Унижение математикой

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю. В. Покорный

УНИЖЕНИЕ МАТЕМАТИКОЙ?

Воронеж 2006

Последние годы математику вынуждены изучать повально все студенты – даже гуманитарии. И сплошь и рядом заново учатся дробям. При их не слишком положительном отношении к математике, сложившемся в школе – то что они далее усвоят в вузе? И какой математике их имеет смысл учить? Что делает математику такой трудной для изучения? По мнению автора, одна из главных причин – игнорирование в преподавании интуиции, из которой и произрастают математические знания, в неведении самых элементарных основ генетической теории интеллекта, хотя законы такого генезиса были сформулированы еще Аристотелем. В книге читатель найдет анализ главных учебных математических концепций на фоне обыденной интуиции. Соответствие интуиции – главный источник качественных знаний. Мы обнаружим, откуда «на ровном месте» возникает череда абсурдов и нелепиц, сбивающих с толку доверчивые головы. Мы анализируем возможность наглядной ликвидации этих нелепиц, способов приведения их к здравому смыслу. Автор постарался изложить материалы предельно доступно. В том числе, возможно, и для родителей, желающих понять, как помочь своим детям разобраться в тех или иных нелепицах и нескладухах.

2

Предисловие “Поразительная эффективность математики” (фраза Леонардо да Винчи) была чуть ли не аксиомой для ученых уже Средневековья, за столетия до формирования высшей математики с ее дифференциальным исчислением. Сейчас математика – непременная компонента цивилизации, а потому – одна из составляющих всеобщего образования. Без математики нынче – никуда. Уже только это должно вызывать к ней почтение. Однако значительная часть общества почемуто испытывает к Математике не очень добрые чувства. Отношение к математике закладывается в годы учебы в школе (и в вузе). И для многих принудительное освоение математики, как учебной дисциплины, превращается в мучительно-занудливое занятие, раздражающее и отталкивающее. О качестве знаний часто и говорить не приходится – слишком многие выпускники шко2 лы путаются в дробях, складывая по правилу 21 + 13 = 1+1 2+3 = 5 и полностью пасуя в процентах. Вот и главный вопрос: Математика, как кристально прозрачная система пронзительно глубоких красивейших (и эффективнейших) знаний, превращаясь в учебный предмет, не только теряет привлекательность и прозрачность, но превращается в источник неприязни, раздражения и даже ненависти. Не для всех, но слишком для многих. Что является причиной такого перевоплощения? И почему всемерные попытки улучшения преподавания, предпринимавшиеся в XX в., имели, как правило, обратный эффект? Ниже показывается, что многообразные проблемы приобщения к Математике предопределены. И не принудительностью обучения, а предопределены игнорированием важнейшего обстоятельства, для преподавателей как бы неведомого. Вся математика есть интеллектуальный продукт! Но тогда и учебная математика, тем более, есть продукт деятельности высших психических функций, которые изучаются достаточно серьезной наукой – психологией. И этой наукой постигнуты важнейшие законы Ψ-деятельности (в том числе мышления), о которых математики если и знают, то понаслышке отдельными клочьями. И в силу неведения систематически грубо их нарушают. Математика – Ψ-продукт

3

Ниже мы обнаружим, что странные и непостижимые трудности преподавания математики имеют вполне рациональное объяснение с помощью генетической теории интеллекта, созданной в 20-е годы XX века величайшими психологами Ж. Пиаже и Л. С. Выготским. Излагаемый материал подытоживает почти сорокалетние размышления автора, а так же интенсивное общение с учителями в течение последних 15 лет (в рамках Воронежского областного института повышения квалификации работников образования). Мы познакомим читателя с “генетическим устройством Математики” — антиподом стандартной формально-логической классификации. Опытные педагоги знают, что именно формализм является главным врагом интуиции, противореча сплошь и рядом “внутреннему голосу”, омертвляя “живое ощущение действительного мира” (слова А. Н. Колмогорова). Мы поможем как бы приобрести особые очки, позволяющие смотреть сквозь толщи стереотипов и заблуждений стандартных методик, открывая первозданную красоту и мощь изначальных идей, многие из которых рождены Гением Человека десятки тысячелетий назад – когда и письменности не было. Ряд приводимых ниже соображений обсуждался и публиковался в соавторстве с Антиповым С. А., Лазаревым К. П., Плетневой О. К., Покорной И. Ю., Потаповым А. С., Розовым Н. Х., Савинковым Ю. А. Изложение проводится в форме отдельных тематических фрагментов, содержания которых могут пересекаться. Мы обозначаем эти фрагменты буквой Φ с соответствующим номером. Внутри фрагментов со сквозной нумерацией у нас идут параграфы. В Дополнении мы поместили прямые выдержки из важнейших источников, обычно для массового читателя труднодоступных или малоизвестных. Я благодарен М. Б. Давыдовой и С. А. Шаброву за компьютерное сопровождение рукописи.

4

Указатель содержания Ф-0. Введение §0.1. Когда аргументов нет. Абстракции врубаются в наивную интуицию. Минус впереди чего? dx 6= ∆x. Откуда идут традиции учебной математики?

§0.2. “Унижение математикой?” Царской дороги нет — приятно слышать! А математиков гоняли уже давно. Иногда и жгли. “Отталкивающая чистота”. Когда “правильно, но неверно”?! Любой нормальный ребенок способен к точному математическому мышлению — факт, в психологии четко доказанный, и абсолютно нам, математикам-педагогам, неизвестный. Генетическая теория интеллекта — главный инструмент.

§0.3. Неудобные смыслы. Странные нескладухи школьной математики. Два на три не делится, но результат есть. А 2 > 3 — нормальное неравенство? И “плюс два градуса мороза” — вызывает доверие? И прибыль можно получить, перемножая убытки. И прочие забавы, от которых недоверие и неприятие вплоть до ненависти. Начало традиций — от Х. Вольфа (XVIII в.). Знания — от интуиции. Укроет ли от дождя бумажка с надписью “зонт”?

Часть I. Интуиция под гнетом формализма Ф-1. Математика – учебная дисциплина §1.1. А что же такое есть математика? §1.2. Какая бывает математика. Классификация А. Н. Колмогорова. Первичная репродукция исторического генезиса математики. Дискуссии XVIII в. о числах, затем — о бесконечных. Математика многоэтажна. Зачем в школе учить производную?

§1.3. Учебная математика глазами ее ваятелей. Про историю своей науки говорят педматематики. О ее задачах и целях. Сплошь цитаты авторитетов, очень незабавные.

§1.4. Форма душит смысл. (сгущение абстракций) Формализмы и абстракции борются с интуицией.

Ф-2. Психология мышления §2.1. Родной язык в математике. “Смысл узнаете потом!” Язык – методист. И орудие мышления, и реальное сознание. Каждое слово – океан истории.

§2.2. Язык и мышление. В центре внимания мудрецов всех времен.

§2.3 Слегка о психологии. 5

Начала – у Аристотеля (механизм ассоциаций). Ощущения и рефлексии. Интроспекция. Интериоризация.. Трактовка интеллекта. Задачи решает не логика, а инсайт (озарение, ага-переживание, догадки).

§2.4. Ψ-лестница. Описание лестницы форм души (по Аристотелю) или уровней мышления (по Пиаже и Выготскому), ступени которой проходит как все человечество за свою историю, так и каждый человек на протяжении жизни. Четыре уровня – сенсомоторный, интуитивный, ассоциативный и абстрактно-логический (понятийное мышление).

§2.5 Функциональные роли Ψ-лестницы. Математика – грань общечеловеческой культуры созревала по Ψступеням и имеет естественную сепарацию. Ее Ψ-уровни должны согласовываться с уровнем учеников – иначе катастрофическое неприятие.

§2.6. Натурально-интуитивный интеллект. Наивная (нерасчлененная) интуиция, примитивный синтаксис мысли, синкретизм.

§2.7. Внешние признаки примитивного мышления. Ψлогика. Склонность к соположению, нечувствительность к противоречиям, синкретизм суждений и проч.

§2.8. УрМ-2 — страна синкретов. Синкрет – несвязная куча ассоциаций.

§2.9. Научные Ψ-формы мышления (по Выготскому) УрМ-3 – комплексное мышление. Пять типов комплексов (ассоциативный, коллекционный, цепной, диффузный и псевдопонятие).

§2.10. УрМ-4. Высшая ступень — понятийное мышление. Речь внутренняя, внешняя устная и внешняя письменная. Ψ-абстракции.

Ф-3. Элементарная математика на ступенях Ψ-лестницы §3.1. Колеса поезда стучат квадратом радиуса?! Здесь начинаются Ψ-комментарии типичных для математики абсурдных стереотипов. Ψ- убедительность синкретов — во внешней соблазнительности примитивной логики.

§3.2. Число и цифра — есть разница? §3.3. Откуда идет морока? Педматематика насыщена синкретами. §3.4. А напрямую для детей — не хотите ли? §3.5. И в школьных учебниках Ψ-примитива многовато. 6

Упражнения для самостоятельного самоанализа и для разговоров с коллегами. Главное же — для самоуважения. Ведь не зря же математику вон в каком объеме учили!

§3.6. Интуитивно-натуральная математика Которая согласуется со здравым смыслом, с интуицией, с внутренним голосом и с первыми двумя уровнями как Ψ-лестницы, так и классификации Колмогорова. Предыстория математики. Древний фон. Первобытные количества. Делить с остатком без дробей! Что раньше — делить или считать? О египетских дробях. Изначальная математика.

§3.7. Первобытные количества §3.8. Греческие основания математики §3.9. Ψ-основы школьной математики Натуральная арифметика. Доли величин. Арифметика долей. Содержательной математике — минимум формализации. Ψ-логика Киселева. Натуральная арифметика дробей. Дробно-алгебраическая арифметика Q+ . Относительные рациональные числа.

§3.10. §3.11. §3.12. §3.13. §3.14.

Дробно-алгебраическая арифметика Q+ Относительные рациональные числа Некоторые направления формализации Формальные конструкции. Для мебели Как высшая математика на элементарную наеха-

ла Цитируем классиков (С. Л. Соболев, А. Н. Колмогоров, М. Клайн + автор).

Ф-4. В чем таинственность дробей? §4.1. Наши намерения. Внешний эскиз Каши

§4.2. Что есть дробь? О способностях к дробям. Всякому ли дано постичь дробную науку? Чему мешает интуиция. Что скрывает слово дробь? Целый реестр самых разных вещей, связанных с дробной чертой.

§4.3. Что такое в школе дробь? В том числе и результат деления 2:3. А разве 2 на 3 делится? Колдобины школьной технологии введения дробей. И ни одного определения — ни что называется дробью, ни что называется суммой и т. д. А процент — это дробь? Или число?

§4.4. А как было б лучше? Откуда дроби взялись, и что их породило? Дроби в античном мире и в быту. Разница между бытовой и чистой математиками. Естественно-интуитивная метода введения дробей — по гречески, через величины.

7

§4.5. Проблема формализма. Эволюция символов в математической культуре. Наследие риторической математики и внутренний голос. Интуиция и Ψ-фактор. Роль языка. Формализации, приводящие к полной утрате смысла.

ЧАСТЬ II. УРОКИ ИСТОРИИ Ф-5. Другая история §5.1 Официальные легенды истории математики История математики обычно изучает эволюцию — эстафету идей и почти никогда — эволюцию потребностей в математике. Что вызвало к жизни математику халдеев, греков, индусов и проч.? Ничего, кроме сказанного К. Марксом и Ф. Энгельсом историки добавить не могут. Анализ корней школьных методик требует других подходов. Грехи стандартной периодизации по Ф. Э. Другая периодизация — другие акценты.

§5.2. Другая периодизация §5.3. Доисторическая математика. §5.4. Вершки и корешки. Ф-6. Про античных про ученых и про их µαΘ²µα. §6.1. Начало чистой математики. Геометрическая алгебра. Древнегреческая математика, выросшая из практической, считается эталоном чистой, теоретической науки, якобы отрешенной от практических вычислительных задач. Однако, в началах Евклида описаны методы геометрического решения квадратных уравнений, возникающих в логистике — прикладной математике. Вместо чисел фигурируют общие величины, в качестве которых выступает наиболее удобная интерпретация — длины.

§6.2. Про Евдокса и «Начала». Самое глубокое достижение греков — общая теория вещественного числа, содержащаяся в теории общих отношений величин и пропорций. У Евклида в «Началах» пять аксиом (все про величины). Понятие величины — коренное для всей будущей математики вплоть до конца XIX в. Главная особенность «Начал» — дедуктивный характер построения. О Евклиде и его «Началах». Оказывается, «Начала» — в основном не геометрия, а мощная логическая база тогдашней (и последующей до XIX в.) математики.

§6.3. Чем Евклид молодец? Эталон строгости. Евклид и геометрия. “Освобождение” арифметики от геометрии — утрата величин. Новая наука без величин, сотворенная в XVIII в. — основа нашей школьной математики. За кулисами античной математики оказалась астрономия.

§6.4. За кулисами греческой математики. Широкой математической общественности почти не известно, что коренная математическая проблематика вышла из астрономии. Все античные математики были астрономами. Общая теория отно-

8

шений сыграла решающую роль для последующего развития тригонометрии — важнейшего детища греков и эффективнейшего средства практической математики. Евклид — геометр не из-за «Начал» — он создал сферическую тригонометрию.

Ф-7. Гримасы истории §7.1. От Евклида до Пачоли все дедукции пропали. Формально-дедуктивные схемы традиционно считаются главным внешним признаком математики. Дедуктивная догматика в преподавании. Но куда они подевались из математики от греков до Возрождения? Как развивали греков на Среднем Востоке — О. Хайам и др. К XV в. в Европе что-то ожило.

§7.2. У всех — Возрождение, в Математике — смута. Числа иль не числа? Внешние особенности эпохи. Основные вехи в математике. Недоумение математиков. Плюс-минус парадоксы.

Ф-8. Взгляд как бы сбоку §8.1. Что есть нынче min 3? Как положено вводить плюс-минус числа в школе? А каков смысл +(−) у этих чисел, есть ли связь со знаками прежних арифметических действий? Причина всех смущений — больше-меньше в новых числах.

§8.2. Кто в истории наврал? Откуда взялись плюс-минус числа в Китае и Индии. Причина всех проблем — в больше-меньше. “Число” по русски.

§8.3. Педагогическая пурга. Можно ли какую-либо запись назвать числом? кошку назвать коровой? Что такое число — в школьной математике никто не знает. Самое главное — не утратить смысл. Новые числа — другие числа. Чем они хуже старых? Какая практическая нужда породила плюс-минус числа? — никакая! Другие числа — элементы другой математики.

Ф-9. Универсальная арифметика §9.1. Элементарные арифметики. Арифметика натуральных чисел. Арифметика величин. Арифметика дробей.

§9.2. Абстрактные арифметики. Арифметика дробных чисел. Арифметика целых чисел. Арифметика рациональных чисел. Арифметика многочленов.

§9.3. Арифметика бесконечных. Актуальная бесконечность. Странности бесконечных сумм. Актуально бесконечно малые. Арифметика Валлиса (дифференциалов). Теорема Ферма и Галилея. Теорема Демокрита-Архимеда. Следствие — теорема Ньютона-Лейбница.

ЧАСТЬ III. Ψ-генезис учебной математики. 9

Ф-10. Традиции учебников §10.1. Начальное сырье школьной математики. Исходная база греческой математики + практическая математика Метод Вольфа. Плюс ворох дополнительных обстоятельств, рожденных в период Возрожения. Особенности математики рехенмейстеров. Роль античной математики в логистике. Деловая математика и тригонометрия. Шаги символизации. Как объяснить про “О”. Про “меньше”. Действия с новыми числами.

§10.2. A + B сидели на трубе Язык на Ψ-лестнице. Звуки речи — слова. Сам-сам-разы. Смешные комбинации sin = 50%. УрM-4 → на язык.

§10.3. Что делать с багажом, доставшимся от предков? Первые версии учебников. Разобраться некогда. Дроби в старых учебниках. Чем отношение не дробь? Обойтись без величин. А что кроме в школе надо?

§10.4. Традиция непогрешимости. Педматематика о себе — судить боле некому. Примеры озарений. Швондеры пришли. Пролетарские математики понаделали делов. Наследие Кольмана и K o .

Ф-11. Ядро математики §11.1. Низшая математика. Натурально-интуитивная математика. Барьер абстракций и языка. За барьером. Отрыв от корней. Как быть со строгостью.

§11.2. Историческое русло. Социальные корни по Колмогорову. Истоки учебной математики. Череда счислений. Поучиться колесу!

Ф-12. Дополнения. Сплошные цитаты и выдержки. Выготский Л. С., Беллюстин, Бурбаки Н., Лебег, Депман, Феликс Л., Пуанкаре Л., Клейн Ф., Клайн М., Колмогоров А. Н.

Литература. Оглавление.

10

Φ–0. ВВЕДЕНИЕ § 0.1 Когда аргументов нет Абстракции врубаются в наивную интуицию. Минус впереди чего? dx 6= ∆x. Откуда идут традиции учебной математики?

В любом преподавании недостаток аргументов нередко восполняется примитивным психологическим давлением, когда ученик (студент) вынужден изображать понимание из вежливости, из уважения к авторитету или, что чаще, просто из страха показаться глупым, получить не ту оценку. В преподавании математики – этой самой точной из наук – где, казалось бы, все может быть объяснено совершенно прозрачно, подобные Ψ-аргументы приобретают особенно зловещие формы. – Через 2/3 обозначается результат деления 2 на 3 (дроби начинают только изучаться) – Два на три не делится! – Какой это результат, если два на три не делится?! – Да, два на три не делится! Но то, что получится, обозначается через 2/3. Если уже поделено, ведь что-то уже получилось! Вот именно этот результат и обозначается через 2/3. Ясно? Если нет — могу повторить! Впрочем, если кому чего не дано понять – это его проблема! (Не у всех же есть способность к абстрактному мышлению!). Но и великий Л. Эйлер явно смущался, когда взятие половины называли умноженным на 1/2: какое же это умножение, когда на самом деле происходит деление? 1. В современной математике имеется боОбобщенное гатый диапазон формально-логических процерешение — дур, освоение которых требует предварительвперед! ной достаточно высокой математической культуры. К сожалению, подобные процедуры часто применяются в учебно-методических целях без оценки предварительной подготовки обучаемых. Например, идея расширения понятий путем введения обобщенных решений. Две третьих может определяться, как обобщенное решение уравнения 3x = 2. Но не для подростков же! Равно, как √ 2 — обобщенное решение уравнения x2 − 2 = 0; или i — как решение уравнения x2 + 1 = 0! Но это чрезвычайно красивая сама по себе идея алгебраического расширения – разве объект элементарной математики? 11

Кстати, лежит ли вопрос В чем разница между элементарной и высшей математикой? в компетенции только лишь чистой математики? А ведь снятие этого вопроса было (по словам С. Л. Соболева) одной из главных задач реформы (под флагом Колмогорова-Маркушевича) преподавания математики 70-х годов XX в. Даже и первокласснейшие математики что-то недопоняли в этой проблеме судя по итогам реформы. Что же получается, когда в методических целях идеи из высокой науки используются просто “для навешивания лапши на уши”? Рациональным числом называется (пракУ числа тически во всех учебниках высшей математибывает вид? ки) число вида m n , где n ∈ N , m ∈ Z. Все хорошо бы было бы, если бы не два НО! Второе НО – что такое вид числа? А первое НО – вопрос: “Что такое число, да еще с разрешительными видом?” Считается, что это, якобы, должно быть ясно еще со школьной скамьи. Но! В самых авторитетных пособиях для (даже) учителей объясняется глубокомысленно, что “число – понятие первичное и потому определено само по себе быть не может”! Намек, видите ли, на формально-логическое обоснование математики всеобщей системой аксиом Гильберта (или еще кого-либо). А эту самую систему аксиом даже и студенты-математики не все знают. Да и про “вид числа” ни в какой такой системе и речи нет. Уточнять “про вид” — это лезть еще глубже в метаматематику. Мы же сейчас говорим о студентах 1 курса, якобы вынесших какие-то знания из школы. 2. На вступительных экзаменах (до ЕГЭ — Минус впереди! что значения вопроса не меняет) вопрос: “Беру число a, ставлю перед ним знак минус! Будет — Чего? ли число «−a» отрицательным?” Ответ даже у сильных абитуриентов практически мгновенный: – “Конечно! Ведь впереди знак минус стоит!” Большинство через секунду-две поправляется, отвечая, как положено: “Число «−a» противоположно a, т.е.. . . (и далее, как надо)”. Но первая мгновенная реакция говорит о том, что знание здесь как бы двухслойно и “правильное” знание зарыто глубже, чем первое, поверхностное, интуитивное. И что оба знания не слиты воедино, как нам хотелось бы.

12

Функция без аргумента

Почему дельта-функцию Дирака физики называют функцией — понятно. Они ее определяют поточечно во всех точках, кроме одной как обычную производную от кусочно-постоянной функции Θ(x), которая тождественно равна 0 при x < 0 и Θ(x) ≡ 1 при x > 0. Но математики объясняют всем, что это – неправильно, что δфункция – это функционал. Но почему же тогда на этот функционал перенесено привычное слово “функция”? Хоть и с прибауткой — “обобщенная”. Что означает привычное понятие функции обобщенно? Легко ли с разбегу представить себе функцию, не имеющую аргумента, т.е. независимой переменной (да и зависимой)? В результате такого чисто психологического синкретического перепутывания терминов и понятий при обсуждении равенства Θ0 (x) = δ(x) профессор глубокомысленно отчитывает аспиранта, поспешившего заявить, что значение Θ-функции в точке x = 0 несущественно. Что такое дифференциал dx независимой dx = ∆x переменной? Ответ (например, в классическом учебнике Фихтенгольца): dx = ∆x. Доказательство: если взять функцию y = x, то ∆y = ∆x, откуда по определению дифференциала (главная линейная часть приращения ∆y) однозначно следует dy = ∆x, после чего остается вспомнить, что y = x. В чем ошибка?! Запись dy/dx при обозначении y 0 запрещено считать отношением dy : dx, ибо само понятие отношения дифференциалов лишено (якобы) смысла. Но почему тогда dy = y 0 dx? Интеграл Римана дается пределом интеn Какой предел в гральных сумм вида S = P f (ξ )(x n k k+1 − xk ) интеграле? k=1 при a = x0 < x1 < . . . < xn+1 = b и при xk 6 xk < xk+1 . Но на момент введения этого понятия студенты в лучшем случае знают предел последовательности или предел функции скалярного аргумента. Здесь же Sn при каждом n зависит от целого агрегата параметров, ведущих себя достаточно произвольно. Какова уверенность авторов учебников, что в такое определение можно сразу “въехать”? Примеры из высшей математики приведены в основном для серьезных ученых — “и у Вас под носом вон что делается?” Но все это — мелочи. Таких пустяков можно привести достаточно много (чтобы далеко не ходить: почему слово “вектор”, которое и в физике, и в аналитической геометрии означает направленный отрезок, 13

можно прислонить к функции? Достаточно ли здесь только лишь чисто математических комментариев?). А вот на нижних этажах математического образования, т. е. в школьной математике, в этом плане — полная катастрофа! На которую серьезные математики в основном смотрят вполне индеферентно! Как бы и не замечая! И полностью снимая ответственность! Принято считать, что учебная математика Учебная является детищем Большой Математики, коматематика — торая Математика-наука. Традиции учебной откуда и математики начали оформляться более трех зачем? столетий назад. До начала XX века на их формирование существенно влияла достаточно бурная эволюция Большой Математики, т.е. Математики-науки. Однако уже к середине XX в. учебная математика стала не просто автономной от своей прародительницы. Уже и в начальных классах прежняя «Арифметика» заменена на «Математику». Перед глазами современного общества математика предстает в первую очередь в виде самых разношерстных учебников и учебных пособий для школьников и студентов. Большинство преподавателей слепо следуют этим учебникам, как должностным инструкциям. В школе – обязаны следовать. И программы пишутся под эти учебники. И все это – якобы от имени и по поручению Математикинауки. Тем самым отношение широких слоев общества к Математике формируется не столько самой наукой-математикой, а той социально-математической деятельностью, которая воплощается в учебно-математическом процессе. Как в школе, так и в вузе. § 0.2 Унижение математикой?! Царской дороги нет — приятно слышать! А математиков гоняли уже давно. Иногда и жгли. “Отталкивающая чистота”. Когда “правильно, но неверно”?! Любой нормальный ребенок способен к точному математическому мышлению — факт, в психологии четко доказанный, и абсолютно нам, математикам-педагогам, неизвестный. Генетическая теория интеллекта — главный инструмент.

Возможно ли такое!? Природная любознательность детей в пух и прах разбивается при переходе от начальной математики с ее спокойными водами арифметики натуральных чисел к математике второй ступени с ее дробно-рациональными и отрицательными числами, правилами знаков, модулями, буквенными высказываниями и проч. Математика становится занудливо“Унижение математикой!”

14

мучительным предметом для большинства детей. Учителям этот барьер хорошо известен. Известен он и крупным ученым, которые уже больше двух веков назад (начиная с Даламбера) забили тревогу — “преподавание математики опасно отрывает предмет от интуиции”! За минувшее время, когда среднее образование стало не только массовым, но и всеобщим, проблема этого “ставшего вдруг тоскливо-мучительным” обучения математике не исчезла, а усугубилась. Вот мнение А. Лобка, учителя математики, при этом — профессионального психолога, автора ряда экспериментальных программ: «. . . Миллионы детей, изучающих математику в начальной, а особенно в средней школе, переживает такую страшную вещь, как унижение математикой. Это когда ребенок на протяжении долгих школьных лет переживает чувство своей непроходимой математической тупости, а учитель всячески поддерживает в нем это чувство либо в щадящей форме (“ну что поделаешь — у него гуманитарные мозги!”), либо в форме откровенно циничной и злобной (“ну ты тупой!”) и т. п. — не буду множить примеры, поскольку они известны всякому. И дело даже не в отдельных репликах того или иного конкретного учителя. Миллионы людей, прошедших цикл школьного обучения, искренне верят в то, что они беспросветно тупы математически, а время, затраченное на изучение математики, считают напрасно потерянным временем». Может быть учитель А. Лобок перегрелся в текучке современных трудностей, когда у нас в стране всяких проблем выше крыши? Но вот недавняя оценка ситуации академиком В. И. Арнольдом. По его словам мы имеем сейчас «. . . засилье аксиоматико-схоластической математики, особенно в преподавании (в том числе и в средней школе), на которое общество естественно и законно реагирует резко отрицательно. Результатом явилось повсеместно наблюдаемое отвращение к математике и стремление всех правителей отомстить за перенесенные в школе унижения ее уничтожением». И далее: «. . . выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой. Выросли целые поколения профессиональных математиков и преподавателей математики, умеющих только это и не представляющих себе возможности какого-либо другого преподавания математики». Академик В. И. Арнольд считает так же

Что это за таинственно-непостижимые трудности, не только отталкивающие от предмета, но и приводящие к массовой математи15

ческой неграмотности? Ведь не секрет, что значительная часть вчерашних выпускников складывает дроби по правилу 12 + 13 = 1+1 2+3 = 2 5 , как огня боится задач с процентами и модулями, а о всяких дедукциях, точных определениях — “что такое обратная функция”, “что такое числовая ось”, теоремах, доказательствах если и помнит, то чисто эмоционально. Почему так? Привычный для всех ответ: “Не всем де дано! Не у всех имеются способности к абстрактному мышлению! Есть де природная склонность у одних к естественному мышлению, а у других – гуманитарные мозги”. Или спортивные, к примеру. Чего не всем дано?

Но это – мотив для тех, кто не смог школьную математику освоить. Это, дескать, твоя проблема, если не способен. Но как быть с мнением тех, кто школьную математику освоил в совершенстве, но любовью к ней не воспылал? Дж. Зайдман, известный физик, в своей книге «овременная квантовая теория» (М., Мир, 1971) пишет: «Нет ничего более отталкивающего для нормального человека, чем клиническая и стерильная последовательность определений, аксиом и теорем, порождаемая трудами чистых математиков». Отталкивающая чистота!

Вот так! Чистота может отталкивать! Чем? Тем, что чистота бывает разная, и формально-логическая чистота в руках чистых математиков в процессе преподавания, где неизбежно приходится сталкиваться с интуицией, с плотью реальных представлений, а уже хотя бы тем, что часто противоречит здравому смыслу, внутреннему голосу. Например, можно ли согласиться с тем, что запись «2 = 3» есть равенство? А запись «2 > 3» — неравенство? И что если к двум добавить три, то суммой будет не пять, а запись 2+3? Понравится ли Вам фраза: “На улице плюс пять градусов мороза(!)?” Именно плюс да еще мороза! Воистину “ПраПравильно, но вильно, но неверно!” Т. е. по правилам — да, неверно? именно так и положено – по правилам школьной математики. А поверить, т. е. признать верным, что-то не хочется. Чего-то внутри мешает. Неоднозначное отношение к математике зафиксировано в истории очень давно. Равно как и странные выводы, которые отсюда делаются. 16

В математику нет царской дороги!

“В математику нет царской дороги!” Почти так согласно легенде ответил Евклид царю Птолемею, когда подарил ему свежеоконченный свой труд – знаменитые «Начала» — и когда тот после знакомства с ними cпросил: “А нельзя ли, мол, как либо попроще изложить, подоступнее?” Ответ этот о царской дороге ласкает слух всех преподавателей математики. Если, мол, у тебя нет этих самых способностей к абстрактному мышлению, то это – твоя проблема. И никакая царская корона тебе не поможет. Однако, царский вопрос — а можно ли попроще — за прошедшие две с лишним тысячи лет в преподавании математики не только не был снят, но резко обострился. Сейчас, когда образование стало массовым, когда математику в обязательном порядке должны осваивать все граждане, отношение между математикой и обществом становится чуть ли не социальной проблемой. История этих взаимоотношений и ранее Кодекс была не безоблачной. В кодексе законов ЮсЮстиниана тиниана (529 г.) в разделе с заглавием “О зломатематику умышленниках, математиках и тому подобных” один из параграфов звучит так: “Само запрещает же достойное осуждения искусство математики воспрещается совершенно”. (Впрочем, здесь под понятие «математики» подпадают и гадатели, и астрологи). Один из законов императора Феодосия звучит: «Никто да не советуется с гадателем или математиком!» У доминиканского монаха Качини (Флоренция) читаем: «Математики, как творцы всяких ересей, должны быть сожжены на всей земле христиансткой». Приведенные свидетельства указывают на негативное отношение общественной власти не к самой Математике, как науке. Математика была в то время достаточно активно востребована. Теоретическая математика в виде «Начал» Евклида преподавалась во всех университетах Европы будущим теологам и миссионерам как идеально совершенный вид знаний. Практическая математика активно использовалась в мореходных, инженерных, финансовых, военных, административных и пр. делах. Объектом недоверия и даже ненависти была не наука и не математические знания, а их носители, их выразители. В 1486‘г. Томас Торквемада, глава инквизиции (Испания) послал на костер Вальмеса за утверждение, что тот нашел решение уравнения 4-го порядка, “. . . которое, по воле Бога, недоступно человеческому разуму”. 17

(Через 60 лет общий способ решения таких уравнений был найден Феррари). Таким образом, Математика с древнейших времен признавалась высочайшим достижением человеческого разума. Однако таинственная глубина ее знаний и представлений уже много веков назад настораживала общество. Забежав вперед, заслонив собой Математику-науку и прикрывшись ее именем «Математика», ее авторитетом, заявляя себя ее полноценным представителем в широком общественном мнении, эта псевдоматематика старается загнать свою прародительницу за кулисы, перестав на нее даже оглядываться. Именно этот круг проблем в центре вниКуда ведет мания предлагаемой книги. Мы обнаружим, дорога? что математика, как продукт интеллектуальной деятельности, должна подчиняться психологическим законам. Именно психологическим, точнее – законам эволюции интеллекта, законам взаимосвязи языка и мышления. Эти законы, установленные в 30-е годы XX в. (Ж. Пиаже, Л. С. Выготский) должны были бы сразу поправить устоявшиеся в преподавании математики традиции. И, например, возвысить методику Киселева, напрочь отвергнув формалистские традиции. Теория эволюции интеллекта отвечает на большинство вопросов, прозвучавших выше. Например, Ж. Пиаже доказал, что “любой нормальный ребенок способен к точному математическому мышлению”. Однако для широкой математической общественности эта теория эволюции интеллекта оказалась напрочь неизвестной. Как и для авторов современных методических концепций. Ниже мы показываем, что многочисленные методические неурядицы в математике имеют Куда придет прежде всего психологическую природу. Мы тот, кто проведем психологический анализ математидойдет? ческих знаний с помощью генетической теории интеллекта, развитой Ж. Пиаже и Л. С. Выготским. Не считая себя психологами и не претендуя ни на одно новое слово в психологии, мы просто используем известные факты и мысли для анализа хорошо понятных нам, профессионалам-математикам, разнообразных фактов, суждений и мнений школьной математики, которые “правильные, но неверные”. Мы опираемся при этом и на мнения выдающихся ученых-математиков как прошлого, так и нынешнего времени (от Аристотеля до Колмогорова и Арнольда). 18

Две математики

Один из основных выводов, к которому мы подведем читателя: для восприятия учащихся есть две совершенно различные математики: интуитивно-натуральная и формально-дедуктивная. Они соответствуют принципиально различным психологическим структурам и недопустимы для смешивания в процессе преподавания. Основным инструментом нам послужит так называемая Ψлестница, которую мы вводим, опираясь на четко описанные Ж. Пиаже и Л. С. Выготским 4 различные уровни мышления. Опираясь на внешние признаки этих уровней, описанных Пиаже-Выготским, мы обнаружим, что многочисленные странности математико-методической мысли свидетельствуют о примитивном (донаучном) уровне мышления, характерного для современной педагогики математики. Ψ-лестница окажется удобным средством обоснования так называемого “историко-генетического метода”. Нами будет доказана (с помощью египетских дробей) правомочность использования Ψлестницы для поиска корней древней математики, для ответа на вопрос, а с чего началась математика? А ведь это – основополагающий для преподавания математики вопрос! Помимо трудов Ж. Пиаже и Л. С. Выготского, используемых в виде цитат без всяких искажений, мы опираемся на хоть и стандартный, но, на наш взгляд, замечательный учебник психологии Петровского А. В. и на другую литературу психологического плана, не сдувая ни пылинки с используемого материала. А вот с математико-методической литературой мы, доверяя своей компетенции, обращаемся более по хозяйски, комментируя и интерпретируя разнообразный материал как из учебников и всяческих методических изданий, так и из математической литературы более высокого уровня.

19

§ 0.3 Неудобные смыслы Странные нескладухи школьной математики. Два на три не делится, но результат есть. А 2 > 3 — нормальное неравенство? И “плюс два градуса мороза” — вызывает доверие? И прибыль можно получить, перемножая убытки. И прочие забавы, от которых недоверие и неприятие вплоть до ненависти. Начало традиций — от Х. Вольфа (XVIII в.). Знания — от интуиции. Укроет ли от дождя бумажка с надписью “зонт”?

Как иначе оценить колдобины, которые сбивают с толку уже на первых шагах по дороге в Математику? Предположим, дорогой Читатель, что мы с Вами имеем подготовку на уровне, скажем, ученика 5-6 класса и, естественно, никакой высшей математики не знаем. Не говоря уже о всяких дедукциях. Другими словами, попробуем взглянуть на школьный материал глазами ученика. 10 . — Два на три не делится. Но результат деления обозначается через 2/3. Неясно? Ничего! Потом поймешь! — Но ведь не делится же! Какой-такой результат, если не делится? — Это раньше не делилось. Но если уже поделено, то какой-то результат уже есть! А если не понятно — это уже твоя проблема. Никто не виноват, что у тебя нет способности к абстрактному мышлению, что у тебя гуманитарные мозги. 20 . Уже в элементарной арифметике, где 2 + 3 = 5, сначала число 5 названо суммой, Но! почти сразу суммой названа запись 2+3, а число 5 — значением этой суммы. Вспоминая, что мы не совсем дети, мы можем сразу спросить, а разве запись 2 + 3 и число 5 — одно и то же? Ведь это же совершенно разные сущности. Запись — это картинка, иероглиф. Число же — нечто, отвечающее классу эквивалентных попарно множеств, т. е. мощность. Такое отождествление допустимо на высших этажах формальной математики, когда изоморфные классы отождествляются. А для школьника? Когда число — это результат счета, количество и одновременно номер, а 2 + 3 — своего рода задание. Что нужно сделать? Сложить. К двум добавить три. Совершенно прозрачный смысл, на который накладывается сверху (по смыслу) невесть что. Сумма! В натуре если что-либо складывают, получается общая куча. А здесь вместо кучи — сумма, которая то ли запись, то ли число. Попробуй разберись. 30 . Знак равенства появляется вначале, как символ (сокращенное обозначение) слова получится. К двум добавить три — поЗаблудился иль упал — сам виноват!

20

лучится пять. Когда и как у этого знака «=» обнаружился новый смысл символа идентичности, адекватности? И как оглашать по старому 2 = 2? Что ли: “Из двух получится два!?” А запись 5 = 2 + 3? Это в результате какого арифметического действия 2 + 3 получается из 5? В школе это действие не проходится, хотя запись 5 = 2 + 3 считается прозрачной, как слеза! 40 . С какого-то момента 20 и +20 считаются одним и тем же числом. Точнее, число 20 подразумевает в принципе неявное присутствие знака “плюс”, который, как обычно говорят, “опущен для сокращения записи”. Но если мы встречаем 20, то должны знать, что на самом деле это +20. Таким образом, если мы услышали, что сегодня на улице 20 градусов мороза, мы должны (т. к. 20 = +20) понимать, что должно прозвучать “Плюс двадцать градусов мороза”. Красиво, не правда ли? По поводу школьной науки о числах со знаПрибыль из ками так и хочется дать тривиальный рецепт убытков? обогащения: “Множь убытки на убытки — враз получишь прибыль!” 50 . Что такое бесконечная непериодическая Бесконечности дробь? Вообще, школьная математика на во– ура! прос “Что такое. . . ?!” не дает ответа нигде. Но вот предыдущий вопрос не имеет разумного ответа не только в школьной, но и во всей остальной учебной математике! Ведь набор слов “бесконечная непериодическая дробь” подразумавает нечто, записываемое, например, в виде 3,14. . . и многоточие прикрывает последовательность заведомо нерегулярную, т. е. не допускающую формулы для общего члена. Но как можно считать такую последовательность заданной? Как можно задать одновременно все ее уходящие в бесконечность члены? Это значит задать так называемую “актуальную бесконечность”. Cо времен Аристотеля, объяснившего парадоксы Зенона (типа “Ахиллес не может догнать черепаху”), подобные объекты не признаются в математике корректными. Из-за них и теория пределов появилась, чтобы избавиться от актуальных бесконечно малых. Другими словами, набор слов “бесконечная непериодическая дробь” не допускает в принципе осмысления в математике. Но для школьников, оказывается, это вполне доступная вещь. Мы ограничимся пока этим перечнем примеров, демонстрирующих вбиваемые в головы детей совершенно абсурдные вещи (далее 21

этот перечень будет многократно удлиняться). Стоит ли удивляться, что значительная часть выпускников школы не умеет складывать дроби ( 12 + 31 = 25 !), как огня боится задач с модулями (там же везде мелькают минусы и плюсы). И ждут не дождутся, когда об этой треклятой математике можно будет забыть напрочь! Откуда все это? Первый ответ, который Откуда приходит в голову — от избытка формализма. дровишки? Но как же в математике иначе? Ведь прославленная математическая строгость именно на формальных дедукциях (заключениях) и сидит. И сухость оттуда же, от абстракций. Все лишнее выжато. Только — суть! Формалистcкая методология преподавания математики — профессиональное качество преподавателей (что отметил В. А. Арнольд) уже давно — с самого начала. XVIII век. Инквизиции уже нет. Царствует светская власть. Основные европейские государства, в том числе Россия, создают структуры народного образования, казенные школы. Появляется профессия преподавателя математики. Автор самых популярных в начале XVIII века европейских учебников Хр. Вольф пишет: «В своих лекциях я уделил основное внимание трем аспектам: 1) я не употребил ни одного слова, которого я не объяснил бы прежде, чтобы избежать двусмысленности или логических пробелов; 2) я не использовал ни одной теоремы, которую я не доказал бы прежде; 3) я постоянно связывал теоремы и определения друг с другом в непрерывную логическую цепь». С именем Вольфа связывают рождение от Вольфа формалистской методологии, согласно которой обучение начинается с предъявляемого без особых оснований или объяснений списка определений и аксиом, образующих сложно организованную искусственную систему; за ними следуют тщательно излагаемые леммы и теоремы, для каждой из которых производится доказательство. Традиции, заложенные Х. Вольфом, оказались в преподавании математики чрезвычайно живучими, о чем говорит приводившееся выше высказывание Арнольда. Хотя сам Вольф свою формальнологическую методологию в том же своем учебнике иллюстрирует для широкой публики примерами “прикладной математики” того времени в своеобразно живой форме. Аксиомы. I. Всякое здание должно быть твёрдо. II. Всякое здание должно быть полезно и удобно. III. Всякое здание должно быть 22

красиво и приятно. Определение. Окно есть отверстие в стене, которым проходит свет в покои. Примечание. Чего ради в окнах стены должны быть с откосами внутрь покоев, а вышина окон больше ширины, чтобы свет по всему покою мог распространяться. Теорема III. Ширина окна должна быть такая, чтоб двум человекам смотреть можно было. Доказательство. Причина сего состоит в удобности, что двум веселее смотреть ради беседы, нежели одному. Присовокупление. Чего ради окна в домах простых людей такой ширины не делаются, какой должны быть в домах людей лучшего основания. Теорема VIII. Окно к полу выше трех футов быть не должно. Доказательство. Окно должно быть так сделано, чтоб из него свободно смотреть можно было (теорема III), но легче смотреть, облокотившись на окне, нежели стоя прямо. Следовательно, окно на таком расстоянии от пола быть должно, чтобы наклонясь, облокотиться можно было; чего ради выше трех футов быть не должно. Теорема X. Высота покоев должна быть не гораздо велика и не гораздо мала. Доказательство. Топление гораздо высоких покоев становится дорого, и они никогда как должно теплы не бывают. А гораздо низкие вредительны здоровью; ибо людские испарины и других вещей к распространению своему не имеют довольно места. В военном отделе «Оснований математики» Вольфа читаем: Теорема. Отражение неприятеля от укрепления должно производиться тем сильнее, чем ближе он подходит. Доказательство. Чем ближе подходит неприятель к укреплению, тем более опасность; чем более опасность, тем более должно оказывать сопротивление неприятилю, дабы отразить его нападение и, поскольку возможно, освободиться от опасности, что и требовалось доказать. “Знание достигается интуитивно, и лоЗнания – из гическое изложение в лучшем случае, являинтуиции ется подчиненной и дополнительной помощью при обучении, а в худшем – решительным препятствием!” (М. Клайн). Однако где и почему возникает подобное препятствие, рвущее связь с интуицией? Глубже всех на эту тему взглянул, как нам ка23

жется, А. Н. Колмогоров. Вот его слова (1937 г., см. [2]): «У математиков существует склонность, уже владея законченной математической теорией, стыдиться ее происхождения. По сравнению с кристаллической ясностью развитой теории, начиная с уже готовых ее основных понятий и допущений, кажется грязным и неприятным занятизанятие ем копаться в происхождении этих основгрязное и ных понятий и допущений... Поэтому на разнеприятное ных ступенях обучения с разной степеннью смелости неизменно проявляется одна и та же тенденция: как можно скорее разделаться с (их) введением. . . » В школьно-математической литературе уже канонизирована мысль, что исходное понятие математики – ЧИСЛО – определять и не нужно. Ведь “это – первичное понятие, а потому определению и не подлежит.” Получается чрезвычайно странная вещь: слово ЧИСЛО слово ЧИСЛО употребляется в математике на каждом шагу, но о смысле этого слова можно лишь догадываться за счет ассоциаций литературно-бытового плана. Говорят же сплошь и рядом: “число вида 2/3”. Но почему эта запись есть число? — Что такое число, на уроках математики (и в учебниках) нет ни слова. — Числа 1; 2; 3;. . . , возникающие при счете, называются натуральными. Но ведь это — цифры (символы), соответствующие неким звукам, словам. — числа −1; −2; −3; и т. д. соответствующие 1; 2; 3 и т. д., называются отрицательными. Опять же вопрос: “Почему записи −1; −2; −3 названы числами?” Не только ученики, но и учителя оставлены наедине с труднейшими методологическими вопросами. Вместо ответов на них даются странные отговорки с экивоками на формально-логические конструкции из метаматематики. Мол, число можно определить аксиомами Кантора, или Пеано или, вообще, по Гильберту — и нечего тут глупые вопросы задавать. Но ответы такого типа не могут служить опорой интуиции. По словам А. Н. Колмогорова [2]: “отрыв школьного преподавания математических понятий от их происхождения приводит к полной беспринципности и логической дефектности курса”. Именно в этом ключе мы будем вести основной разговор. Ло24

гические основы, подведенные под здание математики в конце XIX века — это основы логические. Формальная логика не есть путь к интуиции, загораживая дорогу к корням знаний. А нас будет интересовать именно генезис основных математических понятий. И вместо формальной логики основным средством анализа для нас станет психология.

25

Часть 1. ИНТУИЦИЯ ПОД ГНЕТОМ ФОРМАЛИЗМА Φ–1. Математика — учебная дисциплина Что такое математика, как учебный предмет? Самый точный ответ — та математика, которая преподается в школе (или вузе). Ясно однако, что в содержательном плане этот ответ ничего не дает. Это не ответ, как принято считать в математике, ибо на вопрос “Что такое. . . ?” нужно отвечать дефиницией, т. е. определением — четким описанием объекта (или класса объектов). Приведенный ответ — просто отговорка. Однако на наш вопрос невозможно корректно ответить, вложив аккуратный смысл, если мы предварительно не выяснили, а что вообще понимается под словом «Математика»? Тем более, что привыкание к этому слову происходит уже с начальных классов школы, а полноценное понимание этого слова даже у специалистов возникает много-много позднее. Но зато школьный педагогический заряд эмоций, связанных с математикой, многие сохраняют на всю жизнь, освежая и подкрепляя его школьными годами детей (и внуков). 1. Что это за заряд? Напомним, как его описывает академик В. И. Арнольд: «. . . повсеместно наблюдаемое отвращение к математике и стремление всех правителей отомстить за перенесенные в школе унижения ее уничтожением». Это — мнение представителя научного Олимпа. А что пишет практикующий учитель, вдобавок — профессиональный психолог А. Лобок: «. . . Миллионы детей . . . переживают унижение математикой». Итак, не обращаясь к анализу содержания предмета, можно уже сейчас отметить явное воздействие математики на детскую психику. Школьным учителям особенно сильное сгущение подобных проблем хорошо известно. Оно приходится на начало второй ступени: после первой, начальной ступени, адаптация ко второй — с ее дробными и отрицательными числами — происходит достаточно мучительно. В чем причина? Стандартное объяснение — необходимость опоры на способность к абстрактному мышлению, которая не у всех есть в достаточной мере. Да и вообще, математика — предмет трудный. “В геометрию нет царской дороги!”. . . Помните?! Итак, нам ясно пока всего лишь, что преподавание математики — это некоторый процесс по передаче в умы учеников некоего интеллектуального багажа под названием 26

«Математика». Очевидно также, что “учебная математика” — лишь часть всего того, что обычно называют словом «Математика». А что такое это «ВСЕ», что охватывается словом «Математика»? § 1.1 А что же такое есть математика? В наше время математика во всем ее многообразии присутствует всюду. Уже хотя бы в форме разнообразных вычислений. Любое наблюдение, не говоря о регулируемых процессах, не обходится без измерений. Без “математизации” сейчас не обходится ни одна наука. Формой вопроса “что есть математика?” мы Что есть копируем стиль древнегреческих философов математика? по типу “Что есть число?” или, более общо, “Что есть все?!” Именно в философских школах ионийцев древнейшая система знаний обрела название — МАТЕМАТИКА (наука, познание) — и столь привычный для нас облик с аксиомами и дефинициями, теоремами и дедуктивным стилем доказательств. Ответ на исходный “нехороший вопрос” в наше время оказывается не таким простым. Например, следует ли относить к математике таблицу умножения? или, еще проще — процесс нумерации? (Как это было, например, у Магницкого). А вопрос об адекватности понятий “натуральные числа” и “положительные целые числа?” А кванторы? А навыки дедуктивных рассуждений? А решение арифметических задач? Или, например, ОДЗ? А записи типа 20/10 = 2 или 2 > 3? А именованные числа? А величины? В школьной литературе часто «Математику» неявно отождествляют с понятием «Чистой математики». Но что такое тогда «Нечистая математика» и куда ее девать? Ведь школьные методики всемерно устремлены именно на эту самую «чистую математику». Вот так элегантно подменяются понятия в методической литературе. В [3] напоминается определение Энгельса: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира». Тут же в [3, стр. 18] читаем: «Энгельс указывал, что исторически исходные понятия математики — натуральное число и геометрическая фигура — заимствованы исключительно из действительного мира, а не из чистого мышления». Почему здесь математика перестала быть “чистой” (как у Ф. Э.), и вместо количественных отношений появились натуральные числа? 27

§ 1.2 Какая бывает математика Классификация А. Н. Колмогорова. Первичная репродукция исторического генезиса математики. Дискуссии XVIII в. о числах, затем — о бесконечных. Математика многоэтажна. Зачем в школе учить производную?

Вот недавние размышления на эту тему А. Н. Колмогорова [4, c. 232]. “Нам предстоит разобраться во взаимных отношениях между четырьмя областями человеческой деятельности”. 1. Изучение реального мира и практичеКлассификация ское воздействие на него. Колмогорова 2. Содержательная математика. 3. Формализованная математика. 4. Метаматематика. Отметим два пронзительно точных обстоятельства. Здесь речь идет не вообще о математике или прикладной (или еще какой, в том числе — чистой) математике, а о деятельности. Математической деятельности. Кроме того, говорится о разных областях. Из текста видно, что каждая область не поглощает другую. Далее всюду приведенную классификацию Колмогорова будем называть K-классификацией. Мы признаем возможность и других классификаций. Мы применяем именно K-классификацию в связи с тем, что она, как будет показано далее, хорошо согласуется с генетической теорией интеллекта, во многом укрепляя ее. На чисто ассоциативном уровне содержание каждой из четырех областей более-менее Первичная понятно. Первая область математической деярепродукция тельности формировалась вместе с культурой генезиса и языком на протяжении десятков тысяч лет математики и сопутствует ежедневному быту каждого человека. Вторая область возникла, скорее всего, уже с появлением письменности. С развитием торговли и масштабных хозяйственных дел вторая область образовала практическую математику, свидетельства о которой дошли до нас с папирусами Древнего Египта и табличками Шумер. Греки эту отрасль называли логистикой, противопоставляя ей теоретическую математику с каноническим образцом — «Началами» Евклида. Развитие содержательной математики инициировалось первой областью деятельности, что к эпохе Возрождения привело к серии грандиозных открытий: от создания дифференциального и инте28

грального исчисления (Валлис, Ньютон, Лейбниц) до теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, теории рядов и неисчислимого количества других содержательных продвижений у такого гиганта мысли, как Л. Эйлер. Именно содержательная математика продолжала бурно развиваться и весь XIV век. Уже в XVII в. активный рост математических знаний привел к необходимости совершенствования понятийной среды. Логические основы, идущие от греков, требовали переосмысления для новых объектов, во многом порожденных внедрением символьного языка. Если, например, две пятых во времена риторической математики так и писали “две пятых”, то в XVII в. начали писать в виде 2/5 и запись 2/5 стала приобретать собственную жизнь. Также и запись вида «−2» начала в математике существовать сама по себе. Появился нуль, вначале – как символ НИЧЕГО, затем, на манер предыдущих записей-символов, начал гулять как самостоятельная количественная сущность. Серьезным математикам подобные разночинцы-инородцы не понравились в ранге “чисел”. Весь XVII в. и почти до конца XVIII в. между крупнейшими математиками, титанами мысли, велись яростные дискуссии по вопросам: — Что такое число? Дискуссии — Можно ли считать числом единицу? титанов — Можно ли считать числом нуль? мысли — Можно ли считать числом дробь? — Можно ли считать числом запись «−2»? Ясно, что все эти споры имели чисто формальную природу и объяснялись тем, что приходилось пересматривать некоторые взгляды, устоявшиеся “в вечности”, т. е. на протяжении 2 тыс. лет. Споры эти были отодвинуты в сторону с появлением новых и резко более актуальных вопросов: — Что есть бесконечно малая величина, Анализ т. е. дифференциал? неделимых — Что есть сумма бесконечного ряда? — Что есть функция? — Что есть отношение бесконечно малых? — Что есть сумма неделимых (бесконечно малых), т. е. интеграл? Ответы на последние вопросы, потребовавшие почти всего XIX века, стали основой математического анализа с его теорией пределов (по Даламберу-Коши), теорией непрерывности, гладким анализом и проч. 29

В конце XIX века математики вернулись к латанию дыр в логических основах классической математики. C алгебраических позиций (на базе N ) была построена теория рациональных чисел (в −N форме Q = N N ), метрическими соображениями Q было дополнено до R (Коши, Дедекинд и пр.) и, наконец, появились формальноаксиоматические теории натуральных чисел (Кантор, Пеано и пр.), а чуть позже — всеобщая аксиоматика Гильберта. Однако по части первичных понятий и здесь не все было гладко, ибо уже даже понятие «множества» не все согласны были считать первичным. Да и кванторы удовлетворяли не всех. Более глубокое течение мысли привело к созданию “наднауки” под названием “метаматематика”. Каким образом все сказанное можно соотнести со школьной математикой? Ясно, что Математика многоэтажна любому взрослому человеку, если он не собирается стать профессиональным математиком, следует в юности овладеть прежде всего материалом из первых двух областей и понятийной средой из формализованной математики, но только в той мере, в какой это будет помогать освоению первых двух областей. Реально же современная школьная математика направлена на изучение сразу третьего и четвертого этажей. Как бы и не отличая их от всего остального, считая именно их сутью всей математики. Ниже мы, пользуясь генетической теорией интеллекта, покажем, что все эти четыре области — разные этажи одного здания. При этом каждый этаж является основанием последующего, так что верхние этажи без нижних лишены реального смысла. И на каждом этаже есть своя языковая среда, свои понятийные структуры. И что перепутывание в преподавании этих разных пластов и является главным источником труднейших проблем. А перепутывания этого как будто никто и не замечает. Канонический ответ: “Чтобы исследовать Зачем учить функцию на экстремум, чтобы определять производную? участки монотонности”. Уже несколько десятилетий смысл такоКому это надо? го ответа даже не обсуждается. А между тем, уже К-классификация способна, если вдуматься, тривиально объяснить абсурдность подобного ответа. В самом деле, понятие производной — объект формализованной математики. Это понятие — продукт формализации отноше30

ния dy : dx двух дифференциалов, которые — бесконечно-малые величины и которые родились именно в содержательной математике как средство локального анализа зависимостей-функций. И дифференциальное исчисление, созданное задолго до Ньютона и Лейбница (Галилей, Валлис, Гюйгенс и др.), рождено было потребностью описания законов физики в форме, которую ныне называют дифференциальными уравнениями. Отыскание зависимостей между величинами, если известна связь между их дифференциалами, — вот коренная проблема всего тогдашнего (да и последующего) естествознания. Более чем за столетие до формальной теории Ко∆y , производная ши, до формальных определений типа y 0 (x) = lim ∆x стала мощнейшим средством анализа. Без понятия производной ныне не обходится ни одна наука, связанная с математикой. И производные появляются, если и только если они нужны для описания связей в виде дифференциальных уравнений. В любом другом случае заучивание производной — не просто бесполезное, но и вредное занятие. Почему вредное? Потому что определение производной дается не конструктивно, но предельным переходом. Само понятие предела для осознания требует наличия у человека специальных психологических структур. Мы увидим далее, что подобные Ψструктуры в одночасье не возникают, на их развитие требуется несколько лет. Созревание таких структур возможно лишь в процессе постоянной психологической практики. Таким образом, если человек не работает постоянно с понятием производной (и предела) хотя бы в рамках учебы в вузе, полноценно овладеть понятием производной он просто не в состоянии. Тем более пользоваться им в актуальных ситуациях. Изучать же понятие производной “для исследования функции на монотонность” — это заставлять школьника тратить значительную психологическую энергию на совершенно бессмысленное дело. За которое он никогда потом школе «спасибо» не скажет. Хорошо, если скоро и само слово “производная” забудет. Если потребуется, производной научат гораздо эффективнее там, где потребуется. И научат профессионально. Однако производная уже много лет внедрена в школьную программу. Вместе с интегралом. Без которого ну никак нельзя ни площади, ни объемы считать. Именно для этого как будто интегралы и придуманы. А о том, что в центре внимания математики — интегралы с переменными пределами (а формула Ньютона-Лейбница 31

из-за них и создана), как правило — ни гу-гу! Это — ярчайшая иллюстрация той самой мысли А. Н. Колмогорова: «Игнорирование генетической природы понятия приводит к ущербности и беспринципности курса». § 1.3 Учебная математика глазами ее ваятелей Про историю своей науки говорят педматематики. О ее задачах и целях. Сплошь цитаты авторитетов, очень незабавные.

Педагогика математики — таково современное название той отрасли знаний и деятельности, которые формируют как предмет школьной математики, так и ее технологии. Взгляд снаружи на эти технологии, восходящие к Вольфу, мы уже приводили (Арнольд и др.). Крайне полезно познакомиться со взглядами самих апологетов современной педагогики математики. Мы приведем, не искажая, некоторые цитаты из их публикаций, перенумеровав их для удобства дальнейших отсылов. Во первых, как они видят историю возникПро историю новения своей науки: [Ц-1] “Научная методика математики выделилась из педагогики в трудах выдающегося швейцарского педагога И. Г. Песталоцци, который в 1803 г. опубликовал две небольшие книги — «Наглядное учение о числе» и «Азбука наглядности или наглядное учение об измерении»”. [5] И там же. “Первые в России методические работы по математике — «Руководство учителям первого и второго класса народных училищ» (1783 г.) и «Руководство к арифметике» (1784 г.) принадлежали Ф. Янковичу де Мириево“. Так кто же был первым? А про Вольфа они, наверное, не знают. Знать о Вольфе — удел историков математики, а не педагогов. А вот уже и социально-исторический анализ методико-математических проблем. [Ц-2] “Бурное развитие производительных сил, науки и техники вызвали к жизни на рубеже XIX-XX вв. национальные движения за реформу преподавания математики в средней школе во Франции, России, Англии, Германии и других странах”. [5] Не подумайте, дорогой Читатель, что речь идет о национальностях. Автор подразумевает нации в смысле страны и хочет сказать, что в разных странах (Франции, России, Германии и др.) среди “передовых” учителей возникло некое шевеление мысли, некая потребность чего-то как-то улучшить, куда-то сдвинуть. Что и как сдви32

нулось, мы увидим дальше. Здесь же мы отметили лишь своеобразие языка новаторов педматематики. Но зато как звучит, сколько пафоса: «Национальные движения». Почти как “национальноосвободительные движения” угнетенных народов колониальных стран, весьма бурные в то же самое время. В чем педагогика математики видит свои задачи? [Ц-3] “Мыслящий разум должен понять изО мыслях вилистый путь познания, который привел перученых вооткрывателя к теореме или решению задачи. Объективировать эту оборотную сторону математики – главная задача методики. При этом хотелось бы, чтобы творчески работающие математики-исследователи объясняли бы, как они это делают”. [6, стр. 52] А если не объясняют?? Откуда взять эту “оборотную сторону математики”, чтобы ее “объективировать”? [Ц-4] “Большую помощь педагогике математики оказали бы творчески работающие математики, если бы они раскрывали «секреты» своего математического творчества. У нас нет достоверной информации о том, как протекает математическая деятельность того или иного математика. Об этом можно лишь догадываться”. [3] Несмотря на подобные неясности, популярный учебник методики преподавания математики учит будущих учителей: [Ц-5] “В процессе познания законов природы ученый-математик пользуется особыми математическими средствами, научными методами исследования. Основными методами математического исследования являются: 1) наблюдение и опыт, 2) сравнение, 3) анализ и синтез, 4) обобщение и специализация. В процессе обучения учащиеся так же ставятся в положение первооткрывателей математических истин (самостоятельно или с помощью учителя), и потому научные методы математического мышления в то же время служат и методами учебной работы с учащимися”. Более чудовищную карикатуру на научную деятельность ученых трудно себе представить! Спортсмен-заочник и то может оказаться более толковым наставником. [Ц-6] “Особенности математической науки, О целях четко проявляющиеся в ее школьных основах, обучения позволяют ставить специфические цели обучения математике: 1) вооружение учащихся общими приемами научного мышления, широко применяемыми в математике; 2) развитие математического мышления и математи33

ческих способностей. . . ” Здесь мы сталкиваемся сразу с целым букетом словосочетаний, характерных для математико-педагогической литературы: (а) “школьные основы математической науки” — що цэ такэ?!? Да еще и “четкое проявление” в этих основах “особенностей математики”. Как все это выглядит, мы уже видели на примерах во введении. В дальнейшем подобное словоблудие — один из центров нашего внимания. (б) “общие приемы научного мышления!” В условиях, когда не совсем ясно — что такое мышление, когда можно лишь наблюдать за продуктами подобной деятельности, что подразумевается под приемами мышления? Как мы увидим далее, подобное “глубокомысленное” пустословие весьма характерно для примитивного уровня синкретического мышления с его наивной логикой соположения. (в) “развитие математического мышления!” Почему-то авторы подобных слов у себя самих это дело развить не смогли, но намереваются учить других. Что педагогика математики должна делать с самой наукой-кормилицией — тоже ясно. [Ц-7] “Проведение структурного аналиОт науки в за математического материала, подлежащего школу изучению в школе (анализ логической структуры) с целью его дидактической обработки, приспособления к школьному обучению, которое требует иногда упрощения логики этого материла”. [3] Обратили внимание на “упрощение логики”? Поэтому (уже — другой представитель той же педнауки [6]) “Приспособление к школьному обучению требует упрощения логики”(!!). Оказывается, все ясно и без всяких там “секретов ученых” — все особенности проявляются в школьных основах, равно как и общие приемы научного мышления. [Ц-8] “Теоретическому анализу и творческому обобщению в дидактических исследованиях должна принадлежать ведущая роль, поскольку наука — прежде всего теория, правильно отражающая объективную реальность и служащая людям, обществу”. [5]. [Ц-9] “Для того, чтобы методика матемаСвоя теория тики приобрела статус самодеятельной науки, она должна сама иметь свою теорию. Такая теория и составляет ядро общей методики математики, появле34

ние которой завершило формирование системы методики преподавания математики в средней школе как науки”. [5] Вы еще способны что-либо воспринимать сквозь эту лапшу? Тогда слушай дальше! [Ц-10] “Структуру предмета «методика математики» нельзя замыкать рамками самой в себе математики и отнюдь не всесильной (в особенности для судеб методики) формальной логики”. [6] [Ц-11] “Логика необходима для упорядочиНужна ли вания изучаемого материала, но она бессильна логика доказать или опровергнуть целесообразность того или иного методического пути изучения отобранного программного материала”. [6, с.182] Вот так! И методике математики нельзя ограничиваться рамками математики. И логика, да еще формальная, вдруг оказывается не всесильной. А главная задача — поиск методических путей, которые даже логика бессильна контролировать. Каких путей? А тех, по которым нужно отбирать материал. С подобных позиций можно и Гильберта поправить. [Ц-12] “Традиционная система построения школьной геометрии по Евклиду или в логически совершенной форме по Гильберту громоздка и изолирует геометрию от остальной математики, препятствуя проникновению в нее современных идей, на базе которых может быть осуществлено более рациональное и простое построение геометрии. К тому же евклидово-гильбертова геометрия потеряла и всякую научную ценность”. [3] Не будучи учеными от математики и не Не учи ученого имея представления о том, что такое научноматематическое творчество, деятели педматематики не просто ощущают себя ровней, не просто ведут себя запанибрата с крупнейшими учеными всех времен (Евклид, Гильберт). Они поднимаются выше, покровительственно поучая моралью о громоздкости, об изолированности, о препятствиях для современных (?!?) идей, о возможности более рационального и простого построения геометрии. Последним выдают себя с головой. Ведь аксиоматика Гильберта — средство арифметизации всей математики, избавления в ней от античного понятия величины. Да и величина — это не только геометрия — величины на каждом углу в физике встречаются. Словом, слышал звон, да не знает, где он. Однако только этого звона считает достаточным для поучения доверчивых учителей. Уж они-то Гильберта точно не читали, а потому во вранье уличить не смогут, даже если что заподозрят. 35

А вот и вклад в освещение истории школьной математики. [Ц-13] “Исторически первое содержание Срам на школьного математического образования, предков включавшее лишь обучение счету и знакомство с простейшими геометрическими фигурами, в течение веков развилось в начальный курс арифметики, а отдельные элементы математического знания под влиянием развивающейся науки превратились в самостоятельные дисциплины — систематические курсы арифметики, алгебры, геометрии, тригонометрии”. [3] Фигурирующее здесь “первое содержание. . . образования” — это забавная пища для уроков словесности. Остальное содержание цитаты говорит о том, что ее автор не имеет ни малейшего представления об учебниках Фибоначчи, Магницкого, средневековых рехенмейстеров, не говоря уже о трактатах Валлиса, Ньютона, Эйлера и др. [Ц-14] “Началом исторического периода элементарной математики послужило построение геометрии как самостоятельной науки в знаменитых Евклидовых «Началах»”. [3] Явно неймется что-либо при историю сказать, хотя видно, что Евклида автор в руках не держал, и что про него в учебниках по истории математики не читал. На фоне этих учебников внушительноглухо звучит и следующее суждение (это ведь все пишется для учителей, самых доверчивых читателей!): [Ц-15] “Поучительно то, что математики Китая и Индии уделяют большее внимание математическим фактам, нежели доказательным рассуждениям”. [6, с 174] Еще веселей: [Ц-16] “Доказательства в математике впервые появились в работах греческих математиков (прежде всего в геометрии Евклида)”. А ведь Евклид по возрасту — праправнук Пифагора, √ доказавшего иррациональность (в современных терминах) корня 2. Причем его доказательство излагают все современные университетские учебники математического анализа. Как же это Евклид обогнал Пифагора? Как после всего изложенного — а это сплошные цитаты — доверять серьезно содержанию фраз: [Ц-17] “Цели обучения математике в средней школе 1) развитие математического мышления 2) приобретение глубоких и прочных теоретических знаний элементарных начал математической на36

уки. . . ” [3] О математическом мышлении, как это объясняют студентам, мы уже слышали. Но «теоретические знания элементарных начал математической науки» — это настоящая грация слона, входящего в посудную лавку. Выходит, у математической науки (а это — не знамо что) есть элементарные начала. У коих, т. е. элементарных начал, есть теоретические знания. Которыми и должны овладевать учащиеся. Вот теперь все ясно!?! Чем занимается педагогика математики, создавая программы и содержание предмета «Школьная математика»?! Она, педматематика, развивает теорию элементарных начал математики. Что из этого получается — мы вкусим далее еще полней. Даже и в следующем параграфе. Изложенные в этом параграфе примеры послужат далее, когда мы познакомимся с Ψ-математикой, прекрасными иллюстрациями примитивного синкретического мышления. § 1.4 Форма душит смысл (сгущение абстракций) Формализмы и абстракции борются с интуицией.

Уже в младших классах записи отождествляются с числами. Например, запись 2 + 3 объявляется суммой, а число 5 — ее значением. Или, например, “число вида 2/3 называется дробью”, т. е. запись (картинка) 2/3 обзывается числом, что не должно вызывать никаких сомнений. А новизна в таком определении, что 2/3 — не просто число, а именно дробное число. Аналогично запись вида «−2» объявляется отрицательным числом. Что означает такой прием? Что такое два — ребенок знает уже до школы. Два яблока, две палочки, два человека и Про два все т. д. Все ясно. Но вот появляется символика: знают — Во первых, произнесенное вслух слово «два», слитое из трех звуков. — Во вторых, число «два» можно показать жестом — двумя пальцами — В третьих, это слово, «два», можно записать на бумаге или еще где тремя буквами. — В четвертых, число два можно изобразить цифрой 2, римским символом II, двумя зарубками и проч. 37

— В пятых, в нашем внутреннем представлении есть нечто, соответствующее числу два, например, слово, произнесенное про себя, внутренним голосом. Совершенно очевидно, что приведенные и явно разные символы числа два (как психологи говорят — знаки смыслов) есть всего лишь символы. Каждый из них не есть число. Например, цифра 2 — это картинка, рисунок, иероглиф, но не число. Все описанные символы соответствуют числу два, но не адекватны ему. Манипуляции символами-записями допустимы. Но в своем культурном слое. Напри20 ? Два = мер, 2 = 20/10. Но попробуйте вместо «два че10 ловека» или «две буханки» сказать: «двадцать десятых человек (буханок)!» Когда заявляется адекватность 2 и +2 (т. е. +2 считается натуральным числом), совершается грубейшее насилие над здравым смыслом, над интуицией. Ибо два — это число-кратность с явным бытовым смыслом результата счета (например, номер итерации, степень многочлена, корня и проч.). А плюс два — это число, образованное алгебраически из символа-цифры «два» с помощью знака «+». Тем самым фраза типа “натуральные числа есть положительные целые числа” смешивает две совершенно различные ипостаси. Множество натуральных чисел изоморфно множеству Z + , но изоморфизм — не тождественность сущностей. Отождествлять N и Z + можно, но только в сфере формализованной математики, а не на более нижних этажах. Нуль в школе появляется вначале, как и Нуль или ноль во времена Шекспира, как символ отсутствия единиц в каком-либо разряде десятичной записи числа. Затем он объявляется числом, означающим «ни одного». После этого 0 объявляется наименьшим из положительных целых чисел и одновременно (!?!) наибольшим из отрицательных чисел. Однако, если я никому ничего не должен, значит ли это, что у меня нет ни копейки? Другими словами, если 0 — символ «ни одного», то должно быть два нуля — ни одной положительной единицы — это «+0», а отсутствие отрицательных единиц, т. е. 0(−1) = −0. Почему должно быть +0 = −0? Если это — аксиома, то почему о ней не говорят даже учителям? Нуль отождествляется с началом координат числовой оси. Но сколько таких осей? Столько и нулей! Или все же нуль один, тот, который «абсолютное ничего»? 38

Далее. По умолчанию считается очевидным свойство a − a = 0. Если a ∈ N , т. е. a — натуральное число, то это свойство в самом деле очевидно. В комнате было два человека, оба вышли. Сколько осталось? Ни одного! Но вот если a не натурально, то как интуиция должна доверять равенству a − a = 0? Молоко из стакана выпито все! Абсолютно все? И стакан не надо мыть?! И мухам нечем поживиться? Взять все так, чтобы ничего не осталось, в жизни невозможно. Точно так же, как взять (отмерить, отложить) величину b, в точности равную a. Здесь мы сталкиваемся с теми нулями-разницами, которые на самом деле являются ничтожно малыми количествами, которыми спокойно можно пренебречь. Но пренебречь — это одно. А забыть сказать об этом — совсем другое. Это называется “смухлевать”, что интуиция учеников чувствует и что ее безусловно тревожит. Проблема нуля чрезвычайно беспокоила крупнейших математиков XVI и XVII вв., когда его ввели в употребление. Исходя из смысла символа «отсутствия единиц», его никак не хотели считать числом. Затем смирились из соображений удобства формальных записей.

39

Φ–2. Психология мышления Ряд трудных проблем переходных этапов (от как, например, начальной ступени к средней) имеют не столько абстрактнопонятийную природу, сколько проблему стыковки по уровню разных систем образов. § 2.1 Родной язык в математике “Смысл узнаете потом!” Язык – методист. И орудие мышления, и реальное сознание. Каждое слово – океан истории.

Приходя в школу, первоклассник уже в достаточной мере владеет языком и кое-что знает по математике. Как ни странно, но учить его по этим предметам начинают совершенно по-разному. По русскому (родному) языку детей не учат новым словам как и далее. Словарный запас дети в основном пополняют сами. Их учат разбираться в строе речи, расчленяя ее на слова, буквы, а затем — правильному письму. В математике же — все наоборот. Детей сразу начинают учить новым словам, новым понятиям, зубрить-долбить разные таблицы, решать вымученно-бессмысленные задачи. “Зачем все это?” — “Потом узнаете!” И на всем этом “Смысл не очень веселом напряженно принудительном фоне уже в младших классах начинается куузнаете выркание и бестолковщина в словах и смыспотом!” лах. И если в начальных классах словесные неясности всегда могут быть сняты наглядными представлениями — на палочках, пальцах, т. е. практическим интеллектом, то позже начинаются чудеса: два на три не делится, но результат деления обозначается через 2/3. “Что есть 2/3?” — “Символ!” — “Что он значит?” — “А ничего! Ввели и назвали дробью”. — “И 4/6 — тоже дробь, а обе они отвечают одному и тому же дробному числу, которое мы будем называть (для простоты) опять же дробью!” — “А разве дробь число?” — “Обязательно, а как же иначе? Иначе мы бы его в виде числа и не записывали бы”. В этом смысловом дурдоме ключевая, но не бросающаяся в глаза трудность — деление на 3 (как у нас 2:3), совмещаемое с неделимостью единицы — этот наш культурный менталитет, запрессованный в словесную гущу на самое дно интуиции, в коренной пласт нашего здравого смысла. И употребляя походя “деление единицы”, мы вкладываем в подкорку абсурдный образ, с которым потом начинаем сопрягать другие абсурдные образы, строить систему абсурдов. 40

Но в нашем сознании есть собственная система безопасности, которая все подобные проблемы старается изъять из оборота, оттеснить их в область неосознанного, в бессознательное (по Фрейду). Приведенный пример показывает, что абсурдность образа 2/3 — отнюдь не следствие неспособности ребенка к абстракции, а результат абсолютно неряшливого отношения к Родному Языку. Как если бы мы предложили с серьезным видом привести на родительское собрание маму и полторы бабушки. А ведь осмысленность слов — это и есть главный предмет психологии. О языке в школьной математике вспоминают исподволь, как бы невзначай, в общем — нечасто. Язык — тема других предметов. А по математике. . . Есть программа, есть конкретный материал, их нужно проходить. Да и учебники все на нем написаны. Но, как модно сейчас говорить, он — средство коммуникации. А главные проблемы в математике — это освоение абстракций. Как их освоишь, когда дроби сложить — и то не все могут!? А вот может ли язык помочь дроби складывать? Может ли язык помочь Этот вопрос, заданный как бы с явной надроби смешкой, попадает, однако, в самую точку. складывать? Ведь почему 2/7 и 3/7 может сложить даже первоклассник, о дробях слышавший лишь издали? Если, правда, ему эти дроби не писать, а вслух сказать: “две седьмых и три седьмых”. Даже в случае заминки по поводу — Что есть седьмая? — ответ (пять седьмых) он назовет без колебаний. Оказывается, язык и помог! Наши далекие предки обозвали дроби так, чтобы и без высокой дробной науки почти любой смог бы сложить дроби с одинаковыми долями. Да и слово «дробь» когда-то не знали, а о долях знали с мальства и складывали их как штуки. Почти вся школьная математика содержательно имеет такую же ясную основу, вмонтированную в язык. Язык — это не просто наборы звуков, с помощью которых мы обмениваемся информацией. Язык, на самом деле, — и средство мышЯзык – орудие ления. Ведь у нас есть и внутренняя речь, комышления торая — не только репетиция внешней, вслух. Про себя, размышляя над чем-то, мы непрерывно произносим обрывки фраз. Любое понятие, которое сидит у нас в голове, имеет имя, т. е. слово. Выходит, наше сознание нашпиговано словами, соткано их них. И эти толщи слов, смыкаясь 41

в более или менее четкие образы, под влиянием ассоциаций выводят наше сознание на какую-либо мысль. И уже на заключительном этапе этот предварительный психолого-словесный материал отшлифовывается в окончательные фразы. Зачатками мышления обладают и высшие животные. Так же, как и зачатками языка. Но мышление в органической связи с языком — это исключительная собственность человека, позволившая ему создать современное мышление, превратить его в инструмент покорения мира. Живя в мире слов, в сонме слов, мы привычно пользуемся всеми благами речи, ничуть не заботясь о ее гигиене. Не подозревая даже, что язык может болеть. Нам и в голову не приходит, какие это может приносить последствия. Наиболее важный пример подобной болезни — математический язык школы, изуродованный современными методиками. И современные проблемы преподавания математики, особенно в младших классах, идут не от якобы неспособности детей к абстракциям и формализмам, а от чудовищных деформаций родного языка, которые нормальная психика переварить не может. «Язык — особая объективная система, запечатлевшая общественно-исторический опыт как общественное сознание. . . Будучи усвоен конкретным лицом, язык становится его реальным сознанием». Л. С. Выготский Выходит, только лишь овладев родным языком, человек обретает буквально море знаний, причем знаний в массе систематизированных. Дальше он их будет наращивать, совершенствовать. Но считать, что к началу школы ребенок — это почти чистый лист бумаги и пиши на нем, что хочешь! Дудки! А и откуда у нас появляется вдруг внутренний голос, когда при просьбе увеличить 4 на половину нам хочется сказать 6, но никак не 4,5? И ведь как ни переучивай в 5-м классе, что половина — это 1/2 и что 4 + 1/2 = 4, 5, а и через двадцать лет человек, не испорченный до конца вузовской математикой, так и будет стоять — четыре увеличить на половину будет шесть. Язык – реальное сознание

42

Каждое слово – океан истории

«За каждым словом бьется океан истории родного языка» Л. Н. Толстой А можно ли разделить на половину? Не напополам, не на двоих, а именно — на половину. Но ведь половина — это часть (согласно русскому языку). А что значит “разделить на часть”? Не на части, а именно на часть, на одну часть. На двоих, на троих — тут все ясно. Даже на одного, неуютно как-то, но поднапрягнув воображение — можно себе сказать: “Разделить на одного — значит, все оставить себе, других то нету”. А тут: “Дели на половину”. Но для многих авторов всяческих околошкольных пособий (и учебников даже) деление на половину — это некий забавный курьез, вполне серьезно вставленный в серьезные книги. Как если бы половина — в точности одна вторая. А оплошку делает, мол, язык. Архаизм! Но, если уж на то пошло, любую задачу, даже прочитав глазами, мы воспринимаем ушами, хотя бы и внутренним слухом. Так как звучит набор слов “разделить на половину”? Не так ли, что и “распилить наполовину”, “разрезать наполовину”, “построить наполовину”? Мы подчеркиваем необходимость слушать, а не читать, потому как на слух слова ведь Внутреннее ухо? сливаются. И поэтому результат такого половинчатого действия «наполовину» нашим подсознанием совершенно бесконтрольно от нас и чисто автоматически будет восприниматься как недостроенный, недорезанный, недопиленный, недоразделенный объект. Но уж ни в коем случае не как удвоенный A : 1/2 = 2A, как хотелось бы авторам подобных текстов. § 2.2 Язык и мышление В центре внимания мудрецов всех времен.

Взаимосвязь речи и мышления занимала древних еще до Аристотеля. Как связаны слова, мысль и воспринимаемый предмет? Софистами детальному обсуждению подверглись приемы логических рассуждений, строение речи, характер отношений между словом, мыслью и воспринимаемыми предметами. “Как можно что-либо передать посредством языка”, спрашивал софист 43

Звуки и мысли

Горгий, — “если его звуки ничего общего не имеют с обозначаемыми им вещами?” И это не софизм, в смысле логического ухищрения, а

реальная проблема. Сократ своими диалогами заставлял задуматься о беспечно применяемых понятиях, доказав тем самым нераздельность мышления и общения. К 30-м годам XX века заострился извечный для психологов вопрос о роли и месте языка в мышлении человека. Уже было ясно, что язык — особая объективная система, запечатлевшая общественно исторический опыт или общественное сознание. Будучи усвоен конкретным лицом, язык становится его реальным сознанием. Язык был одним из инструментов исследований Пиаже. Именно язык послужил основой гигантского прорыва, сделанного в психологии нашим соотечественником Л. С. Выготским. В основу анализа психических феноменов человека он положил речь, точнее — речевой знак, как первичную монаду, первичную смысловую ячейку. Первичную единицу — значение. Тем самым сразу были сомкнуты главные функции речи: а) социальный аспект, ибо речь предполагает процесс общения; б) психический аспект, который принято называть значением или смыслом; в) культурный аспект, поскольку слово имеет независимое от субъекта бытие; г) исторический — за каждым словом бьется океан истории народа. Введение знака (слова) в структуру психологических функций (внимания, памяти, мышления, и пр.) позволило обнаружить Выготскому фундаментальнейший закон. «Речевой знак есть особое орудие, т. е. Язык – орудие средство воздействия на внутренний мир человека. Оно преобразует его. Прежде чем человек начинает оперировать словами, у него уже имеется достоверное психическое содержание (смысл). Этому “материалу”, полученному от более ранних уровней психического развития, психологическое орудие придает качественно новое строение». Л. С. Выготский

44

§ 2.3 Слегка о психологии Начала – у Аристотеля (механизм ассоциаций). Ощущения и рефлексии. Интроспекция. Интериоризация.. Трактовка интеллекта. Задачи решает не логика, а инсайт (озарение, ага-переживание, догадки).

Слово «психология» образовано двумя древнегреческими корнями «псюхе» (душа) и «логия» (понимание, знание). Для древних наших предков душа — прибежище разума, источник мысли. Люди античной эпохи, обогащенные многовековым опытом человекопознания, осваивали этот опыт сквозь “магический кристалл” рационального объяснения природы вещей. Уже в античные времена вопросы о душе начали волновать древнегреУ древних ческих философов. Первый учебник общей психологии «О душе» был написан Аристотелем. Платоном был описан феномен, известный современной психологии, как внутренняя речь, а процесс ее порождения из внешней социальной среды назван «интериоризацией». Платону же принадлежит миф о вознице, правящем колесницей, в которую впряжены два коня: дикий, рвущийся идти собственным путем любой ценой, и породистый, благородный, поддающийся управлению. Возница символизировал разумную часть души, кони — два типа мотивов: низкие и высшие побуждения. Разум, призванный согласовать эти два мотива, испытывает, согласно Платону, большие трудности изза несовместимости низменных и благородных влечений. Аристотелем был фактически сформулирован биогенетический закон. Каждый человек при его превращении из младенца в зрелое существо преодолевает те Биогенетиже ступени “лестницы форм души”, которые ческий преодолело за свою историю все человечество. закон. С именем Аристотеля связаны такие психологические феномены, как механизм ассоциаций (по сложности, сходству и контрасту), открытие образов памяти и воображения, различия между практическим и теоретическим интеллектом. Античные мудрецы подняли на неведомую дотоле высоту культуру научной мысли, которая, преобразуя данные опыта, срывала покров истины с видимости здравого смысла и религиозно-мифологических образов. 45

Рефлексы ввел Декарт

Понятие о рефлексе было введено Декартом. Благодаря Лейбницу, появилось представление о бессознательном (малые пер-

цепции). Ассоциациям была придана сила универсального закона психологии (Локк). Весь состав человеческого сознания определен опытом из двух источников: ощущениями и рефлексией. Наряду с идеями, которые доставляют органы чувств, возникают идеи, порождаемые “рефлексией как внутренним восприятием деятельности нашего ума”. Краеугольным камнем психологии стало понятие «интроспекции», согласно которому объектом сознания служат не внешние объекты, а идеи (образы, представления, чувства и прочее), какими они являются “внутреннему взору”. Физиологичность психических процессов хорошо характеризуется крылатой фразой Сеченова: «Мысль — рефлекс, оборванный на две трети». Работы Сеченова объяснили и механизм интериоризации — перехода внешних психических действий во внутренние, воображаемые. Интериоризации

Законы ассоциаций по новому осветили Эббенгауэр и Торндайк. Прежде ассоциация означала связь идей в сознании, теперь же — связь между движениями организма и конфигурацией внешних стимулов, от приспособления к которым зависит решение жизненно важных для организма задач. Среди законов научения (как они говорили) интересен “закон эффекта”: из нескольких реакций наиболее прочно с ситуацией ассоциируются те, которые вызывают наибольшее удовлетворение. Торндайк трактовал интеллект, как смысловую основу поведения, как способность вырабатывать организмом формулы реальных действий, позволяющих успешно справляться с проблемной ситуацией. О механизме подавления в сознании психической энергии, о цензуре сознания первым заговорил, по-видимому, Фрейд. Он же отметил и чрезвычайную серьезность анализа форм трансформации этой энергии. Работами Жане было показано, что внутрипсихические процессы порождены механизмом интериоризации: социальные действия из внешних становятся внутренними (память, внутренняя речь, мышление и проч.). 46

Агапереживание

При изучении мышления человека гештальт-психологи (Gestalt-образ) доказали, что умственные операции при решении теоретических задач подчинены особым принципам организации гештальта (“группировка”, “центрирование” и др.), а не правилами формальной логики. Ими же был выявлен феномен инсайта — мгновенного озарения, Ага-переживания. Эволюция интеллекта. Наиболее глубокая теория на прочном эмпирическим фундаменте развита Пиаже. В эволюции детской мысли 4 стадии: 1) предметное мышление в действиях (до 2-х лет); 2) интериоризация (переход во внутренние действия), предоперации (действия) ума (от 2-х до 7 лет); 3) возникновение конкретных мысленных операций (от 7 до 11 лет); 4) формальные операции, способность строить логически обоснованные гипотезы, дедуктивные заключения (от 11-и до 15 лет). Исходным моментом в развитии детской психики Пиаже признал сенсорный интеллект. § 2.4 Ψ-лестница Описание лестницы форм души (по Аристотелю) или уровней мышления (по Пиаже и Выготскому), ступени которой проходит как все человечество за свою историю, так и каждый человек на протяжении жизни. Четыре уровня – сенсомоторный, интуитивный, ассоциативный и абстрактно-логический (понятийное мышление).

Напомним фундаментальный закон Аристотеля: «каждый человек при его превращении из младенца в зрелое существо преодолевает те же ступени “лестницы форм души”, которые преодолело за свою историю все человечество». Применительно к математическому образованию похожие точки зрения зазвучали в конце XIX в. «Умственное развитие молодых поколений управляется теми же законами и вследствие этого проходит в существенных чертах те же самые фазы развития, которые имели место в соответствующих ступенях умственного развития человечества» (В. В. Бобынин, 1886 г.). Крупнейший математик А. Пуанкаре писал в 1904г.: «Зоологи утверждают, что за короткий период развития эмбриона животного он воспроизводит историю своих предшественников всех эпох. Кажется, что то же самое происходит в развитие ума». (смтак ˙ же Дополнения) 47

Мощнейшую проработку эта идея получила в виде теории эволюции интеллекта, основы которой заложены фундаментальными трудами выдающихся психологов 20 века Ж. Пиаже и Л. С. Выготского. Аналогичную Аристотелю «лестницу форм души» мы опишем в форме Ψ-лестницы, четыре ступени которой во многом аналогичны K-классификации (Колмогорова). Эти ступени соответствуют четырем уровням мышления (УрМ), содержание и внешние признаки которых детально описали Пиаже и Выготский. (УрМ-1) – сенсомоторный (практический) Ступени интеллект, т.е. элементы мысли, данные в двиΨ-лестницы жениях и регулируемые чувственными впечатлениями. Схемы действий. (УрМ-2) – интуитивное дологическое мышление, слившееся с речью (вербальное мышление) – мышление синкретами. (УрМ-3) – ассоциативное мышление (в комплексах – по Выготскому, конкретные операции – по Пиаже). (УрМ-4) – мышление в понятиях (по Выготскому), овладение формальными операциями (по Пиаже). Освоение гипотетико-дедуктивной логики. В динамике эволюция интеллекта выглядит в виде лестницы

УрМ-4 УрМ-3 УрМ-2 УрМ-1

Каждая ступень не обрывается с началом последующей, но служит ее основанием. В конце 1-й стадии, предваряя переход ко второй ступени, начинается, длясь до конца 3-й стадии, процесс интериоризации – перехода внешних действий во внутренние (мысленные), выстраивая тем самым внутренний план. Выделение именно четырех основных уровней мышления было проведено на основании массированных клинических исследований детей, психобольных (шизофрения, афазия), а также анализа достаточно представительных выборок результатов изучения быта и культуры первобытных племен и многолетних наблюдений за антропоидами. Конкретные признаки каждого из уровней мы опишем 48

ниже, следуя Выготскому и Пиаже. Последователями Пиаже и Выготского (Гальперин и др.) было установлено: «Единственное средство, позволяющее перенести предметное действия во внутренний план – это его последовательное формирование в громкой речи без опоры на материальные предметы». (Цит. по [10]). Пиаже и Выготским было установлено, что УрМ-1-база стадия сенсомоторных действий является бавсего зовой для всего последующего развития интеллекта. (см. [7]) § 2.5 Функциональные роли Ψ-лестницы Математика – грань общечеловеческой культуры созревала по Ψступеням и имеет естественную сепарацию. Ее Ψ-уровни должны согласовываться с уровнем учеников – иначе катастрофическое неприятие.

Реализация закона Аристотеля в форме Ψ-лестниц позволит нам заглянуть в глубь истории в поисках генетических корней математических знаний. Если считать математическую деятельность одной из форм интеллектуальной деятельности, то эволюция математических знаний и представлений должна была происходить в полном соответствии с этой самой Ψ-лестницей. Уже только это позволит сепарировать математическое наследие по интеллектуальным уровням соответствующих периодов эволюции, более внимательно взглянуть на возникновение перΨ-лестница вых знаний математического характера. С чесепарирует го началась математика?!? математику Знание явных признаков отдельных ступеней Ψ-лестницы позволяет размежевать соответствующие исторические периоды, связать их с историей языка в математике. Скажем, навыки счета оказываются относящимися ко второй ступени, а к первой – стадия интуитивного счета, который вычленен историками математики [23]. Знание соотношения между уровнями разных ступеней позволит сопоставлять возможности ученика с Ψ-уровнем осваиваемого материала. Например, для человека, интеллектуальное развитие которого находится на второй ступени УрМ-2, материал четвертого уровня непостижим в принципе. Это все равно, что только что научившегося ходить малыша заставлять перенести двухпудовую 49

гирю. И никакая способность к абстрактному мышлению здесь ни при чем. В интеллектуальном развитии ни одна стаПерепрыгивать дия не может быть пропущена. Освоение манельзя тематических знаний, как интеллектуального продукта, определяется возможностями той ступени Ψ-лестницы, на которой находится учащийся. Поэтому абсолютно прав Л. Д. Кудрявцев [52], утверждая порочность изучения алгебры (а это – III ступень Ψ-лестницы) почти минуя арифметику (II ступень) под предлогом отжившей необходимости в вычислительных навыках ввиду распространения микрокалькуляторов и сравнивая это с попыткой научить бегать ребенка, который и поползать толком не успел. § 2.6 Натурально-интуитивный интеллект Наивная (нерасчлененная) интуиция, примитивный синтаксис мысли, синкретизм.

Так мы будем называть мышление первых двух уровней, характерное для интуитивной бытовой деятельности людей. Как понимают это психологи? Что такое По Бюлеру психическое развитие проходит интеллект? три ступени: инстинкт (врожденные реакции), дрессура (индивидуальный опыт) и интеллект (творческое приспособление к новым условиям). Рождение интеллекта связывается с возникновением инсайта. Способ проб и ошибок — форма дрессуры. Келер относил интеллект к действиям внезапного озарения, переструктурирования, исключающим пробы и ошибки. Клапаред (учитель Пиаже) называл интеллектом способность приспособления психики к новым условиям. Становление внутреннего плана (за счет интериоризации) длится почти до конца третьей стадии. Стадия сенсо-моторных действий — базоПримитивное вая для всего последующего развития. мышление Рождение и развитие сенсомоторных схем действий обеспечивает в результате их интериоризации (перехода во внутренний план) начальную интуицию. Эта наивная интуиция (в начале – 2-й стадии) нерасчленена, в ней отсутствует анализ отношений между вещами. 50

В конце первой стадии появляется речь, (пока оторванная от мышления) с самыми примитивными смыслами — ага, дай, на, еще, уйди, мы, мое и др. 10 . (К. Бюлер) До речи первые проявления практического интеллекта ребенка (6–7 мес). До речи существует инструментальное мышление, т. е. схватывание механических сцеплений и придумывание механических средств для механических конечных целей. 20 . (Келер) У обезьяны практическое использование орудия определяется структурой зрительного поля, у ребенка — наивной физикой. Даже в школьном возрасте практическое мышление ребенка — как у шимпанзе. 30 . При процессах прямого восприятия и передачи воспринятой формы неопосредованной речью, ребенок схватывает и закрепляет впечатление целого (цветовое пятно, основные признаки, формы и пр.). При вступлении в действие речи, его восприятие перестает быть связанным с непосредственным впечатлением целого, в зрительном поле возникают новые, фиксируемые словом, центры и связи различных пунктов с этими центрами. Восприятие перестает быть рабом зрительного поля. 40 . Развитие всех психических операций, использующих знаки, проходит через 4 основные стадии. 1) Примитивная натуральная стадия, когда та или иная операция встречается в том или ином виде, как она сложилась на примитивных ступенях поведения. 2) Стадия “наивной психологии” — аналогично “наивной физике” у исследователей практического интеллекта. Наивной физикой называют наивный опыт Синтаксис животных и детей в области собственного тела мысли и окружающих предметов, объектов, орудий. Синтаксис речи определяет синтаксис мысли. 3) Стадия внешнего знака, внешней операции для решения внутрипсихологической задачи. Счет на пальцах. Эгоцентрическая (ни к кому не обращенная) речь. 4) Стадия “вращивания”. Внешняя операция уходит внутрь: внутренний счет, внутренняя речь. Первая стадия у детей длится до двух лет — до начала устойчивой речи. Появившийся внутренний план позволяет комбинировать схемы действий в уме, приводя к инсайту — внезапному озарению. 51

На второй стадии (у детей — от двух до семи лет) речь сливается с мышлением, активизируется процесс интериоризации (вращивания внутрь) внешних психических операций, наращиваются системы действий в уме, но с опорой на внешние наглядные данные. § 2.7 Внешние признаки примитивного мышления. Ψ-логика Склонность к соположению, нечувствительность к противоречиям, синкретизм суждений и проч.

Первые две стадии — период дологического примитивного мышления. В суждениях преобладают (согласно Пиаже): а) синкретизм связей (по соседству, на основе восприятия); б) склонность к соположению; в) нечувствительность к противоречию; г) интродукция – переход от частного мимо общего к другому частному. Выготский объясняет эти особенности, установленные ранее Пиаже (феномены Пиаже), отсутствием систематичности спонтанных понятий, недостаточно развитым отношением общности. Суждения синкретически сополагаются, вместо объединения их в структуру высшего понятия, именно потому, что в мышлении господствует логика восприятия, которая не знает противоречий. д) Эгоцентризм речи — человек говорит со своей точки зрения и даже не пытается стать на точку зрения собеседника. Думая, что другие его понимают так же, как он сам себя. В обсуждении путаются своя и чужая точки зрения. Синкреты в суждениях Путаются законы физические и моральные (облака — для дождя). Как правило, все высказывания императивны или имеют форму утверждений без намека на попытку доказательства (И так ясно!). Непонимание, что значит определить понятие (стол — чтобы кушать). е) Синкретизм восприятия — сразу хочет видеть все. В сложной фигуре воспринимается только впечатление целого, без анализа частей и без синтеза их отношений. С позиций более высоких уровней это — типичная поверхностность восприятия. Свойства — по внешнему облику (большой — значит тяжелый). Синкреты в языке

52

Усвоенное на I стадии представление о константности количества и объектов, только к концу II стадии приводит к вызреванию представления о константности других основных физических свойств (веса, массы и пр.). По Выготскому среда — основной источник психологического развития индивида. То, что должно появиться в результате развития (речь, логические формы памяти, мышление и пр.), уже дано в среде с самого начала как конечная идеальная форма, как образец. (В том числе и здравый смысл!!) (Пиаже) Ребенок не может воспринять того, по отношению к чему у него нет еще готовых схем действия. Развитие идет по линии формирования этих схем. ж) Слабое осознание взаимоотношения целого и части. Описанные наблюдения обозначают приТо же у митивный механизм мотиваций, который (мевзрослых ханизм) мы будем называть Ψ-логикой. Такая «логика» характерна не только для детей, т. е. для малолетней возрастной стадии. Она характерна не для возраста, а для уровня мышления. В экспериментах с большими группами взрослых (с высшим образованием) установлены (цитируем по [12]): — неполноценность стихийно усвоенных приемов мышления; — глобальная, нерасчлененная оценка явлений (та же поверхностность); — ориентация на случайные признаки, несущественные отношения; — характер нарушений логических правил (как и в феноменах Пиаже); — неумение отвечать на заданные вопросы; — замена объективной оценки субъективной; — не различаются позиции разных людей; — преобладание житейского уровня обобщения над логическим; — нечувствительность к противоречиям. Взрослое мышление (вне рамок узко-профессиональных) часто бывает достаточно неорганизованным (Подгорецкая из [10, с. 149]; см. так же Доп–1). Сравнение величин — лишь по предварительному измерению (если нельзя прислонить). Построение дефиниции (берем число, ставим впереди минус, полученное число. . . ), опосредованный план приобретает психологи53

ческую силу, становится логическим принципом. (Гальперин) Единственное средство, позволяющее перенести предметное действие во внутренний план — это его последовательное формирование в громкой речи без опоры на материальные предметы. «Когда действие отрывается от вещей, его Речь – единственным объективным носителем станоноситель вится речь». действия (Лишь при условии функциональной зрелости слов.) В своей первоначальной функции слово указывает на предмет и способ его достижения. Оно — одно из свойств предмета или действия. (В идеале) слово — заместитель предмета или действия в мышлении (Выготский). § 2.8 УрМ-2 – страна синкретов Синкрет – несвязная куча ассоциаций.

Выготский: «Синкрет— куча предметов, выделяемая без достаточного внутреннего основания, внутреннего родства и отношения между образующими эту кучу частями, предполагает диффузное, направленное распространение значения слова на внешне сходные вещи». Этот феномен синкретизма описывается как стремление свалить “в кучу” самые разные и не имеющие внутренней связи элементы, приводя их в нерасчлененный, слитный образ, замещая недостаток объективных связей переизбытком субъективных связей и принимая связь впечатлений и мыслей за связь вещей. Эта ступень, в свою очередь, распадается на три этапа (прослеженные со всеми подробностями). 1) Первый этап образования синкретического образа (или кучи предметов, соответствующей значению слова) вполне совпадает с периодом проб и ошибок в детском мышлении. Группа новых предметов берется ребенком наугад с помощью отдельных проб, которые сменяют друг друга тогда, когда обнаруживается их ошибочность. 2) Этот этап сменяется вторичным этапом, в котором пространственное расположение фигур в искусственных условиях нашего эксперимента, т. е. опять-таки чисто синкретические законы восприятия зрительного поля и организации детского восприятия, 54

играют решающую роль. Синкретический образ (или куча предметов) образуется на основе пространственных и временных встреч отдельных элементов, непосредственного их контакта или другого, более сложного отношения, возникающего между ними в процессе непосредственного восприятия. Существенным для данного периода остается то, что ребенок руководствуется не объективными связями, открываемыми им в вещах, но субъективными связями, подсказываемыми ему собственными восприятиями. Предметы сближаются в один ряд и подводятся под общее значение не в силу общих, присущих им и выделенных ребенком признаков, но в силу родства, устанавливаемого между ними во впечатлении ребенка. 3) Наконец, третьим и высшим этапом всей ступени, знаменующим ее завершение и переход ко второй ступени в образовании понятий, является этап, на котором синкретический образ, эквивалентный понятию, образуется на более сложной основе и опирается на приведение к одному значению представителей различных, прежде уже объединенных в восприятии ребенка, групп. Таким образом, каждый из отдельных элементов нового синкретического ряда (или кучи) является представителем какой-то прежде объединенной в восприятии ребенка группы предметов, но все они вместе взятые ничем внутренне не связаны между собой и представляют такую же бессвязную связность кучи, как и эквиваленты понятий на двух предшествующих этапах. Вся разница, все усложнение заключается только в том, что связи, которые ребенок кладет в основу значения нового слова, является результатом не единого восприятия, а как бы двустепенной обработкой синкретических связей. Ребенок, достигший этого третьего этапа, завершает тем самым всю первую ступень в развитии своих понятий, расстается с кучей как с основной формой значения слов и поднимается на вторую ступень, которую мы условно называем ступенью образования комплексов. Каждая Ψ-функция вращивается долго, Каждая оставаясь отчасти внешней. Соответствующая начальная интуиция существенно определяетΨ-функция вращивается ся восприятием – представлением о внешних долго действиях; и вызревает во внутреннюю операцию в течение как правило пяти лет. Так, опеСинкрет – куча

55

рация сериации осваивается к 7 годам, представление о константности – к 12 годам. Дополнительная картина – в (Доп – 2). Замечание. Операция сериации — канонический текст Пиаже. Необходимо некоторое количество (7–11) палочек разной длины разложить по порядку согласно их длинам. § 2.9 Научные Ψ-формы мышления (по Выготскому) УрМ-3 – комплексное мышление. Пять типов комплексов (ассоциативный, коллекционный, цепной, диффузный и псевдопонятие).

Чтобы четче оттенить примитивные формы мышления (УрМ-1 и УрМ-2), мы приведем краткое описание и остальных двух уровней, почти дословно следуя Л. С. Выготскому. «. . . Следующая (после синкретов) большая ступень в развитии понятий охватываМышление в ет много разнообразных в функциональном, комплексах структурном и генетическом отношениях типов одного и того же по своей природе способа мышления. Этот способ мышления так же, как и все остальные, ведет к образованию связей, к установлению отношений между различными конкретными впечатлениями, к объединению и обобщению отдельных предметов, к упорядочению и систематизации всего опыта ребенка. Мы не могли бы лучше обозначить своеобразие этого способа мышления, как назвав его мышлением в комплексах». В отличие от синкретов, комплекс уже пытается обобщить и систематизировать окружающий мир с опорой на какие-то объективные связи. «Многообразие связей, лежащих в основе комплекса, составляет главнейшую, отличающую его черту от понятия, для которого характерно единообразие лежащих в основе его связей. Это значит, что каждый отдельный предмет, охватываемый обобщенным понятием, включается в это обобщение совершенно на тождественном основании со всеми другими предметами. . . В отличие от этого каждый элемент комплекса может быть связан с целым, выраженном в комплексе, и с отдельными элементами, входящими в его состав, самыми различными связями. В понятии эти связи в основном являются отношением общего к частному и частного к частному через общее. В комплексе эти связи могут быть столь же многообразны, как многообразно фактическое соприкосновение и фактическое родство самых различных предметов, находящихся в любом конкретном отношении друг к другу». Л. С. Выготский выделяет пять основных форм, в которых осуществляется комплексное мышление. 56

Ассоциативный комплекс

Первый, выделяемый Выготским комплекс, — это ассоциативный комплекс, когда в основу обобщения кладутся произвольные ассоциативные связи.

«. . . В его основе лежит любая ассоциативная связь с любым из признаков, замечаемых ребенком в том предмете, который в эксперименте является ядром будущего комплекса. Ребенок может вокруг этого ядра построить целый комплекс, включая в него самые различные предметы: одни — на основании того, что они имеют тождественный с данным предметом цвет, другие — форму, третьи — размер, четвертые — еще какой-нибудь отличительный признак, бросающийся в глаза ребенку. Любое конкретное отношение, открываемое ребенком, любая ассоциативная связь между ядром и элементом комплекса оказывается достаточным поводом для отнесения предмета к подбираемой ребенком группе и для обозначения этого предмета общим фамильным именем». В коллекционном комплексе «различные конкретные предметы объединяются на основе взаимного дополнения по какому-либо признаку и образуют единое целое, состоящее из разнородных, взаимодополняющих друг друга частей. Именно разнородность состава, взаимное дополнение и объединение на основе коллекции характеризует эту ступень в развитии мышления. В экспериментальных условиях ребенок подбирает к данному образцу другие фигуры, которые отличаются от образца по цвету, форме, величине или какому-либо другому признаку. Однако ребенок подбирает их не хаотически и не случайно, а по признаку их различия и дополнения к основному признаку, заключенному в образце и принятому за основу объединения. Возникающая на основе такого построения коллекция образует собрание различных по цвету и форме предметов, представляя собой набор основных цветов или основных форм, встречающихся в экспериментальном материале». Коллекционный комплекс

Следующий, описываемый Выготским комплекс, — это цепной комплекс, выстраиваемый на основе динамической, ветвящейся цепи ассоциаций. «Например, ребенок к образцу — желтому треугольнику — подбирает несколько фигур с углами, а затем, если последняя из подобранных фигур оказывается синего цвета,например, полуокружности, круги. Это снова оказывается достаточным для того, чтобы подойти к новому Цепной комплекс

57

признаку и подобрать дальше предметы по признаку округлой формы. В процессе образования комплекса совершается переход от одного признака к другому». Таким образом, «в цепном комплексе структурный центр может отсутствовать вовсе. Частные конкретные элементы могут вступать в связь между собой, минуя центральный элемент, или образец, и могут поэтому не иметь с другими элементами ничего общего, но тем не менее принадлежать к одному комплексу, так как они имеют общий признак с каким-нибудь другим элементом, а этот, другой, в свою очередь, связан с третьим и т. д. Первый и третий элементы могут не иметь между собой никакой связи, кроме того, что они оба, каждый по своему признаку, связаны со вторым». Cледующий, выделяемый Выготским комплекс, — диффузный. Здесь «самый признак, ассоциативно объединяющий отдельные конкретные элементы и комплексы, как бы диффундирует, становится неопределенным, разлитым, смутным, в результате чего образуется комплекс, объединяющий с помощью диффузных, неопределенных связей наглядно-конкретные группы образцов или предметов. Ребенок, например, к заданному образцу — желтому треугольнику — подбирает не только треугольники, но и трапеции, так как они напоминают ему треугольники с отрезанной вершиной. Дальше к трапециям примыкают квадраты, к квадратам — шестиугольники, к шестиугольникам — полуокружности и затем круги. Так же как здесь разливается и становится неопределенной форма, взятая в качестве основного признака, так же иногда сливаются цвета, когда в основу комплекса кладется диффузный признак цвета. Ребенок подбирает вслед за желтыми предметами зеленые, к зеленым — синие, к синим — черные». Диффузный комплекс

«Подобно тому как древний библейский род, будучи совершенно конкретным фамильным объединением людей, мечтал размножиться и стал неисчислимым, как звезды небесные и морской песок, так же точно диффузный комплекс в мышлении ребенка представляет в себе безграничные возможности расширения и включения в основной род все новых и новых, однако совершенно конкретных предметов». «Мы знаем, какие неожиданные сближения, часто непонятные для взрослого, какие скачки в мышлении, какие рискованные обобщения, какие диффузные переходы обнаруживает ребенок, когда он начинает рассуждать или мыслить за пределами своего наглядно-предметного мирка и своего практически58

действенного опыта. Ребенок вступает в мир диффузных обобщений, где признаки скользят и колеблются, незаметно переходя один в другой. Здесь нет твердых очертаний. Здесь господствуют безграничные комплексы, часто поражающие универсальностью объединяемых ими связей». Наконец, пятая форма комплексного мышПсевдопонятие ления, согласно Выготскому, — это псевдопонятие, которое «образуется ребенком всякий раз, когда он подбирает к заданному ряд предметов, которые могли быть подобраны и объединены друг с другом на основе какогонибудь отвлеченного понятия. . . Например, ребенок к заданному образцу — желтому треугольнику — подбирает все имеющиеся в экспериментальном материале треугольники. Такая группа могла бы возникнуть и на основе отвлеченного мышления (понятия или идеи треугольника). Но на деле, как показывает исследование, ребенок объединил предметы на основе их конкретных, фактических, наглядных связей, на основе простого ассоциирования. Он построил только ограниченный ассоциативный комплекс; он пришел к той же точке, но шел совершенно иным путем». В мышлении взрослого человека мы на В мышлении каждом шагу наблюдаем переход от мышлевзрослого ния в понятиях к мышлению конкретному, в комплексах. Понятия в нашей интенсивной речи — общие представления о вещах, т. е. переходная ступень от комплексов и псевдопонятий к истинным понятиям. «Житейское мышление и обычная речь опираются на псевдопонятия — высшие формы комплексного мышления». «Комплексное мышление содержит переизбыток, перепроизводство связей и слабость абстрагирования». «Процесс выделения признаков чрезвычайно слаб». «Расчленение и связывание составляет необходимые внутренние моменты при построении понятия». См. так же (Доп –1), (Доп –2). § 2.10 УрМ-4 Высшая ступень — понятийное мышление. Речь внутренняя, внешняя устная и внешняя письменная. Ψ-абстракции.

Высшая ступень — “генетическая функция развития расчленений, анализа, абстракции”. 59

1 фаза — объединение максимального числа различных признаков, на основе сходства. Разные признаки оказываются в неодинаково благоприятном положении. В центре внимания — не все признаки, но те, которые выделяют некоторый усредненный эталон. Возникает некий аналог псевдопонятия. 2 фаза — потенциальные понятия (по какому-либо признаку). «При этом важна изолирующая абстракция». «Даже после овладения мышлением в понятиях еще долго более элементарные формы мышления объекта могут быть непреодолимыми и господствующими в целом ряде областей его опыта». «Даже взрослый человек очень часто мыслит на уровне комплексов, иногда опускаясь к более элементарным, более примитивным формам». (Эта мысль Выготского уже отмечалась ранее в §2.8 как продукт наблюдения других ученых). Выготским описаны “законы осознания”. Комплексы, по 1) (Клапаред) Сознание сходства — гораздо сути, — общие позже сознания различия. представления. 2) Смещение из плоскости действия в плоскость мысли, чтобы воссоздать в воображении, чтобы можно было выразить словами. Для примитивного интеллекта «определить предмет — сказать, что он делает или что с ним можно делать. . . . Для отвлеченных понятий на 1-й план — типичная действенная ситуация». Слово применяется, как понятие, а определяется комплексно (когда оторвано от той конкретной ситуации, где была дефиниция. В этом плане чрезвычайно интересно явление партиципации (см. Доп – 1). «Овладение системой научных понятий предполагает уже широко разработанную понятийную ткань, развившуюся с помощью спонтанной мыслительной активности». Мнение выдающихся психологов на тему “способности к абстрактному мышлению”. Про О чем так любят говорить представители Ψ-абстракции научно-методической мысли. Ж. Пиаже утверждает, что «любой нормальный ребенок способен к точному математическому мышлению». «Неуспех традиционного обучения, — говорит Ж. Пиаже, — не в отсутствии способностей у школьника, а в блокировке его эмоций, в том, что обучение математике слишком часто начинается со словесных объяснений, а не с практических действий» [12]. 60

К этому можно добавить и мнение Л. С. Выготского: (см. (Доп – 3)) «Речь имеет второй внутренний план, стоящий за словами». (Две целых нуль десятых яйца или сорок десятых яиц!?!) «Смысловой синтаксис внутренней речи соРечь для других всем иной, чем синтаксис устной или письменной речи. Внутренняя речь почти исключительно предикативна». «Переход от максимально свернутой внутренней речи — речи для себя — в максимально развернутую письменную речь — речь для любого другого, требует сложнейших операций произвольного построения смысловой ткани». «У разных учебных предметов общая психологическая основа». Осознание и овладение выступают на 1-й план в грамматике, в письменной речи, в арифметике. «Абстрактное мышление ребенка развивается на всех уроках, вне зависимости от предмета». «Анализ развития общих представлений-комплексов показал, что общие представления, как высшая ступень в развитии значения слов, возникают не из обобщения единичных представлений, а из обобщенных восприятий, т. е. обобщений, господствовавших на прежней ступени» (из синкретов). По Выготскому синкреты – обобщенные восприятия (арифметика), а комплексы – обобщенные представления (алгебра). О внешнем знаке в древнем мире. Узелки, зарубки — элементы среды, которые начинают использоваться как активные агенты, управляющие извне психическим процессом, — культурный вид поведения. Применение бирок и узлов, зачатки письменности и примитивные знаки — все это инвентарь, указывающий на то, что на ранних ступенях развития культуры человек уже выходил за рамки данных ему природой психических функций и переходил к новой, культурной организации своего поведения. См. так же (Доп – 4).

61

Φ–3. Элементарная математика на ступенях Ψ-лестницы Теперь мы уже располагаем дополнительными средствами для выяснения источников тех странностей, которые ощущаются интуицией, но которые, как говорится, “голыми руками не возьмешь”! Теперь у нас руки совсем не голые. На них довольно ухватистые рукавицы в виде представлений о своеобразии и закономерностях примитивного мышления. § 3.1 Колеса поезда стучат квадратом радиуса?! Здесь начинаются Ψ-комментарии типичных для математики абсурдных стереотипов. Ψ- убедительность синкретов — во внешней соблазнительности примитивной логики.

Это — давнишняя студенческая шутка. «Знаешь, Петька, в Академии всякие науки изучать пришлось. Самая трудная из них — математика! Невозможно трудная, зато объясняет абсолютно все! Знаешь ли ты, например, почему у поезда коГде квадрат у леса стучат? Конечно, не знаешь! Я ведь тоже радиуса? не знал! Теперь слушай! Когда поезд идет, то колеса по рельсам катятся. Они же круглые — не видел, что ли? Вот, не придал значения! А вот в том-то все и дело, что колеса круглые! Площадь круга — пи эр квадрат! Не слышал? В этом-то и наука! Что такое эр — слишком долго объяснять, про пи ты все равно не поймешь! А вот квадрат — в нем-то вся суть! Разве может квадрат без стука катиться?!? Он же вместе с колесом катится — вот он-то и стучит!” Смех – смехом! А ведь потому и анекдот, что непосвященный не сразу и ошибку в логике найдет! Ведь все построено в виде композиции абсолютно убедительных фрагментов. Квадрат плавно катиться не может – любому очевидно! И у каждого круга (в том числе и колеса) площадь имеется, и совпадает она в точности с πR2 ! И ведь не отнимешь этого свойства у круга, хотя бы и колеса! Некая логика есть, но не формальная, а чисто синкретическая, в виде соположения! Реальное колесо имеет форму круга, а формула площади круга – свойство из виртуального мира, из области чистой математики, из мира абстракций. И квадрат здесь есть. Но не тот квадрат, который – форма известной фигуры. А тот, который синоним второй степени. 62

При делении двух пирогов режут пироги, а не число два

А разве не таким же манером детям (да и учителям) объясняют, что два на три разделить можно? Предлагается взять два пирога, каждый разрезать на 3 части и дать по два куска – вот и разделили два пирога на троих. Потому и 2 : 3 = 23 . Однако, здесь в точности, как с тем квадратом, который не тот! Ведь делили-разрезали здесь не число 2, а каждый пирог. А число 2 как было, так и осталось. Просто раньше было 2 пирога, а теперь – 2 куска. Значит, мы разделили не число 2, а чисто физическую материю в виде некоей кучи печеного теста. Как же все-таки быть после этого с делением абстрактного (как любят говорить педматематики) числа 2 на 3?! Надели на хорошо знакомое обыденное слово «делить» совершенно другой неведомый доселе смысл, и решили: раз слово само знакомо — значит, должны проглотить. А если поперхнулся иль закашлял, или чего хуже (несварение случилось)? Нет, значит, способностей к абстрактному мышлению. Сам, значит, и виноват, раз не дано! Про стук колес в учебниках математики не говорят. Но зато в каждом из них написано, что натуральные числа и целые положительные числа — одно и тоже. Уже полвека в математической литературе набор слов «натуральное число» не звучит. Вместо него везде пишется и говорится «целое положительное число». Натуральным числам — геть!

Допустим, в чистой математике так удобно, чтобы не путаться как бы с двумя типами чисел. Но ведь школьникам и учителям повсеместно внушается, что различие этих двух видов чисел — грубейшая ошибка против истины. Хотя и Колмогоров А. Н. в своей статье [1], явно обращенной к педагогам, говорит о принципиальном различии даже их математической сущности. А в реальной жизни, где люди считают, не вспоминая о науке-математике, разве они не сталкиваются на каждом шагу с этой разницей? Не говоря уже о том, что все реальные количества на практике всегда пересчитываются в таком масштабе, чтобы стать целыми (доли рублей — в копейках, более мелкой монеты все равно нет, доли сантиметра — в микронах или в тех минимальных делениях, которые различает шкала прибора, и проч.). А как быть с нумерацией? Ведь, возникая при счете, числа-номера оказываются не количествами, а порядковыми числами. Для названий номеров и в грамматике есть особый термин — порядковые числительные! А разве можно про четвер63

¡ ¢ тый класс сказать т. к. 4 = 20 5 , что это — двадцать пятый класс? Или нужно по другому 20/5-й обозвать “двадцать из пятых”?!? Если сказанное назвать шуткой, то это совсем не сладкая шутка! На чем же все-таки мы все подскальзываемся, доверяя отождествлению N = Z + ? Хоть немного и смущаясь (внутренне), но успешно эти сомнения отгоняя? А опять же на этом соположении. Нам из высокой науки известно, что N = Z + ! Мы забываем при этом, что равенство – всего лишь изоморфизм, а не тождество. Что речь в этом равенстве идет о сущностях принципиально разной природы. Профессиональные математики при разговоре о числах мыслят в основном образами числовой оси, где целые точки врезаны в память яркими маяками. Мы при этом забываем, что числа бывают еще и номерами в последовательностях, индексами суммирования в рядах и проч. В нашем подсознании эти две породы чисел находятся совсем рядом. И некую нестрогость — их идентификацию, математики друг другу прощают. Но грамотные математики, выходя в бытовые вопросы, никогда не станут функционально замещать номера числами из Z + , не скажут номер “плюс два” или этаж “плюс пятый” и т. д. Почему мы здесь оговорились “грамотные математики”?! А об этом речь дальше. § 3.2 Число и цифра — есть разница? Ответ для неиспорченного методической наукой математика очевиден. Это, — опять же, разные сущности! Ведь цифра — это всего лишь картинка, иероглиф. Можно ли расплатиться в магазине бумажкой, на которой Вы собственноручно напишете “100 рублей”?! Даже если кассир и правильно прочитает это по Вашей просьбе вслух! Он ведь все равно не поверит, что это — и в самом деле 100 рублей. Квадрат, да не тот! И когда мы говорим “число два”, записыΨ-числа вая при этом цифру 2 или на римский манер II, полезно не забывать, что число и цифра — хоть и тесно связанные, но разные вещи. И когда мы произносим “поставим знак минус перед числом два”, полезно помнить, что для свежего восприятия звучит ужасно абсурдная вещь. Именно здесь и проявляется разница между числом и цифрой. Знак то мы ставим перед символом числа, а не перед самим числом. Число-то само — вещь не материальная, оно — абстракция количества или номера, а запись его – это картинка. И поэтому, даже согласившись 64

с отождествлением числа и цифры, свежее восприятие неспособно найти психологическую почву для набора слов “число минус два”, в определении, звучащем в каждом учебнике: «числа вида −2; −3;. . . называются отрицательными». Нет во внутреннем плане несведущего человека угла или другого места, куда можно пристроить такое “число”. Тем более, что просто слово “число” в сознании ребенка уже прижилось хорошо. И к его хорошо обжитому смыслу совсем новый смысл как-то не прислоняется. И завернуть новую пилюлю в обертку хорошо знакомого слова — не значит сделать ее съедобной! Самое интересное, что подобные инсинуаΨ-установка ции или совмещения нельзя отнести к убеждениям. Убеждения определяются системой осознанных мотивов и побуждений. Мы же здесь имеем дело с так называемой психологической установкой – неосознанной готовностью поступать определенным образом [13, c. 406]. В Ψ-терминах речь идет о Ψ-установке, как о результате некритического усвоения стереотипов мышления. Для читателей учебно-методической литературы, тех же учителей, некритичность обусловлена традиционным доверием к печатному слову, к авторитету авторов. Но что заставляет самих авторов и других деятелей методнауки распространять, превращая в стереотипы, ложные и абсурдные убеждения? Послушаем, как подобные вещи обосновываются самими классиками педнауки! § 3.3 Откуда идет морока? Педматематика насыщена синкретами Напомним (§1.3), что в цитате [Ц-17] вторая цель обучения педматематики звучит так: «приобретение глубоких и прочных теоретических знаний элементарных начал математической науки». Что такое глубокие и прочные знания — вроде бы ясно. Что такое знания теоретические – догадаться можно не сразу. То ли здесь автор отмежевывается от практических знаний, то ли говорит о теории знаний, то ли о знании теории. Скорее всего, автор имел в виду последнее, ведь математика — наука теоретическая. Но вот какая может быть теория у элементарСинкрет на ных начал? Начала, да еще элементарные, — синкрет это уже масло масляное! Хотя, бывают и не совсем элементарные начала, как у Евклида, например! Если посмотреть на набор слов в этой фразе — то это 65

типичный синкрет. Набор слов, каждое из которых обычно сопутствует разговору о школьной математике. Образована кучка самостоятельных смыслов, логическую взаимосвязь найти просто невозможно. Если, конечно, относиться к математике серьезно. Но весь фокус в том, что приведенная синСинкрет на кретическая фраза содержит программу дейсинкрет — ствий педматематики. Достаточно сравнить с синкрет в цитатой [Ц-7] и мы обнаружим, что эта проквадрате, грамма предусматривает вычленение из матеназываемый матической науки элементарных начал (как и программой кто будет вычленять и даже вынимать (см. [Ц8]) вопрос лишний) и создание на базе этих начал самостоятельной системы, якобы, теоретических знаний. При этом про логику (привычную в математике) согласно [Ц-8] можно и забыть. По-видимому, школьная математика, как она есть сейчас, и является плодом этой деятельности. Вот еще одна цитата из капитального учебΨ-табу? ника [14] для студентов: «Понятие числа относится к основным понятиям математики». Это значит (!?!), что нельзя ответить на вопрос: “Что такое число?” К кому относится этот запрет — “нельзя ответить”? Запрещается искать ответ читателям? Грекам было можно, а сегодняшним студентам и учителям — нельзя! То ли автор хочет сказать, что на этот вопрос ответа нету в принципе!? Однако, скорее всего, автор себя освобождает от необходимости отвечать на этот основополагающий вопрос. Вот Вам и совершенно характерный пример Ψ-установки: “Нельзя ответить”. Но можно ли поверить в это именно неискушенному человеку! Не профессиональному математику или лицу, которое понаслушалось и поначиталось чего-то математического. А именно неискушенному человеку! Ведь так можно договориться и до того, что нельзя сказать — что такое окно, что такое солнце, что такое мама! Но ведь если я не знаю, что такое число, имею ли я право пользоваться этим понятием и даже этим словом? Этак можно запретить и всем языком, всеми словами родной речи пользоваться. Ясно, что это — совершенно дурацкие выкрутасы, ставшие следствием тех самых Ψ-установок как последствий абсолютно неправильного усвоения синкретических по природе стереотипов. 66

Ионийцы в упор «Математики Древней Греции не признане признавали вали отрицательных чисел, они не могли им паровозы дать конкретное обоснование» (из [14]). Древние греки и ядерной физики не признавали. И паровозов не признавали. А заодно и телевизоров не признавали. Они не признавали ничего из того, чего тогда не было. Теоретики от педматематики вообще неявно являются наивными последователями Платона, считая, что все математические объекты, понятия, теории, методы и т. д. существуют вне человека (образуя, как у Платона, некий идеальный мир), а люди, эти понятия, законы и другие объекты, ищут, открывают, сталкиваются с ними, знакомятся с ними и т.д., что постоянно присутствует и в языке — по типу “открыть понятие”. Точно так же можно отказаться признавать что-то (существующее) ввиду отсутствия интерпретации. Однако, мы пытаемся искать слишком глубокий смысл, подходя с избыточным доверием к текстам, напечатанным в книгах. На самом деле мы имеем дело с тривиальным синкретическим соположением. Греки отрицательных чисел и Легкое не знали. А не знать и не признавать — смысмышление лы рядом, да и звучание схожее. Вот и соскочила мысля с одной кочки на другую. Мышление синкретами в наше время — это мышление без напряга, без натуги. Куда мысли ни прибегут — и то, слава Богу, значит, хоть какой-то смысл есть! Вот пример того, куда может мысль прибежать (из того же учебника!): «Термометр показывает утром температуру a = 10, а днем b = 8. На сколько градусов изменилось показание термометра?» Формула решения b − a, т. е. 8 − 10, что не имеет смысла для учащихся. Но ведь температура существует и в этом случае! Как ее найти? Вот так! Раз температура существует, знаВ любой кучке чит и смысл какой-то в этой фразе должен быть! И не нужна никакая логика, силлогизслов должен быть какой-то мы там всякие! Смысл должен быть — и баста! Не зря же так слова сами выстроились! смысл Это опять же, если пытаться серьезно разобраться в смысле. А ведь смысла попросту нет, и мы имеем дело с тривиальным синкретом — продуктом расслабленной и вялой мысли. А ведь колеса у поезда, и в самом деле, круглые! А площадь 67

круга и в самом деле, πR2 ! § 3.4 А напрямую для детей — не хотите ли? Школьный учебник от самых авторитетных авторов [15] объясняет: «Всякое натуральное число может быть записано в виде дроби». Фактически происходит внушение психологической установки: число эквивалентно записи. “Число можно заЧисло и запись писать”, — как невинно звучит. И хотя в русском языке “записать число” буквально означает: “обозначить число символом”, т. е. отразить его на бумаге. И совершенно ясно, что символ объекта или сам объект — разные вещи. Однако в школьной математике подобное отождествление превращается не просто в жесткий стереотип, но в основное орудие внушения. Какая-то карикатура на абстрагирование, когда результат абстракции от исходного объекта не отличается, но с ним отождествляется. Мы здесь акцентировали внимание на синкретическом сопоставлении числа и символа. О том, что натуральные числа и дробные — это две другие большие разницы, мы уже говорили. И еще из того же учебника: «Натуральные числа принято называть так же положительными числами, т. е. слова “натуральное число” и “положительное число” означают одно и то же». «Перед положительными числами — для того, чтобы подчеркнуть внешние их отличие от отрицательных, иногда ставится знак “плюс”» (с. 220). Итак, знак “плюс”— как знак отличия, на манер погон или околышей у военных. И по поводу одного и того же значения! Замечают ли авторы, что они, мягко говоря, лукавят? В этом же учебнике (с. 266) можно познакомиться и с понятием “числа без знака”, для которого “в математике есть специальный термин — модуль”. Как, однако, даже с помощью синкретов выпутаться из этой западни! Ведь число без знака, например, обычное число два, уже обозвали положительным числом. И даже заявили, что 2 и +2 — синонимы. И вдруг первое оказывается модулем. Но тогда и +2 есть модуль. Но +2 — число со знаком! А модуль — число без знака! Куда дальше ехать! Срывать погон и прятать?!? Вся надежда — авось дети (вместе с учителями) не заметят! А и заметят — скандалить никто не будет! 68

Раньше — легше.

«Исторически дробные числа появились значительно раньше отрицательных и, значит (?!?), должны легче усваиваться учениками» [14]. “Появились (объявились наяву)”, — красиво звучит о математических понятиях. Раньше всех появилась “половина”. А разве “половина” — это число? Педматематики убеждены в этом. Забудем пока об этом. Отметим лишь, что слово “появились” здесь легковатое какое-то. Лучше было бы “вошли в употребление”. А на тему: раньше, значит легче! Охотиться на мамонтов люди научились намного раньше, чем телевизор смотреть. Значит ли это, что охотиться с копьем легче, чем телевизор смотреть? § 3.5 И в школьных учебниках Ψ-примитива многовато Упражнения для самостоятельного самоанализа и для разговоров с коллегами. Главное же — для самоуважения. Ведь не зря же математику вон в каком объеме учили!

Предлагаем рассмотреть и обсудить с собой или с коллегами остальные из цитат [Ц-1] — [Ц-17]. У Вас это получится. Так же как и со всеми подобными ляпсусами, с которыми Вы будете встречаться часто. И не только в школьной и учебной литературе! Теперь Вы должны понимать, что все — люди, все — человеки. И потому все способны мыслить примитивно, т. е. синкретами. Несмотря на их административный или другой ранг. И не обижайтесь на них. Просто — приучитесь больше доверять своей интуиции, внутреннему голосу, своим мозгам; — почаще включать их надо и, опять же, своей математической культуре доверять больше; — не зря Вы изучению Математики посвятили лучшие годы жизни! Задачи. Попробуйте разобраться с новых позиций со следующими стереотипами. K-1. Основной предпосылкой для всех математических знаний является нумерация. Это — чуть ли не главный постулат в стандартном объяснении “устройства математики”. «Числа (Number) создал Бог, остальное — творение рук человеческих» (Гаусс). K-2. В плане исторического развития математики — сначала люди научились считать, затем измерять, придя к дробным числам. K-3. Древние египтяне не знали дробей, кроме аликвотных (т. е. 1 сумм долей типа 12 + 31 + 2·3 — в наших обозначениях). 69

K-4. Древние греки (от Фалеса и Пифагора до Евклида и Апполония) признавали в качестве чисел только натуральные числа. Вместо дробей они пользовались отношениями. K-5. Потребность в счете свойственна любому мыслящему человеку. K-6. Арифметические дроби — это положительные рациональные числа. √ K-7. Пифагор доказал, что 2 не является рациональным числом. K-8. Существует два взгляда на дробь. С одной стороны — это объединение долей единицы, с другой стороны — часть числа (цитируется по [16]). K-9. Понятие о дроби как о части числа и как о некотором количестве долей единицы можно найти уже в папирусах Древнего Египта и в глиняных табличках вавилонян [17, с. 66]. K-10. Дальше понятия единичной дроби египтяне не пошли [17, с. 151]. K-11. Необходимость в дробях возникла на очень ранней ступени развития человеческого общества. Так, по-видимому, дележ нескольких плодов между членами большой семьи или добычи, состоящей из двух-трех кроликов между большим числом участников охоты заставлял людей обращаться к дробям, открывать их. Первой дробью, с которой раньше других встретились люди, была половина [17, с. 66]. K-12. В Древней Греции впервые происходит расширение множества целых чисел до множества рациональных положительных чисел [17, с. 158]. K-13. В настоящее время принято во всех учебниках, чтобы действия над дробями шли в таком порядке: сложение, вычитание, умножение и деление. Прежде было иначе: старинные авторы предпочитали начинать с умножения и деления, и потом уже они переходили к сложению и вычитанию; при этом они руководствовались тем, что для умножения и деления не надо приводить к общему знаменателю и, следовательно, эти два действия гораздо легче тех двух [18, с. 141]. K-14. Понятие числа относится к основным понятиям математики. Это значит, что нельзя ответить на вопрос: “Что такое число?”. . . Обучение арифметике натуральных чисел исходит из самостоятельного происхождения этих чисел из счета предметов. Первично не число, а понятия равенства, суммы, произведения [14]. 70

K-15. При решении задач на нахождение дроби числа и числа по его дроби учащиеся должны отчетливо понимать дробь как результат деления целого на равные доли и взятия нескольких таких долей (Мишин). Выходит, дробь — не число, т. к. результат подобного взятия есть часть целого, а не число. K-16. Невозможность выразить результат деления одного натурального числа a на другое натуральное число b, если a не кратно b, некоторым числом, так же принадлежащим множеству натуральных чисел, привело к необходимости расширения множества натуральных чисел путем присоединения к нему множества дробей [14]. K-17. В математической науке имеются различные теории дробей. Наиболее распространенной является теория пар [14] K-18. Мотивировка введения нового числа опирается обычно на жизненный опыт учащихся. Так, введение новых дробных чисел связывается с делением целого на части [14]. K-19. Вывод основного свойства дроби строится на том положении, что дроби, измеряющие одну и ту же величину при одной и той же единице измерения, равны. [14]. Характерный пример косоязычия, низкой культуры математического языка. K-20. В работах Диофанта встречаются преобразования, которые приводят к необходимости выполнения операций над отрицательными числами [14]. K-21. Ошибочность возникновения правила (a − b)(c − d) = ac + bd − (ad + bc) связана с тем, что, выполняя умножение, в скрытой форме предполагают, что для отрицательных чисел справедлив распределительный закон, хотя отрицательное число не введено, не дан критерий сравнения, не определены действия сложения и умножения [14]. K-22. Права гражданства отрицательные числа получили лишь после того, как Р.Декарт применил их к построению аналитической геометрии (??). . . Декарт называл их ложными (!!!). Так отрицательные числа вошли в математику [14]. K-23. Введение отрицательных чисел можно рассматривать как присоединение новых чисел к уже известным (натуральным и дробным), которые при этом получают название положительных чисел [14]. K-24. Термометр показывает нулевую температуру. Нуль принимает новый смысл. Это число, которое показывает определенную температуру, т. е. уже число, характеризующее величину [14]. 71

K-25. Рациональное число рассматривается как мера значения величины. Как мера изменения величины [14]. K-26. Каким бы путем ни вводилось правило сложения, учащимся должно быть ясно, что рассмотрение примеров призвано лишь иллюстрировать правило, но не может служить его доказательством [14]. K-27. В математике принято использовать черту дроби в качестве знака деления [15, с. 15]. K-28. Математики в древнем Китае использовали для обозначения отрицательных чисел другой цвет [15, с. 219]. K-29. Вместе с каждым натуральным числом 1; 2; 3. . . рассматривают соответствующее ему отрицательное число, которое получается приписыванием знака “минус”: −1; −2;. . . Натуральное число и соответствующее ему отрицательное число называют взаимнопротивоположными (с. 219) (так же записывается и число, противоположное отрицательному. Например, противоположное к (−5) число +5 записывается в виде −(−5) [15, с. 219]. K-30. Для числа “без знака” в математике есть специальный термин “модуль”. Отбрасывая знак “минус” у отрицательного числа, мы получаем число, которое и является его модулем [15, с. 266]. K-31. Занимаясь математикой, вы постоянно переводите словосочетания с русского языка на математический и наоборот. Например, фраза “сумма чисел два и три” на математическом языке записывается так: 2 + 3 [15, с. 257]. С устного на письменный! K-32. Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа (с. 5). Она служит и для обозначения числа “нуль”. Это число означает “ни одного”. K-33. Пять долей пирога (восьмых долей) обозначают 5/8 пирога. Записи вида 5/8 называют обыкновенными дробями [19, с. 175]. K-34. Две равные дроби обозначают одно и то же дробное число. Для краткости дробные числа называют дробями [19, с. 185]. K-35. В русском языке слово “дробь” появлялось в VIII в. от “дробить”, “ломать”. В первых учебниках математики (XVII в.) дроби так и назывались — “ломаные числа”. Черта дроби стала постоянно использоваться лишь около 300 лет назад. Первым европейским ученым, который стал использовать современную запись дробей, был Фибоначчи. В 1202 г. он ввел слово “дробь” [19].

72

§ 3.6 Интуитивно-натуральная математика Которая согласуется со здравым смыслом, с интуицией, с внутренним голосом и с первыми двумя уровнями как Ψ-лестницы, так и классификации Колмогорова. Предыстория математики. Древний фон. Первобытные количества. Делить с остатком без дробей! Что раньше — делить или считать? О египетских дробях. Изначальная математика.

Описанная выше лестница — это лестница во времени. Наиболее ценное в ней — полученное психологами описание четырех уровней. На каждом из этих уровней находится мышление отдельного человека в определенном возрастном интервале (точнее, меньше или равно этого уровня), каждый из этих уровней пройден человечеством, создававшим на протяжении всей эволюции такой интеллектуальный продукт, как математические знания, методы, теории и проч. Нас интересует возможность использования лестницы для сепарации математики именно в этом плане. Мы постараемся выделить тот пласт математических знаний, который соответствует первым двум уровням, сойдя по лестнице назад, в туман предистории. Обратимся теперь к генезису изначальных Древний фон математических навыков. Зарождались они вместе с интеллектом в первичных примитивных формах в эпоху древнего каменного века — палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало отличавшихся от жизни животных, и их энергия уходила, главным образом, на добывание пищи простейшим способом — собиранием ее где только это возможно (плоды, ракушки и пр.). Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, для координации совместной деятельности. Пока не произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию и скотоводству, люди мало продвинулись в понимании соотношений количеств. Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, когда пассивное отношение человека к природе сменились активным, мы вступаем в новый каменный век, в неолит. Это великое событие в истории человечеПервая стадия ства произошло примерно десять тысяч лет назад, когда ледники Европы и Азии начали таять и уступать место лесам и пустыням. Прекращались кочевые странствия в поисках пищи. Рыбаки и охотники вытеснялись пер73

вобытными земледельцами. Оседлый образ жизни резко активизировал развитие бытовой культуры, ремесел, торговли. Изобретались гончарное производство, тележное колесо, открытие выплавки металлов, изготовление медных, а потом бронзовых орудий и оружия. Усилившаяся торговля стимулировала совершенствование расчетов, появление первых денег, выработку простейших приемов математических расчетов. Резко активизировалось развитие языков. Скорее всего, первая самая примитивная Предыстория форма мышления завершилась вместе с палеоматематики литом. Какая математика могла появиться в этот период? Точнее, какого рода математическая деятельность была по плечу тогдашнему интеллектуальному уровню людей? Историей математики признано [20], что на Первобытные первобытном уровне “численность восприниколичества мается как одно из свойств совокупности предметов, характеризующее эту совокупность наряду с другими свойствами: цветом, вкусом, размером и проч. А именно, это свойство характеризует совокупность, во-первых, со стороны ее целостности (все ли предметы налицо?), а во-вторых, в чисто порядковом соотношении с другими совокупностями, составленными из тех же предметов (одна — часть другой)”. Таким образом, “на первой стадии развития числа оно представляет собой отдельные числа-свойства или числа-качества конкретных совокупностей предметов с едва намечающимися порядковыми свойствами”. “. . . Такой счет достаточен на той стадии истории человечества, когда, грубо говоря, нечего считать”. Приведенные цитаты соответствуют официальной точке зрения, что математика началась с умения считать (см. Доп – 5), а вот желание (и даже потребность) считать у людей было, якобы, всегда. Но тогда странно: как это — нечего считать? А звезды на небе? А пальцы? А деревья? Да и как можно хотеть считать, если неизвестно, “что такое — считать? ” Другое дело — нужды в счете не было. Потому как не было задач или проблем, разрешение которых требовало бы изобретение чисел. Послушаем мотивацию историков о такой Как возник потребности: «С изобретением лука и стрел, с счет переходом к систематическим охотам, с налаживание связей между деревнями и племена74

ми, короче, — с переходом к высшей ступени дикости старый “счет” числами-качествами оказался уже недостаточным. Нужно уметь не только “на глаз” определять численность некоторой совокупности, но и уметь сообщать об этой численности. Например, нужно передать нескольким племенам, что через определенное количество новолуний назначается сбор для переговоров или совместной охоты» [20]. Можно ли поверить в эту сказку? А что здесь не так? Во первых, процедура осознанного счета может быть освоена только в конце второй ступени. Это доказал Ж. Пиаже. Т. е. отнюдь не в палеолите, на стадии примитивного мышления. Кроме того, счет подразумевает владение названием числа, а имена (слова) в языке появляются только для уже устоявшихся представлений, тогда как в примере историков подобное представление о числе может появиться лишь раз в несколько лун, т. е. несколько раз в году. Можно ли к этому еще чего добавить? § 3.7 Первобытные количества Вывод об “интуитивном счете” сделан историками на основе наблюдений за дикими племенами конца XIX и начала XX в. В это же время культура подобных племен описывалась и изучалась более широко в том числе и психологами, филологами, этнографами и проч. И был обнаружен уровень интеллекта, вполне укладывающийся в одну из первых двух ступеней. И в этом плане — Ψлестница позволяет получить достаточно надежную картину первоначальной математики. Первобытное ощущение количества соответствует первобытной интуиции, определяемой нерасчлененным восприятием. “Я — он”, “мы — они”, “один — много” — изначальная двоица. Простейшие слова, как в синскрете: пра — один (санскрит), предтеча (первый), переть (упираться), преть (спорить, напрягаться) и проч., два — как глаза (санскрит), предтеча дивиться. Второй, другой, иной, так же как и сам, он, один, един и проч. — это еще никакие не числительные, а простейшие основополагающие бытовые понятия. Единственное и множественное число определяют, вместе с падежами, языковые формы. В числах пока нет нужды. А вот повседневные задачи бытового плана — делить на двоих, троих, на всех — стоят уже на первых шагах общежития, на уровне каждой семьи. Они, наверняка, реша75

лись — деваться-то некуда. Но как они могли решаться без чисел, тем более — без дробей? Слово “делить” в математическом плане Разделить — стало термином два-три столетия назад. До разрезать того делили не числа, а некоторые реальные количества. И изначально разделить означает: “раздать поровну”, выделить каждому его часть, его долю. Предварительно, если потребуется, расчленив, разрезав или разорвав, разлив исходные объекты. Можно ли это сделать, не зная не то, что дробей, а даже и счета? Если, допустим, нам известна лишь операция делить пополам, на двоих, располовинить? Оказывается, совсем легко. Пусть требуется, к слову, разделить 8 буханок на 5 человек. Количества 8 и 5 — это для нас, для современных наблюдателей. Представим малолетнего ребенка, который делит кучку конфет на двоих. Как он делит? Без проблем: тебе — мне, затем опять тебе — мне, раскладывая кучку на две. Так же и на троих. Значит, для деления восьми буханок на пятерых первый шаг очевиден — раздать по одной буханке по кругу. Каждому достается по одной, на второй круг не хватает. Было бы буханок больше — досталось бы каждому побольше. Главная проблема — что делать с остатком (с тремя оставшимися буханками, если оценивать ситуацию с более культурной точки зрения)? Следующий шаг — каждую буханку можно раздвоить. Тогда количество неразложенных порций увеличится и можно опять раздавать по кругу. В нашем случае достанется по полбуханки и еще одна половина буханки останется. Дальше поступаем так же — делим оставшийся кусок пополам, каждый из полученных кусков — опять пополам, и так до тех пор пока не хватит опять раздать по кругу. В современных обозначениях у нас каждый получит (1 + 1/2 + 1/16), а еще через шаг — прибавку 1/32, т. е. (1 + 1/2 + 1/16 + 1/32), да еще недоделенным окажется кусок из 1/32 части буханки. Как видите, даже по-нашему, сумасшедшая точность для практического деления. Оглашение полученной доли каждого — цеПервичные доли лая буханка, да полбуханки, до полполполполбуханки, да половина последнего. Никаких терминов, кроме полчего-то, осваивать не нужно. Все ясно и так. Нужно ли при таком способе уметь считать? Нет, конечно! А какие навыки нужны? Значительно более простые, но все-таки уже отработанные, ясные, внятные. Это — понимание очередности, что, 76

кстати, является одной из простейших предпосылок для счета. И владения действием деления пополам, на двоих. До письменности у людей была впереди не одна сотня тысячелетий. И языку еще дозревать и дозревать. Но описанная схема действий, надежно работавшая в каждой семье, почти каждый день, была одной из первых схем, начавших процесс интериоризации, вращивания внутрь сознания. Процесс, в социальном сознании длившийся десятки тысячелетий. И когда возникли зачатки письменности, Аликвоты — именно такие схемы последовательных дейоснова ствий (“взятия половины”) стали запоминаться внешней памятью-символами, превращаясь в наиболее надежные средства решения более сложных задач. Образовав традицию “египетских дробей”, продержавшуюся аж до позднего средневековья. Естественно, в этой традиции было учтено более сложное деление — на троих (появились полтрети, полполтрети — унции) и на большее количество частей. Но все равно, египетские дроби оказываются схемами реального деления (т. е. сенсомоторного интеллекта). И потому наиболее доступными для интуитивного восприятия. Средством, вызывавшим при всевозможных расчетах наибольшее доверие. Таким образом, нами доказано, что так Изначальная называемые “египетские (аликвотные) дроби”, математика являясь схемами реальных действий, возникли в период УрМ-1. Их совершенствование (с помощью других долей, отличных от половины) происходило уже с зачатками письменности, с появлением знаков-символов. Цитаты о египетских дробях см. в (Доп – 5,6). Какие же математические представления были изначальными? А те, которые соответствуют нерасчлененному восприятию, нерасчленяющей интуиции, еще не основанной на использовании языка как интеллектуального средства. Много, мало, еще, дай, на, туда, сюда, первый, вторить, дружить, одинаково (один как), то же , почти, еле-еле, чуть-чуть и проч. Целое и часть. Часть меньше целого. Делить на части. Делить — доля, для. Делить — раздавать, т. е. давать: “на тебе”, “на — ему” и т. д., отсюда — предлог “на” в связи с “делить”. Этот слой чисто интуитивных представлений впаян в коренной пласт слов родного языка, когда он еще не слился с сознанием, не стал основой вербализованного мышления. Этот пласт коренной интуиции насы77

щен словами, не подлежащими изъятию. Этот пласт интуитивных представлений сенсомоторного уровня, не подлежащих деформации. Поэтому у каждого человека на всю жизнь Начало — в главный и первый смысл слова “делить” — это первой делить на части, делить на двоих, троих и Ψ-ступени т. д. Любое другое толкование — это уже более поздние слои культуры. Требовать понимания слова “делить” в другом смысле, особенно если, например, делить единицу (единую и неделимую), это требовать от нормальной психики невозможного. (ср. с Доп – 8). Нижний слой Ψ-лестницы всю жизнь является базой, опорой всей психики человека, и деформировать его — опасно для психики. Она неизбежно начинает защищаться. Поэтому другие смыслы того же слова “делить” должны наращиваться дополнительно на других этажах, без всяких попыток выкорчевывания первозданного смысла из нижнего этажа. § 3.8 Греческие основания математики Доверие любого человека к любому знанию, в первую очередь, определяется психологической силой этого знания. Формальнологические обоснования, даже если они имеются, бывают часто значительно менее убедительными. Таким образом, на уровне обыденного мышления обоснование чего-либо — это снятие всех потенциальных сомнений с опорой на интуицию. Именно так рассуждали философы понийского периода (Древней Греции), когда начали выяснять достоверность методов, которыми деловые люди пользовались уже многие тысячелетия для решения практических задач. Нам эта математика древних известна стала по папирусам Древнего Египта и таблеткам шумеров (халдеев), обнаруженных археологами лишь в XIX в. и расшифрованными в основном в XX в. (см. обзор [62]). Вычислительное искусство древВ письменах них находилось на высоком уровне: были развиты методы (если использовать современные термины) решения даже квадратных уравнений с приближенным извлечением корней; использовались формулы для определения площадей и объемов наиболее часто в практике встречающихся фигур (трапеция, пирамида и пр.). Все методы решения, дошедшие до нас, имели характер рецептов. По-видимому, грекам они были известны в такой же форме. Подоплека у этих рецептов, если 78

разобраться нынешними методами, основана была на соображениях пропорциональности и на умении производить вычисления, т. е. операции с числами. Именно поэтому центральными вопросами у греческих ученых стали две проблемы. Первая — вопрос о том, что такое число. И вторая проблема — вопрос о взаимоотношении чисел и величин. И хотя именно греки дали миру силлогизмы и формальнодедуктивные конструкции, но они обоснование деловой математики провели не столько логически, сколько психологически. Ими был отобран некий перечень простейших понятий и свойств, неспособных вызывать сомнений. А это главный психологический аргумент. И затем, уже дедуктивными средствами, объяснялась вся тогдашняя математика, что и изложено в «Началах» Эвклида. Понятие числа греки считали интуитивно очевидным, как результат счета. Но для действий с числами нужно было откуда-то изымать их свойства. Для этого достаточно было полагать, что Число есть собрание единиц. Такой взгляд на число (натуральное) удовлетворял самых веЧисло есть ликих математиков до конца XIX в., когда собрание натуральные числа были определены соверединиц шенно формально аксиомами Пеано, Вейерштрасса, Кантора и пр. (см. комментарии в Доп — 7). В деловой математике купцы и прочие вычислители пользовались дробями. Их высмеивал Платон, говоря, что те “разменивают единицу на мелкую монету”. Тем не менее дробные числа должны были быть объяснены. Не являясь результатами счета, но постоянно используемые при измерении (точнее — при соизмерении), они были неизбежным способом выражения результата вычислений в задачах с линейными взамосвязями в форме пропорций. И здесь греками в центр внимания было поставлено понятие величины и отношения между величинами одного рода. Развитая греками теория отношений величин и пропорций более двух тысячелетий считалась вершиной математического совершенства. Отказались от такого подхода для описания чисел лишь в начале XX века (см. Доп – 7). Полностью утрачена связь с интуицией, Корни дробей — для которой дробь — не число, а мера части. Ведь когда мы говорим “половина” (или 50%), в частях в подтексте, молча подразумевается, что эта целого половина или эти 50% должна быть к чему-то 79

прислонены. Потому как они выражают часть чего-то основного. Дроби корнями уходят к представлению о части. Все текстовые задачи до сих пор, если они с дробями, выражают связь части с целым. Это, вроде бы, всем понятно. Даже и детям. Так им подсказывает язык. Это было понятно и нашим предкам. Поэтому дробные числа, возникшие у греков в форме отношений (α = A/B), были по сути операциями-множителями: взять часть от B такую же, как, например, 3 составляет от 5 (буквальная формулировка задачи из папируса Ахмеса). Греки это представляли в форме “взять α(= 2 : 5) от B” (см. комментарии в [6]). На бытовом уровне понятие величины соВеличины в вершенно прозрачно вместе с основными свойобъяснении ствами: часть меньше целого, сумма A + B дробей больше как A, так и B. Ясно, что такое величина, кратная A: например, A + A = 2A, A + A + A = 3A, а если A сложить с собой k раз, то результат получится kA. Если этот результат обозначить через B, т.е. kA = B, то A можно назвать долей B и обозначить через (B/k). Нахождение доли A по целому B называют делением на k частей, записывая B A = , а отыскание k по B и A называют измерением B с поk мощью A (сколько крат составляет B от A?), а так же делением по Евклиду (Евдоксу) с обозначением k = B : A. Подчеркнем, что здесь всюду A и B — не числа, но величины одного рода. Самый темный вопрос (не для методистов, конечно, хотя они это место избегают всячески): “Почему 2 на 3 раньше не делилось, а теперь в дробях — стало делиться?” — на языке величин разрешается просто и элегантно. Во-первых, для нашей бытовой ситуации Взять две 2/3 сами по себе смысла не имеют. Имеет части смысл выражение (2/3)A, т. е. “взять 2/3 от A”, как раньше всегда и говорили (умножить на дробь — термин появился не совсем даже c первыми учебниками в XVIII в.). Но взять 2/3 от A, значит — давайте слушать свой язык — “взять две третьих (части) от A”. Слово “части” мы вставили, хоть и в скобки, но как само собой разумеющийся подтекст. Таким образом, 2/3 от A означает 2 раза по (A/3) — как мы и привыкли определять дробь. Теперь рассмотрим вопрос о делении на три удвоенной величины A, т. е. (2A)/3. Для величин очевидно свойство A = 3(A/3). Оно следует из определения доли. Поэтому 2A = 2(3(A/3)) = 6(A/3). 80

Тем самым при делении 2A на 3 достаточно разделить на троих шесть штук A/3. Поэтому (2A) : 3 = (6(A/3)) : 3 = 2(A/3) = 2/3A. В чем здесь фокус? В том, что на 3 мы разделим не единицу и не два, а величину A. Когда на 3 нужно разделить 2 см, то ответ нужно ³ см ´ писать в виде 2 . Мы не 2 разделили на 3 3, а единицу измерения, т. е. сантиметр. В стандартных учебниках 1 сбивает с толку само обозначение , которое озвучивается разумно 3 — “одна треть”, но трактуется как (1:3), что в корне не верно. Ибо ³ см ´ 1 1 см:3 = не см, но = 1 . 3 3 Не зря в одной из своих последних публикаций А.Н.Колмогоров подчеркивал важность умения различать два вида деления, не говоря о том, чтобы различать числа и величины. Формальная теория величин может быть построена аксиоматически, аналогично изложению (Доп — 6). Треть — не единица

§ 3.9 Ψ-основы школьной математики Натуральная арифметика. Доли величин. Арифметика долей. Содержательной математике — минимум формализации. Ψ-логика Киселева. Натуральная арифметика дробей. Дробно-алгебраическая арифметика Q+ . Относительные рациональные числа.

Мы исходим из того, что дети в интересах будущей взрослой жизни должны в совершенстве овладеть навыками и методами содержательной математики, созданной человеческим гением для облегчения жизни. Формализованная математика необходима для изучения, как нам представляется, лишь в той мере, в какой она облегчит усвоение содержательной. Все прочие вещи следует оставить для специальных классов, с углубленным изучением. Мы не будем затрагивать геометрическоМимо Киселева го цикла. Заметим, что наиболее согласована с Ψ-лестницей методика учебников Киселева. Там, если кто помнит, изначально изложение нацелено на сенсорномоторное мышление (наложим, т. к. отрезки или углы равны, другой конец или другая сторона совпадет и т. д.). Затем отработанные схемы действий, обеспечивая начальную (по Выготскому и Пиаже) геометрическую интуицию, комбинациями приводят к возможностям догадок (инсайту, ага-переживанию). При этом наращивается 81

аргументация в форме силлогизмов. Аксиомы появляются лишь в конце планиметрии, после чего уже возможны более строгие дедуктивные рассуждения. Не зря в когдатошние времена именно геометрия по Киселеву прививала школьникам навыки формальнологических рассуждений. И делала это достаточно успешно. Мы ограничиваемся чисто логической схемой, учитывающей возможности Ψ-лестницы. Стандартные формально-логические схемы — образцы их приводятся в §8 — являются элементами метаматематики и абсолютно непригодны на уровнях УрМ-1, УрМ-2. За счет оторванности от интуиции они не могут служить надежной опорой и для учителей. Число — то, что отвечает на главный вопрос арифметики “сколько?”! Является реНатуральная зультатом счета, нумерации предметов или арифметика объектов. Число состоит из единиц. Сколько?! Главное свойство: число предметов не зависит от порядка, в котором они пересчитаны. Сумма — то, что отвечает на вопрос “СКОЛЬКО всего?”! Сложить два числа — добавить второе к первому. Добавляя поединично, мы считаем тем самым общее число, т. е. сумму. В силу основных свойств m+n = n+m; (m+n)+k = m+(n+k). Умножить m на k — значит взять m слагаемых k раз. В силу основного свойства: k(m+n) = km+kn. Отсюда k(mn) = (km)n. Результат умножения mn называют произведением. На табличке из точек очевидно свойство mn = nm. Величина — то, что может быть больше Доля, величина или меньше. Что при добавлении увеличивается: a + b > a. Часть меньше целого. При любом k у величины A существует k-тая доля B такая, что k раз складывая B + B + . . . + B = A. Обозначается B = A/k. Если у числа m существует k-тая доля n, т. е. kn = m, то n называют частным от деления m на k и пишут n = m/k. Процедура взятия нескольких долей от величины A называется взятием дроби. Например, взять 2/3 от A (озвучивается, как взять две трети от A) означает: дважды взять A/3. Для произвольной пары m, k взять m/k от величины A означает взять m раз k-тую долю A, т. е. величину-долю A/k умножить на m. Результат обозначается через m/kA. 82

Итак, по определению (m/k)A = m(A/k) Взятие дроби называют умножением на дробь. m p Произведением дробей и называется n q новая дробь, которая получается последоваm p тельным взятием , а затем , а именно: q n µ µ ¶¶ mp m p · A = (легко проверяется) = A n q nq

Арифметика долей

Сумма дробей отвечает на вопрос “сколько всего?”. Т. к. пока у нас дроби без величин смысла не имеют, то определение дается на произвольной величине A µ ¶ m p m p + A= A+ A= n q n q µ ¶ µ ¶ A A так как A = q иA=n , то предыдущее равенство можно q n продолжить µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ m A p A A A A = q + n = mq + pn = (mq + nq) , n q q n qn nq nq что дает известную формулу сложения дробей. Подчеркнем, что введенная нами сумма дробей определена не алгоритмом, а вопросом “сколько всего?”. На практике величина A, измеренная с помощью единичной величины d, так что A = kd, может оказаться µ ¶ разделенной на n чаk k стей. Если k кратно n, то (A : n) = d, где — некое натуn d ральное число. Если же k не кратно n, то деление реализуемо, но с другой физической сущностью: µ ¶ d (A : n) = (kd) : n = k , n т. µ е. здесь разделенной на ¶ n оказывается единичная величина d d от нее взята n-я доля , а не число k. n 83

Таким образом, в натуральной арифметике дробь — процедура взятия части, как и положено в бытовых представлениях. Процент — та же дробь, только в сотых долях. Но обязательно — от какой-либо величины. На описанных представлениях основаны главные задачи для дробей и процентов. С уточнением: дроби и проценты берутся не от числа, как это везде принято писать и говорить, а от величины. 2 2 Например, от 6 = 4. Здесь 4 — часть, – размер этой части, 3 3 а 6 — исходная величина (целое). Сейчас же говорят, что 4 есть дробь числа 6. К этому могут быть добавлены сведения о пропорциях и их свойствах. § 3.10 Дробно-алгебраическая арифметика Q+ Любое натуральное число можно представить в виде дроби: n = n/1. Этот набор слов, присутствующий в любом учебнике, лишен, казалось бы, смысла. Однако это не так, ибо в нужный моkm k мент n/1 может приобрести вид , как если бы 1 = . Последнее k k равенство мотивируется µ ¶ основным свойством дроби. Однако равенk 1 ство 1 = =k есть серьезная подлость, т. к. считает (без k k всяких комментариев), что единица имеет k штук k-тых долей. Вообще, доли единицы — избитый набор слов, фигурирующий 1 всюду и везде. А в выкладках участвуют в виде как доли той k самой единицы, которая в числителе стоит. Мы уже отмечали, что это — серьезное наДелить без силие и над интуицией, и над сутью дела. Ведь насилия даже основное свойство дроби доказывается как? Применением к какой-либо конкретной величине — отрезку, кругу с его секторами, прямоугольнику с его полосочками и квадратиками и т. д. Другими словами, всюду делится не единица, которая первая в N, а единица измерения, т. е. единичная величина. Но дробные числа математике нужны позарез. Где их взять? А очень просто. На арифметической полупрямой. Где есть направление и фиксирована единица измерения. И тогда любой точке можно поставить в соответствие ее расстояние от начала, измеренное той самой масштабной единицей. 84

Другими словами, для любых двух величин a и d одного рода при наличии чисел m, n(∈ N ), для которых na = md, мы будем m называть отношением a : d и даже числом дробь , подразумеn m m p вая a = d. Таким образом, для любых дробных чисел и , n n q m p соответствующих точно так же обозначенным дробям и , опреn q деляются арифметические действия. В чем же разница между дробями и Дробь не число дробными числами? Каждая дробь – символ взятия некоей части (некоего количества долей) от произвольной величины. Дробь m не есть результат деления m на n. n Дробное число – формальный символ, образованный парой натуральных чисел. Он, Сначала m дробить – этот символ – запись , может, в случае нужпотом делить ды, рассматриваться вnкачестве соответствующей ему дроби, но только примененной к каm кой либо величине. Либо этот символ может рассматриватьn ся сам по себе, в виртуальном мире себе подобных символов с определенными выше правилами действия. Но в этом виртуальk 1 ном мире уже 1 = = k( ) при любом k и любое натуральное k k n может быть умножено на эту сколь угодно дробящуюся единицу nk n = n(k/k) = . k К системе натуральных представлений, как в п.6.2., дробные числа не имеют отношений. В форме результатов измерений – да, но тогда в виде именованных чисел. Но не в виде выражений типа 20 яиц. 10 Формально говоря, дробные числа – линейные операции (скалярные множители) над множеством величин одного рода любой природы. (см. Доп – 8) § 3.11 Относительные рациональные числа Отрицательные числа в школе обычно вводятся методом: “число вида −2 называется отрицательным”, т. е. перед натуральным числом 2 ставится знак минуса и то, что получается, объявляется отрицательным числом. А прежние натуральные числа обзывают85

ся положительными, перед ними положено ставить плюс. И все это вместе с нулем обзывается множеством Z целых чисел. Далее через (−a) предлагается обозначать число, противоположное a. Например, через −(−2) тем самым положено обозначать +2(!?!). Но почему запись −(−2) мы должны считать числом? Эти и множество других нескладух объясняется тем, что отрицательные и положительные числа пытаются втиснуть каким-либо боком в систему натурально-бытовых представлений. И если, скажем, дробные числа имеют некий практический смысл количеств, когда их применяют к величинам, то отрицательным числам напрямую никакого количественного смысла придать нельзя. О возможных разных их интерпретациях мы скажем дальше. С математической точки зрения положительные и отрицательные числа – это записи-символы (−a) или (+a), где a – число из множества арифметических дробей (если надо — пополненного иррациональными числами). Раньше такие числа называли абсолютными, их множество обозначали через A. Реально A изоморфно R+ . Если a – абсолютное число, то запись (+a) Наиболее называется положительным числом, запись (−a) называется отрицательным числом, испрозрачная ходное число a — модулем любого из новообтеория. разованных чисел. Основная интерпретация — числа-координаты. Или отклонения. В быту — высказывания типа “без двух минут”, что адекватно (−2). Слово “число” применено условно. Никакого отношения к количествам эти числа не имеУсловность ют. Вот их модули – точно количества. При термина этом ЧИСЛО ½ (+1) · |a|, при a > 0 a= (−1) · |a|, при a < 0. т. е. каждое число оказывается как бы именованным, и модуль указывает, из скольких (+1) или (−1) оно состоит. На этом свойстве и на отправном равенстве (+1) + (−1) = 0 основаны правила сложения. Например, (+3)+(−5) = 3(+1)+3(−1)+2(−1) = 2(−1) = −2. Умножение производится по правилу Именованная форма,

a · b = |a| · |b| · (sign a)(sign b), 86

где sign x означает “знак x”, т. е. sign x = +1, при x > 0 и sign x = −1 при x < 0. При этом правило знаков постулируется: (+1)(+1) = (−1)(−1) = +1,

(+1)(−1) = (−1)(+1) = −1

Известны многочисленные попытки объяснить эти правила, исходя из натуральной арифметики (см. [21]). Они оказались ошибочными. Подчеркнем, что числа со знаками – это символы-элементы из виртуальной области, удобные для внутриматематических преобразований. Количественного смысла – в отличие от модулей – они не имеют. Точно так же грубейшей ошибкой является N равно ли Z? повально бытующее отождествление, например, положительных целых чисел с натуральными. На самом деле это объекты совершенно разной сущностной природы. Например, в быту числа из N служат номерами. А можно ли представить, скажем (+20 пятый) класс ?!? А хотелось 4 через положительную дробь (т.к Z+ ⊂ Q+ ) выразить: номер 4 через µ ¶ 20 + записать. 5 Числа – записи, но не числа – количества

§ 3.12 Некоторые направления формализации Мы уже отмечали эволюцию смысла знака равенства. Сначала – символ “получится”, затем — “то же самое” (в размытом, вообще говоря, смысле), затем — “одинаково” (один как ). Эта эволюция происходит еще в числовых вещах и комментировать ее несложно. Главное — комментировать обязательно. Нуль — очень коварный объект, если остаКоварный нуль вить без призора. В серьезном плане нуль — это договоренность математиков о возможности абсолютной точности равенств: a−a = 0 означает, что a = a. На самом деле равенства в жизни всегда имеют погрешность, неувязку, и интуиция это чувствует. Так что перегибать палку, слепо настаивая на абсолютной справедливости того, что является внутриматематической договоренностью, не стоит. Эволюция арифметических действий. Пока обсуждаются действия с численно-значными выражениями, смысл действий понятен. Но вот появляются многочлены. Что назвать их отношением? Если, например, (x2 − 1) : (x − 1), то почему частным оказывается 87

x2 − 1 (x + 1)? Или мы проверяем при каждом x, что = x + 1, когда x−1 при придании x числового значения мы получаем отношение двух обычных чисел? Но что делать при x = 1? Здесь в школьной математике наступает зона умолчания. На самом деле на множестве многочленов операции определяются другим, неизвестным дотоле способом. Суммой (произведением) двух многочленов P (x) и Q(x) называется такой третий многочлен M (x), что равенство P (x) + Q(x) = M (x) (или P (x) · Q(x) = M (x)) является тождеством. Не прозевали? Равенство является тождеством, т.е. должно быть верно при всех абсолютно x. В этом плане деление P (x) : Q(x) возможно не для любой пары многочленов. Не запись P/Q (ее можно осуществить всегда — взяли и нарисовали). А именно деление, как оно определяется. А определяется оно по правилу: Если P (x), Q(x), P0 (x) и R(x) – многочлены, причем степень R меньше степени P0 , то Многочлены P0 называется частным от деления P на Q, а R делятся, как – остатком, если равенство P (x) = Q(x)P0 (x)+ числа в N R(x) является тождеством. Вот так – вполне аналогично додробному делению с остатком в N. Множество многочленов — часть множества функций, где действия определяется так же. Основной нюанс: нулем здесь признается уже не число, а многочлен или функция, принимающие только нулевые значения. Мы привели в этом пункте примеры формализаций, без которых обойтись нельзя, но о которых обычно забывают, что приводит к серьезным недоразумениям. Главная же Ψ-проблема — применение языка, когда хорошо знакомые слова используются в совершенно новых, порой — абсурдных смыслах. Почему авторы таких оборотов не замечают ляпсусов? Затеняют все те же синкреты. § 3.13 Формальные конструкции. Для мебели А как можно не очень сложно? В N должно быть задано сложение, т. е. операция, по любой паре элементов a, b из N определяющая новый элемент, называемый суммой и обозначаемый в виде a + b, которая (операция) обладает свойствами Аксиоматическое описание N

[a = a0 и b = b0 ] ⇒ a + b = a0 + b0 ; 88

a + b = b + a; a + b + c = a + (b + c); [a + b = a + b0 ] ⇒ [b = b0 ]. Отношение порядка в N вводится так. Если для пары a, b из N существует c ∈ N такой, что a + c = b, то пишут a < b и говорят, что “a меньше b”. Аксиома упорядоченности. Для любой Аксиомы пары a, b из N либо a = b, либо a < b, либо порядка a > b. Должно быть верно одно из этих трех свойств. Аксиома полной упорядоченности. Всякое непустое подмножество из N содержит первый элемент. Следствие 1. В N существует первый элемент. Если обозначить его через e, то наименьший из остальных элементов есть e + e = 2e. Точно так же существует следующий после e + e элемент, который больше его на e и т. д. Следствие 2. Если P – подмножество N , такое, что P содержит первый элемент e и вместе с каждым a ∈ P содержит следующий a + e, то P = N . Последнее предложение эквивалентно т. н. методу полной математической индукции. Стандартные свойства операций (законы счета) проверяются на базе приведенных аксиом без труда. Приведенный подход к описанию N адекватен методу Вейерштрасса и Пеано. Z можно формально ввести на базе N по Множество Z формуле Z = N − N . Точнее это делается так. целых чисел Рассмотрим множество записей вида m − n при m, n ∈ N . Две такие записи m − n и, например, p − q отождествляются с одним целым числом, если m + q = n + p. Таким образом, целое число – это класс попарно эквивалентных в этом смысле записей-разностей. Для любых таких классов U, V сумма U + V определяется как класс, порождаемый разностями вида (m+p)−(n+q) при каких либо m−n и p−q, соответствующих U и V. Произведение U V двух “новых чисел” вводится аналогично: если m − n и p − q разности, порождающие U и V соответственно, то произведением U V называется класс, порождаемый разностью (mp + nq) − (mq + np). 89

Все законы счета после этого проверяются тривиально. Нуль возникает здесь в виде разностей m − m при любом m ∈ N . Отрицательные числа – в виде разностей 0−n или, более общо, m − n при m < n. Q определяется как Z/N , т. е. множество Множество Q записей вида m n , где m ∈ Z и n ∈ N . При этом две записи m/n и p/q считаются по рациональных определению эквивалентными, если mq = pn. чисел p Операции вводятся дефинициями m n + q = p mp mq+np m nq , n · q = nq . Проверка законов счета после этого оказывается несложным упражнением. Пусть X, Y – произвольные множества и X × Y — множество всех упорядоченных пар Общее (x, y) при x ∈ X, y ∈ Y . Отношением, заданотношение ным на X × Y , называется любое подмножество P из X × Y . Отношение P , заданное на X × X, при Отношение эк- котором для любой пары (x, y) ∈ P должно вивалентности быть (y, x) ∈ P , а для любых x, y, z из принадлежности (x, y) ∈ P, (y, z) ∈ P должно следовать (x, z) ∈ P . При этом должно быть (x, x) ∈ P при любом x ∈ P . Отношение эквивалентности обычно обозначают в виде x ' y или даже x = y. Перечисленные аксиомы означают: a ' a, [(a ' b) ⇒ (b ' a)] и [(a ' b), (b ' c)] ⇒ (a ' c). Если для отношения P из X × X справедливы свойства Отношение порядка (a, a) ∈ P (∀a ∈ X), т.е. a 6 a ¾ a6b [(a, b) ∈ P ] ∧ [(b, a) ∈ P ] ⇒ [a = b], т.е. ⇒a=b b6a Нуль

[(a, b) ∈ P ] ∧ [(b, c) ∈ P ] ⇒ [(a, c) ∈ P ], т.е. (a 6 b, b 6 c) ⇒ a 6 c) Отношение P из X × Y функционально, – если каждому x ∈ X соответствует не более одного элемента y ∈ Y такого, что (x, y) ∈ P . Элемент y в этом случае называют образом x или значением P на x, а элемент x – прообразом y. Такое отношение называют отображением или абстрактной функцией. Функциональные отношения

90

§ 3.14 Как высшая математика на элементарную наехала Цитируем классиков (С. Л. Соболев, А. Н. Колмогоров, М. Клайн + автор).

В 60-е годы XX века началась радикальная перестройка математического образования в нашей стране. Каким оно было до того? Цитируем С. Л. Соболева – одного из главных соратников авторов реформы (Колмогорова-Маркушевича): «В средней школе на протяжении многих лет до последнего времени содержание математического образования изменялось очень мало, оставаясь близким к давно установившимся традициям. После основательного изучения арифметики, включая “арифметическое” решение довольно сложных текстовых задач, следовал традиционный курс алгебры как учение о тождественных преобразованиях буквенных выражений и о решении алгебраических уравнений и систем уравнений с применением алгебраической техники к решению текстовых задач. Параллельно с алгеброй следовала геометрия, на основе наглядных представлений и аксоиматики, близкой к евклидовой. Далее следовал традиционный курс тригонометрии». Развитие технического прогресса и проНеобходим грессивное возрастание роли науки вызвали необходимость пересмотра содержания и стипересмотр! ля математического (и не только математического) образования в средней школе. Основные идеи и понятия традиционной “высшей” математики: производная, интеграл, несложные дифференциальные уравнения как средство описания физических явлений, — приобрели характер необходимого запаса знаний человека со средним образованием, независимо от рода работы. Не владея этими понятиДля рабочихями, трудно знакомиться с достижениями сорационализавременной науки и техники по общедоступторов ным источникам (статьи в периодической печати, научно-популярная литература). Владение этими идеями дает мощное подспорье многочисленной в СССР прослойке рабочихрационализаторов производства и т. д. Масштабность перестройки должна была быть социально мотивированной. У Соболева С. Л. это звучит так: «В последние годы расширение объема математического образования стало жизненно необходимым, и программы по математике (и другим предметам) в средних школах существенно переработаны при участии широких кругов научной общественности страны. Переработка косну91

лась как содержания, так и стиля преподавания». О смысле перестройки. Слова С. Л. Соболева: «Основные тенденции перестройки – преНадо одоление разрыва между арифметикой, с одпреодолеть ной стороны, и алгеброй и геометрией — с друразрыв гой, а также между элементарной и “высшей” математикой». Поставлены тем самым две грандиозные (как мы увидим) задачи, так и не решенные до сих пор. Хуже того, намеченные реформаторами тактические решения привели к резкому ухудшению образования. Но это ясно теперь, почти через полвека. А тогда? Можно ли было тогда, в шестидесятые годы, оценивать продуктивность предлагаемых методов? Что С. Л. Соболев писал тогда о методах: Метод — сдвиг «Преодоление обоих разрывов. . . осуществляется посредством раннего пользования букваназад, на детство ми прежде всего для обозначения неизвестных при решении задач. Рано вводится понятие отрицательного числа. В начальных же классах ученики знакомятся с элементарными геометрическими фигурами и простейшими арифметическими задачами с геометричеким содержанием. Последовательно осуществляется функциональная точка зрения, широко используются графики. Курс алгебры завер+формальная шается введением понятий производной и инкультура теграла, с различными применениями, но без выработки развернутой техники дифференцирования и интегрирования. Постепенно вводятся простейшие понятия теории множеств и математической логики, что дает удобный язык при рассмотрении систем уравнений, неравенств с неизвестными и при формировании понятия функции. Усиливается внимание к методу координат и графикам функций. В геометрии вводятся и используются векторы и т. д.» Методы, описанные выше, означали по существу более раннее внедрение в учебный процесс понятий и идей выcшей математики. В этой связи не мешает более отчетливо представить, чем, собственно, высшая математика отличается от элементарной.

92

Рождение и развитие высшей математики продолжалось около трех столетий, на протяжении которых эта разница как бы и не ощущалась. Зато сложились довольно прочные традиции, как научные, так и методические, весьма плотно эту разницу затмевавшие. Распознать эту разницу весьма непросто. Четко она не описана до сих пор. Во всяком случае, даже крупнейшие математики воспринимают эту разницу на уровне ощущений. Наиболее ясно генезис этой разницы описан у М. Клайна: «Сами того не желая, великие математики вызвали своими трудами едва уловимое изменение в самой природе математики». До XVI в. математические понятия были идеализациями или абстракциями, почерпнутыми непосредственно из опыта. Правда, к тому времени отрицательные и иррациональные числа были уже приняты индейцами и арабами. Но хотя мы отнюдь не склонны недоооценивать вклада, внесенного арабами и индийцами в развитие математики, в вопросах обоснования они полагались главным образом на интуицию и “внематематический” опыт. Когда же появились комплексные числа, а также алгебра, широко использующая буквенные коэффициенты, производные и интегралы, главенствующее положение в математике заняли понятия, представляющие собой абстракции более высокого ранга. Так, понятие производной, или мгновенной скорости изменения величины, качественно имеет совсем иную природу, чем, например, понятие треугольника. Аналогичным образом были обречены на Отличие от провал все попытки математиков, еще не греков осознавших, что все эти понятия не основаны непосредственно на опыте, а являются абстракциями более высокой степени, понять, что такое бесконечно большие величины, которых так старательно избегали греки, бесконечно малые величины, которые греки так искусно обходили, а также отрицательные и комплексные числа. Иначе говоря, математики создавали понятия, а не черпали абстрактные идеи из реАбстрактные идеи черпались ального мира. В поисках источника математических идей математики стали обращаться не не из к ощущениям, а к человеческому разуму. По чувственного мере того, как новые идеи оказывались все бомира, а из лее полезными в приложениях, их принимали разума — сначала недовольно, а потом с жадностью. Высшая и элементарная математика – в чем разница?

93

Становясь привычными, новые понятия отнюдь не становились более приемлемыми: привычка лишь рождала Ощущения у математиков некритичность и создаваестественнола ощущение естественности там, где этой сти, где ее не естественности на самом деле не было. Набыло чиная с XVIII в., в математику входило все более абстрактных понятий, которые тем, не менее принимались с все меньшими трудностями. Математикам, вознесенным ими же созданной ракетой, не оставалось ничего другого, как рассматривать свою науку с высоты, намного превышающей уровень земной поверхности. Не почувствовав изменения, происшедшего в характере новых понятий, математики Изменений с тем самым лишили себя возможности присвое время не знать необходимость иной основы для аксиозаметили матического построения своей науки, чем самоочевидные истины. Разумеется, новые понятия отличались от старых большей тонкостью, и заложить надлежащий аксиматический фундамент, как мы теперь знаем, здесь было совсем не так уж просто. Постигнув суть физической проблемы в Соблазн той или иной ее математической постановформул ке, математики XVIII в. не могли устоять перед соблазном формул. По-видимому, формулы обладали в их глазах такой притягательной силой, что процесс вывода одной формулы из другой с помощью какой-нибудь формальной процедуры, например, путем дифференцирования, доставлял им глубокое удовлетворение. Восхищение перед символами переполняло их и лишало способности рассуждать. Восемнадцатое столетие окрестили “Героическим веком в истории математики”, потому что именно тогда математики дерзнули совершить столь небывалые по своим масштабам и значимости научные заоевания, пользуясь столь слабым логическим оружием. Напомним читателю, что выделенная Высшая нашей Ψ-классификацией культурноматематика — интуитивная математика, плотно увязанная выше УрМ-2 с языковой культурой – это в точности та самая математика, от которой начал в XVI в. происходить отсчет (по М.Клайну) новой математики, отличительной чертой которой явились абстракции, плохо согласующиеся с 94

обиходной интуицией. Авторам перестройки казалось, по-видимому, что проблем с освоением новых абстракций быть не должно. То, что это абстракции новые, качественно отличные от предыдущих, как бы и не обсуждалось. Правда, чисто интуитивно многое понимал Колмогоров. Так, в отличие от демагогических целей (типа обучение передовых рабочих-рационализаторов) он говорил о мировоззренческих задачах. «Общеизвестно, что воспитание научного материалистического мировоззрения невозУчебнопросветитель- можно без ознакомления учащихся с историская ценность ей науки и понимания учащимися основных этапов развития науки». Именно из этих совысшей ображений в новую программу по математиматематики ке введено понятие о простейших дифференциальных уравнениях. Изучаются детально лишь три уравнения: равномерно ускоренного движения y 0 = a, гармонических колебаний y 00 = −k 2 y и показательного роста или убывания y 0 = ky. Напомню, что для Ньютона существовали Для Ньютона две основные задачи анализа: интегралы – (1) нахождение по функциям их производсамое неглавное ных; (2) нахождение по соотношениям между функциями и их производными самих этих функций. Вторая задача и есть задача интегрирования дифференциальных уравнений. Задачу нахождения первообразных Ньютон рассматривал как простой частный случай. С понятием дифференциального уравнения неразрывно связана вся идеология матеГлавный матического естествознания от Ньютона до интерес Лапласа. Общий принцип детерминизма Лаанализа плас излагал исходя из того, что основные забесконечно коны природы выражаются в форме диффемалых – ренциальных уравнений, а их интегрирование описание позволяет по-настоящему предсказывать будузаконов щее. Очень хотелось бы, чтобы в школе не природы с помощью диф- оставался обойденным классический пример ференциальных планетных движений. Интегрирование соотуравнений ветствующих дифференциальных уравнений, как известно, представляет собой грандиоз95

ную задачу, решаемую лишь численными методами. Но ясное представление о задаче дать нетрудно. Без достаточно конкретного понимания этого этапа развития математического естествознания невозможно и понимание дальнейших этапов, появления статистической физики. В силу сказанного, очень важно, чтобы тема “Дифференциальные уравнения” звучала достаточно сильно как в школьном курсе математики, так и в школьной физике независимо от того, что элементарные задачи могут быть разобраны более экономным кустарным способом. На фоне проводившейся перестройки интересным оказывается методологические оценки А. Н. Колмогорова. «1. Содержательно интерпретируемая теоретико-множественная математика в ее Теоретикополном объеме является логически незамножестконным обобщением непосредственного венная человеческого опыта, которое в начале нашего математика века было спасено от прямых противоречий есть путем введения некоторых ограничений. Тем незаконное не менее, она является драгоценным источлогическое ником математических моделей, находящих обобщение самое широкое применение при изучении человеческого реального мира и в человеческой практике. опыта 2. Законность этих применений полностью гарантируется при соблюдении двух условий: финитная часть математики должна быть содержательно истинной и полной, а нефинитная часть, лишенная содержательной интерпретации и формализованная, – непротиворечивой. По существу, все связи между математикой и ее реальными применениями полностью умещаются в области конечного. Во многих случаях, мы предпочитаем непрерывную модель лишь потому, что она проще (большая простота обращения с дифференциалами и производными по сравнению с конечными приращениями и их отношениями общеизвестна)». Сказанное выше, возможно, объясняет беспокойтсво А. Н. Колмогорова о конкретных методических новациях в преподавании элементарной математики: «Естественность обращения к отрицательным числам и лишь потом к дробным имеет место только в чисто алгебраической концепции обобщений понятий числа». 96

«Следует особо подчеркнуть, что без ясного понимания различия между числом и способом его записи нельзя осмысленно применять к числам язык теории множеств». «Твердое усвоение различия между поняПо советам тиями “дробь” и “дробное число” при современКолмогова ном построении курса курса математики слеходят ногами? дует считать совершенно обязательным». За перепутывание понятий “дробь” и “дробное число” он критиковал (хотя и мягко) своего соратника А. И. Маркушевича: «Вероятно, при первом знакомстве с простейшими дробями вводить понятие “дробное число” еще не следует. Но мне кажется, что § 6 пробного учебника для IV класса (под ред. А. И. Маркушевича, М.: Просвещение, 1969), названный “Что такое дробь”, только выиграл бы в ясности и доступности, если бы после примеров 8/8 = 1, 24/8 =3 было сказано: таким образом, дробь иногда может служить записью целого числа; но дроби 7/8 или 23/8 не являются записями целых чисел, это записи дробных чисел. Далее появились бы формулировки: числа, меньшие единицы, записываются правильными дробями, числа, большие единицы или равные единице, записываются неправильными дробями. Речь идет не о каком-либо лишнем теоретизировании, а о создании с самого начала привычки пользоваться адекватным языком». + (о величинах) Какие выводы можно сделать из сказанного? В школе властвуют стереотипы. Стереотип 1. Производные нужны для анализа функций на экстремум, для построения графиков. Стереотип 2. Интегралы нужны для отыскания площадей и объемов. Стереотип 3. Крайне важно для школьников овладеть языком теории множеств, языΨ-установки ком кванторов, языком ε − δ. школьной математики Стереотип 4. Введение отрицательных чисел не доставляет никаких проблем, ибо для их введения достаточно поставить знак “минус” перед натуральными. Стереотип 5. Дроби и дробные числа – одно и то же. И “половина” — простейшее дробное число. В свете сказанного даже и А. Н. Колмогоровым эти стереотипы представляются чудовищно абсурдными. Но их повальное присут97

ствие в учебниках и прочей методической литературе ставят естественные вопросы: “Для кого старался Колмогоров А. Н., если его мысли и идеи не востребованы главными адресатами? И почему манера Маркушевича введения отрицательных и дробных чисел сопровождает буквально каждый школьный учебник?”

98

Φ–4. В чем таинственность дробей? Дроби в школе проходятся вроде бы обстоятельно. Однако вчерашние выпускники (абитуриенты), как и многие µ старшеклассни¶ 1 1 2 1+1 ки, достаточно часто полагают, что + = = . 2 3 5 2+3 Именно в период изучения дробей у значительной части детей пропадает (мягко говоря) интерес к математике. А учителя обнаруживают значительное число “слабых” детей, с трудом осваивающих математику из-за “отсутствия способности к абстрактному мышлению”. Мы уже начали понимать, что неудачи, подстерегающие в математике абсолютно всех учащихся, предопределены. И совсем не уровнем “математических способностей” (как показано выше, этот термин — выдумка неудачливых педагогов), и не зловредностью науки, и не уровнем профессионализма преподавателей, а невероятной методической бестолковщиной и неряшливостью современных учебных технологий в сочетании с отсутствием ясности в учебном материале о дробях, во всей сущностной его структуре, его функциональной роли как в чистой математике, так и в практических задачах, в обиходе. § 4.1 Наши намерения Внешний эскиз Каши

Вначале мы снимем привычную завесу тумана с неурядиц школьно-дробного материала, показывая абсурдность и нелепость большинства обстоятельств. Словом дробь прикрывают и часть чего-то (как проценты), в том числе часть числа (!?), и результат деления (2/3=2:3), которое Ã √ ранее было!невозможным, и число, и запись с дробной чертой 2 √ — дробь? и многое другое. А можно ли сказать: “Два с поло3 виной предмета про два чемодана и пол-арбуза (вопрос А. Н. Колмогорова)?” Почему 2 на 3 вдруг стало делиться? Далее мы обнаружим, что в школе никто не знает (негде узнать!), что такое сумма. Не как ее найти (или как сложить), а именно что есть сумма. Поэтому правила совершения действий, определяемые алгоритмами, оказываются полной бессмыслицей. И зачем нужно в сложении дробей использовать наименьшее общее кратное (НОК)? Чтобы увеличить бестолковщину? В делении используется обратная дробь. Но что это есть такое, если дробь по99

1 нимается содержательно? Например, обратная к арбуза, т. е. 7-я 7 µ ¶ A доля арбуза = , что будет иметь в качестве обратной дроби — 7 7 то ли 7 арбузов, то ли . Что должно оглашаться, по-видимому, A как семь арбузных от чего-то?! Бестолковое манипулирование числителями и знаменателями — свидетельство полного отторжения от генетического смысла дробей. µ А “старинные задачи”, например, “найти дробь от числа” ¶ µ в¶виде 2 2 x= от 6 . Какую дробь здесь нужно искать, если она уже 3 3 дана, а то, что мы ищем (x = 4) — вовсе и не дробь! Ответы типа: “4 — это значение дроби”, — только пинок нашим “глупым” предкам, а не разъяснение очевидно запутанной сути. А с отношениями и пропорциями — полный конфуз: можно ли считать пропорцией равенство 6:3=2?! И т. д. Далее показывается происхождение поднятых проблем. Основная причина тут — тщательное перепутывание интуитивных представлений с дедуктивными конструкциями. Мы познакомим читателя с бытовыми корнями дробной интуиции, с генезисом смысла дробей, со взглядом на них греческих ученых (через понятие величины), выясним разницу между дробями и дробными числами (самое запутанное место). В § 4.4 показана интуитивно-натуральная схема изложения материала, снимающая отмеченные выше проблемы. Мы обсудим и проблему формализма, возникающую как следствие бессмысленых манипуляций с символами. Например, можно 1 ли считать суммой запись 1 + sin x?, дробью — запись ?, раsin x венством — запись 2=3? Можно ли выражать отношения в процентах?!! В этой же части нами будет рассмотрена роль интуиции и Ψ-фактора, т.е. психологического аспекта, в том числе роль языка. Слово — мощнейшее орудие воздействия на сознание. И неудачное, неестественное (для бытовой интуиции) употребление привычных слов — одна из главных причин отторжения сознания от восприятия материала.

100

§ 4.2 Что есть дробь? О способностях к дробям. Всякому ли дано постичь дробную науку? Чему мешает интуиция. Что скрывает слово дробь? Целый реестр самых разных вещей, связанных с дробной чертой.

Нужны ли особые способности для освоения дробей? Ответ № 1 (научных работников). Какие там способности?! Нужно всего лишь раз и навсегда усвоить, что дробь — это рациональное число, а арифметическая дробь — положительное рациональное число. Ответ № 2 (административно-методических руководств). Безусловно! Только способность к абстрактному мышлению позволит понять, что результат деления 2 на 3 есть число. Остальным вникнуть в смысл такого числа очень трудно. Ответ № 3 (авторов некоторых учебников). Главная проблема здесь — освоение математического языка. Как и для любого другого неродного языка, это дается не сразу. Ответ № 4 (опытного учителя). Материал о дробях загадочный какой-то. Внешне все совсем просто, а приходится прямо запихивать в головы. Только разобрались со сложением, научились правильно все делать, так после знакомства с умножением и складывать начали по аналогии — числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем, и как ни долби им правило правильного сложения — от многих отскакивает, как от стенки горох. Школьное руководство считает, что ничего удивительного здесь нет. И дело не в дробях. Просто материал по математике усложнился, и успешно справляться с ним могут только более сильные. Родители же, сами когда-то пережившие подобные “радости”, резкое ухудшение успеваемости своих детей (при прежних усилиях) объясняют по другому: за последние двадцать лет учителя математики разучились преподавать предмет. Вот их учителя раньше делали это гораздо лучше. И хотя многие из родителей суммой половины и трети назовут две пятых, их мнение (как и их детей) — глас народа. И те из них, кто находится у какой-никакой власти (а таких немало), свое неровное отношение к математике очень даже может выразить и делом. А кто здесь оказывается крайним? Конечно же, учитель. Согласно самым первым письменным свиЧто скрывает детельствам, дроби были важнейшим инструслово дробь? ментом в практических задачах. За многие тысячелетия их роль в деловой и административО способностях к дробям

101

ной культуре не стала менее значимой. Что же знает о дробях выпускник нашей школы? Или, лучше сказать, чему его хотели научить и что получилось (как всегда)? Вначале все идет как бы во здравие: дробь Дробь – — совокупность долей, а доли — ломти-части множество одного размера от пирога, торта, буханки, шодолей коладки и т. п., а так же круга. Т. е. дробь — как бы символ некоей части, составленной из более мелких кусков-долей. Например, 2/3 — это дважды треть, т. е. два раза по третьей части. Потом обнаруживается, что дробь 2/3 — это всего лишь запись, которая почему-то 2/3 — это должна считаться числом. запись Далее оказывается, что 2/3 — это результат деления двух на три. Но ведь делить-то нельзя! Неважно! Это в младших классах нельзя, а теперь — можно! Это всякие там греки считали, что делить нельзя и вместо дробей рассматривали отношения. А после было доказано и передоказано (?!), что делить два на три можно. И что получится — то и есть дробь, число 2/3. Ведь можно же две буханки разделить на троих! Позднее получается, что дробь 2/3 — то 2/3 — это же самое, что и отношение 2:3, которое есть в часть числа свою очередь — частное от деления. Это при2 ?! водит к коренному выводу: главный символ дроби — в дробной черте как символе деления. Закрепляется четкая ассоциация: дробь Дробь – символ есть символ процедуры деления. И эта ассоциделения ация фиксируется как обиходный термин в ма√ 1+ 3 √ тематическом языке: выражение типа 2− 3 √ озвучивается, как “дробь, в числителе 1 + 3, в знаменателе. . . ”. Таким образом, “числитель” и “знаменатель” оказываются названиями делимого и делителя в ситуациях, когда речь идет уже даже и не об арифметическом делении. Появляется понятие алгебраической дроби. В предыдущем смысле — отношение (запись через дробную черту) двух многочленов, или “алгебраических выражений”. Но каков смысл деления в подобной ситуации? В кильватере остались такие термины для дробей, как арифметическая, обыкновенная, дробное число, дробная часть. Появились 102

десятичные дроби, хоть и без черты, но тоже дроби. Рациональные числа — тоже, как бы, дроДробь — би. Однако на фоне рациональных чисел “устаревший дробь, как бы, устаревший термин, пережитермин” для ток, ничего особенного, кроме названия отнорациональных шения m/n, не означающий. Правда, иногда чисел дается снисходительное уточнение: арифметической дробью называют положительное рациональное число, т. е. отношение m/n с натуральными m и n. Даже только лишь приведенные расшифровки слова дробь показывают, что оно прикрывает собой совершенно разные сущности: и набор долей, и символ-запись, и результат конфликтного деления, и символ отношения, и часть числа. А можно ли считать дробью высказывание “две третьих”, которое мы, допустим, нигде не записали, а просто произнесли, а вы услышали с голоса эти слова? Должны ли вы это устное высказывание считать дробью?! Ведь здесь, в голосе, никаких записей через черту нет! Таким образом, дробь оказывается и символом разных действий (одно — взять, например, две трети от чего-то, другое — разделить два на три), и формой записи, и числом, и многим прочим. А не захочется ли вам, дорогой читатель, самому попробовать примерить слово дробь к одной из следующих записей: √ 2 π π sin α а) √ , б) , в) sin , г) , 6 6 cos α 8 д) 30см, е) 30мг, ж) 30◦ (для дуги)? А к отношению АВ/А1 В1 сторон подобных треугольников? Имеют какой-либо смысл равенства между разными (внешне) вещами: √ 3 1 2 π =√ ; = 30◦ ; 30см = м? 2 6 10 8 Таким образом, множество объектов и смыслов, прикрываемых в школе словом дробь, весьма многообразно и аморфно, не имеет никакой четкой границы. О нетривиальности взаимоотношений наЧемоданы + шей интуиции c употребляемой нами, даже в поларбуза быту, терминологией свидетельствует следующий пример А. Н. Колмогорова. Пассажир сел в электричку с двумя чемоданами и одним арбузом. Можно уверенно полагать, что его багаж состоял из трех 103

предметов. При выходе из электрички у него оказалось два чемодана и пол-арбуза. Из скольких предметов состоял теперь его багаж? Комментарии к этому вопросу уместно будет сделать потом. Что же означает описанная картина? Слово дробь — одно из наиболее ходоДроби в вых в школьно-математическом языке, однако педнауке смысл его размыт, а исчерпывающего и корректного определения соответствующего понятия в учебниках и другой школьно-методической литературе нет. Это кажется странным, но на самом деле странности нет. Несмотря на древнейшее прошлое, точное и ясное толкование дроби в рамках чистой математики было найдено лишь в конце XIX века. Связано это толкование с формально-аксиоматическим подходом, который абсолютно бессмыслен для преподавания в 5–6 классах, но который чрезвычайно полезно знать учителю. Пусть N — множество натуральных чисел. Рассматривается множество упорядоченных пар {m, n} чисел из N , пары обозначаются символической записью m/n. Две пары считаются одинаковыми (записывается m/n = p/q), если mq = np, где равенство - обычное для натуральных чисел. Поэтому, например, 2m/2n = m/n, т.е. имеется аналог основного свойства дроби. Действия в рассматриваемом множестве пар определяются аксиомами, т.е. не мотивируются и считаются отправными. Обозначения их обычные: m p mq + np m p mp + = ; · = . n q nq n q nq На основе этих равенств-определений основные законы счета (переместительный, сочетательный и др.) проверяются непосредственно. Описанное множество пар оказывается группой по умножению (с единицей) и полугруппой по сложению. Введенное множество пар с описанными операциями естественно обозначить через Q+ . Обычные схемы введения дробных чисел пытаются привести именно к Q+ . Но в рамках обычных схем остается без четкого ответа главный вопрос: “Почему два на три стало делиться, если раньше это было абсурдом?” Так вот! Два на три в привычном арифме2 на 3 стало тическом смысле разделить нельзя. Так было, делиться так и осталось. Но у нас при переходе к множеству Q+ (пар-дробей) изменился смысл опера104

ции деления. Делить теперь — это делить не на части, как раньше. Делить теперь 2 на 3 — это строить число-пару r(= m/n), которое при умножении на 3 дает 2. А такое число-дробь очевидно: 2 r = . Вот и все! Однако это “все” означает колоссальный шаг от 3 арифметических представлений к алгебре операций. А детям забывают сказать даже то, что в дробях слова “умножить” и “разделить” приобретают совершенно другой смысл. А ведь и учителям об этом негде узнать. Даже в самых солидных энциклопедиях (типа БСЭ) вводятся доли единицы, которыми называют результат деления единицы на части. Какого деления? Вопрос считается дурацким! (Проверьте сами — увидите, какими круглыми глазами на вас посмотрят вместо ответа). Что такое полбуханки, полведра, полвторого, без четверти два — детям известно без всяШкольнодробная дорога кой школьной математики. Равно как и полушубок, полцены, полусапожки, полутьма и т.д. — одни Эти совершенно обыденные слова не требуют колдобины в живом разговоре никаких дополнительных усилий для уяснения их смысла, ясного “слету”. Если же вдруг приходится услышать “квартплата возросла на половину, а через месяц на половину уменьшилась”, то тут и не всякий взрослый сходу скажет, возросла ли в итоге квартплата или уменьшилась. Облегчает ли школьная полудробная грамота ориентацию в подобных вполне житейских вопросах? Отнюдь нет! Стряхивая остатки всевозможных пережитков, школьнодробная наука устремлена к скорейшему введению в мир рациональных чисел. А поскольку там арифметические дроби — всего лишь положительные рацональные числа, то и останавливаться на них подробно незачем. § 4.3 Что такое в школе дробь? В том числе и результат деления 2:3. А разве 2 на 3 делится? Колдобины школьной технологии введения дробей. И ни одного определения — ни что называется дробью, ни что называется суммой и т. д. А процент — это дробь? Или число?

Первый шаг знакомства с дробью — дань традициям: для конкретных примеров на языке долей, полученных разрезанием арбуза ли, торта ли, круга ли, объясняется на красноречивых картинках смысл записей типа 3/5 арбуза, 3/5 торта, 3/5 Пятых арбуза(-ов)

105

круга и правило оглашения — читается: три пятых арбуза и пр. Запись 3/5 называется дробью. Достаточно близко к толкованию дроби, идущему от Евклида. Однако нет напрямую никаких комментариев о связи этой записи с конкретной частью. Нет и комментариев оглашения — почему “пятых”, к чему относятся эти “пятые” ( в женском роде): к самим предметам, к кускам, долям, частям или еще к чему?? Почему у дроби из двух ее чисел, название только верхнего (“числитель”) связано с корнем “число”, а название нижнего означает нечто, ни с чем не связанное? Следующий шаг (и это в наиболее корректных версиях): на конкретных примерах объ3/5 равно ли 6/10? ясняется, что 3/5 = 6/10, и немедленно после этого — восхитительный пример фантастических способностей школьной риторики — добавляется: говорят, что обе дроби 3/5 и 6/10 соответствуют одному и тому же дробному числу. Обычно дробные числа называют просто дробями. Вот и все! Теперь мы дроби и числа уже и права не имеем отличать друг от друга. Однако разве приведенная риторическая ловкость снимает сам вопрос: “Почему дробь есть число? ” Она, эта ловкость, снимает (якобы) необходимость на этот вопрос отвечать. Но вопрос-то остается! И ответ на него искали крупнейшие мыслители прошлого. Ведь число отвечает на вопрос “сколько”. Язык заплелся Например. “Сколько долей?” — “Три”. “Сколько арбузов?” — “Три!” А ведь три пятых означает связь не с количеством самостоятельных предметов, а с частью одного объекта, правда, раздробленного на кусочки. Неужели ответ на этот философско-методологический вопрос так тривиален, что на него нет места в учебнике? Или не хочется запутывать детей всякой заумной чепухой? Тогда где об этом можно почитать хотя бы учителям? А почитать и негде! Кроме формально-логической зауми (по типу введения Q+ = N/N через множество пар, как в §4.2), излагаемой обычно в теоретических арифметиках, традиционных лишь для начала XX века. А что означает символ равенства, соединяющий две внешне раз3 6 личные записи-дроби и ? И если этот знак означает всего лишь 5 10 равенство чисел, то следует ли из равенства √ √ A = 1/2, что А есть дробь? И если да, то тогда и запись 2/ 8 в дальнейшем (когда 106

дети привыкнут к корням) должна считаться арифметической дробью! В некоторых учебниках дроби вводят проще. Например, так: за три дня тракторист вспахал поле размером 2 га. Тогда пишут, что за каждый день он вспахивал 2/3 га. Число 2/3 называют дробью и т. д. (оглашение, основное свойство). В дальнейшем термины дробь, число, дробное число считают полностью адекватными. О том, что дроби в конкретике связаны с частями, можно услышать только в условиях текстовых задач. Здесь все идет по жестко установившейся Сложение традиции. Вначале объясняется, что такое обдробей щий знаменатель и наименьший общий знаменатель. Последний оказывается наименьшим общим кратным знаменателей. Чтобы сравнить две дроби, надо привести их к наименьшему общему знаменателю и сравнить полученные числители. Чтобы сложить (вычесть) две дроби, надо привести их к наименьшему общему знаменателю и . . . (далее — как надо). Просто непостижимо, почему уже несколько поколений учителей мирятся с нелепостью подобного определения! Почему сказано так жестко: “нелепое определение”? Судите сами! Что наименьший знаменатель — это НОК, т. е. наименьшее общее кратное, дети якобы знают. И что такое НОК — формально знают, и про множители, и про делители, и даже про алгоритм Евклида. Аж что-то вроде миниспецкурса. Но этот миниспецкурс с множителями-делителями в силу своей полной невостребованности начисто забывается (вместе с НОК) уже через пару месяцев. С этого момента восстановить в голове алгоритм сложения в осознанном виде уже безнадежно. Т. е. внедрение в дефиницию требования наименьшего общего знаменателя (якобы так рациональнее) обрекает детей на заведомую утрату знания. Однако, это не главное. Главное же — в отсутствии смысла. Ведь что означает действие сложения? По логике вещей — это действие, направленное на отыскание суммы. А что такое сумма? Заострим вопрос! Взрослому человеку, математически доЧто есть статочно грамотному, распрощавшемуся со сумма? школьной математикой достаточно давно, трудно, а скорее, даже невозможно поверить, что школьная математика не знает, что такое сумма. Как же так, 107

ведь это главная операция в математике!?! Ведь даже натуральные числа, и те — результат сложения-объединения единиц?! И все же, это так. Школьных учителей такой вопрос вначале даже возмущает: “Как же так! Это же очевидно! Сумма — это результат сложения! А сложение мы знаем как определять!” Поясняешь вопрос: сложение определяется алгоритмом, позволяющим найти сумму. Это, по сути, направление поиска, а не описание объекта. А что называется суммой?! Не как ее искать, а что это такое?! Вот этого вопроса, как и ответа на него, в школе просто нет. Почему? А это уже влияние “чистой математики”. Для натуральных чисел, где интуиция эффективно заменяет отсутствующие объяснения, и где сложение адекватно объединению и пересчету общего количества, более-менее ощутимо, что сумма (как число, а не запись 2 + 3) отвечает на вопрос: “сколько всего?” Когда это сказано, остается лишь развести руками — настолько это очевидно! Для 1/2+1/3 стандартный алгоритм дает 5/6, т. е. должно пониматься 1/2+1/3 = 5/6. Но отвечает ли 5/6 на вопрос: “Сколько всего?” при объединении 1/2 и 1/3? А ведь этот и более общий вопрос о смысле алгоритма сложения в школе не только не обсуждается, но и не ставится. Как будто его нет в природе. Что же получается?! Детям сложение дробей объясняют как некое действие, смысл которого отсутствует, т. е. для учеников сложить две дроби — значит что-то с ними сделать, чтобы получить новую дробь. Процедура туманная, в памяти детали стерты, а смысла никакого. Не удивительно тогда, что значительная часть бывших школь1 1 1+1 ников складывает методом + = , где присутствует хотя 2 3 2+3 бы внешняя логика (формализма сложения). Такое правило, как хоть в какой-то степени понятное, многие из них усвоили после автономных действий в числителе и знаменателе при знакомстве с умножением. Умножение и деление дробей

Согласно традиции, произведение — результат умножения.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (записав результат над чертой) и знаменатели (что дает знаменатель произведения). 108

Безукоризненно четкое правило. И абсолютно бессмысленное, если привязать его к названию — “умножить”. Почему? 1. При умножении некоей величины A на правильную дробь ( например, на 2/3), мы наверняка получим нечто, меньшее, чем A. Поэтому вместо увеличения (действие-то называется умножением — синонимом увеличения) мы получаем заведомое уменьшение. 2. Арифметический смысл умножения — многократное сложение. Например, A умножить на 3 означает взять A трижды, т. е. 3 раза, что означает A + A + A. Но как с этой позиции представить умножение A на 2/3? Это ж сколько раз нужно сложить A с самим собой, точнее — сколько раз взять его слагаемым?! Таким образом, применение привычного термина “умножить”, для описанного правила лишь сбивает с толку. Оба эти обстоятельства содействовали тому, что ученые до середины XVIII века не признавали дроби за числа, хотя и пользовались ими как некими математическими сущностями. Общепринятое правило деления дробей следует из предыдущего. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на ей обратную. Проверяется это правило формальной подстановкой в равенство m/n·x = p/q значения x = n/m·p/q. При внешней простоте правила в нем есть серьезный подводный камень. Если считать, что дробь — всего лишь рациональное число, то вопроса нет. Но если Что есть опираться только на введенное выше опредеобратная ление, то нужно уметь истолковать, например, дробь? дробь, обратную к одной пятой арбуза. Сколько долей и чьих долей будет иметь это “сооружение”, обратное к 1/5 2 арбуза? А потом уже, что есть обратная дробь к , если мы отправ5 ляемся от двух долей с именем — “пятых”? Более прямо сказано в классическом (от Евклида) определении дроби, которое — слава Богу — еще не забыто: числа в числителе и знаменателе являются математически разными сущностями, и менять их ролями некорректно, если не давать пояснений. А где увидеть эти пояснения? Можно, конечно, с самого начала дробь (например, 3/5) понимать как результат деления 3 на 5. Но что это за толкование, если 3 на 5 не делится в арифметическом смысле. А другого смысла у нас пока нет. Поэтому давать определение по типу число вида 3/5 наА где смысл?

109

зывается дробью — это не уважать ни читателей (слушателей), ни себя. Если, конечно, не делать предметом гордости математическую неграмотность и не заменять математику ритуальными заклинаниями. Остальные вещи, связанные с дробями, преподаются с не меньшим юмором. Частное от деления двух чисел (величин) называется отношением этих чисел (величин). Спустя немного, оказывается, что под отноОпять шением понимается не только частное-число, нескладуха но и запись типа 4 : 5, в которой можно символ отношения (:) заменять дробной чертой, т. е. 4 : 5 = 4/5. В результате становится совершенно неясным, является ли отношением 2 : 1 = 2/1, т. е. просто 2? Не 2 : 1, а именно 2 без всякой единички? Кроме того, хоть об этом четко и не сказано, под величинами понимаются именованные числа, и только они. Выходит, об отношении двух отрезков, даже если один является половиной другого, можно говорить лишь после того, как мы оба эти отрезка измеряем. А если измерить не удалось? Например, если у нас есть два квадрата, и сторона одного из них есть единица (1 см), а сторона другого — 2 см, и мы хотим выяснить отношения обоих √ диагоналей √ квадратов! Ведь их длины должны равняться 2 см и 2 2 см, т. е. на нашем уровне подготовки обе диагонали не могут быть измерены сантиметрами. Значит ли это, что их отношение, формально говоря, не определено? Иногда (т. е. в некоторых учебниках) дается разъяснение: отношение двух чисел (величин) показывает, во сколько раз одно (одна) из них больше другого (другой), или какую часть составляет одно (одна) из них от другого (другой). Однако помогает ли это разъяснение понять: имеем ли мы право сказать, что три кружки воды, вылитые поочередно в кастрюлю, дали в три раза больший объем, чем у одной кружки? Или мы должны точно измерить объем кружки и объем воды в кастрюле и разделить первый объем на второй? И если у нас получится в частном от этого числового деления 3, то только после этого мы получаем право на заключение о трехкратном отношении?! Задача о пропорциональном делении излагается чисто филологически и только на примерах. Так что учащиеся должны сами догадываться, при чем здесь термин «деление». 110

Равенство двух отношений называется пропорцией! Отношение — это частное, т. е. число. Но разве равенство двух чисел — это пропорция? Если очень захотеть, то можно догадаться, что под пропорцией во всех учебниках понимается равенство двух процедур деления, т.е. деление, которое является отношением — обязательный атрибут пропорции. А является ли пропорцией равенство 4:2 = 2? 1 Что тогда получит1% = 0, 01 = 100 Процентом 1 ся, если 6 увеличить на 50%=0,5= ? То ли называется 2 одна сотая: 6+50%=6,5? А в некоторых учебниках в процентах даже и отношение выражается! Что после этого нужно понимать под отношением? Уже явно и не запись. А то ведь красивая пропорция получается 6:4=150%! Стоит ли теперь удивляться тому, что откуда ни возьмись в учебниках появляется термин «неверная пропорция»? Во всех учебниках, в той или иной форме, присутствуют знаменитые “старинные задачи о дробях”, смысл которых следует лишь из интуитивного ощущения того, что дробь имеет некую прямую связь с частью. Но эта связь обнаруживается чисто филологически, никакого корректного (математического) объяснения не дается. Например, если название задачи “найти дробь от числа” прислонить к вопросу “найти 2/3 от 6”, то какую здесь дробь нужно искать, если она в лице 2/3 дана, а ищется число 4 — которое и не дробь вовсе (по нашему определению), хотя 4 и может считаться частью от 6. Как же назвать 4 и 2/3 на фоне 6? Оказывается, 4 есть значение дроби 2/3, т. е. старинные авторы в своих задачах как бы не договаривают, опуская само собой разумеющееся слово, и на самом деле нужно было бы говорить не “найти 2/3 от 6”, а “найти значение 2/3 от 6”. Или термин «значение дроби» подразумевает что-либо другое? После всего этого и комментировать не хочется изложение трех основных задач на проценты.

111

§ 4.4 А как было б лучше? Откуда дроби взялись, и что их породило? Дроби в античном мире и в быту. Разница между бытовой и чистой математиками. Естественно-интуитивная метода введения дробей — по гречески, через величины.

Дробный генезис. Количественные представления сопровождают человека практически всю историю его культуры. Вначале — слабо. Два, пара, чета, оба – это еще не числа в нашем понимании. Так же, как и второй, другой, иной, много, мало, больше, меньше, чуть-чуть. Да и когда люди научились считать, они чрезвычайно долго жили в мире малых чисел. В языке остался неизгладимый след счета до трех, когда четыре — неисчислимо много. Однако практические задачи вынуждали искать решенияалгоритмы. Три буханки разделить на пятерых, умея лишь делить любой кусок пополам, не умея Делить, не даже считать и, естественно, не подозревая о зная счета дробной науке — наши предки с подобной ситуацией проблемного дележа сталкивались ежедневно в самый отдаленный период истории. Не буханки делить, так двух рыб или две копны сена. Реально делить — раскладывать на две примерно одинаковые части — для интуиции вполне посильная задача. Если вести речь о реальном делении — делении, когда каждому участнику положена его часть-доля, и эти доли должны быть одинаковы, то задачапроблема не слишком трудная, если предметов (буханок, орехов или чего другого) много. Тогда эти предметы можно поочередно раскладывать по кругу, например, 16 орехов на троих. Раскладывая их по очереди, мы получим три кучки (нам, умеющим считать, ясно, что в кучках по 5 орехов). Сама процедура гарантирует одинаковость — равноценность разных кучек. Оставшийся орех может взять себе тот, кто делил, — за труд. Но так можно сделать, если отдельные предметы невелики по сравнению с кучками. Если же, например, нужно разделить 5 буханок (5 — это нам известно, а для наших предков это было несколько буханок) на троих, то оставшиеся от раскладывания 2 буханки явно подлежали дальнейшей процедуре. Как ее продолжить? Главный секрет — раздвоив каждый предмет, мы получим общее увеличение количества, и если не хватит частей на всех — опять раздвоим каждую: 3 : 5 = 1/2+1/16+. . ., Откуда же взялись дроби?

112

что озвучивается как “половина и полполполполовины да еще чуть”, где “чуть” — меньше 3% по-нашему. Здесь дробь рождена фактически как формула-схема части при решении труднейшей задачи деления (дробного) поровну в отсутствии даже самых элементарных символов и чисел. Позднее именно подобные алгоритмические формулы реального (физического) деления были закреплены формализмом египетских дробей. Нужно ли в этом случае уметь считать? Очевидно, нет! Нужно лишь иметь представление об очередности (раздача частей по кругу) и уметь размельчать куски. Понятия целое, часть, меньше, больше — отправные. Нашу интуицию определяет культура языДроби в языке ка, где дроби имеют форму именованных чисел: две пятых, три пятых; пятая есть название доли, имя доли. Именно поэтому сложить две седьмых и три седьмых нетрудно и первокласснику, который толком еще и “седьмую” не усвоил, а складывает без колебаний: 2 и 3 будет 5 этих самых “седьмых”. А вот 1/2 + 1/3 для нашего мироощущения мало чем отличается от суммы одного дюйма и одного сантиметра: ясно, что после сложения-объединения что-то получится, а как найти — не ясно. Историки математики установили, что первоначальные количественные представления человека шли от целого к части. Количество оценивалось (на этапе интуитивного счета) как сохранность (или нет) некоей исходной совокупности. Поэтому во времена общения с малыми количествами, когда и считать особенно было нечего, взаимоотношения количеств определялись в виде соразмерности частей общего целого. Отсюда — стабильное использование в быту унций, где унция — одна двенадцатая, т. е. всего лишь “полполтреть”. Языковой подтекст подразумевает указание (хотя бы неявное): от какого целого берется дробь-часть. Таким образом, для нашей интуиции, воспитанной на культуре родного языка, дробь есть мера какой-либо конкретной части от некоего целого. Причем эта часть измерена долями целого. Описанные выше представления о дробяхИсторический частях сформировались много тысячелетий генезис назад в связи с постоянным их использованием в обиходе и торговой практике. Тогда же выработалась традиция именовать доли по их количеству в целом (четверть, пятая и т. д.). Основными задачами для дробей были: 113

выражение части в долях (как в одной из задач папируса Ахмеса: какую часть 3 составляет от 5 — 1/2 + 1/10); нахождение части (взять 3/5 от В) и нахождение целого по части и ее мере-дроби. В средневековой Европе начали “взятие дроби” называть “умножением на дробь”, в результате чего все мгновенно запуталось. Впечатление о дроби как о мере части быДроби у ло превращено в строгую науку античными эллинов учеными Древней Греции. Они ввели в обиход понятие величины. Величина — это свойство, которое поддается сравнению: длина, высота, емкость, масса, работа, стоимость и прочее. Главное определяющее свойство величины — способность быть больше (или меньше — при переходе к части — “Часть меньше целого! ”). Величины одного рода можно складывать. Поэтому, если a — некая величина, то a + a = 2a и a + a + . . . + a = na — кратные ей величины. Если na = b, то a может быть названо n-й долей b и обозначено a = b/n. Аналогично, равенство na = mb

(α)

означает a = (mb)/n. Если при этом для b существует n-я часть (b/n), т. е. b = n(b/n), то из (α) следует a = m(b/n), т. е. (mb)/n = m(b/n)

(β)

a/m = b/n

(γ).

и, кроме того, Величины a и b одного рода, связанные равенством (α), называются соизмеримыми. Если для любой из них при каждом n существует n-я часть, то их называют непрерывными. Если равенство b = na переписать в одной из версий a = b/n, n = a : b,

(δ)

то равенство (α) допускает наряду с (γ) и запись в виде a : b = m : n.

(ε).

Последнее является стандартной формой пропорции. Из сказанного легко следуют все известные свойства пропорций. Оба равенства (δ) определяют разные варианты “деления”: первое — на части, второе — по существу. Второе можно точнее назвать «измерением». Аналогично (ε) означает, что если b взять за единицу измерения, то мера a окажется равной m/n. 114

Вопрос о соизмеримости двух однородных величин решается по алгоритму попеременного вычитания (типа известного алгоритма Евклида для чисел). В допифагорейские времена эллины считали, что любые величины одного рода соизмеримы, что вполне соответствует практическим измерениям. Открытие несоизмеримо√ сти ( 2) привело к созданию общей теории отношений величин (Евдокс). Согласно этой теории, признававшейся всеми ученымиматематиками до конца XIX века, числом может считаться отношение любых двух величин одного рода. В терминах величин дробь — это способ преобразования в пространстве величин одного рода: для любых m, n через m/n обозначается преобразование любой величины a в новую m(a/n). Т.е. m/n оказывается как бы обобщенным множителем. Мир дробных чисел — есть множество величин одного рода, причем непрерывных. В этом мире число x = 1 может быть предµ ¶ 1 ставленно в виде объединения любых по размеру долей 1 = n n 1 (здесь — стандартное обозначение n-ой доли). Поэтому и 2 на 3 n здесь делится, ибо 2 = 2 · 1 = 2(3 · 1/3) = 6 · 1/3, и шесть на три спокойно делится, что и дает (6 · 1/3) : 3 = 2 · 1/3 = 2/3. Но единица из мира дробных чисел — совсем не то число, которое первое в натуральном ряду. То число — символ цельности и неделимости, и оно, в принципе, не может делиться в своем мире — мире натуральных чисел. При введении дробных чисел обычно целые положительные числа отождествляются с натуральными: n = nk/k для любого k. Но это отождествление — всего лишь математический изоморфизм. А изоморфизм — не тождество. Дробные числа — это количества, меры. Они удобны для измерения, да и в жизни используются для этого. Натуральные же числа существенно богаче по использованию: они позволяют нумеровать, описывать многократные процессы и алгоритмы. В отличие от чисел-количеств, наЧислатуральные числа называют (Башмакова, Юшколичества и кевич) числами-кратностями. Они приспособчислалены считать разы. кратности Интуиция хорошо ощущает эту разницу. Попробуйте сказать: “Две целых ноль десятых яблока”. Если даже реальные яблоки целые, то почему “две”? Ясно почему. В подтексте Евдокс

115

присутствуют две целых единицы. Целая единица — это объект из области дробных чисел. Поэтому переход от мира натуральных чисел к дробным — это переход в совсем другую страну, где слово “число” наполняется совсем другим смыслом; нельзя даже сказать, что это смысл более широкий. Важнейшие и хорошо в быту обжитые функции прежних натуральных чисел (типа порядковых) в этом новом мире утрачиваются. В системе бытовых представлений В быту (такую математику удобно называть “натуральной математикой”) натуральные числа и дроби есть разные сущности. Натуральные — это числа-номера, числа-кратности. Дроби — это числа-части, числа-количества, числа-величины. Натуральные числа традиционно используются для описания иерархии: первое место, первый сорт и проч., т.е. престиж наиболее высок в начале счета. В дробных числах изменяется даже порядок. Натуральными числами можно считать предметы разной природы: о двух чемоданах и арбузе можно сказать, что это три предмета. Но можно ли сказать, что два чемодана и поларбуза составляют два с половиной предмета? Мир дробных чисел, согласно традициям греков, составлен измерением однородных величин с помощью одной универсальной величины, которая принята за единицу (масштабную единицу). Если ее обозначить через M (как это делал Диофант), то любое целое (положительное) число имеет вид nM , т.е. оно должно состоять из абсолютно одинаковых вещей-слагаемых, этих самых единиц M , одинаковых и по начинке: M = n(M/n) (т. е. «единица» M неограниченно делима). И доли (M/n) именно этой мерной единицы участвуют в определении дробей. А не доли (как обычно пишут) абстрактной единицы из натурального ряда чисел. Система обыденных представлений и чистая математика — два разных мира И нужно четко разграничивать, различать разные обличья (облики), в которых появляются в обоих мирах одни и те же по существу вещи. В быту дроби — это измеренные части, части чего-то, о чем (целом) нельзя забывать. Это наша языковая и бытовая культура, основа интуиции. Числа-номера имеют совсем другую природу и другое назначение. Они используются даже в дробях, давая названия-имена долям. И перетаскивать в этот мир натуральных представлений образы из чистой математики (2/3=2:3) категорически нельзя. Почему? 116

Для детей дробные числа — это другие числа, новые числа, которые смахивают на прежние, которые во многих (но не всех) отношениях удобнее прежних: делить можно без оглядки, измерять можно как угодно точно. А вот для счета и измерения приходится вспоминать старые (прежние) числа. Понятие части-доли. Любое частное в Вводить дроби арифметике — доля. Крайне полезно приучать от натуры к подсчету долей уже на примере обычных чисел: 4 от 6 есть две трети и т. д. После этого можно вводить меры частей более общих величин, а не только чисел, чтобы доли выделялись без надрыва: от часа, от ведра, от шоколадки, от отрезка, от круга и т. д. Термин «дробь» коварен. Стандартные методики связывают дроби с операцией деления, когда действие деления нельзя совершить “нацело”, т. е. без остатка. Эту мысль вводить нужно, но не начиная с нее, а заканчивая ею, чтобы не было представления о дроби как инструменте “принудительного”, “разрушающего” действия: дробить — значит крошить, кромсать, разрезать и т. д. Дробь — символ взятия части от чего-то другого. Сам символ — аналог умножения. Запись вида 2/3A — это всего лишь намерение, но не обязанность разрезать (разорвать) A на три куска. Если A на три куска не делится естественным образом, то 2/3A реального смысла не имеет, остается лишь символом, допускаемым внутри вычислений. Как вводить?! Дробь — символ части, измеряемой долями. Доля обозначается через 1/n. Единица в числителе — это не де2 лимое, а обозначение количества долей. Если дробь реализуется 3 на какой-то величине A, то 2/3A означает две третьих доли от A, т. е. берутся две штуки-доли, а каждая из них есть A/3, которая получается делением A на три одинаковые части. Таким образом, символ 2/3 означает суперпозицию двух действий: деления на три (взятия третьей доли) с последующим умножением на два. Действия с дробями проще вводить, начиная с умножения 2 и деления. Следует говорить прямо: действие “взять дробь от 3 A” назвали умножением A на 2/3. Название неудачное, но делать нечего, надо привыкать. Обратную задачу — “найти целое A по части B = 2/3A” назвали делением B на 2/3. Сложение — нахождение суммы, т. е. ответ на вопрос “сколько Другие числа

117

всего?” Ответ тривиальный, если слагаемые имеют одно имя, т.е. один и тот же знаменатель. В противном случае нужно привести к общему имени-знаменателю. Свойства дробей, как и свойства действий с дробями, надежнее осваивать не в чистом (т. е. в абстрактном) виде символов, а на величинах. Например, основное свойство дроби m/n = km/kn означает, что должно быть m/nA = km/knA, для любой величины A (непрерывной или такой, для которой существует доля A/kn). Но из этого следует, по определению дроби, что m(A/n) = km(A/kn); т. е. должно быть k(A/kn) = A/n, что очевидно в силу равенства nk(A/kn) = A. Основополагающее свойство m : n = m/n на величинах означает: (mA) : n = (mn (A/n)) : n = m (A/n), т. е. вполне очевидно. Очевидно, естественно, не для школьников, а для вникнуть µ желающих ¶ m p m учителей. Для умножения, взятия дроби A = (p (A/q)) = n q n p (A/q) m = mp ((A/q) /n), дело сводится к взятию доли от доли, n т. е. (A/q) /n = ((qnA/qn) /q) /n = A/qn. Таким образом, суперпозиция двух “умножений на дробь”, т. е. взятия дроби от дроби, в реализации определения по смыслу дробей (как процедур с величинами) приводит к классическому равенству m p mp · = . n q nq Все законы счета для дробей элементарно проверяются на величинах. С помощью дробной единицы любое цеДробные числа лое число n может быть представлено в виде n = nk/k = nk(1/k), где 1/k — символ k-й доnq + p ли. А потому: n + p/q = nq/q + p/q = . И наоборот, при делеq нии любого натурального m на n(< m) мы можем результат предm0 ставить в виде: m = kn+m0 (m0 < n) и в виде дроби m : n = k+ . n Наиболее удобно дробные числа представлять в виде точек на прямой. Беря на прямой начало отсчета и направление, ограничиваемся одной полуосью. Выбирая на ней какой либо отрезок в качестве единичной меры, мы любую точку на этой прямой можем отождествлять с расстоянием от нее до начала отсчета. Если это расстояние соизмеримо с масштабной единицей, то мы имеем рациональное число. Термин «иррациональное» буквально означает 118

“невыразимое через единицу” (конечным числом арифметических операций). При таком геометрическом подходе (вполне адекватном античным взглядам, использовавшимся и Декартом, и Ньютоном, и Даламбером, и Коши) иррациональное число — это то, что можно вычислять приближенно с любой точностью и при нужде оперировать этими приближениями; естественен подход к объекту через потенциальную бесконечность (а не актуальную, как это вводится сейчас в школьных учебниках). § 4.5 Проблема формализма Эволюция символов в математической культуре. Наследие риторической математики и внутренний голос. Интуиция и Ψ-фактор. Роль языка. Формализации, приводящие к полной утрате смысла.

До XVII века система математических знаний располагала обычным разговорным языком и символикой нумерационно-числового характера, да еще геометрической символикой чертежей с буквами-вершинами. Алгебраизация вычислительноалгоритмических методов привела к введению букв вместо чисел и новых символов для обозначения стандартных процедур. Так вошли символы равенства, неравенства, умножения (косым крестом и точкой), деления (двоеточием), символ дроби с чертой, числителем и знаменателем, плюс, минус, скобки и проч. Вначале символы были просто сокращениями стандартных словосочетаний в письменной речи без изменения риторики, озвучивающей текст речи. Так, 2 + 3 озвучивалось, как и до введения символа «+», как “два плюс три”, т. е. (с учетом смысла латинского plus) два увеличить на три, а знак равенства озвучивался как “получится”. Когда символы прочно вошли в математический язык, стали как бы частями речи, они начали играть роль связок в математических образованиях, которые тоже стали получать сокращающе-интегрирующие названия: если вначале суммой называли результат сложения, то теперь суммой начали называть запись 2 + 3 или, более общо, a + b. Но на этом этапе самоутверждения символов (XVIII век)происходила и активная формализация знаний, внедрение формулировок, строгостей в описании понятий и т. д. Именно здесь лежат начала самых негативных тенденций превращения элементарно-математических знаний в зыбкое болото. Поясним эту мысль на примере дробей. Издревле дробь (чаще именовавшаяся как часть или доля) выступала как мера части, а к XVII веку уже и озвучивалась в Генезис символов

119

виде “две трети” или “пять семнадцатых частей”, или “пять частей из семнадцати” (или, на Руси, “пять семнадцатых жеребьев”). При этом гениальнейшая идея называть долю, т. е. знаменовать дробь с помощью числа (сколько раз эта доля укладывается в целом) восходит к Древнему Египту. Символ типа 5/17 с чертой пришел в Европу от индусов, причем в нем количеством был только числитель, а знаменатель просто шифровал название доли. То, что 5/17 могло возникнуть, как результат деления пяти буханок на 17 человек, — совершенно нетривиальный математический факт, либо принимавшийся на веру, либо объяснявшийся с помощью греческой теории пропорций. Математическая неряшливость, отождествившая записи (5:17) и (5/17) без серьезных мотиваций (как и сейчас), превратила дробную черту в символ операции деления, а знаменатель — в делитель. Даже нынешние авторы учебников не отдают себе отчета в радикальности такого отождествления. Ну, а дальше — больше, x+1 и уже запись вида стандартно зачитывается в виде: “дробь, sin x в числителе которой x + 1, в знаменателе — sin x”. Если при этом учесть, что никто нигде не объясняет, откуда что взялось, то основная масса школьников (да и учителей) смысл подобных словоупотреблений пытается постигнуть, как и положено при освоении языка, из практики подобных словоупотреблений и словосочетаний. Но если смысл слова “дробь” улавливать именно так, то что можно говорить о четких дефинициях, если реальное использование терминов никак не связано с их точными определениями? Не в этом ли причина того, что соответствующие термины вводятся как бы сквозь зубы, как бы междометиями? Массовое внедрение символики в XVIII веке объяснялось началом новой эры в издании математической литературы. Если до того математические книги, рассчитанные на подготовленных специалистов, имели мизерные тиражи (дорогая оплата тогдашней печати ложилась на плечи авторов), да и справочники рехенмейстеров были малотиражными, то теперь во всех ведущих европейских государствах начали создаваться государственные школы разного типа с достаточно мощными математическими программами. И встал вопрос о подготовке учебников нового типа. Авторам сулили как серьезное вознаграждение, так и гарантированный спрос на престижные посты. После Ньютона и Лейбница (их фундаментальных «Универсальных арифметик») многочисленные авторы тогдашних учебников (типа Хр. Вольфа) отличались достиже120

ниями не в области математики-науки, а в области формализованных схем учебных наставлений, где главным достоинством являлась насыщенность силлогизмами, философствованиями, разглагольствованиями об отвлеченных числах и абстрактных дробях. Не обремененные как следует знаниями Евклида, эти авторы и математическую культуру видели в словоговорении, забывая о том, что греки всем основным понятиям какие-никакие определения давали и не считали возможным подменить, скажем, определение понятия длины (или площади) алгоритмом по отысканию этой величины. Даже у арабов определялась не процедура вычитания, а разность, не процедура сложения, а сумма. А попробуйте найти сейчас хотя бы в одном учебнике, что такое сумма дробей. Не как сложить дроби! Как сложить — это как найти сумму! “Что есть сумма дробей?!” А каков смысл знака равенства? Ведь исторически он возник как сокращение слова “получится”. У наших младшеклассников он возникает точно так же. А вот дальнейшая эволюция смысла этого знака нигде формально не описана. Так что, при внешней страсти школьных методик к формализмам, дети до этой самой эволюции смысла должны доходить сами. А до чего они сами доходят, когда встречаются с “равенством” 2 = 3? Легко догадаться, ведь не всякий имеет способность к математическим абстракциям. Подобных примеров “формальных” странностей можно приводить более чем достаточно. Самая острая проблема преподаваИнтуиция и ния математики — даже не противоречия Ψ-фактор формально-содержательного плана, а Ψфактор. Имеется в виду полное игнорирование психологических аспектов обучения. С первых шагов жизни ребенок осваивает внешнюю среду, формируется его внутренний мир. Это созревание мироощущения происходит по сходному во многом пути, пройденному всем человечеством. Формирование мироощущения происходит вместе с формированием речи, т.е. овладением родным языком. Роль языка огромна не только в процессе формирования сознания. После простейших рефлексов не только знания, но и новые ощущения сопровождаются улавливанием новых смыслов. Не говоря уже о сознании, в подсознании вся толща ассоциаций и прочих психологических конструкций пронизана словами. Любой смысл, как первичная монада сознания, закодирован одним или несколь121

кими словами. Наращивание знаний означает одновременно и внедрение в подсознание (в том числе) слов, которые с их сопровождающими смыслами сразу вступают во взаимодействие со словамисмыслами, уже освоенными мозгом человека. И если новое слово сопровождается уже знакомым смыслом, то проблем у психики не возникает. А вот если знакомое слово сопровождается новым незнакомым смыслом, да еще этот новый смысл начинает конкурировать или, хуже того, конфликтовать с прежним смыслом, тут уже жди беды. Такие конфликты не всегда контролируются сознанием. И если они вовремя не разрешены, последствия для сответствующих знаний могут стать угрожающими в эмоциональнопсихологическом плане. Коренной пласт родного языка содержит такие слова, как дай, на, взять, отнять, больше, меньше, хватит, много, мало и т. д. Эти и подобные слова связаны с простейшими и основополагающими натуральными действиями и с их координацией (левее, правее, ниже, выше, часть, все, хватит, потом, первый, следующий и пр.). Первый трудный смысл на этом уровне — делить. Но правильно делить - чрезвычайно важная задача на самых ранних шагах цивилизации. Недаром с “делить” тот же корень имеет масса важнейших слов: дело, доля, удел (рок, участь), удел (надел), доля (пай), дол, длань, длина и т. д. Семантическое поле у слова “доля” гигантское. Это слово входит в основной каркас родного языка, поэтому достаточно трудно изменить его коренной смысл: делить на двоих, на троих, делить на одинаковые части; делить то, что делению поддается, а не две лодки, например, на троих. Язык в начальных знаниях.

Описаные простейшие свойства (больше, дальше, меньше и т.д.) вместе с элементарными действиями (включая разделить поровну) образуют изначальный пласт чисто физических, чувственно ощутимых вещей и свойств, достаточно прозрачных для нашей интуиции. Именно этот пласт представлений и действий вместе с процедурой упорядочивания (первый, самый первый, другой, следующий) мы будем называть интуитивно-математическим. Интуитивно-математический культурный пласт стал основой практической математики — логистики, сформировавшейся уже более 5 тыс. лет назад. Вся понятийная среда здесь осталась прежней — натурально-физической. Греческая математика здесь почти ничего в содержательно-алгоритмическом плане не измени122

ла, но подвела формально-логическую базу на основе понятия величины и числа. Число ко временам греков Эллады было соВеличины – от вершенно ясным понятием, греки просто догогреков ворились в формальных рассуждениях представлять его объединением единиц. А вот понятие величины — самое оригинальное, по словам Бурбаки, изобретение эллинов, оказывается и самым фундаментальным в классической математике. С одной стороны, по сути своей величина есть сущность, значительно более ясная, чем число. Она соответствует самым изначальным интуитивным представлениям человека (часть меньше целого). А с другой стороны (и это показано греками), она позволяет грамотно и стройно описать всю концепцию понятия числа. Самые трудные нюансы теории дробей на фоне величин выглядят тривиально. В XVIII веке концепция величин из материала учебников была выхолощена (от термина осталось лишь слово). И до сих пор дроби вводятся “арифметически”, т. е. на базе натурального счета. При этом — странная слепота на многочисленные и грубейшие неувязки. И особенно — ужасающая деформация слова “делить”. И доли единицы! И доли числа (треть от Новая страна двух)! И знаменатель стал делителем! И довольно явный протест Внутреннего Голоса — этого гласа нашей интуиции — полностью прокинут! И полная смена морали: “Два на три делить нельзя!” Так было! А теперь: “Результат деления 2 на 3 обозначим через 2/3”. — Но нельзя же делить! — “То раньше было нельзя, а теперь можно!” Но это значит, то слово “делить” с его коренным смыслом нужно выкорчевать из подкорки! А возможно ли это? А если нет? Что тогда? Делить в стране дробей — совершенно новый смысл прежнего слова, как и умножать. Это обстоятельство детям должно быть сообщено очень ощутимо. Даже на три делить — это не то, что прежде на троих делить или на двоих. О дробных числах. Стандартное изложение ведется по принципу каких-то обломанных осколков обычных чисел. С большим удовольствием муссируется термин «ломаное число» от арабского «каср» — ломать. В практике рехенмейстеров, действительно, дроб123

ные числа возникли при делении с остатком. Но это — в практике вычислений. А ведь дроби возникают и в других самых разных ситуациях, к примеру те же проценты. И главное в дробных числах — не “рваные” остатки, а дробные единицы. Дробные числа применяются тогда и только тогда, когда речь идет об измерении величины с помощью другой величины, когда эта последняя, оказываясь единицей измерения, сама допускает разбиение на более мелкие части. Так, любое четное число мы можем измерять количеством входящих в него пар единиц (т. е. двойки как множителя). Если же мы захотим также измерить и 7, то получим три с половиной пары. Не просто 3,5, а три с половиной пары. Может ли абстрагирование приводить к потере смысла? Абстрагировать — Вопрос более чем странный на фоне терять смысл! методико-математического толкования термина абстрагироваться, что означает отвлекаться от несущественных деталей какой-либо вещи, ситуации, какого либо явления, сохраняя при этом существенные особенности. А при чем тут смысл? В том-то и дело, что в методике преподавания математики, где очень часто употребляется термин “абстрактность” применительно к чему угодно, включая способности абстрактно мыслить, этот термин со смыслом, как правило, не связывается. Например, смысл сложения — это объединение, т. е. реальная процедура. Без всякой науки термин «сложение» переносится на действия с числами — складываются-объединяются множества единичек. И это заслуга математической генетики, дань традициям. Но вот возникает формальная школьная математика. И процедура сложения, записываемая в виде 2 + 3, где 5 — результат этой процедуры, вдруг отторгается от реального сложения. Запись (2 + 3), появившаяся как символ операции, вдруг без всяких комментариев объявляется символом результата, т. е. символом суммы. На этом этапе манипуляции с символами заменяют реальные, т. е. натуральные, действия. Результаты таких манипуляций, где правила никем не объявлены, создают новый псевдореальный мир, в котором числами объявляются результаты таких псевдореальных манипуляций. Если (2 + 3) — символ числа, то и (2 − 3), (2 : 3) тоже могут считаться символами чисел. Почему чисел, а не чего-либо еще? А вопрос этот не обсуждается. Чисел — и все! Раз написана манипуляция с числами, значит то, что произошло (в смысле — что написано) есть число. 124

Из абстракций в страну синкретов

На подобном пути свойство равенства, используемое в записях типа 2 + 3 = 5 («=» — символ “получится”), затем абстрагируемое (т. е. превращаемое) в “отношение равенства”, приводит к записям вида 2 = 3, трактуемым как вполне осмысленные высказывания — “ложное равенство”. Вот как интересно. Довели нечто (равенство) до полного абсурда (2 = 3), до полной потери смысла — и оказывается, что в потере смысла тоже есть некий потусторонний смысл? Можно ли при такой методе абстрагирования говорить о желании сохранить смысл? В современной школьной математике понятийная система, рожденная реальной системой представлений, в результате подобных уродливых “абстрагирований”, используется для описания явлений и объектов совершеннно нового мира, полученного несколькими поочередными этапами абстагирования. Первый тип абстракций — элементарная арифметика с тривиально-бытовой терминологией. Здесь число есть совокупность единиц, и операции с числами напрямую соответствуют натуральным действиям с кучками палочек, камешков и пр. Это уровень полного согласования с реальностью математических понятий типа «чисел» и действий с ними; это область полного доверия интуиции. Здесь сохранен натуральный смысл терминов сложить, разделить и т. д., и можно вполне обойтись без дефиниций. На этом же почти реальном уровне можно излагать арифметику величин на базе кучек песка, сосудов с жидкостью, длин отрезков и т. д. Следующая ступень абстракции заключается в объявлении числами сущностей совершенно другой природы, а именно: числами объявляются записи. Так, (2 + 3) — это число, (2 − 3) — тоже число, и (2 : 3) — число. Причем изменение взгляда делается исподтишка, явочным порядком, так что, похоже, многие авторы учебников этого как бы не замечают. Разве запись 2 : 3 (= 2/3) — естественная абстракция от какого-либо реального количества? Ни в коем случае! Запись (2:3), выдаваемая за 2/3 (две третьих) — плод самых тривиальных формально-логических манипуляций с символами. Естественно-натуральная абстракция, найденая тысячелетия назад (как и абстракция чисел из N ), — это две третьих, предельно четко объясненная греками как линейная процедура на множестве величин. Это и есть точная математическая абстракция, корректно моделирующая натуру. А приписывание отношению (2:3) роли чис125

ла — типичный в математике метод формального расширения множества решений добавлением идеальных элементов — обобщенных решений (так в середине XX века появились обобщенные функции Шварца). Называть такие решения абстракцией — просто грешно.

126

Часть 2. УРОКИ ИСТОРИИ Φ–5. Другая история § 5.1 Официальные легенды истории математики История математики обычно изучает эволюцию — эстафету идей и почти никогда — эволюцию потребностей в математике. Что вызвало к жизни математику халдеев, греков, индусов и проч.? Ничего, кроме сказанного К. Марксом и Ф. Энгельсом историки добавить не могут. Анализ корней школьных методик требует других подходов. Грехи стандартной периодизации по Ф. Э. Другая периодизация — другие акценты.

Сначала люди научились считать. Это ведь самая первая потребность мыслящего существа. Затем в разных бытовых ситуациях им пришлось складывать и вычитать. Многократное сложение привело к умножению, откуда само собой возникло деление. Ну, а когда не получается делить нацело, само собой приходится использовать дроби. Дроби к тому же позволили научиться измерять. Когда люди выбирали меры веса, единицы длины, денежные единицы, они учитывали возможность наиболее удобных соотношений. Так, шумерские меры веса и денежные единицы в основе соотношения имели число 60 (совершенно очевидно, как оно насыщено делителями). Точно так же и счет дюжинами, т. е. группами по 12, где 12 = 2 × 2 × 3, обеспечивает удобство взятия частей. Шестидесятеричная система исчисления оказалась основной от халдеев до позднего средневековья. С помощью нее решались разнообразные астрономические и практические задачи. Правда, дошедшие до нас математические документы содержат только рецепты решений, алгоритмы, но ничего не объясняют и не доказывают. Поэтому до древних греков математические знания не образовывали науки. Математика, как наука, создана в Древней Греции. Это — устоявшаяся официальная версия. И пошло, и поехало. И математика, рожденная Греками (что История от было до того — это так, разминка), начала марксизма свою жизнь в трудах ученых разных стран. И после Пифагора с его геометрией был Архимед, а затем — Ньютон с Лейбницем. И вот вам исторический антураж школьной математики. Можно, конечно, говорить и о Безу, и о Виета, для интереса — и про Альджебр (и аль-Мукабалу). И даже про Фибоначчи, вспомнить с его кроликами. И Магницкого 127

(соотечественника не забыть). Ну и, конечно, про “старинные задачи о дробях”, де знаменатель “знаменует собой”, на сколько долей единица делится. А остальное — это уж как Бог пошлет, какие от него способности даны. Кому чего дано, тот и сам почти все поймет, а кому не дано — долби не долби, все без пользы. Ну на то она и Математика. Как греки говорили “µαΘ²µα” (сокровенное знание). Мы привели внешнюю схему концептуальной логики школьной математики. Эта схема имеет общепринятое обоснование - периодизацию истории математики, как бы узаконенную с XIX в., освятившую и канонизировавшую современные педагогические традиции. Ниже мы покажем, что подобные взгляды катастрофически устарели. Они не учитывают ни — исторических фактов, открытых в XIX–XX вв.; — достижений математики последнего времени; — классификаций разных областей математической деятельности; — достижений генетической теории интеллекта, о которой профессиональные математики-педагоги и не подозревают. Дело в том (и это — одна из главных проблем), исторически математика складывалась из совершенно разных форм деятельности, поэтому она внутренне неоднородна. Отождествлять математику лишь с чистой математикой (творением свободного парения разума, страной чистых идей и логических систем), а именно так смотрят на предмет идеологи школьной математики, это значит совершать грубейшую ошибку, совершенно не учитывая уроков истории, уроков опыта наших гениальных предков. Что здесь так, а что — не так, об этом и пойдет разговор в настоящем фрагменте. Мы обсудим такие вопросы, как “что есть математика„ генезис взглядов на эту тему, “что есть школьная математика” — итоги традиций. Как проблему математического образования решали в разные времена. Что клалось в основу содержания обучения, и проч. Традиции школьной математики вместе со Первоистоки взглядами на содержание и технологию обучешкольной ния восходят к XVIII в., когда в ведущих госуматематики дарствах социальный уклад стал оснащаться государственными системами народного образования, и когда возникла новая массовая профессия — преподаватель математики. 128

Что этому предшествовало и чем это сопровождалось — об этом будет идти речь ниже. Равно как и о других комментариях этого значительнейшего перекрестка в истории науки и культуры. Ниже обсуждаются три взаимосвязанных процесса. Это: — эволюция взглядов на содержание понятия математики, что так или иначе относиться к ней; — эволюция взглядов на то, чему нужно учить будущих специалистов или просто образованных людей, что определяется во многом запросами общества и корпоративными интересами преподавателей; — эволюция методов мотивации в научной и в учебной математике. Наиболее распространенный взгляд на развитие математики заключается в расчленении Грехи истории математики на четыре периода: стандартной периодизации 1. Период зарождения математики, котоистории рый характеризуется накоплением фактов. математики 2. Период элементарной математики (начатый древними греками в VI-V вв. до Рождения Христа). 3. Период создания математики переменных величин (XVIIXVIII вв.). 4. Современный период (XIX-XX вв.). Эта периодизация, приводимая и А. Н. Колмогоровым в БСЭ, была введена Ф. Энгельсом в середине XIX в. Тогда с ней трудно было не согласиться, т. к. и про математику Египта и Халдеи толком ничего не было известно (клинописные таблички шумер расшифрованы были лишь в XX в.), и уровень математики был не наш — переменная величина есть явный архаизм, связанный со взглядами Ньютона на универсальный аргумент — время, которое все время меняется. Сейчас, когда функция — всего лишь отображение, причем функция активно используется и в теории алгебраических уравнений, наследующей идеи древних халдеев, говорить о появлении переменных лишь в XVII в. — вопрос терминологии, а не существа. Точно так же можно было бы это время назвать периодом буквенной математики. Однако, главный недостаток приведенной периодизации — не в этом. А в том, что она исходит из определения математики, как синонима чистой математики — науки о воображаемых объектах и мыслительных манипуляциях с ними, математики в понимании Платона — собрании чистых идей. Такая математика, 129

в самом деле, зародилась в философских школах Древней Греции. Но на какую копилку математических фактов она опиралась? На соотношения типа “два и три есть пять”? Или “два меньше пяти”? Или же умения считать? Но умение есть навык, но не факт. Таким образом, приведенная периодизация, если и годилась для широкой публики, то только в XIX в. Ныне уже и школьники многие знают, например (хотя бы и понаслышке), что Архимед фактически владел интегрированием — искал площади сложных фигур предельным переходом от многоугольников. Но разве понынешнему можно представить себе интеграл, не владея словом переменная величина, функция и проч.? Так что, если этими терминами наши предки не владели до XV в., то это — вопрос терминологии, а не научной эволюции. К сожалению, вульгарное толкование истории математики сплошь и рядом одно подменяет другим. Например, широко распространенное мнеПодмены ние о том, что “греки не знали дробей” или, более мягко, что они “не хотели их знать”, т. к. вместо них (вместо того, чего они не знали?!? — П. Ю.) они рассматривали отношения. Или египтяне (древние) не знали обычных дробей, они признавали только аликвотные. Но одна из задач папируса Ахмеса звучит так: “Какую часть три составляет от пяти?” 1 1 Ответ дается в форме + . О чем здесь нужно вести разговор: 2 10 о форме или о сути? Если о форме, то и цифры арабские вместе с дробной чертой введены будут в математический обиход на пять с лишним тысяч лет позже. Если же говорить о сути, то это одна из главных ближайших тем. Вообще, если посмотреть даже на названия периодов приведенной периодизации. Посмотреть и чуть вдуматься! Первый период — зарождение математики Кто копил и в форме накопления фактов. Но что значит собирал? “копить факты”? Во-первых, кто их копил, собирал на протяжении сотен тысячелетий? И где их все это время хранил без письменности? В чулане, амбаре или еще где? Письменности-то не было. Дальше, где и как эти факты можно было собирать? Они что, под кустами валялись или на ветках росли?!? Ведь те же задачи, знакомые нам с детства (о бассейнах, смесях, собака догоняет зайца и проч.) вместе с методами их решения, они оттуда, из Халдеи. И если их и сейчас не всякий с разбегу решит, как же они образовались? Ведь науки и ученых 130

(как нам говорят) тогда не было! А методы извлечения квадратных корней, Ведь их же кто-то придумывал! Мучительно напрягал мозги, а не подбирал факты. Чтобы еще резче оттенить издевательский характер формулировки “накопление фактов” (как ломбард, что ли), приведем пример задачи, “накопленной” мимо греков в духе восточных традиций (из учебника практической математики Ариабхатты). «Некий капитал (сумма денег) отдан в рост Из (т. е. взаймы под проценты). Через месяц Ариабхатты полученный прирост отдан опять в рост на несколько месяцев. Зная окончательный прирост, узнать прирост за месяц!» Мы цитируем задачу почти буквально, чуть осовременивая стилистику. Решение предлагается такое: «Умножь капитал на общий прирост и на время, добавь квадрат половины капитала, извлеки корень, вычти половину капитала и разность раздели на число месяцев». Если на наш манер ввести обозначения — капитал через K, месячный прирост через x, общий прирост через P и время (дополx нительного роста) через t, то мы получим уравнение x + t x = P , K т. е. tx2 + Kx − P K = 0, откуда

x=

−K +

√

 q ¡ ¢2 KP t + K − K 2 + 4P Kt  2 = 2t t

K 2

 ,

что и озвучивается древней цитатой. Но представь, дорогой Читатель, что букв-то тогда не употребляли, и что формулы такой, следовательно, писать не могли, а ответ — он процитирован выше так, как в оригинале, т. е. в словесной (риторической) форме. Совершенно очевидно, что открытие и систематическое употребление таких словесных формул есть результат совершенно незаурядного научного прозрения. И это называть “собиранием фактов”? А ведь в Древнем Вавилоне знали, как решать задачи, которые в наше время и с нашей алгеброй сводились бы к одной из систем уравнений ½

x ± y = a, xy = b,

½ или

x ± a, x2 + y 2 = b. 131

Назвать открытие таких приемов и методов “простым собиранием фактов” — это ничего не понимать в математике. По логике: “Если решение задачи мне известно, то эта задача совсем легкая”. Я уже не говорю о более очевидном обстоятельстве: научиться считать, когда числа уже изобретены — дело несложное. Но изобретение натурального ряда чисел — одно из самых гениальных достижений Человека (Р. Бэкон). § 5.2 Другая периодизация Далее мы внимательно посмотрим, какова же истинная роль Древней Греции в истории математики. Чисто внешнего знакомства с «Началами» Евклида нам окажется достаточным, чтобы убедиться в том, что никакой Евклид не чистый геометр, как это принято считать. Непосредственно геометрическим вопросом посвящено менее четверти труда Евклида. «Начала» Евклида есть логическая база древней вычислительной математики. в виде теории пропорций Евдокса; Что есть в виде геометрической алгебры; «Начала» в виде теории иррациональностей. Евклида Далее мы обнаружим, что содержательных результатов в «Началах» почти нет. Главные их достижения: — разработка дедуктивных методов, которые есть средство логической организации различных знаний, но не средство добывания новых; — создание канонов математической строгости; — создание метода исчерпывания — неконструктивного, а потому бесплодного. Приведенная выше периодизация использует бросающиеся в глаза исторические вехи. Другая На эти вехи будем опираться и мы, несколько периодизация расширив их множество. Мы будем выделять следующие этапы эволюции математики: 1. Доисторическая математика — все математическое творчество до момента появления письменности. 2. Древняя математика — до периода Эллинов. 3. Период классической математики — от эллинов до эпох Возрождения (от VI в. до н.э. до XV в. н.э.) 132

4. Математическая деятельность эпохи Возрождения (XV-XVIII вв.). 5. Новая математика (с XIX в.). Общепринятых документов и памятников о состоянии и эволюции математики в первый период, естественно, нет. Поэтому мы и назвали этот период доисторическим. В том смысле, что официальная наука - история судить об этом периоде не берется. Хотя некие мнения на эту тему имеются. Если считать, что эволюция культуры человека в автономных условиях происходит по аналогичным законам, то о доисторическом периоде можно судить, наблюдая за культурой первобытных племен, находящихся на том самом “доисторическом уровне”. Именно по таким наблюдениям было установлено, что первоначальные количественные представления носили качественный характер. В основном — от целого к части, в терминах сохранения или нарушения (уменьшения) некоего исходного количества. По типу: “Вся ли семья собралась к обеду?” Как ищется ответ на этот вопрос? Неужели счетом? Нет, конечно! Точно так же пастухи тех же северных оленей, охраняющие стада (?) сотен голов, практически всех знают индивидуально, и умение считать им просто не требуется. Все или не все стадо перешло реку, они знают без всякого счета. А вот умение решать элементарные проблемы, где требуется пошевелить мозгами и проявить изобретательность, смекалку в условиях первобытного общества требовалось ежедневно. Сколько лошадей требуется для имеющейся поклажи? Сколько орехов приходится на каждого участника похода за кокосами? Как разделить две буханки на всех членов семьи поровну? Ответы на эти вопросы получались не вычислениями (которые были изобретеныпридуманы лишь при появлении начальной письменности), а реальными действиями: раздать, если же не хватает — предварительно измельчить. Эта хоть и простая, но абсолютно надежная процедура деления без вычислений, осталась в бытовой культуре народов почти до самого последнего времени. Хотя современные методисты комментируют ее, как проявление убогости интеллекта. Но пусть их простит Господь! § 5.3 Доисторическая математика. Первобытные первый, второй — не для счета. Простейший счет долями далее — для торговли. Математическая культура развивалась в доисторический период вместе с языковой, как одна из граней последней. И поэтому 133

именно язык может лучше рассказать о древней эволюции математики, чем догадки официальный истории. Именно язык напоминает о том периоде, когда люди еще не нуждались в счете, а поэтому и не умели считать. Пара, оба, двое (твой), чета — эти слова, хоть и имеют количественный смысл, еще не есть числительное, т.к. кроме количества в них есть еще нечто. Второй и другой — стали порядковыми числительными в русском и украинском языках. Абсолютно родственные языки, а слова оказались разные. Почему? Для одного и того же математического смысла два разных по бытовому толкованию слова! Ведь второй, издревле — тот, который не первый, а который рядом, который вторит, повторяет, изображает то же. Это — самый близкий друг, помощник. А другой — как звучит? Как не этот, как некто чужой, почти враждебный (от “вдруг” можно и “вздрогнуть”). Да и слово “друг” — не синоним брата или наперстника . Друг — это не враг. В текущий момент, по крайней мере. Подружиться можно и с врагом. А вот побрататься — нет! Ни в коем разе! Второй — как брат! А другой — это посторонний человек! Не этот (или не наш). Почему же вдруг оба столь разные психологически слова приобрели единый количественный смысл. Ответ совсем простой! Вдруг появилась потребность использования какого-либо бытового термина для реальной проблемы. Когда вдруг начал появляться счет, и не только появляться, но активно использоваться. Как это вдруг могло начать происходить? А с торговлей! Именно товарный обмен активизировал Начальный необходимость различных сопоставлений ценсчет вызван ности, выяснения соотношений количеств торынком вара (например, за два поросенка — один баран). Пересчет количества, как процедура счета, ассоциировался с проверкой правильности расчетов. Количество свиней, которые крутились и убегали, нужно было оценивать, именуя-называя их во время счета. Так после “раз” для первой свиньи (она запоминалась как индивидуальность, естественно, лучше других), следовало “два”. А имя этой строптивой и явно другой свиньи подбиралось отнюдь не в филологических рассуждениях. Хваталось лучшее слово, которое было под рукой. Вообще в мире малых количеств человек жил чрезвычайно дол134

го — почти весь язык был сформирован на фоне слов, соответствующих малым количествам. Возьмите слово “половина”, разлитое по всему языку (да и почти всем языкам мира). Отнюдь не как символ одной из двух равных частей, а просто символ части. Возьмите полусвет, полутьма, полуботинки, полустанок, полупространство, полуупорядоченность, полунорма (и это — даже в математике). Когда потребовался учет более мелких частей и половина-часть заменилась в языке половиной строго количественной (по нашему — 0.5), роль части стала играть полполовины — четь. Вот эта часть-четь и стала затем первичным символом части — в смысле нецелого, некоего мелкого фрагмента: “целое состоит из частей (из четей)”. В элементарно-бытовых количественных манипуляциях в этом периоде (царства четейДоли тоже считать надо четвертей) учитываются в количестве только вот эти доли-части-чети. Как порожденные для использования в процессе дележа, они предварительных имен не имели, нарекались на время процедуры временными именами: первая, вторая, другая, третья. Последней (по нашему 4-й) части имя просто не требовалось. Она была последней. В более сложных манипуляциях (скорее всего, торговых) с долями, когда в обиход вошли и треть (малая половина), и две трети (большая половина), потребовалось учитывать и их разность (половину без трети), а также отличие их суммы от целого (целое без половины и трети), что привело к введению и использованию шестой части. А отсюда — арифметика шестых долей, распространенная в простонародье Древних Греков. Позднее, в конце первого (доисторического) периода, когда люди от кочевого образа жизни переходили к оседлому и от скотоводства к земледелию, интенсификация и специализация производства продуктов привела к резкому увеличению объема торговли. Начали появляться письменность (вначале как торговые символы-памятки), совершенствоваться вычисления, развиваться счет. И здесь основополагающую роль сыграл главный подходящий инструментарий — пальцы рук. Помимо подсчета количества частей-четей (полполовины) с шестыми долями (полтрети) для учета больших количеств использовался счет пальцами. От пальцев пошел десятичный строй счета. Наложение десятичного строя на шестидолевой привело к шестидесятеричной системе счисления. Главной для квалифицированных счетчиков Древнего Египта и Халдея. Наложение десятичного 135

строя на четвертной счет привело к появлению узлового числа сорок, характерного для более восточных культур. На Руси это привело к выражению “сорок сороков”. Если же говорить о главной животворной исторической жиле - повседневной бытовой культуре, от времен первобытных внедрились намертво доли типа пол-половины (четь) и пол-трети (шестина). Их простота в устном счете создала основы начальной арифметики долей в Древнем Египте: 2 − 3 = 6(= 2 × 3), 2 + 3 = 1 − 6, 6 + 6 = 2 где, следуя Нейгебауэру, мы переиначиваем древнеегипетские обозначения доли чертой над её знаменателем, так что имеем def

2 =

1 1 1 , =3 и = 6. 2 3 6

Позднее полполтрети — унция, стала основой дробного счета в европейской бытовой культуре,равно как и дюжинного строя. На Руси был использован более простой (а значит и существенно более ранний) четвертной строй (пуд — сорок фунтов). Оптимальность подобной простоты строя для бытового использования, проверенная тысячелетней практикой, подтверждается, например, арабским учебником «Ключ к арифметике» Дж. А. Каши (Самарканд, 1427 г.). Цитируем дословно: «Большинство людей базара, продавцы и покупатели и вообще весь народ пользуется этими дробями (при этом) следует знать, что знаменатель дангов по отношению к динару есть шесть, знаменатель тасуджа по отношению к динару есть двадцать четыре, а по отношению к дангу есть четыре, а знаменатель шаира по отношению к динару есть девяносто шесть, по отношению к дангу есть шестнадцать, а по отношению к тасуджу есть четыре» (см. [81]). Из этой цитаты следует, что еще в ХV веке, когда арабы удерживали свое тысячелетнее превосходство в уровне цивилизации, в простонародной бытовой математике господствовал не десятичный или шестидесятичный, а четвертичный с оттенком шестых долей строй. В самом деле, коль слово русское “деньги” явно возникло от арабского “данг”, а торговый обмен у наших предков с Востоком был достаточно интенсивен, то цитата из книги Каши свидетельствует, что данг был основной денежной единицей базаров Востока, и что для нас было главное, счет более мелкими деньгами осуществлялся четвертыми долями донга, т. е. тасудж равнялся четверти данга, а шаир — четверти тасуджа. При этом данг был шестой долей более 136

крупной единицы — динара. Как видите, никаких десятых долей. И это — XV в., когда, согласно формальной истории математики, все цивилизованные народы использовали десятичную или шестидесятеричную системы счисления. Так-то оно так. Но это пример того, что ученые-историки слабы в формальной логике, точнее — в кванторах. И образование отдельных людей путали (сами путают и нас всех путают) с образованием целых наций и народов. § 5.4 Вершки и корешки История математики забывает, как бы, про искусство вычислений; требовалось не самым образованным слоям общества (философам, поэтам) и аристократам. Оно было уделом ремесленников-рехенмейстеров вдали от науки Ориентируясь на официальную науку — историю, иногда невозможно понять, куда провалились гигантские периоды? Например, все первое тысячелетие после P. X.? Ведь когда греческая математическая культура погибла под обломками Римской империи, и остатки математических школ были разогнаны новоявленными христианами-императорами (как рассадники языческих наук), в Европе научно-математическая жизнь начала зарождаться лишь где-то с XIII в., с переводами на латынь трудов великих эллинов (Евклид, Архимед, Аполлоний и проч.). Происходило это из родников-знаний университетов Испании, по мере ее освобождения от мавров. И лишь в XIV в. в Европе зашевелилась собственная математическая мысль. До того европейцам были известны только заимствования (и переводы) с арабского типа книги Фибоначчи и знаменитой Аль-Мукабалы (Аль-Хорезми). И здесь важно заметить, что: во-первых, в нашей отечественной историопрозападная графии, в том числе и в истории математиистория ки, господствует уничижение перед Культурой Запада. Вообще, вся история нашего Отечества полностью отделена от истории Европы. А ведь в период Древней Руси в Европе вообще не понятно что было, кроме непрерывных “рыцарских” войн. А ведь если глянуть трезво, тогдашние рыцари (по современному — просто крутые мужики), промышлявшие разбоями и грабежами. И доившие недобитых плебеев. И, например, в XII в. какая-никакая цивилизация в Европе лишь нарождалась за счет итальянских городов, торговавших с арабами, т. е. культура 137

уже тогда шла в Европу от арабов. И Фибоначчи, издавший свою замечательную книгу на рубеже XII и XIII вв., был купцом, много лет прожившим и учившимся у арабов. А на Руси веком раньше был собственный глубокий мыслитель — Кирик Новгородский. И что о нем наши историки от математики не знают? Знать-то знают, но вспоминают обычно скороговоркой, причем совсем не в тех местах и вовсе без акцента — как бы сквозь зубы. Но зато вот что написано прямым текстом у одного из авторитетнейших творцов истории арифметики Беллюстина более ста лет назад: «. . . чтобы знанию дойти (от Европы) до России, требовалось столетие или более». Итак, знание само ходит из стран более цивилизованных в менее. И хотя тот же Беллюстин упоминает о том, что в Итонской школе (а это — высшая школа для детей английских аристократов) преподавание арифметики ввели лишь в XIX в. (вторая половина), ему и в голову не приходит сопоставить английское образование с российским. Аналогично, наш классик истории математики считает прозрением Шехор-Троцкого (легендарного для советской педагогики деятеля) следующее суждение: “мнение о принципиальной разнице двух видов деления (на части и по содержанию) — несуразная немецкая выдумка” [17, 19]. Что ли Депман не знал мнения Колмогорова, известного (см.[2]) к моменту выхода его книги [17]? Знал, но как-то отстраненно, отрешенно. Эта отрешенность, отстраненность от сути исторических процессов (Беллюстин о К. Новгородским и о Фибоначчи не просто знал, но и писал, но не сопоставлял) чрезвычайно характерна для описания истории математики. Излагается обычно история идей, верхушек знания без всякого историко-общественного и социального фона. Получается так, как будто идеи виЭволюция тают над обществом, развиваясь почти сами вершков по себе. Но этот взгляд, возможно и допустимый в истории идей (хотя обрывать их от породившей почвы не логично), становится порочными при анализе истории математического образования. Ведь как обычно пишется? Египтяне что-то умели, а чего-то не знали. А шумеры научились решать квадратные уравнения и еще 138

чего-то. А греки не знали дробей. И прочая, прочая, прочая. А древние евреи, уж на что умный народ, а на протяжении тысячелетий считали, что π = 3. И даже канонизировали это значение π = 3. В то время, как окружающие народы уже использовали значение π = 22/7. Последний пример особенно красочен в том принципе вершков и корешков, который мы сейчас опишем. Ведь что такое 22/7, понимали очень немногие, только специально подготовленные люди. Для широкой массы даже и во времена эллинов отношение 22 : 7 если и было понятно, то не как число. А правило: “то, что имеет три ладони в окружности, имеет одну ладонь ширины”, — имеет смысл, доступный практически каждому. Да и его канонизация означала регулярное напоминание этого совершенно нетривиального знания, чрезвычайно полезного на практике. А предложите нынешнему школьнику с помощью рулетки примерно оценить диаметр “вон того дерева”! Официальная история математики, отслеживая историю идей отслеживает тем самым подготовку наиболее образованной прослойки общества. В Древнем Египте это были жрецы, в Древней Греции — философы, позднее в Европе (до XIX в.) — ученыесхоласты университетов. Носителями и выразителями этих идей была интеллектуальная элита общества. Но во все времена были и другие математические знания — типа π = 3, которые нам удобно называть «народной математикой». Скажем, даже в XVII в. университетские ученые ЕвНародная ропы внедряли (во главе с С. Стевиным) десяматематика тичные дроби в активной борьбе с обыкновенными дробями, которые так и именовались — простонародными. Да и наше название — обыкновенные — означает соответствующие обычаю. Пример подобных “обычных” для народа математических объектов дает и выше приведенная цитата из «Арифметики» Каши. С древнейших времен внедренной в язык оказалась простейшая система математических по сути представлений. Изначально формирование этой системы происходило вместе с языком. Поэтому коренные математические представления входят в языковой каркас (делить — доля, полоНачала математики в вина — полу, разить — раз, рядить — ряд и языковом проч.). На этот низший слой бытовой матемакаркасе тической культуры наращивается более глубо139

кий по содержанию слой деловой, практической математики, исторически обозначенный уже реальными памятниками — документами. Этот слой знаний порожден социальноэкономическими потребностями, и именно эти знания служили темой дополнительного к бытовому образованию (школы рехенмейстеров), именно этот слой знаний стимулировал развитие в средние века арифметики, как “науки купцов”. Ну а высшие по уровню знания идут, конечно же, от древнегреческих ученых. Эти явные “вершки” обычно считаются символами чистой математики — в противовес математике более низких уровней. Ниже мы выясним, что эта “чистая математика” греков есть всего лишь логическая база практической математики — логистики, как её именовали сами эллины. Мы так же обнаружим в этой связи несостоятельность общепринятого мнения о том, что Евклид — это геометр , и что его «Начала» — всего лишь учебник по элементарной геометрии. Обзор содержания «Начала» по книгам покажет нам , что из 13 книг «Начал» 3 являются собственно геометрическими (в нашем понимании), а остальные — обоснованием математической методологии того времени, глубина которого (обоснования) осознана математиками полностью лишь к концу XIX в. Итак, до эпохи Возрождения в истории развития математики можно выделить три слоя. 1) натурально-бытовая математика, переТри пласта даваемая вместе с языком; истории 2) практическая (деловая) математика. Учебники - от папирусов Египта и табличек шумер до учебников Фибоначчи, Л. Пачолли, Магницкого и проч. — имеют рецептурный характер, однако с легко уловимыми смыслами; 3) теоретичская математика, в которой главный вопрос — ПОЧЕМУ? Технология аксиоматико-дедуктивных рассуждений. Пренебрежительное отношение к предыдущим слоям, как к недостойным для аристократов формам деятельности, уделе ростовщиков и купцов. Каждый из этих слоев имеет свою историю, свой генезис основных представлений, свою культуру. В современной педагогике математики все эти три слоя полностью перепутаны, что и создает истинные трудности для восприятия. Описанные три слоя легко вписываются в классификацию Кол140

могорова. Они соответствуют принципиально разным уровням мышления, что означает недопустимость их смешивания в преподавании. Об этом в разделе о Ψ-математике. В заключение, процитируем древнегреческого историка, свидетельствующего о корнях презрительного отношения к практической математике. Плутарх (в жизнеописании Марцелла), говорит об открытиях Архимеда в области механики: «Хотя эти изобретения заслужили ему славу сверхчеловеческой проницательности, он не снизошел до того, чтобы оставить какое-либо описанное сочинение по таким вопросам, а, считая низким и недостойным делом механику и искусство любого рода, если оно имеет целью пользу и выгоду, все свои честолюбивые притязания он основывал на тех умозрениях, красота и тонкость которых не запятнаны какой-либо примесью обычных житейских нужд». Далее мы увидим, что подобные легенды созданы не былью, а стремлением к героизации титанов мысли.

141

Φ–6. Про античных про ученых и про их µαΘεµα § 6.1 Начало чистой математики. Геометрическая алгебра Древнегреческая математика, выросшая из практической, считается эталоном чистой, теоретической науки, якобы отрешенной от практических вычислительных задач. Однако, в началах Евклида описаны методы геометрического решения квадратных уравнений, возникающих в логистике — прикладной математике. Вместо чисел фигурируют общие величины, в качестве которых выступает наиболее удобная интерпретация — длины.

Чистая (теоретическая) математика зародилась из практической в философско-математических школах древней Греции (VI в. до н.э.) и известна нам в первую очередь по «Началам» Евклида и работам Архимеда (III в. до н.э.). Pодившись как сфера отвлеченных от натуры (физики) рассуждений, математика сразу отмежевалась от своих корней — логистики (т. е. практической по нашему математики), отнеся ее к ремеслу черни, т.е. наемных и подневольных людей. Парить разумом — изысканное занятие знати, аристократов, а копаться в вычислениях — черная работа. Эта оценка стала чуть ли не этической нормой на тысячелетия, отложив отпечаток (см. оценки Колмогорова и Лебега) и на иерархию научных ценностей новейшего времени. На протяжении трех тысячелетий оба ствола маИстория тематики — абстрактный и практический — учебной фактически не взаимодействовали. Логистиматематики ка жила своей практической жизнью, а наука древних греков воспитывала в университетах математическую культуру наиболее образованных людей своегo времени. До XVI в. обучение в университетах шло по первоисточникам (Евклид, Архимед), переведенным на латынь с арабского к XIV в., а ремесленников-арифметиков (счетоводов), т. е. рехенмейстеров, учили по пособиям и наставлениям, подготовленным такими же рехенмейстерами. Последние высокой греческой науки не знали, вычислительное искусство было для них ремеслом, а потому и наставления их были написаны, как сборник рецептов и технологий решения различных практических задач. Стремительное созревание капиталистического уклада в экономике, стимулирующее внедрение механизмов и инженерных знаний, рост банковского дела, активная эксплуатация заморских колоний (вместе с ростом мореходного дела) породили rechenschaftigkeit — массовый общественный интерес к практиче142

скому счету. Последнее привело к созданию почти в каждом из ведущих государств системы светских училищ и школ, где главным предметом была арифметика (науки числительная по Магницкому). Последнее привело к возникновению новой профессии — преподавателей этой самой практической арифметики (-логистики). Вначале это были бывшие рехенмейстеры, затем неизбежно преподавать практическую математику стали люди, сами личного опыта практических вычислений не имевшие. В новых учебных заведениях готовили не только и не столько будущих вычислителей-бухгалтеров, но военных и гражданских инженеров, и строителей, и корабелов, и штурманов с капитанами, и артиллеристов и саперов, и специалистов по наследованию имущества, по страховому делу, по сбору налогов и по многому другому. Для новых школ стал вопрос о создании учебников нового типа. И не потому, что прежних учебников было слишком мало. Изобретение книгопечатания способно было резко повысить тираж. А потому, что эти самые рехенмейстерские учебники внешне никак не тянут на звание учебников: написаны абсолютно не по научному, т. е. не по греческой манере — нет никаких объяснений, одни рецепты, как заклинания — понять ничего нельзя, можно лишь долбить и зубрить. Таким образом, что послужило базой новых учебников и в каком направлении шло от нее движение — совершенно ясно. Греческая высокая наука стала управлять модернизацией предыдущих учебников. Напрямую этим занимались, конечно же, люди. Но на математику рехенмейстеров они смотрели сквозь древнегреческую математическую культуру, т. е. глазами Аристотеля, Евклида, Архимеда и пр. База первых учебников

Школьно-математические традиции сформировались именно тогда, три века назад. Как и соответствующая система ценностей в массовой математической культуре. Около века назад, обязательная ранее компонента — знание древних языков и изучение классиков по оригинальным источникам — была выброшена из всеобщего среднего образования (гимназий). Да и в современных переводах классиков изучают лишь “специалисты”, т. е. толкователи-толмачи, переводящие высокие мысли классиков на общедоступный язык. Однако так как эти комментаторы были воспитаны на новой (в смысле — возникшей три века назад) школьно-математической культуре, то специалисты-математики и не подозревали даже, что 143

из уст подобных комментаторов-толмачей до них доводится зачастую полная несусветица. И все лишь потому, что в древнегреческой математике многие вполне современные объекты и понятия оказались для этих товарищей совершенно недоступными. Для Галилея и Паскаля, для Декарта и Гегеля, для Валлиса и Барроу, для Ньютона и Эйлера, для Даламбера и Коши позиции и взгляды греков были предельно ясны, поскольку они хорошо знали науку древних. Как и Дедекинд, создавший современную теорию вещественных чисел (конец XIX в.), не отрицал связи своих достижений с теорией Евдокса (III в. до н.э.), отраженной в «Началах» Евклида. A мы привыкли к тому, что из школьной проблематики греки были специалистами разве лишь по геометрии. А что касается дробей и количеств, все норовили на геометрию свернуть. Так что в вопросах о числе (кроме целых чисел) от греков и взять вроде бы нечего, кро√ ме открытия иррациональности 2. Да и то, иррациональность-то √ — это наш термин, а для них 2 — не есть отношение целых чисел. Так что и смысла своего открытия они тоже не поняли, раз они даже и дробей не знали, а знали лишь отношения. “Отношения чего к чему, т. е. между какими вещами?” А вот тут дело темное. Вроде бы и между числами (из N), но в случае пропорции в подобных треугольниках — как бы даже и между отрезками (необязательно же их длины целые). А что такое отношение отрезков, если они не измерены?! Узелок, связавший в XVI-XVII вв. логистику и греческую математику, легко распутать, если проигнорировать все современные комментарии специалистов от истории и методики математики и напрямую, хотя бы даже фрагментарно, посмотреть на подход и взгляды греков. Тогда совершенно по другому и значительно понятней для нас зазвучат голоса мыслителей XVII-XVIII веков, ибо они-то, как мы уже отмечали, смотрели на школьные новации глазами Аристотеля и Евклида. Древние греки. Удивляет и вызывает глубокое уважение этот народ, который, никогда по численности не превосходя современного крупного города, дал сотни философов и ученых. Эволюция естественно-научной системы мира берет свое начало из их концепций. По замечанию Энгельса: «В греческой философии заключены в первоначальной форме почти все позднейшие типы мировоззрения. . . Существуют античные пpooбразы почти всех основных направлений позднейшей фиНачало древнегреческой математики.

144

лософии природы». И все-таки, почему именно Греция VI в. до н.э.? Этому способствовал ряд исторических условий. Во-первых, греки, колонизировавшие почти все побережье Средиземного, Эгейского и Черного морей, были знакомы с восточной, прежде всего вавилонской математикой и астрономией. Во-вторых, в богатых быстро развивавшихся городах, особенно в колониях на побережье Малой Азии, получивших общее название “ионийские”, создались благоприятные условия для свободного поиска истины, свободного прежде всего (за счет рабов) от заботы о хлебе насущном. Первым известным нам человеком, котоФалес рый от решения конкретных вычислительных задач (т. е. от логистики) перешел к доказательству общих рассуждений, был Фалес (около 625 — около 547), знатный и богатый гражданин Милета, умевший наживать деньги и изменять русло реки (так, по преданию, он помог лидийскому царю Крезу без мостов перейти с войском реку Галис), путешествовавший, состоявший в переписке со многими известными современниками. Молва называла его как одного из полулегендарных “семи мудрецов” и приписывала ему утверждение о том, что Луна свой свет получает от Солнца. Он искал естественное объяснение разливам Нила, измерил высоту египетской пирамиды и, как говорят, предсказывал затмения (что, впрочем, тогда было вряд ли возможно). Согласно Евдему (древнегреческому историку науки), Фалес доказывал, что диаметр делит круг пополам, а угол, опирающийся на диаметр — прямой, утверждал, что углы при основании всякого равнобедренного треугольника равны, открыл равенство вертикальных углов и, наконец, доказал теорему о равенстве треугольников по двум углам и стороне. Именно в стремлении найти доказательства вроде бы очевидных фактов заключался переход от практической и вычислительной математики древнего Востока к теоретической науке. Фалес начал “бегство от удивлений” само собой разумеющимися вещами и впервые в истории человечества поставил вопрос, ставший затем основным вопросом всей греческой философии: “Что есть Все?” Ученые хорошо знают, что правильная формулировка проблемы — это половина ее решения. Сама постановка вопроса “Что есть Все?” предполагает наличие некоей единой сущности. Ответ ионийских мыслителей (вместе с Фалесом — Анаксиманд145

ра и Анаксимена): первоосновой, из которой состоят все тела на свете, является некая непрерывная, единая, бесформенная субстанция. Запомним на будущее: непрерывность — математическое по сути свойство, оказалось основополагающим понятием уже на первых шагах поиска смысла сущего. В ряду наиболее ярких фигур в истории Пифагор греческой математики следующим был Пифагор (ок. 570 — ок. 495). Родом с острова Самос, в юности бывал в Милете, общался с престарелым Фалесом и его последователями. После захвата власти на Самосе тираном Поликратом Пифагор покинул родину и обосновался в греческой колонии Кротон (совр. итальянский город Кротоне). Там он быстро приобретает авторитет и основывает философскую школу, больше походившую на религиозно-этическое братство. Ее члены обязывались вести правильный, “пифагорский” образ жизни. Одна из традиций школы — приписывание всех ее достижений основателю школы. Так что теперь практически невозможно разделить вклады в науку Пифагора и его учеников. Пифагорейцы разработали метод матемаДедукция в тической дедукции, т. е. правило логического математике выведения следствий из исходных положений — аксиом, изучали пропорции, получили ряд ценных результатов в теории чисел. Они положили начало теории музыкальной гармонии, заметив созвучие струн, длины которых соотносятся как небольшие натуральные числа. Пифагорейцам приписывается и самая Теория ранняя форма теории отношений величин. отношений Ключевым здесь был алгоритм попеременного вычитания, часто именуемый ныне алгоритмом Евклида. Отношение двух величин a : b определяется с помощью поочередного вычитания b из a столько раз, сколько возможно. Тогда a − nb = b1 , где b1 — остаток (b1 < b). Далее b — аналогично “делится” на b1 , что дает a − n0 b b − n1 b1 b 1 n2 b 2

= = =

b1 b2 b3

и т. д. В случае, если a и b соизмеримы, эта цепочка конечна. Отноше146

ние a : b можно выразить непрерывной (цепной) дробью a b1 1 1 = n0 + = n0 + = n0 + . 1 b b b/b1 n1 + n2 +... В записях соотношений мы, естественно, используем современную символику. Если для двух пар величин a, b и c, d соответствующие все неполные частные (как выше n0 , n1 , n2 , . . .) совпадают, то отношения a : b и c : d считались равными, образуя пропорцию. Судя хотя бы уже и по этому фрагменту, пифагорейцы оперировали с понятием величины, как с основополагающим, а свойства непрерывности и протяженности воспринимали как самоочевидные. Особо подчеркнем, что в математике при разговоре о величинах подразумевались не только отрезки и тем более не только числа. Другое дело, пифагорийцы обнаружили, что отрезки (точнее — длины отрезков) дают универсальную интерпретацию произвольного множества однородных величин, и достаточно часто вместо слова величина говорили отрезок или длина, или протяженность (как у Аристотеля). Отношение любых однородных величин a : b могло быть записано в виде отношения чисел (натуральных), получающихся, например, если представление a : b в виде непрерывной дроби собрать в одну обычную. Поэтому отношения величин уподоблялись к неким суррогатам чисел (наши рациональные числа). О том, что бывают несоизмеримые отрезки, т. е. нерациональные числа (иррациональные в наших терминах), греки вначале не подозревали. Открытие √ пифагорийцами несоизмеримых величин (соответствующих 2) в форме несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны поставило под удар всю начавшуюся складываться метрическую геометрию вместе с теорией подобия и теми разделами математики, где нужно пользоваться начальными формами понятий непрерывности, предельного перехода и проч. Открытие иррациональности ввело в математику понятие, являющееся абстракцией, не имеющей достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте. Квадратические иррациональности — не редкость для практических задач, при решеГеометрическая нии которых возникают квадратные уравнеалгебра ния. Такие задачи были известны еще древним египтянам и халдеям. Хорошо известны они 147

были и эллинам. Открытие несоизмеримых величин показало, что для решения квадратных уравнений обычных (натуральных) чисел и их отношений недостаточно. А так как множество отрезков образовывало очевидно более полную совокупность величин, чем рациональные числа, было разработано специальное исчисление в пространстве величин-отрезков. При обычном определении суммы процедурой примыкания, вычитание определялось отбрасыванием части, адекватной вычитаемому. Умножение отрезков приводило к построению двумерного образа: произведением отрезков a и b считался прямоугольник со сторонами a и b. Произведение трех отрезков приводило к построению параллелепипеда, а построение большего числа отрезков не определялось. Деление оказывалось возможным лишь при условии, что размерность делителя не превышала размерности делимого. Деление прямоугольника (a, b) на отрезок c интерпретировалось методом приложения: к отрезку c надо приложить прямоугольник (cx), равновеликий данному (ab). Соответствующие процедуры применялись построениями с помощью циркуля и линейки. К геометрической алгебре относили и теорему Пифагора, и соотношения в прямоугольном треугольнике (и полукруге), осуществить построения отрезков √ √ позволяющие по формулам a2 ± b2 , ab и проч., и строить, в конечном счете, bx2 отрезок x, удовлетворяющий уравнению ax + = s, где a, b, c — c данные отрезки (именно отрезки, предварительно ничем не измеренные), a s — известная площадь (предъявленная в виде какого либо прямоугольника). Однако, сами же греки обнаружили, что геометрическая алгебра не является универсальной математической теорией, позволяющей решать любые уравнения. Так, уже уравнения третьего прядка требовали бы выхода на трехмерные образы, где построения с помощью циркуля и линейки оказывались невозможными. Эллинами были выделены задачи, не поддающиеся решению средствами “геометрического счисления”. Среди них задачи об удвоении куба, о трисекции угла и о квадратуре круга. Задачи об удвоении куба, т. е. о построении отрезка длины √ 3 x = 2a3 , была достаточно популярной, о чем говорит древняя легенда о требовании оракула на острове Делос увеличить вдвое объем стоящего перед ним кубической формы Гиппократ жертвенника как условие для прекращения возникшей эпидемии. Первого успеха в решении этой задачи добился Гиппократ Хиосский (середина V в. до 148

н.э.). Он рассмотрел несколько более общую задачу преобразования параллелепипеда в куб сведением к нахождению двух среднепропорциональных. Пусть параллелепипед V = (abc) преобразован в другой того же объема, но с квадратным основанием V = a2 b, что можно сделать средствами геометрической алгебры. Его нужно преобразовать в куб без изменения объема: x3 = a2 b. По Гиппократу ребро x искомого куба определяется из пропорции a : x = x : y = y : b. Последняя задача (по Гиппократу) является обобщением соответствующей плоской задачи о вставке одной средней пропорциональной. Для решения задачи о вставке двух средних пропорциональных были разработаны различные новые уже для того времени методы: в большинстве они сводились к изучению геометрических мест x2 = ay, xy = ab, y 2 = bx; искомые x, y определялись как координаты (в наших терминах) точки пересечения двух из этих геометрических мест. Геометрической реализацией самих геометрических мест оказывались конические сечения. Именно таким образом конические сечения Трисекция угла появились в математике и стали средством решения проблем, недоступных для циркуля и линейки. Другой знаменитой задачей античности, не поддававшейся решению средствами геометрической алгебры, была задача о трисекции yгла. В современных терминах тригонометрическое сооно¡ ¢ шение cos ϕ = 4 cos3 ϕ3 −3 cos( ϕ3 ) сводит задачу к алгебраическому уравнению a = 4x3 −3x. Многочисленные попытки получить точное решение с помощью циркуля и линейки оказались безуспешными (а успешными, как сейчас ясно, они и быть не могли). Поиск других методов имеет длинную и богатую историю, приводя к самым разнообразным результатам. Сведение ее к алгебраическому уравнению было осуществлено лишь в XVI в. О третьей знаменитой задаче — квадратуре круга, т. е. построении квадрата, равновеликого данному кругу, т. е. построению от√ √ резка πr2 (= ( π)r). Огромное количество попыток точного построения успехом не увенчались. Что это невозможно, стало известно лишь в XIX в. Все было бы нормально, если бы π удалось выразить через квадратные корни из целых чисел, но это не так. Однако, на этом пути уже Гиппократом Хиосским были найдены квадрирумые фигуры, ограниченные кривыми линиями — мениски (луночки) Гиппократа, образованные дугами окружностей. 149

Задачу о квадратуре круга античные математики рассматривали и в приближенном аспекте, введя метод исчерпывания площади круга вписанными или описанными правильными многоугольниками. Метод исчерпывания, эффективно использовавшийся позднее Архимедом, послужил предтечей метода интегральных сумм. Уже в ранний античный период начали появляться специальные сочинения с изложением сложившейся к тому времени системы абстрактных знаний. Таковы, например, «Начала» Гиппократа Хиосского (V в. до н. э.). Ставшее привычВеличина — не ными к тому времени использование понятия отрезок величины, как основополагающего, и постоянная интерпретация этого ПОНЯТИЯ термином «протяженность» и образом отрезка привели к тому, что комментаторы последнего времени стали относить математическое понятие величины к геометрии, вследствие чего практически вся античная математика (за исключением теории чисел Пифагора) в общественном мнении даже математиков отнесена к геометрии. Остается только удивляться, почему для создателей анализа бесконечно малых были постоянным пособием и опорой труды Евклида и Архимеда? § 6.2 Про Евдокса и «Начала» Самое глубокое достижение греков — общая теория вещественного числа, содержащаяся в теории общих отношений величин и пропорций. У Евклида в «Началах» пять аксиом (все про величины). Понятие величины — коренное для всей будущей математики вплоть до конца XIX в. Главная особенность «Начал» — дедуктивный характер построения. О Евклиде и его «Началах». Оказывается, «Начала» — в основном не геометрия, а мощная логическая база тогдашней (и последующей до XIX в.) математики.

Неспособность геометрической алгебры закрыть проблему иррациональности побудила античных ученых к поиску общей теории, способной стать фундаментом как для метрической геометрии и теории подобия, так и для методов, связанных с использованием свойств непрерывности и предельных переходов. Такой теорией стала общая теория отношений, связанная с именем Евдокса Книдского (ок. 408 — ок. 355 гг. до н.э.). Ему же приписывают и общую теорию пропорций. Крупнейшие математики XVII в. были воспитаны на античных теориях, впитав их с “молоком матери”. Глубина проникновения древних в суть вещей, сравнимая с достижениями чистой математики конца XIX в., стала понятной Два тысячелетия

150

далеко не всем даже в общественном сознании профессиональных математиков. И эта глубина оказалась недоступной для многих авторов общеообразовательных «Арифметик» и их потомков — деятелей школьно-методической науки. В результате, в школьную математику из античных идей проникли чисто внешние атрибуты. В теории Евдокса описано общее понятие Отношения величины посредством 5 аксиом: Евдокса. (1). Если a = b и c = b, то a = c. (2). Если a = c, то a + b = c + b. (3). Если a = c, то a − b = c − b. (4). Совмещающиеся (при наложении) равны. (5). Целое больше части. Далее вводится понятие однородности: a и b находятся в отношении, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. Это означает, что для любых конечных a и b существуют целые m и n такие, что ma > b и nb > a. Описаное свойство не допускало в общую теорию отношений так называемых неархимедовых величин, примерами которых в те времена были роговидные углы (углы между кривыми и касательными). Отношения в теории Евдокса определены их равенством: два отношения (a : b) и (c : d) считаются равными, если для любой пары натуральных m и n каждое из соотношений ma S nb влечет аналогичное mc S nd. По нашему это значит, что a/b имеют одинаковые верхние и нижние рациональные границы, т. е. осуществляют одно и то же сечение в поле рациональных чисел, как в теории Дедекинда. Последний не отрицал родственности своего и Евдокса подходов, отмечая лишь отсутствие у Евдокса учета непрерывности. Упорядоченность вводится так: полагается (a : b) > (c : d), если для некоторых m, n справедливо ma > nb и одновременно mc < nd, что означает на наш манер (a : b) > m/n > (c : d). Современная идея приближений действительных чисел с помощью рациональных имеет в своих истоках теорию Евдокса. В алгебраическом плане в теории Евдокса определена лишь одна операция — составление отношения, предтеча произведения чисел. Из двух отношений (a : b) и (b : c) возможно составление нового отношения (a : c) = (a : b) : (c : c), называемого двойным. Для составления отношения (a : b) к (c : d) одно из них, например, второе, предварительно преобразуется отысканием четвертой пропорциональной (c : d) = (b : x). 151

Введение “всего лишь одной” арифметической операции объясняется историками математики тем, что теория Евдокса создавалась для учения о подобии, где служила основой теории пропорций, а так же для определения площадей и объемов. На самом деле, эта внешне квалифицированная оценка означает лишь, что историки математики отрывают теорию пропорций от ее корней — практической математики (логистики), где для обычных дробей (сиречьотношений) центральной операцией было “взять часть” = “взять дробь”, т. е. как бы умножить на дробь-отношение. В средневековых «Арифметиках» рехенмейстеров эта задача о дробях “найти дробь от числа” (и обратная ей — “найти число по дроби”) была центральной, разрешая рецептуру тройного правила, следующую из бытовой теории пропорций. Сложение и вычитание отношений были совершенно рутинными бытовыми процедурами, не требующими особого внимания, ибо из тривиальных свойств пропорций следовало (a : b) = (ad : bd), что позволяло приводить два отношения (a : b) и (c : d) к общему знаменателю, представляя их в виде (ad : bd) и (bc : bd). Дальнейшее историческое развитие античной теории отношений пошло по пути трактовки отношений как обобщенных чисел и отождествления (в соизмеримых случаях) их с дробями (точнее — с рациональными числами). Так поступали уже в древней математике Архит, Архимед, Герон и др. при решении практических задач, требовавших уверенности в вычислительно-алгоритмических действиях. Этот взгляд древних на отношения, как обобщенные числа, был обыденным и для классиков типа Декарта, Валлиса, Барроу, Ньютона, не считавших необходимым даже ссылаться на буквари типа «Начал» Евклида и работ Архимеда. Математика уже в античный период начала излагаться как дедуктивная наука, принявшая вид логической последовательности теорем и алгоритмов (например, задач на построение), заботящаяся о том, чтобы число исходных положений было минимальным. “Геометрическая форма” общих идей греческой математики объясняется в первую очередь стремлением иметь более прочный фундамент, уйдя из области рациональных количеств в область общих отношений, сохранив при этом базовое якобы “геометрическое” понятие величины, в качестве которой как правило фигурировала длина (иногда — площадь). Особенности античных теорий

152

Аксиоматический способ

Античные теории стали предшественниками и современного аксиоматического способа построения теорий. Исходными положениями являлись определения, аксиомы и постулаты. Определения — это предложения, с помощью которых вводятся (и поясняются) математические понятия. Например, “величина” (протяженность) есть то, что может быть больше или меньше, “точка есть то, что не имеет частей” (т. е. не имеет протяженности), “куб есть телесная фигура, заключающаяся между шестью равными квадратами” и т. п. Эти и подобные определения в ходе истории много раз подвергались критике за их логическую неопределенность и неполноту. Однако более совершенной системы определений так и не появилось. В наше время дело свелось к тому, что при аксиоматическом построении теории, единственным способом описания объектов этой теории и их свойств является сама система аксиом, а объекты вводятся как первичные неразъясняемые сущности. Определения античных авторов отражают сложившиеся в то время абстракции от реальных понятий, употребление которых в математике было уже освящено традициями. Это — наиболее часто встречающийся в истории способ введения математических понятий. Аксиомы (или общие понятия) у Евклида Аксиомы у — это свойства величин. Их — пять. Они поЕвклида чти адекватны аксиомам Евдокса. 1. Равные одному и тому же, равны и между собой. 2. Если к равным прибавляются равные, то и целые будут равными. 3. Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны. 4. Совмещающиеся (друг с другом) равны. 5. Целое больше части. В число исходных положений у греков (например — в «Началах» Евклида) входили постулаты, т. е. предложения о возможных в данной теории построениях (преобразованиях). С их помощью обосновываются все алгоритмические операции и процедуры. Постулатов обычно было пять в комплекте: 1. Через две точки можно провести пряПостулаты мую. 2. Отрезок прямой можно продолжать 153

неограниченно. 3. Из всякого центра любым радиусом можно описать окружность. 4. Все прямые углы равны между собой. 5. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей, и если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся с той стороны, где это имеет место. Именно в таком виде исходные положения античной математики приведены в «Началах» Евклида. Понятие величины оказалось коренным как здесь, так и в более широкой системе естественно научных знаний, начавших оформляться к концу IV в. до н.э. и нашедших яркое выражение в философских воззрениях Аристотеля. За прошедшие двадцать с лишним веков, несмотря на всевозможные попытки, систему исходных положений «Начал» улучшить не удавалось. Лишь в конце XIX в. Д. ГильАксиоматика берту после работ Пеано и др. удалось опиГильберта сать достаточно удовлетворительную систему аксиом. Она состоит из 5 групп: а) 8 аксиом соединения или принадлежности; б) 4 аксиомы порядка; в) 5 аксиом конгруэнтности или движения; г) 1 аксиома параллельности; д) 2 аксиомы непрерывности: Архимеда и линейной полноты. Эти 5 групп аксиом вводят основные объекты геометрии: точку, прямую, плоскость и отношения между ними, выражаемые словами принадлежит, лежит между, конгруэнтны. Определений и постулатов современная аксиоматическая геометрия не имеет. Логические схемы и формальная структура доказательств, выработанных античной математикой, и в наши дни являются классическими образцами математических рассуждений, в известной форме обязательными для математики. В средние века образцом считалась и вся логическая структура математических знаний «Начал», включая исходные положения. Следует особо отметить, что в «Началах» нигде речь не идет об измерении длин, площадей и объемов, а только лишь об отношениях этих величин. В античной Греции были выработаны принципы построения дедуктивной науки в Евклид — форме логически последовательных, усложнягеометр!? ющихся систем высказываний, покоящихся на 154

некоторых исходных началах. Те сочинения, которые описывали первые системы математики, назывались «Началами». Исторически самыми ранними из дошедших до нас были «Начала» Гиппократа Хиосского. Встречаются упоминания о «Началах», принадлежащих и другим авторам. Но все эти сочинения были оставлены, забыты и практически утеряны с того времени, когда в III в. до н.э. появились «Начала» Евклида. Последние получили всеобщее признание как система математических фактов, строгая логическая последовательность которых оказалась непревзойденной свыше 20 веков. О самом Евклиде мало что известно. Жил он около 300 г. до н.э. в Александрии, входившей тогда, как и сейчас, в состав египетского государства, образовавшегося в результате распада империи Александра Македонского. Выгодное географичекое положение Александрии содействовало превращению ее в центр торговли и технической цивилизации, что побудило правителей Египта Птолемеев к созданию научно-учебного центра Музейнона (прибежище муз). Здесь была собрана гигантская библиотека — свыше 500 тыс. сочинений, в основном научных. На условиях государственного обеспечения в Музейноне побывали почти все крупнейшие ученые эллинистического периода, в том числе Евклид, Архимед, Апполоний, Эратосфен и многие другие. Благоприятное влияние на развитие науки длилось около 7 веков. Это влияние стало ослабевать в ходе разрушительных завоевательных войн римлян. Позднее распространение христианства привело к разрушению Музейнона и изгнанию или ликвидации “языческих” ученых. Когда Евклид готовил свои «Начала», по всей видимости, он не ставил перед собой цель составить энциклопедию математических знаний своего времени. Скорее всего, он стремился изложить только основы математики в виде единой логически совершенной математической теории. «Начала» состоят из 13 книг. Иногда к ним присоединяют и 14-ю и 15-ю, но считаетСостав ся установленным, что они написаны позднее «Начал» и другими авторами. Первые 6 книг «Начал» называют планиметрическими. С 1-й по 4-ю книги содержится материал, не требующий соображений из теории пропорций. Первая книга начинается с определений, аксиом и постулатов. Определения встречаются также в книгах 2–7,10,11. Аксиом и постулатов нигде, кроме первой книги, нет. В первой книге рассматривается действия 155

над отрезками и углами, изучаются свойства треугольников и параллелограммов, сравнение площадей этих фигур. Завершает эту книгу теорема Пифагора и ей обратная. Вторая книга посвящена “геометрической алгебре”. В третьей книге изучаются свойства хорд и касательных, центральных и вписанных углов в окружности. Четвертая книга посвящена правильным многоугольникам, вписанным и описанным, а также построением 3-,4-,5-,6- и 15угольников. В пятой книге развита общая теория отношений (Евдокс). В шестой основанная на предыдущем теория пропорций используется для установления вещей, развивающих геометрическую алгебру: отношение площадей простейших фигур, отношение отрезков, отсекаемых на сторонах угла парой параллельных прямых; обосновывается метод геометрического решения квадратных уравнений. Книги 7–9 называют арифметическими, несмотря на их геометрическую форму. ПерАрифметическое вая из них — седьмая — начинается с изложения алгоритма попеременного вычитания. содержание Применительно к числам его в школе называпри геометрической ют алгоритмом Евклида отыскания наибольшего общего делителя. После нескольких теоформе рем о делимости следуют факты из теории пропорций, используемые в дальнейших книгах. Следует отметить, что глубина этой теории гораздо меньше, а сама эта теория на несколько веков старше, чем изложенная в 5-й книге теория Евдокса. Эта теория в 8-й и 9-й книгах используется для анализа прогрессий, в том числе целочисленных, вводится среднепропорциональное, суммируется геометрическая прогрессия. Значительная часть 9-й книги посвящена учению о простых числах (в том числе свойствам четности и нечетности). 10-я книга содержит громоздкую и сложную классификацию всех 25 видов иррациональностей (т. е. выражеq биквадратичных √ √ ний вида a + b, где a и b — соизмеримые величины. Именно так выражаются отношения ребер правильных многогранников к радиусам описанных шаров, что делает этот материал подготовительным к 12-13 главам, где изучаются объемы тел вращения, в том числе шаров. На 12-13 главы адресована и излагаемая в гл. 10 основная лемма метода исчерпывания: если от заданной вели156

чины отнять часть, большую ее половины, с остатком повторить то же и т. д., то можно получить сколь угодно малую величину. Здесь же излагается метод отыскания общей наибольшей меры 2 и 3, соизмеримых величин и т. п. 11-я книга открывается большим числом определений стереометрических объектов и отношений. Затем изучаются взаимоотношения прямых и плоскостей, многогранные углы, отношения объемов параллелепипедов и призм. В 12-й книге метод исчерпывания (название это дано в XVII в.) используется для отыскания объемов пирамид, цилиндров и конусов (точнее — не самих объемов, а их отношений). Идея этого метода, являющаяся по существу ранней формой предельного перехода в интегральных суммах, на примере площадей кругов заключается в следующем: устанавливается, что площади подобных правильных многоугольников, вписанных в круги, относятся как квадраты диаметров; затем круги “исчерпываются” последовательностями правильными m-угольником при m = 2n (n = 2, 3, 4, . . .). Отношения площадей последних не зависят от n, что методом от противного (с помощью основной леммы метода исчерпывания) приводит к предельному заключению о том, что площади кругов относятся, как квадраты диаметров. При этом неявно как бы считаются, что пределы площадей многоугольников совпадают с площадями кругов. Последняя, 13-я книга, содержит построения 5 правильных огранников: тетраэдра (4-гранника), гексаэдра (6-гранника), октаэдра (8-гранника), додекаэдра (12-гранника), икосаэдра (20гранника). Здесь же находится отношение объемов шаров как кубов их радиусов. Показывается так же. что других (кроме отмеченных) правильных многогранников не существует. «Начала» — в основном не геометрия. ПриГеометрия — веденный обзор содержания «Начал» поможет наглядный язык раскрыть многое, что необходимо знать образованному математику. Ибо в наше время о «Началах» Евклида обычно вспоминают в связи с элементарной геометрией, что грубо не соответствует действительности. Язык «Начал» считается геометрическим (немудрено, что современная читатели — историки не всегда догадываются о возможной замене слова “отрезок” на “протяженность” или “величину”, не понимая, что величина — уже совсем не узкогеометрическое, но общематематическое и даже общенаучное понятие). Давайте еще раз бегло рассмотрим содержание «Начал». Легко увидеть, что 157

Из 13 книг «Начал» чисто геометрических только 3

а) из 13 книг «Начал» чисто геометрический материал находится всего лишь в трех книгах: 1-й, 3-й и 11-й. Причем все аксиомы посвящены только величинам. б) материал 4-х книг (2, 5, 6, 10) имеет алгебраическую и аналитическую природу: методы решения квадратных уравнений (в терминах отрезковвеличин) развиваются в книгах 2-й и (на базе общей теории отношений и пропорций) в кн. 5-й и 6-й. Анализ биквадратных иррациональностей 10-й книги дополняет алгебраический материал 2-й и 6-й книг. Остальные факты 10-й книги относятся к обоснованию “предельных переходов” в книгах 12-й и 13-й. в) Три чисто арифметические книги (7-9), основанные на общей теории пропорций. г) Геометрический материал 4-й, 12-й и 13-й книг (о правильных фигурах) имеет специальный характер и играет вспомогательную роль, образуя заготовку для применения метода исчерпывания. д) Всюду и везде коренным является понятие “величины” и нигде не ставится задача измерения — вместо нее идет речь о соизмерении, т. о. об отношениях величин. «Начала» Евклида не зря служили источником общематематических (в первую очеВ «Началах» редь, а не геометрических) знаний более 20 весовершенно отсутствуют ков. Это произведение удивительно по глубине и замечательно по многогранности. К сожалевычислительнию, слишком часто различные стороны этоные го многопланового произведения смешиваютметоды ся или нечетко выделяются. Это ведет к путанице, порождаемой незнанием истории и логики развития математики. § 6.3 Чем Евклид молодец? Эталон строгости. Евклид и геометрия. “Освобождение” арифметики от геометрии — утрата величин. Новая наука без величин, сотворенная в XVIII в. — основа нашей школьной математики. За кулисами античной математики оказалась астрономия.

Предыдущий материал достаточно наглядно показывает, что теория величин и отношений, геометрическая алгебра, теория пропорций, основы анализа фигур с нелинейными границами, т. е. основное содержание «Начал» Евклида подводит обстоятельную логическую базу под практическую математику того времени — ло158

гистику, где практические задачи решались вычислением на основе стандартных правил и алгоритмов (типа тройного, ложных положений, смешения, справедливого деления и пр.). Эти правила и алгоритмы дожили до эпохи Возрождения. Известны они были и за 30 веков до Евклида. Сам Ньютон, конечно, не подозревал, что Удар Ньютона лет эдак через полтораста так будут расценипо Евклиду вать два следующих приписываемых ему определения: Def. 1. Числом называется отношение одной величины к другой того же рода, когда та принята за единицу. Def. 2. Произведение получается из множиУниверсальные мого так же, как множитель из единицы. арифметики В 1673 — 1683 гг. Ньютон читал в КемXVII в. бриджском университете лекции по алгебре. Его преемник по кафедре издал эти лекции в 1707 г. под названием «Универсальная арифметика». Но сам Ньютон был преемником Барроу, слушал его лекции и знал его взгляды (кстати, изданные еще в 1669 г.), основанные на «Началах» Евклида. Первое из приведенных выше определений следует теории общих отношений Евдокса. Такой подход был общепринятым у математиков предыдущих времен — от Архимеда и Апполония до Виета (XVI в.), Галилея, Паскаля, Ферма. Декарта (начало XVII в.) и Валлиса — прямого учителя Барроу. Пронзительность и глубина теории Евдокса была подтверждена двумя веками позже в виде общей теории вещественных чисел, развитой Дедекиндом (автор ее и сам не отрицал прямой ее аналогии с теорией Евдокса). Второе “определение Ньютона” — чистой воды методический прием, следующий из теории пропорций: c·1 = a·b, если c : a = b : 1 (опять Евклид). Введение множителем единичной величины почти за век до Ньютона использовал Виет, чтобы в алгебраическом уравнении, где слагаемым были произведения не только чисел, но и величин, можно было бы уравнять размерность разных слагаемых. Но и в этом приеме “уравнивания размерностей” Виет был не первым как отмечалось выше. Центральным объектом геометрической алгебры было уравнение (по нашему) вида ax + bx2 /c = s, где a, b, c, x — отрезки, s — площадь, а присутствие c в уравнении позволяет уравнять размерности. Таким образом, “определения Ньютона” — всего лишь применение изложенных Евклидом взглядов древних. Но кто когда про159

тивопоставил Ньютона Евклиду? Ответ очевиден — тот (или те), кто не знал работ предшественников Ньютона, математиков XVII в. и кто вдобавок если и знал «Начала» Евклида, то весьма поверхностно, оказавшись неспособным вникнуть в существо 5 книги. Это значит, что даже мягкая форма — “Ньютон поправил (уточнил) Евклида” отмеченного суждения не может принадлежать настоящему ученому, чья профессиональная проницательность в сочетании с достаточным образованием и научной добросовестностью не может допустить подобных высказываний. А вот откуда бралась(?) форма — “удар по Евклиду”? Здесь нам проще отвечать цитатой: «В XVIII в. арифметика дробных чисел освободилась от устаревших способов ее обра«Начала» зования, восходящих к «Началам» Евклида и устарели «Всеобщей математике» Декарта. . . Положительным результатом явилась разработка чисто арифметических приемов обоснования арифметики дробных чисел. . . Однако с методологической точки зрения здесь важно другое. В связи с признанием Ньютонова определения понятия числа. . . в учении о дробных числах был нанесен удар по абсолютизации евклидова определения понятия числа» (Молодший [22], с. 71–72). Категоричность этой псевдонаучной оценки говорит о том, что подобные суждения определяют мнения достаточно широких кругов, связанных с математикой. Мысль о переходе математики от геометрических оснований к арифметическим можно обнаружить у самых серьезных авторов. Чем это объясняется? Слог XVIII в.: «. . . Геометры безопасными В плену у своими рассуждениями и началами одалживагеометрии ются не бесполезному употреблению аксиом, но тому что твердо употребляют смысл терминов и не употребляют их на зло, что искусно разделяют свой предмет и умеют связывать истины между собой». Эти слова принадлежат Даламберу — крупнейшему ученому XVIII в., одному из первых энциклопедистов Европы. Из них ясно, что речь идет не об эллинах времен Евклида, а о современных математиках. Еще и в XIX в. хорошим геометром мог считаться математик, известный исчерпывающей строгостью доказательства своих результатов вне связи с предметом анализа: то ли теория интеграла, то ли теории рядов, то ли комплексного анализа, то ли алгебры, то ли дифференциальных уравнений или теории чисел. А вот другой взгляд на геометрию. Говоря об авторах XVII в. 160

теоретических курсов по арифметике (Валлис, Эригон, Таке, Дешаль, Оутред. Престе), Молодший пишет ([22], c.36) что для обоснования они «. . . чаще всего следовали Евклиду, т. е. обосновывали арифметику на базе геометрии». Но по Евклиду число — это совокупность единиц. Где здесь геометрия? А в обобщенном смысле у Евклида число — отношение двух величин. Прям как у Ньютона. Но Ньютона — не замай! Его законы все знаНьютон — из ют. А от Евклида одно лишь имя в памяти и наших сидит, да молва всякая, да постулат с Лобачевским. А что у него в самом деле есть — почти все и думать забыли. Можно врать что угодно, никто не обидится, потому как не поймет и поверит. А теперь откроем ужасную тайну: в XVIII в. было сформировано на все будущие времена мнение о том, что величина есть понятие геометрическое, плотно внедренное в подкорку всех профессиональных мавеличина = длине?! тематиков. Оно вынуждает самых грамотных специалистов, признающих в Виета выдающегося создателя символьной алгебры, оценивать использование им величин (для коэффициентов уравнений) с учетом размерностей как неизжитое геометрическое влияние. Однако, какую геометрию можно усмотреть, например, в 8 кГм (восемь килограммометрах)? И весь XVIII в. шла активная борьба за освобождение от влияния геометрии в смысле от “величин”. Прежде чем обсуждать этот вопрос, зададим более простой: а кого освобождать? И как этот пленник в плен попал? Освобождать «Начала» Евклида от величин (то бишь геометрии)? Даже звучит неприлично. “А кто еще оказался в плену?” “А никто!” К XVII веку «Начала» Евклида как были, так и остались источником не просто математических знаний, но и математической культуры. Изучались «Начала» в университетах. Вне связи с греками никогда не затухала практическая математика — логистика. Носителями (и преподавателями) ее до XVI в. были рехенмейстеры — мастера счета. Общественные экономические потребности всех сильных государств в квалифицированных кадрах и создание государственных систем образования обратили к практической математике интерес университетской мысли. В течение XVI в. из алгоритмических начал логистики вышла и оформилась алгебра, как наука о решении уравнений. Попутно с разработкой ее аппарата шло активное создание символьной системы. К концу XVII в. на161

чалось преподавание алгебры в университетах вместе с началами методов и приемов вычислений, т. е. фактически логистики. Нарождающееся народное образование предполагало массовое преподавание практически значимых знаний, т. е. логистики. Но известные к этому времени руководства рехенмейстеров имели, как и во времена фараонов, рецептурный характер: после действий над числами и дробями в них приводились и пояснялись примерами рецепты решения конкретных практических задач. Количество правилрецептов иногда превышало тысячи. Доказательства отсутствовали. Возникла задача создания учебников нового типа, сочетающих практическую направленность наставлений Борьба с рехенмейстеров с разъяснительным мотививеличинами рованным изложением. Для университетских ученых создание таких лекционных курсов для студентов особой проблемы не создавало: надо всего лишь отсепарировать практическую часть из пособий рехенмейстеров и добавить теоретическую часть, в качестве которой уже была готова общая теория величин и пропорций из Евклида. Начиная с Валлиса, подобный курс был темой серии трактатов по “универсальной арифметике”, которую тогда стали именовать алгеброй, поскольку в теории речь шла об арифметике не только чисел, но и величин произвольной природы, в качестве которых Валлис, например, рассматривал и бесконечно малые величины (будущие дифференциалы). Однако, подобные теоретические обоснования оказывались по зубам даже не всем студентам, явно не годясь для преподавания в общеобразовательных школах. Заметим, что одним из лучших пособий того поколения была отмечавшаяся выше книга Ньютона. Точно также, как среди учебников практической математики одной из лучших для того времени была арифметика Магницкого. Учебники?

Математики (уровня Валлиса или Ньютона) выполнили свою миссию, объединив (и достаточно удачно) “рехенмейстеров с Евклидом”, и успокоились. Оставшаяся проблема доступности для неподготовленных учеников была подхвачена людьми, в высокой науке (т. е. чистой математике) никаких слеАрифметике — дов не оставивших. Но зато оставивших неизсвободу гладимый отпечаток на школьной математике. Сейчас трудно выяснить авторов найденного решения. Да и вряд ли это имеет смысл. Гораздо важнее понять, что это за решение. 162

Что составляло главную трудность в мотивациях по Евклиду? Первичные понятия, т. е. число и дробь, ну и действия с ними. Число по Евклиду — это совокупность единиц, как бы символов считаемых предметов: пальцев, камешков и проч. Здесь все интуитивно ясно, а без числа все равно не обойтись. А дробь по Евклиду — отношение величин. Вот она, главная проблема. Тут просто величина — и то туман, да еще отношение. И самому не очень ясно, а уж объяснять, разжевывать кому-то — лучше не надо. Итак, обойдемся без величин, а дробь напишем, как результат деления. Ничего, обойдутся. Вон народ уже сотни лет так делает, и все — ничего, все правильно получается! Итак — вперед! Даешь арифметику без величин, то бишь без геометрии! Ясно, что новым учебникам должна предшествовать новая теория, где единственное исходное понятие — число (по Евклиду), а остальное построено по логическим канонам греческой науки. Сначала все шло хорошо. Для целых (натуральных ) чисел все продвигалось без особых задержек: ввели все основные действия и обнаучили их, т. е. строго доказали все законы счета (сочетательный, переместительный, распределительный и проч.); нашли даже строгие доказательства действий в столбик. Но когда добрались до дробей, вот тут и поняли, что значит “in die Grube geraten!” Свободная арифметика

Кое-как разобрались с дефиницией за счет бытового озвучивания — число долей. Но почему это то же, что результат деления — без комментариев. Просто — указание, что это так и есть. Если дробь — это число, то что означает ее странное озвучивание с приговоркой “части”? Осталось это незыблемое правило от рехенмейстеров. Но если это части, то части чего? Основное свойство дроби можно объяснять на картинках, секторах круга, прямоугольниках и проч. Но это хорошо для комментариев, или, более точно, для обдуривания учеников. Но в рамках теории — а ведь и надо было создать теорию — это свойство надо доказать!!! Договорились (молча, без деклараций) считать, что n( n1 ) ≡ 1, т. e. единица, которая наименьшее число из обычных (натуральных) чисел состоит из маленьких частиц, образующих маленькое число. Но ведь это — грубый суррогат идеи теории отношений из 163

Опять доли сдвинуты

Евклида. Если нужно делить единичную величину E, принятую за единицу измерения, то n( E n ) = E — тривиальное свойство из Евклида. Если же E = 1, то что такое часть первого числа — нельзя понять ни умом, ни сердцем. Как объяснять? А никак не надо объяснять! Это — абстракция! Кто не понял — сам. . . (виноват)! Ну, ладно! Привыкнуть к тому, что 2 : 3 = 2/3 нечто вроде числа, приноровиться к сложению и вычитанию, как для именованных чисел, еще можно. А вот что делать с умножением и делением? Которые и названием не соответствуют. А ведь их нужно ввести в полном согласии с аналогичными операциями обычных чисел и с участием “обычного” умножения и “обычного” деления! Но что значит “разделить a на 2/3 части”? Или “умножить на половину”, т. е. взять нечто половину раза? Вот тут и начались игрушки, продолжавшиеся весь XVIII в. В эти игрушки оказались втянутыми и крупные математики, для которых это было, повидимому, формально-логическое развлечение. То, как должно быть, им было ясно из Евклида. А можно ли это же объяснить попроще, т. е. без величин? Вот как, например, объясняли умножение Выпутывались на дробь Вайдлер. Кестнер, Оэанам, Эйлер — кто как мог и др. Если обозначить a/b · c/d? через z, то z будет больше a/b · c = ac/b, в d раз, т. к. c/d больше c в d раз. Поэтому z должно быть в d раз меньше cd/b, т. е. z = ac/bd. Ранее Эйлер пользовался рассуждениями типа: ac a · dc a · dc d a c ac · = = · = b = . b d b b d d bd

И там и там совершается грубая методологическая ошибка: если бы a/b можно было считать величиной (а в подкорке грамотных математиков, воспитанных на Евклиде, тревоги и сомнений не возникало), то использование здесь дроби, как суперпозиции двух операций (умножения и деления) было бы вполне допустимым. Но если понятие величины запретно, то что значит “разделить на b” — пока непонятное по сути Нечто (a · c/d) или ac/b. Так что ничем, кроме выкрутас, подобные аргументы назвать нельзя. Нелегче приходилось и авторам, пытающимся опереться на теорию пропорций, излагавшейся, естественно, без величин, т.е. в числовой версии. Вопрос у них звучал об отыскании z из пропорции 1 : a/b = c/d : z. Из теории пропорций напрямую следует, что 164

z = ac/bd. Но это — из общей теории пропорций, которую читатель знать не мог, о которой он и не слышал, т. к. ему говорилось только о числовых отношениях (отношение — частное от деления), а свойства пропорций, где речь шла об отношениях дробей (а деление дробей еще и не вводилось) считались “интуитивно ясными”, поскольку многократное произношение звучного слова “пропорция” вполне могло создать иллюзию ясности, хотя и зыбкой. К концу XVIII в. все вспомнили, наконец, об указании Ньютона, что только на базе арифметических операций с натуральными числами внести процедуру умножения дробей невозможно. А ПОТОМУ необходимо к понятию умножения подойти более широко, например, по Ньютону: «Произведение получается (происходит) из множимого так же, как множитель из единицы». Так и стали писать во всех учебниках. Но как половина происходит из единицы? Это называется — приехали!! Единица начала возникать в двух ипостасях. В одной — как наименьшее число среди натуральных. И получить из нее половину — ну никак нельзя! Потому как она неделима (святая традиция от Евклида). В другой речь идет о мерной, т. е. масштабной единице, т. е. о величине. Но об этом ясно не говорилось, это сидело (как и сейчас) в подтексте, до этого нужно догадываться. Что же получается? Возврат к определеВеличины нию Ньютона означает обращение к понятию затоптаны величины. Но от нее отказались. Что все пять аксиом Евклида посвящены только лишь величине, постарались вымарать из памяти. Величину перевели в разряд обыденных слов, отдаленный символ количества. Память о ней осталась лишь в языке. А называть величиной уже начали что угодно. В математической речи о величине можно услышать даже применительно к элементам абстрактного пространства произвольной природы. Описанная борьба с величиной продолжалась все XVIII столетие и увенчалась полной Конфуз с победой. С логическим обоснованием теории дробями не дробей образовался полный конфуз. До сих замечен пор его стараются спрятать как можно сильнее. Но почему этот конфуз серьезные математики не заметили сразу? Тогда же, в XVIII в.? Заметили, но не сразу. Сначала к этому делу относились спокой165

но. Серьезной математики это не касалось вроде бы. Там все было ясно по Евклиду. Так что все это — всего лишь попытки упрощения для детей — для школьников. Однако столетие — слишком большой срок. Это несколько поколений студентов и ученых. И в конце XVIII в. многие крупные ученые (Даламбер, Лагранж и пр.) вдруг забили тревогу: «преподавание математики Преподавание отрывает ее от интуиции!» Но было уже математики поздно! Традиции сложились накрепко. Траоторвало ее от диции чураться в арифметике величин и всего интуиции прочего от Евклида. Арифметика “вышла изпод опеки геометрии”, стала базовой наукой. А о роли Евклида можно и сейчас прочитать ([22, с. 64]): «Учение об отношениях и пропорциях не может быть фундаментом арифметики дробных чисел, т. к. само нуждается в дробных числах». Наставление (со ссылкой якобы на Лапласа) учителям середины XX в. Как будто не то, что Евклида с Евдоксом, но и почти современного Дедекинда не было, о котором математики-первокурсники узнавали на первых лекциях по анализу (вместе с его сечениями). Освобождение от величин обернулось для арифметики полной утратой основ. Если не считать найденного в конце XIX в. аксиоматическою обоснования, где величины присутствуют хоть и неявно, но в полном объеме, не меньшем, чем у Евклида. Из XVIII в. звучат слова Эйлера: «Арифметика есть такая наука, которая показывает свойства чисел, и притом подает некоторые правила, способные к исчислению или решению наиболее в общем житии встречающихся задач». Арифметика как наука для преподавания в школе возникла на базе практической математики рехенмейстеров. Но творцы ее чисто методические задачи заменили — надо же чего-то творить — задачей создания новой науки: на числовой базе, но без величин и пропорций. Но — на греческий манер. Что означало последнее? Новая наука

Уже в XVI-XVII вв. классическое математическое образование по Евклиду стало достаточно широким, а греческая манера убеждения — с аксиомами, определениями, теоремами и доказательствами — достаточно даже модной. Скажем, Спиноза многие свои чисто философские работы писал именно в такой форме. Напомним о приводившихся ранее текстах по архитектуре фортификации из Х.Вольфа. Таким вот образом, под предлогом создания доступных и по166

нятных учебников для школ, была создана силлогическая наука о числах и действиях с ними. Ясность должна была обеспечиваться логической стройностью и основательностью Силлогическая базы. В качестве базы «Начала» Евклида отнаука брасывались из-за трудной доступности и отсутствием у Евклида указаний о свойствах чисел и действий с ними, необходимых в практике. Из «Начал» взяли лишь понятие числа, как собрания единиц. Понятие величины было выброшено в фольклер (и в алгебру). Было ли приемлемо для математиков XVIII в. обоснование практической математики (рехенмейстеров)? Ведь греки, решая эту задачу, построили основополагающую теорию пропорций — логическую базу логистики, т.е. всех методов и приемов рехенмейстеров. А для обоснования теории пропорций была развита теория величин и их отношений - аналогов вещественных чисел. И геометрическую алгебру греки создали для объяснения уравнений, что потом послужило плацдармом для Виета и настоящей алгебры нового времени. А что сделали вольфоподобные творцы новой науки? Вся заимствованная от рехенмейстеров рецептура решений конкретных задач, переведенная в своего рода прикладную часть, осталась без всяких попыток объяснить. Да и как объяснять, если рехенмейстеры, не зная греческой науки, и не подозревали даже, что то же знаменитое тройное правило — совершенно тривиальное следствие пропорции a : x = b : c. Да и сам термин “пропорции” у рехемейстеров присутствовал, как “преданье старины глубокой”. А в “обновленных” арифметиках столь необходимые для практики пропорции давались в чисто числовой, по существу — карикатурной форме. В центре внимания были лишь действия с дробями и числами. И жесткая дедукция! Дедукция и дедукция! На числовом полигоне! Как главный смысл математики! Стоит ли удивляться, что после столетия Дедукции — подобных упражнений мы получили науку, хуже нотаций для школ абсолютно непригодную. Какие дедукции годны для подростков? Когда и обычные нотации по простейшим вещам уже не воспринимаются. И остается для определения сущностей лишь куча понятий, якобы выстроенных в логические цепочки. Но почему в этих понятиях полностью утрачен первозданный смысл? Почему говорится о том, как сложить, умножить и прочее, 167

но при этом нам неизвестно, что такое сумма, произведение и проч.? Почему так перепутана формально-символическая часть: если 2 + 3 = 5, то 5 — вначале сумма, потом — значение суммы, а сама сумма — это 2 + 3? Ах, это скорее алгебра? Но тогда и не заимствуйте из алгебры то, что сами не в состоянии понять. — Есть ли разница между отношением и частным? — Нет! — А между отношением и дробью? — Нет! — А между дробью и числом? — Можно сказать, нет! — Что является частным случаем чего: дробь есть число, или число есть дробь? Взявшись за переработку практической математики того времени в интересах школьПодвиг греков педматемати- ного преподавания, вольфоподобные ученые, а было их, создателей теоретической, доказакам не повторить тельной арифметики, много десятков, да и наставлений они напекли достаточно (до сих пор пекут), и не подозревали, повидимому, что берутся за подвиг, уже совершенный античными учеными. Трудно сказать, то ли они и не собирались вникать во всю глубину тогдашней логистики (что для несколько более простого варианта блестяще сделали греки), то ли не смогли. А по сравнению с античными временами материал сильно усложнился: из алгоритмической части вылупилась и обрела уже самостоятельность алгебра, оформилась тригонометрия, колоссально выросли объемы вычислений, на всю математику начало ложиться одеяло символов. Судя по тому, что они проигнорировали Евклида, взяв от него всего лишь первый маленький шажок — понятие числа, они и в «Начала» толком въехать не могли. Не то что в крутозамешанную кучу дошедшей до них логистики. Они надергали из этой кучи то, что в ней уже обнаружили их предшественники (Валлис, Ньютон и проч.), все то, что связано со сложением, вычитанием и др. действиями с числами и только с числами, привели все это в простую систему (сначала — что есть число, потом — как складывать, умножать и пр., затем — всякие там законы счета, позже — то же о дробях) и плотно запеленали все это в дедуктивно-аксиоматический подход, описанный выше. Если кто не понял, как все это применяется в задачах — значит не постиг высокой науки. А если в ней самой чего-то не понял — 168

значит не дано! Нету у тебя способностей, дорогой, займись чемнибудь другим! И в то время, когда вновь созданное исчисление бесконечно малых привело к лавинообразному вторжению Человеческого Гения в проблемы натурфилософии, а оценить это могли лишь образованные люди, в это самое время у гораздо более широкой аудитории — учителей и выпускников самых разных учебных заведений — получала признание самой абстрактной (и мучительной) науки самая обычная арифметика дробей. § 6.4 За кулисами античной математики Широкой математической общественности почти не известно, что коренная математическая проблематика вышла из астрономии. Все античные математики были астрономами. Общая теория отношений сыграла решающую роль для последующего развития тригонометрии — важнейшего детища греков и эффективнейшего средства практической математики. Евклид — геометр не из-за «Начал» — он создал сферическую тригонометрию.

Нижеследующий текст посвящен весьма загадочному обстоятельству: от широкой публики, от студентов и учителей всячески скрывается важнейшая роль для развития математики самой древней науки-астрономии. То, что до конца XIX века самыми глубокими своими достижениями математика обязана задачам, пришедшим из астрономии, вроде как бы известно. Но как то глухо. В форме фольклора. Когда-то, очень давно, астрономия была даже школьной дисциплиной. Короткой, но явАстрономию педматемати- но выделенной. Хоть и безо всякой математики, а только с наглядной информацией о том, ки не что вокруг чего вертится. Потом убрали этот любят наглядный материал в физику. Был когда-то, еще раньше, и отдельный курс для студентов-математиков в университетах. Убрали навовсе. Остались весьма слабые отголоски в курсах механики и дифференциальных уравнений (типа проблемы устойчивости со ссылками на некоторых классиков конца XIX в.). А вот как связана с астрономией эволюция математики, об этом и история математики забывает интересоваться, выбивая из исторических корней математики наиболее плодотворные. Ведь что получается по официальной версии? Практическую математику античные ученые считали делом презренным, уделом купцов, менял, ремесленников и прочего люда наемного и рабского труда. Откуда же они свои задачи черпали? 169

“А из умозрений”, — говорят нам хором заботливые исторические комментаторы. “Из наблюдений, созерцаний, из диалогов умных и проч.”. Это-же надо же! Качественно-новый обраНаука с зец мышления, глубочайшие прозрения, мощпотолка? нейшие теории, — и все от взгляда на потолок? Неужели так может быть серьезно? Очень даже может быть! И, более того, смогло так быть! Но только от смотрения не на потолок, а на небо. Вся античная математика плотно связана с астрономией. Точнее, среди древнегреческих философов нет ни одного, который так или иначе не прикоснулся к небесной проблематике. А иначе и быть не могло. Ведь вся древнегреческая философия начиналась с вопроса: «Что есть Все?» Остановимся на нескольких зарисовках сопереживания ученыхматематиков проблемами Земли в мире звезд и светил (например, английский математик и астроном Э. Уиттекер (1873–1956) отметил (см. [33]), что и в 1500 г. Европа знала меньше, чем Архимед, который умер в 212 г. до н.э.) Считается, что в Древней Греции существовало пособие по навигационной астрономии, составленное в начале VI в. до н.э., вероятно, Фалесом Милетским. Пифагор утверждал, что Земля наравне с Греки о Земле в другими небесными телами имеет форму шаморе звезд и ра и что она висит безо всякой поддержки срепланет ди вселенной. Демокрит утверждал, что Вселенная состоит из бесконечного числа миров. Им высказан ряд гениальных догадок, подтвержденных лишь через много столетий. Он, в частности, утверждал, что Солнце во много раз превосходит Землю, что Луна светит отраженным солнечным светом, что Млечный Путь является скоплением огромного количества звезд [33]. Платон оценивает небесные тела по степени удаленности от Земли. По его мнению, порядок следующий: Луна, Солнце, Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн, звезды. Ученик Платона, Евдокс, составил достаточно полный каталог звездного неба. Он предположил, что движение каждой планеты регулируется несколькими сферами, вложенными друг в друга, и построил разветвленную теорию этих сфер. В частности, Евдокс объяснял отклонение планет от эклиптики и их понятное движе170

ние. С помощью вращения 27 сфер Евдокс объяснял все видимые движения планет. Аристотель «самым серьезным образом и всесторонне рассмотрел вопрос о форме Земли и Луны. На основе известных фактов (фазы Луны, форма тени Земли и проч.) он доказал, что как Земля, так и Луна имеют форму шара» [33]. В античности был “свой Коперник” – Аристарх Самосский (ок. 310–250 гг. до н.э.) Он показал, что после некоторых измерений и вычислений можно установить расстояние в системе Солнце-ЗемляЛуна. Что он и сделал в своем труде «О величинах и расстояниях Солнца и Луны». «Это был первый в истории труд, где астрономические расстояния были определены на основании наблюдений» [33]. Результат был по нашим временам неточный. Но это был впервые полученный результат конкретного вычисления для расстояний, несопоставленных с земными, а потому в принципе недосягаемых для измерений привычных. Измерением Земли, как шара, занимался Аристотель. Уточнить его результат удалось Эратосфену. Считается, что его погрешность лишь 1,3%. Архимедом была создана модель мира, позволяющая совершать конкретные расчеты. Процитируем [23]: «взору читателя предстает стройная гео-гелиоцентрическая модель мира, в которой Меркурий, Венера и Марс обращаются вокруг Солнца, которое вместе с ними, а также Юпитер и Сатурн, движется вокруг Земли. При этом относительные радиусы орбит Меркурия, Венеры и Марса довольно хорошо совпадают с их истинными значениями». Архимед создал самодвижущийся прибор — механический “небесный глобус”, при помощи которого демонстрировались условия видимости светил, затмения Солнца и Луны. Цицерон отмечал, “что сплошная сфера без пустот была изобретена давно”. И такую сферу впервые выточил Фалес Милетский, а затем Евдокс Книдский, по словам, ученик Платона, начертал на ней положения созвездий и звезд, расположенных на небе. Спустя много лет, Арат воспел в стихах все устройство сферы и положение светил на нем, взятое им у Евдокса. Изобретение Архимеда изумительно именно тем, что он придумал, каким образом, при несходных движениях, во время одного оборота сохранить неодинаковые и различные пути. Когда Галл приводил эту сферу в движение, происходило так, что на этом шаре из бронзы Луна сменяла Солнце в течение стольких же оборотов, во сколько дней она сменяла его на самом небе, 171

вследствие чего и на небе сферы происходило такое же затмение Солнца, и Луна вступала в ту же межу, где была тень Земли [60]. «Сегодня считается, что одной из важнейших заслуг греческой астрономии является разработка математической точки зрения на небесные явления: были введены сферы вращения, связанные с ними элементы сферической геометрии и тригонометри и т. д.» [Фом.]. Эта отрасль науки под названием “сферика” представлена, например, прекрасным трактатом Евклида «Phænomena». Астрономия античности в точную науку начала превращаться трудами Гиппарха (ок. 185 — 125 гг. до н.э.). Он «первым начал систематические астрономические наблюдения и их всесторонний математический анализ. Он разработал теорию движения Солнца и Луны, метод предсказания (с точностью до одного — двух часов) затмений, заложил основы сферической астрономии и тригонометрии». [23] Он составил каталог звезд, содержащий 850 объектов. Созвездия, о которых он упоминает, почти тождественны с созвездиями Евдокса (их список почти не изменился до нашего времени — за исключением южного полушария, недоступного для наблюдения греков). Закулисный вывод. Крупнейшие математики Древней Греции — Фалес, Пифагор, Платон, Евдокс, Евклид, Архимед — оказались напрямую втянуты в проблемы наОтношения – рождавшейся астрономии. И в этой науке главный главные трудности: невозможно напрямую изаргумент мерять расстояние, можно говорить о размерах углов и нужно научиться связывать все это в единую науку, все соизмеряющую. Естественно, что главным инструментом стали отношения, поскольку только отношениями можно соизмерять углы и длины. И так же естественно, что несовершенство теории арифметических пропорций именно здесь потребовало твердой почвы под ногами. Именно поэтому Евдокс, крупнейший астроном Древней Греции, вынужден был создать общую теорию отношений (и пропорций), настолько глубокую, что европейские ученые осознали всю ее мощь к концу XIX века. Эта теория служила базой и арабской астрономии средних веков. Забавно отметить, что Евклида следует считать геометром не потому, что он написал «Начала», где он выступил в основном компилятором, а потому, как он является создателем сферики. На фоне сказанного о роли античных математиков в создании астрономии, о прямой и очевидной направленности их исследова172

ний, интересно процитировать официальную оценку математической историографии [Юшк, с. 12]: «Древнегреческая математика. . . в классическую эпоху V — III вв. до н.э. приобретает принципиально иные (по сравнению с восточной — прим. авт.) черты. В математические исследования широко проникают (?! — П. Ю.) доказательства; в качестве ведущего средства открытия новых истин на первое место выдвигается логическое рассуждение. . . Большие области математики формируются в дедуктивные системы, строится теория математического доказательства. Непосредственно вычислительные вопросы, породившие ряд важных больших теорий, отступают на задний план. . . , открытие иррациональностей приводит к общей теории отношений, развитой только частично и потому непригодной в широком плане заменить учение о действительном числе (выделено мной — П. Ю.)». Удивительный пример ловкости запутывания сути дела, постановки совершенно очевидных — при объективном взгляде — обстоятельств с ног на голову. Получается как бы: дедуктивные методы сами проникают (и широко проникают) в маЛапша про тематические исследования — становятся ведущим средством открытия новых истин. А Евдокса откуда они, прежде чем проникнуть, возникли (взялись)? Именно открытия, а не мотивации корректности формального описания. Согласно пропагандируемой в широких массах точке зрения вычислительными вопросами у античных математиков и не пахло. Это уже так сказано, для мебели. Равно как и об общей теории отношений, созданной Евдоксом якобы в ответ на открытие иррациональности, а она-то открыта было во времена его прабабушек. И нужны ему были общие отношения позарез совсем не для будущей науки-математики, а для обоснования жгучей проблемы соизмерения космических расстояний. И куда это не пригодна общая теория отношений? И где это она непригодна заменить учение о действительном числе? А и какое-такое учение о действительном числе имеет в виду автор цитируемой цитаты? Если то, которое придумали Дедекинд, Вейершрасс и упер в небо Гильберт, так это будет через две с лишним тысячи лет. Как можно вообще в этом случае так выражаться: нечто наличное не может заменить того, что появится через вечность лет? Если же забегать вперед не так далеко, то ведь даже и Коши понимал под числом, как и все его самые гра173

мотные предшественники, длину, измеренную некоей масштабной единицей, т. е. отношение двух величин одного рода, но это и есть Евдоксово понимание. Диву даешься полету фантазии подобных историков. И ведь сами себе верят. Блажен, кто верует!

174

Φ–7. Гримасы истории § 7.1 От Евклида до Пачолли все дедукции пропали Формально-дедуктивные схемы традиционно считаются главным внешним признаком математики. Дедуктивная догматика в преподавании. Но куда они подевались из математики от греков до Возрождения? Как развивали греков на Среднем Востоке — О. Хайам и др. К XV в. в Европе что-то ожило.

Уже не одно поколение математиков убеждено в том, что математика, как наука, возникла в Древней Греции. До того времени было не поймешь чего — какие-то разрозненные факты, эмпирические выводы и всякая вычислительная рецептура в догматической форме: “делать надо так, а потом вот эдак и т. д.”. Никаких объяснений, тем более никаких дедуктивных систем . А вот от Греков мы унаследовали доказательные традиции, логику, силлогизмы всякие. Ну и форму математическую — аксиомы, леммы, теоремы, доказательства и проч. Дедуктивные системы и формально-логический орнамент в виде понятий, теорем, доказательств и проч. считаются главными атрибутами той математики, которая изучается в школе. Как если бы весь смысл математики в этом и заключается. Ведь изучать нужно именно чистую математику с ее абстракциями. А вся остальная математика — это прикладная вещь, она на то и прикладная, что получается приложением чистой к конкретным задачам. Последняя мысль — достаточно дремучее Что есть заблуждение, бытующее даже среди ученых. математика? А уж про учителей и методистов и говорить нечего. Математика — та и только та, которая греками сделана и потом всемерно развитая. А всякие прикладные задачи — они и до греков делались, и после них. Не зря же греки к ним с презрением относились. О том, что чистая математика — не вся математика, что не с нее начинаются приложения, а что наоборот, она вырастает из конкретных задач, говорит и классификация Колмогорова. Об этом знает и большинство конкретных исследователей в достаточно абстрактных теориях типа общей теории меры и интеграла, дифференциальных операторов, теории обобщенных функций, полуупорядоченных пространств, не говоря уже о широчайшей проблематике математического моделирования. Ниже мы покажем, что история почти двух тысячелетий — от Евклида до эпохи Возрождения — была мертвым сезоном для этой 175

якобы важнейшей чистой математики. Деятельность математического характера была достаточно активной. Но проводилась она в области вычислительно-алгоритмической. А чисто внешний формальный антураж а la Евклид как бы и не нужен был. Отличительной чертой математики являДедуктивные ется формалисткая методология, (см. цитату догматы?? из Х. Вольфа, с. 21). За два с лишним столетия описанный взгляд на математическое мышление, на математическое преподавание вошел в плоть и кровь большинства педагогов-математиков. Этому взгляду содействует и позиция ведущих отечественных историков и философов от математики. [Юшкевич], [54, с. 12]. «Древнегреческая математика, в ранней Почти Вольф стадии обязанная восточной большим фактическим материалом, в классическую эпоху VIII вв. до нашей эры приобретает принципиально иные черты. В математические исследования широко проникают доказательства; в качестве ведущего средства открытий новых истин на первое место выдвигается логическое рассуждение, конечно, в сочетании с наблюдением и интуицией. Большие области математики, формируются в дедуктивные системы, строится теория математического доказательства, и все это находит выражение в стиле изложения учебных руководств и научных трудов». Автор последней цитаты, почти буквально раскрывающий мысль Х. Вольфа, один из наиболее известных отечественных апологетов диалектического материализма в математике, борцов с чуждыми влияниями буржуазных ученых, мракобесия, поповщины и лузинщины (последний термин веден был в тридцатые годы XX столетия “пролетарскими математиками” в борьбе с академиком Лузиным). Что роднит авторов этих цитат — помимо их содержания? Ни тот, ни другой сами не сотворили ни одного научноматематического факта, не сделали никакого малюсенького вклада в математику-науку. А потому, мягко говоря, имеют представление о ней только понаслышке, на манер спортсмена-заочника. Кроме того, они оба, и это пожалуй — главное, находятся в плену у истины всех времен и народов: «Математика-наука возникла в Древней Греции». Парадигма, все еще распространенная в обучении математике и подвергнутая критике Лакатосом (1961), Даусоном (1969) и дру176

гими, исходит из формалистской методологии, согласно которой обучение начинается с предъявляемого без особых оснований или объяснений списка определений и аксиом, образующих сложно организованную искусственную систему; за ними следуют тщательно излагаемые леммы и теоремы, и для каждой теоремы приводится доказательство. Студентам предъявляется требование следовать по этому пути, и хотя официально их поощряют задавать вопросы, вскоре эти вопросы теряются в переплетениях и технических деталях изложения, и зачастую они оказываются отставленными в сторону как недостаточно “математичеcки зрелые”. Эта картина может быть расценена как карикатура на математическое образование, однако стандартный способ изложения зачастую производит на студентов впечатление полной бессмыслицы, поскольку они ничего не знают ни о причинах, по которым преподаватель выбрал такой подход, ни о том, чем руководствовались математики, когда ставили эти задачи. Значительная часть математики предстает перед ними как набор итоговых результатов и инструментальных техник. Этот дедуктивный стиль объявляется сущностью математики, и хотя считается допустимым упоминать об открытии и создании новых идей по ходу дела, эти идеи редко рассматриваются в историческом контексте, поскольку считается, что любые новые идеи должны быть представлены студентам сразу же в “строгой манере”. Похоже, формалистский подход к обучению зародился в XVIII столетии у Христиана Вольфа: «В моих лекциях я уделил основное внимание трем аспектам: (1) я не употребил ни одного слова, которого я не объяснил бы прежде, с целью избежать двусмысленности или логических пробелов; (2) я не использовал ни одной теоремы, которую я не доказал бы прежде; (3) я постоянно связывал теоремы и определения друг с другом в непрерывную логическую цепь. Общеизвестно, что этих правил придерживаются в математике. Если сравнивать математический способ обучения с логическим подходом, обсуждаемым в моей книге об умозаключениях, то можно будет увидеть, что математический способ обучения является ничем иным, как точным приложением правил умозаключения. Поэтому не имеет значения, следовать ли математическому способу обучения или правилам умозаключения, поскольку таковые верны. Поскольку я показал, что математическое мышление отра177

жает естественное мышление, а логическое умозаключение является всего лишь отчетливо усовершенствованным естественным мышлением, тем самым я вполне могу заявить, что мой способ обучения следует естественному образу мышления». Хотя в этой вере и содержатся серьезные изъяны, все же данная официальная догма является значимым “рабочим принципом” для многих преподавателей математики. А раз это так, то древнегреческая математика превращается в канон, на котором, кстати, и мы воспитаны. В догму, сквозь которую мы, как сквозь очки, смотрим на все, связанное с математикой. О том, что автор [54] — не копен-гаген в математике, говорит продолжение его цитаты: «Открытие иррациональностей приводит к созданию общей теории отношений, развитой только частично и потому не пригодной в широком плане заменить учение о действительном числе». О какой замене здесь говорится? Что ли это “учение о действительном числе” уже было ранее тех времен? Или речь идет о замене нынешнего учения, то бишь нынешней теории вещественных чисел? Но это анекдот, конечно! Можно ли предъявлять претензию к вещам, которые служили верой и правдой две тысячи лет, но не предусмотрели, что они кому-то не понравятся в XX в. новой эры? Да и известно могло бы быть тому же автору (озвучил то он свое мнение в 1961 г.), что за полвека до того уже были опубликованы результаты сопоставления теории Дедекинда (конец XIX в.) с теорией Евдокса (IV в. до н.э.) и оправдания самого Дедекинда, что он не совсем прав, не упомянув Евдокса, почти буквально повторив его конструкцию определения вещественного числа. А ведь О. Хайям пошел дальше Евдокса. О чем тогда может говорить историк математики — автор той цитаты. Итак, логическое рассуждение — ведущее средство открытия истины. Математика состоит из дедуктивных систем, каждая из которых — цепочка аксиом, дефиниций, доказательств и теорем. А насчет отражения всего этого в стиле учебных руководств — фантазия на тему дальнего будущего — от греков-времени. Так же, как и теория математических доказательств. Будем называть для удобства речи ФА если без греческим направление суждений, описанных дедукции? в предыдущем пункте. В отличие от догреческой математики, явно не Ф-греческой, которая отвечала на вопрос “как (нужно делать)?”, Ф-греческая ма178

тематика была объясняющей. А не догматической, как у предшественников, математика которых состояла из предписаний. Якобы эмпирических фактов. Почему эмпирических? (Как у шумер)? А потому что без объяснений. Такова официальная позиция. Логика интересная: раз не объясняли, значит, не знали как! Ведь мы бы на их месте. . . Однако, что значит эмпирический факт? Тот, который из наблюдений, из опыта, но не из логики. Тогда, может быть, кто может объяснить, как можно из опыта, из наблюдений, получить алгоритм решения квадратного уравнения? В придачу с методом приближенного извлечения квадратного корня?! Что имеется в табличках шумер. Ясно, что подобные вещи назвать эмпирическими находками математики (которые саГреческие ми — исследователи) не могли. Такую квалидедукции куда-то запро- фикацию могут дать лишь те, кто творческий пастились процесс наблюдал лишь издалека (если вообще наблюдал). К слову сказать, Вольф о догреческой математике мог лишь подозревать. Оказывается, и после греков математика была такой, как и до них. Т. е. в первую очередь алгоритмическо-вычислительной, а математическая литература — рецептурно-догматической, без всяких попыток объяснить что-либо, без постановки вопроса “почему?”. Во всех, без исключения, свидетельствах о древних математиках никаких даже попыток нет построения дедуктивных систем. И в древнекитайской “Математике — в 9 книгах” с достаточно полной рецептурой решения самых разнообразных практических задач. Эта книга на протяжении многих веков была пособием для желающих поступить на государственную службу. Другим каноническим примером из дошедших до нас из древности книг является «Лилавати» Баскары, на протяжении многих столетий служившая на Востоке образцовым учебником по арифметике (т. е. практической математике) и искусству измерений. Император Акбар перевел ее в 1587 г. на персидский язык; в 1827 г. она была издана в Калькутте и многократно переиздавалась как школьный учебник. Не удалось историкам найти доказательств или дедуктивных систем и в книгах ал-Хорезми «Арифметика» (с индийскими цифрами) и «Алгебра» (с методами решения уравнений), переведенных на латынь в XII в. У ал-Хорезми даже приемы вычисления площадей и объемов приводились без всяких геометрических мотиваций, как 179

бы в насмешку над греческими традициями. Не было Φ-греческих намеков (даже) у Л. Пизанского в его «Ккниге Абака» (1206 г.), служившей как бы энициклопедией индийско-арабской математики того времени. Что из этого следует? А то, что математика греческого толка как бы никому и не нужна была. Коль скоро про нее на протяжении более тысячи лет ничего в математических книгах не писалось. Это, однако, не совсем корректный вывод. На манер того, как это делают псевдо-Ф-историки. Ведь мы говорим о книгах, до нас дошедших. А были ведь до нас и не дошедшие. Например, те, которые рассчитаны были не на широкие слои общества, а на специалистов. Такие книги были. Хотя бы потому, что на Востоке после развала Римской империи появилось множество переводов греческих авторов. Напомним, что греческая наука стала известна Европейцам лишь в результате перевода ее с арабского языка в позднее Средневековье, а широкой публике в Европе книги с трудами Евклид, Архимеда и проч. стали доступны вообще лишь в XVI в. В раннем сревнековье труды греческих математиков были не просто известны на Востоке, они служили основными пособиями. Более того, греческая математика и продолжение получила. Но совсем не в Φ-греческом духе. Ниже мы считаем необходимым остановиться на исследованиях в первую очередь Развитие Омара Хайяма (1048-1131), всему миру известЕвклида на ного автора четверостиший «Рубайят». ХороСреднем шо зная Евклида и даже сделав первые шаги Востоке. по построению неевклидовой геометрии, он достаточно серьезно продвинул результаты греков. Подчеркнем — не в абстрактных направлениях (куда-то ввысь), а в интересах астрономического табулирования (напомним, что практически все греческие математики не просто интересовались, но занимались и серьезно астрономией). Исследовалась возможность арифметизаО. Хайам ции иррациональностей и отношений (арифметизация — сведение к элементарным процедурам с натуральными числами). Представляя посредством алгоритма Евклида отношение величин одного рода аналогично цепной дроби с помощью последовательных натуральных чисел вполне ра180

ционального объекта, О. Хайам определил принцип сравнения отношений в терминах соответствующих последовательностей. Тем самым он построил развернутую арифметическую теорию вещественных чисел, на 8 столетий предвосхитив грядущие результаты Дедекинда и Вейерштрасса. При этом, О. Хайам строго доказывает адекватность своего подхода понятию числа-отношения ЕвдоксаЕвклида, что позволяет ему пользоваться греческой теорией пропорций. О. Хайам вводит также новую концепцию числа. Под числом в собственном смысле он, следуя грекам, понимает собрание неделимых единиц. Интересуясь связью понятия отношения и числа (может ли отношение величин быть по Отношения и существу числом, или оно только сопровождачисла ется числом?), О. Хайам оставляет в стороне “философскую” сторону вопроса, считая необходимым введение в математику делимой единицы и новой категории чисел, соответствующих любым отношениям. У Хайама отношения приобретают функцию измерения любых величин. Воззрения О. Хайама на природу измерений более отвечали потребностям вычислительной математики, чем евклидовы. Через полтора века взгляды Хайама развиваются в тригонометрическом “трактате” ал-Туси. Отношения тригонометрических линий становятся числами, приближенно выразимыми рациональными дробями. Таким образом, продвижение математиков стран Востока имеют ярко выраженную цель — обеспечение успешности вычислений в практических задачах Описание результата Хайама об арифметизации понятия общего числа-отношения стал известны В Европе в XVI-XVII в.в., в частности Валлису. К числу высших достижений арабской науки принадлежит алгебраический трактат О. Хайама, где развита геометрическая теория кубических уравнений. И это — XI в. Им показано, что, вообще говоря, решение может быть получено только коническими сечениями, т. е. невозможно с помощью циркуля и линейки. В 1637 г. о подобном утверждении писал Декарт, а еще 200 лет спустя его доказал Ванцель (1837 г.) Внимание арабским математиков IX–XV вв. привлекают и геометрическая теория параллельных Евклида. Однако здесь дело 181

ограничивается комментариями. Научный уровень тогдашней европейской Без дьявола — жизни характеризует следующий эпизод. Коникак гда будущий папа Сильвестр II (современник О. Хайяма), вошедший в историю под именем Герберта, принял участие в политических разборках, среди выдвинутых против него обвинений было и то, что он владеет умением делить любые большие числа, а, следовательно, запродался дьяволу. На протяжение всего средневековья матеЖивая матическая жизнь в Европе едва теплилась математика. в монастырях в виде схоластических рассуждений о бесконечности, континууме и проч. Практическая математика опустилась до бытового уровня и начала оживать лишь в связи с оживлением торговли в итальянских городах и появлением книги Фибоначчи. Центром научной цивилизации стала Индия, а затем — Ближний и Средний Восток. Труды греков (Евклид, Архимед, Апполоний и др.) здесь знали, опирались на них, как на логическую основу. Так, число для всех было собранием единиц. Но интеллектуальную энергию тратили в основном на удовлетворение запросов общества, т. е. на деловую математику. Соответственно, литература для широкой публики, в отличие от научной (типа работ О. Хайяма), рассчитанная в первую очередь на обучение пользователей математических методов, содержала в основном описания основных понятий, подходов и вычислительноалгоритмические методы. И никаких дедуктивных систем. Даже если излагались принципиально новые содержательные вещи. Так, крупнейший последователь О. Хайяма самаркандский математик Джемшид Гияседдин Каши (в историко-математическом просторечии ал-Каши) в своей классической книге «Ключ к арифметике» детально излагает, начиная с основных понятий (числособрание единиц, дробь-отношение), все известные на тот момент вычислительные методы. Все – в реальных задачах, включая приближенное решение кубических уравнений, возникающих в астрономии, емкие тригонометричекие и геометрические задачи (вычисление полухорд для разных дуг, вычисал-Каши ление π, подсчет площадей куполов разной формы, объемов арок и проч.). Вводя в систематический обиход десятичные дроби (на манер астрономических 182

шестидесятеричных), он на полтора века опередил европейцев, в частности — Симона Стевина с его «Десятой» (1585 г.). Словом, его книга — энциклопедия возможностей практической математики того времени. И ни одной аксиомы, ни одной теоремы. Никаких дедуктивных систем. Все основано на свойствах пропорций, данных в виде правил. Нормальный живой понятийный язык. Совершенно прозрачное изложение, не замутненное формализмами. Что ли не знал ал-Каши греков? Их канонов? Знал, конечно. Судя по всему, арабские ученые считали труды греков чрезвычайно полезными учебными пособиями, выражаясь современным языком. Именно пособиями, но ни в коей мере не учебниками. Учебники должны учить, давать полезные знания, а систематическое изложение научных фактов — это дело внутринаучное, но не для пользователей науки. Начиная с XII в., жизнь начала шевелить математическую мысль и в Европе. АктивиШевеление в зируется процесс переводов с арабского языка Европе грекоримских авторов, становясь учебной литературой в нарождающихся университетах. Однако вплоть до XIX в. наследие Евклидова используется лишь в форме модного внешнего канона для придания математическим работам чисто внешнего лоска. Формально-дедуктивная оболочка (в форме дефиниций, лемм, теорем и доказательств) использовалась даже в работах, далеких от математики, например, Спинозой в его чисто философских трактатах. В форме развития теории доказательств формальнодедуктивные традиции нашли воплощение в математической логике и метаматематике (конец XIX – начало XX вв.) Таким образом, “главный” атрибут чистой Камуфляж математики — формально-дедуктивные системы — есть просто камуфляжная форма математики на протяжении двух тысячелетий. Основная математическая жизнь соответствовала запросам общества в обеспечении актуальных, технических, финансовых и социальных задач. Все более бурно развивалась — и уже с участием европейских математиков — счетно-алгоритмическая технология решения практических задач. На фоне достаточно активных переводов арабских книг, содержащих и основы индийской науки, развивалось искусство арифметических вычислений, утверждалась десятеричная система. Колос183

сальным подспорьем для вычислений стало создание логарифмов и их таблиц. К XV веку входящие в хозяйственный обиС XVI ход механизмы, не говоря о задачах астрономии, активизировали интерес к механике. Алгоритмическая идеология начала приводить к алгебраизации практической математики, введению символики, разработке теории уравнений, сформировавшейся уже к XVI в. До XV в. интерес в Европе к математике определялся лишь проблемами практическими. В каждом городе купцы старались создавать арифметические школы, куда преподавателями приглашались профессиональные мастера счета — рехенмейстеры, которые обычно не знали классиков, но учили бухгалтерии и навигации. В течение многих веков (до XVI века) математика такого рода хранила следы своего арабского происхождения. От рехенмейстеров осталось достаточно богатое наследие их рукописных пособий. Их достаточно полные обзоры позднее были напечатаны в виде книг Я. Видманом и Л. Пачоли (конец XV в.). Таким образом, к Эпохе Возрождения математика от античных времен дожила в виде — интуитивно-бытовой математики, которая жива была всегда; — греко-римского наследия в виде переводов с арабского Евклида, Архимеда и других классиков, сохраняемого в университетах; — полноценно живущей практической математики с ее все возрастающей востребованностью. § 7.2 У всех – Возрождение, а в Математике – смута Числа иль не числа? Внешние особенности эпохи. Основные вехи в математике. Недоумение математиков. Плюс-минус парадоксы.

Чрезвычайно динамичная Эпоха Возрождения, пробудив европейскую математику из спячки, наложила на ее дальнейшую судьбу отпечаток более мощный, чем период Античной Греции. Мы проанализируем некоторые аспекты математической жизни, играющие ключевую роль для педагогики математики. Именно в этот период, с конца XV в., книгопечатание сделало доступной для масс математику Древней Греции и Востока. Резко возросшая активность в области практической математики привела к формированию алгебры, к модернизации математического языка, в том числе к широкому внедрению символики. 184

Последнее породило новую математику, как ее называли в XVII в., универсальную арифметику, объектами которой вместо чисел обычной арифметики стали более абстрактные сооружения: многочлены, ряды, бесконечно-малые и проч. На этом фоне как бы украдкой из арифметико-вычислительной практики в математику вышли дробные и отрицательные числа. Вначале дроби, отрицательные числа, как и нуль, математиками за числа не признавались, почти два века служили темой яростных дискуссий. Мир вокруг них установился лишь к началу XIX в. Полная ясность – лишь теперь. Однако ни этот мир, ни эта ясность не нашли отражения в школьной математике, которая методологически и содержательно сформировалась уже в начале XVIII в. усилиями совсем не самых выдающихся ученых того времени. И когда в конце XVIII в. крупнейший математик того времени, один из ведущих энциклопедистов Франции Даламбер с большой тревогой обнаружил, что «преподавание математики отрывает ее от интуиции», уже сформировались и окрепли традиции. Настолько прочные, что к нашему времени они лишь окрепли, продолжая вызывать серьезное беспокойство ведущей математической общественности. Мы постараемся ниже взглянуть на корни этих традиций. Отметим прежде всего, что достоверно на датировку событий, в том числе и математических, мы можем полагаться не ранее XV в. Все дело в том, что глобальная хронология, которой мы все сейчас придерживаемся, была введена лишь в конце XVI в. (И. Скалигер, 1540–1609). Все предществующие события по имевшейся информации были пересчитаны на эту новую универсальную хронологическую шкалу в основном усилиями историков тех времен. Достоверные, вообще говоря, события во всем обилии их описаний разложены по шкале времени весьма причудливым образом. Только этим можно объяснить совершенно невероятное обстоятельство, что математическая жизнь после античного взлета более чем на тысячу лет оказалась в полной прострации: достижения греков более пяти веков гуляли в направлении на Восток, а потом столько же времени гуляли в обратном направлении. Историки постарались заложить этот промежуток всякими другими событиями: войнами, набегами, нашествиями, восстаниями и прочими бурными событиями. Но историки при этом как бы забыли, что в этот период и интеллект человека как-то должен быть функциклировать, не мог он просто Новая арифметика

185

так отвалиться, как хвост у ящерицы. Чтобы потом “вдруг” в XV в. опять обнаружиться во вполне активной форме. И странно как-то при этом получается, что начало эпохи Возрождения европейские ученые датируют с середины XV в., умалчивая при этом, что как раз в тот момент пал Константинополь (1454 г.). Да и в нашей отечественной истории это важнейшее для православия событие забывают историки включить в общий фон. Но для того момента, когда начали создавать всеобщую (по хронологии Склигера) историческую версию, события предыдущей сотни лет были недавними, и в их датировании мы можем не сомневаться. В XV веке начала резко активизироваться социальноэкономическая деятельность. Создание компаса стимулировало торговое мореплавание, XVI в. ознаменовался великими географическими открытиями (Америка, путь в Индию и проч.). Изобретение бумаги стимулировало банковское дело. Повсеместное внедрение механизмов, непрерывные войны требовали грамотных инженеров, строителей, специалистов по форитификации и проч. В городах Европы, население которых состояло в основном из купцов и ремесленников, начала распространяться жажда к вычислительным знаниям — Rechenhaftigkeit. Эта заинтересованность бюргеров XV–XVI веков породила создание большого числа “арифметических” школ. К концу XV в. наладилось книгопечатание. Вышло несколько книг по коммерческой арифметике (Л. Пачоли, Я. Видман, превкусная арифметика), являвшимися своего рода энциклопедиями практической математики того времени. Завершавшееся формирование национальных государств привело к росту литературы на народных языках. Это касалось и математических книг, где в общеупотребительных изданиях национальные языки заменяли латынь — главный язык университетстких ученых. Главной научной фигурой XV в. является РеРегимонтан гимонтан, создавший на базе арабской математики тригонометрию почти в современном виде. В конце XV в. Шюке ввел фактически дробные, нулевые и отрицательные показатели степени. С конца XV в. начали печататься переводы (на латынь) Евклида и др. классиков. XVI в. в научном плане ознаменовался формированием алгебры в виде теории уравнений третьего порядка (Тарталья, Кардано и пр.). Подобные уравнения, актуальные в вопросах астрономи186

ческого (тригонометрического) табулирования, обсуждались еще в античной математике. В это же время совершенствовались и вычислительные технологии: от введения в обиход десятичной системы счисления и многообразных способов вычислений “в столбик” до введения логарифмов, десятичных дробей и разработки соответствующих таблиц. В 1591 г. вышла работа Ф. Виета «ВвеВиета дение в аналитическое искусство» (Im aster analiticam isagoge), где использование буквенных коэффициентов вместо чисел сразу позволило явно записывать результаты алгебраистов-предшественников. Усовершенствовав обозначения, Виета выразил символами геометрическую алгебру греков, различая следом за ними, например, первую и вторую степени неизвестной величины как несравнимые. Совершенствование символики продолжалось в XVIIв. (Декарт, Ферма) и завершилось усилиями Лейбница (конец XVII в.) в начавших издаваться математических журналах. Развивая задел Галилея, Декарт и Ферма заложили основы анализа бесконечно малых, что активно продолжили Валлис, Кавальери, Барроу и далее Ньютон, Лейбниц и проч. Университетские ученые обнаруживают в практической математике объекты, строго говоря, не совсем законные с позиций классической математики: нуль, дроби-числа и отрицательные числа (в наших современных терминах). Въехав в математику, как бы контрабандой, из численной практики рехенмейстеров, эти объекты вызвали ожесточенное неприятие. Дискуссии продолжались аж даже весь XVIII в. и угомонились лишь с помощью Даламбера и Коши. Эта страница истории математики, важнейшая в методологическом отношении, ввиду ее полнейшей скомканности в официальной педлитературе будет нами освещена и проанализирована достаточно подробно. К концу XVII в. в ЕвроУзел пе: завязывается а) В специальную, в том числе и математическую литературу, начали проникать народные (т. е. национальные) языки. Ранее единственным языком в научной математике была латынь. б) Математика риторическая (т. е. досимвольная, все, кроме чисел, писалось словами) превратилась в символическую с массированным применением формул. в) Появились новые математические объекты: нуль, дробные и 187

отрицательные числа, бесконечные суммы (ряды), бесконечные малые величины и пр. г) Достаточно массовой стала литература, резюмирующая опыт практической математики от Фибоначчи до Л. Пачоли, а также тригонометрические (и навигационные) знания типа книги Регимонтана. е) На фоне впечатляющих результатов, рожденных практической (по Колмогорову — содержательной) математикой — символическая теория алгебраических уравнений, тригонометрия. Классическое античное наследие осталось фактически без шевеления, сохранив внешне-формальную моду на дедуктивную структуру текстов. Перечисленные обстоятельства стали определяющими в формировании традиций преподавания математики в системе светского образования ведущих государств. Эти обстоятельства означали создание новой математики. Уже Лука Пачоли размышлял о том, что произведение двух правильных дробей, будучи Смущение современников меньше каждого из сомножителей, противоречит библейскому “плодитесь и размножайтесь!”. Мы начали разговор с дробей (дробных чисел — пока мы не уточняем нашего различения их), поскольку это — самая дремучая проблема школьной математики. Странность этого объекта, в практической математике работавшего уже несколько тысячелетий, для ученых (начиная с XV в.) объяснялась разными обстоятельствами. Рехенмейстеры, как и логисты-вычислители прежних времен, считали дроби числами. Это была крамола! Против которой самым энергичным образом восстал Валлис — самый крупный математик XVII в.: «Дробь не есть число в собственном смысле, т. к. отвечает не на вопрос “сколько?”, а на вопрос “какая часть?”». Даже и Эйлер считал неправильную дробь ненастоящей, ложной, ибо истинная дробь представлялась только как часть целого. Уже в XVI-XVII вв. установился тройственный взгляд на дробь; – собрание равных частей единицы; – частное от деления целых чисел (типа 2:3) при наличии остатка; – результат измерения долями некоторой меры. 188

Адекватность этих взглядов всячески декларировалась, но не более того. Однако и до сих пор единство этого тройственного взгляда подтверждается диалектическими доводами типа [22, c. 60]: «. . . Объективность понятия дроби обычно подтверждали указанием на то, что каждая единица может быть разделена на любое число равных частей». (Каждый сантиметр, что ли?!! Или та единица, которая первая в натуральном ряду?!) Туман с исходным понятием дроби усиливался полной неясностью осмысленности действий с дробями. Умножение на дробь не укладывается в рамки традиционного понятия. “Выражение – взять 5 слагаемым 3/7 раза – не имеет реального содержания” (Вольф). И Эйлером воспроизводится трудность, стоявшая уже испокон веков до него: когда “какое-нибудь число, т. е. целое или ломаное, умножается ломаным числом, то произведение будет меньше множимого числа, что некоторым образом свойству умножения кажется быть противно: . . . умножение, рассуждая по имени, значит прибавление или увеличение”. Подобные соображения и цитаты можно приводить и приводить. Все они соответствуют материалам всевозможных “арифметик” XVI–XVII вв., проникая практически без изменения в последние учебники. Главное здесь — после арифметики натуральных чисел, достаточно согласующейся с системой обыденных представлений и с обиходным языком (терминологически), в дробях для учеников наступал кромешный туман и полная потеря смысла. Не зря же появилось это: «In die Grube deraten». Можно ли этот узелок развязать, мы обсудим дальше. Сейчас – о других неканонических объектах, возникших в математической литературе в тот же период, и точно так же пришедших из вычислительной практики. Отрицательные числа, якобы давнымдавно открытые индусами и китайцами, евроСкандал с псевдочислами пейскими учеными сразу были взяты в штыки. Даже если их интерпретировать как долг (или имущество для положительных чисел), когда особых претензий не было к сложению их и вычитанию, действия второй ступени сразу приводили к абсурдному смыслу. Например, умножая на (−2), сколько раз мы должны складывать? Что ли минус два раза? А если (−2) — это долг, то что значит (−3)(−2)? Что ли если долг (−3) умножить на долг (−2), то получится прибыль (+6)? Суета и крамола

189

Как Ничто (т. е. нуль) может быть больше, чем нечто, т.е. долг, который состоит из единиц? Как меньшее, чем ничто, умноженное на меньшее, чем ничто, дает нечто? При увеличении делимого и уменьшении Парадокс Арно делителя частное должно увеличиться. Но (−1) : (+1) = (+1) : (−1). Лейбниц прокомментировал это отношение, как “воображаемое, ибо основание истинных отношений тождества есть сходство вещей”, а здесь сходство нарушено. 1 1 < (= 0), а из двух дробей Так как −1 ∞ Парадокс с равными числителями больше та, у которой Валлиса. знаменатель меньше, поэтому ∞ < −1. Внятных возражений от современников не последовало. Выражение типа (по-нашему «−4») встречаются уже у Пачоли. Но даже Декарт и Ферма, оперируя с подобными “числами” и допуская их в качестве коэффициентов в уравнениях, считали их “сложными” числами и не допускали их ни в ответе уравнения, ни в координатах. Другими словами, в переводе на наш язык, они рассматривали уравнения с коэффициентами произвольных знаков, но только на положительной полуоси R+ , не допуская отрицательных корней даже до рассмотрения. Эйлер, следуя за Валлисом, считал, что отрицательные числа должны быть признаны большими, чем все положительные. И вот этот объект, вызвавший разлад на протяжении двух столетий в светлейших головах крупнейших ученых, оказывается внедренным в школьные программы. Неужели можно ожидать его безболезненного усвоения современными детьми? Как будто они гениальней Декарта, Ферма, Валлиса, Эйлера и прочих?!? Оказывается, и этот узелок развязывается несложно. Но это — чуть позже. Очень коварный объект, проникший в математику в тот же период — это нуль. Появился нуль как символ отсутствия единиц в каком-либо разряде десятичной записи числа. Оперировали с нулем вначале как просто с символом по правилам: a + 0 = 0 + a = a, 0 · a = a · 0 = 0 и т. д. Но, например, уравнение x2 − x = 0 и в XVII в. имело только один корень x = 1, т. е. числом нуль не признавался. Валлис заявил (1657 г.), что “нуль не есть число”, ибо отвечает не на вопрос “сколько?”, а на вопрос “есть ли хоть что-либо?”. По нашему смысл того нуля, который “ничто”, — это свидетельство 190

отсутствия, тогда как число оценивает количество присутствия. Нуль пришлось признать числом для того, чтобы из равенства a = a должно следовать a − a = 0. Другими словами, нуль как число, выполняет функцию результата вычитания некоего количества из равного ему! Однако, и вот та сторона нашей интуиции, о которой напрочь забывает методика, если из стакана молоко все до капли выпито (или вылито), неужели в стакане не осталось абсолютно ничего? И разве стакан не нужно мыть? Правильно! Осталось чуть-чуть. Но это чуть-чуть — совсем не нуль, а та самая бесконечно малая величина. Если я никому ничего не должен, значит О-го-го — не ли это, что у меня ничего нет? Можно ли из Ничего ничего (т. е. нуля) чего-либо взять? Словом, математический нуль, совсем даже не Ничего, а О-го-го. Более чем странная штука. И еще более коварный символ. Это — знак равенства. Вначале он заменил слово “получится” в обычных арифметических процедурах. Вместо “2 и 3 получится 5” стали писать 2+3 = 5. Но затем этот символ приобрел параллельный смысл “то же самое”, “одинаково” (один как, т. е. как один). Но это — совершенно другой смысл. Это — символ идентификации, отождествления двух объектов. Как огласить по-старому 5 = 2 + 3? Что ли как “из 5 получится 2 и три”? Это в результате какого-такого действия 5 можно превратить в 2 и 3? Скажете — разложения. Но такого действия в арифметике нет!

Φ–8. Взгляд как бы сбоку Для более содержательного восприятия историко-методических вещей мы остановимся на нынешнем толковании и введении отрицательных и положительных чисел. О дробях мы уже писали ранее. § 8.1 Что есть нынче min 3? Как положено вводить плюс-минус числа в школе? А каков смысл +(−) у этих чисел, есть ли связь со знаками прежних арифметических действий? Причина всех смущений — больше-меньше в новых числах.

Забегая вперед, так и хочется ответить старым анекдотом: «Гражданка Иванова спрашивает: “Что такое ЧТО?” Отвечаем! Что такое ЧТО — мы не знаем! Но если это то, что мы думаем, то как вам не стыдно!» 191

Остановимся на всеобщем методе введения целых чисел. Сначала к старым натуральным числам 1,2,3,. . . добавляем 0 (нуль). Что это такое, считается очевидным. Сообщается, что n + 0 = n и 0 + n = n при любом n (или на примерах: 0 · 2 = 0, 0 · 3 = 0, 2 · 0 = 0 и т. д.). О толковании смысла знака «=» даже и речи не возникает — якобы очевидно из арифметики. Первая новация — как бы вскользь: числа вида −1; −2, −3 и т. д., называются отрицательными. Считается, что они меньше нуля. Прежние числа 1,2,3,. . . теперь называются положительными. Чтобы отличить их от отрицательных, перед ними пишут знак плюс: +1; +2; +3; . . .. Считается, что нуль имеет любой знак, т. е. +0 = −0 = 0. Числа вида +2, −2 или +3, −3 называются противоположными. Для произвольного числа a ему противоположное обозначается через (−a). Дается обычное определение модуля |a| = a при a > 0 и |a| = −a при a < 0. Декларируется, что отныне любое число “без знака” есть положительное число и если перед ним знак не стоит, то он опущен для простоты. Далее вводятся действия. Алгоритмами по Знак числа образцу. “Чтобы сложить два числа с противоположными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший и перед результатом поставить знак большего по модулю числа”. Замечательно то, что при этом фигурирует понятие “знак числа”, хотя оно в собственном смысле является запретным. Так, на вопрос, “какой знак имеет число «−3»?” нельзя ответить “минус” — это грубая ошибка. Положено отвечать так: число «−3» отрицательно! Аналогично определяются алгоритмы сложения и вычитания в остальных сочетаниях знаков. Введение умножения и деления иногда производится на арифметический манер. Пишут: дважды (−3) есть (−3) и (−3), т. е. (−6). В других случаях либо ученика обманывают, либо просто дается предписание. А теперь для математически грамотных читателей, если кто еще не устал! Чисто формальный взгляд на только что сказанное. О судьбе знака «−» (минус). О прямо таки Судьба минуса мученической судьбе его! Был он в арифметике знаком вычитания. А теперь стал символом нового числа. Спрашивается: “Смысл его 192

при этом сохранился? Или у (−2) значок впереди совсем не тот смысл имеет, как если бы у «вычесть»?” Есть еще и третий смысл, если присмотреться: (−a) противоположное для a число. Если же захочется вычесть (−2) — некуда деваться, смысл четвертый нужен. Минус (−2)! А теперь спросите авторов учебников: “Есть ли в перечисленных смыслах идентичные? Или нет таких?” А Вы, дорогой читатель, как считаете? Когда этот вопрос приходится обсуждать с учителями, да и с махровыми методистами, и даже с докторами педнаук – некоторые (и даже многие) стоят насмерть: “У «−2» знак минус не тот, который вычитание в арифметике обозначает”. С остальными смыслами бывает обычно заминка. Но вот опять чисто формальный вопрос. Смысл знака Если «−a» обозначает противоположное к a число, то беря в качестве a = −2 и, зная заранее, что противоположным к «−2» является «+», получаем, что (противоположное к «−2») число «+2» должно обозначаться через «−(−2)». Но это полный аут, потому что числа с одним знаком впереди известны (их только что ввели), а вот с числами с двумя знаками мы пока не знакомы. Мы не говорим о том, что даже если и захотите, Вы в учебниках не найдете мотиваций того, почему описанные алгоритмы приводят к тому, что озвучивается известными словами “сумма”, “разность”. И почему при сложении прежнее привычное озвучивание «+» в форме “добавить” или “увеличить на” вдруг начинает звучать абсурдом. И почему 200 мороза, которое положено по новым правилам озвучивать в виде “плюс двадцать градусов мороза”, звучит так некомфортно. Самое замечательное в приведенных выше трактовках, что авторы учебников, где наиболее подробно все объясняется (якобы строго — типа [27]) все эти разные толкования вдруг (!) где надо просто отождествляют (без всяких комментариев), т. е. толкуют знак так, как им заблагорассудится в данном контексте. Причем один и тот же знак в соседних фразах по-разному. То, что целые точки вещественной оси — всего лишь интерпретация — слишком высокая материя. То, что целые числа можно определять, как факторпространство из пространства пар (−2 = 0 − 2 = 1 − 3 = 7 − 9 = . . .), 193

т. е. фактор-пространство в (N − N ) — практически никто не знает. “Чего-то подобное слышали в связи с теоретической арифметикой”, — и все! Но зато физических комментариев всяческих вокруг — до фига. И тебе температура (по ее поводу мы уже проехались), и глубина (и что значит плюс пять метров глубины?), и исторический экскурс про долги у индийцев — это уж обязательно. Но может долг быть меньше своей половины? Ужасно неприятный вопрос, и на него тоже приходилось слышать разъяснения (естественно — в пользу интерпретации), что надо де не те слова произносить. Мол вместо “меньше” нужно говорить “хуже”. Автор этого обьяснения не знал, что у индусов числа-долги сравнивались по модулю, а не просто так, “как надо”. Он при этом не признавал, что отношения неравенства в множестве отрицательных чисел математиками было внесено лишь в XVIII в. До того отрицательная полуось слева от нуля никем не признавалась. Первым это для корней квадратного уравнения сделал Ньютон. За последние годы методика введения отрицательных чисел сделала еще один шаг вперед (в какой перед — очень даже не совсем ясно). Наверное, чтобы особо не утруждать учеников (а заодно и учителей — они же учатся по тем же учебникам), теперь ознакомление с новыми числами проводится без нотаций и занудливых правил в виде “поиска”. Так как с отрицательными числами дети уже знакомы из жизни (температура −12 градусов, глубина Байкала −1733 м), то фиксируется правило: вводится начальная нулевая отметка, и если значение величины ниже этой нулевой отметки, то ставится знак «минус». Неважно, что расплывчатость (точнее, неряшливость) этой фразы допускает абсурдную ее реализацию в примерах из других учебников: если начальную отметку сделать у дупла белки, находящегося на высоте 10 м, и если бегающая вниз-вверх белка окажется на высоте 7 м от земли, т. е. на 3 м ниже дупла, то как читатель предыдущего правила должен узнать: перед каким значением нашей величины (высоты) должен ставиться знак минус? Строго говоря, перед величиной-высотой 7 м — ведь это та самая величина, за которой мы следим. Авторы учебников полагают, что в этом месте учителя догадаются сами и детям подскажут: “Неувязочка тут в книжке, авторы только намекнули, что эта самая нулевая, т. е. начальная отметка есть начало отсчета, и что значения величины 194

нужно пересчитать, учитывая не ее значения, как сказано в правиле (значения величины ниже этой нулевой отметки), и смотреть не на прежние значения, а на их отклонения от этой отметки. Так в нашем примере, хоть значение высоты и 7 м, т. е. ниже дупла (начальной отметки), но минус мы должны ставить не перед 7 м, а перед 10 − 7 = 3 м, т. к. именно на 3 м ниже дупла нами белка зафиксирована”. Поставьте себя на место ученика, рядом с которым нету учителя! Куда нужно этот минус вставить? Если рядом тот самый другой учебник, откуда взята белка, то можно там подглядеть и попытаться чего-то понять. Но это лишь при условии, если совершенно ясно, зачем нужны эти самые минус числа. Ведь и без них можно прекрасно жить, и без них ясно, что значит ниже – выше, левее – правее, больше – меньше. Смешно считать, что больше (выше) на (−3) понятнее, чем меньше на 3(!?!). Главная мотивация — ведь для чего-то люди придумали минус-числа, ввели их в “широкую практику”! После такой преамбулы должно быть абсолютно ясным понятие “отрицательного числа”, которое получается приписыванием знака «минус» (к натуральным числам): −1; −2; −3; −4; . . . ; −100; . . . ; −1000, . . . «Натуральное число и соответствующее ему отрицательное число называют противоположными». «Число противоположное к −15 записывают так: −(−15). Но число, противоположное к (−15), это 15, т. е. −(−15) = 15». Здесь −15 заключено в скобки, т. к. выражения вида «−15» смысла не имеют. Вот те раз! Выходит, если −15 не заключить в скобки, то это и не число, раз перед ним нельзя знак минус поставить? «Натуральные числа принято называть также положительными целыми числами, т. е. слова “натуральное число” и “положительное число” означают одно и тоже. Перед положительными числами — что бы подчеркнуть их отличие от отрицательных (а то и так не видно — первые с минусом, вторые — без) — иногда (?) ставится знак “плюс”» [16]. Дальше — прямо таки научный поиск. После примеров с кубиками и футбольными очками, а также покупкой Колей значков с последующей их продажей (Коля — “при деле”) и вопросом: “Чему равно −(−(−(−(−5))))?” начинается сбор плодов: сравнение — по аналогии с прежними числами(просто констатируется догма). Правила сложения вводятся из денежных примеров типа: если человек 195

израсходовал сначала 4 тыс. руб., а затем еще 5 тыс. руб., то общий расход составил 9 тыс. руб. Поэтому естественно (!?!) считать, что (−4) + (−5) = −9. Величину расхода мы определили сложением чисел 4 и 5: 4 + 5 = 9. Замечательно! Но при чем тут (−4) и (−5)? Складывали то 4 и 5 (!?!). И ведь (−4) — это не расход, так же, как и (−5). Это, как сказано в книге чуть ранее, — “отрицательные доходы”. Ясно, что с позиции обыденного восприятия муть какая-то написана. И что такое расход — ясно, доход — тоже, но почему расход оказался отрицательным доходом? И каков смысл последнего набора слов: “отрицательный доход”? (Ведь объяснить его — труднее гораздо, чем отрицательные числа.) Аналогично на фоне расхода 7 тыс. руб. (откуда они и взяты — ведь израсходовать отсутствующие деньги нельзя в принципе), дохода 4 тыс. руб. и возникающего убытка 3 тыс. руб., который есть “отрицательная прибыль −3 тыс. руб.” возникает равенство (−7) + (+4) = −3, служащее основой правила. Но откуда возникло это равенство? И что значит в нем промежуточный знак плюс — между числами (−7) и (+4)? На строгий смысл и намека нет! Если кто заранее знал — тот, конечно, догадался. А если, формально говоря, забыть про эти предварительные знания? В итоге — главное правило (цитируем дословно): «Итак, при сложении целых чисел мы работаем в действительности только с соответствующими натуральными числами. Но в одних случаях (когда слагаемые одного знака) мы эти натуральные числа складываем, а в других случаях (когда слагаемые разного знака) — вычитаем. Знак суммы зависит от того, какое слагаемое “перевешивает”». А вот правила умножения придумываются по результатам “математических опытов”. После “трижды (−5) равно −15” “нетрудно догадаться”, как перемножить эти числа в обратном порядке, ибо “должно выполняться переместительное свойство” (ничего себе догадочка!). Далее авторы так и пишут: «Остается сообразить, как перемножить отриОстается цательные числа (−5) и (−3)». Однако даже сообразить Эйлер не знал (и признавался в этом) как это логически правильно сделать. А здесь такое вот вальяжное предложение “остается сообразить” (!!) в адрес не очень посвященных читателей!! Ведь мало из них кто знает, что с помощью арифметических приемов доказать равенство (−5) · (−3) нельзя в принципе! О какой сообразительности здесь идет речь? И вся эта мутата 196

с морем бессмысленных арифметического типа примеров на фоне полного отсутствия малейших мотиваций того, зачем вся эта наука о плюс-минус числах нужна? Зачем придумывать для них какие-то странные действия? § 8.2 Кто в истории наврал? Откуда взялись плюс-минус числа в Китае и Индии. Причина всех проблем — в больше-меньше. “Число” по русски.

В математике впервые отрицательные числа были введены в конце XV в. Н. Шюке, бакалавром Парижского университета. Введены чисто формально при обозначении степени (как мы сейчас говорим) с отрицательным показателем по ти2 3 Минус числа пу 25µ: 23 = 25−3 ¶ = 2 и, по аналогии, 2 : 1 от Шюке 25 = 8 : 32 = = 23−5 = 2−2 . Н. Шюке бы4 ли введены так же дробная и нулевая степень. Кстати сказать, Н. Шюке сделал это в рамках совершенствования символики, которая еще и у него была синкопирующей, т. е. в качестве символов стояли√сокращения слов. Так его запись Rx 23m32 m для нас значила бы 23 − 3x−2 . Здесь Rx взято из слова Radix (корень) и m значит minus (минус — “уменьшиться”). Получается весьма забавная картина. Отрицательные числа, якобы, известны очень Древние чего давно. И в Древней Индии, и в Китае. Что тато знали кое отрицательное число — методисты толком и сейчас не знают. Несерьезно предполагать, что древние это знали лучше (а в этом ни у кого сомнений почему-то нет). Однако чего-то такое должно же там быть! Где “там”? А в этой самой старине! Нужно только внимательнее посмотреть, поднапрячься, и — разглядеть. И все очень очевидным станет. Давайте и мы вместе с ними посмотрим. На вещественные, так сказать, свидетельства. Процитируем классику [Юшкевич, [54], с. 137, с. 141]: «Брахмагупта свободно оперировал с отрицательными числами. Однако мы не встречаем в трудах Брахмагупты и его преемников отрицательных решений линейных уравнений». Вот те на! Что же это за числа, оперировать с которыми можно, и даже свободно, а вот в качестве решений их брать нельзя? 197

Внутренние числа?

Вот более полноценная иллюстрация для условия задачи. Задача Бхаскары: найти число обезьян в стае, пятая часть которой без трех и все в квадрате прячется в пещере, а видна еще одна обезьяна, сидящая на дереве. Соответствующее уравнение x = ( x5 − 3)2 + 1 или x2 − 55x + 250 имеет корни 50 и 5. Но Бхаскара второй корень отбрасывает, т.к. число x5 − 3 при x = 5 оказывается бессмысленным. Вот тебе и свободное манипулирование. Если внимательно вдуматься в смысл “интерпретаций” чисел, то легко понять, что у математиков речь шла не об экономических категориях, а о названиях чисел: не долг, а числодолг, не имущество, а число-имущество. Т. е. приговорки “долг”, “имущество” были зквивалентами наших “минус”, “плюс”, для малообразованных купцов (а plus, minus — это латынь) на ассоциативном уровне значительно более доступными. Т. е. число-долг и число-имущество — это те же “вычитаемые” и “добавляемые” в правиле знаков Диофанта. Число – долг, а не количество

Аналогична и ситуация с положительными и отрицательными числами у древних китайцев в их «Математике в 9 книгах». Здесь при описании систем уравнений нужно было отличать палочки (кучка палочек — число), изображающие коэффициенты прибавляемых и вычитаемых величин ([54, с. 48–52]). Cогласно Лю Хуэю, положительные коэффициенты обозначались красными палочками, а отрицательные — черными. Существовали и другие способы различения палочек, например, по форме сечения (квадратные и треугольные). И еще две цитаты: «Трудно сказать, когда отрицательный коэффициент начинает восприниматься или вправе быть истолкован, как отрицательное число. Диофант. . . знал правила действий над коэффициентами вычитаемых количеств и прибавляемых количеств. Тем не менее, у Диофанта не было отрицательных чисел. Вычитаемые числа не были у него самоУ Диофанта — стоятельным объектом». И вдруг тут же: «В математике древнего Китая вычитаемые кодействия со знаками, но не эффициенты выступают как самостоятельные объекты» (!!) Вот так. Раз вместо чисел, кочисла со торые у Диофанта написаны, лежат кучки пазнаками лочек, они, эти кучки — конечно же объекты более самостоятельные, чем письменные коэффициенты Диофанта. И вот тебе через две страницы: «Отрицательные решения уравне198

ний в математике Китая не были известны». И потом! «Чуть ли не до Нового времени». Как же это понять. Есть числаЧисла и коэффициенты, и есть числа-решения. В коэффициенты первой породе чисел могут быть — так уверяют комментарии, и отрицательные числа. Но среди решений таковых нет. А ведь в истории математики у самых разных культур число — это то, что может быть результатом решения задачи, может быть признанным корнем уравнения. Так были ли отрицательные числа в древнем Китае? Или только отрицательные (черные) коэффициенты? Приведенные примеры показывают, что исторические факты могут быть очень интересными, но слепо доверять их комментаторам неполезно. Комментарии надо обязательно продумывать, на то у нас с Вами и кое-какое образование и элементарная логика есть. Требуется лишь внимание. А вот следующая мысль из ([54, с. 52]) заслуживает четкой фиксации: отрицательные числа (точнее — записи вида 2 − 3 = −1) появились как результат непроизвольного распространения стандартных алгоритмов за пределы канонических ситуаций. Приведем последнее свидетельство ± для Пачоли ([54, с. 418]) про Пачоли. Хотя вычитаемые величины еще не осознаются (!) как самостоятельные отрицательые числа, тем не менее отчетливо указаны правила умножения, а именно: 1) плюс, умноженный на плюс дает плюс; 2) минус на минус дает плюс; 3) плюс на минус дает минус и 4) минус на плюс дает минус. Пачоли замечает, что второе правило кажется бессмысленным, так как «ясно, что “m4” меньше нуля», но его можно доказать: 10m2 равно 8, значит, 10m2 умноженное на 10m2, равно 64, а 10 умножить на 10, равно 100, затем дважды 10, умноженное на m2. Поэтому m2, умноженное на m2, должно быть 4. Понятно, что неправомерность этого доказательства, вскрытая лишь в конце XIX в., не могла прийти Пачоли на ум. Примечательна здесь законченная цитата из Пачоли: «Ясно, что m4 меньше нуля». Все дело в том, что в математических кругах считать отрицательные числа меньше нуля Меньше нуля договорились (подчеркиваю — договорились, т. к. это математическая условность) лишь к 199

началу XVIII в., т. е. через два столетия после Пачоли. И даже Эйлер продолжал настаивать, что отрицательные числа больше положительных (как и Валлис). Весь XVII век математики считали, что меньше Ничего не может быть ничего. При этом “меньше” трактовалось количественно. Иначе никто не понимал, как можно меньше — от величин: часть меньше целого. Пачоли это прекрасно понимал, хотя и жил в XV в. Он также был воспитан на идущем от греков меньше в связи с величинами. Поэтому такой откровенной ахинеи, которая ему приписывается, он сказать не мог. Переводчик и комментатор несколько увлекся в поисках отрицательных чисел и не заметил, что сделал из Пачоли идиота. На самом деле здесь издержки двойного перевода: m — сокращение от minus, последПачоли — не нее же по латыни буквально означает “уменьидиот шить на”. Таким образом m4 буквально звучит как (0m4) “Ничто уменьшить на 4”, т. е. вычесть 4. В арифметике “уменьшить на 4” и “вычесть 4” — тривиальные синонимы; “6 уменьшить на 4” означало от “6 перейти к части (= 2)”, т. е. в самом деле уменьшить. Можно ли верить историческим комментариям при такой неряшливости толмачей? До XV в. математика (в расширенном Набег символов смысле — как область знаний и сфера деятельности) накопила чрезвычайно большой объем разнообразных представлений, алгоритмов, технологий и исчислений. Дальнейшее развитие, активно стимулировавшееся обществом, тормозилось из-за языкового несовершенства: риторическая форма изложения, кроме чисел, все — словами. Введение символики, быстро распространявшейся вместе с книгопечатанием, резко повысило эффективность математической мысли. Однако внедрение символики почти сразу породило новые обьекты. Раньше математика Арифметика оперировала только с числами (о геометрии не символов говорим) или с результатами действий с числами. Теперь на смену чисел пришли буквы, и в записях алгоритмов появились прежние операции, применяемые к буквенным выражениям. Появилось то, что уже XVII в. начали называть «Универсальной арифметикой», т. е. наукой об арифметических действиях 200

с объектами более общей (чем числа) природы. Например, Валлис занимался арифметикой бесконечно малых (по нашему дифференциальным исчислением). В рамках такого “расширения кругозора” в математику проникли объекты типа (2 − 5) = (0 − 3) и (3 : 5). Генезис их достаточно простой: стандартные алгоритмы и манипулирование (оперирование) такими записями по ходу решения иногда приводило к осмысленному результату, т. е. формальное отсутствие смысла по ходу дела устранялось в итоге как при 10 + (3 − 5) = 8 и как при 10(3 : 5) = 6. Войдя, как допустимые и даже удобные иногда (как у Шюке) элементы выкладок еще задолго до XVI в, эти объекты к XVII в. достаточно крепко прижились, по крайней мере, в практической математике (дробные числа употреблялись логистами и при Пифагоре). Проблемы с этими числами-записями начали возникать, когда к ним начали присматриваться профессиональные ученые, воспитанные на греческой строгости. И дело не в греческой науке, а в разумном согласовании с интуицией, с которой уже была плотно согласована теория величин. Величина тогда была символом количества. И у величины главное свойство — часть меньше целого. А все нескладухи и абсурды с этими ноГлавное выми псевдочислами и начали вращаться восвойство круг этих самых понятий “больше”, “меньше”. Да еще в связи с этим самым нулем, который до того был символом “ничего”. Его и числом не считали. Разве “ничего” или “нисколько” отвечает на вопрос Ψ-препятствия “сколько?”! Нет! На вопрос “есть ли ктонибудь?” или “есть ли тут что либо?” Да! По типу вопроса: “Кто там?” (у немцев — “Wer ist da”, т. е. “кто тут?”). Но — это о наличии присутствия, а не о количестве. И если даже смириться с тем, что нуль-Ничего означает количество по типу пустого кармана (или кошелька), то как можно согласиться с возможностью взять чего-либо существенное из этого пустого кармана. Да еще в нем чего-то и появится (без спросу, естественно). Разве может быть что-то меньше, чем ничего? Вот эта старая система арифметических представлений, органически связанная с бытовой культурой и укрепленная греческой наукой, являлась главным чисто психологическим препятствием для адаптации к новым объектам. 201

А ведь требовалось всего-ничего! Согласиться перенести на эти новые штучки название «число»! Вычислители давно уже так и делали. Но в ученых заговорили снобизм, ну и, естественно, потребность в “греческой чистоте”. А она пока не получалась. Ну да ладно с этими учеными мужами Снобизм — XVII века. Нас интересуют не дяди из той союзник древности, а современные школьники. Так в интуиции том то все и дело, что им, не имеющим никакого опыта самостоятельного абстрагирования, гораздо труднее, чем дядям Эйлерам въехать в вопрос: “почему умножая на 2/3”, мы не увеличиваем, добавляя (−4), мы опять же не увеличиваем, почему соответствующий алгоритм сложения, который требуется выучить наизусть, на самом деле дает не сумму, т. е. не отвечает на вопрос “сколько всего?” и проч. Если бы дело было только в праве называть дроби и записи типа (−2) числами, проблемы особой не было бы. Подумаешь, называть половину числом, или, как раньше, частью или долей. Дело было в том, что на новые объекты вместе с арифметическими действиями должен быть автоматически перенесен весь язык, все математическое просторечие. А вот тут все гораздо хуже. Ведь, скажем «делить» в обычном языке Язык означал делить - распределять на доли — на арифметики двоих, на троих и проч. Это — самое трудвеличин ное понятие во всех новых числах. Что значит, разделить на половину? Это на сколько частей или на сколько человек? И почему это вдруг в результате деления (а это привычное бытовое действие) — результат сразу станет больше делимого? Тут явно что-то не так. То же и с «умножить». Как вообще нормальным людям пришло в голову применить слова “умножить на половину” вместо “взять половину”? Ответ, вообще говоря, есть — все из той же вычислительной практики. Действие с дробями в практической математике — дело важное. И они (дроби) изучались досконально. Найти дробь (часть) от числа, найти число по его дроби (части) — центральные для практики задачи из теории дробей. Но в практических задачах сплошь и рядом приходилось, например, брать нечто три с половиной раза (три с половиной аршина сукна). Естественно, цену умножали (а как иначе) на три с половиной. Но это, очевидно, значило, что цену за аршин нужно было взять три раза и еще за поларшина, т. е. взять 202

половину цены аршина. Вот эта вычислительно-торговая практика, обычная для бытовой арифметики, и привела к взаимозамене — взять дробь от чего-то и умножить на дробь это чего-то. “Умножить” арифметически в смысле “взять” практически. В то время это могло смутить лишь человека, отрешенного от живой практики (хотя бы и традициями греческой строгости). Сейчас же это может смутить любого. “Добавить” = “увеличить на” — это синоним во всех языках, так же как изначально “вычесть” = “взять (вынуть) часть” = “отнять (отъять)”. И здесь добавление (−2) неизбежно приведет к недоразумению. Вообще, весь исходный арифметический язык применительно к новым обстоятельствам сплошь и рядом будет приводить к недоразумениям. И виноват здесь не язык. Иногда легкомысленные комментаторы деЯзык устарел лают очень простой вывод: язык де устарел, сплошь и рядом архаизмы, нужно менять термины. Забавно, но факт, — профессиональные математики так никогда не рассуждают. Они могут содержательную мысль даже жестами и междометиями выразить, для них главное — не язык, а выражение мысли. Но это — если смотреть слегка. На самом деле, количественные представления формировались у человека очень давно, вместе с языком. Когда эти представления были даже не количественными, а качественными. И соответствующие этим простейшим представлениям слова и даже междометия укоренились в изначальных пластах нашего языка на уровне сенсомоторного интеллекта — самой нижней ступени мышления довербального, т. е. дословесного мышления: на, дай, еще, мало, часть, чуть-чуть, еле, добавь, доля, (делить, судьба и проч.), ряд (порядок), я, ты, тот, вон, он, сам, оба, пара, двое, твой, мы, много и т.д.). Приведем два характерных примера, где слова родного русского языка буквально впаяны в математическую речь. Мы говорим “делить НА” два, три или какое либо другое число. Равно как и “делить на двоих, троих, . . . ”. Причем тут предлог “НА”? Почему, например, не “для”? Ведь для от доли, однокоренного слова с делить. Казалось, естественно при делении (на доли) приговаривать “для Пети, для Коли и т. д.”. А мы говорим — “на” двоих, троих и проч.! Ответ мы получим, если вслушаемся в это “на”. Не в предлог, а в слово “на”. Что мы услышим? А мы услышим возглас “на!”. 203

Чуть ли не самый ранний в памяти каждого смысл: «“На!” — в cмысле “возьми!”». Когда что-то предлагается взять из протянутой руки! Что и происходит при дележе — раздаче, как на заре обыденной культуры. Это — один из самых первых озвученных смыслов простейшего действия простейшего сказуемого. Ясно, что, войдя в язык, это слово оказалось в самой основе, в коренном ее слове, в коренном ее слое. И изменить роль этого слова невозможно, не шевельнув целиком всего, что наслоилось сверху, всю органическую толщу нашего языка. Основополагающее для всей математики Число слово ЧИСЛО уже на Древней Руси подразупо-старорусски мевало современную широту содержания. Существовало более широкое содержание, чем ему начали придавать в учебной математике с отсылкой к традициям древних греков. Описываемая ниже реконструкция этимологии «Числа» приводится впервые. Во времена Кирика Новгородского числами называли спискиперечни с указанием долевых-паевых размеров участников коллективного действия. По типу: Иван – два; Петр – три; Степан – один. Отсюда “зачислить-занести” в список, “перечислить-назвать” всех по очереди с упоминанием количеств долей, “отчислитьубрать” из списка. Точно так же “вычесть-вычистить”, выбелить из списка, выполненного на бересте. Но вот слово «числитель» — явно от корня «число». Но — неотъемлемый атрибут дроби. Где он?!? А в правой колонке. Количество, соответствующее имени, и есть его числитель – количество долей. А вот знаменатель получается сложением правых количеств-долей. Прямая расшифровка «знаменатель» — знак именуемый. Тем самым доли именуются по количеству их частей в целом (т. е. сумма). Но именование долей (даже обозначение) по их количеству в целом – древнейшая традиция, восходящая к Древнему Египту и Вавилону. Таким образом, в целом слово «число» уже по древнерусски означало означало в том числе правило определения размера части, соответствующей каждому из участников дележа. Поэтому ко времени создания в России первых систематических учебников арифметики по типу книги Магницкого, компилирующих аналогичные европейские руководства, и к моменту внедрения 204

в русскую арифметическую речь терминов типа номер, уже при Кирике Новгородском вопрос о том, является ли дробь числом, на Руси был бы неуместен. Аналогично тому, является ли дробь номером? (Латинская традиция.) § 8.3 Педагогическая пурга Можно ли какую-либо запись назвать числом? кошку назвать коровой? Что такое число — в школьной математике никто не знает. Самое главное — не утратить смысл. Новые числа — другие числа. Чем они хуже старых? Какая практическая нужда породила плюс-минус числа? — никакая! Другие числа — элементы другой математики.

Заметим, что под словом «арифметика» до недавних времен понималась совсем не наука о числах и действиях с ними, как всех нас ухитрились убедить, размахивая словом (число). Арифметикой называли до XVIII века науку (сумму знаний) о методах решения (с помощью чисел) практических задач. Поэтому «Арифметиками» назывались все справочники и учебники по практической математике (от Боэция и Фибоначчи до Л. Пачоли, Я. Видмана и Л. Магницкого), хотя в них встречались и фрагменты индийско-арабских методов использования уравнений, т. е. элементы алгебры. К XVIII веку появилось название «Универсальная арифметика» применительно ко всему, что можно было складывать, вычитать, умножать и проч., другими словами (по И. Ньютону) арифметика величин произвольной природы. Понятие величины пытались расширить (от греков) до отрицательных и дробных чисел, бесконечно малых величин, числовых и буквенных выражений, многочленов и проч. √ Или результат деления (2:3)? Или 2? Или Можно ли − 12 запись 2-3=0-1 2 ? Или sin 2? И т.д. Подобные записи стали рядовыми в вычиссчитать лительной практике и с ними обращались, как числом? с числами. Правда, лишь в процессе решения задач. Понимая, что эти и подобные объекты Обзывали, как не совсем законны, их обзывали абсурдными числами, ложными, иррациональными, софимогли стическими, глухими и прочими. Но, как говорят, “назови хоть горшком, только в печь не сажай”. Однако очень уж хотелось этот горшок с псевдочислами поставить в печь — всучить общественности, т. е. заставить всех признать, что эти псевдо (квази) числа есть настоящие числа. 205

Вот тут-то все началось. Непрерывный шум и гам продолжался аж до XIX в., пока серьезные математики для себя, по крайней мере, довели все до полной ясности. О ней, этой ясности, мы скажем чуть позже. Главным источником и провокатором шума стала не научная, а педагогическая общественность. Именно ею на страницах вновь создаваемых массовых учебников авторы их (как правило никакие не ученые) категорически настаивали, что новые т.н. числа – самые что ни на есть настоящие числа. Какая, казалось бы, разница. Ну применили старое слово к новым объектам — чего не бывает. Раз прилипло, например, слово «число» к дробям – пусть уже так и будет. Но √ методическая мысль требовала обратного. Если 2/3 или (−2) или 2 — это числа, значит, само исходное понятие числа было до сих пор не понято. И греки его не поняли! Да и Ньютон, выразивший аналогичную предыдущей мысль (неудачный де термин «умножение» для дробей – но делать теперь уже нечего, раз уже внедрился в язык), тоже не смог проникнуться. Поэтому методическая мысль начала искать в глубинах слова «число» нечто, что могло бы объяснить все возможные нескладухи. Нам, математикам (да и просто людям здравомыслящим), в подобных ситуациях вроде бы понятно, что прежде чем спорить, нужно выяснить предмет спора. А именно, прежде чем судить про чего-то, число мол это или не число, нужно договориться, а что мы понимаем под этим словом число? Определить исходное понятие – естественное требование любой дедуктивной системы. В математике – это как раз со времен греков стало очевидной истиной. Греки отвечали просто: число – собрание Итак, что же единиц. Неделимых даже. Так понимали все такое число? математики до XVII века. Но тогда все вновь появившиеся объекты – явно не числа. Не тянут они на числа. Не отвечают, например, на вопрос “сколько?” (это – для полноты тогдашних эмоций). Методисты того времени потихоньку, а чем дальше – тем громче, начали проводить мысль: мол, устарела эта греческая позиция. Жизнь идет вперед, наука вон как продвинулась, уже и дифференциальные уравнения на всю катушку работают, а нам нельзя детям √ объявлять, что 2 – это число. Не потерпим! Но ведь вроде бы и Извлекли на белый свет

206

согласились считать эти вещи числами, не совсем настоящими, но все же числами. Нет! Не нужны нам числа второго сорта. √ √ Требуется Только первого сорта! И (−2), и 2, и −2 и расширить т. д. – все это есть настоящие числа! понятие числа Ладно! Но тогда давайте, все таки, договоримся, что мы все вместе, хором согласны считать числом. Давайте дадим хоть что-либо, похожее на определение числа. Мы попали в самую неприятную точку. СТОП Ψ-числа Можно сказать, в сердцевину главных методических проблем! Оказывается, ответа на вопрос “что такое число?” — педагогика математики не знает! Вместо ответа — словесное сальто-мортала: “Число — понятие первичное и потому определено быть не может!” Да, в самом деле, в рамках аксиоматического построения математики, развитого Гильбертом в начале XX в., вообще никаких определений (для первичных понятий) нет. Все, что надо, описывается вместе с необходимыми свойствами пакетом из нескольких десятков аксиом. Но это – метаматематика, т.е. наука о математике, над математикой. Ее и профессиональные математики воспринимают, как “мебель в комнатах для гостей”. А разве математики XVIII и XIX вв., создавшие математическую базу естествознания, не понимали смысла числа? Неужели те же Остроградский, Чебышев, Гаусс, Коши не знали ответа на вопрос “что такое число?”. Или их великие предки Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Даламбер, Лагранж и прочие? Но именно эти ученые и забеспокоились, обнаружив, что преподавание отрывает математику от интуиции. Ибо именно методисты придумали набор слов (как клише) “чис√ √ ло вида 2/3 (или −2, или 2, −1 или что еще) называется. . . ”. Налицо чисто психологический напор. Читатель (или слушатель) даже и сомневаться не должен, что та запись, которая далее не предъявляется, есть число. Вместо определения — заговаривание зубов, как бы Ψ-дефиниция. Аналогичное высказывание на тривиальном уровне может показаться глупой шуткой: Корова лазит «Корова вида (предъявляется картинка кошпо деревьям ки) называется “кошкой”. Эта корова не доит207

ся, зато умеет лазить по деревьям и ловить мышей». Абсурд, скажете. А почему разность (2 − 3) может считаться числом? Ведь без формального определения, хотя Вместо бы для учителей, для их психологической уведефиниций — ренности, для их убежденности в своей правотолько те, использование слова «число», а оно испольинтуиция зуется непрерывно и повсеместно, вынуждено опираться на чисто интуитивные бытовые ассоциации. И кроме ассоциаций — ничего. Но почему на уровне начальной математики, как и в любых начальных знаниях, не поискать опору среди самых обыденных ситуаций. Когда кое-что можно объяснить и на пальцах. Ведь самое главное — не потерять смысла! А вот до этого тезиса педагогической матеСамое главное матике всегда было далеко. Помните цитату из Вольфа? Главное — логика и дедукции. — не утратить Вот и получается: что такое число — ответа смысл! нет. И не предвидится! Что такое сумма чисел — ответ также не предвидится. Вот как сложить их — ответ найти можно. В виде алгоритма. Но как можно понять смысл действия, если неясно, куда это действие направлено? И не удивительно, что уже на первых шагах арифметического образования детей приучают суммой называть запись (2 + 3). Это уже и в наших учебниках. А ведь уже несколько лет назад академик В. И. Арнольд приводил типичный пример ответа учеников привилегированного парижского колледжа. На вопрос: “Чему равно «2 + 3»?”. Следовал ответ: “«(3 + 2)», т. к. сложение коммутативно!” Дети, оказывается, не понимали даже смысла вопроса. А у нас детей учат, что 2 + 3 — это сумма, а 5 – значение этой суммы. А в чем смысл значения (по-старому — суммы) — сам должен догадаться. Не можешь – иди в кикбоксеры, потому как и зарплату свою сосчитать не сможешь. И начинаются эти самые проблемы. Нужно любой ценой доказать, что новые числа нехуже натуральных. И вот – дробь 2/3 есть результат деления (2 : 3). А (−1) — это вычитаемое, это результат вычитания (2−3), это шаг налево, если при этом смотреть направо. “Но ведь 2 на 3 не делится! И из двух нельзя же три вычесть!” — “Господи, ну какой же ты бестолковый! Ведь сколько раз сказано и пересказано! Сколько можно долбить — результат деления 2 на 3 208

обозначается через 23 . А результат вычитания 2−3 — через (−1). Берем единичку, ставим впереди «минус», получаем «−1». Читается «минус один». Читаем все вместе: «из двух вычесть три, получится минус один». Ведь три минус два и есть единица! Неужели и теперь непонятно?” Против таких Ψ-доводов устоять, естественно, невозможно. Однако, в чем же дело? В том, что на фоне Иные числа натуральных чисел, впаяных в систему бытовых представлений, в интуицию, в обыденную культуру поведения, новые числа — это другие числа. Это четко понимали греческие ученые. Помните, мы цитировали Платона, который смеялся над купцами, что они де единицу разменивают на мелкую монету. Мы приводили и мнение, даже рекомендацию Омара Хайяма, о целесообразности введения в математике (не в быту, как этого добиваются наши педматематики) делимой единицы и нового типа чисел, удобных одновременно для нумераций и вычислений, т.е. для решений реальных задач. А ученые XV – XVIII вв.? Они же не протестовали против этих новых чисел, не предлагали их выкинуть из математики. Они просто возражали против того, чтобы валить их в одну кучу с натуральными числами. Натуральные числа – самое пронзительное достижение математической культуры. В Чем новые этом убеждены многие серьезные мыслители. числа хуже Не даром считается, что их даровал Бог. Об старых? этом прямо говорит Гаусс в своем знаменитом высказывании: «Числа (number, т. е. номера) дал нам Господь, а остальное — творение рук человеческих». Греки в своих легендах считали, что Числа вместе с Огнем принес людям Прометей, чем разгневал весь Олимп. Мощь и гибкость натурального ряда в том, что он объединяет возможности количественные и порядковые – совершенно различные качества. Все расширения понятия числа идут от количественной абстракции. Ибо в практической математике задачи связаны только с количественной стороной дела. Недаром и Аристотель говорил, что математика – это наука о количествах. От арифметических действий с количествами и происходят новые числа. Дробные числа оказываются удобными для процедур умножения-деления, а плюс-минус числа удобны для сложения и вычитания.

209

Главный вопрос — «Сколько?»

А ведь в бытовых представлениях натуральные числа связаны на начальноинтуитивном уровне отнюдь не с арифметикой, не со сложением-умножением, а с упорядоченностью, точнее даже – с очередностью. Со счетом. Ведь самая начальная ассоциация (не дефиниция, а именно ассоциация) — натуральные числа возникают (используются) при счете. Ведь и сложить по сути — то, что означает? – свалить в одну кучу и пересчитать. Да и вопрос в арифметике главный какой – «Сколько?». А как на этот вопрос отвечать - подсчетом, а уж если не получится сразу, тогда уже нужГлавное но и подсуетиться. Но вся эта дополнительная действие — суета — это лишь способ решения исходной засчет дачи, ускоренный подсчет. Поэтому! Объявляя все натуральные числа положительными и отождествляя их с целыми положительными числами (что и началось в школьных учебниках), мы отнимаем у натуральных чисел право использоваться при счете, быть номерами и проч. Т. е. мы не только деформируем их функции, мы натуральные числа просто кастрируем. Ведь если 4 теперь равно 20 5 = +4, то как вы любым из этих “номеров” обзовете четвертый класс (курс, этаж и проч.)? А ведь числа-номера все равно в математике сидят и в символике: в степенях многочленов неизвестной, в любой рекуррентной формуле, в теории чисел, в символике рядов, бесконечных произведений, в интегральных суммах и т. д., и т. п. И несчесть числа мест, где без натуральных чисел не просто не хотят, а и не могут обходиться. Таким образом, даже в чистой математике натуральные числа живут как бы двойной жизнью — прежней, как числа-номера (и порядковые числа), например, в названиях знаменателей, и другой жизнью, не сказать новой, как целые положительные числа-точки числовой оси в рамках метрической культуры и как база последующих чисто алгебраических расширений до Q. Если же говорить о натурально-интуитивной математике, привычно используемой Натура в минус числах людьми испокон веку, то там в этих новых чисне нуждалась лах нужды никогда не было. Несмотря на все заклинания методистов, мол без этих новых 210

чисел ну никак жить нельзя. Невозможно просто! Многочисленные примеры таких доводов читатель сам может найти в методической литературе. И, надеюсь, сможет удивиться серьезности, с которой произносится (и пишется) откровенная чепуха. А на самом деле, левее на сколько-то, или правее, или выше, или ниже говорили всегда. И всякие плюс-минус здесь ничего не проясняют. Почему, скажем, три метра глубины хуже, чем минус три метра высоты? И разве три градуса мороза звучит хуже, чем минус три градуса тепла? А координаты использовались астрономами за много веков до введения плюс-минус чисел. Говорили: “Столько-то градусов северной широты и столько-то восточной долготы”, — и всем все было ясно. От какой такой практической нужды обнаружились эти числа?! А ведь и без трех минут, через два дня, недовес 5 кг и прочее — очевидные (и незамеченные методистами) интерпретации относительных чисел были известил бытовой культуре испокон веку. Самое печальное в этой связи – педагогика математики (то бишь методика) не заметила, что эти новые числа – резко более абстрактны. В отличии от предыдущих, и плюс-минус числа и дробные числа – это виртуальные элементы неземных пространств. В практических реализациях эти числа являются относительными, т.е. их нужно к чему-то отнести. К какой-то конкретной величине. Простейший пример – половина, сиречь 50%. И то, и другое якобы – числа. Однако и ежу понятно, что здесь явно чего-то не хватает. Половина, 50% должны быть, чтобы наполниться смыслом, к чему-то прислонены. Половина – чего? 50% – от чего? Эти же вопросы буквально кричат из подтекста. Прислонять их можно и к числам. Дробь создана гением предков, чтобы оценивать меру части. Части чего-то. И это — главный подтекст. А этот подтекст уже школьной математиПроценты есть кой выбит окончательно. И затоптан тщательдроби-части но! Возьмите любой школьный учебник и посмотрите, что называется процентом, и везде вы найдете одно и то 1 же: 1%= 100 . Но попробуйте теперь среагировать на сумму 21 +50%. Странно, не правда ли? А теперь представьте, как на эту запись может смотреть автор любого учебника. Можно поспорить, что подобные записи ему, по-видимому, и в голову не приходили. Фантазии не 211

хватало? А если так: 12 + 50% – ведь строго говоря, знак «плюс» может (а при прямом переводе plus с латыни – и должен) быть озвучен, как “увеличить на”, т. е. нужно половину увеличить на 0,5? Уже просто натуральные числа являются понятиями чрезвычайно абстрактными. Р. Бэкон считал их плодом самой глубокой абстракцией мысли. Не зря Кантор, создатель теории множеств, вводя понятие мощности – аналога числа, ставил над символом M множества две черты M , объясняя это необходимостью двойного абстрагирования: первое отвлекает от природы элементов, а второе – от взаимосвязи между ними. Новые числа, вошедшие в употребление в XVI-XVIII вв. – по сути результат очередного этапа абстрагирования. В отличие от прежних чисел – натуральных и дробей, которые можно ощутить чувНовизна в ственно – перебирая-пересчитывая элементы уровне абстракции или доли, т.е. воспринимая их самым примитивным сенсо-моторным интеллектом (естественно, в отраженно-интериоризированном виде), новые числа являются объектами виртуальными, т.е. мысленными, воображаемыми. Они являются не абстракциями от ощущений, а искусственными созданиями в рамках абстракций среды (виртуальных представлений). Ведь точное математическое определение, скажем дробных чисел – это множество пар, где операции вводятся аксиоматически. Для них наши натурально-бытовые дроби – это интерпретация, осмысленная лишь там, где мерная единица допускает измельчение. “Полторы бабушки” или “2/3 дровосека” – очевидный абсурд. Отрицательные и положительные числа – это также символызаписи. Которые можно, конечно, интерпретировать координатами, убытками-прибылями и проч. Но в реализации они бессмысленны без начала отсчета. Передвинь его, и все реальные результаты меняются. Именно эту относительность описания, благодаря Даламберу, осознали математики к концу XVIII в. И физики также, и даже еще активней. Но не наши математики-методисты. Несмотря на то, что этот взгляд на плюс-минус числа, и даже их название как об относительных числах, просуществовало у нас в России весь XIX в. (а во Франции, как и среди физиков всех стран, название относительных чисел живо до сих пор), в начале XX в. нашей методической мысли удалось взять реванш. И уже с середины XX 212

в. термин «относительное число» канул в Лету, как архаизм. Но термин-термином, дело не в нем. Вместе с водой, как говорится, выплеснули и ребенка. Вместе с отброшенным термином напрочь отбросили и соответствующее представление о том, что натуральные числа и целые положительные числа – две большие разницы. Это, прямо скажем, не просто горько, а даже скорбно. Величайшие умы прошлого достаточно энергично напрягались, вникая в сущностную сторону дела. (С философско-методологической точки зрения она ясна и дилетанту от философии.) Добились ясности. И все было ясно всем почти два века. А потом нашлись деятели, ухитрившиеся так ловко и мощно запудрить всем глаза. В свете Ψ-математики такая путаница очеМимо УрМ-3 видна методическим провалом. Освоение сути виртуальных чисел возможно лишь на УрМ-4, т. е. от обычной арифметики чисел и величин-дробей необходим перескок через одну ступень — УрМ-3. А это, заведомо, обрекает всех детей на неспособность понять. Максимум, что из этого выходит — чисто механическое освоение алгоритмов манипуляций со знаками и символами. У наиболее терпеливых и выносливых понимание в конце концов приходит. Но позже. Как и положено, через 5 лет. Обратим внимание на еще одно обстоятельство, незамеченное толком методистами. Высматиривание в прошлом момента, когда вычитаемое превратилось в субъект права в математике, означает лишь непонимание историками сути дела. Хоть они и вышли все из стана материалистов-диалектиков. Когда нужда подперла, записи вида «−2» или e 2 стали такими субъектами. И дело не в том, что их раньше не могли разглядеть - в них просто не нуждались. Но вот отсутствие понимания сути дела у наших псевдофилософов и привели к путанице N с Z + . С дробями сложнее. Тут никто никуда не присматиривался. Хотя до XVI века дроби озвучивались даже, как набор долей, и записывались в виде 3 четверти, а большей частью, просто как сумма разных долей, на египетский манер (у купцов это было аж до XVI века). Когда была в массовом порядке использована дробная черта, почти сразу оказалось, что, например, (3 : 5) = 3/5. Это совершенно нетривиальное равенство – одно из самых трудных мест в «учении о дробях», над которым работали серьезные математики в течение всего XVII в. Для практиков это равенство 213

воспринималось как догма. Именно из-за этой догмы, не умея логично обосновать предыдущее равенство, дробную черту стали считать символом отношения. Дальше все пошло как надо — записи вида (3 : 5) после замены на 3/5 мгновенно перепутали с дробями. И вопрос о том, является ли дробь числом или нет, как бы и пропал. А теперь, дорогой Читатель, — открой любой школьный учебник в разделе о дробях. И увидишь — все текстовые задачи связывают дробь с частью. Абсолютно все! Но все абсолютно примеры озвучивают дроби как числа. И ни намека даже, ни оттенка на тему: разве часть есть число? И может ли быть дробь без части?

214

Φ–9. Универсальная арифметика Валлисом (начало XVII в.) началось формальное распространение арифметических операций (сложение, умножение) с натуральных чисел на объекты более общей природы. В частности, сам Валлис разрабатывал арифметику бесконечно малых величин. Уже с тех времен арифметикой начали называть просто исчисление на основе операций сложения и умножения. Школьная математика имеет дело с несколькими такими арифметиками, у каждой из которых есть свои особенности. § 9.1 Элементарные арифметики Арифметика натуральных чисел. Арифметика величин. Арифметика дробей.

Как говорится, это — классическая арифметика. Ограничиваясь взглядами греков, будем считать, что число состоит из неделимых единиц. Сумма — то, что отвечает на вопрос “сколько всего? ” , т. е. количество единиц в объединении. Число получается подсчетом количества элементов. Оно не зависит от порядка счета, поэтому m + n = n + m и (n + m) + p = n + (m + p). Умножить на k – взять k раз слагаемым. Разделить n на k – значит найти p такое, что kp = n. Если окажется, что n = kp + n0 при n0 < k, то n0 называют остатком при делении n на k. Для величин одного рода есть процедура Арифметика сложения a + b, при этом каждое слагаемое величин. является частью и потому меньше целогосуммы. Для натурального n через na обозначается n-кратная сумма a + a + . . . + a. Если na = b, то a называют n-ой частью b, т. е. результатом деления b на n частей. Отыскание n по b и a есть измерение b с единичной мерой a. Это есть деление – измерение — деление по качеству. Тем самым имеется два вида деления — на части (по содержанию) и по качеству. Если na = kb с натуральными n, k, то величины a и b называют соизмеримыми. Пишут b = k1 (na), a = n1 (kb) или a : b = k : n. Величины обычно предполагаются неограниченно делимыми, т. е. для любого n ∈ N и произвольной величины a существует b = n1 a. Вопрос о соизмеримости величин одного рода может решаться процедурой попеременного взаимоделения. Если a = nb + a0 при Арифметика натуральных чисел

215

a0 < b, то мы здесь имеем аналог деления с остатком. Его можно продолжить. Пусть b = k0 a0 + b0 при b0 < a0 . Тогда возможна символическая запись 1 1 a =n+ =n+ . b b/a0 k0 + b0 /a0 Если эта процедура соизмерения, называемая алгоритмом Евклида, завершится за конечное число шагов, т. е. очередной остаток окажется равным нулю, то отношение a : b может быть выражено отношением исходных натуральных чисел. Дробь — символ части, измеренной долями целого. Т.е. 2/3 от a означает (по определеАрифметика нию), что для любой величины a берется два дробей раза по 13 a. Дробь – объект относительный, приобретает реальный смысл, если ее “прислонить” к какой либо величине a. Взять дробь – ясно по смыслу: взять 2/3 от a — это значит взять дважды 31 a, т. е. 13 a + 13 a = 2( 13 a). Задачи “найти целое по части” или узнать, какую часть a составляет от b — очевидно тривиальны. Дроби по сути – линейные отображения в пространстве величин. “Оживая” в применении к величинам, они сами оказываются величинами. А именно, для них сложение определяется в применении к произвольной величине (

m p 4 a a a a a + )a = m( ) + p( ) = mq( ) + pn( ) = (mq + pu)( ) n q n q nq qn qu

p mq+pu или, короче, m n +q = qn . Мы получили тем самым правило сложения дробей с исчерпывающей мотивацией. Взять дробь от дроби p mp m a (m n от q ) естественно по правилу n от p( q ), что приводит к nq p mp m от a, т. е. n от q , есть nq . Эта процедура взятия дроби от дроби может быть названа процедурой умножения дробей. Если учесть, что ma = m 1 a, то такая процедура взятия дроби от дроби расширяет обычную процедуру умножения на натуральное число. Поэтому термин «умножить» для дробей может быть сохранен, хотя бытовой (не арифметический) смысл его радикально изменился. Это необходимо четко объяснить. Слово то же, а смысл совсем другой, с корнем “много” может и рядом не сидеть, как например, умножить на половину — это просто взять половину, т. е. наверняка, уменьшить.

216

§ 9.2 Абстрактные арифметики Арифметика дробных чисел. Арифметика целых чисел. Арифметика рациональных чисел. Арифметика многочленов.

Остановимся на основных примерах из школьной математики. В отличие от дробей, которые связаны с Арифметика величинами, измеряя их части, и тем самым дробных чисел являясь компонентой бытовых представлений, дробные числа есть объект совершенно другой сущностной природы, поскольку они определяются парами натуральных чисел и потому отстранены от величин. Хотя могут реализовываться и дробями. Дробным числом называют запись вида m/n, где m, n ∈ N . Два p дробных числа m n и q считаются эквивалентными (и отождествляmk m ются), если mq = np. Тем самым m m = 1 и nk = n – это обычно считается (когда – очевидным, а когда – доказываемым на натуре) основным свойством дроби. У нас оно аксиоматизируется в принципе отождествления. Эквивалентные дробные числа не различаются. Действия с дробными числами определяются так же аксиомаp 4 mq+np + тически, т. е. m n +q = nq . Множество Q таких чисел замкнуто относительно процедуры умножения и деления, оказываясь абелевой группой по умножению. Дробные числа – продукт измерений. Максимально простое формальное описаАрифметика ние – это N − N , т. е. множество разностей целых чисел (записей) вида m − n при m, n ∈ N . Две такие записи (m − n) и (p − q) эквиZ =N −N валентны по определению (и не различаются), если m+q = n+p. Нуль есть символ разностей вида n − n. При m > n класс адекватных (m − n) элементов-записей эквивалентен множеству натуральных чисел m − n. Действия определяются естественно (m − n) + (p − q) = (m + p) − (n + q), (m − n) · (p − q) = (mp + nq) − (np + mq). Отсюда сразу видим правила действий со знаками, которые понимаются на арифметический лад. При m < n “число” m − n называется отрицательным. Если n − m = k ∈ N , то m − n адекватно 0 − k, что записывают более коротко m − n = −k. 217

Такой подход наиболее близок сущностной интерпретации плюсминус чисел — быть отклонениями, разностями, координатами, векторами. Если a и b — какие-либо точки на прямой, то значение разности a − b не зависит от того, где на этой прямой выбрано начала отсчета. Это множество обозначают через Z. Его можно ввести и по другому, сильнее вуалируя векторно-физическую природу. А именно, множество Z определяется как совокупность Z = N ∪ {0} нуля и записей вида «+k» или «−n» при k, n ∈ N . Знак «+» или «−» означает, что число (+k) или (−k) при взаимодействии с любым другим должно быть добавлено или вычтено — в арифметическом смысле соответственно знаку. Символ «+» для любых a, b из Z означает, что a + b понимается как результат естественного взаимодействия «a и b» этих чисел соответственно их знакам. Любое такое число удобно представлять в виде «+k» есть k раз по (+1) и, аналогично, «−k» есть k штук (−1). Естественно, «(+1)» и «(−1)» есть 0. А потому, например, (−5) + (+3) = 5(−1) и 3(+1) = 2(−1) + (3(−1) и 3(+1)) = −2. Переход к использованию таких чисел требует немедленного объяснения того, что все Арифметипрежние арифметические слова меняют вообческие слова меняют смысл ще говоря смысл: a + (−2) не должно озвучиваться , как “к a добавить (−2)”, т. к. на самом деле здесь будет не добавление, а вычитание двух. Учителям полезно вспомнить для таких Принцип перчисел так называемый “принцип перманентноманентности сти”. Обычно считается, что это некоторый закон, согласно которому отрицательные и положительные числа обладают достаточно хорошими для вычислений свойствами, хотя и не совсем согласующимися с арифметическими терминами. На самом деле, принцип перманентности — это правило, по которому операции в расширенных множествах вводятся так, чтобы не противоречить уже ранее существовавшим (на более узких частях). Дело в том, что правила на расширениях не падают сверху, они вводятся самими математиками. И надо их вводить так, чтобы не 218

создавать себе аналитический дискомфорт. Вот, собственно, и вся суть этого принципа перманентности. Особо следует подчеркнуть следующее. Хотя Z допускает разнообразные реальные интерпретации – координаты, векторы, отклонения, но само по себе множество Z состоит из существенно более абстрактных, более отстраненных от натуры (от физики, как говорили в древности) объектов. Ведь (0 − 2) = (−2) – это запись. Завязанная на натуральном числе 2, но все же запись, т. е. объект, произведенный из чисел обычных (натуральZ + 6= N ных). Поэтому грубейшей ошибкой является прямое отождествление целых положительных чисел с натуральными. Эти числа из разных этажей абстракции, разных математик. Целые положительные числа — объекты из чистой, теоретической, формализованной математики, а натуральные числа — продукты счета, объекты бытовой системы представлений. В математике, именно и только в математике, их отождествлять можно. Но на бытовом уровне – ни в коем случае. Мы обращаем на это особое внимание именно потому, что в методической литературе, как правило, пишут наоборот. Как только появляются положительные числа, а мы это даже из учебников цитировали, делается декларация: натуральные, (т. е. прежние) числа называются положительными. И дальше – только целые положительные числа. Одно из двух. Либо с подобного момента (знакомства) про натуральные числа необходимо напрочь забыть, как про печальный эпизод прошлой жизни, либо все-таки иногда можно представить, что натуральные числа – это и еще чего-то. Но об этом забывают сказать. Громко и четко объявлено, что теперь N есть Z + . И баста! А как с номерами? А со знаменателями? Да и с порядковыми числительными? Грамматику менять? А потом со счетными множествами, последовательностями?!? Дискомфортно несколько без N и в математике даже. Математики-профессионалы это прекрасно понимают . А что методисты увлеклись, мы это им простим. Главное, чтобы мы сами поняли и подобную глупость не повторяли. Множество Q+ получается формально из Z как Z/N , т. е. как совокупность записей виАрифметика рациональных да ± m n , где m, n ∈ N (с добавлением нуля). чисел. Принципиальных структурных отличий (как вводить операции) здесь нет. Очевидно, если 219

через A обозначить множество дробных чисел, то Q можно представить в виде A−A, т. е. в виде совокупностей разностей вида a−b при a, b ∈ A (c естественным отождествлением, как было в N − N ). Хотя многочлены – активно используемый Арифметика в школьной математике объект, про про него многочленов забывают сказать слова, определяющие действия. А слова эти – принципиально новые. Многочленом степени n называют запись вида an xn +an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , где a0 , . . . , an – числовые коэффициенты и an 6= 0. Обозначим множество таких элементов-записей через {P }. Для любых многочленов P (x) и Q(x) их суммой называется многочлен, который получается из P (x) и Q(x) сложением коэффициентов при одинаковых степенях. Нулем в {P } объявляется тождественно нулевой многочлен (у которого все коэффициенты нулевые). Поэтому P = Q тогда и только тогда, когда P (x) = Q(x) при всех x. Произведением P Q многочленов P (x) и Q(x) называется новый многочлен, который получается прямым перемножением алгебраических выражений P (x) и Q(x). Множество {P } используется при анализе алгебраических уравнений. Весьма важным является понятие деления в {P }, похожее на деление в N с остатком. Говорят, что многочлен M (x) является частным от деления P (x) на Q(x), а многоДеление член R(x) – остатком, если степень R меньше многочленов Q и, главное, P (x) = Q(x)M (x) + R(x) – что по определению означает тождество P (x) ≡ Q(x)M (x) + R(x) (при всех x). Во всевозможных пособиях эту особенность, определение умножения тождеством, забывают отметить, операции звучат так, как будто в качестве многочленов берутся просто функции. В результате теорема Безу, согласно котоТеорема Безу рой при Q(x) = x − a мы должны получить P (a) = R, превращается в полную бессмыслицу, ибо при x = a делитель Q = (x − a) есть нуль. Таким образом, сложение и умножение (и деление) многочленов в {P } определяется не поточечно, но алгебраически, сразу для всех x. Именно поэтому в {P } не допускаются так называемые алгебраические дроби.

220

§ 9.3 Арифметика бесконечных Актуальная бесконечность. Странности бесконечных сумм. Актуально бесконечно малые. Арифметика Валлиса (дифференциалов). Теорема Ферма и Галилея. Теорема Демокрита-Архимеда. Следствие — теорема Ньютона-Лейбница.

Натуральный ряд чисел уже потому не может быть просто проигнорирован (включением в Z), что он дает главный инструмент анализа проблем, связаннных с бесконечностью. Само определение N , как продукт счета – перехода от n к n + 1 (что фиксирует аксиоматика Пеано) при всех n уже означает Потенциальная предъявление бесконечности в ее потенциальбесконечность ном понимании как некоего становления. Эта потенциальная бесконечность лежит в основе метода полной математической индукции. Проблемы, связанные с бесконечностью, сопровождают теоретическую математику с момента ее зарождения. Так называют завершенный бесконечный Актуальная процесс. Не результат, а бесконечный процесс бесконечность в целом. Не устремление к бесконечности, как индукция, а “все сразу предъявленное”. Различение двух толкований бесконечноАпории Зенона сти – потенциального и актуального – восходит к Аристотелю, который первый разумно объяснил классические парадоксы-апории Зенона (απωρα – безвыходное положение). I. Парадокс «стрелы», которая в каждый момент времени покоится на месте (в точке). Но если она неподвижна в каждый момент, значит, она неподвижна все время. Но как же она тогда летит? II. Ахиллеc и черепаха. Ахиллес не может догнать черепаху. Пока он добегает до того места, где она была к началу, она успевает отползти. Когда он преодолевает вновь образовавшуюся дистанцию, она успевает еще удалиться . И так далее. Каждый раз, когда он попадает на ее предыдущее место, он ее не застает. Этот процесс бесконечен, что означает: для того, чтобы догнать черепаху, Ахиллес должен завершить этот бесконечный процесс, что невозможно. III. Дихотомия. Прежде чем преодолеть путь от пункта A до пункта B, необходимо преодолеть половину этого пути. Но преодолеть половину пути невозможно, не преодолев ее половину, т. е. пол-полпути – четверть пути. Но, в свою очередь, и эту дистанцию невозможно преодолеть, не пройдя ее половину. Этот процесс бес221

конечен. Движение не может даже начаться, иначе оно означало бы реализацию (достижение) актуальной бесконечности. Вывод – движенье невозможно. IV. Апория меры (самая древняя). Протяженную величину невозможно составить из непротяженных. Если материя бесконечно делима, то ее можно разбить на бесконечно малые непротяженные элементы. Но если элементы непротяженные, тогда и сумма их равна нулю. Если же, как считают, элементы имеют малую, но протяженность, то сумма бесконечного множества таких элементов не может быть конечной. А как Вы, дорогой Читатель, отреагируеДлина отрезка те на современную интерпретацию последнего складывется из вопроса: отрезок состоит из точек, длина каждой точки нулевая (даже у Евклида точка – то, нулей — длин что не имеет протяженности). Но тогда длина точек отрезка складывается из нулей?!? С бесконечностью того или другого типа связана куча самых разных проблем анализа. Например, бесконечные суммы-ряды, интегралы. Сумма 1 − 1 + 1 − 1 + . . . стала предметом внимания уже много веков назад. Если склаСтранности дывать попарно (1 − 1) + (1 − 1) + . . . то, очебесконечных видно, получится сумма нулей. Но эта “сумма сумм нулей” при изменении порядка суммирования 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . . оказывается равной единице. Изменив в исходных последовательных парах порядок (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . . и переписав это в виде −1 + (1 − 1) + . . ., мы “получим” в сумме (−1). Если мы подойдем к вопросу сзади, предполагая, что сумма 1 − 1 + 1 − 1 + . . . имеет некое числовое значение, которое мы обозначим через x, то мы можем записать x = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − . . .) и выражение в скобках – тот же x, откуда x = 1 − x, т. е. x = 21 ! Итак, мы уже получили четыре совсем разных значения для этой “суммы” 1−1+1−1+1−. . . Можно показать (попробуйте!), что вообще любое число из [−1; 1] может рассматриваться как значение этой суммы. В чем здесь дело? 1) Для бесконечной суммы применение стандартных арифметических приемов и методов чревато абсурдами. 2) Сумма 1−1+1−1+. . . — прекрасная иллюстрация нелепости идеалистического предрассудка, полагающего, что любой набор 222

математических символов обязан иметь какой-то смысл. Именно этот последний грех типичен во всевозможных формализациях методистов школьной математики. С парадоксами бесконечных множеств каждый из Вас сталкивался в студенческие годы: Например, если натуральный ряд чисел заново перенумеровать, начиная с двойки, то получится, что выбрасывание единицы не меняет “числа членов в N ”. Поэтому любое бесконечное множество эквивалентно своей правильной части (не любой, конечно же). По аналогичной причине отрезок имеет “столько же точек”, сколько прямая и даже плоскость. Это значит, что манипуляции с бесконечностями чреваты абсурдами и требуют особого внимания, чем и занимается математический анализ. Однако обходиться без бесконечности математика не может. km Так, уже “основное свойство дроби” m (∀k) означает по n = kn 1 сути предположение о том, что n( n ) = 1 – аксиома о бесконечной делимости единицы. Это ли не 4-я апория Зенона? Это – наиболее мощное внедрение актуальАктуально ной бесконечности (некорректной по Аристобесконечно телю) в математику. Мы здесь имеем основномалые. го предшественника дифференциального исчисления – так называемое “исчисление неделимых”. Оно было создано Кеплером, Галилеем и особенно развито Кавальери. Согласно этой концепции: отрезок состоит из бесконечно большого числа бесконечно малых частей, каждая из которых бесконечно мала в том смысле, что ее протяженность меньше любого наперед заданного числа, но не нуль. Точно так же любая площадь может рассматриваться состоящей из прямоугольников бесконечно малой ширины (параллельных отрезков). Такой взгляд имел под собой интуитивную Демокрит основу, о которой говорил еще Демокрит. Он считал, что любая величина может считаться состоящей из очень большого конечного количества очень маленьких частей-атомов. Количество их неисчислимо велико, хотя оно конечно. Величина каждого атома неощутимо мала (как угодно мала), но не нуль. Но ведь это, согласитесь, в реальности так и есть. По крайней мере, предположение о неограниченной делимости той же единицы, о существовании n1 при любых n совершенно не физично. Это предположение – крайне жесткая идеализация, далекая в идеале от действительности. Ибо как быть при измельчении 223

реального отрезка с молекулами, атомами и прочей дальнейшей современной физикой? Делимость – хорошее наглядное свойство из макромира. Переносить его в микромир – просто неприлично. Тем не менее, несмотря на несовершенство этой идеализации, она позволяет пользоваться удивительно эффективным инструментом – дифференциальным исчислением. Да и тому же, Галилею первому удалось в дифференциальной форме записать закон падения материальной точки и проинтегрировать (если перевести на наш язык то, что он сделал) этот закон, опровергнув со времен Аристотеля постулировавшийся закон: скорость падения пропорциональна весу тела, доказав, что она пропорциональна времени. Собственно говоря, Галилей применил метод, которым активно работал Архимед: разМетод бивал фигуры на узкие полоски, которые именеделимых у ли геометрию отрезка, что позволяло ему найЕвклида ти конечную величину. Справедливость найденного ответа он (Архимед) доказывал другим методом, так называемым методом исчерпывания, аналогом нашего предельного перехода. Проиллюстрируем этот двойственный подход на примере отыскания площади круга так, как это описано у Евклида. Если в круг вписать правильный многоугольник, то его следует разбить на треугольники с общей вершиной в центре круга. Если многоугольник правильный, а за основания треугольников мы примем стороны многоугольника, то высоты всех этих треугольников одинаковы (обозначим их общую длину через hn ), и площадь всего многоугольника должна равняться 21 ln hn , где ln — периметр многоугольника. Считая разбиение достаточно мелким (как угодно мелким), мы можем считать hn ' R и ln ' l, Метод где l – длина окружности, т. е. площадь круга исчерпывания у как бы равна 21 lR. Итак, площадь круга найЕвклида дена. Это то, что нам подсказал взгляд Демокрита. После этого методом исчерпывания доказывается, что ln hn на самом деле приближается к lR, для чего производится удвоение числа сторон, периметр ln при этом не убывает. Если же подобные рассуждения провести с описанными многоугольниками, то для них высоты треугольников в точности равны R, а периметр при удвоении не возрастает, и разница между периметрами внешнего и внутреннего многоугольников неограниченно уменьшается. 224

Итак, идея интегрирования, в форме квадрирования , т. е. отыскания площади, уже была достаточно хорошо освоена античной классикой. И освоена эта идея была двухсторонним встречным процессом: методом неделимых искался ответ, и методом исчерпывания (т. е. методом пределов – по нашему) доказывалась правильность этого ответа. В XVI в. на повестку дня встал вопрос о создании эффективного исчисления, способного справляться с возрастающими трудностями научного анализа Природы. Как раз подоспели переводы трудов Архимеда. И был восстановлен в форме “метода неделимых” взгляд Демокрита “об атомарном устройстве величин”. Метод неделимых был подхвачен КавальеМетод ри. Ему удалось подсчитать объемы и площаКавальери для ди сложнейших для этого времени фигур и эллипса тел. Как он поступал, например, в простейшем случае отыскания площади эллипса? Вписывая в эллипс с полуосями a > b круг (его радиус равен b) и расслаивая эллипс и круг на полоски, параллельные a, будем иметь, что площади этих полосок относятся, как a : b (их основания хоть и бесконечно малы, но одинаковы), а потому и площадь эллипса относится к площади круга, как (a : b), т. е. равна ab (πb2 ) = πab. Использование идеи неделимых позволиУ Киселева ло нам здесь сравнить площадь интересующей нас фигуры с площадью канонической более простой. Подобным приемом в учебниках Киселева доказывалась в свое время равновеликость (т. е. равенство объемов) любых двух пирамид с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями. При этом Киселев не только цитировал принцип Кавельери, но и доказывал его, вписывая в пирамиды ступенчатые фигуры из тонких призм. Метод неделимых развивался многими крупными математиками XVIII в. (Ферма, Валлис, Барроу) и был превращен в метод интегрального исчисления Ньютоном и Лейбницем. Лишь к середине XIX в., спустя два века, это исчисление усилиями Коши было достаточно строго обосновано методами теории пределов. Но за эти два века, не имея строгого обоснования, это исчисление ухитрилось решить буквально море проблем естествознания. Например, написав и обосновав все основные законы механики. Сейчас почему-то считается, что дифференциальное и интегральное исчисление можно излагать только в том виде, какой оно 225

приобрело после Коши и как оно излагается сейчас в учебниках по математическому анализу. Но крупнейшие ученые XVIII в., тот же Эйлер или тот же Лагранж (или Даламбер — да их была толпа тогда, в эпоху бурного развития естествознания), они же еще и не знали теории пределов Коши. Они не знали тогда, что интеграл есть предел интегральных сумм, им это и в голову не могло прийти. Но они блестяще решали стоящие тогда задачи. Причем, в том числе, и задачи математической физики. Ведь все основные задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям, были описаны и решены тогда, когда теории пределов еще не было. Современное обоснование (математический анализ) математических методов естествознания появилось в учебниках лишь в конце XIX в., когда необходимая для жизни наука была уже сделана. Спрашивается после этого: “А что в современной математической физике самое главное – неужели теория пределов? Или, скажем, интеграл Римана, вводимый с помощью сумм Дарбу?” Подобный взгляд — все та же отрыжка формально-логического взгляда на природу вещей. Когда первичной считается теорема, рожденная якобы доказательством. И когда без строгого определения предела ну никак нельзя пользоваться дифференциальным и интегральным исчислением. Мы пренебрежем этим запретом псевдометодистов и восстановим (осовременив язык) то исчисления бесконечно малых, которое позволило ученым XVIII в. буквально ворваться в Неведомое. Мы рассматриваем функции y = f (x) (или y(x)), область определения которых нам безАрифметика Валлиса (диф- различна, а потому может считаться совпадающей с R (т. е. с вещественной осью). Наряференциалов) ду с точками оси (или, что то же – числами) мы будем рассматривать бесконечно малые величины, обозначая их греческими буквами α, β, γ, σ и т. д. Под бесконечно малой мы понимаем величину как угодно малую, но отличную от нуля. Физически, т. е. интуитивно, ясно, что то, что чуть-чуть, что еле-еле, едва-едва, что за гранью ощущений, но есть. То, что остается от вещи, когда та пропадает, след, запах и т. д. Из стакана выпили молоко. Что осталось? Ничего. На самом деле мыть-то стакан надо. Даже и молекула если осталась – это уже не нуль. На практике даже двух одинаковых длин найти нельзя. Будет 226

разница, даже если ее приборы не ощущают. В жизни не бывает абсолютной точности, абсолютного равенства a = b. Всегда есть, хоть и очень маленькая, погрешность. Вот подобные незначительные погрешности, от которых значения основных величин практически не зависят, мы и называем (следуя Лейбницу) бесконечно малыми приращениями или дифференциалами. Чтобы подчеркнуть, что приращение δ получило число x, стали писать δx. Точнее, если значение x чуть изменилось, новое значение обозначили через x + δx. Вместо δx часто стали писать dx (от dif f erentia – разность , приращение). Вообще, в то время (середина XVII в.) питательной основой для дифференциального исчисления было исчисление конечных разностей, активно развивавшееся в связи с необходимостью построения астрономических таблиц и проведения достаточно сложных вычислений. Для конечных разностей использовались, как и сейчас, обозначения ∆x (= xn+1 − xn ), переросшее в δx. Последнее обозначение δx укоренилось затем в вариационном исчислении, а в анализе было заменено на dx. Итак, dx, dy, α, β, γ, δ, — это впредь для нас обозначения бесконечно малых величин (атомов Демокрита) Аксиомы (кстати, достаточно очевидные). 1) сумма и произведение конечного числа Аксиомы бесконечно малых есть бесконечно малая. бесконечности 2) для любого числа x и любой бесконечно малой δ полагается x + δx ∼ = x (неощутимая погрешность не учитывается). Или, как говорят, “чуть-чуть не считается”. Среди бесконечно малых вводится своя иерархия. Говорят, что бесконечно малые α и β имеют одинаковый порядок, если для некоторого числа k имеем α < kβ и β < kα. Заметим, что мы манипулируем с бесконечно-малыми по правилам арифметики, хотя бесконечно малые не есть числа. Почему? А потому, что они – величины (мы так предполагаем по определению бесконечно малых). Скажем, что α есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем β, если kα < β при любом k ∈ N , записывая это свойство в виде α = o(β). Символически последнее может быть записано в виде α/β < k1 при любом k, т. е. α/β как бы бесконечно мало. Если α = o(β), то α+β и α имеют одинаковый порядок малости. 227

Процедура дифференцирования. Если переменная величина y испытала бесконечно малое изменение, то величину этого изменения мы будем обозначать через dy. Таким образом, если δ – бесконечно малая величина, то dx = δ. Именно поэтому новое чуть измененное значение мы будем обозначать как через x + δ, так и через x + dx. Основные свойства дифференцирования. 1) Если C – константа, т. е. не меняется, то dC = 0. 2) d(u + v) = du + dv. Свойство почти очевидно: если u и v чуть изменились, то новые их значения, допустим, u + α и v + β. Но тогда новое значение суммы равно (u + v) + (α + β), что и означает d(u + v) = α + β = du + dv. 3) Если C – постоянное число, то d(Cu) = Cdu (проверяется аналогично предыдущему). 4) d(uv) = udv + vdu Доказательство. Пусть du = α, dv = β. Исходное значение произведения uv, чуть измененное (u + α)(v + β) = uv + αu + βv + αβ. Но тогда uv изменилось на αu + βv + αβ, т. е. d(uv) = αu + βv + αβ. Величину αβ можно отбросить, так как нас интересуют величины одного порядка малости (более высокий порядок малости для нас – практически нуль). Поэтому d(uv) = αu + βv = udv + vdu. Следствия: а) d(u2 ) = 2udu, т. к. d(u2 ) = d(u · u) = udu + udu = 2du б) d(un ) = nun−1 — доказывается индукцией на основе предыдущего. Примеры: 2 2 1) Уравнение эллипса xa2 + yb2 = 1. В дифференциалах 2x a2 dx + 2y dy b2 x b2 dy = 0 или dx = − a2 ( y ). 2) Прямая Ax + By + C = 0 в дифференциалах Adx + Bdy = 0. 3) Уравнение параболы y = ax2 в дифференциалах dy = 2axdx. Введенное выше понятие дифференциала Дифференциал переменной величины допускает важное уточфункции. нение, если эта величина зависит от другой, когда эта другая величина мало меняется. Пусть u зависит от x (u = u(x) по-нынешнему). Пусть dx – малое изменение x и du – соответствующее малое изменение u, т. е. du = u(x + dx) − u(x). Малые изменения du и dx отличаются почти только лишь на множитель. В самом деле, если k – угловой коэффициент касательной, то u(x) + kdx — соответствующее x + dx значение ординаты касательной. Так как в малом касательная практически сливается с графи228

ком функции, то u(x+dx) = u(x)+kdx, т. е. du(x) = kdx (равенство — с точностью до малых более высокого порядка). Теорема Ферма. Если x0 – точка максимума y = f (x), то dy(x0 ) = (df )(x0 ) = 0. Доказательство. Так как f (x) 6 f (x0 ), то f (x0 ±dx)−f (x0 ) 6 0, т. е. ±kdx 6 0 (где kdx = dy), откуда равенство k = 0 очевидно. Теорема Галилея. Скорость падающего тела пропорциональна времени падения. Галилей доказал ее в форме: при равноускоренном падении скорость пропорциональна времени. У Аристотеля она была пропорциональна весу. Доказательство. В каждое мгновение dv(x) = kdt, где k = const. Отсюда v(x) = kx + const. Дифференциал синуса. Синус – полухорда дуги величиной α. Поэтому sin α = α, т. е. в нуле d(sin x) = dx. Для произвольной dx дуги x имеем (d sin x) = sin(x + dx) − sin x = 2 sin( dx 2 ) cos(x + 2 ). Отсюда, d sin x = dx · cos x. Определение. Производной y = f (x) называется отношение dy . dx Теорема Бернулли. Колебание маятника описывается законом y = A cos(ωt+C), где частота колебаний ω определяется равен√ ством ω = mk . Здесь k – жесткость пружины, m – масса маятника, амплитуда A и сдвиг по фазе C зависят от начального состояния. Доказательство. По закону Ньютона ma = F , где m – масса, a d2 – ускорение и F – сила реакции внешней среды. Так как a = dt 2 u(t), то и сила реакции пружины по закону Гука равна ku (здесь u(t) 2 – отклонение от положения равновесия). Тогда m ddt2u + ku = 0 и прямой проверкой мы убеждаемся, что функция y = Acos(ωt + C) с указанным значением ω удовлетворяет уравнению при любых A и C. Описанное уравнение 2-го порядка называют иногда уравнением осциллятора. Пусть f (x), заданная на промежутке [a, b], Теорема — неотрицательная функция. При z < b (a 6 Демокритаx) обозначим через F (z) площадь фигуры, Архимеда ограниченной сверху графиком f (x), слева и справа вертикалями x = a, x = z, а снизу – осью x − b (иксов). d Теорема dx F (z) = f (z). Доказательство. Беря z = z0 + dz, приращение площади (dF )(z0 ) мы можем считать равным площади полоски229

прямоугольника с высотой f (x) и основанием dx, что и требовалось . Следствие (теорема НьютонаТеорема Лейбница). Площадь всей фигуры от Ньютонаx = a до x = b равна F (b) − F (a). Эту площадь Лейбница по Лейбницу принято обозначать через сумму S(f dx) элементарных полосок ширины dx и Rb высоты f (x). Канонизированное обозначение f (x)dx. a

Теперь, зная производную F 0 (x) искомой фигуры F (x), мы саму эту функцию F (x) можем искать (с точностью до константы) либо Rx по таблице первообразных, либо в виде f (s)ds. Первый взгляд a

называют интегрированием по Ньютону, второй – интегрированием по Лейбницу. В заключении параграфа отметим, что прологом теории бесконечно малых были результаты Декарта (об отыскании касательных, точнее – нормалей к кривым) и Ферма (об экстремальных значениях), где авторы по существу использовали методы древних греков (Архимед, Диофант и др.), приравнивая “почти одинаковые”. Ферма выражается так: «Пусть эти члены будут настолько близки друг к другу, чтобы можно было, согласно методу Архимеда, приравнять (adaequeare, как выражался Диофант) или же положить приближенно равными друг другу». Это у нас и означает равенство с точностью до малых более высокого порядка.

230

Часть 3. Ψ-генезис учебной математики Φ–10. Традиции учебников § 10.1 Начальное сырье школьной математики Исходная база греческой математики + практическая математика Метод Вольфа. Плюс ворох дополнительных обстоятельств, рожденных в период Возрожения. Особенности математики рехенмейстеров. Роль античной математики в логистике. Деловая математика и тригонометрия. Шаги символизации. Как объяснить про “О”. Про “меньше”. Действия с новыми числами.

До XVII в. преподавание математики осуществлялось в соответствии с запросами общества. Уже несколько веков функционировали В университеты, как духовные заведения. Бууниверситетах дущие теологи изучали мудрецов прошлоучат греков го, включая античных философов-софистов. Классиками мудрости считались Аристотель и Евклид. В частности, в обязательном порядке изучались первые шесть книг Евклида. Экзамен (в парижском университете XVI в.) можно было заменить клятвой на Библии в том, что студент прочитал сам все первых шесть книг. К концу XVI в. в университеты начала проникать практическая математика. Одновременно и независимо от университетов бурно формировалась практическая математика, востребованная проблемами социально-экономическими, нуждами нарождающего капитализма, формируется эра машин. Как правило, в каждом городе функционировало по нескольку школ, где готовили будущих бухгалтеров, шкиперов, инженеров и проч. В XVIв. уже бы«Арифметики» ли в ходу достаточно обширные по материалу рехенмейсте«Арифметики» Л. Пачоли, Я. Визмана, Региров монтана. Они суммировали знания, накопленные после Фибоначчи опытом европейских рехенмейстеров и переводами арабских математиков. Арифметиками тогда называли книги по “численному искусству”. Таким образом, исходной базой для вновь создаваемых учебников были: – греческая математика в виде «Начал» с дедуктивным формализмом и весьма нетривиальным содержанием при полном отсутствии практической рецептуры; 231

– достаточно богатая по содержанию литература по практической математике с обильной рецептурой и фактически без мотиваций, без объяснений и, тем более, без доказательств. И создание первых светских учебников по математике сводилось к объединению этих двух течений. Точнее, поскольку нужно было готовить практических работников, начали делаться попытки накладывать научный греческий дух на практическую математику. Как это делалось? Об этом писал Х. Вольф, Математиавтор популярных в XVIII в. учебников (правческий метод да, учебников для университетов, а не для Вольфа обычных школ), создатель, как он сам говорил, математического метода обучения. «Поскольку я показал, что математическое мышление отражает естественное мышление, а логическое мышление отражает всего лишь отчетливо усовершенствованное естественное мышлением, тем самым я вполне могу заявить, что мой способ обучения следует естественному образу мышления» (цит. по [Л. Роджерс]). Похоже, это “прозрение” Вольфа стало главным догматом дня педагогов-математиков всех последующих времен. Учебники рехенмейстеров, по сути, были справочниками, где была свалена самая разнообразная рецептура. Для новых учебников они могли быть лишь сырьем, исходным материалом для надлежащей обработки. Естественно, в этом материале нужно было бы вначале разобраться, выяснить его логическую структуру. Трудно сказать, почему это не сделано было тогда. Это не сделано и до сих пор. Но причина этого проще. На математику рехенмейстеров, эту “кучу малу”, свалился сверху ворох совершенно новых обстоятельств. В которых разбираться тогдашним мыслителям класса Вольфа было еще труднее. И вместо того, чтобы разбираться в этой уже “немалой куче” (а и кому это надо ведь и до сих пор толком не разобрались), пошли по пути формально-внешнего обнаучивания. Точнее говоря, по пути навешивания дедуктивной лапши. Что же это за новые обстоятельства, обраНовые обстоя- зовавшиеся на исходной куче математики ретельства хенмейстеров? XVII в. Во первых, в недрах вычислительноалгебраической математики завершилось вызревание алгебры. Она вылупилась на свет в форме буквенного исчисления и теории уравнений. 232

Во вторых, рожденное алгеброй символьное исчисление сразу проникло во всю математику, овладев ею к концу XVIIв. полностью. В третьих, символикой были рождены объекты новой, более возвышенной (абстрактной) природы: плюс-минус числа, дробные числа, иррациональные числа, многочлены и проч. Новая сущность, абстрактная природа этих объектов была понята не сразу (в методической науке не понята до сих пор). В четвертых, самое драматичное для образования обстоятельство: математический язык претерпел несколько судорожных деформаций, преобразовавшись от прежнего языка риторической математики к символьному языку с абсурдными смыслами обычных слов и фраз. Как описанные обстоятельства учитывались в порожденной школьной математике? Об этом мы будем говорить, прояснив сами обстоятельства. Итак, вначале о математике рехенмейстеров. Она впитала в себя опыт тысячелетий решения разнообразных, зачастую, непростых по сути практических задач. Был выработан инструментарий: освоены понятия числа и доли величин, разработаны технологии решения; практические измерения с последующим применением алгоритмов на базе простейших действий (идущих от сенсомоторных навыков): сложение, деление и проч. Главный подтекст, главная жила этих алгоритмов — свойство пропорциональности. На протяжении тысячелетий менялись масштабы измерений, совершенствовалась письменность, и с ней — запись чисел. Простейшие устные вычисления усовершенствовались письменными. Но до Античной Греции математика докатилась за тысячелетнюю историю с высшим уровнем вычислений и с систематическим (хоть и неявными по форме) использованием метода пропорций. Греки подвели под эту математику логическую базу. Попытались ответить на главные «Начала» Евклида ответ вопросы “почему”, а именно: на проблемы – Почему применяемая рецептура надежлогистики на, т.е. дает правильные результаты? – Почему она (рецептура) не может привести в тупик, т.е. разумный ответ гарантирован. – Как можно конструктивно объяснить возможность разумного решения (трудных) задач? Ответ на первый вопрос был дан теорией пропорций, вначале 233

наивной (при Фалесе и Пифагоре), но уже объясняющей главные свойства пропорций, используемые в практике. Ответ на второй вопрос — это объяснение права пользоваться пропорциональными соображениями в ситуациях, когда нет уверенности, √ что рассматриваемые величины соизмеримы. И здесь главное не 2, т. е. неизмеримость диагонали квадрата со стороной. Гораздо более существенной была необходимость соизмерять между собой дуги и хорды, что крайне важно было для исчисления углов в астрономии, о чем историки математики обычно молчат. Ведь все эти построения вписанных многоугольников и вычисление их сторон — не от стремления к изящному или к вычислению числа π (за что это обычно выдается), а самое обычное приближенное вычисление синусов и тангенсов. Для ответа на третий вопрос греками была разработана геометрическая алгебра со специальным исчислением – построением с помощью циркуля и линейки. Их методами легко доказать, что любое квадратное уравнение (в наших терминах), коэффициентами в котором являются величины-длины, наверняка разрешимо (несмотря на присутствие в “нашей” формуле радикала) и более того, предъявляет метод явного построения решения без всякого предварительного измерения. Ведь и нам известно, что отрезки по формулам √ √ ab, a2 + b2 могут быть построены с помощью циркуля и линейки без всяких измерений. Что можно построить — это мы вроде бы знаем. Но что при этом не нужно измерять Аглебра без (это же чудо – формула без измерений!) – мы изменений как бы и не знаем. Точнее, знать то знаем, но относимся к этому вполне индифферентно. Мол, ну и что тут особенного! А то и особенного, насколько гениально греки обошли проблему числа. Ведь что такое число — до сих пор математики внятно сказать не могут. В основном ругают чужие определения. “А ведь понятие числа само по себе зачем нужно?” — “Чтоб задачи решать!” — А тут: вот тебе и явное решение задачи, и голову при этом о понятие числа ломать никому не надо. После греков созданная ими новая наука Грецкая наука как бы окуклилась, ожидая новых времен. А окуклилась практическая математика под давлением реальных проблем покатилась в прежнем русле. Идеология — учение о пропорциях — не менялась. О том, что там все в порядке (Евклид доказал) было известно (через арабов, на234

пример). Поэтому сомнений не возникало, а потому и нужды в изучении «Начал» у купцов и прочего делового люда не было. Для них главное — знать, как решать задачи. А инструментарий решения, конкретная технология вычислений, конечно же были отработаны. Наиболее ясной и простой была технология Арифметика — исчисления долей по типу египетских, т. е. технология аликвотных. Но это на самом нижнем уровне счета в задачах (для торговли на базаре). Для более тонких расчетов требовались более совершенные системы. Они и были выработаны. Это — десятиричная система у греков (и русских) и шестидесятиричная система древних, использовавшаяся в астрономии (в первую очередь), а затем в других точных науках. Большим достижением было введение логарифмов и выработка приемов вычислений “в столбик”. В справочниках-пособиях рехенмейстеров все эти технологии излагаются в виде описания правил арифметических действий с числами и дробями, и массы примеров конкретных правил решения практических задач. Колоссальным достижением практической математики было завершение исчисления углов под названием тригонометрия. Это — удивительно яркий пример математических знаний, которые (после исчисления чисел) оказались активно и постоянно востребуемы в практических задачах и одновременно образовали серьезную базу для последующего построения высшей математики. Диву можно даваться, чем тригонометрия не подфартила теоретикам от методики математики. Скорее всего тем, что глубины и значимости ни того, ни другого аспекта они не смогли оценить. Так же, как и понять, что тригонометрия – это не просто некая кучка формул, но очень важное и очень мощное исчисление. Не зря уже Бернулли, предвосхищая ряды Фурье, выдвигал гипотезу о возможности разложения произвольной функции с помощью форм колебаний струны (по нашему – синусоид). И это важнейшее не только для математики, но и для любого инженера тригонометрическое исчисление в школьной математике практически затоптано. Наука об уравнениях, проникшая в Европу Алгебра с книгами Фибоначчи и аль-Хорезми, в результате усилий итальянских алгебраистов (Кардано, Тарталья, Феррари и проч.) превратилась в XVI в. в само235

стоятельную отрасль знаний, особенно эффективную за счет умения описывать рецептуру явными формулами за счет символики. Использование символов бурно внедрялось в литературу, чему так же способствовало крепнущее книгопечатание. Для будущего разговора полезно отметить Шаги отдельные шаги символизации. символизации Вначале придумали отдельным символом обозначать неизвестную величину. Вообще говоря, главная изначальная идея алгебры — это введение в рассмотрение искомой величины и манипуляции с ней, как с известной. Идея эта стара, как сама математика. Так, и в египетских папирусах есть для некоторой величины специальный символ (жукскарабей) с оглашением “хау”, что значит “куча”. У арабов это именовалось “вещь”, у нас — “место”, у итальянцев — cosa, поэтому в средневековой Европе алгебраистов называли коссистами. Вначале главная проблема коссистов была в записи уравнений и формул, для чего требовалось ввести сокращения обозначений операций. Так появились pe (от plus), m e (от minus), Rx (от Radix, т. е. корень) и т. д. Символы совершенствовались, вводились новые. Переход от числовых параметров к буквам совершил Виета, описавший так называемую “видовую алгебру”, повторившую в принципе геометрическую алгебру греков. Даже в текстах Лейбница, с чьим именем связывается главная заслуга тотальной символизации, знаки “меньше” и “равно” установились лишь к концу XVII в. Заменив вначале слова, упростив названия действий, первичные символы действий (типа “плюс” — добавить) стали позднее символами уже не действий, а самих тех слов. Так, символ «+» стал синонимом слова “плюс”, √ но отнюдь не процедуры сложения (как, например, в записи + 2 или в записи «−a», сиречь — взять противоположное к a число). Но это — те сорняки, которые буйно разрослись как бы незаметно от методической науки и как бы даже с ее благословления. Ибо она, наука, учебную математику прокладывала совсем в других направлениях. Оценив все блага символьного исчисления Появление и не преминув ввести немедля его в обиход, паразитов математики с тревогой, а затем и со все более нарастающим раздражением, обнаружили у себя в хозяйстве непрошенных паразитов – новые объекты с доселе неизвестными смыслами. Пришли они из вычислительной практики, были следствием не шибко большой грамоты практиков, ко236

торые “в университетах не обучались”, ни греков, ни философии их не знали, и в общем были пролетариями умственного труда. Внедрять это “не поймешь чего” в учебную практику – вроде бы нельзя. В самом деле: “Как объяснять другим то, чего сам не понимаешь!” Этот тезис оказался действенным лишь Объяснять то, для серьезных ученых. Для практиков- педачто сам не гогов того времени (типа Вольфа) этот тезис понял! вообще не существовал. Главное – логика (хотя бы внешне). Если что-то логично, оно должно быть и понятным. Это еще от греков. Так что разговор о смысле даже странный какой-то. А вот для серьезных математиков возник Где смысл? ряд вопросов, которые стали темой достаточно страстных дискуссий. Можно ли считать 0 (нуль) числом? Или Генезис нуля просто символом “ничего”, т. е. отсутствием чего-либо! Ведь величина – это то, что имеет половину, которая не должна совпадать с целым, должна быть меньше его! А каков генезис нуля в математике? То, что в десятичной записи числа нуль означает отсутствие единиц данного разряда – это всем нам известно. А в остальном? В школьных учебниках про нуль пишут с многозначительным подмигиванием: “Как обычно, нуль 0 обладает свойством 0·n = 0 и т. д.”. Что это за такие-сякие “обычаи”? Где про них хотя бы мне, автору этих строк, почитать? Я не говорю - рядовому учителю. Я не говорю про метаматематику, которую и авторы учебников наверное не все знают. Речь то идет об “обычном”, якобы, нуле, а не об абстрактном объекте. В том то и дело, что в математику нуль внедрялся как реализация жесткой потребности в чисто алгебраической абстракции. На этапе внедрения абстрактных (по природе своей) алгебраических отношений нуль появился для замены равенства a = a отношением a − a = 0. Т. е. нулевая разность – символ идентичных объектов, какими бы они ни были: числа, многочлены, функции и пр. Некоторое время этот алгебраический нуль конкурировал с теоретическим нулем – “Ничто” (в смысле отсутствия количества), где интуиция подсказывала необходимость введения нуля в смысле “почти ничего”, “чуть-чуть”, и т. д. Для множества натуральных чисел это 237

было адекватно. Теорию таких нулей (как бы аналогов бесконечно малых) разрабатывал Эйлер. Крайне сложна роль символа «=». ПоявивЗнак «=» шись вначале на замену слова “получится”, он в какой-то момент стал символизировать идентичность объектов. Затем стал возникать в буквенных записях типа a = b, допуская при этом, формально говоря случай 2 = 3! Знак минус «−» сначала прикрыл слово Minus “меньше” (меньше на). С ним связаны недоразумения, создаваемые от высокой математической культуры комментаторов (и переводчиков) от истории математики. Так, слово минус, соответствующее знаку «−» (это просто озвучивание знака), в математических текстах на латыни звучало как minus, что в переводе на русский значит “меньше на”, т. е. вычесть. Так, 4 − 3 писалось в виде 4 min 3 (= 1). При переходе от риторической математики к синкопирующей (где символами были сокращения слов — предтечи наших символов) вместо minus стали писать m, e так что стало (наше 4 − 3) выглядеть в виде 4m3. e И если я разность 4-3 захочу умножить саму на себя, то мне придется, как это делал Л.Пачоли, умножать m3 e на m3 e (по нашему минус на минус). И вот в этом самом месте комментатор О порядке и переводчик А. Пачоли, очень уважаемый и крупный специалист (в истории математики) приписывает Пачоли такой текст: “Очевидно, m3 e меньше нуля. . . ”. Почему у Пачоли даже мысли такой не могло быть? Книга А. Пачоли увидела свет в 1498 г. Записи вида (0−3) тогда уже у некоторых авторов появились. Но эти записи никто тогда не думал объявлять (или считать) числами. Тем более такой крупный по тому времени ученый, друг Леонардо да Винчи, профессиональный преподаватель. Числами такие вещи начали считаться , да и то далеко не всеми, лишь к концу XVII в., т. е. через два века. А вот применять к ним слово «больше» или «меньше», сравнивать с нулем — это лишь в XVIII в. Да и то не всеми одинаково. Так, Валлис (XVII в.) и Эйлер (XVIII в.), крупнейшие математики своего времени, считали, что отрицательные числа больше положительных. Вообше, отношение порядка — одно из наиО порядке более фундаментальных в математике. В нашей ситуации понятие «меньше» — одно из наиболее древних. Оно имеет явно количественный смысловой за238

ряд. Если нечто меньше единицы, оно не может быть большим. Разве может быть (−1000), т. е. минус тысяча, быть меньше единицы. Ведь тысяча каких угодно штучек — это все-таки тысяча. И тем более она, (−1000), не может быть меньше одной такой штучки, т. е. (−1). Тем более меньше нуля. Это сидит во всех нас. Откуда это? А оттуда, из интуиции, из сенсомоторноУ Пачоли m3 e го интеллекта. Оттого,что слово «меньше» у меньше нуля нас звучит только в количественном смысле: часть меньше целого. Поэтому, как только мы пытаемся отрицательное число объявить количеством (а ведь так иногда и пишут: “отрицательное количество”, “отрицательная величина”), так мы сразу вываливаемся в абсурд, конфликт ассоциаций и смысла. Вот с этим-то явлением и столкнулись ученые и учителя XVII в. Отсюда — знаменитые парадоксы Арно. И ведь даже Лейбниц — великий Лейбниц — откомментировал парадоксы Арно абсолютно невразумительно. Его объяснение только отговорка. Напомним, что Арно предложил объяснить, почему в отношениях (−1) : (+1) и (+1) : (−1) первое не меньше второго, хотя в первом отношении и делимое меньше, а делитель больше. Напомним, что нашу упорядоченность −1 < 0 они еще не знали. Думали над вопросом, как разумно сравнивать, и в этих размышлениях пытались на понятие “меньше” исходить из не вызывающего сомнений количественного взгляда. Следует отметить, что культивируемое мнение о том, что отрицательные числа слева от нуля на оси расположил Декарт — неверно. Никто до Ньютона не решался интерпретировать отрицательные числа точками левой полуоси. Ее, эту левую полуось, и в рассмотрение не вводили. Первым это сделал походя, без всяких пояснений, И. Ньютон при интерпретации корней квадратного уравнения. Почему он так сделал — неясно. И хотя Эйлер, вслед за Валлисом, приводил достаточно веские обстоятельства для другого взгляда и написал все это в своих фундаментальных «Основаниях дифференциального исчисления» (1755 г.), однако книга с позицией И. Ньютона (вышедшая, кстати говоря, против его воли), опубликована была раньше. И располагать отрицательные числа слева от нуля стало уже традицией, созданной якобы Декартом.

239

Чем меньше, тем дальше

Такой взгляд (−1 < 0) отвечает алгебраической, т. е. операционной, природе отрицательного числа как продукта вычитания. Вычитая — уменьшаем. И в этом логика есть. Но для анализа гораздо важнее метрическая природа нуля, как символа бесконечно малых. И поэтому “мало — близко к нулю”, “чем меньше — тем ближе” отвечает больше и нашей интуиции, и потребностям анализа. Но, как говорят, поезд уже ушел! На новые объекты начали переносить известные арифметические операции. Почему и как — внятного объяснения Вы и сейчас не найдете. Говорят, именно так удобно. Чем руководствовались вычислители? Практикой. Опытом. То же правило знаков, известное еще древним. Откуда оно взялось? Все оттуда же. Из практики вычислений. Из опыта многих поколений вычислителей. Но один вопрос: “Как были правила действий с дробями и с плюс-минус числами найдены?” Можно считать, как это делали некоторые, что от Всевышнего! Другой вопрос: “Можем ли их както попробовать объяснить?” И вот в попытке объяснить началась серьезная потеха. Действуй только так! Правила действий с дробями и вообще с раПочему? циональными числами вроде бы объяснили. И в учебниках учение о дробях именно так излагать стали: со ссылкой на науку о пропорциях. Это, конечно же, прием для учебника нечестный. Авторы знают, что греками наука о пропорциях объяснялась строго. И все их свойства доказаны. Но въехать в эту науку не все авторы (даже и современные) могут. Поэтому, мягко говоря, лукавят, делают вид, что все свойства пропорций как бы и очевидны. Детей, может быть, так обдуривать можно. Но вот практикующих учителей как то неприлично даже. Так же, как и отсылать их читать Евклида. Якобы он специально для учителей и издан. Это называется: “Послать куда подальше, туда — где и сам не бывал”. Потом науку о дробях начали в учебниках сильно уменьшать в объеме, помещая в раздел о делении с остатком. А науку о плюс-минус числах, в отличие от книги Пачоли, адресованной купцам, в учебниках для обычных школ до конца XVIII в. и не помещали. Только в учебниках для университетов. Возможно потому, как и сами математики толком не могли объяснить, что и 240

почему с ними можно делать. До конца XVIII в. предпринимались попытки “арифметического объяснения” свойств отрицательных чисел. Было понятно, что эти числа имеют новую, более абстрактную природу и что их свойства в принципе не могут быть выведены из арифметики натуральных чисел. И поэтому операции с ними должны вводиться не “из арифметики”, а по-другому, “сверху” (а не “снизу”), аксиоматически. Так, по существу, был закреплен взгляд Относина новые числа как на объекты чистой матетельные матики, отстраненные от натуральных объектов природы. Этот взгляд был зафиксирован в первой в мире «Всемирной энциклопедии» Дидро, изданной в конце XVIII в., где математический раздел был написан Даламбером. Вызревший тогда взгляд, укрепленный книгами Карно, а затем — Коши, был стандартным (классиков не отбросишь) на протяжении полутора веков. Но в России в двадцатые-тридцатые годы XX в. эти “буржуазные” взгляды начали уничтожаться и педагогика математики пришла к примитивно-дубовому взгляду: все натуральные числа есть положительные целые числа, все отрицательные — им противоположны. Детям сойдет и так. Не в театре. А для сомневающихся учителей есть направление туда, куда и Макар не ходил, т. е. к Hilbert’у. § 10.2 A + B сидели на трубе Язык на Ψ-лестнице. Звуки речи — слова. Сам-сам-разы. Смешные комбинации sin = 50%. УрM-4 → на язык.

Мы сейчас подошли к самому непростому аспекту методических традиций, завязанных на математическом языке. Как он, этот язык, на котором ведется преподавание математики, на котором пишутся учебники, как он связан с содержанием математики, с ее логикой, с ее смыслами? Для начала чуть вернемся назад. И по тексту, а затем – по времени. Напомним Ψ-лестницу, как принцип генезиса. В процессе эволюции каждая ступень не исчезает с появлением новой, но служит ее постоянной опорой. Первая ступень соответствует доречевому мышлению, которое участвует в любом мыслительном процессе, создавая основу для интуиции, плотно опираясь на подсознание. Именно сенсомоторное мышление, не требующее словесных рассуждений, является определяющим в экстремальных ситуациях, когда “некогда думать”. 241

Язык на Ψ-лестнице

Развитие языка, в том числе математического, на первом этапе определялось самыми простыми начальными словами и понятиями. Вербальное мышление еще не началось. Математические представления – качественные, соответствующие представлениям о величине: мало, много, больше, меньше, часть всего. Но эти представления — самые прочные (на всю жизнь) и самые мощные (присутствуют в подтексте всегда). Однако, уже здесь появляются простейшие схемы действий (типа располовинить) для решения конкретных задач. Накануне образования второй ступени, стимулируя возникновение активной речи, начинается процесс интериоризации – перемещения схем действий внутрь сознания. Начинает создаваться внутренний план. Весь 2-й уровень отвечает дологическому (т. е. без дедукций и силлогизмов) мышлению. На этот уровень люди поднялись вместе с языком уже Довербальная в доисторические времена, т. е. до памятниматематика ков письменности. Математика зарождалась именно на этом уровне решения задач, над которыми ломают голову много людей и очень много времени (тысячи лет). Сопровождающий ее развитие язык просто заимствовался из бытовых слов. Всплеск абстрактных представлений, произошедший в античный период, не изменил ни языка в математике, ни понятийной системы. Созревание у общечеловеческого интеллекта (если так условно назвать коллективную интеллектуальную энергетику больших масс людей) готовности к переходу на более высокую третью ступень подоспело к началу Возрождения. Такое “прозревание” произошло не только в области математики, или, более общо — в естествознании. Но в математике наиболее рельефно, чего историки не очень заметили. До начала третьего этапа (УрМ-3) матемаСимволизация тическая речь содержала только бытовые сло— порог УрМ-3 ва, не отошедшие по смыслу от их обыденного содержания. Массовое внедрение символики и букв означало переходу математического мышления на более высокую третью ступень общих представлений. Символы — мощнейший инструмент Ψ-абстракций, создали новые интеллектуальные структуры с качественно новыми объектами. По логике вещей эти новые объекты должны были бы получить 242

новые названия-термины, соответствующие расширению смысла. Однако этого не произошло, и случился главКонфликт ный грех, ставший прологом невидимой, но языка слов мучительной драмы, где происходит острый непрекращающийся конфликт между языком, который требует раздвоения (а иногда — и растроения), и смыслами. В чем основная проблема? Хотим мы или не хотим, но когда мы видим математический текст, пусть насыщенный перенасыщенный символами (и суперпозициями символов), то озвучиваем мы его той самой обыденной речью, которая была в риторической математике. Ко всем символам у нас пришиты слова. Так, в какой бы формуле знак «−» не стоял бы, Коренные смыслы давят какую бы функцию он не выполнял бы, мы его произносим (вслух или про себя) как “минус”. новые И вот тут оказывается вдруг, что на эти самые слова в первую очередь претендуют не самые современные, а самые исконные смыслы. Может быть и самые кондовые, самые наивные, при этом может и совсем не те, которые надо. Но самые первичные, самые коренные, самые прочные. Это — неумолимый закон образования понятий и терминов. Пытаться вытряхнуть этот первозданный смысл — полностью поломать мироощущение. Ведь почему о числе «−a» так охотно большинство говорит, что “оно отрицательно, т. к. впереди знак минус стоит”? Это результат ошибки, но не школьников, а методистов и авторов учебников. В самом деле. До знакомства с плюс-минус числами дети знали только один вид чисел — натуральные. При этом то, что эти 1; 2; 3; . . . натуральные, а не какие-либо еще, они и не подозревали. Теперь им предъявляют записи вида −1; −2; −3; и т. д. и говорят: “Вот это — отрицательные числа”. Итак, новый и очень необычный смысл образован как? К числу приставили спереди знак “минус” и получили вон чего. Очень ясно, доходчиво и главное — ярко, сочно. Очень яркая ассоциация, причем – самая первая на эту тему. Она оказывается и определяющей. Что бы с человеком ни делали. “Если перед числом поставить знак минуса, оно становится отрицательным!” Неважно, что какая-то логика здесь упущена. И ничего не сказано о том, каким число было до того, как новым стало. Это все — мелкие придирки, которые ребенку и в голову не могут придти. 243

Ведь у него он в этом возрасте – Абсолютное Доверие к знаниям взрослых. И к тому, что написано-напечатано. А в ответ на это доверие — что он получает? Подлость! Ведь никто его не предупреждает в этот момент (когда дали определение отрицательного числа), что раньше были числа одного вида, без знаков. А теперь мы будем знакомиться с числами другого типа, которые все со знаками! Это потом, если он сам не догадается (а как он може догадаться – он же не Валлис, не Эйлер, и даже не Декарт) и сплавает на эту тему, можно ему и укоризну сделать небольшую: «Пусть твои родители срочно тебе репетитора найдут. Пусть не жмутся, а то так дураком и останешься, если таких простых вещей не можешь понять!» Просто подлость

Проблема подтекста. Или внутреннего голоса (кому как удобней). Математическим просторечием нам удобно называть обыденный язык, используемый в математике. Оно, это математическое просторечие, формировалось в содержании бытовой математики на протяжение тысячелетий. Подчеркнем, не десятков или сотен лет, а тысячелетий. На протяжении всей второй стадии, начав создаваться еще в период довербального мышления. И за это время возник очень мощный подтекст. То, что и говорить не надо, так как само собой разумеется. Этими обстоятельствами – назовем их Сам-самразами – ни в коем случае нельзя пренебречь. Даже в элементарном разговоре о числах. Например, скажете, 2 и 3 равно пяти. Вы при этом покажете два пальца, а затем три, добавив к первым двум один новый. Но даже дошкольник, вначале опешив, потом скажет: “Э-э-э, так нечестно! Вы же два раза одни и те же пальцы показали. Нужно, чтобы были разные!” Даже в элементарном разговоре о числах

Аналогично, если дети обнаружат, что Вы при пересчете засчитали одного из них дважды (отнеся, например, к нему номера “третий”, “четвертый”), они сразу решат, что Вы мухлюете. Таких правил, не написанных нигде, великое множество. Еще один “Сам-сам-раз”. “Увеличить наполовину” отнюдь не означает, что надо добавить 0,5. Сознание того, кто услышал насчет “увеличить на половину”, сразу начинает искать, а к чему эту половину нужно прислонить. Так требует подтекст. Например, если требуется увеличить мою порцию на половину, то все ясно. Половину нужно отнести к порции. Точно также, если я не скажу, что нуж244

но порцию увеличить на полбулки, тоже ясно, куда деть половину. Если же в моей фразе нет потенциального объекта для “применения половины”, то и смысл “половины” проваливается полностью вместе с “увеличить на”. Предлагаем и Вам, дорогой Читатель, поискать несколько таких “Сам-сам-разов”. Любопытства для! Если Вы будете внимательно прислушиВнутренний ваться к собственной речи математического голос содержания, Вы начнете обнаруживать у себя достаточно √ Ска√ активный Внутренний голос. жем, нужно 2 разделить на 2. Т. е. √22 , что, очевидно, = 2. Но вдумайтесь, как звучат Ваши слова: “Разделить на корень из двух”. На что нужно здесь делить? На корень? Какой-такой корень? Ведь корень — это не число! Ах, на корень из двух! Но, извините, на сколько это нужно разделить частей? Делят то на части! Конечно, у профессиональных математиков слух в этом плане основательно притупился. Но не до полной же глухоты! Вообще, только за счет несложных манипуПотешные ляций с символами действий можно получить смыслы самые неожиданные высказывания или объекты. Например, дробная степень – ясно что. А дробный корень? Отрицательная степень – ясно что. А отрицательный корень? 50% = 12 (!?) Имеет ли смысл уравнение sinx = 50%? sin 300 = 12 . Можно ли сказать: “Товар подорожал на sin 300 ”? А могут ли проценты быть отрицательными? Более корректно здесь нужно говорить не о “Сам-сам разах”, а о наличии собственных границ для используемых понятий и терминов. Их, так сказать, естественных областях определения. Более общо: для любого математического предмета должна быть четко задана область, на которой он рассматривается. Естественно ли, что всего этого не делается?! Какие там области определения поняВ голову не тий. Если даже в голову не приходит скаприходит зать, что такое сумма. (дробей-ли, корнейли, плюс-минус чисел). Если в голову не приходит даже чуть откомментировать, что, мол, слово (какое-то) хоть и хорошо знакомое, но смысл у него совсем другой! Какое-там! Если забывают даже для учителей сказать, что уровень абстракции радикально вырос. Что от натуры напрочь ото245

рвались. Что речь идет о виртуальных, т. е. мысленных объектах. И прежние слова для них имеют совсем другой смысл. Трудно объяснить, почему. Но изложение материала с новыми числами (и объектами) «Бумажка с надписью ведется так, как будто ничего не произошло. “зонт” от По типу: “А почему «−2» есть число?” — “А дождя не потому что сказано «число вида», а значит, ниспасет» чем другим быть не может!» Сказано, что “зонт”! Значит, ничем иным та бумажка и быть не может. Новые смыслы начинают интерпретировать от звучания входящих в выражение слов. Например, a + b – это сумма, потому как плюс стоит. А если я скажу: “2 + (−3) — это сумма?” – “Да, но алгебраическая!” — “А если так: 2 − (−3)? Это тоже сумма? Ведь 2 − (−3) = 2 + 3!” — “Вы нас специально путаете!” 1 4 2 – это степень или корень? Можно ли sin 300 (= 12 ) считать частным (1 : 2)? Имеет ли смысл уравнение x2 = 50% Чрезвычайно √ характерный пример смысловой абракадабры – √ выражения вида 3− 2. Предполагается, что у учеников не должно возникать абсолютно никаких сомнений, что написанное выражение есть число. Но почему это есть число? Логика примерно такая. Корень – это иррациональность. А иррациональное число – Число ли √ √ это десятичная бесконечная непериодическая 2− 3 дробь. А сумма двух таких дробей, ясно, что тоже дробь. И что десятичная – ясно, и что бесконечная (а как же иначе). Ну, а периодической она быть √ не √ может, т. к. тогда она давала бы рациональное число, хотя 3 − 2 очевидно нерационально. Последний пример — конечно же карикатура на корректное объяснение. Но именно такой карикатурой является использование формально-логических построений для объяснения некорректно определяемых виртуальных объектов. Один из законов Ψ-математики: – нельзя перепрыгивать через ступень Ψ- лестницы. Ибо такой перескок делает изложение недоступным на более низкой ступени. Если ученик находится на уровне УрМ-2, и мы хотим ввести его в понятие уровня УрМ-3, объяснения нужно вести на уровне не выше УрМ-3, желательно – на УрМ-2. Ярчайшим примером подобного нарушения является называние 246

записи 2 + 3 суммой для ученика, находящегося на УрМ-2. Таким вот образом язык не помогает понять смысл понятий, а извращает их, делая их них Ψ-пугало. § 10.3 Что делать с багажом, доставшимся от предков? Первые версии учебников. Разобраться некогда. Дроби в старых учебниках. Чем отношение не дробь? Обойтись без величин. А что кроме в школе надо?

Материал, полученный в наследство от предков, и лег в основу первого поколения школьных учебников XVIII в. Во всех практических арифметиках прежПервая версия него времени не было объяснений. Это не дело! Нужно как-то объяснять. Как? школьных учебников Подобный опыт был у арабов. Так, у Ал-Каши изложение начиналось с перечня свойств пропорций. Про числа, которые из счета, практически речи не было. Теперь же начали уже на “современный” манер излагать, подробно, начиная с чисел (натуральных, конечно). Число – совокупность единиц. Это – от греков. Дальше – всевозможные свойства действий, способы записи и вычислений. Плюс соответствующий материал (запас задач с решениями) от старых арифметик. А чтобы научнее было, опять же и вразумительнее, сверху наложены формально-дедуктивные схемы. Высокая университетская наука должна была осенить новую литературу своим крылом. А наука – от греков. А что там главное – дедукции. Вот тогда и в такой манере Х. Вольф стал классиком. Основная рецептура решения задач (хоть и тривиально следует из теории пропорций) излагалась независимо от нее. Пропорции излагались весьма убого, как одно из средств записи условий задач. В основном пропорции переехали в раздел о дробях. По-хорошему, прежде, чем писать новые учебники, нужно было бы разобраться с исходРазбираться ным материалом. Привести его хоть в какую некому то логическую систему. Никто, конечно, это не стал делать. Тогда ни опыта не было такого, ни квалификации у авторов соответствующей литературы не хватало. А сочинения ведущих ученых роль учебников выполнить не могли в принципе. Книги, написанные, например, Эйлером, ни в коей мере учебниками быть не могли, потому как, с одной стороны, были собранием 247

результатов и методов почти по всем тогдашним достижениям математики, причем впервые легшими на бумагу. А с другой стороны, по зубам в то время эти книги были лишь для наиболее квалифицированных читателей, не для всех даже студентов, не говоря уже просто о школьниках. В этом плане книги Х.Вольфа, несмотря на их бестолковость, внешне были доступны уже потому, что излагали резко более простой (менее глубокий) материал, который хоть зазубрить можно было. Поскольку у Вольфа речь шла только о тривиальной арифметике. У Эйлера же замах был на всю математику; и не только на интегральное и дифференциальное исчисление, а и на его знаменитые результаты о рядах, о методах интегрирования, о вариационном исчислении, о дифференциальных уравнениях и прочем. Так что монографии Эйлера напрямую учебниками быть не могли, но служили важным пособием для авторов университетских учебников по математике, в особенности – по анализу бесконечно малых и его применениям. Весь пыл и жар разъяснительных дедукций у авторов, типа Вольфа, иссякал в обычной арифметике, кончаясь на алгоритмах действий с многозначными числами. В учебниках повышенного уровня неизбеДроби в жен был материал о дробях – центральный в старых книгах практической арифметике. В первых поколениях учебников, до середины XVIII в., дроби излагались отдельно от дробных чисел. Это – старая традиция, возникшая в старинной математике, где дробь функционировала как мера части (как в древнеегипетском папирусе по типу – такая же часть, какую 3 составляет от 5) и только как мера части, где часть измерялась долями, где еще и термина «дробь» не было, он появился лишь в XVII в. Когда с наступившей эрой символов, отношение m : n перепутали с дробью, т. е. дробные числа перепутали с дробями. В период риторической математики, когда знаменатель не был делителем, когда он вплелся в язык как имя доли, не могло в принципе появиться термина “дробного числа”, или ломаного числа, как иначе говорили в Европе (якобы, заимствуя у арабов). Задачи такой “дробной” науки были те, которые породили этот объект, вызвали его к жизни, а именно: найти часть (т. е. дробь) от числа, найти величину части и найти число по части и ее дроби. Наиболее трудной была задача отыскания целого по части, ибо в основном здесь требовались навыки сложения дробей с приведением к общему знаменателю. Дело в том, что в деловой (торговой) 248

практике до XVII в. пользовались как правило египетскими дробями, т. е. объединяли на одинаковые доли (по типу 56 = пять раз по шестой части — пять шестых), а наиболее Сложение в крупные доли, как половина и треть. Складыглавной задаче вать такие “дроби”, если и приходилось, то без о дробях всяких проблем, потому что главное затруднение – если в слагаемых возникало по одинако1 1 сложить с 13 и 10 ), то на эту тему было масса таблиц вой доле ( 21 и 10 удвоения – древнеегипетские и халдейские арифметики прямо с таких таблиц и начинались. А вот если требовалось найти нечто, зная его часть ( 12 и 13 ), то часть необходимо было выразить отношением, для чего и применяли прием приведения к общему знаменателю, как к общему имени (половина и треть равно 3 полтрети и 2 полтрети, т. е. 5 полтретей), что затем позволяло найти все (целое) с помощью пятой доли части, которая (пятая доля части) – есть шестая часть всего. До XIX в. преподаватели математики специальным образом не готовились. Преподаванием занимались люди, освоившие математику в одном из университетов или продвинутых школ и основательно потренировавшиеся в использовании математики: или военные инженеры, или бухгалтеры-финансисты и проч. Зная дух и смысл практической математики, они берегли вычислительные традиции, кладя их в основу методик. Поэтому и действия с дробями начинались с основных задач. А сложение и вычитание особо и не изучались, как очевидные (привели к общему имени – и сложили, как обычные числа). Хоть наряду с аликвотными начали рассматриваться и обычные (типа 5/6) дроби, но уже само название “правильная дробь” говорило о том, что неправильные дроби (типа 7/4) и дробями не считались. Неправильные – вне правил. Тогда еще отношение 7 : 4 и не обозначали в виде 7/4, т. е. дробная черта не была символом деления. Дробная черта отделяла имя доли: знаменатель от числа этих долей. А отношение (7 : 4) спокойно представляли в виде 1 + 3/4 – и все проблемы. Числитель, как остаток от деления, оказывался всегда меньше знаменателя. Однако в течение всего XVIII в., когда крупные математики отвлеклись на решение инифинитезимальных проблем, нарастала методическая энергия коллег Х. Вольфа, где стремление ометодичить и обнаружить материал по греческой моде брало верх над потребностью разобраться Чем отношение не дробь?

249

в исходном математико-алгоритмическом материале, в сути появления новых абстракций. В результате число-отношение и число-дробь, различавшиеся и у греков, и у арабов, оказались перепутанными, т. е. 2 : 3 = 2/3. И так на всю последующую жизнь. Если кто осознает нелепость этой идентификации, то лишь вследствие основательного образования. Да и то не всегда. А не осознав, мы наследуем некий (и серьезный) дискомфорт. “Половина – число или дробь?” – “А какая разница? Вроде никакой!” – “Так все же половина число – или просто слово, часть речи, способная вдруг стать приставкой: полбуханки, полмешка?” – “Нет! Половина – первая дробь, с которой люди встретились (гуляли – и повстречались!?), а дробь есть число! И – баста!” И началось великое переселение (методическое) материала о дробях. Сложение дробей. Конечно же с него надо надо начинать! А умножение? Что - нет такого действия? Ну как же, когда мы берем полторы буханки, мы же умножаем на полтора! А полтора это раз и еще половина. Значит, мы умножаем и на половину. Вот и все — так просто! Сказано — сделано! Почему сделано так – никому не сказали. И очень скоро даже крупнейшие математики начали догадываться. Почему, умножая на дробь, мы не увеличиваем, а уменьшаем?! Ба! Так, оказывается, все очень просто! Ведь умножить на дробь - это значит взять часть! А тогда все ясно! Это же надо же! Превратить в загадку даже для умнейших людей совсем простое обстоятельство! Таким искусством — превращать простые обстоятельства в таинственные проблемы — методическая наука овладела вполне. Чтобы саму себя непрерывно удивлять! Странно (для методистов XIX в.), но почему то во всех старинных учебниках для дробей Странности сначала рассматривалось (и капитально простаринных рабатывалось) умножение на дробь. Что же арифметик тут странного. Странно то, что забыли, откуда термин «умножить на дробь» взялся. Не было его ведь когда-то, искусственный он, этот термин. А вот “взять дробь” — все очевидно и очень актуально. Переобозвали и забыли! И чему удивляемся? Просто удивительно, как нелепо делили на дробь старые авторы (типа Фибоначчи). Вместо того, чтобы умножить на обратную —

250

это же так просто — начинали какую-то мутату разводить. Одни сначала делят на числитель и потом умножаАбсурд ют на знаменатель, а другие — наоборот. обратной дроби Я здесь процитировал почти буквально ходульное мнение методистов уже конца XIX в. Ведь что в таком мнении интригует? Во-первых, автор этих слов, хоть и писал, но тут же и забыл, что до XVII в. математика была риторической, т. е. про 3/5 так и 1 говорили: три пятины или, чаще, половина и десятина ( 12 + 10 ). В этих терминах говорить об обратной дроби — нонсенс. Во-вторых, что есть обратная дробь для элементарной дроби? Cкажем, для половины. Точнее, в том виде, как она участвует: взять полбуханки, взять полмешка. А обратная дробь, как операция — что должна означать? Что значит наоборот от “взять половину буханки”? Или “полбуханки отдать”, или буханку наизнанку вывернуть, или чего-то другое сделать реально? Ведь нормальному человеку и в голову не может придти, что обратное к “взять полбуханки” действие должно выглядеть, как “взять две буханки”. Красиво! Действуем наоборот, но почему-то не отдаем (наоборот от взять), а именно берем! Т. е. наоборот от половины есть два. В-третьих! В древних (ранее XV в.) арифметиках действия деления на дробь и не было. Была задача отыскания целого по части. И это авторы-методисты знали, об этом писали (в другом месте). Но лишний раз выставить предков тупицами старались, как могли. И особенно много восхищения у этих комментаторов возникало при оценке деления дроби на дробь. Не просто деления “на дробь”, а именно “дроби на дробь”. Они просто в умиление приходили и умиления этого не скрывали, цитируя правило: «Для деления дроби на дробь нужно обе привести к общему знаменателю, а затем поделить числители, отбросив знаменатели». Ну надо же быть такими чудаками! Не могли догадаться, а ведь это так просто, умножить на обратную к делителю — и все. Предлагаем читателю самим прокомментировать приведенную издевку на примере: “поларбуза разделить на четверть арбуза”. Обращаю внимание на то, что я специально говорил в терминах долей: не одна четвертая часть арбуза: слово “одна”, т. е. числительзнаменатель, я не употребил. У меня здесь четверть, это — название (имя) доли, т. е. в переводе на математические процедуры — пучок арбуза, равный (арбуз/4). Именно так понимали доли все, в том 251

числе и рехенмейстеры, доли-дроби. В течение XVIII в. возникло новое поприще для околоматематических разговоров и обсуждений. На тему: как что объяснять. По-нашему, это уже методическая наука зарождаться начала. С числами, которые от греков, т. е. натуральные, с ними проблем не было. Прямо по Евклиду можно, по его арифметическим книгам. И про делители, и про простые числа, и про дружественные числа, квадратные, треугольные и проч. Что идет от Пифагора. А вот с дробями — похуже. Вначале, глядя на арабов, свойства km дробей (типа m n = kn ) объясняли ссылкой на пропорции. Но это – наука серьезная, нужно хорошо владеть понятием величины. А кто ею владеет? Тогда еще методическая Величины — на наука хоть запутывать и научилась (это — не по хитрости, а по немощи), но врать-лукавить выход еще не могла. И потому делать вид, что понятие «отношения величин» интуитивно прозрачно, как слеза, авторы учебников не могли. Въехать в теорию Евдокса было очень трудно, О. Хайяма авторы тогдашних учебников не знали, а потому начали всемерно избавляться от понятия величины. Тогда это называлось “избавиться от геометрического обоснования арифметики” (методисты так говорят и до сих пор, несмотря на работы Дедекинда и разъяснения Ф. Кляйна, Колмогорова о прочих). И хотя даже Коши понимал число по Евдоксу, т. е. как отношение двух величин одного рода, и хотя и в науке уже привыкли числа ассоциировать с точками прямой, а это то же самое, но вот эта страсть “арифметизации” заразила и серьезных математиков. Приведя к началу XX в. к этакой полной аксиоматизации понятия числа. А в XVIII в. об эту проблему сразу и споткнулись. Почему единицу можно считать неограниченно делимой? О том, что это свойство можно объявить аксиомой, авторы тогдашние не догадывались! И почему 3 пятых и результат деления 3 на 5 — одно и то же? Этот вопрос оказался вдруг ужасно трудным вопросом даже для математиков уровня Л. Эйлера. Трудным именно в той плоскости, которую навязывали методисты: обходиться без опоры на понятие величины! А кому это надо было, величину из математики выгнать? Ученым?! Да ни в кое разе, потому что без нее математика просто мертва. Ведь об этом Колмогоров всю жизнь говорил: и в 30-е 252

годы, и в 80-е. Но методистам Колмогоров не указ! Они уже научились сами указывать. В общем, внешний формальнодедуктивный стиль уже в XVIII в. послужил не только “святой водой”, окропив который можно было совершать богоугодное дело — перевернуть наизнанку всю логическую структуру прежних «Арифметик». Эта внешняя формальная завеса плотно запеленала вновь образованное изделие — извращенные старые традиции вперемежку с перепутанСлепим урода. ными, недопереваренными представлениями о Но — своего! новых традициях. Так что даже понять о присутствии новых абстракций, новых объектов стало невозможно. А о психологическом анализе, психологической логике тогда и не помышляли. Не греки же! И не Пуанкаре с Арнольдом! Слава Богу, не помешали прямым пользователям поместить в программы материал по тригонометрии, благо он уже был практически сформирован и отшлифован у того же Регимонтана. Естественно, с подстилкой теории подобия и геометирической алгебры греков. Но здесь методисты проявили свою власть, указав: “Тригонометрия — да! Но сама по себе. И место ей — в мат анализе. А геометрия — это уже мы и без вас, мы и сами хотим и даже очень знаем, как преподавать. А чего там знать – у Евклида все уже есть. Можно даже и Евдокса, зажмурившись, прокинуть”. Как будто отношение величин в геометрии и не нужно! Ну да ладно – что уж тут говорить! А вот алгебру – тут некуда деваться. Без уравнений и в практических задачах никуда. А какие дедукции здесь могут быть? Могут! Придумали их уже во второй половине XX в. Колмогоров — не указ

§ 10.4 Традиция непогрешимости Педматематика о себе — судить боле некому. Примеры озарений. Швондеры пришли. Пролетарские математики понаделали делов. Наследие Кольмана и K o .

Современную школьно-математическую мысль характеризует прямо-таки мистическая уверенность в собственной непогрешимости, когда обсуждаются способы и методы создания “дидактических систем”. 253

Педагогика математики.

Это одно из самоназваний методической активности вокруг школьной математики. Постарому это — методика преподавания математики в школе, которая с недавних пор начала объявлять себя наукой. На всякий случай — не частью математики, но частью педагогики. Такое чисто формальное и негромкое отмежевывание от математики, как отрасли знаний и сферы научной деятельности, не мешает ей вести себя в математике более чем по-хозяйски, вдобавок еще и запугивая математиков-ученых. Как бы поднимая себя над математикой, эта “наука” начинает обволакивать коренную математику своеобразным теоретизированием о задачах и методах ее преподавания. Вот примеры соответствующих озарений. (О1) Школьная математика должна обеспечить “приобретение глубоких и прочных Озарения педтеоретических знаний элементарных начал математики математической науки”. Это — буквальная цитата одного из классиков [Столяр] педматематики. Но как можно человеку, хоть чуть-чуть знающему математику, въехать в смысл этой фразы, произнесенной вроде бы русским языком? Что понимается здесь под элементарными началами науки? Началами науки обычно называют либо формально-логический фундамент, на котором эта наука стоит — и тогда это либо некоторая система аксиом, либо развернутая дедуктивная система, у которой и начала, в буквальном смысле, быть не может, все только в полном комплекте, либо это генетическое начало, система некоторых простейших знаний, из которой можно эту науку как бы вывести. Первая версия приводит к метаматематике или системе аксиом Гильберта, что абсолютно неэлементарно и требует высокой абстрактной культуры. Второе толкование вроде бы естественно, но оно лишается всяческого смысла приговоркой о “теоретических знаниях” этих самых “элементарных начал”. Если мы говорим о простых начальных знаниях интуитивного плана, то какая здесь в принципе могла быть теория? Но этот вопрос (если рассуждать в плане логики здравого смысла хотя бы). На самом деле, здесь применен обычный прием наукообразия: свален в кучу некий набор значительных слов и делается вид, что этот (абсурдный по сути) набор слов содержит некий высокий смысл. Раз сказано — значит какой-то смысл есть! А если непонятно сразу — значит смысл глу254

бокий, трудно постижимый, тем он ценнее. И научнее. Очень тривиальный и в обывательском плане эффективный прием, если говорящему доверяют безоговорочно, не принимая за жулика, очень действенный прием: если мне чего-то говорят нормальными словами, а я общий смысл не улавливаю, значит мысль слишком глубокая. О том, что мысли просто нет, мы как-то забываем подумать. Для того, чтобы обеспечить то, что мы только что сказали, т. е. приобретение вон каких знаний, педматематика располагает другими озарениями: (О2) Современная математика должна пройти “дидактическую обработку” методом “переноса идей”, при этом подвергнуться “структурному анализу”, “упрощению логики” c тем, чтобы научные системы стали системами дидактическими. Это — почти буквальная цитата из тех же Как классиков. Тех самых, которые научную деяматематики тельность представляют в виде модели (тоже творят! их термин — модель математической деятельности), поэтапно: 1) математическое описание конкретных ситуаций или деятельность по математизации эмпирического материала; 2) логическая организация полученного материала; 3) применение построенной математической теории. А когда в этой схеме теория образовалась? На первом этапе — материал собирали. На втором — в схему выстраивали логическую. Теория-то когда возникла? Где по этой схеме ученые голову, мозги напрягали, мыслями перегревались? Чтение этой фразы укрепляет подозрение, что ее автор не очень даже и понимает, что такое математика, не изучал, по-видимому, серьезных математических вещей типа университетских курсов и, тем более, рядом не сидел с математическим творчеством. Если внимательно присмотреться к учебникам по методике преподавания математиУчебники — свидетельства ки, то большинство суждений о предмете ее, о природе методов и понятий, свидетельствуневежества ют о серьезном математическом невежестве. В сочетании с безапелляционными оценками, что в математике более важно, а что можно проигнорировать, что уже потеряло актуальность и т. д. И ведь именно с активной подачи этих теоретиков в школьных программах ликвидирована «Тригонометрия» и как самостоятельная дисциплина, и как термин, а соответствующий ма255

териал под видом тригонометрических функций размазан по «началам матанализа». Именно они выгнали Туда, где у нас из школьной программы именованные чисне было ла. Якобы для большей чистоты математики. Именно они являются ревнителямии “чистоты” в математике, нацеливая школьную программу на постижение этой теоретической науки в максимальной ее чистоте и абстрактности. Нацеливая туда, где сами они и близко не были, но делая вид, что они лучше всех других доведут, туда, куда надо. Откуда эта убежденность, как будто их ведет невидимая рука проведения? От большевистско-комиссарской психолоОт диалекти- гии Швондеров. Процитируем А. Н. Солженицына: ческого материализма «Вот (1931) — “Первая всесоюзная конференция по планированию науки”. Налетчик — философ Э. Я. Кольман (“один из главных идеологов советской науки в 30-е годы”) громил московскую математическую школу: “мы должны установить трудовую дисциплину в научной работе, перейти на коллективные методы — на соцсоревнование, на ударничество, наука идет по плану “благодаря силе пролетарской диктатуры”; каждый ученый должен изучать «Материализм и эмпириокритицизм»”. С энтузиазмом подхватывает академик А. Г. Гольдман: “Академия сейчас возглавила борьбу за марксистскую диалектику в науке” (Известия, 1931, 7 стр., 11 стр., 12 стр.,)». (Cм. [Солж., т. 2, с. 325]) Дадим слово нашему герою — Э. Кольману. Из его книги «Предмет и метод современной математики» ( М., 1936 г., с. 7): «Предыдущий этап характерен борьбой за перелом в рядах советских математиков, большинство которых было политически “нейтрально”. На настоящем этапе: критики и пропаганды уже совершенно недостаточно: материалистическая диалектика в математике должна быть показана в действии». На фоне “деградации буржуазной науки, громадное большинство научных работников Советского Союза, а среди них и математики, перешло как в область политики, так и в области методологии на позиции пролетариата и его партии”. А если кто “не перешел”? Цитата из той же книги (с. 291) того же Э. Кольмана: «Известно, что так называемая “Московская математическая школа” проповедовала, будто: анализ с его непрерывностью направ256

лен против революционных идей, . . . а вся математика в целом находится в соответствии с православным самодержавием и народностью. Этот черносотенный образ мыслей был полностью донесен до наших дней (напомним, слова эти звучат в 1936 г.) одним из столпов этой школы Лузиным, который придал ему некоторую более “современную” фашистскую окраску». Итак, Лузина, открыто и книжно обвиняют в фашизме, черносотенстве, преданности принципам царизма и пр. Книга выходит в конце июля 1936 г. И одновременно начинается травля Лузина в прессе. В том числе статьи в газете «Правда»: “О врагах в советской маске”, “Ответ академику Лузину” и др. В номере «Правды» от 5 августа 1936 г. публикуется постановление президиума академии наук “Об академике Н. Н. Лузине” вместе с заключениями комиссии АН по “Делу академика Н. Н. Лузина”. Решение президиума АН — предупредить, т. е. мягко пожурить, буквально спасло от саШвондеры мого драматического исхода. Представьте сепришли бе, ведь это было время повальных репрессий. Мы это сейчас уже знаем. Тривиальный анонимный донос — и, без всяких следствий, заседание тройки (закрытое), никаких обжалований, — до свидания. Приговор в 24 часа. Либо — пуля, либо — лесоповал лет на 10. А тут, открыто, в печати объявлено: “Враг!” И — дело состряпано. Осталось — чуть. Но! Хватило мудрости у ведущих наших ученых. Насмотрелись они уже! А к “делу Лузина” подготовка проводилась еще в 1931 г. Когда была объявлена “борьба за материалистическую диалектику в математике”. И это “начало борьбы” уже было результативно. Хроника из 1931 г, журнал «МатематиПролетарские ческие науки пролетарским кадрам», № 1, математики. с. 48–51. Под заголовком “Реорганизация московско-математического общества” читаем: «. . . общество подверглось коренной реорганизации, исключив из своей среды реакционеров (Егорова, Финикова, Анхельрота). Избран новый президиум : Кольман, Выгодский и др., среди них Хинчин, Яковеная, Люстерник и Лаврентьева (последних взяли в компанию для солидности по-видимому)». Другой заголовок: “Реорганизация Ленинградского математического общества”. Сообщение о создании нового общества “математики-материалисты”, публикуется декларация за подписью группы лиц. Здесь же — покаянное письмо Гюнтера, после 257

которого «постановление Президиума “Ленинградского общества математиков-материалистов” по письму Гюнтера», где реакционная гюнтеровщина была заклеймлена и заплевана. А теперь — несколько справок. Начиная с конца. О том, что новое общество математиков-материалистов мгновенно надело фуражку предыдущего общества, математическая общественность даже и не подозревает. Об этом нигде, никто, ничего не публиковал. Оно просуществовало, по-видимому, только на момент разгона старого правления, чтобы создать хоть какую-то сцену для видимости формальной деятельности. Все-таки на общественное мнение зарубежных ученых оглядывались. Нельзя было просто так придти, сказать старым: “Кыш”, и сесть на их место. Тут вроде бы по правилам: организовали новое общество из молодых математиков. Т. е. покритиковали стариков, которые после этого куда-то сами и разбрелись. А то, что это новое общество после этого куда-то и пропало, а старое, но в новом составе, осталось, так об этом, кроме прямых участников, никто и не знает. Гюнтер Николай Максимович — член-корр. АН (с 1922 г.), заслуженный деятель науки РСФСР, крупнейший ученый начала XX века. К моменту описанных событий — председатель правления Ленинградского математического общества. После этих событий прожил еще 10 лет. Журнал «Математические науки пролетарским кадрам» прожил еще месяц и канул в Лету. За ненадобностью. Егоров Дмитрий Федорович — член-корр. Д. Ф. Егоров АН (1924), почетный член АН (1929). Известен каждому студенту “теоремами Егорова” об измеримых функциях. К началу тех событий — председатель правления Московского математического общества. Умер в Казани через месяц после тех событий (10 сентября). И Егорова, и Гюнтера уничтожали публично: заставляли писать заявления, выступать с публичными покаяниями, организовывались митинги и студентов, и рабочих на разных заводах, куда героев выводили для того, чтобы лично подвергнуться “гневу народа”. Показалось мало. Органы почему-то молчали. На Егорова организовали персональное дело, отправили его в органы: черносотенец махровый, с попами связан, монархист и проч. Шлепнуть его тогда было — раз плюнуть. Время вон какое лихое! Однако ограничились административной мерой — выслали в Казань. Там Дмитрий Федорович, готовый на все, лишь бы служить науке и студентам, от которых его отлучили, и не чувствуя за собой никакой вины, объявил в знак протеста голодовку. 258

Он знал, что до революции, по крайней мере, даже большевики и даже в тюрьмах пользовались этим средством как очень весомым аргументом, с которым власть всегда считалась. Наивный человек! Ему спокойно дали умереть. А на место Егорова Д. Ф. сел Э. Кольман. Но кто он такой? Кольман Эрнест, родился в 1892 г. в Праге, Э. Кольман окончил Чешский Карлов университет (1913), доктор философских наук (1934), профессор (1939), в 1929–1935 работал в Коммунистической академии. Вот оно! То самое дупло, где до поры отсиживались Швондеры от математики. Именно здесь, при Коммунистической академии, возник энергетический центр борцов-комиссаров за марксизм в математике. В издававшихся здесь разнообразных журналах с похожими названиями (вплоть до “На борьбу за материалистическую диалектику в математике”) публиковались, объединялись будущие кандидаты в ММО. Кольман Э. — все публикации до 1940 г. Выгодский М. Л. — все публикации до 1930 г. (всего 6) Яновская С. А. — все публикации по 1935 г. Хотимский В. И. — серия работ “Под знаменем марксизма”. Молодший В. Н. — все до 1935 г. Первыми публикациями (1925) “Вестнику Коммунистической академии” обязан и Люстерник Л. А. Франкель Ф. И. (так же член президиума ММО) эмигрант из Австрии, сразу после приезда (29 г.) оказался сотрудником Коммунистической академии. Хинчин А. Я., прозябавший в Иванове до 1926 г., стал одновременно и автором статей в “Вестника Коммунистической академии” и москвичем. Причудлива судьба главного Швондера в этой команде Э. Кольмана, сменившего Егорова Д. Ф. Выпускник Карлова университета, в австро-венгерскую армию пошел волонтером. После начала боевых действий с Россией почти сразу сдался в плен. После этого судьба носила его по бурлящей России, где он, пробившись в комиссары-интернационалисты, начал делать Кольман и K 0 карьеру на идеологии. Естественно, оказался одним из сотрудников Коммунистической академии, а затем, выскочив из-за спин Выгодского и Яновской, оказался лидером в захвате власти в ММО. Московские математики старшего поколения помнят, что еще в 50-е годы Кольман Э. Я. 259

курировал науку в Московском горкоме партии, определяя, кому быть ректором в каком ВУЗе. После его отъезда за рубеж (в 60-е годы — якобы эмиграции в Израиль ) и серии дурнопахнущих статей про СССР, его бывшие соратники (как и он прежде, работали в идеологизированных сферах) сделал все, чтобы его имя исчезло из памяти. Его книгу, например, которую мы цитировали выше и в философском плане достаточно приличную, уже более 30 лет не встретить ни в какой библиографии. Цитатами из Маркса никакую математическую теорему доиграть нельзя. Команде Кольман и K 0 удалось захватить советскую власть в математике, но удержаться долго было просто невозможно. Надо было стать математиками. Кольман Э. крутился рядом с математиками и даже книгу написал с участием с Колмогорова А. Н. (ее обсуждавшим). По-видимому, ума хватило понять, что он и его компания — не того поля ягоды. Нужно было искать жизненную нишу . Только история математики — это слабовато. Рабочих мест на всех не хватит. И вот эту нишу удалось создать. Даже более благодатную, чем математика и ее преподавание. Это та сфера, где про математику разрешается говорить даже тем, кто ее и не очень знает. Но зато бодро цитирует, например, Энгельса и Гегеля. Это — методология преподавания математики, естественно, в школе. Тем самым это — курирование всей педагогики математического (и прочего естественно) плана. И всей работы со школами. И издательская деятельность. Последнее оказалось самым перспективным. Сначала Кольман и K 0 освоили Редакционно - издательские и Методические Советы Освоение по преподаванию математики. И соответствушкольной ющие издания, редколлегии. И издания типа математики математических энциклопедий, всю историкоматематическую и методико-математическую деятельность в Учпедгизе и проч. Вся идеология этого направления, заложенная Кольманом и К0 уже в середине XX века, естественным образом продолжалась их приемниками. Дух властной вседозволенности, порождаемый прикрытием идеологической фразеологии, остался. Хотя в отличие от самого Кольмана и его тогдашних соратников, имевших достаточно неплохое образование, уже их младшие (по статусу) товарищи типа Депмана, Молодшего даже в тех вещах, о которых писали, 260

мягко говоря, немного плавали. Молодший, якобы историк (и вдобавок кандидат физ.-мат. наук), вдруг приписал Ньютону создание понятия предела, а так же определение понятия числа, которым он якобы нанес удар по Евклиду. Не подозревая (потому как сам не заглядывал в Евклида), что Ньютон просто повторит определение Евдокса, о чем в математических кругах известно было достаточно давно и написано, например, у Ф.Клейна. Аналогично, Депман запутался в комментариях о дробях. Хотя исторический материал, если отложить его личные комментарии в сторону, в его книге богатейший. Когда на сцену начали выходить новые последователи Кольмана и K 0 , они в первую очередь освоили главную традицию — права на руководящие указания. И хотя история лишила эту публику главного прикрытия — государственной идеологии, осталась фактически освоенная и приватизированная территория — все те же методические советы в Министерстве, в издательствах, во всевозможных редакциях, в преемнице бывшей АПН - РАО. Остались и прежние иконы и идолы (исключая Кольмана - про него и заикаться нельзя). А про остальных — даже намек на критику приводит к бурному осуждению. И осталась от времен Кольмана и K 0 энергетика борьбы. Любой — но борьбы. Кто хочет понять, как можно устроить борьбу на ровном месте, может взять любую из книг перечисленных выше классиков. Там нет спокойного разговора о генезисе каких-либо идей, например. Нет! Там сразу реально жившие и творившие ученые прошлого классифицируются на наших и не наших по Советским разным признакам: буржуазные или пролетарские, идеалисты или материалисты, диалектики или метафизики, материалисты стихийные или сознательно-диалектические и т. д. и тому подобное. Отсюда и настоящая борьба за повышение абстрактности, за внедрение современных достижений науки в школьные программы. Отсюда — всемерное стремление к тоталитаризму, контролю за даже мыслями учителей. Отсюда же внедрение в учебники методики чудовищных карикатур на творческую деятельность. Отсюда же навязывание совершенно несусветных представлений о структуре дидактических систем. Отсюда же — полная недооценка общечеловеческого опыта в 261

истории освоения и передачи знаний. Вся энергетика агрессивного навязывания методологической псевдоидеологии — от комиссаров-Швондеров из наследия Кольмана и К0 .

262

Φ–11. Ядро математики § 11.1 Низшая математика Натурально-интуитивная математика. Барьер абстракций и языка. За барьером. Отрыв от корней. Как быть со строгостью.

Подведем основные итоги проведенного разговора. Генетическая теория интеллекта к анализу проблем преподавания математики привлечена, по-видимому, впервые. Нами введена т. н. Ψ-лестница – иерархия четырех пластов-уровней мыслителей деятельности. Считая, что эту лестницу в своем интеллектуальном развитии прошло все человечество, в соответствии с этими пластами-уровнями можно сепарировать и все математические знания. Цикл знаний, соответствующий первым двум уровням, мы назвали натурально-интуитивной математикой. Остальное математическое здание, где используют формально-логические теории в форме дедуктивных систем, можно отнести к чистой математике. Нижний слой, т. е. натурально-интуитивная Подошва математика, является натуральной основой чистой чистой математики. С психологической точки зрения этот слой — корневая система всей маматематики тематики. Его подошва — продукт сенсомоторного интеллекта (УрМ-1), обеспечивающий математическим понятиям “живое чувство действительности”, связь с “первоначальным материальным содержанием” (по выражениям А. Н. Колмогорова). Второй пласт (соответствующий УрМ-2) натуральноинтуитивной математики, образованный интериоризацией (превращением в мысленные) сенсомоторных схем, т. е. систем реальных действий, вошел органичной компонентой в язык, активно развивавшийся на соответствующем УрМ-2 историческом этапе. В целом оба пласта, т. е. интуитивно-бытовая математика, органично связаны с обыденной культурой, с просторечием, с нашей интуицией. Математика этого уровня может обходитьБез строгих ся без строгих дефиниций. Здесь величина — дефиниций то, что может быть больше или меньше, у чего часть меньше целого. Число — то, что отвечает на вопрос “сколько?”, потому как название числа есть имя числительное, а оно именно так в грамматике и определяется. Порядковое число — то, что отвечает на вопрос “который?”. Сумма отвечает на вопрос “сколько всего?”, дробь — “какая часть?”. Дробь 263

есть мера части, но не самостоятельное число. Отношение (a : b) части a к целому b отвечает на вопрос “какую часть a составляет от b?”. Ответ может быть дан в древнейшей форме: например, “такую же, как 3 от 5”; или в более рафинированном виде: по-нашему, три пятых; или, как когда-то, “половина и десятина”. Вычленение нижнего слоя (натурально-интуитивной математики) позволяет четко выделять тот рубеж, который отделяет натуральные представления от аксиоматизированной абстрактной (формальной) математики. Переход к чистой математике осуществляется с появлением объектов явно виртуального характера. Это числа-отношения (8 : 5) = 8/5 и числа разности (5 − 8) = (0 − 3). Фактически это плоды символизации арифметики, это не объекты прежнего типа, но числа-записи. Они плотно стыкуются с прежними представлениями, из-за чего их трудно отличить. Но они — объекты явно виртуальные, умозрительные, на фоне натуральных √ чисел — вымышленные. Так же, как и 2. В процессе эволюции математики этот рубеж от интуитивнонатурального слоя к системе абстрактных знаний, внедрение абстрактных объектов в математический обиход произошел в эпоху Возрождения с переходом от риторической математики к системе символьно-язычых знаний. Здесь вскрывается еще одна трудная проблема — языковая. В математике симвоЯзыковая лы появились для упрощения письменной репроблема чи. Подчеркнем — именно письменной. Чтобы сократить записи. Но устная речь осталась прежней. И противоречие между интуитивными и абстрактными слоями осталось прежним. Поэтому в абстрактной, т. е. чистой математике, звучат абсолютно те же слова, что и в интуитивной математике. А смысл здесь у прежних слов, как правило, другой. Зачастую — совершенно другой, вплоть до противоположного. Возникающая здесь проблема чрезвычайно серьезна. Она — чуть ли не главная в освоении математики. Дело в том, что наше просторечие, т. е. обыденный язык, формировались не одно тысячелетие. И находится вместе с УрМ-1 и УрМ-2 практически на дне нашего сознания. Нагружать хорошо обжитые привычные слова новым смыслом, зачастую противоположным, значит создавать в коренных слоях нашего сознания конфликтную ситуацию, которая создает для нашей психики резкий дискомфорт, мучительнонеприятное ощущение. Не понимая причины, но видя источник — новые представления — ученик начинает их активно отторгать, 264

испытывая к ним неприязнь. И это — совершенно естественно. Подобный конфликт необходимо снимать, наПропедевтика стойчиво объясняя, что прежние слова наполизменения няются другим, новым смыслом, что это как смыслов бы новый секретный (для неосведомленных) язык, все новации и неожиданности в нем — своего рода сюрпризы. На них обижаться нельзя, надо привыкать. Это — как новая игра с новыми правилами: освоишься, привыкнешь — и все будет в порядке. Итак, пропедевтика массового изменения смыслов — единственный выход снятия проблемы. Интуитивно-натуральная математика может быть определена как та, которая была создана Человечеством до эпохи Возрождения, впритирку до Леонардо да Винчи и Луи Пачоли. Эта система знаний была Ф. Энгельсом названа низшей математикой, системой вечных истин. Замена дробей дробными числами, внедРубеж новой рение отрицательных чисел — это внешние признаки появления в математике новых объматематики ектов. Такое определение рубежа необходимо для описания динамики представлений, их абстрактность скачка именно на уровне школьной математики. На самом деле, в тот период (эпоха Возрождения) в математику внедрялись и резко более мощная структура — универсальная арифметика, т. е. арифметика величин более общей, чем числа, природы. Это и буквенная алгебра, и символьный анализ, и алгебра многочленов, и, наконец, исчисление бесконечных — от бесконечных сумм и произведений до бесконечно-малых, т. е. дифференциалов. Появились совершенно новые категории, новые представления. И, главное, обрушился шквал реальных результатов и достижений, ставших доступными благодаря новым средствам. Так что переход к высшей математике — это не только и не столько появление дробных и плюс-минус чисел. Но они — тот самый Рубикон, который необходимо перейти. Это та самая ступенька, на которую подняться просто необходимо. Но при этом нужно понимать всю ее суть, всю ее крутизну и трудность. Именно здесь впервые происходит столкновение с новыми абстрактными объектами, с новыми методами их образования и описания. И до этого, до перехода через эту ступень, ни в коем случае нельзя применять новые формальные приемы создания понятий. 265

Типа, называть запись (2+3) суммой. Это — следствие основополагающих законов: пока не освоен и не обжит очередной этаж Ψ-эволюции, а на это требуется около 5 лет, ничего из более высокого уровня Ψ-лестницы не может быть даже воспринято, не то что освоено. В лучшем случае будет имитация знаний и навыков, результат дубового зазубривания, т. е., по сути, основа для бестолковщины. Интуитивно-натуральную математику будем называть, следуя Ф. Энгельсу, низшей математикой. В содержательном плане к ней можно отнести все, что не требует использоНизшая вания искусственно конструируемых понятий, математика которые трудно понять, уже не говоря освоить, на основе бытовых представлений. Ска√ жем, здесь 2 — число в том смысле, что решение уравнения x2 = 2, мы можем отыскивать как угодно точно — было бы желание. Соответствующие алгоритмы известны были еще много тысячелетий назад. И иррационально оно — только потому, что мы не знаем, как его описать конечной арифметической формулой (т. е. конечным алгоритмом) с помощью конечного числа арифметических √ действий. Оно ( 2) — число, поскольку соответствует реальной величине (интерпретаций — толпа, от диагонали квадрата до сложных процентов), но число не рациональное. И бесконечная непериодическая десятичная дробь (объект из завирально-абстрактной теории с актуальными бесконечностями) здесь абсолютно без всякой нужды въехала аж из УрМ-4. Короче, содержание низшей математики можно описать так: арифметика дробей, натуральных чисел, дробей-частей и смешанных чисел типа 2 53 , но не 13/5 (последнее — это незавершенное действие, т. е. 13:5, но не число). Записи типа 5-3 — это тоже не числа, но действия, числами являются результаты этих действий. Далее, безусловно, теория отношений и пропорций. Общих величин, а не только чисел. Величины — вещи интуитивно очевидные, нужно побольше работать на их языке, ни в коем случае не выбрасывая именованные числа. Ибо именно в них Проблема ясно, что в дробных числах доли берутся не единицы от единицы, с которой начинается отсчет, а от единицы измерения, т. е. от реальной величины. Та самая языковая проблема. Столетиями говорили: “Доля единицы, доли единицы”, — причем хорошо помнили подтекст — ка266

кой единицы. А потом вдруг подзабыли, что речь идет о единице измерения, а не о первом числе в N . И нашлись активисты, которые начали объяснять, что единица абстрактная ну просто должна делиться, так как, во-первых, иначе в математике никак ничего не получится, а, во-вторых, и всякие абстрактно-аксиоматические расширения понятия числа все хором утверждают — единица делится. Так что — будьте любезны! Итог — в точности по А. Н. Колмогорову: «Отрыв в школьном преподавании математики понятий от их происхождения приводит к полной беспринципности и логической дефективности курса». Вот и получилось — понятие величины перевели в филологию, в некий синоним бытового слова «количество», именованные числа из программы выкинули — это де архаизм, объект метрологии, а не математики. И подняли вверх знамя “абстрактной дроби”. Не умея ее толком определить. Но разве важен смысл? Важно, кто знамя несет. Низшая математика была рождена потребностями решения реальных задач. Где прихоПропорции — дилось измерять (и соизмерять). И связывать основа различные параметры соотношениями. Иногда и без предварительных измерений. т. е. приходилось устанавливать связь между величинами. Главным и мощнейшим инструментом такого описания были пропорции. Тем самым пропорции — главный объект низшей математики. Решение описанных пропорциями задач приводит к уравнениям (и системам). Прием введения искомой величины в рассмотрение вместе и наравне с известными применялся еще в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Он естественен и на уровне числовых уравнений, несложен для усвоения. Хотя это — вершина низшей математики. И именно здесь — место для появления формул, где буквы — суть обозначения чисел. И равенство здесь (помимо “получится”, как раньше) означает, как у Диофанта, результат приравнивания, уподобления почти одинаковых вещей. Почти вся содержательная (по Колмогорову) математика доступна в понятийном плане для культуры низшей математики. Дело в том, что формализация математики, начавшаяся с внедрения названия «универсальная математика» и каких-то попыток обсуждения полноты — неполноты систем аксиом в начале XIX в. (Лобачевский, Гаусс) несмотря на активность в арифметизации математики, т. е. отказе от использования понятия величины (а эта ак267

тивность инсценировалась не учеными, а “методистами”) эта формализация, по существу, началась лишь во второй половине XIX в. И связана эта формализация была не с разработкой каких-либо методов решения новых трудных естественно-научных задач, а с проблемой построения логических основ математики. Вместо тех основ, которыми ранее были «Начала» ЕвклиЕвклида да. хватало для К этому времени уже был создан в главном Коши математический аппарат естествознания. И даже анализ бесконечно-малых получил усилиями Коши (в основном) прочное основание в лице теории пределов. Но и для Коши, как и его коллег и предшественников, вполне было достаточно тех основ, которые описал Евклид. И числа ассоциировались с точками координатной оси, как мы все привыкли. Но это же и есть именно по-гречески трактуемое понятие числа: ведь расстояние от точки оси до начала отсчета есть отношение длины отрезка Ox к соответствующему единичному (масштабному) отрезку. Что из этого следует? Академик Крылов А. Н. в предисловии к изданным им лекциям П. А. Чебышова рекоРазумная строгость мендует инженерам: «Чебышов не задавался целью сделать свой курс безукоризненно строгим, а довольствовался той разумной строгостью, которая, предохраняя от ошибок, сообщает непреложность выводам». Работы Чебышова и его учеников создали не просто имя Петербургской научной школе, но, по мнению европейцев, придали этой школе блеск. Разве можно игнорировать методический опыт такого ученого по разумному “снижению” строгости? Можно! Если Киселева выкинули опять. Хотя его учебники служили, и с блеском служили, почти сто лет. § 11.2 Историческое русло Социальные корни по Колмогорову. Истоки учебной математики. Череда счислений. Поучиться колесу!

Что надо включать в программы? А что выбросить? Пока на эту тему самые умные — авторы учебников. Надо, мол, учить то, чего в наших книгах написано. И программы надо по ним составлять. А кто авторы - мы уже знаем немного. Точнее — традиции, на которых авторы воспитаны. Чему надо учить?

268

Одна из них — в упор не слушать крупных ученых. Даже и А. Н. Колмогорова. А может ли на эти вопросы ответить история? Хотя бы отчасти? Математика рождалась и развивалась отПочва нюдь не от смотрения в потолок. От умозрематематики ний отдельных мудрецов. И с теоремами и новым понятием люди не сталкивались, гуляючи в лесу, в поле, или еще где. И опять — слово А. Н. Колмогорову. «Математика — действительное познание мира. . . Все развитие математики определяется предъявляемыми к ней требованиями практики. Математические факты есть концетрат человеческого опыта, относящегося к действительному миру, и не относятся к особому миру идеальных математических сущностей, не являются продуктом свободного творчества нашего духа». Эти слова, сказанные в 1936 г., как раз во время наезда на математику диалектиков-материалистов, изданы в Учпедгизе и адресованы напрямик учителям. Очевидно же, что и авторам учебников. В управлении образованием России они, по-видимому, как-то влияли, тогдашних леваков-экстремистов утихомирили. И в школу вернулся Киселев. Аж на 30 лет. Но потом — вот незадача — Киселев оказался недостаточно строг. Да и аксиомы он поставил не в начале. И манера разговора речь простовата. И вообще, пора все это дело — обучение детей — поднять на достойный — по нынешней науке — уровень. А то вот подотстала школьная математика от современной. Осталась на уровне ощущений. А надо — по теории множеств. И вперли в школьную науку аж самый высший уровень — УрМ4. Что ну никак делать нельзя. Потому как 6-й класс еще только на УрМ-3 еле-еле начал выходить. В общем, грубейшее нарушение психологических законов обучения. Но прикрылись ведь как красиво. В качестве знаменосца этого штурма взяли А. Н. Колмогорова. Не кого-либо, а именно его, крупнейшего математика XX столетия. Того самого, которого мы только что цитировали, и неоднократно — ранее. Но как же он мог? Очень просто! От избытка доверия! Финал этой реформы школьной математики всем известен. Он драматичен. Он отбросил уровень школьного образования по мате269

матике на полвека назад. А. Н. Колмогоров доверился порядочности людей! Но ведь и Егоров Д. Ф. апеллировал к порядочности такого же склада публики. Оба они стали жертвами. Но поминают их по-разному. Теоремы Егорова знают все математики. Ими восхищаются, хотя кем был и чем стал их автор, практически никто не знает. А имя Колмогорова известно миллионам. Причем тем миллионам (и десяткам миллионов), которые Колмогорова-математика не знают никак. Но мясорубку “колмогоровых учебников” испытали на себе в полной мере. Итак, математика развивалась не по прихоОт нужды ти, а по нужде. Мы здесь не будем обсуждать — по какой нужде. Это — дело историков, социологов и прочих мудрецов. Для нас важно, что математические знания во все времена были истребованы. Не востребованы, как если бы они где-то уже на складе завалялись, заранее как бы кем-то заготовленные. На случай вот такой нужды. На случай их “приложения”. И вот, как такой случай грянул, на них и запрос наступил. Их востребовали. Мы сказали — истребовали. Другая приставка. Возникла - или давно стояла острая проблема (какая — мы договорились пока не обсуждать), и вот эту проблему нужно обязательно решить, эту нужду обязательно удовлетворить. Естественно, решение отыскивалось не мгновенно — бац, и готово! Решения искались и находились десятками поколений. Иногда у кого-то возникало озарение (инсайт, мгновенное прояснение). Но это — если проблема четко осознавалась. Обычно была длинная цепочка маленьких подвижек. Аналогичных созданию языка. Приобретению навыков счета. Представьте себе, как кто-то взял да и поставил людям задачу: “Надо научиться считать!” “А что это такое?” — мог бы тогда спросить кто-либо посмышленей. Если бы был хотя бы на УрМ-2. Но это же было освоение первых чисел-качеств, еще когда и языка не было, т. е. на УрМ-1 (!) Итак! Математические знания — продукт Началось с длительнейшей эволюции. Ясно, что сохранипропорций лись только те, которые на протяжение тысячелетий были постоянно востребованы, т. е. созданы в ответ на какую-то нужду, и эту регулярную нужду постоянно удовлетворяли, не интересуясь, какую нужду (запоминаем!). 270

Сохранилось только то, что было необходимо систематически, постоянно, что бережно сохранялось в ходе этакого сихийного учебного процесса. И что же лежало в основе программ этого учебного процесса? Ответить на этот вопрос легко, обнаружив главное русло этих программ. Как найти это русло, этот стержень эволюции учебной математики? Давайте посмотрим, какие параметры математических знаний со временем изменялись-улучшались. Даже на примере низшей математики это сделать совсем несложно. Задачи-то в основном почти не менялись, иногда лишь масштабы. И задачи соответствовали либо интересам общественной администрации в связи с организацией крупномасштабных мероприятий (войны, строительство каналов, плотин, налогообложение и проч.), либо проблемами торговли, финансов, астрономических исследований и т. д. Технология решений, т. е. математическая подкладка, практически не менялась: пропорциональные соображения сводили задачу к неким аналогам уравнений, что приводило к каким-то алгоритмам. А вот дальше все и началось. Учебный Нужно было реализовывать алгоритмы на процесс исходных данных. т. е. нужно было исчисистории лять. Даже и в малых числах, а в начале и без них, нужно было в результате цепочки какихто конкретных действий получать то, что снимает нужду. Один пример нам уже известен: не умея считать, разделить три буханки на пятерых, располагая лишь навыком раздвоения. Приведем еще один пример, даже более простой и более типовой для нашей обыденной практики. Как хозяйка за столом разливает, скажем, кастрюлю супа по тарелкам? Сначала она проходит по кругу, разливая по одному или два половника. Затем, т. к. по всей видимости всем по столько уже не хватит, она начинает разливать уже не по полному половнику, а по половине. Если что Стихийное останется, процесс продолжается за счет поизмерение следующего измельчения добавки. Ясно, что в какой-то момент у нас останется чуть-чуть, т. е. практический нуль. Есть ли здесь математика? Если вдуматься, то здесь — сплошная математика. Именно из подобных схем реальных действий, 271

рождаемых в чистом виде сенсо-моторным интеллектом, рождается вся наука измерения (и даже теория абстрактной меры, скажем по Борелю, тут сидит). Описанный чисто интуитивный метод деления распространяется на что угодно. Делить буханки — это тоже отсюда. Делить — измельчать мерную единицу (половник, как порцию, буханку и пр.) — это же главная идея всей метрической теории. Хотя именно эту идею наши методисты и не в состоянии схватить, обвиняя египтян, Пифагора и прочих в незнании дробей, в слабой математической подготовке. Итак, на первом этапе даже без чисел требовалась некая технология. Назовем ее исчислением долей, хотя здесь - чисто реальные действия, конкретные физические действия. В процессе интериоризации, совершенствования внутреннего мышления подобные схемы становились уже виртуальными, появлялись наши вспомогательные знаки. Внешний знак, как символуказатель, как внешний помощник. Этот навык использования знаков-символов оказался очень удобным и результативным. Начало создаваться символьное исчислеПоявление ние. Но вначале символы означают величины символов и доли. И количество раз (дней, людей). И далее встала проблема совершенствования именно этого исчисления. Самой первой арифметики долей. Совершенствовались (очень долго и нудно) Арифметика — обозначения чисел. Иероглифы в Египте, клиисчисление нопись у халдеев. Но даже в самых несоверсимволов шенных обозначениях решались труднейшие задачи. Дальше все шло в плане облегчения вычислительного труда. Совершенствовались системы счисления. Подкладка — арифметика долей, затем — арифметика чисел и величин. Эта математика (исчисление долей, величин и чисел не фоне пропорций) и докатилась до древних греков. О задачах, которые пытались и они решать, мы уже говорили. В противовес сказкам и басням о якобы их созерцательности, оказывается, они интересовались труднейшими задачами астрономии. И перед ними возник конкретный вопрос: можно ли отношениями величин (а в астрономии теория подобия и теория пропорций — главный инструмент исчисления углов) оперировать так же, как и с отношениями чисел? И на этот вопрос они блестяще ответили. 272

«Начала» Евклида — обстоятельное обоснование того исчисления, которое тогда использовалось и в практике торговцев, архитекторов и в астрономии. Дальнейшее улучшение математических Череда знаний — опять же в совершенствовании сисчислений стем счисления. Счисление углов, доведенное Евклидом до счисления сферических треугольников, усилиями математиков (одновременно — астрономов) Среднего Востока было доведено практически до современной тригонометрии, как это подытожил Регимонтан (XV в.). Шестидесятеричная система вавилонян была заменена более совершенной десятеричной, одновременно появились таблицы логарифмов. Совершенствовались графические методы счисления — от абака (доска, разлинованная на столбцы) до приемов арифметических действий в столбик. Элементы алгебры позволили геометрическое счисление древних греков преобразовать в счисление многочленов. Из практики вычислений (объемнейшие астрономические таблицы) родилось исчисление конечных разностей. Из которого, в свою очередь, родилось исчисление бесконечно-малых, т. е. дифференциалов. Позволившее почти сразу и описать (в терминах опять же отношений дифференциалов dy : dx), а потом и эффективно решить буквально море актуальнейших задач. А вот теперь — судите сами. Что является главным достоянием, главным наследием титанического умственного труда тысяч поколений наших предков? То, что совершенствовалось и улучшалось на протяжении всей истории, хотя бы и “низшей математики”? Что обкатано до звона и до блеска! Системы счислений! Низшая А это, в совокупности, и есть вся целиком математика — та самая низшая математика! сгусток разума Счисление чисел, долей, величин. Пропорции и уравнения, к которым они приводят. Разумно ли считать, что этот сгусток концентрированного опыта Человечества можно улучшить добавлением абстракций? Хочешь научиться ездить на велосипеде? Или водить машину? Тогда ты должен вначаУчиться ле освоить теорию колеса. Ведь без колес ни колесу?! машина, ни велосипед ехать не могут. А что это за теория колеса? О! Во-первых, колесо круглое, а в центре — ось. А известно ли, 273

почему при качении круга его центр движется по более простой траектории? А вот здесь и можно развернуть науку. Про центры кривизны. Про эволюты. Про эвольвенты. Одни слова как звучат красиво! А нельзя ли без этой науки на велосипед сесть? А нельзя ли без теории пределов на пальцах производную понять и на уравнение колебаний посмотреть? А нельзя ли, не создавая теории ручки топора, популярно объяснить на натуре, что топор - это дрова рубить, а не щи варить? Вернемся к колесу. В истории человеческой цивилизации колесо — это гениальнейшее чье-то озарение. Не сразу, конечно. Вначале под груз катки подкладывали, кругляшки, чтобы груз (бревно или лодка, например) катился на них. А потом однажды кто-то (а может, в разное время и разные люди) догадался такой каток постоянным сделать, надев на ось. Тривиально вроде бы, когда знаешь. Однако, когда европейцы с Колумбом ознакомились с культурой вновь открытых народов Америки, оказалось, что там колесо не известно. Целый континент с множеством людей и достаточно высокого уровня культурой не знал колес. Выходит, идея колеса более, чем нетривиальна. Так все-таки, может следует ввести такой предмет — теорию колеса? Наверняка, любопытней будет, чем теория пределов.

274

ДОПОЛНЕНИЯ ВЫГОТСКИЙ Л.С.

(Доп – 1). В мышлении взрослого человека мы наблюдаем на каждом шагу чрезвычайно интересное явление. Оно заключается в том, что, хотя мышлению взрослого человека доступно образование понятий и оперирование ими, тем не менее далеко не все его мышление заполнено этими операциями. Если мы возьмем самые примитивные формы человеческого мышления так, как они проявляются в сновидении, то увидим там этот древний примитивный механизм комплексного мышления, наглядного слияния, сгущения и переживания образов. Изучение тех обобщений, которые наблюдаются в сновидении, как правильно указывает Кречмер, является ключом к правильному пониманию примитивного мышления и разрушает тот предрассудок, что обобщение в мышлении выступает только в своей наиболее развитой форме, именно в форме понятий. (Доп – 2). Последним уровнем комплексного мышления является образование псевдопонятия, которое возникает путем подбора к некоему образцу по подходящим признакам какого-то отвлеченного понятия. Между говорящими людьми возникает понимание совсем не потому, что они пользуются понятиями в строгом смысле слова. И хотя псевдопонятие похоже на понятие, как кий на робу, но слова, не достигшие еще ступени вполне развитых понятий, принимают на себя функции этих понятий. В известном примере, приводимом часто, ребенок называет словом “ква” первоначально утку, плавающую в пруду, затем всякую жидкость, в том числе и молоко, которое он пьет из своей бутылочки. Затем, когда он однажды видит на монете изображение орла, монета также получает то же самое название, и этого оказывается достаточным, чтобы потом все круглые, напоминающие монету предметы получили то же самое название. Мы видим типичный пример цепного комплекса, где каждый предмет включается в комплекс исключительно на основе известного общего признака с другим элементом, причем самый характер этих признаков может подвергаться бесконечному изменению. Взрослое псевдомышление

275

Противоположные значения в одном слове

Благодаря такому комплексному характеру детского мышления возникает та его своеобразная особенность, что одни и те же слова в различной ситуации могут иметь различное значение, т. е. указывать на различные предметы, причем в исключительных, особо интересных для нас случаях одно и тоже слово у ребенка может объединять в себе противоположные значения, если только они могут быть соотнесены друг с другом, как относятся друг с другом нож и вилка. Ребенок, который словом “прежде” обозначает временное отношение как “прежде” и “после” или употребляет слово “завтра” одинаково для обозначения и завтрашнего, и вчерашнего дня, образует полную аналогию к тому давно отмеченному исследователями факту, что и в древних языках — еврейском, китайском и латинском — одно и то же слово соединяло в себе два противоположных значения. Так, римляне одним и тем же словом обозначали “высокий” и “глубокий”. Это сочетание противоположных значений в одном слове становится возможным только на основе комплексного мышления, где каждый конкретный предмет, входя в комплекс, утрачивает тем самым свою конкретную самостоятельность. Исследователями давно отмечена одна чрезвычайно интересная особенность мышления, которая описана впервые Леви-Брюлем в отношении примитивных народов, Шторхом — в отношении душевнобольных и Пиаже — в отношении детей. Эту особенность примитивного мышления, составляющую, очевидно, свойство мышления на его ранних генетических ступенях, называПартиципация ют обычно партиципацией. Под этим именем разумеют отношение, которое примитивная мысль устаналивает между двумя предметами или двумя явлениями, рассматриваемыми то как частично тождественные, то как имеющие очень тесное влияние друг на друга, в то время как между ними не существует ни пространственного контакта, ни какой-либо другой понятной причинной связи. Пиаже, который принимает приведенные определения, приводит богатые наблюдения относительно такой партиципации в мышлении ребенка, т. е. установления ребенком таких связей между различными предметами и действиями, которые с логической точки зрения кажутся совершенно непонятными и не имеют никаких оснований в объективной связи вещей. 276

Члены племени бороро — красные попугаи арара

Леви-Брюль в качестве наиболее яркого примера партиципации в мышлении примитивного человека приводит следующий случай: северобразильское племя бороро, по сообщению фон ден Штейнена, гордится тем, что члены этого племени являются красными попугаями арара. «Это означает, — говорит Леви-Брюль, — не только, что арара превращены в племя бороро, — речь идет о чем-то ином». «Бороро, — говорит фон ден Штейнен, который не хотел этому верить, но который должен был убедиться в этом вследствие их категорического утверждения, — совершенно спокойно говорят, что они действительно являются красными арара, как если бы гусеница сказала, что она — бабочка. Это не имя, которое они себе присваивают, это не родство, на котором они настаивают. То, что они подразумевают под этим, — это идентичность существ». Шторх, подвергший чрезвычайно тщательному анализу архаически примитивное мышление при шизофрении, сумел обнаружить то же самое явление партиципации в мышлении душевнобольных. Между тем внимательный анализ тех связей, которые устанавливаются примитивным мышлением и с внешней стороны не расходятся с нашей логикой, убеждают нас в том, что на основе и тех и других связей лежит один и тот же по существу механизм комплексного мышления. Если принять во внимание, что ребенок на данной стадии своего развития обладает комплексным мышлением, что слова являются для него средством обозначения комплексов конкретных предметов, что основная форма устанавливаемых им обобщений и связей — это псевдопонятие, то станет совершенно ясно, что с логической неизбежностью продуктом такого комплексного мышления должна явиться партиципация, Немыслимая т. е. в этом мышлении должны возникнуть свясвязь зи и отношения между вещами, невозможные и немыслимые с точки зрения мышления в понятиях. В самом деле, для нас понятно, что одна и та же вещь может войти в различные комплексы по своим различным конкретным признакам и, следовательно, может получить самые различные имена и названия в зависимости от тех комплексов, к которым она будет принадлежать. Такого рода партиципацию, т. е. отнесение какого-либо конкретного предмета одновременно к двум или нескольким комплексам и 277

отсюда многоименное название одного и того же предмета, мы имели случай наблюдать неоднократно в экспериментальном исследовании. Партиципация при этом не только не Партиципация является исключением, но, скорее, составля— правило ет правило комплексного мышления, и было примитивного бы чудом, если бы такие невозможные с точки мышления зрения нашей логики связи, которые обозначаются этим именем, не возникали на каждом шагу в примитивном мышлении. Равным образом и ключ к пониманию партиципации и мышления примитивных народов надо видеть в том, что оно носит комплексный характер, что, следовательно, слово получает в этих языках совершенно другое функциональное применение, употребляется иным способом, является не средством образования и носителем понятия, а выступает в качестве фамильного имени для называния объединенных по известному фактическому родству групп конкретных предметов. Это комплексное мышление, как правильно его называет Вернер, так же, как и у ребенка, с неизбежностью должно привести к такому переплетению комплексов, которое должно порождать из себя партиципацию. В основе этого мышления И мышление лежит наглядная группа конкретных предмешизофреников тов. Великолепный анализ этого примитивного мышления, проведенный Вернером, убеждает нас в том, что ключ к пониманию партиципации заложен в своеобразном сочетании речи и мышления, которое характеризует данную стадию в историческом развитии человеческого интеллекта. Наконец, и мышление шизофреников, как правильно показывает Шторх, также носит такой комплексный характер. В мышлении шизофреников мы встречаемся с множеством своеобразных мотивов и тенденций, относительно которых Шторх замечает что “всем им присуща общая черта, заключающаяся в том, что они относятся к примитивной ступени мышления. Возникающие у больных единичные представления объединены в комплексные, совокупные качества”. От мышления в понятиях шизофреник переходит к более примитивной ступени, которая характеризуется, как это отметил Блейер, обильным применением образов и символов. «Может быть, наиболее отличительная черта примитивного мышления — говорит Шторх, — заключается в том, что вместо абстрактных понятий упо278

требляются вполне конкретные образы». Турнвальд в этом же видит особенность У шизофреника мышления примитивного человека. «Мышобилие образов ление первобытных людей, — говорит он, и символов — пользуется совокупными нерасчлененными впечатлениями от явлений. Они мыслят вполне конкретными образами, которые заменяют на примитивных ступенях наши логические категориальные структуры» (Шторх). Мы видим, таким образом, что партиципация в мышлении больных, примитивного человека и ребенка при своем глубоком своеобразии, которое отличает эти три типа мышления, является общим формальным симптомом мышления в комплексах, и что в основе этого явления везде лежит механизм комплексного мышления и функционального употребления слова в качестве фамильного знака или имени. Если мы обратимся к истории развития нашей речи, то обнаружим, что механизм комплексного мышления со всеми присущими ему особенностями лежит в основе развития нашего языка. Первое, что мы узнаем из современного языкознания, это то, что необходимо отличать, по выражению Петерсон, значение слова или выражения от предметного отнесения, т. е. от тех предметов, на которое данное слово или выражение указывает. Таким образом, современное языкознание различает значение и предметную отнесенность слова. Применяя это к интересующей нас проблеме детского комплексного мышления, мы могли бы сказать, что слова ребенка совпадают со словами взрослого в их предметной отнесенности, т. е. они указывают на одни и те же предметы, относятся к одному и тому же кругу явлений. Но и они не совпадают в своем значении. Такое совпадение в предметной отнесенности и несовпадение в значении слова, которые открыли мы как главнейшую особенность детского комплексного мышления, составляют снова не исключение, но правило в развитии языка. Мы говорили выше, подытоживая главнейший результат наших исследоваРебенок в слове ний, что ребенок мыслит в качестве значения слова то же, что и взрослый, т. е. те же предмыслит то меты, благодаря чему становится возможным же, но понимание, но мыслит то же самое содержапо-другому ние иначе, иным способом, с помощью иных интеллектуальных операций. 279

Эту же самую формулу можно применить всецело к истории развития и к психологии языка в целом. Здесь на каждом шагу находим мы фактическое подтверждение и доказательства, убеждающие нас в правильности этого положения. Для того чтобы слова совпадали в своей предметной отнесенности, нужно, чтобы они указывали на один и тот же предмет. Но они могут различными способами указывать на один и тот же предмет. Типичным примером такого совпадения предметной отнесенности при несовпадении мыслительных операций, лежащих в основе значения слова, является наличие синонимов в каждом языке. Слово «луна» и «месяц» в русском языке обозначают один и тот же предмет, но они обозначают его различными способами, запечатленными в истории развития каждого слова. «Луна» по своему происхождению связана с латинским словом, обозначающим “капризный”, “непостоянный”, “прихотливый”. Человек, назвавший Луну этим именем, хотел, очевидно, выделить признак изменчивости ее формы, переход ее из одной фазы в другую как существенное отличие ее от других небесных тел. Слово «месяц» связано по своему значению со значением “измерять”. «Месяц» — значит “измеритель”. Человек, назвавший месяц этим именем, хотел указать на него, выделив другое свойство, именно то, что с помощью измерения лунных фаз можно исчислять время. Так вот: относительно слов ребенка и взрослого можно сказать, что они являются синонимами в том смысле, что они указывают на один и тот же предмет. Они являются названиями одних и те же вещей, они совпадают с своей номинативной функцией, но лежащие в основе их мыслительные операции различны. Тот способ, с помощью которого ребенок и взрослый приходят к этому называнию, та операция, с помощью которой они мыслят данный предмет, и эквивалентное этой операции значение слова — оказываются в обоих случаях существенно различными. Точно так же одни и те же предметы в различных языках совпадают по своей номинативной функции, но в разных языках один и тот же предмет может называться по совершенно различным признакам. По-русски «портной» происходит от древнерусского “порт” — “кусок ткани”, “покрывало”. По-французски и немецки тот же предмет обозначается по другому признаку — от слова “кроить”, “резать”. «Итак, — формулируем это предложение, — в том, что приня280

то называть значением слова, необходимо различать два момента: значение выражения в собственном смысле и его функцию — в качестве названия относиться к этому же предмету, его предметную отнесенность». Отсюда ясно, что, говоря о значении слова, необходимо различать значение слова в собственном смысле и заключенное в слове указание на предмет (Р. Шор) Если мы обратимся к истории развития слова в каждом языке и к перенесению слова, то увидим, как это ни странно с первого взгляда, что слово в процессе своего развития меняет свое значение таким же образом, как у ребенка. Как в приведенном выше примере целый ряд самых разнообразных, с нашей точки зрения несоотносимых друг с другом предметов, получил у ребенка одно и тоже общее название — “вау-вау”, так же и в истории развития слова мы найдем такие переносы значения, которые указывают на то, что в основе их лежит механизм комплексного мышления, что слова употребляются и применяются при этом иным способом, нежели в развитом мышлении, пользующемся понятиями. Возьмем для примера историю слова «сутки». Первоначально оно означало слово “шов”, “место соединения двух кусков ткани”, “нечто сотканное вместе”. Затем оно стало обозначать всякий стык, угол в избе, место схождения двух стен. Далее в переносном смысле оно стало обозначать сумерки — место стыка дня и ночи, а затем уже, охватывая время от сумерек до сумерек, или период времени, включающий утренние и вечерние сумерки, оно стало означать “день” и “ночь”, т. е. сутки в настоящем смысле этого слова. «Всякого, кто впервые начинает заниматься вопрсами этимологии, поражает бессодержательность высказываний, заключенных в названии предмета», — говорит Шор. Почему “свинья” и “женщина” одинаково значат “родящая”, “медведь” и “бобр” одинаково называются “бурыми”, почему “измеряющий” должно означать именно “месяц”, “ревущий” — “бык”, “колючий” — “бор”. Если мы проследим историю этих слов, мы узнаем, что в основе их лежит не логическая необходимость и даже не связи, устанавливаемые в понятиях, а чисто образные конкретные комплексы, связи совершенно того же характера, какие мы имели возможность изучать в мышлении ребенка. Выделяется какой-нибудь конкретный признак, по которому предмет получает свое название. “Корова” означает “рогатая”, но от того же корня в других языках произошли аналогичные слова, означающие тоже рогатое, но указывающие на козу, оленя и других животных. 281

С другой стороны, они являются слишком широкими: потому что такие же имена приложимы еще к ряду предметов. Поэтому в истории языка мы наблюдаем постоянную: не прекращающуся ни на один день борьбу между мышлением в понятиях и древним мышлением в комплексах. Комплексное наБорьба звание, выделенное по известному признаку: понятия и вступает в противоречие с понятием, котообраза рое оно обозначает, и в результате происходит борьба между понятием и образом, лежащим в основе слов. Образ стирается, забывается, вытесняется из сознания говорящего, и связь между звуком и понятием становится для нас уже непонятной. Никто, например, из говорящих сейчас по-русски, говоря “окно”, не знает, что оно значит то, куда смотрят или куда проходит свет, и не заключает в себе никакого намека не только на раму и т. п., но даже и понятие отверстия. Между тем, словом “окно” мы называем обычно раму со стеклами и совершенно забываем о связи этого слова со словом “окно”. Точно также “чернила” первоначально обозначали жидкость для писания, указывая на внешний признак — черный цвет. Человек, назвавший этот предмет чернилами, включил его в комплекс черных вещей чисто ассоциативным путем. Это не мешает нам сейчас говорить о красных, зеленых и синих чернилах, забывая, что с точки зрения образной такое словосочетание является нелепостью. Если мы обратимся к перенесению названий, то увидим, что эти названия переносятся на ассоциации, по смежности или по сходству образным путем, т. е. не по закону логического мышления, а по закону комплексного мышления. В образоваПеренесение нии новых слов мы и сейчас наблюдаем целый названий ряд чрезвычайно интересных процессов такого комплексного отнесения самых различных предметов к одной и той же группе. Например, когда мы говорим о горлышке бутылки, о ножке стола, о ручке двери, о рукаве реки, мы производим именно такое комплексное отнесение предмета к одной общей группе. Сущность подобного перенесения названия в том, что функция, выполняемая здесь словом, не есть функция семасилогическая, осмысливающая. Слово выполняет здесь функцию номинативную, указывающую. Оно указывает, называет вещь. Другими словами, слово является здесь не знаком некоторого смысла, с ко282

торым оно связано в акте мышления, а знаком чувственно данной вещи, ассоциативно связанной с другой чувственно воспринимаемой вещью. А поскольку название связано с обозначаемой им вещью путем ассоциации, то перенесение названия обычно происходит по разнообразным ассоциациям, реконструировать которые невозможно без точного знания исторической обстановки акта переноса названиия. Это означает, что в основе такого перенесения лежат совершенно конкретные фактические связи, как в основе комплексов, образуемых в мышлении ребенка. Применяя это к детской речи, мы могли бы сказать, что при понимании ребенком речи взрослого происходит нечто подобное тому, на что мы указывали в приведенных выше примерах. Произнося одно и то же слово, ребенок и взрослый относят его к одному и тому же предмету, скажем, к Наполеону, но один мыслит его как победителя при Иене, а другой — как побежденного при Ватерлоо. По выражению Потебни, язык есть средство понимать самого себя. Первичное слово никак нельзя принять за простой знак понятия. Оно — скорее образ, скорее картина, умственный рисунок понятия, маленькое повествование о нем. Оно — именно художественное произведение. И Слово — поэтому оно имеет конкретный комплексный умственный характер и может обозначать одновременно рисунок несколько предметов, одинаково относимых к понятия одному и тому же комплексу. Правильнее сказать: называя предмет с помощью такого рисунка-понятия, человек относит его к известному комплексу, связывая его в одну группу с целым рядом других предметов. С полным основанием Погодин говорит относительно происхождения слова “весло” от слова “вести”, что, скорее, словом “весло” можно было назвать лодку как средство перевозки, или лошадь, которая везет, или повозку. Мы видим, что все эти предметы относятся как бы к одному комплексу, как это мы наблюдаем и в мышлении ребенка. Чрезвычайно интересным примером чисто комплексного мышления являются речь глухонемых детей, у которых отсутствует основная причина образования псевдопонятий, в основе которой лежит то обстоятельство, что ребенок не свободно образует комплексы, объединяя предметы в целостные группы, но что он находит в речи взрослых слова, связанные с определенными группами пред283

метов. Отсюда детский комплекс совпадает по своей предметной отнесенности с понятиями взрослого человека. Ребенок и взрослый, понимающие друг друга при произнесении Абстрактное слова собака, вкладывают, одно и то же конпонятие о кретное содержание, но один при этом мыссобаке лит конкретный комплекс собак, а другой — абстрактное понятие о собаке. В речи глухонемых детей это обстоятельство теряет свою силу, ибо они лишены речевого общения со взрослыми и, предоставленные сами себе, свободно образуют комплексы, обозначаемые одним и тем же словом. Благодаря этому особености комплексного мышления выступают у них на первый план с особой отчетливостью и ясностью. Так, в языке глухонемых зуб может иметь три различных значения. Он означает белый, камень и зуб. Эти различные названия связаны в один комплекс, который в своем дальнейшем развитии требует присоединения еще указательного или изобразительного жеста, чтобы определить предметную отнесенность данного значения. В языке глухонемых обе эти функции слова, так сказать, физически разъединены. Глухонемой показывает зуб, а потом, указывая на его поверхность или изображая рукой бросание, указывает на то, к какому предмету должно быть отнесено данное слово. (Доп – 3). Опыты, проведенные в нашей лаборатории (Кучурин, Н. А. Менчинская), убедительно показывают, что о прямом, постепенном усовершенствовании элементарных процессов здесь не может быть и речи, и что смена форм счетных операций есть глубокая качественная смена участвующих в них психических процессов. Наблюдения показали: если в начале развития операция с количествами сводится лишь к непосредственному восприятию определенных множеств и числовых групп, и ребенок вообще не считает, а воспринимает количество, то дальнейшее развитие характеризуется ломкой этой непосредственной формы и замещением ее иным процессом, где участвует ряд опосредованых вспомогательных знаков, и в частности таких, как расчленяющая речь, использование пальцев и других вспомогательных объектов, переводящих ребенка к процессу пересчета. Дальнейшее развитие счетных операций снова связывается с радикальными перестройками принимающих в них участие психических функций, и счисление с помощью сложных систем снова представСчетные операции меняют формы

284

ляет качественно особое психологическое новообразование. Мы приходим к выводу, что развитие счета сводится к участию в нем основных психических функций, переход от дошкольной арифметики к школьной не есть простой, непрерывный процесс, но процесс преодоления первичных элементарных закономерностей и замены их новыми, более сложными. Покажем это на конкретном примере. Если для маленького ребенка процесс счета Дошкольный целиком определяется восприятием формы, счет то в дальнейшем это отношение перевертывается и самое восприятие формы определяется расчленяющими задачами счета. В наших опытах мы давали маленькому ребенку пересчитывать фигуру креста, выложенную из шишек. Как результат мы неизменно получали ошибку: ребенок, воспринимающий эту фигуру как целостную систему креста, пересчитывал средний элемент, входящий в обе перекрещивающиеся системы, дважды. Лишь значительно позднее он передвигался к другому типу процесса; восприятие с самого начала определялось задачами счета и рачленялось на три отдельные группы элементов, которые и пересчитывались последовательно. (Доп – 4). Операция употребления знака, стоящая в начале развития каждой из высших функций, по необходимости носит первое время характер внешней деятельности. Знак вначале, как правило, есть внешний вспомогательный стимул, внешнее средство автостимуляции. Это обусловлено двумя причинами: 1 — происхождением операции из коллективной формы поведения (которая всегда в сфере внешней деятельности) и 2 — примитивными законами индивидуальной сферы поведения, которая еще не оторваУтробный лась от внешней деятельности. период развития Самое раннее вызревание сложнейших знавысших ковых операций совершается еще в системе функций чисто натуральных форм поведения и что высшие функции имеют, таким образом, свой “утробный период” развития, связывающий их с природными основами психики ребенка. Объективное наблюдение показало, что между чисто натуральным слоем элементарного функционирования психических процессов и высшим слоем опосредованных форм поведения лежит огромная область переходных психологических 285

систем, между культурным и натуральным в истории поведения лежит область примитивного. Эти два момента — историю развития высших психических функций и их генетической связи с натуральными формами поведения — мы обозначаем как естественную историю знака. Идея развития оказывается здесь одновременно ключом к постижению единства всех психических функций и возникновения высших, качественно отличных форм, мы приходим, следовательно, к положению, что сложнейшие психические образования возникают из низших путем развития. Опыты с изучением опосредованного запоЗнак вместе со минания дают нам возможность проследить стимулом — в процесс развития во всей полноте. Для первой стадии в употреблении знака в значительобщей синкретической ной степени характерна известная примитивструктуре ность всех психологических операций. Внимательное изучение показывает, что знак, применяемый здесь для запоминания известного стимула, полностью еще не отделен от него, он входит вместе со стимулом в некую общую синкретическую структуру, охватывающую и объект и знак, и еще не служит средством для запоминания. Ребенку, стоящему на первой операции, связанной с употреблением знака, если он и обращается к вспомогательной картинке, чтобы вспомнить данное ему слово, то это еще не значит, что испытуемому столь же легок и обратный путь — воспроизведение слова по предъявленному знаку. Опыт с такой репродукцией показывает, что находящийся на этой стадии ребенок обычно не припоминает по предъявленному знаку первоначального стимула, но воспроизводит дальше целую синкретическую ситуацию, на которую толкает его знак, и которая в числе прочих элементов может включать и основной символ. Он и должен быть запомнен по данному знаку. Период, когда вспомогательный знак не является специфическим стимулом, обязательно возвращающим ребенка к исходной ситуации, а всегда является лишь импульсом к дальнейшему развитию синкретической структуры, в которую он входит, бесспорно, типичен для первой, примитивной стадии в истории развития знаковых операций. Ряд фактов убеждает в том, что на этой стадии развития знак Область примитивного между натуральным и культурным

286

действует еще как часть синкретической ситуации. Далеко не любой знак пригоден для операции ребенка и далеко не любой знак может соединиться с любым значением. Ограниченное пользование знаком связано с обязательным вхождением его в уже готовый определенный комплекс, включающий и основное значение, и связываемый с ним знак. Эта тенденция особенно ярко выявилась у детей 4-3 лет. Ребенок ищет среди предложенных знаков такой, который уже имел готовую связь с запоминаемым словом. Заявления, что среди предложенных вспомогательных карточек “нет ничего подходящего”, типичны для ребенка этого возраста. Легко запоминая предложенное слово с помощью картинки, входящей с этим словом в готовый комплекс, ребенок не в состоянии использовать любой знак, связав его с данным словом с помощью вспомогательной вербальной структуры. В опытах, где в качестве вспомогательного материала для запоминания предлагались бессмысленные фигуры (Л. В. Занков), мы весьма часто получали не отказ от их использования и не стремление связать их с данным словом искусственным способом, но попытки сделать из фигуры непосредственное отражение заданного слова, его непосредственный рисунок. Во всех случаях вспомогательная фигура не связывалась с предложенным значением путем какой-либо опосредованной связи, но оказывалась как бы прямым, непосредственным рисунком слова. Таким образом, введение в опыт бессмысленного знакового материала не только не стимулировало, как мы могли предполагать, переход ребенка от использования готовых, уже сложившихся связей к созданию новых, но и привело к прямо противоположному результату — к стремлению непосредственно увидеть в данной фигуре схематическое изображение того или иного предмета и к отказу запоминания там, где это было невозможно. Такое же явление обнаруживалось, как правило, и в опытах с маленькими детьми, где вспомогательными стимулами служили осмысленные картинки, не связанные прямо с предложенным словом. В опытах Юсевич было показано, что в значительном числе случаев вспомогательная картинка в сущности тоже не использовалась как знак, но ребенок пытался увидеть в ней непосредственно тот предмет, который ему надо было запомнить. Так, ребенок легко запомнил слово “солнце” с помощью картинки, на которой был нарисован топор, указывая на маленькое желтое пятно на рисунке и заявляя, что “вот это и есть солнце”. Сложный опосредованный 287

характер операции замещается и здесь элементарной попыткой создать непосредственно “эйдетоидное” отображение предложенного содержания во вспомогательном знаке. Таким образом, в обоих случаях мы не можем говорить о том, что ребенок, воспроизводя заданное слово, припоминает так же, как и тогда, когда при взгляде на фотографию мы называем имя оригинала. БЕЛЛЮСТИН (Доп – 5). [18] Древние египтяне задались в этом отношении чрезвычайно оригинальной мыслью. Они пользовались только такими дробями, у которых числитель непременно единица; все остальные дроби они считали неудобными для вычисления и старались заменять их этими основными дробями, т. е. с числителем, равным единице, так что когда египтянину требовалось произвести какое-нибудь действие над дробями, то он сперва заменял данные дроби основными, затем делал вычисление и уже в конце концов из ряда основных дробей выводил общий ответ. ВАН ДЕР ВАРДЕН [61] «Вначале все народы располагали известным небольшим запасом целых чисел, вполне удовлетворявшим их в нуждах обыденной жизни, и также ограниченным количством натуральных дробей: 12 , 13 , 23 , 14 , 34 , 16 , 18 . Однако эта первобытная стадия счета принадлежит предистории. Умножение для египетского счетчика – род сложения, термин для умножения таков: “прибавляй, начиная с . . . ”. Из умножения возникло само собой деление, которое всегда является задачей, обратной умножению. Но деление требует, однако, вычислений с дробями, таким образом, деление повело к дальнейшему развитию вычислений, появились действия с дробями». ДЕПМАН [11] Египтяне, достигшие в технике и искусстве высокого уровня развития, в арифметике дробных чисел не пошли далее единичных дробей. Все дошедшие до нас египетские документы математического содержания периода 1000 года до н.э. и VIII в. н.э. (от эпохи московского папируса до акминского) содержат только единичные дроби. Помимо их, лишь дробь 32 применялась египтянами и имела особый знак. Были попытки ввести в счётный обиход дробь 34 . 288

Когда результаты какого-либо расчёта приводили к дроби неединичной, её заменяли суммой единичных дробей: 2 1 1 = + ; 5 3 15

2 1 1 1 = + + 13 8 52 104

и т.д.

Папирус Ахмеса даёт таблицу всех дробей вида с числителем 2 и нечётными знаменателями от 5 до 99, представленных суммами единичных дробей. Очевидно, такие таблицы были раз навсегда заготовлены и ими пользовался каждый обучающийся математике. Кожаный свиток Британского музея, который относят к несколько более ранней эпохе, чем папирус Райнда, содержит, кроме названных, ещё 26 случаев представления неединичных дробей в виде суммы единичных. Некоторые дополнительные представления дают другие папирусы. Применением способа представления неединичных дробей единичными египетские авторы решают без особого труда отдельные задачи. В значительном числе случаев способы решения их весьма удобны. Рассмотрим это на конкретном примере. Нужно разделить 7 хлебов между 8 человеками поровну. На долю каждого приходится 78 , но такого числа для египтянина не существовало, зато он знал, что: 1 1 1 7 = + + 8 2 4 8 Ему и надо каждому участнику выделить эти доли. Если все 7 хлебов разрезать на восьмые доли и отсчитать каждому по 7, то потребуется для этого сделать (7 × 7) 49 разрезов. Египтянин знал, что ему надо иметь 8 половинок, 8 четвертушек и восьмушек, поэтому он режет 4 хлеба пополам, 2 хлеба на четыре части каждый и 1 хлеб на восемь частей. Ему нужно было сделать только (4 + 6 + 7) 17 разрезов. Египетские способы вычисления при помощи единичных дробей перешли уже в эпоху Пифагора (VI в. до н.э.) к грекам. До III в. (до н.э.) ими исключительно пользовались и греческие математики. С названной эпохи рядом с единичными дробями появляются другие виды дробей, но единичные дроби остались до конца греческой истории в практической жизни. Шумеры в древнейшую эпоху пользовались также единичными дробями, но уже в третьем тысячелетии до нашей эры эти дроби стали вытесняться шестидесятиричными. 289

Арабы переняли единичные дроби, по-видимому, от греков, так как Герон и Диофант пользуются, если и не исключительно, ещё единичными дробями. И ал-Хорезми (IX в.) и ал-Кархи (XI в.) производят вычисления при помощи единичных дробей. От арабов эти дроби перешли в первые евАликвоты у ропейские учебники, в частности в книгу Леогреков и арабов нардо Пизанского (XIII в.), предпочитающего во многих случаях производить вычисления при помощи единичных дробей, хотя он хорошо знал и другие виды. Развитием идеи обыкновенной дробы мы обязаны Индии. Индийцы также употребляли вначале единичные дроби, но очень рано они начинают пользоваться обыкновенными дробями общего вида. Уже в древнейших их памятниках, создание которых относится к IV в. до н. э. (Сульвасутра — книги о построении алтарей — Апастамбы), встречаются дроби 83 , 27 и тому подобные. Впрочем, нужно и здесь отметить, что некоторые исследователи (Кей) выражают сомнение относительно древности этих памятников. Брамагупта (род. в 578 г. н.э.) учит правилам действий над дробями почти в наших терминах: “произведение дробей есть произведение числителей, разделённое на произведение знаменателей” и т. д. Обыкновенные дроби индийцев наряду с египетскими единичными и вавилонскими шестидесятиричными перешли к арабам, однако даже ал-Хорезми (820 г.) в своём учебнике индийской арифметики лишь мимоходом упоминает об индийских дробях. В одном сочинении Абу-ал-Вафа встречается дробь вида m n , n > m > 1. Автор заявляет, что дроби такого вида некрасивы и их следует избегать. Деловые люди не любят таких дробей и предпочитают их выражать (точно или приблизительно) суммой единичных дробей (долей). БУРБАКИ Н., ЛЕБЕГ Г. (Доп – 6) [60]. Всякое измерение величин предполагает хотя бы смутное понятие действительного числа. С математической точки зрения зарождение теории действительных чисел следует отнести ко времени образования прогрессивной системы нумерации вавилонян, дающий в принципе возможность обозначать любые приближенные значения каждого действительного числа. Обладание подобной системой и вытекающая отсюда уверенность в числовых расчетах неизбежно приводили к “наивному” понятию действитель290

ного числа, почти совпадающему с тем, которое в наши дни можно встретить в элементарных учебниках математики (связанное с десятичной системой счисления) или у физиков и инженеров. Это понятие не поддается точному определению, но его можно выразить, сказав, что число рассматривается как определенное благодаря возможности получать его приближенные значения и вводить их в вычисления. Все это к тому же сопряжено с некоторым неизбежным смешением мер величин, данных опытом, которые, естественно, не допускают неограниченного приближения, и такими “числами”, как √ 2 (предполагая, что имеется алгоритм для их неограниченного приближения). Наивное понятие действительного числа

Подобная “прагматическая” точка зрения появляется во всех математических школах, где вычислительное искусство берет верх над заботами о строгости и теоретическими соображениями. В греческой математике, наоборот, господствуют именно эти последние. Ей мы обязаны созданием первой строгой и систематической теории отношения величин, т. е. по существу действительных чисел. Эта теория была создана в результате ряда открытий, относящихся к пропорциям, и в частности к несоизмеримым отношениям, значение которых в истории развития греческой мысли трудно переоценить. Теория действительных чисел

Слово число и понятие числа относятся у Евклида только к натуральным числам > 1 (в сущности 1 является монадой, а не числом). Они относятся не только к иррациональным числам, но также к тому, что мы называем рациональными числами, так как последние были для греческих математиков классической эпохи отношениями чисел. Здесь дело не только в терминологии, так как слово «число» у древних греков (и у современных математиков до недавнего времени) было связано с идеей системы с двойным законом композиции (сложение и умножение). Отношения целых чисел в классической греческой математике расОтношение сматривались как операторы, определенные (m : n) есть на множестве целых чисел или его подмножеоператор стве (отношение p к q является оператором, который каждому числу N , кратному q, относит целое число p(N/q)) и образующие группу по умножению, а не систему с двойным законом композиции. В этом отношении гре291

ческие математики сознательно отмежевывались от “логистов” или профессиональных вычислителей, которые, так же как и их египетские и вавилонские предшественники, не задумываясь, рассматривали дроби или суммы целого числа и дроби как числа. Весьма возможно, что такое ограниченное понятие числа было вызвано соображениями скорее философского, чем математического характера. В результате размышлений первых греческих философов о едином и множественном сложилось убеждение, что единица (в этой системе идей) не может быть разделена, не теряя своего свойства быть единой. Теория величин у Евклида строится аксиоматически, сразу для всех видов величин (имеются, однако, намеки на предшествующие теории, в которых, по-видимому, рассматривались отдельно длины, площади, объемы, время и т. д.). Величины одного и того же вида характеризуются тем, что поддаются сравнеТеория величин нию (т. е. предполагается, что для них опредеЕвдокса лено отношение равенства, которое по существу является эквивалентностью, и отношение > и <), что их можно складывать и вычитать (определено A + B и A − B, если A > B) и что они удовлетворяют аксиоме, получившей название «аксиомы Архимеда». Последняя с самого начала воспринималась как ключ ко всему зданию (она и в самом деле необходима при любой аксиоматической характеристике действительных чисел). Она названа “архимедовой” совершенно случайно. Сам Архимед во введении к своей «Квадратуре параболы» подчеркивает, что эта аксиома употреблялась его предшественниками, что она играет существенную роль в работах Евдокса и что ее следствия не менее достоверны, чем определения площадей и объемов, сделанных без ее помощи. Нетрудно заметить, что теорию действительных чисел можно непосредственно развивать на этой аксиоматической основе. Заметим, что для Евдокса величины одного вида образуют систему с одним внутренним законом композиции (сложением), но что эта система обладает внешним законом композиции, имеющим в качестве операторов отношения величин, которые воспринимались как образующие абелеву группу по умножению. Пусть A и A0 являются величинами одного и того же вида, так же как B и B 0 . Отношения A и A0 и B и B 0 по определению равны, если, каковы бы ни были целые числа m и m0 , неравенство mA < m0 A0 влечет за собой неравенство mB < m0 B 0 и неравенство mA > m0 A0 влечет за собой 292

неравенство mB > m0 B 0 . Аналогичным образом определяются и неравенства между отношениями. То, что эти отношения образуют область операторов для величин любого рода, эквивалентно аксиоме (не сформулированной явно, но многократно употребляемой в изложении Евклида) существования четвертой пропорциональной: если задано отношение A/A0 и величина B 0 , то существует величина B того же вида, что и B 0 , такая, что BB0 = AA0 . Таким образом, гениальная идея Евдокса дает возможность отождествить области операторов, определенных для любого вида величин. Аналогичным образом можно отождествить множество отношений целых чисел (см. выше) с подмножеством множества отношений величин, а именно с множеством рациональных отношений (отношений соизмеримых величин). Однако исходя из того, что эти отношения как операторы на целых числах определены (вообще говоря) только на части множества целых чисел, было необходимо развить особую теорию (Книга VII Евклида). Итак, универсальная область операторов, построенных этим способом, была для греческих математиков тем же, чем для нас является множество действительных чисел. Ясно к тому же, что, имея сложение величин и умножение отношений величин, они обладали эквивалентом того, чем для нас является поле действительных чисел, но в значительно менее удобной для обращения форме. С другой стороны, возникает вопрос, осознавали ли они эти множества (множество величин заданного вида, или множество отношений величин) как полные в нашем смысле слова. В противном случае не совсем ясно, почему они допускали (даже не испытывая необходимости сделать из этого аксиому) существование четвертой пропорциональной. Поле действительных чисел

В таком состоянии находилась теория действительных чисел в классическую эпоху греческой математики. При всем восхищении, которое вызывает построение Евдокса, не оставляющее желать ничего лучшего с точки зрения строгости и стройности, все же следует признать, что ему не хватало гибкости и что оно не способствовало развитию вычислительной техники, и особенно алгебраического исчисления. Более того, его алгебраическую необходимость мог оценить только ум, влюбленный в строгость и искушенный в абстракциях. Поэтому вполне естественно, что на закате греческой математики мало-помалу возрождается “наивная” точка зрения, сохранившаяся в традиции логистов. Так, например, она доминирует 293

у Диофанта, бывшего скорее верным последователем этой традиции, чем приверженцем официальной греческой науки. Формально воспроизводя евклидово определение числа, Диофант фактически понимает под словом «число» неизвестное в алгебраических задачах, решение которых может быть целым числом, или дробью, или даже иррациональным числом. Хотя подобная Число у перемена во взглядах в вопросе о числе связаДиофанта на с одним из значительных достижений в истории математики, и именно с развитием алгебры, сама по себе она, конечно не только не является прогрессивной, но скорее шагом назад. Опять ДЕПМАН И. Я. (Доп – 7) [16] И. Ньютон в своей «Всеобщей арифметике» заявляет: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Этим был установлен современный взгляд на действительное число и на единицу, как число. БУРБАКИ Н. [60] Арифметизация классической математики. Все большее и большее использование понятия «модели» дало возможность осуществить в XIX в. унификацию математики, о которой мечтали пифагорейцы. В начале века целое число и непрерывная величина казались понятиями столь же несовместимыми, как и в античную эпоху; действительные Арифметизачисла были связаны с понятием геометричеция ской величины (во всяком случае, с длиной) и именно к ней и обращались для “моделей” отрицательных и мнимых чисел. Даже рациональное число было по традиции связано с представлением о “делении” величины на Исключитель- равные части; только целые числа оставались в стороне как “исключительные творения наные творения шего разума”, как сказал Гаусс в 1832 г., проразума тивопоставляя их понятию пространства. Первые усилия приблизить арифметику к анализу начались с рациональных чисел (положительных и отрицательных) и были предприняты Мартином Омом (1822 г.); приблизительно в 1860 г. его идея была подхвачена Грассманом, Ганкелем и Вейерштрассом (в его 294

неопубликованных лекциях); последнему принадлежит идея получить “модель” рациональных положительных чисел и целых отрицательных чисел с помощью классов пар натуральных чисел. Но надо было еще добиться самого важного, а именно найти “модель” иррациональных чисел в теории рациональных чисел; к 1870 г. эта проблема уже не терпела никакого отлагательства, так как после открытия “патологических” фактов в анализе возникла необходимость при определении действительных чисел Классы пар Вейерштрасса

избавиться от всех следов геометрической интуиции и от смутного понятия «величина». Известно, что эта проблема была разрешена к этому времени приблизительно одновременно Кантором, Дедекиндом, Мэреем и Вейерштрассом, причем довольно различными методами. Избавились от величин

Начиная с этого времени целые числа стали основой всей классической математики. Кроме того, “модели”, опирающиеся на арифметику, приобретают еще большее значение вследствие расширения аксиоматического метода и установившегося взгляда на объекты математики как на свободные порождения разума. В действительности эта свобода, провозглашенная Кантором, была ограничена проблемой “существования”, которая тревожила еще греков и разрешение которой сейчас было особенно необходимо, так как теперь всякая апелляция к интуитивному представлеПроблема нию уже не признавалась. Дальше мы увидим, существования что в первые годы XX в. понятию “существования” суждено было сыграть важную роль в различных философско-математических перипетиях. Но в XIX в. до этого еще не дошли и считали, что доказательство существования математического объекта с заданными свойствами состояло, как и у Евклида, просто в том, чтобы “сконструировать” объект, имеющий указанные свойства. Для этих целей и служили арифметические модели; как только действительные числа были “интерпретированы” в терминах целых чисел, тем самым были интерпретированы благодаря аналитической геометрии также и комплексные числа и геометрия Евклида. Аксиоматизация арифметики

Арифметизация математики направляла внимание ученых на изучение оснований самой арифметики, которое и началось в действительности около 1880 г. До XIX в. ученые, по-видимому, не пытались определить сложе295

ние и умножение натуральных чисел иначе, чем путем прямого обращения к интуиции; только Лейбниц, верный своим принципам, настойчиво утверждает, что столь “очевидные истины”, как 2 + 2 = 4, не менее нуждаются в доказательствах, если поразмыслить об определениях чисел, которые туда вхоЛейбниц дят; он не считал, что коммутативность сложе2+2=4 ния и умножения является само собой разумеющимся свойством. Однако он не идет дальше в своих рассуждениях по этому вопросу, который до самой середины XIX в. не получил никакого развития. Даже Вейерштрасс, лекции которого значительно способствовали распространению идей “арифметизации”, по-видимому, не почувствоПолная мате- вал необходимости логического уяснения теории целых чисел. Первые шаги в этом направматическая лении, как кажется, были сделаны Грассмаиндукция ном, который в 1861 г. дал определение сложению и умножению целых чисел и доказывал их основные свойства (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность) посредством только одной операции x → x + 1 и принципа полной математической индукции. Этот принцип был ясно понят и впервые применен в XVI в. итальянцем Ф. Мавролико, если не считать более или менее сознательные применения его в античности, и широко использовался математиками начиная с первой половины XVII в. Но лишь в 1888 г. Дедекинд формулирует полную систему аксиом арифметики Полная (систему, которую тремя годами позднее воссистема произвел Пеано и которую обычно называют аксиом его именем, содержащую, в частности, точную формулировку принципа полной математической индукции (употребляемого и Грассманом, хотя он еще не дает ему ясных определений). Казалось, что аксиоматизация множества натуральных чисел дала возможность достигнуть окончательного обоснования математики. В действительности именно в то время, когда были ясно сформулированы аксиомы арифметики, она уже, по мнению многих математиков (и в первую очередь самого Дедекинда, а также Пеано), перестала быть первичной наукой и уступила свою роль теории множеств — самой новой из всех теорий математики; поэтому полемику, которая развивалась вокруг понятия целого числа, нельзя рассматривать изолированно от великого “кризиса основа296

ний” 1900—1930 гг. Аксиоматическая теория отношений, созданная греками, была недостаточна, так как она только уточняла интуитивное понятие положительного действительного числа и операции над этими числами, в более смутном виде известные уже вавилонянам. Теперь речь будет идти о “числах”, о которых не было никакого реального “представления”: с одной стороны, о нуле и отрицательных числах, которые появились с начала средних веков в индийской математике, с другой — о мнимых числах, созданных итальянскими алгебраистами XVI в. Если оставить в стороне нуль, который был введен как символ в системе счисления прежде, чем стал рассматриваться как число, общий характер этих расширений (по крайней мере вначале) был чисто “формальным”. Это означает, что новые “числа” появляются вначале как результаты операций, применяемых в условиях, в которых, если придерживаться строгого определения, эти операции не имеют никакого смысла (например, разность a − b двух натуральных чисел, если a < b). Отсюда и названия, даваемые этим числам: “ложные”, “фиктивные”, “абсурдные”, “невозможные”, “мнимые” и т. д. Для греков классической эпохи, поборНовые числа — ников ясности мысли, подобные расширения были немыслимы, они могли появиться тольрезультаты ко у вычислителя, более расположенного, чем операций греки, оказывать несколько мистическое доверие силе своего метода (“общность анализа”, как будут говорить в XVIII в.) и способного увлечься механизмом вычислений, не проверяя, обоснован ли каждый шаг. Это доверие большей частью оказывалось оправданным aposteriori точными результатами, к которым приводило распространение на новые математические объекты тех правил исчисления, которые были установлены со всей строгостью только для ранее известных чисел. Этим объясняется то, что ученые постепенно осмелились рассматривать сами по себе (независимо от приложений к конкретным вычислениям) эти обобщения понятия числа, которые вначале появлялись лишь как промежуточные звенья в последовательности операций, исходный и конечный пункт которых составляли настоящие “числа”. Но как только этот шаг был сделан, начинаются поиски более или менее осязаемых интерпретаций для новых сущностей, которые получают таким образом право гражданства в математике. Уже индийцы в некоторых случаях знали интерпретацию отри297

цательных чисел (как, например, долг в коммерческих задачах). В последующие века, по мере того как на Запад проникали (через посредничество арабов) методы и результаты математики греков и индийцев, оперирование с такими числами становится все более обычным, и им даются другие “представления” — геометрические или кинематические. В этом, а также и в улучшении алгебраической символики состоял единственный ощутимый прогресс алгебры в конце средних веков. Линейная алгебра, без сомнения, появилась на свет, чтобы удовлетворить нужды вычислителя-практика. Так, например, тройное правило и правило ложного положения, более или менее ясно сформулированные, играли важную роль во всех руководствах по практической арифметике от египетского папируса Райнда до руководств, принятых в наших начальных школах (через Ариабхатту, арабов, Лeонардо Пизанского и бесчисленные “вычислительные книги” средних веков и эпохи Возрождения). Однако, быть может, они всегда представляли только выдержки для практического использования из гораздо более передовой научной теории. Как менялось понятие числа в индийской, арабской и западной математике вплоть до конца средних веков? Преобладающим было “наивное” понятие числа, и, хотя в течение всего этого периода в основу математического обучения были положены «Начала» Евклида, вполне возможно, что учение Евдокса оставалось в основном непонятным, так как в нем уже больше не видели необходимости. «Отношения» Евклида чаще всего назывались “числами”; к ним применяли правила исчисления целых чисел и, таким образом, получали точные результаты, не стараясь доискиваться причин успеха этих приемов. Однако, уже в середине XVI в. Р. Бомбелли изложил в «Алгебре» свою точку зрения, которая (если предположить, что результаты Книги V Евклида хорошо известны) была по существу корректной. Приняв, что при установленной единице длины имеется взаимно однозначное соответствие между длинами и отношениями величин, он определил различные алгебраические операции над длинами (разумеется, предположив единицу фиксированной). Выразив числа посредством длин, он получил геометрическое определение поля действительных чисел (эта точка зрения обычно приписывается Декарту) и тем самым дал своей «Алгебре» прочную геометрическую основу. Бомбелли

298

Но «Алгебра» Бомбелли, хотя и поразительно опередившая свою эпоху, не шла далее извлечения корней и решения в радикалах уравнений 2-, 3- и 4-й степеней, причем, разумеется, возможность извлечения корней принималась им без какого-либо обсуждения. Самые просвещенные умы того времени в конце концов усваивают точку зрения, мало чем отличающуюся от точки зрения Бомбелли, причем главное отличие состояло в большем внимании с их стороны к строгим методам античных математиков. Исаак Барроу (учитель Ньютона, который и сам принимал большое участие в создании исчисления бесконечно малых) дает блестящее изложение этих методов в своих «Лекциях по математике», прочитанных в Кембридже в 1664—1666 гг. Признавая необхоБарроу димость вернуться к теории Евдокса для того, чтобы вновь обрести в вопросе о числе вошедшую в поговорку “геометрическую точность”, он выдвигает в ее защиту хорошо обоснованные аргументы (так как она, по его свидетельству казалась непонятной многим из его современников) против тех, которые оценивали ее как неясную и даже абсурдную. С другой стороны, определяя числа как символы, обозначающие отношения величин и вступающие между собой в комбинации по правилам арифметических операций, он получил поле действительных чисел, выраженных в терминах, которые употреблялись впоследствии Ньютоном в его «Арифметике» и в которых его последователи до Дедекинда и Кантора ничего не изменили. Гаусс, с другой стороны, дает также в своем мемуаре 1812 г. о гипергеометрическом ряде первый образец исследования сходимости, проведенного, как он говорит, “по всей строгости, чтобы удовлетворить тех, кто предпочитает строгие методы древних геометров.” Правда, это исследование стояло в мемуаре на втором плане и не касалось основных принципов теории рядов. Они были впервые установлены Коши в «Курсе анализа» издания 1821 г. способом, корректным во всех отношениях, начиная с критерия Коши, ясно сформулированного и принятого в качестве очевидного. Так как при определении чисел он придерживается точки зрения Барроу и Ньютона, то можно утверждать, что для него действительные числа определены аксиомами величин и критерием Коши. Этого и на самом деле достаточно для их определения. Для Коши числа определены аксиомами величин

(Доп – 8) [60]. Древние египтяне и вавилоняне подошли к осво299

ению понятия абстрактной единицы. Греческая математика и философия класЧисла у греков сического периода называли числом только натуральное число, т. е. целое положительное, как собрание единиц. Единица для них не была числом, “она является только зародышем, эмбрионом числа, так как она лишена свойства множественности”. Так учили пифагорейцы и философы школы Платона. Евклид говорит: «Число — множество, соЧисла у ставляемое из единиц. Единица же — это чтоЕвклида то, вследствие чего существующее является единым». Она во всяком случае для Евклида не число. Отсюда становится понятным, что Евклид, установив (Начала, VII, 9 и 13), что из пропорции a : b = c : d следует: a : c = b : d, в дальнейшем (VII, 15) особо доказывает это свойство для пропорции 1 : b = c : d. Неоплатоник (последователь учения Платона) Теон Смирнский (II в. н. э.) настойчиво повторяет: «единица не есть число, а только источник числа». Некоторое отличие имеет взгляд Аристотеля на число. Он в своей «Метафизике» определяет число, как множество, измеренное единицей, а про единицу утверждает, что она есть также множество, только лишь очень небольшое. Так же о “множестве один” говорит философ-стоик Хризипп (282–209 гг.). Что же представляет единица, греческие учёные определить не могли по той причине, что понятие единицы есть первичное, неопределяемое понятие. Взгляды греческих математиков на единиЕдиница цу держались долгое время. Римский писатель Марциан Капелла (V в. н.э.) считает первым нечётным числом 3. Боэций (умер в 524 г.) называет единицу матерью всех остальных чисел, а приписываемый Боэцию манускрипт XII в. повторяет вновь, что единица не есть число, а источник и производитель всех чисел. Дальше этого взгляда не пошли ни арабы, ни первые европейские математики. Валлис (Уоллис) в 1657 г. применяет всю силу своей логики для убеждения читателя в том, что 1 есть число, однако Бюффон уже в 1740 г. заявляет, что единица всё же не есть число. Предоставление единице права законного места в натуральном ряду чисел явилось результатом длительных дискуссий. Симон Стевин (XVI–XVII вв.) утверждает, что единица — чис300

ло, аргументируя, что 1) части имеют ту же природу, что и целое; поэтому, если целое есть число, то его часть — единица — есть также число и 2) если из данного числа вычитается то, что не является числом, то число должно остаться прежним, но если из числа вычесть единицу, число не остаётся прежним. Значит, нельзя утверждать, что единица не есть число. Эти утверждения вызывали не менее убедительные возражения Лауренберга (1624 г.). «Основное положение об однородности части с целым не всегда правильно. Существуют два рода вещей: подобно составленные и неподобно составленные. Для первых, например, золота, воды и так далее, действительно части будут также золотом, водой. Но часть головы не есть голова, часть дерева не есть дерево, часть человека не есть человек. Если из целого числа, например трёх, отнять единицу, то, действительно, не остаётся того, что было. Но при отнятии от неподобно составленного тела его части оно также не останется тем, чем оно было. Таким же образом, если единица и не есть число, отнятие её может уменьшить данное число». Споры о природе единицы прекратились в XVII в., но не в силу ясности решения вопроса, а потому, что интересы математиков переключились от споров о природе числа на способы его использования на практике. ДЕПМАН И.Я. (Доп – 9) [16]. Дробную черту мы встречаем у ал-Хассара (XII в.). Леонардо Пизанский применял её регулярно. Однако общеупотребительной она стала только в XVI в. Символы для изображения дроби в средние века были крайне разнообразны. Иногда числитель и знаменатель записывали при помощи римских цифр, своеобразно используя мультипликативный принцип. Так, в одной немецкой ||C книге по арифметике (1514) дробь 200 460 изображалась, как ||||C LX . В манускрипте середины XIV в. встречаются обозначения 35 для 35 и 47 для 47 . Часто вместо 12 писали ÷; так 4÷ означало 4 21 . При произношении дроби в средние века Дроби всегда добавляли слово “части”: 25 произносилось, как две пятых части. В России (XVI–XVII вв.) при выговаривании дроби со знаменателем от 5 до 10 прибавляли окончание “ина”. Например, 17 — 1 седьмина, 10 — десятина. Если знаменатель был более десяти, то к 301

5 названию дроби добавлялось слово “жеребей”. 13 , например, читалось, как пять тринадцатых жеребьев. Дроби в русских рукописях назывались долями; позднее их стали именовать ломаными числами, что соответствовало латинскому термину numeri f racti. (Доп – 10) [16]. Только с начала XVIII в. в руководствах, которые назначались для университетов, доказательства стали до некоторой степени необходимой частью. Вольф высказывает требование: «Недостаточно учителю говорить истину; ученики должны понимать, что сказанное действительно является истиной. . . В арифметических объяснениях недостаточно показывать правила, при помощи которых получаются требуемые числа, но нужно дать понять, почему именно при помощи этих правил получаются требуемые числа» (предисловие к «Сокращению математики»). (Доп – 11) [16]. Ещё в 1735 г. в предисловии к XVI изданию английской «Арифметики» Уингейта читаем, что в этом издании «изложение арифметики целых чисел, необходимой для денежных расчётов, для торговли и других приложений, даётся раньше, чем открывается доступ к крутым и трудным путям дробей, при одном виде которых некоторые учащиеся приходят в такое уныние, что останавливаются и восклицают: “ради Бога, не дальше”». У немцев фраза «in die Br¨ uche geraten» — «попал в дроби» — равносильна — «попал в переделку». Изложение дробей появляется в учебниках европейских школ только в XVIII в. У ранее упомянутого Вольфа впервые появляется требование о том, что свойства действий, установленные для целых чисел, должны обосноваться для дробей. В Англии учение о дробях и арифметика вообще входили в программу коммерческих школ; в средних же общеобразовательных школах для знати, вроде Итонской, существующей с 1446 г., арифметика стала обязательным предметом преподавания только в 1851 г.

ФЕЛИКС Л. (Доп – 12) [31]. Евклидово деление во множестве данного рода величин. Лишь частные будут числами, притом натуральными. Пример 1. Длина прямолинейного отрезка. Физическая операция “приставить началом к концу” определяет сложение длин G = G1 + G2 , откуда получаем умножение длин на натуральное число. Знак «=» символически обозначает отношение эквивалентности “иметь одну и ту же длину”, что определяется опытным путем, наложением. Отношения порядка “быть больше, чем” означает 302

здесь “быть длиннее,чем”; это отношение всеобщего порядка G > G1 определяется опытом, дающим в то же время разность G − G1 , результат операции, обратной сложению. Эта обратная операция приводит к введению нулевой величины (или нулевой длины), которую мы обозначим через O. Физика утверждает, что эти операции имеют свойство обычной коммутативности и ассоциативности. Пример 2. Масса тела. Применение весов дает словарь: G = G1 означает: оба тела производят с точки зрения равновесия один и тот же эффект на чашку весов. G = G1 + G2 означает: G производит на чашку весов тот же эффект, что и помещенные туда одновременно тела G1 и G2 , и т. д. Физическая величина определяется описанием процедуры, позволяющей составить искомый словарь, если только обеспечены желаемые свойства, что делает из множества G величин этого рода модуль, имеющий в качестве множества операторов кольцо целых чисел. К гипотезе существования отношения всеобщего порядка мы присоединяем еще гипотезу: Множество удовлетворяет аксиоме Архимеда. Напоминаем, что согласно этой аксиоме, какова бы ни была данная величина G, последовательность кратных G1 , 2G1 , . . . , nG1 , . . . превзойдет G при любой величине G1 . Отсюда следует, что какова бы ни была пара величин G, G1 (G > G1 ), для них определено евклидово деление: ∃q1 −

натуральное q1 G1 < G < (q1 + 1)G1 ,

причем остаток равен: G2 = G − qG1 , так что определяется также условиями G = q1 G1 + G2 , G2 < G1 .

(i)

Мы будем пользоваться также неравенством G2 6 G − G1 , вытекающим из q1 > 1, откуда 2G2 < G.

(i0 )

Начиная с G и G1 , G > G1 , мы можем, стало быть, осуществить 303

алгоритм Евклида и получаем: G G1 ... ... Gn ...

= =

=

q1 G1 + G2 q2 G2 + G3 ... G > G1 > G2 > · · · > G n > · · · ... qn+1 Gn+1 + Gn+2 ....

Последовательность операций закончится лишь тогда, когда получится нулевой остаток, если такой остаток когда-либо получится. Остановим вычисления, когда появится остаток Gp . Как мы видели, в случае натуральных чисел существует пара целых чисел, положительных или отрицательных, xp , yp , таких, что: xp G + yp G1 = Gp . Но нам необходимо некоторое уточнение; поэтому вернемся к вычислению. (Маленькие буквы обозначают натуральные числа.) Gp = −qp−1 Gp−1 + Gp−2 . Но Gp−1 = −qp−2 + Gp−3 , поэтому Gp = +(qp−1 qp−2 + 1)Gp−2 − qp−1 Gp−3 = sp−2 Gp−2 − tp−3 Gp−3 . Но Gp−2 = −qp−3 Gp−3 + Gp−4 , поэтому Gp = −(sp−2 qp−3 + tp−3 )Gp−3 + sp−4 Gp−4 = −sp−3 Gp−3 + tp−4 Gp−4 и так далее, так что Gp = sp−2k Gp−2k − tp−2k−1 Gp−2k−1 , Gp = −sp−2k−1 Gp−2k−1 + tp−2k−2 Gp−2k−2 . Следовательно, в зависимости от четности или нечетности числа p, мы получаем Gp = ap G − bp G1 , 304

или Gp = −ap G + bp G1 .

Кроме того, если выбрать последовательно индексы p возрастающими, то составленные из натуральных чисел сложениями числа ap и bp возрастают и стремятся к бесконечности, когда p стремится к бесконечности, если только не появится нулевой остаток. С другой стороны, в силу неравенств типа (i0 ), последовательность остатков удовлетворяет неравенствам: G > 2G2 > 22 G4 > · · · > 2k G2k > . . . , G1 > 2G3 > 22 G5 > · · · > 2k G2k+1 > . . . . Таким образом, G и G1 являются величинами, кратными величины Gp−1 = Γ, последнего отличного от нуля остатка. Говорят, что Γ есть общая мера величин G и G1 . Две величины, имеющие общую меру, называются соизмеримыми. Имеем: cdΓ = dG = cG1 , но мы положили aG = bG1 , следовательно, acG = bcG1 и bdG = bcG1 , так что ac = bd. Условились писать

1 1 G = G1 . c d Но, как и для натуральных чисел, каково бы ни было натуральное число λ, λG и λG1 , приводят к λΓ с теми же частными, значит, и с теми же числами c и d, так что имеем: Γ=

G = cΓ = что записывают

1 1 (cG1 ) = c( G1 ), d d

c G = ( )G1 . d

Чтобы считать равенство dc = ab следствием равенства ac = bd, нужно, согласно тому, как было введено dc , чтобы ( 1b )G, было некоторой величиной Γ0 . Следовательно, для величин нужно ввести акcиому непрерывности: Каково бы ни было натуральное n, существует величина Γ0 , такая что nΓ0 = G. Тогда введенные символы dc и ab имеют такие же свойства, которые определяют дроби и рациональные числа (кн. 1). Величины 305

образуют векторное пространство с полем рациональных чисел в качестве множества операторов. Рациональное число, представленное через dc и ab , называется отношением величины G к величине G1 . Отношение величины G1 к величине G есть dc . (Историческое понятие соизмеримых величин и привело естественным образом к понятию дроби.) Часто пишут: G c G1 d = ; = . G1 d G c Из типографских соображений мы будем писать также G/G1 . Алгоритм Евклида приводит в рассматриваемом случае к общей мере Γ, которая является наибольшей, так как любая общая мера величин G и G1 является также общей мерой всех остатков Gn , за исключением нулевого; поэтому любая общая мера аликвотной частью величины Γ, то есть имеет любое из значений 1 1 1 Γ, Γ, Γ, . . . , Γ, . . . 2 3 n КЛАЙН М. (Доп – 13) [1]. «Нет никакого сомнения, что затруднения, которые встретили великие математики, являются теми же камнями преткновения, какие встречают студенты, и что никакие попытки смазать эти трудности с помощью логической словесности не достигнут цели. И если нужны были 1000 лет, чтобы первоклассные математики признали отрицательные числа, то можно быть уверенным, что учащиеся испытают затруднения с отрицательными числами. Больше того, учащимся придется преодолеть эти трудности почти тем же путем, каким это преодолели математики, постепенно привыкая к новым понятиям, оперируя с ними и используя все интуитивные средства, которые учитель сможет им привести». ПУАНКАРЕ А. (Доп – 14). «Зоологи считают, что за короткий период развития эмбриона животного он воспроизводит историю своих предшественников всех эпох. Кажется, что все тоже самое происходит в развитии ума. Задача воспитания — дать уму ребенка пройти то, что изведали его предки, пройти быстро определенные этапы, но не упустить ни одного из них. Для достижения этой цели история науки должна служить поводырем. 306

БОБЫНИН В.В. (Доп - 15) [8]. «Умственное развитие молодых поколений управляется теми же законами и вследствие этого проходит в существенных чертах те же самые фазы развития, которые имели место в соответствующих ступенях умственного развития человечества...преподавание каждой науки должно идти тем же путем, которым шла при своем развитии сама наука. . . ». КЛЕЙН Ф. (Доп – 16) [25]. «Мы можем ожидать больший успех, делая то, что нам подсказывает генетический принцип, чем следуя подсказываниям чисто формальной математики». КЛАЙН М. (Доп – 17) [1]. «В своей строго логической форме, без указаний на происхождение понятий и выхода теории в практику, математическая дисциплина принимает слишком искусственный характер, . . . мы видим, как вопросы смогут быть разрешены, но перестаем понимать, как и почему они были поставлены». БЕЛЛЮСТИН (Доп – 18) [16]. Прежде всего наталкивает на необходимость дробей деление с остатком. Интересны попытки, которые делались старинными авторами для того, чтобы как-нибудь обойтись без дробей и провести все дело легко и спокойно, т. е. в целых числах. Так, в арабской рукописи 12-го века по Р. Х. решается вопрос “разделить 100 фунтов между 11-ю человеками поровну”; как видно, здесь получается остаток — 1 фунт, его предлагают поменять на яйца, которых по существующим ценам придется 91 штука; тогда на каждого человека можно дать по 8 яиц и еще 3 яйца в остатке: что делать с ними? Их автор рекомендует отдать тому, кто делил, за его труды или же поменять на соль к яйцам. Еще проще поступает представитель римской монастырской учености IX века Одо Клюнийский. Требуется ему разделить 1001 фунт на 100. Остаток 1 он дробит в унции, драхмы и т.д. до тех пор, пока только можно дробить. И так как в конце концов еще получается маленький остаток, то его Одо предлагает совсем бросить и не брать в счет. Но при этом ведь происходит ошибка, хотя и небольшая, и автору ничего иного не остается, как извинить свою ошибку несовершенством всего земного. 307

СОБОЛЕВ С.Л. (Доп – 19). В средней школе на протяжении многих лет до последнего времени содержание математического образования изменялось очень мало, оставаясь близким к давно установившимся традициям. После основательного изучения арифметики, включая “арифметическое” решение довольно сложных текстовых задач, следовал традиционный курс алгебры как учение о тождественных преобразованиях буквенных выражений и о решении алгебраических уравнений и систем уравнений с применением алгебраической техники к решению текстовых задач. Параллельно с алгеброй следовала геометрия, на основе наглядных представлений и аксоиматики, близкой к евклидовой. Далее следовал традиционный курс тригонометрии. Развитие технического прогресса и прогрессивное возрастание роли науки вызвали необходимость пересмотра содержания и стиля математического (и не только математического) образования в средней школе. Основные идеи и понятия традиционной “высшей” математики: производная, интеграл, несложные дифференциальные уравнения как средство описания физических явлений приобрели характер необходимого запаса знаний человека со средним образованием независимо от рода работы. Не владея этими понятиями, трудно знакомиться с достижениями современной науки и техники по общедоступным источникам (статьи в периодической печати, научно-популярная литература). Владение этими идеями дает мощное подспорье многочисленной в СССР прослойке рабочих – рационализаторов производства и т. д. (Доп – 20). Основные тенденции перестройки – преодоление разрыва между арифметикой, с одной стороны, и алгеброй и геометрией – с другой, а также между элементарной и “высшей” математикой. Это осуществляется посредством раннего пользования буквами прежде всего для обозначения неизвестных при решении задач. Рано вводится понятие отрицательного числа. В начальных же классах ученики знакомятся с элементарными геометрическими фигурами и простейшими арифметическими задачами с геометричеким содержанием. Последовательно осуществляется функциональная точка зрения, широко исНовая пользуются графики. Курс алгебры завершаконцепция ется введением понятий производной и интеграла, с различными применениями, но без выработки развернутой техники дифференцирования и интегриро308

вания. Постепенно вводятся простейшие понятия теории множеств и математической логики, что дает удобный язык при рассмотрении систем уравнений, неравенств с неизвестными и при формировании понятия функции. Усиливается внимание к методу координат и графикам функций. В геометрии вводятся и используются векторы и т. д. КЛАЙН М. (Доп – 21). Сами того не желая, великие математики вызвали своими трудами едва уловимое изменение в самой природе математики. До XVI в. математические понятия были идеализациями или абстракциями, почерпнутыми непосредственно из опыта. Правда, к тому времени отрицательные и иррациональные числа были уже приняты индейцами и арабами. Но хотя мы отнюдь не склонны недооценивать вклада, внесенного арабами и индийцами в развитие математики, в вопросах обоснования они полагались главным образом на интуицию и “внематематический” опыт. Когда же появились комплексные числа, а также алгебра, широко использующая буквенные коэффициенты, производные и интегралы, главенствующее положение в математике заняли понятия, представляющие собой абстракции высокого ранга. Так, понятие производной, или мгновенной скорости изменения величины, хотя оно не лишено интуитивной основы, является весьма абстрактным. Качественно оно имеет совсем иную природу, чем, например, понятие треугольника. Аналогичным образом были обречены на провал все попытки математиков — еще не осознавших, что все эти понятия не основаны непосредственно на опыте, а являются абстракциями более высокой степени, — понять, что такое бесконечно малые величины, которые греки так искусно обходили, а также отрицательные и комплексные числа. Иначе говоря, математики создавали понятия, а не черпали абстрактные идеи из реального мира. В поисках источника математических идей математики стали обращаться не к ощущениям, а к человеческому разуму. По мере того, как новые идеи оказывались все более полезными в приложениях, их принимали - сначала недовольно, а потом с жадностью. Становясь привычными, новые понятия отнюдь не становились более приемлемыми: привычка лишь рождала у математиков некритичность и создавала ощущение естественности там, где этой естественности там, где этой естественности на самом деле не было. Начиная с XVIII в. в математику входило 309

все более абстрактных понятий, которые тем не менее принимались с все меньшими трудностями. Математикам, вознесенным ими же созданной ракетой, не оставалось ничего другого, как рассматривать свою науку с высоты, намного превышающей уровень земной поверхности. Не почувствовав изменения, происшедшего в характере новых понятий, математики тем самым лишили себя возможности признать необходимость иной основы для аксиоматического построения своей науки, чем самоочевидные истины. Разумеется, новые понятия отличались от старых большей тонкостью, и заложить надлежащий аксиматический фундамент, как мы теперь знаем, здесь было совсем не так уж просто. Как же математики могли узнать, в каком направлении следует двигаться, и, если учесть древнюю традицию доказательства, как они могли даже осмеливаться применять полученные результаты и утверждать что-либо о надежности своих выводов? Несомненно, что выбирать направление развития математики помогали как постановка, так и решение физических проблем. Как только физические проблемы облекались в математические формулировки, на передний план выступало виртуозное владение математическим аппаратом, возникали новые методы, рождались новые выводы. Таким образом, физический смысл стал путеводной звездой на разных этапах математического творчества; нередко он источником различного рода соображений, позволявших, по крайней мере частично, восполнить недостающие этапы. По существу этот процесс мало чем отличался от доказательства геометрический теоремы, опирающейся на чертеж, но не подкрепляемыми ни аксиомами, ни ранее доказанными теоремами. Помимо физического смысла в развитии новой математики известную роль играли и чутье – здоровая интуиция разумно мыслящего человека. Ведь основная идея и суть метода всегда интуитивно постигаются задолго до того, как они находят рациональное обоснование. Великих математиков, сколь бы рискованными ни были их рассуждения, всегда отличала тонкая интуиция, позволяющая избегать катастрофических ошибок. Интуиция гения более надежна, чем дедуктивное доказательство посредственности. Постигнув суть физической проблемы в той или иной ее математической постановке, математики XVIII в. не могли устоять перед соблазном формул. По-видимому, формулы обладали в их глазах такой притягательной силой, что процесс вывода одной формулы 310

из другой с помощью какой-нибудь формальной процедуры, например путем дифференцирования, доставлял им глубокое удовлетворение. Восхищение перед символами переплняло их и лишало способности рассуждать. Восемнадцатое столетие окрестили Героическим веком в истории математики, потому что именно тогда математики дерзнули совершить столь небывалые по своим масштабам и значимости научные завоевания, пользуясь столь слабым логическим оружием. КОЛМОГОРОВ (Доп – 22). Математикам, по существу, нужен один натуральный ряд чисел, который может обслуживать все их нужды. Свойства этого натурального ряда, существенные для математиков, полностью описываются аксиомами Пеано. С научной точки зрения представляется законным считать существование модели, в которой эти аксиомы выполнены, исходным допущением, являющимся непосредственным обобщением данных опыта и наших наглядных представлений (мысленного эксперимента). Модель, в которой натуральные числа являются мощностями конечных множеств, по способу ее построения не является самой простой, и делать ее исходной логически не обязательно. Ясно, что начальное обучение арифметике натуральных чисел должно быть наглядным, и не обязательно следовать ни аксиоматическому, ни какому-либо другому разработанному математиками последнего столетия способу логического построения теории натуральных чисел. Но это не значит, что начальный курс арифметики не должен иметь ясного логического строения, которым сознательно пользуются авторы учебника и учителя. Формирование представлений о натуральРеальные пути ных числах в сознании детей начинается заформирования долго до школы, а в школьном возрасте регупредставлений лируется не только школьным обучением, но и непосредственным участием детей в практической жизни. Поэтому крайне желательно, чтобы лежащая в основе школьного курса логическая схема была по возможности близка к реальным путям формирования первых представлений о натуральных числах. Если бы народная традиция здесь оказалась в противоречии с наиболее совершенными научными концепциями, то еще следовало бы основательно подумать, чему отдать предпочтение. Возможность такого конфликта между требованиями на311

уки и традицией наметилась в последнее время потому, что некоторые методисты слишком уверовали в логическую обязательность очерченного выше пути, в котором четкое оформление понятия эквивалентности множеств предшествует счету. Мы уже видели, что наука вовсе не требует признания за концепцией, идентифицирующей натуральные числа с конечными мощностями, какого-либо исключительного и преимущественного положения. По данным же истории культуры и наблюдениям за развитием детей школьного возраста можно установить, что прямое формирование понятий о мощностях, не опирающееся на процесс последовательного пересчета, останавливается на самых первых шагах. Чтобы продвинуться дальше, люди обращаются к той или иной заранее заготовленной последовательности знаков. Наличие во многих языках “двойственного числа” показывает, что формирование представления о сходстве всех множеств мощности 2 могло быть самостоятельным этапом человеческой мысли, на котором различались лишь “один”, “два” и “много”. О том же говорит особое положение в русском языке слова “пара”, которое логически должно было бы быть первым членом последовательности пара, тройка, четверка, но не похоже по способу образования на следующие члены этой последовательности (мы говорим упорно “пара лошадей”, а не “двойка лошадей”, хотя последнее и соответствовало бы дальнейшим “тройке лошадей” и “шестерке лошадей”). Особенности согласования русских числительных говорят о том , что такое индивидуальное отношение существовало и к мощностям 3 и 4: два стула, три стула, четыре стула, пять стульев, шесть стульев. . . , Только с пяти стульев устанавливается единообразие, продолжающееся неограниченно: десять стульев, сто стульев, тысяча стульев, Специалист по теории множеств Иван Иванович Жегалкин утверждал даже в своих лекциях 1920-1921 гг., что у детей иногда представление о четырех предметах формируется ранее, чем представление о трех предметах, по той причине, что дети часто 312

встречаются с четырьмя лапами у кошки, четырьмя ножками у стола и т.п., но не имеют вокруг себя стандартных троек предметов. Но это мнение И. И. Жегалкина, кажется, не было подтверждено точными наблюдениями. Во всяком случае, и здесь гипотеза формирования понятий о начальных мощностях без обращения к счету по порядку относится лишь к начальным мощностям. Наблюдения психологов над восприимчивостью человека к ритму говорит о том, что без пересчета и без разбиения на подгруппы люди легко различают группу последовательных четырех ударов от группы из пяти, а различные группы из пяти ударов от групп из шести уже лежит на педеле их возможностей. Лишь при привычке отбивать такт, например тройками, легко отличается 000 000 000 000 000 от 000 000 000 000 00 и т.п. Не случайно шести стопный классический ямб в отличии от пятистопного решительно нуждается в цензуре. Там, где отказывает способность интуитивно схватывать “равночисленность” множеств, помогает, как уже говорилось, счет. Так как мы не учим теперь детей продолжать счет с пальцев рук на пальцы ног, то вполне естественно, что и родители, и дети с удовольствием заготовляют заранее последовательность слов один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, одиннадцать, двенадцать, тринадцать, четырнадцать, пятнадцать. . . , (1) Сопоставление элементов произвольного множества с элементами начального отрезка этой последовательности является более простой, а к моменту поступления в школу уже и более привычной для ребенка операцией, чем непосредственное сопоставление элементов двух множеств. Особенно же существенно, что каждый ребенок в самом деле на многократном опыте убеждается в основном положении, что пересчет элементов одного и того же множества, проводимый в различном порядке, всегда заканчивается на одном и том же члене стандартной последовательности слов (1). При овладении общим понятием “числа элементов множества” люди поступают по Дедекинду, а не по Кантору. Независимое же от счета непосредственное овладение понятием мощности на достаточно обширном материале и мысленных экспериментах является, по-видимому, лишь созданной теоретиками функцией (кроме, как уже говорилось, быть может, самых первых мощностей 1, 2, 3, 4). 313

Независимое от счета овладение общим понятием мощности, хотя бы и только в применении к конечным множествам, требовало бы обращения к обширному запасу наблюдений, подтверждающему транзитивность эквивалентности и невозможность эквивалентности множества своей части. Можно достаточно уверенно утверждать, что в действительности понимание обоих этих фактов достигается лишь через обращение к счету при помощи стандартной последовательности слов ли, пальцев ли безразлично. (Доп – 23). Теперь мы, по существу уже достаточно подготовлены к тому, чтобы наметить логическую схему, могущую служить для преподавателя путеводной нитью при начальном обучении арифметики в младших классах, быть постепенно доведенной до сознания учащихся средних классов, а “в старших — подвести к настоящему научноЛогическая му обсуждению природы натурального числа”. схема Но перед этим полезно еще одно замечание относительно терминологии. В грамматике различают количественные и порядковые числительные. Но это различение не имеет прямого отношения к различиям между кардинальными и ординальными числами Кантора. Порядковые числительные, подобно прилагательным, не являются именами каких-либо новых предметов. Математик может употреблять слова первый, второй, третий, чтобы, например, наименовать первый, второй, третий член какой-либо последовательности а1, а2, а3,... Но эти словоупотребления не дают ему повода для введения особых “порядковых чисел”. Количественные числительные один, два, три, четыре, пять, . . . , сто, . . . , тысяча, . . . , миллион, . . . имеют два основных значения а) в соединении с наименованием рода предметов они обозначают множество соответствующей численности: два мальчика, пять яблок, тысяча яиц и т. п. б) они являются именами чисел. Так как существует только одно число “пять” и одноединственное число “тысяча”, то при употреблении во втором смысле количественные числительные по самому их смыслу не допуска314

ют множественного числа. У большинства из них вообще нет множественного числа, хотя при употреблении числительных в смысле а) с точки зрения логики его наличие было бы естественно, как это имеет место для тысячи, миллиона и миллиарда. Для других количественных числительных множественное число образуется не от них непосредственно, а от слов пара, тройка, . . . , десяток, . . . , сотня, . . . Мы говорим: три пары лошадей, много десятков яблок, две тысячи яиц, много миллионов птиц и т. д. Одной из важных задач при начальном Числительные обучении арифметике является доведением до полной ясности употребления числительных в качестве собственных имен чисел. Известно, что выражение “пять взять четыре раза” еще долго кажется детям более понятным, чем “пять умножить на четыре”. Из-за архаичности грамматики задача эта довольно деликатна. Школьник должен понимать, что существует только одно число “тысяча”, но имеется и число “три тысячи”, а три тысячи яиц реально могут состоять из трех тысяч — “первой тысячи” в одном ящике, “другой тысячи” — во втором ящике и “третьей тысячи” в третьем ящике. Эти неизбежные терминологические трудности были бы еще осложнены при попытке вводить в элементарный курс арифметики различения “порядковых” и “количественных” чисел. К счастью, оно совершенно не нужно в школе и совсем не обязательно при научном построении арифметики натуральных чисел. Дошкольная стадия овладения арифметикой натуральных чисел неизбежно синкретична. Семилетний ребенок, приходящий в школу, конечно, уже много раз пересчитывал предметы, пользуясь начальным участком последовательности слов один, два, три, четыре, пять, . . . ; привык говорить о числе тех или иных предметов; видя три яблока и две Синкретичгруши, понимает, что яблок больше, чем груш, ность и т. п. В реальном общении с окружающими дошкольного эти навыки образуются без строгой системы счета и часто основаны лишь на частичном понимании. Я не специалист по дошкольному воспитанию, но думаю, что 315

здесь с некоторой бессистемностью и не надо бороться. Но в школе начинается формирование определенной системы знаний о натуральных числах. Эта система, как уже говорилось, будет лишь постепенно осознаваться все более полно, оставаясь, по существу, достаточно твердой. Часто приходится располагать предметы в Порядок определенном порядке: буквы в алфавите, людей в очереди, цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Расположенные по порядку буквы или цифры можно употреблять для обозначения расположенных предметов другой природы: в школьном коридоре один за другим расположены класс А, класс Б, класс В, класс Г, на улице — дома с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Букв или цифр может не хватать для обозначения расположенных по порядку предметов. После буквы Я можно пустить в употребление п а р ы букв АА, АБ, АВ, . . . , после цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — номер 10, 11, 12, 13. . . Пользуясь номерами, составленными из цифр, говорят о нумерации, или пересчитывании предметов. Нельзя ли распорядиться так, чтобы номеров хватало во всех случаях, как бы много Натуральные предметов ни пришлось пересчитывать? Для числа этого надо, чтобы ряд номеров продолжался “неограниченно”. Этого люди и достигли, создав натуральный ряд чисел. Не важно, из чего он составлен. Слова разных языков один, два, три, четыре, . . . one, two, three, four, . . . или записи при помощи цифр 1, 2, 3, 4, . . . можно считать лишь разными названиями последовательных натуральных чисел. Элементы множества можно нумеровать числами (пересчитывать) в разном порядке. Численность Пересчет заканчивается всегда на одном и том множества же числе. Получаем число элементов множества (его численность) n(M ). 316

Замечание. Позднее учащиеся познакомятся с множествами, пересчет которых никогда не закончится. Сложение чисел естественно с самого начаСложение ла связывать с операцией соединения неперечисел секающихся множеств n = n1 + n2 , считая последовательное присчитывание лишь способом его выполнения. Только при таком подходе коммутативность и ассоциативность достаточно очевидны. Умножение без нарушения принятой логиУмножение ческой концепции могло бы проявиться тремя способами: а) n = km как численность соединения m непересекающихся множеств численности k каждая, б) как результат сложения m слагаемых, равных k, в) как число пар (x, y), где x берется из множества численности k, а y - из множества численности m. Последний из этих способов имеет то достоинство, что делает наглядно убедительным коммутативность умножения, но попытки положить его в основу первого знакомства с умножением мне кажутся методически неубедительными. Наглядная убедительность коммутативности умножения легче достигается не обращением к общей идее множества пар, а непосредственно на геометрической модели со счетом по строкам и столбцам. (Доп – 24). Уже в средних классах школы становится ясным своеобразие математики по сравнению, например, с физикой. Все физические законы справедливы с некоторой степенью точности и часто при прогрессе измерительной техники заменяются новыми, по отношению к которым первоначальные становятся лишь первым приближением. Бессмысленно спрашивать себя, рациональна или иррациональна длина стержня. Длина Для узко понятой практики иррациональные стержня числа не нужны. В математике же теорема о том, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной, считается очень важной. Открытие этого факта в Древней Греции считается одним из поворотных пунктов всего развития математики. (Доп – 25). Быть может, для теоретической науки одно из самых 317

интересных исследований (в котором могут естественно сочетаться идеи кибернетики, новый математический аппарат и современная логика) есть исследование процесса образоваОбразование ния слов как второй сигнальной системы. Перслоев воначально, при полном еще отсутствии понятий, слова выступают в роли сигналов, вызывающих определенную реализацию. Возникновение логики обычно относят к сравнительно недавнему времени: по-видимому, только в Древней Греции было ясно и понятно сформулировано, что слова не просто являются обозначениями неких непосредственных представлений и образов, но что от слова можно отделить понятие. До настоящего, формально-логического, мышления мысли возникали не формализованные в понятия, а как комбинирование слов, которые ведут за собой другие слова, как попытки непосредственно зафиксировать проходящий перед нашим сознанием поток образов и т. д. Проследить этот механизм выкристаллизовывания слов как сигналов, несущих в себе комплекс образов, и создания на этой базе ранней логики — крайне благодарная область исследования, для математика в частности, что, впрочем, неоднократно отмечалось в кибернетической литературе. Интересным может показаться и следующий вопрос: как формулируется логическая мысль у человека? Попробуем проследить этапы этого процесса на примере работы матеМышление матика над какой-нибудь проблемой. Сначала, математика по-видимому, возникает желание исследовать тот или иной вопрос, затем какое-то приблизительное, неведомо откуда возникшее представление о том, что мы надеемся получить в результате наших поисков и какими путями нам, быть может, удастся этого достичь, и уже на следующем этапе мы пускаем в ход свой внутренний “арифмометр” формальнологического рассуждения. Таков, по-видимому, путь формирования логической мысли, такова схема процесса творчества. (Доп — 26) Разговоры о “модернизации” школьного курса математики сейчас в большой моде. Появляется много книг, излагающих начала “современной математики”. Некоторые из них предназначены непосредственно для школьников, другие — обращаются к учителям. За “современную” при этом обычно выдается концепция, которая кратко мо«Современная математика» жет быть охарактеризована следующими двумя тезисами: 318

А. В основе всей математики лежит чистая теория множеств. Б. Специальные разделы математики занимаются структурами, принадлежащими к тем или иным специальным родам структур. Каждый род структур определяется соответствующей системой аксиом, выраженной на языке теории множеств. Математика интересуется только теми свойствами структур, которые вытекают из принятой системы аксиом, т. е. изучает структуры только с точностью до изоморфизма. Современность этой концепции относительна. Она полностью сложилась на рубеже Х1Х и ХХ веков. Несколько десятилетий назад широкие круги математиков знакомились с ней по «Основаниям геометрии» Гильберта, первое издание которых вышло в 1899 г. Гильбертовская система аксиом, характеризующая род структур, называемых “трехмерными евклидовыми пространствами”, довольна сложна. Поэтому сейчас справедливо считают, что первые представления о математических структурах, их изоморфизме и о характеризации родов структур системами аксиом разумно получать на другом материале. При этом особенно удобным на первых порах считают роды структур, среди представителей которых имеются конечные структуры. (Доп – 27). Гильберт заметил, что все практическое применение теоретико-множественной математики непоОснова средственно основываются лишь на предложеконечные ниях, относящихся к конечным множествам. множества Для того чтобы эти практические применения были вполне надежны, нет никакой необходимости приписывать всем предложениям теоретико-множественной математики какой бы то ни был реальный смысл. Необходимо только, чтобы использованный фрагмент теоретико-множественной математики был формально непротиворечив. По концепции Гильберта классическая теория множеств и основанные на ней теории специальных видов математических структур в их полном объеме могут рассматриваться только как словесные конструкции, лишенные какого-либо реального содержания. Так как обычный наш язык недостаточно определен, то такую лишенную реального содержания математику предпочитают считать в принципе изложенной на искусственном Роль обычного символическом языке математической логики. Оговорка “в принципе” здесь существенна для языка понимания действительного положения вещей 319

на наш день. На практике математики, принявшие эту точку зрения, продолжают пользоваться и обычным языком, но таким образом, что они всегда сохраняют уверенность в возможности записать все сказанное на точно описанном, построенном по строго определенным правилам языке логических и математических символов. Наиболее популярно в настоящее время выполненное по этому плану изложение всех основных разделов математики, публикуемое под псевдонимом Николая Бурбаки. Не все детали работы, выполненной группой французских математиков, скрывающихся под этим псевдонимом, удачны. Но, по-видимому, многие современные математики считают наиболее надежной опорой своего права пользоваться всем арсеналом средств теоретико- множественной математики, именно продемонстрированную в «Элементах математики» Н. Бурбаки возможность ее полного формализованного изложения, непротиворечивость которого не вызывает у них больших сомнений. (Доп – 28). Сейчас мы имеем, по существу, не одну математику, а две: содержательно воспринимаемую и формализованную. Вторая реализуется в виде символических исчислений, формулам которых не приписывается никакого смысла. Что касается содержательных утверждений об этих исчислениях, то они относятся к особой науке, которой Гильберт дал название метаматематики. Следует сразу подчеркнуть, что формализованная математика не представляет никакого интереса. Лишь математика позволяет установить, каким формулам формализованной математики можно придать содержательное толкование, допускающее применения к изучению реального мира и в реальной человеческой практике. (Доп – 29). Нам предстоит разобраться во взаимных отношениях между четырьмя областями человеческой деятельности: 1) изучение реального мира и практическое воздействие на него, 2) содержательная математика, 3) формализованная математика, 4) метаматематика. (Доп – 30). Математические структуры создаются и изучаются с целью применения полученных результатов для изучения реальных явлений и управления ими. Для этого в рамНезаконные ках математики создаются модели реальных идеализации систем. Лишь конечные модели отражают адекватно соотношения между конечными системами реальных объектов. Но на практике мы пользуемся с боль320

шой свободой и бесконечными моделями, хотя они и являются всегда, по существу, незаконными идеализациями реальной действительности. По существу, все связи между математикой и ее реальными применениями полностью умещаются в области конечного. В уже упомянутом случае описания реальных жидкостей и газов при помощи моделей в строгом математическом смысле непрерывных сред, эволюция которых управляется дифференциальными уравнениями в частных производных. При фактическом решении этих уравнений мы вновь возвращаемся в область конечного, например, применяя метод конечных разностей и ведя вычисления с заданным числом десятичных знаков. По существу, употребляемая нами конечная разностная схема вполне достаточна для получения всех реально интерпретируемых выводов, хотя микроскопическая структура реальной жидкости или газа так же непохожа на эту разностную схему, как и на непрерывную модель. В этом, как и во многих других случаях, мы предпочитаем непрерывную модель лишь потому, что она проще (большая Непрерывные модели проще простота обращения с дифференциалами и производными по сравнению с конечными приращениями и их отношениями общеизвестна). Финитная часть математики, взятая сама по себе, содержательно истинна и, взятая сама по себе, полна: каждое финитное утверждение может быть установлено или опровергнуто финитными методами. Вся практическая ценность математики бесконечного сводится к возможности при ее помощи получить финитные выводы проще и быстрее. (Доп – 31). Содержательно интерпретируемая теоретико-множественная в ее полном объеме является логически незаконным обобщением непосредственного человеческого опыта, которое в начале нашего века было спасено от прямых противоречий путем введения некоторых ограничений. Тем не менее она является драгоценным источником математических моделей, находящих самое широкое применение при изучении реального мира и в человеческой практике. Законность этих применений полностью гарантируется при соблюдении двух условий: финитная часть математики должна быть содержательно истинной и полной, а нефинитная часть, лишенная содержательной интерпретации и формализованная, – непротиворечивой. (Доп – 32). Формализация математики не избавляет нас от необ321

ходимости рассуждать содержательно с целью получения истины в самом обычном общечеловеческом смысле этого слова. В таких рассуждениях мы применяем обычную содержательную логику. (Доп – 33). Кантор не признает пустого множества. (Доп – 34). Аксиома существования хотя бы одного бесконечного множества. Идея последовательности элементов, обладающей свойствами, выраженными аксиомами Пеано, столь проста, что представляется законным допущением о существовании такой последовательности и сделать непосредственно исходным допущением, рассматривая его как известное обобщение данных опыта и наших наглядных представлений. (Доп – 35). Равноправное положение нуля в системе неотрицательных целых чисел легко воспринимается школьниками, которые привыкли не бояться ответа “нуль” на вопрос “сколько” (имеется книг на языке суахили в школьной библиотеке О нуле и т. п.) и пресловутого “пустого” множества. Числа из N ∪ {0} достаточны для обозначения численностей конечных множеств, т. е. всех тех множеств, которые фактически могут быть “перечислены”. Жаль, что для чисел из N ∪ {0} нет короткого выразительного названия. Приходится говорить “натуральные числа и нуль”. (Доп – 36). Естественность обращения к отрицательным числам и лишь потом к дробным имеет место только в чисто алгебраической концепции обобщений понятия числа. (Доп – 37). Твердое усвоение различия между понятиями “дробь” и “дробное число” при современном построении курса математики следует считать совершенно обязательным. Следует особо подчеркнуть, что без ясного понимания различия между числом и способом его записи нельзя осмысленно применять к числам язык теории множеств. Например, множество обыкновенных дробей со знаменателем 2 и множество обыкновенных дробей со знаменателем 3 не имеют общих элементов. Но множество чисел, записываемых в виде дробей со знаменателем 2, и множество чисел, записываемых в виде дробей со знаменателем 3, имеют своим пересечением множество целых неотрицательных чисел. (Доп – 38). Вероятно, при первом знакомстве с простейшими дробями вводить понятие “дробное число” еще не следует. Но мне кажется, что §6 пробного учебника для IV класса (под ред. А. И. Маркушевича, М.: Просвещение, 1969), названный «Что та322

кое дробь», только выиграл бы в ясности и доступности, если бы после примеров 8/8 = 1, 24/8 = 3 было сказано: таким образом, дробь иногда может служить записью целого числа; но дроби 7/8 или 23/8 не являются записями целых чисел, это записи дробных чисел. Далее появились бы формулировки: числа, меньшие единицы, записываются правильными дробями, числа, большие единицы или равные единице, записываются неправильными дробями. Речь идет не о каком-либо лишнем теоретизировании, а о создании с самого начала привычки пользоваться адекватным языком. (Доп – 39). Обычный возраст для начала самостоятельной работы у молодых одаренных математиков — 19–22 года. Поэтому попытка создать в общеобразовательной школе атмосферу увлечения перспективами самостоятельной работы в математике мне представляется надуманной и никчемной. (Доп – 40). Математическая модель явления, как правило, это явление схематизирует. Поэтому она дает правильные предсказания лишь в некоторых пределах. За этими пределами математическая модель теряет реальный смысл и при ее бездумном применении приводит к ошибочным или бессмысленМодель — ным результатам. схема Суть различия между подходами к делу математика и физика популярно можно объяснить так. И тот и другой, отправляясь от некоторого запаса наблюдений, создают схематические модели реальных явлений. Математик, взявшись за изучение такой модели, изучает последовательно все следствия из положенных в основу модели допущений, хотя бы они далеко выходили за рамки исходных наблюдательных данных. Физик проверяет соответствие модели новым наблюдениям и при обнаружении расхождений переключается на создание более гибкой модели, содержащей первоначальную лишь в качестве первого приближения. Создавая схематизированные модели дейПределы ствительности, мы получаем вполне реальное применимости знание о самой действительности. Лишь за пределами своей применимости модель теряет реальное значение и должна быть заменена новой, более совершенной. (Доп – 41). Общеизвестно, что воспитание научного материалистического мировоззрения невозможно без ознакомления учащихся с историей науки и понимания учащимися основных этапов 323

развития науки. Именно из этих соображений в новую программу по математике введено понятие о простейших дифференциальных уравнениях. Изучаются детально лишь три уравнения: равномерно ускоренного движения y 0 = a, гармонических колебаний y 00 = −k 2 y и показательного роста или убывания y 0 = ky. Напомню, что для Ньютона существовали Анализ в школе две основные задачи анализа: (1) нахождение по функциям их производных, (2) нахождение по соотношениям между функциями и их производными самих этих функций. Вторая задача и есть задача интегрирования дифференциальных уравнений. Задачу нахождения первообразных Ньютон рассматривал как простой частный случай. С понятием дифференциального уравнения неразрывно связана вся идеология математического естествознания от Ньютона до Лапласа. Общий принцип детерминизма Лаплас излагал исходя из того, что основные законы природы выражаются в форме дифференциальных уравнений, а их интегрирование позволяет понастоящему предсказывать будущее. Очень хотелось бы, чтобы в школе не оставался обойденным классический пример планетных движений. Интегрирование соответствующих дифференциальных уравнений, как известно, представляет собой грандиозную задачу, решаемую лишь численными методами. Но ясное представление о задаче дать нетрудно. Без достаточно конкретного понимания этого этапа развития математического естествознания невозможно и понимание дальнейших этапов, появления статистической физики. В силу сказанного, очень важно, чтобы тема “Дифференциальные уравнения” звучала достаточно сильно как в школьном курсе математики, так и школьной физике независимо от того, что элементарные задачи могут быть разобраны более экономным кустарным способом. (Доп – 42). Со времен Платона существование чистой математики с ее абсолютно достоверными выводами, выходящими за пределы эмпирической проверки, которая всегда лишь приближенна, использовалось как аргумент в пользу идеализма. Задача выделения небольшого числа предложений, достаточных для вывода всех остальных, т. е. о выборе системы аксиом. Вне такой постановки вопроса подчеркивание различия между «аксиомами» и «теоремами» лишено ясного смысла. Создавая схематизированные модели действительности, мы получаем вполне реальное знание о самой действительности. Лишь за 324

пределами своей применимости модель теряет реальное значение и должна быть заменена новой, более совершенной. (Доп – 43). Но в применении к первоначальному изучению дробных чисел в III-V классах концепция расширения первоначального запаса целых неотрицательных чисел с сохранением свойств операций сложения и умножения не только не может быть в явном виде излагаема учащимися, но и не может служить руководящей нитью для учителя или составителя учебников. (Доп – 44). Об измерении величин говорится довольно много. При этом до введения отрицательных чисел имеются в виду величины, выражаемые при заданной единице измерения неотрицательными числами. Таковы знакомые школьникам длины отрезков, площади и объемы, веса, впоследствии в курсе физики – массы и т. д. Но само понятие «величина» остается в школьных учебниках почти не разъясненным. Не предрешая вопроВеличина — са о том, в какой мере это положение моэлементарный жет быть изменено в учебниках и непосредсмысл ственной работе со школьниками, естественно прийти к вывод, что учителя должны были бы иметь ясный ответ на вопрос “что такое величина?” именно в этом элементарном, неявно подразумеваемом в начальном школьном преподавании смысле.

325

Список литературы [1] Клайн М. Логика против педагогики – Математика. Сб. научно-методических статей. Высшая школа.1973 [2] Колмогоров А.Н. Предисловие редактора к книге Лебега «Измерение величин». С. 3-13. [3] Столяр А.А. Методы обучения математике. - Минск. В.шк. 1966. [4] Колмогоров А.Н. Математика – наука и профессия. М.:Наука. 1988. [5] Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике. Проблемы современной методики математики. - Минск: «Университетское». 1989. [6] Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. Книга для учителя. - М.: Просвещение. 1986. - 255 С. [7] Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: - Мир. - 1988. - 298 с. [8] Выготский Л.С. Мышление и речь. 5-е изд. - М.: Лабиринт. 1999. [9] Бобынин В.В. Философское, научное и педагогическое значение математики. М.: Издание редакции журнала «Физикоматематические науки в их настоящем и прошедшем», 1886. [10] Обухова Л.Ф. Концепция Жака Пиаже: за и против.- М.: Издво МГУ. 1981. [11] Выготский Л.С. Избранные психологические исследования. М. 1956. [12] Выготский Л.С. Орудие и знак. - Собр. соч. в в 6 т. Т.6. М.: 1984. С. 8-91. [13] Пиаже Ж. Избранные психологические труды. - М. 1969. [14] Введение в психологию. Учебник для высшей школы. Под. ред. А.В. Петровского. - М.: Изд-во МГУ. 1997. 326

[15] Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. Составитель В.И.Мишин. М.: Просвещение. 1987. [16] Дорофеев и др. Математика. Учебник для 5 класса средней школы. [17] Депман И.Я. История арифметики. М. 1959. [18] Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение. 1983. [19] Беллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. М.-Л. 1923. [20] Виленкин Н.Я., Пешков К.И., Шварцбурд С.И., Чесноков А.С., Семушкин А.Д. Математика. Учебник для 4 кл. ср. школы под ред. Маркушевича А.И. М. 1975. [21] Башмакова И.Г., Юшкевич А.П. Происхождение систем счисления. Энциклопедия элементарной математики. кн. I.Арифметика. - М.-Л. 1951. С.6-76. [22] Молодший В.Н. Основы учения о числе в XVIII веке. - М.: Учпедгиз. 1953. [23] Каптерев П.Ф. Избранные педагогические сочинения под редакцией А.М.Арсеньева. М.: Педагогика, 1982. [24] Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР, 1996. [25] Меморандум американских математиков «Математика в школе», 1964, № 4. [26] Кляйн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2 т. М.: Наука, 1987. [27] Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. Учебник для 5 кл. 5-е изд. исправл. и дополн. М.: Изд-во «Русское слово». 1998. 358 С. [28] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих. М.: Физматлиз. 1963. 327

[29] Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М. Изд-во АПН РСФСР. 1963. [30] Эрдниев П.М. О научных основах построения упражнений по предметам физико-математического цикла. - Советская педагогика. 1962. N 7. [31] Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе. М.: Просвещение. 1978. [32] Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении. М.: Просвещение. 1967. [33] Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. - М.: Наука. 1978. [34] Понтрягин Л.С. О математике и качестве ее преподавания // Коммунист. 1980. N 14. [35] Пойя Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - М.: Просвещение. 1957. [36] Колягин Ю.М. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. - М.: Просвещение. 1975. Частные методики. - М.: Просвещения. 1978. [37] Колмогоров А.Н. Научные основы школьного курса математики // Математика в школе. 1969. N 3,5. 1970. N 2. [38] Элементарная геометрия. - М.: Просвещение. 1980. [39] Виленкин Н.Я. Современные основы школьного курса математики. - М.: Просвещение. 1980. [40] Столяр А.А. Педагогика математики. Изд-е 3. - Минск. В.шк. 1986. [41] Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. - М. 1959. [42] Гальперин П.Я. Основные результаты исследований по проблеме формирования умственных действий и понятий. - М. 1965. [43] Пиаже Ж. Речь и мышление ребенка. Госиздат. 1932. 328

[44] Stern W. Person und Sache. I.Band, Verlag v.J.A.Barth. Leipzig. 1905. ufungen an Menschenaffen. 2Auflage. [45] K¨olker W., Jutelligenzpr¨ Berlin. 1921. [46] Бюлер К. Духовное развитие ребенка. 1924. [47] Levi-Bruhe L. Les functions mentales dans les societis primitives. 1922. [48] Штерн В. Психология раннего детства. 1922. [49] Давыдов В.В. Опыт введения элементов алгебры в начальной школе // Советская педагогика. 1962. N 8. [50] Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. - М. 1977. [51] Леонтьев А.Н. Проблема развития психики. М. 1972. [52] Метельский Н.В. Дидактика математики. - Минск. 1975. [53] Петренко В.Ф. Основы психосемантики. - М.: Изд-во МГУ. 1997. [54] Юшкевич А.П. История математики в средние века. М. 1961. [55] Гребенча М.К., Ляпин С.В. Арифметика. М. 1952. [56] Варшамов Р.Р. Введение в новую нетрадиционную математику. М. 1999. [57] Свиридов В.В. Введение в естествознание. Воронеж. Изд-во Воронежского педуниверситета. 1996. [58] Рыбников К.Л. История математики. Изд-во МГУ. 1994. [59] Гильберт Д. Основания геометрии. - М.:ГТТИ. 1948. [60] Коши О. Алгебраический анализ. М.:1864. [61] Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.:ИЛ. 1963. [62] Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. - М.: Физматгиз. 1959. 329

[63] Лебег Г. Измерение величин. - М.:Учпедгиз. 1938. [64] Колмогоров А.Н. О скалярных величинах// Математика в школе. 3-86. С.32-33. [65] Лобок А. Другая математика//Школьные технологии. N 6. 1998. С. 3-215. [66] Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. - М.Просвещение. 1987. [67] Арнольд В.И. Жесткие и мягкие математические модели.- М. 1998. [68] Арнольд В.И. О преподавании математики.//Успехи мат. наук. Т.53. вып.1(319). 1998. 229-232. [69] Леви-Брюль Л. Первобытное мышление. - М.-Л. 1932. [70] Шварц Л.С. Условные рефлексы на словесные раздражители// Вопросы психологии. N 1. 1960. [71] Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия //Вопросы психологии. N 4. 1966. [72] Кольман Э. Предмет и метод современной математики. - М. 1936. [73] Соболев С.Л. Некоторые черты преподавания в СССР. В сб. «Международный конгресс математиков в Ницце». 1970. Доклады советских математиков. - М.: Наука - 1972 - с. 290 299. [74] Нейгербауэр О. Точные науки в древности. - М. УРСС. 2003 - 240 с. [75] Выготский Л.С. Психология развития человека. Библиотека всемирной психологии. // М.: «Смысл». ЭКСМО, 2003. – С. 115 [76] Выготский Л.С. Лекции по педологии. Ижевск, Издательский дом «Удмуртский университет». 2001. 304 с. [77] Математика. 6 кл, учебник для общеобразовательной школы под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина. 330

[78] Вилейгнер Г. Хрестоматия по истории математики Гостехиздат, М.: 1932, 131 с. [79] Отрадных Ф.П. Математика XVIII в. и академик Леонард Эйлер. М.: Советская наука. 1954. 39 с. [80] Образование, которое мы можем потерять. Сборник под редакцией Садовничего, МГУ, М 2002, 287 с. [81] Каши Джемшид Гиясэддин, Ключ к арифметике Историкоматематические исследования, выпуск VII, М.: Гостехиздат. 1954. с. 13-327 [82] Хрестоматия по истории математики под А.П.Юшкевича М.: Просвещение, 1977, 224 с.

редакцией

[83] Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Биографический справочник, Киев, Наукова Думка, 1983, 638 с. [84] Яновская С.А. Передовые идеи Н.И.Лобачевского — орудие борьбы против идеализма в математике М., АН СССР 1950, 83 с. [85] Ильин В.В. Теория познания. Введение. Общие проблемы. М.: Изд-во МГУ, 1993, 163 с. [86] Попов Т.Н. Исторические задачи по элементарной математике. Москва.: Вузовская книга, 1999, 216 с. [87] Сушкевич А.К. Материалы к истории алгебры в России в XIX в. и начале XX в. «Историко-математичексие исследования». выпуск IV. M. 1954, с. 237-454. [88] Лурье С.Я. Архимед, Изд-во АН СССР, 1945 г. 272 с. [89] Калашников В.В. Носовский Г.В., Фоменко А.Г. Датировка звездного каталога «Альмагеста», М.: Факториал, 1995, 288 с. [90] Хайам Омар, О доказательствах задач алгебры (ал-джабр) и алмукабалы (ва-л-мукабалы) и «Историко-математические исследования», вып VI, 1959, М.: с.15-66. [91] Роджерс Лео. Историческая реконструкция математического знания. Мат. образование, N 1 (16), 2001, с. 74-85. 331

[92] Жуков А.В. Где ошибка? М.О. N 1 (16), 2001 г. 38-67, N 2 (17) 24-50 [93] Костенко И.П. Логика и жизнь М.О. N 3 (18) 2001, c. 49-59 [94] Щетников А.И., Щетникова А.В. Преподавание математики в историческом контексте. М.О. N 3(18), 2001, с. 60-80 [95] Колчин А.А., Щнтников А.И. Материалы к курсу «Применимая математика» МО N3 (26) 2003, с. 29-43. [96] Костенко И. П. Слово о Лузине МО N 4(27). 2003 с. 2-9 [97] Лузин Н.Н. О бесконечно малых величинах в преподавании и в науке. МО N 4 (27) 2003, с. 16-28. [98] Колягин Ю. Н. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. М. Просвещение. 2001 г. [99] Колягин Ю.М. Отечественное образование: наша гордость и наша боль. Математика в школе N 9. 2001 c. 24-32, N 1. 2002. c. 7-13 [100] Костенко И.П., Захарова И.М. Причина деградации математических умений и пути ее преодоления. Математика в школе, N 9. 2001, с.33 - 37. [101] Канин Е.С., Малых Е.В. Еще раз о причинах деградации математических умений. Математика в школе N 4. 2002 c. 50-54 [102] Колмогоров А.Н. Новое в школьной математике. Наука и жизнь. 1969. N 3 с. 62-66, см также Математика в школе 2003 N 3, с.7-11 [103] Дьедонне Ж.А. Надо ли учит современной математике? Математика в школе. 1976 N 1 с. 88-91. См. также Математика в школе - 2003 N 3 c. 17-20/ [104] Том Р. Современная математика - существует ли она? Математика в школе 1973. – N 1. с. 89 - 93. См также Математика в школе 2003 N 3, с. 12 - 16 [105] Покорный Ю.В., Розов Н.Х. Что вначале — делить или считать?! // Вестник ВОИПКРО. – Воронеж, 2001. – вып.7, – С. 159-165. 332

[106] Покорный Ю.В., Покорная И.Ю. Некоторые методические проблемы преподавания математики с позиций Бурбаки // Вестник ВОИПКРО. – Воронеж, 2001. – вып.7, – С. 165-168.

333

Содержание Предисловие

3

Указатель содержания

5

Φ–0. ВВЕДЕНИЕ § 0.1 Когда аргументов нет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 0.2 Унижение математикой?! . . . . . . . . . . . . . . . . . § 0.3 Неудобные смыслы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 14 20

Часть 1. ИНТУИЦИЯ ПОД ГНЕТОМ ФОРМАЛИЗМА 26 Φ–1. Математика — учебная дисциплина § 1.1 А что же такое есть математика? . . . . . . . § 1.2 Какая бывает математика . . . . . . . . . . . § 1.3 Учебная математика глазами ее ваятелей . . § 1.4 Форма душит смысл (сгущение абстракций)

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Φ–2. Психология мышления § 2.1 Родной язык в математике . . . . . . . . . . . . . . . . § 2.2 Язык и мышление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2.3 Слегка о психологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2.4 Ψ-лестница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2.5 Функциональные роли Ψ-лестницы . . . . . . . . . . . § 2.6 Натурально-интуитивный интеллект . . . . . . . . . . § 2.7 Внешние признаки примитивного мышления. Ψ-логика § 2.8 УрМ-2 – страна синкретов . . . . . . . . . . . . . . . . § 2.9 Научные Ψ-формы мышления (по Выготскому) . . . § 2.10 УрМ-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Φ–3. Элементарная математика на ступенях Ψлестницы § 3.1 Колеса поезда стучат квадратом радиуса?! . . . . . . § 3.2 Число и цифра — есть разница? . . . . . . . . . . . . § 3.3 Откуда идет морока? Педматематика насыщена синкретами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3.4 А напрямую для детей — не хотите ли? . . . . . . . . § 3.5 И в школьных учебниках Ψ-примитива многовато . . § 3.6 Интуитивно-натуральная математика . . . . . . . . . § 3.7 Первобытные количества . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

26 27 28 32 37 40 40 43 45 47 49 50 52 54 56 59 62 62 64 65 68 69 73 75

§ § § § § § §

3.8 Греческие основания математики . . . . . . 3.9 Ψ-основы школьной математики . . . . . . 3.10 Дробно-алгебраическая арифметика Q+ . 3.11 Относительные рациональные числа . . . 3.12 Некоторые направления формализации . 3.13 Формальные конструкции. Для мебели . . 3.14 Как высшая математика на элементарную

Φ–4. В чем таинственность дробей? § 4.1 Наши намерения . . . . . . . . § 4.2 Что есть дробь? . . . . . . . . . § 4.3 Что такое в школе дробь? . . . § 4.4 А как было б лучше? . . . . . . § 4.5 Проблема формализма . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . наехала

. . . . . . .

78 81 84 85 87 88 91

. . . . .

. . . . .

99 99 101 105 112 119

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Часть 2. УРОКИ ИСТОРИИ Φ–5. Другая история § 5.1 Официальные легенды истории § 5.2 Другая периодизация . . . . . . § 5.3 Доисторическая математика. . § 5.4 Вершки и корешки . . . . . . .

127 . . . .

127 127 132 133 137

Φ–6. Про античных про ученых и про их µαΘεµα § 6.1 Начало чистой математики. Геометрическая алгебра § 6.2 Про Евдокса и «Начала» . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6.3 Чем Евклид молодец? . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6.4 За кулисами античной математики . . . . . . . . . . .

142 142 150 158 169

математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Φ–7. Гримасы истории 175 § 7.1 От Евклида до Пачолли все дедукции пропали . . . . 175 § 7.2 У всех – Возрождение, а в Математике – смута . . . 184 Φ–8. Взгляд как бы сбоку § 8.1 Что есть нынче min 3? . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8.2 Кто в истории наврал? . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8.3 Педагогическая пурга . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191 191 197 205

Φ–9. Универсальная арифметика 215 § 9.1 Элементарные арифметики . . . . . . . . . . . . . . . 215 § 9.2 Абстрактные арифметики . . . . . . . . . . . . . . . . 217 § 9.3 Арифметика бесконечных . . . . . . . . . . . . . . . . 221 335

Часть 3. Ψ-генезис учебной математики

231

Φ–10. Традиции учебников § 10.1 Начальное сырье школьной математики . . . . . § 10.2 A + B сидели на трубе . . . . . . . . . . . . . . . § 10.3 Что делать с багажом, доставшимся от предков? § 10.4 Традиция непогрешимости . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

231 231 241 247 253

Φ–11. Ядро математики 263 § 11.1 Низшая математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 § 11.2 Историческое русло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 ДОПОЛНЕНИЯ ВЫГОТСКИЙ Л.С. . . . . БЕЛЛЮСТИН . . . . . . ВАН ДЕР ВАРДЕН . . . . ДЕПМАН . . . . . . . . . . БУРБАКИ Н., ЛЕБЕГ Г. Опять ДЕПМАН И. Я. . . БУРБАКИ Н. . . . . . . . ДЕПМАН И.Я. . . . . . . ФЕЛИКС Л. . . . . . . . . КЛАЙН М. . . . . . . . . . ПУАНКАРЕ А. . . . . . . БОБЫНИН В.В. . . . . . . КЛЕЙН Ф. . . . . . . . . . КЛАЙН М. . . . . . . . . . БЕЛЛЮСТИН . . . . . . СОБОЛЕВ С.Л. . . . . . . КЛАЙН М. . . . . . . . . . КОЛМОГОРОВ . . . . . . Список литературы

336

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

275 275 288 288 288 290 294 294 301 302 306 306 307 307 307 307 308 309 311 326