Методы и алгоритмы структурно-физического моделирования элементов интегральных схем в диффузионно-дрейфовом приближении. Методические указания

Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Гершанов В.Ю. Гармашов С.И. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ «Методы и алгоритмы структурно-физического моделирования элементов интегральных схем в диффузионно-дрейфовом приближении. Часть II» для студентов дневного отделения физического факультета к спецкурсам «Компьютерное моделирование задач радиофизической электроники», «Избранные вопросы математического моделирования и объектноориентированного программирования»

г. Ростов-на-Дону 2000

2 Печатается по решению учебно-методической комиссии физического факультета РГУ (протокол № 4 от 20 апреля 2000 г.)

Авторы: Гершанов В.Ю., доцент кафедры физики полупроводников Гармашов С.И., доцент кафедры физики полупроводников

3 Разработка любой, даже самой несложной интегральной схемы (ИС) невозможна без наличия математической модели, описывающей ее работу. Более того, уровень развития математического моделирования элементов интегральных схем и технологических процессов в значительной степени определяет уровень развития микроэлектроники. По мере ужесточения требований к характеристикам ИС и к технологии их изготовления возникает необходимость и в усложнении соответствующих математических моделей. Однако без понимания принципов и методов построения простых моделей трудно разобраться в проблемах современного моделирования элементов ИС /1-3/ и найти пути их решения. Настоящее методическое пособие является следующей частью цикла пособий по моделированию элементов ИС. Напомним, что в первой части /4/ были рассмотрены общие принципы и этапы моделирования структур элементов ИС, а также основные приближения, используемые на этапе структурно-физического моделирования. В настоящем пособии продемонстрировано построение одномерной математической модели полупроводниковой структуры в диффузионно-дрейфовом приближении и обсуждены методы и алгоритмы решения полученных уравнений. 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ДИФФУЗИОННО-ДРЕЙФОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ Как известно /1-4/, физико-математическую основу для синтеза моделей структур элементов интегральных схем на структурно-физическом уровне составляет фундаментальная система уравнений (ФСУ) полупроводника, состоящая из уравнений Пуассона, уравнений непрерывности для носителей заряда и кинетического уравнения Больцмана. Однако решение ее в общем виде представляет большие математические трудности. Это приводит к необходимости использования того или иного приближения/1-4/. Наиболее просто ФСУ полупроводника записывается в диффузионнодрейфовом приближении. Следует отметить, что это приближение является корректным лишь при небольших отклонениях системы от термодинамического равновесия и в случае, когда полупроводниковая структура невырождена, а ее характерные размеры достаточно велики по сравнению с фундаментальными длинами. Другими словами, область применимости диффузионно-дрейфовых моделей оказывается весьма ограниченной и, кроме того, постоянно сужается в связи с ростом степени интеграции элементов ИС. Вместе с тем, благодаря своей простоте, диффузионно-дрейфовая модель яв-

4 ляется наилучшей отправной точкой для ознакомления с методами и алгоритмами построения математических моделей элементов современных ИС. 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПОЛУПРОВОДНИКА В ДИФФУЗИОННО-ДРЕЙФОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ. ФСУ полупроводника в общем случае состоит из уравнения Пуассона, уравнений непрерывности для электронов и дырок и кинетического уравнения Больцмана/1-4/. В диффузионно-дрейфовом приближении решение кинетического уравнения дает простые выражения для плотностей токов электронов и дырок в виде суммы плотностей диффузионого и дрейфового токов этих носителей заряда. Поэтому ФСУ в диффузионно-дрейфовом приближении содержит не кинетическое уравнение Больцмана, а результат его решения - выражения для плотностей токов электронов и дырок. ФСУ полупроводника в диффузионно-дрейфовом приближении имеет вид: ∆ϕ = (e/εεo)⋅ ( n - p + Na - Nd ), (1) 1 ∂n = div j n − RG n e ∂t (2) ∂p 1 = − div j p − RG p e ∂t где (1) - уравнение Пуассона; (2) - уравнения непрерывности для электронов и дырок; ∆ - оператор Лапласа; ϕ – потенциал электрического поля; εо – электрическая постоянная; ε - относительная диэлектрическая проницаемость полупроводникового кристалла; n, p, Na , Nd - концентрации свободных электронов, дырок, ионизированных акцепторов и доноров, соответственно; RGn(p)=Rn(p)-Gn(p) – темп рекомбинации-генерации электронов (дырок), соответственно. jn, jp – плотности токов электронов и дырок определяемые выражениями: jn= eDn∇n + enµn E , (3) jp= - eDp∇p + epµp E, (4)

где Dn, Dp - коэффициенты диффузии электронов и дырок;

5

µn , µp – подвижности электронов и дырок; E - напряженность электрического поля. Вид для выражений темпа рекомбинации-генерации определяется действующим механизмом этих процессов. К основным механизмам рекомбинации-генерации носителей заряда можно отнести /5,6/: 1) рекомбинацию-генерацию Шокли-Рида-Холла (через ловушечный уровень):

np − ni2 RGШРХ= τ n 0 ( p + ni ) + τ p 0 ( n + ni )

(5)

где n, p - концентрации, в общем случае, неравновесных свободных электронов и дырок, соответственно; ni=(n0 p0)1/2 - концентрация равновесных электронов (дырок) в собственном полупроводнике (n0 , p0 - концентрации равновесных электронов и дырок, соответственно) τn0=(αnNt)-1 , τp0=(αpNt)-1 - характеристические времена, определяемые коэффициентами захвата неравновесных электронов (αn) и дырок (αp) ловушками с концентрацией Nt; (при записи выражения (5) сделано предположение, что уровень ловушки совпадает с уровнем Ферми в собственном полупроводнике, т.е. расположен вблизи середины запрещенной зоны). 2) Оже-рекомбинацию (при больших концентрациях свободных носителей заряда): RGО=(np - ni2) (An⋅ n + Ap⋅ p) (6) где An , Ap - коэффициенты Оже-рекомбинации Важно отметить, что выражения (5),(6) справедливы только в установившемся режиме (т.е. при продолжительной стационарной генерации неравновесных носителей заряда, когда начинает выполняться равенство RGn=RGp). Поэтому при моделировании переходных процессов, строго говоря, следует использовать более общие выражения для темпов рекомбинациигенерации /5, С.306-313/. 3. НАБОРЫ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ФСУ Если в уравнения непрерывности (2) подставить выражения для плотностей токов (3),(4) и темпов рекомбинации-генерации носителей заряда (5),(6), а также учесть, что E= - grad ϕ (в отстуствии магнитного поля), то

6 получим систему из трех дифференциальных уравнений с тремя неизвестными: электростатическим потенциалом ϕ , концетрацией свободных электронов n и свободных дырок p. Набор независимых переменных {ϕ, n, p} представляет собой один из трех возможных наборов независимых переменных, относительно которых может решаться ФСУ полупроводника. В качестве других независимых переменных можно выбрать либо электростатический потенциал ϕ и квазипотенциалы Ферми для электронов ϕn и дырок ϕp , либо электростатический потенциал ϕ и экспоненты квазипотенциалов Ферми для электронов Φn=exp(-ϕn) и дырок Φp=exp(ϕp). Однако относительно двух последних наборов переменных ФСУ записана неявно. Для явного вида требуется выразить концентрации электронов и дырок через электростатический потенциал и квазипотенциалы Ферми. Полагая, что полупроводниковая структура невырождена и, следовательно, справедливо распределение Больцмана для носителей заряда, концентрацию равновесных электронов и дырок можно записать в виде:

⎛ E −F⎞ ⎛E −F⎞ n0 = N c exp⎜ − c ⎟ , p0 = N v exp⎜ v ⎟ kT ⎠ ⎝ ⎝ kT ⎠

(7)

где Nc , Nv - эффективная плотность состояний в зоне проводимости и в валентной зоне, соответственно; Ec, Ev - энергии, соответствующие дну зоны проводимости и потолку валентной зоны, соответственно; F - уровень Ферми; k - постоянная Больцмана; T - термодинамическая температура. Учитывая, что в собственном полупроводнике концентрация равновесных свободных электронов и дырок одинакова и равна

⎛ E − Fi ⎞ ⎛ E − Fi ⎞ ni = pi = N c exp⎜ − c ⎟ = N v exp⎜ v ⎟, kT ⎠ ⎝ ⎝ kT ⎠ перепишем выражения (7) в виде:

7

⎛F −F⎞ ⎛ F − Fi ⎞ n0 = ni exp⎜ (8) ⎟ ⎟ , p0 = ni exp⎜ i ⎝ kT ⎠ ⎝ kT ⎠ где Fi - уровень Ферми в собственном полупроводнике. Выражения (8) справедливы, только если полупроводник находится в равновесии. При нарушении равновесия концентрация электронов n уже не равна n0 , а концентрация дырок p≠p0 и, кроме того, n0 p0 ≠ ni2. Для сохранения формы записи для концентраций неравновесных носителей заряда в виде (8) вводят понятие квазиуровней Ферми для электронов Fn и дырок Fp , которые не совпадают между собой. Итак, если полупроводник находится в неравновесном состоянии, выражения для концентраций неравновесных электронов и дырок принимают вид: ⎛ Fi − F p ⎞ ⎛ F − Fi ⎞ ⎟ (9) n = ni exp⎜ n ⎟ , p = ni exp⎜⎜ ⎟ kT ⎝ kT ⎠ ⎠ ⎝ Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике Fi зависит от положения потолка валентной зоны Ev и дна зоны проводимости Ec (Fi≈(Ec+Ev)/2), которые могут изменяться в соответствии с пространственным изменением электростатического потенциала ϕ. Тогда можно записать Fi = Fi0 - eϕ. Выберем в качестве точки отсчета энергий положение уровня Ферми в собственном полупроводнике Fi0 , т.е. Fi0=0. Тогда Fi= - eϕ. Обозначим через ϕT тепловой потенциал, равный kT/e. Тогда выражения для концентраций носителей заряда (9) принимают вид:

⎛ϕ p −ϕ ⎞ ⎛ϕ −ϕn ⎞ ⎟, ⎟⎟ , p = ni exp⎜⎜ n = ni exp⎜⎜ (10) ⎟ ϕ ⎝ ϕT ⎠ T ⎝ ⎠ где ϕn= -Fn/e , ϕp= -Fp/e - квазипотенциалы Ферми для электронов и дырок, соответственно. Используя полученные выражения для n и p (10) совместно с соотношением Эйнштейна Dn(p)=µn(p)⋅ϕT (которое справедливо для невырожденного полупроводника), выражения для плотностей токов носителей заряда (3),(4) можно представить в более простом виде: jn= eDn∇n + enµn E = - enµn∇ϕn = - eµn ni exp[(ϕ -ϕn)/ϕT ]∇ϕn , jp= - eDp∇p + epµp E = - epµp∇ϕp = - eµp ni exp[(ϕp -ϕ)/ϕT ]∇ϕp .

(11)

Подставляя вместо концентраций и плотностей токов носителей заряда их выражения через электростатический потенциал и квазипотенциалы Фер-

8 ми (10),(11), можно записать ФСУ явно относительно наборов переменных {ϕ , ϕn , ϕp } или {ϕ , Φn , Φp }. Использование в качестве независимых переменных наборов {ϕ, n, p} и {ϕ , Φn , Φp} нежелательно, поскольку функции n, p, Φn , Φp экспоненциально зависят от своих аргументов, и диапазон изменения их значений в пределах рассматриваемой полупроводниковой структуры может быть весьма значительным (десятки порядков), что обусловливает увеличение вычислительных погрешностей в процессе итерационного решения ФСУ. В принципе, эти погрешности могут быть уменьшены за счет увеличения числа итераций, но это приведет и к увеличению продолжительности счета. Поэтому предпочтительнее решать ФСУ относительно переменных {ϕ , ϕn , ϕp}. В дальнейшем мы будем рассматривать ФСУ именно относительно этого набора переменных. 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ФСУ 4.1. Общие замечания по методам решения ФСУ В общем случае аналитическое решение ФСУ (даже в диффузионнодрейфовом приближении) весьма затруднительно. Для получения аналитических выражений применяют так называемый метод региональных приближений. Суть его заключается в том, что полупроводниковую структуру разбивают на квазинейтральные области (т.е. области, обогащенные свободными носителями заряда) и области пространственного заряда (т.е. области, обедненные свободными носителями заряда, например, области p-nпереходов). Помимо этого используют и другие допущения (например, допущение о ступенчатом или линейном распределении атомов примеси, об отсутствии рекомбинации свободных носителей заряда в p-n-переходах, о низком уровне инжекции и др.). С учетом этих допущений ФСУ записывается еще проще и поэтому допускает аналитическое решение Решение ФСУ в общем виде требует применения численных методов. 4.2. Нормировка ФСУ Для удобства численного решения ФСУ осуществляют нормировку входящих в нее величин. В Т а б л и ц е приведены основные нормируемые и нормирующие величины.

9

Нормируемая величина

Обозначение нормируемой величины x

Таблица Обозначение нормирующей величины x0=max(x)

Координата Коэффициент диффузии Dn , Dp D0=max(Dn, Dp) носителей заряда Время, времена жизни x02/D0 t, τn0, τp0 Электростатический потенциал ϕ, ϕn , ϕp ϕT=kT/e и квазипотенциалы Ферми Концентрации носителей n, p, Nd, Na ni заряда, атомов примеси Подвижность µn, µp D0/ϕT В соответствии с т а б л и ц е й и выражениями (10),(11) ФСУ (1),(2) принимает вид: d 2ϕ (12) = γ ( exp( ϕ - ϕn ) - exp( ϕp -ϕ ) +Na - Nd ) dx 2 ∂J n ⎛ ∂ϕ ∂ϕ n ⎞ exp(ϕ − ϕ n ) ⋅ ⎜ − − RGn (13) ⎟ = ∂ t ∂ t ∂ x ⎝ ⎠ ∂J p ⎛ ∂ϕ p ∂ϕ ⎞ ⎟ = − − exp(ϕ p − ϕ ) ⋅ ⎜⎜ − RG p , (14) ⎟ ∂ ∂ t t ∂ x ⎝ ⎠ где

γ=

е ni x02

εε 0ϕ T

J n = − exp(ϕ − ϕ n )

∂ϕ n , ∂x

J p = − exp(ϕ p − ϕ )

∂ϕ p ∂x

(15)

4.3. М е т о д ы д и с к р е т и з а ц и и у р а в н е н и й ф у н д а м е н т а л ь н о й системы Чтобы использовать для решения какой-нибудь численный метод, прежде всего требуется представить область, в которой ищется решение, в виде конечного множества точек, называемых узлами. Совокупность узлов, пронумерованных в определенном порядке, называют сеткой. Затем следует все непрерывно меняющиеся в рассматриваемой области величины дискретизировать, т.е. представить в виде так называемых сеточных функций, значения которых относятся только к узлам сетки. Очевидно, чем меньше шаг

10 сетки, тем ближе сеточная функция к истинной (непрерывной), но выше количество узлов сетки. В результате дискретизации решаемое уравнение трансформируется в систему алгебраических уравнений относительно значений неизвестной сеточной функции. Решая эту систему, находят дискретные значения искомой функции. Следует заметить, что найденное решение есть точное решение дискретизированного уравнения, но приближенное решение исходного (недискретизированного) уравнения. Существует два классических способа вывода алгебраических уравнений, аппроксимирующих исходное дифференциальное уравнение - метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Различие между ними качественно можно сформулировать так /1-3/. При применении МКР все производные в дифференциальном уравнении заменяются конечными разностями, и сумма всех членов конечно-разностного уравнения приравнивается нулю в каждом отдельном узле. В МКЭ же требуется, чтобы нулю был равен интеграл этой суммы по всей области. Вообще говоря, нельзя утверждать какой из методов лучше. У каждого есть свои преимущества и недостатки. Но МКР более прост и нагляден, в то время как для использования МКЭ требуется дополнительная математическая подготовка. Поэтому в дальнейшем ограничимся выводом разностных уравнений методом конечных разностей. 4.4. Интегро-интерполяционный конечно-разностных уравнений

метод

составления

Существует несколько способов составления конечно-разностных схем / 7/. Однако мы остановимся на подробном рассмотрении только одного из них как наиболее надежного и широко используемого при моделировании полупроводниковых структур. Это - метод баланса, или интегроинтерполяционный метод. Суть его заключается в следующем. Исходное дифференциальное уравнение интегрируют по неперекрывающимся областям (ячейкам), окружающих каждый узел сетки. Заметим, что полученное уравнение, записанное через пока еще невычисленные интегралы, является точным. Приближенные вычисления возникают на этапе вычисления этих интегралов. В результате приближенного интегрирования получается система алгебраических уравнений относительно значений искомой сеточной функции. Составим конечно-разностные аппроксимации для уравнений Пуассона и непрерывностей методом баланса.

11 Введем в одномерной области G={x, 0≤ x ≤ 1} сетку ω={xi , 0≤ i ≤ N}, причем x0=0, xN=1 (см. рис.). Заметим, что координаты, определяющие положение области G, записаны уже в нормированном виде. Координаты xi являются координатами узлов сетки, которые, в общем случае, могут располагаться неравномерно. Помимо узлов сетки необходимо ввести так называемые потоковые точки, в которых будут определены значения пространственных производных искомой сеточной функции (как известно, поток пропорционален градиенту некоторой функции). Они располагаются посередине между узлами сетки и поэтому для их обозначения имеет смысл использовать полуцелые индексы: xi+1/2=( xi + xi+1 )/2, xi-1/2=( xi-1 + xi )/2. 4.5. Конечно-разностный вид уравнения Пуассона Проинтегрируем нормированное уравнение Пуассона (12) по одной из ячеек, т.е. по области, ограниченной соседними потоковыми точками Gi=(x, xi-1/2≤ x ≤ xi+1/2):

Пространственно-временная сетка для области моделирования t tj+1

τ tj x0 x1

x2

xi-1 xi-1/2 xi

xi+1/2 xi+1 xN-2 xN-1 xN

x

узлы сетки обозначены точками, потоковые точки - крестами; штриховкой обозначена пространственно-временная ячейка, по которой проводится интегрирование уравнений непрерывности для записи их в конечно-разностном виде; Рис.

12 xi +1 / 2

⎛ d 2ϕ ⎞ ⎜ ⎟ γ (exp( ϕ ϕ ) exp( ϕ ϕ ) N N ) − − − − + − n p a d ⎟ dx = 0 ∫ ⎜ dx 2 xi −1 / 2 ⎝ ⎠

или

dϕ dx

− x=xi +1 / 2

dϕ dx

- γ (exp(ϕ i - ϕn i ) - exp(ϕp i -ϕ i ) +Na i - Nd i)(xi+1/2- xi-1/2)=0 x=xi −1 / 2

Полагая, что производная

dϕ dx

≈ x = xi +1 / 2

ϕ i +1 − ϕ i xi +1 − xi

, получим конечно-

разностный вид уравнения Пуассона:

ϕ i +1 − ϕ i xi +1 − xi

−

ϕ i − ϕ i −1 xi − xi −1

- γ (exp( ϕ i - ϕn i ) - exp( ϕp i -ϕ i ) +Na i - Nd i)(xi+1/2- xi-1/2)=0 (16)

Аналогичным способом попытаемся получить конечно-разностный вид уравнений непрерывности. 4 . 6 . Конечно-разностный вид уравнений непрерывности Интегрируя уравнение непрерывности для электронов (13) по пространственно-временной области (см. рис.) Gi,j=({x, t}, xi-1/2 ≤ x ≤ xi+1/2 , tj ≤ t ≤ tj+1 ) t j +1 xi +1 / 2

∫

tj

∂J n ⎞ ⎛ ⎛ ∂ϕ ∂ϕ n ⎞ ⎜ exp( ) RG ϕ ϕ − + − ⋅ − ⎜ ⎟ n n⎟ ∫ ⎜ ⎟dxdt = 0 , t t x ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ xi −1 / 2

получим

(

(

))(xi+1/ 2 − xi−1/ 2 ) − − (J n i +1 / 2 − J n i −1/ 2 )(t j +1 − t j ) + RGn i ( xi +1 / 2 − xi −1/ 2 )(t j +1 − t j ) = 0

exp(ϕ i − ϕ n i ) ⋅ (ϕ i '−ϕ i ) − ϕ ' n i −ϕ n i

или

13

ϕ i '−ϕ i ϕ ' n i −ϕ n i − + exp(ϕ n i − ϕ i ) τ τ

⎡ J n i +1/ 2 − J n i −1/ 2 ⎤ − + RG ⎢ ni⎥ = 0 − x x + 1 / 2 − 1 / 2 i i ⎣ ⎦

(17)

где штрихом обозначены потенциалы, относящиеся к моменту времени tj+1 ; τ = tj+1- tj - шаг по времени. Аналогичным образом в соответствии с (14) может быть получено конечно-разностное уравнение непрерывности для дырок:

ϕ ' p i −ϕ p i τ

−

⎡ J p i +1/ 2 − J p i −1 / 2 ⎤ ϕ i '−ϕ i + exp(ϕ i − ϕ p i ) ⎢ + RG p i ⎥ = 0 (18) τ ⎣ xi +1/ 2 − xi −1 / 2 ⎦

Учитывая выражения (15) для плотности тока носителей заряда можно записать: ϕ n i +1 − ϕ n i ≈ J n i +1/ 2 ≈ − exp(ϕ i +1/ 2 − ϕ n i +1/ 2 ) xi +1 − x i (19) − ϕ ϕ n i +1 ni ≈ − exp(ϕ i +1 − ϕ n i +1 ) exp(ϕ i − ϕ n i ) 1/ 2 ⋅ xi +1 − xi

[

J p i +1/ 2 ≈ − exp(ϕ p i +1/ 2 − ϕ i +1/ 2 )

[

]

ϕ p i +1 − ϕ p i xi +1 − x i

≈

]

≈ − exp(ϕ p i +1 − ϕ i +1 ) exp(ϕ p i − ϕ i ) 1/ 2 ⋅

ϕp

i +1 − ϕ p i

(20)

xi +1 − x i

Темп рекомбинации-генерации носителей заряда (5),(6) (напомним, что эти выражения справедливы только для статического режима работы p-n-перехода) с учетом нормировки и дискретизации может быть записан в виде:

(

)

RGi = exp(ϕ p i − ϕ n i ) − 1 × ⎡ ⎤ (21) 1 ×⎢ + An exp(ϕ i − ϕ n i ) + Ap exp(ϕ p i − ϕ i )⎥ ⎣⎢τ n0 (exp(ϕ p i − ϕ i ) + 1) + τ p0 (exp(ϕ i − ϕ n i ) + 1) ⎦⎥

Таким образом, полученные уравнения (16)-(21) образуют фундаментальную систему, записанную в конечно-разностном виде. Заметим, что для моделирования структур в стационарном режиме (статический режим рабо-

14 ты) в уравнениях непрерывности следует приравнять нулю первые две дроби. Каждое из уравнений фундаментальной системы, записанных в конечно-разностном виде, представляет собой систему алгебраических уравнений относительно неизвестных переменных - значений потенциала электрического поля и квазипотенциалов Ферми в узлах сетки. Учитывая, что индекс i в уравнениях изменяется от 0 до N, легко определить, что количество искомых переменных равно 3(N+1), в то время как вся ФСУ в конечноразностном виде состоит из 3(N-1) уравнений. Недостающие 6 уравнений должны быть составлены в соответствии с граничными условиями (по 2 условия на каждое уравнение). 4.7. Граничные условия Вид граничного условия зависит от того, с какой областью граничит рассматриваемая область моделирования: - на границе с омическим контактом:

ϕi* =U i* + ln( [(Nd i* -Na i*)2/4+1]1/2 + (Nd i* -Na i*)/2), ϕn i* = ϕp i* = U i* , где U i* - значение внешнего потенциала в граничном узле i* (в рассматриваемой задаче i*=0 или i*=N); - на границах, удаленных от активной области, можно приближенно считать потенциалы неменяющимися:

ϕ i*=ϕ i*±1 ,

ϕn i*=ϕn i*±1 ,

ϕp i*=ϕp i*±1 ;

(знак "+" следует брать, если i*=0, знак "-" - если i*=N); - на границе с диэлектриком (считается, что поля в диэлектрике нет): (ϕi*±1 -ϕ i*)/( x i*±1 -x i*)=σi* ,

Jn i*±1/2 = Rs i* ,

Jp i*±1/2 = -Rs i* ,

где знак "+" следует брать, если i*=0, знак "-" - если i*=N;

σ

- нормированная поверхностная плотность зарядов на соответствующей границе; i*

15 Rs i* - скорость изменения концентрации носителей заряда за счет поверхностной рекомбинации/5,6/: exp(ϕ p i* − ϕ n i* ) − 1

Rs i* =

(exp(ϕ i* − ϕ n i* ) + 1) / s p i* + (exp(ϕ p i* − ϕ i* ) + 1) / s n i*

где s n i* , s p i* - скорости рекомбинации электронов и дырок на соответствующей границе; (предполагается, что уровень ловушки расположен посередине запрещенной зоны). 4.8. Линеаризация системы алгебраических уравнений и методы их решения Как видно из (16)-(21) искомые значения потенциалов в узлах сетки нелинейно входят в полученную систему алгебраических уравнений, в связи с чем последняя может быть решена только итерационными методами. Чаще всего решение подобных нелинейных систем осуществляют методом Ньютона/1-3,7/. Суть его заключается в замене искомой переменной x, относительно которой система нелинейна, новой переменной, представляющей собой ее малое приращение δ x, в соответствии с выражением:

δ xi(l+1) = xi(l+1) - xi(l) где i - номер узла; (l), (l+1) - порядковые номера ньютоновской итерации (нулевое приближение (l=0) в общем случае может быть задано произвольно). В результате такой замены система алгебраических уравнений линеаризуется, поскольку нелинейные функции относительно переменных xi(l+1) могут быть приближенно представлены линейными функциями относительно переменных δ xi(l+1): f(xi(l+1)) = f( xi (l)+ δ xi (l+1) ) ≈ f(xi (l)) +

∂f ∂xi

δ xi (l+1) xi(l )

Таким образом, задав однажды нулевое приближение для искомых переменных xi (0), из решения системы линеаризованных алгебраических уравнений находят приращения δ xi (1) и, следовательно, уточненные значения искомых переменных xi (1), которые затем используются в системе уравнений

16 для последующего их уточнения. Такая процедура повторяется до достижения необходимой точности искомого решения. Система линейных уравнений относительно приращений потенциалов может быть решена прямыми методами (метод Гаусса) или итерационными. Метод Гаусса позволяет получить точное решение за конечное число шагов, но для своей реализации требует большого объема оперативной памяти, особенно при двух- и трехмерном моделировании. Итерационные методы требуют гораздо меньше памяти и поэтому в основном используются при многомерном моделировании. Существует несколько разновидностей итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Преимущества и недостатки этих методов обсуждаются в /1-3/. Следует различать внешний итерационный процесс, т.е. итерационный процесс, организуемый в связи с применением метода Ньютона к фундаментальной системе нелинейных уравнений и обеспечивающий нахождение ее решения, и внутренний итерационный процесс, используемый для решения уже линеаризованной системы уравнений относительно приращений искомых величин на очередном шаге ньютоновской итерации. 4.9. Общие алгоритмы численного решения ФСУ Существуют два принципиально различных алгоритма численного решения ФСУ - алгоритм Гуммеля и алгоритм Ньютона /1-3/. Основное различие между ними в том, что по алгоритму Ньютона уравнения фундаментальной системы решаются одновременно, т.е. все сразу, а по алгоритму Гуммеля - последовательно, причем несколько раз до достижения заданной точности искомого решения. У каждого из этих алгоритмов есть преимущества и недостатки. Например, скорость сходимости внешнего итерационного процесса выше при использовании алгоритма Ньютона. Кроме того, в этом случае не возникают проблемы сходимости решения при высоком уровне инжекции. Вместе с тем, реализация алгоритма Ньютона требует большей оперативной памяти и большего времени расчета при низких и средних уровнях инжекции, более сложен и процесс отладки. Гораздо проще алгоритм Гуммеля. Суть его в следующем. Вначале задается произвольное начальное приближение для квазипотенциалов Ферми (например, полагаются равными нулю) и решается уравнение Пуассона относительно только электростатического потенциала. Затем найденное распределение потенциала используют при решении уравнений непрерывности относительно только квазипотенциалов Ферми. В результате находят уточ-

17 ненное распределение квазипотенциалов Ферми. И вновь повторяют процесс решения уравнения Пуассона относительно электростатического потенциала, находя для него уточненное распределение. Такая процедура последовательного решения уравнения Пуассона и уравнений непрерывности продолжается до достижения заданной точности для искомых величин. Преимущество алгоритма Гуммеля в том, что в данный момент решается только одно из трех уравнений фундаментальной системы. Это позволяет значительно сэкономить память компьютера (особенно если задача многомерная), упростить разработку и отладку программы. Вместе с тем, процесс Гуммеля хорошо сходится, только если уравнения системы слабо связаны друг с другом, а уровень инжекции низкий или средний. Таким образом, оптимальный способ решения ФСУ можно обеспечить, используя оба метода - метод Гуммеля в случае низкого и среднего уровня инжекции, а метод Ньютона - в случае высокого. 5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Рассмотренная в настоящем пособии одномерная диффузионнодрейфовая модель полупроводниковой структуры является самой простой моделью, которая может быть использована на этапе структурнофизического моделирования. И хотя она не применима для корректного описания процессов переноса в современных ИС, тем не менее, на ее примере наглядно продемонстрированы общий подход к построению моделей структур элементов ИС и методы решения полученных уравнений. Кроме того, с помощью представленной модели можно достаточно детально (гораздо более точно, чем это делается методом региональных приближений) проанализировать работу диода, транзистора, тиристора и вообще любой одномерной структуры с произвольным распределением примеси. Модель может быть легко распространена на двух- и трехмерный случай.

18 Список использованных источников

1. Автоматизация проектирования БИС. В 6 кн.:Кн.5. В.Я. Кремлев. Физико-топологическое моделирование структур элементов БИС.-М.: Высшая школа, 1990.–144 с. 2. Бубенников А.Н. Моделирование интегральных микротехнологий, приборов и схем. - М.: Высшая школа , 1989.-320 с. 3. МОП-СБИС. Моделирование элементов и технологических процессов./Под ред. Р.А. Суриса. - М.: Радио и связь, 1988.- 496 с. 4. Гармашов С.И. Методические указания "Общие принципы и этапы моделирования структур элементов интегральных схем. Структурнофизическое моделирование. Часть 1"/-Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1999.-21 с. 5. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. - М.: Наука, 1990. –688 с. 6. Шалимова К.В. Физика полупроводников. - М.: Энергоатомиздат, 1985.-392 с. 7. Калиткин Н.Н. Численные методы.-М.:Наука, 1978.-512 с.