優調和函数と理想境界 (紀伊国屋数学叢書)

紀伊國屋数学叢書 30

編集委員 伊藤 戸 田

清 三   (東京大学名誉教授) 宏 

(京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

伊藤 清三

優 調 和 函 数 と理 想 境 界 紀伊 國屋書店

ま

 理 想 境界 とい う言葉 は,最 とす る とき,S=R＼Rを

え

が

き

も一 般 的 に言 う と,空 間Rの

空 間Rの

コ ンパ ク ト化 をR

理 想境 界 と呼 ぶ ので あ るが,興

くの結 果 が得 られ て い る の はRがRiemann面

の場 合 で あ り,そ の 中 で も函

数 論 的 あ る い はポ テ ン シ ャル 論 的 に重要 な のはRoyden,

Wiener,

持 が それ ぞれ 定 義 した コ ンパ ク ト化 に よ る理 想 境 界 で あ る.特 持 の理 論 は,Green函 る点 で,2階   R.S.

にMartin,倉

楕 円 型 偏 微 分 方程 式 の理 論 と直接 結 び つ く もの で あ る.

Martinは1940年

日Martin境

Riemann面

Martin,倉

数 と密 接 に関 係 す る核 函 数 を用 い て調 和函 数 を表現 で き

の調 和函 数 のPoisson積 め,今

味 あ る多

の論 文(あ

とが き の文 献[10])に

お い て,単 位 円 内

分 表示 を高 次 元 空 間 の 一般 領 域 の 場 合 に 拡 張 す るた

界 と呼 ば れ て い る理 想 境 界 を導 入 した.そ の理 論 も結 果 も

の研 究 に重 要 な も の とな った が,彼

の発 想 と手 法 は,ラ

プ ラシ ア

ンを2階 楕 円型 偏 微 分 作 用 素 で置 き替 え て も,そ の ま ま適 用 で き る も ので あ っ た.更 に,倉 持 境 界 の理 論 と呼 ばれ る倉 持 氏 の1956年 も,Riemann面

の論 文(あ とが き の[15])

の研 究 を念頭 に置 い て書 かれ て は い る が,2階 楕 円型 偏 微 分 作

用 素 に 自然 な 方 法 で拡 張 で き る もの で あ っ た.し か も,偏 微 分 方 程 式 の立 場 か ら見 れ ば,Martin境 mann問

界 ・倉持 境 界 の理 論 が それ ぞれDirichlet問

題 ・Neu

題 に対 応 して い る とい うこ とは,興 味 深 い こ とで あ る.

  この観 点 か ら本 書 で は,一 般 の変 数 係 数2階 楕 円 型 偏 微 分 作 用 素(以 下'楕 円 型 作 用 素'と 略 称 す る)に つ いて,Martin境

界 ・倉 持境 界 に対応 す る理 想 境 界

(そ れ ぞ れ 同 じ名 称 で 呼 ぶ)を 構 成 す る理 論 お よび,調 和函 数(=楕

円型 偏微 分

方 程 式 の解)の 表 現 定 理,極 小 函 数(端 点 的 函 数)と 理 想 境 界 上 の点 との対 応 な どを解 説 した.こ の よ うな理 論 の 自然 な拡 張 が 可能 で あ る の は,調 和 函 数 の主 要 な性 質,特 に最 大 値 原 理・一 致 の定理(一 意 接 続 定 理)・Harnack型 Weylの

補 題 お よび 優 調 和 函 数 のRiesz分

の 定理 ・

解 な どが,楕 円型 作 用 素 の場 合 に も

本 質 的 に同 じ形 で成 り立 つ こ とに よ る.し か し,本 書 で扱 う楕 円 型作 用 素 は形 式 的 自己 共 役(そ の場 合 はLaplace-Beltrami作

用 素)と は限 らな い ため に,技

術 上 の形 式 的修 正 で は 同 じ理 論 を構 成 で き な い部 分 も あ る.特 に倉持 境 界 の構 成 に当 ってDirichletの

原 理 を用 い る所 は,や や異 な る概 念(結 果 か ら見 れ ば

Dirichlet積 分 を最 小 にす る函 数 の概 念 の 自然 な拡 張 で あ るが)を 必 要 とす る. ま た,普 通 の ラ プ ラシ ア ンの 場合 と本 質的 に 同 じ結 果 で あ って も,一 般 の(変 数係 数 で あ っ て 形 式 的 自己共 役 を 仮 定 しない)2階 楕 円型 作 用 素 と して 述 べ ら れ た 定理 を 引用 す る方 が,都 合 が よ い こ とが 多 い.   そ こ で本 書 に お い て は,第1章 ち,あ

で本 叢 書 中 の 拙著 「拡 散 方 程 式 」 の 内容 の う

とで必 要 に な る諸 定 理 とそ の関連 事 項 の概 略 を記 述 し,第2章

函 数 に つ い て の準 備 を行 ない,ま い る た め の'正 則 写 像'と れMartin境

た第5章 で,Dirichletの

い う概 念 につ い て述 べ た.第3章

で優 調 和

原 理 の代 わ りに用 と第6章

がそ れ ぞ

界 と倉 持 境 界 に関 す る本 論 ともい うべ き部 分 で あ り,第4章

と第

7章 の内 容 は,そ れ ぞ れ の前 の章 に付 随 す る事 項 で あ る.   筆 者 は,本 書 の 内容 で あ る楕 円型 作 用 素 に関 す る理 想 境 界 の理 論 を放 物 型 方 程 式 に も応 用 す る こ とを,一

つ の夢 と して い た の で あ る が,こ

れ につ い て は,

少 な く と も筆 者 自身 の満 足 す る形 に は ま とめ られ て い な いの で,単 に 夢 と呼 ん で お く.し か し本 書 に よ っ て,Martin境

界 ・倉持 境 界 の理 論 が一 般 の2階 楕

円 型作 用 素 の場 合 に拡 張 され る様 子 の一端 を見 て い た だ き,理 想 境 界 を偏 微 分 方 程 式 の 角度 か ら眺 め た場 合 の本 質 を把 握 して い た だ けれ ば有 難 い と思 う.更 に,こ の よ うな理 論 に興 味 と関 心 を持 って,筆 者 の夢 を実 現 の方 向 に導 いて 下 さる方 が あれ ば,望 外 の幸福 と言 わ な け れ ば な らな い.   最 後 に,本 書 の完 成 まで には紀 伊 國屋 書 店 出 版 部 の水 野 寛 氏 に始 終 お 世 話 に な っ た こ とを記 し,こ こ に心 か ら感 謝 の意 を表 す る次 第 で あ る.

1988年  盛 夏

伊 藤

清 三

目

次

  まえ が き  ⅴ 序

章  理想境 界 考察 の由来

  §0.1  調 和 函 数 と境 界 値 問 題

 1

  §0.2  拡 散 方 程 式 に 関 す る予 備 的 考 察 第1章

  6

  拡 散 方 程 式 ・楕 円 型 境 界 値 問 題 に 関 す る 準 備

  §1.1  予 備概 念 と記 号

  13

  §1.2  拡 散 方 程 式 の 基 本解 の 性 質,解 の存 在 と一 意 性   §1.3  楕 円型 境 界 値 問 題,Green函

数,Neumann函

  §1.4  調 和 函 数 の性 質

 20 数

  29   41

  §1.5  ベ ク トル 解 析 に 関 連 した 事 項

 50

  §1.6  付 記(測 度 の漠 収 束,半 連 続 函 数)  第2章 

53

優調 和 函数

  §2.1  優 調 和 函 数 の定 義  §2.2  正 値A-優

調和 函数 の存 在 とGreen函

 §2.3  優 調 和 函 数 の 局所 可 積分 性 とRiesz分 第3章

  Martin境

数 の存 在

  69

解

 76

界

  §3.1  予 備 概 念  §3.2  Martin境

 59

  界 の構 成

 §3.3  正 値 調 和 函数 の積 分 表 現  §3.4  極 小 函 数,標 準 表現 とそ の 一 意 性

89

  93  100   112

第4章 

滑 ら か な 境 界 のMartin境

界 へ の埋め込 み

  §4.1  埋 め込 み の定 理

  127

  §4.2  埋 め込 み 定 理 の証 明

 129

第5章

 楕 円型 偏微分 作 用 素に関 す る正則写 像

  §5.1  正 則 写 像 の た め の予 備 概 念 と記 号

  137

  §5.2  作 用 素A*に

  140

よ る境 界 値 問 題 の解 に 関 す る準備

  §5.3  正 則写 像

  145

  §5.4  正 則 写 像 の定 義 の拡 張 と基 本 的 性 質   §5.5  Neumann型

核 函数N(x,y) 

  §5.6  核 函数N(x,y)と 第6章 

163

あ る境 界値 問題

Neumann型

 154

  172

理 想 境 界(倉 持 境 界)

  §6.1  Neumann型

理 想 境 界 のた め の 予 備 概 念

  175

  §6.2  Neumann型

理 想 境 界(倉 持 境 界)の 構 成

 183

  §6.3  全 調和 函 数 と全 優 調和 函数

 192

  §6.4 FH0函

  204

数 とFSH0函

数 の 積分 表現

  §6.5 理 想境 界 上 の 点 の分 類   §6.6  極 小FH0函 第7章

  208

数,標 準 表現 とそ の一 意 性

  滑 ら か な 境 界 のNeumann型

理 想 境 界 へ の埋 め込 み

  §7.1  埋 め 込 み の定 理   §7.2 核 函 数N(x,y)の

 235 滑 らか な 境 界 上 へ の拡 張

  §7.3  埋 め 込 み 定 理 の証 明

  あ とが き,文 献 な ど  

索引

 259

 221

 256

 237   251

序章 理想境界考察の由来

 §0.1  調 和 函 数 と境 界 値 問 題

  この §と次 の §で は,本 書 で取 扱 う'理 想 境 界'の 由来 を 説 明 す る た め に, 主 とし てEuclid空

間に お け る普通 の ラ プ ラシ ア ン△ に 関 す る古 典 的 な 境 界 値

問 題 に つ い て,い

くつ か の 既 知 の事 実 を 述 べ る.次 の 第1章 か ら,一般 の 変 数

係 数2階 楕 円 型 微分 作用 素 に 関す る理 想境 界 の 構成 を 目標 とし て,あ

らた め て

体 系 的 に 述 べ るが,本 章 で 述 べ る事項 はす べ て 第1章 以 後 に 述 べ る結 果 に 含 ま れ るか ら,本 章 で は 数 学 的 な'証 明'は 与 え な い で,説明

に 必 要 な'既 知 の 結

果'を 記 述 す る.   Ω をm次

元Euclid空

を も つ も の とす る.こ

間Rm(m≧2)の の と き,Ωにお

呼 ば れ る 函 数G(x,y)(Ω 在 し て,Ω

け る(Dirichlet問

×Ω の 上 で 

の 上 でHolder連

函 数 φ(x)に

中 の 有 界 領 域 で,十

分 滑 らか な 境 界

題 の)Green函

数 と

な る か ぎ り定 義 さ れ て い る)が

続 な 任 意 の 函 数f(x)と

存

∂Ω の 上 で 連 続 な 任 意 の

対 し て,

 (0.1.1) 

Ω にお い て △u=-f,∂

Ω の 上 でu=φ

を満 た す 函数u(x)が

(0.1.2) で与 え られ る;こ こ でdyはm次 法 線 微 分,dSは

Ω の境 界 上 で の外 向 き

元 面 積要 素 を 表 わ す.特 にf≡0の

場 合,

す なわ ち ∂Ω の 上 で与 え られ た境 界 値 φ を とる調 和 函 数u(Dirichlet問

題の

解)は,Ω  (0.1.3)

境 界 上 でのm-1次

元 体 積 要 素,∂/∂nは

に おい て

で 与 え ら れ る.Green函数G(x,y)は,任 値 を と り,xとyの

に対して正の

少 な く と も 一 方 が ∂Ω の 上 に あ れ ば0に

式(0.1.3)に

お い て 

れ て い る.)従

って

 (0.1.4) 

意 の 

で あ る.(≧

∂Ω 上 で φ≧0な

(も っ と も,こ の こ とはGreen函

な る か ら,上

の公

は実 は>と な る こ とが知 ら

ら ば Ω に お い てu≧0で

あ る.

数 の性 質 を 使 わ な く て も,調 和 函 数 の最 大

値・ 最 小値 原 理 か らも 出 る こ とで あ る.)   境 界 値 問 題 とい う立 場 か らは,φ は普 通 の 函数 で あ るが,Ω に お け る非 負値 調和 函 数 を与 え る式 とし て は,(0.1.3)に 有 界Borel測

度dμ(y)で

お い て φ(y)dS(y)を

∂Ω 上 の任 意 の

置 き替 え て も よい.な お Ω に お け る調 和 函数 に つ い

ては,非 負 値 とい う こ とは 正 値 とい うこ と と同等 で あ る(最 大値 ・ 最小値原理 に よ り).   R.S.

Martin[10]は

一般の 領 域R(有

界 性 も仮 定 せ ず,境 界 の性 質 に つ い

て 何 の 条 件 も考 え な い)に お け る正 値 調 和 函数 の表 現 を考 え た.彼 はR×Rの 上(た だ し )で 境 界S(今

日Martin境

R×(R∪S)  uがS上

適 当 な 核 函 数K(x,y)を

導 入 し,そ れ を 用 い てRの

界 と 呼 ば れ る も の)を 定 義 して 核 函 数K(x,y)が

に拡 張 され る こ とを 示 し,Rに

のBorel測

理想

おけ る任 意 の 正値 調 和 函数

度 μに よ って

 (0.1.5)

と表 現 され る こ とを 示 した.Rが

普 通 の意 味 の滑 らか な境 界Sを

(同相 に埋 め込 まれ る とい う意 味)で あ って,y∈Sな け る 本 来 のGreen函

数G(x,y)に

を 掛 け た もの に等 し い.(滑

対 す る 

らか な 境 界Sに

もて ばS⊂S

らばK(x,y)はRに にyの

お

み の適 当 な 函数

関 す る この事 実 はMartinの

論文

[10]に は 示 され て い な い が,本 書 第4章 を 見 られ た い.)だ か ら測 度 μを 修 正 す る こ と に よ り,y∈Sに

対 し て は 

意 味 で(0.1.5)は(0.1.3)の

 上 に述 べ た よ うに,Martin境

と 考 え て よ い.こ

の

拡 張 と 考 え ら れ る.

界 上 の測 度 を 用 い た 正 値 調 和 函 数 の 表 現 式 は

Dirichlet境 Neumann境

界値 問題 の解 の 表 現 式 の拡 張 と考 え る こ と が で き る.そ

れでは

界 値 問 題 に 対 応 す る もの は ど うか と い う問 題 が 当然 考 え られ る.

この よ うな 理想 境 界 の 導 入 は 倉持 氏[15]に に よ り倉 持 境 界 と名 付 け られ た.倉

よ って な され,他 の 多 くの 研究 者 理

の研 究 に活 用 し て多 くの成 果 を 挙 げ られ た が,本

書で

想 境 界)をRiemann面

持 氏 は こ の理 想 境 界(お よびMartinの

は 楕 円 型 偏 微分 方 程 式 の 立 場 で この 理 想 境 界 を解 説 す る.な お,倉 持 氏 自身 は この 理 想 境 界 に 関 連 す る概 念 にN-Martin(言 に 対 応す るMartin型

の境 界etc.の

うま で も な くNeumann問

意)と い う言 葉 を 使 わ れ た が,本 書 で は

Neumann型

理 想 境 界,倉 持 境 界 の 名 称 を 併 用 す る.

  Martin境

界 に よる 正値 調 和 函 数 の表 現 式(0.1.5)に

に 関 して 考え る場 合 は,Martin境

題

相 当す る式 を 倉 持 境 界

界 の 場 合 とや や 異 な る取扱 い を しな け れ ば

な らな い の で,そ の 理 由を 素 朴 な見 地 か ら説 明 し て お く.  まず,滑

ら か な 境 界 を も つ 有 界 領 域 Ω(⊂Rm)に

  (0.1.6) 

Ωにおいて

△υ=0,∂

の 解 υ が 存 在 す る た め に は,Greenの

お け るNeumann問

題:

Ω の 上 で ∂υ/∂n=φ

公 式 か ら直 ち に わ か る よ うに,φ

が

 (0.1.7) を 満 た さ な け れ ば な ら な い.だ

か ら(φ ≡0と

界 ∂Ω 上 で 正 負 の 値 を と る 必 要 が あ る か ら,前 よ う に,φ(y)dS(y)を と は で き な い.そ

∂Ω 上 のBorel測 こ で 我 々 は,Ω

い う 自 明 な 場 合 を 除 き)φ は 境 のMartin境

度dμ(y)(非

界 に 関 す る説 明 の

負 値!)に

移 行 させ る こ

の 内 部 に 一 つ の コ ン パ ク ト集 合K0(そ

界 ∂K0は 十 分 滑 ら か な も の)を 固 定 し,(0.1.6)の

代 わ りに Ω ＼K0に

の境

お け る次

の 境 界 値 問 題 を 考 え る:

において  (0.1.6′)

の 上 で 

こ の境 界 値 問 題 に 対 し てはGreen函 在 し て,∂ Ω 上 でHolder連  (0.1.8)

の上で 数 と 同 じ役 目を す る核 函 数N(x,y)が

続 な任 意 の 函 数 φ(y)に 対 して 解 υが

存

で与 え られ る.(こ の こ とに つ い て は 次 の 第1章 で 説 明す る.な お,K0の 現 象 的 意味 に つ い ては 次 の §で 触 れ る.)こ

拡散

の場 合 は φ(y)≧0と し て扱 うこ と

が で き るか ら,前 に述 べ た よ うな'測 度 へ の移 行'を 考 え る こ とが可 能 で あ る.   次 に,Dirichlet問

題(か ら生 じたMartin境

数 に 当 た る もの は,Neumann問

界 の理 論)に お け る正値 調 和 函

題(か ら生 じた 倉 持 境 界 の理 論)に おい ては,

正 値 調 和 函 数 よ り も狭 い 範 囲 の も の で あ る こ とを注 意 し て お こ う.そ れ は,境 界 値 問 題(0.1.6′)に お い て φ≧0で な くて も解 υが 正 値 調 和 函 数 とな る こ とが あ るか ら で あ る.従

って,す べ て の正 値 調 和 函数 υ(x)が 非 負 値 のNeumann

境 界 条 件 φ に よ って(0.1.8)で 与 え られ る とは限 ら ない.前 境 界 の 場 合 と同 様 に 倉持 境 界 も,有

に述 べ たMartin

界 領 域 Ω では な く一 般 の 領 域Rに

対 して

考 え る の で あ るか ら,そ の'境 界'は 最 初 は'目 に 見 え な い'も の で あ る.だ か ら(0.1.6′)にお い て φ≧0で あ る こ とを反 映 す る条 件 を,領 域 の 内 部 に お け る υ の性 質 だけ で記 述 した い.そ は 全 調 和 函 数 と呼 ぶ;第6章

の ため にfull

harmonic

function(本

書で

§6.3で 一般 的 に 定 義 す る)と い う概 念 が 導 入 さ

れ て い る.   Rの

境 界 が 目 に 見 え な い こ とか ら 起 こ る 今 ひ と つ の 問 題 は,有

場 合 の ∂Ω 上 で ∂υ/∂n=0と あ る.こ

い う 性 質 の,一

の 問題 は 例 え ば(0.1.6′)に

υ=ψ(≡0と

は か ぎ ら な い)を

般 領 域Rの

お い て,∂K0の

うか ぎ り は,こ Dirichlet積

与 え,∂ Ω の 上 で ∂υ/∂n=0と

の 問 題 の 解υ は,∂K0の

上 で υ=ψ

界条件

な る解υ を,∂ Ω

通 の ラ プ ラ シ ア ン △を 扱 と な る 函 数 の う ち で,

分 

を最小にす るもの

と して 特徴 づ け られ(Dirichletの 一 般 の 領域Rの

場合 の 表 わ し 方 で

上 でDirichlet境

に お け る 情 報 を 用 い な い で 求 め る こ と に 相 当 す る.普

界領域 Ωの

原 理 とし て知 られ て い る),こ

場 合 に も適 用 す る こ と が で き る

.し

の考え方を

か し本 書 に お い て は,

 の形 の ものを 含 む一般 の変数係数2階 楕 円型偏微分作用素 を 扱 うの で,Dirichletの

原 理 そ の もの は 適用 で き な い.そ

上 で 与え ら れ た 函 数 ψ に 対 し て,∂K0上 Dirichlet積 分D[υ]を

こで 我 々は,∂K0の

で境 界 値 ψ を と る函 数 υの うち で

最 小 に す る もの を対 応 させ る写 像 の概 念 を拡 張 し た も

の とし て,第5章

に お い て'正 則写像'と

は,倉 持 境 界 の理 論(第6章)の 構 成(第5章

名付 け る概 念 を定 義 す る.こ の写 像

み な らず,そ

の準 備 と して の核 函 数N(x,y)の

§5.5)に も必 要 であ る.

  こ こ で 優 調 和 函 数 の 概 念 に 触 れ て お く.こ f≡0と

し た 場 合 の 函 数uの

話 か ら 始 め た の で,△u=0を

ち 調和 函 数 に つ い て 述 べ て き た が,fを る と,(0.1.2)で

満 た す 函 数,す

一般 に 非 負 値 函 数 でHolder連

与 え ら れ る 函 数uは(0.1.1)を

 (0.1.9) 

を満 たす.こ

の § の 初 め に(0.1.1)に

満 た す か ら,特

おい て なわ 続 とす

に

△u≦0

の よ うな 函数uは

優 調 和 函 数 と呼 ば れ る.uが

調 和 函数 な らば,滑 ら か な境 界を もつ 有 界 領 域DでD⊂

領 域 Ω にお け る 優

Ω な る も の を任 意 に

とる とき, ∂D上 でuに等

 (0.1.10) 

[

Dの

し くてDで

内 部 ではu≧wが

調 和 な 函 数wを

とる と,

成 立 す る.

す なわ ち,大 ざ っ ぱに 言 えば,優 調 和 函 数 は 領 域 の境 界 上 で 同 じ値 を とる調 和 函 数 よ りも,領 域 の内 部 では 大 きい 値 を と る.(こ れ が'優'調 和 函 数 の 名 の 由 来 で あ る.)現 代 で は 優 調 和 函 数 の概 念 は 次 の よ うに拡 張 され て い る.す な わ ち, 連 続 性 も仮 定せ ず,一 般 に下 に 半連 続(§1.6参 と同 じ性 質 を もつ 函数uを な い た め,(0.1.10)の

照)な 函数 で あ っ て,(0.1.10)

優 調 和 函 数 とい う.も っ と も,uの

記 述 の よ うにuに

連 続 性 の仮 定 が

等 し い境 界 値 を もつ調 和 函 数 の存 在 は

保証 され な い の で,こ の述 べ 方 は 少 し修 正 す る必 要 が あ る.正 確 な 定 義 は §2.1 の 最初 に 与 え る.

 §0.2  拡 散 方 程 式 に 関 す る予 備 的考 察

 拡散方程式 の最 も基本的 な形 は  (0.2.1)

と書 かれ る;こ

こ でu≡u(t,x)は

中 の領 域 Ω の点xの

時 間t(≧0)とm次

函数 で あ り,△ はxの

たはその

空 間 に お け る ラ プ ラ シ ア ンで あ る.

我 々は △ よ り もや や 一 般 的 な次 の偏 微 分 作 用 素Aお 分 作 用 素A*を

元空 間Rmま

よび そ れ と'共 役'な 偏 微

考え る:

 (0.2.2)

従 っ て,拡

散 方 程 式 と し て は,(0.2.1)の

 (0.2.3)

を 扱 い,こ

代 りに

 (0.2.3*)

れ ら に 対 し て,t=0の

  (0.2.4) 

と き の'初

期 条 件'を

それ ぞれ

u(0,x)=u0(x),υ(0,y)=υ0(y)

の 形 に 与え る.Rmの Dirichlet型

部 分 領 域 Ω で 考 え る場 合 の ∂Ω 上 の 境 界 条 件 と し て は,

の も の は(0.2.3)に

  (0.2.5) 

つ い て も(0.2.3*)に

つ い て も 同 じ形 の

u(t,x)=φ(x),υ(t,y)=φ(y)

を 考 え る が,Neumann型

の 境 界 条 件 は,方

程 式(0.2.3)に

対 して は

 (0.2.6)

を 考 え,方

程 式(0.2.3*)に

対 し ては

 (0.2.6*)

を 考 え る;こ

こ で β(y)は

(b1(y),…,bm(y))の

Ω の 境 界 ∂Ω の 上 の 点yに

外 法 線 成 分 で あ る.こ

お け る ベ ク ト ルb(y)=

れ ら の方 程 式 や 境 界 条 件 の 物 理 的 意

味 につ い て は,'あ

とが き'に あ げ て あ る拙 著[1]の

  bi(x)≡0(i=1,…,m)の

と き はA=A*=△

必 要 が な く,(0.2.3)と(0.2.3*)は (0.2.6)と Neumann型

同 じ に な る.我

序 章 §0を 見 られ た い.

と な っ て,AとA*を

共 に(0.2.1)と同

じ に な り,ま

区別す る た(0.2.6*)は

々 が 本 書 に お い て 述 べ よ うす る 理 想 境 界 の 構 成(特 に

理 想 境 界 の 場 合)に お い て は, 

な る こ とに よ っ て起 こる

問 題 点 を ど の よ うに 処 理 す る か が 興 味 あ る 点 の 一 つ で あ る か ら,こ て も 

従 っ て 

の 場 合 に つ い て 述 べ る.以

の §に おい

後 Ω は 有 界 領 域 と し,

Ω の 境 界 に は 適 当 な 滑 ら か さ を 仮 定 し て お く.   な お,次

の章 か らはEuclid空

Laplace-Beltrami作

間Rmの

用 素 に な る が,こ

との 意 義 に つ い て も[1]の

か わ りにm次

し て 次 のⅰ),ⅱ)が

って △ は うす る こ

§1を 参 照 さ れ た い.

  拡 散 方 程 式(0.2.3),(0.2.3*)にDirichlet型 て 考 え た と き,基

元 多 様 体 で 考 え,従

れ は 単 な る形 式 的 一 般 化 で は な い;そ

境 界 条 件(0.2.5)を

本 解 と 呼 ば れ る 函 数U(t,x,y)(t>0,x∈

合わせ

Ω,y∈Ω)が

存在

成 り立 つ:

 ⅰ) 拡 散 方 程 式(0.2.3)の

解u(t,x)で,初

期 条 件(0.2.4)と

境 界 条 件(0.2.5)

を 満 たす ものが

 (0.2.7)

で 与 え ら れ る.  ⅱ)  拡 散 方 程 式(0.2.3*)の (0.2.5)を

満 たす もの が

 (0.2.7*)

で 与 え ら れ る.   更 に, 

な るか ぎ り

解 υ(t,y)で,初

期 条 件(0.2.4)と

境界条件

 (0.2.8)

が 存 在 す る.ま

た(0.2.7)の

示 さ れ る の で,左

右 辺 第1項

辺 のu(t,x)もt→

はt→

∞

∞

と す る と き0に

近 づ くこ とが

とす る と き の 極 限 函 数u(x)が

存 在 し,

(0.2.7)は

  (0.2.9)

と な る.(右

辺 第2項

こ のuはAu=0を

は 形 式 的 に 極 限 移 行 し た が,こ 満 た し,∂ Ω 上 でu=φ

の 解 で あ る.G(x,y)はGreen函 あ る.同

れ は 厳 密 に 証 明 で き る.)

と な る;す

な わ ちDirichlet問

数 で あ り,(0.2.9)は(0

様 に し て(0.2.7*)か

.1.3)と

題

同 じ式 で

ら

 (0.2.9*)

が 得 ら れ,こ

  さて,基

の υはA*υ=0を

本 解U(t,x,y)の

満 た し,∂ Ω 上 で υ=φ

拡 散 現 象 的 意 味 は,初

量 が 拡 散 に よ って時 間tの 後 に 点yに 表わ す もの で あ る.す

 は 領 域 の 境 界 上 の 点yに 境 界 条 件 がDirichlet型

の符号を変 えた 

(0.2.8)に

より

と な る か ら,(0.2.9)に

函 数 と し て は,初

あ る 場 合 に は,上

め に 点x

の法線方向微分係数

あ った 単 位 質 量 が 時 間tの 後 に 境 界

部 分 に 到 達 す る密 度 分 布 を 表 わ し てい る.

現 わ れ る 

質量 が無 限 時 間 の 間 に 境 界 上 の 点yに (0.2.9)で 与 え られ るu(x)がAu=0を

部 分へ 移 る割 合 を

お け る外 向 き の濃 度 勾 配 を 表 わ し,特 に

は,点xに

お け る面 積 要 素dS(y)の

あ った単 位 質

おけ る濃 度 分 布 を 表 わ し て い る.従 って,

の(0.2.5)で

上 の 点yに

め に 点xに

お け る体 積 要 素dyの

な わ ち,U(t,x,y)はyの

に あ った単 位 質 量 の,時 刻t>0に

と な る.

は,点xか

ら拡 散 し始 め た 単 位

到 達 す る 密 度分 布 と考 え ら れ る が, 満 たす とい う こ とは,拡 散 が 時 間 的 に

定 常 な状 態 す なわ ち平 衡 状 態 に 達 した も の と考 え ら れ る の で,こ

の意味では

 は,点xに 界 上 のdS(y)部 (weight)で   次 に,拡

お い て 単 位 時 間 に 単 位 質 量 の 湧 き出 しが あ る と き の境

分 に 到 達 す る 密 度 を 表 わ し,こ

平 均 し た も の が(0.2.9)のu(x)で 散 方 程 式(0.2.3),(0.2.3*)に

(0.2.6),(0.2.6*)を

そ れ ぞ れNeumann型

は 別 の 函 数)が

 ⅰ) 拡 散 方 程 式(0.2.3)の

解u(t,x)で,初

る重 み

あ る と考 え る こ と で も き る.

合 わ せ て 考 え た と き も,前

(前 の 基 本 解U(t,x,y)と

れ を φ(y)dS(y)な

境界条件

と 同 じ よ うに 基 本 解U(t,x,y)

存 在 し て,次

のⅰ),ⅱ)が

期 条 件(0.2.4)と

成 り立 つ:

境 界 条 件(0.2.6)

を 満 たす もの が

 (0.2.10)

で与 え られ る.  ⅱ )  拡 散 方 程 式(0.2.3*)の (0.2.6*)を

解 υ(t,y)で,初

期 条 件(0.2.4)と

境界条件

満 た す も のが

 (0.2.10*)

で 与 え ら れ る.

  この場 合 も基 本解U(t,x,y)の

拡 散 現 象 的 意 味 は,前

の(Dirichlet型

境界

条 件 を考 え た とき の)基 本解 と全 く同 じで あ る.従 って(0.2.10*)の 右 辺 第1項 は,初 め の質 量 分 布 の密 度 が υ0(x)で あ った 拡 散 物 質 の,時 間tの 後 の分 布 密 度 を表 わ し て い る.ま た(0.2.6*)の の 法 線成 分 を 表 わ す か ら,φ(y)≧0な

左 辺 は境 界 上 の点yに らば(0.2.6*)は

お け る流 量(flux)

単 位時 間 に境 界 か ら面

密 度 φ(y)の 割 合 で 拡 散物 質 が 流 入 す る こ とを 意 味 す る.だ か ら(0.2.10*)の 右 辺 第2項 は,こ

の 割 合 で 拡 散物 質が 境 界 か らた え ず 流 入 す る と き の,時

間t

の 後 の分 布 密 度 を 表 わ す.   こ の 基 本 解U(t,x,y)に G(x,y)を

対 し て は,(0.2.8)に

定 義 す る こ と は で き な い;右

よ っ てGreen函

辺 の 積 分 は 発 散 す る.そ

数 の役 目の の た め に,

(0.2.10),(0.2.10*)に

お い てt→ ∞ とす る と,ど ち らの 式 で も右 辺 第2項 は

∞ に発 散 し,'平 衡状 態'に は近 づ か な い.こ の こ とを(0.2.10*)の 右 辺 第2項 に つ い て 拡 散 現 象 的 に解 釈 す る と,境 界 か ら た え ず 一 定 の 割 合 で流 入 す るた め,領 域 内 の総 質量 が 限 りな く増 加 して,時 間tと と もに ∞ に 近 づ くの で あ る. だ か ら,境 界条 件 を与 え る 函数 φ(x)が 正 値 で あ って も平 衡 状 態 を 得 るた め に は,領 域 Ω の境 界 か らたえ ず 一 定 の 割 合 で 流 入 す る質 量 を 吸 収 して くれ る所 が 必 要 で あ る.   そ こ で,領

域 Ω の 内 部 に,十

つ 固 定 し,領

域 Ω＼K0に

分 滑 ら か な境 界 を も つ コ ン パ ク ト集 合K0を

お い て 拡 散 方 程 式(0.2

.3),(0.2.3*)を

ぞ れ に 対 し て ∂Ω に お け る 境 界 条 件(0.2.6),(0.2.6*)を ∂K0に

お け るDirichlet型

  (0.2.11)  を 与 え る.こ

(0.2.4)を

u(t,x)=0,υ(t,y)=0(吸

Ω ＼K0)が

場 合 は(0.2.8)と

与 え る だ け で な く,

収 壁 の 条 件)

存 在 し て,こ

満 た す 函 数u(t,x),υ(t,y)が

ど ち ら の 式 で も 右 辺 第1項

れ

の境 界 条 件

の と き 前 と 同 様 な 基 本 解U(t,x,y)(た

x∈ Ω ＼K0,y∈

考 え,そ

一

れ ら の 方 程 式,境

界 条 件 と初 期 条 件

そ れ ぞ れ(0.2.10),(0.2.10*)(た

の 積 分 領 域 を Ω＼K0と

同 様 に 

だ し 定 義 域 はt>0,

す る)で

だ し,

与 え ら れ る.こ

の

な る か ぎ り次 の 核 函 数 が 定 義 さ れ る:

 (0.2.12)

こ の と き,例 項 は0に

え ば(0.2.10*)の

右 辺 に お い て 形 式 的 にt→

∞

と す る と,第1

近 づ き,

 (0.2.13)

で 定義 され る函 数 υ が Ω＼K0に  (0.2.14)

おい て

∂Ω の上 で 

を 満 た す こ と が 証 明 され る.基 あ る か ら,(0.2.12)で

の上 で 本 解U(t,x,y)の

定 義 さ れ るN(x,y)を

拡 散 現 象 的 意 味 は前 と同 じで 用 い て(0.2.13)で

与 え られ る 函

数 υ(y)が 上 に述 べ た 方 程 式 と境 界 条 件 を 満 た す こ とは,境 部 分 か ら単 位 時 間 に φ(x)dS(x)だ

界 ∂Ω 上 のdS(x)

け の質 量 が 流 入 し,そ れ が境 界 ∂K0か ら吸

収 され る こ とに よ って 平 衡 状 態 を 保 って お り,そ の と き の拡 散 物 質 の分 布 密 度 が υ(y)で あ る と考 え られ る.   上 の(0.2.13),(0.2.14)が

そ れ ぞ れ 前 §の(0.1.8),(0.1.6′)に

§ で 述 べ た 場 合 に は,A=A*=△ =N(y,x)を β≡0で

も つ た め,(0 あ る か ら(0.2.14)の

  Martin境

界,倉

に つ い て.こ

の こ とは,普

で あ る こ と に よ り核 函 数 が 対 称 性:N(x,y) .2.13)を(0.1.8)の

形 に 書 く こ と が で き る し,ま

中 の 境 界 条 件 が(0.1.6′)の

用 素Aで

も,A=A*で

般 に 

常 に 素 朴 な 説 明 で は あ る が,こ

合 を 表 わ して い る.G(x,y),N(x,y)に

つ い て も平 衡 状 態 に 関 し て同 様 に解 釈

る 重 み で 平 均 し た 式(0.2.9)で

分 に 到 達 す る密 度 与 え ら れ るu(x)

題:

Ω に お い てAu=0,∂Ω の 解 で あ る か ら,拡 接 結 び つ く.だ Martin境

こ に 述 べ て お こ う.

らyへ 拡 散 物 質 が移 動 す る 割

ら湧 き出 した 単 位 質 量 が 境 界 上 のdS(y)部

 を,φ(y)dS(y)な がDirichlet問

あ る か ら)特 別 に 考 慮 す

の場 合 に は 考 慮 しな げ れ ば な ら な

 前 に も述べ た よ うに,基 本解U(t,x,y)はxか

され る.点xか

関 して 考 え る こ と

通 の ラ プ ラ シ ア ン △ を 考 え る 場 合 に は(あ る い は,変

る 必 要 の な い こ と で あ る が,一 の こ と に つ い て,非

た

よ う に 書 け る の で あ る.

持 境 界 を そ れ ぞ れ 偏 微 分 作 用 素A,A*に

数 係 数 のLaplace-Beltrami作

い.こ

対 応 す る.前

散 現 象 的 に は,方

か らDirichlet問

界 の 理 論 は,偏

  次 にNeumann問

の 上 でu=φ, 程 式Au=0の

解 がDirichlet問

題 と直

題 の あ る意 味 で の 拡 張 と考 え られ る と こ ろ の

微 分 作 用 素Aに

つ い て 考 え る の で あ る.

題 の 場 合 を 考 察 す る.Aが

ラ プ ラシ ア ン△ の ときは,領

域 Ω の境 界 ∂Ω の 上 で の外 法 線 微 分 係 数 ∂υ/∂n=φ を 与 え る こ と は,境

界面

上 の単 位 面 積 あた りの拡 散 物 質 の流 入 量 を 与 え る こ とで あ る か ら,こ の 境 界 条 件 と △υ=0と  (0.2.15)

を 満 た すυ を 核 函 数N(x,y)に

よ って 表 わ す 式 は

と書 く の が 自 然 で あ る;そ る こ とに よ る.△

れ はN(x,y)は

の 場 合 に はN(x,y)=N(y,x)で

と本 質 的 に は 同 じ で あ る が,一

で 定 義 さ れ る υ(y)はA*υ=0を

る 場 合 に は,偏

らyへ 移 動 す る 割 合 で あ

あ る か ら(0.2.15)は(0.1.8)

般 のAと 

べ た 拡 散 現 象 的 意 味 が あ る の は(0.2.15)で

に対 す るMartin境

物 質 がxか

と を 考 え る と き は,上 あ っ て(0.1.8)で

満 た す 函 数 で あ る.だ

界 と 同 じ 思 想 でNeumann問 微 分 作 用 素A*に

は な い.(0.2.15)

か ら,Dirichlet問

題

題 に 対 す る倉 持 境 界 を 考 え

つ い て 考 え る の で あ る.

  我 々は 理 想 境 界 の 構 成 に お い て は,一 つ の 多 様 体Rを を 構 成 す る.そ のRが,よ

に述

り広 い 多様 体M(=Rmで

考 え て,そ の 上 で理 論 も よい)の 部 分 領 域 であ

って,そ の 境 界 の 一 部 また は全 体 が十 分 滑 らか で あ って も,最 初 は 境 界 の こ と を 考 え な い でRの

理 想境 界 を構 成 す る.そ の あ とで,上 述 の よ うにRがMの

中 で 滑 らか な 境 界 を もて ば,そ れ が 理 想 境 界 の 中 へ 自然 な 形 に 埋 め 込 まれ る こ とが示 され る.

第1章  拡散方程 式 ・ 楕 円型 境界値 問題 に関す る準備

 §1.1  予 備 概 念 と記 号

 Rを

向 きづ け られ たC∞ 級 多 様 体 とし,そ の次 元 をm≧2と

の 局 所 座標 を(x1,…,xm)で

表 わ す.テ

す る.Rの

点x

ン ソル解 析 の 慣 例 に 従 っ て,上 下 の添

え 字 が 同 時 に 現 わ れ る式 に お い て は,そ

の添 え字 に つ い て加 え る こ とを 意味 す

る.集 合E⊂RのRに

核(=内

れE,E°,∂Eで

お け る閉 包,開

表 わ す.

  本 書 に おい ては,集 合E⊂Rが とし,Eが 元C3級

点 全 体 の 集 合),境 界 を そ れ ぞ

有 界 であ る とは,Eが

正 則 な 集合 で あ る とは,∂Eが

有 限 個 の 互 い に 交 わ らな いm-1次

単 純 超 曲 面 か らな る こ と と す る.正

有界で ある 必 要はない.な

お,Kが

コン パ ク トで あ る こ と

則 な集 合Eも,その

境 界 ∂Eも,

正則 コ ンパ ク ト集合 な らば,そ の 境 界 ∂K

も正 則 コ ンパ ク ト集合 で あ る こ とは,定 義 か ら明 らか で あ る.   Ω をRの

中 の正 則 な領 域(=連 結 開集 合)と す る.Ω

で 定 義 さ れ た 函 数f

の,∂Ω 上 の点zにお け る 微分 係数(局 所 座 標 に 関 す る)を 次 の よ うに 定 義 す る: zの 適 当 な座 標 近 傍U(z)を

とれ ば,任 意 のx∈U(z)∩

Ω に対して

f(x)=f(z)+αi(xi-zi)+o(￨x-z￨)

(￨x-z￨は

そ の局 所 座 標 に関 す るEuclid的

と定 め る. 

距 離)が 成 立 す る とき

等 も 同様 の方 法 で定 義 され る.従 って,函 数fがΩ

Ck級(k=0,1,2,…)と

い う概 念 が 定 義 さ れ,そ

の上 で

れ らは 局 所 座標 に 無 関 係 な概 念

で あ る.

 Ω でCk級

の実 数 値 函数 の全 体 をCk(Ω),ま

た そ の 中 で台 がΩに 含 まれ る コ

ンパ ク ト集 合 で あ る もの 全体 をCk0(Ω)と 書 くこ とは 慣 例 の とお りで あ るが,上 に述 べ た 意 味 でΩ でCk級

の 実 数 値 函 数 の全 体 をCk(Ω),そ

の 中 で 台 がΩ に含

まれ る コ ンパ ク ト集 合 で あ る も の全 体 をCk0(Ω)と 書 く.Ck0(Ω)に 属 す る函数 は ∂Ω 上 の値 を0と 定 義 し,Ck(Ω)に

属 す る函 数 を そ の Ω へ の制 限 と同一 視 す れ

ば, 

で あ る が,Ω

Ck0(Ω)で

あ る.

  Rに お い て次 の楕 円型 偏 微 分作 用素Aを

こ こ で‖aij(x)‖

はRに

お い てC2級

の2階

考え る:

反 変 テ ン ソ ル で,各

い て 狭 義 正 定 符 号 の対 称 行 列 で あ り,‖bi(x)‖ トル,ま

が コ ン パ ク トな ら ばGk(Ω)=

たc(x)はRに

お い てC1級

  (1.1.1) 

はRに

の 函 数 で,常

点x∈Rに

お い てC2級

お

の反 変 ベ ク

に

c(x)≦0

な る も の と す る.ま

た

 (1.1.2) ‖aij(x)‖=‖aij(x)‖-1(逆

行 列),a(x)=det‖aij(x)‖

と す る.   Rに

お い て,テ

こ とが で き る.今

ン ソ ル‖aij(x)‖

後,こ

ベ ク トル 場 の 発 散(div),内

に よ っ て 導 か れ るRiemann計

の計 量 に 関 す る体 積 要 素  積 等 を 考 え る .す

や,

な わ ち,ベ

Φ=(φ1,…,φm), Ψ=(ψ1,…,ψm) 

量 を考 え る

ク トル 場

(共 変 成 分)

に対して

とす る.ス

カ ラ ー 場 φ の 勾 配(gradientと

〓 φ で 表 わ し,ま

たb=b(x)=‖bi(x)‖

と表 わ さ れ る.こ

れ に 対 し て,

も 呼 ば れ る ベ ク トル 場 で あ る)を とす る と,偏

微 分 作 用 素Aは

で 表 わ され るA*を,偏   Ω をRの

微 分 作 用 素Aの(形

中 の 正 則 な 領 域 とす る と き,Ω

計 量 か ら 導 か れ る 超 曲 面 要 素 をdS(z)で

式 的)共 役 偏 微 分 作 用 素 とい う. の 境 界 ∂Ω の 上 で 前 述 のRiemann

表 わ す.ま

た,点z∈

∂Ω に お け る 単 位

外 法 線(Ω か ら 見 て 外 向 き の 単 位 法 線 ベ ク トル)をnΩ=nΩ(z)と (b(z)・nΩ(z))と す る.点z∈ さ れ,Ω

書 き,βΩ(z)=

∂Ω の 近 傍 に お い て ∂Ω が 方 程 式 ψ(x)=0で

の 内 部 で ψ(x)>0な

表わ

ら ば, 従 って

同様 に,ス

カ ラー場uの

  α(x)を ∂Ω 上 でC2級

外 法 線 微 分 係 数 は 次 の式 で与 え られ る:

の函 数 で あ っ て0≦ α(x)≦1な る値 を とり,超 曲面 ∂Ω

上 で の2階 の各 偏 導 函 数 がHolder連 を 与 え,Ω

で定 義 され た 函数u,υ

続 な もの とす る.∂ Ω 上 で 連続 な 函 数 φ に対 し て,∂ Ω 上 で の境 界 条 件

 (Bφ)

お よび  (B*φ)

を 考 え る.こ

れ ら の 境 界 条 件 で φ≡0の

す.(B*0)を(B0)に

場 合 を,そ

共 役 な 境 界 条 件 とい うが, 

れ ぞ れ(B0),(B*0)で

表わ

の 場 合 に も同 様 に 呼 ぶ こ

と も あ る.

 な お,ま

ぎれ る恐 れ が な け れ ば,nΩ,βΩ の添 え字 Ω を 省略 す る こ とが あ る.

  Ω 上 の 函 数uが 連 続, 

境 界 条 件(Bφ)を

な る 点xの

満 た す とは,α(x)=1な

る点xに

近 傍 と Ω と の 交 わ り にお い て はC1級

おいては

で あ っ て,(Bφ)

が 成 立 す る こ と で あ る.

  Ω でCk級

の ベ ク トル 場 の全 体 をCk(Ω)と

書 く(k≧0).Ck0(Ω)等

前 に述 べ た 函 数 の集 合 の場 合 と同 様 に 規 約 す る.

の記 号 も,

 υ が 有 界 か つ 

Ω 上 で 可 積 分(前 述 の体 積 要 素dxに

で,divφ

と(〓υ・Φ)が

関 し て)な らば

 (1.1.3)

な る こ と は,Greenの

公 式 と し て 知 ら れ て い る.こ

こ でυ≡1と

した 式

 (1.1.3′)

はGaussの と呼 び,次 が有 界 か つ

定 理 ま た は 発 散 の 定 理 と 呼 ば れ る が,(1.1.3)を の(1.1.4),(1.1.5)の

み をGreenの

∈C20(Ω)∩C10(Ω)で

定理

公 式 と呼 ぶ 人 も あ る.u,υ

あ っ て,div(〓u),(〓u・

(〓u・bυ)が Ω 上 で 可 積 分 な ら ば,(1.1.3)に

もGaussの

〓 υ),div(〓

υ-bυ),

よ り

  (1.1.4)

および

が 成 立 す るか ら,こ の二 つ の 式 を 辺 々引 き算 して か ら右 辺 の(〓u・bυ)の 積 分 を 左 辺 に 移 す と,偏 微 分 作 用 素AとA*の

定 義 に よ り次 の式 を得 る:

  (1.1.5)

(AとA*の

中 のcを

公 式 と 呼 ば れ る.更

含 む 項 は 相 殺 す る).(1.1.4)お にu,υ

よ び(1.1.5)もGreenの

が そ れ ぞ れ 境 界 条 件(B0),(B*0)を

満 た す な ら ば,

(1.1.5)は

 (1.1.6)

と な る.従

っ て,特

にu,υ

∈C20(Ω)な ら ば(1.1.6)が

成 立 す る.

  楕 円 型 境 界 値 問 題 fを 領 域 Ω 上 で与 え られ た 連 続 函数 とす る.(Holder連 続 性,有 界 性 あ る い は 可積 分 性 等 を仮 定 す る こ とが多 い.)こ の と き

Au=-f, 

A*υ=-f

の 形 の 方 程 式 を 楕 円 型(偏 微 分)方 程 式 と 呼 び, 方 程 式Au=-fと を 満 た すu=u(x)を

境 界 条 件(Bφ)

求 め る問 題,お

よび

方 程 式A*υ=-fと を 満 た す υ=υ(x)を   境 界 条 件(Bφ)に

境 界 条 件(B*φ)

求 め る 問 題 を,楕 お い て α(x)≡1と

し た も の,す

  (1.1.7) u￨∂ をDirichlet境

円 型 境 界 値 問 題 と い う. なわち

Ω=φ 界 条 件 とい い,α(x)≡0と

  (1.1.8) 

し た も の,す

なわ ち

(∂u/∂n)￨∂Ω=φ

をNeumann境

界 条 件 と い う.ま

  (1.1.9) 

た領域 Ωで Au=0

を 満 た す 函 数uを,本

書 で はA-調

合 は 普 通 の 調 和 函 数 で あ る.境 る 問 題 をDirichlet(境

界 条 件(1.1.7)を

界 値)問 題 と い い,(1.1.8)を

め る 問 題 をNeumann(境 斉 次 方 程 式(1.1.9)を

和 函 数 と 呼 ぶ;Aが

界 値)問

題 と い う.こ

満 た すA-調 満 た すA-調

和 函 数uを 和 函 数uを

求め 求

れ ら の境 界 値 問 題 の 名 称 は,

非斉次方程式

  (1.1.10) 

Au=-f

で置 き替 え た場 合 に も用 い る.ま

た,偏

ぞれA*,(B*φ)で

△(ラ プ ラ シ ア ン)の 場

微 分 作 用 素A,境

界 条 件(Bφ)を そ れ

置 き替 え た もの も,同 様 の 名 称 で 呼 ぶ こ とが あ る.

 拡 散方 程 式 と そ の基 本 解 の 定義   まず 拡 散 方 程 式 を定 式 化 し よ う.  時 間tの 区 間(0,∞)とRの

中 の 正 則 な領 域 Ω との直 積(0,∞)×

る放 物型 偏 微 分 方程 式   (Lf)

に,t↓0の

とき の 初 期 条 件

(Ω上 で有 界 収 束)

 (I) 

お よ び(0,∞)×

∂Ω に お け る 境 界 条 件

Ω におけ

 (Bφ)

を 合 わ せ て 考 え る;こ

こ でu0,f,φ

は そ れ ぞ れ Ω,(0,∞)×

上 で 与 え ら れ た 有 界 連 続 な 函 数 で あ る.函 u(t,x)がtに

つ い てC1級,xに

任 意 のt>0に対

し て,xに

数u(t,x)が(Lf)を

つ い てC2級 つ い てu(t,x)が

意 のt>0に

あ る.(Lf),(I),(Bφ)を 題(Lf-I-Bφ)と

∂Ω の

満 た す と は,

で あ っ て 方 程 式(Lf)が

成 立 し,

Ω 上 で 有 界 で あ り,Au(t,x)が

Ω に 含 まれ る 任 意 の 有 界 領 域 の 上 で 有 界 な こ と で あ る.ま を 満 た す と は,任

Ω,(0,∞)×

た,u(t,x)が(Bφ)

対 し て 前 に 述 べ た 意 味 で(Bφ)が 成 立 す る こ と で

満 た すu(t,x)を

求 め る 問 題 を 放 物 型 初 期 値-境 界 値 問

呼 ぶ.

 こ の(Lf-I-Bφ)に

共 役 な 問 題 と し て,次

の も の を 扱 う.(0,∞)×

Ω に おけ る

放物型偏微分方程 式  (L*f)

に,t↓0の

とき の初 期 条 件

 (I*)

お よ び(0,∞)×

∂Ω に お け る 境 界 条 件

  (B*φ)

を 合 わ せ て 考え る;こ

こ で υ0,f,φ は そ れ ぞ れ Ω,(t,∞)× Ω,(t,∞)× ∂Ω の 上

で与え られ た連 続 函 数 で,  が 有 限 な も の とす る.函 に つ い てC1級,yに に 対 し てyに

数 υ(t,y)が(L*f)を

つ い てC2級

つ い てυ(t,y)が

で あ っ て 方 程 式(L*f)が

  (Lf),(L*f)に

成 立 し,任

Ω 上 で 可 積 分,A*υ(t,y)が

の 有 界 領 域 の 上 で 可 積 分 な こ と で あ る.ま 任 意 のt>0に

満 た す と は,υ(t,y)がt

た,υ(t,y)が(B*φ)を

意 のt>0

Ω に 含 ま れ る任 意 満 た す とは,

対 し て 前 に 述 べ た 意 味 で(B*φ)が 成 立 す る こ と で あ る. お い てf≡0と

(Bφ),(B*φ)に お い て φ≡0と

し た 方 程 式 を,そ し た も の は,そ

れ ぞ れ(L0),(L*0)で

表 わ す.

れ ぞ れ 前 に 述 べ た(B0),(B*0)で

あ る.

  方程 式(Lf),(L*f)を 述 べ たDirichlet境

一 般 に 拡 散 方 程 式(ま た は 熱 伝 導 方 程 式)と い う.前 に 界 条 件,Neumann境

界 条件 の 名称 は,放 物 型 初 期 値-境

界 値 問 題 の場 合 に も用 い る.  こ こで 拡 散 方 程 式 の 基 本 解 の 定 義 を 与え る.   定 義  ⅰ)  (0,∞)× Ω × Ω で 定 義 さ れ た 連 続 函 数U(t,x,y)が 問 題(L0-I-B0)の

基 本 解 で あ る と は,Ω

初 期 値-境 界 値

で 有 界 連 続 な 任 意 の 函 数u0(x)に

対 し

て

 (1.1.11)

で 定 義 さ れ る 函 数u(t,x)が(L0-I-B0)の

解 と な る こ と で あ る.

 ⅱ)  (0,∞)× Ω × Ω で 定 義 さ れ た 連 続 函 数U*(t,x,y)が (L*0-I*-B*0)の

基 本 解 で あ る とは,Ω

初 期 値-境 界 値 問 題

で 連 続 か つ 可 積 分 な 任 意 の 函 数υ0(x)に

対 して

 (1.1.11*)

の 解 とな る こ と で あ る.

で 定 義 さ れ る 函 数 υ(t,y)が    実 際 は,(L0-I-B0)の U(t,x,y)の

基 本 解 で あ っ て 同 時 に 

存 在 が 示 さ れ,そ

れ を 使 っ て(Lf-I-Bφ)の

の基 本解 で あ る函 数 解, 

の解

を与 え る公 式 が示 され る の で,そ れ ら の事 実 を述 べ た 後 は,そ の 共通 の基 本解 U(t,x,y)を

単 に(拡 散 方 程 式 の)基 本 解 と呼 ぶ こ とにす る.

  以 下 こ の章 に お い て は,本 叢 書 中 の拙 著 「拡 散 方 程 式 」[1]に

述 べ られ た事

実(定 理 な ど)の うち,本 書 にお い て直 接 用 い られ る事 項 を述 べ,補 足 的 説 明 を 加 え る.上 掲 書 を今 後[拡]と

書 い て 引 用 す る.以 下 に 述 べ る 定 理 の証 明 は 大

部 分 省 略 す るか ら,必 要 あ らば[拡]を 偏微 分 作 用 素A,A*がtを 含 ま ない 形 で述 べ る.

参 照 され た い.な

お,[拡]に

おいては

含 む 形 で述 べ てあ る定 理 も,こ こで は初 め か らtを

 §1.2  拡 散 方 程 式 の基 本 解 の性 質,解

 ま ず Ω を 有 界 な 正則領 域 とす る.こ

の存 在 と一 意 性

の と き 初 期 値-境 界 値 問 題(L0-I-B0)の

の基本解 で も あ る函数

基 本解 であ っ て 同 時 に 初 期値-境 界 値 問 題  U(t,x,y)を

構 成 す る こ と が で き る([拡]第2章

よ う に,(L0-I-B0)の

U*(t,x,y)と

§7,§8).一

方,次

に示す

の任意の基本解

任 意 の 基 本 解U(t,x,y)と 

が一 致 す るの で,両 者 の基 本解 が一 意 的 で か つ 同 じ函 数 であ る こ

とが 結 論 され る.   二 つ の 基 本 解 が 一 致 す る こ と の 証 明.Ω

で 有 界 連 続 な 任 意 の 函 数u0(x)と,

Ω で 連 続 か つ 可 積 分 な 任 意 の 函 数 υ0(x)を

と り,前

定 義 に あ る よ う に,函 任 意 のt>0を

数u(t,x),υ(t,y)を(1.1.11),(1.1.11*)で

と り0<τ1<τ2
方 程 式(L0),(L*0)を

す る と,函

数u(t,x),υ(t,y)が

定 義 す る. それ ぞれ

満 たす こ とに よ り

こ の 積 分 は,u(τ,z),υ(τ,z)が Greenの

§の最 後 に述 べ た基 本解 の

公 式(1.1.6)に

そ れ ぞ れ 境 界 条 件(B0),(B*0)を

よ っ て0に

な る.だ

満たす ことと

から

  (1.2.1)

はt>τ>0な

る か ぎ り τに 無 関 係 で あ る.特

え る と,u(τ,x),υ(τ,x)が   (1.2.2)

そ れ ぞ れ(I),(I*)を

に τ ↑t,τ ↓0と し た 極 限 値 を 考 満 たす か ら

こ こ で 函 数u0,υ0とt>0の

任 意 な こ と に よ り,(0,∞)×Ω

っ て 連 続 性 に よ り(0,∞)×Ω  (1.2.3) 

× Ω に お い て,従

×Ω に お い て U(t,x,y)=U*(t,x,y)

が 成 り立 つ.従

っ て ま た,(1.2.2)の

す る こ と に よ り,任

意 のt,s>0と

第1の

等 式 でt,τ

任 意 のx,y∈Ω

を そ れ ぞ れt+s,sと

に対 し て

(1.2.4) が 得 られ る.こ れ を基 本 解 の 半 群 性 とい う. 基 本 解 の 性 質 を い くつ か 述べ て お く. U(t,x,y)は(t,x)の

(1.2.5)[

条 件(B0)を

函 数 と し て 方 程 式(L0)と

満 た し,(t,y)の

と境 界 条 件(B*0)を

函 数 と し て 方 程 式(L*0)

満 た す.([拡]§7)

(1.2.6)

([拡]定

ま た,Ω1∩Ω2=φ

境 界

な る 任 意 の 領 域Ω1,Ω2を

理8.3)

と る と き,

に つ い て一 様 に

(1.2.7) ([拡]定

理8.6)

について一様 に

(1.2.8) (同 上 の系) 偏 微 分 作 用 素Aの

係 数bi(x)が≡0(従

  (1.2.9)    (1.2.6)の

っ て 形 式 的 にA=A*)な

U(t,x,y)=U(t,y,x).  第1の

のx,y∈Ω,z∈

不 等 式 と境 界 条 件(B0),(B*0)に

らば

([拡]定 よ り,任

理8.5)

意 のt>0と

任 意

∂Ω に 対 し て

 (1.2.10)

とな る が,更

に 強 く次 の こ とが い え る.([拡]定

  定 理1.2.1 

 ⅰ )  (1.2.6)の

Sν={z∈

第1の

∂Ω￨α(z)=ν}(ν=0,1)と

理10.1) お く と,

不 等 式 で 等 号 が 成 立 す る の は,x∈S1ま

た はy∈S1の

と き,か

つ そ の と き に か ぎ る;

 ⅱ)  (1.2.10)の の と き,か

第1の

不 等 式 で 等 号 が 成 立 す る の は,z∈S0ま

た はy∈S1

つ そ の と き に か ぎ る;

 ⅲ)  (1.2.10)の の と き,か

第2の

不 等 式 で 等 号 が 成 立 す る の は,x∈S1ま

た はz∈S0

つ そ の と き に か ぎ る.―

 次 の二 つ の 定 理 は,拡 散 方 程 式 の係 数c(x),境

界 条 件 の 係 数 α(x)の 大 小

関 係や,領 域 Ω の大 小 関 係 が,基 本 解 の大 小 関 係 に反 映 す る こ とを 示 す.   初 め に 一 つ の 有 界 領 域 Ω の 上 で 考 え る.偏 件(前

§参 照)を

満 た す 二 つ の 函 数c1(x),c2(x)を

のc(x)をcν(x)に

し た も の をAν

Aνuを(Lν,0)と

微 分 作 用 素Aの

と し,こ

書 く こ とに す る;た

件(B0)に

お け る 係 数 α(x)の

ν=1,2に

対 し て(B0)の

考 え,ν=1,2に

だ しaij,biは

共 通 とす る.ま

た,境

αν(x)と し た も の を(Bν,0)と 書 く.初 す る と,次

界条 考 え, 期 値-

の 定 理 が 成 り立

理11.1)

  定 理1.2.2  のt>0,任

対 し て,A

条 件 を 満 た す 二 つ の 函 数 α1(x),α2(x)を

α(x)を

条

れ に 対 応 す る 拡 散 方 程 式 ∂u/∂t=

境 界 値 問 題(Lν,0-I-Bν,0)の 基 本 解 をUν(t,x,y)と つ.([拡]定

係 数c(x)の

Ω 上 でc1(x)≦c2(x),か

意 のx,y∈Ω

つ ∂Ω 上 で α1(x)≧ α2(x)な

ら ば,任

意

に対 して

 (1.2.11) 

0≦U1(t,x,y)≦U2(t,x,y).―

  次 に,Ω1⊂Ω2な

る 二つ の 有 界 領 域Ω1,Ω2を

部 分 は あ っ て も な くて も よい.ま

た,ν=1,2に

考 え る;∂Ω1と 対 し て,境

∂Ω2との 共 通

界 条 件(B0)に

る 係 数 α(x)の 条 件 を 満 た す αν(x)を ∂Ων の 上 で 考 え,(B0)の

おけ

係 数 α(x)を

αν(x)と し た も の を(Bν,0)で 表 わ す.Ων に お け る 初 期 値-境 界 値 問 題(L0-I-Bν,0) の 基 本 解 をUν(t,x,y)と   定 理1.2.3  な ら ば,任   (1.2.12) 

す る と,次

∂Ω1∩ ∂Ω2の 上 で α1(x)≧ α2(x)か

意 のt>0,任

意 のx,y∈Ω1に

つ ∂Ω1＼∂Ω2の 上 で α1(x)≡1

対 して

0≦U1(t,x,y)≦U2(t,x,y).―([拡]定

  以 下 の 定 理1.2.4∼5*は,基 (Lf-I-Bφ), 

の 定 理 が 成 り立 つ.

本 解U(t,x,y)を

の解 を 表 わす 式 を与え,そ

理11.3) 用 い て 初 期 値-境 界 値 問 題

れ ら の解 の一 意 性 を 示 す も

の で あ る;以 ([拡]定

下 に お い て もS1={z∈

∂Ω￨α(z)=1}(定

理9.1,9.2,9.1*,9.2*参

  定 理1.2.4 

u0,f,φ

同 様)と

す る.

照)

は それ ぞれ

有 界 連 続 な 函 数 と す る.(0,∞)×Ω (Lf-I-Bφ)の

理1.2.1と

Ω,(0,∞)×

Ω,(0,∞)×

の 上 の 函 数u(t,x)が

解 な ら ば,u(t,x)は(0,∞)×(Ω

＼S1)に

∂Ω で 与 え ら れ た 初 期 値-境 界 値 問 題

お い て 次 の 式 で与 え られ

る:  (1.2.13)

従 っ て{Lf-I-Bφ)の

解 はu0,f,φ

  定 理1.2.5 

Ω で 有 界 連 続 函 数,fを(0,∞)×

u0を

連 続 な 函 数 と し,ま はHolder連

た φ を(0,∞)×

続 な 函 数 と す る.こ

は 初 期 値-境 界 値 問 題(Lf-I-Bφ)の つHolder連

に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る.

続 な ら ば,方

∂Ω で 有 界 で あ っ て(0,∞)×(∂ の と き,(1.2.13)で 解 で あ る.特

程 式(Lf)は(0,∞)×Ω

[0,∞)× ∂Ω で 連 続 で あ り,u0がΩ

Ω で 有 界 で か つHolder

定 義 さ れ る 函 数u(t,x)

に,fが(0,∞)×Ω

で 連 続 で あ っ て,S1の

期 条 件(I)は

Ω 上 の 一 様 収 束 で 成 立 す る.

  注 意1 

定 理1.2.4で

解uが(1.2.13)で 全 体 で は な い.実

と お く と右 辺 の 各 項 は0に は 成 立 し な い.し

境 界 値 問 題 の解uは(0,∞)×Ω の 値 が 定 ま る こ と に な り,解   注 意2  上 の 注 意1に と,"(0,∞)×(Ω

際 に,z∈S1の

＼S1)に

お い てuの

で 連 続 だ か ら,結

か し 今 後 も,煩

よ うに 述 べ,特

＼S1)の

と き(1.2.13)でx=z

値 が 定 ま れ ば,初

局(0,∞)×

期 値-

Ω に お い て 解u

の 一 意 性 を 述 べ た こ と に な る の で あ る.

お い て(1.2.13)で

雑 を 避 け る た め,上

理1.2.5は

厳 密 に述 べ る

定 義 さ れ る 函 数u(t,x)が(0,∞)

×Ω ま で 連 続 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ て(Lf-I-Bφ)の る.し

が

の と き は こ の 点 で は(1.2.13)

述 べ た と 同 じ理 由 に よ り,定

＼S1)に

た,φ

上 でu0(x)=φ(0,x)

表 わ さ れ る の は(0,∞)×(Ω

な る か ら, 

か し(0,∞)×(Ω

で有 界 か

で 成 立 す る.ま

な ら ば,初

上 で あ っ て(0,∞)×Ω

Ω ＼S1)で

の"…

解 と な る"と …"の

に 必 要 が あ れ ば 注 意 す る こ とに す る.

い うべ き で あ

か わ り に 定 理1.2.5の

 以 上 二 つ の'注 意'に 述 べ た事 項 は,次 の二 つ の定 理 に も適 用 され る.   定 理1.2.4* 

υ0,f,φ は そ れ ぞ れ

Ω,(0,∞)× Ω,(0,∞)×

続 函 数 で,υ0は Ω 上 で可 積 分 で あ り,任 意 のt>0に

∂Ω で 与 え ら れ た 連

対 し て 

が 有 限 で あ る とす る.(0,∞)×Ω

が初期値-境界値問題 

上 の 函 数 υ(t,y)

の 解 な ら ば,υ(t,y)は(0,∞)×(Ω

＼S1)に

お

い て 次 の式 で与 え られ る:

 (1.2.13*)

の解 は

従 って    定 理1.2.5*  連 続,φ

υ0,f,φ に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る.

υ0をΩ で 連 続 か つ 可 積 分 な 函 数 と し,fは(0,∞)×

は(0,∞)×

∂Ω で 連 続 で あ っ て(0,∞)×(∂Ω

＼S1)で

な 函 数 と し,任 意 のt>0に対

し て 

が 有 限 で あ る も の と す る.こ

の と き(1.2.12*)で

期値-境界値問題 

の解 で あ る;初 期 条 件 は(I*)と

∈Ω で 

続

初

同 時 に,各 点x

も成 立 す る.

≡0,u(t,x)≡1と

考 え れ ば,直

偏 微 分 作 用 素A,境  (1.2.14)[

はHolder連

定 義 さ れ る 函 数 υ(t,y)は

  次 の 事 実 も 基 本 解 の 主 要 な 性 質 の 一 つ で あ る が,定 f≡0,φ

Ω でHolder

理1.2.4に

お い てu0≡1,

ち に 得 ら れ る:

界 条 件(B0)に

お い てc(x)≡0,α(x)≡0な

ら

ば

  以 上 で,有 界 な 正 則 領 域 Ω に お け る 拡 散 方 程 式 の基 本解 の お も な性 質 と, 解 の 存 在 と一 意 性 に 関 す る事 項 を 述べ た.次にΩ

が有 界 で な い正 則 領 域 の場 合

につ い て 述 べ る.   まず 一 つ の基 本 解 を構 成 す る筋 道 を 略 述 す る.集 おけ る相 対 位 相 に関 す るEの

内部 をIntΩEと

正 則 領 域 で あ る もの の列{Dn}で,次

合E⊂Ω

に対 し て,Ω

に

書 くこ とに し,Ω の部 分 領 域 で

の条 件 を 満 た す もの を一 つ 固 定 す る:

 (1.2.15)

各nに

対 し て,Ω

  (1.2.16) 

上 で0≦

x∈Dn-1な

ωn(x)≦1な

る 函 数 ωn∈C30(Ω)で

ら ば ωn(x)=1,x∈

Ω＼Dnな

と な る も の を 定 め て お き,∂ Ω 上 の 境 界 条 件(B0),(B*0)に ∂Dn上

の 函数

αn(x)を

ら ば ωn(x)=0 お け る 係 数 α(x)か ら,

次 の よ う に 定 義 す る:

のとき   (1.2.17)

のとき

こ の 函 数 αnを 係 数 と し て,(B0),(B*0)と 境 界 条 件 を そ れ ぞ れ(Bn,0),(B*n,0)と 合 に 述 べ た よ うに,領 Un(t,x,y)(そ

域Dnで

同 様 な 式 に よ っ て ∂Dnの

書 く こ と に す る と,前

上 で与 えた

に Ω が 有 界 領 域 の場

考 え た 初 期 値-境 界 値 問 題(L0-I-Bn,0)の

基本解

の基 本 解 で もあ る)が 唯 一

れ は 初 期 値-境 界 値 問 題 

つ 存 在 す る.今 後 次 の よ うに 定 義 し てお く:  (1.2.18) 

xま

こ の と き 定 理1.2.3に  (1.2.19) 

で あ る が,一

た は 

な ら ばUn(t,x,y)=0.

よっ て

{Un(t,x,y)}n=1,2,…

方,(0,∞)×

  (1.2.20) 

はnに

関 し て単 調 増 加

Ω ×Ω の 任 意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で {Un(t,x,y)}n=1,2,…

で あ る こ とが 示 さ れ([拡]補

は 一様 有 界

助 定 理12.2),従

って

 (1.2.21)

が 存 在 す る.そ

し て,各Un(t,x,y)が

で あ る こ と と(1.2.19),(1.2.21)を た(L0-I-B0)の

上 に 述 べ た よ う にDnで 用 い て,U(t,x,y)が

一 つ の 基 本 解 で あ り,か

こ と が 示 され る.([拡]定

理12.2参

つ 

照;同

後 述 の 注 意3を

非 有 界領 域 Ω で 考 え の一 つ の 基 本 解 で あ る

書 に お け るU(t,x,y)の

見 か け 上 も う少 し 一 般 的 な 記 述 に な っ て い る が,本

考 え た基 本解

構成法は

質 的 に は 同 じ で あ る.な お,

見 よ.)

 非 有界 領 域 で は基 本解 の 一 意性 は保 証 さ れ な い.(反

例 は[拡]§17参

そ こで 次 の最 小基 本 解 の概 念 を導 入 す る.   定 義   領 域Ω に お け る 初 期 値-境 界 値 問 題(L0-I-B0)の

基 本 解U(t,x,y)が

照.)

最 小 基 本 解 で あ る と は,(L0-I-B0)の t>0,す

べ て のx,y∈Ω

任 意 の 基 本 解U(t,x,y)が,す

に 対 し てU(t,x,y)≧U(t,x,y)を

べ て の

満 た す こ と で あ る.

 の最 小 基 本 解 も同様 に定 義 す る.   定 理1.2.6 

前 ペ ー ジ で 構 成 し た 基 本 解U(t,x,y)は,(L0-I-B0)の

つ の 最 小基 本解 で あ り,同 時 に 

た だ一

のた だ 一 つ の 最 小 基 本 解 で も あ る.

前 ペ ー ジ のU(t,x,y)が(L0-I-B0)の

の最

小基 本 解 で もあ る こ とは,[拡]定

最 小 基 本 解 で あ り, 

理13.1に

よ ってわ か る.ま た,そ れ らの 最

小基 本 解 の 一 意 性 は 明 らか で あ る.   注 意3 

上 に 述 べ た'一

意 性'に

よ っ て,[拡]の

U(t,x,y)が

前 ペ ー ジ で 構 成 し たU(t,x,y)と

U(t,x,y)が

領 域Dnや

  最 小 基 本 解 は,一 が,実

た 前 ペ ー ジ の

の お の お の に対 して 定 義 した 後,前

ペ ー ジ で 構 成 し たU(t,x,y)を

単に

.

  最 小 基 本 解U(t,x,y)が (1.2.19)の

同 じ で あ り,ま

応 は(L0-I-B0), 

呼ぶ

構 成 し た 基 本 解

函 数 ωnの と り方 に 無 関 係 な こ とが わ か る.

は 両 者 に 共 通 な の だ か ら,今

'最小 基 本 解'と

§12で

有 界 領 域 に お け る 基 本 解Un(t,x,y)の

極 限 と し て(1.2.21)で

定 義 さ れ る か ら,有

の 性 質 で 最 小 基 本 解 に 遺 伝 す る も の が 多 い.例

単 調増 加 列

界 領 域に お け る基 本 解

え ば(1.2.6)か

ら

 (1.2.22)

は直 ち に 得 られ,ま

た最 小基 本 解 の半 群 性

 (1.2.23)

も(1.2.4)と

積 分 論 の 単 調 収 束 定 理 に よ っ て 得 ら れ る.

  この §の最 後 に,Rが 分(境

あ る多 様 体Mの

部 分 領 域 で あ っ て,そ

の境 界 の一 部

界全 体 で も よい)が 適 当に 滑 らか な場 合 に は,そ の滑 らか な 部分 で はR

に お け る最 小基 本解 がDirichlet界 は,集 合E⊂Mの

閉包E,境

条 件 を 満 たす こ とを示 す.以

界 ∂E等 の用 語 ・記 号 は,Mに

る もの とす る.(次 の §では §1.1の 冒頭 の約 束 に 戻 る.)

下 この §で

お け る位 相 で考 え

  定 理1.2.7 

Rが

向 き づ け ら れ たm次

境 界 ∂Rの 一 部 分Sがm-1次 素Aの

元C3級

元C∞

級 多 様 体Mの

部 分 領 域 で,そ の

単 純 超 曲 面 か ら成 る と し,偏

微分作用

係aij(x),bi(x)はR∪SでC2級,c(x)はR∪SでHolder連

す る.こ

の と き,∂Rに

続 と

お け る 相 対 位 相 で 考 え たSの

内 部 をSと

書 く と,Rに

お い て 前 述 の よ う に 構 成 し た 最 小 基 本 解U(t,x,y)は(0,∞)×(R∪S)×(R∪S) の 上 ま で 連 続 的 に 拡 張 さ れ て,Sの xま

た はyがS上

上 でDirichlet条

の 点 な ら ばU(t,x,y)=0と

件 を 満 た す;す

な わ ち,

な る.

 証 明  前 に述 べ た非 有 界 領 域 に お け る基 本 解 の構 成 に お い て Ω=Rの は,(1.2.15)を

場合

満 た す 正 則 有 界 領 域 の列{Dn}は,

 (1.2.24)

を 満 た す も の と な る.(こ RはRで

は な い.)ま

い か ら,(1.2.17)で

た,前

こ で は 閉 包 の 記 号-の

意 味 が 前 と異 る か ら,最

の ∂Ω に 相 当 す る'境

界'はRの

後の

中 に は存 在 し な

定 義 さ れ る αn(x)は

 (1.2.25) 

∂Dnの

上 で

と な る.有

界 領 域Dnに

く と,Rに

お け る 最 小 基 本 解U(t,x,y)は

αn(x)=1

対 し て 前 に 述 べ た 一 意 的 な 基 本 解 をUDn(t,x,y)と

書

 (1.2.26)

で与 え られ る.次 にRをMの 解U(t,x,y)を

部分 領 域 と考 え て,R∪Sに

以 下 の よ うに 構成 す る.{Ωn}をMの

お け る一 つ の基 本

中 の正 則 有 界 領 域 の列 で,

次 の条 件 を 満 た す も の とす る:  (1.2.27)

各Ωnに

対 し て,∂Ωn上

でDirichlet境

意 的 な 基 本 解 をUΩn(t,x,y)と あ る か ら,基

界 条 件 を 与 え た 場 合 の,前

す る と,UΩn(t,x,y)はnに

に述べた一

関 して 単 調 増 加 で

本 解U(t,x,y)を

 (1.2.28)

で 定 義 す る.各UΩn(t,x,y)は

∂Ωn上 でDirichlet境

界 条 件 を 満 た す か ら,

(1.2.27),(1.2.28)に

よ りU(t,x,y)は(0,∞)×(R∪S)×(R∪S)に

お い て連

続 で あ っ て,   (1.2.29)  を 満 た す.一 てDn⊂

Ωkな

xま

た はyが

方,各Dnは るkが

こ こ で,(1.2.18)と

∈Sな

ら ばU(t,x,y)=0

コ ン パ ク トで 

あ り,こ

の と き 定 理1.2.3に

だ か ら,各nに よ り

同 じ 規 約 を 用 い る こ と に よ り,上

(t,x,y)∈(0,∞)×R×Rで

成 立 す る.だ

(0,∞)×R×Rの こ の こ と と(1.2.29)に 連 続 的 に 拡 張 さ れ て,xま

対 し

の不 等 式 はす べ て の点

か ら(1.2.26)に

よ り

上 で0≦U(t,x,y)≦U(t,x,y).

よ り,U(t,x,y)は(0,∞)×(R∪S)∪(R∪S)の た はyがS上

の 点 な ら ばU(t,x,y)=0と

上 まで な る.

}

§1.3  楕 円 型 境 界 値 問 題,Green函

数,Neumann函

数

  この §で は楕 円 型境 界値 問題 に 関 す る 事項 を 述 べ る.こ

こで も Ωは正則領

域 で あ り,特 に こ とわ ら な けれ ば 有界 とはか ぎ ら な い もの とす る.fお を それ ぞれ 領域 Ω お よび そ の 境 界 ∂Ω の 上 の 函 数 と し,§1.1に 方 程 式Au=-fと

境 界条 件(Bφ)を 満 た す 解uを

方 程 式A*υ=-fと

述 べ た よ う に,楕

(Bφ)の 中 の 係 数

α(x)は,そ

求 め る問 題,

と呼 ぶ こ と に す る.

円 型 偏 微 分 作 用 素Aの

中 の 係 数c(x),境

界条件

れぞれ

Ω に お い てc(x)≦0,∂

と仮 定 して い るが,こ

述べた

境 界 条 件(B*φ)を満 たす 解 υを 求 め る問 題

を,そ れ ぞ れ 楕 円型 境 界値 問題(Af-Bφ),    §1.1に

よび φ

Ω に お い て0≦

α(x)≦1

こ で は更 に次 の条 件(C1)を 仮 定 す る:

c(x)は Ω で恒 等 的 に0で は な い  (C1)

α(x)は

∂Ω で 恒 等 的 に0で

  特 に(Bφ)がDirichlet境 る.こ

はない

界 条 件 な ら ば,明

の 仮 定 が 成 り立 た な い の は,c(x)≡0か

の 場 合 で あ る.こ   定 理1.3.1 

の少 な くと も一 方 が 成 立 す る. ら か に こ の 仮 定 が 成 り立 っ て い つ(Bφ)がNeumann境

界条件

の 場 合 に つ い て は あ と で 述 べ る.

条 件(C1)の

Ω ×Ω に お い て 

も と で は,拡

散 方 程 式 の 最 小 基 本 解U(t,x,y)か

ら,

な る か ぎ り有 限 値 を と る 函 数

 (1.3.1)

が 定義 され て,次 の こ とが成 り立 つ:  (1.3.2) 

任 意 の コ ン パ ク ト集 合F⊂ 任 意 のy∈

 (1.3.3)[

Ω を 固 定 す る と きG(x,y)はxの

に お い て楕 円型 方程 式AG=0と 任 意 のx∈

(1.3.3*)[

Ω に 対 し て 

境 界条 件(B0)と を満 たす;

Ω を 固 定 す る と きG(x,y)はyの

にお い て楕 円型 方 程 式A*G=0と

函 数 と し て Ω＼{y}

函 数 と し て Ω ＼{x}

境 界 条 件(B*0)と を 満 た す.

([拡]定

理18.1参

照)

 系  前 定 理 のG(x,y)に

対 し て,x,y∈

Ω,z∈

∂Ω な ら ば

 (1.3.4)

 (1.3.4*)

  ([拡]定

理18.1の

を 考 え て,微

系;こ

れ ら の 式 は 形 式 的 に は,(1.3.1)の

分 と積 分 の 順 序 を 交 換 し た も の で あ る.)

  上 の 定 理 の 函 数G(x,y)を

用 い て 楕 円 型 境 界 値 問 題(Af-Bφ),(A*f-B*φ)の

を 表 わ す 公 式 が 与え ら れ る(後 型 境 界 値 問 題 のGreen函   定 理1.3.2 

f(x)は

述 の 定 理1.3.2,1.3.3)の

る 点xで

で,G(x,y)を

解 楕 円

数 とい う. Ω で 有 界 か つHolder連

有 界 部 分 集 合 に 含 まれ る とす る.ま <1な

両 辺 の法 線 微 分

はHolder連

た φ(x)は

続 な 函 数 と し,そ

の台は Ω の

∂Ω の 上 で 連 続 で あ っ て,α(x)

続 な 函 数 とす る.こ

の と き,

 ⅰ) ∂Ω 上 の あ る コ ン パ ク ト集 合 の 外 で は α(x)>0か

つ￨φ(x)￨/α(x)が

有界

な ら ば,

 (1.3.5)

で 定 義 さ れ る 函数uは,楕

円 型 境 界 値 問 題(Af-Bφ)の

 ⅱ)  ∂9上 の あ る コ ン パ ク ト集 合 の 外 で α(x}<1か 可 積 分(dS(x)に

関 し て)な

解 で あ る. つ￨φ(x)￨/{1一

α(x)}が

ら ば,

 (1.3.5*)

で定 義 され る函 数 υは,楕   ([拡]定 理19.2,19.2*参 に な って い るが,こ

円型 境 界 値 問題(A*f-B*φ)の 解 で あ る. 照;同 書 では 上 に 述 べ た よ りもや や 一 般 的 な 仮 定

こで は本 書 で応 用 す る のに 十 分 な 形 として,上 の よ うに 述

べ て お く.)

  注 意1  上 の 定 理 で ∂Ω が 有 界 な らば(従 って 特 にΩ そ の ものが 有 界 な らば), ⅰ),ⅱ)の そ れ ぞ れ の 冒頭 の α,φに 関 す る仮 定 は述 べ な くて よい.∂ Ωが 有界 で な くて も,Dirichlet境 意 味 し,Neumann境

界 条 件 の場 合 に はⅰ)に お け る仮 定 は φ(x)の 有 界 性 を 界 条件 の場 合 に はⅱ)に おけ る仮 定 は φ(x)の 可 積 分 性

を 意 味 す る.  注 意2  前 §の 注 意2は,上 ― 領 域Ω が 有 界 な らば,上   定 理1.3.3 

の 定 理1.3.2の

記 述 に も適 用 され る.

の定 理 の逆 に 相 当す る次 の定 理 が成 り立 つ.

Ω を 有 界 な 正 則 領 域 と し,fはΩ

∂Ω上 で 連 続 な 函 数 と す る.(fも

上 で 有 界 連 続 な 函 数,φ

φ もHolder連

は

続 性 は 仮 定 し な く て よ い.)こ

の と き,  ⅰ)  函 数u(x)が (S1={z∈

楕 円 型 境 界 値 問 題(Af-Bφ)の

∂Ω￨α(z)=1})に

 ⅱ)  函 数υ(y)が (1.3.5*)で   ([拡]定

お い て(1.3.5)で

＼S1

与 え ら れ る.

楕 円 型 境 界 値 問 題(A*f-B*φ)の

解 な ら ば υ(y)は Ω に お い て

与 え ら れ る. 理19.1,19.1*参

  系  偏 微 分 作 用 素Aに

照) お い てc(x)≡0と

に 含 ま れ る 正 則 コ ン パ ク ト集 合 と し,領 と き α(x)=1,x∈ Green函

解 な ら ばu(x)はΩ

∂Dの

数G(x,y)は,任

す る.Dを 域

と き α(x)=0と 意 のx∈Ω

Ω=D＼Kの

正 則 有 界 領 域,KをD 境 界 上 で,x∈

し て 境 界 条 件 を 与 え る.こ

∂Kの の とき

に対 して

 (1.3.6)

を 満 たす.   証 明   函 数u(x)≡1は,Ω

でAu=0,∂D上

で∂u/∂nΩ=0,∂K上

を 満 た す か ら,上

の 定 理1.3.3のⅰ)に

の 形 に な る.(nΩ

はΩ か ら見 て 外 向 き の 単 位 法 線 と規 約 し て あ る か ら,∂/∂nΩ

=-∂/∂nKと   定 理1.3.1と

よ り(1.3.5)が

成 立 し,そ

でu=1 れ は(1.3.6)

な る.) 定 理1.2.1,1.2.2,1.2.3に

よ り,次

の 各 定 理 を 得 る.

  定 理1.3.4 Sν={z∈ は 任 意 のx,y∈

Ω お よ びz∈

 ⅰ )  G(x,y)≧0で き,か

∂Ω￨α(z)=ν}(ν=0,1)と

号 が 成 立 す る の はx∈S1ま

た はy∈S1の

と

つ そ の と き に か ぎ る; で あ っ て,等

と き,か

号 が 成 立 す る の はz∈S0ま

た はy∈S1の

つ そ の と き に か ぎ る.

 ⅲ ) 

で あ っ て,等

はz∈S0の

と き,か

つ そ の と き に か ぎ る;特

意 のx∈Ω,z∈

号 が 成 立 す る の はx∈S1ま にDirichlet境

∂Ω に 対 し て 

α2(x)を 前 §の 定 理1.2.2の のGreen函

  定 理1.3.5 Ω c2(x),α2(x)の る と,任

す る.こ

上 でc1(x)≦c2(x),か

§の 定 理1.2.3の Green函

る 二 つ の 正 則 有 界 領 域Ω1,Ω2を 前 に 述 べ た 通 り と し,Ω1,Ω2に

数 をG1(x,y),G2(x,y)と

  定 理1.3.6 

0で は な い とす る と,任   (1.3.8)  る 集 合S⊂ 対 し て

す る.こ

あ る と し, は な い とす

考 え,α1(x),α2(x)を

おけ る楕 円型 境 界 値 問題 の

つ ∂Ω1＼∂Ω2の 上 で は α1(x)

少 な く と も一 方 は そ れ ぞ れΩ2,∂Ω2の 意 のx,y∈Ω1に

前

の とき

∂Ω1∩∂Ω2の 上 で α1(x)≧ α2(x),か

し,c(x),α2(x)の

 (1.3.9*)

つ ∂Ω 上 で α1(x)≧ α2(x)で

0≦G1(x,y)≦G2(x,y).―

  次 に,Ω1⊂Ω2な

 (1.3.9)

の と き,

に 対 して

 (1.3.7) 

z∈Sに

応 す る楕 円型 境 界 値 問 題

少 な く と も一 方 は そ れ ぞ れΩ,∂ Ω 上 で 恒 等 的 に0で

意 のx,y∈Ω

ま た,あ

界 条 件 の場 合 に

界 条 件 の 二 つ の 係 数 α1(x),

前 に 述 べ た 通 り と し,対

数 をG1(x,y),G2(x,y)と

た

と な る.―

  偏 微 分 作 用 素 の 二 つ の 係 数c1(x),c2(x),境

≡1と

数G(x,y)

∂Ω に 対 し て

あ っ て,等

 ⅱ ) 

は,任

お く と,Green函

上 で恒 等 的 に

対 して

0≦G1(x,y)≦G2(x,y); ∂Ω1∩ ∂Ω2の

上 で

α1(x)≡

α2(x)な

ら ば,任

意 のx,y∈

Ω,

 ⅲ

特 にDirichlet境

界 条 件 の 場 合 に は,任

意 のx∈Ω1,z∈Sに

対 して

 (1.3.9*1)

  Ω を 有 界 で な い 正 則 領 域 と し,そ 列{Dn}を

と る.各Dnお

のGreen函 はyが

す る.た

定 義 し て お く.こ

の 定 理 は 一 般 の 境 界 条 件 の 場 合 に も,部

の αn(x)を(1.2.16∼17)で

定 義 す る こ と に よ っ て,ほ

書 で 応 用 す る た め に はDirichlet境

く方 が よ い か ら,こ 18.5を

界 条件を与 え た場合

よ びG(x,y)と

属 す る と きGn(x,y)=0と

が 成 立 す る.(こ

満 た す 有 界 な正 則 領 域 の

よ びΩ に お け るDirichlet境

数 を そ れ ぞ れGn(x,y)お

Ω＼Dnに

れ る が,本

の 中 に(1.2.15)を

の 形 で 述 べ て お く.一

だ し,xま

た

の と き次 の定 理

分 領 域Dnの

境界上 で

とん ど 同 じ形 で述 べ ら

界条 件 の 場合 の 形 を 明 記 して お 般 の 場 合 に つ い て は[拡]の

定理

見 ら れ た い.)

  定 理1.3.7 

任 意 のx,y∈

 ⅰ)  {Gn(x,y)}はnに

Ω お よ びz∈

∂Ω に 対 し て,

関 し 単 調 増 加 で あ っ て,n→

∞ とす る と きG(x,y)に

収 束 す る;  ⅱ ) 

はnに

関 し単 調 増 加 で あ っ て,n→

∞

とす る と き

 に収 束 す る;

) 

はnに

関 し 単 調 増 加 で あ っ て,n→

∞

とす る と き

 に収 束 す る.―   Green函

数G(x,y)は 

て い るが,xとyが

な るか ぎ り有限値 を と る函 数 として 定 義 され

同 時 に領 域 の 内部 の一 点zに 近 づ くとき にG(x,y)の

∞ に 近 づ く とい うこ とは,Ω がEuclid空

値が

間 の 中 の 領 域 でAが

普 通 の ラプ ラシ

ア ン △ の場 合 には 周 知 の事 実 で あ る.本 書 で 扱 って い るRに

お け る楕 円型 偏

微分 作用 素Aに

つ い て も同 じ こ とが い え るが,こ

こ ではΩ がRの

中 の有 界 な

正 則 領 域 の場 合 に つ い て,上 の 性 質 お よび 関 連 す る事 項 を 述 べ てお く.   定理1.3.8  G(x,y)を 有 界 な 正則 領 域Ω に お け る楕 円型 境 界 値 問題 のGreen

 ⅱ

函 数 とす る.  ⅰ) zを 各nに

Ω の 内 点 とし,{xn},{yn}を

対 し て 

い ず れ もzに

近 づ く Ω の 中 の 点 列 で,

とす る と

 (1.3.10)

)  特 に 境 界 条 件 がDirichlet境 {xn}をΩ

の 中 の 点 列 で,zに

界 条 件 で あ る と し,zを

∂Ω 上 の 点 とす る.

お け る ∂Ω の 法 線 に 沿 っ てzに

近 づ く も の とす

る と,

 (1.3.11)

また,zを

含 ま な い よ う な ∂Ω の 任 意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合Bを

中 か らzに

近 づ く任 意 の 点 列{xn}に

 (1.3.12) 

y∈Bに

な 正 数 ε0,t0を

つ い て一 様 に

書 に お い て は 点x0を

と る と,0
証 明(同 書212∼213ベ 固 定 し て,U(t,x,y)に

ー ジ)と 本 つ い て適 当

るか ぎ り

 (1.3.13) 

([拡]の(22.21))

(￨x-x0￨はx0の を 示 し,こ

の

対 し て,

  証 明 の 概 略  ⅰ)の 証 明 は[拡]の(22.19′)の 質 的 に 同 じ で あ る.同

と る と,Ω

近 傍 で 固 定 し た 局 所 座 標 に 関 す るEuclid的

距 離)な

るこ と

れ よ り ([拡]の(22.19′))

を 導 い て あ る が,xとyが

と も に 点zの

適 当 な 座 標 近 傍 内 に あ れ ば(1.3.13)か

ら

 (1.3.13′)

が 得 ら れ る か ら,(1.3.1)とLebesgue積 (1.3.13′)に

お い て 次 元m≧2な

と な り,(1.3.10)を

得 る.

分 論 に お け るFatouの る こ とに よっ て

補 題 お よび

 ⅱ)の(1.3.11)もⅰ)と

全 く同 様 に し て 証 明 さ れ る.す

成 法 を た ど る こ と に よ っ て(1.3.13)を の 法 線 に 沿 っ てxがzに

な わ ち,基

本 解 の構

示 し た の と 同 様 に し て,zに

お け る ∂Ω

近 づ くとき

 (1.3.14)

な る こ と が 示 さ れ,あ い.ⅱ)の(1.3.12)は

Ω(Dirichlet境

 (1.3.15) 

,zの

z∈

近 傍Wで

と, 

界 条 件 に よ り)で

∂Ω,y∈Bな

Ω)×Bの

か ら(1.3.12)が

  次 の 定 理 は,楕

ら次 の よ うに し て 導 か れ る.そ

の定

あ る か ら,

らば

コ ン パ ク トな 閉 包Wを

は(W∩

と(1.3.15)と

用 い てⅰ)の 証 明 と同 じ 推 論 を す れ ば よ

定 理1.3.4のⅲ)か

理 に お い てS1=∂

一方

と は(1.3.4*)を

も ちW∩B=φ

上 で 連 続,従

な る も のを と る

っ て 一 様 連 続 で あ る.こ

の こと

得 ら れ る.

円 型 方 程 式Au=-f,A*υ=-fの

解 に つ い て,定

理1.2.7

に 対 応 す る 事 実 を 述 べ た も の で あ る.   定 理1.3.9 

定 理1.2.7の

仮 定 が す べ て 成 り立 っ て い る と し,こ

に お け る 拡 散 方 程 式 の 最 小 基 本 解 か らGreen函 て 定 義 す る.こ

の と き,任

意 のf∈C10(R)に

の 場 合 のR

数G(x.y)を(1.3.1)に 対 し て 函 数u,υ

よっ

を

 (1.3.16)

と定 義 す る と,uはRに に お い てA*υ=-f,Sの

お い てAu=-f,Sの 上 でυ=0を

に す る.υ ∂Ω=φ

をRに

お い て 考 え る か ぎ りは,定

な りA*υ=-fが   定 理1.2.7の

は 考 え な い)の

成 り立 つ.よ

はR

つ い て も全 く同 様 に 証 明 さ れ る.

中 で 述 べ られ た 記 号 は,こ

で あ っ て,φ

満 た し,υ

満 た す.

  証 明  υ に つ い て 証 明 し て お く.uに   定 理1.2.7の

上 でu=0を

とわ り な し に 同 じ 意 味 に 用 い る こ と 理1.3.2に

お い て Ω=R(従

って

場 合 で あ る か ら,(1.3.5*)は(1.3.15)に

っ て,Sの

上 で υ=0と

証 明 中 に 構 成 し た 基 本 解U(t,x,y)を

な る こ とを 示 そ う. 用 い る.こ

れか ら

が 定 義 さ れ て,Mの

部 分 領 域 と し て のRに

条 件 を 与え た 場 合 のGreen函 の 上 でHolder連

お い て,Sの

上 でDirichlet境

数 に な る か ら,f∈C10(R)な

続 に な る こ と と 定 理1.3.2に

よ り,函

界

ら ば￨f(x)￨はR 数

 (1.3.17)

はSの

上 でυ=0を

満 た す.一

方,定

(0,∞)×(R∪S)×(R∪S)の

理1.2.7の

証 明 中 に 示 し た よ うに

上 で0≦U(t,x,y)≦U(t,x,y)

が成 立 す るか ら, (R∪S)×(R∪S)(た が 成 立 し,従

だ し 

っ て(1.3.16),(1.3.17)に

R∪Sの と な る.Sの

  次 に,こ

)の 上 で0≦G(x,y)≦G(x,y)

上 でυ(y)=0だ

よ り

上 で￨υ(y)￨≦υ(y)

か らυ(y)=0も

成 り立 つ.

の §の 初 め に 述 べ た 条 件(C1)が

成 り立 た な い場 合 の楕 円 型境 界値

問題 に つ い て述 べ る準備 とし て,拡 散 方 程 式 の基 本解 の不 変測 度 に つ い て述 べ る.  今 後 この §で は,Ω

は有 界 な正 則 領 域 と し,条

件(C1)が 成 り立 た な い とす

る.そ の こ とは次 の条 件(C2)が 成 り立 つ こ とで あ る:   (C2) 

Ω の 上 でc(x)≡0,か

従 っ て 特 に,境

界 条 件(B0),(B*0)は (B0) 

こ の と き,拡

∂u/∂n=0, 

 (1.3.18)

(B*0)  ∂υ/∂n-β

υ=0.

任 意 のt>0,任 を 満 た す.(定

意 のx,y∈

理1.2.1のⅰ)お

Ωに よび

照.)

  定 義  Ω 上 の 有 界 なBorel測 対 して

そ れ ぞ れ 次 の よ うに な る.

散 方 程 式 の 基 本 解U(t,x,y)は

対 し て 正 の 値 を と り,  (1.2.14)参

つ ∂Ω の 上 で α(x)≡0.

度 μ が あ っ て,任

意 のBorel集

合E⊂

Ω

に

が 成 立 す る と き,μ

を 基 本 解U(t,x,y)の

不 変 測 度 と い う.

  この よ うな測 度 μが 存 在 す れ ば,μ は 測 度dyに

関 して 絶 対 連 続 で あ っ て,

そ の密 度 函数 ω(x)は Ω 上 で ほ とん どい た る とこ ろ正 の値 を と り,  (1.3.19)

ω(y)の 値 は 一 応 はa.a.y*)に (1.3.19)の

左 辺 はyに

対 し て 定 ま る の で あ る が,基

つ い て Ω で 連 続(実

は Ω でC1級,Ω

そ の 連 続 函 数 が ω(y)で あ る と し て よ い.よ t>0,y∈

Ω に 対 し て 成 立 す る と考 え る.従

(B*0)を 満 た す こ と に な る が,実

 (1.3.20) 

はtを

でC2級)だ

か ら,

っ て 今 後,(1.3.19)が

すべ ての

っ て ω は ∂ω/∂t=A*ω

と境 界 条 件

含 まな い 函 数 だ か ら

Ω に お い てA*ω(x)=0,∂

が 成 立 し,ω(x)は

本 解 の性 質 に よ り

Ω 上 で 

コ ン パ ク ト集 合 Ω 全 体 で 正 の 値 を と る.

 不 変測 度 の存 在 と一 意 性 の 定理 を述 べ て お く([拡]定   定理1.3.10 

理20.1).

Ω が 有 界 な正 則 領 域 で あ っ て,条 件(C2)が 成 り立 つ な ら ば,

基 本解U(t,x,y)の

不 変 測 度 が 存 在 し,定 数 倍 を 除 きた だ 一 つ で あ る.―

 この定 理 に よ り,不 変 測 度 の 密 度 函 数 ω(x)で

 (1.3.21)

を 満 た す も の が た だ 一 つ 定 ま る.今 を 満 た す も の とす る.こ 述 べ ら れ る.([拡]定   定 理1.3.11 

後 ω(x)は 特 に こ と わ ら な け れ ば(1.3.21)

の 函 数 ω を 用 い て,定

理1.3.1に

対 応 す る次 の定 理 が

理21.1)

条 件(C2)の

函 数 ω(y)と か ら, 

も と で の 基 本 解U(t,x,y)と な るす べ て のx,y∈

そ の不 変 測 度 の密 度

Ω に対 し て 有 限 な 値 を と る 函 数

 (1.3.22)

が 定 義 され て,次 の こ とが 成 り立 つ: *)  a.a.=almost

all=(測

度dyに

関 し て)ほ

と ん どす べ て の.

 (1.3.23)

任 意 のy∈ Ω を 固定 す る ときN(x,y)はxの  (1.3.24)[

に お い て楕 円型 方 程 式AN=ω

函 数 とし て Ω＼{y}

と境 界 条 件(B0)を 満 たす;

任意 のx∈ Ω を 固定 す る ときN(x,y)はyの  (1.3.24*)[

にお い て楕 円型 方程 式A*N=ω

  上 の 定 理 の 函 数N(x,y)を

函 数 と して Ω＼{x}

と境 界 条 件(B*0)を 満 た す.

用 い て 楕 円 型 境 界 値 問 題(Af-Bφ),(A*f-B*φ)の

解 を 表 わ す 公 式 が 与 え ら れ る(後 述 の 定 理1.3.13).条

件(C2)の

も とで の これ

ら の 境 界 値 問 題 は 古 典 的 な ラ プ ラ シ ア ン に 関 す るNeumann問 な っ て い る の で,函

数N(x,y)はNeumann函

題 の一 般化 に

数 と呼 ば れ る.

  これ らの 境 界 値 問 題 が 解 を もつ た め に は(古 典 的 なNeumann問 同 様 に)fとφ

との 間 に 次 の定 理 に 述べ る 関 係式 が成 り立 つ こ とが必 要 で あ る.

そ の 関 係 式 は,函 数 ωが(1.3.20)を 容 易 に 導 か れ る.([拡]定   定 理1.3.12 ⅰ) f(x)は き,楕

題の場合 と

満 たす こ と とGreenの

公 式 とを用 い て

理21.2) Ω 上 で 有 界 連 続,φ(x)は

円 型 境 界 値 問 題(Af-Bφ)が

∂Ω 上 で 連 続 と す る と

解 を もつ な らば

 (1.3.25)

 ⅱ) f(x)は

Ω 上 で連 続 か つ 可 積分,φ(x)は

∂Ω 上 で連 続 とす る と き,楕 円

型 境 界 値 問 題(A*f-B*φ)が解 を もつ な らば  (1.3.25*)

  次 に 解 の 存 在 と 一 意 性 の 定 理 を 述 べ る.([拡]定   定 理1.3.13 ⅰ) f(x)は Holder連

続 と し,条

Ω 上 で 有 界 か つHolder連

件(1.3.25)が

理21.3,21.3*) 続,φ(x)は

満 た さ れ て い る と す る.こ

∂Ω 上 で の と き,函

数

  (1.3.26)

(Cは 任 意 の 定 数)は 楕 円 型境 界値 問 題(Af-Bφ)の

解 で あ る.ま た,こ の境 界

 ⅱ

値 問 題 の解 は 定 数 の差 を除 き一 意 的 であ る. ) f(x)は と し,条

Ω 上 でHolder連

件(1.3.25*)が

続 か つ 可 積 分,φ(x)は

満 た さ れ て い る とす る.こ

∂Ω 上 でHolder連

の と き,函

続

数

 (1.3.26*)

(Cは 任 意 の定 数)は 楕 円型 境 界 値 問 題(A*f-B*φ)の 解 で あ る.ま た,こ 値 問 題 の解 は,ω(y)の

の境 界

定 数 倍 の差 を 除 き一 意 的 であ る.―

  この §の最 後 に,領 域 Ω の 内 部 に お い て の み 偏 微 分 方程 式Au=-fを て境 界 条 件 を 考 え ない 場 合 のGreen函

数 に つ い て述 べ て お く,こ の場 合 には,

∂Ω の 性質(滑 らか さ)や ∂Ω の近 傍 に お け るAの し な い(も ち ろ ん Ω=Rで

数'と

係数 の挙 動 に つ い て 何 も仮 定

も よい)か ら,こ の §の前 半 の記 述 に お い て Ω=R

の場 合 と 考 え れ ば よ い の で あ る が,こ 'Green函

考え

の よ うな場合に本書 に おいて用い る

い う言葉 を 次 の よ うに 約 束 し てお く.

  Ω ×Ω の 上 で 

な るか ぎ り定 義 され て 正 数 値 を とる函 数G(x,y)が

あっ

て,任 意 のf∈C10(Ω)に 対 し て函 数  (1.3.27)

が Ω に お い て 有 界 でAu=-fを

満 た す と き,G(x,y)をGreen函

こ とに す る.こ

の よ うなG(x,y)は

  定 理1.3.1で

述 べ たG(x,y)が

で あ る.偏

微 分 作 用 素Aの

な い な ら ば,定

満 た さ れ て い る か ら,拡

一 意 的 とは か ぎ ら な い. こ の 意 味 のGreen函

係 数c(x)(≦0と

理1.3.1(Ω=Rの

数 と呼 ぶ

数 であ る こ とは 明 らか

仮 定 し て い る)が 恒 等 的 に0で

場 合 と考 え れ ば よ い)に

お け る条 件(C1)が

散 方 程 式 の 最 小 基 本 解U(t,x,y)か

ら

これ は(1.3.1)  (1.3.28) 

と 同 じ式 で あ る

に よ っ て 定 義 さ れ るG(x,y)は,こ   し か しc(x)≡0で

あ っ て も,任

こ で 述 べ た 意 味 のGreen函 意 の コ ン パ ク ト集 合E⊂

数 で あ る.

Ω に 対 して

は

 (1.3.29)

が 成 立 す れ ば,(1.3.28)に こ の こ とは,定 る.逆

理1.3.1に

よ っ て 一 つ のGreen函

数G(x,y)が

与 え ら れ る.

対 応 す る 前 掲 書[拡]の

定 理18.1の

証 明か ら わ か

に,(1.3.27)がAu=-fの

G(x,y)が(1.3.28)で でGreen函

定 義 さ れ る な ら ば,(1.3.29)が

数 を 扱 う と き は,こ

  例  Ω=Rmに

だ しΓ(・)は

成 立 す る.第2章

の よ う な 場 合 を 考 え る も の とす る.

お い てA=△(普

で あ る か ら,m≧3な

と な る,た

有 界 な 解 を 与 え る よ う なGreen函

ら ば(1.3.28)に

通 の ラ プ ラ シ ア ン)の

よ りGreen函

ガ ン マ 函 数 で あ る.

場合 には

数 が 定 義 さ れ て,

数 §2.1

 §1.4  調 和 函 数 の 性 質

  こ の §では,領 域 Ω の 内 部 でAu=0,A*υ=0を

満 た す 函 数u,υ

の性質お

よび,そ れ らに 関 連 す るい くつ か の事 項 を 述 べ る.そ れ ら の性 質や 関 連 事 項 の うち,本 書 の 第2章 以 後 に 用 い られ る事 柄 を 記 述 す る こ とを お もな 目的 とし て い る の で,本

§全 体 とし ては 必 ず し も ま とま った 記 述 では ない.(特 に後 半 に お

い ては 断 片 的 な記 述 に な る.)   この §で は,こ とわ りな けれ ば Ωの 有 界 性 も ∂Ω の 滑 らか さ も仮 定 し な い し, 偏 微 分 作 用 素A,A*は

Ω の 内部 に お い て の み,§1.1に

うに 定 義 され てい れ ば よい;A,A*の

述べた条件を満たす よ

中 の 係 数c(x)に

対 し て,常 に

(1.4.1) c(x)≦0

と仮 定 し てい る こ とを,念   領 域 Ω でAu=0を

満 たす 函 数uは

函 数 で あ る)と い う.A*-調   まずA-調

のた め 再 記 して お く. Ω でA-調

和 で あ る(あ るい はA-調

和(函 数)で あ る とい う こ と も同様 に定 義 す る.

和 函 数 に関 す る最 大 値 原 理,Harnackの

諸 定 理 お よび そ れ ら に

関 連 す る事 項 を述 べ る.最 大 値 原 理(次 に 述 べ る定 理1.4.1と (1.4.1)に 関 係す る性 質 で あ るた め,A*-調 で は成 立 しな い.一 方,Harnackの 性 質(定 理1.3.3)やGreen函

そ の系)は 条 件

和 函 数 に対 して は,そ

の ま ま の形

諸 定 理(後 述)は 楕 円 型 境 界 値 問 題 の解 の

数 の性 質(特 に 定 理1.3.5)な

れ る の で,こ の章 で 引用 し てい る[拡]に お い て はA-調

どに よ って証 明 さ

和 函数 につ い て のみ 述

べ て あ るHarnack諸

定 理 の多 くが(そ

る場 合 を 除 き)A*-調

和 函 数 に つ い て も成 立 す る;そ の こ とは,後 にHarnack

の証 明 の中 で最 大 値 原 理 を も使 っ て い

諸 定 理 を 述 べ る と こ ろ で 引用 す る[拡]の

中 のA-調

和 函 数 に 関 す る定 理 の証

明 を 見 れ ば 容 易 に わ か る.よ って,こ の あ とでHarnackの に は,後

和

の章 で 引用 す る必 要 に応 じ て,A*-調

諸 定 理 を述 べ る際

和 函 数 につ い て も併 記 す る こ と

に す る.   Harnackの

定 理 を 用 い る と,有 界 とは か ぎ ら な い 領 域全 体 で正 の 値 を とる

A*-調 和 函 数 ωの 存 在が 示 され,こ の 函数 ω を用 い て,A*-調

和函数に関す る

最 大 値 原 理 に 相 等す る定 理 を 述べ る こ とが で き る(後 述 の 定理1.4.8).   定 理1.4.1 ⅰ) 

函 数u(x)が

Ω の 内 部 に お い てuが か ぎ り,か

つ そ の と きuは

場合に

Ω に お い て 定 数 で あ る.

Ω に お い て 微 分 不 等式Au≦0を

満 た し,Ω の内 部にお い

負 の最 小 値 を とる こ とが で き る の は,c(x)≡0の

の と きuは

満 た し,

正 の 最 大 値 を と る こ と が で き る の は,c(x)≡0の

 ⅱ) 函 数u(x)が てuが

Ω に お い て 微 分 不 等 式Au≧0を

場 合 に か ぎ り,か つ そ

Ω に お い て定 数 で あ る.

 ⅲ)  初 め か らc(x)≡0と

仮 定 す れ ば,ⅰ)に お け るuの 最 大 値,ⅱ)に お け る

uの 最 小 値 の符 号に 関 す る仮 定 な し に,uは   系1 ⅰ) Ω でA-調

和 な 函 数uが,Ω

Ω に お い て 定 数 とな る.

の 内部 に お い て正 の最 大 値 また は 負 の

最 小値 を とる こ とが で き る の は,c(x)≡0の

場 合 に か ぎ り,か つ そ の と きuは

Ω に お い て 定数 で あ る.  ⅱ)  初 め か らc(x)≡0と

仮 定 した 場 合 は,Ω でA-調 和 な 函 数uが

部 で最 大 値 また は 最 小 値 を とれ ば,uは   系2  Ω を有 界 領 域 とし,函 数uが き,Ω に お け る￨u(x)￨の な ら ば,Ω に お け るu(x)の

Ω の内

Ω に お い て定 数 で あ る. Ω でA-調

和,Ω

で 連続 とす る.こ の と

最 大値 を と る点 が ∂Ω 上 に 存 在 す る.特 に,c(x)≡0 最 大 値,最

小値 を と る点 が,い ず れ も ∂Ω 上 に 存

在 す る.―   上 の系1お 理1.4.1の

よ び系2の 事 実 をA-調

和 函 数 に 関す る最 大 値 原 理 と い うが,定

事 実 も含 め て そ う呼 ぶ こ と もあ る.ま た,系1の

お い てc(x)≡0の

事 実 お よび 系2に

場 合 の 事実 は 最 大値 ・ 最 小 値 原 理 と も呼 ば れ るが,特

にそれ

らを'最 小 値'に 関 す る命 題 と して 応用 す る場 合 に は,そ の こ とを 明示 す るた め に,単 に 最 小値 原 理 と呼 ば れ る こ と もあ る.(こ れ らの定 理 お よび証 明 につ い て は,[拡]の

定 理10.3,10.4,22.1お

の定 理1.4.1のⅱ),ⅲ)か

よ び そ れ ら の系 を 参 照.)次

ら直 ち に 出 る こ とで あ るが,こ

の系3は

上

れ に よ り二 つ の調 和

函 数 の領 域 内部 にお け る大 小 関 係 が境 界 上 で の大 小 関係 か ら導 かれ るの で,系 3の 事 実 を 比 較 定 理 と も呼 ぶ.領 域 の境 界 が適 当 に 滑 らか な らば,こ れ は定 理

1.3.3と

定 理1.3.4か

ら も 明 ら か で あ る が,こ

こでは 境 界 の滑 らか さ を 仮定 し

て い な い.   系3  Ω を 有 界 領 域 と し,函

数uが

で あ っ て,∂ Ω 上 でu(x)≧0な

Ω に お い てAu≦0を

ら ば,Ωにお

満 た し Ω 上 で連 続

い てu(x)≧0で

あ る.―

 次の定理は最大値 ・ 最 小 値 原 理 の結 果 で あ っ て,普 通 の ラ プ ラシ アン の 場 合 に は よ く知 られ て い る.(本 書 に お け る偏微 分 作 用 素Aの 述 べ られ て い な い の で,こ   定 理1.4.2 

場 合 に つ い て[拡]に

こで 証 明 を与 え て お く.)

Ω を 有 界 な 正 則 領 域 と し,Aに

u(x)は

Ω で 連 続 か つ Ω の 内 部 でA-調

u(x)が

∂Ω 上 で 最 小 値,最

お い てc(x)≡0と

和 で あ っ て,定

す る.函

数

数 函 数 で は な い と す る.

大 値 を と る 点 を そ れ ぞ れz1,z2と

す ると

  (1.4.2)

  証 明  第1の

式 を 証 明 す る.第2の

u(x)-u(z1)もA-調

式 も 全 く 同 様 に し て 証 明 さ れ る.ま

和 だ か ら,u(z1)=0と

し て 第1の

  Ω0⊂ Ω な る 正 則 領 域 Ω0を と り,Ω0の Dirichlet問 1.3.4に

題 のGreen函

数 をG(x,y)と

よ りG(x,y0)>0だ

uに 対 す る 仮 定 と 定 理1.4.1の

系1に

も 正 で あ る.さ

ら, 

式 を 証 明 す れ ば よ い.

内 部 に 一 点y0を す る と,x∈

と る.Ωにお Ω ＼{y0}な

は 正 で あ る.ま

か ら, 

よ り,uは

た,

け る らば 定 理 た,函

数

Ω の 内部 で正 の 値 を と る か

て,

に対 し て と 定義 す る と,u-υ

は Ω＼ Ω0に お い てA-調

和 で あ って

な らば ならば だ か ら,定

理1.4.1の

にu(z1)=υ(z1)=0だ

 で あ る.よ

系3に か ら 

っ て 

よ り Ω＼ Ω0に お い てu(x)-υ(x)≧0と と な る.一

が成 立 す る.

方,定

な る.特

理1.3.4に

よ り

  次 にHarnackの

  一 般 に,集

諸 定 理 を 述 ベ る.

合Eの

上 の 函 数 列{fn}(パ

で置 き替 え て も よい)が,あ

ラ メー タnを 連 続 的 に 変 化 す る実 数

る函 数fにEで

広 義 一 様 収 束 す る とは,Eの

任

意 の コン パ ク ト部 分 集 合 の上 で一様 収 束 す る こ とで あ る.   定 理1.4.3(Harnackの 2,…)は

Ω でA-調

第1定 和,Ω

理)  Ω を 有 界 領 域 と し,函

で 連 続 と す る.こ

の と き,函

数un(x)(n=1,

数 列{un}が

∂Ω 上 で

一 様 収 束 す れ ば,

 ⅰ )  {un}は

Ω で一 様 収 束 し,そ の 極 限 函 数uは

 ⅱ)  Ω に 含 まれ る任 意 の 座 標 近 傍Wと,そ 関 す る2階 以 下 の任 意 の 偏 微分 演 算Lに て広 義 一様 にLuに

Ω でA-調

和 であ る;

の 中 の 局 所 座 標(x1,…,xm)に

対 して,函

数 列{Lun}はWに

おい

収 束 す る.

  ([拡]定 理22.3参

照;な

お,同

Aの 係 数 がC∞ 級 な らば,上

書 に 述 ベ られ て い る よ うに,偏

のⅱ)のLは

微 分 作用 素

任 意 階 数 の 偏 微 分 演 算 で よい が,こ

の こ とを 今 後 本 書 に お い て用 い る機 会 は な い.)  定 理1.4.4  領 域 Ω でA-調

和 な 函 数 の 列{un}が

Ω 上 で一 様 有 界 な ら ば,

{un}の 適 当 な部 分 列 が Ω で広 義一 様 に 収束 す る.  ([拡]定

理22.6;こ

  定 理1.4.3のⅰ)の

の 定 理 をHarnackの

か し 定 理1.4.4に

お け るDirichlet問 調 和)函

数 をDの

参 照),A*-調和

お い て は,D⊂

題 のGreen函

Ω な る正則 有 界 領 域Dを

数GD(x,y)に

よ っ てA-調

函 数 に つ い て も定 理1.4.4は

成 立 す る.更

証 明 参 照)す

が 成 立 す る こ と が わ か る.以 し た も の の 変 形 と し て,A-調

れ ば,A*-調

上 の 考 察 に よ り,定

考 え,Dに 和(ま た はA*-

中 で 表 現 す る式 を 用 い れ ば よ い か ら([拡]定

理22.3のⅱ)の

定 理 が 成 立 す る.

Ω の内部において の

和 函数 に つ い て は この ま まの 形 で は成 立 しな

っ て Ω で 広 義 一 様 収 束 す る 部 分 列 に 対 し て,定 ([拡]定

理 と呼 ぶ こ と も あ る.)

証 明 は 最 大 値 原 理 に よ る の で,Aが

み 定 義 さ れ て い る 場 合 は,A*-調 い.し

第3定

理22.6の に 定 理1.4.4に

理1.4.3のⅱ)の

証明 よ

証 明 を適 用

和 函 数に つ い て も こ の 命 題 理1.4.3と

和 函 数 に つ い て もA*-調

定 理1.4.4を

合併

和 函 数 に つ い て も次 の

  定 理1.4.5  あ っ て,Ω

領 域 Ω に お い てA-調

和(ま

た はA*-調

和)な 函 数 の 族{uλ}が

の 任 意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で 一 様 有 界 な ら ば,函

{￨〓uλ￨}も

数 の族

Ω の 任 意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で一様 有 界 で あ っ て,函

{uλ}の 適 当 な 部 分 列{uλν;ν=1,2,…}は あ る 函 数uに

広 義 一 様 に 収 束 し,更

値 函 数〓uに

広 義 一 様 に 収 束 す る.―

Ω でA-調

和(ま

た はA*-調

に ベ ク トル 値 函 数 の 列{〓uλν}は

  下 の二 つ の 定 理 も,前 掲 書[拡]でA-調

数族 和)な

ベ ク トル

和 函 数 に つ い て 証 明 され てい る が,

A*-調 和 函数 に つ い て も同様 に 証 明 さ れ る.   定 理1.4.6(Harnackの

補 題)  領 域 Ω の 中 の 任 意 の コ ン パ ク ト集 合Kに

対 し て,正

存 在 し て,Ω

の 定 数cK,c′Kが

値 を と る任 意 の 函 数uと,任

でA-調

和(ま

意 の 点x0,x∈Kに

コ ン パ ク ト集 合Kの

はA*-調

は 関 係 し な い こ と が 重 要 で あ る.

数uに

  定 理1.4.7(Harnackの な 函 数 の 列{un}が 増 加 で あ り,か た はA*-調 でnに

つ

和)な

第2定 あ っ て,各 一点x0∈

函 数 に,Ω

み に 関 係 し,非

理)  領 域 Ω でA-調

点x∈

非負

不 等 式).―

  こ こ で 定 数cK,c′Kが 和)函

和)で

対 して

(Harnackの

 (1.4.3) 

た はA*-調

負 値A-調

和(ま

た はA*-調

Ω に お い て{un(x)}はnに

Ωに お い て 有 界 な らば,{un}は

和(ま

た

和)

関 し て単 調 Ω でA-調

上 で 広 義 一 様 に 収 束 す る;{un(x)}が

和(ま

各 点x∈

関 し て 単 調 減 少 と し て も 同 様 で あ る.―

  こ こで,Ω 上 で い た る と こ ろ正 の 値 を と るA-調 和 函数,A*-調

和 函数 の存 在

を 証 明 して お く.   まず,一 点x0∈ Ω を 固 定 し,x0を

含 む 正 則 有 界 領 域 の 列{Dn}で,Dn⊂

Dn+1(n=1,2,…), 

を 満 た す も の を 定 め て,各Dnに

chlet境

数GDn(x,y)を

4に

Ω

界 値 問 題 のGreen函

よ り,函

 (1.4.4)

数

考 え る.定

理1.3.2と

お け るDiri 定 理1.3.

はDn上

で い た る と こ ろ 正 の 値 を と るA-調

=un(x)/un(x0)はDn上

意 のnを

Harnackの

不 等 式 に よ りDnの

る か ら,定

理1.4.5に

固 定 す る と き,Dnの

上 の 函 数 列{ωk;k≧n}は

適 当 な 部 分 列 がDnでA-調

か ら,nに

の と き Ω 上 で ω(x)≧0か

和 な あ る函 数

関 す る 対 角 線 論 法 に よ り,初

{ωn}の 適 当 な 部 分 列 が Ω でA-調

め の函 数 列

和 な あ る 函 数 ωに Ω で広 義一 様 に 収 束 す つ ω(x0)=1で

あ る か ら,Harnackの

不等式

含 む 任 意 の コ ン パ ク ト集 合 の 上 で ω は 正 の 最 小 値 を と り,従

Ω 上 い た る と こ ろ ω(x)>0と るA-調

満 た すA-

任 意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で 一 様 有 界 で あ

よ り{ωk}の

に 広 義 一 様 収 束 す る.だ

に よ りx0を

か ら,函 数 ωn(x)

で い た る と こ ろ 正 の 値 を と り ωn(x0)=1を

調 和 函 数 で あ る.任

る.こ

和 函 数 で あ る.だ

な る.以

和 函 数 の 存 在 が 示 さ れ た.同

と 同 じGreen函

数GDn(x,y)を

って

上 に よ り Ω 上 い た る と ころ 正 の 値 を と 様 なA*-調

和 函 数 の 存 在 を 示 す に は,前

用 い て,(1.4.4)の

か わ りに

 (1.4.4*)

な る函 数 を 定 義 す る と,こ れ はDn上

い た る と こ ろ正 の値 を と るA*-調

和函数

で あ るか ら,あ とは 上 と同 様 に 議 論 す れ ば よい.   さて,Ω

で いた る とこ ろ正 の値 を と るA*-調

和 函数 ωを 用 い て,A*-調

数 に 関 す る最 大 値 原 理 に つ い て 述 べ る.ま ず Ω でC2級

の 函 数uに

和函

対 して

 (1.4.5)

な る偏 微 分 作 用 素Aを

定 義 す る と,

な る こ と を 用 い て 計 算 す る こ と に よ り,A*とAと   (1.4.6) 

ω-1A*(ωu)=Au

な る 関 係 が あ る こ と が 示 さ れ る.だ u=υ/ω

がA-調

か ら 函 数 υ がA*-調

和 で あ る こ と と は 同 値 で あ る.と

わ し た と き のc(x)≡0な て,函

の間 に は

こ ろ がAはAの

る 条 件 を 満 た し て い る か ら,A*-調

数 υ/ω に 定 理1.4.1や

事 実 が 成 り立 つ;特

和 で あ る こ と と,函 数

そ の 系(い

に 系1のⅱ)に

ず れ もc(x)≡0の

よ り次 のこ と が い え る.

形 に書 き表 和 函数 υに対 し

場 合)を

適用 した

  定 理1.4.8  る.υ

ω を 領 域 Ω の 上 で い た る と こ ろ 正 の 値 を と るA*-調

が Ω 上 のA*-調

れ ば,υ

和 函 数 で,υ/ω

和 函 数 とす

が Ω の 内 部 で最 大 値 ま た は 最 小 値 を と

は ω の 定 数 倍 で あ る.―

 このこ とか ら次 の最 大 値 ・最小 値 原 理 を得 る:   定 理1.4.9  ωを 前 定理 の通 りと し,Dが

Ω の 部分 領 域 で,そ

Ω に含 まれ る コン パ ク ト集 合 であ る とす る.函 数 υがDで 調 和 な らば,υ/ω はDに

の閉 包Dは

連 続 か つDでA*-

おけ る最 大 値 と最 小値 を いず れ もDの

境 界 ∂Dの 上

で と る.―   Ω 上 い た る と こ ろ 正 の 値 を と るA-調 式 的 に 共 役 なA*に

関 す る 議 論 を,c(x)≡0の

そ れ に は,p=logω,b=b+2〓pと

とす る と,A*はAの 別 の も の で あ る;念 に,簡

和 函 数 ω を 用 い て,Aお

よび そ れ と形

場 合 に 帰 着 さ せ る こ と も で き る.

定 義 し て,

形 式 的 共 役 作 用 素 で あ る.(こ の た め 注 意 し て お く.)こ

のAは

の と き,前

前 ペ ー ジ のAと

は

ペ ー ジ の 場 合 と同様

単 な 計 算 に よ って

 (1.4.7)

な る 関 係 が 示 さ れ る か ら,u=ω-1u,υ=ω

とな り,AとA*に

υ とお け ば

関 す る議 論 が,AとA*に

関 す る議 論 に 帰 着 され る.こ の

とき,対 応 す る拡 散方 程 式 の基 本解 の 関 係 も重 要 で あ る が,こ

こで は 次 の章 で

用 い られ る下 記 の事 実 を 述 べ て お く.   Dを そ の閉 包 が Ω に 含 ま れ る 正 則 有 界 領 域 と し,Dに ∂u/∂t=AuにDirichlet境

お け る拡 散 方 程 式

界 条 件 を 与 え た もの の基 本 解 をUD(t,x,y)(§1.1)

とす る と,函 数

はDに

お け る拡 散 方 程 式 ∂ω/∂t=Aω

の基 本 解 で あ る.こ の こ とは(1.4.7)を  次 に,調

にDirichlet境

界 条 件 を与 え た も の

用 い て 容 易 に 験 証 され る.

和 函 数 の 一 意 接続 定理 を 述 べ る.こ

の 定 理 は 局 所 的 な 性 質 で あ り,

偏微 分 作 用 素Aの 和 函 数 とA*-調

係 数c(x)に

対 す る仮 定(1.4.1)は

必 要 で な いか ら,A-調

和 函 数 との 間 に 本 質 的な 違 い は全 くな い.

  複 素 平 面 内 の領 域Dで

正 則(ま た は調 和)な 函 数uが

な い 開 集合 に お い てu≡0と

な る な ら ば,D全

あ って,Dの

体 でu≡0と

中の空で

な る;こ の こ とは

一 致 の定 理 とし て よ く知 られ て い る.こ こで 調 和 函数 を ラ プ ラス方 程 式 △u=0 の解 と考 え る こ と に よ り,上 の 定 理 はm次

元空 間Rmの

中の 領 域 に お け る調

和 函数 に拡 張 され る.更 に ラプ ラシ ア ン △ の場 合 か ら変 数 係 数 の2階 楕 円型 偏 微 分 作 用 素Aの

場 合 に 拡 張 し た 定 理 が 一 意 接続 定 理 で あ っ て,Aronszajn

[2],Cordes[3]ら

に よ って 証 明 さ れ た;そ の 証 明 は,例 え ば 熊 ノ郷[4]の

§5.6に 詳 し く記 述 さ れ て い るの で,そ れ を 参 照 さ れ た い.こ 性 質 であ る こ とに よ り,Euclid空

の定 理 が 局 所 的

間 の中 の領 域 で も多 様 体 の 中 の領 域 で も証

明 は 同 じ で あ る.だ か ら下 記 の定 理 の Ω は 本 書 で 扱 って い る多様 体(§1.1)の 中 の領 域 と して 読 まれ た い.   定 理1.4.10(一 が あ っ て,Ω

意 接 続 定 理)  領 域 Ω でA-調

和(ま た はA*-調

の 中 の 空 で な い 開 集 合 に お い てu≡0な

ら ば,Ω

和)な

函 数u

全 体 でu≡0で

あ る.   上 記 の[2],[3]に

お い ては,'空

い'Ω の一 点 がuの ぼ 同 等 な 条 件)の

で ない 開 集 合 に お い てu≡0'と

い う条 件 よ り も弱

無 限位 の零 点 で あ る'と い う条 件(述 べ 方 は 少 し違 うが,こ れ とほ も とで証 明 され て い るが,本

書 で 応 用 す る に は上 の定 理 の 述べ 方 で 十

分 で あ るか ら,こ の よ うに 内 容 の わ か りや す い 述 べ 方 に して お く.([4]に

は 上 の定 理 に

述 べ た 形 で 証 明 され てい る.)

  最 後 に,楕

円型 方 程 式Au=-fあ

る い はA*u=-fの'弱

下 記)と 真 の解 に関 す る定 理 を述 べ る.(こ

こで一 般 に は 

い解'(定

義は

だ か ら,こ の 定

理 は 調 和 函 数 にか ぎ った 話 で は な い が,こ の §で 関 連 事 項 と し て 述 べ る.)こ こで も係 数c(x)に 方 程 式Au=-fに

対す る仮 定(1.4.1)は

不 要 で あ り,前 掲 書[拡]の

つ い て 述 べ て あ る定 理 が,方 程 式A*u=-fに

§23で

つ い て もそ

の ま ま成 立 す る.   定義  領 域 Ω で 局 所 可 積 分 な 函 数u(x)が で あ る とは,任 意 の ψ∈C∞0(Ω)に対 して

楕 円 型 方 程 式Au=-fの

弱 い解

 (1.4.8)

が 成 立す る こ とで あ る.AとA*を

入れ 替 え て,楕

円型 方 程 式A*u=-fの

弱 い 解 を 同様 に 定義 す る.   弱 い解 に対 して,普 通 の 意 味 の(す な わ ち,そ の方 程 式 に 現 わ れ るす べ て の 偏導 函数 が 普通 の 意 味 で存 在 し て 連続 な)解 を 真 の 解 とい う.真 の解 が 弱 い解 で あ る こ とは,Greenの

公 式 に よ って 明 らか で あ る.

 こ の と き 次 の 定 理 が 成 立 す る([拡]定   定 理1.4.11  分 な 函 数uが

函 数fは

理23.1参

領 域 Ω でHolder連

楕 円 型 方 程 式Au=-f(ま

に お け る そ の 方 程 式 の 真 の 解 υ で,Ω

照).

続 とす る.Ωにお

た はA*u=-f)の 上 でu(x)=υ(x)(a.e.)と

い て 局所 可積

弱 い 解 な ら ば,Ω な る もの が存

在 す る.―

  拡 散 方 程 式 につ い て も同様 な定 理 が成 立 し,ま た それ らの方 程 式 が境 界条 件 を 伴 な う場 合 の 定 理 も あ る([拡]§23参 い か ら省 略 す る.

照)が,本

書 に お い て応 用 の機 会 が な

 §1.5  ベ ク トル 解 析 に 関 連 した 事 項

  この §の 内 容 は,偏 微 分 方程 式 に 関す る結 果 で はな いが,前

§ま で に述 べ た

事 項 の一 部 を用 い て,本 書 第5章 以 降 で必 要 な こ とを 準 備 す る.  

Rの

部 分 領 域 Ω の 上 の 函 数uが

と は,uが

Ω で 連 続 で あ り,有

区 分 的 に 滑 ら か(piecewise

限 個 の 正 則 領 域 Ω1,…,Ωnが

∪ … ∪∂Ωn)の 各 連 結 成 分 でuがC1級

smooth)で

ある

存 在 し て Ω ＼(∂Ω1

な る こ と で あ る.

 Ω 上 で い た る と ころ正 の値 を とるC2級

の 函 数ω が 与 え られ た とき, は 今 ま での 通 り)

な る測 度 を 定 義 し,こ れ に 関 連 した い くつ か の記 号 を 約 束 す る.  ま ず,Ω

上 の ベ ク トル 場

(共変 成 分) に 対 し て,§1.1で

定 義 し た よ うに (Ω 上 の ス カ ラ ー 函 数)

と し,重

み ω を も つ 測 度dωxに

関 す る'内

積'と'ノ

と定 義 す る(各 式 の 右辺 が 意 味を もつ 限 り).例

ル ム'を

え ばuが

Ω 上 で 区分 的 に 滑 ら

か な 函 数 な らば

が 定 義 さ れ る.な

お,ω ≡1の

と き は 添 え 字 ω を 省 略 す る こ と が 多 い.

  ‖ Φ‖Ω,ω<∞ な る Ω 上 の ベ ク トル 場 Φ の 全 体 が 作 る 線 型 空 間 の'ノ ‖・‖Ω,ω に 関 す る完 備 化 をL2ω(Ω)と  な る も の 全 体 をPω(Ω)と ト集 合Kに Pω(Ω;K)と

対 し て,函

数ψ

書 き,Ω 書 く;ま

上 で 区分 的 に 滑 ら か な 函 数 ψ で た,Ω

∈Pω(Ω＼K)でψ￨∂K=0を

書 く こ と に す る.

ル ム'

に 含 まれ る正 則 コン パ ク 満 た す もの 全 体 を

  注 意   前 掲 書[拡]に 義 した が,こ

お い て領 域 Ω の境 界 ∂Ωが'区 分 的 に 滑 ら か'と い う言葉 を 定

れ は 上 に 述 べ た'函 数 が 区 分 的 に 滑 ら か'な

書に おい ては 前 掲 書[拡]の

こ と とは 別 の 概 念 であ る.本

意 味 で この 言葉 を用 い る こと は な い.

  さ て こ こで前 掲 書[拡]§24の

結 果 を 引用 す るが,そ

の 内容 をす べ て,ω の

重 み をつ け て考 え る こ とが で き る.す な わ ち,測 度dxをdωxで 散 作用 素divをdivω る.[拡]§24の

置 き換え,発

Φ=ω-1div(ωΦ)で 定 義 され るdivω で置 き換え る の で あ

各 定 理(補 助 定 理,系 を 含 む)の 証 明 を この よ うな場 合 の形 に

修 正す る こ とが で き る.   例 え ば,Ω

で 連 続 な ベ ク トル 場 の 全 体 をC(Ω)と divωΦ=0な

 (1.5.1) 

を満 たす な らば,あ

書 く と き,Ψ

∈C(Ω)が

る 任 意 の Φ∈C10(Ω)に 対 し て

る ψ∈C1(Ω)が 存 在 し て 

重 要 な 役割 を もち(cf.[拡]定

理24.2),こ

とな る,と い う事 実 は

の事 実 は次 の補 助 定 理 に帰着 され

る の で,そ の証 明(上 述 の よ うに'修 正'し た)の 概 略 を与 え て お く.   補 助 定 理1.5.1 Γ 線 と し,い

をΩ

た る と こ ろC1級

対 し て,t=t(x)をxに

の 内 部 に あ っ て 長 さ を も つ 向 き づ け られ た 単 純 閉 曲 で 有 限 個 の 点 を 除 きC2級と

お け るΓ

す る.各

た す任 意 のΨ ∈C(Ω)に 対 して 上 の 線 素 を 表 わ す.(cf.[拡]補

  証 明 Γ が い た る とこ ろC2級 の領 域Tを,閉 この ときTの ε>0に対

包TがΩ

に

の 接 線 ベ ク トル で 単 位 の 長 さ を も ち,点x

に お け るΓ の 向 き づ け と 同 じ方 向 を も つ も の と す る.こ

dσ はΓ

点x∈Γ

の と き(1.5.1)を

満

 が 成 立 す る;こ

こで

助 定 理24.2)

とし て証 明す れ ば よ い.Γ

を 内 部 に含 む管 状

の 内 部 の 有 限 個 の 座 標 近 傍 で 覆 わ れ る よ うに と る.

内 部全 体に一つ の 曲線 座 標 が構 成 で き るか ら,そ れ を 固 定 す る.

し て,Rmの

まれ

上 でC∞ 級 の非 負 値 函 数 ρεで,台

 (dyは

普 通 のLebesgue測

度)な

が 原 点 の ε近 傍 に含

る も の を 定 め る.Tの

内

部 に 固 定 し た 曲 線 座 標 を 使 っ て ρε(x-y)(x,y∈T)を

考 え る と,xがΓ

動 くか ぎ り,十

函 数 と し て の ρε(x-y)

の 台 はTの

分 小 さ い す べ て の ε>0に

内 部 に 含 ま れ る.だ

か ら

対 し て,yの

上を

  (1.5.2)

と 定 義 す る と Φε∈C10(Ω)で あ っ て,y∈Tな

と な る.一

方y∈Ω

と な る.こ

こ で ε ↓0と す れ ば ρεの 性 質 に よ り補 助 定 理 の 結 論 を 得 る.

  更 に,[拡]定

＼Tな

理24.3の

Ω で 区 分 的に滑ら

か'と

ら ばdivω

Φε=0は

らば

系 の 仮 定 の う ち'ψ

自 明 だ か ら,仮

∈C1(Ω)∩C0(Ω

い う条 件 で 置 き 替 え て も,同

れ は 同 書 の 補 助 定 理21.1と

  補 助 定 理1.5.2 

Φ∈C1(Ω)がΩ

す と し,ま

∈C1(Ω)と

たφ,ψ

  上 に 述 べ た[拡]定 ペ ー ジ)と す る と,次   定 理1.5.1 

理24.3の

上 でdivω

質 的 に は 次 の補 助 定

し て 証 明 さ れ て い る. Φ=0,∂Ω

上 で(Φ ・n)=0を

満た

系 に お い てΩ,Sを

そ れ ぞ れΩ ＼K,∂K(50

あ っ て,任 ＼K上

意 の ψ ∈Pω(Ω;K)に

対 し て

で 有 界 な 任 意 の ψ∈Pω(Ω;K)

が 成 立 す る.―

  上 の 定 理 はK=φ

で も よ い;そ

の 場 合 は 次 の よ うに 書 け る.

Φ∈L2ω(Ω)で あ っ て,任

を 満 た す な ら ば,Ω 成 立 す る.

明の

す る と,

 を 満 た す な ら ば,Ω

  定 理1.5.2 

は

の 定 理 が 得 ら れ る.

Φ∈L2ω(Ω＼K)で

に 対 し て 

∪S)'を'ψ

様 に 証 明 で き る;証

最 後 に あ る 内 積 の 式 を ω の 重 み つ き に 修 正 し た も の は,本 理 に 帰 着 さ れ,そ

定に よ り

意 の ψ∈Pω(Ω)に 対 し て 

上 で 有 界 な 任 意 の ψ∈Pω(Ω)に 対 し て 

が

 §1.6  付記(測

度 の 漠 収 束,半 連 続 函 数)

  本 章 の標 題 と した 偏 微 分 方 程 式 に関 す る こ とで は な い が,測 度 の 漠 収 束 の 概 念 と,半 連 続 函数 に 関 し て,本 書 で使 う事 柄 を念 の た め に述 べ て お く.   Ⅰ.  測 度 の漠 収 束 に つ い て Ω をRの

部 分 領 域 と し,Ω上

で連 続 な 函 数 で,

台 がΩ の コン パ ク ト部 分 集 合 であ る もの全 体(§1.1でC00(Ω)と 単 にC0(Ω)と

書 く こ とに す る.Ω に お け るBorel集

合 族(Ω の 中 の開 集 合 全

体 で 生成 され る σ-加法 族)BΩ の上 で定 義 され た測 度 μで,任 集合K⊂Ω

に対 して μ(K)<∞

をBorel測 Borel測

と な る も の全 体 をMΩ

意 の コ ンパ ク ト

と書 き,測 度 μ∈MΩ

度 と呼 ぶ;今 後,特 に 指 定 また は こ と わ りな く'測 度'と い え ば 度 を 意 味 す る もの とす る.

 {μn;n=1,2,…}⊂MΩ,μ

∈MΩ

で あ っ て,任

 が成 立 す る とき,測 (vaguely

書 い た)を,簡

convergent)と

意 のf∈C0(Ω)に

度 の 列{μn}は

対

し て

測 度 μに 漠 収 束す る

い う.

  {μn}が 漠 収 束 す れ ば,任 意 の コンパ ク ト集 合K⊂Ω 界 で あ る.な ぜ な らば,K⊂D⊂D⊂Ω

の 上 で{μn}は 一 様 有

な る開集 合DでDが

コン パ ク トな も

の を と り,函数f∈C0(Ω)で で 

上 で 

で あ り,数

な る も の を と る と,  る か ら 有 界 で あ る.こ   定 理1.6.1 

で 列 

の 事 実 の(部 分 的 な)逆 と し て,次

測 度 の 列{μn}⊂MΩ

に対 して 

が あ っ て,任

な ら ば,{μn}の

は収束す の 定 理 が 成 り立 つ.

意 の コ ン パ ク ト集 合K⊂

Ω

適 当 な 部 分 列 が あ る測 度 μ∈MΩ に

漠 収 束す る.  証 明  各f∈C0(Ω)と 算 部 分 集合Dで,ノ 各f∈Dに

ル ム 

対 し て,fの

と お く.C0(Ω)の

各 μnに対 して 

に 関 し て稠 密 な も の が存 在 す る.

台 が コ ン パ ク トだ か ら,そ

こ と に よ り,{Ln(f)}n=1,2,…

可

の 上 で{μn}が一様有

界な

は 有 界 数 列 とな っ て 収 束 す る 部 分 列 を もつ.Dが

可 算 集 合 で あ るか ら,対 角 線 論 法 に よ り,自 然 数 の 部分 列{n′}を べ て のf∈Dに

対 し て{Ln′(f)}が

選 ん で,す

収束 す る よ うに で き る.こ の こ と と,Dが

C0(Ω)で ノル ム‖f‖∞ に 関 して 稠 密 な こ とに よ り,す べ て のf∈C0(Ω)に 対 し

て有限な極限値  はC0(Ω)の

が存 在 す る こ とが示 され る.こ の と きL(f)

上 の線 型 汎 函数(有 界 とは 限 らな い)で あ る.こ こで,Ω

域 の 列{Ωk}で,各Ωkは

コ ン パ ク トで あ っ て,Ωk⊂Ωk+1(k=1,2,…), 

と な る も の を 固 定 す る.汎 く と,k
函 数L(f)のC0(Ωk)へ

ら ばL(l)はL(k)の

拡 張 で あ る.kを

は 有 界 で あ る か ら,L(k)はC0(Ωk)上 Markovの C0(Ωk)に

の部 分 領

定 理 に よ り,Ωk上

の 制 限 をL(k)(f)と

固 定 す る と き{μn(Ωk)}n=1 ,2,…

の 有 界 線 型 汎 函 数 で あ る.よ

のBorel測

書

度μ(k)が

っ てRiesz-

存 在 し て,す

べ て のf∈

対 して

 (1.6.1)

が 成 立 す る.k
らばL(l)がL(k)の

らBΩlへ

の)で あ る.従

拡 張 で あ る こ と に よ り測 度 μ(l)は μ(k) っ て,Ω

上 のBorel測

拡 張 で あ る も の が 存 在 し て,す

度 μ で すべ て の

べ て のf∈C0(Ω)に

対 して

 (1.6.2)

が 成 立 す る.こ

の こ と とLn(f)の

定 義 お よ び 

に よ っ て,

{μn′}が μ に 漠 収 束 す る.

  Ω のRに

おけ る閉 包 Ω が コ ン パ ク トな 場合 に は,上

Ω,BΩ,MΩ,C0(Ω)を それ ぞれΩ,BΩ,MΩ,C(Ω)(Ω

の漠収束 の 定義中の

上 の連 続 函数 の全 体)で 置 き

替 え る ことに よ り,Ω 上 の 測度 の 列 の漠 収 束 が 定 義 さ れ る.こ 1.6.1の 仮 定 に お い てKをΩ

の と き,定 理

とす る こ とに よ り,同 じ定 理 が成 立 す る.(こ の

場 合 の方 が 証 明は 簡 単 で あ る;部 分領 域 の 列{Ωk}を 考 え る必 要 が な い.)前 の 記 述 を こ の よ うな 場 合 に 修 正 す る こ とは 容 易 で あ る.  漠 収 束 の 概 念 は もっ と一 般 的 に定 義 され る こ とが 多い.す な わ ち,μ0∈MΩ

に対 し て

 を μ0の 近傍 系 の基 と し

てMΩに

入 れ た位 相 を 漠位 相(vague

束 と呼 ぶ の で あ る.こ の と き,上 の 族(す な わ ちMΩ

topology)と

い い,こ

述 の 定 理1.6.1の

の 部 分 集 合)が,Ω

の 位相 に 関 す る収 束 を 漠 収

拡 張 と し て次 の こ とが い え る:測 度

の 各 コン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で一様 有 界 な らば,

漠 位 相 に 関 し て相 対 コ ンパ ク トで あ る.本

書 に お い て は,測

度 の漠 収 束 に 関 す る事 項 は

初 め に 述べ た よ うな 可 算 列 の場 合 に つ い て のみ 用 い る の で,一 般 的 な 位 相 の概 念 に は こ れ 以上 は立 入 らな い こと にす る.   Ω 上 の有 界 な 測 度 μは,ノ ル ムを‖f‖∞=max￨f(x)￨で

定義 し た 線 型 ノル ム 空 間C0(Ω)

の 上 の 有界 線 型 汎函 数 で あ るか ら,函 数 解 析学 に お い て は,一

様 有 界 な測 度 の列 の漠 収

束 は汎 弱 収 束(汎 函 数 と して の 弱 収 束)と 呼 ば れ る.本 書に お い て 漠 収 束 の 概 念 を用 い る の は大 抵 は一 様 有 界 な 測 度 の 列 の 場 合 で あ るか ら,'漠 収 束'よ 耳 馴れ た読 者 が 多 いか も知 れ ない.し

り も'汎 弱収 束'の 方 が

か し 汎 弱 収 束 とい う言 葉 は,本

来 まず 線 型 ノル ム

空 間C0(Ω)が 前 面 に 出 て い て,そ の上 の汎 函 数 と して の 弱 収 束 とい う意 味 で あ る.一 方, 本 書 で は 多 くの 場 合,測

度 の列 が 考 察 の対 象 で あ り,そ れが漠 収 束す る場 合 に,そ の こ

とを あ る 特 定 の 連続 函 数 の積 分に 適 用 す るの で あ って,線 型 ノル ム空 間C0(Ω)を

主題 と

す る こ とは な い.だ か ら 今 後'漠 収 束'の 用 語 を 用 い る こ とに す る.

  Ⅱ. 半 連 続 函 数 に つ い て  本 項 では,Rの また は± ∞ の値 を とる 函数 を考 え る.函 α に対 し て-∞<α<∞   Ω上 で-∞

中 の領 域 Ω で 定 義 さ れ た実 数値 数値 の 大 小 に つ い て は,任

意の実数

な る大 小 関係 を 規 約 し て お く.

≦f(x)≦ ∞ な る値 を と る函 数fが 下(に)半 連 続 であ る とは,任

意 の実 数 α に 対 して{x∈ 半 連 続 で あ る とは,任 こ とで あ る.fがΩ

Ω￨f(x)>α}が

開集 合 で あ る こ とで あ り,上(に)

意 の実 数 αに 対 し て{x∈Ω￨f(x)<α}が

で有 限 な値 のみ を とる場 合 に は,そ

開集 合 とな る

れが連続 で あ る こ と

と,下 半 連 続 か つ 上 半 連 続 であ る こ と とは同 等 であ る.   fが 下 半 連 続 で あ る こ と と-fが

上 半 連 続 で あ る こ と とは 同 等 で あ るか ら,

そ れ ら の一 方 に関 す る性 質 か ら他 方 に関 す る性 質が 容 易 に導 かれ る.よ

って,

以 下 に お い ては,下 半 連 続 函 数 に つ い て 述 べ る こ とにす る.   fがΩ

で 下 半 連 続 な こ と は,次

と定 義 し て も 同 等 で あ る こ と は,容

任 意 の点x∈  (1.6.3) [

て  と き は,上

の(1.6.3)ま

た は(1.6.4)が

成 り立 つ こ と

易 に わ か る.

Ω と,xに

収 束 す る 任 意 の点 列{xn}⊂

た だ しf(xn)=-∞ の 下 極 限 は-∞

と 解 す る.

とな るnが

Ω に対 し 無限個あ る

任意 の点x∈ Ω と任 意 の ε>0に 対 し て,xの  (1.6.4) [

とれ ば,y∈Wxな の

る か ぎ りf(y)≧f(x)-ε;た

と き は,∞-ε=∞,(-∞)-ε=-∞

  次 の(1.6.5)は(1.6.4)を

適 当 な 近 傍Wxを だ しf(x)=±

∞

と 解 す る.

用 い て,コ

ン パ ク ト集 合 上 の 連 続 函 数 の 最 大

値 ・最 小 値 に 関 す る定 理 と全 く 同 様 に し て 証 明 さ れ る;ま

た(1.6.6)も

下半連

続 性 の 定 義 か ら 容 易 に 証 明 され る.

Ω で下 半 連 続 な 函 数 は,Ω  (1.6.5) [

で 下 に 有 界 で あ り,K上

の任 意 の コン パ ク ト部 分 集 合Kの で の 最 小値 を とる点 が あ る.

Ω で下 半 連 続 な函 数 の列{fn}が  (1.6.6) [

上

あ って,Ω の 各 点 でnに

関 して

も Ωで下半連続であ

単 調 増 加 な らば,極 限 函 数  る.

従 っ て 特 に,

Ω で連 続 な 実 数 値 函 数 の 単 調 増 加 列 の 極 限 函 数 は,Ω で 下 半 連 続   (1.6.7) [

で あ る.  (1.6.7)  の 極 限 函 数f(x)は

明 らか に

Ω にお い て

 (1.6.8) 

を満 た す.逆 に,(1.6.8)を

満 た す 下 半 連 続 函 数fは

Ω で連続な函数の単調増

加 列 の極 限 函数 にな る こ とが 証 明 され るが,本 書 ではfが((1.6.8)よ

りも強

い 仮 定 とし て)Ω で下 に 有 界 な 場 合 に つ い て この事 実 を用 い るの で,そ

の 場合

を 次 の 定 理1.6.2に

述 べ て,証 明 を 与 え て お こ う.

  そ の 証 明 中 に 使 うた め に,ま ず 次 の事 に 注 意す る;こ の事 実 は,下 半連 続 性 が(1.6.3)と

同等 な こ とを用 い て容 易 に 証 明 され る: fが Ω 上 の下 半 連 続 函 数 で,φ(λ)が-∞

  (1.6.9) [

か つ 単 調増 加 な実 数 値 函 数 な ら ば,合

≦λ≦ ∞ に お い て連 続 成 函 数φ°fは

Ω 上 で下

半 連続 で あ る.  定 理1.6.2  Ω 上 で下 に 有 界 な下 半連 続 函 数fに 対 し て,Ω 単 調 増 加 列{fn}で,Ω  証 明   [第1段] 

の各 点 で  函数fが 有 界 な 場 合.Rにお

上 の連 続 函 数 の

とな る も のが 存 在 す る. い て‖aij(x)‖ をRiemann

計 量 と考 え て距 離 を 定 義 し,二 点x,y∈Rの

距 離 を￨x-y￨で

表 わ す こ とに

す る.Ω 上 の 函 数fnを

と定 義 し,{fn}が   まず 各fnが

定 理 の 条 件 を 満 た す 函 数 列 で あ る こ とを 示 そ う.

連 続 で あ る こ と を 示 す.任

お い て,￨x-x′￨<δ

意 の ε>0に

な る 任 意 の 二 点x,x′∈

対 し て δ=ε/(n+1)と

Ω を と る.こ

の とき

f(y)+n￨x-y￨
Ω が 存 在 し,従

って

とな る.上 の 議 論 でxとx′

を入 れ 替 え て も よいか ら fn(x)
も 成 立 し,￨fn(x)-fn(x′)￨<ε   次 に,fnの ら{fn}は ≦f(x)が

が 得 ら れ る.よ

っ てfnは

定 義 か らfn(x)≦fn+1(x)≦f(x)な 単 調 増 加 列 で あ っ て,そ

成 り立つ.よ

x∈ Ω を 定 め る と き,fnの

る こ とは 容 易 に わ か る.だ

の 極 限 函 数 をφ(x)と

っ てf(x)≧φ(x)な 定 義 に よ り 各nに

Ω で 連 続 で あ る. か

す る と Ω 上 でφ(x)

る こ と を 示 せ ば よ い.任

意 の点

対 して

 (1.6.10)

とな るyn∈ Ω が 存 在 す る.こ の とき

が 成 り立 つ か ら,n→

∞

とす る と き￨yn-x￨→0と

な る.だ

か ら(1.6.10)と

fの 下 半 連 続 性 に よ り

を得 る.以 上 に よ りfが 有 界 な 場 合 に定 理 が 証 明 され た.   [第2段] 

函 数fが 有 界 で な い場 合.fは

上 で1≦f(x)≦ らな い.)函 数

下 に 有 界 と仮 定 し てあ るか ら,Ω

∞ と して 証 明す れ ば よ い.(下 半 連 続 性 は 定数 を 加 え て も変 わ

の とき の とき;た だ し 複号 同順 は-∞

≦λ≦∞ に お い て連 続 か つ 狭 義 単 調 増 加 で あ るか ら,開 区 間(-1,1)

で連 続 な 逆 函 数φ-1が 存 在 し,(1.6.9)に

より

g(x)=(φ°f)(x) は 下 半 連 続 函 数 で,1/2≦g(x)≦1と 数 の 単 調 増 加 列{gn}でgに ≧1/2と

し て よ い.こ

な る.だ

の と き Ω 上 でg1(x)

対 し てgn(x)<1な

求 め る も の で あ る.ま

が 存 在 す る 場 合 に は,1/2
に よ りΩ上の連続函

収 束 す る も のが 存 在 す る;こ

こ で す べ て のn,xに

で 定 義 さ れ る 函 数 列{fn}が

か ら 第1段

らば

た,gn(x)=1と

→1な

る 数 列{cn}を

な るn,x と る と

あ るか ら

で定 義 され る函数 列 が 求 め る もの で あ る.   半 連 続 函 数 は解 析 学 に お け る基 礎 的 な事 項 の一 つ で あ る が,最 近 は この こ と (特 に定 理1.6.2)に

関 す る講 義 が必 ず し も行 なわ れ て い な い よ うに思 わ れ る の

で,特 に この項 目を設 け て,本 書 に お い て必 要 最 小 限 度 の こ とを解 説 した.

第2章  優調和函数

 §2.1  優 調 和 函 数 の 定義

  本 章 では,Ω

は 任 意 の 領域 とす る;す な わ ち,有 界性 や 境 界 の 滑 らか さを 仮

定 しな い.Ωにお

い て,§1.1で

形 式 的 共 役 作用 素A*を

述 べ た 形 の楕 円型 偏 微 分 作用 素Aお

考 え る.

  定義  Ω で 定 義 され た 函 数u(x)が,Ω

でAに

和)で あ る とは,次 の条 件ⅰ),ⅱ),ⅲ)が  ⅰ)  Ω に お い て-∞
よび そ の

∞

関 して 優 調 和(略 してA-優

調

成 立 す る こ とで あ る:

かつ

Ω に お い て 下 に 半 連 続 で あ る;

 ⅲ )  DがD⊂

Ω な る 正 則 有 界 領 域 で あ り,w(x)がDで

調 和 で あ っ て,∂D上

でw(x)≦u(x)な

ら ば,Dに

連 続 か つDでAお い てw(x)≦u(x)が

成 立 す る. 上 の 条 件ⅲ)に

お い て'A-調

に 関 し て 優 調 和(略   まず,A-優 た め,次

和'を'A*-調

し てA*-優

調 和)な

調 和 函 数 はAu≦0を

の こ と に 注 意 す る.D⊂

お け るDirichlet問 続,DでC2級

題 のGreen函

和'と

書 き 換 え る こ とに よ り,A*

函 数 を 定 義 す る.

満 たす 函数 の概 念 の 拡 張 で あ る こ とを 示 す Ω な る 任 意 の 正 則 有 界 領 域Dに 数(§1.3)をGD(x,y)と

で あ っ て,AuがDで

対 し て,Dに

す る と,uがDで

有 界 な ら ば,Dに

連

おいて

 (2.1.1)

が 成 立 す る.(定

理1.3.3に

よ る.)

  定 理2.1.1 函

数u(x)が

Ω でC2級

な ら ば,uが

Ω でA-優

調和であ ること

とAu≦0を

満 たす こ と とは 同 等 で あ る.

  証 明   まずuが

Ω でAu≦0を

満 た す な らばA-優

が 前 述 の定 義 の条 件ⅰ),ⅱ)を 満 た す こ とはC2級 件ⅲ)を 数wと

満 た す こ とを 示 せ ば よい.ⅲ)に を とる と,Dに

調 和 で あ る こ とを示 す.u

な る こ とか ら 自 明だ か ら,条

述 べ られ た よ うな任 意 の領 域Dと

お い てuは(2.1.1)を

函

満 た し,同 様 にwは

 (2.1.2)

を 満 た す.(2.1.1)と(2.1.2)と

だ か ら,Dに

に お い て

お い てu(x)≧w(x)と

(の対 偶)を 示 す た め,Au(x0)>0と D⊂D⊂ 題:Dに

な り,ⅲ)が な る点x0∈

Ω な る よ うな あ る有 界 領 域Dに お い てAw=0,∂D上

の 仮定 を満 たす が,一 方Dに る か らu(x)<w(x)と

成 立 す る.次 に,逆

Ωが あ る と仮 定 す る と,x0∈

お い てAu>0と

でw=u,の

の命 題

な る.wを

解 とす る.こ の ときwは

おい て(2.1.1),(2.1.2)お

よびAu>0が

境界値問 条 件ⅲ) 成立す

な る,だ か らuは 条 件ⅲ)を 満 た さな い こ とに な り,A-

優 調和 で は な い.   A-優 調 和 函数 の 例   領 域 Ω でA-調 和 な 函 数 がA-優 義 か ら明 らか で あ る.Ω に お い て,§1.3の 散 方 程 式 の 基 本解 か ら作 られ るGreen函 使 って,A-調

和 でな いA-優

調 和 で あ る こ とは,定

最 後 の ペ ー ジ に述 べ た よ うに,拡

数 の 存 在 を 仮 定 す れ ば,定 理2.1.1を

調和 函数が 次 の よ うに し て構 成 され る.

  f(x)を Ω 上 で 非 負 値 を と るHolder連

続 な 函数 で,そ の 台 が Ω の 内部 に含

まれ る有 界 集合 で あ る とす る と,函 数  (2.1.3)

はAu=-fを 一般化 として  (2.1.4)

満 た す か ら,定 理2.1.1に ,μ が Ω に お け るBorel測

よ っ てA-優

調 和 で あ る.こ

度 であ っ て函 数

の事 実 の

がΩ

で 恒 等 的 に ∞ で な い な らば,uはA-優

述 定 理2.1.4).従 てA-優

っ て 特 に,任

調 和 で あ る.(μが

一 点yに

  注 意   偏 微 分 作 用 素Aの 的 に0で

意 のyを

場 合 に は,Ω

る こ と と,上

固 定 す る と きG(x,y)はxの

仮 定 し て い る)がΩ

述べ た よ う にGreen函

に お い て恒 等

数G(x,y)が

で 正 の 値 を と り定数 で な いA-優

の よ う なGreen函

函数 とし

集 中 し た 単 位 質 量 の 場 合 で あ る.)

係 数c(x)(≦0と

は な い な ら ば,§1.3で

が,c(x)≡0の

調 和 で あ る こ とが 証 明 さ れ る(後

存 在す る

調 和 函数 が 存 在 す

数 が 存 在 す る こ と と が 同 等 で あ る こ と を,次

の §2.2で 証 明 す る.   定 理2.1.2 

函 数u1,u2がΩ

し てc1u1+c2u2はΩ

でA-優

  証 明   u1,u2がΩ た す こ と,お

でA-優

調 和 な ら ば,任

調 和 な ら ば,c1u1+c2u2が お の お の がⅲ)を

函 数wと

函 数 の 列{u1n},{u2n}で

を と る.u1,u2の

∂D上

の 各 点 でnに

収 束 す る も の が あ る.任

意 の ε>0を

w1=u1n, w2=u2n, 

す こ とに よ り,Dに

題 の 解)と す る.こ

のuに

仮定 の連 続 れ ぞ

つ い て単 調増加 で あ り,∂D あ る.こ

のnを

固定

条 件ⅲ)を

満 た

で それ ぞれ w0=1

の と き,u1,u2が

おいて

が 成 立 す る が,ε は 任 意 に 小 さ くとれ るか らu(x)≧w(x)が 条 件ⅲ)を

対 し てⅲ)の

与 え る と,

な るnが

和 で あ っ て ∂D上

と な る 函 数(Dirichlet問

満

つ い て 単 調 増 加 で あ っ て,そ

だ か ら,Sn=∂Dと

し,w1,w2,w0をDでA-調

定 義 の 条 件ⅰ),ⅱ)を

下 半 連 続 性 に よ り,∂D上

は ∂Dに お け る相 対 位相 で 開 集 合 で あ って,nに は コ ン パ ク トで 

対

満 た す こ とは 明 らか で あ るか

満 た す こ とを 示 せ ば よ い.こ

を 満 た す 領 域Dと

意 の 正 の 定 数c1,c2に

調 和 で あ る.

よ びc1u1,c2u2の

ら,u=u1+u2がⅲ)を

れu1,u2に

でA-優

得 られ,函 数uは

満 た す.

 定 理2.1.3 

Ω でA-優

調 和 な 函 数 の 列{un}が

{un(x)}がnに

つ い て 単 調 増 加 で あ り, 

あ っ て,各

点x∈

Ω において

がΩ で恒 等 的 に ∞ で

は な い な ら ば,uはA-優

調 和 で あ る.

  証 明 uが 定 義 の条 件ⅰ),ⅱ)を 満 た す こ とは 明 らか であ るか ら,ⅲ)を ば よい.uに

対 し てⅲ)の

仮 定 を 満 た す 領 域Dと

函 数wと

示せ

を とる.un-wは

∂D上 で 下 に 半 連 続 で あ るか ら,任 意 の ε>0を 与 え る と,

は ∂Dに お け る 相 対 位 相 で 開 集 合 で あ る.よ 同 様 に し て,Dに

お い てu(x)≧w(x)と

  こ こ で,§1.3の (2.1.4)の

っ て,あ

な る こ と が 示 さ れ る.

最 後 の ペ ー ジ に 述べ たGreen函

函 数uがA-優

と は 前 定 理 の 証 明 と全 く

数G(x,y)が

調 和 で あ る こ とを 証 明 し よ う.G(x,y)は,Ω

る 拡 散 方 程 式 の 最 小 基 本 解U(t,x,y)か

存在すれば にお け

ら

 (2.1.5)

に よ っ て 得 ら れ た も の で あ った.だ

か らU(t,x,y)の

半 群性 に よ り

 (2.1.6)

 以 上 の こ と を 使 っ て,次   定 理2.1.4 

μ がΩ

の 定 理 を 証 明 す る.

に お け るBorel測

度 で あ っ て,函

数

 (2.1.7)

がΩ で恒 等 的 に ∞ で は な い な らば,uはΩ y∈Ω を 固定 す る と き,G(x,y)はxの

でA-優

調 和 であ る.特 に,任 意 の

函 数 と してΩ でA-優

 証 明  まず,有 界 領 域 の列{Dn}でDn⊂Dn+1,  し,各nに

対 し て 函数

な る も の を 固 定 す る.次

調 和 で あ る. なる も の を 固定

ωn∈C20(Ω)で

に 各nとt>0,y∈Ωに

対 して

 (2.1.8)

は 非 負 値 で あ っ て,U(t,y,z)の

連続性 ・ 可 微 分 性に よ り,fn(t,y)はyに

ついて

C2級,従

っ て も ち ろ んHolder連

続 で あ る.だ

か ら函 数

  (2.1.9)

はxに

つ い てAun(t,x)=-fn(t,x)≦0を

つ い てA-優

調 和 で あ る.ま

加 で あ る か ら,∞

満 た す か ら,定

たfn(t,x)は,従

理2.1.1に

っ てun(t,x)もnに

よ りxに

つ い て単 調 増

の値 を 許 す 函数

が 定 義 さ れ る が,(2.1.8),(2.1.9)お

よ び(2.1.6)に

よ り

 (2.1.10)

と な り,従

っ て(2.1.5)に

と な る か ら,u(x)に

よ り

関 す る 仮 定 に よ り,各t>0に

て 恒 等 的 に ∞ で は な い.だ 調 和 で あ る.こ

はnに

こ でtn↓0な

か ら定 理2.1.3に る 数 列{tn}を

調 和 で あ る.特

つ い てA-優

とれ ば,(2.1.10)に

よ りu(tn,x)

だ か ら,再 に,一

点yを

に 集 中 し た 単 位 質 量 を 考 え れ ば,G(x,y)はxの

つい

よ りu(t,x)はxに

つ い て単 調 増 加 で あ って 

よ りu(x)はA-優

対 し てu(t,x)はxに

び 定 理2.1.3に

固 定 し,(2.1.7)の

μ と し てy

函 数 と し てA-優調

和 であ

る.   A*-優

調 和 函 数 に つ い て   今 ま でA-優

調 和 函 数 に つ い て 述べ た 事 項 は,A*-

優 調 和 函 数 に つ い て も そ の ま ま成 立 す る.た て は,xとyと

の 役 目 が 入 れ か わ る.例

だ し,Green函

数G(x,y)に

つ い

えば 定 理2.1.4の(2.1.7)は

 (2.1.7*)

と 書 け ば よ い.な

お,§1.3の

の コ ン パ ク ト集 合E⊂  (2.1.11)

最 後 に 述 べ た(1.3.29),(1.3.28)に

Ω に対 し て

よ り,任

意

が成 立 す るか ら,μ が 有界 なBorel測 所 可 積 分,従

っ て 

度 な らば(2.1.7*)で

対 応 す る定 理 は,次

とな る.だ か らA*-優

函 数υ はΩ でA*-優

度 な らば(2.1.7*)で

函 数 としてA*-優

調 和 であ る.―

い てbi(x)≡0,従

あ って,定 理2.1.4を

っ てA=A*の

定 理2.1.4*と

数 に 関す る大 抵 の文 献 で はA=A*の

場 合 に は,G(x,y)=

同 じ書 き方 に で き る.優 調 和 函

場 合(ま た は それ を 抽 象 化 した 形)が 扱

わ れ て い るが,本 書 に お い て は 特 に 断 わ らな い 限 り  A-優 調 和 とA*-優   Aにお

定 義 され る

調和 で あ る.特 に,任 意 のx∈ Ω を 固定 す る と き,G(x,

  偏 微分 作用 素Aにお G(y,x)で

調和 函 数 に 関 して 定 理2.1.4に

の形 で 述 べ て お く方が 使 い や す い こ とが 多 い.

  定 理2.1.4*  μがΩにお け る有 界Borel測

y)はyの

定 義 され るυ は 局

と して い るの で,

調 和 の概 念 を 区 別 す る.

い てc(x)≡0の

A-優 調 和 函 数 とA*-優

場 合 に は,い

わ ゆ る最 小値 原 理 が成 立す る;こ れ は

調 和 函 数 とに 関 し て,そ れ ぞ れ 次 の 定 理2.1.5,2.1.5*

の 形 に述 べ られ る.   定理2.1.5  偏 微 分 作 用 素Aの 係 数c(x)が

≡0な る とき,領 域Ω でA-優

調

和 な函 数 が Ω の 内部 で最 小 値 を とれ ば,そ れ は Ω に お い て 定 数 で あ る.   証 明  函数uが

Ω でA-優

c(x)≡0な らばuに

調 和 で あ っ て,Ω

で あ る と し て よい.uが

Ω に お い て 定 数 で な い とす る と,E={x∈Ω￨u(x)=0}

はΩ の 真 部 分 集 合 で あ るか ら,Ω x0∈D⊂D⊂Ω

の 内 部 で最 小値 を と る とす る.

定 数 を 加 え て もA-優 調 和 性 は 変わ らな い か ら,最 小 値 が0

の 内部 にEの

な る正 則 な 有 界 領 域Dが

境 界 点x0が

とれ る.uの

上 で非 負 値 を と る連続 函 数 の 単 調増 加列{φn}で,∂D上 が あ る.Dに し て,Dに

お け るDirichlet問 お い てA-調

の解)をwnと

と な る か ら,n→

って

下 半 連 続 性 に よ り,∂D でuに

対

和 で あ っ て ∂D上 でφnに 等 し い 函数(Dirichlet問

題

∞ として

調 和性 に よ り

数 をGD(x,y)と

収束 す る もの し,各nに

す る と,uのA-優

題 のGreen函

存 在 し,従

 (2.1.12)

が 成 立 す る.∂D上 ∂D＼Eは

で ∂GD(x0,y)/∂nD(y)<0で

∂Dに

連 続 性 に よ りu(x0)=0だ

を と るA*-調

たDの

お け る相 対 位 相 で 空 で な い 開 集 合 で あ っ て,そ

で あ る か ら,(2.1.12)の

  定 理2.1.5* 

あ り,ま

右 辺 は 正 で あ る.一 か ら,こ

偏 微 分 作 用 素Aの 和 函 数 と す る.函

方x0∈

∂Eな

と り方 に よ り の 上 で はu>0

る こ と とuの

れ は 矛 盾 で あ る. 係 数c(x)が≡0と

数υ(x)が

領 域Ω

し,ω(x)をΩ でA*-優

上 でυ=Cω

  注 意  Ω で 正 の 値 を と るA*-調

和 函 数 ω は 常 に 存 在 す る.(§1.4)

  定 理2.1.5*の

の 函 数wに

対 して

で 定 義 さ れ る 偏 微 分 作 用 素Aを

考え る と,こ

れ とA*と

  (2.1.13) 

ω-1A*[ωw]=Aw

な る 関 係 が あ る(46ペ でA-優調

ー ジ).ま

ず,υ

和 で あ る こ と を 示 す.υ

がΩ

と な る 定 数Cが

でA*-優

る.こ

連 続 か つDでA-調

の と きωwはDで

り,∂D上 ωw≦υ,従

で ωw≦υ っ てw≦uと

和 で あ っ て,∂D上

連 続 で あ っ て,(2.1.13)に と な る か ら,υ な る.こ

がA*-優

れ でuがAに

の 仮 定 を 満 た す とす る と,函

数u=υ/ω

し た よ うに,uはΩ

調 和 で あ る.AはAの

数Cに

はΩ

っ てΩ 上 でυ=Cω

な る正 則 有 界 領 域 で あ でw≦uを

満 た す とす 和 であ おいて

て 函 数υが

満 た

定 理2.1.5*

の 内 部 で 最 小 値 を と り,上

理2.1.5に

が Ω

満 た せ ば,

よ りDでA*-調

調 和 で あ る.さ

る 条 件 を 満 た し て い る か ら,定

等 し い.よ

調 和 な ら ばu=υ/ω

つ い て 定 義 の 条 件ⅲ)を

でA-優

c(x)≡0な

の間には

調 和 な こ と に よ り,Dに

す こ と が わ か っ た か ら,uはΩ

でA-優

存 在 す る.

が 優 調 和 性 の 定 義 の 条 件ⅰ),ⅱ)を

uも 同 じ条 件 を 満 た す こ と は 明 らか で あ る.DがD⊂Ω り,wがDで

で正の値

調 和 で あ っ て,υ/ω

が Ω の 内 部 で 最 小 値 を と れ ば,Ω

証 明  Ω でC2級

下半

に証 明

形 に 書 き表 わ し た と き の よ りuはΩ上

で あ る定

とな る.

  次 の定 理 も,優 調 和 函数 の性 質 とし て興 味 あ る事 実 で あ り,§2.3と

§6.4で

利 用 され る.優 調 和 函数 は連 続 とは限 ら な い か ら,こ の性 質 は 自明 で は な い.

  定 理2.1.6 

領 域 Ω に お い て 函 数u,υ

優 調 和)で あ っ て,u=υ(a.e.)な   証 明   u,υ

がA*-優

し,u(y0)=υ(y0)を

と る.(u(y0)=∞

uの 下 半 連 続 性 に よ り,y0の の と き,Ω1はy0の Euclid空

＼{y0}を

開 区 間(0,1)と

定 に よ りΩ1で <1)を

適 当 な 近 傍Ω1(⊂Ω)に

の 座 標 系 に 関 し,y0を 点 を'極

意 の 一 点y0∈

お い て α
調 増 加 列{φn}で

原 点 とす る)で

か ら,Fubiniの

球 の 内 部 をΩrと

表 わ す こ と に よ り,Ω1

単 位 球 面 と の 直 積 と 考 え る.Ω1の

と り方 と 定 理 の 仮

定 理 に よ り,適

Green函

数 をG(x,y)(定

と な る も の が あ る.Ωrに 理1.3.1,定

理1.3.3)と

当 なr(0
な る.(§1.1の

は ∂Ωr上 で 下 に 半 連 続 だ か ら,∂Ωr上

 

と な る.こ

中 心 とす る単 位 球 面 に な って い

中 心 と す る 半 径rの

座 標'(y0を

α<υ/ω(a.e.)だ

定 義 参 照.)υ

意 の実 数 α

の 中 で一 つ の局 所 座 標 系 を 固 定 し て

と れ ば ∂Ωrの 上 で 面 積 要 素 に 関 し て α<υ/ω(a.e.)と

dx,dSの

Ω を固定

の と き は α と し て 任 意 に 大 き い 実 数 を と る.)

間 に 埋 め 込 ん だ と き に,∂Ω1がy0を

す る.Ω1＼{y0}の

にA*-

で あ る.

を 前 定 理 に 述 べ た 函 数 と し,任

座 標 近 傍 に 含 ま れ,そ

る と し て よ い.こ

調 和(ま た は,共

に お い てu≡υ

調 和 函 数 の 場 合 を 証 明 す る.任

示 せ ば よ い.ω


が 共 にA-優

ら ば,Ω

の連 続 関 数 の単

お け るDirichlet問

す る と,函

題 の

数 ω(y)はΩrに

おいて  (2.1.14)

を 満 た す.こ

こ で 函 数wn(y)(n=1,2,…)を

 (2.1.15)

に よ っ て 定 義 す る と,Ωrに ら,υ がA*-優

n→

∞

お い てA*wn=0,∂Ωr上

でwn=φn≦υ

とな るか

調 和 な こ とに よ り

と し て か ら,∂Ωr上

でυ/ω>α(a.e.)な

る こ と と(2.1.14)を

用 い て

以 上 に お い て α はu(y0)/ω(y0)に 得 ら れ る.uとυ

と を 入 れ か え て も 同 様 な 議 論 が で き る か らu(y0)≧υ(y0)が

ら れ,u(y0)=υ(y0)と   u,υ

がA-優調

得

な る. 和 函 数 の 場 合 も,全

だ し,上 の 証明にお 函 数G(x,y)の

い くら で も 近 く と れ る か ら,υ(y0)≧u(y0)が

く同 じ 方 法 で 証 明 す る こ と が で き る.た

い て ω(x)を 定 数1で

置 き 換 え,(2.1.14)の

か わ りにGreen

性質

 (2.1.14′)

を 用 い,ま

た 函 数wn(n=1,2,…)は

 (2.1.15′)

と定 義 す れ ば よい.   こ こで,Ω がEuclid空

間Rmの

中 の 任 意 の領 域(Ω=Rmで

も よい),A=△

(ラ プ ラシ ア ン)の 場 合 に,優 調 和 函 数 の 具体 例 を あ げ て お こ う.調 和 函 数 は 優 調 和 で あ る が,以 下 の例 はす べ て Ω で調 和 では ない 函 数 で あ る.  例1  yをRmの

任 意 に 固 定 した 点(y∈Ω

固 定 した 自然 数,aを

定 数,bを

は 優 調 和 で あ る(uは

い た る 所C2級

  例2 

yを 例1の

調 和 で あ る.y∈Ω

通 り,cを

で も 

で も よい),kを

任意に

正 の定 数 とす る と き,

で △u=-2k(2k-1)b￨x-y￨2k-2).

正 の 定 数 と す る と き,υ(x)=c￨x-y￨-(m-2)は

の 場 合 はυ(y)=∞

と な る か ら,υ

はΩ 全 体 で はC2級

優 では

な い.   例3 

例1のu,例2のυ

は 各u,υ で あ る.こ

の 形 の 函 数 を 有 限 個 作 っ て(点yや

ご とに 異 な る),そ の と き,υ

  こ の 例3のwの

れ ら の 正 係 数 一 次 結 合 をwと

の 形 の 函 数 が ∞ に な る 点 で はw=∞

よ うに,w=∞

定 数k,a,b,c

す る と,wは

優調和

で あ る.

と な る 点 が Ω の 中 に 何 個 で も あ りえ る が,

更 に 次 の 例 の よ うに,Ω

の 中 の 可 算 無 限 個 の 点yν{ν=1,2,…)でw(yν)=∞

な る場 合 も あ る;こ

こ で 可 算 集 合{yν￨ν=1,2,…}はΩ

こ の 例 を 見 れ ば,定

理2.1.6が

と

の 中 で 稠 密 で も よ い.

自 明 で な い こ と が,一

層 よ く認 識 さ れ る で あ ろ

う.   例4 

例2の

形 の 函 数υν(x)=￨x-yν￨-(m-2)は

てKρ={x￨￨x￨≦

ρ}と し,球K1の

優 調 和 で あ る.ρ>0を

表 面 積 をaと

最 初 の不 等 式 ≦ で,{x￨￨x-yν￨<ρ}がΩ∩Kρ

与 え

す ると

を 含 む の で は な い が,函 数 値 の

比 較 か ら積 分 値 の大 小が わ か る.そ の次 の等 式 は 極 座 標(yν が原 点)へ の変 換 で あ る.よ る. 

っ て 

は局 所 可積 分,従

は 優 調 和 だ か ら 定 理2.1.3に

っ て ほ とん どい た る所 有 限 で あ

よ りwは

優 調 和 で あ る.

 §2.2  正値A-優

調 和 函数 の 存 在 とGreen函

数の存在

  この §で は,領 域Ω に お い て定 数 で な い 正値A-優 と,拡 散 方 程 式 の最 小基 本解U(t,x,y)か

調和函数が存在す る こと

ら

 (2.2.1)

に よ っ て 定 義 され るGreen函   偏 微 分 作 用 素Aの 等 的 に0で G(x,y)が

数 の 存 在 と が,同

係 数c(x)(≦0と

は な い な ら ば,前 定 義 さ れ,従

u(x)≡k(定

数)と

よ り(2.1.3)で kc(x)と

っ て,前

§ の(2.1.3)で お け るf(x)と

よ っ てGreen函

定 義 さ れ る 函 数uは し てc(x)の

な る が,一

定 義 さ れ るu(x)はAu=-fを

数

非 負 値A-

定 数 倍 で ない も のを

方Green函

しも

数 の性 質 に

満 た す べ き で あ る か ら-f(x)=

と り方に 反 す る.

  以 上 に よ り,c(x)が の こ と と な る.よ

に お い て恒

定 数 で な い こ と は 次 の よ う に し て 確 認 さ れ る.も

す る とAu(x)=kc(x)と

な り,fの

恒 等 的 に0で

っ て,以

は な い 場 合に は,初

下 こ の §で はc(x)≡0と

数 の最 大 値 ・ 最 小 値 原 理,A-優   こ こ で,最

仮 定 し て い る;§1.1)がΩ

に 述 べ た よ う に,(2.2.1)に

優 調 和 函 数 で あ る.(2.1.3)に と っ て お け ば,u(x)が

等 で あ る こ と を 証 明 す る.

め に 述 べ た事 実 は 自 明

す る.従

っ て,A-調

和函

調 和 函 数 の 最 小 値 原 理 が 成 り立 つ.

小 基 本 解U(t,x,y)が

有 界 領域 に お け る基 本解 の 極 限 と して 得 ら

れ た も の で あ る こ とを 想 起 し て お く.{Dn}n=1,2,…

を正則な有界領域の列 で

  (2.2.2)

な る も の と し,各Dnに

対 し て ∂Dn上

き の 拡 散 方 程 式 の 基 本 解 をUn(t,x,y)と に 属 す る と き はUn(t,x,y)=0と は(0,∞)×

Ω ×Ω 上 でnに

  (2.2.3)

と な る(第1章,§1.2).

でDirichlet境 す る.x,yの

定 義 し て お く と,函 関 し て 単 調 増加 で

界 条 件u=0を

与 えた と

少 な く と も 一 方 がΩ ＼Dn 数 列{Un(t,x,y)}n=1,2,…

  今 後,記 号 の簡 便 の た め,ま ぎれ の起 る恐 れ が ない 場 合 に は,函 数 の値 を 表 わ す ときに 変 数 を 省 略 す る こ とが 多 い.例 え ば,Eが れ る集 合 であ る とき,'す べ て のx∈Eに を'Eに

お い てu=υ'と

書 き,ま

函数u,υ の定 義 域 に含 ま

対 してu(x)=υ(x)'が

た 

を 

成 り立 つ こ と と書 く; 

等 も同様に 用 い られ る.   こ の § の 目的 の た め,ま 則 有 界 領 域D0を ⊂D1な

ず 次 の よ うな 函 数 列{ωn}を

と り,(2.2.2)を

とな る 函 数 と し,更

D0でA-調

上 で ωn=0,∂Dnの

はωn=0,Ω

体 で 連 続 な 函 数 と し て お く.こ   補 助 定 理2.2.1 ⅰ) 

をD0

対 し て ωnを

和,∂D0の にD0で

な る正

満 た す 正 則 有 界 領 域 の 列{Dn}n=1,2,…

る よ うに と る.各n≧1に Dn-D0でA-調

考 え る.D0⊂Ω

は ωn=1と

定 義 し て,Ω

全

の と き,

{ωn}はnに

和 な あ る 函 数 ω に,広

 ⅱ)  上 記 の 函 数 ω は 領 域D0の

＼Dnで

上 で ωn=1

関 し て 単 調 に 減 少 し,Ω

上 で 連 続 か つΩ ＼

義 一 様 に 収 束 す る. み に よ っ て 定 ま り,領 域 の 列{Dn}n=1,2,…

の

と り方 に は 関 係 し な い.  ⅲ) 

函 数 ω はΩ ＼D0に

る か の,い (D0に

お い て,恒

ず れ か で あ る.ど

等 的 に0と

ち ら が 成 り立 つ か は,D0の

お い て はⅰ)に よ り常 にω=0と

お い て ωn-ωn+1=0,∂Dnに

ωn-ωn+1はDn-D0でA-調 り,従 n≧n0な

ら ば ωnはDn0＼D0でA-調

か ら,{ωn}はΩ 収 束 す る(第1章,定

ωn≦1で

ωn≧ωn+1(最 小 値 原 理)と な

関 し て 単 調 に 減 少 す る.任 和 で あ り,D0で

上 で 連 続 か つΩ ＼D0でA-調

あ る か ら,

お い て ωn-ωn+1≧0.

和 だ か ら,Dn-D0で

っ てΩ 全 体 で{ωn}がnに

と り方 に 関 係 し な い.

な る.)

  証 明 ⅰ)  最 大 値 原 理 に よ り各 ωnは Ω 上 で0≦ ∂D0に

な るか 又 は 常 に 正 の 値 を と

意 のn0に

対 し て,

は す べ て の ωnが

和 な あ る 函 数 ω に,広

≡0だ

義一様 に

理1.4.7).

 ⅱ)  上 に 述 べ た よ うな 領 域 の 列{Dn}と{D′n}が

あ る と し,対

{ωn},{ω′n}の 極 限 函 数 を そ れ ぞ れω,ω′ とす る.任

意 のnに

ン パ ク トだ か ら,Dn⊂D′n′

な るn′ が あ る.こ

応 す る 函数 列

対 し て,Dnが

コ

の と きⅰ)の 証 明 と 同 様 に し て Ω

上 で ωn≧ω′n′ とな る.ⅰ)に

よ りΩ上 で ω′n≧ ω′だ か らωn≧ ω′と な り,こ

n→ ∞ とす れ ば ω≧ ω′を 得 る.同 り,ω が{Dn}の  ⅲ) 

様 に し て ω≦ ω′も 示 さ れ る か ら,ω ≡ω′と な

と り方 に 関 係 し な い こ とが わ か る.

Ω＼D0に

お い て,ω ≡0で

な い な ら ば ω が 常 に 正 で あ る こ と は,最

値 原 理 か ら 明 らか で あ る.上 に 述 べ た よ うなD0と 考 え,こ

小

同 じ 条 件 を 満 た す 別 のD′0を

れ に 対 し て 作 ら れ た{ω′n}の 極 限 関 数 を ω′とす る.D0∪D′0⊂Dな

DをD0と

同 じ 条 件 を 満 た す よ うに 作 り,D0とD,D′0とDに

つ い ても こ の 命 題 が 成 り立 つ.よ

か らD0⊂D′0と

ω′ ≡0と

仮 定 し て,ω ≡0と

たⅱ)に

てD′0⊂D1と

よ り,領

って 初 め

が 同等 な こ とを 証 明す れ ば 十 分 で

域 の 列{Dn}はD0とD′0に

共 通 に と っ て よ い;従

っ

し て よい.

  ま ず Ω＼D0にお

い て ω≡0な

ωn-ω′nはDn＼D′0でA-調

ら ば ω′ ≡0な

る こ と を 示 す.D0⊂D′0に

だ か らDn＼D′0に ω′ ≧0と

な る か ら,ω ≡0な

ら ば,Ω

＼D′0に お い て ω′>0な 域D1＼D0(⊃

収 束 す る か ら,あ

お い て ωn=ω′n=1

お い て ωn≧ω′n≧0;こ こ でn→

と な る.c0
ら ば ω′ ≡0で あ る.次

るn0が

＼D0に

お い て ω>0な

と る と,コ ン パ ク ト集 合 ∂D′0の上 で ωnが ω に 一 様 ら ば ∂D′0の上 で ωn
な る.

和で

∂D′0にお い てω′n=0>ωn-c,∂Dnに

上 でn→

に,Ω

る こ とを 示 せ ば よい, 

存 在 し て,n>n0な

ω′n-(ωn-c)はDn＼D′0でA-調

特 に ∂D1の

∞ と す れ ばⅰ)に よ っ て ω≧

∂D′0)に 最 大 値 ・最 小 値 原 理 を 適 用 す れ ば,0
だ か ら,Dn＼D′0に

よ り,

和 で あ って

∂D′0にお い てωn≧0=ω′n,∂Dnに

と お き,領

る

ついてそれぞれ

こ の 命 題 が 示 され れ ば,D0とD′0に

あ る.ま

こで

お い て ω′n=1>ωn-c

お い てω′n-(ωn-c)>0,従 ∞ と し て ω′ ≧ ω-cを

っ てω′n>ωn-c≧ 得 る か ら,cとc1の

 従 っ て Ω＼D′0に お い て 

ω-cと

な る,

と り方 に よ り

と な る か ら,ω>0な

る こ

成 り立 つ な ら ば,Ω

におい

とが わ か る.   補 助 定 理2.2.2 

前 の 補 助 定 理 のⅲ)で

て 定 数 で な い 正 値A-優

ω≡0が

調 和 函 数 は 存 在 し な い.

  証 明   Ω に お い て 定 数 で な い 正 値A-優 x1,x2∈

Ω

調 和 函 数uが

と正 数cをu(x1)
よ り,W={x∈

W0⊂Wだ

る よ うに と れ る.uの

Ω￨u(x)>c}はx2を

な る 開 集 合W0が

あ る.D=Ω

あ る と 仮 定 す る と,点 下半連続性に

含 む 開 集 合 で あ る か ら,x2∈W0⊂W0⊂W ＼W0は

開 集 合 で あ っ てx1を

含 み,ま

た ∂D⊂

か ら,

 (2.2.4)

一方

,ω=0が

成 り立 つ とい う こ と は 前 に 述 べ たD0の

ら,D0をD0⊂Wな

る よ うに と っ て,前

た と き に,{ωn}の

極 限 函 数 が ω≡0と

と お く と,(2.2.4)に

よ り α<β

と り方 に 関 係 し な い か

に 述 べ た よ うに{Dn}と{ωn}を

作 っ

な っ た と し て よ い. 

で あ る か ら,各nに

対 して

の上 で ま た,∂Dnの

上 で はωn=1だ

か ら

の上 で だか ら の上 で とな る.函 D∩Dnの

数u-{(α-β)ωn+β}はD∩Dnに

お い てA-優

調 和 で あ るか ら

各 連 結 成 分 の上 で最 小 値 原 理 を 適 用 す れ ば に おい て

とな る.こ

こ でn→

∞ と す る と ω≡0に

て 

を 得 る;こ

でな い 正 値A-優

調 和 函数 は 存 在 し ない.

  さて,こ

れ は(2.2.4)と

よ り,Dに

お い て 

矛 盾 す る.だ

従 っ

か ら Ω に お い て定 数

の §の初 め に 述 べ た よ うな 正 則 有 界 領 域 の 列{Dn}と,基

{Un(t,x,y)}を

考 え る.各 有界 領 域Dnに

本解の列

対 して は

 (2.2.5)

が 定 義 さ れ て,Dirichlet境 関 し て 単 調 増 加 で あ る.よ に 対 して

界 値 問 題 のGreen函 っ て,Ω

数 と な り,{Gn(x,y)}はnに

上 で 有 界 か つHolder連

続 な 任 意 の 函 数f

 (2.2.6)

で 定義 され る函 数unは   (2.2.7)  を 満 た し,特 る.(x∈

Dnに

お い てAun=-f,∂Dnの

にf≧0な

Ω＼Dnに

ら ば,unは

  補 助 定 理2.2.3  る.そ

の と き,f∈C10(Ω)か

Ω で連 続

こ で 次 の こ とを 証 明 す る.

つ Ω 上 でf≧0な

調和 函数 が存 在 す る とす

ら ば,(2.2.6)で

定 義 され る函数

を満 たす.

  証 明   函 数fの

台 を 含 む よ うなDn0を

用 い て,n>n0な

定 理2.2.1に

関 し て 単 調増 加 で あ

定 義 す る こ と に よ り,unは

Ω に お い て 定 数 で な い 正 値A-優

列{un}は 

D0を

非 負 値 で あ っ てnに

対 し て はun(x)=0と

な 函 数 と考 え る こ と に す る.)こ

上 でun=0

るDnに

よ り函 数 列{ωn}は

す る.こ

の

対 し て 函 数 ωnを 前 の よ う に 定 義 す る と,補

助

Ω＼D0でA-調

補 助 定 理2.2.2(の

対 偶)に よ り,Ω ＼D0で

とお き 

とお く とγ>0で

とお く と,(2.2.7)と

と っ て 固 定 し,D0=Dn0と

和 な 函 数 ω に 収 束 し,仮 ω>0と

あ る.n>n0な

Ω＼D0でf=0な

な る.だ る各nに

定 と

か ら,S=∂Dn0+1 対 し て 

る こ とに よ り

に おい て の上 で の上 で だ か ら 最 小 値 原 理 に よ りDn＼D0の でun≦cn(1-ω)と

上 でcn(1-ω)-un≧0と

な る.特

な るか ら

 (2.2.8)

次 に,Dn0+1に の 上 でun0+1=0で

だ か ら   (2.2.9)

お い てAun=Aun0+1=fに あ る か ら,最

よ りA(un-un0+1)=0,∂Dn0+1=S

大 値 原 理 と(2.2.8)に

よ り

と な り,こ

れよ り

にSの

上

を 得 る.一

方Dn＼D0で

はAun=f=0,∂Dnの

上 で はun=0だ こ れ と(2.2.9)と

原 理 に よ り 

を 得 る.こ

各nに

の 右 辺 はn(>n0)に

対 し て 

べ て のnに

であ るか ら,上 の 結 果 か ら    以 上 の こ と を 用 い て,次   定 理2.2.1 

係 数c(x)が 数G(x,y)が

要'性

ら(2.2.1)

定 義 さ れ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Ω

Ω で 恒 等 的 に0の 存 在 す れ ば,定

において

場 合 に証 明す れ ば よい

理2.1.4に

函 数 と し て Ω でA-優

は 明 ら か で あ る.よ

数G(x,y)が

た よ う に,Ω

はun=0

が 得 られ る.

  Ω に お い て 定 数 で な い 正 値A-優 Green函

つ い て Ω ＼Dnで

調 和 函 数 が 存 在 す る こ と で あ る.

す る と きG(x,y)はxの け る'必

る

の 定 理 を 証 明 し よ う.

数G(x,y)が

定 数 で な い 正 値A-優

  Green函

た1≦n≦n0な

領 域 Ω に お け る 拡 散 方 程 式 の 最 小 基 本 解U(t,x,y)か

に よ っ てGreen函

  証 明   Aの

大値

か ら

無 関 係 な 有 限 な 値 を と る.ま

は 有 限 で あ り,す

か ら,最

よ り,任

意 のy∈

調和 で あ る か ら,こ

っ て,'十

分'性

Ω を 固定 の定 理 に お

を 証 明 す る.

調 和 函 数 が あ る とす る.(2.2.1)に

定 義 さ れ る こ と を 示 す に は,第1章

の 内 部 に あ る 任 意 の コ ン パ ク ト集 合Eに

§1.4の

よっ て 最 後 に述 べ

対 して

 (2.2.10)

な る こ と を 証 明 す れ ば よ い.Ω を 定 め,unを(2.2.6)に

こ こ でn→

あ る.こ

∞

つE上

よ っ て 定 義 す る と,補

す べ て のn,す と な るMが

上 でf≧0か

べ て のx∈

の と き(2.2.5)に

とす る と,Un(t,x,y)のnに

でf≧1と 助 定 理2.2.3に

な る 函 数f∈C10(Ω) よ り

Ω に 対 し てun(x)≦M<∞ よ り,任

意 のx∈

Ω に対 して

関 す る 単 調 性 と(2.2.3)に

 に な る か ら(2.2.10)が

成 立 す る.

より

  定 理2.2.2 

前 定 理 のGreen函

述 べ た 通 り と す る と,函

数G(x,y)が

存 在 す る と し,Gn(x,y)を

数 列{Gn(x,y)}はnに

前に

関 し単 調 増 加 で

 (2.2.11)

こ の 収 束 は,互 ×Fの

い に 交 わ ら な い 任 意 の コ ン パ ク ト集 合E,F⊂

上 で 一 様 で あ る.ま

た 任 意 の 点z∈

Ω に 対 し て,E

Ω に対 し て

 (2.2.12)

  証 明   {Un(t,x,,y)}がnに (2.2.5)に つ.E,Fが

コ ン パ ク トでE∩F=φ

続 で あ る か ら,Diniの る.ま

関 し て 単 調 増 加 な こ と,お

よ り,{Gn(x,y)}はnに

G(x,y)が(2.2.12)を

な ら ば,Gn(x,y),G(x,y)はE×Fで

定 理 に よ り(2.2.11)の

た,Gn(x,y)が(2.2.12)を

よ び(2.2.1),(2.2.3),

関 し 単 調 増 加 で あ っ て(2.2.11)が

収 束 はE×Fの

満 た す(第1章,定

満 た す こ と が わ か る.

成 り立 連

上 で一 様 で あ

理1.3.8)こ

と か ら,

 §2.3  優 調和 函数 の局 所 可 積 分 性 とRiesz分

解

 この §で は領 域 Ω に お け るA-優 調 和 函数uに

対 して,ⅰ)局 所 可 積 分 性,ⅱ)

Ω 上 で非 負 値 を と る任 意 のf∈C20(Ω)に 対 して  と,お ⅱ)は り,そ

よ びⅲ)Riesz分

  Dが ∂D上

解 の 定 理(後 述 定 理2.3.4と

優 調 和 函 数uがSchwartzの の 意 味 で はⅲ)も

前 提 と し な い で,直

とな る こ 定 理2.3.5)を

超 函 数 の 意 味 でAu≦0を

超 函 数 の 理 論 に 含 ま れ る が,こ

証 明 す る.

満 た す こ とで あ

こで は 超 函 数 の 理 論 は

接 証 明 を 与 え る.

Ω に 含 ま れ る コ ン パ ク ト集 合 で あ る よ う な 任 意 の 正 則 領 域Dに でDirichlet境

UD(t,x,y)と

界 条 件 を 与 え た と き のDに

お け る拡 散方 程式 の基 本解 を

書 く こ と に す る.

  補 助 定 理2.3.1 

Ω0を Ω の 中 の 正 則 領 域 で,Ω0が

集 合 で あ る も の とす る.u(x)は と る 函 数 と し,υ(x)は は υ(x)=0と

対 し,

Ω でA-優

調 和 で あ っ て,Ω0の

Ω0の 上 で 連 続 か つ0≦

な る 函 数 とす る.こ

て 

の と き,任

Ω に 含 まれ る コンパ ク ト

υ(x)0と

上 で正 の値 を

満 た し,∂ Ω0上 で 任 意 のx∈Ω0に

対 し

と な る.

 証 明  領 域 Ω で正 の値 を と りAω=0を

満 た す 函 数 ωを 一 つ 固定 し,Aを

 な る偏 微 分 作 用 素 と す る.こ の とき, §1.4(47ペ

ー ジ)で

述 べ た よ うに, 

に お け る 拡 散 方 程 式 ∂w/∂t=Aw,にDirichlet境 で あ り,ま

たu=ω-1uと

優 調 和 な ら ばuはA-優 対 し てu=ω-1u,υ=ω-1υ

お く と,Au=ω-1Auと

界 条 件 を 与 え た もの の基 本 解 な る;こ

調 和 な る こ とが 容 易 に わ か る.こ

の 補 助 定 理 のu,υ

に

を示 お い てc(x)≡0と

した 形 で あ る

場 合 に この補 助 定 理 を 示 せ ば よい.以 下 この 場合 に

つ い て証 明 を述 べ る.  そ こ で, 

の こ とか ら,uがA-

と お い て 

せ ば この補 助定 理 の結 論 を 得 るが,AはAに か ら,最 初 か らc(x)=0の

は Ω0

と お き,

あ るt>0,x∈

Ω0に 対 し てυ(t,x)≧u(x)

とな る こ と を 仮 定 し て 矛 盾 を 導 け ば よ い.ま

ずu(x)-υ(x)はΩ0に

お い て正 の

値 を とる下 半 連 続 関 数 であ るか ら   (2.3.1) Ω0の

上 で0<υ(x)+δ
と な る 正 数 δを と る こ と が で き る.い

ま

があ る

とな る  と お く と,t0>0で

あ る;こ

一様 に 

の こ と は,基

と な る こ と と(2.3.1)に

性 質 に よ り Ω0で

よ っ て わ か る.ま

た,

な らば

 (2.3.2) 

だ か ら,x∈

本 解UΩ0(t,x,y)の

∂Ω0な ら ばυ(t,x)=0な

る こ と と,υ(t,x)の

連 続 性 お よ びu(x)の

下 半 連 続 性 に よ り,   (2.3.3)  と な る 点x0が

υ(t0,x0)=u(x0)<∞ Ω0の 内 部 に と れ る.更 Dに

に,x0∈D⊂

Ω0な る 正 則 領 域Dを

お い て υ(x)<υ(x0)+δ/3,u(x)>u(x0)-δ/3

とな る よ うに と れ る.こ

れ ら の 不 等 式 と(2.3.1)と

Dに

 (2.3.4) 

か ら

おいて

{un}を ∂D上 の連 続 函数 の単 調 増 加 列 で,∂D上

とな る も

で 

の とす る と,  (2.3.5)

な る こ とが,Diniの

定 理 の 証 明 と 同 様 に し て 示 され る;そ

辺 の 値 が ∞(す な わ ち ∂D上 でu(y)≡ をDirichlet境

場 合 も,本

の右

質 的 に 同 じ で あ る.wn

界 値 問 題: Dに

の 解 と す る と,uの

お い てAwn=0,∂Dの

優 調 和 性 に よ りDに

nに 関 し て 単 調 増 加 だ か ら,Dの  (2.3.6) 

Aに

∞)の

の 論 法 は,上

対 す る 仮 定c(x)≡0に

上 でwn=un お い てwn(x)≦u(x)で

あ り,{wn}は

各点 で

が存 在 して よ り,wnは

∂D上

で 最 小 値 を と る か ら,Dに

おい

て 

と な る.従

Dに

 (2.3.7) 

一方 で,初

,wnをDに

よ り

おいて

お け る 拡 散 方 程 式 ∂wn/∂t=Awn(実

期 値wn(x),境

UD(t,x,y)(こ

っ て(2.3.5),(2.3.4)に

界 値un(x)を

は 両 辺 と も に0)の

と る も の と 考 え る と,Dに

解

お け る基 本 解

の §の 初 め に 述 べ た も の)を 用 い て

な る 関 係 が 得 ら れ る か ら,n→

∞ と す る と,(2.3.5)に

よ り

 (2.3.8)

υ(t,x)を(0,∞)×Dに

制 限 した 函数 をDに

お け る拡 散 方 程 式 の 解 と考 え,

y∈ ∂Dに 対 す る υ(t,y)自 身 の 値 を 境 界 値 と考 え る と

特 にt=t0,x=x0と

す る と,(2.3.7),(2.3.2),(2.3.8)に

で あ るか ら,上 の 不 等 式 は(2.3.3)

基 本解 の 正 値性 に よ り  と 矛 盾 す る.こ

れ で 補 助 定 理2.3.1が

  注 意1  後 述 の 定 理2.3.1が 対 し て,集

合{x∈

よ り

示 さ れ た.

証 明 さ れ た な ら ば,Ω

Ω￨u(x)=∞}は

でA-優

調 和 な 函 数uに

内 点 を も た な い こ と が わ か る.し

か し定 理

2.3.1の

証 明 が 終 る ま で は,こ

例 え ば(2.3.8)の

の こ と は 保 証 さ れ て い な い か ら,今

各 項 は ∞ か も知 れ な い.だ

の 有 限 な 実 数 は<∞,∞

か ら,上

な ど に よ っ て,∞

て も 上 の 証 明 の 各 段 階 は 正 当 化 さ れ る.定 の 証 明 中 の 式 に は,∞

のt>0,x∈

の証 明 に お い て は,任

意

≦ ∞ な ど の 約 束 に 従 っ て い る と 考 え る の で あ る が,基

本 解 の 性 質UD(t,x,y)≧0, 

  補 助 定 理2.3.2 

の 段 階 で は,

理2.3.1が

の項 が あ っ

証 明 さ れ て し ま え ば,上

の 項 は な か っ た こ と に な る.

Ω0お よ びu(x)を

補 助 定 理2.3.1の

と お り と す る と,任

意

Ω0に 対 し て

 (2.3.9)

と な る も の と し,

 証 明   {Ωn}を Ωn⊂Ω0な る領 域 の 単 調 増 加 列 で  各nに

対 し て,φn(x)をΩ0上 x∈ Ωnな

で0≦

φn(x)≦1な

ら ばφn(x)=1,x∈

を 満 た す も の とす る.uはΩ0の

∂Ω0な ら ばφn(x)=0

上 で 正 の 値 を と る 下 半 連 続 函 数 だ か ら,Ω0で

非 負 値 を と る 連 続 函 数 の 列{un}で,nに も の が あ る.各nに

対 し,函

  な お,次

こ でn→

∞

関 し て単 調 に 増 加 し てuに

数 υn(x)=un(x)φn(x)は

に 対 す る 仮 定 を 満 た す か ら,任

が 成 り立 つ.こ

る連 続 函 数 で

意 のt>0,x∈

収 束す る

補 助 定 理2.3.1の

函数 υ

Ω0に 対 し て

とす れ ば(2.3.9)を

得 る.

の 事 実 も 下 記 の 二 つ の 定 理 の 証 明 に 用 い る.

函数uが

領 域 Ω でA-優

調和 な ら ば,Ω0が

Ω に含 ま れ る コン

パ ク ト集 合 であ る よ うな 任 意 の 正 則 領 域 Ω0に 対 し て,Ω0で 連  (2.3.10)[

続 か つ Ω0でA-調和 u(x)+h(x)>0と   こ の よ う な 函 数hは,例

Ω0でA-調

適 当に と れ ば,Ω0に

おいて

な る. え ば 次 の よ うに 定 義 さ れ る,uは

を と る か ら,そ れ を α とす る.α>0な る.wを

な 函 数hを

ら ばh≡0と

和 か つ ∂Ω0で 境 界 値w=1を

で 正 の 最 小 値 β を と る か ら,h(x)={1-(α/β)}w(x)と

Ω0の 上 で 最 小 値

す れ ば よい か ら,α ≦0と す と る 函 数 と す る と,ω

は Ω0

す れ ば よ い.(Aに

お

い てc(x)≡0は でw>0な

仮 定 し て い な い か ら,wに

ら ば Ω0でw>0と

とGreen函

な る こ と は,境

数 の 性 質(1.3.3*)か

 定 理2.3.1  領 域 Ω でA-優 わ ち,D⊂

調和 な 函 数uは,Ω

和 だ か らu(x0)<∞

と り,函

あ る か ら,初

な る 点x0が

あ る.Ω0をD∪{x0}⊂

対 し て(2.3.10)の

数u1(x)=u(x)+h(x)がDで

め か ら Ω0にお い てu(x)>0と

を 示 せ ば よ い.こ

で局 所 可 積 分 で あ る.す な

対 し て 

Ω0⊂ Ω0⊂ Ω な る正 則 有 界 領 域 とす る.Ω0に 函 数hを

界 値 問 題 の 解 を 与 え る式(1.3.5)

ら わ か る.)

Ω な る任 意 の有 界 領 域Dに

  証 明   uはA-優調

最 小 値 原 理 は 適 用 さ れ な い が,∂ Ω0

よ うなA-調

和

可 積 分 な こ とを示 せ ば十 分 で 仮 定 し て,uがDで

の 仮 定 の も と で は 補 助 定 理2.3.2に

よ り,任

可積分 な こと 意 のt>0,x∈

Ω0に 対 し て  (2.3.11)

t0>0を

ひ と つ 固 定 す る と,任

意 のx,y∈

Ω0に

対 し てUΩ0(t0,x,y)は

と な る.だ

値 を と る か ら, 

か

正の

ら(2.3.11)に

 とな り,uがDで

よ り

可積 分 な

こ と が 示 さ れ た.

 定 理2.3.2  函数uが

領 域 Ω でA-優

調 和 な らば,Ω

で非 負 値 を と る任 意 の

f∈C20(Ω)に 対 して   証 明. fの 台 を含 む 有界 領 域 Ω0で Ω0⊂Ω な る もの を と り,  (2.3.12)

を 示 せ ば よ い.Ω0に

対 し て(2.3.10)の

和 函 数hを

と な る.だ

き  u(x)+h(x)に

よ うなA-調

か ら,函

を 証 明 す れ ば,uに

対 し て 

(2.3.12)が

成 り立 つ こ と に な る.よ

(2.3.12)を

証明 す れ ば よ い.こ

な る こ とに よ り

と る.こ

っ て 初 め か ら Ω0でu(x)>0と

の と

数u1(x)=

対 して 仮 定 し て

の 仮 定 の も と で は 補 助 定 理2.3.2とf(x)≧0

 (2.3.13)

一 方 ,基 本 解 の性 質 に よ り

(Aの

添 え 字xは,UΩ0(t,x,y)の

変 数xにつ

い てAを

施 す こ と を 示 す)と

な

る か ら,

がy∈Ω0に

つ い て有 界 収 束 で成 立 し,従 っ て

がy∈Ω0に

つ い て 有 界 収 束 で 成 立 す る.だ

てt↓0と

し た 極 限 を と れ ば,(2.3.12)が

  定 理2.3.3  存 在 し て,任

Ω 上 のA-優

左 辺 をtで

割 っ

得 ら れ る.

調 和 函数uに

意 のf∈C20(Ω)に

か ら,(2.3.13)の

対 し て,Ω

に お け るBorel測度

μが

対 して

 (2.3.14)

  証 明   任 意 のf∈C0(Ω)に っ て 定 義 す る と,C0(Ω)は

対 し て,そ

線 型 ノ ル ム 空間 を な す.{Dn}n=1,2,…

界 領 域 の 列 でDn⊂Dn+1,  属 す る 函 数 で 台 がDnに C0(Dn)に

はC0(Ω)の

な る も の と し,各nに 含 ま れ る も の の 全 体 をC0(Dn)と

属 す る 関 数fは,Dnで

て,Ω-Dnで

はf(x)≡0と

の ノ ル ム を‖f‖=maxx∈

をΩ

よ

の中の有

対 し て,C0(Ω)に 書 く こ と に す る;

連 続 か つ ∂Dnでf(x)=0と

な るものであっ

し てΩ 全 体 に 拡 張 し た も の と考え て も よい.C0(Dn)

線 型 部 分 空 間 で あ り,ノ ル ム‖f‖ に 関 し て 完 備(従

間)で あ る.ま

Ω￨f(x)￨に

たC20(Dn)はC0(Dn)の

っ てBanach空

中 で ノル ム に関 し て稠 密 な 線 型 部分 空 間

で あ る.こ

こ で,任

意 のf∈C20(Ω)に

く こ と に す る と,L(f)はC20(Ω)の て 正 値 汎 函 数 で あ る;す   (2.3.15) Ω   各nに

対 し て(2.3.14)の

上 の 線 型 汎 函 数 で あ り,ま

書

た前定理に よっ

なわ ち 上 でf(x)≧0な

対 し て,Ω

左 辺 の 値 をL(f)と

ら ばL(f)≧0.

上 でgn(x)≧0,Dn上

でgn(x)=1と

な るgn∈C20(Ω)を

一

つ 固 定 し て お く.ま ず   (2.3.16) 

任 意 のf∈C20(Dn)に

対 し て￨L(f)￨≦L(gn)‖f‖

と な る こ とを 示 そ う.(f∈C20(Dn)をΩ こ と に よ りf∈C20(Ω)と

＼Dnに

考 え る.)gnの

-‖f‖gn(x)≦f(x)≦‖f‖gn(x)が

さ れ て￨Ln(f)￨≦L(gn)‖f‖ お け るBorel測度

 (2.3.17) 

  次 に,測

正 値 線 型 汎 関 数 な る こ とに

れ は(2.3.16)を

を 満 た す.だ

任 意 のf∈C0(Dn)に

度 μn(n=1,2,…)をΩ

μm(Dn)≦ μm(Dm)<∞

が 得 ら れ る.以 μn(E)=μm(E)と

よ り,C20(Dn)の

上 で

一 意 的 に 拡 張

か ら,Riesz-Markovの

定 理 に よ り,

な る も のが 存 在 し て

対 して

上 の 一つ のBorel測

度 μ に 拡 張 す る.n<m

らば

中 で ノ ル ム に 関 し て 稠 密 で あ り,μn(Dn)<∞, だ か ら,上

の 式 か ら任 意 のf∈C0(Dn)に

上 に よ り,n<mな な る.だ

意 のn,任

意 味 す る.C20(Dn)は

上 の 正 値 線 型 汎 函 数Ln(f)に

と な る.C20(Dn)はC0(Dn)の

と な る.こ

ら ばΩ 上 で

μnで μn(Dn)≦L(gn)<∞

で あ っ てf∈C20(Dn)な

(2.3.18)任

定 め 方 に よ り,f∈C20(Dn)な

中 で ノ ル ム に 関 し て 稠 密 だ か ら,(2.3.16)に

考え た 線 型 汎 函 数LはC0(Dn)の

Dnに

定義す る

成 り立 つ か ら,Lが

よ り-‖f‖L(gn)≦L(f)≦‖f‖L(gn);こ C0(Dn)の

お い て はf(x)=0と

ら ば 任 意 のBorel集

か ら Ω に お け るBorel測 意 のBorel集

の と き任 意 のf∈C20(Ω)に

合E⊂Dnに 対 し て,fの

対 して

合E⊂Dnに

対 し て

度 μが 存 在 し て 対 し て μ(E)=μn(E) 台 を 含 むDnを

と れ ば,

(2.3.17),(2.3.18)に

よ

こ れ で(2.3.14)が

り

示 さ れ た こ と に な る.

  次 にRiesz分

解 の 定 理 を 与 え る.D⊂Ω

るDirichlet境

界 値 問 題 のGreen函

  定 理2.3.4 

函 数uがΩ

D⊂Ω と,D上

数 をGD(x,y)と

に お い てA-優

な る 任 意 の 正 則 有 界 領 域Dに のA-調

な る 任 意 の 正 則 有 界 領 域Dに

和 函 数hDが

おけ

書 く.

調 和 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,

対 し て,Dに

存 在 し て,D上

お け る 有 界Borel測

度 μD

で 次 の 式 が 成 立 す る こ と で あ る:

 (2.3.19)

こ の と き μD,hDはuとDに

よ り一 意 的 に 定 ま る;特

に よ っ て 定 ま るBorel測 い てuがA-調

度 μ のDへ

の制 限 で あ る.ま

和 な こ と と μ(Ω0)=0な

  ((2.3.19)をA-優

は領 域Dに

A*υ(y)=-1(y∈D),υ(y)=0(y∈

定 理 に よ り),従

理2.1.4(でΩ

をDと

定 理2.1.2に

f∈C20(Ω)と

お い てA-優

調 和 で あ る.A-優

意 のf∈C20(D)を

を 満 た し,A*fがDで

有 界 で あ る.こ

はDで

よ りwはDに

任 意 性 に よ り,uはΩ

考え て よ い.特

解 で あ る か らDで

可積分

っ て ほ と ん ど い た る 所 で 有 限 値 を と る.だ

す る)に

でA-優

と る;Ω ＼Dで にfをDで

連 続 だ か ら,定

お

お け る境 界値 問題:

数 

よ りuもDでA-優

あ る か ら,Dの   必 要 性.任

∂D),の

に よ り,函

域Ω0(⊂Ω)に

解 とい う.)

 証 明  十 分 性.函 数 

(Fubiniの

た,領

に お い てu

る こ と と は 同 等 で あ る.

調 和 函 数uのRiesz分

の こ と と μD(D)<∞

に μDは,Ω

調 和,従

か ら定

っ て ま た,

調和性の定義は局所的で

調 和 で あ る. はf(x)=0と

考 え る と,∂Dの 理1.3.3に

す る こ と に よ り, 上 で 境 界 条 件f(x)=0

よ り

 (2.3.20)

が 成 り立 つ.A-優

調 和 函 数uに

測度 μ が 存 在 し て(2.3.14)が

対 し て 定 理2.3.3に 成 立 す る か ら,こ

よ り,Ω

に おけ るBorel

れ を 上 に 述 べ たf∈C20(D)に

適

用 す る とき は,両 辺 の積 分 領 域 をDと

書 き,μ のDへ

の 制限 μDを 用 い て

 (2.3.21)

と書 い て も よ い.こ

の 右 辺 のf(y)に(2.3.20)の

右 辺 を 代 入 し て,積

分 の順 序

を変 え る と

すなわ ち  (2.3.22)

上 の 式 の{…}内

の 函 数 をh°D(x)と

で あ る か ら,h°D(x)はDで

可 積 分 で あ る.(2.3.22)に

弱 い 解 で あ る か ら,定

と ほ と ん ど い た る 所 一 致 し,従 と な る;こ x∈Dで

理1.4.11に

こ の 等 式 が 成 立 す る.以 意 のf∈C20(D)を

辺 の 第1項

が 得 ら れ る.こ μD(D)<∞

と り,(2.3.19)の

ま る.従

  最 後 に,領

理2.1.6に

両 辺 にA*f(x)を

域Ω0でuがA-調 一 意 的 なRiesz分

で あ る.逆

に μ(Ω0)=0な

GD(x,y)の

性 質 か ら 容 易 に 示 さ れ る.

用 い る と,(2.3.21)

中 で一 様 収 束 位 相 で 稠 密 な こ と と 右 辺 の 積 分 の 値が す べ て のf∈C0(D) 度 μDがuに

よ り一 意 的 に 定

一 意 的 に 定 ま る.

和 な ら ば,任

てu=h0は

掛 け てDで

とな るか

よ り一 意 的 に 定 ま る か ら,Borel測 よ っ てhDも

よ りす べ て の

成 立 す る.

で 積 分 の 順 序 を 変 更 し て か ら(2.3.20)を

っ て(2.3.19)に

和 な あ る 函数hD

は 

な る こ と に よ り,(2.3.21)の

に 対 し てuに

可積分

(a.e.)

上 に よ り(2.3.19)が

こ でC20(D)がC0(D)の

可積

よ りh°Dは 楕 円 型 方 程 式

よ りDでA-調

調 和 函 数 だ か ら,定

積分 す る.こ の とき 右 辺 の第2項 ら,右

よ りDで

っ て 

の 等 式 の 両 辺 はA-優

  一 意 性 .任

定 理2.3.1に

も,上 の十 分 性 の 証 明 で述 べ た よ うにDで

分 で あ り, 

Ah°D=0の

お く.u(x)は

意 の 正 則 有 界 領 域D⊂Ω0に

解 で あ る か ら μ(D)=μD(D)=0,従 ら ば,uがΩ0でA-調

お い

っ て μ(Ω0)=0

和 な こ と は,Green函

数

 Ω 全 体 で §2.2で 述べ た よ う なGreen函数G(x,y)が れ を 用 い て 定 理2.3.4は 後 述 の 注 意2を

見 よ.)そ

再 記 す る.{Dn}を Dnに

次 の 定 理2.3.5のⅰ)の

§2.2に

述 べ た よ うなΩ

述べ ら れ た 関 連 事 項 を

数 をGDn(x,y)と

し て,xま

た

す る と,

{GDn(x,y)}はnに

(定 理2.2.2). 

お,

の 中 の 正則 有 界 領 域 の 列 と し,各

界 値 問 題 のGreen函

な ら ばGDn(x,y)=0と

 (2.3.23) 

よ う に 書 き 直 さ れ る.(な

れ を 示 す 準 備 と し て,§2.2に

お け るDirichlet境

は 

定 義 さ れ る 場 合 は,そ

関 し単 調 増 加 で

こ こ で 次 の 補 助 定 理 を 証明 す る.

  補 助 定 理2.3.3 ⅰ) 

D⊂Ω

な る 有 界 領 域Dと,μD(D)<∞

な るBorel測

度

はΩ で局 所 可 積 分 であ る.

μDに 対 し て, 

 ⅱ )  任 意 のf∈C20(Ω)に 対 して   証 明  ⅰ) Ω に 含 ま れ る 任 意 の コンパ ク ト集 合Eを ≧0か

つEの

上 でf(x)≧1と は,Ω

Dで

な るf∈C10(Ω)を

に お い てA*υ=fを

と り,Ω

定 め る.こ

満 た す か ら,特

に お い てf(x)

の と き函 数

 

に コンパ ク ト集 合

は 有 界 であ る.だ か らfの 定 め方 に よ り

よ ってwはΩ

で局 所 可 積 分 で あ る.

 ⅱ) 領域Dnがfの と考え る と,Dnに

台 を 含 む な ら ば,fは

  定 理2.3.5 ⅰ) 

Borel測

∞ と す る と(2.3.23)に

函 数uがΩ

に お い てA-優

な る 任 意 の 正 則 有 界 領 域Dに 度 μDとD上

満たす

が 成 立 す る.A*f

お い て 

は 有 界 で あ る か ら,n→

は,D⊂Ω

∂Dn上 で境 界 条件f=0を

のA-調

和 函 数hDが

よ っ て 結 論 の 式 を 得 る. 調 和 で あ るた め の必 要 十 分 条 件

対 し て,Dに

お け る μD(D)<∞

存 在 し て,任

意 のx∈Dに

な る 対 して

 (2.3.19′)

が 成 立 す る こ と で あ る.こ μDに つ い て は 定 理2.3.4と  ⅱ)  特 にuが

の と き μD,hDはuとDに

よ っ て 一 意 的 に 定 ま る;

同 様 で あ る.

Ω で 正 値A-優

調 和 な ら ば,Ω

に お け るBorel測

度 μ とΩ 上

のA-調

和 函 数hが,uに

よ っ て 一 意 的 に 定 ま っ て,任

意 のx∈Ω

に対 し て

 (2.3.19″)

が 成 立 す る.   ((2.3.19′),(2.3.19″)もRiesz分

解 と 呼 ば れ る.)

  証 明 ⅰ)  の 証 明 は 前 定 理2.3.4の

証 明 と全 く同 様 で あ る.す

性 の 証 明 に は 補 助 定 理2.3.3のⅰ)を

用 い,必

(2.3.20)の

か わ りに 補 助 定 理2.3.3のⅱ)を

  こ の 定 理 のⅱ)を はΩ 全 体 でuに

証 明 す る.前

分

要 性 と 一意 性 の 証 明 に お い て は

用 い れ ば よ い.

定 理 に お い てD=Dnと

よ っ て 定 ま る 測 度 μ のDnへ

す る と き,測

度 μDn

の 制 限 で あ る か ら(2.3.19′)は

ただ し

 (2.3.24) 

と 書 け る.x∈ DnでA-調

な わ ち,十

∂Dnな

ら ばGDn(x,y)=0だ

和 だ か らhn(x)>0と

注 意 を 参 照.)(2.3.24)の (2.3.19″)の

な る.(定

右 辺 第1項

右 辺 第1項

か らhn(x)=u(x)>0と 理2.3.1の

は(2.3.23)に

な る.hnは

す ぐ前 に 括 弧 内 に 述 べ た よ りnに

関 して 単 調 増 加 で

に 収 束 す る か ら,

(a.e.). (2.3.24)の

左 辺 はnに

無 関 係 だ か ら,hn(x)はnに

hnはDnでA-調

和 か つ 正 の 値 を と る か ら, 

束)が 存 在 し てΩ

でA-調

和 で あ る.だ

関 し て 単 調 に 減 少 す る.各

(Ω で 広義 一 様 収

か ら(2.3.24)でn→

∞ と す れ ば(2.3.

19″)を 得 る.

  注 意2  領 域Ω に 有 界 で な いA-優

全 体 に お け るGreen函

数G(x,y)が

存 在 す る 場 合 で も,下

調 和 函 数 に つ い て は,(2.3.19″)の

よ う なΩ 全 体 で のRiesz

分 解 の 式 は 一 般 に 成 立 し な い.そ  Ω=Rm(m≧3),A=△(普 =￨x￨-(m-2)はRmに お け るGreen函

の こ と を 示 す 例 を 述 べ よ う.

通 の ラ プ ラ シ アン)と す る.こ お い て 正 値 △-優 調 和 で あ り,定

数G(x,y)が

存 在 す る.Green函

の と き,函

理2.2.1に

数は

数w(x)

よ っ てRmに

 (2.3.25) 

G(x,y)=C/￨x-y￨m-2

な る 形 で,C=Γ(m/2)/2(m-2)πm/2(Γ(・)は Cが

は

ガン マ 函 数)で

正 の 定 数 で あ る こ と の み を 用 い る.さ

△u=-2m<0を

(2.3.19″)が

満 た す か ら,uは

て,定

理2.3.4の'一

A*,μDを (dxを

意性'の

そ れ そ れRm,△,μ

普 通 のLebesgue測

と な る が,右 あ る.よ

し も(2.3.19″)が

あ る とす る と,任

証 明 と 同 様 の 論 法 で,等 と書 く)が 導 か れ る.従

のuに

対 し ては

成 り立 つ よ うなRm 意 のf∈C30(Rm)に 式(2.3.21)(た

っ てGreenの

対 し だ しD,

公 式に よ り

度 と し て)

と な る か ら,fがC30(Rm)の中 だ か ら(2.3.25)に

こで は

て 函数

△-優 調 和 で あ る.こ

成 立 し な い こ と を 示 す.も

に お け る 測 度 μ と △-調 和 函 数hが

あ る が,こ

で 任 意 な こ と に よ りdμ(x)=2mdxが

得 ら れ る.

よ り(2.3.19″)は

辺 第1項

の 積 分 の 値 は すべ て のxに

っ て(2.3.19″)は

成 立 し 得 な い.

対 し て ∞ と な り,不 合 理 で

第3章 

Martin境

界

§3.1  予 備 概 念

  本 章 では,Rを 作 用 素Aが

向 きづ け られ たC∞ 級 多 様 体 と し,Rにお

与え られ て い る とし て,Aに

調 和 函数 の表 現 定 理 を述 べ る.Rは も よい が,そ

の場 合 で もR自

あ るC∞ 級 多 様 体Mの

ってR⊂Mの

界 の近 くで の 偏 微分 作用 素Aの 部分 集 合Eに

関 す るRのMartin境

閉 包E,Eの

多 様体Mの

外 の部 分 は

中 で考 え たRの

係 数 の挙 動 に つ い て は,何

対 し て,Eの

の章 に お い て,Rが

部分領域 で あ っ て

場 合 で も,Mの

の境 界 ∂Eな どの用 語 お よび 記 号 は,す べ てRの る.次

界 の構 成 と,

身 を ひ とつ の空 間 と して扱 い,R以

全 く考 慮 の対 象 とし な い.従

またRの

い て楕 円型 偏 微 分

境

の 仮 定 も設 け な い.

開 核(内 点 の全 体)E°,E 中 の 位 相 で 考 え る も の とす

部分 領 域 で あ って,そ の境 界 の一 部分

が 滑 らか な 場 合 に つ い て述 べ る.   こ の 章 と次 の章 では,A*は をそ れ ぞれ'調 和','優  Martin境

考 え な いか ら,'A-調

和','A-優調

和'の

こと

調 和'と 書 く.

界 の理 論 は,正

値(優)調 和 函 数 の 表 現 定 理 が 主要 目的 の ひ とつ で

あ るか ら,Rに お い て定 数 で ない 正 値 優 調 和 函数 が 存在 す る こ とを前 提 とす る. だ か ら定理2.2.1に

述 べ たGreen函

数G(x,y)が

定 義 され て い る と し て話 を

進 め る.  D0をRの

中 の正 則 有 界 領 域 とし,γ を そ の 台 がD0に

の非負値連続 函数で  体 を 通 して,上 の 領域D0と のMartin境

な る も の と す る.こ 函数γ を 固 定 して お くが,こ

界 は,上 の よ うなD0とγ

あ る こ とが 示 され る.(定 理3.2.3)

含 まれ る よ う なR上 の章 お よび 次 の章 全 の章 で構 成 され るR

の と り方 に は本 質 的 に無 関 係 な もの で

 DがD0を D×Dで

含 む 領 域 であ る と き,Dで 定 義 され た 任 意 の 函 数H(x,y)に

定 義 され た任 意 の函 数u(x),お 対 し て,u(γ)お

よび

よびH(γ;y)を

そ れ ぞれ 次 の式 で 定 義 す る(い ず れ も右 辺 の 積 分 が 意 味 を もつ か ぎ り):

 (3.1.1)

u(γ)は 定 数 で あ り,H(γ;y)はy∈Dの

函 数 で あ る が,い

ず れ も+∞

の値

を 許 す も の とす る.   次 に,Rの

中 の 正 則 有 界 領 域 の 列{Dn}n=1,2,…

で

 (3.1.2)

とな る もの を ひ とつ 固 定 す る;D0は

前 ペ ー ジで 定 め た 正 則 有 界 領 域 で あ る.

  Rの 中 の 任 意 の 正 則 有 界 領 域Ω に対 し て,∂Ω で 境 界条 件u=0を

与 えた と

きの,拡 散 方程 式 の基 本解 をUΩ(t,x,y),Green函

す る.こ

の と き,第1章

数 をGΩ(x,y)と

で 述 べ た よ うに

 (3.1.3)

が 成 り立 つ.こ が,今

れ ら の 記 号 お よ び 上 の 関 係 式 は,今

後 本 書 全 体 を 通 し て,こ

程 式 の 最 小 基 本 解 をU(t,x,y)と

ま で に も使 っ た も の で あ る

と わ りな し に 用 い る.ま す る と,Green函

た,Rに

お け る拡 散 方

数G(x,y)が

 (3.1.4)

で 定 義 さ れ て(定 理2.2.1),第2章 函 数 列{GDn(x,y)}n=1,2,…

はnに

の 結 果 を す べ て 使 う こ と が で き る .特

に,

関 して 単 調 増 加 で

 (3.1.5)

が 成 立 し,こ

の 収 束 は,互

対 し て,E×Fの   こ こ で,Dn×Dnの 核 函 数M(x,y)を,次

い に 交 わ ら な い 任 意 の コ ン パ ク ト集 合E,F⊂Rに

上 で 一 様 で あ る(定 理2.2.2). 上 の 核 函 数Mn(x,y)(n=1,2,…)お の 式 で 定 義 す る:

よ びR×Rの

上の

 (3.1.6)

(G(γ;y)等

の 定 義 は(3.1.1)に

よ る).こ

の と き(3.1.5)に

よ り

 (3.1.7)

が 成 立 し,こ

の 収 束 は,互

対 し て,E×Fの

い に 交 わ ら な い 任 意 の コン パ ク ト集 合E,F⊂Rに

上 で 一 様 で あ る.

  M(x,y)はMartinの

核〓 数 と呼 ば れ る.

  以 下 に 述 べ るM(x,y)の Mn(x,y)の   G(γ;y)は

性 質(3.1.8∼10)に

お い て,RをDnと

書 き直 せ ば

性 質 に な る. そ の 定 義 か ら 明 らかに,Rの

上 でyの

連 続 函数 で あ って 正 の 値 を

と る か ら,

任 意 のy∈Rを

固 定す る ときM(x,y)はxに

つ い てR＼{y}で

正値 調 和 な 函数 で あ り,

 (3.1.8) {

任 意 のx∈Rを

固定 す る ときM(x,y)はyに

つ い てR＼{x}で  (3.1.9)    (3.1.10) 

任 意 のz∈Rに

定 理2.2.2 か らわ か る

対 し て 

す べ て のy∈Rに

対 し てM(γ;y)=1((3.1.6)に

  次 の 補 助 定 理 は 定 理1.4.5(の   補 助 定 理3.1.1 

連 続 な 函 数 で あ る;

領 域Dで

調 和 な 函 数 の 族{uλ￨λ

あ っ て,Dの

数 族 

  補 助 定 理3.1.2 

も め の 函数 族 の あ る部

数M(x,y)の

EはRの

次 の 性 質 を 証 明 す る.

コン パ ク ト部 分 集 合,FはRの(有

部 分 集 合 で あ っ て,E∩F=φ

な ら ば,次

界 とは限 らな

の こ とが 成 り立 つ:

 (3.1.11)

(〓

任

調 和 な あ る 函 数 に 広 義 一 様 に 収 束 す る.―

  こ の こ とを 使 っ て,函

い)閉

∈Λ}が

任 意 の コン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で 一様 有 界 で あ り,初

分 列 は,Dで

よ り).

一 部)を 再 記 し た も の で あ る.

意 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 上 で 一 様 有 界 な ら ば,函 Dの

;

はM(x,y)の

変 数xに

  証 明   (3.1.11)の

第1の

つ い て〓

を 作 用 す る こ とを 意 味 す る.)

不 等 式 を 証 明 す れば,{M(x,y)￨y∈F}をR＼Fの

上 でxの

函 数 の 族 と考え て補 助 定 理3.1.1を

適 用 す る こ とに よ り,第2の

等 式 が 得 ら れ る.よ って 第1の 不 等式 を 証 明す る.E⊂D0∪Ω な る正 則 有 界領 域Ω を 固 定 す る.任 意 のf∈C0(R＼Ω)に はΩ で 調 和 で あ るか ら,x∈Ω

と な る.こ

れ は,x∈Ω

不

⊂Ω ⊂R＼F

対 し て,函 数  な らば

な らば

が任 意 のf∈C0(R＼Ω)に

対 し て成 り立 つ こ とを 意 味 す る か ら,x∈Ω

かつ

y∈R＼ Ω な らば  (3.1.12)

が 成 り立 つ.E∪Dと

∂Ωとは 互 いに 交 わ らな い コン パ ク ト集 合 で あ るか ら

任 意 のx∈E,z∈

∂Ω に 対 し て

 (3.1.13) {

任 意 のz∈ ∂Ω に 対 し て と な る よ う な 定 数C1,C2が のx∈E,y∈F(⊂R＼Ω)に

ら っ てK(x,y)(ま

適 用 す る と,任

意

対 して

と な る か ら,(3.1.11)の   注 意   Martinの

あ る.(3.1.12)に(3.1.13)を

第1の

式 が 成 立 す る.

核 函 数 は,Martinの た はK(P,Q)等)と

の 頭 文 字 を と っ てM(x,y)と

最 初 の 論 文(あ

とが き の[10])に

書 か れ る こ と が 多 い が,本 書 で はMartin

書 く こ と に す る.

な

 §3.2  Martin境

  領 域D0お

界の構 成

よ びDn(n=1,2,…)は

前 § で 固 定 し た も の とす る.特

に

 (3.2.1)

な る こ とを 想 起 して お く.  任 意 の 点y1,y2∈Rに

対 して

 (3.2.2)

と定 義 す る.こ

の と き,

  補 助 定 理3.2.1  れ る 位 相 は,多

ρはRに

様 体Rの

お け る ひ とつ の 距 離 を 定 義 し,こ

本 来 の 位 相 と 同 じ で あ る.

  証 明   ま ず ρが 距 離 の 公 理 を 満 た す こ と を 示 す.0≦ y1=y2な

ら ばρ(y1,y2)=0な

明 ら か で あ る.ま

る こ と,お

た 三 角 不 等 式 は,任

≧0に

易 に 示 さ れ る.よ

と ん どす べ て のx∈D0に

(3.1.6)に

よ りM(x,y)はxに

つ い てR＼{y}で

対 し てM(x,y1)=M(x,y2)と

(定 理1.4.10)に

よ り,す

べ て のx∈R＼{y1,y2}に

とな る.も

し も 

M(x,y1)→

∞ と な りM(x,y2)は

す る と,(3.2.2)

とす る と,xがy1に

な る が,

調 和 だ か ら,す な り,従

る こ とは

対 し て 

お い てM(x,y1)=M(x,y2)と

∈D0＼{y1,y2}に

で あ っ て,

っ て,ρ(y1,y2)=0

る こ と を 証 明 す れ ば よ い.ρ(y1,y2)=0と

に よ り,ほ

y1=y2で

ρ(y1,y2)<∞

よび ρ(y1,y2)=ρ(y2,y1)な 意 の α≧0,β

な る こ と を 用 い て,容 な ら ばy1=y2な

の 距 離 で定 義 さ

べ て のx

って 一 意 接 続 定 理

対 し てM(x,y1)=M(x,y2) 近 づ く と き(3.1.9)に

有 界 で あ る か ら,こ

よ っ て

れ は 矛 盾 で あ る .だ

か ら

な け れ ば な ら な い.

  次 に,Rの 対 し てDnの

本来 の 位 相 とρ に よ る位 相 が 同 じ で あ る こ と を 示 す.任 上 で 両 位 相 が 一 致 す る こ とを 示 せ ば よ い が,Dnは

コン パ ク トで あ る か ら,本

来 の 位 相 を も つDnか

意 のnに

本来 の位 相 で

ら ρに よ る 位 相 を も つDnへ

の 恒 等 写 像 が 連 続 で あ る こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.い

が点y0∈Dnに

が

本来 の位 相 で収 束 し て い る な らば, 

ほ と ん どすべ て のx∈D0で

成 り立 つ;実

に 対 し て は た し か に 成 立 し て い る .だ な り,写

ま 点 列{yν}ν=1,2,…⊂Dn

は 少 な く と もx∈D0＼{yν}ν=0,1,2,…

か ら(3.2.2)に

よ り 

と

像 の 連 続 性 が 証 明 さ れ た.

  補 助 定 理3.2.2 

Rは

距 離 ρに 関 し て 全 有 界 で あ る.

  証 明   任 意 の 無 限 点 列{yn}⊂Rが

ρに 関 す るCauchy列

ば よ い.補

ρ に 関 し て も コン パ ク トだ か ら,yn∈D1

な るnが

助 定 理3.2.1に 無 数 に あ れ ば,そ

よ りD1は

の 中 にCauchy列

し て{yn￨n≧n0}⊂R＼D1と D1と

な る な らば,補

し て み れ ば わ か る よ うに,xの

ト集 合D0の

点 列{yn}の

し も あ るn0に

対

助 定 理3.1.2でE=D0,F=R＼ コン パ ク

上 で 一 様 有 界 か つ 同 等 連 続 だ か ら,Ascoli-Arzelaの

定理に よ り

適 当 な部 分 列{yn(ν)}に 対 して,D0の っ て(3.2.2)に

な る か ら,{yn(ν)}はCauchy列

上 で一 様 に  と

よ り 

で あ る.

距離 ρに よる完 備 化 をRと

コン パ ク ト距 離 空 間 であ る.ρ はRの れ るが,そ

が 含 ま れ る.も

函 数 の 族{M(x,yn)￨n≧n0}は

と な る.従

  空 間Rの

を 含 む こ とを示 せ

す る と,補 助 定 理3.2.2に

よ り,Rは

上 の距 離 に 自然 な方 法 で一 意 的 に拡 張 さ

の拡 張 を 同 じ記 号 ρで 表 わす こ と に し て も混 乱 は 起 こ らな い か ら,

以 後 そ うす る こ とにす る.ま ず 次 の定 理 を証 明す る.   定 理3.2.1 ⅰ)  多 様 体Rは

コ ン パ ク ト距 離 空 間Rの

中 に 同相 に埋 め 込 ま

れ て い る.  ⅱ)  R＼RはRの

閉 部分 集合 で あ って,内 点 を もた な い.

  証 明  ⅰ)は上 の 二 つ の 補 助 定理 か ら 明 ら か で あ る.ま

たR＼RがRに

お

い て 内点 を もた な い こ とも,完 備 化 の 定 義 か ら 自明 で あ る か ら,R＼RがR の 中 で 閉 集合 で あ る こ とを 示 せ ば よい.そ れ を 否 定 す る と,あ る点y∈Rに 束 す る点 列{ξn}⊂R＼Rが

存 在 す る.こ の ときy∈Dn0な

上 の 点 列 の 各 点 ξnに対 して,Rの

収

るn0が あ る.一 方,

中 の点 列{ynν}ν=1,2,…で 

とな る もの が あ り,こ の点 列 はDn0+1の

中 に 集積 す る こ と は な い か ら,

  か つ  と お く と,n→

∞

な る 番 号νnが

れ は, 

盾 す る.以

上 に よ りR＼RはRの

張 さ れ る.拡

対 し てyn=ynνn

のとき

と な り,こ

  定 理3.2.2 

あ る.各nに

かつy∈Dn0で

し か もDn0⊂Dn0+1な

中 で 閉 集 合 で あ る.

函 数M(x,y)は(R×R)＼{(z,z)￨z∈R}の 張 され たM(x,y)は,任

と し てR＼{y}で

る こ と と矛

上 の 連続 函 数 に 拡

意 のy∈Rを

固 定 す る と き,xの

調 和 で あ る.

  証 明   ま ず 函 数M(x,y)を

拡 張 す る.そ

  な る 点 列{yk}⊂Rを 対 し てyk∈R＼Dn+1と

でE=Dn,F=R＼Dn+1と

す る と,函

有 界 か つ 同 等 連 続 で あ る か ら,適

の た め 任 意 の ξ∈R＼Rに と る.各Dnに

を と れ ば,k≧knに

な る.こ

助 定 理3.1.2

数 族{M(・,yk)￨k≧kn}はDnで

一様

収 束 す る.だ

適 当 な 部 分 列{yk(ν)}を

な る 点 列{zk}⊂Rを

と る と き,そ

調和 で の部 分 列

(Rで 広 義 一 様 収 束)が 存 在 す る とす

{zk(ν)}に 対 し て  る.こ

か らn

選 べ ば, 

(Rで 広 義 一 様 収 束)が 存 在 し,こ の極 限 函数υ はRで に 

対 して

対 し て 適 当 な 番 号kn の と き,補

当 な 部 分 列 がDnで一様

に 関 す る 対 角 線 論 法 に よ り,{yk}の

あ る.別

函数

の と き 函 数wもRで

調 和 で あ る.そ

して

だ か ら,有 界 収 束 定理 に よ り

と な る.よ よ りR全

っ てD0に

お い てυ=wと

体 でυ ≡wと

な る.以

意 の 点 列{yk}に

対 し て,部

な るか ら,一

意 接 続 定 理(定 理1.4.9)に

上 の 議 論 に よ り,ρ に 関 し て ξに 収 束 す る 任

分 列 を と る こ と な く, 

が存在

し てRで

調 和 な 函 数 で あ り,そ

方 に は 関 係 し な い.よ

っ て,そ

の 函 数 は ξ の み に よ っ て 定 ま り,{yk}の の 値 をM(x,ξ)と

書 く こ と に す る と,

点 ξ∈R＼Rと   (3.2.3) [

し て,xに

と な る.こ (3.2.3)で

な る 任 意 の 点 列{yk}⊂Rに

つ い てR上

点 列{yk}⊂Rを{ξk}⊂R＼Rと

定 義 さ れ た.更 し て も よ い;す

点 ξ∈R＼Rと 

と な る.な

つ い てR上

ぜ な ら ば,任

意 のDnを

適 当 なyk∈Rを

に,

なわち

な る 点 列{ξk}⊂R＼Rに

て,xに

対

広義 一様 に

う し てM(x,y)が(R×R)＼{(z,z)￨z∈R}で

 (3.2.3′) [

とり

対 し

広義一様 に と る と き,各

点 ξkに 対 し て(3.2.3)に

よ り

とれ ば

かつ が成

り 立 つ.k→

(3.2.3)に

∞

とす る と き 

と な る か ら,

従 って

よ っ て 

と な り(3.2.3′)が

成 り立 つ.以

上 に よ り,拡

張 され たM(x,y)は

任 意 のx∈Rを

固定 す る とき,yに つ い てR＼{x}で

連続 であ り,

任 意 のy∈Rを

固 定 す る と き,xに つ い てR＼{y}で

調 和 であ る.

 (3.2.4) {

最 後 に,M(x,y)が(R×R)＼{(z,z)￨z∈R}で わ か る.点 

パ ク ト集 合 で あ る も の を と り,ま と る.こ

す る.x0の

定 義 か ら明

近 傍WでWがRの

中 の コン

た ρ(xk,x0)→0,ρ(yk,ξ0)→0と の と き,{xk}⊂Wか

し て よ い か ら,(3.2.3),(3.2.3′),(3.2.4)に

と な っ て,点(x0,ξ0)に

の よ うに し て

に お け る 連 続 性 はM(x,y)の

ら か で あ る.x0∈R,ξ0∈R＼Rと

列{xn}⊂R,{yk}⊂Rを

連 続 な こ と は,次

よ りk→

お け る 連 続 性 が 示 さ れ た.

な る任 意 の点

つ{yk}⊂R＼Wと ∞

の とき

  系  EがRの

中 の コ ン パ ク ト集 合,FがRの中

の閉 集 合 でE∩F=φ

なら

ば  ⅰ )

 ⅱ)  M(x,y)はE×Fの

上 で 距 離 ρに 関 し て 一様 連 続 で あ る.

  証 明  ⅰ)は 補 助 定 理3.1.2と(3.2.3)か 与 え られ たRとRの   定 理3.2.3 

直 積 空 間 の 中 で,E×Fが

Rは

次 の 意 味 で,前

関 係 で あ る.D0とD0をRの

連 続 函 数 で,台

中 の 正 則 有 界 領 域 と し,γ

とγ をR上

の非 負値

含 まれ,  を用い て

定義 し た距 離 を それ ぞれ ρ,ρとし,こ

同 相 写 像 はRに

函 数γ の 選 び 方 に 無

に 

備 化 を それ ぞれR,Rと

離 ρを

コ ン パ ク トな こ と に よ る.

§で 与 え た 領 域D0と

が そ れ ぞれD0とD0に

と な る も の と す る.更

(3.2.2)で

ら 容 易 に わ か る.ⅱ)は,距

れ らの距 離 に 関す るRの

す る.こ の と きRとRと

完

は 一 様 同相 で あ っ て,そ の

お い て は恒 等 写 像 で あ る.

  証 明  距 離 ρと ρはRに

お い て はR本

来 の位 相 と同 じ位相 を与え るか ら,R

の 任 意 の コ ンパ ク ト部分 集 合 に お い て は 互 い に 同値 な 一 様 位 相 を 定 義 す る.だ か ら,DがRの がR＼Dで

コン パ ク ト部 分 集 合 であ る ひ とつ の領 域Dに

対 して,ρ

互 い に 同値 な 一 様 位 相 を 定 義 す る こ とを 示せ ば,R全

とρ

体 で互 い に

同値 な一 様 位 相 を与 え る こ とに な り,一 様 空 間 の完 備 化 の一 意 性 に よ り,Rと Rは 一 様 同 相 とな る.D⊃D0∪D0な 集合 で あ る もの を と って,R＼Dで

る領 域Dで,DがRの

コン パ ク ト部 分

ρ と ρが 同 値 な 一 様 位 相 を 与 え る こ とを示

す.   まず 前 定理 の 系 のⅰ)に よ り  (3.2.5)

は有 限 で あ る.次 に ε>0に 対 して  (3.2.6)

と定 義 し,上

の 式 のM(x,y),D0を

を 定 義 す る と,前

定 理 の 系 のⅱ)に

そ れ ぞ れM(x,y),D0で よ っ て,ε

↓0の

置 き 替 え て δ(ε)

と き δ(ε)→0,δ(ε)→0と

な る.以

下 に お い て は,xはD0∪D0を,y1,y2はR＼Dを

こ の と き,M(x,y),M(x,y)の

動 く も の とす る.

定義か ら M(x,y)M(γ;y)=M(x,y)

と な る か ら,  (3.2.7)

またM(γ;y)M(γ;y)=1だ

これ を(3.2.7)の

か ら,上 の式 で最 後 の絶 対 値 記 号 の部 分 は

最 後 の 項 に 代 入 す る と,x∈D0か

(3.2.5),(3.2.6)お

以 上 に お い てD0とD0,γ

ρ(y1,y2)<ε

ならば

な る こ とに よ り

よ び 

と な る か ら,ρ(y1,y2)の

つ

定 義に よ り

とγ,MとMを

そ れ ぞ れ 入 れ替 え て 同様 の 推 論

をす る と, な らば と な る こ とが 示 さ れ る.こ はR＼Dに   Rに

こ で ε↓0の

と き δ(ε)→0,δ(ε)→0だ か ら,ρ

お い て 同 値 な 一 様 位 相 を 定 義 す る.

お け る楕 円 型 偏 微 分 作 用 素Aが

与 え られ る と,拡 散 方 程 式 の 最小 基 本 解

U(t,x,y)が

一 意 的 に 定 ま る(定 理1.2.6)か

るGreen函

数G(x,y)を

理3.2.3に

と ρ

ら,そ

用 い て 本 § の 方 法 で 構 成 し たRの

よ り本 質 的 に た だ 一 通 りで あ る.R＼Rは

持 た な い 閉 集 合 で あ る か ら,Rの'境 次 の 定 義 を 与 え る.

れ か ら(3.1.4)で

界'と

与 え られ

完 備 化Rは,定

定 理3.2.1に

よ り内 点 を

考 え る こ とは 自 然 で あ る.そ

こで

  定 義   こ の §に 述 べ た よ うに し て構 成 し たRをRの(楕 に 関 す る)Martinコ Martin境

関 す る)

理 想 境 界 と い う.

よ り任 意 の 点 ξ∈Sに

和 函 数 で あ る が,S上 た め,そ

ン パ ク ト化 と い い,S=R＼RをRの(Aに

界 ま た はMartin型

  定 理3.2.2に

円 型 偏 微 分 作 用 素A

対 し てM(x,ξ)はxに

つ い てR上

の調

の 相 異 な る二 点 は 相 異 な る調 和 函 数 を与 え る こ とを 示 す

の 対 偶 と し て の 次 の 定 理 を 証 明 す る.

  定 理3.2.4 

Sの

上 の 点 ξ,η に 対 し て,定

て の 点x∈RでM(x,ξ)=M(x,η)と   証 明   Rの

理3.2.2の

な る な ら ば,ξ

函 数M(x,y)が

中 の 点 列{xn},{yn}で 

も の を と る と,ρ の 定 義 と 定 理3.2.2の

と な る か ら,ξ=η

で あ る.

すべ

と ηは 同 じ 点 で あ る.

なる 系 と有 界 収 束 定 理 に よ り

 §3.3  正 値 調 和〓 数 の積 分 表 現

  今 後Rは

前 §に 述 べ たRのMartinコン

界:S=R＼R,と

す る.Rの

パ ク ト化,SはRのMartin境

部分 集 合Eに

対 し て,Rの

包,開 核(内 点 の全 体)を そ れ ぞ れEa,Eiと に対 し て,Rの

中 で考 えたEの

閉 包,開

書 く ことに す る.Rの

核 を そ れ ぞ れE,E°

今 まで と同 じで あ る.な お,例 え ば'Γ はSの Sで

あ ってΓ がRで

SはRの

中 で考 えたEの

閉

部 分 集 合E

と書 く ことは,

閉 部分 集 合'と い うのは,Γ ⊂

閉集 合 で あ る こ とを意 味 す る;S∩R=φ

で あ り,ま た

中 で閉 集 合 で あ るか ら,こ の よ うに解 釈 す る こ とは 自然 で あ るが,念

のた め に 述 べ た.   まず 次 の こ とを 証 明 す る.   補 助 定 理3.3.1  DをRの ン パ ク ト集 合 と し,uをDに υをD＼F° υ=0と

で 連 続,D＼Fで

中 の 正則 有界 領 域,FをDに

含 ま れ る正 則 な コ

お い て 正 値 優調 和 かつDで 調 和 で あ っ て,∂Fの

連 続 な 函数 とす る.

上 でυ=u,∂Dの

上で

な る函数 とす る と,

  (3.3.1)

で 定 義 され る函数uDFは,Dで  証 明  uDFがDで

連 続 か つ 優 調 和 で, 

連続 で あ って 

な る こ とは 明 ら か で あ る.Wを

W⊂Dな

る正 則 領域 と し,wをWで

w≦uDFと

な る函 数 とす る.W⊂Fま

w≦uDFと

な る こ とは 明 らか で あ る.WがF°

にw≦uDFと

≧0だ

∩(D＼F)で  u-wは

連 続 か つWで

が 成 立 す る.従

はD＼Fで

か ら,D＼Fでu-υ

っ てW∩

い てw≦uと ∂Fでw≦u=υ

な ら ばWに

とD＼Fの

また ∂W∩Fで

優 調 和 だ か ら,Wにお

調 和 で あ って ∂Wで

た はW⊂D＼F°

な る こ とを 示 す.ま ずu-υ

u-υ=0,∂Dでu-υ

を 満 た す.

おい て

双方 と交 わ る 場 合

優 調 和 で あ って,∂Fで ≧0で あ る.従

は  な り,特 と な り,ま

っ て ∂W

であ っ て,Wで にW∩Fでw≦uDF た ∂W∩(D＼F)で

 で あ っ てW∩(D＼F)でυ-wは , 以 上 に よ りWに

調 和 だ か ら,W∩(D＼F)で

お い てw≦uDFと

な る か ら,uDFがDで

優調和

な こ とが 示 され た.   さ て,uをRに ト集 合F,正

お い て 連 続 な 正 値 優 調 和 函 数 と し,Rの

則 な開 集 合Ω,お

よ びSの

中 の 正 則 な コン パ ク

閉 部分 集 合Γ に対 し て,uF,uΩ,uΓ

な る函 数 を,以 下 の よ うに 順 次 定 義 す る.   1°) Rの 中 の 正則 な コ ンパ ク ト集 合Fに DF={Rの とし,D∈DFに

中 の 正 則有 界 領 域 でFを

対 してuDFを 補 助 定 理3.3.1で

 (3.3.2) uDFはDで と な る が,更

対 して 含 む も の の全 体} 述 べ た も の とす る と,

連続かつ優調和であ って

に

 (3.3.3) 

D1,D2∈DF, 

が 成 立 す る.な

D1⊂D2な

ぜ な ら ば,D1,D2に

υ を そ れ ぞ れυ1,υ2と

ら ばD1に

す る と,D1＼Fで

∂Fの 上 で はυ1=u=υ2,  と な る か ら,D1＼Fに

い て は 

お い て

対 し て 補 助 定 理3.3.1の

お い てυ1≦υ2,従

はυ1,υ2と ∂D1の

よ うに 定 義 し た

もに 調 和 であ っ て

上 で はυ1=0≦υ2

っ て 

と な る.一

方Fに

お

で あ る.

 こ こ で,R＼Dで

はuDF=0と

定 義 し て お い て,x∈Rの函

数uDFを

  (3.3.4) と 定 義 す る.こ

の と き,

 (3.3.5) 

Rに

 (3.3.6) 

お い て0≦uF≦u,  F1⊂F2な

{Dn}⊂DFが

ら ばRに

特 にFの

上 で はuF=u;

お い てuF1≦uF2;

な ら ば,Rにお

単 調 増加 列 で 

いて

 (3.3.7)

従 ってuFはRで  (3.3.5)はuDF,uFの

D∈DF2に り,F1上

定 義 と(3.3.2)か

対 し て,D＼F1に で 

優 調 和,特 にR＼Fで ら明

は調 和 で あ る.

ら か で あ る.次

お い てuDF1は 調 和 だ か ら 

∂D上 で 

だ か ら,Dに

に,F1⊂F2な

ら ば

は優 調 和であ お い て 

と な る.こ

の こ と と(3.3.3),(3.3.4)か

(3.3.3)に

よ り 

に 対 し てDは

が 存 在 し て ≦uF(x)と

コ ン パ ク トで 

か ら(3.3.3)に

な る.一

.7)の

方,任

るnが

っ て(3.3.2)お

よ び 定 理2.1.3,定

れ で(3.3.7)の 理1.4.7に

証 明:

意 のD∈DF

この 左 辺 のD∈DFに関 と な る か ら,こ

で あ り,R＼Fで

わ か る.(3.3

だ か ら,D⊂Dnな

よ り 

とれ ば  た.従

ら(3.3.6)が

あ る.だ

す る上限を

中 の 等 式 が 示 され

よ り,uFはRで

優調和

は 調和 で あ る.

  2°) Rの 中 の 正 則 な 開 集合Ω(有 FΩ={Rの とし,x∈Rの

界 とは か ぎ らな い)に 対 して,

中 の正 則 コン パ ク ト集 合FでF⊂Ω

な る もの の 全 体}

函 数uΩ を

 (3.3.8)

と定 義 す る.こ

の と き,

 (3.3.9) 

Rに

お い て0≦uΩ

 (3.3.10) 

Ω1⊂Ω2な ら ばRに

また,{Dn}を

が 単 調 増 加 でFn⊃Ω

∩Dn(n=1,2,…)な

らば

Rにお い て

 (3.3.11)

従 っ てuΩ はRで 定 義 と(3.3.5)か

な る こ と に よ る.(3.3.11)の

{Fn}の

お い てuΩ1≦uΩ2;

§3.1で 固 定 した 正 則 有 界領 域 の 列 とす る とき, {Fn}⊂FΩ

  (3.3.9)は

≦u,  特 にΩ の 上 でuΩ=u;

存 在 は,Ω

優 調 和,特

Ω で は 調 和 で あ る.

ら わ か る.(3.3.10)はΩ1⊂Ω2な 証 明:ま

が 正則 な こ と か ら わ か る.(3.3.6)に

な り,従

るDnが

と な る.あ

と し,x∈Rの

Rの 中 の 開 集合Δ で,Γ を 内 部 に 含 み,Δ ∩R 中 の 正則 開集 合 で あ る よ うな も の の全 体

{がRの 函数uΓ

を

あ るか ら

と は(3.3.7)

結 論 を 得 る.

  3°) Sの 閉部 分 集 合Γ に対 して, OΓ=

ト集 合 の 列

が存

よ り 

に 対 してF⊂Dnな

っ て 

の 証 明 と全 く同 じ 論 法 で(3.3.11)の

ら ばFΩ1⊂FΩ2

ず こ の よ うな 正 則 コ ン パ ク

在 し て ≦uΩ(x)と な る.任 意 のF∈FΩ F⊂ Ω ∩Dn⊂Fnと

にR＼

}

 (3.3.12)

と 定 義 す る.こ

の とき

 (3.3.13) 

Rに

 (3.3.14) Γ1∪Γ2な

お い て0≦uΓ

ら ばRに

≦u;

お い てuΓ1≦uΓ2;

{Δn}⊂OΓ が 単 調 減 少 で 

な ら ば,Rに

おい て

 (3.3.15)

従 っ てuΓ はRに   (3.3.13)は

定 義 と(3.3.9)か

な る こ と に よ る.(3.3.15)の の 存 在 は,Rが

お い て 調 和 で あ る. ら わ か る.(3.3.14)は,Γ1⊂

Γ2な ら ばOΓ1⊃OΓ2

証 明:ま

中 の 開 集 合 列{Δn}

ず こ の よ う なRの

距 離 空 間 で あ る こ と を 用 い て 示 さ れ る.(3.3.10)に  が 存 在 し て ≧uΓ(x)と

な る.ま

よ り

た 任 意 のΔ ∈OΓ に 対 し て 

で あ っ て,Rに

お い てR＼

Δ,R＼

Δanは

そ れ ぞ れ コ ンパ ク ト集 合,開 集 合 で あ るか ら,十 分 大 な るす べ て のnに 対 し て R＼ Δ ⊂R＼

Δan,従 っ て Δ⊃ Δan⊃Δnと な る.よ

っ て 

とな り,こ の 左 辺 のΔ ∈OΓ に 関 す る下 限 を と れ ば  る か ら,初 め の 結 果 と 合 わ せ て(3.3.15)の と定 理1.4.7に   な お,上

よ りuΓ はRに

て,今

を 考 え る.(閉 Γ=φ

っ て 正則 領 域)で

後Δ ∈OΓ と し て は,Δ 集 合 Γ ⊂Sは

の と き はΔ=φ

行 な うべ き 修 正 は,各

中 の 等 式 が 得 ら れ,従

っ て(3.3.11)

お い て 調 和 で あ る.

の 議 論 か ら わ か る よ う に,uΓ

R＼ Δaが 連 結(従

とな

もR＼

の 決 定 に 参 加 す る Δ∈OΓ

とし て は

あ る も の の み 考 え て も 同 じuΓ を 得 る.よ Δaも 空 で な く てR＼

っ

Δaが 連 結 な も の の み

連 結 とは 限 ら な い か ら Δ も 連 結 とは 限 ら な い.

も 考 え る こ と に な る が,以

下 の 議 論 で Γ=φ

場 合 ご と に お お む ね 容 易 で あ る か ら,い

の場 合 に

ち い ち この場 合

の た め の 但 し 書 き を 記 述 し な い.)   {Dn}を 対 し てΩ=Δ

§3.1で ∩Rと

も に 空 で な い.そ

固 定 し た 正則 有 界 領 域 の 列 とす る.上 お く と,十 の よ うなnに

分 大 き いnを 対 して

に 述 べ た よ うな Δ に

とれ ばDn∩Ω,Dn∩(R＼Ω)が

と

な る正 則 領 域D′n(右 図)が 存 在 す る.こ の と と な り,ま た,D′nはR＼

き 

Ω

に お け る 相 対 位 相 に 関 す るD′n+1の 内 部 に 含 ま れ る.だ

か ら 十 分 大 き いnに

域D′nに お け るDirichlet問 GD′n(x,y)が

対 し て,領

題 のGreen函

存 在 し,nに

数

関 し単 調 増 加 で

 が存 在 してR＼ Ω に お け るGreen函

数 に な る.こ

x∈R＼

Ω,z∈

の とき

∂Ω に 対 し て 

は 正 で あ り,

 (3.3.16)

nに 関 し単 調 に増 加 し て が 成 立 す る.(定

理1.3.4,定

理1.3.7参

照;な

お,記

号nΩ は Ω か ら 見 て 外 向

き の 法 線 単 位 ベ ク トル を 表 わ す と い う規 約 に よ り,§1.3の 符 号-が

記 述 に あ った 負 の

こ こ に は つ い て い な い.)

  これ ら の 概 念 と記 号 を 用 い て,以

下 の 補 助 定 理 を 証 明 し て か ら,本

§の主 要

定 理 と そ の 証 明 を 与 え る.   補 助 定 理3.3.2  数GR＼Ω(x,y)を

uをRで

連 続 な 正 値 優 調 和 函 数 と し,Ω

上 に 述 べ た 通 り とす る と,R＼

お よ びGreen函

Ω において

 (3.3.17)

  証 明   任 意 のF∈FΩ 分 大 き く とれ ば,Dn∩ nに 対 し て 函 数 お

を と っ て,一 Ω ⊃Fか

応 固 定 す る.前

つ 

よ びGreen函

ペ ー ジ の{Dn}でnを と な る か ら,こ

数GD′n(x,y)を

考 え る.ま

の よ うな

ず 函数

 (3.3.18)

はD′nで 正 値 調 和 で あ っ て ∂D′n上で  で あ っ て,   (3.3.18′)

と な る.R＼Dnで だ か ら,(3.3.18)は

十

は 

と も 書 け る(右 次 に,函

辺 の 符 号 に つ い て は 前 ペ ー ジ(3.3.16)の

あ と の 記 述 を 参 照).

数wFを

 (3.3.19)

と 定 義 す る と,(3.3.3),(3.3.7),(3.3.16)に

よ り

 (3.3.20)

と な る.一

方, 

はDn＼Ω

では 調 和 で あ って

の上 で  で あ るか ら,Dn＼Ω

の上 で

に お い て 

か らD′nにお い て 

また ∂D′nの上で 

だ

とな る.よ って におい て

と な る か ら,n→

∞

と す る と(3.3.7)と(3.3.20)に R＼

と な り,こ

れ と(3.3.19)と

を 得 る.こ

こ でFと

がnに

か ら

お け るFnを

よ っ て(3.3.17)を

よ びun(n=1,2,…)がRで

関 し て単 調 減 少 で 

に 対 し て,Rの

上 で 

  証 明   (3.3.17)のuにunを  を 得 る が,Ω

ら,Rに

に お い てuF=wF

し て(3.3.11)に

(3.3.11)と(3.3.9)に   系  uお

Ω

よ り

∞

と す る と,

得 る. 連 続 な 正 値 優 調 和 函 数 で あ っ て,{un}

な らば,上

の補 助 定 理 に お け る 開集 合 Ω

が 成 立 す る. 代 入 し て,n→

∞

に お い て は(3.3.9)に

とす れ ば,R＼

Ω において

よ り(un)Ω=un,uΩ=uだ

か

が成 立 す る.

お い て 

  補 助 定 理3.3.3 

uは 補 助 定 理3.3.2と

る.Ω1,Ω2がRの

中 の 正 則 開 集 合 で Ω1⊃ Ω2な

 証 明   任 意 のF∈FΩ2を もRで

代 入 し,n→

と っ て か ら,任

同 様Rで

連 続 な 正 値 優 調 和 函 数 とす ら ば(uΩ2)Ω1=uΩ2.

意 のD∈DFを

連 続 な 正 値 優 調 和 函 数 で あ る.uDF≦uFだ

か ら,uDFの

と る.uDF,uF,uΩ2 定 義(補

助定理

3.3.1)に

と な る.FはFΩ1に

よ っ て 

果 に(3.3.4),(3.3.8)とuF≦uΩ2な

と な る.こ

の結

る こ とを 順 次 適 用 す る と

の 式 の 左 端 辺 のD∈DFに

る 上 限 を と れ ばuΩ2≦(uΩ2)Ω1を る か ら,証

も属 す る か ら,上

関 す る 上 限 を と っ て か らF∈FΩ2に

得 る.一

方(3.3.9)に

関す

よ り(uΩ2)Ω1≦uΩ2で あ

明 す べ き 等 式 が 成 立 す る.

  補 助 定 理3.3.4 uは

前 の 補 助 定 理 の 通 り とす る.Ω,Ω1,Ω2がRの

中の正則

開 集 合 で Ω1∪ Ω2⊃ Ω な ら ばuΩ1+uΩ2≧uΩ.   証 明   ま ずF,F1,F2が uF1+uF2≧uFと

正 則 コ ン パ ク ト集 合 で あ っ てF1∪F2⊃Fな

な る こ と を 示 す.任

る.uDF1,uDF2,uDFは

意 のD∈DF1∪F2を

い ず れ もD＼(F1∪F2)で

らば

と る とD∈DFで

もあ

調 和 で あ っ て,(3.3.2)に

よ り

の上 で の上 で の上で と な るか ら,D＼(F1∪F2)に

が 成 立 す る.一

お い て 

では  で あ る か ら,F1∪F2で 立 す る.こ

で成 立 す る.さ

し てn→

て,こ

る と,F1∪F2⊃Fな

では が 成 立 し,結

も 

こ でD=Dnと

るF1∈FΩ1とF2∈FΩ2が な り,こ

対 し て,任

成

意 のF∈FΩ

を と

存 在 す る か ら,(3.3.8)と

上 の

の 右 端 辺 にお い てF∈FΩ

に関

す る 上 限 を と れ ば,証

明 す べ き 不 等 式 が 得 られ る.

  補 助 定 理3.3.5 uお

よ び Ω を 補 助 定 理3.3.2の

度 μΩ で 

局 この 不 等 式 はDで

∞ の 極 限 を と れ ば,uF1+uF2≧uFがR

の 補 助 定 理 の Ω,Ω1,Ω2に

結 果 か らuΩ1+uΩ2≧uF1+uF2≧uFと

るBorel測

方,

通 り と す る と,Ωaに

な る も の が 存 在 し て,R＼

おけ

Ω において

次 の 等 式 が 成 立 す る:

 (3.3.21)

  証 明   任 意 のF∈FΩ

を と り,任

意 のD∈DFを

と る.函

数uDFはDに

おい

て 正 値 優 調 和 で あ るか ら,Riesz分 測 度 μDFと調 和 函 数hDFが

解 の 定 理2.3.4に

よ り,Dに

お け るBorel

存 在 し て,

 (3.3.22)

が 成 立 し,D＼Fに

お い て はuDFは

だ か ら(3.3.22)の

右 辺 第1項

GD(x,y)の

性 質 に よ り,xが

は0に

近 づ く.一

∂D上

で 境 界 値0を

方uDFも

で 固 定 し たDnを

調 和 で あ る か ら μDF(D＼F)=0で

はFの

上 の 積 分 と な る.従

っ て,Green函

∂D上 の 点 に 近 づ く と き(3.3.22)の

∂D上

で 境 界 値0を

と る か ら,D上

と る こ と に な り,hDF≡0で と り,Fの

あ る.こ

あ る. 数

右 辺 第1項

の 調 和 函 数hDFが こ でDと

し て §3.1

上 の 測 度 μ(n)Fを 

よ っ て 定 義 す る と,(3.1.6)に

よ り(3.3.22)は

に 次 の よ う に な る:

 (3.3.22′)

こ の 両 辺 にγ(x)を ≡1な

掛 け て 体 積 要 素dxに

つ い てD0で

積 分 す れ ば,Mn(γ;y)

ることに よ り

 (3.3.23)

す な わ ち{μ(n)F}は

コ ン パ ク ト集 合Fの

上 で 一様 有 界 な 測 度 の 列 で あ る か ら,

適 当 な 部 分 列 を と れ ばFの

上 の μF(F)≦u(γ)な

方(3.3.22′)を

等式

用 い る と,不

が 成 立 す る が,点x∈R＼ n→ ∞

Ω を 定 め る と,y∈Fの

の と きM(x,y)にFの

る((3.1.7),(3.1.8)参 分 列 だ け を 考 え てn→ ま た 第2項

る測 度 μFに 漠 収 束 す る.一

函 数 と し てMn(x,y)は

上 で 一 様 収 束 し,M(x,y)はFの 照).だ

∞

か ら,上

と す る と,上

に 述 べ た{μ(n)F}が

上で連続であ μFに 漠 収 束 す る 部

の 不 等 式 の 右 辺 の 第3項

は μ(n)Fの一 様 有 界 性(3.3.23)とMn(x,y)の

は0に

収 束 し,

一 様 収 束 に よ り,第1

項 は(3.3.7)に

よ り,い

な け れ ば な ら な い;す

ず れ も0に

な わ ち,任

収 束 す る.よ

っ て 上 の 不 等 式 の 左 辺 は0で

意 のx∈R＼Ω

に対 し て

 (3.3.24)

が 成 立 す る.こ 合E⊂

こ でFと

Ωa＼Fに

し て(3.3.11)の

対 し て μFn(E)=0と

よ うなFnを

と り,任

定 義 す る と,{μFn}は

Ωaに お け る 一 様 有 界(μFn(Ωa)≦u(γ))な

意 のBorel集 コ ン パ ク ト集 合

測 度 の 列 と な る か ら,適

当な部分列が

Ωaに お け る μΩ(Ωa)≦u(γ)な る 測 度 μΩに 漠 収 束 す る.M(x,y)はx∈R＼

Ω

な ら ばyに

記

つ い て Ωaで 連 続(定

の 部 分 列)と

お い てn→

∞

理3.2.2)だ

か ら,(3.3.24)でF=Fn(上

とす れ ば(3.3.21)を

得 る.

  以 上 の こ とを 用 い て,本

§の 目 的 で あ る 次 の 三 つ の 定 理 を 証 明 す る.

  定 理3.3.1 

連 続 な 正 値 優 調 和 函 数 と し,Γ,Γn等

境 界Sの

u,υ はRで

閉 部 分 集 合 とす る.こ

の と き,Rに

はMartin

お い て 以 下 の 等 式 また は不 等式 が

成 立 す る:  (a)  uΓ は 調 和 函 数 で あ っ てu≧uΓ  (b)  Rに  (c) 

お い てu≧υ

(u+υ)Γ=uΓ+υ

≧0;

な ら ばuΓ ≧υΓ; Γ;

 (d)  任 意 の 定 数c≧0に  (e) 

uΓ1∪ Γ2≦uΓ1+uΓ2;

 (f) 

Γ1⊃ Γ2な

対 し て(c・u)Γ=c・uΓ;

ら ば(uΓ2)Γ1=uΓ2;

な らば

 (g)  {Γn}n=1,2,… が 単 調 減 少 列 で   (h)  uがRで

正 値 調 和 な ら ばuS=u.

  証 明   (a)は(3.3.13)と(3.3.15)に 1°),2°),3°)に

お け るuF,uΩ,uΓ

述 べ ら れ て い る.(b),(c),(d)は の 構 成 の 手 順 と(3.3.7),(3.3.11),(3.3.15)

か ら 容 易 に わ か る か ら,(e)∼(h)を

  (e)  任 意 の Δ1∈OΓ1,Δ2∈OΓ2を

証明

す る.

と る と,Γ1∪

Δ1∪Δ2に 含 ま れ る Δ∈OΓ1∪Γ2が 存 在 す る.だ 3.3.4に

よ り 

前 記

Γ2⊂ Δ1∪Δ2が 成 り立 つ か ら, か らuΓ1∪ Γ2の 定 義 と補 助 定 理

こ こ で Δ1と Δ2と は 互 い に 無 関 係

に と れ る か ら,Δ1∈OΓ1,Δ2∈OΓ2に ≦uΓ1+uΓ2を

関 す るuΔ1∩R,uΔ2∩Rの 下 限 を と れ ばuΓ1∪ Γ2

得 る.

  (f)  任 意 の Δ∈OΓ1を

と る と Δ∈OΓ2で

の 仮 定 を 満 た す 列{Δn}⊂OΓ2を き 補 助 定 理3.3.3に

  (g) 

が 成 り立 つ か ら,n→

補 助 定 理3.3.2の

系 に よ り(uΓ2)Δ ∩R=uΓ2を

関 す る 下 限 を と れ ば(uΓ2)Γ1=uΓ2と

仮 定 と(3.3.14)に

てuΓn≧uΓ

対 し て(3.3.15)

Δn⊂Δ な る よ うに と る こ とが で き る.こ

よ り 

と る と(3.3.15)と 辺 の Δ∈OΓ1に

も あ る か ら,Γ2に

の極 限 を

得 る.こ

の左

な る.

よ り,{uΓn}はnに

関 し て 単 調 減 少 で,各nに

が 存 在 し てυ ≧uΓ と な る.ま

だ か ら, 

∞

の と

対 し

た,任

意の

Δ∈OΓ に 対 し て

で あ っ て,Rに あ る か ら,十 と な る.こ n→ ∞

お い てR＼

Δ,R＼

Γnは

分 大 な るす べ て のnに の こ と と Δ∈OΓ

と し てuΔ ∩R≧υ

そ れ ぞ れ コ ン パ ク ト集 合,開

対 し てR＼

と か ら Δ∈OΓnが

を 得 る.こ

Δ ⊂R＼

Γn,従

§3.1で

の 左 辺 の Δ∈OΓ に 関 す る 下 限 を と れ ば を 得 る.

固 定 し た 正 則 有 界 領 域 の 列 と し,n=1,2,…

Δn=R＼Dn,Fn=Dn+1＼Dnと

お く.Dn+2⊃Fnで

お い て 調 和 で あ り,∂Dn(⊂ に お い て 相 等 し い.ま

っ て Δ⊃ Γn

わ か る か らuΔ ∩R≧uΓnと な り,

uΓ≧υ とな るか ら,初 め の 結 果 と合 わ せ て   (h)  {Dn}を

集合 で

あ っ て, 

に対 して

とuはDnに

∂Fn)の 上 で は こ の 二 つ の 函 数 は 相 等 し い か ら,Dn

た,Dn+2∈DFn,Fn∈FΔn∩Rだ

か ら,

に おい て こ の と き{Δn}⊂OSか に お い てn→ 方(a)に

つ{Δn}は

∞ と す る と(3.3.15)に

よ りu≧uSだ

  定 理3.3.2 

uをRで

か ら,u=uSが

よ り,Rに

お い てu≦uSが

の不等式

成 立 す る.一

得 ら れ る.

連 続 な 正 値 優 調 和 函 数 とす る と,Martin境

意 の 閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,Γ も の が 存 在 し て,uΓ(x)は

だ か ら,上

単 調 減 少 で 

上 のBorel測度

次 の 式 で 表 わ さ れ る:

界Sの

μΓで μΓ(Γ)=uΓ(γ)<∞

任 なる

 (3.3.25)

な る も の を と り,

 証 明  OΓ に属 す る集 合 の単 調 減 少 列{Δn}で  Ωn=Δn∩Rと Borel測

お く と,各

Ωnに 対 し て 補 助 定 理3.3.5に

度 μnで 

よ り,Ωanに

な る も の が 存 在 し て,R＼

Ωnに

おけ る

おいて

 (3.3.26)

が 成 立 す る.{μn}は れ る か ら,適 す る.任

コ ン パ ク ト集 合Ωa1の 上 の 一 様 有 界 な 測 度 の 列 と 考 え ら

当 な 部 分 列{μn′}が

意 のn0を

Ωa1に お け る あ るBorel測

固 定 す る と き,n′ ≧n0と

な る 部 分 列 の 測 度 μn′を 考 え る と

  で あ るか ら, 

と な る.こ

く と れ る か ら μΓ(Ωa1＼ Γ)=0.よ 意 のx∈Rに

3.2.2の

よ りM(x,y)はyに

対 し て, 

上 の こ と と(3.3.15)に

ば(3.3.25)が

得 ら れ,そ

掛 け てRの

界Sの

度 と考 え る

あ る か ら,定

→∞

体 積 要 素dxに

理 上で

とす れ ついて

よ りuΓ(γ)=μ Γ(Γ)が 得 ら れ る.

値 調 和 函 数 の 表 現 定 理)  Rに

対 し て,Martin境 て,u(x)は

な るn1が

よ り,(3.3.26)でn=n′

の 両 辺 にγ(x)を

積 分 す れ ば,M(γ;y)≡1に

  定 理3.3.3(正

任 意 に大 き

つ い て コ ン パ ク ト集 合R＼Ωn1の

連 続 で あ る.以

D0で

こ でn0は

っ て μΓ は Γ に お け るBorel測

こ と が で き る.任 系ⅱ)に

度 μΓ に 漠 収 束

上 のBorel測

お け る 任 意 の 正 値 調 和 函 数uに

度 μ で μ(S)=u(γ)な

る も のが 存 在 し

次 の 式 で 表 わ さ れ る:

 (3.3.27)

逆 に,Sの

上 の0<μ(S)<∞

義 さ れ るuは

な る 任 意 のBorel測

×Sで

定

正 値 調 和 函 数 で あ る.

  証 明   前 半 は 定 理3.3.1の(h)と し よ う.任

度 μ に 対 し て(3.3.27)で

意 のDn(§3.1)に

定 理3.3.2か

対 し て 定 理3.2.2の

一 様 連 続 で あ る か ら,(3.3.27)の

ら 明 ら か で あ る.後 系ⅱ)に

右 辺 の 積 分 は,S上

半 を証 明

よ りM(x,ξ)はDn におけ る

 (3.3.28)

な る 形 の'Riemann式

近 似 和'に

よ り,Dn上

で 一 様 近 似 さ れ る.(3.3.28)

は 定 理3.2.2に もDnで uはRで

よ りxの

函 数 と し てDnで

調 和 で あ る.こ

こ でDnの

調 和 で あ る.uは

よ りu(γ)=μ(S)>0だ

調 和 で あ る か ら,そ

任 意 性 に よ り,(3.3.27)で

の一様収束極限 定 義 され る函 数

明 ら か に 非 負 値 で あ り,(3.3.27)とM(γ;y)≡1に

か ら 

  正 値 優 調 和 函 数 の 表 現 定 理 は,次

;従 っ てuは

正 値 調 和 で あ る.

の § の 最 後 に 述 ベ る.

[

 §3.4  極 小 函数,標

準 表 現 とそ の 一 意 性

  正値 調 和 函 数 の標 準 表現 とそ の 一 意性 を述 べ る た め,ま ず 極 小 函 数 の概 念 を 導 入 す る.   定 義1  R上

の正 値 調 和 函数uが,

  (3.4.1)  R上 でυ ≦uな

る正 値 調 和 函 数υ は,uの

とい う条 件 を 満 た す と き,uを

極 小 正 値 調 和 函 数 ま たは 単 に極 小 函 数 と呼 ぶ.

  す なわ ち,正 値 調 和 函数uが'極 函 数υ で,R上

で0≦υ ≦uと

  上 の条 件(3.4.1)は

正 の定 数 倍 にか ぎ る

小'で

あ る とは,uと

線 型 独 立 な正 値 調 和

な るも の は存 在 し な い,と い うこ とで あ る.

次 の(3.4.2)と

同値 であ る:

uが 二 つ の 互 い に 線 型 独 立 な 正 値 調 和 函数u1,u2の  (3.4.2) 

凸 結 合 な ら ば,uはu1,u2の  な ぜ な ら ば,正

い ず れ か に 一 致 す る.

値 調和 函 数uが(3.4.1)を

満 た す と し,

u1,u2は

と す る と,u≧ c1,c2が

λ1u1か

つu≧

存 在 す る.従

λ2u2だ

な い か ら,λ2=0ま

た はu=u2と

な る か ら,(3.4.2)が

正 値調 和 函 数 でυ ≦uと と な る.こ

の と き,u=υ

と な り,(3.4.1)が よ っ てυ とwは

か ら,u=c1λ1u1,u=c2λ2u2な

っ てc1λ1u1=c2λ2u2と

c1,c2は0で

正 値 調 和 函数,

た は

な る が,u1とu2と λ1=0と

な り,そ

成 立 す る.逆

す る と,w=2u-υ ま た はu=wと

成 立 す る.u=υ

は 線 型 独 立 で

れ に 従 っ てu=u1ま

に(3.4.2)を

仮 定 す る.υ

が

も正 値 調 和 函数 で  す る と,ど

で もu=wで

線 型 従 属 で あ る か ら,w=cυ

とな って(3.4.1)が

る正 の定 数

ち ら の 場 合 もu=υ=w

も な い と す る と,(3.4.2)に な る 正 数cが

あ り, 

成 立 す る.

  調 和 函 数 の全 体 は 線 型 空 間 を な し,そ の 中 で正 値 調 和 函数 の全 体 は 凸集 合 を なす が,上 の(3.4.2)に

よ り,uが

線 型 独立 な 正値 調和 函数u1,u2を

極 小 函数 で あ る こ とは,uが 結 ぶ'線 分'の

二 つ の互 いに

内点 に は な ら ない こ と と同等

で あ る.よ

っ て,極

小 函 数 の こ とを 端 点 的 函 数 と も い う.

  任 意 の ξ∈Sを

固 定 し てM(x,ξ)をx∈Rの

3.2.2に

の 正 値 調 和 函 数 で あ る.よ

よ りR上

と し て,前 で,xの

§ で 連 続 正 値 優 調 和 函 数uに 函 数M(x,ξ)に

函 数 と 考 え る と,こ っ て,Sの

れは定理

任 意 の 閉部 分 集 合 を Γ

対 し てuΓ を 定 義 し た の と 同 様 の 方 法

対 し てMΓ(x,ξ)を

定 義 す る;す

なわち

MΓ(x,ξ)=M(・,ξ)Γ(x). 特 に,Γ={ξ}(一 こ とに す る.以

点 ξか ら成 る集 合)の 上に お い て ξはSの

  (3.4.3) 

と き はMΓ(x,ξ)をMξ(x,ξ)と

任 意 の 点 で あ る か ら,

ψ(ξ)=Mξ(γ,ξ)  ((3.1.1)参

と お い て ψ(ξ)をSの

書 く

上 の 函 数 と 考え る.こ

照)

の 函 数 は 本 §に お い て 重 要 な 役 割

りを す る.   補 助 定 理3.4.1 

BをSの

測 度 で μ(B)>0と

す る.R上

中 のBorel集

合 と し,μ をBで

の 正 値 調 和 函 数uが

定 義 さ れ たBorel

極 小 函 数 で あ っ て,R上

で

 (3.4.4)

を 満 た す な ら ば,一

点 ξ0∈Bが

存 在 し て,R上

でu(x)=u(γ)M(x,ξ0)が

成立

対 し てM(γ;ξ)=1だ

か ら,

す る.   証 明   (3.1.10)と(3.2.3)に (3.4.4)に

よ りu(γ)≧ μ(B)>0と

の 正 則 性 に よ り,Sの μ(Γ)>0な

る も の が あ る.一

>0,ρ-diam(Γ1)<1を 適 用 す る と,コ

っ て,距

離 空 間 に お け るBorel測

っ て コ ン パ ク ト集 合)Γ

度 つ

る も の が 存 在 し,従

∩Δaνと お く と,こ 満 た す.初

る 有 限 個 の 開 集 合Δν(ν=1, っ て そ の 中 に μ(Γ∩Δaν)>0な

れ はSの

コ ン パ ク ト部 分 集 合 で μ(Γ1)

め の Γ に 対 し て 行 な っ た 議 論 を こ の Γ1に

ン パ ク ト集 合 Γ2⊂ Γ1で,μ(Γ2)>0か

るも の が 得 られ る.以

で Γ ⊂Bか

般 に 集 合Δ の 距 離 ρ に 関 す る直 径 を ρ-diam(Δ)

中 の ρ-diam(Δν)<1な

Γ ⊂Δ1∪ … ∪Δmな

るΔνが あ る.Γ1=Γ

な る.従

閉 部 分 集 合(従

と書 く こ と に す る と,Rの …,n)で

よ り任 意 の ξ∈Sに

下 同 様 の 論 法 で,μ(Γn)>0か

る コ ン パ ク ト集 合 の 単 調 減 少 列{Γn}が

得 ら れ る.こ

つ

ρ-diam(Γ2)<1/2な

つ ρ-diam(Γn)<1/nな の と き,す

べ て の Γnの

共通 部分 は丁 度1個

の点 か ら成 るか ら,そ

の点 を ξ0とす る.こ

こで,各nに

対して

 (3.4.5)

と 定 義 す る と,定 ≦u(x)と

理3.3.3に

な る.uは

存 在 す る.測

よ りunは

正 値 調 和 函 数 で あ っ て,R上

極 小 函 数 で あ るか ら,un(x)=cnun(x)な

度 μnを 

でun(x)

る正 の 定 数cnが

と 定 義 す る と,(3.4.5)に

よ り

 (3.4.6)

と な り,従

っ て μn(Γn)=u(γ)<∞

列{μn}の

適 当 な 部 分 列 は,あ

度 で あ る か ら,μ0は

と な る か ら,コ

ン パ ク ト集 合S上

る 測 度 μ0に 漠 収 束 す る.各

点 ξ0に お け る 点 質 量 で あ る.そ

お い て 上 記 の 部 分 列 の 極 限 を と る とu(x)=cM(x,ξ0)と

=1に

よ りu(γ)=cを

得 る か ら,u(x)=u(γ)M(x,ξ0)が

  系1  uが 極 小 函 数 な ら ば,u(x)=cM(x,ξ0)と 定 数cが

し,(3.

な り,M(γ;ξ0)

成 立 す る. な る よ うな 点 ξ0∈Sと

正 の

存 在 す る.

  証 明   uは 定 理3.3.3の(3.3.27)の に お い てB=Sと   系2 

μnは Γnの 上 の 測

の 質 量 の 値 をcと

4.6)に

の測 度 の

ξ1をSの

す れ ば,こ 一 点,Γ

形 に 表 現 さ れ る か ら,補

の 系1が

をSの

数 で あ っ てMΓ(x,ξ1)>0な

と な る か ら,補

と な る.だ

 定 理3.4.1 

(3.4.3)の

極小函

ら ば,ξ1∈ Γ で あ る.

るBorel測

助 定 理3.4.1に

か ら 定 理3.2.4に

得 ら れ る.

閉 部 分 集 合 とす る.M(x,ξ1)がxの

  証 明   xの 正 値 調 和 函 数M(x,ξ1)に 義 さ れ た0<μ(Γ)<∞.な

助 定 理3.4.1

よ り点

定 理3.3.2を

適 用 す る と,Γ

度 μ が 存 在 し て,Rの

の上で定

上で

ξ0∈Γ が 存 在 し て

よ り ξ1=ξ0,従 函 数 ψ(ξ)は0と1の

っ て ξ1∈Γ と な る. 値 の み を と り,M(x,ξ)がxの

極 小 函 数 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は ψ(ξ)=1な る こ とで あ る.   証 明  任 意 の 正 値 調 和 函 数uに 対 し て,定 理3.3.2で

Γ={ξ}(一

点 ξか ら

成 る集 合)と お くと  (3.4.7)

が 成 立 す る か ら,特

にu(x)=M(x,ξ)と

す ると

 (3.4.8)

と な る.こ

の 式 と 定 理3.3.1の(f),(d)と

か ら

を 得 るか ら,こ の両 端 辺 に γ(x)を 掛 け て体 積 要 素dxで

積分すれば

す なわち と な る.よ

っ て ψ(ξ)の 値 は0ま

  次 に ψ(ξ)=1な M(x,ξ)な

た は1で

ら ばM(x,ξ)がxの

あ る. 極 小 函 数 で あ る こ と を 示 す.u(x)≦

る 任 意 の 正 値 調 和 函 数uを

と り,υ(x)=M(x,ξ)-u(x)と

υ も正 値調 和 函 数 で あ る. 

だから

と  従 っ て こ の 式 の 不 等 号 の 所 は 実 は 等号 が 成 立 し,特 ば な ら な い.こ

お く と,

の こ と と(3.4.7)と

u{ξ}(γ)は正 の 定 数 で あ る か ら,こ

に よ り

にu(x)=u{ξ}(x)で

か らu(x)=u{ξ}(γ)M(x,ξ)を の 結 果 はM(x,ξ)がxの

な けれ

得 る.こ

こで

極 小函数であ るこ

と を 示 し て い る.   逆 にM(x,ξ)が

極 小 函 数 な ら ば ψ(ξ)=1な

る こ と を 示 そ う.Sの

閉 部分 集

合 Γ で,Sに

お け る 相 対 位 相 に 関 し て ξを 内 点 に 含 む も の を 任 意 に と っ て,B

=(S＼

お く.こ

3.4.1の

Γ)aと 系2に

の と き,も

よ り ξ∈Bで

し もMB(x,ξ)>0と

す る と前 述 の 補 助 定 理

な け れ ば な ら な い か ら,MB(x,ξ)≡0で

の こ と と定 理3.3.1の(h),(e),(a)に

あ る.こ

よ り,す べ て のx∈Rで

従 っ て こ の 式 の 不 等 号 は す べ て 等 号 と な り,特にMΓ(x,ξ)=M(x,ξ)を

得 る.

初 め に述 べ た よ うな集 合 Γ の 単調 減 少 列 で  定 理3.3.1の(g)に

な る もの を と れ ば, と な る か ら, 

よ り 

が 得 ら れ る.

 定 義2 

と お く.S1を(本

お い て は)Martin境

界Sの

書に

本 質 的 部 分 と 呼 ぶ.(そ

の 理 由 は 後 述 の 定 理3.4.3

お け るFσ 集 合 で あ る.(一

般 に 距 離 空 間 に お い て,閉

に よ る.)   定 理3.4.2 

S0はSに

集 合 の 高 々 可 算 個 の 和 集 合 と し て 表 わ さ れ る 集 合 をFσ 集 合 と い う;閉 空 集 合 もFσ 集 合 で あ る.本 の 定 理 は'S0はRに

章 に お い て はSはRの

お け るFσ 集 合 で あ る'と

函 数M(x,ξ)(ξ

函 数 をMDF(x,ξ),MF(x,ξ),MΩ(x,ξ)等   m=1,2,…

閉 部 分 集 合 で あ る か ら,こ い うの と 同 等 で あ る.)

  証 明  前 §に お い て 正 値 優 調 和 連 続 函 数uに 義 し た の と 同 様 に し て,xの

対 し てuDF,uF,uΩ は 任 意 に 固 定)に

お い て 考 え て い る こ とを,念

こ こ で Γmは 空 集 合 の こ と も あ る.集

て,F⊂Dnな ら,MDnFの

るnの

単 調 増 加 な こ とは 明 らか で 意 の 正則 開 集 合 Ω⊂Rに

§3.1の

Ω に含 ま

初 め に 固定 し た正 則 有 界 領 域 の列 とし

み を 考 え る.M(x,ξ)はF×Sの

上 で一 様 連 続 で あ るか

定 義 と 調 和 函 数 の 最 大 値 原 理 に よ り,MDnF(x,ξ)はD0×Sの

で 一 様 連 続;従

っ て,MDnF(γ;ξ)は

(3.3.3)と(3.3.7)に

(3.3.11)の

合 列{Γm}が

下 半 連 続 な 函 数 で あ る こ と示 す.Fを

れ る コ ン パ ク ト集 合,{Dn}を

核を表わ

とな る

ず 各 Γmが 閉 集 合 で あ る こ と を 示 す た め,任 ξ∈Sの

こ で 閉 包,開

な る か ぎ り,

に対 して 

対 し て,MΩ(γ;ξ)が

対 して 定 義 し た

の た め 再 記 し て お く):

が 

あ る.ま

等の函数を定

で 表 わ す こ とに す る.

に 対 し て 集 合 Γmを 次 の 式 で 定 義 す る(こ

すa,iはRに

集合や

ξ に つ い てSの

よ り 

仮 定 を 満 た す 集 合 列{Fn}を

(単 調増 加 で収 束).従

って

考 え る と 

上

上 で 連 続 で あ る.一

方

(単調 増 加 で収 束).ま

た

が い ず れ も単 調 増 加 の 収 束 で 成 立 し,MDnF(γ;ξ)の MΩ(γ;ξ)はSの

上 で 下 半 連 続 で あ る.さ

し,Δ ∈O({ξ})か

つ ρ-diam(Δ)<1/mと

と な る か ら,Ω=Δ

∩Rに

 任 意の 

対 し てMΩ(γ;ξν)≦1/2と

こ で 

理3.4.1に

さ れ た.次

に 任 意 の ξ∈S0を

よ り ψ(ξ)=0.よ

ら ば,Ω=Δ

∩Rは

従 っ てS0は [11]に

ξ∈S0と

集 合 で あ ろ う,と

上 のBorel測

が示

な り, 

す る と(3.3.

あ る.Δ ∈O({ξ})か

つ ρ-diam(Δ)<1/mな って

が示 され た か ら,前

れ で 

が 得 られ た.

よ っ て 示 さ れ,Martinの

か ら,Sの

定義に よって

と

る こ と が わ か っ た.こ

  上 の 定 理 に よ りS0は,従

と っ て, 

単 調減 少 で

の 証 明 中 の 各 ΓmはSの 第1類

のmを

だ か ら,Ωn=Δn∩Rと

るmが

の結 果 と合 わ せ て  Martinは,上

っ て

集 合 に な る.

Ωmに 含 ま れ る か らMΩ(x,ξ)≦MΩm(x,ξ),従

と な り,ξ ∈ Γmな

 

あ る.こ

閉集合 で

と り, 

よ りMΩn(γ;ξ)は

だ か らMΩm(γ;ξ)≦1/2な

るmが

す る と,Γmの

単 調 減 少 で 

10),(3.3.15)に

収束

か らMΩ(γ;ξ)

な り,Γmが

を 示 せ ば,S0がFσ

Ω=Δ ∩Rと

と な り,定

点 ξ∈Sに

な る.だ

っ て ξ∈ Γmと

を と る と,ξ ∈Γmな

お くと,{Δn}は

て 点 列{ξν}⊂ Γmが

す る と,ν が 十 分 大 な ら ばΔ ∈O({ξν})

の 下 半 連 続 性 に よ りMΩ(γ;ξ)≦1/2,従 あ る こ と が 示 さ れ た.そ

ξに 関 す る 連 続 性 に よ り

中 の 相 対 位 相 で 疎 集 合(nowhere 予 想 し た が,最

近Sa1〓Sな

る 例 がA.

dense

set) ,

Ancona

予 想 は 否 定 さ れ た.

っ てS1=S＼S0も,Sの 度 がS0,S1の

中 のBorel集

上 で 考 え ら れ る.よ

合 である

っ て次 の定 義 を述

べ る こ と が で き る.   定 義3  Sの と 呼 ぶ.正

上 の 有 界Borel測

度 μ がｵ(S0)=0を

値 調 和 函 数 の 表 現 定 理(定

理3.3.3)に

満 たす とき μを 標 準 測 度 お け る測 度 μが 標 準 測 度 で

 

あ る と き に,そ

の 表 現(3.3.27)を

  以 下 の 補 助 定 理 は,標

標 準 表 現 と い う.

準 表 現 の 存 在 と 一 意 性(後

述 の 定 理3.4.3)を

示すた

め の 準 備 で あ る.   補 助 定 理3.4.2 

{Γm}を

定 理3.4.2の

上 の 任 意 の 正 値 調 和 函 数uと,任   証 明   Γmは mな

意 の,mに

コ ン パ ク トだ か ら,Sの

る も の の 有 限 個 で 覆 わ れ る.そ

つ い て,uΓ(x)≡0と

証 明 中 に 述 べ た 閉 集 合 列 とす る と,R 対 し て,uΓm(x)≡0で

中 の 相 対 開 集 合Δν で ρ-diam(Δν)<1/2 の よ うなΔν の 一 つ のSに

な る こ とを 示 せ ば よ い(定

Γ に 対 し て,ρ-diam(Δ)<1/mな

あ る.

るΔ ∈O(Γ)を

の 定 義 に よ り,ξ ∈ Γ な ら ばMΩ(γ;ξ)≦1/2と

お け る 閉 包Γ

に

よ り).こ

の

理3.3.1の(e)に

と り Ω=Δ ∩ Γ と す る と,Γm な る.こ

こで まず

 (3.4.9)

な る 形 の 任 意 の 函 数 υに 対 し て,M(γ;ξ)≡1を

用 いて

 (3.4.10)

一 般 に ,Γ

の 上 のBorel測

度 μに よ って

 (3.4.11)

の 形 に 表 わ さ れ る 函 数 が,各

点xで(3.4.9)の

さ れ る こ と は 明 ら か で あ る が,実 列 で 近 似 さ れ る;も (3.4.12′)の

 (3.4.12)

は す べ て のx∈Rに

っ と精 確 に は,次

略 証 を,こ

右 辺 の 形 のRiemann和

Rの

の(3.4.12),

の 補 助 定 理 の 最 後 に 付 記 し て お く.)

各 点xで(3.4.11)の

[ xがRの

共 通 なRiemann和

の よ うに 述 べ ら れ る.(次

の 形 の 函 数 υnを 適 当 に 定 め る と,n→

∞

の と きυn(x)は

函 数 υ(x)に 収 束 す る.

コ ン パ ク ト部 分 集 合 を 動 くか ぎ り,(3.4.12)の

 (3.4.12′)

函 数 列{υR}は

一 様 有 界 で あ る.

で近 似 の

(3.4.11),(3.4.12)の

し,そ

函 数υ,υnに

対 し て 補 助 定 理3.3.2の(3.3.17)が

の 式 に お い て 

とLebesgue積

だ か ら,(3.4.12)

分 論 に お け るFatouの

補題 によ り

こ の 両 辺 に γ(x)を 掛 け て 積 分 す る と,再

ま た(3.4.12′)に

各υnに

よ り{υn}はD0で

対 し て は(3.4.10)が

特 にuΓ(x)は の(f)と

成 立

びFatouの

一 様 有 界 だ か ら,(3.4.12)に

成 立 す る か ら,(3.4.11)の

定 理3.3.2に

補 題 に よ って

よ り(3.4.11)の

よ り

υに 対 し て

形 に 表 現 され る か ら,定

理3.3.1

上 の結 果 か ら 従 っ てuΓ(γ)=0.

だ か ら 定 理3.3.2に

お い て

μΓ(Γ)=0,従

  念 の た め に,(3.4.12),(3.4.12′)の

と お く と,各xに

っ てuΓ(x)≡0と

略 証 を 与 え て お く.δ>0に

対 し てM(x,ξ)が

Riemann積 Fを

対 し て υn(x)→υ(x)(n→

分 の 場 合 と 同 様 に 示 さ れ る.特

動 くか ぎ り,M(x,ξ)はF×

る と,任

関 し て 一 様 で は な い).そ

る{Δnν}1≦ν ≦nに 分 割 し て,各Δnν

cnν=μ(Δnν)と お け ば,各xに

意 のnと

す な わ ち{υn(x)}はFの   補 助 定 理3.4.3 uがR上

にxがRの

Γ 上 で 有 界 だ か ら,そ

任 意 のx∈Fに

対 し て

ξに つ い て 連 続 な こ と に よ り,δ ↓0の

き εδ(x)→0と な る(こ の 収 束 は 一 般 にxに ρ-diam(Δnν)<1/nな

な る.

と

こで Γ を

の 中 に 点ξnνを と り, ∞)な

る こ とは 普 通 の

コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 値 の 上 限 をKと

す

対 して

上 で 一 様 有 界 で あ る. の 正 値 調 和 函 数 な ら ば,任

意 の ε>0に

対 し て,

S1の 閉 部 分 集 合Γ

を 適 当 に と っ て,u(γ)≦uΓ(γ)+ε

な る よ うに で き る.

 証 明  Γmを 前 の補 助定 理 の通 りとし,  と お く.各Γmnは Γmn↓Γmと

な る.だ

て 適 当 なnmを Bm=B1∪

閉 集 合 で,mを

任 意 に 固 定 し てn→

か ら 定 理3.3.1の(g)と

前 の 補 助 定 理 に よ り各mに

と れ ば 集 合Bm=ΓmnmがuBm(γ)<ε/2mを

…∪Bmは

列 で あ っ て, 

は 閉 集 合 で あ る.Δmの

だ か ら,す

対 し て Γ ∩Γm=φ

3.4.2の

証 明 参 照)だ

示 す.上

か ら,Γ

⊂S1で

か ら,定

ここ でm→

∞

対 し の と き

単調減少

定 義 に よ り ρ(Δm,Γm)>1/nm

あ る.こ

(定 理

方 

の Γ が求 め る もの で あ る こ とを よ り

理3.3.1の(h),(e)に

とす る と定 理3.3.1の(g)に

お く と{Δm}は

と な る.一

の Γ の 構 成 法 と 定 理3.3.1の(e)に

Δm∪Bm=Sだ

満 た す.こ

閉 集 合 で あ る.Δm=(S＼Bm)aと

べ て のmに

∞ とす る と き

よ り

より

u(γ)≦uΓ(γ)+ε を 得 る.   補 助 定 理3.4.4  る.こ

Γ0,Γ1がSの

の と き 任 意 の ε>0に

⊃Γ0,か

閉 部 分 集 合 で,Γ0∩

対 し て,Rの

す

中 の 開 集 合 Ω を 適 当 に とれ ば,(Ωa)i

つ 任 意 の ξ∈ Γ,に 対 し てMΩ(γ;ξ)<ε

  証 明  R＼D0に

Γ1=φ,Γ1⊂S1と

と な る.

含 ま れ る 開 集 合 の 単 調 減 少 列{Ωn}で,(Ωan)i⊃

Γ0が つ

 な る もの が とれ る.こ の補 助 定理 の結 論 を否 定 す る と,適 当 な 正数 εを とれ ば,各nに

対 し てMΩn(γ;ξn)≧

定 理3.3.5のu,Ω

と し て こ こ のM(x,ξn),Ωnを

測 度 μnで

μn(Ωan)≦M(γ;ξn)=1な

ε と な る ξn∈Γ1が 存 在 す る.補 と る と,Ωanに

助

お け るBorel

る もの が存 在 し て

 (3.4.13)

{μn}を

コ ン パ ク ト集 合 Ωa1の上 の 測 度 の 列 と 考 え る と, 

に

よ り,適

当 な 部 分 列 はΩa1の 上 の あ る 測 度 μ0に 漠 収 束 す る.ν ≧nな

Ωanの上 の 測 度 だ か ら,μ0はΩanの

上 の 測 度 で あ り,nは

ら μ0はΓ0の

の 部 分 列 の 番 号 に 対 応 す る{ξn}は

上 の 測 度 と な る.上

ト集 合Γ1の 束 す る.こ

上 の 点 列 だ か ら,更

ら ば μνは

任 意 に大 き くとれ るか コン パ ク

に 部 分 列 を と る こ と に よ りΓ1の 一 点 ξ0に 収

うし て 得 ら れ た 部 分 列 に 対 応 す る も の を,あ

{ξn}と 書 く こ と に す る.各x∈Rに

対 し て,nが

か ら,(3.4.13)とM(x,y)のy(∈R＼{x})に

ら た め て{Ωn},{μn};

十 分 大 な ら ばx∈R＼

Ωnだ

関 す る連 続 性 に よ り

 (3.4.14)

こ の 最 後 の 積 分 はxの ≡0と

函 数 と し て ≡0で

す る と,M(γ;ξ)≡1に

は な い.な

よ り μ0(Γ0)=0と

ぜ な ら ば,も

な る が,一

し も この 値 が

方(3.4.13)か

ら

 だ か ら,μ0の 構 成 法 に よ り μ0(Γ0)≧ εで な け れ ば な ら な い.よ

一 方 この積 分 の値 はxの

っ て 

だ か ら,そ

れ が〓0な

M(x,ξ0)は

正 値 調 和 函 数 で あ り,ξ0∈Γ1な

義 に よ りM(x,ξ0)は のuに

ら ば い た る所 正 の 値 を と る.だ

か ら(3.4.14)に

る こ と と定 理3.4.1お

極 小 函 数 で あ る.(3.4.14)はM(x,ξ0)が

対 す る 仮 定 を 満 た す こ とを 示 し て い る か ら,一  と な る.だ

=ξ′0∈Γ0と な り,ξ0∈Γ1な

非 負値 調 和 函 数

よ びΓ1の

定

補 助 定 理3.4.1 点 ξ′0∈Γ0が存 在 し て

か ら 定 理3.2.4に

る こ と と 矛 盾 す る .以

よ り

よ っ て

ξ0

上 に よ り補 助 定 理3.4.4が

成 立 す る.   補 助 定 理3.4.5 Γ っ て,B∩Γ=φ

はSの

閉 部 分 集 合,BはS1に

とす る.R上

の 調 和 函 数uが,Bの

含 ま れ るBorel集

合 であ

上 の 測度 μに よ って

 (3.4.15)

と表 現 され るな らば,uΓ(x)≡0で   証 明   まずBがS1に

あ る.

含 まれ る コンパ ク ト集 合(従

っ てSの

閉 部 分 集 合)の

場 合 を 考 え る こ とに し,次 の よ うに 表 わ され る函 数υ を考 え る:

 (3.4.16)

任 意 の ε>0を

と り,補

助 定 理3.4.4でΓ0,Γ1を

Ω を 考 え る と,MΩ(γ;ξν)<ε じ計算(た

だ か ら 補 助 定 理3.4.2の

だ し1/2の か わ りに ε と書 く)に

の 積 分 をRiemann和 の 列{υn(x)}で

こ こ のΓ,Bと

で 近 似 す る こ と に よ り,u(x)は(3.4.16)の 近 似 さ れ る か ら,補

助 定 理3.4.2の

は 任 意 の 正 数 だ か らuΓ(γ)=0;従

  次 に,Bを

任 意 のBorel集

な る コン パ ク ト集 合Γ1⊂Bが

と 表 わ さ れ,u1は

合 とす る.任

あ る.一

方u2に

っ てuΓ(x)≡0と 意 の ε>0に

  以 上 の 準 備 を し て,標 R上

形の函数

な る.

対 し て μ(B-Γ1)<ε

函 数uは

コン パ ク トの 場 合 の 仮 定 を 満 た し て い る ついては

が 成 立 し,ε は 任 意 の 正 数 だ か ら(u2)Γ(γ)=0;従 か らuΓ(x)=(u1)Γ(x)+(u2)Γ(x)≡0が

同

証 明 と同 様 に

存 在 す る.(3.4.15)の

上 に 証 明 し たBが

か ら(u1)Γ(x)≡0で

す な わ ち,正

証 明 中 の(3.4.10)と

よ りυΩ(γ)≦ευ(γ)を 得 る.(3.4.15)

が 得 ら れ,ε

  定 理3.4.3 

し た とき の

っ て(u2)Γ(x)≡0と

な る.だ

得 ら れ る.

準 表 現 の 存 在 と 一 意 性 を 証 明 す る.

の 任 意 の 正 値 調 和 函 数 は,た

値 調 和 函 数uに

対 し て,S1の

だ 一 通 り の 標 準 表 現 を も つ.

上 の 有 界Borel測

度 μが 存 在 し て

 (3.4.17)

が成 立 す る;こ の よ うな 標 準 測 度 μはuに  (3.4.18) 

任 意 の 閉 集 合Γ

⊂Sに

よ って 一 意 的 に 定 ま り

対 し て 

な る こ とに よ り特 徴 づ け られ る.   証 明  まず 標 準 表 現 の存 在 を 証 明 し よ う.uを

正値 調 和 函数 とす る.任 意 の

ε>0に

対 し て,補

助 定 理3.4.3に

よ り,S1の

u(γ)≦uΓ(γ)+ε な る よ うに で き る.こ

と 分 解 す る と,uΓ(x)は て μΓはΓ(⊂S1)の る.一

方u-uΓ

て,任

意 の 正 値 調 和 函uと

を 適 当に と っ て

の と きuを

定 理3.3.2の(3.3.25)の 上 のBorel測

閉 部 分 集 合Γ

形 に 表 現 さ れ,そ

度 だ か ら,(3.3.25)はuΓ

は 非 負 値 調 和 函 数 で あ っ てu(γ)-uΓ(γ)≦ 任 意 の ε>0に

対 し て,次

の式におい

の標 準 表 現 で あ ε と な る.こ

の よ うなuの

うし

分解 が存

在 す る こ と が わ か っ た: u=υ+υ′;υ   さ て{εn}を

は 標 準 表 現 を も ち,υ′ はυ′(γ)≦ε を 満 た す.

単 調 減 少 で0に

収 束 す る 正 数 列 と し,初

u=u1+u′1;u1は標準

な わ ち,一

標 準 表 現 を も ち,u′2(γ)≦ε2,… … 般 に

u′n-1=un+u′n;unは と す る.こ

の と き任 意 のmに

ら出発 して

表 現 を も ち,u′1(γ)≦ε1,

u′1=u2+u′2;u2は と順 次 繰 返 す.す

め のuか

標 準表 現 を も ち,u′n(γ)≦εn

対 して

が存在

とな る.{u′m}は 非 負値 調 和 函数 の単 調 減 少 列 だか ら  し て 非 負 値 調 和 函 数 とな る が,{εn}が0に ≡0と

な る.だ

収 束 す る か らu′(γ)=0,従

っ てu′

か ら

  (3.4.19)

各nに 対 し てunを 表 現す る標 準測 度 を μnと し,測 度 の無 限級 数  る.こ の級 数 の任 意 の部 分 和 は,(3.4.19)の 測 度 で あ る.(3.4.19)の

部 分 和 はuを

測 度 の 級 数 の 部 分 和 に つ い て は,全 度 の 無 限 級 数 は,あ

る有 界Borel測

を考 え

右 辺 の対 応 す る部 分 和 を 表 現 す る

超 えな い正 値 調 和 函 数 で あ るか ら,上 の

測 度 がu(γ)を 超 え な い.だ か ら,こ の 測 度 μを定 義 す る.各

μnがS1の

だ か ら,μ もS1の 上 の測 度,す なわ ち標 準測 度 で あ る.そ して

上の測度

と な る か ら,uの

標 準 表 現(3.4.17)が

  次 に(3.4.18)を

示 せ ば,Sの

よ り μ(Γ)が 定 ま る か ら,距 意 のBorel集

合E⊂Sに

た こ と に な る.以

得 られ た.

任 意 の 閉 部 分 集 合Γに 離 空 間 に お け るBorel測

対 し て μ(E)が

下 は(3.4.18)の

定 ま り,標

とす る.記

と な る.補

をSの

中 のBorel集

合)

か ら

任 意 のBorel集

が 成 立 す る.Γ

準測 度 の一 意性 が示 され

号 の簡 便 の た め

(EはSの

  (3.4.20) 

度 の 正 則性 に よ って任

証 明 で あ る.

  uを 表 現 す る 一 つ の 標 準 測 度 をμ

と お く.μ(S＼S1)=μ(S0)=0だ

対 し て μ(Γ)=uΓ(γ)に

合E⊂Sに

対 し てu(E;x)=u(E∩S1;x)

閉 部 分 集 合 とす る と,集

助 定 理3.4.5のBと

Γ を と る と,uΓ(S1＼Γ;x)≡0を

合 に関 す る積 分 の加 法 性 に よ り

し て こ こ のS1＼Γ 得 る.だ

を と り,Γ

とし て は ここ の

か ら上 の等 式 か ら

 (3.4.21)

が 得 ら れ る.い

ま

と お く と,ΓnとBnはSの 補 助 定 理3.4.5のBと

閉 部 分 集 合 でΓn∪Bn=S,Γ し て こ こ のS1∩Γ

とuBn(S1∩Γ;x)≡0と

な る か ら,

n→ ∞

と な る か ら,定

と す る とΓn↓Γ

 (3.4.22) (3.4.21),(3.4.22),(3.4.20)に

よ り

を と り,Γ

理3.31の(g)と

∩Bn=φ

と な る.

と し て こ こ のBnを

上 の不 等 式 か ら

とる

u(E;x)の

定 義 に よ り,上 の式 は(3.4.18)を

示 し て い る.

  系1  Sの す べ て の 閉 部 分 集 合Γ に対 し て定 義 され て い るuΓ(x)は,Sの のBorel集

中

合 全 体 の上 で定 義 され た可 算 加 法 的 集 合 函数 に拡 張 され る.

  (上 の 証 明 中 のu(E;x)を

考 え れ ば よい.)

  系2  R上 の任 意 の正 値 調 和 函数 に対 し て定 理3.3.3の た め の必 要 十 分 条 件 は,S0=φ

表 現が一 意 的 で あ る

な る こ とで あ る.

  (S0=φ

な らば,す べ て の 表 現 は 標 準 表 現 であ るか ら一 意 的 で あ る. 

な らば,そ

の中 の一 点 ξ0をと る と,函 数u(x)=M(x,ξ0)は

るか ら標 準 表 現 を も つ.ま たuは は 標 準 測度 で は な い―

正 値 調 和 函数 で あ

一 点 ξ0に点 質 量1を 与 えた 測 度 μ0―

これ

を用 い て も表 現 され る.だ か らuの 表 現 は一 意 的 で な

い.)   最 後 に,R上

の正 値 優 調 和 函 数 の 表 現 定 理 を 与 え る.次 の定 理 でG(x,y)は

§3.1で 述 べ たRに

お け るGreen函

数 であ る.

  定 理3.4.4  R上 の 任 意 の正 値 優 調 和 函 数uに 度 μ0と,RのMartin境

界 の本 質 的 部 分S1の

意 的 に 定 ま って,Rの

対 して,Rに

お け るBorel測

上 の有 界Borel測

度 μ1とが 一

上で

 (3.4.23)

が 成 立 す る.   証 明   ま ず §2.3のRiesz分 Rに

お け るBorel測

定 ま っ て,任

解 の 定 理2.3.5(Ω

度 μ0とR上

意 のx∈Rに

をRと

の 調 和 函 数hが,函

す る)のⅱ)に

数uに

よ り,

よ っ て一 意 的 に

対 して

 (3.4.24)

が 成 立 す る.こ 恒 等 的 に0で

の と き,定

証 明 か ら わ か る よ う に,函

な い 限 り正 値 調 和 函 数 で あ る.だ

上 の 有 界Borel測  (3.4.25)

理2.3.5のⅱ)の

度 μ1が 一 意 的 に 定 ま っ て,任

か ら 定 理3.4.3に 意 のx∈Rに

数hは

よ り,S1の 対 して

が 成 立 す る.(3.4.24),(3.4.25)に 意 性 も上 の 記 述 か ら(す

よ り(3.4.23)が

な わ ち 定 理2.3.5と

成 立 す る.こ

定 理3.4.3に

の 表現 の一

お け る 一 意 性 か ら)

明 ら か で あ る.

  定 理3.4.4は

標 準 表 現 の 定 理3.4.3とRiesz分

の 帰 結 で あ っ て,こ 系1と

定 理3.4.1(お

数M(x,ξ)は る.だ

の 章 の 主 要 定 理 は 定 理3.4.3で よ びS1の

定 義)か

極 小 函 数 で あ り,任

か ら 定 理3.4.3は,任

せ る こ と に よ っ て 表 わ さ れ,そ

解 の 定 理2.3.5か あ る.補

ら の 当然

助 定 理3.4.1の

ら わ か る よ うに,ξ ∈S1な

ら ばxの

函

意 の 極 小 函 数 は この 形 の も の の 定数 倍 に 限

意 の正 値 調 和 函 数 が 極 小 函 数 を積 分 的 に 加 え 合 わ の 表 わ し 方 が 一 意 的 で あ る こ と を 示 し て い る.

第4章

  滑 らか な境 界 のMartin境

界 へ の埋 め 込 み

 §4.1  埋 め 込 み の 定 理

  この章 で は,Rが

多 様体Mの

部 分領 域 で あ って,そ

の境 界 の一 部(境 界 全

体 で も よい)が 適 当 に滑 らか な場 合 に は,そ の部 分 がRのMartin境

界 の中 へ

同相 に 埋 め 込 まれ る こ とを 示 す.こ

界 ∂E等

の用 語 ・記 号 は,Mに 境 界Sや,そ ってMは

こで は,集 合E⊂Mの

閉 包E,境

お け る位 相 で考 え る もの と す る.た だ し,RのMartin

の 本 質 的 部 分S1な

どは,Rに

対 して 第3章

で構 成 した も の(従

考 慮 し て い な い もの)を 意 味す る.

  この章 の結 果 を 次 の二つ の定 理 として 述 べ,証 明 は 次 の §で与 え る.   定 理4.1.1  Rが

向 きづ け られ たm次

の境 界 ∂Rの 一 部 分Sがm-1次 用 素Aの

元C∞級

元C3級

多様 体Mの

部分 領 域 で,そ

単 純 超 曲面 か ら成 る とし,偏 微分 作

係数aij(x),bi(x)はR∪SでC2級,c(x)はR∪SでHolder連

す る.こ の とき,∂Rに る と,SはRのAに

お け る相対 位相 で 考え たSの

続と

内部 をSと

書 くこ とに す

関す るMartin境

界 の本 質 的 部 分S1の

中 へ 同 相 に埋 め

込 まれ る;も っ と正 確 に述 べ る と,Sの

各 点zに 対 してS1の

点 ξzが一 対 一 に

対 応 し, の とき  (4.1.1) {

の とき

で 定 義 さ れ る写 像 φ は,多 コン パ ク ト化R(そ

様 体Mの

部 分 空 間 と し て のR∪Sと,RのMartin

れ は コ ン パ ク ト距 離 空 間 で あ る)の

部 分 空 間 と し て のR∪

φ(S)と の同 相 写 像 を 与 え る.(φ(S)={ξz￨z∈S}.)―   ま た,x∈Rとz∈Sに たGreen函

数G(x,y)と

対 す るMartin核 の 関 係 と し て,次

函 数M(x,ξz)と,§3.1で の 定 理 が 成 り立 つ.

定義 し

 定 理4.1.2前

定理 の 仮定 の も とで,任 意 のx∈Rとz∈Sに

対 して

 (4.1.2)

が 成 立 す る.従

っ て,任

極 小 函 数 で あ る.

意 のz∈Sに

対 し て 

はxの

函 数 と して

 §4.2  埋 め 込 み 定理 の証 明

  こ の §で は 前 述 の 定 理4.1.1,定 助 定 理 と し て 述 べ,そ

理4.1.2を

証 明 す る が,証

れ ら を 証 明 し て い くこ と に よ り定 理 の 証 明 を 完 成 す る.

  以 下 に お い て は 常 に 定 理4.1.1の

仮 定 が 満 た さ れ て い る も の と し,Riemann

計 量‖ αij‖に よ っ て 定 義 さ れ る二 点x,y∈R∪Sの に す る.ま

た,ρ は §3.2に

  補 助 定 理4.2.1 

明 の 各段 階 を補

お い てRで

任 意 のx∈Rを

の 核 函 数M(x,y)は,z∈Sに

距 離 をdis(x,y)と

書 くこ と

定 義 さ れ た 距 離 を表 わ す.

固 定 す る と き,§3.1で

定 義 し たMartin

対 して

 (4.2.1)

と 定 義 す る こ と に よ り,yに   証 明  Sの

つ い て(R∪S)＼{x}で

上 に 任 意 の 一 点z0を

中 で の 局 所 座 標 系(x1,…,xm)を

連 続 な 函 数 に 拡 張 さ れ る.

と っ て 固 定 す る と き,z0の 適 当 に と っ て,次

近 傍Wと,そ

のⅰ),ⅱ),ⅲ)が

の

成立す る

よ うに で き る;

 ⅰ)  W∩ ∂R⊂Sで  ⅱ)  W∩Rに

あ って,W∩Sは

方 程 式x1=0で

表 わ され る;

おい てx1>0;

 ⅲ )  f∈C1(W)な

らば 任 意 のz∈W∩Sに

お い て 

またΩ を,そ の 閉包Ω が コンパ ク トであ る正 則 領 域 で  (4.2.2)

を 満 た す も の と す る.(D0は   Green函 ら,任

数G(x,y)は

第3章

意 のf∈C10(R)に

第1章

の 初 め に 固 定 し た 領 域.)

の §1.3で 述 べ た 性 質(定

理1.3.9)を

もつ か

対 し て,

  (4.2.3)

で定 義 され る函 数υ は Rに を 満 た す.だ

か ら,有

お い てA*υ=-f,Sの

上 でυ=0

界 正 則 領 域 Ω に お け るGreen函

数GΩ(x,y)の

性 質(定

理1.3.3)に

よ り,z∈

が 成 立 す る.こ

と な り,fの

Ω ∪(W∩S)な

らば

の 式 のυ に(4.2.3)の

任 意 性 に よ り任 意 のx∈

右 辺 を代 入す る と

Ω,z∈

Ω ∪(W∩S)に

対 して

  (4.2.4)

を 得 る.一 っ て,x∈

方GΩ(x,z)は(x,z)∈(Ω Ω か つz∈

か つz∈W∩Sな

×Ω)＼{(y,y)￨y∈Ω}に

∂Ω な ら ば 

ら ば,(4.2.2)の

て 正 の 値 を と る.だ

が 成 立 す る.ま 第2式

か ら(4.2.4)に

関 し てC1級 たy∈

∂Ω＼S

が存在 し

に よ っ て, 

よ り,D⊂Ω

であ

な る 任 意 の 領 域Dに

対 して

次 の こ と が わ か る: G(x,z)は 

に 関 し てC1級

任 意の 

で,

に 対 して

 (4.2.5) {

G(γ;z)は 

任意 の    さ て,任

に 関 してC1級 に 対 して

意 の 点z∈W∩Sは,初

てz=(0,z2,…,zm)と

l'Hospitalの

のzに

Ω を 考 え る と,局

お け る局 所 座 標 系 に よ っ

対 し てzλ=(λ,z2,…,zm)(λ>0)で 所 座 標 系 の 性 質ⅲ)と(4.2.5)と

定理に よ り

し か も,l'Hospitalの 収 束 は,W∩Sの

め に と っ たWに

表 わ さ れ る.こ

表 わ さ れ る 点zλ ∈W∩

で,

定 理 の 証 明 法 と(4.2.5)か 上 でz0に

近 い 範 囲 を 動 くzに

ら 容 易 に わ か る よ う に,上 関 し て 一 様 で あ る.一

方zが

の

W∩Sを y∈W∩

動 く とき 

はzに

Ω がz0に 近 い範 囲 の 点z∈W∩Sに

が 成 立 す る.以

上 に お い てz0はSの

閉 包 を も ち(4.2.2)を

上 の 任 意 の 点 で あ り,Ω

定 義 す れば,核

任 意 の 点z∈Sに

つ か つ 唯 一 つ対 応 して,Rの

函 数M(x,y)はyに

対 し て,Martin境

つ い て(R∪

上 の 点 ξzが 一

とな る よ うな任 意 の点 列

と な る.

 証 明   任 意 の点z∈Sに と る.こ の 点 列 はRに

お け る距 離 ρに 関 す る 集 積 点 をRの

れ ば 

と な る.い と る と,補

とな る よ うな 任 意 の 点 列

対 して

と な る.こ

とな り,従

よ っ て 

の こ と は ま た,初

  が 成 り立 つ こ と と,点

ξ∈Sが

め の 点 列{zn}に

点z∈Sに

と り方 に は 関 係 し な い こ とを 意 味 す る.だ 助 定 理4.2.2が

 系  任 意 のx∈Rとz∈Sに

よ って のみ 定 ま り

か ら そ の 点 ξ をξzと 書

対 して

  補 助 定 理4.2.3 ⅰ) EがR∪Sの

っ

対 して も

証 明 さ れ た こ と に な る.

  こ の こ とは 上 の 二 つ の 補 助 定 理 と定 理3.2.2か

の 部 分 集 合 で あ っ てRの

一 点 ξを 適 当 に と

よ り

離 ρ の 定 義(3.2.2)に

く こ とに す れ ば,補

中 に は も た な い.R

部 分 列{znν}とSの

ま 

助 定 理4.2.1に

任 意 のx∈D0に

て 

と な る 点 列{zn}⊂Rを

対 し て, 

は ρに 関 し て コ ン パ ク トだ か ら,{zn}の

とな る か ら,距

界Sの

中 の 

{yν}に 対 し て 

点 列{zn}の

も コ ン パ ク トな

連 続 と な る.

  補 助 定 理4.2.2 

{yν}⊂Rを

近 づ く とき

満 た す 正 則 領 域 と し て 任 意 に 大 き く とれ る か ら,点z∈S

に 対 し てM(x,z)を(4.2.1)で S)＼{x}で

つ い て 連続 で あ る.だ か ら点

ら直 ち に わ か る.

コ ン パ ク ト部 分 集 合,FがR＼(E∪D0)

中 で 閉 集 合 な る も の とす る と,M(x,y)はE×Fの

上 で 有 界 で あ る.ⅱ) 

z∈Sと

中 か らdis(xn,z)→0の と な る.更

し,{xn}をzにお

意 味 でzに

に,ⅱ′)  z′をzと

あ っ て 

法 線 に 沿 っ てRの

近 づ く点 列 と す る と, 

異 な るS上

の 点 と し,{xn}がRの

な ら ば, 

 証 明 ⅰ) 集 合E,Fに

中 の点 列 で

と な る.

対 す る仮 定 に よ り,コ ンパ ク トな 閉包Ω を もつ 正 則

領 域 Ω で,  あ る.補

け るSの

かつ 

助 定 理4.2.1の

な る も のが

証 明にお け る と 同 様 に,任

数 

意 のf∈C10(R)に

対 して函

が Rに

を 満 た す(定

お い てAu=-f, Sの

理1.3.9)こ

と か ら,任

上 でu=0

意 のx∈

Ω,y∈R∪Sに

対 して

 (4.2.6)

を導 くこ とが で き る;た だ し   (4.2.7)  とす る.こ

(x,y)∈ Ω ×([R∪S])＼ こ で,適

 (4.2.8) 

当 な 定 数C1,C2を

任 意 のx∈E,z∈

Ω)に 対 し て はGΩ(x,y)=0 とり

∂Ω ＼Sに

対 し て 

かつ  (4.2.9) 

任 意 のz∈

∂Ω＼Sに

な る よ うに で き る.(4.2.6∼9)に

従 っ てM(x,y)はE×Fの

よ り,x∈Eか

考え,E∪D0を

ク トな 閉 包 Ω を も つ も の を と り,こ 用 い る こ と が で き る.(以

て 用 い る.)更

に 

つy∈R＼

Ω な らば

上 で 有 界 で あ る.

  集 合E={z,x1,x2,…,xn,…}を

9)を

対 し て 

含 む 正 則領 域 Ω で コ ンパ

の Ω に 対 す るGΩ(x,y)を

下 に お い て は(4.2.6∼9)でyとzを

は 非 負 値 を と り,点zの

函 数 とし て 有 界 で あ るか ら,適 当 な定 数C3を

とれ ば

考 え て(4.2.6∼ 入 れ か え

近 傍 を除 い た所 でyの

任 意 のy∈ ∂Ω＼Sに と な る.だ

か ら補 助 定 理4.2.2の

対して 系 と(4.2.6∼9)に

よ り不 等 式

 (4.2.10)

が 得 ら れ る.一

方Green函

数GΩ(x,y)の  と な る.こ

か ら 

性 質(第1章,定

理1.3.8)に

よ り

の こ と と(4.2.10)に

お け る上 の 不 等 式 と

考 え,ⅱ)の

証 明 と同 様 に Ω お よ

を 得 る.

 ⅱ ′) 集 合E={z,z′,x1,x2,…,xn,…}を びGΩ(x,y)を

考 え る と,(4.2.10)ま

で は 上 と 同 様 に し て 得 ら れ る.一

含 ま な い よ う な ∂Ω の 任 意 のコ ン パ ク ト部 分 集 合Bに y∈Bに と な る.こ

  補 助 定 理4.2.4 

対 し て, (定 理1.3.8)

つ い て 一 様 に 

れ を(4.2.10)の

を 得 る.

下 の 不 等 式 に 適 用 す れ ば 

{yn}⊂R,z∈Sで

  証 明  まず,点 列{yn}はRの

方,zを

ならば

あ っ て 

中 に集 積 点 を もた な い;な ぜ な らば,Rに

い ては 本 来 の位 相 と距 離 ρに よ る位 相 とが 一 致 す る こ と(補 助 定 理3.2.1)に り,点 列{yn}がRの す る か ら で あ る.従

中 に 集 積 点 を もつ こ とは  っ て ま た,コ

み が 含 ま れ る か ら,こ て も よ い.よ

っ て{y1,y2,…}∩D0=φ

否 定 す る と,点zの ∩D0の

に は 高 々 有 限 個 のynの

れ ら の 有 限 個 のynを

と仮 定 す る.こ

あ る 近 傍U(z)と,点

列{yn}の

{z,x1,x2,…},F={yn1,yn2,…}に

除外 し

の仮 定 の も とで結 論 を

あ る部 分 列{ynν}でU(z)

外 部 に あ る も の とを 選 ぶ こ とが で き る.U(z)∩Rの

Sの 法線 に沿 った点 列{xm}で 

よ

な る仮 定 に 反

ン パ ク ト集 合D0の中

の 補 助 定 理 の 証 明 に は,そ

お

中 に,zに

な る も の を と る と,集 補 助 定 理4.2.3のⅰ)を

おけ る 合E=

適 用 す る こ とに よ り

す べ て のm,ν

とな る よ うな 定数Cが

に 対 し てM(xm,ynν)≦C

存 在 す る. 

固 定 す る と きy∈R＼{x}に

で あ っ て,M(x,y)はxを

つ い て ρ に 関 し て 連 続(定

理3.2.2)だ

か ら,上

の

不 等 式 でν → ∞ とす る と す べ て のmに と な り,補

助 定 理4.2.3のⅱ)に

対 し て M(xm,ξz}≦C 反 す る.よ

っ て 補 助 定 理4.2.4が

成 立 す る.

  こ の 補 助 定 理 か ら 直 ち に 次 の こ と が わ か る.   系   z,z′ がSの

相 異 な る 二 点 な ら ば, 

に 対 し て,ξ=ξzと

な るz∈Sは

  補 助 定 理4.2.5 

任 意 の 点z∈Sに

で あ る.従

っ て,任

意 の ξ∈S

た か だ か 一 点 で あ る. 対 し て,点

ξz∈Sが 一 対 一 に 対 応 し,

の とき  (4.2.11)

(こ れ は(4.1.1)と

の とき

で 定 義 さ れ る写 像 Φ は,Mの

部 分 空 間 と し て のR∪Sか

同 じ)

らRの

中 へ の 同相 写

像 を 与え る.   (注 意   こ の 補 助 定 理 でSをS1と の も の に な る.我

す る こ と が で き れ ば,こ

々 は ま ず こ の補 助 定 理 を 証 明 し,こ

れ は 定 理4.1.1そ

れ を 用 い て次 の二 つ の補

助 定 理 を 証 明 す る と,そ

の 結 果 と し て Φ(S)⊂S1な

る こ と が わ か る.こ

と上 の 補 助 定 理4.2.5と

を 合 わ せ て,定

得 ら れ る の で あ る.)

  証 明   任 意 のz∈Sに

対 し て,補

∈Sが

一 つ か つ 唯 一つ 対 応 す る.こ

(4.2.11)はR∪Sか

らRの

理4.1.1が

助 定 理4.2.2に

のこ と

述 べ ら れ た 性 質 を も つ 点 ξz

の こ と と補 助 定 理4.2.4の

系 に よ り,上

中 へ の 一 対 一 の 写 像 Φ を 定 義 す る.ΦがRに

い て 同 相 写 像 で あ る こ と は 自 明 だ か ら,任

意 の 点z∈Sに

の お

お け る Φ の両 連 続 性

を 証 明 し よ う.   任 意 の 点z∈Sと

対 し,補

助 定 理4.2.2と

補 助 定 理4.2.4

と 

に よ り,  あ る.だ

点 列{xn}⊂Rに

か ら,{z,z1,z2,…,zn,…}⊂Sな

とは 同値 で る と き に, 

とが 同値 で あ る こ とを証 明す れ ば よい.各 点zn∈Sに 助 定 理4.2.2に

より

と 

対 し て,補

かつ と な る よ う な 点xn∈Rを

と る こ とが で き る か ら,

と な る. 

と 

4.2.4に

よ り)だ

か ら,上

とは 同 値(補

助 定 理4.2.2と と 

の 不 等 式 に よ っ て 

と が 同 値 で あ る こ と が わ か る.   こ の 補 助 定 理4.2.5に お い て は,Sの

意 のz∈Γ

をSの

  証 明  Γ をSの

下に

コ ン パ ク ト部 分 集 合 と も考 え る.

コ ン パ ク ト部 分 集 合 と し,uをR上

の正 値 調 和 函

を満 たす もの とす る と,uを

に 対 し て 

す る 標 準 測 度 μ は μ(Γ)=0を

表現

満 た す.

コ ン パ ク ト部 分 集 合 と 考 え る と,任

の 中 の 正則 開 集 合 Ω で{Ωa)i⊃Γ 参 照―

中 へ 同相に 埋 め 込 まれ る か ら,以

コ ン パ ク ト部 分 集 合 をSの

  補 助 定 理4.2.6 Γ 数 で,任

よ り,SはSの

な る も の―

意 の ε>0に

対 し て,R

す な わ ち Ω ∈OΓ;§3.3の3°)

を適 当 に とれ ば

  (4.2.12)  と な る.次 Fを 含 むRの

x∈ Ω な ら ばu(x)<ε にF⊂Ω

な るRの

中 の 任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合Fを

中 の 任 意 の 正 則 有 界 領 域Dを

§3.3の1°),2°)参

照―.函

数uに

と る―

と り,更

に

す な わ ちF∈FΩ,D∈DF;

対 し て §3.3に 述べ た よ う に 函 数uDF,uF,

uΩ,uΓ を 順 次 定 義 す る と,(4.2.12)と

こ れ ら の 函 数 の 定 義 か ら,

の上で な る こ と が こ の 順 に 示 さ れ,従

っ てuΓ(γ)≦ ε と な る.一

け る(3.4.18)とM(γ;ξ)≡1な

を 満 た す.だ

る こ と に よ り,uに

か ら μ(Γ)≦ε とな り,こ

方,定

理3.4.3に

お

対 す る標 準 測 度 μ は

こ で ε は 任 意 の 正 数 だ か ら μ(Γ)=0が

得 ら れ る.   補 助 定 理4.2.7 

任 意 のz0∈Sに

対 し て,xの

函 数u(x)=M(x,ξz0)は

極小

函 数 で あ る.   証 明  u(x)は る.uが

正値 調 和 函数 で あ るか ら,そ れ を 表 現 す る標 準 測 度 を μ とす

極 小 函 数 で な い と仮 定す る と,ξz0∈S0(S0の

定 義 と定 理3.4.1参

照)

だから   (4.2.13)  Ω をMの

中 の 開 集 合 でz0を

S∩ Ω ⊂Sを 合Γ

μ({ξz0})=0({ξz0}は 含 み,そ

満 た す も の とす る.(S∩

を と る と,z∈Γ

な る か ら,補

の 閉 包 Ωが Ω)＼{z0}に

ン コパ ク トで あ っ て,か

ら μ((S∩ Ω)＼{z0})=0と

よ っ て μ(Γ)=0で な る.こ

つ

含 ま れ る 任 意 の コ ン パ ク ト集

な ら ば 補 助 定 理4.2.3のⅱ′)に

助 定 理4.2.6に

を 得 る か ら,uの

一 点ξz0か ら な る 集 合).

よ り 

あ り,Γ

の 結 果 と(4.2.13)と

と

の と り方 の 任 意 性 か に よ っ て μ(S∩ Ω)=0

標 準 表 現 は 次 の よ う に 書 け る:

 (4.2.14)

こ こ で,{xn}をR∩ を(R＼

Ω に 含 まれ る 点 列 で 

Ω)＼D0に

含 ま れ る 閉 集 合 とす る と,補

M(xn,y)は

方uの

な る.こ

対 し て点

理4.1.2の

ξz∈Sが

z∈Sに

対 し て,xの

ら,定

理3.4.1とS1の

か らuは

らR=R∪Sの

理3.2.2)に

よ っ て 

よ り よ り

と な り,

極 小 函 数 で な け れ ば な ら な い. よ り,任

意 の 点z∈Sに

定 義 さ れ る 写 像 Φ はMの

中 へ の 同 相 写 像 を 与 え る.更 補 助 定 理4.2.7に

助 定 理4.2.2の

成 立 す る こ と が わ か る.

に,任

部分 意 の

よ り極 小 函 数 で あ る か

定 義 に よ り ξz∈S1な る こ と が わ か る.よ っ て ま た,補

よ り 

よ びM(γ;ξ)≡1に

証 明   補 助 定 理4.2.5に

函 数M(x,ξz)は

の 結 論 が 得 ら れ る.従 理4.1.2が

の こ と と(4.2.14)お

一 対 一 に 対 応 し,(4.1.1)で

空 間 と し て のR∪Sか

り,定

連 続 性(定

定 義 と補 助 定 理4.2.3のⅱ)に

こ れ は 上 の 結 果 と矛 盾 す る.だ   定 理4.1.1,定

助 定 理4.2.3のⅰ)に

有 限 で あ る か ら,M(x,y)の

 M(xn,ξ)≦Cと

を 得 る.一

な る も の と し,F

っ て 定 理4.1.1

系 と補 助 定 理4.2.7に

よ

第5章  楕 円型偏微分作用 素に関す る正則写像

 §5.1  正 則 写 像 の た め の 予 備概 念 と 記 号

  この 章 お よび 次 の 章 で は,第3章 し,Rに

と同 様 にRを

向 きづ け られ たC∞ 多 様体 と

お い て定 義 され た楕 円型 偏 微 分 作用素A:

(す なわ ち,第1章

で述 べ たAでc(x)≡0と

した も の)の 形 式 的 共役 偏 微分 作

用 素A*:

を 考え る.ま

た,係

数 の ベ ク トル 場bに

対 し て,後

述 の'条

件(A)'を

常に仮

定 す る.   章 の 標題 に あ る'正 則写 像'は(定 ンパ ク ト領 域Kの

義 は §5.3で 与 え るが),b≡0の

境 界 上 の 連 続 函 数φ に 対 し て,Kの

境 界値φ を と る も のの うちDirichlet積 て,次

の章 に お け るNeumann型

我 々は  ator,山

分 が 最 小 に な る もの を,対 応 させ る 写 像 で あ っ

理 想 境 界(倉 持 境 界)の 構 成 に重 要 な 役 割 りを果 た す.

の場 合 を 扱 って い る た め,Dirichlet積

念 を導 入 し た が,'正 則 写 像'な 口博 史 氏 のregular

場 合 に は,正 則 コ

外 部 領 域 に お け る 函数 で ∂Kで

分 そ の もの は使 え ない の で新 し い概

る 名称 は,Ahlfors-Sarioの

operator(本

概 念か ら派 生 し た もの と し て,regular 否 は読 者 の批 判 に俟 ち たい が,本

書 物 に あ るnormal

書 の 「あ とが き」 の 文 献[6],[13]参 mappingと

書 では,上

oper 照)の

名付 け た もの で あ る.こ の 名称 の 当

記 各氏 の書 物 や 論 文 の結 果 を証 明 な し に用

い る ことは 全 くし な い で記 述 す る.だ か ら本 書 を 読 む た め に そ れ らの 文 献 を 前 も っ て見 て い た だ く必 要 は な い.   Ω 上 で い た る と こ ろ 正 の 値 を と る 函 数 ω が 与 え ら れ た と き,'測 ω(x)dxに

度'dωx=

関 す る ベ ク トル場 の 内 積(Φ,Ψ)Ω,ω,ノ ル ム‖Φ‖Ω,ω お よび 函 数 空 間

L2ω(Ω),Pω(Ω),Pω(Ω,K)(Kは の 初 め に 述 べ た 通 り定 義 す る.

Ω に 含 ま れ る 正 則 コ ン パ ク ト集 合)等

を,§1.5

  Rの 一 点x0を

と り,以 下 本章 お よび 次 の章 全 体 を通 し て,こ

て お く.こ の 点x0は,す

の点 を 固定 し

ぐ下 に 述べ る境 界 値 問題 の解 を規 格 化 す るた め に用

い る もの で,以 下 に 述べ るす べ て の結 果 は,こ の点 の選 び方 に 関係 し な い.  

DをRの

中 の正 則 領 域 で,x0を

の と き,Dに

含 み か つDで

コン パ ク トな もの とす る.こ

お け る楕 円型 境 界 値 問 題

 (5.1.1)

の解wが

存 在 し て,定

あ る;こ のwは

数倍 を除 い て一 意 的 に定 ま り,Dに

おいて符号一定で

実 は §1.3に 述 べ た不 変 測 度 の密 度 函 数 の定 数 倍 で あ る.こ の

よ うな函 数wでw(x0)=1と

規 格 化 した も のが 一 意 的 に 定 ま っ て,D上

値 を とるか ら,そ れ を ωDと 書 くこ とに し,pD=logωDと

で正 の

お く.こ の と き

従 って

  (5.1.2) 

な る こ とは 明 らか で あ る.更 に,任 意 の ψ∈PωD(D)に 対 して  (5.1.3)   (5.1.4)

  (5.1.3)の

証 明 は,左

辺 のpDに(5.1.2)の

第1式

を 代 入 し,(5.1.1)(wを

ωDと す る)を 用 い て 部 分 積 分 を 行 な え ば よ い.(5.1.4)は(5.1.3)を

用 いて次

の よ う に 示 さ れ る:  (5.1.5)

  今 後,偏 微 分 作用 素A*の   条 件(A) 

係数bは,次

Rの 中 の コ ンパ ク トな 閉 包Dを

考 え る と き,函 数q∈C1(R)とR上   (5.1.6)

 (5.1.7)

が成 立 す る.

の 条 件(A)を

満 た す もの とす る:

もつ 正 則 領 域Dの

で正 の値 を と る函 数wが

全 体{D}を

存在 して

 (5.1.7)は

次 の こ と と 同 等 で あ る:上

 な る適 当 な 列{Dn}を

の 領 域 の 族{D}か

らDn⊂Dn+1,

とれ ば

 (5.1.8)

  (5.1.8)は

函 数 ωDnと 函 数wと

につ い て 一 様 に 有 界 で,か (5.1.6)は,ベ

つ 一 様 に0か

ク トル 場bが

こ と を 意 味 し て い る.特 合 は,境

数p∈C3(R)が

あ っ て 

満 た さ れ る と い う こ と が,前

ン パ ク トな 閉 包 を も つ 領 域D0を 数c,c′ が 存 在 し て,D0を

る程 度 近 い

と 表 わ さ れ る場 あ り,

に 固 定 し た 点x0の

外 の 一 点x1を

と り,こ

固 定 す る と,Harnackの

含 む 領 域 でA*-調

 (5.1.9) 

選び方

の二点を含み コ

補 題 に よ り,正

和 な 任 意 の 函 数uに

の定

対 して

cu(x0)≦u(x1)≦c′u(x0)

が 成 立 す る.D⊃D0な

点x0に

勾 配 に,あ

方

し て 明 らか に 成 立 し て い る.

に 関 係 し な い こ と を 示 し て お く.x0以

(5.1.9)を

ら 離 れ て い る こ と を 意 味 す る.一

解 の 一 意 性 に よ っ て ωD(x)=ep(x)-p(x0)で

条 件(A)はq=p,w=ep-p(x0)と 件(A)が

っ て ま た 函 数 ωDn相 互 の 比 が,x

ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ルqの

に,函

界 値 問 題(5.1.1)の

  こ こ で,条

の 比 が,従

るDに

満 た し,各Dに

お け る境 界 値 問 題(5.1.1)の

つ い て は 定 数 倍 を 除 い て一 意 的 で あ る.だ

お い て 規 格 化 し た 解w(x)/w(x0)と,点x1に

w(x)/w(x1)と

の 比 は,Dの

はc≦w(x1)/w(x0)≦c′ る こ とか ら,x0にお つ こ と と,x1にお

解wは明

こ でc,c′ がDに

い て規 格 化 し た 函数 族{ωD}に

か ら,

お い て 規 格 化 した 解

み に 関 係 す る定 数w(x1)/w(x0)で

を 満 たす.こ

らか に

あ り,そ

の値

無 関 係 な正 の定 数 で あ

つ い て条 件(A)が

い て規 格 化 した 函数 族{ωD}に つ い て 条 件(A)が

成 り立

成 り立 つ

こ と とは,同 値 で あ る こ とが わ か る.   以 上に よ り,条 件(A)の 仮 定 と も思 え るの で,こ

意 味 は 了解 され た で あ ろ う.こ

の条 件 は 技 術 的 な

の 条 件 を 除 い て 本 書 に お け る以 下 の理 論(第5∼7章)

を 構 成 す る のが 望 ま しい こ とであ るが,そ れ は 現 在 の とこ ろ未 解 決 の問 題 で あ る.

 §5.2  作 用 素A*に

よ る境 界 値 問 題 の 解 に関 す る準 備

  Rの 中 の 正 則 コンパ ク ト集 合Kを一つ

固 定す る.ま た,DはKを

含み コン

パ ク トな 閉 包 を もつ 任 意 の 正則 領 域 とす る.   fをD＼K° Holder連

でHolder連

続 な 函 数 と し,φ,φ1を

続 な 函 数 とし て,D＼Kに

そ れ ぞ れ ∂K,∂Dで

お け る楕 円型 境 界 値 問 題

 (5.2.1)

お よび   (5.2.2)

を 考 え る.境

界 値 問 題(5.2.1)のGreen函

問 題(5.2.2)の

核 函 数 をND,K(x,y)と

  第1章 で はNeumann問 題(5.2.2)の

数 をGD＼K(x,y)と 書 く こ と に す る(第1章

題 の核 函数 のみN(x,y)で

ND,K(x,y)な

る記 号 を用 い た の は 次 の理 由 に よ る:第1に,こ

のGreen函

数 との 性 格 の 相 異(∂Dに

お い てはNeumann条

の 章 でNeumann型

N(x,y)が

上 記 のND,K(x,y)の

  第1章

で 述 べ た よ う に,GD＼K(x,y)は(5.2.1)と

参 照).

用 い る こ とに な る が,こ

数 で も あ り,ND

件 で あ る こと)を 印象 づ

理 想 境 界 の 理 論 に 用 い られ る核 函 数

極 限 函 数 と して 構 成 され る(本 章 §5.5)か ら で あ る. 共 役 な境 界 値 問題

,K(x,y)は(5.2.2)と

共 役 な境 界値 問 題

  (5.2.2*)

の 核 函 数 で も あ る;こ

こで

の §の 記 述 では,(5.2.1)

 (5.2.1*)

のGreen函

界値

表 わ し た か ら,混 合 型 境 界 値 問

核 函 数 は 第1章 の 慣 例 に 従 え ばG(・,・)を

け た い た め で あ り,第2に,次

書 き,境

の 意 味 は,例

え ば(5.2.2*)の

 (5.2.3)

で与 え られ る こ とであ る.   下記 の各 補 助 定 理 の結 果 は,次

の §で用 い られ る.

一 意 的 な 解υ が

  補 助 定 理5.2.1 Ω,Ω1は Ω ⊃ Ω1⊃ Ω1⊃Kな

コン パ ク トな 閉 包 を も つ 正 則 領 域 で あ っ て,

る も の とす る.こ

つ 任 意 の 正 則 領 域Dを

と る と,任

の と き,Ω

意 のx,y∈

を 含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も Ω1＼K°

に対 し て

 (5.2.4)

 証 明   任 意 のf∈C10(D)を

をΩ ＼K°

と る と き,函 数

に 制 限 し た も の は,境

φ ≡0,φ1=u￨∂

界 値 問 題(5.2.1)でDをΩ

で 置 き換 え,

Ω と し た も の の 解 で あ る か ら,Green函

数GΩ

＼K(x,y)を

用

いて

と表 わ さ れ る.こ

こ でfの

任 意 性 に よ り,x,y∈

Ω ＼K°

な らば

 (5.2.5)

が 成 立 す る.ま

のΩ1＼K°

た,任

意 のf∈C10(D＼

へ の 制 限 を(5.2.1*)の

考 察 す る と,z∈

Ω＼ Ω1,y∈Ω1＼K°

Ω1)に 対 し て,函

数

型 の 境 界 値 問 題 の 解 と 考 え て,上 な ら ば(f(y)=0に

と同様 に

よ り)

 (5.2.6)

が 成 立 す る.(5.2.5)の (5.2.4)が

右辺 を 代 入 す れ ば

得 ら れ る.

  補 助 定 理5.2.2  Dは

右 辺 のND,K(z,y)に(5.2.6)の

Kを

含 みコン パ ク トな 閉 包 を も つ 正 則 領 域 Ω を 固 定 し,

Ω を 含 み コン パ ク トな 閉 包 を も つ 任 意 の 正 則 領 域 とす る と き

  証 明   領 域 Ω＼Kに

お け る境 界 値 問 題Au=0,u￨∂K=1,u￨∂

Ω=0の

解 をu

とす る と,コ

ン パ ク ト集 合 ∂Ω の 上 で い た る 所

∂u/∂nΩ<0だ

か ら

 (5.2.7)

x∈D＼

Ω を 任 意に 固 定 す る と き,y∈

成 立 す る か ら,Greenの

Ω＼Kに

お い て はA*yND,K(x,y)=0が

公式に よ り

 (5.2.8)

を 得 る.ま

た,函

数w≡1はD＼Kに

(∂w/∂nD)￨∂D=0の

お け る 境 界 値問 題Aw=0,w￨∂K=1,

解 で あ る か ら,任

意 のx∈D＼Kに

対 して

  (5.2.9)

(5.2.7∼9)に

よ り任 意 のD⊃Ω

と任 意 のx∈D＼Ω

に対 して

とな るが,積 分 論 に お け るFatouの

補 題 に よ り,上

成 立 す るか ら,こ の補 助 定理5.2.2が

成 立 す る.

  補 助 定 理5.2.3 

に 含 まれ る コンパ ク ト集 合 で 互 い に交 わ

EとFをR＼K°

らな い も の とし,K∪E∪Fを

の不 等 式 はx∈

∂Ω で も

含 む 正 則領 域 Ω で コン パ ク トな 閉 包 を もつ も の

を 定 め る と き,次 の 函数 族 はE×Fの

上 で 一様 有界 か つ 同 等 連続 で あ る: Dは Ω を 含 み コン パ ク トな 閉包 を もつ 正 則 領 域 の全 体 にわ た る

  証 明   Ω1をK∪E∪F⊂ 任 意 のDに (5.2.4)の

Ω1⊂ Ω1⊂ Ω な る 正 則 領 域 と す る と,上

対 し て 補 助 定 理5.2.1が 右 辺 のND,K(z,z1)に

っ て 補 助 定 理5.2.3が   補 助 定 理5.2.4 

適 用 さ れ る か ら が,(5.2.4)が

補 助 定 理5.2.2(Ω

と 

記 の よ うな 成 立 す る.

をΩ1と す る)を 適 用 す る

が 得 ら れ る か ら,こ

れ と(5.2.4)に

よ

成 立 す る. FをR＼K°

に 含 ま れ る コン パ クト 集 合 と し,K∪Fを

む 正 則 領 域 Ω で コ ン パ ク トな 閉 包 を もつ も の を 定 め,ま 函 数φ を 与 え て お く.Kを

たC1(∂K)に

含 属す る

含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 任 意 の 正則 領 域Dに

{υD,〓υD￨

対 し て,D＼Kに

お け る 境 界 値 問 題(5.2.2*)でf≡0,φ1≡0と

に 与 え ら れ た も の と し た 時 の 解 をυDと はFの

し,φ

書 く こ と に す る.こ

を上

の と き次 の函 数 族

上 で 一 様 有 界 か つ 同 等 連 続 で あ る:

Dは Ω を含 み コン パ ク ト閉 包 を もつ 正則 領 域 の全 体 にわ た る}.   証 明  K∪F⊂ h=1,R＼

Ω1⊂Ω1⊂Ω2⊂Ω2⊂Ω

Ω2でh=0と

な る 正則

な る 函 数h∈C30(R)を

る境 界 値 問 題A*u=0,u￨∂K=φ,u￨∂Ω=0の

領 域Ω1,Ω2を 固 定 す る.uを

と り,Ω1で Ω ＼Kに

おけ

解 と し,

のとき の とき と お く と,A*w∈C01(R＼K)で 意 のD⊃Ω た し,境

に 対 し て,函

あ っ てA*wの

台 はΩ2＼

Ω1に 含 ま れ る.任

数υD-wはD＼KでA*(υD-w)=-A*wを

満

界条件

を 満 た す か ら,公

が 成 立 す る.こ

式(5.2.3)に

よ り,任

の 右 辺 のND,K(x,y)に

を 適 用 す れば,補

助 定 理5.2.4が

  補 助 定 理5.2.5 υDを

意 のy∈

Ω＼Kに

対 して

補 助 定 理5.2.3(E=Ω2＼

Ω1と す る)

成 立 す る こ と が わ か る.

前 の 補 助 定 理5.2.4の

通 り と し,ωDを

前 §で定 義 し

た 函 数 とす る と,  (5.2.10)

  証 明   D＼Kに

お い てυD(y)は

公 式(5.2.3)でf≡0,φ1≡0と

お くこと

に よ り 表 わ さ れ る か ら,

 (5.2.11)

ωD(y)も

∂D上 で は 同 じ境 界 条 件 を 満 た す か ら,D＼Kで

は

 (5.2.12)

(5.2.11)に

お い て 

向 き 法 線 で あ る こ と に よ り,こ 中 で ωD(x)>0だ

か ら,y∈D＼Kな

(定 理1.2.3参 こ で は 負 号-がつ

照;nKはKか か な い)で

あ り,ま

らば

((5.2.12)に

従 っ て 

ら見 て外

と な り,こ

よ り).

れ か ら(5.2.10)を

得 る.

たDの

 §5.3  正 則 写 像

  今 後Dは

コン パ ク トな 閉 包 を もつ 正 則写像 と し,{ωD}を

§5.1で 与 え られ

た函 数 族 とす る.こ の §では,ま ず 次 の二 つ の定 理 を証 明 し,そ の 結 果 を 用 い て,Rの

中 の 任 意 の コン パ ク ト集 合Kに

対 し てC1(∂K)か

A*-調 和 函数 の集 合 の 中へ の写 像 を 定 義 し,そ   定 理5.3.1 

次 の 性 質(B)を

らR＼Kに

おけ る

れ を'正 則写 像'と 名 付 け る.

もつ 函数 ω∈C2(R)が

存 在 し て,一

意的であ

る: Rの 上 で 

特に で あ って

と お く と き, 

 (B)

に対 し て

任意 の  こ の 函 数 ω はRに

お い てA*-調

の領 域 の 列{Dn}に

和 で あ り,条

件(A)の(5.1.8)を

対 して 

満たす任意

がR上

の広 義 一 様

収 束 で成 立 す る.   定 理5.3.2 

ω,pを

則 コ ン パ ク ト集 合Kと,任

前 の 定 理 に 述 べ られ た 函 数 と す る.Rの 意 の 函 数φ ∈C1(∂K)に

も つ 函 数u∈C0(R＼K°)∩C2(R＼K)が

存 在 し て,一

対 し て,次

中 の任 意 の正 の 性 質(C)を

意 的 で あ る:

 (C)

に対 して

任 意 の  こ の 函数uはR＼KでA*-調

た す.ま た,Kを

を満

和 で あ っ て, 

含 む 任 意 の 正 則 領 域Dに

対 し て,D＼Kに

お け る境 界 値

問題

の 解 をυDと

す る と,(5.1.8)を

がR＼K°

満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}に

対 し て. 

上 の広 義 一 様 収 束 で成 立 す る.

  補 助 定 理5.3.1 

Kを

正 則 コン パ ク ト集 合 と し,{Dn}はKを

で 条 件(A)の(5.1.8)を

各nに

満 た す も の と し て,ωn=ωDn(n=1,2,…)と

対 し て 

に,極

限

の上 の広 義 一 様 収 束 で存 在 す る と 仮

に対 して

任意 の 

が 成 立 す る.こ

の 命 題 はKが

そ れ ぞ れPωn(Dn),Pω(R)と

空 集 合 の 場 合 に も,Pωn(Dn;K),Pω(R;K)を 読 み 替 え る こ と に よ り成 立 す る.

の 場 合 の 証 明 を 述 べ る;K=φ 下 の 記 述 の 便 宜 上,R＼Dnで

これ に よ り ωn,Φnが き(5.1.8)に

とす る.更

対 して

の とき

 (5.3.1)

で あ る.以

た 

がR＼K°

函数 

  証 明 

お く.

が あ っ て,任 意 の ψ∈Pωn(Dn;K)に を 満 た し,ま

定 す る.こ

含 む領 域 の 列

∂Dn上

よ り定 数M≧1が

の 場合 へ の 証 明 の修 正 は 容 易

は ωn=0,Φn=0と

約 束 し て お く;

で 不 連 続 と な る こ と は 全 く差 支 え な い.こ 存 在 し て,R上

の と

で

従 って

 (5.3.2) 

 (5.3.3)

が 成 立 す るか ら,  り 

ち 

であ る.だ 従 っ てFatouの

対 して,こ れ をDn＼K

属 す る か ら 

また 任 意 の ε>0に 対 し て十 分 大 きいD⊃Kを

とな る(上 の左 辺 の(…)内

す なわ

補 題 に よ り 

を 得 る.次 に 任 意 の ψ∈Pω(R;K)に

に 制 限 し た も の はPωn(Dn;K)に

ば 

か ら,こ の 補 助 定理 の 仮 定 に よ

でR＼DをR＼Kと

が い くら で も 小 さ く な る).だ

と な る.

とれ ば

し て お い て,Dを か ら,Dn⊃Dな

らば

大 き くす れ

n→ ∞

とす る とD上

で は 一 様 に

ωn→ω,Φn→Φ

と な り,ε は 任 意 の 正 数 だ か ら    補 助 定 理5.3.2 

を 得 る.

ω1,ω2∈C2(R)で

あ っ て,い

満 た す と し,ω=ω1+ω2,p=logω

く)を

満 た し,各

 (5.3.4) 

だ か ら 

ず れ も 定 理5.3.1の(B)を

と お く 、 こ の と き ω も(B)(ω(x0)=1を

ων(ν=1,2)に

任 意 の ψ ∈Pω(R)に

つ い て 

除

であ って

対 し て 

 証 明  まず 簡 単 な 計算 に よ り,R上

で 次 の 不 等 式 が 成 立 す る:

 (5.3.5)

この 不 等 式 は,両 辺 の 差 を 通 分 して

を 用 い れ ば 容 易 に 示 さ れ る.(5.3.5)と 

とな るか ら,両 端 辺 をR上

に より

で 積分 す れ ば

 (5.3.6)

す な わ ち 

両 端 辺 をR上

が 示 され た.次 に,任 意 の ψ∈Pω(R)に 対 し て

で積 分 す る と, 

の 各 項 の 積 分 は0に を(ω(x0)=1を  (5.3.7)

な る か ら 

除 き)満

た す こ とが 示 さ れ た.ま

な る こ と に よ り,右 を 得 る.こ たν=1,2に

端辺

れ で ω が(B) 対 して

従 って が 成 り立 つ か ら,両

辺 の2乗

こ う し て 

をR上

で 積 分 す れ ば,仮

が 示 さ れ た.こ を 得 る.だ

の こ と と(5.3.6)と

れ で 補 助 定 理5.3.2が

  以 上 の 補 助 定 理 を 用 い て,定  定 理5.3.1の と お く と,定  (5.3.2′)  任 意 のkに

で あ る か ら,定

な 部 分 列 を,Rに

対 応 す る 領 域Dnの

数 列{ωn;n≧k}はDkで

か らkに

と り,ωn=ωDn

るA*-調

和函数の列

和 函 数 にDkで

関 す る対 角 線 論 法に よ り,{ωn;n≧1}の 和 な 函 数 ω にRで

々 は し ば ら く の 間,こ

た(5.3.2′)に

 (5.3.8) 

更 に 定 理1.4.5に

証 明 す る.

一 様 有 界 なA*-調

よ り適 当 な 部 分 列 が,あ

部 分 列 を 単 に{Dn}と

あ り,ま

よ び5.3.2を

満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}を

お い てA*-調

選 ぶ こ とが で き る.我

ω(x0)=1で

理5.3.1お

おいて

理1.4.5に

義 一 様 に 収 束 す る.だ

仮 定 に よ って

存 在 し て,

Dnに

対 し て,函

し て(5.3.4)

示 さ れ た.

証 明   (5.1.8)を 数M≧1が

よ り,

か ら 

か ら 任 意 の ψ∈Pω(R)⊂Pων(R)に対

の 等 式 の 左 辺 は 意 味 を も ち,(5.3.7)と

と な る.こ

定 と(5.3.6)に

適当

広 義 一様 に 収 束 す る よ う に

の 部 分 列 を 単 に{ωn}と

書 く こ と に す る.こ

よ りRに

広

書 き,

の とき 明 らか に

おいて

従 って よ り 

(Rで 広 義 一 様 収 束)が 成 立 す るか ら,

 とお く と

(Rで 広 義 一 様 収 束).

 (5.3.9) 

ま た(5.1.4),(5.3.2′),(5.1.6)に

よ り

で あ り,(5.1.3)に と な る.そ

よ り任 意 の ψ ∈Pωn(Dn)に

とお くと,補 助 定 理

こ で 

5.3.1(K=φ

の 場 合)が

  次 に,性

対 し て 

質(B)を

適 用 さ れ るか ら,ω が 性 質(B)を

も つ 函 数 の 一 意 性 を 証 明 す る た め,ω1と

も つ と し,ω=ω1+ω2,p=logω 数 列{ωn}の

と お く.(一

中 の 函 数 で は な い.)こ

対 し て 

ω2が 性 質(B)を

意 性 の 証 明 中 は ω1,ω2は 前 の 函

の と き 補 助 定 理5.3.2に

よ り,ν=1,2に

とお い て

従 っ て(5.3.4)で 

を 得 る.だ

もつ こ と が わ か る.

か ら

 (5.3.10)

ま た,ω

が 性 質(B)を

も つ か ら, 

に定 理1.5.2が

と 

適 用 され て  (5.3.11)

と な る.(5.3.10)と(5.3.11)と

はRで

定 数 と な り,ω1(x0)=ω2(x0)=1に

  こ こ で 再 び{Dn}を,初 る.前

を 得 る か ら, 

か ら 

に 述 べ た(B)を

の 部 分 列 の 中 に,適 が そ れ ぞれ

めに と っ た よ うに(5.1.8)を

当 な 部 分 列{D(ν)}を

意 性 に よ り,{Dn}に

広 義 一 様 に 収 束 し,こ

も 関 係 し な い と こ ろ の,あ

 がR上

固 定 し,ま

と っ て,対

満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}に

  定 理5.3.2の

満 た す領 域 の 列 とす

満 た す 函 数 の 存 在 証 明 か ら わ か る よ うに,{Dn}の

ω,〓 ω にRで

ら(5.1.8)を

よ り ω1≡ω2を 得 る.

証 明   Kを

こ で ω は,上

ωD(ν)}

に 証 明 した 一

る定 ま っ た 函 数 で あ る.だ

対 し て,部

か

分 列 を と ら ず に,

広 義 一 様 収 束 で成 立す る.

内 部 に 含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 領 域D0を

た 函 数u0∈C10(R}でu0￨∂K=φ

の を 一 つ 固 定 す る.前

応 す る{ωD(ν)},{〓

任意

を 満 た し,台

がD0に

に 定 義 し た 函 数 ωDに 対 し てpD=logωDと

一つ

含 まれ る も す る と,

 

Dに

お い て 

∂D上 で

が 成 立す る.こ の こ と と,定 理 に述 べ られ た 函 数υDの 性 質 か ら,D⊃D0な

ら

ば 部 分積 分 に よ って

(こ の 式 は 定 理1.5.1と

本 質 的 に 同 じ で あ る)お

よび

が 示 され る.だ か ら

とな り,こ の 不 等 式 か ら

従 って  (5.3.12)

を 得 る.ま

た 補 助 定 理5.2.5に

よ り次 の 不 等 式 が 成 り立 つ:

 (5.3.13)

さ て,(5.1.8)を 定 理1.4.5に

満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}を よ り,{Dn}の

{〓υD(ν)}がR＼K°

が(5.1.8)を 定 理5.3.1の

適 当 な 部 分 列{D(ν)}に

で 広 義 一 様 に 収 束 す る.定

部 分 列 で 成 立 す れ ば,後

と る と,補

で 示 す(C)を

満 た す 任 意 の 列{Dn}で(部

対 応 す る{υD(ν)}お

理5.3.2の

満 た す 函 数uの

書 い て,{υDn}の

よび

最 後 の命 題 が こ の

一意 性 に よ り,そ の 命 題

分 列 を と ら ず に)成

証 明 の 最 後 の 部 分 と 同 様 に し て 証 明 さ れ る.だ

{D(ν)}を 単 に{Dn}と

助 定 理5.2.4と

極 限 函 数uが(C)を

り立 つ こ と が,

か ら,上

の 部分 列

満 た す こ とを示

せ ば 十 分 で あ る.記

号 の 簡 単 化 の た め υn=υDn,ωn=ωDnと

た こ と と定 理5.3.1に

がR＼K°

よ りuはR＼Kに

お い てA*-調

ク トで あ る こ と と,(5.3.12),(5.3.13)お Fatouの

っ てu￨∂K=φ

和 で あ る.函

で あ り,ま

数u0の

よ びLebesgue積

た

台 が コン パ

分論にお

け る

補題に より

更 に υn(=υDn)の

が 成 立 す る.だ

と お く と,補

定 義 に よ り,任

か ら,p=logω

助 定 理5.3.1が

性 質(C)を   次 に,こ

に述べ

よ り

に お け る広 義 一 様 収 束 で 成 立 す る.従

定 理1.4.5に

お く と,上

意 の ψ∈Pωn(Dn;K)に対

して

と して

適 用 さ れ て(5.3.1)が

成 立 す る.以

上に よ りuは

も つ. の よ うなuの

に 対 し て,uと

一 意 性 を 証 明 す る た め,与

υ が 共 に 性 質(C)を

もつ とす る.こ

え られ た函 数

φ∈C1(∂K)

の と き定 理1.5.2に

おい て

 とす る こ とが で き るか ら

と な る.こ

の 式 と,u-υ

を 得 る.こ

こ で ∂K上

  定 理5.3.1お

も性 質(C)(た

で はu=υ=φ

だ し φ ≡0)を

よ び5.3.2に

よ り,Rの

だ か ら,R＼Kでu=υ

もつ こ とに よ り

と な る.

中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合Kを

与 えた

と き,C1(∂K)で

定 義 さ れ た 一 意 写 像L≡LKで,φ

でA*-調

∂K上

和 かつ

が 性 質(C)を

含 む 集 合(例

え ばR＼K°

義 さ れ た 函 数wでw￨∂K∈C1(∂K)な 像 を 簡 単 にLwと

の 写 像Lを

で も,R全

理5.3.2か

則 写 像L≡LKが

正 則 写 像 と呼

体 で も よ い)で

る も の に 対 し て,w￨∂Kの

書 く こ と に す る.正

も つ こ と は,定

対 し てR＼K

で 境 界 値 φ を と る 函 数 を 対 応 さ せ る も の を,u=LKφ

も つ よ うに 定 義 す る こ とが で き る.こ

ぶ こ と に す る.∂Kを

17)を

∈C1(∂K)に

写 像Lに

定 よる

次 の 性 質(5.3.14∼

ら 容 易 に わ か る(以 下 φ,φ1,φ2∈C1(∂K)

とす る):  (5.3.14) 

Lω=ω,

 (5.3.15) 

(c1,c2は

 (5.3.16) 

φ ≧0な

で あ っ て,ψ

ら ばLφ

≧0,

に属し

が 

か つ 

 (5.3.17)

定 数),

な らば

こ こで ψ≡1と す る と,u=Lφ

が次 の式 を満 たす こ とが わか る:

 (5.3.18)

ま た,(5.3.14∼16)か

ら 次 の 式 は 容 易 に 導 か れ る:

 (5.3.19)

  特 にb≡0(従

っ てA=A*)の

り ω≡1と な る.従

っ てp≡0と

と き は,定理5.3.1に な る か ら,(5.3.17)の

お け る ω の一 意 性 に よ 最 後 の等 式 は

(5.3.20) と な る.こ し て 

の こ と か ら, 

か つυ￨∂K=0を

満 た す 任 意 の υに 対

とな るか ら

が成 立 す る.だ か らu=Lφ

は,∂K上

で 境 界値 φを とる函 数 の うち でR＼K

に お け るDirichlet積   以 上 に 述 べ たLの normal

operator,山

が わ か る.

分 が 最 小 な も の と し て,一 各 性 質 に よ り,こ

意 的 に 定 ま る 函 数 で あ る.

のLがAhlfors-Sarioの

口 博 史 氏[13]のregular

operatorの

書 物[6]の 拡張 である こと

  §5.4  正 則 写 像 の 定 義 の 拡 張 と基 本 的 性 質

  KをRの

中 の正 則 コンパ ク ト集 合 とし,L≡LKを

とす る.点y∈R＼K°

前 §で 定 義 した 正 則 写 像

を 任 意 に と って 固 定 す る と き,任 意 の φ∈C1(∂K)に

対 して  (5.4.1)

が 成 立 す る.こ

像(yは

の こ と と(5.3.15),(5.3.16)に

固 定)はC(∂K)上

な る写

よ り, 

の有 界正 値 線 型 汎 函 数 で(5.4.1)を

一 意的に 拡 張 され る.だ か ら ∂Kの 上 のBorel測 の が存 在 し て,任 意 の φ∈C1(∂K)に

度μyKで

満 た す もの に

μyK(∂K)≦1な る も

対 して

 (5.4.2)

が 成 立 す る.   ∂Kに お い て下 半連 続 な 任 意 の 函 数 φ に対 し て,(LKφ)(y)を(5.4.2)),に り定義 す る.任

意 の下 半 連 続 な 函 数 は 連続 函 数 の,従

ってC1級

調 増 加 列 の極 限 函 数 と し て 表 わ さ れ る か ら,(LKφ)(y)はyの R＼Kに

お い てA*-調

よ

の 函数 の,単 函数 と し て,

和 な 函数 の単 調 増 加 列 の極 限 で あ る.だ か ら定 理1.4.7

に よ っ て次 の定 理 が 得 られ る.   定 理5.4.1 

∂Kに お い て下 半 連 続 な 任 意 の 函数 φ に 対 し て,R＼Kの

結 成 分 に お いてLKφ

は,そ

こで恒 等 的 に ∞ で ない か ぎ りA*-調和

  こ うして 正 則 写 像LKが,∂Kに 各 連 結 成 分 でA*-調 に 拡 張 され た.こ

で あ る.

お い て 下 半 連 続 函 数 の全 体 か ら,R＼Kの

和 また は恒 等 的 に ∞ で あ る よ うな 函数 の集 合 の中 へ の写 像

の よ うに 拡 張 され た写 像LKも

  この 拡 張 され たLKに

つ い て も,前

る集 合 で下 半 連 続 函 数wに とにす る.

各連

§のLKの

対 し て,LK(w￨∂K)の

正 則 写 像 と呼 ぶ. 場 合 の よ うに,∂Kを

含む あ

こ とを簡 単 にLKwと

書 くこ

  こ こ で 次 の 定 理 を 証 明 し て お く.   定 理5.4.2 

K1,K2をRの

とす る と,∂K1に

中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 でK1⊂K2な

お い て 下 半 連 続 な 任 意 の 函 数 φ に 対 し て,R＼(K2)°

てLK2(LK1φ)=LK1φ

対 し て こ の 定 理 が 成 立 す れ ば,前

写 像 の 拡 張 の 定 義 に よ り,∂K1で こ とが わ か る.φ ∈C1(∂K1)な

(C)でK=K2,φ=u￨∂K2と

ら ば,u=LK1φ

と定 義 す る と,ψ

は 定 理5.3.2の(C)(K=K1と

な る.従

っ て υ=LK2uは

し た も の を 満 た す.任

の 上 の 函 数ψ

す る)に

意 の ψ ∈Pω(R;K2)に

で 連 続 で あ り,〓ψ

を 満 た す,従

性 質(C)(K=K1と

定 理5.3.2の 対

を

はR＼(K1)°

さ れ て 

ペ ー ジに述 べ た 正 則

下 半 連 続 な任 意 の函 数 φ に対 し て 成 立 す る

満 た し,u￨∂K2∈C1(∂K2)と

し て,R＼(K1)°

におい

が 成 立 す る.

  証 明   φ∈C1(∂K1)に

す る)を

る もの

はR＼(K1∪

っ て ψ ∈Pω(R;K1)と

∂K2)で

定義

な る か ら,uの

よ り

を得 る.こ の式 はψ の定 義 に よ り次 の式 と同 じ であ る:

だ か らuは

定 理5.3.2の(C)でK=K2,φ=u￨∂K2と

っ て,定

理5.3.2に

てu=υ

と な るか ら,定

お け る(C)を 理5.4.2が

  こ こ で,Ahlfors-Sarioの ence

theorem)と

掲 書[6]に

満 た す 函 数 の 一 意 性 に よ りR＼(K2)°

におい

成 立 す る.

書 物[6]に

呼 ん で い る 定 理(同

(後 述 の 定 理5.4.3).こ

し た も の を 満 た す.よ

お い て'主 書p.154)に

存 在 定 理'(main

exist

対 応 す る定理 を証 明 し よ う

の 定 理 は 本 書 に お い て 今 後 応 用 す る 機 会 は な い が,前

お い て 主 存 在 定 理 が 重 要 な 基 本 定 理 の 一 つ で あ る こ と か ら も,ま

た 本 書 の 正 則 写 像 が[6]のnormal

operatorの

拡 張 で あ る こ とを 更 に 明 確

に す る た め に も,こ   R＼KでA*-調 く と,前

の 定 理 を 述 べ る こ と は 無 駄 で は あ る ま い. 和 で あ っ てR＼K°

で 連 続 な 函 数 の 全 体 をH(R＼K)と

§で 定 義 し た 正 則 写像L≡LKはC1(∂K)か

写 像 で あ っ て,次

の 性 質 を も つ;こ

らH(R＼K)の

こ で φ,φ1,φ2∈C1(∂K)と

 (L.1) 

(Lφ)￨∂K=φ,

 (L.2) 

Lω=ω,

 (L.3) 

(c1,c2は

 (L.4) 

φ≧0な

ら ばLφ

書 中への

す る:

定 数),

≧0,

とす る と

 (L.5) 

  今 後 こ の §に お い て は,LはC1(∂K)か (L.1∼5)を

満 た す も の と し,そ

用 い な い.上

らH(R＼K)の

中 へ の写 像 で あ っ て

れ が 前 §で構 成 され た 正 則 写 像 で あ る こ とは

の 性 質(L.2∼4)か

ら,次

の(L.6)は

容 易 に 導 か れ る:

 (L.6)

  Ahlfors-Sarioの を す る.ま

ずKを

つ 定 め て お く.任

主 存 在 定 理 に 対 応 す る定 理5.4.3(後 含 む 正 則 領 域D⊂Rで

対 し て,Dに

こ で φ,φ1,φ2∈C1(∂D)と

 (G*.2) 

書 く と,写

 (G*.5) 

 (G*.6)

お け るDirichlet境

像G*は

(G*φ)￨∂D=φ, G*ω=ω, (c1,c2は

φ≧0な

ら ばG*φ

とす る と

≧0,

界値 対 し

次 の 性 質 を も つ;こ

す る:

 (G*.3) 

 (G*.4) 

もつ も の を 一

解 が 一 意 的 に 存 在 す る か ら,φ ∈C1(∂D)に

て こ の 解 υ を 対 応 さ せ る 写 像 をG*と

 (G*.1) 

コ ン パ ク トな 閉 包Dを

意 の φ∈C1(∂D)に

問 題:A*υ=0,υ￨∂D=φ,の

述)を 示 す た め の 準 備

定 数),

  (G*.1)は

明 ら か.(G*.2),(G*.3)は

か る.(G*.5)はDに

お い てA*υ=0な

れ る.(G*.4),(G*.6)はA*-調   な お,写

像Lに

し,L(w￨∂K)が G*に

境 界 値 問 題 の解 の一 意 性 に よ って わ る こ と とGreenの

和 函 数 に 関 す る 最 大 値 原 理 の 結 果 で あ る.

つ い て,∂Kを

含 む あ る 集 合 で 定 義 さ れ て い る 函 数wに

定 義 さ れ る な ら ば そ れ を 単 にLwと

え ば,wが

像

は この意 味 で使 っ

∂Kを 含 む 集 合 で 定 義 さ れ てw￨∂K∈C1(∂K)な

 (L.1′) 

対

書 くこ と に し た が,写

つ い て も 同 様 で あ る.(L.2)のLω,(G*.2)のG*ω

て い る.例

公 式 に よ り導 か

らば

LLw=Lw

が 成 り立 つ こ とは,(L.1)か

ら直 ち に わ か る.G*に

関 し て も同様 の こ とが い

え る.   こ こで い くつ か の補 助 定 理 を 準 備 す る.   補 助 定 理5.4.1 

コン パ ク ト集 合Kと

のみ で 定 ま る正 の定 数k<1が 一 定 で な いす べ て の函 数uに

それ を 含 む領 域 Ω に対 し て,Kと

存 在 し て,Ω でA*-調

和 であ ってKの

Ω

上で符号

対 し て次 の不 等 式 が成 立 す る:

  (5.4.3)

 証 明  合 はuに

が0ま

た は ∞ な ら ば(5.4.3)は

自 明 で あ る.そ と し て よ い.こ

正 の 定数 を掛 け る こ とに よ り 

定 数k<1が

存 在 しな い と す る と,Ω でA*-調

和 か つK上

 が Ω で一 様 有 界 だ か ら{un}の の 極 限 函 数uは

Ω でA*-調

りu≡ ω ま た はu≡-ω

て{un}の

で 符 号一 定 で な い

適 当 な 部分 列 が Ω で 広 義 一 様 に 収 束

和 で あ る(第1章,定

 と な る か ら,最

ば,各unはKで

理1.4.5).こ

大 値 原 理(第1章,定

と な る べ き で あ るが,こ

部 分 列 の 極 限 函 数uも

け るDirichlet境

KとDは

の とき

理1.4.8)に

れ は 不 可 能 で あ る.な

符 号 一 定 で な い か ら 

  補 助 定 理5.4.2 

の よ うな

な る も の が 存 在 す る.

函 数 の 列{un}で, 

し,そ

れ 以 外 の場

よ ぜ なら

を 満 た し,従

っ

Ω ≡D＼Kに

お

解 と す る.こ

のと

同 じ 性 質 をも つ か ら で あ る.

前 に 述 べ た 通 り と し,ψ

界 値 問 題:Aψ=0,ψ￨∂K=0,ψ￨∂D=1,の

を 領域

 ⅱ

き Ω でA*-調

和 か つ Ω でC1級

の 函 数wに

対 し て,次

の(5.4.4)と(5.4.5)

は 同 値 で あ る:   (5.4.4)

  (5.4.5)

  証 明  Ω に お い てA-調 て,Greenの

こ でu≡1ま

た はu=ψ

  補 助 定 理5.4.3  数uは

とお く と,そ

K,D,Ω

Ω でA*-調

の二 つ の

同 値 な こ と が わ か る. お よ び 函 数ψ は 上 の 補 助 定 理 の 通 り と す る.ま

和,Ω

でC1級

で あ る とす る.こ

の と き 次 のⅰ),ⅱ)

が 成 立 す る:  ⅰ ) 

と 仮 定 し,υ=Lu,w=u-υ

と お く と,

  (5.4.6)

  (5.4.7)

更に  ) 

 (5.4.8)

対し

れ ぞ れ 次 の 等 式 に な る:

ら 見 て 外 向 き の 単 位 法 線 ベ ク トル で あ る こ と に 注 意).こ

式 か ら直 ち に(5.4.4)と(5.4.5)が

た,函

の 補 助 定理 の 函 数wに

公式に よ り

が 成 り立 つ.こ

(nKはKか

和 な任 意 の 函数uと,こ

と仮 定 す る と, 

と 仮 定 し,υ=G*u,w=u-υ

と な る.

と お く と,

 (5.4.9)

更 に 

と 仮 定 す る と, 

  証 明 ⅰ)  ま ず

υ=Luは,写

像Lの

と な る.

性 質(L.5)に

よ って

 (5.4.10)

を 満 た し,ま

た υ∈H(D＼K)だ

を 満 た す か ら,(5.4.6)が び,(L.1)に ら,前

か ら,Greenの

成 立 す る.次

よ っ てw￨∂K=0と

公 式 に よ って

に,uに

対 す る 仮 定 と(5.4.10)お

な る こ と に よ り,wは(5.4.4)を

の 補 助 定 理 に よ っ て(5.4.7)を

得 る.更

満 たす か

と仮定す

に 

と な る か ら,(5.4.7)と

る と,(L.1)に

よ っ て 

υ は(5.4.4.)に

お け るwと

用すれば 

同 じ 条 件 を 満 た す.だ

よ

合わせ ると

か ら前 の 補 助 定 理 を υ に 適

が 得 ら れ る.

 ⅱ)  も前 の補 助 定 理 を使 っ て全 く同様 に証 明 され る;上 のⅰ)の 証 明 に お い て ∂Kと

∂Dの 役 目を 入れ 替 え,写 像Lの

性 質 の か わ りに,写 像G*の

対応す る

性 質 を 使 え ば よい.   補 助 定 理5.4.4  調 和,D＼K° る.υ0=u-Luと す る.こ

K,Dを

でC1級

前 の補 助 定 理 の通 り とし,函 数uはD＼KでA*を 満 た す もの とす

で あ っ て, 

定 義 し,n≧1に

の と き 正 の 定 数k<1が

対 し てun=G*υn-1,υn=Lunと 存 在 し て,す

べ て のn≧1に

逐次定義 対 して

 (5.4.11)

が 成 立 す る.従 っ て無 限 級 数    証 明   ま ず ψ を 前 の 補 助 定 理 の 通 り,す 境 界 値 問 題Aψ=0,ψ￨∂K=0,ψ￨∂D=1,の  (5.4.12) 

∂K上 で常 に

は ∂Dの 上 で一 様 収 束 す る. な わ ちD＼Kに 解 と す る と,

お け るDirichlet

と な る こ と に 注 意 す る(第1章,定

理1.4.2).次

を 数 学 的 帰 納 法 で 証 明 し よ う.それに [Vn-1]⇒[un],[un]⇒[Vn]を   [V0]の

証.こ

定 を 満 た し,そ っ て[V0]が

は,ま

に,命

題

ず[V0]を

示 し,n≧1に

示 せ ば よ い.

の 補 助 定 理 のuは,前 こ で のwの

の 補 助 定 理 のⅰ)のuに

ぞ れ υn-1,unと

 こ う し て,す

べ て のn≧1に

ら,(5.4.12)に

よ り各unは

ま たun=G*υn-1はDに りKとDの

得 られ る.[un]⇒[Vn]の

を そ れ ぞ れun,υnと

をそれ

証 も 同 様 に,前

の

な る こ とが示 され た か

上 で,従

お い てA*-調

こ で のu,υ

前 の

考 え れ ば よ い.

対 し て  ∂Kの

よ

証.υn-1は

対 す る す べ て の 仮 定 を 満 た す か ら,そ

考 え れ ば[un]が

補 助 定 理 のⅰ)のu,υ

対 す る最 初 の 仮

定 義 は 上 の υ0の 定 義 と 同 じ だ か ら,(5.4.7)に

成 り立 つ こ とが わ か る.[Vn-1]⇒[un](n≧1)の

補 助 定 理 のⅱ)のuに

対 して

っ てKの

和 で あ る.だ

み で 定 ま る 正 の 定 数k<1が

上 で 符 号 一 定 で な い. か ら補 助 定 理5.4.1に

存 在 し て,す

べ て のn≧1に

よ

対 して

 (5.4.13)

が 成 り立 つ.(L.6),(5.4.13),(G*.6)を

が 得 ら れ る か ら,(5.4.11)が LG*υn-1,k<1だ

す べ て のn≧1に

wがRに

お い てA*-調

る た め の 必 要 十 分 条 件 は,w=cω(cは   証 明 w=Lwと

RでA*-調

す る と(L.6)に

和 な函 数wに

大 値 原 理 に よ りwは

対 し

対 し て 成 立 す る.こ

こ で υn=

は ∂Dの 上 で一 様 収 束 す る.

か ら, 

  補 助 定 理5.4.5 

順 次 用 い る と 各n≧1に

和 とす る.こ

定 数)が

な

成 り立 つ こ と で あ る.

よ り 

対 し てw/ω が そ の最 大値 をKの

ω の 定 数 倍 で あ る.逆

の と きw=Lwと

は(L.2)に

と な る か ら,

上 で とる.だか

ら最

よ り明 ら か で あ る.

 以 上 の準 備 を し て,'主 存 在 定 理'に 対 応 す る次 の 定 理 を 証 明 し よ う.  定 理5.4.3 

R＼K°

で 連続,か

た とす る.こ の とき,RでA*-調  (5.4.14) 

R＼Kに

つR＼KでA*-調

和 な函 数uが

与 え られ

和 な 函 数wで お い てw-u=L(w-u)

を満 た す もの が 存 在 す るた め の 必要 十分 条件 は,uがR＼K°

でC1級

で あ って

 (5.4.15)

を 満 た す こ と で あ る.こ で あ る.そ

の と きwは,ω

し て,u=Luの

と き,そ

  証 明   函 数wがRに

お け るGreenの

公 式 をwに もR＼K°

り明 ら か で あ る.以   Kを す る.こ

でC1級

で あ っ て(5.4.15)が

一 意 性 と,定 下 に お い て,そ

成 り立 つ とす る.こ

の よ うなwの の 閉 包Dが

 (5.4.16) 

∂Dの

上 で

 (5.4.17) 

∂Kの

上 でf=G*φ

の と き,

助 定 理5.4.5に

よ

存 在 を 証 明 す る. コ ン パ ク トな も の を 一 つ 固 定 適 当 に 定 め て,

φ-u=L(f-u),

が 成 り立 つ よ うに で き る こ と を 示 そ う.(5.4.17)を(5.4.16)に

代入す る と

φ-LG*φ=u-Lu

と な るか ら,υ0=u-Luと

お い て(5.4.18)を

関 す る線 型 方 程 式 と考 え る と,そ

で 与 え ら れ る が,補

で

満 た す.

理 の 最 後 の 主 張 は,補

数 φ∈C1(∂D)とf∈C1(∂K)を

 (5.4.18) 

でC１級

と な る.だ

で あ っ て(5.4.15)を

内 部 に 含 む 正 則 領 域Dで,そ の と き,函

満 た す とす る.

はR＼K°

適 用 す る と 

でC1級

定 理 に 述 べ ら れ たwの

か ら,υ

が成 り立 つ.一 方,領 域K° に

よ り 

  逆 にuがR＼K°

定 数)と な る.

和 で あ っ て(5.4.14)を

お く と,υ=L(w-u)だ

あ っ て(L.5)に

か らu=w-υ

の と き に か ぎ り,w=cω(cは

お い てA*-調

こ の と き υ=w-uと

の 定 数 倍 を 加 え る こ とを 除 い て 一 意 的

助 定 理5.4.4に

線 型 空 問C1(∂D)に

の 解 は 形 式 的 に はNeumann級

よ り こ の 無 限 級 数 は ∂Dの

おけ る φに 数

上 で 一様 収 束 す

る.従

っ てφ=LG*φ+υ0と

て(5.4.18)を φ,fが

な り,φ

満 た す.よ

は ∂D上 でC1級(実

っ てf=G*φ

はC2級)で

とお け ば(5.4.16∼17)を

あ っ

満たす函数

得 ら れ た こ とに な る.

  さ て,∂D上

で はG*φ=φ

4.16),(5.4.17)か

で あ り,∂K上

で はLf=f,Lu=uだ

ら そ れ ぞ れ 次 の こ とが わ か る:

 (5.4.16′) 

∂Dの

上 でG*φ=φ=Lf-Lu+u,

 (5.4.17′) 

∂Kの

上 でG*φ=f=Lf-Lu+u.

い ま,函

数w1,w2を Dに

そ れ ぞれ

お い てw1=G*φ,R＼K°

と定 義 す る と,w1,w2は 特 にD＼Kに ∂(D＼K)に

か ら,(5.

に お い てw2=Lf-Lu+u

そ れ ぞ れ の 定 義 域 の 内 部 の 領 域 でA*-調和

お い て はw1,w2と お い てw1=w2な

意 性 に よ りD＼Kに

も にA*-調

る こ と を 示 し て い るか ら,境

お い てw1=w2が

る 一 意 接 続 定 理(第1章,定 Dに

和 で あ っ て,(5.4.16′

成 立 す る.だ

理1.4.9)に

お い てw=w1,R＼Kに

と な る も の が 存 在 す る.こ

∼17′)は

界 値 問題 の解 の一

か らA*-調

よ り,RでA*-調

で あ る.

和 函数 に関 す

和 な 函 数wで

お い てw=w2

の と きw2の

定 義 に よ り,R＼Kに

おいては

w-u=w2-u=L(f-u) と な る か ら,(L.1′)(157ペ

ー ジ)に

よっ て

L(w-u)=LL(f-u)=L(f-u)=w-u が 得 ら れ る;す

な わ ちwは(5.4.14)を

  注意  156ペ ー ジ で写 像G*の

定 義 と性 質 を 述べ る 際 に,Dは'Kを

が,こ れ は本 §の補 助 定 理5.4.2以 ペ ージ に 述 べ たG*の

満 た す.

降 でG*を

定 義 と性 質 で はKは

含 む'と 書 い た

用 い る こ とを意 識 した か らで あ って,156

全 く用 い てい ない か ら,'D(⊂R)は

コ ンパ ク

トな 閉 包 を もつ 正 則 領域'と し て おけ ば よい ので あ る.一 方,こ の よ うな 意 識(補 助 定理 5.4.2以 後 に用 い る こ と)か らす れ ば,補 助 定 理5.4.1も

他 の補 助 定 理 と 同 じKとDに

つ い て示 せ ば よか った とい え るが,こ の 補 助 定 理 の 性 格 上,任 意 の コ ンパ ク ト集 合Kと そ れ を 含 む任 意 の領 域 Ω に つ い て 示 し て お くのが 適 当 と考 え られ,証 る か ら,こ の よ うに一 般 的 な 記述 に した.そ も,証 明 を 見 れ ばわ か る.

こで はKが'正

明は 全 く同 じで あ

則'で あ る必 要 は な い こ と

  §5.5  Neumann型

核 函 数N(x,y)

  こ の § で 構 成 す る 核 函 数N(x,y)は,第3章 でMartinの

核 函 数M(x,y)が

に お け るMartin境

演 じ た の と 同 じ 役 割 りを,次

界の理 論

の 第6章

で演 じ

る も の で あ る.   こ の §全 体 を 通 し て,一 K0を

つ の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K0⊂Rを

含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 任 意 の 正 則 領 域Dに

たD＼K0に

固 定 し て お く.

対 し て,§5.2で

お け る 境 界 値 問 題(5.2.2)(でK=K0と

ND,K0(x,y)を,ND(x,y)と 対 し て,xを K(x)と

書 く こ と に す る.ま

内 点 に も ちR＼K0に

述べ

し た も の)の た,任

核 函数

意 の 点x∈R＼K0に

含 ま れ る 全 て の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 の 族 を

書 く.

  KをR＼K0に

含 ま れ る 正 則 コ ン パ ク ト集 合 と し,K∪K0を

トな 閉 包 を も つ 任 意 の 領 域Dを

考 え る.任

含 み コ ンパ ク

意 の φ∈C1(∂K)に

対 し て,φ

とは

 (5.5.1)

な る ∂K∪ ∂K0上

の 函 数 の こ と とす る.D＼(K∪K0)に

お け る境 界値 問 題

 (5.5.2)

の解を

υ=LDKφ

と書 く と,補

助 定 理5.2.5に

よ り

 (5.5.3)

ま た §5.3で

定 義 し た 正 則 写 像LK∪K0を

の 列{Dn}で(5.1.8)を

考 え る と,K∪K0を

満 た す も の を 任 意 に と る と き,定

(R＼(K∪K0)°

  (5.5.4) 

含む正則領域 理5.3.2に

よ り

で広 義 一様 収 束)

が 成 立 す る.   上 の 函 数 υ=LDKφ K∪K0,φ

は 正則 写 像 の 性 質(C)に

お い てR,K,φ

と読 み 替 え た も の を 満 た し て い る か ら,Dにお

え て υ=LDK∪K0φ

と 書 い て も よ い わ け で あ り,こ

を そ れ ぞ れD, け る正 則 写像 と考

の 記 号 の 方 が 性 質(5.5.4)

が 自然 に 見え る.ま うに,∂Kで

た 正 則 写 像LDK∪K0と

考 え る こ と に よ り,前

下 半 連 続 な 任 意 の 函 数 φ に ま で,こ

扱 う こ と が で き る.し

か し こ こ で はK0は

に よ っ て 定 ま る 函 数 で あ る か ら,LDKφ べ た よ うに ∂Kで

§に 述 べ た よ

の 写像 の 定 義 を拡 張 して 取 り

固 定 さ れ て お り,φ

は(5.5.1)で

な る 表 現 を 用 い る こ と に し た;上

下 半 連 続 な 函 数 の 全 体 に 拡 張 し た 写 像 も ,同

φ に述

じ 記 号LDKで

表 わ す.   今 後,任

意 のx∈D＼K0を

と き の,写

像LDKに

固 定 し てND(x,y)をy∈

よ る 像 をLDKND(x,y)と

た よ うに 拡 張 さ れ た 写 像 と 考 え る.な す るLK∪K0N(x,y)(LK∪K0は す る も の と す る.以 の 変 数x,yを

∂Kの

書 く;x∈

お,あ

∂Kの

函 数 と考 え た

場 合 は 上 に述 べ

と で 定 義 す る 核 函 数N(x,y)に

§5.3,§5.4で

定 義 し た 正則 写 像)も

対

同様 に解

下 に お い て 記 号 の 繁 雑 を 避 け る た め,ND(x,y)やN(x,y)

省 略 し て 書 く こ と が あ るが,例

え ばLK∪K0Nは

で のLK∪K0N(x,y)を

表 わ す も の と理 解 せ ら れ た い.

  核 函 数ND(x,y)の

性 質 の うち,特

  a)  台 がD＼K0に

含 ま れ てHolder連

上に述べた意味

に 次 の こ と に 注 目 す る. 続 な 任 意 の 函 数f(x)に

対 し て,

函数

は,D＼K0に

お い てA*υ=-fを

  b)  任 意 のx∈D＼K0を 上 で φ(y)=ND(x,y)と

満 た し境 界条 件

固 定 し,コ

υ￨∂K0=0を

ン パ ク ト集 合K∈K(x)を

定 義 す る と,υ(y)=ND(x,y)をD＼(K∪K0)°

た も の は 境 界 値 問 題(5.5.2)の

満 た す. 与 え て ∂K で考 え

解 で あ る か ら,

任 意 のy∈D＼(K∪K0)°

に 対 し てLDKND(x,y)=ND(x,y)

が 成 立 す る.   こ れ ら の 性 質 を 考 慮 す る と,次

の 定 理 で 存 在 と 一 意性 が 示 さ れ る と こ ろ の 函

数N(x,y)を,核

函 数ND(x,y)のD=Rの

自 然 で あ ろ う.我

々 は こ の 函 数N(x,y)をNeumann型

す る.

場 合 へ の 一般 化 と考 え る こ とは 核 函 数 と呼 ぶ こ と に

 定 理5.5.1 

R×Rの

部分 集 合

  (5.5.5)

で 連 続 な 函 数N(x,y)で

次 のⅰ),ⅱ)を

 ⅰ)  台 がR＼K0に

満 た す も の が,た

だ 一 つ 存 在 す る.

含 ま れ る コ ン パ ク ト集 合 で あ る よ うな 任 意 のHolder連

続 な 函 数f(x)に

対 し て,函

数

 (5.5.6)

はR＼K0に

お け る 次 の 楕 円 型 方 程 式 と境 界条 件 を 満 た す:

  (5.5.7) 

A*υ=-f,υ￨∂K0=0.

 ⅱ)  任 意 のx∈R＼K0を   (5.5.8) 

固 定 す る と き,任

R＼(K∪K0)に

  更 に,条

件(A)に

対 し て,集

合(5.5.5)に

意 のK∈K(x)に

対 して

お い てLK∪K0N(x,・)=N(x,・).

お け る(5.1.8)を

満 た す よ う な 任 意 の 領 域 の 列{Dn}に

お け る広 義 一 様 収 束 で

 (5.5.9)

が 成 立 す る.   証 明   条 件(A)に

お け る(5.1.8)を

と っ て お く.函 数ND(x,y)は

§5.2のND,K0(x,y)の

定 理5.2.3とAscoli-Arzelaの とれ ば,集

合(5.5.5)に

満 た す よ う な 任 意 の 領 域 の 列{Dn}を こ と で あ る か ら,補

定 理 に よ り{Dn}の

助

適 当 な 部 分 列{D(ν)}を

お け る広 義 一様 収 束 の極 限 函 数

 (5.5.9′)

が 存 在 し,集 書 き,対

合(5.5.5)で

連 続 で あ る.こ

応 す る 函 数 ωD(§5.1)の

定 義 し た)の

部 分 列{ωD(ν)},写

部 分 列{LD(ν)K}を,そ

Ω,Ω1で

助 定 理5.2.1の(5.2.4)でK=K0,D=Dν

(5.5.9′)に   (5.5.10) 

よ り任 意 のx,y∈ N(x,y)=GΩ

像LDK(こ

れ ぞ れ{ων},{LνK}と

コ ン パ ク トな 閉 包 を もつ 正 期 領 域 り,補

の 部 分 列{D(ν)}を単

Ω1＼(K0)°  ＼K0(x,y)

に{Dν}と の §の 初 め に

書 く こ と に す る.

Ω ⊃ Ω1⊃ Ω1⊃K0な と し てν → ∞ に対 して

る もの を と と す る と,

こ の 式 とGreen函

数GΩ

＼K0(x,z),GΩ1＼K0(z1,y)の

理 のⅰ)が 成 立 す る こ と が わ か る.定 と集 合K∈K(x)と

理 のⅱ)を

を 固 定 し,NDν(x,y),N(x,y)を

LνK(=LD(ν)K)が(5.5.3)を

そ れ ぞ れ 単 にNν,Nと

も つ こ と に よ り,y∈R＼(K∪K0)°

ν→ ∞

と す る と,(5.5.9′)が

つ い て,{NDn}の

と に よ り,一

意 的 な 函 数Nに

わ か る.だ

か ら(5.1.8)を

と ら ず に(5.5.9)の   さ て,ⅰ)とⅱ)を る た め に,ま Holder連 と,fの

集 合(5.5.5)の

この 定理 の前 に 述 べ た 性 質

上 の広 義 一 様 収 束 で成 立 す る こ

得 ら れ,ⅱ)が

ぐあ とに 証 明 す るNの

意 の{Dn}に

像

な るか ぎ り

よ りLK∪K0N=Nが

  上 の 記 述 と,す

ー ジ 前 の 記 述 を 参 照),写

満 た し,Nν(=ND(ν))が

(b)を

よ り,定

証 明 す る た め に,点x∈R＼K0

書 く こ と に す る と(下 の 式 の 各 項 に つ い て は2ペ

と と(5.5.4)に

性 質(第1章)に

証 明 さ れ た.

一 意 性 に よ り,(5.1.8)を

満たす任

任 意 の部 分 列 か ら更 に 適 当 な 部 分 列 を 選 ぶ こ 集 合(5.5.5)の

上 で 広 義 一様 に 収 束 す る こ と が

満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}に

つ い て,部

分列を

広 義 一 様 収 束が 成 立 す る. 満 た し 集 合(5.5.5)で

ず 次 の こ と を 示 す:R＼K0に

続 な 任 意 の 函 数f(x)に

連 続 なN(x,y)の

含 まれ る コ ン パ ク トな 台 を も ち

対 し て,函

台 を 内 部 に 含 み か つR＼K0に

一 意 性 を 証 明す

数 υ(y)を(5.5.6)で

定義す る

含 ま れ る 任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K

に対 して  (5.5.11) 

が 成 立 し,ま

R＼(K∪K0)に

た 任 意 のψ

∈Pω(R;K0)に

お い てLK∪K0υ=υ

対 して

 (5.5.12)

が 成 立 す る.(5.5.11)は(5.4.2),(5.5.6),(5.5.8)を さ れ る:y∈R＼(K∪K0)な

らば

用 い て次 の よ うに示

(5.5.12)を

証 明 す る た め に,函

数h∈C10(R)でKの

上 で はh=1と

なるもの

を と り, ψ=ψ1+ψ2,こ

こに

と お く と,(5.5.7)とKがfの

ψ1=ん

ψ,Ψ2=(1-h)ψ,

台 を含 む こ とに よ り

 (5.5.13)

一 方(5

.5.11)と

ψ2∈Pω(R;K∪K0)な

る こ とに よ り

 (5.5.14)

と な る か ら,(5.5.13)と(5.5.14)と   以 上 の こ と を 用 い てN(x,y)の と も にⅰ),ⅱ)を

満 た し,集

か ら(5.5.12)を

得 る.

一 意 性 を 証 明 し よ う.N1(x,y),N2(x,y)が

合(5.5.5)で

連 続 と 仮 定 す る.fをR＼K0に

ま れ る コ ン パ ク トな 台 を も つ 任 意 のHolder連

含

続 な 函 数 と し,

 (5.5.6′)

と お く と,各 LK∪K0の R＼K0に と 

υν が(5.5.7)お

値 域 に 属 す る)を

よ び(5.5.11)(υν

お い て 有 界 で あ る;従 と に 定 理1.5.1が

方(5.5.12)に

の制限は

満 た す こ と に よ り,υν/ωはPω(R;K0)に

 (5.5.15)

を 得 る.一

のR＼(K∪K0)へ

よ り

っ て  適 用 され るか ら

も 同 じ 性 質 を も つ.こ

属 し, の ψ

だ か ら,  (5.5.16)

(5.5.15)と(5.5.16)か

υ1=υ2=0な

る こ と に よ りR＼K0に

任 意 性 とN1,N2の 函 数N(x,y)の   系1 ⅰ) 

を 得 るか ら,∂K0の

ら 

お い て υ1=υ2と な る.だ

連 続 性 に よ り,集 合(5.5.5)に

か ら,函

お い てN1≡N2と

上では 数fの な り,

一 意 性 が 証 明 さ れ た. 任 意 のy∈R＼(K0)°

を 固 定 す る と き,xの

函 数N(x,y)は

について  (5.5.17)

を満 たす.ま

において た任 意 のf∈C30(R＼K0)に

対 して 次 の 等 式 が成 り立 つ:

 (5.5.18)

 ⅱ )  任 意 のx∈R＼(K0)°

を 固 定 す る と き,yの

函 数N(x,y)は

につい て  (5.5.17*)

において

を 満 た す.ま た 任 意 のf∈C30(R＼K0)に

対 して 次 の 等 式 が 成 り立 つ:

 (5.5.18*)

  こ の 系1は,(5.5.10)に 函 数GΩ

お い て Ω,Ω1が 任 意 に 大 き く と れ る こ と と,Green

＼K0(x,y),GΩ1＼K0(x,y)の

性 質(第1章)に

よ っ て,容

易 に 証 明す る こ

と が で き る.   系2 

任 意 のx∈R＼K0に

対 して

 (5.5.19)

  証 明   定 理5.5.1の(5.5.9)に

お け るNDn(x,y)は,こ

た よ うに,境

お い てK=K0,D=Dnと

界 値 問 題(5.2.2)に

数 で あ る.u≡1な

る 函 数 は,こ

合 の 解 で あ るか ら,第1章

の 境 界 値 問 題 でf≡0,φ

で 述 べ た よ うに,任

の §の 初 め に 述 べ し た もの の核 函 ≡1,φ1≡0と

意 のx∈Dn＼K0に

した 場 対 して

 (5.5.20)

が 成 立 す る.こ

こ でn→

微 分 係 数 のy∈

∂K0に

  系3 ⅰ) 

∞ と す る と(5.5.9)と(5.2.4)に 関 す る一 様 収 束 が いえ て,(5.5.19)が

任 意 の 点z0∈R＼K0に

 ⅱ)  FをR＼(K0)° 集 合 でE∩F=φ

よ り上 の 式 の 法 線 得 ら れ る.

対 し て 

に 含 ま れ る コ ン パ ク ト集 合 と し,EAR＼K0の

閉部分

な る も の と す る と,

 (5.5.21)

(〓yはN(x,y)の

変 数yに

  証 明   初 め に,ⅰ)とⅱ)の

つ い て〓

を 作 用 す る こ と を 意 味 す る.)

証 明 に 共 通 に 用 い る 事 項 を 準 備 す る.集

合K0を

含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 任 意 の 正 則 領 域D⊂Rに

対 し て,§5.2で

た 境 界 値 問 題(5.2.1)お

す る)のGreen函

GD＼K0(x,y)を

よ び(5.2.1*)(KをK0と

考 え る.ま

た,R上

でHolder連

続 で あ っ て,台

コ ン パ ク ト部 分 集 合 で あ る よ う な 任 意 の 函 数f(x)に さ れ る 函 数 υ は,R＼K0にお か ら,特

にy∈D＼(K0)°

(x∈R＼Dに

対 し て はGD＼K0(x,y)=0と

υ の 定 義 式(5.5.6)を と,任

意 のy∈D＼(K0)°

数

がR＼K0の

対 し て,(5.5.6)で

け る 楕 円 型 方 程 式 と境 界 条 件(5.5.7)を な ら ば 上 のGreen函

述べ

定義 満たす

数を用いた次の式が成立す る

考 え る):

上 の 式 に 代 入 し て,右

辺 第2項

の積分の順序を変 える

に対 して

を 得 る.こ こ でfは 初 めに 述べ た よ うな任 意 の 函数 だ か ら,任 意 のx∈R＼K0 とy∈D＼(K0)°

に 対 し て次 の式 が 成 立 す る:

 (5.5.22)

以 上 の こ とを 用 い てⅰ)とⅱ)を

証 明す る.

 ⅰ) の 証 明.Dと z0に

し て 点z0を

十 分 近 く(従

内 部 に 含 む も の を と っ て お く と,xとyが

っ てD＼K0に

属 し)か

 と な る か ら,(5.5.22)の な る.こ

の こ と とGreen函

 ⅱ) の 証 明.初

つz∈∂Dな 右 辺 第2項

数 の 性 質(第1章,定

共に

ら ばN(x,z)≧0, の 被 積 分 函 数 は ≦0と

理1.3.8)に

よ り

め に 準 備 し た 事 項 に お い て,DをK0∪F⊂D⊂D⊂R＼E

な る よ う に と る.x∈R＼Dな す る の だ か ら,任

ら ば,GD＼K0(x,y)=0と

意 のy∈D＼(K0)°

し て(5.5.22)が

成立

に 対 して

 (5.5.22′)

が 成 立 す る.一

方,定

理5.5.1に

て の み 考 え る こ と に す る と,こ あ る こ とを 想 起 す れ ば,補

だ か ら,定

お け る{Dn}の

中 でDn⊃Dな

こ で のNDn(x,y)が

助 定 理5.2.2に

る も のに つ い

§5.2のNDn,K0(x,y)で

よ り

理5.5.1の(5.5.9)とFatouの

補 題 に よ り

(5.5.23) ∂DとFと

は 互 い に 交 わ ら な い コ ン パ ク ト集 合 だ か ら,(5.5.22)に  は ∂D×F上

(5.5.23)と

か ら(5.5.21)が

  次 の 定 理 は,定   定 理5.5.2 

が 成 立 し,特

述 べ たN(x,y)の

る か ら,x∈R＼Kの

性 質ⅱ)の

と,R＼K0に

固 定 す る と き ,R＼(K∪K0)に

  証 明   x∈K°

  x∈R＼Kと

理5.5.1に

にx∈K°

の ことと

得 ら れ る.

任 意 の 点x∈R＼(K0)°

パ ク ト集 合Kを

で 有 界 で あ る.こ

おいて

一 般 化 で あ る.

含 ま れ る 任 意 の 正則 コ ン

お い てLK∪K0N(x,・)≦N(x,・)

な ら ば 等 号 が 成 立 す る.

の 場 合 は,こ

の 定 理 の 事 実 は 定 理5.5.1のⅱ)に

場 合 とx∈

∂Kの

述 べ られ て い

場 合 に つ い て 証 明 す れ ば よ い.

す る.正 則 写像 の性 質 に よ り 

が

成 立 す る か ら,K1⊂R＼(K∪K0)な 函 数LK∪K0NはK1に K2⊂K1な

お い て 有 界 で あ る.一

るK2∈K(x)を

き くな る.だ

y∈K2に

∂(K∪K0)な

方,前

一 つ 固 定 す る と き,yの 定 理 の 系3のⅰ)に

十 分 小 さ く と れ ばinfy∈K2N(x,y)は

か ら 適 当 なK2∈K(x)を

 (5.5.24)  ま たy∈

るK1∈K(x)を

よ り,

い くらで も大

一 つ 定 め る と,

対 し て はLK∪K0N(x,y)≦N(x,y).

ら ばLK∪K0N(x,y)=N(x,y)だ

か ら

な らば 最 後 の=はx∈(K∪K2)°

な る こ と に よ る.上

の 不 等 式 と 定 理5.4.2に

より

ならば と な る か ら,(5.5.24)と N(x,・)が

合 わ せ て,R＼(K∪K0)に

お い てLK∪K0N(x,・)≦

成 立 す る.

  次 にx∈

∂Kの

値 を 許 す)と

場 合 を 考 え る.N(x,y)を

考え

た も の は,∂K∪

{φn}の 極 限 で あ る.こ

∂K∪∂K0の

∂K0の

の と き,§5.4で

上 のyの

函 数(∞

の

上 の非 負 値 連 続 函数 の単 調 増 加 列

拡 張 さ れ た 正 則 写像 の 定 義 に よ り

 (5.5.25)

LK∪K0φnはR＼(K∪K0)°

の 上 で 連 続 で あ って

∂(K∪K0)の

上 で はLK∪K0φn≦

だ か ら,各nに

対 してK∪K0を

と れ ば,∂Fnの

上 で 

る よ うに で き る が,更 の と きx∈ 定 理5.4.2と

∂K⊂(Fn)°

こ でn→

R＼(K∪K0)でLK∪K0N≦Nが   以 上 で 定 理5.5.2が

内 部 に 含 む 正 則 コン パ ク ト集 合Fnを (ωは 定 理5.3.1に

に 

よ りR＼Fnに

∞

適 当に

述 べ た 函 数)と

な

も同時 に 成 り立 つ よ う に で き る.こ

に よ っ て,R＼Fnに

定 理5.5.1に

が 成 立 す る.こ

φn≦N

お い てLFnN=Nと おいて

とす る と,(5.5.25)と{Fn}の 成 り立 つ こ と が わ か る.

証 明 さ れ た.

な る か ら,

と り方 に よ っ て,

  §5.6  核 函 数N(x,y)と

  こ の § で は,外 い て 流 量 が0に を 述 べ る.こ

あ る境 界 値 問 題

部 領 域 に お け るDirichlet境 な る'も

の が,前

界 値 問 題 の 解 で'無

§の 核 函 数N(x,y)を

用 い て表 わ され る こ と

の 結 果 は 本 書 に お い て 今 後 用 い る こ と も な い し,ま

値 問 題 に 関 す る 結 果 と し て も 特 に 注 目 に 値 す る こ と で も な い が,前 N(x,y)の

一 つ の 性 質 と し て,結

  K0をRの

の 台 がR＼(K0)°

∂K0の 上 でHolder連

た 楕 円型 境 界 §の核 函 数

果 と 証 明 の 概 略 の み を 述 べ て お く.

中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合,f(x)をR＼(K0)°

函 数 で あ っ て,そ

限遠点にお

でHolder連

続 な

の コ ン パ ク ト部 分 集 合 で あ る も の,φ(x)を

続 な 函 数 と す る.こ

の と き 次 の(5.6.1∼2)を

満たす函

数 υ(x)を 求 め る 問 題 を 考 え る:  (5.6.1) 

 (5.6.2) 

R＼K0に

お い てA*υ=-f,υ￨∂K0=φ;

任 意 の ψ ∈Pω(R;K0)に

た だ しDは,K0を

含 み,Rの

(函 数 ω お よ びPω(R;K0)は   上 述 の よ う な 領 域Dを

対 し て 

中 に コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 正 則 領 域 とす る. §5.3で 述 べ た も の で あ る.)

一 つ 固 定 し て,(5.6.2)に

 (5.6.2′)  任 意 の ψ ∈Pω(D;K0)に

類 似 の 条 件:

対 して

を考 え る と,こ れ は 次 の 条件 と同値 で あ る:  (5.6.3) 

ベ ク トル値 函数bυ-〓 ([1]の 序 章 参 照),拡

∂Dの

上 で

υ は拡 散 問題 に お け る 用 語 で 流 量(flux)と 散物 質 の移 動 を 表 わ す か ら, 

境 界 ∂Dの 上 で の流 量 の法 線 成 分 を 表 わ す.従

って(5.6.3)は

は領域Dの 拡 散 物 質 の境 界

に お け る 出 入 りがな い こ とを表 わ し て い る.だ か ら条 件(5.6.2)は'無 点 に お け る流 量 が0'す

呼 ばれ

限遠

なわ ち無 限 遠 点 にお い て拡 散 物 質 の出 入 りが ない こ と

を表 わ し て い る,と 考 え る の は 自然 で あ ろ う.

  本 §で は,函

数

る も の の 全 体 をDと   定 理5.6.1  たK0を

か つ 

υ∈C1(R＼K0)で  書 く こ とに す る.こ

函 数f,φ

な

の と き 次 の 定 理 が 成 り立 つ:

を 前 ペ ー ジ に 述 べ た 通 り と し,N(x,y)を,与

用 い て 前 §で 述 べ た よ う に 定 義 さ れ た 核 函 数 とす る.こ

え られ の と き,

 (5.6.4)

で 定 義 さ れ る 函 数 υ はDに 数 υ で(5.6.1∼2)を

満 た す.ま

た,Dに

属す る函

満 た す も の は 一 意 的 で あ る.―

  こ の 定 理 の 証 明 は,本 る が,以

属 し,(5.6.1∼2)を

質 的 に は 定 理5.5.1の

証 明 の中 に 含 まれ てい る とい え

下 に こ の 定 理 の 証 明 の 概 略 を 述 べ て お く.

  函 数 υ を(5.6.4)で GΩ1＼K(x,y)の 分 集 合Kに

定 義 す る と,(5.5.10)とGreen函

性 質 に よ り,υ は(5.6.1)を

数GΩ

満 た し,Rの

＼K0(x,y),

任 意 の コ ン パ ク ト部

対 して υ お よ び￨〓

  (5.6.5) 

更 に,K0お

υ￨はK＼K0で

有 界 で あ る.

よび 函 数fの 台 を 内部 に 含 む 任 意 の 正 則 コンパ ク ト集 合Kに

対し

て  (5.6.6) 

R＼Kに

が 成 立 し,任

お い て   LKυ=υ

意 の ψ ∈Pω(R;K0)に

対 し て 次 の 等 式 が 成 立 す る:

 (5.6.7)

こ れ ら の 事 実 の 証 明 は(5.5.11),(5.5.12)の 理5.3.2に

よ り(5.6.6)か

証 明 と 本 質 的 に 同 じ で あ る.定

ら

  (5.6.8)

と な るか ら,(5.6.5)と(5.6.8)に K0お

よび 函 数fの

す る と,任 びGreenの

よ っ て υ∈Dが

わ か る.従

っ て,Dは

台 を 含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 正 則 領 域 を 表 わ す も の と

意 の ψ ∈Pω(R;K0)に 公 式 に よ り,次

対 し て,υ

がA*υ=-fを

の 等 式 が 成 り立 つ:

満 たす こ とお よ

 (5.6.9)

(5.6.7)と(5.6,9)か

ら(5.6,2)が

  一 意 性 の 証 明:uと u-υ

に(5.6.9)を

でu=υ

υ が と も にDに 適 用 す る と,任

が 得 ら れ,∂K0の

得 られ る.

上 で はu=υ=φ

属 し て(5.6.1∼2)を

満 た す と す る.

意 の ψ ∈Pω(R;K0)に

で あ る か ら,定

対 して

理5.3.2に

よ っ てR＼K0

と な る.

  上 の 定 理 の'一

意 性'の

部 分 か ら,境

界 値 問 題(5.6.1∼2)の

核 函 数 の一 意

性 に 関 す る 次 の 定 理 が 容 易 に 導 か れ る.   定 理5.6.2 

N(x,y)をR×Rの

で 連 続 な 函 数 と す る.R＼(K0)°

部分集合

でHolder連

続 で あ っ て 台 がR＼(K0)°

の コ

ン パ ク ト部 分 集 合 で あ る よ う な 任 意 の 函 数fに

対 し て,函

数

がDに

満 た し,か

つ 境 界 条 件 υ￨∂K0=0

属 し,R＼K0に

と(5.6.2)を N(x,y)に

お い て,A*υ=-fを

満 た す と す る と,函 一 致 す る.―

数N(x,y)は

前 §で 定 義 さ れ た 核 函 数

第6章 

Neumann型

  §6.1  Neumann型

理 想 境 界(倉

持 境 界)

理想境界のための予備概念

 前 章 の 冒 頭 に 述 べ た よ うに,本 章 で も,向 きづ け られ たC∞ 多 様 体Rに

おい

て,与 え られ た 楕 円 型 偏 微 分 作用 素A: Au=div(〓u)+(b・〓u)

の形 式 的 共 役 偏 微 分 作用 素A*: A*υ=div(〓υ-bυ) を 考 え る.Rお

よ びAに

つ い て の 仮 定 は,c(x)≡0な

全 く同 じ で あ る.§5.1で で は,A*に と,全 素(Aで

は な く)A*を

  第3章

・第4章

A-調 和,A-優 (第3章

約 束 し た 諸 記 号 を 本 章 で も そ の ま ま 用 い る.こ

関 す るRのNeumann型

優 調 和 函 数(定

和','A*-優

義 は §6.3で 与 え る)の 扱 う理 由 は,§0.2で

で は 偏 微 分 作 用 素Aの

と は 反 対 に)A*の

調 和'の

も つ 正 則 領 域D⊂Rに

満 た す も の を,前 138ペ

で は,x0を

R＼K0で

あ る.今

構成

微分作用

考 え な か っ た か ら,

調 和 と書 い た が,こ

の 章 と 次 の 章 で は,

扱 わ な い か ら,'A*-調 調 和'と

そ の ま ま用 い る.x0を

界 値 問 題(5.1.1)の た,偏

書 く こ と に す る.

含 み コ ン パ ク トな 閉 包 解 でw(x0)=1を

微 分 作 用 素A*の

満 た す も の とす る.更

に,こ

含 む 正 則 コ ン パ ク ト集 合K0⊂RでR＼K0が

一 つ 固 定 し ,K0を

の章

み を 扱 っ てA*を

章 と 同 じ く ωDと 書 く.ま

ー ジ に 述 べ た 条 件(A)を

と

説 明 し た こ と に よ る.

み を 扱 っ てAを

対 し て,境

持 境 界 と も い う)の

表 現 定 理 を 述 べ る;偏

こ と を そ れ ぞ れ'調 和','優

  前 の 章 で 固 定 し た 点x0∈Rを Dを

理 想 境 界(倉

調 和 を そ れ ぞ れ 調 和,優

・第4章

る こ と以 外 は,第3章

含 む 任 意 の 領 域 Ω に 対 し て Ω′=Ω ＼K0と

係 数bは

の 章 お よび 次 の 章 連 結 で あ る もの を お く;特

後 Ω′,R′な る 記 号 は 常 に こ の 意 味 に 用 い,他

にR′=

の意 味 に は 用

い な い.前 章 の 正 則 写 像 お よび そ れ に 関連 し た結 果 は そ の ま ま用 い るが,上 に 固 定 し た コ ンパ ク ト集 合K0が

特 別 の 役 目を果 たす の で,そ れ に伴 っ て修 正 の

必要 な 記 号 や 定 理 等 を 以 下 に 記 述 し て お く.   まず,定 理5.3.1は

そ の まま の形 で用 い るが,本 章 全 体 で重 要 な 役割 りをす

る函 数 ω(x)の 存 在 と一 意 性 を述 べ た 主要 な定 理 で あ る か ら,こ (下 記 定 理6.1.1).定

理5.3.2は

  定理6.1.1  次 の 性 質(B)を Rの 上 で 

後 述 の定 理6.1.2の もつ 函数 ω∈C2(R)が

域 の列{Dn}に

存 在 し て一 意 的 で あ る:

で あ って

に対 して

任意の  こ の 函 数 ω はRに

形 に 修 正 し て用 い る.

特に

と お く と き, 

 (B)

こに再 記 す る

お い て 調 和 で あ り,条

件(A)の(5.1.8)を

満 た す 任 意 の領

がR上

の広 義 一 様 収 束 で

前 の 定 理 に 述 べ ら れ た 函 数 とす る.任

意 の正 則 コン パ ク

対 して 

成 立 す る.   定 理6.1.2 

ω,pを

ト集 合K⊂R′

と,任

u∈C0(R′

＼K)∩C1(R′

 (C′)

任意 の 

意 の φ ∈C1(∂K)に ＼K)が

対 し て,次

存 在 し て,一

の 性 質(C′)を

もつ 函 数

意 的 で あ る:

に対 して

こ の函 数uはR′

＼Kで

調 和 で あ っ て, 

また,K∪K0を

含 む 任 意 の 正 則 領域Dに

を 満 た す. 対 して,D＼(K∪K0)に

お け る境 界

値 問 題:

の 解 を υDと す る と,(5.1.8)を

満 た す 任 意 の 領 域 の 列{Dn}に

がR′ ＼Kの  こ の 定 理 は,定

理5.3.2に

対 し て, 

上 の広 義 一 様 収 束 で成 立 す る.

お け る コ ン パ ク ト集 合KをK∪K0で

置 き替 え,

函 数 φ を φ(x)=φ(x)(x∈

∂K),=0(x∈

∂K0)な

る φ で 置 き替 え る こ とに よ

り得 ら れ る.   こ の 定 理 に よ り,C1(∂K)か

らR′ ＼Kに

繰L0Kを,u=L0Kφ

が 条 件(C′)を

後 こ の 写 像L0Kも

正 則 写 像 と 呼 ぶ;こ

LK∪K0を,φ￨∂K0=0を

お け る調 和 函数 の空 間 の 中 へ の写

満 た す も の と し て 定 義 す る こ とが で き る.今 の 写 像 は,前

満 た す 函 数 φ∈C1(∂K∪

の章 で定 義 した 正 則 写 像

∂K0)の

全 体 の上 に制 限 し た も

の で あ る.   正 則 写 像L0Kは,前 ら ばL0Kφ ≧0を  (6.1.1) 

章 の 意 味 のLK∪K0と

満 た す.ま

た 任 意 のy∈R＼[K°

任 意 の φ∈C1(∂K)に

Borel測

∪(K0)°]を 固 定 す る と き

対 して

が 成 立 す るか ら,写 像  線 型 汎 函 数 で(6.1.1)を

同 様 に 線 型 写 像 で あ っ て,φ ≧0な

(yは 固 定)はC(∂K)上 満 た す も の に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.だ

度 μyKで μyK(∂K)≦1な

る も の が 存 在 し て,任

の有界正値 か ら ∂K上

意 の φ ∈C1(∂K)に

の

対 して

 (6.1.2)

が 成 立 す る.   ∂Kで 下 半 連 続 な 任 意 の 函 数 φに 対 し て,(L0Kφ)(y)を(6.1.2)で

定義 す る と,

§5.4に お け る と 同 様 に し て 次 の 定 理 が 得 ら れ る.   定 理6.1.3 

∂Kで 下 半 連 続 な 任 意 の 函 数 φ に 対 し て,R′

に お い てL0Kφ

は,そ

  前 章 と 同 様 に,上 ∂Kを

の よ うに 拡 張 さ れ たL0Kも

へ の 制 限w￨∂KのL0Kに

よ る 像L0K(w￨∂K)の

の と き 次 の 定 理 が 成 立 す る(cf.定

  定 理6.1.4  す る と,∂K1に

K1,K2をR′

ま た 正 則 写 像 と 呼 ぶ こ と に し,

こ と も,簡

し て,そ

単 にL0Kwと

の 中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 でK1⊂K2な

が 成 立 す る.

れ の ∂K 書 くこ と

理5.4.2).

お い て 下 半 連 続 な 任 意 の 函 数 φ に 対 し て,R′

L0K2(L0K1φ)=L0K1φ

各連結成分

こ で 恒 等 的 に ∞ で な い か ぎ り調 和 函 数 で あ る.

含 む あ る 集 合 の 上 で 定 義 さ れ て 下 半 連 続 な 函 数wに対

に す る.こ

＼Kの

るもの と

＼(K2)° に お い て

  次 の 定 理 は,定 あ る.前

理5.5.1の

前 半 を 本 章 のL0Kの

の 章 と 同 様 に,任

意 の 点x∈R′

に 対 し て,xを

れ る す べ て の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 の 族 をK(x)と   定 理6.1.5 

R×Rの

定 義 に合 わ せ て書 い た もの で 内 点 に も ちR′

に含 ま

書 く.

部分集合

 (6.1.3)

で 連続 な 函数N(x,y)で  ⅰ) 台 がR′

次 のⅰ),ⅱ)を 満 たす も のが た だ一 つ 存 在 す る.

の コ ンパ ク ト部 分集 合 で あ る よ うな任 意 のHolder連

続 な函 数

f(x)に 対 し て,函 数  (6.1.4)

はR′

に お け る 次 の 楕 円 型 方 程 式 と境 界 条 件 を 満 た す:

  (6.1.5) 

A*υ=-f,υ￨∂K0=0.

 ⅱ)  任 意 のx∈R′   (6.1.6) 

R′＼Kに

  上 のN(x,y)は x∈R′

を 固 定 す る と き,任

意 のK∈K(x)に

お い てL0KN(x,・)=N(x,・).―

定 理5.5.1のN(x,y)そ

か つy∈

∂K0な

対 して

の も の で あ り,(5.5.17*)に

ら ばN(x,y)=0で

あ る.だ

か ら(5.5.8)に

おけ る

こに 再 記

LK∪K0をL0Kと

書 い た(6.1.6)が

成 立 す る.

  定 理5.5.1の

系1,2,3は,そ

の ま ま の 形 で 今 後 引 用 す る の で,こ

し な い.下

記 の 定 理6.1.6は

で あ る が,LK∪K0とL0Kと

上 のⅱ)の

  定 理6.1.6 

一 般 化 で あ り,定

理5.5.2と

の 違 い が あ る の で こ こ に 書 い て お く;そ

上 に 述 べ た(5.5.8)が(6.1.6)に

同 じこと の 事 情 は,

な っ た の と 同 じ で あ る.

任 意 の 点x∈(R′

を 固 定 す る と き,R′ ＼Kに

よ り,

∪∂K0)と

任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合KUR′

お い てL0KN(x,・)≦N(x,・)が

成 立 し,特

にx∈

K° な ら ば 等 号 が 成 立 す る.   今 後N(x,y)をR′ に お け る任 意 のBorel測

に お け る ポ テ ン シ ャ ル の 核 と し て 用 い る.す 度 μ に 対 し て,そ

な わ ち,R′

の ポ テ ン シ ャ ル μNを

  (6.1.7)

で 定 義 す る;た

だ し μNは(6.1.7)の

右 辺 の 積 分 の 値 がyの

函 数 と し てR′

に

お い て 恒 等 的 に ∞ で な い か ぎ り定 義 さ れ る も の と す る.よ シ ャ ル μN'と

書 い た と き は,R′

え て い る も の と し,そ

に お い て 

後'ポ

テン

と な る よ うな 測 度 μ を 考

の こ と を 毎 回 こ とわ ら な い.

  R′ で 下 半 連 続 な 任 意 の 函 数 υ と,任 て,函

っ て,今

意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′

に対 し

数 υKを 次 の よ うに 定 義 す る: の と き,

 (6.1.8)

の と ぎ.

ま た,任

意 のx∈R′

∪ ∂K0を

 (6.1.9) 

固 定 す る と き,

NK(x,y)=[N(x,・)]K(y)

と定 義 す る.こ

の と き(6.1.2)に

よ っ て,y∈(R′

こ で μyKは ∂K上

のBorel測

∪∂K0)＼Kに

対 して は

 (6.1.10)

 (6.1.11)

が 成 立 す る;こ あ る.ま

た 定 理6.1.4と(6.1.8)に K1,K2がR′

 (6.1.12)

  特 に,函

度 で μyK(∂K)≦1を

満たす もので

よ り次 の こ と が 成 り立 つ:

の 中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 でK1⊂K2な

らば

において 数 ω はR′

∪ ∂K0に

 (6.1.13) 

を 満 た す.な

おいて ωK(y)≦

ぜ な ら ば,y∈(R′

と な り,y∈Kな

ら ば(6.1.8)に

 注 意1  N(x,y)を

∪ ∂K0)＼Kな

ω(y)

ら ば(6.1.10)に

よ っ て ωK(y)=ω(y)で

あ る.

核 とす る質 量分 布 μ の ポ テ ン シ ャル は

(cf.(6.1.7))

 (6.1.7′) 

な る 形 に 書 か れ る の が 普 通 で あ る;偏 微 分 作 用 素Aが わ ちA=A*:通 称:N(x,y)=N(y,x),で

よ って

常 のLaplace-Beltrami作

用 素)の

形 式 的 に 自 己 共 役(す 場 合 は,核N(x,y)は

あ る か ら(6.1.7)と(6.1.7′)と

な 対

は 同 じ式 で あ り,

(6.1.7′)の

よ う に書 くの が"常

に 自 己 共 役 で な い,従 (6.1.7)の

識 的"で

っ てN(x,y)が

あ ろ う.し か し 本 書 で はAが

対 称 で な い 点 に 主 眼 を お い て い る の で,

形 を 用 い る 必 然 性 が あ る.こ

の ポ テ ン シ ャ ル を 定 義 す る(6.1.7)の

右 辺 で は,N(x,y)の

左 の 変 数xに

す 左 辺 の 記 号 もNの

左 側 に μ を 書 く こ と に し た.

  注 意2 

定 義 さ れ る 記 号NK(x,y)は(6.1.8)の

の で,今

(6.1.9)で 後NKは

ら れ たGreen函

数GD(x,y)のDと

ωKの 添 え 字Kに

た ωDのDと

は 異 な る.

  最 後 に,核

函 数N(x,y)を

述 べ る.こ 函

つ い て 測 度 μ で 積 分 す る の で,そ

こ の 意 味 に の み 用 い ら れ る.添

(6.1.13)の

え 字Kの

意 味 が,前

用 い た 場 合 の,優

定 理6.1.7は

調 和 函 数 のRiesz分

解 の定 理 を

解 の 定 理 を 述 べ,そ

定 理2.3.5のⅰ)の'必

み を 述 べ(定

理6

要'の

.1.8),与

般 の 場 合 の'存

在'を

下 本章 記の

部 分 に 対 応 す る も の で あ る が,そ 解 に つ い て は,存

の

在 す る場 合 の

え られ た優 調和 函数 が Ω の コン パ ク ト 解 の 存 在 を 示 す(定

述 べ る た め に は,§6.3で

調 和 函 数 の 概 念 が 必 要 で あ る か ら,こ

こ で は,以

の 証 明 の 概 略 を 記 す.下

部 分 集 合 の 外 で は 調 和 で あ る 場 合 に つ い て の みRiesz分 理6.1.9).一

はGreen

ポ テ ン シ ャル の 核 と し た 形 で 述 べ て い る の で,

定 理 のⅱ)に 対 応 す る領 域 Ω 全 体 で のRiesz分 '一意 性'の

た

章 お よ び こ の §の 初 め に 用 い

定 理 の 述 べ 方 も証 明 の 方 法 も形 式 的 に 多 少 の 差 違 が あ る.こ に お い て 用 い る 形 でRiesz分

に用 い

は 異 な る こ と に 注 意 せ ら れ た い.ま

つ い て も 同 様 で,前

た はG(x,y)を

れを表わ

υKに 合 わ せ た も

れ は 本 質 的 に は §2.3に 述 べ た こ と に 含 ま れ る が,§2.3で

数GD(x,y)ま

形式 的

の 場 合 のRiesz分

導 入 され る全 優

解 は 定 理6.3.3で

与 え

ら れ る.   下 記 の 定 理 の 証 明 の 概 略 を §2.3の 記 述 と 対 比 し な が ら 述 べ る か ら,§2.3で はA-(優)調

和 函 数 を 扱 っ て い る の に 対 し て,こ

い え ば'A*-(優)調   定 理6.1.7 

和'の

意 味 で あ る こ と を,念

度 μ とD上

の 調 和 函 数hDが

和'と

の た め も う一 度 注 意 す る.

Ω をR′ の 中 の 任 意 の 領 域 と し,Dを

が Ω の コ ン パ ク ト部 分 集 合 な る も の とす る.Ω に お け るBorel測

の 章 で は 単 に'(優)調

Ω の 部 分 領 域 で あ っ てD

上 の 優 調 和 函 数 υ に 対 し て,Ω 一 意 的 に 存 在 し て,Dに

おい

て 次 の式 が 成 立 す る;こ

こで μはDに

無 関 係 で あ る:

 (6.1.14)

特 に υ が 領 域Dで

調 和 な ら ば μ(D)=0で

  証 明 の 概 略   ま ず,こ 存 在 し て,任

あ る.

の 定 理 の 函 数 υ に 対 し て Ω に お け るBorel測度

意 のf∈C20(Ω)に

対 し て(cf.定

μが

理2.3.3)

 (6.1.15)

が 成 立 す る;そ

の 証 明 は §2.3の 定 理2.3.1∼3の

入 れ 換 え,UΩ0(t,x,y)の のf∈C20(D)に

変 数xとyの

対 し て 定 理5.5.1の

証明 に お い て,AとA*を

役 目 を 入 れ 換 え れ ば よ い.特

系1に

に,任

意

よ り

(cf.(2.3.20))

 (6.1.16) 

が 成 立 す る か ら,こ

れ を(6.1.15)の

右 辺 に代 入 す る と

(cf.(2.3.22)) が 得 ら れ,こ

れ か ら 定 理2.3.4の

用 い て 上 の 式 の{…}の る.μ A*を

とhDの

中 がDに

証 明 と 同 様 に,定

お け る 調 和 函 数hD(y)に

一 意 性 の 証 明 は 定 理2.3.4の

入 れ 換 え,(2.3.20)の

と,N(x,y)>0な

定 理2.1.6を

な る こ とが 示 され

証 明 と全 く同 じ 論 法 に よ る;Aと

か わ りに(6.1.16)を

る こ とか ら,υ がDで

  上 の 一 意 性 の 証 明 はDが

理1.4.10と

用 い れ ば よ い.こ

調 和 な ら ば μ(D)=0で

コ ン パ ク トで な くて も よ い か ら,次

の一意性

あ る. の定理が成立

す る.   定 理6.1.8 

領 域 Ω(⊂R′)の 上 の 優 調 和 函 数 υ が,Ω

と Ω 上 の 調 和 函 数hに

よ っ てυ=μN+hと

とhは

υ に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る;特

=0で

あ る.―

  最 後 に,優 合 の,Ω

表 わ さ れ る な ら ば,こ

度 μ

の よ うな μ

に 領 域 Ω1(⊂ Ω)で υ が 調 和 な ら ば μ(Ω1)

調 和 函 数 υ が Ω の あ る コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 外 で 調 和 で あ る場

全 体 で のRiesz分

  定 理6.1.9 

に お け るBorel測

Kを

領域

解 の 定 理 を 証 明 し よ う. Ω(⊂R′)の

コ ン パ ク ト部 分 集 合 と す る.υ

が Ω 上の

優 調 和 函 数 であ って,Ω ＼Kに で 台 がKに

含 まれ る もの と,Ω 上 の 調 和 函 数hが

い て υ=μN+hが

の閉 包Dが

度μ

一 意 的 に存 在 し て,Ω に お

Ω の コン パ ク ト部 分 集 合 で あ る も

とつ 固 定す る.こ

の と き 定 理6.1.7に

関 係 しな い)とD上

の 調 和 函数hDが

μ(Dに

に お け るBorel測

成 立 す る.

  証 明  Kを 含 む 領 域Dで,そ の を,ひ

お い て調 和 な らば,Ω

よ り,Ω に おけ るBorel測 一 意 的 に 存 在 して,Dに

度

お いて

次 の式 が成 立 す る:  (6.1.17)

更 に,υ

がD＼Kで

調 和 な こ と に よ り μ(D＼K)=0で

あ る.こ

こ で,Dが

Ω

に 含 ま れ る コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ か ぎ り任 意 に 大 き く とれ る こ と と,μ がD に 無 関 係 な こ と に よ り,μ

の 台 はKに

含 ま れ る.だ

か ら(6.1.17)の

項 の 積 分 範 囲 を Ω と書 い ても よ い か ら,(6.1.17)をυ=μN+hDと こ と に す る.い

ま,D＼Kに

右 辺 第1 簡 単に書 く

おい て h=υ-μN

と 定 義 す る と,hは な る か ら,一

意 接 続 定 理(定

る こ と に よ りhは +hが

Ω ＼Kに

理1.4.10)に

よ っ て,Kの

Ω 上 の 調 和 函 数 と な る.こ

成 立 す る.hの

っ て 明 ら か で あ る.

お い て 調 和 で あ り,D＼Kにお

一 意 性 も,hDのDに

い て はh=hDと

上 で もh=hDと

定義す

の と き明 ら か に Ω 全 体 で υ=μN お け る 一 意 性 と一 意 接 続 定 理 に よ

§6.2  Neumann型

  K0を

理 想 境 界(倉 持 境 界)の 構 成

前 § で 固 定 し た 正 則 コ ン パ ク ト集 合 と し,こ

Neumann型

核 函 数 をN(x,y)と

す る.こ

のK0を

用 い て構 成 した

の核函数は

 (6.2.1)

に お い て 定 義 さ れ て い て 連 続 で あ り,こ に あ れ ばN(x,y)=0で

あ る.そ

 (6.2.2) 

意 のy∈R′

一 方 が ∂K0の 上

こで

x∈K0,y∈R′

と 定 義 す る と,任

の 集 合 の 中 でx,yの

に 対 し て はN(x,y)=0

を 固 定 す る と き,N(x,y)はxに

つ い てR＼{y}

の 上 で 連 続 な 函 数 と な る.   Rの

一 点 コ ン パ ク ト化(one-point

ン パ ク ト空 間 で あ る か ら,そ ク ト集 合K0を

compactification)は

距離づけ可能 な コ

の 位 相 を 定 義 す る 距 離 の 一 つ を ρ0とす る.コ ン パ

含 む 領 域D0で,そ

の 閉 包D0が

コ ン パ ク トで あ る も の を 一 つ 固

定 す る.   任 意 の 二 点x1,x2∈Rに

対 し て,上

に 述 べ た 距 離 ρ0(x1,x2)と

 (6.2.3)

と を 用 い て,   (6.2.4)

と 定 義 す る.   我 々 は こ の ρを 用 い て,§3.2に を 進 め る こ と が で き る.以 定 理6.2.3,定

理6.2.5を

界 の 構 成 と 全 く並 行 に 議 論

下 に 述 べ る 定 理 や 補 助 定 理 は,定 除 き,§3.2に

同 じ 方 法 で 証 明 さ れ る.だ 理6.2.5以

お け るMartin境

理6.2.2の

系2,

お け る 対 応 す る 定 理 や 補 助 定 理 と全 く

か ら こ の §で は,定

外 の 各 定 理 や 補 助 定 理 は,§3.2と

理6.2.2の

系2,定

理6.2.3,定

同 じ順 序 に 従 っ て記 述 す るだ け

と し,そ れ ら の 証 明(そ れ は §3.2と 本 質 的 に 同 じ 議 論 の 繰 返 し に な る)は 記 述 し な い;た

だ,§3.2の

記 述 と形 式 的 に 多 少 の 違 い の あ る 部 分 に つ い て の み,前

も っ て 注 意 を 述 べ て お く に 止 め る.読

者 諸 氏 が §3.2に な ら っ て 各 定 理 を 験 証

さ れ る こ と は 容 易 で あ ろ う.   ま ず §3.2の 偏 微 分 作 用 素A,核 な っ て お り,核

函 数M(x,y)が

函 数 の 変 数xとyの

役 目 が 入 れ 替 っ て い る.次

お い て は 必 要 の な か っ た コ ン パ ク ト集 合K0が (6.2.3)で

定 義 し た ρ1はx1,x2∈K0に

合 に お け る位 相 的 な 議 論 で は,§3.2に

Rを

こ の 章 で 用 い ら れ て い る た め,

の こ と はRの

れ

中 の コ ン パ ク ト集

おけ る論 法 に本 質 的 な影 響 を与 え な い

距 離 ρ に よ っ て 完 備 化 し た 後 の 理 想 境 界 の 近 傍 に お け る 議 論 に 対 し て も, 助 定 理3.2.1の

記 の 補 助 定 理6.2.1の

補 助 定 理3.2.2お

理5.5.1の

証 明 の 中 で(3.1.9)を

証 明 で は 定 理5.5.1の

よ び 定 理3.2.2と

部 分 に つ い て は,下 は,定

に

点 コ ン パ ク ト化'の 位 相 を 与 え る 距 離 で あ る こ と に よ り,

ρ0は 影 響 を もた な い.補 し,下

に,第3章

対 し て は 距 離 の 性 質 を も た な い.そ

ゆ え 距 離 ρ0を ρ1に 加 え て ρを 定 義 し た が,こ

し,ま た ρ0がRの'一

こ こ で はA*,N(x,y)に

用 い る.ま

そ の 系 の 証 明 中 に 補 助 定 理3.1.2を

記 の 補 助 定 理6.2.2お 系3のⅱ)を

用 いた の に対

系3のⅰ)を

用 い る.以

よ び 定 理6.2.2と

た,

用 いた

そ の 系1の

証明で

上 の こ と に 注 意 す れ ば,Neumann

型 理 想 境 界 の 構 成 が 下 記 の 手 順 で 進 め ら れ る.   補 助 定 理6.2.1 

(6.2.4)で

与 え た ρ はRに

こ の 距 離 で 定 義 さ れ る 位 相 は,多   補 助 定 理6.2.2 

Rは

本 来 の 位 相 と 同 じ で あ る.

上 に 述 べ た 距 離 ρに 関 し て 全 有 界 で あ る.

  こ の 補 助 定 理 に よ り,空 間 で あ り,ρ はRの

様 体Rの

お け る ひ と つ の 距 離 を 定 義 し,

間Rの

距 離 ρ に よ る 完 備 化Rは

コ ン パ ク ト距 離 空

上 の 距 離 に 自然 な方 法 で 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.そ

れ た 距 離 を 同 じ 記 号 ρで 表 わ し て も 混 乱 は 起 こ ら な い か ら,以

の拡 張 さ

下 そ うす る こ と

に す る.   こ の と き 次 の 定 理 が 成 り立 つ:   定 理6.2.1 ⅰ) 

多 様 体Rは

コ ン パ ク ト距 離 空 間Rの

中 に 同 相 に 埋 め 込 まれ

て い る.  ⅱ)  R＼RはRの   定 理6.2.2 

閉 部 分 集 合 で あ っ て,内 核 函 数N(x,y)は

点 を も た な い.

 ⅱ

の 上 の 連 続 函 数 に 拡 張 さ れ る.拡 る と き,yの   系1 

張 さ れ たN(x,y)は,任

函 数 と し てR′ ＼{x}で

EがR＼K0の

っ て,E∩F=φ

意 のx∈Rを

固定 す

調 和 で あ る.

中 の 閉 集 合,FがR′

∪ ∂K0の

中 の コ ン パ ク ト集 合 で あ

な らば

 ⅰ )

)  N(x,y)はE×Fの

上 で 距 離 ρに 関 し て 一 様 連 続 で あ る.

  系2  任 意 のx∈R＼K0に

対 し て,N(x,y)のyに

微分    こ の 系2に

界 の 場 合 の 定 理3.2.3の

界 の 構 成 ま で 述 べ た あ と で,上 の 系2はx∈R′

の 系2の

Rは

た 次 の 定 理6.2.3の

証 明 と は 事 情 が 異 な る か ら,理 証 明 と 次 の 定 理6.2.3の

の 場 合 は 定 理5.5.1の

の §で 証 明 す る の はx∈R＼Rの   定 理6.2.3 

系2に

方 に 無 関 係 で あ る.K0とK0をRの

ン パ ク ト集合K0,距

離 ρ0,領 域D0の

れ ぞ れK0,K0を

し,(6.2.3)と(6.2.4)に

よ っ てN(x,y),ρ0を

用 い て ρを 定 義 す る.距 す る.こ

用 い て §5.5で

述 べ た よ うに 構 成

用 い て ρ1,ρ を 定 義 し,同

離 ρ,ρ に 関 し てRを

の と き,RとRは

函

様

完 備 化 した 距

一 様 同相 で あ っ て,そ

の

お い て は 恒 等 写 像 で あ る.

  こ の 定 理 に よ り,上

に 述 べ た 方 法 で 構 成 さ れ るRの

は た だ ひ と 通 りで あ る.§3.2の 合 で あ る か ら,こ

そ れ ぞ れK0とK0

コ ン パ ク トで あ る とす る.核

数N(x,y),N(x,y)を,そ

同 相 写 像 はRに

選び

中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合,ρ0とρ0をR

れ ら の 閉 包D0,D0は

離 空 間 を そ れ ぞ れR,Rと

証 明 を 与 え る.

ほ か な ら な い か ら,こ

の 一 点 コ ン パ ク ト化 の 位 相 を 与 え る 距 離 と し,D0とD0は

にN(x,y),ρ0を

想境

場 合 で あ る.

次 の 意 味 で,コ

を 含 む 領 域 で あ っ て,そ

上 で の法 線

が 成 り立 つ.

対 応 す る も の は §3.2に は 存 在 し な い し,ま

証 明 はMartin境

な お,上

関 す る ∂K0の

が 存 在 して, 

れ をRの

場 合 と 同 様 に,R＼Rは

完 備 化Rは,本

質的に

内 点 を もた な い 閉 集

境 界 と考え て 次 の 定 義 を 与 え る.

  定 義   こ の §に 述 べ た よ うに 構 成 し たRをRの(楕

円 型 偏 微 分 作 用 素A*に

関 す る)Neumann型 をRの(A*に

コ ン パ ク ト化 ま た は 倉 持 コン パ ク ト化 とい い,S=R＼R

関 す る)Neumann型

  定 理6.2.2に

理 想 境 界 ま た は 倉 持 境 界 と い う.

よ り任 意 の 点 ξ∈Sに

函 数 で あ る が,定

理3.2.4に

対 し てN(ξ,y)はyに

つ い てR上

対 応 す る次 の 定 理 に よ り,S上

の調和

の相 異 な る二 点 は

相 異 な る調 和 函 数 を 与 え る.   定 理6.2.4  の 点y∈R′

S上

の点

ξ,ηに 対 し て,定

でN(ξ,y)=N(η,y)と

理6.2.2の

な る な ら ば,ξ

系2と

  定 理6.2.2の

証 明   前 ペ ー ジ に 述 べ た よ うに,x∈R＼Rの

明 す れ ば よ い.K0を

証 明 し よ う.

内 部 に 含 む 正 則 領 域Dで,そ

ト部 分 集 合 で あ る も の を 一 つ 固 定 す る と,任 (n→ ∞)な る 点 列{xn}⊂R＼Dが Green函

数GD＼K0(x,y)を

任 意 のxnと

任 意 のy∈D＼(K0)°

場 合 に証

の 閉 包DがRの

意 のx∈Rに

存 在 す る.定 考 え る と,そ

すべ て

と η は 同 じ 点 で あ る.

  こ こ で 定 理6.2.2の 系2の

定 理6.2.3を

函 数N(x,y)が

理5.5.1の

コン パ ク

対 し て ρ(xn,x)→0 系3の

証 明 中 と同 じ

の 証 明 中 に 示 し た(5.5.22′)に

よ り,

に 対 して

 (6.2.5)

∂Dと

∂K0と

は 互 い に'離

れ た'コ

ン パ ク ト集 合 で あ る か ら,上

の式 か ら

 (6.2.6)

(6.2.5)でn→

∞

と す る と,定

と な るか ら,N(x,y)のyに

理6.2.2の

系1のⅱ)に

よ り

関 す る ∂K0上 で の 法 線 微 分 が 存 在 し て

 (6.2.7)

定 理6.2.2の

系1のⅱ)に

よ り(6.2.6)と(6.2.7)でz∈

 と な る か ら,  し て 一様 収 束)が

成 立 す る.こ の こ と と,xn∈R′

て い る こ とか ら,x∈R＼Rに対

し て も成 立 す る.

∂Dに

関 し て一 様 に

(y∈ ∂K0に に 対 し て は こ の 系2が

関

成 立し

  こ こ で 定 理6.2.3の   補 助 定 理6.2.3 

定 理6.2.3の

に お け る §5.2の の と き,ⅰ)任

証 明 に 用 い る次 の 補 助 定 理 を 示 す. 仮 定 の も と で 更 にD0⊂K0と

境 界 値 問 題(5.2.1)のGreen函

数 をGD0＼K0(x,y)と

意 のx∈R＼D0,y∈D0＼K0に

対 して

含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 任 意 の 正 則 領 域Dを

に お け る §5.2の

境 界 値 問 題(5.2.2)の

核 関 数ND,K0(x,y)を

§5.5以 降 の よ う にND(x,y)と

書 く.K0をK0で

核 函 数 をND(x,y)と

意 のy∈D0＼N0を

D＼(K0)°  

書 く.任

に お け るxの

D＼K0に

と る.D＼K0 考 え,こ

れを

置 き 換 え て同 様 に 定 義 し た 固 定 し て,ND(x,y)を

函 数 と考 え る と,

お い てAxND(x,y)=0,∂Dの

を 満 た す.ND(x,y)が

す る.こ

対 して

 ⅱ )  任 意 のx∈R＼D0,y∈D0＼K0に

  証 明   D0を

し,ま たD0＼K0

上 で

境 界 値 問 題(5.2.2)(K=K0)の

核 函数 であ るか ら

 (6.2.8)

が 成 立 す る.ま お け るyの  

た,任

意 のx∈D＼D0を

固 定 し て,ND(x,y)をD0＼(K0)°

函 数 と考 え る と

D0＼K0に

お い てA*yND(x,y)=0,∂K0の

を 満 た す.GD0＼K0(x,y)が(5.2.1*)のGreen函

が 成 立 す る.従

っ て 特 にz1∈

が 成 立 す る.こ

れ を(6.2.8)の

入 す る と,次

に

の 等 式 を 得 る:

∂K0に

上 でND(x,y)=0 数 で もあ るか ら

対 して

右 辺(に

お い てzをz1と

書 き 直 し た 式)に

代

 (6.2.9)

こ こ で 定 理5.5.1に

お け る よ うに,(5.1.8)を

な る よ うに と る と,定

理5.5.1に

満 た す 領 域 の 列{Dn}をD0⊂D1

述 べ た 領 域 に お け る広 義 一 様 収 束 で

 (6.2.10)

が 成 立 す る.(6.2.9)に

お い てD=Dnと

し てn→

∞

とす れ ば(6.2.10)に

よ

りⅰ)の 結 論 を 得 る.   次 にⅱ)を

証 明 し よ う.Dを

∈C10(D＼K0)を

初 め に 述 べ た よ う な 正 則 領 域 とす る.任

と っ て,y∈D＼(K0)°

意 のf

に対 して

 (6.2.11)

と おくと,υ  

は D＼K0にお

を 満 た し,y∈

∂K0な

い てA*υ=0,∂Dの ら ばND(x,y)=0で

上 で あ る か ら,

 (6.2.12)

と な る.§5.2に あ る か ら,任

述 べ た よ うにND(x,y)は 意 のy∈D＼(K0)°

が 成 立 す る.こ

はxに

核函数 で も

に対 して

の 式 の 左 辺 の υ に(6.2.11)を,右

る こ とが で き る か ら,代

特 にx,yが

境 界 値 問 題(5.2.2*)の

辺 の υ に(6.2.12)を

代入す

入 して か ら右 辺 の積 分 の 順 序 を 変 え る と

そ れ ぞ れD＼D0,D0＼K0を

つ い て 連 続 で あ る か ら,fの

動 くな ら ば,上 任意性に よ り

の 両 辺 の{…}の

中

 (6.2.13)

が 成 立 す る.(5.2.4)と(5.5.10)に 分 を 考 え,Dと K0を

お い て,xに

し てⅰ)の 証 明 中 と 同 じDnを

固 定 す る と き,(6.2.10)の

第1式

関 す る ∂K0の

と っ てn→

に よ りx∈

∞ とす る と,y∈D0＼

∂K0に

 が 成 立 す る か ら,(6.2.9)か の と 同 様 に し て(6.2.13)か

らⅱ)の

  こ の 補 助 定 理 を 用 い て,定

がRに

関 す る一 様 収 束 で

らⅰ)の 結 論 を 導 い た

結 論 が 導 か れ る.

理6.2.3の

  ま ず こ の 定 理 は,D0⊂(K0)°

上 で の法 線 微

証 明 を 与 え よ う.

と し て 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.距

お い て 同 値 な 距 離 で あ る こ とは 明 ら か で あ る.ま

たRの

離 ρ0とρ0と 任 意 の コン パ

ク ト部 分 集 合 に お け る 二 つ の 距 離 ρ と ρ の同 値 性 も 明 ら か で あ る.よ を 含 み コ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 領 域D⊂Rを

一 つ と っ て,R＼Dに

と ρ1が 互 い に 同 値 な 距 離 を 与 え る こ と を 示 せ ば,ρ 距 離 と な る か ら,距 が わ か る.ρ1と K0⊂Dな

お い て 同値 な

離 空 間 の 完 備 化 の 一 意 性 に よ り定 理6.2.3が

成立す る こと

る こ と と,補

  x1,x2∈R＼Dと

お い て は'距

助 定 理6.2.1に

す る.補

助 定 理6.2.3に

 (6.2.14)

 (6.2.15)

が 成 立 す る.こ

こで

らば

離'の

条 件 を 満 た す こ と は,K0∪

対 応 す る 補 助 定 理3.2.1の

っ て ρ1とρ1のR＼Dに

が 成 立 し,y∈D0＼K0な

お い て ρ1

と ρ がRに

ρ1がR＼Dに

ば 容 易 に わ か る.よ

っ て,D0

証 明 を見 れ

お け る 同 値 性 を 証 明 す る. よ り,y∈D0＼K0な

らば

と お く;C1,C2が

有 限 な こ と は ∂D0,∂K0,D0が

互 い に交 わ ら な い コン パ ク

ト集 合 で あ る こ とか ら 明 ら か で あ り,C3が

有 限 な こ と は,定

中 の(5.5.10)を

て 任 意 の 正 数 ε>0に

用 い て 容 易 に 示 さ れ る.さ

と お く と,ρ1の

定 義 と(6.2.14)か

ら

が 導 か れ,ρ1の

定 義 と(6.2.15)か

ら,同

が 導 か れ る.N(x,y),N(x,y)は

理5.5.1の

証 明

対 して

様 に して

定 理6.2.2の

系1のⅱ)に

と な る.以

続 性 を もつ か ら, 

述 べ られ た 一 様 連

上 に よ り,ρ1と

ρ2が 同

値 な距 離 で あ る こ とが わ か る.   最 後 に,核 理6.2.2に Borel測

函 数N(x,y)に よ り,(6.1.7)で

NK(x,・)≦N(x,・)が 対 し て は,点

と きR＼(K0∪K)にお す る と(6.1.11)と

列{xn}⊂R′

μNが

∪Sの

上 の 任 意 の

成 立 す る;特

に 対 し て,R＼(K0∪K)に

にx∈K°

に測度

＼Kでxに

おいて

な ら ば 等 号 が 成 立 す る.任

意の

収 束 す る も の が 存 在 す る.こ

い てNK(xn,・)≦N(xn,・)が

成 立 す る か ら,n→

有 界 収 束 定 理 に よ りNK(x,・)≦N(x,・)を

に 含 ま れ るBorel測

上 の

号 が 成 立 す る.

よ り任 意 のx∈R′ 成 立 し,特

と,R′

お い て(μN)K≦

内 部 に 含 ま れ る な ら ば,等

  証 明   定 理6.1.6に

μ を 台 がK°

＼Kに

∪Sの

れ に つ い て 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′

度 μ に 対 し て,R′

μ の 台 がKの

x∈Sに

定 義 さ れ た ポ テ ン シ ャ ル μNが,R′

度 μ の 場 合 に 拡 張 さ れ る.こ

  定 理6.2.5  Borel測

関 す る ポ テ ン シ ャ ル の ひ とつ の 性 質 を 述 べ る.定

度 とす る と,初

の

∞ と

得 る.さ

め に 述 べ た 事 実 と(6.1.10),

て

(6.1.11)を

用 い て,任

意 のy∈R＼(K0∪K)に

対 し て 次 の 計 算 が で き る:

測 度 μ の台 に 条 件 を つ け な い 場 合 は,上 の 計 算 で μに 関 す るK° の上 の積 分 が R′∪Sの 上 の 積 分 とな り,不 等 式NK(x,y)≦N(x,y)に か ら2番

よ り,上 の 計算 の最 後

目の等 号 が 不 等 号 ≦ とな るか ら,(μN)K(y)≦(μN)(y)が

  今 後,Rの

任 意 の 部 分 集 合Eに

の 閉包,内 部 を それ ぞれEa,Eiと Rで 考え たEの

閉 包,内 部 は,今

記 号 の用 法 は,第3章

得 られ る.

対 し て,コ ン パ ク ト距離 空 間Rで 書 く.集 合E⊂Rに

対 し て,も

ま で通 りそ れ ぞ れE,E°

の場 合 と同様 で あ る.)

考 え たE との 多様 体

と書 く.(こ れ らの

  §6.3  全 調 和 函 数 と全 優 調 和 函数

  Martin境

界 の理 論 に お い て は,核

函 数 と正 の 測度 を用 い て積 分 表現 さ れ る

函 数 は 正値(優)調 和 函 数 で あ った が,倉持

境 界 の理 論 に お い て,同 様 な積 分 表

現 を もつ 函 数 の 特徴 づ け とし て,全(優)調

和 函 数 の概 念 を導 入す る.

  下 記 の 定 義 に お い て は,υ は常にR′

に お い て非 負 値 か つ 下 半 連 続 で あ って

恒 等 的 に ∞ で は な い 函数 を表 わ す とし,任 意 の正 則 コン パ ク ト集 合K⊂R′ 対 し て,υKは(6.1.8)で

定 義 され た 函数 とす る.こ の とき υKはR′にお

に いて

下半 連続 で あ る.   定 義 ⅰ) 任 意 の正 則 コンパ ク ト集合K⊂R′に

対 して,R′ 上 で υK≦υな る

とき,υ をR′ 上 の全 優 調 和 函 数(full superharmonic 函 数 と呼 ぶ;そ (full harmonic

function)ま

の よ うなυ が 更 にR′ で調 和 で あ る と き,R′ function)ま

 ⅱ )  υ がFSH函

た はFH函

上の全調和函数

数 と呼 ぶ.

数 で あ っ て,(Kn)°

⊃Kn+1(n≧1)か

満 た す 任 意 の 正 則 コン パ ク ト集 合 の 列{Kn}n≧1に  とな る と き,υ をR′ 上 のFSH0函 R′ で調 和 で あ る と き,R′ 上 のFH0函

た はFSH

つ 

を

対 してR′ の 各 点にお

数 と呼 ぶ;そ

数 と呼 ぶ.(K0は

いて

の よ うな υが 更 に

本 章 の 初 めに 固 定 し

た 正 則 コ ンパ ク ト集 合 で あ る.)   注 意1  FSH函

数 が 優 調和 で あ る こ とは上 の 定義 中 に 直接 は述 べ られ て い な

い が,実 は 優 調 和 で あ る(後 述 の補 助 定理6.3.1).   注 意2  FH0函 FSH0函

数 は ∂K0上 で境 界値0を

とる(後 述 の定 理6.3.2の

系2)が,

数 は ∂K0上 で 有限 な境 界値 を もつ こ とす ら保 証 され な い.後 述 の定 理

6.3.1を 使 えば,∂K0上

で 有 限 な 境 界値 を もた な いFSH0函

数の例を次 のよ う

に構 成 す る こ とが で き る.   二点x0∈ ∂K0,y0∈R′ を 固 定す る.{xn}n≧1をR′ で,ど の点xnもy0に

の 中 か らx0に 近 づ く点 列

一 致 し な い も の とす る.cn=N(xn,y0)と

と定 義 す る と,υ はR′

お き, 

で 恒 等 的 に ∞ で は な い(υ(y0)=1で

あ

る).各

点xnに

点 質 量(2ncn)-1を

ら,定

理6.3.1に

与 え た 測 度 を μ と す る と,υ=μNで

よ り υ はFSH0函

数 で あ る.一 方,定

理5.5.1の

あ るか

系3に

よ り

 とな る.す なわ ち υは 点x0∈ ∂K0で 有 限 な 境 界 値 を もた な い.   こ こ でFSH函

数,FH函

界 論 の §3.3に

お け る 函 数uΩ,uΓ

  補 助 定 理6.3.1    証 明  FSH函 な い.コン

数 等 の い くつ か の 性 質 を 述 べ,続

FSH函

等 に 対 応 す る 函 数 を 定 義 す る.

数 はR′

数 υ は,そ

い てMartin境

に お い て 優 調 和 で あ る.

の 定 義 に よ り,下

半 連 続 で あ って恒 等 的 に ∞ で は

パ ク トな 閉 包 Ω⊂R′ を も つ 任 意 の 正 則 領 域 Ω を と る と,Ω

て υ∂ Ω≦υ と な る;こ

の こ とか ら,υ

におい

が 優調 和 函 数 の 条 件 を 満 た す こ とが 容 易

に導か れ る.   補 助 定 理6.3.2 

R′ に お け るFSH函

数 の 列{υn}が

あ っ て,R′

の各点で

 が存 在 し,υ が 下半 連続 で あ って恒 等 的 に ∞ で は な い な らば,υ は R′ に お い てFSH函

数 で あ る.

  証 明   任 意 の 正 則 コン パ ク ト集 合K⊂R′ を(5.4.2)に

と 任 意 の 点x∈R′

述 べ た 測 度 とす る と,Lebesgue積

＼Kを

と り,μyK

分 論にお け るFatouの

補 題に

よ り

が 成 立 し,υ

がFSH函

  補 助 定 理6.3.3 

数 で あ る こ とが わ か る. R′ に お け るFSH0函

数 の 列{υn}が

あ っ て,R′

 が 存 在 して 下 半 連 続 で あ り,R′ でυ ≦uと な るFSH0函 す る な ら ば,υ

はR′ に お い てFSH0函

数uが

よ りFSH函

数 で あ る.{Kn}を

前 ペ ー ジ の 定 義 のⅱ)に

述 べ た よ うな コン パ ク ト集 合 列 と す る と,す

に 対 し てυ∂Kn≦u∂Knが

成 り立 ち,n→

っ て υ はFSH0函

  定 理6.3.1 

R′ ∪Sに

存在

数 で あ る.

  証 明   こ の 補 助 定 理 のυ は 補 助 定 理6.3.2に

な る.よ

の各点で

∞ の と きu∂Kn→0だ

べ て のn

か ら υ∂Kn→0と

数 で あ る. お け る 任 意 のBorel測

度 μ に 対 し て,そ

の ポ テン シ ャ

ル μNはFSH0函

数 で あ る.

 証 明  まず 函数 υ=μNの

下 半 連 続 性 を 示 す.任 意 の 点y0∈R′

を含 むR′ の 中 の 開集 合 の単 調 減 少 列{Ωn}で  る 集 合)な る も の を と る.測

と定 義 す る;{υn}はnに し,υ=υ∞+υ0と

つ い て 単 調 増 加 で υn≦υ だ か ら,極 函 数Nの

α<υ ∞(y0)(≦ ∞)に 対 し て υn(y0)>α

る.よ

か ら,y0の

っ てυ∞ はy0で

  次 に,任

す に は,前

下 半 連 続 と な る.任

あ り,υnはΩnの

あ る 近 傍 で υn>α

と な り,従

っ てυ はFSH函

に 対 し て,定

数 で あ る.υ

がFSH0函

び 任 意 の 点y0∈R′

 と し て よ い.測

定 理6.2.5に

内部 で 連 続 っ てυ∞>α

とな

よ っ て,

数 で あ る こ とを 示

定 義 のⅱ)に を 証 明 す る.こ

の 制 限 を μnと す る と,n→

対 し て(μn0N)(y0)<ε

べ て のnに

の 上 で は(μ-μn0)N=0で

理6.2.5に

を と っ て 固 定 し,{Kn}を

度 μ のKnへ

意 の ε>0に よ り,す

意 の

述 べ た 条 件 が 満 た さ れ る こ と を 示 せ ば よ い.

べ た よ うな コン パ ク ト集 合 の 列 と し て, 

と な る か ら,任

下半連続だか

下 半 連 続 で あ る.

の 定 義 のⅱ)に

  そ の た め,再

がy0で

な るnが

意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′

υK≦ υ と な る.よ

ら成

限 函 数 υ∞は 存 在

性 質 に よ り υ0は 点y0で

下 半 連 続 な こ と を 示 せば,υ

(∵ μn(Ωn)=0)だ

(一 点y0か

度 μ の(R′ ∪S)＼ Ωnへ の 制 限 を μnと し,

な る.核

ら,υ ∞ がy0で

を と り,y0

と な るn0が

対 し て(μn0N)∂Kn(y0)<ε

述 こで

∞ の とき

あ る.こ

と な る.一

あ る か ら 

の とき 方,∂K0 と な る.

だか ら

とな り,ε は 任 意 の正 数 だ か ら 

を 得 る.以

上 に よ りυ はFSH0

函 数 で あ る.   定 理6.3.2 

υ をFSH函

す る と,υKは

台 がKに

数 と し,KをR′

に 含 ま れ る 正 則 コ ン パ ク ト集 合 と

含 まれ る適 当 な 測 度 μ の ポ テン シ ャ ル μNに

等 し い.

  証 明   まず υKが 優 調 和 で あ る こ と を 証 明 す る.そ ン パ ク トな 閉 包 を も つ 任 意 の 領 域Wを

と り,函

れ に は,R′

数wがWで

υKを 満 た す な ら ばWに

に 含 まれ る コ 連 続 か つWで

調 湘 で あ っ て ∂Wの

上 でw≦

と を 示 せ ば よ い.(そ

の 他 の 優 調 和 函 数 の 条 件 は 明 ら か で あ る.)FSH函数υ

前 定 理 に よ りR′ で 優 調 和 だ か ら,υ-wはWで で υK≦ υ を 満 た す か ら,∂Wの い てw≦υ

と な る.従

にお い てw≦υKと

υK-wは りWに

っ てW∩Kに

な る.ま

か ら,∂[W∩(R′

上 で はw≦

＼K)]の

お い てw≦

μ で 台 がKに

υKと な る.一

＼K)に

お い てw≦

υKと な り,υKがR′

  そ こ で υKにRiesz分

υK≦ υが 成 り立 つ.だ

た ∂W∩(R′ ＼K)に

調 和 だ か ら,W∩(R′

υKと な る こ

優 調 和 で あ る.ま

お い て はw≦

上 でw≦

お い てw≦

た υはR′

か らWに

υKが 成 立 し,特 お い て はw≦

は

にW∩

お ∂K

υKが 成 り立 つ

方W∩(R′＼K)に

おいて

υKが 成 立 す る.以

上に よ

に お い て 優 調 和 な こ とが わ か っ た.

解 の 定 理6.1.9を

適 用 す る と,R′

含 ま れ る も の と調 和 函 数hが

存 在 し て,R′

に お け るBorel測

度

において

υK=μN+h が 成 立 す る.い 定 理6.1.4と

ま(K1)° ⊃Kな

定 理6.2.5に

る 正 則 コン パ ク ト集 合K1⊂R′

よ り, 

とな るか

が成 り立つ.一

ら,正則 写 像 の 性 質 に よ り  原 理(定 理1.4.9)に る 調 和 函 数hに に な り,h/ω =μN=0だ

つ い て,h/ω はR′

方,最 大 値

が成 り立 つ か ら,R′にお

よ り 

け

がR′ の 内 部 に あ る ∂K1の 上 で 最 大 値 を と る こ と

上 で 定 数 で あ る(定 理1.4.8).と

か らh=0と

を 一 つ と る と,

な る.だ

こ ろ が ∂K0の

か らR′ に お い てh≡0と

上 で は υK

な り,υK=μNが

得 ら れ る.   系1 

上 の 定 理 の υKはFSH0函

数 で あ る.

  こ の こ とは 上 の 二つ の 定 理 か ら 明 らか で あ る.   系2 υ

がFH0函

数 な ら ば,υ

  証 明   前 の 定 義 のⅱ)に のn≧2に Borel測

対 し て,υ

は ∂K0に

お い て境 界 値0を

と る.

述 べ た よ うな コン パ ク ト集 合 列{Kn}を

が 調 和 な こ と と上 の 定 理 に よ り,∂K1∪

度 μnが 存 在 し て,K1＼(Kn)°

において

∂Knに

と る.任

意

台 を もつ

υ=υ ∂K1∪∂Kn=μnN

が 成 立 す る.μ

の ∂K1,∂Knへ

ば,R＼Kn-1に

の 制 限 を そ れ ぞ れμ′n,μ″nとす る.n<mな

ら

お い ては

(最 初 の 等 号 は 定 理6.2.5に υ∂Kn-1→0,従

よ る).υ

はFH0函

数 で あ るか ら,n→

っ て 上 の 式 に よ り μ″nN→0と な る.υ=μ′nN+μ″nNだ

の と きK1＼K0に

お い て μ′nN→υ と な る.一

点y0∈K1＼K2を

∞

の とき

か ら,n→

∞

固 定 す る と き,

 と な る か ら,{μ′n(∂K1)}n≧1は 界 で あ る.だ

か ら,コ

ン パ ク ト集 合∂K1の

{μ′nv}が,v→ ∞ の と き ∂K1の K1＼K0の

上 でυ=μNと

  定 理6.3.3 

任 意 のFSH函

上 のFH函数uが

っ て∂K0の

数 υ に 対 し て,R′

存 在 し て,υ=μN+uが

  証 明   {Dn}を,閉

上 の 測 度 の 列{μ′n}の 適 当 な 部 分 列

上 の あ る 測 度 μ に 漠 収 束 す る.以

表 わ さ れ,従

包DnがR′

Borel測

上 に よ り υは

上 で 境 界 値0を

と る.

に お け るBorel測

成 立 す る.(Riesz分

度 μ とR′

解)

の 中 の コ ン パ ク ト集 合 で あ る よ うな 正 則 領 域

の 列 で,Dn⊂Dn+1(n=1,2,…), 

に お い てK上

を 満 た す も の と す る.定

で は υK=υ

な る こ とを 考 慮 す る と,各nに

度 μnが 存 在 し て,Dn上

有

で は υ=μnNと

理6.3.2

対 し てDnの

上 の

な る.こ の 測 度 μnのDn,∂Dn

へ の 制 限 を そ れ ぞ れμ′n,μ″nと す る と  (6.3.1) 

μn=μ′n+μ″n,従

と な る.更にm>nに

対 し て,測

っ てDn上

で

υ=μ′nN+μ″nN

度μ′mのDn,Dm＼Dnへ

μ′mn,μ″mnと す る と,μ′m=μ′mn+μ″mnで あ っ て,Dmの

の制限をそれぞれ 上で

  (6.3.2)

と な る.(6.3.1)と(6.3.2)をDn(n<m)の +μ″mNはDnに Riesz分

お い て 調 和 だ か ら,μ′nNとμ′mnNは

解 の ポ テ ン シ ャ ル 部 分 で あ る.従 っ てRiesz分

に よ りμ′nはμ′mのDnへ (n,m)に

上 で 考 え る と,μ″nNお

の制限 で あ る.こ

つ い て い え る か ら,R′

対 し てμ′nは μ のDnへ

共 に υ のDnに

の 制 限 に な っ て お り,R′

おけ る

解 の 一 意 性(定 理6.1.8)

の こ とがn<mな

に お け るBorel測

よ びμ″mnN

るす べ て の組

度 μ が 存 在 し て,各nに の 各 点 でμ′nNはnにつ

い て

単 調 に 増 加 し て μNに

収 束 す る.ま

た(6.3.1)と(6.3.2)のDnに

な 部 分 を 比 較 す る こ と に よ り,m>nな

と な る.従 数uに

っ てμ″nNはR′

収 束 す る.定

6.3.2に

の 各 点 でnに

理6.3.1に

よ りuはFSH函

Sの

をR′

で

関 し て 単 調 に 減 少 し て,あ

よ りμ″nNはFSH函

数,従

る こ と に よ り,υ=μN+uが   さ て,υ

らばDn上

っ てFH函

る調 和 函

数 で あ る か ら,補

数 で あ り,(6.3.1)でn→

助定理 ∞

とす

の 中 の 正 則 な 開 集 合 Ω,お

よび

得 ら れ る.

に お け るFSH函

数 と し,R′

閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,υ Ω,υΓ な る 函 数 を,以

義 す る.こ

おいて調和

の 手 順 は §3.3の2°),3°)とおお

下 の1°),2°)の

手順で定

む ね 平 行 に 進 め ら れ る.

  1°) R′ の 中 の 正 則 な 開 集 合 Ω に 対 し て H(Ω)={Ω と し,R′

に 含 ま れ る 正 則 コ ン パ ク ト集合 の 全 体}

に お け るFSH函

数 υ に 対 し て,R′

上 の 函 数υΩ を

 (6.3.3)

と定 義 す る.こ

の と き,

  (6.3.4) 

R′ に お い て0≦

  (6.3.5) 

υΩ≦ υ,特 に Ω の 上 で はυΩ=υ;

Ω1⊂Ω2な ら ばR′ に お い て υΩ1≦υΩ2; な ら ば,

 (6.3.6)

R′ に お い て{υKn}はnに

  (6.3.4)は Ω1⊂Ω2な

各K∈H(Ω)に

対 して

ら ばH(Ω1)⊂H(Ω2)な

ば,定

理6.1.4と(6.3.3)に

はnに

関 し て単 調 増 加 で 

る と,任

υK≦ υ な る こ と か ら 明 ら か.(6.3.5)は,

る こ と に よ る.(6.3.6)の よ り 

が成 立す る.任 意 の 点x∈R′

対 し て υKn(x)>α

と な るK∈H(Ω)が

  更に,次

の こ とが 成 り立 つ:

ら

を固定す

存 在 し,K⊂

と な る か ら, 

は υΩ(x)に 任 意 に 近 く とれ る か ら,上

が 得 ら れ る.

証 明:m>nな と な る か ら,{υKn}

意 の α<υ Ω(x)に 対 し て υK(x)>α

(Kn)° な る す べ て のnに す る.α

関 し て単 調 増 加 で

の 結 果 と合 わ せ て 

が成立

 (6.3.7) 

u,υ がFSH函

任 意 のFSH函  (6.3.8)

数 な ら ば(u+υ)Ω=uΩ+υΩ;

数 υに 対 して υΩはFSH函

特 に 

  (6.3.9) 

な らばυΩ はFSH0函

Ω1⊂ Ω2な

ら ば 任 意 のFSH函

  (6.3.7)は(6.3.6)か   (6.3.8)の

半 は(6.3.6)と

を 証 明 し よ う.Ω ∩K0=φ

Ω＼K0で

義 に よ り υ∂Fは ∂K0の

る.Ω1の

∩F=φ

だ か ら,任

っ て(6.3.3)に

に お い て0≦υKn 則写 像 の 定

上 で 境 界 値0を

よ りFSH函

数 だ か ら(υΩ1)Ω2が定 義 さ れ

意 のK∈H(Ω1)に

対 し てR′ 上 で(υΩ1)K=

よ り(υΩ1)Ω1=υΩ1を得 る.こ 方,任

れ と(6.3.5)に

意 のK∈H(Ω2)に

中 で 考え たSの

よ り(υΩ1)Ω2≦υΩ1がR′ で 成 立 す る.以

上に よ

任 意 の閉 部分 集合 Γ に対 し て

中 の 開集 合Δ で,  で あ っ て, がR′ の 中 の 正 則 開 集 合 とな る もの の全 体

に お け るFSH函

数 υ に 対 し て,R′

上 の 函 数 υΓ を

  (6.3.10)

と 定 義 す る.こ   (6.3.11)    (6.3.12) 

の と き 次 の(6.3.11∼15)が R′ に お い て0≦ Γ1⊂ Γ2な

成 立 す る: υΓ≦ υ;

ら ばR′ に お い てυ Γ1≦υΓ2;

が単調減少 で    (6.3.13)

はnに

関 し て単 調 減 少 で

な ら ば,R′

よ

対 して

成 り立 つ.

Rの

と し,R′

る 正則 コ ン

数 で あ る こ と が 導 か れ る.

(υΩ1)K≦υΩ1だ か ら,(6.3.3)に

  2°)  Rの

⊃K0な

と る か ら,υ Ω も ∂K0の

りR′ 上 で υΩ1=(υΩ1)Ω1≦(υ Ω1)Ω2とな る.一

り(6.3.9)が

か つF°

半

仮 定 を 満 た す コ ン パ ク ト集 合

よ り0≦υΩ ≦ υ∂Fが 成 立 す る.正

証 明. υΩ1は(6.3.8)に

中 で はυΩ1=υ

ら 直 ち に わ か る.後

は 調 和 で あ る か ら,F＼(K0)°

上 で 境 界 値0を

っ て υΩがFSH0函

υKと な り,従

補 助 定 理6.3.2か

とす る と,Ω

=(υKn)∂F≦ υ∂F,従 っ て(6.3.6)に

  (6.3.9)の

数 υ に 対 し て(υ Ω1)Ω2=υΩ1.

とれ る.{Kn}を(6.3.6)の

の 列 と す る と,υKnが

と り,従

数 で あ る;

ら 明 ら か で あ る.

証 明.前

パ ク ト集 合F⊂Rが

数 で あ る;

にお い て

 (6.3.14) 

υΓ はFH0函

 (6.3.15) 

u,υ

 (6.3.11)は

がFSH函

数 で あ る;

数 な ら ば(u+υ)Γ=uΓ+υ

Γ.

定 義 か ら 明 ら か;(6.3.12)はO(Γ1)⊃O(Γ2)か

(6.3.13)に

お い て,{υΔn∩R}が

単 調 減 少 な る こ と は,(6.3.5)か

な る こ と は,第3章

あ り, 

ら わ か る. ら 明 らか で

に お け る(3.3.15)(103ペ

ー ジ)の 証

明 と 全 く同 じ 方 法 で 示 さ れ る.   (6.3.14)の

証 明.(6.3.13)に

数 で あ り,特にR′ 数 で あ り,し

お い て Ωn=Δn∩Rと

＼ Ωnで は 調 和 だ か ら,υΓ は 補 助 定 理6.3.3に

か もR′ で 調 和,す

な わ ちFH0函

  (6.3.15)は(6.3.7)と(6.3.13)か   定 理6.3.4 

お く と,υΩnはFSH0函

任 意 のFH0函

  証 明   {Dn}をRの

よ りFSH0函

数 で あ る.

ら 直 ち に わ か る. 数 υ に 対 し て,R′

上 で υS=υ が 成 立 す る.

中 に コ ン パ ク トな 閉 包Dnを

も つ 正則 領 域 の 列 で あ っ て

 な る も の と し,Δn=R＼Dn,Ωn=Δn∩ R,Kn=Dn+2＼Dn+1と

お く.こ

の と き 各nに

R′ で υKn≦ υΩn≦υが 成 立 す る.一 ま た 定 理6.3.2の

系2に

方,∂Dn+1(⊂

よ り ∂K0の

対 し てKn∈H(Ωn)で

あ る か ら,

∂Kn)の 上 で は υKn=υ で あ り,

上 で は υ=0=υKnで

あ っ て,υ

と υKnは

D′n+1で は と も に 調 和 で あ る か ら,D′n+1に お い て υKn=υ が 成 立 す る.だ の 結 果 と合 わ せ て,D′n+1に

に お い て Γ=Sと 成 立 し,従

と な る.ま

た 上 の{Δn}は(6.3.13)

した 場 合 の 仮 定 を 満 た す か ら,R′ に お い て 

っ てυS=υ

  次 の 補 助 定 理6.3.4お が,上

お い てυΩn=υ

か ら上

が 成 立 す る. よ び 補 助 定 理6.3.5は

に 定 義 し た υΓ の 性 質 と し て,こ

  補 助 定 理6.3.4 ⅰ) 

が

定 理5.3.1の

 ⅱ)  R′ 上 の 任 意 のFSH函

後 の §6.5で 用 い る 事 柄 で あ る

の §で 証 明 し て お く.

函 数 ω はR′ 上 のFH函

数 υ とSの

数 で あ る.

任 意 の 閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,R′

に

お い て(υ Γ)Γ ≦ υΓ が 成 り立 つ.  ⅲ) 

特 にⅱ)で

υ がFH函

数 で あ っ て,Γ

に 対 し て ωΓ≡0と な る な ら ば,

R′ に お い て(υ Γ)Γ=υΓが 成 り立 つ.   証 明  ⅰ)  ω はR上

で 正 の 値 を と る 調 和 函 数 で,任

意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合

K⊂R′

に 対 し て(6.1.13)に

よ りR′ の 上 で ωK≦ ω を 満 た す か ら,R′

上 のFH

函 数 で あ る.  ⅱ)  υΓはFH函

数 で あ る か ら,(6.3.11)に

 ⅲ) の 証 明 を 次 の3段   [第1段]  K1＼Kな

階 に 分 け る.

K,K1,K2がR′

の 中 の 正 則 コン パ ク ト集 合 で あ っ て,K2⊂

る も の と し,ま

R′＼(K∪K2)に

よ りR′ で(υΓ)Γ≦ υΓ と な る.

た 

と お く.こ

のとき

おい て

 (6.3.16)

と な る こ と を 示 す.上

の 式 の 左 辺 の 函 数 をwと

連続 だ か ら,(υK1-υK2)Kが 定 義 さ れ る.∂Kの らw￨∂K>0と

は

な る.ま

た,正

に ∂K2の

＼Kに

よ りR′ ＼(K∪K2)に

上 に よ りw￨∂K∪ ∂K2≧0が

KをR′

わ か った か

な る.と

ころ

おいて

お い てw≧0;す

な わ ち(6.3.16)が

成 立 す る.

の 中 の 正則 コ ン パ ク ト集 合 と し,Ω1,Ω2はR′

正則 開 集 合 で Ω2⊂Ω1＼Kな R′＼(K∪

お い てwK∪K2≧0と

た ∂K2で

数 だ か ら(υK1)K∪K2≦ υK1と な る こ とに よ る).以

上 に よ りR′ ＼(K∪K2)に   [第2段] 

か

おいて

と な る.ま

か ら,w￨∂K2≧0.以

(最 後 の ≦ は,υK1がFSH関

っ て ま たwKが

あ りMKωK2>0だ

上 で は 

則 写 像 の 性 質 に よ りR′ ＼(K∪K2)に

が(6.1.12)に

で

則 写 像 の 性 質 に よ りR′ 上 で υ≧υK1≧ υK2≧0,

υ だ か ら,R′

υK1=υK2(=υ)だ

ら,正

で 連 続 で あ り,従

上 で は(υK1-υK2)K=υK1-υK2で

従 っ て0≦υK1-υK2≦

と な り,特

定 義 さ れ てR′

書 く;υK1,υK2,ωK2はR′

る も の と し て,MKを

第1段

の中の

の よ うに 定 義 す る と,

Ω2)に お い て

 (6.3.17)

と な る こ と を 示 す.Ω1,Ω2に

対 し て(6.3.6)を

⊂H(Ω1),{K2n}⊂H(Ω2)を

と る と,任

満 た す コ ン パ ク ト集 合 列{K1m}

意 のnを

与 え た と き 

((6.3.6)を な る.こ

見 よ)と

な る か ら,十

の と き三 つ 組K,K1m,K2nは

た す か ら,(6.3.16)に

分 大 な るmを

第1段

よ りR′ ＼(K∪

とれ ばK2n⊂K1mと

のK,K1,K2に

対 す る仮 定 を満

Ω2)に お い て

 (6.3.18)

が 成 り立 つ.こ

こ で ま ずm→

∞ と し て か らn→

υK1m→ υΩ1,υK2n→ υΩ2(単 調 収 束)だ コ ン パ ク ト集 合Kの

上 で 一 様 で あ る.だ

υΩ2)Kに 各 点 収 束 し,従

 [第3段] 

っ てR′ ＼(K∪

ωΓ ≡0と な る よ う なSの

 (6.3.19) 

証 明 で あ る.任

の 開 集 合Δ ∈O(Γ)を る;こ

R′＼(K∪

の ときそ れ ぞ れ

定 理 に よ りこれ ら の収 束 は

か ら(6.3.18)の

左 辺 の 函 数 は(υΩ1-

Ω2)に お い て(6.3.17)が

成 立 す る.

閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,R′

上 で

結 果 と合 わ せ て(υΓ)Γ=υΓ が 得 ら れ る.以

意 の 正 則 コン パ ク ト集 合K⊂R′ と り,更

に(6.3.13)の

の と き Δn⊂Δ＼K(n=1,2,…)な

Ωn=Δn∩Rと

とす る;こ

(υΓ)Γ ≧ υΓ

と な る こ と を 示 せ ば,ⅱ)の 3.19)の

か ら,Diniの

∞

お く と,Ωn⊂

と,Rに

下 は(6.

お け る任 意

仮 定 を 満 た す 開 集 合 列{Δn}を

る よ う に と る こ と が で き る.Ω=Δ

Ω＼K(n=1,2,…)と

な る か ら,第2段

と ∩R,

に よ り

Ωn)の 上 で

 (6.3.20)

が 成 り立 つ.こ Kの

こ でn→

上 で 一様 で あ り,従

っ て ωΩn→ωΓ≡0と

∞ とす る と υΩn→υΓ(単 調 収 束)だ

か ら,こ

っ て(υΩ-υ Ωn)K→(υΩ-υΓ)Kと な る.一

な る か ら,(6.3.20)か

らR′ ＼Kの

上 で

方,仮

の収束は 定に よ

  (6.3.21) 

(υΩ-υ

を 得 る.こ

の 不 等 式 はKの

る.従

て(6.3.9)に

数 で あ る こ とを 示 し て い の左辺におい の

対 し て(υΓ)Δ∩R≧uΓ な る こ と を 示 し て お り,こ

こ

の 不 等 式 の 左 辺 で Δ∈O(Γ)に

対 す る下 限 を

得 られ る.

  補 助 定 理6.3.5 

υ がR′

上 のFSH函

数,Γ1,Γ2がSの

閉部分集合な ら

上 で υΓ1∪ Γ2≦υΓ1+υ Γ2が 成 り立 つ.

  証 明   ま ずK1,K2,K3がR′ な ら ば,R′

の 中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 でK3⊂(K1∪K2)°

上 で υK3≦υK1+υK2と

K1の

な る こ と を 示 す.

上 で は 

か つ 

だか ら

K2の 上 で は 

か つ 

だか ら

K3⊂(K1∪K2)° υK2はR′

な る 仮 定 に よ り υK3はR′ ＼(K1∪K2)°

で 下 半 連 続 で あ る か ら,υK1+υK2-υK3はR′

続 で あ る.だ

か ら 上 に 述 べ た 不 等 式 に よ り,K1∪K2を

中 で υK1+υK2-υK3>0と が 存 在 し,こ

のKの

な る.K1∪K2⊂K⊂

上 でυK1+υK2>υK3が

よ りR′ に お い て(υK1+υK2)K≧(υK3)Kが い て は(6.1.12)に

と な る か ら,R′

で 連 続 で あ り,υK1と ＼(K1∪K2)°

で下 半 連

含む適当な開集合 Ω の

Ω な る 正 則 コ ン パ ク ト集 合K 成 り立 つ か ら,正

成 り立 つ.従

則 写 像 の性 質 に

っ て また,R′

＼Kに

お

よ り

に お い て υK3≦ υK1+υK2が

  次 に,Ω1,Ω2,Ω3がR′

成 り立 つ.

の 中 の 正 則 開 集 合 で あ っ て Ω3⊂ Ω1∪ Ω2な ら ば,R′

上 で υΩ3≦υΩ1+υΩ2と な る こ と を 示 す.こ K(Ω3)に

の中 の 任 意 の正 則 コン パ ク ト

の 式 か ら(υ Γ)Ω ≧υΓを 得 る.こ

数 で あ る か ら,上

とれ ば(6.3.19)が

た υΩ-υΓ がR′ 上 で

よ り(υ Ω-υ Γ)Ω ≦ υΩ-υΓ が 成 立 す る.こ

意 の Δ∈O(Γ)に

で υΓ はFH函

Γ

上 のFSH函

よ り(υΩ)Ω=υΩで あ る か ら,上

結 果 は,任

ば,R′

こ でKはR′

の 結 果 は υΩ-υΓ がR′

っ て(6.3.4)に

υΩ-υ

上 で は 等 式 と し て 成 立 し,ま

下 半 連 続 な こ と は 明 ら か で あ る.こ 集 合 だ か ら,上

Γ)K≦

対 し て,K3⊂(K1∪K2)°

存 在 す る こ とは 容 易 に 示 さ れ る.だ

の 仮 定 の も と で は,任

意 のK3∈

と な る よ う なK1∈K(Ω1)とK2∈K(Ω2)が か ら上 に 示 し た こ とに よ り

と な り,こ   さ て,Sの る と, 

の 左 端 辺 のK3∈H(Ω3)に

関 す る 上 限 を とれ ば 所 要 の 不 等 式 を 得 る.

閉 部 分 集 合 Γ1,Γ2に 対 し て,任 な るRの

の 中 の 正 則 開 集 合 と な る も の が あ る.こ

か ら,上

中 の 開 集 合 Δ3で,Δ3∩R′

の と き Δ3∈O(Γ1∪ Γ2)で

 と な る か ら,上

こ こ で Δ1,Δ2は そ れ ぞ れO(Γ1),O(Γ2)の

意 の Δ1∈O(Γ1),Δ2∈O(Γ2)を

と がR′

あ り,か

つ

に 示 し たこ とに よ り

中 か ら互 い に 無 関 係 に 任 意 に 選 べ る

の 式 の 右 端 辺 各 項 の 下 限 を と れ ば υΓ1∪ υΓ2≦υΓ1+υ Γ2を 得 る.

  §6.4  FH0函

数 とFSH0函

数の積分表現

  ま ず 前 §の 結 果 か ら次 の 定 理 が 証 明 さ れ る.   定 理6.4.1 ⅰ)  Borel測

R′ 上 の 函 数uがFH0函

度 μ の ポ テ ン シ ャル μNと

 ⅱ)  R′ 上 の 函 数 υ がFSH0函 度 μ の ポ テ ン シ ャ ル μNと   証 明  ⅰ) uをFH0函

一方

系2)な

,定

成 り立 つ.だ (5.5.19) 

し て 表 わ さ れ る こ と と 同 等 で あ る.

数 で あ る こ と は,υ

数 と し,{Dn}を

よ り ∂Dnの

か ら,D′nに

上 のBorel測

お い てu=μnNと

の 適 当 な 部 分 列 はRの

任 意 のy∈R′

表 わ さ れ る な ら ば,定

FSH0函

存 在 し て υ=μ0N+uと 数 だ か ら,uはFH0函

測 度 μ1が 存 在 し てu=μ1Nと

に 対 し てxに

か ら μ ついて

お い て上 に述 べ た 部分 列 に 関 す

理6.3.1に

の 解 な る こ と が 示 さ れ る か ら,uはFH0函

函 数uが

成 り立 つ.だ

な る こ と が わ か る.

用 い てuがA*u=0の

数 な ら ば,定

こ

の測度の列であ る

っ て μ(R＼R)=0が

に お い てu=μNと

た 定 理6.2.2を

 ⅱ)  υ がFSH0函

性 質

度 μ に 漠 収 束 す る.と

コ ン パ ク ト集 合R＼Dn上

度 で あ る.N(x,y)は

る 極 限 を と れ ば,R′

あ り,ま

函 数Nの

上 の 一 様 有 界 な 測 度 の 列 で あ る.

お い て 連 続 で あ る か ら,u=μnNに

  逆 にu=μNと

っ て,核

上 の あ るBorel測

対 し て{μk}k>nは

上 のBorel測

R＼{y}に

な る.

度 μnが 存 在 し てu∂Dn=μnNが な る.従

コ ン パ ク ト空 間Rの

か ら,μ(R＼Dn)=0(n=1,2,…),従 はSの

お い て はu=u∂Dnと

理

この式 の左辺はnに 無 関係な有 限

値 で あ る か ら,{μn}は

ろ が 任 意 のnに

証 明 中 に用 い た

お い て 調 和 でu￨∂K0=0(定

定 義 に よ り,D′nに

に よ り 

従 っ て,そ

がR′ ∪Sの 上 のBorel測

前 § の 定 理6.3.4の

対 し て,uがD′nに

る こ と とu∂Dnの

理6.3.2に

上 の

し て 表 わ さ れ る こ と と 同 等 で あ る.

正 則 領 域 の 列 と す る.各nに 6.3.2の

数 で あ る こ と は,uがSの

理6.3.3に な り,こ 数 と な る.だ

よ っ てuはFSH0函

弱 い 解(§1.4参

数で

照),従

って 真

数 で あ る. よ りR′ 上 のBorel測 の と き μ0Nは

定 理6.3.1に

か ら 上 のⅰ)に よ りSの

な る か ら,μ=μ0+μ1と

度 μ0とFH よ り

上 のBorel

す れ ば υ=μNを

得 る.

  逆 は 定 理6.3.1そ

の も の で あ る.

  補 助 定 理6.4.1 

υ をR′ 上 のFSH函

Ω ∩K0=φ

な る も の とす る と,台

R′ に お い て υΩ=μNが

数 と し,Ω

よ り,各nに

に お い てυKn=μnNが

よ うな コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}を

対 し てKnの 成 立 す る.従

上 のBorel測 っ て,核

 と な る.K0⊂K° Kを

ひ とつ 固 定 す る と,∂K0の

υ∂Kで あ っ てK° ＼K0で υ∂Kと な り,従

っ て ∂K0上

性 質(5.5.19)に

υ∂Kも 調 和 だ か ら,K°

度 μ に 漠 収 束 す る.今

っ て,そ

と し,更

度 μnの(Kn)°

にν の(Kn)°,Ω

書 き,対

任 意 のy∈R′

に つ い て Ωaに お い て 連 続 で あ る か ら,υKn=μnNに よ りR′ ＼ Ω に お い て υΩ=μNが

コ ン パ ク ト集 合 Ωa

の 適 当 な 部 分 列 が Ωaの 上 の あ

後 こ の 部 分 列 を{μn}と

書 く こ とに す る.N(x,y)は

と な る こ と を 示 す.測

お い て υKn≦

を得 る.だ か ら上 の結 果 と合 わ せ

で 

の 上 の 一様有 界 な 測 度 の 列 で あ る.従

(6.3.6)に

上 で υKn≦ υ=

＼K0に

と な り,{μn}は

の 部 分 列 を{Kn}と

より

Ω な る正 則 コ ン パ ク ト集 合

上 で は υKn=υ ∂Kで あ り,∂Kの

は υKnも

と る.

度 μnが 存 在 し て,R′

函 数Nの

⊂K⊂R＼

て 

るBorel測

μが 存在 し て

成 立 す る.

  証 明   開 集 合 Ω に 対 し て(6.3.6)の 定 理6.3.2に

をR′ の 中 の 正則 開 集 合 で,

が Ωaに 含 ま れ るBorel測度

応 す る{Kn}

＼ Ω に 対 し てx

お い てn→

∞

とす る と

得 られ る.次 に Ω に お い て υΩ=μN

へ の 制 限,μ の Ω へ の 制 限 を そ れ ぞ れνn,ν

＼(Kn)° へ の 制 限 を そ れ ぞ れν′n,ν″nと す る.こ

の とき

  (Kn)° に お い て  Ω に お い て が 成 立 す るか ら,νnNとν′nNは ン シ ャ ル 部 分 で あ る.だ てνn≦ν(Ω る か ら,測

と も に(Kn)°

か らRiesz分

上 の 測 度 と 考え て).同 度νnはnに

に お け る υ のRiesz分

解 の 一 意 性 に よ りνn=ν′nと な り,従 様 に し てn1
ら ばνn1≦νn2が

関 し て 単 調 に 増 加 し てν に 漠 収 束 す る.従

は μ-ν に 漠 収 束 す る.だ

解 の

か ら Ω において

ポテ っ

示 され

っ て μn-νn

が 成 立 す る.以

上 に よ り Ω ∪(R′＼ Ω)に お い て υΩ=μNな

Ω は 正 則 開 集 合 で あ る か ら,R′ 除 き υΩ=μNが μNは

る こ と が 示 され た.

に お け る 体 積 要 素 に 関 す る 零 集 合 ∂Ω の 上 を

成 立 す る.(6.3.8),定

優 調 和 函 数 で あ る か ら,定

理6.3.1と

理2.1.6に

補 助 定 理6.3.1に

よ り υΩ,

よ りR′ の 上 い た る 所 υΩ=μNが

成 立 す る.   §6.1で 述 べ た よ うに,任 考 え た と き,正 NK(x,y)と

意 のx∈Rを

固 定 し てN(x,y)をy∈R′

則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′

の函 数 と

に 対 し て,〔N(x,・)〕K(y)の

書 く.正 則 開 集 合 Ω ⊂R′ お よ び 閉 集 合 Γ ⊂Sに

か ら υΩ,υΓ を 定 義 し た の と 同 様 に し てNΩ(x,y),NΓ(x,y)を

こ とを

対 し て,前

§で υK

定 義 す る.こ

の

と き 次 の こ と が い え る.   補 助 定 理6.4.2  のBorel測

Ω をR′

の 中 の 正 則 開 集 合 と す る と,R′

度 μ に 対 し て,R′

に お い て(μN)Ω=μNΩ

  証 明   任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合Kに y∈R′ ＼Kな

Kと り,ま

た 各 点x∈R′

お け るKnを ∪S,y∈R′

近 づ くか ら,R′

に お い て(μN)Ω=μNΩ

て,台

 (6.4.2)

が 成 立 す る.

∞

よ り,

とす る と,(μN)Kn→(μN)Ω

＼ Ω に 対 し てNKn(x,y)はnに ＼ Ω に お い て μNKn→

が 成 立 す る.一

R′ 上 の 任 意 のFSH函

が Γ に 含 ま れ るBorel測

 (6.4.1) 

が 成 立 す る.

対 し て(6.1.10),(6.1.11)に

と りn→

で あ る か ら,R′   定 理6.4.2 

お け る任 意

らば

し て(6.3.6)に

加 でNΩ(x,y)に

∪Sに

方y∈

関 して 単 調 増 μNΩ と な り,R′ ＼ Ω

Ω な ら ば 明 ら か に 

で(μN)Ω=μNΩ 数 υ と,Sの

度 μが 存 在 し て

R′ に お い て

とな

が 成 立 す る. 任意の閉部分集合 Γ に対 し

  証 明   Γ に 対 し て(6.3.13)に Δn∩Rと

す る.こ

理6.4.1に

の と き 各nに

よ り,台

υΩn=μnNが

お け る 開 集 合 列{Δn}⊂O(Γ)を 対 し てΩn∩K0=φ

が Ωanに 含 まれ るBorel測

成 立 し,補

助 定 理6.4.1の

か ら{μn}の

理6.2.1の

  定 理6.4.3 

Γ をSの

度 μ に対 し て,R′

お い てn→

⊂K

∞ と す る と,

関 す る 連 続 性 に よ っ て(6.4.1)を よ り(6.4.2)を

閉 部 分 集 合 と す る と,R′ ∪Sに

に お い て(μN)Γ=μNΓ

補 助 定 理6.4.2に

得 る.

得 る. お け る 任 意 のBorel測

が 成 立 す る.

  証 明   前 定 理 の 証 明 中 と同 じ 開 集 合 列{Δn}⊂O(Γ)を く と,(6.3.13)と

におい て

とな

の 部 分 列 に つ い て υΩn=μnNに

系2に

助定

に 台 が含 まれ るあ るBorel測

(6.3.13)とN(x,y)のx(∈R＼{y})に 従 っ て,定

度μnが 存 在 し て,R′

対 して 

適 当 な 部 分 列 が, 

度 μ に 漠 収 束 す る.こ

と し て よ い か ら,補

証 明 か ら わ か る よ う に,K0⊂K°

⊂R＼ Ω な る正 則 コ ンパ ク ト集 合Kに る.だ

と り,Ωn=

よ り,R′

と り Ωn=Δn∩Rと

お

に お い て 

が 成 立 す る.   定 理6.4.1のⅰ)は,R′

上 の 任 意 のFH0函

と表 わ され,逆

度 μ を用 い て  数uはFH0函 Γ=Sと

数 で あ る こ と を 述 べ て い る.定 し た 場 合 も,FH0函

現 の 概 念 を 導 入 し,そ

数uがSの

上 の 適 当 なBorel測

に この形 に 表 わ され る函

理6.4.2で

υ をFH0函

数 の 同 じ積 分 表 現 を 与 え る.後

の 存 在 と一 意 性 を 証 明 す る.

数 と し,

に §6.6で 標 準 表

 §6.5  理 想境 界 上 の 点 の 分 類

  R′上 の区 分 的 に 滑 らか な 函 数 υで,条 件  (6.5.1)

を 満 た す も の 全 体 をDと

書 く こ と に す る.υ ∈Dな

理5.3.2参

意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′

照)に よ り,任

定 義 し た υKもDに   υ がDに

則 写 像 の 性 質(定 に 対 し て,§6.1で

属 す る.

属 す る 函 数 で ∂K0ま

と し,KをR′

ら ば,正

で 込 め て 連 続 で あ っ て υ￨∂K0=0を

の 中 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合 と す る.こ

満 たす もの

の と き 定 理1.5.1に

おい

とお くこ とが で き るか ら

て Φ=b-〓p, 

 (6.5.2)

ま た 正 則 写 像 の 性 質 と,K上

で は υK=υ

な る こ とに よ り

 (6.5.3)

(6.5.2),(6.5.3)に

と な り,こ

よ っ て

の不 等 式 か ら

従 って  (6.5.4)

を 得 る.(以

上 の 手 順 は 定 理5.3.2の

証 明 の 冒 頭 の 部 分 と全 く 同 じ で あ る.)

  補 助 定 理6.5.1  合 で Ω ∩K0=φ

υ をDに

属 す るFSH函

な る も の とす る.こ

 ⅰ) υΩ(§6.3参

照)はDに

数 と し,Ω

をR′

の中の正則開集

の と き,

属 す るFSH0函

数 で あ る;

 ⅱ)  適 当 な コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}⊂K(Ω)(§6.3参

照)を

とれ ば

 (6.5.5)

  証 明   まず 初 め に,こ

の 補 助 定 理 を υ が ∂K0上

す と し て 証 明 す れ ば よ い こ と を 示 す.Ω

∩K0=φ

トな 閉 包 を も つ 正 則 開 集 合 Ω0で,Ω0∩

と定 義 す る と,υ がFSH函

Ω0で はuK≦uと

て,∂ Ω0でuK≦

な る.K上

り,uはFSH函 だ か ら,任

に 対 し て,R′

な る.ま

υK≦ υ=u,∂K0∪

い てuK≦uと

か ら,結

Ω と な る.だ

つ υ￨∂K0=0だ

局R′ に お い てuK≦uと

な

こ ろ が,Ω

って Ω に つ い て も

か ら(6.5.4)に

中 の 有 界 集 合 で あ る.だ

か ら,

は あ る函 数 Φ∈L2ω(R′)に 弱収 束 す る;

 (

 (6.5.7) 

す る.

よ りR′ 上 の ベ ク トル 値 函 数 の 族

す なわち

.3.4),(6.3.6)と(6.5.1)に

に お い てu=υ

っ て 初 め か ら υ￨∂K0=0と

そ の 中 の適 当 な 函数 列 

― 方(6

調和 であ っ

対 し て 上 の 補 助 定 理 を 証明 す れ ば,υ

  はHilbert空間L2ω(R′)の

  (6.5.6)

っ

お

対 し てR′ の 上 でuK=υK,従

に 対 し て 同 じ 結 果 を 得 た こ と に な る.よ  ⅰ) υ∈Dか

か ら任 意 の

か ら,Ω0＼(K0∪K)に

満 た す.と

が らuに

数uを

υK≦ υ と な り,従

はuKもuも

∂KでuK=uだ

で はuK=uだ

意 のK∈K(Ω)に

υ と な る.だ

に お い てuK≦

満 た

含 み コ ンパ ク

な る も の が と れ る.函

た Ω0＼(K0∪K)で

数 で あ っ てu￨∂K0=0を

R′ の 上 でuΩ=υ

だ か ら,K0を

数 で あ る か らR′ 上 でu≦

正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′ てR＼

Ω=φ

で 境 界 条 件 υ￨∂K0=0を

w-limはHilbert空

間

L2ω(R′)に お け る 弱 収 束) よ

り

R′ で 有 界 収 束.

だ か ら,任

意 のΨ ∈C10(R′)に 対 し て

Ω は 正 則 開 集 合 で あ っ て Ω 上 で は υΩ=υ,R′ ＼ Ω で は υΩは 調 和 で あ る か ら,

υΩは 区 分 的 に 滑 らか とな り,上 の式 で最 後 の 

は 意 味 を も つ.C10(R′)は

L2ω(R′)の中 で 稠 密 で あ るか ら,上 の式 か ら  り,(6.5.7)と

合 わ せ て υΩ∈Dが

な る こ とがわ か

い え る.υ Ω がFSH0函

数 な る こ と は(6.3.8)

で 述 べ た.  ⅱ )  まず,K⊂K1⊂R′

な る 正 則 コ ン パ ク ト集 合K,K1に

対 して

 (6.5.8)

な る こ と を 示 す.υ ∈Dな で 置 き 換 え る;こ っ て(6.5.8)が

ら ば υK1∈Dで

の と き,K1上

得 ら れ る.次

あ る か ら,(6.5.3)に

で は υK1=υ だ か ら,R′ に,{Kn}をⅰ)の

上 で(υK1)K=υKと

Φは 

で あ る か ら,

(L2ω(R′)にお け る弱 収 束)

 (6.5.9) 

が 成 立 す る.こ

の と き(6.5.7)も

な る こ とに よ り  (6.5.10)

(6.5.9)と(6.5.10)に

よ り

 (6.5.11)

方(6.5.3)に

よ っ て

な

証 明 中 に 述 べ た コ ン パ ク ト集 合

列 とす る と,そ の 証 明 か ら わ か る よ う に(6.5.6)の

を 得 る.一

お い て υ を υK1

成 立 す る か ら, 

(定 理6.1.1)

と な る.こ

こ でn→

∞

辺 は(6.5.9)と(6.5.10)に

とす る と き,左

は(6.5.11)に

よ り,右

端

よ り,い ず れ も 極 限 値 が 存 在 す る か ら,左 端 辺 の 第

1項 に つ い て も  だ か ら(6.5.8)に

端 辺 の 第2項

が 存 在 す る.次 お い てK,K1を

にn<mと

そ れ ぞ れKn,Kmと

す る と,Kn⊂Km す る こ と が で き る.従

って

こ こ でm>n→

∞

と す る と,第2項

と 第4項

は と も に(6.5.11)の

右 辺 に 収束

す るか ら  (6.5.12)

を 得 る.こ

の 事 実 と,恒

等式

とか ら  (6.5.5)が

と な る か ら,こ

の 結 果 と(6.5.9)と

か ら

得 ら れ る.

 系   上の補 助 定理 と同 じ仮 定 の も とで   (6.5.13)

更 に Ω1もR′

の 中 の 正 則 開 集 合 で Ω ⊂ Ω1,Ω1∩K0=φ

ならば

 (6.5.14)

  証 明  (6.5.4)のKと す る と,(6.5.5)に Knの

し て 上 の 補 助 定 理 のⅱ)の よ うなKnを よ っ て(6.5.13)が

上 で は υΩ1=υ,従

理 のⅰ)に す る と,上

よ り(6.5.3)の

得 られ る.ま

っ てR′ 上 で(υΩ1)Kn=υKnと

∞ と

た,Kn⊂

Ω ⊂Ω1だ か ら,

な る.一

方,上

υを υΩ1と す る こ と が で き る.そ

に 述 べ た こ とに よ り

と り,n→

の補 助 定

の 式 でKをKnと

こ こ でn→

∞

と す る と(6.5.5),(6.5.7)に

  補 助 定 理6.5.2  る.こ

υ をDに

よ り(6.5.14)を

属 す るFSH函

数 と し,Γ

得 る.

をSの

閉 部 分 集 合 とす

のとき

 ⅰ)  υΓ(§6.3参 )  Rの

照)はDに

属 す るFH0函

数 で あ る; ⅱ

中 の 適 当 な 開 集 合 列{Δn}⊂O(Γ)(§6.3参

照)を

とれ ば

 (6.5.15)

  証 明 は 補 助 定 理6.5.1と よ う な{Δn}と

全 く 同 様 に 行 な わ れ る.ま

し てΔ1a∩K0=φ

な る も の を と れ る か ら,補

明 の 最 初 に 注 意 し た こ と は,今 よ び(6.5.8)の

(6.5.14)を

用 い る こ と に し て,補 助 定 理6.5.1の

成 り立 つ

助 定 理6.5.1の

回 も そ の ま ま 適 用 さ れ る.あ

(6.5.4)お

よび

証明 中 の υKn,υ Ω を そ れ ぞ れ

の ま ま 補 助 定 理6.5

と きKm⊃Kn,Δm⊂Δnと

証

と は(6.3.6),

か わ り に そ れ ぞ れ(6.3.13),(6.5.13)お

υΔn∩R,υΓ と 書 き 直 せ ば,そ m>nの

ず(6.3.13)が

.2の

証 明 に な る.(な

い う包 含 関 係 の 違 い は,(6.5.12)に

る式 の 証 明 や そ の あ た り の 推 論 に は 影 響 し な い;念

お,

対応 す

の た め 注 意 し た.)

  系   上 の補 助 定 理 と 同 じ仮 定 の も とで  (6.5.16)

  証 明   (6.5.13)の

Ω と し て 上 の 補 助 定 理 のⅱ)に お け るΔn∩Rを

と す れ ば,(6.5.15)に   υ がDに 集 合,Γ

よ っ て(6.5.16)を

属 す るFSH函 がSの

で あ っ て,R′

得 る. がΩ

閉 部 分 集 合 な ら ば,§6.3で に お い て0≦

13),(6.5.16)に

∩K0=φ

な るR′

助 定 理6.5.1の

属 す る.Ω1を Ω を Ω1と し,υ

の と き 補 助 定 理6.5.1の

の 中 の正 則 開

述 べ た よ うに υΩ,υ Γ はFSH0函

υΩ≦ υ,0≦ υΓ≦ υ が 成 り立 つ.こ

よ り υΩ,υΓ もDに

開 集 合 と し て,補 を 考 え る.こ

数 で あ り,Ω

と りn→ ∞

の こ と と(6.5.

上 の Ω と同 じ条 件 を 満 た す を υΩ ま た は υΓ と し た 場 合

証 明 か ら わ か る よ う に,υ=υΩ

ⅱ)の よ う に 選 ん だ コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}⊂H(Ω1)の

数

の 場合 に

更 に 部 分 列 を と っ て υ=

υΓの 場 合 の(6.5.5)が ⊂H(Ω1)を

成 り立 つ よ うに で き る か ら,結 局υΩ と υΓに 共 通 の{Kn}

と る こ と が で き る.以

  補 助 定 理6.5.3 

υ お よ び Γ を 補 助 定 理6.5.2の

い て(υ Γ)Γ=υΓ が 成 り立 つ.従   証 明   Ω,Ω1をR′ の と す る.こ ⊂H(Ω1)を

っ て 特 に,R′

選 ぶ と,(6.5.5)が

に お

で(ωΓ)Γ=ωΓ が 成 り立 つ.

の と き 上 に 述 べ た 事 実 に よ り,適

べ て のKnに

と お り とす る と,R′

の 中 の 正則 開 集 合 で Γ ⊂Ωa1か つ

た 函 数 υΩ-υΓ もDに

こ こ でn→

上 の 事 実 を 次 の 補 助 定 理 の 証 明 に 用 い る.

Ω1⊂Ω ⊂Ω ⊂R′ な る も

当 な コ ン パ ク ト集 合 の 列{Kn}

υ=υ Ω と υ=υ Γに 対 し て同 時 に 成 立 す る.ま

属 し(υΩ-υ Γ)￨∂K0=0を

満 た す か ら,(6.5.4)に

よ りす

対 して

∞

と す る と 上 に 述 べ た よ う に 

(L2ω(R′)で強 収 束)と

な る が,更 に,Ω

に お い て は υΩ=υ な る こ と に よ り(υΩ)Ω1

=υ Ω1が成 り立 つ か ら,次 の 不 等 式 を 得 る:

さ て 補 助 定 理6.5.2に

よ り,υ Γ はDに

ジ に 述 べ た 事 実 と 同 様 に し て,適

属 す るFH0函

数 で あ る か ら,前

当 な 開 集 合 列{Δn}⊂O(Γ)を

(6.5.15)お

よ び そ の υ を υΓ で 置 き 換 え た 事 実 が 成 り立 つ.ま

=Δn∩Rと

お く と, 

ら ば Ωn⊂ Ωmだ

と な り,こ

こ で ま ずn→

∞ と し て か らm→ を 得 る.一

上 で は と も に0に

に ω は 補 助 定 理6.3.4のⅰ)に

を 満 た す か らDに   補 助 定 理6.5.4 

た こ の と き,Ωn

の不 等 式 に よっ て

よ っ て 

立 す る.特

選 ぶ こ とに よ り

(R′上 で有 界 収 束)も 成 立 す る.n>mな

か ら,上

連 続 で あ っ て ∂K0の

ペー

属 す る.よ

∞ 方

と す る と,上 υΓ,(υ Γ)Γ はR′

な る.だ か らR′ よ りFH函

に述べた各事項 に ∪ ∂K0に

お い て

の 上 で(υ Γ)Γ=υΓが 成

数 で あ り,明 ら か に(6.5.1)

っ てR′ 上 で(ω Γ)Γ=ωΓが 成 り立 つ.

υ がR′ 上 のFSH函

数,Γ

がSの

閉 部 分 集 合 で ωΓ≡0と

な る も の とす る と,R′

上 で(υ Γ)Γ=υΓが 成 立 す る.

  証 明   ま ず 定 理6.3.3に

よ りR′ に お け るBorel測

uが 存 在 し て υ=μN+uが

成 立 す る.だ

度 μ とR′ 上 のFH函

か ら 定 理6.4.3に

数

よ って

 (6.5.17)

が 成 立 し,従

っ て ま た 補 助 定 理6.3.4のⅲ)に

よ って

 (6.5.18)

と な る.だ

から

 (6.5.19) 

(μNΓ)Γ=μ(NΓ)Γ,(NΓ)Γ=NΓ

を 証 明 す れ ば,(6.5.18)の

右 端 辺 は(6.5.17)の

両 式 の 左 端 辺 も 互 い に 等 し い こ とが わ か り,こ は(6.5.19)の

μが 一 点xに

ら 直 接 に も い え る.)だ

数

集 中 し た と 考 え て も よ い し,ま

た

か ら(6.3.14)に

よ りNΓ

はFH0函

た 補 助 定 理6.4.2の

に対 し て

証 明 と全 く 同 様 に し て(NをNΓ

と書 く だ

において

 (6.5.21) 

(μNΓ)K=μ(NΓ)K

な る こ とが 示 さ れ る か ら,(6.5.20)と μNΓ が 下 半 連 続 な こ と も,定

NΓ(x,y)(xを

固 定 し てyの っ て,任

ト集 合 列{Kn}を

合 わ せ て(μNΓ)K≦

理6.3.1に

同 様 に し て 示 さ れ る か ら,μNΓ

お け る μNの

はFSH函

μNΓ を 得 る.更

数 で あ る.以

函 数 と考え る)お

上 に よ りFSH函

に お い てnに

が 成 立 し,第1の

数

よ び μNΓ に §6.3の 結 果 を 適 用

意 の 正 則 開 集 合 Ω⊂R′ に 対 し て(6.3.6)の と れ ば.R′

に

下半連続性 の 証 明 と

関 す る単 調収束

よ うな コン パ ク

で

 (6.5.22)

 (6.5.23)

数で

(NΓ)K≦NΓ

が 成 立 す る.ま

で き る.よ

函 数 と考 え た も の はFSH函

っ て 任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′

 (6.5.20) 

け で)R′

下

を 固 定 し てN(x,y)をyの

れ は 定 理6.3.1で

定 理6.1.6か あ る.従

の 補 助 定 理 の 証 明が 終 る.以

二 つ の 式 の 証 明 で あ る.

  ま ず 任 意 のx∈R′ で あ る.(こ

右 端 辺 と 同 じ に な る か ら,

式 は上 に 述 べ た 意 味 で 任 意 のxに

対 して成 立 す るか ら

も 成 立 す る.ま 列{Δn}を

たSの

任 意 の 閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て(6.3.13)の

と り Ωn=Δn∩Rと

お く と,R′

上 でnに

よ うな 開集 合

関 す る単 調 収 束 で

 (6.5.24)

が 成 立 し,第1の

式 は 上 に 述 べ た 意 味 で任 意 のxに

対 し て成 立 す るか ら

 (6.5.25)

も 成 立 す る.そ

こ で(6.5.21)に

る よ う なKnを

と っ てn→

て(6.5.24),(6.5.25)が の 第1の

お い てKと

し て(6.5.22),(6.5.23)が

∞ と す れ ば(μNΓ)Ω=μ(NΓ)Ω が 得 ら れ,次 成 立 す る よ う な Ωnを と っ てn→

成立す に Ω とし

∞ とす れ ば(6.5.19)

式 が 得 ら れ る.

  次 に(6.5.19)の

第2の

数 と考 え る こ と に し,ま 固 定 す る と,定

っ て(6.3.13)に

よ りR′ ＼Kに

Ω ⊂R′ ＼Kに

よ り(N∂K)Γ=NΓ

か ら,補

点x∈R′

を 固 定 し てN(x,y)をyの

た コ ン パ ク ト集 合K∈K(x)(§5.5に

理6.1.6のⅱ)に

か ら任 意 の 正 則 開 集 合

N∂K∈Dだ

式 を 示 す,一

対 し てR′

助 定 理6.5.3に

述 べ た)を

お い て はN∂K=Nと で(N∂K)Ω=NΩ

が 成 立 す る.一

函

方,正則

よ り((N∂K)Γ)Γ=(N∂K)Γ

一 つ

な る.だ が 成 立 し,従

写 像 の 定義 に よ り が 成 り立 つ.だ

か ら

と な り,(6.5.19)の

第2の

式 が 得 ら れ た.

  さ て,任

意 の 一 点 ξ∈Sを

Γ={ξ}(一

点 ξか ら成 る 閉 集 合)と す る と,(6.4.2)の

とな る か ら,こ (6.4.2)は

固 定 し て,定

理6.4.2で

れ を α(ξ)と 書 く こ と に す る.こ

υ(y)=N(ξ,y)を

考 え,

μ(Γ)の 値 は 点 ξの 函 数

の と き 定 理6.4.2の(6.4.1),

そ れ ぞ れ 次 の よ うに な る:

  (6.5.26) 

す べ て のy∈R′

に 対 し てN(ξ)(ξ,y)=α(ξ)N(ξ,y),

 (6.5.27)

 こ こ で 次 の 事 実 を 証 明 す る.   補 助 定 理6.5.5 

函 数 α(ξ)はSの

上 で0と1の

  証 明   ω{ξ}≡0な る 点 ξに つ い て は,補

値 の み を と る.

助 定 理6.5.4と(6.5.26)に

よ って

従 っ て α(ξ)=α(ξ)2が ξ に つ い て は,定 とc>0で (6.5.26)と

成

り 立 つ か ら α(ξ)=0ま

理6.4.2に

あ る.こ

お い て

の と き(6.4.1)は

補 助 定 理6.5.3に

が 成 り立 つ.よ

な る か ら,こ

お く の こ と と

よっ て

数 υ とSの

で ≧0だ

な け れ ば,R′

  定 義  S0={ξ

な る点

し て,c=μ({ξ})と

ω(ξ)=μN=cNと

  注 意   一 般 にFSH函

  補 助 定 理6.5.5に

あ る.ω{ξ}>0と

υ=ω,Γ={ξ}と

っ て こ の 場 合 は α(ξ)=1で

か ら,υ Γ=0で

た は1で

あ る.

閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,υ Γ はR′ 上 で υΓ>0で

で調 和

あ る.

よ り次 の 記 号 と用 語 を 定 義 す る こ と が で き る.

∈S￨α(ξ)=0},S1={ξ

い て は)Neumann型

∈S￨α(ξ)=1}と

理 想 境 界Sの

述 べ る定 理6.6.1と

定 理6.6.3に

書 にお

の 理 由 は 次 の §で

よ る.)

  こ の と き(6.5.26)か

ら 直 ちに 次 の 定 理 が 得 ら れ る.

  定 理6.5.1 

た は ξ∈S1に

ξ∈S0ま

お く.S1を(本

本 質 的 部 分 と呼 ぶ.(そ

N{ξ},(ξ,y)=0ま

従 っ て,す

べ て のy∈R′

に対 して

た はN{ξ}(ξ,y)=N(ξ,y)

が成 立す る.―   こ こ でMartin境 を 証 明 す る た め,い

界 の 場 合(定

理3.4.2)と

同 様 にS0がFσ

集 合 であ る こ と

くつ か の 補 助 定 理 を 準 備 す る.

  補 助 定 理6.5.6 

KをR′

(n-1,2,…)はR′

に お け るFSH函

に 収 束 し て い る とす る.こ

に 含 ま れ る 正 則 コ ン パ ク ト集 合 と し,υ 数 で あ っ て,{υn}は

∂Kの

お よ び υn

上 で一 様 に υ

の と き,次 の 式 が ∂K0の 上 の 一 様 収 束 で 成 立 す る:

 (6.5.28)

  証 明   K0を

内 部 に 含 む 正 則 領 域Dで,D∩K=φ

あ る も の を 一 つ と り,D＼K0に 函 数 をGD＼K0(x,y)と

な らば 

す る.こ

お け る §5.2の の と き,正

か つDが

コ ン パ ク トで

境 界 値 問 題(5.2.1)のGreen

則 写 像 の 性 質 に よ り,y∈D＼(K0)° と な る か ら,Green函

数の性

 ⅱ

が存在 して

質 に よ り ∂K0上 の 各 点yで   (6.5.29)

が 成 立 し,ま

た(υn)K(y)に

{υn}が υ に ∂K上 ∂D上

つ い て も 同 様 な 式 が 成 立 す る.一

で 一 様 収 束 す る か ら,正

で 一様 収 束 す る.こ

  補 助 定 理6.5.7 ⅰ)  し,K1,K2∈H(Ω)か

か ら(6.5.28)が

の 中 の 正 則 開 集 合 でΩ

つK1⊂K2と

定に よ り

則 写 像 の 性 質 に よ り(υn)Kが

の こ と と(6.5.29)と

Ω をR′

方,仮

す る と,任

得 ら れ る.

∩K0=φ

意 の ξ∈S,y∈

υKに

な る もの と

∂K0に

対 して

 (6.5.30)

)  Γ をSの と,任

閉 部 分 集 合 と し,Δ1,Δ2∈O(Γ),Δ1⊃Δ2,Δa1∩K0=φ

意 の ξ∈S,y∈

∂K0に

とす る

対 して

 (6.5.31)

  証 明  ⅰ) (6.5.30)の て 示 さ れ る.ま

で あ っ て,特

た,ξ ∈S,y∈(R′

にy∈

と な る か ら,任

各 法 線 微 分 の 存 在 は 補 助 定 理6.5.6の

∂K0な

＼Ω)∪ ∂K0な

証 明 と同 様 に し

らば

らば

意 の ξ∈S,y∈

∂K0に

対 し て(6.5.30)が

成 立 す る.

 ⅱ)も 同 様 に し て 証 明 さ れ る.   補 助 定 理6.5.8 ⅰ)  し,(6.3.6)の の と き,任

Ω をR′

の 中 の 正 則 開 集 合 でΩ

∩K0=φ

仮 定 を 満 た す 任 意 の コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}⊂H(Ω)を 意 の ξ∈S,y∈

∂K0に

な る もの と と る.こ

対 して

 (6.5.32)

)  Γ をSの {Δn}⊂O(Γ)を  (6.5.33)

閉 部 分 集 合 と し,(6.3.13)の と る.こ

の と き,任

仮 定 を 満 た す 任 意 の開 集 合 の列

意 の ξ∈S,y∈

∂K0に

対 して

  証 明  ⅰ)  任 意 の ξ∈Sを 助 定 理6.4.1を

適 用 す る と,コ

ぞ れBorel測 ∪∂K0に

固 定 し て,yの

度 μn,μ(い

函 数N(ξ,y)に

定 理6.3.2お

ン パ ク ト集 合Kn(n=1,2,…),Ωaの

ず れ も ξに 関 係 す る)が

よび 補 上にそれ

存 在 し て,任

意 のy∈R′

対 して

が 成 り立 つ.だ

か ら,Ω

∩K0=φ

な る こ とに よ り

 (6.5.34)

こ こ で,補

助 定 理6.4.1の

ト集 合Ωaの

証 明 か ら わ か る よ う に,測

上 で 一様 有 界 で あ っ て,そ

っ て 初 め か ら{μn}が た 

る.だ

か ら(6.5.32)に

漠 収 束 す る よ うな 部 分 列{Kn}⊂H(Ω)が

て は 各 点y∈

よ り,上

 は 各 点 ξ∈S,y∈

成 立 す る.と

∂K0に 対 してnに

初 め の コ ン パ ク ト集 合 列{Kn}に ξ∈S,y∈

∂K0に

と って あ る とす

上 で 連 続,従

の よ うな 部 分 列{Kn}(ξ

∂K0で(6.5.32)が

こ ろ が,補

って 有 界 で あ

に 関 係 す る)に

対 し

助 定 理6.5.7に

よ り

関 し単 調増 加 で あ る.だ か ら

対 し て(部 分 列 を と ら な く て も),す

お い て(6.5.32)が

コ ンパ ク

の 適 当 な 部 分 列 が μ に 漠 収 束 す る.よ

は コ ン パ ク ト集 合 Ωa× ∂K0の

る.ま

度 の 列{μn}は

べての点

成 立 す る.

 ⅱ )も 全 く同様 に し て証 明 され る.   さて こ こで,Rの

中 の 開集 合Δ でΩ=Δ∩R′ がR′ の 中 の正 則 開集 合 とな る

もの に 対 して,Sの

上 の 函 数 αΔ(ξ)を

 (6.5.35)

と 定 義 し,ま

たSの

置 き 換 え て 函数

閉 部 分 集 合 Γ に 対 し て,上

αΓ(ξ)を 定 義 す る と,(6.5.31)と(6.5.33)に

と な る.特

に

Γ={ξ}(一

点 の 集 合)と

で定 義 され た α(ξ)にほ か な らな い か ら,上 立 つ.

の 式 のNΩ(ξ,y)をNΓ(ξ,y)で よ っ て 

し た と き の α{ξ}(ξ)は(6.5.27)

の結 果 に よ り次 の補 助 定 理 が 成 り

 ⅰ

 補 助 定 理6.5.9 

任 意 の 一 点 ξ∈Sを

に 関 し て単 調 減 少 か つ 

固 定 し,{Δn}をO({ξ})に

含 ま れ てn

を満 たす 任 意 の 開 集 合 列 とす る と

 (6.5.36)

 以 上 の こ と を 使 っ て 次 の 定 理 を 証 明 す る.   定 理6.5.2 

S0はSに

お け るFσ 集 合 で あ る.

  証 明   任 意 の ξ∈Sと

と お き,ま

δ>0に

た αΔ(ξ)を(6.5.35)で

対 して

定 義 す る.m=1,2,…

な る任 意 の  に対 して

 (6.5.37)

と お き,次

のⅰ),ⅱ)を 証 明 す る:

ⅱ)  各 ΓmはSの

) 

 ⅰ )の 証 明.ξ ∈S0と

す る と α(ξ)=0だ

U(ξ,1/m)な

る 任 意 のΔ ∈O({ξ})に

中 の 閉集 合 で あ る.

か ら,補

と な る.従

{Δn}に 対 し て 

る.逆

助 定 理6.5.9の

っ て,mが

証 明.点

と な る か ら,補

U(ξ0,1/m)な

な わ ち ξ∈S0と

列{ξν}⊂ Γmが

な る.こ

点 ξ0∈Sに

る 任 意 のΔ ∈O({ξ0})を

し て 適 当 なν0を

十 分 大 な る と き,Δa⊂

と っ て,こ

得

定 義 に よ り補 助 定 理6.5.9の

定 を満 たす{Δn}に 対 して  に よ っ て α(ξ)=0,す

よ うな任 意 の

対 し て αΔ(ξ)≦1/2と な り ξ∈ Γmを

に ξ が あ る Γmに 属 す る な ら ば,Γmの

 ⅱ)の

に 対 して

れ で 

仮

助 定 理6.5.5 が 示 さ れ た,

収 束 し て い る と す る.Δa⊂ れ を 一 応 固 定 し,こ

のΔ に 対

とれ ば,ν ≧ν0な る か ぎ りΔ ∈O({ξν})か つΔa⊂U(ξν,1/m)

とな るか ら   (6.5.38) 

αΔ(ξν)≦1/2

が 成 り立 つ.Ω=Δ 8のⅰ)を

適 用 す る と,任

意 の ξ∈Sに  (6.5.39)

∩Rと

対 して

お き,こ

の Ω に 補助 定 理6.5.7のⅰ)と

意 の ε>0に

対 し て 適 当 なK∈H(Ω)を

補 助 定 理6.5. と れ ば,任

が 成 り立 つ.更 N(ξ,y)が

に,υν(y)=N(ξν,y)(y∈R′∪

コ ン パ ク ト集 合S×

上 で 一 様 に υ0に 収 束 す る.だ

∂Kの

∂K0,ν=0,1,2,…)と

お く と,

上 で 一 様 連 続 な こ と に よ り,{υν}は

か ら 補 助 定 理6.5.6に

よ り次 の 式 がy∈

∂K

∂K0に

関 す る 一 様 収 束 で 成 り立 つ:  (6.5.40)

さ てν ≧ν0な ら ば(6.5.38)お

よ び(6.5.39)の

こ でν → ∞

(6.5.40)お

よ び(6.5.39)の

を 得 る.こ

こ で εは 任 意 の 正 数 だ か ら αΔ(ξ0)≦1/2と な り,Δ の と り方 に よ り,

  こ う し てS0がFσ

第2の

分 論 に お け るFatouの

不等式に よ り

と な る.こ

これ は ξ0∈Γmな

と し て,積

第1の

補 題 を 用 い る と,

不等 式 に よ り

る こ と を 意 味 す る.以

上 に よ り Γmは 閉 集 合 で あ る.

集 合 で あ る こ と が 証 明 さ れ た.

 §6.6  極 小FH0函

  FH0函

数,標 準 表 現 と その 一 意 性

数 の 標 準 表 現 とそ の 一 意 性 を 述 べ るた め,ま ず 極 小FH0函

を 導 入 す る.こ

の 概 念 は §3.4に お け る極 小 正値 調 和 函 数 と同 じ考 え で あ る.

  定 義1  R′ 上 のFH0函

数uが

R′ 上 のFH0函  (6.6.1)[

数 υ で,u-υ

で あ る よ うな も の は,uの

とい う条 件 を 満 た す と き,uを   す な わ ち,FH0函 u-υ

もFH0函

数の概念

数 が'極

極 小FH0函 小'で

も ま たFH0函

数(ま

た は 単 に 極 小函 数)と

あ る と は,uと

次 の(6.6.2)と

呼 ぶ.

線 型 独 立 なFH0函

数 と な る よ うな も の は 存 在 し な い,と

  上 の 条 件(6.6.1)は

数

正 の定 数 倍 に 限 る

数 υ で,

い う こ と で あ る.

同 等 で あ る:

uが 二 つ の 互 い に 線 型 独 立 なFH0函

数u1,u2の

 (6.6.2)[

凸 結 合 な ら ば,uはu1,u2の   こ の 性 質 に よ り,極 的 函 数)と

小FH0函

数 の こ と を 端 点 的FH0函

の 場 合(112ペ

あ る い は,む

の § で は'u-υ

だ し,例

がFH0函

し ろ 函 数 の 半 順 序 関 係>を'u>υ

定 義 し て お い て,112ペ

た は単 に 端 点

和 の 意 味 に 使 っ て い る;念

点 的 函 数'な

味 に 使 わ れ る こ とが 多 く,こ

数'と

ー ジ でu≧

υと

読 み 替 え る も の とす る.

と はu-υ

がFH0函

柄 の 本 質 が よ くわ か り,見

に こ とわ っ て あ る よ う に,'調

  '極 小 函 数','端

極 小正 値 調 和 函数

えば112ペ

数 な るこ

ー ジ の 記 述 に お け る不 等 号≧ を す べ て 半 順 序 関

置 き替 え て 読 め ば,事

な お,前 A*-調

同 値 な こ と の 証 明 は,§3.4の

ー ジ)と 全 く同 様 で あ る.た

記 さ れ た と こ ろ は,こ

係>で

数(ま

呼 ぶ こ と も あ る.

  上 の(6.6.1)と(6.6.2)が

と'と

い ず れ か に 一 致 す る.

和'は

第3章

通 し も よ い で あ ろ う.

で はA-調

和,こ

の章では

の た め に 注 意 し て お く.

る用 語 は,こ

とわ りな け れ ば §3.4に

の § の 意 味 に 使 う の は,前

述べ た 意

後 関 係 か ら誤 解 の 恐 れ

が な い 場 合 に 限 るの が 普 通 の よ うで あ る.本 小 正 値 調 和 函 数 を 第3章

書 に お い て は,§3.4に

述べ た 極

・第4章 で 単 に'極 小 函 数'と 呼 ん だ が,こ の §の 意

味 の 極 小 函 数 の こ とは,混 乱 を避 け る た め,今 後 必 ず'極 小FH0函

数'と 呼 ぶ

こ とに し て お く.

  次 にFH0函

数 の 標 準 表 現 を 定 義 す る.前

のBorel集 Borel測

§ の 定 理6.5.2に

合 で あ る か ら,S1=S＼S0もBorel集 度 がS0,S1の

  定 義2  Sの

上 で 考 え ら れ る か ら,次

上 の 有 界Borel測

と呼 ぶ.R′ 上 のFH0函

よ りS0はSの

合 で あ る.よ

っ てSの

中 上 の

の定 義 を 述 べ る こ とが で き る.

度 μ が μ(S0)=0を

満 た す とき μを 標 準 測 度

数uが 標 準 測度 μ を 用 い て 

と

表 わ され る と き,こ の積 分 表 現 を 標 準 表 現 とい う.   以 下 に お い て,ま ず 標 準 表 現 の存 在(定 理6.6.1)を FH0函

示 し,そ れ を 用 い て極 小

数 の特 徴 づけ お よび理 想 境 界 上 の集 合S1と 極 小FH0函

数 の集 合 と の関

係(定 理6.6.2)を 示 し,更 に そ の結 果 を利 用 し て標 準 表 現 の一 意 性(定 理6.6.3) を 証 明す る.ま ず 次 の補 助 定 理 か ら始 め る.   補 助 定理6.6.1  υ をR′ 上 のFSH函 て,S0に

閉部分集合 であ っ

含 まれ る もの とす る と,R′ に お い て υΓ≡0で あ る.

  証 明  [第1段]Γ

をSの

増加列 で 

な る も の と す る.こ

υΓ=0と

数 と し,Γ をSの

閉部 分 集 合 とし,{Bm}をSの

閉 部分 集 合 の単 調

の と き υBm≡0(m=1,2,…)な

らば

な る こ と を 示 す.

  任 意 のy∈R′ ∈O(Bm)を

と 任 意 の ε>0を

と る.各mに

適 当 に と り,υΔm∩R(y)<ε/2mな

で 

だ か ら, 

るΔ ∈O(Γ)が

存 在 す る.Ω=Δ

R′上 で 

対 し て,yを

る よ うに で き る.Γ な るpが

∩R,Ωm=Δm∩Rと

が 成 立 す る.(p=2の

あ り,従

上 でyと

は コンパ ク ト

っ て 

お く と 

場 合 が 補 助 定 理6.3.5の

し てあ るか ら,任 意 のpに 対 し て成 立 す る.)特 に 点yに

と な り,以

含 ま な い 集 合Δm

な だ か ら, 証明中に示

お い ては

εは 互 い に 無 関 係 に 任 意 に と れ る か ら υΓ≡0で

あ る.

  [第2段] 

Sの

閉 部 分 集 合 で あ っ てS0に

=υ Γが 成 り立 つ な ら ば,そ

の よ う な Γ に 対 し てυ Γ≡0で あ る こ と を 示 す.

  Γmを 前 §定 理6.5.2の が 一 つ の Γmに

含 ま れ る 任 意 の Γ に 対 し て(υ Γ)Γ

証 明 中 に(6.5.37)で

定 義 し た 集 合 とす る.ま

含 ま れ て ρ-diam(Γ)<1/2mの

場 合 を 考 え る.δ>0に

対 して

な るΔ ∈O(Γ)を

と る と,

 と定 義 し,Δa⊂U(Γ,1/2m)と ξ∈ Γ な らばΔa⊂U(ξ,1/m)と ≦1/2.一

方,定

υΓ=μNと

な る.だ

理6.4.2に

な る か ら,こ

よ り,台 の 第2段

ず,Γ

か ら Γmの 定 義 に よ り,Γ

が Γ に 含 ま れ るBorel測

の 仮 定 と 定 理6.4.3お

の 上 で αΔ(ξ)

度 μが 存 在 し て

よ びΔ ∈O(Γ)な

るこ

とによ り

こ の 式 と υΓ￨∂K0=(μNΔ

∩R)￨∂K0=0と

定 理6.4.2の(6.4.2)お

よ び αΔ(ξ)の 定 義(6.5.35)に

(最後 の 不 等 式 は,上 従 っ て υΓ≡0と

な る.各

る 閉 集 合 Γmkの

の と き,上

助 定 理6.3.5に

よ っ て υΓm≡0と

の 結 果 に よ り各kに

任 意 の Γ に 対 し て,Bm=Γ

り υΓ≡0と   [第3段] 

か ら μ(Γ)=0で

Γmは 距 離 ρに 関 し て コ ン パ ク ト,従

表 わ さ れ る.こ

に よ り0≦

よ り

に 示 し た αΔ(ξ)≦1/2に よ る).だ

る か ら,ρ-diam(Γmk)<1/2mな

だ か ら,{Bm}も

を 得 る か ら,

か ら 

な る.さ

∩Γmと

υBm≦ υΓm≡0,す

とし て

対 し て υΓmk≡0で あ る か ら,補

て,Sの

閉 部 分 集 合 でS0に

と な る.一

な わ ち υBm≡0で

って全 有 界 で あ

有 限 和 

お く と,{Γm}は

単 調 増 加 列 で 

あ る.だ

含 まれ る

単 調 増 加 列 で  方,上

の 結 果 と(6.3.2)

か ら 第1段

の結 果 に よ

な る. 補 助 定 理6.6.1の

証 明.ま

ず 補 助 定 理6.5.3に

よ り,函

の 任 意 の 閉 部 分 集 合 Γ に 対 し てR′ 上 で(ω Γ)Γ=ωΓ を 満 た す か ら,特 な らば 第2段

あ り,

に よ り ωΓ≡0で

あ る.だ

か ら,そ

数 ω はS に Γ ⊂S0

の よ うな Γ に 対 し て は,R′

の

上 の 任 意 のFSH函

数 υ に 対 し て 補 助 定 理6.5.4に

っ て こ の υ に 第2段

を 適 用 す る こ とが で き て,R′

  こ こ で,標

数,Γ

含 ま れ るBorel測

をSの

閉 部 分 集 合 とす る と,定

度 μ が 存 在 し て,R′

証 明 の よ うに,(6.3.13)に

Δn∩Rと

で υΓ≡0と な る.

準 表 現 の 存 在 を 示 す た め の 一 つ の 準 備 を す る.

  υ をFSH函

6.4.2の

よ り(υΓ)Γ=υΓ と な り,従

す る と,各nに

測 度 μnが 存 在 し て,R′

で υΓ=μNが

対 し て 補 助 定 理6.4.1に にお い てυΩn=μnNが

適 当 な 部 分 列 で 置 き換 え る こ と に よ り,測 の よ うに と っ た 各nに

合 列{Knm}m=1,2,… Borel測

⊂K(Ωn)を

度 μnmが 存 在 し て,R′

補 助 定 理6.4.1の

成 立 す る.こ

成 立 す る.こ

理

と り Ωn=

の と き 定 理6.4.2

一 様 有 界 で あ り,{Δn}を 測度 μに漠収束す る

対 し て,(6.3.6)の

と る と,定

こ で,定

よ り台 がΩanに 含 ま れ るBorel

度 の 列{μn}が

理6.3.2に

よ うな コ ン パ ク ト集

よ り 台 がKnmに

に お い て υKnm=μnmNが

証 明 か ら わ か る よ う に,Ωanの

一様有界であ り ,適

よ り台 が Γ に

お け る 開 集 合 列{Δn}⊂O(Γ)を

の 証 明 か ら わ か る よ うにΔa1の 上 の 測 度 の 列{μn}は

と し て よ い.そ

理6.4.2に

含 まれ る

成 立 す る .こ

の と き,

上 の 測 度 の 列{μnm}m=1,2,…

当 な 部 分 列 で 置 き換 え る こ と に よ り,測

度

は

μnに 漠 収 束 す

る と し て よ い.

  次 に,Δ

をRの

る.各nに

対 し て,{νnm}m=1,2,…

列 で あ る か ら,再

中 の 開 集 合 と し,測

度 μnmを

は コ ン パ ク ト集 合 Δaの 上 の 一 様 有 界 な 測 度 の

の と きνn(Δa)≦ μn(Δa∩Ωn)で

集 合 Δaの 上 の 一 様 有 界 な 測 度 の 列 で あ る.よ

い て は,開 り,更

あ る か ら{ν n}は

っ て,そ

コン パ ク ト

の部 分 列 で置 き換 え る

Δaの 上 の あ る測 度ν に 漠 収 束 す る と し て よ い.以

集 合 列{Δn}は

に そ の 各nに

す

び 適 当 な 部 分 列 で 置 き 換 え る こ と に よ り,Δaの 上 の あ る 測 度

νnに 漠 収 束 す る.こ

こ と に よ り,{νn}は

Δ に 制 限 し た も の をνnmと

測 度 の 列{μn},{νn}が

対 し て,コ

漠 収 束 す る よ うに 選 ば れ て お

ン パ ク ト集 合 列{Knm}mは

{νnm}mが 漠 収 束 す る よ うに 選 ば れ て い る も の と す る.

  こ の と き 次 の 補 助 定 理 が 成 り立 つ.

下にお

測 度 の 列{μnm}m,

  補 助 定 理6.6.2 

FSH函

り とす る.Δ0がRの

数 υ,開 集 合Δ(⊂R)お

中 の 開 集 合 でΔaを

よ び 測 度ν を 上 に 述 べ た 通

含 み,Ω=Δ0∩R′

が 正則 開集 合 な る

も の とす る と,  (6.6.3) 

R′ ＼Ω

に お い てνN≦

υΩ

が 成 立 す る.   証 明   コ ン パ ク ト集 合 の 列{Kl}⊂K(Ω)でKl⊂(Kl+1)°, 

なる

も の を と る.νnmNはFSH函

よ り

数(定  と な る.一

理6.3.1)で 方,測

あ る か ら,(6.3.6)に

度νnmの

台 は コ ン パ ク ト集 合Knm

∩Δaに 含 ま れ, 

と な る か ら,l0≡l0(n,m)

を 十 分 大 き く とれ ば,す べ て のl≧l0に れ る.だ

か ら 定 理6.2.5と

が 成 立 す る.こ {νnm},{νn}の

こ でm→

台 がKlの

上 に 述 べ た 事 実 に よ っ て,R′ ＼Knmに

∞

と し て か らn→

漠 収 束 に よ り(6.6.3)を

  補 助 定 理6.6.3 

対 し て 測度νnmの

開 集 合Δ(⊂R)お

Δ の 内 部 に お い て は μ≡ν(Borel測

∞

とす れ ば,Δaの

内部に含 ま おい て

上 の測 度 の列

得 る. よ び 測 度 μ,νを 前 に 述べ た 通 り とす る と,

度 と し て 同 じ)で

あ る.

  証 明  Δ の 上 の 連 続 函 数 で 台 がΔ の 内 部 に 含 まれ る も の の 全 体C0(Δ)を る.測

度νnmは

測 度 μnmのΔ

へ の 制 限 で あ る か ら,任

  が 成 立 す る.こ 測 度 の 列{μnm},{νnm},{μn},{νn}の

が 得 ら れ る か ら,Δ

こ でm→ 漠 収 束(前

意 のf∈C0(Δ)に

∞ と し て か らn→ 述)に

考え 対 して

∞ とす る と,

よ り 

の 内 部 で は μ≡ν で あ る.

  以 上 の こ と を 用 い て 標 準 表 現 の 存 在 を 証 明 す る.   定 理6.6.1  Borel測

υ がFSH函

数,Γ

がSの

度 μ が 存 在 し て, 

函 数uは,S1の る(標 準 表 現).

上 のBorel測

閉 部 分 集 合 な ら ば,Γ

∩S1の

が 成 立 す る.特 度 μ に よ り 

上 の

にFH0

と表 わ され

  証 明   ま ず 定 理6.4.2に R′ でυ Γ=μNが よ い.一

方,定

よ り,台

成 立 す る か ら,定 理6.5.2に

=Δ0∩R′

固 定 す る と,任

閉 部 分 集 合 の 列{Γp}p=1

対 し て μ(Γp)=0を

今 後 一 つ の Γpを 固 定 す る.補

助 定 理6.6.1に

意 の ε>0に

ら 測 度 の 列{μn},{μnm},{νnm},{νn}お よ り(νN)(y0)≦

6.6.3に

よ り

が 得 られ る.こ そ れ は0で

の と き 

あ る.以

上 に お い てy0はR′ と な る.だ

中 の

に述 べ た よ うに し て測 度 μか

か ら,Γp⊂

助定理

Δ な る こ と と補 助 定 理

か ら 定 理6.2.2の

半 に お い て Γ=Sの

場 合 を 考え て 定 理6.3.4を

  上 の 定 理 か ら,補

助 定 理6.5.3お

υ に 対 し て(υ ∈Dあ

半 のFH0函

よ って

数uに

対 し て は,前

用 い れ ば よ い.

よ び6.5.4の

る い はω Γ≡0の

系2に

結 論 が,す

べ て のFSH函

よ うな 付 帯 条 件 な し に)成

数

立す る こ とが

れ を 少 し 一 般 化 し た 次 の 系 を 示 す.

  系   υ をFSH函

数,Γ

閉 部 分 集 合 で Γ ⊂ Γ1な Ω=Δ ∩Rな

と し て よ い.Rの

∪ ∂K0の 任 意 の 点 だ か ら,R′ ∪ ∂K0に

れ で 定 理 の 前 半 が 証 明 さ れ た.後

導 か れ る.そ

点y0∈

とれ ば ,Ω

よ び 測 度ν を 順 次 定 め る と,補

υΩ(y0)と な る.だ

っ て,

こ で εは 任 意 の 正 数 だ か ら,左 端 辺 は εに 無 関 係 な こ と に よ り,

おい て 

と な り,こ

,2,…が 存 在 し て

よ り υΓp≡0だ か ら,一

開 集 合 Δ で Γp⊂ Δ⊂ Δa⊂Δ0な る も の を と り,前

示 せば

示 せば 十 分 で あ る.よ

対 し て 適 当 な Δ0∈O(Γp)を

に 対 し て υΩ(y0)<ε と な る .こ

6.6.2に

度 μ が 存 在 し て,

理 の 前 半 を 示 す の に は μ(S0)=0を

よ り,Sの

 と な る か ら,各pに

R′ ∪∂K0を

が Γ に 含 まれ るBorel測

をSの

閉 部 分 集 合 と す る.こ

の と き,ⅰ)Γ1がSの

ら ば(υ Γ)Γ1=υΓ が 成 り立 つ;ⅱ)Δ

ら ば(υ Γ)Ω=υΓ が 成 り立 つ.

∈O(Γ)で

あ って

  証 明  ⅰ)  上 の 仮 定 に よ り Γ ∩S1の ま た,ξ ∈ Γ ∩S1な

ら ば 定 理6.5.1に

上 の 測 度 μ が 存 在 し てυ Γ=μNと よ り,す

べ て のy∈R′

と な る か ら,NΓ1{ξ,y)=N(ξ,y)が

成 り立 つ.以

 ⅱ)の 証 明 も全 く同 様 で あ る.す

な わ ち,上

定 理6.4.3の   次 に,極

か わ りに 補 助 定 理6.4.2を 小FH0函

な る.

に対 し て

上 の こ と と定 理6.4.3か

ら

のⅰ)の 証 明 中 の Γ1を Ω と書 き,

使 えば よ い.

数 の 特 徴 づ け お よ び 集 合S1と

の関 係 を 示 す た め の補 助 定

理 を 準 備 す る.   補 助 定 理6.6.4 

極 小FH0函

数uが,Sの

に よ っ てu=μNと

表 わ さ れ る な ら ば,μ

中 のBorel集 は 一 点 ξ0∈Bに

合Bの

上の測度 μ

お け る点質量

で,

  (6.6.4)

が 成 立 す る.   証 明   仮 定 に よ り μ(B)>0で >0か

つ ρ-diam(Γ1)<1な

で,μ(Γ2)>0か

あ る か ら,Bに

含 ま れ る 閉 集 合 Γ1で,μ(Γ1)

る も の が 存 在 す る.次

つ ρ-diam(Γ2)<1/2な

に Γ1に 含 まれ る 閉 集 合

る も の が 存 在 す る.以

に 含 ま れ る 閉 集 合 の 単 調 減 少 列{Γn}で,各nに ρ-diam(Γn)<1/nな

る も の が 得 られ る.Rが

ン パ ク トで あ り,従

っ て 

で あ っ て,こ よ り, 

よ り, 

あ って

コ ン パ ク ト空 間 だ か ら 各 Γnは ら成 る 集 合{ξ0}で

数 だ か ら,uが

と な る 定 数cn≧1が

含 ま れ る 測度 μnが 存 在 し てu=μnNが

下 同 様 に し てB

対 し て μ(Γn)>0で

は 一 点 ξ0∈Bか

の 右 辺 の 各 項 はFH0函

Γ2

成 立 し,こ

極 小FH0函 あ る.従

あ る.一

コ 方

数 な る こ とに っ て,台

の と き 定 理6.2.1の

が Γnに 系2に

(nに 無 関 係)と な る.だ か ら{μn}の 適 当な 部 分

列 が 点 ξ0に お け る 点 質 量 に 漠 収 束 し,従

っ て(6.6.4)が

μ が こ の 点 ξ0に お け る 点 質量 で あ る こ と を 示 そ う.も

成 立 す る.初

め の測 度

し そ う で な い とす る と,

B＼{ξ0}に Bと

含 まれ る閉 集合

同 様 に 扱 っ て,上

cN(ξ1,y)と

Γ で μ(Γ)>0な

の 議 論 を 繰 り返 す と,一

な り,こ のcは(6.6.4)のcと

≡N(ξ1,y)と

な り,従

小FH0函

の Γ を初 めの

点 ξ1∈Γ が 存 在 し てu(y)=

同 じ で あ る.だ か らR′ 上 でN(ξ0,y)

っ て 定 理6 .2.4に

ら μ は ξ0に お け る 点 質 量 で あ り,そ

  次 の 定 理 は,極

る も の が あ る .こ

よ り ξ0=ξ1と な っ て 矛 盾 で あ る.だ

の 質 量 の 値 は(6.6.4)のcに

数 を 特 徴 づ け,集

合S1と

か

等 し い.

極 小FH0函

数 の全 体 と

の 関 係 を 示 す.   定 理6.6.2 ⅰ) 

R′ 上 の 任 意 の 極 小FH0函

的 に 定 ま っ て,uは

次 の 式 で 与え ら れ る:

u(y)=cN(ξ0,y),こ

 (6.6.5) 

 ⅱ)  y∈R′

数uに

対 し て,点

ξ0∈S1が 一 意

こで

の 函 数N(ξ,y)は

ξ∈S1の

と き,そ

の と き に 限 り極 小FH0函

数

で あ る.   証 明  ⅰ) 定理6.6.1に

よ りS1の

な る か ら,補

助 定 理6.6.4(B=S1と

(6.6.4)が,す

な わ ち(6.6.5)が

定 ま る か ら,定

理6.2.4に

 ⅱ)  ξ∈S1と

仮 定 し,yの

上 のBorel測 す る)に

成 立 す る.こ

と な る が,一 ら な い.定

と 表 現 さ れ る か ら,こ を 意 味 す る.だ

υ が と も にFH0函

の と き(6.3.15)と

よ って一 意 的 に

定 理6.5.1に

数

よ り

はu{ξ}=u,υ{ξ}=υ

で なけ れ ば な

よ り υ{ξ}は一 点 ξに 台 を も つ 測 度 μ を 用 い て υ{ξ}=μN の こ と は υ{ξ}=cN(ξ,・)な

か らN(ξ,y)はyの

  逆 にN(ξ,y)がyの

の と きcはuに

存在 して

函 数N(ξ,y)が

方u{ξ}≦u,υ{ξ}≦ υ だ か ら,実 理6.6.1に

点 ξ0∈S1が

よ り ξ0も 一 意 的 に 定 ま る.

N(ξ,・)=u+υ,uと

と 表 わ さ れ た と す る.こ

度 μ が 存 在 し てu=μNと よ り,一

極 小FH0函

極 小FH0函 数 な ら ば,上

る 定 数c≧0が

存 在す ること

数 で あ る. に 証 明 し たⅰ)に

より

とな る ξ0∈S1が る.従

一 意 的 に 定 ま る.こ

っ て す べ て のy∈R′

6.2.4に

よ り ξ=ξ0∈S1と

こ で 定 理6.2.2の

系2に

に 対 し てN(ξ,y)=N(ξ0,y)が

よ りc=1で

あ

成 立 す るか ら,定

理

な る.

  次 に 標 準 表 現 の 一 意 性 を 示 す た め の 準 備 を す る.   任 意 の ξ∈Sを

固 定 す る と き,yの

意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′ がKに

函 数N(ξ,y)はFH函

に 対 し てNK(ξ,・)は,定

含 ま れ る 適 当 な 測 度 μ の ポ テ ン シ ャ ル μNに

μ を μξ,Kと 書 く こ と に す る と,任

数 で あ る か ら,任

意 のy∈R′

理6.3.2に

等 し い.よ

よ り台

っ て こ の測 度

に 対 し て 次 の 式 が 成 り立 つ:

 (6.6.6)

NK(ξ,y)≦N(ξ,y)で る.こ

あ っ て,y∈

の こ と と(6.6.6)お

∂K0な

ら ば こ の 不 等 式 の両 辺 は と も に0で

よ び 定 理6.2.2の

系2に

あ

よ り

 (6.6.7)

が 成 り立 つ.   Rの 中 の コン パ ク トな 閉包Dnを

もつ 正 則領 域 の 列{Dn}で

を 満 た す も の を 一 つ 固 定 し,(6.6.6)でK=∂Dnと μξ,nと書 く こ と に す る.こ 任 意 の ξ∈S1,y∈R′

し た 場 合 の 測 度 μξ,∂Dnを

の と き,μ ξ,nは台 が ∂Dnに

含 まれ る測 度 で あ っ て,

に対 して

 (6.6.8)

  こ こで定 め た記 号 似 て い る の で,混

μξ,K,μξ,nは §6.1で

定 め た 正 則 写 像 を 与 え る 測 度 μyKと

同 し な い よ う に 注 意 せ ら れ た い.

  こ の と き次 の 二 つ の 補 助 定 理 が 成 立 す る.   補 助 定 理6.6.5 

函 数fに 対 し て, 

任 意 の 正 則 コ ン パ ク ト集 合K⊂R′

と,R上

の連 続 函 数 で あ る.

の 任 意 の連 続

  証 明   ま ずf∈C30(R′)と

す る.こ

が 成 立 す る か ら,Fubiniの

の と き 定 理5.5.1の

定 理 と(6.6.6)に

系1のⅱ)に

より

よ って

 (6.6.9)

と こ ろ が,正

則 写 像 の 性 質(定

こ れ を(6.6.9)の

よ り任 意 の ξ1,ξ2∈Sに 対 し て

右 端 辺 に 適 用 す る と,N(ξ,y)がS1×

こ と(定 理6.2.2の

次 にR上

理6.1.2)に

系1)に

よ り 

の任 意 の連 続 函 数fに

∂Kの

上 で一 様 連 続 な

は ξ∈Sに つ い て 連続 で あ る.

対 し て,R′ の任 意 の コン パ ク ト部 分 集 合 上 で

fに 一様 収束 す る函 数 列{fn}⊂C30(R′)が 存 在 す る.(fのR＼K上 に影 響 し ない か ら,{fn}がR＼R′ だ か ら(6.6.7)に

とな る.前

でfに 収 束 し ない こ とは 全 く差 し支 えな い.)

よ り,n→ ∞ の と き ξ∈Sに 関 して 一 様 に

に 示 し た よ うに 

は ξの連 続 函 数 で あ るか ら,上 に

述 べ た 一 様 収 束 に よ り    補 助 定 理6.6.6  パ ク ト空 間Rの

ξ∈S1な

こ こ でn=nkと

らば,前

に 述 べ た 測 度 μξ,nはn→

上 の 測 度 の 列 と考 え る と(6.6.8)に

当 な 部 分 列{μ ξ,nk}がRの

束 す る が,nk>nな 含 ま れ る.任

も ξの連 続 函数 で あ る. ∞ の と き,コ

ン

上 の 測度 と して 点 ξに お け る単 位 質量 に漠 収束 す る.

  証 明   {μξ,n}nをRの あ る か ら,適

の値は結論

上 の あ る 測 度 μ0(ξ に 関 係 す る)に 漠 収

ら ば μξ,nkの台 はR＼Dnに

意 のy∈R′

し てk→

に 対 し て,y∈D′nな

∞

よ り μξ,n(R)≦1で

含 ま れ る か ら,μ0の るnを

とれ ば(6.6.8)に

と す る と,μ ξ ,nk→ μ0(漠 収 束)だ

か ら

台 はSに よ り

ξ∈S1な

る 仮 定 に よ りN(ξ,y)は

極 小FH0函

数(定

理6.6.2)だ

6.6.4に

よ っ て 上 の 式 の 測 度 μ0は あ る 一 点 ξ0∈Sに

お け る 点 質 量 で あ り,そ

で あ る.従

の 質 量 の値cは,  対 し てN(ξ,y)=N(ξ0,y)と

な るか ら,定 理6.2.4に

か ら,補 助 定 理

っ て 任 意 のy∈R′

に

よ って ξ0=ξ で あ る.だ

か ら μ0は 点 ξに お け る単 位 質 量 で あ る;そ れ を μξと書 く.初 め の{μ ξ,n}nの 任 意 の部 分 列 が,上

と 同 じ議 論 に よ り,同 じ μξ に漠 収 束 す る部 分 列 を 含 む か

ら,初 め の列{μ ξ,n}nが μξに 漠 収 束 す る.   以 上 の こ とを 用 い て標 準 表 現 の一 意 性 を 証 明 す る.   定理6.6.3  FH0函

数 の 標 準 表 現 は 一 意 的 で あ る.任 意 のFH0函

数uと,S

の任 意 の 閉 部分 集 合 Γ に対 して,uΓ を 表 現 す る標 準測 度 の 台 は Γ に含 まれ る.   証 明   [第1段]  ちu=μNが

FH0函

数uを

表 現 す る一 つ の 標 準 測 度 μ を と る;す な わ

標 準 表 現 で あ る とす る.こ の とき

 (6.6.10)

で あ る.μ ξ,nを(6.6.8)に 対 し て,汎

現 わ れ る ∂Dnの

上 の 測 度 と し,任

意 のf∈C(R)に

函 数Lμ,nを

 (6.6.11)

に よ り定 義 す る;上 あ る か ら,上 (6.6.10)に

の{…}の

中 は 補 助 定 理6.6.5に

の 右 辺 の 積 分 は 意 味 を も ち,(6.6.8)に よ り,Lμ,nはC(R)の

の 上 のBorel測

度 μnが 存 在 し て,任

よ り ξ∈Sの

連続函数 で

述 べ た μξ,n(∂Dn)≦1と

上 の 正 値 有 界 線 型 汎 函 数 で あ る.だ 意 のf∈C(R)に

か らR

対 して

 (6.6.12)

が 成 り立 つ が,∂Dnの か ら,測  (6.6.13)

上 でf(x)≡0な

ら ば(6.6.11)に

度 μnの 台 は コ ン パ ク ト集 合 ∂Dnに

よ りLμ,n(f)=0と

含 ま れ る.こ

な る

の と きR′ の 上 で

が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.任 性 質 に よ り,xの N(x,y)=0と N(x,y)に

意 のy∈R′

を 固 定 す る と き,核

函数fk(x)=min{N(x,y),k}(た

定 義 し て お く)はC(R)に 近 づ く.と

こ ろ がfkに

函 数N(x,y)の

だ しx∈K0の 属 し,kに

と きは

関 し て単 調増 加 で あ っ て

対 し て は(6.6.12)と(6.6.11)に

よ り

が 成 り立 つ か ら,k→ ∞ とす る と積分 の単 調 収束 定 理 に よ り

こ の 右 辺 に(6.6.8)と 順 次 適 用 す る と,任

補 助 定 理6.4.2の 意 のy∈R′

が 得 ら れ,(6.6.13)が   [第2段] 

証 明 中 に 示 し た 等 式(μN)K=μNKを

に対 して

成 立 す る.

(6.6.11)で

定 義 さ れ るLμ,n(f)に

対 して

 (6.6.14)

が 成 立 す る.な

ぜ な ら ば μξ,n(∂Dn)≦1な る こ と と 補 助 定 理6.6.6に

が 成 り立 つ か ら,(6.6.11)に よ っ て(6.6.14)が   [第3段] 

お い てn→

とす る と,積

分 の有界収束定理に

得 られ る.

定 理 の 証 明.FH0函

し てu=μN=νNと

数uに

対 し て 標 準 測 度 μ お よ びν

な っ た とす る.測 度 μ,νか ら 第1段

Lμ ,n,Lν,nお

よ び 測 度 μn,νn(n=1,2,…)を

(6.6.13)に

より

が 成 り立 つ.こ

∞

より

もR′ 上 の 優 調 和 函数u∂DnのRiesz分

で 述 べ た よ うに汎 函 数

定 義 す る と,第1段

こ で 測 度 μn,νnの 台 は ∂Dnに

が存在

含 ま れ る か ら,上

で 証 明 し た

の式 は い ず れ

解 を 与 え る 式 と 考 え ら れ,Riesz分

解 の

一 意 性 に よ りμ n≡νnで あ る.従 てLμ,n(f)=Lν,n(f)と

っ て(6.6.12)に

な る.コン

上の 任 意 の 連 続 函 数hは,Rの

よ りす べ て のf∈C(R)に

パ ク ト距 離 空 間Rの 上 の 連 続 函 数fhに

対 し てLμ,n(fh)=Lν,n(fh)が

成 り立 つ か ら,n→

だ か ら μ=ν と な り,uに

対 し

閉 部 分 集 合 で あ るSの

拡 張 され て,す

べ て のnに

∞ とす る と(6.6.14)に

対 す る 標 準 測 度 の 一 意 性,す

な わ ちuの

よ って

標準表現の

一 意 性 が 示 され た .   こ の こ と と 定 理6.6.1に   最 後 にFSH0函

よ り,定

理6.6.3の

後 半 は 明 ら か で あ る.

数 の 一 意 的 な 積 分 表 現 の 定 理 を 述 べ る.

  定 理6.6.4 

任 意 のFSH0函

S1の 上 のBorel測

度(す

数 υ に 対 し て,R′

な わ ち 標 準 測 度)μ1が

に お け るBorel測

一 意 的 に 定 ま っ て,任

度 μ0と, 意 のy∈

R′ に 対 し て  (6.6.15)

が 成 立 す る.   証 明   FSH0函 FH函 FSH0函

数uが

数 υ に 対 し て,定

存 在 し てυ=μ0N+uと

数 だ か ら,uはFH0函

数uの

こ で μ0Nは

よ り

の 式 は 優 調 和 函 数 υ のRiesz分

よ り μ0とuは

上 に よ り,FSH0函

度 μ0と

定 理6.4.1に

υ に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る.

標 準 表 現 の 存 在 と 一 意 性 に よ り,u=μ1Nと

μ1が 一 意 的 に 定 ま る.以 測 度 μ0とS1の

よ りR′ 上 のBorel測

な る が,こ 数 で あ る.こ

解 を 与 え て い る か ら,定 理6.1.8に だ か らFH0函

理6.3.3に

数 υ に 対 し てR′

上 の 標 準 測 度 μ1が 一 意 的 に 定 ま っ て(6.6.15)が

な る標 準測 度 に お け るBorel 成 立 す る.

第7章 

滑 ら か な 境 界 のNeumann型 理 想 境 界 へ の埋 め込 み

  §7.1  埋 め 込 み の定 理

  第4章 に お い て,Rが

多 様 体Mの

部 分 領 域 で あ っ て,そ の境 界 の一 部(境 界

全 体 で も よい)が 適 当 に 滑 らか な らば,そ の 部分 がRのMartin境

界の中へ同

相 に 埋 め 込 まれ る こ とを 示 した.こ の 章 で は,そ の よ うな 滑 らか なRの 境 界 の 部 分 が,偏

微 分 作 用 素A*υ=div(▽

υ-bυ)に 関 す るRのNeumann型

境 界 の中 へ 同相 に 埋 め 込 まれ る こ とを 示 す.よ に,集 合E⊂Mの

閉 包E,境

理想

って,こ の 章 で も第4章

界 ∂E等 の用 語 や 記号 は,Mに

と同 様

お け る位 相 で 考

え る も の とす る.   こ の章 は 全 く前 の章 の'続 き'で あ るか ら,前 の章 で約 束 し た 記 号 ・条 件 等 を そ の ま ま用 い る.例 え ば,一 点x0∈Rと が 固 定 され てい る こ とや,条

件(A)な

それ を含 む 正 則 コン パ ク ト集合K0

ど,§6.1に

述 べ た通 りで あ る.(条 件

(A)に つ い ては §5.1を 参 照.)   こ の章 の結 果 を 下 記 の 二 つ の定 理 と し て述 べ,証 明は 次 の二 つ の §で与 え る.   定 理7.1.1  Rが

向 きづ け ら れ たm次

の境 界 ∂Rの 一 部分Sがm-1次 用 素A*の

元C∞ 級 多 様 体Mの

元C3級

単 純 超 曲 面 か ら成 る と し,偏

微分作

係 数aij(x),bi(x)はR∪SでC2級

であ り,b(x)=‖bi(x)‖

が条件

(A)を 満 た す とす る.こ と書 くと,SはRのA*に

の と き,∂Rに

お け る相 対 位 相 で考 えたSの

関 す るNeumann型

へ 同 相 に 埋 め 込 まれ る;正 確 に 述 べ る と,Sの 対 一 に 対 応 し, のとき  (7.1.1) {

部 分 領 域 で,そ

の とき

内 部 をS

理 想 境 界 の 本 質 的 部分S1の 各点zに

中

対 してS1の 点 ξzが一

 ⅲ

で 定 義 さ れ る 写 像 φ は,多 ク ト化R(そ のR∪

様 体Mの

部 分 空 間 と し て のR∪Sと,Rの

れ は コ ン パ ク ト距 離 空 間 で あ る;§6.2参

φ(S)と

部分 空 間 と して

の 同 相 写 像 を 与 え る.(Φ(S)={ξz￨z∈S}.)―

  こ の 定 理 の 仮 定 の も と で は,領 外 法 線nR≡nR(z)お が で き る.こ

照)の

コ ンパ

域Rの境

よ びb(z)の

界 点 と し て の 点z∈Sに

お け る単 位

法 線 成 分 βR(z)≡(b(z)・nR(z))を

考 え ること

の こ と を 用 い て 次 の 定 理 が 述 べ ら れ る.

  定 理7.1.2 

前 定 理 の 仮 定 の も と で,核

函 数N(x,y)は

 (7.1.2)

の 上 の 連 続 函 数 に 拡 張 さ れ,次 )  任 意 のz∈Sに

のⅰ),ⅱ),ⅲ)が

対 し て,N(z,y)はy∈R′

 ⅱ)  任 意 のy∈R∪Sと

上 の 定 理 で,xとyの

N(x,y)=0と

し て い る.

  注 意2 

核 函 数N(x,y)は

の 上 の 連 続 函 数 に 拡 張 さ れ て い る;注

れ ば,定

理7.1.2を

対 して

少 な く と も 一 方 がK0に

定 理6.2.2に

理7.1.1の

数 で あ る;

対 して

任 意 のz∈S＼{x}に

  注 意1 

か ら,定

の 極 小FH0函

任 意 のz∈S＼{y}に

)  任 意 のx∈R∪Sと

と が で き る.だ

成 り立 つ: ⅰ

属 し 

な ら ば,

よって

意1に

よ り上 のR′ ∪∂K0をRと

意 味 で 点z∈Sと

点 ξz∈S1と

書 くこ を 同一 視 す

述 べ る前 にN(x,y)は

を 含 む 集 合 に ま で 連 続 的 に 拡 張 さ れ て い る が,定 応(R×R)＼{(z,z}￨z∈R}の

理7.1.2で

はN(x,y)を

上 で 定 義 さ れ て い る も の と し て,そ

1.2)に

拡 張 す る と 考え る.定

理7.1.2が

z∈S)と

定 理6.2.2のN(ξ,y)(y∈R,ξ

対 応 と連 続 性 に よ りN(z,y)=N(ξz,y)な

証 明 さ れ れ ば,こ ∈ φ(S)⊂S)と

一

れ を(7.

のN(z,y)(y∈R,

の 間 に,(7.1.1)に

る 関 係 が あ る こ と は 当 然 で あ る.

よる

  §7.2  核 函 数N(x,y)の

滑 らか な境 界上 へ の拡 張

  この §で は 核 函 数N(x,y)をS上

の点 ま で連 続 的 に拡 張 す る.そ の た め に,

まず 境 界値 問 題 に 関 す るい くつ か の 準 備 をす る.   Mの

中 の 正 則領 域 Ω で,K0を

含 み,そ

の 閉 包 Ω が コン パ ク トな もの を 考

え る.こ の よ うな 任 意 の Ω に 対 し て,Ω′=Ω ＼K0に

お け る境 界 値 問 題

 (7.2.1)

の 核 函 数 を,§5.5に に お け る(7.2.1)と

お け る と 同 様 にNΩ(x,y)と

書 く,こ

の 函 数 は ま た,Ω

′

共 役 な 境 界値 問題

 (7.2.1*)

の 核 函 数 で も あ る.(第1章,定   (7.2.2)  のGreen函

理1.3.2)ま

Au=-f,u￨∂K0=φ0,u￨∂Ω=φ1 数 をGΩ(x,y)と

  (7.2.2*)  のGreen函

た,Ω′ に お け る 境 界 値 問 題

す る と,こ

れ は(7.2.2)と

A*υ=-f,υ￨∂K0=φ0,υ￨∂

共役な境界値問題

Ω=φ1

数 で あ る.

  前 の 二 つ の 章 で 用 い た 条 件(A)を 列{Dn}n=0,1,2,…

でD0⊃K0な

こ の と き 定 理5.1.1に

考 え,そ

の 中 の(5.1.8)を

る も の を 一 つ と っ て,今

よ り,集

満たす領域 の

後 こ れ を 固 定 し て お く.

合

  (7.2.3)

(R′=R＼K0)に

おけ る広 義 一 様 収 束 で

 (7.2.4)

が 成 立 す る.   x,yの

少 な く と も一 方 がK0に

と に よ り,函  (7.2.5) 

数N(x,y)は

属 し 

集合 [R×R]＼{(z,z)￨z∈R}

な ら ばN(x,y)=0と

定義す るこ

の 上 で 連 続 な も の と し て 扱 う こ と が で き る.   Mの

中 の 正則領 域 Ω で コ ン パ ク トな 閉 包 Ω を も ち,

  (7.2.6) 

D0⊂

な る も の を と る.今

Ω ⊂R,∂

後 し ば ら く,こ

∂Ω ′の 上 の 函 数 α(x)を

Ω ∩S⊂S

の よ うな Ω を 一 つ 固 定 し て 準 備 を 進 め る.

次 の よ うに 定 義 す る:

 (7.2.7)

 ここ で まず,境 界 値 問 題 Ω ′にお い て   (7.2.8) {

∂Ω′に お い て

お よび Ω ′に お い て  (7.2.8*) {

∂Ω′に お い て のGreen函

数G(x,y)を

こ の よ うなGreen函

構 成 す る.α(x)は 数 の 存 在 は 第1章

に 述 べ る よ うに し てG(x,y)を   αn(z)を

∂Ω′の 上 で0≦

に は 述 べ ら れ て い な い が,我

る 値 を と るC2級

の上 では

とな る もの と し,境 界 値 問 題

々は 以 下

構 成 す る こ とが で き る.

αn(z)≦1な

 (7.2.9) {

∂Ω′の 上 で 連 続 で は な い か ら,

の上では

の 函数 で あ っ て

Ω′に お い て  (7.2.10) {

∂Ω′に お い て のGreen函

数 をGn(x,y)と

す る と,こ

れ は(7.2.10)と

共 役 な境 界 値 問 題

Ω′に お い て  (7.2.10*) {

∂Ω′に お い て のGreen函

数 で も あ る.(第1章,定

理1.3.2)こ

の と き,函

数列

{αn(z);n=1,2,…} は ∂Ω′の 上 でnに

関 し て 単 調 増 加 で あ る か ら,第1章

は   (7.2.11) {

 )でnに

の 定 理1.3.5に

より

の 上(た だ し

関 し て単 調 増 加 で あ る;

従 って  (7.2.12) 

が 存在 す る;

極 限 函 数  xとyの

少 な く と も 一 方 が 

属 し,か

つ 

に

 (7.2.13) [

  こ のG(x,y)が ずx,y∈

所 要 のGreen函

Ω′か つ 

な ら ば, 

と な る.

数 に な る の で あ る が,そ

れ を 示 す た め,ま

ならば

 (7.2.14)

お よび

 (7.2.15)

が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.   Ω′でHolder連

続 な 任 意 の 函 数fを

と り,函

数

 (7.2.16)

を(7.2.2*)の て は υ=0で

形 の 境 界 値 問 題 の 解 と 考 え る;た あ る.だ

か ら υ はGΩ(x,y)を

だ し(∂ Ω ∩Dn)∪ ∂K0に

用 いて

お い

と 表 わ され る.こ

の 両 辺 の υ に(7.2.16)の

任 意 性 に よ り,す

べ て のx,y∈

と が わ か る.(7.2.15)も   さ て(7.2.14)に Ω′＼S( 

Ω′( 

右 辺 を 代 入 し た 式 を 書 け ば,fの )に

対 し て(7.2.14)が

成 り立 つ こ

同 様 な 方 法 で 証 明 さ れ る.

お い てn→

∞

と す る と,(7.2.12)に

よ り任 意 のx,y∈

)に 対 し て

 (7.2.17)

が 成 立 し,従

っ て ま た,任

意 のx∈

Ω′,y∈ ∂Ω＼Sに

対 して

( nに 関 し て 単 調  (7.2.18)

増 加 で収 束 す る)

そ こ で,(7.2.15)にお に よ り,任

意 のx,y∈

い てn→

∞

と す る と(7.2.12),(7.2.13)お

Ω′∪ ∂K0∪(Ω

∩S)( 

)に

よ び(7.2.18)

対 し て

 (7.2.19)

を 得 る.GΩ(x,y)とNΩ(x,y)の G(X,y)は ら,従

連 続 性 お よ び(7.2.17),(7.2.19)に

任 意 の 

より

で 連 続 な こ と が わ か るか

っ て ま た(7.2.17),(7.2.19)が

す べ て のx,y∈

Ω′( 

)で 成 立 す る

こ と が わ か る.   以 上 の 推 論 で,xとyの ( 

)に対

役 目を 入 れ 替 え る こ と に よ り,す

べ て のx,y∈

Ω′

して

 (7.2.20)

 (7.2.21)

が 示 さ れ る.   GΩ(x,y),NΩ(x,y)の に よ っ て,G(x,y)が

性 質 と(7.2.17),(7.2.19),(7.2.20)お 境 界 値 問 題(7.2.8)お

よ び(7.2.8*)のGreen函

よ び(7.2.21) 数 に な

る こ と が 験 証 さ れ る.特 z∈ ∂Ω ＼(∂Ω＼S)に

に 次 の 性 質 を 記 し て お く:任

意 のx,y∈

Ω′∪ ∂K0と

対 して

 (7.2.22)

 こ こ で 核 函 数NDn(x,y)(n=1,2,…)に   補 助 定 理7.2.1 ⅰ) 

x,y∈

つ い て 次 の こ と を 示 そ う.

Ω ∩D′n, 

な らば

 (7.2.23)

 ⅱ )  x∈Dn＼

Ω,y∈Dn∩

Ω′ な ら ば

 (7.2.24)

 ⅲ)  領 域 Ω の み に 関 係 す る正 の 定 数CΩ と番 号nΩ が存 在 し て,す n>nΩ

べ ての

に対 して

 (7.2.25)

  証 明  ⅰ) 任 意 の 函 数f∈C10(D′n),h∈C10(Ω′)を

と り

 (7.2.26)

な る 函 数u,υ

を 定 義 す る と, D′nに お い て

 (7.2.27)

Ω′に お い て 領域

Ω ∩D′nに お け るGreenの

公式に よ り

右 辺 の 境 界 積 分 に お い て,(7.2.27)に 上 の 積 分 は 全 く消 失 す る か ら,積

よ り 

の 項 は 消 失 し,ま

分 範 囲 は ∂(Ω∩Dn)と

た ∂K0の

書 い て よ い.よ

って

こ の 式 のu,υ

に(7.2.26)の

(7.2.23)がx,y∈

定 義 式 を 代 入 し,函

Ω ∩D′n, 

A*υ=0な  ⅲ) 

域

Ω と 任 意 の 函 数f∈C10(Ω

Ω ∩D′nに お け るGreenの

る こ と に よ り,ⅰ)の ま ずu0(x)≡1な

の 解 で あ る か ら,核

任 意 性 を 考 え れ ば,

に 対 し て 成 り立 つ こ と が わ か る. ⅱ

)  任 意 に 固 定 し た 点x∈Dn＼

に 対 し て,領

数f,hの

公 式 を 適 用 す れ ば,こ

証 明 と 同 様に し てⅱ)の

る 函 数 は,D′nに

函 数NDn(x,z)を

′)を と り,函

数

の領 域 で は

結 論 を 得 る.

お け る 境 界 値 問 題:

用い て

 (7.2.28)

と表 わ さ れ る;す

な わ ち,任

意 のx∈D′nに

対 し て 上 の 等 式 が 成 立 す る.次

領 域 Ω′に お け る 境 界 値 問 題(7.2.2)のGreen函  を 定 義 す る と,こ w￨∂ Ω=0,w￨∂K0=1を に よ り 

満 た す.従

数GΩ(z,y)を

に,

用い て函数

の 函 数 は Ω′に お い てAw=0,

っ て 調 和 函 数 の 性 質(第1章,定

理1.4.2)

は ∂Ω の上 で,い た る と こ ろ正 の値 を と る連 続 函 数 であ るか ら,

正 の最 小値 を とる.nが くか ら,∂Dn∩

増 大 す る と き ∂Dn∩ Ω は ∂Ω∩Sに 一 様 に近 づ い て い の最 小値 も,あ

Ω の 上 で の 

ら適 当 なnΩ とCΩ を とれ ば,す べ て のn>nΩ

る正 の値 に近 づ く.だ か

に対 し て

 (7.2.29)

と な る.さ

て,任

意 のn>nΩ

函 数 υ(z)=NDn(x,z)と るGreenの

を と っ て か ら,任

上 に 定 義 し た 函 数w(z)に

公 式 を 適 用 す る と,υ

とwが

意 の 点x∈Dn＼Ω 対 し て 領 域Ω

を 定 め, ∩D′nに お け

満 た す 方 程 式 と境 界 条 件 に よ って

が 得 られ る;す な わ ち

だ か ら(7.2.28),(7.2.29)に

と な る.こ

よ っ て

こ でxはDn＼

Ω の 任 意 の 点 で あ る か ら(7.2.25)が

  次 に,K0⊂

Ω0⊂Ω0⊂Rか

た と し,Ω0に

お け る 境 界 値 問 題(7.2.2)のGreen函

次 の 補 助 定 理 のⅰ),ⅱ)は

成 り立 つ.

つ Ω0が コ ン パ ク トで あ る 正 則 領 域Ω0が 数GΩ0(x,y)を

そ れ ぞ れ 前 の 補 助 定 理7.2.1のⅱ),ⅲ)と

与 え られ 考 え る と, 全 く同 じ

方 法 で 証 明 さ れ る.   補 助 定 理7.2.2 ⅰ) 

Dn⊃Ω0,x∈Dn＼

Ω0,y∈Dn∩

Ω′0なら ば

 (7.2.30)

 ⅱ)  Dn0⊃ Ω0な

るn0を

とる と

 (7.2.31)

 系  Dn0⊃ Ω0で あ っ て,Fが

領 域 Ω0に 含 ま れ る コ ン パ ク ト集 合 な ら ば

 (7.2.32)

 こ の 系 は,(7.2.30)の

な る こ と と(7.2.31)を   今 後,R∪Sを

右辺において

用 い れ ば,容

簡 単 にRと

に お け る 相 対 位 相 に 関 す るEの

書 く こ と に し,任 内 部 をIntR

正 則 領 域 Ω を 含 む 正 則 領 域 Ω1で,次   (7.2.33) Ω1は

易 に 示 さ れ る.

Eで

意 の 集 合E⊂Rに 表 わ す.前

対 し て,R

か ら固定 し て い る

の 条 件 を 満 た す も の を 一 つ 固 定 す る:

コ ン パ ク トで Ω1⊂Rか

つ Ω ⊂IntRΩ1.

  前 の 領 域 Ω に 対 す る 境 界 値 問 題(7.2.8),(7.2.8*)のGreen函 を 構 成 し た よ うに,Ω1に そ れ をG1(x,y)と

対 す る 同 様 な 境 界 値 問 題 のGreen函

書 く.こ

き 直 し て お く:x,y∈

数G(x,y)

のGreen函

Ω1∩D′n, 

数 を 構 成 し て,

数 を 用 い て(7.2.23)を

次 の よ うに 書

な らば

 (7.2.23′)

こ こ で,(7.2.23)に z∈ ∂Ω1∩Dnな

お け る 積 分 の 範 囲 を ∂Ω1∩Dnと

ら ばG1(x,z)=0な

る こ と を 用 い た.(7

積 分 範 囲 を 分 け る と次 の よ う に な る:x∈Dn＼Ω,y∈Dn∩

∂D n∩ Ω1と に 分 け, .2.24)も

同様に右辺の

Ω′な ら ば

 (7.2.24′)

  さ て,任 7.2.2の る.そ

意 の コ ン パ ク ト集 合E⊂Ω′1お

よびF⊂

Ω′ を と る と き,補

前 に 述 べ た 条 件 を 満 た す 領 域 Ω0でF⊂Ω0⊂Ω0⊂ こ でDn0⊃

に よ り,(7.2.23)の

Ω0∪Eな

るn0を

最 後 の 積 分 に お け る{…}内

∂Dn∩ Ω1に 関 し て 有 界 で あ っ て,n→ NDn(z,y)の

と れ ば(7.2.32)が

有 界 性(7.2.32)に

∞ の と き0に

よ り,x∈E,y∈Fに

助 定理

Ω と な る も の が あ

成 立 す る.一

方(7 .2.22)

の 式 はn>n0,x∈E,z∈ 収 束 す る .こ

の こ と と

対 して

 (7.2.34)

が 導 か れ る.(7.2.24′)の (7.2.22)を

用 い て,y∈Fに

最 後 の 積 分 に つ い て も 同 様 に し て,(7 対 して

 (7.2.35)

が 示 され る.   以上 の こ とを用 い て,次 の補 助 定 理 を 証 明す る.

.2.31)と

  補 助 定 理7.2.3 

領 域 Ω,Ω1お

述 べ た 通 り とす る と,コ 測 度 μ が 存 在 し て,核

よ びGreen函

数G(x,y),G1(x,y)を

ン パ ク ト集 合(∂Ω1＼S)×(∂Ω＼S)の 函 数N(x,y)は,x∈

上 に

上 の 有 界 なBorel

Ω′1,y∈Ω′, に

対 して

 (7.2.36)

  証 明   E⊂ Ω′1,F⊂ Ω′,E∩F=φ 任 意 の(x,y)∈E×Fに 合E,Fに

な る任 意 の コ ン パ ク ト集 合E,Fを

対 し て(7.2.36)が

成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い.こ

対 し て 上 に 述 べ た 条 件 を 満 た す 領 域 Ω0と 番 号n0を

対 し て(7.2.23′),(7.2.24′),(7.2.34),(7.2.35)を (7.2.23′)と(7.2.34)の z1と

書 き 直 す と,こ

文 字zをz1と

右 辺 第2項

が 成 立 す るz1の

範 囲 に 含 ま れ る.よ

に(7.2.24′)(xがz1に

用 い る こ と に す る.ま

書 き,(7.2.24′)と(7.2.35)の

に お け る 積 分 変 数z1の

ず

文 字xを 対 して 成 立

変 域 は(7.2.24′),(7.2.35)

っ て(7.2.23′)の

な っ て い る)の

の集

と り,n>n0に

れ ら の 四 つ の 等 式 は す べ て の(x,y)∈E×Fに

し,(7.2.23′)の

と り,

右 辺 第2項

右 辺 を 代 入 す る と,次

のNDn(z1,y)

の 等 式 を 得 る:

 (7.2.37)

こ こ で,右

辺 の 第2項,第3項,第4項

I(3)n(x ,y)と

書 き,各

  I(1)n(x,y)に Borel測

項 に つ い てn→

つ い て.コ

度 μnを

を そ れ ぞ れI(1)n(x,y),I(2)n(x,y), ∞

の と き の 極 限 を 考 え る.

ン パ ク ト空 間Ⅱ≡(∂

Ω1＼S)×(∂

Ω ＼S)に

お け る 次 の

考 え る:

にお い ては の外 部 の μn測度 は0. こ の と きI(1)n(x,y)は

コ ン パ ク ト空 間Ⅱ

の 上 の 測 度 μnに よ る 積 分 と考 え ら れ

る.(7.2.25)に

よ り,n1=max{n0,nΩ}と

で あ る か ら,測

度 の 列{μn}は

す る と

コ ン パ ク ト空 間Ⅱ

ら 適 当 な 部 分 列{μnν}を

と れ ば,こ

測 度 μ に 漠 収 束 す る.任

意 の(x,y)∈E×Fに

の 上 で 一 様 有 界 で あ る.だ

か

の コ ン パ ク ト空 間 上 の あ る 有 界 なBorel

式の'被 積分 函数' 

対 し て,I(1)n(x,y)を は(z,z1)に

つ い てⅡ

定義す る

に お い て連 続

で あ るか ら,上 に述 べ た 測 度 の部 分 列 の漠 収 束 に よ り  (7.2.38)

を得 る.こ

の右 辺 は(7.2.36)の

最 後 の 項 と同 じで あ る;上 の 式 で もⅡ が 二 つ

の超 曲面 の直 積 で あ る こ とを 意 識 す るた め に,積 分 記 号 を2重 に 書 い て お く.  I(2)n(x,y),I(3)n(x,y)に の 

つ い て.I(2)n(x,y)を

はx∈E,z1∈

∂Ω1∩Dnに

定 義 す る 式 の 被 積 分 函 数 の中

関 し て 有 界 だ か ら,(7.2.35)(xをz1

と書 き直 した も の)に よ っ て  は 

が 得 ら れ る.ま

を意 味 す る.

  以 上 に よ り,(7.2.37)に

お い て(7.2.38)が

考 え てν → ∞

辺 は(7.2.4)に

とす れ ば,左

任 意 の(x,y)∈E×Fに

対 し て(7.2.36)が

成 立 す る よ うな 部 分 列{nν}を よ っ てN(x,y)に 得 られ る.こ

が 示 さ れ た.   補 助 定 理7.2.4 ⅰ) 

核 函 数N(x,y)は

集合

 (7.2.39)

の上 の連 続 函数 に拡 張 され る.  ⅱ) 上 の拡 張 され たN(x,y)は  (7.2.40) 

 (7.2.41)

た,(7.2.34)

次 の境 界 条 件 を 満 た す:

任 意 のx(≡S,y∈(R∪S)＼{x}に

対 して

任 意 のy∈S,x∈(R∪S)＼{y}に

対 して

収 束 す るか ら, れ で 補 助 定 理7.2.3

  証 明  ⅰ)  Sに 含 ま れ る 任 意 の コ ン パ ク ト集 合 Γ と 任 意 のDn0と こ の と き 領 域 Ω と Ω1を,前 よ う に とれ る.こ え る と,補 Borel測 IntRΩ

に 述 べ た 条 件 を 満 た し か つIntRΩ

の Ω,Ω1に

助 定 理7.2.3に

対 応 す るGreen函

⊃ Γ な る こ と に よ り,コ

積 分 変 数z1,zの は(x,y)に

⊃Dn0∪

Ω′, 

Γ な る

数G(x,y),G1(x,y)を

述 べ た よ う に(∂ Ω1＼S)×(∂ Ω＼S)の

度 μ が 存 在 し て,x,y∈

を 与 え る.

に 対 し て(7.2.36)が

考

上 の有 界 な 成 立 す る.

ン パ ク ト集 合 Γ の 適 当 な 近 傍 は,(7.2.36)の

変 域 ∂Ω1＼S,∂ Ω＼Sか

ら 離 れ て い る か ら,(7.2.36)の

右 辺

ついて 集合

 (7.2.42)

の 上 で 連 続 な 函 数 を 表 わ し て い る.だ (7.2.42)の

か ら こ の 式 に よ り核 函 数N(x,y)は

上 の 連 続 函 数 と し て 定 義 さ れ る.x,y∈R′ 

の 値 は 初 め か ら 定 ま っ て い る か ら,こ と り方 に は 関 係 し な い.こ

集合

に 対 す るN(x,y)

の 連 続 的 拡 張 の Γ 上 で の 値 は Ω,Ω1の

こ で Γ はSの

中 で 任 意 に 大 き く と る こ と が で き,

n0も 任 意 に 大 き く とれ る か ら,N(x,y)は

集 合(7.2.39)の

上 の連 続 函数 に拡

張 さ れ る.  ⅱ)  上 のⅰ)の 証 明 か ら わ か る よ うに,集 し てN(x,y)が(7.2.36)で れぞれ

Ω,Γ

合(7.2.42)に

と し た 場 合 に つ い て 証 明 す れ ば よ い.こ

の 変 域 ∂Ω1＼S,∂ Ω ＼Sか 境 界 条 件(7.2.22)を

属 す る(x,y)に

表 わ さ れ て い る と し,(7.2.40∼41)のR,Sを の 場 合 に は,Γ

ら離 れ て い る こ と と,G(x,y)お

満 た す こ と に よ り,(7.2.40∼41)が

対 そ

がz1,z

よ びG1(x,y)が 成 り立 つ こ と は 容 易

に わ か る.

  以 上 で,N(x,y)が (7.1.2)と れ た が,こ

同 じ)ま

集 合(7.2.39)(そ

れ は 前 § に 述 べ た 定 理7.1.2の

で 拡 張 さ れ て 定 理7.1.2のⅱ),ⅲ)が

の § の 結 果 で は,Sは

こ の §の 結 果 を 用 い て 次 の §で'埋 の §の 結 果 と を 合 わ せ て,定

ま だ 理 想 境 界S1に め 込 み'の

理7.1.1と

成 り立 つ こ と が 示 さ 埋 め 込 ま れ て は い な い.

写 像 の 存 在 が 示 さ れ,そ

定 理7.1.2の

  下 記 の 補 助 定 理 は 次 の §で 用 い る も の で あ る が,こ

集合

れ と こ

証 明 が 完 成 す る.

の §で 準 備 し た こ と か ら

直 接 的 に 導 か れ る ので,こ

こで 証 明 し てお く.

  補助 定 理7.2.5  EがR′

∪Sの

パ ク ト集 合 で あ っ てE∩F=φ N(x,y)はE×Fに   証 明  E,Fに

閉 部 分 集 合,FがR′ な らば,前

∪Sに

含 まれ る コン

の 補 助 定 理 で 拡 張 され た 核 函 数

お い て 有 界 で あ る. 対 す る仮 定 に よ り,次 の条 件 を 満 た す 正 期 領 域 Ω で,コ

ンパ

ク トな 閉包 Ω を もつ ものが 存 在 す る:  (7.2.43) 

K0⊂

Ω ⊂Ω ⊂R,IntRΩ

こ の よ うな Ω を 一 つ 固 定 し,こ と,(7.2.24′)と(7.2.25)が y∈Dn∩

⊃F,Ω

∩E=φ.

れ に 対 応 す るGreen函

成 立 す る.(7.2,24′)を

数G(x,y)を

考 える

再 記 す る と:x∈Dn＼

Ω,

Ω′ な ら ば

 (7.2.24″)

ま た(7.2.25)に

よ り

 (7.2.25′)

(7.2.43) 

で あ る か ら,(7.2.25′)と

に よ り 

(7.2.24″)の

右 辺 第1項

に 対 して

と な る 定 数C′Ωが 存 在 す る.一 F∩Dn1と (7.2.35)が

方,任

意 の 番 号n1を

Ω0⊂Ω0⊂ Ω な る 正 則 領 域 Ω0を と る と,任 成 立 す る か ら,(7.2.24″)の

が 成 立 す る.だ

合 わ せ て,

か ら(7.2.24″)に

右 辺 第2項

お い てn→

∞

と っ て 一 応 固 定 し て お き, 意 のy∈F∩Dn1に に対 し て

とす れ ば

対 して

が 任 意 のx∈E∩R,y∈F∩Dn1に れ る か ら,こ (7.2.4)に

対 し て 成 立 す る が,n1は

の 式 は 任 意 のx∈E∩R,y∈F∩Rに

よ りN(x,y)≦C′Ω

7.2.4に

よ りN(x,y)が

E×Fの

上 でN(x,y)≦C′Ω

  補 助 定 理7.2.6    (7.2.44) 

と な る.こ

Ω はMの

D0⊂ Ω⊂R,∂

を 満 た す も の と す る.ま

対 し て 成 立 す る.だ

が(E∩R)×(F∩R)の

集 合(7.2.39)ま

任意に大 き くと

上 で 成 立 し,補

か ら 助定理

で 連 続 的 に 拡 張 さ れ て い る か ら, れ で 補 助 定 理7.2.5が

証明 さ れ た.

中 の 正 則 領 域 で コ ン パ ク トな 閉 包Ω を も ち, Ω ∩S⊂S 

(こ れ は(7.2.6)と

た 函 数wはRでC2級

同 じ 条 件)

で あ っ て,

では

 (7.2.45) 

とな る もの とす る.こ の と き任 意 のx∈R′

に対 し て 次 の 式 が成 立 す る:

 (7.2.46)

 証 明  任 意 の 函 数h∈C10(R′)を

とり

 (7.2.47)

と 定 義 す る.函

数hの

台 と 領 域 Ω と を 含 む 正 則 領 域 Ω1で 条 件(7.2.33)を

た す も の を と り,Ω,Ω1に を 考 え る.こ

対 応 す る前に 述 べ たGreen函

の と き 函 数N(x,y)(x∈

れ る か ら,(7.2.47)で

数G(x,y),G1(x,y) )が(7.2.36)で

定 義 さ れ た 函 数 υは Ω′に お い てA*υ=-hと   を 満 た す.一

を 満 た し,wとAwの

っ て(7.2.47)に

方wは(7.2.45)に

台 は Ω′に 含 ま れ る.だ

式 に よ って

と な り,従

Ω′1,y∈Ω′, 

よ り

満

表 さ な り

よ って

か ら Ω′に お け るGreenの

公

を 得 る.こ

こ でhがC10(R′)に

対 し て(7.2.46)が

成 立 す る.

属 す る 任 意 の 函 数 で あ る か ら,任

意 のx∈R′

に

  §7.3  埋 め 込 み 定 理 の 証 明

  こ の §で は 前 述 の 定 理7.1.1,定 で,証

理7.1.2を

証 明 す る が,§4.2と

同 じ形 式

明 の 各 段 階 を 補 助 定 理 と し て 述 べ て,そ れ ら を 証明 し て い く こ と に よ り,

前 述 の 定 理 の 証 明 を 完 成 す る.従

っ て 定 理7.1.1の

も の と し て 議 論 を 進 め る.Riemann計 y∈R∪Sの

距 離 をdis(x,y)と

量‖aij‖

仮 定 は 常 に 満 た され て い る に よ っ て 定 義 され る二 点x,

書 く こ と に す る.ま

た,ρ

は §6.2に お い てR

で 定 義 さ れ た 距 離 を 表 わ す.   補 助 定 理7.3.1  応 し て,Rの

任 意 の 点z∈Sに

対 し て,点ξz∈Sが

一 つかつ 唯一つ 対

とな る よ うな任 意 の 点 列{xν}に

中 の   と な る;こ

が 成 り立 つ.(N(ξz,y)は

の と き 任 意 のy∈R′

に 対 し てN(ξz,y)=N(z,y)

前 章 の 理 想 境 界 の 構 成 で 定 理6 .2.2に

れ た も の で あ り,N(z,y)は

対 して

前 §で 補 助 定 理7.2.4の

よ って 定 義 さ

結 果 とし て与 え られ た も

の で あ る.)   証 明   任 意 の 点z∈Sを

与 え る と,こ

れ に 対 し てRに

 と な る も の が と れ る.Rは

り,点 列{zn}はRの 部 分 列{znν}がSの

まRの

上 の 一 点 ξに,ρ

連 続 性(補

任 意 のy∈R′ か ら §6.2に

に 関 し て 収 束 す る: 

を 満 た す 任 意 の点 列{xν}を

け る 拡 張 さ れ たN(x,y)の

と な る.だ

距 離 ρに 関 し て コ ン パ ク トで あ

中に は ρに 関 す る集 積 点 を も た な い か ら,そ の適 当 な

中 に 

 (7.3.1) 

含 ま れ る 点 列{zn}で

助 定 理7.2.4)に

こ こ で{xν}がdis(xν,z)→0な

と る と,前

§に お

よ り

に対 し て

お け る 距 離 ρの 定 義((6

に よ っ て 

い

.2.3)お

よ び(6.2.4)を

見 よ)

とな り,上 の結 果 と合 わ せ て

る任 意 の点 列 で あ る こ とに よ り ,点

ξ∈Sは

点z∈Sに

よ っ て 一 意 的 に 定 ま る こ とが わ か る.よ   で あ り,ま

=N(z,y)を

た(7.3.1)に

っ て こ の ξを ξzと 書 け ば

よ り 任 意 のy∈R′

に 対 し てN(ξz,y)

得 る.

  補 助 定 理7.3.2 

z∈S,{yn}⊂R′

な ら ば,

で あ っ て 

 と な る.   証 明   前 §の 補 助 定 理7.2.4の 函 数N(x,y)は(7.2.36)の

証 明 か ら わ か る よ うに,集

表 現 式 を 用 い て 定 義 さ れ る も の で あ り,そ

域 Ω の 閉 包Ω が 点zお

よ び 点 列{yn}を

含 む と し て よ い.(7.2.36)に

  で あ るか ら,x,y∈ N(x,y)≧G1(x,y)が

成 り立 つ.一

(Ω をΩ1と

し た も の)がx,y∈Ω′1 

GΩ1(x,y)が

成 り立 つ.GΩ1(x,y)は

Green函

合(7.2.39)の

数 で あ る か ら,こ

Ω′(ただ し 

方G1(x,y)に

上 の こ で領 おい て

)に 対 し て

つ い て は(7.2.17)と

同 じ式

に 対 し て 成 立 す る か らG1(x,y)≧ 第1章

で 述 べ ら れ たDirichlet問

の 補 助 定 理 に お け るzと{yn}に

題の

対 し て 定 理1.3.8

に より

と な る.こ

の こ と と 前 の 補 助 定 理7.3.1と

  補 助 定 理7.3.3 

z∈S,{xn}⊂R′

か ら 直 ち に こ の 補 助 定 理 を 得 る.

で あ

な らば

っ て 

  で あ る.   証 明   結 論 を 否 定 す る と,Mに 列{xnν}が

存 在 し て,す

∩S⊂Sと

し て よ い.ま

た こ の と き,R′USに

∪Sに

(R′ ∪S)＼W(z)はR′

∪Sの

上 でN(x,y)≦Cと

が 成 り立 つ.仮

点 列{xn}の

と な る.こ

含 ま れ る コ ン パ ク ト集 合 で あ り,一 閉 部 分 集 合 で あ る か ら,補 な る 定 数Cが

す べ て のν,nに

定 に よ り 

固 定 す る と き距 離 ρ に 関 し てx∈Rの

あ る.従

部分

こ でW(z)

お け る 開 集 合W(z)∩R′

と な る も の が と れ る.点zと

か ら 成 る 集 合FはR′

 (7.3.2) 

近 傍W(z)と

べ て のν に 対 し て 

れ る点 列{yn}で, 

E×Fの

お け る 点zの

に含 ま 点 列{yn}

方,集

助 定 理7.2.5に

合E= よ り,

って

対 し てN(xnν,yn)≦C

で あ り,N(x,y)は

任 意 のy∈R′

連 続 函 数 で あ る か ら,(7.3.2)に

を

お いて

ν→ ∞

とす る と す べ て のnに

と な る.こ

対 し てN(ξz,yn)≦C

れ は 補 助 定 理7.3.2に

  補 助 定 理7.3.4 

反 す る.よ

任 意 の 点z∈Sに

っ て 補 助 定 理7.3.3が

対 し て,点ξz∈Sが

成 立 す る.

一 対 一 に 対 応 し,

の とき   (7.3.3)

の とき

で 定 義 され る写 像 Φ は,Mの

部 分 空 間 と して のR∪Sか

らRの

中への同相写

像 を 与 え る.―   こ の 補 助 定 理 に お い てSをS1と の も の に な る.我

す る こ と が で き れ ば,こ

々 は ま ず こ の 補 助 定 理 を 示 し,こ

れ は 定 理7.1.1そ

れ を 用 い て次 の補 助 定 理 を

証 明 す る と,そ

の 結 果 と し て Φ(S)⊂S1な

る こ と が わ か る.こ

助 定 理7.3.4と

を 合 わ せ て,定

得 られ る の で あ る.こ

方 はMartin境

界 に 対 す る §4.2と 全 く同 じ で あ る が,更

明 は 補 助 定 理4.2.5の

異 な る だ け で あ る.よ

れ る こ とは,補

らR(=R∪S)の

助 定 理7.3.1に

は 自 明 で あ る.任

意 の 点z∈Sに

像 Φ がRに

の 写 像 が 一対 一 で あ る こ と は お い て 同相 写 像 で あ る こ と

お け る Φ の 両 連 続 性 の 証 明 は 補 助 定 理4.2.5

に お け る 証 明 と全 く同 文 と な る.(引 用 す る 補 助 定 理4.2.2,補 そ れ ぞ れ 補 助 定 理7.3.1,補

助 定 理7.3.3と

  こ の 補 助 定 理 に よ りSはSの

助 定 理4.2.4を,

読 み 替 え る だ け で よ い.)

中 へ 同 相 に 埋 め 込 ま れ る か ら,以

コ ン パ ク ト部 分 集 合 をSの

  証 明   ま ず,Sに

意味が

中への一意写像 Φが定義 さ

よ っ て 示 さ れ,そ

よ っ て 示 さ れ る.写

函 数 と し て 極 小FH0函

号S,Rの

明の記述

っ て 証 明 の 筋 道 の み を 述 べ て お く.

よ りR∪Sか

  補 助 定 理7.3.5 

に 上 の補 助 定 理 の 証

用 す る 補 助 定 理 や 式 の 番 号 と,記

補 助 定 理7.3.3に

はSの

の 議論 の進 め

証 明 と全 く同 じ考 え 方 で あ る ば か りで な く,証

も ほ と ん ど 同 文 に な る;引

  ま ず(7.3.3)に

理7.1.1が

の こ と と上 の補

下において

コ ン パ ク ト部 分 集 合 と も考 え る.

任 意 のz∈Sに

対 し て,ξz∈S1で

あ り,N(ξz,y)はyの

数 で あ る. お け る 相 対 位 相 に 関 す る 開 集 合S＼{z}に

コ ン パ ク ト集 合 Γ を と る.Sを

補 助 定 理7.3.4に

含 まれ る任 意 の

よ っ て Φ(S)と

同一視す る

と,Sの

上 で非 負値 を とる連 続 函数 φ で次 の条 件 を 満 た す もの が 存 在 す る: Γ の 上 で は φ(ξ)>0で

あ り,台

がs＼{z}に

含 ま れ る;

  (7.3.4){

Sに   次 に,Mの

お い て はC2級

で あ る.

中 の 正 則 領 域 Ω で コ ン パ ク トな 閉 包Ω

の 仮 定(7.2.44)を に お い てC2級

満 た し て,か の 函 数wで

助 定 理7.2.6 の と きR∪S

次 の 条 件 を 満 た す も の が 存 在 す る;

では

 (7.3.5) 

(D0は

を も ち,補

つ ∂Ω ⊃ Γ な る も の を と る.こ

前 §参 照).更

にS＼Sに

  (7.3.6) 

Rに

よ っ てwは

補 助 定 理7.2.6に

お い て はw(ξ)=0と

お い て 連 続 で あ っ て,w￨s=φ

R′ に 対 し て(7.2.46)が

を 満 た す.

お け る 仮 定(7.2.45)を

成 立 す る;す

定 義 す る と,wは

満 た す か ら,任

意 のx∈

なわち

 (7.3.7)

と こ ろ が,こ

の 式 の 右 辺 はxに

含 む 領 域 Ω1,Ω2を (7.2.36)の

前 §の Ω,Ω1の

た,Awの

性 に よ っ て,(7.3.7)の

台 がΩ

右 辺 のR＼Ω

理6.4.1のⅰ)でμ

ら,yのFH0函

数 で あ る.だ

∪Sに

お け る(7.3.7)の

右 辺 の連 続

に お け る 連 続 性 が 示 さ れ る.)函 任 意 のx∈Rに

を

れ を 用 い てN(x,y)を

に 含 まれ る こ と と核 函 数N(x,y)の

お い て 連 続 で あ る か ら,(7.3.7)は

てN(ξz,y)は,定

連 続 な 函 数 を 表 わ し て い る.(Ω

よ う に と り,そ

形 に 表 現 す る こ と に よ り,R′

性 が 示 さ れ る.ま

Rに

つ い てRで

連続 数wも

対 し て 成 立 す る .さ

が 一 点 ξzに お け る点 質 量 の 形 で あ る か

か ら定 理6.6.1に

よ り標 準 表 現

 (7.3.8)

を も つ;μ1はS1の

上 の 測 度 で あ っ て,定

理6.4.2と

定 理6.2.2の

 (7.3.9)

を 満 た す.こ

の と き(7.3.6),(7.3.7),(7.3.8),(7.3.4)に

よ り

系2に

よ り

と な る か ら,φ り,Γ

が 非 負 値 で あ っ て Γ の 上 で は 正 な る こ と に よ り μ1(Γ)=0と

の と り方 の 任 意 性 に よ り μ1(S＼{z})=0と

と 書 く こ と が で き る.こ

こ で(7.3.9)に

な る.だ

よ りc≦1で

な

か ら(7.3.8)を

あ り,上

の式か ら

 (7.3.10)

c<1と

仮 定 す る と,yが

よ っ て ∞ に な る.一 よ う に と る と,補 界 で あ る か ら,連 (7.3.10)の

方,Mに

お け るzの

助 定 理7.2.5に

よ りN(ξz,y)はyの

よ り μ1(S1＼S)=0と

な る.す

な わ ち,補

函 数 と し て 極 小FH0函

か ら 定 理7.1.1が 定 理7.1.2に

助 定 理7.3.4の

成 立 し,ま

な る.

っ てc=1で

な る.以

か ら ξz∈S1と

  以 上 の 結 果 を ま と め る と 定 理7.1.1,定

上 で有

お い て も有 界 で あ る.従

ξzに 近 づ く と き 有 界 で あ る.よ

か ら(7.3.9)に

な る

よ りN(x,y)は(R′＼Ω)×W(z)の

μ1は 点 ξzに お け る 点 質 量 で あ る.だ のⅱ)に

の 式 の 左 辺 は 補 助 定 理7.3.2に

近 傍W(z)をW(z)⊂IntRΩ

続 性 に よ り(S＼S)×W(z)に

右 辺 はyが

な ら な い.だ

ξzに近 づ く と き,上

理7.1.2の

なければ

上 に よ り標 準 測 度

な り,従

っ て 定 理6.6.2

数 で あ る. 証 明 が 得 られ た こ とに

ξzが 補 助 定 理7.3.5に

た 補 助 定 理7.2.4と

って

よ っ てS1に

補 助 定 理7.3.5を

属す る

合 わせ ると

あ と が き,文

献 な ど

  本 書 を 執 筆 す る に 当 っ て 直 接 参 考 に し た 文 献 と,本

書 の内 容 に関 連 す る書 物

の う ち 比 較 的 入 手 し や す い も の を い く つ か あ げ よ う.関

係 書 の完 全 な リス トで

は な い こ と を お 断 り し て お く.   本 書 を 読 む た め の 予 備 知 識 と し て は,一 系 の 教 養 課 程 修 了 程 度)と 容 の 性 格 上,2階 [1] 

般 的 事 項 は 解 析 学 の 基 礎(大

学理 工

函 数 空 間 の 入 門 部 分 程 度 で 十 分 で あ る が,本

書 の内

の楕 円 型 お よび放 物 型 偏 微 分 方程 式 に 関 して本 叢 書 中 の 拙 著

伊 藤 清 三:拡

散 方 程 式(紀

伊 國 屋 数 学 叢 書),1979

に 述 べ られ た 事 項 を 随 時 引 用 し た.そ

れ ら の 事 項 は,古

場 合 に つ い て は よ く知 ら れ た事 実 ば か りで あ る が,本

典的 なラプラシアンの

書 で 取 扱 う変 数 係 数 の 楕

円 型 偏 微 分 作 用 素 に 適 合 した 形 で 述 べ ら れ た 結 果 を 引 用 す る 方 が 便 利 で わ か り や す い と考 え た の で,[1]を

引 用 す る こ と に し た.そ

ち 本 書 で 直 接 引 用 す る事 項 を ま と め て,第1章 られ て い な い こ と で,あ 証 明 を 与 え て あ る.た

だ し,楕

は 下 記[2],[3],[4](§5.6)の N.Aronszajn:A

tic equations

に記 述 し た.更

と で 必 要 に な る 事 項 を も 追 加 し て,そ

数 の 一 致 の 定 理 に 相 当 す る)は

[2] 

の た め に,[1]の

内容 の う

に,[1]に

述 べ

れ らは ほ とん ど

円 型 偏 微 分 方 程 式 の解 の 一 意 接 続 定 理(調 紙 数 の都 合 で 証 明 を省 い た の で,こ

和函

れ に関 して

い ず れ か を 参 照 さ れ た い: unique

or inequalities

continuation

theorem

for solutions

of second  order,J.Math.Pures

of ellip Appl.,36

(1957),235-249; [3] 

H.O.Cordes:Uber

tischer

die eindeutige

Differentialgleichungen

durch

Bestimmtheit

der Losungen

ellip

Anfangsvorgaben,Nachr.Akad.

Wissenseh.Gattingen,Math.-Phys.Kl.IIa:Nr.11(1956),239-258; [4]    第2章

熊 ノ郷 準:偏 で は,ポ

微 分 方 程 式(共

立 数 学 講 座),1978.

テ ン シ ャ ル 論 に お け る基 礎 的 事 項 の う ち 本 書 に お い て 必 要 最

少 限 度 の こ と を,一

般 の 楕 円 型 偏 微 分 作 用 素 に つ い て や や 詳 し く 述 べ た.古

的 結 果 やRiemann面

の 場 合 に つ い て は 多 く の 文 献 が あ る が,次

て お こ う([7]は [5] 

本 書 の 主 要 部 で あ る 第3章

M.Brelot:Elements

de

Documentation [6] 

・第6章

la theorie

classique

Universitaire,Paris,3e

典

の もの を あ げ

に も 密 接 に 関 係 す る): du

potential,Centre

de

ed.1965;

L.V.Ahlfors-L.Sario:Riemann

surfaces,Princeton

Univ.

Press,

1960; [7] 

C.Constantinescu-A.Cornea:Ideale

Rander

Riemannscher

Flachen,

Springer,1963; [8] 

L.Sario-M.Nakai:Classification

theory

of

Riemann

surfaces,

Springer,1970; [9] 

中 井 三 留:リ

  第3章

ー マ ン 面 の 理 論(森

はMartinの

下 記 の論 文 にお け る理 想 境 界 の構成 を楕 円 型 偏微 分 作 用

素 に 適 用 し た も の で,こ [10] 

北 出 版),1980.

の 論 文 は 本 書 の 意 味 の 理 想 境 界 の 理 論 の 最 初 で あ る:

R.S.Martin:Minimal

positive

harmonic

functions,Trans.Amer.

Math.Soc.,49(1941),137-172. こ の 論 文 中 に 述 べ ら れ た 理 想 境 界 の 位 相 に つ い て の 予 想 に 対 す る 反 例 が, [11] 

A.Anocona:Une

propriete

de

la

compactification

d'un

domaine

euclidien,Ann.Inst.Fourier,29(1979),71-90 に 与 え ら れ て い る.Martin境

界 が通 常 の滑 らか な境 界 を含 む こ とは 当然 期 待

さ れ る べ き こ と で あ る か ら,そ

の 証 明 を 次 の[12]に

[12] 

S.Ito:Martin

second   第5章

order は,第6章

も の で,[6]の [13] 

boundary in

a

linear

elliptic

の 準 備 を お も な 目 的 と し,い

第3章

お よ び 下 記[13],[14]に

finite Dirichlect

Univ.,8(1968),169-198;

differential

で 与 え た: operators

of

manifold,J.Math.Soc.Japan,16(1964),307-334.

H.Yamaguchi:Regular

with

for

従 っ て 第4章

operators integral

on

open

くつ か の関 連 事 項 を付 記 した

従 っ て 記 述 さ れ て い る: and

spaces

Riemann

of

harmonic

functions

surfaces,J.Math.Kyoto

[14] 

S.Ito:Regular

of second

mapping

order

associated

with

elliptic

differential

operators

in a manifold,J.Fac.Sci.Univ.Tokyo,Sec.I,16(1969),

203-227.   第6章 [15] 

の 倉 持 境 界 の 理 論 は,そ Z.Kuramochi:Mass

Riemann

distribution

surfaces,II,Osaka

に よ っ て 創 始 さ れ,[7]に [16] 

の名 称 の通 り on

the

ideal

boundaries

Math,J.,8(1956),145-186

お い て 詳 し く 論 じ ら れ て い る が,[15]の

M.Ohtsuka:An

elementary

J.Sci.Hiroshima

introduction

of

Kuramochi

書 第6章

で は,大

筋 は[16]に

作 用 素 が 形 式 的 自 己 共 役 で な い た め の 技 術 的 な 点 は 第5章 S.Ito:Ideal

differential

主要 部 分 は boundary,

Univ.,Ser.A-I,28(1964),271-299

に よ っ て 易 し く 書 き 改 め ら れ た.本

[17] 

of abstract

boundaries operators

of

of second

Neumann

type

従 い,偏

微 分

の 結 果 を 用 い て,

associated

with

elliptic

order,J.Fac.Sci.Univ.Tokyo,Sec.

I,17(1970),167-186 に 従 っ て 記 述 し た.第7章

はMartin境

界 に 対 し て 果 た す も の で,[17]の   Martin境 係 し,こ

界

界 に 対 す る 第4章

続 篇(同

巻519-528ペ

・倉 持 境 界 は 確 率 論 に お け るMarkov過

の 方 面 の 文 献 も 多 い が,例

ー ジ)に

従 っ た.

程 の 理 論 に も密 接 に 関

え ば[17]のReferences中

M.Fukushima,T.Shiga-T.Watanabeに 倉 持 境 界 の 高 次 元 へ の 拡 張 は,同

と 同 じ役 目 を 倉 持 境

のM.G.Sur,

よ る 各 論 文 を 見 ら れ た い.な じ く[17]のReferences中

お,

のF.-Y.Maeda

の 論 文 に も 扱 わ れ て い る.   ポ テ ン シ ャ ル 論 やRiemann面

に 関 す る 理 論 の 解 説 書 と し て は,上

記[5]∼[9]

の 他 に, [18] 

岸 正 倫:ポ

[19] 

倉 持 善 治 郎:リ

な ど が あ り,そ

テ ン シ ャ ル 論(森 ー マ ン 面(共

北 出 版),1974; 立 出 版),1978

れ ら の 巻 末 に は こ の 方 面 の 詳 し い 文 献 表 が 与え

ら れ て い る.

索

引

検 索 の便 宜 の た め,一 部 の術 語 は2箇 所 に採 録 す る.

A A-調 和(函 数)  17,41

H 半群 性

A*-調 和(函 数)  41

(基本 解 の)  21

A-優 調 和   59

(最小 基 本 解 の)  26

A*-優 調 和   59

半連 続(函 数)  55 B

Harnackの

補 題  45

Harnackの

定理

漠 収 束   53

―

第1定 理   44

Borel測 度  53

―

第2定 理   45

比 較 定 理   42 D

本質的部分

楕 円型(偏 微 分)方 程 式   17

(Martin境

楕 円型 偏 微 分 作 用 素   14

(Neumann型

楕 円型 境 界 値 問 題   17,29

界 の)  116 理 想 境 界 の)  216

表現定理

Dirichlet境 界 条 件   17,19

正 値 調 和 函 数 の―

Dirichlet(境 界 値)問 題   17

正 値 優 調 和 函 数 の―

  110   125

標準測度 F FH函

数   192

FH0函

(Martin境

数   192

理 想 境 界 の場 合)  222

標 準 表現

不 変 測 度(基 本 解 の)  37

(Martin境

FSH函

(Neumann型

FSH0函

界 の場 合)  117

(Neumann型

数   192

界 の場 合)  118 理 想境 界 の 場 合)  222

数   192 I

Fσ 集 合   116 一 意 接 続 定 理   48 G Green函

数  30,39

Greenの

公 式   16

K 核 函 数(Martinの)  核 函 数(Neumann型) 

91 164

拡 散 方 程式   19 (形式 的)共 役 偏微 分 作 用 素   15

基 本 解(拡 散 方 程式 の)  19

S

基 本 解 の 半群 性   21

最 大値 原 理(調 和 函 数 の)  42

広 義 一様 収束  44

最 大値 ・最 小 値 原 理  42,47

区 分 的 に滑 らか(函 数 が)  50

最 小 基 本 解  26

倉 持 コ ンパ ク ト化   186

最 小値 原 理

倉 持 境界   186

(調和 函数 の)  42

境 界条 件   15,17,18 極 小(FH0)函

(優調和 函 数 の)  64

数   221

極 小(正 値 調和)函 数   112

正 則(な 集 合)  13 正 則 写 像   152,154,177 真 の解   49

M Martin型

理 想 境 界  99

Martinコ

ンパ ク ト化   99

Martin境

界  99

下(に)半 連 続   55 初 期 条 件   17,18

T 端 点 的(FH0)函 N

Neumann型

核 函 数   164

Neumann型

コ ンパ ク ト化  186

Neumann型

理想 境 界   186

Neumann函

数  38

Neumann境

界条 件   17,19

Neumann(境

数  221

端 点 的 函 数   113

界値)問 題   17

U 上(に)半 連 続   55

Y 弱 い解   48,49 優 調 和(函 数)  59

P ポ テ ンシ ャ ル   178

Z

ポ テ ンシ ャ ル の核   178

全 調 和 函 数   192 全 優 調 和 函 数   192

R Riesz分

解   83,86,196

伊

著

者

藤

清

三

1927年 三重 県に生 まれ る.1950年 名古 屋 大学 理学部数 学科卒業. 現在,東 京大学名誉教授,杏 林 大学教授, 理学博 士. 主な著書:ル ベーグ積分入 門(裳華房数 学 選書),偏 微 分方程式(培 風館新 数学 シ リ ーズ),関 数解析Ⅲ(岩 波講座基礎数 学), 拡散 方程式(紀 伊國屋数学叢書).

優 調 和 函 数 と理 想 境 界 1988年10月18日 

第1刷

発行

発行所 

株式 会社 

紀伊 國屋書店

東 京 都 新宿 区 新 宿3の17の7 電 話  03(354)0131(代 振 替 出 版 部  東 電

C  Seizo Ito PRINTED

1988 IN

JAPAN

口 座 

表)

東 京9-125575

京 都 世田 谷 区 桜丘5の38の1 話 03(439)0125(代 表) 郵 便 番 号  156

印 製

刷   研 究 社 印 刷 本   三 水 舎

紀 伊 國 屋 数 学 叢 書 に つ い て

  数 学 を学 ぶ には い ろ い ろの 段 階 が あ るが,いず

れ の場 合 で も書 物 な ど

に よ って 自学 自習 す る こ とが 最 も重 要 で あ り,単 に講 義 を聞 くとい う よ うな受 動 的 な勉 強 だ け で は,は な は だ 不 十 分 で あ る.   み ず か ら学 ぶ た めに 現在 い ろ い ろ な 数学 書 が 出 版 され て い る.し

か

し,数 学 の 進 歩 は 極 め て基 礎 的 な 考 え方 に 対 して さえ 常 に影 響 を与 え て お り,従 って どの よ うな 段 階 の 勉 強 で あ って も,常 に 新 しい考 え 方 を理 解 す る こ とが 必 要 で あ る.こ の た め に は,数 学 の 過 去 と将来 と を結 ぶ 視 点 か ら書 か れ た 書 物 が 数 多 く出版 され る こ とが 望 ま しい.即 ち,新

しい

視 点 と古 典 的 な 視 点 と を見 く らべ,基 本 的 な こ と を も将 来 の発 展 を考 慮 した 視 点 か ら説 明 す る とい う立 場 で 書 かれ た書 物 が 要 望 され て い る.   本 叢 書 は この よ うな 要 望 に応 え て 企画 さ れ た もの で あ って,各 巻 が大 学 理 工 学 系 の 専 門 課 程 の 学 生 また は 大学 院 学 生 が それ ぞれ の分 野 で の話 題,対 象 に つ い て入 門 の 段 階 か らあ る程 度 の深 さま で勉 学 す る た め の伴 侶 と な る こ と を 目指 して い る.こ の た め に 我 々は 各 巻 の話 題 の 選 択 に つ い て,十 分 配 慮 し,現 代 数 学 の 発 展 に とっ て重 要 で あ り,ま た既 刊書 で 必 ず し も重 点 が 置 か れ て い な い もの を選 び,各 分 野 の 第 一線 で 活躍 して お られ る数 学 者 に 執 筆 をお 願 い し てい る.   学 生 諸 君 お よび 数 学 同 好 の方 々が,こ の 叢書 に よっ て数 学 の種 々の分 野 にお け る基 本 的 な 考 え方 を理解 し,ま た 基 礎 的 な知 識 を会 得 す る こ と を期 待 す る と と もに,更 に 現 代数 学 の 最 先 端へ 向 か お う とす る場 合 の基 礎 と もな る こ と を望 み た い.