Типовые звенья систем автоматического управления (колебательное звено): Методические указания

Федеральное агентство по образованию ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра автоматизации технологических процессов

Типовые звенья систем автоматического управления (колебательное звено) Для студентов 3 курса специальностей 1905500 "Биотехнические и медицинские аппараты и системы" и 1906600 "Инженерное дело в медико-биологической практике " по курсу “Управление в медико-биологических системах ”

Tверь 2005

УДК [681.326+681322](075.8) ББК 32.965 Я7 Методические указания предназначены для студентов 3 курса специальностей 1905500 "Биотехнические и медицинские аппараты и системы" и 1906600 "Инженерное дело в медико-биологической практике" по курсу “Управление в медико-биологических системах ”. Содержит основные сведения о колебательном звене теории систем автоматического управления, его переходных и частотных характеристиках. Обсуждено на заседании кафедры и рекомендовано к печати (протокол N 14 от 21 июня 2005 г.). Составитель В.Г. Васильев.

©Тверской государственный технический университет, 2005

3 Содержание 1. Временные характеристики колебательного звена…………………………3 2. Частотные характеристики колебательного звена………………………….8 3. Построение переходной характеристики колебательного звена с помощью цифровых ЭВМ………………………….…………………………11 Использованная литература………………………………………..……...11 1. Временные характеристики колебательного звена Звено называется колебательным, если при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия процесс изменения его выходной величины будет иметь форму затухающих амплитудных колебаний. Типичная для колебательного звена переходная характеристика приведена на рис. 1.

Рис.1. Переходная характеристика колебательного звена

Связь между величиной на выходе и величиной на входе такого звена определяется следующим дифференциальным уравнением второго порядка: d2y dy T2 +T + y = Kx, 1 dt 2 2 dt

(1.1)

где К- коэффициент усиления, а Т1 и Т2 - постоянные времени звена. При этом должно быть выполнено условие T2 < 2T1 . Так что корни характеристического уравнения – комплексные. Из (1.1) следует, что передаточная функция звена имеет вид W ( p) =

k . T p + T2 p + 1 2 1

(1.2)

2

Часто передаточную функцию записывают в виде W ( p) =

kω 02 p 2 + 2ξ ω 0 p + ω

2 0

=

k p 2ξ , + p+ 1 2 ω0 ω0

(1.3)

2

где ω0 - собственная частота незатухающих колебаний звена, а ξ - степень затухания (успокоения). Возможна и такая запись передаточной функции:

4 W ( p) =

(1.4)

k . T p + 2ξ Tp + 1 2

2

Сравнивая (1.2) , (1.3) и (1.4) можно записать: 1

•

постоянная времени звена T1 = ω = T ; 0

•

постоянная времени звена T2 = ω ; 0

2ξ

T

2 степень затухания ξ = 2T . 1 Запишем передаточную функцию (1.1) в виде

•

k3k4 k (1.5) = , T p + T2 p + 1 (T3 p + 1)(T4 p + 1) и T2 = T3 + T4 , и найдем корни полиномов знаменателей этого W ( p) =

где T12 = T3T4 выражения:

2 1

p1 =

2

− T2 +

T22 − 4T12 2T12

− T2 −

p2 =

T22 − 4T12 2T12

= −

1 ; T3

= −

1 , T4

(1.6)

(1.7)

откуда находим T3 =

2T1 T2 −

2

T − 4T 2 2

2 1

; T4 =

2T1 T2 +

2

T − 4T 2 2

2 1

.

Далее запишем (1.5) как W ( p) =

k3 k 4 = (T3 p + 1)(T4 p + 1)   

k3 k 4 T3T4 . 1  1   p +  p+ T3   T4 

Обозначим Z=

1 1 k3k4 α = β = . T3 T4 T3T4

Тогда W ( p) =

Z ( p + α )( p + β ) .

Данному изображению соответствует оригинал 1 e− α t − e− β t ↔ . ( p + α )( p + β ) β −α

(1.8)

5 Найдем весовую функцию звена e − e g (t ) ≡ y (t ) = Z   β −α −α t

L=

Обозначим t

−

 −t t  − t3 t4    k3k4 e − e k3k 4   =  =  T3T4  1 − 1  T3 − T4  T4 T3   

−βt

t −   − tt t4 3 e − e   

.

k3k4 T3 − T4 и найдем переходную функцию звена:

τ T3

t

−

τ T4

h(t ) = L ∫ e dτ − L ∫ e dτ = − LT e 0

−

τ T3

3

0

+ LT e

t 0

−

τ T4

−

t

4

0

t T3

−

t T4

= − LT e + LT + LT e − LT = 3

3

4

(1.9)

4

  kk  T T (T − T ) − T e + T e  = k k  1 − e + e .  T − T  T −T  T −T  Далее, используя соотношения (1.8), найдем =

3

−

4

3

3

4

t T3

−

3

t T4

−

3

4

3

t T3

−

3

t T4

4

4

3

4

3

4

(1.10)

T3 T2 1 1 = + ; T3 − T4 2 T22 − 4T12 2 T4 T2 1 1 = − . 2 2 T3 − T4 2 T2 − 4T1 2

Обозначим d =

4T − T и, учитывая (1.10), можно записать 2

2

1

2

(1.11)

T3 T 1 = 2 + ; T3 − T4 2 jd 2 T4 T 1 = 2 − . T3 − T4 2 jd 2

Далее с учетом (1.8) находим (1.12)

e

t − T3

e

−

= e

t T4

 T − jd  −t 2 2   2 T1 

= e

 T + jd −t 2 2  2 T1

  

= e

−

= e

−

tT2 2 T12 tT2 2 T12

e e

j

− j

dt 2 T12 dt 2 T12

; .

Подставляя (1.11) и (1.12) в (1.10), получим    y (t ) = k k  1 − 3 4   

tT

2 j dt  T  2T 2 2T 2 1  2 + e 1 e 1 +  2 jd 2    −

tT

 2 − j dt  2 2 2T   T  2T  2 − 1e 1 e 1 =  2 jd 2     

−

 

tT tT    j dt − j dt  − 2  j dt − j dt  − 2    2 2 2 2 2  2 T 2 T 2 T 2 T 2 T 2 T2  T T  1 − 2 e 1  e 1 −  1 e 1 + 1e 1  e 1 = = − k k 1 −  2 e 3 4   2 jd 2 jd 2   2                tT   − 2  T  2T 2    2  dt dt 1 . = k k 1 −  sin + cos e 3 4  d  2T 2 2T 2  1 1        

6 Или в окончательном виде tT − 22   T dt dt 2T1  2 sin 2 + cos 2 y (t ) = k  1 − e 2T1 2T1   d

(1.13)

   ,  

где к = к1к2. Обозначим: T=

2T T

2 1

- постоянная времени затухания амплитуды колебаний (время затухания

2

колебаний будет tc ≈ 3T). d

В выражении

(1.13) под знаком sin (.) и cos (.) множитель 2T 2 имеет смысл 1 частоты ω0 незатухающих колебаний звена 4T − T d ω = = . 2T 2T Умножим левую и правую части этого выражения на постоянную времени 2

2

1

0

2

2

1

затухания колебаний T =

1

2T 21 . В результате получим T2 4T12 − T22

ω 0T = 1 = ω 0T

Обратная величина

2

T2 T2

4T − T 2 1

2 2

=

.

T2 d , что соответствует множителю в

выражении (1.13) перед знаком sin(.). Тогда выражение (1.13) принимает вид t  −   1 T  y (t ) = K  1 − e  cos ω 0 t + sin ω 0 t   . ω 0T   

Это выражение можно записать и в другом виде. Для этого сделаем следующие преобразования 2 (1.14)  T  ω

0

d = = 2T12

4T − T

T2 = d

T

2 1

2 2

2T12

1 4T12 − T22 2T1 = = 1 2 2T1 2T1

T2 4T12 − T22

=

T2 2T1 1 4T12 − T22 2T1

1 −  2   2T1  T1

=

ξ 1− ξ

2

=

1− ξ T1

2

;

,

2 где ξ = 2T - параметр затухания. С учетом полученных соотношений будем иметь 1

7  y (t ) = K  1 − e 

tξ − T1

  cos 1 − ξ  T1 

2

t+

ξ 1− ξ

2

sin

1− ξ T1

 t .  

2

Анализ показывает, что при ξ=0 (T2 = 0) колебания являются незатухающими y (t ) = k [1 − cos(ω 0 t )]

и частота, с которой будут происходить колебания,

ω

0

=

1 T1 . Отсюда становится

ясным справедливость записи k kω 02 T12 k W ( p) = 2 2 = = 2 T 1 T1 p + T2 p + 1 p + 2ξ ω 0 p + ω p 2 + 22 p + 2 T4 T1

2 0

и понятна роль постоянной времени Т2. Постоянная Т2 характеризует демпфирование (ослабление) колебаний (чем она больше, тем больше степень затухания амплитуд переходного процесса). Постоянная Т1 ”раскачивает” T

2 колебания (чем больше Т1, тем меньше степень затухания ξ = 2T ). 1 Говорят, что при ξ =0 система не демпфирована. При ξ >0 – система не дедемпфирована; при ξ =1 – система обладает критическим демпфированием, при ξ >1 – система передемпфирована. При ξ = 1 2Т1 = T2 и колебания вырождаются в апериодический процесс (ω0 = 0). При Т2 = 0 характеристическое уравнение звена принимает вид

T12 p 2 + 1 = 0 и будет иметь чисто мнимые корни

1 = ± jω 0 , T1 что и объясняет режим незатухающих колебаний в звене. При Т1 = 0 характеристическое уравнение звена принимает вид как и для апериодического звена с одним действительным корнем. Переходный процесс будет иметь апериодический характер. Характеристическое уравнение p1, 2 = ± j

T12 p 2 + T2 p + 1 = 0 имеет

комплексно-сопряженные

корни

p1, 2 = −

1 ± jω T

0

с

отрицательной

вещественной частью, чем и объясняется режим затухающих колебаний.

8 2. Частотные характеристики колебательного звена Из (1.2) следует, что амплитудная фазовая частотная характеристика звена

W

k

( jω ) =

T ( jω ) + T ( jω ) + 1 2

k

=

2

2 1

−T ω + T ω + 1 2

2 1

[

=

(2.1)

2

]

k (1 − T ω ) − jkT ω k 1−T ω kT ω = = − J . (1 − T ω ) + T ω (1 − T ω ) + T ω (1 − T ω ) + T ω 2

2

2

ω

2

1

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

1

ω

2

2

1

2

2

2

2

2

Годограф амлитудно-фазочастотной характеристики приведен на рис. 2.

Рис. 2. Годограф амлитудно-фазочастотной характеристики колебательного звена

Находим амплитудно-частотную характеристику

A (ω

) = W ( jω

)

=

k  1 

−T ω 2

2

1

  

2

+

Tω 2

2

(2.2)

2

и фазочастотную характеристику звена

ϕ (ω

)

 −Tω = arctg   (1 − T ω 2 2

2

1

2

2

  . )

(2.3)

9 Вид характеристик приведен на рис. 3.

Рис. 3.a. Амплитудно-частотная характеристика

Рис. 3.б. Фазо-частотная характеристика

Существование максимума на амлитудно-частотной характеристике означает, что система обладает резонансными свойствами, а в переходном процессе будет наблюдаться перерегулирование. Для систем более высокого порядка чем больше максимум АЧХ, тем сильнее выражен резонанс и тем больше перерегулирование в переходном процессе. Поэтому желательно, чтобы САР не обладала ярко выраженными резонансными свойствами. Так как

ω0 =

виде

1 T1

, то амплитудно-частотную характеристику можно записать в

A (ω ) =

k

.

 ω  ω   1 −   +  2ξ ω   ω0 2

(2.4)

2

0

Найдем при какой частоте ω характеристика A(ω) имеет максимум. Обозначим эту резонансную частоту - ω 2 . Положим

x=

ω . Тогда выражение (2.4) можно представить в виде ω0 A  x  = ky(x) ,

где

y ( x) =

(1 − x ) 2

1 2

+ ( 2ξ x )

2

.

Найдем производную y(x), а затем для того чтобы найти экстремум функции, приравняем ее нулю.

10

y ( x) = − 1  (1 − x ) 2 I

2

2

+  2ξ 

x

2    

−

3 2

(1 − x )(− 2x ) + 2  2ξ x  2ξ

⋅  2 

2

2 x (1 − ξ − x ) 2

=

 =  

2

(

.

)

2 2 3  ( 1− x2 ) + 2ξ x    Приравняем числитель этого выражению к нулю:

2x (1 - 2ξ2 - x2) = 0, откуда находим: первый максимум при x = 0. Второй максимум будет иметь место при

x = 1− 2ξ

2

,

или с учетом обозначения

ω r = ω 1− 2ξ

2

0

.

Подставим это выражение в (2.4). Тогда A (ω

)=

k

 ωr  ωr     1 −    +  2ξ  ω    ω   2

2

0

=

= 2

0

k

 ω  1−    =

0

2

 ω 1− 2ξ   +  2ξ   ω0    2

k 4ξ + 4ξ 4

2

−

2

8ξ

4

=

2ξ

1− 2ξ  2

0

ω

ξ

=

 

0

k 1−

2

2

.

Из последнего выражения следует, что при ξ , стремящемся к нулю, амплитуда колебаний будет стремиться к бесконечности, что с физической точки зрения означает явление резонанса. Вид кривых АЧХ в зависимости ζ приведен на рис. 4.

11

Рис. 4. Зависимость АЧХ колебательного звена от коэффициента затухания

3. Построение переходной характеристики колебательного звена с помощью цифровых ЭВМ Для построения переходного процесса в звене с помощью ЭВМ требуется программа для решения системы дифференциальных уравнений. Колебательное звено описывается системой из двух дифференциальных уравнений. Их можно получить из дифференциального уравнения звена d2y dy 2 T +T + y = Kx 1 2 dt dt 2

следующим образом. Положив в этом уравнении z1 = y и z 2 =

dy (t ) , dt

получим нормальную систему дифференциальных уравнений в форме Коши: . z1 = z 2 , .

z 2 = [ kx − z1 − z 2T2 ] / T1 ) , 2

которую и нужно решить при соответствующих начальных условиях. Использованная литература 1. Егоров К.В. Основы теории автоматического управления. М.: Энергия, 1967. 648 с. 2. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. 615 с. 3. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1979. 249 с.

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО) Для студентов 3 курса специальностей 1905500 "Биотехнические и медицинские аппараты и системы" и 1906600 "Инженерное дело в медико-биологической практике " по курсу “Управление в медико-биологических системах ” Составитель В. Г. Васильев Редактор В.А. Румянцева Технический редактор Г.В. Комарова Подписано в печать 28.09.05 Формат 60 х 84/16 Физ.печ.л 0,75 Усл.-печ.л. 0,70 Тверь. Издательство ТГТУ

Бумага писчая Уч.-изд. л. 0,65