Нелинейные волны в упругих средах

А. Г. Куликовский, Е.И.Свешникова НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ В книге излагаются результаты теоретического исследования нелинейных волн в упругих и вязкоупругих средах с учетом анизотропии материала, которая считается малой. Основное внимание уделено квазипоперечным волнам, которые обнаруживают нестандартное поведение даже при малой амплитуде. Результаты, касающиеся волн малой амплитуды, могут считаться в основном законченными и достаточно полными. Обсуждаются проблемы, связанные с имеющей место неединственностью решений упругих задач. Книга содержит большую вводную первую главу, в которой излагаются общие методы и результаты изучения гиперболических систем уравнений, выражающих законы сохранения. Содержание этой главы может представлять интерес для приложений в других областях механики и физики. Книга содержит список литературы и предметный указатель. Книга предназначена для специалистов в области механики сплошной среды и уравнений в частных производных, а также студентам и аспирантам механикам и математикам. Содержание Предисловие 7 1. Математическое введение 13 1.1. Законы сохранения и соответствующие им дифференциальные 13 уравнения 1.2. Гиперболические системы. Линейные и линеаризованные уравнения. 18 Слабые разрывы. Инварианты Римана 1.3. Граничные условия. Эволюционность 26 1.4. Волны Римана 31 1.5. Разрывы и соотношения на них. Ударная адиабата 38 1.6. Условия эволюционности разрывов 43 1.7. Разрывы малой интенсивности 50 1.8. Поведение ударной адиабаты в окрестности точек Жуге 55 1.9. Распад произвольного разрыва и другие автомодельные задачи 61 1.10. Уравнения законов сохранения в форме Годунова. Энтропия 71 1.11. Решения с разрывами как предел непрерывных решений уравнений 77 усложненной модели 1.12. Малые возмущения в среде с диссипацией 81 1.13. Структура ударных волн 84 1.14. Дополнительные соотношения на разрыве 88 1.15. Еще о структуре и о числе дополнительных соотношений 96 2. Постановка задачи о плоских волнах в упругой среде 117 2.1. Модель упругой среды. Система уравнений 117 2.2. Уравнения теории упругости для одномерных движений в виде плоских 126 волн. Условия на разрыве 2.3. Волновая изотропия и анизотропия. Внутренняя энергия среды с малой 131 волновой анизотропией

2.4. Задание упругого потенциала для слабонелинейной среды 2.5. Распространение нелинейных волн в средах, взаимодействующих с электромагнитным полем 3. Волны Римана 3.1. Малые возмущения. Линейные волны 3.2. Уравнения для волн Римана 3.3. Квазипродольные волны Римана 3.4. Квазипоперечные волны Римана 3.5. Изменение величин в квазипоперечных волнах 3.6. Эволюция квазипоперечных волн Римана 3.7. Волны Римана в случае волновой изотропии 4. Ударные волны 4.1. Условия на слабых ударных волнах 4.2. Квазипродольные ударные волны 4.3. Квазипоперечные ударные волны. Ударная адиабата 4.4. Условие неубывания энтропии 4.5. Условия эволюционности скачка. Точки Жуге 4.6. Скорость квазипоперечных ударных волн 4.7. Типы эволюционных ударных, волн и их количество 4.8. Положение участков эволюционности на ударной адиабате 4.9. Ударные переходы в заданное состояние 4. 10. Частные виды начальной деформации 4.11. Квазипоперечные ударные волны при G/R2 <<1 и G/R2 >>1 4.12. Волны в несжимаемых средах 4.13. Представление неэволюционного разрыва двумя эволюционными, идущими с одинаковой скоростью 5. Нестационарные автомодельные задачи для волн малой амплитуды 5.1. Предварительные замечания 5.2. Задача о внезапном изменении нагрузки на границе полупространства ("задача о поршне") 5.3. Построение решения в средах с κ > 0 5.4. Построение решения в средах с κ <0 5.5. Распад произвольного начального разрыва. Соударение ударных волн 6. Двумерные стационарные нелинейные волны и автомодельные решения 6.1. Простые волны 6.2. Стационарные ударные волны в движущейся среде 6.3. Задача о бегущей нагрузке 7. Упрощенные уравнения теории упругости. Неавтомодельные задачи 7.1. Эквивалентная несжимаемая среда при описании квазипоперечных волн 7.2. Упрощенные уравнения для квазипоперечных волн, распространяющихся в одну сторону 7.3. Описание волн Римана и разрывов с помощью упрощенных уравнений

134 142 153 153 159 161 164 169 171 173 177 177 181 183 190 192 194 199 204 210 211 223 230 232 239 239 241 245 265 273 283 283 290 294 297 297 301 304

теории упругости 7.4. Инварианты Римана. Уравнения в плоскости годографа. 306 Неавтомодельные задачи 7.5. Эволюция при малой анизотропии волн, близких к вращательным. 310 Катастрофическая перестройка 8. Движения вязкоупругих сред 317 8.1. Модель Кельвина-Фойхта. Уравнения одномерных движений 317 8.2. Задача о структуре квазипоперечных ударных волн 320 8.3. Численные решения задач о вязкоупругих волнах, имеющие 333 автомодельную асимптотику 9. Волны конечной амплитуды в слабоанизотропных упругих средах 359 9.1. Введение. Случай волновой изотропии 359 9.2. Волны Римана в несжимаемой среде при g<< 1 365 9.3. Волны Римана в несжимаемой среде при анизотропии частного вида 374 9.4. Волны Римана в сжимаемой среде 377 9.5. Ударные волны в несжимаемой среде 381 9.6. Ударные волны в сжимаемой среде 392 Литература 399 Предметный указатель 407 Предметный указатель вращательный разрыв, 204, 225, 382 автомодельная волна Римана, 36, 240 второй закон термодинамики, 123 автомодельная задача, 61, 173, 239 гиперболическая система уравнений, адиабата Гюгонио, 180 18, 19, 79, 158 априорная эволюционность, 44, 332 действующая ударная адиабата, 89 бегущая волна, 23, 83, 102, 155, 174, деформационная анизотропия, 138 299, 361 деформация профиля волны, 33, бесконечная проводимость, 145 163,371 быстрая волна, 193, 367 диаграмма эволюционности, 49, 55, быстрая волна Римана, 169, 171, 367 57, 199 быстрая ударная волна, 200, 384 дивергентный вид уравнения, 16, вектор напряжения на площадке, 119 125 вектор потока тепла, 122 динамические уравнения теории взаимодействие ударных волн, 342, упругости, 125, 127, 299 346 дисперсионное уравнение, 101, 104 вмороженность магнитного поля, 144 диссипативная система, 101 внутренняя энергия, 121, 142 диссипативные коэффициенты, 80, волна разрежения, 163 112, 319, 333 волна Римана, 31, 159, 365 диссипативный процесс, 79, 319 волна сжатия, 163 дополнительные соотношения на волна круговой поляризации, 225 разрыве, 44, 89, 95, 108, 332 волновая анизотропия,133,138, 167, допустимые разрывы, 89 365, 374 задача Коши, 20 волновая изотропия,132, 137, 173,359 задача о поршне, 62, 240 вращательная волна, 174, 225, 361

задача о структуре разрыва, 85, 102, 319 закон сохранения количества движения, 119 закон сохранения массы, 118 закон сохранения энергии, 122, 180 закон теплопроводности Фурье, 124 законы сохранения, 14,16,40, 119, 128 изотропная среда, 132, 134, 153, 166 инварианты Римана, 23, 26, 83, 302, 306 интегральная кривая простой волны, 287 интегральные законы сохранения, 14,119 интегральные кривые волн Римана, 32, 170, 369 интегральные уравнения теории упругости, 125, 128 квазилинейная система уравнений, 17 квазиповоротный разрыв, 387 квазипоперечная волна, 137, 158, 164, 183, 193 квазипоперечный разрыв, 180 квазипродольная волна, 137, 158, 181, 193 квазипродольный разрыв, 180 кинематические уравнения теории упругости, 125, 127, 299 кинематическое условие на разрыве, 129 комбинация двух эволюционных волн, 234, 254 контактный разрыв, 273 круговая поляризация волны, 225 лагранжева скорость разрыва, 129 линеаризация уравнений, 23, 30, 100, 104, 157 линейная изотропная среда, 135,167 линейная система уравнений, 17, 22

линейные волны, 23, 155 магнитная гидродинамика, 146 магнитоупругость, 146 малые возмущения, 23, 81, 153, 360 малый разрыв, 50, 60 медленная волна, 193, 367 медленная волна Римана, 169, 367 медленная ударная волна, 200, 384 модель Кельвина-Фойхта, 317 напряженность магнитного поля, 143 напряженность электрического поля, 143 начальная окружность, 382 начальная плоскость, 361 начальная прямая, 382 начально-краевая задача, 27, 334, 347 неединственность автомодельного решения, 261, 270, 280, 335 несжимаемая среда, 127, 230, 366 неустойчивость решения, 31 область неединственности, 261, 270, 335 обратимые разрывы, 43, 361 опрокидывание волны, 36, 163, 173 ортотропная среда, 139 основные соотношения на разрыве, 40, 108 параметр волновой анизотропии, 154, 187 параметр нелинейности, 163, 167 передняя точка Жуге, 193 перестройка решения, 313, 348, 355 плоские волны, 14, 126 плоскополяризованная волна, 174, 212, 361 поворотный разрыв, 362, 382 полная система уравнений, 79, 99, 319 поперечная волна, 157, 174, 203, 225, 231 правило площадей, 385 приходящие малые возмущения, 217 приходящие характеристики, 27

продольная волна, 157, 182 производство энтропии,75, 80, 88 простая волна, 31, 159, 286 разрыв Жуге, 45 распад разрыва, 61, 64, 273 расширяющаяся волна Римана, 36, 64, 163, 173 семейство характеристик, 159, 287 сильный разрыв, 38 система уравнений теории упругости, 125 скачок величины, 40, 129 скачок разрежения, 182 скачок сжатия, 182 скорость малых возмущений, 23, 156, 382 скорость разрыва лагранжева, 129 скорость ударной волны, 194, 382, 385 скорость характеристики, 19, 22, 25, 168 слабоанизотропная среда, 133 слабый разрыв, 20, 38 собственные значения, 19, 360 собственный вектор, 19, 369 соотношение на характеристике, 20, 83 соотношения на разрывах, 40, 129,361 столкновение ударных, волн, 279 структура разрыва, 78, 87, 98, 102, 321 тензор градиентов перемещения, 123,136 тензор конечных деформаций, 118,136 тензор напряжений Коши, 121 тензор напряжений Пиолы— Кирхгоффа, 120 теорема о кинетической энергии, 82 теорема Пойнтинга, 143 термодинамически обратимые разрывы, 75 тождество Гиббса, 123

точка Жуге, 49, 55, 193, 391 трансверсально изотропная среда, 139 ударная адиабата, 42, 130, 180, 184, 187, 362, 363, 385 ударная волна, 31, 75, 180 ударная волна второго типа, 203 ударная волна Жуге, 45, 59, 193 ударная поляра, 291 упрощенная система для волн в одном направлении, 303, 319, 334 упрощенная система уравнений, 100, 319 упрощенные уравнения теории упругости, 298, 303, 319 упругая среда, 123 упругие волны в магнитном поле, 144 упругие волны в электромагнитном поле, 147 упругие модули среды, 136, 140 упругий потенциал, 124,132, 134, 359 уравнение Бюргерса, 84 уравнение в дивергентной форме, 16 уравнение притока тепла, 122 уравнения в форме Годунова, 72, 127 уравнения в форме Пиолы— Кирхгоффа, 121, 146 уравнения теории упругости, интегральные, 128 условиедиссипативности, 101 условие Жуге, 31 условие неубывания энтропии, 76, 182, 190, 202 условия Лакса, 46 условия эволюционности, 43, 48, 182, 192, 364, 396 усложненная модель, 78, 98, 317, 319 устойчивость разрыва, 46 уходящие малые возмущения, 217

уходящие характеристики, 27, 43 фронт в электромагнитном поле, 99 фронт разрыва, 37 фронт фазового перехода, 96 характеристика, 19,22, 159 характеристики приходящие, 27 характеристики уходящие, 27, 43 характеристическая скорость, 19, 22, 25, 106, 168, 180, 193, 360, 366 характеристическая форма системы уравнений,19 характеристическое направление, 19 характеристическое уравнение, 18, 156, 168, 368 центрированная волна Римана, 36, 240

эволюционная граница, 28, 30 эволюционные граничные условия, 28, 30 эволюционный отрезок, 48, 54, 202, 384,391 эволюционный прямоугольник, 47, 55, 200 эволюционный разрыв, 45 эволюционный участок, 202, 204 эквивалентная несжимаемая среда, 186, 298 электромагнитные волны, 142 энергия электромагнитного поля, 145 энтропийная волна, 157, 159 энтропийная окружность, 191 энтропия,16,72,79,123, 190, 364