ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10
Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент
С. С. САМАРОВА
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ по математике
© С. С. Самарова, 2010 © ООО «Резольвента», 2010
Начнем с решения простых задач. Пример 1. Решить неравенство
( x − 1)( log 2 x + 1) > 0 . Решение. Напомним, что произведение двух чисел (скобки в левой части неравенства) положительно тогда и только тогда, когда оба этих числа имеют один и тот же знак, и заметим, что областью определения неравенства является множество x > 0. Следовательно, x −1 > 0 x −1 < 0 ( x − 1)( log 2 x + 1) > 0 ⇔ log 2 x + 1 > 0 ∪ log 2 x + 1 < 0 x>0 x>0
Решим первую систему неравенств:
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 1
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 x >1 x −1 > 0 x >1 1 log 2 x + 1 > 0 ⇔ log 2 x > −1 ⇔ x > 2 x>0 x>0 x > 0
⇔ { x > 1}
Теперь решим вторую систему неравенств: x <1 x −1< 0 x <1 1 1 log 2 x + 1 < 0 ⇔ log 2 x < −1 ⇔ x < ⇔ 0 < x < 2 2 x>0 x>0 x > 0 1 Ответ: x ∈ 0, ∪ (1, +∞ ) . 2
Пример 2. Решить неравенство log 3 ( 3x + 1) + x > 2 + log 3 10 .
Решение. log 3 ( 3x + 1) + x > 2 + log 3 10 ⇔ log 3 ( 3x + 1) + log 3 ( 3x ) > log 3 9 + log 3 10 ⇔ ⇔ log 3 3x ⋅ ( 3x + 1) > log 3 90 ⇔ ( 3x ) + 3x − 90 > 0. 2
Для решения неравенства
(3 )
x 2
+ 3x − 90 > 0
совершим замену переменного 3x = y
и найдем корни квадратного уравнения y 2 + y − 90 = 0 : −1 ± 1 + 360 −1 ± 19 = ⇔ y1 = −10, y2 = 9 ⇒ 2 2 ⇒ y 2 + y − 90 = ( y + 10 )( y − 9 ) .
y 2 + y − 90 = 0 ⇔ y1,2 =
Следовательно,
(3 )
x 2
+ 3x − 90 > 0 ⇔ ( 3x + 10 )( 3x − 9 ) > 0 ⇔ ( 3x − 9 ) > 0 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 2.
Ответ: x ∈ ( 2, + ∞ ) . ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 2
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 Пример 3. Решить неравенство 1 + 2 x < log 7 (1 + 6 ⋅ 7 x ) .
Решение. 1 + 2 x < log 7 (1 + 6 ⋅ 7 x ) ⇔ log 7 7 2 x +1 < log 7 (1 + 6 ⋅ 7 x ) ⇔ 7 2 x +1 < 1 + 6 ⋅ 7 x ⇔ ⇔ 7 ⋅ 7 2 x − 6 ⋅ 7 x − 1 < 0.
Для решения неравенства 7 ⋅ 72 x − 6 ⋅ 7 x − 1 < 0
совершим замену переменного 7x = y
и найдем корни квадратного уравнения 7 y2 − 6 y − 1 = 0 : 6 ± 36 + 28 6 ± 8 2 1 = ⇔ y1 = − = − , y2 = 1 ⇒ 14 14 14 7 1 ⇒ 7 y 2 − 6 y − 1 = 7 y + ( y − 1) . 7
7 y 2 − 6 y − 1 = 0 ⇔ y1,2 =
Следовательно, 1 7 ⋅ 7 2 x − 6 ⋅ 7 x − 1 < 0 ⇔ 7 7 x + ( 7 x − 1) < 0 ⇔ ( 7 x − 1) < 0 ⇔ 7 x < 1 ⇔ x < 0. 7
Ответ: x ∈ ( − ∞, 0 ) . Пример 4. Решить неравенство log 2 log 1 x < 0 . 3
Решение. 1 log 2 log 1 x < 0 ⇔ 0 < log 1 x < 1 ⇔ 0 < − log 3 x < 1 ⇔ 0 > log 3 x > −1 ⇔ 1 > x > . 3 3 3 1 Ответ: x ∈ ,1 . 3
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 3
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 Пример 5. Решить неравенство 3 log 5 > 0. x −1
Решение. 3 3 4−x x−4 3 log 5 >1⇔ −1 > 0 ⇔ >0⇔ < 0. >0⇔ x − 1 x − 1 x − 1 x − 1 x − 1
Решая последнее неравенство с помощью метода интервалов, получаем ответ задачи. Ответ: x ∈ (1, 4 ) . Пример 6. Решить неравенство 2x + 3 ≥ 0. log 2 ( x 2 − 3 x + 3)
(1)
Решение. Найдем сначала область определения неравенства. Во-первых, число, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным, т.е. должно выполняться неравенство 3 2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ − . 2
(2)
Во-вторых, число, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, т. е. должно выполняться неравенство x 2 − 3x + 3 > 0 .
(3)
Для решения неравенства (3) вычислим дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в его левой части: D = b 2 − 4ac = 9 − 12 = −3 < 0.
Поскольку дискриминант отрицателен, а ветви параболы направлены вверх, то неравенство (3) выполняется при всех значениях x . В третьих, знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства (1), не должен обращаться в нуль, т.е. должно выполняться неравенство x 2 − 3 x + 3 ≠ 1 ⇔ x 2 − 3 x + 2 ≠ 0 ⇔ ( x − 2 )( x − 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 2, x ≠ 1.
Следовательно, область определения неравенства (1) имеет вид: ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 4
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 3 x ∈ − , 1 ∪ (1, 2 ) ∪ ( 2, + ∞ ) . 2
(4)
Рассмотрим теперь область 3 x ∈ − ,1 ∪ (1, 2 ) ∪ ( 2, + ∞ ) . 2
(5)
В области (5) числитель дроби из левой части неравенства (1) положителен, откуда вытекает, что для выполнимости неравенства (1) требуется, чтобы и знаменатель дроби был положительным, т.е. должно выполняться неравенство log 2 ( x 2 − 3 x + 3) > 0 ⇔ x 2 − 3 x + 3 > 1 ⇔ x 2 − 3 x + 2 > 0 ⇔ ( x − 1)( x − 2 ) > 0 ⇔ ⇔ x ∈ ( − ∞, 1) ∪ ( 2, + ∞ ) .
Отсюда, принимая во внимание формулу (5), вытекает, что должно выполняться соотношение 3 x ∈ − , 1 ∪ ( 2, + ∞ ) . 2
(6)
3 Чтобы получить ответ задачи, к множеству (6) осталось добавить точку x = − , в 2
которой числитель дроби из левой части неравенства (1) обращается в нуль, и неравенство превращается в равенство. Эта точка входит в область (4). 3 Ответ: x ∈ − ,1 ∪ ( 2, + ∞ ) 2
Пример 7. Решить неравенство log 22 ( x + 3) ≥ 0. x2 − 4 x − 5
(7)
Решение. Поскольку числитель дроби из левой части неравенства (7) неотрицателен, то выполняется соотношение log 2 ( x + 3) = 0 log 2 ( x + 3) ≠ 0 log 22 ( x + 3) ≥ 0 ⇔ x2 − 4 x − 5 ≠ 0 ∪ x2 − 4x − 5 > 0 2 x − 4x − 5 x+3>0 x+3>0
Далее получаем
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 5
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 x + 3 =1 log 2 ( x + 3) = 0 x = −2 2 x − 4 x − 5 ≠ 0 ⇔ ( x − 5 )( x + 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ −1, x ≠ 5 ⇔ { x = −2} x +3> 0 x > −3 x > −3
Кроме того, x + 3 ≠1 x ≠ −2 log 2 ( x + 3) ≠ 0 2 x − 4 x − 5 > 0 ⇔ ( x − 5 )( x + 1) > 0 ⇔ x ∈ ( −∞, − 1) ∪ ( 5, + ∞ ) ⇔ x+3>0 x > −3 x > −3 ⇔ { x ∈ ( − 3, − 1) ∪ ( 5, + ∞ ) , x ≠ −2}
Объединяя два найденных множества, получаем ответ задачи. Ответ: x ∈ ( − 3, − 1) ∪ ( 5, + ∞ ) Пример 8. Решить неравенство 2 + log 1 x < log 2 ( 5 x + 1) . 2
Решение. Заметив, что область определения неравенства имеет вид x > 0 , проведем следующие преобразования: 2 + log 1 x < log 2 ( 5 x + 1) ⇔ 2 − log 2 x < log 2 ( 5 x + 1) ⇔ 2 < log 2 x + log 2 ( 5 x + 1) ⇒ 2
⇒ 2 < log 2 x ( 5 x + 1) ⇒ 4 < x ( 5 x + 1) ⇒ 5 x 2 + x − 4 > 0.
Чтобы решить неравенство 5x2 + x − 4 > 0 ,
(8)
решим, сначала, соответствующее квадратное уравнение: 5 x 2 + x − 4 = 0 ⇔ x1,2 =
−1 ± 1 + 80 −1 ± 9 8 4 = ⇔ x1 = −1, x2 = = . 10 10 10 5
Следовательно, решением неравенства (8) является область 4 x ∈ ( −∞, − 1) ∪ , + ∞ . 5
Пересечение этого множества с множеством x > 0 дает ответ задачи. 4 Ответ: x ∈ , + ∞ . 5
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 6
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 Пример 9. Решить неравенство
(
)
log 1 16 x 4 −8 x 2 +1
x ⋅3
9
1 < . 3
(9)
Решение. Преобразуем, сначала, левую часть неравенства (9) к более простой форме:
(
)
log 1 16 x 4 −8 x 2 +1
x ⋅3
9
log
= x ⋅3
3−2
(
)
4 x 2 −1 2
− log 3 4 x 2 −1
= x ⋅3
=
x 4x − 1 2
В результате неравенство (9) принимает следующий вид: x
1 < , 4x2 − 1 3
(10)
а его областью определения является множество 1 1 x≠− ,x≠ . 2 2
(11)
На множестве (11) неравенство (10) можно переписать в форме 3x < 4 x 2 − 1 ,
(12)
и приступить к раскрытию модуля, стоящего в правой части неравенства (12), предварительно, заметив, что для значений x ≤ 0, x ≠ −
1 2
неравенство (10) выполняется (левая часть меньше или равна нулю, а правая ─ больше нуля). В области 1 x ∈ , +∞ 2
выражение, стоящее под знаком модуля, положительно, и неравенство (12) решается так: ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 7
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 3 x < 4 x 2 − 1 ⇔ 3 x < 4 x 2 − 1 ⇔ 4 x 2 − 3 x − 1 > 0; 3 ± 9 + 16 3 ± 5 1 = , x1 = − , x2 = 1; 8 8 4 1 4 x 2 − 3 x − 1 > 0 ⇔ x ∈ −∞, − ∪ (1, + ∞ ) ⇒ x ∈ (1, + ∞ ) 4 x1,2 =
В области 1 x ∈ 0, 2
выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно, и неравенство (12) решается так: 3 x < 4 x 2 − 1 ⇔ 3 x < 1 − 4 x 2 ⇔ 4 x 2 + 3 x − 1 < 0; −3 ± 9 + 16 −3 ± 5 1 , x1 = −1, x2 = ; = 8 8 4 1 1 4 x 2 + 3 x − 1 < 0 ⇔ x ∈ −1, ⇒ x ∈ 0, 4 4 x1,2 =
Объединяя два случая раскрытия модуля, получаем ответ задачи 1 1 1 Ответ: x ∈ −∞, − ∪ − , ∪ (1, + ∞ ) . 2 2 4
Пример 10. Решить неравенство log
7 3 x+ 2
(4x
2
+ 4 x + 2) ≤ 1 .
(13)
Решение. Заметим, сначала, что дискриминант квадратного трехчлена, стоящего под знаком логарифма в неравенстве (13), отрицателен, а поскольку ветви параболы направлены вверх, то квадратный трехчлен принимает только положительные значения, и можно рассмотреть два случая: Случай 1. 3x +
7 5 >1 ⇔ x > − . 2 6
В этом случае
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 8
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 5 5 x>− x>− 6 6 log 7 ( 4 x 2 + 4 x + 2 ) ≤ 1 ⇔ ⇔ ⇔ 3 x+ 7 3 2 4 x 2 + 4 x + 2 ≤ 3x + 4 x 2 + x − ≤ 0 2 2 5 x>− ⇔ 6 2 8 x + 2 x − 3 ≤ 0
Далее получаем 8 x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇔ x1,2 =
3 1 −2 ± 4 + 96 −2 ± 10 = ⇔ x1 = − , x2 = . 16 16 4 2
Следовательно, 5 x>− 5 x>− 6 3 1 ⇔ ⇔ x ∈ − , . 6 4 2 8 x 2 + 2 x − 3 ≤ 0 x ∈ − 3 , 1 4 2
Случай 2. 0 < 3x +
7 7 5 <1⇔ − < x < − 2 6 6
В этом случае 7 5 5 7 − <x<− − < x < − 6 6 6 6 log 7 ( 4 x 2 + 4 x + 2 ) ≤ 1 ⇔ ⇔ ⇔ 3 x+ 7 3 2 2 2 4 x + 4 x + 2 ≥ 3x + 4 x + x − ≥ 0 2 2 7 5 − < x < − 5 7 6 6 − <x<− 7 5 ⇔ 6 ⇔ x∈ − , − 6 ⇔ 6 6 8 x 2 + 2 x − 3 ≥ 0 x ∈ − ∞, − 3 ∪ 1 , + ∞ 4 2
Объединение результатов, полученных при исследовании случаев 1 и 2, дает ответ задачи. 7 5 3 1 Ответ: x ∈ − , − ∪ − , . 6 6 4 2
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 9
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 Пример 11. Решить неравенство 3 +x 5 + 24 log −2 x2 −3 x >0 6
Решение. Сначала решим следующее уравнение −3 ± 9 − 8 −3 ± 1 = ⇔ 4 4 1 ⇔ x1 = −1, x2 = − 2
−2 x 2 − 3x = 1 ⇔ 2 x 2 + 3 x + 1 = 0 ⇔ x1,2 =
Теперь рассмотрим два случая. Случай 1. 1 −2 x 2 − 3 x > 1 ⇔ 2 x 2 + 3 x + 1 < 0 ⇔ x ∈ −1, − 2
В этом случае 3 3 +x +x 3 4 4 +x 5 + 2 5 + 2 3 3 log −2 x2 −3 x >0⇒ > 1 ⇔ 24 > 1 ⇔ + x > 0 ⇔ x > − . 6 6 4 4
Следовательно, выполняется неравенство 3 1 x ∈ − , − . 4 2
Случай 2. 1 x ∈ −∞ , − 1 ∪ − , + ∞ ( ) 2 2 −2 x − 3 x < 1 2 x + 3 x + 1 > 0 2 ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 3 −2 x − 3 x > 0 2 x + 3 x < 0 x ∈ − , 0 2 3 1 ⇔ x ∈ − , − 1 ∪ − , 0 2 2
В этом случае 3 3 +x +x 3 4 4 +x 5 + 2 5 + 2 3 3 log −2 x2 −3 x >0⇒ < 1 ⇔ 2 4 < 1 ⇔ + x < 0 ⇔ x ∈ −∞, − 6 6 4 4
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 10
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 Следовательно, выполняется неравенство 3 x ∈ − , − 1 . 2
Объединение результатов, полученных при исследовании случаев 1 и 2, дает ответ задачи. 3 3 1 Ответ: x ∈ − , − 1 ∪ − , − . 2 4 2
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Решить неравенства: 1.
( x − 3) log 1 x < 0 2
2.
3.
( x − 4 ) log 1 x − 1 < 0
4
( x − 5 ) log 1 x > 0 3
4.
x ( log 3 x + 2 ) > 0
5.
( x − 4 ) log 1 x − 1 < 0
4
6.
4 − x < log 2 ( 6 + 2 x )
7.
log 4 ( 4 x + 2 ) + x > 2 + log 4 5
8.
3 − x > log 5 ( 20 + 5 x )
9.
log 6 ( 6 x +1 + 11) + x > log 6 2
10. log 8 ( 8 x + 2 ) < 1 − x 11. log 9 ( 9 x + 3) + x > 1 + log 9 2
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 11
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 12. log 1 ( log 5 x ) > 0 3
2 13. log 3 >0 x+2 14.
x+5 ≥0 log 4 ( x − 3 x − 3) 2
log 52 ( x + 3) 15. ≥0 x2 − 2 x − 3 16. log 3 ( x − 1) ≥ 2 + log 1 ( x + 7 ) 3
17. log 2 x < 1 − 2log 4 ( x − 1) 18. 1 + log 1 (1 + x ) < lg ( x − 2 ) 10
19. 2
(
)
log 4 25 x 4 −10 x 2 +1
1 20. x ⋅ 2
(
4 log 4 2 − 4 + x 2 x
)
log 25 36 x 4 −12 x 2 +1
21. 5
1 22. x ⋅ 6 1 23. 3
> 4x ≤2
> 5x
1 log 36 2 − 2 + x 2 x
1 log 9 2 −6 +9 x 2 x
≥
≤4 1 x
9 24. log 4 x+ 4 5 x 2 + 5 x + ≤ 1 4 1 −x 2 1 + 3 >0 25. log −4 x 2 +5 x 6
26. log
7 x+ 4
9 2 2x − x + ≤ 1 8
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 12
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 1 +x 3 3 + 4 >0 27. log −5 x2 −6 x 4
1 28. log 7 6 x 2 − 2 x + ≤ 1 −x 6 6 1 −x 2 + 54 29. log −12 x2 +8 x >0 3
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,
[email protected], (495) 509-28-10 13
