О линейных функциональных преобразованиях и функциональных уравнениях

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ Я И. Р а д о н . Перевод с немецкого В. Л. Шмульяна.

Введение. Ф. Рисе в своей новой важной работе 2) рассмотрел один вид линейных преобразований непрерывных функций, приводящий к красивому обобщению теории интегральных уравнений Фредгольма. Данная работа отчасти посвящена выведению результатов Рисса более вычислительным методом (сам Рисе пред­ ставил свои результаты в функционально-геометрических терминах). Но она достигает одновременно и другой цели. А именно, оказывается, как это будет изложено в другой работе 8 ), что данное здесь обобщение теории интегральных уравнений является весьма целесообразным аппаратом, отвечающим сущности основных проблем теории потенциала, и приводит к решению первой и второй краевых задач —по крайней мере при логарифмическом потенциале—для областей^ с существенно более общими границами, нежели те, которые доступны теории интегральных уравнений Фредгольма, притом в основном тем же самым простым способом, каким этот красивый метод оперирует при регулярно-ограниченных областях. Если мы желаем возможно шире охватить проблемы теории потенциала этим методом, то выявляется необходимость продолжить сделанное Ф. Риееом в двух направлениях. Во-первых, нельзя ограничиться рассмотрением так назы­ ваемых „вполне непрерывных" преобразований, а необходимо рассмотреть общий случай. Тут возникает важное понятие „радиуса Фредгольма" для линейного функционального преобразования. Отсюда без труда получается то, что необхо­ димо для теории потенциала. Во-вторых, рассмотрение второй краевой задачи требует перехода к „сопряженным" или „транспонированным" функциональным уравнениям. Оказывается, что это* таким же образом связано с линейными пре­ образованиями абсолютно аддитивных функций множеств, как риссовское обоб­ щение интегральных уравнений связано с его линейными преобразованиями 2

) J. R a d о п, Uber lineare Funktionaitransformationen und Funktionalgleiehungen, Sitzungsberichte d. Akad. d. Wiss. Wien, math.-naturw. Kl., т. 128, 1919, Abt. 11a* стр. 1083—1121. 2 ) Uber lineare Funktionalgleichungen, Acta Mathematica, т. 41, 1918, стр. 71—98. Пе­ ревод этой статьи печатается в настоящем выпуске „Успехов математических наук*, стр. 175-199. 3 ) t)ber die Kandwertaufgaben beim logarithmischen Potential, Sitzungsberichte d. Aka4. d. "Wise. Wien, math.-naturw. KL, т. 128, 1919, Abt. Па, стр. И23 и. ел. %

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

201

непрерывных функций. Это обстоятельство вполне соответствует и целям теории потенциала, так как массы и потоки, существенные в принадлежащем Племеди 1) представлении для второй краевой задачи, будучи возможно более обще сфор­ мулированы, являются абсолютно аддитивными функциями множеств. Благодаря введению абсолютно аддитивных функций множеств нижеприве­ денные исследования частично представляют собою дальнейшее развитие моей, работы „Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfimktionen" („Теория и применения абсолютно аддитивных функций множеств")2), на кото­ рую я буду часто ссылаться. В интересах цельности всего изложения я часто входил в рассмотрение вещей, относительно которых можно было ограничиться соответствующими литературными указаниями, в чем прошу извинения у читателя, I. Линейный функционал 1?*). 1. Пусть в пространстве вещественных переменных хи х2,..., хп задано замкнутое множество G, которое мы:в дальнейшем будем называть основным мно­ жеством. Функция ср, определенная во всех точках множества G, называется непрерывной на G, если для каждой точки Р из G и для каждой последова­ тельности точек \Рп) из G, сходящейся к Р, lim ?(Р Л ) существует и тогда, конечно4), равен <р(Р). Согласно этому определению значение функции <р в изолированной точке множества G может быть произ­ вольно изменено без нарушения непрерывности. Значения функции <р будут комплексными числами. В дальнейшем мы будем обозначать малыми буквами греческого алфавита исключительно функции указанного видаг если только не будет оговорено противоположное. Мы называем последовательность {<рп} ограниченно сходящейся к <р и пишем ?и "-* 9> е с л и I ?п I < М Д ля в с е х п и I™ ?»»(Р) — ? (^) Д ля в с е х -Р и 8 & п -> со

Мы называем последовательность {®п} равномерно сходящейся к 0 может быть найдено такое N, что для всех точек из G при п > N \
202

И. РАДОН

В моей работе, указанной во введении, я доказал1) (правда, ограничиваясь рассмотрением только вещественных функций), что линейный функционал I может быть представлен в виде обобщенного интеграла Стилтьеса 2 ): /ср =

/ о йФ7, Ь где Ф1 — однозначно определенная функционалом /абсолютно аддитивная функция множеств, а интеграл является пределом сумм вида

2

? (Р,)ФДЯ,),

которые строятся следующим образом: основное множество G разбивается на п частей Еи Е%, .,., Еп, не имеющих попарно общих точек и измеримых 3) по отношению к функции Ф^ Р,. обозначает произвольную точку Eh, предельный же переход совершается по любой последовательности таких разбиений, для которых максимальный диаметр частичных множеств v-ro разбиения стремится 1 вместе с - к НУЛЮ. V

*

Мг тогда совпадает с полным колебанием (Gesamtschwankung) Фг на О: Мг = /

\<1Ф,\,

G

т. е. с верхней гранью сумм 2 l*z (Д)1 Д ля Б С е х возможных разложений мно­ жества G на конечное или счетное число множеств Ei9 попарно без общих точек. Между прочим полное колебание равно также пределу суммы

2

|ФДЯ*)1,

Л — 1

причем предельный переход совершается по такой же последовательности разбиений, как и при определении обобщенного интеграла Стилтьеса4). Для того чтобы вкратце указать распространение всего вышеизложенного на комплексную область, заметим только следующее: вследствие условия а) до­ статочно рассматривать лишь вещественные функции ср. Тогда, если разложить 1Ф на вещественную и мнимую части, то в выражении

*) Mf, стр. 1382 и ел. Аналогичное предложение для непрерывных в интервале а
О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

203

^i и /*2 будут вещественными линейными операторами, которые., следовательно, можно будет представить в виде

Поэтому Ц =. j о d (! + /Ф2), г?

где #j и Фо— две абсолютно аддитивные функции множеств. Ф1-4~гФ2 можно рассматривать как комплексную абсолютно аддитивную функцию множеств Ф,; «е полное колебание

определенное точно так. же, как и раньше, очевидно, будет конечным. Тогда для 19 I
/

Ы

№..

и легко видеть1), что существуют функции 9 с 1?| С Ь для которых значения /9 как угодно близки к этой границе (т. е. к / |ДФ,|), так что последняя является а минимальной границей для I, Я. ПОНЯТИЕ сходимости для ФУНКЦИЙ МНОЖЕСТВ. Пусть дана такая последователь­ ность линейных функционалов \1Н), что для каждой
Тогда для предела имеем

\<1Ф1п\<м.

| Km lno\ <; М, если |<р| < 1» П -> оо

'

ж так как условие а) тоже выполнено, то предел сам является линейным функ­ ционалом в области функций 9 : Jim lt)

) Совершенно аналогично тому, как это показано в Mf\ стр. 13В6. ) Н. Lebesg^ue, Ann. d. Toul., серия 3, т. 1, стр. 61. Доказательство, о котором здесь идет речь, изложено у Н. Halm ? a,Uber die Darstellung gegebener Funktionen durch smgularen Integrate, II. Mitteilung, Denkschr. d. Akad. d. Wiss. Wien, math.-naturw. KL, т. 93, 1916, стр. 672 и ел. Хотя там идет речь об интегральных операторах, но это дока­ зательство можно непосредственно перенести на случай любых линейных функционалов2

204

И. РАДОН

Мы говорим тогда, что Ф, слабо сходится к Ф ; и пишем: Ф^ - > Ф„ З а п и с ь Ф„ - > Ф равносильна таким образом утверждению, что lini

/ ?
'/ -> .о •/

'

/
д л я всех с? 1 ). Далее, последовательность Ф„ называется сольно записываем так: Фп n j Ф), если lim

сходящейся

к Ф (что м ы

/ ' } d (Ф н — Ф ) | = о.

г/ -> со «/

Очевидно, что из сильной сходимости следует с л а б а я . 4. С и л ь н а я и с л а б а я сходимости функций множеств а н а л о г и ч н ы р а в н о м е р н о й и о г р а н и ч е н н о й сходимости н е п р е р ы в н ы х функций <р* н а ч т о У же указывают выбранные обозначения. В частности между сильной и равномерной сходимостью аналогия идет дальше. Например, очевидное предложение: „Если последовательность {оп} называть равномерно сходящейся, когда для каждого е > О можно определить такое N, что для п > N, т ^> О и для всех Р из G \<*t.(lJ) — * . ( Р ) | < в, — />го {сря} будет сходиться равномерно в указанном в п. 1 смысле к неко­ торому пределу з" вполне аналогично такому предложению: „Если последовательность {Фп} называть сильно сходящейся, когда для каждого е > 0 можно найти такое N, что для п > N и т > О

/ И (*»-"»„+ „,)!<«. — то Фп будет сильно сходиться в определенном выше смысле рому пределу Фи 2 ) . Действительно, так как д л я каждого множества 3 ) Е

I Ф„ (Е) - Ф„ + ,„ (J?) | < J

к

некото­

| г/ (Фй - Ф„ + 1й) |,

то последовательность Фн (2£) имеет предел, который мы обозначим через Ф (Е)Л Покажем, что таким образом определенная функция Ф(Е) абсолютно адди­ тивна, т. е. что для всякого счетного множества совокупностей Ех, Е2, . . . , не имеющих попарно общих точек, выполняется равенство Ф ( £ 1 + Д 8 + ..'.) = Ф(-Е1) + Ф ( < Е а ) + - - *) Большими буквами греческого алфавита будут, как правило, в дальнейшем обо­ значаться абсолютно аддитивные функции множеств (вообще говоря, комплексные)» равные нулю для множеств, не имеющих общих точек с G. 2 ) Формулированная теорема является частным случаем теоремы о полноте сопря­ женных пространств. См. статью Л. А. Люстерника в настоящем выпуске „Успехов математических наук", стр. 112. 3 ) В дальнейшем мы не будем особо оговаривать, что всегда имеются в внд$заключающиеся в G множества, измеримые по Борелю.

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ Ш>КОКР\ЗОВАНИ.ЛК И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

205

Действительно, так как

I 2 *.(#,)- 2

Ф„+,„(*'.>! - f Id (ф« -фп+J

К3-

» > и, «»> о,

то, переходя к пределу по m -* со, получаем

12 Ф « ( Д ) - 2 фда1<в, :или

2 ФС^,)—e< 2 Ф„<ДХ 2 *№)+«. Отсюда следует, что lim •> - > с о

2

Ф (Д) < Фн (Е) -f е,

Um 23 Ф (Д) > Фл (Е) — г, •' - > о - I••—1

г = 1

и беря п -> оо, г -* 0, получаем нужное соотношение. Теперь, из f | d (Фн — Фп + J | < е, /г > АГ, м > 0, Q

*беря т - > о о , непосредственно получаем, что |<*(Ф„—Ф)|<в, /

ж этим все доказано. . 5. Если последовательность Фн сильно сходится к Ф, то можно выразить все Фп с помощью общего базиса В через обобщенный интеграл Стилтьеса второго рода 1 ). Действительно, таким общим базисом для всех Ф^ будет, например, функция В(Е)~ со

=

с

ь I \d<&k\> ГД® постоянные ек выбраны так, чтобы написанный ряд сходился

2

д л я К = (г, а следовательно, и вообще сходился 2 ). В этом случае

Ф Л (^ = / ? * ^ « . к Тогда В является базисом и для Ф, и, следовательно, аналогично: Ф (E)

= J\c/fl«).

В силу одного легко доказываемого соотношения 4), для полного колебания функции множеств, представленной через базис, получаем теперь lim

I

' уп, ~~ 'f | dB = 0.

?/'•• ~> ~> oof « $•/£

1) Mf, стр. 1342-1351. 2

) Кроме того на ск следует наложить еще одно ограничение, а именно, чтобы они были положительны. Дерев. 3 ) Здесь конечно <р» и <р могут и не быть непрерывными, но все же они обязательно суммируемы относительно В. Г \йФ ! = J* 1 <р | <Ш, если G

G

Ф (Я) = Г> <*Я. Е

И. РАДОН

206

Очевидно также, что. обратно, каждая последовательность функций множеств

ФЯ(Я)= f
сильно сходится, если только <рЛ обладают тем свойством, что для каждого t > 0 можно найти такое Лг, для которого верно соотношение /

I 9п — % + m I dB < £>

п

> Ж'

т

> °-

G

б. Между ограниченной сходимостью функций <р и слабой сходимостью функций Ф не существует такой далеко идущей аналогии. В частности, имеет место следующая важная теорема о сходимости функций множеств, не имеющая себе аналога в области непрерывных функций: Совокупность абсолютно аддитивных функций множеств, с равномерно ограниченными колебаниям и:

у"

|#|<3f

всегда содержит слабо сходящуюся последовательность. Эту теорему в приведенной только что общей формулировке я доказал в неоднократно упоминаемой работе1) (ограничиваясь, правда, только вещест­ венными функциями множеств, что, конечно, не существенно). Однако данное там доказательство в некоторой части излишне усложнено и может быть упро­ щено следующим образом. Пусть, как и там, число измерений равно двум и Ф — монотонная функция. Каждой функции Ф относится по известному закону функция F от двух пере­ менных, определенная в квадрате J, содержащем G. Выделим из совокупности функций Ф такую последовательность {Фм}, для которой все Fn сходятся к неко­ торому пределу F* во всех ,.диадическнх" точках квадрата J 2 ) . Из функции F* получаем функцию F <>, у) = lim F* (х — Л-, y — h) {h > 0, h > 0), /* -> о fc->0

определенную уже во всем квадрате. Функция F(x, у) удовлетворяет двум соот­ ношениям, обозначенным в Mf (стр. 1338) через а) и 3). Но из а) легко следует, чта О < F (х + h,y) — F (х, у) < F (х + h, М) — F (#, Ж), \ ( А > 0 , &>()> О < F (х, у -f А-) — F (х, у) < F (М, */ + *) — F W> У)> I и так как F (х, 31) и F Ш, у) монотонно растущие функции от х, соответственна от у, то вообще ' | F(xv у) — F{x2, у) | < | F(xv М) — F(х2, И) |, Fix, y2)-F(x, yJ-F(M, ^ yi)\<£\F(M, Vl)\. ' 1 Mf, стр. 1337 и ел. Для случая, когда G является линейным интервалом, эта теорема была доказана Е. Хелли на стр. 285 цитированной выше (см. сноску х) на стр. 202) работы. 2 ) Считая, что квадрат J задается неравенствами — J f < > < M " , ~-М^у<^М, „диадичеекими" точками Радон называет в Mf, стр. 1387, те точки, координаты которых

определяются формулами х = — 3 / ->—— , у = — м -f- ~тв~* г Д е Р> Ъ <*, р — целые неотрн2 & дательные числа и j?<2*~*~1, q < 2s* " r l . Верее.

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

207

Отсюда следует, что за исключением счетного множества точек разрыва {SJ функции F(x,M) [соответственно точек разрыва {т1я} функции-Р(Ж, у)] функция F(x, у) непрерывна относительно х (соответственно относительно у). Точку квадрата J, координаты которой не принадлежат указанным счетным множествам, мы назовем регулярной. Мы утверждаем, что в каждой регулярной точке функция F непрерывна. Действительно, если х, у — координаты регулярной точки, то из соотношения F{x + h,y+k)

— F{x,y) = F(x + h,y + k)—F{x,y + k) + F(x,y + k) — на основании неравенств (*) следует:

F(x,y),

| F(x + h, y + Jc) — F(x, у) \ < j F ( * + К M) — F(x, М) | + + \F(M,V-\-k)

—

F(M,y)\,

и отсюда при /*~*0, &->0 получаем ваше утверждение. Пусть теперь опять (х, у) — некоторая регулярная точка. Тогда для лю­ бого s > 0 можно найти четыре диадические значения координат j 1 ? tfu j 2 , tys. такие, что h < ос < &>, Vi < У < Ь> 0 < F * ( j 2 , р2) —

F(x,y)<e.

Следовательно, имеем и так как 1<\ (Ъ h) < F» (*> У) < Fn (h> Ъ)> то без труда получаем fim\Fn(x,y)

—

F(x,y)\<*.

П -> со

'Этим, вследствие произвольности выбора е, доказано следующее предложение: В каждой регулярной точке Fn сходятся к F. Применение этого результата вместо f) (Mf\ стр. 1339) чрезвычайно упро­ щает дальнейшее доказательство. Действительно, последнее предложение будет верно также на границе J,. если мы назовем регулярными те точки с абсциссами х = М, для которых орди­ наты у не принадлежат множеству {YJ№}, и аналогичные определения введем для точек на остальных трех сторонах квадрата. При вычислении интеграла Стилтьеса можно произвести разбиение множества G посредством деления J прямыми,, параллельными осям х и у, так, чтобы точки пересечения этих прямых были регулярными точками. Тогда для каждого частичного прямоугольника Jk непо­ средственно имеем r lim Фя (GJ}:) = Ф {GJk), п -> оо

где Ф — функция множеств, построенная с помощью F1). тельство можно провести так же, как в Mf, стр. 1342. *) Mf, стр. 1305,

Дальнейшее доказа­

И. РАДОН

208

II. Линейный функционал ГФ. 1. Продолжая аналогию между <р и Ф, сопоставим с рассмотренным в I ли­ нейным функционалом в области функций ? линейный функционал в области функ­ ций Ф, который мы охарактеризуем следующими свойствами: Каждой абсолютной аддитивной функции множеств Ф на G отнесем число УФ такое, что a) У (с.Ф, + с2Ф2) = с.УФ, + с^'Ф» b) lim УФп = УФ, если Фп -> Ф (слабая сходимость) *). П->00

Отсюда легко следует предложение, соответствующее поставленному в I, 2 требованию Ь): Можно найти такое М > 0, для которого |ГФ|<Ж,

если

ЛйФКЬ Ь

Действительно, если бы для каждого п > 0 существовала такая функция Фп, что

ъ то последовательность функций —— Фи сходилась бы вместе с — (притом даже

уп

п

сильно) к нулю, и тогда мы пришли бы к противоречию с Ь). Каждое такое число М назовем границей для Г, а самую малую из всех границ — минимальной границей для V. Эту последнюю обозначим через Мг Докажем теперь следующее предложение: Каждый функционал УФ может быть представлен посредством некото­ рой однозначно определенной непрерывной2) функции ^v, в следуюгцей форме: РФ = / <рг, йф, ппи этом Мr — max { yv \ на G. G

Под 11р будем понимать здесь и в дальнейшем каждую функцию множеств, которая равна единице для множеств, содержащих Р, и равна нулю для остальных множеств. Функция c / ,(i ) ) = / / II p , как легко видеть, является непрерывной, так как, если Рп -> Р, то, очевидно, Пр слабо сходится к П р . Можно подобрать точки Р в J и постоянные с % так, чтобы последовательность

сходилась слабо к Ф при ».->оо. Для этого разложим 6г на множества Еп1, ...., Еп N (попарно без общих точек), так, чтобы диаметр каждого Еп v был меньше, г ) Если мы хотим в I, 2 условие Ь) заменить аналогичным, то достаточно потребо­ вать, чтобы lim lyn = Ар, если <рм => у. 2

П-»оо

) Именно для достижения непрерывности функции <р нам и пришлось формулировать пункт Ь) так, как мы это сделали выше.

0 ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

209

чем — , возьмем в каждом Еп^ произвольную точку P w v и положим сп^ = Ф(Еп^). Но теперь УФ =

lim ГФп = lim 2 Ф (EnJ П-Ь-со

Ъ,

(Рп>

w -> оо v =

что и доказывает первую часть нашего предложения. Далее, очевидно, | Г Ф | < т а х | с р г , | , если J \ йФ | < 1, о и так как эта граница достигается для пР> т(> о н а является минимальной. 2. Понятия сходимости. Если последовательность {1п'} такова, что для ка­ ждого Ф существует lim Z/Ф, то все минимальные границы для 1п' ограничены: П ->оо

Ж, < М, что можно получить соответствующим применением использованной выше (I, 3) идеи Лебега. Таким образом все I/ равномерно ограничены х ). Пусть теперь lim 1п'Ф сам является некоторым функционалом V в опредеП ->оо

ленном выше (II, 1) смысле. В этом случае срг, = lim yv , что следует из примеП ->00

П

нения оператора Vп к П р . Следовательно, yv ограниченно сходятся к <рг Обратно, если ®v -»<рг„ то lim 1гпФ = УФ для каждого Ф. В самом деле, достаточно толП

П->00

ковать данные интегралы Стилтьеса как интегралы Стилтьеса второго рода 2 ). Тогда, применяя соответствующую теорему3), убеждаемся в справедливости нашего утверждения. Кроме того, попутно мы получили еще следующую, отно­ сящуюся к I, теорему о сходимости: Из оп -* ср следует Ъп -> fap, что является аналогом поставленному в II, 1 требованию для V. III. Линейное функциональное преобразование

Ту.

1. Каждой непрерывной на G функции ср отнесем некоторую непрерывную же функцию ^ = Г<р, удовлетворяющую следующим* условиям: Ь) IT? К Ж, если | < р | < 1 . Тогда Т называется линейным функциональным преобразованием совокуп­ ности непрерывных на G функций, а М—его границей. Наименьшая из всех возможных границ называется минимальной границей для Т и обозначается Мт 4 ). х

) То-есть существует такое число М, что для всех п \ ¥пФ | < М, если Г | йФ | < 1. G

Перев. 2 ) Mf, стр. 1324 и ел. 3 ) Mf, стр. 1330, теорема III. 4 ) Определенные здесь линейные преобразования тождественны с рассмотренными Ф. Ряссом непрерывными линейными преобразованиями (Acta Mathematica, т. 41, 1918, стр. 71—98. [См. перевод цитируемой статьи Ф. Рисса в настоящем выпуске „Успехов мате­ матических наук", стр. 175 — 199.] 14

Зак. 3249. Успехи математических наук. Вып. I,

и

210

- РАДОН

2. Обозначим значение функции То в точке Р через (Т
Так как функция Ту непрерывна, то согласно I, 3 фрй-фр,

если Далее, в силу *Ь) имеет место неравенство ЙФР|<Ж, G

так что полные колебания Фр на G равномерно ограничены. Абсолютно аддитивную функцию множеств Фр, зависящую еще от точки Р, назовем непрерывной по Р, если выполняется (1). Тогда можно сказать: Если Фр(Е) непрерывна по Р, то G

является линейным преобразованием функций о, и, обратно, каждое линейное преобразование функций <р можно однозначно представить в таком виде. Доказательство этого г) основано на том, что полные колебания функций Ф р на G равномерно ограничены; последнее следует из (1) на основании предложения, высказанного в I, 3. Из сформулированной теоремы тотчас же следует: если Уп-+ то Т
\Ту\<СМт> если С другой стороны, можно взять такую функцию ср> ч т о I?|<^ 1 и максимум \ТФ\ как угодно близок к Мт Следовательно, Мт является минимальной грани­ цей для Т (т. е. МТ=МТ). 3] ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Линейное преобразование называется вполне непрерывным (vollstetig), если оно переводит каждую ограниченную со­ вокупность функций о в компактную (Ф. Рисе) 2 ). г

) То-есть прямого предложения, ибо обратное было доказано выше. Дерев. ) Acta Mathematica, т. 41,1918, стр. 74. [См. перевод цитируемой статьи Ф. Рисса в на­ стоящем выпуске „Успехов математических наук", стр. 177.] 2

0 ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

211

Эта формулировка эквивалентна следующей: То называется вполне непрерывным преобразованием, если для каждого е > 0 можно найти такое 8, что №)Pi-{T9)Pi\<., когда | <р | ^ 1 и расстояние РгР2 между точками Рх и Р 2 меньше, чем 8. Из последнего соотношения следует: J\d($Pi

— * p 2 ) | < s / если

^Р2<8,

G

откуда заключаем, что Ф Р я =*Ф„

при Рп-+Р.

(2)

Функция Фр,^удовлетворяющая последнему условию, называется вполне непре­ рывной относительно Р. Легко доказать такое предложение: Если Фр вполне непрерывна относительно Р, то (Т<Р)р = / ? Й Ф 1 представляет собой вполне непрерывное линейное преобразование uf обратно, каждое вполне непрерывное линейное преобразование Тер может быть одно­ значно представлено в таком виде. Из этого представления следует: Если у, то Tvn=ZTy. Я не знаю, является ли это условие достаточным для характеристики вполне непрерывного преобразования. 4. Каждое вполне непрерывное преобразование может быть представлено про­ стым способом в виде обобщенного интеграла Стилтьеса (второго рода). Выберем в G всюду плотное счетное множество {Рм} и рассмотрим соот­ ветствующие Фр . Как было показано в I, 5, все Ф р могут быть представлены через общий базис Б таким образом, что

*Рп{Е) = J\pJB, где срр суммируемы относительно Б. Пусть Р — произвольная точка из G; тогда из {Рп} можно выделить сходя­ щуюся к Р подпоследовательность { Р* }. В силу соотношения (2) имеем

/Чр*сШ=:Фр(Я), Е

и на основании результатов 1/5 найдется функция ур, суммируемая относительно Б, для которой Фр (Е) = J
14*

/ | ? Р — ?Р* | сШ -> 0, если п -> ос. G

212

и. РАДОН

Итак, для всех Р выполняются соотношения (Щр = Лр d /

? р

dB = lim 2 ? ( ^ *)

f?pdJB

= lim

Д

Л

АВ,

где G = i 7 ^ г -|- . . . +-Е# w является последовательностью разбиений множе­ ства G, которая, как и точки P'N k, выбрана согласно I, 2, а о^ в J?^ Л постоянна и равна ?(£tfifc). Так как теперь, при N-+oo, yN равномерно сходится к <р> то получаем

Вводя соответствующие обозначения, приходим к следующему предложению: Каждое вполне непрерывное линейное преобразование функций о имеет вид (г?)р = /

к

(р> р / ) ? ( р 0

й в

(Я')>

где JB означает монотонную абсолютно аддитивную функцию мнооюеств и К — функция от пары точек, которая при постоянной точке Р суммируема в G относительно Б и, кроме того, удовлетворяет следующему соотношению: im f\K(P lim f\K(P„, n,

Р') — К{Р, F)\dB{W) = 0. К(Р, Г)\с1В(ЛГ)

p

nT+pG

Обратно, каэюдое определенное таким образом преобразование является вполне непрерывным. IV. Линейное функциональное преобразование Tf® („сопряженное" преобразование). 1. Выражение Г Ту ДФ,

ь где ср — непрерывная функция, Т— преобразование, рассмотренное в III, и Ф — абсо­ лютно аддитивная функция множеств, является, очевидно, при данной функции Ф линейным оператором /<р- Действительно, из условий а), Ь) в I, 2 первое прове­ ряется непосредственно, а второе непосредственно вытекает из соотношения I f T®d<&\ < Мт f | йФ |, G

если

| о | < 1.

О

Следовательно, существует однозначно определенная функция W, такая, что ГтсрйФ = Ь

fodW.

(1)

G

Если обозначим W = Г Ф, то этим определяется некоторое преобразование абсолютно аддитивных функций

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

213

множеств на G, которое называется сопряженным относительно Т и обозначается во всем дальнейшем через Т *). 2. Легко видеть, что преобразование Т удовлетворяет следующим соотно­ шениям: a) Г (С& + с2Ф2) = сгТ'Фг + с 2 Г Ф2, b) ГФп -> ГФ, если Фп -> Ф. Докажем, что эти два свойства полностью характеризуют преобразование Т' (и таким образом в совокупности дают определение преобразования Т', незави­ симое от Т). Итак, пусть какое-то преобразование Т удовлетворяет соотношениям а) и Ь). Отсюда можно сперва вывести существование границы М, такой, что Г\йТ'Ф\^М,

если

G

|в|йФ|<1. Ъ

Действительно, в противном случае существовала бы последовательность { Фп } такая, что / |йФ Л |<^1 и G

lim [\&ТФп

=оо.

П - > ОО * / Ьг

Тогда на основании I, 6 можно было бы из { Фп} выделить слабо сходящуюся подпоследовательность { Ф* }, для которой в силу Ь) последовательность {Т'Ф* } также слабо сходилась, что невозможно в силу написанного предельного соот­ ношения. Наименьшую из границ М назовем снова минимальной границей и обо­ значим через Мт„ Из существования границы М легко следует: Если Фп =J Ф, то ТФп =t Т'Ф. Покажем, наконец, что каждое преобразование Т, удовлетворяющее соот­ ношениям а) и Ь), может быть рассматриваемо как „сопряженное" по отношению к некоторому однозначно определенному преобразованию Т, которое в свою очередь можно называть „сопряженным относительно Т/и, Действительно, выражение

f

?

с1ГФ = А йФ.

(2)

G

Сравнивая полученный результат с (1), убеждаемся, что преобразование, определенное равенством ф = 27<р и удовлетворяющее, как легко видеть, усло­ виям, поставленным в III, 1, имеет данное преобразование Т' своим сопря­ женным. х

) См. статью JI. А. Люстерника в настоящем выпуске „Успехов математических наук", стр. 115—116.

214

и. РАДОН

Легко видеть, что минимальные границы преобразований Т и Тг совпа­ дают: МТ=МТ,. В самом деле, из соотношения

у 9 ат'Ф = у Гер ЯФ,

(3)

где | < р | < 1 , J | й Ф | < 1 , следует, с одной стороны, что МТ^МТ„ а, с другой & стороны, — что Мт < JfT. 3. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СОПРЯЖЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Преобразование Т' назы» вается вполне непрерывным, если оно является сопряженным по отношению к вполне непрерывному Т. Вполне непрерывность (Vollstetigkeit) преобразова­ ния Т также может быть определена независимо от Т. Именно, из данного только что определения вытекает, что Если Ф ->Ф то Т'ФП=:ГФ, и нетрудно видеть, что это необходимое условие вполне непрерывности пре­ образования Т' является также и достаточным, и, следовательно, может быть взято за определение вполне непрерывности Т. * Докажем сперва необходимость этого условия. Пусть Фп -* Ф и | ср К 1. Тогда Д ЛГФп = /тч

йФп = | ( Ti)Pi Фп (Ег) + со,

где Ev . . . , Ею не имеющие попарно общих точек, образуют некоторое раз­ биение G, и Р, обозначает произвольную точку множества Ег. При этом для со имеет место оценка <*(Ъ)/\с1Фп\<Ме(Ъ)1 где 8 — наибольший диаметр частичных множеств Ег н е (h) вместе с h сходится к нулю. Эта оценка получается из формулы (14) Mf, стр. 1324, если принять во внимание вполне непрерывность Г. Точно так же имеем Г?с1Т'Ф = ^ (Г<р)Р.Ф (#.) + «/,

|а>'|<лгв(8),

G

и таким образом

f <Р *П*п - *) I < I 2 ( ^ ) Р , [Ф„ (^) - * ( ^ ] I + 2 Же (8), G €СЛИ | < р | < ! 1.

0 ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

215

Теперь можно на основании результата, полученного в конце I, 6, разбиение совокупности G взять таким, что для каждого Ег будет Ф„(Я,)-*Ф(#,). Если взять 8 достаточно малым, то второй член последнего неравенства будет меньше любого наперед данного числа — > 0, и тогда на основании послед­ него замечания можно выбрать п столь большим, что первый член будет также меньше ~ . Следовательно, для любого ч\ > О может быть найдено N > О такое, что Г | ЯТ(Фп — Ф) | < % если п > N, Ъ чем и доказывается необходимость поставленного условия. Остается доказать достаточность этого условия. Пусть Ф = D L 1). Тогда из условия следует: ГИР

=:ГП„

если

Р„-+Р.

лак как f To dHp = f О

?

drnp = (Г?)р = f

G

?

е?Фр,

G

то TrTLp тождественно совпадает с функцией Фр, и, следовательно, Фр^Фр*

еСЛИ

Р

п~*Р>

откуда и вытекает на основании III, 3 вполне непрерывность Т. 4. Композиция ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. Если S и Т—два линейные преобразования в области функций <р> то „композиция" этих преобразований ST определяется формулой STy = S(Ty). Эта композиция обладает ассоциативным и дистрибутивным свойствами. Вместо ТТ мы будем писать Г2, вместо Тп~1т просто Тп. Если Ж и N являются границами соответственно для S, Т, то MN будет границей для ST. Совершенно аналогичные определения имеют место для сопряженных преобразований. Из определения сопряженных преобразований следует, что (ST/ = T'S'. 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ЯВЛЯЮЩИЕСЯ РЕГУЛЯРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ от ПАРАМЕТРА. Обозначим через 2 некоторое открытое (т. е. состоящее лишь из внутренних то­ чек) множество в комплексной плоскости. Пусть каждому значению X из 2 относится некоторое преобразование Тх (определенное в III). Тогда Тх называется регулярной в 2 функцией от X, если выполняются сле­ дующие два условия: 1) для всех <р и для каждой точки Р из G, (ГХ?)Р является регулярной в 2 функцией от л и 2) в каждом замкнутом подмно­ жестве Ш множества 2 Тх равномерно ограничено, т. е. для каждого Ш может быть найдено Ж > 0 такое, что \Тк<р\<М, еслиXпринадлежит к Ш и | с р | < 1 . *) См. II, 1.

И. РАДОН

216

Пусть теперь Тх является регулярной в 8 функцией от X и Х0— некото­ рая точка области 2. Возьмем круг |Х— Х0|<Р> лежащий (вместе со своей границей) в 2. Тогда (Тх<р)Р можно разложить в степенной ряд а0 — ах (X—X0)-fкоторый сходится по крайней мере для |Х — Х 0 | ^ р . Коэфициенты ак вычи­ сляются по следующей формуле: %к

(X —X 0 )* +1

2ш J

dk.

Отсюда следует, что коэфициент ак сам является некоторым преобразованием (Тку)р, ибо условия, поставленные в III, 1, выполняются и границей для Г7.Ф является М ЧИСЛО

—г-.

р* Итак, приходим к следующему результату: Тх в окрестности каждой точки Х0 из области регулярности можно раз­ ложить в степенной ряд Тх = Т0 + (1-\)Т1 + (1-10)*Т2+... При этом для минимальных границ „коэфициентов" Тк имеют место оценки следующего вида: •ЛГ

М

М

^

тк<-> Р

где р может быть прогшольным положительным числом, для которого круг | X — Х01 ^ р полностью лежит в 2. Обратно, ряд

м в котором МТ < —--, является регулярным преобразованием для |Х — X 0 j
О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

217

(ф дано, <р подлежит определению) имеют место теоремы, совершенно аналогич­ ные теоремам из теории интегральных уравнений Фредгольма, если только Т—вполне непрерывное преобразование. При доказательстве он пользуется фун­ кционально-геометрическими методами. Мы в дальнейшем получим результаты Ф. Рисса очень простым методом, основные идеи которого уже несколько раз применялись х) для решения линейных интегральных уравнений. При этом, имея ввиду дальнейшие приложения к теории потенциала, мы сразу рассматриваем более общий случай, т. е. не предполагаем, что Т вполне непрерывное пре­ образование. Одновременно с решением уравнения (1) будет дано и решение „сопряжен­ ного" ему функционального уравнения

(W — данная, Ф — искомая функция множеств). Пусть Т разложено на две части

т=т+д где V — вполне непрерывное преобразование, а Б таково, что ряд

регулярен для | X | < р. Такое разложение всегда существует, так как достаточно принять F = 0 , . В = Т и положить р == — . 1У1 m

Верхнюю границу чисел р для всевозможных подобных разложений обозначим через h и назовем степенью непрерывности (Stetigkeitsgrad) преобразования Т. Так, степень непрерывности вполне непрерывного преобразования равна оо (ибо здесь можно принять V=T и В==0). В общем же случае из вышеприведенных рассмотрении следует, что h ;> -г— . 2. Прежде чем перейти к решению уравнений (I) и (Г), мы рассмотрим один способ интерполирования непрерывных на G функций 2 ). Построим в про­ странстве Rn правильную сеть ^-мерных кубов, плоскости которых параллельны координатным плоскостям, а диагонали равны d. Под областью (Bereich) некоторой вершины куба будем понимать совокупность точек всех замкнутых n-мерных кубов, примыкающих к этой вершине. Отметим теперь те вершины Pv Р 2 , . . . , PN} в областях которых содержатся точки из G. Каждой точке Pi отнесем некоторую непрерывную на G функцию тг4, которую мы так определим во всем Rn: T T J P ^ ^ I , ВО всех других вершинах кубов тч(Р) = 0, и в каждом кубе ^ является линейной функцией от каждой координаты в отдельности. Тогда тг4. отлично от нуля только в области точки Р{ и всегда 0 0 ^ 1 . Мы ограни­ чиваемся рассмотрением функций izi на основном множестве G. !) См. Е. Go u r s a t , Ann. de Toulouse, 1908 и E. S c h m i d t , стр. 161. См. также Mf, VII, 6, 2) См. Mf, стр. 1333.

Math. Ann., т. 64,

218

и. РАДОН US»

Каждой точке Pi отнесем еще некоторую произвольную точку Р / , принадле­ жащую произведению ее области с G (некоторые Р / могут совпадать). Пусть 9 — непрерывная на G функция. Тогда положим х) _

N

?== 2 «
I? — ~?\<\(2d), где мы под 7]^ (8) понимаем верхнюю грань чисел 1<р(Р)—<р(Р')| Для ^РР' < Л которая вместе с 8 стремится к нулю. Благодаря вполне непрерывности преобразования V, каждая функция Ф с | <р | ^ 1 будет преобразована в такую функцию V% для которой г\у, на осно­ вании III, 3, допускает следующую, не зависящую от специального выбора <р, оценку: 4 F , ( 8 ) < 4 ( 8 ) , | ? | < l i Итт)(8) = 0. 5->0

Итак, если мы применим рассмотренный способ интерполирования к функ­ ции F
благодаря специальной форме которого мы можем написать __

N

Vq>= Vo= 2 7 Г Л ? -

%

i= l

Если положить теперь В-\- V— V= Tv то Т разложится следующим образом:

и можно благодаря (1) это разложение для любого е > 0 сделать таким (беря достаточно малое d), чтобы ряд 8& = r i + XTj+ \2Т\ -f... был регулярным для | X | < р — е. Действительно, в силу IV, 5, принимая во вни­ мание указанное в V, 1 значение для р, получаем для минимальных границ пре­ образований Вп оценки следующего вида: М г е МВп<-7»', Д 0<р'<р, р г

) Если G — линейный интервал, то можно вместо всего этого использовать линей­ ную интерполяцию с помощью отрезков.

0 ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

и поэтому оценки минимальных границ для Тпх [V—Vна границу Y]] таковы:

219

основании (1) имеет

Отсюда получается регулярность /Sf * для | X | < *^ , , и так как ч\ бла­ годаря выбору d может быть сделано как угодно малым, а р' может быть взято как угодно близко к р, то этим и устанавливается наше утверждение. Если теперь h — степень непрерывности преобразования Т, то р может быть выбрано как угодно близко к h, и мы приходим к такому выводу: Если Т имеем степень непрерывности h, то для любого е > О можно про­ извести разложение Т следующего вида: N

где •к1— непрерывные на G функции, \{ — линейные функционалы в области функций ср, и ряд

s[1] ^T^iTl

+х 2 г 1 8 +...

регулярен для | X | < h — е. 4. Теперь уравнение (I) можно записать так: N

<р — хГ 1? = ф + Х 2 а,*,,

2

(2)

г=1

где

Оставляя пока вопрос об определении коэфициентов ai? мы из последнего равенства на основании очевидных соотношений Ц ^

= ХТД1} = £f} — Тх,

(3)

компонируя обе стороны (2) с £^\ получаем

и, обратно, легко усмотреть, что это выражение удовлетворяет равенству (2). Для определения аг имеем N линейных уравнений, которые получаются под­ становкой выражения (4) в (2'): N

at-А S У ak (fo + U.S[X) = У» + Ч ^ Л (i = 1, 2, ..., JV).

(5)

Детерминант этой системы для | X | < h — s является регулярной функцией от X, которая равна единице при Х = 0 и, следовательно, не обращается тожде-

220

и. РАДОН

ственно в нуль. Таким образом за исключением (самое большее счетного) мно­ жества корней этого детерминанта, получаем для |Х|
:ф-

си(Х)

...

clN(l)

у +

с

•••

<wW

М + ху^Ч

м(х)

А »

Ч^ (6)

где обозначено Детерминант, выписанный в (6), представляет собою некоторое линейное преобразование, которое обозначим через Л[г); оно регулярно относительно X для |X|
х

'

Тогда Sk является в круге |Х|
\SkT^-kTSK = S,-T,

(7)

аналогичным уравнениям (3). Этими соотношениями (7) преобразование Sx одно­ значно определяется; действительно, если бы существовало второе преобразова­ ние Uv удовлетворяющее тем же соотношениям (7), что и Sv то из соотношений \SXT=SX

— T; XTU} = Uk — T

следовало бы тотчас же: ISXTU^SXUX-TUX

=

SXUX-SXT,

откуда вытекала бы тождественность Sx и Ux. Так как ряд Г+ХУ2 + х2Гз _ | _ . ^

^

регулярный в окрестности точки X = 0, очевидно, удовлетворяет соотношениям (7), то, следовательно, он представляет собою разложение Sx в ряд в окрестности нуля. Независимо от предыдущего1 рассуждения, из (7) тотчас же следует, езли X не является нулем А(1)(Х), что решение уравнения (I) имеет такой вид:

что совпадает с (6). Отсюда непосредственно получаем решение сопряженного уравнения (Г) в виде Ф = Чг + Х ^ . (ПО Таким образом для всех X, не являющихся нулями А(1)(Х), найдены един­ ственные решения уравнений (I) и (Г).

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

221

Относительно нулей Д(1)(Х) сделаем следующее замечание: Если Х0 является нулем Д(1)О0> то на основании (6) D^ имеет вид Д < 1 >

(

^ >

+

| ^ ,

где непрерывные функции щ и линейные функционалы li регулярны относи­ тельно X (для |Х|
Л=1 (Х-Х
1-1=1 ^ (X-Xof-1

L . JL.J=1 ^ ^ Х-Х0

(8)

(относительно смысла выражения: „главная часть" смотри сказанное о теореме Лорана в IV, 5). При этом можно предположить, что числитель первой дроби не обращается тождественно в нуль. Случайно главная часть может оказаться тожде­ ственно равной нулю; тогда рассматриваемая в данной точке особенность является устранимой, и для очевидным образом определяемого в этой точке Sk остаются в силе соотношения (7) и, следовательно, разрешение уравнений (I) и (Г) с помощью форм (II) и (IF). Остальные нули знаменателя следует рассматривать как неко­ торые особые значения X. Эти точки являются полюсами для Sv и порядком каждого такого полюса является число п, фигурирующее в представлении (8). Так как Sx обладает установленными нами свойствами в каждом круге радиуса р, где О < р < h, то очевидно, Sx является регулярным внутри круга | X | < h за исключением, самое большее, счетного множества особых значений X. Особые значения X являются полюсами # х ; мы обозначим их через Хр Х2, Х3, . . . , а их порядки, соответственно, — через vt, v2, v3, . . . Определим теперь для | X [ < f e регулярную функцию А(Х), для которой каждая точка Хл является нулем v^-й кратности. Тогда для | X | < h, А (X) 8Х = Т>х будет регулярным преобразованием и, следовательно, представляется степенным рядом i) x = 7)0 + XD1 + X 2 i ) 2 + . . . , * сходящимся в этом круге. Д (X) в том же круге раскладывается в следующий ряд: Д(Х) = 80 + Х81 + Х 2 8 2 + . . . Таким образом Если Т имеет отношениями (7) в круге | X | < h в рядов:

мы приходим к следующему предложению: степень непрерывности fe, то однозначно определенное соразрешающее преобразование Sx для Т представляется виде частного двух регулярных в этом круге степенных

*~Д(Х)где Dk — линейные

преобразования

80 + XS1 + X 2 8 2 + . . . функций

'

о и Ьк — постоянные.

<• >

222

и. РАДОН

Каждый чк-кратный нуль Хл функции Д (X) является чк-кратным полю­ сом Sx, причем главная часть соответствующего разложения Sx в ряд Лорана имеет вид, указанный в (8). Для каждого не особого значения X в круге \ X | < h уравнения (I) и (Г) раз­ решаются формулами (П) и (IT), и эти решения являются единственными. Рассмотрим все р такого рода, что преобразование Sx для | X | < р может быть представлено в виде частного, обладающего описанными свойствами [при­ чем в особенности нужно обратить внимание на вид (8) главной части в окрест­ ности полюса]. Верхняя граница всех этих р называется радиусом Фредгольма для Т; это название оправдывается тем, что, как мы увидим, в круге |Х|<й, Л для решения уравнений (I) и (Г) будут иметь место теоремы, аналогичные предложениям теории интегральных уравнений Фредгольма. Тогда из сформулированной только что теоремы вытекает, что Радиус Фредгольма линейного преобразования, не меньше его степени непре­ рывности. Если Т вполне непрерывно, то, очевидно, радиус Фредгольма для Тявляется бесконечным, откуда и получается рассмотренный Ф. Риссом специальный случай. 5. Перейдем теперь к рассмотрению особых значений X. Пусть Х0 означает* v-кратный нуль А (X). Тогда Sx в окрестности Х0 может быть представлено в виде bz+L- + F ( 10 ) V ; * (X—X0)v ' x ~ v ' где Nx_la — иолиноя (v — 1)-й степени относительно X и F7x__l —преобразование, регулярное в круге |X|> также как и ^х_Хо> можно разложить по степеням X — Х0. Далее, Sx, как легко получается из (7), удовлетворяет соотношению и если мы здесь вместо Sx и S подставим их выражения из (10), то, введя сокращенные обозначения X — X0 = w, jx — Х0 = г', получим

(« - v) (Nu + «VJ К + VFt) = v- (Nu + «X) - и" (N. + «X). Будем теперь рассматривать v как постоянную и все выражение — как регу­ лярную функцию от и. Разделив обе части на и — v, мы получим

Очевидно, обе части полученного равенства можно рассматривать как степенные ряды относительно и. Если мы сравним теперь члены до (v — 1)-й степени и (включительно), то получим

Если мы здесь будем рассматривать обе части равенства как степенные ряды относительно v и опять-таки сравним члены до г^"""1 (включительно), то получим

и тогда также NUFV = Q.

(1

о ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ и ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

223

Исходя из (11) можно повторить все предыдущее, изменяя порядок рассу­ ждений относительно и и г\ Тогда получаем следующие соотношения: («-v)N U N, = v"Nu-u"Nv; (и-v)FUFV NuFv = 0; ВД, = 0.

= Fu-Fv;

J J

Обозначим теперь \к—ло) тогда с помощью (13), принимая во внимание, что S0 = Т, легко получаем сле­ дующие тождества: XT(owo) = J

\

х ыо) г (о) = S(0)_ — "~х •"• ~х

Т(0)9

(14)

Они показывают, что Т раскладывается на такие две составные части Т(0)? и Т*, что первая из них имеет „разрешающим преобразованием" как раз главную часть разложения 8Х при Х = Х0, а „разрешающим преобразованием" второй является та часть этого разложения, которая остается конечной при X = Х0. Последние из равенств (13) приводят нас к соотношениям ортогональности

Подставляя в них нуль вместо одного или обоих значений X, [х, приходим к равен­ ствам 8(0)Т*=Т*8Ф)==0.

^y(0)

=

T

(0)^

=

0 j

Т(0)т*==т*у(0) =

0>

-

( 1 5 )

Рассмотрим теперь Т(0) немного подробнее, исходя из соотношения

Расположим Nx__x по степеням X — Х0:

Подставим это выражение для Nx_k в (12) и сравним (умножив предвари­ тельно на и — v) степени v* и v v _ 1 . Тогда получим: NUA0 = NU,

NuA1 — uNu = uA0.

Если мы здесв> сравним степени и, то придем к следующим соотношениям между А: AkA0 = Ak (* = 0, 1, . . . , V —1), A2 = A[, Ad = A2Av . . . , к которым можно (меняя порядок рассуждений относительно и и v) прибавить еще соотношение A0Ak = Ak; в соединении это дает:

И. РАДОН

224

Так как из (16) в свою очередь легко можно получить (12), то этим устано­ влены характеристические свойства N}_x . Но в силу (8) имеем р

4 ) = 2ТСЛ*

(17а)

к=1

гдетсл,1к можно предположить линейно независимыми. Из первых ссотношений (16) получаем теперь \ ^ 17Ь ) J л на основании равенств (17Ь) и (16) могут быть выражены и остальные А кЛинейная подстановка с матрицей \\с[%\\ удовлетворяет в силу (16) еще ik соотношению ll^if^O, (170) благодаря чему она на основании известных теорем может быть приведена к простой нормальной форме. Мы здесь не будем приводить дальнейшего исследования с помощью теории элементарных делителей, так как получающиеся при этом результаты в основ­ ном (в случае интегральных уравнений Фредгольма) хорошо известны х ), и воз­ вратимся снова к решению уравнений (I) и (Г) для особых значений X. 6. Итак, мы рассматриваем уравнения <р — Х0Г? = ф, * (10) Ф _ Х 0 Г Ф = ЧГ. (Q А -

*(0)* I

?

,л=1

Умножим обе части этих уравнений соответственно на 8Х и Sx'. Преобразовав полученные выражения на основании (14) и (15) и подставив результаты в (10), (IQ), получаем совершенно эквивалентные этим последним уравнения: ? -х 0 г<

Ф-Х 0 Т

0

(0)

> ? = ф-к 0 ^4<,

(и

'ф = ЧГ + Х0Я*'ЧГ.

(]ш)

Так как Т(0) == S{^\ то, принимая во внимание найденное для S[0) выражение, получаем л

1 (Q)

4-(-1Г1%^/

о

тношений (17а, Ь):

т(0) = 2 ^ А >

08)

*\ к — 1

ч>, линейная постановка \cik |j удовлетворяет в силу (17с) тождеству

1V

1

л

о1

= 0.

!) См., например, P l e m e l j , Zur Theorie der Fredholm'schen Funktionalgleichung, „Monatshefte f. Math, und Physik, 1904.

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

225

Детерминант

IV™—А* I равен, следовательно, нулю, а его ранг равен v — г, где 0 < r < v . 1*#у можно получить на основании IV, 2, (3), очевидно, так: являясь линейным функционалом, 1к имеет вид Ъ и, вводя линейный функционал в области функций Ф: G

получим Т«У = ±

смА,Гк.

Тогда решения уравнений (1^) и (Y0Q) получаются тотчас же. Действительно, вводя выражения для Г(е) и Т , имеем %=

1

и соответственно

Для определения постоянных а{1 Ъ1 имеем линейные системы к=1

к—1

и соответственно к= 1

&= 1

Так как в силу соотношений (15) последние члены уничтожаются, то эти уравнения принимают вид a

р

i— К 2 cihak = А: = 1

fc

Х

р

о 2 %W

(* = 1 , 2 , . . ., р),

= 1

и соответственно

ь-к i Л =s 1

**А=Л i fc

««^ (<=i, а,..., p).

= 1

Отсюда непосредственно получаются следующие результаты относительно решений уравнений (1) и (I') для особых значений X: Однородные уравнения Ф —Х 0 ГФ = 0 ? _ А 0 7 Ъ = 0, имеют одинаковое число линейно независимых решений 0 ) . 15

Зак. 3249. Успехи математических наук. Вып. I.

226

И . РАДОН

Неоднородные уравнения (10), (1^) имеют решения тогда и только тогда, если их „правые части" 6 соответственно Т, удовлетворяют следуюгцим г условиям: / ф йФл. = 0, соответственно
/ ok dW = О (к = 1, . . ., г); &

в этом случае решение имеет такой вид: г

г

? = ?о + 2 сл?л'

соответственно

Ф = Ф0 -f- 2 сл *А >

Л= 1

Л=1

где ск, с'к — произвольные постоянные, a o> Фо однозначно определены с точ­ ностью до линейной комбинации ©л, соответственно Фл. Отметим еще, как получаются <рЛ, ФА.: они являются линейными комбинациями функций тгЛ, соответственно Л7., через которые А0 выражается следующим образом:

4>? = г2= *1 * %/ ?dA*7. Пусть теперь// — радиус Фредгольма для Т. Выберем положительное число р < W так, чтобы на окружности | X | = р не лежало ни одно особое значение X. Тогда мы можем отделить от 8Х главные части, соответствующие всем особым точкам с | X J < р, причем оставшаяся часть преобразования 8Х будет регулярной для (Xj-^p. Если Х1? Х2, . . . , Хп — указанные особые точки, то приведенному в п. 5 разбиению преобразования Т соответствует следующее разбиение: (п) .т™+...+тrp(n) +т*,

р(1)_1_ Т{2)

{

L

в чем можно убедиться последовательным отделением частей Т^\ соответствующих отдельным Xf; при этом Г* имеет регулярное для | X ] <^ р разрешающее преобра­ зование, так что ряд

регулярен для | Х | ^ р . Из формулы (18), дающей структуру преобразования T(i), следует что Т(1)—UT(2)-]- . . . -|-Г (м) является вполне непрерывным преобра­ зованием. Согласно п. 1 из этого разложения вытекает, что степень непрерыв­ ности преобразования Т не меньше, чем его радиус Фредгольма; а это, вместе с результатом из 4, дает следующий результат: Радиус Фредгольма линейного преобразования равен его степени непре­ рывности. 8. РАСШИРЕНИЕ совокупности ФУНКЦИЙ, НАД КОТОРЫМИ ПРОИЗВОДИТСЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. Преобразование Т, выраженное при помощи функции Фр х ), можно рассматри­ вать как интеграл Стилтьеса второго рода. Тогда ясно, что ТФ МОЖНО определить для каждой ограниченной и измеримой по Борелю функции % сохраняя основные свойства а), Ь) из III, 1. Так как при 1

) Ш. 2.

О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

227

установленные в конце III, 2 условия сходимости также сохраняются (ибо ограниченную, точно так же как и равномерную, сходимость для ограниченных функций можно определить дословно, как в I, 1), то на основании одной теоремы Лебега *), согласно которой каждая измеримая по Борелю функция принадлежит одному из бэровских классов и обратно, получаем, что преобразованная функция То измерима по Борелю и ограничена. Так как вследствие этого остается в силе также композиция преобразований, то можно легко убедиться, что теоремы, установленные относительно решения уравнения (I), остаются верными также и в расширенной совокупности функций, т. е. в совокупности ограниченных функций, измеримых по Борелю. Таким образом, если правая часть уравнения (I) непрерывна, то кроме найденных непрерывных решений уравнения (I) нет больше решений, которые были бы измеримы по Борелю и ограничены. Само собой разумеется, что при этом предполагается, что | X | < А', где ¥—радиус Фредгольма для Т.

DTOM

l

) Journ. de Math., 1905, стр. 168—179.

15*