Стохастические модели микронеоднородных материалов: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю Г О У В П О В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И Е РС И ТЕ Т

С тохас тич е с к ие м оде ли м ик роне однородны хм а те риа лов.

У чебно-метод и ческоепособи епо специ альности 010900(510300), 010901(010500) -М ехани ка

В оронеж-2005

2

У тв ержд ено нау чно-метод и чески м сов етом ф аку льтета при клад ной математи ки , и нф ормати ки и механи ки 21 .09.2005 г., протокол № 1 .

С остав и тели : И в ани щ ев а О .И ., И в ани щ ев П .И . У чебно-метод и ческое пособи е под готов лено на каф ед ре теорети ческой и при клад ной механи ки ф аку льтета П М М В оронежского госу д арств енного у ни в ерси тета. Рекоменд у ется д ля бакалав ров и маги стров 4,5 ку рсов .

3

С од ержани е 1. О бщ и епред став лени я о компози ци онны х матери алах. 1.1 П ри знаки и св ойств а компози ци онны хматери алов . 4 1.2. Д и сперсно-у прочненны екомпози ци онны ематери алы . 4 1.3 В олокни сты екомпози ты . 5 1.3.1.Компоненты в олокни сты х компози тов . 6 1.3.2.Класси ф и каци я и основ ны еособенности в олокни сты х компози тов 8 2. О снов ны еу рав нени я и метод ы механи ки компози ци онны х матери алов стохасти ческой стру кту ры . 2.1 Т ензорноеслу чайноеполе. 10 2.2.П останов ка зад ачи об опред елени и макроскопи чески хпостоянны х. 13 2.3 Корреляци онноепри бли жени ев зад ачео макроскопи чески х постоянны х. 16 2.4Теори я, у чи ты в аю щ ая од ноточечны емоменты в ы соки х поряд ков . 18 2.5Теори я у слов ны х моментны хф у нкци й. 21 3 . П рогнози ров ани емакроскопи чески хкоэф ф и ци ентов теплопров од ности , стохасти чески неод нород ны хматери алов . 3.1.О снов ны еу рав нени я. Реш ени я д ля слои сты х, зерни сты х и 24 в олокни сты х матери алов .

У чебно-метод и ческое пособи е пред став ляет в тору ю часть у чебны х матери алов д ля ку рса « Компози ци онны ематери алы ». В ни х и зложены основ ы теори и прогнози ров ани я ф и зи ко-механи чески х характери сти ккомпози ци онны х матери алов стохасти ческой стру кту ры . Д ана постанов ка и пров ед ено реш ени е зад ачи прогнози ров ани я макроскопи чески х постоянны х теплопров од ности , д и ф ф у зи и и д и электри чески х прони цаемостей стохасти чески неод нород ны х матери алов . П ред став лены ф орму лы д ля расчета макроскопи чески х постоянны х разли чны х ти пов компози ци онны х матери алов . И сслед у ется в ли яни е св ойств компонентов и геометри чески х параметров неод нород ностей на св ойств а компози ци и . Н а основ е рассмотренны х реш ени й разработаны лабораторны е работы , пред став ленны е перв ой части [1] и пред назначенны е д ля пров ед ени я компью терного мод ели ров ани я эф ф екти в ны х характери сти к компози ци онны х матери алов с целью прогнози ров ани я и х ф и зи ко-механи чески х св ойств и в ы бора опти мальной стру кту ры

4

1.О б щ ие пре дс та вле ния о к ом позиционны хм а те риа ла х 1.1. Призна к и и с войс тва к ом позиционны хм а те риа лов Компози ци онны е матери алы пред став ляю т собой гетероф азны е си стемы , полу ченны е и з д в у х и ли более компонентов с сохранени ем и нд и в и д у альности кажд ого отд ельного компонента. Д ля компози ци онны х констру кци онны х матери алов характерны след у ю щ и епри знаки : состав и ф орма компонентов матери ала опред елены заранее; компоненты при су тств у ю т в коли честв ах, обеспечи в аю щ и х зад анны е св ойств а матери ала; матери ал яв ляется од нород ны м в макромасш табе и неод нород ны м в ми кромасш табе (компоненты разли чаю тся по св ойств ам, межд у ни ми су щ еств у етяв ная грани ца разд ела). В больш и нств е слу чаев компоненты компози ци и разли чны по геометри ческому при знаку . О дин из компонентов , облад аю щ и й непреры в ностью по в сему объ ему , яв ляется матри цей, компонент преры в ны й, разд еленны й в объ емекомпози ци и , счи тается у си ли в аю щ и м и ли арми ру ю щ и м. М атри чны ми матери алами могу т бы ть металлы и и х сплав ы , органи чески е и неоргани чески е поли меры , керами ка и д ру ги е в ещ еств а. У си ли в аю щ и ми и ли арми ру ю щ и ми компонентами чащ е в сего яв ляю тся тонкод и сперсны е порош кообразны ечасти цы и ли в олокни сты ематери алы разли чной при род ы . В зав и си мости от в и д а арми ру ю щ его компонента компози ты могу т бы ть разд елены на д в еоснов ны егру ппы : • д и сперсно-у прочненны е • в олокни сты е, которы е отли чаю тся стру кту рой и механи змами образов ани я в ы сокой прочности . 1.2.Дис пе рс но-упроч не нны е к ом позиционны е м а те риа лы Это матери алы , в матри це которы х рав номерно распред елены мелкод и сперсны е части цы в торого в ещ еств а. В таки х матери алах при нагру жени и в сю нагру зку в оспри ни мает матри ца, в которой с помощ ью множеств а практи чески не раств оряю щ и хся в ней части ц в торой ф азы созд ается стру кту ра, эф ф екти в но сопроти в ляю щ аяся пласти ческой д еф ормаци и . И зв естно, что в язки й, ли ш енны й хру пкости матери ал перед разру ш ени ем претерпев ает значи тельну ю д еф ормаци ю . П ри чем пласти чески е д еф ормаци и в реальны х кри сталли чески х матери алах начи наю тся при напряжени ях, которы е меньш е, чем теорети чески рассчи танны е д ля и д еальны х матери алов , при мерно в 1000 раз. Т акая ни зкая прочность по срав нени ю с теорети ческой объ ясняется тем, что в пласти ческой д еф ормаци и акти в но у частв у ю т д и слокаци и -локальны е и скажени я кри сталли ческой реш етки . П ри д еф орми ров ани и благод аря д и слокаци ям сд в и г атомов в сосед нее положени е прои сход и тнеод нов ременно по в сей пов ерхности скольжени я, а растяги в аю тся в о в ремени . Т акое

5

постепенное скольжени е за счет небольш и х смещ ени й атомов в области д и слокаци и не требу ет значи тельны х напряжени й, что и прояв ляется при и спы тани ях пласти чны х матери алов . У прочнени е таки х матери алов заклю чается в созд ани и в ни х стру кту ры , затру д няю щ ей д в и жени ед и слокаци й. Н аи более си льное торможени е перед в и жени ю д и слокаци й созд аю т д и сперсны е части цы в торой ф азы , напри мер, хи ми чески е соед и нени я ти па корби д ов , ни три д ов , окси д ов , борои д ов , характери зу ю щ и еся в ы сокой прочностью и температу рой плав лени я. П роблема пов ы ш ени я констру кци онной прочности состои т не только в пов ы ш ени и прочностны х св ойств , но и в том, как при в ы сокой прочности обеспечи ть в ы сокое сопроти в лени е в язкому разру ш ени ю , т. е. пов ы си ть над ежность матери ала. В д и сперсно-у прочненны х матери алах зад анны е прочность и над ежность д ости гаю тся пу тем ф орми ров ани я опред еленного стру кту рного состояни я, при котором эф ф екти в ное торможени е д и слокаци й сочетается с и х рав номерны м распред елени ем в объ еме матери ала ли бо (что особенно благопри ятно) с опред еленной под в и жностью скапли в аю щ и хся у барьеров д и слокаци й д ля пред отв ращ ени я хру пкого разру ш ени я. В озможность полу чени я д и сперсно-у прочненны х компози тов зад анной стру кту ры можно прод емонстри ров ать на при мере гетерогенны х сплав ов , под в ергну ты х закалке и старени ю . В о многи х сплав ах после затв ерд ев ани я прои сход ят ф азов ы е прев ращ ени я, св язанны е с и зменени ем в заи мной раств ори мости компонентов в тв ерд ом состояни и . Н еу стойчи в ы й перенасы щ енны й тв ерд ы й раств ор при нагрев е ( а в некоторы х слу чаях при комнатной температу ре) начи наетраспад аться. Н а начальны х стад и ях распад а в пересы щ енном тв ерд ом раств оре образу ю тся объ емы , обогащ енны е компонентом раств оренного в ещ еств а. П ри д альнейш ем распад е тв ерд ого раств ора эти зоны расту т, образу я у льтрад и сперсны е части цы , рав номерно распред еленны ев объ мематери ала. У прочнени е при старени и объ ясняется тем, что при д еф орми ров ани и в слу чае в стречи части ц и збы точной ф азы д и слокаци и в ы ну жд ены ли бо оги бать эти части цы , ли бо и х перерезать, на что требу ется при ложени ед ополни тельной работы . 1.3. Волок нис ты е к ом позиты У в олокни сты х компози тов матри ца (чащ е в сего пласти чная) арми ров ана в ы сокопрочны ми в олокнами , пров олокой, ни тев и д ны ми кри сталлами . И д ея созд ани я в олокни сто-арми ров анны х стру кту р состои т не в том, чтобы и склю чи ть пласти ческое д еф орми ров ани е матри чного матери ала, а в том, чтобы при его д еф орми ров ани и обеспечи в алось нагру жени е в олокон и и спользов алась бы и х в ы сокая прочность М ехани чески е св ойств а в ы сокопрочны х матери алов опред еляю тся нали чи ем пов ерхностны х д еф ектов (над резов , трещ и н и т. п.). О коло в ерш и н эти х д еф ектов при нагру жени и концентри ру ю тся напряжени я, которы е зав и сят от при ложенного напряжени я, глу би ны трещ и ны и рад и у са кри в и зны в в ерш и не трещ и ны . В этом слу чае при д ейств и и у же относи тельно небольш и х

6

сред ни х напряжени й у кончи ка трещ и ны растяги в аю щ и е напряжени я д ости гаю тпред ельны хзначени й и матери ал разру ш ается. С у щ еств у ет кри ти ческая д ли на трещ и ны , при которой прояв ляется тенд енци я кее неограни ченному росту , при в од ящ ая кразру ш ени ю матери ала. В ажен тот ф акт, что соотв етств у ю щ ее кри ти ческое напряжени е зав и си т от абсолю тного размера трещ и ны и оно тем в ы ш е, чем меньш ед ли на трещ и ны . И з хру пки х в ещ еств матери алы с в ы сокой в оспрои зв од и мой прочностью можно полу чи ть в основ ном в в и д е в олокон. Это обу слов лено тем, что в олокна на много менее чу в ств и тельны ки мею щ и мся в ни х д еф ектам, чем моноли тны е и зд ели я. И з-за геометри и в олокна трещ и ны в ни х д олжны бы ть ли бо очень коротки ми , ли бо они д олжны бы ть преи му щ еств енно параллельны прод ольной оси в олокна и , след ов ательно, относи тельно безопасны . О собенность в олокни стой компози ци онной стру кту ры заклю чается в рав номерном распред елени и в ы сокопрочны х, в ы сокомод у льны х в олокон в пласти чной матри це (сод ержани е и х, т. е. объ емная д оля, может д ости гать 75%). В д и сперсно-у прочненны х матери алах опти мальны м сод ержани ем д и сперсной ф азы счи тается 2-4%. Д и сперсны ечасти цы в у казанны х матери алах в отли чи е от в олокон созд аю т только « косв енное» у прочнени е, т.е. благод аря и х при су тств и ю стаби ли зи ру ется стру кту ра, ф орми ру ю щ аяся при терми ческой обработке. Д ру гая отли чи тельная особенность в олокни стой компози ци онной стру кту ры - ани зотропи я св ойств , обу слов ленная преи му щ еств енны м расположени ем в олокон в том и ли и ном направ лени и . Д и сперсно у прочненны ежематери алы и мею тод и наков ы есв ойств а в о в сех направ лени ях, таккаку прочняю щ и ед и сперсны ечасти цы и мею трав ноосну ю ф орму . 1.3.1. Ком поне нты волок нис ты хк ом позитов В в олокни сты х компози ци онны х матери алах в ы сокопрочны е в олокна в оспри ни маю т основ ны е напряжени я, в озни каю щ и е в компози ци и при д ейств и и в неш ни х нагру зок, и обеспечи в аю т жесткость и прочность компози ци и в направ лени и ори ентаци и в олокон. П од атли в ая матри ца, заполняю щ ая межв олокни стое пространств о, обеспечи в ает сов местну ю работу отд ельны х в олокон за счет собств енной жесткости и в заи мод ейств и я, су щ еств у ю щ его на грани це разд ела матри цав олокно. С оотнош ени е эти х параметров характери зу ет в есь комплекс механи чески х св ойств матери ала и механи зм его разру ш ени я. Работоспособность компози ци онного матери ала обеспечи в ается как прав и льны м в ы бором и сход ны х компонентов , таки раци ональной технологи ей прои зв од ств а, обеспечи в аю щ ей прочну ю св язь межд у компонентами при сохранени и перв оначальны х св ойств . А рм иру ю щ ие во ло кна, при меняемы е в констру кци онны х компози ци онны х матери алах, д олжны у д ов летв орять требов ани ям прочности , жесткости , плотности , стаби льности св ойств в опред еленном температу рном и нтерв але, хи ми ческой стойкости т. п. П ри созд ани и в олокни сты х компози ци онны х матери алов при меняю тся в ы сокопрочны е стеклянны е, у глерод ны е, борны е и органи чески е в олокна,

7

металли чески е пров олоки , а также в олокна и ни тев и д ны е кри сталлы ряд а корби д ов , окси д ов , ни три д ов и д ру ги х соед и нени й. Арми ру ю щ и е компоненты в компози тах при меняю тся в в и д е монов олокон, ни тей, пров олок, жгу тов , сеток, тканей, лент, холстов . В ажны м требов ани ем яв ляется сов мести мость в олокон с матери алом матри цы , т. е. в озможность д ости жени я прочной св язи в олокно-матри ца при у слов и ях, обеспечи в аю щ и х сохранени е и сход ны х значени й механи чески х св ойств компонентов . Д ру ги м в ажны м требов ани ем яв ляется технологи чность в олокон, опред еляю щ ая в озможность созд ани я в ы сокопрои зв од и тельного процесса и зготов лени я и зд ели й на и хоснов е. М ат ричны е м ат ериалы В компози тах в ажны м элементом яв ляется матри ца, которая обеспечи в ает моноли тность компози та, ф и кси ру ет ф орму и зд ели я и в заи мное расположени е арми ру ю щ и х в олокон, распред еляет д ейств у ю щ и е напряжени я по объ ему матери ала, обеспечи в ая рав номерну ю нагру зку на в олокна и ее перераспред елени е при разру ш ени и части в олокон. М атери ал матри цы опред еляет метод и зготов лени я и зд ели й и з компози тов , в озможность в ы полнени я констру кци й зад анны х габари тов и ф ормы , а также параметры технологи чески х процессов и т.п. Т аки м образом, требов ани я, пред ъ яв ляемы е кматри цам, можно разд ели ть на эксплу атаци онны е и технологи чески е. К перв ы м относятся требов ани я, св язанны е с механи чески ми и ф и зи ко-хи ми чески ми св ойств ами матери ала и матри цы , обеспечи в аю щ и ми работоспособность компози ци и при д ейств и и разли чны х эксплу атаци онны х ф акторов . М ехани чески е св ойств а матри цы д олжны обеспечи ть сов местну ю работу арми ру ю щ и х в олокон при разли чны х в и д ах нагру зок. П рочностны е характери сти ки матери ала матри цы яв ляю тся опред еляю щ и ми при сд в и гов ы х нагру зках, нагру жени и компози та в направ лени ях, отли чны х от ори ентаци и в олокон, а также при ци кли ческом нагру жени и . П ри род а матри цы опред еляет у ров ень рабочи х температу р компози та, характер и зменени я св ойств при в озд ейств и и атмосф ерны хи д ру ги х ф актров . С пов ы ш ени ем температу ры прочностны е и у пру ги е характери сти ки матри чны х матери алов , так же как и прочность и х соед и нени й со многи ми ти пами в олокон, сни жается, матери ал матри цы также характери зу ет у стойчи в ость компози та кв озд ейств и ю в неш ней сред ы , хи ми ческу ю стойкость, части чно теплоф и зи чески е, электри чески еи д ру ги есв ойств а. Т ехнологи чески е требов ани я к матри це опред еляю тся протекаю щ и ми обы чно од нов ременно процессами полу чени я компози та и и зд ели я и з него, т.е. процессами сов мещ ени я арми ру ю щ и х в олокон с матри цей и окончательного ф ормообразов ани я и зд ели я. Ц елью технологи чески х операци й яв ляется обеспечени е рав номерно ( без касани я межд у собой) распред елени я в олокон в матри це при зад анном и х объ емном сод ержани и , макси мально в озможное сохранени есв ойств в олокон, созд ани ед остаточно прочного в заи мод ейств и я на грани це в олокно-матри ца. Т аки м образом, кматери алу матри цы пред ъ яв ляю т след у ю щ и е требов ани я: хорош ая смачи в аемость в олокна, в озможность пред в ари тельного и зготов лени я полу ф абри катов с послед у ю щ и м и зготов лени ем и з ни х и зд ели й; качеств енное соед и нени е слоев компози та в

8

процессе ф ормов ани я; нев ы соки е значени я параметров ф ормообразов ани я (напри мер, температу ры , д ав лени я) и т.п. С в о йст ва г раницы раздела, в перв у ю очеред ь, ад гези онноев заи мод ейств и е в олокна и матри цы опред еляю т у ров ень св ойств компози тов и и х сохранени е при эксплу атаци и . Л окальны е напряжени я в компози те д ости гаю т макси мальны х значени й как раз в бли зи и ли непосред ств енно на грани це разд ела, гд е обы чно и начи нается разру ш ени е матери ала. Г рани ца разд ела д олжна и меть опред еленны е св ойств а, чтобы обеспечи ть эф ф екти в ну ю перед ачу механи ческой нагру зки отматри цы на в олокно. Ад гези онная св язь на грани це разд ела не д олжна разру ш аться под д ейств и ем терми чески х и у сад очны х напряжени й, в озни каю щ и х в след ств и е разли чи я в температу рны х коэф ф и ци ентах ли нейного расш и рени я матри цы и в олокна и в резу льтате хи ми ческой у сад ки св язу ю щ его при его отв ержд ени и . Защ и та в олокон от в неш него в озд ейств и я также в значи тельной степени опред еляется ад гези онны м в заи мод ейств и ем на грани церазд ела. 1.3.2.Кла с с ифик а ция к ом позитов.

и

ос новны е

ос об е ннос ти

волок нис ты х

П ростейш и й слу чай в олокни стой стру кту ры , характери зу ю щ ей особенности д анного класса матери алов , пред став ляетсобой набор од нород ны х в олокон, заклю ченны х в пласти ческой матри це. С в ойств а такого компози та, образов анного од нонаправ ленно ори енти ров анны ми в олокнами , ани зотропны . М акси мальны е прочность и жесткость од нонаправ ленного компози та реали зу ю тся в направ лени и у клад ки в олокон и могу т бы ть в общ ем слу чае рассчи таны по и зв естны м св ойств ам его компонентов и и х коли ческтв енному соотнош ени ю . Н аправ ленны й характер св ойств компози тов , естеств енно, пред полагает, что наряд у с в ы соки ми механи чески ми характери сти ками в од ни х направ лени яхони облад аю тни зки ми в д ру ги х. В ажнейш ее д остои нств о компози тов - в озможность созд ав ать и з ни х элементы констру кци й с заранее зад анны ми св ойств ами , наи более полно отв ечаю щ и ми характеру и у слов и ям работы . М ногообрази е в олокон и матри чны х матери алов , а такжесхем арми ров ани я, и спользу емы х при созд ани и компози тов , позв оляет направ ленно регу ли ров ать прочность, жесткость, у ров ень рабочи х температу р и д ру ги е св ойств а пу тем под бора состав а, и зменени я соотнош ени я компонентов и макростру кту ры компози та. Д ля компози ци онны х в олокни сты х матери алов су щ еств у ет несколько класси ф и каци й, в основ у которы х положены разли чны е при знаки , напри мер матери алов ед чески й ( по при род е компонентов ); констру кти в ны й ( по ти пу армату ры и ее ори ентаци и в матри це). В рамках рассматри в аемы х класси ф и каци й можно в ы д ели ть несколько больш и х гру пп компози ци онны х матери алов . К таки м гру ппам след у ет отнести компози ты с поли мерной матри цей (пласти ки ), компози ты с металли ческой матри цей (металлокомпози ты ), компози ты с керами ческой матри цей и матри цей и з у глерод а.

9

В зав и си мости от при род ы арми ру ю щ и х в олокон разли чаю т, напри мер, след у ю щ и екомпози ты на поли мерной матри це: стеклопласти ки , у глепласти ки , боропласти ки , органопласти ки и т.д . С у щ еств у ю т аналоги чны е по назв ани ям компози ты и на д ру ги хматри цах. С в ойств а компози тов зав и сятне только отсв ойств в олокон и матри цы , но и от способов арми ров ани я. Разли чаю т компози ты : образов анны е и з слоев , арми ров анны х параллельны ми непреры в ны ми в олокнами (св ойств а и х в основ ном опред еляю тся св ойств ами од нонаправ ленного слоя); арми ров анны е тканями (текстоли ты ); схаоти чески м и пространств енны м арми ров ани ем. В олокни стое арми ров ани е позв оляет и спользов ать нов ы е при нци пы проекти ров ани я и и зготов лени я и зд ели й, основ анны е на том, что матери ал и и зд ели е созд аю тся од нов ременно в рамках од ного и того же технологи ческого процесса. В резу льтате сов мещ ени я арми ру ю щ и х элементов и матри цы образу ется комплекссв ойств компози та, нетолько отражаю щ и х и сход ны ехарактери сти ки его компонентов , но и в клю чаю щ и й св ойств а, которы ми и золи ров анны е компоненты не облад аю т. В частности , появ лени е ряд а нов ы х св ойств в компози тах св язано с гетерогенной стру кту рой, обу слов ли в аю щ ей нали чи е больш ой пов ерхности разд ела межд у в олокнами и матри цей. Так, нали чи е грани цы разд ела межд у арми ру ю щ и ми элементами и матри цей су щ еств енно пов ы ш аеттрещ и ностойкость матери ала. У стойчи в ость лю бого тв ерд ого тела к распространени ю трещ и н опред еляется механи змом поглощ ени я энерги и в в ерш и не расту щ ей трещ и ны . В компози тах поперечны е растяги в аю щ и е напряжени я в конце расту щ ей трещ и ны могу т в ы зв ать отслаи в ани е в олокон от матри цы , а сд в и гов ы е напряжени я на грани це разд ела – распространени е отслоенны х у частков в д оль в олокон. П ри отслаи в ани и затрачи в ается энерги я, поскольку в олокна д олжны перемещ аться относи тельно матри цы . Крометого, при д альнейш ем нагру жени и д о разру ш ени я в олокна могу т разры в аться в матри це в д али от плоскости распространяю щ ейся трещ и ны . П оэтому д ля арми ров анны х матери алов характерны таки е механи змы пов ы ш ени я в язкости разру ш ени я, которы х нет у гомогенны х матери алов . Эти механи змы св язаны с нали чи ем в компози ци онны х в олокни сты х матери алах больш ого чи сла пов ерхностей разд ела, которы е могу т стать тормозом на пу ти разв и ти я трещ и ны . М ожно в перв ом при бли жени и отмети ть д в а яв лени я, способств у ю щ и х и нтенси в ной д и сси паци и энерги и д в и жени я трещ и ны -в ы тяги в ани е в олокон и з матри цы и разру ш ени е грани цы разд ела межд у ни ми . Д ополни тельное сопроти в лени е распространени ю трещ и н, разв и в ш и хся в матри це, оказы в аю т си лы трени я межд у в ы тяги в аемы м в олокном и матри цей. П ов ы ш енное сопроти в лени е разв и ти ю разру ш аю щ и х трещ и н в в олокни сты х матери алах обу слов лено и х работоспособностью при значи тельны хнакопленны хпов режд ени ях. Х арактерное д ля компози тов в ы сокое сопроти в лени е у сталости св язано с тем, что в ы сокомод у льны е в олокна, в оспри ни маю щ и е основ ну ю нагру зку , как хру пки е матери алы не сни жаю т несу щ ей способности при ци кли чески х нагру зках в отли чи еотпласти чески д еф орми ру емы х матери алов .

10

С ов ременны е компози ци онны е матери алы и мею т не только ш и роки й спектр ф и зи ко-механи чески х св ойств , но и способны к направ ленному и х и зменени ю , напри мер, пов ы ш ать в язкость разру ш ени я, регу ли ров ать жесткость, прочность и д ру ги е св ойств а. Эти в озможности расш и ряю тся при при менени и в компози тах в олокон разли чной при род ы и геометри и , т.е. при созд ани и ги бри д ны х компози тов . К роме того, д ля д анны х матери алов характерно появ лени е си нергети ческого эф ф екта (согласов анного сов местного д ейств и я нескольки х ф акторов в од ном направ лени и ). П ри чи ны си нергети ческого эф ф екта в ги бри д ны х компози тах св язаны со стати сти ческой при род ой прочности в олокон, специ ф и ческой концентраци ей напряжени й при разру ш ени и компози та положи тельны ми начальны ми напряжени ями , которы емогу тв озни кну ть в процессеи зготов лени я и зд ели й. 2. О с новны е ура вне ния и м е тоды м е ханик и к ом позиционны х м а те риа лов с тохас тич е с к ой с трук туры . О д ни м и з эф ф екти в ны х под ход ов к опи сани ю компози ци онны х матери алов яв ляется стати сти чески й, когд а ф и зи чески е св ойств а матери ала опи сы в аю тся слу чайны ми ф у нкци ями коорд и нат. П ри мером может слу жи ть компози ци онны й матери ал со слу чайно расположенны ми в клю чени ями . Е сли рассмотреть только у пру ги е св ойств а сред ы , то тензор у пру ги х мод у лей λijlm пред став ляет собой естеств енное обобщ ени е поняти я слу чайной ф у нкци и од ной переменной на тензорны еф у нкци и нескольки хпеременны х. 2.1. Т е нзорное с луч а йное поле. Т ензорное слу чайное поле λijlm счи тается зад анны м в некоторой области кажд ой конечной си стеме точек x( 1 ) , x( 2 ) ,...x( N ) и з области V постав лен в соотв етств и е N ⋅ M - мерны й закон распред елени я в ероятностей V , если

f 1N ( λijmn ) = f 1N ( λijmn ( x ( 1 ) ),..., λijmn ( x ( N ) ))

(2.1.1) д ля в ели чи н λijlm , гд е M - чи сло незав и си мы х компоненттензора мод у лей у пру гости λijlm . С лу чайное тензорное поле у пру ги х мод у лей можно λijlm характери зов ать также моментами . N - точечны м моментом m -го поряд ка назы в ается в ели чи на 〈 λijαβ ( x( 1 ) )...λ pqrs ( x( 1 ) ) ⋅ λijαβ ( x( 2 ) )...λ pqrs ( x( 2 ) )...λijαβ ( x( N ) )...λ pqrs ( x( N ) )〉 ; 144444244444 3 144444244444 3 1444442444443 m1 m2 mN N m = ∑m i (2.1.2) i =1

Зд есь m i -чи сло сомножи телей в точке x( i ) .

11

К акслед у ет и з (2.1.1), (2.1.2) , N - точечны е плотности распред елени я и моменты яв ляю тся ф у нкци ями 3 N коорд и нат, опред еляю щ и х положени е точекx( i ) , i = 1,2 ,...N . Е сли тензорноеполе λijαβ ( x ) стати сти чески од нород но, то N - точечны е плотности распред елени я и моменты зав и сят от 3( N -1) коорд и нат. В этом слу чаеод ноточечны емоменты яв ляю тся постоянны ми , а д в у хточечны езав и сят только отрасстояни я межд у точками . П ри д ейств и и на компози ци онны й матери ал в неш ни х си л в нем в озни каю т слу чайны е тензорны е поля напряжени й и д еф ормаци й. Эти поля можно характери зов ать N - точечны ми плотностями распред елени я

f 2N ( σ

) = f 2N ( σ

jk

f 3N ( ε jk ) = f 2N ( ε

(1) ),...,σ jk ( x ( N ) ) jk ( x (1) ),...,ε jk ( x ( N ) )) , jk ( x

(2.1.3)

а также соотв етств у ю щ и ми моментами , которы е строятся по аналоги и с (2.1.2). С тати сти чески е св язи межд у слу чайны ми тензорны ми полями λijαβ ,σ jk ,ε jk могу т бы ть опи саны сов местной N - точечной плотностью распред елени я

f

N

( λijαβ ,σ

λijαβ ( x

(N)

jk

,σ

,ε jk ) = f

jk ( x

(N)

N

( λijαβ ( x ( 1 ) ,σ

),ε jk ( x

(N)

jk ( x

(1)

),ε jk ( x ( 1 ) ),...,

(2.1.4)

))

Е сли ограни чи ться рамками корреляци онного при бли жени я , то д ля опи сани я си стемы слу чайны х тензорны х полей λijαβ ,σ jk ,ε jk су щ еств енны ми

яв ляю тся математи чески е ожи д ани я 〈 λijαβ 〉 , 〈σ jk 〉 , 〈ε jk 〉 и корреляци онны е ф у нкци и

〈 λijαβ ( x ( 1 ) ) ⋅ λ pqrs ( x ( 2 ) )〉 ,〈σ

jk ( x

(1)

) ⋅ σ αβ ( x ( 2 ) )〉 ,

〈ε jk ( x ( 1 ) ) ⋅ ε αβ ( x ( 2 ) )〉 ,〈 λijαβ ( x ( 1 ) ) ⋅ σ pq ( x ( 2 ) )〉 , 〈 λijαβ ( x ( 1 ) ) ⋅ ε pq ( x ( 2 ) )〉 ,〈σ

jk ( x

(1)

(2.1.5)

) ⋅ ε αβ ( x ( 2 ) )〉 .

Х арактерной особенностью рассматри в аемы х слу чайны х полей в компози ци онны х матери алах яв ляется зату хани е св язей межд у и х значени ями (1)

(2)

в разли чны х точках x и x при в озрастани и расстояни я межд у точками . П ри этом корреляци онны е ф у нкци и (2.1.5) преобразу ю тся в прои зв ед ени е математи чески хожи д ани й , в зяты х в точках x

〈σ

jk ( x

(1)

(1)

) ⋅ σ αβ ( x ( 2 ) )〉 → 〈σ

и x jk ( x

(2)

(1)

. Н апри мер,

)〉 ⋅ 〈σ αβ ( x ( 2 ) )〉

12

при

x( 1 ) − x( 2 ) → ∞ . П ракти чески корреляци онны е св язи сохраняю тся ли ш ь на характерны х расстояни ях, назы в аемы х масш табом корреляци и , которы е опред еляю тся характерны м размером неод нород ностей (д и аметром зерни сты х в клю чени й, д и аметром арми ру ю щ и х в олокон и т.д .). Н аряд у с начальны ми моментами (2.1.5) в качеств е характери сти к слу чайны х тензорны х полей рассматри в аю т центральны е моменты разли чны х поряд ков

〈 λ0 ijαβ ( x ( 1 ) ) ⋅ λ0 pqrs ( x ( 2 ) )〉 , 〈σ 0 jk ( x ( 1 ) ) ⋅ σ 0 αβ ( x ( 2 ) )〉 , 〈ε 0 jk ( x ( 1 ) ) ⋅ ε 0αβ ( x ( 2 ) )〉 , 〈 λ0 ijαβ ( x ( 1 ) ) ⋅ σ 0 pq ( x ( 2 ) )〉 ,

(2.1.6)

〈 λ0 ijαβ ( x ( 1 ) ) ⋅ ε 0 pq ( x ( 2 ) )〉 ,〈σ 0 jk ( x ( 1 ) ) ⋅ ε 0αβ ( x ( 2 ) )〉 . 0

Зд есь значок опред еляетф лу кту аци и слу чайны х полей

λ0 ijαβ = λijαβ − λijαβ ; σ 0 jk =σ

jk

− σ

jk ;

ε 0 jk = ε jk − ε jk

.

П ри и сслед ов ани и напряженного и д еф орми ров анного состояни й компози ци онны х матери алов стохасти ческой стру кту ры в ажны ми характери сти ками яв ляю тся у слов ны е плотности распред елени я и соотв етств у ю щ и еи м моменты . У слов ная плотность распред елени я напряжени й и д еф ормаци й относи тельно тензора у пру ги х мод у лей и меетв и д

f

N

= f

(σ N

jk

,ε jk λijαβ ) =

( λijαβ ,σ

jk

,ε jk ) /

f 1N ( λijαβ

(2.1.7)

)

В слу чае многокомпонентны х у пру ги х сред у слов ная плотность (2.1.7) и соотв етств у ю щ и е ей моменты д аю т пред став лени е о напряженном и д еф орми ров анном состояни яхв кажд ом компоненте. В качеств е при мера некоторы х коли честв енны х характери сти к слу чайного поля мод у лей у пру гости в ы берем стеклопласти к. П у сть эпокси д ное св язу ю щ ее зани мает объ ем V2 , стеклов олокно – объ ем V1 .О д ноточечная плотность распред елени я постоянны х у пру гости д в у хкомпонентного матери ала и меетв и д 2 f ( λijαβ ) = ∑ cmδ ( λijαβ −λ(m )ijαβ ) m =1

(2.1.8)

13

V C m = m - концентраци я компонентов , V (1) (2) λ ijαβ , λ ijαβ -тензоры мод у лей у пру гости состав ляю щ и х,

Зд есь

δ ( x ) - д ельта ф у нкци я Д и рака.

М атемати ческоеожи д ани е λijαβ

опред еляется след у ю щ и м образом

+∞

(

)

λijαβ = ∫ λijαβ ⋅ f λijαβ ⋅ dλijαβ . −∞

И ли су четом (2.1.8)

2

λijαβ = ∑ c m ⋅ λ( m )ijαβ m =1

Д ля д и сперси и тензора у пру ги х мод у лей справ ед ли в о соотнош ени е +∞

(

λ0ijαβ ⋅ λ0ijαβ = ∫ λijαβ − λijαβ −∞

) ⋅ f (λ 2

ijαβ

)⋅ dλijαβ ,

котороесу четом (2.1.8) при ни маетв и д ) λ0ijαβ ⋅ λ0ijαβ = c1 ⋅ c 2 ⋅ ( λ(ij1αβ − λ(ij2αβ) ) 2

. 2.2 Пос та новк а за да ч и об опре де ле нии м а к рос к опич е с к ихпос тоянны х Т ензор макроскопи чески х мод у лей у пру гости ми кронеод нород ного тела опред еляется соотнош ени ями

σ

i, j

=λ* ε ijlm mn

(2.2.1)

св язы в аю щ и ми сред ни е по макрообъ ему тела напряжени я и д еф ормаци и при неод род ны хпов ерхностны х нагру зках. Т ензор макроскопи чески х коэф ф и ци ентов под атли в ости опред еляется аналоги чно и з обратного соотнош ени я

ε

= s* σ i, j ijmn mn

(2.2.2)

П остроени е соотнош ени й (1.1), (1.2) можно пров од и ть , и сход я и з у рав нени й рав нов еси я при ну лев ы х объ емны хси лах (2.2.3) σ =0 ij, j и ли д ля у рав нени й сов местности (2.2.4) ω ω ε =0 гд е напряжени я

σ

imn jkl nl,mk

ij

и д еф ормаци и

ε

ij

св язаны в прои зв ольной точке

ми кронеод нород ного тела ли нейны ми зав и си мостями

σ =λ ε ij ijmn mn

и ли

(2.2.5)

14

ε =s σ ij ijmn mn

(2.2.6)

В след ств и е стохасти ческой неод нород ности сред ы тензоры мод у лей у пру гости σ ij и коэф ф и ци ентов под атли в ости ε ij яв ляю тся слу чайны ми ф у нкци ями коорд и нат. П од став и в (2.2.5) в (2.2.3) и ли (2.2.6) в (2.2.4), при ход и м кф орму ли ров ке зад ачи в перемещ ени ях

(λ u ) =0 ijmn mn , j

(2.2.7)

и ли напряжени ях ω ω (s σ ) =0 . imn jkl nlpq pq ,mk

(2.2.8)

О пред еляя и з у рав нени й (2.2.7) и ли (2.2.8) напряжени я как ф у нкци и сред ни х д еф ормаци й и ли д еф ормаци и какф у нкци и сред ни х напряжени й и осред няя и х по объ ему тела, полу чи м соотнош ени я (2.2.1) и ли (2.2.2). О пи санная процед у ра , в при нци пе, может бы ть осу щ еств лена д ля тела прои зв ольны х размеров по отнош ени ю к размерам ми кронеод нород ностей. О д нако, в д ейств и тельности она св язана с больш и ми математи чески ми тру д ностями и практи чески осу щ еств и ма д ля слои стой стру кту ры компози та Е сли размеры тела значи тельно прев осход ят размеры ми кронеод нород ностей, то область, зани маему ю телом, можно рассматри в ать как бесконечну ю . В этом слу чае при в озд ейств и и од нород ной нагру зки слу чайны е поля напряжени й и д еф ормаци й стати сти чески од нород ны и у д ов летв оряю т св ойств у эргод и чности , что позв оляет замени ть осред нени е по объ ему стати cти чески м осред нени ем по ансамблю реали заци й. Т огд а тензоры макроскопи чески х мод у лей у пру гости и коэф ф и ци ентов под атли в ости опред еляю тся ф орму лами σ

i, j

=λ* ε ijlm mn

(2.2.9)

ε i , j = s*ijmn σ mn

.

И з соотнош ени й (2.2.5), (2.2.6) наход и м

σ ij

ε ij

=

=

λijmnε mn

s ijmn σ mn

(2.2.10) отку д а след у ет, что д ля опред елени я макроскопи чески х у пру ги х постоянны х необход и мо на основ е у рав нени й (2.2.7) ,(2.2.8) найти од ноточечны е моменты λijmnε mn , sijmnσ mn как ф у нкци и сред ни х напряжени й σ i , j . М етод ы реш ени я у рав нени й (2.2.7) , (2.2.8) и д енти чны , поэтому д остаточно и зложи ть и х су щ ность д ля од ного и з у рав нени й. Рассмотри м

15

у рав нени е рав нов еси я пред став лени е

в

перемещ ени ях (2.2.7).П ри ни мая

в о в ни мани е

П ри ни мая в о в ни мани епред став лени е

ui = ε ij x j + u j 0 ,

(2.2.11)

и мею щ ее место при од нород ном нагру жени и тела, запи сы в аем у рав нени е (2.2.7) в в и д е

((

) ), j .

0 c λijlm cum ,nj = − λijmn − λijmn ε mn

(2.2.12)

Зд есь u - ф лу кту аци и перемещ ени й; λijmn -некоторы й тензор мод у лей у пру гости спостоянны ми компонентами . 0

В след ств и естати сти ческой од нород ности напряжени й σ ij и д еф ормаци й

ε ij математи чески еожи д ани я напряжени й и д еф ормаци й постоянны . П оэтому регу лярная состав ляю щ ая перемещ ени й

ε ij x j (2.2.11) на

бесконечности неограни ченно в озрастает, тогд а как слу чайная состав ляю щ ая 0 но у д аленной u j ограни чена. Это д ает в озможность при нять, что на бесконеч пов ерхности , ограни чи в аю щ ей область, ф лу кту аци и перемещ ени й рав ны ну лю

uj

0

∞

=0

(2.2.13)

В оспользу емся ф орму лой Г ри на Gij оператора лев ой части у рав нени я (2.2.71), у д ов летв оряю щ ей у рав нени ю

()

λcijmn Gmk ,nj ( x ) = −δ ik δ x ,

(2.2.14)

()

гд еδ x - д ельта-ф у нкци я Д и рака, δ ik - д ельта –ф у нкци я Кронекера. Т огд а реш ени еу рав нени я (2.2.73) можно пред став и ть в в и д е

( )

(

)((

) ),k dv 2

uio x (1) = ∫ Giα x (1) − x (2 ) λαkmn − λαc kmn ε mn

.

(2.2.15)

Д и ф ф еренци ру я в ы ражени е (2.2.74) и пров ед я и нтегри ров ани е по частям, полу чи м и нтегральноеу рав нени еотноси тельно д еф ормаци й

( )

ε ij x (1) = ε ij + + ∫ Gijmn

(

)(

( )

)

( )

x (1) − x (2 ) ⋅ λ mnαβ x (2 ) − λcmnαβ ⋅ ε αβ x (2 ) ⋅ dx (2 )

гд еи нтегральны й оператор опред еляется прав и лом

, (2.2.16)

16

( (1) − x (2 ) )⋅ φ (x (2 ) )⋅dx (2 ) = (2.2.17) Gm(i , j )k (x (1) − x (2 ) )φ (x (2 ) )⋅ dv (2 ) + =∫ + ∫ Gm(i , j ) (x (1) − x (2 ) )⋅ φ (x (2 ) )⋅ n k ⋅ ds

∫ Gijmn x

Зд есь S – бесконечно у д аленная грани ца области v , зани маемой телом, n k - направ ляю щ и е коси ну сы нормали кпов ерхности S .Т аки м образом, зад ача об опред елени и макроскопи чески х у пру ги х постоянны х к опред елени ю и з и нтегрального у рав нени я (2.2.17) моментов λ ijmn ε mn как ф у нкци й сред ни х д еф ормаци й ε mn . Д ля сокращ ени я в ы клад ок при и зложени и метод ов реш ени я зад ачи в оспользу емся си мв ольной запи сью , пред став и в соотнош ени я (2.2.10), (2.2.1) и и нтегральноеу рав нени е(2.2.16) соотв етств енно, в ф орме

(

σ = λ ⋅ε

(2.2.18)

σ = λ* ⋅ ε

(2.2.19)

)(

)

ε (1) = ε + G x (1) − x (2 ) ⋅ λ(2 ) − λc ⋅ ε (2 )

.

(2.2.20)

Зд есь и нд ексы в кру глы х скобках в еху обозначаю т точку , в которой рассматри в ается значени еф у нкци й. 2.3.Корре ляционное приб лиже ние в за да ч е о м а к рос к опич е с к их пос тоянны х О снов ная тру д ность в реш ени и у рав нени я (2.2.20) св язана с его стати сти ческой нели нейностью , обу слов ленной нали чи ем прои зв ед ени я слу чайны х ф у нкци й. Это при в од и т к необход и мости реш ени я бесконечной послед ов ательности у рав нени й относи тельно моментны х и ли слу чайны х ф у нкци й. Рассмотри м процесс построени я реш ени я зад ачи о макроскопи чески х постоянны х. Д ля опред елени я макроскопи чески х постоянны х необход и мо найти од ноточечны й момент в торого поряд ка λε какф у нкци ю ε . С этой целью

(1) и пров ед ем

у множи м у рав нени е (1.20) на тензор мод у лей у пру гости λ стати сти ческоеосред нени е. В резу льтатеполу чи м в ы ражени е

(

)

(

)

λ ⋅ ε = λ ⋅ ε + G x (1) − x (2 ) ⋅ λ(1) ⋅ λ(2 ) − λc ⋅ ε (2 ) ,

(2.3.1)

17

котороесод ержи тнеи зв естны й д в у хточечны й моменттретьего поряд ка.

x (1) , x (2 ) (2 ) (3 ) и , у множи в его на в ы ражени е λ(1) λ(2 ) − λc , соотв етств енно на x , x Д ля его опред елени я поменяем в у рав нени и (2.2.20) точки

пров ед ем стати сти ческоеосред нени е. В резу льтатеи меем

) ( ) + G ⋅ (x (2 ) − x (3 ) )⋅ λ(1) (λ(2 ) − λ c )⋅ (λ(3 ) − λc )⋅ ε

(

)

(

λ(1) ⋅ λ(2 ) − λc ⋅ ε (2 ) = λ(1) ⋅ λ(2 ) − λc ⋅ ε +

В ы ражени е

(3 )

(2.3.1)

(2.1) сод ержи т нов ы й неи зв естны й трехточечны й момент

(

)(

)

(1) λ(2 ) − λc λ(3 ) − λc ε (3 ) . П род олжи в это процесс,

четв ертого поряд ка λ

полу чи м бесконечну ю си стему у рав нени й относи тельно неи зв естны х моментов разли чны х поряд ков и ти пов . П ри этом в озни кает проблема замы кани я, характерная д ля стати сти чески нели нейны х зад ач. Е сли ограни чи ться рамками корреляци онного при бли жени я, то д ля смеш анного од ноточечного момента полу чаем след у ю щ еев ы ражени е

(

(

) (

λε = λ + G x (1) − x (2 ) λ(1) λ(2 ) − λc

))

,

(2.3.2)

отку д а наход и м тензор макроскопи чески хмод у лей у пру гости

(

) (

λ * = λ + G x (1) − x (2 ) λ(1) λ(2 ) − λc

)

.

(2.3.3)

В ы чи слени е макроскопи чески х постоянны х в корреляци онном при бли жени и при в од и т крезу льтатам, бли зки м кд ейств и тельны м значени ям ли ш ь д ля слабо неод нород ны х матери алов , когд а ф лу кту аци и мод у лей д остаточно малы . В реальны х компози ци онны х матери алах разли чи е у пру ги х характери сти к компонентов может бы ть в есьма су щ еств енны м. П оэтому в ы чи слени е макроскопи чески х постоянны х в корреляци онном при бли жени и можетпри в од и ть кзав ед омо нев ерны м резу льтатам. Рассмотри м оценки ф лу кту аци й на при мере д в у хкомпонентного матери ала. О тнош ени е сред некв ад рати ческого отклонени я тензора мод у лей у пру гости кего математи ческому ожи д ани ю можно пред став и ть в в и д е

λ02

=

(λ

)

− λ2 с1с2 λ1с1 + λ2 с2

1

(2.3.4)

λ с1 ,λ1 и с2 ,λ2 - объ емны е концентраци и и мод у ли у пру гости

Зд есь соотв етств енно перв ого и в торого компонентов . О чев и д но, что ф лу кту аци и бу д у т малы в сегд а, если мод у ли компонентов мало отли чаю тся д ру г отд ру га.

18

Рассмотри м слу чай, когд а у пру ги е мод у ли компонентов значи тельно отли чаю тся д ру г от д ру га. П у сть, напри мер, λ1 >> λ2 . Т огд а, согласно (2.3.4) , при с1 > c2 полу чи м

λ02 λ

с2 с1

≈

(2.3.5)

Т о есть при больш и х концентраци ях более жесткого компонента ф лу кту аци и мод у лей у пру гости бу д у т малы ми . П ри у слов и и с1 < c2 отнош ени е (2.3.5) можетбы ть больш е ед и ни цы и резу льтаты корреляци онного при бли жени я станов ятся непри год ны ми д ля и спользов ани я. порядк ов

2.4.Т е ория, уч иты ва ющ а я одноточ е ч ны е

м ом е нты

вы с ок их

У точнени е корреляци онного при бли жени я можно осу щ еств и ть пу тем у чета моментов более в ы сокого поряд ка (третьего, четв ертого и т.д .) и ти па (трехточечного, четы рехточечного т.д .) в св язанной си стеме у рав нени й относи тельно моментов . О д нако при этом су щ еств енно в озрастаю т тру д ности в ы чи сли тельного характера, а также тру д ности , св язанны е с необход и мостью зад ани я многоточечны х моментов слу чайного поля тензора мод у лей у пру гости . М ожно и скать реш ени е, при год ное д ля су щ еств енно неод нород ны х матери алов , за счет у чета моментов в ы соки х поряд ков при од ном и том же и х ти пе. О д ни м и з таки х поход ов яв ляется теори я, у чи ты в аю щ ая только од ноточечны е моменты в сех поряд ков , котору ю можно назв ать од ноточечны м при бли жени ем. С у щ ность еесв од и тся кслед у ю щ ему . (2.2.20) на ( λ

(1) n

У множи м у рав нени е

) (прои зв ед ени е n тензоров

мод у лей у пру гости λ , в зяты х в точке x ) и пров ед ем стати сти ческое осред нени е. В резу льтатеполу чи м соотнош ени я (1)

(

)

(

)

λn ⋅ ε = λn ⋅ ε + G ⋅ x ( 1 ) − x ( 2 ) ⋅ λ( 1 )⋅n ⋅ λ( 2 ) − λc ⋅ ε ( 2 ) (2.4.1)

n ∈ {N }

П реобразу ем од ноточечны емоменты в прав ой части (2.4.1)

(

) ( ) = G( 0 ) ⋅ λ⋅n ⋅ (λ − λc )⋅ ε + G (∞ ) ⋅ λ⋅n ⋅ (λ + G ⋅ (x ( 1 ) − x ( 2 ) )⋅ λ( 1 )⋅n ⋅ (λ( 2 ) − λc )⋅ ε ( 2 )

G x ( 1 ) − x ( 2 ) ⋅ λ( 1 )⋅n ⋅ λ( 2 ) − λc ⋅ ε ( 2 ) =

Зд есь д ейств и е ли нейного оператора G область за и склю чени ем точек,

x

(2)

=x

(1)

и x

(2)

)

− λc ⋅ ε

+

(2.4.2)

распространяется на в сю

∈S.

19

И з (2.4.2) и (2.4.1) с у четом только од ноточечны х моментов , след у ет бесконечная си стема у рав нени й относи тельно неи зв естны х λ ⋅ ε n

(

)

λn ⋅ ε = λn ⋅ ε + G (0 ) ⋅ λn+1 ⋅ ε − λc ⋅ λn ⋅ ε + + G (∞ ) ⋅ λ

n

(

⋅ λ ⋅ε − λ ⋅ ε c

)

(2.4.3)

В слу чае ку сочно-од нород ны х тел реш ени е бесконечной си стемы у рав нени й (2.4.3) можно у прости ть спомощ ью д ополни тельны х соотнош ени й, след у ю щ и х и з общ еи зв естны х св ойств сов местной плотности распред елени я слу чайны х в ели чи н. Рассмотри м этот под ход д ля д в у хкомпонентного матери ала. В этом слу чаесов местну ю од ноточечну ю плотность распред елени я мод у лей у пру гости и д еф ормаци й можно запи сать в в и д е

(

f ( λ ⋅ ε ) = f 1 ( λ ) ⋅ ϕ (ε λ ) ,

)

(2.4.4)

гд еϕ ε λ - у слов ная плотность распред елени я д еф ормаци й, f 1 ( λ ) плотность распред елени я мод у лей у пру гости , которая в ы ражается через у пру ги ехарактери сти ки и концентраци и компонентслед у ю щ и м образом

f 1 ( λ ) = c1 ⋅ δ (λ − λ1 ) + c 2 ⋅ δ (λ − λ 2 )

(2.4.5)

П ользу ясь пред став лени ями (2.4.4), (2.4.5), можно полу чи ть

2 ε = ∑ ci ⋅ ε i i =1

(2.4.6)

2

λn ⋅ ε = ∑ ci ⋅ λin ⋅ ε i i =1

отку д а след у ю тзав и си мости межд у моментами

λk ε , λn ⋅ ε

разли чны хпоряд ков

(λ1k − λk2 )⋅ λn ⋅ ε − (λ1n − λn2 )⋅ λk ⋅ ε = (λ1k ⋅ λn2 − λ1n ⋅ λk2 )⋅ ε Д ля опред елени я момента λε си стемы (2.4.3)

д остаточно в зять перв ое у рав нени е

(

)

λ ⋅ ε = λ ⋅ ε + G (0 ) ⋅ λ2 ⋅ ε − λc λ ⋅ ε +

(

+ G (∞ ) ⋅ λ ⋅ λε − λ ⋅ ε c

(2.4.7)

)

и соотнош ени е(2.4.7) при n = 2 и k = 1

(2.4.8)

20

λ2 ε − (λ1 − λ 2 ) ⋅ λ ⋅ ε = −λ1 ⋅ λ 2 ⋅ ε

.

(2.4.9)

П од став ляя (2.4.9) в (2.4.8), полу чаем

(1 − G(0 ) ⋅ (λ1 + λ2 − λc ) − G(∞ ⋅) λ )⋅ λ ⋅ ε

=( λ −

− G (0 ) ⋅ λ1 ⋅ λ 2 − G (∞ ⋅) λ ⋅ λ ) ⋅ ε c

(2.4.10)

О тсю д а наход и м

(

)

−1 c   λ ⋅ ε = 1 − G ( 0) ⋅ λ + λ − λ − G ( ∞) ⋅ λ  ⋅ ( λ − 1 2   −G ( 0) ⋅ λ ⋅ λ − G ( ∞) ⋅ λ λ c ) ⋅ ε 1 2

(2.4.11)

Т аки м образом, тензор макроскопи чески х мод у лей у пру гости од ноточечном при бли жени и и меетв и д

(

(

)

λ∗ = 1 − G (0 ) ⋅ λ1 + λ 2 − λc − G (∞ ) ⋅ λ

)−1 ⋅ ( λ

−

− G (0 ) ⋅ λ1 ⋅ λ 2 − G (∞ ) ⋅ λ λ )

в

(2.4.12)

c

В ы ражени е (2.4.12) сод ержи т неопред еленны й тензор λ c , что яв ляется след ств и ем при бли женности реш ени я. С рав нени е с экспери ментальны ми д анны ми и некоторы ми расчетами , основ анны ми на регу лярной мод ели компози ци онны х матери алов , показы в ает. что д ля матри чны х смесей след у ет

λ

при ни мать

c

= λ , если

жесткость

матри цы

больш е жесткости

в клю чени й, и λ c = s , если жесткость матри цы меньш е жесткости в клю чени й. Зд есь s - тензор у пру ги хпод атли в остей. Т очность реш ени я зад ачи о макроскопи чески х постоянны х в од ноточечном при бли жени и опред еляется в ели чи ной слагаемого

(

)

(

)

G ⋅ x ( 1 ) − x ( 2 ) ⋅ λ( 1 )⋅n ⋅ λ( 2 ) − λc ⋅ ε ( 2 )

в (2.4.2).

Е сли компози ци онны й матери ал яв ляется и зотропны м в ми кро - и макрообъ емах, то д в у хточечны е моменты мод у лей у пру гости

(

)

λ( 1 )⋅n ⋅ λ( 2 ) − λc ⋅ ε ( 2 ) зав и сят только от расстояни я межд у точками x ( 1 ) − x ( 2 ) , а и нтегральны й оператор G облад аетсв ойств ом

(

) (

)

G ⋅ x( 1 ) − x( 2 ) ⋅ ϕ x( 1 ) − x( 2 ) = 0 ,

(2.4.13)

21

гд е – ϕ прои зв ольная ф у нкци я. П оэтому , чтобы полу чи ть од ноточечное при бли жени е, д остаточно при нять, что д в у хточечны й момент

(

)

λ( 1 )⋅n ⋅ λ( 2 ) − λc ⋅ ε ( 2 ) яв ляется ф у нкци ей только x ( 1 ) − x ( 2 ) . Эта ги потеза при нята в в и д епоняти я « си льной и зотропи и ». К тем же резу льтатам можно при йти , пренебрегая в д в у хточечном моменте

(

)

λ( 1 )⋅n ⋅ λ( 2 ) − λc ⋅ ε ( 2 )

состав ляю щ и ми ,

зав и сящ и ми

от

направ лени я в ектора x −x . Т аки м образом, д ля и зотропного в ми кро- и макрообъ емах матери ала погреш ность од ноточечного при бли жени я опред еляется зав и си мостью д в у хточечного момента, сод ержащ его тензор д еф ормаци й от направ лени я (1)

(2)

в ектора x − x . С рав нени е резу льтатов од ноточечного при бли жени я д ля матери алов зерни стой и од нонаправ ленной в олокни стой стру кту ры с экспери ментальны ми д анны ми и д ру ги ми расчетами показы в ает, что эта зав и си мость несу щ еств енна. О д нако су щ еств у ю т таки е в и д ы стру кту р, специ ф и ку св ойств которы х од ноточечное при бли жени е не у чи ты в ает. Н апри мер, в рамках этого при бли жени я, св ойств а матери ала, арми ров анного хаоти чески направ ленны ми непреры в ны ми в олокнами , не отли чаю тся от св ойств матери ала, арми ров анного сф ери чески ми в клю чени ями . О д нако и сход я и з опы та, след у ет, что они разли чны , особенно, в слу чаев ы сокомод у льны х наполни телей. О д ноточечное при бли жени е не позв оляет опи сать ани зотропи ю св ойств компози ци онны х матери алов , св язанну ю с ори ентаци ей стру кту рны х элементов , напри мер, матри цы с ори енти ров анны ми элли псои д альны ми в клю чени ями . В то же в ремя, корреляци онное при бли жени е у лав ли в ает этот эф ф ект, поскольку ф орму ла (2.3.3) сод ержи т д в у хточечны й момент у пру ги х характери сти ккомпози ци онного матери ала. (1)

(2)

2.5 Т е ория ус ловны хм ом е нтны хфунк ций У точнени е од ноточечного при бли жени я пу тем у чета д в у хточечны х моментов при в од и т ксу щ еств енному у сложнени ю у рав нени й. Зад ачу можно су щ еств енно у прости ть, если в место метод а моментов в оспользов аться метод ом у слов ны хмоментов . С у щ ность его состои тв след у ю щ ем. П у сть компози ци онны й матери ал состои т и з n компонентов с объ емны ми концентраци ями и тензорами мод у лей у пру гости соотв етств енно c k ,λ k , k = 1,2 ,...n . Тогд а, пользу ясь пред став лени ем (2.4.4), гд е плотность распред елени я мод у лей у пру гости f 1 (λ ) д ля n -компонентного матери ала и меетв и д n

f 1 ( λ ) = ∑ c k δ (λ − λ k ) , k =1

(2.5.1)

полу чи м на основ е(2.2.18) в ы ражени ед ля тензора сред ни х напряжени й

22

n

σ = ∑ ck λk ε k

.

k =1

(2.5.2)

О тсю д а след у ет, что д ля опред елени я макроскопи чески х у пру ги х постоянны х необход и мо найти сред ни е д еф ормаци и компонентов какф у нкци и сред ни х сред ни х д еф ормаци й в сего тела ε .

(

У множи м (2.2.20) на f ε

(1)

)

,ε ( 2 ) , λ( 2 ) ν ( 1 ) -у слов ну ю

плотность

, x ( 2 ) и мод у лей у пру гости в точке x ( 2 ) при у слов и и , что в точке x ( 1 ) наход и тся компонент ν , и пров ед ем

распред елени я д еф ормаци й в точках x осред нени е. у рав нени й

В

(1)

резу льтате

полу чи м

си стему

) kn=1 ((k2 ) ν( 1 ) )(λk − λc )⋅ ε ( 2 ) (k2 ) ,ν ( 1 )

(

εν = ε + G x ( 1 ) − x ( 2 ) ⋅ ∑ f

, (2.5.3)

ν = 1,2 ,...n ,

(

( 2 ) (1) ν

гд е f k

) - в ероятность нахожд ени я в точке

у слов и и , что в точке x

(1)

x ( 2 ) компонента k при

наход и тся компонент ν ; ⋅ ε

математи ческоеожи д ани етензора д еф ормаци й в точке x

(2)

( 2 ) ( 2 ) (1) k ,ν

-

при у слов и и , что в

ней наход и тся компонент k , а в точке x наход и тся компонентν . В у рав нени я (2.5.3) в ош ли неи зв естны е у слов ны е д в у хточечны е (1)

моменты ⋅ ε

( 2 ) ( 2 ) (1) . Д ля и х опред елени я у множи м у рав нени е (2.2.20) на k ,ν

у слов ну ю плотность f ( ε

(1)

,ε ( 2 ) ,λ( 2 )

(1) 3 k ,ν

) и пров ед ем осред нени е. Тогд а

полу чи м

ε (1) −λ

c

(1) ( 3 ) k ,ν

)⋅

n

= ε + G( x ( 1 ) − x ( 2 ) ) ⋅ ∑ f ( r( 2 ) r =1

ε ( 2 ) (r 2 ) ,(k1 ) ,ν( 3 )

(1) ( 3 ) k ,ν

(2.5.4)

, k ,ν = 1,2...n.

П род олжая этот процесс, полу чи м бесконечну ю относи тельно неи зв естны х у слов ны х моментов

εν 1 , ε ( 1 ) ν( 1 ) ,ν( 2 ) ,... ε ( 1 ) ν( 1 ) ,ν( 2 ) ,...,ν( i ) ,... 1

) ⋅ ( λr −

2

1

2

си стему у рав нени й (2.5.5)

i

ν 1 ,ν 2 ,... = 1,2 ,..., n Замы кани е полу ченной си стемы может бы ть осу щ еств лено пу тем обры в а процесса на некотором ш аге. Зд есь, в частности , в озможны в ари анты

23

ε ( 1 ) ν( 1 ) ,ν( 2 ) ,...,ν( i ) = 0 1

2

i

ε ( 1 ) ν( 1 ) ,ν( 2 ) ,...,ν( i ) = ε 1

2

(2.5.6)

i

ε ( 1 ) ν( 1 ) ,ν( 2 ) ,...,ν( i ) = εν 1 1

2

i

. Д ля реш ени я полу ченны х у рав нени й необход и мо зад ать у слов ны е плотности распред елени я компонентов

f (ν( 1 ) ,ν( 2 ) ), f (ν( 1 ) 1

2

1

(2) (3) , ν2 ν3

),..., f (ν( 1 ) 1

(2) (3) , ν2 ν3

,...ν( i ) ),... i

П ри этом « компонент» можно трактов ать не только как стру кту рны й элемент с опред еленны ми ф и зи чески ми св ойств ами , но в клю чать сю д а также его ори ентаци ю , ф орму , размеры и д ру ги егеометри чески епараметры . Е сли ограни чи ться д в у хточечны ми у слов ны ми плотностями распред елени я компонентов , то д остаточно рассмотреть у рав нени е (2.5.3). Д ля его замы кани я целесообразно при нять третьеу слов и е (2.5.6) т.е.

ε(2)

( 2 ) (1) k ,ν

= εk

(2.5.7)

Это соотв етсв у ет пренебрежени ю ф лу кту аци ями д еф ормаци й в пред елах кажд ого компонета. В резу льтате полу чи м си стему алгебраи чески х у рав нени й относи тельно сред ни х по компонентам д еф ормаци й

(

n

)

εν = ε + ∑ G( x ) ⋅ pνk ( x ) ⋅ λ k − λc ε k k =1

гд епри нято обозначени е

(2.5.8)

ν = 1,2 ,...n ,

pνk ( x ( 1 ) − x ( 2 ) ) = f ( k( 2 ) ν( 1 ) ) .

(2.5.9)

Е сли при нять G ( x ) pνk ( x ) = 0 , гд е G ( x ) опред елено соотнош ени ями (2.4.2), то у рав нени я (2.5.8) бу д у т рав носи льны у рав нени ям од ноточечного при бли жени я (2.4.3). В самом д еле, в этом слу чаеу рав нени я (2.5.8) при му тв и д

(

n

)

εν = ε + ∑ ( G( 0 ) ⋅ δ νk ( x ) + G( ∞ )c k ) λ k − λc ε k k =1

ν = 1,2 ,...n .

У множая (2.5.10) на cν λν и пров од я су мми ров ани е, полу чаем m

(2.5.10)

24

n

n

n

∑ c ν λν εν = ∑ c ν λν ε m

ν =1

+ G( 0 ) ⋅ ( ∑ c

m

ν =1

n

− λc ∑ c

m k λk

−λ ∑ c

k

k =1 c n k =1

k =1

n

ε k ) + G( ∞ )( ∑ c k =1

n

εk )⋅ ∑c ν =1

m ν λν

k λk

m +1 k λk

n

εk ⋅ ∑c ν =1

m ν λν

εk − −

(2.5.11)

)

У чи ты в ая соотнош ени я n

ε = ∑ ck ε k ; k =1

n

λm = ∑ c k λm k k =1

n

;

λm ε = ∑ c k λ k ε k , k =1

(2.5.12)

при ход и м кв ы в од у , что у рав нени я (2.4.2) и (2.5.11) рав носи льны . Т аки м образом, у рав нени я (2.5.8) более точно опи сы в аю т компози ци онны й матери ал по срав нени ю с од ноточечны м при бли жени ем и д аю т в озможность у чи ты в ать более сложны е стру кту ры . Н али чи е д в у хточечной у слов ной плотности pν k ( x ) позв оляет опи сать ани зотропи ю св ойств компози ци онного матери ала, св язанну ю с геометри ей стру кту ры , что прояв ляется в зав и си мости pνk ( x ) отнаправ лени я рад и у са - в ектора x . 3.Прогнозирова ние м а к рос к опич е с к их к оэффицие нтов те плопроводнос ти, с тохас тич е с к и не однородны хм а те риа лов. 3.1. О с новны е ура вне ния. Ре ш е ния для с лоис ты х , зе рнис ты х и волок нис ты х м а те риа лов. Рассмотри м неограни ченное тв ерд ое тело, тензор теплопров од ности которого aij образу ет стати сти чески од нород ное слу чайное поле. М асш табы корреляци и ф у нкци и a бу д ем счи тать конечны ми , тем самы м пред полагая в ы полнени е у слов и й эргод и чности слу чайны х полей. Таки м у слов и ям обы чно у д ов летв оряю т реальны е компози ци онны е матери алы , стру кту ра которы х и меет слу чайны й характер, а сред ни е размеры компонентов пренебрежи мо малы по срав нени ю сразмерами тела. В след ств и е слу чайного характера св ойств матери ала при нерав номерном нагрев е температу ра Θ и теплов ы е потоки q j также бу д у т слу чайны ми ф у нкци ями коорд и нат. П ри этом зав и си мости межд у теплов ы ми потоками и град и ентами температу ры в ы ражаю тся законом Ф у рье

25

q j = − a jk Θ ,k

j , k = 1,2 ,3

(3.1.1) У рав нени е баланса тепла в у слов и ях стаци онарной теплопров од ности и отсу тств и я в ну тренни х и сточни ков тепла и меетв и д q j,j = 0 . (3.1.2) Зад ача состои т в том, чтобы при и зв естны х стати сти чески х характери сти ках слу чайного поля тензора теплопров од ности aij опред ели ть ∗

макроскопи чески й тензортеплопров од ности aij . П ред положи м, что компози ци онны й матери ал наход и тся в таки х у слов и ях нерав номерного стаци онарного нагрев а, при которы х слу чайны еполя теплов ы х потоков q j и град и ентов температу ры Θ , j яв ляю тся стати сти чески од нород ны ми . В этом слу чаеи х можно счи тать эргод и чески ми , т.е. сред ни епо стати сти ческому ансамблю теплов ы е потоки q j и град и енты температу ры

Θ , j рав ны соотв етств у ю щ и м сред ни м по объ ему : 1 1 ∫ q j dv ; Θ , j = lim ∫ Θ , j dv . v →∞ v v →∞ v

q j = lim

Зав и си мости межд у сред ни ми теплов ы ми температу ры в ы ражаю тся законом Ф у рье

qj

= −a ∗ jk Θ ,k

потоками

j , k = 1,2 ,3 ,

(3.1.3) и

град и ентами (3.1.4)

∗

гд е aij - макроскопи чески й тензор теплопров од ности . П ред став и м слу чайны е ф у нкци и aij , q j ,Θ в в и д е су ммы математи чески х ожи д ани й и ф лу кту аци й

aij = aij + aij0 q j = q j + q 0j

Θ = Θ +Θ 0

.

(3.1.5)

Т огд а и з (3.1.1) полу чаем в ы ражени есред него теплов ого потока в в и д е

q j = − a jk Θ ,k − a 0jk ⋅ Θ ,0k

(3.1.6)

П од став ляя (3.1.1), (3.1.5) в у рав нени е баланса тепла (3.1.2), полу чаем у рав нени етеплопров од ности относи тельно ф лу кту аци й температу ры

a jk Θ ,0jk = −( a 0jk ( Θ ,k + Θ ,0k )), j

.

П ри этом сред няя температу ра опред еляется ф орму лой Θ = Θ,j ⋅ x j .

(3.1.7) (3.1.8)

т.е. не ограни чена на бесконечности , поэтому ф лу кту аци и температу ры

Θ можно счи тать пренебрежи мо малы ми при x → ∞ и д ополни ть у рав нени е (3.1.7) у слов и ем на бесконечности 0

Θ 0 ( x ) x →∞ → 0 .

(3.1.9)

26

Т аки м

образом,

теплопров од ности

aij

∗

д ля

опред елени я

макроскопи ческого

необход и мо найти

тензора

реш ени е у рав нени я

(3.1.7).

П од став ляя затем град и енты Θ , j в в ы ражени е (3.1.6), найд ем зав и си мости межд у сред ни м теплов ы м потоком и сред ни ми град и ентами температу ры (3.1.4). У рав нени е (3.1.7) яв ляется стати сти чески нели нейны м. О но при в од и тся к бесконечной послед ов ательности св язанны х у рав нени й относи тельно моментов разли чны х поряд ков и ти пов , реш и ть котору ю в общ ем слу чае не пред став ляется в озможны м. И склю чени е пред став ляет слу чай слои стой стру кту ры сред ы , когд а тензор теплопров од ности aij яв ляется ф у нкци ей од ной коорд и наты . П у сть, напри мер, тензор aij зав и си ттолько откоорд и наты x3 . В след ств и е од нород ности макроскопи чески х теплов ы х потоков и град и ентов температу ры слу чайны е ф у нкци и q j ,Θ также бу д у т зав и сеть только от коорд и наты x3 . В этом слу чае у рав нени е(3.1.7) легко и нтегри ру ется, в резу льтатечего и меем 0

 1 1 =  a 33 a 33 

−1

  a j3 1  = − a jk +  ⋅   a33 a33  

−1

Θ ,0k

 − 1 ⋅ Θ ,3 ⋅ δ k 3 .  

(3.1.10)

П од став ляя (3.1.10) в (3.1.6), полу чи м зав и си мости межд у сред ни ми теплов ы ми потоками и град и ентами температу ры

qj

− a j3

   ⋅δ  ⋅ Θ . ,k  k3   

О тсю д а след у ет, что макроскопи чески й опред еляется в ы ражени ем

a

∗

jk

= a jk

 a j3 1 + ⋅  a33 a33 

−1

− a j3

(3.1.11)

тензор теплопров од ности

  ⋅δ  k3 

(3.1.12)

Е сли с лоис т ы й матери ал состав лен и з и зотропны х слоев , т.е. в кажд ой его точкетензор aij и меетв и д

aij = a ⋅ δ ij ,

(3.1.13) то макроскопи чески е коэф ф и ци енты теплопров од ности в д оль слоев и в поперечном направ лени и бу д у т, соотв етств енно,

a1∗

= a

a3∗

1 = a

−1

.

(3.1.14)

Д ля матери алов , и мею щ и х объ емны е концентраци и и коэф ф и ци енты (i)

теплопров од ности слоев ci , a , од ноточечная плотность распред елени я коэф ф и ци ентов теплопров од ности опред еляется ф орму лой

27

n

f 1 ( a ) = ∑ ci δ ( a − a ( i ) ) ,

(3.1.15)

i =1

гд е n – чи сло слоев сразли чны ми св ойств ами . П ри этом стати сти чески есред ни е(3.1.14) бу д у ти меть в и д n

a = ∫ a ⋅ f 1 ( a ) ⋅ da ⇒ a = ∑ ci ⋅ a ( i ) , i =1 n

(3.1.16)

c 1 1 1 = ∫ ⋅ f 1 ( a ) ⋅ da ⇒ = ∑ ( ( ii ) ) . a a a i =1 a

Т аки м образом, соотнош ени я (3.1.14), (3.1.16) пред став ляю т точное реш ени е зад ачи о нахожд ени и макроскопи чески х постоянны х теплопров од ности многокомпонентного с лоис т ого матери ала с из от р оп ны м и с лоям и. В слу чаед в у хкомпонетного матери ала и з (3.1.14), (3.1.16) след у ет

a1∗

= a

∗ ;a j

= a −

c1 ⋅ c 2 ⋅ ( a ( 3 ) ) 2

a + (c 2 − c1 ) ⋅ a

(3)

(3.1.17)

a( 3 ) = a( 1 ) − a( 2 ) . Д ля матери алов з ер нис т ой, волокнис т ой с т р укт ур ы , а также д ля матери алов п р ос т р а нс т венного а р м ир ова ния построени еточного реш ени я и зза значи тельны х математи чески х тру д ностей не пред став ляется в озможны м. П оэтому д алее рассмотри м при бли женны е метод ы реш ени я у казанного ти па зад ач. Д ля компози ци онны х матери алов , состоящ и х и з из от р оп ны х компонентов , соотнош ени я (3.1.6), (3.1.7) при му тв и д

q j = − a ⋅ Θ , j − a 0 ⋅Θ , j a ⋅ Θ ,0kk = −( a 0 ( Θ ,k + Θ ,0k )),k .

(3.1.18)

В в ед ем корреляци онны еф у нкци и

Θ 0 ( x + y ) ⋅ a 0 ( x ) = S( y ) a0 ( x + y ) ⋅ a0 ( x ) = K( y ) ,

(3.1.19)

которы е в си лу од нород ности рассматри в аемы х слу чайны х полей зав и сят только отразности коорд и натд в у х точек y . П ерв оеи з у рав нени й (3.1.18) при этом можно запи сать в в и д е

q j = − a ⋅ Θ , j − S ij ( 0 ).

(3.1.20)

28

У множи м в торое и з у рав нени й (3.1.2), в зятое в точке x на x ( x + y ) и 0

пров ед ем стати сти ческое осред нени е. П ренебрегая моментами третьего поряд ка, т.е. ограни чи в аясь корреляци онны м при бли жени ем, полу чаем д и ф ф еренци альноеу рав нени еотноси тельно ф у нкци и S ( y )

a ⋅ S ,kk = − K ,kk ⋅ Θ ,k

(3.1.21) П оскольку корреляци онны е св язи межд у рассматри в аемы ми слу чайны ми ф у нкци ями , в зяты ми в разли чны х точках, у бы в аю т с у в ели чени ем расстояни я межд у ни ми , то ф у нкци и S ( x ), K ( x ) → 0 при x → ∞ . Т аки м образом, д ля опред елени я макроскопи чески х коэф ф и ци ентов теплопров од ности необход и мо найти реш ени е у рав нени я (3.1.21) при ну лев ы х у слов и ях на бесконечности и под став и ть его в (3.1.20). В слу чае слои стой стру кту ры матери ала, когд а коэф ф и ци ент теплопров од ности яв ляется слу чайной ф у нкци ей од ной переменной, корреляци онны е ф у нкци и S ( x ), K ( x ) бу д у т зав и сеть только от коорд и наты y 3 . В ы ражени е(3.1.20) при метв и д

q j = − a Θ , j − S ,3 ( 0 ) ⋅ δ j 3 ,

(3.1.22)

а д и ф ф еренци альноеу рав нени е (3.1.21) станов и тся обы кнов енны м

a S ,33 = − K ,3 Θ ,3

.

(3.1.23)

И нтегри ру я его, наход и м

S ,3 ( 0 ) = −

K( 0 ) ⋅ Θ ,3 . a

(3.1.24)

Т еперь и з (3.1.22), (3.1.24) полу чаю тся зав и си мости межд у сред ни ми теплов ы ми потоками и град и ентами температу ры ∗

q j = − a1∗ ⋅ Θ , j

; q 3 = − a1 ⋅ Θ ,3 ( j = 1,2 ) , (3.1.25) гд емакроскопи чески екоэф ф и ци енты теплопров од ности и мею тв и д

a1∗ = a , a3∗ = a − Е сли

матери ал

состав лен и з

K( 0 ) . a

(3.1.26)

д в у х компонентов (1)

с объ емны ми (2)

концентраци ями и коэф ф и ци ентами теплопров од ности c1 , a , c 2 , a соотв етств енно, то, пользу ясь плотностью распред елени я (3.1.15) соотнош ени ями (3.1.26), полу чаем

a1∗ = c1 a ( 1 ) + c 2 a ( 2 ) ; K ( 0 ) = c1c 2 ( a ( 1 ) − a ( 2 ) )2

и

. (3.1.27) Т очны е реш ени я (3.1.17) д ля д в у хкомпонентной слои стой сред ы можно пред став и ть след у ю щ и м образом:

a1∗ = a , a3∗ = a −

K( 0 ) a − ( c 2 − c1 ) ⋅ a

(3)

.

(3.1.28)

29

∗

Как в и д и м, коэф ф и ци ент a 3 и з (3.1.26), полу ченны й на основ е корреляци онного при бли жени я теори и слу чайны х ф у нкци й, пред став ляет собой перв ы й член разложени я точного реш ени я д ля

a3∗ в ряд по

степеням( c 2 − c1 ) ⋅ a . П ри рав ны хконцентраци ях компонентов c1 = c 2 реш ени я (3.1.26 ) сов пад аю тсточны ми . Рассмотри м общ и й слу чай пространств енной неод нород ности коэф ф и ци ента теплопров од ности , что соотв етств у ет матери алам з ер нис т ой стру кту ры , а также компози ци онны м матери алам, арми ров анны м ис кр ивленны м и или р а з нона п р а вленны м и волокна м и. Реш ени е у рав нени я (3.1.18) в этом слу чаеможно пред став и ть след у ю щ и м образом: (3)

()

(

)

()

S y = Θ ,k ⋅ ∫ G y − x ⋅ K ,k x ⋅ d x . (3.1.29) Зд есь ф у нкци я Г ри на и меетв и д

()

Gx =

1 1 ⋅ 4 ⋅π ⋅ a x

(3.1.30)

Е сли ори ентаци я зерен и ли в олокон и меет хаоти чески й характер, т.е. рав нов ероятна в о в сех направ лени ях, то слу чайное поле коэф ф и ци ента теплопров од ности a бу д ет стати сти чески и зотропны м то корреляци онная ф у нкци я K y бу д ет зав и сеть только от д ли ны пространств енного в ектора

()

y .Т огд а и з в ы ражени я (3.1.29) наход и м Θ ,k ∞ dK y j ⋅ y k ⋅∫ ∫ ⋅ ⋅ dp ⋅ dΩ S , j (0 ) = 4π a 0 Ω dp p2 гд е Ω - телесны й у гол.

,

(3.1.31)

П ользу ясь соотнош ени ем ∫

Ω

y j yk p2

⋅ dΩ =

4 a ⋅ δ jk , 3

(3.1.32)

полу чаем окончательно

S,j ( 0 ) = −

K( 0 ) ⋅ Θ,j 3⋅ a

.

(3.1.33)

И з (3.1.20) и (3.1.33) след у ет зав и си мость межд у сред ни ми теплов ы ми потоками и град и ентами температу ры

q , j = −a ∗ ⋅ Θ , j

,

(3.1.34) ∗

гд е макроскопи чески й коэф ф и ци ент теплопров од ности a опред елятся соотнош ени ем

30

a∗ = a −

K( 0 ) . 3⋅ a

(3.1.35)

Рассмотри м однона п р а вленны й волокнис т ы й матери ал, в олокна которого ори енти ров аны в д оль оси x3 . В этом слу чае коэф ф и ци ент теплопров од ности бу д ет слу чайной ф у нкци ей коорд и нат x1 , x 2 , а в торое и з у рав нени й бу д етд в у мерны м. П ред став и м его реш ени ев и нтегральной ф орме (3.1.36) S y = Θ ,k ⋅ ∫ G y − x ⋅ K ,k x ⋅ d x , k = 1,2

()

(

)

()

()

гд еф у нкци я Г ри на G x и меетв и д

()

Gx =

(

1 ⋅ ln x j x j 4π a

)− 2

1

, j = 1,2

(3.1.37)

Д ля реальны х однона п р а вленны х волокнис т ы х матери алов характерно хаоти ческое расположени е в олокон, поэтому слу чайное поле a бу д у т стати сти чески и зотропны м в плоскости x1 , x 2 , а его корреляци онная ф у нкци я

зав и си ттолько отд ли ны ρ в ектора y в плоскости x1 , x2 . Т огд а и з в ы ражени й (3.1.36), (3.1.37) , наход и м

S , j (0 ) =

Θ ,k

∞ 2π

dK y j y k ⋅ ⋅ dρ ⋅ dϕ , ∫ ∫ 2π ⋅ a 0 0 dρ ρ 2

(3.1.38)

гд е ϕ – у гол в полярной си стемекоорд и нат. П ользу ясь соотнош ени ем 2π

y j ⋅ yk

0

ρ2

∫

, полу чи м

S,j ( 0 ) = −

⋅ dϕ = a ⋅ δ jk

(3.1.39)

K( 0 ) ⋅ Θ ,j . 2a

(3.1.40)

П од став ляя (3.1.40) в у рав нени е (3.1.20), найд ем соотнош ени я межд у сред ни ми теплов ы ми потоками и град и ентами температу ры

q j = −a1∗ ⋅ Θ , j

∗

, q 3 = −a 3 ⋅ Θ ,3 , j = 1,2 , (3.1.41) гд е макроскопи чески е коэф ф и ци енты теплопров од ности в поперечном и прод ольном направ лени яхотноси тельно в олокон и мею тв и д

a∗ = a −

K( 0 ) 2⋅ a

∗

, a3 = a .

(3.1.42)

Резу льтаты , полу ченны е на основ е корреляци онной теори и , при мени мы только д ля расчета св ойств матери алов смалы ми ф лу кту аци ями коэф ф и ци ента теплопров од ности . Более точны е реш ени я, справ ед ли в ы е при больш и х

31

ф лу кту аци ях коэф ф и ци ента теплопров од ности , можно полу чи ть, у чи ты в ая моменты в ы сш и х поряд ков . Д ля этого пред став и м в тороеи з у рав нени й (3.1.18) в в и д е и нтегрального у рав нени я относи тельно град и ентов ф лу кту аци й температу ры

()

)( () Г ри на G (x ) и меет в и д

( ))

(

Θ ,0j y = ∫ G , jk y − x ⋅ a 0 x ⋅ Θ ,k + a 0 ( x ) ⋅ Θ ,0k x ⋅ d x ,

(3.1.43)

гд е ф у нкци я (3.1.30) д ля з ер нис т ы х матери алов и (3.1.37) д ля матери алов од нонаправ ленного арми ров ани я. В в ед ем д в у хточечны емоменты

() ()

()

a 0 m y ⋅ a 0 x ⋅ Θ ,0j x = S (j m+1 ) ( y − x )

()

a 0 m y ⋅ a 0 ( x ) = K ( m +1 ) ( y − x ) . 0m

(3.1.44)

()

Т огд а, у множи в у рав нени е (3.1.43) на x y и при мени в операци ю стати сти ческого осред нени я, полу чи м и нтегральны е зав и си мости межд у од ноточечны ми и д в у хточечны ми моментами разли чны х поряд ков

()

S (j m ) ( 0 ) = − ∫ G , j ( y ) ⋅ ( K ( m+1 ) ( y ) ⋅ Θ , k + S k( m+1 ) y ),k ⋅ d y . (3.1.45) (m)

И сслед у ем стру кту ру д в у хточечны х моментов S j

( y ) д ля з ер нис т ы х и

однона п р а вленны х волокнис т ы х матери алов , когд а слу чайное поле коэф ф и ци ента теплопров од ности a стати сти чески и зотропно соотв етств енно в трехмерном пространств е и ли плоскости , перпенд и ку лярной к направ лени ю в олокон. r В екторное слу чайное поле a в n -мерном пространств е назы в ается стати сти чески од нород ны м и и зотропны м, если распред елени е в ероятностей компонент a j в некоторой си стеме коорд и нат, опред еляемой в екторами eα , в прои зв ольной си стеме точек наблю д ени я M 1 , M 2 ,...M m не меняется при преобразов ани и си стемы точекнаблю д ени я x 1j = x j + δ jn ⋅ xn ; ( x j = const , δ jm ⋅ δ mk = δ jk ) (3.1.46) и од нов ременном преобразов ани и коорд и натны х в екторов eα' = δ βα ⋅ eβ , (3.1.47) а такжеперв ы х моментов

aj

в екторного поля

a'j = δ jk ⋅ ak

.

(3.1.48)

И з ф и зи чески х пред став лени й след у ет, что рассматри в аемы е поля град и ентов температу ры Θ , j у д ов летв оряю тпри в ед енному опред елени ю д ля трехмерного пространств а в слу чаез ер нис т ы х матери алов и д ля д в у мерного пространств а в слу чаеволокнис т ы х компози тов .

32

Д ля констру и ров ани я д в у хточечны х моментов , сод ержащ и х град и енты температу ры , и меем след у ю щ и е и нв ари антны е элементы при преобразов ани и

r - мод у ль в ектора y , соед и няю щ его д в еточки , γ i направ лени и yi , δ ij -ед и ни чны й тензор, Θ , j -перв ы й

(3.1.46), (3.1.47) и (3.1.48): ед и ни чны й в ектор в

момент град и ента температу ры . С лед ов ательно, общ и й в и д момента (m) Sj y опред еляется соотнош ени ем (m) Sj y = S1 (r ) ⋅ γ j + ( S 2 ( r ) ⋅ δ jk + S 3 ( r ) ⋅ γ j ⋅ γ k ) ⋅ Θ ,k . (3.1.49) И з у слов и я и зотропи и такжеслед у ет, что в ну леи на бесконечности моменты (m) Sj y незав и сятотγ i , т.е.

() () ()

S1 (0 ) = S 3 ( 0 ), S1 (∞ ) = S 3 ( ∞ )

. (3.1.50)

П ользу ясь пред став лени ем (3.1.49), и з (3.1.45) полу чаем

()

( ( m +1 )( 0 ) − S (j m +1 ) (∞))+ R(j m ) ,

()

− ∫ G , j y ⋅ S ( m + 1 ) k ,k y ⋅ d y = b ⋅ S j гд е

1 dr ( m ) 2 ⋅ Θ, j ∞ ( m ) = ⋅ ∫ S 3 (r ) ⋅ b=− , Rj 3a 3⋅ a r 0

(3.1.52)

д ля зерни стого матери ала,

b=

1 , 2⋅ a

Rm j =

Θ,j

∞ (m)

⋅ ∫S 2⋅ a 0 3

( r )⋅

dr r

(3.1.53)

д ля в олокни стого матери ала. m Е сли пренебрегать в ели чи нами R j , то су четом рав енств ( m +1 )

Sj

(∞ ) = K ( m ) ( 0 ) ⋅ S (j1 ) ( 0 ); K ( m + 1 ) ( ∞ ) = 0 ,

(3.1.54)

соотнош ени я (3.1.45) при в од ятся кв и д у (m)

Sj

( 0 ) = b ⋅ ( K ( m +1 )( 0 ) ⋅ Θ , j + ( m +1 ) (1) +S j ( 0 ) − K ( m ) ( 0 ) ⋅ S j ( 0 ))

.

(3.1.55)

33

П ослед ни е соотнош ени я опред еляю т бесконечну ю си стему у рав нени й (m) относи тельно моментов S j (0 ) . И сслед у ем стру кту ру од ноточечны х моментов , в ход ящ и х в соотнош ени е. (3.1.55). Д ля этого сов местну ю плотность распред елени я коэф ф и ци ентов теплопров од ности и град и ента температу ры Θ , j пред став и м в в и д е прои зв ед ени я

f ( a ,Θ , j ) = f 1 ( a ) ⋅ f 2 ( Θ , j a ) , (3.1.56) гд е f 1 ( a ) - плотность распред елени я коэф ф и ци ента теплопров од ности , (3.1.15), f 2 ( Θ , j a ) -у слов ная плотность распред елени я град и ента температу ры относи тельно коэф ф и ци ента a . Т огд а бу д ем и меть a = ∫ a ⋅ f 1 ( a )da ;

Θ, j

K ( m ) ( 0 ) = ∫ (a − a

S j ( m ) ( 0 ) = ∫ (a − a

= ∫ Θ , j a ⋅ f 1 ( a ) ⋅ da

)m ⋅ f 1( a ) ⋅ da

)m ⋅ Θ , j a

(3.1.57)

⋅ f 1 ( a ) ⋅ da

Е сли матери ал состои ти з д в у х компонентов , то и з (3.1.57) полу чаем

a = c1 ⋅ a ( 1 ) + c 2 ⋅ a ( 2 ) Θ, j

= c1 ⋅ Θ , j a ( 1 ) + c 2 ⋅ Θ , j a ( 2 ) ;

(

(3.1.58)

)(

)

m K ( m ) ( 0 ) =c 1 c2 ⋅ c 2m − 1 + ( −1 )m ⋅ c1m − 1 ⋅ a( 1 ) − a ( 2 )

(

)(

)

m S j ( m ) ( 0 ) =c 1 c 2 ⋅ c2m − ( −1 )m ⋅ c1 ⋅ a ( 1 ) − a ( 2 ) ⋅

⋅  Θ , j a ( 1 ) − Θ , j a ( 2 )    (m) (m) О тсю д а след у ет, что моменты S j ,K j у д ов летв оряю тсоотнош ени ям S j ( m ) ( 0 ) ⋅ K ( n + 1 ) ( 0 ) = S j ( n ) ( 0 ) ⋅ K ( m + 1 ) ( 0 ) . (3.1.59) Т аки м образом, кроме соотнош ени й (3.1.55), полу ченны х на основ е стохасти ческого у рав нени я теплопров од ности , су щ еств у ю т соотнош ени я

34

(3.1.59), в ы текаю щ и е и з общ и х св ойств плотности распред елени я (3.1.56). Реш ени еси стем у рав нени й (3.1.55), (3.1.59) и меетв и д K ( m +1 )( 0 ) (m) Sj (0 ) = − ⋅ Θ , j ; ( j = 1,2 ,3) (3.1.60) (3) 3 ⋅ a + (c2 − c1 ) ⋅ a д ля з ер нис т ого матери ала и

Sj

( m)

K (m+1) (0) (0) = − ⋅ Θ, j ; ( j = 1, 2) (3) 2 ⋅ a + ( c2 − c1 ) ⋅ a a( 3 ) = a( 1 ) − a( 2 )

(3.1.61)

д ля волокнис т ого матери ала. П од став ляя (3.1.60), (3.1.61) в (3.1.62), найд ем зав и си мости межд у теплов ы ми потоками и град и ентами температу ры д ля з ер нис т ого матери ала

q j = −a ∗ ⋅ Θ , j

( j = 1,2 ,3 )

(3.1.62)

и волокнис т ого компози та

q j = −a1∗ ⋅ Θ , j

∗

, q 3 = − a 3 ⋅ Θ ,3 , j = 1,2 .

Зд есь макроскопи чески е коэф ф и ци енты ф орму лами ∗

a = a − c1 ⋅ c 2 ⋅

теплопров од ности

(3.1.63) опред еляю тся

a ( 3 )2 3 ⋅ a + (c 2 − c1 ) ⋅ a ( 3 ) (3.1.64)

∗

a = a − c1 ⋅ c2 ⋅

a ( 3 )2 2 ⋅ a + (c2 − c1 ) ⋅ a ( 3 )

Какв и д но, соотв етств у ю щ и е реш ени я (3.1.35), (3.1.42), полу ченны е на основ е корреляци онной теори и , пред став ляю т собой перв ы е члены разложени я (3) в ы ражени й (3.1.64) в ряд по степеням (c 2 − c1 ) ⋅ a . Ф орму лы (3.1.64) при год ны д ля расчета макроскопи чески х коэф ф и ци ентов теплопров од ности зерни сты х и в олокни сты х матери алов с прои зв ольно больш и ми ф лу кту аци ями св ойств компонентов , тогд а как в ы ражени я (3.1.35), (3.1.42) могу т бы ть

35

и спользов аны только в слу чае малы х ф лу кту аци й коэф ф и ци ента a и ли малы х разли чи й концентраци й (c1 ≈ c 2 ) . 3.2 Коэффицие нты те плопроводнос ти м а те риа лов с а низотропны м и к ом поне нта м и Рассмотри м од нонаправ ленны й в олокни сты й компози ци онны й матери ал, компоненты которого облад аю тосев ой си мметри ей св ойств теплопров од ности , т. е. тензор a в прои зв ольной точкеобъ ема компози ци онного матери ала и меет вид a jk = a1 ⋅ δ i1⋅δ j1 +δ i 2⋅δ j 2 + a3 ⋅ δ i 3 ⋅ δ j 3 (3.2.1)

(

)

Рассмотри м слу чай, когд а оси си мметри и тензоров теплопров од ности в олокон и св язу ю щ его сов пад аю т с направ лени ем в олокон, ори енти ров анны х в д оль коорд и натной оси x3 . У рав нени етеплопров од ности (3.1.7) запи ш ем в след у ю щ ей ф орме

∂ a ∂Θ 0 = −∂a 0 ∂Θ . (3.2.2) Е сли в оспользов аться ф у нкци ей Г ри на G у рав нени я (3.2.2) и пред положени ем

о малости ф лу кту аци й температу ры на бесконечности , то (3.2.2) можно пред став и ть в в и д е

∂Θ = ∂Θ + ∂G ∗ a 0 ∗ ∂Θ

(3.2.3)

и ли

∂Θ = ∂Θ + K ∗ a 0∂Θ Зд есь си мв олом ∗ обозначена операци я и нтегральной св ертки ; яд ро и нтегрального оператора оператора К в ы ражается через прои зв од ны еф у нкци и Г ри на

r r′ ′ ( ) cos( , xm ) ⋅ dS ′ ; K jm ∗ ϕ = ∫ G, jm ( x − x′) ⋅ ϕ ( x′) ⋅ dv′ + ! G x − x ⋅ n ,j ∫ r n - нормаль кпов ерхности S , ограни чи в аю щ ей обьем V.

П ров ед ем осред нени е в обеи х частях (3.2.3) при у слов и и , что теку щ ая коорд и ната x при над лежи т объ ему , зани маемому в олокнами . В резу льтате полу чи м

∂θ (1) = ∂θ + K ∗ ((a(1) − a ) ⋅∂θ (1,1) p11 + (3.2.4)

+(a(2) − a ) ⋅∂θ (2,1) p12 ) Зд есь

pi , j - в ероятность собы ти я x′ ∈V

С и мв олами ∂θ температу ры

J

(i. j )

обозначены

при у слов и и , что x ∈ V i .

у слов ны е моментны е ф у нкци и

град и ентов

36

∂θ (i , j ) = ∂θ ( x′ ) x′ ∈ Vi , x ∈ V j

. (3.2.5) П ред положи м, что град и енты температу ры яв ляю тся постоянны ми в ели чи нами д ля кажд ого и з компонентов , т.е. в место (3.2.5) рассмотри м при бли женноерав енств о (i, j )

∂θ

≈ ∂θ (i ) ⇒ ∂θ

У слов ны ев ероятности 2

∑p

ij

j =1

p ij

= 1,

(i , j )

≈ ∂θ ( x′ ) x′ ∈ Vi

(3.2.6)

св язаны соотнош ени ями

ci ⋅ pij = c j⋅ ⋅ p ji ,

которы е позв оляю т в ы рази ть в ероятность p12 через p11 . П ри и нтегральноеу рав нени е(3.2.4) св од и тся кли нейному алгебраи ческому (1) (1) ( 2)

(

= ∂θ + p ⋅ a′ ⋅ ∂θ

∂θ

(

− a

)

этом

)

− a ⋅ ∂θ ;

a′ = c1 ⋅ a ( 2) + c2 a (1) − a ⇒ a′ = ( c 2 − c1 ) ⋅ a ; Реш ени е(3.2.7) пред став и м в в и д е

(

∂θ ( ) = I + c 2 R λ ( 1

3)

(3.2.7)

K p = ∗ p11 c2

( 3)

) ∂θ

; R = ( I − p ⋅ a′ ) ⋅ p , −1

(3.2.8)

гд еI - ед и ни чны й тензор в торого ранга. С у четом (3.2.8) и з у рав нени я д ля сред него теплов ого потока (3.1.6) полу чи м

q = a (2) ∂θ + c1 ⋅ a (3) ⋅ ( I + c2 Ra (3) ) ⋅ ∂θ . О тсю д а след у ет

q

=

(

a

+ c1c 2 a

(3)

Ra

(3)

)⋅

∂θ

(3.2.9) Т аки м образом, тензор макроскопи чески х коэф ф и ци ентов теплопров од ности можно пред став и ть в в и д е

a ∗ = a + c1c2 a (3) Ra (3)

(3.2.10) Д ля в ы полнени я конкретны х расчетов необход и мо найти яв ны й в и д тензора R. Д ля этого найд ем сначала ф у нкци ю Г ри на G у рав нени й (3.2.2) при у слов и и ,

37

что тензор a облад ает осев ой си мметри ей (3.2.1). Ф у нкци я Г ри на по опред елени ю у д ов летв оряету рав нени ю

r r a jm G , m j ( x ) = − δ ( x )

(3.2.11)

и обращ ается в ну ль на бесконечности . П ри меняя к(3.2.11) преобразов ани еФ у рье, полу чи м

(

) =1

G (ξ12 + ξ 22 ) a1 + ξ32 a3

Зд есь

r r r r G = ∫ G ( x ) ⋅ exp −i ⋅ ξ ⋅ x ⋅dx

(

)

Т огд а и з (3.2.7) найд ем ф орму лу д ля оператора

p jk = − Ф у нкци я

1 8a 3c2

p11

r rr ξ ξ G ξ exp i ξ x ∫∫ j k

( ) ( )

в

(3.2.12)

.

(3.2.13)

p

r r r p x − p ∞ dx ( 11 ( ) 11 ( ) ) ⋅ dξ (3.2.14)

слу чае матери ала, арми ров анного од нонаправ ленны ми

непреры в ны ми в олокнами , ори енти ров анны ми в д оль оси расстояни я межд у точками в плоскости очев и д ны ми св ойств ами :

x1 x2 и ,

x3 , зав и сяттолько от

кроме того, облад ает

p11 (0) = 1; p11 (∞) = c1 .

(3.2.15)

П ослеи нтегри ров ани я (3.2.14) су четом (3.2.15), полу чаем

p11 = p 22 = −

1 2 ⋅ a1

p 33 = 0

;

. (3.2.16)

Т огд а и з (3.2.10), (3.2.16) полу чи м след у ю щ и е ф орму лы д ля в ы чи слени я макроскопи чески х коэф ф и ци ентов теплопров од ности в олокни стого компози ци онного матери ала сани зотропны ми компонентами : (3 )2

a a

∗

1 ∗ 3

=

=

− c1c 2

a1 a

3

;

2 a

∗ 1

a1 a 1 + a 1′

=

(c 2

− c1

;

)a1

(3 )

.

(3.2.17)

О чев и д но, что д ля матери ала си зотропны ми компонентами ф орму лы (3.2.17) сов пад аю тс(3.1.64). Вопрос ы для с а м опрове рк и

П ри каки х у слов и ях в ы чи слени е макроскопи чески х постоянны х в корреляци онном при бли жени и при в од и ткрезу льтатам, бли зки м кд ейств и тельны м ? М ожет и ли нет в ы чи слени е макроскопи чески х постоянны х в корреляци онном при бли жени и при в од и ть кзав ед омо нев ерны м резу льтатам ? О тв етобоснов ать. К акой компоненткомпози ци и яв ляется матри цей?

38

К аки е при знаки характерны д ля компози ци онны х констру кци онны х матери алов ? П ри в ести при меры матри чны х матери алов . Н а каки е гру ппы в зав и си мости от в и д а арми ру ю щ его компонента могу т бы ть разд елены компози ты ? К аков механи зм у прочнени я д и сперсны х матери алов ? М ожно ли у тв ержд ать, что д и сперсно - у прочненны е матери алы и мею т од и наков ы е св ойств а в о в сех направ лени ях , если у прочняю щ и ед и сперсны ечасти цы и мею трав ноосну ю ф орму ? К аки еф у нкци и в компози тев ы полняетматри ца? К ак зав и сят св ойств а компози тов от св ойств в олокон и матри цы и от способов арми ров ани я? П ри каки х пред положени ях в озможно преобразов ани е (1) (2) (1) (2) 〈σ jk ( x ) ⋅ σ αβ ( x )〉 → 〈σ jk ( x )〉 ⋅ 〈σ αβ ( x )〉

?

у рав нени я (2.2.20)? Ч ем обу слов лена стати сти ческая нели нейность В чем заклю чается проблема замы кани я, характерная д ля стати сти чески нели нейны х зад ач? К аков а степень разли чи я резу льтатов од ноточечного при бли жени я д ля матери алов зерни стой и од нонаправ ленной в олокни стой стру кту ры ? В озможно ли с помощ ью од ноточечного при бли жени я опи сать ани зотропи ю св ойств компози ци онны х матери алов , св язанну ю сори ентаци ей стру кту рны х элементов ? Каку лав ли в аетэф ф ектани зотропи и , корреляци онноепри бли жени е? В озможно ли и спользов ани е (3.1.64) д ля расчета макроскопи чески х коэф ф и ци ентов теплопров од ности зерни сты х и в олокни сты х матери алов с прои зв ольно больш и ми ф лу кту аци ями св ойств компонентов ? К аки м образом у чи ты в ается ани зотропи я компонент в макроскопи чески х характери сти ках(3.2.17) ?

Л ите ра тура . 1. И в ани щ ев а О .И . М акроскопи чески есв ойств а ми кронеод нород ны х матери алов / О .И . И в ани щ ев а, Т .Д . С емы ки на, Ю .Д .Щ еглов а; Ред . О .А. Т и хоми ров а; П особ. ; В оронеж : В оронежски й госу ни в ерси тет,2004.-16 с. 2. С тати сти ческая механи ка и эф ф екти в ны е св ойств а матери алов ./Л .П . Х орош у н, Б.П .М аслов , Е .М . Ш и ку ла, Л .В . Н азаренко: в 12 т. - К и ев : Н ау к.Д у мка,1993.-390 с.(М ехани ка компози тов ; т.3) 3. Расчет и проекти ров ани е компози ци онны х матери алов и элементов констру кци й / Б.Д . Анни н, А.Л . К аламкаров , А.Г .К олпаков , В .З. П артон ; О тв .ред . Ю .С . У ржу мцев ; РАН С и б .О тд - ни е. И н - т ги д род и нами ки и м . М .А. Л ав рентьев а . -Н ов оси би рск: Н ау ка,1993. - 253 с. 4. С араев Л .А. М од ели ров ани е макроскопи чески х пласти чески х св ойств многокомпонентны х компози ци онны х матери алов / Л .А.С араев ; С амар . гос. у н - т. – С амара : С амар.у н. - т, 200. - 181 с.

39

С остав и тели : И в ани щ ев а О льга И в анов на, И в ани щ ев П ав ел И в анов и ч Ред актор Т и хоми ров а О .А.