Сборник задач по курсу Физика твердого тела

И. Н. Николаев

А. И. Маймистов

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Москва 2009

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Московский инженерно-физический институт (государственный университет)

И.Н. Николаев

А.И. Маймистов

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 3-е издание, исправленное и дополненное

Москва 2009

УДК 531.9 М14

Николаев И.Н., Маймистов А.И. Сборник задач по курсу Физика твердого тела. –3-е изд., испр. и допол.  М.: МИФИ, 2009. – 60 с.

В сборнике представлены задачи различного уровня сложности. Часть их используется на занятиях по курсу «Физика твердого тела» и использовалась для домашнего задания (самостоятельного решения) студентам четвертого курса факультета ЭТФ. Сборник может быть также использован аспирантами, соискателями и сотрудниками МИФИ, желающими приобрести навыки решения задач из данной области физики.

© Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 1990, 2009

ISBN 978-7262-1128-2

Редактор Е.Н. Кочубей Подписано в печать 05.06.2009. Формат 60х84 1/16. Уч.-изд.л. 3,75. Печ.л. 3,75. Тираж 100 экз. Изд. № 055-1. Заказ № Московский инженерно-физический институт (государственный университет), Типография МИФИ. 115409, Москва, Каширское ш., 31

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие..................................................................................................4 1. Основы кристаллографии.......................................................................5 2. Дефекты и диффузия ..............................................................................9 3. Упругие свойства.................................................................................. 12 4. Квазичастицы в твердых телах ............................................................ 13 5. Тепловые свойства ............................................................................... 16 6. Электронные свойства.......................................................................... 20 7. Оптические свойства ............................................................................ 33 8. Магнитные свойства............................................................................. 34 9. Сверхпроводимость.............................................................................. 37 10. Резонансные явления............................................................................ 39 11. Кооперативные явления в твердых телах ............................................ 40 Ответы на некоторые задачи ...................................................................... 44 Список рекомендуемой литературы ........................................................... 55 Приложение ................................................................................................ 59

3

ПРЕДИСЛОВИЕ На протяжении последних пятнадцати лет занятия на семинарах по курсу “Физика твердого тела” опирались на решение задач, взятых из сборников [1-5]. Однако изданы они были очень давно, малым тиражом и в настоящее время практически недоступны для студентов. Кроме того, каждый из этих задачников посвящен определенному кругу разделов физики твердого тела, отражая профессиональные интересы их авторов. Таким образом, возникла потребность в издании сборника задач, в котором в одном месте были бы представлены различные разделы физики твердого тела, доступного каждому студенту МИФИ, специализирующемуся в этой области. При составлении предлагаемого сборника в качестве основы использованы упомянутые сборники задач [1-3], дополнительно взяты задачи из изданий [6-13] и упражнения, рекомендуемые авторами книг [14, 15]. Некоторые задачи предложены авторами данного пособия. При решении задач из настоящего сборника полезно пользоваться списком использованной литературы, где для каждого раздела указаны рекомендуемые книги. Предшествующие два издания сборника задач использовались на занятиях по физике твердого тела и для составления домашнего задания для студентов, обучающихся на кафедре физика твердого тела. Мы будем благодарны всем, кто выскажет критические замечания относительно данной книги.

4

1. Основы кристаллографии 1.1. Определить число атомов в элементарной ячейке железа, кристаллизующегося в кубической системе. 1.2. ОЦК решетка состоит из атомов одного сорта, имеющих радиусы R . Пусть атомы, расположенные по диагонали куба, касаются друг друга. Определить плотность упаковки этой структуры. 1.3. Определить радиус атомов, которые могут быть размещены в октаэдрических пустотах при плотной упаковке равновеликих шаров радиусом R. 1.4. Определить координационные числа для решеток: простой кубической, ОЦК, ГЦК, типа алмаза. 1.5. Найти индексы Миллера плоскости, проходящей через узловые точки кристаллической решетки с координатами 9 Å, 10 Å, 30 Å, если параметры решетки: а = 3 Å, b = 5 Å, с = 6 Å. 1.6. Построить кристаллическую плоскость (в простой кубической решетке с постоянной а), которой соответствуют индексы Миллера (3 1 0), и найти расстояние между плоскостями этого типа. 1.7. Показать, что кристаллическая решетка может иметь оси поворота лишь первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядков. 1.8. Доказать, что в кубическом кристалле любое направление [hkl ] перпендикулярно к плоскости с индексами Миллера (hkl ) . 1.9. С помощью непосредственного построения убедиться, что решетка, обратная ГЦК, является ОЦК решеткой. 1.10. Определить, какой вид имеет обратная решетка для: простой кубической, гранецентрированной, объемно центрированной, гексагональной решеток и решетки типа алмаза. 1.11. Выразить объемы элементарных ячеек через радиусы равновеликих шаров (атомов), образующих плотные упаковки для ОЦК, ГЦК и гексагональной решеток. 1.12. Показать, что отношение c / a для идеальной гексагональной структуры с плотной упаковкой равно 1,633. 6

1.13. Найти плотность упаковки для ОЦК структуры, состоящей из атомов одного сорта, имеющих радиус R . 1.14. Вычислить объем элементарной ячейки, если ее параметры и углы триклинности имеют следующие значения: a = 11,13 Å, b = 9,83 Å, c = 8,17 Å,   949,5,   9540,   9658. 1.15. Получить формулы для вычисления объемов элементарных ячеек: а) моноклинной, б) гексагональной, в) ромбоэдрической систем. 1.16. Выразить углы между векторами обратной решетки через углы прямой решетки. 1.17. Найти векторы обратной решетки для ромбоэдрического кристалла, если a = 6,36 Å,   466. 1.18. В триклинной решетке кристалла параметры и углы триклинности элементарной ячейки следующие: a = 7,09 Å, b = 7,72 Ǻ, c = 5,56 Å,   9055,   1012,   10544. Определить расстояние между плоскостями (1 0 2). 1.19. Получить формулы для вычисления межплоскостных расстояний кристаллов систем: а) ромбической, б) гексагональной, в) тетрагональной, г) кубической. 1.20. Определить угол между плоскостями (2 0 1) и (3 1 0) в ромбическом кристалле с параметрами a = 10,437 Å, b = 12,845 Å, c = 24,369 Å. 1.21. Определить угол между прямой, проходящей через начало координат и точку с координатами (1,0,0) и плоскостью (1 0 2) в моноклинной решетке с параметрами: a = 12,85 Å, b = 8,07 Å, c = = 9,31 Å,   . 1.22. Вычислить угол между двумя направлениями [1 0 1] и [0 1 2] в ромбической решетке с параметрами: a = 4,88 Å, b = = 6,66 Å, c = 8,32 Å. 1.23. Показать для случая простой кубической решетки, что формула Вульфа–Брэгга является следствием условий Лауэ. 1.24. При съемке дебаеграммы серебра при температурах 18 и 630 С дифракционная линия наблюдается при углах 809 и 7654 7

соответственно. Вычислить коэффициент термического расширения серебра. 1.25. Оценить энергию нейтронов, с помощью которых можно исследовать магнитную структуру твердых тел. Каким способом можно получить монохроматический пучок нейтронов такой энергии из исследовательского атомного реактора? 1.26. Методом дифракции излучения необходимо определить кристаллическую структуру тонкой (около 300 Å) пленки вещества, напыленного на кристаллическую подложку. Какой пучок предпочтительней использовать для этой цели: рентгеновский, нейтронный или электронный? Обосновать сделанный вывод. 1.27. Какое максимальное число линий может появиться на рентгенограмме от простой кубической решетки с постоянной a = = 2,86 Å, если исследование ведется на кобальтовом излучении с длиной волны 1,789·10-8 см? 1.28. Найти атомный форм-фактор для однородного распределения Z электронов внутри сферы радиусом R . 1.29. Появятся ли на рентгенограмме линии при отражении от плоскостей (2 0 0) и (1 0 1) ГЦК решетки? 1.30. Энергия взаимодействия соседних атомов в кристалле аппроксимируется выражением U (r )   ar 2  br 10 . Межатомное расстояние в положении равновесия равно 3 Å, энергия связи атома в кристалле равна 4 эВ. Найти силу, стремящуюся вернуть атомы в положение равновесия при увеличении или уменьшении межатомного расстояния на 1. Какое давление нужно приложить к кристаллу для достижения такой деформации? 1.31. Найти сжимаемость кристалла NaCl при 0 К, считая, что показатель экспоненты в соотношении ГрюнайзенаМи, определяющий величину сил отталкивания, равен 9,4. 1.33. Используя формулу Борна для энергии решетки ионного кристалла, вычислить теоретическую прочность на разрыв кристалла NaCl.

8

2. Дефекты и диффузия 2.1. В решетке из N узлов n атомов перемещены из узлов в междоузлия, при этом 1  n  N . Энергия, необходимая для перемещения одного атома, равна w . Подобные дефекты называются дефектами внедрения или дефектами по Френкелю. Покажите, что при температуре T , при которой kBT  w , справедливо соотношение n2  exp( w / k BT ), ( N  n)( N   n) где N ' — число междоузельных положений, которые может занять атом. 2.2. Пусть n атомов из узлов кристалла ( n  N ) перемещены на его поверхность. Энергия, необходимая для такого перемещения, равна w . Подобные дефекты называются вакансиями или дефектами по Шоттки. Покажите, что в равновесии имеет место соотношение n  exp( w / k BT ). ( N  n) 2.3. Найти отношение числа дефектов по Шоттки к числу дефектов по Френкелю при комнатной температуре, если энергия образования вакансии равна 0,75 эВ, а энергия образования дефекта внедрения 3 эВ. 2.4. Пусть энергия, необходимая для образования вакансии, равна 1 эВ. Вычислить вклад в теплоемкость одного моля металла при комнатной температуре, обусловленный присутствием этих дефектов. 2.5. Оценить величину коэффициента диффузии радиоактивного натрия в обычном натрии при комнатной температуре, если высота потенциального барьера, который надо преодолеть атому, чтобы перейти в новое положение равновесия, равна 0,5 эВ (частота колебаний атома около положения равновесия 10 12 Гц). 9

2.6. Исследовать диффузию золота в свинце при температуре 160?С. Наблюдения показали, что за 25 дней атомы золота проникают вглубь образца на 4,5 см. Определить величину коэффициента диффузии. 2.7. Вывести соотношение Эйнштейна D  k BT / e , связывающее коэффициент диффузии и подвижность . 2.8. В бесконечной одномерной периодической решетке (цепочке атомов) частица из узла с номером n = 0 совершает с вероятностью p скачок вправо или с вероятностью q  1  p — скачок влево. Найти: а) уравнение, определяющее P( n, N ) — вероятность обнаружения частицы в узле с номером n после N-го шага; б) явный вид P( n, N ) , решив это уравнение; в) среднеквадратичное отклонение от начального положения после N шагов; г) при фиксированном номере узла в цепочке n значение числа шагов N, отвечающее максимуму P( n, N ) . 2.9. Рассмотреть случайные блуждания по цепочке в континуальном пределе: x  nd , t  tN (d — постоянная решетки). При малых t и d можно считать, что N  1 . Найти: а) уравнение, определяющее распределение вероятностей P( x, t ) обнаружения частицы в момент времени t в точке x ; б) явное выражение для распределения вероятностей P( x, t ) ; в) среднее значение величин  x (t ) ,  x 2 (t ) . 2.10. Определить коэффициент диффузии в моделях случайных блужданий, рассмотренных в задачах 2.8 и 2.9. 2.11. Пусть частица совершает случайные блуждания по трехмерной кубической решетке с периодом а и ее начальное положение совпадает с нулевой точкой системы координат. Определить  вероятность обнаружения частицы в точке r после N-го шага    PN (r ) . Показать, что в пределе r | r |  PN (r ) определяется выражением 10

  3   PN ( r )    2N 

3/ 2

 3r 2  . exp   2 N  

2.12. Рассмотреть случайное блуждание частицы в одномерной решетке в случае, когда в узлах n =0 и n  L находятся ловушки. Показать, что если движение начинается с узла n ( 1  n  L  1 ), то вероятность оказаться после N шагов в узле с номером m определяется решением уравнения P( n, m, N  1)  pP( n  1, m, N )  qP (n  1, m, N ) с граничными условиями P(0, m, N )  P( L, m, N )  0, N  1, P( n, m,0)  0, n  m, P( n, n,0)  1. Найти явный вид этой вероятности. 2.13. Рассмотреть случайное блуждание частицы в одномерной решетке в случае, когда в узле n = 0 находится ловушка. Найти уравнение, определяющее вероятность оказаться после N шагов в ловушке, если движение начинается с узла n  0 . 2.14. Рассмотреть случайное блуждание частицы в одномерной решетке в случае, когда в узлах n =0 и n  L находятся отражающие границы. Найти уравнение для определения вероятности оказаться после N шагов в узле с номером m , если движение начиналось из узла с номером n ( 1  n  L  1 ). 2.15. В качестве одномерной модели перколяции можно рассмотреть цепочку узлов с периодом a и частицу, совершающую с вероятностью р скачок в соседний узел или с вероятностью q  1  p остающуюся на месте. Повторные посещения узлов частице запрещены. За N шагов (после каждого шага частица либо остается на месте, либо перемещается в соседний узел) она окажется в узле с номером n . Требуется найти: а) вероятность обнаружить частицу в узле n после N шагов P( n, N ) ; б) среднеквадратичное расстояние между начальным (n =0) и конечным положением частицы после N шагов. 11

Сравнить эти величины с аналогичными, отвечающими случаю случайного блуждания на цепочке.

3. Упругие свойства 3.1. Кубический кристалл подвергнут растяжению в направлении [1 0 0]. Найти выражение для коэффициента Пуассона через упругие постоянные и модули упругости. 3.2. Кубический кристалл подвергнут гидростатическому сжатию. Показать, что величина K  VdP / dV , обратная сжимаемости связана с упругими постоянными соотношением K  (c11  2c12 ) / 3 . 3.3. Найти соотношение между модулями упругости и упругими податливостями кубического кристалла. 3.4. Резонансная частота цилиндрического никелевого стержня длиной 10 см и диаметром 0,442 см равна 1880 Гц. Определить модуль Юнга и модуль сдвига никеля. 3.5. Твердость стали по Бринелю равна 450 кг/мм2. Определить диаметр отпечатка, если испытание проводилось шариком диаметром 5 мм при нагрузке 750 кг. 3.6. Показать, что для продольных волн в твердом теле фазовая скорость определяется выражением: (1  ) E v , (1  2)(1  ) где  — коэффициент Пуассона,  — модуль Юнга,  — плотность твердого тела. 3.7. Определить закон дисперсии упругих волн в кубическом кристалле, распространяющихся в плоскости грани куба. 3.8. Определить закон дисперсии упругих волн в кристалле гексагональной системы. 3.9. Определить закон дисперсии упругих поверхностных волн (волн Рэлея). 12

3.10. Показать, что волна кручения распространяется по стержню со скоростью v    , где    — модуль сдвига.

4. Квазичастицы в твердых телах 4.1. Для классического линейного осциллятора найти среднее значение по времени (за период) квадрата смещения, квадрата импульса, полной энергии и отношение потенциальной энергии к кинетической. 4.2. Для квантового одномерного осциллятора найти среднее значение по времени (за период) квадрата смещения, квадрата импульса, полной энергии и отношение потенциальной энергии к кинетической. Сравнить эти результаты с результатами предыдущей задачи. 4.3. Найти энергию колебаний решетки твердого тела, считая ее набором 3N: а) квантовых невзаимодействующих осцилляторов; б) классических невзаимодействующих осцилляторов. 4.4. Найти спектр колебаний линейной цепочки атомов, взаимодействующих по гармоническому закону. 4.5. Записать функцию Гамильтона для линейной цепочки гармонически взаимодействующих атомов в обобщенных координатах и в нормальных координатах. Убедиться, что в последнем случае энергия цепочки совпадает с энергией невзаимодействующих осцилляторов. 4.6. Найти спектр колебаний линейной гармонической цепочки, если смещение qn и импульс pn каждого атома в n-м узле удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям:  pn ,qm   inm , qn ,qm   0,  pn , pm   0. 4.7. Показать, что в состоянии с заданным числом фононов среднее значение смещения равно нулю, а в когерентном состоянии |z, построенном из основного |0 (“вакуум” фононов) по правилу 13

   1 2 | z  exp  z  z bk | 0 ,  2    

среднее значение смещения отлично от нуля. Здесь bk – оператор рождения фонона с волновым числом k, z – произвольная константа. Найти энергию в этом состоянии. Если z  z0 exp( it ) , то полученный результат необходимо и полезно сравнить с результатом задачи 4.1 о классическом осцилляторе. 4.8. Рассмотреть движение электрона в ионном кристалле (полярном кристалле) в рамках модели Фрёлиха. Получить для энергии электрона следующее выражение: 2k 2 (k )    (1   / 6), 2m * где   ( 1   0 1 )e 2u / 2 L ,  L – частота колебаний атомов решетки. (Квазичастицы с таким законом дисперсии называются поляронами.) 4.9. В модели сильной связи в одномерном случае найти спектр поляронов, если атомы  узлы решетки совершают гармонические колебания. Считать, что: а) атомы нейтральны, б) атомы положительно заряжены. 4.10. Доказать, что химический потенциал фононов и магнонов равен нулю, и по этой причине не происходит их бозе-конденсация. 4.11. Найти дисперсионное соотношение для волны поляризации в ионном кристалле, возникающей под действием внешнего электромагнитного поля. 4.12. Рассмотреть предыдущую задачу, проведя квантование колебаний ионов и электромагнитного поля. Найти спектр элементарных возбуждений, называемых поляритонами, и сравнить зависимость их энергии от квазиимпульса с дисперсионным соотношением для волны поляризации. 4.13. Пусть в узлах одномерной цепочки помещены электроны, которые занимают состояние с энергией –W0. Обозначим интеграл перескока между соседними узлами U0, расстояние между соседни14

ми узлами – a. Найти спектр носителей тока в рамках этой модели, называемой моделью сильной связи. 4.14. Определить спектр электрона в периодическом потенциале на основе модели КронигаПенни. 4.15. Определить дисперсионное соотношение для плазменных колебаний в модели твердого тела, называемой “желе”. 4.16. Оценить величину плазменной частоты, приняв концентрацию электронов равной пе = 1023 см–3. 4.17. Найти спектр плазмонов – квантов плазменных колебаний. Сравнить полученный результат с дисперсионным соотношением для плазменных колебаний. 4.18. Найти дисперсионное соотношение для спиновой волны в ферромагнетике и спектр магнонов в изотропной модели Гейзенберга и сравнить эти результаты. 4.19. Найти эффективную массу электрона в приближении сильной связи. 4.20. Найти ширину запрещенной зоны в спектре электронов в периодическом потенциале в приближении почти свободных электронов. 4.21. Экситон ВаньеМотта представляет собой пару электрон–дырка, взаимодействующих друг с другом по закону Кулона, причем роль атомов решетки сводится к созданию однородного диэлектрического фона, ослабляющего кулоновское притяжение в  раз. Определить, в какой модели энергетический спектр экситонов. 4.22. В молекулярном кристалле предполагается, что каждая молекула может находиться в основном или в возбужденном состояниях, а возбуждение может передаваться от одной молекулы к другой за счет обменного взаимодействия. В приближении Гайтлера– Лондона, учитывая только одно возбужденное внутримолекулярное состояние, найти энергетический спектр коллективных состояний, которые называются экситонами Френкеля. 4.23. Распространение возбуждения в одномерном кристалле или полимерной цепочке может быть описано на основе модели газа паулионов со взаимодействием только между ближайшими соседями. Показать, что в этой модели экситоны образуют газ свободных безспиновых фермионов. 15

5. Тепловые свойства 5.1. Определить закон дисперсии одноатомной цепочки атомов, взаимодействующих: а) только с ближайшими соседями по гармоническому закону: f   x, где x – изменение расстояния между двумя соседними атомами, a – постоянная цепочки, m – масса атома (рис. 5.1, а); б) только с ближайшими и следующими за ними соседями по гармоническому закону.

Рис. 5.1. Некоторые одномерные модели решетки твердого тела: а – одноатомная гармоническая цепочка; б – двухатомная гармоническая цепочка; в – альтернированная цепочка атомов

5.2. Найти зависимость скорости звука в модели одноатомной цепочки от ее параметров. 5.3. Определить закон дисперсии двухатомной цепочки атомов с массами m1 и m2 . Взаимодействие только с ближайшими соседя16

ми по гармоническому закону характеризуется константой  (рис. 5.1, б). 5.4. Найти фазовую и групповую скорости распространения упругой волны в одноатомной цепочке в зависимости от волнового числа. 5.5. Найти скорость звука в модели двухатомной цепочки. 5.6. Найти фазовую и групповую скорости распространения упругой волны в модели двухатомной цепочки как функцию волнового числа. 5.7. Проанализировать закон дисперсии колебаний двухатомной цепочки в пределах: а) m1  m2 , б) m1  , m2 – конечная. 5.8. Найти закон дисперсии колебаний в модели одноатомной цепочки, когда взаимодействие между ближайшими соседями имеет периодический характер, как показано на рис. 5.1, в. 5.9. По условию задачи 5.8 рассмотреть предел    ,  – конечна. Сравнить полученные результаты для закона дисперсии колебаний и скорости звука с аналогичными результатами для моделей одно- и двухатомной цепочек. 5.10. Пусть q0 – смещение атома в n-м узле цепочки из одинаковых атомов массой m . Уравнение движения имеет вид m

d 2 qn  f (q n 1  q n )  f (q n  q n 1 ), dt 2

где f (q ) характеризует силу упругого взаимодействия между ближайшими соседями. Пусть эта функция имеет следующий вид: а)

f ( q)   q  aq 2 ;

3 б) f ( q)   q  aq ;

n в) f ( q)   q  aq ,

n  4. Тогда: 1) определить в континуальном приближении уравнение, описывающее волну в таких ангармонических решетках; 2) найти периодические и уединенные решения волнового уравнения; 3) определить зависимость скорости распространения нелинейных волн от параметров цепочки. 5.11. Найти теплоемкость решетки твердого тела в рамках модели Дебая. Рассмотреть пределы низких и высоких температур. 17

5.12. Определить температуру Дебая в модели одноатомной цепочки гармонически связанных атомов. 5.13. Найти решеточную теплоемкость в модели одноатомной цепочки гармонически связанных атомов. 5.14. Найти теплоемкость в модели двухатомной цепочки в различных предельных случаях: а) m1 » m2 ; б) m1  , m2 – конечная; в) низкие температуры. 5.15. Найти зависимость теплоемкости от температуры Т при T  0 , если закон дисперсии для фононов в твердом теле имеет вид (k )  Ak n . 5.16. Найти зависимость теплоемкости от температуры Т, при T  0 , если закон дисперсии для квазичастиц в твердом теле имеет вид ( k )  0  Ak n . Найти выражение для теплоемкости Dмерного кристалла в рамках модели Дебая. 5.17. Пусть C (T ) — теплоемкость твердого тела при постоянном объеме и температуре, равной T . Показать, что энергия нуле

вых колебаний равна интегралу

 [CV  C (T )]dT ,

где CV — тепло-

0

емкость при высокой температуре, равная ее классическому значению. 5.18. Определить теплоемкость твердого тела, если фононный спектр имеет акустическую и оптическую ветви. 5.19. Определить среднюю по ансамблю энергию классического линейного осциллятора, находящегося в термодинамическом равновесии с системой таких же осцилляторов. 5.20. Определить приближенно скорость звука в алмазе, если известно, что для него температура Дебая равна 1860 К и постоянная решетки составляет 3,57 Å. 5.21. Определить температуру Дебая для серебра, если при T  10 К его теплоемкость составляет 199 Дж/град. 5.22. Определить величину теплового расширения – среднее значение расстояния между соседними атомами – в модели гармонической одноатомной цепочки. 18

5.23. Определить поправку к величине теплового расширения цепочки ангармонических осцилляторов в первом порядке по константе ангармонизма. Потенциальная энергия взаимодействия соседних атомов дается выражением U ( x )  cx 2  gx3 . 5.24. Найти среднюю энергию на один атом и удельную теплоa емкость цепочки Тоды: U ( x)  a x  exp( b x ); a, b  0. b 5.25. Определить величину теплового расширения решетки в модели цепочки Тоды. Рассмотреть предельные случаи низких температур и малого ангармонизма. 5.26. В гармоническом приближении для кристаллической решетки найти соотношение между коэффициентом жесткости и массой атома, при котором нулевые колебания вызывают среднеквадратичное отклонение от положения равновесия, равное межатомному расстоянию. (Такое твердое тело даже при температуре T  0 К остается в “жидком состоянии” и называется квантовым кристаллом.) 5.27. Имеется система из N атомов, которые могут находиться только в двух энергетических состояниях, отличающихся энергией . Определить теплоемкость такой системы. 5.28. Определить вклад в теплоемкость, вносимую: а) дефектами Френкеля, б) дефектами Шоттки. 5.29. Определить удельную теплоемкость вырожденного свободного электронного газа. 5.30. Определить удельную теплоемкость невырожденного свободного электронного газа. 5.31. Найти вклад в теплоемкость, определяемую носителями тока в собственном полупроводнике. 5.32. Показать, что при достаточно низких температурах удельная теплоемкость идеального ферми-газа определяется выражением CV   2 k B2TD( 0 ) / 3 , где D( 0 )  3N / 2 0 , а D() — одночастичная плотность состояний. 19

5.33. Найти удельную теплоемкость вырожденного ультрарелятивистского (имеющего закон дисперсии ( p)  cp ) ферми-газа при T 0. 5.34. Найти вклад магнонов в теплоемкость при низких температурах для анизотропного (одноосного): а) ферромагнетика, б) антиферромагнетика. 5.35. Найти вклад магнонов в теплоемкость при низких температурах для изотропного: а) ферромагнетика, б) антиферромагнетика. 5.36. Найти вклад плазменных колебаний электронной плотности в теплоемкость металла. 5.37. Найти вклад экситонов в теплоемкость при низких температурах в модели паулионной цепочки. 5.38. Найти вклад экситонов в теплоемкость твердого тела при низких температурах, считая, что дисперсионное соотношение для экситонов имеет вид ( p)  p 2 2meph .

6. Электронные свойства 6.1. Оценить длину волны электрона с энергией Ферми для Li (т*/те = 2,4). 6.2. Оценить скорость электрона на поверхности Ферми в металле. 6.3. Найти выражение для плотности состояний свободного электронного газа. 6.4. Найти максимальную энергию электронов в натрии при 0 К (использовать модель свободных электронов). 6.5. Экспериментальное значение энергии Ферми для Li при T  0 равно 3,5 эВ. Каково значение эффективной массы электронов в Li? Сравнить эту величину с массой свободного электрона. 6.6. Каковы вероятности того, что при комнатной температуре электрон в металле займет состояние, энергетический уровень которого расположен на 0,1 эВ а) выше и б) ниже уровня Ферми? 20

6.7. Оценить энергию Ферми F и температуру вырождения TF   F / k B для электронов: а) в металле; б) в собственном полупроводнике. 6.8. Определить энергетический спектр электронов в пределе сильной связи. 6.9. Пусть полное число электронов в образце равно N и плотD ,   0 , ность состояний электронов имеет вид D()   0  0,   0 . Тогда: а) вычислить энергию Ферми  F при Т = 0 К; б) вывести условие отсутствия вырождения системы электронов; в) показать, что в случае сильного вырождения электронная теплоемкость линейна по температуре. 6.10. Вычислить химический потенциал и внутреннюю энергию идеального ферми-газа частиц с точностью до членов порядка T 4 . 6.11. Показать, что если D() – одночастичная плотность состояний, то при достаточно низких температурах удельная теплоемкость идеального ферми-газа определяется выражением 1 CV   2 k B2 T D ( 0 ). 3 6.12. Оценить нулевое давление электронов в одновалентном металле. Электроны рассматривать как идеальный ферми-газ. 6.13. Показать, что для металлов теплопроводность  и проводимость  связаны соотношением   ( k B / e) 2 T / 3 , которое называется законом ВидеманаФранца. 6.14. Оценить коэффициент теплопроводности для алюминия. 6.15. Определить вклад в величину удельного электрического сопротивления, обусловленный рассеивающими центрами, считая, что среднее сечение рассеяния  ≳ 4 / k F2 , где kF  импульс Ферми. Считать, что металл одновалентный и концентрация примесей составляет  от концентрации электронов. 21

6.16. Доказать теорему Блоха. 6.17. В рамках модели КронигаПенни найти выражение для эффективной массы для: а) центра зоны Бриллюэна ( k  0 ), б) краев зон Бриллюэна ( k ?  / a ). 6.18. Построить зависимость эффективной массы от волнового числа (или квазиимпульса) для первой зоны Бриллюэна в модели Кронига–Пенни. 6.19. В медном проводнике с площадью поперечного сечения 0,2 см2 идет ток 1 А. Определить среднюю дрейфовую скорость электронов. Сравнить ее со средней тепловой скоростью электронов, если энергия Ферми равна 7 эВ. 6.20. Оценить среднюю длину пробега электрона в меди при комнатной температуре, если известно, что проводимость меди   = 6·107 Ом-1м -1, а энергия Ферми  F  7 эВ. 6.21. Определить время релаксации , среднюю длину свободного пробега l и дрейфовую скорость электрона в электрическом поле E = 100 В/м для натрия, если его теплопроводность  равна 150 Вт/м·град. 6.22. Пусть образец металла содержит N атомов, химический потенциал системы электронов равен , энергетическая зона, содержащая 2 N электронных состояний с энергиями i , занята 2 N  M электронами. Показать, что электроны дают такой же вклад в термодинамические характеристики этого металла, как и электронный газ с энергетическими уровнями   i и химическим потенциалом  .

6.23. Пусть ne — плотность электронов,  B — магнетон Бора, *B  e / 2cm*, m * — эффективная масса электрона и кулоновское взаимодействие между электронами не существенно. Показать, что магнитная восприимчивость невырожденного электронного газа n  1  определена формулой   e   2B  *B2 . k BT  3  22

6.24. При учете спина электрона каждому донорному уровню следует поставить в соответствие два электронных состояния. Но кулоновское отталкивание препятствует одновременному заполнению уровня двумя электронами. Определить магнитную восприимчивость системы электронов на донорных уровнях. 6.25. Определить парамагнитную восприимчивость невырожденного свободного электронного газа. 6.26. Рассмотреть двухмерный электронный газ в магнитном поле Н. Найти в пределе Н   восприимчивость: а) орбитальную (диамагнетизм Ландау), б) спиновую (парамагнетизм Паули). 6.27. Рассмотреть орбитальный магнетизм электронов (как идеальный ферми-газ) при Т = 0 К. Определить намагниченность и восприимчивость электронов в магнитном поле (эффект де Газа– ван Альфена). 6.28. Найти намагниченность при Т = 0 К двухмерного электронного газа в магнитном поле столь большой напряженности, что эффект де Газа–ван Альфена не существенен. 6.29. Рассмотреть электроны в металле как неидеальный фермигаз. Если электроны взаимодействуют друг с другом на основе парного взаимодействия, характеризуемого длиной рассеяния as , то

можно

энергию состояния n  {..., n p ,s ,...} записать в виде: En   p

с

числами

заполнения

 p2 4as  2 (n p ,  n p ,  )  N  N    H ( N   N  ), 2m mV

где n p   {0, 1}, N    p n p  , V — объем, содержащий N =N+ + Nфермионов, Н – магнитное поле. Тогда: а) определить температурную зависимость спонтанной намагниченности, если as положительная (ферромагнетизм зонных электронов); б) найти парамагнитную восприимчивость и постоянную Кюри, рассмотреть низкие и высокие температуры, сравнить полученную зависимость с аналогичной для случая идеального ферми-газа; 23

в) найти теплоемкость неидеального ферми-газа, рассмотреть случаи высоких и низких температур и положительных и отрицательных значений as. 6.30. Показать, что спиновая парамагнитная восприимчивость системы электронов при произвольной температуре имеет вид 

  2 2B  D() f ()d, 0

где D()  dD() / d, f () – распределение Ферми. 6.31. Найти отношение парамагнитных восприимчивостей для невырожденного и сильно вырожденного ферми-газа. 6.32. Оценить удельную теплоемкость и спиновую парамагнитную восприимчивость для лития и натрия (  Li = 0,534 г/см3,  Na = = 0,97 г/см3). 6.33. Считая электроны в металле свободными, найти период осцилляций намагниченности как функции (1/H), где H — напряженность внешнего магнитного поля. Оценить эту величину для одновалентного металла. 6.34. Оценить диамагнитную восприимчивость электронного газа (диамагнетизм Ландау) и магнитную индукцию в поле H = 105 Э в случае одновалентного металла. 6.35. Найти площадь разрешенной орбиты, отвечающей первому и второму уровню Ландау для электронов металла, помещенного во внешнее магнитное поле H = 104 Э. 6.36. Составить и решить квантовые уравнения движения для свободного электрона в однородном магнитном поле, используя  для векторного потенциала калибровку A  { yH / 2, xH / 2, 0}. 6.37. Оценить сжимаемость кристаллического натрия, считая, что на один атом приходится по одному свободному электрону. 6.38. Вычислить плотность тока эмиссии с поверхности тантала при 2000 К. Воспользоваться теоретическим значением предэкспонентциального множителя. Работа выхода тантала равна 4,05 эВ. 6.39. Вычислить пороговую длину волны фотоэффекта в цезии. 6.40. Определить электропроводность металла для случая низких температур, исходя из кинетического уравнения: 24

  f ( p ) f 0 ()  f ( p )  eE .   p ()

6.41. Удельное сопротивление собственного германия при 27°С равно 0,47 Омм. Вычислить концентрацию электронов и дырок. 6.42. Вычислить при комнатной температуре электропроводность германия, который содержит индий с концентрацией 2·1022 м–3 и сурьму с концентрацией 1021 м–3. 6.43. Удельная электропроводность и коэффициент Холла для арсенида индия равны соответственно  = 4·102 Ом–1·м–1 и RH = =10–2 м3/Кл. Считая, что проводимость осуществляется носителями одного сорта, определить их концентрацию и подвижность. 6.44. В образце германия при некоторой температуре эффект Холла не наблюдается. Какова “дырочная” составляющая общего тока через образец? 6.45. Концентрация акцепторов в полупроводнике 1014 см–3. Их энергетический уровень расположен на 0,01 эВ выше потолка валентной зоны. Вычислить электропроводность материала при комнатной температуре, температуре жидкого азота и температуре жидкого гелия, если подвижность дырок слабо зависит от температуры и равна 100 см2/В·с. Собственной проводимостью пренебречь. 6.46. Исследовать температурный ход уровня Ферми F(T) в примесном полупроводнике, содержащем один тип одновалентных доноров с концентрацией Nd. Построить график зависимости F(T). 6.47. Найти температуру, при которой уровень Ферми совпадает с уровнем донорной примеси для германия, легированного сурьмой с концентрацией 1016см–3 ( Ed = Ес – 0,01 эВ, g = 2). Какова концентрация электронов при этой температуре? 6.48. Вывести общее выражение для постоянной Холла полупроводника. Как упростится это выражение для собственного проводника? 6.49. Найти выражение для электрического тока в полупроводнике, если время релаксации — величина постоянная и имеются носители тока обоих знаков. 25

6.50. Вычислить электропроводность невырожденного полупроводника n-типа исходя из кинетического уравнения. Вычислить подвижность, считая время релаксации постоянным. 6.51. Определить зависимость подвижности носителей в невырожденном полупроводнике от температуры для двух механизмов рассеяния: а) на ионизированных примесях, когда время релаксации ведет себя как ()  a3 / 2 , б) на акустических фононах, когда ()  b 1 / 2 .

6.52. В момент времени t1  10 4 с после выключения равномерной по объему образца генерации электронно-дырочных пар неравновесная концентрация носителей оказалась в 10 раз больше, чем в момент t2  103 с. Определить время жизни неравновесных носителей тока, если уровень возбуждения невелик и рекомбинация идет через простые дефекты. 6.53. Вычислить относительные изменения проводимости в германии  при стационарном освещении с интенсивностью I = =5·10 15 см 2 с 1 (это количество квантов, падающих на площадку в 1 см2 за секунду). Коэффициент поглощения  = 100 см–1, толщина освещаемого образца мала по сравнению с величиной –1, рекомбинация происходит на простых дефектах, равновесная концентрация носителей тока равна n0  1015 см–3 и время рекомбинации равно  = 2·10–4с. 6.54. Доказать, что при непрямых рекомбинационных переходах в полупроводниках невозможно испускание фотонов. 6.55. Найти зависимость изменения концентрации избыточных носителей тока от времени вследствие линейной объемной рекомбинации, если в начальный момент концентрация была равна n0 . 6.56. Определить зависимость изменения концентрации избыточных носителей тока от времени вследствие квадратичной объемной рекомбинации, если в начальный момент концентрация была равна n0 . 26

6.57. Найти скорость рекомбинации электронов и дырок через локальный рекомбинационный центр с энергией Et , если вероятности захвата электрона и дырки на рекомбинационный центр равны cn и c p соответственно. 6.58. Определить спектр и интенсивность излучения, возникающего при рекомбинации электронно-дырочных пар. Воспользовавшись принципом детального равновесия, выразить интенсивность излучения через коэффициент поглощения. 6.59. Рекомбинационное излучение, прежде чем выйти из образца, само поглощается с коэффициентом поглощения  , а также отражается от стенок с коэффициентом отражения R. Найти величину интенсивности рекомбинационного излучения, регистрируемую внешним прибором. 6.60. В n-Ge имеются центры рекомбинации с N t  5  1012 см 3 и Et  ( Ev  Ec ) / 2. При 300 К сечения захвата электронов и дырок одинаковы; при малых отклонениях от равновесия  = 10 4 с,  = 5 Ом·см. Найти сечение захвата. 6.61. Вычислить коэффициент биполярной диффузии для собственного германия при комнатной температуре. 6.62. Найти концентрацию неравновесных носителей тока на поверхности образца n-Ge, если генерация пар равномерна по объему ( g0  2,5  1017 см 3 · с 1 , p  4  10 6 с, S  5  102 см/с, D p  49 см2/с). Построить график зависимости p(x) , где x –

расстояние от поверхности образца. 6.63. Найти концентрацию неравновесных дырок на освещенной поверхности толстого образца n-Ge, если S  5  10 2 см/с,

I  6  1016 квантсм2/с, квантовый выход   1, коэффициент поглощения   103 см 1 , p  4  10 6 с, D p  49 см 2 /с. Построить график зависимости p(x) , где x — расстояние от поверхности образца. 27

6.64. Найти разность потенциалов, возникающую при эффекте Дембера между освещенной и неосвещенной поверхностями толстого образца германия n-типа. Интенсивность поверхностной генерации пар g S  1015 см 2 с 1 , время жизни неравновесного носителя тока в объеме  = 19,3·10 6 с, S  100 см/с, Dn  98 см2/с,  n  2,1  p , n0  5  1014 см

3

.

6.65. Вычислить неравновесную концентрацию дырок на границе полубесконечного ( 0  x   ) слаболегированного электронного полупроводникового образца, к которому в точке x  0 приложено сильное электрическое поле E  0. Коэффициент инжекции

  0,15, равновесная концентрация электронов n0  1013 см 3 , а 3

концентрация дырок — p0  0,5  1013 см ,  n /  p  2,1. Считать, что n  p  n0 и установился стационарный режим генерации неравновесных носителей. 6.66. В некоторой точке однородного электронного полупроводникового образца световым зондом генерируются пары неравновесных носителей тока. Считая задачу одномерной, определить диффузионную длину для дырок, если концентрация неравновесных носителей на расстоянии x1 = 2 мм от зонда равна р = 1014см– 3 , а на расстоянии х2 = 4,3 мм от зонда равна p  1013 см–3. 6.67. Вычислить напряжение ФЭМ-эффекта, для толстого образца (h – длина образца и толщина образца l >> LD) в случае сильного поглощения света. Показать, что в плоскости yz линии тока замкнуты. 6.68. Цилиндр из полупроводника подвешен на нити за центр верхнего основания между полюсами магнита и освещается сильно



поглощаемым светом под углом  к направлению B и перпендикулярно оси цилиндра. Найти вращающий момент, действующий на цилиндр в результате взаимодействия магнитного поля с замкнутым током в цилиндре (фотомагнитомеханический эффект). 28

6.69. При наложении на образец полупроводника n-типа магнитного поля H = 4000 Э, перпендикулярно направлению тока, сопротивление увеличилось на 0,22%. Определить коэффициент магнитного сопротивления, если  pH  2240 см2/В·с. 6.70. Определить время жизни носителей тока в полупроводнике n-типа, если при наложении вдоль оси y электрического поля напряженностью E y  0,168 В/см и магнитного поля по оси z

H z  1000 Э ток вдоль оси не зависит от слабого освещения граней,    pH перпендикулярных оси x ; DH  98 см2/с и nH  1,2 . Счиn   p тать, что размеры образца большие и прилипания нет. 6.71. Определить контактную разность потенциалов Uc, возникающую при соприкосновении двух металлов. 6.72. Пусть при соприкосновении двух металлов (они отстоят друг от друга на величину одного параметра решетки) возникла контактная разность потенциалов U c  1 В. Чему равна плотность потока зарядов из одного металла в другой? Считать металлы одновалентными. 6.73. Определить зависимость тока от напряжения (вольтамперную характеристику — ВАХ) для контакта металла с проводником. Сравнить ее с ВАХ p-n перехода. 6.74. Найти ВАХ p-n перехода. Рекомбинацией в области p-n перехода пренебречь. Длины пробегов электронов и дырок считать малыми по сравнению с толщиной перехода. 6.75. Вычислить фотоЭДС в образце n-Ge при Т = 300 К, если его средняя часть освещена так, что в ней изменение удельной проводимости  = 0,2 Ом 1 · см 1 , а вне ее  = 0. В отсутствие освещения удельное сопротивление в сечении A  A  15 Ом·см, а в сечении В  B  5 Ом·см (рис. 6.1).

29



 = 0

 = 0

y

x Рис. 6.1. Схема освещения образца

6.76. Найти ток короткого замыкания и напряжение холостого хода при освещении p-n перехода пучком слабо поглощаемого света параллельно плоскости перехода. 6.77. Образец n-Ge освещается в узкой полоске шириной l  0,1 мм светом, генерирующим 2,5·10 15 см–3· с–1 пар носителей заряда. В точке x  0 (0)  1 Ом·см. При передвижении светоA , вого зонда вдоль образца фотоЭДС изменяется как ( x )   1  Bx где А = 3·10 4 В и В = 2 см 1 . Найти удельное сопротивление  в точке x  2 см. Температура комнатная. 6.78. Электроны вырываются из металла и притягиваются к положительному заряду, индуцированному на поверхности металла, образуя некоторое распределение поверхностного заряда вблизи поверхности металла. Считая плотность электронов в этой области достаточно малой, определить плотность электронов ne (x ) на расстоянии x от поверхности. 30

6.79. Получить выражение для термоЭДС для носителей тока с квадратичным законом дисперсии. Оценить термоЭДС типичного металла ( m*  me , ne  2  1022 см–3) при комнатной температуре и сравнить ее с термоЭДС вырожденного полупроводника n-типа ( m*  0,2me , ne  2  1019 см–3). Считать, что рассеяние в обоих случаях происходит в основном на заряженных примесях. 6.80. Оценить величину фононной составляющей термоЭДС германия n-типа при температуре 20 К. В образце подвижность электронов в основном определяется рассеянием на акустических фононах и равна 4·10 5 см2/В·с, а рассеяние фононов происходит на стенках образца. Поперечные размеры образца порядка 1 мм, скорость звука равна 5·105 см/с. 6.81. Найти выражение для термоЭДС полупроводника n-типа с квадратичным законом дисперсии носителей тока в пределе сильных магнитных полей ( eH / m * c  1 ) в отсутствие вырождения. Рассмотреть зависимость разности    H   

H 0

от меха-

низма рассеяния. 6.82. Определить форму зон, если к полупроводнику с собственной проводимостью нормально к его поверхности приложено постоянное электрическое поле Е настолько слабое, что везде в полупроводнике   k BT . Найти скачок потенциала на поверхности, если Е =160 В/см, ni  2  1013 см–3,  =16, T = 300 К. 6.83. Вычислить величину загиба зон на поверхности собственного германия при T = 300 К, если на его поверхности адсорбирована донорная примесь с поверхностной плотностью Nd = 109 см–2. Считать доноры полностью ионизированными,   k BT , ni  2  1013 см-3,  = 16 .

6.84. Найти изменение работы выхода электронов, если на поверхности полупроводника адсорбированы молекулы с дипольным моментом d  el  1018 ед. СГСЭ и плотностью N  1012 см–2. 31

6.85. Определить плотность поверхностного отрицательного заряда на дырочном полупроводнике, если поверхностный потенциал s  0,25 В. Акцепторы в глубине полупроводника (на расстояниях, больших длины экранирования) считать полностью ионизированными; p  3  1014 см–3,  =16, T = 300 К. 6.86. Атом с поляризуемостью  = 10–40 Ф·м2 расположен на расстоянии 10 Å от протона. Вычислить дипольный момент, индуцированный в атоме.   1 N 6.87. Вывести формулу Клаузиуса–Мосотти  .   2 3 0 6.88. Статическая диэлектрическая проницаемость кристалла NaJ равна 6,6. Показатель преломления света равен 1,7. Определить ионную поляризацию в поле 100 Вм. 6.89. Определить ориентационную поляризуемость одной молекулы, дипольный момент которой равен 1,87·10–18 электростатических единиц, при помещении вещества при комнатной температуре во внешнем однородном электрическом поле. 6.90. Определить теплоемкость диэлектрика, обусловленную дипольной поляризацией. 6.91. Показать, что собственная частота продольных колебаний кварцевой пластинки в направлении оси x зависит от толщины пластинки d следующим образом: v = 2,85·105/d [Гц]. 6.92. Предположить, что атом с поляризуемостью  помещен в конденсатор, внутри которого электрическое поле равно E. Определить запасенную атомом энергию. 6.93. Аргон в твердом состоянии содержит 2,5 10 28 атомов/м3. Его поляризуемость равна   1,86  10 40 Ф·м2. Найти отношение напряженности локального поля к напряженности внешнего поля. 6.94. Получить линейную диэлектрическую восприимчивость твердого тела, помещенного в переменное электрическое поле с частотой , рассматривая вещество как совокупность гармониче-

32

ских осцилляторов с зарядом e, частотой 0, затуханием  и массой m (классическая теория — модель Лоренца). 6.95. В рамках квантовой теории рассчитать линейную диэлектрическую восприимчивость твердого тела. 6.96. Показать, что диэлектрическая проницаемость газа свободных электронов в переменном электрическом поле равна 2 ()  1  L2 ,  где L – частота Ленгмюра. Что происходит с электромагнитными волнами при   ? 6.97. Найти амплитуду электрического поля удвоенной частоты, образуемого в кристалле с нелинейной поляризуемостью при прохождении через него световой волны, амплитуда которой Е, а частота . Ограничиться случаем, когда волны линейно поляризованы и распространяются в одном направлении. Нелинейность считать слабой и отражением на границе кристалла пренебречь.

7. Оптические свойства 7.1. Найти линейную восприимчивость и диэлектрическую проницаемость газа свободных электронов. 7.2. Определить линейную диэлектрическую проницаемость в модели Лоренца (модели гармонического осциллятора). 7.3. Определить зависимость вектора гирации от частоты электромагнитного излучения при больших ее значениях. Использовать модель свободных электронов. 7.4. Определить линейную поляризуемость двухуровневой системы для частот, близких к резонансной. 7.5. Определить продольную и поперечную диэлектрическую проницаемость электронной системы, отвечающую однородным плазменным колебаниям. 7.6. Найти диэлектрическую проницаемость и коэффициент поглощения ионного кристалла. 33

7.7. Найти показатель преломления кубического кристалла, содержащего N атомов с поляризуемостью , учитывая локальное поле Лоренца. 7.8. Показать, что показатель преломления в металлах на частоте  определяется выражением в модели Друде–Лоренца выражением  / 0 n 2 ()  1  , i(1  i) где  – статическая проводимость,  – среднее время свободного пробега электрона. 7.9. Оценить глубину скин-слоя для меди (  ·7 Ом–1·м–1) для излучения с частотой   11 с–1. 7.10. Определить длину волны излучения, при которой становятся прозрачными металлы, например: а) медь, б) натрий. 7.11. Определить энергию фотонов, необходимую для образования экситона в СdS ( ; m * / me  0, 2; E g  2,53 эВ). 7.12. Найти коэффициент отражения для металлов как функцию частоты  падающего на него излучения на основе теории Друде. Исходя из полученного результата, рассмотреть следующие предельные случаи: а)   1, б) 1     p , в)    p .

8. Магнитные свойства 8.1. Оценить напряженность магнитного поля, необходимого для создания намагниченности 1,2·103 Гс в железе при Т = 103 °С. Сравнить величину этого поля с величиной поля Вейсса. 8.2. Кислород находится в однородном магнитном поле H = = 10 6 А/м. Найти эффективный магнитный момент атома кислорода и объемную парамагнитную восприимчивость при температурах 200 и 400 К соответственно. 8.3. В антиферромагнетике с двумя эквивалентными подрешетками, константа молекулярного взаимодействия в которых равна 34

10 3 , а обменное взаимодействие между подрешетками характеризуется величиной – 0,5·10 3 , найти температуру Нееля. Постоянная Кюри для данного антиферромагнетика равна 10 2 К. 8.4. Для системы N не взаимодействующих частиц со спином S = 1/2 во внешнем магнитном поле H найти свободную энергию, теплоемкость на одну частицу и намагниченность при температуре T. 8.5. В условиях предыдущей задачи найти флуктуацию магнитного момента. 8.6. Найти намагниченность и восприимчивость системы: a) электронов в металлах, б) в собственных полупроводниках. 8.7. Магнитный момент атома гадолиния равен 7,95  B . Определить удельную намагниченность насыщения кристалла гадолиния, если он обладает решеткой типа ГЦК с периодом 3,2 Å. 8.8. Парамагнитная соль при 300 К содержит 1018 см–3 парамагнитных ионов. Магнитный момент иона равен 1  B . Вычислить, во сколько раз число ионов с магнитными моментами, параллельными направлению магнитного поля, превосходит число ионов с антипараллельными моментами, если соль помещена в поле Н = = 106 Э. Найти намагниченность в таком внешнем магнитном поле. 8.9. Для наблюдения эффекта Фарадея была взята пластинка железа толщиной 0,0015 см. Эффект измерялся в магнитном поле Н = 103 Э на длине волны 656 мкм. Определить угол поворота плоскости поляризации. 8.10. При отражении поляризованного света от полированной поверхности никелевой пластинки, находящейся в сильном магнитном поле, происходит поворот плоскости поляризации электромагнитной волны (эффект Керра). Найти выражение для угла такого поворота. 8.11. Найти в рамках модели Ландау–Лифщица толщину магнитного домена. 8.12. Выразить ширину доменной стенки l через константы обменного взаимодействия и магнитной анизотропии K  M s / 2 на 35

основе модели Ландау–Лифщица. Оценить l для Ni (Тс = 630 К, Мs = 480, постоянная решетки a = 3,510–8 см,  = 1,7). 8.13. Найти в рамках модели Ландау–Лифщица скорость движения доменной стенки во внешнем магнитном поле, направленном вдоль оси легкого намагничевания. 8.14. Найти квазиклассические уровни энергии для частицы с  2  1  законом дисперсии (k )   0    ki k j в магнитном поле про2  m  ij извольного направления. 8.15. Найти закон дисперсии спиновых волн в ферромагнетике: а) изотропном, б) одноосном. 8.16. Найти закон дисперсии спиновых волн в антиферромагнетике: а) изотропном, б) одноосном. 8.17. В рамках изотропной модели ферромагнетика Гейзенберга найти спектр магнонов и сравнить полученный результат с законом дисперсии спиновых волн. 8.18. Найти спектр магнонов в модели Гейзенберга для одноосного ферромагнетика типа: а) легкая плоскость, б) легкая ось. 8.19. Найти спектр магнонов в модели Гейзенберга для изотропного антиферромагнетика. 8.20. Найти температурную зависимость магнонного вклада в спонтанную намагниченность в областях: а) 2B M  kBT  kBTc ; б) kBT  2B M , где  B  e / 2mc. 8.21. Решить предыдущую задачу для температуры T   B KM , где K – константа анизотропии в одноосном ферромагнетике. 8.22. Определить зависимость намагниченности от внешнего поля B при условии, что B  4M и kBT >> BB. 8.23. Определить при T  0 зависимость намагниченности от внешнего поля B в случаях: изотропного ферромагнетика (а), одноосного ферромагнетика (б). 8.24. Пренебрегая взаимодействием между спинами, найти намагниченность парамагнетика в областях: а) kBT >> BB, б) kBT   B B . 36

8.25. Показать, что для изотропного ферромагнетика Гейзенберга пространственное распределение статической намагниченности       M (r ) удовлетворяет уравнению M  (M  M ) M  0. 8.26. Для двухмерного изотропного ферромагнетика Гейзенберга найти распределение статической намагниченности, описывающее топологический дефект – вихрь. 8.27. Для одномерного изотропного ферромагнетика Гейзенберга найти уединенную спиновую волну и определить энергию, необходимую для ее возбуждения. 8.28. Для одномерного анизотропного (анизотропия типа легкой оси) ферромагнетика Гейзенберга найти уединенную спиновую волну и определить энергию, необходимую для ее возбуждения. 8.29. Для анизотропного ферромагнетика с легкой осью вывести уравнение движения доменной стенки. Показать, что 180градусные доменные стенки отвечают стационарным решениям  2  2  уравнения sin-Гордона    sin .  x 2 t 2 8.30. В рамках модели уравнения sin-Гордона описать процесс столкновения двух 180-градусных доменных стенок. 8.31. Исходя из соотношения неопределенности получить выражение для оценки напряженности поля внутризонного магнитного пробоя.

9. Сверхпроводимость 9.1. Найти температурную зависимость энергетической щели в спектре (T ) : а) при низких температурах, б) вблизи точки перехода Тс. 9.2. Определить температурное поведение теплоемкости при низких температурах и вблизи точки перехода. 9.3. Определить температурную зависимость напряженности критического магнитного поля Нс: а) в модели БКШ, б) в модели Гинзбурга–Ландау (в пределах при T << Tc и T  Tc ). 37

9.4. Для плоской пленки толщиной, много меньшей длины когерентности  и лондоновской глубины проникновения магнитного поля , найти критическое значение магнитного поля, параллельного плоскости пленки. 9.5. Для сверхпроводника, характеризуемого параметром Гинзбурга–Ландау   1, найти первую поправку по полю к лондоновской глубине проникновения. 9.6. Определить нижнее и верхнее критическое поля ( H c1 и H c 2 ) для сверхпроводника второго рода. 9.7. Определить критическое поле для сверхпроводящего шарика малого радиуса. 9.8. Найти энергию взаимодействия двух вихревых нитей, расположенных на расстоянии d друг от друга ( d   ). 9.9. Найти плотность критического тока, при котором сверхпроводник переходит в нормальное состояние. 9.10. На основе теории БКШ продемонстрировать существование изотопического эффекта — зависимость критической температуры Tc от массы атома кристаллической решетки M согласно соотношению Tc ~ M 1 / 2 . 9.11. Определить радиальное распределение магнитного поля в одиночной вихревой линии. 9.12. Вывести уравнение для тока в цепи, состоящей из последовательного соединения сопротивления и сверхпроводника с туннельным контактом, если в цепи действует электродвижущая сила V0. 9.13. Найти уравнение, описывающее ток в контакте Джозефсона. Рассмотреть: а) точечный контакт, б) распределенный контакт. 9.14. Показать, что в распределенном контакте Джозефсона поток магнитного поля квантуется. Вычислить ток, отвечающий одному флюксону.

38

10. Резонансные явления 10.1. Вычислить величину магнитного поля, в котором резонансная частота для протона будет равна: а) 1 МГц, б) 1 кГц. 10.2. Найти величину магнитного поля, при котором имеет место электронный резонанс на частоте 10 ГГц. 10.3. Определить циклотронную эффективную массу и циклотронную частоту, если закон дисперсии имеет вид  (k )   x k x2   y k y2   z k z2. Магнитное поле  направлено вдоль оси x . 10.4. Для электронов проводимости оценить величину g-фактора при спиновом резонансе в InSb, для которого эффективная масса электрона есть m*  0,014me , ширина запрещенной зоны Eg равна 0,23 эВ, спин-орбитальное расщепление  равно 0,9 эВ. 10.5. Рассчитать диэлектрическую проницаемость полупроводника при циклотронном резонансе и показать, что ее мнимая часть резко возрастает при частоте, равной   eH / m * c. 10.6. Рассчитать энергию отдачи покоящегося атома с массой M после испускания -кванта с энергией  . Определить долю этой энергии по сравнению с энергией испущенного -кванта в двух случаях:  = 100 кэВ (ядерное излучение) и  = 10 эВ (оптическое излучение), M = 100 ат. ед. Сравнить энергию отдачи с шириной резонансного уровня, если время жизни  =10–8 с и одинаково в обоих случаях. 10.7. Насколько энергия -кванта , испускаемого атомом массой M, двигающимся с начальной скоростью υ, отличается от энергии резонансного перехода Е0? Определить скорость υ, при которой E  E0   равна нулю, используя данные задачи 10.6. 10.8. Определить красное смещение в эквивалентном поле, созданном вращающейся системой координат с угловым ускорением. Оценить число оборотов ротора с радиусом R = 10 см, для которого красное смещение сравнимо с шириной линии изотопа 57Fe. Про39

анализировать этот кинематический эксперимент с точки зрения поперечного эффекта Доплера. 10.9. Получить выражение для эффекта температурного красного смещения для твердого тела, учитывая изменение массы излучающего ядра. 10.10. Определить вероятность безфононных переходов в модели Эйнштейна. 10.11. Для дебаевской модели твердого тела найти выражение для относительного числа актов испускания -квантов при температуре Т, значительно превышающей температуру Дебая D. 10.12. Найти температурную зависимость фактора Дебая– Валлера при низких температурах ( T   D ). Рассмотреть случаи модели Эйнштейна и модели Дебая. 10.13. Найти температурную зависимость сечения рассеяния нейтронов в ферромагнитном кристалле вблизи температуры Кюри. 10.14. Во сколько раз изменится вероятность испускания квантов без отдачи, если температура кристалла увеличится в 10 раз? Рассмотреть модель Дебая для кристаллической решетки.

11. Кооперативные явления в твердых телах 11.1. Получить уравнение Эренфеста из уравнения Менделеева– Клапейрона. 11.2. При переходе титаната бария из кубической в тетрагональную фазу аномалия объема элементарной ячейки составляет 0,062 Å, а теплота фазового перехода равна 50 кал/моль. Чему равно изменение температуры Кюри под действием гидростатического давления 1000 атм? 11.3. Изменение коэффициента объемного расширения и теплоемкости никеля при фазовом переходе второго рода имеют сле40

дующие значения  p  7,5  106 град-1 Cp = 7,95  107 эрг/град. Рассчитать смещение температуры Кюри от приложенного давления. 11.4. В рамках теории фазовых переходов второго рода Ландау определить критические показатели для намагниченности , восприимчивости  и , критической изотермы , теплоемкости  и . 11.5. Найти скачок теплоемкости C в точке фазового перехода, следуя теории Ландау. 11.6. В приближении среднего поля найти намагниченность M(T, H) как функцию температуры T и внешнего магнитного поля H для модели Изинга на d-мерной (гиперкубической) решетке. 11.7. Для модели Изинга ( d -мерной) в приближении среднего поля найти: а) теплоемкость при H = 0, б) намагниченность при H = 0, в) изотермическую восприимчивость при H = 0, г) критическую (T = Tc ) изотерму, д) зависимость M = M( Tc ,H), ж) корреляционную длину (H = 0) и парную корреляционную функцию при T  Tc + 0 и T  Tc - 0. Определить соответствующие критические показатели. 11.8. Найти намагниченность в модели Изинга, модифицированной так, чтобы каждый спин взаимодействовал бы со всеми остальными спинами на d-мерной решетке. Определить критическую температуру Тc и исследовать поведение термодинамических величин около Тс. 11.9. Найти точное решение одномерной модели Изинга и исследовать поведение термодинамических величин при T  . 11.10. Проверить гипотезу подобия (скейлинг) для одномерной модели Изинга и d-мерной модели Изинга, рассмотренной в приближении среднего поля. 11.11. Найти критическую температуру модели ферромагнетика Гейзенберга (спин равен S) и сравнить ее с критической температурой для модели Изинга. Обе модели рассмотреть в приближении среднего поля на кубической решетке. 41

11.12. Найти критическую температуру Тс для двухмерной модели Изинга на квадратной решетке. 11.13. Для двухмерной модели Изинга найти точное выражение для свободной энергии при нулевом внешнем поле. 11.14. Найти свободную энергию и намагниченность (как при H = 0, так и при H  0) для модели антиферромагнетика Гейзенберга на кубической решетке. 11.15. Сравнить температурные зависимости восприимчивости для ферромагнитной и антиферромагнитной моделей Изинга в случае: а) d  1, б) d  2 (использовать приближение среднего поля). 11.16. Найти температурное поведение свободной энергии и намагниченности при ненулевом внешнем магнитном поле в модели плоских ротаторов. 11.17. Показать, что модели “решеточного газа”, бинарного сплава и модель Изинга эквивалентны. 11.18. Найти средний магнитный момент системы N не взаимодействующих частиц со спином S в магнитном поле H как функцию температуры T. 11.19. Определить восприимчивость системы не взаимодействующих частиц со спином S в пределе высоких и низких температур. 11.20. Найти параметр ближнего порядка для модели Изинга в приближении Бете. 11.21. Вывести выражение для свободной энергии как функции параметра порядка для модели бинарного сплава типа АВ. 11.22. Определить критическую температуру для модели бинарного сплава в приближении Брэгга–Вильямса. 11.23. Используя приближение Брэгга–Вильямса, определить теплоемкость бинарного сплава типа АВ. 11.24. Для бинарного сплава типа АуВ1–у найти критическую температуру как функцию относительной концентрации y. 11.25. Вывести уравнение для параметра дальнего порядка в бинарном сплаве типа АуВ1–у в приближении Брэгга–Вильямса. 42

11.26. Найти точное решение задачи об одномерном бинарном сплаве типа АуВ1–у, установив связь этой модели с моделью Изинга. 11.27. Используя связь модели бинарного сплава типа АВ с моделью Изинга, найти в приближении Кирквуда температуру перехода порядок–беспорядок. 11.28. В приближении Бете найти критическую температуру (температуру перехода порядок–беспорядок) в модели бинарного сплава типа АуВ1–у. 11.29. Определить зависимость теплоемкости бинарного сплава типа Ay B1 y от относительной концентрации y. 11.30. Определить температурную зависимость флуктуаций параметра дальнего порядка для бинарного сплава типа АВ. 11.31. Каким ситуациям в модели бинарного сплава отвечают: а) ферромагнетик Изинга; б) антиферромагнетик Изинга? 11.32. Установить связь между моделями бинарного сплава и решеточного газа.

43

Ответы на некоторые задачи 1 1.1. ОЦК.

1.3. 0,41 R.

1.2. 0,68.

1.6. a / 10 .

1.11. V1 

63r

3

3 3

1.4. 4, 6, 8, 12.

1.5. (10 15 6).

, V2  16 2 r 3 , V3  24 2 r 3 . 1.13.

2

 3 . 8

1.14. V  abc 1  cos   cos 2   cos 2   2 cos  cos  cos  , V  8 102 Ǻ3. 1.15. V  abc sin ; V  abc sin ; V  a 3 1  3 cos 2   2 cos 3  . cos cos   cos  cos cos   cos  ; cos   ; sin  sin  sin  sin    cos cos   cos  (c  , a  )  cos   . cos i    . sin  sin  c a

1.16. cos   

1.17. a  a 2 sin  / V  0,24 A 1,   114 5.

1.18. d102= 2,23 Å.

2

 1  b 2c 2 h 2  a 2c 2k 2  b 2 a 2l 2   1.19.  , b 2c 2c 2  d nkl 

 1   d nkl

2

 4  h 2  hk  k 2  l 2     ,  c2 3  a2   2

2

  1  h2  k 2 l 2 h2  k 2  l 2       , . a2 c2 a2   d nkl  h1h2 k1k 2 l1l2  2  2 a2 b c 1.20. cos   ;   17 . 2 2 2 2 2 2  h1 k l  h k l    1  1  2  2  2   a 2 b 2 c 2  a 2 b 2 c 2     hV 1.21. cos   ,   55 . 2 2 2 2 2 2 2 a b c h  a b c  2ab chl cos   1   d nkl

1.22. cos  

44

u1u 2 a 2  v1v 2 b 2  w1 w2 c 2

(

u12 a 2

 v12 b 2



w12 c 2

)(

u 22 a 2

 v22 b 2



w22 c 2

)

 ,   36 .



1.25. Е ? 0,08 эВ. 1.27. 10.



1.28. f  U (r ) 0

sin r dr. r

1.29. Появятся от плоскостей (2 0 0). 1.33. Tm  0,007mk BTD 2 rS /  2 .

1.30. p ? 100 кбар.

2 2. 3.

 2 w  wFr  7 nSh  exp  Sh  = exp(18,1) = 7,37·10 . nFr 2k BT  

2.8. а) P(n, N )  p б) P(n, N )

P(n  1, N  1)  q

N n  CN 2

N  n N n p 2 q 2 ;

P(n  1, N  1) ;

в)  n 2   N 2  4 pqN ( N  1) ;

г) если p  1/2, то N 0  2 N max  N 0 , N 0   4 p 2 q 2  n 2 (1  4 pq )  2 pq 1  4 pq 1 ;  

если р = 1/2, то n 2  2 N max n 2 . 2.9. а)

a2 P P 2  2 P a( p  q) 2   lim .    ,   lim , t 0 t t  0 t  x 2 x 2 t

б) P( x, t ) 

 ( x  t ) 2  2 2 2 exp  , в)  x (t )  t,  x (t )  (2   t )t. 2 2 4  t 4 t   1

N n

2.13. P(n, N )  n C N 2 p N

N n N  n 2 q 2 ,

q  (1  p ).

3 3.7. 12, 2 

1 2 k {1   3  2

 [( 1   3 ) 2  4( 1   2 )( 1   2  2 3 ) sin 2  cos 2 ]1 / 2 }, 32   3 k 2 , k x k  cos . 3.8. 12  (bsin 2   d cos 2 ) k 2 , 1  22,3  {a sin 2   f cos 2   d  [(( a  d ) sin 2   ( d  f ) cos 2 ) 2  2 45

 (c  d ) 2 sin 2 2]1 / 2} , где a, b , c, d, f — упругие модули,  — угол между осью z и вектором k: kx = ksin, ky = 0, kz = kcos . 4

2 2 2 3.9.  2k 2     16k 4  k 2    k 2   . 2  2  2    ct  ct  cl   

4 



4.2. q 2  

    m   ,  p 2   ch cth 2m  2k BT  2  2k BT 

 , 

  

1

Eпот/Eкин=1, E   H   2  cth  2 k T  .  B     3 4.3. E  2 N cth  2k T  .  B 

4.4. (k )   0 | sin(ak / 2) |, 2

4.11.  

t2  0  c 2 k 2 2n 2

0  2  / m .

 (2   c 2 k 2 ) 2 t2 c 2 k 2   t 0 4   4n n 2  

1/ 2

.

4.13. ( k )  w0  2U 0 cos( ak ). 4.14. P

sin l  cos l  cos kl, l

P

2m l (Vb) / 2,Vb  const. 2

4.15.  2 (k )  2p  CS2 k 2 , 2p  4ne e 2 / me , C S — скорость звука. 4.16. p  10 16 с 1 . 4.19. meff   2 / 2a 2U 0 .  4.21.  n ( p )  E g 

4.18. (k )  4 JS[1  cos(ak )].  4.20. E g  2| V (G)| .

 me m p p2  2( me  m p )  me  m p

 e4 1  .  2 2 n 2 

 p2 ma 4.22. ( p)   0  . , m   2  2m e f (1  3 cos 2 ) 4.23. (k )  2 JS sin(ak ).

5 5.1. 46

2 (k )  (2 / m)1  cos( ak ).

5.2. c  a  / m .

 {m1  m2  m12  m22  2m1m2 cos(ak )}. m1m2

5.3. 2 (k ) 

 ak  ak sin( ) , v g  a cos( ). m 2 m 2

5.4. v  2 ph k

5.5. c  a

 . 2(m1  m2 )

5.8. 2 (k )  1 {1   2  12   22  21 2 cos( ak )}. m 5.9. (k )  2 2 sin (ak / 2) . m

5.11. C (T )  3k B N d TD  TD , где использована функция Дебая dT 

D( y ) 

5.12. TD 

1 y

3

y

x3

 T 

 e x  1 dx

и

0

 kB

2  1 T  1   D  , T  TD ; C (T )  20  T   3 3k B N  4 2  T    , T  TD .  5 T  D 

2 . m

5.13. Используйте результаты двух предыдущих задач. 5.15. C (T )  T 3 / n . 5.19. kBT. 5.20. C  2akBTD / . 11 км/ч. 5.21. 213 K. 5.24. Статистическая сумма решетки, содержащей N узлов и средняя энергия на один узел имеют вид

Z N ( P, T )  (2mk BT /  2 ) N / 2 Q N ; aP

k T E ( P, T ) / N  B  ( P, T ) , где 2  ( P, T )  

 a  bk BT  bkT 1  Q  exp  b  bk BT  a 

a P ,   bkBT 

ln Q .  (1 / k BT )

5.25. x  k BT ( y) 

ln Q 

 a  P  1   bk T  ,   ln B    P b   a   bk BT 

k BT ln  ( y ) , x ,  y 2(a  P)

T 0.

47

2 5.27. C  NE sec h 2  E . 2

5.26. ma 4   2 .

4T

 2T 

 h3 5.29. C  3 Nk B 1  2 7 / 2 N . 3/ 2   2 2V (2mk BT )  

5.30.

C 2  k T    B  . kB N 2  F 

5.33. C  Nk B  2 (k BT /  F ), T  0. 3/ 2

5.36. а) C  0,113k B  k BT  , б) C  (4 2 / S )(2nkB )3 (T /  N )3 , 2  2SJa 

0 / kB  T   N .

6  6.3. g ()  V 2  2m 2  2    6.5. m * / m  1, 2.

6.8.

  0    

3/ 2



6.4. 6 эВ.

.

m

6.7. а)  F  1 эВ.   exp[ ik  Rm ]. Для простой кубической решетки:

   0    [cos( ak x ) + cos( ak y ) + + cos( ak z )]. 6.9. a)  F = N/2D0, б) k B T >> N/2D0. 2 4 2 4   6.10.   F 1    k BT     k BT   ,  12   F  80   F     2 4 3  5 2  k BT   4  kBT   .      E   F 1  5  12   F  16   F     2/ 3 4/3 5/ 3 2 5 3  n  6.12. P0   10 Па = 1 атм. 5m 6.19. VD = 3·10-6 м/с, VT = 10-6 м/с. 2 . ND 6.24.    B   k BT 1  (1 / 2) exp(( E D  ) / k BT ) 

6.31.  невырвыр = (2/9)( TF /T). 6.37.    1  V   3v V   P T 2 F 48

2 6.25.   N B . 3Vk BT

6.33. T1 / H  2 B /  F .

  2  k BT  12 см 2 /дин.  , (T  0)  11,7 10 1  18    F 

14

6.45. T = 300 K, p = 10

9

см

3

; T = 78 K,

p = 10

14

см

3

;

3

T = 4,2 K, p = 10 см .      6.46.  F (T )   d  kBT ln  1  1  8 N d exp  d   1 , k T   NC  B     4  N C  2( 2meff k BT / h 2 ) 3 / 2 . 2 2  3  u p p  u n n . RH    2  8ec  (u p p  u n n) 6.53. /  0,15.

6.48.

6.56. n(t ) 

n(0) . 1  n(0)t

6.52.  

3 t 2  t1 с.  0,391·10 ln(n1 / n2 )

6.55. n(t )  n(0) exp( t / ). 6.60. S  2,5·10

n0  p0 6.61. D  k BT . e n0 p1  p0  n1

16

2

см .

6.62. p(0) = 10 12 см 3 .

 6.63. p(0)  g 0  p 

6.67.

U ФМ 

 1 6.64. U D  1,6 10 5 В. .   L p  S p  e( n   p ) hDBn(0)  n(l ) . l



l 0  e( n   p ) n( x) dx 0

6.71. U c  1  2 , где e1, 2 — работа выхода для металлов.   6.73. I  I S 1  exp  eV  , где I S  en0  vD  или    k BT    I S  0,25e vT  n exp(eU c / kBT ) .

6.74. I  I 1  exp eV  , где I S  eDn n / Ln  D p p / L p .   S  k BT  



2

kBT 6.78. n( x)  n0  x0  , x0  . x  x 2n0e2  0  6.86. d  E  e  1,441031 К·м. 40 r 2 6.90. C  k B N 1  

( pE / k BT )  .  sinh 2 ( pE / k BT ) 

6.89.   d 2 / 3k BT . 6.93. E  1   N  0,823. EL

3 0

49

7 7.1. ()  1  (2p / 2 ), 2p  4 N e 2 / m. 2   1 7.2. ()  1   4e n0  .  m  (2  2  i )   0 2  7.3. g   4e N H . 2 3 m c 2 7.4. Re   T2 ( 2d /  ) , Im    T2 ( 2d /  ) . 2 2 2 2

1  T2  2

7.6. ()  1 

1  T2 

1

1

4 N e ( m  M ) . (02  2  i )

7.7.   1  4 N (1   N / 3)1 ,   n 2 . 1/ 2

4

7.9.  = c/[2  0,5·10 см. 2 7.10.  0  2( mc / 4Ne 2 )1 / 2 . Для Na  0 = 2070 Ǻ. 7.11. Энергия основного состояния экситона  m p mn  e 4  = – 0,0017 эВ и   E g  E1 . E1    m p  mn  2 2   1/ 2

7.12. При   1 : R  1  2   . При 1     p  :  2    2 . При    : R ? 0. R 1 p p 8 8.1. Нэф = 10 7 Э. 8.4. F / N   kBT ln[2 cosh ( H / kBT )],

C / N  kB ( H / k BT ) 2 sech 2 ( H / k BT ), S / N  kB{ln[2 cosh (H / kBT )]  ( H / kBT ) tanh(H / kBT )},

M / N  tanh( H / k BT ). 8.5.

50

M   M  2

  2 Nsech 2 (H / kBT ).

3 2B n 2 n , диамагн = B . 2k BTF k BTF

8.6. Для металлов:  парамагн =

Для полупроводников:  парамагн =

 2B n . kBT

8.8. N  N   exp { 2H k BT }  0,631,

M  ( N / V )(22 H 3kBT )  1,38 106 СГСЭ. k BT

8.11. l 

M S2

a

 2,5  106 см . 1/ 4

 k BTC    2  8.12. d  2 2 L a  M S    e  MS 8.13. v     mc  

.

k BT M S2

a

H.

 2 k z2 |e| H (n  1 / 2)  , mT c 2m||   m||  m1n12  m2 n22  m3 n32 , n  H / H .

8.14.  n (k z ) 





8.15. а) ( k )  (eM 0 / mc ) (n ) k 2 ,

где

mT  ( m1m 2 m3 / m|| )1 / 2 ,

    б) (k )  [a( k )  b 2 (v , n ) 2 ]1 / 2 k .

8.17. Легкая ось (K  0)  (k )  2 B M 0[(k 2  K )(k 2  K  4 sin 2 )]1 / 2 , sin   k x / k Легкая плоскость (K  0)  (k )  2 B M 0 [k 2 (k 2  | K |)  4 sin 2 (k 2  | K | sin 2 )]1 / 2 . 8.18. а) M (T )  M 0  T 3 / 2 . 8.19. M (T )  exp{ 2 K B M 0 k BT } . 8.20. M  M 0  H . 8.21. a)  M  ln 4M 0  . B



B



2  4 B   N  8.22. a) M   N  4 B S (S  1) B , б) M  2 B  1  exp  B  . 3k BT  V  V   k BT 



 2 r sin 

8.25. S  

 1 r

2

,

2r cos  1  r 2  ,  , (r, ) — полярные координаты. 1 r2 1 r2  51

9     2kBT 9.1. а) (T )   0 1  exp 0  , 0   k BT  9.2. а) C (T )  T 3 / 2 exp   0  ,  kT  B 

б) (T )  3,06TC 1 

  б) C (T )  C n (TC ) 2,43  3,77 T  1  . T   C    3 2   T  , 9.3. а) H C (T )  H C (0)1  , 2  T  TC  3 T C   

б) H C (T )  1,73H C (0)1  

9.4. H C

pl

T TC

 , T  TC .  

 24 H C  / d .

2    H     . 9.5.  eff  1   4 2  HC         ln  9.6. H C1  0 2 ln    H C ,  0  c / | e |, H C 2  2 H C . 2 2 

9.7. H C bol  20 H C  / R, 9.8. w12 

20 8 2  2

R   .

K 0 ( d / ) .

9.11. B(r )  0 K 0 (r / ), r   . 2 2 10 10.1. H = mc/e: а) H = 100 Э, б) H = 0,1 Э. 10.2. H = 560 Э. 2

2 2   10.3.  1   cos   sin  . m  mt2 m|2  C 10.6. ER  E / 2Mc 2 .

52

T . TC

10.7. E  E (c / v) . 2   E 10.10. W  exp R , R  K  . 2 M 2 Mc2  N  ph  10.11. W  exp  6 R kBT . 2 2   D  2 2   10.12. Z ( Debye )  3R 1  2  T   ....  

2k BTD  

3  TD 



  10.14. W (10T )  exp  54 R kBT . 2 2 W (T )   D 

11 11.4.  = 1/2,  =  = 1,  = 3,  =  = 0. 11.5. C  a 2TC / 2 B. 11.8. TC  2 J / k B . 11.9. Z N  2 N [cosh N ( J / kBT )  sinh N ( J / kBT )] при Н = 0. 11.12. 2 J / k BTC  ln( 2 - 1). 11.21. F(X,T) = E(X,T) – TS(X,T), где E ( X , T )  E0  rNX 2 / 4 T  TC  средняя энергия сплава, S(X,T) = –(N/2) {(1+X)ln(1+X)/2 + (1–X)ln(1–X)/2} – энтропия. 11.22. TC  r / 2, r — число ближайших соседей. 11.23. C  rNTC X (dX / dT ) / 2, где X(T) — параметр порядка, определяемый решением уравнения X  tanh[TC X/T ]. 11.24. TC ( y )  4 y(1  y )TC 0 . 11.25. X (1  y  yX 2 )  tanh[4 yTC 0 X / T ], TC 0 — критическая температура для АВ-сплава.

53

Список рекомендуемой литературы К предисловию 1. Сборник задач по физике полупроводников / В.Л. Бонч-Бруевич, И.П. Звягин, И.В. Карпенко, А.Г. Миронов. М.: Наука, 1968. 2. Быковский Ю.А., Елесин В.Ф., Маныкин Э.А. Сборник задач и упражнений по физике твердого тела. М.: МИФИ, 1969. 3. Варикаш В.М., Хачатрян Ю.М. Избранные задачи по физике твердого тела. Минск: Высшая школа, 1969. 4. Кубо Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1967. 5. Задачи по термодинамике и статистической физике /Под ред. П. Ландсберга. М.: Мир, 1974. 6. Лифщиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Ч.2. Теория конденсированного состояния. М.: Наука, 1978. 7. Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Статистическая физика. Ч.1. М.: Наука, 1976. 8. Лифщиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. 9. Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 10. Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 11. Хир К. Статистическая механика, физическая теория и стохастические процессы. М.: Мир, 1976. 12. Шиллинг Г. Статистическая физика в примерах. М.: Мир, 1976. 13. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. //Фейнмановские лекции по физике. Вып. 47. М.: Мир, 1966, 1967. 1. Основы кристаллографии Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974. Гл. 1. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Физматгиз, 1978. Джонс Г. Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в кристаллах. М.: Мир, 1968. Давыдов А.С. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976. Гл. 1. Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. М.: Мир, 1969. Гл. 2. Кубо Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1967. Гл. 6. Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Статистическая физика. Ч.1. М.: Наука, 1976. Гл. 13. Харрисон У. Теория твердого тела. М.: Мир, 1972. Гл. 1. 54

2. Дефекты и диффузия Кубо Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1967. Гл. 1. Жирифалько Л. Статистическая физика твердого тела. М.: Мир, 1975. Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. М.: Мир, 1969. Гл. 3, 4, 6. Хакен Х. Квантовая теория твердого тела. М.: Наука, 1980. Гл. 2. Лифщиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. Гл. 2. 3. Упругие свойства Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 4. Квазичастицы в твердых телах Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967. Гл. 2 – 4, 7, 15. Хакен Х. Квантовая теория твердого тела. М.: Наука, 1980. Гл. 4, 5. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974. Гл. 2–6. Харрисон У. Теория твердого тела. М.: Мир, 1972, Гл. 2 – 4. Кубо Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1967. Давыдов А.С. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976. Гл. 2 – 6, 9, 10, 12. Нокс Р.С. Теория экситонов. М.: Мир, 1966. Агранович В.М. Теория экситонов. М.: Наука, 1968. Брандт Н.Б., Кульбачинский В.А. Квазичастицы в физике конденсированного состояния. М., Физматлит, 2005. 5. Тепловые свойства Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967. Гл. 2, 3. Кубо Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1967. Лифщиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. Гл. 7, 9. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974. Гл. 2. Харрисон У. Теория твердого тела. М.: Мир, 1972. Гл. 4. Нокс Р.С. Теория экситонов. М.: Мир, 1966. Агранович В.М. Теория экситонов. М.: Наука, 1968. Тода М. Теория нелинейных решеток. М.: Мир, 1984. Брандт Н.Б., Кульбачинский В.А. Квазичастицы в физике конденсированного состояния. М., Физматлит, 2005. Гл. 5. 6. Электронные свойства Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967. Гл. 9 – 13. 55

Хакен Х. Квантовая теория твердого тела. М.: Наука, 1980. Гл. 4, 5. Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. М.: Мир, 1969. Гл. 9, 12 – 14. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974. Гл. 3 – 6. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Физматгиз, 1978. Давыдов А.С. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976. Гл. 5 – 7. Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Статистическая физика. Ч.2. М.: Наука, 1978. Гл. 6. Лифщиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. Гл. 9. Джонс Г. Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в кристаллах. М.: Мир, 1968. Кубо Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1967. Гл. 4. Харрисон У. Теория твердого тела. М.: Мир, 1972. Гл. 2, 3. Стильбанс Л.С. Физика полупроводников. М.: Сов. радио, 1967. Брандт Н.Б., Кульбачинский В.А. Квазичастицы в физике конденсированного состояния. М., Физматлит, 2005. 7. Оптические свойства Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. Гл. 9  13. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967. Гл. 3. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974. Гл. 8. Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. М.: Мир, 1969. Гл. 16, 17. Давыдов А.С. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976. Гл. 8, 9, 11 – 14. Агранович В.М., Гинзбург В.Л. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов. М.: Наука, 1965. Панков Ж. Оптические процессы в полупроводниках. М.: Мир, 1973. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах. М.: Мир, 1987. Харрисон У. Теория твердого тела. М.: Мир, 1972. Гл. 3. 8. Магнитные свойства Лифщиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Ч.2. Теория конденсированного состояния. М.: Наука, 1978. Гл. 7. Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. Гл. 5. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974. Гл. 10. Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. М.: Мир, 1969. Гл. 18  20. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны. М.: Наука, 1967 56

Тябликов С.В. Методы квантовой теории магнетизма. М.: Наука, 1975. Маттис Д. Теория магнетизма. М.: Мир, 1967. Кубо Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1967. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. Гл. 7. Займан Дж. Модели беспорядка. М.: Мир, 1982. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. М.: Мир, 1985. Гл. 2, 3. Брандт Н.Б., Кульбачинский В.А. Квазичастицы в физике конденсированного состояния. М., Физматлит, 2005. Гл. 15, 17. 9. Сверхпроводимость Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Статистическая физика. Ч.2. М.: Наука, 1978. Гл. 5. Лифщиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. Гл. 11. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967. Гл. 8. Харрисон У. Теория твердого тела. М.: Мир, 1972. Гл. 5. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974. Гл. 11. Шриффер Дж. Теория сверхпроводимости. М.: Мир, 1970. Тилли Д.Р., Тилли Дж. Сверхтекучесть и сверхпроводимость. М.: Мир, 1977. Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов. М.: Мир, 1968. Сан-Жам Д., Сарма Г., Томас Е. Сверхпроводимость второго рода. М.: Мир, 1970. Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. М.: МЦНМО, 2000. Брандт Н.Б., Кульбачинский В.А. Квазичастицы в физике конденсированного состояния. М., Физматлит, 2005, Гл. 7. 10. Резонансные явления Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967. Гл. 11, 14, 16, 20. Давыдов А.С. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976. Гл. 6. Гуревич А.Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках. М.: Наука,1973. 11. Кооперативные явления в твердых телах Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Статистическая физика. Ч.1. М.: Наука, 1976. Гл. 14. Кубо Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1967. Гл. 5 57

Задачи по термодинамике и статистической физики. / Под ред. П. Ландсберга. М.: Мир, 1974, Гл. 12. Керзон Хуанг, Статистическая механика. М.: Мир. 1966. Гл. 16. Харрисон У. Теория твердого тела. М.: Мир, 1972. Гл. 5. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974. Гл. 10. Маттис Д. Теория магнетизма. М.: Мир, 1967. Браут Р. Фазовые переходы. М.: Мир, 1968. Устойчивость и фазовые переходы. / Ф. Дайсон, Э. Монтролл, М. Кац, М. Фишер. М.: Мир, 1973. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М.: Мир, 1973. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980. Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982. Лебедев В.В. Флуктуационные эффекты в макрофизике. М.: МЦНМО, 2004. Гл. 1, 4  7.

58

Приложение

Некоторые постоянные Константы Заряд электрона e Магнетон Бора B Масса протона mp Масса электрона me Постоянная Больцмана kB Газовая постоянная R Постоянная Планка  Число Авогадро NA Скорость света c Радиус Бора aB

Ед. СИ 1,6·10-19 Кл 9·10-24 ДжТл 1,67·10-27 кг 9,1·10-31 кг 1,38· 10-23 ДжК 8,3103 Джкмоль·К 1,05·10-34 Дж·с 6,02·1026 кмоль-1 2,99·108 мс 5,3·10-11 м

Ед. СГС 4,8· 10-10 9·10-21 эрг/Гс 1,67·10-24 г 9,1·10-28 г 1,38·10-16 эрг/К 8,3·107 эрг/моль·К 1,05·10-27 эрг·с 6,02·1023 моль-1 2,99·1010 см/с 5,3·10-9 см

Энергия, отвечающая 1 эВ, равна 1,602·10-12 эрг. Частота, отвечающая 1 эВ, равна 2,42·1014 Гц. Волновое число, отвечающее 1 эВ, равно 8,06·104 см-1. Длина волны в вакууме излучения, отвечающая фотону с энергией 1 эВ, равна 1,239·10-4 см. Температура, отвечающая 1 эВ, равна 1,16·105 К. Ионизационный потенциал водорода равен 13,6 эВ. 1 Ангстрем (Ǻ) равен 10-10 м.

59

Постоянные, характеризующие зонную структуру и проводимость чистых германия и кремния Параметр  (при Т=300 К), 1/Ом·м n (при Т=300 К), м2/В·с p (при Т=300 К), м2/В·с mn||/me mn/me mp/me (подзона легких дырок) mp/me (подзона тяжелых дырок) Eg (при Т=0 К), эВ Eg (при Т=300 К), эВ

Ge 2,2 0,38 0,18 1,64 0,082 0,042 0,34 0,75 0,65

Si 1,6·10-3 0,17 0,035 0,98 0,19 0,16 0,52 1,21 1,08

Некоторые полезные формулы Формула Стирлинга ( N  1 ) N!  ( N / e) N 2N , ln N ! N ln N  N .

Часто встречающиеся интегралы 

 exp( px)dx 1 / p , 0



 exp(ax

2





 bx) dx   / a exp b 2 / 4a ,





 exp(ax

2



0



x 0

60

k



 bx 2 )dx   / 4b exp  2 ab ,

exp( bx m )dx 

1  k  1  ( k m1) / m .  b m  m 