ОБЪ ИНТЕГРИРОВАНА
Д И Ф Ф Е Р Е Н Щ А Л Ь Н Ы Х Ъ ЛИНЕИНЫХЪ УРАВНЕН1Й. СЪ ПЕРЕМЕННЫМИ ЕОЕФФИЩЕНТАМИ.
С. А. Юрьева. Въ этомъ мемуаре я предлагаю способъ для приведешя интегрировашя дифференщальнаго линейнаго уравнешя /г-го по рядка съ переменными коеффищентами и съ двумя перемен ными, зависимымъ и независимымъ, къ решешю алгебраическаго уравнения n-й степени и къ интегрированш дифферен щальнаго линейнаго уравнешя втораго порядка; и для приведешя интегрировашя системы m совокупныхъ линеиныхъ уравиенш съ переменными коеффищентами и m -\- 1 пере менными, m зависимыми и однимъ не зависимымъ, содержащихъ производную высшаго, ?г-го порядка, по крайней мере хотя отъ одного зависимаго переменцаго по независимому, къ интегрированш дифференщальнаго линейнаго уравнешя 2-го порядка, и къ решешю алгебраическаго уравнешя тп-т степени. Весь мемуаръ состоитъ изъ следующихъ трехъ главъ. ГЛАВА I. ИнтегрирующШ множитель дифференщальнаго ли нейнаго уравнешя гг-го порядка. Соотношеше между част ными определителями (déterminants mineurs) полнаго опре делителя, составленнаго изъ частныхъ интеграловъ диффе ренщальнаго линейнаго уравнешя п-то порядка, и ихъ производныхъ до п—1 порядка, доставляющее систему двухъ совокупныхъ линеиныхъ уравненш, решающихъ воиросъ на-
— 452 — етоящаго мемуара, и потому названныхъ мною рпшающими уравнешями. Решакищя уравнетя для дифференщальнаго ли нейнаго уравнетя n-го порядка. Примеръ: решакищя ура внетя для дифференщальнаго линейнаго уравнетя 6-го по рядка. Поверка. ГЛАВА II. Приведете интегрироватя решающихъ уравне нш для дифференщальнаго линейнаго уравнетя п-то порядка къ решешю алгебраичеекаго уравнетя и-й степени и къ интегрированш дифференщальнаго линейнаго уравнетя 2-го порядка. Примеръ: приведете интегрироватя р'Ешающихъ уравнешй для дифференщальнаго линейнаго уравнетя 6-го порядка. III. Решакнщя уравнетя для системы m совокупныхъ уравненш линейныхъ дифференщальныхъ съ m-f 1 пе ременными, n-го порядка и съ переменными коеффищентами. ГЛАВА
Г Л А В А I. § 1. Пусть предложено для интегрирования следующее дифференщальное линейное уравнеше ?г-го порядка: 1
J^LJ-T
L
dt* ^
dn
~~ix LT
l
dtn-1^
2
Г
~~*'х • т г~3х
rfr~2i"
з
1г=Гз
1 +
••••
+ т , _ , | + т^ = о где Tj, Т2, Т3, Т л _ £ , Тп суть данныя функцш независима™ переменнаго t. Означивъ чрезъ œs общШ членъ ряда символовъ для чаетныхъ интеграловъ этого уравнетя, такъ что изъ oos выве дутся означетя всехъ этихъ частныхъ интеграловъ, сообщивъ последовательно букве s значетя цифръ: 1,2, 3, .... п— %, п— 1,п; означивъ чрезъ х9г общШ членъ ряда сим-
— 453 — воловъ для означешя производныхъ разныхъ порядковъ отъ х по t, такъ что означешя этихъ производныхъ будутъ по лучаться изъ х8г, сообщая г последовательно значешя: О, I, II I V . . . . (п 2), ( п — 1 ) , (п), заметивъ при этомъ, что х° = х , и, наконецъ означивъ чрезъ Д определитель со ставленный изъ п2 элементовъ, частныхъ интеграловъ уравнешя I и производныхъ отъ нихъ по * до п — 1-го поряд ка, мы, какъ известно, имеемъ*): 1)
**
da
(»)
d ä
{п)_
^А
- ~ W
-I-
-Т,А в—2
<2Д «гд
2
)
W^ +
^l^T^
3)
ал ЙД
,„, I. - ш
^Д
4
^ А ... | у (»).. "<*Д " , г-..
, .. ш
da
iM
« ш <*д , .. шwаА
3
^з<*Д( И - 1 , +
,-1- -у 'то. ^>
+
(п)
^<*Д rfA
_
(№_3)
К. т Д
• ^
dA _L_„w. +
—О * . «
+ * „- -2
ULX
я? 1(»)
!•)
+
^Д
, _(n) X
.
n~
{
djL M — 1
„ (П)^Д
| _ „ (Л).
T
dx,
<*д
dx, +' , ,° «^- + з ..
4
<*Д
• -(п)
^д v - - = - + a?л») ' „ _ , "лС
éorie des déterminants. Brioschi § IX. *) Théorie
(«) ^ Д
:
•тйд
A
— i5i — Первая часть перваго изъ этихъ уравненШ есть полный дифференщалъ отъ Д, а потому, интегрируя его, получаемъ: Д= ее-/Т«А
III.
где с произвольное постоянное. Эго известная формула Aiувиля. Последнее уравнеше, основываясь на извеетномъ свойств* определителей, по которому определитель неизменится если каждый изъ членовъ котораго нибудь изъ столбцевъ заме нится суммою членовъ соответственнаго ему ряда, и полагая x x = xi + хг -+n—i 4" хп> можетъ быть написано такъ: da dxaP-l)
с1п-{х Л»-1
+
dA dx}n~2)
dn~*x ' dt71-2 + '""
IV. +
dx»dt*
+
dx8l dt
+
dys
У
~
Ce
Если мы теперь будемъ соединять 1 изъ уравненШ II по следовательно со 2-мъ, 3-мъ и т. д. до n-го уравнешя вклю чительно чрезъ исключеше производной ?г-го порядка отъ одного и того же частнаго интеграла заключающагося въ сим воле xs; то, на основанш известнаго соотношения*): dA dà dxf ' dx„ Tl
clA dA _ r dx„ ' dœ/1
d*A dxjdx^
Ti
где r 4 , s{ имЬютъ значешя отличньш отъ г и s взятыя изъ рядовъ: 1,2, .... п; О, I, I I . . . . (п), и относя знакъ £ ко всемъ значешямъ slf нолучимъ: *) Théorie des* déternrnants. Brioschi § III (14).
— 455 — J2 ,
i)
T
dA
i Yx
<«
d A
T - ^A
2\
T
dA
i W
w
d A
T
n
21 T
* '
dA
У-1 dù
(w)
" 1^x
^
**A
- T
= т
rfA
rfA ад Дифференцируя -?—.r ; отбрасывая члены, которые равны О, на основанш своиствъ определителей, и принимая во внимаше, что *) d2A d2A dx, r Чхчг dxqr 1ахе г получаемъ: d^~
_J^lj. Yx t
s
r
d A r
*
dA
Y
r l)
'
Г i
t
dt " " ^ * dxSi dx^ ~ — L
d rfA
dx:, dt
dà dxf-Ч
xn„ U
Sl
r
«г д
d^=%^r'
Сообщая въ этомъ посл'бднемъ уравненщ букв* г значеюяО, I, II, .... до 0 — 1) включительно, и замЪчая, что d'A получаемъ: *) Théorie des déterminants lîriosrhi § Ш (6).
— 4-56 — da + dxf-%) dk
dt r,
/7аЛ
,
A Yx rf L '* dx, (*-')ctef<"-,>
Рж
(n)
.
^
Нт-тя=з> ^
*
rf2A
<*Д
dX С - * '
_ _ ^
, ^
4
.<*Д
2
YW5*W -c t e d( wA~ 1}
а
Сравнивая э т и посдфдшя у р а в н е ш я с ъ V , получаемъ: /
, d
rf-r ' B - ? )
dk
dA
" ' . ' • . /я—'5T
<*Д
JA
JA
YI.<
с—о
T
f/Д
<*Д |
T
-^• + ' 3 ? - - ^ rfdA_
a
dxs
.
r
_
«Д
^s
s
,(/Д "^P
T _J?r—
db __T _J[A
__^— e V l S
^
— 457 — Интегрируя эти уравнешя, получаемъ: dA ***-" 9Л
da
—{T&r + hMj
_е
J * Je J
da
L 1 «^;«-)
VIL
-.J^J. + ^T.^,*]*]*]*-"*]* n 1., d^= = e - / T ^ f . + J V j /u^,
- )^^
J
**•
— 458 — ПослЪднее уравнеше можетъ быть написано такъ: озна(») чивъ чрезъ ! m-кратный интегралъ:
(2)
,
(3)
,
(»-2)
Придадимъ ~
r
dx{n"l)
теперь +
къ первой
* da? (Л ~^ '
части
подставимъ
этого BM,feCT0
шя 1) VI; помножимъ все уравнеше на е ' .' * 4- \ T dt нимъ сумму : e ^ J , + \l.dt de
а—
^
(и-.)
, d£± dx {ll~~i] ~на основанш уравне-
отрицательную производную
с
уравнешя
и зам*-
ЙД
à:, £ _ dt
+ T, - ™ ^ e^J ~ ' da?s
про-
dà
d^=ï
изводною: « s. ; тогда продифференцировавъ ре зультата (w— 1) разъ и перенеся ВСЁ члены уравнешя въ одну сторону получимъ:
459 —
f Л +J T '* •
de
dà
dx(n
d-'T c+fo* f)
_
<Г~22 1>
df
dA l) йdXy- (n~i>
+ J V * <*A Ar, 1 "-"
VIII... •(
^ . - i «
-f- ('Tt
+ (-1)«
dA dxT^
dt
4-С-1ГГ e +I T ' r f f
dA
—n
J T" ^ V V dx (n-i) — U. Если M есть интегрирующш множитель уравнешя I, то имФемъ:
+ (_1)ит4 dT^-tM + (-1)птйм = о. Сравнивъ это уравнеше съ VIII, заключаемъ что e^J
i
-—щ = п ) ^s
1 с/Д или, что все равно, —--—^ =Г) есть интегрирующш множиих (ZOO
тель уравнешя I *). § 2. Уравнеше YIII есть дифференщальное линейное урав неше /г-го порядка; если бы мы могли его интегрировать, то rfA 1 получили бы п значенш для п^г^т^ частныхъ интеграловъ (XJÜ „
L\
этого уравнешя. Помноживъ последовательно уравнеше I на *) Такъ какъ въ зтомъ ТОМЕ трудовъ Московскихъ Математиковъ въ мемуары кн. Урусова помещено строгое доказательство этой теоремы; то я долгомъ считаю заявить, что теорема была сообщена мною кн. Урусову безъ всякаго доказательства, въ случайномъ разговори въ общества.
— 460 — •г
<* Л
*
эти п значена -—j^=rt) -г, мы получили бы систему шести полныхъ дифференщальныхъ уравнешй и-го порядка; интегри руя которыя, мы нашли бы систему п первыхъ интеграловъ уравнешя I. Исключивъ изъ этихъ п первыхъ интеграловъ п производныхъ отъ производной п—1 порядка до производ ной перваго порядка включительно, получили бы общШ интегралъ уравнешя I. Туже систему п первыхъ интеграловъ уравнешя I мы получили бы, определивъ по п значешямъ --—•^=Т), помогщю формулъ VIII по п значешй для коеффиaxs щентовъ уравнешя IV, что легко проверить, продифферен+ Т4(Й цировавъ это уравнеше по помножеши на е * и сравнивъ коеффищенты полученнаго такимъ образомъ уравнешя съ первыми частями уравнешй VI. Хотя уравнеше V1H, будучи дифференщальнымъ линейнымъ уравнешемъ п~то порядка и представляетъ для интегрировашя, повидимому, теже трудности что й уравнеше I; но въ случае Td = 0 существуетъ такое соотношеше между част ейA (fà da dk ными определителями: - ^ , _ _ _ , . . . . _ ^ , _ , которое даетъ возможность свести интегрироваше дифферен щальнаго уравнешя безъ втораго члена п-го порядка на ин тегрироваше дифференщальнаго линейнаго уравнешя втораго порядка и на решеше алгебраическаго уравнешя п-й степени. Въ зтомъ | мы займемся выводомъ этого соотношешя ме жду частными определителями полнаго определителя, соста вленная изъ частныхъ интеграловъ дифференщальнаго ли нейнаго уравнешя гг-го порядка безъ втораго члена и ихъ производныхъ до п—1-го порядка включительно. Интегрироваше уравнешя I приводится, какъ известно, къ штегрировашю уравнешя безъ 2-го члена чрезъ подстановку
— 464
iA.
# == ye
где y новая неизвестная функщя переменнаго t, замещающая ос; такт» что вместо I имеемъ:
где R4, R2, .... R n _ £ ,R n сутъ известныя функцш переменнаго f. Пусть символъ у 8 г имеетъ относительно уравнешя X тоже значеше какое имеетъ х/ относительно уравнешя I; то, за меняя въ уравнешяхъ VI и VII Т 2 , Т3> Т4 .,.. Т ^ , , 1п коеффищенты уравнешя I при производныхъ различныхъ поряд ковъ отъ х соответственными коеффищентами при произ водныхъ техъ же порядковъ отъ у въ уравнеши X и сверхъ того, делая rîi = О, получаемъ: й- n i]
0
M~, dt
-dà
"Г du<•"-*> ' >J
л
Я
xi
S
d •
Ы*~1) i
dA d- ( 3 ) 3) ' ^ " ~ ,
dA
- R
«Ц
- H
dA
«ft
dA
n-1) J p + ^ = R„ <*Д dt
l
dys
n
"2dy(n-'»
30
— 4.62 —
1) ^ = j B * - , 7 n s(n—i) =î,*
(2)
3) ^ » ^ ^ i ^ ^ - j B - - ^ « ^ * (3) fR
dA
3
XII (2) d&
n
—C-o
dä
dA
fp
*
(V
(«-2)
^ ,
(«-•1)
Продифференцировавъ последнее уравнеше n—ï разъ, подставивъ въ результатъ этого дифференцирсвашя вместо — (п_2) его значеше изъ уравненш 1) XI, и перенеся ВСЕ члены уравнешя въ одну сторону, получаемъ: d
m a
^
,
{n X) m—î)
dys ~ , dtn ^
Л^-2р a
n
dù
^
11 i i—
' dy/— dtn~i
^ - 3
a
1г
R
22
dtn
dà
ay/1-*'
+ »•
dA Это уравненш показываетъ, что -j-tnzzr) есть интегрирующш множитель уравнешя X; положивъ въ немъ для крат кости написашя:
— 463 —
XIII.
z
и совершивъ надлежащая приведешя находимъ для опред*ленш z ypaBHeHie:
где S , , S2 .... S w _ 2 , S n _ 4 будутъ известными функщями f. КромФ того уравнешя II, III, IY, вслучае уравнешя X, за менятся следующими: XV.
д rfA
XYI
^Уп~>
•
«
g~V
dy^
dA
XVII. 3) y , n — ^ _
=
.
с
d\
+ У п - ^ ^
|
n
i „ »
+ yn
, - ^ - 4 - «*
n-i)
y»J^+
r-iy
+ у . ^ = 4 * 0
dA
n
<*A _^_
ndà
„ .
^д dA
»
rfA
ndb
30^
— 4-64» —
+ ««
_^L + „»
rfA
4_ „ » i ^ . = - в 2c
Я) гЛп M 4 . « М — + V * — +
+
'"*-: + , г -5-; + ''5;"- в -' с -
Теперь сложимъ посл*двня л — i уравненШ т. е. уравнен!я XVII отъ 2 до гг-го включительно, изъ этой суммы вычтемъ произведете 2-го уравнения той же системы на ^——2L-^
+ *
А
&—1 ; получаемъ:
- Л + И» + R 3 + .... + R re _, + R M _,
n
гд* знакъ s можетъ имт>ть значешя: 1, 2, 3 . . . . , n — 1 , n и знакъ суммы S s относится ко ВСБМЪ значешямъ s. Сравнивъ это уравнеше съ уравнешемъ 1) XYII, которое можетъ быть написано такъ: dy заключаемъ, что ХТХ
dA
|
*Ь
t +
. +
dA
rfi +
" ^/d ^ d £ ^ • • • • + *;. R + ^ - Л + » + в » + • ••• +в„_, +R„_, f/A _ dys
R,
^n-v —
d^ *^-,)
гдт, а есть неизвестная функщя t независящая отъ s. Это самое уравнеше можетъ быть написано и такъ:
465 —
dA_ _ R2 + R , 4 R n _ , + R w _ ,
(/A = a П— 1 ' Уравнеше XIX есть то самое соотношеше, которое даетъ возможность свести интегрироваше дифференщальнаго линей наго уравнешя /г-го порядка съ переменными коеффищентами на интегрироваше дифференщальнаго линейнаго уравне шя втораго порядка и на р$шеше алгебраическаго уравнешя П'к степени. Я называю его основнымь уравненюмъ. Взявъ сумму уравеенш XI и интегрируя уравнеше полу ченное въ результата, наидемъ, принявъ въ расчетъ положеHie XIII, следующее уравнеше: XXI
dA
с1А
»
|
dA
4-^-4- —
= е~*§*+* [ft + R, + .. . + Вя_£ + V - 2 ] * - § } * . Сложивъ уравнешя XII отъ 1) до п — 2) включительно, находимъ:
d^=5 + ä^
+ - + IH/ 1 "' + *' + *' + -' 2
+ Rn_1 + R„_2]^-J[R3 +R4 + R, +....+ Rre_2 4 K_t}zdfXXII.
4 .... 4(~ir- 2 J[R re _ № 4R M _J^"- s + (-1Г- 1 ]В*-,«Й"- 1 -
— 466 — Полагая для краткости: XXIII.
В, + R2 + .... + R ^ 2 + К^
=М
и соединяя XXI уравнеше съ XIX и XXII съ XX получаемъ, прйнявъ во внимаше 1) уравнеше XI и шложеше XIII: .ч _ г Г + г Г ц *
dzl
tJ
, M dz
i)e y\uZ-^di+
--=«*
XXIII. 2
2) f [M — R,]stf* — f [M — R2 — RJz
w—2
2
+ (-l)"- J[Rn_2 + B^]«*"-« + (-IJ—'JB,.,««—« , M — R. dz
+ -R^^=ÄZДифференцируя уравнеше 1) XXIII, помноживъ его пред варительно на е+*, потомъ разд'Ьливъ результатъ дифференцировашя на e+t и приложивъ къ частному этого д$леd\ d\ шя два члена: df ,—++ ~тт de найдемъ:
$ + * + ! \т
xxiY.
й
]dt
продифференцировавъ 2) уравнеше XXIII п—2 раза найдемъ: •p-v-Y
dn~s !Г+М" • — RJ *г _ "(Г~4[М —"R — "<J ! г 2~—"R,]z <J*
»
1Ц
и 3
л -
|
л"
_|_ ( _ 1 ) " - 2 rftRn-2 + Rn-J* + л l)*- 1 R^_ I s dt
— 4-67 —
m— 2 P*2
+
Л
ш*=~*
dz
—
de-"
положивъ въ уравнешяхъ XXIV и XXV
(,=„-[£_«]* такъ что новая неизвестная функщя |3 зам^нитъ прежнюю а, и еовершивъ дифференцировашя въ XXY, по приведеши получимъ:
,)|?+*•* = § + ? ' XX VIL
H,, H 2 ....H W __ 2 суть изв1>стныя функцш
доставить преобразованному уравнение видъ уравнеdk Н1Я X, существуетъ такое соотношеше между (w _ 2) , .— . . , - — , — , что уравнеше XIX будетъ частнымъ dye9 ' ,W dys случаемъ послФдняго.
— 4-68 — Положимъ для этого, что въ уравненш и-го порядка недоетаетъ q членовъ подъ рядъ начиная со втораго, или, что все равно, q — 1 въ уравнении X такъ что им'Еемъ: XXVTTF
dH q
^ У х в
~y
, в dn-{i+%
,
+ ^-,§ + 1^=0. Для этого уравнешя система уравненШ XI предыдущая параграфа заменится сл-вдующею: d-
dA +
dt
d« <"-2> ~
о-
2) ^ П _ , dA _ ,
dÄ
d-
?-2) J?.*-19'*» , df
dA
""" ^ ^I F ^ — - + -d—^—
ü
dA
d-
î - ( ) J f c Ü Ü , rfA dA
XXIX.
Ч)Л£1
*
dA
rfA
"^dy.-a+o^Vq^
d—.**__ "777—— + -
*
—
^rfy."-
-
(g+2
ь
B
«Д •
'~- «dp^ï)
— 4-69 — d-—.
..
.A
dA *—dy,«-«
+
dt
d¥s
d—
ч '<%
ъ
dA 1
"5Г ~" "- %/-'> Bw^ACTBie чего уравнешя XII заменятся следующими: , ч <*Д
2)
dA
fry
At
wr^-^^'^-'^h41
XXX 2 d ч <* A fp & Af fR <*Д , , m n—q)-jyj.n-iq+W)—J*qdy(*^*) J"«+'5pis=i)*'*••..
n—(y-t-4)
и—9
+ (—i;
|пж_,^(А_0<к 2
^
д
Гв
dA
dt
fn
rfA
и—•(#—1)
Вместо уравнен!» XYII для уравнешя XXVIII полу Ч И м ъ
= 0
da
2) £ у; <%,
;т = 0
(M—2)
S
,
'- )1/."«И* •>£ XXXI
гщ=0
„+,) V1Jn__J^___ RC
-ода-»-
-c
Г
Д* С произвольное постоянное и по прежнему Р а w пй системы Лели мы помношимъ уравнеюе q) 9Т0И . g 2 ^_+R 2 J L ....+R w _ 2 + R H _ 1 я т а К о е произведете R ельно той Чтемъ изъ суммы уравненш отъ q ДО я-го включи Же системы; то въ результат* получим*:
_
dA
471 —
Rq_t+Rg+ -+Bw_2+Rn,1
dA
dS.
гд*6 а есть неизвестная функгця перемФннаго t независимая отъ s. Это есть общее основное уравнете для дифференщальнаго линейнаго уравнешя п-то порядка. Уравнете XIX есть част ный случай этого посл^дняго: если въ уравнешй дифференщальномъ линейномъ п-то порядка недостаетъ втораго члена какъ въ уравнешй X; то будемъ ? = 2 , и уравнете XXXII при такомъ значенш q совпадетъ съ XIX. Уравнеше XXXII можетъ быть еще написано такъ: dA
dA I i (*—(« + *)) "+" /7*y(*—(î + *))
YYYTTT АААШ.
»
>dfA
(iAKa+Rg+t+.„4V2+Vi ^A _ g ^А " ^ V* ^~^ rfy,**-«-«»Положимъ для краткости написашя
X X 3 0 V . — 5 ^ = * ; Rg_, + R g + .... -f-R„_2 4-R % _, = M тогда на основанш первыхъ q — 2-хъ уравнешй системы XXIX имФемъ:
ÄÄÄV
.
, (f,_w_1})
^ A; d^""2
и еще принимая въ расчетъ q — 1 первыхъ уравнешй той же системы: XXXVI.
dys{n~q)
=
(~{^
W^1 '
Теперь складывая послФдшя n—(q-~2) уравнешй той же си стемы XXIX т. е. отъ q — 1-го до п го включительно и ин тегрируя уравнете полученное въ результата этого сложе на, находимъ;
— 4.72 — XXXVII AAAV1L
dA
dA
- I
dy/'-<»
+
I
, <*Д
^-«+'>> + - • +
^
Складывая первыя n—# уравненШ системы XXX получаем^
2
+ ~=J[M-~R^J^^J[M - Rg_f - R g ]^ 2 + .... + - . +(-Ora~(9+2,J[Rw_2 + Rn_1]^"-(?+i) W—
+ (_!)—<«+<> fR^^rf/»-«. Соединяя уравнешеХХХУП съ XXXII и ХХХУШ съ ХХХШ получаемъ, принявъ въ расчетъ ХХХУ1:
Р «Г"'Р+'Гмг —(-.{)«-* ^ _ Л Л
м
<-<)'-& ж-.)-*' R,_, ' dt«-'~* dï^' 1
v
ч
XXXIX 2) f [M — \_{\zdt — f [M — Rff_, - R^rfi2 + .... + (-1Г-(?+2)^й_а + R„_1]^M-(Î+^ м—q
—m— Если мы теперь второе изъ этихъ уравненШ рродифференцируемъ /г—q разъ; потомъ первое изъ нихъ умножимъ на е + * и продифференцируемъ результатъ одинъ разъ и, разд'Ьливъ этотъ дифференщалъ на е+*, къ такому частному придадимъ dqz dqz два члена; (—1)?~~ 2 _ и — ( — l)q
-77* то получимъ сле
дующую систему уравнешй
XL,
гдЪ для краткости положено:
Уравнешя XL составляюсь общее выражеше ртъшающихъ уравненШ для дифференщаялаго линейнаго уравнешя п-го порядка. Изъ нихъ непосредственно получатся уравнешя XXIV, XXY, XXYI положивъ q = 2. Приведете интегрированш системы совокупным уравненШ XL къ интегрирована дифференщальнаго линейнаго уравнешя 2-го порядка и къ р*шенш алгебраическаго уравнешя n-й степени будетъ из ложено въ следующей глав*. Зам'Ьтимъ, что изъ XL тотчасъ видна невозможность составить р-вшаюшдя уравнешя для диф ференщальнаго линейнаго уравнешя 2-го порядка. § 4.. Провиримъ предыдущей анализъ на частномъ примиpt; для этого возмемъ дифференциальное линейное уравнеше 6-го порядка безъ втораго члена, а именно;
ГДЕ R4, R2, R3, R4, R5 суть изв'Ьстныя функцщ главнаго перем^ннаго t. Пусть yv у2, у3, у4, уь, у6 суть частные интегралы этого уравнешя, тогда ys будетъ общимъ изображешемъ этихъ интеграловъ, изъ котораго они получатся чрезъ сообщеше s значешй: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Пусть ys\ ysIl,ysm, ysly, yJ означаютъ производныя перваго, втораго, третьяго, четвертаго и пятаго порядковъ, а Д определитель составленный изъ б2 элементовъ: 6 частныхъ интеграловъ уравнешя XLI и ихъ производныхъ до пятаго порядка включительно. На основаши § 1 имФемъ: dy; dl5
+
djf» dt" + l^Jn d'y
4-HL£1ÄJU^E^JL—
=:Г
+
dy« df dy;dt^dy/ где С произвольное постоянное, и еще:
dysa
J J%;
J J 4<%/ ^JJJ ôdy;
— 475 Кроме того на основаши того же § частный определитель —- , который означимъ чрезъ % будетъ интегрирующШ множитель уравнешя XLL, и определится чрезъ интегрироваше уравнешя: f*j?
d
^>zd*K*z
d K z
m
*z
* *
E - n
или, произведя надлежапця дифференцировашя, чрезъ инте грироваше уравнешя:
гд*
S4 =
R,
S3=
f - R
S( = Ä _
3
Ä + 2
d%_
s
2
r f R
*
R
£R,_dR
Сравнивая уравнеше XLI съ уравнешемъ XXYIII, находимъ j = 2, а потому полагая въ уравнении* XL п = 6 и 9 — 2 получаемъ следующую систему рЪшающихъ уравне н а для уравнешя XLI. XLYI. ^Mz = ^j_ßР 2 dt '
dl
de XLVII. M = B, + R , + R , + бЬ б АИТЬСЯ р е ЧЪ з Т ъШтег ЧР и н 1 и*
+—'-j
df
R<+Rs
ВЪТ0МЪ
K5s=^
p = M _ r M _ 1 l t?3
' ч т о выражеше" J получаемое Р Рован1е системы XLIY будетъ интегралов
— 476 — уравнешя XLIY замФчаемъ, что это последнее можетъ быть написано тать: 2
-+- Mz \dt* XLYI1I. dt* 3 Td [M-R,js ( T [ M - R t - R 2 j z , dl^+Rjz [^ dt* df ' dt dt fd'tM-R Jg d*[M—R f -R,I* +, d[R 4 +R 5 ]s 5 а
~L
Л
'
df
~
dt
5
Kp
lz
1 j .
^- 5 J-°-
Въ этомъ легко увериться совершивъ означенныя здФсь дифференцировашя. Если теперь совершивъ интегрироваше уравненш XLVI мы получимъ z=q>(t) и |3=ф(г); то будемъ имЪть
хых.
1)*$+ыко=Ш
+
щ
4. £2k±W) _ R 9(t)=£Ш
5Л ; "*" dt dt Вставляя въ уравнеше XLVIII вместо z функщю
*W + M am *m „
dt" dt5 dt" И такъ, исключивъ ß изъ уравненш XLVI, мы получимъ уравнеше XLIV, въ чемъ впрочемъ можемъ убедиться и не посредственно, совершивъ на самомъ jifäat такое исключеше.
