Çàäà÷è ïî îñíîâàì òåîðèè ðèñêà À.À.Íîâîñåëîâ∗
Äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÊÃÓ Àííîòàöèÿ Ïðèâåäåíû çàäà÷è èç ðàçëè÷íûõ îòðàñëåé ìàòåìàòèêè, êîòîðûå ñîñòàâëÿþò áàçó äëÿ òåîðèè ðèñêà. Ýòîò çàäà÷íûé ìèíèìóì íåîáõîäèìî ðåøèòü âñåì ñòóäåíòàì, æåëàþùèì ñïåöèàëèçèðîâàòüñÿ â äàííîé îáëàñòè.
1 Çàäà÷è Çàäà÷à 1 Ïóñòü êîìïîíåíòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X, Y ) èìåþò ñëåäóþùèå (áåðíóëëèåâñêèå) ìàðãèíàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ:
P(X = 1) = 1 − p, P(X = 3) = p,
P(Y = 1) = 1 − q, P(Y = 2) = q,
ãäå p, q ∈ [0, 1] ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèé. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z = XY â ñëó÷àÿõ, êîãäà: a) êîìïîíåíòû X, Y íåçàâèñèìû; b) êîìïîíåíòû X, Y çàâèñèìû. Åñëè X è Y íåçàâèñèìû, òî ÷òî ìîæíî ñêàçàòü î çàâèñèìîñòè (íåçàâèñèìîñòè) X è Z ? Y è Z ? Âîçìîæíà ëè ñèòóàöèÿ, ïðè êîòîðîé X è Y çàâèñèìû, à X è Z íåçàâèñèìû?
Çàäà÷à 2 Ðåøèòü çàäà÷ó, àíàëîãè÷íóþ çàäà÷å 1, äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z = Y /X.
Çàäà÷à 3 Ðåøèòü çàäà÷ó, àíàëîãè÷íóþ çàäà÷àì 1, 2, äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ìàðãèíàëü-
íûå ðàñïðåäåëåíèÿ X è Y ðàâíîìåðíû íà [0, 1]. Êðîìå òîãî, ïðèâåñòè ïðèìåð ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (X, Y ) ñ ðàâíîìåðíûìè ìàðãèíàëüíûìè, ïðè êîòîðîì ðàñïðåäåëåíèå Z = XY òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì íà [0, 1], èëè äîêàçàòü, ÷òî òàêîå ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå íå ñóùåñòâóåò.
Çàäà÷à 4 Ïóñòü X, Y èìåþò äèñêðåòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ P{X = 0} = P{X = 1} = P{X = 2} = 1/3. P{Y = 0} = P{Y = 1} = 1/2, Ïîñòðîèòü ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå (X, Y ) òàê, ÷òîáû îíî èìåëî çàäàííûå ìàðãèíàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, è X, Y áûëè êîìîíîòîííûìè (ñì. îïðåäåëåíèå 1). ∗
Èíñòèòóò âû÷èñëèòåëüíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ÑÎ ÐÀÍ, 660036, Êðàñíîÿðñê, Àêàäåìãîðîäîê, email:
[email protected], ò. (3912) 495382
1
2
À.À. Íîâîñåëîâ
Çàäà÷à 5 Äàòü îïðåäåëåíèå àíòèêîìîíîòîííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîñòðîèòü
ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ X, Y èç çàäà÷è 4 òàê, ÷òîáû X, Y áûëè àíòèêîìîíîòîííûìè â ñîîòâåòñòâèè ñ äàííûì îïðåäåëåíèåì.
Çàäà÷à 6 Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî A ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X ñ êîíå÷íûì âòîðûì
ìîìåíòîì EX 2 < ∞. Ðàññìîòðèì äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , êàê ôóíêöèþ íà A: f (X) = DX, X ∈ A. Äîêàçàòü, ÷òî A âûïóêëî â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå âñåõ âåùåñòâåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. ßâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ f âûïóêëîé? ñòðîãî âûïóêëîé? âîãíóòîé? ñòðîãî âîãíóòîé?
Çàäà÷à 7 Ïóñòü çàäàíû ìàðãèíàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, êàê â çàäà÷å 4. Íàéòè ìàê-
ñèìàëüíîå è ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå êîâàðèàöèè X, Y è ñîâìåñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, íà êîòîðûõ äîñòèãàþòñÿ ýòè ýêñòðåìóìû.
Çàäà÷à 8 Íà ìíîæåñòâå íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë N = {0, 1, 2, ...} çàäàíà ôóíêöèÿ
λx , x ∈ N, x! ãäå λ 6= 0 âåùåñòâåííûé ïàðàìåòð. Íàéòè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå f è ìíîæåñòâî òî÷åê Nλ ⊆ N , íà êîòîðûõ ýòîò ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ. f (x) =
Çàäà÷à 9 Ïóñòü G ìíîæåñòâî ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ G íà êâàäðàòå S2 = [0, 1]× [0, 1], èìåþùèõ ðàâíîìåðíûå ìàðãèíàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ: G(x, 1) = x, G(1, y) = y; x, y ∈ [0, 1]. à) Âû÷èñëèòü ôóíêöèè
U (x, y) = sup G(x, y), L(x, y) = inf G(x, y); x, y ∈ S2 . G∈G
G∈G
á) ßâëÿþòñÿ ëè U è L ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ íà S2 ? â) ßâëÿþòñÿ ëè U è L ýëåìåíòàìè G ? ã) Èçîáðàçèòü ãðàôèêè ôóíêöèé U è L. ä) Âû÷èñëèòü èíòåãðàë Z S2
[U (x, y) − L(x, y)] dx dy.
å) Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ H ∈ G , îòëè÷íîé îò U è L, è óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ L(x, y) ≤ H(x, y) ≤ U (x, y). (1) æ) Ñóùåñòâóåò ëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ H íà S2 òàêàÿ, ÷òî âûïîëíåíî (1) è H 6∈ G ?
Çàäà÷à 10 Ñôîðìóëèðîâàòü è ðåøèòü àíàëîãè÷íóþ çàäà÷ó íà Sn = [0, 1]n .
Çàäà÷è ïî òåîðèè ðèñêà
3
Çàäà÷à 11 Ïðîèçâîäèòåëÿ ÷àÿ "Áåñåäà"ðåøèëè çàâëå÷ü ïîòðåáèòåëÿ íåïîòðåáíû-
ìè ñðåäñòâàìè, è ñòàëè âêëàäûâàòü â êàæäóþ ïà÷êó ÷àÿ èãðàëüíóþ êàðòó, íàóãàä âûáðàííóþ èç êîëîäû. Ëþáèòåëþ ÷àÿ, ñîáðàâøåìó ïîëíóþ êîëîäó, îáåùàí ñóïåðïðèç ... ïà÷êà ÷àÿ "Áåñåäà". Ñêîëüêî ïà÷åê ÷àÿ â ñðåäíåì íóæíî èñòðåáèòü, ÷òîáû çàðàáîòàòü ïðèçîâóþ? Ðåøèòü çàäà÷ó äëÿ êîëîäû èç 32 è 52 êàðò.
Çàäà÷à 12 Ïîñòðîèòü äâà ðàñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ ðÿäà
P
P
ak è k bk ñ ìîíîòîí> 0, bk ≥ bk+1 > 0, k = 1, 2, ... òàê,
íûìè ïîëîæèòåëüíûìè ñëàãàåìûìè ak ≥ ak+1 P ÷òîáû ðÿä k ck , ãäå ck = min {ak , bk } , k = 1, 2, ...
k
ñõîäèëñÿ.
Çàäà÷à 13 Äëÿ òðåóãîëüíèêà Ïàñêàëÿ 1 1 1 1 ...
1 1 1 2 3 4 3 6 10 4 10 20 ... ... ...
... ... ... ... ...
âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü n × n, ðàñïîëîæåííûé â ëåâîì âåðõíåì óãëó, n = 1, 2, ....
Çàäà÷à 14  äèñêðåòíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (X , d) îïèñàòü à) ñîâîêóï-
íîñòü âñåõ îòêðûòûõ ìíîæåñòâ; á) ñîâîêóïíîñòü âñåõ çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ.
Çàäà÷à 15 Ïóñòü (Ω, B, P) âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Çàäàäèì íà B îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè
A ∼ B ⇐⇒ P(A∆B) = 0, A, B ∈ B, ãäå ∆ îïåðàöèÿ ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ìíîæåñòâ. Ðàññìîòðèì ôàêòîð - ìíîæåñòâî Be ìíîæåñòâà B ïî ýòîìó îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè. ßâëÿåòñÿ ëè Be σ -àëãåáðîé? Îòâåò îáîñíîâàòü.
Çàäà÷à 16 Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y èìåþò ðàâíîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ íà îòðåçêàõ [a, b] è [c, d], ñîîòâåòñòâåííî, 0 < a < b, 0 < c < d. Íàéòè
• Ðàñïðåäåëåíèå S = XY , êîãäà X, Y íåçàâèñèìû. • Â ðàìêàõ ïðåäûäóùåé ìîäåëè: óñëîâíîå ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå X, Y ïðè óñëîâèè S ≤ s, ãäå ac < s < bd.
Çàäà÷à 17 Äëÿ âåùåñòâåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îïðåäåëèì ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FX , GX è HX ñëåäóþùèì îáðàçîì:
FX (x) = P(X ≤ x), −∞ < x < ∞, GX (x) = P(X < x), −∞ < x < ∞, 1 HX (x) = (FX (x) + GX (x)), −∞ < x < ∞. 2
4
À.À. Íîâîñåëîâ
Èçâåñòíî, ÷òî FX íåïðåðûâíà ñïðàâà, GX íåïðåðûâíà ñëåâà, è âñå òðè ôóíêöèè ñîâïàäàþò â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè. Ðàññìîòðèì äèñêðåòíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X ñ ðàñïðåäåëåíèåì P(X = xi ) = pi , i = 1, . . . , n, ãäå x1 < . . . < xn , pi ≥ 0, i = 1, . . . , n, p1 + . . . + pn = 1, è çàäàäèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
U = FX (X), V = GX (X), W = HX (X). Íàéòè EU, EV, EW, DU, DV, DW .
Çàäà÷à 18 (êîïóëà Ôðàíêà). Çàäàíî ñåìåéñòâî ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ
"
C
(α)
#
1 (eαu − 1)(eαv − 1) (u, v) = ln 1 + , α eα − 1
u, v ∈ [0, 1],
(2)
ãäå α 6= 0 ïàðàìåòð. Âû÷èñëèòü ôóíêöèè
lim C (α) (u, v), lim C (α) (u, v), lim C (α) (u, v). α→∞
α→−∞
α→0
ßâëÿþòñÿ ëè îíè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ íà [0, 1]2 ?
Çàäà÷à 19 (êîïóëà Êóêà-Äæîíñîíà). Çàäàíî ñåìåéñòâî ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ äâóõ
ïåðåìåííûõ
C
(α)
(u1 , . . . , un ) =
( n X −1/α
ui
)−α
−n+1
,
(3)
i=1
ãäå α > 0 ïàðàìåòð. Âû÷èñëèòü ôóíêöèè
lim C (α) (u, v), α→∞ lim C (α) (u, v).
α→0
ßâëÿþòñÿ ëè îíè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ íà [0, 1]2 ?
2 Îïðåäåëåíèÿ Îïðåäåëåíèå 1 Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X, Y íàçûâàþòñÿ êîìîíîòîííûìè, åñëè îíè èìåþò ñîâìåñòíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ
G(x, y) = P{X ≤ x, Y ≤ y}, f è äëÿ ëþáîé äðóãîé ïàðû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, ðàñïðåäåëåíèÿ f ≤ x, F (x, y) = P{X
Ye , èìåþùåé ñîâìåñòíóþ ôóíêöèþ Ye ≤ y}
ñ òåìè æå ìàðãèíàëüíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè:
F (·, ∞) = G(·, ∞), F (∞, ·) = G(∞, ·) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
F (x, y) ≤ G(x, y), x, y ∈ R.
Çàäà÷è ïî òåîðèè ðèñêà
5
Îïðåäåëåíèå 2 Ôóíêöèÿ f , çàäàííàÿ íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå A ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), x, y ∈ A, λ ∈ (0, 1) è ñòðîãî âûïóêëîé, åñëè
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), x, y ∈ A, λ ∈ (0, 1).
Îïðåäåëåíèå 3 Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X , d) íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíûì, åñëè X ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, à ìåòðèêà d èìååò âèä ½
d(x, y) =
0, x = y , 1, x = 6 y,
x, y ∈ X .
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Â.Ôåëëåð (1984) Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿ.- Ì.: "Ìèð", 1, 527 ñ.; 2, 751 ñ. [2] Áîðîâêîâ À.À. (1986) Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.: "Íàóêà", 432 ñ. [3] Wang, S.(1996) Premium calculation by transforming the layer premium density. ASTIN Bulletin, 26, pp. 71-92. [4] Ëîýâ Ì. (1962) Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Èçäâî èíîñòð. ëèò. - 720 ñ.
