Основы теории управления: Методические указания к лабораторному практикуму

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра вычислительной техники и приборостроения

Е.В. БУРЬКОВА

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОМУ ПРАКТИКУМУ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования – «Оренбургский государственный Университет»

Оренбург 2003

3

ББК 32.965 я73 Б 91 УДК 681.51 (075.8)

Рецензент кандидат технических наук, доцент В.Н.Тарасов

Б 91

Бурькова Е.В. Основы теории управления: Методические указания к лабораторному практикуму. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2003. – 57 с.

Лабораторный практикум состоит из 6 лабораторных работ по курсам, связанным с теорией исследования систем управления для студентов всех форм обучения специальности 220100. Каждая работа включает теоретическое изложение материала, схемы, для получения характеристик систем управления, контрольные вопросы.

ББК 32.965 я73

© Бурькова Е.В.,2003 © ГОУ ОГУ, 2003

4

Введение Традиционные методы расчета, используемые при исследовании систем автоматического управления (САУ), связаны с большим объемом аналитических преобразований и расчетов. Отдельные же этапы этой работы имеют четкую математическую формулировку и могут быть эффективно реализованы на ЭВМ. Для анализа динамических свойств САУ необходимо создать ее математическую модель. Для этого составляют дифференциальные уравнения элементов системы, с помощью которых описываются происходящие в них динамические процессы. На основании этих уравнений строятся основные характеристики систем, по которым можно определить такие важные свойства САУ как устойчивость, быстродействие, и все необходимые показатели качества систем. Проектирование систем автоматического управления проводится двумя путями: методом анализа, когда система считается заданной, а определению подлежат ее характеристики или поведение в замкнутом состоянии; методом синтеза, когда задаются желаемые характеристики или поведение системы, и мы должны определить ее структуру таким образом, чтобы замкнутая система удовлетворяла выдвинутым требованиям к ее качеству. Анализ САУ, то есть определение показателей качества регулирования, проводят по графику переходного процесса при единичном ступенчатом входном воздействии, а так же используют частотные характеристики. Для синтеза САУ используют частотные методы, способ корневого годографа или изучают траектории корней характеристического уравнения замкнутой системы. Целью данных методических указаний является практическое изучение различных методов анализа и синтеза систем автоматического управления, закрепление теоретических знаний теории автоматического управления, освоение методов компьютерного моделирования.

5

1 Лабораторная работа №1. Исследование переходных функций элементарных динамических звеньев 1.1 Цель работы Получение временных характеристик элементарных звеньев, изучение влияния изменения параметров звеньев на характеристики. 1.2 Общие сведения 1.2.1 Элементарные динамические звенья Для определения динамических свойств автоматической системы необходимо ее элементы различать по их уравнениям динамики. В теории автоматического управления элементы автоматических систем, с точки зрения их динамических свойств, представляют с помощью небольшого числа динамических звеньев. Под элементарным динамическим звеном понимается искусственно выделяемая часть автоматической системы, соответствующая какому-либо элементарному алгоритму, и описываемая дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Каждое звено представляет элемент направленного действия. Это значит, что преобразование в нем проходит в одном определенном направлении: от входа к выходу звена. Дифференциальное уравнение, отражающее характер преобразования поступающего на вход сигнала, называется уравнением динамики звена. Например, элемент системы описывается дифференциальным уравнением вида 2 dx вых (t ) 2 d x вых (t ) T1 + T + x вых (t ) = kx вх (t ) 2 dt dt 2 Левая часть такого уравнения характеризует динамический процесс, происходящий в звене. Коэффициенты левой части уравнения – постоянные времени. Величина k определяется отношением приращения выходной величины к приращению входной ∆x (t ) k = вых ∆x вх (t ) и называется статическим коэффициентом усиления (коэффициент передачи) звена. Другой формой математического описания динамического процесса является передаточная функция. Передаточной функцией звена или системы называется отношение изображений по Лапласу выходной величины к входной при нулевых начальных условиях 6

Х вых ( s ) , Х вх ( s ) где Х вых ( s) = L[ x(t )] - изображение по Лапласу выходной величины; Х вх ( s) = L[ x(t )] - изображение по Лапласу входной величины. Нулевые начальные условия состоят в том, что в системе n-го порядка при t=0 выходная величина и все ее производные от первой до (n-1)-ой равны нулю. В зависимости от характера протекания периодических процессов элементарные динамические звенья делятся на безынерционные, апериодические, колебательные, дифференцирующие, интегрирующие, запаздывающие. Безынерционное звено - это звено нулевого порядка, в котором в каждый момент времени существует пропорциональная зависимость между входной и выходной величинами. Апериодическое звено – это звено первого порядка, в котором выходная величина при подаче на вход ступенчатого воздействия изменяется по экспоненциальному закону. Колебательное звено – это звено второго порядка, в котором выходная величина при подаче на вход ступенчатого воздействия стремится к установившемуся значению, совершая затухающие колебания или монотонно приближаясь к нему. Дифференцирующее звено – это звено, в котором выходная величина пропорциональна скорости изменения входного воздействия. Реальное дифференцирующее звено – это звено, обладающее инерционностью. Интегрирующее звено – это звено, выходная величина которого пропорциональна интегралу по времени от входной величины. Запаздывающее звено – это звено, которое на выходе воспроизводит входной сигнал без искажений, но с некоторым постоянным временем запаздывания. Неустойчивое звено первого порядка, в котором выходная величина при подаче на вход ступенчатого воздействия будет неограниченно экспоненциально возрастать. Неустойчивое звено второго порядка, в котором выходная величина при подаче на вход ступенчатого воздействия будет неограниченно возрастать. В таблице 1.1 приведены дифференцированные уравнения и передаточные функции типовых динамических звеньев. В ней приняты следующие обозначения: - k – коэффициент передачи; - Т – постоянная времени; - ξ - коэффициент затухания; - τ – время запаздывания. W ( s) =

Таблица 1.1 – Математические модели типовых динамических звеньев 7

Вид звена

Уравнение динамики

Безынерционное звено Апериодическое звено Колебательное звено

xвых (t ) = k ⋅ xвх (t )

Дифференцирующее звено Реальное дифференцирующее звено Интегрирующее звено Запаздывающее звено Неустойчивое звено первого порядка Неустойчивое звено второго порядка

dxвых (t ) + xвых (t ) = kxвх (t ) dt 2 dxвых (t ) 2 d xвых (t ) T T + 2 ξ + xвых (t ) = kxвх (t ) dt dt 2 T

xвых (t ) = k

dxвх (t ) dt

∞ 0

xвых (t ) = xвх (t − τ )

T

d 2 xвых (t ) dt 2

− 2Tξ

T 2 s 2 + 2Tξs + 1

ks Ts + 1

ke −τ ⋅ s

dxвых (t ) − xвых (t ) = k ⋅ xвх (t ) dt

2

k

k s

xвых (t ) = k ∫ xвх (t )dt

T

k Ts + 1

ks

dxвых (t ) dx (t ) + xвых (t ) = k вх dt dt

T

Передаточная функция W(s) k

dxвых (t ) + xвых (t ) = kxвх (t ) dt

k Ts − 1 k T 2 s 2 − 2Tξs + 1

1.2.2 Характеристики переходных процессов

Динамические свойства звена могут быть определены на основании дифференциального уравнения, описывающего поведение звена в переходном режиме. Решение дифференциального уравнения дает возможность получить переходную характеристику динамического звена, представляющую зависимость выходной величины от времени при ступенчатом входном воздействии. Кроме переходной характеристики, динамические свойства могут быть выражены и другими закономерностями: - переходная импульсная (весовая) функция, представляющая собой реакцию звена на импульсное входное воздействие;

8

- частотные характеристики, представляющие собой реакцию звена на входные воздействия, имеющие характер гармонической синусоидальной функции. 1.2.3 Требования к временным характеристикам

Типичная переходная функция системы второго порядка изображена на рисунке 1.1.

x(t) M pt

1+d хss

1,0 0,9 1-d

0

Tp Ts t Tr Рисунок 1.1 – Типичная переходная функция САР при единичном ступенчатом воздействии

Время нарастания Tr определим как время, необходимое для изменения переходной функции от 10% до 90% от ее установившегося значения. Максимальное значение переходной функции обозначим M pt , время достижения максимума T p , а процентное превышение установившегося значения будем рассчитывать по формуле M pt − x ss ⋅ 100% процентное превышение = x ss На рисунке 1.1 установившееся значение выходной величины принято x ss = 1 . Время установления Ts – это время, необходимое для того, чтобы выходной сигнал вошел в определенную зону, прилегающую к установившемуся значению, и далее оставался в пределах этой зоны. Ширину зоны обычно принимают равной ±5% или ±2% от установившегося значения. У системы второго порядка переходная функция входит в 2% зону приблизительно за четыре постоянных времени 4 Ts = 4T = ,

ξω n

где Т – постоянная времени звена (системы); ξ- коэффициент затухания; 9

ω n - собственная частота колебаний. Время достижения максимума T p или максимальное перерегулирование определяется следующим выражением

Tp =

π

ωn 1−ξ 2

1.3 Задание на выполнение работы

1.3.1 Провести моделирование переходного процесса каждого элементарного звена при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия. Параметры звеньев приведены в таблице 1.2. Таблица 1.2 – Исходные данные для выполнения работы Параметр K T

ξ

τ

Варианты заданий 1 2 3 4 5 5 4 6 40 5 10 12 20 10 10 0.5 2 4 5 6 5 0.2 10 0.5 60 1 1.1 1 1 1.1 0.7 0.6 0.8 0.7 0.6 0.2 0.1 0.2 0.2 0.1 0 0 0 0 0 -1 -1 0.1 0.8 0.1 5 4 2 5 6 10 0.4 20 10 0.6

6 4 12 2 0.2 1 0.8 0.2 0 0.6 0.5 3 15

7 6 30 4 40 1 0.7 0.1 0 -

8 40 10 5 0.5 1 0.8 0.2 0 0.2

4 0.4

9 5 10 6 60 1.1 0.6 0.1 0 0.7

2 20

10 4 12 2 0.2 1.1 0.7 0.2 0 0.1

5 10

6 0.6

1.3.2 Определить теоретические значения времени установления Ts , время достижения максимума T p и время нарастания Tr при ширине зоны 5%. 1.3.3 По табличным значениям выходной величины, полученным в процессе моделирования определить значения Ts , T p , Tr соответствующие результатам исследований элементарных звеньев. 1.3.4 Провести анализ полученных экспериментальным путем переходных характеристик элементарных динамических звеньев, при изменении их параметров. 1.4 Содержание отчета

1.4.1 Название работы. 1.4.2 Цель работы. 10

1.4.3 Теоретическое определение показателей качества регулирования при переходном процессе (Ts , T p , Tr ). 1.4.4 Структурная схема для получения переходных характеристик элементарных звеньев. 1.4.5 Результаты моделирования в виде графиков переходного процесса с определением экспериментальных значений Ts , T p , Tr . 1.4.6 Выводы по результатам исследований. 1.5 Контрольные вопросы

1.5.1 Что такое динамическое звено? 1.5.2 Какое математическое описание звеньев существует? 1.5.3 Что такое передаточная функция? 1.5.4 Что значит устойчивое звено? 1.5.5 Что значит неустойчивое звено? 1.5.6 Какие параметры звеньев вы знаете? 1.5.7 Что характеризует коэффициент затухания в звене второго порядка? 1.5.8 Какие стандартные воздействия используют для исследования систем управления? 1.5.9 Какие динамические характеристики получают при подаче на вход системы стандартных воздействий? 1.5.10 Что такое переходной процесс? 1.5.11 Что такое переходная функция? 1.5.12 Что такое весовая функция? 1.5.13 Что называется временем переходного процесса? 1.5.14 Как по графику переходной функции определить коэффициент передачи усилительного звена?

2 Лабораторная работа №2. Исследование частотных характеристик типовых динамических звеньев 2.1 Цель работы

Определение динамических свойств элементарных звеньев по полученным частотным характеристикам. 2.2 Общие сведения 2.2.1 Частотные характеристики звеньев

11

Частотной характеристикой называется реакция звена (системы) на синусоидальное входное воздействие. Предположим, что на вход звена (системы) с передаточной функцией W(s) подан синусоидальный сигнал r (t ) = A cos ω1t Тогда изображение по Лапласу входной функции будет As R( s) = 2 s + ω12 Выходной сигнал в установившемся режиме As X ( s) = W ( s) R( s) = W ( s) ( s − jω1 )( s + jω1 ) Это выражение мы можем разложить на простые дроби k1 k2 X ( s) = + + X g ( s) , s − jω 1 s + jω 1 где X g (s ) включает в себя все члены разложения, обусловленные знаменателем W (s ) . Предполагается, что все составляющие реакции системы, соответствующие слагаемому X g (s ) , с течением времени стремятся к нулю. Это означает, что в установившемся режиме реакция системы на синусоидальное воздействие также будет синусоидой той же частоты x(t ) = A(ω ) ⋅ cos(ωt + ϕ (ω )) , где A(ω ) – амплитуда выходного сигнала; ϕ (ω ) - фазовый сдвиг гармонических колебаний. В показательной форме выходной сигнал запишется в следующем виде x(t ) = A(ω )e j (ωt +ϕ (ω )) Отношение выходного сигнала к входному при подаче на вход синусоидальной функции называется частотной передаточной функцией или амплитудно-фазовой характеристикой (АФЧХ). W ( jω ) = A(ω )e jϕ (ω ) = P(ω ) + jQ(ω ) , где P(ω ) – вещественная часть амплитудно-фазовой характеристики; Q(ω ) – мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики. Так же, как и передаточная функция W (s ) , частотная передаточная функция представляет собой отношение выходной координаты к входной. Только в первом случае это отношение рассматривается в изображениях по Лапласу, а во втором случае – в виде отношения гармонических сигналов в показательной форме. A(ω ) = P 2 (ω ) + Q 2 (ω ) - модуль частотной передаточной функции или амплитудная характеристика, Q(ω ) - аргумент частотной передаточной функции или фазϕ (ω ) = arctg P (ω ) ная характеристика.

12

Амплитудной характеристикой называется зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты. Фазовой характеристикой называется зависимость сдвига фаз выходного сигнала от частоты по отношению к входному. Удобной формой представления частотных характеристик являются логарифмические частотные характеристики, состоящие из логарифмической амплитудной характеристики (ЛАХ) и логарифмической фазовой характеристики (ЛФХ). Логарифмическая амплитудная характеристика динамического звена представляется в виде L = 20 lg A(ω ) Единицей измерения амплитуды на выходе звена (системы) является децибел. Один бел соответствует увеличению мощности сигнала в 10 раз, два бела - в 100 раз. Децибел равен одной десятой части бела. Соотношения между A(ω ) и L(ω ) показаны в таблице 2.1 Таблица 2.1- Соотношения между A(ω ) и L(ω ) A(ω ) 0,001 0,01 0.1 1 10 L(ω ) , дБ -60 -40 -20 0 20

100 40

1000 60

Частота ω в логарифмических частотных характеристиках измеряется в декадах. Одна декада соответствует изменению частоты в 10 раз. Соотношения между ω и lg(ω) приведены в таблице 2.2 Таблица 2.2- Соотношения между ω и lg(ω) ω, 1/сек 0,1 0,2 0,4 0,6 1 2 4 lg(ω),дек -1 -0,7 -0,4 0 0,3 0,6 0,23

6

8

10

0,77 0,93 1

20

40

1,3

1,6

Фазовый сдвиг ϕ (ω ) при построении в логарифмическом масштабе остается в тех же единицах (в радианах или в градусах). Логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ) называется зависимость относительной амплитуды, выраженной в децибелах, от частоты, выраженной в декадах: L(ω)=20 lgA(ω) Логарифмической фазовой характеристикой (ЛФХ) называется зависимость фазового сдвига, выраженного в радианах или в градусах, от частоты, выраженной в декадах: ϕ(ω) = f(lg (ω)) 2.2.2 Определение динамических свойств звеньев по частотным характеристикам

13

Рассмотрим частотные характеристики системы первого порядка, передаточная функция которой имеет вид k W (s) = Ts + 1 Частотная функция этой системы k W ( jω ) = = W ( jω ) e jϕ (ω ) , 1 + T 2ω 2 где амплитудная и фазовая характеристики определяются выражениями k , ϕ (ω ) = −arctgωT W ( jω ) = 2 2 1+ T ω На рисунке 2.1 а изображен график функции W ( jω ) W ( jω )

W ( jω / T )

k

k

0.707k

0.707k

0

ωB

a)

ω

0

б)

ωνB = 1

ωT = ων

Рисунок 2.1 – Иллюстрация полосы пропускания На графике ω В обозначает частоту, при которой коэффициент усиления системы в 2 раз меньше его значения при очень низких частотах; эта частота определяет полосу пропускания системы. Понятие полосы пропускания возникло при исследовании усилителей, и оно характеризует частоту, при которой мощность сигнала на выходе усилителя уменьшается в 2 раза по сравнению с ее максимальным значением на низких частотах. Для системы первого порядка полоса пропускания определяется из уравнения k k , = 2 1 + T 2ω B2 1 . Следовательно, постоянная времени Т имеет определенT ный смысл в частотной области. Иногда удобно использовать понятие нормированной частоты ων = Тω . Тогда

откуда ω B =

Wn ( jων ) = W ( jω ) 14

ω=

ων Т

jων ke jω =W( )= T 1 + ων2

График амплитудно-частотной характеристики, полученный в результате нормирования частоты, показан на рисунке 2.1б. Полоса пропускания теперь определяется частотой ωνB = 1 . Предположим теперь, что в данной системе первого порядка желательно уменьшить время нарастания в 2 раза. Это значит, что в выражении W(s) новая постоянная времени должна быть равна T / 2 . Соответственно, полоса пропускания увеличится в 2 раза. Для систем второго порядка передаточная функция имеет вид ω n2 1 W ( s) = 2 = s + 2ξω n s + ω n2 ( s / ω n ) 2 + 2ξ ( s / ω n ) + 1 Воспользуемся нормированной частотой ων = ω / ω n и получим выражение для амплитудной частотной характеристики 1 W n ( jω n ) = (1 − ων2 ) 2 + (2ξω v ) 2 Эта характеристика представлена графически на рисунке 2.2 для различных значений ξ. Из рисунка 2.2 видно, что при заданном значении ξ отношение ω B / ω n = const . Следовательно, при фиксированном значении ξ увеличение ω n во столько же раз увеличивает полосу пропускания

ω nT p =

π

1−ξ 2

При постоянном ξ увеличение ω n во столько же раз уменьшает T p и, следовательно, время нарастания.

15

тах = 5

W ( jω )

ξ = 0,1 ξ =0

3

0,25 2 0,5 1

0,707

0.707

ξ =1 1

ωВ ωп

2

3

ω = ων ωn

Рисунок 2.2 – Частотные характеристики системы второго порядка 2.2.3 Определение показателей качества переходного процесса по логарифмическим частотным характеристикам

По полученным графикам ЛАХ и ЛФХ можно определить основные динамические характеристики элементарных звеньев: t П - время переходного процесса, σ% - перерегулирование, Tk - период колебаний при переходном процессе, δ - статическая ошибка регулирования. Время переходного процесса при δ = 0,05 x ss определяется по формуле 3 tП = ,

ωs где ω s - частота сопряжения.

Период колебаний (для колебательного звена) 2π Tk =

ωs

Существует аналитическая связь между величиной перерегулирования и величиной ∆L(ω s ) = L(ω s ) − L(0) . Соотношения между ∆L(ω s ) и величиной перерегулирования показаны в таблице 2.3, данные которой можно использовать для определения σ. Таблица 2.3 – Соотношения между ∆L и σ% 16

∆L, дБ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 40 ∞

ξ 0,80 0,70 0,63 0,59 0,50 0,44 0,39 0,35 0,31 0,28 0,25 0,22 0,20 0,17 0,15 0,05 0,005 0,000

σ% 0,02 0,04 0,07 0,10 0,16 20 25 30 36 40 44 49 53 56 62 67 98 100

Время переходного процесса определяется для всех звеньев по ω s , кроме неустойчивых звеньев, где условно принимается t П → ∞ , и идеальных интегрирующих и дифференцирующих, где условно принимается t П → 0 . Перерегулирование и период колебаний определяются только для устойчивого колебательного звена. 2.3 Задание на выполнение работы

2.3.1 Получить АФЧХ и ЛЧХ элементарных динамических звеньев для параметров, указанных в таблице 1.2 при подаче на вход звеньев синусоидального воздействия с единичной амплитудой. 2.3.2 Построить АФЧХ апериодического и колебательного звеньев в виде зависимости модуля |W(jω)| от частоты ω. Определить полосу пропускания для параметров этих звеньев указанных в таблице 1.2 2.3.3 Определить по ЛЧХ частоты сопряжения для звеньев первого и второго порядка. 2.3.4 Определить время переходного процесса t П . 2.3.5 По графику ЛАХ определить ∆L(ω s ) , по таблице 3.2 определить перерегулирование σ%, рассчитать период колебаний Tk . 2.4 Содержание отчета

17

2.4.1 Название работы. 2.4.2 Цель работы. 2.4.3 Структурная схема для получения динамических характеристик звеньев. 2.4.4 Записать выражения АФЧХ, ЛЧХ для всех типовых динамических звеньев. Построить АФЧХ, ЛЧХ звеньев для параметров, заданных в таблице 1.2 в соответствии с вариантом, заданным преподавателем. 2.4.5 Построить АФЧХ для апериодического и колебательного звеньев в виде зависимости модуля |W(jω)| от частоты ω. Записать полученные значения для полос пропускания. 2.4.6 Построить ЛАХ и ЛФХ всех типовых звеньев. 2.4.7 Определить по графикам ЛЧХ частоты сопряжения и частоты среза динамических звеньев. 2.4.8 Определить время переходного процесса t П , перерегулирование σ%, период колебаний Tk , используя формулы п.2.2.3 и таблицу 2.3. 2.4.9 Записать выводы по результатам исследования. 2.5 Контрольные вопросы и задачи

2.5.1 Что такое частотная передаточная функция? 2.5.2 Что такое амплитудная характеристика? 2.5.3 Что такое фазовая характеристика? 2.5.4 Какие существуют способы построения АФЧХ? 2.5.5 Для чего используются АФЧХ звеньев (систем)? 2.5.6 Дать определение логарифмическим амплитудной и фазовой характеристикам. 2.5.7 Чему равен один децибел? В чем заключается физический смысл децибела? 2.5.8 Что такое частота сопряжения и частота среза на логарифмических частотных характеристиках? 2.5.9 Как определить полосу пропускания для звеньев первого порядка? 2.5.10 Как определить полосу пропускания для звеньев второго порядка? 2.5.11 Как по ЛАХ и ЛФХ определить основные динамические характеристики элементарных звеньев: t П – время переходного процесса, σ% - перерегулирование, Tk – период колебаний? 2.5.12 На рисунке 2.3 а изображен объект первого порядка, переходная функция которого имеет вид рисунок 2.3 б. Определить параметры передаточной функции: k, T. Объект первого порядка охвачен обратной связью, как показано на рисунке 2.3 в. Изобразите переходную функцию замкнутой системы.

18

R(s)

+

k Ts + 1 a) k Ts + 1

C(s)

с(t) 3 2,433

2

1,633

1

0.5

0

0,5

в)

1,0

1,5

2,0

б)

t c

Рисунок 2.3 – Структурные схемы и временная характеристика к задаче 2.4.12 2.5.13 Замкнутая система первого порядка на рисунке 2.4 а имеет переходную функцию, показанную на рисунке 2.4 б. Установившееся значение c(t) равно 0,96. Определите параметры Т и k. c(t) 0,96

1

0,60

R(s)

+

k Ts + 1 1

a)

C(s)

0.5

0

1

2

б)

t c

Рисунок 2.4 – Структурная схема и переходная функция САР

3 Лабораторная работа №3. Исследование замкнутых систем автоматического регулирования 3.1 Цель работы

19

Освоение структурных преобразований САР, исследование систем с единичной обратной связью, нахождение ошибки систем при включении различных регуляторов. 3.2 Общие сведения

3.2.1 Рассмотрим систему управления, изображенную на рисунке 3.1

вход x(t)

+

Регулятор W p (s )

Объект W0 ( s )

выход y(t)

Датчик H(s) Рисунок 3.1 – Замкнутая система управления Объект- это физическая система или процесс, подлежащие управлению, вместе с усилителями мощности, исполнительными устройствами, редукторами и т.д. Датчик – это прибор, который измеряет выходной сигнал системы и преобразует его в сигнал соответствующей природы, подаваемый на сумматор. Регулятор – это динамическая система, целенаправленно вводимая в контур, чтобы придать замкнутой системе желаемые свойства. Передаточная функция системы равна W p ( s )W0 ( s ) Y ( s) , (3.1) W ( s) = = X ( s) 1 + W p ( s )W0 ( s ) H ( s ) где W(s) - передаточная функция замкнутой системы; W p (s) - передаточная функция регулятора; W0 ( s ) - передаточная функция объекта регулирования; H(s) - передаточная функция цепи обратной связи. Обычно датчик обладает намного меньшей инерционностью по сравнению с объектом. Иначе говоря, полоса пропускания датчика много больше полосы пропускания объекта. Поэтому датчик может быть смоделирован в виде идеального коэффициента усиления, который обозначим H k . Если считать датчик чистым коэффициентом усиления, то передаточная функция сводится к виду W p ( s )W0 ( s ) Y (s) (3.2) W ( s) = = X ( s ) 1 + H k W p ( s )W0 ( s ) Для любой системы с одним входом и одним выходом справедливо следующее: система имеет переменную y(t), которой мы хотим управлять. Ее называют регулируемой переменной, или выходом системы; 20

система имеет входную переменную, или вход x(t), величина которой определяет желаемое значение выхода системы y d (t ) . При этом y(t) и y d (t ) не обязательно имеют одну размерность; разность между желаемым значением и его действительным значением есть ошибка системы e(t) e(t ) = y d (t ) − y (t ) (3.3) выход сумматора на рисунке 3.1 есть сигнал отклонения, так как он несет информацию о реакции объекта. Ошибка системы не является внутренним сигналом этой системы. В общем случае вход системы x(t) – это не то же самое, что и желаемый выход системы y d (t ) . Система с единичной обратной связью – это система, в которой коэффициент усиления в цепи обратной связи равен единице. Для системы с единичной обратной связью всегда справедливо следующее: размерность входа xu (t ) совпадает с размерностью выхода yu (t ) ; входной сигнал xu (t ) одновременно является желаемым значением выхода y d (t ) ; следовательно, ошибка системы есть не что иное, как сигнал отклонения (рисунок 3.2) eu (t ) = xu (t ) − yu (t ) (3.4)

X u (s )

+

Eu (s )

W p (s )

Yu (s )

W0 ( s )

Рисунок 3.2 – Система с единичной обратной связью Если датчик можно представить простым коэффициентом усиления, то структурная схема на рисунке 3.1 сводится к эквивалентной схеме с единичной обратной связью на рисунке 3.3. X (s)

1 Hk

X u (s )

+

Eu (s )

Hk

W p (s)

W0 ( s )

Y (s )

Рисунок 3.3 - Эквивалентная схема системы с единичной обратной связью Следует обратить внимание, что передаточная функция системы на рисунке 3.3 соответствует выражению (3.2). В этом случае передаточная функция 21

прямой цепи равна H k W p ( s)W0 ( s ) , а входом системы с единичной обратной связью является X u ( s ) = X ( s ) / H k . Значит, если за вход мы принимаем X u (s ) , то система может быть представлена в виде схемы на рисунке 3.2. Эта схема называется моделью с единичной обратной связью, для которой справедливы следующие предположения: датчик может рассматриваться как идеальный коэффициент усиления; эквивалентная передаточная функция прямой цепи равна H k W p ( s)W0 ( s ) ; входом модели с единичной обратной связью X u (s ) , является вход реальной системы, умноженный на 1 / Н k . Результат этих действий заключается в том, что в преобразованной модели входной сигнал xu (t ) , подаваемый на сумматор, имеет ту же размерность, что и выходной сигнал системы. В реальной же системе входной сигнал всегда имеет размерность выходного сигнала датчика. 3.2.2 Под законом регулирования (управления) понимается алгоритм или функциональная зависимость, определяющая управляющее воздействие u(t) на объект u(t)=F(x, g, f). Наличие чувствительности регулятора к пропорциональной, к интегральной или дифференциальной составляющим в первичной информации x(t), определяет тип регулятора: 1) P – пропорциональный; 2) I – интегральный; 3) PI – пропорционально интегральный (изодромный); 4) PD – пропорционально дифференциальный; 5) и более сложные варианты – PID, PIID, PIDD и т.д. Р-регулятор – это устройство, описываемое идеальным коэффициентом усиления K p . Этот тип регулятора используется тогда, когда желаемых показателей качества в переходном и установившемся режимах можно достичь простой настройкой коэффициента усиления системы, не прибегая к динамическим преобразованиям сигнала. Пропорциональное регулирование имеет вид u (t ) = W рег ( s ) x(t ) = kx(t ) В разомкнутом состоянии система будет характеризоваться передаточной функцией W ( s) = W рег ( s )W0 ( s ) = kW0 ( s ) Р–регулирование позволяет уменьшить установившуюся (статическую) ошибку, но только в 1+k раз, поэтому регулирование будет статическим, то есть при любом k, Х уст ≠ 0 . Интегральный закон регулирования имеет вид k u (t ) = W рег ( s ) x(t ) = 2 x(t ) s В разомкнутом состоянии передаточная функция системы будет иметь вид 22

k2 W0 ( s ) s I-регулирование позволяет исключить статическую ошибку в системе, то есть система будет астатической по отношению к задающему воздействию. Изодромное регулирование - PI. Закон изодромного регулирования имеет вид k u (t ) = W рег ( s ) x(t ) = (k1 + 2 ) x(t ) s В разомкнутом состоянии система будет характеризоваться передаточной функцией k W ( s ) = W рег ( s )W0 ( s ) = (k1 + 2 )W0 ( s ) s PI–регулирование сочетает точность I–регулирования и быстродействие P-регулирования. PID–регулирование определяется уравнением t dx(t ) u (t ) = k p x(t ) + k1 ∫ x(τ )dτ + k D dt 0 Передаточная функция имеет вид k W ( s ) = (k p + 1 + k D s )W0 ( s ) s PID–регулятор применяют в системах управления тогда, когда требуется улучшить как вид переходного процесса, так и точность в установившемся режиме. W ( s ) = W рег ( s )W0 ( s ) =

3.3. Задание на выполнение работы

3.3.1 Провести моделирование замкнутой системы автоматического регулирования в соответствии со схемой на рисунке 3.1 со следующими свойствами: 1) объект регулирования характеризуется передаточной функцией k W0 ( s ) = 2 2 1 T s + 2Tξs + 1 2) входное воздействие ступенчатого вида с коэффициентом k 2 ; 3) датчик H(s) имеет коэффициент k 3 ; 4) в качестве регулятора рассматриваются два варианта - Р-регулятор и PI-регулятор. Коэффициенты регуляторов подобрать самостоятельно исходя из требования получения наименьшей ошибки регулирования. 23

Коэффициенты для различных вариантов указаны в таблице 3.1 3.3.2 Преобразовать структурную схему заданной САР в модель с единичной обратной связью. Найти ошибку регулирования (используя табличные данные) для случая модели с Р-регулятором, рассмотреть три возможных коэффициента k регулятора. 3.3.3 Исследовать модель с PI регулятором, рассмотреть три варианта регуляторов с различным коэффициентом регулирования k. Определить ошибку регулирования системы, используя табличные данные, полученные моделированием. Таблица 3.1 – Параметры САР для выполнения работы Параметр k1 k2 k3 Т

ξ

Варианты заданий 1 2 3 10 8 5 2 4 6 3 2 5 0,2 0,4 0,5 0,7 0,8 0,6

4 12 10 6 0,1 0,7

5 15 8 8 0,2 0,8

6 7 4 4 0,3 0,6

7 9 2 2 0,5 0,7

8 10 4 5 0,2 0,8

9 14 6 3 0,1 0,6

10 12 10 6 0,3 0,7

3.4 Содержание отчета

3.4.1 Название работы. 3.4.2 Цель работы. 3.4.3 Структурные схемы для получения переходного процесса с регуляторами Р и PI-вида. 3.4.4 Преобразовать структурные схемы в модели с единичной обратной связью. Записать передаточную функцию для замкнутой системы регулирования для случаев с различными регуляторами. 3.4.5 Провести моделирование систем регулирования для заданных в таблице параметров (в соответствии с указанным преподавателем вариантом в таблице 3.1). Получить переходную функцию системы. 3.4.6 По виду полученных переходных характеристик и табличным данным определить ошибку регулирования системы для двух случаев: системы с Ррегулятором, системы с PI-регулятором. 3.4.7 Выводы по результатам исследований. 3.5 Контрольные вопросы и задачи

3.5.1 Из каких основных частей состоит система автоматического регулирования? 3.5.2 Что такое датчик, чем он характеризуется? 24

3.5.3 Что такое регулятор? 3.5.4 Что такое ошибка системы регулирования? 3.5.5 Что такое система с единичной обратной связью? 3.5.6 Какие структурные преобразования можно произвести в САР? Как определяется эквивалентная передаточная функция системы регулирования? 3.5.7 Что такое Р-регулятор? Его характеристики и достоинства. 3.5.8. Что такое изодромное регулирование? Его характеристики и достоинства. 3.5.9 На рисунке 3.4 изображены три структурные схемы: Е

G1

С

G2

+

Е

С

Ga

+

Е

Gс

+

+

F

H

+

F

Gb

a)

С

+

Gd

б)

F

в)

Рисунок 3.4 - Структурные схемы к задаче 3.4.9 Определите передаточные функции Ga и Gb так, чтобы схема 3.4 б была эквивалентна схеме 3.4 а. Определите передаточные функции Gc и Gd так, чтобы схема 3.4 в была эквивалентна схеме 3.4 а. 3.5.10 На рисунке 3.5 изображены три структурные схемы: Е

F

G1

G2

С

Е

F

H

a)

С

Ga

Е

Gc

С

Gd

F

Gb

б)

в)

Рисунок 3.5 - Структурные схемы к задаче 3.5.10 Определите передаточные функции Ga и Gb так, чтобы схема 3.5 б была эквивалентна схеме 3.5 а. Определите передаточные функции Gc и Gd так, чтобы схема 3.5 в была эквивалентна схеме 3.5 а. 4 Лабораторная работа № 4. Исследование устойчивости систем автоматического регулирования. Оценка качества регулирования

25

4.1 Цель работы

Применение критериев устойчивости для исследования систем автоматического регулирования, определение показателей качества регулирования систем. 4.2 Общие сведения

Понятие устойчивости системы регулирования связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. 4.2.1 Определение устойчивости по М.Я.Ляпунову

Невозмущенное движение (при ∆xi∞ = 0 ) называется устойчивым по отношению к переменным xi , если при всяком заданном положительном числе A 2 , как бы мало оно не было, можно выбрать другое положительное число λ2 ( A 2 ) , так, что для всех возмущений ∆xi 0 , удовлетворяющих условию n

∑ µi2 ∆xi20 ≤ λ2 ,

i =0

возмущенное движение будет для времени t ≥ T удовлетворять неравенству n

∑ µi2 ∆xi2 ≤ А2 , i =0

где µ i - коэффициенты, уравновешивающие размерности величин ∆xi 0 . Если с течением времени lim ∆xi → 0 , то система асимптотически устойчива. Устойчивость систем зависит от корней характеристического уравнения. Решение характеристического уравнения есть сумма экспоненциальных функций y (t ) = С1e s1t + С 2 e s2t + ... + С n e snt Рассмотрим варианты свободного движения систем от ненулевого начального положения при различных корнях характеристического уравнения s (рисунок 4.1) По рисунку 4.1 можно заметить, что для затухания переходного процесса и устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней были отрицательными, т.е. лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Система будет находиться на границе устойчивости при наличии: 1) нулевого корня; 2) пары чисто мнимых корней; 3) бесконечного корня.

26

y

y 2

C1e s1t

1 s1 = +α

1

s1, 2 = −α ± jβ

0 С1e s1t + С2 e s 2 t

s1 = −α 0

t

y

s1, 2 = ± jβ

y

1 С1e s1t

0

-1

-1

6 4 s2t + С2e 2 0 -2 -4 -6

t

С1e s1t + С2 e s 2 t

s1, 2 = +α ± jβ

t

t

Рисунок 4.1 – Графики движения систем при различных корнях характеристического уравнения 4.2.2 Критерий устойчивости Рауса-Гурвица Критерий Рауса-Гурвица используется при анализе устойчивости линейных стационарных систем. Он позволяет аналитически определить, все ли корни полинома имеют отрицательные действительные части. Вещественные части корней будут отрицательными в том случае, если все коэффициенты уравнения и диагональные миноры главного определителя будут положительными. Главный определитель составляется так, что по главной диагонали выписываются коэффициенты уравнения начиная с a1 в возрастающем порядке до a n . От каждого коэффициента главной диагонали по вертикали вверх выписываются коэффициенты с возрастающими и вниз – с убывающими индексами. Места в матрице коэффициентов с индексами больше n и меньше 0 заполняются нулями. Рассмотрим выражение критерия Гурвица для характеристического уравнения третьего порядка a0 s 3 + a1s 2 + a 2 s + a3 = 0 Главный определитель a1 a3 0 ∆ = a0

a2

0

0

a1

a3 27

Условие Гурвица a a3 ∆1 = 1 = а1а 2 − а0 а3 > 0 a0 a 2 Следовательно, система будет устойчивой, если все коэффициенты a0 , a1 , a 2 , a3 положительны и a1a 2 − a0 a3 > 0 4.2.3 Критерий устойчивости Михайлова

Чтобы все корни характеристического уравнения a0 s n + a1s n−1 + ... + a n−1 s + a n = 0 имели отрицательные вещественные части, необходимо, чтобы после подстановки частоты в соответствующий характеристический полином D(s) полное приращение его фазы при изменении частоты ω от нуля до бесконечности составляло nπ/2, где n – степень полинома D(s). При этом характеристический полином опишет в комплексной плоскости кривую - «годограф Михайлова». Свойства годографа Михайлова: 1) годограф всегда спиралевиден; 2) при ω=0, годограф начинается с точки на вещественной оси; 3) годограф уходит в бесконечность при ω → ∞ ; 4) при четном n, годограф стремится к бесконечности параллельно вещественной оси; при n – нечетном, годограф стремится к ∞ параллельно мнимой оси (рисунок 4.2). Замкнутая система устойчива в том случае, если годограф Михайлова при изменении ω от 0 до ∞ проходит в положительном направлении n квадрантов комплекса плоскости, начиная свое движение от положительной вещественной полуоси, и при этом нигде не обращается в нуль. 4.2.4 Критерий устойчивости Найквиста

Чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты ω от -∞ до +∞ амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватила точку (-1; j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости имеет характеристическое уравнение системы. Примечания 1 Если корней в правой полуплоскости нет, то АФЧХ не должна охватывать точку (-1; j0. 2 Неустойчивая система в разомкнутом состоянии может быть устойчивой в замкнутом состоянии, и наоборот. 3 АФЧХ всегда начинается на положительной полуоси, но при порядке астатизма r по причине устремления W(jω) к ∞ (при ω → ∞ ), видимая часть АФЧХ появляется только в квадранте r, отсчитанном по часовой стрелке. Примеры АФЧХ для статических САР приведены на рисунке 4.3: 1 – САР на колебательной границе устойчивости; 28

2 – абсолютно устойчивая САР; 3 – неустойчивая САР; 4 – условно устойчивая САР (только при изменении k в некотором диапазоне)

jQ(ω )

n=2

ω →∞

ω →∞

jQ(ω )

n=1

n=3

0 0

ω = 0 P(ω )

ω = 0 P(ω )

n=4

ω →∞

ω →∞

ω →∞

а) б) Рисунок 4.2 – Годограф Михайлова: а) для устойчивых систем; б) для неустойчивых систем. 1. -1

2. -1

jQ(ω )

jQ(ω )

3.

ω →∞ ω =0

-1

ω →∞

P(ω )

P(ω ) ω =0

4.

jQ(ω ) ω →∞

ω =0

P(ω )

jQ(ω )

-1

ω →∞ ω =0

P(ω )

Рисунок 4.3 – Примеры АФЧХ для различных САР На рисунке 4.4 показаны АФЧХ астатических САР и САР с чисто мнимыми корнями: 1) устойчивая САР с астатизмом первого порядка; 2) устойчивая САР с астатизмом второго порядка; 3) устойчивая САР с астатизмом третьего порядка; 4) неустойчивая САР с консервативным звеном; 5) устойчивая САР с консервативным звеном (коррекция выполнена фазовращающим звеном).

29

1.

+j Q(ω )

-1,j0

+j Q(ω )

2. -1,j0

ω →∞

r=1 P(ω )

ω →0

3.

ω →0 -1,j0

ω →∞

r=2 P(ω )

+j Q(ω )

ω →∞ r=3 P(ω )

ω →0 +j Q(ω )

4.

+j Q(ω )

5. -1,j0

-1,j0 r=1 P (ω )

ω →0

ω →∞ r=1

P(ω )

ω →0

Рисунок 4.4 – Примеры АФЧХ астатических САР и САР с чисто мнимыми корнями 4.2.5 Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

Метод основан на возможности суждения об устойчивости замкнутой системы по взаимному расположению логарифмических амплитудной и фазовой характеристик системы в разомкнутом состоянии. Система устойчива, если L(ω ) = 20 lg W ( jω ) < 0 , т.е. ордината логарифмической амплитудной характеристики будет иметь отрицательный знак на частоте, при которой фазовая характеристика пересекает линию –π (рисунок 4.5) На рисунке 4.5 показаны запас устойчивости по модулю - отрезок АВ, и запас устойчивости по фазе - отрезок СД.

30

L(ω ) дБ

L(ω ) дБ

L(ω )

ωс

L(ω )

ωс

ω

L(ω ) дБ

A

ϕ (ω )

ϕ (ω )

ω

L(ω )

ϕ (ω )

ωс ω

B С

−π ϕ (ω ) град

a)

−π ϕ (ω ) град

D б)

−π ϕ (ω ) град

в)

Рисунок 4.5 – Определение устойчивости по ЛЧХ: а) система находится на границе устойчивости; б) устойчива; в) неустойчива 4.2.6 Оценка качества регулирования

Качество любой системы регулирования определяется величиной ошибки x(t ) = g (t ) − y (t ) = Ф x ( p ) g (t ) Но функцию ошибки x(t) для любого момента времени трудно определить, поскольку она описывается с помощью дифференциальных уравнений системы - Ф x ( p ) - высокого порядка, и зависит от большого количества параметров системы. Поэтому оценивают качество САР по некоторым ее свойствам. Все критерии качества регулирования разделяют на четыре группы: 1) критерии точности – используют величину ошибки в различных типовых режимах; 2) критерии величины запаса устойчивости – оценивают удаленность САР от границы устойчивости; 3) критерии быстродействия – оценивают быстроту реагирования САР на появление задающего и возмущающего воздействий; 4) интегральные критерии – оценивают обобщенные свойства САР: точность, запас устойчивости, быстродействие. Существуют два основных подхода к оценке качества: 1) первый использует информацию о временных параметрах системы; 2) второй использует информацию о некоторых частотных свойствах системы: полоса пропускания, относительная высота резонансного пика и т.д. 4.2.7 Оценка запаса устойчивости и быстродействия по переходной характеристике (рисунок 4.6)

31

y

σ ,% 1,0 tн min

0,5 tmax

2∆

ymax

y∞

tП

0

tн max

t

Рисунок 4.6 – Переходная функция САР Запас устойчивости САР оценивают по величине перерегулирования σ = [( y max − y ∞ ) / y ∞ ] ⋅ 100 , [%] В таблице 4.1 приведены показатели качества, характерные для различных САР (часто применяемых, редко применяемых и т.д.). Таблица 4.1 – Варианты σ Варианты σ Применяемость Запас по фазе Число колебаний

0% редко 90° 0

10 – 30 % часто 60° - 30° 1,2

50 – 70 % избегают 30° - 10° 3,4,…

Быстродействие САР оценивают по времени окончания переходного процесса t П , при заданной допустимой ошибке ∆ . ∆∈ 5; 2,5; 1,5; 1; 0,5; .. [%] от y ∞ Время нарастания ограничено: t н min - допустимым ускорением координат и предельными колебательными режимами; t н max - требуемым быстродействием. Следующий показатель качества характеризует число колебаний N p регулируемой величины в течении времени переходного процесса t П . В таблице 4.1 показано, что наиболее часто применяются САР с числом колебаний 1,2. На рисунке 4.7 показаны дополнительные показатели качества регулирования: - собственная частота колебаний системы ω 0 = 2π / T0 , 32

где Т 0 - период собственных колебаний системы; - логарифмический декремент затухания колебательного процесса q α c = ln i max , qi +1max где q j max и q j +1max - две амплитуды для расположенных рядом экстремумов кривой переходного процесса; - максимальная скорость отработки регулируемой величины  dy   dx  max y

qi max

1

qi +1 max

T0

 dy   dt  max

0

t

Рисунок 4.7 – Переходной процесс САР 4.3 Задание на выполнение работы 4.3.1 Провести моделирование переходного процесса САР в соответствии со схемой рисунок 4.8 и вариантом в таблице 4.2 (указывается преподавателем). Входное воздействие – единичное ступенчатое. + -

W1 ( s )

W2 ( s )

Рисунок 4.8 – Структурная схема исследуемой САР 4.3.2 Записать передаточную функцию разомкнутой системы. Записать характеристическое уравнение системы. Определить устойчивость по критерию Рауса-Гурвица. 4.3.3 Построить АФЧХ разомкнутой системы, определить устойчивость САР по критерию Найквиста. Определить запасы устойчивости по модулю и фазе. 4.3.4 Построить ЛЧХ разомкнутой системы, определить устойчивость и запасы устойчивости по модулю и фазе. 4.3.5 По переходной характеристике САР определить основные и дополнительные показатели качества регулирования. Таблица 4.2 – Варианты заданий 33

W1 ( s ) W2 ( s ) k1 k2 Т1 , с Т2,с Т3,с

1 k1 (T1s + 1) T2 s + 1 k2 s (T3 s + 1) 12 6 1,4 0,8 2,4

2 k1 s

3

4 k1 k1 (T1s + 1) T1s + 1 T2 s + 1 k2 k2 k2 (T1s + 1)(T2 s + 1) s s (T3 s + 1) 19 16 10 10 10 4 0,8 1,2 1,2 0,9 0,6 2,1

5 k1 s

6

k1 T1s + 1 k2 k2 (T1s + 1)(T2 s + 1) s 17 10 8 7 0,6 0,9 0,7 -

4.4 Содержание отчета

4.4.1 Название работы. 4.4.2 Цель работы. 4.4.3 Структурная схема исследуемой САР. 4.4.4 Передаточная функция системы, характеристическое уравнение. 4.4.5 Определить устойчивость по критерию Рауса-Гурвица. Записать матрицу и условие устойчивости. 4.4.6 График АФЧХ заданной САР. Показать все графические построения, необходимые для определения запасов устойчивости. 4.4.7 Графики ЛАХ и ЛФХ, графические построения для определения запасов устойчивости. 4.4.8 График переходной функции системы. Оценка показателей качества регулирования. 4.4.9 Выводы по результатам исследований. 4.5 Контрольные вопросы

4.5.1 Что такое устойчивость САР? 4.5.2 Что значит устойчивость по М.Я.Ляпунову? 4.5.3 В чем заключается суть критерия Рауса-Гурвица? 4.5.4 Каково правило составления главного определителя? 4.5.5 В чем заключается критерий устойчивости Михайлова? 4.5.6 Какие свойства годографа Михайлова вы знаете? 4.5.7 Какой вид имеет годограф Михайлова для неустойчивых систем? 4.5.8 В чем заключается критерий устойчивости Найквиста? 4.5.9 Приведите примеры абсолютно устойчивой САР, САР на границе устойчивости, неустойчивой САР. 4.5.10 Как определить устойчивость САР по ЛЧХ? 34

4.5.11 Как определить устойчивость САР, имеющей неустойчивые звенья по взаимному расположению ЛЧХ? 4.5.12 В чем заключается оценка качества регулирования? 4.5.13 Дать определение основных показателей качества регулирования. 4.5.14 Дать определение дополнительных показателей качества регулирования. 4.5.15 Даны характеристические равнения систем автоматического регулирования. Применив критерий Рауса-Гурвица, определить устойчивость систем: 1) s 3 + 2 s 2 + 3s + 1 = 0 ; 2) − s 3 − 2 s 2 − 3s − 1 = 0 ; 3) s 3 + 2 s 2 + 3s − 1 = 0 ; 4) s 4 + s 3 + s + 2 = 0 ; 5) s 4 + s 2 + 1 = 0 ; 6) s 4 − 1 = 0 . 5 Лабораторная работа №5. Исследование нелинейных систем 5.1 Цель работы

Исследование характеристик нелинейных систем 5.2 Общие сведения 5.2.1 Свойства нелинейных систем

Линейной системой называется такая система, для которой применим принцип суперпозиции. Предположим, что c1 (t ) есть реакция системы на входной сигнал r1 (t ) , а c 2 (t ) - реакция на сигнал r2 (t ) . Тогда, если система является линейной, ее реакция на сигнал a1r1 (t ) + a 2 r2 (t ) , где a1 и a 2 константы, равна a1c1 (t ) + a 2 c 2 (t ) . Нелинейной системой называется такая система, для которой не применим принцип суперпозиции. Приведем некоторые примеры нелинейных систем: с&(t ) + c 2 (t ) = r (t ) ; с&(t ) + sin[c(t )] = r (t ) ; & с& (t ) + 3с&(t ) + 2с&(t )c(t ) = r (t ) . Первое из этих уравнений является нелинейным, потому что оно содержит переменную с(t) в квадрате; второе – потому что содержит функцию (sin) 35

от переменной с(t); третье – потому что в него входит произведение переменной с(t) и ее производной. Стационарная система – это система, параметры которой не зависят от времени. В противном случае система является нестационарной. Примером нестационарной системы может служить система, описываемая уравнением с&(t ) + (cos t )c(t ) = r (t ) Здесь один из коэффициентов линейного дифференциального уравнения является функцией времени. Для решения этого дифференциального уравнения нельзя использовать преобразование Лапласа. Мы не сможем найти преобразование Лапласа для второго члена уравнения, если неизвестно c(t); преобразование Лапласа для произведения двух функций не равно произведению их преобразований. Преобразование Лапласа не может быть использовано для решения линейных дифференциальных уравнений с переменными параметрами и нелинейных дифференциальных уравнений любого вида. Одним из свойств нелинейных систем является то, что их устойчивость может зависеть от входных сигналов и от начальных условий. Например, некоторая нелинейная система может быть устойчивой при входном сигнале r1 (t ) , но неустойчивой при входном сигнале r2 (t ) . Несколько характерных особенностей нелинейных систем. 1 Предельный цикл. Периодические незатухающие колебания в нелинейной системе называются предельным циклом. В общем случае предельный цикл не является синусоидальным. В линейной стационарной системе периодические незатухающие колебания являются синусоидальными, а их амплитуда определяется как величиной внешнего воздействия, так и начальными условиями. В нелинейных системах амплитуда незатухающих колебаний не зависит от внешнего воздействия и от начальных условий. 2 Частота вынужденных колебаний при периодическом входном воздействии. При подаче на вход нелинейной системы периодического воздействия частота вынужденных колебаний на выходе может быть либо субгармоникой, либо гармоникой входного сигнала. Например, если частота входного воздействия равна 10 Гц, то на выходе колебания могут иметь частоту 5 Гц (субгармоника) или 30 Гц (гармоника). 3 Явление скачкообразного резонанса. Это явление проиллюстрировано на рисунке 5.1, где приведены амплитудно-частотные характеристики линейной и нелинейной системы.

реакция

реакция

Линейная система 36

ω

Нелинейная система

ω

Рисунок 5.1 – Явление скачкообразного резонанса Предположим, что на вход нелинейной системы подан синусоидальный сигнал с постоянной амплитудой. Тогда при увеличении частоты входного сигнала при некотором ее значении может произойти резкий скачок амплитуды выходного сигнала. Если затем уменьшать частоту входного сигнала, то произойдет обратный скачок амплитуды выходного сигнала, но уже при другом значении частоты. Это явление называется скачкообразным резонансом. 4 Множество состояний равновесия. В устойчивой линейной системе при отсутствии входного воздействия все переменные состояния с течением времени стремятся к нулю (к началу координат пространства состояний). В устойчивой нелинейной системе могут существовать несколько различных состояний равновесия, отличных от x = 0, к которым система стремится с течением времени при отсутствии входного воздействия. К какому именно из этих состояний стремится система зависит от начальных условий. Это условие эквивалентно тому, что если нелинейную систему вывести из некоторого положения равновесия, она может вернуться в любое из других положений равновесия в зависимости от величины возмущения. 5.2.2 Описывающая функция

Метод описывающей функции применим к системам, которые содержат только одну нелинейность. Такая система показана на рисунке 5.2. На схеме НЭ – нелинейность систем, G (s) – это объект регулирования, в общем случае может включать в себя передаточные функции регулятора и датчика.

r(t)=0

+

m(t)

НЭ

n(t)

G(s)

c(t)

Рисунок 5.2 – Нелинейная система Заметим, что входной сигнал системы равен нулю, такую систему будем называть свободной. Если эта система является стационарной, то ее называют автономной. Предположим, что на вход данной системы подан синусоидальный сигнал m(t ) = M sin ωt Тогда в установившемся режиме сигнал n(t) будет периодическим, но несинусоидальным. Такой сигнал можно представить в виде ряда Фурье: ∞ A0 ∞ n(t ) = + ∑ Ak coskωt + ∑ Bk sin kωt 2 k =1 k =1 37

Если нелинейность симметрична относительно амплитуды входного сигнала, то можно ограничиться случаем, когда A0 = 0 . Предположим также, что G(s) соответствует фильтру низких частот, так, что |G(jω)| имеет малые значения для высших гармоник сигнала n(t) по сравнению с его значением для основной частоты. Тогда выходной сигнал c(t) можно записать в виде c(t ) = C sin(ωt + θ ) Это допущение лежит в основе метода описывающей функции. Высшими гармониками в сигнале n(t) тогда можно пренебречь, так как они оказывают малое влияние на c(t). В результате сигнал n(t) можно аппроксимировать выражением n(t ) ≈ A1 cos ωt + B1 sin ωt = A1 sin(ωt + 90 0 ) + B1 sin ωt = N1 sin(ωt + ϕ )

где N1e jω = B1 + jA1 . Таким образом, сигнал n(t) можно аппроксимировать синусоидой той же частоты, что и m(t), но имеющей другую амплитуду и фазу. Поэтому нелинейность можно представить в виде комплексного коэффициента усиления B1 + jA1 N1e jϕ N (M ,ω ) = = M M Этот эквивалентный сигнал усиления называется описывающей функцией и показывается на схеме так, как на рисунке 5.3. M sin ω t

НЭ

n(t )

M sin ω t

N

A1 cos ωt + B1 sin ωt

B1 + jA1 M Рисунок 5.3 – Представление описывающей функции N=

Описывающая функция N(M,ω) в общем случае зависит как от амплитуды, так и от частоты входной синусоиды. Отметим два допущения, связанных с определением описывающей функции: 1) входной сигнал нелинейности является синусоидальным; 2) линейная система, следующая за нелинейностью является фильтром низких частот и ослабляет высшие гармоники. 5.2.3 Идеальное реле

Рассмотрим идеальную релейную характеристику, изображенную на рисунке 5.4

38

Выход v

v

Выход n(t) T/2 0

Вход

-v

t

t

-v T

T/2

Вход М sin ωt

0 Рисунок 5.4 – Идеальная релейная характеристика Из рисунка видно, что при синусоидальном входном сигнале на выходе имеют место прямоугольные колебания. Так как выход является нечётной функцией, то А1 = 0 , T

2 B1 = ∫ n(t ) sin ωtdt T0

ω = 2π / T ⇒ B1 =

2V

π

(− cos π + 1) =

4V

π

Таким образом, описывающая функция для идеального реле равна B + jA1 4V N (M ,ω ) = 1 = M πM При сформулированных выше допущениях нелинейность может быть заменена эквивалентным коэффициентом усиления N(M,ω) (рисунок 5.5). Этот коэффициент обратно пропорционален амплитуде входной синусоиды и уменьшается с ростом амплитуды М. Это очевидно из самого вида нелинейности, так как с возрастанием амплитуды входного сигнала амплитуда выходного сигнала остается постоянной.

M sin ω t

v

n(t )

M sin ω t

-v

4V πM

4V

π

sin ωt

Рисунок 5.5 – Описывающая функция идеального реле 5.2.4 Использование описывающей функции

39

Для наиболее распространенных нелинейных систем описывающие функции приведены в приложении А. Чтобы упростить использование некоторых описывающих функций из приложения А, был выделен член, являющийся общим для многих из них – N s (x) , и в таблицу 5.1 сведены результаты вычислений. Функция N s (x) определяется выражением 2 1 1 1  N s ( x) = arcsin + cos(arcsin ) π x x x  Для однозначных нелинейностей эти функции являются вещественными, так как они не приводят к появлению фазового сдвига синусоидального сигнала. В случае неоднозначных нелинейностей прохождение через них синусоидального сигнала сопровождается фазовым сдвигом, поэтому для них описывающие функции являются комплексными. Таблица 5.1 – Значения функции N s (x) N s (x) N s (x) х 2 4 3 1,000 9,0 0,141 0,781 9,5 0,134 0,609 10,0 0,127 0,495 10,5 0,121 0,416 11,0 0,116 0,359 11,5 0,111 0,315 12,0 0,106 0,281 12,5 0,102 0,253 13,0 0,0978 0,230 14,0 0,0909 0,211 15,0 0,0848 0,195 19,0 0,0670 0,181 25,0 0,0509 0,169 30,0 0,0424 0,159 50,0 0,0255 0,149 100,0 0,0127 Описывающая функция используется при анализе устойчивости систем, имеющих нелинейные элементы. Сформулируем основные положения анализа методом описывающей функции. В нелинейной системе возникает предельный цикл, если входной сигнал нелинейности будет приблизительно синусоидальным и будет полностью восстанавливаться в замкнутом контуре. Необходимо определить, существует ли амплитуда М и частота ω такие, при которых коэффициент усиления разомкнутого контура от входа нелинейности к той же самой точке равен единице при условии, что нелинейность заменена ее описывающей функцией. Для преобразования системы, изображенной на рисунке 5.6, записывается уравнение (5.1) 1 + N ( M , ω )G ( jω ) = 0 х 1 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5

40

Если при некоторых значениях М и ω это уравнение удовлетворяется, то можно предсказать существование предельного цикла в нелинейной системе.

r (t ) = 0

+

M sin ωt

N ( M ,ω )

A1 cos ωt + B1 sin ωt

G ( jω )

c(t )

-

Рисунок 5.6 – Схема для анализа нелинейной системы методом описывающей функции Уравнение (5.1) можно записать в виде 1 (5.2) G ( jω ) = − N (M ,ω ) и изобразить обе части этого уравнения на комплексной плоскости. Если при некотором значении ω две кривые пересекаются, то уравнение 5.2 имеет решение, и в нелинейной системе возможно существование предельного цикла. Значение М и ω в точке пересечения соответствуют амплитуде и частоте синусоидального сигнала на входе нелинейности. В нелинейных системах существуют два типа предельных циклов. В устойчивом предельном цикле амплитуда колебаний возвращается к прежнему значению после своего изменения, вызванного тем или иным возмущением. В противном случае предельный цикл называется неустойчивым. Если, например, в некоторой нелинейной системе возможен неустойчивый предельный цикл, то при уменьшении амплитуды колебаний за счет какого-либо фактора эти колебания с течением времени затухнут. И наоборот, если амплитуда колебаний увеличится, то она будет неограниченно возрастать. 5.3 Задание на выполнение работы

5.3.1 С помощью метода описывающей функции исследовать возможность возникновения в данной системе предельного цикла. 5.3.2 Определить амплитуду и частоту колебаний. 5.3.3 Исследовать устойчивость предельного цикла. 5.3.4 Варианты заданий Схема для вариантов 1, 2, 3 приведена на рисунке 5.7. Нелинейность имеет вид идеального реле.

r (t ) = 0

c(t )

1

+

-

G(s) -1

Рисунок 5.7 – Схема для вариантов 1, 2, 3 41

Схема для вариантов 4, 5, 6 приведена на рисунке 5.8. Нелинейный элемент представлен в виде усилителя с насыщением.

r (t ) = 0

+

10 -2

-

2

c(t ) G(s)

-10

Рисунок 5.8 – Схема для вариантов 4, 5 ,6 Передаточные функции объекта G(s) для разных вариантов приведены в таблице 5.2.

Таблица 5.2 – Передаточные функции объекта регулирования G(s) Варианты 1 2 3 4 5 6 2 2 2 12 100 2( s + 5) 2 2( s + 5) ( s + 1) ( s + 1) G(s) 2 s ( s + 1)( s + 10) s 2 ( s + 1) 2s 3 2s 3 s 2 ( s + 1) s ( s + 2)

5.4 Содержание отчета

5.4.1 Название работы 5.4.2 Цель работы. 5.4.3 Структурная схема исследуемой САР. 5.4.4 Записать вид описывающей функции для нелинейного элемента заданной системы. 5.4.5 Преобразованная схема нелинейной системы. 5.4.6 Построить функции G ( jω ) и − 1 / N ( M ) на комплексной плоскости. 5.4.7 Определить амплитуду М и частоту ω предельного цикла, соответствующие точке пересечения графиков G ( jω ) и − 1 / N ( M ) . Определить период колебаний T = 2π / ω . 5.4.8 Записать выражение для выходного сигнала c(t), подставив вычисленное значения амплитуды М и частоты ω. 5.4.9 Сделать вывод об устойчивости предельного цикла. 5.5 Контрольные вопросы

42

5.5.1 Какая система называется нелинейной? 5.5.2 Назовите основные типы нелинейностей? 5.5.3 Что такое неоднозначная нелинейность? 5.5.4 Какие вы знаете способы построения статических характеристик при параллельном и последовательном соединении нелинейных элементов. 5.5.5 Что такое стационарная система? 5.5.6 Назовите основные свойства нелинейных систем. 5.5.7 Что такое описывающая функция? 5.5.8 Как используют описывающую функцию? 5.5.9 Что такое предельный цикл? 5.5.10 От чего зависти устойчивость предельного цикла? 5.5.11 Какие существуют методы анализа нелинейных систем? 5.5.12 В чем заключается метод гармонической линеаризации? 5.5.13 В чем заключается метод фазовой плоскости? 5.5.14 Какие существуют способы подавления автоколебаний в нелинейных системах? 6 Лабораторная работа №6. Синтез корректирующих устройств 6.1 Цель работы

Исследование систем автоматического регулирования при подключении последовательных и параллельных корректирующих устройств. 6.2 Общие сведения

Синтез систем автоматического регулирования является основной стадией проектирования, получившей широкое практическое применение. Сущность задачи синтеза заключается в таком выборе структурной схемы системы, ее параметров и таком конструктивном решении, при которых обеспечиваются требуемые показатели качества и точности процессов регулирования, а сама система состоит из наиболее простых устройств управления. В систему автоматического регулирования обычно входят объект регулирования и два типа устройств управления. К первому типу устройств управления обычно относят усилительное устройство, усилитель мощности и измерительное устройство, которые практически невозможно изменять в процессе синтеза систем регулирования. Ко второму типу относят корректирующее устройство и электронный усилитель, то есть те устройства, которые легко можно изменять в процессе синтеза. В результате этого всю систему автоматического регулирования можно разделить на две части: объект регулирования, исполнительное устройство, усилитель мощности и измерительное устройство – так называемая неизменяемая часть системы, и корректирующее устройство с согласующим усилителем – изменяемая часть системы.

43

6.2.1 Последовательные и параллельные корректирующие устройства

В системах автоматического регулирования возможно применение корректирующих устройств последовательного и параллельного действия. Иногда могут быть применены одновременно последовательные и параллельные корректирующие устройства. Корректирующие устройства последовательного действия являются наиболее простыми и применяются в таких системах регулирования, в которых практически отсутствуют сигналы шумов или помех. Системы с последовательной коррекцией имеют большую частоту среза, что предъявляет высокие требования к динамическим характеристикам двигателей исполнительных устройств. Последовательные корректирующие устройства достаточно чувствительны к изменениям их параметров, что требует применения высокостабильных конденсаторов и резисторов. Параллельные корректирующие устройства снижают частоту среза системы и делают ее малочувствительной к помехам и шумам. Существенным преимуществом параллельной коррекции является то, что она уменьшает влияние нестабильности и нелинейности характеристик устройств управления, стоящих в прямой цепи, на характеристики переходных процессов всей системы. Совместным включением последовательного и параллельного корректирующих устройств можно избежать недостатков, присущих каждому из них в отдельности, и получить высококачественную систему автоматического регулирования. 6.2.2 Коррекция путем изменения коэффициента усиления

Рассмотрим способ коррекции путем изменения коэффициента усиления k. На рисунке 6.1 а изображена замкнутая система, в которой регулятор Gc (s ) представлен просто коэффициентом k. Это соответствует пропорциональному, или П-регулятору. Предположим, что нескорректированная система имеет диаграмму Найквиста, изображенную на рисунке 6.1б. Изменение коэффициента k может только пропорционально расширить или сжать диаграмму, но никак не повлияет на ее форму.

+ -

Регулятор

Объект

Gc (s )

G p (s )

-1

Датчик H (s )

а) б) Рисунок 6.1 – Система с коррекцией и типичная диаграмма Найквиста 44

Следовательно, в данном примере мы можем обеспечить требуемый запас устойчивости по фазе, но вынуждены будем согласиться как с частотой, на которой он будет иметь место, так и с результирующим запасом по модулю. Тот же эффект можно пронаблюдать на логарифмических характеристиках этой системы (рисунок 6.2).

L(ω ) дБ

L1 (ω )без коррекции L2 (ω )

0

скорректированной системы

h1

ϕ

запасы ω по модулю1 / с

h2

град 0

ω 1/ с

-90

γ2 -180

γ1

запасы по фазе

Рисунок 6.2 – Коррекция путем изменения коэффициента усиления На рисунке 6.2 показан запас по фазе нескорректированной системы. Показано также, что произойдет, если в систему ввести регулятор с коэффициентом усиления, меньшим единицы: амплитудная характеристика сместится вниз ( L2 (ω ) ), не изменив своей формы, а фазовая характеристика останется неизменной. Таким образом, запас по фазе увеличится и будет равным γ 2 . Но, поскольку частота, на которой будет иметь место новый запас по фазе станет меньше, то соответственно уменьшится и полоса пропускания системы. Это приведет к увеличению времени нарастания переходной функции, но так как запас по фазе увеличится, то перерегулирование у переходной функции должно уменьшиться. 6.2.3 Коррекция с отставанием по фазе

Будем считать, что регулятор имеет передаточную функцию первого порядка

Gc ( s ) =

1 + s /ω0 1 + s /ω p 45

Коэффициент усиления регулятора равен единице. Задачей синтеза является определение нуля передаточной функции регулятора - ω 0 и ее полюса ω p так, чтобы замкнутая система обладала требуемыми характеристиками. Рассмотрим два случая. Если ω 0 > ω p , то регулятор будет обладать отставанием по фазе, а при ω 0 < ω p он будет обеспечивать опережение по фазе. Логарифмические характеристики для регулятора при единичном коэффициенте усиления и ω 0 > ω p изображены на рисунке 6.3

L(ω ) дБ 0

ωp

ω0 -20

20 lg

ωp ω0

ω 1/ с

ϕ град 0

ωm ω 1/ с

θm -90 Рисунок 6.3 – Логарифмические амплитудная и фазовая характеристики для регулятора с отставанием по фазе Амплитудно-частотная характеристика представлена кусочно-линейной аппроксимацией. Фазо-частотная характеристика всегда отрицательна, а максимальный сдвиг по фазе θ m меньше 90°. Можно показать, что θ m имеет место на частоте ω m , являющейся средним геометрическим ω 0 и ω p , то есть

ω m = ω pω 0 Регулятор с отставанием по фазе применяется с целью уменьшения коэффициента усиления на высоких частотах и введения отрицательного сдвига по фазе. Усиление на высоких частотах уменьшается соответственно выражению 1 + jω / ω 0 ω p lim Gc ( jω ) = lim = ω →∞ ω →∞ 1 + jω / ω p ω0 Регулятор с отставанием по фазе по сути является фильтром низких частот, то есть высокие частоты ослабляются им по сравнению с низкими. Нам известно, что уменьшение коэффициента усиления системы улучшает ее устойчивость, а появление дополнительного отрицательного сдвига стремится ухудшить устойчивость. Поэтому при синтезе регулятора с отставанием по фазе на46

до соблюдать осторожность с тем, чтобы его введение в систему не слишком сильно повлияло на устойчивость. Регулятор с отставанием по фазе влияет на характеристики системы в высокочастотной области аналогично коррекции путем уменьшения коэффициента усиления. Но в области низких частот влияние регулятора сказывается не так сильно. Поэтому характеристики системы, обусловленные низкими частотами, практически не изменяются, тогда как запасы устойчивости значительно улучшаются. Влияние регулятора с отставанием по фазе можно проиллюстрировать с помощью логарифмических характеристик на рисунке 6.4. Значения нуля и полюса регулятора, ω 0 и ω p , выбраны достаточно малыми в сравнении с частотой, при которой G p ( jω ) H ( jω ) = 1 . Благодаря этому отставание по фазе, вносимое регулятором, окажет малое влияние на вид диаграммы Найквиста в окрестности точки (-1; j0). Усиление системы в области высоких частот уменьшится в ω 0 / ω p раз, что приведет к увеличению запаса по фазе

ϕ (ω ) без ϕ (ω ) c

корр

корр

= arg G p ( jω ) H ( jω )

= arg Gc ( jω )G p ( jω ) H ( jω )

Вся процедура синтеза регулятора с отставанием по фазе сводится к следующим шагам: 1) дополнить передаточную функцию G p ( s ) H ( s ) коэффициентом K с , удовлетворяющим требованиям к системе в области низких частот; 2) определить частоту ω1 , на которой arg K c G p ( jω ) H ( jω ) = −180 + ϕ m + 5 0 , где ϕ m - требуемый запас по фазе; 3) задать значение нуля регулятора ω 0 = 0.1ω1 ; 4) отношения полюса к его нулю определяется выражением ωp 1 = , ω 0 K c G p ( jω 1 ) H ( jω 1 ) тогда

ωp =

0.1ω1 K c G p ( jω 1 ) H ( jω 1 )

;

5) в результате передаточная функция регулятора принимает вид K (1 + s / ω 0 ) . Gc ( s ) = c 1+ s /ω p

47

L(ω ) дБ

L(ω ) без коррекции L(ω ) с коррекцией

0

ωp

ω0

ω1

ϕ град 0

ωp ω 20 lg 1/ с ω0

ϕ (ω ) без коррекции

ω 1/ с

− 90

ϕ (ω )

с коррекцией

− 180

запас по фазе с коррекцией

запас по фазе без коррекции

Рисунок 6.4 – Синтез регулятора с отставанием по фазе 6.2.4 Коррекция с опережением по фазе

При синтезе регулятора с опережением по фазе будем считать, что он обладает единичным коэффициентом усиления и имеет передаточную функцию 1+ s /ω0 Gc ( s ) = 1+ s /ω p

ω0 < ω p Требуется определить значения ω 0 и ω p , удовлетворяющие заданным требованиям к замкнутой системе на рисунке 6.1, имеющей характеристическое уравнение 1 + Gc ( s )G p ( s ) H ( s ) = 0

48

L(ω ) дБ 20 lg

ωp ω0

ϕ

0

-20

ω0

ωp

ω 1/ с

град 90

θm

0

ω0

ωm

ωp

ω

1/ с Рисунок 6.5 – ЛЧХ для регулятора с опережением по фазе Общий вид логарифмических характеристик для регулятора с опережением по фазе представлен на рисунке 6.5. Из диаграммы видно, что такой регулятор по сути является фильтром высоких частот, так как для них коэффициент передачи значительно больше, чем для низких частот. Увеличение усиления на высоких частотах ухудшает устойчивость системы. Однако, положительный сдвиг по фазе, создаваемый регулятором, стремиться повернуть диаграмму Найквиста от точки (-1; j0) и таким образом улучшает устойчивость. Максимальный фазовый сдвиг имеет место на частоте ω m = ω 0ω p Значение θ вычисляется с помощью соотношения ω 0  1 ωp − tgθ m =  2  ω 0 ω p  Коэффициент усиления регулятора на частоте ω m

Gc ( jω m ) =

ωp ω0

На рисунке 6.6 показаны логарифмические характеристики при синтезе регулятора с опережением по фазе. Синтез регулятора сводится к следующему: 1. Выбрать нуль регулятора (ω 0 ), расположенный вблизи от точки пересечения АФЧХ функции G p ( jω )H ( jω ) уровня 0 дБ, как показано на рисунке 6.6.

49

L(ω ) дБ

Gc ( jω )G p ( jω ) H ( jω ) с коррекцией

0

ω0

ωp

ω

ϕ

1/ с

град 0

ω 1/ с

− 90 − 180

запас по фазе без коррекции

запас по фазе с коррекцией

arg Gc ( jω )G p ( jω ) H ( jω )

arg G p ( jω ) H ( jω )

Рисунок 6.6 – Синтез регулятора с опережением по фазе 2. Отметить запас по фазе в нескорректированной системе. Затем по графику зависимости фазового сдвига θ m от отношения ω p ω 0 , изображенному

(

(

)

)

на рисунке 6.7 выбрать отношение полюса к нулю ω p ω 0 таким, чтобы ему соответствовал угол θ m , превышающий дополнительный положительный фазовый сдвиг, необходимый для получения требуемого запаса по фазе. Это связано с тем, что регулятор также увеличивает коэффициент передачи разомкнутой системы. 3. По данным пп 1 и 2 вычислить значение полюса ω p . Затем построить ЛЧХ для скорректированной системы и проверить, соответствует ли запас по фазе требуемому значению. Если нет, то сдвинуть полюс в нужном направлении. Если смещение полюса не приводит к желаемому результату, то попытаться изменить нуль регулятора.

50

θт град 60

30

1

2

3

4

5

6 ω p

ω0 Рисунок 6.7 – Максимальный фазовый сдвиг фозоопережающего фильтра 6.3 Задание на выполнение работы

6.3.1 Вариант 1. В системе, изображенной на рисунке 6.1 а, объект имеет передаточную функцию 50 G p ( s) = ( s + 1)( s + 2)( s + 5) Частотные характеристики для G p ( jω ) приведены в таблице 6.1 Передаточная функция датчика H k = 1,0 6.3.2 Определить приблизительные значения запасов устойчивости по модулю и по фазе для нескорректированной системы. 6.3.3 Синтезировать регулятор с отставанием по фазе и единичным коэффициентом усиления на нулевой частоте, который обеспечивал бы запас по фазе приблизительно 45°. 6.3.4 Для синтезированной системы построить логарифмические частотные характеристики и определить запасы устойчивости по модулю и фазе. 6.3.5 Определить постоянную времени системы. 6.3.6 Построить переходную функцию системы. Найти время установления, максимальное перерегулирование. 6.3.7 Вариант 2. В системе на рисунке 6.1 а передаточная функция 10 G p (s) = s ( s + 1)( s + 2) H k = 0,25 6.3.8 Определить приблизительные значения запасов устойчивости по модулю и по фазе для нескорректированной системы используя данные таблицы 6.2. 51

6.3.9 Синтезировать регулятор с отставанием по фазе и единичным коэффициентом усиления на нулевой частоте, который обеспечивал бы запас по фазе 50°. 6.3.10 Определить для синтезированной системы запасы устойчивости по модулю и фазе, построив ЛЧХ системы. 6.3.11 Для синтезированной системы определить величину входного сигнала, необходимую для того, чтобы установившееся значение выходной переменной было равно 10. 6.3.12 Построить переходную характеристику системы при входном воздействии, найденном в п. 6.3.11. Найти время установления, максимальное перерегулирование. Таблица 6.1 – Частотные характеристики к заданию 6.3.1 ω Амплитуда дБ Фаза 0,0100 4,99968 13,97884 -0,97401 0,0200 4,99871 13,97716 -1,94788 0,0300 4,99710 13,97436 -2,92150 0,0400 4,99485 13,97044 -3,89473 0,0500 4,99195 13,96541 -4,86744 0,0600 4,98842 13,95926 -5,83951 0,0700 4,98425 13,95200 -6,81080 0,0800 4,97946 13,94364 -7,78119 0,0900 4,97403 13,94317 -8,75055 0,1000 4,96799 13,92361 -9,71876 0,2000 4,87467 13,75891 -19,31114 0,3000 4,72764 13,49290 -28,66364 0,4000 4,53773 13,13678 -37,68527 0,5000 4,31708 12,70380 -46,31189 0,6000 4,07739 12,34414 -54,50578 0,7000 3,82885 11,66138 -62,25169 0,8000 3,57956 11,07660 -69,55151 0,9000 3,33553 10,46328 -76,41895 1,0000 3,10087 9,82967 -82,87499 2,0000 1,46805 3,33482 -130,23640 3,0000 0,75207 -2,47482 -158,83880 4,0000 0,42349 -7,46323 -178,05850 5,0000 0,25751 -11,78402 -191,88870 6,0000 0,16641 -15,57652 -202,29720 7,0000 0,11291 -18,94538 -210,38680 8,0000 0,07972 -21,96873 -216,83340 9,0000 0,05817 -24,70599 -222,07640 10,0000 0,04364 -27,20325 -225,41440 Таблица 6.2 – Частотные характеристики к заданию 6.3.7 52

ω 1 0,1000 0,2000 0,3000 0,4000 0,5000 0,6000 0,7000 0,8000 0,9000 1,0000 1,1432 1,4142 2,0000 3,0000 4,0000 5,0000 6,0000 7,0000 8,0000 9,0000 10,0000

Модуль 2 19,87591 9,75714 6,31486 4,55223 3,47089 2,73776 2,20925 1,81255 1,50628 1,26491 1,00001 0,66667 0,31623 0,11694 0,05423 0,02913 0,01733 0,01110 0,00752 0,00532 0,00390

дБ 3 25,96654 19,78645 16,00728 13,16449 10,80881 8,74792 6,88491 5,16578 3,55811 2,04120 0,00005 -3,52182 -10,00000 -18,64066 -25,31479 -30,71192 -35,22445 -39,09322 -42,47483 -45,47598 -48,17235

Фаза 4 -98,57300 -107,02050 -115,23000 -123,11130 -130,60130 -137,66300 -144,28210 -150,46120 -156,21500 -161,56500 -168,57490 -180,00000 -198,43500 -217,87500 -229,39870 -236,88870 -242,10270 -245,92450 -248,83870 -251,13100 -252,97950

6.4 Содержание отчета

6.4.1 Структурная схема нескорректированной системы, ее передаточная функция. 6.4.2 ЛЧХ нескорректированной системы, запасы устойчивости по модулю и фазе. 6.4.3 Скорректированная система: структурная схема, передаточная функция регулятора, процесс вычисления нулей и полюсов регулятора. 6.4.4 Построить ЛЧХ скорректированной системы. Определить запасы устойчивости по модулю и фазе. 6.4.5 Определить постоянную времени системы. 6.4.6 Построить переходную характеристику скорректированной системы. Сделать необходимые построения для определения времени установления и максимума перерегулирования. 6.4.7 Для варианта 2 вычислить величину входного сигнала для получения установившегося значения равного 10. 6.4.8 Выводы по проведенным исследованиям.

53

6.5 Контрольные вопросы

6.5.1 В чем заключается задача синтеза САР? 6.5.2 Какие методы синтеза САР применяются? 6.5.3 Какие требования предъявляются к системе управления? 6.5.4 Что такое коррекция? 6.5.5 В чем заключается коррекция путем изменения коэффициента усиления? 6.5.6 В чем достоинства коррекции путем изменения коэффициента усиления? 6.5.7 Что такое коррекция с отставанием по фазе? Достоинства и недостатки. 6.5.8 Что такое коррекция с опережением по фазе? Достоинства и недостатки. 6.5.9 Какие способы включения корректирующих устройств применяются? 6.5.10 В каких случаях целесообразно применение последовательных корректирующих устройств, а в каких параллельных? 6.5.11 К какому типу регуляторов относится ПИ-регулятор? ПДрегулятор?

54

Список использованных источников

1 Филипс Ч, Харбор Р. Системы управления с обратной связью. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. – 615с. 2 Брюханов В.Н., Косов М.Г., Протопопов С.П., Соломенцев Ю.М. Теория автоматического управления. – М.: Высшая школа, 1999. – 268с. 3 Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. – М: Машиностроение, 1978. – 736с. 4 Анхимюк В.Л. Теория автоматического управления. – Минск: Высшая школа, 1979. – 458 с.

55

Приложение А (обязательное) Таблица А.1 - Описывающие функции 2 1 1 1  N s ( x) = arcsin + cos(arcsin ) π x x x  Нелинейность N(M,ω) 1 2 K, K1 -A A

K

K1

K -S S

M≤A

M  K 1 + (K − K 1 )N s   ,  A

M>A

K,

M≤S

M  KN s    S 

M>S

Ограничение 4A πM

A -A

Идеальное реле K -A A

K

Зона нечувствительности

M≤A

 M K 1 − N s   A 

K

A K

0,

K+ -A

  , 

4A πM

0, B

-A

-B

M>A

M≤A 2

A

4В  A 1−   , πM M 

M>A

0,

M≤A

Идеальное реле с зоной нечувствительности -A -M A M K

Люфт 56

K 2

4 KA( M − A)   M / A  − , N j 1 −   s   πM 2  2 − M / A  

M>A

Продолжение таблицы А.1 1

2 0,

B -A A

-M

M≤A 2

M -B

4В 4 AB  A 1−   − j , 2 πM M  πM

M>A

0,

M≤A+B

2 2 2С  4 AC B − A  B + A   1 −  ,  + 1−   − j 2 πM   M   M   M π  

M>A+B

0,

M≤A

Гистерезис 2A

-B

C -C

B

Реле с зоной нечувствительности и гистерезисом -A

B

K

K

 M K 1 − N s   A 

A -B

2

 A  4 B 1−   ,  − M    πM

A M -A

0− j

M>A

4A πM

57