Новые учебные эксперименты по электронно-оптическим исследованиям сверхслабых световых потоков

Измерение динамической вязкости жидкости по затуханию колебаний камертона Физическое образование в вузах. Т. 8, № 4, 2002

117

Измерение динамической вязкости жидкости по затуханию колебаний камертона А.Г. Жданов, А.П. Пятаков Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет Предлагается методика определения динамической вязкости жидкости по затуханию колебаний высокодобротного камертона. Данный метод может быть использован для создания лабораторной установки при обучении основам теории колебаний и явлений переноса. Благодаря ряду преимуществ (работа с малыми объёмами жидкостей - менее 1 мл, возможность работы в режиме реального времени в широком диапазоне значений вязкости жидкости), установка может быть также полезна в ряде практических приложений, например при биореологическом анализе крови.

Введение Вискозиметры – приборы для измерения вязкости – в настоящее время широко применяются в различных областях науки и техники для исследования вязкоупругих свойств различных веществ (в основном жидкостей) [1]. По принципу работы существующие модели вискозиметров можно разделить на четыре основных группы: капиллярные, ротационные, с падающим шариком, вибрационные [1-4]. Капиллярные вискозиметры основаны на определении вязкости по измерению скорости вытекания струи жидкости или газа из капилляра. В ротационных вискозиметрах измеряется крутящий момент, передаваемый через исследуемую жидкость от одного цилиндра (конуса или сферы) другому. В вискозиметрах с падающим шариком вязкость определяется по установившейся скорости падения шарика в исследуемой среде. В вибрационных вискозиметрах вязкость определяется по затуханию колебаний зонда осциллятора, помещённого в исследуемую жидкость [1]. Большинство существующих моделей вискозиметров предполагают работу со сравнительно большими объёмами жидкостей (50 мл и более) [2], что не всегда возможно, например, при исследовании дорогих или токсичных жидкостей, а также при реологическом анализе крови [4]. Предлагаемая в данной работе оригинальная методика измерения вязкости по затуханию колебаний камертона свободна от этого недостатка, так как не требует погружения колеблющегося тела в исследуемую жидкость: капли вещества наносятся на поверхность камертона. Это позволяет уменьшить объем пробы до 1 мл и менее. Кроме того, описываемая лабораторная модель вискозиметра позволяет проводить измерения в режиме реального времени. Простота конструкции и

118

А.Г. Жданов, А.П. Пятаков

доступность её компонентов делает лабораторную модель гораздо более дешёвой, чем промышленно выпускаемые приборы. С методической точки зрения работа интересна как иллюстрация к изучаемым в рамках курса общей физики явлениям переноса. На примере задачи о поведении капли, расположенной на колеблющемся камертоне, учащийся знакомится с процессом передачи импульса в вязких средах, реализующимся в виде так называемой вязкой волны # поперечной волны, движение в которой от слоя к слою передается силой вязкого трения. Так как принцип определения вязкости в предлагаемой методике основан на измерении декремента затухания камертона, то эта работа может быть также использована в лабораторном практикуме по теории колебаний. Экспериментальная установка и принцип ее действия Основной частью экспериментальной установки является высокодобротный (добротность Q = 8500) лабораторный камертон [КАМ] (собственная частота f=1600 Гц), представляющий собой П-образную металлическую рамку. Камертон зажимается в механический зажим [МЗ]. Для предотвращения утечки энергии колебаний контакт стержня [С] и зажима [МЗ] осуществляется через механический изолятор [МИ]. На поверхность камертона (на его «ножки») наносятся капли [К1 и К2] исследуемой жидкости, размеры которых для большей точности могут быть измерены окуляр-микрометром микроскопа [МС]. Колебания камертона возбуждаются деревянным молоточком [ДМ] и регистрируются с помощью микрофона [МФ], подключённого к компьютеру [ПК] (см. рис. 1). Эксперимент хорошо воспроизводим, поэтому все измерения могут быть проведены многократно, а данные – статистически обработаны. Теоретическая часть Для корректной интерпретации полученных результатов возникает необходимость теоретического описания поведения капли на поверхности осциллятора и нахождения связи декремента затухания γ гармонических колебаний камертона ( , где τ – время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз) с динамической вязкостью среды. При колебании камертона и, следовательно, подножия капли по капле вверх бежит вязкая волна – волна, обусловленная вязкостью среды (капли). Такая волна является поперечной: частицы среды колеблются горизонтально, то есть перпендикулярно направлению распространения колебаний (волна бежит вверх). Рассмотрим слой жидкости массой , совершающий колебания под действием

Измерение динамической вязкости жидкости по затуханию колебаний камертона

119

Рисунок 1. Экспериментальная установка: КАМ - камертон, К1, К2 - капли исследуемой жидкости, ДМ - деревянный молоточек, С - стержень, М3 - механический зажим, МИ механический изолятор, МФ - микрофон, МС - микроскоп, ПК - персональный компьютер

Sρ

результирующей сил вязкого трения со стороны нижележащего и вышележащего

ΔV x ( z , t ) ∂V F Fxx( z, t(силы ) = − Δm поверхностного натяжения в данной модели не учитываются). Основное Fxx( z=+ηΔ⋅zS, t )⋅ − слоев Δt ∂уравнение z динамики для него запишется в виде:

,

(1)

ãäå ýëåìåíò ìàññû Δ m = ρ ⋅ S ⋅ Δ z ( - ïëîòíîñòü æèäêîñòè, - ïëîùàäü ñëîÿ, Δ z – òîëùèíà ñëîÿ). Â òî æå âðåìÿ äëÿ ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ èìååì (ôîðìóëà Íüþòîíà):

.

(2)

Подставляя (2) в (1), получаем:

η

∂ 2V x ( z , t ) ∂V = −ρ x . 2 ∂t ∂z

(3)

120

А.Г. Жданов, А.П. Пятаков

Решение дифференциального уравнения (3) ищем в виде:

V x = a ⋅ exp(iω ⋅ t + ikz ) + b ⋅ exp(iωt − ikz ) ,

(4)

где первое слагаемое соответствует волне, бегущей от поверхности камертона вверх по капле, а второе – волне, отраженной от верхней границы капли и бегущей вниз. Ïîäñòàâëÿÿ îáùèé âèä ðåøåíèÿ (4) â óðàâíåíèå (3), íàõîäèì:

k2 =

iωρ

η

.

(5)

Это означает, что и для параметра затухания (d), и для волнового числа (k) получаем:

δ =k =

ω⋅ρ 2η

,

(6)

îòêóäà äëÿ äëèíû çàòóõàíèÿ (ðàññòîÿíèÿ, íà êîòîðîì ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé â e ðàç) è äëèíû âîëíû èìååì, ñîîòâåòñòâåííî:

l=

2η ; ω⋅ρ

λ = 2π

2η . ω⋅ρ

(7)

Это является одним из свойств вязкой волны: длина затухания с точностью до множителя 2π совпадает с длиной волны. Чтобы найти зависимость скорости слоя капли от времени и высоты, нужно рассмотреть граничные условия, которые записываются следующим образом:

Vx (t ) z =0 = V0 ⋅ exp(iω ⋅ t )

(8а)

∂Vx (t ) ∂z

(8б)

=0 z =H

Условие 8(а) соответствует самому нижнему слою капли (z = 0), колеблющемуся вместе с камертоном. Граничное условие для свободной границы 8(б) соответствует самому верхнему (z = H) слою капли. Для амплитуд получаем:

121

Измерение динамической вязкости жидкости по затуханию колебаний камертона

(

(9а)

1 1 + exp 2 H − 2 H i , l l

(9б)

b = V0 ⋅

где

)

exp 2 H − 2 H i l l a = V0 ⋅ , H H 2 2 − i 1 + exp l l

(

(

)

)

H - высота капли, V0 – амплитуда скорости колебаний камертона в месте

нахождения капли, ω – циклическая частота колебаний. Для решения уравнения (3) с учетом соотношений (9а, 9б) получаем:

.

(10)

Äëÿ àìïëèòóäû ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ (ïî ôîðìóëå Íüþòîíà), äåéñòâóþùåé ñî ñòîðîíû êàïëè íà ïîâåðõíîñòü êàìåðòîíà, èìååì:

Δt Vx ( z, t ) =

V0 exp(iω ⋅ t ) ⎛ ⎛ (1 − i)(2 H − z ) ⎞ ⎛ z − zi ⎞ ⎞ ⋅ ⎜⎜ exp⎜ ⎟ + exp⎜ ⎟⎟ 2 H −l 2 H i ⎠ l ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ i 1 + exp 2 H − 2ηH ⎝ 1 − exp SVl0 l l l F0 = ⋅ , 2 H 2 H l 1 + exp − i l l

(

)

( (

) )

(11)

где S – площадь основания капли. Так как энергетические потери состоят из двух частей: энергетические потери за счёт излучения (без капли) -

ΔW0 и за счёт вязкого трения в капле - ΔWâÿç , то

справедливо соотношение:

ΔW = ΔW0 + ΔWâÿç , где ΔW - общая энергия потерь за небольшой промежуток времени

(12) .

122

А.Г. Жданов, А.П. Пятаков

Тогда из формулы (12): ,

(13)

где k ýôô – эффективный коэффициент жёсткости камертона, A0 - амплитуда колебаний камертона, γ и - декременты затухания с каплей и без неё. С другой стороны, учитывая формулы (6), (10) и (11), получим:

ΔWâÿç

Δt =4 T

T

( (

) )

2ηωρ ⋅ Δtω 2 A02 S exp 2 H l − 2 H l i − 1 ⋅ (14), 4 exp 2 H − 2 H i + 1 l l

4

∫ N ⋅ dt = 0

где N = F ⋅ V - мощность потерь;

.

Приравняв (13) и (14), получим:

2ηωρ = 4k ýôô

(γ − γ 0 ) S

⋅

1

ω2

⋅

( (

) )

exp 2 H − 2 H i + 1 l l . H H 2 2 i −1 exp − l l

(15)

Ïðåîáðàçîâàâ (15), èìååì:

η=

2 8k ýôô (γ − γ 0 )

ρω 5 S 2

2

( (

) )

2

⎛ exp 2 H − 2 H i + 1 ⎞ ⎟ l l ⋅ ⎜⎜ . 2 2 H H ⎜ exp − i − 1 ⎟⎟ l l ⎠ ⎝

(16)

Так как параметр затухания l зависит от вязкости (формула 7), то задача нахождения величины динамической вязкости η в общем случае приводит к решению трансцендентного уравнения (16). Однако в большинстве практически важных случаев, когда длина вязкой волны много меньшей высоты капли,

множитель

приближенное равенство:

, примерно равен единице и справедливо

Измерение динамической вязкости жидкости по затуханию колебаний камертона

2 2 8k ýôô ⎛ (γ − γ 0 ) ⎞ η≈ ⋅⎜ ⎟ . ρω 5 ⎝ S ⎠

123

(17)

Соотношение (17) и является рабочей формулой, так как связывает динамическую вязкость (определяемую величину) с измеряемыми экспериментально величинами и эффективным коэффициентом жёсткости камертона k ýôô . Калибровка прибора производится путём нахождения этого коэффициента. Методика эксперимента

γk ýôô (s )

Как следует из теоретической модели, для большинства жидкостей вязкость можно определить по формуле (17), в которую входят площадь капли S и разность декрементов затухания с каплей и без неё (γ − γ 0 ) . Независимость от внешних условий достигается тем, что разность декрементов (в отличие от самих декрементов) от внешних условий не зависит. Из соотношения (17) следует, что измерение динамической вязкости η сводится к нахождению угла наклона графика зависимости декремента затухания от площади капли. Эффективный коэффициент жесткости камертона находится по зависимости для жидкости с известной вязкостью (применялась вода и растворы глицерина в воде). Анализ условий измерения показывает, что основным источником погрешности в формуле (17) является неточность измерения площади капли (при достаточно больших размерах ее форма становится неправильной). Возможны два пути уменьшения этой ошибки: а) измерение размеров капли с помощью окуляр-микрометра микроскопа; б) анализ статистического набора данных для зависимости γ (s ) , которая предполагается линейной, методом наименьших квадратов. Â ðàáîòå áûëè èñïîëüçîâàíû îáà ýòèõ ñïîñîáà. Анализ результатов калибровки лабораторной модели вискозиметра позволяет оценить ее технические характеристики. Технические характеристики:

· Объем пробы менее 1 мл · Диапазон измерений ~0.1-5000 мПа·с · Временное разрешение (при работе в режиме реального времени) ~5 c · Точность измерений 5-10%

124

А.Г. Жданов, А.П. Пятаков

· Интервал рабочих температур ограничен только температурами фазовых переходов исследуемых жидкостей и рабочим диапазоном работы микрофона. Результаты На рисунке 2 показаны зависимости декремента затухания от площади

Рисунок 2. Зависимости декремента затухания от площади капли: а) вода, б) 43% раствор в воде.

капелек для воды и для 43% раствора глицерина в воде (точки соответствуют экспериментальным данным, кривая – их линейная аппроксимация). Линейность зависимости согласуется с теоретическими предсказаниями. Стоит заметить, что экспериментальные данные для глицерина лучше ложаться на прямую. Это связано с тем, что капли раствора глицерина вследствие большей вязкости деформируются меньше. На рисунке 3 показана зависимость вязкости от разности декрементов затухания в пересчёте на каплю единичной площади для различных растворов глицерина в воде. Точки – экспериментальные данные, кривая – их параболическая аппроксимация. Результаты этой серии экспериментов, хорошо согласуются с теоретически предсказанной квадратичной зависимостью (см. формулу 17). Следует отметить, что калибровку прибора целесообразнее проводить, используя капли не только разной площади, но и разной вязкости, то есть

Измерение динамической вязкости жидкости по затуханию колебаний камертона

125

аппроксимируя зависимость не только от площади γ(s) (рис. 2), но и от вязкости γ(η) (рис. 3).

Рисунок 3. Зависимость вязкости η от разности декрементов затухания (γ−γ0) для растворов глицерина в воде с различным процентным содержанием. Точки - экспериментальные данные, кривая - параболическая аппроксимация.

Рисунок 4. Зависимость вязкости крови от времени: сплошная линия - капля пересыхает полностью, пунктирная линия - капля с жидким ядром.

В связи с тем, что отличительной чертой предлагаемой методики являются малые объёмы пробы и возможность работы в режиме реального времени, особенно интересны перспективы использования вискозиметров данного типа для исследования динамики процесса свёртываемости крови. Были проведены первые

126

А.Г. Жданов, А.П. Пятаков

измерения такого рода. На рисунке 4 показана зависимость динамической вязкости крови, рассчитанной по рабочей формуле (17), от времени. Две диаграммы соответствуют двум крайним случаям: в одном случае кровь свернулась полностью, а в другом только по поверхности (покрылась коркой), оставаясь жидкой внутри достаточно долгое время. Обращает на себя внимание схожая динамика свёртываемости для обоих случаев: начиная со значений ~5 вязкостей воды, вязкость возрастает в 4-5 раз за первые 300-400 с, затем наступает спад. Различия нарастают на последних этапах: вязкость второй капли выходит на постоянный уровень, в то время как первая, пересыхая полностью, снижает вязкость до нуля. Заключение Отличительными чертами представленной методики определения динамической вязкости жидкости по затуханию колебаний высокодобротного камертона являются: малые объемы пробы (около 1 мл), возможность работы в режиме реального времени (временное разрешение порядка 5 с), широкий диапазон измерений (0.1-5000 мПа с). Простота конструкции делает описанную лабораторную модель вискозиметра удобной в настройке и более доступной, чем промышленно выпускаемые приборы. Благодаря своим преимуществам, представленная методика может быть полезна в учебном процессе при изучении таких разделов, как теория колебаний, явления переноса, а также в ряде практических приложений, например, при биореологическом анализе крови, что было продемонстрировано в ходе работы. Благодарности Выражаем признательность начальнику лаборатории Акустического института М.А. Миронову за любезно предоставленный высокодобротный камертон. Работа выполняется в Вечерней астрономической школе (http:// heritage.sai.msu.ru/astrosh/index.html) при Государственном Астрономическом Институте имени Штернберга, МГУ.

Литература 1. Малкин А.Я., Чалых А.Е., Диффузия и вязкость полимеров. Методы измерения, М. 1979. 2. Âèñêîçèìåòð ðîòàöèîííûé öèôðîâîé (ÂÐÖ), http://www.sstu.edu.ru/research/ractivity/28.html. 3. Стеклянные капиллярные вискозиметры, http://spb.org.ru/christmas/pribors/4204.html. 4. Расулов С.М., Хамидов М.М., Установка для одновременного измерения давления, температуры, объема и вязкости жидкостей и газов, ПТЭ (Приборы и техника эксперимента), т. 42, N. 1, с. 148-150 (1999). 5. Малая медицинская энциклопедия, т. 2 с. 556, Москва, «Советская энциклопедия» (1991). 6. Исакович М.А., Общая акустика, с. 62, Москва, «Наука», 1973.