Математическое открытие: Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание

Джордж Пойа МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТКРЫТИЕ Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание ОГЛАВЛЕНИЕ От редактора Из предисловия автора Советы и указания Советы учителям и учителям учителей ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ Глава 1. Метод двух геометрических мест § 1. Геометрические построения § 2. От примера к методу § 3. Примеры § 4. Предположим, что задача решена § 5. Метод подобия § 6. Примеры § 7. Метод вспомогательных фигур Упражнения и дополнительные замечания к главе 1 (1 — 54) [7. Обозначения. 15. Три маяка. 45. Изъян. 47. Взгляд назад. 48. Три наблюдательных пункта. 49. Замечания по поводу метода двух геометрических мест. 50. Метод трех геометрических мест. 52. О геометрических построениях. 53. Дополнительные задачи. 54. Множества.] Глава 2. Метод Декарта § 1. Декарт и его идея об универсальном методе § 2. Задачка § 3. Составление уравнений § 4. Школьные задачи § 5. Геометрические примеры § 6. Пример из физики § 7. Пример из области головоломок § 8. Озадачивающие примеры Упражнения и дополнительные замечания к главе 2 (1—87: Раздел 1, 1 — 16; Раздел 2, 17—87) [10. Аналог формулы Герона. 11. Другой аналог теоремы Пифагора. 12. Еще один аналог теоремы Пифагора. 13. Другой аналог формулы Герона. 17. Разное. 28. Как долог был век Диофанта? 29. Египетская задача. 33. Планиметрия. 34. Ньютон о составлении уравнений при решении геометрических задач. 50. Стереометрия. 60. Неравенство. 61. Сферометр. 63. Атом углерода. 64. Фотометр. 65. График движения. 73. Число уравнений равно числу неизвестных. 74. Число уравнений больше числа неизвестных. 76. Число уравнений меньше числа неизвестных. 77. Диофантовы уравнения. 81. Правила Декарта.

9 13 19 20 25 25 26 27 29 32 33 37 38

45 45 46 50 52 56 61 64 65 69

82. Обнажите задачу и расчлените ее. 83. Дополнительные сведения, необходимые для решения задачи. Мобилизация и организация. 84. Независимость и совместность. 85. Единственность решения. Взгляд вперед. 86. Зачем нужны словесные задачи? 87 Дополнительные задачи.] Глава 3. Рекурсия § 1. История одного маленького открытия § 2. Дар небес § 3. И все же оно заслуживает внимания § 4. Рекурсия § 5. Абракадабра § 6. Треугольник Паскаля § 7. Математическая индукция § 8. В поисках новых подходов § 9. Наблюдайте, обобщайте, доказывайте и передоказывайте по-новому Упражнения и дополнительные замечания к главе 3 (1 — 100: Раздел 1, 1—22; Раздел 2, 23—31; Раздел 3, 32—59; Раздел 4, 60—100) [2. Частный случай эквивалентен общему случаю. 11. Спасение затонувшего судна. 22. Два вида математической индукции. 24. Сочетания. 39. Треугольные числа. 40. Пирамидальные числа. 43. Числа Фибоначчи. 48. Триномиальные коэффициенты. 55. Гармонический треугольник Лейбница. 56. Паскаль и Лейбниц. 60. Степенные ряды. 66. Биномиальная формула для дробных и отрицательных показателей. 70. Расширение области определениясимвола Cnr. 76. Метод неопределенных коэффициентов. 81. Обращениестепенного ряда. 87. Дифференциальные уравнения. 99. О числе π. 100. Другие задачи.] Глава 4. Суперпозиция § 1. Интерполяция § 2. Частный случай § 3. Решение общей задачи комбинированием частных решений § 4. Метод суперпозиции Упражнения и дополнительные замечания к главе 4 (1 — 37: Раздел 1, 1— 17; Раздел 2, 18—37) [11. Линейная комбинация или суперпозиция. 12. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 14. Однородные линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. 15. Числа Фибоначчи. 17. Суперпозиция движений. 18. Разнообразие подходов при решении одной задачи. 19. Что представляет собой неизвестное? 21. Вот уже решенная задача, родственная вашей. 23. Дополнительные сведения. 25. Формула объема призматоида. 31. Никакая цепь не прочнее своего слабейшего звена. 33. Формула Симпсона. 37. Расширение

85 85 88 90 92 94 97 100 102 103 105

127 127 130 131 132 134

области исследования.] ЧАСТЬ ВТОРАЯ НА ПУТИ К ОБЩЕМУ МЕТОДУ Глава 5. О задачах § 1. Что такое задача? § 2. Классификация задач § 3. Задачи на нахождение § 4. Задачи на доказательство § 5. Компоненты неизвестного, пункты условия § 6. Ищем соответствующую процедуру Упражнения и дополнительные замечания к главе 5 (1 — 20) [8. Задача на нахождение или задача на доказательство ? 9. Другие задачи. 10. Процедура решения задачи может состоять из неограниченной последовательности операций. 11. Квадратура круга. 12. Следование и следствие. 13. Неудачная терминология, двусмысленность. 14. Данные и неизвестное, условие (предпосылка) и заключение. 15. Число необходимых данных. 20. Изучая решение.] Глава 6. Расширение области применения метода § 1. Расширение области применения метода Декарта § 2. Расширение области применения метода двух геометрических мест § 3. С какого пункта условия следует начинать § 4. Расширение области применения рекурсии § 5. Последовательный охват неизвестных Упражнения и дополнительные замечания к главе 6 (1—27) [1. Условие, состоящее из многих пунктов. 9. Сохраните только часть условия. 10. Нить Ариадны. 20. Другие задачи. 21. Промежуточная цель. 22. Графическое представление. 23. Некоторые типы задач нематематического характера. 27. Более тонкая классификация.] Глава 7. Геометрическое представление процесса решения § 1. Метафоры § 2. Что такое задача? § 3. Есть идея! § 4. Развитие идеи § 5. Оформление решения § 6. Замедленные кинокадры § 7. Коротко о дальнейшем § 8. План и программа § 9. Задачи внутри задач § 10. Зарождение идеи §11. Умственная работа § 12. Дисциплина ума Упражнения и дополнительные замечания к главе 7 (1—6) [1. Другой подход. 4. Поиски доказательства. 5. Простейшие

143 143 144 145 147 149 150 151

156 156 160 167 171 175 176

184 184 185 186 188 190 191 193 194 194 195 195 196 196

диаграммы. 6. Другие задачи.] Глава 8. План и программа § 1. Составление плана как метод решения задачи § 2. Более общий метод § 3. Программа § 4. Выбор между несколькими планами § 5. План и программа § 6. Метод и план Упражнения и дополнительные замечания к главе 8 (1 — 8) [1. От конца к началу или от начала к концу? В обратном направлении или в прямом направлении? Анализ или синтез? 2. Умный начинает с конца. 4. Выбор между тремя планами. 5. Выбор между двумя планами. 6. Реальный план. 8. Не связывайте себя.] Глава 9. Задачи внутри задач § 1 Вспомогательные задачи § 2. Эквивалентные задачи: двусторонняя редукция § 3. Цепочки эквивалентных задач § 4. Более результативные или менее результативные вспомогательные задачи; односторонняя редукция § 5. Косвенные вспомогательные задачи § 6. Частичная помощь, методологическая помощь, стимулирование, руководство, практика. Упражнения и дополнительные замечания к главе 9 (1 — 16) [1. Надежные источники вспомогательных задач ? 2. Respice finem. 3. Отбрасывание или добавление пункта в условии. 4. Расширение или сужение условия. 5. Изучение более сильной или более слабой теоремы. 11. Поиски противоречащего примера. 12. Годится любое найденное решение. 13. Специализация и обобщение. 14. Аналогия. 15. А что если неудача? 16. Другие задачи.] Глава 10. Зарождение идеи § 1. Проблеск света § 2. Пример § 3. Характерные черты полезной идеи § 4. Зависимость идеи от случая Упражнения и дополнительные замечания к главе 10 (1 — 2) [1. Внезапность появления идеи. Одна цитата и комментарий к ней. 2. Два эксперимента.] Глава 11. Умственная работа § 1. Как мы думаем § 2. Стремление решить задачу § 3. Направленность мышления § 4. Близость решения § 5. Предвидение § 6. Область поисков

205 205 207 208 209 211 212 213

219 219 220 222 222 224 225 227

237 237 237 241 243 244 245 245 245 246 246 247 248

§ 7. Промежуточные решения § 8. Мобилизация и организация § 9. Распознавание и вспоминание § 10. Пополнение и перегруппировка §11. Изоляция и комбинация § 12. Диаграмма § 13. Часть подсказывает целое Упражнения и дополнительные замечания к главе 11 (1 — 11) [1. Ваш опыт, ваше суждение. 2. Мобилизация. 3. Прозрение. 4. Часть подсказывает целое. 5. Распознавание. 6. Перегруппировка. 7. Работа изнутри и работа извне. 8. Эвристический лабиринт. 9. Продвижение вперед. 10. Вы такой же, как я. 11 Мыши и люди.] Глава 12. Дисциплина ума § 1. Как надо думать § 2. Концентрация внимания на цели § 3. Оценка перспектив § 4. Блуждания: поиски подхода § 5. Блуждания: может быть, есть более обнадеживающий аспект задачи? § 6. Блуждания: поиски полезных сведений § 7. Блуждания: может быть, ситуацию следует переоценить? , $ 8. Искусство ставить вопросы Упражнения и дополнительные замечания к главе 12 (1 — 16) [1. Измените формулировку задачи. 2. Выразите задачу на языке математики. 4. Хорошо составленный и хорошо упорядоченный запас знаний. 5. При помощи каких данных можно определить подобное неизвестное ? 6. Из какого условия (предпосылки) можно вывести такое заключение? 1. Сведения, относящиеся к рассматриваемому вопросу. 8. Аналогия между треугольником и тетраэдром. 12. Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? 13. Вернитесь к определениям. 14. Исследование ближайшей окрестности. 15. Внимание и действие. 16. Продуктивное мышление, творческое мышление. ] Глава 13. Законы открытия? § 1. Правила бывают разными § 2. Рациональность § 3. Экономия, но без предвзятости § 4. Настойчивость, но и гибкость § 5. Правила предпочтения § 6. Части задачи § 7. Полезные сведения § 8. Вспомогательные задачи § 9. Резюме Упражнения и дополнительные замечания к главе 13 (1 — 3) [1. Одаренный человек, специалист и начинающий. 2. О плодах и

249 249 2Ы 251 252 253 256 257

261 261 261 263 264 265 266 267 268 269

275 275 276 277 278 279 280 281 283 283 284

планах. 3. Стиль работы.] Глава 14. Об учении, преподавании и обучении преподаванию § 1. Преподавание — не наука § 2. Цель обучения § 3. Преподавание — это искусство § 4. Три принципа изучения § 5. Три принципа обучения § 6. Примеры § 7. Как учить преподаванию § 8. Позиция учителя Упражнения и дополнительные замечания к главе 14 (1 — 29: Раздел 1, 1—5; Раздел 2, 6—29) [2. Високосные годы. 6. Почему именно решение задач? 7. Решение задач и построение теории. 8. Решение задач и общая культура. 9. Язык фигур. 10. Рациональные и иррациональные числа. 11. Строгость рассуждений. 12. Может ли географическая карта быть совершенной? 13. Чему мы должны учить? 14. Генетический принцип. 15. Бесплодные словоизлияния. 16. Путаница в уровнях. 17. Айседора Дункан. 18. Уровни знания. 19. Повторение и контраст. 20. Изнутри и извне. 22. Насколько это трудно? 23. Трудность задачи и ее образовательная ценность. 24. Несколько типов задач. 27. Семестровая работа. 28. О выступлениях на математических конференциях: правила Цермело. 29. Эпилог.] Глава 15. Догадка и научный метод § 1. Научно-исследовательская работа на уровне средней школы § 2. Пример § 3. Обсуждение § 4. Еще один пример § 5. Графическое представление индуктивного рассуждения § 6. Один пример из истории § 7 Научный метод: догадывайтесь и испытывайте § 8. О некоторых чертах задач «научно-исследовательского характера» § 9. Выводы Упражнения и дополнительные замечания к главе 15 (l—58: Раздел 1, 1—21; Раздел 2, 22—41; Раздел 3, 42—58) [24. Принцип Отсутствия Достаточных Оснований. 25. Буриданов осел. Принцип Отсутствия Достаточных Оснований в физике или «Природа не смеет быть непредсказуемой». 41. n точек сферы. 42. Другие задачи. 45. Периодические дроби. 49. Трапецеидальные числа. 54. Еще одно задание исследовательского характера. 58. Предположение и факт.] Решения упражнении Приложение: Из предисловия к книге Г. Полиа и Г. Сеге «Задачи и теоремы из анализа»

286 286 287 288 290 292 295 301 305 311

336 336 336 338 339 340 343 350 351 352

364 441

Библиография Указатель

445 448 УКАЗАТЕЛЬ

Настоящий указатель включает, помимо ссылок на данную книгу, ссылки на избранные параллельные места из других родственных по содержанию работ автора, а именно на книги: «Как решать задачу» (обозначается К), «How to Solve it» (обозначается Н), «Математика и правдоподобные рассуждения» (обозначается М). Числа указывают страницы. Несколько фраз напечатаны курсивом с целью подчеркнуть их значение, которое отмечается в главе 12. Ссылка на такие понятия, как: «Аналогия», «Догадка», «Индукция», «Неизвестное», «Обобщение» и т. п.,— понятия, которые встречаются во всех трех книгах фактически повсеместно,— не являются (и, естественно, не могут быть) исчерпывающими.

Абель (Abel N. Н.) 399 Абстракция 81 Адамар (Hadamard J.) 10, 126, 140, 319, 446 Алгебраический язык см. Язык алгебры Анализ см. Метод продвижения от начала к концу Аналогия 224, 236, 272, 315, 343; К 44—51; М32—41, 44—49, 254—258, 274—275; см. также Обобщение, специализация и аналогия —, биномиальные коэффициенты и коэффициенты многочлена 115—116 —, планиметрия и стереометрия 35— 37, 75—76, 110-111, 272, 297; К 45— 50; Н 235; М 33—34, 45— 46 —, теорема Герона 69, 70 —, — Пифагора 58—59, 69—70; К 17—29 —, треугольники Паскаля и Лейбница 116—118 Архимед (Archimedes) 63, 68, 81, 126, 215, 357; К 45; М 183—187, 196—197 Бернулли Яков (Bernoulli Jacob), 102 Блестящая мысль 37—38, 46—47, 85—90, 237—244; К 51—58

«Бог из машины» (Deus ex machina) 89, 311; М 409—412 Больцано (Bolzano В.) 446; К 53. Буриданов осел 356 Вагенштейн (Wagenschein M.) 314, 448 Валлис (Wallis J.) 120 Вейль (Weyl H.) 319 Взгляд вперед 83 Виттенберг (Wittenberg A.) 315, 448 Внутренняя помощь, внешняя помощь 328—330; К 30—31 Все ли -данные вами использованы (все условие, вся предпосылка)? 39, 130, 267—269; К 63—65; М 419—421, 427—429 Вспомогательная задача 40—41, 219—236, 283; К 65—71 — — более результативная, менее результативная 222—224; К 70—71 — — косвенная 224—225 — — эквивалентная 220—222; К 67— 70 Вспомогательные сведения см. Дополнительные сведения Галилей (Galilei Galileo) 137, 314; М 26, 225—226 Гаусс (Gauss К- F.) 85; М 81 Генетический принцип 325—326 Геометрическое место 26—27, 160;

см. также Метод двух геометрических мест, Метод трех геометрических мест Герона теорема 339—342 Гибкость 218 Гоббс (Hobbes Т.) 209, 227 Головоломки 64—65, 70, 166—170, 173—175, 179; К 79-81 —, кроссворд 158—160, 166—167, 177—178, 216—217, 244, 422; К 164 Гольдбах (Goldbach Ch.) 147; М 24 Гюльдена правило 438 Данкер (Duncker К.) 249, 252, 257; К 185 Данные 25, 145—147, 155, 262; К 83; см. также: Как можно использовать подобные данные или предпосылку? Неизвестное, данные, условие. Что дано"? —, изменение 33, 55, 130; К. 56—59 —, нельзя ли извлечь что-нибудь полезное из данных! 31, 213— 214; К 152 —, при помощи каких данных можно определить подобное неизвестное ? 271—272 Данте (Dante А.) 237; М 198 «Дар небес» 89, 311; К 74; М 411— 412 Декарт (Descartes R.) 23, 45—46, 80, 82, 83, 141, 156, 184, 261—262, 318, 446; К 81; М 264, 405 — о многогранниках 347; М 78—80 —, «Правила для руководства ума» 45, 50—52, 80—83, 318 Джеймс (James W.) 143; К 185 Догадка 58—59, 70, 106, 121, 123, 263, 294, 315, 336—352; М см. в разных местах; см. также Обобщение, Индукция —, проверьте вашу догадку 350, 363; К 93—97 Доказательства (процедура

чередования) 234 Дополнительные сведения 53, 63, 81, 266—267, 368; К 149—151 Евклид (Euclid) 25, 145, 150, 155, 196, 271/446; М 34 Если вы не в состоянии решить предложенную задачу см. Задача Задача 143—144 — вспомогательная см. Вспомогательная задача —, главные части 147—148, 281; К 83—84 —, если вы не в состоянии решить предложенную задачу 33, 95, 186; К 82 —, известна ли вам" какая-нибудь родственная задача? 264; К 91 — на доказательство 145, 147—148; К 84—85 — — нахождение 145—147; 160; К 83 Задача, предположим, что задача почти решена М 155 —,—, — — решена 29—32, 34, 38, 51, 70; К 75—76, 153—155 —, разделенная на части 81 —, разнообразие подходов 102, 111 138 —, решенная частично 28, 31, 34 64 70; К 161 — родственная 187, 265; К 82 — — и более простая 95 — — — решенная ранее 138, 228; К 61—63 — с тем же или родственным неизвестным 228—229, 267, 271, 282; К 166— 171 —, формулировка 127—129, 294, 297 — эквивалентная 26, 152, 220—222 К 67—70 Заключение 148, 262; К 84 —, каким образом можно доказать требуемое утверждение? 210,

217 Знания, относящиеся к рассматриваемому вопросу см. Дополнительные сведения Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? см. Задача Индукция 119—120, 336—352, 393; К 92—98; М см. в разных местах —, исследуйте и объясняйте закономерности 122, 338, 399— 400, 436; Н 271; М 111—114 —, проверка (на частных случаях, следствиях) 120, 121, 339—342, 346— 347; К 111—113 —, фундаментальный метод индукции (эвристический силлогизм) К 157, 185—189; М 247—249 и в других местах, см. также Обобщение, наблюдайте и обобщайте Инерция мысли 88 Интерпретация задачи 54, 59 — — механическая М 175—177 — — оптическая М 171—175 — — повторная М 177—183 «Исторический» разбор примера см. Методический разбор примера Кавальери (Cavalieri В.) 172, 425, 438 Как можно использовать подобные данные или предпосылку? 213, 271; К 152, 199—200; см. также Данные, нельзя ли извлечь что-нибудь полезное из данных? Как можно получить подобный объект (неизвестное, заключение)? 59, 60, 138, 188, 189, 213—214, 264, 271; см. также Задача с тем же или родственным неизвестным, Теорема с тем же или родственным заключением Кант (Kant I.) 286, 291 Кейнес (Keynes J. М.) 355

Кеплер (Kepler J.) 314, 436; М 31, 227—230 Кёлер (Kohler W.) 219; К 185 Ключ к решению 30—32, 34, 36, 37— 38, 266, 271; К 194 Ключевая фигура 377 Контрпример 232—234; К 189—191 Краусс (Krauss F.) 446; К 185 Кроссворд см. Головоломки Кэррол (Carroll Lewis) 65 Лагранж (Lagrange J. L.) 132, 405 Лекатош (Lacatos I.) 235, 319, 446 Лейбниц (Leibnitz G. W.) 13, 70, 111, 116—117, 119, 133, 153, 156, 178, 233, 245, 246, 286, 361, 446; К 98—99; M 50 Лёвнер (Loevner Ch.) 336 Линдеман (Lindemann F.) 154 Лихтенберг (Lichtenberg G.) 244, 286, 290 Льюис Кэррол см. Кэррол Мариотт (Mariotte) 245 Математическая индукция см. Метод математической индукции Математический язык см. Язык алгебры Max (Mach E.) 446 Метафоры 184 Метод вспомогательных фигур 37— 38; К 71—75 — двух геометрических мест 26—29, 38, 40, 160—167 — Декарта 45—46, 50—52, 156—160; К 157, 185—187 — или результат см. результат или метод — математической индукции 100— 102, 110 — неопределенных коэффициентов 121—122 — подобия 32—33; К 31—33 — последовательных приближений 49 — продвижения от конца к началу

197—199, 205—208, 213—215, 228; К 152-157; Н 225—232 Метод продвижения от начала к концу 191, 200, 213—215 — рекурсии 92—93, 171—175 — суперпозиции 132—134, 135, 140 — трех геометрических мест 41 Методический разбор примера 14, 32 Мечтания, см. Сладкое мечтанье Мобилизация и организация 81—82, 249—250, 258; К 149 — — — , диаграмма (как мы думаем) 253 Мышление продуктивное, творческое мышление 274 Неизвестное 25, 145, 262; К 83—84; см. также Что неизвестно ? Смотрите на неизвестное! — вспомогательное 55, 191; К 71 —, данные, условие 27, 30, 33—44, 50, 145—146, 153, 261—262, 280—281; К 84—85, 153 — как можно найти такое неизвестное ? 59, 60, 138, 188— 190, 213— 214, 264, 271; К 166—171 — многокомпонентное (многоэлементное) 149 — процедурное 126 Нельзя ли сформулировать задачу иначе? 200—201, 269—270, К 114—115, 124 —Ньютон (Newton I.) 70—74, 78, 120— 121, 246, 275, 398, 436; М 45, 111 Обобщение 72, 77, 87, 90, 105, 109, 111, 112, 116, 139, 140, 315— 316, 345—346, 386; К 114—115; М 31—36, 41—43 и в других местах —, буквы вместо чисел 48, 69, 371; К 115 — и специализация 235—236 —, наблюдайте и обобщайте 103,

111, 338—339, 344—346; Н 237; М 143— 145 —, преимущества общей формулировки 95 —, специализация и аналогия 236, 265, 315; М 31—36 Определение 266, 268; К 122—128 Организация см. Мобилизация и организация Осуществление плана (оформление решения) 190—191, 214—215, К 128— 132 Папп (Pappus) 32, 446; К 132—138 Паскаль (Pascal В.) 93, 97—108, 117, 387 Пифагора теорема см. Аналогия План решения задачи см. Метод продвижения от конца к началу и Метод продвижения от начала к концу Подход к задаче см. Задача, разнообразие подходов Последовательные приближения 49 Правила 275—276, 284 —, как делать открытия 275—285; К 141 — правдоподобных рассуждений М 367—370 — предпочтения 272—280, 284 — преподавания 292—295 Правило Симпсона см. Симпсона правило Предположение см. Догадка — и факт 363 Предпосылка (условие) 148 — для вывода такого заключения 271 — и заключение см. Условие и заключение Призматоид, формула объема 138— 140 Принцип Отсутствия Достаточных Оснований 354—357; М 217— 219 Программа 208—209, 211—212

Продвижение от конца к началу см. Метод продвижения от конца к началу — — начала к концу см. Метод продвижения от начала к концу Промежуточная задача см. Вспомогательная задача Пэн (Paine Т.) 244 Работа изнутри, работа извне 258 Рассуждение см. Строгость рассуждений Редукция 27—29 — двусторонняя (обращаемая, эквивалентная) 220—221; К 68 — односторонняя 222—224; К 70— 71 Результат или метод 109, 125, 135, 402; К 66—67 Рекуррентная формула 100, 116, 401; М 118—119, 128, 129—131 Ретроспективное обсуждение 294; К 106—114, 128—132 Решение 146, 154—155; К 197; см. также Существует ли решение? Ретроспективное обсуждение —, взгляд назад 41; К 24—25 —, существование и единственность 146 Cere (Szego G.) 439, 446 Симметрия 183, 211, 354—357 370 418; К 180—181; М 219—220 Симпсона правило 140 Синтез см. Метод продвижения от конца к началу Сладкое мечтанье 29 Смотрите на неизвестное! 273, 282; К 166—167; см. также Задача с тем же или родственным неизвестным Сократовский метод (диалог) 290 292,295 Составление уравнений см. Метод Декарта

Специализация 315; К 189—194; М 32; см. также Обобщение, специализация и аналогия —, ведущий частный случай 134, 140-М 43—44 —, конкретная интерпретация К 194— 195 —, крайний частный случай К 191— 194; М 42—43 —, особенно благоприятный частный случай 131—132 —, следующий частный случай 91 —, частный случай — представитель 105, 389; М 44 —, — —, эквивалентный общему случаю 106; М 44—45 Спиноза (Spinoza В.) 327 Строгость рассуждений 317—321 Существует ли решение? 141; К 60— 61; см. также Условие, достаточное (или недостаточное) условие для нахождения неизвестного Теорема (предложение) 147—148 — более сильная (возможная основа) 230; М 265—266 — — слабая (следствие) 230—231; М 247—253 —, доказательство и опровержение 148, 321; К 84—85 — с тем же самым или родственным заключением 229, 267, 271, 282— 283; К 167 Условие 26, 146—147, 156—160, 229— 230, 262; К 195—196, 198—199; см. также Неизвестное, данные, условие —, выраженное при помощи уравнений, см. Метод Декарта — достаточное (или недостаточное) для нахождения неизвестного 40, 65—66, 78—79, 81—82, 178—179; К 60— 61; М 232— 234

Условие, лишние данные 67—68; М 221—223, 232—234 —, полное использование условия см. Все ли данные вами использованы? —— (предпосылка) и заключение 148, 153, 155, 229, 262, 280— 281; К 84—85 —, пункт, с которого следует начинать, 167—171, 181—183 —, пункты 26, 149—150 —, разбейте условие на части 27, 28, 41, 51, 156—160, 180 —, сохраните только часть условия 26, 39, 57, 177, 230; К 164—165 —, узловой пункт 170 Факт и предположение 363 Фейеш Тот (Fejes Tot L.) 75, 358 Фибоначчи (Fibonacci L.) 74 — числа 113, 137 Франс (France A.) 335 Харткопф (Hartkopf W.) 18, 331 Хильгард (Hilgard E.) 287 Цермело (Zermelo E.) 334, 335 Часть подсказывает целое 256—257,

342 Что дано? 186, 261—262; К 199— 200; см. также Неизвестное, данные, условие, Условие (предпосылка) и заключение — неизвестно (что требуется)? 185, 186, 227, 261—262; К 153—154, 199— 200 Шоу (Shaw В.) 326 Шур (Schur I.) 336 Эйлер (Euler, L.) 70—71, 73, 347— 348; М 21, 28, 37—41, 50—55, 116—128, 132—133, 148, 246— 249, 352 — о многогранниках 347; М 56—65, 74-80 Эйнштейн (Einstein A.) 289 Эрмит (Hermite Ch.) 336 Язык алгебраический 47, 270, 315; К 115—122 — геометрических фигур 270, 315— 316 Deus ex machina, см. Бог из машины. Reduction ad absurdum К 169—172