2 Федеральное агентство по образованию Восточно-Сибирский государственный технологический университет
В.В.БУНДАЕВ РУКОВ...
69 downloads
180 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
2 Федеральное агентство по образованию Восточно-Сибирский государственный технологический университет
В.В.БУНДАЕВ РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА МАТРИЧНЫМИ МЕТОДАМИ Учебное пособие Рекомендовано Дальневосточным региональным учебнометодическим центром (ДВ РУМЦ) в качестве учебного пособия для студентов направления 270100 (550100) «Строительство», специальностей 270102 (290300) «Промышленное и гражданское строительство», 270106 (290600) «Производство строительных материалов, изделий и конструкций», 270109 (290700) «Теплогазоснабжение и вентиляция», 151001 (120100) «Технология машиностроения» вузов региона»
Издательство ВСГТУ Улан-Удэ 2005
УДК 681.3.06(075); 620.10; 539.3 ББК 32.973.23-018я7 Б 61 Печатается по решению редакционно-издательского совета Восточно-Сибирского государственного технологического университета Рецензенты: д.ф.-м.н., профессор Д.С. Сандитов – Бурятский государственный университет им. Д.Банзарова; д.т.н., профессор С.О. Никифоров – Бурятский научный центр СО РАН. Бундаев В.В. Б 61 Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами: Учебное пособие. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2005. – 223 с. ISBN В пособии изложены современные высокоэффективные матричные методы расчета сложных стержневых систем при воздействии статических нагрузок. На конкретных типовых примерах подробно разобраны особенности применения этих методов, на основе которых разработаны соответствующие блок-схемы алгоритмов реализации каждого из этих методов и соответствующие компьютерные программы на языке Турбо Паскаль и в системе Mathcad. В целях закрепления пройденного материала в конце учебного пособия предлагаются задания для самостоятельного выполнения. Пособие предназначено для студентов старших курсов строительных и машиностроительных специальностей вузов, продолжающих углубленное изучение отдельных разделов прочностных дисциплин и интересующихся использованием ЭВМ в технических расчетах. Разработанные программы и методика проведения конкретных расчетов могут быть полезны при выполнении НИРС, курсовом и дипломном проектировании. Книга также может быть полезной для научных работников, аспирантов и инженерно-технических работников различных отраслей машиностроительной промышленности и строительного производства.
ISBN
© Бундаев В.В., 2005 г. © ВСГТУ, 2005 г.
4
3 Содержание Введение 1. Расчет статически определимых стержневых систем в матричном виде……………………………………………. 1.1. Описание матричного алгоритма для расчета статически определимых плоских рам………… 1.1.1 Расчет рамы в среде Mathcad ……………….. 1.2. Описание матричного алгоритма для расчета ферм……………………………………………. 1.2.1. Пример расчета статически определимой фермы…………………………………………… 1.2.2. Блок-схема алгоритма расчета статически определим ферм..……………………………… 1.2.3. Программа для расчета ферм на алгоритмическом языке Турбо Паскаль ……………….. 2. Расчет статически неопределимых стержневых систем в матричном виде………………………………………… 2.1. Описание матричного алгоритма для расчета рам методом перемещений ……………………. 2.1.1. Пример расчета рамы методом перемещений в среде Mathcad ………………………………..… 2.1.2. Блок-схема алгоритма расчета рамы методом перемещений …………………………………… 2.1.3. Программа для расчета рам на языке Turbo Pascal …………………………………………….. 2.2. Описание матричного алгоритма для расчета ферм методом сил ………………………………. 2.2.1. Пример расчета фермы методом сил……….. 2.2.2. Блок-схема алгоритма расчета статически неопределимых ферм методом сил ..…………… 2.2.3. Программа для расчета статически неопределимых ферм …………………………………… 3. Статический расчет систем методом конечных элементов……………………………………………………… 3.1. Описание алгоритма расчета стержней при растяжении и сжатии …………………………..
5 8 8 15 26 29 41 44 51 51 53 60 64 68 71 79 82 86 86
3.1.1. Пример расчета ступенчатого бруса при растяжении и сжатии ……………………………….. 3.2. Пример расчета ступенчатого вала при кручении 3.3. Блок-схема алгоритма расчета стержневых систем МКЭ …...………………………………… 3.4. Программа реализации МКЭ на ЭВМ ……….. 3.5. Расчет рам методом конечных элементов …… 3.5.1. Пример расчета плоской рамы ……………… 3.5.2. Расчет рамы в среде Mathcad ……………….. 3.6. Решение плоской задачи теории упругости в среде Mathcad …………………………………... 4. Автоматизация расчета конструкций МКЭ……………. 4.1. Некоторые возможности использования программного комплекса ANSYS …………………….. 4.2. Подготовка параметров компьютера и вход в программу в интерактивном режиме ……………… 4.3. Основные стадии решения задачи ……………. 4.3.1. Препроцессорная подготовка задачи ………. 4.3.2. Приложение нагрузок и получение решения.. 4.3.3. Постпроцессорная обработка результатов счета ………………………………………………… 4.4. Примеры решения статических прочностных задач ………………………………………………… 4.4.1. Расчет стержневых систем …………………. 4.4.2. Решение задач теории упругости …………… 5. Задания к самостоятельным работам ……..…………… Общие указания о порядке выполнения заданий ... Задание № 1. Расчет статически определимых ферм ……………………………………………… Задание № 2. Расчет статически неопределимых ферм ……………………………………………… Задание № 3. Расчет ступенчатого вала при кручении МКЭ …………………………………………….. Задание № 4. Расчет рам МКЭ …...……………….. Библиография ………..…………………………………….
93 102 113 117 122 135 146 162 176 176 176 177 178 181 182 183 183 193 207 207 208 212 217 219 222
5
6
ВВЕДЕНИЕ
нов по дисциплинам прочностного цикла на кафедрах, занимающихся подготовкой высококвалифицированных специалистов. Расчет сложных инженерных сооружений с использованием современных средств вычислительной техники дает возможность инженеру меньше заниматься рутинной вычислительной работой, а больше времени уделять анализу результатов расчетов, пониманию работы сооружения в целом и той роли, которую играют его отдельные элементы, устанавливать функциональную связь между внешними воздействиями, внутренними усилиями и формой конструкции; что способствует свободному и целенаправленному поиску решений задач оптимального проектирования сооружения. В связи с изложенным при освоении курсов прочностного цикла необходимо более полно изучить соответствующие разделы и внести в них следующие коррективы: -в наиболее доступной форме ознакомить студентов с основными понятиями и алгоритмами реализации современных численных методов расчета сложных систем; -выработать навыки составления соответствующих компьютерных программ на алгоритмических языках, а также со знанием дела использовать уже имеющиеся готовые программы; -научить студентов анализировать существующие и полученные в результате расчетов конструктивные решения, уметь находить оптимальные из них, а также помочь формированию рационального логического мышления. Обеспечение прочности и надежности сооружений, в сочетании с высокой экономичностью, возможны только при высокой квалификации инженера и овладении им современными методами сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости. В связи с изучением матричных методов решения задач указанных дисциплин студенту приходится повышать свою математическую подготовку и иметь дело с большим количеством учебной литературы. В этом пособии основной материал сосредоточен в одном месте, что позволяет с минимальной затратой времени на практике использовать весь аппарат матричного расчета. Изучение курса следует начинать с прора-
В связи с широким внедрением компьютерных технологий и математических методов в самые разнообразные сферы человеческой деятельности старые способы расчета инженерных сооружений, основанные на большом объеме ручного труда вычислительного и графического характера при расчете сравнительно несложных сооружений, уступают место новым методам [1-4]. В настоящее время все более широкое развитие и распространение получают матричные методы расчета сложных инженерных сооружений с применением ЭВМ [5-7]. Знание матричных форм расчета инженерных сооружений, ориентированных на использование ЭВМ, становится неотъемлемой частью подготовки высококвалифицированных специалистов, способных к профессиональной адаптации в различных отраслях строительного и машиностроительного производства. Хотя матричная форма расчетов известна давно, однако она долгое время не находила широкого применения из-за ограниченных возможностей средств вычислительной техники, а также из-за отсутствия доступного программного обеспечения. Имеющиеся программы были мало пригодны для учебных целей и рассчитаны на узких специалистов. В то же время следует отметить, что расчет в матричной форме является наиболее универсальным, приемлемым для любого вида конструкции независимо от свойств используемого материала, типа внешних нагрузок и конфигурации объекта исследования. В последние годы все большее распространение среди инженеров получают программные комплексы для ЭВМ (например, ANSYS, COSMOS/Works), основанные на матричных методах расчета различного рода инженерных конструкций и позволяющие автоматизировать процесс ввода исходных данных, получения решения и обработки результатов счета [8-10]. Таким образом, в современных условиях возникает настоятельная необходимость внедрения компьютерных технологий в практику расчетов сооружений, что предполагает существенную корректировку традиционных форм и методов организации учебного процесса, соответствующую переработку учебных пла-
7
8
ботки теоретических положений рассматриваемого метода, при этом необходимо составить краткий конспект и сделать соответствующие выводы. Лишь после этого следует перейти к разбору типовых примеров. Без изучения теории приступать к самостоятельному решению задач невозможно, так как только знание теории дает возможность решать любые задачи во всем их многообразии. В данном пособии основные вопросы теоретических положений иллюстрируются тщательно подобранными задачами, решения которых сопровождаются подробными объяснениями. Разработанные программы на алгоритмическом языке Турбо Паскаль и в математическом пакете Mathcad дают возможность проверить все результаты, полученные ручным счетом, и убедиться в надежности и универсальности работы этих программ, которые необходимы при выполнении прилагаемых в конце пособия заданий для закрепления полученных знаний. Самостоятельность выполнения этих заданий имеет первостепенное значение для усвоения учебного материала, изложенного в пособии. Разработанные программы могут быть использованы студентами в студенческих научных кружках при исследовании напряженнодеформированных состояний разнообразных строительных и машиностроительных конструкций и их элементов. Таким образом, изучая данное пособие, студенты углубляют свои знания в механике твердого деформируемого тела и овладевают современными методами решения сложных задач расчета и проектирования строительных и машиностроительных конструкций. Разобранные в пособии примеры решения задач и приведенные задания к самостоятельным работам помогут сформировать у студентов устойчивый интерес к самостоятельным исследованиям в области инженерных расчетов. Полученные знания и навыки будут служить основой для дальнейшего изучения студентами прочностных дисциплин.
1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ 1.1. Описание матричного алгоритма для расчета плоских рам Пусть дана статически определимая рама. Пронумеруем все ее узлы и стержни, причем за начало стержня будем принимать тот его конец, который примыкает к узлу, имеющий меньший номер. Для описания структуры рамы рассмотрим прямоугольную матрицу S c , в которой число строк равно числу узлов рамы У, а число столбцов – числу ее стержней С. При этом элементами матрицы S c являются числа 1, -1, 0. Заполнение матрицы производится по столбцам в соответствии с нумерацией стержней рамы. Число «1» помещается в той строке, номер которой совпадает с номером узла, являющимся началом стержня, а число «-1» - в строке с номером концевого узла; в остальных узлах столбца матрицы S c помещается число «0». Построенная таким образом матрица S c называется структурной. С помощью этой матрицы S c определяется вектор проек-
ρ
[ρ
ций стержней П = П1 формуле
ρ П2 Λ
ρ Пе Λ
ρ ρ П = − S cT C ,
ρ Пс
]
Т
по матричной (1.1)
где
ρ l ρ l ρ l ρ l П1 = 1x , П2 = 2 x , Λ , Пe = ex , Λ , ПС = cx , (1.2) lcx lex l2 x l1x ρ т.е. П e - вектор, имеющий компонентами проекции lex и ley
стержня с номером е на оси x и y общей для всех стержней рамы координат.
9
ρ ϖ ρ c = (c1 c 2 Λ
ρ cj
10
ρ T c y ) - вектор координат узлов, со-
Λ
ставленный из векторов
ρ x ρ x ρ x j ρ xy c1 = 1 , c1 = 1 ,Λ , c j = ,Λ , c y = , (1.3) y1 y1 yy y j ρ где c j - вектор, компонентами которого являются координаты узла с номером j. Значок «T» обозначает операцию транспонирования матрицы. Напомним, что матрица АТ называется транспонированной, если * ее элементы aij связаны с элементами исходной матрицы А со* отношением aij = a ji .
ρ
le = П e ⋅ П e ρ 1 ρ α e = Пe le
(1.5)
Перейдем теперь к установлению связей между усилиями, действующими на концы стержня е, в местной х ′оу ′ (рис.1.1,а) и общей хоу (рис.1.1,б) системах координат б) а) у
Nek Qен
N ek ρ N ek = Qek , M ek
Qek
Yek е ly
Хен
х Mен Рис.1.1.
0
1 0 0 F = 0 1 0 0 l 1
Сравнивая силовые факторы на концах одного и того же стержня (см. рис. 1.1,а и 1.1,б), получим ρ ρ ρ ρ (1.7) X = Ψ ⋅ N X = −Ψ ⋅ N ; или
ек
ен
ρ ρ N ен = − Ψ ⋅ X ен
ек
ρ ρ N ек = Ψ ⋅ X ек ,
(1.8)
где
X ек cos α sin α 0 ρ X ек = Yек Ψ = sin α − cos α 0 M ек 0 0 1 Заметим, что матрица Ψ , связывающая усилия и силовые
X ен ρ X ен = Yен M ен
факторы на концах стержня, является ортогональной ( Ψ −1 = Ψ ). Подставляя в формулу (1.6) выражения усилий в местной системе координат (1.8), получим ρ ρ ρ (1.9) X = −Ψ ⋅ F ⋅ Ψ ⋅ X = Φ ⋅ X , ен
ен
чить Mek Xek
Yен
N ен ρ N ен = Qен M ен
Перемножением соответствующих матриц можно полу-
х/
M ek
ен
где
еk
у
у/
О
ek
ен
Зная компоненты вектора П , можно определить длины ρ стержней le и векторы их направляющих косинусов α e (е = 1,2,…,с) по формулам ρT ρ (1.4)
α
Для стержня, изображенного на рис.1.1,а, можно составить уравнения равновесия в матричном виде ρ ρ (1.6) N = FN ,
х lx
−1 0 0 ρ Φ = −Ψ ⋅ F ⋅ Ψ = 0 − 1 0 − l y l x − 1 Заметим, что матрица Φ , устанавливающая связь между усилиями на концах стержня, может быть непосредственно по-
11
12
лучена составлением уравнений равновесия для стержня, изображенного на рис.1.1,б. Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы, где сходятся nj стержней ( рис.1.2).
Здесь прямоугольная блочная матрица S1 имеет 3У строки и 6С
ρ Пусть Pj = Pxj
[
]
T
Pyj Pxyj - вектор внешней нагрузки, ρ T приложенный к узлу j, а X e = [X e Ye M e ] - вектор усилий на конце стержня е, примыкающего к рассматриваемому узлу. Тогда условие равновесия узла j записывается в виде: nj ρ ρ Pj = ∑ X e
(1.10)
e =1
Pyj
Далее перейдем к составлению уравнений равновесия для всей системы в целом. Обозначим через
Ye Xe
Pxyj j
ρ ρ ρ ρ ρT Y = Y1 Y2 Λ Ye Λ Yc
[
Pxj
]
вектор внутренних усилий в стержнях фермы. Компоненты этого вектора выражаются через Рис.1.2 векторы усилий для концевых сечений каждого стержня в виде равенств
ρ Ye = [X ен
Связь
ρ ρ P = P1
[
ρ P2 Λ
между
Yен
ρ Pj Λ
M ен
X еk
вектором
ρ Py
]
T
Yеk
M еk ] .
внешних
на блок E1 , элементов "-1" на блок E 2 и элементов "0" на нулевую матрицу Ο , т.е.
1 0 0 0 0 0 0 E1 = 0 1 0 0 0 0 E 2 = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ο = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
Уравнения (1.11) необходимо дополнить соотношениями связи между усилиями в начале и в конце каждого стержня (1.9), которые для всей системы стержней могут быть записаны в виде ρ (1.12) S 2Y = 0 , где S 2 квазидиагональная матрица
E 3,1 Ο S2 = Λ Ο
Ο E 3, 2 Λ Ο
Ο Ο Λ Ο
Ο Ο , Λ E 3,C
блоки которой нагрузок
ρ и вектором Y представляет
собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (10) всех узлов рамы с помощью структурной матрицы S c : ρ ρ (1.11) P = S Y. 1
столбцов и получается из структурной S C заменой элементов 1"
E 3, e
1 =0 l ey
0 1 − l ex
0 1 0 0 0 0 1 0, (e = 1, 2, Κ , C ) 1 0 0 1
Объединив (1.11) и (1.12), получим матричное уравнение
ρ ρ P S1 ρ Q = ρ = ⋅ Y , 0 S 2
(1.13)
13
14
которое связывает внешние силы, приложенные к узлам системы, с внутренними усилиями в концевых сечениях стержней, а также связь внутренних усилий между собой. Уравнение (1.13) можно записать в более компактной форме ρ ρ (1.14) Q = S ⋅Y
Кроме этого определитель системы det S P должен быть отличным от нуля. Это условие, означающее геометрическую неизменяемость конструкции, является достаточным условием разрешимости рассматриваемой системы (1.15). ρ Тогда вектор неизвестных усилий Z легко определяется решением системы (1.15) ρ ρ (1.16) Z = S −1 ⋅ T
*
ρ
ρ
Размерности векторов Q и Y
соответственно равны
(3У+3С)×1 и (6С×1), а матрицы S * - (3У+3С)×6С. Следовательно, матрица S * в общем случае не является квадратной. Однако,
ρ
с учетом того, что среди компонентов вектора P имеются неизвестные опорные реакции и нулевые внешние нагрузки, а также среди внутренних усилий могут быть заведомо нулевые (например, моменты в сечениях около шарниров), уравнение (1.14) записывается в виде ρ ρ (1.15) T = S ⋅Z
P ρ ρ где вектор T получается из вектора Q удалением тех элемен-
тов, которые соответствуют наложенным на систему связям (наρ ρ пример, числу опорных стержней С0), а вектор Z - из вектора Y удалением тех элементов, которые являются заведомо нулевыми и число которых равно числу Ш простых шарниров в системе. Матрица S P получается из матрицы S * удалением строк, соот-
ρ
ветствующих удаленным элементам в векторе Q , и столбцов,
ρ
соответствующих удаленным элементам вектора Y . Для разрешимости системы (1.15) необходимо, чтобы матрица S P была квадратной, поэтому должно выполняться условие 3У+3С-Соп = 6С-Ш или 3У = 3С+Соп-Ш, т.е. число уравнений равновесия равно числу неизвестных усилий.
P ρ Затем строим вектор Y , после этого с использованием равенства
(1.14) находим опорные реакции, а с помощью соотношений (1.8) определяем внутренние усилия в элементах рассматриваемой конструкции. Отметим два случая, которые могут встретиться при расчете конструкций: -опорный стержень не совпадает ни с одним из направлений общей системы координат. В этом случае вместо опорного стержня вводят некоторый конструктивный стержень произвольной длины, направление которого совпадает с направлением опорного стержня и который прикреплен к земле двумя опорными стержнями, параллельными осям координат; -сосредоточенный момент действует в непосредственной близости около шарнира. Для общности расчета этот момент следует считать приложенным на некотором малом удалении lx (lx → 0) от шарнирного узла. При этом, формируя матрицу S 2 при заполнении соответствующей матрицы E3,e , нужно положить lex и ley равными нулю. При расчете стержневой системы на действие нескольких
ρ ρ ρ
вариантов нагрузки P1 , P2 , P3 ,Κ , в уравнениях (1.14) и (1.15) вектор нагрузки
ρ P = P1
[
ρ P2
ρ P3
ρ P можно заменить матрицей нагрузки ρ ρ ρ ρ Κ , а вектора Q, T , Y , Z - соответствующи-
]
ми матрицами Q , T , Y , Z .
15 Отметим, что блок-схема алгоритма и программа расчета статически определимых рам составляется аналогично с учетом их особенностей, изложенных в п.1.1. 1.1.1. Расчет рамы в среде Mathcad
16 1 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 Sc := 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 −1 1 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 −1
Найдем вектор проекций pr стержней рамы на оси общей системы координат xoy (1.1) и (1.2)
Исходные данные для рамы, изображенной на рис.1.3 а - характерный размер длин стержней рамы; nuz -число узлов рамы; nel- число элементов рамы a := 3 nuz := 7 nel := 6 Пронумеруем узлы и стержни рамы (см. рис.1.3), запишем структурную матрицу Sc и зададим координаты узлов в векторе С (1.3)
Вычислим длины стержней рамы (1.4)
Определяем направляющие косинусы (1.5):
17
18
Составим матрицу равновесия S1, которая получается из структурной Sc заменой в последней элементов 1 на матрицу Е1, элементов -1 на Е2, а нули на соответствующие нулевые матрицы. Эта матрица устанавливает связь между векторами внешней нагрузки P и усилий во всех стержнях рамы Y по формуле P = S1*Y, где i-ой компонентой вектора Y являются усилия Yi = [Xin Yin Min Xik Yik Mik]T в i-м стержне
Сформируем теперь блочно-диагональную матрицу S2, устанавливающую связь между усилиями в начале и конце каждого стержня с помощью матричного соотношения S2·Y=0 (1.12). - единичная квадратная матрица размерности nel·nel
19
20
0 P5 := 0 0
0 P6 := 0 0
0 P7 := −10 0
Сформируем вектор правой части Q из векторов Pi и нулевых элементов, расположенных ниже Pi Q :=
for i ∈ 1 .. rows ( S) Qi ← 0 for i ∈ 1 .. nuz for i1 ∈ 1 .. 3 r1 ← 3 ⋅ i − 2 Qr1+ i1−1 ← ( Pi)
i1
Q20 = −10
Q
Получим матрицу S объединением матриц S1 и S2 с помощью встроенной в Mathcad функции stack Запишем векторы внешних нагрузок, действующие в каждом узле рамы. Опорные реакции в расчет не принимаются, так как при учете граничных условий соответствующие элементы будут удалены.
0 P1 := 0 0
3 P2 := 0 0
3 P3 := 0 0
0 P4 := 0 0
Учет граничных условий: nop - число опорных стержней nsv - вектор, компоненты которого соответствуют наложенным на систему связям. В матрице S и в векторе Q необходимо удалить соответствующие строки и элементы. nop := 3
nsv 1 := 1
nsv 2 := 2
nsv 3 := 17
21
22
Rx1 := Q (nsv 1)
Ry1 := Q (nsv 2)
Ry6 := Q (nsv 3)
Rx1 = −6
Ry1 = −8
Ry6 = 18
Используя формулы перехода к местным системам координат, определим усилия в сечениях стержней фермы i := 1 .. nel
Отметим, что элементами составного массива А являются матрица Sp и правая часть Т системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), решение которой приводит к определению вектора Z - вектора усилий в стержнях рамы Y Z := ( A1) T
Z =
−1
⋅ A2 2 -6
3 -8
4
i← i
0
6
8
for i1 ∈ 1 .. 3 k←k+1 X1i1 ← Zk k1 ← k1 + 1 X2i1 ← Zk1
1 1
1
k1 ← k + 3
5
Q := S ⋅ Z T
0
- матрица перехода от локальной системы координат к глобальной
Xni := ( Xi)
1
Xki := ( Xi)
2
k ← ( i − 1) ⋅ 6
Используя равенство Q = S*Y, определим опорные реакции Rx1 = Q1, Ry1 = Q2 и R y6 =Q17
Q =
Xi :=
0
Z←Z 1
1
( α i) 1 ( α i) 2 ψ i := ( α i) −( α i) 2 1 0 0
2 -6
3 -8
4 0
3
( X1 X2 )
T
−6 Xn1 = −8 0 6 Xk1 = 8 6
23 Xni , Xki - соответственно векторы усилий в начале и конце стержня с номером i , отнесенные к глобальной системе координат xoy Nni := −ψ i⋅ Xni
Nki := ψ i⋅ Xki
8 Nn1 = 6 0
8 Nk1 = 6 6
8 Nn2 = 3 6
8 Nk2 = 3 9
8 Nn3 = 0 9
8 Nk3 = 0 9
0 Nn4 = −8 9
0 Nk4 = −8 −15
−18 Nn5 = 0 0
−18 Nk5 = 0 0
0 Nn6 = 10 −15
0 Nk6 = 10 0
24
Nni , Nki
- соответственно векторы усилий в начале и конце стержня в локальной системе координат xioyi По найденным значениям усилий в сечениях стержней рамы строим эпюры изгибающих моментов М, поперечных Q и продольных N сил.
25
26
Рис. 1.4 1.2. Описание матричного алгоритма для расчета ферм Описанный матричный алгоритм существенно упрощается в приложении к расчету плоской фермы, так как в ее элементах действует только продольная сила N e , постоянная по длине каждого стержня Nен=Nек=Ne (рис.1.5,а). Перейдем теперь к установлению связей между усилиями, действующими на концы стержня е, в местной х ′оу ′ (рис.1.5,а) и общей хоу (рис.1.5,б) системах координат
Отметим, что при разбиении балки на пять участков и замене действующей на нее распределенной нагрузки соответствующими узловыми силами получим численные значения внутренних усилий и моментов (рис.1.4), практически не отличающиеся от значений, полученных по аналитическим формулам.
27
28 б)
а)
всей
у/
Yek
х/ е
е Хен
Nek α
Neн
ρ ρ ρ Y = Y1 Y2 Λ
у
у
х
Xek 0
Yен
х
О
Рис.1.5 Очевидно, что
X ен = − N e cos(α );
Yеk = N e sin(α );
Здесь индексы «н» и «к » относятся соответственно к началу и концу стержня. В матричной записи эти соотношения имеют вид
ρ ρ Х ен = − Fф N e ; где
ρ ρ Х еk = Fф N e ;
(1.17)
ρ cos(α ) Fф = ; sin(α )
ρ ρ X X X ен = ен X ек = ek Yен Yek Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы, где сходятся nj стержней. ϖ T Пусть Pj = Pxj Pyj - вектор внешней нагрузки, прило-
[
]
ρ женный к узлу j, а X e = [ X e
Ye ] - вектор усилий на конце T
стержня е, примыкающего к рассматриваемому узлу. Тогда условие равновесия узла j записывается в виде: nj (1.18) ρ ρ
Pj = ∑ X e e =1
[
ρ Ye Λ
ρ Yc
]
T
вектор внутренних усилий в стержнях фермы. Компоненты этого вектора выражаются через векторы усилий для концевых сечений каждого стержня в виде равенств
ρ ρ ρ Ye = X ен = − X ek .
Связь
ρ ρ P = P1
[
ρ P2 Λ
между
ρ Pj Λ
вектором
ρ Py
]
T
внешних
нагрузок
ρ и вектором Y представляет
собой объединение в одно матричное соотношение уравнений равновесия (1.18) всех узлов фермы с помощью структурной матрицы S c :
X еk = N e cos(α );
Yен = − N e sin(α );
Далее перейдем к составлению уравнений равновесия для системы в целом. Обозначим через
ρ ρ P = S cY .
Учитывая формулы (1.17), это соотношение можно записать в виде ρ ρ (1.19) P = −S N
ρ N = [N1
*
N 2 Λ N e Λ N c ] - вектор усилий в где стержнях фермы. Матрица S * получается из структурной матрицы S с заT
ρ
меной элементов «1» на векторы Fф , элементов «-1» на векторы
ρ
- Fф , а элементов «0» - на нулевые векторы [0
ρ
0] . Т
Далее из вектора Р необходимо исключить элементы, соρ ответствующие опорным связям и получить вектор Q , а из матрицы S * исключить соответствующие строки, образуя матрицу
ρ S Р . Тогда вектор неизвестных усилий N определится как ре-
шение матричного уравнения
ρ ρ S P N = −Q
(1.20)
30
29 Условия разрешимости этого уравнения приводит к следующим выводам: во-первых, матрица S Р должна быть квадратной, т.е. разность между числами ее строк и столбцов должна быть равна нулю 2У-С-Соп = 0. Это равенство известно как условие статической определимости фермы, здесь Соп – число опорных стержней; во-вторых, определитель матрицы S Р должен быть отличен от нуля, т.е.
2
3
6
1 HA
3
5
7
α 4
2
заменить соответствующими матрицами Q и N . При этом столбцы этих матриц, имеющие одинаковые номера, отвечают одному и тому же нагружению. Это свойство может быть использовано для построения матриц влияния усилий в стержнях фермы. Для этого каждый столбец матрицы нагружений Q должен содержать лишь один элемент –1 , расположенный в строке с номером, соответствующим номеру узла, в котором приложен груз Р = 1. 1.2.1. Пример расчета статически определимой фермы Пусть дана ферма, изображенная на рис.1.6. Определить усилия N1, N2, …, N17 в стержнях этой фермы. 1.Пронумеруем узлы в стержнях фермы (см. рис.1.6) и запишем структурную матрицу (см. п.1.1)
11
8
RA
13 12
6
3м
что является условием геометрической неизменяемости фермы.
ρ ρ Для этого в матричном уравнении (1.20) векторы Q и N нужно
9
4
det S P ≠ 0, Изложенный матричный алгоритм можно использовать в случае, когда требуется рассчитать ферму на ряд нагружений.
10
5
7 14
9
15
17
1
16 8
3м
10
3м
RB
Рис.1.6 1 11 2 −1 30 40 50 Sc = 60 70 80 90 10 0
2 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0
3 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0
4 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0
5 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0
6 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0
7 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0
8 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0
9 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0
10 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0
2.Зададим координаты узлов (1.3)
ρ 0 C1 = ; 4 ρ 6 C 6 = ; 0
ρ 0 C 2 = ; 0 ρ 9 C 7 = ; 4
ρ 3 C 3 = ; 4 ρ 9 C 8 = ; 0
11 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0
12 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0
13 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0
ρ 3 C 4 = ; 0 ρ 12 C 9 = ; 4
14 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0
15 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0
16 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1
17 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1
ρ 6 C 5 = ; 4 ρ 12 C10 = ; 0
31
32
3.Найдем вектор проекций стержней фермы на оси общей системы координат (1.1)
ρ 0 ρ 3 ρ 3 ρ 3 ρ 0 П1 = ; П2 = ; П3 = ; П4 = ; Λ ; П17 = ; 0 4 0 − 4 − 4
ρ ρ П = П1
ρ П2
[
ρ П3
ρ П4
ρ П5 Λ
ρ П17
]
Т
=
1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 4 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 3 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 6 = − 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 × = 4 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 6 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 Μ − 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 Μ 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 12 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 1
2 3 4
5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Т 0 3 3 3 0 3 3 3 0 3 3 3 0 3 3 3 0 = ; − 4 0 4 0 − 4 0 4 0 − 4 0 4 0 − 4 0 4 0 − 4 По формуле (1.2) имеем
4.Вычислим длины стержней фермы (1.4), например
l1 =
[0
0 − 4] ⋅ = 16 = 4; − 4
l2 =
[3
3 0] ⋅ = 9 = 3; 0
l3 =
[3
3 4] ⋅ = 9 + 16 = 5. 4
Эти результаты соответствуют исходным данным на рис.1.6. Длины остальных стержней равны l1 = l5 = l9 = l13 = l17 = 4м; l2 = l4 = l6 = l8 = l10 = l12 = l14 = l16 = 3м; l3 = l7 = l11 = l15 = 5м. Эти значения также можно вычислить по формулам (1.4). 5.Определим направляющие косинусы (1.5):
α1 =
ρ
1 0 0 = ⋅ ; 4 − 4 − 1
ρ
1 3
0,6
α 3 = ⋅ = ; 5 4 0,8 По рис.1.6 находим
ρ
1 3
1
α 2 = ⋅ = ; 3 0 0 ρ
1 3
1
α 4 = ⋅ = ; 3 0 0
34
33
0 α 1 = α 1 = α 1 = α 1 = α 1 = ; − 1 1 ρ ρ ρ ρ α 4 = α 8 = α 12 = α 16 = ; 0 ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
R A и RB , формируем матрицу S P и ρ вектор Q (1.20) ρ T Q = [[0 0][0 0][0 0][0 0][0 0][0 − 8][0 0][0 0][0]]
α 2 = α 6 = α 10 = α 14 = ; 0
SP = 1 2
0,6 ρ ρ ρ ρ α 3 = α 7 = α 11 = α 15 = . 0,8
ρ 6.Составим матрицу S * и вектор внешней нагрузки P (1.19):
3 4
S* = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
2
0 -1 0 1
1 0
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
5 6 7
-1
c s -c
0
-s
1 0
-1 0
8 0
1
1 0 1
0
1 0
9 c s -c
10 11 12 13 14 15 16 17
1 0
-s -1 0
0
1
-1 0 1
0
-1 0
Здесь введены обозначения s = 0,8;
c s -c -s
1 0
-1 0
и P элементы, соответствующие
опорным реакциям H A ,
1
ρ
ρ
7.Исключим из S *
0 -1 0 1
1 0
-1 0
c s -c -s
1 0
-1 0
c =0,6.
0 -1 0 1
ρ T P = [[0 0][H A RA ][0 0][0 0][0 0][0 0][0 − 8][Λ Λ ][0 RB ]]
1 0 1
2 3 4 5 6 1 0 - 1 c 0 s
7
8 9
c
1
s c s
0
10
11
12
c
1
s -c -s
0
13
14
0 -1 0 1
1 0
15
16
c s -c -s
1 0
17
0 1 - 0 1 0
1 0 1
1 0
0
1
1 0
0
1 0 1
-1 0
-1 0
-1 0
-1
0 -1 0
Матричная форма уравнений равновесия имеет вид (1.20) и представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. 8. Решив эту систему методом Гаусса с выбором главного элемента, получим вектор продольных сил в стержнях заданной фермы
35
36
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ρ N = [0.0; 0.0; -2.5; 1.5; 2.0; -1.5; -2.5; 3.0; 2.0; -3.0; -2.5; 4.5; -6.0; 14
15
16
3∑Fx = N3 ⋅ cos(α) + N4 + HA = 0 4 ∑FY = N1 + N3 ⋅ sin(α) + RA = 0
17
-4.5; 7.5; 0.0; -6.0]T
ρ
Компоненты вектора N показывают, что верхний пояс фермы сжат, а нижний – растянут. Причем усилие в каком-либо стержне верхнего пояса по абсолютной величине равно усилию в стержне нижнего пояса смежной панели, смещенного относительно верхнего стержня влево, параллельно раскосу. В данной ферме стержень верхнего пояса сжат с меньшей силой, чем растянут стержень соответствующей панели нижнего пояса. Усилия в раскосах, расположенных слева от линии действия силы Р, отрицательны и равны -2,5 кН, а усилие в раскосе 15, находящемся справа от нее, положительно и равно 7,5 кН. Знаки усилий в стойках, расположенных слева и справа от линии действия силы Р, противоположны знакам усилий в соответствующих раскосах. Значения усилий в стойках по абсолютной величине равны опорным реакциям RA = 2,0 kH и RB = 6,0 kH фермы. В стержнях 1, 2 и 16 усилия отсутствуют. Необходимо отметить, что систему уравнений (1.19) также можно получить, непосредственно используя известный в строительной механике метод вырезания узлов. Действительно, последовательно вырезая узлы исходной фермы (см. рис.1.6) и составляя уравнения равновесия, получим N2 N1
Узел 2
Узел 1
1 ∑ Fx = N 2 = 0 2 ∑ FY = − N 1 = 0
Узел 3
5∑Fx = −N2 − N3 ⋅ cos(α) + N6 = 0 6 ∑FY = −N3 ⋅ sin(α) − N5 = 0
Узел 4
7∑Fx = −N4 + N7 ⋅ cos(α) + N8 = 0 8 ∑FY = N5 + N7 ⋅ sin(α) = 0
Узел 5
9 ∑Fx = −N6 − N7 ⋅ cos(α) + N10 =0 10 ∑FY = −N7 ⋅ sin(α) − N9 =0
Узел 6
11∑Fx = −N8 + N11 ⋅ cos(α) + N12 =0 12 ∑FY = N9 + N11 ⋅ sin(α) =0
38
37 Узел 7
Узел 8
13∑Fx = −N10 − N11 ⋅ cos(α) + N14 =0 14 ∑FY = −N11 ⋅ sin(α) − N13 − P=0
15∑Fx = −N12 + N15 ⋅cos(α) + N16 = 0 16 ∑FY = N13 + N15 ⋅sin(α) = 0
9. Тогда матрица неизвестных N и матрица нагружений Q (см. п. 1.2) имеют вид
N 1, 2 N 2, 2 N N = 3, 2 Λ Λ N 17 , 2
N 1,6
N 1,10
N 1,14
N 2,6
N 2,10
N 2,14
N 3, 6 Λ
N 3,10 Λ
N 3,14 Λ
Λ N 17 ,6
Λ N 17 ,10
Λ N 17 ,14
1 Узел 9
Узел 10
17∑Fx = −N14 − N15 ⋅ cos(α) = 0 6 ∑FY = −N15 ⋅ sin(α) − N17 = 0
19 ∑ Fx = −N16 = 0 20∑ FY = N17 + RB = 0
Вектор правой части и матрица полученной системы линейных алгебраических уравнений полностью совпадают с векρ тором P и матрицей S * , которые были составлены в п.6 данного раздела. 9.Перейдем к построению линий влияния усилий в стержнях, например, второй панели фермы. При этом будем считать, что верхний пояс фермы является грузовым. В этом случае перемещающийся груз Р=-1 может находиться в узлах 1, 3, 5, 7 и
3
5
7
N 1,18 N 2,18 N 3,18 Λ Λ N 17 ,18
9
0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 Q =0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0
1 3 4 5 6 7 8 9
В результате приходим к матричному уравнению
S p ⋅ N = −Q .
39
40
Решив это уравнение, находим матрицу влияния усилий N вл : 1
− 1 0 0 0 0 0 0 0 N вл = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3
0 0 − 0.94 0.56 − 0.25 − 0.56 0.31 0.37 − 0.25 − 0.37 0.31 0.19 − 0.25 − 0.19 0.31 0 − 0.25
5
0 0 − 0.62 0.37 0.5 − 0.37 − 0.62 0.75 − 0.5 − 0.75 0.62 0.37 − 0.5 − 0.37 0.62 0 − 0.5
7
9
0 0 0 0 − 0.31 0 0.19 0 0.25 0 − 0.19 0 − 0.31 0 0.37 0 0.25 0 − 0.37 0 − 0.31 0 0.56 0 − 0.75 0 − 0.56 0 0.94 0 0 0 − 0.75 − 1
На рис.1.7 графически изображены линии влияния усилий
N5 , N 6 , N7 , N8 , N9 . Рис. 1.7
41
42
1.2.2 Блок-схема алгоритма расчета статически определимых ферм (рис.1.8) начало
nel = 17; nuz = 10 nuz2 = 20;
Исходные данные: nel – количество стержней (элементов) фермы; nuz – число узлов фермы; nuz2 – удвоенное число узлов этой фермы; SC[nuz,nel] – структурная матрица
Задание Ввод
Sc ;
ρ C;
А
i =1,nel j = nuz нет
ST[i,j] ≠ 0
Sc ;
да
C[nuz,2] – вектор координат узлов фермы
pr[i,1]:=pr[i,1]-ST[i,j]*C[j,1]; pr[i,2]:=pr[i,2]-ST[i,j]*C[j,2]
Исходные данные: nel – количество стержней (элементов) фермы; nuz – число узлов фермы; nuz2 – удвоенное число узлов этой фермы; SC[nuz,nel] – структурная
S C ; значений матрица Вычисление компонентов вектора проC[nuz,2] – вектор коордиρ нат узлов фермы екций стержней П
i = 1, nuz j = 1, nel pr[i,j] :=0.0
Обнуление векторов проекций стержней
ρ П i , i = 1,Λ , nel;
i:=1,nel
l[i ] := ( pr[i,1]) 2 + ( pr[i,2]) 2
Определение значений длин стержней li
i = 1,nuz i:=1,nel j = 1,nel
j:=1,2 Транспонирование
ST[j,i] = SC[i,j]
матрицы
SC
α [i, j ] :=
pr[i, j ] l[i ]
A
B
Вычисление значений компонентов вектора направляющих косинусов
ρ
α
43
44
В
B1
i:=1,nuz2
j:=1,nel
j:=1,nel
i:=1,nuz
SZ[i,j]:=0.0
нет
SC[i,j]=1 да SZ[2*i-1,j]:=α[j,1]; SZ[2*i-1,j]:=α[j,2];
В1 Составление матрицы нет
S*
SC[i,j]=-1 да SZ[2*i-1,j]:=-α[j,1]; SZ[2*i-1,j]:=-α[j,2];
Ввод Р
Получение матрицы
ρ вектора Q
SP
и
Решение СЛАУ методом Гаусса с выделением главного элемента
конец
Печать вектора
Рис.1.8
ρ N
1.2.3. Программа для расчета ферм на алгоритмическом языке Турбо Паскаль Program ferma; uses Crt; label 1; const nel=17; {число стержней фермы} nuz=10; {число узлов фермы} nuz2=20; {удвоенное число узлов} nopr=3; {число уравнений, которые нужно удалить} type mas1=array[1..nuz,1..nel] of integer; mas2=array[1..nel,1..nuz] of integer; mas3=array[1..nuz2,1..nel] of real; mas4=array[1..nel,1..nel] of real; mas5=array[1..nel,1..2] of real; mas6=array[1..nuz,1..2] of real; mas7=array[1..nel] of real; mas8=array[1..nuz2] of real; mas9=array[1..nopr] of integer; var i,j,k,i1:integer; (* sc-структурная матрица; st-трансп.структ. матрица; Dl-вектор длин стержней; pr-вектор проекций; ALFA-вектор направляющих косинусов; c-вектор координат узлов; p-вектор внешней нагрузки; sz-прямоуг.матрица s*; n-вектор номеров строк, которые нужно удалить из sz и p; sp-матрица СЛАУ; Q-вектор правой части СЛАУ; *) sc:mas1; st:mas2; dl,Q,b,x:mas7; pr,ALFA:mas5; sz:mas3; c:mas6; sp,a,a1:mas4; p:mas8; n:mas9; const (* задание структурной матрицы *) ksc:mas1=(( 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (-1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), ( 0,-1,-1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), ( 0, 0, 0,-1,-1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),
45 ( 0, 0, 0, 0, 0,-1,-1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1,-1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0), ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1,-1, 0, 1, 1, 0, 0, 0), ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1,-1, 0, 1, 1, 0), ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1,-1, 0, 1), ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,-1,-1)); (* Задание значений вектора координат узлов *) kc:mas6=((0.0, 4.0), (0.0, 0.0), (3.0, 4.0), (3.0, 0.0), (6.0, 4.0), (6.0, 0.0), (9.0, 4.0), (9.0, 0.0), (12.0, 4.0), (12.0, 0.0)); (* Задание значений вектора внешней нагрузки *) kp:mas8=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-8,0,0,0,0,0,0); (* Номера уравнений, которые нужно удалить *) kn:mas9=(3,4,20); procedure gauss; const n=nel; {число линейных уравнений} var l:integer; r:real; begin{1} (*ввод матриц a,a1,b,x *) a:=sp; b:=q; a1:=a; x:=b; l:=0; (*прямой ход метода Гаусса *) for i:=1 to n do (* поиск главного элемента в i-ом столбце *) begin{2} k:=i; r:=abs(a1[i,i]); for j:=i+1 to n do
46 begin{3} if abs(a1[j,i])>r then begin{4} k:=j; r:=abs(a1[j,i]) end{4} end;{3} if r<>0 then begin{5} if k<>i then begin{6} (* перестановка i-го и k-го уравнений *) r:=x[k]; x[k]:=x[i]; x[i]:=r; for j:=i to n do begin{7} r:=a1[k,j]; a1[k,j]:=a1[i,j]; a1[i,j]:=r end{7} end;{6} (* исключение i-го неизвестного *) r:=a1[i,i]; x[i]:=x[i]/r; for j:=i to n do a1[i,j]:=a1[i,j]/r; for k:=i+1 to n do begin{8} r:=a1[k,i]; x[k]:=x[k]-r*x[i]; for j:=i to n do a1[k,j]:=a1[k,j]-r*a1[i,j] end{8} end{5} else
47 begin{9} writeln('определитель системы равен нулю'); l:=1; i:=n+1 end{9} end;{2} if l=1 then writeln; (* обратный ход метода Гаусса *) for i:=n-1 downto 1 do for j:=i+1 to n do x[i]:=x[i]-a1[i,j]*x[j]; writeln('Решение СЛАУ'); for i:=1 to n do writeln('x[',i,']=',x[i]:5:2); readln; end;{1} BEGIN {начало основной программы} clrscr; sc:=ksc; c:=kc; p:=kp; n:=kn; (* обнуление матрицы проекций pr *) for i:=1 to nel do for j:=1 to 2 do pr[i,j]:=0.0; (* транспонирование матрицы sc *) for i:=1 to nuz do for j:=1 to nel do st[j,i]:=sc[i,j]; (* определение вектора проекций pr *) for i:=1 to nel do for j:=1 to nuz do begin if st[i,j]<>0 then begin pr[i,1]:=pr[i,1]-st[i,j]*c[j,1]; pr[i,2]:=pr[i,2]-st[i,j]*c[j,2] end; end;
48 (* вывод значений вектора проекций pr *) writeln('Значения вектора проекций pr:'); for i:=1 to nel do begin write(i:2,')'); for j:=1 to 2 do write(pr[i,j]:5:1); writeln; end; writeln; readln; (* вычисление длин стержней *) for i:=1 to nel do dl[i]:=sqrt(sqr(pr[i,1])+sqr(pr[i,2])); (* вывод значений длин стержней *) writeln('Значения длин стержней dl:'); for i:=1 to nel do write('dl(',i:1,')=',dl[i]:1:1,' '); writeln; readln; (* определение вектора направляющих косинусов *) for i:=1 to nel do for j:=1 to 2 do ALFA[i,j]:=pr[i,j]/dl[i]; (* вывод значений направляющих косинусов *) writeln('Значения направляющих косинусов ALFA:'); for i:=1 to nel do begin write(i:2,')'); for j:=1 to 2 do write(ALFA[i,j]:5:1); writeln; end; writeln; readln; (* обнуление матрицы sz* *) for i:=1 to nuz2 do for j:=1 to nel do sz[i,j]:=0.0; for j:=1 to nel do for i:=1 to nuz do begin if sc[i,j]=1 then begin sz[2*i-1,j]:=ALFA[j,1]; sz[2*i,j]:=ALFA[j,2]
50
49 end; if sc[i,j]=-1 then begin sz[2*i-1,j]:=-ALFA[j,1]; sz[2*i,j]:=-ALFA[j,2] end; end; (* вывод матрицы sz* *) writeln('Значения элементов матрицы sz*:'); write(' '); for j:=1 to nel do write(j:1,' '); WRITELN; for i:=1 to nuz2 do begin write(i:2,')'); for j:=1 to nel do write(sz[i,j]:4:1); writeln; end; writeln; readln; i1:=0; for i:=1 to nuz2 do begin {1} if (i=n[1])or(i=n[2])or(i=n[3]) then goto 1 else begin{2} i1:=i1+1; writeln('i=',i:1,' i1=',i1:1); for j:=1 to nel do sp[i1,j]:=sz[i,j]; q[i1]:=-p[i] end;{2} 1:end; {1} readln; (* вывод матрицы sp *) writeln('Значения элементов матрицы sp:'); write(' '); for j:=1 to nel do write(j:1,' '); WRITELN; for i:=1 to nel do begin
write(i:2,')'); for j:=1 to nel do write(sp[i,j]:4:1); writeln; end; writeln; readln; writeln('Значения элементов правой части -Q уравнений:'); for i:=1 to nel do write(' ',i:1,')',q[i]:4:3); writeln; readln; GAUSS; END. Отметим, что блок-схема алгоритма и программа расчета статически определимых рам составляются аналогично с учетом их особенностей (см. п.1.1).
51 2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ 2.1. Описание матричного алгоритма для расчета рам методом перемещений Для n раз кинематически неопределимой рамы система канонических уравнений имеет вид
r11 r 21 Λ rn1
r12
Κ
r22
Λ
Λ
Λ
rn 2 Λ
r1n z1 R1P 0 r2 n z 2 R2 P 0 = + ⋅ Λ Λ Λ Λ rnn z n RnP 0
или Rr·Z + RP = 0
2.1) где Rr – матрица реакций во введенных дополнительных связях в основной системе от единичных перемещений этих связей; RP – вектор реактивных усилий в дополнительных связях от заданной внешней нагрузки; Z – вектор неизвестных перемещений. Элементы матриц Rr и RP определяются по формулам: M ′ M ds M M ds rik = ∑ ∫ i k ; R iP = − ∑ ∫ P i EI EI где M i , M k - изгибающие моменты в основной системе метода перемещений от единичных перемещений дополнительных связей Z i , Z k = 1; M/P – изгибающий момент от внешней нагрузки в любой основной статически определимой системе, соответствующей исходной системе. Матрицы Rr и RP также можно вычислить напрямую по формулам: (2.2) Rr = MTed·B·Med
52 RP = - MTed·B·M/P
(2.3)
где Med – матрица влияния изгибающих моментов в основной системе метода перемещений от единичных перемещений дополнительных связей Z1 = Z2 = …. = Zn =1. Эта матрица содержит n столбцов и m строк. Число n равно числу единичных перемещений, а m - числу сечений, в которых вычисляются внутренние усилия. Верхний индекс «Т» в формулах (2.2) и (2.3) обозначает операцию транспонирования B – матрица податливости отдельных, не связанных элементов; M/P – вектор изгибающих моментов в любой статически определимой системе от внешних сил. Решая матричное уравнение (2.1) с учетом (2.2) и (2.3), получим вектор неизвестных (2.4) Z = - R-1r·RP = - (MTed B·Med)-1·( MTed·B·M/P) Окончательные значения изгибающих моментов в нумерованных сечениях заданной системы можно найти по формуле (2.5) M = MedZ + MP или с учетом (2.4) (2.6) M = Med (MTed B·Med)-1·( MTed·B·M/P) + MP 2.1.1 Пример расчета рамы методом перемещений в среде Mathcad Построить эпюру изгибающих моментов М для рамы (рис.2.1). Считаем, что жесткости всех стержней рамы равны: EI = const. Примем условно EI = 1.
53
Рис. 2.1 Решение. Основная система метода перемещений (рис.2.2)
Рис. 2.2 Построим единичные и грузовые эпюры метода перемещений
54
55
56
−2⋅ L L L 4⋅ L EI M ed := ⋅ −3⋅ L 2 L −1.5⋅ L 0 0 0 1 −1 −1 2 1 q⋅ L M P := ⋅ 2 16 −1 0 0 0
0 0 −6 0 0 0 0 −3
−0.667 0.667 0 0.333 0.333 0 1.333 −0.667 M ed = −1 0 −0.5 0 0 0 0 0 0 −0.333
6
1.125 −1.125 −1.125 1.125 M P = 2.25 −1.125 0 Матрица подат 0 ливости B рамы пред 0 ставляет собой квази-
диагональную матрицу, состоящую из четырех матриц bi (i = 1,2,3,4 - номера участков). b := 1
Вычисления проводим в среде Mathcad EI := 1
L := 3
q := 2
2 1 2⋅ 6⋅ EI 1 2 L
⋅
b := 2
2 1 12⋅ EI 1 2 L
⋅
57
1 0 0 L b := ⋅ 0 4 0 3 6⋅ EI 0 0 1
L 2 1 b := ⋅ 4 6⋅ EI 1 2
58 нем строку значений моментов в сечении 3, понизив тем самым порядок этих матриц на 1.
Так как на 4-ом участке один из концевых моментов всегда равен 0, что соответствует шарнирному прикреплению этого участка к заданной раме, то порядок матрицы податливости b4 можно понизить до первого
Существует также возможность понижения порядка матриц, входящих в выражение для результирующего вектора моментов (2.6). Заметим, что для любой эпюры в сечениях 2 и 3 (рис.2.2), являющихся границами участков 1 и 2, соответственно значения моментов одинаковы. Это дает возможность сдвинуть блок b2 вверх по главной диагонали матрицы B, сократив на единицу ранг квазидиагональной матрицы. При этом совпавшие элементы на главной диагонали суммируются. Здесь M1P - обозначение в пакете Mathcad вектора М/Р. Вычисляем матрицу реакций (2.2): T
Rr := M ed ⋅ B⋅ M ed
Вектор свободных членов (2.3):
2.333 −0.667 Rr = −0.667 0.556
−1.125 RP = −1.5
T
RP := −M ed ⋅ B⋅ M1P
Находим вектор неизвестных Z (2.4) Далее в матрицах моментов Med, MP и M/P необходимо избавиться от повторения строк соответствующих сечениям 2 и 3, вычеркнув одну из них. Например, в каждой матрице вычерк-
( )− 1⋅ RP
Z := − Rr
Z=
1.908 4.989
59
Построение эпюры окончательных изгибающих моментов (2.5)
60
начало N, k Ввод M0 Ввод B Ввод Mp Ввод M I =1,k J =1,N MT[J,I]=M0[I,J]
1
2.1.2. Блок-схема алгоритма расчета рамы методом перемещений
H = MedT·B – вспомогательная матрица;
Обозначения: N – кол-во неизвестных; k – кол-во сечений; М0 –матрица ед. моментов; Мр-матрица грузовых моментов М/р; М-матрица Мр; МТ-трансп. ед. матрица; В-м-ца податливости.
61
62
1
Выч. H=MedT·B
3
L=1,k
I = 1,N
C[I]=C[I]+H[I,L]*MP[L]
J = 1,k L = 1,k
Реш. СЛАУ
H[I,J]=H[I,J]+MT[I,L]*B[L,J]
I=1,N-1 J=I+1,N A[J,I]=-A[J,I]/A[I,I]
I = 1,N
Kk=I+1,N
J = 1,k
A[J,kk]=A[J,kk]+A[J,I]*A[I,kk]
L = 1,k
C[J]=C[J]+A[J,I]*C[I]
A[I,J]=A[I,J]+H[I,L]*M0[L,J]
2
RP.
3
A = MedT·B·Med – матрица реакций Rr; C = MedT·B·M/P – вектор реактивных усилий в доп. связях
X[N]:=C[N]/A[N,N] 4
Обратный ход метода Гаусса
63
64 2.1.3. Программа для расчета рам на языке Turbo Pascal 4 (*РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ М. ПЕРЕМ. В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ*)
I:=N-1,1,-1
PROGRAM RAMA_MP; CONST (*ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ*)
Q=C[I] J:=I+1,N Q:=Q-X[J]*A[I,J]
X[I]=Q/A[I,J]
I:=1,N Печать X[I]
Вычисление вектора M[I], I:=1,k Конец
Печать вектора перемещений Z
(*КОЛИЧЕСТВО НЕИЗВЕСТНЫХ И СЕЧЕНИЙ*) N=2; M=9; (**) TYPE MASS = ARRAY[1..M, 1..N] OF REAL; MASS1= ARRAY[1..M, 1..M] OF REAL; MASS2= ARRAY[1..N, 1..M] OF REAL; MASS3= ARRAY[1..N, 1..N] OF REAL; MASS4= ARRAY[1..M] OF REAL; MASS5= ARRAY[1..N] OF REAL; VAR B1:MASS; F:MASS1; BT1,C:MASS2; D:MASS3; S0P,S0P1,SP,CS0P:MASS4; X:MASS5; I,J,L,KK:INTEGER; Q:REAL; (*МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ*) CONST KB1:MASS= (( -0.667, 0.667), (**) ( 0.333, 0 ), (**) ( 0.333, 0 ), (**) ( 1.333, -0.667), (**) ( -1, 0 ), (**) ( -0.5, 0 ), (**) ( 0, 0 ), (**) ( 0, 0 ), (**) ( 0, -0.333)); (**)
65 (*МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ*) KF:MASS1= ((0.5, 0.25, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ), (**) (0.25, 0.5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ), (**) (0, 0, 0.5, 0.25, 0, 0, 0, 0, 0 ), (**) (0, 0, 0.25, 0.5, 0, 0, 0, 0, 0 ), (**) (0, 0, 0, 0, 0.5, 0, 0, 0, 0 ), (**) (0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0 ), (**) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.5, 0, 0 ), (**) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0.5), (**) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.5, 1 )); (**) (*МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ*) KS0P:MASS4= (1.125,-1.125,-1.125,1.125, 2.25, -1.125, 0, 0, 0); (**) (*МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ В СТАТ.ОПРЕД.СИСТЕМЕ*) KS0P1:MASS4=(4.5, 0, 0, 0, 0, -2.25, 0, 0, 0); (**) BEGIN (*ВВОД МАТРИЦЫ ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ*) B1:=KB1; WRITELN('МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ МОМЕНТОВ'); FOR I:=1 TO M DO BEGIN FOR J:=1 TO N DO WRITE(' ', B1[I,J]:11:6); WRITELN END; WRITELN('ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ <ENTER>'); READLN;READLN; (*ВВОД МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТЕЙ*) F:=KF; WRITELN('МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ'); FOR I:=1 TO M DO BEGIN FOR J:=1 TO M DO WRITE(' ', F[I,J]:6:3); WRITELN END; WRITELN('ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ <ENTER>'); READLN;READLN; (*ВВОД МАТРИЦЫ ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ*) S0P:=KS0P;
66
WRITELN('МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ'); FOR I:=1 TO M DO WRITE(' ', S0P[I]:6:3); WRITELN; WRITELN('ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ <ENTER>'); READLN;READLN; (*ВВОД МАТРИЦЫ ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ*) S0P1:=KS0P1; WRITELN('МАТРИЦА ГРУЗОВЫХ МОМЕНТОВ В СТАТ.ОПРЕД.СИСТЕМЕ'); FOR I:=1 TO M DO WRITE(' ', S0P1[I]:6:3); WRITELN; WRITELN('ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ <ENTER>'); READLN;READLN; FOR I:=1 TO M DO FOR J:=1 TO N DO BT1[J,I]:=B1[I,J]; (*ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ*) FOR I:=1 TO N DO FOR J:=1 TO M DO FOR L:=1 TO M DO C[I,J]:=C[I,J]+BT1[I,L]*F[L,J]; FOR I:=1 TO N DO BEGIN FOR J:=1 TO N DO FOR L:=1 TO M DO D[I,J]:=D[I,J]+C[I,L]*B1[L,J]; FOR L:=1 TO M DO CS0P[I]:=CS0P[I]+C[I,L]*S0P1[L] END; (*РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ*) FOR I:=1 TO N-1 DO FOR J:=I+1 TO N DO BEGIN D[J,I]:=-D[J,I]/D[I,I]; FOR KK:=I+1 TO N DO D[J,KK]:=D[J,KK]+D[J,I]*D[I,KK]; CS0P[J]:=CS0P[J]+D[J,I]*CS0P[I] END;
68
67 X[N]:=CS0P[N]/D[N,N]; FOR I:=N-1 DOWNTO 1 DO BEGIN Q:=CS0P[I]; FOR J:=I+1 TO N DO Q:=Q-X[J]*D[I,J]; X[I]:=Q/D[I,I] END; WRITELN('ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ'); FOR I:=1 TO N DO WRITELN(I:2, ' ', X[I]:7:4); WRITELN('ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ <ENTER>'); READLN;READLN; (*ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА МОМЕНТОВ*) WRITELN('ВЕКТОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ МОМЕНТОВ'); FOR I:=1 TO M DO BEGIN CS0P[I]:=0; FOR J:=1 TO N DO CS0P[I]:=CS0P[I]+B1[I,J]*X[J]; SP[I]:=CS0P[I]+S0P[I]; WRITELN(I:2, ' ', SP[I]:7:4); END; WRITELN('ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ <ENTER>'); READLN;READLN; END. Заметим, что матричный алгоритм расчета статически неопределимых рам методом сил аналогичен изложенному алгоритму метода перемещений и осуществляется с учетом формул: X = - A-1δ·∆P = - (MTed B·Med)-1·( MTed·B·MP) M = Med X + MP , где Aδ – матрица единичных перемещений, ∆P – вектор грузовых перемещений, Med – матрица единичных моментов, MP – вектор грузовых моментов для основной системы метода сил, B – матрица упругих податливостей стержней рамы.
2.2. Описание матричного алгоритма для расчета ферм методом сил Выведем основные матричные соотношения для расчета статически неопределимых ферм [1, 4]. Пусть для стержневой системы определена степень статической неопределимости n и выбрана основная система. Запишем систему канонических сил в матричном виде: ρ (2.7) A X + ∆ = 0, δ
P
где Aδ - матрица единичных перемещений
δ ij
δ 11 δ 12 Λ δ 1n δ 21 δ 22 Λ δ 2 n Aδ = Λ Λ Λ Λ (2.8) Λ Λ Λ Λ δ n1 δ n 2 Λ δ nn - перемещение в основной системе по направлению си-
лы Хi, вызванное единичной силой
X j , действующей по на-
правлению Хj. При этом δ ij = δ ji ,
X1 ρ X 2 ( -вектор неизвестных усилий меX = 2.9) Μ тода сил, X n ∆ 1P ∆ ρ ∆ P = 2P Μ ∆ nP
- вектор грузовых перемещений в основной системе.
( 2.10)
69 Элементы
∆ iP
70
представляют собой перемещения в на-
правлениях Хi (i = 1,2,…,n), возникающие под действием заданных внешних сил в основной системе. Если рассматриваются несколько вариантов нагружений, ρ ρ то необходимо заменить векторы X и ∆ P соответственно на матрицы
X 11 X 21 X =Λ Λ X n1
X 12
Λ
X
X 22
Λ
X
Λ
Λ
Λ
Λ
X n2 Λ
X
∆ 1P1 ∆ 2 P1 ∆P = Λ Λ ∆ nP 1
∆ 1P2
Λ
∆
∆ 2 P2
Λ
∆
Λ
Λ
Λ ∆ nP2
Λ Λ
∆
где k – число вариантов нагружения. При расчете статически неопределимых ферм на действие неподвижной нагрузки коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений метода сил определяются соответственно по формулам
δ ik = ∑ где
Ni ,
N i N k li ; Ei Ai
∆ iP = ∑
N i N P li ; ( Ei Ai 2.11)
N k - продольные усилия в стержнях основной
системы от сил X i = 1, X k = 1; N P - продольные усилия в стержнях основной системы от внешней нагрузки. В формулах (2.11) суммирование распространяется на все стержни фермы. Усилия N i , N k , N P можно определить либо обычными способами, либо с помощью матричных вычислений (см. п.1.2). ρ Матрицы Aδ и ∆ P с учетом формул (2.11) записываются в виде
ρ ρ Aδ = N едT DФ N ед ,
ρ
где N ед ,
ρ ρ ∆ P = N едT DФ N P ,
( 2.12)
ρ N P - векторы усилий в стержнях фермы от еди-
ничных сил и от внешней нагрузки соответственно; D Ф - диагональная матрица, причем элемент этой матрицы, расположенный на пересечении i-й строки и столбца i, определяется как li/(EiAi), где li – длина стержня i фермы, а EiAi – его жесткость. Значок (Т) обозначает операцию транспонирования вектора. Связь между окончательными значениями продольных сил
ρ N в исходной ферме и значениями единичных и грузовых уси-
лий в основной системе устанавливается векторным выражением ρ ρ ρ ρ ( N = N ед X + N P 2.13) ρ Вектор X можно выразить из уравнения (2.7)
ρ ρ −1 X = − Aδ ∆ P .
Подставляя это равенство в (2.13), с учетом (2.12), окончательно получим ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ( N = − N ед ( N едT DФ N ед ) −1 ( N едT DФ N ед ) + N P . 2.14) Эта формула может быть использована для построения линий влияния усилий в статически неопределимой ферме. Для ρ этого вектор N P должен быть заменен соответствующей матрицей, столбцы которой характеризуют усилия в статически определимой основной системе при расположении единичных сил в узлах грузового пояса фермы. 2.2.1 Пример расчета фермы методом сил Для статически неопределимой фермы (рис.2.3,а) определить усилия во всех ее стержнях и построить линии влияния усилий в стержнях 1, 8, 2, если единичный груз перемещается по ее нижнему поясу. Считать, что стержни фермы изготовлены из одного материала, а сечения их одинаковы.
72
71
)
)
) )
Рис.2.3
)
Выполнение расчета 1. В заданной ферме узлов – 8, стержней – 13, опорных стержней – 4, значит по формуле w = 2⋅У-C-Co где У – число узлов фермы; С – число внутренних стержней фермы; Со – число опорных стержней, может быть определена степень свободы системы, т.е. w = 2⋅8-13 –4 = -1< 0. Следовательно, исходная ферма имеет одну лишнюю связь и является однажды статически неопределимой. Выбираем основную систему, изображенную на рис.2.3,б. Заметим, что основную систему можно выбрать и по-другому, например, отбрасывая один из внутренних стержней.
73
74
2. Пронумеруем стержни фермы так, как показано на рис.2.3,а,б, и определим усилия в основной системе от единичной силы (рис.2.3,б) и от внешней нагрузки (рис.2.3,в). Для этого могут быть использованы способы расчета ферм, изложенные в [1,2]. 3. Используя результаты расчета, составим векторы едиρ ничной Nед и грузовой N P продольных сил
4. Вычислим длины стержней фермы и запишем матрицу DФ упругих податливостей элементов фермы l1 = l10 = l12 = l4 = 1,41⋅d; l2 = l3 = l5 = l6 = l7 = l8 = l9 = l11 = l13 = d;
1
1 − 0,707 2 − 1 3 −1 4 − 0,707 5 0,5 6 0,5 ρ N ед = 7 0,5 ; 8 0,5 9 0 10 0,707 11 0 12 0,707 13 0
1 − 17,7 2 − 15 3 − 15 4 − 17,7 5 12,5 6 12,5 ρ N P = 7 12,5 8 12,5 9 5 10 3,53 11 − 5 12 3,53 13 5
1 1,41 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 d DФ = 7 0 EA 8 0 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0
2
3
11 12
0 0
4 5 6 7 8 9 10 13 0 0 0 0 0 0 0
1 0
0
0
0 0 0 0 0
0
0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1,41 0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0
1 0 0 0 0
0
0
0 0
0
0 1 0 0 0
0
0
0 0
0
0 0 1 0 0
0
0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0
0 0 0 0 0 1,41 0
0 0
0
0 0 0 0 0
0
1
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,41 0 0 1 0
5. Проводим последовательность матричных операций в соответствии с формулой (2.14)
75
ρ d T DфNP = ⋅ [− 25 −15 −15 − 25 12,5 12,5 12,5 12,5 5 5 −5 5 5] EA
ρ ρ d (NедТ DФNP) = [0,707⋅ (25+ 25+5 +5) +1⋅ (15+15) + 0,5⋅ (12,5 +12,5+12,5 EA d d +12,5)] = (42,4 +30+ 25) = 97,4 ; EA EA
ρ ρ ρ ρ EA d ( N едT DФ N ед ) −1 ( N едT DФ N P ) =0,172 ⋅ 97,4 = 16,72; d EA 1 11,8 2 16,7 3 16,7 4 11,8 5 − 8,36 6 − 8,36 ρ ρ ρ ρ ρ - N ед ( N едT DФ N ед ) −1 ( N едT DФ N P ) = 7 − 8,36 8 − 8,36 9 0 10 − 11,8 11 0 12 − 11,8 13 0 В результате получаем вектор усилий в исходной ферме (рис.2.3,а)
76 1 2 3 4 5 6 ρ N = 7 8 9 10 11 12 13
− 5 ,9 11 , 8 − 17 , 7 1,7 16 , 7 − 15 1,7 16 , 7 − 15 − 5 ,9 11 , 8 − 17 , 7 4 ,14 − 8 , 36 + 12 , 5 4 ,14 − 8 , 36 + 12 , 5 − 8 , 36 + 12 , 5 = 4 ,14 4 ,14 − 8 , 36 + 12 , 5 5 0 + 5 − 8 , 27 − 11 , 8 + 3 , 53 0 − 5 − 5 − 8 , 27 − 11 , 8 + 3 , 53 5 0 + 5
6. Приступим к матричным вычислениям для построения линий влияния усилий в стержнях 1, 8, 2 фермы (рис.2.3,а). Для этого найдем усилия во всех стержнях основной системы в случаях, когда груз Р = 1 приложен в узлах грузового пояса фермы. В нашем примере имеют место 2 случая приложения этого груза (рис.2.3,г,д). Затем составляем матрицу N P , столбцы которой соответствуют каждому из этих случаев. Заменим в выражении ρ (2.14) вектор N P на полученную матрицу и проведем аналогичные матричные преобразования.
78
77
1 − 1,06 − 0,3 2 − 0,5 −0 3 − 0,5 −0 4 − 0,353 − 1,0 5 0,25 0,7 6 0,25 0,7 N P = 7 0,75 0,2 8 0,75 0,2 9 1 0 10 − 0,353 0,35 11 0 0 12 0,353 − 0,3 13 0 1
1 − 1,5 2 − 0,5 3 − 0,5 4 − 0,5 5 0,25 6 0,25 d DФ N P = 7 0,75 EA 8 0,75 9 1 10 − 0,5 11 0 12 0,5 13 0
−0 −0 −0 − 0, 0, 0, 0, 0 0 0 −0
1 0,414 − 1,06 0,414 − 0,353 1 − 0,647 2 0,586 − 0,5 0,586 − 0,5 2 0,0859 3 0,586 − 0,5 0,586 − 0,5 3 0,0859 4 0,414 − 0,353 0,414 − 1,06 4 0,608 5 − 0,293 + 0,25 − 0,293 + 0,75 5 − 0,0429 6 − 0,293 + 0,25 − 0,293 + 0,75 6 − 0,0429 N = 7 − 0,293 + 0,75 − 0,293 + 0,25 = 7 0,457 8 − 0,293 + 0,75 − 0,293 + 0,25 8 0,457 9 1 9 0 +1 0+0 10 − 0,414 − 0,353 − 0,414 + 0,353 10 − 0,768 11 0+0 0+0 11 0 12 − 0,414 + 0,353 − 0,414 − 0,353 12 − 0,0608 13 0+0 0 +1 13 0
0,0 0,0 0,0 −0 0,4 0,4 − 0, − 0, − 0, − 0,
7. Используя 1-ю, 8-ю и 2-ю строки матрицы N , строим линии влияния усилий в соответствующих стержнях (рис.2.4)
79
80
Рис.2.4 2.2.2. Блок-схема алгоритма расчета статически неопределимых ферм методом сил начало
n=1; k=13;
Обозначения исходных данных: n-количество столбцов в матрице (векторе); k-количество стержней фермы; N0-вектор продольных сил от ед нагрузки в основной ферме
ввод вектора N0 ввод матрицы D
D-матрица податливостей
ρ N ед ;
DФ
фермы; NP-вектор продольных сил от внешней нагрузки
ρ NP
в основной
ферме; AA ввод вектора
NP-вектор грузовых продольных сил
ρ NP
i=1,k j=1,n NT[j,i]=N0[i,j]
NT-транспонированная матрица
N едТ
Т
81
82
B
В соответствии с блок-схемой, изображенной на рис.2.5 составляем программу на языке Turbo Pascal.
Решение СЛАУ
ρ ρ A⋅X =C
печать вектора реакций
ρ X
i=1,k C[i]:=0 j=1,n
ρ ρ C = N ед X
C[i]:=C[i]+N0[i,j]*X[j]
ρ ρ ρ N = N ед X + N P
N[i]:=C[i]+NP[i]
вывод
ρ N
ρ N
– вектор результирующих продольных сил
конец
Рис.2.5 2.2.3. Программа для расчета статически неопределимых ферм
PROGRAM FERMA_MS; CONST (*ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ*) (*КОЛИЧЕСТВО СТОЛБЦОВ И СТЕРЖНЕЙ*) N=1; K=13; TYPE MASS = ARRAY[1..K, 1..N] OF REAL; MASS1= ARRAY[1..K, 1..K] OF REAL; MASS2= ARRAY[1..N, 1..K] OF REAL; MASS3= ARRAY[1..N, 1..N] OF REAL; MASS4= ARRAY[1..K] OF REAL; MASS5= ARRAY[1..N] OF REAL; VAR N0:MASS; D:MASS1; NT,H:MASS2; A:MASS3; NP,N,C:MASS4; X:MASS5; I,J,L,KK:INTEGER; Q:REAL; (*ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ В ОСН. ФЕРМЕ*) CONST KN0:MASS=((-0.707), (-1 ), (-1 ), (-0.707), ( 0.5), ( 0.5), ( 0.5), ( 0.5), ( 0 ), ( 0.707), ( 0 ), (0.707), (0));
83
84
(*МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ DФ*) KD:MASS1= (( 5.64, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), ( 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), ( 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), ( 0, 0, 0,5.64, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), ( 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), ( 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0), ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0), ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0), ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,5.64, 0, 0, 0), ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0), ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,5.64, 0), ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4)); (*ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ В ОСНОВНОЙ ФЕРМЕ*) KNP:MASS4=( -17.7,-15,-15,-17.7,12.5,12.5,12.5,12.5,5,3.53,5,3.53,5); BEGIN (*ВВОД ВЕКТОРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ*) N0:=KN0; WRITELN('ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ЕД.НАГРУЗКИ В ОСН.ФЕРМЕ'); FOR I:=1 TO K DO BEGIN FOR J:=1 TO N DO WRITE(' ', N0[I,J]:6:2); WRITELN END; WRITELN('ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ <ENTER>'); READLN;READLN; (*ВВОД МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТЕЙ*) D:=KD; WRITELN('МАТРИЦА ПОДАТЛИВОСТЕЙ'); FOR I:=1 TO K DO BEGIN FOR J:=1 TO K DO WRITE(' ', D[I,J]:6:2); WRITELN END;
WRITELN('ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ <ENTER>'); READLN;READLN; (*ВВОД ВЕКТОРА ГРУЗОВЫХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ*) NP:=KNP; WRITELN('ВЕКТОР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ОТ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ В ОСН.ФЕРМЕ'); FOR I:=1 TO K DO WRITE(' ', NP[I]:6:2); WRITELN; WRITELN('ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ <ENTER>'); READLN;READLN; FOR I:=1 TO K DO FOR J:=1 TO N DO NT[J,I]:=N0[I,J]; (*ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ*) FOR I:=1 TO N DO FOR J:=1 TO K DO FOR L:=1 TO K DO H[I,J]:=H[I,J]+NT[I,L]*D[L,J]; FOR I:=1 TO N DO BEGIN FOR J:=1 TO N DO FOR L:=1 TO K DO A[I,J]:=A[I,J]+H[I,L]*N0[L,J]; FOR L:=1 TO K DO C[I]:=C[I]-H[I,L]*NP[L] END; (*РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ*) FOR I:=1 TO N-1 DO FOR J:=I+1 TO N DO BEGIN A[J,I]:=-A[J,I]/A[I,I]; FOR KK:=I+1 TO N DO A[J,KK]:=A[J,KK]+A[J,I]*A[I,KK]; C[J]:=C[J]+A[J,I]*C[I] END; X[N]:=C[N]/A[N,N]; FOR I:=N-1 DOWNTO 1 DO BEGIN
86
85 Q:=C[I]; FOR J:=I+1 TO N DO Q:=Q-X[J]*A[I,J]; X[I]:=Q/A[I,I] END; WRITELN('ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА РЕАКЦИЙ'); FOR I:=1 TO N DO WRITELN(I:2, ' ', X[I]:7:4); WRITELN('ДЛЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ НАЖМИТЕ <ENTER>'); READLN;READLN; (*ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ ВЕКТОРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ*) WRITELN('ВЕКТОР РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В ИСХОДНОЙ ФЕРМЕ'); FOR I:=1 TO K DO BEGIN C[I]:=0; FOR J:=1 TO N DO C[I]:=C[I]+N0[I,J]*X[J]; N[I]:=C[I]+NP[I]; WRITELN(I:2, ' ', N[I]:7:4); END; WRITELN('ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ РАБОТЫ НАЖМИТЕ <ENTER>'); READLN;READLN; END.
3.1. Описание алгоритма расчета стержней при растяжении и сжатии Рассмотрим расчетную схему линейно-упругого стержня на рис.3.1,а. Разобъём ось этого стержня на m равных частей (конечных элементов), соединенных между собой в n узлах (рис.3.1,б). Продольные перемещения u(x) в произвольной точке элемента будем считать линейными функциями координат (рис.3.1,в) (3.1) u( x) = α 1 + α 2 x, или
в
u( x) = [1 x]{α},
матричной
форме
где {α} = [α 1 , α 2 ] − вектор T
Τ
известных коэффициентов. Здесь значок « » обозначает операцию транспонирования, переменная х - координата в глобальной системе осей ОХ. Применяя равенство (3.1) для узлов r s, неизвестные параметры α1 и α2 выразим через смещения узлов
u r = α1 + α 2 xr ; α1 = u r − u s = α1 + α 2 xs ; α 2 =
ur − us xr xr − xs
ur − us ; xr − x s
где ur и us смещения узлов r и s элемента е (рис.3.1,г).
3. СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СИСТЕМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
не-
88
87
Nr =
Xs −X l
ξ
= 1 − ; Ns = l
x − xr ξ = ; l l
(3.3)
где ξ = x-xr - локальная координата точки x элемента е (см. рис.3.1,г). Перепишем (3.2) в матричном виде (3.4) u(x)=[N]{δ}е где [N]=[Nr Ns] - матричная строка функций формы; {δ}e=[ur us]T - вектор-столбец узловых перемещений элемента е. В каждом элементе е имеются свои функции перемещений, которые стыкуются в узловых точках. При этом получается непрерывная кусочно-линейная аппроксимация поля перемещений для всего стержня, т.е. при таком выборе функции (3.3) значения перемещений на концах смежных элементов являются одинаковими (рис3.1,в). Отметим, что коэффициент α1 в (3.1) соответствует движению элемента е как твердого тела, так как выражение для продольной деформации ε = ∂u содержит только коэффициент
∂x
α2, т.е.
ε=
ur − us = α2 l
Матрица жесткости элемента
Рис. 3.1 Подставляя значения коэффициентов α1 и α2 в формулу(3.1), получим u(x) = Nrur+Nsus (3.2) Здесь Nr и Ns - функции формы линейного конечного элемента:
В состоянии равновесия вектор узловых усилий {F}е={fr ,fs } элемента е можно выразить через вектор узловых перемещений {δ}e (3.5) {F}e=[K]e{δ}e где [K]e- матрица жесткости элемента е. В развернутом виде формула (3.5) для стержневого элемента, работающего на растяжение и сжатие, имеет вид (e) f r k rr f = k ( e) s sr
k (rse ) u r k (sse ) u s
(3.6)
89
90
Здесь k (rse ) - усилие в r-м узле при единичном смещении узла s при условии, что в узле r смещений нет. В дальнейшем, где это возможно, значок «(е)» будем опускать. Построим матрицу жесткости элемента е в локальной системе координат Оξ (рис.3.1,г). При этом часто используется принцип возможных перемещений: в состоянии равновесия стержневого элемента сумма работ всех внешних и внутренних ρ сил на возможном перемещении δu равна нулю: (3.7) R δu + R δu − δεσdv = 0 1
1
2
2
∫∫∫
узла 2, равно u( ξ ) =
ξ Е × 1 , а напряжения σ = × 1 . Так как l l
узел 1 закреплен, то δu1=0. Пусть δu2- возможное (кинематически допустимое) смещение узла 2. Тогда возможные перемещения стержня за счет δu2 ,будут δu(ξ)=(ξ/l)δu2, а соответствующие деформации δε=(1/l)δu2. Из равенства (3.7) следует l
δu E 1 R 2δu2 = ∫∫∫ 2 1dV = δu2 2 ∫ EAdξ l l l 0 V или в силу произвола вариации 1 l EA ; k 22 = 2 ∫ EA dx = l 0 l Определяя по аналогии остальные коэффициенты, получаем матрицу жесткости стержневого элемента, работающего на растяжение-сжатие
−
(3.8)
Теперь получим общее выражение для матрицы жесткости стержневого элемента. Деформации внутри элемента е связаны с узловыми перемещениями его концов {δ}е=[u1,u2]т равенством (3.9) du( ξ) d ρ ρ
ε=
V
Здесь V - объем элемента, {R}={R1, R2} - вектор сил, приложенных на концах 1 и 2 элемента е и эквивалентных внешним нагрузкам, σ, ε - нормальное напряжение и относительная линейная деформация в произвольном поперечном сечении элемента. Вычислим, например, коэффициент k22 матрицы жесткости стержня (рис.3.1,д). По определению k22=R2 при u1=0, u2=1. Поле перемещений точек элемента, вызванное единичным смещением
EA l = EA 1 − 1 EA l − 1 1 l
EA l [ k]e = EA − l
=
dξ
dξ
([ N ]{u}e ) = [ B]e {u}e
где [Β]е=d[N]/dξ - матрица-строка деформаций, компонентами которой являются производные от функций форм по локальным координатам (3.10) dN dN 1 1
[ B]
e
= 1 dξ
= − dξ l 2
l
Приращение потенциальной энергии деформации элемента за счет вариации перемещений δu(ξ) имеет вид (3.11) [ B] δ {u} EεdV =
=
e
∫∫∫ δεσdV = ∫∫∫ δ {u}T ( V
e
V
e
∫∫∫ [ B]
T e
E [ B] e dV ){u}e
ρ T Работа узловых сил {F} e = [δu 1 δu 2 ] на возможных T ρ вариациях перемещений в узлах δ{u} e = [δu 1 δu 2 ] равна V
приращению потенциальной энергии деформации (3.11): T ρ ρ ρ ρ δ{u}Te ( ∫∫∫ [ B] E[ B]e dV){u}e = δ{u}Te {F}e , V
e
откуда следует
ρ ρ {F}e = ( ∫∫∫ BT EBdV){u}e V
(3.12)
92
91 где [ k ] е =
∫∫∫ [ B]
T e
EBdV - матрица жесткости стержневого эле-
l
∫ q ( N δu 1
v
мента размерности 2х2. Если в (3.12) модуль упругости Е заменить на соответствующую матрицу упругости [D]e обобщенного закона Гука, то эта формула в принципе справедлива для задач любой размерности и для элементов любого типа.
0
Учитывая, что N 1
1
+ N 2δu2 )dξ + F1q δu1 + F2 q δu 2 = 0
= 1− ξ / l и N2 = ξ / l,
извол вариаций узловых перемещений δu1, δu2, находим l
Fjq = − ∫ qN jdx 0
Определение статически эквивалентных узловых усилий. Теперь из условия равновесия определим реактивные усилия, действующие на стержневой конечный элемент со стороны узлов; в уравнения равновесия узлов эти усилия должны входить с обратным знаком. а) действие распределенной нагрузки
а также про-
При q = const имеем
( j = 1,2 )
ρ Fq( e ) = [ − ql / 2; − ql / 2] T
Отметим, что усилия F1q и F2q направлены по оси локальной системы координат Оξ; б) действие температуры. Пусть температура стержня меняется по закону Т=Т(ξ). Тогда
ρ
[
]T
опрекомпоненты вектора узловых сил {FT }e = F1T , F2T делим из равенства виртуальной работы узловых сил вариации потенциальной энергии деформации элемента:
F1T δu 1 + F2 T δu 2 = ∫∫∫ δεσdv V
Учитывая, что
Рис. 3.2
ρ
Пусть {F} =
[F
1q
F2 q
]
T
- вектор усилий в узлах элемен-
та, уравновешивающий распределенную нагрузку интенсивностью q (рис.3.2). Применим принцип возможных перемещений: полная виртуальная работа заданных внешних и реактивных усилий на соответствующих вариациях перемещений элемента, находящегося в равновесии, должна быть равна нулю l
∫ qδudξ + F
1q
δu1 + F2 q δu 2 = 0
0
Используя (3.4) это равенство перепишем в виде
σ(ξ) = −EαT(ξ), ε = du / dξ, u = (1 − ξ / l) u1 + (ξ / l) u2 , в силу произвола вариации δu1 и δu2 находим
αEA l FjT = ± ∫ T(ξ)dx ( j = 1,2) l 0
При постоянной температуре Т(ξ)=const имеем
ρ T {FT }e = [αTEA; − αTEA ] .
Компоненты F1T, F2T направлены вдоль оси Оξ. Таким образом, полный вектор узловых усилий на элемент
94
93
ρ {F}e = [ F1 , F2 ] T
включает силы, статически эквивалентные перемещениям элемента, распределенной нагрузке и температурному воздействию: ρ ρ ρ ρ (3.13) {F} = K {u} + {F } + {F } e
[ ]
e
e
q
e
Требуется построить эпюры перемещений u ( x ′ ) и нормальных напряжений σ. В расчетах принять ЕА=1.
T e
Этот вектор вычисляется в локальной системе координат. Составление уравнений равновесия бруса Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля) элементов составляются в глобальной системе координат ОХ, единой для всех элементов конструкции (рис.3.1,а). При этом компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных усилий отдельных элементов также необходимо преобразовать к глобальным координатам, используя глобальную нумерацию степеней свободы. В случае одноосного растяжения и сжатия матрицы жесткости и векторы приведенных нагрузок в локальной и глобальной координатах совпадают. Неизвестные узловые перемещения для ансамбля элементов могут быть определены из уравнений равновесия узлов. Например, для узла с номером m можно записать: (3.14) P + ( − {F } ) = 0 m
∑
e ∈m
m
e
где Pm - внешняя сосредоточенная сила, приложенная к узлу m по направлению оси ОХ; -{Fm}e - усилие, действующее на узел m со стороны элемента е. Сумма в (3.14) берется по всем элементам, содержащим узел m. 3.1.1. Пример расчета ступенчатого бруса при растяжении и сжатии Стержень, изображенный на рис.3.3,а , находится под действием внешних продольных нагрузок с интенсивностями 2q и q и сосредоточенной силы F=ql.
а)
б)
в) Рис. 3.3
г)
Выполнение расчета. Разобъем рассматриваемый стержень на 4 конечных элемента с узлами в точках 1,2,3,4,5 (рис3.3,б). Начало координат совместим с точкой 1 (заделкой), а ось ОХ глобальной системы координат направим вниз по оси стержня. Введем следующее обозначение k =
EA , и покажем все l
усилия, действующие на каждый конечный элемент и вырезанные узлы (рис.3.4) Расписывая уравнения равновесия (3.14) для каждого узла в отдельности, получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю неизвестными
95
96
− 2 ku1 + 2 ku 2 − R 0 + ql = 0 2 u − 4 ku + 2 ku + ql = 0 2 3 1 2 ku 2 − 3ku 3 + ku 4 + ql = 0 2 ql ku 3 − 2 ku 4 + ku5 + = 0 2 ku 4 − ku5 + F = 0 или
2 ku1 − 2 ku 2 = ql − R 0 − 2 ku + 4 ku − 2 ku = ql 1 2 3 − 2 ku 2 + 3ku 3 − ku 4 = ql 2 ql − ku 3 + 2 ku 4 − ku5 = 2 − ku + ku = F 4 5 В матричном виде эта система записывается в виде (3.15). В клетках, обведенных пунктиром и расположенных сверху вниз по главной диагонали, указываются вклады жесткостных характеристик каждого элемента в соответствии с их нумерацией ( 3) (2) ( 3) (рис.3.1,б). Здесь k 33 = k 11 + k 22 , k 34 = k12 и т.п. Аналогично заполняется вектор правой части, в которой компоненты нагрузки элемента засылаются по нужным адресам. Этот прием формирования глобальной матрицы жесткости и вектора правой части называется методом прямых жесткостей и используется при составлении программ, реализующих МКЭ.
Рис. 3.4
(3.15)
97 или
98 так как ∆ = 0, ЕА = 1, ql = F, то
ρ ρ [ K]{u} = Q
{ }
0 0 0 u 1 0 1 0 0 4 − 2 0 0 u Fl 2 0 − 2 3 − 1 0 u 3 = 0,5Fl . 0 0 − 1 2 − 1 u 4 0,5Fl 0 0 0 − 1 1 u 5 Fl
Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля конечных элементов. Эта матрица имеет симметричную ленточную структуру, является неотрицательно определенной. ρ {u} = [u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 ] T - вектор неизвестных узловых перемещений;
ρ {Q} - вектор внешних узловых сил.
Учет граничных условий. Матрица [K] в системе уравнений (3.15) является вырожденной, поэтому перемещения по заданным силам определяются неоднозначно, т.е. с точностью до жесткого смещения тела. Чтобы исключить это, необходимо поставить граничные условия, т.е. наложить внешние связи на конструкцию. Пусть, например, известно, что перемещение u1=∆. Тогда система уравнений (3.15) может быть преобразована с помощью следующих операций: -все коэффициенты в первой строке, за исключением диагонального к11, приравнивают нулю; -компоненту Q1 заменяют на к 11 ∆ = EA ∆ ;
l
-члены, содержащие заданное значение u1=∆, переносят в правую часть системы. В нашем примере система (3.15) с учетом сказанного может быть записана в виде:
0 0 0 u 1 ( EA / l) ∆ 1 0 0 4 − 2 0 0 u 2 ql + 2( EA / l) ∆ EA 0,5ql 0 − 2 3 − 1 0 u 3 = l 0,5ql 0 0 − 1 2 − 1 u 4 0 0 0 − 1 1 u 5 F
Решение полученной системы линейных алгебраических ρ уравнений относительно неизвестного вектора перемещений u, проведем методом главных элементов в виде таблицы 3.1
mi
u1
u2
u3
u4
0 1 -0,5 0 0 -0,5 1 -0,5 1 -0,33333 -
1 0 0 0 0 -
0 4 -2 0 0 -
0 -2 3 -1 0 2 -1 1,5 -0,5 -
0 0 -1 2 -1 -1 2 -1 -
u5
Таблица 3.1 Свободные члены 0 Fl 0,5Fl 0,5Fl Fl Fl 0,5Fl Fl 1,25Fl 1,25Fl 1,66667Fl
0 0 0 -1 1 0 -1 1 -0,5 0,5 0,333 33 0 1,5Fl 2,5Fl 4,0Fl 5,0Fl Ответ: В результате решения преобразованной системы получим
99
1,6667 Fl = 5,0Fl; 0,33333 1,25Fl + 0,5 × 5Fl u3 = = 2,5Fl; 1,5 0,5Fl + 2,5Fl + 5Fl u4 = = 4,0Fl; 2 Fl + 2 × 2,5Fl u2 = = 1,5Fl; 4 u1 = 0. u5 =
Проверка осуществляется подстановкой полученного решения в исходные уравнения: 4×1,5Fl-2×2,5Fl=Fl; -2×1,5Fl+3×2,5Fl-4Fl=0,5Fl; -2,5Fl+2×4,0Fl-5Fl=0,5Fl; -4Fl+5Fl=Fl. T Ответ: uρ = [ 0 ; 1 ,5 F l ; 2 ,5 F l ; 4 , 0 F l ; 5 , 0 F l ] Линейные деформации каждого элемента вычисляются по формулам (3.9) и (3.10):
0 F 1 1 ε (1) = − , Fl = 1,5 ; 1 5 , EA l l EA F F 1 1 1,5Fl / EA = ( −1,5 + 2,5) = ; ε ( 2 ) = − , EA EA l l 2,5Fl / EA F F 1 1 2,5Fl / EA = ( −2,5 + 4,0) = 1,5 ; ε ( 3) = − , EA EA l l 4 Fl / EA F F 1 1 4 Fl / EA . ε ( 4 ) = − , = ( −4,0 + 5,0) = EA EA l l 5Fl / EA Нормальные напряжения σ в центре каждого элемента равны:
100
σ (1) = 1,5
F F F F ; σ ( 2 ) = 1,0 ; σ ( 3) = 1,5 ; σ ( 4 ) = 1,0 . A A A A
По результатам вычислений строим эпюры безразмерных перемещений u =
EA u ( x ′ ) и напряжений σ (рис.3.1,в,г). При поFl
строении эпюры σ учитываем, что нормальное напряжение на участках стержня, где действует постоянная распределенная нагрузка, изменяется по линейному закону, а на участках, где она отсутствует - постоянна. Подбор поперечных сечений бруса Проектировочный расчет проведем в системе Mathcad. Зададим размерности величин в привычном виде: 6 N
МПа := 10 ⋅
кН := 1000⋅ N
2
m м := m
см := 0.1⋅ m
Пусть дано: l := 1⋅ м
q := 5⋅
кН м
Тогда внешняя сила F будет равна: F := q ⋅ l
3
F = 5 × 10 N
Допускаемое нормальное напряжение: σadm := 160⋅ МПа
Из эпюры на рис.3.3,г видно, что опасными сечениями бруса являются сечения, проходящие немного ниже точек 1 и 3. В этих точках максимальное нормальное напряжение: σmax := 2.0⋅
F A
Из условия прочности при растяжении и сжатии
101
102
σmax ≤ σadm
сто сил рассматривать крутящие моменты, а вместо распределенных нагрузок – распределенные моменты. Неизвестными в уравнениях являются углы φ поворота сечений, величины GIk характеризуют жесткости участков вала.
находим параметр А площади допускаемого поперечного сечения 2.0⋅
A adm := 2.0⋅
F σadm
A 1 := 2⋅ A adm
F
σadm
A adm
3.2. Пример расчета ступенчатого вала при кручении −5 2
A adm = 6.25 × 10 −4 2
A 1 = 1.25 × 10
m
Стальной вал ступенчатого поперечного сечения с неподвижно закрепленными концами находится под действием внешних крутящих моментов M и 4M (рис.3.5).
A 2 := A adm
m
Таким образом, при заданном значении σadm := 160⋅ МПа площадь поперечного сечения верхнего участка равна A1=1,25 см2, нижнего - 0,625 см2. Округлим эти значения в большую сторону до значений, оканчивающихся на цифры 0 или 5. Тогда для верхних двух участков можно принять А1 = 1,5 см2, для нижних - А2 = 1,0 см2 . Для круглых поперечных сечений можно вычислить их диаметры:
d 1 :=
d 2 :=
4⋅ A 1 π
4⋅ A 2 π
d 1 = 0.013m
d 1 := 1.5⋅ см
−3
d 2 = 8.921 × 10
m
d 2 := 1.0⋅ см
Расчет вала при действии внешних крутящих моментов проводится аналогично. Только в этом случае необходимо вме-
Требуется: 1) составить систему линейных уравнений по МКЭ; ρ 2) найти вектор узловых углов поворота ϕ , выразив их через M, l и D;
103
104
3) построить эпюры углов поворота ϕ (x ) и максимальных касательных напряжений τmax; 4) построить эпюру крутящих моментов Mк; 5) при заданном значении допускаемого касательного напряжения τadm=70Мпа и М=2 кНм определить диаметр вала Dadm и округлить его до ближайшего значения (в большую сторону), оканчивающегося на цифру 0 или 5; 6) найти максимальный угол поворота сечений ϕmax, приняв l=0,5 м; G=0,8⋅105 Мпа. 7) составить программу для ЭВМ на языке Паскаль, реализующую алгоритм решения задачи. Выполнение расчета. Разобъем рассматриваемый вал на 4 конечных элемента с узлами в точках 1,2,3,4,5 (рис.3.5,б). Начало координат совместим с точкой 1 (заделкой), а ось ОХ глобальной системы координат направим вправо по оси стержня. Введем следующие обозначения: GI P1 = GI P 2 = GI P ; GI P 3 = GI P 4 = 16 ⋅ GI P ; GI P1 GI P GI P GI GI k1 = k 2 = P2 = P ; = = 0,5 ⋅ ; l1 l l2 l 2l GI P 3 16 ⋅ GI P GI P 4 16 ⋅ GI P GI k3 = ; k4 = = = =8 P ; l3 l 2l l4 l где I P ≈ 0,1D 4 -полярный момент инерции поперечного сечения вала. Покажем все моменты, действующие на каждый конечный элемент и вырезанные узлы (рис.3.6). Расписывая уравнения равновесия для каждого узла в отдельности, получим систему из 5 линейных уравнений с 5-ю неизвестными
Рис.3.6
k1ϕ1 − k1ϕ 2 − M A = 0 − k ϕ + (k + k )ϕ − k ϕ + M = 0 1 2 2 2 3 1 1 − k 2ϕ 2 + (k 2 + k 3 )ϕ 3 − k 3ϕ 4 = 0 − k ϕ + (k + k )ϕ − k ϕ + 4M = 0 3 4 4 4 5 3 3 − kϕ 4 + k 4ϕ 5 − M B = 0
106
105
0,5 − 0,5 ϕ1 M A − 0,5 1,5 ϕ − M −1 2 GI p ϕ 3 = 0 − 1 17 − 16 l − 16 24 − 8 ϕ 4 − 4M − 8 8 ϕ 5 M B
или
k1ϕ1 − k1ϕ 2 = M A − k ϕ + (k + k )ϕ − k ϕ = − M 1 2 2 2 3 1 1 − k 2ϕ 2 + (k 2 + k 3 )ϕ 3 − k 3ϕ 4 = 0 − k ϕ + (k + k )ϕ − k ϕ = −4 M 3 4 4 4 5 3 3 − k 4ϕ 4 + k 4ϕ 5 = M B
Учет граничных условий. В матричном виде эта система записывается в виде (3.16).
− k1 k1 ϕ1 MA − k (k + k ) − k ϕ − M 2 1 1 2 2 ϕ3 = 0 − k2 (k2 + k3) − k3 − k3 (k3 + k4 ) − k4 ϕ4 − 4M − k4 k4 ϕ5 MB или
Предположим, что угловые перемещения ϕ1 и ϕ5 на концах вала заданы и соответственно равны ∆1 и ∆2. Тогда с учетом сказанного в п. 3.1.1. система (3.16) может быть записана в виде: (3.16)
ρ
[K ]{ϕρ} = {Q}
Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля конечных элементов. Эта матрица имеет симметричную ленточную структуру, является неотрицательно определенной.
0 0 1 0 0 1,5 − 1 0 GI p 0 − 1 17 − 16 l 0 0 − 16 24 0 0 0 0
(GI p / l )∆1 0 ϕ1 0 ϕ2 − M + 0,5 × (GI p / l )∆1 0 0 ϕ3 = 0 ϕ4 − 4M + 0,8 × (GI p / l ) × ∆2 (GI p / l ) × ∆2 1 ϕ5
Так как ∆1=∆2=0, то
ρ {ϕ} = [ϕ1ϕ 2ϕ 3ϕ 4ϕ 4ϕ 5 ]T - вектор неизвестных узловых
0 0 1 0 0 1,5 − 1 0 0 − 1 17 − 16 0 0 − 16 24 0 0 0 0
углов поворота сечений; ρ {Q} - вектор внешних узловых крутящих моментов. Подставляя выражения для k1, k2, k3, k4, записанные через жесткости GIp, получим систему где ϕ 0 =
M ×l - обозначение. GI p
0 ϕ1 0 0 ϕ 2 − ϕ 0 0 ϕ 3 = 0 . 0 ϕ 4 − 4ϕ 0 1 ϕ 5 0
108
107 Так как ϕ1=ϕ5=0, то решаем 2,3,4 уравнения методом Гаусса в виде таблицы 3.2
mi
ϕ2
ϕ3
ϕ4
1 -2/3 0 1 48/49
1,5 -1 0 0 0
-1 17 -16 49/3 -16
0 -16 24 -16 24
Таблица 3.2 Свободные члены -ϕ0 0 -4ϕ0 (-2/3)ϕ0 -4ϕ0
0
408/49
(-228/49)ϕ0
Ответ:
(-18/17)ϕ0
(-10/17)ϕ0
(-19/34)ϕ0
В результате решения преобразованной системы получим
228ϕ 0 49 19 ⋅ = − ϕ 0 = −0,55882ϕ 0′ ; 49 408 34 2 19 49 10 ϕ 3 = (− ϕ 0 − 16 ⋅ ϕ 0 ) /( ) = − ϕ 0 = −0,58823ϕ 0 ; 3 17 3 34 10 − ϕ0 − ⋅ϕ0 18 17 ϕ2 = = − ϕ 0 = −1,05882ϕ 0 ; 1,5 17
ϕ4 = −
Проверка осуществляется подстановкой полученного решения в исходные уравнения: 1,5×(-1,05882ϕ0)-1×(-0,58823)=-ϕ0; -1×(-1,05882ϕ0)+17×(-0,58823ϕ0)-16×(-0,55882ϕ0)=0; -16×(-0,58823ϕ0)+24×(-0,55882ϕ0)=-4ϕ0; Ответ: ϕ1=0; ϕ2=-1,05882ϕ0; ϕ3=-0,58823ϕ0; ϕ4=-0,55882ϕ0; ϕ5=0; или в векторном виде:
ρ 10 18 {ϕ } = 0; − ϕ 0 ; − ϕ 0 17 17
19 − ϕ0 34
0
T
Угловые деформации и максимальные касательные напряжения в сечениях каждого элемента вычисляются по формулам:
1 1 ϕ γ ( e ) = R − ; ⋅ H ; l l ϕ K 1 1 ϕ (e) τ max = GR − ; ⋅ H ; l l ϕ K где R –радиус поперечного сечения элемента e вала; ϕH и ϕK – соответственно углы поворота левого и правого концов конечного элемента в глобальной системе координат. Тогда максимальные касательные в каждом элементе равны D 1 M M 1 0 9 (1) = G ⋅ ⋅ − ; τ max ⋅ 18 = − ⋅ = −2,64706 3 ; 3 2 2 ⋅ l 2 ⋅ l − ϕ 0 D 17 0,2D 17 18 − ϕ 0 8 D M M 1 1 ( 2) τ max = G ⋅ ⋅ − ; ⋅ 17 = ⋅ = 2,35294 3 ; 3 D 2 l l − 10 ϕ 17 0,2D 0 17 10 − ϕ0 8 M M 1 1 (3) τ max = 0,29412 3 ; = G ⋅ D ⋅ − ; ⋅ 17 = ⋅ 3 D l l − 19 ϕ 17 1,6D 0 34 19 1 − ϕ0 76 M M 1 ( 4) 34 = ⋅ = 2,79412 3 ; ; τ max = G ⋅ D ⋅ − ⋅ 3 D 2 ⋅ l 2 ⋅ l 0 17 1,6D
109
110
Определяем теперь вектор узловых крутящих моментов
ρ T M ke = [M H , M K ] в каждом элементе е по формуле ρ ρ ( e ) GI p 1 − 1 ϕ H (e) ⋅ ⋅ , M k( e ) = [k ] ⋅ {ϕ } = l − 1 1 ϕ K
где [k](e)- матрица жесткости конечного элемента; ϕН и ϕк - соответственно углы поворота на левом и правом концах конечного элемента; МН и МК – крутящие моменты на левом и правом концах элемента соответственно.
ρ GI p 1 − 1 ϕ1 GI p − ϕ 2 ⋅ = = M K(1) = 2l ϕ 2 2l − 1 1 ϕ 2 GI p 1,05882ϕ 0 0,52941M ; = 2l − 1,05882ϕ 0 − 0,52941M ρ GI p 1 − 1 − 1,05882ϕ 0 = ⋅ M K( 2 ) = l − 1 1 − 0,58823ϕ 0 GI p ⋅ ϕ 0 − 1,05882 + 0,58823 − 0,47059 M 1,05882 − 0,58823 = 0,47059 M ; l ρ 16GI p 1 − 1 − 0,58823ϕ 0 = ⋅ M K( 3) = l − 1 1 − 0,55882ϕ 0 16GI p ⋅ ϕ 0 − 0,58828 + 0,55882 − 0,47059 M 0,58828 − 0,55882 = 0,47059 M ; l
ρ GI p M K(3) = 2l
1 − 1 ϕ 1 GI p − ϕ 2 − 1 1 ⋅ ϕ = 2l ϕ = 2 2 GI p 1,05882ϕ 0 0,52941M ; = 2l − 1,05882ϕ 0 − 0,52941M
ρ GI p 1 GI p − ϕ 2 − 1 ϕ 1 = M K( 4 ) = ⋅ = 1 ϕ 2 2 l ϕ 2 2l − 1 GI p 1, 05882 ϕ 0 0 , 52941 M − 1, 05882 ϕ = − 0 , 52941 M ; 2l 0 По результатам вычислений строим эпюры безразмер-
D3 ϕ ных углов поворота , касательных напряжений τ max ⋅ M ϕ0 и крутящих моментов MK/M (рис.3.7) Подбор сечений вала (проектировочный расчет). Пусть дано М=2 кНм; τadm=70 Мпа – допускаемое касательное напряжение для стали. Из полученных величин τmax выбираем наибольшее по модулю значение ( 4) τ max = τ max = 2.79412
Из условия прочности при кручении τmax ≤ τadm находим диаметр D
2,79412
M = τ adm D3
M D3
112
111
Dadm =
3
2,79412 ⋅ M
τ adm
2,79412 ⋅ 2 ⋅ 10 3 = м = 4,31см 70 ⋅ 10 6
ϕ max =
3
1,05882 = 0,032276 рад. 32,805
Указания к составлению программ на ЭВМ. При численной реализации МКЭ заполнение матрицы жесткости [K] и вектора правой части {Q} ансамбля элементов производится с использованием упомянутого ранее метода прямых жесткостей, учитывающего вклад каждого элемента в отдельности по формулам:
KIJ =
Рис. 3.7 Таким образом, при заданном значении τadm=70 Мпа определили диаметр Dadm из расчета на прочность. Теперь округлим его до значения, оканчивающегося на цифру 0 или 5 (в большую сторону), т.е. в нашем случае диаметры первых двух участков вала можно принять равным D=45 мм , а диаметры остальных участков 2D=90мм. Найдем максимальный угол поворота сечений ϕmax , приняв l=0,5м; модуль сдвига для стали G=0,8*105 Мпа; М=2кНм; IP=0,1D4.
ϕ max = ϕ 2 = 1,05882ϕ 0 ;
ϕ0 =
2 ⋅ 10 3 ⋅ 0,5 1 M ⋅l = = ; 11 −2 4 32,805 G ⋅ I P 0,8 ⋅ 10 ⋅ 0,1 ⋅ (4,5 ⋅ 10 )
∑k
e∈I ,J
(e) ij
; QJ = FJ + ( − ∑ Fjq( e ) ) + ( − ∑ FjT( e ) ). e∈J
e∈T
(3.17)
Здесь локальные номера i,j узлов элемента е должны соответствовать глобальным номерам узлов ансамбля I,J. Суммы берутся по всем элементам ансамбля, содержащим узлы I,J. В правые части формул (3.17) подставляются компоненты матриц жесткости и векторов приведенных узловых сил отдельных элементов, вычисленные в глобальной системе координат. Рассмотрим более подробно один из вариантов процесса сборки глобальной матрицы жесткости ансамбля элементов. Разбитый на элементы стержень можно полностью описать двумя массивами - глобальными координатами узлов xi и матрицей индексов элементов. Последний из них позволяет установить связь элементов друг с другом. Под набором индексов данного элемента будем понимать глобальные номера узлов элемента, выписанные в порядке возрастания их локальных номеров. С помощью матрицы индексов обычно проводят сборку глобальной матрицы жесткости в виде двумерного массива SGL(neq,neq), где neq -число степеней свободы дискретной модели стержня. Обозначим через IT(nse,nel) матрицу индексов, где nse - число степеней свободы элемента, nel - количество элементов дискретной модели; SE(nse,nse) - матрица жесткости элемента. Алгоритм сборки состоит в том, что для каждого элемента попарно следует перебрать все индексы данного к-го элемента (включая и тот случай,
113
114
когда индекс образует пару сам с собой). Пара локальных номеров I,J дает адрес (т.е. строку и столбец) числа, которое должно быть выбрано из матрицы жесткости элемента. Другая же пара индексов IT(I,K), IT(J,K) определяет адрес в глобальной матрице жесткости, по которому должен быть просуммирован выбранный коэффициент матрицы жесткости элемента. Так как обработка индексов происходит в порядке возрастания номеров элементов, то заполнение глобальной матрицы жесткости происходит случайным образом.
На 3-м этапе производится учет заданных граничных условий (блок10) и решением полученной СЛАУ (блок 11) определяются неизвестные узловые перемещения. На 4-м этапе в цикле по элементам вычисляются деформации и напряжения в отдельных конечных элементах (блоки 1215). Общий выход осуществляется в блоке 16. Отметим, что при решении больших задач ввиду ограниченности памяти ЭВМ, матрицу жесткости ансамбля элементов обычно хранят в виде ленты шириной L. Величина L равна расстоянию от наиболее удаленного ненулевого элемента матрицы до главной диагонали. Изменение ширины ленты матрицы можно добиться с помощью изменения порядка нумерации узлов.
3.3. Блок-схема алгоритма расчета стержневых систем МКЭ Блок-схема алгоритма, реализующая МКЭ, представлена на рис.3.8. Дадим некоторые пояснения к этому алгоритму. На 1-м этапе производится ввод исходных данных (координат узлов и номеров конечных элементов) и их распечатка (для контроля). Вводится также информация о внешних нагрузках, граничных условиях, механических характеристиках материала отдельных элементов конструкции (блок 2). Заполняются нулями глобальная матрица жесткости и вектор нагрузки (блок 3). На 2-м этапе в цикле (блок 4) вычисляются матрицы жесткости (блок 5) и векторы эквивалентных узловых сил для отдельных элементов (блок 7), которые включаются в глобальную матрицу жесткости К (блок 6) и вектор нагрузки
ρ Q
ρ Q
(блок 8)
После выхода из цикла в векторе учитываются компоненты внешних сосредоточенных узловых сил по соответствующим степеням свободы (блок 9). В результате завершения 2го этапа оказывается сформированной матрица и правая часть системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных узловых перемещений.
1 2
3
Начало Ввод исх.данных
Обнуление матрицы К и вектора Q
1
116
115
2
4
1
10
Учет граничных условий
Цикл по элементам
5
Построение матрицы жесткости элемента в глобальных координатах
6
Формирование глобальной матрицы жесткости системы К
7
Вычисление эквивалентных узловых сил для элемента в глобальных координатах
8
11 12
Решение СЛАУ
Цикл по элементам
13
Вычисление внутр. силовых факторов в локальных осях
14
Вычисление напряжений. Оценка прочности
15
Печать результатов
Формирование глобального вектора нагрузки Q
16 Конец
9
Добавление внешних сосредоточенных сил
2
Рис.3.8
117 3.4. Программа реализации МКЭ на ЭВМ Program MCE; Uses crt; const nue=2; nel=4; {число конечных элементов} nuz=5; {число узлов ансамбля элементов} ndis=1;{число узлов,в которых заданы перемещения} type mas1=array[1..nel] of real; mas3=array[1..nel,1..nue] of integer; mas5=array[1..nue,1..nue] of real; mas7=array[1..nuz,1..nuz] of real; mas8=array[1..nuz] of real; mas9=array[1..ndis] of integer; mas10=array[1..ndis] of real; mas12=array[1..nue] of real; mas14=array[1..nel,1..nue] of real; var iel,i,j:integer; ar,dl,ee,defor,sigma:mas1; nug:mas3; se:mas5; sgl:mas7; rez:mas8; nsd:mas9; dis:mas10; r1:mas12; bb,rz:mas14; const kdl:mas1=(1.0,1.0,1.0,1.0); kee:mas1=(1.0,1.0,1.0,1.0); knug:mas3=((1,2), (2,3), (3,4), (4,5)); knsd:mas9=(1); kdis:mas10=(0.0); kar:mas1=(2.0,2.0,1.0,1.0); procedure MEL; var j1,k1,l1:integer;
118 efl,q0,ps:real; begin efl:=ee[iel]*ar[iel]/dl[iel]; for j1:=1 to nue do for k1:=1 to nue do se[j1,k1]:=0.0; se[1,1]:=efl; se[1,2]:=-efl; se[2,1]:=-efl; se[2,2]:=efl; for j1:=1 to nue do begin writeln; for k1:=1 to nue do write(se[j1,k1]:5:1); end; readln; readln(q0); r1[1]:=0.5*q0*dl[iel]; r1[2]:=0.5*q0*dl[iel]; for j1:=1 to nue do write(' ',r1[j1]:5:3); readln; end; Procedure MGL; var j1,k1,l1,m1,n1:integer; begin for j1:=1 to nue do begin l1:=nug[iel,j1]; rez[l1]:=rez[l1]+r1[j1]; for k1:=1 to nue do begin n1:=nug[iel,k1]; sgl[l1,n1]:=sgl[l1,n1]+se[j1,k1] end end;
119 end; Procedure GRAN; var i1,j1,k1,l1:integer; begin for i1:=1 to ndis do begin j1:=nsd[i1]; k1:=nsd[i1]; for l1:=1 to nuz do begin rez[l1]:=rez[l1]-sgl[l1,j1]*dis[i1]; sgl[l1,j1]:=0.0; end; for l1:=1 to nuz do sgl[k1,l1]:=0.0; sgl[k1,k1]:=1.0; rez[k1]:=dis[i1]; end; end; Procedure PRAV; var k1,nq,ic:integer; begin repeat write('Введите номер узла:'); readln(nq); write('Введите компоненты усилия:'); read(r1[1]); writeln; rez[nq]:=rez[nq]+r1[1] until nq>=nuz; end; Procedure SISTEM; var i1,j1,k1,l1:integer; x1:array[1..nuz] of real; q1:real; begin for i1:=1 to nuz do for j1:=i1+1 to nuz do
120 begin sgl[j1,i1]:=-sgl[j1,i1]/sgl[i1,i1]; for k1:=i1+1 to nuz do sgl[j1,k1]:=sgl[j1,k1]+sgl[j1,i1]*sgl[i1,k1]; rez[j1]:=rez[j1]+sgl[j1,i1]*rez[i1] end; x1[nuz]:=rez[nuz]/sgl[nuz,nuz]; for i1:=nuz-1 downto 1 do begin q1:=rez[i1]; for j1:=i1+1 to nuz do q1:=q1-x1[j1]*sgl[i1,j1]; x1[i1]:=q1/sgl[i1,i1]; end; l1:=0; for iel:=1 to nel do begin for j1:=1 to nue do begin l1:=l1+1; rz[iel,j1]:=x1[l1]; end; l1:=l1-1 end; writeln('Массив перемещений, разделенный по узлам:'); for iel:=1 to nel do begin for j1:=1 to nue do write(' ',rz[iel,j1]:5:3); writeln; end; end; Procedure STRESS; var j1:integer; begin for iel:=1 to nel do begin{1}
121 defor[iel]:=0.0; sigma[iel]:=0.0; for j1:=1 to nue do begin{2} if j1=1 then bb[iel,j1]:=-1/dl[iel] else bb[iel,j1]:=1/dl[iel]; defor[iel]:=defor[iel]+bb[iel,j1]*rz[iel,j1] end;{2} sigma[iel]:=defor[iel]*ee[iel] end;{1} for j1:=1 to nel do write(j1:3,')',sigma[j1]:5:4); writeln; end; Begin clrscr; dl:=kdl; nug:=knug; nsd:=knsd; dis:=kdis; ar:=kar; ee:=kee; for i:=1 to nuz do begin rez[i]:=0.0; for j:=1 to nuz do sgl[i,j]:=0.0; end; for iel:=1 to nel do begin MEL; MGL; end; PRAV; GRAN; SISTEM; STRESS; end.
122 3.5. Расчет рам методом конечных элементов Матрица жесткости балочного элемента конструкции Рассмотрим расчетную схему линейно-упругой рамы в глобальных (общей для всей системы) осях координат xyz (рис.3.9,а).
Рис. 3.9 Разобъем ось этой рамы на m частей (конечных элементов), соединенных между собой в n узлах (рис.3.9,а). Каждому элементу под номером е поставим в соответствие систему локальных осей координат x/y/z/ (рис.3.9,б). Рассмотрим в плоскости x/y/ деформацию поперечного изгиба элемента. На концах этого элемента укажем векторы узловых перемещений ρ T u ( e ) = [u1 u 2 u 3 u 4 ] и узловых усилий ρ( e ) T R = [R1 R2 R3 R4 ] . Нумерация и положительные направления компонентов этих векторов показаны на рис.3.9,б. Связь
124
123 между ними обеспечивается, как известно, матрицей жесткости k(e) элемента е ρ ρ (3.18) R ( e) = [k ](e ) ⋅ u ( e) В дальнейшем там, где возможно, значок (е) будем опускать. Прогиб балки w(x/) в произвольном ее сечении будем считать функцией координаты x/ в локальной системе осей ox/y/ (рис.3.9,б). (3.19) w ( x ′) = α 1 + α 2 x ′ + α 3 x ′ 2 + α 4 x ′ 3 , или в матричной форме T w( x′) = 1 x′ x′ 2 x′3 ⋅ {α}, где {α} = [α1 α2 α3 α4 ] − вектор неизвестных коэффициентов. Применяя равенство (3.19) для концевых узлов элемента е,
[
]
x′ 2 x′3 + ⋅ 2 ; l2 l3 x′ 2 x′3 E 3 ( x ′) = 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 ; l l
E1 ( x ′) = 1 − 3 ⋅
x′ 2 x′3 + 2 ; l l 2 3 x′ x′ E 4 ( x ′) = − + 2 ; l l E 2 ( x ′) = x ′ − 2 ⋅
-функции перемещений, известные под названием функций Эрмита. Каждая из этих функций Ek(x/) характеризует прогиб жестко заделанной по концам балки при единичных смещениях по направлению k (uk=1) (рис.3.10).
неизвестные параметры α1, α2, α3, α4 выразим через смещения этих узлов u1 и u3 и углы u2 u4 поворота поперечных сечений, проходящих через соответствующие узлы.
dw (0) = α2 ; u3 = w(l) = α1 + α2l + α3l 2 + α4l 3 ; ′ dx 3 2 3 1 dw u4 = (l) = α2 + 2α3l + 3α4l 2 ; ⇒ α3 = − 2 u1 − u2 + 2 u3 − u4 ; dx′ l l l l
u1 = w(0) = α1;
α4 =
u2 =
2 1 2 1 u + 2 u 2 − 3 u3 + 2 u 4 3 1 l l l l
Рис. 3.10 Формулу (3.20) можно записать в матричном виде
ρ w( x ′) = [N ( x ′)] ⋅ u
(3.21)
Подставляя в (3.19) и выполняя преобразования, получим 4
w( x ′) = ∑ u k E k ( x ′) k =1
где
(3.20)
где [N (x ′)] - матрица-строка, элементы которой являются функциями локальной координаты х/
[N ( x′)] = [E1 ( x′)
E 2 ( x ′) E3 ( x ′) E 4 ( x ′)]
(3.22)
126
125
6l − 12 6l 12 6l 4l 2 − 6l 2l 2 [k ] = EI3 l − 12 − 6l 12 − 6l 2 − 6l 4l 2 6l 2l
Запишем теперь дифференциальные зависимости для изгиба балки постоянной жесткости EI в локальных координатах
M = EI ⋅
d 2 w( x ′) d 3 w( x ′) = ⋅ Q EI ; ; dx ′ 2 dx ′ 3
(3.23)
где М и Q – изгибающий момент и поперечная сила в сечении
Отметим, что элемент ki,j этой матрицы численно равен
балки, положительные направления которых показаны на
реактивному узловому усилию или моменту в балочном элемен-
/
рис.3.9,б. Так как на концах балки (при x =0 и l) изгибающий
те в направлении i-й степени свободы при единичном смещении
момент и поперечная сила должны совпадать с их узловыми
в направлении j-й степени свободы (uj=1) (рис.3.10).
значениями, то с учетом их направлений можно записать
Определение статически эквивалентных узловых уси-
d 3w d 2w R = − M = − EI ⋅ ( 0 ); ( 0 ) ( 0) 2 dx ′ 3 dx ′ 2 d 3w d 2w R3 = −Q (l ) = − EI ⋅ l R = M l = EI ⋅ ( ); ( ) (l ); 4 dx ′ 3 dx ′ 2
R1 = Q (0) = EI ⋅
лий Пусть на элемент е рамы действует положительная поперечная распределенная нагрузка интенсивностью q(x/) (рис.3.11).
Эти равенства с использованием формул (3.21) можно переписать в виде
ρ R1 = EI ⋅ [N ′′′(0)] ⋅ u ; ρ R3 = − EI ⋅ [N ′′′(l )] ⋅ u ;
ρ R2 = − EI ⋅ [N ′′(0)] ⋅ u ρ R4 = EI ⋅ [N ′′(l )] ⋅ u Рис. 3.11
Сравнивая эти соотношения с уравнением (3.18), запишем
ρ Тогда силовые факторы R q в узловых сечениях элемента,
матрицу жесткости элемента в виде N ′′′(0) − N ′′(0) [k ] = EI ⋅ − N ′′′(l ) N ′′(l )
или
составляя
выражения
для
(3.20),(3.22) получим окончательно
эквивалентные этой нагрузке, можно определить с помощью принципа возможных перемещений ρ ρ
l
δu T Rq + ∫ q (ξ ) ⋅ δw(ξ )dξ = 0 производных,
с
учетом
0
(3.24)
128
127 Так как δw =
4
∑ δu
k Ek
( x ′) , то из (3.24) следует
k =1
ρ ρ
4
l
k =1
0
δu T R q + ∑ δu k ∫ q (ξ ) E k (ξ )dξ = 0 . ρ Следовательно, для j-й компоненты вектора Rq получим формулу Рис. 3.12 ρ Связь между локальными x ′ = ( x ′, y ′, z ′) и глобальными
l
∫
R jq = − q (ξ ) E j (ξ )dξ
( j = 1,2,3,4) .
0
ϖ x = ( x, y, z ) координатами записывается в виде
При q(x/)=const получим T ρ 1 1 2 1 1 2 Rq = − ql − ql − ql ql , 12 2 12 2
т.е., компоненты этого вектора фактически являются реактивными усилиями и моментами в балке с защемленными концами, нагруженной распределенной нагрузкой q (рис.3.11). Знаρ ки компонент R jq соответствуют положительным направлениям степеней свободы на рис.3.9,б. Преобразование локальных координат в глобальные Необходимость в таком преобразовании возникает в связи с составлением уравнений равновесия для всей конструкции в целом в глобальной системе координат (рис.3.12).
ρ ρ x′ = [t] ⋅ x ,
(3.25) t xx′ где [t ] = t yx′ t zx ′
t xy′ t yy′ t zy ′
t xz ′ t yz ′ , t zz ′
(3.26) t xx′ = cos( x, x ′) t xy′ = cos( x, y ′) и t xz ′ = cos( x, z ′)
т.д.
Заметим, что [t ] представляет собой матрицу вращений локальных осей относительно глобальных. Если известны глобальные координаты концов i,j элемента балки, то направляющие косинусы оси x/ (оси балки) определяются по формулам (i < j)
t x′x =
x j − xi y j − yi z j − zi ; t x′y = ; t x′z = ; l l l
130
129
где
l = ( x j − xi ) 2 + ( y j − yi ) 2 + ( z j − zi ) 2 - длина эле-
мента. Компоненты матрицы [t ] должны удовлетворять условиям ортогональности осей координат t x′x t y′x + t x′y t y′y + t x′z t y′z = 0;
t x′x t z′x + t x′y t z′y + t x′z t z′z = 0;
Рис. 3.13
t y′x t z′x + t y′y t z′y + t y′z t z′z = 0 Кроме того, между направляющими косинусами единичных векторов имеются зависимости t 2 y′x + t 2 y′y + t 2 y′z = 1;
Считаем, что локальная система координат направлена от узла с меньшим номером к узлу с большим номером по глобаль-
t 2 z′x + t 2 z′y + t 2 z ′z = 1;
ной нумерации узлов всей конструкции. В глобальных осях xyz
Условие ориентации относительно глобальной оси
оу
/
главной центральной оси инерции сечения элемента oy записы-
порядок нумерации и направления узловых параметров изображены на рис.3.14.
вается в виде (рис.3.12):
t y′y = cos(γ ) В общем случае нагружения. нумерация и положительные направления узловых параметров (обобщенных перемещений и усилий) элемента «е» в локальных осях x/y/z/ показаны на рис.3.13.
Рис. 3.14 Согласно
рис.3.13,
3.14
обозначим
через
131
132
ρ ϖ ′ ]T и u = [u1 , u 2 , Κ , u12 ]T векторы узловых пеu ′ = [u1′ , u 2′ , Κ , u12
ремещений элемента в локальных и глобальных координатах. соответственно. Тогда связь между ними можно задать в виде формулы
ρ ρ u ′ = [T ]u ,
(3.27)
где [Т] – ортогональная матрица преобразования координат
ной систем координат t x′x = cos(x ′, x) = t y′x = cos( y ′, x);
( x j − xi ) l
t x′y = cos(x , y) =
;
( y j − yi ) l
;
t y′y = cos( y ′, y); t y′x = −t x′y ; t y′y = t x′x ;
(3.30)
l = ( x j − xi ) 2 + ( y j − y i ) 2 ;
Заметим, что угловые перемещения uiz и ujz при повороте
([Т]-1=[Т]Т). Вид ее однозначно определяется из равенства (3.27)
координат в плоскости изгиба не изменяются, поэтому на соот-
и имеет блочно-диагональную структуру
ветствующих местах матрицы стоят единицы. ρ ρ ρ Пусть δu T R - работа узловых сил R на возможных переρ ρ ρ мещениях δu в глобальной системе координат, а δu ′ T R ′ - рабоρ ρ та узловых сил R ′ на возможных перемещениях δu ′ в локаль-
[t ] [T ] =
12 ×12
[t ]
[t ]
[t ]
(3.28)
ной системе координат. Поскольку работа не зависит от того, в какой системе производятся вычисления, то можно записать
3×3
Каждый блок [t ] выполняет преобразование над поступательными или вращательными компонентами одного узла. В частности, для плоской рамы матрица преобразований имеет вид t x′x t y′x 0 [T ] = 0 0 0
t x′y t y′y 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
1 0 0 t x′x 0 t y′x 0 0
0 t x′y t y′y 0
0 0 0 0 0 1
(3.29)
Компонентами этой матрицы являются направляющие косинусы между соответствующими осями локальной и глобаль-
ϖ ρ
ϖ ρ
ϖρ
ϖ
ρ
ρ
δu T R = δu ′T R ′ . Так как согласно (3.27) δu ′ T = δu T T T , то ρ
ρ
δu T R = δu T T T R′ . Ввиду произвольности вектора δu T получим ρ ρ R = [T ]T R ′
(3.31)
Учитывая (3.18) и (3.31) можно записать
ρ ρ ρ R = [T ]T [ k ]u = [T ]T [ k ]′[T ]u ′ .
Следовательно, преобразование матрицы жесткости элемента выполняется по матричной формуле
[k ] = [T ]T [k ]′ ⋅ [T ]
(3.32)
133 Составление уравнений равновесия для стержневой системы Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля) элементов составляются в глобальной системе координат xyz, единой для всех элементов конструкции (рис.3.9,а). При этом компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных усилий отдельных элементов также необходимо преобразовать к глобальным координатам, используя глобальную нумерацию степеней свободы. Рассмотрим стержневую систему в целом в глобальной системе координат xyz. Обозначим через ui вектор перемещений типового узла i. Число элементов этого вектора равно числу степеней свободы узла. Матрицу внешних сил, действующих в узле i в направлении перемещений ui, обозначим через Ri. Векторы узловых перемещений и сил для всей конструкции обозначим u=[u1,u2,…,um]T; R=[R1,R2,…,Rm]T; где m – число узлов стержневой системы. Если на элемент конструкции действует внеузловая нагрузка, то считаем, что на узел i этого элемента действует вектор эквивалентной нагрузки R0i, число элементов которого равно числу степеней свободы узла. Для всей конструкции можно записать вектор R0=[R01, R02, …, R0m]T. Тогда связь между узловыми силами и узловыми перемещениями может быть представлена в виде равенства R=Ku+R0, (3.33) или в развернутой форме R1 k11 Κ k1 j Κ k1m u1 R 01 Μ Κ Κ Κ Κ Κ Μ Μ R i = k i1 Κ k ij Κ k im ⋅ u j + R 0i , Κ Μ Μ Μ Κ Κ Κ Κ R m k m1 Κ k mj Κ k mm um R 0m
134 Если предположить, что силы, действующие в узлах конструкции известны, то равенство (3.33) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно компонентов вектора перемещений u (3.34) Ku=Q где Q=R-Ro –вектор внешних сил. Квадратная матрица K системы называется обобщенной матрицей жесткости (ОМЖ). Элементы kij этой матрицы можно получить из матриц жесткости k(e)ij отдельных элементов по формуле (3.35) k ij = k ij( e ) (i , j = 1,2,3, Κ , m ),
∑
где суммирование выполняется по всем элементам, входящим в стержневую систему. При этом нужно учитывать то, что k ij( e ) = 0, если соответствующий элемент не соединяет узлы i, j. Следовательно, для получения ОМЖ можно все элементы матрицы жесткости каждого стержня k(e)ij распределить по соответствующим ячейкам обобщенной матрицы жесткости, положение которых определяется нижними индексами, и затем произвести суммирование всех накладывающихся элементов. При формировании вектора Q в уравнении (3.34) можно воспользоваться аналогичным правилом
Qi = ∑ Qi( e ) ,
(3.36)
где суммирование производится по всем элементам, сходящимся в узле i. Описанный прием формирования объединенной матрицы жесткости и вектора правой части называется методом прямых жесткостей и используется при составлении программ, реализующих МКЭ. Отметим, что в матрице К все ненулевые элементы сгруппированы вблизи главной диагонали, т.е образуют своеобразную ленту. Ширину этой ленты можно определить по формуле (e) (e) L = [max(n max − n min ) + 1] ⋅ n y , (e)
(3.37)
135
136
(e) (e) где n max , n min - максимальный и минимальный номера узлов отдельного элемента по глобальной нумерации; ny – число степеней свободы в узле; максимум берется по всем элементам стержневой конструкции. С целью экономии памяти ЭВМ и времени обработки информации матрица K уравнения (3.33) часто хранится в виде прямоугольного массива размерности N×L, где N – число неизвестных узловых параметров. При этом нижний правый треугольник массива дополняется нулями. Отметим, что чем меньше ширина ленты, тем эффективнее работает программа. Поэтому необходимо тщательно продумывать глобальную нумерацию узлов системы, в то же время порядок нумерации элементов не так важен, он определяет только последовательность заполнения ОМЖ. ρ Определим теперь вектор R ( e ) узловых силовых факторов в этом элементе «е» в локальной системе координат ox/y/. В силу формул (3.18),(3.27) имеем ρ ρ (3.38) R ( e ) = [k ][T ]u ( e ) , ρ где u ( e ) - вектор узловых перемещений элемента в глобальных координатах оху. Следовательно, для вычисления внутренних силовых факторов в элементе рамы можно рассмотреть этот элемент отдельно в виде балки, нагруженной на концах вычисленными узловыми силовыми факторами. По внутренним силовым факторам можно судить о прочности рассматриваемого стержневого элемента конструкции.
Решение (ручной счет) Примем условно параметр жесткости элемента рамы на изгиб EI и на растяжение-сжатие EA равными 1. Схема нумерации и положительные направления узловых сил и перемещений показаны на рис.3.16.
Рис. 3.15
3.5.1. Пример расчета плоской рамы
Для рамы, изображенной на на рис.3.15, построить эпюру изгибающих моментов М, поперечных Q, и продольных N сил. Принять моменты инерции сечений всех стоек рамы равными I1=I. Моменты инерции ригелей также одинаковы и равны I2=2I.
Рис. 3.16 Вычислим матрицы жесткости отдельных конечных элементов в местных координатах, направив ось оx/ от узла с меньшим номером к узлу с большим номером. По формуле (3.23) имеем:
137
0,200 0 0 k(1) = − 0,200 0 0 1
0,200 0 0 k(2) = − 0,200 0 0 7
0,167 0 0 k(3) = − 0,167 0 0 10
0 0,192 0,480 0 − 0,192 0,480 2
0 0,192 0,480 0 − 0,192 0,480 8
0 0,111 0,333 0 − 0,111 0,333 11
138
− 0,200 0 0,480 0 1,600 0 0 0,200 − 0,480 0 0,800 0 3
4
− 0,200 0 0,480 0 1,600 0 0 0,200 − 0,480 0 0,800 0 9
10
0 − 0,167 0,333 0 1,333 0 0 0,167 − 0,333 0 0,667 0 12
13
0 − 0,192 − 0,480 0 0,192 − 0,480 5
0 − 0,192 − 0,480 0 0,192 − 0,480 11
0 − 0,111 − 0,333 0 0,111 − 0,333 14
0 1 0,480 2 0,800 3 0 4 − 0,480 5 1,600 6 6
0 7 0,480 8 0,800 9 0 10 − 0,48011 1,600 12 12
0,333 0 0 k′(4) = − 0,333 0 0 4 0,250 0 0 k′(5) = − 0,250 0 0 10
0 10 0,33311 0,66712 0 13 − 0,33314 1,333 15 15
0 0,444 0,667 0 − 0,444 0,667 5 0 0,187 0,375 0 − 0,187 0,375 11
− 0,333 0 0,667 0 1,333 0 0 0,333 − 0,667 0 0,667 0 6
10
0 − 0,250 0,375 0 1,000 0 0 0,250 − 0,375 0 0,500 0 12
16
0 − 0,444 − 0,667 0 0,444 − 0,667 11 0 − 0,187 − 0,375 0 0,187 − 0,375 17
0 4 0,667 5 0,667 6 0 10 − 0,66711 1,333 12 12 0 10 0,37511 0,50012 0 16 − 0,37517 1,000 18 18
Согласно (3.33) вычислим теперь матрицы жесткости элементов в глобальной системе координат xyz. Используя формулы (3.32) составляем матрицы преобразования координат. Так как для горизонтальных стержней рамы локальные оси совпадают с направлением глобальных осей, то матрица Т в этом случае является единичной. Для вертикальных стержней
139 0 − 1 1 0 0 0 T = 0 0 0 0 0 0
140 Справа от матриц обозначены номера строк, а под ними номера столбцов, соответствующие степеням свободы данного стержня. Заметим, что перемножение матриц при ручном счете удобнее производить в системе Mathcad. Для получения обобщенной матрицы жесткости всей рамы поместим все элементы матрицы жесткости k ij( e) каждого стерж-
0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0
Производя перемножение матриц по формуле (3.32), получим для 4-й и 5-й стержней
0 0,444 0 0,333 0,667 0 k(4) =TT k′(4)T = −0,444 0 0 −0,333 0 0,667 4
k (5)
5
0,667 −0,444 0 0,667 4 −0,333 0 5 0 0 1,333 −0,667 0 0,667 6 −0,667 0,444 −0,66710 0 0 0 0,333 0 11 0,667 −0,667 0 1,333 12 6
10
11
12
0 0,375 − 0,187 0 0,375 10 0,187 0 − 0,250 0,250 0 0 0 11 0,375 0 1,000 − 0,375 0 0,500 12 = T T k ′(5)T = − 0,375 0,187 − 0,37516 0 0 − 0,187 0 − 0,250 0 0 0,250 0 17 0 0,500 − 0,375 0 1,000 18 0,375 10
11
12
16
17
18
ня е в ячейки ОМЖ согласно нижним индексам по формуле (3.35) и просуммируем все элементы, попавшие в одну и ту же ячейку. Например, (1) ( 4) + k 44 = 0,200 + 0,444 = 0,644; k 44 = k 44 k10,10 = k10( 2,)10 + k10(3,)10 + k10( 4,)10 + k10(5,)10 = = 0,200 + 0,167 + 0,444 + 0,187 = 0,999; k10,12 = k10( 2,)12 + k10(3,)12 + k10( 4,)12 + k10(5,)12 = = 0 + 0 − 0,667 + 0,375 = −0,292; ) ) k11,11 = k11( 2,11 + k11(3,)11 + k11( 4,11 + k11(5,)11 =
= 0,192 + 0,111 + 0,333 + 0,250 = 0,886; В результате получим объединенную матрицу жесткости (ОМЖ), прямоугольная лента (18×9) которой имеет вид
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,200
0
0
-0,200
0
0
0
0
0
0,192
0,480
0
-0,192
0,480
0
0
0
0
1,600
0
-0,480
0,800
0
0
0
0
0
0,644
0
0,667
0
0
0
-0,444
0
0,667
0,525
-0,480
0
0
0
0
-0,333
0
0
2,933
0
0
0
-0,667
0
0,667
0
0
0,200
0
0
-0,200
0
0
0
0
0
0,192
0,480
0
-0,192
0,480
0
0
0
0
1,600
0
-0,480
0,800
0
0
0
0
0
10 11
0,999
0
-0,292
-0,167
0
0
-0,187
0
0,375
0,886
-0,147
0
-0,111
0,333
0
-0,250
0
0
141 12 13 14 15 16 17 18
5,267
142
0
-0,333
0,667
-0,375
0
0,500
0
0
0,167
0
0
0
0
0
0
0
0
0,111
-0,333
0
0
0
0
0
0
0
1,333
0
0
0
0
0
0
0
0
0,187
0
-0,375
0
0
0
0
0
0
0,250
0
0
0
0
0
0
0
0
1,000
0
0
0
0
0
0
0
0
Векторы узловых сил, эквивалентных внешним нагрузкам, в глобальной системе xyz координат равны T 2 3 4 5 6 ρ(1) 1 Q = 0,000 − 2,500 − 2,083 0,000 − 2,500 2,083 ; T 7 8 9 10 11 12 ρ Q ( 2) = 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ;
T 11 12 13 14 15 ρ 10 Q ( 3) = 0,000 − 2,000 − 3,000 0,000 − 2,000 3,000 ; T 5 6 10 11 12 ρ 4 Q ( 4) = 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ; T 11 12 16 17 18 ρ( 5) 10 Q = 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ;
Над элементами этих векторов указаны соответствующие номера степеней свободы концов каждого стержня, которые позволяют сформировать вектор правой части Q уравнения (3.34) с использованием формулы (3.36)
T
2 3 4 5 6 1 2,083 0,000 − 2,500 − 2,083 0,000 − 2,500 7 8 9 10 11 12 0,000 0,000 0,000 − 2,000 − 3,000 Q = 0,000 13 14 15 16 17 18 0,000 − 2,000 3,000 0,000 0,000 0,000 Таким образом, получены левая и правая части системы линейных алгебраических уравнений вида (17) где u=[u1,u2,…,u18]T- вектор неизвестных узловых перемещений рамы;
Учет граничных условий. Матрица K в системе уравнений (3.34) является вырожденной, поэтому перемещения по заданным силам определяются неоднозначно, т.е. с точностью до жесткого смещения тела. Чтобы исключить это, необходимо поставить граничные условия, т.е. наложить внешние связи на конструкцию, т.е. u1= u2 = u8 = u14 = u16 = u17 = u18 = 0. Так как размеры поперечных сечений стержней достаточно малы по сравнению с их длинами, то влиянием осевых деформаций на перемещения в рамах можно пренебречь. Поэтому расчет можно несколько упростить, если считать, что изменение длин элементов равны нулю, т.е. дополнительно принять u4 = u5 = u11 =0. Учет заданных перемещений можно произвести следующим образом. Пусть, например, известно, что перемещение u1=∆. Тогда система уравнений (3.34) может быть преобразована с помощью следующих операций: -все коэффициенты в первой строке, за исключением диагонального к11, приравнивают нулю; -компоненту Q1 заменяют на k11 ∆; -члены, содержащие заданное значение u1=∆, переносят в правую часть системы.
143
144
Аналогично учитываются и остальные заданные перемещения. Тогда вектор правой части системы (3.34) преобразуется к виду T
2 3 4 5 6 1 0,000 − 2,083 0,000 0,000 2,083 0,000 8 9 10 11 12 7 0,000 0,000 0,000 0,000 − 3,000 Q = 0,000 13 14 15 16 17 18 0,000 0,000 3,000 0,000 0,000 0,000 Решая эту систему одним из известных методов, например методом Гаусса, получим искомый вектор перемещений в глобальных осях oxy:
ρ R (1) = [− 0,1610 2,3404 − 0,0000 0,1610 ρ( 2) R = [0,0000 − 0,2835 − 0,0000 − 0,000 ρ R (3) = [0,0000 2,5531 3,3187 − 0,0000 ρ( 4) R = [2,660 − 0,1616 0,7978 − 2,6600 ρ(5) R = [5,4960 − 0,1616 − 0,6185 − 5,4960
2,6596 − 0,7978] ; T
0,2835 − 1,4176] ; T
1,4469 − 0,0000] ; T
0,1616 − 1,2826] ; T
0,1616 − 0,0279] ; T
Используя эти узловые силовые факторы, выписываем формулы для внутренних силовых факторов каждого элемента. Например, для стержня 1 имеем (рис.3.17)
T
2 3 4 5 6 1 , , , , , , − 0 000 0 000 2 272 0 000 0 000 1 939 8 9 10 11 12 7 u = 1,501 − 1,181 0,000 0,591 1,501 0,000 13 14 15 16 17 18 1,501 0,000 2,841 0,000 0,000 0,000 Следовательно, каждый узел исходной рамы при заданной внешней нагрузке получает перемещения, выражаемые векторами T T u1 = [0,000 0,000 − 2,272] ; u 2 = [0,000 0,000 1,939] ;
u3 = [1,501 0,000
0,591] ; T
u 4 = [1,501 0,000 − 1,181] ; T
u5 = [1,501 0,000 2,841] ; u6 = [0,000 0,000 0,000] ; Вычислим теперь соответствующие векторы узловых силовых факторов для каждого элемента по формулам (3.38) T
T
Рис. 3.17 M(x) = R2(1)⋅x –qx2/2 = 2,340⋅x –0,5⋅x2 (квадратичная фунция) M(0) = 0; M(5) = 2,3404⋅5-0,5⋅25 = -0,798 кНм; M(2,5) = 2,3404⋅2,5-0,5⋅2,52 = 2,726 кНм; Найдем значение функции M(x) в экстремальной точке dM ( x) = 2,3404 − x 0 = 0; ⇒ x 0 = 2,34 м dx M(2,34) = 2,3404⋅2,34-0,5⋅2,342 = 2,738; Q = 2,3404-q⋅x (линейная функция); Q(0) = 2,340; Q(5) = -2,660 кН; N = 0,161 кН. После построения эпюры Q значения продольной силы в стержнях рамы можно также найти вырезанием ее узлов и про-
145
146
ектированием всех сил на соответствующие оси. При этом растягивающая продольная сила считается положительной. Окончательные эпюры M, Q, и N приведены на рис.3.18, 3.19 и 3.20. Эти эпюры полностью совпадают с эпюрами, построенными в [11] методом перемещений
Рис. 3.20
Рис. 3.18
3.5.2. Расчет рамы в среде Mathcad
Решим эту же задачу (рис.3.15) с использованием математического пакета Mathcad. ORIGIN:= 1
5 1 5 1 l := 6 E := 1 3 1 4 1
Рис. 3.19
1 1 A := 1 1 1
2 2 I := 2 1 1
α :=
0 0 −π 2 −π 0
2
148
147
0.2 0 0 se ( 1) = −0.2 0 0
0
0
−0.2
0.192
0.48
0
−0.192 0.48
0.48
1.6
0
−0.48
0
0
0.2 0 0 0 0 −0.192 −0.48 0 0.192 −0.48 0 −0.48 1.6 0.48 0.8
0.167 0 0 se ( 3) = −0.167 0 0
0.8
0
0
−0.167
0.111
0.333
0
−0.111 0.333
0.333
1.333
0
−0.333 0.667
0
0
0.167 0 0 0 0 0 −0.111 −0.333 0.111 −0.333 0 0.333 0.667 −0.333 1.333
149
−0.5⋅ qx⋅ le −0.5⋅ qy ⋅ l e 2 −qy ⋅ ( l ) e 12 R( e , qx, qy ) := −0.5⋅ qx⋅ le −0.5⋅ qy ⋅ l e 2 qy ⋅ ( le) 12
0 −2.5 −2.083 Q = 1 0 −2.5 2.083
0 0 0 Q = 2 0 0 0
150
0 −0.5⋅ P −P⋅ le 8 R1( e , P) := 0 −0.5⋅ P P⋅ le 8
0 −2 −3 Q = 3 0 −2 3
0 0 0 Q = 4 0 0 0
1 0 0 T( 1) = 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 T
0 1 0 T( 4) = 0 0 0
seg ( e) := T( e) ⋅ se ( e) ⋅ T( e)
−1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 Q( e) := T( e) ⋅ Q
e
151
152 Учет граничных условий
nsd := 1 nsd := 2 1
nsd := 4
2
nsd := 5
3
nsd := 8
4
5
nsd := 11 nsd := 14 nsd := 16 nsd := 17 6
7
QGL:=
T 1 3 4 2 4 IT := 2 4 5 4 6
nue := 2 I := 1 .. neq
J := 1 .. neq
i1 := 1 .. nel IG
i1 , k1
(
j1 := 1 .. 3 − 1 ⋅ 3 + k1
i1 , 1
i1 , k1
i := 1 .. nse
seg ( e , i, j) := seg ( e)
QGL
QGL := 0
k1
I
QGL ← dis
(
:= IT
i1 , 2
j1
)
1
0
-2.5
-2.083
1
2 0
3 0
-2.083
k1 := 1 .. neq SGL
QGL =
⋅ dis
k1 , j1
i1
4
5
i1
neq := 18
( MI e, i) := QGL( MI e , i) + Q1( e , i) 3
− SGL
4
5 0
0
0
Обновление матрицы системы в соответствии с заданными граничными условиями:
i
QGL
2
1
T
QGL =
j := 1 .. nse
( MI e, i , MI e, j) := SGL( MI e, i , MI e, j) + seg ( e , i, j)
1
k1
QGL
− 1 ⋅ 3 + k1
SGL
T
← QGL
k1 ← k1 + 1
Q1( e , i) := Q( e)
i, j
if k1 ≤ neq
:= 0
JG
i1
for l1 ∈ 1 .. neq
k1 := 1 .. 3
)
:= IT
e := 1 .. nel
I, J
i1
k1 ← nsd
nel := 5 SGL
:= 18
i1
j1 ← nsd
1 3 4 2 4 IT = 2 4 5 4 6 neq := 18
10
for i1 ∈ 1 .. ndis
T
nse := 6
9
dis := 0
i1 := 1 .. ndis
Составление матрицы индексов:
8
nsd
-2.5
nsd i1 , k1
(
:= if k1
)
nsd , 1 , 0 i1
153
154
Решение системы уравнений: k1 , nsdi1 −1
U := SGL
)
nsd , 1 , 0 i1
⋅ QGL
1
T
U =
(
:= if k1
SGL
1
2
3
0
0
4
-2.272
5 0
6 0
7
1.939
〈k〉 〈k〉 Uel := T( k) ⋅ Ue
1.501
0 0 1.501 1.501 0 0 0 0 0 1.501 −2.272 0.591 −1.181 1.939 −1.181 Uel = 0 1.501 1.501 0 0 0 0 0 1.501 0 1.939 −1.181 2.841 −1.181 0
Векторы перемещений узлов рамы: T
T
u := ( 0 0 −2.272)
u := ( 0 0 1.939)
1
2
T
u := ( 1.501 0 0.591) 3
T
u := ( 1.501 0 2.841) 5
T
u := ( 1.501 0 −1.181)
0 0 0 0 0 − − − 2 . 3404 0 . 2835 2 . 5531 0 . 1616 0 . 1616 0 0 3.3187 0.7978 − 0.6185 R= 0 0 0 0 0 2.6596 0.2835 1.4469 0.1616 0.1616 − 0.7978 − 1.4176 0 − 1.2826 − 0.0279
4
T
u := ( 0 0 0 ) 6
Перемещения узлов элементов рамы в глобальных осях: k := 1 .. nel Ue
j, k
j := 1 .. nse
:= U
MI k , j
1.501 1.501 0 1.501 0 0 0 0 0 0 − 2.272 0.591 − 1.181 1.939 − 1.181 Ue = 1.501 1.501 1.501 0 0 0 0 0 0 0 1.939 − 1.181 2.841 − 1.181 0
Используя эту матрицу, можно выписать формулы для внутренних силовых факторов каждого элемента. Например, для стержня 1 имеем (рис.3.21) q := 1
L := l
1
( )
〈1〉 R2 := R 2 R2 = 2.3404
( )
〈1〉 R3 := R 3 R3 = 0
( )
〈1〉 R5 := R 5 R5 = 2.6596
( )
〈1〉 R6 := − R 6 R6 = 0.7978
155
156
Рис. 3.21 Изгибающий момент M и поперечная сила Q от внешних сил в сечении х балки
M(x) := R2⋅ x − q⋅
x2 + R3 2
(квадратичная функция) Q( x) :=
d M ( x) dx x := 0 ,
n := 100
L n
Для стержня 2: .. L
Значения ординат эпюр в характерных точках: M ( 0) = 0
M ( 2.5) = 2.726
Q( 0) = 2.34
M ( L) = −0.798
Q( L) = −2.66
Найдем значение функции M(x) в экстремальной точке х0 Начальное приближение x0 := root ( Q( x) , x) x := 0 ,
2
( )
〈2〉 R2 := R 2 R2 = −0.2835
L=5
L := l
2
( )
〈2〉 R3 := R 3 R3 = 0
L n
.. L
( )
〈2〉 R5 := R 5 R5 = 0.2835
M(x) := R2·x +R3 (линейная функция) Q( x) := R2
const
M ( 0) = 0
M ( L) = −1.418
Q( 0) = −0.284
Q( L) = −0.284
x0 = 2.34
M(x0) = 2.739 n := 100
0 ≤ x≤ l
n := 100
x := 0 ,
L n
.. L
( )
〈2〉 R6 := − R 6 R6 = 1.4176
157
158 R2 = 2.5531
R3 = 3.3187
M ( 0) = −3.319
M ( 3) = 4.341
Q( 0) = 2.553
Q( 2.99) = 2.553
Q( L) = −1.447
Для стержня 3:
n := 100
L := l
3
( )
〈3〉 R2 := R 2
F := 4
( )
〈3〉 R3 := R 3
( )
〈3〉 R5 := R 5
x := 0 ,
L n
.. L
R5 = 1.4469
M ( 6) = 0 Q( 3) = −1.447
159
160
Для стержня 4: 〈4〉 R2 := ( R ) 2
L := l 4 〈4〉 R3 := R 3
R2 = −0.1616
R3 = 0.7978
( )
L=3
( )
( )
〈4〉 R5 := R 5
〈4〉 R6 := − R 6
R5 = 0.1616
R6 = 1.2826
M ( 0) = −0.798
const M ( L) = −1.283 L n
Q( 0) = −0.162
5
〈5〉 R5 := R 5
R2 = −0.1616
R3 = −0.6185
R5 = 0.1616
( )
( )
R6 = 0.0279
L := l
5
Q( L) = −0.162
.. L
L=4
const
M ( 0) = 0.619
M ( L) = −0.028
Q( 0) = −0.162
Q( L) = −0.162
n := 100
Для стержня 5: 0 ≤ x≤ l
〈5〉 R3 := R 3
Q( x) := R2
x := 0 ,
n := 100
( ) ( )
(линейная функция)
(линейная функция ) Q( x) := R2
〈5〉 R2 := R 2 〈5〉 R6 := − R 6
x := 0 ,
L n
.. L
Приступим теперь к построению упругой линии элементов рамы. Запишем функции Эрмита:
161
2
E2( x, L) := 1 − 3⋅
x
2
3
+ 2⋅
L 2
E5( x, L) := 3⋅
x
2
162
x
3
2
E3( x, L) := x − 2⋅
L 3
− 2⋅
L
2
x
E6( x, L) :=
3
L
−x L
x
L
3
+
x
2
L
3
+
x
2
L
Функция формы:
Формулы
для
прогибов
элементов
рамы
w(x,e): 3.6. Решение плоской задачи теории упругости в среде Mathcad
Рассмотрим задачу о напряженно-деформированном состоянии (НДС) панели с квадратным отверстием посередине, защемленной по боковым краям, при действии сил тяжести. Длина и высота панели L=10 м, толщина h=1. На краю свободного отверстия задаем нулевые нормальные σn и касательные τn напряжения. Расчет этой задачи проведем методом конечных элементов [1-3]. Так как панель имеет две оси симметрии, то рассматривается лишь четверть этой панели (рис.3.22). На выделенную часть панели наносится сетка треугольных конечных элементов и указываются способы закрепления граничных узлов в соответствии с граничными условиями. Внутри конечного элемента принимается линейная зависимость перемещений от координат, которая обеспечивает непрерывность поля перемещений во всей рассматривае-
163
мой области. Деформации материала панели полагаем упругими. В каждом узле сетки прикладываем узловую нагрузку, которая заменяет силу тяжести рассматриваемой панели.
164 Число конечных элементов ансамбля: nel := 42 Число узлов ансамбля: nuz := 32 neq := nuz·nsu neq = 64
РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Задание исходных данных: 1 - пл. напр. состояние; 2 - плоская деформация; Толщина пластины: Упругие постоянные элементов: модуль Юнга: Коэффициент Пуассона:
Разбиение области на конечные элементы, задание номеров узлов и КЭ L := 1
Рис. 3.22
h h h hx := h h h
n := 10
h :=
L n
h = 0.1
h h h hy := h h h
165
166
Матрица координат узлов и глобальные номера узлов ансамбля элементов: nx := 6 cuz :=
ny := 6
nx1 := 4
ny1 := 4
k1 ← 0
1
sx ← −hx
1
2
1
0
0
for i1 ∈ 1 .. nx
2
0
0.1
if i1 ≤ nx1
3
0
0.2
4
0
0.3
5
0
0.4
sy ← −hy
1
sx ← sx + hx
i1
6
0
0.5
for j1 ∈ 1 .. ny
7
0.1
0
8
0.1
0.1
9
0.1
0.2
10
0.1
0.3
11
0.1
0.4
12
0.1
0.5
13
0.2
0
14
0.2
0.1
15
0.2
0.2
16
0.2
0.3
17
0.2
0.4
18
0.2
0.5
19
0.3
0
20
0.3
0.1
21
0.3
0.2
22
0.3
0.3
23
0.3
0.4
k1 ← k1 + 1 sy ← sy + hy cuz
← sx
cuz
← sy
k1 , 1 k1 , 2
j1
cuz =
if i1 > nx1 sy ← −hy
1
sx ← sx + hx
i1
for j1 ∈ 1 .. ny1 k1 ← k1 + 1 sy ← sy + hy cuz
k1 , 1
cuz
k1 , 2
cuz
← sx ← sy
j1
Генерация глобальных номеров узлов элементов ансамбля:
nug nug nug
37 , 1
38 , 1
39 , 1
:= 25
nug
:= 30
nug
:= 26
nug
37 , 2
38 , 2
39 , 2
:= 29
nug
:= 26
nug
:= 30
nug
37 , 3
38 , 3
39 , 3
:= 26 := 29 := 27
167 nug nug nug
40 , 1
40 , 1
42 , 1
:= 31
nug
:= 31
nug
:= 32
nug
i := 43.. 50
40 , 2
40 , 2
42 , 2
168
:= 27
nug
:= 27
nug
:= 28
nug
j := 1 .. 3
nug
40 , 3
40 , 3
42 , 3
i, j
:= 30
Матрица деформаций элемента под номером k:
:= 30 := 31
:= 0
Матрица упругости элемента:
Формирование матрицы индексов степеней свободы: k := 1 .. nel
i := 1 .. 3
k := 1 .. nel
i := 1 .. 3
MI
k , 2⋅ i− 1
:= 2⋅ nug
k, i
−1
MI
k , 2⋅ i
:= 2⋅ nug
k, i
Формирование матрицы жесткости элемента k 〈1〉 x := cuz
〈2〉 y := cuz
x( nugk , 3) − x( nugk , 2) x − x a( k) := ( nugk , 1) ( nugk , 3) x nug − x nug ( k , 2) ( k , 1) 1 A := 0.5 1 k 1
y ( nugk , 2) − y( nugk , 3) y − y b ( k) := ( nugk , 3) ( nugk , 1) y nug − y nug ( k , 1) ( k , 2)
( nugk , 1) y( nugk , 1)
x
( nugk , 2) ( nugk , 2) x ( nugk , 3) y( nugk , 3) x
y
−3
Матрица жесткости элемента k:
Формирование глобальной матрицы жесткости и правой части системы уравнений i := 1 .. neq
j := 1 .. neq
sgl
A = 5 × 10 1
i := 1 .. 6
j := 1 .. 6
k := 1 .. nel
i, j
:= 0
169
170 Нахождение узловых перемещений:
j1 := 1 .. neq qtd
18
qtd
:= P
qtd
20
j1
:= 0
qtd
:= P
14
qtd
:= 0.5⋅ P
22
qtd
:= P
qtd
16
24
:= P
i := 1 .. 6
qtd
26
34
:= 0.5⋅ P := P
qtd qtd
28
36
:= P
qtd
:= 0.5⋅ P
30
qtd
:= P
38
qtd
:= 0.5⋅ P
32
qtd
qtd qtd
42
50
58
:= P
qtd
:= 0.5⋅ P := 0.25⋅ P
44
qtd qtd
60
:= 0.75⋅ P
52
qtd
:= P
46
qtd
:= 0.5⋅ P
qtd
:= 0.5⋅ P
qtd
:= P
qtd
54
62
:= 0.5⋅ P
qtd
:= P
40
for j1 ∈ 1 .. nsu i1 ← i1 + 1
:= P
rz
48
56
64
:= 0.25⋅ P
rz
= 32.238
rz
rz
= 17.509
rz
2 , 29
:= 0.25⋅ P
2 , 13
i := 1 .. rows ( nsd )
qtd ← qtd − sgl j
sgl
nsdi , j
:=
j
sgl
( nsdi , j)
j , nsdi
if nsd
0 otherwise
qtd ⋅ dis
i
( nsdi) := sgl ( nsdi , nsdi) ⋅ dis i
i
j
sgl
j , nsdi
:=
sgl
j , nsdi
if nsd
0 otherwise
i1
Построение линии прогибов верхней кромки панели:
:= 0.5⋅ P
i
j
2 , 25 2, 7
= 29.789
= 8.945
w := rz
w := rz
w := rz
w := rz
4
j
← ud
rz
1
qtd := for i ∈ 1 .. rows ( nsd )
( MI k , i)
for k1 ∈ 1 .. nuz
Учет граничных условий: j := 1 .. neq
:= ud
i1 ← 0
j1 , k1
qtd
i, k
:= 0.5⋅ P rz :=
qtd
ue
2 , 29 2 , 13
2 5
2 , 25 2, 7
rz
2 , 19
rz
2, 1
= 24.556
=0
w := rz
2 , 19
3
w := rz 6
2, 1
171
172
Значения прогибов по верхней кромке выреза: rz
= 31.15
rz
= 29.346
rz
rz
= 16.632
rz
= 9.268
rz
2 , 32 2 , 16
2 , 28 2 , 10
= 22.084
2 , 22 2, 4
σgel1 , k := cc + gg k
σgel2 , k := cc − gg
k
k
k
=0
Значения прогибов по оси симметрии панели: rz2,24 = 18.122 rz
2 , 18
= 15.667
rz
2 , 12
= 9.315
rz
2, 6
=0
Определение векторов деформаций и напряжений в узлах ансамбля элементов:
Горизонтальные перемещения по торцу выреза: rz
1 , 22
= −1.75
rz
1 , 23
= −0.734
rz
1 , 24
=0
Определение векторов деформаций и напряжений в элементе к: 〈k〉 〈k〉 εel := B ⋅ ue
〈k〉 〈k〉 σel := D⋅ εel
k
58.3522
〈1〉 σel = 9.7254
〈2〉 σel =
38.3367
18.1125
〈3〉 σel = 2.9796
4.388 22.0592
38.9235
(σel〈k〉 )1 + (σel〈k〉 )2
k
(
σ j1 , i := 0
k, j
:= σ j1 , nug
ε j1 , nug
k, j
:= ε j1 , nug
2
2
+
(
)
σel〈k〉 3
k, j
i := 1 .. nuz
kol := 0 i
j1 := 1 .. nue
( nugk , j) := kol( nugk , j) + 1
kol
σ j1 , i :=
+ σel j1 , k
σ j1 , i kol
i
k, j
ε j1 , i :=
+ εel j1 , k
ε j1 , i kol
i
Вычисление главных напряжений и направления главной площадки в узлах:
i
)2 − (σel〈k〉 )1
ε j1 , i := 0
σ j1 , nug
cc :=
2
σel〈k〉 gg := k
j := 1 .. nue
17.8778
Вычисление главных напряжений и направления главной площадки в элементе k:
cc :=
k := 1 .. nel
σ1 , i + σ2 , i 2
2
σ2 , i − σ1 , i 2 gg := + ( σ3 , i) i 2
2
σgl1 , i := cc + gg i
i
σgl2 , i := cc − gg i
i
173
174 Нормальные напряжения sx по верней кромке и на оси симметрии панели
Напряжения и деформации в направлении оси 0Z: σ4 , i := σ3 , i
σ3 , i :=
ν ⋅ ( σ1 , i + σ2 , i) if mdef 2 0 otherwise
ε4 , i := ε3 , i
ε3 , i :=
−ν ⋅ ( ε1 , i + ε2 , i) if mdef 1 0 otherwise
Интенсивности напряжений и деформаций в узле i : Касательные напряжения txy в вертикальном сечении вблизи заделки maxσi := max( σi) εii :=
2
2⋅ ( 1 + ν )
⋅
maxεi := max( εi)
maxσi = 85.681
(ε1 , i − ε2 , i)
2
(
)
+ ε2 , i − ε3 , i
2
(
maxεi = 85.05
σxv1 := σ1 , 29
σxv2 := σ1 , 25
σxv3 := σ1 , 19
σxv4 := σ1 , 13
σxv5 := σ1 , 7
σxv6 := σ1 , 1
σxl1 := σ1 , 29
σxl2 := σ1 , 30
σxl3 := σ1 , 31
σxl4 := σ1 , 32
)
+ ε3 , i − ε1 , i
2
+
3 2
( )
⋅ ε4 , i
2
τ1 := σ4 , 7
τ2 := σ4 , 2
τ3 := σ4 , 3
τ4 := σ4 , 4
τ5 := σ4 , 5
τ6 := σ4 , 6
175
176
σx1 := σ1 , 1
σx2 := σ1 , 2
σx3 := σ1 , 3
σx4 := σ1 , 4
σx5 := σ1 , 5
σx6 := σ1 , 6
Нормальные напряжения вдоль заделки
sx
4. АВТОМАТИЗАЦИЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ МКЭ
в вертикальном сечении
Нормальные напряжения sу в горизонтальном сечении на уровне верхнего края выреза σy 1 := σ2 , 22
σy 2 := σ2 , 16
σy 3 := σ2 , 10
σy 4 := σ2 , 4
4.1. Некоторые возможности использования программного комплекса ANSYS В настоящее время все более широкое распространение среди инженеров-расчетчиков находит программа ANSYS, позволяющая решать самые разнообразные задачи во многих инженерных приложениях [8-10]. Средства, заложенные в этой программе, могут учитывать различные нелинейности поведения материала конструкции, допускают наличие больших (конечных) деформаций и углов поворота, решать контактные задачи и многое другое. Система меню, панели инструментов и диалоговые окна обеспечивают автоматический ввод исходных данных, автоматическое разбиение области на сетку конечных элементов и выбор соответствующих действий. В комплекс ANSYS входят различные специализированные программы. Например, программа ANSYS/Multiphysics предназначена для решения широкого круга инженерных задач, позволяет проводить прочностные расчеты сооружений, исследования в области теплопроводности, механики жидкостей и газов, электромагнетизма, а также решать связанные задачи. Программа ANSYS/Mechanical служит для выполнения проектных разработок, анализа и оптимизации: решение сложных задач прочности конструкций, теплопередачи и акустики. 4.2. Подготовка параметров компьютера и вход в программу в интерактивном режиме
Перед входом в пакет ANSYS необходимо установить разрешение дисплея не менее 1024×768 пиксел и задать цветовую палитру, включающую в себя не менее 256 цветов. Программа ANSYS может работать в двух режимах: пакетном (Batch) и интерактивном (Interactive). В пакетном режиме работа ANSYS-программы задается программой пользователя, которая составляется с помощью
177
178
специальных команд. При этом первой строкой в файле программы должна быть строка /batch. Этот режим не требует постоянной связи с компьютером. В интерактивном же режиме пользователь все время общается с компьютером посредством команд и задания соответствующих параметров. Это особенно удобно для оперативного выявления и исправления допущенных при расчете ошибок, при этом в полной мере используются возможности графического интерфейса и диалоговых окон. Вход в интерактивный режим программы ANSYS осуществляется в следующем порядке: -настройка параметров: Пуск (Start) → Все программы → ANSYS Interactive; -Run. После входа в интерактивный режим диалог пользователя осуществляется через многооконный «Графический интерфейс пользователя (GUI)». Основными элементами окна являются: – Меню утилит (Utility menu), которое занимает верхнюю строку рабочего окна и содержит набор часто используемых процедур; – Окно ввода (ANSYS input), оно служит для набора команд и вывода сообщений в Output Window; – Главное меню (ANSYS Main menu), содержащее основные функции и этапы выполнения программы; – Графическое окно, представляющее собой область для вывода графической информации (конечно-элементная модель, графики результатов анализа и т.п.); – Линейка инструментов (Toolbar), позволяет иметь быстрый доступ к часто исполняемым командам; – Окно вывода (Output Window), которое предназначено для вывода текстовых сообщений программы.
- Preprocessing – препроцессорная (предварительная) подготовка задачи; - Приложение нагрузок и получение решения; - Postprocessing – постпроцессорная обработка результатов счета.
4.3. Основные стадии решения задач При решении задач с помощью программы ANSYS выделяют три стадии:
4.3.1. Препроцессорная подготовка задачи На первой стадии производится выбор типа расчетов, построение модели и приложение нагрузок, включая и граничные условия. Здесь задаются необходимыми значениями исходных параметров, выбираются системы координат и типы конечных элементов, указываются упругие постоянные и физикомеханические свойства материала, строится твердотельная модель, которая покрывается сеткой конечных элементов, выполняются необходимые действия с узлами и элементами сетки. В программе ANSYS на различных этапах препроцессорной подготовки задачи можно использовать разные координатные системы: декартовые, цилиндрические, сферические, эллиптические и тороидальные. Эти системы необходимы для размещения в пространстве геометрических объектов, определения направлений степеней свободы в узлах сетки, задания свойств материала в разных направлениях, для управления графическим изображением и содержанием выходных результатов. Все исходные данные включаются в центральную базу данных программы. Эта база данных разделена на таблицы координатных систем, типов элементов, свойств материала, ключевых точек, узлов сетки, нагрузок и т.п. Как только в таблице появляются данные, на них можно ссылаться по входному номеру таблицы. Для выбора данных могут быть использованы различные способы, например разделение модели на компоненты или слои, представляющие собой выделенные группы геометрических объектов. Программа использует ту часть базы данных, которая необходима для определенного вида расчетов.
179 Способы геометрического моделирования
В программе ANSYS существует возможность непосредственного построение модели в интерактивном режиме работы. При этом чаще всего используется так называемое «восходящее моделирование», при котором пользователь строит модель, последовательно переходя от простых к более сложным объектам. Т.е., сначала задаются ключевые точки, затем по порядку связанные с ними линии, поверхности и объемы. Кроме этого в программе ANSYS поверхность можно построить также методом «обтягивания каркаса». Суть этого метода заключается в задании некоторого набора поперечных сечений и в последующем построении поверхности с помощью команды. Построенная таким образом поверхность будет в точности соответствовать указанным сечениям. В программе ANSYS также имеется возможность использовать так называемые геометрические примитивы (например, окружности и прямоугольники в двумерном случае, параллелепипеды, сферы, конусы и цилиндры в трехмерном), которые создаются за одно обращение к меню. В твердотельном моделировании кроме восходящего можно применить также и нисходящий способ. Согласно этому способу пользователь указывает самый высокий порядок сложности объектов модели с помощью вышеупомянутых примитивов. Например, пользователь определяет объемный примитив, а программа автоматически находит связанные с ним поверхности, линии и ключевые точки. Примитивы позволяют непосредственно указывать геометрические формы объектов модели. Кроме этого существует еще один способ создания геометрической модели в ANSYS - это импорт модели, предварительно построенной с помощью другой программы.. Независимо от способа построения модели программа ANSYS позволяет применять операции булевой алгебры (сложение, вычитание, пересечение, деление, склеивание и объединение) для создания окончательного вида модели.
180 Создание сеточной области конечных элементов
На этом этапе расчета твердотельная модель заменяется соответствующей сеточной областью конечных элементов. Выбор конечных элементов производится из библиотеки программы ANSYS, которая содержит более 80 типов конечных элементов. Каждый из этих элементов используется только в своей области расчетов (прочностной, тепловой и т.д.) и определяет характерную форму элементов (линейную, плоскую, в виде бруска и т.д.), а также размерность (2D или 3D) элемента. Для выбранного типа элементов необходимо задать константы, определяющие характерные свойства элемента. Например, для балочного 2D элемента BEAM3 константами являются площадь поперечного сечения, момент инерции, высота и др. Затем переходят к установлению свойств используемого материала (линейности, нелинейности, анизотропности и т.д.), а также зависимости этих свойств от температуры, от кривых деформирования материала с различными видами упрочнения, кривых ползучести. Анизотропные и гиперупругие свойства для упругих материалов обычно задаются в виде таблицы. Описание анизотропной пластичности требует задания кривых «напряжение-деформация» для разных направлений. В программе ANSYS предусмотрено четыре способа генерации сетки: использование метода экструзии, создание упорядоченной сетки, автоматическое создание произвольной сетки и адаптивное построение. Метод экструзии (выдавливания) служит для превращения областей с двумерной сеткой в трехмерные объекты, состоящие из параллелепипедов, клиновидных элементов или их комбинации. Процесс экструзии осуществляется с помощью процедур смещения из плоскости, буксировки, поступательного и вращательного перемещений. При создании упорядоченной сетки исходная модель предварительно разбивается на отдельные простые составные части, которые в свою очередь с помощью соответствующих команд управления качеством сетки заменяются сеточной обла-
181
182
стью. Упорядоченная сетка переменного размера строится для поверхностей, ограниченных четырьмя линиями. Создание произвольной сетки производится автоматически, при этом реализован алгоритм разумного выбора размеров конечного элемента, позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображения ее реальной геометрии. Кроме того, можно изменять размеры ячейки сетки, указав в качестве управляющего параметра любое число от единицы до десяти. При построении сетки можно указать общий характерный размер элемента или размер в некоторой окрестности заданных точек, коэффициент растяжения или сжатия вдали от границ, задать ограничения на кривизну границы, а также фиксированные узлы с заданными размерами сетки в окрестности такого узла. Произвольная сетка может строиться из треугольных, четырехугольных и четырехгранных элементов и наноситься на модель с достаточно сложной конфигурацией границ. Отметим, что программа ANSYS допускает модификацию конечно-элементной сетки. Например, могут быть изменены атрибуты узлов и элементов. Если модель состоит из повторяющихся областей, то можно построить сетку только для некоторой области модели, а затем копировать эту область. Программа автоматически осуществляет взаимно-перекрестный контроль правильности видоизменений сеточной модели. После создания модели и задания граничных условий программа также может генерировать сеточную область, оценивая и изменяя сетку до тех пор, пока расчетная погрешность сеточной дискретизации не станет меньше наперед заданной величины или не будет достигнуто заданное число итераций. Такой способ построения сетки называется адаптивным.
четов (статическом, динамическом, тепловом и т.д.), а p-метод лишь при линейном статическом анализе. При прочих равных условиях, первый из этих методов требует более частой сетки, чем второй. Задание метода осуществляется с помощью команды: Main Menu – Preferences В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering производится выбор соответствующей опции Discipline options. Отметим, что в программе ANSYS под нагрузками понимают кроме внешних и внутренних усилий также ограничения на перемещения (граничные условия). Нагрузки могут быть приложены либо к твердотельной модели (в ключевых точках, по линиям и поверхностям), либо к конечно-элементной модели (в узлах и к элементам). Вид нагрузок зависит от вида проводимого анализа. Например, при расчете теплопередачи нагрузкой, приложенной в точке, является тепловой поток. После задания всей информации о модели и приложенных нагрузках задача по команде SOLVE отправляется на счет. Результаты счета записываются в специальный файл и базу данных. Причем в файле могут храниться результаты для всех шагов решения, а в базе данных записывается только один набор результатов. Чтобы получить решение определяющих уравнений за минимальное время, программа ANSYS переупорядочивает расположение узлов и элементов в сеточной области.
4.3.2. Приложение нагрузок и получение решения Этот этап расчета состоит в выборе типа анализа и его опций, нагрузок, шага решения и запуском задачи на счет. В программе ANSYS можно использовать два метода решения задач. h-метод может применяться при любом типе рас-
4.3.3. Постпроцессорная обработка результатов счета
Постпроцессорные средства программы ANSYS позволяют представить результаты решения задачи («файл результатов») в виде графиков и таблиц. Возможны два подхода к результатам для постпроцессорной обработки: - использование постпроцессора общего назначения для работы с некоторым набором результатов, которые относятся ко всей модели в целом или ее части. Массивы результатов можно делить на части, сортировать, преобразовывать, комбинировать
183
184
вместе с наборами исходных данных, находить в полученных результатах наибольшие и наименьшие значения. На графиках имеется возможность показывать области равных значений тех или иных величин в виде изолиний, цветных полос или поверхностей равного уровня, отображать разрывы каких-либо величин на границе раздела сред. Можно также представлять результаты в виде векторов вдоль заданной кривой, определять те участки сетки, которые необходимо измельчать для уточнения решений, форматировать результаты счета для включения в отчет, создавать листинги или графические изображения; - использование постпроцессора истории нагружения позволяет выделить результаты, зависящие от времени или какихлибо независимых параметров, дает возможность наглядно представить эти зависимости. Этот способ полезен для обработки решения нестационарных задач. Методику работы с программой ANSYS разберем на примерах. 4.4. Примеры решения статических прочностных задач 4.4.1. Расчет стержневых систем Расчет плоской рамы, изображенной на рис. 4.1. Рама имеет следующие размеры, свойства и нагрузки: L1 = 5м, L2 = 6м, h1 = 4 м, h2 = 3 м, ширина сечения участков рамы width = 0.08 м, высота сечения стоек рамы Hsech1 = 0.06 м, высота сечения ригелей Hsech2 = 0.075 м, интенсивность распределенной нагрузки qe = 1 кН/м, сосредоточенная сила F = 4 кН, модуль упругости Е = 200 ГПа, коэффициент Пуассона nu = 0.3
Рис.4.1
Введем следующие обозначения: момент инерции стоек I1, момент инерции ригелей I2, Ar1, Ar2 – соответственно площади поперечных сечений стоек и ригелей. Расчет рамы проведем в интерактивном режиме (GUI). Предварительная подготовка (Preprocessing)
Решение данной задачи начинается с ввода заголовка: Utility menu → File → Change Title… В открывшемся окне Change Title печатаем имя задачи: Rama. OK.
185
186
Для решения задачи требуется ввести исходные данные: Utility menu → Parameters → Scalar Parameters… В нижнем однострочном поле Selection открывшегося окна печатаем название и величину вводимых параметров: L1=5 L2=6 H1=4 H2=3 width=0.08 Hsech1=0.06 Hsech2=0.075 Ar1=Hsech1*width Ar2=Hsech2*width I1=(width*Hsech1**3)/12 I2=(width*Hsech2**3)/12 qe=1 F=4 После печати каждого из перечисленных выше параметров нажатием кнопки Accept переводим его в верхнее окно Items. Ввод всех параметров завершается закрытием окна (кнопка Close). Геометрию балки зададим с помощью ключевых точек (keypoints): Main Menu → Preprocessor → Modeling → Create → Key-
кнопки Apply (применить). Координаты ключевых точек для рамы приведены в таблице:
points → In Active CS… Выбор In Active CS…(Active Coordinate Systems) позволит задавать положение ключевых точек в текущей глобальной системе координат. Для данной задачи ключевые точки разместим по концам прямолинейных участков балки. В открывшемся окне вводим номера ключевых точек в поле Keypoint number (номер ключевой точки), а также координаты x,y,z в поле Location in Active CS (Положение в действующей координатной ситеме). После ввода промежуточных ключевых точек ввод завершается нажатием
Координаты ключевых точек x y z 1 0 H1+H2 0 2 L1 H1+H2 0 3 0 H1 0 4 L1 H1 0 5 L1+L2 H1 0 6 L1 0 0 Завершается ввод ключевых точек нажатием ОК. Теперь для получения модели балки свяжем между собой заданные ключевые точки прямыми линиями: Preprocessor → Modeling → Create → Lines → Lines → Straight Line… Появившимся курсором отметим на графическом экране обе концевые ключевые точки каждого участка. После рисования каждого промежуточного участка нажимаем кнопку Apply, для завершения работы - ОК. Сообщим программе типы элементов, которые будут использованы при расчете: Preprocessor → Element Type → Add/Edit/Delete… → Add… В открывшемся окне Library of Element Types (Библиотека типов элементов) выбрать: Beam → 2D elastic 3 → OK После этого в открывшемся окне Element Types должна появиться запись: Type 1 Beam3. Выбираем в том же окне: Options… и во вновь открывшемся окне: Beam3 element type options; в поле Member force + moment output (K6) выбираем: Include Output. Закрываем окно: ОК. Закрываем окно Element Types нажатием кнопки Close. № точек
187 Теперь зададим свойства материала рамы: Main Menu → Preprocessor → Material Props → Material Models → Structural → Linear → Isotropic… В соответствующие поля окна Isotropic Material Properties вводим: EX: 2.0e8 PRXY: 0.3 OK. Сообщаем программе программе размеры элементов. Допустим, необходимо разбить все участки исходной рамы на элементы длиной 1 м каждый. Main Menu → Preprocessor → Meshing → SizeCntrls → ManualSize → Global → Size В поле SIZE вводим 1 и закрываем окно нажатием ОК. Создадим теперь сетку конечных элементов: Main Menu → Preprocessor → Meshing → Mesh → Lines. Появившейся стрелкой-курсором отметим ключевые точки на концах каждого участка рамы. Эта рама после нажатия ОК будет разбита на конечные элементы. Пронумеруем элементы: PlotCtrls → Numbering, а в поле Elem/Atrib numbering установим Element numbers. Для наглядности рисунка остальные поля этого окна должны быть пустыми (Off). Тогда лишняя нумерация не будет загромождать рисунок. Эта операция, как и предыдущие, должна завершаться нажатием ОК. Теперь изобразим на графическом дисплее перенумерованные элементы: Utility menu → Plot → Elements. Таким образом, конечно-элементная модель рамы создана. Целесообразно сохранить ее в файле: Utility menu → File → Save As… В открывшемся окне Save DataBase ввести имя файла с обязательным расширеним .db. Установим теперь константы элементов:
188 Main
Menu
→
Preprocessor
→
Real
Con-
stants…→Add/Edit/Delete → Add… В раскрывшемся окне Element Type for Real Constants выбираем: Type 1 BEAM3 → OK. В окне Real Constants for BEAM3 вставляем в соответствующие поля: Константы Для стоек рамы Для ригелей AREA: Ar1 Ar2 IZZ: I1 I2 HEIGHT: Hsech1 Hsech2
Закрываем окна: ОК → Close. Теперь меню Preprocessor можно закрыть. Наложение граничных условий, нагружение и решение (Solution) Откроем меню Solution (Решение): Main Menu → Solution → Analysis Type → New Analysis → Static → OK. Сначала зададим нумерацию узловых точек: Utility menu → PlotCtrls → Numbering. В открывшемся окне Plot Numbering установим флажок в поле Node numbers, остальные поля отключим (off). Задание граничных условий в перемещениях: Ключевая точка 1 (шарнирно-неподвижная опора): Main Menu → Solution → Define Loads → Apply → Structural → Displacement → On nodes. Образовавшимся курсором отметим узел 1 на графическом изображении модели рамы и нажимаем кнопку Apply. В этом узле запрещены линейные перемещения вдоль координатных осей, поэтому в открывшемся окне Apply U,ROT on Nodes в
189 строке DOFs to be constrained выберем UX и UY, а в окне Displacement value зададим значение 0. Нажимаем кнопку Apply. Аналогично в ключевых точках 3 и 5 (см. рис.4.1) зададим отсутствие только вертикальных перемещений, а в ключевой точке 6 (жесткая заделка) выберем в строке DOFs to be constrained значение All DOF (все степени свободы). ОК.. Кроме этого пренебрегаем влиянием осевых деформаций на перемещения в исходной раме, т.е. примем, что перемещения UX, UY в точке 2 и UY в точке 4 равны 0 (см. рис.4.1). Теперь необходимо задать распределенную нагрузку на левом верхнем горизонтальном участке рамы (рис.4.1). Main Menu → Solution → Apply → Structural → Pressure → On Beams. Образовавшимся курсором выделяем элементы рассматриваемого участка рамы. Нажимаем кнопку ОК. В открывшемся окне Apply PRES on Beams для равномерно распределенной нагрузки выбираем следующие параметры: VALI = 1, VALJ = 1, IOFFST = 0, JOFFST =0 в соответствии с рис.4.2. ОК. Отметим, что в программе ANSYS за положительное направление распределенной нагрузки принимается направление против оси OY.
Рис.4.2 Приложим сосредоточенную силу F = 4 kH к середине правого горизонтального участка, т.е. к 16-му узлу на схеме разбиения рамы (рис.4.3):
190 Main Menu → Solution → Define Loads → Structural → Force/Moment → On Nodes. Отметим образовавшимся курсором узел 16 и нажмем ОК. В открывшемся окне Apply F/M on Nodes в соответствующие поля введем FY (направление силы F, поле Lab) и -4 (величина силы F, поле VALUE). После нажатия ОК изображение вектора силы появится в графическом окне. Расчетная схема рамы показана на рис.4.3.
Рис.4.3 Теперь можно приступить к решению задачи: Main Menu → Solution → Solve → Current LS. Это означает, что решение должно быть получено на текущем шаге нагружения (Current Load Step, LS). В открывшемся окне Solve Current Load Step нажать ОК. Через некоторое время решение будет закончено, о чем свидетельствует появление сообщения: Solution is done!
191
Обзор результатов (Postprocessing) Main Menu → General Postproc → Real Results → By Load Step… В открвышемся окне выберем Load Step 1 (Шаг нагружения 1). ОК. Для изображения изогнутой формы рамы: Main Menu → General Postproc → Plot Results → Deformed Shape… Выберем Def + Undeformed. Нажимаем на кнопку ОК, в результате получим одновременно исходное положение рамы и ее деформированное состояние, которые показаны на рис.4.4.
Рис.4.4 Выведем таблицу координат узлов по оси Х.
192 Main Menu → General Postproc → List Results → Sorted Listing → Sort Nodes… Далее в поле ORDER выберем Ascending Order, в поле Item, Comp выберем Node loc X. Таблица выводится на графическом экране (рис.4.5).
Рис.4.5 Получим таблицу прогибов рамы (смещений узлов вдоль оси У).
193
194
Main Menu → General Postproc → List Results →Nodal Solution…
4.4.2. Решение задач теории упругости
Таблица показана на рис.4.6
Рис.4.6
Требуется определить напряженно-деформированное состояние в однородной изотропной панели с квадратным отверстием посередине, находящейся под действием объемных сил и защемленной по боковым торцам. Эта панель имеет следующие физические параметры: Е = 2.0*104 МПа (модуль упругости бетона), ν = 0.167 (коэффициент Пуассона бетона). Размеры панели: высота и ширина L = 10 м, сторона квадратного выреза 0.4L, толщина h = 1 м. Начало глобальной системы прямоугольных координат поместим в центр квадратного выреза. Так как панель имеет две оси симметрии, то рассмотрим лишь четверть этой панели (рис. 3.22). Проведем решение этой задачи в интерактивном режиме работы (GUI). Задание названия и исходных параметров модели Имя задачи и заголовок После данной операции все файлы, созданные в ANSYS в процессе работы, будут иметь указанное имя: Utility Menu → File → Change jobname Вводим: Panel и нажимаем ОК. Utility Menu → File → Change Title Вводим NDS Panel. OK. Для решения задачи введем некоторое количество переменных: Utility Menu → Parameters → Scalar Parameters… В нижнем поле Selection набираем название и величину вводимого параметра: F = 1 (величина параметра объемной силы). Accept → перевод набранного текста в верхнее окно Items. Close. Установка фильтров
195
196
Данная операция позволяет исключить из всех меню ANSYS пункты, не относящиеся к типу анализа решаемой задачи: Main Menu → Preferences. В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering установить флажок Structural, нажать кнопку ОК. Таким образом, выбрано решение задачи механики деформируемого твердого тела.
PLANE82). Ввести значение 1.0 для THK (толщина 1.0 м). ОК. Закрываем окно Real Constants нажатием кнопки Close.
Выбор типа элементов
В данной задаче выбираем плоский четырехугольный 8-узловой элемент PLANE82: Main Menu → Preprocessor → Element type → Add/Edit/Delete. В окне Element Types нажать кнопку Add…(добавить новый тип элемента); В библиотеке элементов Library of Element Types в левом окне выбрать Structural solid, а в правом окне Selection – Quad 8 node 82. OK. В окне Element Types выбрать Options (свойства элемента), выбрать в поле Element behavior K3 окна PLANE82 element type options значение Plane strs w/thk (плосконапряженный элемент с указанием толщины). Нажатием кнопки ОК закрываем окно Element Type options, а нажатием Close – Element Type. Выбор параметров элементов
Параметры задаются для таких элементов, чьи свойства нельзя в полной мере описать положением их узлов (например, толщина плоских элементов и параметры поперечного сечения балочных элементов). В нашем случае для выбранного элемента PLANE82 необходимо дополнительно определить его толщину: Main Menu → Preprocessor → Real Constants → Add/Edit/Delete → Add…(добавить к существующему списку наборов параметров). ОК (константы – для элемента
Свойства материала Свойства материала (модуль Юнга, коэффициент Пуассона) не зависят от геометрии элемента, поэтому для каждого типа используемых конечных элементов они должны задаваться отдельно. Кроме того, для одного и того же элемента могут быть заданы различные комбинации свойств материала. В зависимости от постановки задачи свойства материала могут быть линейные, нелинейные, анизотропные, температурно зависимые и т. д. В данном примере задается изотропный материал с постоянными свойствами: Main Menu → Preprocessor → Material Props → Material Models → Structural → Linear → Elastic → Isotropic →OK (набор свойств для материала № 1); В окне Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1 в поле EX (модуль упругости) введем значение 2.0е10, а в поле PRXY (коэффициент Пуассона) – 0.167. Закроем окно ОК. Все введенные данные находятся в оперативной памяти компьютера. Для того, чтобы сохранить их в файле Panel.db, необходимо на инструментальной панели выбрать команду: Toolbar → SAVE_DB.
Создание модели: построение прямоугольников
В данной задаче модель создается при помощи геометрических примитивов и автоматического построения сетки. Прямоугольные примитивы строятся по следующим параметрам: площадь, четыре линии и четыре ключевые точки. Исходная панель может быть построена с помощью двух прямоугольников: большого и маленького. Начнем с большого прямоугольника. Так как панель обладает двумя осями симметрии, то центр глобальной системы ко-
197
198
ординат помещаем в левый нижний угол рассматриваемой части панели. Main Menu → Preprocessor → Modeling-Create → AreaRectangle → By Dimension (прямоугольник по размерам) В окне Create Rectangle by Dimensions в имеющиеся поля вводим значения 0, 5.0, 0, 5.0 для X1,X2, Y1 и Y2 (переход - клавиша ) – координаты противоположных углов прямоугольника; нажимаем кнопку Apply (применить) для определения первого прямоугольника. Затем вводим 0, 2.0, 0, 2.0 (X1,X2,Y1,Y2) для второго прямоугольника (будущего выреза). Нажимаем ОК для определения второго прямоугольника и закрытия окна. Таким образом, в графическом окне созданы два прямоугольника одинакового цвета.
Изменение параметров изображения
Для более наглядного отображения геометрии устанавливается опция, включающая выделение цветом и нумерацию двумерных объектов (Areas). Эта опция расположена в пункте PlotCtrls основного меню (Utility Menu): Utility Menu → PlotCtrls → Numbering В появившемся окне выберем Area Numbers и нажимаем ОК для закрытия окна и перерисовки прямоугольников. В результате прямоугольники на дисплее выделены разным цветом и перенумерованы (рис.4.7).
Рис.4.7 Сохраним данные в файле Panel.db Toolbar → SAVE_DB Окончательное построение геометрической модели
Для окончания построения модели осталось только удалить область, ограниченную маленьким прямоугольником: Main Menu → Preprocessor → Modeling → Operate → Booleans-Subtract → Areas Отмечаем мышью область, из которой производится удаление (большой прямоугольник). Apply. Затем отмечаем маленький прямоугольник, подлежащий удалению. ОК (рис.4.8).
199
200 В поле Size открывшегося окна Global Element Size вводим значение 0.5. Если взять значение 1.0, то гладкость изолиний напряжений существенно уменьшается. ОК. Создание сеточной области
Для областей сложной геометрии в ANSYS используется свободное (Free) разбиение: Main Menu → Preprocessor → Meshing →Mesh → AreasFree Образовавшимся курсором обозначаем полученную область модели. ОК. Сохраним данные в файле Panel.db: Toolbar → SAVE_DB На этом построение конечно-элементной модели закончено (рис.4.9). Рис.4.8 Сохраним данные в файле Panel.db : Toolbar → SAVE_DB
Сохранение геометрических параметров модели: Utility Menu → File → Save as Вводим имя файла Model of Panel.db в нижней строке. ОК.
Установка размера элемента
Установка рекомендуемого размера элементов: Main Menu → Preprocessor → Meshing → Size Cntrls → Manual Size →Global – Size
Рис.4.9 Получение решения
201
202
Этап решения начинается с задания граничных условий, а также указания метода и параметров расчета.
FY {направление силы F), в поле Apply as – Constant value и в поле Value вводим значение силы, равное –F/2. Apply. Аналогично вводим значение силы –F/4 и значение –F соответственно в угловых и во всех свободных внутренних узлах сеточной области (кроме точек, совпадающих с заделкой). В правом верхнем углу выреза сходятся три конечных элемента, поэтому в нем задаем значение силы, равное -3/4·F. OK (см. рис.4.10).
Задание граничных перемещений
Так как программа ANSYS построила сетку автоматически, то нумерация узлов этой сетки для нас неизвестна. Поэтому сначала зададим ключевые линии, а затем укажем граничные условия в виде нулевых перемещений. Main Menu → Solution → Define Loads → Apply → Structural → Displasement – On Keypoints. Курсором мыши указываем две ключевые точки на крайней левой границе рассматриваемой сеточной области (вертикальной оси симметрии исходной панели). ОК. В появившемся окне Apply U,ROT on KPs выберем UX (горизонтальные перемещения) и введем 0 в поле Value (нулевые перемещения). Установим флажок в поле KEXPND в положение Yes (распространение действия команды на узлы, лежащие между ключевыми точками). Apply. Аналогично вводим нулевые перемещения на нижней горизонтальной границе сеточной области. Apply. На правой вертикальной границе в окне Apply U,ROT on KPs выбираем All DOF (перемещения по всем осям), в поле Value также вносим значение 0 и оставляем флажок в поле KEXPND в положение Yes. ОК (рис.4.10). Сохраним данные в файле Panel.db: Toolbar → SAVE_DB.
Задание объемных сил Main Menu → Solution → Define Loads →Structural → Force/Moment → On Nodes Отмечаем образовавшимся курсором все свободные граничные узлы сетки, кроме угловых, и нажимаем ОК. В открывшемся окне Apply F/M on Nodes в поле Lab выбираем параметр
Рис.4.10 Решение задачи
Теперь приступим к решению поставленной задачи:
203
204
Main Menu → Solution → Solve - Current LS → OK Прочитав и проанализировав сообщение в белом информационном окне, закроем его (File → Close). Нажатием кнопки ОК запустим программу для счета на текущем шаге нагружения. После нажатия кнопки Close появится желтое окно с надписью: Solution is done!
Результаты расчета данного шага нагружения сохраняются в базе данных (файл Panel.db) и в файле результатов (файл Panel.rst). Заметим, что если задача предполагает несколько шагов нагружения, то в базе данных сохраняются результаты только текущего шага нагружения. Результаты расчета по всем шагам нагружения сохраняются в файле результатов. Анализ результатов
Так как для данной задачи имеется только один набор выходных данных, то задаем следующую команду: Main Menu → General Postproc →Read Results - First Set Получим теперь изображение модели в деформированном состоянии: Main Menu → General Postproc → Plot Results - Deformed Shape В открывшемся окне Plot Deformed Shape выбираем опцию Def + undeformed. OK. В результате на экране дисплея появляются одновременно исходная и деформированная формы модели (рис.4.11).
Рис.4.11 Изолинии эквивалентных напряжений по Хуберу- Мизесу
При многоосном напряженном состоянии часто считается, что переход к пластическому состоянию материала происходит, когда эквивалентные напряжения σэкв, рассчитанные по гипотезе
205
206
Хубера-Мизеса, достигают предельного значения. Формула для σэкв характеризует энергию формоизменения и имеет следующий вид:
вом верхнем углу приводятся максимальное (SMX = 56.425) и минимальное (SMN = 1.293) значения эквивалентных напряжений. Для получения более точных результатов счета можно вернуться к построению сетки и в наиболее опасной областях (в данной задаче – зона вблизи заделки, в верхней его части) построить более мелкую сетку и решить задачу заново. Для облегчения просмотра картин изолиний полезно удаление с экрана дисплея границ элементов: Utility Menu → Plot Ctrls → Style →Edge Options В окне Edge Options в поле [/Edge] выбрать опцию Edge Only/All (показывать только границы областей), в поле [/Gline] – Dashed/Solid (сплошными линиями), в поле [/Replot] – Replot (обновить картинку после выполнения команды). ОК.
σ экв =
2 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 2
где σ1, σ2 , σ3 – главные напряжения. Имея картину изолиний эквивалентных напряжений, можно установить опасное сечение панели: Main Menu → General Postproc → Plot Results → Contour Plot → Nodal Solution В поле Item,Comp открывшегося окна выбираем Stress (напряжения) в левом scroll-меню и von Mises SEQV в правом scrollменю. ОК (рис.4.12).
Вывод значений усилий в граничных узлах
Правильность решения можно контролировать поразному. Так, например, в данной задаче сумма реакций в узлах в направлении оси у должна равняться равнодействующей всех приложенных сил, а в направлении оси х – нулю. Приведенная ниже операция позволяет вывести в текстовой форме значения компонентов сил в узлах, лежащих на границах области: Main Menu → General Postproc → List Result → Reaction Solu В открывшемся окне List Reaction Solution выберем опцию All items (просмотр всех реакций в появившемся окне). ОК.
Рис.4.12 На оригинале рисунка изолинии эквивалентных напряжений изображены цветными полосами. Под рисунком дается легенда для расшифровки числовых значений напряжений. В ле-
Выход из программы ANSYS . При завершении работы с программой ANSYS данные можно сохранять в различном объеме: геометрия и граничные условия (save Geom + Loads); геометрия, граничные условия и параметры расчета (save Geom + Loads + Solu); сохранять все, в том числе и результаты счета (save + Everything); ничего не сохранять (No Save!):
207
208
Tool bar → Quit. Выбираем последний пункт. ОК.
№ панели - 3. Замечание. Студенты-заочники выбирают данные из таблиц в соответствии с шифром – тремя последними цифрами номера зачетной книжки. 3. При выполнении заданий необходимо соблюдать следующие требования: а)аккуратно начертить расчетную схему, указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными;
5. ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ 1.Выполнению работ должно предшествовать изучение соответствующей темы по настоящему пособию и конспекту лекций, составленному с использованием дополнительной литература [1-4]. 2 Исходные данные для выполнения работ необходимо выбрать из указанной в задании таблицы согласно своему шифру, который сообщается студенту преподавателем, ведущим практические занятия. Для этого под шифром, представляющим собой трехзначное число, следует расположить три буквы русского алфавита, например: шифр
263
буквы а б в В таблице из вертикальных столбцов, обозначенных внизу соответствующей буквой, нужно выбрать числа, стоящие в той горизонтальной строке, номер которой совпадает с номером буквы. Например, в задании 1 для указанного выше шифра: номер расчетной схемы (рис.1) совпадает с последней цифрой шифра, т.е с номером III-ей схемы; внешние силы: Р1=4кН, Р2=1кН, Р3=5кН, …; размеры: d=5,0м, h=7,5м; угол α=300;
б)решение задачи проводить по возможности в общем виде, подставляя при необходимости числовые данные в промежуточные буквенные выражения; в)все расчеты должны иметь заголовки и сопровождаться краткими пояснениями, эскизами вырезанных узлов и отсеченных частей рамы; г)эпюры необходимо строить последовательно по ходу решения задачи с указанием характерных ординат, их знаков и размерностей рассматриваемых величин. Все пояснения к выполняемым расчетам и оформление работы рекомендуется набирать в текстовом редакторе Microsoft Word, а все чертежи выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба. 4.Выполненную работу необходимо защитить в сроки, установленные графиком самостоятельной работы студентов. Шифр следующей работы студенту выдается после защиты данной работы. 5.Работа выполняется на стандартном листе бумаги А4 на одной стороне. Задание 1. Расчет статически определимых ферм
Для заданной фермы (рис.1) требуется определить продольные усилия во всех ее стержнях.
209
210
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (см.п.1.2.1): 1) пронумеровать узлы и стержни фермы, сформировать структурную матрицу S c ; 2) задать координаты узлов; 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы координат; 4) вычислить длины стержней; 5) определить направляющие косинусы; ρ 6) составить вектор внешней нагрузки P и матрицу S * ;
специальных команд. При этом первой строкой в файле программы должна быть строка /batch. Этот режим не требует постоянной связи с компьютером. В интерактивном же режиме пользователь все время общается с компьютером посредством команд и задания соответствующих параметров. Это особенно удобно для оперативного выявления и исправления допущенных при расчете ошибок, при этом в полной мере используются возможности графического интерфейса и диалоговых окон. Вход в интерактивный режим программы ANSYS осуществляется в следующем порядке: -настройка параметров: Пуск (Start) → Все программы → ANSYS Interactive; -Run. После входа в интерактивный режим диалог пользователя осуществляется через многооконный «Графический интерфейс пользователя (GUI)». Основными элементами окна являются: – Меню утилит (Utility menu), которое занимает верхнюю строку рабочего окна и содержит набор часто используемых процедур; – Окно ввода (ANSYS input), оно служит для набора команд и вывода сообщений в Output Window; – Главное меню (ANSYS Main menu), содержащее основные функции и этапы выполнения программы; – Графическое окно, представляющее собой область для вывода графической информации (конечно-элементная модель, графики результатов анализа и т.п.); – Линейка инструментов (Toolbar), позволяет иметь быстрый доступ к часто исполняемым командам; – Окно вывода (Output Window), которое предназначено для вывода текстовых сообщений программы. 4.3. Основные стадии решения задач При решении задач с помощью программы ANSYS выделяют три стадии:
211 - Preprocessing – препроцессорная (предварительная) подготовка задачи; - Приложение нагрузок и получение решения; - Postprocessing – постпроцессорная обработка результатов счета. 4.3.1. Препроцессорная подготовка задачи На первой стадии производится выбор типа расчетов, построение модели и приложение нагрузок, включая и граничные условия. Здесь задаются необходимыми значениями исходных параметров, выбираются системы координат и типы конечных элементов, указываются упругие постоянные и физикомеханические свойства материала, строится твердотельная модель, которая покрывается сеткой конечных элементов, выполняются необходимые действия с узлами и элементами сетки. В программе ANSYS на различных этапах препроцессорной подготовки задачи можно использовать разные координатные системы: декартовые, цилиндрические, сферические, эллиптические и тороидальные. Эти системы необходимы для размещения в пространстве геометрических объектов, определения направлений степеней свободы в узлах сетки, задания свойств материала в разных направлениях, для управления графическим изображением и содержанием выходных результатов. Все исходные данные включаются в центральную базу данных программы. Эта база данных разделена на таблицы координатных систем, типов элементов, свойств материала, ключевых точек, узлов сетки, нагрузок и т.п. Как только в таблице появляются данные, на них можно ссылаться по входному номеру таблицы. Для выбора данных могут быть использованы различные способы, например разделение модели на компоненты или слои, представляющие собой выделенные группы геометрических объектов. Программа использует ту часть базы данных, которая необходима для определенного вида расчетов.
212 Способы геометрического моделирования
В программе ANSYS существует возможность непосредственного построение модели в интерактивном режиме работы. При этом чаще всего используется так называемое «восходящее моделирование», при котором пользователь строит модель, последовательно переходя от простых к более сложным объектам. Т.е., сначала задаются ключевые точки, затем по порядку связанные с ними линии, поверхности и объемы. Кроме этого в программе ANSYS поверхность можно построить также методом «обтягивания каркаса». Суть этого метода заключается в задании некоторого набора поперечных сечений и в последующем построении поверхности с помощью команды. Построенная таким образом поверхность будет в точности соответствовать указанным сечениям. В программе ANSYS также имеется возможность использовать так называемые геометрические примитивы (например, окружности и прямоугольники в двумерном случае, параллелепипеды, сферы, конусы и цилиндры в трехмерном), которые создаются за одно обращение к меню. В твердотельном моделировании кроме восходящего можно применить также и нисходящий способ. Согласно этому способу пользователь указывает самый высокий порядок сложности объектов модели с помощью вышеупомянутых примитивов. Например, пользователь определяет объемный примитив, а программа автоматически находит связанные с ним поверхности, линии и ключевые точки. Примитивы позволяют непосредственно указывать геометрические формы объектов модели. Кроме этого существует еще один способ создания геометрической модели в ANSYS - это импорт модели, предварительно построенной с помощью другой программы.. Независимо от способа построения модели программа ANSYS позволяет применять операции булевой алгебры (сложение, вычитание, пересечение, деление, склеивание и объединение) для создания окончательного вида модели.
213 Создание сеточной области конечных элементов
На этом этапе расчета твердотельная модель заменяется соответствующей сеточной областью конечных элементов. Выбор конечных элементов производится из библиотеки программы ANSYS, которая содержит более 80 типов конечных элементов. Каждый из этих элементов используется только в своей области расчетов (прочностной, тепловой и т.д.) и определяет характерную форму элементов (линейную, плоскую, в виде бруска и т.д.), а также размерность (2D или 3D) элемента. Для выбранного типа элементов необходимо задать константы, определяющие характерные свойства элемента. Например, для балочного 2D элемента BEAM3 константами являются площадь поперечного сечения, момент инерции, высота и др. Затем переходят к установлению свойств используемого материала (линейности, нелинейности, анизотропности и т.д.), а также зависимости этих свойств от температуры, от кривых деформирования материала с различными видами упрочнения, кривых ползучести. Анизотропные и гиперупругие свойства для упругих материалов обычно задаются в виде таблицы. Описание анизотропной пластичности требует задания кривых «напряжение-деформация» для разных направлений. В программе ANSYS предусмотрено четыре способа генерации сетки: использование метода экструзии, создание упорядоченной сетки, автоматическое создание произвольной сетки и адаптивное построение. Метод экструзии (выдавливания) служит для превращения областей с двумерной сеткой в трехмерные объекты, состоящие из параллелепипедов, клиновидных элементов или их комбинации. Процесс экструзии осуществляется с помощью процедур смещения из плоскости, буксировки, поступательного и вращательного перемещений. При создании упорядоченной сетки исходная модель предварительно разбивается на отдельные простые составные части, которые в свою очередь с помощью соответствующих команд управления качеством сетки заменяются сеточной обла-
214 стью. Упорядоченная сетка переменного размера строится для поверхностей, ограниченных четырьмя линиями. Создание произвольной сетки производится автоматически, при этом реализован алгоритм разумного выбора размеров конечного элемента, позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображения ее реальной геометрии. Кроме того, можно изменять размеры ячейки сетки, указав в качестве управляющего параметра любое число от единицы до десяти. При построении сетки можно указать общий характерный размер элемента или размер в некоторой окрестности заданных точек, коэффициент растяжения или сжатия вдали от границ, задать ограничения на кривизну границы, а также фиксированные узлы с заданными размерами сетки в окрестности такого узла. Произвольная сетка может строиться из треугольных, четырехугольных и четырехгранных элементов и наноситься на модель с достаточно сложной конфигурацией границ. Отметим, что программа ANSYS допускает модификацию конечно-элементной сетки. Например, могут быть изменены атрибуты узлов и элементов. Если модель состоит из повторяющихся областей, то можно построить сетку только для некоторой области модели, а затем копировать эту область. Программа автоматически осуществляет взаимно-перекрестный контроль правильности видоизменений сеточной модели. После создания модели и задания граничных условий программа также может генерировать сеточную область, оценивая и изменяя сетку до тех пор, пока расчетная погрешность сеточной дискретизации не станет меньше наперед заданной величины или не будет достигнуто заданное число итераций. Такой способ построения сетки называется адаптивным. 4.3.2. Приложение нагрузок и получение решения Этот этап расчета состоит в выборе типа анализа и его опций, нагрузок, шага решения и запуском задачи на счет. В программе ANSYS можно использовать два метода решения задач. h-метод может применяться при любом типе рас-
215
216
четов (статическом, динамическом, тепловом и т.д.), а p-метод лишь при линейном статическом анализе. При прочих равных условиях, первый из этих методов требует более частой сетки, чем второй. Задание метода осуществляется с помощью команды: Main Menu – Preferences В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering производится выбор соответствующей опции Discipline options. Отметим, что в программе ANSYS под нагрузками понимают кроме внешних и внутренних усилий также ограничения на перемещения (граничные условия). Нагрузки могут быть приложены либо к твердотельной модели (в ключевых точках, по линиям и поверхностям), либо к конечно-элементной модели (в узлах и к элементам). Вид нагрузок зависит от вида проводимого анализа. Например, при расчете теплопередачи нагрузкой, приложенной в точке, является тепловой поток. После задания всей информации о модели и приложенных нагрузках задача по команде SOLVE отправляется на счет. Результаты счета записываются в специальный файл и базу данных. Причем в файле могут храниться результаты для всех шагов решения, а в базе данных записывается только один набор результатов. Чтобы получить решение определяющих уравнений за минимальное время, программа ANSYS переупорядочивает расположение узлов и элементов в сеточной области.
вместе с наборами исходных данных, находить в полученных результатах наибольшие и наименьшие значения. На графиках имеется возможность показывать области равных значений тех или иных величин в виде изолиний, цветных полос или поверхностей равного уровня, отображать разрывы каких-либо величин на границе раздела сред. Можно также представлять результаты в виде векторов вдоль заданной кривой, определять те участки сетки, которые необходимо измельчать для уточнения решений, форматировать результаты счета для включения в отчет, создавать листинги или графические изображения; - использование постпроцессора истории нагружения позволяет выделить результаты, зависящие от времени или какихлибо независимых параметров, дает возможность наглядно представить эти зависимости. Этот способ полезен для обработки решения нестационарных задач. Методику работы с программой ANSYS разберем на примерах.
4.3.3. Постпроцессорная обработка результатов счета
Постпроцессорные средства программы ANSYS позволяют представить результаты решения задачи («файл результатов») в виде графиков и таблиц. Возможны два подхода к результатам для постпроцессорной обработки: - использование постпроцессора общего назначения для работы с некоторым набором результатов, которые относятся ко всей модели в целом или ее части. Массивы результатов можно делить на части, сортировать, преобразовывать, комбинировать
4.4. Примеры решения статических прочностных задач 4.4.1. Расчет стержневых систем Расчет плоской рамы, изображенной на рис. 4.1. Рама имеет следующие размеры, свойства и нагрузки: L1 = 5м, L2 = 6м, h1 = 4 м, h2 = 3 м, ширина сечения участков рамы width = 0.08 м, высота сечения стоек рамы Hsech1 = 0.06 м, высота сечения ригелей Hsech2 = 0.075 м, интенсивность распределенной нагрузки qe = 1 кН/м, сосредоточенная сила F = 4 кН, модуль упругости Е = 200 ГПа, коэффициент Пуассона nu = 0.3
217
Рис.4.1
Введем следующие обозначения: момент инерции стоек I1, момент инерции ригелей I2, Ar1, Ar2 – соответственно площади поперечных сечений стоек и ригелей. Расчет рамы проведем в интерактивном режиме (GUI). Предварительная подготовка (Preprocessing)
Решение данной задачи начинается с ввода заголовка: Utility menu → File → Change Title… В открывшемся окне Change Title печатаем имя задачи: Rama. OK.
218 Для решения задачи требуется ввести исходные данные: Utility menu → Parameters → Scalar Parameters… В нижнем однострочном поле Selection открывшегося окна печатаем название и величину вводимых параметров: L1=5 L2=6 H1=4 H2=3 width=0.08 Hsech1=0.06 Hsech2=0.075 Ar1=Hsech1*width Ar2=Hsech2*width I1=(width*Hsech1**3)/12 I2=(width*Hsech2**3)/12 qe=1 F=4 После печати каждого из перечисленных выше параметров нажатием кнопки Accept переводим его в верхнее окно Items. Ввод всех параметров завершается закрытием окна (кнопка Close). Геометрию балки зададим с помощью ключевых точек (keypoints): Main Menu → Preprocessor → Modeling → Create → Keypoints → In Active CS… Выбор In Active CS…(Active Coordinate Systems) позволит задавать положение ключевых точек в текущей глобальной системе координат. Для данной задачи ключевые точки разместим по концам прямолинейных участков балки. В открывшемся окне вводим номера ключевых точек в поле Keypoint number (номер ключевой точки), а также координаты x,y,z в поле Location in Active CS (Положение в действующей координатной ситеме). После ввода промежуточных ключевых точек ввод завершается нажатием
219
220
кнопки Apply (применить). Координаты ключевых точек для рамы приведены в таблице:
Теперь зададим свойства материала рамы: Main Menu → Preprocessor → Material Props → Material
Координаты ключевых точек x y z 1 0 H1+H2 0 2 L1 H1+H2 0 3 0 H1 0 4 L1 H1 0 5 L1+L2 H1 0 6 L1 0 0 Завершается ввод ключевых точек нажатием ОК. Теперь для получения модели балки свяжем между собой заданные ключевые точки прямыми линиями: Preprocessor → Modeling → Create → Lines → Lines → Straight Line… Появившимся курсором отметим на графическом экране обе концевые ключевые точки каждого участка. После рисования каждого промежуточного участка нажимаем кнопку Apply, для завершения работы - ОК. Сообщим программе типы элементов, которые будут использованы при расчете: Preprocessor → Element Type → Add/Edit/Delete… → Add… В открывшемся окне Library of Element Types (Библиотека типов элементов) выбрать: Beam → 2D elastic 3 → OK После этого в открывшемся окне Element Types должна появиться запись: Type 1 Beam3. Выбираем в том же окне: Options… и во вновь открывшемся окне: Beam3 element type options; в поле Member force + moment output (K6) выбираем: Include Output. Закрываем окно: ОК. Закрываем окно Element Types нажатием кнопки Close.
Models → Structural → Linear → Isotropic… В соответствующие поля окна Isotropic Material Properties вводим: EX: 2.0e8 PRXY: 0.3 OK. Сообщаем программе программе размеры элементов. Допустим, необходимо разбить все участки исходной рамы на элементы длиной 1 м каждый. Main Menu → Preprocessor → Meshing → SizeCntrls →
№ точек
ManualSize → Global → Size В поле SIZE вводим 1 и закрываем окно нажатием ОК. Создадим теперь сетку конечных элементов: Main Menu → Preprocessor → Meshing → Mesh → Lines. Появившейся стрелкой-курсором отметим ключевые точки на концах каждого участка рамы. Эта рама после нажатия ОК будет разбита на конечные элементы. Пронумеруем элементы: PlotCtrls → Numbering, а в поле Elem/Atrib numbering установим Element numbers. Для наглядности рисунка остальные поля этого окна должны быть пустыми (Off). Тогда лишняя нумерация не будет загромождать рисунок. Эта операция, как и предыдущие, должна завершаться нажатием ОК. Теперь изобразим на графическом дисплее перенумерованные элементы: Utility menu → Plot → Elements. Таким образом, конечно-элементная модель рамы создана. Целесообразно сохранить ее в файле: Utility menu → File → Save As… В открывшемся окне Save DataBase ввести имя файла с обязательным расширеним .db. Установим теперь константы элементов:
221 Main
Menu
→
Preprocessor
222 →
Real
Con-
stants…→Add/Edit/Delete → Add… В раскрывшемся окне Element Type for Real Constants выбираем: Type 1 BEAM3 → OK. В окне Real Constants for BEAM3 вставляем в соответствующие поля: Константы Для стоек рамы Для ригелей AREA: Ar1 Ar2 IZZ: I1 I2 HEIGHT: Hsech1 Hsech2
Закрываем окна: ОК → Close. Теперь меню Preprocessor можно закрыть. Наложение граничных условий, нагружение и решение (Solution) Откроем меню Solution (Решение): Main Menu → Solution → Analysis Type → New Analysis →
строке DOFs to be constrained выберем UX и UY, а в окне Displacement value зададим значение 0. Нажимаем кнопку Apply. Аналогично в ключевых точках 3 и 5 (см. рис.4.1) зададим отсутствие только вертикальных перемещений, а в ключевой точке 6 (жесткая заделка) выберем в строке DOFs to be constrained значение All DOF (все степени свободы). ОК.. Кроме этого пренебрегаем влиянием осевых деформаций на перемещения в исходной раме, т.е. примем, что перемещения UX, UY в точке 2 и UY в точке 4 равны 0 (см. рис.4.1). Теперь необходимо задать распределенную нагрузку на левом верхнем горизонтальном участке рамы (рис.4.1). Main Menu → Solution → Apply → Structural → Pressure → On Beams. Образовавшимся курсором выделяем элементы рассматриваемого участка рамы. Нажимаем кнопку ОК. В открывшемся окне Apply PRES on Beams для равномерно распределенной нагрузки выбираем следующие параметры: VALI = 1, VALJ = 1, IOFFST = 0, JOFFST =0 в соответствии с рис.4.2. ОК. Отметим, что в программе ANSYS за положительное направление распределенной нагрузки принимается направление против оси OY.
Static → OK. Сначала зададим нумерацию узловых точек: Utility menu → PlotCtrls → Numbering. В открывшемся окне Plot Numbering установим флажок в поле Node numbers, остальные поля отключим (off). Задание граничных условий в перемещениях: Ключевая точка 1 (шарнирно-неподвижная опора): Main Menu → Solution → Define Loads → Apply → Structural → Displacement → On nodes. Образовавшимся курсором отметим узел 1 на графическом изображении модели рамы и нажимаем кнопку Apply. В этом узле запрещены линейные перемещения вдоль координатных осей, поэтому в открывшемся окне Apply U,ROT on Nodes в
Рис.4.2 Приложим сосредоточенную силу F = 4 kH к середине правого горизонтального участка, т.е. к 16-му узлу на схеме разбиения рамы (рис.4.3):
223 Main Menu → Solution → Define Loads → Structural → Force/Moment → On Nodes. Отметим образовавшимся курсором узел 16 и нажмем ОК. В открывшемся окне Apply F/M on Nodes в соответствующие поля введем FY (направление силы F, поле Lab) и -4 (величина силы F, поле VALUE). После нажатия ОК изображение вектора силы появится в графическом окне. Расчетная схема рамы показана на рис.4.3.
Рис.4.3 Теперь можно приступить к решению задачи: Main Menu → Solution → Solve → Current LS. Это означает, что решение должно быть получено на текущем шаге нагружения (Current Load Step, LS). В открывшемся окне Solve Current Load Step нажать ОК. Через некоторое время решение будет закончено, о чем свидетельствует появление сообщения: Solution is done!
224
Обзор результатов (Postprocessing) Main Menu → General Postproc → Real Results → By Load Step… В открвышемся окне выберем Load Step 1 (Шаг нагружения 1). ОК. Для изображения изогнутой формы рамы: Main Menu → General Postproc → Plot Results → Deformed Shape… Выберем Def + Undeformed. Нажимаем на кнопку ОК, в результате получим одновременно исходное положение рамы и ее деформированное состояние, которые показаны на рис.4.4.
Рис.4.4 Выведем таблицу координат узлов по оси Х.
225 Main Menu → General Postproc → List Results → Sorted Listing → Sort Nodes… Далее в поле ORDER выберем Ascending Order, в поле Item, Comp выберем Node loc X. Таблица выводится на графическом экране (рис.4.5).
226 Main Menu → General Postproc → List Results →Nodal Solution…
Таблица показана на рис.4.6
Рис.4.5 Получим таблицу прогибов рамы (смещений узлов вдоль оси У).
Рис.4.6
227
228
4.4.2. Решение задач теории упругости
Данная операция позволяет исключить из всех меню ANSYS пункты, не относящиеся к типу анализа решаемой задачи: Main Menu → Preferences. В открывшемся окне Preferences for GUI Filtering установить флажок Structural, нажать кнопку ОК. Таким образом, выбрано решение задачи механики деформируемого твердого тела.
Требуется определить напряженно-деформированное состояние в однородной изотропной панели с квадратным отверстием посередине, находящейся под действием объемных сил и защемленной по боковым торцам. Эта панель имеет следующие физические параметры: Е = 2.0*104 МПа (модуль упругости бетона), ν = 0.167 (коэффициент Пуассона бетона). Размеры панели: высота и ширина L = 10 м, сторона квадратного выреза 0.4L, толщина h = 1 м. Начало глобальной системы прямоугольных координат поместим в центр квадратного выреза. Так как панель имеет две оси симметрии, то рассмотрим лишь четверть этой панели (рис. 3.22). Проведем решение этой задачи в интерактивном режиме работы (GUI). Задание названия и исходных параметров модели Имя задачи и заголовок После данной операции все файлы, созданные в ANSYS в процессе работы, будут иметь указанное имя: Utility Menu → File → Change jobname Вводим: Panel и нажимаем ОК. Utility Menu → File → Change Title Вводим NDS Panel. OK. Для решения задачи введем некоторое количество переменных: Utility Menu → Parameters → Scalar Parameters… В нижнем поле Selection набираем название и величину вводимого параметра: F = 1 (величина параметра объемной силы). Accept → перевод набранного текста в верхнее окно Items. Close. Установка фильтров
Выбор типа элементов
В данной задаче выбираем плоский четырехугольный 8-узловой элемент PLANE82: Main Menu → Preprocessor → Element type → Add/Edit/Delete. В окне Element Types нажать кнопку Add…(добавить новый тип элемента); В библиотеке элементов Library of Element Types в левом окне выбрать Structural solid, а в правом окне Selection – Quad 8 node 82. OK. В окне Element Types выбрать Options (свойства элемента), выбрать в поле Element behavior K3 окна PLANE82 element type options значение Plane strs w/thk (плосконапряженный элемент с указанием толщины). Нажатием кнопки ОК закрываем окно Element Type options, а нажатием Close – Element Type. Выбор параметров элементов
Параметры задаются для таких элементов, чьи свойства нельзя в полной мере описать положением их узлов (например, толщина плоских элементов и параметры поперечного сечения балочных элементов). В нашем случае для выбранного элемента PLANE82 необходимо дополнительно определить его толщину: Main Menu → Preprocessor → Real Constants → Add/Edit/Delete → Add…(добавить к существующему списку наборов параметров). ОК (константы – для элемента
229
230
PLANE82). Ввести значение 1.0 для THK (толщина 1.0 м). ОК. Закрываем окно Real Constants нажатием кнопки Close.
ординат помещаем в левый нижний угол рассматриваемой части панели. Main Menu → Preprocessor → Modeling-Create → Area-
Свойства материала Свойства материала (модуль Юнга, коэффициент Пуассона) не зависят от геометрии элемента, поэтому для каждого типа используемых конечных элементов они должны задаваться отдельно. Кроме того, для одного и того же элемента могут быть заданы различные комбинации свойств материала. В зависимости от постановки задачи свойства материала могут быть линейные, нелинейные, анизотропные, температурно зависимые и т. д. В данном примере задается изотропный материал с постоянными свойствами: Main Menu → Preprocessor → Material Props → Material Models → Structural → Linear → Elastic → Isotropic →OK (набор свойств для материала № 1); В окне Linear Isotropic Material Properties for Material Number 1 в поле EX (модуль упругости) введем значение 2.0е10, а в поле PRXY (коэффициент Пуассона) – 0.167. Закроем окно ОК. Все введенные данные находятся в оперативной памяти компьютера. Для того, чтобы сохранить их в файле Panel.db, необходимо на инструментальной панели выбрать команду: Toolbar → SAVE_DB.
Создание модели: построение прямоугольников
В данной задаче модель создается при помощи геометрических примитивов и автоматического построения сетки. Прямоугольные примитивы строятся по следующим параметрам: площадь, четыре линии и четыре ключевые точки. Исходная панель может быть построена с помощью двух прямоугольников: большого и маленького. Начнем с большого прямоугольника. Так как панель обладает двумя осями симметрии, то центр глобальной системы ко-
Rectangle → By Dimension (прямоугольник по размерам) В окне Create Rectangle by Dimensions в имеющиеся поля вводим значения 0, 5.0, 0, 5.0 для X1,X2, Y1 и Y2 (переход - клавиша ) – координаты противоположных углов прямоугольника; нажимаем кнопку Apply (применить) для определения первого прямоугольника. Затем вводим 0, 2.0, 0, 2.0 (X1,X2,Y1,Y2) для второго прямоугольника (будущего выреза). Нажимаем ОК для определения второго прямоугольника и закрытия окна. Таким образом, в графическом окне созданы два прямоугольника одинакового цвета.
Изменение параметров изображения
Для более наглядного отображения геометрии устанавливается опция, включающая выделение цветом и нумерацию двумерных объектов (Areas). Эта опция расположена в пункте PlotCtrls основного меню (Utility Menu): Utility Menu → PlotCtrls → Numbering В появившемся окне выберем Area Numbers и нажимаем ОК для закрытия окна и перерисовки прямоугольников. В результате прямоугольники на дисплее выделены разным цветом и перенумерованы (рис.4.7).
231
Рис.4.7 Сохраним данные в файле Panel.db Toolbar → SAVE_DB Окончательное построение геометрической модели
232
Рис.4.8 Сохраним данные в файле Panel.db : Toolbar → SAVE_DB
Сохранение геометрических параметров модели:
Для окончания построения модели осталось только удалить область, ограниченную маленьким прямоугольником: Main Menu → Preprocessor → Modeling → Operate → Boo-
Utility Menu → File → Save as Вводим имя файла Model of Panel.db в нижней строке. ОК.
leans-Subtract → Areas Отмечаем мышью область, из которой производится удаление (большой прямоугольник). Apply. Затем отмечаем маленький прямоугольник, подлежащий удалению. ОК (рис.4.8).
Установка размера элемента
Установка рекомендуемого размера элементов: Main Menu → Preprocessor → Meshing → Size Cntrls → Manual Size →Global – Size
233
234
В поле Size открывшегося окна Global Element Size вводим значение 0.5. Если взять значение 1.0, то гладкость изолиний напряжений существенно уменьшается. ОК.
Этап решения начинается с задания граничных условий, а также указания метода и параметров расчета. Задание граничных перемещений
Создание сеточной области
Для областей сложной геометрии в ANSYS используется свободное (Free) разбиение: Main Menu → Preprocessor → Meshing →Mesh → AreasFree Образовавшимся курсором обозначаем полученную область модели. ОК. Сохраним данные в файле Panel.db: Toolbar → SAVE_DB На этом построение конечно-элементной модели закончено (рис.4.9).
Так как программа ANSYS построила сетку автоматически, то нумерация узлов этой сетки для нас неизвестна. Поэтому сначала зададим ключевые линии, а затем укажем граничные условия в виде нулевых перемещений. Main Menu → Solution → Define Loads → Apply → Structural → Displasement – On Keypoints. Курсором мыши указываем две ключевые точки на крайней левой границе рассматриваемой сеточной области (вертикальной оси симметрии исходной панели). ОК. В появившемся окне Apply U,ROT on KPs выберем UX (горизонтальные перемещения) и введем 0 в поле Value (нулевые перемещения). Установим флажок в поле KEXPND в положение Yes (распространение действия команды на узлы, лежащие между ключевыми точками). Apply. Аналогично вводим нулевые перемещения на нижней горизонтальной границе сеточной области. Apply. На правой вертикальной границе в окне Apply U,ROT on KPs выбираем All DOF (перемещения по всем осям), в поле Value также вносим значение 0 и оставляем флажок в поле KEXPND в положение Yes. ОК (рис.4.10). Сохраним данные в файле Panel.db: Toolbar → SAVE_DB.
Задание объемных сил Main Menu → Solution → Define Loads →Structural →
Рис.4.9 Получение решения
Force/Moment → On Nodes Отмечаем образовавшимся курсором все свободные граничные узлы сетки, кроме угловых, и нажимаем ОК. В открывшемся окне Apply F/M on Nodes в поле Lab выбираем параметр
235
236
FY {направление силы F), в поле Apply as – Constant value и в поле Value вводим значение силы, равное –F/2. Apply. Аналогично вводим значение силы –F/4 и значение –F соответственно в угловых и во всех свободных внутренних узлах сеточной области (кроме точек, совпадающих с заделкой). В правом верхнем углу выреза сходятся три конечных элемента, поэтому в нем задаем значение силы, равное -3/4·F. OK (см. рис.4.10).
Main Menu → Solution → Solve - Current LS → OK Прочитав и проанализировав сообщение в белом информационном окне, закроем его (File → Close). Нажатием кнопки ОК запустим программу для счета на текущем шаге нагружения. После нажатия кнопки Close появится желтое окно с надписью: Solution is done!
Результаты расчета данного шага нагружения сохраняются в базе данных (файл Panel.db) и в файле результатов (файл Panel.rst). Заметим, что если задача предполагает несколько шагов нагружения, то в базе данных сохраняются результаты только текущего шага нагружения. Результаты расчета по всем шагам нагружения сохраняются в файле результатов. Анализ результатов
Так как для данной задачи имеется только один набор выходных данных, то задаем следующую команду: Main Menu → General Postproc →Read Results - First Set Получим теперь изображение модели в деформированном состоянии: Main Menu → General Postproc → Plot Results - Deformed Shape В открывшемся окне Plot Deformed Shape выбираем опцию Def + undeformed. OK. В результате на экране дисплея появляются одновременно исходная и деформированная формы модели (рис.4.11). Рис.4.10 Решение задачи
Теперь приступим к решению поставленной задачи:
237
238 Хубера-Мизеса, достигают предельного значения. Формула для σэкв характеризует энергию формоизменения и имеет следующий вид:
σ экв =
2 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 2
где σ1, σ2 , σ3 – главные напряжения. Имея картину изолиний эквивалентных напряжений, можно установить опасное сечение панели: Main Menu → General Postproc → Plot Results → Contour Plot → Nodal Solution В поле Item,Comp открывшегося окна выбираем Stress (напряжения) в левом scroll-меню и von Mises SEQV в правом scrollменю. ОК (рис.4.12).
Рис.4.11 Изолинии эквивалентных напряжений по Хуберу- Мизесу
При многоосном напряженном состоянии часто считается, что переход к пластическому состоянию материала происходит, когда эквивалентные напряжения σэкв, рассчитанные по гипотезе
Рис.4.12 На оригинале рисунка изолинии эквивалентных напряжений изображены цветными полосами. Под рисунком дается легенда для расшифровки числовых значений напряжений. В ле-
239 вом верхнем углу приводятся максимальное (SMX = 56.425) и минимальное (SMN = 1.293) значения эквивалентных напряжений. Для получения более точных результатов счета можно вернуться к построению сетки и в наиболее опасной областях (в данной задаче – зона вблизи заделки, в верхней его части) построить более мелкую сетку и решить задачу заново. Для облегчения просмотра картин изолиний полезно удаление с экрана дисплея границ элементов: Utility Menu → Plot Ctrls → Style →Edge Options В окне Edge Options в поле [/Edge] выбрать опцию Edge Only/All (показывать только границы областей), в поле [/Gline] – Dashed/Solid (сплошными линиями), в поле [/Replot] – Replot (обновить картинку после выполнения команды). ОК. Вывод значений усилий в граничных узлах
Правильность решения можно контролировать поразному. Так, например, в данной задаче сумма реакций в узлах в направлении оси у должна равняться равнодействующей всех приложенных сил, а в направлении оси х – нулю. Приведенная ниже операция позволяет вывести в текстовой форме значения компонентов сил в узлах, лежащих на границах области: Main Menu → General Postproc → List Result → Reaction Solu В открывшемся окне List Reaction Solution выберем опцию All items (просмотр всех реакций в появившемся окне). ОК. Выход из программы ANSYS
. При завершении работы с программой ANSYS данные можно сохранять в различном объеме: геометрия и граничные условия (save Geom + Loads); геометрия, граничные условия и параметры расчета (save Geom + Loads + Solu); сохранять все, в том числе и результаты счета (save + Everything); ничего не сохранять (No Save!):
240 Tool bar → Quit. Выбираем последний пункт. ОК.
5. ЗАДАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПОРЯДКЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ 1.Выполнению работ должно предшествовать изучение соответствующей темы по настоящему пособию и конспекту лекций, составленному с использованием дополнительной литература [1-4]. 2 Исходные данные для выполнения работ необходимо выбрать из указанной в задании таблицы согласно своему шифру, который сообщается студенту преподавателем, ведущим практические занятия. Для этого под шифром, представляющим собой трехзначное число, следует расположить три буквы русского алфавита, например: шифр
263
буквы а б в В таблице из вертикальных столбцов, обозначенных внизу соответствующей буквой, нужно выбрать числа, стоящие в той горизонтальной строке, номер которой совпадает с номером буквы. Например, в задании 1 для указанного выше шифра: номер расчетной схемы (рис.1) совпадает с последней цифрой шифра, т.е с номером III-ей схемы; внешние силы: Р1=4кН, Р2=1кН, Р3=5кН, …; размеры: d=5,0м, h=7,5м; угол α=300;
241
242
№ панели - 3. Замечание. Студенты-заочники выбирают данные из таблиц в соответствии с шифром – тремя последними цифрами номера зачетной книжки. 3. При выполнении заданий необходимо соблюдать следующие требования:
Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (см.п.1.2.1): 1) пронумеровать узлы и стержни фермы, сформировать структурную матрицу S c ; 2) задать координаты узлов; 3) найти проекции стержней фермы на оси общей системы координат; 4) вычислить длины стержней; 5) определить направляющие косинусы; ρ 6) составить вектор внешней нагрузки P и матрицу S * ;
а)аккуратно начертить расчетную схему, указать на ней все заданные размеры и нагрузки в соответствии с исходными данными; б)решение задачи проводить по возможности в общем виде, подставляя при необходимости числовые данные в промежуточные буквенные выражения; в)все расчеты должны иметь заголовки и сопровождаться краткими пояснениями, эскизами вырезанных узлов и отсеченных частей рамы; г)эпюры необходимо строить последовательно по ходу решения задачи с указанием характерных ординат, их знаков и размерностей рассматриваемых величин. Все пояснения к выполняемым расчетам и оформление работы рекомендуется набирать в текстовом редакторе Microsoft Word, а все чертежи выполнять с использованием графического редактора Paint с соблюдением масштаба. 4.Выполненную работу необходимо защитить в сроки, установленные графиком самостоятельной работы студентов. Шифр следующей работы студенту выдается после защиты данной работы. 5.Работа выполняется на стандартном листе бумаги А4 на одной стороне. Задание 1. Расчет статически определимых ферм
Для заданной фермы (рис.1) требуется определить продольные усилия во всех ее стержнях.
243
ρ
7) сформировать вектор Q и матрицу S p для записи системы уравнений равновесия исходной фермы в матричном виде: 8) решить полученную систему с использованием метода Гаусса и оценить полученные результаты; при необходимости провести дополнительные расчеты, изменяя вектор внешней нагрузки; 9) построить линии влияния усилий в стержнях той панели фермы, номер которой указан в последней колонке таблицы 1. При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс, состоящий из четырех горизонтальных стержней; 10) провести расчет фермы с использованием блок-схемы (п.1.2.2) и программы (п.1.2.3); 11) решить задачу в среде Mathcad (по аналогии с п. 1.1.1);
244 III)
IV)
I)
V)
II)
VI)
245
246 X)
VII)
Рис.1 VIII)
IX)
№ стро ки
Расчет ная схема
P1
P2
P3
P4
P5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
I II III IV V VI VII VIII IX X в
5 4 3 2 1 0 6 7 8 9 а
6 8 0 9 7 1 2 3 4 5 б
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2 в
2 6 7 9 8 5 3 1 4 0 а
2 1 8 3 4 5 9 7 6 0 б
Внешние силы, кН
Размеры, м d h 3,0 4,0 5,0 3,2 4,2 5,2 3,5 4,5 3,8 4,8
4,5 6,0 7,5 4,8 6,2 7,6 5,0 6,5 5,5 7,0 в
Таблица 1 Угол № па α, град. нели 45 2 30 3 45 2 60 3 90 2 30 3 45 2 60 3 30 2 45 3 б а
Задание 2. Расчет статически неопределимых ферм Для заданной фермы (рис.2) требуется определить продольные усилия во всех ее стержнях. Варианты расчетных схем ферм и числовые данные к ним студент выбирает из таблицы 1. Для выполнения расчета фермы необходимо выполнить следующие задания (п.2.2.1): 1) установить число лишних неизвестных и выбрать основную систему;
248
247 2) определить усилия в основной системе от единичной силы и от внешней нагрузки, предварительно пронумеровав стержни фермы;
ρ
I)
ρ
3) составить векторы единичной N ед и грузовой N P продольных сил; 4) вычислить длины стержней фермы и сформировать матрицу DФ упругих податливостей стержней исходной фермы; 5) провести последовательность матричных операций в соответствии с формулой
ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ N = − N ед ⋅ ( N едТ DФ N ед ) −1 N едТ DФ N P + N P
(
ρ
)
и получить вектор усилий N в исходной ферме. 6) используя блок-схему (п. 2.2.3) и программу (п.2.2.4), провести расчет на ЭВМ; ρ 7) заменив вектор N P матрицей N P , столбцы которой представляют собой усилия в соответствующих стержнях фермы от действия подвижной нагрузки Р = 1 в узлах грузового пояса, провести аналогичные матричные вычисления; 8) по результатам вычислений построить линии влияния лишнего неизвестного и усилий в стержнях той панели фермы, номер которой указан в последней колонке таблицы 1. При этом в качестве грузового пояса фермы принять пояс, состоящий из четырех горизонтальных стержней; 9) решить задачу в среде Mathcad (по аналогии с п.2.1.1); 10) сравнить результаты всех расчетов.
II)
III)
249
250
IV) VIII)
V) IX)
VI)
X)
VII)
Рис.2
251
252
Задание 3. Расчет ступенчатого вала при кручении МКЭ
Стальной вал ступенчатого поперечного сечения с неподвижно закрепленными одним или двумя концами находится под действием внешних крутящих моментов (рис.3).
Рис.3 Требуется: - составить систему линейных уравнений по МКЭ; ρ - найти вектор узловых углов поворота ϕ , выразив их через M, l и D; - построить эпюры углов поворота ϕ (x ) и максимальных касательных напряжений τmax; - построить эпюру крутящих моментов Т; - при заданном значении допускаемого касательного напряжения τadm=70МПа и М=2 кНм определить диаметр вала Dadm и округлить его до ближайшего значения (в большую сторону), оканчивающегося на цифру 0 или 5; - найти максимальный угол поворота сечений ϕmax, приняв l=0,5 м; G=0,8⋅105 Мпа; - составить программу для ЭВМ на языке Паскаль, реализующую алгоритм решения задачи.
№ строки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
№ строки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
l1/l 1 1,5 0,6 0,8 0,9 1,5 2,0 1,6 1,8 1,9 а
l2/l 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 б
l3/l 2,4 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 в
l4/l 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 а
М1/M
M2/M
M3/M
-2,0 1,9 -1,8 1,7 -1,6 1,5 -1,4 1,3 -1,2 1,1 а
0 -1,0 0 -0,8 0,7 0 0,5 0 0,5 0 б
-1,3 1,4 -1,3 1,2 -1,1 1,0 -0,9 0,8 -0,7 0,6 в
Таблица 2 d1/D d2/D 2,0 0,4 1,1 1,3 1,2 1,2 1,3 1,1 1,4 1,0 1,5 0,9 1,6 0,8 1,3 1,7 1,8 0,6 1,9 0,5 б в Таблица 3 Mлев/M Mпр./М ∞ -1 ∞ ∞ ∞ 1,5 ∞ 1,1 ∞ -1,3
-1,3 ∞ 1,6 ∞ -1,4 ∞ ∞ ∞ -1,5 ∞ в
Замечание. 1. В таблице 3 значок “∞” обозначает, что соответствующий конец вала неподвижно закреплен (заделан). Если значка “∞” нет , то соответствующая заделка отсутствует и к этому концу приложен момент Млев или Мпр .
253
254
2. При знаке минус (-) внешний крутящий момент следует направить в противоположную сторону.
III)
IV) 0,5l2
q1
Задание 4. Расчет рам МКЭ
q2
0,5l2
F1
q1 F2
F3
0,5h1 q3
h1
F1
0,5l2
F2 q1
l2
h1
h2
q3 l1
l2
l3
q3
l1
0,5l2
F2 q2 F3 h1
q3
h2
l2
h2
l1
V)
l2
VI)
0,5l1
0,5l1
q1
F1
q2
h1
F2
F1
q1
0,5l2
F2 F3
q2
0,5h1
q3 h2
F3 l1
q2
F3
h2
q2 l1
0,5l1
F3
F1
q1
h1
F2
Для заданной рамы (рис.4) с размерами и нагрузкой, выбранными из таблицы 4, требуется построить эпюры изгибаюших моментов M, поперечных Q и продольных N сил. Принять моменты инерции сечений всех стоек рамы равными I1, а ригелей - I2. При выполнении задания необходимо: -провести ручной счет МКЭ (см. пример расчета в п.3.2.1); -решить задачу в среде Mathcad; (п.3.2.2); -с помощью блок-схемы алгоритма решения задачи (п.3.1.2) составить и отладить программу на языке Турбо Паскаль (аналогично программе в п.3.1.3); -сравнить результаты ручного счета с вычислениями на ЭВМ. I) II)
0,5l1
F1
q3
l2
h1 h2
l1
l2
255 VII)
256
VIII) F1
F3
F2
q2
q2
0,5l1
h2
l1
0,5l2
F1
h1
q3
Таблица 4
q1
q1
l1
IX)
h1
F3 q3
l2
F2
h2
0,5h2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
l2
X)
0,5l1 F1
q1
F3 0,5h l1
F2
h1
q2 h2
q3
F1
q1
0,5l1
F3
q2
F2 h1 q3 h2
l1
Рис.4
Расч схема по рис. 4 I II III IV V VI VII VIII IX X в
l1
Размеры, м h1 l2 h2
4 5 6 7 8 7 8 6 5 4
6 7 5 4 5 6 7 8 4 6 б
3 8 4 4 5 5 3 4 5 6
4 3 5 6 7 8 7 3 4 5 а
F1
kH
4 5 6 6 2 -
Внешние нагрузки F2 F3 q1, q2, q3, kH kH kH/ kH/ kH/ м м м
I2 I1
5 6 4 4 в
2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 а
6 8 -
1 2 1,2 1
2 3 2 -
1,4 1 2 б
0,5l2
0,5h2 l2
№№ строк
0,5l1
0,5l2
l2
Список использованной литературы
1. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика: Учеб. для строит. спец. вузов. -8-е изд., перераб. и доп.М.:Высш. шк.,1986. -607 с.:ил. 2. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов: Учеб. пособие для вузов.- М.:Высш. шк.,1985.392 с.,ил. 3. Масленников А.М. Расчет строительных конструкций численными методами: Учеб. пособие.- Л.: Изд-во Ленингр. унта, 1987. -224 с. 4. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (статика стержневых систем): Учеб. Пособие для студентов вузов /Под ред. Г.К.Клейна. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.:Высш. шк., 1980.
257
5. Алгоритмизация расчетов сложных стержневых систем. Благонадежин В.Л., Воронцов А.Н.,Самсонов Ю.П./ Под ред. А.В.Петровского. -М.:Моск. энерг. ин-т,1986. -96 с. 6. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ.-М.: Мир, 1981.- 304 с., ил. 7. Бундаев В.В. Расчет рам методом конечных элементов. Методические указания по строительной механике для студентов строительных специальностей. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2003.-36с.:ил. 8. ANSYS Basic Analysis Procedures Guide. ANSYS Release 5.6. ANSYS Inc., 1998. 9. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера: Практическое руководство. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 272 с. 10. Сметанников О.Ю. Статический анализ уголкового кронштейна/ В сб.: ANSYS 5.5/ED (Московское представительство CAD-FEM GmbH), (Ansys_edding_russian/ Education/ Structural/ Bracket,1999). 11. Бундаев В.В. Расчет плоской статически неопределимой рамы методом перемещений. Методические указания по выполнению расчетно-проектировочной работы и контрольные задания для студентов строительных специальностей. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 1987.-34с.:ил.
258
Учебное издание
Бундаев Валерий Викторович РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА МАТРИЧНЫМИ МЕТОДАМИ Редактор Т.Ю. Артюнина
Ключевые слова: руководство, пособие, Mathcad, система, рама, ферма, задача, пример, программа, расчет, метод, МКЭ, ANSYS
Подписано в печать . Формат 60×84 1/16. Усл.п.л. , уч.-изд.л. . Печ.оператив., бум.писч. Тираж 100_экз. С. 38._____________________________________ Издательство ВСГТУ. г.Улан-Удэ, ул.Ключевская, 40,в
