Ограниченная интерполяция и проективное свойство Бета в эквациональной логике

Алгебра и логика, 42, N 6 (2003), 712—726

УДК 510.64:512.57

ОГРАНИЧЕННАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПРОЕКТИВНОЕ СВОЙСТВО БЕТА В ЭКВАЦИОНАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ∗) Л. Л. МАКСИМОВА

При исследовании проективного свойства Бета в многообразиях гейтинговых алгебр [1] выявились его интересные связи с интерполяционным свойством. С одной стороны, в указанных многообразиях интерполяционое свойство влечет проективное свойство Бета. С другой стороны, из проективного свойства Бета вытекает свойство ограниченной амальгамируемости, введенное в [1], которое оказалось слабее, чем свойство амальгамируемости. В этой статье определение ограниченной амальгамируемости будет распространено на произвольные многообразия. Хорошо известно, что амальгамируемость равносильна интерполяционному свойству во многих классах алгебр, в том числе, в многообразиях гейтинговых и модальных алгебр [2—5]. В этой статье будет введено свойство ограниченной интерполяции и доказано, что оно эквивалентно ограниченной амальгамируемости. Также будет показано, что найденные в [1] соотношения между проективным свойством Бета и различными вариантами амальгамируемости имеют достаточно общий характер и переносятся на более широкие классы многообразий. § 1. Ограниченная интерполяция Приведем ряд определений. Зафиксируем произвольную сигнатуру, состоящую из функциональных символов и/или констант. Для данного ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 03-06-80178. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2003

Ограниченная интерполяция и проективное свойство Бета

713

множества переменных x через t(x) обозначим любой терм, все переменные которого входят в x, а через F (x) — множество всех таких термов. Для данной алгебры A означиванием в A называется любой гомоморфизм алгебры термов в алгебру A. Пусть t = t′ — равенство двух термов, а v — означивание; говорим, что t = t′ выполняется в A при означивании v и пишем A |= (t = t′ )[v], если v(t) = v(t′ ). Если Γ — множество равенств, а γ — равенство, то для любого многообразия V определяем Γ |=V γ ⇔ (∀A ∈ V )(∀v)(A |= Γ[v] ⇒ A |= γ[v]). Отметим, что отношение |=V является компактным, т. е. Γ |=V γ тогда и только тогда, когда Γ0 |=V γ для некоторого конечного Γ0 ⊆ Γ. Пишем Γ |=V ∆, если Γ |=V δ для любого δ ∈ ∆. Пусть x, q, q′ — попарно не пересекающиеся списки переменных, не содержащие y и z, Γ(x, q, y) — некоторое множество формул. Говорим, что многообразие V обладает проективным свойством Бета PBP, если из Γ(x, q, y), Γ(x, q′ , z) |=V |=V y = z, где F (x) 6= ∅, вытекает Γ(x, q, y) |=V y = t(x) для некоторого терма t(x); свойством Бета BP, если из Γ(x, y), Γ(x, z) |=V y = z, где F (x) 6= ∅, следует Γ(x, y) |=V y = t(x) для некоторого терма t(x). Определим ряд интерполяционных свойств. Пусть x, y, z — попарно не пересекающиеся списки переменных, Γ(x, y), ∆(x, z) — произвольные множества равенств, δ(x, z) — равенство. В [6] рассматривалось свойство EIP: если Γ(x, y), ∆(x, z) |=V δ(x, z) и F (x) 6= ∅, то существует Γ′ (x) такое, что Γ(x, y) |=V γ для всех γ ∈ Γ′ (x) и Γ′ (x), ∆(x, z) |=V δ(x, z). В добавление определим свойство ограниченной интерполяции IPR: если Γ(x, y), ∆(x, z) |=V δ(x), то существует Γ′ (x) такое, что Γ(x, y) |=V γ для всех γ ∈ Γ′ (x) и Γ′ (x), ∆(x, z) |=V δ(x). Ясно, что IPR — частный случай EIP. Хотя IPR не симметрично, из него выводится симметричная форма IPR:

714

Л. Л. Максимова если Γ(x, y), ∆(x, z) |=V δ(x), то существуют Γ′ (x) и ∆′ (x) такие,

что Γ(x, y) |=V γ для всех γ ∈ Γ′ (x), ∆(x, z) |=V δ для всех δ ∈ ∆′ (x) и Γ′ (x), ∆′ (x) |=V δ(x). Для вывода достаточно применить IPR еще раз к выражению Γ′ (x), ∆(x, z)

|=V δ(x), поменяв местами Γ′ (x), ∆(x, z).

Рассмотрим также частный случай IPR при пустом z, а именно, WIPR: если Γ(x, y), ∆(x) |=V δ(x), то существует Γ′ (x) такое, что Γ(x, y) |=V γ для всех γ ∈ Γ′ (x) и, кроме того, Γ′ (x), ∆(x) |=V δ(x). ЛЕММА 1.1. Для любого многообразия V справедливо EIP&BP ⇒ ⇒ PBP. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, Γ(x, q, y), Γ(x, q′ , z) |=V y = z, где F (x) 6= ∅. По EIP существует Γ′ (x, y) такое, что Γ(x, q, y) |=V Γ′ (x, y) и Γ′ (x, y), Γ(x, q′ , z) |=V y = z. Применяя EIP к последнему соотношению, получаем, что существует Γ′′ (x, z), для которого Γ(x, q′ , z) |=V Γ′′ (x, z) и Γ′ (x, y), Γ′′ (x, z) |=V y = z. Отсюда сразу выводим Γ′ (x, y), Γ′′ (x, y), Γ′ (x, z), Γ′′ (x, z) |=V y = z, и по BP существует терм t(x) такой, что Γ′ (x, y), Γ′′ (x, y) |=V y = t(x). Следовательно, Γ(x, q, y) |=V y = t(x), что и требовалось.

§ 2. Ограниченная амальгамируемость Указанные синтаксические свойства находятся в тесной связи с категорными свойствами многообразий. Например, PBP равносильно свойству SES сильной сюръективности эпиморфизмов [7, 8]; алгебраический эквивалент свойства Бета нашел И. Немети (см. [9]). Исследования, посвященные соотношениям свойства Бета и интерполяции с амальгамируемостью и сюръективностью эпиморфизмов, представлены в [2—13]. Х. Оно [12] показал, что в эквациональной логике свойство CEP продолжаемости конгруэнций равносильно свойству WIPR. А. Вронский [6] установил, что свойство EIP равносильно конъюнкции (CEP&AP). Здесь будет показано аналогичное соотношение для ограниченной интерполяции.

Ограниченная интерполяция и проективное свойство Бета

715

Напомним известные определения. Говорим, что многообразие V обладает свойством продолжаемости конгруэнций, если выполняется условие CEP: для любых алгебр A, B ∈ V , где A является подалгеброй алгебры B, любую конгруэнцию Φ на A можно расширить до конгруэнции Ψ на B так, что ограничение Ψ на A совпадает с Φ. Класс V амальгамируем, если выполняется условие AP: для любых A, B, C ∈ V таких, что A является общей подалгеброй алгебр B и C, существуют алгебра D из V и мономорфизмы δ : B → D, ε : C → D такие, что δ(x) = ε(x) для всех x ∈ A. Класс V сильно амальгамируем (т. е. обладает свойством StrAP), если он удовлетворяет условию AP, причем δ(B) ∩ ε(C) = δ(A). Введем новое определение. Говорим, что класс V обладает свойством ограниченной амальгамируемости, если выполняется условие RAP: Для любых A, B, C ∈ V таких, что A является общей подалгеброй алгебр B и C, существуют алгебра D из V и гомоморфизмы δ : B → D, ε : C → D такие, что δ(x) = ε(x) для всех x ∈ A и ограничение δ ′ отображения δ на A является мономорфизмом. В доказательствах используется представление алгебр с помощью множества порождающих и определяющих соотношений [14]. Пусть фиксирована сигнатура Σ, состоящая из функциональных символов и/или констант. Если x — множество переменных, через F (x) обозначается множество всех термов данной сигнатуры от переменных из x. Пусть заданы многообразие V сигнатуры Σ и алгебра A ∈ V . Зафиксируем некоторое множество X порождающих алгебры A. Каждому элементу a ∈ X поставим в соответствие переменную pa и обозначим x = {pa | a ∈ X}. Определим каноническое означивание v0 (pa ) = a и отношение t =A t′ ⇔ A |= v0 (t) = v0 (t′ ) на множестве F (x). Тогда =A есть  конгруэнция на F (x), и существует изоморфизм ϕ0 между F (x) =A и A   = v0 (t) для любого t ∈ F (x). такой, что ϕ0 t = A

Положим то обозначим

D+ (A, X)

D+ (A)

=

= {δ(x) | A |= δ(x)[v0 ]}. Если X совпадает с A,

D+ (A, X).

Если B |= D+ (A, X)[v] для некоторой

716

Л. Л. Максимова

алгебры B и означивания v, то отображение h(a) = v(pa ) является гомоморфизмом из A в B. Если Θ — конгруэнция на A, то запись (a = a′ ) ∈ Θ означает, что (a, a′ ) ∈ Θ. Следующие предложения доказываются стандартным способом. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Пусть V — многообразие. Тогда Γ |=V γ в том и только том случае, если для любых алгебры A ∈ V , означивания v в A и конгруэнции Θ на A из Γ[v] ⊆ Θ следует γ[v] ∈ Θ. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Пусть V — многообразие, A ∈ V , X — множество порождающих алгебры A, Γ ∪ {δ} — некоторое множество равенств от переменных из x = {pa | a ∈ X}, Φ — конгруэнция на A, порожденная множеством v0 (Γ). Тогда v0 (δ) ∈ Φ ⇔ D+ (A, X), Γ |=V δ. В частности, для любых a, a′ ∈ A выполняется a = a′ ⇔ D+ (A) |=V pa = pa′ . Вторая часть следует из первой при пустом Γ. ЛЕММА 2.3 [12]. Для любого многообразия алгебр WIPR равносильно CEP. ТЕОРЕМА 2.4. Для любого многообразия алгебр IPR равносильно конъюнкции (RAP&CEP). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 2.3, IPR ⇒ CEP. IPR ⇒ RAP. Пусть A, B, C ∈ V и A — общая подалгебра алгебр B и C. Обозначим x = {pa | a ∈ A}, y = {pa | a ∈ B − A}, z = {pa | a ∈ C − A}. На множестве F (x, y, z) определим отношение tΘt′ ⇔ D+ (B), D+ (C) |=V t = t′ .  Оно является конгруэнцией на F (x, y, z). Обозначим D = F (x, y, z) Θ и  положим g(b) = pb /Θ для b ∈ B, h(c) = pc Θ для c ∈ B. Тогда g, h являются гомоморфизмами из B, C соответственно в алгебру D, причем

Ограниченная интерполяция и проективное свойство Бета

717

g(a) = h(a) для любого a ∈ A. Допустим, что h(a) = h(a′ ) для некоторых a, a′ ∈ A. Тогда D+ (B), D+ (C) |=V pa = pa′ . По IPR существует множество Γ(x) такое, что D+ (B) |=V Γ(x) и Γ(x), D+ (C) |=V pa = pa′ . Тогда при означивании v(pb ) = b для b ∈ B получаем B |= Γ(x)[v] и, следовательно, A |= Γ(x)[v]. Полагая v ′ (pc ) = c для c ∈ C и учитывая, что v(pa ) = v ′ (pa ) для a ∈ A, получаем C |= Γ(x)[v ′ ], C |= D+ (C)[v ′ ], а значит, C |=V (pa = pa′ )[v ′ ] и a = a′ . (RAP&CEP) ⇒ IPR. Пусть V имеет RAP и CEP, Γ(x, y), ∆(x, z) |=V |=V δ(x) и Γ′ (x) = {γ(x) | Γ(x, y) |=V γ(x)}. Покажем, что Γ′ (x), ∆(x, z) |=V δ(x). Предположим противное. На множестве F (x, z) определим отношение tΘt′ ⇔ Γ′ (x), ∆(x, z) |=V t = t′ . Оно является конгруэнцией, и C = F (x, z)/Θ ∈ V , причем C 6|= δ(x/Θ). На множестве F (x, y) определим отношение tΦt′ ⇔ Γ(x, y) |=V t = t′ . Пусть B1 = F (x, y)/Φ, A1 — подалгебра алгебры B1 , порожденная множеством x/Φ. Заметим, что для любых термов t, t′ ∈ F (x) таких, что (t, t′ ) ∈ Φ, выполняется (t = t′ ) ∈ Γ′ (x), значит, tΘt′ . Поэтому существует гомоморфизм из алгебры A1 на подалгебру A алгебры C, порожденную множеством x/Θ. Учитывая CEP, можно продолжить этот гомоморфизм до гомоморфизма f всей алгебры B1 на алгебру B = f (B1 ). При этом f (A1 ) = A и f (x/Φ) = x/Θ для любого x ∈ x. Поскольку алгебра A является общей подалгеброй алгебр B, C и по свойству RAP, существуют D ∈ V и гомоморфизмы g : B → D, h : C → D такие, что g(a) = h(a) для всех a ∈ A, а ограничение h на A является мономорфизмом. Определим означивание v ′ в D: v ′ (u) = g(f (u/Φ)) для u ∈ x ∪ y, v ′ (u) = h(u/Θ) для u ∈ x ∪ z.

718

Л. Л. Максимова

Определение корректно, так как g(f (x/Φ)) = h(x/Θ) для x ∈ x. По построению алгебры B получаем D |= Γ(x, y)[v ′ ], а по построению алгебры C имеем D |= ∆(x, z)[v ′ ]. Наконец, D 6|= δ(x)[v ′ ], так как ограничение h на A является мономорфизмом и C 6|= δ(x/Θ). Теорема доказана. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5. Для любого многообразия V эвивалентны следующие условия: 1) V имеет RAP; 2) для любых мономорфизмов β : A → B, γ : A → C алгебр из V существуют алгебра D из V и гомоморфизмы δ : B → D, ε : C → D такие, что δβ = εγ и δβ является мономорфизмом; 3) для любых A, B, C ∈ V таких, что A является общей подалгеброй алгебр B и C, и любых различных a, a′ ∈ A существуют алгебра D из V и гомоморфизмы δ : B → D, ε : C → D такие, что δ(x) = ε(x) для всех x ∈ A и δ(a) 6= δ(a′ ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Эквивалентность условий 1 и 2 доказывается стандартным образом; очевидно, что условие 3 следует из условия 1. Пусть выполняется условие 3, и A является общей подалгеброй алгебр B, C. Тогда для любой пары a, a′ различных элементов из A найдутся алгебра и гомоморфизмы, удовлетворяющие условию 3. Взяв в качестве D декартово произведение этих алгебр по всем парам различных элементов, легко построить гомоморфизмы, требуемые в условии 1. В случае, когда многообразие обладает свойством CEP, можно свести RAP к рассмотрению более узких классов. Через SI(V ) обозначается класс подпрямо неразложимых алгебр, а через F I(V ) — класс финитно неразложимых алгебр многообразия V . Напомним, что алгебра A подпрямо неразложима, если ее нулевая конгруэнция idA не представима в виде пересечения ненулевых конгруэнций на A; алгебра A финитно неразложима, если idA не представима в виде конечного пересечения ненулевых конгруэнций. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.6. Пусть многообразие V имеет CEP. Тогда,

Ограниченная интерполяция и проективное свойство Бета

719

в дополнение к предложению 2.5, эквивалентны следующие условия: 1) V имеет RAP; 4) для любых мономорфизмов β : A → B, γ : A → C подпрямо неразложимых алгебр из V существуют алгебра D из V и гомоморфизмы δ : B → D, ε : C → D такие, что δβ = εγ и δβ есть мономорфизм; 5) для любых подпрямо неразложимых A, B, C ∈ V таких, что A является общей подалгеброй алгебр B и C, существуют алгебра D из V и гомоморфизмы δ : B → D, ε : C → D такие, что δ(x) = ε(x) для всех x ∈ A и ограничение δ ′ отображения δ на A является мономорфизмом; 6) для любых мономорфизмов β : A → B, γ : A → C подпрямо неразложимых алгебр из V существуют подпрямо неразложимая алгебра D из V и гомоморфизмы δ : B → D, ε : C → D такие, что δβ = εγ и δβ есть мономорфизм. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, 1 ⇒ 4 ⇔ 5. Покажем, что 4 ⇒ 6. Пусть β : A → B, γ : A → C — гомоморфизмы подпрямо неразложимых алгебр из V . По условию 4 существуют D ∈ V и гомоморфизмы δ : B → D, ε : C → D такие, что δβ = εγ, а δβ является мономорфизмом. Поскольку A

подпрямо неразложима, существуют различные a, a′ ∈ A такие, что любая ненулевая конгруэнция на A содержит пару (a, a′ ). Берем максимальную конгруэнцию Θ на D, не содержащую пару (δβ(a), δβ(a′ )), и полагаем D′ = = D/Θ. Тогда D′ подпрямо неразложима и следующие отображения δ ′ , ε′ являются гомоморфизмами: δ ′ (y) = δ(y)/Θ для y ∈ B, ε′ (z) = ε(z)/Θ для z ∈ C. Ясно, что δ ′ β(x) = ε′ γ(x) для x ∈ A и δ ′ β(a) 6= δ ′ β(a′ ), поэтому δ ′ β является мономорфизмом. Докажем теперь, что из условия 6 следует условие 3 предложения 2.5. Пусть A — общая подалгебра алгебр B, C; a, a′ — различные элементы из A. Берем максимальную конгруэнцию Θ, не содержащую пару (a, a′ ). Ясно, что A/Θ подпрямо неразложима и a/Θ 6= a′ /Θ. По CEP существует конгруэнция Φ1 на алгебре B такая, что Φ1 ∩ ∩A2 = Θ. По лемме Цорна расширяем Φ1 до максимальной конгруэнции

720

Л. Л. Максимова

Φ такой, что Φ ∩ A2 = Θ. Тогда Φ неразложима в пересечение. В самом деле, для любой конгруэнции Φ′ , являющейся собственным расширением для Φ, ограничение Φ′ ∩ A2 есть конгруэнция на A, содержащая Θ. Из максимальности Φ получаем, что Φ′ ∩ A2 6= Θ. Поскольку Θ максимальна, имеем (a, a′ ) ∈ Φ′ . Таким образом, алгебра B1 = B/Φ подпрямо неразложима. Кроме того, отображение β : A1 → B1 , где β(x/Θ) = x/Φ для x ∈ A, является мономорфизмом. Аналогично строится конгруэнция Ψ на C такая, что Ψ ∩ A2 = Θ, алгебра C1 = C/Ψ подпрямо неразложима и отображение γ : A1 → C1 , где γ(x/Θ) = x/Ψ для x ∈ A, является мономорфизмом. По условию 6 существуют подпрямо неразложимая D ∈ V и гомоморфизмы ϕ : B1 → D, ψ : C1 → D такие, что ϕβ = = ψγ и ϕβ является мономорфизмом, в частности, ϕβ(a/Θ) 6= ϕβ(a′ /Θ). Полагаем δ(y) = ϕ(y/Φ) для y ∈ B, ε(z) = ψ(y/Ψ) для z ∈ C. Тогда для x ∈ A имеем δ(x) = ϕ(x/Φ) = ϕβ(xΘ) = ψγ(x/Θ) = ψ(x/Ψ) = ε(x). Кроме того, δ(a) = ϕβ(a/Θ) 6= δ(a′ ). Предложение доказано. Учитывая теорему 2.4, можно в любом из пунктов предложения 2.6 ограничиться конечно порожденными алгебрами A, B, C, D. Из предложения 2.6 сразу вытекает СЛЕДСТВИЕ 2.7. Пусть многообразие V имеет CEP. Оно имеет RAP тогда и только тогда, когда класс SI(V ) имеет RAP. Близкое утверждение при некоторых дополнительных условиях было доказано [15] для свойства амальгамируемости: пусть многообразие V

Ограниченная интерполяция и проективное свойство Бета

721

имеет CEP и, кроме того, класс SI(V ) замкнут относительно взятия подалгебр; если SI(V ) имеет AP, то V имеет AP. Аналогично может быть доказана ТЕОРЕМА 2.8. Пусть многообразие V имеет CEP и подалгебры подпрямо неразложимых алгебр из V финитно неразложимы. Если класс F I(V ) финитно неразложимых алгебр из V имеет AP, то V имеет AP. Отметим, что условия теоремы 2.8 выполняются, например, в случае модальных алгебр и решеток с относительными псевдодополнениями, в то время как условие замкнутости класса SI(V ) относительно подалгебр не выполняется. § 3. Проективное свойство Бета и амальгамируемость В этом параграфе будет получено соотношение PBP и RAP с другими свойствами. B [7] был найден алгебраический эквивалент проективного свойства Бета PBP, а именно, свойство SES. Говорим, что класс K обладает свойством сильной сюръективности эпиморфизмов, если выполняется условие SES: для любых A, B из K, мономорфизма α : A → B и x ∈ B−α(A) существуют C ∈ K и гомоморфизмы β : B → C, γ : B → C такие, что βα = γα и β(x) 6= γ(x). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Для любого многообразия свойства PBP и SES равносильны. Эта эквивалентность была доказана в [13] для многообразий гейтинговых и модальных алгебр, она справедлива и для существенно более широкого класса алгебраизуемых логик [8]. В многообразиях гейтинговых алгебр свойства SES и PBP следуют из амальгамируемости. Однако это нарушается в многообразиях модальных алгебр, так как там не всегда выполняется даже свойство Бета BP. В общем случае имеет место ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. Если многообразие сильно амальгамируемо, то оно имеет SES.

722

Л. Л. Максимова ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть V имеет StrAP, A, B ∈ V , α — моно-

морфизм из A в B, b ∈ B − α(A). Ввиду сильной амальгамируемости существуют C ∈ V и мономорфизмы δ, ε : B → C такие, что δα = εα и δ(b) 6= ε(b). В [1] доказано, что RAP следует из SES в многообразиях гейтинговых алгебр. В действительности, свойство RAP было определено там иным способом, чем в настоящей работе. Можно показать, что в случае гейтинговых алгебр определение, данное здесь, эквивалентно определению из [1]. Следующая теорема применима, в частности, к произвольным многообразиям модальных алгебр, решеток с относительными псевдодополнениями, а также к многообразиям резидуальных решеток [16]. ТЕОРЕМА 3.3. Пусть многообразие V конгруэнц-дистрибутивно и, кроме того, подалгебры подпрямо неразложимых алгебр из V финитно неразложимы. Если V имеет SES, то оно имеет RAP. Для доказательства используется ЛЕММА 3.4. Пусть V конгруэнц-дистрибутивно, B, C ∈ V , h : B × C → D — гомоморфизм на финитно неразложимую алгебру D. Тогда выполняется по крайней мере одно из условий: (i) h(x, y) = h(x, y ′ ) для всех x ∈ B, y, y ′ ∈ C, и α(x) = h(x, y) является гомоморфизмом из B на D; (ii) h(x, y) = h(x′ , y) для всех x, x′ ∈ B, y ∈ C, и β(y) = h(x, y) является гомоморфизмом из C в D. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть h : B×C → D — данный гомоморфизм, Θ(h) — соответствующая конгруэнция на A = B×C. Возьмем конгруэнции Φ1 и Φ2 на A, где (b, c)Φ1 (b′ , c′ ) ⇔ c = c′ , (b, c)Φ2 (b′ , c′ ) ⇔ b = b′ . Для i = 1, 2 полагаем  ψi (b, c) = (b, c) Θ(h) ∨ Φi . Тогда ψ1 (b, c) = ψ1 (b, c′ ) и ψ2 (b, c) = ψ2 (b′ , c) для всех b, b′ ∈ B, c, c′ ∈ C.

Ограниченная интерполяция и проективное свойство Бета

723

Определим β(b) = ψ1 (b, c), γ(c) = ψ2 (b, c). Нетрудно видеть, что β — гомоморфизм из B на B′ = ψ1 (A), и γ — гомоморфизм из C на C′ = ψ2 (A). Положим ϕ(β(b), γ(c)) = h(b, c). Докажем корректность определения. Допустим, что β(b) = β(b′ ), γ(c) = = γ(c′ ). Тогда β(b) = ψ1 (b, c), β(b′ ) = ψ1 (b′ , c′ ), ((b, c), (b′ , c′ )) ∈ Θ(h) ∨ Φ1 , γ(c) = ψ2 (b, c), γ(c′ ) = ψ2 (b′ , c′ ), ((b, c), (b, c′ )) ∈ Θ(h) ∨ Φ2 . Ввиду конгруэнц-дистрибутивности ((b, c), (b′ , c′ )) ∈ (Θ(h) ∨ Φ1 ) ∩ (Θ(h) ∨ Φ2 ) = Θ(h) и, следовательно, h(b, c) = h(b′ , c′ ). Итак, ϕ не зависит от выбора представителей. Если h(b, c) = h(b′ , c′ ), то ((b, c), (b′ , c′ )) ∈ Θ(h) и ψi (b, c) = ψi (b′ , c′ ) для i = 1, 2. Поэтому α(b) = ψ1 (b, c) = ψ1 (b′ , c′ ) = α(b′ ); аналогично, β(c) = β(c′ ). Значит, отображение ϕ разнозначно. Нетрудно проверить, что ϕ сохраняет операции, т. е. является изоморфизмом из B′ × C′ на D. Поскольку D финитно неразложима, одна из алгебр B′ , C′ одноэлементна, а другая изоморфна D. Пусть, например, существует изоморфизм ϕ между B′ и D. Тогда (Θ(h) ∨ Φ1 ) = Θ(h), т. е. Θ(h) ⊇ Φ1 и h = ϕψ1 , что и завершает доказательство леммы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 3.3. Пусть многообразие V удовлетворяет условиям теоремы. Докажем, что выполняется условие 3 предложения 2.5. Пусть A, B, C ∈ V и A есть общая подалгебра алгебр B, C, a, a′ ∈ A, a 6= a′ . Докажем, что существуют алгебра D ∈ V и гомоморфизмы δ : B → D, ε : C → D такие, что δ(x) = ε(x) для всех x ∈ A и δ(a) 6= δ(a′ ). Рассмотрим алгебру A0 = {(x, x) | x ∈ A}, которая является подалгеброй прямого произведения B0 = B × C, причем (a, a′ ) ∈ B0 − A0 . По

724

Л. Л. Максимова

SES существуют алгебра D ∈ V и гомоморфизмы g : B0 → D, h : B0 → D такие, что g(z, z) = h(z, z) для z ∈ A и g(a, a′ ) 6= h(a, a′ ). Без ограничения общности можно считать, что алгебра D подпрямо неразложима. Отсюда и по условию теоремы алгебра g(B0 ) финитно неразложима, и ввиду леммы 3.4 выполняется по крайней мере одно из условий: (gi) g(x, y) = g(x, y ′ ) для всех x ∈ B, y, y ′ ∈ C, и α(x) = g(x, y) является гомоморфизмом из B на g(B0 ); (gii) g(x, y) = g(x′ , y) для всех x, x′ ∈ B, y ∈ C, и β(y) = g(x, y) является гомоморфизмом из C на g(B0 ). Аналогично, выполняется одно из условий: (hi) h(x, y) = h(x, y ′ ) для всех x ∈ B, y, y ′ ∈ C, и ϕ(x) = h(x, y) является гомоморфизмом из B на h(B0 ); (hii) h(x, y) = h(x′ , y) для всех x, x′ ∈ B, y ∈ C, и ψ(y) = h(x, y) является гомоморфизмом из C на h(B0 ). Предположим, что выполняются (gi) и (hii). Тогда α является гомоморфизмом из B в D, ψ — гомоморфизмом из C в D, причем α(x) = = g(x, x) = h(x, x) = ψ(x) для всех x ∈ A. Кроме того, α(a) = g(a, a′ ) 6= 6= h(a, a′ ) = ψ(a′ ) = α(a′ ), поэтому α, ψ — требуемые гомоморфизмы. Аналогично рассматривается случай (gii) и (hi). Допустим теперь, что выполняются одновременно (gi) и (hi). Тогда α(a) = g(a, a) = h(a, a) = ϕ(a). С другой стороны, α(a) = g(a, a′ ) 6= 6= h(a, a′ ) = ϕ(a), получаем противоречие. Аналогично, не могут выполняться одновременно (gii) и (hii). Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ 3.5. Пусть многообразие V конгруэнц-дистрибутивно и, кроме того, подалгебры подпрямо неразложимых алгебр финитно неразложимы. Если V имеет CEP и PBP, то оно обладает и IPR. Результаты этой статьи можно применить к известным классам алгебр. Суммируя полученные утверждения и учитывая результаты из [4, 13], для многообразий модальных алгебр получаем следующие соотношения: 1) EIP&BP ⇔ StrAP;

Ограниченная интерполяция и проективное свойство Бета

725

2) EIP&BP ⇒ PBP ⇔ SES; 3) PBP 6⇒ EIP ⇔ AP, EIP 6⇒ PBP; 4) PBP ⇒ IPR ⇔ RAP; 5) EIP ⇒ IPR, IPR&BP 6⇒ EIP; 6) PBP ⇒ BP, IPR 6⇒ BP, BP 6⇒ IPR. Аналогичные соотношения имеют место для многообразий резидуальных решеток [16], так как они обладают свойством CEP, а также удовлетворяют условиям теоремы 3.3. Для многообразий гейтинговых алгебр, решеток с относительными псевдодополнениями, транзитивных модальных алгебр получаем EIP ⇔ AP ⇔ StrAP; EIP ⇒ PBP ⇔ SES; PBP 6⇒ EIP; PBP ⇒ IPR ⇔ RAP.

ЛИТЕРАТУРА 1. L. L. Maksimova, Intuitionistic logic and implicit definability, Ann. Pure Appl. Logic, 105, N 1-3 (2000), 83—102. 2. D. Pigozzi, Amalgamation, congruence extension and interpolation properties in algebras, Algebra Univers., 1, N 3 (1972), 269—349. 3. I. Sain, Beth’s and Craig’s properties via epimorphisms and amalgamation in algebraic logic, in: C. H. Bergman, R. D. Maddux, D. I. Pigozzi (eds.), Algebraic logic and universal algebra in computer science (Lect. Notes Comput. Sci., 425), Berlin, Springer-Verlag, 1990, 209—226. 4. Л. Л. Максимова, Модальные логики и многообразия модальных алгебр: свойство Бета, интерполяция и амальгамируемость, Алгебра и логика, 31, N 2 (1992), 145—166. 5. J. Czelakowski, D. Pigozzi, Amalgamation and interpolation in abstract algebraic logic, in: X. Caicedo, C. H. Montenegro (eds.), Models, algebras and proofs. Sel. papers X Latin Am. Symp. math. logic held Bogota (Lect. Notes Pure Appl. Math., 203), New York, Marcel Dekker, 1999, 187—265.

726

Л. Л. Максимова 6. A. Wronski, On a form of equational interpolation property, in: Foundations of logic and linguistics. Problems and solution, sel. contrib. 7th Intern. Congr., London, Plenum Press, 1985, 23—29. 7. L. Maksimova, Explicit and implicit definability in modal and related logics, Bull. Sect. Log., Univ. Lod´z, Dep. Log., 27, N 1/2 (1998), 36—39. 8. E. Hoogland, Definability and interpolation. Model-theoretic investigations, ILLC Dissertation Series DS-2001-05, Amsterdam, 2001. 9. J. Barwise, S. Feferman (eds.), Model-Theoretic Logics, New York, SpringerVerlag, 1985.

10. P. D. Bacsich, Amalgamation properties and interpolation theorems for equational theories, Algebra Univers., 5, N 1 (1975), 45—55. 11. B. Jonsson, Extensions of relational structures, in: Theory of models. Proc. 1963 Intern. Symp. Berkeley, Amsterdam, North-Holland, 1965, 146—157. 12. H. Ono, Interpolation and the Robinson property for logics not closed under the Boolean operations, Algebra Univers., 23, N 2 (1986), 111—122. 13. Л. Л. Максимова, Проективные свойства Бета в модальных и суперинтуиционистских логиках, Алгебра и логика, 38, N 3 (1999), 316—333. 14. А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М., Наука, 1970. 15. G. Gr¨ atzer, H. Lakser, The structure of pseudocomplemented distributive lattices. II: Congruence extension and amalgamation, Trans. Am. Math. Soc., 156 (1971), 343—358. 16. T. Kowalski, H. Ono, Splittings in the variety of residuated lattices, Algebra Univers., 44 (2000), 283—298.

Адрес автора: МАКСИМОВА Лариса Львовна, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail: [email protected]

Поступило 30 января 2002 г.