とお く と各 σnは

  (ⅲ)  σ を 停 止 時 刻 とす る.  停 止 時 刻 で σn↓σ.   (ⅳ)  {Ft}が

右 連 続 とす る.停

止 時 刻 σnが 減 少 して σ に 収 束 す れ ば,σ

も停止時刻で   (c)    Eを

右連 続 な確 率 過 程 の 性 質 任 意 のHausdorff位

相 空 間,Bを

そ のBorel集

合 の 全 体B(E)と

る.(E,B)を

状 態 空 間 とす る 確 率 過 程X=(Ω,F,P,(Xt)t∈[0,∞])が

で あ る と は,任

意 の ω∈ Ω に 対 して そ の 標 本 路t→Xt(ω)(∈E)が

続 な こ と で あ る.ま

たFの

部 分 σ-加法 族Ft,t∈[0,∞),の

於 け る 単 調 性 の 条 件 を 満 た す も の が 与 え ら れ た と き,確 適 合 し て い る(adapted)と

は,Xt∈Ft/B,∀t∈[0,∞),が

す 右連 続 右連

集 合 で(b)に 率 過 程Xが{Ft}に 成 立 す る こ とで あ

る.   定 理0.3.2 

{Ft}は

右 連 続 と し,{Ft}に

{Xt}t∈[0,∞)が 与 え ら れ た とす る.こ

適 合 した右 連 続 な確 率過 程

の と き σ を 任 意 の 停 止 時 刻 とす れ ば,Xσ

∈Fσ/B.   証 明   σ に 対 して,定

理0.3.1の

標 本 路 の 右 連 続 性 よ りXσn→Xσ

σnを と る と σn↓σ且 つ  で あ る が, 

これ はXσn∈Fσn/Bを意味

∀t∈[0,∞),∀B∈B. か ら,Xσn∈Fσm/B,∀m≦n.従 得 ら れ る.(証

  次 にBorel集

っ てXσ

∈Fσm/B,∀m.こ

する

れ か ら 定 理 の結 論 が

終)

合B∈Bに

対 す る 標 本 路 の2種

類 の 到 達 時 刻(hitting 

time)

σB,σ′Bを inf{t>0;Xt(ω)∈B},{  (0.3.4) 

σB(ω)={

(0.3.4)′

  σ′B(ω)={

}内

∞, 

が 空 で な い と き,

そ の 他 の と き,

inf{t≧0;Xt(ω)∈B},{ 

}内

∞, 

が 空 で な い と き,

そ の他の とき

に よ って定 義 す る.   も し{Ft}が

右 連 続 で標 本路 も右 連 続 な らば,開

集 合Bへ

の 到 達 時 刻 σB

は 停 止 時 刻 で あ る.明ら か に が成 で あ る.更 にFtが

立 す るか ら

完 備 で あ れ ば,こ

の事 情 は 一 般 のB∈Bに

対 して も成 立

す る こ とが 証 明 で き る.   定 理0.3.3 

{Ft}に

適 合 し た 右 連 続 な 確 率 過 程(Ω,F,P,(Xt)t∈[0,∞))が

与 え ら れ た とす る.各FtはPに ∈Bに

関 し て 完 備 で あ る と 仮 定 す る と,任

対 し て{σB0.従

のBorel集合

っ て 更 に{Ft}が

右 連 続 な ら ば,任

意

へ の 到 達 時 刻 は 停 止 時 刻 で あ る.σ′Bに つ い て も 同 様 で あ る.

  証 明   適 合 性 の 条 件Xt∈Ft/Bよ 意 す る.[0,t]のBorel集

り も っ と強 く次 の こ と が い え る こ と に 注

合 の 全 体 をRtと

×Ω 上 の 直 積 σ-加法 族 をRt Ftと れ る よ うに,各t≧0に →Xu(ω)を

対 し,直

お く.標

対 しΛt={σB
示 す た め に は 定 理0.2.4よ

え ば 十 分 で あ る.と

書 き,RtとFtに

よ る[0,t]

本 路 の右 連 続性 か ら容 易 に 導 か

積 集 合[0,t]×

考 え る と こ れ はRt Ft/Bに

  い まB∈Bに Λt∈Ftを

意 のB

Ω か らEへ

の 写 像(u,ω)

属 す. お く.FtはPに り,ΛtがFt-解

関 し て 完備 だ か ら, 析集合で あることをい

こ ろ がΛtはΓt={(u,ω)∈[0,t)×Ω;Xu(ω)∈B}の

Ω 上 へ の 射 影 で あ り,ま

た上 の 注 意 に よ りΓt∈Rt Ft.一

方,定

理0.2.1

(ⅱ)に

よ りRt Ftは(Kt×Ft)-解

但 しKtは[0,t]の

析 集 合 の 全 体A(Kt×Ft)に含

コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 全 体.即

っ て 定 理0.2.1(ⅲ)よ

りΓtの

ま れ る.

ちΓt∈A(Kt×Ft).従

Ω 上 へ の 射 影ΛtはA(Ft)に属

す .(証

終)

 §0.4  マ ル チ ン ゲー ル(Martingale)   (a)  条 件 付 確 率 と条 件 付 平 均   (Ω,B,P)を

確 率 空 間 とす る とき,Ω 上 の実 数 値B-可測

変 数(random

variable)と

呼 ぶ.確

率 変 数XのP-測

 が 意 味 を もつ とき,こ れ をE(X)で 平 均(expectation)と   Xを

E(￨X￨)<∞),UをBの

の 条 件 で 特 徴 づ け ら れ る確率変数Yの

付 平 均(conditional

expectation)と

(0.4.1) 

YはU-可

(0.4.2) 

E(X・IB)=E(Y・IB), ∀B∈U.

部 分 σ-加法 族 と す る こ と をXのUに

呼 びE(X￨U)で

度0を

関 す る条 件

表 お す.

除 い て 一 意 的 に 存 在 す る.実

よ っ て 測 度 空 間(Ω,U,P)上

成 り立 つ か らQはPに

続 で あ り,Radon-Nikodymの

際Q(B)=E(X・

の 加 法 的 集 合 関 数Qが

る が,P(B)=0,B∈U⇒Q(B)=0,が

Y∈UがP-測

関す る

測 で 可 積 分.

  こ のよ うなYはP-測 IB),B∈U,に

表 わ しXのPに

い う.

可 積 分 な 確 率 変 数(i.e.

と き,次

関 数 の こ とを確 率 度 に 関 す る 積 分

定 理 よ り 

定 義 され 関 し絶 対 連

なる可積分な

度0を 除 い て 一 意 的 に 存 在す る .

 特 にX=IA,A∈B,の

条 件付 平 均E(IA￨U)をP(A￨U)と表わ

Uに

関 す る 条件 付確率(conditional

U-可

測 で,且

probability)とい

し,Aの

う.即 ちP(A￨U)は

つ

(0.4.3) を 満 た す もの と して特 徴 づ け られ るわ け で あ る.特 別 な 場 合 と して ,Uが

たま

た ま Ω の有 限 分 割 Ω=B1+B2+…+Bn,Bk∈B

,か ら 生 成 され て い る場 合 を

考 え てみ よ う.こ の と きU-可

で 定 数 で な け れ ば な らな い か

測 関 数 は各Bk上

ら,(0.4.3)よ

り直 ち に

 の と き こ の よ うに 部 分 σ-加法 族 に 関 す る 条 件 付 確 率 は,初

等確 率 論 に 於 け る条 件 付

確 率 を ラ ン ダ ム 化 し た と い う性 格 を も っ て い る.   条 件 付 平 均 が 次 の 性 質 を も っ て い る こ と は,そ

の 特 徴 づ け(0.4.1),(0.4.2)

か ら明 らか で あ る. (0.4.4) U1⊂U2な

らE(E(X￨U2)￨U1)=E(X￨U1).

(0.4.5) 

X∈Uな

らE(XY￨U)=X・E(T￨U).

(0.4.6) 

E(E(X￨U))=E(X).

(0.4.7) 

X≦Yな

(0.4.8) 

E(αX+βX￨U)=αE(X￨U)+βE(Y￨U).

らE(X￨U)≦E(Y￨U).

こ れ ら の 等 式 や 不 等 式 は 全 てP-a.e.に   (b) 

成 立 す る.

優 マル チ ンゲ ー ル

  (Ω,F,P)を

確 率 空 間,TをR1の

部 分 集 合,{F}t∈Tを

族 の 組 でs
の 部 分 σ-加法

満 た す も の とす る.

時 刻 集 合 と し実 数 の 値 を と る 確 率 過 程{Xt,t∈T}が{Ft}t∈Tに

る 優 マ ル チ ン ゲ ー ル(supermartingale)で

あ る と は,次

関す

の条 件 が満 た され る

こ とで あ る. (0.4.9) 

{Xt}t∈Υ

は{Ft}t∈Tに

(0.4.10) 

E(￨Xt￨)<∞,∀t∈T.

(0.4.11) 

E(Xt￨Fs)≦Xs

適 合 し て い る:Xt∈Ft,∀t∈T.

P-a.e.,∀s,t∈T,s≦t.

  (0.4.11)に

於 け る ≦ を=ま

tingale),劣

マ ル チ ン ゲ ー ル(submartingale)の

た は ≧ に お き か え る と 各 々 マ ル チ ン ゲ ー ル(mar 定 義 が 得 ら れ る.(0.4.11)

は (0.4.11)′ 

E(Xt・IA)≦E(Xs・IA),∀A∈Fs,s,t∈T,s≦t

と 同 値 で あ る こ と に 注 意 し て お こ う.(0.4.11)ま ン ゲー

ル 不 等 式 と 呼 ぶ.

た は(0.4.11)′

を優 マ ル チ

  (c) 

任 意 抽 出 定 理(optional

sampling

theorem)

  先 ず 簡 単 な 有 限 時 刻 集 合T={1,2,…,k}の 述 べ よ う.自 然 数 の 値 を と る 確 率 変 数 あ る と は,任 (0.3.2)と

意 のt∈Tに

場 合 に つ い て 任 意抽 出 定 理 を σ が({Ft}t∈Tに

対 し(0.3.1)が

同 様 に して 部 分 σ-加法 族Fσ

  定 理0.4.1 

T={1,2,…,k}と

ル チ ン ゲ ー ル で あ る と し,Tの た す とす る.こ

成 立 す る こ と で あ る.こ

の と き

が 定 義 され る.

す る.{Xt,t∈T}が{Ft}t∈Tに

とXτ

E(Xτ￨Fσ)≦Xσ

  証 明   E(￨Xσ￨),E(￨Xτ￨)は

止時刻で

関 し優 マ

値 を と る 停 止 時 刻 σ と τ が 不 等 式 σ≦ τ を 満

の と き 確 率 変 数Xσ

(0.4.12) 

関 す る)停

は可積分で  P-a.e..

共 に 

を 越 え な い. 

(0.4.12)

は 不 等 式 (0.4.12)′

 

E(Xσ

・IA)≧E(Xτ

・IA), 

∀A∈Fσ

と 同 等 で あ る.   そ こ で 先 ず τ-σ が0か1の

と こ ろ でFσ Xtの

値 し か 取 ら な い と き(0.4.12)′

の 定 義 よ りA∩{σ=t}∈Ftで

あ り,ま

優 マ ル チ ン ゲ ー ル 不 等 式(0.4.11)′

よ り各 σnは 停 止 時 刻 で あ り,ま

≧E(Xσ1・IA)≧

た{τ>t}∈Ft.従

って

よ り最 後 の 式 の 各 項 は 非 負 で あ る.

  一 般 の 場 合 σn=τ∧(σ+n),n=0,1,2,…,k,と

にA∈Fσn,n=0,1,2,…,k-1,が

を 示 そ う.

お く.定

た σ0=σ,σk=τ.A∈Fσ

理0.3.1(ⅰ)に

に 対 しては 明 ら か

成 立 す る か ら,上 の 結 果 に よ りE(Xσ

… ≧E(Xσk-1・IA)≧E(Xτ

・IA).(証

・IA)

終)

  こ の 定 理 か ら の 極 限 操 作 に よ っ て 次 の 定 理 を 得 る こ と が で き る.   定 理0.4.21) 

T=[0,∞),{Ft}t∈[0,∞),は

右 連 続 と す る.{Xt,t≧0}が

{Ft}t∈[0,∞)に関 す る 右 連 続 な 非 負 優 マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る とす る.こ 意 の{Ft}-停 1) 

P.A.

止時 刻

σ と τ で σ≦ τ な る も の に 対 し,Xσ

Meyer[Ⅰ;1],Ⅵ,T13参

照.

とXτ

の と き任

は 可積 分 で

あ り,不

等 式(0.4.12)が

(0.4.13) 

成 立 す る.但 σ(ω)=∞

し停 止 時 刻 σ に 対 し

な らXσ(ω)(ω)=0

と お く.   定 理0.3.2に と(0.4.12)′

よ りXσ ∈Fσ が 成 立 す る.従

っ て こ の 場 合 も不 等 式(0.4.12)

は 同 値 で あ る こ と に 注 意 し て お こ う.定

理0.4.2の

応 用 と して 次

の 定 理 が 証 明 で き る.   定 理0.4.3 

定 理0.4.2の

条 件 の下 で

(0.4.14) とお くと (0.4.15) 

P(Xσ∨t=0)=1, 

  証 明   (0.3.4)′ に{Ft}-停

nは

の 直 後 の 注 意 と 定 理0.3.1(ⅰ)に

止 時 刻 で あ る.こ

れ に 定 理0.4.2を

任 意 だ か らE(Xσ∨t)=0.(証

  (d) 

∀t≧0. よ り,σnとσ∨tは 適 用 して

終)

標本路の正則性

  数 列f(n),1≦n≦k,と (0.4.16) 

区 間[a,b]が

与 え られ た と き

f(n2i-1)b, 

1≦i≦m

を 満 た す 列1≦n1≦n2≦

… ≦n2m≦kが存

の 最 大 値 を{f(n)}に

対 す る 区 間[a,b]の

number)と   補 題0.4.1 

在 す る と す る.こ

の よ う な 番 号m

上 向 き 通 過 回 数(upcrossing

呼 ぶ. {Fn,Xn}1≦n≦kを

対 す る 区 間[a,b]の

優 マ ル チ ン ゲ ー ル とす る.数

上 向 き 通 過 回 数 をN(ω)と

お くと

証 明  こ の よ う なnが

存 在 しな い とき,

列{Xn(w)}に

共

  =k,  に よ っ て{Fn}-停 =Xn(ω)∧bと

こ の よ う なnが

存 在 しな い と き

止 時 刻 の 列 σ1,σ2,…,σ2l-1,σ2l,… お き

,便

宜 上X′nをX′(n)と

を 定 義 す る.X′n(ω)

書 く こ と に す る.こ

の とき 明 ら

か に X′(σ2l)-X′(σ2l-1)≧b-a, 

1≦l≦N,

=0, l>N+1. また

が 成 り立 つ か ら

と こ ろ で こ の 左 辺 の 各 項 の 平 均 は 正 で な い.実 ン ゲ ー ル で あ る か ら,任

意 抽 出 定 理(定

際{Fn,X′n}1≦n≦kは

理0.4.1)を

使 え ば よ い.(証

優 マルチ 終)

  こ の 補 題 を 使 っ て 優 マ ル チ ン ゲ ー ル の 標 本 路 の 正 則 性 が 導 か れ る.   定 理0.4.4 

{Ft,Xt}t∈Q+を,正

ン ゲ ー ル とす る.こ [0,∞)上

の 有 理 数Q+を

時 刻 集 合 とす る優 マ ル チ

の と き 殆 ん ど 全 て の ω∈ Ω に 対 してXt(ω),t∈Q+,は

で 右 極 限 と左 極 限 を も つ.

  証 明  Γ={ω も た な い}と

∈ Ω;∃t∈[0,∞),Xs(ω),S∈Q+,はtで

お く.ま

右 極 限 か左 極 限 を

た 有 限 集 合u={ti},ti∈Q+,t1
優 マ ル チ ン ゲ ー ル{Fti,Xti}1≦i≦kの の 上 向 き 通 過 回 数 をU(ω;u;[a,b])と

標 本 路{Xti(ω)}1≦i≦kに お く.そ

対 し, 関 す る 区 間[a,b]

してuをQ+∩[0,n]の

限 部 分 集 合 を 動 か した と き の こ の 量 の 上 限 をU(ω;Q+∩[0,n];[a,b])と

有 す

る.   この とき

(0.4.17) が 成 立 す る.但 ω∈Γ

しHn,a,b={ω

∈ Ω;U(ω;Q+∩[0,n];[a,b])=∞}.実

に 対 して は 適 当 なt∈[0,∞)が

を もた な い.つ

ま り 

あ っ て,Xs(ω)はtで

際 例 えば 右 極 限

な る有 理数a,bが

存 在 す る.こ

の と きSn↓t,Sn∈Q+,Xs2n-1(ω)
選 べ る か ら ω∈Hn,a,b,n>t.こ が わ か った.逆

左 辺 が 右 辺 に 含 まれ る こ と

の 包 含 関 係 の 証 明 は 省 略 す る.

  と こ ろ で 有 限 集合uを 0.4.1か

れ で(0.4.17)の

る{sn}が

単 調 にQ+∩[0,n]に

近 づ け る こ と に よ り,補

題

ら不 等 式

が 得 られ る.こ

れ は 特 にP(Hn,a,b)=0を

Γ∈F且 つP(Γ)=0.(証   定 理0.4.5 

意 味 す る.従

っ て(0.4.17)よ

り

終)

{Ft,Xt}t∈Q+を

優 マ ル チン ゲ ー ル と し,任

意 のt∈[0,∞)に

対 し

(0.4.18) (0.4.19) と お く.但

しΓ

は(0.4.17)の

集 合,N={A∈F;P(A)=0}.こ

の と き

{F′t+,Xt+}t∈[0,∞)は 右 連 続 な 優 マ ル チン ゲ ー ル で あ る.   証 明   明 らか にXt+∈F′t+.ま s<sn
るsn,tn∈Q+を

E(Xtn・IA).こ

た 任 意 のs
任 意 のA∈F′s+に

と る と,A∈Fsn∨Nだ

こ でsn↓s,tn↓tと

して,{F′t+,Xt+}に

ー ル 不 等 式E(Xs+・IA)≧E(Xt+・IA)に

至 る1).(証

対 し,

か らE(Xsn・IA}≧ 関 す る優 マ ル チ ン ゲ

終)

 補 足あとがき   §0.2か

ら §0.4ま

Choquet容

量 の 構 成 に 関 す る 定 理0.2.3は

書 き かえ た.マ 補 題0.4.1の

で は 主 にP.A.

Meyer[Ⅰ;1]の

叙 述 に 従 っ た.但

ル チ ン ゲー ル に 関 す る 諸 定 理 は 主 にJ.L. 証 明 はG.

Hunt[Ⅱ;3]に

し

本 書 へ の 応 用 を 意 識 して 全 面 的 に Doob[Ⅱ;1]に

負 う.

よ る.

1)  極 限 と 平 均 の 順 序 交 換 可 能 性 に つ い て は,P.A.

Meyer[Ⅰ;1],V,T21参

照.

索 ア

引

行

い た る所 稠 密 な測 度 

サ

6

細 位 相 

138

m-対 称 

34,156

細 容 量 

160

M-不 変 

105

細 連 続 

138

エ ネル ギ ー積 分 

71

準左 連 続 

エ ネ ル ギ ー有 限 の測 度  カ 概 極 集 合 

行

61

概 超 過 関 数  概Borel集 核 

71

合 

拡 散 過 程 

170

拡 散 係 数 

134

168

確 率 過 程 

222

確 率 変 数 

226

正 規性  5

12,195

7 94

生 成作 用 素 

20

正則 化 巣 の― 

110

62

正 則境 界  正則巣  152

吸 収 壁 ブ ラ ウン 運 動  境 界 条件 

201 62

正則 性 179

56

強 マ ルコ フ性 

対 称 形式 の―  標 本 路 の― 

98

正則点 

134 12,188

137

生 存 時間  正 のRadon測

9

30

98 度 

近 似 対 称 形 式  26 Krein拡 大  47

狭 い 意 味 で 準 連 続  尖 細 

137

合 成 積 半 群 

掃 散 

78

108

8 97,229

正値 線 型 作 用 素 

局所 型微 積 分 形 式 

185

14,200

正 則区間 

97

214

吸 収 壁過 程 

157

デ ィ リク レ形 式 の― 

220

関 数空 間 型 

局所性 

226 12,195

超 過 関数 の― 

加法 過程 

極 集 合 

220 226

巣  62 ス ピー ド測度 

5

完 備 化 

条 件付 確 率 

正 規縮小 

拡 大(対 称 形 式 の) 

可 容 

61 量 

消 滅 測 度 

17,33

可 閉 

98

準連 続  Choquet容

条 件付 平 均  65

行

216 61

ソボ レ フ空間(位 数1の) 

15

Feller半

タ 台 

行

9

56

部分 デ ィ リ ク レ 形 式 の― 

対 称 形 式  4 Daniell積 分  Dauglas積

216

分 

単 位 縮 小 

16

普 遍 可 測 集 合 

7

不 変 点 

公式 

214

ブ ラ ウ ン 運 動 

167

176

ブ ラ ウ ン 推 移 関 数 

147

Friedrichs拡

大  73

131

平 衡 分 布 

14,16

平 衡 ポ テ ン シ ャル 

停 止 時 刻 

223

平 均 

σ-加法 族 へ の― 

112

224

60,73,160

226

閉 対 称 形 式 

デ ィ リク レ形 式 へ の― 

176 45

調 和 関 数  適合性

152

105

超過 関 数 

到 達 確 率 

152

マ ル コ フ 過 程 の― 

単 調 族 定 理  215 Dynkin-Kinneyの 条 件  Dynkinの

群 108

付 帯 条 件 

Poisson過

5

程 

Poincareの

90

不 等 式 

55

ポ テ ン シ ャ ル(測 度 の) 

130

到 達 時 刻 

130,225

到達 分 布 

144

マ マ ル コ フ過 程 

同値 性

ナ

行

93

マ ル コ フ推 移 関 数 

確 率過 程 の―  222 マ ル コフ過 程 の―  97

24,92

マ ル コ フ性 線 型 作 用 素 の― 

行

29

対 称 形 式 の― 

任 意抽 出定 理 

65

6

マ ル コ フ 過 程 の― 

228

94

マ ル コ フ リ ゾ ル ベ ン ト核 

ハ 漠 収 束 

行

217

飛 躍 型 形 式 

―

Radon測

度 

216

Levy

77 103

223

広 い意 味 で の ― 対 称 形 式 

行

183,187

12

標 準 マル コフ過 程  標 本 路 

226 ラ

反 射 壁 ブ ラ ウ ン運 動  Hunt過 程  103

被 約 関 数 

マ ル チ ン ゲ ー ル 

―

―過 程  110 の 公 式  110

―

測 度 

ワ

27

デ ィ リ クレ形 式 

19

33

Weylの

補 題 

218

行

34

著

福

者

島 正

俊

1935年大阪に生まれ る.1959年 京都大学 理学部数学科卒業.現 在,大 阪大学理学 部助教授,理 学博士.

デ ィ リ ク レ形 式 と マ ル コフ 過 程 1975年5月31日

  第1刷

発行

発行

所 

会社  株式

紀伊國屋書店

東 京 都 新 宿 区 新 宿3の17の7 電 話  (354)(代 表)0131 振

出版部

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刷

加 藤 文

製

本

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Made

水

in Japan

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東

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東 京 都 千 代 田 区 五 番 町12番

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紀 伊 國屋 数 学 叢 書 に つ い て   数学 を 学 ぶ に は い ろい ろ の段 階 が あ るが,い ず れ の場 合 で も書物 な ど に よっ て 自学 自習す る こ とが 最 も重 要 で あ り,単 に講 義 を 聞 くとい う よ うな受 動 的 な 勉 強 だけ で は,は な はだ 不 十 分 で あ る.   み ず か ら学 ぶ ため に現 在 い ろ い ろな 数 学 書 が 出版 され て い る.し か し, 数 学 の進 歩 は極 め て基 礎 的 な 考 え 方に 対 して さえ常 に影 響 を 与 え てお り, 従 っ て どの よ うな段 階 の勉 強 で あ って も,常 に新 しい考 え 方 を理 解 す る ことが 必 要 で あ る.こ の た め に は,数 学 の 過 去 と将来 とを 結 ぶ 視点 か ら 書 かれ た 書 物 が数 多 く出版 され る こ とが 望 ま しい.即 ち,新

しい視 点 と

古 典 的 な 視 点 とを 見 くらべ,基 本的 な こ とを も将来 の発 展 を 考慮 した 視 点 か ら説 明 す る とい う立 場 で 書か れ た 書 物 が 要望 され て い る.   本叢 書 は この よ うな 要 望 に 応 え て企 画 さ れた もので あ って,各 巻 が 大 学 理 工 学 系 の専 門課 程 の 学 生 また は 大 学 院 学 生が そ れ ぞ れ の 分野 で の 話 題,対

象 に つ い て 入門 の 段階 か らあ る程 度 の深 さ まで 勉 学 す るた め の 伴

侶 とな る こ とを 目指 して い る.こ のた め に我 々は 各 巻 の 話題 の選 択 に つ い て,十 分 配慮 し,現 代 数学 の発 展 に とっ て重 要 で あ り,ま た既 刊 書 で 必 ず し も重 点が 置 か れ て い な い も のを選 び,各 分 野 の第 一 線 で活 躍 して お られ る数 学者 に執 筆 を お願 い して い る.   学 生 諸 君 お よび 数学 同好 の方 々が,こ の叢 書 に よ って数 学 の種 々の 分 野 にお け る基 本 的 な 考 え方 を 理 解 し,ま た基 礎 的 な知 識 を会 得 す る こと を 期 待 す ると と もに,更 に現 代 数 学 の最 先 端 へ 向 か お うとす る場 合 の基 礎 と もな るこ とを 望み た い.