Несобственные интегралы первого рода: Учебно-методическая разработка

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского»

Несобственные интегралы первого рода Учебно-методическая разработка

Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 010700 «Физика».

Нижний Новгород 2005 г.

УДК 517.3 ББК В167.222 К-84 К-84 Несобственные интегралы первого рода. Учебно-методическая разработка. - Составители Круглова С.С., Солдатов М.А., Шишина В.Т. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2005. 21 с. Рецензент: кандидат физико-математических наук доцент В.И. Перова.

Настоящая разработка содержит справочные сведения, решения примеров и задания для самостоятельной работы по теме “Несобственные интегралы первого рода”. Разработка предназначена для студентов физического факультета; может быть полезна также студентам химического факультета.

УДК 517.3 ББК В167.222 2

b

При рассмотрении интеграла Римана

∫ f (x )dx

не предполагалось, что 1)

a

промежуток

[a, b]

конечен и 2) функция

f ( x ) ограничена на нём.

Отказавшись от этих ограничений, придём к понятию несобственных интегралов. В этой разработке обобщим понятие интеграла на случай бесконечных промежутков.

§1. Определения.

Пусть функция f ( x ) определена для всех x ≥ a и интегрируема на любом конечном отрезке

[a, B] ,

B ≥ a . Предел интеграла

B

∫ f (x )dx

при

a

B → +∞ называется несобственным интегралом от функции промежутку

[a,+∞ )

f ( x ) по

+∞

и обозначается символом

∫ f (x )dx .

Аналогично

a

определяются несобственные интегралы по промежуткам

(− ∞, b]

и

(− ∞,+∞ ) . Итак, по определению: +∞

B

∫ f (x )dx = Blim ∫ f (x )dx ; → +∞

a

a

b

b

(1)

∫ f (x )dx = Alim ∫ f (x )dx ; → −∞

−∞

(2)

A

+∞

B

−∞

A → −∞ A

a

+∞

−∞

a

∫ f (x )dx = Blim ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx . → +∞

(3)

Если указанные пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие интегралы сходятся (существуют, имеют смысл), а

3

функция f ( x ) интегрируема (в несобственном смысле). В противном случае интегралы называются расходящимися (несуществующими). Замечание 1. Главным значением интеграла (3) в смысле Коши

называется предел +∞

V.P. ∫ f ( x )dx = lim

B → +∞

-∞

B

∫ f (x )dx

-B

(V.P. – от французского valeur principale – главное значение). Этот предел может существовать, даже когда интеграл (3) в обычном смысле (т.е. когда А и В меняются произвольно) расходится. Геометрически несобственный интеграл (1) в случае f ( x ) ≥ 0 выражает площадь неограниченной (бесконечной) области, заключённой между линиями

y = f ( x ) , x = a и осью абсцисс.

Интеграл (2) сводится к (1) простой заменой x = −t , а (3) – к обоим интегралам (1) и (2).

§2. Свойства интегралов вида (1). 1. Аддитивность: +∞

∫

a

B

f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + a

+∞

∫ f (x )dx (B ≥ a )

(1*)

B

причём оба несобственный интеграла здесь сходятся или расходятся одновременно. 2. Линейность: а) Если (1) сходится и K – число, то сходится интеграл

от функции Kf ( x ) , причём +∞

+∞

∫ Kf (x )dx = K ∫ f (x )dx ;

a

(4)

a

б) если интегралы от функций f ( x ) и ϕ( x ) сходятся, то сходится и интеграл от их суммы, причём 4

+∞

+∞

+∞

∫ ( f (x ) + ϕ(x ))dx = ∫ f (x )dx + ∫ ϕ(x )dx .

a

a

(5)

a

Последнее необратимо. Если в правой части (5) один интеграл сходится, а другой расходится. То интеграл от суммы – в левой части – расходится. 3. Формула Ньютона-Лейбница. Если функция f ( x ) непрерывна при x ≥ a и F ( x ) – какая-либо её первообразная, то +∞

∫ f (x )dx = F (x )

+∞

a

a

= F (+ ∞ ) − f (a ) ,

(6)

где F (+ ∞ ) = lim F ( x ) , причём обе части равенства (6) одновременно имеют x → +∞

смысл или нет. 4. Интегрирование по частям. Если функции u ( x ) , v( x ) непрерывно

дифференцируемы на полупрямой x ≥ a , то +∞

+∞

a

a

∫ u (x )dv(x ) = u (x )v(x )

+∞

− ∫ v( x )du ( x ) . a

Причём, если любые два из стоящих здесь выражений имеют смысл, то имеет смысл и третье. (Интегрирование по частям часто используют для улучшения сходимости интеграла.)

§3.

Достаточные

признаки

сходимости

интегралов

от

неотрицательных функций. 1°. Признак сравнения (0бычный).

Пусть функции f ( x ) и g ( x ) определены для всех x ≥ a , интегрируемы на каждом отрезке

[a, B ] ,

B ≥ a , 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) . Тогда из сходимости

интеграла +∞

∫ g (x )dx

a

5

(7)

+∞

вытекает сходимость интеграла (1), причём

+∞

∫ f (x )dx ≤ ∫ g (x )dx ,

a

а из

a

расходимости интеграла (1) вытекает расходимость интеграла (7). Функция

g ( x ) называется функцией сравнения. Замечание 2. В качестве функции сравнения часто берётся g ( x ) =

или g ( x ) =

+∞

1

(x − α )

p

. Интегралы

∫

a

1 , где a > 0 или xp

+∞

∫

a

1

(x − α ) p

1 xp

, где a > α ,

сходятся при p > 1 и расходится при p ≤ 1 . 2°. Предельный признак сравнения.

f (x ) =K x → +∞ g ( x )

Пусть существует предел lim

( 0 ≤ K ≤ +∞ ). Тогда 10 если

0 < K < +∞ , то оба интеграла (1) и (7) одновременно сходятся или расходятся; 2) если K = 0 , то их сходимости (7) следует сходимость (1); 3) если K = +∞ , то из расходимости (70 следует расходимость (1). Выбирая конкретную функцию для сравнения, можно отсюда получить частные признаки сходимости или расходимости интеграла (7). 3°. Наиболее удобен для решения задач частный признак сравнения.

Если при x → +∞ функция f ( x ) ≥ 0 является бесконечно малой порядка

p > 0 по сравнению с

1 K f (x ) , т.е. если lim 1 = K ≠ 0,+∞ или f ( x ) ~ p = g ( x ) , x → +∞ x x xp

x → +∞ , то интеграл (1) сходится при p > 1 и расходится при P ≤ 1 . Замечание

3.

Чтобы

знать,

в

какую

сторону

оценивать

подинтегральную функцию f ( x ) ≥ 0 , нужно «заподозрить» интеграл (1) на сходимость или расходимость. А это часто легко установить заменой величин, входящих в состав f ( x ) . Величинами, ими эквивалентными или имеющими одинаковый порядок при x → +∞ . Здесь надо стремиться выделить (если это возможно) главную часть главную часть функции f ( x )

6

при x → +∞ в виде

K xp

, где K > 0 и p – постоянные, и использовать

Замечание 2 или частный признак сравнения. Если остаются сомнения в полной законности произведённых упрощений, можно сравнить f ( x ) с полученным выражением, найдя предел их отношения при

x → +∞ .

Напомним, что функции f ( x ) и g ( x ) называются эквивалентными при x → a , f (x ) = 1 и пишут f ( x ) ~ g ( x ) при x → a . x → a g (x )

если lim

§4. Абсолютная и условная сходимость интегралов. Определение. Интеграл (1) называется абсолютно сходящимся, если

сходится интеграл +∞

∫ f (x )dx .

(8)

a

Интеграл (1) называется условно или неабсолютно сходящимся, если сам он сходится, а интеграл (8) расходится. Теорема. Если интеграл (1) сходится абсолютно, то он просто

сходится, причём +∞

+∞

a

a

∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx .

При исследовании (1) на абсолютную сходимость можно к интегралу (8) применять признаки из §3. Для исследования на сходимость интегралов (особенно условно сходящихся) существуют специальные признаки сходимости. 1. Признак Дирихле. Если а) функция

f ( x ) непрерывна на

промежутке a ≤ x < +∞ и для всякого B ≥ a существует постоянное M такое,

7

B

что

б) функция g ( x ) монотонно стремится к нулю при

∫ f (x )dx ≤ M ;

a

x → +∞ , то сходится интеграл +∞

∫ f (x )g (x )dx .

(9)

a

2. признак Абеля. Пусть функции

промежутке [0,+∞] , причём а) интеграл

f (x ) и

+∞

∫ f (x )dx

g ( x ) определены в

сходится; б) функция g ( x )

a

монотонна и ограничена: g ( x ) ≤ L ( L = const , x ≥ a ). Тогда интеграл (9) сходится.

§5. Примеры.

В примерах 1-4 вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость, основываясь непосредственно на определении. +∞

1.

∫

1

dx x + x3

= lim ln B → +∞

+∞

2.

∫ e

B

B

dx

⎛1

x

⎞

= lim ∫ ⎜ − ⎟dx = ∫ B → +∞ x (1 + x 2 ) B → +∞ ⎝ x 1 + x 2 ⎠

= lim

1

1

⎛ 1 ⎞⎟ 1 B = lim ⎜⎜ ln − ln = ln 2. 2 ⎟⎠ 2 x 2 + 1 1 B → +∞⎝ B2 + 1 x

B

B B dx d (ln x + 1) = lim ∫ = lim ln (ln x + 1) = B → +∞ x(ln x + 1) B → +∞ 1 ln x + 1 e

= lim (ln(ln B + 1) − ln 2 ) = +∞. B → +∞

Следовательно, интеграл расходится. 3. B B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = lim (B sin B + cos B − 1) . x cos xdx lim x cos xdx lim x sin x sin xdx = = − ∫ ∫ ∫ ⎜ ⎟ B→+∞ B→+∞ B→+∞ 0 0 0 0 ⎝ ⎠

+∞

B

Этот предел не существует, поэтому интеграл расходится. 8

+∞

4.

1+ x

∫

−∞ 1 + x

(

B

)

x ⎞ 1 ⎛ 1 ⎛ ⎞B 2 = + + + dx x x lim arctg ln 1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ = ∫ 2 A → −∞ ⎝ 1 + x 2 A → −∞⎝ 2 + x 1 ⎠A ⎠ A

dx = lim 2

B → +∞

B → +∞

(

)

(

)

1 1 ⎛ ⎞ = lim ⎜ arctg B − arctg A + ln B 2 + 1 − ln A 2 + 1 ⎟ = A → −∞⎝ 2 2 ⎠ B → +∞

()

B 2 ⎛ + 12 ⎜ 1 A A = lim ⎜ arctg B − arctg A + ln 1 A → −∞ 2 1+ 2 B → +∞⎜ A ⎝

() () ()

⎧ B 2 → +∞, + ∞ , е с л и A ⎞ ⎪ ⎟ ⎪⎪ B 2 → 0, = − ∞ , е с л и ⎨ ⎟ A ⎟ ⎪ 2 ⎠ ⎪ π + ln α , е с л и B → α 2 , ⎪⎩ A

где α = const . Таким образом, рассматриваемый предел не существует – интеграл расходится. Однако, если B = − A , то предел существует: +B 1+ x 1+ x dx = lim ∫ dx = π . V.P. ∫ 2 2 B → +∞ + x + x 1 1 −∞ −B +∞

5. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой y=

1

.

x 2 − 6 x + 10

Из геометрического смысла несобственного интеграла следует, что S=

+∞

∫ f (x )dx , т.е.

−∞

S=

+∞

∫

−∞

dx x 2 − 6 x + 10

= lim

B

∫

A→−∞ B →+∞ A

dx

(x − 3)2 + 1

= lim (arctg(B − 3) − arctg( A − 3)) = A→−∞ B →+∞

B

= lim arctg( x − 3) = A→−∞ B →+∞

A

π ⎛ π⎞ − ⎜ − ⎟ = π. 2 ⎝ 2⎠

6. При вычислении следующего интеграла используем интегрирование по частям: +∞

∫ xe

0

−x

dx = − xe

−x

+∞

0

+∞

−x

+ ∫ e dx = −e 0

−x

+∞

= 1.

0

Установить возможность применения свойства линейности при вычислении интегралов 9

I1 =

+∞

∫

2

I1

В 2

(

1

x 1− x

2

)

=

x2 1 − x2

);

разобьём

1 x

(

dx

+

2

+∞

∫

2

1 1 − x2

dx x2

=−

I2 =

+∞

∫

1

+∞ 3x 2 − 5 x + 3 dx dx . ; I3 = ∫ 2 x(1 + x ) x 1 + x 1

(

подинтегральную

)

функцию

на

сумму

. Интегралы от обоих слагаемых сходятся: 1 x

+∞

2

=

1 ; 2

+∞

∫

2

1 1+ x = ln 2 2 1− x 1− x dx

+∞

2

1 = − ln 3 . 2

Поэтому к интегралу I1 свойство 2 применимо: I1 =

+∞

∫

2

1 1 1 e dx +∞ dx + ∫ = − ln 3 = ln . 2 2 2 2 2 3 x 2 1− x

Представим подинтегральную функцию в I 2 в виде

1 1 1 . = − x(1 + x ) x 1 + x +∞

Интегралы

от

обоих

слагаемых

расходятся:

∫

1 +∞

∫

1

+∞ dx = ln x = +∞ , x 1

+∞ dx = ln( x + 1) = +∞ . Поэтому свойство 2б при вычислении интеграла 1+ x 1

I 2 применить нельзя, но тем не менее этот интеграл существует: I2 =

+∞

∫

1

x +∞ 1 ⎞ 1 ⎛1 = − ln = ln 2 . ⎟dx = ln ⎜ − x +1 1 2 ⎝ x x + 1⎠

Рассмотрим интеграл I 3 . Запишем

3x 2 − 5 x + 3 3 5 = − . Интеграл от x x2 + 1 x 1 + x2

(

)

первого слагаемого расходится, от второго – сходится: +∞

∫

1

+∞ 5π −5 ⎛ π π⎞ 5 arctg 5 x . = − = − = − − ⎟ ⎜ 4 x2 + 1 ⎝2 4⎠ 1

Тогда сам интеграл I 3 расходится. В примерах 8-18 исследовать сходимость интегралов от функций, непрерывных и положительных на всём пути интегрирования.

10

8. I =

+∞

∫

dx 3

x

1

2

x +1

.

Подинтегральная функция для 1 ≤ x < +∞ положительна и непрерывна, и при x → +∞ f (x ) =

имеет 1

x 3 x2 + 1

1

~

p=

порядок

x 3 x2

1

=

x

5 3

5 3

. Здесь p =

1 , x

относительно

т.к.

5 > 1 , и по признаку 3° данный 3

интеграл сходится. Применение признака сравнения 1° приводит к тому же: 0<

1 x

3

2

x +1

9. I =

1

<

x

+∞

∫

0

, x ≥ 1. Затем используем Замечание 2.

5 3

dx . 3x 2 + 2 x + 5

Найдём функцию сравнения g ( x ) : 0 < f (x ) = +∞

Интеграл

∫

B

1 3x 2 + 2 x + 5

<

1 3x 2

= g (x ) , x ≥ B > 0 .

dx , где B > 0 , сходится, так как p = 2 > 1. Согласно 3x 2

свойству 1 и признаку сравнения 1°, интеграл I сходится. 10. I =

+∞

∫

0

(2 x

x13 dx 5

3

)

+ x +1

3

.

Определим порядок подинтегральной функции относительно

1 при x

x → +∞ : 0≤

x13 1 1 ⎞ ⎛ x15 ⎜ 2 + 2 + 5 ⎟ x x ⎠ ⎝

3

=

1 1 1 ⎞ ⎛ x2 ⎜ 2 + 2 + 5 ⎟ x x ⎠ ⎝

3

~

1 8x 2

.

Следовательно, порядок малости функции f ( x ) относительно p = 2 > 1. По признаку сравнения 3° интеграл сходится. 11

1 есть x

11. I =

+∞

∫

1

2x + 3 x + 1 7

2

4

x + 2 x +1

Покажем, что при

dx . x → +∞

подинтегральная функция является

бесконечно малой порядка p = 1 по сравнению с ⎛ 1 1 ⎞ x⎜⎜ 2 + 3 2 + 3 ⎟⎟ x x ⎠ 2x + 3 x + 1 ⎝ = x 2 + 2 7 x 4 + 1 x 2 ⎛⎜1 + 2 7 1 + 1 ⎜ x10 x14 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

=

1 ⋅ x

1 . x 2+3 1+ 2 7

1 x2 1 x10

+ +

1 x3 ~ 2 , x 1 x14

так как второй множитель имеет предел 2 при x → +∞ . Следовательно, данный интеграл расходится ( p = 1 ). 12. I =

tg

+∞

∫

1

1 x

1+ x

x

dx .

Определим порядок подинтегральной функции по сравнению с Поскольку

f (x ) =

tg

x → +∞

при 1 x

1+ x

малости p =

x

~

1 x x

x

=

1 5 x2

. Итак,

tg

1 1 ~ , x x

1+ x

x~x

f ( x ) имеет относительно

x,

1 . x то

1 порядок x

5 > 1 при x → +∞ . Следовательно, интеграл I сходится. 2 ∞

13. При каких значениях k интеграл

I = ∫ xk 1

x + sin x dx x − sin x

будет

сходящимся? Подинтегральная функция на промежутке интегрирования непрерывна и

положительна.

f (x ) = x k

При

x → +∞

x 1 x + sin x ~ x k = − k . Следовательно, при x x x − sin x

12

имеем:

x ± sin x ~ x ,

x → +∞ функция f ( x )

имеет порядок p = − k относительно

1 . Значит, интеграл сходится для x

p = − k > 1 , т.е. k < −1 , и расходится для k ≥ −1 . Расходимость интеграла для k ≥ 0 следует уже из того, что ⎧ 1, е с л и k = 0, lim f ( x ) = ⎨ x → +∞ ⎩+ ∞, е с л и k > 0,

x → +∞ будет f ( x ) > q = const > 0 , а интеграл

и потому при

+∞

∫ qdx = +∞

a

(расходится). 14. I =

+∞

⎛

2⎞

∫ ⎜⎝1 − cos x ⎟⎠dx .

1

2 1 2 Так как 1 − cos = 2 sin 2 ~ 2 при x x x

x → +∞ , то интеграл сходится

( p = 2 > 1). 15. I =

+∞

∫

1

(

)

ln x 2 + 1 dx . x

Подинтегральная

(

функция

)

бесконечно

малая

при

x → +∞ :

ln x 2 + 1 = 0 , но для неё не может быть установлен определённый x → +∞ x lim

порядок малости р относительно

(

)

1 . Действительно, x

ln x 2 + 1 ln x 2 + 1 ⎧ 0, p < 1, x lim = lim =⎨ 1 x → +∞ x → +∞ x1− p ⎩ + ∞ , p ≥ 1. p x

(

)

Взяв здесь p = 1 и использовав Замечание 2 и признак 2° (п.3), заключаем, что интеграл I расходится (случаи p < 1 и p > 1 ни к какому заключению не приводят). Впрочем, расходимость данного интеграла легче установить из

(

)

ln x 2 + 1 1 > . признака сравнения 1°, заметив, что уже для x ≥ 2 будет x x 13

16. I =

+∞

∫

sin 1

ln x 3

x +1

dx .

На пути интегрирования sin x ≤ x < +∞ подинтегральная функция меняет знак, но положительна на интервале 2 ≤ x < +∞ . Тогда используем свойство аддитивности: [sin 1, + ∞ ) = [sin 1, 2] U [2, + ∞ ) . При x → +∞ имеем: x 3 + 1 ~ x 3 (степень p =

3 > 1), а ln x растёт медленнее любой степени x ε , 2

ε > 0 . Оцениваем подинтегральную функцию сверху при больших x :

0 < f (x ) =

ln x x3 + 1

<

xε

=

3 x2

Так как можем взять такое ε , что p =

1 3 −ε x2

, x ≥ N = N (ε ) > 2 .

3 1 − ε > 1 ( 0 < ε < ), то данный интеграл 2 2

сходится. 17. I =

+ ∞ ln cos

∫

1

x2

1 x dx . Здесь подинтегральная функция f ( x ) на всём пути

1 ≤ x < +∞ непрерывна и отрицательна. По свойству 2а интеграл I сходится или расходится одновременно с интегралом от функции ϕ( x ) = (− 1) f ( x ) > 0 . Числитель есть функция, бесконечно малая при x → +∞ . Заменим её эквивалентной величиной: 2

1 1 ⎞⎞ 1⎞ 1 ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ 1 ⎞ ln cos = ln⎜1 − ⎜1 − cos ⎟ ⎟ ~ −⎜1 − cos ⎟ = −2 sin 2 − 2⎜ ⎟ . 2x x x ⎠⎠ x⎠ ⎝ ⎝ 2x ⎠ ⎝ ⎝ Поэтому − f ( x ) = −

ln cos 1x x

2

~

1 2x2+λ

(x → +∞ ).

Значит, интеграл I сходится

при λ + 2 > 1, т.е. при λ > −1 , и расходится при λ ≤ −1. 18. I =

+∞

∫x

α −x

e dx

1

14

Отметим, что lim

x → +∞

функции

xα ex

= 0 ∀α . Но для бесконечно малой при x → +∞

f ( x ) = x α e − x не может быть установлен порядок малости р 1 , x

относительно

так

как

∀p

xα ex lim x → +∞ 1 xp

= lim

x → +∞

xα + p ex

= 0.

Взяв

p > 1,

воспользуемся пунктом 2 предельного признака сравнения 2°. Из него следует, что интеграл I сходится ∀α . В примерах 19-23 подинтегральная функция тоже непрерывна на пути интегрирования a ≤ x < +∞ , но имеет бесконечное множество нулей и меняет знак при переходе через них (функция знакопеременная). 19. I =

(sin x )3 dx . ∫ x( x − π ) 0

+∞

Разрывы подинтегральной функции

f ( x ) в точках x = 0 и x = π

устранимые: f ( x ) станет непрерывной на всей полупрямой x ≥ 0 , если её доопределить в этих точках с помощью пределов, т.е. положив f (0 ) = 0 ,

f (π) = 0 . По свойству 1 достаточно исследовать на сходимость, например,

( sin x )3 I= ∫ dx . Оцениваем сверху подинтегральную функцию по ( ) − π x x 2π +∞

интеграл

( sin x )3 1 1 , f (x ) = ≤ < x( x − π ) x( x − π ) ( x − π )2

модулю: +∞

∫

dx

2 2π (x − π)

x ≥ 2π .

Но

сходится ( p = 2 > 1), поэтому I1 и I сходятся абсолютно.

20. I =

+∞

∫

a

1 + 5 sin x dx , где a > 0 . x5 x + 1

15

интеграл

Исследуем

сходимость

I1 =

интеграла

+∞

∫

a

1 + 5 sin x x5 x + 1

<

1 + 5 sin x x5 x

≤

+∞

6 x

∫

, а интеграл

6 5

a

6dx x

6 5

1 + 5 sin x x5 x + 1

dx .

Так

как

, где a > 0 , сходится, то по

признаку сравнения интеграл I1 сходится. Следовательно, интеграл I сходится (и притом абсолютно). 21. I =

+∞

∫

cos x xp

1

dx , где p > 0 .

1) Исследуем I на абсолютную сходимость. f (x ) =

А) Имеем: сходится и I1 =

cos x xp

+∞

1

≤

xp

. Так как

∫

1

+∞

∫ f (x ) dx . Значит, при

dx xp

сходится при p > 1 , то

p > 1 интеграл I сходится абсолютно.

1

б). Пусть 0 < p ≤ 1 . Очевидно, что cos x ≥ cos x ⋅ cos x = cos 2 x . Тогда f (x ) =

cos x x

p

≥

cos 2 x x

p

=

1 + cos 2 x 2x

p

=

1 2x

p

+

cos 2 x 2x p

. Рассмотрим интегралы от

левой части и от обоих слагаемых: I1 =

+∞

∫

1

cos x x

p

dx ; I 2 =

+∞

∫

1

dx 2x

p

; I3 =

+∞

1

Исследуем на сходимость интеграл B

∫ cos 2 xdx =

1

∫

cos 2 x 2x p

dx .

I 3 , применяя признак Дирихле:

1 (sin 2 B − sin 2) ≤ 1 и функция g (x ) = 1 p монотонног стремится 2 2x

к нулю при x → +∞ . Следовательно, I 3 сходится. Но I 2 расходится, тогда расходится интеграл I1 (см. свойство 2б). Итак, для 0 < p ≤ 1 интеграл I не сходится абсолютно. 2) Однако при значениях 0 < p ≤ 1 интеграл I сходится – это устанавливается по признаку Дирихле точно так же, как и для интеграла I 3 .

16

Значит, интеграл I при p > 1 сходится абсолютно, а при 0 < p ≤ 1 сходится условно. Другой способ. Часто

удаётся

установить

сходимость

интеграла,

используя

интегрирование по частям. Применим его к интегралу I (для I 3 аналогично). Положим cos xdx = dv , тогда I=

+∞

∫

1

cos x x

p

dx =

1 x

p

sin x

+∞ 1

+p

+∞

∫

1

sin x x

p +1

dx = − sin 1 + pB,

B=

+∞

∫

1

sin x x p +1

dx .

Интеграл B сходится (и притом абсолютно), так как p + 1 > 1 . Проделанная операция по свойству 4 законна и, следовательно, интеграл I сходится ∀p > 0 . +∞

( )

22. A = ∫ cos x 2 dx (интеграл Френеля, применяется в оптике). 0

+∞

( )

1 +∞ cos t dt . Согласно Вводя замену x = + t , найдём I = ∫ cos x dx = ∫ 2 t 1 1 2

1 примеру 21, в котором надо взять p = , можно сделать вывод, что интеграл 2

I, а вместе с ним и A,, сходится условно. Впрочем, исследование интеграла I легко «подогнать» под применение признака Дирихле или свойства 4, записав I =

+∞

∫

1

23. M =

(x cos x )dxx , 2

+∞

∫

0

f ( x ) = x cos x 2 , g ( x ) =

1 . x

cos x arctg xdx . x

Кажущийся разрыв подинтегральной функции f ( x ) = точке x = 0 легко устранить, положив

cos x arctg x в x

f (0 ) = lim f ( x ) = 1 . Однако для x →0

исследования сходимости и абсолютной сходимости лучше «оторваться» от

17

x = 0,

точки

записав,

например,

1

M = M1 + M 2 ,

где

M 1 = ∫ f ( x )dx , 0

M2 =

+∞

∫ f (x )dx .

1

1) Исследуем M 2 (и вместе с ним M) на абсолютную сходимость. Так как

для

x ≥1

cos x π cos x , x ≥ 1 . Тогда интеграл arctg x ≥ f (x ) = x 4 x +∞

ибо расходится интеграл

∫

1

π ,то 4

имеем:

∫ f (x ) dx

расходится,

arctg x ≥ arctg1 =

будет

+∞

1

cos x dx (это интеграл I1 в примере 21 при x

p = 1 ). Таким образом, интеграл M не является абсолютно сходящимся. +∞

2) Исследуем M 2 на сходимость по признаку Абеля: а)

∫

1

cos x dx x

сходится ( p = 1 в примере 21); б) функция g ( x ) = arctg x монотонна и ограничена: g ( x ) <

π . Итак, интеграл M сходится условно. 2

§6. Задачи для самостоятельного решения.

Вычислить следующие несобственные интегралы с бесконечными пределами или установить их расходимость, основываясь на определении этих интегралов. +∞

1.

∫

e2

1 ( ) 8

dx 3

x ln x

+∞

2.

∫ sin xdx

(расходится).

0

18

+∞

∫ x sin xdx

3.

(расходится).

0

+∞

x2 + 2x + 5

−∞ +∞

∫

5.

π ( ). 2

dx

∫

4.

xe x dx

(расходится).

−∞

+∞

xdx

∫

6.

(4x

0

2

1 ( ). 4

)

+1

3

+∞

∫ arctg xdx

7. Найти V. P.

(0).

−∞

Исследовать сходимость следующих интегралов: +∞

∫ 1+ 3

8.

0

+∞

9.

∫x 0

x +1 5

x +1

x2 4

+ x2 + 1

+∞

10.

x

0

11.

(сходится).

dx

1 − 23 x

∫ 2x + 3

+∞

(сходится).

dx

∫ x + sin

2

+1 + 5

(расходится).

dx x

dx

2

1

(расходится).

x

+∞

12.

∫

(2 + cos x )dx

1

+∞

13.

∫ 2

(расходится).

x

(3 + arcsin )dx 1 x

(сходится).

1+ x x

19

+∞

14.

∫ 1

arctg x dx x

+∞

15.

ln (1 + x )

∫

4

x + 3x + 1

0

+∞

16.

(расходится).

arctg

∫x

p

0

1 x

+7

(сходится).

dx

( p > 0 - сходится; p ≤ 0 - расходится).

dx

+∞

17.

( x 3 + 105 )e − 2 x dx ∫

(сходится).

0

+∞

18.

∫x

dx p

2

( p > 1 - сходится; p ≤ 1 - расходится).

ln x

+∞

19.

∫

1 − 4 sin 2 x x3 + 3 x

1

dx

(сходится абсолютно)

+∞

20.

∫ 0

sin x dx x

(сходится условно)

+∞

21.

∫x

sin x p

dx , где p > 0

( p > 1 - сходится абсолютно; 0 < p ≤ 1 -

1

сходится условно). +∞

22.

∫ ( )

sin x 2 dx

(сходится условно)

0

+∞

23.

∫ 2x cos(x )dx 4

(сходится условно)

0

20

+∞

24.

∫ 0

x cos x dx x + 1000

(сходится условно)

+∞

25.

∫ 0

sin 2 x ⋅ arctg x dx x

+∞

26.

∫ 1

ln

2 ex

(сходится условно)

+ (m − 1) dx, m > 0 m

(расходится)

21

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Светлана Серафимовна Круглова Михаил Александрович Солдатов Валентина Тимофеевна Шишина Учебно-методическая разработка

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского»

22