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²¥¬ ²¨·¥±ª¨© «¨§ ¥ª®²®°»¥ ¬ ²¥°¨ «» ª «¥ª¶¨¿¬ ¤«¿ ±²³¤¥²®¢ ¢²®°®£® ª³°± 2006/2007 ³·¥¡»© £®¤
®±ª¢ 2007
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0
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2
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a) ²¥¯¥»¥ ° §«®¦¥¨¿ ´³ª¶¨© exp , cos , sin. b) »µ®¤ ¢ ª®¬¯«¥ª±³¾ ®¡« ±²¼ ¨ ´®°¬³« ©«¥° . c) ª±¯®¥² ª ª ¯°¥¤¥«. d) ¬®¦¥¨¥ °¿¤®¢ ¨ ®±®¢®¥ ±¢®©±²¢® ½ª±¯®¥²». ¥) ª±¯®¥² ®² ¬ ²°¨¶» ¨ °®«¼ ª®¬¬³² ²¨¢®±²¨. f) ª±¯®¥² ®² ®¯¥° ²®° ¨ ´®°¬³« ¥©«®° . 2. ¨®¬ ¼¾²® .
a) ²¥¯¥®¥ ° §«®¦¥¨¥ ´³ª¶¨© (1 + x). b) ²¥£°¨°®¢ ¨¥ °¿¤ ¨ ° §«®¦¥¨¥ log(1 + x). c) §«®¦¥¨¿ (1 + x2) 1 ¨ arctg x. d) §«®¦¥¨¥ (1 x) 1 ¨ ¢»·¨±«¨²¥«¼»¥ ±²° ®±²¨. 3. ¥¸¥¨¥ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»µ ³° ¢¥¨©.
a) ¥²®¤ ¥®¯°¥¤¥«¥»µ ª®½´´¨¶¨¥²®¢. b) ±¯®«¼§®¢ ¨¥ ½ª±¯®¥²».
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a) ¬»±« ¯®§¨¶¨®®© ±¨±²¥¬» ±·¨±«¥¨¿. °° ¶¨® «¼»¥ ·¨±« . b) §«®¦¥¨¥ ¢¥ª²®° ¯® ¡ §¨±³ ¨ «®£¨¨ ¢ °¿¤ µ. c) ±±²®¿¨¥. II. ®°¬ «¨§ ¶¨¿. 1. ¿¤ ¨ ¥£® ±³¬¬ . 2. ±«®¢¨¿ ¨ ¯°¨§ ª¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ ·¨±«®¢®£® °¿¤ .
a) °¨²¥°¨© ®¸¨ ¨ ¥®¡µ®¤¨¬®¥ ³±«®¢¨¥ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ . b) ®±² ²®·»© ¬ ¦®° ²»© ¯°¨§ ª ±µ®¤¨¬®±²¨. c) ¥®°¥¬ ±° ¢¥¨¿ ¤«¿ °¿¤®¢ ± ¯®«®¦¨²¥«¼»¬¨ ·«¥ ¬¨. P 1 d) ²¥£° «¼»© ¯°¨§ ª ®¸¨ ¨ °¿¤ () = n=1 n1 . e) ¥®¬¥²°¨·¥±ª ¿ ¯°®£°¥±±¨¿ ¨ ¯°¨§ ª¨ ®¸¨, ¤'« ¬¡¥° , ³±± . f) °¨§ ª ¡¥«¿{¨°¨µ«¥ ¨ ¯°¨§ ª ¥©¡¨¶ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ . 3
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a) ³ª ¸ª °¥§¨ª¥ (§ ¤ · ..ª³¿, ¯®±² ¢«¥ ¿ ¨¬ .. µ °®¢³). 1 » ¤¥°¦¨²¥ ®¤¨ ª®¥¶ °¥§¨®¢®£® ¸³° ¤«¨®© 1 ª¬. ² ¢²®°®£® ¥£® ª®¶ , ª®²®°»© § ª°¥¯«¥, ª ¢ ¬ ±® ±ª®°®±²¼¾ 1 ±¬/± ¯®«§¥² ¡³ª ¸ª . ¦¤»© ° §, ª ª ²®«¼ª® ® ¯°®¯®«§ ¥² 1 ±¬, ¢» ° ±²¿£¨¢ ¥²¥ °¥§¨ª³ 1 ª¬. ®¯®«§¥² «¨ ¡³ª ¸ª ¤® ¢ ¸¥© °³ª¨?
±«¨ ¤ , ²® ¯°¨¡«¨§¨²¥«¼® ±ª®«¼ª® ¥© ½²® ¯®²°¥¡³¥²±¿ ¢°¥¬¥¨? b) ²¥£° « ¨ ®¶¥ª ±³¬¬. ®±«¥ ¥ª®²®°®£® ° §¬»¸«¥¨¿ ¤«¿ ®²¢¥² ¯°¥¤»¤³¹¨© ¢®¯°®± ¢ ¬ ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¯®«¥§®© ±³¬¬ Sn = 1 + 21 + 13 R+n::: + n1 . ±¯®¬¨²¥ ¨²¥£° « ¨ ¯®ª ¦¨²¥, ·²® Sn 1 < 1 x1 dx < Sn 1 . c) ² ®¡¥§¼¿» ¤® ¤®ª²®° ³ª ¢±¥£® 106 «¥². ¨²«¢³¤ ¢ ±¢®¥© ¨§¢¥±²®© ª¨¦ª¥ " ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ ±¬¥±¼", £®¢®°¿ ® ¡®«¼¸¨µ ·¨±« µ, ¯¨± «, ·²® 106 «¥² | ¢°¥¬¿, ¥®¡µ®¤¨¬®¥ ¤«¿ ¯°¥¢° ¹¥¨¿ ®¡¥§¼¿» ¢ ¤®ª²®° ³ª 2. ®±¯¥¥² «¨ ¡³ª ¸ª § ¹¨²³ ¨«¨ µ®²¿ ¡» ª ª®¶³ ±¢¥² ? 1 ³° «
¢ ², ?, ?. ¬. ² ª¦¥ . °¤¥°, ³-ª ¤®£ ¤ ©±¿. ®±ª¢ , ¨°, 1984. ²°.187. ² ª¦¥ °²¨ °¤¥°, ³²¥¸¥±²¢¨¥ ¢® ¢°¥¬¥¨. ®±ª¢ , ¨°, 1990. ²°.133. ¨²¨°³¥¬ ¯®±«¥¤¾¾ ª¨£³: "²³ § ¬¥· ²¥«¼³¾ § ¤ ·³ ¢ ¤³µ¥ ¯ ° ¤®ª± ¥® ®¡ µ¨««¥±¥ ¨ ·¥°¥¯ µ¥ ¯°¨¤³¬ « .¨«ª¨ ¨§ ®¢®© «¥¤®¨¨. ¯¥°¢»¥ ® ¡»« ®¯³¡«¨ª®¢ ¢ ¤¥ª ¡°¥ 1972 £. ¢ ° §¤¥«¥ § ¨¬ ²¥«¼»µ § ¤ · ´° ¶³§±ª®£® ¥¦¥¬¥±¿·¨ª Science et Vie, ª®²®°»© ± ¯°¨±³¹¨¬ ¥¬³ ¡«¥±ª®¬ ¢¥¤¥² ¼¥° ¥°«®ª¥." 2 ¦. ¨²«¢³¤, ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ ±¬¥±¼. ®±ª¢ , ¨§¬ ²«¨², 1962. ²°. 111.
4
1. ª±¯®¥² .
a) ²¥¯¥»¥ ° §«®¦¥¨¿ ´³ª¶¨© exp , cos , sin. ®£« ±® ´®°¬³«¥ ¥©«®° ± ®±² ²®·»¬ ·«¥®¬ ¢ ´®°¬¥ £° ¦ ex = 1 + 1!1 x + 2!1 x2 + : : : + n1! xn + rn(x); 1 e xn+1 ¨ j j < jxj; £¤¥ rn (x) = (n+1)! n cos x = 1 2!1 x2 + 4!1 x4 : : : + ((21)n)! x2n + r2n(x); £¤¥ r2n(x) = (2n1+1)! cos + 2 (2n + 1) x2n+1 ¨ jj < jxj; n+1 sin x = x 3!1 x3 + 5!1 x5 : : : + ((2n1)+1)! x2n+1 + r2n+1 (x); £¤¥ r2n+1(x) = (2n1+2)! sin + 2 (2n + 2) x2n+2; ¨ jj < jxj. ®±ª®«¼ª³ ¤«¿ «¾¡®£® ´¨ª±¨°®¢ ®£® § ·¥¨¿ x 2 R ¯°¨ n ! 1 ®±² ²®·»© ·«¥ ¢ ª ¦¤®© ¨§ ¯°¨¢¥¤¥»µ ´®°¬³« ®·¥¢¨¤® ±²°¥¬¨²±¿ ª ³«¾, ²® ¯¨¸³² ex = 1 + 1!1 x + 2!1 x2 + 3!1 x3 + 4!1 x4 + 5!1 x5 + : : : + n1! xn + : : : ; n cos x = 1 2!1 x2 + 4!1 x4 : : : + ((21)n)! x2n + : : : ; n+1 sin x = x 3!1 x3 + 5!1 x5 : : : + ((2n1)+1)! x2n+1 + : : : : b) »µ®¤ ¢ ª®¬¯«¥ª±³¾ ®¡« ±²¼ ¨ ´®°¬³« ©«¥° . ®¤±² ¢¨¬ ¢ ¯° ¢³¾ · ±²¼ ¯¥°¢®£® ¨§ ½²¨µ ° ¢¥±²¢ ¢¬¥±²® x ª®¬¯«¥ª±®¥ ·¨±«® ix. ®£¤ ¯®±«¥ ¯°®±²»µ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¯°¥®¡° §®¢ ¨© ¬» ¢±«¥¤ § ©«¥°®¬ ¯®«³·¨¬ § ¬¥· ²¥«¼®¥ ±®®²®¸¥¨¥ eix = cos x + i sin x: ®«®¦¨¢ §¤¥±¼ x = , ©¤¥¬, ·²® ei + 1 = 0. ²® § ¬¥¨²®¥ ° ¢¥±²¢®, ±®¥¤¨¿¾¹¥¥ ´³¤ ¬¥² «¼»¥ ª®±² ²» ¬ ²¥¬ ²¨ª¨: e «¨§, i- «£¥¡° , -£¥®¬¥²°¨¿, 1- °¨´¬¥²¨ª , 0-«®£¨ª . » ®¯°¥¤¥«¨«¨ ´³ª¶¨¾ exp ¤«¿ ·¨±²® ¬¨¬»µ § ·¥¨© °£³¬¥² ¨ ¯®«³·¨«¨ ´®°¬³«³ ©«¥° eix = cos x + i sin x, ¨§ ª®²®°®© ®·¥¢¨¤® ² ª¦¥ ±«¥¤³¥², ·²® cos x = 12 (eix + e ix) ¨ sin x = 21i (eix e ix): c) ª±¯®¥² ª ª ¯°¥¤¥«. » § ¥¬, ·²® (1 + nx )n ! ex ¯°¨ n ! 1 ¨ x 2 R .
±²¥±²¢¥® ¯®« £ ²¼, ·²® ez := limn!1 (1+ nz )n , £¤¥ ²¥¯¥°¼ z = x + iy | ¯°®¨§¢®«¼®¥ ª®¬¯«¥ª±®¥ ·¨±«®. ®¤±·¥² ½²®£® ¯°¥¤¥« ¤ ¥² ez = ex(cos y + i sin y). °®¢¥°¼²¥ ½²® ¨ ¯®«³·¨²¥ ´®°¬³«» ¤«¿ cos z ¨ sin z. d) ¬®¦¥¨¥ °¿¤®¢ ¨ ®±®¢®¥ ±¢®©±²¢® ½ª±¯®¥²». 5
»° ¦¥¨¥ ex(cos y + i sin y) ¤«¿ ex+iy ¥±²¥±²¢¥ee ¯®«³·¨²¼ ¯°¿¬® ¨§ ±®®²®¸¥¨¿ ex+iy = exeiy , ¥±«¨, ª®¥·®, ®® ±¯° ¢¥¤«¨¢® ¨ ¤«¿ ª®¬¯«¥ª±»µ § ·¥¨© °£³¬¥² ´³ª¶¨¨ exp. °®¢¥°¨¬ ½²® ¯°¿¬»¬ ³±²¼ u ¨ v | ª®¬¯«¥ª±»¥ P ³¬®¦¥¨¥¬. 1 uk ¨ ev := P1 1 m ·¨±« . ®« £ ¿ eu := 1 k=0 k! m=0 m! v , µ®¤¨¬ P P P P eu ev = ( 1k=0 k1! uk ) ( 1m=0 m1! vm) = 1k=0 1m=0 k1! m1! uk vm = P1 1 P P 1 1 k m n u+v = 1 n=0 k+m=n k! m! u v = n=0 n! (u + v ) = e : P » §¤¥±¼ ¢®±¯®«¼§®¢ «¨±¼ ²¥¬, ·²® k+m=n k!nm! ! uk vm = (u + v)n; ¯®±ª®«¼ª³ uv = vu. ¥) ª±¯®¥² ®² ¬ ²°¨¶» ¨ °®«¼ ª®¬¬³² ²¨¢®±²¨. ·²® ¥±«¨ ¢ ¢»° ¦¥¨¨ eA = 1 + 1!1 A + 2!1 A2 + : : : + n1! An + : : : ; ±·¨² ²¼ A ª¢ ¤° ²®© ¬ ²°¨¶¥©, ¯®« £ ¿, ·²® ¨ 1 ®¡®§ · ¥² ¥¤¨¨·³¾ ¬ ²°¨¶³ I ²®£® ¦¥ ° §¬¥° ? ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ A ¥¤¨¨· ¿ ¬ ²°¨¶ , ²®, ª ª «¥£ª® ¯°®¢¥°¨²¼, eA ®ª ¦¥²±¿ ¤¨ £® «¼®© ¬ ²°¨¶¥© ± ½«¥¬¥² ¬¨ e £« ¢®© ¤¨ £® «¨. »·¨±«¨²¥ exp A ¤«¿ ±«¥¤³¾¹¨µ ¬ ²°¨¶ A:
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2. ¨®¬ ¼¾²® .
a) ²¥¯¥®¥ ° §«®¦¥¨¥ ´³ª¶¨© (1 + x). ¿ ¤«¿ ²³° «»µ § ·¥¨© ´®°¬³«³ ±²¥¯¥¨ ¡¨®¬ (1 + x) = 1 + 1! x + (2! 1) x2 + : : : + ( 1):::n(! n+1) xn + : : : , ¼¾²® ¯®¿«, ·²® ® ±¯° ¢¥¤«¨¢ ¤«¿ «¾¡»µ , ²®«¼ª® ±³¬¬ ¯°¨ ½²®¬ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¡¥±ª®¥·®©. ¯°¨¬¥°, (1 + x) 1 = 1 x + x2 x3 + : : : , ¥±«¨ jxj < 1. b) ²¥£°¨°®¢ ¨¥ °¿¤ ¨ ° §«®¦¥¨¥ log(1 + x). °®¨²¥£°¨°®¢ ¢ ¯®±«¥¤¨© °¿¤ ¯® ®²°¥§ª³ [0; x], ©¤¥¬, ·²® log(1 + x) = x 12 x2 + 13 x3 + : : : ¯°¨ jxj < 1. c) §«®¦¥¨¿ (1 + x2) 1 ¨ arctg x. «®£¨·®, ¯¨± ¢ ° §«®¦¥¨¥ (1 + x2) 1 = 1 x2 + x4 x6 + : : : ¨ ¯°®¨²¥£°¨°®¢ ¢ ¥£® ¯® ®²°¥§ª³ [0; x], ¯®«³·¨¬ ° §«®¦¥¨¥ arctg x = x 31 x3 + 51 x5 : : : , ¨§ ª®²®°®£® ¯°¨ x = 1, ¢°®¤¥ ¡», ±«¥¤³¥², ·²® 4 = 1 13 + 15 17 + : : : . ®¦¥² ¡»²¼ ½²® ¨ ² ª (¨ ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ½²® ² ª), ® ·³¢±²¢³¥²±¿, ·²® ¬» ³¦¥ ¢»µ®¤¨¬ £° ¨¶» ¤®§¢®«¥®£®. «¥¤³¾¹¨© ¯°¨¬¥° ²®«¼ª® ³±¨«¨² ¸¨ ®¯ ±¥¨¿. d) §«®¦¥¨¥ (1 x) 1 ¨ ¢»·¨±«¨²¥«¼»¥ ±²° ®±²¨. °¨ x = 1 ° §«®¦¥¨¥ (1 + x) 1 = 1 x + x2 x3 + : : : ¯°¨¢®¤¨² ª ° ¢¥±²¢³ 12 = 1 1 + 1 1 + : : : . ±±² ¢¨¢ ¢ ¥¬ ±ª®¡ª¨, ¬®¦® ¯®«³·¨²¼ 12 = (1 1)+(1 1)+ : : : = 0, ¬®¦® ¯®«³·¨²¼ ¨ 21 = 1 + ( 1 + 1) + ( 1 + 1) + : : : = 1. ®±«¥ ² ª®£® ¯°¨µ®¤¨²±¿ ±² ¢¨²¼ ¯®¤ ±®¬¥¨¥ ¯®·²¨ ¢±¥, ·²® ¬» ² ª ³±¯¥¸® ¨ ¡¥§§ ¡®²® ¤¥« «¨, ¯¥°¥¬®¦ ¿ ¡¥±ª®¥·»¥ ±³¬¬» (°¿¤»), ¯¥°¥±² ¢«¿¿ ¨ £°³¯¯¨°³¿ ¢ ¨µ ·«¥», ¨²¥£°¨°³¿ ¨µ. ® ¢±¥¬ ½²®¬ ¿¢® ¤® ° §®¡° ²¼±¿. ²¨¬ ¬» ¢±ª®°¥ § ©¬¥¬±¿, ¯®ª ³¯®¬¿¥¬ ¥¹¥ ®¤³ ®¡« ±²¼ ¨±¯®«¼§®¢ ¨¿ °¿¤®¢. 3. ¥¸¥¨¥ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»µ ³° ¢¥¨©.
a) ¥²®¤ ¥®¯°¥¤¥«¥»µ ª®½´´¨¶¨¥²®¢. ±±¬®²°¨¬ ¯°®±²¥©¸¥¥ ³° ¢¥¨¥ x + x = 0 £ °¬®¨·¥±ª¨µ ª®«¥¡ ¨© ¨ ¡³¤¥¬ ¨±ª ²¼ ¥£® °¥¸¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ °¿¤ x(t) = 0 + 1t + 2t2 + : : : . ®¤±² ¢«¿¿ °¿¤ ¢ ³° ¢¥¨¥, ±®¡¨° ¿ ·«¥» ± ®¤¨ ª®¢»¬¨ ±²¥¯¥¿¬¨ t ¨ ¯°¨° ¢¨¢ ¿ ª®½´´¨¶¨¥²» ¯°¨ ®¤¨ ª®¢»µ ±²¥¯¥¿µ t ¢ ®¡¥¨µ · ±²¿µ ³° ¢¥¨¿, ¯®«³·¨¬ ¡¥±ª®¥·³¾ ±¨±²¥¬³ ±®®²®¸¥¨©: 7
2 2 + 0 = 0; 2 3 3 + 1 = 0; 3 4 4 + 2 = 0; : : :
±«¨ · «¼»¥ ³±«®¢¨¿ x(0) = x0 ¨ x0(0) = v0 ¤ », ²® ¨§ x(t) = 0 + 1t + 2t2 + : : : ¨ x0(t) = 1 + 2t + : : : ¯°¨ t = 0 µ®¤¨¬ 0 = x0 ¨ 1 = v0. ¿ 0 ¨ 1, ²¥¯¥°¼ ¬®¦® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼® ®¤®§ ·® ©²¨ ®±² «¼»¥ ª®½´´¨¶¨¥» ° §«®¦¥¨¿. ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ x(0) = 0 ¨ x0(0) = 1, ²® x(t) = t 3!1 t3 + 5!1 t5 : : : = sin x, ¥±«¨ x(0) = 1 ¨ x0(0) = 0, ²® x(t) = 1 2!1 t2 + 4!1 t4 : : : = cos x. b) ±¯®«¼§®¢ ¨¥ ½ª±¯®¥²». ·²® ¥±«¨ °¥¸¥¨¥ ¨±ª ²¼ ¢ ¢¨¤¥ x(t) = ¥t ? ®£¤ x + x = ¥t(2 + 1) = 0 ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, 2 + 1 = 0, ².¥. = i ¨«¨ = i. ® ·²® ½²® § ±²° »¥ ª®¬¯«¥ª±®¥ ª®«¥¡ ¨¿ x(t) = ¥it, x(t) = ¥ it ¨«¨ x(t) = c1¥it + c2¥ it ? °® «¨§¨°³©²¥ ±¨²³ ¶¨¾ ¨ ¤®¤¥« ©²¥ ¢±¥ ¦¥ § ¤ ·³ ¤® ª®¶ , ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ x(0) = 0 ¨ x0(0) = 1 ¨«¨ ¥±«¨ x(0) = 1 ¨ x0(0) = 0. ±¯®¬¨²¥ ´®°¬³«³ ©«¥° ¨ ±° ¢¨²¥ ¢ ¸¨ °¥§³«¼² ²» ± ¯®«³·¥»¬¨ ¢»¸¥. 4. ¡¹ ¿ ¨¤¥¿ ¯°¨¡«¨¦¥¨¿ ¨ ° §«®¦¥¨¿.
a) ¬»±« ¯®§¨¶¨®®© ±¨±²¥¬» ±·¨±«¥¨¿. °° ¶¨® «¼»¥ ·¨±« . ±¯®¬¨¬, ·²® ®§ · ¥² ¯°¨¢»· ¿ § ¯¨±¼ = 3; 1415926::: ¨«¨ ¢®®¡¹¥ ¤¥±¿²¨· ¿ ¤°®¡¼ a0; a1a2a3::: ¥¤¼ ½²® ±³¬¬ a0100 + a110 1 + a210 2 + a310 3 + ::: » § ¥¬, ·²® ª®¥·»¥ ¤°®¡¨ ®²¢¥· ¾² ° ¶¨® «¼»¬ ·¨±« ¬, § ¯¨±¼ ¨°° ¶¨® «¼®£® ·¨±« ²°¥¡³¥² ¡¥±ª®¥·®£® ·¨±« ¤¥±¿²¨·»µ § ª®¢ ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ²°¥¡³¥² ° ±±¬®²°¥¨¿ ¡¥±ª®¥·®£® ·¨±« ±« £ ¥¬»µ ¨ ¡¥±ª®¥·»µ ±³¬¬ | °¿¤®¢.
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9
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±«¨ °¿¤ (1) ² ª®¢, ·²® °¿¤ ja1j + ja2j + ja3j + ::: + janj + ::: ±µ®¤¨²±¿ ( ½²®, ª ª ¬» ¢¨¤¥«¨, ¯°¨¬¥¿¿ ¢»¸¥ ª°¨²¥°¨© ®¸¨, ³¦¥ £ ° ²¨°³¥² ±µ®¤¨¬®±²¼ ± ¬®£® °¿¤ (1)3), ²® £®¢®°¿², ·²® °¿¤ (1) ±µ®¤¨²±¿ ¡±®«¾²®.
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±«¨ °¿¤ (1) ±µ®¤¨²±¿, ® ¥ ±µ®¤¨²±¿ ¡±®«¾²®, ²® £®¢®°¿², ·²® ® ±µ®¤¨²±¿ ³±«®¢®. ª, ¯°¨¬¥°, °¿¤ 1 1 + 21 12 + 31 13 + ::: + n1 n1 + ::: ®·¥¢¨¤® ±µ®¤¨²±¿, ® «¨¸¼ ³±«®¢®, ¥ ¡±®«¾²®. ¡±®«¾² ¿ ±µ®¤¨¬®±²¼, ª ª ¢»¿±¨²±¿, ¢¥±¼¬ ¢ ¦ ¨ ¯®«¥§ ² ¬, £¤¥ ¯°¨µ®¤¨²±¿ ¢»¯®«¿²¼ ° §«¨·»¥ ®¯¥° ¶¨¨ ± °¿¤ ¬¨ ( ¯°¨¬¥°, ¯¥°¥¬®¦ ²¼ °¿¤», ¯°¥®¡° §®¢»¢ ²¼ ¨µ, £°³¯¯¨°®¢ ²¼ ¨ ¯¥°¥±² ¢«¿²¼ ·«¥» °¿¤ ). ±±«¥¤®¢ ¨¥ ¡±®«¾²®© ±µ®¤¨¬®±²¨, ®·¥¢¨¤®, ±¢®¤¨²±¿ ª ¨±±«¥¤®¢ ¨¾ ±µ®¤¨¬®±²¨ ·¨±«®¢»µ °¿¤®¢ ± ¥®²°¨¶ ²¥«¼»¬¨ ¨«¨ ¤ ¦¥ ¯®«®¦¨²¥«¼»¬¨ ·«¥ ¬¨. c) ¥®°¥¬ ±° ¢¥¨¿ ¤«¿ °¿¤®¢ ± ¯®«®¦¨²¥«¼»¬¨ ·«¥ ¬¨. 3
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11
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±«¨ q < 1, ²® ¬®¦® ¢»¡° ²¼ ·¨±«® p 2 R ² ª, ·²® q < p < 1. ¨ª±¨°®¢ ¢ ·¨±«® p, ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ®¯°¥¤¥«¥¨¥¬ ¢¥°µ¥£® p ¯°¥¤¥« ©¤¥¬ ®¬¥° N 2 N ² ª®©, ·²® ¯°¨ n > N ¢»¯®«¥® n janj < p. P1 ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°¨ n > N ¡³¤¥¬ ¨¬¥²¼ janj < pn ¨, ¯®±ª®«¼ª³ °¿¤ pn n=1 1 P an (¯® ²¥®°¥¬¥ ±° ¢¥¨¿) ±µ®¤¨²±¿
¯°¨ 0 p < 1 ±µ®¤¨²±¿, °¿¤ n=1 ¡±®«¾²®. ) ®±ª®«¼ª³ q = nlim ja j ¨ q > 1, ²® an ¥ ±²°¥¬¨²±¿ ª ³«¾ ¯°¨ !1 n n ! 1 ¨ °¿¤ ° ±µ®¤¨²±¿. 1 1 P P
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±®±²®¨² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. 1 P jan+1 j ³±²¼ ¤«¿ °¿¤ an ±³¹¥±²¢³¥² ¯°¥¤¥« nlim = q. !1 jan j n=1 ®£¤ ±¯° ¢¥¤«¨¢» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¿ : ) ¥±«¨ q < 1, ²® °¿¤ ±µ®¤¨²±¿ ¡±®«¾²® ; ) ¥±«¨ q > 1, ²® °¿¤ ° ±µ®¤¨²±¿ ;
) ±³¹¥±²¢³¾² ª ª ¡±®«¾²® ±µ®¤¿¹¨¥±¿, ² ª ¨ ° ±µ®¤¿¹¨¥±¿ °¿¤», ¤«¿ ª®²®°»µ q = 1.
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±«¨ q < 1, ²® ©¤¥²±¿ ² ª®¥ ·¨±«® p, ·²® q < p < 1; ´¨ª±¨°®¢ ¢ p ¨ ³·¨²»¢ ¿ ±¢®©±²¢ ¯°¥¤¥« , ©¤¥¬ ®¬¥° N 2 N ² ª®©, ·²® ¯°¨ j «¾¡®¬ n > N ¡³¤¥² jajna+1 < p. ®±ª®«¼ª³ ª®¥·®¥ ·¨±«® ·«¥®¢ ¥ nj ¢«¨¿¥² µ ° ª²¥° ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ , ¡¥§ ®£° ¨·¥¨¿ ®¡¹®±²¨ ¡³¤¥¬ j ±·¨² ²¼, ·²® jajna+1 < p ¯°¨ «¾¡®¬ n 2 N. nj j a j n +1 ®±ª®«¼ª³ janj jajnanj1j : : : jjaa21jj = jajna+11j j ; ¬» ¯®«³· ¥¬, ·²® jan+1j 1 ja1j pn . ® °¿¤ P ja1jpn ±µ®¤¨²±¿ ¥£® ±³¬¬ , ®·¥¢¨¤®, ° ¢ 1ja1pj , n=1 1 P ¯®½²®¬³ °¿¤ an ¡±®«¾²® ±µ®¤¨²±¿. n=1
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±«¨ q > 1, ²®, ·¨ ¿ ± ¥ª®²®°®£® ®¬¥° N 2 N, ¯°¨ «¾¡®¬ n > N ¡³¤¥¬ ¨¬¥²¼ jajann+1j j > 1, ².¥. janj < jan+1j, ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¤«¿ °¿¤ ¥ ¢»¯®«¥® ³±«®¢¨¥ an ! 0, ¥®¡µ®¤¨¬®¥ ¤«¿ ±µ®¤¨¬®±²¨.
) ¤¥±¼ ¬®¦® ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¯°¨¬¥° ¬¨, ¯°¨¢¥¤¥»¬¨ ¢»¸¥ ¯°¨ 14
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P1
»¿±¨¬, ¯°¨¬¥°, ¯°¨ ª ª¨µ § ·¥¨¿µ x 2 R ±µ®¤¨²±¿ °¿¤ n1! xn: n=1 °¨ x = 0 ®, ®·¥¢¨¤®, ±µ®¤¨²±¿ ¨ ¤ ¦¥ ¡±®«¾²®. jan+1 j jxj = lim = 0. °¨ x 6= 0, ¯®« £ ¿ an = n1! xn, ¨¬¥¥¬ nlim j a j n n !1 n!1 +1 ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²®² °¿¤ ¡±®«¾²® ±µ®¤¨²±¿ ¯°¨ «¾¡®¬ § ·¥¨¨ x 2 R. 1 ¯°¨ ª ª¨µ ª®¬¯«¥ª±»µ z ±µ®¤¨²±¿ °¿¤ P n1! zn ? n=1 ¡¥¤¨²¥±¼, ·²® ª°¨²¥°¨© ®¸¨, ¬ ¦®° ²»© ¯°¨§ ª ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ , ¯°¨§ ª¨ ®¸¨ ¨ ¤'« ¬¡¥° ª ª ¨ ¨µ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ®±² ¾²±¿ ¢ ±¨«¥ ¨ ¤«¿ °¿¤®¢ ± ª®¬¯«¥ª±»¬¨ ¨ ¢¥ª²®°»¬¨ ·«¥ ¬¨. °¨§ ª ³±± .
·¨²»¢ ¿ ª®¯«¥»© ®¯»², ¤®ª ¦¨²¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼® ±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¿: 1 P ) ¥±«¨ bnbn+1 = 1 + n, n = 1; 2; : : : , ¨ °¿¤ n ¡±®«¾²® ±µ®¤¨²±¿, n=1 ²® ±³¹¥±²¢³¥² ¯°¥¤¥« nlim b = b 2 R; n !1 1 P p a n = 1 + + , n = 1; 2; : : : , ¯°¨·¥¬ °¿¤ ) ¥±«¨ an+1 n ¡±®«¾²® n n n =1 ±µ®¤¨²±¿, ²® an ncp ¯°¨ n ! 1; 1 P1 P
) ¥±«¨ °¿¤ an ² ª®¢, ·²® aann+1 = 1+ np + n ¨ °¿¤ n ¡±®«¾²® n=1 1 P ±µ®¤¨²±¿, ²® °¿¤ an ¡±®«¾²® ±µ®¤¨²±¿ ¯°¨ p > 1 ¨ ° ±µ®¤¨²±¿ ¯°¨ n=1
n=1
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f) °¨§ ª ¡¥«¿{¨°¨µ«¥ (¢ · ±²®±²¨, ¯°¨§ ª ¥©¡¨¶ ) ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ . ±¥, ·²® ¬» ¯®«³·¨«¨ ¢»¸¥, § ¨±ª«¾·¥¨¥¬ ®¡¹¥£® ª°¨²¥°¨¿ ®¸¨ ¨ ¥®¡µ®¤¨¬®£® ³±«®¢¨¿ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ , ¯® ±³¹¥±²¢³ ®²®±¨«®±¼ ª ¡±®«¾²®© ±µ®¤¨¬®±²¨. °¨¢¥¤¥¬ ²¥¯¥°¼ ®¤¨ ¯°¨§ ª, · ±²® ¯®§¢®«¿¾¹¨© ³±² ¢«¨¢ ²¼ ±µ®¤¨¬®±²¼ °¿¤ ¤ ¦¥ ²®£¤ , ª®£¤ °¿¤ ±µ®¤¨²±¿ «¨¸¼ ³±«®¢®. ¯®¬¨¬ ± · « ±«¥¤³¾¹¥¥ ²®¦¤¥±²¢®, §»¢ ¥¬®¥ ¯°¥®¡° §®¢ 15
¨¥¬ ¡¥«¿
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m X k =n
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(3)
£¤¥ ak = Ak Ak 1, k = n; : : :; m:
±«¨ bn; bn+1; : : :; bm | ¬®®²® ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ¢¥¹¥±²¢¥»µ ·¨±¥«, ²®, ¤ ¦¥ ¥±«¨ an; an+1; : : : ; am ª®¬¯«¥ª±»¥ ·¨±« ¨«¨ ¢¥ª²®°», ®±®¢ ¨¨ ²®¦¤¥±²¢ (3) ¬®¦® ¯®«³·¨²¼ ±«¥¤³¾¹³¾ ³¦³¾ ¬ ®¶¥ª³:
X m ak bk 4 max jAkj maxfjbnj; jbmjg: k=n n 1km
(4)
®«³·¨²¥ ¥¥.
±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ : P1 a b ; ¤®±² ²®·®, ·²®¡» ¢»¯®«¿« ±¼ «¿ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ n=1 n n «¾¡ ¿ ¯ ° ±«¥¤³¾¹¨µ ³±«®¢¨© : P P 1) · ±²¨·»¥ ±³¬¬» Sk = kn=1 an °¿¤ 1n=1 an ®£° ¨·¥» ; 1) ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ·¨±¥« bn ¬®®²® ¨ ±²°¥¬¨²±¿ ª ³«¾ ;
°¨§ ª ¡¥«¿{¨°¨µ«¥
¨«¨
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2) °¿¤ 1n=1 an ±µ®¤¨²±¿ ; 2) ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ·¨±¥« bn ¬®®²® ¨ ®£° ¨·¥ . ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¬®®²®®±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ bn ¯®§¢®«¿¥² ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ®¶¥ª®© (4), ¯®«®¦¨¢ ¢ ¥© Ak = Sk Sn 1 :
±«¨ ¢»¯®«¥ ¯ ° ³±«®¢¨© 1), 1); ²®, ± ®¤®© ±²®°®», ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¯®±²®¿ ¿ M; ·²® jAk j M ¯°¨ «¾¡®¬ k 2 N; ± ¤°³£®© ±²®°®», ª ª®¢® ¡» ¨ ¡»«® ·¨±«® " > 0; ¯°¨ ¢±¥µ ¤®±² ²®·® ¡®«¼¸¨µ § ·¥¨¿µ n ¨ m ¡³¤¥² ¢»¯®«¥® ¥° ¢¥±²¢® maxfjbnj; jbmjg < 4M" : ·¨², ¨§ (4) ±«¥¤³¥², ·²® ¯°¨ ¢±¥µ ¤®±² ²®·® ¡®«¼¸¨µ § ·¥¨¿µ n P m ¨ m ¡³¤¥² j k=n ak bk j < "; ².¥. ¤«¿ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®£® °¿¤ ¢»¯®«¥ ª°¨²¥°¨© ®¸¨ ±µ®¤¨¬®±²¨. ±«³· ¥ ¯ °» ³±«®¢¨© 2), 2) ®£° ¨·¥®© ®ª §»¢ ¥²±¿ ¢¥«¨·¨ P maxfjbnj; jbmjg: ²® ¦¥ ¢°¥¬¿, ¢¢¨¤³ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ 1n=1 an ; ¯® ª°¨²¥°¨¾ ®¸¨ ¤«¿ «¾¡®£® " > 0 ¯°¨ «¾¡»µ ¤®±² ²®·® ¡®«¼¸¨µ § ·¥¨¿µ n ¨ k > n ¡³¤¥² jAk j = jSk Sn 1j < ": ·¨²»¢ ¿ ½²®, ¨§ ¥° ¢¥±²¢ (4) 16
¢®¢¼ § ª«¾· ¥¬, ·²® ¤«¿ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®£® °¿¤ ¢»¯®«¥ ª°¨²¥°¨© ®¸¨ ±µ®¤¨¬®±²¨. ¡¥¤¨²¥±¼, ·²® ¤®ª § »© ¯°¨§ ª ±µ®¤¨¬®±²¨ P °¿¤ ª ª ¨ ¥£® ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ®±² ¾²±¿ ¢ ±¨«¥, ¥±«¨ ·«¥» °¿¤ 1n=1 an ª®¬¯«¥ª±»¥ ·¨±« ¨«¨ ¢¥ª²®°» ¯°®±²° ±²¢ Rk: ±±«¥¤³©²¥ ¯°¨ x 2 R ¨ ° §«¨·»µ 2 R ±µ®¤¨¬®±²¼ ±«¥¤³¾¹¨µ °¿¤®¢: P1 1 einx ; P1 cos nx ; P1 sin nx : n=1 n n=1 n n=1 n ±²»¬ ±«³· ¥¬ ¤®ª § ®£® ¯°¨§ ª ¡¥«¿{¨°¨µ«¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¨§ ª ¥©¡¨¶ , ³²¢¥°¦¤ ¾¹¨©, ·²® ¥±«¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ bn ¬®®²®® ±²°¥¬¨²±¿ ª ³«¾, ²® °¿¤ b1 b2 + b3 b4 + : : : ±® § ª®·¥°¥¤³¾¹¨¬¨±¿ ·«¥ ¬¨ ( §»¢ ¥¬»© ¨®£¤ °¿¤®¬ ¥©¡¨¶ ) ±µ®¤¨²±¿. §®±²¼ ¬¥¦¤³ ±³¬¬®© ±µ®¤¿¹¥£®±¿ °¿¤ ¨ ¥£® n-© · ±²¨·®© ±³¬¬®© §»¢ ¾² n-¬ ®±² ²ª®¬ °¿¤ . °®¢¥°¼²¥, ·²® n-© ®±² ²®ª °¿¤ ¥©¡¨¶ ¯® ¬®¤³«¾ ¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² ¬®¤³«¿ (n + 1)-£® ·«¥ °¿¤ . · ±²®±²¨, ±³¬¬ °¿¤ ¥©¡¨¶ ¯® ¬®¤³«¾ ¥ ¡®«¼¸¥ ¬®¤³«¿ ¯¥°¢®£® ·«¥ °¿¤ .
17
ª ª®««®ª¢¨³¬³ ¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬³ «¨§³ ¤«¿ ±²³¤¥²®¢ ¢²®°®£® ª³°± ¢²®°®£® ¯®²®ª ¥ª²®° ¯°®´¥±±®° .., 2006/07 ³·.£®¤ ¥¬ :
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0. ¿¤, ¯°¨¬¥°» ¯®¿¢«¥¨¿ ¨ ¨±¯®«¼§®¢ ¨¿. (®§¨¶¨® ¿ ±¨±²¥¬ ±·¨±«¥¨¿; ¢®¯°®±» ¯°¨¡«¨¦¥¨¿ ¨ °¿¤ ¥©«®° ; ° ±¯°®±²° ¥¨¥ ½ª±¯®¥²» ¢ ª®¬¯«¥ª±³¾ ®¡« ±²¼ ¨ ´®°¬³« ©«¥° ; ½ª±¯®¥² ®² ¬ ²°¨¶», ®² ®¯¥° ²®° ¨ ´®°¬³« ¥©«®° ; °¥¸¥¨¥ ³° ¢¥¨© ¬¥²®¤®¬ ¥®¯°¥¤¥«¥»µ ª®½´´¨¶¨¥²®¢.) ¯¥° ¶¨¨ ± °¿¤ ¬¨, ¢®§¨ª ¾¹¨¥ ¢®¯°®±» ¨ ´®°¬³«¨°®¢ª¨ ®±®¢»µ ²¥®°¥¬, ¤ ¾¹¨µ ¨µ ®²¢¥²». 1. µ®¤¨¬®±²¼ °¿¤ . °¨²¥°¨© ®¸¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ . ¥®°¥¬ ±° ¢¥¨¿ ¨ ®±®¢»¥ ¤®±² ²®·»¥ ¯°¨§ ª¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ (¬ ¦®° ²P »©, ¨²¥£° «¼»©, ¡¥«¿|¨°¨µ«¥). ¿¤ (s) = 1n=1 n s . 2. ¢®¬¥° ¿ ±µ®¤¨¬®±²¼ ±¥¬¥©±²¢ ¨ °¿¤®¢ ´³ª¶¨©. °¨²¥°¨© ®¸¨ ¨ ®±®¢»¥ ¤®±² ²®·»¥ ¯°¨§ ª¨ ° ¢®¬¥°®© ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ ´³ª¶¨© (¬ ¦®° ²»©, ¡¥«¿|¨°¨µ«¥). 3. ®±² ²®·»¥ ³±«®¢¨¿ ª®¬¬³²¨°®¢ ¨¿ ¤¢³µ ¯°¥¤¥«¼»µ ¯¥°¥µ®¤®¢. ¥¯°¥°»¢®±²¼, ¨²¥£°¨°®¢ ¨¥, ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¥ ¨ ¯°¥¤e«¼»© ¯¥°¥µ®¤. 4. ¡« ±²¼ ±µ®¤¨¬®±²¨ ¨ µ ° ª²¥° ±µ®¤¨¬®±²¨ ±²¥¯¥®£® °¿¤ . ®°¬³« ®¸¨|¤ ¬ ° . ¥®°¥¬ ¡¥«¿ (¢²®° ¿). ¥©«®°®¢±ª¨¥ ° §«®¦¥¨¿ ®±®¢»µ ½«¥¬¥² °»µ ´³ª¶¨©. ®°¬³« ©«¥° . ¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¥ ¨ ¨²¥£°¨°®¢ ¨¥ ±²¥¯¥®£® °¿¤ . 5. ¥±®¡±²¢¥»© ¨²¥£° «. °¨²¥°¨© ®¸¨ ¨ ®±®¢»¥ ¤®±² ²®·»¥ ¯°¨§ ª¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ (¬ ¦®° ²»©, ¡¥«¿|¨°¨µ«¥). 6. ¢®¬¥° ¿ ±µ®¤¨¬®±²¼ ¥±®¡±²¢¥®£® ¨²¥£° « , § ¢¨±¿¹¥£® ®² ¯ ° ¬¥²° . °¨²¥°¨© ®¸¨ ¨ ®±®¢»¥ ¤®±² ²®·»¥ ¯°¨§ ª¨ ° ¢®¬¥°®© ±µ®¤¨¬®±²¨ (¬ ¦®° ²»©, ¡¥«¿|¨°¨µ«¥). 7. ¥¯°¥°»¢®±²¼, ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¥ ¨ ¨²¥£°¨°®¢ ¨¥ ±®¡±²¢¥®£® ¨²¥£° « , § ¢¨±¿¹¥£® ®² ¯ ° ¬¥²° . 8. ¥¯°¥°»¢®±²¼, ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¥ ¨ ¨²¥£°¨°®¢ ¨¥ ¥±®¡±²¢¥®£® ¨²¥£° « , § ¢¨±¿¹¥£® ®² ¯ ° ¬¥²° . ²¥£° « ¨°¨µ«¥. 18
9. ©«¥°®¢» ¨²¥£° «». ¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥¨¿, ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»¥ ±¢®©±²¢ , ´®°¬³«» ¯®¨¦¥¨¿, ° §«¨·»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥¨¿, ¢§ ¨¬®±¢¿§¼. ²¥£° « ³ ±±® . 10. ¥«¼² ®¡° §»¥ ±¥¬¥©±²¢ ´³ª¶¨©. ¥®°¥¬ ® ±µ®¤¨¬®±²¨ ±¢¥°²ª¨. « ±±¨·¥±ª ¿ ²¥®°¥¬ ¥©¥°¸²° ±± ® ° ¢®¬¥°®¬ ¯°¨¡«¨¦¥¨¨ ¥¯°¥°»¢®© ´³ª¶¨¨ «£¥¡° ¨·¥±ª¨¬ ¬®£®·«¥®¬.
19
ª ª®««®ª¢¨³¬³ ¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬³ «¨§³ ¤«¿ ±²³¤¥²®¢ ¢²®°®£® ª³°± ¢²®°®£® ¯®²®ª ¥ª²®° ¯°®´¥±±®° .., 2006/07 ³·.£®¤ ¥¬ :
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0. » ¤¥°¦¨²¥ ®¤¨ ª®¥¶ °¥§¨®¢®£® ¸³° ¤«¨®© 1 ª¬. ² ¢²®°®£® ¥£® ª®¶ , ª®²®°»© § ª°¥¯«¥, ª ¢ ¬ ±® ±ª®°®±²¼¾ 1 ±¬/± ¯®«§¥² ¡³ª ¸ª . ¦¤»© ° §, ª ª ²®«¼ª® ® ¯°®¯®«§ ¥² 1 ±¬, ¢» ° ±²¿£¨¢ ¥²¥ °¥§¨ª³ 1 ª¬. ®¯®«§¥² «¨ ¡³ª ¸ª ¤® ¢ ¸¥© °³ª¨?
±«¨ ¤ , ²® ¯°¨¡«¨§¨²¥«¼® ±ª®«¼ª® ¥© ½²® ¯®²°¥¡³¥²±¿ ¢°¥¬¥¨? ®±«¥ ¥ª®²®°®£® ° §¬»¸«¥¨¿ ¤«¿ ®²¢¥² ¯°¥¤»¤³¹¨© ¢®¯°®± ¢ ¬ ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¯®«¥§®© ±³¬¬ R nSn = 1 + 12 + 31 + ::: + n1 . ±¯®¬¨²¥ ¨²¥£° « ¨ ¯®ª ¦¨²¥, ·²® Sn 1 < 1 x1 dx < Sn 1 . 1. P | ¯®«¨®¬. »·¨±«¨²¥ (et dxd )P (x). 2. °®¢¥°¼²¥, ·²® ¢¥ª²®°-´³ª¶¨¿ etx0 °¥¸ ¥² § ¤ ·³ ®¸¨ x_ = Ax; x(0) = x0 (x_ = Ax | ±¨±²¥¬ ³° ¢¥¨©, § ¤ ¢ ¥¬ ¿ ¬ ²°¨¶¥© A). 3. ©¤¨²¥ ± ²®·®±²¼¾ ¤® o(1=n3 ) ±¨¬¯²®²¨ª³ ¯®«®¦¨²¥«¼»µ ª®°¥© 1 < 2 < ::: < n < ::: ³° ¢¥¨¿ sin x + 1=x = 0 ¯°¨ n ! 1. 4. a) ®ª ¦¨²¥, ·²® ln 2 = 1 1=2 + 1=3 ::: . ª®«¼ª® ·«¥®¢ ½²®£® °¿¤ ¤® ¢§¿²¼, ·²®¡» § ²¼ ln 2 ± ²®·®±²¼¾ ¤® 10 3 ? t 1 3 1 5 b) °®¢¥°¼²¥ ·²® 12 ln 1+ 1 t = t + 3 t + 5 t + :::. t ±¯®«¼§³¿ ½²® ° §«®¦¥¨¥, ³¤®¡® ¢»·¨±«¿²¼ ln x, ¯®« £ ¿ x = 1+ 1 t. c) ®« £ ¿ ¢ b) t = 1=3, ©¤¨²¥, ·²® 1 ln 2 = 1 + 1 ( 1 )2 + 1 ( 1 )5 + ::: 2 3 3 3 5 3 ª®«¼ª® ·«¥®¢ ½²®£® °¿¤ ¤® ¢§¿²¼, ·²®¡» § ²¼ ln 2 ± ²®·®±²¼¾ ¤® 10 3 ? ° ¢¨²¥ ± ²¥¬, ·²® ¡»«® ¢ a). ²® ®¤¨ ¨§ ¯°¨¥¬®¢ ³«³·¸¥¨¿ ±µ®¤¨¬®±²¨. 5. °®¢¥°¼²¥, ·²® ¢ ±¬»±«¥ ¡¥«¿ a) 1P 1 + 1 ::: = 12 . 1 sin k' = 1 ctg 1 ' b) ' 6= 2n; n 2 Z . k=1 2 2 20
P
c) 21 + 1 ' 6= 2n; n 2 Z . k=1 cos k' = 0 6. ®ª ¦¨²¥ «¥¬¬³ ¤ ¬ ° : a)
±«¨ f 2 C (1)(U (x0)), ²® f (0 x) = f (x0) + '(x)(x x0), £¤¥ ' 2 C (U (x0)) ¨ '(x0) = f (x0). b)
±«¨ f 2 C (n)(U (x0)), ²® f (x) = f (x0) + 1!1 f 0 (x0)(x x0) + ::: + (n 1 1)! f (n 1)(x0)(x x0)n 1 + '(x)(x x0)n; £¤¥ ' 2 C (U (x0)) ¨ '(x0) = n1! f (n)(x0). c) ª ¢»£«¿¤¿² ½²¨ ±®®²®¸¥¨¿ ¢ ª®®°¤¨ ²®© § ¯¨±¨, ª®£¤ x = (x1; :::; xn), ²®-¥±²¼, ª®£¤ f |´³ª¶¨¿ n ¯¥°¥¬¥»µ? 7. a) °®¢¥°¼²¥, ·²® ´³ª¶¨¿
Z 1 cos xt 1 J0(x) = p 2 dt 1 t 0 ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³° ¢¥¨¾ ¥±±¥«¿ y00 + x1 y0 + y = 0. b) ®¯°®¡³©²¥ °¥¸¨²¼ ½²® ³° ¢¥¨¥, ¨±¯®«¼§³¿ ±²¥¯¥»¥ °¿¤». c) ©¤¨²¥ ±²¥¯¥®¥ ° §«®¦¥¨¥ ´³ª¶¨¨ J0(x). 8. °®¢¥°¼²¥ ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¼ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ° §«®¦¥¨© R P +1 1 t 1 () x k; a) (; x) := x t e dt ' e k=1 ( k+1) x R P p b) Erf(x) := x+1 e t2 dt ' 12 e x2 1k=1 (3=2 1k)x2k 1 ¯°¨ x ! +1. 9. a) ±«¥¤ § ©«¥°®¬ ©¤¨²¥, ·²® °¿¤ 1 1!x + 2!x2 3!x3 + ::: ±¢¿§ ± ´³ª¶¨¥© Z +1 e S (x) :=
t
1 + xt dt :
0
b) µ®¤¨²±¿ «¨ ½²®² °¿¤? c) ¥² «¨ ® ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥¨¥ S (x) ¯°¨ x ! 0? 10. a) ¨¥©»© ¯°¨¡®° A, µ ° ª²¥°¨±²¨ª¨ ª®²®°®£® ¯®±²®¿» ¢® ¢°¥¬¥¨, ¢ ®²¢¥² ¢µ®¤®© ±¨£ « (t) ¢ ¢¨¤¥ -´³ª¶¨¨ ¢»¤ « ±¨£ « (´³ª¶¨¾) E (t). ª®¢ ¡³¤¥² ®²¢¥² ¯°¨¡®° ¢µ®¤®© ±¨£ « f (t); 1 < t < +1? b) ±¥£¤ «¨ ¯® ¯°¥®¡° §®¢ ®¬³ ±¨£ «³ f^ := Af ®¤®§ ·® ¢®±±² ¢«¨¢ ¥²±¿ ¨±µ®¤»© ±¨£ « f ? 21
ª ½ª§ ¬¥³ ¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬³ «¨§³ § ²°¥²¨© ±¥¬¥±²° ¤«¿ ±²³¤¥²®¢ ¢²®°®£® ª³°± ¢²®°®£® ¯®²®ª ¥ª²®° ¯°®´¥±±®° .., 2006/07 ³·.£®¤ 1. °¨²¥°¨© ®¸¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ . ¥®°¥¬ ±° ¢¥¨¿ ¨ ®±®¢»¥ ¤®±² ²®·»¥ ¯°¨§ ª¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ (¬ ¦®° ²»©, ¨²¥£° «¼»©, P ¡¥«¿|¨°¨µ«¥). ¿¤ (s) = 1n=1 n s . 2. ¢®¬¥° ¿ ±µ®¤¨¬®±²¼ ±¥¬¥©±²¢ ¨ °¿¤®¢ ´³ª¶¨©. °¨²¥°¨© ®¸¨ ¨ ®±®¢»¥ ¤®±² ²®·»¥ ¯°¨§ ª¨ ° ¢®¬¥°®© ±µ®¤¨¬®±²¨ °¿¤ ´³ª¶¨© (¬ ¦®° ²»©, ¡¥«¿|¨°¨µ«¥). 3. ®±² ²®·»¥ ³±«®¢¨¿ ª®¬¬³²¨°®¢ ¨¿ ¤¢³µ ¯°¥¤¥«¼»µ ¯¥°¥µ®¤®¢. ¥¯°¥°»¢®±²¼, ¨²¥£°¨°®¢ ¨¥, ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¥ ¨ ¯°¥¤e«¼»© ¯¥°¥µ®¤. 4. ¡« ±²¼ ±µ®¤¨¬®±²¨ ¨ µ ° ª²¥° ±µ®¤¨¬®±²¨ ±²¥¯¥®£® °¿¤ . ®°¬³« ®¸¨|¤ ¬ ° . ¥®°¥¬ ¡¥«¿ (¢²®° ¿). ¥©«®°®¢±ª¨¥ ° §«®¦¥¨¿ ®±®¢»µ ½«¥¬¥² °»µ ´³ª¶¨©. ®°¬³« ©«¥° . ¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¥ ¨ ¨²¥£°¨°®¢ ¨¥ ±²¥¯¥®£® °¿¤ . 5. ¥±®¡±²¢¥»© ¨²¥£° «. °¨²¥°¨© ®¸¨ ¨ ®±®¢»¥ ¤®±² ²®·»¥ ¯°¨§ ª¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ (¬ ¦®° ²»©, ¡¥«¿|¨°¨µ«¥). 6. ¢®¬¥° ¿ ±µ®¤¨¬®±²¼ ¥±®¡±²¢¥®£® ¨²¥£° « , § ¢¨±¿¹¥£® ®² ¯ ° ¬¥²° . °¨²¥°¨© ®¸¨ ¨ ®±®¢»¥ ¤®±² ²®·»¥ ¯°¨§ ª¨ ° ¢®¬¥°®© ±µ®¤¨¬®±²¨ (¬ ¦®° ²»©, ¡¥«¿|¨°¨µ«¥). 7. ¥¯°¥°»¢®±²¼, ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¥ ¨ ¨²¥£°¨°®¢ ¨¥ ±®¡±²¢¥®£® ¨²¥£° « , § ¢¨±¿¹¥£® ®² ¯ ° ¬¥²° . 8. ¥¯°¥°»¢®±²¼, ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¥ ¨ ¨²¥£°¨°®¢ ¨¥ ¥±®¡±²¢¥®£® ¨²¥£° « , § ¢¨±¿¹¥£® ®² ¯ ° ¬¥²° . ²¥£° « ¨°¨µ«¥. 9. ©«¥°®¢» ¨²¥£° «». ¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥¨¿, ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»¥ ±¢®©±²¢ , ´®°¬³«» ¯®¨¦¥¨¿, ° §«¨·»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥¨¿, ¢§ ¨¬®±¢¿§¼. ²¥£° « ³ ±±® . 10. ¥«¼² ®¡° §»¥ ±¥¬¥©±²¢ ´³ª¶¨©. ¥®°¥¬ ® ±µ®¤¨¬®±²¨ ±¢¥°²ª¨. « ±±¨·¥±ª ¿ ²¥®°¥¬ ¥©¥°¸²° ±± ® ° ¢®¬¥°®¬ ¯°¨¡«¨¦¥¨¨ ¥¯°¥°»¢®© ´³ª¶¨¨ «£¥¡° ¨·¥±ª¨¬ ¬®£®·«¥®¬. 11. ¥ª²®°®¥ ¯°®±²° ±²¢® ±® ±ª «¿°»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥¬. ¥¯°¥°»¢®±²¼ ±ª «¿°®£® ¯°®¨§¢¥¤¥¨¿ ¨ ±¢¿§ »¥ ± ½²¨¬ ¥£® «£¥¡° ¨·¥±ª¨¥ ±¢®©±²¢ . °²®£® «¼»¥ ¨ ®°²®®°¬¨°®¢ »¥ ±¨±²¥¬» ¢¥ª²®°®¢. 22
¥®°¥¬ ¨´ £®° . ®½´´¨¶¨¥²» ³°¼¥ ¨ °¿¤ ³°¼¥. °¨¬¥°» ±ª «¿°»µ ¯°®¨§¢¥¤¥¨© ¨ ®°²®£® «¼»µ ±¨±²¥¬ ¢ ¯°®±²° ±²¢ µ ´³ª¶¨©. 12. ¥¬¬ ® ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°¥. ª±²°¥¬ «¼®¥ ±¢®©±²¢® ª®½´´¨¶¨¥²o¢ ³°¼¥. ¥° ¢¥±²¢® ¥±±¥«¿ ¨ ±µ®¤¨¬®±²¼ °¿¤ ³°¼¥. ±«®¢¨¿ ¯®«®²» ®°²®®°¬¨°®¢ ®© ±¨±²¥¬». 13. « ±±¨·¥±ª¨© (²°¨£®®¬¥²°¨·¥±ª¨©) °¿¤ ³°¼¥ ¢ ¢¥¹¥±²¢¥®© ¨ ª®¬¯«¥ª±®© ´®°¬¥. ¥¬¬ ¨¬ . °¨¶¨¯ «®ª «¨§ ¶¨¨ ¨ ±µ®¤¨¬®±²¼ °¿¤ ³°¼¥ ¢ ²®·ª¥. °¨¬¥°: ° §«®¦¥¨¥ cos(x) ¢ °¿¤ ³°¼¥ ¨ ° §«®¦¥¨¥ sin(x)=x ¢ ¡¥±ª®¥·®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥. 14. « ¤ª®±²¼ ´³ª¶¨¨, ±ª®°®±²¼ ³¡»¢ ¨¿ ¥¥ ª®½´´¨¶¨¥²®¢ ³°¼¥ ¨ ±ª®°®±²¼ ±µ®¤¨¬®±²¨ ¥¥ °¿¤ ³°¼¥. 15. ®«®² ²°¨£®®¬¥²°¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» ¨ ±µ®¤¨¬®±²¼ ¢ ±°¥¤¥¬ ²°¨£®®¬¥²°¨·¥±ª®£® °¿¤ ³°¼¥. 16. °¥®¡° §®¢ ¨¥ ³°¼¥ ¨ ¨²¥£° « ³°¼¥ (´®°¬³« ®¡° ¹¥¨¿). °¨¬¥°: ¢»·¨±«¥¨¥ f^ ¤«¿ f (x) := exp( a2x2). 17. °¥®¡° §®¢ ¨¥ ³°¼¥ ¨ ®¯¥° ²®° ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¿. « ¤ª®±²¼ ´³ª¶¨¨ ¨ ±ª®°®±²¼ ³¡»¢ ¨¿ ¥¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¿ ³°¼¥. ¢¥±²¢® °±¥¢ «¿. °¥®¡° §®¢ ¨¥ ³°¼¥ ª ª ¨§®¬¥²°¨¿ ¯°®±²° ±²¢ ¡»±²°® ³¡»¢ ¾¹¨µ ´³ª¶¨©. 18. °¥®¡° §®¢ ¨¥ ³°¼¥ ¨ ±¢¥°²ª . ¥¸¥¨¥ ®¤®¬¥°®£® ³° ¢¥¨¿ ²¥¯«®¯°®¢®¤®±²¨. 19. ±¨¬¯²®²¨·¥±ª ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ¨ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨© °¿¤. °¨¬¥°: ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥¨¥ ´³ª¶¨¨ Ei(x). §«¨·¨¥ ¬¥¦¤³ ±µ®¤¿¹¨¬¨±¿ ¨ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¬¨ °¿¤ ¬¨. ±¨¬¯²®²¨ª ¨²¥£° « ¯« ± (£« ¢»© ·«¥). ®°¬³« ²¨°«¨£ .
23
¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬³ «¨§³ § ²°¥²¨© ±¥¬¥±²° ¤«¿ ±²³¤¥²®¢ ¢²®°®£® ª³°± ¢²®°®£® ¯®²®ª ¥ª²®° ¯°®´¥±±®° .., 2006/07 ³·.£®¤ ®±ª¢ , 19 ¤¥ª ¡°¿ 2006 £. 1. ±±¬®²°¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ffn g ¢¥¹¥±²¢¥®§ ·»µ ´³ª¶¨©, ®¯°¥¤¥«¥»µ, ¯°¨¬¥°, ®²°¥§ª¥ [0; 1]. a. ª¨¥ ¢¨¤» ±µ®¤¨¬®±²¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ ´³ª¶¨© » § ¥²¥? b. ©²¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ª ¦¤®© ¨§ ¨µ. c. ª®¢ ±¢¿§¼ ¬¥¦¤³ ¨¬¨? (®ª ¦¨²¥ ½²³ ±¢¿§¼ ¨«¨ ¯°¨¢¥¤¨²¥ ¯®¿±¿¾¹¨© ¯°¨¬¥°, ª®£¤ ² ª®© ±¢¿§¨ ¥²). 2. 2-¯¥°¨®¤¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ f . ²®¦¤¥±²¢¥® ° ¢ ³«¾ ¨²¥°¢ «¥ ] ; 0[ ¨ f (x) = 2x ®²°¥§ª¥ [0; ]. ©¤¨²¥ ±³¬¬³ S ±² ¤ °²®£® ²°¨£®®¬¥²°¨·¥±ª®£® °¿¤ ³°¼¥ ½²®© ´³ª¶¨¨. 3. a. §¢¥±²® ° §«®¦¥¨¥ ´³ª¶¨¨ (1+x) 1 ¢ ±²¥¯¥®© °¿¤ ("£¥®¬¥²°¨·¥±ª ¿ ¯°®£°¥±±¨¿"). ®«³·¨²¥ ®²±¾¤ ±²¥¯¥®¥ ° §«®¦¥¨¥ ´³ª¶¨¨ ln(1 + x) ¨ ®¡®±³©²¥ ¸¨ ¤¥©±²¢¨¿. b. ª®¢ ° ¤¨³± ±µ®¤¨¬®±²¨ ¯®«³·¥®£® °¿¤ ? c. µ®¤¨²±¿ «¨ ½²®² °¿¤ ¯°¨ x = 1 ¨, ¥±«¨ ¤ , ²® ¡³¤¥² «¨ ¥£® ±³¬¬ ° ¢ ln2? ®·¥¬³? 4. a. §¢¥±²®, ·²® ±¯¥ª²° «¼ ¿ ´³ª¶¨¿ (µ ° ª²¥°¨±²¨ª ) p «¨¥©®£® ¯°¨¡®° (®¯¥° ²®° ) ¢±¾¤³ ®²«¨· ®² ³«¿. ª, § ¿ ´³ª¶¨¾ p ¨ ¯®«³·¥»© ±¨£ « g = f , ©²¨ ¯¥°¥¤ »© ±¨£ « f ? b. ³±²¼ ´³ª¶¨¿ p ² ª®¢ : p(!) 1 ¯°¨ j!j 10 ¨ p(!) 0 ¯°¨ j!j > 10. ³±²¼ ¨§¢¥±²¥ ±¯¥ª²° g^ (¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ ³°¼¥) ¯°¨¿²®£® ±¨£ « g, ¨¬¥®, g^(!) 1 ¯°¨ j!j 1 ¨ g^(!) 0 ¯°¨ j!j > 1. ª®¥¶, ¯³±²¼ ¨§¢¥±²®, ·²® ¢µ®¤®© ±¨£ « f ¥ ±®¤¥°¦¨² · ±²®² § ¯°¥¤¥« ¬¨ · ±²®², ¯°®¯³±ª ¥¬»µ ¯°¨¡®°®¬ (².¥. § ¯°¥¤¥« ¬¨ · ±²®² j!j 10). ©¤¨²¥ ¢µ®¤®© ±¨£ « f . 5. ©¤¨²¥ £« ¢»© ·«¥ ±¨¬¯²®²¨ª¨ n-© ´³ª¶¨¨ ¥±±¥«¿ Z 1 In(x) = ex cos cos nd 0 ¯°¨ x ! +1. 24
¥²¢¥°²»© ±¥¬¥±²°
¥ª¶¨¿
25
»¢®¤ ¨ ¯¥°¢®¥ ®¡±³¦¤¥¨¥ ´®°¬³«» § ¬¥» ¯¥°¥¬¥»µ ¢ ª° ²®¬ ¨²¥£° «¥.
26
1.
®±² ®¢ª ¢®¯°®± ¨ ½¢°¨±²¨·¥±ª¨© ¢»¢®¤ ´®°¬³«»
§ ¬¥» ¯¥°¥¬¥»µ.
±±¬ ²°¨¢ ¿ ¨²¥£° « ¢ ®¤®¬¥°®¬ ±«³· ¥, ¬» ¯®«³·¨«¨ ¢ ±¢®¥ ¢°¥¬¿ ¢ ¦³¾ ´®°¬³«³ § ¬¥» ¯¥°¥¬¥®© ¢ ² ª®¬ ¨²¥£° «¥. ¥¯¥°¼ ¸ § ¤ · ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²®¡» ©²¨ ´®°¬³«³ § ¬¥» ¯¥°¥¬¥»µ ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥. ²®·¨¬ ¢®¯°®±. ³±²¼ Dx | ¬®¦¥±²¢® ¢ Rn, f | ¨²¥£°¨°³¥¬ ¿ Dx ´³ª¶¨¿, ' : Dt ! Dx | ®²®¡° ¦¥¨¥ t 7! '(t) ¬®¦¥±²¢ Dt Rn Dx. ¯° ¸¨¢ ¥²±¿, ¯® ª ª®¬³ § ª®³, § ¿ f ¨ ', µ®¤¨²¼ ´³ª¶¨¾ ¢ Dt ² ª, ·²®¡» ¨¬¥²¼ ° ¢¥±²¢®
Z
Dx
f (x) dx =
Z
Dt
(t) dt;
¯®§¢®«¿¾¹¥¥ ±¢®¤¨²¼ ¢»·¨±«¥¨¥ ¨²¥£° « ¯® Dx ª ¢»·¨±«¥¨¾ ¨²¥£° « ¯® Dt? °¥¤¯®«®¦¨¬ ± · « , ·²® Dt ¥±²¼ ¯°®¬¥¦³²®ª I Rn, ' : I ! Dx | ¤¨´´¥®¬®°´®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥ ½²®£® ¯°®¬¥¦³²ª Dx . ¾¡®¬³ ° §¡¨¥¨¾ P ¯°®¬¥¦³²ª I ¯°®¬¥¦³²ª¨ I1; I2; : : :; Ik ±®®²¢¥²±²¢³¥² ° §«®¦¥¨¥ Dx ¬®¦¥±²¢ '(Ii); i = 1; : : : ; k.
±«¨ ¢±¥ ½²¨ ¬®¦¥±²¢ ¨§¬¥°¨¬» ¨ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ ¯®¯ °® «¨¸¼ ¯® ¬®¦¥±²¢ ¬ ¬¥°» ³«¼, ²® ¢ ±¨«³ ¤¤¨²¨¢®±²¨ ¨²¥£° «
Z
Dx
f (x) dx =
k Z X
i=1 '(Ii )
f (x) dx:
(1)
±«¨ f ¥¯°¥°»¢ Dx , ²® ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ±°¥¤¥¬
Z
f (x) dx = f (i ) ('(Ii));
'(Ii )
£¤¥ i 2 '(Ii). ®±ª®«¼ª³ f (i) = f ('(i )), £¤¥ i = ' 1(i ), ²® ¬ ®±² ¥²±¿ ±¢¿§ ²¼ ('(Ii)) ± (Ii) = jIij.
±«¨ ¡» ' ¡»«® «¨¥©»¬ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥¬, ²® '(Ii) ¡»« ¡» ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤, ®¡º¥¬ ª®²®°®£®, ª ª ¨§¢¥±²® ¨§ «¨²¨·¥±ª®© £¥®¬¥²°¨¨ 27
¨ «£¥¡°», ¡»« ¡» ° ¢¥ j det '0j (Ii). ® ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬ «®ª «¼® ¿¢«¿¥²±¿ ¯®·²¨ «¨¥©»¬ ®²®¡° ¦¥¨¥¬, ¯®½²®¬³, ¥±«¨ ° §¬¥°» ¯°®¬¥¦³²ª®¢ Ii ¤®±² ²®·® ¬ «», ²® ± ¬ «®© ®²®±¨²¥«¼®© ¯®£°¥¸®±²¼¾ ¬®¦® ±·¨² ²¼, ·²® ('(Ii)) j det '0(i)j (Ii) (¬®¦® ¯®ª § ²¼, ·²® ¯°¨ ¥ª®²®°®¬ ¢»¡®°¥ ²®·ª¨ i 2 Ii ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¬¥±²® ¤ ¦¥ ²®·®¥ ° ¢¥±²¢®). ª¨¬ ®¡° §®¬, k Z X
i=1 '(Ii )
f (x) dx
k X i=1
f ('(i ))j det '0(i)j jIij:
(2)
® ±¯° ¢ ¢ ½²®¬ ¯°¨¡«¨¦¥®¬ ° ¢¥±²¢¥ ±²®¨² ¨²¥£° «¼ ¿ ±³¬¬ ®² ´³ª¶¨¨ f ('(t))j det '0(t)j ¯® ¯°®¬¥¦³²ª³ I , ®²¢¥· ¾¹ ¿ ° §¡¨¥¨¾ P ½²®£® ¯°®¬¥¦³²ª ± ®²¬¥·¥»¬¨ ²®·ª ¬¨ . ¯°¥¤¥«¥ ¯°¨ (P ) ! 0 ¨§ (1) ¨ (2) ¯®«³· ¥¬
Z
Dx
f (x) dx =
Z
Dt
f ('(t))j det '0(t)j dt:
(3)
²® ¨ ¥±²¼ ¨±ª®¬ ¿ ´®°¬³« ¢¬¥±²¥ ± ¥¥ ®¡º¿±¥¨¥¬. ¬¥·¥»© ¯³²¼ ª ¥© ¬®¦® ¯°®©²¨ ±® ¢±¥¬¨ ®¡®±®¢ ¨¿¬¨. ®¡±²¢¥®, ¬ ¤® ²®«¼ª® ¯®ª § ²¼ § ª®®±²¼ ¯®±«¥¤¥£® ¯°¥¤¥«¼®£® ¯¥°¥µ®¤ , ¯°¥¤¯®« £ ¢¸¥£®, ·²® ±²®¿¹¨© ¢ (3) ±¯° ¢ ¨²¥£° « ±³¹¥±²¢³¥², ² ª¦¥ ³²®·¨²¼ ¨±¯®«¼§®¢ ³¾ ±¢¿§¼ ('(Ii)) j det '0(i)j jIij. °®¤¥« ¥¬ ½²®. 2.
¥ª®²®°»¥ ±¢®©±²¢ £« ¤ª¨µ ®²®¡° ¦¥¨© ¨ ¤¨´´¥®-
¬®°´¨§¬®¢.
) ¯®¬¨¬, ·²® «¾¡®¥ £« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥ ' § ¬ª³²®£® ®£° ¨·¥®£® ¯°®¬¥¦³²ª I Rn (ª ª ¨ «¾¡®£® ¢»¯³ª«®£® ª®¬¯ ª² ) ¿¢«¿¥²±¿ «¨¯¸¨¶¥¢»¬. ²® ±«¥¤³¥² ¨§ ²¥®°¥¬» ® ª®¥·®¬ ¯°¨° ¹¥¨¨ ¨ ®£° ¨·¥®±²¨ '0 (¢ ±¨«³ ¥¯°¥°»¢®±²¨) ª®¬¯ ª²¥:
j'(t2) '(t1)j sup jj'0( )jj jt2 t1j L jt2 t1j: 2[t1;t2]
(4)
b) ²®, ¢ · ±²®±²¨, ®§ · ¥², ·²® ¯°¨ ®²®¡° ¦¥¨¨ ' ° ±±²®¿¨¥ ¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨ ¥ ¬®¦¥² ³¢¥«¨·¨²¼±¿ ¡®«¥¥, ·¥¬ ¢ L ° §. ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ ª ª®¥-²® ¬®¦¥±²¢® E I ¨¬¥«® ¤¨ ¬¥²° d, ²® ¤¨ ¬¥²° ¥£® ®¡° § '(E ) ¥ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ Ld, ¨ ¬®¦¥±²¢® '(E ) ¬®¦® ¯®ª°»²¼ (n-¬¥°»¬) ª³¡¨ª®¬ ± °¥¡°®¬ ¢¥«¨·¨» Ld ¨ ®¡º¥¬®¬ (Ld)n . 28
ª, ¥±«¨ E | n-¬¥°»© ª³¡¨ª ± °¥¡°®¬ , ¨ ®¡º¥¬®¬ n, ²®p¥£® ®¡° § ¯®ª°»¢ ¥²±¿ ±² ¤ °²»¬ ª®®°¤¨ ²»¬ ª³¡¨ª®¬ ®¡º¥¬ (L n)n. c) § ½²®£® ±«¥¤¥², ·²® ¯°¨ £« ¤ª®¬ ®²®¡° ¦¥¨¨ ®¡° § ¬®¦¥±²¢ ¬¥°» ³«¼ ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ ¬¥°» ³«¼ (¢ ±¬»±«¥ n-¬¥°®© ¬¥°»). [¥¤¼ ¢ ®¯°¥¤¥«¥¨¨ ¬®¦¥±²¢ ¬¥°» ³«¼, ª ª «¥£ª® § ¬¥²¨²¼, ¬®¦® ®£° ¨·¨²¼±¿ ¯®ª°»²¨¿¬¨ ¨§ ª³¡¨ª®¢ ¢¬¥±²® ¯®ª°»²¨© ®¡¹¨¬¨ n-¬¥°»¬¨ ¯°®¬¥¦³²ª ¬¨ | "¯°¿¬®³£®«¼»¬¨ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ ¬¨".]
±«¨ £« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥ ' : Dt ! Dx ª ²®¬³ ¦¥ ¨¬¥¥² ¨ £« ¤ª®¥ ®¡° ²®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥ ' 1 : Dx ! Dt, ².¥. ¥±«¨ ' | ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬, ²®, ®·¥¢¨¤®, ¨ ¯°®®¡° § ¬®¦¥±²¢ ¬¥°» ³«¼ ²®¦¥ ¨¬¥¥² ¬¥°³ ³«¼. d) ®±ª®«¼ª³ ¯°¨ ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬¥ ¿ª®¡¨ det '0 ®²®¡° ¦¥¨¿ ¢±¾¤³ ®²«¨·¥ ®² ³«¿, ± ¬® ®²®¡° ¦¥¨¥ ¢§ ¨¬® ®¤®§ ·®, ²® (¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» ®¡ ®¡° ²®© ´³ª¶¨¨) ¢³²°¥¨¥ ²®·ª¨ «¾¡®£® ¬®¦¥±²¢ ¯°¨ ² ª®¬ ®²®¡° ¦¥¨¨ ¯¥°¥µ®¤¿² ¢® ¢³²°¥¨¥ ²®·ª¨ ®¡° § ½²®£® ¬®¦¥±²¢ , £° ¨·»¥ ²®·ª¨ | ¢ £° ¨·»¥ ²®·ª¨ ®¡° § . ±¯®¬¨ ¿ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¤®¯³±²¨¬®£® (¨§¬¥°¨¬®£® ¯® ®°¤ ³) ¬®¦¥±²¢ ª ª ®£° ¨·¥®£® ¬®¦¥±²¢ , £° ¨¶ ª®²®°®£® ¨¬¥¥² ¬¥°³ ³«¼, ¬®¦¥¬ § ª«¾·¨²¼, ·²® ¯°¨ ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬¥ ®¡° § ¨§¬¥°¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¨§¬¥°¨¬»¬ ¬®¦¥±²¢®¬. (²® ¢¥°® ¨ ¤«¿ «¾¡»µ £« ¤ª¨µ ®²®¡° ¦¥¨©.) ® ¤«¿ ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬®¢ ¥¹¥ ¨ ¯°®®¡° § ¨§¬¥°¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ , ®·¥¢¨¤®, ¿¢«¿¥²±¿ ¨§¬¥°¨¬»¬ ¬®¦¥±²¢®¬. e) ®±«¥¤¥¥, ¢ · ±²®±²¨, ®§ · ¥², ·²® ¥±«¨ ' : Dt ! Dx | ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬, ²® ¨§ ±³¹¥±²¢®¢ ¨¿ ¨²¥£° « , ±²®¿¹¥£® ¢ «¥¢®© · ±²¨ ¤®ª §»¢ ¥¬®© ´®°¬³«» (3), ( ®±®¢ ¨¨ ª°¨²¥°¨¿ ¥¡¥£ ) ¢»²¥ª ¥² ¨ ±³¹¥±²¢®¢ ¨¥ ¨²¥£° « , ±²®¿¹¥£® ±¯° ¢ . 3. ¢¿§¼ ¬¥° ®¡° § ¨ ¯°®®¡° § ¯°¨ ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬¥.
®ª ¦¥¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¥±«¨ ' : I ! '(I ) | ¤¨´´¥®¬®°´¨§¬, ²®
Z
('(I )) = det '0(t) dt ;
(5)
I
¢ ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¨ ¯®«®¦¨²¥«¼®±²¨ ¯®¤¨²¥£° «¼®© ´³ª¶¨¨ det '0. ²±¾¤ ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ±°¥¤¥¬, ¢ · ±²®±²¨, ¯®«³·¨²±¿, ·²® ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª 2 I , ·²®
('(I )) = det '0( ) jI j; 29
(6)
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(x2 +y2 )
dx dy =
Z2 Zn
d' e r2 r dr = (1 e n2 ) !
0
0
¯°¨ n ! 1. ±¨«³ ¤®ª § ®£® ³²¢¥°¦¤¥¨¿ ³¦¥ ¬®¦® § ª«¾·¨²¼, ·²® ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»© ¨²¥£° « ±µ®¤¨²±¿ ¨ ° ¢¥ . § ¯®«³·¥®£® °¥§³«¼² ² ¬®¦® ¨§¢«¥·¼ ¯®«¥§®¥ ±«¥¤±²¢¨¥, ¥±«¨ ° ±±¬®²°¥²¼ ²¥¯¥°¼ ¨±·¥°¯ ¨¥ ¯«®±ª®±²¨ ª¢ ¤° ² ¬¨ En0 = f(x; y) 2 R2 j jxj < n ^ jyj < ng. ® ²¥®°¥¬¥ ³¡¨¨
ZZ
En0
e
(x2 +y2 )
dx dy =
0 Zn 12 dy e (x2+y2 ) dx = @ e t2 dtA :
Zn Zn n
n
n
±¨«³ ¤®ª § ®£® ¢»¸¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¿ ¯®±«¥¤¿¿ ¢¥«¨·¨ ¯°¨ n ! 1 ¤®«¦ ±²°¥¬¨²¼±¿ ª . ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¢±«¥¤ § ©«¥°®¬ ¨ ³ ±±®®¬ ¯®«³· ¥¬, ·²®
Z+1 1
e
x2 dx = p:
38
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Rjfg((xx))jdx g(x) E
´³ª¶¨¨, ¯°¨·¥¬ ®£® ¨²¥£° « ¨
R f (x) dx
¢»²¥ª ¥² ±µ®¤¨¬®±²¼ ¨²¥£° «®¢
E
R jf j(x) dx
. ®£¤ ¨§ ±µ®¤¨¬®±²¨ ¥±®¡±²¢¥-
E
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¥©±²¢¨²¥«¼®, ¯³±²¼ fEn g | ¨±·¥°¯ ¨¥ ¬®¦¥±²¢ E , ½«¥¬¥² µ ª®²®°®£® ®¡¥ ´³ª¶¨¨ g ¨ f ¨²¥£°¨°³¥¬». § ª°¨²¥°¨¿ ¥¡¥£ ¢»²¥ª ¥² ¨²¥£°¨°³¥¬®±²¼ R´³ª¶¨¨ jf j ¬®¦¥±²¢ µ ERn , n 2 N, ¯®½²®¬³ R ¬®¦® § ¯¨± ²¼, ·²® jf j(x) dx jf j(x) dx = jf j(x) dx
n R g(x) dx = REn+gk(x) dx R gE(xn) dx; £¤¥ k ¨Enn+|k nE«¾¡»¥ ²³° «¼-
En+k nEn
En+k
En
»¥ ·¨±« . ²¨ ¥° ¢¥±²¢ ± ³·¥²®¬ ³²¢¥°¦¤¥¨¿ 1 ¨ ª°¨²¥°¨¿ ®¸¨ ±³¹¥±²¢®¢ ¨¿ ¯°¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ ¯®§¢®«¿¾² § ª«¾·¨²¼, ·²® R ¨²¥£° « jf j(x) dx ±µ®¤¨²±¿. E ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ´³ª¶¨¨ f+ := 21 (jf j + f ), f := 12 (jf j f ). ·¥¢¨¤®, 0 f+ jf j ¨ 0 f 6 jf j. ±¨«³ ³¦¥ ¤®ª § ®£® ¥±®¡±²¢¥»¥ ¨²¥£° «» ®² ´³ª¶¨© f+ ¨ f ¯® ¬®¦¥±²¢³ E ±µ®¤¿²±¿. ® f = f+ f , § ·¨², ±µ®¤¨²±¿ ¨ ¥±®¡±²¢¥»© ¨²¥£° « ®² ´³ª¶¨¨ f ¯® ½²®¬³ ¦¥ ¬®¦¥±²¢³ (¨ ® ° ¢¥ ° §®±²¨ ¨²¥£° «®¢ ®² ´³ª¶¨© f+ ¨ f ). «¿ ²®£®, ·²®¡» ³²¢¥°¦¤¥¨¥¬ 2 ¬®¦® ¡»«® ½´´¥ª²¨¢® ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¯°¨ ¨±±«¥¤®¢ ¨¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ ¥±®¡±²¢¥»µ ¨²¥£° «®¢, ¯®«¥§® ¨¬¥²¼ ¥ª®²®°»© ¡®° ½² «®»µ ´³ª¶¨© ¤«¿ ±° ¢¥¨¿. ±±¬®²°¨¬ ¢ ½²®© ±¢¿§¨ n °¨¬¥° 2. n-¬¥°®¬ ¥¤¨¨·®¬ ¸ °¥ B R ± ¢»ª®«®²»¬ ¶¥²°®¬ 0 ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ´³ª¶¨¿ 1=r, £¤¥ r = d(0; x) | ° ±±²®¿¨¥ ®² ²®·ª¨ x 2 B n 0 ¤® ²®·ª¨ 0. »¿±¨¬, ¯°¨ ª ª¨µ § ·¥¨¿µ 2 R ¨²¥£° « ®² ½²®© ´³ª¶¨¨ ¯® ®¡« ±²¨ B n 0 ±µ®¤¨²±¿. «¿ ½²®£® ¯®±²°®¨¬ ¨±·¥°¯ ¨¥ ®¡« ±²¨ ª®«¼¶¥¢»¬¨ ®¡« ±²¿¬¨ B (") = fx 2 B j " < d(0; x) < 1g. 39
¥°¥µ®¤¿ ª ¯®«¿°»¬ ª®®°¤¨ ² ¬ ± ¶¥²°®¬ 0, ¯® ²¥®°¥¬¥ ³¡¨¨ ¯®«³· ¥¬
Z dx
B (")
r (x) =
Z S
Z1 rn 1 dr Z1 dr f (') d' r = c r n+1 ; " "
£¤¥ d' = d'1 : : : d'n 1 , f (') | ¥ª®²®°®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ±¨³±®¢ ³£«®¢ '1; : : :; 'n 2, ¯®¿¢«¿¾¹¥¥±¿ ¢ ¿ª®¡¨ ¥ ¯¥°¥µ®¤ ª ¯®«¿°»¬ ª®®°¤¨ ² ¬ ¢ Rn, c | ¢¥«¨·¨ ¨²¥£° « ¯® S , ª®²®° ¿ § ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®² n ¨ ¥ § ¢¨±¨² ®² r ¨ ". °¨ " ! +0 ¯®«³·¥ ¿ ¢¥«¨·¨ ¨²¥£° « ¯® B (") ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ª®¥·»© ¯°¥¤¥«, ¥±«¨ < n. ®±² «¼»µ ±«³· ¿µ ¯®±«¥¤¨© ¨²¥£° « ±²°¥¬¨²±¿ ª ¡¥±ª®¥·®±²¨, ª®£¤ " ! +0. ² ª, ¬» ¯®ª § «¨, ·²® ´³ª¶¨¿ d(01 ;x) , £¤¥ d | ° ±±²®¿¨¥ ¤® ²®·ª¨ 0, ¨²¥£°¨°³¥²±¿ ¢ ¯°®ª®«®²®© ®ª°¥±²®±²¨ ½²®© ²®·ª¨ «¨¸¼ ¯°¨ < n, £¤¥ n | ° §¬¥°®±²¼ ¯°®±²° ±²¢ . «®£¨·® ¯®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¢¥ ¸ ° B , ².¥. ¢ ®ª°¥±²®±²¨ ¡¥±ª®¥·®±²¨, ½² ¦¥ ´³ª¶¨¿ ¨²¥£°¨°³¥²±¿ ¢ ¥±®¡±²¢¥®¬ ±¬»±«¥, «¨¸¼ ª®£¤ > n. n i °¨¬¥° 3. ³±²¼ I = fx 2 R j 0 x 1; i = 1; : : : ; ng | n-¬¥°»© ª³¡, Ik | ¥£® k-¬¥° ¿ £° ¼, § ¤ ¢ ¥¬ ¿ ³±«®¢¨¿¬¨ xk+1 = : : : = xn = 0. ¬®¦¥±²¢¥ I n Ik ° ±±¬®²°¨¬ ´³ª¶¨¾ d1(x) , £¤¥ d(x) | ° ±±²®¿¨¥ ®² ²®·ª¨ x 2 I n Ik ¤® £° ¨ Ik . »¿±¨¬, ¯°¨ ª ª¨µ § ·¥¨¿µ 2 R ¨²¥£° « ®² ½²®© ´³ª¶¨¨ ¯® ¬®¦¥±²¢³ I n Ik ±µ®¤¨²±¿. ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ x = (x1; : : : ; xk ; xk+1; : : :; xn), ²® p d(x) = (xk+1)2 + : : : + (xn)2: ³±²¼ I (") | ½²® ª³¡ I , ¨§ ª®²®°®£® ³¤ «¥ "-®ª°¥±²®±²¼ £° ¨ Ik . ® ²¥®°¥¬¥ ³¡¨¨ Z dx Z Z Z du k+1 : : : dxn dx 1 k d(x) = dx : : : dx ((xk+1)2 + : : : + (xn )2)=2 = juj ; I (")
Ik
In k (")
In k (")
£¤¥ u = (xk+1 ; : : :; xn), In k (") | £° ¼ In k Rn k, ¨§ ª®²®°®© ³¤ «¥ "-®ª°¥±²®±²¼ ²®·ª¨ u = 0. ® ¡ §¥ ¯°¨®¡°¥²¥®£® ¢ ¯°¨¬¥°¥ 2 ®¯»² ¿±®, ·²® ¯®±«¥¤¨© ¨²¥£° « ±µ®¤¨²±¿ «¨¸¼ ¯°¨ < n k. ·¨², ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»© ¬¨ 40
¥±®¡±²¢¥»© ¨²¥£° « ±µ®¤¨²±¿ «¨¸¼ ¯°¨ < n k, £¤¥ k | ° §¬¥°®±²¼ £° ¨, ®ª®«® ª®²®°®© ´³ª¶¨¿ ¬®¦¥² ¥®£° ¨·¥® ¢®§° ±² ²¼. c) ¡±®«¾² ¿ ±µ®¤¨¬®±²¼ ¥±®¡±²¢¥®£® ¨²¥£° « . ¬¥· ¨¥. °¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¿ 2 ¡»«® ¯°®¢¥°¥®, ·²® ±µ®¤¨¬®±²¼ ¨²¥£° « ®² ´³ª¶¨¨ jf j ¢«¥·¥² ±µ®¤¨¬®±²¼ ¨²¥£° « ®² ´³ª¶¨¨ f . ª §»¢ ¥²±¿, ¤«¿ ¥±®¡±²¢¥®£® ¨²¥£° « ¢ ±¬»±«¥ ¥£® ®¯°¥¤¥«¥¨¿, ¤ ®£® ¢»¸¥, ¢¥°® ¨ ®¡° ²®¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥, ·¥£® ¥ ¡»«® ¢ ° ±±¬ ²°¨¢ ¢¸¥¬±¿ ¬¨ ¯°¥¦¤¥ ±«³· ¥ ¥±®¡±²¢¥®£® ¨²¥£° « ¯°¿¬®©, £¤¥ ¬» ° §«¨· «¨ ¡±®«¾²³¾ ¨ ¥ ¡±®«¾²³¾ (³±«®¢³¾) ±µ®¤¨¬®±²¨ ¥±®¡±²¢¥®£® ¨²¥£° « . ²®¡» ±° §³ ¯®¿²¼ ±³²¼ ¢®§¨ª¸¥£® ®¢®£® ¿¢«¥¨¿, ±¢¿§ ®£® ± ¤ »¬ ®¯°¥¤¥«¥¨¥¬, ° ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹¨© ¯°¨¬¥°. °¨¬¥° 4. ³±²¼ ´³ª¶¨¿ f : R+ ! R ®¯°¥¤¥«¥ ¬®¦¥±²¢¥ R+ ¥®²°¨¶ ²¥«¼»µ ·¨±¥« ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ³±«®¢¨¿¬¨: f (x) = ( 1)nn 1 , ¥±«¨ n 1 x < n; n 2 N. 1 P n1 ®±ª®«¼ª³ °¿¤ ( 1)n ±µ®¤¨²±¿, ²®, ª ª «¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ¯°¥¤¥« ¯°¨ n=1 A
R
A ! 1 ¨²¥£° « f (x) dx ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥ ±³¬¬¥ ³ª § ®£® °¿¤ . 0 ¤ ª® ½²®² °¿¤ ¥ ±µ®¤¨²±¿ ¡±®«¾²®, ¨ ¯¥°¥±² ®¢ª®© ¥£® ·«¥®¢ ¬®¦® ¯®«³·¨²¼ °¿¤, ¯°¨¬¥°, ° ±µ®¤¿¹¨©±¿ ª +1. ±²¨·»¥ ±³¬¬» ®¢®£® °¿¤ ¬®¦® ¨²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ª ª ¨²¥£° «» ®² ´³ª¶¨¨ f ¯® ®¡º¥¤¨¥¨¾ En ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ·«¥ ¬ °¿¤ ®²°¥§ª®¢ ¢¥¹¥±²¢¥®© ®±¨. ®¦¥±²¢ En ¢ ±®¢®ª³¯®±²¨, ®·¥¢¨¤®, ®¡° §³¾² ¨±·¥°¯ ¨¥ ®¡« ±²¨ R+ § ¤ ¨¿ ´³ª¶¨¨ f . R1 ª¨¬ ®¡° §®¬, ¥±®¡±²¢¥»© ¨²¥£° « f (x) dx ®² ¯°¥¤º¿¢«¥®© 0 ´³ª¶¨¨ f : R+ ! R ¢ ¯°¥¦¥¬ ¥£® ¯®¨¬ ¨¨ ±³¹¥±²¢³¥², ¢ ±¬»±«¥ ¤ ®£® ¢»¸¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¥ ±³¹¥±²¢³¥². » ¢¨¤¨¬, ·²® ²°¥¡³¥¬ ¿ ¢ ½²®¬ ®¯°¥¤¥«¥¨¨ ¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ¯°¥¤¥« ®² ¢»¡®° ¨±·¥°¯ ¨¿ ½ª¢¨¢ «¥² ¥§ ¢¨±¨¬®±²¨ ±³¬¬» °¿¤ ®² ¯®°¿¤ª ±³¬¬¨°®¢ ¨¿ ¥£® ·«¥®¢. ®±«¥¤¥¥, ª ª ¬ ¨§¢¥±²® ¨§ ²¥®°¥¬» ¨¬ , ¢ ²®·®±²¨ ° ¢®±¨«¼® ¡±®«¾²®© ±µ®¤¨¬®±²¨. ¤¥«¥ ¯° ª²¨·¥±ª¨ ¢±¥£¤ ¯°¨µ®¤¨²±¿ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ «¨¸¼ ±¯¥¶¨ «¼»¥ ¨±·¥°¯ ¨¿ ±«¥¤³¾¹¥£® ¢¨¤ . ³±²¼ ®¯°¥¤¥«¥ ¿ ¢ ®¡« ±²¨ D ´³ª¶¨¿ f : D ! R ¥®£° ¨·¥ ¢ ®ª°¥±²®±²¨ ¥ª®²®°®£® ¬®¦¥±²¢ E @D. ®£¤ ¬» ³¤ «¿¥¬ ¨§ D ²®·ª¨, «¥¦ ¹¨¥ ¢ "-®ª°¥±²®±²¨ 41
¬®¦¥±²¢ E , ¨ ¯®«³· ¥¬ ®¡« ±²¼ D(") D. °¨ " ! 0 ½²¨ ®¡« ±²¨ ¯®°®¦¤ ¾² ¨±·¥°¯ ¨¥ D.
±«¨ ¦¥ ®¡« ±²¼ ¥®£° ¨·¥ ¿, ²® ¥¥ ¨±·¥°¯ ¨¥ ¬®¦® ¯®«³·¨²¼, ¢§¿¢ ¤®¯®«¥¨¿ ¢ D ª ®ª°¥±²®±²¿¬ ¡¥±ª®¥·®±²¨. ¬¥® ² ª¨¥ ±¯¥¶¨ «¼»¥ ¨±·¥°¯ ¨¿ ¬» ¢ ±¢®¥ ¢°¥¬¿ ¨ ° ±±¬ ²°¨¢ «¨ ¢ ®¤®¬¥°®¬ ±«³· ¥, ¨ ¨¬¥® ½²¨ ±¯¥¶¨ «¼»¥ ¨±·¥°¯ ¨¿ ¥¯®±°¥¤±²¢¥® ¢¥¤³² ª ®¡®¡¹¥¨¾ ±«³· © ¯°®±²° ±²¢ «¾¡®© ° §¬¥°®±²¨ ¯®¿²¨¿ £« ¢®£® (¢ ±¬»±«¥ ®¸¨) § ·¥¨¥ ¥±®¡±²¢¥®£® ¨²¥£° « , ® ª®²®°®¬ ¬» ¢ ±¢®¥ ¢°¥¬¿ ³¦¥ £®¢®°¨«¨, ¨§³· ¿ ¥±®¡±²¢¥»¥ ¨²¥£° «» ¯°¿¬®©. d) ¬¥ ¯¥°¥¬¥»µ ¢ ¥±®¡±²¢¥®¬ ¨²¥£° «¥. § ª«¾·¥¨¥ ¤ ¤¨¬ ²¥¯¥°¼ ´®°¬³«³ § ¬¥» ¯¥°¥¬¥»µ ¢ ¥±®¡±²¢¥»µ ¨²¥£° « µ ¨ ²¥¬ ± ¬»¬ ±¤¥« ¥¬ ¢¥±¼¬ ¶¥®¥, µ®²¿ ¨ ®·¥¼ ¯°®±²®¥ ¤®¯®«¥¨¥ ª ²¥®°¥¬¥ ® § ¬¥¥ ¯¥°¥¬¥»µ ¢ ª° ²®¬ ¨²¥£° «¥, ¤®ª § ®© ¢»¸¥ ¤«¿ ±«³· ¿, ª®£¤ ¢ ´®°¬³«¥ (3) § ¬¥» ¯¥°¥¬¥®© Dt = I , f | ¥¯°¥°»¢ ¿ ´³ª¶¨¿. ¥®°¥¬ ³±²¼ ' : Dt ! Dx | ¤¨´´¥®¬®°´®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥ ®²n n ª°»²®£® ¬®¦¥±²¢ Dt Rt ² ª®¥ ¦¥ ¬®¦¥±²¢® Dx Rx, ´³ª¶¨¿ f : Dx ! R ¨²¥£°¨°³¥¬ ¨§¬¥°¨¬»µ ª®¬¯ ª²»µ ¯®¤¬®R f (x) dx ±µ®¦¥±²¢ µ ¬®¦¥±²¢ Dx .
±«¨ ¥±®¡±²¢¥»© ¨²¥£° « Dx R ((f ')j det '0j)(t) dt ² ª¦¥ ±µ®¤¨²±¿ ¨ ¨µ § ·¥¤¨²±¿, ²® ¨²¥£° « Dt
¨¿ ±®¢¯ ¤ ¾².
¯»² ¡®°¼¡» ± ¬®¦¥±²¢ ¬¨ ¬¥°» ³«¼, ¥®£° ¨·¥»¬¨ ®¡« ±²¿¬¨ ¨ ®±®¡¥®±²¿¬¨ ´³ª¶¨©, ª®²®°»© ·¨² ²¥«¼ ¬®£ ¯°¨®¡°¥±²¨ ° ±±¬®²°¥»µ ¯°¨¬¥° µ ¨ ° ±±³¦¤¥¨¿µ, ¯®§¢®«¨² ¥¬³ ²¥¯¥°¼ ± ¬®±²®¿²¥«¼® ¤®ª § ²¼ ±´®°¬³«¨°®¢ ®¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥ (¯® ª° ©¥© ¬¥°¥ ¢® ¢±¥µ ³¦»µ ¥¬³ ±«³· ¿µ). ²¬¥²¨¬ ²®«¼ª®, ·²® «¾¡®¥ ®²ª°»²®¥ ¬®¦¥±²¢® ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ Rn, ®·¥¢¨¤®, ¬®¦® ¨±·¥°¯ ²¼ ¯°®±²¥©¸¨¬¨ ´¨£³° ¬¨, ±®±² ¢«¥»¬¨ ¨§ ª³¡¨ª®¢. ®±² ²®·® ° ±±¬®²°¥²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ¢±¥ ¡®«¥¥ ¬¥«ª¨µ ª³¡¨·¥±ª¨µ °¥¸¥²®ª ¢±¥£® ¯°®±²° ±²¢ Rn ¨ ¡° ²¼ ²¥ ª³¡¨ª¨, ª®²®°»¥ ¯®¯ ¤ ¾² ¢ ¸³ ®¡« ±²¼.
±«¨ ¢±¯®¬¨²¼ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¨²¥£° « ¯® ¬®¦¥±²¢³, ²® ¬®¦® ¤®ª § ²¼ ¨ ² ª®¥ ±«¥¤±²¢¨¥ ½²®© ²¥®°¥¬». ²¢¥°¦¤¥¨¥ 3. ³±²¼ ' : Dt ! Dx | ¤¨´´¥®¬®°´®¥ ®²®¡° ¦¥n n ¨¥ ®²ª°»²®£® ¬®¦¥±²¢ Dt Rt ² ª®¥ ¦¥ ¬®¦¥±²¢® Dx Rx , 42
f : Ex ! R ¨²¥£°¨°³¥¬ ¨§¬¥°¨¬®¬ ª®¬¯ ª²¥ Ex Dx . 0 ®£¤ ´³ª¶¨¿ (f ')j det ' j : Et ! R ¨²¥£°¨°³¥¬ ¨§¬¥°¨¬®¬ ª®¬1 (E ) D ¨ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ° ¢¥±²¢® ¯ ª²¥ Et = ' x t ´³ª¶¨¿
Z
Ex
Z
f (x) dx = ((f ')j det '0j)(t) dt: Et
e) ®°¬³«³ § ¬¥» ¨¬¥¥¬, ·²® ¨²¥£°¨°³¥¬, ²¥¯¥°¼ ¥¯®¿²®. ®°¬³« § ¬¥» ¯¥°¥¬¥»µ ¢ ª° ²®¬ ¨²¥£° «¥ ¨¬¥¥² ¬®£® ¯®«¥§»µ ¯°¨¬¥¥¨© ¨ ±«¥¤±²¢¨©, ¯°¨·¥¬ ¥ ²®«¼ª® ¢ ¢»·¨±«¨²¥«¼®¬ ±¯¥ª²¥, ® ¨ ¢ ²¥®°¥²¨·¥±ª®¬ ¯« ¥. ¯°¨¬¥°, ® ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¢¢¥¤¥»¥ ± ¨±¯®«¼§®¢ ¨¥¬ ®¯°¥¤¥«¥®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ² ¯®¿²¨¿ ¬¥°» ¯°®¬¥¦³²ª , ¬¥°» ¨§¬¥°¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ ¨ ± ¬®£® ¨²¥£° « ®² ´³ª¶¨¨ ¯® ¨§¬¥°¨¬®¬³ ¬®¦¥±²¢³, ± ¬®¬ ¤¥«¥ ¥ § ¢¨±¿² ®² ¢»¡®° ¨¤¨¢¨¤³ «¼®© ¤¥ª °²®¢®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ² ¢ Rn. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¯¥°¥µ®¤ ®² ®¤®© ±¨±²¥¬» ¤¥ª °²®¢»µ ª®®°¤¨ ² ¢ Rn ª ¤°³£®© ² ª®© ¦¥ ±¨±²¥¬¥ ¨¬¥¥² ¿ª®¡¨ , ¯® ¬®¤³«¾ ° ¢»© ¥¤¨¨¶¥. ±¨«³ ´®°¬³«» § ¬¥» ¯¥°¥¬¥®© ®²±¾¤ ±«¥¤³¥² ° ¢¥±²¢®
Z
Z
Ex
f (x) dx = (f ')(t) dt: Et
® ½²® ¨ ®§ · ¥², ·²® ¨²¥£° « ®¯°¥¤¥«¥ ¨¢ °¨ ²®: ¢¥¤¼ ¥±«¨ p | ²®·ª ¬®¦¥±²¢ E , x = (x1; : : :; xn) | ¥¥ ª®®°¤¨ ²» ¢ ¯¥°¢®© ±¨±²¥¬¥, t = (t1; : : :; tn) | ¢® ¢²®°®©, x = '(t) | ´³ª¶¨¿ ¯¥°¥µ®¤ ®² ®¤¨µ ª®®°¤¨ ² ª ¤°³£¨¬, ²® f (p) = fx(x1; : : : ; xn) = ft(t1; : : :; tn); £¤¥ ft = fx '. ·¨², ¬» ¯®ª § «¨, ·²®
Z
Ex
fx(x) dx =
Z
Et
ft(t) dt;
£¤¥ Ex ¨ Et | § ¯¨±¼ ¬®¦¥±²¢ E ¢ ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² x ¨ t ±®®²¢¥²±²¢¥®. ² ª, ¨¢ °¨ ²®±²¼ ¨²¥£° « ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ¨¬¥¥² ¬¥±²®. ¤ ª®, ±° ¢¨¢ ´®°¬³«³ § ¬¥» ¯¥°¥¬¥®© ¢ ®¤®¬¥°®¬ ¨ ¬®£®¬¥°®¬ ¨²¥£° «¥, ¬» § ¬¥· ¥¬ ¥ª®²®°³¾ ¯¯ ° ²³¾ ¤¨±£ °¬®¨¾. ®¤®¬¥°®¬ ±«³· ¥ ´®°¬³« ¯®«³· « ±¼ ± ¬ ±®¡®©, ¥±«¨ ¢ «¥©¡¨¶¥¢® ¯®¤¨²¥£° «¼®¥ ¢»° ¦¥¨¥ f (x)dx ¢¬¥±²® x ¯®¤±² ¢¨²¼ x = '(t). 43
¬®£®¬¥°®¬ ±«³· ¥ ¨·¥£® ¯®¤®¡®£® ¬» ¥ ¡«¾¤ ¥¬. ®«¥¥ ²®£®, ¥±«¨, ª ª ½²® ¬» ¤® ±¨µ ¯®° ¤¥« «¨, ¢¬¥±²® x ¯¨± ²¼ (x1; : : : ; xn), ¢¬¥±²® dx ¯¨± ²¼ (dx1 dxn), ²® ¯®¤±² ®¢ª x1 = '1(t1; : : : ; tn); : : :; xn = 'n(t1; : : :; tn) ¢¬¥±²® x = '(t) ¥ ¤ ±² ¨·¥£® ¯®µ®¦¥£® ²³ ´®°¬³«³ § ¬¥» ¯¥°¥¬¥»µ, ª®²®°³¾ ¬» ¯®«³·¨«¨. ²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ±¥°¼¥§»© ¢®¯°®±. ²¢¥² ¥£® ¢¥¤¥² ª ±®¢°¥¬¥®¬³ ¢§£«¿¤³ ¤¨´´¥°¥¶¨ « ¨ ¨²¥£° «, ª ª° ±¨¢®¬³ ¨ ¯®«¥§®¬³ ¯¯ ° ²³ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»µ ´®°¬, ª ¨µ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼®¬³ ¨ ¨²¥£° «¼®¬³ ¨±·¨±«¥¨¾, ª ±®¢°¥¬¥®© ´®°¬³«¥ ¼¾²® -¥©¡¨¶ , ¢ª«¾· ¾¹¥© ¢±¥ ¨§¢¥±²»¥ ¨ ¯¥°±®¨´¨¶¨°®¢ »¥ ´®°¬³«» «¨§ , ±¢¿§»¢ ¾¹¨¥ ¨²¥£°¨°®¢ ¨¥ ¨ ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¥. ® ¤«¿ ½²®£® ³¦® ¡³¤¥² ¯°¥¦¤¥ ¢±¥£® ¢¥°³²¼±¿ ¨ «³·¸¥ ¯®¿²¼ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¤¨´´¥°¥¶¨ « . (·¥¼ ¯®«¥§® ®±¢¥¦¨²¼ ¨«¨ ¯®¯®«¨²¼ § ¨¿ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼®£® ¨±·¨±«¥¨¿ ´³ª¶¨© ¬®£¨µ ¯¥°¥¬¥»µ, ¢ª«¾· ¿ ²¥®°¥¬³ ® ¥¿¢®© ´³ª¶¨¨ ¨ ¥¥ ¢ ¦¥©¸¨¥ ±«¥¤±²¢¨¿, ¤ ¾¹¨¥ ¢ ¥«¨¥©®¬ ±«³· ¥ «®ª «¼»¥ ¢ °¨ ²» ²¥®°¥¬ «¨¥©®© «£¥¡°», ² ª¦¥ ¨µ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¨²¥°¯°¥² ¶¨¨ ¨ ¯°¨«®¦¥¨¿.)
44
ª ½ª§ ¬¥³ ¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬³ «¨§³ § ·¥²¢¥°²»© ±¥¬¥±²° ¤«¿ ±²³¤¥²®¢ ¢²®°®£® ª³°± ¢²®°®£® ¯®²®ª ¥ª²®° ¯°®´¥±±®° .., 2006/07 ³·.£®¤ 1. ²¥£° « ¨¬ n-¬¥°®¬ ¯°®¬¥¦³²ª¥. °¨²¥°¨© ¥¡¥£ ±³¹¥±²¢®¢ ¨¿ ¨²¥£° « . 2. °¨²¥°¨© °¡³ ±³¹¥±²¢®¢ ¨¿ ¨²¥£° « ®² ¢¥¹¥±²¢¥®§ ·®© ´³ª¶¨¨ n-¬¥°®¬ ¯°®¬¥¦³²ª¥. 3. ²¥£° « ¯® ¬®¦¥±²¢³. ¥° ®°¤ ¬®¦¥±²¢ ¨ ¥¥ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±«. °¨²¥°¨© ¥¡¥£ ±³¹¥±²¢®¢ ¨¿ ¨²¥£° « ¯® ¨§¬¥°¨¬®¬³ ¬®¦¥±²¢³. ¨¥©®±²¼ ¨ ¤¤¨²¨¢®±²¼ ¨²¥£° « . 4. ¶¥ª¨ ¨²¥£° « . 5. ¢¥¤¥¨¥ ª° ²®£® ¨²¥£° « ª ¯®¢²®°®¬³: ²¥®°¥¬ ³¡¨¨ ¨ ¥¥ ¢ ¦¥©¸¨¥ ±«¥¤±²¢¨¿. 6. ®°¬³« § ¬¥» ¯¥°¥¬¥»µ ¢ ª° ²®¬ ¨²¥£° «¥. ¢ °¨ ²®±²¼ ¬¥°» ¨ ¨²¥£° « . 7. ¥±®¡±²¢¥»¥ ª° ²»¥ ¨²¥£° «»: ®±®¢»¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¿, ¬ ¦®° ²»© ¯°¨§ ª ±µ®¤¨¬®±²¨, ª ®¨·¥±ª¨¥ ¨²¥£° «». »·¨±«¥¨¥ ¨²¥£° « ©«¥° -³ ±±® . 8. ®¢¥°µ®±²¼ ° §¬¥°®±²¨ k ¢ Rn ¨ ®±®¢»¥ ±¯®±®¡» ¥¥ § ¤ ¨¿. ¡±²° ª²®¥ k-¬¥°®¥ ¬®£®®¡° §¨¥. ° © k-¬¥°®£® ¬®£®®¡° §¨¿ ª ª (k 1)-¬¥°®¥ ¬®£®®¡° §¨¥ ¡¥§ ª° ¿. 9. °¨¥²¨°³¥¬»¥ ¨ ¥®°¨¥²¨°³¥¬»¥ ¬®£®®¡° §¨¿. ¯®±®¡» § ¤ ¨¿ ®°¨¥² ¶¨¨ ¡±²° ª²®£® ¬®£®®¡° §¨¿ ¨ (£¨¯¥°)¯®¢¥°µ®±²¨ ¢ Rn. °¨¥²¨°³¥¬®±²¼ ª° ¿ ®°¨¥²¨°³¥¬®£® ¬®£®®¡° §¨¿. ®£« ±®¢ ¿ ®°¨¥² ¶¨¿ ¬®£®®¡° §¨¿ ¨ ª° ¿. 10. ± ²¥«¼»© ¢¥ª²®° ¨ ª ± ²¥«¼®¥ ¯°®±²° ±²¢® ª ¬®£®®¡° §¨¾ ¢ ²®·ª¥. ²¥°¯°¥² ¶¨¿ ª ± ²¥«¼®£® ¢¥ª²®° ª ª ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼®£® ®¯¥° ²®° . 11. ¨´´¥°¥¶¨ «¼ ¿ ´®°¬ ¢ ®¡« ±²¨ D Rn. °¨¬¥°»: ¤¨´´¥°¥¶¨ « ´³ª¶¨¨, ´®°¬ ° ¡®²», ´®°¬ ¯®²®ª . ®®°¤¨ ² ¿ § ¯¨±¼ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼®© ´®°¬». ¯¥° ¶¨¿ ¢¥¸¥£® ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¿. 12. ²®¡° ¦¥¨¥ ®¡º¥ª²®¢ ¨ ±®¯°¿¦¥®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥ ´³ª¶¨© ½²¨µ ®¡º¥ª² µ. °¥®¡° §®¢ ¨¥ ²®·¥ª ¨ ¢¥ª²®°®¢ ª ± ²¥«¼»µ ¯°®±²° ±²¢ ¢ ½²¨µ ²®·ª µ ¯°¨ £« ¤ª®¬ ®²®¡° ¦¥¨¨. ¥°¥®± ´³ª¶¨© 45
¨ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»µ ´®°¬ ¯°¨ £« ¤ª®¬ ®²®¡° ¦¥¨¨. ¥¶¥¯² ¢»¯®«¥¨¿ ¯¥°¥®± ´®°¬ ¢ ª®®°¤¨ ²®¬ ¢¨¤¥. 13. ®¬¬³²¨°®¢ ¨¥ ¯¥°¥®± ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»µ ´®°¬ ± ®¯¥° ¶¨¿¬¨ ¨µ ¢¥¸¥£® ³¬®¦¥¨¿ ¨ ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¿. ¨´´¥°¥¶¨ «¼ ¿ ´®°¬ ¬®£®®¡° §¨¨. ¢ °¨ ²®±²¼ (ª®°°¥ª²®±²¼) ®¯¥° ¶¨© ¤ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»¬¨ ´®°¬ ¬¨. 14. µ¥¬ ¯®¤±·¥² ° ¡®²» ¨ ¯®²®ª . ²¥£° « ®² k-´®°¬» ¯® k¬¥°®© £« ¤ª®© ®°¨¥²¨°®¢ ®© ¯®¢¥°µ®±²¨. ·¥² ®°¨¥² ¶¨¨. ¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ¨²¥£° « ®² ¢»¡®° ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨. ¡¹¥¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¨²¥£° « ®² ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼®© k-´®°¬» ¯® k-¬¥°®¬³ ª®¬¯ ª²®¬³ ®°¨¥²¨°®¢ ®¬³ ¬®£®®¡° §¨¾. 15. ®°¬³« °¨ ª¢ ¤° ²¥, ¥¥ ¢»¢®¤, ¨²¥°¯°¥² ¶¨¿ ¨ § ¯¨±¼ ¿§»ª¥ ¨²¥£° «®¢ ®² ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»µ ´®°¬. ¡¹ ¿ ´®°¬³« ²®ª± . ¥¤³ª¶¨¿ ª k-¬¥°®¬³ ¯°®¬¥¦³²ª³ ¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¤«¿ k-¬¥°®£® ¯°®¬¥¦³²ª . « ±±¨·¥±ª¨¥ ¨²¥£° «¼»¥ ´®°¬³«» «¨§ ª ª ª®ª°¥²»¥ ¢ °¨ ²» ®¡¹¥© ´®°¬³«» ²®ª± . 16. ®°¬ ®¡º¥¬ ¢ Rn ¨ ¯®¢¥°µ®±²¨. ¢¨±¨¬®±²¼ ´®°¬» ®¡º¥¬ ®² ®°¨¥² ¶¨¨. ²¥£° « ¯¥°¢®£® °®¤ ¨ ¥£® ¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ®² ®°¨¥² ¶¨¨. «®¹ ¤¼ ¨ ¬ ±± ¬ ²¥°¨ «¼®© ¯®¢¥°µ®±²¨ ª ª ¨²¥£° «» ¯¥°¢®£® °®¤ . ¯¨±¼ ´®°¬» ®¡º¥¬ k-¬¥°®© ¯®¢¥°µ®±²¨ S k Rn ¢ «®ª «¼»µ ¯ ° ¬¥²° µ ¨ § ¯¨±¼ ´®°¬» ®¡º¥¬ £¨¯¥°¯®¢¥°µ®±²¨ S n 1 Rn ¢ ¤¥ª °²®¢»µ ª®®°¤¨ ² µ ®¡º¥¬«¾¹¥£® ¯°®±²° ±²¢ . 17. ±®¢»¥ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»¥ ®¯¥° ²®°» ²¥®°¨¨ ¯®«¿ (grad, rot, div) ¨ ¨µ ±¢¿§¼ ± ®¯¥° ²®°®¬ d ¢¥¸¥£® ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¿ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®°¨¥²¨°®¢ ®¬ ¯°®±²° ±²¢¥ R3. 18. ¯¨±¼ ° ¡®²» ¨ ¯®²®ª ¯®«¿ ¢ ¢¨¤¥ ¨²¥£° «®¢ ¯¥°¢®£® °®¤ . ±®¢»¥ ¨²¥£° «¼»¥ ´®°¬³«» ²¥®°¨¨ ¯®«¿ ¢ R3 ª ª ¢¥ª²®° ¿ § ¯¨±¼ ª« ±±¨·¥±ª¨µ ¨²¥£° «¼»µ ´®°¬³« «¨§ . 19. ®²¥¶¨ «¼®¥ ¯®«¥ ¨ ¥£® ¯®²¥¶¨ «. ®·»¥ ¨ § ¬ª³²»¥ ´®°¬». ¨´´¥°¥¶¨ «¼»© ¥®¡µ®¤¨¬»© ¯°¨§ ª ²®·®±²¨ ´®°¬» ¨ ¯®²¥¶¨ «¼®±²¨ ¢¥ª²®°®£® ¯®«¿, ¥£® ¤®±² ²®·®±²¼ ¢ ®¤®±¢¿§®© ®¡« ±²¨. ²¥£° «¼»© ª°¨²¥°¨© ²®·®±²¨ 1-´®°¬ ¨ ¢¥ª²®°»µ ¯®«¥©. 20. ®ª «¼ ¿ ²®·®±²¼ § ¬ª³²®© ´®°¬» («¥¬¬ ³ ª °¥). «®¡ «¼»© «¨§. ®¬®«®£¨¨ ¨ ª®£®¬®«®£¨¨. ¥®°¥¬ ¤¥ ¬ . 21. °¨¬¥°» ¯°¨«®¦¥¨© ´®°¬³«» ²®ª± : ¢»¢®¤ ®±®¢»µ ³° ¢¥¨© ¬¥µ ¨ª¨ ±¯«®¸®© ±°¥¤». ¨§¨·¥±ª¨© ±¬»±« £° ¤¨¥² , °®²®° ¨ ¤¨¢¥°£¥¶¨¨. 46
¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬³ «¨§³ ¢ ·¥²¢¥°²®¬ ±¥¬¥±²°¥ 4 ¤«¿ ±²³¤¥²®¢ ¢²®°®£® ª³°± ¢²®°®£® ¯®²®ª ¥ª²®° ¯°®´¥±±®° .., 2006/07 ³·.£®¤ »·¨±«¨²¥ § ·¥¨¿ ¯°¨¢¥¤¥»µ ¨¦¥ ´®°¬ ! ¢ Rn ³ª § »µ ¡®° µ ¢¥ª²®°®¢: a) ! = x2dx1 ¢¥ª²®°¥ = (1; 2; 3) 2 T R3(1;2;3); b) ! = dx1 ^ dx3 + x1dx2 ^ dx4 ³¯®°¿¤®·¥®© ¯ °¥ ¢¥ª²®°®¢ 1; 2 2 T R4(1;0;0;0). (®« £ ¥¬ 1 = (11; :::; 14); 2 = (21 ; :::; 24).) 1 n 1 n 2. ³±²¼ f ; :::; f | £« ¤ª¨¥ ´³ª¶¨¨ °£³¬¥² x = (x ; :::; x ) 2 Rn. »° §¨²¥ ´®°¬³ df 1 ^ ::: ^ df n ¢ ²¥°¬¨ µ ´®°¬ dx1; :::; dxn. 3 3. ®¡« ±²¨ D R ¤¥©±²¢³¥² ¢¥ª²®°®¥ ¯®«¥ ±¨« F . ±±·¨²»¢ ¥¬ ° ¡®²³, ¥®¡µ®¤¨¬³¾ ¤«¿ ¯¥°¥¬¥¹¥¨¿ ¢ ½²®¬ ¯®«¥ ¨§ ²®·ª¨ a 2 D ¢ ²®·ª³ b 2 D ¢¤®«¼ £« ¤ª®£® ¯³²¨ D. a) ¯¨¸¨²¥ ´®°¬³«³ ¤«¿ ¯®¤±·¥² ½²®© ° ¡®²» ¢ ¢¨¤¥ ¨²¥£° «a "¯¥°¢®£®" ¨ "¢²®°®£®" °®¤ (².¥. ¢ ²¥°¬¨ µ ds ¨ dx; dy; dz ±®®²¢¥²±²¢¥®). b) °®¢¥°¼²¥, ·²® ¢ £° ¢¨² ¶¨®®¬ ¯®«¥ F ½² ° ¡®² ¥ § ¢¨±¨² ®² ¯³²¨ ¨ ° ¢ ...? 3 4. a) ®¡« ±²¨ D R ¨¬¥¥²±¿ ¢¥ª²®°®¥ ¯®«¥ V ( ¯°¨¬¥°, ¯®«¥ ±ª®°®±²¨ ¥ª®²®°®£® ²¥·¥¨¿). ¯¨¸¨²¥ ´®°¬³«³ ¤«¿ ¯®¤±·¥² ¯®²®ª ¢¥ª²®°®£® ¯®«¿ V ·¥°¥§ ®°¨¥²¨°®¢ ³¾ ¯®¢¥°µ®±²¼ S = S+2 D ¢ ¢¨¤¥ ¨²¥£° « "¯¥°¢®£®" ¨ "¢²®°®£®" °®¤ (².¥. ¢ ²¥°¬¨ µ d ¨ dy ^ dz; dz ^ dx; dx ^ dy ±®®²¢¥²±²¢¥®). b) §¿² ¢»¯³ª«»© ¬®£®£° ¨ª D R3. ª ¦¤®© ¥£® £° ¨ ¯®±²°®¥ ¢¥ª²®°, ¯° ¢«¥»© ¢¤®«¼ ¢¥¸¥© ®°¬ «¨ ¨ ¯® ¢¥«¨·¨¥ ° ¢»© ¯«®¹ ¤¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© £° ¨. ¨§¨ª £®¢®°¨², ·²® ±³¬¬ ½²¨µ ¢¥ª²®°®¢ ° ¢ ³«¾ (¨ ·¥ ¯®±²°®¨¬ ¢¥·»© ¤¢¨£ ²¥«¼). ²¥¬ ²¨ª ¤ ¥² ²® ¦¥. ®ª ¦¨²¥ ½²®. c) °¿¬»¬ ° ±·¥²®¬ ¢»¢¥¤¨²¥ § ª® °µ¨¬¥¤ (¯®¤±·¨² ©²¥ ¢»² «ª¨¢ ¾¹³¾ ±¨«³, ¤¥©±²¢³¾¹³¾ ²¥«®, ¯®£°³¦¥®¥, ¯°¨¬¥°, ¢ ¯®«¥³¾ ¢®¤®© ¢ ³, ª ª °¥§³«¼²¨°³¾¹³¾ ¤ ¢«¥¨¿ ¯®¢¥°µ®±²¼ ²¥« ). 1.
4 § ¬¥
®²±³²±²¢³¾¹¥£® ª®««®ª¢¨³¬ .
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