Дифференциальные уравнения высших порядков

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

А. А. Зингер, В. А. Зингер, Ю. Н. Сирота

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург 2005

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

А. А. Зингер, В. А. Зингер, Ю. Н. Сирота

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург 2005

УДК 517.5 ББК 22.161.8 З 63 А. А. Зингер, В. А. Зингер, Ю. Н. Сирота З 63 Высшая математика. Дифференциальные уравнения высших порядков: Учеб.-метод. пособие / СПбГУАП. СПб., 2005. 48 с.: ил. Излагается один из наиболее важных разделов курса высшей математики, тесно связанный с понятиями производной, дифференциала и интеграла. Теоретический материал проиллюстрирован большим числом примеров. Предназначено для студентов, обучающихся по техническим специальностям. Может быть использовано студентами экономических специальностям. Резензенты: кафедра математического анализа РГПУ; доктор физико-математических наук профессор В. П. Одинец Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия

c 

c 

ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения», 2005 А. А. Зингер, В. А. Зингер, Ю. Н. Сирота 2005

1.

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков. В основном ограничимся уравнениями второго порядка. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида F (x, y, y  , y  ) = 0.

(1)

Решением уравнения (1) называется функция y = ϕ(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общим решением уравнения (1) называется функция y = ϕ(x, C1 , C2 ), которая является решением (1) и любое решение может быть получено из нее при некоторых C1 и C2 . Начальными условиями для решения y = ϕ(x) уравнения (1) называется тройка чисел x0 , y0 , y0 такая, что y |x=x0 = y0 , y  |x=x0 = y0 . Задача нахождения решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, называется задачей Коши. Для нее имеет место теорема существования и единственности, аналогичная той, которая рассматривалась для дифференциальных уравнений первого порядка. В некоторых случаях уравнение второго порядка можно привести к уравнениям первого порядка. Рассмотрим такие случаи.

3

1.1.

Уравнение, не содержащее в явном виде искомой функции и ее первой производной

Уравнение не содержит в явном виде искомой функции и ее первой производной. Оно может быть записано в виде y  = f (x).



Очевидно y  = (y  ) = f (x), откуда y  = 

  y=

f (x) dx + C1

f (x) dx + C1 и

  dx+C2 =

 f (x) dx

dx+C1 x+C2

(здесь интеграл подразумевает какую-либо первообразную). Замечание 1 Так же можно решать уравнения любого порядка, имеющие вид y (n) = f (x). Пример 1 Решить уравнение y  = cos x. Решение   y  = cos x dx + C1 = sin x + C1 , y = (sin x + C1 ) dx + C2 . Общее решение y = − cos x + C1 x + C2 (здесь интегралы означают первообразные !).

1.2.

Уравнение, не содержащее в явном виде искомой функции

Уравнение не содержит в явном виде искомой функции, т.е. имеет вид (2) F (x, y  , y  ) = 0. Понизить его порядок можно введением новой неизвестной функции y  = p(x) = p. Тогда y  = p , и уравнение примет 4

вид F (x, p, p ) = 0. Его общее решение p =p(x, C1) или y  = p(x, C1). Общее решение уравнения (2): y = p(x, C1) dx+C2 . Пример 2 Решить уравнение xy  = y  . Решение Введем неизвестную функцию y  = p, y  = p . Уравнение dx dp примет вид xp = p; = ; ln |p| = ln |x|+ln |C|; p = Cx; p x C y  = Cx; y = x2 + C2 = C1 x2 + C2 . Общее решение 2 2 y = C1 x + C2 .

1.3.

Уравнение, не содержащее в явном виде независимой переменной

Уравнение не содержит в явном виде независимой переменной, т.е. имеет вид F (y, y  , y  ) = 0. Введем новую неизвестную функцию как функцию от y: y  = p(y) = p. Продифференцируем p(y) по переменной x: px = py y  = p p = y  . Уравнение примет вид F (y, p, p p) = 0 или F1 (y, p, p ) = 0. p = p(y, C1 ) – его общее решение или y  = p(y, C1 ) – уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решим его  dy dy = dx или = x + C2 . p(y, C1 ) p(y, C1 ) 5

Пример 3 Решить уравнение y  = a2 y. Решение Положим y  = p(y) = p; y  = p p; p p = a2 y;  dp p = a2 y dy; p dp = a2 y dy; p2 = a2 y 2 +C1 ; p = ± a2 y 2 + C1 ; dy  dy y  ± a2 y 2 + C 1 ;  = ±dx; 2 2 a y + C1  1 ln |ay + a2 y 2 + C1 | = C2 ± x. a

2.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, приводящееся к виду: y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an y = f (x), где a1 = a1 (x), . . . , an = an (x) – коэффициенты; f (x) – свободный член, непрерывные функции в некоторой области. Если f (x) ≡ 0, то уравнение называется линейным однородным. Рассмотрим линейные уравнения второго порядка y  + a1 y  + a2 y = f (x).

(3)

Начнем с линейного однородного уравнения второго порядка y  + a1 y  + a2 y = 0.

(4)

Решения этого уравнения обладают свойством линейности: 1. Если y1 и y2 – два частных решения уравнения (4), то y1 + y2 также являются решением этого уравнения; 6

2. Если y1 есть решение уравнения (4), то при любом постоянном C, Cy1 также является решением этого уравнения. Свойство линейности проверяется подстановкой в уравнение (4) с учетом того, что решение при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Свойство линейности может быть объединено в одно условие: если y1 и y2 – решения уравнения (4), то при любых постоянных C1 и C2 , C1 y1 + C2 y2 также является решением уравнения (4).

3.

Определитель Вронского двух функций

Определение 1 Определитель

   y1 y2     W (y1 , y2 ) =     = y1 y2 − y1 y2 y1 y2

называется определителем Вронского для заданных функций y1 = y1 (x) и y2 = y2 (x). Рассмотрим два частных решения y1 и y2 уравнения (4). Это означает, что y1 + a1 y1 + a2 y1 = 0, y2 + a1 y2 + a2 y2 = 0. Умножим члены первого равенства на y2 , а второе на y1 и вычтем из второго первое. Получим (y1 y2 − y1 y2 ) + a1 (y1 y2 − y1 y2 ) = 0, 7

(5)

Найдем производную определителя Вронского W  (y1 , y2 ) = y1 y2 − y1 y2 + y1 y2 − y1 y2 = y1 y2 − y1 y2 и (5) примет вид

W  + a1 W = 0.

Его решение:

(6)

 −

W = Ce

a1 dx

.



Формула (7) называется формулой Лиувилля. Здесь

(7) a1 dx

– любая первообразная. Выберем в качестве первообразной x a1 (t) dt, где x0 – произвольная точка из области опредеx0   здесь ления y1 и y2 . Тогда W y1 (x0 ), y2 (x0 ) = W0 = C 

 y(x0 ) = y  , откуда x=x0  x − a1 (t) dt W = W0 e x0 . (8) Получили формулу Лиувилля при начальных условиях   = W0 . W x=x0

Теорема 1 Если определитель Вронского W (y1 , y2 ), составленный для решений y1 и y2 уравнения (4) с непрерывными коэффициентами a1 и a2 , не равен нулю при каком-либо x0 ∈ [a, b], то он не обращается в нуль ни при каком значении x ∈ [a, b]. Доказательство Положим в формуле Лиувилля x0 , в которой W0 = 0 . Тогда  x a(t) dt = 0 W = W0 e x0 8

ни при каком значении x из рассматриваемой области, так как показательная функция в ноль не обращается. Следствие Если определитель Вронского обращается в ноль в какойлибо точке x0 , то он тождественно равен нулю.

4.

Линейная зависимость (независимость) двух функций

Определение 2 Две функции y1 = y1 (x) и y2 = y2 (x) называются линейно независимыми на отрезке [a, b], если их отношение на y2 = const. этом отрезке не является постоянным, т.е. если y1 В противном случае функции y1 и y2 называются линейно зависимыми. Иными словами, для двух линейно зависимых на [a, b] функций y1 и y2 существует постоянная λ такая, что y2 для всех x ∈ [a, b] = λ или y2 = λy1 . Найдем производную y1 y2 отношения y1   y2 y1 y2 − y1 y2 W (y1 , y2 ) = = . (9) y1 y12 y12 Из (9) следует, что линейная независимость y1 и y2 равносильна тому, что определитель Вронского для этих двух функций не равен нулю, а линейная зависимость равносильна равенству нулю определителя Вронского. Замечание 2 Можно дать равносильное определение линейно независимых функций. Функции y1 и y2 называются линейно независимыми, если равенство C1 y1 + C2 y2 = 0, где C1 и C2 – 9

постоянные, справедливо только при C1 = C2 = 0 на заданном интервале. В противном случае y1 и y2 называются линейно зависимыми. Это определение легко распространить на любое число функций.

5.

Линейная зависимость (независимость) решений однородного дифференциального уравнения. Связь с определителем Вронского

Теорема 2 Если y1 и y2 – линейно независимые решения уравнения (4), то определитель Вронского не равен нулю во всех точках x рассматриваемой области. Если определитель Вронского не   равен нулю в некоторой точке x0 , т.е. W  = W0 = 0, то y1 x=x0

и y2 линейно независимы. Доказательство Непосредственно следует из (9). Замечание 3 Если y1 и y2 – два решения уравнения (4), для которых определитель Вронского в некоторой точке x0 равен нулю, то он равен нулю во всех точках области, а y1 и y2 линейно зависимы.

10

6.

Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения

Теорема 3 Если y1 и y2 – два линейно независимых решения уравнения (4), то (10) y = C1 y1 + C2 y2 , где C1 и C2 – произвольные постоянные, является его общим решением. Доказательство Из свойства линейности решений следует, что (10) является решением уравнения (4) при любых C1 и C2 . Возьмем какое-либо решение, например, y¯ = y¯(x) с начальными условиями (x0 , y¯0 , y¯0 ). Подберем значения C1 и C2 так, чтобы решение C1 y1 + C2 y2 имело те же самые начальные условия. Очевидно, что такие C1 и C2 определяются из системы уравнений  y¯0 = C1 y10 + C2 y20 , (11)   + C2 y20 . y¯0 = C1 y10           Здесь y10 = y1  , y20 = y2  , y10 = y1  , y20 = y2  . x=x0

x=x0

x=x0

x=x0

Определитель системы (11) есть определитель Вронского решений y1 и y2 в точке x0 , который отличен от нуля в силу их линейной независимости. Поэтому система (11) имеет решение. Обозначим его C¯1 и C¯2 . Откуда следует, что решение C¯1 y1 + C¯2 y2 имеет начальные условия, совпадающие с начальными условиями для y¯. В силу теоремы существования и единственности эти решения совпадают во всей рассматриваемой области, и y¯ = C¯1 y1 + C¯2 y2 .

11

7.

Нахождение второго частного решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, линейно независимого с данным

Теорема 4 Если известно одно частное решение уравнения (4), то нахождение решения, линейно независимого с данным, сводится к интегрированию функций. Доказательство Пусть y1 – известное частное решение уравнения (4). Его общее решение выражается формулой y = C1 y1 + C2 y2 , где y1 и y2 линейно независимы, C1 и C2 – произвольные постоянные. На основании формулы Лиувилля (7) y1 y2

−

y1 y2

−

= C1 e

Ê

a1 (x) dx

.

Разделив обе части равенства на y12 , получим       a a1 (x) dx − (x) dx − 1 y1 y2 − y1 y2 1 1 y2 = 2 C1 e = 2 C1 e ; ; y12 y1 y1 y1   a1 (x) dx − y2 1 = C1 e dx + C2 . y1 y12 Положив C1 = 1, C2 = 0, получим   1 − a1 (x) dx y2 = y1 e dx. y12 12

(12)

Замечание 4 Для завершения доказательства отметить необходимость рассмотрения в обратном порядке. Пример 4 Найти общее решение уравнения xy  + 2y  + xy = 0, если sin x известно, что y1 = – его частное решение. x Решение Согласно (12), вычислим sin x y2 = x



 x2 − Ê 2 dx x2 − ln(x2 ) sin x x dx = dx = e 2 e x sin x sin2 x  sin x x2 dx cos x sin x cos x = · = − , = − 2 2 x x x sin x x sin x y = C1

8.

sin x cos x + C2 . x x

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Структура общего решения

Рассмотрим уравнение (3). Обозначим через y ∗ какое-либо частное решение уравнения (3) и положим y = z + y ∗ . Тогда (z + y ∗ ) + a1 (z + y ∗ ) + a2 (z + y ∗ ) = f (x), откуда z  + a1 z  + a2 z + y ∗  + a1 y ∗  + a2 y ∗ = f (x). 13

Отсюда следует, что z является решением уравнения (4). Рассуждая аналогично теореме о структуре общего решения уравнения (4), можно дать формулировку: Теорема 5 Общее решение уравнения (3) представляется как сумма какого - либо его частного решения y ∗ и общего решения z уравнения (4): y = z + y ∗ .

9.

Нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом вариации произвольной постоянной

Запишем общее решение уравнения (4) y = C1 y1 + C2 y2 , где y1 и y2 – линейно независимые решения уравнения (4). Будем искать частное решение y ∗ уравнения (3) в виде y ∗ = C1 (x)y1 + C2 (x)y2 ,

(13)

где C1 (x), C2(x) – неизвестные функции от x. Найдем производную от (13): y ∗  = C1 y1 + C2 y2 + C1 y1 + C2 y2 и подберем C1 и C2 так, чтобы выполнялось C1 y1 + C2 y2 = 0.

(14)

Тогда y ∗  = C1 y1 + C2 y2 ;

y ∗  = C1 y1 + C2 y2 + C1 y1 + C2 y2 .

Подставляя y ∗ , y ∗  , y ∗  в уравнение (3), получим C1 y1 +C2 y2 +C1 y1 +C2 y2 +a1 (C1 y1 +C2 y2 )+a2 (C1 y1 +C2 y2 ) = f (x), 14

C1 (y1 + a1 y1 + a2 y1 ) + C2 (y2 + a1 y2 + a2 y2 ) + C1 y1 + C2 y2 = f (x) или

C1 y1 + C2 y2 = f (x).

(15)

Объединяя (14) и (15), получим систему уравнений для нахождения C1 и C2 :   C1 y1 + C2 y2 = 0, C1 y1 + C2 y2 = f (x). Ее определитель есть определитель Вронского для y1 и y2 , который, в силу их линейной независимости, отличен от нуля. Решим эту систему. Ее определитель  a1 (x) dx − ; Δ=W =e     0 y2    f (x) y2  a1 (x) dx −f (x)y2  C1 = ; = = −f (x)y2 e Δ Δ      y1 0     y1 f (x)  a1 (x) dx  = f (x)y1 e ; C2 = Δ     a1 (x) dx a1 (x) dx ∗ dx + y2 f (x)y1 e dx. y = −y1 f (x)y2 e (16)

15

Пример 5

y Решить уравнение y − = x. x Решение y  Соответствующие однородное уравнение y − = 0. Очеx видно, что y1 = 1 является решением этого уравнения. Второе частное решение, линейно независимое с данным, определим по формуле (12) 

 y2 =

y∗

 1/x dx e

 dx =

ln x

e



 dx =

x2 x dx = ; 2 

 1/x dx − x2 x2 − 1/x dx xe dx + dx = = − xe 2 2   2 x3 x3 x x2 x3 dx = − + = − dx + = 2 2 6 2 3 

(принимаем произвольную постоянную C = 0, так как ищем 1 любое частное решение). Общее решение: y = C1 +C2 x2 + x3 . 3 Теорема 6 Решение y ∗ уравнения y  + a1 y  + a2 y = λ2 f1 (x) + λ2 f2 (x) можно представить в виде суммы y ∗ = λy1∗ + λy2∗ , где y1∗ и y2∗ – соответственно решения уравнений y  + a1 y1 + a2 y = f1 (x) и y  + a1 y1 + a2 y = f2 (x).

16

Замечание 5 Пусть y  +a1 y  +a2 y = f (x, t) при достаточно общих условиях, если y(x, t) – частное решение, отвечающее f (x, t), и f (x, t) непрерывна при t = t0 , то и решение y(x, t) непрерывно в t = t0 . Как следствие, отсюда можно получить, что правой части ft (x, t) отвечает решение yt (x, t).

10.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение y  + py  + qy = 0,

(17)

где p, q – постоянные действительные числа. Для нахождения общего решения уравнения (17) достаточно знать два его линейно независимых частных решения. Будем искать частное решение в виде y = ekx , k – постоянная. Тогда y  = kekx , а y  = k 2 ekx . Подставим y, y  , y  в уравнение (17), получим ekx (k 2 + pk + q) = 0. Так как ekx = 0, то (18) k 2 + pk + q = 0. Уравнение (18) называется характеристическим уравнением для уравнения (17). Функция ekx будет решением уравнения (17) в том и только в том случае, когда k – корень характеристического уравнения. Так как (18) – квадратное уравнение, то оно имеет два корня: k1 и k2 . Возможны три случая: а) k1 и k2 – различные действительные числа; б) k1 = k2 действительные; 17

в) k1 и k2 комплексные числа. Рассмотрим эти случаи.

10.1.

Случай различных действительных корней характеристического уравнения

y1 = ek1 x , y2 = ek2 x – два линейно независимых частных y2 ek2 x решения, так как = k1 x = e(k2 −k1 )x = const. Общее решеy1 e ние уравнения (18) имеет вид y = C1 ek1 x + C2 ek2 x , где C1 , C2 – произвольные постоянные. Пример 6 Решить уравнение y  − 2y  − 3y = 0. Решение Характеристическое уравнение k 2 −2k−3 = 0 имеет корни k1 = −1, k2 = 3. Общее решение: y = C1 e−x + C2 e3x .

10.2.

Случай равных действительных корней характеристического уравнения

Так как k1 = k2 , то имеем одно частное решение y1 = ek1 x . Второе частное решение, линейно независимое с данным, получим по формуле (12)   p dx − k1 x −2k1 x e dx = e y2 = e   dx = xek1 x , = ek1 x e(−2k1 −p)x dx = ek1 x так как k1 = −

p и −2k1 − p = 0. Общее решение имеет вид 2

y = C1 ek1 x + C2 xek1 x = ek1 x (C1 + C2 x), 18

где C1 , C2 – произвольные постоянные. Пример 7 Решить уравнение y  + 2y  + y = 0. Решение Корни характеристического уравнения k 2 + 2k + 1 = 0; k1 = k2 = −1. Решение: y = e−x (C1 + C2 x).

10.3.

Случай комплексных корней характеристического уравнения

Корни характеристического уравнения k1,2 = α ± βi. Линейно независимые частные решения уравнения y1 = e(α+βi)x , y1 = e(α−βi)x . Очевидно, что если какая-либо комплексная функция действительного переменного y = u(x) + v(x)i удовлетворяет уравнению (17), то ему удовлетворяют функции u(x) и v(x), т.е. эти функции являются решениями уравнения (17). На основании формул Эйлера перепишем y1 и y2 в виде y1 = eαx (cos βx + i sin βx) = eαx cos βx + ieαx sin βx; y2 = eαx (cos βx − i sin βx) = eαx cos βx − ieαx sin βx. Следовательно, действительные функции y 1 = eαx cos βx, y 2 = eαx sin βx являются частными решениями уравнения (17), причем они линейно независимы, так как y2 = tg βx = const. y1 Общее решение уравнения (17) имеет вид y = C1 y 1 + C2 y 2 = C1 eαx cos βx + C2 eαx sin βx или

y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx), 19

C1 , C2 – произвольные постоянные. Если α = 0, то k1,2 = ±βx, то y = C1 cos βx + C2 sin βx. Пример 8 Найти общее решение уравнения y  + 4y  + 13y = 0. Решение Характеристическое уравнение k 2 + 4k + 13 = 0; k1,2 = −2 ± 3i; y = e−2x (C1 cos 3x + C2 sin 3x). Замечание 6 Если известны n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами, y1 , . . . , yn y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an y = 0, то его общее решение имеет вид

a1 , a2 , . . . , an – постоянные, (19)

u = C1 y1 + C2 y2 + . . . + Cn yn , где C1 , C2 , . . . , Cn – произвольные постоянные. Для нахождения частных линейно независимых решений уравнения (19) составляем характеристическое уравнение k n + a1 k n−1 + . . . + an = 0, которое имеет n корней: 1) каждому простому корню k характеристического уравнения соответствует решение ekx ; 2) каждому корню k кратности r соответствует r линейно независимых решений ekx , xekx , . . . , xr−1 ekx ;

20

3) каждой паре комплексно сопряженных простых корней α±βi соответствуют два линейно независимых частные решения eαx cos βx и eαx sin βx; 4) каждой паре комплексно сопряженных корней кратности μ соответствуют 2μ линейно независимых частных решений: eαx cos βx, xeαx cos βx, . . . , xμ−1 eαx cos βx; eαx sin βx, xeαx sin βx, . . . , xμ−1 eαx sin βx. n решений являются линейно независимы. Пример 9 Найти общее решение уравнения y (4) + a2 y  = 0. Решение Характеристическое уравнение k 4 + a2 k 2 = 0 имеет корни k1 = k2 = 0; k3,4 = ±ai. Линейно независимые частные решения: y1 = e0x = 1,

y2 = xe0x ,

y3 = e0x cos ax,

y4 = sin ax.

Общее решение: y = C1 + C2 x + C3 cos ax + C4 sin ax.

11.

11.1.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами Общий случай

Рассмотрим уравнение: y  + py  + qy = f (x), 21

(20)

где p и q – постоянные. Его общее решение имеет вид y = C1 y1 + C2 y2 + y ∗ , где линейно независимые частные решения соответствующего однородного уравнения (17) y1 и y2 определяются по корням характеристического уравнения, а y ∗ по формуле (16). Например, в случае действительных k1 = k2 : y1 = ek1 x , y2 = ek2 x ; ∗





y = −e

p dx





p dx

e f (x)e f (x)e dx+e dx =   = −ek1 x e−k1 x f (x) dx + ek2 x e−k2 x f (x) dx. (21)

k1 x

k2 x

e

k2 x

k1 x

На практике часто рассматриваются уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью вида

γx f (x) = e P (x) cos δx + Q(x) sin δx , (22) где P (x) и Q(x) – некоторые многочлены; γ и δ – числа. В этом случае интегрирование в (21) выполняется в конечном виде, в результате чего получается выражение вида (22) с теми же γ и δ, но с другими коэффициентами. Учитывая это, можно искать частное решение в виде (22) c неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой искомого решения в уравнение при помощи сравнения соответствующих коэффициентов. Однако можно рассматривать другой способ нахождения частного решения уравнения (20).

22

11.2.

Специальные случаи

11.2.1.

Правая часть вида f (x) = etx

Начнем с правой части f (x) = etx . Уравнение (20) примет вид (23) y  + py  + qy = etx . 1. Пусть корни характеристического уравнения (18) k1 = k2 и t = k1 , k2 . Ищем частное решение уравнения (23) в виде ([1], с. 90–91): y ∗ = Aetx .

(24)

Подставляя (24) в (23), получим A= и

1 t2 + pt + q

etx etx = . y = 2 t + pt + q (t − k1 )(t − k2 ) ∗

(25)

Пример 10 Найти общее решение уравнения y  − 2y  − 3y = e4x . Решение k1 = −1, k2 = 3, t = 4. Частное решение e4x e4x = , y = 16 − 8 − 3 5 ∗

1 а общее решение y = C1 e−x + C2 e3x + e4x . 5 p 2. Пусть k1 = k2 = − = t. В этом случае получаем 2 ∗

y = 23

etx t+

 . p 2 2

Пример 11 Решить уравнение y  − 2y  + y = e−x . Решение k1 = k2 = 1, t = −1. Частное решение e−x 1 −x e , = y = (−1 − 1)2 4 ∗

а общее решение 1 y = (C1 + C2 x)ex + e−x . 4 3. Рассмотрим случай k1 = k2 , t = k1 . Так как в этом случае t2 + pt + q = 0, выберем t = k1 + δ. В этом случае (25) e(k1 +δ)x ∗ . y = δ(k1 − k2 + δ) Поскольку ek1 x ·const – решение однородного уравнения (17), то в качестве частного решения уравнения (23) можно взять y1∗

e(k1 +δ)x ek1 x ek1 x (eδx − 1) = − = . δ(k1 − k2 + δ) δ(k1 − k2 + δ) δ(k1 − k2 + δ)

Перейдя к пределу при δ → 0, получим частное решение уравнения (23) ek1 x x y = . k1 − k2 ∗

Пример 12 Найти частное решение уравнения y  − 3y  + 2y = 3e2x . 24

Решение Корни характеристического уравнения k1 = 2, k2 = 1, t = k1 = 2. Частное решение уравнения y  − 3y  + 2y = e2x : xe2x ∗ y1 = = xe2x . 2−1 Частное решение заданного уравнения (теорема 6): y ∗ = 3y1∗ = 3xe2x . p p 4. В случае k1 = k2 = − = t положим t = − + δ и 2 2 возьмем частное решение (δ− p2 )x e−x p2 xe−x p2 (δ− p2 )x − e−x p2 − δxe−x p2 e e y1∗ = − 2 − . = δ2 δ δ δ2 x2 −x p При δ → 0 в пределе частное решение y = e 2 . 2 Пример 13 ∗

Найти общее решение уравнения y  − 2y  + y = ex . Решение

x2 x k1 = k2 = t = 1. Частное решение: y = e . Общее 2 решение уравнения:   2 2 x x ex . y = (C1 + C2 x)ex + ex = C1 + C2 x + 2 2 ∗

25

11.2.2.

Правая часть вида f (x) = Pn (x)etx

Пусть f (x) = xn etx ; n – натуральное. В этом случае частное решение уравнения (20) можно получить, дифференцируя n раз (25) по t. Подставим y ∗ в (23): (y ∗ ) + p(y ∗ ) + qy ∗ = etx .

(26)

Продифференцировав обе части (26) по t и учитывая, что (y  )t = (yt ) , (y  )t = (yt ) , получим (y ∗ t ) + p(y ∗ t ) + q(y ∗ t ) = xetx ,

(27)

т.е. y ∗ t является решением уравнения y  + py  + qy = xetx .

(28)

Аналогично n-я производная от y ∗ по t – решение уравнения (20) с правой частью f (x) = xn etx . Если f (x) = etx (a0 + a1 x + . . . + an xn ), то его частное решение определяется на основании теоремы 6 из решений, отвечающих каждому слагаемому правой части. Замечание 7 Для удобства дифференцирования y ∗ можно записать etx etx etx = + . y = 2 t + pt + q (k1 − k2 )(t − k1 ) (k2 − k1 )(t − k2 ) ∗

Пример 14 Найти частное решение уравнения y  − 3y  + 2y = e3x (x2 + x).

26

Решение Найдем частное решение уравнения y  − 3y  + 2y = etx . Корни соответствующего характеристического уравнения: k1 = 1, k2 = 2, t = k1 , k2 . Частное решение   tx 1 1 e = etx − : y∗ = 2 t − 3t + 2 t−2 t−1  yt∗  = xetx +

1 1 − t−2 t−1

 ytt∗  = x2 etx



 + etx 

1 1 − (t − 1)2 (t − 2)2







1 1 1 1 + + − + 2xetx − 2 2 t−2 t−1 (t − 2) (t − 1)   2 2 +etx − (t − 2)3 (t − 1)3



  1 1 1 1 2 tx 2 e x + − +x − − t − 2 t − 1 t − 2 t − 1 (t − 2)2  1 2 1 2 2 − . + + + − (t − 1)2 (t − 2)2 (t − 1)2 (t − 2)2 (t − 1)3 

При t = 3 получим  y ∗ = e3x

 1 2 x −x+1 . 2

Здесь yt∗  – частное решение, соответствующее правой части xetx ; ytt∗  – частное решение, соответствующее правой части x2 etx . Их сумма при t = 3 – искомое решение. Пример 15 Найти общее решение уравнения y  + 4y  + 4y = xe2x .

27

Решение Корни характеристического уравнения k1 = k2 = −2, t = 2. Решение уравнения y  + 4y  + 4y = etx : 1 2 etx ∗ ∗  tx tx ; (y ) = xe − e ; y1 = 1 t 3 (t + 2)2 (t + 2)2 (t + 2)   x 1 − ; общее репри t = 2: частное решение y ∗ = e2x 16 32 шение   x 1 y = (C1 + C2 x)e−2x + e2x − . 16 32

12.

Упругие колебания

12.1.

Постановка задачи, основные уравнения

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами находят многочисленные приложения к разнообразным задачам, возникающим в механике, физике, технике и т.п. Одной из типичных является задача о колебании упругой рессоры (пружины) под действием груза и помещенной в среду, оказывающую сопротивление движениям рессоры. Другой подобный пример – разряд электрического конденсатора в цепи, содержащей сопротивление и индуктивность. Возьмем первую задачу. Пусть груз массы Q опирается на упругую рессору. Его отклонение от положения равновесия обозначим через y, причем за положительное принимается направление вниз (рис. 1).

28

z Положение равновесия y

Q

x Рис. 1 В положении равновесия груз уравновешивается упругостью рессоры. Сила, стремящаяся вернуть груз в это положение – восстанавливающая, пропорциональная отклонению, т.е. равна ky, где k – некоторый коэффициент, называемый жесткостью рессоры. Далее, движению рессоры препятствует сила сопротивления, направленная в сторону, противоположная направлению движения и пропорциональная скорости движения груза относительно нижней точки рессоры, т.е. dy равная λ , где λ – неотрицательный постоянный коэффициdx ент (амортизатор). Дифференциальное уравнение движения груза на рессоре, согласно второму закону Ньютона, будет иметь вид dy d2 y Q 2 = −ky − λ . dt dt Это уравнение можно переписать в форме d2 y dy + qy = 0, + p dt2 dt 29

(29)

λ k , q= – некоторые неотрицательные числа. ТаQ Q ким образом, колебания рессоры описываются линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Далее положим, что нижняя точка рессоры совершает вертикальные перемещения, согласно закону z = ϕ(t). К примеру, это может быть реализовано, когда нижняя точка рессоры прикреплена к колесу, которое вместе с рессорой и грузом перемещается по неровности (рис. 2). z

где p =

Положение равновесия y

x Рис. 2 В этом случае в уравнении (29) надо вместо y брать y + ϕ(t), и тогда вместо (29) получим уравнение d2 y dy + p + qy = f (t), dt2 dt где обозначено kϕ(t) + λϕ (t) . f (t) = − Q 30

(30)

Уравнение (29) называют уравнением свободных колебаний, уравнение (30) – уравнение вынужденных колебаний.

12.2.

Свободные колебания

Сначала проанализируем решения уравнения (29) y  + py  + qu = 0,

p ≥ 0,

q > 0.

Ему соответствует характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0, корни которого соответственно будут   2 p p2 p p − q, k2 = − − − q. k1 = − + 2 4 2 4 1) p2 − 4q > 0. Корни k1 , k2 различные отрицательные, и общее решение имеет вид y = C1 ek1 t + C2 ek2 t . Из формулы общего решения следует, что при любых C1 и C2 , y → 0 (k1 < 0, k2 < 0). Реально это означает, что сила сопротивления среды достаточно велика по сравнению с восстанавливающей силой, и при любых начальных условиях через “большой” промежуток времени колебания рессоры затухают. p 2) p2 − 4q = 0, k1 = k2 = − ; общее решение 2 p

p

p

y = C1 e− 2 t + C2 e− 2 t t = (C1 + C2 t)e− 2 t .

(31)

Анализ (31) показывает, что y → 0 при t → +∞. Здесь, как и в предыдущем случае, отклонение стремится к нулю при неограниченном увеличении времени, но не так быстро, как в предыдущем случае, благодаря наличию сомножителя C1 + C2 t. 31

3) p2 − 4q < 0, корни 



p2

p p2 k2 = − − i q − 2 4

p k1 = − + i q − , 2 4

комплексно сопряженные, и общее решение уравнения (29)     2 2 p p − p2 t (32) + C2 sin q − e . y = C1 cos q − 4 4 Если здесь p > 0, очевидно, что y → 0 при t → +∞. Таким образом, во всех случаях, когда p > 0, при t → ∞ колебания системы затухает. Рассмотрим еще p = 0 (отсутствие сопротивления среды). Из (32) следует, что y = C1 cos

√

qt + C2 sin

√ qt.

(33)

Преобразуем (33). С этой целью введем новые константы A и ϕ по формулам C1 = A sin ϕ,

C2 = A cos ϕ. (34)  Эти константы находятся, как A = C12 + C22 , ϕ0 = 1 . Если (34) подставить в (33), то окажется, что arctg C C2 √ y = A sin( qt + ϕ0 ).

(35)

Колебания в этом случае называются гармоническими. График (35) представляет собой синусоиду периода T = 2π √ , ϕ0 называется начальной фазой, A – амплитудой q √ колебания, а q – его частотой (рис. 3). 32

y T x

T Рис. 3 Амплитуда является, очевидно, максимальным отклонением от положения равновесия.

12.3.

Вынужденные колебания Уравнение вынужденных колебаний имеет вид y  + py  + qy = f (t),

p ≥ 0, q > 0.

Рассмотрим здесь только случай, когда p = 0, а возмущающая внешняя сила является гармоническим колебанием вида: f (t) = a sin ωt. Решение (30) складывается из общего решения однородного уравнения √ √ y = C1 cos qt + C2 sin qt и частного решения y ∗ неоднородного уравнения. Это физически означает, что на собственные колебания y накладывается y ∗ – отклик системы на внешнее воздействие f (t). Если √ ω = q, т.е. частота собственных колебаний не совпадает с частотой внешней силы a sin ωt, y∗ = q − ω2 33

и, следовательно, решение (30) будет: y = C1 cos

√

qt + C2 sin

√

qt +

a sin ωt. q − ω2

√ Если же ω = q, т.е. соответствующие частоты совпадают, то частное решение y ∗ – отклик системы на внешнее воздействие (25) at √ y ∗ = − √ cos qt, 2 q и общее решение y = C1 cos

√

qt + C2 sin

at √ √ qt − √ cos qt. 2 q

Второй член в правой части показывает, что в этом случае амплитуда колебания неограниченно возрастает при t → 0 (рис 4). y

y=x y = x sin x

(0, 0)

x

y = −x Рис.4 Это явление при совпадении частот собственных колебаний и внешнего воздействия называется резонансом.

34

13.

Системы дифференциальных уравнений

При решении многих задач требуется найти функции x = x(t), y = y(t), которые удовлетворяют системе двух дифференциальных уравнений, содержащих переменную t, неизвестные функции x, y от этой переменной и их производные: ⎧ dx ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ dt = f (t, x, y), (36) ⎪ ⎪ dy ⎪ ⎩ = g(t, x, y). dt Система (36) называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка. Решением системы называется пара функций x = x(t), y = y(t), удовлетворяющая системе. Общим решением системы называется пара функций  x = ϕ(t, C1 , C2 ), y = ψ(t, C1 , C2 ), (C1 и C2 – произвольные постоянные), удовлетворяющая условиям, аналогичным определению 2. Из общего решения можно найти решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям x(t0 ) = x0 ,

y(t0 ) = y0 .

(37)

Задача нахождения такого решения называется задачей Коши.

13.1.

Метод исключения неизвестной

Для решения системы (36) можно использовать метод исключения одной неизвестной функции, например, y. Для 35

этого продифференцируем первое уравнение системы (36) по переменной t. Получим d2 x ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f + · + · . = dt2 ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂x ∂y Заменяя и их выражениями из (36), соответственно, ∂t ∂t f и g, получим d2 x = F (t, x, y), dt2 где F (t, x, y) – некоторая функция. Рассмотрим систему ⎧ dx ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ dt = f (t, x, y); (38) ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎩ d x = F (t, x, y). dt2 Из первого уравнения системы (38) выразим y через t, x и dx и подставим во второе уравнение системы (38). Получим dt   2 dx dx = Φ t, x, . (39) dt2 dt Общим решением этого уравнения будет функция x = ϕ(t, C1 , C2 ); C1 , C2 – произвольные постоянные. Из первого уравнения системы (36) мы можем определить y как функцию от t, x и dx и, следовательно, y = Ψ(t, C1 , C2 ). dt Общим решением системы (38) являются функции  x = ϕ(t, C1 , C2 ); y = ψ(t, C1 , C2 ), 36

Решение системы (36) сводится к решению уравнения второго порядка (39). Справедливо и обратное утверждение: Пусть дано уравнение второго порядка (39). Введем новую неизвестную функцию y=

dx dt

(40)

d2 x dy dy = 2 или = Φ(t, x, y). и продифференцируем ее по t: dt dt dt Получили нормальную систему дифференциальных уравнений ⎧ dx ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ dt = y, ⎪ ⎪ dy ⎪ ⎩ = Φ(t, x, y). dt

13.2.

Линейные системы дифференциальных уравнений

Нормальная система дифференциальных уравнений ⎧ ⎪ ⎨ dx = a11 x + a12 y + f (t), dt (41) dy ⎪ ⎩ = a21 x + a22 y + g(t), dt где a11 , a12 , a21 , a22 , f , g – функции переменной t, заданных в некотором интервале, которые обычно предполагаются непрерывными, называется линейной. В случае f (t) = g(t) ≡ 0, система (41) называется линейной однородной, в противном случае – неоднородной. Замечание 8 Уравнение второго порядка (39), к которому сводится система (41), линейное. 37

В том случае, когда a11 , a12 , a21 , a22 постоянные, система (41) называется линейной системой с постоянными коэффициентами. Уравнение (39) в этом случае также окажется линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Пример 15 Решить систему уравнений ⎧ dx ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ dt = x + y + t, ⎪ ⎪ dy ⎪ ⎩ = −4x − 3y + 2t dt

    при x = 1, y  = 0. t=0 t=0 Решение Продифференцируем первое уравнение по t: d2 x dx dy = + + 1. dt2 dt dt Подставим сюда выражение первых производных из уравнения системы. Получим d2 x = x + y + t − 4x − 3y + 2t + 1, dt2 или

d2 x = −3x − 2y + 3t + 1. dt2 Из первого уравнения y=

dx − x − t; dt

d2 x dx = −3x − 2 + 2x + 5t + 1; dt2 dt 38

d2 x dx + 2 + x = 5t + 1. dt2 dt Корни характеристического уравнения k1 = k2 = −1. Частное решение находим в виде x∗ = At + B; 2A + At + B = 5t + 1 =⇒ A = 5,

B = −9;

x = (C1 t + C2 )e−t + 5t − 9. Используя первое начальное условие, получим C2 = 10. y = C1 e−t − (C1 t + C2 )e−t + 5 − (C1 t + C2 )e−t − 5t + 9 − t = = (C1 − 2C2 − 2C1 t)e−t − 6t + 14; 0 = C1 − 20 + 14, C1 = 6. Окончательно:  x = (6t + 10)e−t + 5t − 9, y = (−12t − 14)e−t − 6t + 14.

13.3.

Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами

Рассмотрим теперь линейную однородную систему уравнений с постоянными коэффициентами: ⎧ dx ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ dt = a11 x + a12 y, (42) ⎪ ⎪ dy ⎪ ⎩ = a21 x + a22 y. dt Будем искать частное решение системы в виде x = Aekt ;

y = Bekt . 39

(43)

Подставим эти выражения в систему. Получим ⎧ kt ⎨ ke = (Aa11 + Ba12 )ekt , ⎩

kekt = (Aa21 + Ba22 )ekt .

После преобразований получим:  A(a11 − k) + Ba12 = 0, Aa21 + B(a22 − k) = 0.

(44)

Выберем A и B такими, чтобы (43) удовлетворяли системе (44). Если определитель системы (44) отличен от нуля, то система (44) имеет единственное, т.е. нулевое решение A = B = 0 и, следовательно, x(t) = y(t) ≡ 0. Таким образом, ненулевое решение (43) получим только для таких значений, когда определитель системы (44) равен нулю, т.е. когда    a11 − k a12   = 0. (45)  a21 a22 − k  Уравнение (45) называется характеристическим уравнением для системы (42). Решив его, найдем корни k1 и k2 . Рассмотрим случаи. 13.3.1.

Случай различных действительных корней характеристического уравнения системы

Корни характеристического уравнения действительны и различны, т.е. k1 , k2 ∈ R, k1 = k2 . Для каждого из корней запишем систему (45) и определим коэффициенты α1 , β1 и α2 , β2 соответственно. Получим решение системы (42). x1 = A1 ek1 t , y1 = B1 ek1 t ; x2 = A2 ek2 t , y2 = B2 ek2 t , 40

Общее решение уравнения системы (42) имеет вид:  x = C1 A1 ek1 t + C2 A2 ek2 t , y = C1 B1 ek2 t + C2 B2 ek2 t , C1 и C2 – произвольные постоянные, значения которых могут быть найдены по начальным условиям. Пример 16 Решить систему уравнений ⎧ dx ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ dt = 2x + 2y, ⎪ ⎪ dy ⎪ ⎩ = x + 3y. dt Решение Составим характеристическое уравнение    2−k  2   = 0;  1 3−k  k 2 − 5k + 4 = 0; k1 = 1, k2 = 4. Решение системы ищем в виде x1 = A1 et , y1 = B1 et ; x2 = A2 e4t , y2 = B2 e4t . Для k1 = 1 определим α1 , β1 из условия  (2 − 1)A1 + 2B1 = 0, A1 + (3 − 1)B1 = 0. A1 = −2B1 . Положим B1 = − 12 , тогда A1 = 1. Аналогично для k2 = 4 получим A2 = B2 = 1. Общее решение системы имеет вид  x = C1 et + C2 e4t , y = − 12 C1 et + C2 e4t . 41

Эту же систему решим методом сведения к уравнению второго порядка: d2 x dy dx + 2 ; = 2 dt2 dt dt

d2 x = 2(2x + 2y) + 2(x + 3y); dt2   d2 x 1 dx = 6x + 10y; y = − 2x ; dt2 2 dt

d2 x d2 x dx dx − 10x; + 4x = 0. = 6x + 5 − 5 dt2 dt dt2 dt k1 = 1, k2 = 4. Тогда x = C1 et + C2 e4t , а  1 1 t 4t t 4t y= C1 e + 4C2 e − 2C1 e − 2C2 e = − C1 et + C2 e4t . 2 2 Окончательно, 

13.3.2.

x = C1 et + C2 e4t , 1 y = − C1 et + C2 e4t . 2

Случай комплексных корней характеристического уравнения системы

Корни характеристического уравнения комплексны: k1, 2 = α ± βi. Действительная и мнимая части решений  x = Ae(α+βi)t , y = Be(α+βi)t также являются решениями систем (A и B – комплексные). В этом случае x1 = (a1 + ib1 )e(α+iβ)t , x2 = (a1 − ib1 )e(α−iβ)t; y1 = (a2 + ib2 )e(α+iβ)t, y2 = (a2 − ib2 )e(α−iβ)t. 42

(46)

Выделим из этих выражений действительные и мнимые части: x˜1 = eαt (a1 cos βt − b1 sin βt), x˜2 = etα (a1 sin βt + b1 cos βt); y˜1 = eαt (a2 cos βt − b2 sin βt), y˜2 = etα (a2 sin βt + b2 cos βt). (47)  x = C1 x˜1 + C2 x˜2 , Общее решение: y = C1 y˜1 + C2 y˜2 . Пример 17 Решить систему: ⎧ dx ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ dt = x − 2y, ⎪ ⎪ dy ⎪ ⎩ = x − y. dt Найти частное решение, удовлетворяющее условиям x(0) = y(0) = 1. Решение    1−k −2  Характеристическое уравнение  = 0, 1 −1 − k  k 2 + 1 = 0 имеет корни k = ±i. Из системы (44) определяем: A = 2,

B = 1 − i;

a1 = 2,

b1 = 0;

a2 = 1,

b2 = −1.

Подставляем в (46), получаем: x˜2 = 2 sin t, x˜1 = 2 cos t, y˜1 = cos t + sin t, y˜2 = sin t − cos t. Общее решение (47):  x = 2C1 cos t + 2C2 sin t, y = C1 (cos t + sin t) + C2 (sin t − cos t). При t = 0,

1 = 2C1 , C1 = 0, 5; 1 = C1 − C2 , C2 = −0.5:  x = cos t − sin t, y = cos t. 43

13.3.3.

Случай равных действительных корней характеристического уравнения системы

Корни характеристического уравнения равны k1 = k2 = k. Пример 18 Найти общее решение системы: ⎧ dx ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ dt = y − x, ⎪ ⎪ dy ⎪ ⎩ = −x − 3y. dt Решение

   −1 − k  1   = 0, Характеристическое уравнение  −1 −3 − k  k 2 + 4k + 4 = 0 имеет равные корни k1 = k2 = −2. Подставив k = −2 в систему (44), получим A = −B. Положим A = 1. Получим x1 = e−2t , y1 = e−2t . Известно, что второе частное решение, линейно независимое с x, имеет вид x2 = e−2t t. Тогда y2 находим в виде y2 = Ae−2t t + Be−2t . Подставляя y2 в уравнение системы, получим −2t + 1 = At + B − t,

(−2 − A + 1)t − B + 1 = 0,

откуда A = −1, B = 1. y2 = −e−2t t + e−2t .  x = (C1 + C1 t)e−2t , Общее решение системы y = (−C1 − C2 t + C2 )e−2t . Система может быть решена исключением одной неизвестной функции, например y. Получим уравнение второго порядка dx d2 x + 4 + 4x = 0. dt2 dt 44

Библиографический список 1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1975. Т.2. 2. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 3. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1970. 4. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Т. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М.: Высш. шк., 1978. 5. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М.: Наука, 1970.

45

Оглавление 1. Дифференциальные уравнения высших порядков 3 1.1. Уравнение, не содержащее в явном виде искомой функции и ее первой производной . . . . . 4 1.2. Уравнение, не содержащее в явном виде искомой функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Уравнение, не содержащее в явном виде независимой переменной . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 6 3. Определитель Вронского двух функций

7

4. Линейная зависимость (независимость) двух функций 9 5. Линейная зависимость (независимость) решений однородного дифференциального уравнения. Связь с определителем Вронского 10 6. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 11 7. Нахождение второго частного решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, линейно независимого с данным 12 8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Структура общего решения 13 46

9. Нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом вариации произвольной постоянной 14 10. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 17 10.1.Случай различных действительных корней характеристического уравнения . . . . . . . . . . 18 10.2.Случай равных действительных корней характеристического уравнения . . . . . . . . . . . . 18 10.3.Случай комплексных корней характеристического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами 11.1.Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.Специальные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1.Правая часть вида f (x) = etx . . . . . . . 11.2.2.Правая часть вида f (x) = Pn (x)etx . . .

21 21 23 23 26

12. Упругие колебания 28 12.1.Постановка задачи, основные уравнения . . . . 28 12.2.Свободные колебания . . . . . . . . . . . . . . . 31 12.3.Вынужденные колебания . . . . . . . . . . . . . 33 13. Системы дифференциальных уравнений 35 13.1.Метод исключения неизвестной . . . . . . . . . 35 13.2.Линейные системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 13.3.Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

47

13.3.1.Случай различных действительных корней характеристического уравнения системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.2.Случай комплексных корней характеристического уравнения системы . . . . . . 13.3.3.Случай равных действительных корней характеристического уравнения системы Библиографический список

48

40 42 44 45

Учебное издание Зингер Абрам Аронович Зингер Виктор Абрамович Сирота Юрий Наумович

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Учебно-методическое пособие

Редактор А. В. Семенчук Подписано к печати 1.07.04. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,86. Уч.-изд. л. 2,0. Усл.кр-отт. 1,98. Тираж 300 экз. Заказ № Редакционно-издательский отдел Отпечатано с авторского оригинал-макета СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б.Морская, 67