Анализ передачи сигнала в линейных электрических системах: Методические указания к выполнению курсовой работы по ТОЭ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пензенский государственный университет»

Анализ передачи сигнала в линейных электрических системах Методические указания к выполнению курсовой работы по ТОЭ

Пенза Издательство Пензенского государственного университета 2009

УДК 621.3 А64 Сформулированы варианты задания по анализу передачи электрических сигналов в линейных электрических цепях. Представлены основные соотношения, необходимые для выполнения курсовой работы, а также даны методические рекомендации и приведены примеры расчета для каждого этапа передачи электрического сигнала. Методические указания подготовлены на кафедре “Электротехника и транспортное электрооборудование” и предназначены для студентов факультета транспорта и энергетики.

С о с т а в и т е л и : В. Н. Ашанин, А. И. Герасимов, А. П. Чепасов

Р е ц е н з е н т : А. И. Диянов, кандидат технических наук, главный метролог ФГУП «НИИФИ»

2

Введение Важнейшими задачами учебной дисциплины «Теоретические основы электротехники» являются изучение нестационарных режимов работы электрической цепи и периодических несинусоидальных процессов, способов их математического описания, установление общих взаимосвязей воздействий и реакций в электрических цепях во временной и частотной областях, анализ передачи сигнала через линейную электрическую цепь. В этой связи в основу данной работы положена инженерная задача анализа передачи сигнала произвольной формы через линейную электрическую цепь в режиме согласованной нагрузки. Для этого в настоящих методических указаниях конкретизирован существующий теоретический материал и изложены методики расчета цепей в переходных режимах, анализа периодического электрического сигнала сложной формы и передачи его в линейной электрической цепи. В работе задействованы основные, наиболее важные и сложные разделы курса «Теоретические основы электротехники»: • анализ переходных процессов в линейных электрических цепях второго порядка классическим и операторным методами; • разложение периодического несинусоидального сигнала в тригонометрический ряд Фурье; • расчет пассивных линейных четырехполюсников; • анализ амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик системы передачи сигнала. Практические навыки, полученные в ходе выполнения курсовой работы, позволяют лучше освоить, понять и логически связать многие разделы дисциплины «Теоретические основы электротехники».

3

Задание на выполнение курсовой работы Для выполнения анализа передачи сигнала предлагается электрическую цепь представить в виде каскадного соединения основных ее элементов: формирователя периодического негармонического напряжения, периодизатора и пассивного четырехполюсника, работающих в режиме согласованной нагрузки. Структурная схема системы передачи электрического сигнала показана на рисунке1:

u1(t)

u2(t)

u3(t)

1 – формирователь несинусоидального напряжения u1(t); 2 – периодизатор, осуществляющий повторение во времени через период Т напряжения с заданным видом симметрии u2 (t); 3 – пассивный линейный четырехполюсник, позволяющий осуществлять передачу сигнала в режиме согласованной нагрузки

Рисунок 1 – Структурная схема линейной электрической цепи

Для выполнения задания преподавателем задается номер варианта курсовой работы. В соответствии с этим номером из таблицы А1 (приложения) осуществляется выбор: • электрической схемы формирователя негармонического напряжения для расчета переходного процесса (рисунок А1 приложения); • исходных параметров элементов электрической цепи формирователя и выходного напряжения u1(t). Для выполнения первого раздела курсовой работы необходимо определить закон изменения во времени напряжения на заданном элементе формирователя несинусоидального напряжения после коммутации. Эту задачу следует решать любым целесообразным (или определенным по заданию преподавателя) методом расчета переходных процессов: классическим или операторным.

4

На основании полученного аналитического выражения следует построить график изменения искомого напряжения в функции времени в интервале от t = 0 до t = 3τmax, где τmax – максимальная постоянная времени составляющей переходного процесса. График необходимо строить в выбранном масштабе величин. Во втором разделе работы полученный выходной сигнал u1(t) с помощью периодизатора повторяется во времени с периодом Т с обеспечением одного из видов симметрии: а) относительно начала координат; б) относительно оси абсцисс при совмещении двух полупериодов; в) относительно начала координат и оси абсцисс; г) относительно оси ординат или отсутствия какой-либо симметрии. Полученное периодическое напряжение u2(t) должно быть разложено в тригонометрический ряд Фурье аналитическим или графоаналитическим способом. При этом необходимо учесть влияние заданного вида симметрии. Количество гармоник в разложении периодического несинусоидального напряжения u2(t) и заданный вид симметрии определяются номером варианта в соответствии с таблицей А2 приложения. По результатам расчета определяется аналитическое выражение напряжения u2(t) и затем строится график полученного напряжения с учетом всех гармонических составляющих. Полученную функцию u2(t) необходимо сравнить с функцией, полученной в результате расчета переходных процессов u1(t). Сравнение осуществить визуально по графикам, построенным в одних и тех же координатных осях. В третьем разделе курсовой работы из таблицы А3 приложения выбирается электрическая схема пассивного четырехполюсника. Проводится расчет его А-параметров и комплексного коэффициента передачи по напряжению КU. Определяются АЧХ и ФЧХ характеристики четырехполюсника и для согласованного режима работы рассчитывают его выходное напряжение u3(t). В заключении проводится сравнительный визуальный графический анализ напряжений на разных участках системы передачи: u1(t), u2(t), u3(t).

5

Особенности при выполнении курсовой работы При расчете переходных процессов и получении комплексносопряженных корней характеристического уравнения, что указывает на колебательный характер переходного процесса, в качестве несинусоидальной функции u1(t) выбирается огибающая переходного процесса в области положительных значений напряжения на интер1 вале времени от 0 до 3⋅ , где δ – коэффициент затухания свободной δ составляющей напряжения в исследуемой электрической цепи. При наличии какой-либо симметрии раскладываемого в ряд Фурье напряжения за период Т функции выбирается интервал времени от 0 до 6 τmax (Т / 2 = 3 τmax ). При отсутствии симметрии Т = 3 τmax .

Вопрос согласования отдельных элементов системы передачи решается с помощью согласующих устройств на каждом этапе преобразования сигнала, рассмотрение которых не входит в рамки данной курсовой работы. Расчет четырехполюсника осуществляется для согласованного режима работы при нагружении на характеристическое сопротивление.

6

Методические указания к выполнению курсовой работы В соответствии со структурной схемой задания курсовой работы на первом этапе производится расчет переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и определяется напряжение на одном из ее элементов, т.е. происходит формирование сигнала u1(t) на половине периода Т / 2. По заданному варианту задания из данных таблицы А1 приложения выбираются электрическая схема цепи в переходном режиме, параметры элементов, а также определяется искомое напряжение на отдельном элементе цепи. Во всех рассматриваемых цепях действует источник постоянной ЭДС. Необходимо расчетным путем определить закон изменения во времени искомого напряжения после коммутации. На основании полученного аналитического выражения построить график изменения u1(t) на интервале времени от 0 до 3 τmax. Расчет цепи в переходном режиме производится одним из методов: классическим или операторным.

Методика расчета электрических цепей классическим методом Переходные процессы в линейных электрических цепях описываются линейными дифференциальными уравнениями. Решение таких уравнений представляет собой сумму двух решений: частного и общего. При этом частное решение (принужденная составляющая) определяется напряжением на элементе в установившемся режиме при t → ∞ – U частн = U пр = U уст . Общее решение (свободная составляющая искомого напряжения) зависит от вида корней характеристического уравнения, которые в рассматриваемых цепях второго порядка могут быть:

• отрицательными вещественными неравными (p1 ≠ p2); • отрицательными вещественными равными (p1 = p2); • комплексно-сопряженными (p1,2 = δ ± jωсв ).

7

Соответственно этим трем видам корней форма записи решения для свободной составляющей напряжения приводится к виду: • uсв = A1e p1t + A2 e p2t ;

• uсв = ( A1 + tA2 ) e pt ; • uсв = Aeδt ⋅ sin ( ωсв t + ψ ) , где A1 и A2 − постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий;

δ − коэффициент затухания, характеризующий затухание огибающей свободной составляющей напряжения при переходном процессе; ωсв и Ψ − угловая частота колебаний и начальная фаза свободной составляющей напряжения при переходном процессе. При определении начальных условий используются законы коммутации и уравнения равновесия электрической цепи после коммутации, составленные по первому и второму законам Кирхгофа. При анализе цепи в переходном режиме учитывают два закона коммутации: 1) ток в электрической ветви с индуктивной катушкой в момент коммутации iL(0+) равен току в этой ветви до коммутации iL ( 0− ) при неизменной индуктивности ветви: iL ( 0+ ) = iL ( 0− ) при L = const; 2) напряжение на конденсаторе в момент коммутации uC ( 0+ )

равно напряжению до коммутации uС ( 0− ) при неизменной емкости:

uС ( 0+ ) = uС ( 0− ) при С = const. С учетом изложенного алгоритм расчета переходного процесса в цепи с источником постоянной ЭДС классическим методом представляется в следующем виде: 1. Рассчитывают исходную электрическую цепь постоянного тока до коммутации с целью определения начальных условий iL ( 0− ) и uС ( 0− ) , учитывая, что ХL = 0, а ХC = ∞ .

8

2. На основании законов коммутации определяют значения независимых начальных условий iL ( 0+ ) и uС ( 0+ ) :

iL ( 0+ ) = iL ( 0− ) , uС ( 0 + ) = u С ( 0 − ) . 3. Рассчитывают искомое напряжение на элементе в установившемся (принужденном) режиме ( t → ∞ ) . При этом учитывается, что после коммутации электрическая цепь изменяет свою конфигурацию и работает в режиме постоянного тока ( Х L → 0, Х C → ∞ ) . 4. Составляют характеристическое уравнение для электрической цепи после коммутации. В линейных цепях это уравнение целесообразно получить через комплексное входное сопротивление цепи относительно источника энергии Z ( jω) . Произведя в полученном выражении замену комплексной частоты j ω на оператор преобразования Лапласа р и приравняв его нулю, получают характеристическое уравнение цепи Z(p)=0. Решая его, находят корни уравнения p1 , p2 . 5. Составляют в общем виде решение дифференциального уравнения, определяющее искомое напряжение в переходном режиме работы электрической цепи как сумму принужденной и свободной составляющих u ( t ) = u уст + uсв .

6. Для нахождения значений постоянных интегрирования переходного процесса составляют систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи в момент коммутации ( t = 0+ ) . Учитывая определенные в п. 2 независимые начальные условия, из системы уравнений находят зависимое начальное условие искомого напряжения. 7. В соответствии с полученными корнями характеристического уравнения составляют решение искомого напряжения в аналитической форме: • если корни вещественные различные p1 ≠ p2 , то u1 ( t ) = u уст + A1e p1t + A2 e p2t ;

9

• если корни вещественные равные p1 = p2 = p , то

u1 ( t ) = u уст + ( А1 + А2t )e pt ; • если корни комплексно-сопряженные p1,2 = −δ ± jωсв , то

u1 ( t ) = uуст + Ae−δt sin ( ωсвt + ψ ) . 8. Используя найденные независимые и зависимые начальные условия, определяют постоянные интегрирования реакции цепи для искомого напряжения. 9. На основании полученного аналитического выражения строят график u1(t) в интервале времени от 0...3τmax , при этом постоянные времени для апериодического процесса определяют по формулам 1 1 1 ; τ2 = τ1 = , а для колебательного − τ = . p1 p2 δ

Пример расчета переходного процесса классическим методом В цепи (рисунок 2), питаемой от источника постоянной ЭДС, до размыкания ключа, был установившийся режим постоянного тока. Необходимо найти напряжение на индуктивной катушке после коммутации при следующих параметрах элементов цепи: Е=120 В, R1=10 Ом, R2 = 90 Ом, R3 =1000 Ом, R4 =1000 Ом, С =10 мкФ, L =10 мГн. a i1 i2

b Рисунок 2 − Исходная электрическая схема цепи до коммутации

10

Особенность расчета напряжения на индуктивной катушке состоит в том, что вначале целесообразно найти изменения тока на индуктивности после коммутации iL(t), а затем, проведя операцию его дифференцирования, определяют искомое напряжение по закону di (t ) Ома в дифференциальной форме uL=L L . dt В соответствии c алгоритмом расчета переходного процесса классическим методом определим искомое напряжение uL. 1. Рассчитываем электрическую цепь до коммутации. Учитывая действие источника постоянной ЭДС в электрической цепи, определяем начальные условия: Rэкв =

R3 R4 1000 ⋅ 1000 + R1 + R2 = + 10 + 90 = 600 Oм, 2000 R3 + R4

i1 ( 0− ) =

120 Е = = 0, 2 А, Rэкв 600

Е = i1 ( 0− )( R1 + R2 ) + U ab , iC (0− ) = 0,

U C = U cb = U ab = E − i1 ( 0− )( R1 + R2 ) = 100 B, U 100 = 0,1 A. iL ( 0− ) = ab = R4 1000 2. Таким образом, начальные условия, определяющие энергетическое состояние цепи до коммутации, имеют значения: iL (0+ ) = iL ( 0− ) = 0,1 A,

uC (0+ ) = uC ( 0− ) = 100 B. 3. В установившемся режиме при t → ∞ электрическая цепь является цепью постоянного тока, т. е. XL → 0, XС →∞ (рисунок 3). С учетом изменившейся конфигурации электрической цепи ток индуктивной катушки, равный току источника энергии, определяется по уравнению: i1уст = iLуст =

E ≈ 0,11 A. R1 + R2 + R4

11

iL уст i3 уст

i1 уст

iС уст

Рисунок 3 – Схема электрической цепи в установившемся режиме после коммутации

4. Составляем характеристическое уравнение цепи после коммутации. С этой целью определяется сначала комплексное входное сопротивление цепи относительно зажимов внешнего источника энергии: 1 j ωC Ζ ( jω) = + R1 + R2 + jωL . 1 R4 + j ωC R4 ⋅

Затем, заменяя в полученном выражении j ω на p и приравнивая его к нулю, получим характеристическое уравнение цепи и находим его корни: R4 + R1 + R2 + pL = 0, R4 pC + 1 R4 + R1R4 pC + R1 + R2 R4 pC + R2 + R4 p 2 LC + pL = 0, R4 pC + 1 10−4 p 2 + 1,01 p + 1100 = 0, p1 = p2 =

−1,01 + 0,7616 2 ⋅ 10−4 −1,01 − 0,7616 2 ⋅ 10

−4

= −1241,8 c −1 , = −8858, 2 c −1.

12

5. Составляем в общем виде уравнение для определения реакции цепи с учетом полученных неравных действительных значений корней характеристического уравнения: iL ( t ) = iL уст + iLсв = 0,11 + A1e p1t + A2 e p2t . 6. Для нахождения постоянных интегрирования А1 и А2 используем независимые и зависимые начальные условия

iL ( 0+ ) = 0,1 A; diL ( 0+ ) dt

u (0 ) = L + . L

Электрическая схема цепи для момента времени t(0 + )после коммутации представлена на рисунке 4.

Рисунок 4 − Эквивалентная электрическая схема цепи в момент коммутации при t=0+

Составим для нее систему уравнений по законам Кирхгофа: ⎧ E = iL ( 0+ )( R1 + R2 ) + U L ( 0+ ) + i3 ( 0+ ) R4 ; ⎪ ⎨iL ( 0+ ) = i3 ( 0+ ) + iC ( 0+ ) ; ⎪ ⎩uC ( 0+ ) = i3 ( 0+ ) ⋅ R4 .

13

Решая эту систему, находим искомое зависимое начальное условие U (0 ) i3 ( 0+ ) = c + = 0,1 A; R4

U L ( 0+ ) = E − iL ( 0+ )( R1 + R2 ) − i3 ( 0+ ) R4 = 10 Β; diL ( 0+ )

U L ( 0+ ) L

=

10

= 1000. 10 ⋅ 10−3 Для нахождения постоянных интегрирования составляем систему уравнений: p1 0 ⎧i ( 0 ) = i + A2 e p2 0 ; Lуст + A1е ⎪L + ⎨ di ( 0 ) U ( 0 ) ⎪ L + = L + = A1 p1e p1 0 + A2 p2e p2 0 . L ⎩ dt dt

=

Учитывая, что e 0 =1, система уравнений преобразуется в следующий вид: ⎧0,1 = 0,11 + A1 + A2 , ⎨ ⎩1000 = A1 p1 + A2 p2 . Решая эту систему, находим значения постоянных интегрирования реакции цепи: A1 = 0,1197, A2 = −0,1297. 7. Таким образом, аналитическое выражение тока индуктивной катушки iL(t) имеет вид: iL ( t ) = 0,11 + 0,1197e −1241,8t − 0,1297e −8858,2t , А.

Поскольку по заданию необходимо определить напряжение на индуктивной катушке, то на основании дифференциального закона Ома производим операцию дифференцирования уравнения iL(t): di (t ) uL ( t ) = L L = dt

(

))

(

=10 ⋅ 10−3 0,1197 −1241,8e−1241,8t + ( −0,1297 )( −8858, 2 ) e−8858,2t = = −1, 49e −1241,8t + 11, 49e−8858,2t B.

14

8. Для определения масштаба графика uL(t) по оси абсцисс определяем постоянные времени переходного процесса: τ1 =

1 1 = ≈ 0,8 мс, p1 1241,8

τ2 =

1 1 = ≈ 0,11 мс. p2 8858, 2

Таким образом, τmax = τ1 = 0,8 мс и график uL(t)= u1(t) необходи-

мо построить на интервале времени ( 0...3τ max ) = (0...0, 24) мс , что показано на рисунке 5. UL , В

t, мс

Рисунок 5 – График изменения искомого напряжения во времени

15

Операторный метод расчета переходного процесса В основу данного метода положено преобразование Лапласа, предполагающее замену реальной функции времени (оригинала) f(t) изображением F(p). При этом исходные реальные элементы и схемы электрических цепей заменяются их операторными схемами замещения: − для индуктивной катушки (рисунок 6): U L ( p ) = pL I ( p ) − L i ( 0 ) , где pL − операторное сопротивление индуктивной катушки; iL ( 0 ) − начальное значение тока индуктивной катушки в момент коммутации;

Рисунок 6 – Операторная схема замещения индуктивной катушки

− для конденсатора (рисунок 7): U С ( p ) = I ( p) ⋅ где

1 pC

1 UС ( 0) + , pC p

− операторное емкостное сопротивление конденсатора;

U С ( 0 ) − начальное значение напряжения на конденсаторе в момент коммутации.

Рисунок 7 – Операторная схема замещения конденсатора

16

В общем виде основные законы электрической цепи в операторной форме имеют вид:

• закон Ома для ветви I ( p) =

U ( p) ; Z ( p)

• первый закон Кирхгофа для узла n

∑ Ii ( p ) = 0 ; i =1

• второй закон Кирхгофа для контура n

∑ Ek ( p) + I k ( p) Z k ( p) = 0.

k =1

Для перехода от операторного изображения искомой величины к оригиналу используют теорему разложения. При неравных корнях характеристического уравнения формула разложения имеет вид F(p)=

n N ( p )e pit N ( p) i ⇒ ∑ , pit M ( p) M '( p ) e i =1 i

где pi − корни полинома знаменателя дроби M ( p ) = 0 , равные корням характеристического уравнения; п − число корней. Алгоритм расчета переходного процесса операторным методом может быть представлен в следующем виде: 1. Для исходной схемы электрической цепи определяют независимые начальные условия iL ( 0+ ) ; uC ( 0+ ) . 2. С учетом начальных условий составляют операторную схему замещения цепи после коммутации. 3. Составляют систему уравнений электрического равновесия цепи по любому целесообразному методу расчета сложных электрических цепей в операторной форме и, решая ее, находят изображение искомой величины U(p). 17

4. Используя теорему разложения (или таблицы соответствия изображений и оригиналов), определяют оригинал искомой функции u(t). 5. По полученному аналитическому выражению u(t) строят график в интервале времени от 0 до 3 τmax .

Пример расчета переходного процесса операторным методом Исследуем ту же электрическую цепь, что и в классическом методе (см. рисунок 2). Поэтому для расчета независимых начальных условий воспользуемся полученными результатами и анализ с краткими комментариями проведем по вышеуказанному алгоритму: 1. Независимые начальные условия определяются аналогично классическому методу: U С ( 0+ ) = U С ( 0− ) = 100 B, iL ( 0+ ) = iL ( 0− ) = 0,1 A.

2. Операторная схема замещения цепи с учетом ненулевых начальных условий представлена на рисунке 8.

Рисунок 8 – Операторная схема замещения исследуемой электрической цепи

18

3. Составляем систему уравнений по методу контурных токов: E ⎧ ⎪ I11 ( p )( R1 + pL + R4 + R2 ) − I 22 ( p ) ⋅ R4 = p + i ( 0 ) ⋅ L; ⎪ ⎨ ⎪I ( p ) ⎛ R + 1 ⎞ − I ( p ) ⋅ R = − UС ( 0) . ⎜ 4 ⎟ 11 4 ⎪⎩ 22 pC ⎠ p ⎝ Решая эту систему методом Крамера, находим:

(1100 + 10−2 p ) − 1000 ∆=

⎛ 10 −1000 ⎜1000 + ⎜ p ⎝

5

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

=

101000 + 10 p 2 + 1100 ⋅ 105 ; p

⎛ 120 ⎞ 100 ⎛ 105 ⎞ 20100 p 2 + 120 ⋅105 p + p3 ∆1 = ⎜ + 10−3 ⎟ − 1000 − ; ⎜1000 + ⎟= p ⎜⎝ p ⎟⎠ p3 ⎝ p ⎠ N ( p) ∆ 20100 p = 120 ⋅105 + p 2 I11 ( p ) = 1 = = ; 3 2 5 ∆ 10 p + 10100 p + 1100 ⋅10 p M ( p ) I1 ( p ) = I11 ( p ) ;

M ( p ) = 0;

(

)

p 10 p 2 + 101000 p + 1100 ⋅ 105 = 0; p1 = 0; 2

D = (101000 ) − 4 ⋅10 ⋅ 1100 ⋅ 105 = 5801 ⋅ 106 ; p2 =

−101000 + 76,164 ⋅103 = −1241,8 c−1; 20

p3 =

−101000 − 76,164 ⋅ 103 = −8858,2 c−1, 20

M ′ ( p ) = 30 p 2 + 202000 p + 1100 ⋅ 105. 4. Используя теорему разложения, находим:

19

N ( p1 ) = 120 ⋅ 105 ; M ' ( p1 ) = 1100 ⋅ 105 ; N ( p1 )

M ' ( p1 )

= 0,109; 2

N ( p2 ) = 20100 ( −1241,8 ) + 120 ⋅ 105 + ( −1241,8 ) = −11, 418 ⋅ 106 ; 2

M ' ( p2 ) = 30 ( −1241,8 ) + 202000 ( −1241,8 ) + 1100 ⋅ 105 = −94,581 ⋅ 106 ; A1 =

N ( p2 )

M ' ( p2 )

= 0,1207; 2

N ( p3 ) = 20100 ( −8858, 2 ) + 120 ⋅ 105 + ( −8858, 2 ) = −87,582 ⋅ 106 ; 2

M ' ( p3 ) = 30 ( −8858, 2 ) + 202000 ( −8858, 2 ) + 1100 ⋅ 105 = 675 ⋅ 106 ; A2 =

N ( p3 )

M ' ( p3 )

= −0,129.

Таким образом, уравнение для тока индуктивной катушки после коммутации имеет вид: iL (t ) = 0,109 + 0,12e −1241,8t − 0,129e−8858,2t , А. 5. Для нахождения искомого напряжения u L (t ) воспользуемся дифференциальным законом Ома для индуктивной катушки: di ( t ) uL ( t ) = L L = dt

(

)

= 10 ⋅ 10−3 0,12 ( −1241,8 ) e −1241,8t + ( −0,129 )( −8858, 2 ) e−8858,2t = = −1, 4e −1241,8t + 11, 4e−8858,2t , B. Это выражение определяет искомое напряжение u1(t) и его также необходимо изобразить графически на интервале времени от 0...3τmax , что должно соответствовать графику на рисунке 5.

20

Разложение периодического несинусоидального напряжения в тригонометрический ряд Фурье Во втором разделе курсовой работы производится разложение полученного несинусоидального напряжения u1(t) в тригонометрический ряд Фурье. При этом в соответствии с таблицей А2 приложения и номером варианта задается симметрия на периоде T = 2 ⋅ ( 3τmax ) , либо функция задается несимметричной на периоде Т = 3 τmax . Несинусоидальное периодическое напряжение u1(t) удовлетворяет условиям Дирихле (имеет конечное число разрыв первого рода и конечное число экстремумов за период) и может быть разложено в тригонометрический ряд Фурье в соответствии с формулой: ∞

u2 ( t ) = U 0 + ∑ U kmsin ( k ω1t + ψ k ) k =1

или ∞

(

)

′ сosk ω1t + U km ′′ sink ω1t , u2 ( t ) = U 0 + ∑ U km k =1

2π – основная угловая частота (основная гармоника) T изменения напряжения u1(t); k – номер гармонической составляющей;

где ω1 = 2πf1 =

U 0 − постоянная составляющая напряжения на нулевой гармонике; U km и ψ k − амплитуда и начальная фаза k-й гармоники напряжения; ′ − амплитуда косинусной составляющей k-й гармоники наU km пряжения;

′′ − амплитуда синусной составляющей k-й гармоники. U km Между вышеуказанными двумя формами записи ряда Фурье существует следующая связь:

21

U km = tgψ k =

(U km′′ ) + (U km′ ) ; 2

′ U km ′′ U km

2

;

′ = U km ⋅ sinψ k ; U km ′′ = U km ⋅ сosψ k . U km Следует обратить внимание на то, что при определении угла ′ ψ k по вышеприведенной формуле, по знакам составляющих U km ′′ необходимо установить, в каком квадранте плоскости этот и U km ′′ положительно, а U km ′ отрицательно, угол находится. Так, если U km ′′ < 0 и U km ′ < 0, то угол ψ k расположен в четвертом квадранте; если U km ′ >0, то угол ψ k – ′′ <0, а U km то угол ψ k – в третьем квадранте, если U km во втором квадранте. Разложение несинусоидального напряжения u1(t) в ряд Фурье упрощается, если несинусоидальная функция, с помощью которой оно описывается, обладает каким-либо видом симметрии: 1. В случае симметрии функции относительно начала координат u ( t ) = −u ( −t ) в разложении отсутствуют постоянная составляющая

′ = 0 , а амплитуды сиU 0 = 0 и все косинусные составляющие U km нусных составляющих можно определить за половину периода: ′′ = U km

π

2 u1 ( ωt ) ⋅ sin(k ω1t )d ( ωt ) . π∫ 0

Аналитическое выражение для ряда Фурье в этом случае будет иметь вид: u1 ( ωt ) = U1′′m ⋅ sinω1t + U 2′′m ⋅ sin2ω1t + U 3′′m ⋅ sin3ω1t + ...

22

2. Функция симметрична относительно оси абсцисс при совмещении двух полупериодов u ( t ) = −u ( t + π ) . В этом случае в разложении отсутствуют постоянная составляющая U 0 = 0 и все четные гармоники U 2 km = 0 , а амплитудные значения нечетных гармоник можно определить за половину периода по формулам: π

U ′2 k +1 m =

2 u1 ( ωt ) сos(k ω1t )d (ωt ), π∫

U ′′2 k +1 m =

2 u1 ( ωt ) sin(k ω1t )d ( ωt ), π∫

( (

) )

0 π 0

а ряд Фурье будет иметь вид: u1 ( ωt ) = U1′m сosω1t + U1′′msinω1t + +U 3′ m сos3ω1t + U 3′′m sin3ω1t + +U 5′ m сos5ω1t + U 5′′m sin5ω1t = = U1msin(ω1t + ϕ1 ) + U 3msin(3ω1t + ϕ3 ) + +U 5m sin(5ω1t + ϕ5 ) + ... 3. Функция симметрична и относительно начала координат и оси абсцисс при совмещении двух полупериодов u ( t ) = −u ( −t ) = −u ( t + T / 2 ) . В этом случае в разложении отсутствуют постоянная составляющая напряжения U 0 = 0, все косинусные

′ = 0 , а также и все четные синусные составляюсоставляющие U km щие U 2′′km = 0 . Поэтому нечетные синусные составляющие ряда Фурье можно определить за четверть периода по формуле: π

4 2 U ′′2k +1 m = ∫ u1 ( ωt ) sin(k ω1t )d ( ωt ) , ( ) π 0

а сам ряд будет иметь вид u1 ( ωt ) = U1′′m sinω1t + U 3′′m sin3ω1t + U 5′′m sin5ω1t + ...

23

4. Функция симметрична относительно оси ординат u ( t ) = u ( −t ) , ′′ = 0 , а попри этом исключаются все синусные составляющие U km стоянная составляющая и косинусные составляющие определяются по формулам за половину периода:

U0 =

1 π

′ = U km

π

∫ u1 ( ωt ) d ωt ,

0

π

2 u1 ( ωt ) ⋅ сos(k ω1t )d ( ωt ), π∫ 0

а ряд будет иметь вид u2 ( ωt ) = U 0 + U1′m сosω1t + U 2′ m сos2ω1t + U 3′ m сos3ωt + ... 5. Функция u1 ( ωt ) симметрична относительно оси ординат и оси

абсцисс при совмещении двух полупериодов u1 ( ωt ) = u1 ( −ωt ) =

= u ( t ) = −u ( t + π ) . При этом отсутствует постоянная составляющая ′′ = 0 и все четные U 0 = 0, а также все синусные составляющие U km косинусные составляющие U 2′ km = 0 , а коэффициент нечетных косинусных составляющих можно определить за четверть периода по формуле π

4 2 ′ k +1) m = ∫ u1 ( ωt ) ⋅ сos(2k + 1)ω1t ⋅ d (ωt ) , U (2 π 0

напряжение в виде ряда будет иметь вид: u2 ( ωt ) = U1′m сosω1t + U 3′ m сos3ω1t + U 5′ m сos5ω1t + ... .

24

При отсутствии симметрии у функции u1 ( ωt ) в составе ряда Фурье присутствуют все составляющие, которые определяются за период по формулам:

U0 =

1 2π

′ = U km ′′ = U km

1 π

2π

∫ u1 ( ωt ) d (ωt ),

0 2π

∫ u1 ( ωt ) ⋅ сos(k ω1t )d ( ωt ),

0 π

1 u1 (ωt ) ⋅ сos(k ω1t )d (ωt ), π∫ 0

а ряд может быть представлен в виде: u2 ( ωt ) = U 0 + U1′m сosω1t + U1′′msinω1t + +U 2′ m сos2ω1t + U 2′′m sin2ω1t + +U 3′ m сos3ω1t + U 3′′m sin3ω1t + ... = = U 0 + U1msin(ω1t + ψ1 ) + U 2m sin(2ω1t + ψ 2 ) + +U 3msin(3ω1t + ψ 3 ) + ... Если функция f ( ωt ) = u1 ( ωt ) задана в виде графика или таблично, то ее разложение производится графоаналитическим методом. Одним из наиболее распространенных методов графоаналитического определения коэффициентов ряда Фурье является метод Перри. Напомним, что данный метод основан на разбиении периода T несинусоидальной функции f ( ωt ) = u1 ( ωt ) на n равных частей и при определении коэффициентов ряда Фурье по приведенным выше формулам вместо определенного интеграла используют сумму конечного числа слагаемых: U0 =

1 n ∑ U1 p ( t ), n p =1

25

′ = U km

2 n ⎛ 2π ⎞ U1 p ( t ) ⋅ сos ⎜ pk ∑ ⎟, n p =1 n ⎠ ⎝

′′ = U km

2 n ⎛ 2π ⎞ ∑ U1 p ( t ) ⋅ sin ⎜⎝ pk n ⎟⎠, n p =1

где p = 1, 2, 3… n – номер точки разбиения;

U1 p ( t ) − значение функции u1 (t ) в середине p-го интервала разбиения; n − количество интервалов разбиения (для практических задач, исходя из требований необходимой точности определения коэффициентов, обычно n рекомендуется принимать равным 24); 2π − интервал разбиения. ∆ωt = n р = 1, 2, 3,…, 24. Для n = 24: ∆ωt = 15o ; При наличии симметрии коэффициенты ряда Фурье определяются либо за половину периода: ∆ωt = 15o ; для n = 24: либо для четверти периода:

р = 1, 2,…,12;

∆ωt = 15o ;

р = 1, 2,…,6.

для n = 24:

Пример разложения u1(t) аналитическим методом в тригонометрический ряд Фурье В качестве примера рассмотрим разложение несинусоидального напряжения u1(t) заданным аналитическим выражением: u1(t)= 87,5 − 72,92e −1000t +72,92e −4000t , B , которое не обладает симметрией, т. е. содержит все гармонические составляющие ряда Фурье. Определяем период несинусоидальной функции и круговую частоту основной гармоники: T = 3τmax =

3 3 = = 3 ⋅ 10−3 c, p1 1000

26

ω = ω1 = 2πf1 =

2π 2 ⋅ 3,14 = = 2091 рад . с T 3 ⋅ 10−3

Определяем постоянную составляющую напряжения: U0 =

T

T

0

0

(

)

1 1 u1 ( t ) dt = ∫ 87,5 − 72,92e−1000t + 72,92e−4000t dt = ∫ T T

T 1⎡ 1 −1000t T 1 −4000t T ⎤ = ⎢87,5t − 72,92 ⋅ e + 72,92 ⋅ e ⎥= 0 0 0⎦ T⎣ −1000 −4000 72,92 −1000T 72,92 72,92 −4000T 72,92 ⎤ ⎡1 = ⎢ 87,5T + e − − e + = 1000 1000 4000 4000 ⎥⎦ ⎣T

⎡ −3 72,92 −1000⋅310 ⋅ −3 72,92 72,92 −4000⋅310 ⋅ −3 72,92 ⎤ 87,5 3 10 e e ⋅ ⋅ + − − + = ⎢ 1000 1000 4000 4000 ⎥⎦ 3 ⋅10−3 ⎣ = 333 ⎡0,26 + 0,07e−3 − 0,07 + 0,01e−12 + 0,02⎤ = ⎣ ⎦

=

1

(

)

= 333 0,21 + 0,004 −1⋅10−7 ≈ 333 ⋅ 0,21 ≈ 70 B. Определяем косинусные составляющей напряжения u1(t): ′ = Ukm

T

T

0

0

(

)

2 2 u1 ( t ) ⋅ сos(kωt )dt = ∫ 87,5 − 72,92e−1000t + 72,92e−4000t сos(kωt )dt = T∫ T

T ⎡ −1000t −1000сoskωtt − T ⎤ ⎛ ⎞ ⎥ ⎢ 87,5 ⋅ sinkωt − 72,92e ⎟ ⎥ 2 2 ⎜ −kω⋅ sinkωt ⎢ kω (kω) + 1000 ⎝ ⎠0 2 0 ⎥= = ⎢ ⎥ T⎢ −4000t −4000сoskωt − T ⎛ ⎞ ⎢+ 72,92e ⎥ ⎢ kω 2 + 40002 ⎜⎝ −kω⋅ sinkωt ⎟⎠ ⎥ 0 ⎣ ( ) ⎦

2 87,5 72,92e−1000t [1000 ⋅ сoskωte−1000t − kωe−1000t ⋅ sinkωt −1000] − = [ ⋅ sinkωt + 2 2 T kω (kω) + 1000 −

72,92 2

( kω) + 40002

[4000 ⋅ сoskωte−4000t − kωe−4000t ⋅ sinkωt − 4000].

27

Подставляя в полученное выражение T = 10−3 c , получаем искомые значения косинусных составляющих для каждой k-й гармоники: k=1

⎡0,042 ⋅ 0,109 + 1,4 ⋅10−5 ( 50 ⋅ 0,994 − 104,55 ⋅ 0,109 − 1000) −⎤ ⎢ ⎥= U1′m = 666,667 ⎢−3,6 ⋅10−6 ( 0,024 ⋅ 0,994 − 0,109 − 4000) ⎥ ⎣ ⎦ = 666,667[ 0,05 − 0,013 + 0,014] ≈ 4,1B; k=2

⎡0,042 ⋅ 0,109 + 1,4 ⋅10−5 ( 50 ⋅ 0,994 − 104,55 ⋅ 0,109 − 1000) −⎤ ⎥= U2′ m = 666,667 ⎢ ⎢−3,6 ⋅10−6 ( 0,024 ⋅ 0,994 − 0,109 − 4000) ⎥ ⎣ ⎦ = 666,667[ 0,05 − 0,013 + 0,014] ≈ 4,1B; k=3

(

)

U3m = 666,667 0,014 ⋅ 0,323 + 1,8 ⋅10−6 ( 50 ⋅ 0,947 − 313,65 ⋅ 0,323 − 4000) = = 666,667 ( 0,005 − 0,002 + 0,005) ≈ 5,5 B. Определяем синусные составляющие напряжения: ′′ = U km

T

T

0

0

2 2 u1 ( t ) ⋅ sink ωtdt = T T

∫

∫ (87,5 − 72,92e

−1000t

)

+ 72,92e−4000t ⋅ sink ωtdt =

T ⎤ T ⎡ −1000t ⎢ −87,5 сosk ωt −72,92e ( −1000sink ωdt − k ω ⋅ сosk ωt ) + ⎥⎥ 2 ⎢ kω 2 k ω + 1000 ( ) 0 2⎢ 0 ⎥ = ⎢ ⎥= T T⎢ ⎥ −72,92e−4000t ⎡( −4000sink ωdt − k ω ⋅ сosk ωt ) ⎤ ⎢+ ⎥ ⎦ ⎥ ⎢ ( k ω)2 + 40002 ⎣ 0 ⎣ ⎦

=

⎤ 2 ⎡ −87,5 72,92 ⎡1000e −1000T ⋅ sink ωdT + k ωe −1000T ⋅ сosk ωt ⎤ ⎥ . ⎢ (1 − сosk ωt ) + ⎦⎥ T ⎢ kω ( k ω)2 + 10002 ⎣ ⎣ ⎦ −3

Подставляя в полученное выражение значение периода T = 10 c , получаем синусные составляющие для каждой k-й гармоники:

28

k=1

⎡0,042 ⋅ 6 ⋅ 10−3 + 1, 4 ⋅ 10−5 ( ( 5, 45 + 103,923) − 2091) − ⎤ ⎢ ⎥= U1′′m = 666,667 ⎢ −3,6 ⋅ 10−6 ⋅ ( 0,003 + 0,013 − 2091) ⎥ ⎣ ⎦ ≈ −13,7 B; k=2 ⎡0,021(1 − 0,976) + 4 ⋅10−6 ( 50 ⋅ 0,217 + 209,1 − 0,976 − 4182) −⎤ ⎥≈ U2′′m = 666,667 ⎢ ⎢−2,2 ⋅10−6 ( 0,024 ⋅ 0,217 + 0,025 ⋅ 0,976 − 4182) ⎥ ⎣ ⎦ ≈ −3,9 B;

k=3

⎡⎛ 0,014(1− 0,947) +1,8⋅10−6 ( 50 ⋅ 0,323 + 313,65⋅ 0,947 − 6273) −⎞⎤ ⎟⎥ ≈ U3′′m = 666,667 ⎢⎜ ⎢⎜ −1,3⋅10−6 ( 0,024 ⋅ 0,323 + 0,038⋅ 0,947 − 6273) ⎟⎥ ⎠⎦ ⎣⎝ ≈ −1,2 B. Определяем амплитуды и фазы гармонических составляющих напряжения: U1m = U 2m = U 3m =

(U1′m ) + (U1′′m ) = 4,12 + 13,72 = 14,3 B; 2 2 (U 2′ m ) + (U 2′′m ) = 6,72 + 3,92 = 7,8 B; 2 2 (U3′ m ) + (U3′′m ) = 5,52 + 1, 22 = 5,6 B; 2

2

U′ ⎛ 4,1 ⎞ o ψ1 = arctg 1m = arctg ⎜ ⎟ = 164 ; − 13,7 ⎝ ⎠ U1′′m U′ ⎛ 6,7 ⎞ o ψ 2 = arctg 2m = arctg ⎜ ⎟ = 121 ; ⎝ −3,9 ⎠ U 2′′m U′ ⎛ 5,5 ⎞ ψ3 = arctg 3m = arctg ⎜ = 113o. ⎟ ⎝ −1, 2 ⎠ U 3′′m

29

Таким образом, аналитическое выражения для напряжения u 2 (t) имеет вид:

u2 (t ) = 70 + 14,3 ⋅ sin(2091t + 164o ) + 7,8 ⋅ sin(4182t + 121o ) + +5,6 ⋅ sin(6273t + 113o ), B. Изобразив на одном графике напряжения u 1 (t ) и u 2 (t ) , производим их визуальное сравнение.

Пример разложения напряжения u(t) графоаналитическим способом в ряд Фурье Рассмотрим разложение несинусоидального напряжения −2679,5t −37320,5t u1 (t ) = 100 − 84,8e − 6,07e в ряд Фурье графоаналитическим способом по методу Перри. Положим, что рассматриваемая функция обладает симметрией относительно начала координат. График изменения заданного напряжения за половину периода T / 2 = 3τmax представлен на рисунке 9.

Рисунок 9 – График изменения напряжения u1(t) за половину периода

30

В соответствии с заданным видом симметрии в разложении напряжения будут присутствовать лишь синусные составляющие ряда Фурье, которые определяются по формуле n

4 2 2π ⎞ ′ = ∑ U1 p ( t ) ⋅ sin ⎛⎜ pk U km ⎟, n p =1 n ⎠ ⎝ где U1 p (t ) – значение напряжения в середине p-го интервала разбиения; n – количество интервалов разбиения функции за период, определяющее точность разложения (в курсовой работе рекомендуется принять n = 24). Значения напряжения U1 p (t ) для каждого p-го интервала определяются из графика напряжения u 1(t ) с учетом масштаба, которые рекомендуется заносить в таблицу. На основании данных таблицы рассчитывают гармонические составляющие ряда Фурье для напряжения u2(t) по ниже приведенным формулам: ′′ = U 2(1)

4 12 ∑ U1 p ( t ) ⋅ sin p ⋅15o = 24 p =1

(

)

⎛ 30,3 ⋅ sin15o + 40 ⋅ sin30o + 60 ⋅ sin45o + ⎞ ⎜ ⎟ o o o 1 ⎜ +70 ⋅ sin60 + 76 ⋅ sin75 + 82 ⋅ sin90 + ⎟ = ⎜ ⎟ = 96,86, 6 ⎜ +86 ⋅ sin105o + 89 ⋅ sin120o + 91 ⋅ sin135o + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 93 ⋅ sin150o + 95 ⋅ sin165o + 96 ⋅ sin180o ⎟ ⎝ ⎠ ′′ = U 2(2)

4 12 ∑ ... 24 p=1

31

Таким образом, после вычислений несинусоидальное периодическое напряжение, разложенное в ряд Фурье, описывается выражением: u2 ( t ) = 96,86sinω1t − 20, 24sin2ω1t + +23,93sin3ω1t − 10,93sin4ω1t + 12,36sin5ω1t , B.

Графики изменения гармонических составляющих напряжения и собственной кривой u2(t) представлены на рисунке 10, где можно провести ее сравнение с заданной кривой напряжения u1(t). При графическом построении отдельных гармоник необходимо помнить, что масштаб по оси абсцисс для различных гармоник неодинаков, поскольку периоды различных гармоник обратно пропорциональны номеру гармоники. Например, для третьей гармоники масштаб по оси абсцисс в три раза меньше, чем для основной гармоники и т. д. Аналогично, если по оси абсцисс откладывается не время t, а угол, то углу Ψ основной гармоники соответствует на той же оси абсцисс угол kΨ для k-й гармоники.

Рисунок 10 – Графическое представление напряжения, разложенного в ряд Фурье

32

Расчет четырехполюсника На третьем заключительном этапе расчета курсовой работы в соответствии с номером варианта выбирается электрическая схема четырехполюсника; производится его расчет и определяется напряжение на нагрузке u3(t). Четырехполюсник – это часть электрической цепи, рассматриваемой по отношению к любым двум парам ее внешних зажимов (рисунок 11).

1 I1

I2

1'

2

2'

Рисунок 11 – Условное обозначение четырехполюсника

Различают четырехполюсники активные и пассивные. Последние, в отличие от активных, не содержат в своем составе источники электрической энергии. При исследовании условий передачи электрической энергии через электрическую цепь, представляемую в виде четырехполюсника, чаще всего используют A форму записи системы уравнений, где входные величины U 1 и I 1 выражаются через выходные величины U 1 , I 2 и A-параметры четырехполюсника: ⎧⎪U 1 = A11U 2 + A12 I 2 , ⎨ ⎪⎩ I 1 = A21U 2 + A22 I 2 , где A11 =

U1 – величина, обратная коэффициенту передачи по наU2

пряжению в режиме холостого хода по выходу ( I 2 = 0 );

33

U1 , [ Ом ] – передаточное сопротивление четырехполюсниI2 ка в режиме короткого замыкания по выходу ( U 2 = 0 ); A12 =

A21 =

I1 U2

, [ См ] – передаточная проводимость четырехполюсника

в режиме холостого хода по выходу ( I 2 = 0 ); I A22 = 1 – величина, обратная коэффициенту передачи по току в I2 режиме короткого замыкания по выходу ( U 2 = 0 ). Кроме A-параметров для любого четырехполюсника могут быть определены его характеристические параметры. Такими параметрами являются характеристические сопротивления Z 1с , Z 2с и собственная постоянная передачи g . Сопротивление Z 1с , Z 2с – это входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного на Z 2с , а сопротивление Z 2с – это выходное сопротивление четырехполюсника при нагрузке Z 1с , Z 2с со стороны входа. Данные сопротивления через A-параметры можно определить по формулам: Z 1с =

A11 ⋅ A12 ;Z = A21 ⋅ A22 2с

A22 ⋅ A12 . A21 ⋅ A11

Условие, когда четырехполюсник нагружен на характеристическое сопротивление и в нагрузке выделяется наибольшая мощность, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения. Если значение характеристического сопротивления зависит от частоты, то четырехполюсник согласуют с нагрузкой по гармонике, имеющей наибольший вес в формировании входного воздействия, поэтому чаще всего принимают условие согласования на основной гармонике.

34

Собственная постоянная передачи g – это параметр, который характеризует изменение входного сигнала при передаче его через четырехполюсник в режиме согласованной нагрузки. В общем случае: g =a+jb, где а – постоянная затухания (ослабления), измеряемая в неперах [Нп] или белах [Б] , [дБ]; b – собственная постоянная фазы, измеряемая в радианах [рад] . Значение постоянной передачи четырехполюсника может быть вычислено через A -параметры по формуле g = ln

(

)

A11 A22 + A12 A21 .

Однако найденное выражение для выходного напряжения u3 (t ) через характеристические параметры четырехполюсника получается громоздким и на практике применяется редко. Чаще для оценки передачи сигнала через линейный четырехполюсник используются передаточные функции. Одной из передаточных функций четырехполюсника является комплексный коэффициент передачи по напряжению KU =

U2 = KU ( ω) ⋅ e jϕ(ω) , U1

где KU (ω) определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), а ϕ ( ω) – фазочастотную характеристику четырехполюсника (ФХЧ).

Комплексный коэффициент передачи по напряжению может быть определен через A -параметры четырехполюсника в соответствии с уравнением ZH . KU = A11 Z H + A12 Для нахождения АХЧ и ФХЧ четырехполюсника определяются параметры A11 ( k ) , A12 ( k ) и Z Н (k ) для рассматриваемых гармони35

ческих составляющих и по вышеприведенной формуле определяются коэффициенты передачи K U ( k ) для каждой k-й гармоники. По результатам расчетов строятся графики дискретных амплитуд и фаз напряжения u3 (t ) в условно-логарифмическом масштабе. Значения гармонических составляющих выходного напряжения u3 (t ) определяются по формуле U 3т ( k ) = U 3т ( k ) ⋅ K U ( k ) , где k – номер гармоники напряжения. По результатам расчета записывается выходной сигнал u3 (t ) в форме ряда Фурье:

( ) +U 3m ( 2 ) ⋅ sin ( 2ωt + ϕ3( 2 ) ) + ...U 3m( n ) × ×sin ( nωt + ϕ3( n ) ) .

u3 ( t ) = U 3( 0 ) + U 3m(1) ⋅ sin ωt + ϕ3(1) +

На последнем этапе выполнения курсовой работы строятся в одной системе координат совмещенные графики u1 (t ), u2 ( t ) , u3 ( t ) , проводится анализ прохождения сигнала через линейную электрическую цепь и делаются выводы по проделанной работе. Пример расчета четырехполюсника

Пусть задан четырехполюсник, схема которого представлена на рисунке 12. На его вход подается напряжение u2 ( t ) , содержащее постоянную составляющую и четыре гармоники:

(

)

u2 ( ωt ) = 7,5 + 20sin ( ωt ) + 7sin 2ωt − 105o +

(

)

(

)

+3sin 3ωt − 155o + 1sin 4ωt + 160o , B.

36

Электрические сопротивления элементов четырехполюсника на основной гармонике равны R1 = 200 Oм, R2 = 100 Oм, Х L (1) = 40 Oм, Х C (1) = 300 Oм.

Рисунок 12 – Электрическая схема четырехполюсника

В рассматриваемом случае имеем Т-образный четырехполюсник, у которого соответствующие продольные и поперечное сопротивления на k-й гармонике, с учетом заданных сопротивлений элементов, определяются по формулам: Z 1( k ) = R1 = 200 Oм, Z 2( k ) = R2 − j

1 1 = R2 − j Х С (1) , k ω1C k

Z 3( k ) = jk ω1L = jkХ L(1) . Для расчета его A -параметров можно использовать следующие соотношения: Z1( k ) Z 1( k ) Z 3( k ) A11( k ) = 1 + ; A12( k ) = Z 1( k ) + Z 3( k ) + ; Z 2( k ) Z 2( k ) A21( k ) =

1 Z 2( k )

; A22 = 1 +

Z 3( k ) Z 2( k )

.

Вычисляем A -параметры четырехполюсника на основной гармонике входного сигнала (k = 1): A11(1) = 1 +

200 = 1, 2 + j 0,6 = 1,34e j 27 , 100 − j 300

37

A12(1) = 200 + j 40 +

200 ⋅ j 40 = 176 + j 40 = 182e j15 Ом, 100 − j 300

1 = 0,001 + j 0,003 = 0,0032e j 72 Cм; 100 − j 300 j 40 A22(1) = 1 + = 0,88 + j 0,04 = 0,881e j 3 . 100 − j 300

A21(1) =

Зная A -параметры, можно определить характеристические сопротивления и собственную постоянную передачи на основной гармонике сигнала: А11(1) ⋅ А12(1)

Z 1c (1) =

g

; Z 2c (1) =

А21(1) ⋅ А22(1)

(1)

= ln

(

А22(1) ⋅ А12(1) А21(1) ⋅ А11(1)

,

)

A11(1) A22(1) + A12(1) A21(1) .

Для обеспечения режима согласованной нагрузки по основной гармонике подключаем к четырехполюснику сопротивление нагрузки Z H , равное характеристическому: Z H (1) = Z 2c(1) = 195e − j 40 = 149 − j125 Ом . Коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника на k-й гармонике определяем через A -параметры:

KU (k ) = K U (1) =

Z H (k ) A11( k ) Z H ( k ) + A12( k )

;

195e − j 40 1,37e

j 27

⋅ 195e

− j 40

+ 182e

j15

= 0, 45e − j 38 .

Для построения АЧХ и ФЧХ четырехполюсника задаемся следующими значениями: k = ω ω1 = 0; 1; 2; 3; 4. На основании полученных данных определяем значения гармонических составляющих выходного напряжения u3(t):

38

U 3( 0 ) = U 2( 0 ) ⋅ KU ( 0 ) = 7,5 ⋅ 1 = 7,5 B; U 3m(1) = U 2m(1) ⋅ K U (1) = 20e j 0 ⋅ 0, 45e − j 38 = 9e− j 38 , B; U 3m( 2 ) = U 2m( 2 ) ⋅ K U ( 2 ) = 7e − j105 ⋅ 0,35e− j 44 = 2, 45e− j149 , B; U 3m( 3) = U 2 m( 3) ⋅ K U ( 3) = 3e − j155 ⋅ 0,3e− j 52 = 0,9e− j 207 , B; U 3m( 4 ) = U 2m( 4 ) ⋅ K U ( 4 ) = 1e j160 ⋅ 0, 25e − j 58 = 0, 25e− j102 , B и выражение для выходного напряжения:

(

)

(

)

u3 (t ) = 7,5 + 9sin ωt − 38o + 2, 45sin 2ωt − 149o +

(

)

(

)

+0,9sin 3ωt − 207o + 0, 25sin 4ωt − 102o , B. На рисунке 13 показаны спектры амплитуд и фаз напряжения u3(t).

а

б

Рисунок 13 – Спектр амплитуд (а) и фаз (б) выходного сигнала четырехполюсника u3(t)

39

Контрольные вопросы 1. Объясните, что понимается под переходным процессом в электрической цепи и каковы причины его возникновения? 2. Что понимают под принужденной и свободной составляющими напряжения при переходном процессе? 3. Сформулируйте законы коммутации. Поясните, почему напряжение на катушке индуктивности может изменяться скачком, а на конденсаторе нет. 4. Дайте определение независимых и зависимых начальных условий. 5. Чем определяется число корней характеристического уравнения? 6. Охарактеризуйте этапы расчета переходных процессов классическим и операторным методами. 7. Укажите преимущества и недостатки известных вам методов расчетов переходных процессов. Какой метод расчета выбран вами в курсовой работе и почему? 8. Каким условиям должно удовлетворять периодическое несинусоидальное напряжение, чтобы его можно было разложить в тригонометрический ряд Фурье? 9. Опишите свойства периодических несинусоидальных напряжений, обладающих определенными видами симметрий. 10. Охарактеризуйте методы разложения в ряд Фурье периодического несинусоидального напряжения. Объясните, какой метод разложения в ряд Фурье выбран вами в курсовой работе и почему? 11. Определите физический смысл действующего значения несинусоидального напряжения, а также зависимость его от начальных фаз и частот отдельных гармоник. 12. Назовите коэффициенты, характеризующие форму периодического несинусоидального напряжения. 13. Дайте определение и назначение четырехполюсника в линейных электрических цепях.

40

14. Приведите основные формы записи уравнений четырехполюсников. Объясните, в каких случаях целесообразно использование той или иной формы записи уравнений четырехполюсника? 15. Каков физический смысл ||А||-параметров уравнений четырехполюсника и как они определяются? 16. Что такое согласованный режим работы четырехполюсника? Каким образом можно найти значения характеристических сопротивлений? 17. Назовите характеристические параметры четырехполюсника. Каким образом можно найти их значения? 18. Определите передаточную функцию по напряжению четырехполюсника. Что она характеризует и как определяется через ||А||параметры? 19. Что такое дискретные спектры амплитуд и фаз напряжений, и что нужно для их графического построения? 20. Каким образом целесообразно анализировать прохождение периодического несинусоидального напряжения через четырехполюсник при частично-согласованной нагрузке?

41

ПРИЛОЖЕНИЕ А Таблица А1 Номер варианта 1

Рисунок 5

Е, В

L, мГн

C, мкФ

100

1

2

2

150

2

3

19

100

4

10

120

5

3

100

Определить

R1, Ом

R2, Ом

R3, Ом

R4, Ом

10

20

15

5

2

uR1

5

8

10

5

2

uL

1

10

2

2

–

–

uL

1

10

3

0

1

1

uR3

5

50

2

8

6

–

uR1

6

1

50

1

1500

2

13

1

4

uR1

7

11

120

10

10

10

90

1000

1000

uL

8

18

200

1

20

4

4

2

–

uR3

9

4

100

1

10

50

25

25

–

uC

10

17

300

5

4

10

20

10

20

uC

11

20

100

1

10

20

4

16

2

uR2

12

15

150

4

5

6

10

5

4

uC

13

6

30

1

2,5

10

10

10

–

uC

14

7

200

10

10

100

0

50

100

uR3

15

12

100

1

10

10

10

4

–

uR3

16

16

50

2

1670

1

2

1

5

uR1

17

8

120

10

10

10

90

1000

1000

uL

18

13

120

1

10

8

8

8

4

uR4

19

9

200

1

10

10

20

50

20

uR1

20

14

50

1

100

2

8

10

10

uR1

21

5

100

1

10

20

20

0

2

uL

22

2

150

2

5

5

10

5

5

uR1

23

19

100

1

10

1

3

–

–

uR2

24

10

120

1

10

1

2

1

1

uL

25

3

100

5

50

3

8

5

–

uR2

26

1

50

1

1500

2

13

2

3

uR4

27

11

120

10

10

20

80

1000

1000

uR3

42

Продолжение таблицы А1 Номер варианта

Рисунок

Е,

L,

C,

В

мГн

мкФ

R1, Ом

R2, Ом

R3, Ом

R4, Ом

Определить

28

18

200

1

20

6

3

2

–

uL

29

4

100

1

10

50

20

30

–

uL

30

17

300

5

4

15

20

5

20

uR2

31

20

100

1

10

20

17

3

2

uR1

32

15

150

4

5

9

10

5

1

uL

33

6

30

1

2,5

5

10

15

–

uL

34

7

200

10

10

50

50

50

100

uR4

35

12

100

1

10

5

15

4

–

uL

36

16

50

2

1670

1

2

2

4

uC

37

8

120

10

10

20

80

1000

1000

uR4

38

13

120

1

10

12

6

8

4

uR1

39

9

200

1

10

10

10

50

30

uC

40

14

50

1

100

3

7

10

10

uC

41

5

100

1

10

20

2

18

2

uC

42

2

150

2

5

4

10

5

6

uR3

43

19

100

1

10

1,5

2,5

–

–

uC

44

10

120

1

10

2

1

1

1

uR2

45

3

100

5

50

6

8

2

–

uC

46

1

50

1

1500

2

13

3

2

uL

47

11

120

10

10

30

70

1000

1000

uR4

48

18

200

1

20

12

12,4

2

–

uR2

49

4

100

1

10

50

10

40

–

uR1

50

17

300

5

4

3

20

17

20

uR1

43

а

б

в

г

д

е

Рисунок А1 – Электрические схемы формирователей несинусоидального напряжения (начало)

44

ж

з

и

к

л

м

н

о

Рисунок А1 (продолжение)

45

п

р

с

t

у

ф

Рисунок А1 (продолжение)

46

Таблица А2 Вариант

1−10

11−20

21−30

31−40

41−50

Количество гармонических составляющих ряда Фурье

1−5

1−4

1−5

1−4

1−3

Относительно оси абсцисс

Относительно оси абсцисс и начала координат

Относительно оси ординат

Отсутствие симметрии

u

u

u

u

Вид симметрии периодической несинусоидальной функции u1(t)

Относительно начала координат u 3τ t

3τ

T

3τ

t

3τ

t T

T

T

3τ t

t

T/ 2

Таблица А3 Вариант

1−6

7−13

14−20

21−27

Схема четырехполюсника

21

22

23

24

Сопротивления элементов на основной гармонике

R1 =100 Ом

R1 =100 Ом

R1 =100 Ом

R1 = 200 Ом

R2 =100 Ом

R2 =100 Ом

R2 =200 Ом

R2 = 100 Ом

XC =100 Ом

XC =200 Ом

XC = 200 Ом

XC = 200 Ом

XL = 40 Ом

XL =50 Ом

XL = 60 Ом

XL = 70 Ом

Продолжение таблицы А3 Вариант

28−33

34−39

40−45

46−50

Схема четырехполюсника

25

26

27

28

Сопротивления элементов на основной гармонике

R1 = 100 Ом

R1 = 200 Ом

R1 = 100 Ом

R1 = 200 Ом

R2 = 200 Ом

R2 = 100 Ом

R2 = 200 Ом

R2 = 200 Ом

XC = 50 Ом

XC = 100 Ом

XC = 500 Ом

XC = 100 Ом

XL = 100 Ом

XL = 200 Ом

XL = 100 Ом

XL = 50 Ом

47

а

б

в

г

д

е

ж

з

Рисунок А2 – Схемы электрические четырехполюсников

48

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ................................................................................................................ 3 Задание на выполнение курсовой работы ........................................................... 4 Методические указания к выполнению курсовой работы ................................. 7 Методика расчета электрических цепей классическим методом ...................... 7 Пример расчета переходного процесса классическим методом ....................... 10 Операторный метод расчета переходного процесса .......................................... 16 Разложение периодического несинусоидального напряжения в тригонометрический ряд Фурье .............................................................................. 21 Пример разложения u1(t) аналитическим методом в тригонометрический ряд Фурье ..................................................................................................................... 26 Пример разложения напряжения u(t) графоаналитическим способом в ряд Фурье .................................................................................................................. 30 Расчет четырехполюсника .................................................................................... 33 Пример расчета четырехполюсника .................................................................... 36 Контрольные вопросы .......................................................................................... 40 Приложение А ....................................................................................................... 42

Анализ передачи сигнала в линейных электрических системах Методические указания к выполнению курсовой работы по ТОЭ Редактор Т. В. Веденеева Технический редактор Н. А. Вьялкова Корректор Н. А. Сидельникова Компьютерная верстка Р. Б. Бердниковой ИД № 06494 от 26.12.01 Сдано в производство 12.03.09. Формат 60x841/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,79. Уч.-изд. л. 3,33. Тираж 100. Заказ № 144. “С” 34. _______________________________________________________ Издательство Пензенского государственного университета. 440026, Пенза, Красная, 40.

49