コンピュータによるグラフィックス (新・数学とコンピュータシリーズ)

片 桐 重 延 監修 片 桐 重 延 ・白石 和 夫 共著

R

〈日本 複 写権 セ ン ター 委 託 出版 物 〉

本書 の全 部 また は一 部 を無 断 で複 写 複 製(コ ピー)す るこ とは,著 作 権 法上 での例 外 を 除 き,禁 じ られ て い ます 。本 書 か らの複 写 を希 望 さ れ る場 合 は,日 本複 写 権 セ ン ター(03-3401-2382)に ご連 絡 くだ さい。

序

文

  平 成6年

度 よ り実 施 さ れ た新 し い高 校 数 学 で は,コ

ン ピュ ー タ に 関 す る取 扱 い

が い ま まで 以 上 に 重視 され て い る。 そ れ は,こ れ か ら コン ピ ュー タ に つ い て,ま た,コ ン ピュ ー タ に 関 連 す る 「数 学 」 につ い て 学 ぼ う とす る人 々 に と って 学 びが いの あ る もの で あ る。元来,日 本 の 数 学 教 育 は,戦 後 長 い 間 大 学 進 学 者 の た め の, あ る い は,将 来 特 に数 学 を必 要 とす る人 々 の た め の もの で あ っ た。 しか し,数 学 が 情 報 化,高 度 技 術 社 会 の ため に さ ま ざ ま なか た ち で関 与 して き た現 在,も 単に,将 来,数 な くな り,よ

はや

学 を特 に 必 要 とす る人 々 や,理 工 系 を志 す 人 々 の た め の もの では り広 い意 味 で の 知 的ユ ー ザ ー とい わ れ る人 々 が 数 学 を学 習 す る時 代

が きた の で あ る。 こ の こ と は,「 中等 教 育(中 シ ー は,情 報 化,高

学 ・高校)に

お け る数 学 的 リテ ラー

度 技術 社 会 に お け る一 般 知 識 人 が もつ べ き標 準 的 な教 養 を 目

指 す こ とに な る」(数 学教 育 の会)の 指 摘 に も端 的 に示 され て い る。 ま さ に,コ

ン

ピュー タ関 連 の数 学 は,こ れ か ら の生 涯 教 育 の 基 盤 と して の 数 学 で あ る とい って も過 言 で は な い。   本 シ リー ズ(全11巻)は,コ

ン ピ ュー タ 関 連 の 数 学 を次 の 各 分 野 に 分 け て企 画

し た。 そ れ は 既 刊 の 「数 学 とコ ン ピュ ー タ シ リー ズ(全8巻)」 向 け に発 展 させ,新

の 思 想 を よ り現 代

し い 中等 数 学 の 考 え を取 り入 れ た もの で あ る。

  第 一 は,   第1巻   コ ン ピュ ー タ 言語 と処 理   第2巻    第3巻

BASICに  BASICに

よ る数 学 の 問題 解 法 よ る高 校 数 学

の 内容 で,コ ン ピ ュー タ関 連 の 数 学 を学 ぶ た め の 基 盤 と新 しい 数 学,特 数 学A,数

学Bの

内容 に 準 拠 した もの で あ る。BASIC言

に高校 の

語 は,こ れ らの教 科 書 の

ほ とん どで 使 用 され て い る言 語 で あ り,こ れ か ら も数 学 教 育 用 言 語 の 主 流 と して の 立 場 を維 持 す るで あ ろ う。

  第 二 は,   第4巻 

行 列 と線 形 計 算

  第5巻 

数値計算

  第6巻

 確 率 統 計

に そ の 特 徴 が 見 られ る よ うに,こ

れ か らの 高 校 数 学,あ

学 に 取 り入 れ られ る で あ ろ う。 行 列,線

形 計 算,数

る い は,大 学初 年 度 の数

値 計 算,確 率 統 計 の 基 礎 を 目

ざ し た。 主題 の 性 格 上,や や 難 解 な 問 題 も含 まれ るが,全 体 を とお して 読 め ば 高 校 生 に も理 解 で きる よ うに 心 が け た つ も りで あ る。 い うま で もな く,高 校 現 場 で 数 学Cを

中 心 に これ か ら コ ン ピ ュー タ関 連 の 数 学 を教 え よ う とす る先 生 方 や,大

学 で こ れ らの 数 学 を平易 に 学 習 し よ う とい う人 々 に とっ て も有 効 に 利 用 で き るで あ ろ う。   第 三 は,   第7巻 

数 学 ソ フ トに よ る 曲 線 と図形 処 理

  第8巻   数 学 ソ フ トに よ る数 式 処 理 と関 数   第10巻 

Mathematicaに

よ る離 算 数 学

に お い て 取 り上 げ た 数 学 ソ フ トウ ェ ア に よ る数 学 の展 開 で あ る。 数 学 ソ フ トは い まや ます ます 発 展 し,こ れ か らの 数 学 で 欠 くこ との で き な い分 野 に な りつ つ あ る。 図 形 処 理 や 数 式 処 理,関

数 と グ ラ フ の扱 い に つ い て は,単 に 中等 数 学 の み な らず

数 学 教 育 や 数 学 の研 究 に お い て も有 効 な 手 段 に な る。 こ こ で は,代 表 的 な数 学 ソ フ トに つ い て取 り上 げ,問 題 の解 法 を試 み た 。  他に   第9巻  は,コ

コ ン ピ ュー タに よ る グ ラ フ ィ ッ クス

ン ピ ュ ー タ グ ラ フ ィ ッ ク ス を そ の 基 盤 か ら誰 に で もわか る よ うに や さ し く

解 説 し た もの で あ り,   第11巻  は,主

コ ン ピ ュー タ に よ る成 績 処 理

と して小 学 校,中

学 期 ご との,ま

学校,高

等 学校 に お け る教 科 担 任,学 年 担 任 の 先 生 方 の

た,学 年 末 の 成 績 処 理 と省 力 化 等 に つ い て,誰 に で も利 用 で き る

よ うに 解 説 した 。 ま た,こ

こ で は ソ フ トウ ェ ア を利 用 した処 理 方 法 につ い て も示

し た。   以 上,こ

れ か ら コ ン ピュ ー タ を 学 習 す る 人,コ

ン ピ ュー タ に 関連 す る数 学 を学

習 し,教 育 し よ う とす る人,数 値 計 算 に 習 熟 し数 学 の社 会 にお け る有効 な 活 用 を 図 る人,さ

らに,数 学 の ソフ トウ ェ ア を有 効 に利 用 し よ う とす る人 々 に とっ て,

こ の 全11巻

の 書 が 座 右 の 銘 の ご と く,有 効 に利 用 され る こ と を願 っ てや ま な い。

  な お,多 忙 な 中 を この シ リー ズ の 執 筆 に あ た られ た 白石 和 夫,高 橋 公,飯 三,室

岡 和 彦,佐 藤 公 作,志

る と と もに,本

田健

賀 清 一,山 路 進,金 子 伸 一 の各 氏 にお 礼 を 申 し上 げ

シ リー ズ の 出版 を企 画 ・推 進 して くだ さ っ た東 京 電機 大 学 出版 局,

お よ び終 始 ご助 言 くだ さ っ た前 編 集 課 長 朝 武 清 実 氏 に 深 甚 の 謝 意 を表 した い。 1996年10月 監修   片 桐

重延

は じめ に   こ の巻 で は,コ ン ピュ ー タに よ る グ ラ フ ィ ッ クス に つ い て 取 り扱 うこ とにす る。 本 シ リー ズ の 第1巻 て,グ

か ら第8巻

までの数 学 の諸 問題 の取 扱 いの延 長線 上 にお い

ラ フ ィ ッ クス の 基 礎 をて い ね い に取 り扱 っ た の が 本 書 の特 徴 で あ る。

  第1章

の グ ラ フ ィ ッ クス の 基本 で は,コ

ン ピ ュー タ の グ ラ フ ィ ッ クス機 能 を利

用 す る た め の知 識 を わか りや す く述 べ た。 こ とに,三 角 関 数 が グ ラフ ィ ッ ク ス の 重 要 な役 割 を果 た す こ とにか ん が み,グ

ラ フ ィ ッ クス機 能 を用 い な が ら,三 角 関

数 の 性 質 を調 べ る よ う に した。 また,第2章 は,本

シ リー ズ

第3巻

「BASICに

で は,平

面 図 形 を取 り上 げ た 。 これ

よ る高 等 数 学 」,第7章

「い ろ い ろ な 曲 線 」

で 取 り上 げ た もの を グ ラ フ ィ ッ クス の 立 場 か ら再 検 討 し た もの で あ る。 ま た,第 7巻

「数 学 ソ フ トに よ る 曲線 と図 形 処 理 」 と も関 連 す る項 目で あ る。

  第3章

と第4章

で は,平 面 上 の 図 形 の 変 換 と複 素 数,複

い て 取 り扱 っ た。そ して,第5章 列,反

素数平面上 の変換につ

で は,漸 化 式xn+1=f(xn)に

転 写 像 の性 質 を調 べ るこ と を通 して,カ

よ っ て定 義 され る数

オ ス とフ ラ ク タ ル に ふ れ る よ うに

した 。   最 後 に 第6章 数,そ

で,数 学 の応 用 と して,微 分 方程 式,テ

ー ラー 展 開,フ ー リエ 級

して 空 間 図 形 を取 り上 げ た 。

  い ず れ も,コ

ン ピ ュー タ に よ る グ ラ フ ィ ッ クス の基 礎 と して の数 学 で あ り,初

心 者 に も十分 読 み こ なせ る よ うに考 え た。 そ して,従

来,コ

ン ピ ュ ー タ ・グ ラ フ

ィ ッ ク ス を行 う上 で 基 本 とな る もの で あ る。   言 語 と して は,グ

ラ フ ィ ッ クス に 関 す る上 記 の ア ル ゴ リズ ム を解 析 す るの に 適

当 と思 わ れ るJISに

定 め られ たFull

BASICを

用 い た 。 しか し,あ

くまで これ は

ア ル ゴ リズ ム を解 析 す る ため の もの で あ り,実 際 は,こ の ア ル ゴ リズ ム を も とに して,そ

れ ぞれ の 言 語 に 書 き改 め て 実 行 して頂 き た い。 これ らの基 礎 が 有効 に 体

得 され る こ とを願 う もの で あ る。 1996年8月 著 者 し るす

目

第1章 

次

グラ フィ ックス の基本

 1.1  コ ン ピ ュ ー タ の グ ラ フ ィ ッ ク ス  [1] 

コ ン ピュ ー タの グ ラ フ ィ ッ クス 命 令

 [2]  関 数 の グ ラ フ

 1  1

 3

 1.2  三 角 関 数

 8

 [1]  三 角 関 数

 [2]  三角関数 の基本性質

 8  13

 1.3  基 本 作 図

  21

第2章  平面曲線   2.1  媒 介 変数 と極 座 標

  26

 [1]  曲線の媒介変 数表示

  26

 [2]  極座 標

  31

  2.2  二 次 曲 線  [1]  だ

  40

円

  40

 [2]  双 曲 線

  44

 [3]  離心率

  46

 [4]  接

線

  48

 [5]  軌

跡

  51

第3章  図形の変換  3.1  平 行 移 動 と回 転移 動

  56

 [1]  図 形 の変 換

  56

 [2]  回 転 移 動

  59

 [3]  変 換 の合 成

  60   61

  3.2  一 次 変 換  [1]  拡 大 ・縮 小  一 次 変 換  [2]

  61

 [3] 

  65

ず ら し写 像(shear)

 [4]  一 次 変 換 の合 成 と分 解

  63

  68

 [5]  対称移動

 73

 [6]  等 長 変 換

 75

  3.3  ア フ ィ ン 変 換

  76

 [1]  表 向 き合 同 変 換

 76

 [2]  対 称 移 動

  80

 [3]  ア フ ィ ン変 換

  81

 [4]  BASICに

よ るア フ ィ ン変 換

 84

  3.4  敷 き 詰 め模 様

  86

 [1]  敷 き詰 め模 様

 86

 [2]  紗 綾 形(さ や が た)

 89

  3.5  自 己 相似 図形  [1]  [2] 

 コ ッ ホ 曲 線 シ ル ピ ンス キー の ガ ス ケ ッ ト

 92

 92  96

第4章  複素数   4.1  複 素 数 平 面上 の変 換  [1]  相似変 換  [2]  自 己相 似 図 形

  4.2  複 素 数 平 面上 の その 他 の 変換

 98

  98  104  108

 [1]  写像  w=z2

 108

 [2] w2=zで

 111

定 まる点

 [3]  写像 w=

1/z 114

 [4]  反転  w=

1/z 118

 [5]  写 像 w=z+

1/z 120

第5章  カオス   5.1

 反復写像  [1]  漸 化 式  xn+1=f(xn)に

 122

よ っ て 定 義 さ れ る数 列 

 [2]  ロ ジス テ ィ ッ ク写 像

122

136

 5.2  マ ンデ ル ブ ロ ー集 合

 139

 [1] 

マ ン デ ル ブ ロ ー の λ-map

 139

 [2] 

マ ン デ ル ブ ロ ー の μ-map

 146

第6章  数学の図解   6.1  微分 方程 式

 148

 [1]  1階 の線 形微 分 方 程 式

 148

 [2]  2階 の線 形微 分 方 程 式

 154  161

  6.2  テ ー ラ ー 展 開  [1]  多項 式 に よ る近 似

  161

 [2]  正弦 関数 の近似

  162

 [3]  テー ラ ー 展 開

  164  165

  6.3  フ ー リエ 級 数  

[1]  フ ー リエ 級 数

 165

 [2]  フ ー リエ 係 数

 165

 [3]  の こ ぎ り波

 166

  6.4  空 間 図 形  [1]  空 間座 標

  169

 [2]  曲 面 の 表 示

  173

 問の解答  索

 169

 175

 181

引

第1章  グ ラフ ィ ック スの基 本   こ の 章 で は,コ

ン ピュ ー タの グ ラ フ ィ ッ ク ス機 能 を 利 用 す るの に 必 要 と な る基 礎 知 識

を 学ぶ 。 ま た,本

書 で は 三 角 関 数 が 重 要 な役 割 を果 た す 。 第2節

で は,コ

ン ピュ ー タの

グ ラ フ ィ ッ ク機 能 を利 用 しな が ら三 角 関 数 の 性 質 を調 べ て い く。

1.1 

[1] 

コ ン ピ ュ ー タ の グ ラ フ ィ ッ ク ス

コ ン ピ ュー タ の グ ラ フ ィ ッ ク ス 命 令

(1)  グ ラ フ ィ ック 座 標 系   コ ン ピュ ー タ の デ ィ スプ レー 画 面 は,縦 横 に 規 則 正 し く並 べ られ た画 素 か らで きて い る。例 え ば,PC9801シ 個,縦 方 向 に400個,し

リー ズ の標 準 的 なデ ィ ス プ レー 画 面 は,横 方 向 に640

た が っ て,総 数640×400=256000個

の 画 素 か ら構 成 され

て い る。 各 画 素 は,指 令 に よ って 色 や 明 度 を変 え る こ とが で き る。   個 々 の 画 素 は,コ

ン ピ ュー タ内 部 の 記 憶素 子(メ モ リー)に 対 応 す る。 しか し,

グ ラ フ ィ ッ クス を利 用 す るの に,記 憶 素 子 の コ ン ピ ュー タ 内部 で の番 地(ア ス)で

ドレ

画 素 を指 定 し なけ れ ば な ら な い と した ら,プ ロ グ ラ ミン グは ず い ぶ ん 難 解

な も の と な っ て し ま う。 そ こで,画 面 上 で の 実 際 の 位 置 を縦,横 る方 式 が 採 用 され る。 こ の座 標 を物 理 座 標 とい う。

の座 標 で 指 定 す

  た と えば,PC9801シ

リー ズ で は,左 上 端 点 を原 点 と して右 方 を横 軸 の 正 の 向

き,下 方 を縦 軸 の正 の 向 きに す る物 理 座 標 系 が 用 い られ,標 準 の グ ラ フ ィ ッ クモ ー ドで は ,右 下 端 点 の 座 標 は(639,399)と

な る。 物 理 座 標 は,コ

ン ピ ュー タ の能

力 を有 効 に 利 用 した プ ロ グ ラム を書 くの に 適 した 座 標 系 で あ る。   しか し,コ ン ピュ ー タ の グ ラ フ ィ ッ クス 画 面 に グ ラ フ を描 こ う とす る と き,利 用 者 の 念 頭 に あ る座 標 系 は物 理座 標 で は な く,画 面 の左 右 にx座

標,上 下 にy座

標 が 割 り当 て ら れ て い る の が 普 通 で あ る。 この 座 標 系 は,論 理 座 標,利 用 者座 標, 問 題 座 標 な ど と呼 ば れ る。   グ ラ フ ィ ッ ク ス は,プ ロ グ ラ ミン グ言 語 ご とに差 が 大 き い。本 書 で は,「 は じめ に」 で述 べ た よ うに,JIS

Full BASICを

用 い る(注1)。

(2)  論 理 座 標   JIS Full BASICは

標 準 的 な 描 画 領 域 の 形 は 正 方 形 で あ る と仮 定 して い る。 も

し,実 際 に利 用 可 能 な描 画 領 域 が 正 方 形 で な い な らば,そ

の 中 にお さ ま る最 大 の

正 方 形 が 描 画領 域 と して 用 い られ る(注2)。 こ れ に よ っ て,同 一 の プ ロ グ ラム の 実 行 結 果 は,大

き さや 解 像 度 の 違 い を無 視 す る と き,利 用 す る装 置 が 異 な って も同 じ

に な る。  実 際 に座 標 系 を設 定 す る命 令 は,SET 文 は,SET

WINDOW

WINDOW文

WINDOW

xL,xR,yB,yT

の 形 に 書 い て,描

画 領 域 の 左 端 のx座

標

をxL,右

端 のx座

標 をxR,下

標

をyB,上

端 のy座

標 をyTに

1.1)。 す な わ ち,x座

で あ る。SET

端 のy座

設 定 す る(図

標 の 範 囲 がxL∼xR,

y座 標 の 範 囲 がyB∼yTと

な る。

図1.1

(注1) 

本 書 の プ ロ グ ラ ム を実 行 す る の に 利 用 可 能 なBASIC処

配 布 して い る 。BASIC処 り,ホ (注2) 

JIS

理 系 を イ ン タ ー ネ ッ トを 介 し て

理 系 の 対 象OSはWINDOWS3.1/95とPC9801版MS‐DOSで

ー ム ペ ー ジ のURLは,http://pweb.in.aix.or.jp/ shiraishi/basic.htmで X3003‐1993

Full

BASIC

13.1.9に

よ る。

あ あ る。

[2] 

関数 の グラ フ

(1 )  数 表 を 作 る プ ログ ラ ム   x座 標 の 範 囲 を-4∼4に

設定 して,y=x3-4xの

グ ラ フ を描 くプ ロ グ ラ ム を作

っ て み よ う。   ま ず,f(x)=x3-4xと

お い て,簡 単 な数 表 を作 るプ ロ グ ラ ム を用 意 す る。 プ ロ グ ラ ム1.1

  10行 のDEFは,関

数 を定 義 す る命 令 で あ る。DEF文

を利 用 して 関 数 の 定 義 を

プ ロ グ ラム の は じめ に 書 い て お く と,プ ロ グ ラ ム の 見 通 しが よ くな り,関 数 の部 分 を書 き換 え て再 利 用 す るの に 都 合 が よい 。 (2)  点 を プ ロ ッ トす る プ ロ グ ラ ム   プ ロ グ ラ ム の 実 行 結 果 をみ る と,関 数 値 が-48∼48の わ か る。 そ こ で,y座 FOR文

で制 御 変数xに

標 は,多 少 余 裕 をみ て,-50∼50の

間 に 出 現 し て い る こ とが

対 し て指 定 す る 増分 を0.1に

範 囲 に 設 定 す る。 また, して,上

に 示 した プ ロ グ ラ

ム よ りも細 か く計 算 し,そ の 計 算 結 果 を画 面 上 に プ ロ ッ トす る。 プ ロ グ ラ ム1.2

図1.2

  プ ロ グ ラ ム の 変 更 点 は,20行 0.1"を

追 加 し て,70行

のSET

WINDOW文

を 追 加 し,60行

で 機 能 語"PRINT"を"PLOT

に"STEP

POINTS:"に

書 き換 え

た こ と で あ る。   実 行 結 果 を 図1.2に "*"で

示 す 。PLOT

POINTS文

で 描 か れ る点 の 形 の 初 期 値 は

あ る(注1) 。 関 数 の グ ラ フ を 描 く よ う な 場 合 に は 大 き す ぎ る の で,点

" ・"に 変 更 し た い し て,曲

。 ま た,座

標 軸 が な い と 不 便 だ か ら,座

線 の 形 を と ら え る た め に,y座

し た も の が プ ロ グ ラ ム1.3で

の形 を

標 軸 も描 き た い 。 そ

標 の 範 囲 は-10∼10程

度 に狭 め る よ うに

あ る。

プ ロ グ ラ ム1.3

図1.3

  点 の 形(point 50行

style)を

に 示 すSET

変 え る 命 令 は,

POINT

STYLE文

で あ る 。point

style

1は,"・"で

あ る。

  軸 や 格 子 を 描 く の は 一 般 に は 面 倒 な プ ロ グ ラ ミ ン グ が 必 要 で あ る が,プ ム1.3で

は,格

子 を 描 くた め に 外 部 絵 定 義gridを

定 義 の た め の 構 文 の1つ

で,副

行 す る た め の 文 が,40行

のDRAW文

絵 定 義(external

picture)の

  外 部 絵 定 義gridの

(注1) 

JIS

X3003

Full

用 い て い る 。 絵 定 義 は,手

プ ロ グ ラ ム の 変 種 と思 っ て よ い 。絵 定 義gridを で あ る 。30行

は,"grid"と

続 き 実

い う名 前 が 外 部

た め に 用 い ら れ る こ と を 宣 言 し て い る。

定 義 部 は,プ

BASIC

ログラ

13.2.4に

ロ グ ラ ム1.4の

よ る 。

よ うに な っ て い る。 外 部 絵 定 義

で 用 い ら れ る変 数 の名 前 や 行 番 号 は プ ロ グ ラ ム の他 の 部 分 で用 い られ る変 数 の 名 前,行 番 号 と独 立 で あ るか ら,絵 定 義 の 内 部 に気 を使 う必 要 は な く,絵 定 義 を完 全 な ブ ラ ッ クボ ッ ク ス と し て利 用 で き る。 なお,160行 は,INT関

で 用 い られ るCEIL関

数

数 と同 様 の処 理 を正 負 の 向 き を反転 させ て実 行 す る 関数 で あ る(す な

わ ち,CEIL(x)は,x以

上 の最 小 の 整 数 を表 す)。 プ ロ グ ラ ム1.4

(注1) 

「!」は 注 釈 を 意 味 す る 。

問1 x座

標 の 範 囲 を-4∼4に

設 定 し て,関 数y=x3+2x2の

グ ラ フ を描 くプ ロ グ ラ ム

を作 れ 。

(3)  例 外 処 理   関数y=f(x)の

グ ラ フ を描 く とき,xの

値 が 関 数 の 定 義 域 外 の 値 で あ っ た り,

f(x)の 計 算 結 果 が 桁 あ ふ れ の エ ラー に な って しま うこ とが あ る。そ の よ う な場 合 で も,実 行 を停 止 せ ず に 処 理 を先 に進 め る こ とが で き る よ うに して お か な い と, 関数 の グ ラ フ を描 く とい う 目的 に は具 合 が 悪 い。 こ の種 の 実 行 時 に 発 生 す るエ ラ ー を,構 文 誤 り と区 別 して,例 外 と呼 ぶ 。次 に,例 外 処 理 の 方 法 に つ い て 述 べ る。

  関 数y=√x2+x-1の 数 で あ れ ばIF文

グ ラ フ を描 くプ ロ グ ラム で考 え て み よ う。 こ の程 度 の 関

に よ る場 合 分 け で 十 分 対 応 で き るが,こ こ で は,計 算 結 果 が例 外

を 引 き起 こす 条 件 が 予 測 で きな い もの と して考 え る。   例 外 処 理 を行 うた め の 専 用 の構 文 と してWHEN構 能 性 の あ る文(複 数 で も よい)をWHEN み,USE行

とEND

る。WHEN構

WHEN行

文 が あ る。例 外 を起 こす 可

EXCEPTION

IN行

とUSE行

とで 囲

との 間 に例 外 が 起 きた と きに 行 う処 理 を 記 述 す

文 の使 用例 をプ ロ グラ ム1.5に

示 す 。プ ロ グ ラ ム1.5で

発 生 し た と きに行 うべ き仕 事 が な い か ら,USE行

とEND

WHEN行

は,例 外 が の 間 に何 も

書 い て な い。 プ ロ グ ラ ム1.5

図1.4

  エ ラ ー を起 こ した文 がWHEN構

文 に 囲 まれ て い なけ れ ば,そ の 呼 び 出 し元 に

エ ラ ー が 伝 達 さ れ る。 し た が っ て,DEF文 PLOT文

に伝 達 され,そ

  つ い で に,DEF文

で 発 生 し た エ ラー は 呼 び 出 し元 の

こで例 外 処 理 の 対 象 とな る。

を用 い な い形 で プ ロ グ ラ ム を書 い た と きの動 作 に つ い て 調 べ

て お こ う。プ ロ グ ラ ム1.6の 例 外 が 発 生 す る と170行

よ うに書 け ば,例 外 が発 生 す る の は160行

を飛 び越 して 先 に進 む 。

で あ るが,

プ ロ グ ラ ム1.6

(4)  折 れ 線 で 結ぶ   関 数 の グ ラフ を描 く と き に,計 算 して 得 られ た 点 を なめ らか な曲 線 で結 ぶ よ う に と習 っ た読 者 が 多 い の で な い だ ろ うか 。 な め らか な 曲線 で結 ぶ よ うに す るの は か な り面 倒 で あ るが,た

くさ ん の 点 を とっ て順 に 線分 で結 ん で い くこ とは簡 単 に

で き る。(プ ロ グ ラム1.7参

照)

プ ロ グ ラ ム1.7

図1.5

  PLOT

LINES文

で 末 尾 に;(セ PRINT文

は,指 定 さ れ た 点 を順 に 線分 で結 ん で 描 く命 令 で あ る。150行

ミコ ロ ン)が 付 い て い る こ とに 注 意 し た い。 こ の セ ミコ ロ ン は,

で用 い られ る セ ミコ ロ ン と同様 の 働 き を して,次 に,実 行 さ れ るPLOT

  LINES文

で指 定 され る点 との 間 を線 分 で 結 ぶ 働 き をす る。170行 に 書 か れ た 引数

の な いPLOT

LINES文

は,引 数 を持 た な いPRINT文

と同様 の効 果 を持 つ 文 で

あ り,直 前,直 後 に指 定 され る点 ど う し を 線分 で 結 ば な い よ う にす る働 き をす る。 問2  例 外 処理 を利 用 して,関 数

1.2 

[1] 

〓の グ ラ フ を描 け 。

三 角 関 数

三角 関数

(1)  三 角 関 数 の グ ラ フ   プ ロ グ ラム1.8は,-360°

か ら360°まで の角 に 対 す る正 弦 の 値 を グ ラ フ に す る

もの で あ る。 角 の 大 きさ の 単位 を度 に した い と き,三 角 関数 が 現 れ る行 よ りも手 前の行 に OPTION

ANGLE

DEGREES

を書 く。 プ ロ グ ラ ム1.8

図1.6

  角 の 大 き さの 単位 を度 に して グ ラ フ を描 く と,1°間 隔 で格 子 を描 い た の で は 細 か す ぎて し ま う。 こ の 問題 は,絵 定 義gridを き る。プ ロ グ ラム1.8の40行 め のDRAW文

横 方 向 に拡 大 して描 くこ と で解 決 で

が絵 定 義gridをx軸

方 向 に45倍

に拡 大 し て描 くた

の使 い 方 を示 して い る。

(2)  弧 度 法   角 の 大 き さ を,角 の 頂 点 を 中心 とす る半 径1の

円 が角 に よ っ て切 り取 られ る弧

の 長 さで 表 現 す る こ とが で き る。 こ の よ うに して角 の大 き さ を表 す 方 法 を弧 度 法 とい い,弧 の長 さ θに対 応 す る角 の大 き さ を θ ラ ジア ン(弧 度)と

い う。180゜=

π ラ ジ ア ン だ か ら,

1ラ ジ ア ン

〓で あ る。

  弧 度 法 を用 い る と,半 径rの 用 上 は,表1.1の

円 の 中 心 角 θに 対 応 す る弧 の 長 さ はrθ で あ る。実

対応表が役 に立つ。 表1.1

  角 の 大 きさ を弧 度 法 を用 い て 表 す と き,単 位 の ラ ジア ン を省 略 して 書 くの が普 通 で あ る。 ま た,BASICで

は,通 常,角 の 大 き さ の単 位 と し て ラ ジ ア ンが 用 い ら

れ る。 (3)  一 般 の 正 弦 関 数   自然 現 象 に は,y=asin(bx+c)の 数 と してy=Asin(ωt+φ)の は 角 振 動 数,φ い,fの

形 の 関 数 が 多 く出 現 す る。特 に,時 刻tの

形 に 書 か れ る と き,Aを 振 幅,ω を 角周 波 数 あ るい

を初 期 位 相 とい う。 ま た,f=ω/2π

逆 数1/fを

関

を周 波 数 あ る い は 振 動 数 とい

周 期 と い う。これ らの用 語 は,必 ず し も時 刻 の 関数 と は 限 らず

一 般 の 正 弦 関 数 に も準 用 さ れ る こ とが 多 い

。

  正 弦 関 数 に お い て 重 要 な こ れ らの 定 数 の 意 味 は,異

な る定 数 を用 い て 描 い た グ

ラ フ を比 較 す る こ と で明 らか に な る。  図1.7は,プ

る が,こ

ロ グ ラ ム1.9を

れ はy=cosxの

用 い て,

〓の グ ラ フ を描 い た もの で あ

グ ラ フ と一 致 す る 。 余 弦 関 数 も 広 い 意 味 で は,正

の一 種 で あ る。

図1.7

プ ロ グ ラ ム1.9

弦関数

  130行 で用 い られ て い るPIは

円周 率 π(の 近 似 値)を

表 す機 能 語 で あ る。

(4)  正 接 関 数 の グ ラ フ   正 接 関数 の グ ラ フ を描 く場 合 に は,桁

あふ れや 定 義 域 に 関す るエ ラー へ の対 処

を考 え て お く必 要 が あ る。角 の 大 きさ の 単 位 を度 に して 描 く場 合 は,TAN(90)や TAN(270)が

例 外 を 引 き起 こす か ら,プ ロ グ ラム1.10の

す る。 実 行 結 果 を図1.8に

よ うな 方 法 で例 外 処 理 を

示 す。 プ ロ グ ラ ム1.10

図1.8

図1.9

  し か し,弧 り,余

度 法 に よ る 場 合,同

分 な 線(漸

  BASICの

近 線?)が

変 数xの

様 の プ ロ グ ラ ム の 実 行 結 果 は 図1.9の

描 か れ て し ま う。

値 が 無 理数〓+nπ(n=0,±1,±2,…)に

あ り え な い か ら 弧 度 法 に よ る 限 り,TAN(x)は 込 関 数TAN(x)が

ようにな

一致 す ることは

常 に 有 限 の 値 で あ る 。 だ か ら,組

定 義 域 に 関 す る エ ラ ー を 引 き 起 こ す こ と は あ り得 な い 。桁 あ ふ

れ の エ ラ ー に な る 可 能 性 は あ る が,実 く な い 。 だ か ら,図1.9の な 方 策 は 存 在 し な い か ら,ど

際 に桁 あ ふ れ の エ ラ ー に な る こ とは そ う 多

よ う に な る の で あ る。 こ れ を 防 ぐの に 取 り 立 て て 有 効 う し て も 場 当 た り 的 な 技 巧 に 頼 ら ざ る を得 な い 。 そ

の 一 例 を プ ロ グ ラ ム1.11,図1.10に

示 す。 プ ロ グ ラ ム1.11

図1.10

問3  定 数a,bを

[2] 

入 力 す る と,y=tan(ax゜+b)の

グ ラ フ を描 くプ ロ グ ラ ム を作 れ 。

三 角 関 数 の 基 本 性 質

(1)  asinθ+bcosθ   図1.11は,y=sinx+cosxの

グ ラ フ を 描 い た も の で あ る 。こ の グ ラ フ か ら,こ

の曲線 が〓

の グ ラ フ と一 致 す る こ と が わ か る。

  一 般 に,y=asinx+bcosxの

グ ラ フ を 描 い て み れ ば,そ

れ らが ほ ぼ正 弦 曲 線

で あ る こ と に 間 違 い な い こ とが 読 み 取 れ る で あ ろ う。

  実 際,加

法 定 理 を用 い る と,

と な る か ら,

と な る よ う に 定数r,α

を定 め る こ とが

で き れ ば,

と変 形 す る こ とが で き る。

図1.11

 rと

α の 定 め 方 に つ い て 考 え て み よ う。 ま ず,

で あ る か ら,

と定 め る 。 そ し て,原

点Oと

平 面 上 の 点A(a,b)と

を 結 ぶ 半 直 線OAがx軸

の正

の 向 き と な す 角 を α とす れ ば,

で あ る。   この 事 実 をデ モ す るプ ロ グ ラ ム を作 っ てみ よ う。半 直 線OAがx軸 と なす 角 を求 め る の に,組 込 み 関数ANGLE(a,b)を

の正 の 向 き

利 用 す る。

プ ロ グ ラ ム1.12

  な お,上 の プ ロ グ ラ ム は,a=b=0の は α は ど う定 め て も い い の で,例

場 合 に 不 都 合 が 生 じ る 。a=b=0の え ば,

場合 に

130

IF a=0

AND

b=0

THEN

LET

alfa=0

ELSE

LET

alfa=ANGLE(a,b)

の よ う に 修 正 す れ ば 完 全 な プ ロ グ ラ ム に な る。 (2)  う な り   振 動 数 が わ ず か に 異 な る2つ は,プ

ロ グ ラ ム1.13を

の 正 弦 波 を 合 成 す る と,う

な り を 生 じ る。 図1.12

用 いて

の グ ラ フ を描 い た も の で あ る 。 プ ロ グ ラ ム1.13

図1.12

  図1.12か

ら 曲 線y=±2cosxが

浮 き上

が っ て 見 え な い だ ろ う か 。 こ の こ と は,和

→ 積 の 公 式 を 用 い る と,

と変 形 で き る こ とか ら説 明 で き る。 問4 

次 の 曲 線 を 描 け 。 こ の 波 形 を見 た こ と が あ るか 。

(3)  sinnθ の グ ラ フ   電 力 会 社 か ら供 給 され る交 流 電 流 は 正 弦 波 で あ る。 抵 抗 器 の よ うに オ ー ム の法 則 に従 う負荷 に交 流 電 流 を流 した と き,電 流 は 電 圧 に 比 例 す るか ら,負 荷 に供 給 さ れ る電 力 は 正 弦 の2乗 描 き,正 弦 の2乗

に 比例 して 変 化 して い る。 そ こ で,y=sin2xの

グラフ を

が ど の よ うな 関 数 で あ る か 調 べ て み よ う。 プ ロ グ ラム1.14は,

そ れ を 一 般 化 し,y=sinnxの n =2の

グ ラ フ を 描 く よ う に し て い る 。 図1.13に,n=1,

と きの 実 行 結 果 を示 す 。 プ ロ グ ラ ム1.14

(a) y=sinx

(b) y=sin2x 図1.13

  これ を見 る と,周 期 が 半 分 に な って グ ラフ 全体 がx軸 徴 は あ る もの の,y=sin2xの 倍角 の公式

か ら誘 導 さ れ る公 式

の 上 側 に あ る とい っ た特

グ ラ フ も正 弦 曲線 だ とい う こ とが わ か る。 これ は2

に よ って 説 明 で き る。   と こ ろ で,y=sin3xの は,こ

グ ラ フは 同様 に正 弦 曲 線 に な るだ ろ うか。 コン ピュ ー タ

の よ う な 疑 問 に 即 座 に 応 え て く れ る。 図1.14(a)は,y=sin3xの

描 い た も の で あ る が,こ

グラフを

れ は ど う見 て も 正 弦 曲 線 で は な い 。

(b) y=sin4x

(a) y=sin3x 図1.14

  しか し,3倍

角 の公 式

よ り,

が 得 ら れ る か ら,い

問5 

くつ か の 正 弦 関 数 の 和 だ と い う こ と は で き る 。

図1.14(b)にy=sin4xの

グ ラ フ を 示 す 。 これ も,い くつ か の 正 弦 関 数 の 和 の 形 に

表 す こ とが で き る の だ ろ うか 。 な お,余

弦 関 数 も正 弦 関 数 の 一 種 と考 え て お く。

(4)  正 弦 関 数 の 和   図1.15にy=sin99θ

とy=sinl00θ

の グ ラ フ を示 す 。 実 際 に 書 き下 す の は 容 易

で は な い け れ ど も,こ れ ら の 関 数 も,正 弦 関 数 の 和 の 形 に 表 す こ とが 可 能 で あ る 。

(a) y=sin99

(b) y=sin100 図1.15

 nが

自然 数 で あ る と き,sinnθ は正 弦 関 数 の和 で表 す こ とが で き るが,も っ と一

般 に,任 意 の 周期 関 数 が 正 弦 関数 の 和 で近 似 可 能 な こ とが知 られ て い る。   例 え ば,

の グ ラ フ は,nを

大 き く して い くと方 形 波 に 近 づ い て い く。nの 値 を指 定 してy=

f(x)の グ ラ フ を描 くプ ロ グ ラム を作 っ て,そ の様 子 を くわ し く観 察 して み よ う。   上 述 の 関 数f(x)の 要 に な る。BASICの

定 義 をBASICで

記 述 す る た め にFOR∼NEXT構

文が必

文 を用 い て 関 数 を定 義 す る ため の構 文 と して,内 部 関数 定 義

と外 部 関数 定 義 が あ る。 内 部 関 数 定 義 は,引 数 以 外 の 変 数 をプ ロ グ ラム 単 位 で 共 有 す る構 文 で あ り,外 部 関数 定 義 は 引 数 以 外 の要 素 も共 有 しな い構 文 で あ る。 こ こ では,内 部 関 数 定 義 を利 用 し て み よ う。   FUNCTION∼END

FUNCTION構

文 に よ る 関数 定 義 の 要 点 は,150行

に示

す よ う に,計 算 結 果 を関 数 名 に 代 入 して 関 数 値 を決 定 す る こ とで あ る。 ま た,内 部 関 数 定 義 で は,引 数 以 外 の 変 数 は プ ロ グ ラ ム単 位 で 共 有 され る。 上 の プ ロ グ ラ ム で は,100行 か ら250行

か ら160行

ま で の 部 分(関 数 の 定 義 部)で 用 い られ るxと,200行

まで の 部 分 で用 い られ るxと

は異 な る変 数 で あ るが,そ れ 以 外 の 変 数

プ ロ グ ラ ム1.15

図1.16

は,100行

問6 

か ら250行

次 の 関 数 の グ ラ フ を描 け 。

 (1)

(5)正

ま で の 全体 で共 通 で あ る。

  (2)

弦 関数 の 微 分

  関 数f(x)に 対 して,

を導 関 数 と い う。hを 十 分 に小 さ い定 数 と して,

を計 算 す れ ば,導 関 数 の近 似 値 が得 られ る。   こ の近 似 を用 い て,正 弦 関数f(x)=sinxの

導 関数 の グ ラ フ を描 い て み よ う。

プ ロ グ ラ ム1.16

図1.17

  実 行 結 果 を 図1.17に

示 す が,こ れ を 見 る と,導 関 数 は 余 弦 関 数y=cosxの

よ う

に 思 え る。 そ れ を計 算 で証 明 して お こ う。   f(x)=sinxと

 こ こ で,和

お く と,

→積 の 公 式 を用 い て 変 形 す れ ば,

と な る か ら,

(1.1) を 用 い て,

が 結 論 で き る。 な お,式(1・1)の 証 明 が さ らに 必 要 とな るが,正 弦 関 数 の 定 義 を考

え て み れ ば,直 観 的 に は 明 らか で あ る。

1.3  基 本 作 図 (1)  垂

線

  マ ウ ス で 画 面 上 の1点

を 入 力 す る と,そ

の 点 か らあ らか じめ 指 定 した 直 線 に垂

線 を 引 くプ ロ グ ラ ム を 作 っ て み よ う 。

〔例 題1〕3数a,b,ｃ

を 入 力 し て 直 線ax+by+c=0を

1点 を 指 定 し て,そ の 点 か ら 直線ax+by+c=0に

描 き,さ

らに マ ウ ス で

お ろ し た 垂 線 を 描 くプ ロ グ ラ

ム を作 れ。 〔解 〕

マ ウ ス で 入 力 し た 点 をP(x1,y1),Pか

垂 線 の 足 をH(x2,y2)と

す る 。PHと

ら 直 線ax+by+c=0に

直 線ax+by+c=0の

下 ろ した

法 線 ベ ク トル(a,b)と

が 平 行 で あ る こ と か ら,

  す な わ ち, (1・2) と な る 実 数kが

存在す る。

  一 方,点Hが

直 線ax+by=c上

に あ る こ と か ら, (1・3)

が 成 り立 つ 。   式(1・3)に

式(1・2)を 代 入 し てkに

つ い て 解 く と,

(1.4) と な る。   式(1・2),式(1・4)を る こ とが で き る。

用 い て,与

え ら れ た 条 件 か ら 点Hの

座 標(x2,y2)を

計 算す

プ ロ グ ラ ム1.17

  190行

で 用 い たGET

POINT文

画 面 上 の 点 の 座 標 を2個

は,

の 数 値 変 数x1,

y1に 代 入 す る 文 で あ る 。 こ の 文 が 実 行 さ れ る と,コ

ン ピ ュー タは マ ウ ス カー ソル

を表 示 し てマ ウ ス ボ タ ンが 押 され るの を 待 ち,マ

ウ ス ボ タ ン が 押 さ れ る と,そ

の

と きマ ウ ス カ ー ソル が指 して い た点 の座 標 を変数x1,y1に

代 入 す る。こ の 動 作 は,

数 値 を キ ー ボ ー ドか ら 入 力 す る た め に 用 い ら れ るINPUT文 る。

と同 様 の も の で あ

図1.18

  プ ロ グ ラ ム1.17は,図1.18に に 外 部 絵 定 義axesを

見 ら れ る よ う な 目 盛 り付 き の 座 標 軸 を描 く た め

利 用 し て い る 。 こ れ は,次

ッ ク ボ ッ ク ス と し て 利 用 で き る か ら,中

の よ う に 定 義 さ れ て い る が,ブ

ラ

身 に つ い て 知 る 必要 は な い。

プ ロ グ ラ ム1.18

(2)  3点 を 通 る 円   3点

を 指 定 す れ ば,そ れ ら3点

を 通 る 円 が 定 ま る 。こ れ を 実 行 す る プ ロ グ ラ ム を

作 っ て み よ う。

〔例 題2〕

マ ウ ス で3点

を 入 力 す る と,そ

れ ら3点

を 通 る 円 を 描 くプ ロ グ ラ ム を

作 れ。 〔解 〕3点 て,入

を 通 る 円 の 中 心 は,3点

力 さ れ た3点

を頂 点 とす る三 角 形 の 外 心 で あ る。 し たが っ

をP(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3)と

の 垂 直 二 等 分 線 の 交 点 を計 算 す れ ば よ い。   PQの

よ り,

垂 直 二 等 分 線 の 方 程 式 は,

す る と き,2線

分PQ,QR

で あ り,同 様 に し て,QRの

垂 直 二 等 分 線 の 方程 式 は

であ るので,

と お け ば,PQ,QRの

垂 直 二 等 分 線 の 交 点 の 座 標(x,y)は,

と お い て,

で 与 え ら れ る 。 た だ し,d=0の り,こ

れ ら3点

場 合 は,3点P,Q,Rが

を通 る 円 は 存在 し な い。 プ ロ グ ラ ム1.19

一 直 線 上 に 並 ん だ場 合 で あ

第2章  平面曲線   こ の 章 で は,コ

ン ピ ュ ー タ を利 用 して 曲 線 を描 き,い

ろい ろな観 点 か らその性 質 を調

べ る。

2.1 

媒 介 変 数 と 極 座 標

[1]  曲 線 の 媒 介 変 数 表 示 (1) 円の媒 介変数表 示   原点Oを 中心 とす る半径rの 円の周上 の点P(x,y)に 対 し,半 径OPがx軸

の

正 の向 き となす角 を θとす る と,

と な っ て い る 。 こ の 方 程 式 で θ を0か (x,y)を

ら2π

ま で 少 しず つ 変 化 さ せ,対

応 す る点

座 標 平 面 上 に プ ロ ッ トして い く と円 が描 か れ る。

  一 般 に,曲

線C上

の 点(x,y)が,

と表 せ る と き,こ れ を,tを

媒 介 変 数 とす る 曲線Cの

媒 介 変 数 表 示 とい う。 媒 介

プ ロ グ ラ ム2.1

図2.1

変 数 表 示 の 曲 線 を コ ン ピ ュ ー タ に描 か せ る の に は,上

の よ うな プ ロ グ ラ ム を用 い れ ば よ い。

(2)  サ イ ク ロ イ ド   直 線 上 を 円 が 滑 る こ と な く転 が る と き,そ

の 円 の 周 上 の 定 点 が 描 く曲線 を サ イ

ク ロ イ ド と い う 。 コ ン ピ ュ ー タ を 利 用 し て サ イ ク ロ イ ドを 描 い て み よ う。   半 径1の

円Cがx軸

上 を 転 が る も の と し,円C上

の 定 点Pが

し て い た 点 を 原 点 と し て 式 を作 っ て み よ う。 円Cが 軸 と が 接 す る 点 をQと

す る と,図2.2に

  し た が っ て,点Cの

座 標 は(θ,1)で

準 に し て〓

π-θ

θ だ け 転 が っ た と き,円

示 す よ う にOQ=PQ=θ あ り,CPの

向 き は,x軸

〔ラ ジ アン 〕 で あ る 。 こ の こ とか ら,

よ っ て,

  こ こ で,点Pの

と な る。

座 標 を(x,y)で

最 初 にx軸

表 す こ と に す れ ば,

と接 とx

と な って い る。 の正 の 向 き を基

図2.2 

サ イ ク ロ イ ドの 説 明 図

プ ロ グ ラ ム2.2

図2.3

問1  半 径OP,あ

る い は,そ の 延 長 上 に,OR=rと

な る点Rを

とる と き,点Rの

軌跡

を描 くプ ロ グ ラ ム を作 れ 。

(3)  カ ー ジ オ イ ド   1つ の 円Oの 点Pは

周 上 を,同

じ 半 径 の 円Cが

滑 る こ と な く転 が る と き,円C上

の定

ど ん な 曲 線 を 描 く で あ ろ うか 。 コ ン ピ ュ ー タ を 用 い て 調 べ て み よ う。

  円 の 半 径 を1と

し て,図2.4の

Oと 接 す る 点 を 点A(1,0)と

よ う に,円Oの

中 心 を 原 点,円C上

す る 座 標 系 を 考 え る。そ し て 円Cが

の 点Pが

転 が る と き,円C

円

と 円Oの

接 点Qと

原 点 と を 結 ぶ 線 分(円Oの

θ と す る 。 す る と,AQ=PQで

半 径)がx軸

あ る か ら,∠PCQ=θ

で あ る こ と に 注 意 す る と,点Pの

座 標 を(x,y)と

の 正 の 向 き となす 角 を とな る。

し た と き,

が 得 られ る。

図2.5

図2.4 

カ ー ジオ イ ドの 説 明図

  プ ロ グ ラ ム2.1の50行

と60行

を

50 LETx=2*COS(t)-COS(2*t) 60 LETy=2*SIN(t)-SIN(2*t) と変 更 し て 実 行 す る と,図2.5の

よ うな 曲 線 が 得 られ る。 こ の 曲 線 を カー ジ オ イ

ド と い う。 (4)  ア ス テ ロ イ ド   半 径1の

円 の 内 側 を 半 径1/4の

円Cが

滑 る こ と な く転 が る と き,円C上

が 描 く軌 跡 を ア ス テ ロ イ ド と い う 。 ア ス テ ロ イ ドを 描 い て み よ う 。

の定 点

  図2.6の

よ う に,円Oの

中 心 を 原 点,円C上

(1,0)と す る 座 標 系 を考 え る 。 そ し て,円Cが 原 点 と を 結 ぶ 線 分(円Oの AQ=PQで

半 径)がx軸

あ る か ら,∠PCQ=4θ

の 点Pが

円Oと

接 す る 点 を 点A

転 が る と き 円Cと

円Oの

接 点Qと

の 正 の 向 き と な す 角 を θ と す る 。 す る と, と な る。

で あ っ て,

で あ る こ と に 注 意 す る と,点Pの

が 得 ら れ る 。 プ ロ グ ラ ム2.2を

座 標 を(x,y)と

し た と き,

修 正 し て 描 い た 図 を,図2.7に

示 す 。 な お,3倍

の 公 式 を 利 用 す る と,

と変 形 す るこ と も可 能 で あ る。

図2.7

図2.6 

ア ス テ ロ イ ド

角

[2]  極 座 標 (1)  極 座 標   平 面 上 の 点Pの 線 分 がx軸

位 置 を指 定 す る の に,原 点 か らの 距 離 と,点Pと

原 点 と を結 ぶ

の正 の 向 き とな す 角 を用 い る こ と もで き る。そ の と き原 点 を極,x軸 の

座 標 が 非 負 の部 分 を始 線,極

と点Pと

を結 ぶ 線 分 お よび そ の長 さ を動 径,始 線 と

動 径 の なす 角 を偏 角 とい う。偏 角 は,始 線 を基 準 に して 反 時 計 回 りに 計 る。点Pの 動 径 がr,偏

角 が θで あ る と き,(r,θ)を

  直 交 座 標 が(x,y)で

点Pの

極 座 標 とい う。

あ る よ うな 点 の 極 座 標 を(r,θ)と

す る と,

の 関係 が あ る。   上 の 関係 式 を用 い れ ば,極 座 標 か ら直 交 座 標 へ の 変 換 は簡 単 に 行 え る。例 え ば, 極座標 が(2,〓)で

あ る よ う な点 の 直 交

座 標 は, 図2.8 

よ り,(√3,1)で

極 座標

あ る。

  と こ ろ で,偏 角 は 一 通 り に は 定 ま ら な い か ら,1つ に あ る 。 し か し,原

点 を 別 に す れ ば,0≦

θ＜2π,あ

の 点 に 対 応 す る極 座 標 は無 数 る い は,-π＜

θ≦ π と い う よ

う な 条 件 を 追 加 す れ ば θ は 一 通 り に 定 ま る 。 直 交 座 標 か ら 動 径rを

求 め るの に

は,

の 関係 を用 い れ ば よ い。 偏 角 θ を求 め る の に,

の 関係 を利 用 す ることが で きるが,BASICの

組 込 み 関 数ATNを

用 いてATN(y/x)

と し た の で は,偏

角 を正 し く求 め る こ と

が で き な い 。そ の た め,x,yの し て 点(x,y)の ANGLE(x,y)が

符 号 を考 慮

偏 角 を求 め る組 込 み 関 数 用 意 さ れ て い る。

〔注 〕BASICの

組 込 み 関 数ATNを

と,例えば,点(-1,-1)の

用いる

偏 角 は5/4πで あ

る が,ATN((-1)/(-1))=ATN(1)= 〓と な る の で,補

正 が 必 要 で あ る(図2.9参

照)。

図2.9

(2)  極 方 程 式   曲 線 を表 す 条 件 が,動 径rと

偏 角 θの 方 程 式 で 与 え られ る と き,こ の 方 程 式 を

曲 線 の 極 方程 式 とい う。 極 方 程 式 が

の 形 で 与 え られ る場 合 に は,簡 単 な プ ロ グ ラ ム で 曲 線 を描 くこ とが で きる。な お, 極 方程 式 を考 え る場 合 に は,rの

値 が 負 に な る場 合 で あ って も,

に よ っ て 極 座 標 が 定 義 さ れ て い る も の と 考 え る。

〔例 題1〕

曲 線r=2cosθ

を 描 くプ ロ グ ラ ム を 作 れ 。(解   プ ロ グ ラ ム2.3) プ ロ グ ラ ム2.3

  図2.10に

実 行 結 果 を示 す 。

  実 行 結 果 をみ ると,極 方 程 式r=2cosθ は 円 を表 す よ うに思 え るが,そ

れ は,次

の よ うな 変 形 に よ っ て確 認 で き る。 両 辺 にrを

か けて

と し,r2=x2+y2,rcosθ=xを

代 入 す る

と,

図2.10

と な る か ら,確

か に 点(1,0)を

曲 線r=2cosθ

中 心 と す る 半 径1の

に も 含 ま れ る か ら,rを

円 で あ る 。 な お,r=0の

点 は

か け て 得 ら れ た 方 程 式 は は じめ の 方 程 式

と同値 で あ る。

問2  曲線r=2sinθ

は どん な 曲 線 か 。 実 際 に 図 形 を描 い て 考 察 せ よ 。

(3)  円 の 極 方 程 式   極 を 中 心 とす る 半 径aの

で あ るが,上

円 の 方 程 式 は,

の 例 か ら予 想 され る よ う に,極

を通 る円 の 方 程 式 も極 座 標 を用 い る

と簡 単 に 表示 す る こ とが で き る。   極 座 標(a,α)の

点 を 中 心 と し,極 を通 る 円 の極 方 程 式 は,

で あ る 。 こ れ は,図2.11を

も と に 考 え て も よ い し,点(acosα,asinα)を

とす る 円 の 方程 式

にx=rcosθ,y=rsinθ

を 代 入 し て 整 理 す る こ と に よ っ て も得 ら れ る 。

中心

図2.11 

  a,bが 少 な く と も一 方 が0で

円の極方程式

な い 定 数 で あ る と き,極 方程 式

が 表 す 図 形 は 極 を通 る 円 で あ る 。c=√a2+b2と と な る α を と れ ば,r=ccos(θ-α)と

お い て,a=ccosα,b=csinα

変 形 す る こ と が で き る か ら で あ る 。逆 に,

極 を 通 る 円 の 方 程 式 をr=acosθ+bsinθ

の形 に 表 す こ と も で きる。

(4)  直 線 の 極 方 程 式   極 を 通 る 直 線 の 極 方 程 式 は,始

で あ る が,極

線 と な す 角 を β と す れ ば,

を通 ら な い 直 線 の 極 方 程 式 は,

の 形 に な る。pは 極 と直 線 の 距 離 で あ り,α は極 か ら直 線 に 引 い た垂 線 が 始 線 とな す角 で あ る。 な お,同

じ方 程 式 を

の 形 に書 くこ と も可 能 で あ る。 この 場 合,β

は 直 線 と始 線 の な す 角 で あ る。

図2.12 

直線の極方程 式

 直 交 座 標 に よ る 直 線 の 方程 式ax+by=c(c＞0)は,

と な る α(す

な わ ち,点(a,b)の

と 変 形 さ れ,x=rcosθ,y=rsinθ

偏 角)を

と れ ば,

を 用 い る と,

とな る。

 例えば ,x+√3y=4は,

と変 形 で き る。   c＜0の 場 合 に は両 辺 に-1を

掛 け て か ら 同様 の こ とを試 み れ ば よい 。

  ま た,こ

の 手 順 を 逆 に た どれ ば,rcos(θ-α)=pの

形 の 方 程 式 をax+by=c

の 形 に 直 す こ と も で き る。   な お,コ

ン ピ ュ ー タ を 用 い て 直 線 の 極 方 程 式 を 試 す と き は,

あ るい は,

の 形 に 変 形 し て 用 い れ ば よ い 。secθ 組 込 み 関 数SEC(x)を

問3 

a,b,cを

はcosθ

の 逆 数 を表 す 関 数 で あ る 。secxは,

用 い て 求 め る こ とが で き る。

入 力 す る と,極 方 程 式 を 利 用 し て 直 線ax+by=cを

描 くプ ロ グ ラ ム を

作 れ。

(5)  カ ー ジ オ イ ド   円r=2cosθ

上 の 各 点 に 対 し て,偏 角 が2倍

で 動 径(の 長 さ)が2乗

を 対 応 させ て 得 ら れ る 曲 線 を描 い て み よ う。 偏 角 を2倍

に し た り,動

る よ う な 操 作 は コ ン ピ ュ ー タ で は 簡 単 に 行 え る 。 例 え ば,プ に す れ ば よ い。 プ ロ グ ラ ム2.4

に等 しい 点 径 を2乗

ロ グ ラ ム2.4の

す よう

  と こ ろ で,実 行 結 果(図2.13)を

見る

と,以 前 描 い た カー ジ オ イ ドと似 た 曲線 で あ る。これ は 同 一 の 曲 線 か,そ れ と も, よ く似 て い るが 別 の 種 類 の 曲 線 な の だ ろ うか 。 曲 線 の 方程 式 を求 め て 調べ て み よ う。   上 に 述 べ た操 作 の 結 果 得 られ た 曲 線 上 の 任 意 の 点 の極 座 標 を(r,θ)と し,そ れ に 対 応 す る 円r=2cosθ

上 の 点 の極 座 図2.13

標 を(r0,θ0)と す る と,

が 成 り 立 っ｡し

た が っ て,

  2倍 角 の 公 式 を適 用 す る と,

これ を直 交 座 標 に 直 す と,

と な る 。 さ らに

と 変 形 し て み れ ば,π-θ

を新 た に θ と 書 き換 え た と き,

が 得 られ るか ら,以 前 に 扱 っ た カ ー ジ オ イ ドをy軸 x軸 方 向 に1だ (6)  正 葉 線

に つ い て 対 称 移 動 し,さ らに

け平 行 移 動 した 曲線 だ と い う こ とが わ か る。

aを 正 の 定 数,nを

自然 数 と す る と き,曲

図2.14に,r=2sin2θ

とr=2sin3θ

線r=asinnθ

を 正 葉 線 と い う。

を示 す 。

(b) r=2sin3θ

(a) r=2sin2θ 図2.14

問4  曲 線r=2sin4θ,r=2sin5θ

を描 け 。

(7)  放 物 線   1つ の 定 点 と,こ

の 点 を通 ら な い 定 直

線 とか ら 等 距 離 に あ る 点 の 軌 跡 を 放 物 線 と い う。 こ の と き,定

点 を 焦 点,定

直線

を 準 線 と い う。   焦 点 が 原 点 で,準

線 が 直線x=-1で

あ る よ う な放 物 線 を極 方 程 式 で 表 して み よ う。 放 物 線 上 の 任 意 の 点 をPと の 極 座 標 を(r,θ)と

す る 。 そ し て,Pか

ら準 線 に お ろ し た 垂 線 の 足 をHと す る と,定

義 か らOP=PHで

  一 方,図2.15か  OP=r,PH=1+rcosθ

し,そ

す る。

あ る。

ら わ か る よ う に, で あ る か ら,

図2.15 

放 物 線

よ っ て,

  θの 値 に よ っ て は 分 母 が0に

な る こ と もあ り得 るか ら,例 外 処 理 を組 み 込 ん だ

プ ロ グ ラ ム を作 っ て み よ う。 こ の 曲線 を描 くだ け で あ れ ば,特 定 の θの値 を避 け る よ うに プ ロ グ ラ ム す る だ け で す む が,こ こ で は例 外 処 理 を利 用 す る形 で作 成 し, 他 の 曲 線 を描 く場 合 に も,プ ロ グ ラム の 応 用 が で き る よ うに 考 え た(す 曲 線 を描 くと き に 利 用 で き る)。 プ ロ グ ラ ム2.5

  図2.16に,実

行 結 果 を示 す 。

  本 書 で 定 義 した 放 物 線 と,2次

関数 の

グ ラ フ と して 現 れ る放 物 線 は 図 形 と して 同 じも の で あ る。 そ れ は,次 の 変 形 か ら い え る。

rcosθ=xを

代 入 す る と,

図2.16

ぐ後 で双

両 辺 を平 方 して

xに つ い て 解 く と,

〓が い え るか ら,最 初 の 方程 式 と平 方 し て得 ら

 な お,最 後 の 方 程 式 か ら れ た 方程 式 とは 同値 で あ る。

2.2  二 次 曲 線 [1]  だ (1)  だ

円 円

  だ 円 を2焦 点 か らの 距 離 の 和 が あ る定 数 に 等 し い点 の軌 跡 と し て定 義 す る こ と が 多 い 。 この 種 の定 義 に対 して,コ

ン ピュー タ を利 用 して どの よ うな ア プ ロー チ

が 可 能 か 調 べ て お こ う。   だ 円 とし て,2点F(-3,0),F'(3,0)か

らの 距 離 の 和 が10で

あ る点Pの

軌跡 を

考 え て み よ う。 与 え られ た 条 件 は,

で あ り,点Pの

座 標 を(x,y)と

で あ る 。 こ の こ と か ら,軌   ま ず,コ

お け ば,

跡 の 条 件 をx,yの

方 程 式 の 形 に 表 す こ とが で き る 。

ン ピ ュー タの 画 面 上 で大 ざっ ぱ な 見 当 を付 け るた め の手 法 を求 め る こ

と か ら 始 め よ う。   次 に 示 す プ ロ グ ラ ム は,マ そ の 値 が 目 標 とす る 値10に

ウ ス ボ タ ン を 押 す と,PF+PF'を 近 い と き,画

行 錯 誤 を 繰 り返 す こ と に よ っ て,PF+PF'=10と

面 上 に"*"を

計 算 し て 表 示 し,

表 示 す る も の で あ る。 試

い う条件 を満 たす 点 の 軌 跡 の 輪

郭 が 見 え て くる。 プ ロ グ ラ ム2.6

図2.17

(2)  だ 円 の 方 程 式   2点F(-fc,0),F'(c,0)か

ら の 距 離 の 和 が2a(a＞c＞0)で

方 程 式 は,

で あ る。 この 方 程 式 を 同値 変 形 に よ っ て,

あ る よ うな 楕 円 の

と書 き 換 え る こ と が で き る 。   こ こ で,b=√c2-a2と

お き,

の 形 に 書 い て,だ 円 の 方 程 式 の 標 準 形 と い う。 こ れ は ま た,

と変 形 す る こ とが 可 能 だ か ら,2つ

の関数

お よ び,

の グ ラ フ と して だ 円 を描 く こ とが で き る。 な お,こ れ らの 関 数 の定 義 域 は,

で あ る。 プ ロ グ ラ ム2.7

図2.18

(3) だ円の媒介 変数表 示  だ円の方程 式の標 準形 を

と 書 く こ と が で き る 。 こ こ で,x'=x/a,y'=y/bと ら,x'=cosθ,y'=sinθ

  こ こ で,θ

お く と,x'2+y'2=1と

な るか

と お く こ と が で き る 。 し た が っ て,

を0≦

θ≦2π の 範 囲 で 変 化 さ せ る と,x'2+y'2=1を

の す べ て が 尽 く さ れ る か ら,θ

満 た す(x',y')

を0≦ θ≦2π の 範 囲 で 変 化 さ せ る と き,方

程 式

〓を満 た す 点 す べ て が得 られ る。   ま た,こ の こ とか ら,こ の 方 程 式 が 表 す だ 円 は,単 位 円 をx軸 方 向 にa倍,y軸 方 向 にb倍

に 拡 大 し た もの だ と い うこ とが で き る。 プ ロ グ ラ ム2.8

図2.19

[2] 

双曲線

(1)  双 曲 線   2定 点 か らの 距 離 の差 が あ る定 数 に 等 しい よ うな 点 の軌 跡 を 双 曲 線 と い う。 こ の と き,2定

点 の こ とを焦 点 とい う。2点F(-c,0),F'(c,0)か

2a(c＞a＞0)で

あ る よ うな双 曲 線 の 方程 式 は,

で あ る が こ れ を,

と変 形 す る こ とが で き る。

らの 距 離 の差 が

 こ こ で,b=√c2-a2と

お い て,

を双 曲 線 の 方 程 式 の標 準 形 とい う。 問5  プ ロ グラム2.6,プ

ログ ラム2.7を 双 曲線用 に書 き換 え よ。

(2)  双 曲 線 の 媒 介 変 数 表 示   楕 円 の 媒 介 変 数 表示x=acosθ,y=bsinθ

に な ら って,双 曲 線 を媒 介 変 数 で表

して み よ う。   双 曲 線 の 方 程 式 の標 準 形 を

と書 き換 え る と,三 角 関 数 の公 式

が 利 用 で き る。 こ こ で

に よ っ て 定義 され る 関 数secθ(正

割 とい う)を 用 いれ ば,上 述 の 公 式 を

と書 くこ とが で き る。   正 接 関数 の値 域 は実 数 全 体 だ か ら,

とな る θは(〓

の 範 囲 に)必 ず 存 在 す る。y=btanθ

上 述 の 三 角 関 数 の 公 式 を 用 い る と,x=±asecθ   こ こ で,θ

の範囲 を

が 得 られ る。

を代 入 して

に 広 げ て 考 え る こ とに す る と,

とな る よ うに θを選 ぶ こ とが で き る。 これ が,双

曲 線 の 媒 介 変 数 表 示 で あ る。

問6  媒 介 変数 表示 を用 いて双曲 線 を描 くプ ロ グラム を作 れ。

[3] 

離 心率

  放 物 線 の 定 義 を少 し変 更 して,焦

点 か らの 距離 と準 線 か らの 距 離 の 比 が 一 定 で

あ る点 の 軌 跡 を考 え て み よ う。 (正の 定 数) と お く と,

よ り,

が 得 られ る。   プ ロ グ ラ ム2.5を 場 合 に は,分

母 が0に

ラ ム で あ る か ら,式   0＜e＜1の 図2.21の

少 し修 正 す れ ば,こ

れ ら の 曲 線 を 描 く こ と が で き る 。e≧1の

な る こ とが あ る が,そ

の こ と を想 定 して 作 成 さ れ た プ ロ グ

を書 き換 え る だ け で よ い。

と き は,図2.20の

よ う に 閉 じ た 曲 線 が 得 ら れ る 。e＞1の

よ う な 曲 線 に な る 。 こ のeの

値 を 離 心 率 と い う。

場 合 に は,

図2.20

図2.21

 放 物 線 の と き と同 様 に して,極 方 程 式 か ら直 交座 標 につ い て の 方 程 式 を導 い て お こ う。 こ こ で は,e≠0の

場 合 を考 え る が,e＞1の

場 合 に はr＜0と

な る こ とが

あ る こ と に 注 意 し な け れ ば な ら な い 。 そ の 場 合,r=-√x2+y2で

あ る。

 r=e(1+rcosθ)にrcosθ=xを

な る か ら,

x＜-1の

と き,

  x＞-1の

と き,

代 入 す る と,r=e(1+x)と

で あ る 。 両 辺 を 平 方 し て,

これ を整 理 す る と,

  こ の 式 か ら,こ の 曲 線 はe＜1の る。

と き 楕 円,e＞1の

と き双 曲 線 で あ る こ と が わ か

[4]  接

線

(1) 媒 介変数 で表 される曲線の接線  媒 介変tの

連続 関数

で 与 え ら れ る 曲 線 上 に,t=t0に る と き,P0とt=t0+Δtに 近 づ く な ら ば,lを

対 応 す る 点P0を

対 応 す る 点Pと 点P0に

と る 。Δtを 限 り な く0に

を結 ぶ 直 線 が あ る 直 線lに

お け る こ の 曲 線 の 接 線 と い う 。f(t),g(t)が

分 可 能 で,{f'(t0)}2+{g'(t0)}2≠0で の 方 向 ベ ク トル は(f'(t0),g'(t0))で

あ れ ば,点P0(f(t0),g(t0))に あ り,接

近づけ

限 りな く と もに 微 お け る接 線

線 の 方 程 式 は,

あ る い は,

で あ る 。 た だ し,hは

媒 介 変 数 で あ る 。 図2.22は,プ

ー ジオイ ド

の接 線 を描 い た もの で あ る。 プ ロ グ ラ ム2.9

ロ グ ラ ム2.9を

用 い て,カ

図2.22

(2) 極 方程式 で表される 曲線 の接線  極方程 式

が 表 す 曲 線 の 接 線 に つ い て 考 え よ う。 こ の方 程 式 は,媒 介 変 数 方 程 式 で表 す と

に な る か ら,接

線 の 方 向 ベ ク トル は,

で あ る。 これ を利 用 す れ ば,プ

ログ ラム2.9を

修 正 す る こ とで極 方 程 式 で 表 さ れ

た 曲 線 の接 線 を描 くこ とが で き る(方 程 式 に よ って は,例 外 処 理 の 追 加 が 必 要 で あ る)。   と こ ろ で,f'(θ)≠0の

と き,

に よ っ て 角 ψ を 定 め る と,接 線 の 方 向ベ ク トル を

に と る こ と が で き る 。こ の 方 向 ベ ク トル がx軸

の 正 の 向 き と な す 角 を β と す れ ば,

で あ るか ら,ψ は接 線 と動 径 の な す角 を表 す こ とに な る。

図2.24

図2.23

  こ れ を 利 用 し て カ ー ジ オ イ ドr=1+cosθ な る(プ

の 接 線 を 描 く と,図2.24の

ロ グ ラ ム2.10)。 プ ロ グ ラ ム2.10

よ うに

[5] 

軌

(1)  軌

跡 跡

  コ ン ピュ ー タ を利 用 し て い ろ い ろな 軌 跡 を描 い て み よ う。 〔 例 題2〕 3:1に

点Aがx軸

上 を動 き,点Bがy軸

内分 す る 点Pの

〔 解 〕 線 分ABがx軸 み よ う。 点Aの

で あ る の で,点Pの

  ゆ え に,

と な る。

上 を動 くと き,長 さ1の 線 分BAを

軌 跡 を求 め よ。 の 正 の 向 き とな す 角 θを媒 介 変 数 と して 方 程 式 を導 い て

座 標 を(x1,0),点Bの

座 標 を(x,y)と

座 標 を(0,y1)と

す る と,

す る と,

プ ロ グ ラ ム2.11

図2.25

  こ こ で得 られ た 曲 線 は 楕 円 で あ る。 (2)  直 線 群   と こ ろ で,θ を変 化 させ なが ら線分ABそ この 図 で線 分ABが

の もの を描 くと,図2.26が

得 られ る。

通 過 す る領 域 と,そ うで な い領 域 との 境 界 に 現 れ る 曲 線 は 以

前 学 ん だ ア ス テ ロ イ ドと似 て い る。 色 を変 え て ア ス テ ロ イ ド曲 線 を 同一 座 標 平 面 上 に 重 ね て描 い て み る と,確 か に 重 な って い る よ うで あ る。 プ ロ グ ラ ム2.12

図2.26

 そ の 理 由 を 追 求 し て み よ う。 ま ず,ア (cos3θ,sin3θ)に

ス テ ロ イ ドx=cos3θ,y=sin3θ

お け る接 線 を求 め て み よ う。

上 の点

だ か ら,接 っ て,接

線 の 方 向 ベ ク トル は(-3cos2θsinθ,3sin2θcosθ)で

あ る。 した が

線 の 方 程 式 は,

これ を変 形 す る と,

  した が っ て,θ を変 化 させ た と き に得 られ る直 線 群 は,図2.26に

描 い た もの と

同 じ もの だ と結 論 す る こ とが で き る。   曲 線群 に属 す る すべ て の 曲 線 と接 し,し か も,そ れ らの 接 点 に よ って構 成 され る 曲 線 を,そ の 曲 線 群 の 包 絡 線 とい う。プ ロ グ ラム2.12で ス テ ロ イ ドが 包 絡 線 で あ る。一 般 に 曲 線Cは,そ

描 い た直 線 群 で は,ア

の 接 線 の 全 体 か らな る直 線 群 の

包 絡 線 に な る。 (3)  包 絡 線   図2.27は,定

円 上 の 定 点Aを

端 点 とす る弦 を直 径 とす る 円 を描 い て み た もの

で あ る。 こ の 図 か ら カ ー ジオ イ ドら し き曲 線 が 浮 き上 が っ て くる。 こ れ らの 円群 の 包 絡 線 の 方 程 式 を求 め,予 想 が 正 しい こ とを確 認 して み よ う。 プ ロ グ ラ ム2.13

  原 点 と 円r=2cosθ 2sinαcosα)と

上 の 点(2cos2α, を結 ぶ 弦 を 直 径 とす る

円 の 方 程 式 は,

で あ るか ら,極 座 標 に直 す と

で あ る。 図2.27

だ か ら,こ の 円 の 接 線 が 動 径 となす 角 を ψ とす る と,

とな る。  α が 変 化 す る と き に,こ れ らの 円 が 描 く曲線 群 の 包 絡 線 を

と す る と,

だ か ら,

接 点 が 円r=2cosαcos(α-θ)上

に あ る こ と か ら,

で あ り,

と な る。  r=f(α),θ=g(α)に

お い て,両

者 のtanψ

が 一 致 す る こ とか ら,

これ を整 理 して

こ れ よ り,

  こ こ で,g(α)=2α

  し た が って,包

の 場 合 の 解 を求 め る と,

絡 線 の 方程 式 は

で あ り,α を消 去 す れ ば

と な る。 こ れ は,確 か に カー ジ オ イ ドで あ る。 なお,他 め て も,実 質 的 に 同 じ曲 線 が得 られ る。

のnの

値 に対 す る解 を求

第3章  図形の変換   こ の 章 は,平 面 上 の 図 形 を素 材 と し て,図 に,グ

形 の 変 換 に ま つ わ る 幾 何 学 を考 察 し,さ

ら

ラ フ ィ ッ クス の プ ロ グ ラ ミン グ を 通 して 図 形 の もつ 数 理 的 な性 質 を 見 い だ す こ と

を 目標 に す る 。

3.1  平行移 動 と回転移動 [1]  図形の変 換   第3章 が,与

で は,図

形 の 変 換 を 考 察 の 対 象 と す る 。 本 書 で は,図3.1(a)に

え ら れ た 変 換 に よ っ て ど う 変 わ る か を観 察 す る こ と で,変

ら え る こ と が で き る よ う に し た い と 思 う。 例 え ば,図(b)は を 中 心 と し てπ/3〔ラ ジ ア ン 〕 回 転 し,さ き に2だ   図3.1を

ら に,x軸

換 を視 覚 的 に と

図(a)の

図 形 を,原

の 正 の 向 き に3,y軸

け 平 行移 動 して描 い た もの で あ る。 描 くの に 用 い た プ ロ グ ラ ム を,プ

示 す 図形

ロ グ ラ ム3.1に

示 す。

点

の正 の向

(a)

(b) 図3.1

プ ロ グ ラ ム3.1

  100行 か ら160行

まで の 部 分 は,Houseと

名 付 け られ た 絵(picture)を 描 くた め

の 手順 を述 べ て い る。 これ を絵 定 義 とい う。   絵 定 義 を実 行 す る た め に 用 い る の がDRAW文 行 に示 され て い る。DRAW文

で あ る。 そ の 基 本 的 な 形 が190

で絵 定 義 を実 行 す る と き,平 行 移 動 や 回 転,拡 大 ・

縮 小 な どの 変 形 を施 す こ とが で き る。 そ れ を示 す の が200行 で あ る。200行 で は,

Houseを

原 点 の まわり

軸 の 正 の 向 き に2だ

にπ/3〔ラ ジ ア ン 〕 回 転 し,さ

ら に,x軸

の 正 の 向 き に3,y

け 平 行 移 動 し て描 い て い る。

  図 形 変 換 の 用 い 方 に つ い て 少 し 説 明 し て お こ う。ROTATE(a)は,原 と す る 角aの

回 転 を 表 す 。aの

単 位 は,三

影 響 さ れ る 。SHIFT(a,b)は,x軸 動 を 表 す 。 ま た,第1章

角 関 数 と 同 様 にOPTION ANGLEに

の 正 の 向 き にa,y軸

でSCALEと

点 を 中心

の 正 の 向 き にbの

平行移

い う 図 形 変 換 を 利 用 し た 。SCALE(a,b)は,

x軸 方 向 にa倍,y軸

方 向 にb倍

と 書 い た と き に は,原

点 を 中 心 とす るa倍

い くつ か の 変 換 を*を

間 に は さ ん で 書 い て,合 成 変 換 を 実 行 さ せ る こ とが で き る 。

そ の 場 合,変

に し て,SCALE(a)

の 拡 大 を 表 す 約 束 に な っ て い る 。 ま た,

換 は左 か ら順 に実 行 され る。

  絵 定 義 とDRAW文 ム3.2は,う

の 拡 大 を 表 す 。 引 数 を1つ

を 利 用 し て,い ろ い ろ な 絵 柄 を 描 く こ と が で き る 。プ ロ グ ラ

ず ま き 線r=8θ

プ ロ グ ラ ム3.3は,回 く。 い ず れ も,絵Houseの

に そ っ て 拡 大 し な が らHouseを

描 い て い る 。 ま た,

転 移 動 と平 行 移 動 を 利 用 し てHouseを

円環 状 に 並 べ て 描

定 義 部 は省 略 して 示 して あ る。 プ ロ グ ラ ム3.2

プ ロ グ ラ ム3.3

図3.2

図3.3

  絵 定 義 に は,BASICの

文 を 自由 に 組 み合 わ せ て 手順 を記 述 す る こ とが で き る。

絵 定 義 の な か でDRAW文

を用 い て,他 の 絵 定 義(あ る い は 自分 自身)を 呼 び 出 し

て 利 用 す る こ と も許 され て い るか ら,複 雑 な 図 形 を描 く絵 を定 義 す る こ とが で き る。 これ は,近 年 話 題 とな って い る 自 己相 似 図 形 を描 くの に 欠 かせ な い性 質 で あ る。

[2] 

回 転 移 動

 原 点 を 中 心 と す る 角 α の 回 転 を考 え て み よ う 。 回 転 に よ っ て 点P(x,y)が (x',y')に 移 る も の と す る 。 点Pの (r,θ+α)で

あ る か ら,

改 め て 整 理 して 書 く と,

極 座 標 を(r,θ)と

す る と,点Qの

点Q

極 座 標 は

と な っ て い る 。 こ の 変 換 をROTATE(α)で

表す。

[3]  変換の 合成   点(1,1)を に,次

中 心 に し て120° 回 転 さ せ て 描 き た い と思 う。 変 換 を 表 す 式 を 作 ら ず

の よ う に 考 え る こ と も で き る 。 ま ず,点(1,1)が

平 行 移 動 す る 。 次 に,原

原 点 に移 る よ うに 全 体 を

点 を 中 心 に120° 回 転 す る 。 そ し て,原

点 が 点(1,1)に

戻

る よ う に平 行 移 動 す る。 こ の考 えが 正 しい こ と をプ ロ グ ラム を作 っ て確 か め て み よ う 。 な お,Houseの

定 義 部 は,プ

ロ グ ラ ム3.1と

る。 プ ロ グ ラ ム3.4

図3.4

変 わ ら な い の で,省

略 して あ

  実 行 結 果 は,図3.4の

3.2 

[1] 

よ うに な る。

一 次 変 換

拡 大 ・縮 小

 平 面 上 の変 換 を式 で表 す と き,も との 点 の座 標 を(x,y)で 表 し,(x,y)が

移 され

る点 を(x',y')で 表 す 習 慣 が あ る。 以 後,平 面 上 の変 換 を式 で 表 す と き,こ の 記 法 を用 い る。  原 点 を基 準 に してx軸

方 向 にa倍,y軸

で 表 さ れ る 。 特 に,a=bの

場 合 は,原

をSCALE(a,b)で

方 向 にb倍

に拡 大 す る写 像 は,

点 を 中心 とす る相 似 変 換 で あ る。 こ の写 像

表 す。

(a) SCALE(2,1)

(b)  SCALE(1,2) 図3.5

  SCALE(a,b)は,上 SCALE(a)の

の 等 式 に 基 づ い て 定 義 さ れ て い る 。ま た, a=bの

よ う に 書 く こ と も 許 さ れ て い る 。図3.5に,SCALE(2,1)とSCALE

(1,2)の 実 行 結 果 を 示 す 。

場 合 に は,

  SCALE(a,b)で,a,bに

負 数 を 代 入 す る こ と も で き る。  SCALE(-1,1)は,x

座 標 の 符 号 を 反 転 さ せ る 写 像 で あ る か ら,y軸 SCALE(1,-1)はy座

標 の 符 号 を 反 転 さ せ る 写 像 で あ り,x軸

を 意 味 す る 。 そ し て,SCALE(-1,-1)は に,そ

に 関 す る 対 称 移 動 で あ る 。 ま た, に 関 す る対 称 移 動

原 点 に 関 す る 対 称 移 動 で あ る 。 図3.6

れ ぞ れ の実 行 結 果 を示 す 。

(b) SCALE(1,-1)

(a)  SCALE(-1,1)

(c)  SCALE(-1,-1) 図3.6

[2] 

一 次 変 換(1

)  一 次 変 換   定 数a,b,c,dを

用 いて

の 形 に 表 さ れ る 変 換 を 一 次 変 換 と い う 。 拡 大 ・縮 小(SCALE),回 は,い

ず れ も 一 次 変 換 で あ る 。 し か し,平

行 移 動 は,一

転(ROTATE)

次変 換 で は な い。

  等式

に よ っ て 定 義 さ れ る変 換 も 一 次 変 換 の 一 種 で あ る。 こ の 変 換 を特 に 恒 等 変 換 と い う。 恒 等 変 換 は,実

際 に は ま っ た く点 を動 か さ な い 変 換 で あ る。

  一 次 変 換 に は,次

の よ う な性 質 が あ る。

  ● 原 点 を原 点 に 移 す 。   ● 点(1,0)が

点(a,c)に

移 さ れ,点(0,1)が

点(b,d)に

移 さ れ る と き,こ の 一 次 変

換 を 表 す 等 式 は,

で あ る。   ●一 次変 換 と一 次 変 換 の合 成 は,一 次 変 換 で あ る。   最 後 に 述 べ た性 質 は,次 の よ うに して証 明 す る こ とが で き る。   T1を

に よ っ て 定 め ら れ る 一 次 変 換,   T2を

に よ っ て定 め られ る一 次 変 換 とす る。   平 面 上 の 点P(x,y)がT1に っ て 点R(x",y")に

よ っ て 点Q(x',y')に

移 さ れ る も の と す る と,

移 さ れ,さ

ら に 点QがT2に

よ

とな るか ら,T1とT2の

合 成 変 換 は 一 次 変 換 で あ る。

(2)  一 次 変 換 の 行 列 に よ る 表 現   一 次 変 換 を表 す 等 式

は,行

列 を 用 い る と,

と表 す こ とが で き る。こ の と き行 列〓

 行列〓

が 表 す 一 次 変 換 は,点(1,0)を

に 移 す 一 次 変 換 で あ る 。 一 次 変 換 は,点(1,0)の ま る の だ か ら,点(1,0)を

点(a,c)に

を,こ の 一 次 変 換 を 表 す 行 列 と い う。

点(a,c)に

移 し,点(0,1)を

点(b ,d)

行 き 先 と点(0 ,1)の 行 き 先 と で 決

移 し,点(0,1)を

点(b

,d)に 移 す 一 次 変 換 を

〓で表 す と考 え て お け ば よい 。  行 列 に よ る表 現 を用 い る と,今

恒等変換

回 転 移 動   ROTATE(θ)

拡 大縮 小   SCALE(a,b)

まで に 学 ん だ一 次 変 換 は次 の よ うに表 され る。

(3)  変 換 の 合 成   変 換T1に

引 き続 い て,変 換T2を

実 行 して 得 られ る変 換 をT1T2と

  前 ペ ー ジの 計 算 は,一 次 変 換T1を き,合 成 変 換T1T2を

[3] 

表 す 行 列 がA,T2を

表 す 行 列 がABと

書 く。

表 す 行 列 がBで

ある と

な る こ とを示 し て い る。

ず ら し 写 像(shear)

(1)  shear   shearは ず ら し写 像 あ る い は,剪 断 な ど と訳 さ れ る こ とが 多 い が,特 に 定 着 した 訳 語 は まだ な い ようで あ る。本 書 で は,一 応 ず らし写 像 と呼 ん で お くこ とに す る。   SHEAR(α)は,

に よ っ て 定 義 さ れ,y軸

に 平 行 な 直 線 を角 α だ け傾 け る効 果 を持 つ 変 換 で あ る。

  こ れ は 行 列 を用 い て表 せ ば,

で あ る。 図3.7に,SHEAR(π/12)とSHEAR(-π/12)の

(a) SHEAR〓

実 行 結 果 を示 す 。

(b) R〓SHEA 図3.7

(2)  shearの   shearで

逆変換

変 形 し た 図 形 を 元 に 戻 す に は,ど

SHEAR(α)で

う し た ら よ い だ ろ う か 。 例 え ば,

変 形 し た 図 形 を 元 に 戻 す の に,SHEAR(-α)で

  そ れ を 確 か め る の に は,元

い い の だ ろ うか。

の 図 形 とSHEAR(α)*SHEAR(-α)で

形 と を 重 ね が き し て み れ ば よ い だ ろ う。 も し,2つ

変 形 した 図

の 図 形 が ず れ て 描 か れ た ら,最

初 の 考 え は 正 し くな か っ た と い う こ と で あ る。 い くつ か の α の 値 に つ い て 実 行 し て 調 べ て み る と,完

全 に 一 致 し て い る よ う に 見 え る 。 そ こ ま で わ か っ た ら,計

算

で そ の事 実 を確 認 して み よ う。   shearはy座

標 を 変 え な い の だ か ら,x座

SHEAR(α)に

よ っ て 点(x,y)が

点(x",y")に

点(x',y')に

標 につ い て の み 調 べ て み れ ば よ い。 移 り,さ

ら にSHEAR(-α)に

よって

移 さ れ る もの と す る と,

  tan(-α)=-tanα

だ か ら,

と な っ て,SHEAR(α)で

移 さ れ た 図 形 をSHEAR(-α)で

移 せ ば 元 に戻 る こ とが

示せ た。   な お,こ

れ は 行 列 を 用 い て,

の よ うに して確 か め る こ と もで き る。 (3)  shearとscaleの   SCALE(a,b)を

合成 実 行 し て か らSHEAR(α)を

行 し て か らSCALE(a,b)を

実 行 す る の と は,同

実 験 し て み れ ば す ぐ に わ か る よ う に,た

実 行 す る の と,SHEAR(α)を

実

じ効 果 を もつ だ ろ う か 。 こ れ は,

い て い の 場 合,正

し く な い 。 図3

.8に

SHEAR(π/12)*SCALE(3,2)の

実 行 結 果 と,SCALE(3,2)*SHEAR(π/12)の

実

行 結 果 を示 す 。

(a) SHEAR〓*SCALE(3,2)

(b) SCALE(3,2)*SHEAR〓 図3.8

  し か し,実

行 結 果 を み る と,傾

き を 少 し補 正 す れ ば 一 致 さ せ る こ とが で き る よ

う に 思 え る 。 コ ン ピ ュ ー タ 上 で 試 行 錯 誤 し て み る の も よ い が,こ

こ は,式

の計算

で 処 理 し て み よ う。   SHEAR(α)*SCALE(a,b)とSCALE(a,b)*SHEAR(β)が つ よ う に す る た め に は,α,β お,a,bは

ど ち ら も0で

同一 の 効 果 を持

の 間 に ど ん な 関 係 が あ れ ば よ い か 調 べ て み よ う。 な

な い もの と し て お く。そ れ ぞ れ の 変 換 を 表 す 行 列 を 計 算 し

て み る と,

SHEAR(α)*SCALE(a,b)

SCALE(ａ,b)*SHEAR(β)

と な る か ら,

と な っ て い れ ば よ い こ と が わ か る 。 こ こ で,例

え ば,α

か ら β を決 定 す る ため に

は,逆

正 接 関 数tan-1を

用 いて

とす れ ば よ い 。   実 際,   DRAW

house

WITH

SHEAR(PI/12)*SCALE(3,2)

  DRAW

house

WITH

SCALE(3,2)*SHEAR(ATN(3/2*TAN(PI/12))

を 実 行 し て み る と,そ

の こ とが確 認 で き る。

(4)  下 三 角 行 列 で 表 さ れ る 一 次 変 換   SHEAR(α)*SCALE(a,b)あ は,右

上(1行2列)の

る い はSCALE(a,b)*SHEAR(β)を 成 分 が0に

な っ て い る 。 逆 に,そ

る 一 次 変 換 をSHEARとSCALEの 値 域 は 実 数 全 体 に 渡 る か ら,そ

実 際,〓

の 形 を した行 列 で表 さ れ

合 成 で 表 す こ とが で き る だ ろ うか 。tanα

の

の 可 能 性 は 大 だ と考 え て よ い 。

に よ っ て 表 さ れ る 一 次 変 換 をTと

  a≠0の

と き,SHEAR(ATN(b/a))*SCALE(a,d)

  d≠0の

と き,SCALE(a,d)*SHEAR(ATN(b/d))

で 実 現 で き る 。 し か し,a=b=0の

[4] 

表 す 行 列

す る と,Tは,

場 合 は 不 可 能 で あ る。

一 次 変 換 の 合 成 と 分 解

(1)  一 次 変 換 の 分 解   図3.9は,ROTATE(π/3)*SCALE(1,2)*ROTATE(-π/3)の る 。 こ れ を 見 る と,ず

ら し 写 像 と拡 大 ・縮 小,回

実行結 果 であ 転 の 合 成 で 同 じ結 果 が 得 ら れ そ

うな 気 が す る。   問 題 を 一 般 化 し て,一

般 の一次変換

を対 象 と して考 え よ う。 そ して,こ れ と同 じ効 果 の あ る変 換 を   拡 大 ・縮 小 → ず ら し写像 → 回転

の 順 に 合 成 して 得 ら れ るか 考 え て み よ う。 そ こ で,そ

れ ぞ れ の 定 数 をe,f,α,θ

と して   SCALE(e,f)*SHEAR(α)   *ROTATE(θ) で 目的 の 変 換 に な る よ う に し て み よ う。   前 に 述 べ た よ う に 一 次 変 換 は 点A(1, 0)と 点B(0,1)の

行 き先 です べ て 定 ま る

の だ か ら,点Aが

点A'(a,c)に

Bが

移 る よ うに して や れ

点B'(b,d)に

移 り,点 図3.9

ば よ い。   と こ ろ で,SCALE(e,f)*SHEAR(α)は ROTATE(θ)は SHEAR(α)が

点(1,0)をx軸

上 に 移 す 変 換 で あ り,

原 点 か ら の 距 離 を 変 え な い 変 換 で あ る か ら,SCALE(e 点(1,0)を

移 す 先 は(√a2+c2,0)か,(-√a2+c2

,0)の

な け れ ば な ら な い 。 実 際 に は ど ち ら で も 同 じ な の で,点(√a2+c2,0)を に し よ う 。 す る と,回

と定 ま り,x軸

,f)* いず れ か で 選ぶ こ と

転 角 θは

方 向 の 拡 大 率 ｅも

と 定 ま る｡   SCALE(e,f)*SHEAR(α)は,点(0,1)を,点(b,d)を-θ さ な け れ ば な ら な い 。 つ ま り,SCALE(e,f)*SHEAR(α)に

す な わ ち,点

に移 ら な け れ ば な ら な い。   した が っ て,y軸

方 向 の 拡 大 率fは,

だ け 回転 した 点 に移 よ っ て 点(0,1)が

点

で あ り,傾

き角 α は,

と定 め て や れ ば い い だ ろ う 。 こ こ で,

を代 入 して 整 理 す る と,

とな る。   次 に 示 す プ ロ グ ラ ム は,ROTATE(PI/3)*SCALE(1,2)*ROTATE(-PI/3) でHouseを

変 形 し て 描 き,さ

ら に,上

こ と を確 認 す る もの で あ る 。190行

で 述 べ た 方 法 で 描 い て,そ

∼220行

で 〔注 〕に 示 す 計 算 の 結 果 得 ら れ る 数

値 をa,ｃ,b,dに

代 入 し,220行

る 。290行

タ ー ン キ ー が 入 力 さ れ る の を待 つ こ と で,280行

は,リ

か ら260行

れ らが 一 致 す る

で 上 の 結 果 に も とづ く 計 算 を行 っ て い

実 行 結 果 を確 認 す る こ とが で き る よ うに す るの が 目的 で あ る。

プ 口グ ラム3.5

のDRAW文

の

〔注 〕

(2)  ず ら し写像   図3.10は,原

点 を中心 とす る 円 をSHEAR(π/4)で

れ た 図 形 は だ 円 の よ うに 見 え る が,第2章

変 形 した もの で あ る。得 ら

で 定 義 した 意 味 で だ 円 とい って よ い 図

形 なの だ ろ うか 。   実 は,ず

ら し 写 像 は,回 転 移 動(rotate)

と 拡 大 縮 小 写 像(scale)が

あ れ ば,合

成 で

き る 写 像 で あ る 。 も し そ う で あ れ ば,円 を 拡 大,縮 り,回

小 で変 換 した 図 形 は だ 円 で あ

転 移 動 は 合 同 変 換 だ か ら,図3.10

は だ 円 だ とい っ て よ い こ とに な る。   上 述 の こ と を 確 か め る た め に,与

えら

れ た θ に 対 し て,

  SHEAR(θ)=ROTATE(α)

*

図3.10

  SCALE(a,b)*ROTATE(β) と な る よ う にα,a,b,β

を 定 め る こ と が で き る か ど う か 調 べ て み よ う。

を成 分 ご とに 計 算 す る と,

と な る 。 こ の 条 件 は,α,a,b,β

を

と な る よ う に 定 め れ ば 満 た さ れ る。 な お,tanθ

≠0の

と き に は,最

の よ う に 書 く こ と が で き る 。 そ の よ う に 書 き 換 え て お く と,BASICの ATNを

初 の条件 を

組 込み関数

用 い て α を求 め る こ とが で き る。

  次 の プ ロ グ ラ ム は,θ

を キ ー ボ ー ドか ら 入 力 し た と き,2通

りの 方 法 でHouse

を 変 形 し て 描 い た と き に 一 致 す る こ と を確 認 す る も の で あ る 。 弧 度 法 で プ ロ グ ラ ム を作 成 し て い る の で,0.5前

後 の数 値 を入 力 して 試 して み て ほ しい。 プ 口 グ ラ ム3.6

[5] 

対 称移 動

(1)  対 称 移 動   原 点 を通 り,傾 き がtanθ

の 直線y=xtanθ

に 関 す る対 称 移 動 を考 え て み よ

う。   x軸 に 関 す る対 称 移 動 は,SCALE(1,-1)で

実 行 す る こ とが で き るか ら,そ れ を

利 用 して考 え て み よ う。 平 面 全 体 を-θ 回転 してx軸 θの 回 転 で戻 せ ば,y=xtanθ

につ い て対 称移 動 して再 び

に つ い て対 称 移 動 した こ とに な るで あ ろ う。

  さ っ そ く,プ ロ グ ラム を作 っ て 調 べ て み よ う。 なお,Houseの て 示 し て い る。 プ 口 グ ラ ム3.7

定義部 は省略 し

  図3.11は,θ=120°

と して実 行 して み た もの で あ る。

図3.11

(2)  対 称 移 動 を表 す 行 列  今 度 は,行 列 の積 を計 算 して,対 称 移 動 を表 す 行 列 を求 め て み よ う。ROTATE (-θ)に 対 応 す る行 列 が

で あ る こ と に 注 意 す れ ば,ROTATE(-θ)*SCALE(1,-1)*ROTATE(θ)に 応 す る 行 列 は,

で あ る。

対

(3)  対 称 移 動 の 合 成   直 線y=xtanα

に関 す る対 称 移 動 に 続 け て,直 線y=xtanβ

に 関 す る対 称 移

動 を行 う合 同変 換 につ い て 調べ て み よ う。 そ れ ぞ れ の 対 称 移 動 を表 す 行 列 の 積 を 計 算 す る と,

とな り,原 点 を 中 心 とす る2(β-α)の

[6] 

回転 に な る こ とが わ か る。

等 長変 換

  い ず れ の2点 に 対 して も2点 間 の 距 離 を変 え な い 一 次 変 換 を等 長(一 次)変 換 と い う。 回 転 移 動 や 対 称 移 動 は等 長 変 換 で あ るが,他

に等 長 変 換 で あ る よ うな 一 次

変 換 が な い だ ろ うか 。   そ こ で,等

長 変 換 の性 質 を調 べ て み よ う。

で 表 さ れ る 一 次 変 換 が 等 長 変 換 で あ る と し よ う 。こ の 一 次 変 換 に よ っ て 点P(1,0) が 移 さ れ る 点P'(a,c)は

単 位 円 上 に あ る か ら,

と お く こ と が で き る 。同 様 に,点Q(0,1)が

移 さ れ る 点Q'(b,d)も

か ら,

と お く こ と が で き る 。 そ し て,PQ=P'Q'=√2だ

と な る 。 こ れ を 整 理 す る と,

か ら,

単位 円 上 に あ る

が 得 られ,加 法 定 理 か ら

と な り,

(nは 整 数) が 得 られ る。 〓の と き,cosβ=-sinα,sinβ=cosα

だ か ら,

とな り,こ の 等 長 変 換 は 回転 移 動 で あ る。 の と き,cosβ=sinα,sinβ=-cosα

 ま た,〓

だ か ら,

とな り,こ の等 長 変 換 は対 称 移 動 で あ る。   した が っ て,等 長 一 次 変 換 は,回 転 移 動 と対 称 移 動 の2種 類 しか な い こ とが わ か る。

3.3  [1] 

ア フ ィ ン変 換

表向き合 同変換

(1)  任 意 の 点 を 中 心 と す る 回 転 移 動   任 意 の点 を中 心 とす る回 転 移 動 を考 え て み よ う。点A(x1,y1)を の 回転 に よ って 点P(x,y)が け 回転 したベ ク トル だ か ら,

点Q(x',y')に

中心 とす る角 θ

移 る もの とす る と,AQはAPを

θだ

の 関 係 が あ る 。 こ れ を,

と 書 き 換 え て み る と,こ

の 変 換 は,SHIFT(-x1,-y1),ROTATE(θ),SHIFT

(x1,y1)を 順 に 合 成 し た 写 像 と み る こ と が で き る こ と が 分 か る 。 す な わ ち,点A (x1,y1)を 中 心 と す る 角 θ の 回 転 は,SHIFT(-x1,-y1)*ROTATE(θ)*SHIFT (x1,y1)と 一 致 す る 。 次 の プ ロ グ ラ ム は,こ ス に よ っ て 点Aを

指 定 す る と,Houseを30°

の 事 実 を確 認 す る た め の も の で,マ 回 転 し て 描 く。

プ 口 グ ラ ム3.8

図3.12

ウ

(2)  回 転 移 動 と 平 行 移 動   回 転 移 動 と 平 行 移 動 の 順 序 は,通

常,交

換 可 能 で は な く,た

SHIFT(a,b)*ROTATE(α)とROTATE(α)*SHIFT(a,b)と 持 つ｡し

い て い の 場 合, は 異 な る効 果 を

か し,SHIFT(a,b)*ROTATE(α)をROTATE(α)*SHIFT(a',b')の

形 に 表 す こ とは 可能 で あ る。   SHIFT(a,b)*ROTATE(α)を(x,y)と(x',y')の

と な る が,こ

関 係 で 表 す と,

れ を

と 書 き換 え る こ とが で き る か ら,   SHIFT(a,b)*ROTATE(α)   =ROTATE(α)*SHIFT(acosα-bsinα,asinα

＋bcosα)

と い う関 係 が 得 ら れ る。   つ ま り,平 行 移 動 と 回 転 移 動 の 合 成 の 順 序 を 単 純 に 交 換 す る こ と は で き な い が, 平 行 移 動 と 回 転 移 動 の 合 成shift・rotateを

回 転 移 動 と 平 行 移 動 の 合 成rotate･

shiftで 表 現 す る こ と は 可 能 な の で あ る 。

問1 

上 記 の 事 実 を確 認 す る た め の プ ロ グ ラ ム を作 れ 。

(3)  表 向 き 合 同 変 換   平 行 移 動 と任 意 の 点 に 関 す る 回 転 移 動 と を 任 意 に 合 成 し て 得 ら れ る 変 換 を 表 向 き合 同 変 換 と い う 。   点A(x1,y1)を

中 心 とす る 角 θ の 回 転 が,

  SHIFT(-x1,-y1)*ROTATE(θ)*SHIFT(x1,y1) で 表 現 で き る こ と と,   SHIFT(a,b)*SHIFT(c,d)=SHIFT(a+c,b+d)   ROTATE(α)*ROTATE(β)=ROTATE(α+β)

  SHIFT(a,b)*ROTATE(α)   =ROTATE(α)*SHIFT(acosα-bsinα,asinα+bcosα) と い う 公 式 を 利 用 す れ ば,表

向 き合 同 変 換 は す べ て

  ROTATE(θ)*SHIFT(p,q) の 形 に整 理 す る こ とが で き る で あ ろ う。

問2 

点(1,2)を

中 心 と し て30°回 転 す る 表 向 き合 同 変 換 をROTATE(θ)*SHIFT(p,

q)の 形 に 表 せ 。

(4)  表 向 き 合 同 変 換 の 性 質   点A(x1,y1)を

中心 とす る角 θの 回 転

  SHIFT(-x1,-y1)*ROTATE(θ)*SHIFT(x1,y1) をROTATE(θ)*SHIFT(p,q)の

形 に 表 す と,

  ROTATE(θ)*SHIFT(x1-x1cosθ+y1sinθ,y1-x1sinθ-y1cosθ) と な る。

問3 

上 の 式 を利 用 して プ ロ グ ラ ム3.8を

書 き 換 え よ。

  逆 に,ROTATE(θ)*SHIFT(p,q)を   SHIFT(-x1,-y1)*ROTATE(θ)*SHIFT(x1,y1) の 形 に 直 す こ と が で き る だ ろ う か 。 こ れ は,

とい う連 立 一 次 方 程 式 の 問題 に 置 き換 え られ る。  p=q=0の

場 合 の 結 論 は 明 らか だ か ら,そ れ 以 外 の 場 合 を考 え よ う。す る と,解

が 存 在 す る条 件 は,

で あ る が,変

と な る。

形 す る と,

  まず,解 が 存 在 しな い場 合 に つ い て考 察 して お こ う。こ の場 合 に は,ROTATE (θ)が恒 等 写 像 に 一 致 す る か ら,ROTATE(θ)*SHIFT(p,q)が

平行 移 動 に な る

場 合 で あ る。   さ て,解 が 存 在 す る と き,そ れ は

で与 え ら れ る。   我 々 は,平 行 移 動 と回転 移 動 を任 意 に合 成 して得 られ る変 換 を表 向 き合 同 変 換 と呼 ん だ 。 こ こで 得 られ た結 論 は,表

向 き合 同変 換 は 平 行 移 動 と回 転 移 動 の積 に

な る とい うこ とで あ る。

[2] 

対称移 動

(1)  対 称 移 動   直 線y=ax+bに 線y=axに

関 す る対 称 移 動 は,y軸

方 向 に-bだ

関 す る対 称 移 動 を実 行 し,y軸 方 向 にbの

け 平行 移 動 し た後 に 直

平 行 移 動 を行 え ば実 現 で き

る。した が っ て,任 意 の 直 線 に 関 す る対 称 移 動 をshift,scale,rotateの

合成 で実現

す る こ とが で き る。   こ こで は,特 く。直 線x=aに

に,y軸

に 平 行 な直 線x=aに

関 す る対 称 移 動 に つ い て 調 べ て お

関 す る対称 移 動 を実 現 す る た め に は,ま ず,x軸

行 移 動SHIFT(-a,0)を

実 行 し,次 にy軸

行 い,最 後 に 平 行 移 動SHIFT(a,0)で

平

に 関 す る対 称 移 動SCALE(-1,1)を

戻 す と い う手 順 で行 えば よ い。した が って,

こ の 対 称 移 動 に よ っ て 点(x,y)が 点(x',y)に 移 る もの とす る と,

と な る。

方 向 に-aの

(2)  対 称 移 動 の 合 成   こ こ で は,直 線 に 関 す る対 称 移 動 の合 成 に つ い て考 察 す る。   た だ1つ の 共有 点(交

点)を

もつ2直

線 に関 す る対称 移 動 を続 け て行 っ た結 果

は,交 点 の まわ りの 回転 移 動 で あ る。 そ こ で,平 行 な2直 線 に 関す る対 称 移 動 を 続 け て行 う変 換 に つ い て考 察 しよ う。簡 単 の た め に,そ の2直 線 をy軸

とx=aと

す る。y軸 に 関 す る 対 称 移 動 に よ っ て 点(x,y)が 点(x',y')に 移 り,そ れ が 直 線 x=aに

関 す る対称 移 動 に よ って 点(x",y")に 移 る もの とす る と,

だ か ら,

とな る。 し たが っ て,こ

の変 換 は,x軸

方 向 に2aだ

け動 か す 平行 移 動 で あ る。

  以 上 の こ とか ら,対 称 移 動 を2回 続 け て行 う合 同変 換 は 平行 移 動 か 回 転 移 動 の い ず れ か に な る とい うこ とが い え る。

[3] 

ア フ ィ ン変 換

(1)  ア フ ィン 変 換   点P(x,y)が

の よ うにx,yの

移 され る先 をQ(x',y')と

す る と き,x',y'が

一 次 式 で 表 さ れ る と き,こ の変 換 をア フ ィ ン変換 とい う。ア フ ィ

ン変 換 に は,一 次 変 換 と平 行 移 動 が 含 ま れ,ア も再 び ア フ ィ ン変 換 に な る とい う性 質 が あ る。 (2)  行 列 に よ る 表 現   ア フ ィ ン変 換 は,行 列 を 用 い て

フ ィ ン変 換 とア フ ィ ン変 換 の 合 成

と書 くこ とが で き る。   ア フ ィ ン 変 換 が3×3行

列Aを

用 いて

と表 され る と き,こ の変 換 はAで 各 変 換 は,そ

表 され る とい う。 こ の表 し方 を用 い る と,次 の

の 右 に示 す行 列 で表 され る。

SHIFT(a,b)

SCALE(a,b)

ROTATE(θ)

問4 

SHEAR(θ)を

  行 列Aで

表 され るア フ ィ ン変 換 と,行 列Bで

換 は,積 の 行 列ABで (3)  行 列 式   2×2行 列

に 対 して

行 列 で表せ 。

表 さ れ る。

表 され る ア フ ィ ン変 換 の合 成 変

をAの

行 列 式 と い っ てdet(A),あ

  ま た,3×3行

る い は,￨A￨で

表す。

列

に 対 して

をAの

行 列 式 と い っ てdet(A),あ

  特 に,ア

る い は￨A￨で

表す。

フ ィ ン変 換 を表 す 行 列

に 対 し て,

で あ る 。 ま た,Tが

行 列Aで

る い は,det(T)と

も書 くこ と に す る 。 す る と,お

の 行 列 式 は,次

表 さ れ る ア フ ィ ン 変 換 で あ る と き,￨A￨を￨T￨,あ も な ア フ ィ ン 変 換 に つ い て,そ

の よ う に な る。

 ￨SHIFT(ａ,b)￨=1  ￨SCALE(a,b)￨=ab  ￨ROTATE(θ)￨=cosθcosθ-sinθ(-sinθ)     特 に,x軸 (-1,1)に

=1

に 関 す る 対 称 移 動SCALE(1,-1)やy軸 つ い て,

 ￨SCALE(1,-1)￨=￨SCALE(-1,1)￨=-1 で あ る。

に 関 す る 対 称 移 動SCALE

問5 ￨SHEAR(θ)￨を

  A,Bが

求め よ。

と も に2×2行

列 で あ る か ， と も に3×3行

列 で あ る と き,

の 関 係 が あ る。 これ は,ア フ ィ ン変 換 を合 成 す る と き,合 成 変 換 を表 す 行 列 の行 列 式 は,も

との変 換 を表 す 行 列 の 行 列 式 の積 に な る こ と を意 味 す る。

問6  A,Bが

ともにア フ ィン変換 を表 す3×3行 列 であ る とき,

 ￨AB￨=￨A￨￨B￨と

な るこ とを証明せ よ。

(4)  合 同 変 換   平 行 移 動,回 う。Aが

転 移 動,対 称 移 動 を任 意 に合 成 して 得 られ る変 換 を合 同 変 換 とい

合 同 変 換 を 表 す とき￨A￨=±1で

に は￨A￨=1で

あ る。 逆 に,Aが

あ り,Aが

表 向 き合 同変 換 を表 す と き

合 同 変 換 を表 す と き￨A￨=1で

あ れ ば,Aが

表

す 合 同 変 換 は 表 向 きで あ る。 表 向 き合 同変 換 で な い合 同 変 換 を裏 向 き合 同 変 換 と い う。 裏 向 き合 同変 換 は,直 線 に 関 す る対 称 移 動 と平 行 移 動 の 合 成 の 形 に 表 す こ とが で き る。

[4] 

BASICに

(1)  BASICに   BASICで

よ る ア フ ィ ン変 換 よ る ア フ ィ ン変 換

は,ア

フ ィ ン変 換 は,3次

元 へ の 拡 張 を考 慮 して4×4行

の よ う に 定 義 さ れ て い る も の と考 え て い る 。4×4行  

列 に よって

列 は,

DIMA(4,4)

の よ う に 宣 言 さ れ た 配 列 で 表 現 さ れ る 。 そ し て,そ

れ を そ の ま ま 変 換 を 表 す もの

と して,DRAW文  例 えば,前

のWITH句

に指 定 す る こ とが で き る。

節 で学 ん だ対 称 移 動 は,

と表 す こ とが で き るか ら,次 の プ ロ グ ラム で対 称 移 動 を実 現 す るこ とが で き る。 なお,行

列 演 算 を行 うた め にMAT文

り,行 列 の代 入 や 加 減 算,積,逆 行 列 を意 味 す る英 語matrixの

を使 用 す る。MAT文

を使 用 す る こ と に よ

行 列 の 計 算 な どが簡 単 に で き る。"MAT"は, 最 初 の3文 字 を と っ た もの で あ る。 プ 口 グ ラ ム3.9

図3.13

3.4  敷 き詰め模様 [1] 

敷き詰 め模 様

(1)  十 字 つ な ぎ   図3.15は

「十 字 つ な ぎ」と呼 ば れ る刺 し子 の 図案 で あ る。 こ の 図 形

は,図3.14に

示 す 十 字 形 を規 則正 し く並 べ た もの で あ る。平 行 移 動 や

回転 移 動 な ど,図 形 の 変 換 を利 用 して 上 手 に描 く方 法 を工 夫 して み よ

図3.14

う。   コ ン ピ ュ ー タ の プ ロ グ ラ ム で 繰 り返 し の 図 形 を 描 く場 合 に は,x,yに for∼nextの2重

関す る

ル ー プ に す る と描 き や す い 。 十 字 を 作 る 各 辺 の 長 さ を1と

縦,お

よ び 横 の 周 期 を 調 べ て み る と,縦,横

で,ま

ず,そ

と も に5が

して

周 期 に な っ て い る。 そ こ

の 繰 り返 し の 単 位 を 描 く絵 定 義 を 作 り,次

い で,そ

れ を平 行 移 動 し

て描 い て み よ う。   こ の 方 針 に 基 づ く と き,基 本 に な る パ タ ー ン は,図3.16に れ は,十

字 形 を4個,平

示 す 図 形 で あ る。 こ

行 移 動 し て 描 け ば 作 れ る。 そ れ を 縦,横

描 け ば よ い 。 こ の 考 え 方 で 作 成 し た プ ロ グ ラ ム を プ ロ グ ラ ム3.10に

に 平 行 移 動 して 示す。

  図3.15は,こ

の プ ロ グ ラム で描 い た もの で あ る。

図3.16

図3.15

プ 口グ ラ ム3.10

  と こ ろ で,図3.16を

見 る と,こ

の 図 形 を 少 し傾 け て や れ ば,十

字1つ

に 平 行 移 動 す る だ け で も 作 図 可 能 な こ と が わ か る 。 そ の 角 度 は,BASICの 数 を 用 い て 表 現 す れ ば,ANGLE(2,1)で プ ロ グ ラ ム3.11に,こ

を縦,横 組込 関

あ る。 この 考 え で作 成 した プ ロ グ ラ ム を

の プ ロ グ ラ ム で 描 い た 図 を 図3.17に プ 口 グ ラ ム3.11

図3.17

示す。

[2]  紗 綾 形(さ   図3.18は,「

や が た)

紗 綾 形 」 と呼 ば れ る刺 し子 の 図 案 で あ る。 こ の 図案 の 描 き方 を工

夫 してみ よ う。図3.19は,45° 傾 け て座 標 軸 と と もに 描 い た もの で あ る。こ の 図形 を描 くこ と を 目標 に 考 察 を進 め て い こ う。

図3.18

  図3.19は,図3.20に た,図(b)は

図(a)を90°

図3.19

示 す2つ

重 ね合 わせ た もの で あ る。 ま

回 転 させ た も の で あ る か ら,図(a)を

れ ば よ い 。 図(a)は,図3.21の   図3.21の

の 図 形(a),(b)を

折 れ 線 は,図3.22に

描 くこ と を 目標 に す

折 れ 線 を平行 移 動 して 描 くこ とが で き る。 対 称 移 動 と平 行 移 動 を 組 み 合 わ せ れ ば 構 成 で き

る 。こ こ で 用 い る 変 換SCALE(1,-1)*SHIFT(5,0)は,対 平 行 な 平 行 移 動 と を合 成 し た 変 換 で,す

称 移 動 とそ の 対 称 軸 に

べ り対 称 移 動 と 呼 ば れ る 。

(a)

(b) 図3.20

図3.21

 図3.18を

図3.22

描 く の に 用 い た プ ロ グ ラ ム を プ ロ グ ラ ム3.12に プ 口 グ ラ ム3.12

示 す。

問7 

図3.23は,「

麻 の 葉 」 と呼 ば れ る図 案 で あ る。 ま た,図3.24は,「

呼 ば れ る図 案 を縦 方 向 に 少 し拡 大 し て,そ 角 形,正

れ を構 成 す る三 角 形,六

結 び亀 甲」 と

角形 が それ ぞれ正 三

六 角 形 に な る よ う に 修 正 し た もの で あ る。 こ れ らの 図 案 を,対 称 性 を利 用 して

描 くプ ロ グ ラム を作 れ 。

図3.23

図3.24

問8 

プ ロ グ ラ ム3.12を

図3.25を は,ど

少 し変 更 す る と,

描 くプ ロ グ ラ ム が得 られ る 。 そ れ

こ を どの よ う に 変 更 し た もの か 。

図3.25

3.5  自己相 似図形   一 部 分 を取 り出 して拡 大 す る と,自 分 自身 と合 同 に な る図 形 を 自 己相 似 図 形, あ るい は 自己 相 似 形 とい う。 自 己相 似 形 と して 有 名 な 図 形 に,コ

ッ ホ 曲線,シ

ル

ピ ン ス キー の ガ ス ケ ッ ト等 が あ る。 こ れ ら の 図 形 の 描 き方 に つ いて 考 察 し よ う。 [1] 

コ ッホ 曲 線

(1)  折 れ 線 の 極 限 と して の コ ッ ホ 曲 線   図3.26に と,図3.27に

示 す4線 分 の お の お の を,全 体 を1/3倍

に縮 小 した もの で 置 き換 え る

示 す 曲 線 が 得 られ る。 この 操 作 を繰 り返 す と,図3.28,図3.29が

得 られ る。 こ れ を無 限 に繰 り返 し た極 限 を コ ッホ 曲 線 と い う。 い い か え る と,コ ッホ 曲線 は,自 分 自 身 を1/3倍

に 縮 小 した も の を図3.26の4線

分 の位 置 に 持 つ 曲

線 で あ る。   コ ッ ホ 曲 線 を描 くプ ロ グ ラ ム は,そ の 構 成 要 素 が 自分 自身 を縮 小 した もの に な っ て い る とい う再 帰 的 な関 係 を そ の ま まプ ロ グ ラム に した も の に な る。図3.26の 各 線 分 の 長 さ を1と

し,左 端 を原 点 に,右 端 を点(3,0)と す る座 標 系 で考 え よ う。

す る と,例 え ば,原 点 と点(1,0)と を結 ぶ 線 分 に 置 き代 わ る構 成 要素 は,コ ッ ホ 曲

線 を1/3倍

図3.26

図3.27

図3.28

図3.29

に 縮 小 し た も の で あ り,点(1,0)を

わ る 構 成 要 素 は,コ てx軸

方 向 に1だ

  実 際 に,コ

ッ ホ 曲 線 を 原 点 を 中 心 と し て1/3倍

に 縮 小 し た 後,60° 回 転 し

け 平 行 移 動 した もの で あ る。

ッ ホ 曲 線 を 描 く プ ロ グ ラ ム を プ ロ グ ラ ム3.13に

描 き 方 を 述 べ て い る の は,110行 は,実

左 端 の 点 と す る 斜 め の 線 分 に 置 き代

か ら200行

示 す 。コ ッ ホ 曲 線 の

ま で の 絵 定 義koch(n)で

あ る 。引 数n

際 の コ ン ピ ュ ー タ で は 無 限 に 再 帰 を 実 行 す る こ と は で き な い た め に,適

な 回 数 で 止 め る た め の も の で あ る 。 こ の プ ロ グ ラ ム で は,再 nの 値 を1ず

つ 減 じ,nの

て い る 。 実 際 にn=0の

値 が0に

な っ た ら そ れ 以 上,再

と き に 実 行 さ れ る の は,原

く こ と で あ る。 プ ロ グ ラ ム の 実 行 時 に は,こ 実 行 さ れ る 。 な お,図3.26以 そ れ ぞ れ,n=1,2,3,4を

帰 を実 行 す る た び に

帰 を実 行 し な い よ うに し

点 と 点(3,0)と

の 動 作 が 縮 小,回

降 の 図3.27,図3.28,図3.29の 入 力 し て実 行 して 得 た もの で あ る。 プ 口 グ ラ ム3.13

当

を結 ぶ 線分 を描

転 平 行 移 動 され て つ ご う4枚

の 図 は,

(2)  相 似 変 換 を用 い た コ ッホ 曲線 の 定 義   コ ッ ホ 曲 線 を相 似 変 換 の 観 点 か ら定 義 し直 す こ とが で き る。  図3.30に 辺BCの

お い て,三

長 さ が1,高

角 形ABCは,底 さ が〓

三 角 形 で あ る。頂 点Bを BCを

辺BAに

の二等 辺

固 定 点 と して 辺

移 し,三 角 形ABCを

その

内部 に 移 す 相 似 変 換 を ψ1,頂点Cを 点 と し て 辺BCを

辺CAに

し た と き,K=ψ1(K)∪   点Bを

図3.30

固定

移 し,三 角 形ABCを ψ2(K)と

な る 図 形Kが

そ の 内 部 に 移 す 相 似 変 換 を ψ2と コ ッ ホ曲 線 で あ る。

原 点 に と っ て,こ の 定 義 通 り に 図 形 を 描 くプ ロ グ ラ ム を プ ロ グ ラ ム3.14

に示 す 。   180行

と190行

で 値 を 与 え て い る 変 数a,bは,点Aの

ψ2 の 拡 大 率 γ を200行 が140行

で,回

転 角 の 大 き さtを210行

座 標 で あ る 。相 似 変 換ψ1, で 求 め て い る 。相 似 変 換 ψ1

に あ る   SCALE(r)*SCALE(1,-1)*ROTATE(t)

で あ り,相

似 変 換ψ2が150行

にあ る

  SHIFT(-1,0)*SCALE(r)*SCALE(1,-1)*ROTATE(-t)*SHIFT(1,0) で あ る 。150行

に 用 い ら れ た 記 号&

収 ま ら な い 関 係 で,こ

&は

の 記 法 を 用 い た(実

行 継 続 を 表 す 。 印 刷 の 都 合 上,1行

に

際 に プ ロ グ ラ ム を コ ン ピュ ー タ に 入 力

す る と き に は,&   絵 定 義p(S)の

&を 引数sは

省 い て,1行

と な る よ う に し た ほ うが よ い で あ ろ う)。

図 形 の 大 き さ を 意 味 す る。sが

限 度 を 超 え て 小 さ く な っ た と き に,そ と き 指 定 す る座 標(120行 例 え ば,0,0を

こ に 何 か あ る も の と し て1点

で 指 定 す る座 標)は,図

指 定 し て も,実 際 上,誤

後 の 値 に 変 更 し,120行   PLOT

形 内 の 点 で あ れ ば よ く,こ

に あ る 定 数1/1000で

を

LINES:0,0;1,0

に 書 き換 え る と,折

を 描 く。 そ の こ に,

差 を 生 じ る こ と に は な ら な い 。 ま た,解

度 の 限 界 を 指 定 す る た め の 定 数 は,110行 1/10前

デ ィ ス プ レイ の 解 像 度 の

れ線 近 似 が 描 け る。 プ 口 グ ラ ム3.14

像

あ る。 この 定 数 を

図3.31

[2] 

シル ピンスキ ーのガ スケ ッ ト

  シ ル ピ ン ス キ ー の ガ ス ケ ッ トも 自 己 相 似 形 の例 と して よ く知 ら れ た 図 形 で あ る。 こ の 図 形 は,正 三 角 形 の 各 頂 点 を中心 とす る相 似 比1/2の ψ3 とす る と き,K=ψ1(K)Ｕ ロ グ ラ ム3.15は,正

ψ2(K)Ｕ ψ3(K)と な る図 形Kと

相 似 変 換 を ψ1,ψ2, して定 義 され る。プ

三 角 形 の 左 下 端 の 点 が 原 点 で あ る もの と して 作 成 され て い

る。 プ 口 グ ラム3.15

図3.32

第4章  複素数   こ の 章 で は,平 面 上 の 図 形 の 変 換 を複 素 数 平 面 上 の 変 換 と い う視 点 か ら 見 直 し を 図 る。 ま た,複 素 数 平 面 に 特 有 の 変 換 に つ い て も考 察 す る。

4.1  複素数 平面上の変換 [1] 

相 似 変 換

(1)  複 素 数 平 面   複 素 数 α=a＋bi(a,bは P(α),あ

実 数)に

対 し て,点P(a,b)を

る い は 単 に α で 表 す 。 ま た,平

w =f(z)の

よ う に 表 す 。 そ し て,平

面 上 の 点P(z)を

α が表 す点 とい って 点Q(w)に

移 す写像 を

面 上 の 点 を複 素 数 と 同 一 視 す る と き,平

面 を

複 素 数平 面 と呼 ぶ 。 (2)  写 像w=αz   複 素 数 α を 用 い てw=αzで

与 え ら れ る 写 像 を 考 え よ う。た だ し,α ≠0と

α の 絶 対 値 を γ,偏 角 を θ と す る と,こ

の 写 像 は 点zを,原

に 拡 大 し,さ

ら に,原

  反 対 に,原

点 を 中 心 と し て γ 倍 に 拡 大 し,さ

す る。

点 を 中 心 と し て γ倍

点 を 中心 と して θだ け 回転 し た点 に移 す 写 像 で あ る。

転 し た 点 に 移 す 写 像 は,α=γ(cosθ+isinθ)と

ら に,原

点 を 中 心 と し て θだ け 回

お く と,w=αzで

与 え られ る。

この 写 像 を拡 大 回転 と呼 ぶ こ とに す る。

〔例 題1〕

第3章

で 定 義 し た 絵Houseをw=αzで

作 れ 。 た だ し,複 素 数 α の 入 力 は,α=a+biと 〔解 〕

α の 絶 対 値 は￨α￨=√a2+b2で

組 込 関 数 を 用 い てANGLE(a,b)で

な る2数a,bで

求 め ら れ る 。 ま た,α 求 め られ る。 プ 口 グ ラ ム4.1

図4.1

変 換 し て 描 くプ ロ グ ラ ム を 行 う もの とす る。 の 偏 角 は,BASICの

(3)  表 向 き相 似 変 換   複 素 数 平 面 上 で,写 像w=z+β と平 行 移 動w=z+β

は 平行 移 動 を表 す 。α≠0の と き,写 像w=αz

の 合 成 写 像w=αz+β

  表 向 き相 似 変 換 は,も

を表 向 き相 似 変 換 とい う。

し,そ れ が 平 行 移 動 で な い な らば,平 面 上 の あ る点 を中

心 とす る拡 大 回転 で 表 現 で き る。 そ れ は,

の 形 に 変 形 す る の に,

と定 め れ ば よ い か ら で あ る。 こ の 点z0を,こ

問1 

4数a,b,c,dを

の 相 似 変 換 の 中 心 とい う。

入 力 す る と,第3章

で 定 義 し た 絵Houseを

写 像w=αz+β

で

変 換 して 描 き,さ ら に,相 似 変 換 の 中心 を* で 表 示 す る プ ロ グ ラ ム を作 れ。 た だ し,α= a+bi,β=c+diと

す る。

図4.2

(4)  写 像w=αz  複 素数z=x+yi(x,yは

実 数)に 対 し,x-yiをzで

い う。 した が っ て,複 素 数 平 面 上 でzはx軸

表 してzの 共 役 複 素 数 と

に つ い てzと 対 称 な 点 で あ る。

 α を絶 対 値 が γで 偏 角 が θの 複 素 数 とす る と き,写 像w=αzは,x軸

に関す

る対 称 移 動,原 点 を 中 心 とす る角 θの 回 転 と γ倍 の 拡 大 ・縮 小 の合 成 で 与 え られ る。 〔 例 題2〕

直 線y=xtanθ

に 関 す る対 称 移 動 を複 素 数 の変 換 の 形 に表 せ 。

〔解 〕 こ の 写像 は,原 点 の ま わ りの-θ の 回転,x軸

に 関 す る対 称 移 動,原 点 の ま

わ りの θの 回 転 の合 成 で あ る。 し たが っ て,

問2  角 θを入 力す る と,絵Houseを

直 線y=xtanθ

に関 し対称 に移 動 して 描 くプ ロ

グラム を作 れ。

  〔 例 題2〕 の 結 果 か ら,α が 絶 対 値 が γで偏 角 が θの 複 素 数 で あ る と き,写 像 w =αzは ,直 線y=xtanθ/2に 関 す る対 称 移 動 と原 点 を 中心 とす る γ倍 の拡 大 の 合 成 変 換 だ とい う こ とが わか る。 この 写 像 を拡 大 対 称 と呼 ぶ こ とに す る。 (5)  裏 向 き 相 似 変 換   点z0を

中心 とす る拡 大 対 称 を表 す 方程 式 を求 め て み る と,

と な る。   一 般 に,α ≠0で あ る と き,写 像w=αz+β

を裏 向 き相 似 変 換 とい う。裏 向 き

相 似 変 換 が 拡 大 対 称 の 形 に表 せ る条 件 を調 べ て お こ う。   初 め に 書 い た 計 算 結 果 を利 用 す る と,

と な るz0が

定 ま れ ば よ い こ とが わ か る 。 両 辺 の 共 役 を と り,α

  これ らの2式

の 和 を作 る と,z0が

  し た が っ て,￨α￨≠1で

と な っ てz0が

定 ま る。

あ れ ば,つ

を乗 ず る と,

消 去 さ れ て,

ま り,こ

の 写 像 が 合 同 変 換 で な い な らば,

問3 

4数a,b,c,dを

Houseを

入 力 す る と,絵

写 像w=αz+β

さ ら に,￨α￨≠1で

で 変 換 して 描 き,

あ れ ば,拡

大 対称 の 中心

と軸 を表 示 す るプ ロ グ ラム を作 れ 。 た だ し, α=a+bi,β=ｃ+diと

す る。

図4.3

(6)  裏 向 き 合 同 変 換   裏 向 き相 似 変 換w=αz+β

で￨α￨=

1の 場 合 を調 べ て み よう。 写 像w=αz +β は 対 称 移 動 と回転 移 動,平 行 移 動 を 合 成 した変 換 で あ り,合 同 変 換 で あ る。   α=1,β=3の

と き,Houseは

図4.4の

よ うに変 換 され る。 こ れ は 対 称 移 動 と, 対 称 軸 に 平行 な方 向へ の 平 行 移 動 を合 成 した もの で,す べ り対 称 移 動 と呼 ば れ る 変 換 の例 で あ る。   こ こで,す べ り対 称 移 動 の全 体 像 を調

図4.4

べ て み よ う。   まず,実 軸 に平 行 な 軸 を もつ す べ り対 称 移 動 を表 す 方 程 式 を求 め て み よ う。 直 線y=kに は,y軸

つ いて 対 称 移 動 し,次 い で,x軸 の 負 の 向 き にkだ

の正 の 向 きにeだ け 平 行 移 動 す る写像

け平 行 移 動 して か らx軸

の 向 きの 平 行 移 動 を行 い,最 後 にy軸 ら,そ れ を複 素 数 で 表 せ ば

に関 す る対 称 移 動 とx軸 の 正

の正 の 向 きにkだ

け 平 行 移 動 す れ ば よ いか

と な る 。 し た が っ て,写 β=c+diと

す れ ば,直

像w=z+β

は,

線y=d/2を

軸

と す る す べ り対 称 移 動 で あ る 。   さ ら に,直

線y=kを

原 点 の ま わ りに

φ 回 転 し た 直 線ycosφ-xsinφ=kを 軸 と す る す べ り対 称 移 動 は,γ=cosφ+ isinφ

と お く と,原 点 の ま わ り の-φ

回 転w=γz,す e +2ki,原 yzの

の

べ り対 称 移 動w=z+ 点 の ま わ り の φ の 回 転w=

合 成 で あ る か ら,そ

図4.5

の 方程 式 は

とな る。   こ の こ とか ら,￨α￨=1の

と き,写 像w=αz+β

も す べ り対 称 移 動 と し て 表 せ

る こ と が わ か る 。 そ の 軸 の 方 程 式 は,

か ら求 め ら れ る 。 α の 偏 角 を θ とす る と,

で あ り,kは

で あ る か ら,

とな る。

β/γ の 虚 数 部 分 を2で

割 っ て 求 め れ ば よ い 。 β=c+diと

す る と,

問4 ￨α￨=1の w =αz+β

と き,絵Houseを

写 像

で変換 して描 き ,さ ら に,す べ り

対 称 の 軸 を 描 くプ ロ グ ラ ム を作 れ 。 た だ し, αは 偏 角 で 入 力 す る もの とす る 。

図4.6

[2] 

自 己相 似 図 形

(1)  ドラ ゴ ン 集 合   図4.7に は,図4.7の

示 す 図 形 は,自 己相 似 図 形 の 典 型 例 と し て知 られ る もの で あ る。図4.8 ドラ ゴン を45°回転 した 後,〓

倍 に縮 小 し た もの を平 行移動 して並

べ て描 い た もの で あ る。   ドラ ゴ ン集 合 は,2つ

の 相 似 縮 小 写像

に 対 して,f1(K)∪f2(K)=Kと す る45°の 回 転 と〓 点(1,0)を

な る 自己相 似 図形Kで

倍 の 縮 小 と を 合 成 し た 表 向 き相 似 変 換 で あ り,f2は

中 心 とす る45°の 回 転 と〓

で あ る。 縮 小 倍 率 の〓 必 要 な 条 件 で あ る。

あ る。f1は,原 点 を中 心 と

倍 の 縮 小 と を合 成 した 表 向 き相 似 変 換

と い うの は2個 並 べ て 元 の 図 形 と相 似 に な る た め に は

図4.7

図4.8

プ 口グ ラ ム4.2

(2)  自 己相 似 図 形 の い ろ い ろ   プ ロ グ ラ ム4.2で

用 い る相 似 縮 小 写像 を別 の もの に 変 え る と,異 な っ た 図 形 が

得 られ る。 そ の よ うに して得 ら れ る 自 己相 似 図形 の例 を い くつ か 示 す 。

 図4.9は,

に 関 す る 自 己相 似 集 合 で,か に が 連 な っ た よ う に見 え る こ とで有 名 な 自 己相 似 図 形 で あ る。

図4.9

 図4.10は,

に 関 す る 自 己 相 似 集 合 で,Levy曲

線 と い う。

図4.10

 図4．11は,

に 関 す る 自 己相 似 集 合 で あ る。

図4.11

 図4.12は,

に 関 す る 自 己相 似 集 合 で あ る。

図4.12

問5 

α=γ1(cosθ1+isinθ1),β=γ2(cosθ2+isinθ2)と

に よ っ て定 ま る 自 己相 似 図 形 を描 くプ ロ グ ラ ム を作 れ 。

す る と き,

4.2  複素数 平面上のその他の変換 [1] 

写 像w=z2

  写 像w=z2は

絶 対 値 を2乗

をこ の 写 像 で 変 換 し,得

られ る図 形 に つ い て考 察 して み よ う。

(1)  複 素 数 平 面 上 で 点1を   点(1,0)を

し,偏 角 を2倍 に す る変 換 で あ る。い ろい ろ な図 形

中 心 とす る 半径1の

中 心 とす る半 径1の

円の像

円 は,媒 介 変数tを

用 いて

と表 す こ とが で き るか ら,こ れ を極 座 標 で 表 した と きの 動 径 を2乗

し,偏 角 を2

倍 に し た 点 を求 め る こ とは容 易 で あ る。 実 際 に プ ロ グ ラム を書 い た もの を プ ロ グ ラム4.3に

示 す 。 ま た,実 行 結 果 を図4.13に プ 口 グ ラム4.3

示 す。

図4.13

  こ の 図 形 は カ ー ジ オ イ ドの よ う に 見 え る 。 実 際,こ

れ が カ ー ジ オ イ ドで あ る こ

と を 証 明 す る の は む ず か し く な い 。円 周 上 の 点(γ0,θ0)が 点(γ,θ)に 移 る と す る と,

で あ る 。 一 方,

と 表 す こ と が で き る 。x=γ0cosθ0,y=γ0sinθ0で

で あ り,ま

た,

と 変 形 で き る こ とか ら,

あ る か ら,

と み な す こ とが で き る 。   よ っ て,t=2θ0=θ

と な り,

す な わ ち,

が 結 論 で き る。 (2)  点1を 通 る 直 線 を変 換 す る   写 像w=z2で

複 素 数 平 面 上 の 点1を 通 る直 線 を変 換 して み よ う。す な わ ち,座

標 平 面 上 の 点(1,0)を

通 り,x軸

とな す角 が α の 直 線 はtを 媒 介 変 数 に用 い て

と 表 す こ と が で き る 。次 の プ ロ グ ラ ム は,α

を 入 力 す る と,上 述 の 直 線 を 写 像w=

z2で 変 換 し て 描 くプ ロ グ ラ ム で あ る 。 α は 度 を 単 位 と し て 入 力 す る 。   図4.14に,い

くつ か の α に 対 す る実 行 結 果 を 示 す 。い ず れ も,与 え ら れ た 直 線

に 接 す る 放 物 線 に な っ て い る(し

か し,α=0の プ 口 グ ラ ム4.4

場 合 は 例 外 で あ る)。

(a)  α=30゜

(b)  α=60゜ 図4.14

問6 

aを 実 数 とす る と き,実 軸 上 の 点aを

い て 考 察 し な さい 。

通 る 直 線 を写 像w=z2で

変 換 した 結 果 に つ

[2] 

w2=zで

定 ま る 点

(1)  円 を 変 換 す る   点zが

複 素 数 平 面 上 の 点1を

な る 点wの   z,wの

中 心 と す る 半 径1の

円 の 周 を 動 く と き,w2=zと

軌 跡 を 描 い て み よ う。 絶 対 値,偏

角 を そ れ ぞ れ,γ0,γ,θ0,θ で 表 し,

と す る と,

よ り,

(nは 整 数) と な る 。2π の 整 数 倍 の 相 違 を 無 視 し て θ の 値 が2通 zの 値 に 対 し て 対 応 す るwの

値 が2個

  以 上 の 考 察 か ら プ ロ グ ラ ム4.5が

あ る こ とに 注 意 す る。

得 ら れ る 。実 行 結 果 を 図4.15に

線 を レ ム ニ ス ケ ー ト(lemniscate),あ 点 と,そ

りに 定 ま る こ と か ら,1つの

示 す 。この 曲

る い は 連 珠 形 と い う。こ の プ ロ グ ラ ム は 元 の

れ に 対 応 す る 点 と を 同 時 に 描 く よ う に し て い る か ら,ど

の 点 と どの 点 が

対 応 す る か が 見 ら れ る 。 し か し,最

新 の ハ ー ドウ ェ ア を 用 い る と 速 す ぎ て 一 瞬 の

う ち に 実 行 を終 え て し ま う の で,そ

の 場 合 に は,FOR文

さ く変 更 し て 実 行 し て み る と よ い 。 プ 口グ ラ ム4.5

の 制 御 変数tの

増 分 を小

図4.15

(2)  直 線 を 変 換 す る   今 度 は,直

線 を変 換 して み よ う。 手 始 め と して,実 軸 に 垂 直 な 直 線 を変 換 して

み よ う。 プ ロ グ ラム4.6は,実

数aを 入 力 す る と,点zが

通 っ て 実 軸 に 垂 直 な直 線 上 を動 くと き,w2=zと プ 口 グ ラ ム4.6

複 素 数 平 面 上 の 点aを

な る点wの

軌 跡 を描 く。

  図4.16にa=1の

と きの 実 行 結 果 を

示す。

図4.16

問7 

点zが

で あ る 点wの

複 素 数 平 面 上 の 点1を

通 り実 軸 と な す 角 が α の 直 線 上 を 動 く と き,w2=z

軌 跡 を 描 くプ ロ グ ラ ム を作 り,実 行 結 果 を考 察 せ よ。

[3]  写 像w=1/z   写像w=1/zは,絶

対 値1/￨z￨で

偏 角 が-argzに

等 し い点 を対 応 させ る写 像

で あ る。 こ の 写 像 の 性 質 を調 べ て み よ う。(1 )  直 線 の 像   手 始 め に,直 線x=aを 結 果 を図4.17に

変 換 して み よ う。プ ロ グ ラム を プ ロ グ ラ ム4.7に,実

行

示 す。

  実行 結 果 か ら わか る よ う に,写 像w=1/zは 円 に移 す 。写 像w=1/zに

原 点 を通 ら な い 直 線 を原 点 を通 る

は逆 写像 が そ れ 自身 と一 致 す る と い う性 質 が あ るか ら,

原 点 を通 る 円 は 原 点 を 通 ら な い 直線 に移 され る。 プ 口 グ ラ ム4.7

図4.17

問8 

写 像w=1/zに

よ っ て 原 点 を通 る直 線 は,ど の よ う な 図 形 に 移 さ れ る か 。ま た,原

点 を通 ら な い 円 は ど の よ うな 図 形 に移 さ れ る か 。 プ ロ グ ラ ム を作 っ て 調 べ よ。

(2)  複 素 数 平 面 上 の 点1を

通る直線 の像

  プ ロ グ ラ ム4.7でa=1と と,点1で

し て み る

直 線 と 円 が 接 し て い る こ とが

わ か る(点1は

写 像w=1/zの

あ る)。 一 般 に,点1を =1/zに

不 動点 で

通 る 直 線 は 写像w

よ っ て 点1で

元 の直線 に接 す

る 円 に 変 換 され る。 こ の様 子 を確 か め る た め に,プ

ロ グ ラ ム4.7を

次 の よ うに変

更 し て 実 行 し て み よ う。   95

OPTION

ANGLE

DEGREES 図4.18

  100 INPUT

alfa

  160 LET

x=1+t*cos(alfa)

  170 LET

y=t*sin(alfa)

  実 行 例 を 図4.18に

示す。

(3)  等 角 写 像   写 像w=1/zに

は,直 交2直 線 の像 が 交 点 で直 交 す る と い う性 質 が あ る。そ の様

子 をプ ロ グ ラ ム を作 って 観 察 して み よ う。 そ こ で,変 換 して 描 く部 分 を副 プ ログ ラ ム に変 更 し,プ

ロ グ ラ ム の 大 筋 の論 理 的 な構 成 が2直

線 を描 くプ ロ グ ラ ム で あ

る よ うに修 正 して み よ う。 得 られ たプ ロ グ ラム をプ ロ グ ラ ム4.8に,ま 結 果 の一 例 を図4.19に

示す。 プ 口 グ ラ ム4.8

た,実 行

図4.19

[4]  反 転w=1/   点Oを

z

中心 とす る半 径kの

上 の 点 でOP・OQ=k2と

円 が あ る と き,平 面 上 の 点Pに

な る点Qを

とい う。 この と き,点Oを

対 して 半 直 線OP

対 応 させ る写 像 を,こ の 円 に 関 す る反 転 変 換

反 転 の 中 心 とい う。 反 転 変 換 で は,円 周 上 の 点 は不 動

点 で あ り,円 の 内側 と外 側 が 入 れ替 わ る。 点Oは,こ い。 反 転 変 換 は,円 周 上 の 一 点 を定 め,そ

の 写 像 の定 義 域 に含 ま れ な

の周 囲 で の 挙 動 に 注 目す る と,直 線 に

関 す る対 称 移 動 とよ く似 て い る。   単 位 円 に 関 す る反 転 を,複 素 数 平 面 上 の 変 換 とみ なす と,w=1/zで が で き る。 写像w=1/zは,写 の だ か ら,写 像w=1/zと   写 像w=1/zは,極

像w=1/zと

表す こ と

実 軸 に 関 す る対 称 移 動 を合 成 した も

共 通 す る性 質 が 多 い。 座 標 を用 い て述 べ れ ば,偏 角 は 変 えず に動 径γ を1/γ に 変

え る 写 像 で あ る か ら,プ

ロ グ ラ ミ ン グ は 容 易 で あ る 。 こ こ で は,マ

入 力 す る と,は じ め の 点 を 中 心 と し て,2つ 1/zに

ウ ス で2点

目 に 指 示 さ れ た 点 を 通 る 円 を 写 像w=

よ っ て 変 換 し て 描 くプ ロ グ ラ ム を 作 っ て み よ う。 プ 口 グ ラ ム4.9

を

図4.20

問9 

写 像w=1/zに

よ っ て 直 線 が ど ん な 図 形 に 移 さ れ る か,調

べ る プ ロ グ ラ ム を作

れ。

[5]  写 像w=z+1/z   写 像w=z+1/zで ム4.10参 に,γ

照)。 γ=2の

≠1の

原 点 を 中 心 と す る 半 径 γ の 円 を 変 換 し て み よ う(プ と き の 実 行 結 果 を 図4.21に

と きの 変 換 結 果 は楕 円 で あ る。 プ 口 グ ラ ム4.10

ログ ラ

示 す 。こ の 結 果 か ら わ か る よ う

図4.21

第5章  カオス   こ の 章 で は,反

復 写 像 の 性 質 を調 べ る こ と を通 し て,カ

オ ス と フ ラ ク タル の 世 界 を探

訪 す る。

5.1 

反 復 写 像

[1] 

漸 化 式xn+1=f(xn)に

よって定義 される数 列

(1)  数 列 の 図 示   関数fを f(x)=x+bで は公 比aの

用 い て 漸 化 式xn+1=ｆ(xn)に あ れ ば{xn}は

公 差bの

よ って 定 義 され る数 列{xn}を 等差 数 列 で あ り,ｆ(x)=axで

等 比 数 列 で あ る。 ま た,ニ ュ ー トン法 に よ っ てaの

め に 用 い られ る漸 化 式xn+1=(xn2+a)/2xnも

あ れ ば{xn}

近 似 値 を求 め るた

この 形 で あ る。

  ｆ が 連 続 関 数 で あ る場 合 に 限 定 す る と,漸 化 式xn+1=f(xn)で {xn}は,収

考 え よ う。

束 す る とす れ ば,そ の 極 限値 は 方 程 式f(x)=xの

実 際 に は,収 束 す る とは 限 らな い。 これ らの 数 列 の 収 束,発

定 義 され る数 列 解 に な る。 しか し,

散の様子 をコンピュ

ー タの 画 面 上 に 図 示 す る手 法 を研 究 し よ う。  y=f(x)の

グ ラ フ が 与 え られ て い る と き,次 の よ う に して{xn}の 初 期 値x0か

x1,x2,x3,… を順 に 作 図 す る こ とが で き る。まず,x1は,直

線x=x0とy=f(x)の

ら 交

点 のy座

標 と し て 得 ら れ る 。同 様 の 手 順 でx1か

値 と し て 実 現 し た い 。 そ れ は,直線y=x1と は じめ と 同 じ手 順 でx1か

らx2を

らx2を

直線y=xと

得 る た め に,x1をx座 の 交 点 のx座

標 の

標 と し て,

求 め る こ とが で き る 。以 下,同 様 に 繰 り返 し て い

けば よい。   コ ン ピ ュ ー タ を 用 い て 計 算 す る場 合 に,上 は な い が,上

に述 べ た手 順 に従 っ て 作 図 す る必 要

の 手 順 に 従 っ て 描 い た 図 形 は,人

し て 見 る の に 便 利 で あ る。 そ れ に は,次

間 が 数 列 の 値 の 変 化 の 様 子 を追 跡

の よ う な プ ロ グ ラ ム を用 意 す れ ば よ い 。

  こ の プ ロ グ ラ ム は,点(x0,x0),(x0,x1),(x1,x1),(x1,x2),…,(xn,xn),(xn,xn+1), …   を 順 に 結 ん で い る。な お,プ

fを 用 い ず に漸 化 式 を書 け ば,〓

ロ グ ラ ム5.1で

は,〓 とい う こ とで あ る。

プ 口 グ ラ ム5.1

と した。

計算の結果 1.999999971 1.999999986 1.999999993 1.999999997 1.999999999 2 2 2

2 2 2 2 図5.1

2

2 2

  実 行 結 果 を 図5.1に

示 す 。 原 点 か ら 折 れ 線 が 階 段 状 に 伸 び て い き,点(2,2)に

束 して い る よ う に 見 え る 。 こ れ は,数 列{xn}が2に そ れ は,PRINT文

問1 

収

収 束 す る こ とを物 語 って い る。

の 出 力 結 果 か ら もい え る こ と で あ る 。

f(x)=ax+bと

発 散 に つ い て調 べ よ。

す る。 漸 化 式xn+1=f(xn)に

よ っ て 定 義 さ れ る数 列{xn}の

収 束,

(2)  方 程 式f(x)=xの

解

  漸 化 式xn+1=f(xn)に f(x )=xの

よ っ て 定 義 さ れ る 数 列{xn}は,収

解 に 収 束 す る か ら,こ の 数 列 をf(x)=xの

束 す る とす れ ば 方 程 式 解 の近 似 値 を計 算 す るの に

利 用 で き る こ とが あ る。

〔例 題1〕cosθ=θ

と な る θの 近 似 値 を 求 め よ 。

〔解 〕f(x)=cosxと

し て 上 に 述 べ た こ と を 利 用 す る 。そ こ で,プ ロ グ ラ ム5.1を

次 の よ う に修 正 す る。

  こ れ を 実 行 す る と,図5.2が の 近 似 値0.739085…

得 ら れ る 。 そ し て,PRINT文

… が 得 られ る。

計 算の結 果 .7390713653 .7390944074 .739078886 .7390893414 .7390822985 .7390870427 .739083847 .7390859996 .7390845496 .7390855263 .7390848684 .7390853116 .7390850131 .7390852141 .7390850787

図5.2

の 出 力 結 果 か ら,解

(3)  数 列xn+1=f(xn) 〔 例 題1〕

で,f(x)=1.5cosxと

数 列{xn}は

収 束 せ ず,0.123…

し て 実 行 して み る と,図5.3の と1.488…

よ う に な り,

との 間 を往 復 し て1つ

の値 に 収 束 して

い く気 配 が 見 ら れ ない｡ 計算の結果

.1230754977 1.48865365 .1230754992 1.488653649 .1230755007 1.488653649 .1230755007 1.488653649 .1230755007 1.488653649 .1230755007 1.488653649 図5.3

.1230755007 1.488653649 .1230755007

 こ の 事 情 は,プ

ログラム を

と変 更 して 初 期 値 をf(x)=xの

解 に よ り近 い 値 に 変 更 して も変 わ らな い(図5.4)。

  こ の 辺 り を く わ し く調 べ る た め に,f(x)=acosxと 実 行 し て み る こ と に す る 。 た だ し,aは

の よ うに プ ロ グ ラ ム を修 正 す る。

お き,aの

値 を変 化 させ て

正 の 定 数 と す る 。 そ こ で,

計算の結 果 1.488622439 .1231221578 1.488645056 .1230883467 1.488651284 .1230790362 1.488652998 .1230764739 1.48865347 .1230757683 1.4886536 .1230755739 図5.4

1.488653636 .1230755201 1.488653646

 す る と,a=1.32付

近 を 境 に して,そ

れ よ り小 さ け れ ば 収 束 し,そ れ よ り大 き い

と発 散 す る ら し い こ とが わ か る 。こ のa=1.32と

い う数 字 の 根拠 を も う 少 し く わ

し く調 べ て み よ う 。

(a) a=1.31を

入 力

(b) a=1.32を 図5.5

入 力

  漸 化 式xn+1=f(xn)に

よ っ て 定 義 さ れ た 数 列{xn}の

の 傾 き に 依 存 し,￨f′(x)￨＜1で る 。 そ の 境 界 は￨f′(x)￨=1だ と し て,￨f′(α)￨=1と

だ か ら,

収 束 ・発 散 は,曲

あ る と収 束 し,反 対 に￨f′(x)￨＞1で か ら,f(x)=acosxに

な る と き の 定 数aの

線y=f(x) あ る と発 散 す

つ い て,f(x)=xの

解 を α

値 を求 め て み よ う。

〓よ り

 一 方

〓 だ か ら,

よ り,

と な り,定

数aに

ついて

とい う方 程 式 が得 られ る。 こ の 方 程 式 の解(近

似 解)は,

とお き,二

分 法 を適 用 す れ ば 求 め る こ と が で き て,a=1.319…

ラ ム5.2参

照)。 プ ロ グ ラ ム5.2

… で あ る(プ

ログ

問2  束

f(x)=asinxに

つ い て,漸

化 式xn+1=f(xn)に

・発 散 を 調 べ よ 。 た だ し,a＞0,x0=1と

(4)  周 期2の

よ っ て 定 義 さ れ た 数 列{xn}の

収

す る。

サイクル

  前 項 に 引 き続 い てf(x)=acosxと よ っ て 定 義 さ れ た 数 列{xn}は の 値 で あ る と き,偶

す る 。a＞1.319… 発 散 す る が,aの

数 番 目 の 項,あ

値 が1.319…

… を 少 し超 え た 程 度

る い は 奇 数 番 目 の 項 の み を 取 り出 し て 観 察 し

て み る と収 束 が 観 察 で き る 。 プ ロ グ ラ ム5.1を う。 実 行 結 果 は 図5.6の

… の と き,xn+1=f(xn)に

よ う に な る。 プ ロ グ ラ ム5.3

次 の よ うに 修 正 して 実 行 して み よ

  数 値 で の 出 力 結 果 の ほ う を 見 る と,1.488… る 。310行

は 第20項

… と0.123…

ま で を 無 視 し て 点 列 を 描 くよ う に 修 正 し て あ る。 グ ラ フ ィ ッ

ク 画 面 に 表 示 さ れ る の は,第21項

以 降 の 挙 動 で あ る 。図 の 上 で は,完

値 の 間 を交 互 に行 き来 して い る よ う に見 え る。 計算の結 果

.1230754977 1.48865365 .1230754992 1.488653649 .1230755007 1.488653649 .1230755007 1.488653649 .1230755007 1.488653649 .1230755007 1.488653649 .1230755007 1.488653649 .1230755007

…が交 互 に現 れて い

図5.6

全 に2つ

の

‐

 a=1.5の

と き,数

は 収 束 して,そ は,そ

列{xn}そ

れ 自 身 は 発 散 数 列 で あ る が,部

れ ぞ れ 極 限 を も つ(証

分 列{x2n}と{x2n+1}

明 は 済 ん で い な い)。 こ の と き,数

れ らの 値 に い く ら で も 近 い 要 素 を 含 ん で い る 。 そ の 観 点 か ら,こ

を 数 列{xn}の

凝 集 点 と い う。 特 に,そ

を 開 始 す れ ば,数 {xn}は

周 期2の

(5)  周 期4の

列{xn}は

列{xn} れ らの値

れ らの う ちの い ず れ か を初 期 値 と して反 復

こ れ ら の 値 を 交 互 に と る こ と に な る 。 こ の と き,数

列

サ イ クル を もつ とい う。

サ イクル

  図5.7は,a=1.9と … … ,0.03… …,1.89…

し て 実 行 し て み た 結 果 で あ る 。 今 度 は,-0.61… … が 順 繰 り に 現 れ て い る｡

計算 の結果

.6126099105

1.554485181 3.098980281E‐2

1.899087724 .6126096766

1.554485436 3.098931838E‐2

1.899087752 ‐ .612609727

1.554485381 3.098942286E‐2

1.899087746 ‐ .6126097162

1.554485393 3.098940006E‐2

図5.7

…,1.55

  数 列{xn}の

各 項 を,項

の 番 号 を4で

割

っ た と き の 余 りで 分 類 し,部 分 列{x4n}, {x4n+1},{x4n+2},{x4n+3}に す れ ば,各

つ いて考察

部 分 列 は 収 束 し,極

限 を持 つ

こ とに な る。   g(x)=f(f(f(f(x))))と g(x)の

お い て,y=

グ ラ フ を 描 い て み た の が 図5.8

で あ る 。 直 線y=xと g(x)の

の 交 点 付 近 で,y=

接 線 の 傾 き が1よ

り小 さ く な っ

図5.8

て い る 部 分 が あ る こ とが わ か る。 (6)  周 期4,8,16,32,…   パ ラ メ ー タaの

値 を 少 し増 や し てa=1.95と

動 が 観 察 で き る(図5.9)。 32,…

と2の

さ ら に,aの

し て 実 行 し て み る と,周 期8の

値 を徐 々 に 増 や し て い く と,周 期 が8,16,

累 乗 で 増 加 し て い く。

計 算の結果

‐. 720308808

1.465624037 .204708091 1.909284714 ‐ .6475201818

1.555285098 3.024568328E‐2

1.949108137 ‐.7202367498

1.465716718 .2045283609 1.909355928 ‐ .6476511678 図5.9

1.555131011 3.054611643E‐2

振

(7)  カ オ ス   し か し,あ

る 限 度 を超 え る と,一

見 で た ら め と し か 思 え な い よ う な 挙 動 を示 す

よう に な る 。そ の 状 態 をカ オ ス と い う 。図5.10は,a=2.1と の で あ る 。 た だ し,繰

し て実 行 して み た も

り返 し 回 数 な ど は 次 の よ う に 変 更 し て い る 。

  105LET 

a=2.1

  290FOR 

n=1  TO  200

  310IF  n＞100  THEN…

計 算の結果 1.04122234 1.060848029 1.025077459 1.089968628 .971277682 1.18491477 .790389634 1.477493817 .1956511132 2.059934725 ‐ .9867175374

1.15800536 .8424515944

図5.10

1.397834044 .3614124849

  パ ラ メ ー タaの と り,縦 を1か

変 化 に よ る数 列{xn}の

軸 に{xn}の ら3ま

挙 動 の 変 化 を 調 べ る た め に,横

値 を と っ た グ ラ フ を 描 く。 プ ロ グ ラ ム5.4は,aの

で と し,縦

軸 に は,{xn￨n=201,202,…

…,400}を

軸 にaを 値 の範囲

描 くプ ロ グ ラ ム

で あ る 。 数 列 の 初 め の ほ う を 無 視 す る こ と で,数 列 の 最 終 的 な 挙 動 に 注 目す る こ と が で き る 。 実 行 結 果 を 図5.11に

示 す。

プ ロ グ ラ ム5.4

(8)  周 期3の   図5.11を

サイ クルなど 見 る と,a=2.3付

近 で

3つ の 値 に 集 中 し て い る 様 子 が 観 察 で き る。   図5.12は,プ

ロ グ ラ ム5.3を

さ ら

に 次 の よ う に 修 正 し て 実 行 して み た もの で あ る。   105 LET

a=2.33

図5.11

計 算の結果 -6.028621592E‐2

2.325767174 -1.596673129 -6.028622058E‐2

2.325767173 -1.596673127 - 6.028621592E‐2

2.325767174 -1.596673129 - 6.028622058E‐2

2.325767173 -1.596673127 図5.12

-6.028621592E‐2

2.325767174 -1.596673129

 aの 値 を増 や して い け ば 不 規 則 さが 増 大 す る と思 うの が 普 通 で あ る が,あ 定 のaの

る特

値 で,こ の よ うな規 則 的 な挙 動 が 現 れ る とい うの は意 外 な事 実 で あ る。

図5.13は,2.3近

辺 のaの

値 に対 してy=f(f(f(x)))の

グ ラ フ を描 い て み た も

の で あ る。こ れ を見 る と,aの 値 の わ ず か な違 い が 反復 写 像 の挙 動 に 影 響 を与 え て い る原 因 が 理 解 で き る で あ ろ う。   反 復 写像 に は,ま だ ま だ興 味 深 い 事 実 が か ず 多 く隠 され て い る。プ ロ グ ラ ム5. 4を 修 正 して,も

っ と狭 い範 囲 のaの

値 を対 象 に して くわ しい 図 を作 っ て み る こ

と で,ま だ述 べ て い な い 事 実 を見 つ け る こ とが で き るで あ ろ う。特 に,図5.11で 白 く見 え て い る部 分 のaの

値 に 注 目 して探 せ ば,周 期5や

周 期7,あ

る い は周 期6

の サ イ クル な どが 見 つ か る は ず で あ る。   ま た,反 復 に 用 い る関 数 は何 も余 弦 関数 に 限 る こ と は な く,正 弦 関 数 や2次

関

数 な ど,他 の あ りふ れ た関 数 で考 え て も似 た よ うな 結 果 が 得 られ る。 それ らに つ

(a)

(b)

(c) 図5.13

い て も試 し て み る と よ い で あ ろ う。 な お,次 項 で ロ ジ ス テ ィ ッ ク写 像 と呼 ば れ る 2次 関数 を用 い た 反 復 関数 に つ い て考 察 す る。

[2]  ロ ジ ス テ ィ ッ ク 写 像  漸化式

に よ っ て定 義 され る数 列{xn}を

考 え る。 こ の 数 列 は,写 像 ｆ を

と定 義 し て,xn+1=f(xn)で

定 義 さ れ る と考 え る こ とが で き る。 こ の 写 像fを

ロジ

ス テ ィ ッ ク 写 像 と い う。   初 期 値x0を0＜x0＜1の

範 囲 で 選 ぶ と き,kの

値 に よ っ て 数 列{xn}の

挙動 が ど

う 変 化 す る か 調 べ て み よ う。   0＜k＜1の はfの

場 合 に は,明

値 域 がfの

て,1≦k≦4の

ら か にxn→0(n→

∞)で

定 義 域 を は ず れ る 。 当 面,こ

あ る 。 ま た,k＞4の

れ ら の 場 合 を考 え な い こ と に し

範 囲 で 考 察 し て み よ う 。 図5.14は,横

軸 にkを

初 期 値 と し て 反 復 す る と き の{xn￨n=300,301,…,500}を で あ る 。 こ こ に は,図5.11と   図5.15は,3.5≦k≦4の も縦 軸 は0か

ら1の

5.14か

ずれ

範 囲 に とっ て あ る。

図5.15

収 束 す る と き のkの

よ そk＜3の

な わ ち,1-1/kで

範 囲 を 確 定 す る こ と か ら 始 め よ う。 図

範 囲 で 収 束 す る と読 み とれ る が,実

発 散 の 境 界 と し て 正 し い 。数 列{xn}が の 解,す

縦 軸 上 に描 い た もの

範 囲 を 引 き延 ば し て 描 い た も の で あ る。 な お,い

列{xn}が

ら,お

と っ てx0=0.5を

よ く似 た 分 岐 構 造 が 見 ら れ る。

図5.14

  ま ず,数

場合 に

際,k=3は,収

束 ・

収 束 す る と き,そ の 極 限 は,方 程 式x=f(x)

あ るか ら,f′(1-1/k)＞-1よ

りk＜3が

得 ら れ る。

  次 に,数 列{xn}が2つ

の数 値 に 交 互 に近 づ き なが ら振 動 す る場 合 のkの

範 囲 を確 定 して お こ う。 これ は,g(x)=f(f(x))に

よ っ て定 義 され る写 像gを

復 す る こ とで定 義 され る数 列 が 収 束 す る場 合 で あ る。k＞3の ラ フ は 図5.16の y=xと

標 は,左

グ

か ら順 に

で あ る 。 そ れ ら の う ち,そ

目 と4つ

と き,y=g(x)の

反

よ う に な っ て い る 。直 線

の 交 点 のx座

￨g′(x)￨＜1と

値の

な り う る の は,左

目 の 値 で あ り,そ

の 点 で か ら2つ

れ が 満 た され

る 条 件 を求 め る と,

図5.16

と な る。  kの 8,16,…

値 を1+√6よ

り も さ ら に 大 き く し て い く と,数

と 増 加 し て い く。 そ し て,あ

か し,図5.15を

見 る と,周

図5.17(a),(b)は,そ 描 い た もの で あ る。

期3の

列{xn}の

凝 集 点 の 個 数 が4,

る 限 界 を 超 え る と カ オ ス の 状 態 に な る。 し

サ イ ク ル や 周 期5の

れ ぞ れk=3.74,k=3.83に

サ イ クル の 存 在 も わ か る 。

つ い て,図5.12と

同様 の 図 を

(a)  a=3.74

(b)  a=3.83 図5.17

5.2  マ ンデ ル ブ ロー集 合 [1]  マ ン デ ル ブ ロ ー の λ‐map (1)  λ‐mapを

描 く

  前 節 で,写 像f(x)=kx(1-x)を 節 で は,定

反 復 し て 得 ら れ る 数 列 に つ い て 考 察 し た 。こ の

数 お よ び変 数 の と る値 を複 素 数 に ま で拡 張 す る。

  λ を複 素 数 の 定 数 と し,f(z)=λz(1-z),zn+1=f(zn),z0=0.5に さ れ る 数 列{zn}を

考 え る。 そ の と き,集

な λ の 集 合 を マ ン デ ルブ ロ ー 集 合,あ λ を 実 数 の 範 囲 に 制 限 す る と,(少 は 有 界 で あ る 。 し た が っ て,複

よ っ て定 義

合{zn￨n=1,2,3,…

る い は,マ

｝が 有 界 と な る よ う

ン デ ル ブ ロ ー の λ‐mapと

な く と も)0≦ λ≦4の

範 囲 で{zn￨n=1,2,3,…

素 数 平 面 上 で 原 点 と 点4と

い う。 ｝

を結 ぶ線 分 は マ ンデ ル

ブ ロー 集 合 に 含 まれ て い る。   こ こ で は,行

列 演 算 で複 素 数 の 計 算 を代 替 す る こ とに す る。 そ の た め の 準 備 と

し て 複 素 数 を 行 列 を 用 い て 表 現 す る 方 法 を 述 べ て お く。

と お き,実

数x,yを

用 い てxI+yJの

形 に 表 す こ との で き る行 列 の 全 体 を考 え る

と,通 常 の 行 列 演 算 の も と で 複 素 数 と 同 型 に な る 。Jは を 表 す 行 列 で,J2=-Iと   さ て,BASICで し て,行

な っ て い る。

は,MAT文

列 の 和,差,積,ス

1個 のMAT文

を 用 い る こ と に よ っ て,2次 カ ラ ー 倍,逆

の 行 列 の 逆 行 列 を1個

行 列 に ス カ ラ ー を か け た 結 果 を1個 λｚ(1-z)の

の 行 列 の 和,差,積

を1個

の 行 列 に 代 入 す る こ と,お

表 し,配

列 変 数Zお

の行列 に

よ び,1個

の

の 行 列 に 代 入 す る こ と で あ る 。 関 数f(z)=

計 算 を 行 う方 法 を 考 え よ う 。複 素 変 数zをz=x+yi,複

を λ=a+biと

素数 の定数 λ

よ びKに

の 形 で 記憶 させ て お くもの とす る。 ま た,配 列 変 数Iに 記 憶 させ て お く もの とす る。 そ して,途 変 数Wを

元 配 列 を 行 列 とみ な

行 列 を 求 め る こ と が で き る 。 た だ し,

で 行 う こ と が で き る の は,2個

代 入 す る こ と,1個

原 点 の ま わ りの90° の 回 転

もあ らか じめ 単 位 行 列 を

中 結 果 を記 憶 す るた め に,も

用 意 す る。最 終 の 計 算 結 果 はZに

う1つ 配 列

戻 す も の とす る。 す る と,次 の よ う

な命 令 の列 で 目的 の計 算 が 実 行 で き る。  

MAT 

W=I-Z

 

MAT 

Z=Z*W

 

MAT 

Z=K*Z

  結 果 が 有 界 で あ る か ど う か は,計 こ と に し よ う。 し か し,無 数,反

算 結 果 が 桁 あ ふ れ に な るか ど うか で 判 定 す る

限 に 計 算 を し 続 け る わ け に も い か な い の で,適

当 な回

復 して 桁 あ ふ れ に な ら な い な ら有 界 と み な す こ と に す る 。

  そ の よ うに し て マ ン デ ル ブ ロ ー 集 合 を 描 くプ ロ グ ラ ム を 作 っ た の が,次

に示 す

プ ロ グ ラ ム5.5で

頂 点 と

あ る 。 こ こ で は,4点-2-3i,4-3i,4+3i,-2+3iを

す る 長 方 形 の 内 部 を描 い て い る 。 ま た,繰

り返 し 回 数 の 上 限 を100回

に選 んで い

る。 また,λ の と こ ろ をそ の 共 役 複 素 数 λ に 置 き換 え て も,基 本 的 な性 質 に は 変 わ りが な い こ とを 利 用 して 計 算 す る点 の個 数 を約 半 数 に 減 ら して い る。 プ ロ グ ラ ム5.5

 実 行 結 果 を図5.18に

示す。

図5.18

 ￨λ￨＜1の と2つ

と き,数

列{zn}は0に

収束す る 〔 注〕。 図5.18は,お

おざっぱにみ る

の 大 き な 円 が 隣 り合 う形 を し て い る が,左 側 の 円 が￨λ￨＜1の

も う1つ

点2を

中 心 とす る 半 径1の

円 が あ る が,そ

の 意 味 を正 確 に説 明 す るた め

に は 複 素 関 数 に つ い て の 初 歩 的 な 知 識 が 必 要 に な る 。 こ こ で は,複 て も 微 分 を 定 義 す る こ とが で き て,f′(z)=λ(1‐2z)と

領 域 で あ る。

素 関数 に 対 し

な り,￨f′(z)￨＜1が

数列

{zn}の 収 束 の 条 件 で あ る こ と を 前 提 に し て 話 を 進 め よ う 。 そ れ を仮 定 す れ ば,数 列{zn}が0以

外 の 値 に 収 束 す る と き,そ

の 極 限 は1-1/λ

で あ り,収

束 の条件

￨f′(1‐1/λ)￨＜1か

ら￨λ-2￨＜1が

出 る。

  図5.18は,点1を

通 り実 軸 に 垂 直 な 直 線 に つ い て 対 称 で あ る よ う に み え る 。実

際,

とお い て数 列{wn}を

定 め る と,漸 化 式

が 成 立 す る こ と か ら,対 〔 注 〕￨zn￨＜￨λ￨nが

称 性 の 根 拠 が 得 られ る。

成 立 す る。

問3 wn=azn+b(b≠0)と る よ うに 定 数a,bを

お い て数 列{wn}を

定 め る と き,wn+1=λ′wn(1-wn)と

な

定 め る と,

と な る こ と を示 せ 。

(2)  周 期 を 求 め る   図5.18に

見 られ る大 き な 円 の 内 部 が 数 列{zn}の 収 束 域 で あ る こ とが わ か っ た。

実 軸 上 で の 議 論 か ら類 推 す る と,大 きな 円 の 外 側 に あ る2番 は,部 分 列{z2n}が

目に大 き な 円 の 内部

収 束 す る領 域 の よ うに 思 え る。 そ こで,周 期 に よ っ て 色分 け

した 図 を作 成 して み よ う。 その 目的 で 作 成 した プ ロ グ ラム が プ ロ グ ラ ム5.6で

あ

る。   結 果 が 点1を 通 り,実 軸 に 垂 直 な 直 線 につ い て対 称 に な る こ とは わか っ て い る の で,こ

こで は,そ の 直 線 よ り右 側 の み を拡 大 して 描 くこ とに し た。 ま た,点2

を 中 心 とす る半 径2の

円 の 内側 で は,収 束 す る こ と もわ か っ て い るの で,計 算 時

間 を短 縮 す る ため に その 範 囲 で は 反 復 を行 わ ず,直 接1番 以 外 の 点 に つ い て は,第250項 絶 対 値 が0.01以

まで 計 算 し,そ の 後,何

の色 で 点 を描 く。 それ

回繰 り返 した と きに 差 の

下 に な るか で 周 期 を判 定 して い る。 た だ し,7回 繰 り返 して も周

期 が 見 つ か ら な い と きに は7番 の 色 で点 を描 く。   実 行 結 果 を 図5.19に か に 周 期 が2に

示 す 。 こ れ を見 る と,2番

目に大 きな 円 の 内側 の 点 で は確

な っ て い る こ とが確 認 で き る。 しか し,そ れ 以 外 の 円 で 大 き な 円

に 直 接 接 して い る円 の 内部 で は,周 期3や 大 き な円 に接 す る円 の 内部 で は,周 期4や

周期5に 周 期6が

な って い る。 ま た,2番

目に

現 れ て い る こ とが 見 て とれ る。

プ ロ グ ラ ム5.6

図5.19

[2]  マ ン デ ル ブ ロ ー の μ‐map   f(z)=λz(1-z)の

代 わ り にf(z)=z2+μ

定 義 さ れ る 数 列{zn}に

つ い て,集

を 考 え,zn+1=f(zn),z0=0に

合{zn￨n=1,2,3,…

数 の 定 数 μ の 集 合 を マ ン デ ル ブ ロ ー の μ‐mapと 5.5を

｝が 有 界 と な る よ う な 複 素 い う。 こ の 集 合 は,プ

少 し修 正 す る だ け で 描 く こ と が で き る 。図5.20は,実

ら0.5ま

よって

ログラム

軸 上 の 座 標 で-1.5か

で の 範 囲 を描 い た もの で あ る。

  図5.20に

は,カ ー ジ オ イ ドが 隠 さ れ て

い る よ うに 見 え る。 その 根 拠 を探 って み よ う 。 数 列{zn}は

漸 化 式zn+1=zn2+μ

満 た す も の と し て,wn=azn+bに 定 義 さ れ る 数 列{wn}が λwn(1-wn)を

を よ って

漸 化 式wn+1=

満 た す よ う に 定 数a,bを

定 め よ う と す る と,

図5.20

とい う条 件 が 出 て く る。 複 素 数 を係 数 と す る2次 方 程 式 は,(複

素 数 の範 囲 で)必 ず 解 を持 つ の で,1つ

目の 条 件 を満 たす

複 素 数 λ は 必 ず 存 在 す る。し たが っ て,上 述 の 条 件 を満 た す 定 数a,bの 証 さ れ る(μ=0の

場 合 に は,λ=2を

質 につ い て{Zn}と{wn}は

存 在 も保

選 べ ば よ い)。 数 列 が 有 界 か ど うか とい う性

同 じに な るか ら,

に よ っ て 定 ま る λ に 対 す る数 列｛wn}の

挙 動 か ら,数

列{zn}の

挙 動 が 定 ま る。

￨z￨=1の

と き,上

￨z￨＜1に

対 応 す る μ の 領 域 は,カ ー ジ オ イ ドの 内 部 と い う こ と に な る 。な お,μ ≠

1/4で

式 に よ っ て 定 ま る μ の 描 く 図 形 は カ ー ジ オ イ ドで あ る か ら,

あ る か ぎ り,1個

の μ に 対 し て 対 応 す る λ は2個

ず つ あ る 。￨z￨＜1の

とき

の μ に 対 す る も う1個

のzの

ジ オ イ ドの 内 部 は,図5.18の2個

集 合 は,￨z-2￨＜1で

あ る 。 つ ま り,図5.20の

の 大 きな 円 の 内部 に対 応 して い る。

カー

第6章  数学の図解   こ の 章 で は,コ 微 分 方 程 式,テ

ン ピ ュー タ グ ラ フ ィ ッ ク ス を利 用 し て,解

ー ラー 展 開,フ

  また,空

間 図 形 につ い て,そ

6.1 

微分 方程式

析学 の 主要 な テーマ であ る

ー リエ 展 開 の 考 え 方 の 一 端 に 触 れ て み る 。 の 基 本 を述 べ る こ とに す る。

[1]  1階 の線形微 分方 程式 (1)  CR回   図6.1の

路 よ う に,抵

抗Rと

コ ン デ ン サCを

た と き の 電 流 の 変 化 を 考 え る 。 静 電 容 量C〔 ー ロ ン 〕の 電 荷 を与 え た と き

,両

直 列 に接 続 した 回路 に 電 圧 を加 え フ ァ ラ ッ ド〕 の コ ン デ ン サ にQ〔

端 子 間 の 電 圧 はQ/Cに

な る 性 質 が あ る 。 ま た,

i〔ア ン ペ ア 〕の 電 流 がΔt〔 秒 〕間 コ ン デ ン サ に 流 入 す る と,コ れ る 電 荷 はiΔt〔   時 刻tに

ク

ンデ ンサに蓄 え ら

ク ー ロ ン 〕増 加 す る 。

お い て,こ

の 回 路 に 流 れ る 電 流 をi〔 ア ン ペ ア 〕 と す る 。 ま た,t=0の

と き コ ン デ ン サ は 電 荷 を も っ て い な い も の と し よ う。 す る と,初 両 端 に は 電 位 差 が な い か ら 抵 抗Rの 回 路 に は オ ー ム の 法 則i=E/Rに

両 端 に はE〔

め コン デ ンサ の

ボ ル ト〕 の 電 位 差 が あ り,こ

よ っ て 定 ま る 電 流 が 流 れ る 。 し か し,コ

の

ンデ ン

サ に 電 荷 が た ま り,コ わ る 電 圧 がVに

ンデ ンサ の 両 端 に加

な っ た と き,回

る 電 流 はi=(E-V)/Rと

路 に流 れ

な り,VがE

に 近 づ く に つ れ て 電 流 は0に

近 づ い て い

く。   コ ン ピ ュ ー タ の プ ロ グ ラ ム を 利 用 し て, こ の 変 化 の 様 子 を よ り詳 細 に グ ラ フ に 表 し

図6.1

て み よ う 。次 の プ ロ グ ラ ム で は,C=1,R=

1,E=1と

し,0秒 か ら10秒

まで の 変 化 を グ ラ フ に表 す 。変 数dtで

小 時 間 ご とに コ ン デ ンサ の 持 つ 電 荷Qの

与 え られ る微

値 を更 新 し,電 流 を計 算 しな お す こ と で

実 際 の 変 化 を近 似 して い る。 プ ロ グ ラ ム6.1

図6.2 問1 

図6.1の

(2)  LR回   図6.3の

回 路 で,コ

ン デ ン サ に 加 わ る 電 圧Vの

変化 をグ ラフに表せ 。

路 よ う に,抵 抗Rと

コ イ ルLを

直 列 に接 続 し た 回路 に 電 圧 を加 え た とき の 電 流 の変 化 を考 え る。 コ イ ル に は 自 己誘 導 作 用 が あ るた め に,電 圧 を加 え て も電 流 が 流 れ 始 め るの に 時 間 を要 す る。 そ の 定 数 を 自 己 イ ンダ ク タ ン ス とい う。 自己 イ ン ダ ク タ ン スがL〔 ヘ ン リー 〕の コ イ ル の 両 端 に

図6.3

V〔ボ ル ト〕の 電 圧 が 加 わ っ て い る と き, Δt 〔 秒 〕間 に 電 流 はΔi=(V/L）Δt〔

ア ンペ ア〕だ け 増 加 す る。

  時 刻tに お い て,こ の 回 路 に 流 れ る電 流 をi〔 ア ンペ ア 〕とす る。ま たt=0の き,こ の 回路 に は 電 流 は 流 れ て い な い もの とす る。 す る と,抵 抗Rに れ て い な いか ら抵 抗 の 両 端 の 電 位 差 は0で

と

は電 流 が 流

あ り,E〔 ボ ル ト〕の 電 圧 が す べ て コ イ

ル の 両 端 に 加 わ る。し たが っ て,最 初 のΔt〔秒 〕間 に 電 流 はΔi=(E/L)Δt〔

アン

ペ ア 〕だ け 増 加 す る。電 流 が 流 れ る と,抵 抗 の 両 端 に 電位 差 が 生 じ るか ら コイ ル の 両 端 に 加 わ る電 圧 は減 少 し,電 流 の 増 加 も鈍 くな る。 電 流 が オ ー ムの 法 則i=E/

Rに

よ っ て 定 ま る値 に 近 づ く に 従 い,コ

イ ル の 両 端 の 電 位 差 は0に

近 づ き,電

流

は 一 定 値 に 近 づ く。   コ ン ピ ュ ー タ の プ ロ グ ラ ム を 利 用 し て,こ

の 変 化 の 様 子 を よ り詳 細 に グ ラ フ に

表 し て み よ う 。 次 の プ ロ グ ラ ム で は,L=1,R=1,E=1と で の 変 化 を グ ラ フ に 表 す 。変 数dtで 加 わ る 電 圧Vを

更 新 し,電

し,0秒

与 え ら れ る 微 小 時 間 ご と に,コ

か ら10秒

ま

イル の 両 端 に

流 を計 算 しなお す こ と で実 際 の 変 化 を近 似 して い る。

プ ロ グ ラ ム6.2

図6.4

問2 

図6.3の

回 路 で,コ

イ ル の 両 端 に加 わ る 電 圧Vの

変化 をグ ラフに表せ 。

(3)  微 分 方 程 式   (1)で 述 べ た コ ン デ ン サ の 性 質 は,定

と 言 い 換 え る こ と が で き る 。 ま た,(2)で

積 分 を用 い て

述 べ た コ イ ル の 性 質 は,微

分 を用 い て

と い う こ と が で き る 。こ れ を利 用 す る と,2つ

と 書 く こ と が で き る 。 さ ら に,CR回

の 回 路 で 成 り立 つ 条 件 を,そ れ ぞ れ,

路 に 関 す る 条 件 は,両

辺 を微 分 して

とす る こ と もで き る。 こ れ らの 等 式 は,関 数 とそ の 導 関 数 に 関 す る方 程 式 で あ る の で 微 分 方 程 式 と呼 ば れ る。   以 後,基 本 的 な 形 の 微 分 方程 式 の解 法 を考 察 し,解 の 性 質 を 調 べ て い こ う。 (4)  指 数 関 数  微 分 方 程 式 で は,指 数 関数 と三 角 関数 が 重 要 な役 目 を果 たす 。 三 角 関 数 に つ い て は 第1章

で も考 察 し た の で,こ

こ で は指 数 関 数 につ い て 調 べ て お こ う。 〓に よ っ て定 義 さ れ る定 数eが

 指 数 関数 の 微 積 分 で は, あ る 。f(x)=exで た,aが

あ る と き,f'(x)=ex,す

定 数 で,f(x)=eaxで

な わ ち,f'(x)=f(x)が

あ る と き,f'(x)=aeaxと

が 成 立 す る 。逆 に,微 分 方 程 式f'(x)=af(x)を と し てf(x)=Ceaxに

問3 

aを0で

成 立 す る。 ま

な る か ら,f'(x)=af(x)

満 た す 関 数fは,Cを

任意 の定数

限 る こ と もい え る。

な い 定 数 とす る。 関 数fに

と き,g(x)=e‐axf(x)に

重要 で

関 して 微 分 方 程 式f′(x)=af(x)が

よ っ て定 義 さ れ る 関 数gは

 前 項 で 述 べ たCR回

路 に 関 す る微 分 方 程 式 は,

と変 形 で き る か ら,そ

の 解 は,Kを

定 数 として

成立する

定 数 関 数 で あ る こ と を示 せ 。

と な る 。t=0の

と き

となる。す な わち,CR回 (5) 1階

〓 で あ る こ とか ら

〓と 定 ま り,

路 を流 れ る電 流 は,指 数 関 数 に従 って 減 少 して い たの で ある。

の 線形微分方 程式

  温 度T0の

物 体 を室 温Teの

化 率 は温 度 差T-T0に

環 境 に 放 置 し た と き,温 度Tの

比 例 す る。 その 比 例 定 数 をkで

の 関 係 が成 立 す る。 こ の例 の よ うに,定 数 項bを

時 刻tに

関 す る変

表 す こ とに す る と,

追 加 して

の 形 の 微 分 方 程 式 が し ば し ば 現 れ る。 こ の 型 の 微 分 方 程 式 の 解 を 求 め る に は, g(x)=f(x)+cと に 定 数cを

お い て,g(x)に

関 す る 微 分 方 程 式 がg′(x)=ag(x)と

定 め れ ば よ い。

  実 際,f(x)=g(x)-c,f′(x)=g′(x)を -ac+bと

な る か ら,c=b/aと

代 入 し て 整 理 す る と,g′(x)=ag(x) す れ ば よ い 。 し た が っ て,解 は

で あ る。 こ の 結 果 を利 用 す る と,LR回

の 解 は,t=0の

とな る。

なるよ う

と きi=0で

路 に 関 す る微 分 方 程 式

あ る こ と に 注 意 し て,

[2]  2階 の線形 微分方程 式 (1)  LCR直   図6.5の

列回路 よ うに,抵

抗R,コ

イ ルL,コ

ン デ ンサCを

直 列 に 接 続 し,直

を加 え た 回 路 に 流 れ る電 流 を考 察 し て み よ う。 プ ロ グ ラ ム6.1お 6.2で

用 い た 技 法 を 応 用 し て 作 成 し た プ ロ グ ラ ム を,プ

プログ ラム6.3

流電圧

よび プ ロ グ ラム

ロ グ ラ ム6.3に

示す。

図6.5

 こ の プ ロ グ ラ ム は,130行 え て 実 行 す れ ば,異 ∼(d)に 示 す

な るRの

のLET文

でRの

値 を 設 定 し て い る 。130行

を 書 き換

値 に 対 す る 結 果 が 得 ら れ る 。 そ の 一 部 を 図6.6(a)

。

(a)  R=0

(b)  R=0.5

図6.6(1)

(d) R=2

(c)  R=1

図6.6(2)

  R=0の

と きは 振 動 して い る。図 をみ る と正 弦 曲 線 の よ うに み え る け れ ど も,本

当 に そ うな の だ ろ うか 。ま た,周 期 は6.3程

度 と読 み とれ るけ れ ど も,こ れ は2π

だ ろ うか 。図(b)の と きの現 象 は 減 衰 振 動 と呼 ば れ る。こ れ を方 程 式 で表 し た ら ど うな るの だ ろ うか 。   図6.5に

示 すLCR直

列 回路 に 流 れ る 電 流iは,

をみ た す 。 こ れ を時刻tに

つ い て微 分 す る と,微 分 方 程 式

が 得 られ る 。 (2)  単 振 動 の 微 分 方 程 式   ω を 正 の 定 数 と し て,微 分 方 程 式f"(x)+ω2f(x)=0を LCR直

列 回 路 に 関 す る 微 分 方 程 式 でR=0の

 f(x)=sinωx,あ

る い はf(x)=cosωxが,こ

わ か る 。 さ ら に,任 意 の 定 数A,Bに こ と もわ か る。

考 え よ う 。こ れ は,上

の

場 合 に 相 当 す る。 の 方 程 式 を満 た す こ と は容 易 に

対 しf(x)=Acosωx+Bsinωxが

解 になる

  逆 に,微 分 方 程 式f"(x)+ω2f(x)=0の

解 は,f(x)=Acosωx+Bsinωxに

限

る こ とを示 す。   そ の た め に,ま

ず,初

期 条 件f(x0)=f′(x0)=0を

満 た す 解 を確 定 す る こ とか ら

始 め る 。 与 え ら れ た 微 分 方 程 式 の 両 辺 に2f′(x)を

か けて

 こ れ を積 分 す る と,

  初 期 条 件f(x0)=f′(x0)=0か

  fは

ら,C={f′(x0)}2+ω2{f(x0)}2=0と

実 数 値 関 数 だ か ら,こ

の 方 程 式 を 満 た す 関 数fは,定

な るの で

数 関 数f(x)=0に

限

る 〔 注1〕 。   次 に,初 期 条 件 を 一 般 化 し た と き,解 がf(x)=Acosωx+Bsinωxに を 示 す 。 関 数fを

微 分 方 程 式f"(x)+ω2f(x)=0の

限 ること

解 とす る。  〓 と お く と,g(0)=0,

〓 が 成 立 す る の で,g(x)=0で

  こ の結 果 を利 用 す る と,前 項 で 述 べ たLCR直 期 条 件t=0の

と きi=0の

も とで

と な る。 (注1) 

背理 法 に よ り証 明 す る。

(3)  2階 の 線 形 微 分 方 程 式  微 分 方 程 式

を考 え る 。 こ の と き,2次

方程 式

あ る 。 し た が っ て,

列 回 路 でR=0の

場 合 の 解 は,初

〓

を 特 性 方 程 式 と い う。ま た,D=a2-4bと Dの 符 号 に よ っ て3つ

1)  D＜0の

お く。Dは

特 性 方 程 式 の 判 別 式 で あ る。

の 場 合 に分 け て 考 察 す る。

 〓 とお く と,与 え られ た微 分 方程 式 を

とき

と書 き 換 え る こ と が で き る。 こ こ で,

と お く と,f(x)=epxg(x)よ

り,f′(x)=pepxg(x)+epxg′(x)と

 さらに,〓

な る か ら,

で あるか ら,与 え られ た微 分 方 程 式 を

と書 き 換 え る こ と が で き る。epx≠0だ

か ら,

 し た が っ て,g(x)=Acosωx+Bsinωx(A,Bは

定 数)で

あ り,求

め る 解 は,

とな る。 2)  =0と

D=0の

と き 

1)と同様

にp=-a/2,g(x)=e‐pxf(x)と

お

く と,epxg"(x)

な る か ら ,g"(x)=0

  し た が っ て,g(x)=Ax+B(A,Bは

3)  D＞0の

と き 

定 数)と

な り,

α,β を 特 性 方 程 式t2+at+b=0の

解 とす る。

 〓で あ るか ら

〓と

と変 形 す る こ とが で き る 。 な る 。ゆ え に,C1を 〓 同 様 に し て,

定 数 と して (C2は

定 数)で

あ る こ と も わ か る の で,

 定 数 の部 分 を書 き換 え て (A,Bは

(4)  LCR直

定 数)

列 回 路 の解

 上の 結 果 を利 用 し,(1)で 調 べ たLCR直

に つ い て,t=0の

と き,

列 回路 に 関 す る微 分 方 程 式

〓 で あ る と し て 解 を 求 め る と,次 の よ う に な

る 。

1)

 〓 の と き

2)

 〓の と き

 こ れ は,図6.6(d)の 3)

 〓の と き

〓と お い て,

場 合 に 当 た る。

〓とお い て,

得 られ た結 果 を利 用 して グ ラフ を描 くプ ロ グ ラ ム を,プ プ ロ グ ラ ム6.4

ロ グ ラム6.4に

示 す。

6.2 

テ ー ラー 展 開

[1]  多 項式 による近似   指 数 関 数 や 三 角 関 数 は,何

回微 分 して も決 して0に

表 さ れ る関 数 は 有 限 回 の微 分 で0に

な る こ とは な い 。 多項 式 で

な るか ら,指 数 関 数 や 三 角 関数 を多 項 式 で表

す こ と は不 可 能 とい う こ とに な る。   しか し,多 項 式 に は,四 則 演 算 の み で値 が 求 め られ る とい う性 質 が あ る。現 在, 実 用 に供 さ れ て い る コ ン ピュ ー タの 計 算 回 路 は 四 則 演 算 を も とに した も の で あ り,直 接,指

数 関 数 や 三 角 関 数 を計 算 す る こ とは で き な い。 そ こ で,そ れ らの 関

数 を 多項 式 関 数 で近 似 す る こ とを考 え て み よ う。   関 数f(x)をn次

多項 式P(x)で

近 似 す る もの とす る。 あ る特 定 のxの

値x0の

近 くで 最 良 の 近 似 とす る ため の条 件 と し て,

を 考 え る 。 な お,f(n)(x)はf(x)のn次

導 関 数 を 表 す 。f(x)が

能 で あ る こ と を 前 提 に す る と,こ の よ う なn次

多 項 式P(x)は,ち

る。   こ の 条 件 を 満 た すP(x)の

とお

く(a0,a1,a2,…anは

具 体 的 な 形 を 求 め る た め に,

定 数)。

と な る か ら,

〓 をk!と 書 く記 法 を用 い れ ば,

点x0でn回

微分 可

ょ う ど1つ

定 ま

 した が っ て,与

え られ た条 件 を満 た す 多項 式P(x)の

係 数a0,a1,a2,…,anは

と 定 ま る 。 な お,k!は,

の よ うに 再 帰 的 に 定 義 す る こ とが 可 能 で あ る。

[2] 

正弦 関数の近 似

 正 弦 関 数 を 対 象 に して,上 述 の 手 法 の効 果 を 調 べ て み よ う。f(x)=sinxの

と

き,

と な る か ら,

の 繰 り返 し に な る 。x0=0と

と な る。y=f(x)とy=P(x)の

し て,f(x)を

近 似 す る(2n+1)次

グ ラ フ を,同

の 多 項 式 を 作 る と,

一 座 標 平 面 に 描 くプ ロ グ ラ ム を 作 っ

て 近 似 の 精 度 を 目 で 確 か め て み よ う。 プ ロ グ ラ ム6.5

図6.8

図6.7

 n=3の

場 合 の 実 行 結 果 を,図6.7に

示 す 。ま た,プ ロ グ ラ ム を 少 し変 更 し てn=

9に つ い て 実 行 し た 結 果 を,図6.8に

問4 

余 弦 関 数y=cosxを

示 す。

近 似 す る2n次

多 項 式 を作 り,さ ら に そ れ ら の グ ラ フ を描 く

プ ロ グ ラ ム を作 っ て 比 較 せ よ 。 問5 

指 数 関 数y=exを

近 似 す るn次

多項 式 を 作 り,さ らに そ れ ら の グ ラ フ を描 くプ ロ

グ ラ ム を作 っ て 比 較 せ よ。

[3] 

テーラー 展 開

  fを 無 限 回微 分 可 能 な 関数 とす る と き,

をfのaに

お け るテ ー ラ ー 展 開 とい う。fがaに

お いて 無 限 回微 分 可 能 で あ る と

し て も,テ ー ラー 展 開 が 収 束 す る とは 限 らな い が,も

し収 束 す れ ば,f(x)と

す る こ とは保 証 さ れ て い る。 テー ラー 展 開 は正 弦 関数,余

一致

弦 関 数,指 数 関 数 な ど

の 近 似 値 を求 め る の に 有 効 な手 段 で あ る。 そ れ ば か りで な く,多 項 式 で 表 せ な い 関 数 で も,多 項 式 の概 念 を無 限 次 元 に ま で拡 張 す る こ とで統 一 的 に扱 え る と いう

意 味 で理 論 的 に も重 要 な概 念 で あ る。

6.3 

フ ー リエ 級 数

[1]  フ ー リエ 級 数   正 弦,余

弦 な ど の三 角 関 数 は周 期 関数 の代 表 的 な 例 で あ るが,正 弦,余

期 関数 を考 察 す る場 合 の 基 本 とな る関 数 で あ る。 す で に,第1章 うに,正 弦 関 数,余 き る。 実 際,正

弦 関数 を重 ね 合 わせ る こ とで様 々 な波 形 を作 り出す こ とが で

弦,余 弦 の 無 限 和 を考 え れ ば,す べ て の 周 期 関数 が 表 現 で きる と

い うの が,フ ー リエ 解 析 の結 論 で あ る。 こ こで は,少 るが,フ

々 お お ざっ ぱ な議 論 で は あ

ー リエ 解 析 の 一 端 に触 れ て み た い。

  sinx,cosxは2π

を周 期 に持 つ 関 数 で あ る が,一 般 に,nを

sinnxやcosnxも2π

a1,a2,…,an,b1,b2,…,bnは

自然 数 と して,

を周 期 に持 つ 関数 で あ る。 した が っ て,

に よ っ て 定 義 さ れ る 関 数P(x)も2π

来 は,n→

弦は周

で も考 察 した よ

を 周 期 に もつ 周 期 関 数 で あ る 。 た だ し ,a0,

定 数 で あ る。こ のP(x)を

∞ と し た 極 限 を 考 え る の で あ る が,こ

有 限 フ ー リ エ 級 数 と い う。本

こ で は,有

限 フ ー リエ 級 数 に よ る

近 似 を考 え て み た い 。

[2]  フ ー リエ 係 数  2π を 周 期 とす る関 数f(x)が

有 限 フー リエ 級 数 で近 似 で き る と き,そ の 係 数 は

ど う定 め た らよ い の だ ろ うか 。 そ こ で,少 々 乱 暴 な仮 定 で あ るが,

が 成 立 す る もの と して 話 を続 け よ う。

 こ こ で,三 角 関 数 の定 積 分 に つ い て 成 立 す る次 の 性 質 を利 用 す る。

 こ れ らの 性 質 は,加 法 定 理 の 誘 導 公 式 の1つ

を用 い て証 明 で きる。   この 積 分 を利 用 す る と,

と な る の で,

の よ うに各 係 数 が 定 ま る。

[3] 

の こ ぎ り波

 区 間-π

≦x＜ π  に お い て,

で あ る積 → 和 の 公 式

と し,定 義 域 を2π を周 期 と して 実 数 全 体 に 拡 張 し た 関 数fを BASICの

考 え る。fは,

組 み 込 み 関 数MODを

利用 し

て 書 け ば,

に よ っ て定 義 さ れ る関 数 で あ る。 この 等 式 を 利 用 し て 描 い た グ ラ フ を 図6.16に 示 す。  fを

フ ー リエ 級 数 で 近 似 し て そ の グ ラ 図6.9

フ を 描 い て み よ う。 各 係 数 は,

の積 分 を実 行 して 求 め られ る。 そ の際,部

分積分 法

を利 用 して

の よ うに 計 算 す る。 こ れ らの 計 算 を実 行 して

と な る 。n=20,n=40と グ ラ フ とn=20の

し て 描 い た グ ラ フ を,図6.10に 場 合 と を 比 較 す る と,nが

示 す 。n=40の

場合の

大 き くな っ て も端 で 大 き く 振 動 す る

傾 向 に は 変 化 が な い こ と が 読 み と れ る 。な め ら か さ と い う 観 点 か ら い う と,nが き い方 が む しろ悪 化 して い る と さ え い え そ う で あ る。

大

プ ロ グ ラ ム6.6

(a) n=20

(b) n=40 図6.10

問6 

関 数fを

区 間-π ≦x＜ π に お い てf(x)=￨x￨で

定 義 し,さ

ら に 定 義 域 を2π

を

周 期 と し て 実 数 全 体 に 拡 張 す る 。fを 有 限 フ ー リエ 級 数 で近 似 し,そ の グ ラ フ を描 け 。

6.4 

空 間 図形

[1]  空 間 座 標 (1)  空 間座 標   関 数z=f(x,y)の

グ ラ フ は 空 間 曲 面 に な る。 空 間 曲 面 を様 々 な 角 度 か ら眺 め た

図 を描 くこ とが で き る よ うに して み よ う。   空 間 に お け る位 置 を記 述 す る ため に,原 し,3数

の 組(x,y,z)を

点 を通 りxy平 面 に 垂 直 なz軸

用 い る。 この と き,z軸

の正 の 向 き をxy平

を追加

面 の 手 前側 に

と るか,そ の 反 対 向 き に と るか の 選 択 の余 地 が あ る。z軸 の 正 の 向 き をxy平

面の

手 前 側 に と る と き,こ の 座 標 系 を右 手 系 と い い,そ の 反 対 の 座 標 系 を左 手 系 とい う。 右 手 系 は,右 手 で 人 差 し指 を ま っ す ぐに 伸 ば し,親 指 を人 差 し指 と垂 直 に な る よ うに広 げ,中 指 を手 の ひ らに垂 直 に な る よ うに 曲 げ た と き,親 指 をx軸 の 向 き,人 差 し指 をy軸 の 正 の 向 き に 向 け る と,中 指 がz軸

の正

の 正 の 向 き を指 す 座

標 系 で あ る。 本 書 で は,右 手 系 を標 準 の座 標 系 と考 え る。 (2)  軸 の ま わ りの 回 転 とxy平

面へ の射影

  空 間 図 形 を 平 面 上 に 描 く と き に,基 本 と な る変 換 は射 影 で あ る。 こ こ で は, xy平 面 へ の射 影

に よ っ て空 間 図 形 を平 面 図 形 に 変 換 す る こ とに す る。こ の 変 換 は,z軸 の 正 の 無 限 遠 方 か らxy平

面 を望 む こ と に相 当 す る。

  空 間 図 形 を異 な っ た角 度 か ら見 た状 態 で表 示 す るに は,各 軸 の ま わ りの 回転 を 適 宜,合

成 す れ ば よい 。

  z軸 の ま わ りの 角 θの 回転 か ら考 えて み よ う。こ の変 換 は,x座 標 とy座 標 に つ い て は 平 面 上 で の 原 点 の ま わ りの 回 転 と等 し い。 す な わ ち,z軸 は,

の ま わ りの 回 転

で あ る｡   同 様 に 考 え て,各

で あ り,y軸

軸 の ま わ りの 角 θ の 回 転 を 示 す と,x軸

の ま わ り の 回 転 は,

の ま わ り の 回 転 は,

で あ る こ とが わ か る。   回 転 を 行 わ な い で 各 軸 をxy平

面 に 射 影 す る と,図6.11(a)の

は 紙 面 に 対 し て 垂 直 に 手 前 に 向 か っ て い る。図(b)は,z軸 て か らxy平

面 に 射 影 し た も の で あ る 。 図(c)はz軸

ま わ り に-75° 回 転 し て か らxy平 の ま わ りに-105°

回 転 し,x軸

よ うに な る 。z軸

の ま わ りに-30° 回 転 し

の ま わ りに-30° 回 転,x軸

面 に 射 影 し た も の で あ る。 ま た,図(d)は,z軸

の ま わ りの-75° 回 転 し て か らxy平

面に射影 した も

の で あ る。

(a)

の

(c)

(b) 図6.11

(d)

(3)  変 換 ル ー チ ン の 作 成   座 標 変 換 を実 行 す る 副 プ ロ グ ラ ム を 作 成 し よ う 。   rotx,roty,rotzは,そ 点Pをx,y,z各

れ ぞ れ 変 数x,y,zに

軸 の ま わ りに 角aだ

点Pの

座 標 を代 入 し て 呼 び 出 す と,

け 回 転 し た 点 の 座 標 を 変 数x,y,zに

代 入 し

て 返 す 副 プ ロ グ ラ ム で あ る。 プ ロ グ ラ ム6.8

  convertは,変

数x,y,zに

わ りに-30° 回 転 し,さ び 変 数 をx,y,zに 場 合 は,こ

点Pの

ら にx軸

座 標 を代 入 し て 呼 び 出 す と,点Pをz軸

の ま

の ま わ り に-70° 回 転 し て 得 ら れ る 点 の 座 標 を 再

代 入 して 返 す 副 プ ロ グ ラ ム で あ る。回転 角 の大 き さ を変 更 す る

の 副 プ ロ グ ラ ム に 書 か れ た 定 数-30と-70を

書 き換 え る。

プログ ラム6.9

  PlotTo(x,y,z)は,PLOT る 。 た だ し,こ

z軸

と同 様 の 機 能 を持 つ 副 プ ロ グ ラ ム で あ

の 副 プ ロ グ ラ ム だ け で はPLOT

る こ と が で き な い の で,副 PlotTextは,指

LINES文

プ ロ グ ラ ムPenUpと

LINES文

と同様 の 機 能 を もたせ

同 時 に 用 い る。 副 プ ロ グ ラ ム

定 座 標 に 指 定 さ れ た 文 字 を 描 く副 プ ロ グ ラ ム で あ る 。x軸,y軸,

を 描 く と き,各 軸 に 名 前 を つ け る の に 利 用 す る 。 こ こ で 用 い るPLOT

文 は,AT以

TEXT

下 に 指 定 さ れ た座 標 に コ ロ ン に 続 け て 書 か れ た 文 字 列 を描 く文 で あ

る。 プ ロ グ ラ ム6.10

[2]  曲面の表 示   2変 数 関 数z=f(x,y)の 点 を と っ て,そ

グ ラ フ を 平 面 上 に 射 影 し て 描 く場 合 に は,た

くさ ん の

れ に 対 応 す る 点 を プ ロ ッ トす る だ け で は 具 合 が 悪 い 。 そ の よ う な

図 形 で は 遠 近 を と ら え る こ とが で き な い 。 遠 近 が 読 み とれ る よ うに す るた め に は 何 らか の 工 夫 が 必 要 で あ る 。比 較 的 簡 単 に 実 現 可 能 な 方 法 は,xy平 に 対 応 す るzの

値 を 計 算 し,そ

  プ ロ グ ラ ム6.11は,関

面上 の格子点

れ ら を 網 目状 に 結 ん で 表 現 す る こ と で あ る。

数z=y2-x2(-1≦x≦1,-1≦y≦1)の

グ ラ フ を格 子

を 用 い て 描 く。 実 行 結 果 を 図6.12(a)に

示 す 。 こ れ は,z軸

x軸

面 に 射 影 し た 図 で あ る 。 ま た,図(b)は,

の ま わ り に-70° 回 転 し て か らxy平

定 数 を 書 き 換 え,z軸

の ま わ りに-120°

回 転,x軸

の ま わ り に-30° 回 転,

の ま わ りの-60° 回 転 し,xy平

面 に 射 影 した 図 で あ る 。   こ こ で 実 現 し た 手 法 は 簡 単 に 実 行 で き る 利 点 は あ る が,曲

面 の 表 裏 の 区別 が つ

き に く い な ど の 欠 点 が あ る 。 見 え る は ず の な い 部 分 を 隠 し た り,表 く よ う に す る た め に は,さ

らに複 雑 なプ ロ グ ラム が 必 要 に な る。 プ ロ グ ラ ム6.11

裏 の 区別 が つ

(a)

(b) 図6.12

問3  曲面

〓を 描 け 。

問の解答 第1章 

グ ラ フ ィ ック ス の基 本

問1∼ 問3  略 問4  和 → 積 の公 式 を用 いて

 中 波 放 送 で 用 い られ る振 幅 変 調(AM)波

の 波 形 で あ る。

問5 〓 問6 

略

第2章  平面 曲線 問1 問2 

点(0,1)を

中 心 とす る半 径1の

円

問3 100 INPUT 110 SET

a,b,c WINDOW‐8,8,‐8,8

120 DECLARE

EXTERNAL

130 DRAW

140 LET

alfa=ANGLE(a,b)

150 LET

p=c/sqr(a^2+b^2)

160 SET

POINT

170 FOR

t=0

180

LET

200

PLOT USE

220

END

240 END 問4∼

問6略

grid

PI/360 IN

r=p/COS(t-alfa)

WHEN t

1

2*PI STEP

EXCEPTION

190

210

STYLE

TO

WHEN

230 NEXT

PICTURE

grid

POINTS:r*COS(t),r*SIN(t)

問

第3章

 図形の変 換

問1  略 問2 問3 

略

問4

問5 

1

6  略 問7  麻 の 葉 を描 くプ ロ グ ラ ム の 一 例 100

OPTION

ANGLE

110

PICTURE

s1

120

PLOT

130

END

140

PICTURE

DEGREES

LINES:0,0;COS(‐60),SIN(‐60);COS(60),SIN(60);0,0 PICTURE s2

150

DRAW

s1

WITH

SHIFT(1,0)

160

DRAW

s1

WITH

ROTATE(120)*SHIFT(1,0)

DRAW

s1

WITH

ROTATE(240)*SHIFT(1,0)

170 180

END

PICTURE

190

PICTURE

200

FOR

s3 a=0

210

TO

DRAW

220

NEXT

s2

END

PICTURE

240

SET

WINDOW

250

FOR

y=0 x=0 DRAW

280

NEXT

290

NEXT

300

END

WITH

60

ROTATE(a)

0,12,0,12 TO

FOR

270

STEP

a

230

260

300

x y

13

STEP

TO

12

S3

WITH

SQR(3) STEP

3 SHIFT(x,y)

問8 280 DRAW

S

290 DRAW

S WITH

SHIFT(5,0)*ROTATE(90)

第4章  複素数 問1

問2 

170

INPUT

PROMPT"a,b=":a,b

175

INPUT

PROMPT"c,d=":c,d

180

LET

190

LET

theta=ANGLE(a,b)

200

SET

WINDOW‐8,8,‐8,8

r=SQR(a^2+b^2)

205

DECLARE

210

DRAW

EXTERNAL

PICTURE

220

DRAW

230

LET

x0=((1-a)*c-b*d)/((1-a)^2+b^2)

240

LET

y0=((1-a)*d+b*c)/((1-a)^2+b^2)

250

PLOT

260

END

axes

axes House

WITH

SCALE(r)*ROTATE(theta)*SHIFT(c,d)

POINTS:x0,y0

プ ロ グ ラ ム4.1で220行

220 DRAW

House

を

WITH

SCALE(1,-1)*ROTATE(2*theta)

に 書 き換 え る 。 問3 170

INPUT

PROMPT"a,b=":a,b

175

INPUT

180

LET

r=SQR(a^2+b^2)

190

LET

theta=ANGLE(a,b)

200

SET

WINDOW-8,8,-8,8

205

DECLARE

210

DRAW

axes

220

DRAW

House

PROMPT"c,d=":c,d

EXTERNAL

WITH

PICTURE 

axes

SCALE(1,-1)*SCALE(r)*ROTATE(theta)*SHIFT(c,d)

230 IF a^2+b^2<>1THEN 240

LET

x0=((1+a）*c+b*d)/(1‐(a^2+b^2))

250

LET

y0=((1‐a)*d+b*c)/(1‐(a^2+b^2))

260

PLOT

270

LET

x1=x0+100*COS(theta/2)

280

LET

y1=y0+100*SIN(theta/2)

290

LET

x2=x0‐100*COS(theta/2)

300

LET

y2=y0‐100*SIN(theta/2)

310

PLOT

320 END

POINTS:x0,y0

LINES:x1,y1;x2,y2

IF

330 END 〔注 〕270行

か ら300行

ま で は 軸 を 表 す 。 係 数 の100は

適 当に と る。

問4 170

0PTION

ANGLE

180 INPUT 190 INPUT

問5 

DEGREES

PROMPT"theta=":theta PROMPT"c,d=":c,d

200

SET

WINDOW‐8,8,‐8,8

205

DECLARE

210

DRAW

axes

220

DRAW

House

230

DRAW

240

LET

phi=theta/2

250

LET

k=(d*COS(phi)‐c*SIN(phi))/2

260

LET

s=20

270

SET

LINE

280

PLOT

LINES:k*COS(90+phi)+s*COS(phi),k*SIN(90+phi)+s*SIN(phi);

290

PLOT

LINES:k*COS(90+phi)‐s*COS(phi),k*SIN(90+phi)-s*SIN(phi)

300

END

EXTERNAL

House

PICTURE

WITH

STYLE

axes

SCALE(1,‐1)*ROTATE(theta)*SHIFT(c,d)

2

次 の プ ロ グ ラ ム は,

  他 の数 値 に 変 え る場 合 に は,180行 を 利 用 す る。

〓の 場 合 の 解 で あ る。 か ら210行

ま で の 部 分 を書 き換 え る か,input文

100

PICTURE

110

IF

120 130

p(s)

s＜h/500

PLOT

THEN

POINTS:0,0

ELSE

140

DRAW

P(S*r1)WITH

SCALE(1,‐1)*SCALE(r1)*ROTATE(t1)

150

DRAW

P(S*r2)WITH

SCALE(1,‐1)*SHIFT(‐1,0)*

SCALE(r2)*ROTATE(t2)*SHIFT(1,0)

& 160

&

END

IF

170 END

PICTURE

180 LET

r1=1/SQR(2)

190 LET

t1=PI/6

200 LET

r2=1/SQR(2)

210 LET

t2=PI/4

220 LET

h=1

230 SET

WINDOW‐h/2,h*3/2,‐h,h

240 SET

POINT

250 DRAW

STYLE

1

P(1)

260 END 問6∼

問9 

略

第5章

 カ オ ス

問1 ￨a￨＜1の a =1の 問2,問3 

と き収 束,a＞1ま と き は ,b=0で

た はa≦1の

収 束,b≠0で

と き発 散 発散

略

第6章  数学の 図解 問1 

プ ロ グ ラ ム5.1の200行

を 

PLOT

POINTS:t,V 

に 変 更 す る。

問2 

プ ロ グ ラ ム5.2の190行

を 

PLOT

POINTS:t,V 

に 変 更 す る。

問3 問4

問5 問6

索 引あ

画素

行

 1

加 法定 理

ア ステ ロ イ ド

  29

ア フ ィ ン変 換

  81

 13

軌跡

  51

共役複素数 一 次変 換

一 次変換 の行 列 に よ る表現 一 次変換 の分 解 1階 の線 形微 分 方程 式

 100

 63

行列式

 64

極

 31

 68

極座 標

 31

極 方程 式

 32

 153

  82

曲面 の 表示 裏 向 き合 同変 換

 173

  84,102

裏 向 き相 似変 換

 101

絵定義

グ ラフィ ッ クス

 1

空間座 標

 169

減 衰 振動

 156

 57

円の極 方程 式

  33

円の媒 介変 数 表示

  26

コッホ曲線

 92

表 向 き合 同変換

  78

恒 等変 換

 63

表 向 き合 同変換 の性 質

  79

合同変換

 84

表 向 き相 似 変換

 100

か カー ジ オ イ ド

カオ ス

回転移 動

外部絵定義

行

 9

弧度法

 9

さ 行

 28  133  59  4

角 周 波数

 9

角 振動 数

 9

拡 大 ・縮 小

弧度

 61

サ イ クロ イ ド 紗 綾 形(さ

や が た)

3倍 角 の公 式

シ ル ピ ン ス キ ー の ガ ス ケ ッ ト 

自己イ ンダ ク タン ス

 27   89  17

96  150

 31

だ 円の 方程 式

  41

 152

多項式 に よ る近似

 161

射影

 169

直 線 の極 方程 式

写像

 98

周期

 9

自己相似 図 形

 92,104

指数 関数

始線

周 波数

 34

テー ラー展 開

 164

ドラ ゴ ン集 合

 104

 9

十字 つ な ぎ

 86

初期 位相

 9

等角 写像

振 動数

 9

導関数

振幅

 9

動径

ず ら し写像

 65

 117  20  31

等長 変 換

  75

特性 方程 式

 158

な 行

正 弦関 数

 9

正 弦 曲線

 16

2階 の 線形微 分方 程 式

正 弦波

 15

2変 数 関数

正 接関 数

 11

正葉 線

 38

接線

 48

 157  173

任 意 の点 を 中心 とす る回転 移 動  の こ ぎ り波

76

 166

漸化 式

 122

双 曲線

 44

媒介変数表示

  26

双 曲線 の媒 介変 数表示

 45

反転 変 換

 118

双 曲線 の方 程式

 45

相似 変 換の 中心

 100

た 行

は 行

微分 方程 式 フー リエ 級 数

 165  165

対称 移 動

 73,80

フ ー リエ 係 数

対称 移動 の合 成

 75,81

複素 数平 面

対称 移動 を表す行 列

 79

だ円

 40

だ円の 媒介 変数 表示

 43

 152

物理座 標

偏角

 98  1

 31

変換 の合 成

  65

離心率 放物線

  38

包絡線

  53

 46

レ ム ニ ス ケー

ト

 112

例外処理 ま マ ン デ ル ブ ロー 集 合

 139

マ ン デ ル ブ ロー の λ‐map

 139

や

行

有 限 フ ー リエ 級 数

ロ ジ ス ティ ッ ク写 像

CR回  165

余 弦 関数

 10

路

LCR直

LR回

 148

列 回路 線

路

ラ ジア ン

Shearの  9

 154  106  150

Shear

行

 137

英 字

Levy曲

ら

 5

行

  65

逆 変換

  66

〈著 者 紹介 〉

片 桐重

延

学

歴 

東 京教 育 大学 理 学 部卒 業(1953)

職

歴 

日本私学教育研究所研 究員 日本数学教育学会監事 理学博士

白 石

和 夫

学

歴 

東 京教 育 大学 理 学 部数 学 科 卒 業(1976） 筑 波 大 学 大学 院 博 士課 程 数 学研 究科 単 位 取 得(1981)

職

歴  東京都立足立西高等学校教諭 文教大学教育学部助教授 日本数学教育学会出版部幹事 理学修士

新 ・数 学 と コ ン ピ ュ ー タ シ リー ズ  9 コ ン ピ ュー タ に よ る グ ラ フ ィ ッ ク ス 1996年10月20日 

第1版1刷

著

発行

者 片 桐 重 延  白 石 和 夫

発行者 学校 法人 東 京 電 機 大 学 代 表 者 廣 川 利 男 発行所 東 京 電 機 大 学 出 版 局 〒101 東 京 都 千 代 田 区 神 田 錦 町2‐2 振 替 口 座  00160‐5‐  71715

印刷 三立工芸㈱ 製本 ㈱徳住 製本所

〓

電 話  (03)5280‐3433(営

業)

(03)5280‐3422(編

集)

Katagiri Shiraishi

装 丁  高橋 壮一

Printed

in

Shigenobu Kazuo Japan

*無 断 で転 載 す るこ とを禁 じます 。 *落 丁 ・乱 丁 本 は お取 替 えい た します 。 ISBN4‐501‐52590‐8 

C3355

R

〈日本 複 写 権 セ ン ター 委 託 出版 物 〉

1996

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.  P‐62