Переходные процессы в простых электрических цепях: Методические указания и контрольные задания к расчетно-графическим работам

Федеральное агентс тво по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПРОСТЫХ ЭЛЕКТРИЧЕCКИХ ЦЕПЯХ М етодические указания и контрольные задания

к расчетно-графическим работам для студентов неэлектротехнических специальностей

Составитель Е. И. Голобородько

Ульяновск 2006

2

УДК 621.3 (076) ББК 31.211 я7 П 27

Рецензент кандидат технических наук, доцент кафедры «Электропривод и автоматизация промышленных установок» Александр М ихайлов ич Крицштейн. Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета.

Переходные процессы в простых электрических цепях: П27 методические указания и контрольные задания к расчетно-графическим работам для с тудентов неэлектротехнических специальнос тей /сост. Е. И. Голобородько. – Ульяновск: УлГТУ, 2006. – 40 с. Учебный материал методических указаний предусмотрен действующими Государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования для студентов специальностей 140104, 151001, 190201, 230101, 280202, 200103. Учитывая трудности с освоением студентами рассматриваемого учебного материала и очень сжатым изложением его в стандартных учебниках по электротехнике и электронике, составитель ввел в примеры теоретическую часть, которая в известной мере может служить конспектом лекций по этому разделу. Работа подготовлена на кафедре «Электроснабжение» цикл ТОЭ и ОЭ.

УДК 631.3 (076) ББК 31.211 я7

© Е. И. Голобородько, составление, 2006 © Оформление. УлГТУ, 2006

3

ВВЕДЕНИЕ До сих пор мы изучали установившиеся режимы электрических цепей, не очень акцентируя слово «установившиеся», так как отличать эти режимы было не от чего. Других режимов мы не знали. Считали, что если мы подключили конденсатор, например, или катушку под постоянное напряжение, то ток через конденсатор не идет, а индуктивность катушки не представляет сопротивления постоянному току, и ток через катушку ограничивается только ее активным сопротивлением. Однако все это справедливо только через бесконечно долгое время после подключения. На самом деле, чтобы через конденсатор не протекал ток, надо, чтобы на нем накопился заряд, создающий напряжение, препятствующее протеканию тока. А для этого заряд на конденсаторе должен накопиться, то есть какое-то время должен протекать ток, заряжающий конденсатор (теоретически бесконечно длительного, так как по мере увеличения заряда ток постоянно убывает, стремясь к нулю). И с катушкой не все так просто. Если до подключения ее к источнику в ней не было тока, то diL uL = и если приложенное напряжение заставит ток возрастать по закону dt L uL не равно бесконечности, то надо признать, что току потребуется время, чтобы он «дорос» до своего нового установившегося значения

I=

U . RK

Теоретически это время тоже бесконечно большое, так как по мере увеличения тока uL , а, следовательно, и скорость увеличения силы тока постоянно уменьшается, стремясь к нулю. Сила тока через катушку и через конденсатор в рассмотренных случаях меняется по экспоненциальному закону, асимптотически приближаясь к своим новым установившимся значениям, и называются в этот период времени переходными. Да и весь процесс перехода от старого установившегося состояния к новому называется переходным. Несмотря на теоретически бесконечную длительность переходного процесса, значения токов и напряжений в большинс тве практических случаев довольно быс тро, за сотые, а иногда и за миллионные доли секунды, успевают приблизиться к новым установившимся значениям на 99% и ближе, и с этого времени процесс, с достаточной для большинс тва практических случаев точностью, можно считать установившимся и рассчитывать его по формулам расчета установившегося процесса. Обычно время это принимают равным 5τ, где τ – постоянная времени цепи, равная времени, за которое разница между новым и старым установившимися значениями токов или напряжений уменьшается в е раз, где е – основание натуральных логарифмов. Как нетрудно подсчитать за 5τ эта разница уменьшится в e 5 = 148 раз и составляет 0,67% от исходной. Такая погрешность для большинства расчетов вполне допустима. Однако сила тока и напряжения сразу (в первый момент) после коммутации могут сильно, иногда

4

во много раз отличаться от силы токов и напряжений в ус тановившихся режимах, и их надо уметь рассчитывать. В расчетах чаще всего используются известные законы Кирхгофа для мгновенных значений токов, напряжений и ЭДС. В соответствии с ними составляют уравнения, которые в общем случае оказываются интегродифференциальными. При их решении появляются постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий (значений токов и напряжений в начале переходного процесса). Начальные значения токов и напряжений помогают определить законы коммутации, говорящие о том, что ток через индуктивность и напряжение на емкости не могут изменяться скачком. Это мы только что обсуждали. Из этих законов следует, что ток через индуктивность в первый момент после коммутации такой же, каков он был в последний момент перед коммутацией. То есть, если мы сумели рассчитать этот ток в прежнем ус тановившемся режиме, то мы знаем его и в первый момент после коммутации. Так же обстоит дело и с напряжением на емкости. В ходе решения можно усмотреть некоторые привычные для физиков и электротехников ситуации, которыми им легче и привычней оперировать, чем отвлеченными математическими понятиями. Так же как, например, в классическом методе для электротехника значительно привычней и «физичней» понятие расчета ус тановившегося процесса, чем частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Этим и объясняется соответс твующая замена терминов в учебниках электротехники. Такой подход к расчету переходного процесса называется классическим. Второй метод расчета переходных процессов (операторный) с точки зрения математики сводится к методу решения интегро-дифференциальных уравнений с применением преобразования Лапласа. В результате преобразования Лапласа напряжение на индуктивности и емкости выглядят так: u (0) 1 ⋅ I ( p) + C . U L ( p) = pL ⋅ I ( p) − L ⋅ i (0) и U C ( p ) = pL p При нулевых начальных условиях i (0) = 0 и u C (0) = 0 . В уравнениях 1 остаются только U L ( p) = pL ⋅ I ( p) и U C ( p ) = ⋅ I ( p) . pL Оставшиеся выражения выглядят точно так же, как комплексные токи и напряжения на индуктивности и емкости в цепях синусоидального тока при расчетах комплексным (символическим) методом, с той лишь разницей, что вместо jω в комплексном методе здесь записана буква р и вместо знака подчеркивания, обозначающего комплексную величину, в скобках указано, что это функции какого-то аргумента р. Теперь эти выражения очень похожи на выражения следствия из закона Ома только не в комплексной, а в операторной форме, где рL и 1/pC играют роль операторных сопротивлений при операторном токе I(p). Здесь уместны еще два замечания.

5

Если на схеме вместо емкостей и индуктивнос тей записать их операторные сопротивления операторным переходным токам (такую схему называют операторной схемой цепи), то к такой схеме могут быть применены не только закон Ома, но и законы Кирхгофа в операторной форме, и все методы, основанные на них: метод контурных токов, метод преобразования и другие, известные из теории цепей постоянного тока. Второе замечание касается того, что уравнения, составленные в соответс твии с этими законами и методами, оказываются алгебраическими, а не интегро-дифференциальными. Это вселяет надежду, что без привлечения высшей математики решения пройдут более гладко и просто. Чем это оборачивается, студент сможет увидеть на примерах решений, приведенных далее, и на решениях, которые ему предстоит провести самостоятельно, хотя во многих случаях применение операторного метода вполне оправдано. Едва ли не основные трудности ожидают решающего при обратном переходе от операторных токов и напряжений к реальным функциям времени. Ведь решая операторные уравнения, мы находим пока только операторные изображения ис тинных токов. Для обратного перехода существует формула обратного преобразования Лапласа. Преобразование по этой формуле довольно громоздко, поэтому чаще используют так называемую теорему разложения. Кроме того, как и для часто встречающихся интегралов, разработаны и изданы довольно полные справочники прямых и обратных преобразований Лапласа, по которым можно, не тратя труда на вычисления, найти соответствия между операторной формой тока, например, и его функцией времени. 1. ЗАДАНИЕ На рисунках (рис. 1. – рис. 50.) представлены схемы 50 вариантов задания. Во всех вариантах числовые данные одинаковы: R 1 = 50 Ом; R2 =10 Ом; L =0,2 Гн; C =1500 мкФ; f = 50 Гц; E 0 = 10 В; E =14,2 В (действующее значение синусоидальной ЭДС) . Если схема не содержит индуктивнос ти или емкости, соответствующие числовые данные не используются. Начальные фазы ЭДС для цепей, содержащих индуктивность ψе = 170°, а для цепей, содержащих емкость ψе = –30°. Начальное напряжение на конденсаторе в схеме (рис. 22) u c (0) = 5 B. Если схема содержит оба реактивных элемента, то из исходных данных берется значение только того элемента, который остается включенным после коммутации, а значение второго определяется условием резонанса этих элементов в докоммутационном режиме на частоте 50 Гц. Собс твенно значение второго элемента в этом случае нет необходимости определять. Достаточно использовать само условие резонанса. В полном объеме задание состоит из расчета переходного тока и напряжения на реактивном элементе классическим методом с использованием метода наложения, то есть рассчитывается сначала переходный процесс от действия только пос тоянной ЭДС. Для него строится график, на котором

6

показан ток не задолго до коммутации, свободная и принужденная составляющие тока после коммутации и весь переходный ток как сумма свободной и принужденной составляющих. Все это изображается в одной системе координат i(t). В другой системе координат u(t) такие же графики строятся для напряжения на реактивном элементе. Все повторяется при расчете переходного процесса от действия синусоидальной ЭДС. На последних двух рисунках изображаются графики переходных токов на одном и напряжений на другом от совместного действия постоянной и переменной ЭДС. Фактически это повтор графиков переходных токов и напряжений из предыдущих рисунков и их алгебраические суммы, как результат воздействия обеих ЭДС. Расчет повторяется операторным методом. Преподаватель может сам ограничить объем работы, заданный студенту, например, исключив расчет и построение графиков переходных напряжений для схем с индуктивнос тью и токов для схем с емкостью. При слабой подготовке или жестком лимите времени может быть задан расчет только одним из методов или даже предос тавлена возможность студенту выбрать метод по своему усмотрению. Преподаватель может изменить и цифровые исходные данные. Однако с этим надо быть осторожным, так увеличение индуктивности, например, уменьшает отличия между старым и новым установившимся режимами и приводит к уменьшению свободных составляющих переходного процесса, к уменьшению его наглядности в решении. Уменьшение же индуктивности приводит к уменьшению пос тоянной времени цепи, которая будет охватывать слишком малую часть периода синусоидального колебания. Независимо от объема задания с туденту полезно разобрать все предложенные в методических указаниях примеры решения и построения графиков. Это не только поможет осмысленному овладению практикой решения, но и усвоению теоретического материала данного раздела курса.

7

L

R2 R1

E0

е(t)

E0 R2

L

k

R1

е(t)

R3 =R1

k

Рис. 2

Рис. 1

L

R2 R1

E0

е(t)

R2 С

k

Рис. 3

Рис. 4

R2

E0

е(t)

E0

k

R1

R1

L

е(t)

С

R2 R1

E0

k

k Рис. 6

Рис. 5

R1

е(t)

R2

E0

L

е(t)

С

R2 R1

E0

k

R3 =R1

k

е(t)

Рис. 8 Рис. 7

L

R1

R2

E0 k

Рис. 9

е(t)

R =R E0 3 k 2

С R2

R1 Рис. 10

е(t)

8

L е(t)

R2

k

R1

E0

R1 E0

R2

С

е(t)

R3 = R1

k Рис. 12

Рис. 11

L

E0

С

R3 =R2

R1

R2

е(t)

k

R2

k

E0

е(t)

R3 Рис. 13

Рис. 14

R3 =R1 L

R2 k

E0

R1

С

R1

R2

E0

k R3 =R2

е(t)

Рис. 15

Рис. 16

R3 =R1 L

R2 k

E0

R1

E0

R1

R3 =R1

R2

E0

k

Рис. 18

е(t)

R1

L

E0 R3 =R1

Рис. 19

е(t)

R3 =R2

е(t)

L k

С

R1

Рис. 17

R2

е(t)

Рис. 20

R2

е(t) k

9

R2

R1

E0

L

R1

е(t)

k

E0

Рис. 22

Рис. 21

R2

E0 k

L

е(t) R3 =R1

E0

R2 k

E0

R1

E0

R3 =R2

R1 R3 =R2

E0

R1 е(t) R3 =R2

С

Рис. 29

L

E0

R1 е(t) R3 =R2 Рис. 28

R3 =R2 k

L е(t)

R2 k

Рис. 27

E0

R2

Рис. 26

R2

R1

е(t)

k

Рис. 25

L k

R1

Рис. 24

е(t)

С

k

L

R3 =R1

Рис. 23

R2

е(t)

k

R3 = R1

R1

R1

С

е(t)

L

R2

R2 E0

R1

R3 =R2

Рис. 30

k

е(t)

10

E0

R2

R1

R3 =R2

е(t)

E0

С

Рис. 31

R1

Рис. 32

R2 k

R2

С

е(t)

E0 k

R1

E0

R1 е(t) R3 =R1 С

R3 =R2 Рис. 34

Рис. 33

R2 E0 С

R1 k R3 =R2 е(t)

E0

R2

R1

R3 =R2

R1

k

е(t)

R2

E0 k

е(t)

е(t)

R3 =R1

k

L

Рис. 38

R1

R4 =R2

е(t)

R3 =R1 Рис. 39

R2

E0

Рис. 37

R1

k Рис. 36

С

R2

R3 =R2

С

R1

Рис. 35

E0

R3 =R2 е(t)

С

k

R1

k

R2

L

R2

E0 k

е(t)

R3 =R1 Рис. 40

L

11

R1

R2

R1

С

е(t)

E0

L

Рис. 42

R2

R3 =R1

L

E0 R2 k

е(t)

E0

E0

R3 =R1

k

Рис. 44

R1

L R2

R2 k

L

R1

е(t) E0 С

k

L

R2

е(t)

Рис. 48

Рис. 47

E0

е(t)

Рис. 46

R3 =R2

R1

С

R3 =R1 R4 =R2

k

Рис. 45

E0

R2

E0

е(t)

k

R1

е(t)

R1

Рис. 43

R1

е(t)

R3 =R1 R4 =R2

k

Рис. 41

R1

С

E0

R3 =R1

k

R2

kС R2

L

е(t)

R1 E0

L

R2

е(t) С k

Рис. 49

Рис. 50

С

12

2. ПРИМЕР ЦЕПИ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ Дана схема, в которой сопротивление R 4 замыкается ключом k. Значения сопротивлений R 4 = R1 = 50 Ом, R 3 = R 2 = 10 Ом, индуктивнос ти L = 0,2 Гн, постоянной ЭДС Е 0 = 10 В, дейс твующее значение синусоидальной ЭДС Е = 14,2 В, ее начальная фаза ψe = 170˚.

R1

R3 =R2

R2

е(t) E0

k

R1 R4 =

L

Рис. 51. Схема цепи с индуктивностью

2.1. Решение классическим методом Будем искать переходный ток в реактивном элементе, т. е. в индуктивности с использованием метода наложения. Последний заключается в том, что находят токи в заданной ветви, создаваемые по отдельнос ти каждой ЭДС. Затем находят их алгебраическую сумму. 2.1.1. Определение силы переходного тока от действия пос тоянной ЭДС Исключаем действие синусоидальной ЭДС. Полученную схему будем рассчитывать методом контурных токов. Выбираем и обозначаем кривыми стрелками на схеме направления контурных токов, совпадающие с направлениями обхода контуров. i=1

R1 i

E0

= 11

k

R3 =R2

R2

i=2

i =22

R1 R4 =

L

Рис. 52. Схема с исключенной синусоидальной ЭДС

Все величины, рассчитываемые для этой схемы будем снабжать верхними = индексами « », то есть относящиеся к схеме с включенной постоянной ЭДС. Заметим, что контурный ток i=22 совпадает с током во второй ветви i=2 . Составим систему уравнений по методу контурных токов для послекоммутационного режима.

13

i11= ( R1 + R 3 ) − i22= R3 = E 0 ; di22= − i R 3 + i (R 2 + R 3 ) + L = 0. dt Выразив из первого уравнения i11= и подставив его в первое слагаемое второго уравнения системы, получим E 0 ⋅ R3 i22= ⋅ R 32 di22= = − − + i 22 ⋅ ( R 2 + R 3 ) + L = 0, R1 + R3 R1 + R 3 dt откуда di22= R 32 E ⋅R L + ( R2 + R3 − ) ⋅ i22= = 0 3 . (1) dt R1 + R 3 R1 + R3 = 11

= 22

Решение неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения (с нулем в правой части) и частного решения неоднородного уравнения. В электротехнике чаще используются другие названия этих слагаемых: свободная и принужденная составляющая тока. Используя терминологию электротехников, мы будем иметь решение в виде i = = iсв= + iпр= . За принужденную составляющую с точки зрения электротехники можно принять ток в установившимся режиме, протекающий под действием постоянной ЭДС. Учитывая, что установившийся ток от пос тоянной ЭДС должен быть тоже постоянным, а индуктивность не оказывает сопротивления постоянному току, принужденную составляющую найдем достаточно просто, используя школьные знания о расчете цепей постоянного тока. Ведь схема сильно упрощается. i=1пр

R1

R2

i=2пр= i =пр

R3 =R2

E0 Рис. 53. Схема для расчета принужденной составляющей тока во второй ветви от действия постоянной ЭДС

Находим сопротивление R 23 параллельного соединения сопротивлений R 2 R ⋅R 10 ⋅ 10 и R 3 . Получаем R 23 = 2 3 = = 5 [Ом]. R2 + R 3 10 + 10 Общее сопротивление цепи для постоянного тока, потребляемого от = = R1 + R23 = 50 + 5 = 55 [Ом]. источника постоянной ЭДС R общ

14

Установившееся

значение

(принужденная

составляющая) тока, 10 E потребляемого от источника постоянной ЭДС i1=пр = =0 = = 0,182 [А] . Rобщ 55 Напряжение на участке с параллельным соединением сопротивлений R 2 и R 3 равно u 23= = i1=пр ⋅ R 23 = 0,182 ⋅ 5 = 0,91 [В]. И наконец, принужденная составляющая тока во второй ветви u 23= 0,91 = = = = = 0, 091 [А]. i 2 пр = i Lпр = iпр = 10 R2 Теперь переходим к определению свободной составляющей тока. Для этого перепишем сначала дифференциальное уравнение (1) с учетом того, что свободный член должен отсутс твовать, а свободная составляющая тока во второй ветви будет обозначаться как iсв= . diсв= ⎛ R32 ⎞ = ⎟⋅i = 0 . L + ⎜ R + R3 − dt ⎜⎝ 2 R1 + R3 ⎟⎠ св Упростим его, преобразовав выражение в скобках и обозначив его Rα . diсв= R1 R2 + R 2 R 3 + R 3 R1 = diсв= L + ⋅ iсв = L + Rα ⋅ iсв= = 0 . dt R1 + R 3 dt Запишем для него характеристическое уравнение Lα + Rα = 0 R и найдем его корень α = − α . L 50 ⋅ 10 + 10 ⋅ 10 + 10 ⋅ 50 Произведем вычисления: Rα = = 18, 33 [Ом]; 50 + 10 − 18, 3 α= = −91, 5[с −1 ]. 0, 2 Теперь свободную составляющую можно бы вычислять для каждого момента времени по формуле iсв= = A ⋅ e αt , однако пока мы еще не знаем, чему равна постоянная интегрирования A . Переходный ток во второй ветви, обусловленный действием постоянной ЭДС, выражается теперь формулой i = = iсв= + iпр= = A ⋅ eα t + i пр= . Если мы знаем значение этого переходного тока в какой-то момент времени, то, подс тавив это значение в левую часть последнего равенс тва и соответс твующее значение времени вместо t в правой части равенства, будем иметь лишь одно неизвестное – A , которое легко определим. Вспомним первый закон коммутации: «Ток через индуктивность не может измениться скачком». Ведь это означает: какое значение силы тока было в последний момент до коммутации, такое же значение силы тока будет в первый момент после коммутации. Иными словами, рассчитав ток до коммутации, мы будем знать силу тока при t = 0 и после коммутации. Что ж это сделать не намного сложнее, чем найти значение силы тока в установившемся

15

послекоммутационном режиме. Только теперь вместо сопротивления R 3 в формулах у нас будет фигурировать значение сопротивления третьей (средней) ветви бывшее до коммутации R 3 + R 4 . Сила тока до коммутации была равна i = (0) − = 0,146 A . Проверьте. i = (0) = iсв= (0) + iпр= = A + iпр= , найдем значение Заметив, что при t = 0

постоянной интегрирования A = i = (0) − iпр= = 0,146 − 0,091 = 0, 055 [A ]. Весь переходный ток от дейс твия пос тоянной ЭДС теперь выражается формулой i = = iсв= + iпр= = A ⋅ e αt + iпр= = 0,055e −91.7 t + 0.091 [A ]. 2.1.2. Расчет силы переходного тока от действия синусоидальной ЭДС Уберем из исходной схемы постоянную ЭДС.

R1

R3 =R2 k

R1 R4 =

R2

е(t) L

Рис. 54. Схема цепи без источника постоянной ЭДС

R

≈ общ

i

≈

е(t) L Р ис. 55. Схема после замены групп активных сопротивлений одним эквивалентным

Оставшаяся цепь как до, так и после коммутации легко сводится одному контуру, в который входит синусоидальная ЭДС, индуктивнос ть и несколько активных сопротивлений, которые можно заменить одним по известным еще из школы правилам преобразования. До коммутации это эквивалентное активное сопротивление равно 50 ⋅ (10 + 50) R1 ⋅ ( R3 + R 4 ) = 10 + = 37, 3 [Ом], 50 + 10 + 50 R1 + R3 + R 4 а после коммутации 50 ⋅ 10 R ⋅R ≈ = R2 + 1 3 = 10 + = 18,3 [Ом ]. R общ + 50 + 10 R1 + R3 Реактивное сопротивление индуктивнос ти в обоих случаях равно X L = ωL = 314·0,2 = 63 [Ом]. Задачу определения полного сопротивления цепи, а затем тока можно решать комплексным методом, однако схема достаточно проста, чтобы провести расчет, не прибегая к этим усложнениям. ≈ = R2 + R общ −

16

Найдем полное сопротивление цепи по известной формуле для последовательного соединения элементов в цепи синусоидального тока и сдвиг фаз между током и напряжением на этом сопротивлении 2 Z + = Rобщ + (ωL) 2 = 18, 32 + 63 2 = 65, 5 [Ом ], + 2 Rобщ + (ωL)2 = 37,32 + 632 = 73,1[Ом ], − 63 ωL ϕ + = arctg = arctg = 73,8°, 18, 3 R общ+ 63 ωL ϕ − = arctg = arctg = 59, 3°. 37,3 Rобщ − Установившееся значение тока до коммутации и после коммутации найдем, поделив амплитуду ЭДС на соответствующее сопротивление и отняв от аргумента докоммутационный и послекоммутационный сдвиг фаз E≈ ⋅ 2 14,1 ⋅ 2 i (t ) ≈− уст = ⋅ sin(ωt +ψ e − ϕ − ) = ⋅ sin(ωt + 170° − 59,3°) , Z− 73, 2 i (t ) ≈− уст = I m − ⋅ sin(ωt + ψ i − ) = 0, 273 ⋅ sin(ωt + 110°) [A ]; или

Z− =

E≈ ⋅ 2 14,1 ⋅ 2 ⋅ sin(ωt + ψ e − ϕ + ) = sin(ωt + 170° − 73,8°) , Z+ 65,5 i (t ) ≈+ уст = I m + ⋅ sin(ωt +ψ i + ) = 0, 305 ⋅ sin(ωt + 96,2°) [A]. или Обратите внимание на амплитуды колебаний до и после коммутации. Они нам еще потребуются для вычисления постоянной интегрирования и значений переходного тока и для построения графиков. Составляем дифференциальное уравнение по второму закону Кирхгофа для послекоммутационного режима. di ≈ L + R общ +i ≈ = e (t ) = E ≈ ⋅ 2 ⋅ sin(ωt +ψ e ) . dt Решение неоднородного уравнения будем искать в виде суммы i ≈ = iсв≈ + iпр≈ . Принужденная принужденной и свободной составляющих составляющая у нас уже найдена как установившаяся сила тока после i+≈уст = iпр≈ . Теперь будем искать свободную составляющую, коммутации освободив уравнение от ЭДС. diсв≈ L + R общ+ i св≈ = 0 . dt Составим для этого дифференциального характеристическое уравнение. i (t ) ≈+ уст =

Rобщ + 18, 3 =− = −91, 5[c −1 ]. L 0, 2 Далее фактически повторяются действия уже рассмотренные на первом этапе – этапе расчета силы тока от действия постоянной ЭДС. Lα + R общ + = 0 .

Отсюда α = −

17

Сила тока при коммутации не может измениться скачком и потому в начальный момент времени после коммутации равна силе тока в последний момент времени перед коммутацией. Формула для докоммутационного тока у нас уже получена, так что, положив в ней t = 0 , будем знать, чему равна сумма свободной и принужденной составляющих силы тока в первый момент после коммутации т. е. при t = 0 : i −≈ (0) = iсв≈ + (0) + i пр≈ + (0) или I m − ⋅ sin(ψ e − ϕ − ) = Ae j 0 + I m + ⋅ sin(ψ e − ϕ + ) . Отсюда A = I m− ⋅ sin(ψ i − ) − I m + ⋅ sin(ψ i + ) = 0, 256 − 0, 304 = −0,048 [A ]. Получаем решение относительно переходного тока, вызванного действием переменной ЭДС: i ≈ (t ) = Ae αt + I m + ⋅ sin(ωt + ψ i + ) , i ≈ (t ) = −0,048e −91,5 t + 0,305 ⋅ sin(314,16 ⋅ t + 96. 25 ⋅ 3. 1416 /180 ) [A ], i ≈ (t ) = −0, 048e −91, 5t + 0,305 ⋅ sin(360° ⋅ 50 ⋅ t + 96. 25°) [A] . Под знаком синуса показано в последней строчке выражение для вычисления угла в градусной мере, а в предпоследней в радианах. 2.1.3. Графики переходных процессов Покажем на графике свободную и принужденную составляющие силы тока от действия переменной ЭДС, а также их сумму, то есть переходный ток от действия этой ЭДС. И, наконец, построим график силы переходного тока от действия каждой отдельной ЭДС и обеих ЭДС совместно. При этом обратим внимание на то, что положительное направление тока от дейс твия постоянной ЭДС мы выбирали согласно направлениям самих ЭДС. Так было понятней проводить вычисления токов, однако теперь нам надо свести две картины в одну и выбрать одно направление тока для окончательного ответа. Выберем его согласно стрелке, изображенной на переменной ЭДС, тогда ток, созданный постоянной ЭДС, будет течь против выбранного нами положительного направления, и мы должны сменить знак перед полученным для него решением, прежде чем соберемся складывать эти два тока. Иными словами, будем считать ток, текущий против окончательно выбранного нами положительного направления, отрицательным. Период синусоидальной ЭДС составляет 1/50 секунды или 20 мс. Чтобы построить кривую с таким периодом, надо иметь, по крайней мере, 10 точек на периоде, что будет соответствовать вычислениям значений через 36 градусов изменения фазы колебания. Пос троение пройдет тем точнее, чем меньше выберем шаг для вычисления значений.

18

Таблица 1 Значения переходных токов и их составляющих при действии постоянной, синусоидальной ЭДС и при их совместном дейс твии, а также токов в докоммутационный период Постоянная ЭДС t i(t) i_св i_пр мс А А А

Синусоидальная ЭДС i(t) i_св i_пр А А А

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

-0,256 -0,150 0,013 0,171 0,264 0,256 0,187 0,029 -0,153 -0,288 -0,323 -0,243 -0,076 0,114 0,256 0,297 0,221 0,058 -0,129 -0,269 -0,307

0,146 0,146 0,146 0,146 0,146 0,146 0,137 0,129 0,123 0,117 0,113 0,109 0,106 0,104 0,102 0,100 0,098 0,097 0,096 0,095 0,095

0,055 0,046 0,038 0,032 0,026 0,022 0,018 0,015 0,013 0,011 0,009 0,007 0,006 0,005 0,004 0,004

0,091 0,091 0,091 0,091 0,091 0,091 0,091 0,091 0,091 0,091 0,091 0,091 0,091 0,091 0,091 0,091

-0,048 -0,040 -0,033 -0,028 -0,023 -0,019 -0,016 -0,013 -0,011 -0,009 -0,008 -0,006 -0,005 -0,004 -0,004 -0,003

0,304 0,227 0,063 -0,125 -0,265 -0,304 -0,227 -0,063 0,125 0,265 0,304 0,227 0,063 -0,125 -0,265 -0,304

Обе ЭДС i(t)_общ А -0,402 -0,296 -0,133 0,025 0,118 0,110 0,050 -0,100 -0,276 -0,406 -0,436 -0,352 -0,182 0,010 0,154 0,197 0,123 -0,039 -0,225 -0,364 -0,402

В первых шести строках таблицы 1 показаны токи от дейс твия постоянной, синусоидальной и обеих ЭДС до коммутации. В этих же столбцах i(t) , начиная с t = 0 даются значения переходных токов после коммутации для соответс твующих моментов времени.

19

i, A i(t)-

0,2

i_пер i_св

i_пр

0 -10

0

10

20

t, мс

Рис. 56. Графики токов при действии постоянной ЭДС

i, A 0,4

0,2

i(t)0 -10

0

i_св i_пр

10

20

i_пер

-0,2

-0,4

Рис. 57. Графики токов от действия синусоидальной ЭДС

t, мс

20

i, A 0,4

-0,4 0,2

i_пер_cин

i_общ(t)0 -10

0

10

i_пер_пост

20

t, мс

-0.2 i_пер_общ

-0.4

Рис. 58. Графики токов от совместного действия постоянной и синусоидальной ЭДС

21

2.2. Решение операторным методом 2.2.1. Расчет силы переходного тока операторным методом от дейс твия синусоидальной ЭДС Составим операторную схему цепи для расчета силы токов от действия переменной ЭДС. Для этого нам надо дополнить схему, использованную для расчета силы тока классическим методом фиктивной ЭДС, введение, которой или обусловлено током через индуктивнос ть в момент коммутации iL≈ (0) ≈ просто i (0) . Значение этого тока у нас уже вычислялось при решении задачи классическим методом

R≈общ ≈

Li (0)

I≈(p)

E≈(p) pL

Рис. 59. Операторная схема цепи для расчета силы тока через индуктивность при действ ии синусоидальной ЭДС

Как известно, изображение по Лапласу синусоидальной функции выглядит так: p sinψ + ω cosψ . p 2 +ω 2 Поскольку нам задано дейс твующее значение ЭДС, чтобы получить амплитудное значение, его надо умножить на 2 ,т.е. E m = E 2 = 14, 2 ⋅ 2 = 20 [B ] . Теперь операторное изображение синусоидальной ЭДС e(t ) = E m sin(ωt +ψ ) можно записать так: p sinψ + ω cosψ E( p ) = Em . p2 + ω 2 Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи (рис.59.) в операторной форме. p sinψ + ω cosψ ≈ I ≈ ( p ) ⋅ R общ + I ≈ ( p ) ⋅ pL = Li ≈ (0 ) + E m . p2 + ω 2 sin(ωt +ψ ) =

Выразим отсюда операторное изображение тока: Li ≈ (0 ) E m p ⋅ sin(ψ ) E m ω ⋅ cos(ψ ) ≈ . I ( p) = ≈ + ≈ + ≈ 2 2 Rобщ + + pL (R общ + + pL) ⋅ ( p 2 + ω 2 ) ( Rобщ + + pL ) ⋅ ( p + ω )

22

Приведем правую часть к общему знаменателю. Li ≈ (0) ⋅ p 2 + Li ≈ (0) ⋅ ω 2 + E m p ⋅ sin(ψ ) + E mω ⋅ cos(ψ ) ≈ . I ( p) = ≈ 2 2 ( R общ + + pL ) ⋅ ( p + ω ) Операторное изображение силы переходного тока найдено. Теперь надо воспользоваться теоремой разложения, чтобы найти силу тока как функцию времени. Известно, что если изображение функции (в нашем случае тока) имеет вид G ( p) с полиномами G ( p) и H ( p ) параметра p в числителе и дроби I ( p ) = H ( p) знаменателе, то решение выглядит как сумма слагаемых вида k =n G( p ) k i (t ) = Σ1 e p t, = k H ′( p k ) где G ( p k ) – полином, находящийся в числителе изображения функции с подставленным в него вместо p k-м корнем полинома, стоящего в знаменателе изображения функции, а H ′( p k ) – производная полинома, находящегося в знаменателе, в который вместо p подставлен тот же корень p k . Приступим к применению теоремы разложения. Прежде всего, представим знаменатель полиномом и возьмем от него производную по p ≈ ≈ ≈ H ′( p) = ( Rобщ p 2 + R общ ω 2 + p 3 L + pLω 2 ) ′ = 3 p 2 L + 2 R общ p + Lω 2 . + + + ≈ Теперь найдем корни самого полинома H ( p ) = (R общ + pL )( p 2 + ω 2 ) . Для + этого надо определить, при каких значениях параметра p он обращается в ≈ Rобщ + . ноль. Приравняв нулю выражение в первой скобке, получим p1 = − L Обратите внимание на то, что p1 точная копия выражения для α из классического метода. Приравняв нулю выражение во второй скобке, получим еще два корня p2 = + − ω 2 = jω и p3 = − − ω 2 = − jω . Найдем первое слагаемое из формулы теоремы разложения. ≈ (R общ )2 ⎛ R ≈общ ⎞ ≈ + ≈ 2 ⎟ sin(ψ ) + E mω ⋅ cos(ψ ) Li (0) + Li (0)ω + E m ⎜⎜ − 2 ⎟ L L G ( p1 ) p t ⎠ ⎝ e = ⋅ e αt . ≈ 2 ≈ 2 (R ) (R ) H ′( p1 ) 3 общ + − 2 общ + + ω 2 L L L k

1

Умножив числитель и знаменатель на L и перегруппировав члены в числителе, получим G ( p1 ) p t ( Rобщ + ) i (0) + i (0)ω L − E m R общ+ sin(ψ ) + E m ωL ⋅ cos(ψ ) α t e = ⋅e ≈ 2 2 H ′( p1 ) (R общ +) +ω L или ≈

1

2 ≈

≈

2

2

≈

23

− E m R общ+ sin(ψ ) + E m ωL ⋅ cos(ψ ) α t G ( p1 ) p t e = i ≈ ( 0) + ⋅e . ≈ 2 2 H ′( p1 ) (R общ +) +ω L ≈ Учтем, что (R общ ) 2 + (ωL) 2 = Z 2 = Z ⋅ Z , + ≈

1

≈ R общ + а также что = sin(ϕ ) и = cos(ϕ ) , тогда можно записать Z Z ≈ G ( p1 ) p t ⎛ ≈ E m ωL ⋅ cos(ψ ) − Rобщ + ⋅ sin(ψ ) αt ⎞ e = ⎜⎜ i (0) + ⋅ ⋅ e ⎟⎟ H ′( p1 ) Z Z ⎠ ⎝

ωL 1

или G ( p1 ) p t e = (i ≈ (0) + I m ⋅ (sin(ϕ ) ⋅ cos(ψ e ) − cos(ϕ ) ⋅ sin(ψ e )) ) ⋅ e αt , H ′( p1 ) используя известную из тригонометрии формулу, получим G ( p1 ) p t e = (i ≈ (0) + I m ⋅ sin(ϕ − ψ e ))⋅ e α t = (i ≈ (0) − I m sin(ψ i ))⋅ e αt . H ′( p1 ) Теперь перейдем к вычислению второго и третьего слагаемых в формуле разложения. G ( p2 ) p t − Li ≈ (0)ω 2 + Li ≈ (0)ω 2 + E m jω ⋅ sin(ψ e ) + E mω cos(ψ e ) jωt e = ⋅e ; 2 ≈ H ′ ( p2 ) − 3ω 2 L + 2 jωR общ + +ω L G ( p3 ) p t − Li ≈ ( 0)ω 2 + Li ≈ (0)ω 2 − E m jω ⋅ sin(ψ e ) + E mω cos(ψ e ) − jωt e = ⋅e . ≈ 2 H ′ ( p3 ) − 3ω 2 L − 2 jωR общ + L ω + Выполним напрашивающиеся взаимные уничтожения некоторых членов в числителе и знаменателе, вынесем в знаменателе 2ω за скобку и сложим эти два слагаемых, приведя к общему знаменателю. В знаменателе получим ≈ ≈ ≈ 2ω ( jR общ − ωL )(−1)( jR общ + ωL) = 2ω (( Rобщ ) 2 + (ωL) 2 ) = 2ωZ 2 = 2ω ⋅ Z ⋅ Z . + + + 1

1

2

3

≈ ≈ E mω (− jωL sin(ψ e ) + R общ + sin(ψ e ) − ω L cos(ψ e ) − jR общ+ cos(ψ e ) ⋅ e jωt + 2ωZZ ≈ ≈ E mω ( jωL sin(ψ e ) + R общ+ sin(ψ e ) − ωL cos(ψ e ) + jR общ + cos(ψ e ) + ⋅ e − jω t . 2ωZZ

Переведем последний сомножитель в обоих выражениях из показательной в тригонометрическую форму записи e jωt = cos(ωt ) + j sin(ωt ) и e − jωt = cos(ωt ) − j sin(ωt ) . Теперь нам предстоит умножить каждый член в числителе первой и второй дробей на cos(ψ e ) , а потом на j sin(ψ e ) с соответствующим знаком и записать все единой дробью. Числитель при этом разрастется до 16-ти слагаемых, однако 12 из них взаимоуничтожаются и выражение приходит к виду Em 1 ≈ ⋅ ⋅ (( R общ ⋅ (sin(ψ e )cos(ωt ) + cos(ψ e )sin(ωt )) + + Z Z + 2ωL(sin(ψ e )sin(ωt ) − cos(ψ e )cos(ωt )).

24

Используя формулы синуса суммы двух углов и косинуса суммы двух углов, придем к выражению 1 ≈ I m (Rобщ ⋅ sin(ωt + ψ e ) − ωL ⋅ cos(ωt + ψ e )). (2) + Z Вспомним еще одну формулу из тригонометрии a b ⋅ sin(α ) + a ⋅ cos(α ) = A ⋅ sin(α + θ ) , где A = a 2 + b 2 , а θ = arctg . (3) b Сравнив эти формулы (3) с выражением в скобках (2), заметим, что на ≈ , а на месте а располагается ( − ω L ), тогда роль A в месте b располагается Rобщ + 2

≈ выражении (2) будет играть Z = Rобщ + (ωL)2 , а − θ имеет смысл сдвига фаз ϕ между током и напряжением. Так что последнее выражение (2) превращается в I m sin(ωt + ψ e − ϕ ) = I m sin(ωt + ψ i ) . Окончательно же решение для переходного тока от действия переменной ЭДС будет выглядеть так: i ≈ (t ) = (i ≈ (0) − I m sin(ψ i )) ⋅ e αt + I m sin(ωt + ψ i ) . Как видим, решение получено то же самое, что при расчете классическим методом. Первое слагаемое, содержащее множитель eα t , представляет собой свободную составляющую тока, а второе слагаемое – принужденную или ток в установившемся режиме после коммутации.

2.2.2. Расчет силы переходного тока операторным методом от дейс твия пос тоянной ЭДС Составляем операторную схему для цепи с постоянной ЭДС. Учтем фиктивную ЭДС, которая вводится при ненулевом токе в индуктивности в момент коммутации.

R1

R2

R3 =R2 I22 (p)

E0/p

I11 (p)

=

Li (0)

pL

Рис. 60. Операторная схема для расчета с постоянной ЭДС

Составляем уравнения по методу контурных токов. E I 11 ( p)( R1 + R3 ) − I 22 ( p )R3 = 0 p − I11 ( p) R3 + I 22 (R 2 + R 3 + pL) = Li = (0)

25

Выражаем из первого уравнения I 11 ( p ) и подставляем во второе. E0 + I 22 ( p) R3 p I 11 ( p ) = ; R1 + R 3 E0 R3 R32 − − I 22 ( p) + I 22 ( p)( R 2 + R 3 + pL) = Li = (0). p( R1 + R 3 ) R1 + R3 Найдем отсюда E 0 R3 = Li (0) + p(R 1 + R 3 ) pLi = (0)( R1 + R 3 ) + E 0 R3 . I 22 ( p ) = = R 32 p(R1 R2 + R 2 R3 + R 3 R1 + pL( R1 + R3 )) R 2 + R3 + pL − R1 + R3 Попробуем применить теорему разложения. Знаменатель здесь имеет два R R + R2 R 3 + R3 R1 50 ⋅ 10 + 10 ⋅ 10 + 10 ⋅ 50 корня p1 = 0 и p2 = − 1 2 =− = −91,5[с −1 ]; L(R1 + R3 ) 0, 2(50 + 10) = E 0 R3 p2 Li (0)( R1 + R2 ) + E 0 R 3 i = (t ) = + ⋅ e αt ; R1 R 2 + R 2 R3 + R 3 R1 R1 R 2 + R 2 R3 + R 3 R1 + 2 p 2 L( R1 + R 3 ) i = (t ) =

10 ⋅ 10 − 61 ⋅ 0,3 ⋅ 0,146 ⋅ (50 + 10 ) + 10 ⋅ 10 e −91, 5t ; + 50 ⋅ 10 + 10 ⋅ 10 + 10 ⋅ 50 50 ⋅ 10 + 10 ⋅ 10 + 10 ⋅ 50 − 2 ⋅ 61 ⋅ 0,3 ⋅ (50 + 10 )

i = (t) = 0, 091 + 0, 055 ⋅ e −91, 5 t .

2.2.3. Операторный метод с комплексными изображениями токов и напряжений Как видим, операторный метод сам по себе не создает впечатления средства, сильно уменьшающего объем вычислительной работы. Пока очевидный единственный выигрыш состоит в замене интегродифференциальных уравнений алгебраическими. Хотя приходится вспоминать некоторые, не так уж часто используемые формулы тригонометрии. К некоторому сокращению объема вычислений ведет промежуточное использование комплексного метода применительно к цепи синусоидального тока с последующим изображением комплексных токов, напряжений и сопротивлений в операторной форме. Правда, в отличие от привычного изображения на комплексной плоскости неподвижного вектора, направленного под углом ψ к оси действительных, придется изображать на комплексной плоскости вращающийся с угловой скоростью вектор, угол которого по отношению к оси действительных меняется с течением времени по закону ωt + ψ . Например, комплексное изображение вращающегося вектора, проекция которого на ось мнимых меняется со временем по синусоидальному закону так,

26

как меняется переменная e(t), тоже будет комплексной функцией времени E m ⋅ e j (ωt +ψ ) . Эффект уменьшения объема вычислений достигается в этом случае за счет менее громоздкого представления в операторной форме синусоидальной ЭДС. 1 В самом деле, изображение eσ t выглядит как . Если мы имеем p−σ комплексную переменную E m ⋅ e j ( ωt +ψ ) = E m ⋅ e jψ ⋅ e jωt , то, учитывая, что E m ⋅ e jψ независимые от времени числа, то есть являются пос тоянными коэффициентами в комплексном выражении ЭДС, можем записать σ = jωt . Тогда операторное изображение комплексной ЭДС будет выглядеть так: E m ⋅ e jψ E ( p) = . p − jωt Кроме того, придется учитывать, что реальное значение ЭДС, напряжений, токов в каждый момент времени соответс твует проекции их комплексного изображения на ось мнимых и если уж нам придется иметь дело еще и с постоянными ЭДС, токами и напряжениями, надо чтобы они тоже проектировались на ось мнимых в полный рос т. То есть их тоже надо представлять умноженными на j. Вооружившись этими предварительными рассуждениями, попробуем решить задачу в один прием, не прибегая к методу наложения. Составляем операторную схему.

R1 jE0 /p

R2

R3 R

E(p)=Emejψ/(p-jω)

I22 (p) I11(p)

jLi(0)

pL

Рис. 61. Операторная схема цепи для расчета с использованием комплексных изображений

Составляем уравнения по методу контурных токов. jE I 11 ( p )( R1 + R 3 ) + I 22 ( p) R3 = 0 ; p E m e jψ I 11 ( p )R 3 + I 22 (R 2 + R 3 + pL ) = E ( p) − jLi (0) = − jLi (0) . p − jω Выразим из первого I 11 ( p ) . e

27

jE 0 − I 22 ( p )R 3 p и подставим во второе I 11 ( p) = R1 + R 3 jE 0 R3 R32 E m e jψ − I 22 ( p ) + I 22 ( p)( R 2 + R 3 + pL) = − jLi (0) . p(R 1 + R 3 ) R1 + R 3 p − jω Теперь выразим I 22 ( p ) . E m e jω jE 0 R 3 − jLi (0) − p − jω p( R1 + R3 ) I 22 ( p) = = R32 R2 + R3 + pL − R1 + R3 ER pE m e jψ − jLi (0) p ( p − jω ) − j 0 3 ( p − jω ) R1 + R3 . = ≈ ( Rобщ + + pL )( p − jω) p Найдем корни знаменателя, то ес ть значения параметра p , при которых знаменатель равен нулю. ≈ Rобщ R R + R 2 R 3 + R 3 R1 + p1 = 0 ; p2 = j ω ; . p3 = − =− 1 2 L ( R1 + R 3 )L R1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R1 ≈ Через R общ обозначено выражение . Так это + R1 + R3 выражение было обозначено, когда мы находили общее активное сопротивление току при действии только переменной ЭДС. Раскроем скобки в числителе и знаменателе выражения для второго контурного тока. ER ER pE m e jψ − jp 2 Li(0) − pωLi (0) − jp 0 3 − ω 0 3 R1 + R3 R1 + R3 I 22 ( p ) = . 3 2 ≈ 2 ≈ p L + p R общ + − p jωL − jωpR общ + e

e

e

Возьмем производную от знаменателя. ≈ ≈ 3 p 2 L + 2 p(R общ − jωL) − jωR общ . + + ≈ При подстановке в это выражение первого корня получим − jωRобщ . + При подстановке второго ≈ ≈ ≈ − 3ω 2 L + 2 jωR общ + 2ω 2 L − jωR общ = jω (R общ + jω L ) . + + + При подстановке третьего ≈ ≈ ≈ ≈ Rобщ Rобщ R общ (R общ )2 + + + + ≈ ≈ ≈ 3 ⋅ L +2 ⋅ R общ + − j 2ω ⋅ L − jωR общ + = ( R общ + jωL ) . + 2 L L L L Запишем теперь три слагаемых, входящих в сумму по теореме разложения при трех полученных корнях.

28

Для p1 = 0 и в числителе, и в знаменателе остаются только последние слагаемые, не содержащие параметра p . ωE0 R3 E 0 R 3 ( R1 + R 3 ) E 0 R3 − = j = j . ≈ ( R1 + R 3 ) jωRобщ ( R1 + R 3 )( R1 R 2 + R 2 R 3 + R3 R1 ) ( R1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R1 ) + В последнем выражении легко узнается установившееся значение тока через индуктивнос ть от дейс твия пос тоянной ЭДС, умноженное на j. То есть первое слагаемое в теореме разложения равно j ⋅ iпр= . Для получения второго слагаемого подставим в числитель и знаменатель вместо p значение второго корня p2 = jω . После подстановки и взаимного уничтожения четырех слагаемых в числителе и элементарного упрощения знаменателя получим: E m e jψ E ⋅ e jωt = m e jωt = I m e jωt = I m e jψ e jωt = I m e j ( ωt +ψ ) . ≈ R общ + + jωL Z Перейдем от показательной формы комплексного числа к I m cos(ωt + ψ i ) + jI m sin(ωt + ψ i ) . тригонометрической С учетом того, что мгновенное значение тока выражается проекцией вектора на комплексной плоскости на ось мнимых, имеем I m sin(ωt + ψ i ) , то есть установившееся значение тока через индуктивность от действия синусоидальной ЭДС. ≈ Rобщ R + И, наконец, находим третье слагаемое, подставив p3 = − = − α = −α . L L ≈ Введенное обозначение R общ + = Rα уже встречалось, да и по смыслу ближе к третьему слагаемому в формуле теоремы разложения. e

i

i

R ER E R Rα2 R R − j 2 Li(0) − α E m e jψ + α ωLi(0) + j α ⋅ 0 3 − 0 3 L L L L R1 + R3 R1 + R 3 α t ⋅e . 2 Rα Rα R0 3 2 +2 jω L − 2 R − jωR0 L L L 0 После элементарных упрощений Rα ⎛ R ⎞ ER (− E m e jψ − ji(0 )( Rα + jωL)) + ⎜ j α − ω ⎟ ⋅ 0 3 L ⎝ L ⎠ R1 + R3 αt ⋅e . Rα (R + jωL ) L α В дальнейших преобразованиях будем иметь в виду, что E m e jψ = E m – комплексная амплитуда синусоидальной ЭДС, R α + jωL = Z – комплексное сопротивление цепи синусоидальному току, протекающему под действием синусоидальной ЭДС и R jR − ωL R + jω L j α −ω = α =j α . L L L Получаем e

e

e

29

⎛ Em i (0)( Rα + jωL ) R + jωL E 0 R3 Rα ( Rα + jωL) ⎞ αt ⎜⎜ − ⎟⎟ ⋅ e = −j + j α ⋅ : Rα + jωL L R1 + R3 L ⎝ Z ⎠ ⎛ ⎞ αt E0 R 3 ⎟⎟ ⋅ e . = ⎜⎜ − I m − ji(0) + j ( + ) R R R ⎝ α ⎠ 1 3 Предс тавим первый член выражения в скобках в тригонометрической форме − I m = −I m e jψ = − Im cos(ψ i ) − jI m sin(ψ i ) . Рассмотрим проекцию этой комплексной переменной на ось мнимых. Как видим, I m sin(ψ i ) это значение установившегося послекоммутационного синусоидального тока в первый момент после коммутации. Второй член в проекции на ось мнимых предс тавляет собой значение всего тока через индуктивность найденного из начальных условий, то ес ть i (0) = i = (0) + i ≈ (0) . R R + R 2 R 3 + R 3 R1 ≈ И, наконец, третий с учетом того, что R α = R общ после = 1 2 + R1 + R 3 E0 R3 сокращения имеет вид , в котором мы узнаем силу тока, R1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R1 протекающего в индуктивности от дейс твия пос тоянной ЭДС, установившегося после коммутации. Собрав проекции на ось мнимых всех слагаемых, полученных в формуле теоремы разложения, получим i L (t ) = (i = (0 ) − iпр= (0))eα t + (i ≈ (0) − iпр≈ (0))e αt + iпр= (t ) + iпр≈ (t ) . Значения всех свободных и принужденных составляющих вычисляются по формулам, найденным ранее, конечно, и их значения совпадают с найденными ранее другими методами. То есть ответ получаем тот же самый, как и следовало ожидать. i

3. ПРИМЕР ЦЕПИ С ЕМКОСТЬЮ Порядок расчета в цепи с емкостью принципиально не отличается от расчета в цепи индуктивностью. Главное отличие состоит в том, что напряжение на емкости выражается не через производную, а через интеграл от силы тока. В связи с этим уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, в которых теперь участвует слагаемое, содержащее интеграл, надо продифференцировать, чтобы получить дифференциальные уравнения и затем решать их по уже рассмотренной методике. Кроме того, вместо первого закона коммутации для определения начальных условий придется использовать второй закон коммутации, относящийся к емкости. Он гласит, что значение напряжения на емкости не может измениться скачком, значит, найдя напряжение на емкости в последний момент до коммутации, мы будем знать, что такое же напряжение будет на емкости и в первый момент после

30

коммутации. Используя последнее, найдем и токи в цепи в первый момент после коммутации. Пусть задано рассчитать переходный ток в емкости после коммутации (после замыкания ключа k) в цепи, схема которой изображена на рисунке 62.

R1 E0

R2 k

е(t)

R3 =R1

С

Рис. 62. Схема цепи для расчета переходного процесса

Заданы значения сопротивлений R 1 =50 Ом, R2 = 10 Ом, емкости С = 1500 мкФ, постоянной ЭДС Е 0 = 10 В, действующего значения синусоидальной ЭДС Е = 14,2 В, ее частота f = 50 Гц, начальная фаза, то ес ть фаза ЭДС в момент коммутации ψе = 30˚. 3.1. Классический метод Как и для схемы с индуктивностью применим метод наложения, то есть разобьем процесс решения на два: расчет силы токов, как если бы действовала только одна постоянная ЭДС, и расчет силы токов, как если бы в цепи действовала только одна переменная ЭДС. Потом наложим эти два режима, то есть найдем алгебраическую сумму сил токов, вызванных каждой из этих ЭДС по отдельнос ти. 3.1.1. Расчет силы тока через емкость от постоянной ЭДС классическим методом i3

i1

R1

R2 i22

i11

iC

i2

E0

k

R3 =R1

uC

С

Рис. 63. Схеме к расчету переходного процесса от действия постоянной ЭДС

Пусть пока дейс твует только постоянная ЭДС E0 . Как известно, электроемкость не пропускает постоянный электрический ток, поэтому ток через емкость до коммутации, как, впрочем, и установившийся ток после коммутации, равен нулю iC= = 0 . Напряжение на конденсаторе до коммутации

31

равно напряжению на сопротивлениях R 2 + R3 , а после коммутации только на сопротивлении R2 . До коммутации ток от источника 10 E0 = = 0,091 [A ] . Кстати, i 2= (0) − = i1= (0) − . i1= (0 )− = R1 + R2 + R3 50 + 10 + 50 Значение напряжения на емкости u C= (0) = i1= (0)− ⋅ ( R2 + R3 ) = 0,091 ⋅ (10 + 50) = 5,45 [B] . После коммутации в установившемся режиме имеем соответс твенно: E0 ток ; i1=пр = R1 + R2 E0 = и напряжение u Cпр = i1=пр ⋅ R 2 = ⋅R . R1 + R 2 2 Составляем уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры и обозначив токи на схеме. i11= (R1 + R 2 ) + i 22= R2 = E 0 ; 1 t i11= R 2 + i 22= R 2 + ∫ i22= dt − u C= (0) = 0 . C0 Выразим из первого уравнения i11= и подставим полученное выражение во второе уравнение. E 0 R2 R 22 1 t E 0 − i22= R 2 = = ; − i 22 + i22= R 2 + ∫ i 22= dt − u C= (0) = 0 . i11 = R1 + R 2 R1 + R 2 C0 R1 + R 2 Взяв производную от левой и правой части этого уравнения, получим di22= ⎛ R22 ⎞ 1 = di22= R1 ⋅ R 2 1 ⎜⎜ R 2 − ⎟⎟ + i22 = 0 или ⋅ + i22= = 0 . dt ⎝ R1 + R2 ⎠ C dt R1 + R 2 C Напомним, что решение однородного дифференциального уравнения (а оно у нас получилось однородным, без свободного члена) отыскивается в виде i 22= (t ) = Ae αt , где α – корень характерис тического уравнения этого дифференциального уравнения. Запишем характерис тическое уравнение и найдем его корень. R ⋅R 1 α⋅ 1 2 + =0 . R1 + R2 C 1 R ⋅R 1 Обозначим 1 2 как Rα , тогда α ⋅ Rα + = 0 и α=− , C R1 + R2 Rα ⋅ C

α=−

1 1 =− = −80[c −1 ]. −6 Rα ⋅ C 8,33 ⋅ 1500 ⋅ 10

32

Чтобы найти значение А, составим уравнение по второму закону Кирхгофа по внешнему контуру рассматриваемой схемы с обходом по часовой стрелке и воспользуемся нашим знанием значения напряжения на емкости в момент коммутации. i1= (0) + ⋅ R1 + u C= (0) = E 0 , E0 − uC= (0) 10 − 5, 45 = = 0,091 [A ]. 50 R1 По первому закону Кирхгофа i1= (0)+ = i2= (0) + + i3= (0) + , откуда

где i2= (0) + = стало быть

i1= (0) + =

uC= (0) 5,45 = = 0,545 [A], 10 R2 i3= (0) + = i1= (0 )+ − i2= (0)+ = 0, 091 − 0,545 = −0,454 [A].

Заметим, что ток i3= (0)+ течет против выбранного нами направления для i 22= = iC= , и потому i22= (0) + = −i2= (0 )+ = 0, 454 [A]. Теперь сила тока через емкость будет i22= (t ) = iC= (t ) = Ae αt = 0,454 ⋅ e −80 t [A]. 3.1.2. Расчет силы переходного тока, вызванного синусоидальной ЭДС Переходим к схеме, содержащей синусоидальную ЭДС е(t). Сразу определимся, что амплитуда ЭДС равна E m = E ≈ ⋅ 2 = 14,2 ⋅ 2 = 20 [B], а угловая частота ω = 2πf = 314 [c −1 ].

R1

R2 k

R3 =R1

е(t) С

Рис. 64. Схема цепи с емкостью без постоянной ЭДС

33

Активные сопротивления образуют для тока, текущего от показанной ЭДС, две параллельные ветви. Их общее эквивалентное сопротивление рассчитывается известными со школы методами и составляет до коммутации R (R + R 3 ) 50 ⋅ (10 + 50) ≈ = 1 2 = = 27,3 [Ом], R общ − R1 + R 2 + R 3 50 + 10 + 50 после коммутации 50 ⋅ 10 R ⋅R ≈ = 1 2 = = 8, 33 [Ом]. R общ + R1 + R 2 50 + 10

Rобщ

e(t)

С

iC

Рис. 65. Схема после преобразования параллельных ветвей в одну

Сопротивление емкости синусоидальному току XC =

1 1 1 = = = 2,12 [Ом]. ωC 2πfC 2 ⋅ 3,14 ⋅ 50 ⋅ 1500 ⋅ 10 −6

Полное сопротивление цепи и амплитуды токов до и после коммутации ≈2 Z − = R общ + X C2 = 27,32 + 2,122 = 27 ,4 [Ом]; −

≈2 Z + = R общ + X C2 = 8,332 + 2,122 = 8,6 [Ом] ; −

20 Em = = 0, 73 [A]; Z − 27, 4 20 E = 2, 33 [A] . I m+ = m = Z + 8, 6 I m− =

Сдвиг фаз между током и напряжением ис точника до и после коммутации −X − 2,12 ϕ − = arctg ≈ C = arctg = −4,44° ; 27 ,3 Rобщ − −X − 2,12 ϕ + = arctg ≈ C = arctg = −14,3° . 8, 33 Rобщ + Сила тока через источник и емкость до и в установившемся режиме после коммутации (принужденная составляющая силы тока)

34

iC≈ − = I m − sin(ωt + ψ i− ) = 0, 73sin(314t + ψ e − − ϕ − ) = 0,73 sin(314t + 34,44 ) [А ] ; ≈ iCпр = I m+ sin(ωt + ψ i + ) = 2,33 sin(314t +ψ e + − ϕ + ) = 2,33sin(314t + 44,3) [А ] . Напряжение на емкости до коммутации и в установившемся режиме после коммутации (принужденная составляющая напряжения) u C≈− = U m − sin(ωt + ψ u − ) = X C ⋅ I m− sin(ωt + ψ i − − 90°) = 1,55 sin(314t − 55,6°) [В]; ≈ u Cпр = U m + sin(ωt + ψ u + ) = X C I m+ sin(ωt + ψ i+ − 90°) = 4,94 sin(314t − 45, 7) [В]. Те же напряжения в момент коммутации (при t = 0)

[ ]

uC≈ − (0) = u C+ (0) + = 1, 55sin( −55, 6° ) = −1, 28 В ; ≈

≈ u Cпр (0 ) = 4,94 sin( −45,7°) = −3,54 [В].

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для преобразованной схемы 1t ≈ ≈ iC (t )dt + uC≈ (0) + iС≈ (t ) ⋅ R общ = E m sin(ωt + ψ e ) . ∫ + С0 Возьмем производную от левой и правой частей diC≈ ≈ 1 Rобщ + + iC≈ = E mω cos(ωt + ψ e ) . dt С Соответс твующее характерис тическое уравнение для дифференциального уравнения ≈ diCсв 1 ≈ ≈ R общ + i = 0 , освобожденного от правой части выглядит так: + dt С Cсв 1 1 1 ≈ αRобщ + = 0 , откуда α = − = = −80[c −1 ]. + ≈ −6 Rобщ + ⋅ С 8, 33 ⋅ 1500 ⋅ 10 С ≈ Обратим внимание на то, что R общ имеет тот же смысл и значение, что и + Rα в расчетах при дейс твии постоянной ЭДС. Решение неоднородного дифференциального уравнения отыскивается в виде ≈ ≈ iC≈ = iСсв + iCпр . Принужденную составляющую силы тока (частное решение неоднородного уравнения) мы уже нашли в виде силы тока в ус тановившемся режиме после коммутации, ≈ iCпр = 2,33sin(314t + 44,3) [A ] . ≈ При t=0 она равна iCпр (0) = 2,33 sin( 44,3°) = 1, 627 [А ]. Свободная составляющая (общее решение однородного уравнения) ≈ = Aeα t . выглядит так: iCсв

35

A – постоянная интегрирования, которая обычно находится из начальных условий задачи. Будем искать А, исходя из знания начальных з начений токов и напряжений. ≈ ≈ ≈ i C≈ (0) + = i Ссв (0) + iCпр (0) = A + iCпр (0) , ≈ откуда A = iC≈ (0) + − iCпр (0) .

Чтобы найти силу тока, текущего через емкость в первый момент после коммутации, составим на этот момент времени уравнение по второму закону Кирхгофа для нашей цепи ≈ R общ ⋅ iC≈ (0)+ + uC (0)+ = E m sin(ψ e ) , +

откуда

E m sin(ψ e ) − u C≈ (0) + 20 ⋅ sin(30°) + 1, 28 = = 1, 354 [A]. i (0 )+ = ≈ 8,33 Rобщ + Теперь постоянная интегрирования А определилась как ≈ C

≈ A = iC≈ (0 )+ − iCпр (0 ) = 1,354 − 1,627 = −0, 273 [A],

а переходный ток через емкость выражается формулой i C≈ (t) = −0, 273 ⋅ e −80t + 2, 33 sin(314t + 44, 3) [А] . 3.2. Операторный метод расчета переходного процесса в цепи с емкостью Будем решать, как и в последнем случае с индуктивностью, без разделения задачи на два этапа, то ес ть учтем сразу действие обеих ЭДС и используем изображение токов, напряжений и ЭДС на комплексной плоскости. Составляем операторную схему цепи.

R1 jE0 /p

I11(p)

R2

I22 (p)

juC(0)/p

E(p)=Emejψ/(p-jω)

1/pC

Рис. 66. Операторная схема цепи с электроемкостью

Составляем систему уравнений по методу контурных токов. E I 11 ( p )( R1 + R 2 ) + I 22 ( p )R 2 = j 0 ; p

36

⎛ Em u (0) 1 ⎞ ⎟⎟ = −j C . I11 ( p )R 2 + I 22 ( p )⎜⎜ R 2 + pC ⎠ p − jω p ⎝ Выражаем первый контурный ток из первого уравнения jE0 R2 I11 ( p ) = − I22 ( p ) ⋅ p( R1 + R2 ) R1 + R2 и подставляем во второе. ⎛ jE 0 R 2 R 22 Em u (0) 1 ⎞ − I 22 ( p) + I22 ( p )⎜⎜ R 2 + ⎟⎟ = − j C . − p(R1 + R 2 ) R1 + R 2 pC p j ω p ⎝ ⎠ Em u (0 ) E0R2 − j C − j p − jω p p( R1 + R3 ) I 22 ( p) = . 1 R 22 − R2 + pC R1 + R2 Выразим отсюда второй контурный ток. После простых преобразований ER p E m − j ⋅ u C (0 )( p − jω ) − j 0 2 ( p − jω ) R1 + R2 I 22 ( p) = . ⎛ 1⎞ R1 R2 ⎜⎜ p + ⎟⎟( p − jω) + R R C⎠ ⎝ 1 2 R ⋅R ≈ Обозначим 1 2 = R общ = Rα . + R1 + R 2 Знаменатель выражения для второго контурного тока будет выглядеть так : 1⎞ 1 ⎛ и p2 = j ω . ⎜ pRα + ⎟( p − jω ) . Его корни p1 = − C⎠ Rα C ⎝ Раскроем скобки в этом знаменателе и возьмем от него производную по p d ⎛ 2 ⎛ 1⎞ 1 1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ p Rα + p⎜ − jωRα ⎟ − jω ⎟ = 2 pRα + − jωRα = 2 pRα − jω⎜⎜ Rα + ⎟. dp ⎝ C⎠ C jωC ⎟⎠ ⎝C ⎠ ⎝ Найдем, как выглядит производная знаменателя при подстановке первого корня вместо p 1 1 1 ⎞ ⎛ −2 Rα + − jωRα = − jω⎜ Rα − j ⎟ = − jω Z , Rα C C ωC ⎠ ⎝ где Z – комплексное сопротивление цепи синусоидальному току, который создает синусоидальная ЭДС, и при подстановке второго корня 1 1 ⎞ ⎛ 2 jωRα − jωRα + = jω⎜ Rα − j ⎟ = jω Z . C ωC ⎠ ⎝

37

Посмотрим, как выглядит числитель при подстановке первого корня ⎛ 1 ⎞ ⎞ E ER ⎛ 1 − m + ju C (0)⎜⎜ + jω ⎟⎟ + j 0 2 ⎜⎜ + jω ⎟⎟ . Rα C R1 + R2 ⎝ Rα C ⎝ Rα C ⎠ ⎠ ⎛ 1 ⎞ R + jω ⎟⎟ на дробь α , получим Домножив и поделив выражение ⎜⎜ jω ⎝ Rα C ⎠ ⎛ 1 ⎞ jω jω ⎜⎜ Rα + ⎟⎟ ⋅ =Z⋅ , где Z – комплексное сопротивление цепи j C R R ω α ⎝ ⎠ α синусоидальному установившемуся току (принужденной составляющей), протекающему под действием переменной ЭДС. Теперь числитель будет выглядеть так: E jω ER jω − m + ju C (0) ⋅ Z ⋅ + j 0 2 ⋅Z ⋅ . Rα C Rα R1 + R2 Rα После деления на знаменатель с подстановкой того же корня получим Em u C≈ (0) u C= (0) E0 1 1 1 ⋅ ⋅ −j −j +j ⋅ R2 ⋅ . Z jωC Rα Rα Rα R1 + R 2 Rα Рассмотрим подробнее это выражение. Во-первых, как можно заметить, u C (0) разбито здесь на два слагаемых: на начальное напряжение на емкости, вызванное пос тоянной ЭДС, и начальное напряжение на емкости, вызванное синусоидальной ЭДС. Первая дробь есть не что иное, как комплексное изображение принужденной составляющей тока, протекающего через емкость в начальный момент времени. Умножение на вторую дробь дает комплексное изображение принужденной составляющей напряжения на емкости в начальный момент времени. Проекция этого комплекса на ось мнимых – это мгновенное значение напряжения при t = 0 , которая после деления на R α дает значение тока, ≈ , а значит и вызванного этим напряжением, через сопротивление R α = R общ + через емкость. Второе слагаемое уже спроектировано на ось мнимых и, ≈ или, что то же, через очевидно, представляет собой силу тока через R α = R общ + емкость, вызываемый напряжением, созданным переменной ЭДС на емкости к моменту коммутации. Разность силы этих токов, как можно заметить, и ес ть постоянная интегрирования А, которую мы получали, решая задачу классическим методом, когда рассматривали действие синусоидальной ЭДС. Теперь вспомним, что ее еще надо умножить на eα t , и мы убедимся, что получили свободную составляющую в переходном процессе от действия переменной ЭДС. Применив ту же цепочку рассуждений к последнему слагаемому, а затем к предпоследнему, убедимся в том, что имеем дело со свободной составляющей от действия постоянной ЭДС. То есть по час ти свободных составляющих результаты совпадают. Подс тавим теперь второй корень в числитель и знаменатель второго слагаемого теоремы разложения.

38

Второе и третье слагаемые числителя обращаются в ноль, а знаменатель только сменит знак. Итак, получаем j ω E m jω t j e = I m e jωt = I m e ψ e jωt = I m e j( ωt +ψ ) = I m cos(ωt +ψ i ) + jI m sin(ωt +ψ i ) . jω Z Проекция на ось мнимых как раз и есть принужденная составляющая тока, вызванного синусоидальной ЭДС. Сложив свободные составляющие тока от постоянной и от переменной ЭДС и добавив к ним принужденную составляющую, получим точно такое же решение, что и классическим методом. Числовые значения здесь приводить не будем, поскольку все это вычислялось в разделе, посвященном классическому методу. i

i

39

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Зыкин, Ф. А. Теоретические основы электротехники: методические указания и контрольные задания для студентов ч. 2 / Ф. А. Зыкин, Т. С. Чистякова. − Ульяновск : УлГТУ, 1995. − 76 с. 2. Борисов, Ю. М. Электротехника: учебник для вузов. –/Ю. М. Борисов и др. 2-е изд. перераб. и доп. – М. : Энергоатомиздат, 1985 (и все последующие издания). 3. Касаткин, А. С. Электротехника: учебное пособие для вузов. – /А. С. Касаткин, М. В. Немцов. 4-е изд. – М. : Энергоатомиздат, 1983 (и последующие издания). 4. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники /Л. А. Бессонов. – М. : Высшая школа, 1973 (и все последующие издания). 5. Нейман, Л. Р. Теоретические основы электротехники, т. 1 /Л. Р. Нейман, К. С. Демирчян. – М.–Л. : Энергия, 1965 (и все последующие издания).

40

С О ДЕРЖ А НИЕ ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………………. 3 1. ЗАДАНИЕ……………………………………………………………………… 5 2. ПРИМЕР ЦЕПИ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ ………………………………….. 12 2.1. Решение классическим методом …………………………………………. 12 2.1.1. Определение силы переходного тока от действия постоянной ЭДС …………………………………….. 12 2.1.2. Расчет силы переходного тока от действия синусоидальной ЭДС …………………………..……. 15 2.1.3. Графики переходных процессов ………………………………….. 17 2.2. Решение операторным методом …….…………………………………... 21 2.2.1. Расчет силы переходного тока операторным методом от действия синусоидальной ЭДС ……………………………….. 21 2.2.2. Расчет силы переходного тока операторным методом от действия пос тоянной ЭДС ……………..………………………. 24 2.2.3. Операторный метод с комплексными изображениями токов и напряжений ………………………………………………… 25 3. ПРИМЕР ЦЕПИ С ЕМКОСТЬЮ ……………………………………………. 29 3.1. Классический метод ……………………………………………………… 30 3.1.1. Расчет силы тока через емкость от постоянной ЭДС классическим методом ………………….…. 30 3.1.2. Расчет силы переходного тока, вызванного синусоидальной ЭДС ………………………………… 32 3.2. Операторный метод расчета переходного процесса в цепи с емкостью ……………………………………………………….. 35

Учебное издание

Переходные процессы в простых электрических цепях Методические указания и контрольные задания к расчетно -графическим работам для студентов неэлектротехнических специальностей Составитель ГОЛОБОРОДЬКО Евгений Иванович Редактор Н. А. Евдокимова Подписано в печать 15.12.2006 Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная.Усл.печ.л. 2,2 Уч.-изд. л. 2,00. Тираж 100 экз. Заказ . Ульяновский государственный технический университет 432027, Ульяновск, Сев.Венец, 32. Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев.Венец, 32.