К вопросу о существовании решения задачи Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2002. Том 43, № 3

УДК 517.95

К ВОПРОСУ О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА К. Б. Сабитов, М. Ф. Мугафаров Аннотация: Установлены экстремальные свойства регулярных и обобщенных решений задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа Li U ≡ K(y)uixx + uiyy + Ai (x, y)uix + Bi (x, y)uiy +

n X

Cik (x, y)uk = Fi (x, y),

(1)

k=1

где yK(y) > 0 при y 6= 0, i = 1, n, n ≥ 2, U = (u1 , u2 , . . . , un ) при некоторых ограничениях на ее коэффициенты. На основании этих свойств альтернирующим методом типа Шварца доказана однозначная обобщенная разрешимость задачи Трикоми для системы (1), когда K(y) = sgn y · |y|m , m = const ≥ 0, Fi (x, y) ≡ 0, при произвольном подходе эллиптической границы области к оси y = 0, за исключением случаев касания и осцилляции. Ил. 1, библиогр. 24.

§ 1. Постановка задачи. Основные результаты Рассмотрим систему Li U ≡ K(y)uixx + uiyy + Ai (x, y)uix + Bi (x, y)uiy +

n X

Cik (x, y)uk = Fi (x, y), (1)

k=1

где yK(y) > 0 при y 6= 0, i = 1, n, n ≥ 2, U = (u1 , u2 , . . . , un ), в области D ⊂ R2 , ограниченной простой кривой Жордана Γ, лежащей в полуплоскости y > 0 с концами в точках A(0, 0) и B(l, 0), l = const > 0, и характеристиками AC и CB системы (1) при y < 0. Части области D, в которых y > 0 и y < 0, обозначим соответственно через D+ и D− . В области D для системы (1) поставим аналог задачи Трикоми. Задача Т. Найти функцию U (x, y), удовлетворяющую условиям U (x, y) ∈ C(D) ∧ C 1 (D) ∧ C 2 (D+ ∪ D− ); Li U (x, y) ≡ Fi (x, y), (x, y) ∈ D+ ∪ D− , U (x, y) = Φ(x, y), U (x, y)|AC = Ψ(x),

i = 1, n;

(2) (3)

(x, y) ∈ Γ;

(4)

0 ≤ x ≤ l/2,

(5)

где Φ = (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ) и Ψ = (ψ1 , ψ2 , . . . , ψn ) — заданные достаточно гладкие вектор-функции, ϕi (0, 0) = ψi (0). Краевые задачи для систем уравнений смешанного типа изучены в работах [1–10]. В них теоремы единственности и существования в определенном Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 99–01–00934).

c 2002 Сабитов К. Б., Мугафаров М. Ф.

К вопросу о существовании решения задачи Трикоми

711

смысле решения задачи Т доказаны в предположении, что кривая Γ в точках A и B оканчивается ортогонально к оси Ox или сколь угодно малыми дугами «нормальной» кривой системы (1) и при достаточно жестких ограничениях на коэффициенты s системы. В работе [5] установлен принцип максимума модуn P u2i (x, y) решения задачи Т для системы (1) при K(y) = y, ля |U (x, y)| = i=1

Ai (x, y) = Bi (x, y) ≡ 0, (Cik (x, y)), i, k = 1, n, n ≥ 2, — отрицательно определенная матрица, компоненты которой в области D+ удовлетворяют условиям (n − 1)(Cik (x, y) + Cki (x, y)) ≤ 2(Cii (x, y)Ckk (x, y))1/2 ,

i 6= k,

(∗)

а в области D− достаточно малы, из которого следует единственность решения задачи Т. Если граничные функции достаточно гладкие и кривая Γ в точках A и B оканчивается ортогонально к оси Ox или сколь угодно малыми дугами «нормальной» кривой системы (1), на основе теоремы единственности методом интегральных уравнений получена теорема существования решения задачи Т. В работе [8] результаты из [5] перенесены для системы уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями изменения типа. В работах [3, 4, 6] при некоторых геометрических ограничениях на кривую Γ при условии, что матрицы A, B и C достаточно малы, доказана однозначная разрешимость задачи Т в пространстве W21 (D). В работах [1, 2, 6, 9] задача Трикоми исследована для систем уравнений смешанного типа первого порядка. Считая максимумом решения U (x, y) системы (1) число max max ui (x, y) i

D

(см. [11]), в данной работе установим экстремальные свойства решений задачи Т в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области D в классе регулярных и обобщенных решений системы (1). Под обобщенным в области D решением системы (1) понимается предел последовательности регулярных в D решений системы (1), равномерно сходящейся к нему в замкнутой области D. На основании этих свойств получены теоремы единственности и существования обобщенного решения задачи Т при произвольном подходе кривой Γ к оси Ox, за исключением случаев касания и осцилляции, без ограничений (∗) и малости коэффициентов системы (1). Для доказательства существования обобщенного решения задачи Т построен альтернирующий процесс типа Шварца. § 2. Экстремальные свойства решений системы в области эллиптичности Лемма 1. Пусть 1) функция U (x, y) принадлежит C(D + ) ∧ C 2 (D+ ) и Li U ≡ Fi , в D+ при всех i = 1, n; 2) коэффициенты системы (1) в области D+ ограничены, и n X Cik (x, y) ≥ 0 при k 6= i, Cii (x, y) + Cik (x, y) < 0, Fi ≥ 0 (≤ 0), (6) k6=i

или Cik (x, y) ≥ 0 при k 6= i,

Cii (x, y) +

n X

Cik (x, y) ≤ 0,

Fi > 0 (< 0).

(7)

k6=i

Тогда если max max ui (x, y) > 0 (min min ui (x, y) < 0), то этот максимум (миниi

D+

i

D+

мум) достигается только на границе области D+ .

712

К. Б. Сабитов, М. Ф. Мугафаров Доказательство. Пусть max max ui (x, y) = uj (Q) > 0. Допустим, что i

Q ∈ D+ . Тогда в точке Q ujx = ujy = 0,

D+

ujxx ≤ 0,

(8)

ujyy ≤ 0

и в силу условий (6) и (8) Lj [U (Q)] = Kujxx (Q) + ujyy (Q) +

n X

Cjk uk (Q)

k=1

= Kujxx (Q) + ujyy (Q) +

n X

Cjk [uk (Q) − uj (Q)] + uj (Q) Cjj +

k6=j

n X

Cjk

!

< 0.

k6=j

С другой стороны, Lj [U (Q)] = Fj (Q) ≥ 0. Полученное противоречие доказывает справедливость принципа максимума с условиями (6). Аналогично показывается справедливость принципа максимума при выполнении условий (7). Лемма 2. Пусть 1) функция U (x, y) принадлежит C(D + ) ∧ C 2 (D+ ) и Li U ≡ 0, в D+ при всех i = 1, n; 2) коэффициенты системы (1) в области D+ ограничены, и n X Cii (x, y) + |Cik (x, y)| < 0. (9) k6=i

Тогда если max max |ui (x, y)| > 0, то этот максимум достигается только на граi

D+

нице области D+ . Доказательство. Пусть max max |ui (x, y)| = |uj (Q)| > 0. Допустим, что i

D+

Q ∈ D+ . Пусть uj (Q) > 0. Тогда в силу условий (8) и (9) n X Lj [U (Q)] ≤ Kujxx (Q) + ujyy (Q) + Cjj uj (Q) + |Cjk ||uk (Q)| k6=j



≤ Kujxx (Q) + ujyy (Q) + uj (Q) Cjj +

n X k6=j



|Cjk | < 0.

С другой стороны, Lj [U (Q)] = 0. Если uj (Q) < 0, то n X Lj [U (Q)] ≥ Kujxx (Q) + ujyy (Q) + Cjj uj (Q) − |Cjk ||uk (Q)| k6=j



≥ Kujxx (Q) + ujyy (Q) + uj (Q) Cjj +

n X k6=j



|Cjk | > 0,

что противоречит Lj [U (Q)] = 0. Лемма 3. Пусть 1) U (x, y) ∈ C(D + ) ∧ C 2 (D+ ) и Li U ≡ Fi , в D+ при всех i = 1, n; 2) коэффициенты системы (1) в области D+ ограничены, и n X Cik (x, y) ≤ 0, Fi ≥ 0 (≤ 0), (10) Cik (x, y) ≥ 0, при k 6= i, Cii (x, y) + k6=i

при этом функции ui (x, y) не равны постоянной в любой подобласти области D+ .

К вопросу о существовании решения задачи Трикоми

713

Тогда если max max ui (x) = uj (Q) > 0, (min min ui (x) = uj (Q) < 0), то этот i

i

D+

D+

максимум (минимум) достигается только на границе области D+ . Доказательство. Введем вспомогательную функцию W (x, y) = (w1 , w2 , . . . , wn ), где wi (x, y) = ui (x, y)−uj (Q), которая в области D+ является решением системы n X Li (W ) = Fi − uj (Q) Cik (x, y), k=1

и wi (x, y) ≤ 0 в D+ , max max wi (x, y) = wj (Q) = 0. Тогда функция wj (x, y) в i

D+

D+ является решением эллиптического уравнения Mj (wj ) ≡ Kwjxx + wjyy + Aj wjx + Bj wjy + Cjj wj = gj ,

(11)

где gj = Fj − uj (Q)

n X

Cjk −

k=1

n X

Cjk wk .

k6=j

В силу условий (10) правая часть уравнения (11) неотрицательна в области D+ . Пусть Q ∈ D+ . Поскольку оператор Mj локально равномерно эллиптичен при y ≥ δ > 0, где δ — достаточно малое число, и его коэффициенты ограничены в D+ , то в силу теоремы Хопфа [12] wj (x, y) ≡ 0, что невозможно. Значит, Q ∈ ∂D+ . Лемма 4. Пусть 1) U (x, y) ∈ C(D+ ) ∧ C 2 (D+ ) и Li U ≡ 0 в D+ при всех i = 1, n; 2) коэффициенты системы (1) в области D+ ограничены, и Cii (x, y) +

n X

(12)

|Cik (x, y)| ≤ 0,

k6=i

при этом функции ui (x, y) не равны постоянной в любой подобласти области D+ . Тогда max max |ui (x, y)| > 0 достигается только на границе области D+ . i

D+

Доказательство. Пусть max max |ui (x, y)| = |uj (Q)| > 0. Не теряя общi

D+

ности, будем считать, что uj (Q) > 0. Тогда max max ui (x, y) = uj (Q) и |ui (x, y)| i

D+

≤ uj (Q) в D+ . Рассуждая, как при доказательстве леммы 3, введем новую функцию W (x, y). При этом функция wj (x, y) = uj (x, y) − uj (Q) является решением эллиптического уравнения (11), правая часть которого в силу условия (12) в области D+ неотрицательна. В самом деле,   X X gj = −uj (Q)Cjj − Cjk [uj (Q) + wk ] ≥ −uj (Q) Cjj + |Cjk | ≥ 0. k6=j

k6=j

Если теперь Q ∈ D+ , то в силу теоремы Хопфа [12] имеем wj (x, y) ≡ 0 в D+ , что невозможно. Замечание 1. В леммах 1–4 условия на коэффициенты системы (1) существенны.

714

К. Б. Сабитов, М. Ф. Мугафаров

В качестве примера рассмотрим в области D ⊂ R2 , содержащей в себе начало координат, систему ∂ 2 u1 ∂ 2 u1 + + 4αu1 − 4α2 (x2 + y 2 )u2 = 0, ∂x2 ∂y 2 ∂ 2 u2 ∂ 2 u2 + − 4α2 (x2 + y 2 )u1 + 4αu2 = 0, ∂x2 ∂y 2 где α = const > 0, для которой n X |Cik | = 4α + 4α2 (x2 + y 2 ) > 0. Cii + k6=i

Она имеет решение u1 = u2 = exp[−α(x2 + y 2 )]. Функции u1 и u2 достигают своего положительного глобального максимума внутри области D. n P Cik (x, y) ≡ 0 в области D+ при любом Замечание 2. Если в лемме 3 k=1

i, то нет необходимости в условии max max ui (x, y) > 0 (max max ui (x, y) < 0). i

i

D+

D+

Замечание 3. Экстремальные свойства модуля решений эллиптических и параболических систем изучались в работах [13–18]. Лемма 5. Пусть 1) U (x, y) ∈ C(D+ ) ∧ C 1 (D+ ∪ AB) ∧ C 2 (D+ ), Li U ≡ Fi в D+ при i = 1, n; 2) в области D+ коэффициенты системы (1) ограничены и удовлетворяют условию (10); 3) max max ui (x, y) = uj (x0 , 0) > 0 (min min ui = uj (x0 , 0) < 0), 0 < x0 < l. i

Тогда

i

D+

D+

lim ujy (x0 , y) < 0.

y→0+

(13)

Доказательство. Пусть max max ui (x, y) = uj (Q) > 0. Рассуждая анаi

D+

логично доказательству леммы 3, введем новую функцию W (x, y). При этом функция wj (x, y) является решением эллиптического уравнения (11), правая часть которого в силу условия (10) в области D+ неотрицательна. Тогда коэффициенты уравнения (11) и функция wj (x, y) удовлетворяют условиям леммы 1 [19]. Поэтому lim wjy (x0 , y) < 0. y→0+

Отсюда уже следует неравенство (13). Лемма 6. Пусть 1) U (x, y) ∈ C(D + ) ∧ C 1 (D+ ∪ AB) ∧ C 2 (D+ ), Li U ≡ 0 в D+ ; 2) в области D+ коэффициенты системы (1) ограничены и удовлетворяют условию (12); 3) max max |ui (x, y)| = |uj (x0 , 0)| > 0, 0 < x0 < l. i

Тогда

D+

lim

y→0+

∂ |uj (x0 , y)| < 0. ∂y

(14)

Доказательство. Пусть max max |ui (x, y)| = |uj (Q)| > 0. В силу условий i

D+

леммы можно считать uj (Q) > 0. Тогда max max ui (x, y) = uj (Q) и |ui (x, y)| ≤ i

D+

К вопросу о существовании решения задачи Трикоми

715

uj (Q) в области D+ . Как и при доказательстве леммы 3, введем функцию W = (w1 , w2 , . . . , wn ), где wi = ui (x, y) − uj (Q). При этом функция wj (x, y) является решением эллиптического уравнения (11) и wj (x, y) ≤ 0 в D+ , max wj (x, y) = D+

wj (Q) = 0. Ввиду условия (12) правая часть уравнения (11) неотрицательна в D+ . Тогда коэффициенты уравнения (11) и функция wj (x, y) удовлетворяют условиям леммы 1 из [19], согласно которой lim wjy (x0 , y) < 0.

y→0+

Из последнего неравенства следует (14). § 3. Экстремальные свойства решений системы в области гиперболичности В области D− перейдем к характеристическим координатам Zy p Zy p ξ =x+ −K(t) dt, η = x − −K(t) dt, 0

0

где K(y) ∈ C[yc , 0] ∧ C 1 [yc , 0), yc — ордината точки C. В этих координатах система (1) имеет вид n X e i U (ξ, η) ≡ uiξη + ai (ξ, η)uiξ + bi (ξ, η)uiη + L cik (ξ, η)uk = fi (ξ, η), (15) k=1

где

√ √ ai (ξ, η) = (Ai + Bi −K − K 0 /2 −K)/4K, √ √ bi (ξ, η) = (Ai − Bi −K + K 0 /2 −K)/4K, cik (ξ, η) = Cik /4K,

fi (ξ, η) = Fi /4K,

а область D− отображается в ∆ = {(ξ, η) : 0 < ξ < η < l}. Обозначим через A0 = R (0, 0), B0 = (l, l), C0 = (0, l) вершины треугольника ∆; αi = ai βi , βi = exp bi dξ, hi = aiξ + ai bi − cii . Будем предполагать, что коэффициенты aiξ , bi , cik непрерывны в ∆, кроме, может быть, отрезка A0 B0 , где они могут обращаться в бесконечность, и удовлетворяют одному из условий   hi (ξ, η) ≥ 0, cik (ξ, η) ≤ 0 при i 6= k, n (16) Rξ P  αi (0, η) + βi (t, η) cik (t, η) dt > 0, 0 < ξ < η ≤ l; 0

αi (ξ, η) −

Zξ 0

k=1

βi (t, η) |hi (t, η)| +

n X

!

|cik (t, η)| dt > 0,

0 < ξ < η ≤ l.

(17)

k6=i

Предполагается, что функции fi (ξ, η) интегрируемы по ξ на каждом отрезке [0, ξ0 ] прямой η = η0 , 0 < ξ0 < η0 ≤ l. Определение 1. Под регулярным решением системы (15) в области ∆ будем понимать функцию U (ξ, η), удовлетворяющую условиям: U (ξ, η) ∈ C(∆)∧ e i U (ξ, η) ≡ fi (ξ, η) в ∆ при i = 1, n. C 1 (∆), Uη ∈ C(∆\A0 B0 ), Uξη ∈ C(∆), L

716

К. Б. Сабитов, М. Ф. Мугафаров

Лемма 7. Пусть 1) коэффициенты системы (15) обладают отмеченной выше гладкостью и удовлетворяют условию (16); 2) fi (ξ, η) ≥ 0 (≤ 0) в ∆; 3) U (ξ, η) — регулярное в ∆ решение системы (15), равное нулю на характеристике A0 C0 . Тогда если max max ui (ξ, η) > 0 (min min ui (ξ, η) < 0), то этот максимум i

i

∆

∆

(минимум) достигается только на отрезке A0 B0 . Доказательство. В области ∆ рассмотрим тождество n X βi L˜i (U ) ≡ (βi uiη + αi ui )ξ − ui βi hi + βi cik uk k6=i

и проинтегрируем его по отрезку N M прямой η = const, принадлежащему ∆. Тогда получим ! Z Z n X M βi h i u i − βi (18) βi fi dξ + cik uk dξ. (βi uiη + αi ui ) N = NM

k6=i

NM

Пусть max max ui (ξ, η) = uj (Q) > 0, Q ∈ ∆. Ясно, что Q 6∈ A0 C0 . Пусть i

∆

Q ∈ ∆ ∪ C0 B0 . Из точки Q проведем отрезок η = const до пересечения с характеристикой ξ = 0 в точке P . В равенстве (18) в качестве отрезка N M возьмем P Q и положим i = j. Тогда Z Z Z βj (Q)ujη (Q) = βj fj dξ + βj hj [uj − uj (Q)] dξ + uj (Q) βj hj dξ PQ

−

Z

PQ

=

Z

βj

n X

PQ

PQ

cjk [uk − uj (Q)] dξ − uj (Q)

k6=j

βj

Z

βj hj [uj − uj (Q)] dξ −

PQ

n X

cjk dξ − αj (Q)uj (Q)

k6=j

PQ

βj fj dξ +

PQ

Z

Z

βj

n X

cjk [uk − uj (Q)] dξ

k6=j

PQ

"

− uj (Q) αj (P ) +

Z PQ

βj

n X

#

cjk dξ .

k=1

Отсюда в силу условий леммы ujη (Q) < 0; противоречие с тем, что в точке Q максимума функции uj в ∆ производная ujη (Q) неотрицательна. Тогда Q ∈ A0 B0 . Лемма 8. Пусть 1) коэффициенты системы (15) удовлетворяют условию (17); 2) fi (ξ, η) ≡ 0; 3) U (ξ, η) — решение системы (15), равное нулю на характеристике A0 C0 . Тогда если max max |ui (ξ, η)| > 0, то этот максимум достигается на отрезке i

∆

A0 B0 . Доказательство. Пусть max max |ui (ξ, η)| = |uj (Q)| > 0. Не теряя общi

∆

ности, можно считать, что uj (Q) > 0. Тогда max max ui (ξ, η) = uj (Q) > 0 и i

∆

К вопросу о существовании решения задачи Трикоми

717

|ui (ξ, η)| ≤ uj (Q) в ∆. Пусть Q ∈ ∆ ∪ C0 B0 . Рассуждая аналогично доказательству леммы 7, из равенства (18) получим Z Z n X βj |hj ||uj | dξ + βj |cjk ||uk | dξ. βj (Q)ujη (Q) + αj (Q)uj (Q) ≤ PQ

k6=j

PQ

Из этой оценки в силу условия (17) следует, что " !# Z n X βj (Q)ujη (Q) ≤ −uj (Q) αj (Q) − βj |hj | + |cjk | dξ < 0. k6=j

PQ

Последнее противоречит тому, что в точке Q ∈ ∆ ∪ C0 B0 максимума функции uj (ξ, η) производная ujη (Q) неотрицательна. Полученное противоречие доказывает утверждение. Замечание 4. (a) Если hi ≥ 0 и cik ≤ 0 при k 6= i в области ∆, то условие (17) равносильно (16). В самом деле, пусть hi ≥ 0 и cik ≤ 0 при k 6= i в области ∆. Тогда βi hi = αiξ − βi cii и ! Zξ Zξ n n X X αi (ξ, η) − βi hi − cik dt = αi (0, η) + βi (t, η) cik (t, η) dt > 0. 0

k6=i

k=1

0

(б) Если hi ≥ 0 в области ∆, то условие (17) равносильно неравенству ! Zξ n X |cik | dt > 0. αi (0, η) + βi cii − k6=i

0

(в) Если hi (ξ, η) ≥ 0, cik (ξ, η) ≤ 0 при k 6= i, cii +

n P

cik ≥ 0 в области ∆ и

k6=i

ai (0, η) > 0 на промежутке (0, l], то условие (16) всегда выполнено. Рассмотрим случай, когда коэффициенты системы (15) не удовлетворяют условиям (16) или (17). n P

Лемма 9. Функции hi и hi +

cik являются инвариантами системы (15)

k6=i

относительно преобразований вида

(19)

ui (ξ, η) = vi (ξ, η) exp µ(ξ, η), где µ — числовая функция из пространства C . 2

Действительно, после подстановки (19) в систему (15) получим n X viξη + a0i viξ + b0i viη + c0ik vk = 0, k=1

где a0i = ai +µη , b0i = bi +µξ , c0ik = cik при k 6= i, c0ii = ai µξ +bi µη +µξη +µξ µη +cii . Тогда легко видеть, что n n X X h0i = a0iξ + a0i b0i − c0ii = aiξ + ai bi − cii = hi , h0i + c0ik = hi + cik . k6=i

k6=i

Из этой леммы вытекает, что преобразованиями вида (19) можно добиться выполнения условия (16) при определенной гладкости коэффициентов системы (15) в ∆.

718

К. Б. Сабитов, М. Ф. Мугафаров § 4. Экстремальные свойства решений системы в смешанной области 1. Принцип экстремума в классе регулярных решений.

Определение 2. Регулярным в области D решением системы (1) назовем функцию U (x, y), удовлетворяющую условиям (2) и (3), и такую, что Uη ∈ C(∆\A0 B0 ). Теорема 1. Пусть 1) коэффициенты системы (1) в области D+ удовлетворяют условиям леммы 3; 2) коэффициенты системы (1) в области D− в характеристических координатах (ξ, η) удовлетворяют условиям леммы 7; 3) Fi (x, y) ≥ 0 (Fi (x, y) ≤ 0) в D+ ∪ D− ; 4) U (x, y) — регулярное в D решение системы (1), равное нулю на характеристике AC. Тогда если max max ui (x, y) > 0 (min min ui < 0), то этот максимум (миниi

i

D

D

мум) достигается на кривой Γ. Доказательство. Пусть max max ui (x, y) = uj (Q) > 0. В силу леммы 7 i

D

Q ∈ D + . На основании леммы 3 Q 6∈ D+ . Следовательно, Q ∈ AB ∪ Γ. Пусть Q ∈ AB, т. е. Q = (x0 , 0), 0 < x0 < l. В этой точке из области D− в силу леммы 7: lim ujy (x0 , y) ≥ 0, y→0−

что на основании леммы 5 противоречит неравенству (13). Теорема 2. Пусть 1) коэффициенты системы (1) в области D+ удовлетворяют условиям леммы 4; 2) коэффициенты системы (1) в области D− в характеристических координатах (ξ, η) удовлетворяют условиям леммы 8; 3) Fi (x, y) ≡ 0 в D+ ∪ D− ; 4) U (x, y) — регулярное в D решение системы (1), равное нулю на характеристике AC. Тогда если max max |ui (x, y)| > 0, то этот максимум достигается на Γ. i

D

Доказательство. Пусть max max |ui (x, y)| = |uj (Q)| > 0. На основании i

D

леммы 8 точка Q находится на множестве D+ . В силу леммы 4 Q 6∈ D+ . Тогда Q ∈ AB ∪ Γ. Допустим, что точка Q ∈ AB, т. е. Q = (x0 , 0), 0 < x0 < l. В этой точке из области D− вследствие леммы 4 имеем ∂ |uj (x0 , y)| ≥ 0, lim y→0− ∂y что ввиду леммы 6 противоречит неравенству (14). Следовательно, Q ∈ Γ. Следствие 1. (а) Если выполнены условия теоремы 1 и Fi (x, y) ≡ 0 в D+ ∪ D− , то для любой точки (x, y) ∈ D справедлива оценка min min ui (x, y) ≤ ui (x, y) ≤ max max ui (x, y). i

i

Γ

(20)

Γ

(б) Если выполнены условия теоремы 2, то для любой точки (x, y) ∈ D |ui (x, y)| ≤ max max |ui (x, y)|. i

Γ

(21)

К вопросу о существовании решения задачи Трикоми

719

(в) Если коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям теоремы 1 или теоремы 2 и в классе регулярных в D решений системы (1) существует решение задачи Трикоми, то оно единственно. Следствие 2. (а) Пусть 1) коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям 1 и 2 теоремы 1; 2) Fi (x, y) ≤ 0(≥ 0) в D+ ∪ D− ; 3) U (x, y) — регулярное в D решение системы (1), равное нулю на характеристике AC. Тогда если ui ≥ 0 (≤ 0) Γ, то ui ≥ 0 (≤ 0) в D. (б) Пусть 1) коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям теоремы 1; 2) Li U ≤ Li V в области D− ∪ D+ ; 3) ui = vi на AC; 4) ui ≥ vi на Γ. Тогда ui ≥ vi в области D. 2. Принцип экстремума в классе обобщенных решений. Определение 3. Функцию U (x, y) назовем обобщенным в области D решением системы (1), если существует последовательность регулярных в области D решений {Up (x, y)} системы (1), равномерно сходящаяся к U (x, y) в замкнутой области D. Теорема 3. Пусть выполнены условия 1–3 теоремы 1 и U (x, y) — обобщенное в D решение системы (1), равное нулю на характеристике AC. Тогда если max max ui (x, y) > 0 (min min ui (x, y) < 0), то этот максимум (минимум) i

i

D

D

достигается на кривой Γ. Доказательство. Пусть max max ui (x, y) = uj (Q) = M > 0, и допустим, i

D

что Q S 6∈ Γ. Тогда Q ∈ D \ Γ. Положим Ei = {(x, y) ∈ D \ Γ | ui (x, y) = M } и E = Ei . Множество E замкнуто и не имеет общих точек с кривой Γ. Поскольку множества Γ и E замкнуты, ограничены и не имеют общих точек, то расстояние между ними больше нуля. Поэтому существует простая кривая σ, лежащая в области D+ , с концами в точках A и B такая, что σ ∩ E = ∅ и E ⊂ Dσ , где Dσ — область, ограниченная кривыми σ, AC и CB. Так как U (x, y) — обобщенное решение системы (1), равное нулюна AC, существует последовательность
регулярных в D решений {Up (x, y)} = up1 , up2 , . . . , upn системы (1) таких, что Up (x, y) = 0 на AC и {Up (x, y)} в D равномерно сходится к U (x, y). Поскольку в области Dσ выполнены условия теоремы 1, то max max upi (x, y) достигается на i

Dσ

кривой σ при любом p ∈ N. Пусть max max ui (x, y) = M0 . Ясно, что M0 < M . Обозначим ε = (M − i

σ

M0 )/2. В силу равномерной сходимости последовательности {Up (x, y)} в Dσ для взятого ε > 0 существует номер p0 такой, что для всех p > p0 , 1 ≤ i ≤ n и (x, y) ∈ Dσ выполняется условие ui (x, y) − ε < upi (x, y) < ui (x, y) + ε. Отсюда max max upi (x, y) ≥ upj (Q) > uj (Q) − ε = (M + M0 )/2 при p > p0 . На i

Dσ

кривой σ имеем upi (x, y) < ui (x, y) + ε ≤ (M + M0 )/2 при p > p0 , i = 1, n.

720

К. Б. Сабитов, М. Ф. Мугафаров

Следовательно, max max upi (x, y) при p > p0 не достигается на кривой σ, что i

Dσ

противоречит теореме 1. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение. Принцип минимума доказывается аналогично. Теорема 4. Пусть выполнены условия 1–3 теоремы 2 и U (x, y) — обобщенное в D решение системы (1), равное нулю на AC. Тогда если max max |ui (x, y)| i

D

> 0, то этот максимум достигается на кривой Γ. Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 3 с применением теоремы 2. Следствие 3. (а) Если выполнены условия теоремы 3, при этом Fi (x, y) ≡ 0, то для любой точки (x, y) ∈ D справедлива оценка (20). (б) Если выполнены условия теоремы 4, то для любой точки (x, y) ∈ D справедлива оценка (21). (в) Если коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям теоремы 3 или теоремы 4 и в классе обобщенных в D решений системы (1) существует решение задачи Трикоми, то оно единственно. Следствие 4. (а) Пусть 1) коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям 1 и 2 теоремы 1; 2) Fi (x, y) ≤ 0 (≥ 0) в D+ ∪ D− ; 3) U (x, y) — обобщенное в D решение системы (1), равное нулю на характеристике AC. Тогда если ui ≥ 0 (≤ 0) на Γ, то ui ≥ 0 (≤ 0) в D. (б) Пусть 1) коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям теоремы 3; 2) Li U ≤ Li V в области D− ∪ D+ ; 3) ui = vi на AC; 4) ui ≥ vi на Γ. Тогда ui ≥ vi в области D. § 5. Примеры Приведем примеры для иллюстрации изложенной теории. 1. В области D рассмотрим задачу Трикоми для уравнения смешанного типа: sgn y · wxx + wyy + M wx − λw = 0, (22) где M — вещественная постоянная, а λ — комплексный параметр. Пусть Re w = u1 , Im w = u2 , Re λ = α, Im λ = β. Тогда задача Трикоми для уравнения (22) равносильна задаче T для системы sgn yu1xx + u1yy + M u1x − αu1 + βu2 = 0, (23) sgn yu2xx + u2yy + M u2x − βu1 − αu2 = 0. p Лемма 10. Если α ≥ |β|, M ≤ − 2(α + |β|), U (x, y) = (u1 , u2 ) — функция, удовлетворяющая условиям (2), (3) применительно к системе (23) и равная нулю на характеристике AC, то для системы (23) справедливы теорема 2 и следствие 1. Доказательство. Для системы (23) K(y) = sgn y, A1 (x, y) = A2 (x, y) = M , B1 (x, y) = B2 (x, y) ≡ 0, C11 (x, y) = C22 (x, y) = −α, C12 (x, y) = β = −C21 (x, y). Отсюда видно, что если α ≥ |β|, то коэффициенты системы (23) удовлетворяют условию 1 теоремы 2.

К вопросу о существовании решения задачи Трикоми вид

721

Система (23) в характеристических координатах ξ = x + y, η = x − y имеет

M α β M β α (u1ξ +u1η )+ u1 − u2 = 0, u2ξη − (u2ξ +u2η )+ u1 + u2 = 0. (24) 4 4 4 4 4 4 M M α Отсюда a1 = a2 = − 4 , b1 = b2 = − 4 , c11 = c22 = 4 , c12 = − β4 , c21 = β4 , 2 α M M M h1 = h2 = M 16 − 4 , β1 = β2 = exp(− 4 ξ), α1 = α2 = − 4 exp(− 4 ξ). Тогда условие (17) для системы (24) принимает вид u1ξη −

   Zξ   2  M M M α β M − exp − ξ − exp − t 16 − 4 + 4 dt > 0, 4 4 4 0

где необходимо M < 0, 0 < ξ ≤ l, или M 2 − (|M 2 − 4α| + 4|β|)

exp(−M ξ/4) − 1 > 0. exp(−M ξ/4)

(25)

Для выполнения неравенства (25) достаточно, чтобы M 2 − 4|β| − |M 2 − 4α| ≥ 0, p а последнее равносильно неравенству M ≤ − 2(α + |β|). Таким образом, при указанных выше ограничениях коэффициенты системы (23) удовлетворяют условиям теоремы 2. Отсюда следует требуемое. 2. Рассмотрим задачу Трикоми для более общей, чем (1), нелинейной системы Li U ≡ K(y)uixx + uiyy + Ai uix + Bi uiy + Fi (x, y, U ) = 0, (26) где K(y), Ai (x, y), Bi (x, y), Fi (x, y, U ) — заданные в области D числовые функции, причем |ui | ≤ K0 в областях D+ и D− , и существуют непрерывные частные производные ∂Fi /∂uk , i, k = 1, n, n ≥ 2. Пусть Z = (z1 , z2 , . . . , zn ) и W = (w1 , w2 , . . . , wn ) — любые функции из класса регулярных в D решений системы (26). Тогда их разность U = W − Z является регулярным в D решением линейной системы. Действительно, Li (W )−Li (Z) = K(y)uixx +uiyy +Auix +Buiy +Fi (x, y, W )−Fi (x, y, Z) = 0. (27) Пусть G(t) = Fi [x, y, tw1 + (1 − t)z1 , tw2 + (1 − t)z2 , . . . , twn + (1 − t)zn ]. Тогда Fi (x, y, W ) − Fi (x, y, Z) =

Z1

0

G (t) dt =

n X k=1

0

uk

Z1

∂Fi dt. ∂uk

(28)

0

С учетом равенства (28) система (27) принимает вид n X Cik uk = 0, K(y)uixx + uiyy + Auix + Buiy +

(29)

k=1

где Cik =

Z1

∂Fi dt. ∂uk

0

Отсюда ясно, что если коэффициенты системы (29) удовлетворяют условиям теорем 1 или 2 и U = W − Z = 0 на характеристике AC, то max max(wi − zi ) i

или max max |wi − zi | достигается на Γ. i

D

D

722

К. Б. Сабитов, М. Ф. Мугафаров

Таким образом, если в классе регулярных в D решений системы (26) существует решение задачи T, то оно единственно при выполнении соответствующих условий относительно коэффициентов этой системы. Замечание 5. В работе [5] для системы (26) A = B ≡ 0 при K(y) = y, ∂Fi /∂uk > 0 при k, i = 1, n в D и |ui | ≤ k0 ; в D+ матрица (∂Fi /∂uk ) отрицательно определенная и   1/2  ∂Fk ∂Fi ∂Fi ∂Fk + , i 6= k; (n − 1) ≤2 ∂uk ∂ui ∂ui ∂uk в области D− функции ∂Fi /∂uk достаточно малы, в классе ее регулярных решений доказана единственность решения задачи Т. На основе теоремы единственности методом интегральных уравнений получена теорема существования регулярного решения задачи Т. Если кривая Γ из класса Ляпунова в точках A и B оканчивается сколь угодно малыми дугами «нормальной» кривой, Φ ∈ C 1 (Γ), Ψ ∈ C 3 [0, l/2], Ψ(0) = Φ(0, 0) = Φ(l, 0) = 0, то аналогично [5] для системы (26) методом интегральных уравнений проводится доказательство существования регулярного решения задачи Т. Отметим также, что задача Т для нелинейных уравнений смешанного типа изучалась в работах [20, 21]. § 6. Об условной разрешимости задачи Трикоми В дальнейшем предположим, что K(y) = sgn y|y|m , m = const ≥ 0, Fi (x, y) ≡ 0, Ai (x, y), Bi (x, y) ∈ C 1 (D + ) ∧ C 2 (D− ), Cik (x, y) ∈ C(D + ∪ D− ) удовлетворяют условиям теоремы 1 или 2; Γ — кривая из класса Ляпунова, x = x(s), y = y(s) — параметрические уравнения кривой Γ, s — длина дуги кривой Γ, отсчитываемая от точки B, S — длина кривой Γ; Γ0 — «нормальная» кривая системы (1), заданная уравнением (x − l/2)2 + 4y m+2 /(m + 2)2 = (l/2)2 ; D0 — область, ограниченная кривыми Γ0 , AC и CB; Φ(x, y) = Φ(x(s), y(s)) = Φ(s), 0 ≤ s ≤ S. Определение 4. Регулярное в D решение системы (1), удовлетворяющее условиям (4), (5), назовем регулярным решением задачи Т для системы (1). Определение 5. Равномерный в D предел последовательности регулярных решений задачи Т назовем обобщенным решением задачи Т. Теорема 5. Пусть в области D при условии, когда кривая Γ оканчивается в точках A и B сколь угодно малыми дугами «нормальной» кривой, существует регулярное решение задачи Т для системы (1). Тогда если Φ(s) ∈ C[0, S] и Ψ(x) ∈ C 3 [0, l/2], ψi (0) = φi (0) = φi (S) = 0, то существует единственное обобщенное решение U (x, y) задачи Т с граничными данными U = Φ на Γ и U = Ψ на AC при произвольном подходе кривой Γ к оси y = 0, за исключением случая, когда в достаточно малых окрестностях концов кривой Γ производная dx/ds меняет знак. Предварительно установим следующие вспомогательные утверждения. Лемма 11. Если U (x, y) ∈ C(D + ) ∧ C 2 (D+ ), Li U ≡ 0 в области D+ при всех i = 1, n, ui = 0 на кривой Γ, то для (x, y) ∈ D+ ∪ Γ справедлива оценка |ui (x, y)| ≤ θ max max |ui (x, 0)|, i

0≤x≤l

0 < θ < 1.

Доказательство этой леммы следует из леммы 3.

К вопросу о существовании решения задачи Трикоми

723

Лемма 12. Если D0+ ∪ Γ0 ⊂ D+ , Φ0 (x) ∈ C[0, l], Ψ(x) ∈ C 3 [0, l/2], Φ0 (0) = Ψ(0), то существует обобщенное решение U (x, y) задачи Т с граничными данными U = Φ0 на Γ0 и U = Ψ на AC.
 p Доказательство. Пусть {Φ0p (x)} = — последоваϕ01 , ϕp02 , . . . , ϕp0n тельность гладких вектор-функций таких, что ϕ0i (x) = lim ϕp0i (x) равномерно p

на сегменте [0, l] и Φ0p (0) = Φ0 (0). По условию теоремы 5 существует регулярное в D0 решение Up (x, y) задачи Т с краевыми данными Up = Φ0p на Γ0 и Up = Ψ на AC. На основании следствия 1 из теоремы 1 в D0 получаем оценку p u (x, y) − uq (x, y) ≤ max max ϕp − ϕq . i

i

i

0i

Γ0

0i

 Отсюда вытекает, что в D0 последовательность {Up (x, y)} = (up1 , up2 , . . . , upn ) регулярных решений задачи Т равномерно сходится. Пусть lim Up (x, y) = U (x, y). p

Предельная функция U (x, y) непрерывна в D 0 , U = Φ0 на Γ0 и U = Ψ на AC. При Ψ = 0 для этой функции справедлива оценка (30)

|ui (x, y)| ≤ max max |ϕ0i (x)|. i

Γ0

Лемма 13. Пусть D0+ ∪ Γ0 ⊂ D+ . Если Φ(s) ∈ C[0, S] и Ψ(x) ∈ C 3 [0, l/2], то существует обобщенное решение задачи Т с граничными данными U = Φ на Γ и U = Ψ на AC. Доказательство. Для построения такого решения применим альтернирующий метод типа Шварца. В областях D+ и D0 построим две последовательности решений системы (1). В силу
леммы 12 в области D0 существует обобщенное решение Z0 = z10 , z20 , . . . , zn0 задачи Т с данными zi0 = 0 на кривой Γ0 и Z0 = Ψ на AC. В области D+ существует решение задачи Дирихле для системы (1) с данными U0 = Φ на Γ и U0 = Z0 на отрезке AB [22, гл. II, § 3]. Пусть Zp (x, y) — обобщенное решение задачи Т в области D0 для системы (1) с граничными данными Zp (x, y) = Up−1 (x, y) на Γ0 и Zp = Ψ на AC, где p = 1, 2, . . . , Up (x, y) — решение задачи Дирихле для системы (1) в области D+ с данными Up = Φ на Γ и Up = Zp на AB. Докажем, что последовательности {Up (x, y)} и {Zp (x, y)} равномерно сходятся в D+ и D0 . Действительно, в силу леммы 3 p+1 u − upi ≤ max max zip+1 (x, 0) − zip (x, 0) ≤ max max zip+1 (x, y) − zip (x, y) . i i

i

0≤x≤l

D0

(31)

С другой стороны, ввиду оценки (30) и леммы 11 p+1 z (x, y) − z p (x, y) ≤ max max up − up−1 i

i

i

Γ0

i

i

(x, 0) ≤ θ max max zip − zip−1 . ≤ θ max max upi (x, 0) − up−1 i i

i

0≤x≤l

D0

Продолжая это рассуждение шаг за шагом, получим p+1 z − zip ≤ θp max max zi1 − zi0 . i

(32)

Из оценок (31) и (32) вытекает, что p+1 u − up ≤ θp max max z01 − zi0 .

(33)

i

i

i

i

D0

D0

724

К. Б. Сабитов, М. Ф. Мугафаров

Рис.1. Тогда в силу оценок (32) и (33) следует, что lim Up (x, y) = U (x, y) = (u1 , u2 , . . . , un ) p

равномерно в D0 и lim Zp (x, y) = Z(x, y) = (z1 , z2 , . . . , zn ) p

равномерно в D+ . Очевидно, что в D0+ имеем Z(x, y) ≡ U (x, y). Следовательно, функция U (x, y) является «аналитическим» продолжением функции Z(x, y) и регулярным решением системы (1) в области D+ . Кроме того, при Ψ = 0 |ui (x, y)| ≤ max max |ϕi |. (34) i

Γ

Определение 6. Функцию U (x, y) = (u1 , u2 , . . . , un ) назовем неотрицательной (положительной) на множестве E ⊂ R2 , если ui (x, y) ≥ 0 (ui > 0) на E при всех i = 1, n. Лемма 14. Пусть выполнены все условия леммы 13 и Φ(s) > 0 на (0, S), тогда существует обобщенное решение U (x, y) задачи Т для системы (1) такое, что U (x, y) = 0 на AC, U (x, y) ≥ 0 в D и U (x, y) > 0 в D+ ∪ Γ. Доказательство. По лемме 13 существует обобщенное в D решение U (x, y) задачи Т для системы (1) с граничными условиями U = Φ на Γ и U = 0 на AC. В области D+ такое решение задачи Т является решением системы (1). Если ϕi (s) > 0 на Γ, то с учетом следствия 2 ui (x, y) ≥ 0 в D. Допустим, что min min ui (x, y) = uj (Q) = 0 и Q ∈ D+ . Так как U (x, y) в области D+ является i

D+

регулярным решением системы (1), в силу леммы 3 ui (x, y) ≡ const = 0 в D+ . Последнее противоречит тому, что ui > 0 на кривой Γ. Доказательство теоремы 5. Пусть кривая Γ подходит к оси y = 0, как, например, указано на рис. 1.

К вопросу о существовании решения задачи Трикоми

725

1. Пусть U = Ψ = 0 на AC и Φ(s) = 0 при y < h и Φ(s) ≥ 0 при y ≥ h, h = const > 0. Построим последовательность дуг Γp , p = 1, 2, . . . , удовлетворяющих условиям: 1) Γ и Γp совпадают при y ≥ h; 2) Γp оканчивается в точках A и B малыми дугами cp и c0p «нормальных» кривых; 3) Γp — гладкая кривая из класса Ляпунова; 4) дуги cp и c0p стягиваются в точки A и B соответственно при p → ∞. Пусть Dp — область, ограниченная дугой Γp и характеристиками AC и CB. На кривой Γp определим функцию Φp (s) следующим образом:  Φ(s), y ≥ h, Φp (s) = 0, y < h. По условию в области Dp существует регулярное решение Up (x, y) задачи Т с граничными условиями Up = Φp на Γp и Up = Ψ = 0 на AC. Пусть Z(x, y) = (z1 , z2 , . . . , zn ) — обобщенное решение задачи Т в области ∗ ∗ ∗ D∗ , равное нулю на AC, и Z(x, y) > 0 в D+ , где D− ≡ D− , D+ ⊃ D+ ∪ Γ. Такое ∗ , то можно решение в силу леммы 14 существует. Так как zi (x, y) > 0 в D+ найти постоянную M , не зависящую от p и i и такую, что на кривой Γp имеет место неравенство M zi − upi ≥ 0. Отсюда на основании следствия 4 M zi − upi ≥ 0 в Dp .

(35)

Пусть Gp = Dp ∩ D. Положим  p ui (x, y), (x, y) ∈ Dp , vip (x, y) = 0, (x, y) ∈ D\Dp . q p Оценим vi − vi , где q > p, в D. Пусть Kp и Kp0 — два круга с центрами в точках A и B, внутри которых содержатся соответственно дуги cp и c0p , причем радиусы этих кругов стремятся к нулю при p → ∞. Положим εp = max max 0 zi (x, y). Тогда из оценки (35) вытекает, что на границе Gp при i

K p ∪K p

y≥0

q v − v p = uq − up ≤ 2M zi ≤ 2M εp . i i i i Поэтому всюду в Gp справедлива оценка viq − vip ≤ 2M εp . Для точек (x, y) ∈ D ∪ Dq \Dp имеем 0 ≤ vip ≤ M εp , а для (x, y) ∈ D\Dq будет vip (x, y) = viq (x, y) = 0. Тогда для (x, y) ∈ D получаем |viq − vip | ≤ 2M εp . Поскольку εp → 0 при оценки следует, что последователь p → ∞, из последней ность {Vp (x, y)} = (v1p , v2p , . . . , vnp ) равномерно сходится в D. Тогда lim Vp (x, y) = lim Up (x, y) = U (x, y). p

p

Ясно, что U (x, y) принимает на Γ значения Φ(s), а на характеристике AC будет U = 0. Функция U (x, y) в области D+ удовлетворяет системе (1) и непрерывна в D. При этом справедлива оценка 0 ≤ ui (x, y) ≤ max max ϕi . i

(36)

Γ

2. Пусть Φ(s) непрерывна и неотрицательна на [0, S] и Φ(0) = Φ(S) = 0. Построим последовательность {Φp (s)} непрерывных неотрицательных функций, исчезающих в достаточно малых окрестностях точек s = 0 и s = S, таких, что ϕ1i (s) ≤ ϕ2i (s) ≤ . . . , lim ϕpi (s) = ϕi (s) равномерно на [0, S]. По функциям Φp (s) p

726

К. Б. Сабитов, М. Ф. Мугафаров

в силу п. 1 построим последовательность {Up (x, y)} решений задачи Т. Тогда из оценки (36) при q > p в D вытекает, что
0 ≤ uqi − upi ≤ max max ϕqi − ϕpi . i

Γ

Отсюда следует, что в D существует равномерный предел lim Up (x, y) = U (x, y). p

В области D+ функция U удовлетворяет системе (1), U = Φ на Γ, U = 0 на AC и U (x, y) непрерывна в D. Кроме того, имеет место оценка 0 ≤ ui (x, y) ≤ max max ϕi . (37) i

Γ

3. Пусть Φ(s) — произвольная непрерывная функция и Φ(0) = Φ(S) = 0. В этом случае функцию Φ(s) можно представить в виде разности двух неотрицательных функций: Φ(s) = Φ+ (s) − Φ− (s) = (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ), ± ± Φ± (s) = (ϕ± 1 , ϕ2 , . . . , ϕn ),

ϕ+ i (s) = max(0, ϕi (s)), − |ϕi | = ϕ+ i + ϕi ,

− ϕi (s) = ϕ+ i − ϕi ,

ϕ− i (s) = max(0, −ϕi (s)),

Φ+ (0) = Φ− (0) = Φ+ (S) = Φ− (S) = 0.

В силу п. 2 решение задачи Т для системы (1) определяется формулой U (x, y) = − U+ (x, y) − U− (x, y) = (u1 , u2 , . . . , un ), где ui (x, y) = u+ i (x, y) − ui (x, y), U+ (x, y) и U− (x, y) строятся соответственно по функциям Φ+ (s) и Φ− (s). На основании оценки (37) получим − |ui (x, y)| ≤ u+ max ϕ+ max ϕ− i (x, y) + ui (x, y) ≤ max i (s) + max i (s) i i Γ Γ
− ≤ max max ϕ+ = max max |ϕi |. i + ϕi i

Γ

i

(38)

Γ

4. Пусть Ψ(x) 6= 0, D∗ — область из п. 1 с границей ∂D∗ = Γ∗ ∪ AC ∪ CB, причем D0 ∪ Γ0 ⊂ D∗ . По лемме 13 существует обобщенное решение U∗ (x, y) ∗ задачи Т, непрерывное в D , с граничными данными U∗ = 0 на Γ∗ и U∗ = Ψ на AC. Пусть Φ∗ (s) = U∗ на Γ. Тогда решение искомой задачи Т для области D e (x, y), где U e (x, y) — решение определяется по формуле U (x, y) = U∗ (x, y) − U e задачи Т в области D с граничными условиями U (x, y) = Φ(s) − Φ∗ (s) на Γ, e = 0 на AC. U e (x, y) задачи Т существует, что было показано в пп. 1–3. Решение U Единственность построенного решения U (x, y) задачи Т следует из оценок (34) и (38) или следствия 3. Ранее альтернирующий метод Шварца был применен для доказательства теорем существования решения задачи Трикоми для уравнений Лаврентьева — Бицадзе [22, c. 323], Трикоми [23, гл. III; 24] и более общего уравнения смешанного типа [19]. ЛИТЕРАТУРА 1. Киквидзе З. А. Об одной системе уравнений в частных производных смешанного типа // Сообщ. АН Груз. ССР.. 1954. Т. 15, № 6. С. 321–325. 2. Карамышев Ф. И. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа // Сиб. мат. журн.. 1961. Т. 2, № 4. С. 537–546.

К вопросу о существовании решения задачи Трикоми

727

3. Диденко В. П. О некоторых системах дифференциальных уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1962. Т. 144, № 4. С. 709–712. 4. Диденко B. П. О некоторых системах дифференциальных уравнений смешанного и смешанно-составного типов // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, № 1. С. 33–39. 5. Майоров И. В. Об одной нелинейной системе уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1968. Т. 183, № 2. С. 280–283. 6. Диденко В. П. Об обобщенной разрешимости граничных задач для систем дифференциальных уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, № 1. С. 24–29. 7. Чекмарев Т. Е. Задачи с граничными условиями для некоторых систем уравнений различных типов. Автореф. дис. . . . докт. физ.-мат. наук. Казань: Казанский гос. университет, 1974. 8. Цымбал Т. Е. Краевые задачи для системы уравнений смешанного типа с негладкой линией вырождения. Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. Киев, 1984. 9. Рябов А. В. Задача Т для одной системы дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа // Уравнения неклассического типа. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1986. С. 138–142. 10. Чекмарев Т. Е. Задача Трикоми для модельной системы уравнений в областях специальных видов // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 5. С. 860–871. 11. Сабитов К. Б. Принцип максимума для систем уравнений смешанного типа второго порядка // Докл. АН СССР. 1989. Т. 305, № 4. С. 783–786. 12. Hopf E. A. A remark on linear elliptic differential equations of second order // Proc. Amer. Math. Soc.. 1952. V. 3. P. 791–793. 13. Лаврентьев М. М. О принципе максимума для решений сильно эллиптических систем второго порядка // Докл. АН СССР. 1957. Т. 116, № 2. С. 175–176. 14. Эйдельман С. Д. Интегральный принцип максимума для сильно параболических систем и некоторые его применения // Изв. вузов. Математика. 1959. № 2. С. 252–258. 15. Protter M. H., Weinberger H. F. Maximum principles in differential equations. Englewood Cliffs. New Jersey: Prentice-Hall Inc., 1967. 16. Hile G. N., Protter M. H. Maximum principles for a class of first order elliptical systems // J. Differential Equations.. 1977. V. 24. P. 136–151. 17. Мазья В. Г., Кресин Г. И. О принципе максимума для сильно эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами // Мат. сб.. 1984. Т. 125, № 4. С. 458–480. 18. Figueiredo D. G., Mitidieri E. A. A maximum principle for an elliptic system and applications to semilinear problems // SIAM J. Math. Anal.. 1986. V. 17, N 4. P. 836–849. 19. Сабитов К. Б. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 12. С. 2092–2101. 20. Ларькин Н. А. Об одном классе нелинейных уравнений смешанного типа // Сиб. мат. журн.. 1978. Т. 19, № 6. С. 1308–1314. 21. Гвазава Д. К. О некоторых классах квазилинейных уравнений смешанного типа // Тр. Мат. ин-та АН Груз. ССР. 1981. Т. 67. С. 5–93. 22. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 23. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа. Дис. . . . докт. физ.-мат. наук. М.: Мат. ин-т АН СССР, 1952. 24. Germain P., Bader R. Sur le problem de Tricomi // C. R. Acad. Sci. Paris. 1951. V. 232. P. 463–465. Статья поступила 20 июня 2001 г. Сабитов Камиль Басирович, Мугафаров Марат Фавильевич Стерлитамакский гос. педагогический институт СФ АН РБ, пр. Ленина, 37, Стерлитамак 453103, РБ, Стерлитамакский филиал АН Республики Башкортостан [email protected], [email protected]