Параметрические колебания в курсе общей физики

44

Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ Ò. 7, ¹ 4, 2001

Ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ â êóðñå îáùåé ôèçèêè Â.À. Àëåøêåâè÷, Â.Ì. Àõìåòüåâ ÌÃÓ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò Ïðîâîäèòñÿ àíàëèç ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ ïåðåìåííîé äëèííîé íèòè l. Ñ ýòîé öåëüþ íà îñíîâå áàëàíñà ýíåðãèé äàåòñÿ óïðîùåííûé ïîäõîä, ïîçâîëÿþùèé îöåíèòü ïîðîãîâîå çíà÷åíèå ãëóáèíû ìîäóëÿöèè äëèíû íèòè. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé âèçóàëèçèðóåòñÿ â ðåàëüíîì âðåìåíè ïðè ïîìîùè ñîâðåìåííûõ ìåòîäîâ òðåõìåðíîé ãðàôèêè.

Ïðè èçó÷åíèè íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé â êóðñå îáùåé ôèçèêè âàæíîå ìåñòî çàíèìàþò ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ.  ïîâñåäíåâíîé æèçíè ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ íåçàòóõàþùèìè êîëåáàíèÿìè, äëÿ ïîääåðæàíèÿ êîòîðûõ òðåáóåòñÿ ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿòü êàêîé-ëèáî ïàðàìåòð êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû. Îäíèì èç ÿðêèõ ïðèìåðîâ ÿâëÿþòñÿ êîëåáàíèÿ êà÷åëåé. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ìîæíî ïîääåðæèâàòü êîëåáàíèÿ äëèòåëüíîå âðåìÿ, åñëè áûñòðî ïðèñåäàòü â ìîìåíò íàèáîëüøåãî îòêëîíåíèÿ êà÷åëåé îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è òàêæå áûñòðî âñòàâàòü ïðè ïðîõîæäåíèè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.  êóðñå îáùåé ôèçèêè îïèñàíèå ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé îáû÷íî ïðîâîäèòñÿ íà êà÷åñòâåííîì óðîâíå, ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâåííûé àíàëèç òðåáóåò ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè.  íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðîâîäèòñÿ óïðîùåííûé àíàëèç ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ èçìåíÿþùåéñÿ äëèíîé íèòè, îñíîâàííûé íà çàêîíå ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Òàêîé ïîäõîä ïîçâîëÿåò ïðàâèëüíî îïèñàòü óñëîâèå âîçíèêíîâåíèÿ è ïîääåðæàíèÿ íåçàòóõàþùèõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ ïðîñòåéøèå ìàòåìàòè÷åñêèå îïåðàöèè, âïîëíå ïîíÿòíûå ñòóäåíòàì ìëàäøèõ êóðñîâ, èçó÷àþùèõ ýòî ÿâëåíèå. Óñëîâèå âîçáóæäåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëèíà íèòè l ìåíÿåòñÿ ñêà÷êîîáðàçíî íà âåëè÷èíó ±Δl (Δl << l). Âåëè÷èíà Δl äîëæíà áûòü òàêîé, ÷òîáû îáåñïå÷èòü áàëàíñ ýíåðãèè ñèñòåìû: ïîòåðè ýíåðãèè ìàÿòíèêà çà ïåðèîä äîëæíû êîìïåíñèðîâàòüñÿ çà ñ÷åò ñîâåðøåíèÿ ðàáîòû ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùåéñÿ ñèëû F, ïðèëîæåííîé ê êîíöó íèòè (Ðèñóíîê 1). Ðàññìîòðèì óñòàíîâèâøèåñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà ñ íå ñëèøêîì áîëüøîé àìïëèòóäîé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çàòóõàíèå ìàëî (δ<<ω0). Ïîñêîëüêó Δl << l, òî ïðèáëèæåííî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî óãîë α îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó α(t) = α0 sin(ωt). (1)

Ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ â êóðñå îáùåé ôèçèêè

45

Ðèñóíîê 1.

Èçâåñòíî, ÷òî ïðè íåëèíåéíûõ êîëåáàíèÿõ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà åãî ÷àñòîòà ω çàâèñèò îò àìïëèòóäû α0 â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé

⎛ α 2 ω ≈ ω0 ⎜ 1 − 0 ⎜ 16 ⎝

⎞ ⎟ , ãäå ω0 = ⎟ ⎠

g/l .

(2)

 ìîìåíò íàèáîëüøåãî îòêëîíåíèÿ íà óãîë α0 ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè ðàâíà N1 = mg cos α0. Ïîýòîìó, óäëèíÿÿ íèòü íà âåëè÷èíó Δl, âíåøíÿÿ ñèëà F1 = N1 ñîâåðøàåò îòðèöàòåëüíóþ ðàáîòó: A - = -mg cos α0 Δl. (3) Ðàñêëàäûâàÿ cos α0 â ðÿä: cos α 0 ≈ 1 −

α 02 α 04 + + ... è ïîäñòàâëÿÿ ýòî ðàçëîæåíèå â (3), 2 24

ïîëó÷èì ⎛ α2 α4 ⎞ A− = − mg ⎜1 − 0 + 0 ⎟ Δl . ⎜ 2 24 ⎟⎠ ⎝

(4)

Ïðè ïðîõîæäåíèè ìàÿòíèêîì ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (α = 0)

mv02 , ãäå v0 = α0lω. . l Ïîýòîìó ïîëîæèòåëüíàÿ ðàáîòà ïðè óêîðà÷èâàíèè íèòè ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà 4 α ðàâíà: F2 = N 2 = mg +

(

)

⎛ α4 ⎞ A+ = mg + mα 02 ω2 l Δl = mg ⎜1 + α 02 − 0 ⎟ Δl , ⎜ 8 ⎟⎠ ⎝

(5)

46

Â.À. Àëåøêåâè÷, Â.Ì. Àõìåòüåâ

ãäå ó÷òåíî, ÷òî ω02 l = g . Ïîëíàÿ ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ çà ïåðèîä âíåøíåé ñèëîé F, áóäåò ïîëîæèòåëüíîé è ðàâíîé

À = 2( A+ + A− ) = 3mgα 02 Δl −

⎛ α2 ⎞ mgα 40 Δl = 3mgα 20 Δl ⎜1 − 0 ⎟. ⎜ 3 9 ⎟⎠ ⎝

(6)

Ïîòåðè ýíåðãèè çà ïåðèîä ðàâíû ðàáîòå ñèëû òðåíèÿ: T

T

∫

∫

Aòð = Fòð vdt = − Γv 2 dt 0

.

(7)

0

Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ðàçìåðàõ ìàÿòíèêà ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ìîäóëþ ñêîðîñòè øàðèêà Fòð = − Γv . Ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ (1) ñêîðîñòü ðàâíà:

v( t ) = lα 0 ω cos ω t .

(8)

Ïîäñòàâëÿÿ (8) â (7) è ïðîèçâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå, ïîëó÷àåì: T

Aòð =

− Γl 2 α02 ω2

∫

cos 2 ωtdt = − Γl 2 α02 ω2

0

⎛ T α2 ⎞ T ≈ − Γα02 ⎜⎜1 − 0 ⎟⎟ 0 gl , 2 16 ⎠ 2 ⎝

(9)

ïîñêîëüêó ωT = ω0T0 = 2 π . Óñëîâèå áàëàíñà ýíåðãèè ñîñòîèò â ðàâåíñòâå íóëþ ñóììû ðàáîò A è A òð. Ñëåäîâàòåëüíî:

⎛ α2 ⎞ T 3mgα 20 Δl ⎜1 − 0 ⎟ = Γα 02 gl 0 ⎜ ⎟ 9 ⎠ 2 ⎝

⎛ α2 ⎞ ⎜1 − 0 ⎟ . ⎜ 16 ⎟⎠ ⎝

(10)

Ïðîâîäÿ ñîêðàùåíèÿ è èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ äîáðîòíîñòè Q ≈ π ( δT ), ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäû óñòàíîâèâøèõñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé: α0 ≈

12 7

1−

π l Δl . 3 Q

(11)

Îòíîøåíèå Δl/l íàçûâàþò ãëóáèíîé ìîäóëÿöèè. Èç (11) âèäíî, ÷òî äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé ãëóáèíà ìîäóëÿöèè äîëæíà ïðåâçîéòè íåêîòîðîå ìèíèìàëüíîå ïîðîãîâîå çíà÷åíèå, ïðèìåðíî ðàâíîå âåëè÷èíå, îáðàòíîé äîáðîòíîñòè: Δl 1 ≥ . l Q

(12)

×åì áîëåå äîáðîòíà ñèñòåìà, òåì ìåíüøå ïîðîãîâàÿ ãëóáèíà ìîäóëÿöèè. Ñ ïîâûøåíèåì ãëóáèíû ìîäóëÿöèè àìïëèòóäà êîëåáàíèé áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ. Îäíàêî ïðè áîëüøèõ àìïëèòóäàõ (α0 > 1) ôîðìóëà (11) ñòàíîâèòñÿ ìàëî ïðèåìëåìîé, ïîñêîëüêó ñäåëàííûå íàìè ïðåäïîëîæåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ íåïðèìåíèìûìè. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïàðàìåòðè÷åñêîå âîçáóæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííî íåëèíåéíûì

Ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ â êóðñå îáùåé ôèçèêè

47

ýôôåêòîì. Ýòî âèäíî, â ÷àñòíîñòè, èç óðàâíåíèÿ (10): åñëè ïðåíåáðå÷ü â íåì ìàëûì ñëàãàåìûì ~α02 , òî α0 èç óðàâíåíèÿ ïðîïàäàåò, è ïîëó÷àåòñÿ ñîîòíîøåíèå

.

Ôèçè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè òàêîì çíà÷åíèè ãëóáèíû ìîäóëÿöèè ýíåðãåòè÷åñêèé áàëàíñ â ñèñòåìå îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ α0, ÷òî íåâåðíî. Çàìåòèì, ÷òî âîçáóæäåíèå ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò ïðîèñõîäèòü íå òîëüêî íà óäâîåííîé ÷àñòîòå ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû, íî è ïðè áîëåå ðåäêîì âîçäåéñòâèè: ÷åðåç îäèí, äâà, òðè è ò.ä. ïîëóïåðèîäîâ êîëåáàíèé. Âîçáóæäåíèå òàêæå âîçìîæíî âíóòðè íåêîòîðîé îáëàñòè âáëèçè êàæäîé èç ýòèõ ÷àñòîò, íî ïîðîãîâûå çíà÷åíèÿ ãëóáèíû ìîäóëÿöèè äëÿ ðàçíûõ ÷àñòîò áóäóò ðàçëè÷íûìè. Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Äëÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà êîëåáàíèé ìàÿòíèêà çàïèøåì óðàâíåíèå ìîìåíòîâ: .

(13)

Äëèíà ìàÿòíèêà l ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó l = l0 + Δl( t ) , ãäå l0 – ñðåäíÿÿ äëèíà, à Δl( t ) - ìàëîå èçìåíåíèå äëèíû íèòè, ÿâëÿþùååñÿ ôóíêöèåé âðåìåíè. Î÷åâèäíî, ÷òî â ñèëó ìàëîñòè l ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî , ñëåäîâàòåëüíî:

& &+ Ãα&+ mgl0 sin α = −2ml0 Δlα & &. ml02 α

(14)

Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â (14) ñïðàâà, ýêâèâàëåíòíî ïðèñóòñòâèþ âûíóæäàþùåé ñèëû. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé ïðèìåì, ÷òî Δl èçìåíÿåòñÿ âìåñòå ñ óãëîì α òàê, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà Ðèñóíêå 2:

2 2π Δ2l = & & lml l0++Ã2α&l0+Δmgl l sin α = 0 ≥α l 3Q

Ðèñóíîê 2.

Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè ïðîõîæäåíèè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ óìåíüøàåòñÿ (íèòü óêîðà÷èâàåòñÿ), à â ïîëîæåíèÿõ íàèáîëüøåãî îòêëîíåíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ (íèòü óäëèíÿåòñÿ). Äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé íåîáõîäèìî çàäàòü íà÷àëüíóþ óãëîâóþ ñêîðîñòü è íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå, êîòîðûå â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ ìîãóò áûòü îáåñïå÷åíû ôëóêòóàöèÿìè ñèñòåìû.

48

Â.À. Àëåøêåâè÷, Â.Ì. Àõìåòüåâ

Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (14) èñïîëüçóåòñÿ ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîä Ýéëåðà ñ øàãîì äèñêðåòèçàöèè 10-4 ñ. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ íàãëÿäíî ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå àíèìèðîâàííîãî òðåõìåðíîãî èçîáðàæåíèÿ ìàÿòíèêà. Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ ìîäåëèðîâàíèå ïðîèñõîäèò äîñòàòî÷íî êîððåêòíî, è ïðè ýòîì ñðåäíèé ïî ñâîèì âîçìîæíîñòÿì íà ñåãîäíÿøíèé äåíü êîìïüþòåð (Intel Celeron 366, 32 MB RAM, S3Trio 64V+ c 2MB) óñïåâàåò â ðåàëüíîì âðåìåíè ïðîèçâîäèòü ïåðåðèñîâêó òðåõìåðíîé êàðòèíêè ñî ñêîðîñòüþ íå ìåíåå 4 êàäðîâ â ñåêóíäó. Ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñîçäàòü èëëþçèþ àíèìèðîâàííîãî èçîáðàæåíèÿ (Ðèñóíîê 3). Âîîáùå ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî, èìåÿ âîçìîæíîñòü íàáëþäàòü àíèìèðîâàííóþ êàðòèíó ìîäåëèðóåìîãî ïðîöåññà, ìû ïîëó÷àåì ìîùíûé äîïîëíèòåëüíûé ìåõàíèçì ïðîâåðêè ïðàâèëüíîñòè âûáðàííîé ñõåìû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è øàãà äèñêðåòèçàöèè íà ïðåäìåò óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ. Åñëè ïðåäîñòàâèòü ìàøèíå âîçìîæíîñòü ðàáîòàòü äîñòàòî÷íî äëèòåëüíîå âðåìÿ, òî, ïðè íåóäà÷íî âûáðàííîé ñõåìå, ïðîöåññ, êàê ïðàâèëî, íà÷èíàåò ÿâíî ïðîòèâîðå÷èòü ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó çàäà÷è. Ýòî ìîæåò âûðàæàòüñÿ, íàïðèìåð, â ïîÿâëåíèè ôëóêòóàöèé èëè íå ñîõðàíåíèè èíâàðèàíòîâ. Ïðè âèçóàëüíîì íàáëþäåíèè çà ïðîöåññîì òàêèå îøèáêè îáíàðóæèòü ëåã÷å, õîòÿ, áåçóñëîâíî, îòñóòñòâèå îïèñàííûõ ýôôåêòîâ íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ òîãî, ÷òîáû óòâåðæäàòü, ÷òî ñõåìà âûáðàíà ïðàâèëüíî.

Ðèñóíîê 3.

Ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ â êóðñå îáùåé ôèçèêè

49

 ïðîãðàììå èñïîëüçóåòñÿ ñðåäà ðàçðàáîòêè Microsoft Visual C++ 6.0 è áèáëèîòåêà ãðàôè÷åñêèõ ôóíêöèé OpenGL. Äëÿ ðàáîòû ñ ïðåäñòàâëåííîé ïðîãðàììîé íåîáõîäèì êîìïüþòåð ñ 32 Mb RAM, ïðîöåññîðîì Celeron 333 MHz èëè âûøå è âèäåîêàðòîé SVGA, íàñòðîåííîé íà ðåæèì High color èëè True color. Ïðè ýòîì íå òðåáóåòñÿ íèêàêèõ ñïåöèàëüíûõ àïïàðàòíûõ ãðàôè÷åñêèõ ñðåäñòâ. Äîïîëíèòåëüíàÿ óñòàíîâêà êàêîãî - ëèáî ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ òàêæå íå íóæíà, òàê êàê íåîáõîäèìûå áèáëèîòåêè OpenGL ôèðìû Microsoft óñòàíàâëèâàþòñÿ íà êîìïüþòåð âìåñòå ñ îïåðàöèîííîé ñèñòåìîé Windows. Ïðîãðàììà èìååò ñòàíäàðòíûé äëÿ Windows’95 è Windows’98 èíòåðôåéñ, çíàêîìûé ïîëüçîâàòåëþ: çàãîëîâîê, ãëàâíîå ìåíþ, êíîïî÷íàÿ ïàíåëü, ðàáî÷åå ïîëå è ñòðîêà ñîñòîÿíèÿ.  ëåâîé ñòîðîíå ýêðàíà ðàñïîëîæåíî ãëàâíîå îêíî ïðîãðàììû, â ðàáî÷åé îáëàñòè êîòîðîãî ñîáñòâåííî îòîáðàæàåòñÿ òðåõìåðíàÿ ñöåíà.  ïðàâîé ÷àñòè ðàçìåùåíà äèàëîãîâàÿ ïàíåëü äëÿ êîíòðîëÿ íàä ÷èñëåííûìè çíà÷åíèÿìè ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû íà÷àòü èëè îñòàíîâèòü ïðîöåññ ìîäåëèðîâàíèÿ, íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïóíêòîì Play èç ìåíþ Option èëè ñîîòâåòñòâóþùåé êíîïêîé èç ïàíåëè êíîïîê.  ãëàâíîì ìåíþ ðàñïîëîæåíû âñå óïðàâëÿþùèå êîìàíäû. Îñíîâíûå èç íèõ äóáëèðóþòñÿ êíîïêàìè.  ñòðîêå ñîñòîÿíèÿ îòîáðàæàåòñÿ òåêóùåå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû è âûâîäÿòñÿ ïîäñêàçêè. Ìåíþ View ïðåäíàçàí÷åíî äëÿ óñòàíîâêè îáùåãî âèäà îêíà ïðîãðàììû è óïðàâëåíèÿ ñïîñîáîì âûâîäà ãðàôè÷åñêîé èíôîðìàöèè. Ïóíêòû âñïëûâàþùåãî ìåíþ Toolbar è Status Bar ñëóæàò äëÿ âêëþ÷åíèÿ èëè îòêëþ÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàíåëåé. Ïðîãðàììà ðàçìåùåíà â ñåòè Internet íà ñåðâåðå êàôåäðû îáùåé ôèçèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ èì. Ëîìîíîñîâà: http://genphys.phys.msu.su/demoprog.

Ëèòåðàòóðà 1.

Richard S. Wright Jr. è Michael Sweet, 770 ñòð. + CD-ROM, Èçäàòåëüñòâî: ISBN:1-57169-073-5.