ɈȽɅȺȼɅȿɇɂȿ ɗɅȿɆȿɇɌȺɊɇȺə ɌȿɈɊɂə ȼȿɊɈəɌɇɈɋɌȿɃ Ʌɟɤɰɢɢ 1 – 2. ɋɅɍɑȺɃɇɕȿ ɋɈȻɕɌɂə ............................................................... 7 1.1. ȼɜɟɞɟɧɢɟ...................................................................................................... 7 1.2. Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ...................................................................................... 8 1.3. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ. ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ....................................................... 10 1.3.1. Ɉɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɚɹ ɱɚɫɬɨɬɚ ɫɨɛɵɬɢɹ, ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ............................................................................................. 10 1.3.2. Ʉɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ........................................... 11 1.3.2.1. Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɢ........................................ 11 ȼɵɛɨɪɤɢ ɛɟɡ ɜɨɡɜɪɚɳɟɧɢɹ ....................................................... 12 ȼɵɛɨɪɤɢ ɫ ɜɨɡɜɪɚɳɟɧɢɟɦ......................................................... 13 1.3.3. Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ........................................ 14 1.3.4. Ⱥɤɫɢɨɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ...................................... 15 2.1. Ɍɟɨɪɟɦɚ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ .............................................................. 16 2.2. ɍɫɥɨɜɧɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ. Ɍɟɨɪɟɦɚ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ.... 16 2.3. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ ................................... 18 2.4. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɩɨɥɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ................................................................... 19 2.5. Ɏɨɪɦɭɥɚ Ȼɟɣɟɫɚ (ɬɟɨɪɟɦɚ ɝɢɩɨɬɟɡ) .......................................................... 20 2.6. ɉɨɜɬɨɪɟɧɢɟ ɨɩɵɬɨɜ. Ɏɨɪɦɭɥɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ................................................. 22 2.7. ɉɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɫɥɭɱɚɢ ɮɨɪɦɭɥɵ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ .................................................. 24 2.7.1. Ʌɨɤɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ Ɇɭɚɜɪɚ-Ʌɚɩɥɚɫɚ ............................ 24 2.7.2. ɂɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ Ɇɭɚɜɪɚ- Ʌɚɩɥɚɫɚ...................... 24 2.7.3. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɉɭɚɫɫɨɧɚ .............................................................................. 25 Ʌɟɤɰɢɢ 3 – 5. ɋɅɍɑȺɃɇɕȿ ȼȿɅɂɑɂɇɕ ............................................................ 27 3.1. ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ȼɢɞɵ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. Ɂɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ................................................ 27 3.1.1. Ȼɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɭɚɫɫɨɧɚ. ɉɨɬɨɤ ɫɨɛɵɬɢɣ..................................................................................... 29 3.2. Ɏɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ....................................... 30 3.3. ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ. ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ............. 32 3.4. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ...................................... 34 3.4.1. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ................................................................. 34 3.4.2. Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ. ɋɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ............................ 35 3.4.3. Ɇɨɞɚ, ɦɟɞɢɚɧɚ, ɤɜɚɧɬɢɥɢ ................................................................... 36 3.4.4. Ɇɨɦɟɧɬɵ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ............................................................ 37 4.1. Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɢ ɢɯ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ .................................................................... 41 4.1.1. Ȼɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ............................................................ 41 3
4.1.2. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɭɚɫɫɨɧɚ .................................................................... 42 4.1.3. Ɋɚɜɧɨɦɟɪɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ .............................................................. 43 4.1.4. ɉɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ........................................................... 45 4.1.5. ɇɨɪɦɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ (ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ƚɚɭɫɫɚ) ...................... 46 5.1. Ɏɭɧɤɰɢɢ ɨɬ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ............................................................. 48 5.2. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɮɭɧɤɰɢɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ .................... 51 5.3. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɫɜɹɡɚɧɧɵɟ ɫ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦ ............................................... 52 2
5.3.1. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ F (ɉɢɪɫɨɧɚ)............................................................. 52 5.3.2. t – ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ............................................................ 53 5.3.3. F – ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɏɢɲɟɪɚ – ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ .......................................... 54 Ʌɟɤɰɢɹ 6. ɆɇɈȽɈɆȿɊɇɕȿ ɋɅɍɑȺɃɇɕȿ ȼȿɅɂɑɂɇɕ.................................. 55 6.1. Ɇɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ........................................................ 55 6.1.1. Ɏɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ........ 56 6.1.2. Ⱦɢɫɤɪɟɬɧɵɟ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ (ȾɆɋȼ) ............. 57 6.1.3. ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ (ɇɆɋȼ) .......... 59 6.2. Ɂɚɜɢɫɢɦɵɟ ɢ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ.................................... 60 6.2.1. ɍɫɥɨɜɧɵɟ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ...................................................... 61 6.3. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ................. 63 6.3.1. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ................... 64 6.3.2. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɭɫɥɨɜɧɵɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ...................... 67 6.3.3. Ʌɢɧɟɣɧɚɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɹ. ɉɪɹɦɵɟ ɥɢɧɢɢ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ.............................................................................................. 68 6.3.4. Ʌɢɧɟɣɧɚɹ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɹ. Ⱦɜɭɦɟɪɧɵɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ...................................................................................... 70 Ʌɟɤɰɢɹ 7. ɉɊȿȾȿɅɖɇɕȿ ɌȿɈɊȿɆɕ ɌȿɈɊɂɂ ȼȿɊɈəɌɇɈɋɌȿɃ ................... 72 7.1. Ɂɚɤɨɧ ɛɨɥɶɲɢɯ ɱɢɫɟɥ (ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɬɟɨɪɟɦɵ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ)..... 72 7.1.1. ɇɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɑɟɛɵɲɟɜɚ....................................................................... 73 7.1.2. Ɍɟɨɪɟɦɚ ɑɟɛɵɲɟɜɚ .............................................................................. 75 7.1.3. Ɍɟɨɪɟɦɚ Ɇɚɪɤɨɜɚ................................................................................. 76 7.1.4. Ɍɟɨɪɟɦɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ............................................................................... 77 7.2. ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ ............................................................. 78 7.2.1. Ɏɨɪɦɭɥɚ Ɇɭɚɜɪɚ-Ʌɚɩɥɚɫɚ ɤɚɤ ɱɚɫɬɧɵɣ ɫɥɭɱɚɣ .............................. ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɣ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨɣ ɬɟɨɪɟɦɵ .................................................... 79
4
ɗɅȿɆȿɇɌɕ ɆȺɌȿɆȺɌɂɑȿɋɄɈɃ ɋɌȺɌɂɋɌɂɄɂ Ʌɟɤɰɢɢ 8 - 10. ȼɕȻɈɊɄɂ. ɋɌȺɌɂɋɌɂɑȿɋɄɂȿ ɈɐȿɇɄɂ ɉȺɊȺɆȿɌɊɈȼ ɊȺɋɉɊȿȾȿɅȿɇɂə ............................................ 82 8.1. Ɂɚɞɚɱɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ......................................................... 82 8.2. Ƚɟɧɟɪɚɥɶɧɚɹ ɢ ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ. ɋɩɨɫɨɛɵ ɨɬɛɨɪɚ ................. 83 8.3. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ................................................. 85 8.4. ɉɨɥɢɝɨɧ ɢ ɝɢɫɬɨɝɪɚɦɦɚ ............................................................................. 87 8.5. ɗɦɩɢɪɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ................................................... 88 8.6. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɵɛɨɪɤɢ.. 90 8.7. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ .......................... 92 9.1. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ............................... 93 9.2. Ɍɨɱɟɱɧɵɟ ɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ. Ⱦɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ, ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɨɰɟɧɤɢ, ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ (ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶ).................. 94 9.3. ɇɟɫɦɟɳɟɧɧɵɟ, ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɵɟ ɢ ɫɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ .......................... 96 9.4. Ɍɨɱɟɱɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɩɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɦɭ ɫɪɟɞɧɟɦɭ ......................................................................... 96 9.5. Ɍɨɱɟɱɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɩɨ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɨɣ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ............................................... 97 9.6. Ɇɟɬɨɞ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɞɥɹ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ..... 98 9.7. Ɇɟɬɨɞ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ ɞɥɹ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ .....................................................................100 10.1. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ ............................................................................103 10.2. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɩɪɢ ɢɡɜɟɫɬɧɨɦ V. ....................104 10.3. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɩɪɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɦ V. ................106 10.4. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ V ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ.........................................................................108 Ʌɟɤɰɢɢ 11 - 12. ɉɊɈȼȿɊɄȺ ɋɌȺɌɂɋɌɂɑȿɋɄɂɏ ȽɂɉɈɌȿɁ .........................111 11.1. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ. ɉɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ ɢ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ, ɧɭɥɟɜɚɹ ɢ ɤɨɧɤɭɪɢɪɭɸɳɚɹ, ɩɪɨɫɬɚɹ ɢ ɫɥɨɠɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɵ...................111 11.2. Ɉɲɢɛɤɢ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɪɨɞɚ...........................................................112 11.3. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɣ ɤɪɢɬɟɪɢɣ. Ʉɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ. Ɉɛɥɚɫɬɶ ɩɪɢɧɹɬɢɹ ɝɢɩɨɬɟɡɵ. Ʉɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ................................113 11.4. ɍɪɨɜɟɧɶ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ ɢ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɤɪɢɬɟɪɢɹ.........................................114 11.5. ȼɢɞɵ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɯ ɨɛɥɚɫɬɟɣ .................................................................115 11.6. Ɇɟɬɨɞɢɤɚ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡ..................................................................115 12.1. ɇɟɤɨɬɨɪɵɟ ɬɢɩɢɱɧɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ ...117 12.1.1 ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɝɢɩɨɬɟɡ ɨ ɞɨɥɟ ɩɪɢɡɧɚɤɚ .................................................117 5
12.1.2 ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɝɢɩɨɬɟɡ ɨ ɫɪɟɞɧɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɢ...........................................121 12.1.3 ɋɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɞɜɭɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ...................................125 12.1.4 ɋɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɨɣ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɫ ɝɢɩɨɬɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɟɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ .............127 12.2. ɇɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ ɝɢɩɨɬɟɡɵ. Ʉɪɢɬɟɪɢɢ ɫɨɝɥɚɫɢɹ ɉɢɪɫɨɧɚ ɢ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ .........................................................................128 12.2.1 Ʉɪɢɬɟɪɢɣ ɉɢɪɫɨɧɚ ...........................................................................129 12.2.2. Ʉɪɢɬɟɪɢɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ...................................................................132 Ʌɟɤɰɢɢ 13-14. ɋɌȺɌɂɋɌɂɑȿɋɄɈȿ ɂɋɋɅȿȾɈȼȺɇɂȿ ɁȺȼɂɋɂɆɈɋɌȿɃ. ɄɈɊɊȿɅəɐɂɈɇɇɕɃ ɂ ɊȿȽɊȿɋɋɂɈɇɇɕɃ ȺɇȺɅɂɁ...........134 13. Ɉɫɧɨɜɵ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ.................................................................134 13.1. Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ..................................................................................134 13.2. ɗɥɟɦɟɧɬɵ ɬɟɨɪɢɢ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ. Ⱥɧɚɥɢɡ ɩɚɪɧɵɯ ɫɜɹɡɟɣ ......................136 13.3. Ɉɰɟɧɤɚ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɹ ɫɜɹɡɢ ɩɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɦ ɞɚɧɧɵɦ. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɟ ɩɨɥɟ .............................................................................139 13.4. Ⱥɧɚɥɢɡ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ.......................................................140 13.4.1. Ɍɨɱɟɱɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ...............................140 13.4.2. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ .....................................................................142 14. Ɉɫɧɨɜɵ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ....................................................................144 14.1. ɍɫɥɨɜɧɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ. ȼɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ .....................144 14.2. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɚɹ ɬɚɛɥɢɰɚ. ȼɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɥɢɧɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ.................145 14.3. Ʌɢɧɟɣɧɚɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɹ. ȼɵɛɨɪɨɱɧɵɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ..........149 Ʌɟɤɰɢɢ 15-16. ɈɋɇɈȼɕ ȾɂɋɉȿɊɋɂɈɇɇɈȽɈ ȺɇȺɅɂɁȺ.............................151 15.1. ɂɫɯɨɞɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ..................................................................................151 15.2. Ƚɪɭɩɩɨɜɨɟ ɢ ɨɛɳɟɟ ɫɪɟɞɧɟɟ. Ƚɪɭɩɩɨɜɚɹ, ɜɧɭɬɪɢɝɪɭɩɩɨɜɚɹ, ɦɟɠɝɪɭɩɩɨɜɚɹ ɢ ɨɛɳɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ........................................................152 15.3. Ɉɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ ɩɪɢ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɫɥɭɱɚɣɧɨɦ ɩɥɚɧɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ...........................................................................................155 16.1. Ɉɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ ɩɪɢ ɝɪɭɩɩɢɪɨɜɤɟ ɩɨ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɛɥɨɤɚɦ.....159 16.2. Ⱦɜɭɯɮɚɤɬɨɪɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ ɩɪɢ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɫɥɭɱɚɣɧɨɦ ɩɥɚɧɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ.................................................................................162 ɉɊɂɅɈɀȿɇɂə .......................................................................................................167 ȻɂȻɅɂɈȽɊȺɎɂɑȿɋɄɂɃ ɋɉɂɋɈɄ....................................................................186
6
ɗɅȿɆȿɇɌȺɊɇȺə ɌȿɈɊɂə ȼȿɊɈəɌɇɈɋɌȿɃ Ʌɟɤɰɢɢ 1–2 ɋɅɍɑȺɃɇɕȿ ɋɈȻɕɌɂə ȼ ɥɟɤɰɢɹɯ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɸɬɫɹ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ: ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ. ɉɪɢɜɟɞɟɧɵ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɜɚɪɢɚɧɬɵ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ, ɨɬɪɚɠɚɸɳɢɟ ɢɫɬɨɪɢɱɟɫɤɨɟ ɪɚɡɜɢɬɢɟ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ, ɢɡɥɨɠɟɧɵ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɬɟɨɪɟɦɵ, ɩɪɢɦɟɧɹɟɦɵɟ ɩɪɢ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɦɨɞɟɥɟɣ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ.
1.1. ȼɜɟɞɟɧɢɟ 1.2. Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ 1.3. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ. ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 1.3.1. Ɉɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɚɹ ɱɚɫɬɨɬɚ ɫɨɛɵɬɢɹ, ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ 1.3.2. Ʉɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ 1.3.3. Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ 1.3.4. Ⱥɤɫɢɨɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ 2.1. Ɍɟɨɪɟɦɚ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ 2.2. ɍɫɥɨɜɧɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ. Ɍɟɨɪɟɦɚ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ 2.3. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ 2.4. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɩɨɥɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ 2.5. Ɏɨɪɦɭɥɚ Ȼɟɣɟɫɚ (ɬɟɨɪɟɦɚ ɝɢɩɨɬɟɡ) 2.6. ɉɨɜɬɨɪɟɧɢɟ ɨɩɵɬɨɜ. Ɏɨɪɦɭɥɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ 2.7. ɉɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɫɥɭɱɚɢ ɮɨɪɦɭɥɵ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ 2.7.1. Ʌɨɤɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ Ɇɭɚɜɪɚ-Ʌɚɩɥɚɫɚ 2.7.2. ɂɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ Ɇɭɚɜɪɚ-Ʌɚɩɥɚɫɚ 2.7.3. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɉɭɚɫɫɨɧɚ
1.1. ȼɜɟɞɟɧɢɟ ɇɚɛɥɸɞɚɟɦɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ ɦɨɠɧɨ ɪɚɡɞɟɥɢɬɶ ɧɚ ɬɪɢ ɝɪɭɩɩɵ: ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɵɟ, ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɵɟ, ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ. ɉɪɢ ɫɨɡɞɚɧɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɨ ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɬ, ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɵɟ – ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɨ ɧɟ ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɬ, ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ – ɦɨɝɭɬ ɢ ɩɪɨɢɡɨɣɬɢ, ɢ ɧɟ ɩɪɨɢɡɨɣɬɢ. ɋɤɚɠɟɦ, ɩɪɢ ɩɨɞɛɪɚɫɵɜɚɧɢɢ ɦɨɧɟɬɵ ɫɨɛɵɬɢɟ «ɦɨɧɟɬɚ ɭɩɚɞɟɬ» – ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɨɟ, ɫɨɛɵɬɢɟ «ɦɨɧɟɬɚ ɨɫɬɚɧɟɬɫɹ ɜɢɫɟɬɶ ɜ ɜɨɡɞɭɯɟ» – ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨɟ, ɫɨɛɵɬɢɟ «ɦɨɧɟɬɚ ɭɩɚɞɟɬ ɝɟɪɛɨɦ ɜɜɟɪɯ» – ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɟ ɢɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨɟ. Ɍɟɨɪɢɟɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɚɭɤɚ, ɢɡɭɱɚɸɳɚɹ ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɨɫɬɢ ɜ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɹɯ. Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɤ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦɭ ɫɨɛɵɬɢɸ ɦɨɝɥɢ ɛɵɬɶ ɩɪɢɦɟɧɟɧɵ ɦɟɬɨɞɵ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɚ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɶ ɦɧɨɝɨɤɪɚɬɧɨɝɨ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ ɩɪɢ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɢ ɤɨɦɩɥɟɤɫɚ ɭɫɥɨɜɢɣ. ȼ ɪɚɦɤɚɯ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬ-
8
Ʌɟɤɰɢɢ 1-2
ɧɨɫɬɟɣ ɬɟɪɦɢɧ ɫɥɭɱɚɣɧɨɟ ɹɜɥɟɧɢɟ (ɫɨɛɵɬɢɟ) ɨɬɧɨɫɢɬɫɹ ɤ ɢɦɟɧɧɨ ɬɚɤɢɦ ɫɨɛɵɬɢɹɦ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨɝɭɬ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶɫɹ ɦɧɨɝɨɤɪɚɬɧɨ. ɋ ɷɬɨɣ ɬɨɱɤɢ ɫɨɛɵɬɢɹ «ɦɚɬɱ ɜɵɢɝɪɚɟɬ ɤɨɦɚɧɞɚ Ⱥ» ɢɥɢ «ɉɚɲɚ ɠɟɧɢɬɫɹ ɧɚ Ɇɚɲɟ» – ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ, ɧɨ ɧɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜ ɫɦɵɫɥɟ, ɜɤɥɚɞɵɜɚɟɦɨɦ ɜ ɷɬɨ ɩɨɧɹɬɢɟ ɜ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ: ɨɧɢ ɧɟ ɦɨɝɭɬ ɩɨɜɬɨɪɢɬɶɫɹ ɩɪɢ ɬɨɱɧɨ ɬɚɤɢɯ ɠɟ ɭɫɥɨɜɢɹɯ, ɩɪɢ ɩɨɜɬɨɪɧɨɣ ɜɫɬɪɟɱɟ ɢɝɪɨɤɢ ɛɭɞɭɬ ɜ ɢɧɨɣ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɣ ɮɨɪɦɟ, ɦɨɥɨɞɵɟ ɥɸɞɢ ɛɭɞɭɬ ɨɛɥɚɞɚɬɶ ɢɧɵɦ ɨɩɵɬɨɦ ɢ ɬ.ɩ. ɗɥɟɦɟɧɬɵ ɫɥɭɱɚɣɧɨɫɬɢ ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɭɸɬ ɜɨ ɜɫɟɯ ɹɜɥɟɧɢɹɯ ɩɪɢɪɨɞɵ. ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɧɟɛɪɟɱɶ, ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɹ ɜɦɟɫɬɨ ɪɟɚɥɶɧɨɝɨ ɹɜɥɟɧɢɹ ɟɝɨ ɦɨɞɟɥɶ. ɗɬɨ ɫɯɟɦɚ ɬɨɱɧɵɯ ɧɚɭɤ: ɨɬ ɭɫɥɨɜɢɣ ɨɩɵɬɚ ɤ ɟɝɨ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨɦɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɭ. ȿɫɬɶ ɡɚɞɚɱɢ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɷɬɚ ɫɯɟɦɚ ɩɥɨɯɚ. ɗɬɨ ɡɚɞɚɱɢ, ɝɞɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɨɩɵɬɚ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɛɨɥɶɲɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɮɚɤɬɨɪɨɜ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɭɱɟɫɬɶ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ.
1.2. Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ ɉɭɫɬɶ ɩɪɨɜɨɞɢɬɫɹ ɧɟɤɨɬɨɪɵɣ ɨɩɵɬ (ɤɚɤ ɫɢɧɨɧɢɦɵ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɧɚɡɜɚɧɢɹ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ, ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɟ, ɢɫɩɵɬɚɧɢɟ), ɢɫɯɨɞ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɪɟɞɫɤɚɡɚɬɶ ɡɚɪɚɧɟɟ ɧɟɥɶɡɹ. Ɉ ɋɥɭɱɚɣɧɵɦ ɫɨɛɵɬɢɟɦ (ɫɨɛɵɬɢɟɦ, ɢɫɯɨɞɨɦ) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɥɸɛɨɣ ɢɫɯɨɞ ɨɩɵɬɚ, ɤɨɬɨɪɵɣ ɦɨɠɟɬ ɩɪɨɢɡɨɣɬɢ ɢɥɢ ɧɟ ɩɪɨɢɡɨɣɬɢ. ɋɨɛɵɬɢɹ ɨɛɵɱɧɨ ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬɫɹ ɡɚɝɥɚɜɧɵɦɢ ɥɚɬɢɧɫɤɢɦɢ ɛɭɤɜɚɦɢ. ɉɪɢɦɟɪ:
Ɉ
ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɦ ɢɫɯɨɞɨɦ (ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɦ ɫɨɛɵɬɢɟɦ) ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɥɸɛɨɣ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɣ (ɧɟɞɟɥɢɦɵɣ ɜ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɞɚɧɧɨɝɨ ɨɩɵɬɚ) ɢɫɯɨɞ ɨɩɵɬɚ. ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɢɫɯɨɞɵ ɞɨɥɠɧɵ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ: – ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ ɨɞɢɧ ɢɡ ɢɫɯɨɞɨɜ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɨ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ; – ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ ɢɫɤɥɸɱɚɟɬ ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɨɫɬɚɥɶɧɵɯ; – ɜ ɪɚɦɤɚɯ ɞɚɧɧɨɝɨ ɨɩɵɬɚ ɧɟɥɶɡɹ ɪɚɡɞɟɥɢɬɶ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɣ ɢɫɯɨɞ ɧɚ ɛɨɥɟɟ ɦɟɥɤɢɟ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɟ.
ɉɪɢɦɟɪ:
Ɉ
Ɉɩɵɬ – ɛɪɨɫɚɧɢɟ ɦɨɧɟɬɵ; ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ – ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɝɟɪɛɚ.
ɉɪɢ ɛɪɨɫɚɧɢɢ ɢɝɪɚɥɶɧɨɣ ɤɨɫɬɢ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ɨɱɤɨɜ, ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ 4 ɨɱɤɨɜ – ɫɨɛɵɬɢɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɟ, ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɱɟɬɧɨɝɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɨɱɤɨɜ – ɫɨɛɵɬɢɟ ɧɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɟ, ɨɧɨ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬɫɹ ɢɡ 3 ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ: ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ 2, ,4 ɢɥɢ 6 ɨɱɤɨɜ.
Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ (ɢɫɯɨɞɨɜ), ɫɜɹɡɚɧɧɵɯ ɫ ɞɚɧɧɵɦ ɨɩɵɬɨɦ, ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɦ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ : , ɤɨɬɨɪɨɟ ɨɬɨɠɞɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ ɫ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɵɦ ɫɨɛɵɬɢɟɦ. ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɢɫɯɨɞɵ Zi : – ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɷɬɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ.
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
! Ɉ
!
Ɉ
Ɉ
Ɉ
Ɉ
Ɉ
Ɉ
Ɉ
9
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɫɨɛɵɬɢɹ ɛɭɞɭɬ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶɫɹ ɤɚɤ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ, ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɧɵɟ ɢɡ «ɛɨɥɟɟ ɩɪɨɫɬɵɯ» ɫɨɛɵɬɢɣ, ɧɚɩɨɦɧɢɦ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɧɚɞ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɦɢ. Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɥɸɛɚɹ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɣ ɩɪɢɪɨɞɵ, ɤɚɠɞɵɣ ɢɯ ɤɨɬɨɪɵɯ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɷɥɟɦɟɧɬɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ. ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ (ɢ ɫɨɛɵɬɢɹ) ɛɭɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶ ɛɨɥɶɲɢɦɢ ɥɚɬɢɧɫɤɢɦɢ ɛɭɤɜɚɦɢ, ɷɥɟɦɟɧɬɵ – ɦɚɥɵɦɢ ɥɚɬɢɧɫɤɢɦɢ, a A – «ɷɥɟɦɟɧɬ a ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ A ». ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɧɚɞ ɫɨɛɵɬɢɹɦɢ (ɢ ɧɚɞ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɦɢ) ɛɭɞɟɦ ɢɥɥɸɫɬɪɢɪɨɜɚɬɶ ɞɢɚɝɪɚɦɦɚɦɢ ɗɣɥɟɪɚ – ȼɟɧɧɚ. ȼ ɧɢɯ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɢɫɯɨɞɨɜ ɢɡɨɛɪɚɠɚɟɬɫɹ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɜ ɜɢɞɟ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ, ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ – ɬɨɱɤɚɦɢ ɜɧɭɬɪɢ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ, ɛɨɥɟɟ ɫɥɨɠɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ – ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɚɦɢ ɬɨɱɟɤ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ. ɉɭɫɬɵɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ, ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɟ ɧɢ ɨɞɧɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ (ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ Ø). ɉɭɫɬɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨɦɭ ɫɨɛɵɬɢɸ, ɬ.ɟ. ɬɚɤɨɦɭ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɜ ɞɚɧɧɨɦ ɨɩɵɬɟ ɜɨɨɛɳɟ ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɩɪɨɢɡɨɣɬɢ. Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ȼ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ⱥ, ɟɫɥɢ ɜɫɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ȼ ɫɨɞɟɪɠɚɬɫɹ ɜ Ⱥ. Ɉɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ B A . ɉɟɪɟɫɟɱɟɧɢɟɦ (ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɦ) ɦɧɨɠɟɫɬɜ Ⱥ ɢ ȼ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ D A B ( D A u B , D AB ), ɫɨɫɬɨɹɳɟɟ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ, ɜɯɨɞɹɳɢɯ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɢ ɜ Ⱥ, ɢ ɜ ȼ. ɋɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɢ ȼ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɦɢ (ɧɟɩɟɪɟɫɟɤɚɸɳɢɦɢɫɹ), ɟɫɥɢ ɨɧɢ ɧɟ ɦɨɝɭɬ ɩɨɹɜɢɬɶɫɹ ɜɦɟɫɬɟ (ɢɯ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɵɦ ɫɨɛɵɬɢɟɦ, AB ). Ɉɛɴɟɞɢɧɟɧɢɟɦ (ɫɭɦɦɨɣ) ɦɧɨɠɟɫɬɜ Ⱥ ɢ ȼ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ C A B ( C A B ), ɫɨɫɬɨɹɳɟɟ ɢɡ ɜɫɟɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ, ɜɯɨɞɹɳɢɯ ɯɨɬɹ ɛɵ ɜ ɨɞɧɨ ɢɡ ɦɧɨɠɟɫɬɜ Ⱥ ɢɥɢ ȼ. (Ⱥ ɢ ȼ ɫɦ. ɧɚ ɩɟɪɜɨɦ ɪɢɫɭɧɤɟ) Ɋɚɡɧɨɫɬɶɸ ɦɧɨɠɟɫɬɜ Ⱥ ɢ ȼ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ F A B ( F A B ), ɫɨɫɬɨɹɳɟɟ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ, ɜɯɨɞɹɳɢɯ ɜ Ⱥ, ɢ ɧɟ ɜɯɨɞɹɳɢɯ ɜ ȼ. ɉɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵɦ ɫɨɛɵɬɢɸ A ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɨɛɵɬɢɟ A , ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɳɟɟ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɧɟ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɫɨɛɵɬɢɟ A . ɂɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɬɚɤɠɟ ɬɟɪɦɢɧ ɞɨɩɨɥɧɟɧɢɟ ɫɨɛɵɬɢɹ A : A : A .
10 Ɉ
Ʌɟɤɰɢɢ 1-2
ɋɨɛɵɬɢɹ A1 , A2 ,...An ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨɥɧɭɸ ɝɪɭɩɩɭ ɫɨɛɵɬɢɣ, ɟɫɥɢ: 1) Ai Aj , i z j , 2) A1 A2 ... An : .
ɉɪɢɦɟɪ:
ɉɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ :. ȼɵɩɚɞɟɧɢɟ ɝɟɪɛɚ ɢ ɜɵɩɚɞɟɧɢɟ ɪɟɲɤɢ ɩɪɢ ɛɪɨɫɚɧɢɢ ɦɨɧɟɬɵ.
1.3. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ. ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɉɨɹɜɥɟɧɢɟ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɤɚɤɨɣ-ɬɨ ɫɬɟɩɟɧɶɸ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɢ, ɤɨɬɨɪɭɸ ɦɨɠɧɨ ɢɡɦɟɪɢɬɶ ɱɢɫɥɟɧɧɨ. ɗɬɨ ɱɢɫɥɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɫɨɛɵɬɢɹ. Ɉ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ, ɬ.ɟ. ɬɚɤɨɝɨ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ ɧɟɢɡɛɟɠɧɨ ɞɨɥɠɧɨ ɩɪɨɢɡɨɣɬɢ, ɪɚɜɧɚ 1. Ɉ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ, ɬ.ɟ. ɬɚɤɨɝɨ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɜ ɞɚɧɧɨɦ ɨɩɵɬɟ ɜɨɨɛɳɟ ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɩɪɨɢɡɨɣɬɢ, ɪɚɜɧɚ 0. ! ȼɫɟ ɫɨɛɵɬɢɹ, ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ, ɧɨ ɧɟ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɵɟ, ɛɭɞɭɬ ɢɦɟɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɦɟɠɞɭ 0 ɢ 1. Ɉ
ɉɪɢɦɟɪ: ȼɵɩɚɞɟɧɢɟ ɝɟɪɛɚ ɢ ɜɵɩɚɞɟɧɢɟ ɪɟɲɤɢ ɩɪɢ ɛɪɨɫɚɧɢɢ ɦɨɧɟɬɵ.
1.3.1. Ɉɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɚɹ ɱɚɫɬɨɬɚ ɫɨɛɵɬɢɹ, ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɉɭɫɬɶ ɩɪɨɜɟɞɟɧɚ ɫɟɪɢɹ ɢɡ n ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ ɩɪɢ ɨɞɧɢɯ ɢ ɬɟɯ ɠɟ ɭɫɥɨɜɢɹɯ; ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɮɢɤɫɢɪɭɟɬɫɹ ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɢ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ m ɪɚɡ. ɑɢɫɥɨ m ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ. əɫɧɨ, ɱɬɨ 0d md n. Ɉ Ɉɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɣ ɱɚɫɬɨɬɨɣ W A ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɢɫɥɚ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ, ɜ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɩɨɹɜɢɥɨɫɶ, ɤ ɱɢɫɥɭ ɜɫɟɯ ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɵɯ m . ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ: W A n ȿɫɥɢ ɩɪɨɜɨɞɢɬɶ ɫɟɪɢɢ ɨɩɵɬɨɜ ɫ ɛɨɥɶɲɢɦ ɱɢɫɥɨɦ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ ɩɪɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ, ɬɨ ɜɨ ɦɧɨɝɢɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɚɹ ɱɚɫɬɨɬɚ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ ɛɭɞɟɬ ɦɚɥɨ ɦɟɧɹɬɶɫɹ ɨɬ ɫɟɪɢɢ ɤ ɫɟɪɢɢ. ɗɬɨɬ ɮɚɤɬ (ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɚɹ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɶ) ɩɪɨɜɟɪɟɧ ɦɧɨɝɨɤɪɚɬɧɨ ɜ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɯ. Ɉ
Ɉ
ɑɢɫɥɨ, ɨɤɨɥɨ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɝɪɭɩɩɢɪɭɸɬɫɹ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɚɫɬɨɬɵ ɩɪɢ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɢ ɱɢɫɥɚ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ. Ɉɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ: P A . ɂ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɚɹ ɱɚɫɬɨɬɚ, ɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɨɛɥɚɞɚɸɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦɢ:
11
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
1. 0 d P A d 1 , ɬ.ɤ. P A
m , ɢ m t 0,n ! 0 , m d n . n
2. P : 1 , ɬ.ɤ. m n . 0 3. P 0 , ɬ.ɤ. 0. n 4. P A B P A P B , ɟɫɥɢ AB (ɫɨɛɵɬɢɹ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵ). Ɉɫɧɨɜɧɨɣ ɧɟɞɨɫɬɚɬɨɤ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɩɪɨɜɟɞɟɧɢɹ ɛɨɥɶɲɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɨɩɵɬɨɜ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɷɬɢɦ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ. 1.3.2. Ʉɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɋɨɛɵɬɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɸɳɢɦ ɫɨɛɵɬɢɸ A , ɟɫɥɢ ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɷɬɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ ɜɥɟɱɟɬ ɡɚ ɫɨɛɨɣ ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɫɨɛɵɬɢɹ A . Ɉ ɉɭɫɬɶ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ :: 1) ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ; 2) ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɢɫɯɨɞɵ w1 , w2 ,..., wn ɪɚɜɧɨɜɨɡɦɨɠɧɵ (ɧɟɬ ɨɫɧɨɜɚɧɢɣ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ ɨɞɧɢ ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɬ ɱɚɳɟ, ɱɟɦ ɞɪɭɝɢɟ). ! Ɍɚɤɚɹ ɦɨɞɟɥɶ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɣ ɫɯɟɦɨɣ. ɗɬɚ ɫɯɟɦɚ ɩɪɢɦɟɧɢɦɚ ɤ ɛɪɨɫɚɧɢɸ ɢɝɪɚɥɶɧɨɣ ɤɨɫɬɢ: ɢɡ ɫɢɦɦɟɬɪɢɢ ɤɨɫɬɢ ɜɵɬɟɤɚɟɬ ɪɚɜɧɨɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɶ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɥɸɛɨɝɨ ɢɡ ɱɢɫɟɥ 1,2,3,4,5,6. Ɉ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɢɫɥɚ ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɷɬɨɦɭ ɫɨɛɵɬɢɸ ɢɫɯɨɞɨɜ (ɢɫɯɨɞɨɜ, ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɯ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ), ɤ ɨɛɳɟɦɭ ɱɢɫɥɭ ɜɫɟɯ ɪɚɜɧɨɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ ɜ ɤɨɧɟɱɧɨɦɟɪɧɨɦ ɩɪɨɈ
ɫɬɪɚɧɫɬɜɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ, ɬ.ɟ. P( A)
!
m , ɝɞɟ m – ɱɢɫɥɨ ɛɥɚɝɨɩɪɢn
ɹɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɢɫɯɨɞɨɜ, n – ɨɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɪɚɜɧɨɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ, ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɯ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɢɫɯɨɞɨɜ. ɋɜɨɣɫɬɜɚ 1 – 4, ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɟ ɞɥɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ, ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɵ ɢ ɞɥɹ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ.
ɉɪɢɦɟɪ:
ɉɪɢ ɛɪɨɫɚɧɢɢ ɢɝɪɚɥɶɧɨɣ ɤɨɫɬɢ ɢɡ 6 ɫɥɭɱɚɟɜ: 1,2,3,4,5,6 ɫɨɛɵɬɢɸ A – ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɧɟ ɦɟɧɟɟ 4-ɯ ɨɱɤɨɜ, ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɧɵ ɫɥɭɱɚɢ 4,5,6, ɢ ɧɟɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɧɵ 1,2,3.
1.3.2.1. Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɢ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɱɚɫɬɨ ɜɫɬɪɟɱɚɸɳɢɟɫɹ ɩɪɢ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɢ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɣ ɫɯɟɦɵ ɫɢɬɭɚɰɢɢ, ɬɪɟɛɭɸɳɢɟ ɩɨɞɫɱɟɬɚ ɨɛɳɟɝɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɫɥɭɱɚɟɜ ɢ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɫɥɭɱɚɟɜ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɦɟɬɨɞɵ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɢ – ɪɚɡɞɟɥɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ, ɢɡɭɱɚɸɳɟɝɨ ɡɚɞɚɱɢ ɜɵɛɨɪɚ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢɡ ɡɚɞɚɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɢ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɢɯ ɜ ɝɪɭɩɩɵ ɩɨ ɡɚɞɚɧɧɵɦ ɩɪɚɜɢɥɚɦ.
12
Ʌɟɤɰɢɢ 1-2
ɉɪɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɢ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɧɢɠɟ ɫɯɟɦ ɜɵɛɨɪɚ ɢ ɩɨɥɭɱɟɧɢɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɮɨɪɦɭɥ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɞɜɚ ɜɚɠɧɵɯ ɩɪɚɜɢɥɚ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ. ɉɭɫɬɶ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ A , a A ɫɨɞɟɪɠɢɬ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ, ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ B , b B – m ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ. Ɍɨɝɞɚ ɜɵɛɨɪ « a ɢɥɢ b » ɦɨɠɧɨ ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬɶ n m ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɜɵɛɨɪ « a ɢ b » – n u m ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ. Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɟɫɥɢ ɦɵ ɜɵɛɢɪɚɟɦ ɨɞɢɧ ɷɥɟɦɟɧɬ ɢɡ ɨɛɴɟɞɢɧɟɧɢɹ ɞɜɭɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ A ɢ B , ɬɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ n m ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɟɣ. ȿɫɥɢ ɦɵ ɜɵɛɢɪɚɟɦ ɨɞɢɧ ɷɥɟɦɟɧɬ ɢɡ A ɢ ɨɞɢɧ ɷɥɟɦɟɧɬ ɢɡ B , ɬɨ ɞɥɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɜɵɛɨɪɚ ɢɦɟɟɬɫɹ n ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɟɣ, ɞɥɹ ɜɬɨɪɨɝɨ – m ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɟɣ ɢ ɱɢɫɥɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɩɚɪ a,b ɪɚɜɧɨ n u m . ɗɬɢ ɮɨɪɦɭɥɵ ɞɨɩɭɫɤɚɸɬ ɨɛɨɛɳɟɧɢɟ. Ɍɚɤ, ɟɫɥɢ ɢɦɟɟɬɫɹ ɬɪɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ A , a A , B , b B , C , c C , ɫɨɞɟɪɠɚɳɢɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ n , m ɢ k ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ, ɬɨ ɜɵɛɨɪ « a ɢɥɢ b ɢɥɢ c » ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ n m k ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɜɵɛɨɪ « a ɢ b ɢ c « – n u m u k ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɢ ɬ.ɞ. ȼɵɛɨɪɤɢ ɛɟɡ ɜɨɡɜɪɚɳɟɧɢɹ ɉɭɫɬɶ ɢɦɟɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ A , ɫɨɫɬɨɹɳɟɟ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ. Ɉ ɉɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ A (ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɨɟ ɢɥɢ ɧɟɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɨɟ), ɫɨɫɬɨɹɳɟɟ ɢɡ m ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ, ɝɞɟ m d n , ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ m –ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɣ ɜɵɛɨɪɤɨɣ ɢɡ n –ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ (ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ, ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɨɣ ɢɥɢ ɧɟɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɨɣ). Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɜɨɡɧɢɤɚɸɳɢɟ ɫɢɬɭɚɰɢɢ. 1) ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɱɢɫɥɨ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɹ n – ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɧɟɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ. ɉɟɪɜɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ n ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɜɬɨɪɨɣ – n 1 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɬɪɟɬɢɣ – n 2 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɢ ɬ.ɞ. ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɨɥɭɱɚɟɦ n n 1 n 2 ... 3 2 1 n ! – ɮɚɤɬɨɪɢɚɥ ɱɢɫɥɚ n . Ɉ ɍɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɚɹ n –ɷɥɟɦɟɧɬɧɚɹ ɜɵɛɨɪɤɚ ɢɡ n –ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɨɣ. ɑɢɫɥɨ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ
Pn
n! .
2) Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɟ m –ɷɥɟɦɟɧɬɧɵɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɢɡ n – ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ, ɝɞɟ m d n . ɉɟɪɜɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ n ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɜɬɨɪɨɣ – n 1 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɬɪɟɬɢɣ – n 2 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, m –ɣ ɷɥɟɦɟɧɬ – n m 1 ɫɩɨɫɨɛɨɦ. ȼɫɟɝɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɫɩɨɫɨɛɨɜ
n n 1 ... n m 1 Ɉ
n n 1 ... 2 1 1 2 ... n m
n! . n m !
ɍɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɚɹ m –ɷɥɟɦɟɧɬɧɚɹ ɜɵɛɨɪɤɚ ɢɡ n –ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɟɦ ɢɡ n ɩɨ m . ɑɢɫɥɨ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ ɢɡ n ɩɨ m :
13
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
n! . n m ! 3) Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɟɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɟ m –ɷɥɟɦɟɧɬɧɵɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɢɡ n – ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ, ɝɞɟ m d n . ɑɢɫɥɨ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɯ m – ɷɥɟɦɟɧɬɧɵɯ ɜɵɛɨɪɨɤ ɪɚɜɧɨ Anm . ɋ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ, ɫɪɟɞɢ ɜɫɟɯ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɯ m –ɷɥɟɦɟɧɬɧɵɯ ɜɵɛɨɪɨɤ ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɬɚɤɢɟ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɨɬɥɢɱɚɸɬɫɹ ɞɪɭɝ ɨɬ ɞɪɭɝɚ ɬɨɥɶɤɨ ɩɨɪɹɞɤɨɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ. Ɉɞɧɨɦɭ ɧɚɛɨɪɭ ɢɡ m ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ Pm m! ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɹ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɨɞɧɨɣ ɧɟɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɨɣ ɜɵɛɨɪɤɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ Pm ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɯ ɜɵɛɨɪɨɤ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɱɢɫɥɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɧɟɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɯ m –ɷɥɟɦɟɧɬɧɵɯ ɜɵɛɨɪɨɤ ɢɡ n –ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɜ Pm ɪɚɡ ɦɟɧɶɲɟ, ɱɟɦ ɱɢɫɥɨ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɯ. ȼɫɟɝɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɧɟɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɯ ɜɵɛɨɪɨɤ Anm n! . Pm m! n m ! Ɉ ɇɟɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɚɹ m –ɷɥɟɦɟɧɬɧɚɹ ɜɵɛɨɪɤɚ ɢɡ n –ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɨɱɟɬɚɧɢɟɦ ɢɡ n ɩɨ m . ɑɢɫɥɨ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɢɡ n ɩɨ m : n! . Cnm m! n m ! Anm
!
ɑɢɫɥɚ Cnm ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɬɚɤɠɟ ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ. ȿɫɥɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɬɶ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɩɪɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɫɬɟɩɟɧɹɯ x ɜ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɢ ɛɢɧɨɦɚ 1 x
n
n
¦a
m
x m , ɬɨ ɨɤɚɠɟɬɫɹ, ɱɬɨ am
Cnm .
m 0
ȼɵɛɨɪɤɢ ɫ ɜɨɡɜɪɚɳɟɧɢɟɦ ȿɫɥɢ ɩɨɫɥɟ ɜɵɛɨɪɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɨɧ ɜɨɡɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɜ ɨɫɧɨɜɧɭɸ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ, ɧɚɡɨɜɟɦ ɜɵɛɨɪɤɭ ɩɨɜɬɨɪɧɨɣ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɜɨɡɧɢɤɚɸɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɢ: ɍɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɚɹ ɩɨɜɬɨɪɧɚɹ m –ɷɥɟɦɟɧɬɧɚɹ ɜɵɛɨɪɤɚ ɢɡ n –ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɟɦ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ. ɑɢɫɥɨ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ ɢɡ n ɩɨ m A nm n m . ( m ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɜɵɛɨɪ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ). Ɉ ɇɟɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɚɹ ɩɨɜɬɨɪɧɚɹ m –ɷɥɟɦɟɧɬɧɚɹ ɜɵɛɨɪɤɚ ɢɡ n –ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɨɱɟɬɚɧɢɟɦ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ. ɑɢɫɥɨ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ ɢɡ n ɩɨ m : C nm Cnm m 1 . ɗɬɭ ɮɨɪɦɭɥɭ ɦɨɠɧɨ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɢɪɨɜɚɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ. ɉɪɢ ɩɨɜɬɨɪɧɨɣ m –ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɣ ɜɵɛɨɪɤɟ ɤ ɢɫɯɨɞɧɨɦɭ n –ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɦɭ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ ɞɨɛɚɜɥɹɟɬɫɹ (ɩɪɢ ɜɨɡɜɪɚɳɟɧɢɢ) m 1 ɷɥɟɦɟɧɬ. ɂɡ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ Ɉ
14
Ʌɟɤɰɢɢ 1-2
n m 1 –ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ
ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɛɟɫɩɨɜɬɨɪɧɚɹ m – ɷɥɟɦɟɧɬɧɚɹ ɜɵɛɨɪɤɚ, ɱɬɨ ɢ ɞɚɟɬ ɧɚɩɢɫɚɧɧɭɸ ɜɵɲɟ ɮɨɪɦɭɥɭ. ɉɭɫɬɶ n –ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ k ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ, ɩɪɢɱɟɦ 1–ɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɩɨɜɬɨɪɹɟɬɫɹ n1 ɪɚɡ, 2–ɣ ɷɥɟɦɟɧɬ – n2 ɪɚɡ,…, k –ɣ – nk ɪɚɡ ɢ n1 n2 ... nk n . Ɉ ɉɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɞɚɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚɦɢ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ. ɑɢɫɥɨ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ ɩɨ n1 , n2 , …, nk ɪɚɜɧɨ n! . Pn n1 ,n2 ,...,nk n1! n2! ... nk !
1.3.3. Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ȿɫɥɢ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɢ ɧɟɫɱɟɬɧɨ, ɬɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ. Ɉ
ɉɭɫɬɶ ɤɚɠɞɵɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟɦ ɬɨɱɤɢ ɜ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ : (ɨɬɪɟɡɨɤ ɥɢɧɢɢ, ɮɢɝɭɪɚ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɬɟɥɨ ɜ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ), ɦɟɪɚ ɤɨɬɨɪɨɣ P : (ɩɨɞ ɦɟɪɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɛɭɞɟɦ ɩɨɧɢɦɚɬɶ ɞɥɢɧɭ, ɩɥɨɳɚɞɶ, ɨɛɴɟɦ). ɇɚɫɬɭɩɥɟɧɢɸ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɟɬ ɩɨɩɚɞɚɧɢɟ ɬɨɱɤɢ ɜ ɨɛɥɚɫɬɶ A : . ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ:
P A
P A , ɝɞɟ P A - ɦɟɪɚ ɨɛɥɚɫɬɢ Ⱥ. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɨ ɝɟɨɦɟɬɪɢP :
ɱɟɫɤɨɦɭ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɤɚɤ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɦɟɪ ɨɛɥɚɫ-
!
ɬɟɣ P A ɢ P : . ɋɜɨɣɫɬɜɚ 1 – 4, ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɟ ɞɥɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ, ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɵ ɢ ɞɥɹ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ.
ɉɪɢɦɟɪ:
(Ɂɚɞɚɱɚ ɨ ɜɫɬɪɟɱɟ) Ⱦɜɨɟ ɞɨɝɨɜɚɪɢɜɚɸɬɫɹ ɜɫɬɪɟɬɢɬɶɫɹ ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦ ɦɟɫɬɟ. ȼɫɬɪɟɱɚ ɞɨɥɠɧɚ ɩɪɨɢɡɨɣɬɢ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ 1 ɱɚɫɚ (ɫɤɚɠɟɦ, ɫ 1200 ɞɨ 1300). ɉɪɢɲɟɞɲɢɣ ɩɟɪɜɵɦ ɠɞɟɬ ɧɟ ɛɨɥɟɟ 15 ɦɢɧɭɬ, ɩɨɫɥɟ ɱɟɝɨ ɭɯɨɞɢɬ. Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɜɫɬɪɟɱɢ? ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɣ ɢɫɯɨɞ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɨɞɢɧ ɭɱɚɫɬɧɢɤ ɩɨɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜ ɦɨɦɟɧɬ t1 , ɜɬɨɪɨɣ – ɜ ɦɨɦɟɧɬ t2 , ɩɪɢɱɟɦ t1 >12 ,13@ , t2 >12 ,13@ , ɬ.ɟ., ɢɫɯɨɞ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɩɚɪɨɣ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ t1 ,t2 ɢ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧ ɬɨɱɤɨɣ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɫɨ ɫɬɨɪɨɧɨɣ 1 ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ (ɜɵɛɨɪ ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɧɟ ɜɥɢɹɟɬ ɧɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ). ɋɨɛɵɬɢɟ ^t1 t2 ` ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɟɬ ɜɫɬɪɟɱɟ ɢ ɢɡɨɛɪɚɠɚɟɬɫɹ ɞɢɚɝɨɧɚɥɶɸ ɤɜɚɞɪɚɬɚ. Ɍɨɱɤɢ ɧɚɞ ɞɢɚ-
15
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
ɝɨɧɚɥɶɸ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɬ ɫɨɛɵɬɢɸ ^t1 ! t2 ` (ɩɟɪɜɵɣ ɩɪɢɲɟɥ ɩɨɡɠɟ), ɩɨɞ ɞɢɚɝɨɧɚɥɶɸ – ^t1 t2 ` (ɜɬɨɪɨɣ ɩɪɢɲɟɥ ɩɨɡɠɟ). Ȼɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɜɫɬɪɟɱɟ ɫɨɛɵɬɢɹ: ^0 t1 t2 d 0 , 25` ɢ ^0 t2 t1 d 0 , 25` . ɗɬɢɦ ɫɨɛɵɬɢɹɦ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɬ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɧɵɟ ɧɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɬɪɚɩɟɰɢɢ ɧɚɞ ɢ ɩɨɞ ɞɢɚɝɨɧɚɥɶɸ. ɉɥɨɳɚɞɶ ɤɜɚɞɪɚɬɚ S : 1 . ɋɨɛɵɬɢɸ A ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɬ ɡɚɲɬɪɢɯɨɜɚɧɧɵɟ ɨɛɥɚɫɬɢ ɢɫɯɨɞɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɚ, ɢɯ ɩɥɨɳɚɞɶ S A
P A
S A S :
1 § 9· 7 2 ¨1 ¸ . 2 © 16 ¹ 16
7 . 16
1.3.4. Ⱥɤɫɢɨɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɋɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɨɝɪɨɦɧɵɣ ɤɥɚɫɫ ɫɨɛɵɬɢɣ, ɧɟ ɨɛɥɚɞɚɸɳɢɯ ɫɢɦɦɟɬɪɢɟɣ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ, ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɧɟɥɶɡɹ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɨ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɣ ɮɨɪɦɭɥɟ. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɚɤɫɢɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢɣ ɬɟɨɪɟɬɢɤɨɦɧɨɠɟɫɬɜɟɧɧɵɣ ɩɨɞɯɨɞ: ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɢɫɯɨɞɨɜ :; ɤɚɠɞɨɦɭ ɢɫɯɨɞɭ ɢɥɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ ɢɫɯɨɞɨɜ A : , ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɦɭ ɧɟɤɨɬɨɪɨɦɭ ɫɨɛɵɬɢɸ Ⱥ, ɫɬɚɜɢɬɫɹ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ P A – ɱɢɫɥɨ, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɟ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ: 1) ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɥɸɛɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ ɡɚɤɥɸɱɟɧɚ ɦɟɠɞɭ 0 ɢ 1: 0 d P( A) d 1. 2) ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ P : 1 . 3) ȿɫɥɢ Ⱥ ɢ ȼ – ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ ( A B ), ɬɨ P ( A B ) P ( A) P ( B ) ɢɥɢ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɫɨɛɵɬɢɣ A1 , A2 ,! , An , ɟɫɥɢ
§ n · n Ai A j ɩɪɢ i z j , ɬɨ P ¨ ¦ Ai ¸ ¦ P Ai , ɬ.ɟ. ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɭɦɦɵ ɧɟɫɨ©i 1 ¹ i 1 ɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɪɚɜɧɚ ɫɭɦɦɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɷɬɢɯ ɫɨɛɵɬɢɣ. A1 , A2 ,! , An , ɢɥɢ, ɞɥɹ ɫɱɟɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ A1 , A2 ,!, An ,! ( Ai Aj , i z j ) ,
§ f · P ¨ ¦ Ai ¸ ©i1 ¹
f
¦P A . i
i 1
ɋɥɟɞɫɬɜɢɹ: 1. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ P 0 . 2. ȿɫɥɢ A B (ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɜɥɟɱɟɬ ɡɚ ɫɨɛɨɣ ɫɨɛɵɬɢɟ ȼ), ɬɨ P ( A) d P ( B ) . 3. 4.
ȿɫɥɢ ɫɨɛɵɬɢɹ A ɢ A ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵ, P( A) P( A) 1. ȿɫɥɢ ɫɨɛɵɬɢɹ A1 , A2 ,! , An ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨɥɧɭɸ ɝɪɭɩɩɭ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵn
ɬɢɣ, ɬ.ɟ. ɟɫɥɢ
¦ Ai i 1
:, ( Ai Aj
, i z j ), ɬɨ
n
¦ P( A ) i
i 1
1.
16
Ʌɟɤɰɢɢ 1-2
2.1. Ɍɟɨɪɟɦɚ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ Ⱦɥɹ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ Ⱥ ɢ ȼ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɭɦɦɵ ɫɨɛɵɬɢɣ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɚɤɫɢɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢ: P ( A B ) P ( A) P ( B ) . Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣ ɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ. Ɍ
Ɍɟɨɪɟɦɚ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɞɥɹ ɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ. ȿɫɥɢ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɢ ȼ ɫɨɜɦɟɫɬɧɵ, A B z , ɬɨ P( A B) P( A) P( B) P( AB) . Ɋɚɡɨɛɶɟɦ ɫɨɛɵɬɢɟ A B ɧɚ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɟ ɫɥɚɝɚɟɦɵɟ: A B A : B : A B B B A A
A B A B A B A B A B A B A B. P A B P AB AB AB
P AB P AB P AB ,
A AB AB, P A P AB P AB ,
P AB
P A P AB ,
ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨ, P AB
P B P AB ,
ɨɬɤɭɞɚ P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ) . ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɭɦɦɵ ɬɪɟɯ ɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ Ⱥ, ȼ ɢ ɋ: P A B C
P A P B P C P AB P AC P BC P ABC .
2.2. ɍɫɥɨɜɧɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ. Ɍɟɨɪɟɦɚ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ Ɉ
ɍɫɥɨɜɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɫɨɛɵɬɢɹ ȼ ɩɪɢ ɧɚɥɢɱɢɢ Ⱥ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɟɥɢɱɢP AB ɧɚ: P B A ,P A z 0. ɂɧɚɱɟ ɝɨɜɨɪɹ, ɭɫɥɨɜɧɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ P A P B A - ɷɬɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ ȼ, ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɚɹ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɫɨ-
ɛɵɬɢɟ Ⱥ ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ. ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɮɨɪɦɭɥɭ ɱɢɬɚɸɬ ɬɚɤ: P AB
P A P B A , ɬ.ɟ. ɜɟɪɨɹɬ-
ɧɨɫɬɶ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ (ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ, ɫɨɜɦɟɳɟɧɢɹ) ɞɜɭɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɪɚɜɧɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɧɢɯ, ɭɦɧɨɠɟɧɧɨɣ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɭɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɪɢ ɧɚɥɢɱɢɢ ɩɟɪɜɨɝɨ. ɗɬɨ ɩɪɚɜɢɥɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɬɟɨɪɟɦɨɣ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ (ɞɥɹ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɣ ɫɯɟɦɵ ɨɧɨ ɥɟɝɤɨ ɞɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ).
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
ɉɪɢɦɟɪ:
Ɉ
17
ɂɡ ɭɪɧɵ, ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɣ 4 ɛɟɥɵɯ ɢ 3 ɱɟɪɧɵɯ ɲɚɪɚ, ɜɵɧɢɦɚɸɬ 2 ɲɚɪɚ. ɇɚɣɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɨɛɚ ɲɚɪɚ ɛɭɞɭɬ ɛɟɥɵɦɢ. ɋɨɛɵɬɢɟ ɋ={ ɨɛɚ ɲɚɪɚ ɛɟɥɵɟ}; ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦ ɋ ɤɚɤ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ 2-ɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɋ A B , ɝɞɟ Ⱥ={ɩɟɪɜɵɣ ɲɚɪ ɛɟɥɵɣ}, ȼ={ɜɬɨɪɨɣ ɲɚɪ ɛɟɥɵɣ}. 4 P AB P A P B A ; Ɋ(Ⱥ) = . 7 ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ , ɱɬɨ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ, ɬ.ɟ. ɜ ɭɪɧɟ ɨɫɬɚɥɨɫɶ 6 ɲɚɪɨɜ, 3 ɢɡ 4 1 2 3 1 . ɧɢɯ ɛɟɥɵɟ, ɬɨɝɞɚ P B A = = . P C 6 2 7 2 7
ɋɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦ ɨɬ ɫɨɛɵɬɢɹ ȼ, ɟɫɥɢ ɟɝɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɬɨɝɨ, ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ ɫɨɛɵɬɢɟ ȼ ɢɥɢ ɧɟɬ, ɬ.ɟ. P A B P A . ȼ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɟɫɥɢ P A B z P A , ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ȼ.
ɉɪɢɦɟɪ:
ɉɪɢɦɟɪ:
ȼ ɭɪɧɟ 5 ɛɟɥɵɯ ɢ 2 ɱɟɪɧɵɯ ɲɚɪɚ. ɂɡ ɧɟɟ ɜɵɧɢɦɚɸɬ ɨɞɢɧ ɡɚ ɞɪɭɝɢɦ 2 ɲɚɪɚ. ɇɚɣɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɨɧɢ ɛɭɞɭɬ ɪɚɡɧɵɯ ɰɜɟɬɨɜ. Ɋɟɲɟɧɢɟ: ɋɨɛɵɬɢɟ ɋ ={ɲɚɪɵ ɪɚɡɧɵɯ ɰɜɟɬɨɜ} ɪɚɫɩɚɞɚɟɬɫɹ ɧɚ ɫɭɦɦɭ 2-ɯ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ: ɋ1={ɛɟɥɵɣ, ɱɟɪɧɵɣ}, ɋ2{ɱɟɪɧɵɣ, ɛɟɥɵɣ}; ɋ=ɋ1+ɋ2. ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ ɋ1: Ɋ(ɋ1) - ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ 1-ɣ ɲɚɪ ɛɟɥɵɣ, ɭɦɧɨɠɟɧɧɚɹ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɭɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɜɬɨɪɨɣ ɱɟɪɧɵɣ, ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɩɟɪɜɵɣ ɛɟɥɵɣ: 5 2 5 . P C1 7 6 21 2 5 5 ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ ɋ2: P C2 . 7 6 21 10 ɉɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ P C P C1 P C2 . 21 Ⱦɥɹ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɫɨɛɵɬɢɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɪɚɜɧɚ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɷɬɢɯ ɫɨɛɵɬɢɣ, ɩɪɢɱɟɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɤɚɠɞɨɝɨ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɟɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɜɫɟ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɟ ɢɦɟɥɢ ɦɟɫɬɨ. P A1 A2 ... An P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 ... P An A1 A2 ... An 1
ȼ ɹɳɢɤɟ 6 ɛɟɥɵɯ, 8 ɤɪɚɫɧɵɯ ɢ 4 ɫɢɧɢɯ ɲɚɪɚ. ɇɚ ɭɞɚɱɭ ɢɡɜɥɟɤɚɸɬ 1 ɲɚɪ ɛɟɡ ɜɨɡɜɪɚɳɟɧɢɹ. ɑɟɦɭ ɪɚɜɧɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɧɚ ɩɟɪɜɨɦ ɲɚɝɟ ɩɨɹɜɢɬɫɹ ɛɟɥɵɣ, ɧɚ 2-ɦ – ɤɪɚɫɧɵɣ ɢ ɧɚ 3-ɦ – ɫɢɧɢɣ ɲɚɪ? Ɋɟɲɟɧɢɟ: ɋɨɛɵɬɢɟ Ⱥ =^ɧɚ ɩɟɪɜɨɦ ɲɚɝɟ ɩɨɹɜɢɬɫɹ ɛɟɥɵɣ ɲɚɪ`, ɫɨɛɵɬɢɟ ȼ=^ɧɚ ɜɬɨɪɨɦ ɲɚɝɟ ɩɨɹɜɢɬɫɹ ɤɪɚɫɧɵɣ ɲɚɪ`, ɫɨɛɵɬɢɟ ɋ=^ɧɚ ɬɪɟɬɶɟɦ ɲɚɝɟ ɩɨɹɜɢɬɫɹ ɫɢɧɢɣ ɲɚɪ`. 6 1 8 4 1 1 8 1 P A ; P B A ; P C AB ; P ABC 0, 039 . 18 3 17 16 4 3 17 4
18
Ʌɟɤɰɢɢ 1-2
ɉɪɢɦɟɪ:
ɋɪɟɞɢ ɩɪɨɞɚɜɚɟɦɵɯ ɬɟɥɟɜɢɡɨɪɨɜ 95% ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɯ, ɢɡ ɧɢɯ 86% ɜɵɫɲɟɝɨ ɤɚɱɟɫɬɜɚ. ɑɟɦɭ ɪɚɜɧɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɤɭɩɤɢ ɬɟɥɟɜɢɡɨɪɚ ɜɵɫɲɟɝɨ ɤɚɱɟɫɬɜɚ? Ɋɟɲɟɧɢɟ: Ⱥ={ɬɟɥɟɜɢɡɨɪ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɣ} Ɋ(Ⱥ)=0,95; ȼ={ɬɟɥɟɜɢɡɨɪ ɜɵɫɲɟɝɨ ɤɚɱɟɫɬɜɚ, ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɨɧ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɣ} Ɋ(ȼ/Ⱥ)=0,86; Ɋ(Ⱥ·ȼ)=Ɋ(Ⱥ) ·Ɋ(ȼ/Ⱥ)=0,95·0,86=0,82. Ⱦɥɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɩɪɚɜɢɥɨ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɩɪɨɫɬɨɣ ɜɢɞ: Ɋ(Ⱥ·ȼ)=Ɋ(Ⱥ)·Ɋ(ȼ), ɬ.ɟ. ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɞɜɭɯ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɪɚɜɧɚ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɷɬɢɯ ɫɨɛɵɬɢɣ. Ⱦɥɹ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ Ɋ(Ⱥ1·Ⱥ2·…·Ⱥn)=Ɋ(Ⱥ1)·Ɋ(Ⱥ2)·…·Ɋ(Ⱥn) n § n · ɢɥɢ P ¨ Ai ¸ P Ai , ɬ.ɟ. ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɧɟɡɚɜɢ©i1 ¹ i1 ɫɢɦɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɪɚɜɧɚ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɷɬɢɯ ɫɨɛɵɬɢɣ.
2.3. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ ɉɭɫɬɶ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ ɦɨɝɭɬ ɩɨɹɜɢɬɶɫɹ n ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɜ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɫɨɛɵɬɢɣ Ⱥ1,Ⱥ2 ,…,Ⱥn , ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɤɨɬɨɪɵɯ Ɋ(Ⱥ1), Ɋ(Ⱥ2),…,Ɋ(Ⱥn) – ɢɡɜɟɫɬɧɵ. Ⱥ - ɫɨɛɵɬɢɟ, ɡɚɤɥɸɱɚɸɳɟɟɫɹ ɜ ɩɨɹɜɥɟɧɢɢ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɫɨɛɵɬɢɣ Ⱥ1, Ⱥ2,…, Ⱥn, Ⱥ=Ⱥ1+Ⱥ2 + …+Ⱥn . A - ɫɨɛɵɬɢɟ, ɡɚɤɥɸɱɚɸɳɟɟɫɹ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɧɢ ɨɞɧɨ ɢɡ ɫɨɛɵɬɢɣ A1 , A2 ,..., An ɧɟ ɧɚɫɬɭɩɢɥɨ: A A1 A2 ! An .
1 P A 1 P A , P A 1 P A A ! A , P A 1 P A P A ! P A , P A 1 P A q ; P A 1 P A q ; P A 1 P A q ; A A :, P A A 1
1
2
1
P : 1 , P A P A 1
n
1
2
2
2
2
n
n
n
n
P( A) 1 q1q2 ...qn . ɉɪɢɦɟɪ:
ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɪɚɠɟɧɢɹ ɰɟɥɢ 1-ɦ ɫɬɪɟɥɤɨɦ ɪɚɜɧɚ 0,9; 2-ɦ - 0,8; 3-ɦ - 0,6; 4-ɦ - 0,7. Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɩɪɢ ɡɚɥɩɟ? Ɋɟɲɟɧɢɟ: ɉɪɨɳɟ ɜɫɟɝɨ ɪɟɲɢɬɶ ɡɚɞɚɱɭ ɱɟɪɟɡ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ, ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ. ɇɚɣɞɺɦ q1 , q2 , q3 , q4 – ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɩɪɨɦɚɯɨɜ 1, 2, 3, 4-ɝɨ ɫɬɪɟɥɤɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ. q1=0,1; q2=0,2; q3=0,4; q4=0,3; P=1- q1q2q3q4 ; P=1-0,1·0,2·0,4·0,3=0,9976.
19
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
2.4. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɩɨɥɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɋɥɟɞɫɬɜɢɟɦ ɩɪɚɜɢɥ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɚ ɩɨɥɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ. ɉɭɫɬɶ ɩɪɨɜɟɞɟɧ ɨɩɵɬ, ɨɛ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɦɨɠɧɨ ɫɞɟɥɚɬɶ n ɜɡɚɢɦɨɢɫɤɥɸɱɚɸɳɢɯ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɣ (ɝɢɩɨɬɟɡ) H1 ,H 2 ,...,H n , ɨɛɪɚɡɭɸɳɢɯ ɩɨɥɧɭɸ ɝɪɭɩɩɭ: H1 H 2 ... H n : , H i H j i z j . Ʉɚɠɞɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ ɝɢɩɨɬɟɡ ɢɡɜɟɫɬɧɵ: Ɋ(H1), Ɋ(H2),…,Ɋ(Hn). Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬ ɨɩɵɬɚ – ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɦɨɠɟɬ ɩɨɹɜɢɬɶɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɜɦɟɫɬɟ ɫ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɝɢɩɨɬɟɡ, ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɩɪɢ ɤɚɠɞɨɣ ɢɡ ɝɢɩɨɬɟɡ ɡɚɞɚɧɵ: P(A/H1), P(A/H2),…,P(A/Hn). ɇɚɣɞɟɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ, ɞɥɹ ɱɟɝɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦ Ⱥ ɤɚɤ ɫɭɦɦɭ n ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ: n
A H1 A H 2 A ! H n A
¦ H A. i
i
ɉɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ § n · n P A P ¨ ¦ H i A ¸ ¦ P H i A , P ( H i A) © i ¹ i ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ,
P A
P( H i ) P( A H i ) .
n
¦P H P A H . i
i
i
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɜ ɨɩɵɬɟ ɫ ɝɢɩɨɬɟɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ ɪɚɜɧɚ ɫɭɦɦɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɤɚɠɞɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɭɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ ɝɢɩɨɬɟɡɟ. ɉɪɢɦɟɪ:
ɢɦɟɸɬɫɹ ɬɪɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɧɚ ɜɢɞ ɭɪɧɵ; ɜ ɩɟɪɜɨɣ 2 ɛɟɥɵɯ ɲɚɪɚ ɢ 3 ɱɟɪɧɵɯ, ɜɨ ɜɬɨɪɨɣ – 4 ɛɟɥɵɯ ɢ 1 ɱɟɪɧɵɣ, ɜ ɬɪɟɬɶɟɣ – 3 ɛɟɥɵɯ ɲɚɪɚ. ɇɟɤɬɨ ɩɨɞɯɨɞɢɬ ɧɚɭɝɚɞ ɤ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɭɪɧ ɢ ɜɵɧɢɦɚɟɬ ɢɡ ɧɟɟ ɨɞɢɧ ɲɚɪ. ɇɚɣɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɷɬɨɬ ɲɚɪ ɛɭɞɟɬ ɛɟɥɵɦ. Ɋɟɲɟɧɢɟ: Ⱥ={ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɛɟɥɨɝɨ ɲɚɪɚ}. ȼɵɞɜɢɝɚɟɦ 3 ɝɢɩɨɬɟɡɵ: ɇ1={ɜɵɛɪɚɧɚ ɩɟɪɜɚɹ ɭɪɧɚ}; ɇ2={ɜɵɛɪɚɧɚ ɜɬɨɪɚɹ ɭɪɧɚ}; ɇ3={ɜɵɛɪɚɧɚ ɬɪɟɬɶɹ ɭɪɧɚ}. 4 1 2 ; Ɋ(Ⱥ/ɇ2) ; Ɋ(Ⱥ/ɇ3)=1; ; Ɋ(Ⱥ/ɇ1) P H1 P H 2 P H 3 5 5 3 1 2 1 4 1 11 . P A 1 3 5 3 5 3 15
ɉɪɢɦɟɪ: ɉɚɪɬɢɹ ɞɟɬɚɥɟɣ ɧɚ 20% ɢɡɝɨɬɨɜɥɟɧɚ ɧɚ ɡɚɜɨɞɟ ʋ1, ɧɚ 30% - ɧɚ ɡɚɜɨɞɟ ʋ2, ɧɚ 50% - ɧɚ ɡɚɜɨɞɟ ʋ3. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɜɵɩɭɫɤɚ ɧɟɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɯ ɞɟɬɚɥɟɣ: Ɂɚɜɨɞ ʋ1 – 0,01, ɡɚɜɨɞ ʋ2 – 0,005, ɡɚɜɨɞ ʋ3 – 0,006. Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ, ɱɬɨ ɜɡɹɬɚɹ ɧɚɭɝɚɞ ɞɟɬɚɥɶ ɧɟɫɬɚɧɞɚɪɬɧɚɹ? Ɋɟɲɟɧɢɟ:
20
Ʌɟɤɰɢɢ 1-2
Ƚɢɩɨɬɟɡɵ:ɇ1={ɞɟɬɚɥɶ ɢɡɝɨɬɨɜɥɟɧɚ ɧɚ ɡɚɜɨɞɟ ʋ1}; ɇ2={ɞɟɬɚɥɶ ɢɡɝɨɬɨɜɥɟɧɚ ɧɚ ɡɚɜɨɞɟ ʋ2}; ɇ3={ɞɟɬɚɥɶ ɢɡɝɨɬɨɜɥɟɧɚ ɧɚ ɡɚɜɨɞɟ ʋ3 } Ɋ(ɇ1)=0,2; Ɋ(ɇ2)=0,3; Ɋ(ɇ3)=0,5; Ɋ(Ⱥ/ɇ1)=0,01; Ɋ(Ⱥ/ɇ2)=0,005; Ɋ(Ⱥ/ɇ3)=0,006; Ɋ(Ⱥ)=0,2·0,01+0,3·0,005+0,5·0,006=0,0065.
2.5. Ɏɨɪɦɭɥɚ Ȼɟɣɟɫɚ (ɬɟɨɪɟɦɚ ɝɢɩɨɬɟɡ) Ɏɨɪɦɭɥɚ Ȼɟɣɟɫɚ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɩɟɪɟɨɰɟɧɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɝɢɩɨɬɟɡ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ ɨɩɵɬɚ. ɉɭɫɬɶ ɞɨ ɨɩɵɬɚ ɨɛ ɟɝɨ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɫɞɟɥɚɧ ɪɹɞ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɣ (ɝɢɩɨɬɟɡ) H1,H2,…,Hn, ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨɥɧɭɸ ɝɪɭɩɩɭ: n
¦H
i
: , Hi H j
, i z j , ɢ ɢɡɜɟɫɬɧɵ «ɚɩɪɢɨɪɧɵɟ» (ɞɨɨɩɵɬɧɵɟ, ɨɬ ɥɚɬɢɧ-
i 1
ɫɤɨɝɨ «a priori») ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ: P( H1 ), P ( H 2 ),..., P ( H n ) ,
n
¦ P( H ) i
1. ȼ ɪɟɡɭɥɶ-
i 1
ɬɚɬɟ ɩɪɨɜɟɞɟɧɢɹ ɨɩɵɬɚ ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ. ɇɚɣɞɟɦ «ɚɩɨɫɬɟɪɢɨɪɧɵɟ» (ɩɨɫɥɟɨɩɵɬɧɵɟ, ɨɬ ɥɚɬɢɧɫɤɨɝɨ «a posteriori») ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɝɢɩɨɬɟɡ: Ɋ(ɇ1/Ⱥ), Ɋ(ɇ2/Ⱥ),…, Ɋ(ɇn/Ⱥ). Ɋɟɲɟɧɢɟ: ɬ.ɤ. ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɦɨɠɟɬ ɩɨɹɜɢɬɶɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɜɦɟɫɬɟ ɫ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɝɢɩɨɬɟɡ, ɬɨ: P H i A P H i P A H i P A P H i A , P Hi P A Hi
P( H i ) P( A H i ) . P ( A)
P( H i A)
Ɋɚɡɞɟɥɢɦ ɧɚ Ɋ(Ⱥ):
P A P H i A .
ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɩɨɥɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ
P( A)
n
¦ P( H ) P( A H ) , P H P A H A , i 1,2..., n . ¦P H P A H i
i
i 1
P Hi
i
i
n
i
i
i 1
ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɷɬɨɣ ɮɨɪɦɭɥɵ ɜɨɡɦɨɠɟɧ ɩɟɪɟɫɱɟɬ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɝɢɩɨɬɟɡ ɩɨɫɥɟ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɨɣ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɢ, ɱɬɨ ɨɩɵɬ ɞɚɥ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ A. ɉɪɢɦɟɪ:
ɋɪɟɞɢ ɥɸɞɟɣ 5% ɦɭɠɱɢɧ ɢ 0,25% ɠɟɧɳɢɧ ɞɚɥɶɬɨɧɢɤɢ. ɇɚɭɝɚɞ ɢɡɛɪɚɧɧɨɟ ɥɢɰɨ ɢɡ ɝɪɭɩɩɵ, ɫɨɫɬɨɹɳɟɣ ɢɡ 100 ɦɭɠɱɢɧ ɢ 100 ɠɟɧɳɢɧ, ɨɤɚɡɚɥɨɫɶ ɞɚɥɶɬɨɧɢɤɨɦ. Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ, ɱɬɨ ɷɬɨ ɦɭɠɱɢɧɚ? Ɋɟɲɟɧɢɟ: Ƚɢɩɨɬɟɡɵ: ɇ1={ɜɵɛɪɚɧ ɦɭɠɱɢɧɚ}; ɇ2={ɜɵɛɪɚɧɚ ɠɟɧɳɢɧɚ} Ⱥɩɪɢɨɪɧɵɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɝɢɩɨɬɟɡ:
21
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
100 1 100 1 ; P H2 . 200 2 200 2 ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ ɩɨɹɜɢɥɨɫɶ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ: Ⱥ={ɜɵɛɪɚɧɧɵɣ ɱɟɥɨɜɟɤ - ɞɚɥɶɬɨɧɢɤ}. ɍɫɥɨɜɧɵɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɩɪɢ ɝɢɩɨɬɟɡɚɯ ɇ1, ɇ2 P A H1 0, 05, P A H 2 0, 0025 . P H1
Ⱥɩɨɫɬɟɪɢɨɪɧɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɝɢɩɨɬɟɡɵ P ( H1 ) P ( A H1 ) P ( H1 A) P ( H1 ) P ( A H1 ) P ( H 2 ) P ( A H 2 ) 1 0, 05 2 = 1 1 0, 05 0, 0025 2 2
ɉɪɢɦɟɪ:
0, 05 0, 0525
500 525
20 . 21
ɢɦɟɸɬɫɹ ɬɪɢ ɭɪɧɵ; ɜ ɩɟɪɜɨɣ 1 ɱɟɪɧɵɣ ɢ 3 ɛɟɥɵɯ ɲɚɪɚ, ɜɨ ɜɬɨɪɨɣ – 2 ɛɟɥɵɯ ɢ 3 ɱɟɪɧɵɯ, ɜ ɬɪɟɬɶɟɣ – 3 ɛɟɥɵɯ ɲɚɪɚ. ɇɟɤɬɨ ɩɨɞɯɨɞɢɬ ɧɚɭɝɚɞ ɤ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɭɪɧ ɢ ɜɵɧɢɦɚɟɬ ɢɡ ɧɟɟ ɨɞɢɧ ɲɚɪ. ɗɬɨɬ ɲɚɪ ɨɤɚɡɚɥɫɹ ɛɟɥɵɦ. ɇɚɣɬɢ ɚɩɨɫɬɟɪɢɨɪɧɵɟ («ɩɨɫɥɟɨɩɵɬɧɵɟ») ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɲɚɪ ɜɵɧɭɬ ɢɡ 1-ɣ, 2-ɣ, 3-ɣ ɭɪɧɵ. Ɋɟɲɟɧɢɟ: ɇ1={ɜɵɛɪɚɧɚ 1-ɹ ɭɪɧɚ}; ɇ2={ɜɵɛɪɚɧɚ 2-ɹ ɭɪɧɚ}; ɇ3={ɜɵɛɪɚɧɚ 3-ɹ 1 ɭɪɧɚ}. Ⱥɩɪɢɨɪɧɵɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɝɢɩɨɬɟɡ: Ɋ(H1) = Ɋ(H2) = Ɋ(H3) . 3 ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ ɩɨɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ={ɜɵɧɭɬ ɛɟɥɵɣ ɲɚɪ}. ɍɫɥɨɜɧɵɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɩɪɢ ɝɢɩɨɬɟɡɚɯ ɇ1, ɇ2, ɇ3 2 3 ; P A H2 ; P A H3 1. P A H1 5 4 Ⱥɩɨɫɬɟɪɢɨɪɧɵɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɝɢɩɨɬɟɡ: 1 3 15 3 4 P H1 A ; 1 3 1 2 1 43 1 3 4 3 5 3 1 2 8 3 5 P H 2 A ; 1 3 1 2 1 43 1 3 4 3 5 3 1 1 20 3 P H 3 A . 1 3 1 2 1 43 1 3 4 3 5 3 Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɨɫɥɟ ɫɜɟɪɲɟɧɢɹ ɨɩɵɬɚ ɢ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɝɢɩɨɬɟɡ ɢɡɦɟɧɢɥɢɫɶ. ɋɚɦɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɣ ɨɤɚɡɚɥɚɫɶ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H3, ɧɚɢɦɟɧɟɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H2.
22
Ʌɟɤɰɢɢ 1-2
2.6. ɉɨɜɬɨɪɟɧɢɟ ɨɩɵɬɨɜ. Ɏɨɪɦɭɥɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɨɠɧɵɣ ɨɩɵɬ, ɫɨɫɬɨɹɳɢɣ ɢɡ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɛɨɥɟɟ ɩɪɨɫɬɵɯ. ȼ ɤɚɠɞɨɦ ɢɡ ɧɢɯ ɦɨɠɟɬ ɩɨɹɜɢɬɶɫɹ ɢɥɢ ɧɟ ɩɨɹɜɢɬɶɫɹ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ. ɉɪɢɦɟɪ:
ɉɪɨɢɡɜɟɞɟɧɚ ɫɟɪɢɹ ɢɡ n ɜɵɫɬɪɟɥɨɜ. ɋɨɛɵɬɢɟ Ⱥ – ɩɨɪɚɠɟɧɢɟ ɰɟɥɢ. Ɉɩɵɬɵ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦɢ, ɟɫɥɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɨɩɵɬɟ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ ɞɪɭɝɢɯ ɨɩɵɬɨɜ. ɇɚɣɞɟɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ m ɪɚɡ ɜ ɫɟɪɢɢ ɢɡ n ɨɩɵɬɨɜ. Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɭɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ Pn(m). ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɩɪɢ ɟɞɢɧɢɱɧɨɦ ɢɫɩɵɬɚɧɢɢ ɪɚɜɧɚ p, ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ A ɩɪɢ ɟɞɢɧɢɱɧɨɦ ɢɫɩɵɬɚɧɢɢ q = 1 - p. ɂɫɯɨɞ ɫɟɪɢɢ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ, ɫɨɫɬɨɹɳɢɣ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɧɚɫɬɭɩɢɥɨ m ɪɚɡ ɢ ɧɟ ɧɚɫɬɭɩɢɥɨ n - m ɪɚɡ, ɦɨɠɟɬ ɪɟɚɥɢɡɨɜɚɬɶɫɹ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɤɚɠɞɨɝɨ ɬɚɤɨɝɨ ɢɫɯɨɞɚ ɫɟɪɢɢ ɪɚɜɧɚ p m q ( n m ) . ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɨɪɹɞɨɤ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɜ ɫɟɪɢɢ ɩɨɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɢ A ɧɟ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɟɧ, ɱɢɫɥɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ m ɭɫɩɟɯɨɜ ɜ ɫɟɪɢɢ ɢɡ n ɨɩɵɬɨɜ ɟɫɬɶ ɱɢɫɥɨ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɢɡ n ɩɨ m: C nm
ɉɪɢɦɟɪ:
n! . m !( n m )!
ɉɪɨɢɡɜɟɞɟɧɨ 4 ɜɵɫɬɪɟɥɚ, ɢɡ ɧɢɯ 2 ɜ ɰɟɥɶ. Ɋɟɲɟɧɢɟ: Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɩɨɩɚɞɚɧɢɟ n, ɩɪɨɦɚɯ 0. ɂɫɯɨɞɵ: 0ĹĹ0, Ĺ00Ĺ, ĹĹ00, 00ĹĹ, Ĺ0Ĺ0, 0Ĺ0Ĺ, C 42
4! 2! 2!
2 34 22
6.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ n ɨɩɵɬɨɜ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɩɪɨɢɡɨɣɞɟɬ m ɪɚɡ, ɪɚɜɧɚ: n! Pn (m) Cnm p m q ( nm ) p m (1 p)nm . m !(n m)! ɗɬɨ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɧɨɫɢɬ ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɮɨɪɦɭɥɵ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ. ɋ ɟɟ ɩɨɦɨɳɶɸ ɦɨɠɧɨ ɜɵɪɚɡɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɛɨɥɟɟ ɫɥɨɠɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɜ n ɢɫɩɵɬɚɧɢɹɯ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɧɚɫɬɭɩɢɬ Pn (0) Pn (1) ... Pn (m 1) , ɦɟɧɟɟ m ɪɚɡ:
ɉɪɢɦɟɪ:
ɛɨɥɟɟ m ɪɚɡ:
Pn (m 1) Pn (m 2) ... Pn (n) ,
ɧɟ ɦɟɧɟɟ m ɪɚɡ:
Pn (m) Pn (m 1) ... Pn (n) ,
ɧɟ ɛɨɥɟɟ m ɪɚɡ:
Pn (0) Pn (1) ... Pn (m) .
ȼ ɦɚɫɬɟɪɫɤɨɣ 4 ɦɨɬɨɪɚ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɤɚɠɞɨɝɨ 0,9. ɑɟɦɭ ɪɚɜɧɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɜ ɞɚɧɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɬɨɥɶɤɨ: a) 4-ɯ ɦɨɬɨɪɨɜ; b )3-ɯ ɦɨɬɨɪɨɜ; ɫ) 2-ɯ ɦɨɬɨɪɨɜ? Ɋɟɲɟɧɢɟ: 4! a) P4 4 C44 p 4 q 4 4 0 ,9 4 0 ,10 0 , 6561 , 4 ! 0 !
23
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
b) P4 3 C43 p 3q 4 3 c) P4 2 C42 p 2 q 4 2
ɉɪɢɦɟɪ:
4! 0,93 0,11 0,2916 , 3!1! 4! 0,9 2 0,12 0,0486 . 2!2!
Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɩɪɢ 10 ɛɪɨɫɚɧɢɹɯ ɢɝɪɚɥɶɧɨɣ ɤɨɫɬɢ ɞɜɚ ɪɚɡɚ ɜɵɩɚɞɭɬ ɞɜɚ ɨɱɤɚ? Ɋɟɲɟɧɢɟ: 1 5 p , n=10, m=2, q = 1- p . 6 6 2
P10 2
ɉɪɢɦɟɪ:
!
10 2
§1· §5· C ¨ ¸ ¨ ¸ ©6¹ ©6¹ 2 10
10 ! 58 8 ! 2 ! 610
0 , 29 .
ɇɚ ɫɚɦɨɥɟɬɟ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɵ 4 ɬɭɪɛɢɧɵ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɢɫɩɪɚɜɧɨɫɬɢ ɤɚɠɞɨɣ ɢɡ ɧɢɯ – 0,99. Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɥɟɬɚ, ɟɫɥɢ ɨɧ ɨɛɟɫɩɟɱɢɜɚɟɬɫɹ ɩɪɢ 2-ɯ ɪɚɛɨɬɚɸɳɢɯ ɬɭɪɛɢɧɚɯ? Ɋɟɲɟɧɢɟ: Ɋ=Ɋ4(2)+Ɋ4(3)+Ɋ4(4)=0,9963.
ȿɫɥɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɬɶ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ x ɮɭɧɤɰɢɢ ɮɨɪɦɭɥɟ ɛɢɧɨɦɚ ɇɶɸɬɨɧɚ,
px q
n
n
¦C
m n
p m q nm x m
px q
n
,ɬɨ, ɩɨ
q n Cn1 pq n1 x Cn2 p 2 q n2 x 2 ... p n x n ,
m 0
ɬ.ɟ., ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ Pn(m) ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɩɪɢ x m ɜ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɢ n ɛɢɧɨɦɚ px q . ȼ ɫɜɹɡɢ ɫ ɷɬɢɦ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ Pn(m) ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɵɦ ɡɚɤɨɧɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ (ɷɬɨ ɩɨɧɹɬɢɟ ɛɭɞɟɬ ɨɛɫɭɠɞɚɬɶɫɹ ɩɪɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ).
!
Ɏɨɪɦɭɥɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ɞɨɩɭɫɤɚɟɬ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɨɛɨɛɳɟɧɢɟ. ɉɭɫɬɶ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɟɞɢɧɢɱɧɨɝɨ ɨɩɵɬɚ ɜɨɡɦɨɠɧɵ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɢɫɯɨɞɵ A1 , A2 ,! , Ak , ɨɛɪɚɡɭɸɳɢɟ ɩɨɥɧɭɸ ɝɪɭɩɩɭ ɫɨɛɵɬɢɣ ɢ ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɳɢɟ ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɹɦɢ p1 , p2 ,!, pk , p1 p2 ! pk 1 . ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɜ ɫɟɪɢɢ ɢɡ n ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ ɫɨɛɵɬɢɟ A1 ɩɪɨɢɡɨɣɞɟɬ m1 ɪɚɡ, ɫɨɛɵɬɢɟ A2 – m2 ɪɚɡ,…, ɫɨɛɵɬɢɟ Ak – mk ɪɚɡ, m1 m2 ! mk n , ɪɚɜɧɚ n! Pn (m1 , m2 ,...mk ) p1m1 p2 m2 ... pk mk . m1 !m2 !... mk ! ɋɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɜɟɥɢɱɢɧ Pn (m1 , m2 ,...mk ) ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɩɨɥɢɧɨɦɢɚɥɶɧɵɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ.
24
Ʌɟɤɰɢɢ 1-2
2.7. ɉɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɫɥɭɱɚɢ ɮɨɪɦɭɥɵ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ȿɫɥɢ ɫɟɪɢɹ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɛɨɥɶɲɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ, ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɬɪɭɞɧɨ, ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɮɚɤɬɨɪɢɚɥɨɜ ɫɥɨɠɧɨ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɫ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ. Ⱦɥɹ ɭɩɪɨɳɟɧɢɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɵ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɢɡ ɮɨɪɦɭɥɵ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɯ ɩɟɪɟɯɨɞɨɜ.
2.7.1. Ʌɨɤɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ Ɇɭɚɜɪɚ-Ʌɚɩɥɚɫɚ Ɍ
ȿɫɥɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ p ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɢɫɩɵɬɚɧɢɢ ɨɬɥɢɱɧɚ ɨɬ ɧɭɥɹ ɢ ɟɞɢɧɢɰɵ (0 p<1), ɬɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ P n m ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɩɪɢ n ɧɟɡɚ-
ɜɢɫɢɦɵɯ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹɯ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɩɨɹɜɥɹɟɬɫɹ m ɪɚɡ ɩɪɢ n o f ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɸ x2 Pn m m np 1 o1, ɝɞɟ x , M ( x) ɟ 2 – ɮɭɧɤɰɢɹ Ƚɚɭɫɫɚ. n of 1 npq 2S M x npq 1 M x . Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɪɢ ɛɨɥɶɲɢɯ n P n m | npq Ƚɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ Ƚɚɭɫɫɚ ɩɪɢɜɟɞɟɧ ɧɚ ɪɢɫɭɧɤɟ. Ɏɭɧɤɰɢɹ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɵɫɬɪɨ ɭɛɵɜɚɟɬ ɩɨ ɦɟɪɟ ɭɞɚɥɟɧɢɹ ɨɬ ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ – M 5 | 106 . ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɥɨɤɚɥɶɧɭɸ ɬɟɨɪɟɦɭ ɆɭɚɜɪɚɅɚɩɥɚɫɚ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ, ɟɫɥɢ p ɢ q ɧɟ ɦɚɥɵ, ɚ npq ! 9 Ɍɚɤ, ɩɪɢ n 40 , m 20 , p q 0,5 ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɢɹ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ 0,6%. ɉɪɢɦɟɪ:
ɇɚɣɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɩɪɢ 10 ɜɵɫɬɪɟɥɚɯ ɦɢɲɟɧɶ ɛɭɞɟɬ ɩɨɪɚɠɟɧɚ 8 ɪɚɡ, ɟɫɥɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɩɪɢ ɨɞɧɨɦ ɜɵɫɬɪɟɥɟ p =0,75. 1 Ɋɟɲɟɧɢɟ: P10 (8)| M ( x) , n 10, p 0, 75, q 1 0, 75 0, 25, m 8 , npq m np 8 10 0, 75 1 1 0,360; 0,730 ; x npq 10 0, 75 0, 25 npq 10 0,75 0, 25 M (0,360) 0,374 ; P10 (8) 0, 730 0,374 0, 273 . Ɉɬɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɞɚɠɟ ɜ ɬɚɤɢɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ (npq<2) ɨɲɢɛɤɚ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɢɹ ɨɤɨɥɨ 3 %.
2.7.2. ɂɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ Ɇɭɚɜɪɚ - Ʌɚɩɥɚɫɚ Ɍ
ȿɫɥɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ p ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɢɫɩɵɬɚɧɢɢ ɨɬɥɢɱɧɚ ɨɬ 0 ɢ 1 (0
25
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
ɩɵɬɚɧɢɹɯ ɧɟ ɦɟɧɟɟ m1 ɪɚɡ, ɧɨ ɧɟ ɛɨɥɟɟ m2 ɪɚɡ, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɸ:
1 Pn m1 ,m2 o 2S ɝɞɟ x1
³e
z2 2
dz Ɏ x2 Ɏ x1 ,
x1
m1 np , x2 npq
m2 np , npq
2
z 1 e 2 dz – ɮɭɧɤɰɢɹ Ʌɚɩɥɚɫɚ. ³ 2S 0 x
ɚ Ɏ x
x2
Ƚɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ Ʌɚɩɥɚɫɚ ɩɪɢɜɟɞɟɧ ɧɚ ɪɢɫɭɧɤɟ. Ɏɭɧɤɰɢɹ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɵɫɬɪɨ ɩɪɢɛɥɢɠɚɟɬɫɹ ɤ ɫɜɨɢɦ ɚɫɢɦɩɬɨɬɚɦ 1· § y r ¨ ¸ ɩɨ ɦɟɪɟ ɭɞɚɥɟɧɢɹ ɨɬ ɧɚɱɚɥɚ 2¹ © 1 ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ – Ɏ 5 | 106 . 2 ȼ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɢ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɬɚɛɥɢɰɵ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɮɭɧɤɰɢɣ Ƚɚɭɫɫɚ ɢ Ʌɚɩɥɚɫɚ. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɩɟɪɜɚɹ – ɱɟɬɧɚɹ, ɚ ɜɬɨɪɚɹ – ɧɟɱɟɬɧɚɹ, ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɬɨɥɶɤɨ ɞɥɹ ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ. ɉɪɢɦɟɪ:
ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɪɚɠɟɧɢɹ ɦɢɲɟɧɢ ɩɪɢ ɨɞɧɨɦ ɜɵɫɬɪɟɥɟ 0,75. ɑɟɦɭ ɪɚɜɧɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɩɪɢ 100 ɜɵɫɬɪɟɥɚɯ ɦɢɲɟɧɶ ɛɭɞɟɬ ɩɨɪɚɠɟɧɚ ɧɟ ɦɟɧɟɟ 70 ɢ ɧɟ ɛɨɥɟɟ 80 ɪɚɡ? Ɋɟɲɟɧɢɟ: 70 100 0,75 80 100 0,75 1,15. x1 1,15 ; x2 100 0 ,75 0, 25 100 0,75 0, 25 Ɏ( x1 ) Ɏ (1,15) Ɏ (1,15) 0,3749 (ɮɭɧɤɰɢɹ Ʌɚɩɥɚɫɚ ɧɟɱɺɬɧɚ). Ɏ( x2 ) Ɏ(1,15) 0,3749 .
P100 70,80 | Ɏ(1,15) Ɏ(1,15)
2Ɏ(1,15) 0, 7498 .
2.7.3. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɉɭɚɫɫɨɧɚ ȿɫɥɢ n ɜɟɥɢɤɨ, ɚ p ɦɚɥɨ, ɦɵ ɢɦɟɟɦ ɞɟɥɨ ɫ ɪɟɞɤɢɦɢ ɫɨɛɵɬɢɹɦɢ, ɬɚ ɠɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ P n m ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɉɭɚɫɫɨɧɚ:
O meO
, ɝɞɟ O np . ɗɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ Pn m ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɜ ɬɚɛɥɢɰɚɯ, ɞɥɹ m! ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɧɚɞɨ ɥɢɲɶ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ O ɢ ɡɧɚɬɶ m. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɉɭɚɫɫɨɧɚ ɩɨɥɭɱɚɟɬɫɹ ɢɡ ɮɨɪɦɭɥɵ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ɩɪɢ n o f . m n m n! §O· § O· m m n m Pn m Cn p q = ¨ ¸ ¨1 ¸ , m! n m ! © n ¹ © n ¹
P n m |
26
Ʌɟɤɰɢɢ 1-2
ɫɨɤɪɚɬɢɜ ɧɚ n! ɢ n m ! , ɩɨɥɭɱɢɦ:
Pn m Pn m
n m 1 n m 2 ... n § O ·m §
n
O· §
O·
m
¨ ¸ ¨1 ¸ ¨1 ¸ ©n¹ © n¹ © n¹
m!
O m n m 1 n m 2 ...n §
n
O· § O· ¨1 ¸ ¨1 ¸
m! n m
m
n¹ © n¹ © m n Om n m 1 n m 2 n§ O· § O· ... ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ . m! n n n© n¹ © n¹ n m 1 n m 2 n , ,..., ɫɬɪɟɦɢɬɫɹ ɤ 1, ɉɪɢ n o f ɤɚɠɞɚɹ ɢɡ ɞɪɨɛɟɣ n n n n
§ O· lim ¨1 ¸ e O n of © n¹ (ɩɪɢɦɟɧɹɟɦ ɜɬɨɪɨɣ ɡɚɦɟɱɚɬɟɥɶɧɵɣ ɩɪɟɞɟɥ), m
§ O· lim ¨1 ¸ 1. n of © n¹ Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɮɨɪɦɭɥɭ ɉɭɚɫɫɨɧɚ: O me O P n m | , ɝɞɟ O np . m! ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ, ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɵɟ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɉɭɚɫɫɨɧɚ ɞɥɹ p 0,001 ɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ n. ɋɦɵɫɥ ɢɦɟɸɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɬɨɥɶɤɨ ɩɪɢ ɰɟɥɵɯ m.
Ʌɟɤɰɢɢ 3 – 5 ɋɅɍɑȺɃɇɕȿ ȼȿɅɂɑɂɇɕ ȼ ɥɟɤɰɢɹɯ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹ ɨɞɧɨ ɢɡ ɜɚɠɧɟɣɲɢɯ ɩɨɧɹɬɢɣ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ – ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɜɢɞɵ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ, ɫɩɨɫɨɛɵ ɢɯ ɨɩɢɫɚɧɢɹ, ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ, ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɬ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. Ɉɛɫɭɠɞɚɸɬɫɹ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɱɚɫɬɨ ɜɫɬɪɟɱɚɸɳɢɟɫɹ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɢ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɱɚɫɬɨ ɜɫɬɪɟɱɚɸɳɢɟɫɹ ɢɯ ɮɭɧɤɰɢɢ.
3.1. ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ȼɢɞɵ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. Ɂɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ 3.1.1. Ȼɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɭɚɫɫɨɧɚ. ɉɨɬɨɤ ɫɨɛɵɬɢɣ 3.2. Ɏɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ 3.3. ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ. ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 3.4. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ 3.4.1. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ 3.4.2. Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ. ɋɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ 3.4.3. Ɇɨɞɚ, ɦɟɞɢɚɧɚ, ɤɜɚɧɬɢɥɢ 3.4.4. Ɇɨɦɟɧɬɵ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ 4.1. Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɢ ɢɯ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ 4.1.1. Ȼɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ 4.1.2. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɭɚɫɫɨɧɚ 4.1.3. Ɋɚɜɧɨɦɟɪɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ 4.1.4. ɉɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ 4.1.5. ɇɨɪɦɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ (ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ƚɚɭɫɫɚ) 5.1. Ɏɭɧɤɰɢɢ ɨɬ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ 5.2. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɮɭɧɤɰɢɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ 5.3. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɫɜɹɡɚɧɧɵɟ ɫ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦ 2 5.3.1. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ F (ɉɢɪɫɨɧɚ) 5.3.2. t – ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ 5.3.3. F – ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɏɢɲɟɪɚ – ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ
3.1. ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ȼɢɞɵ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. Ɂɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɉɨɞ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ ɩɨɧɢɦɚɟɬɫɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ ɫɨ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɢɫɯɨɞɨɦ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɬɨ ɢɥɢ ɢɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ. ȼɨɡɦɨɠɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ; (ɤɫɢ), ɤɨɬɨɪɨɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ.
28
Ʌɟɤɰɢɢ 3-5
ɉɪɢɦɟɪ:
1. Ɉɩɵɬ – ɛɪɨɫɚɧɢɟ ɢɝɪɚɥɶɧɨɣ ɤɨɫɬɢ; ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ – ɱɢɫɥɨ ɜɵɩɚɜɲɢɯ ɨɱɤɨɜ. Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ;={1,2,3,4,5,6}. 2. Ɉɩɵɬ – ɪɚɛɨɬɚ ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɚ ɩɨɫɥɟ ɪɟɦɨɧɬɚ; ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ Ɍ – ɜɪɟɦɹ ɪɚɛɨɬɵ ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɚ ɞɨ ɩɟɪɜɨɝɨ ɫɛɨɹ. Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ;: ɜɫɹ ɩɪɚɜɚɹ ɩɨɥɨɜɢɧɚ ɨɫɢ Ɉt (ɬ.ɟ. tt0). ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɷɬɨɬ ɭɱɚɫɬɨɤ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧ ɫɩɪɚɜɚ, ɧɨ ɷɬɚ ɝɪɚɧɢɰɚ ɧɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ. ; ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɧɟɫɱɟɬɧɨ. Ɉɩɵɬ – ɜɟɞɟɬɫɹ ɬɟɫɬɢɪɨɜɚɧɢɟ ɢɡɞɟɥɢɣ ɞɨ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢɫɩɪɚɜɧɨɝɨ ɢɡɞɟɥɢɹ. ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ – ɱɢɫɥɨ ɬɟɫɬɨɜ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɛɵɥɨ ɩɪɨɜɟɞɟɧɨ. ;={1,2,3,…,n,…} – ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ, ɧɨ ɫɱɟɬɧɨ.
ȿɫɥɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ; ɤɨɧɟɱɧɨ (ɩɪ.1) ɢɥɢ ɫɱɟɬɧɨ (ɩɪ.3), ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ, ɟɫɥɢ ɧɟɫɱɟɬɧɨ (ɩɪ.2) – ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ – ɮɭɧɤɰɢɹ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ: ɏ=M (Z), ɝɞɟ Z. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ; ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɜɫɟɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɮɭɧɤɰɢɹ M (Z). Ɉ Ɂɚɤɨɧɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɥɸɛɨɟ ɩɪɚɜɢɥɨ (ɬɚɛɥɢɰɚ, ɮɭɧɤɰɢɹ), ɩɨɡɜɨɥɹɸɳɟɟ ɧɚɯɨɞɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ, ɫɜɹɡɚɧɧɵɯ ɫɨ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ (ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɩɪɢɦɟɬ ɤɚɤɨɟ-ɬɨ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɥɢ ɩɨɩɚɞɟɬ ɧɚ ɤɚɤɨɣ-ɬɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥ). ȼɨɡɦɨɠɧɵ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɫɩɨɫɨɛɵ ɡɚɞɚɧɢɹ ɡɚɤɨɧɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɬɢɩɢɱɧɵɟ. 1. Ɂɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɡɚɞɚɧ ɜ ɜɢɞɟ ɬɚɛɥɢɰɵ, ɩɟɪɜɚɹ ɫɬɪɨɤɚ ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ: ɯ1, ɯ2, …, ɯn, …, ɚ ɜɬɨɪɚɹ – ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɷɬɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ Ɋ1, Ɋ2, …, Ɋn,…, ɝɞɟ Ɋi=P{ɏ=ɯi} – ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɩɪɢɦɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɯi (i=1, 2, …, n,…). ɋɨɛɵɬɢɹ ɯ1, ɯ2, …, ɯn, …, ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵ ɢ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨɥɧɭɸ ɝɪɭɩɩɭ, Ɉ
n
ɬ.ɨ.
¦P i
i 1
1 . Ɍɚɤɨɣ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɹɞɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟ-
ɧɢɹ. ɉɪɢɦɟɪ:
ɂɦɟɟɬɫɹ 3 ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨ ɪɚɛɨɬɚɸɳɢɯ ɩɪɢɛɨɪɚ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ 1-ɝɨ ɪɚɜɧɚ 0,2, 2-ɝɨ – 0,4, 3-ɝɨ – 0,5. ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ – ɱɢɫɥɨ ɪɚɛɨɬɚɸɳɢɯ ɩɪɢɛɨɪɨɜ. ɉɨɫɬɪɨɢɬɶ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ. Ɋɟɲɟɧɢɟ: ȼɨɡɦɨɠɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ: 0,1,2,3. Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɪɚɛɨɬɚɸɳɢɣ ɩɪɢɛɨɪ «+», ɚ ɧɟɪɚɛɨɬɚɸɳɢɣ – «–». ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ: P1 P X 0 ^ ` 0,8 0, 6 0,5 0, 24,
29
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
P2 P X 1 ^ ` ^ ` ^ ` 0, 2 0, 6 0, 5 0,8 0, 4 0,5 0,8 0, 6 0, 5 0, 46, P3 P X 2 ^ ` ^ ` ^ ` 0, 26, P4 X P
P X
3
0 0,24
^ ` 0,04. 1 0,46
2 0,26
2. Ɂɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɦɨɠɧɨ ɡɚɞɚɬɶ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢ. ɗɬɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. ȼ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɫɬɪɨɹɬ ɬɨɱɤɢ M 1 x1 ;P1 , M 2 x2 ;P2 ,…,
M n xn ;Pn , ɝɞɟ ɯi – ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ, Ɋi – ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ, ɢ ɢɯ ɫɨɟɞɢɧɹɸɬ ɨɬɪɟɡɤɚɦɢ ɩɪɹɦɵɯ. 3. Ɂɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɩɪɢɝɨɞɧɵɣ ɞɥɹ ɜɫɟɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ (ɢ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɯ, ɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ), ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɡɚɞɚɧ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɢ: ɞɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ P X xi M xi .
4
¦P i
1.
i 1
3 0,04
Pi
0
1
2
3
xi
3.1.1. Ȼɢɧɨɦɢɧɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɭɚɫɫɨɧɚ. ɉɨɬɨɤ ɫɨɛɵɬɢɣ ȼ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɣ ɥɟɤɰɢɢ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɥɚɫɶ ɫɯɟɦɚ ɩɨɜɬɨɪɧɵɯ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ (ɫɯɟɦɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ) ɢ ɛɵɥɚ ɩɨɥɭɱɟɧɚ ɮɨɪɦɭɥɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ m ɭɫɩɟɯɨɜ ɜ ɫɟɪɢɢ ɢɡ n ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɨɩɵɬɨɜ, ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɩɨɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ p. ȿɫɥɢ ɱɢɫɥɨ ɭɫɩɟɯɨɜ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɏ, ɬɨ ɨɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɨɧɚ ɦɨɠɟɬ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɹ 1,2 ,3,...,n , ɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɞɚɸɬɫɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɪɚɧɟɟ ɮɨɪɦɭɥɨɣ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ: n! Pn ( X m) Cnm p m q nm , ɝɞɟ q 1 p , C nm . m! n m ! Ⱦɚɧɧɨɟ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɛɢɧɨɦɢɧɚɥɶɧɵɦ. ȼ ɩɪɟɞɟɥɟ ɩɪɢ nĺ, ɪĺ0, lim(np) a const ɛɢɧɨɦɢɧɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟnof
ɥɟɧɢɟ ɩɟɪɟɯɨɞɢɬ ɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɭɚɫɫɨɧɚ. ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɚɹ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ ɉɭɚɫɫɨɧɚ, ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ 1,2 ,3,...,n,... ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɹɦɢ a me O P n m | . m! Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɭɚɫɫɨɧɚ ɦɨɠɧɨ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ ɩɪɢɦɟɧɹɬɶ ɜɦɟɫɬɨ ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɝɨ, ɤɨɝɞɚ ɱɢɫɥɨ ɨɩɵɬɨɜ n ɨɱɟɧɶ ɜɟɥɢɤɨ, ɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ p ɨɱɟɧɶ ɦɚɥɚ, ɬ.ɟ. ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɟɞɢɧɢɱɧɨɦ ɨɩɵɬɟ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɩɨɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɪɚɣɧɟ ɪɟɞɤɨ. ɉɪɢɦɟ-
30
Ʌɟɤɰɢɢ 3-5
ɪɨɦ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɉɭɚɫɫɨɧɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɡɚɞɚɱɚ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɪɟɱɶ ɢɞɟɬ ɨ ɦɧɨɝɨɤɪɚɬɧɨɦ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɢ ɬɟɯɧɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɚ ɜɵɫɨɤɨɣ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɢ, ɬɚɤɨɣ, ɱɬɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɨɬɤɚɡɚ ɩɪɢ ɨɞɧɨɦ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɢ ɨɱɟɧɶ ɦɚɥɚ. Ɂɚɞɚɱɚ: ɇɚ ɨɫɢ ɜɪɟɦɟɧɢ Ɉt ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɜɨɡɧɢɤɚɸɬ ɬɨɱɤɢ – ɦɨɦɟɧɬɵ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɤɚɤɢɯ-ɬɨ ɫɨɛɵɬɢɣ (ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɜɵɡɨɜɵ ɧɚ ɬɟɥɟɮɨɧɧɨɣ ɫɬɚɧɰɢɢ, ɩɪɢɯɨɞɵ ɩɨɫɟɬɢɬɟɥɟɣ ɜ ɦɚɝɚɡɢɧɵ ɢ ɬ.ɩ.). ɉɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɬɚɤɢɯ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ «ɩɨɬɨɤɨɦ ɫɨɛɵɬɢɣ». ɉɨɬɨɤ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦɢ: 1. ɋɬɚɰɢɨɧɚɪɧɨɫɬɶ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ m ɫɨɛɵɬɢɣ ɧɚ ɭɱɚɫɬɤɟ ɜɪɟɦɟɧɢ W ɡɚɜɢɫɢɬ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ ɞɥɢɧɵ W. ɋɪɟɞɧɟɟ ɱɢɫɥɨ ɫɨɛɵɬɢɣ ɜ ɟɞɢɧɢɰɭ ɜɪɟɦɟɧɢ O=const. ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɢɧɬɟɧɫɢɜɧɨɫɬɶɸ ɩɨɬɨɤɚ. 2. Ɉɪɞɢɧɚɪɧɨɫɬɶ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɧɚ ɦɚɥɵɣ ɭɱɚɫɬɨɤ 't ɞɜɭɯ ɢɥɢ ɛɨɥɟɟ ɫɨɛɵɬɢɣ ('tĺ0) ɩɪɟɧɟɛɪɟɠɢɦɨ ɦɚɥɚ ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɧɚ ɧɟɝɨ 1-ɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ. 3. Ɉɬɫɭɬɫɬɜɢɟ ɩɨɫɥɟɞɟɣɫɬɜɢɹ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ m ɫɨɛɵɬɢɣ ɧɚ ɥɸɛɨɦ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɟ ɜɪɟɦɟɧɢ ɨɫɢ Ɉt ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɬɨɝɨ, ɩɨɹɜɢɥɢɫɶ ɢɥɢ ɧɟɬ ɫɨɛɵɬɢɹ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɜɪɟɦɟɧɢ. ɉɨɬɨɤ, ɨɛɥɚɞɚɸɳɢɣ ɷɬɢɦɢ ɬɪɟɦɹ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦɢ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɵɦ. Ⱦɥɹ ɧɟɝɨ: P(m) ɉɪɢɦɟɪ:
OW m!
m
e OW
ɋ ɤɚɬɨɞɚ ɜɵɥɟɬɚɟɬ ɜ ɫɪɟɞɧɟɦ q ɷɥɟɤɬɪɨɧɨɜ ɡɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɜɪɟɦɟɧɢ. Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɡɚ ɜɪɟɦɹ t ɜɵɥɟɬɢɬ k ɷɥɟɤɬɪɨɧɨɜ ? Ɋɟɲɟɧɢɟ: ɚ ĺq , W ĺt , m ĺk. ɉɨɬɨɤ ɫɨɛɵɬɢɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɵɦ. Ⱦɥɹ ɧɟɝɨ P k
qt k!
k
e qt .
3.2. Ɏɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Ɉ
Ɉɛɳɟɣ ɮɨɪɦɨɣ ɡɚɤɨɧɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɩɪɢɝɨɞɧɨɣ ɞɥɹ ɜɫɟɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ (ɢ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɯ ɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ), ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. Ɉ Ɏɭɧɤɰɢɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɩɪɢɦɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɟɧɶɲɟɟ, ɱɟɦ ɡɚɞɚɧɧɨɟ ɯ. Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɹ: ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɬɨɱɤɚ ɏ ɩɨɩɚɞɚɟɬ ɥɟɜɟɟ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɯ. X<x 0
x
x
31
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ: 1. F x2 t F x1 ɩɪɢ x2 ! x1 ;
F f 0 ; 3. F f 1 . ɉɨɤɚɠɟɦ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢ ɫɜɨɣɫɬɜɨ 1: ɋɨɛɵɬɢɟ C ^ X x2 `, C A B , ɝɞɟ A ^ X x1 ` , B ^x1 X x2 ` . P C P A P B , P X x2 F x2 F x1 P x1 X x2 , ɢ ɬɚɤ ɤɚɤ P x1 X x2 t 0 , ɬɨ F x2 t F x1 . 2.
P X x1 P x1 X x2 ;
B
A 0
x2
x1 C
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɭɛɵɜɚɸɳɟɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɢ ɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɡɚɤɥɸɱɟɧɵ ɦɟɠɞɭ 0 ɢ 1. ɂɡ ɪɚɜɟɧɫɬɜ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ ɩɨɩɚɞɚɟɬ ɧɚ ɭɱɚɫɬɨɤ ɨɬ ɯ1 ɞɨ ɯ2 (ɜɤɥɸɱɚɹ ɯ1) ɪɚɜɧɚ ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɸ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚ ɷɬɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ, ɬ.ɟ. P{ɯ1ɏ<ɯ2}=F(ɯ2) - F(ɯ1). ɉɭɫɬɶ ɬɨɱɤɚ ɯ2 ɧɟɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨ ɩɪɢɛɥɢɠɚɟɬɫɹ ɤ ɬɨɱɤɟ ɯ1. ȼ ɩɪɟɞɟɥɟ ɢɦɟɟɦ P( X x1 ) lim F ( x2 ) F ( x1 ) . x2 o x1
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɩɪɢɦɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɯ1, ɪɚɜɧɚ ɫɤɚɱɤɭ ɟɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜ ɬɨɱɤɟ ɯ1 (ɟɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ F(x) ɪɚɡɪɵɜɧɚ). ȿɫɥɢ ɠɟ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚ ɜ ɬɨɱɤɟ ɯ1, ɬɨ ɷɬɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɪɚɜɧɚ Ɉ. ȿɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ F(ɯ) ɜɟɡɞɟ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚ, ɬɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɤɚɠɞɨɝɨ ɨɬɞɟɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɪɚɜɧɚ 0.
Ɏɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Ɂɧɚɹ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɩɨɫɬɪɨɢɦ ɟɟ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɣ ɪɚɧɟɟ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ: X P 1. 2.
0 0,24
1 0,46
2 0,26
3 0,04
ɯ0, ɬ.ɤ. ɱɢɫɥɨ ɩɪɢɛɨɪɨɜ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɦ ɛɵɬɶ ɧɟ ɦɨɠɟɬ, ɬɨ ɞɥɹ ɯ0 F(ɯ)=0; 0<ɯ1 F(x)=P{X=0}=0,24;
32
Ʌɟɤɰɢɢ 3-5
3. 1<x2 F(x)=P{X<x}= P{X=0}+P{X=1}=0,24+0,46=0,70; 4. 2<x3 F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0,24+0,46+0,26=0,96; 5. ɯ>3 F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=1. ɉɪɟɞɫɬɚɜɢɦ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F(x) ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢ
3.3. ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ. ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ, ɟɫɥɢ ɟɟ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɢ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɨɣ ɜ ɥɸɛɨɣ ɬɨɱɤɟ. ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɡɚɤɨɧɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɢɦɟɸɳɟɝɨ ɫɦɵɫɥ ɬɨɥɶɤɨ ɞɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ, ɜɜɟɞɟɦ ɩɨɧɹɬɢɟ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢɥɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ. ɉɭɫɬɶ 'ɯ - ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɧɚ ɨɫɢ Ɉɯ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɩɪɢɦɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ, ɡɚɤɥɸɱɟɧɧɨɟ ɦɟɠɞɭ ɯ ɢ ɯ+'ɯ, ɪɚɜɧɚ Ɋ{xX ɯ+'ɯ}. Ɋɚɡɞɟɥɢɦ ɟɟ ɧɚ 'ɯ, ɩɨɥɭɱɢɦ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨP ^ x d X 'x` ɫɬɢ , ɧɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɧɚ 'x ɭɱɚɫɬɨɤ ɪɚɜɧɚ ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɸ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚ ɷɬɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ F( x 'x ) F( x ) , ɩɟɪɟɯɨɞɹ ɤ ɩɪɟɞɟɥɭ ɩɪɢ 'ɯĺ0, ɩɨɥɭɱɢɦ 'x F ( x 'x) F ( x) lim F c( x) . 'x o0 'x Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ (ɢɥɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ) ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɜ ɬɨɱɤɟ ɯ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ ɟɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜ ɷɬɨɣ ɬɨɱɤɟ. d F( x ) . Ƚɪɚɮɢɤ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ g(x) Ɉɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ: f ( x ) F c( x ) dx ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɪɢɜɨɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ.
33
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɣ ɭɱɚɫɬɨɤ dx. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɧɚ ɷɬɨɬ ɭɱɚɫɬɨɤ dx (ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɞɨ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɯ ɜɵɫɲɢɯ ɩɨɪɹɞɤɨɜ) ɪɚɜɧɚ g(x)dx=dF(x). ȼɟɥɢɱɢɧɚ g(ɯ)dx ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɷɥɟɦɟɧɬɨɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɞɥɹ ɬɨɱɤɢ. Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢ - ɷɬɨ ɩɥɨɳɚɞɶ ɡɚɲɬɪɢɯɨɜɚɧɧɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɧɚ ɭɱɚɫɬɨɤ ɨɬ D ɞɨ E. ɗɬɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɪɚɜɧɚ ɫɭɦɦɟ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɧɚ ɷɬɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ, ɬ.ɟ. ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦɭ E
ɢɧɬɟɝɪɚɥɭ: P{D X E }
³D f ( x)dx .
ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɡɚɲɬɪɢɯɨɜɚɧɧɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ. x
³
F( x ) P{ X x } P{ f X x }
f ( x )dx .
f
ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ: 1. g(x)t; f
2.
³
f ( x )dx 1 .
f
ɉɪɢɦɟɪ: Ɏɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɡɚɞɚɧɚ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟɦ 0, ɩɪɢ x d 0, ° F(x)= ® x 2 , ɩɪɢ 0<x d 1, °1, ɩɪɢ 1<x ¯ ɇɚɣɬɢ: 1. ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ g(ɯ) ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɟɟ ɝɪɚɝɪɚɮɢɤ; 2. ɇɚɣɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ ɩɪɢɦɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɟɠɞɭ 0,25 ɢ 0,5. 1)
f ( x)
F '( x)
0, ɩɪɢ x d 0, ° ®2 x, ɩɪɢ 0 x 1, °0, ɩɪɢ x ! 1 ¯
ɢɥɢ g(x)= 2x ɩɪɢ 0<x<1. 2) ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɧɚ ɭɱɚɫɬɨɤ (0,25;0,5): P{ 0, 25 X 0,5 }
0 ,5
³
0 ,25
f ( x )dx , ɧɨ ɦɨɠɧɨ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨ-
ɜɚɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ: P{0,25 X 0,5}= F(0,5)-F(0,25)=0,52-0,252=0,1875.
34
Ʌɟɤɰɢɢ 3-5
3.4. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ȼ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɢɝɪɚɸɬ ɨɝɪɨɦɧɭɸ ɪɨɥɶ. ɋ ɢɯ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ ɨɛɥɟɝɱɚɟɬɫɹ ɪɟɲɟɧɢɟ ɦɧɨɝɢɯ ɡɚɞɚɱ. ɋɪɟɞɢ ɱɢɫɥɨɜɵɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɧɚɱɚɥɚ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɭ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ, ɮɢɤɫɢɪɭɸɳɭɸ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɧɚ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɨɫɢ, ɬ.ɟ. ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ, ɨɪɢɟɧɬɢɪɨɜɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɨɤɨɥɨ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɝɪɭɩɩɢɪɭɸɬɫɹ ɟɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ. Ɍɚɤɨɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɨɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ, ɢɧɨɝɞɚ ɟɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɪɟɞɧɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ.
3.4.1. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ Ɉ
Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɠɢɞɚɧɢɟɦ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɭɦɦɚ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɣ ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɧɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɷɬɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ.
M X ɉɪɢɦɟɪ:
n
¦x p i
i
mx
i 1
Ⱦɚɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ɇɚɣɬɢ Ɇ(ɏ). 2 3 4 5 X 0,1 0,2 0,2 0,5 P M X m x 2 0,1 3 0,2 4 0,2 5 0,5
!
4,1 .
ɉɪɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɨɦ ɱɢɫɥɟ ɨɩɵɬɨɜ ɦɨɠɧɨ ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɧɚɛɥɸɞɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ ɪɚɜɧɵɦ ɟɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɦɭ ɨɠɢɞɚɧɢɸ.
ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ: 1. Ɇ(ɫ)=ɫ, ɫ- ɤɨɧɫɬɚɧɬɚ; 2. Ɇ(ɫɏ)=ɫɆ(ɏ). Ɉ
Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɠɢɞɚɧɢɟɦ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɫ f
ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ g(ɯ) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ mx
M X
³ x f ( x)dx .
f
ɉɪɢɦɟɪ: ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɧɚ ɭɱɚɫɬɤɟ (0,2) ɫ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ g(x)=ax ɩɪɢ x(0,2). ɇɚɣɬɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɚ ɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ mx Ɋɟɲɟɧɢɟ: ɉɨɫɬɪɨɢɦ ɝɪɚɮɢɤ g(x). ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɚ ɧɚɣɞɟɦ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ, ɱɬɨ S'=1. 1 1 2 2a 1 . ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, a . S' 2 2
35
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ 2
mx
1 ³0 x 2 x dx
2
1 2 x dx 2 ³0
1 x3 2 3
2
0
8 6
4 | 1,33 . 3
3.4.2. Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ. ɋɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɏɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɨɣ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɨɬ ɟɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ, ɨɩɢɫɵɜɚɸɳɚɹ ɪɚɫɫɟɹɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ. Ɉ
Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɟɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ D(x)=Dx ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ Dx=M((X-Mx)2), ɝɞɟ ɪɚɡɧɨɫɬɶ X-Mx ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟɦ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɨɬ ɟɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ. Ⱦɥɹ ɧɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɫɥɭɠɚɬ ɮɨɪɦɭɥɵ: n
Dx
¦( x m i
x
)2 pi – ɞɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ,
i 1
2
f
Dx
³ x m x
f ( x )dx – ɞɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ.
f
ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ: Dx=M(X2)-(M(X))2, ɬ.ɟ. ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɪɚɜɧɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɦɭ ɨɠɢɞɚɧɢɸ ɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɦɢɧɭɫ ɤɜɚɞɪɚɬ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ. Ɉɧɚ ɩɨɥɭɱɚɟɬɫɹ ɢɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ:
Dx
M
X M 2
x
M X 2 2 X M x M x2
M X 2 2M X M x M M x 2
M X 2 2M x M x M x 2
M X 2 M x2 .
ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ: 1. Dxt0; 2. Dɫ=0; 3. D(cx)=c2Dx; 4. D(X+Y)=DX+DY (X,Y-ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ); 5. D(C+X)=DX. ɉɪɢɦɟɪ:
ȼ ɬɟɯɧɢɱɟɫɤɨɦ ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɟ ɪɚɛɨɬɚɸɬ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨ 2 ɛɥɨɤɚ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɛɟɡɨɬɤɚɡɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɩɟɪɜɨɝɨ ɛɥɨɤɚ p1=0,4, ɜɬɨɪɨɝɨ – p2=0,7. ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ – ɱɢɫɥɨ ɪɚɛɨɬɚɸɳɢɯ ɛɥɨɤɨɜ. ɇɚɣɬɢ ɟɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ. Ɋɟɲɟɧɢɟ: ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ 0, 1, 2. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɷɬɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ: P{X=0}=0,6·0,3=0,18; P{X=1}=1-(0,18+0,28)=0,54; P{X=2}=0,4·0,7=0,28. Ɋɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ: 0 1 2 X 0,18 0,54 0,28 P mx=0·0,18+1·0,54+2·0,28=1,1. Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ Dx=M(X2)-(M(X))2,
36
Ʌɟɤɰɢɢ 3-5
(M(X))2=(1,1)2=1,21, ɇɚɣɞɟɦ M(X2)=02·0,18+12·0,54+22·0,28=1,66. Dx=1,66-1,21=0,45. Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ ɢɦɟɟɬ ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. Ⱦɥɹ ɧɚɝɥɹɞɧɨɫɬɢ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɪɚɫɫɟɢɜɚɧɢɹ ɭɞɨɛɧɟɟ ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɱɢɫɥɨɦ, ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɶ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɶɸ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ȼɟɥɢɱɢɧɚ Dx V x ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɪɟɞɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟɦ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ (ɫ.ɤ.ɨ.). Ⱦɥɹ ɫɪɚɜɧɟɧɢɹ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɛɵɜɚɟɬ ɭɞɨɛɧɨ ɩɪɢɜɟɫɬɢ ɢɯ ɤ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɞɭ: ɧɚɱɚɥɨ ɨɬɫɱɟɬɚ ɩɟɪɟɧɟɫɬɢ ɜ ɬɨɱɤɭ, ɫɨɜɩɚɞɚɸɳɭɸ ɫ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɠɢɞɚɧɢɟɦ ɫ.ɜ., ɚ ɦɚɫɲɬɚɛ ɜɵɛɪɚɬɶ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɜ ɧɨɜɵɯ ɟɞɢɧɢɰɚɯ ɫ.ɤ.ɨ. ɛɵɥɨ ɪɚɜɧɨ ɟɞɢɧɢɰɟ.
Ɉ
ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ Y
X MX
Vx
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ
ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɟ X . § X MX · § X MX · MX MX DX MY M ¨ 0 , DY D ¸ ¨ ¸ 2 Vx © V x ¹ V x © Vx ¹
1.
3.4.3. Ɇɨɞɚ, ɦɟɞɢɚɧɚ, ɤɜɚɧɬɢɥɢ Ʉɪɨɦɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬ ɦɨɞɭ ɢ ɦɟɞɢɚɧɭ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. Ɉ
Ɇɨɞɚ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ – ɷɬɨ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ; ɞɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ – ɷɬɨ ɬɨɱɤɚ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. Ɉɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ: Ɇoɯ.
ɉɪɢɦɟɪ: ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. Ⱦɥɹ ɞɚɧɧɨɣ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɦɨɞɚ Ɇoɯ =2. Ⱦɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɧɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɤɪɢɜɚɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɟɧɵ. Ɇoɯ – ɬɨɱɤɚ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ g(ɯ) ɢɦɟɟɬ ɦɚɤɫɢɦɭɦ. Ɇɨɞɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɧɟ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɣ. Ɍɚɤɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɥɢɦɨɞɚɥɶɧɵɦ. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɱɚɫɬɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɚɬɟɪɢɚɥ, ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɧɵɣ ɜ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹɯ, ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɚɡɧɨɪɨɞɧɵɦ.
37
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
Ɉ
Ɇɟɞɢɚɧɚ Ɇeɯ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ- ɷɬɨ ɬɚɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɞɥɹ 1 ɤɨɬɨɪɨɝɨ P ^ X xm ` P ^ X ! xm ` . 2 Ɇɟɞɢɚɧɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɨɣ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢ ɦɟɞɢɚɧɚ- ɷɬɨ ɬɨɱɤɚ ɧɚ ɨɫɢ 0x ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɥɨɳɚɞɢ ɩɨɞ ɝɪɚɮɢɤɨɦ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɥɟɠɚɳɢɟ ɫɥɟɜɚ ɢ ɫɩɪɚɜɚ ɨɬ ɧɟɟ, ɨɞɢɧɚɤɨɜɵ ɢ ɪɚɜɧɵ
1 . 2
ȿɫɥɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɩɪɹɦɨɣ x = a ɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɨɞɧɨɦɨɞɚɥɶɧɨ, ɬɨ ɦɚɬɨɠɢɞɚɧɢɟ, ɦɟɞɢɚɧɚ ɢ ɦɨɞɚ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ, M(x) = Mex = Ɇoɯ. ȼ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹɯ ɱɚɫɬɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɤɜɚɧɬɢɥɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ. Ɉ Ʉɜɚɧɬɢɥɶɸ ɭɪɨɜɧɹ p q p ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɟɲɟɧɢɟ
!
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ F q p
!
p , ɝɞɟ F x – ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ
ɜɟɥɢɱɢɧɵ X, p – ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɱɢɫɥɨ, 0 p 1 . Ɇɟɞɢɚɧɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɜɚɧɬɢɥɶɸ ɭɪɨɜɧɹ 0,5: Mex
q0 ,5 .
3.4.4. Ɇɨɦɟɧɬɵ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ Ʉɪɨɦɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɜ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɞɪɭɝɢɟ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ – ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ. Ɉ
ɇɚɱɚɥɶɧɵɦ ɦɨɦɟɧɬɨɦ s-ɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɱɢɫɥɨ D s X , ɪɚɜɧɨɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɦɭ ɨɠɢɞɚɧɢɸ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ: Xs: D s X
M X s .
ȿɫɥɢ ɏ - ɞɢɫɤɪɟɬɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɬɨ D s X
n
¦x
s i
pi , ɝɞɟ xi -
i 1
ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ, pi - ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ. f
ȿɫɥɢ ɏ – ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɬɨ D s X
³ x f x dx , ɝɞɟ s
f
g(ɯ) – ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. ȿɫɥɢ ɩɨɥɨɠɢɬɶ s =1, ɬɨ ɩɟɪɜɵɣ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ
D1 X
f
n
¦x p , i
i 1
i
D1 X
³ xf x dx
f
38
Ʌɟɤɰɢɢ 3-5
ɟɫɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ, ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ m x D1 X . Ɉ
R
ɐɟɧɬɪɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ X ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ R
ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɨɬ ɟɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ: X X mx . ! ɐɟɧɬɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɩɟɪɟɧɨɫ ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɜ ɬɨɱɤɭ mx . Ɉ ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɵɦɢ ɦɨɦɟɧɬɚɦɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɦɨɦɟɧɬɵ ɰɟɧɬɪɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, (ɚɧɚɥɨɝ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫɵ ɜ ɦɟɯɚɧɢɤɟ). Ɉ ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɵɦ ɦɨɦɟɧɬɨɦ ɩɨɪɹɞɤɚ s ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ § R s· s ɜɟɥɢɱɢɧɚ P s X M ¨ X ¸ M X mx . © ¹
s
n
ȿɫɥɢ ɏ – ɞɢɫɤɪɟɬɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɬɨ
¦ x m p ;
Ps
i
x
i
i 1
s
f
ɟɫɥɢ ɏ – ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɬɨ
³ x m f x dx .
Ps
x
f
Ʉɪɨɦɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɯ ɦɨɦɟɧɬɨɜ, ɢɧɨɝɞɚ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɟ ɚɛɫɨɥɸɬɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ (ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɟ), ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɵɟ ɤɚɤ § R s· s s E s X M X , Q s X M ¨¨ X ¸¸ M X mx . © ¹
ɋɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦɢ ɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɦɢ ɦɨɦɟɧɬɚɦɢ ȿɫɥɢ ɩɨɥɨɠɢɬɶ S=1, ɬɨ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ 1-ɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ §R· P1 M ¨ X ¸ M X mx 0 . © ¹ ȼɬɨɪɨɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ 2 § R 2· n P 2 M ¨ X ¸ ¦ xi mx pi © ¹ i1 n
n
n
i 1
i 1
¦ xi2 pi 2mx ¦ xi pi mx2 ¦ pi i 1
ɬ.ɤ. D 2
M X
2
D 2 2mx2 mx2 D 2 mx2 ,
, ɬɨ ɜɬɨɪɨɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ P
2
M X 2 ( M X ) 2 ɟɫɬɶ
ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. Ⱦɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
39
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ 2
f
P2
³ x m f x dx
Dx
x
f f
f
2
f
2 x
³ x f x dx 2 ³ xm f x dx ³ m f x dx x
f
f
D 2 2mx mx mx2 D 2 mx2 .
f
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɞɥɹ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɚ 3-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ (ɮɨɪɦɭɥɚ ɤɭɛɚ ɪɚɡɧɨɫɬɢ), ɢɦɟɟɦ § D · n P3 M ¨ X 3 ¸ ¦ ( xi mx )3 pi D 3 3D 2 mx 2mx3 ɢ ɬ.ɞ. ɞɥɹ P4 , P5 ... © ¹ i1 ȼ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɢɡ ɱɢɫɥɨɜɵɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɱɚɳɟ ɜɫɟɝɨ ɩɪɢɦɟɧɹɟɬɫɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ mx , ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ Dx ɢɥɢ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ V x . Ɉɧɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɬ ɫɚɦɵɟ ɜɚɠɧɵɟ ɱɟɪɬɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɟɝɨ 3V x
3V x mx
ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɢ ɫɬɟɩɟɧɶ ɪɚɡɛɪɨɫɚɧɧɨɫɬɢ. ȿɫɥɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɭɡɧɚɬɶ ɞɢɚɩɚɡɨɧ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ, ɦɨɠɧɨ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ «ɩɪɚɜɢɥɨɦ ɬɪɟɯ ɫɢɝɦ» (ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɞɚɥɶɲɟ). ɗɬɨ ɩɪɚɜɢɥɨ ɝɥɚɫɢɬ: Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɧɟ ɜɵɯɨɞɹɬ ɡɚ ɩɪɟɞɟɥɵ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ mx r 3V x . Ⱦɥɹ ɛɨɥɟɟ ɞɟɬɚɥɶɧɨɝɨ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɠɚɬ ɦɨɦɟɧɬɵ ɜɵɫɲɢɯ ɩɨɪɹɞɤɨɜ. ȿɫɥɢ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɢɥɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɩɪɹɦɨɣ x mx , ɬ.ɟ. ɟɫɥɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɬɨ ɜɫɟ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɧɟɱɟɬɧɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ: P2 s 1 0, s 1,2,... . Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɩɪɢ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ ɢ ɧɟɱɟɬɧɨɦ s s
n
Ps
¦ x m p i
i 1
x
i
- ɱɢɫɥɨ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɯ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ ɜ ɫɭɦɦɟ ɪɚɜɧɨ ɱɢɫɥɭ
ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɯ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ (ɫɥɚɝɚɟɦɵɟ ɪɚɜɧɵ ɩɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɟ) ɢ ɨɧɢ ɜɡɚɢɦɧɨ ɭɧɢɱɬɨɠɚɸɬɫɹ. (Ⱦɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɢɦɟɟɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥ, ɨɬ ɧɟɱɟɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɯ ɩɪɟɞɟɥɚɯ, ɪɚɜɧɵɣ ɧɭɥɸ). ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɚɫɢɦɦɟɬɪɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɵɛɪɚɧ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ 3-ɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ-P3.
40
Ʌɟɤɰɢɢ 3-5
§ § 0 ·3 · P3 M ¨ ¨ X ¸ ¸ D 3 3D 2 mx 2mx3 , ¨© ¹ ¸ © ¹ 3 ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɶ ɤɨɬɨɪɨɝɨ > X @ . Ⱦɥɹ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɛɟɡɪɚɡɦɟɪɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ – ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɚɫɢɦɦɟɬɪɢɢ As
Sk
P3 (ɨɬ V x3
ɚɧɝɥɢɣɫɤɨɝɨ skew – ɤɨɫɨɣ). ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɢɦɟɟɦ ɞɜɟ ɚɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɯ ɤɪɢɜɵɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. I) – ɤɪɢɜɚɹ ɫ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɣ ɚɫɢɦɦɟɬɪɢɟɣ, As ! 0 , II) – ɫ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨɣ ɚɫɢɦɦɟɬɪɢɟɣ, As 0 . ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɛɨɥɶɲɟɣ ɢɥɢ ɦɟɧɶɲɟɣ ɫɬɟɩɟɧɢ «ɫɝɥɚɠɟɧɧɨɫɬɢ» ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɢɥɢ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ (ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɣ ɛɭɞɟɬ ɞɚɧɨ ɩɨɡɠɟ) ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɩɨɧɹɬɢɟ ɷɤɫɰɟɫɫɚ, ɬ.ɟ. ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɨɣ ɨɫɬɪɨɜɟɪɲɢɧɧɨɫɬɢ ɢɥɢ ɩɥɨɫɤɨɜɟɪɲɢɧɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɱɟɬɜɟɪɬɵɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ - P4, ɷɤɫɰɟɫɫ
P4 3. V x4
Hx
ɑɢɫɥɨ 3 ɫɜɹɡɚɧɨ ɫ ɱɚɫɬɨ ɜɫɬɪɟɱɚɸɳɢɦɫɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ, ɞɥɹ ɧɟɝɨ ɷɤɫɰɟɫɫ
0,
Hx
P4 V x4
3.
Ⱦɥɹ ɤɪɢɜɵɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɢɦɟɸɳɢɯ ɛɨɥɟɟ ɨɫɬɪɭɸ ɜɟɪɲɢɧɭ, ɱɟɦ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɟ, ɷɤɫɰɟɫɫ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɟɧ, ɞɥɹ ɛɨɥɟɟ ɩɥɨɫɤɨɜɟɪɲɢɧɧɵɯ – ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɟɧ (ɫɦ. ɪɢɫɭɧɨɤ). ɏɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚ Hɯ ɫɥɭɠɢɬ ɜ ɨɫɧɨɜɧɨɦ ɞɥɹ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ. ɉɪɢɦɟɪ:
ȼ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɣ ɥɟɤɰɢɢ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɥɢɫɶ 2 ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨ ɪɚɛɨɬɚɸɳɢɯ ɛɥɨɤɚ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɛɟɡɨɬɤɚɡɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ p1=0,4, p2=0,7. Ȼɵɥɢ ɧɚɣɞɟɧɵ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X – ɱɢɫɥɚ ɪɚɛɨɬɚɸɳɢɯ ɛɥɨɤɨɜ: ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ mx=1,1 ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ Dx=0,45, 0, 45 0,67 . ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ V x Ɍɪɟɬɢɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ 3
3
P3
3
3
3
¦ x m p 0 1,1 0,18 11,1 0,54 2 1,1 0,28 i
x
i
0,1595,
i 1
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɚɫɢɦɦɟɬɪɢɢ As ɥɨɠɢɬɟɥɶɧɭɸ ɚɫɢɦɦɟɬɪɢɸ.
0,1595
0,67
3
! 0 , ɬ.ɟ. ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɩɨ-
41
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
ɉɪɢɦɟɪ: ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ Ʌɚɩɥɚɫɚ 1 x f x e . 2 ɇɚɣɬɢ: ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ, ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ, ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ, ɚɫɢɦɦɟɬɪɢɸ ɢ ɷɤɫɰɟɫɫ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ. Ɋɟɲɟɧɢɟ: f § 1 · x mx ³ x ¨ ¸ e dx 0 , ɬ.ɤ. ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɜ ɫɢɦɦɟɬ2¹ f © ɪɢɱɧɵɯ ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɨɬ ɧɟɱɟɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ. f f 1 1 x Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ: Dx ³ x 2 e dx 2 ³ x 2 e x dx 2 ; 2 20 f
2 ; ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɚɫɢɦɦɟɬɪɢɢ ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ V x Sk=0, ɬ.ɤ. ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢf 1 P4 3 3. ɞɚɧɢɹ. ɗɤɫɰɟɫɫ: P4 2³ x 4 e x dx 24 ; H x 2 V x4 0
4.1. Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɢ ɢɯ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ȼɟɪɧɟɦɫɹ ɤ ɪɚɧɟɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹɦ – ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɦɭ ɢ ɩɭɚɫɫɨɧɨɜɫɤɨɦɭ ɢ ɧɚɣɞɟɦ ɢɯ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ, ɚ ɬɚɤɠɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɱɚɫɬɨ ɜɫɬɪɟɱɚɸɳɢɟɫɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ.
4.1.1. Ȼɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɋɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɩɨɞɱɢɧɹɸɳɟɣɫɹ ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ, ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: X p
0 qn
1 2 … k n 1 2 2 n 2 k k nk … Cn p q C pq Cn p q 1 n
… …
n pn
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɮɨɪɦɭɥɭ ɛɢɧɨɦɚ ɇɶɸɬɨɧɚ, ɦɨɠɧɨ ɭɛɟɞɢɬɶɫɹ, ɱɬɨ ɫɭɦɦɚ ɜɫɟɯ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɪɚɜɧɚ 1:
n
¦C
m n
m 0
p m q nm
p q
n
1.
ɑɬɨɛɵ ɧɚɣɬɢ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɫ.ɜ. X , ɜɜɟɞɟɦ ɧɨɜɭɸ ɫ.ɜ. X i – ɢɧɞɢɤɚɬɨɪ ɫɨɛɵɬɢɹ A ( i 1,2 ,...,n ). Ɉɧɚ ɦɨɠɟɬ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɞɜɚ ɡɧɚɱɟɧɢɹ: X i 1 , ɟɫɥɢ ɜ i-ɦ ɢɫɩɵɬɚɧɢɢ ɫɨɛɵɬɢɟ A ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ ɢ X i 0 , ɟɫɥɢ ɫɨɛɵɬɢɟ ɜ ɜ i-ɦ ɨɩɵɬɟ ɧɟ ɧɚɫɬɭɩɢɥɨ. ɂɫɯɨɞɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X
n
¦X i 1
ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫ.ɜ. X i
i
. Ɋɹɞ ɪɚɫ-
42
Ʌɟɤɰɢɢ 3-5
Xi p Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ M X i Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ D X i
M
0 q p.
X M X 2
i
i
n
ɇɚɣɞɟɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ X
¦X
i
1 p 2
p p2
pq .
, ɭɱɢɬɵɜɚɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɜɟɥɢɱɢɧ X i :
i 1
§ n · n M X M ¨ ¦ X i ¸ ¦ M X i np , ©i1 ¹ i1 § n · n D X D ¨ ¦ X i ¸ ¦ D X i npq , V X npq . ©i1 ¹ i1 ɇɚɣɞɟɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɣ ɱɚɫɬɨɬɵ ɩɨm X ɹɜɥɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ A: : n n npq pq pq §X· 1 §X· 1 §X· M¨ ¸ M X p, D¨ ¸ D X , V . ¨ ¸ 2 n n2 n ©n¹ n ©n¹ n ©n¹ ɉɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɩɨɤɚɡɵɜɚɟɬ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨɫɬɶ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɩɪɟɞɟm ɥɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ – ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɣ ɱɚɫɬɨɬɵ p – ɜɟɪɨn ɹɬɧɨɫɬɢ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ ɜ ɨɞɧɨɤɪɚɬɧɨɦ ɢɫɩɵɬɚɧɢɢ, ɚ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ, ɬ. ɟ., ɪɚɡɛɪɨɫ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɜɨɤɪɭɝ ɫɪɟɞɧɟɝɨ, ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ ɩɨ ɦɟɪɟ ɪɨɫɬɚ n . 4.1.2. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɭɚɫɫɨɧɚ ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X, ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɚɹ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ ɉɭɚɫɫɨɧɚ, ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ k 0,1,2 ,... ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɹɦɢ P X
k
Ok k!
eO .
ɑɢɫɥɨ O ! 0 – ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɫɦɵɫɥ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɛɭɞɟɬ ɭɬɨɱɧɟɧ ɩɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ ɱɢɫɥɨɜɵɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. Ʌɟɝɤɨ ɭɛɟɞɢɬɶɫɹ, ɱɬɨ ɫɭɦɦɚ ɜɫɟɯ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ f
¦P X
k 1:
Ok
O
k 0
f
¦ k! e k 0
O
e
f
Ok
¦ k! k 0
e O eO
1.
43
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
ɇɚɣɞɟɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɫ.ɜ., ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ ɉɭɚɫɫɨɧɚ.
M X
f
Ok
¦ k k! e
O
e
O
k 0
Ok
f
¦ k 1 ! k 1
Oe
f
O
Om
¦ m!
O
f
O k 1
k 1
k 1 !
e O¦
O e O eO
k 1 m
O.
m 0
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɉɭɚɫɫɨɧɚ O – ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɫɨɛɵɬɢɣ ɡɚ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɩɪɨɦɟɠɭɬɨɤ ɜɪɟɦɟɧɢ (ɫɪɟɞɧɹɹ ɢɧɬɟɧɫɢɜɧɨɫɬɶ ɩɨɬɨɤɚ). ɇɚɣɞɟɦ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ: k f f k 1 1 O k 2 2 2 O 2 O O D X M X M X ¦ k e O e ¦ O2 k! k 1 ! k 0 k 1 f § f k 1 O k f O k · § f Ok Ok · 2 2 O ¦ e ¨¦ O e ¸ ¨¦ ¸O ¦ k k k k 1 1 2 1 ! ! ! ! k 1 k 1 ©k 1 ¹ ©k 2 ¹ f k 1 m § f On Om · 2 eO ¨ O 2 ¦ O ¦ O e O O 2 O eO O 2 O , ¸ k 2 n m 0 m! ¹ © n 0 n! ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɬɚɤɠɟ ɪɚɜɧɚ ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. ɗɬɢɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɩɪɢ ɩɪɨɜɟɪɤɟ ɝɢɩɨɬɟɡɵ, ɱɬɨ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɚɹ ɫ.ɜ. ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ ɉɭɚɫɫɨɧɚ: ɟɫɥɢ ɨɰɟɧɤɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɨɩɵɬɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ, ɛɥɢɡɤɢ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɨɫɧɨɜɚɧɢɹ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ ɢɫɫɥɟɞɭɟɦɚɹ ɫ.ɜ. ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ ɉɭɚɫɫɨɧɚ. Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɨɛɵɱɧɨ ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɩɨ ɬɚɛɥɢɰɚɦ. O
ɉɪɢɦɟɪ:
ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɜ ɰɟɥɶ ɩɪɢ ɨɞɧɨɦ ɜɵɫɬɪɟɥɟ ɪɚɜɧɚ 0,01. Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɩɨɫɥɟ 200 ɜɵɫɬɪɟɥɨɜ ɰɟɥɶ ɛɭɞɟɬ ɩɨɪɚɠɟɧɚ? Ɋɟɲɟɧɢɟ: ȼɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ ɉɭɚɫɫɨɧɚ. ɋɨɛɵɬɢɟ Ⱥ = {ɰɟɥɶ ɩɨɪɚɠɟɧɚ} ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɥɨɠɧɵɦ (ɰɟɥɶ ɩɨɪɚɠɟɧɚ ɨɞɧɢɦ ɜɵɫɬɪɟɥɨɦ, ɰɟɥɶ ɩɨɪɚɠɟɧɚ ɞɜɭɦɹ ɜɵɫɬɪɟɥɚɦɢ, ɢ ɬ.ɞ.). Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ A = {ɰɟɥɶ ɧɟ ɩɨɪɚɠɟɧɚ}, ɟɝɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɥɟɝɤɨ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ: ɩɚɪɚɦɟɬɪ O np 2 ,
P A
P200 0 |
20 2 e | 0 ,135 . P A 1 P A | 0 ,865 . 0!
4.1.3. Ɋɚɜɧɨɦɟɪɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɢɦɟɟɬ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɧɚ ɭɱɚɫɬɤɟ ɨɬ ɚ ɞɨ b, ɟɫɥɢ ɟɟ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ g(ɯ) ɧɚ ɷɬɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚ f ( x)
0, ɩɪɢ x a, ɢ x ! b, ° ® 1 °¯ b - a , ɩɪɢ a x b.
44
Ʌɟɤɰɢɢ 3-5
ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɧɚ ɥɸɛɭɸ ɱɚɫɬɶ ɭɱɚɫɬɤɚ, E D . ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɭɱɚɫɬɤɚ (D,E) P{ D X E } ba x
³
Ɉɩɪɟɞɟɥɢɦ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F(x): F( x ) P{ X x }
f ( x )dx .
f
g(x)=0, F(x)=0. 1 f(x) , F( x ) ba
x
a
F ( x)
x>b,
³
f
1 ³f b a dx x
b
a
xa . ba
³ 0 dx ³ b a dx
f
a
x
b
f ( x)dx ³ f ( x)dx ³ f ( x)dx a
1
x
b
ba 1. ba
dx ³a b a
Ƚɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ: 0, ɩɪɢ x a, °x-a ° , ɩɪɢ a x b , F ( x) ® b a ° °¯1, ɩɪɢ x>b.
ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ: f
³
mx
b
xdx ³a b a
xf ( x )dx
f
b
x2 2( b a ) a
b2 a 2 2( b a )
ba , 2
ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ 2
f
Dx
³ x m f x dx x
f
b
2
b a · dx § ³a ¨© x 2 ¸¹ b a
ba· § ¨x ¸ 2 ¹ © 3 b a
3 b
b a 12
2
,
a
ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ V x
Dx
ba . Ɇɨɞɚ y ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨɝɨ 2 3
ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɟɬ. Ɇɟɞɢɚɧɚ (ɢɡ ɫɨɨɛɪɚɠɟɧɢɣ ɫɢɦɦɟɬɪɢɢ) ab mx Mex 2 ɂɡ ɫɨɨɛɪɚɠɟɧɢɣ ɫɢɦɦɟɬɪɢɢ P3 0, ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɚɫɢɦɦɟɬɪɢɢ Sk=0, 4 b 1 § ab· ( b a )4 ; P4 x dx ¨ ¸ 2 ¹ 80 b a ³a ©
45
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
ɷɤɫɰɟɫɫ H x ɉɪɢɦɟɪ:
P4 3 1,2 ; ɷɤɫɰɟɫɫ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɟɧ. V x4 ɉɨɟɡɞɚ ɦɟɬɪɨɩɨɥɢɬɟɧɚ ɢɞɭɬ ɪɟɝɭɥɹɪɧɨ ɫ ɢɧɬɟɪɜɚɥɨɦ 2 ɦɢɧɭɬɵ. ɉɚɫɫɚɠɢɪ ɜɵɯɨɞɢɬ ɧɚ ɩɥɚɬɮɨɪɦɭ ɜ ɫɥɭɱɚɣɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ. ɇɚɣɬɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Ɍ – ɜɪɟɦɟɧɢ, ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɟɦɭ ɩɪɢɞɟɬɫɹ ɠɞɚɬɶ ɩɨɟɡɞɚ, ɟɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ, ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ ɢ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ. Ɋɟɲɟɧɢɟ: 1 20
f(x)
Vx
1 (0<x<2); 2
2
mx
1 ³0 x 2 dx
x2 4
2
1,
Dx
0
( 2 0 )2 12
3 . 3
4.1.4. ɉɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɢɦɟɟɬ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɟ (ɷɤɫɩɨɧɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ) ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ, ɟɫɥɢ O e O x , x t 0, f ( x) ® ¯0, x 0. O>0 ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɈɲɢɛɤɚ! Ɂɚɤɥɚɞɤɚ ɧɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ.ɹ.
Ɏɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F(x): F( x ) x<0, F(x)=0. 0
x
x>0, F ( x)
³
f ( x)dx
³
f x
f
x
³
f ( x )dx .
f
x
f ( x)dx ³ f ( x)dx 0
x
O ³ e O x dx 0
x O O x e d ( O x ) e O x ³ 0 O0
e O x e0 1 e O x .
1 e O x , x ! 0, Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, F ( x) ® ¯0, x 0. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ f f f 1 O x mx ³ xf ( x)dx ³ xO e dx O ³ xe O x dx ; f
0
0
(ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ). Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ
O
4 12
1 , 3
46
Ʌɟɤɰɢɢ 3-5 f
Dx
³ x m
2
x
f
³ ( x O ) Oe
f ( x )dx
2 O x
³ Ox e 0
O x
dx
0
f f
2
1
f
f
x
dx ³ 2 O e
O
0
ɋɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ: V x
O x
dx ³
1
O 0
1
O
2
O eO x
, ɬ.ɟ. mx
Vx
1
O2 1
O
. .
ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɚɫɢɦɦɟɬɪɢɸ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɞɥɹ ɷɬɨɝɨ: 3
f
1 · O x § ³0 ¨© x O ¸¹ Oe dx
P3 Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɚɫɢɦɦɟɬɪɢɢ Sk
P3 V x3
2
O3
.
2 ! 0 , ɱɬɨ ɢ ɫɥɟɞɨɜɚɥɨ ɨɠɢɞɚɬɶ.
ɉɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɫɜɹɡɚɧɨ ɫ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɦ ɩɨɬɨɤɨɦ ɫɨɛɵɬɢɣ. ɉɨɤɚɠɟɦ, ɱɬɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɜɪɟɦɟɧɢ Ɍ ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɫɨɫɟɞɧɢɦɢ ɫɨɛɵɬɢɹɦɢ ɜ ɩɪɨɫɬɟɣɲɟɦ ɩɨɬɨɤɟ ɢɦɟɟɬ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɫ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ, ɪɚɜɧɵɦ ɢɧɬɟɧɫɢɜɧɨɫɬɢ ɩɨɬɨɤɚ. f ( t ) O e Ot , t t 0 . t ɇɚɣɞɟɦ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F t P T t . t 0 ɑɬɨɛɵ ɜɵɩɨɥɧɹɥɨɫɶ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ T t , ɧɭɠɧɨ, T ɱɬɨɛɵ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨ ɫɨɛɵɬɢɟ ɩɨɬɨɤɚ ɩɨɩɚɥɨ ɧɚ ɭɱɚɫɬɨɤ ɞɥɢɧɵ t. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɷɬɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɩɭɚɫɫɨɧɨɜɫɤɨɟ ɪɚɫ(O t ) m O t ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ: Pm e . ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɝɨ ɫɨɛɵm! ɬɢɹ T t t : (m=0) P0 e Ot ; P T t 1 P0 1 e Ot , ɨɬɤɭɞɚ F( t ) 1 e Ot . Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɹ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ: f ( t ) F c( t ) O e Ot - ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ.
4.1.5. ɇɨɪɦɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ (ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ƚɚɭɫɫɚ) ɇɨɪɦɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɡɚɧɢɦɚɟɬ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ ɨɫɨɛɨɟ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɜ ɫɢɥɭ ɫɜɨɟɣ ɜɚɠɧɨɫɬɢ. x m 2
1 2 e 2V , V 2S ɝɞɟ m,V - ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. Ʉɪɢɜɚɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ: ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬɫɹ ɩɪɢ x=m. Ɇɨɞɚ Mox=m. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ:
ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ: f ( x )
1 xf x dx ( ) ³ V 2S f f
mx
f
³ xe
f
x m 2 2V 2
dx ...
47
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
ɡɚɦɟɧɚ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
x m ,
t ... f
³ te
t 2
1
S
x tV 2 m , dx
V 2
f
2V dt
V 2 f t m te dt ³ S f S
2
f
2
t ³ (V 2t m)e dt
f
2
t ³ e dt ...
f
dt ɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ, ɤɚɤ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɨɬ ɧɟɱɟɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɯ
f
f
ɩɪɟɞɟɥɚɯ;
f
t 2
m
S
S
S - ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɉɭɚɫɫɨɧɚ, ɬɨɝɞɚ
0
f
mx
2
2 ³ e t dt
³ e dt
m - ɰɟɧɬɪ ɪɚɫɫɟɢɜɚɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ. 2
f
Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ Dx
f
1 2 ( x m ) f ( x )dx ( x m ) e x ³ ³ f f V 2S
1 ɧɚ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ …= V 2S ɬɟɝɪɚɥ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ:
f
2
³t V
2
2e
t 2
2V dt
f
V2 S
f
2 t 2
³ 2t e
x m 2 2V 2
dx =… ɡɚɦɟ-
dt ... ɜɵɱɢɫɥɢɦ ɢɧ-
f
f § t 2 f · V2 t 2 S t u , te dt du , =V2. ³ e dt ¸ ¨ te f S f © ¹ 2 2 e t ɩɪɢ t o f ɭɛɵɜɚɟɬ ɛɵɫɬɪɟɟ, ɱɟɦ ɥɸɛɚɹ ɫɬɟɩɟɧɶ t te t o 0 ; Dx V 2 . Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɚɪɚɦɟɬɪ m ɞɥɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɟɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɠɢɞɚɧɢɟɦ, ɚ ɩɚɪɚɦɟɬɪ V – ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟɦ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɤɪɢɜɨɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. ɉɪɢ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ m ɤɪɢɜɚɹ ɫɦɟɳɚɟɬɫɹ ɜɞɨɥɶ ɨɫɢ ɚɛɫɰɢɫɫ. ɉɪɢ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɢ V ɤɪɢɜɚɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɛɨɥɟɟ ɩɥɨɫɤɨɣ, ɪɚɫɬɹɝɢɜɚɟɬɫɹ ɜɞɨɥɶ ɨɫɢ ɚɛɫɰɢɫɫ, ɩɪɢ ɭɦɟɧɶɲɟɧɢɢ V – ɜɵɬɹɝɢɜɚɟɬɫɹ ɜɜɟɪɯ, ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɫɠɢɦɚɹɫɶ ɫ ɛɨɤɨɜ (ɩɥɨɳɚɞɶ ɩɨɞ ɤɪɢɜɨɣ ɜɫɟɝɞɚ ɪɚɜɧɚ 1). ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɤɪɢɜɚɹ I ɢɦɟɟɬ V=2/3, II - V=1, III -
1 2 e t , ... 2
t 2
V2 S
P4 3 0 , ɬ.ɤ. ɞɥɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫV x4 P ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 44 3 . Vx
V=3/2. H x
ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɧɚ ɭɱɚɫɬɨɤ ɨɬ D ɞɨ E: E
P(D X E )
³ D
E
1 f ( x)dx e V 2S D³
( x m )2 2V 2
dx ...
48
Ʌɟɤɰɢɢ 3-5
Ɂɚɦɟɧɚ t
xm
V
1 , x=tV+m, dx=Vdt, ... V 2S
E m V
³ D
m
t2 2
e V dt
1 2S
V
E m V
³ D
t2 2
e dt ...
m
V
ɉɨɫɥɟɞɧɢɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɧɟ ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ ɱɟɪɟɡ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ, ɧɨ ɟɝɨ x t2 1 e 2 dt - ɮɭɧɤɰɢɸ ɦɨɠɧɨ ɜɵɪɚɡɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ Ɏ( x) ³ 2S 0 Ʌɚɩɥɚɫɚ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɵɟ ɬɚɛɥɢɰɵ. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, E m D m P{D X E } Ɏ( ) Ɏ( ).
V
V
ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɮɭɧɤɰɢɢ Ʌɚɩɥɚɫɚ: 1) Ɏ 0 0 , 2) 3)
Ɏ x Ɏ x (ɧɟɱɟɬɧɚɹ), Ɏ f 0,5 .
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F(x):
F x P X x P f X x !
!
D f ,E
ɯ,Ɏ( f ) 0,5
1 § ɯm· Ɏ¨ ¸ 2 © V ¹
. ȼ ɫɜɹɡɢ ɫ ɲɢɪɨɤɨɣ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɧɨɫɬɶɸ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɥɹ ɧɟɝɨ ɱɚɫɬɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɨɟ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ: ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɫ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɠɢɞɚɧɢɟɦ m ɢ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟɦ V ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ N m,V . Ɂɚɤɨɧ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɱɟɧɶ ɲɢɪɨɤɨ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧ ɜ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɹɯ ɩɪɢɪɨɞɵ. Ɉɧ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɜ ɬɟɯ ɫɥɭɱɚɹɯ, ɤɨɝɞɚ ɫɤɥɚɞɵɜɚɸɬɫɹ ɦɧɨɝɨ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɏ 1 ,ɏ 2 ,...,ɏ n .Ʉɚɤɢɦɢ ɛɵ ɧɢ ɛɵɥɢ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɟɥɢɱɢɧ ɏ 1 ,ɏ 2 ,...,ɏ n , ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢɯ ɫɭɦɦɵ ɛɭɞɟɬ ɛɥɢɡɨɤ ɤ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ.
ɉɪɢɦɟɪɵ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ: ɨɲɢɛɤɢ «ɬɨɱɧɵɯ ɢɡɦɟɪɟɧɢɣ», ɨɲɢɛɤɢ ɫɬɪɟɥɶɛɵ, ɜɵɡɵɜɚɸɳɢɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɫɧɚɪɹɞɨɜ ɨɬ ɬɨɱɤɢ ɩɪɢɰɟɥɢɜɚɧɢɹ, ɨɲɢɛɤɢ ɜɵɜɨɞɚ ɤɨɫɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɤɨɪɚɛɥɹ ɜ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɬɨɱɤɭ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ ɢ ɬ.ɩ.
5.1. Ɏɭɧɤɰɢɢ ɨɬ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Ɉ
ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ Y ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɨɬ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X, Y M X , ɟɫɥɢ ɡɚɞɚɧ ɡɚɤɨɧ, ɩɨ ɤɨɬɨɪɨɦɭ ɤɚɠɞɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ X ɩɨɫɬɚɜɥɟɧɨ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɨ ɡɧɚɱɟɧɢɟ Y. ȼ ɛɨɥɟɟ ɫɥɨɠɧɵɯ ɫɥɭɱɚɹɯ Yi Mi ( X1 , X 2 , X 3 ,..., X n ) ɩɪɢ i=1, 2, …, k, k z n .
49
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɦ ɡɚɞɚɱɭ ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫ.ɜ.: ɡɧɚɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X f x ɢ ɫɜɹɡɶ Y M X , ɧɚɣɬɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ g y cɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Y. ȼɧɚɱɚɥɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣ, ɤɨɝɞɚ Y M X - ɫɬɪɨɝɨ ɦɨɧɨɬɨɧɧɚ (ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ ɢɥɢ ɭɛɵɜɚɟɬ). Ɍ
ɉɭɫɬɶ: 1) ɡɚɞɚɧɚ f x ɢ 2) Y M X ɫɬɪɨɝɨ ɦɨɧɨɬɨɧɧɚ ɢ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ a,b , ɤɨɬɨɪɵɣ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɢ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɵɦ. Ɍɨɝɞɚ g y f \ y \ c y , ɝɞɟ x \ y – ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɤ y M x ɮɭɧɤɰɢɹ. Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ: ɉɭɫɬɶ Y M X ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ, ɬ.ɟ. y M x ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ, ɬɨɝɞɚ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ x \ y – ɮɭɧɤɰɢɹ, ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɢ y M x ɢ ɮɭɧɤɰɢɹ x \ y ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜɨɡɪɚɫɬɚɸɳɟɣ. ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Y ɜ ɩɪɨɦɟɠɭɬɨɤ > y; y 'y :
P y d Y d y 'y F \ y 'y F \ y
P \ y d X d \ y 'y F c \ y \ y 'y \ y O1 'y
F c \ y \ c y 'y O1 'y O2 'y
f \ y \ c y ' O 'y .
ɋ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ,
P y d Y d y 'y G y 'y G y Gc y ' O 'y g y 'y O 'y . ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, g ( y)
f \ y \ c y ,
ɟɫɥɢ y M x ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ. ȿɫɥɢ y M x ɭɛɵɜɚɟɬ,
g ( y ) f \ y \ c y . Ɉɛɴɟɞɢɧɹɹ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ g y f \ y \ c y . ȼ ɫɥɭɱɚɟ, ɟɫɥɢ y M x ɧɟɦɨɧɨɬɨɧɧɚ, ɞɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ g y ɢɧɬɟɪɜɚɥ
a,b ɧɭɠɧɨ ɪɚɡɛɢɬɶ ɧɚ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɢ ɦɨɧɨɬɨɧɧɨɫɬɢ y M x , ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ ɧɚɣɬɢ ɨɛɪɚɬɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ, ɧɚɣɬɢ ɜɤɥɚɞ ɜ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨ-
50
Ʌɟɤɰɢɢ 3-5
ɫɬɢ g y ɨɬ ɤɚɠɞɨɝɨ ɭɱɚɫɬɤɚ ɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɫɥɨɠɢɬɶ:
g y
n
¦ f \ y \ c y . i
i
i 1
ɉɪɢɦɟɪ: ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɧɚ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɟ [0;2]; Y=X2. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɦ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
g y .
Ɋɟɲɟɧɢɟ:
0, x [0;2], ° f ( x) ® 1 °¯ 2 , x [0;2]. ɉɨ ɬɟɨɪɟɦɟ g ( y ) f ( x( y )) | xc( y ) | , Y=X2, 1 , ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɭ=ɯ2, x= y ; xc = 2 y 0, y [0;4]; ° g y ®1 1 , y [0;4]. °2 2 y ¯ ɉɪɢɦɟɪ:
ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɧɚ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɟ [-1;1]; Y=X2 Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ g y .
Ɋɟɲɟɧɢɟ: y=x2. ɂɦɟɟɦ 2 ɭɱɚɫɬɤɚ ɦɨɧɨɬɨɧɧɨɫɬɢ: [-1;0] ɢ [0;1]
y ; ɞɥɹ 2-ɝɨ x2 y. 1 1 1 1 1 g y = = , y[0;1]. 2 2 y 2 2 y 2 y
ɞɥɹ 1-ɝɨ x1
Ⱦɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɪɹɞɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɬɚɤɠɟ ɦɨɠɟɬ ɢɡɦɟɧɢɬɶɫɹ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɬɨɝɨ, ɛɭɞɭɬ ɥɢ ɩɨɜɬɨɪɹɬɶɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ.
ɉɪɢɦɟɪ: ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɡɚɞɚɧɚ ɪɹɞɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 1 2 3 X 0,3 0,5 0,2 p Y=X2. ɇɚɣɬɢ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Y. Ɋɟɲɟɧɢɟ: 1 4 9 Y 0,3 0,5 0,2 p
ɉɪɢɦɟɪ: ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɡɚɞɚɧɚ ɪɹɞɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
51
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
-1 1 2 X 0,3 0,5 0,2 p 2 Y=X . ɇɚɣɬɢ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Y. Ɋɟɲɟɧɢɟ: ɬɚɤ ɤɚɤ ɫ.ɜ. Y ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ y 1 ɩɪɢ x ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɫɭɦɦɢɪɭɸɬɫɹ: 1 4 Y 0,8 0,2 p
1 ɢ ɩɪɢ x
1 ,
5.2. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɮɭɧɤɰɢɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ȿɫɥɢ Y M X ɢ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɢɦɟɟɬ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ f
f x , ɬɨ M Y
³ M x f x dx . (ɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɬɟɨɪɟɦɵ).
mY
f
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ: (ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɹ ɦɨɧɨɬɨɧɧɨ ɜɨɡɪɚɫɬɚɸɳɟɣ y M x )
M Y
f
f
f
f
f
f
³ y g y dy ³ y f \ y \ c y dy ³ M x f x dx , ɱ.ɬ.ɞ.
Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ ȿɫɥɢ Y M X ɢ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɢɦɟɟɬ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ f
2
§f · f x , ɬɨ D Y ³ M x f x dx ¨ ³ M x f x dx ¸ . f © f ¹ Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ: (ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɹ ɦɨɧɨɬɨɧɧɨ ɜɨɡɪɚɫɬɚɸɳɟɣ y M x ). 2
D Y M Y M Y f
2
M Y
2
M Y
2
f
§f · y g y dy yg y dy ¨ ¸ ³ ³ f © f ¹ 2
§f · c c \ \ \ \ y f y y dy y f y y dy ¨ ¸ ³ ³ f © f ¹
2
2
f
³ M x
f
2
2
§f · f x dx ¨ ³ M x f x dx ¸ . © f ¹
Ɇɨɦɟɧɬɵ ɇɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɩɨɪɹɞɤɚ k ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Y:
Dk
M Y
f
k
f
³ y g y dy ³ y k
f
f
k
f \ y \ c y dy
f
k
³ M x f x dx .
f
52
Ʌɟɤɰɢɢ 3-5
ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɩɨɪɹɞɤɚ k ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Y:
M Y M Y
Pk f
³ y mY
k
k
f
k
³ y M Y g y dy
f
f
f \ y \ c y dy
k
³ M x m f x dx. Y
f
f
5.3. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɫɜɹɡɚɧɧɵɟ ɫ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨ ɫɜɹɡɚɧɧɵɟ ɫ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɞɚɥɟɟ ɛɭɞɭɬ ɲɢɪɨɤɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɜ ɡɚɞɚɱɚɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. 5.3.1. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ F 2 (ɉɢɪɫɨɧɚ) Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɏ 1 ,ɏ 2 ,...,ɏ n , ɭ ɤɨɬɨɪɵɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɪɚɜɧɨ ɧɭɥɸ, ɚ ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ – ɟɞɢɧɢɰɟ. ɋɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɷɬɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ, ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɦɭ «ɯɢ – ɤɜɚɞɪɚɬ ɫ n ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ»:
F2
n
¦X
2 i
.
i 1
ȿɫɥɢ ɷɬɢ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɫɜɹɡɚɧɵ ɨɞɧɢɦ ɥɢɧɟɣɧɵɦ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, n
¦X
i
n X , ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ, k
n 1.
i 1
ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɷɬɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ x d 0, 0 , ° x 1 f x ® 1 x 2 2 e x , x ! 0, ° 2n 2 * n 2 ¯ Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɢɪɫɨɧɚ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɨɞɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ – ɱɢɫɥɚ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ. ɋ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟɦ ɱɢɫɥɚ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɩɪɢɛɥɢɠɚɟɬɫɹ ɤ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ, ɱɬɨ ɦɨɠɧɨ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶ ɧɚ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɯ ɧɢɠɟ ɝɪɚɮɢɤɚɯ.
53
ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
5.3.2. t – ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ
ɉɭɫɬɶ Z – ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɚɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ (ɬ.ɟ. M Z
0 , V Z 1, ɚ
V – ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɚɹ ɨɬ Z ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɚɹ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ F 2 ɫ k ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ. ȼɟɥɢɱɢɧɚ Z T
F2
k ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ, ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɦɭ t – ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɫ k ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɨɞɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ – ɱɢɫɥɚ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ k . ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ t – ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ § k 1· k 1 *¨ 2 2 ¸ § © 2 ¹ 1 x · f x,k . ¨ k ¸¹ §k ·© Sk*¨ ¸ ©2¹ ɋ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟɦ ɱɢɫɥɚ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɛɵɫɬɪɨ ɩɪɢɛɥɢɠɚɟɬɫɹ ɤ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ, ɱɬɨ ɦɨɠɧɨ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶ ɧɚ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɯ ɧɢɠɟ ɝɪɚɮɢɤɚɯ.
ȼɚɠɧɚɹ ɪɨɥɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɟ ɨɛɴɹɫɧɹɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɮɚɤɬɨɦ: ɟɫɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ 1 ,ɏ 2 ,...,ɏ n ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ ɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɵ ɩɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ N a,V , ɬɨ ɜɟɥɢɱɢɧɚ 2 X a n 1 n 1 n 2 tn 1 , ɝɞɟ X Xi X ¦ Xi , s n 1¦ s ni1 i 1 ɩɨɞɱɢɧɹɟɬɫɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɫ n 1 ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ.
54
Ʌɟɤɰɢɢ 3-5
5.3.3. F – ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɏɢɲɟɪɚ – ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ ȿɫɥɢ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ U ɢ V ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɵ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ 2 F ɫ k1 ɢ k2 ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ, ɬɨ ɜɟɥɢɱɢɧɚ
§U · ¨ k¸ F © 1¹ §V · ¨ k ¸ © 2¹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ, ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɦɭ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ Ɏɢɲɟɪɚ – ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ ɫɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ k1 ɢ k2 . ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɷɬɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ x d 0, 0 , ° k1 1 ° f x ® x2 e x 2 , x ! 0, k1 k2 °C °¯ k2 k1 x 2 ɝɞɟ
C
k1 k2 § k1 k2 · 2 *¨ ¸ k1 k2 2 2 © ¹ . § k1 · § k2 · *¨ ¸*¨ ¸ ©2¹ ©2¹
ɋ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟɦ ɱɢɫɥɚ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɩɪɢɛɥɢɠɚɟɬɫɹ ɤ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ, ɱɬɨ ɦɨɠɧɨ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶ ɧɚ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɯ ɝɪɚɮɢɤɚɯ.
Ʌɟɤɰɢɹ 6 ɆɇɈȽɈɆȿɊɇɕȿ ɋɅɍɑȺɃɇɕȿ ȼȿɅɂɑɂɇɕ ȼ ɥɟɤɰɢɢ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɸɬɫɹ ɡɚɞɚɱɢ, ɜɨɡɧɢɤɚɸɳɢɟ ɩɪɢ ɢɡɦɟɪɟɧɢɢ ɜ ɨɞɧɨɦ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɟ ɧɟ ɨɞɧɨɣ, ɚ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. Ɇɚɬɟɪɢɚɥ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɯ ɥɟɤɰɢɣ ɨɛɨɛɳɚɟɬɫɹ ɧɚ ɷɬɨɬ ɫɥɭɱɚɣ, ɩɪɢɜɨɞɹɬɫɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɫɩɨɫɨɛɵ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ.
6.1. Ɇɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ 6.1.1. Ɏɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ 6.1.2. Ⱦɢɫɤɪɟɬɧɵɟ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ (ȾɆɋȼ) 6.1.3. ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ (ɇɆɋȼ) 6.2. Ɂɚɜɢɫɢɦɵɟ ɢ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ 6.2.1. ɍɫɥɨɜɧɵɟ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 6.3. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ 6.3.1. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ 6.3.2. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɭɫɥɨɜɧɵɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ 6.3.3. Ʌɢɧɟɣɧɚɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɹ. ɉɪɹɦɵɟ ɥɢɧɢɢ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ 6.3.4. Ʌɢɧɟɣɧɚɹ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɹ. Ⱦɜɭɦɟɪɧɵɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
6.1. Ɇɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɇɚ ɨɞɧɨɦ ɢ ɬɨɦ ɠɟ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ ɫɨɛɵɬɢɣ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɧɟ ɨɞɧɚ, ɚ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. ɗɬɨ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɜ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ ɢɡɭɱɚɟɦɵɣ ɨɛɴɟɤɬ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɦɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ. ɉɪɢɦɟɪ: ɋɨɫɬɚɜɥɹɟɬɫɹ ɦɨɞɟɥɶ ɪɚɫɯɨɞɨɜ ɫɥɭɱɚɣɧɨ ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ ɫɟɦɶɢ ɧɚ ɨɞɟɠɞɭ, ɨɛɭɜɶ, ɩɢɬɚɧɢɟ, ɬɪɚɧɫɩɨɪɬ ɢ ɬ.ɞ. ɗɬɢ ɡɚɬɪɚɬɵ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ ɧɚ ɨɞɧɨɦ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ. ɉɭɫɬɶ ɏ 1 , ɏ 2 ,..., ɏ n - ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ : . Ⱦɥɹ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɢɯ ɤɚɤ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ n-ɦɟɪɧɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɚ ɏ ( ɏ 1 , ɏ 2 ,..., ɏ n ) (ɷɬɨ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɣ ɧɚɛɨɪ n ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɏ1, ɏ2, …, ɏn). ɋɢɫɬɟɦɚ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɟɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɹ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ ɏ 1 , ɏ 2 ,..., ɏ n M Z , ɬ.ɟ. ɤɚɠɞɨɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɦɭ ɫɨɛɵɬɢɸ Z ɫɬɚɜɹɬɫɹ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ: ɏ1, ɏ2, …, ɏn , ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ.
56
Ʌɟɤɰɢɹ 6
Ɇɧɨɝɨɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ ɢɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɜɟɤɬɨɪɨɦ ɏ Z ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ { X 1 (Z ), X 2 (Z ),..., X n (Z )} . Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɞɜɭɦɟɪɧɭɸ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ X (Z ) { X (Z ), Y (Z )} . Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɹ ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ- ɷɬɨJJJJ ɫɥɭɱɚɣG ɧɚɹ ɬɨɱɤɚ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɫ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ (X,Y) ɢɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɣ ɜɟɤɬɨɪ OM . Ɉ
y
y (X,Y)
(X,Y)
0
X
x
0
X
M
x
6.1.1. Ɏɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Ɉ
Ɏɭɧɤɰɢɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ F ( x1 , x2 ,..., xn ) P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,..., X n xn } . ɋɨɛɵɬɢɟ ɜ ɮɢɝɭɪɧɵɯ ɫɤɨɛɤɚɯ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɫɨɛɵɬɢɣ {} { X 1 x1}{ X 2 x2 } ... { X n xn } , ɬ.ɟ. ɫɨɛɵɬɢɹ ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɬ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ. Ɍ.ɨ. F ( x1 ,..., xn ) P({ X 1 x1} ... { X n xn }) . Ɏɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F(x1, …, xn) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɨɜɦɟɫɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɞɜɭɦɟɪɧɭɸ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ X (Z ) { X Z , Y Z } . y (x,y) ɋɨɜɦɟɫɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɜɭɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ (X,Y) ɟɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɜɦɟɫɬɧɨɝɨ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɞɜɭɯ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ F(x,y)=P{X<x,Y
Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɫɨɜɦɟɫɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F(x,y): 1°. Ɏɭɧɤɰɢɹ F(x,y) ɟɫɬɶ ɧɟɭɛɵɜɚɸɳɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɫɜɨɢɯ ɚɪɝɭɦɟɧɬɨɜ. 2°. F f, y F x,f F f,f =0. Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɩɪɢ x o f, ɢɥɢ y o f , ɢɥɢ x o f, y o f ɡɚɲɬɪɢɯɨɜɚɧɧɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ ɛɭɞɟɬ ɫɦɟɳɚɬɶɫɹ ɫ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ XOY ɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɜ ɧɟɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɛɭɞɟɬ ɪɚɜɧɚ 0 ɢɥɢ F f, y P({ X f}{Y y}) 0 ; 3°. F (f, f) 1 , ɬ.ɟ. F (f, f) p({ X f}{Y f}) 1
57
Ɇɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
(ɡɚɲɬɪɢɯɨɜɚɧɧɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ ɡɚɩɨɥɧɹɟɬ ɜɫɸ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶ, ɩɨɩɚɞɚɧɢɟ ɧɚ ɧɟɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɬɨɱɤɢ - ɫɨɛɵɬɢɟ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɨɟ). 4°. ȿɫɥɢ F1 ( x), F2 ( y ) - ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ, ɬɨ: F ( x, f )
F1 ( x),
F ( f, y )
F2 ( y ),
x
(ɩɨ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɨɦɭ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟ-
X
ɧɢɸ ɦɨɠɧɨ ɜɨɫɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ). Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ: F1 ( x) P{ X x, Y f} F ( x, f) , ɬ.ɟ. ɫɨɛɵɬɢɟ a1 , b2 b1 , b2 X<x, ɭɦɧɨɠɟɧɧɨɟ ɧɚ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɨɟ ɫɨɛɵb2 ɬɢɟ Y
F (b1 , b2 ) F (a1 , b2 ) F (b1 , a2 ) F (a1 , a2 ).
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ: ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɜ ɡɚɲɬɪɢɯɨɜɚɧɧɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ ɪɚɜɧɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɜ ɤɜɚɞɪɚɧɬ ɫ ɜɟɪɲɢɧɨɣ (b1,b2) ɦɢɧɭɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɜ ɤɜɚɞɪɚɧɬ ɫ ɜɟɪɲɢɧɨɣ ( a1 , b2 ) ɦɢɧɭɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɜ ɤɜɚɞɪɚɧɬ ɫ ɜɟɪɲɢɧɨɣ (b1,a2), ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɜ ɤɜɚɞɪɚɧɬ ɫ ɜɟɪɲɢɧɨɣ ɜ ɬɨɱɤɟ (a1,a2) ɜɵɱɥɢ 2 ɪɚɡɚ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɟɟ ɧɭɠɧɨ ɩɪɢɛɚɜɢɬɶ. 6.1.2. Ⱦɢɫɤɪɟɬɧɵɟ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ (ȾɆɋȼ) Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣ 2-ɯ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. Ɉ X { X , Y } ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ, ɟɫɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɢ Y ɢɦɟɸɬ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ: Ɉ
X
{x1 , x2 ,..., xk },
Y
{ y1 , y2 ,..., ys }.
ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɩɪɢɦɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ xi, ɚ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ Y – ɡɧɚɱɟɧɢɟ yj, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɡɚɤɨɧɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ , ɬ.ɟ. Pij P{ X xi ; Y y j } . ɋɨɛɵɬɢɟ ɟɫɬɶ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɫɨɛɵɬɢɣ { X xi }{Y y j } ;Ɋij – ɫɨɜɦɟɫɬɧɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ. Ɂɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ȾɆɋȼ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɡɚɞɚɧ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɪɹɞɭ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɥɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɣ ɋȼ ɬɚɛɥɢɰɟɣ (ɢɥɢ ɦɚɬɪɢɰɟɣ) ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. yi
y1
y2
…
ys
p11
p12
…
p1s
xi x1
58
!
Ʌɟɤɰɢɹ 6
p21
p22
…
…
…
xk
pk 1
pk 2
p2 s
… …
… pks
1). Pij t 0, i, j ; 2).
Ɍ
x2
¦P
ij
i, j
§ k s 1, ɝɞɟ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ ¨¨ ¦ ¦ ©i1 j1
¦ i, j
· ¸. ¸ ¹
(ɨ ɜɨɫɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɢ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ). ɉɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ (X,Y), ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɪɹɞɵ ɨɞɧɨɦɟɪɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X ɢ Y. P{ X
xi }
s
(ɫɭɦɦɚ ɩɨ ɫɬɪɨɤɟ),
¦P
ij
j 1
P{Y
y j}
k
(ɫɭɦɦɚ ɩɨ ɫɬɨɥɛɰɭ).
¦P
ij
i 1
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ:
P{ X
xi } P { X
xi } :
§ P ¨{ X ©
· y j }¸ ¹
s
xi } ¦{Y j 1
s § s · s P ¨ ¦{ X xi } {Y y j } ¸ ¦ P { X xi }{Y y j } ¦ Pij , j 1 ©j1 ¹ j1 ɱ.ɬ.ɞ. Ɍ.ɟ., ɱɬɨɛɵ ɧɚɣɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɨɞɧɨɦɟɪɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɩɪɢɦɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, xi(yj) ɧɚɞɨ ɩɪɨɫɭɦɦɢɪɨɜɚɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ Pij, ɫɬɨɹɳɢɟ ɜ i-ɬɨɣ ɫɬɪɨɤɟ (j-ɬɨɦ ɫɬɨɥɛɰɟ) ɦɚɬɪɢɰɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ.
ɉɪɢɦɟɪ: yj xi 0 1
0
1
1 10 5 10
3 10 1 10
yi
0
1
xi
0
1
P
6 10
4 10
P
4 10
6 10
ɫɭɦɦɚ ɩɨ ɫɬɨɥɛɰɭ
ɫɭɦɦɚ ɩɨ ɫɬɪɨɤɟ
59
Ɇɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
6.1.3. ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ (ɇɆɋȼ) Ɉ X { X , Y } ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ, ɟɫɥɢ ɟɟ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F(x,y) ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɢ ɢɦɟɟɬ ɜɬɨɪɭɸ ɫɦɟɲɚɧɧɭɸ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ
w 2 F ( x, y ) w 2 F ( x, y ) ɢ wxwy wxwy
f ( x, y ) .
Ɏɭɧɤɰɢɹ f(x,y) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ (ɫɨɜɦɟɫɬɧɨɣ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ). ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɮɭɧɤɰɢɢ f (x,y): 1. f ( x, y ) t 0 ; 2.
f f
³ ³ f ( x, y)dxdy
1.
f f
Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢ ɫɨɜɦɟɫɬɧɚɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ – ɷɬɨ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ. Ɉɛɴɟɦ, ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɵɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶɸ OXY, ɪɚɜɟɧ 1. Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɫɥɭɱɚɸ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɣ ɋȼ ɫ ɷɥɟɦɟɧɬɨɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ f(x)dx ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɋȼ ɜɜɨɞɢɬɫɹ ɷɥɟɦɟɧɬ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ f(x,y)dxdy. ɗɥɟɦɟɧɬ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɪɚɜɟɧ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɬɨɱɤɢ (X,Y) ɜ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɣ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤ dxdy, ɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɪɢɛɥɢɡɢɬɟɥɶɧɨ ɪɚɜɧɚ ɨɛɴɟɦɭ f(x,y)dxdy. Ɉ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɬɨɱɤɢ (X,Y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɶ D ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ XOY ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɨɛɴɟɦ ɬɟɥɚ ɫ ɨɫɧɨɜɚɧɢɟɦ D ɢ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɝɨ ɫɜɟɪɯɭ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶɸ f(x,y). P{( X , Y ) D} ³³ f ( x, y )dxdy . Ɉ
D
Ɂɧɚɹ ɫɨɜɦɟɫɬɧɭɸ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ f ( x, y ) , ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F ( x, y ) ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ x
F ( x, y )
y
³³
f ( x, y )dxdy ,
f f
Ɍ
ɱɬɨ ɧɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨ ɫɥɟɞɭɟɬ ɢɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɋȼ. ( ɨ ɜɨɫɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɢ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɣ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ). ȿɫɥɢ ɢɡɜɟɫɬɟɧ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɇɆɋȼ, ɬɨ ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɤɚɠɞɨɣ ɢɡ ɜɟɥɢɱɢɧ. f
f1 ( x )
³
f
f
f ( x, y )dy; f 2 ( y )
³
f
f ( x, y )dx .
60
Ʌɟɤɰɢɹ 6
Ⱦɥɹ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɧɚɞɨ ɩɪɨɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɬɶ ɫɨɜɦɟɫɬɧɭɸ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɨɬ - f ɞɨ f ɩɨ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɦɭ ɞɪɭɝɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɟ. ɉɪɢɦɟɪ:
Ɉɛɥɚɫɬɶ D – ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤ ɫ ɜɟɪɲɢɧɚɦɢ ɜ ɬɨɱɤɚɯ (0;0); (2;0); (0;1). Ⱦɜɭɦɟɪɧɚɹ ɋȼ X { X , Y } ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D. ɇɚɣɬɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X ɢ Y, f1 ( x ) ɢ f 2 ( y ) . Ɋɟɲɟɧɢɟ: Ɇɋȼ (X,Y) ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ 0,( x, y ) D; y f ( x, y ) ® ¯ a,( x, y ) D. f f
³³
³³ adxdy 1 ,
f ( x, y )dxdy 1 ,
f f
1
D
a ³³ dxdy 1 , a S '
D
1, a 1 1 a 1 .
D
0
2
x
ª f ( x, y )dy . Ɂɞɟɫɶ ɯ – ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɚɹ ɬɨɱɤɚ, x >0;2@ y «0;1 ¬ f xº ª °0 : y «0;1 2 » , ° ¬ ¼ f ( x, y ) ® x > 0;2@ . x ª º °1: y 0;1 , «¬ °¯ 2 »¼
xº . 2 »¼
ɉɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɬɟɨɪɟɦɟ f
f1 ( x)
³
1
f1 ( x )
x 2
³ 0
x 1 dy 1 , 2
2 (1 y )
f 2 ( y)
³ 1 dx 0
f1 ( x )
2(1 y ), y >0;1@ ,
1
0 : x >0;2@ ; ° ® x °1 : x > 0;2@. ¯ 2 f2 ( y)
°0 : y > 0;1@ ; ® °¯2 2 y : y > 0;1@ .
6.2. Ɂɚɜɢɫɢɦɵɟ ɢ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɉɨɫɬɚɜɢɦ ɡɚɞɚɱɭ, ɨɛɪɚɬɧɭɸ ɬɟɨɪɟɦɚɦ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɝɨ ɩɚɪɚɝɪɚɮɚ: ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɟ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɨɝɨ ɡɚɤɨɧɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨ ɢɡɜɟɫɬɧɵɦ ɨɞɧɨɦɟɪɧɵɦ. ȼ ɨɛɳɟɦ ɜɢɞɟ ɷɬɨɝɨ ɫɞɟɥɚɬɶ ɧɟɥɶɡɹ. ɗɬɨ ɦɨɠɧɨ ɫɞɟɥɚɬɶ, ɤɨɝɞɚ ɨɞɧɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɟ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɭɸ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ, ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦɢ. Ɉ ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɢ Y ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦɢ, ɟɫɥɢ ɢɯ ɫɨɜɦɟɫɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɪɚɜɧɚ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ ɮɭɧɤɰɢɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X ɢ Y. F ( x, y ) F1 ( x) F2 ( y ) .
61
Ɇɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
Ɍ
Ɍ
(ɤɪɢɬɟɪɢɣ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ). Ⱦɢɫɤɪɟɬɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɢ Y ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ Pij pi q j ; Pij P{ X xi ; Y y j }; pi P{ X xi } ; q j P{Y y j } . Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɤɚɠɞɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ Pij ɦɚɬɪɢɰɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɜɭɯ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɪɚɜɟɧ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ (iɬɨɝɨ ɢ j-ɬɨɝɨ) ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɪɹɞɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X ɢ Y. ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɢ Y ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ: f ( x, y ) f1 ( x) f 2 ( y ) . Ɍ.ɟ., ɫɨɜɦɟɫɬɧɚɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɪɚɜɧɚ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ.
ɉɪɢɦɟɪ:
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɣ ɩɪɢɦɟɪ ( X { X , Y } ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɧɚ D). ȼɵɹɫɧɢɦ, ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɥɢ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɢ Y ɡɚɜɢɫɢɦɵɦɢ, ɞɥɹ ɷɬɨɝɨ ɩɪɨɜɟɪɢɦ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɟ ɭɫɥɨɜɢɹ f x, y f1 x f 2 y .
( x, y ) D;
f ( x, y ) 1;
x f1 ( x ) 1 ; 2
f2 ( y)
2 2y ,
§ x· ¨1 ¸ 2 2 y z 1 , © 2¹ X ɢ Y ɡɚɜɢɫɢɦɵ.
6.2.1. ɍɫɥɨɜɧɵɟ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ȿɫɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɢ Y , ɨɛɪɚɡɭɸɳɢɟ ɞɜɭɦɟɪɧɭɸ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ X ,Y , ɡɚɜɢɫɢɦɵ, ɞɥɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɷɬɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɜɜɨɞɹɬ ɩɨɧɹɬɢɟ ɭɫɥɨɜɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. ɇɚɩɨɦɧɢɦ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɭɫɥɨɜɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨP AB . ɫɬɢ: P B A P A Ɉ ɍɫɥɨɜɧɵɦ ɡɚɤɨɧɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X , ɜɯɨɞɹɳɟɣ ɜ ɫɢɫɬɟɦɭ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X ,Y , ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɟɟ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɧɚɣɞɟɧɧɵɣ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɜɬɨɪɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ Y ɩɪɢɧɹɥɚ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ (ɢɥɢ ɩɨɩɚɥɚ ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ). Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɜɧɚɱɚɥɟ ɫɥɭɱɚɣ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. X {x1 , x2 ,..., xk } , Y { y1 , y2 ,..., ys } , ɉɭɫɬɶ pij P X xi ;Y y j ,
i 12 , ,...,k; j 12 , ,...,s . Ȼɟɡɭɫɥɨɜɧɵɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ Pxi Py j
P X P Y
xi
s
¦P X k
yj
¦ P X
xi Y
ɍɫɥɨɜɧɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ P X
yj
xi ;Y
j 1
xi ;Y
i 1
yj
,
¦p
ij
j 1
k
yj
P X
s
¦p
ij
.
i 1
xi ;Y
P Y
yj
yj
, ɢɥɢ, ɤɨɪɨɱɟ,
62
Ʌɟɤɰɢɹ 6
P X
xi ;Y
P xi y j
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ, P Y !
xi
yj X
P X
pij Py j yj
xi
.
pij
ɢɥɢ P y j xi
Pxi
.
ȿɫɥɢ ɛɟɡɭɫɥɨɜɧɵɟ ɢ ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ( Pxi ɢ P xi y j , Py j ɢ
P y j xi ) ɨɬɥɢɱɚɸɬɫɹ, ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɢ Y ɡɚɜɢɫɢɦɵ, ɟɫɥɢ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ – ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ. ɉɪɢɦɟɪ: ɉɭɫɬɶ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ,Y ɡɚɞɚɧɚ ɬɚɛɥɢɰɟɣ. Y
X 2 0,15 0,2
1 0,05 0,1
1 2
3 0,1 0,2
3 0,05 0,1 0,05 ɇɚɣɬɢ ɛɟɡɭɫɥɨɜɧɵɟ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X ɢ Y ɢ ɭɫɥɨɜɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ X ɩɪɢ Y 2 . ɋɭɦɦɢɪɭɹ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɛɟɡɭɫɥɨɜɧɵɟ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ 1 0,2
X p
2 0,45
1 0,3
Y p
ɍɫɥɨɜɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
2 0,5
P xi Y
2
3 0,35 3 0,2
pi 2 Py2
.
1 2 3 X PY=2 0,2 0,4 0,4 ȼɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɛɟɡɭɫɥɨɜɧɵɣ ɢ ɭɫɥɨɜɧɵɣ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɢ Y ɡɚɜɢɫɢɦɵ. Ⱦɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ,Y ɫ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ f x, y ɫɭɦɦɵ ɡɚɦɟɧɹɸɬɫɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚɦɢ. Ȼɟɡɭɫɥɨɜɧɵɟ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ
f2 y
X
ɢ
³
f
f
Y
ɪɚɜɧɵ,
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ,
f1 x
³
f
f
f x, y dy ,
f x, y dx .
ɍɫɥɨɜɧɚɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ (ɢɥɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɭɫɥɨɜɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ) ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ y ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɤɚɤ ɜɟɥɢɱɢɧɚ Y
63
Ɇɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
f x, y f2 y
f x y
f x, y f
³
f x, y dx
f
, f2 y z 0 .
ɍɫɥɨɜɧɚɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɜɫɟɦɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ:
f x y t 0,
f
³
f x y dx 1 .
f
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɭɫɥɨɜɧɚɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Y ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X x :
f y x
f x, y f1 x
f x, y
³
f
f x, y dy
f
, f1 y z 0 .
ɋɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɞɥɹ ɭɫɥɨɜɧɵɯ ɩɥɨɬɧɨɫɬɟɣ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɡɚɩɢɫɚɧɵ ɜ ɜɢɞɟ:
f x, y
f1 x f y x
f2 y f x y
.
6.3. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Ⱦɥɹ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ, ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɵɟ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɦɭ ɫɥɭɱɚɸ: ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ, ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ. ȼ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɦɨɝɭɬ ɨɩɢɫɵɜɚɬɶ ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢ ɫɬɟɩɟɧɶ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ, ɧɨ ɢ ɫɬɟɩɟɧɶ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɦɟɠɞɭ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɚɦɢ. ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɯ ɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ ɞɜɭɦɟɪɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. Ɉ
Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɠɢɞɚɧɢɟɦ ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
X ,Y
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɚɹ ɩɚɪɚ ɱɢɫɟɥ MX ,MY . Ⱦɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫ.ɜ. k
MX
s
¦¦ xi pij , MY
mx
k
s
¦¦ y
my
i 1 j 1
j
P X
pij , pij
i 1 j 1
xi ;Y
yj .
Ⱦɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫ.ɜ. f f
MX
f f
³ ³ xf x, y dxdy , MY ³ ³ yf x,y dxdy , f x, y – ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫ-
f f
f f
ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. Ɉ Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɟɣ ɫ.ɜ. X ,Y DX ,DY . Ⱦɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫ.ɜ. k
DX
s
¦¦ xi mx
2
i 1 j 1
pij , DY
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
k
s
¦¦ y i 1 j 1
ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɚɹ
ɩɚɪɚ
2
j
m y pij .
Ⱦɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫ.ɜ. f f
DX
³ ³ x mx
f f
2
f f
f x, y dxdy , DY
2
³ ³ y m f x, y dxdy . y
f f
ɱɢɫɟɥ
64
Ʌɟɤɰɢɹ 6
!
Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɹ ɷɬɢɯ ɩɨɧɹɬɢɣ ɫɥɟɞɭɸɳɚɹ: ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ mx ,m y – ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɫɪɟɞɧɟɣ ɬɨɱɤɢ, ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɤɨ-
X ,Y .
ɬɨɪɨɣ ɪɚɡɛɪɨɫɚɧɵ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɬɨɱɤɢ
m ,m x
y
ɉɨ ɷɬɨɣ ɩɪɢɱɢɧɟ ɬɨɱɤɚ
ɢɧɨɝɞɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɰɟɧɬɪɨɦ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ. Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ DX ,DY
ɩɨɤɚɡɵɜɚɟɬ, ɧɚɫɤɨɥɶɤɨ ɨɛɥɚɤɨ ɬɨɱɟɤ X ,Y ɪɚɡɛɪɨɫɚɧɨ ɜ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ ɨɫɟɣ Ox ɢ Oy . Ɉ ɇɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɩɨɪɹɞɤɚ k+s ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ D k ,s M X kY s . X ,Y : Ɉ
ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɩɨɪɹɞɤɚ k+s ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
X ,Y : !
Pk ,s
M
X m Y m . s
k
x
y
ȼ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɷɬɢɦ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ: mx M X 1Y 0 D1,0 , m y
DX DY
M X 0Y 1 D 0 ,1 ;
M X m Y m M
2
X m x Y m y
0
2
0
x
y
P2 ,0 , P0 ,2 .
6.3.1. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ Ɉ
Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɫ.ɜ. X ,Y (ɦɨɦɟɧɬ ɫɜɹɡɢ, ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɹ) – ɫɦɟɲɚɧɧɵɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ: K XY cov X ,Y P1,1 M X mx Y m y .
k
Ⱦɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫ.ɜ. X ,Y
K XY
s
¦¦ x
i
i 1 j 1
mx y j m y pij ,
f f
ɞɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫ.ɜ. X ,Y
K XY
³ ³ x m y m f x, y dxdy . x
y
f f
Ⱦɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɢ ɭɞɨɛɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ K XY cov X ,Y M XY MX MY , ɤɨɬɨɪɚɹ ɩɨɥɭɱɚɟɬɫɹ ɢɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ: K XY M X mx Y m y M XY mxY m y X m y mx
M XY mx M Y m y M X m y mx
M XY m y mx .
ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɢ: 1°. Ʉɨɜɚɪɢɚɰɢɹ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɚ: K XY KYX . 2°. ɉɨɫɬɨɹɧɧɵɣ ɦɧɨɠɢɬɟɥɶ ɦɨɠɧɨ ɜɵɧɨɫɢɬɶ ɡɚ ɡɧɚɤ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɢ: cov cX ,Y c cov X ,Y cov X ,cY .
65
Ɇɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
3°. Ʉɨɜɚɪɢɚɰɢɹ ɧɟ ɢɡɦɟɧɢɬɫɹ, ɟɫɥɢ ɤ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦ ɞɨɛɚɜɢɬɶ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ: cov X a,Y cov X ,Y b cov X a,Y b cov X ,Y . 4°. Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ ɫ.ɜ. ɟɫɬɶ ɟɟ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɹ ɫ ɫɚɦɨɣ ɫɨɛɨɣ, DX K XX . 5°. Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ ɫɭɦɦɵ (ɪɚɡɧɨɫɬɢ) ɞɜɭɯ ɫ.ɜ. ɪɚɜɧɚ ɫɭɦɦɟ ɢɯ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɩɥɸɫ (ɦɢɧɭɫ) ɢɯ ɭɞɜɨɟɧɧɚɹ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɹ: D X r Y DX DY r 2 K XY . 6°. ȿɫɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɢ Y ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ, ɬɨ K XY 0 . 7°. Ʉɨɜɚɪɢɚɰɢɹ ɞɜɭɯ ɫ.ɜ. ɩɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɧɟ ɩɪɟɜɨɫɯɨɞɢɬ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɢɯ ɫɪɟɞɧɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɣ, K XY d V x V y . ɋɜɨɣɫɬɜɚ 1 – 5 ɫɥɟɞɭɸɬ ɢɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɢ, ɫɜɨɣɫɬɜɨ 6 – ɢɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ. Ⱦɨɤɚɠɟɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨ 7, ɞɥɹ ɱɟɝɨ ɩɪɢɦɟɧɢɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨ 5 ɤ Y my X mx ɢ : ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦ
Vx
Vy
§ X mx Y m y · § Y my · § X mx · r D¨ D¨ D ¸ ¨ ¸¸ r ¸ ¨ V ¸ ¨ V V V x y x y © ¹ © ¹ © ¹ ª§ X m § Y my · ·º § X mx · · § Y m y x M r2 M «¨ M¨ ¨ ¨¨ ¸¸ ¸¸ » ¸¸¨ V V V «¬© V x x y y © ¹¹© © ¹ ¹ »¼ § X mx Y m y · § K XY · 1 1 r 2M ¨ 2 1 r ¸¸ ¨¨ ¸¸ . ¨ V V V V x y x y ¹ © ¹ © K Ɍɚɤ ɤɚɤ ɥɸɛɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɚ, 1 r XY t 0 , V xV y d K XY d V xV y ,
V xV y
ɢɥɢ K XY d V x V y . ɂɡ ɫɜɨɣɫɬɜɚ 6 ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ K XY z 0 , ɬɨ ɫ.ɜ. X ɢ Y ɡɚɜɢɫɢɦɵ. ȿɫɥɢ K XY z 0 , ɫ.ɜ. X ɢ Y ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɤɨɪɪɟɥɢɪɨɜɚɧɧɵɦɢ. Ɉɞɧɚɤɨ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ K XY 0 ɧɟ ɫɥɟɞɭɟɬ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɫ.ɜ. X ɢ Y (ɷɬɨɬ ɮɚɤɬ ɛɭɞɟɬ ɞɨɤɚɡɚɧ ɩɨɡɞɧɟɟ, ɩɪɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɢ ɮɭɧɤɰɢɣ ɨɬ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ). ȿɫɥɢ K XY 0 , ɫ.ɜ. X ɢ Y ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɧɟɤɨɪɪɟɥɢɪɨɜɚɧɧɵɦɢ. ɂɡ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɫɥɟɞɭɟɬ ɧɟɤɨɪɪɟɥɢɪɨɜɚɧɧɨɫɬɶ, ɨɛɪɚɬɧɨɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɧɟɜɟɪɧɨ, ɢɡ ɧɟɤɨɪɪɟɥɢɪɨɜɚɧɧɨɫɬɢ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɧɟ ɫɥɟɞɭɟɬ. ɂɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɢ ɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɨɧɚ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɢ ɫɬɟɩɟɧɶ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ ɫ.ɜ. X ɢ Y , ɢ ɫɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ ɷɬɢɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ. Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ, ɱɬɨɛɵ ɢɫɤɥɸɱɢɬɶ ɜɥɢɹɧɢɟ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ ɢ ɨɰɟɧɢɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɫɬɟɩɟɧɶ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ, ɨɛɵɱɧɨ ɩɟɪɟɯɨɞɹɬ Y my X mx ɤ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɦ ɫ.ɜ. ɢ .
Vx
Vy
66
Ʌɟɤɰɢɹ 6
Ɉ
Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɫ.ɜ. X ɢ Y ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɢɦ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɯ ɫ.ɜ.: § X mx Y m y · cov X ,Y K XY rXY cov ¨ , . ¸¸ ¨ V V V V V V x y x y x y © ¹
ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ 1°. rXY d 1 . 2°. Ⱦɥɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɫ.ɜ. rXY 0 . 3°. ȿɫɥɢ ɫ.ɜ. X ɢ Y ɫɜɹɡɚɧɵ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶɸ, Y aX b, a z 0 , ɬɨ rXY 1 , ɩɪɢɱɟɦ rXY 1 ɩɪɢ a ! 0 ɢ rXY 1 ɩɪɢ a 0. 4°. ȿɫɥɢ rXY 1 , ɬɨ ɫ.ɜ. X ɢ Y ɫɜɹɡɚɧɵ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶɸ. ɋɜɨɣɫɬɜɨ 1° ɫɥɟɞɭɟɬ ɢɡ ɫɜɨɣɫɬɜɚ 7° ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɢ, ɫɜɨɣɫɬɜɨ 2° – ɢɡ ɫɜɨɣɫɬɜɚ 6°. Ⱦɨɤɚɠɟɦ ɫɜɨɣɫɬɜɚ 3° ɢ 4°. a ! 0, cov X ,aX b a cov X ,X a DX a 1, 3°. rXY ® a DX a ¯ 1, a 0. DX D aX b DX a 2 DX 4°. ɉɭɫɬɶ rXY 1 . Ɍɨɝɞɚ (ɫɦ. ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚ 7 ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɢ)
§ X mx Y m y D¨ ¨ V Vy x © ɨɬɤɭɞɚ
· ¸¸ ¹
§ K · 2 ¨ 1 XY ¸ 0 , ¨ VV ¸ x y ¹ © X mx Y m y
Vx
Vy
c
const .
ɇɚɣɞɟɦ M c :
§ X mx Y my · § Y my · § X mx · M c c M ¨ M¨ M ¸ ¨¨ ¸¸ 0 , ¸ ¨ V ¸ V V V x y x y © ¹ © ¹ © ¹ Vy X mx Y m y Y ɬ.ɟ. , ɨɬɤɭɞɚ X mx m y . Vx Vx Vy ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨ, ɩɪɢ rXY
1 Y
Vy X mx m y . Vx
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ rXY ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɦɟɪɨɣ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ: ɟɫɥɢ rXY 0 , ɫ.ɜ. ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ, ɟɫɥɢ rXY 1 , ɫ.ɜ. ɫɜɹɡɚɧɵ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶɸ, ɩɪɢ rXY z 1 ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɧɨɫɢɬ ɢɧɨɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ. ɑɟɦ ɛɨɥɶɲɟ rXY , ɬɟɦ ɛɨɥɶɲɟ ɫɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ X ɢ Y ɩɨɯɨɠɚ ɧɚ ɥɢɧɟɣɧɭɸ. ɉɪɢ rXY ! 0 ɝɨɜɨɪɹɬ ɨ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɣ
67
Ɇɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɦɟɠɞɭ X ɢ Y , ɩɪɢ rXY 0 – ɨɛ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨɣ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ. ɉɪɢɦɟɪ: Ɋɚɧɟɟ (ɩɪɢɦɟɪ ɜ ɩɭɧɤɬɟ 6.2) ɛɵɥɚ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɚ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ,Y : Y 1 2
1 0,05 0,1
X 2 0,15 0,2
3
0,05
0,1
3 0,1 0,2 0,05
ɇɚɣɞɟɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ rXY . Ɋɟɲɟɧɢɟ: Ɋɚɧɟɟ ɛɵɥɢ ɧɚɣɞɟɧɵ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ 2 3 X 1 p 0,2 0,45 0,35
2 3 Y 1 p 0,3 0,5 0,2
1 0 , 2 2 0 , 45 3 0 ,35 0 , 2 0 ,9 1, 05 2 ,15 ,
mx
m y 1 0,3 2 0,5 3 0, 2 0,3 1,0 0, 6 1,9 , Ɂɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɰɟɧɬɪɢɪɨɜɚɧɧɵɯ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ
X mx -1,15 -0,15 0,2
p
0,45
Y m y -0,9
0,85 0,35
0,3
p
0,1 0,5
1,1 0,2
Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɢ DX
M
X m 2
x
0 ,5275 , DY
V x | 0 , 7263 , V y ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɹ K XY rXY
K XY
V xV y
M
X m Y m x
y
M Y my
2
0, 49 ,
0,7
0 , 035 , ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ
0 , 0688 .
Ʉɚɤ ɜɢɞɧɨ, ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɵ ɫɤɨɪɪɟɥɢɪɨɜɚɧɵ ɫɥɚɛɨ, ɬɚɤ ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɢ ɟɫɬɶ, ɬɨ ɨɧɚ ɞɚɥɟɤɚ ɨɬ ɥɢɧɟɣɧɨɣ.
6.3.2. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɭɫɥɨɜɧɵɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ Ⱦɥɹ ɭɫɥɨɜɧɵɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɬɚɤɠɟ ɦɨɠɧɨ ɜɜɟɫɬɢ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ. ɇɚɢɛɨɥɟɟ ɜɚɠɧɵɦɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɠɢɞɚɧɢɹ. Ɉ ɍɫɥɨɜɧɨɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɩɪɢ Y y , ɝɞɟ y – ɨɞɧɨ ɢɡ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫ.ɜ. Y , ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ (ɞɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫ.ɜ.) ɫɭɦɦɚ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɣ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫ.ɜ. X ɧɚ ɢɯ ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ:
68
Ʌɟɤɰɢɹ 6
M X Y
y
k
¦ x p x y ; i
i
i 1
ɞɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫ.ɜ.
M X Y
y
f
³ xf x y dx ,
f
ɝɞɟ f x y – ɭɫɥɨɜɧɚɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. ɍɫɥɨɜɧɨɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɠɢɞɚɧɢɟ M X y ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ y :
M X y M y , ɤɨɬɨɪɭɸ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ X ɧɚ Y . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɭɫɥɨɜɧɨɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɠɢɞɚɧɢɟ M Y x ɢ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ Y ɧɚ X M Y x \ x .
6.3.3. Ʌɢɧɟɣɧɚɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɹ. ɉɪɹɦɵɟ ɥɢɧɢɢ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɞɜɭɦɟɪɧɭɸ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ X ,Y , ɝɞɟ X ɢ Y – ɡɚɜɢɫɢɦɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦ ɨɞɧɭ ɢɡ ɜɟɥɢɱɢɧ ɤɚɤ ɮɭɧɤɰɢɸ ɞɪɭɝɨɣ. ɉɨɞɨɛɧɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɦ. Ɉɝɪɚɧɢɱɢɦɫɹ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɦ ɫɥɭɱɚɟɦ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ: Y g X DX E , ɝɞɟ D ɢ E – ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ, ɩɨɞɥɟɠɚɳɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ. ɑɚɳɟ ɜɫɟɝɨ ɞɥɹ ɷɬɨɝɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɦɟɬɨɞ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ. Ɏɭɧɤɰɢɹ g X D X E ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɚɢɥɭɱɲɢɦ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɢɟɦ Y ɜ ɫɦɵɫɥɟ ɦɟɬɨɞɚ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ (ɆɇɄ), ɟɫɥɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢ2
ɞɚɧɢɟ M ª¬Y g X º¼ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ; ɮɭɧɤɰɢɸ g X ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɟɣ Y ɧɚ X . ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɆɇɄ, ɧɚɣɞɟɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ
M ª¬Y g X º¼
2
2
M >Y D X E @
F D , E ,
ɤɨɬɨɪɨɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ D ɢ E . Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ M X
M Y
my , V x
D X , Vy
D Y , r
P xy – ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ V xV y
ɜɟɥɢɱɢɧ X ɢ Y .
F D , E 2
M ª¬ Y m y D X mx m y D mx E º¼ 2
mx ,
2
2
M Y m y D 2 M X mx m y D mx E 2D M ª¬ Y m y X mx º¼
69
Ɇɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ
2 m y D mx E M Y m y 2a m y D mx E M X mx 2
V y2 D 2V x2 2DV xV y r m y D mx E . ɂɫɫɥɟɞɭɟɦ F D , E ɧɚ ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ. wF 2 °° wD 2DV x 2V xV y r 2mx m y D mx E , ® wF ° 2 m y D m x E 0 , ¯° wE
Vy V , E m y r y mx . Ʌɟɝɤɨ ɭɛɟɞɢɬɶɫɹ, ɱɬɨ Vx Vx ɩɪɢ ɷɬɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ D ɢ E F D , E ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɚ. Ɋɟɲɚɹ ɫɢɫɬɟɦɭ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ D
r
ɂɬɚɤ, ɥɢɧɟɣɧɚɹ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɹ Y ɧɚ X ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
g X DX E
Vy V X m y r y mx Vx Vx
my r
Vy X mx . Vx
Vy ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ Y ɧɚ X , ɚ Vx V m y r y x mx – ɩɪɹɦɨɣ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ Vx
Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ D ɩɪɹɦɭɸ y
r
r
Y ɧɚ X . Ɇɢɧɢɦɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ F D , E min
V y2 1 r 2 , ɞɨɫɬɢɝɚɸɳɟɟɫɹ ɩɪɢ ɧɚɣɞɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ D ɢ E , ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɫɬɚɬɨɱɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪ-
ɫɢɟɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Y ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ; ɨɧɚ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɨɲɢɛɤɢ, ɜɨɡɧɢɤɚɸɳɟɣ ɩɪɢ ɡɚɦɟɧɟ Y ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ g X D X E . ȿɫɥɢ r r1 , ɨɫɬɚɬɨɱɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ , ɬɚɤ ɤɚɤ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ X ɢ Y ɫɜɹɡɚɧɵ ɫɬɪɨɝɨɣ, ɚ ɧɟ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɣ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶɸ. Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ Y ɧɚ X ɦɨɠɧɨ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɪɟɝɪɟɫɫɢɸ X ɧɚ Y :
h Y ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɣ r
mx r
Vx Y m y , Vy
Vx – ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ X ɧɚ Y , x Vy
mx r
Vx y my Vy
– ɩɪɹɦɚɹ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ X ɧɚ Y , V x2 1 r 2 – ɨɫɬɚɬɨɱ-
ɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Y . ɂɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɩɪɹɦɵɯ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɨɧɢ ɨɛɟ ɩɪɨɯɨɞɹɬ ɱɟɪɟɡ ɰɟɧɬɪ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ – ɬɨɱɤɭ ɫ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ mx ,m y . ȿɫɥɢ r
r1 , ɬɨ ɨɛɟ ɩɪɹɦɵɟ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ.
70
Ʌɟɤɰɢɹ 6
6.3.4. Ʌɢɧɟɣɧɚɹ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɹ. Ⱦɜɭɦɟɪɧɵɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɞɜɭɦɟɪɧɭɸ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ X
X ,Y .
ȿɫɥɢ ɢ ɮɭɧɤɰɢɹ
M X y M y ɢ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ Y
ɧɚ Y
ɧɚ X
M Y x \ x ɨɤɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɥɢɧɟɣɧɵɦɢ, ɬɨ ɝɨɜɨɪɹɬ, ɱɬɨ X ɢ Y ɫɜɹɡɚɧɵ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶɸ. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɝɪɚɮɢɤɢ ɮɭɧɤɰɢɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɨɤɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɩɪɹɦɵɦɢ. Ɇɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɷɬɢ ɩɪɹɦɵɟ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ ɫ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɦɢ ɪɚɧɟɟ ɩɪɹɦɵɦɢ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ. Ɉɩɢɫɚɧɧɚɹ ɫɢɬɭɚɰɢɹ ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɜ ɨɞɧɨɦ ɜɚɠɧɨɦ ɱɚɫɬɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ – ɟɫɥɢ ɞɜɭɦɟɪɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɞɜɭɦɟɪɧɨɦɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ. ɗɬɨɬ ɡɚɤɨɧ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɛɨɛɳɟɧɢɟɦ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɟɝɨ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɡɚɞɚɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ
f x, y
1 2SV xV y 1 rxy2
e
2 2 1 rxy
2 ª y a y « x ax 2 « V V y2 x «¬
1
2
2 rxy
º x ax y a y » Vx V y » »¼
.
ɇɨɪɦɚɥɶɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɹɬɶɸ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ: a x , a y ,
V x , V y ɢ rxy . Ɇɨɠɧɨ ɞɨɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨ ɷɬɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ ɢɦɟɸɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɵɣ ɫɦɵɫɥ: a x , a y - ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɠɢɞɚɧɢɹ, V x , V y – ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ, rxy – ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɜɟɥɢɱɢɧ X ɢ Y . Ⱦɥɹ ɞɜɭɦɟɪɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ ɧɟɤɨɪɪɟɥɢɪɨɜɚɧɧɨɫɬɶɸ ɢ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶɸ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ X ɢ Y ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɜɡɚɢɦɧɨ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨɣ: ɟɫɥɢ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɵ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ, ɨɧɢ ɧɟɤɨɪɪɟɥɢɪɨɜɚɧɵ, ɟɫɥɢ ɨɧɢ ɧɟɤɨɪɪɟɥɢɪɨɜɚɧɵ, ɬɨ ɨɧɢ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ. (ȿɫɥɢ f x, y f1 x f2 y , ɬɨ rxy 0 , ɟɫɥɢ rxy 0 , ɬɨ
f x, y f1 x f 2 y ). ɉɨɤɚɠɟɦ, ɱɬɨ ɞɥɹ ɞɜɭɦɟɪɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɦɟɠɞɭ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɚɦɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɥɢɧɟɣɧɚɹ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɚɹ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ. Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ y ay x ax ,v , rxy r . ɞɥɹ ɤɪɚɬɤɨɫɬɢ u
Vx
Vy
Ɍɨɝɞɚ
f x, y
1 2SV xV y 1 r
2
e
ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɟɣ X
u 2 v 2 2 ruv
2 1 r 2
.
71
Ɇɧɨɝɨɦɟɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ f
f1 x
³
1
f x, y dy
2SV x V y 1 r 2
f
f
1 2SV x 1 r 2
³
³
2 1 r 2
2 1 r 2
e
dy
dy
e
dv
u2 r2u2
2 1 r 2
f
³
2SV x 1 r 2
f
dv
Vy
f
u 2 r 2 u 2 v 2 2 ruv r 2 u 2
e
u 2 v 2 2 ruv
f
e
v ru 2
2 1 r 2
dv
f
2
u 2
2
x a 2
2
x u § 1 f t · v ru e 1 1 2 V x2 2 2 t e dt ¸ e e . ¨¨ ³ 2 ¸ S V S S V S V 2 2 2 2 1 r f x © x x ¹ ɇɚɣɞɟɦ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ M Y x \ x , ɞɥɹ ɱɟɝɨ ɜɧɚɱɚɥɟ ɧɚɣɞɟɦ ɭɫɥɨɜɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
1 f y x
2SV xV y 1 r 2
f x, y f1 x
e
2SV x 1
2S V y 1 r
2
e
2 1 r 2
e
2
e
2SV xV y 1 r 2
u 2
v 2 2 ruv r 2 u 2 2 1 r
2SV x 2
1
u 2 v 2 2 ruv
1
2S V y 1 r
2
e
u 2 v 2 2 ruv u 2 2 2 1 r 2
v ru 2
2 1 r 2
.
Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨ ɡɚɦɟɧɹɹ u ɢ v , ɩɨɥɭɱɚɟɦ
f y x
1
V
y
1 r
2
2S
e
Vy ° ª º ½° ® y «a y r x a x » ¾ V ° ¬ x ¼ ¿° ¯ 2V y 2 1 r 2
2
.
ɉɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɭɫɥɨɜɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɫ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɠɢɞɚɧɢɟɦ (ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ Y ɧɚ X )
M Y x \ x
ay r
Vy x ax Vx
ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɟɣ V y 2 1 r 2 . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ X ɧɚ Y ,
M X y M y ax r
Vx y ay Vy
ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɟɣ V x 2 1 r 2 . Ɍɚɤ ɤɚɤ ɨɛɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɥɢɧɟɣɧɵ, ɬɨ ɢ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɹ ɦɟɠɞɭ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɚɦɢ ɥɢɧɟɣɧɚɹ. Ɇɨɠɧɨ ɬɚɤɠɟ ɨɬɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɪɹɦɵɯ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ ɫ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ ɩɪɹɦɵɯ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ.
Ʌɟɤɰɢɹ 7 ɉɊȿȾȿɅɖɇɕȿ ɌȿɈɊȿɆɕ ɌȿɈɊɂɂ ȼȿɊɈəɌɇɈɋɌȿɃ ȼ ɥɟɤɰɢɢ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɸɬɫɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɢɹ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɩɨɥɨɠɟɧɢɣ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ (ɡɚɤɨɧ ɛɨɥɶɲɢɯ ɱɢɫɟɥ) ɢ ɨɛɴɹɫɧɹɟɬɫɹ ɲɢɪɨɤɨɟ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɢɟ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɡɚɤɨɧɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ (ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ).
7.1. Ɂɚɤɨɧ ɛɨɥɶɲɢɯ ɱɢɫɟɥ (ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɬɟɨɪɟɦɵ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ) 7.1.1. ɇɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɑɟɛɵɲɟɜɚ 7.1.2. Ɍɟɨɪɟɦɚ ɑɟɛɵɲɟɜɚ 7.1.3. Ɍɟɨɪɟɦɚ Ɇɚɪɤɨɜɚ 7.1.4. Ɍɟɨɪɟɦɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ 7.2. ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ 7.2.1. Ɏɨɪɦɭɥɚ Ɇɭɚɜɪɚ-Ʌɚɩɥɚɫɚ ɤɚɤ ɱɚɫɬɧɵɣ ɫɥɭɱɚɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɣ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨɣ ɬɟɨɪɟɦɵ
1.1. Ɂɚɤɨɧ ɛɨɥɶɲɢɯ ɱɢɫɟɥ (ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɬɟɨɪɟɦɵ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ) ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɱɚɫɬɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɸɬ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɹɜɥɹɸɳɢɟɫɹ, ɜ ɫɜɨɸ ɨɱɟɪɟɞɶ, ɫɭɦɦɚɦɢ ɛɨɥɶɲɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɧɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬ ɫɨɛɨɣ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɬɪɭɞɧɨɫɬɢ. Ɉɞɧɚɤɨ ɩɪɢ ɨɱɟɧɶ ɛɨɥɶɲɨɦ ɱɢɫɥɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɣ ɫɪɟɞɧɢɣ ɢɯ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɢ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɪɟɞɫɤɚɡɚɧ ɫ ɛɨɥɶɲɨɣ ɫɬɟɩɟɧɶɸ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɢ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɟɫɥɢ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɨɩɵɬɟ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ, ɬɨ ɩɪɢ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɢ nof ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɧɚɛɥɸɞɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɭɫɬɨɣɱɢɜɵɦ (ɫɯɨɞɢɬɫɹ) ɤ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɦɭ ɨɠɢɞɚɧɢɸ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X. ɍɫɥɨɜɢɹ, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɵɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɜɨɡɞɟɣɫɬɜɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɩɟɪɟɫɬɚɟɬ ɛɵɬɶ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ, ɨɩɢɫɵɜɚɸɬɫɹ ɜ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɬɟɨɪɟɦɚɯ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɧɨɫɹɬ ɨɛɳɟɟ ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɡɚɤɨɧɚ ɛɨɥɶɲɢɯ ɱɢɫɟɥ. Ɍ
Ʌɟɦɦɚ. ɉɭɫɬɶ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɚ, X t 0 , ɬɨɝɞɚ M(X ) P( X t H ) d .
H
73
ɉɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɬɟɨɪɟɦɵ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ: Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ȿɟ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ 0, x 0, ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɬ.ɤ. X t 0 , ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: f ( x) ® ¯ f ( x), x t 0. f
P( X t H ) 1
f
xf ( x)dx H³ 0
³H
f
H
x
f ( x)dx d ³ f ( x)dx ³ H
1
H
H
0
f
M (X )
³ xf ( x)dx
H
f
x
H
f ( x)dx
, P( X t H ) d
M (X )
H
.
7.1.1. ɇɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɑɟɛɵɲɟɜɚ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɨɬ ɟɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ (ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ) ɩɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɦɟɧɶɲɟ D( X ) ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ H , ɧɟ ɦɟɧɶɲɟ, ɱɟɦ 1 : 2
H
P X mx H t 1 !
D( X )
H2
.
ɑɚɫɬɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɞɪɭɝɚɹ ɮɨɪɦɚ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ: P X mx t H d
D( X )
H2
.
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ: ɉɪɢɦɟɧɢɦ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɥɟɦɦɵ ɤ ɜɟɥɢɱɢɧɟ X mx :
P(( X mx ) 2 t H 2 )
P ( X mx t H ) 2
P(Y t H ) d
M (Y )
H
2
M (( X mx ) 2 )
H
2
D( X )
H2
,
P X mx H P X m x t H 1 P X m x H t 1
D( X )
H2
,
ɱɬɨ ɢ ɬɪɟɛɨɜɚɥɨɫɶ ɞɨɤɚɡɚɬɶ. ɉɪɢɦɟɪ:
Ɉɰɟɧɢɬɶ ɫɜɟɪɯɭ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɨɬɤɥɨɧɢɬɫɹ ɨɬ ɫɜɨɟɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɧɟ ɦɟɧɶɲɟ, ɱɟɦ ɧɚ 3Vx. Ɋɟɲɟɧɢɟ: V x2 1 ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɑɟɛɵɲɟɜɚ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ P ( X mx t 3V x ) d , 2 (3V x ) 9 ɬ.ɟ., ɢɧɵɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɨɬɤɥɨɧɢɬɫɹ 1 ɨɬ ɫɜɨɟɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ ɧɚ 3V x , ɧɟ ɩɪɟɜɵɲɚɟɬ . 9 Ⱦɥɹ ɥɸɛɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɧɟɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ «ɩɪɚɜɢɥɚ ɬɪɟɯ
74
Ʌɟɤɰɢɹ 7
1 . ɗɬɨ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɫ ɥɸɛɵɦ 9 ɡɚɤɨɧɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. Ⱦɥɹ ɛɨɥɶɲɢɧɫɬɜɚ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ, ɜɫɬɪɟɱɚɸɳɢɯɫɹ ɧɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ, ɨɲɢɛɤɚ «ɩɪɚɜɢɥɚ ɬɪɟɯ ɫɢɝɦɚ» ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ ɦɟɧɶɲɟ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɢɦɟɪɵ ɧɚ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɑɟɛɵɲɟɜɚ ɩɪɢ H 3V x ɢ 1 ɫɪɚɜɧɢɦ ɬɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ P ^ x mx t 3V x ` ɫ ɟɝɨ ɜɟɪɯɧɟɣ ɨɰɟɧɤɨɣ . 9 ɫɢɝɦɚ» ɧɟ ɩɪɟɜɵɲɚɟɬ
ɉɪɢɦɟɪ: ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɫ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ f x O e O x , x ! 0. ɏɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ mx
Vx
1
O
, ɬ.ɤ. mx 3V x , ɬɨ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ X
ɨɬ mx, ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ ɧɚ 3V x , ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɬɨɥɶɤɨ ɜ ɛɨɥɶɲɭɸ ɫɬɨɪɨɧɭ. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, 1 3½ 4½ §4· P ^ X ! mx 3V x ` P ® X ! ¾ P ® X ! ¾ 1 F ¨ ¸ ! O O¿ O¿ ¯ ¯ ©O ¹ O x (ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F x 1 e ) O4 § · 1 ! 1 ¨1 e O ¸ e 4 | 0, 0183 , ɱɬɨ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨ ɦɟɧɶɲɟ ɱɟɦ | 0,1111 . 9 © ¹ ɉɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ – ɧɟɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɧɨɟ ɞɥɹ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹ «ɩɪɚɜɢɥɚ ɬɪɟɯ ɫɢɝɦɚ»: ɩɨɱɬɢ 2% ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫ.ɜ. X ɜɵɯɨɞɹɬ ɡɚ ɩɪɟɞɟɥɵ mx 3V x .
ɉɪɢɦɟɪ: ɋ.ɜ. X ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɫ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ m ɢ V . ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫ.ɜ. X ɩɨɩɚɞɟɬ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥ >D ; E @ : § E m· §D m · P ^D X E ` Ɏ ¨ ¸ Ɏ¨ ¸, © V ¹ © V ¹ t 1 ɝɞɟ Ɏ x e 2 dt - ɮɭɧɤɰɢɹ Ʌɚɩɥɚɫɚ. 2S ³0 ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ «ɩɪɚɜɢɥɚ ɬɪɟɯ ɫɢɝɦɚ». P ^ x m ! 3V ` 1 P ^ x m 3V ` 1 P ^m 3V X m 3V ` x
1 2Ɏ 3 , Ɏ 3 | 0, 49865 . Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, P ^ x m ! 3V ` | 1 2 0,49865 0,0027 , ɬ.ɟ. ɧɢɱɬɨɠɧɚɹ ɞɨɥɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫ.ɜ. (< 0,3%) ɜɵɯɨɞɢɬ ɡɚ ɩɪɟɞɟɥɵ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ m r 3V x . Ⱦɥɹ ɛɨɥɶɲɢɧɫɬɜɚ ɫ.ɜ., ɜɫɬɪɟɱɚɸɳɢɯɫɹ ɧɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ, «ɩɪɚɜɢɥɨ ɬɪɟɯ ɫɢɝɦɚ» ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɫ ɞɨɜɨɥɶɧɨ ɜɵɫɨɤɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ. ɉɪɢɦɟɪ: ɋ.ɜ. X ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ > a;b @ . ɇɚɣɞɟɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ ɨɧɚ ɨɬɤɥɨɧɢɬɫɹ ɨɬ ɫɜɨɟɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ ɧɚ 3V x .
75
ɉɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɬɟɨɪɟɦɵ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ
ba , ɞɥɢɧɵ 2 ba , ɨɬɪɟɡɤɨɜ > a; m x @ ɢ > m x ; b @ ɪɚɜɧɵ 2 ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɚɹ ɩɨ ɨɬɪɟɡɤɭ > a;b @ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɨɬɤɥɨɧɢɬɶɫɹ ɨɬ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ba ba ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ ɧɚ . 2 2 3 b a 3 b a ba ; 3V x Vx . 2 2 3 2 3 ɋɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ mx
Ɍɚɤ ɤɚɤ
b a 2
3 b a 2
f ( x) 1 b- a
0 m - 3s
, P X mx ! 3V x
x
b m + 3s
x
0.
7.1.2. Ɍɟɨɪɟɦɚ ɑɟɛɵɲɟɜɚ Ʉɚɤ ɜɢɞɧɨ ɢɡ ɩɪɢɦɟɪɨɜ, ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɑɟɛɵɲɟɜɚ ɞɚɟɬ ɜɟɫɶɦɚ ɝɪɭɛɭɸ ɨɰɟɧɤɭ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɣ ɫ.ɜ., ɨɞɧɚɤɨ ɨɧɨ ɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɟɫɶɦɚ ɩɨɥɟɡɧɵɦ ɩɪɢ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɟ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɮɨɪɦ ɡɚɤɨɧɚ ɛɨɥɶɲɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɨɧɨ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɞɥɹ ɥɸɛɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ɉɟɪɟɣɞɟɦ ɤ ɤɨɧɤɪɟɬɧɵɦ ɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɤɚɦ ɡɚɤɨɧɚ ɛɨɥɶɲɢɯ ɱɢɫɟɥ. Ⱦɥɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɫ.ɜ. ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɚ ɫɥɟɞɭɸɳɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ (ɑɟɛɵɲɟɜɚ). Ɍ
ȿɫɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X 1 ,X 2 ,...,X n ,... 1) ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ ɢ 2) ɢɯ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɵ, D X i d C , ɬɨ, ɤɚɤ ɛɵ ɦɚɥɨ ɧɢ ɛɵɥɨ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɟ ɱɢɫɥɨ H , ° 1 n ½ 1 n lim P ® ¦ X i ¦ M X i H ¾ 1 . n of ni1 °¯ n i 1 ¿ ɂɧɵɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X 1 ,X 2 ,...,X n ,... ɩɨ ɦɟɪɟ ɪɨɫɬɚ ɱɢɫɥɚ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ ɜɫɟ ɦɟɧɶɲɟ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ ɨɬ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɢɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɨɠɢɞɚɧɢɣ. Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ: ɂɡ ɭɫɥɨɜɢɣ 1), 2) ɫɥɟɞɭɟɬ
§1 n · D ¨ ¦ Xi ¸ ©n i 1 ¹
1 n2
1 ¦ D X d n nC n
i
i 1
2
C . n
76
Ʌɟɤɰɢɹ 7
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ:
§ 1 P¨ ©
§1 n · 1 n P ¨ ¦ X i ¦ mxi H ¸ ni1 ©ni1 ¹ 1 n D ( ¦ Xi · C 1 n 1 n ni1 t1 2 . X i ¦ mxi t H ¸ t 1 ¦ 2 H ni1 ni1 nH ¹
ɍɫɬɪɟɦɢɦ nof, ɩɪɢ ɷɬɨɦ
C o 0 , ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, nH 2
§1 1 · o1 . P ¨ ¦ X i ¦ mxi H ¸ nof n n © ¹ ɋ ȿɫɥɢ X1, X2, …, Xn – ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɢɦɟɸɳɢɟ ɨɞɧɨ ɢ ɬɨ ɠɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ a, ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɷɬɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɵ, ɬɨ 1 n ½ lim ® ¦ X i a H ¾ 1 . n of ¯n i1 ¿ Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɫɭɳɧɨɫɬɶɸ ɬɟɨɪɟɦɵ ɑɟɛɵɲɟɜɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɨɬ ɮɚɤɬ, ɱɬɨ ɯɨɬɹ ɨɬɞɟɥɶɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɦɨɝɭɬ ɢɦɟɬɶ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɵɣ ɪɚɡɛɪɨɫ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɫɜɨɢɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɨɠɢɞɚɧɢɣ, ɢɯ ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɪɚɫɫɟɹɧɨ ɦɚɥɨ. 7.1.3. Ɍɟɨɪɟɦɚ Ɇɚɪɤɨɜɚ Ɂɚɤɨɧ ɛɨɥɶɲɢɯ ɱɢɫɟɥ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧ ɢ ɧɚ ɡɚɜɢɫɢɦɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ȿɝɨ ɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɤɚ ɞɥɹ ɷɬɢɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɫɨɞɟɪɠɢɬɫɹ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɬɟɨɪɟɦɟ (Ɇɚɪɤɨɜɚ). Ɍ
ȿɫɥɢ X1, X2,…, Xn – ɡɚɜɢɫɢɦɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɢ ɟɫɥɢ ɩɪɢ n o f
ª n º D «¦ X i » ¬ i 1 ¼ o0, n of n2 ɬɨ ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɧɚɛɥɸɞɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫ.ɜ. X1, X2,…, Xn ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɩɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɤ ɫɪɟɞɧɟɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ ɢɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɨɠɢɞɚɧɢɣ,
§1 n · 1 n P ¨ ¦ X i ¦ M X i H ¸ o1 . n of n n i i 1 1 © ¹ Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ:
77
ɉɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɬɟɨɪɟɦɵ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ
1 n ¦ X i ; ɟɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ni1
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ Y
1 § n · D X . ¦ i n 2 ¨© i 1 ¸¹
D Y
ɉɪɢɦɟɧɢɦ ɤ ɜɟɥɢɱɢɧɟ Y ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɑɟɛɵɲɟɜɚ:
P Y my t H d
D Y
H2
.
o 0 , ɬɨ ɩɪɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɨɦ n Ɍɚɤ ɤɚɤ ɩɨ ɭɫɥɨɜɢɸ D Y n of
P Y my t H d G , ɢɥɢ, ɞɥɹ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ,
P Y my H
§ ¨ P¨ ¨ ¨ ©
n
n
¦ X ¦m i
i 1
n
i 1
n
xi
· ¸ H ¸ ! 1 G , ɱ.ɬ.ɞ. ¸ ¸ ¹
7.1.4. Ɍɟɨɪɟɦɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ɋɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɣ ɱɚɫɬɨɬɨɣ ɫɨɛɵɬɢɹ ɢ ɟɝɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɞɚɟɬ ɫɥɟɞɭɸɳɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ (Ȼɟɪɧɭɥɥɢ). Ɍ
ɉɭɫɬɶ m – ɱɢɫɥɨ ɭɫɩɟɯɨɜ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɜ n ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹɯ; p P A – ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɜ ɨɞɧɨɤɪɚɬɧɨɦ ɢɫɩɵɬɚ-
ɧɢɢ, ɬɨɝɞɚ ɩɪɢ ɫɬɪɟɦɥɟɧɢɢ ɱɢɫɥɚ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ nof ɱɚɫɬɨɬɚ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɩɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɤ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ,
§m · P ¨ p H ¸ o 1 ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ H >0. n of © n ¹ Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ: Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ Xi – ɱɢɫɥɨ ɩɨɹɜɥɟɧɢɣ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɜ i-ɦ ɢɫɩɵɬɚɧɢɢ. ȿɟ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ X 0
1
P 1-p p
78
Ʌɟɤɰɢɹ 7 2
M Xi
p , D Xi
p 1 p
1 § 1· 1 ¨ p ¸ d . 4 © 2¹ 4 n
n
m ɉɭɫɬɶ m – ɱɢɫɥɨ ɭɫɩɟɯɨɜ ɜ n ɢɫɩɵɬɚɧɢɹɯ, m ¦ X i ; n i 1
¦X
i
i 1
n
.
ɉɨ ɬɟɨɪɟɦɟ ɑɟɛɵɲɟɜɚ
½ 1 n ° 1 n lim P ® ¦ X i ¦ M X i H ¾ 1 , n of ni1 ¿ ¯° n i 1 ɢɥɢ
m ½ lim P ® p H ¾ 1 , ɱ.ɬ.ɞ. n of ¿ ¯n
7.2. ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɤɢ ɡɚɤɨɧɚ ɛɨɥɶɲɢɯ ɱɢɫɟɥ ɭɬɜɟɪɠɞɚɥɢ, ɱɬɨ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɫɯɨɞɹɬɫɹ ɩɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɤ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦ. Ⱦɪɭɝɚɹ ɝɪɭɩɩɚ ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɯ ɬɟɨɪɟɦ – ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɚɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ (ɐɉɌ) – ɭɫɬɚɧɚɜɥɢɜɚɟɬ ɜɢɞ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɨɝɨɜɚɪɢɜɚɹ ɭɫɥɨɜɢɹ ɩɪɢɦɟɧɢɦɨɫɬɢ. ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɜɧɚɱɚɥɟ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɣ ɜɚɪɢɚɧɬ ɐɉɌ. Ɍ
ɉɭɫɬɶ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X 1 ,X 2 ,...,X n ,... ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ, ɢɦɟɸɬ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ, ɤɨɧɟɱɧɵɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ M X i a ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ D X i V 2 . Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɣ (ɬ.ɟ., ɰɟɧɬɪɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɢ ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɨɣ) ɫɭɦɦɵ ɷɬɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ Sn ɩɪɢ nof ɫɬɪɟɦɢɬɫɹ ɤ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ: n
Sn
FSn x
§ n · Xi M ¨ ¦ Xi ¸ ¦ i 1 ©i1 ¹ § n · D¨ ¦ Xi ¸ ©i1 ¹
P Sn x o FN x,0,1 , n of
n
¦X
i
na
i 1
V n
,
FN x,0,1
1 2S
x
³e
t2 2
dt .
f
ɗɬɨɬ ɮɚɤɬ ɜɵɪɚɠɚɸɬ ɢ ɢɧɵɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ: ɟɫɥɢ ɡɚɞɚɧɚ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɫ.ɜ. X 1 ,X 2 ,...,X n ,... ɫ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɦɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɨɠɢɞɚɧɢɹɦɢ ɢ ɞɢɫ-
79
ɉɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɬɟɨɪɟɦɵ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ
ɩɟɪɫɢɹɦɢ, ɬɨ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɱɚɫɬɢɱɧɵɯ ɫɭɦɦ ɷɬɨɣ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɚ. ɍɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɐɉɌ ɨ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɚɫɬɢ ɱɚɫɬɢɱɧɵɯ ɫɭɦɦ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɢ ɩɪɢ ɛɨɥɟɟ ɲɢɪɨɤɢɯ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɹɯ. Ɉɞɧɨ ɢɡ ɨɛɨɛɳɟɧɢɣ, ɧɟ ɬɪɟɛɭɸɳɟɟ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɫɬɢ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ – ɬɟɨɪɟɦɚ Ʌɹɩɭɧɨɜɚ. Ɍ
ɉɭɫɬɶ – X 1 ,X 2 ,...,X n ,... ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɫ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦɢ
D1
ɨɠɢɞɚɧɢɹɦɢ
M X1 ,
m1
m2 ,…,
mn ,… ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹɦɢ
D X 1 , D2 …, Dn ,…. Ɂɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɭɦɦɵ Yn
n
¦X
i
ɧɟɨɝ-
i 1
ɪɚɧɢɱɟɧɧɨ ɩɪɢɛɥɢɠɚɟɬɫɹ ɤ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɫ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɠɢɞɚɧɢɟɦ n
M
¦M
¦D
i
i
n
i
i
ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɟɣ D
bk Q 3 X k M X k mk
3
n
, ɟɫɥɢ
¦b
k
k 1
n
½ ® ¦ Dk ¾ ¯k 1 ¿
3 2
o 0 , ɝɞɟ n of
– ɬɪɟɬɢɣ ɚɛɫɨɥɸɬɧɵɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ
ɜɟɥɢɱɢɧɵ X k .
!
1). Ⱦɥɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɡɚɤɨɧɚ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɢ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ:
f ( x)
1 e 2SV
( x a )2 2V 2
x
F ( x)
,
³
f ( x)dx
f
1 2SV
x
³e
( x a )2 2V 2
dx .
f
2). ȿɫɥɢ ɞɥɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɡɚɤɨɧɚ a 0 , ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɵɦ, ɟɫɥɢ V 0 – ɰɟɧɬɪɢɪɨɜɚɧɧɵɦ. ɇɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɨɟ ɢ ɰɟɧɬɪɢɪɨɜɚɧɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɦ. 2
f x M x
1 x2 e , F x 2S
Ɏ x
1 2S
2
x
³e
f
x 1 e 2 dx – ɮɭɧɤɰɢɹ Ʌɚɩɥɚɫɚ. ³ 2S 0 x
ɝɞɟ
1 Ɏ x 2
7.2.1. Ɏɨɪɦɭɥɚ Ɇɭɚɜɪɚ-Ʌɚɩɥɚɫɚ ɤɚɤ ɱɚɫɬɧɵɣ ɫɥɭɱɚɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɣ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨɣ ɬɟɨɪɟɦɵ
x2 2
dx ,
80
Ʌɟɤɰɢɹ 7
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɯɟɦɭ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ: n – ɨɩɵɬɨɜ, ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɪ ɦɨɠɟɬ ɩɨɹɜɢɬɶɫɹ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ. ɉɭɫɬɶ Xi – ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɫɜɹɡɚɧɧɚɹ ɫ ɩɨɹɜɥɟɧɢɟɦ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ (ɢɧɞɢɤɚɬɨɪ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ): n 0, A ɧɟ ɧɚɫɬɭɩɢɥɨ, Yn ¦ X i – ɱɢɫɥɨ ɩɨɹɜɥɟɧɢɣ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɜ n ɢɫɩɵXi ® i ¯1, A ɧɚɫɬɭɩɢɥɨ, ɬɚɧɢɹɯ. ȼɟɥɢɱɢɧɚ Yn ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ Pn m Cnm p m q nm , m 0,1,2 ,...,n . ɋɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ
npq . ȼɜɟɞɟɦ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɭɸ (ɰɟɧɬɪɢɪɨɜɚɧɧɭɸ Yn np ɢ ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɭɸ) ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ Z n . ɉɪɨɜɟɪɢɦ ɫɬɚɧɞɚɪɬnpq ɧɨɫɬɶ M Yn
np , ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ D Yn
M Z n
0,D Z n 1 :
§ Y np · M Zn M ¨ n ¨ npq ¸¸ © ¹ D Zn
§ Y np · D¨ n ¨ npq ¸¸ © ¹
M Yn M np npq D Yn npq
np np npq
0,
npq 1. npq
o N 0,1 , ɬ.ɟ., ȼ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɣ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨɣ ɬɟɨɪɟɦɨɣ Z n n of ɤ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɫ mx 0 ɢ V 1 , ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫ2
ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɪɚɜɧɚ ɮɭɧɤɰɢɢ Ƚɚɭɫɫɚ f x M x
1 x2 e , ɚ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫ2S
ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ ɱɟɪɟɡ ɮɭɧɤɰɢɸ Ʌɚɩɥɚɫɚ
F x
1 2S
x
³
e
x2 2
dx
f
1 Ɏ x . 2
ɇɚɣɞɟɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɜ ɫɟɪɢɢ ɢɡ n ɨɩɵɬɨɜ ɱɢɫɥɨ ɭɫɩɟɯɨɜ m ɛɭɞɟɬ ɥɟɠɚɬɶ ɦɟɠɞɭ k1 ɢ k2 :
Pn k1 d m d k2
P k1 np d m np d k2 np
§ k np m np k2 np · P¨ 1 d d ¸¸ . ¨ npq npq npq © ¹
81
ɉɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɬɟɨɪɟɦɵ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ
ɋɨɛɵɬɢɹ, ɫɬɨɹɳɢɟ ɜ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚɯ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ, ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɵ, ɜ ɩɨɫɥɟɞɧɟɦ Yn np . ɋɱɢɬɚɹ, ɱɬɨ ɫɬɨɹɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Z n npq
FZn x | FN x , § k np m np k2 np · d d P¨ 1 ¸¸ ¨ npq npq npq © ¹
§ k np · F FZ n ¨ 2 ¨ npq ¸¸ Zn © ¹
§ k1 np · ¨¨ ¸¸ | npq © ¹
§ k np · § k np · § k np · § k np · | FN ¨ 2 FN ¨ 1 Ɏ¨ 1 Ɏ¨ 2 . ¸ ¸ ¸ ¨ npq ¸ ¨ npq ¸ ¨ npq ¸ ¨ npq ¸¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ ɬ.ɟ. ɩɨɥɭɱɟɧɚ ɢɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ Ɇɭɚɜɪɚ-Ʌɚɩɥɚɫɚ. ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɫɭɞɹɬ ɨ ɡɚɦɟɧɟ ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦ ɩɨ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɸ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ:
np 3 npq ! 0, np 3 npq n . ȿɫɥɢ ɨɧɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɵ, ɡɚɦɟɧɚ ɩɪɚɜɨɦɟɪɧɚ.
ɉɪɢɦɟɪ: ɋɬɚɧɨɤ ɫ ɑɉɍ ɞɟɥɚɟɬ ɡɚ ɫɦɟɧɭ n =1000 ɢɡɞɟɥɢɣ, ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ 2% ɞɟɮɟɤɬɨɜ. ɇɚɣɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɡɚ ɫɬɚɧɤɨɦ ɛɭɞɟɬ ɢɡɝɨɬɨɜɥɟɧɨ ɧɟ ɦɟɧɟɟ 970 ɧɟ ɞɟɮɟɤɬɧɵɯ ɢɡɞɟɥɢɣ. Ɋɟɲɟɧɢɟ: p 0,98 – ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɢɡɝɨɬɨɜɥɟɧɢɹ ɞɨɛɪɨɤɚɱɟɫɬɜɟɧɧɵɯ ɢɡɞɟɥɢɣ, Y – ɱɢɫɥɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɯ ɢɡɞɟɥɢɣ, n=1000; ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɭɫɥɨɜɢɣ: M Y
np
980 ; V y V >Y @
npq
4.43 ,
np 3V y ! 0 , np 3V y 1000 . ɉɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɦɨɠɧɨ.
f Y t 970
§ 970 980 · P 970 d Y f ) f ) ¨ ¸ 0,988 . © 4,43 ¹
ɗɅȿɆȿɇɌɕ ɆȺɌȿɆȺɌɂɑȿɋɄɈɃ ɋɌȺɌɂɋɌɂɄɂ
Ʌɟɤɰɢɹ 8 ɈɋɇɈȼɇɕȿ ɁȺȾȺɑɂ ɆȺɌȿɆȺɌɂɑȿɋɄɈɃ ɋɌȺɌɂɋɌɂɄɂ. ȼɕȻɈɊɄɂ ɂ ɂɏ ɏȺɊȺɄɌȿɊɂɋɌɂɄɂ ȼ ɥɟɤɰɢɢ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɸɬɫɹ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ, ɨɩɢɫɵɜɚɸɬɫɹ ɟɟ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɡɚɞɚɱɢ, ɪɚɡɛɢɪɚɸɬɫɹ ɫɩɨɫɨɛɵ ɩɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɶɧɨɣ ɨɛɪɚɛɨɬɤɢ ɞɚɧɧɵɯ ɞɥɹ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɢɯ ɜ ɨɛɨɡɪɢɦɨɦ ɜɢɞɟ.
8.1. Ɂɚɞɚɱɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ 8.2. Ƚɟɧɟɪɚɥɶɧɚɹ ɢ ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ. ɋɩɨɫɨɛɵ ɨɬɛɨɪɚ 8.3. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɵɛɨɪɤɢ 8.4. ɉɨɥɢɝɨɧ ɢ ɝɢɫɬɨɝɪɚɦɦɚ 8.5. ɗɦɩɢɪɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 8.6. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɵɛɨɪɤɢ 8.7. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ
8.1. Ɂɚɞɚɱɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ
Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ – ɪɚɡɞɟɥ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ, ɬɟɫɧɨ ɫɜɹɡɚɧɧɵɣ ɫ ɬɟɨɪɢɟɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɢɡɭɱɚɟɬ ɦɟɬɨɞɵ ɫɛɨɪɚ ɢ ɚɧɚɥɢɡɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɦɚɫɫɨɜɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɣ ɫ ɰɟɥɶɸ ɜɵɹɜɥɟɧɢɹ ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɳɢɯ ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɨɫɬɟɣ. Ɋɚɡɥɢɱɢɟ ɦɟɠɞɭ ɬɟɨɪɢɟɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɨɣ ɦɨɠɧɨ ɩɨɹɫɧɢɬɶ ɩɪɨɫɬɵɦ ɩɪɢɦɟɪɨɦ. Ɍɢɩɢɱɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ – ɩɨ ɢɡɜɟɫɬɧɵɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɹɦ ɩɪɨɫɬɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɛɨɥɟɟ ɫɥɨɠɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɨɫɬɭɸ ɦɨɞɟɥɶ – ɥɨɜɥɹ ɪɵɛɵ ɧɚ ɭɞɨɱɤɭ. ɉɭɫɬɶ ɢɡɜɟɫɬɧɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɜɵɥɨɜɢɬɶ ɨɤɭɧɹ, ɫɤɚɠɟɦ, p 0,2 . Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ «ɫɪɟɞɢ 20 ɩɨɣɦɚɧɧɵɯ ɪɵɛ ɨɤɚɡɚɥɨɫɶ 5 ɨɤɭɧɟɣ»? Ɍɢɩɢɱɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ – ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɨɰɟɧɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ ɢɥɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ȼ ɬɨɥɶɤɨ ɱɬɨ ɭɩɨɦɹɧɭɬɨɣ ɦɨɞɟɥɢ – ɥɨɜɥɹ ɪɵɛɵ – ɡɚɞɚɱɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɧɚ ɬɚɤ: ɫɪɟɞɢ 20 ɩɨɣɦɚɧɧɵɯ ɪɵɛ ɨɤɚɡɚɥɨɫɶ 5 ɨɤɭɧɟɣ. ɑɬɨ ɦɨɠɧɨ ɫɤɚɡɚɬɶ ɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɩɨɣɦɚɬɶ ɨɤɭɧɹ ɢ ɧɚɫɤɨɥɶɤɨ ɷɬɨɣ ɨɰɟɧɤɟ ɦɨɠɧɨ ɞɨɜɟɪɹɬɶ?
Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. ȼɵɛɨɪɤɢ ɢ ɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ
83
ɉɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɥɸɛɨɣ ɡɚɞɚɱɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɢɦɟɟɬɫɹ ɞɜɚ ɢɫɬɨɱɧɢɤɚ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɢ. ɉɟɪɜɵɣ ɢɫɬɨɱɧɢɤ – ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ (ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɨɜ), ɩɪɢɱɟɦ ɩɪɨɰɟɫɫ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɦɨɠɟɬ ɤɨɪɪɟɤɬɢɪɨɜɚɬɶɫɹ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɩɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɶɧɵɯ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ (ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɣ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ). ȼɬɨɪɨɣ ɢɫɬɨɱɧɢɤ – ɚɩɪɢɨɪɧɚɹ (ɞɨɨɩɵɬɧɚɹ) ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɹ ɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚɯ ɢɡɭɱɚɟɦɨɝɨ ɨɛɴɟɤɬɚ, ɧɚɤɨɩɥɟɧɧɚɹ ɤ ɬɟɤɭɳɟɦɭ ɦɨɦɟɧɬɭ. ɗɬɚ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɹ ɨɬɪɚɠɚɟɬɫɹ ɜ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɦɨɞɟɥɢ, ɜɵɛɢɪɚɟɦɨɣ ɩɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɡɚɞɚɱɢ. ɋɥɟɞɭɟɬ ɡɚɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɫɬɟɩɟɧɶ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨɫɬɢ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹ ɚɩɪɢɨɪɧɨɣ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɢ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɤɨɦɩɟɬɟɧɬɧɨɫɬɢ ɢ ɞɨɛɪɨɫɨɜɟɫɬɧɨɫɬɢ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨɝɨ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɹ ɢ ɧɟɜɟɪɧɵɟ ɢɫɯɨɞɧɵɟ ɞɨɩɭɳɟɧɢɹ ɦɨɝɭɬ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ ɢɫɤɚɡɢɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ. ɉɟɪɟɱɢɫɥɢɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ, ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɱɚɫɬɨ ɜɫɬɪɟɱɚɸɳɢɟɫɹ ɜ ɟɟ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹɯ. x ɉɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɶɧɚɹ ɨɛɪɚɛɨɬɤɚ ɞɚɧɧɵɯ – ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɢɥɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ, ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɢɯ ɜ ɨɛɨɡɪɢɦɨɦ ɜɢɞɟ. x Ɉɰɟɧɤɚ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ (ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɫɨɛɵɬɢɹ, ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɫɬɟɩɟɧɢ ɜɡɚɢɦɨɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɞɜɭɯ ɢɥɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɢ ɬ.ɩ.). x ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ (ɨ ɜɢɞɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɫɨɛɵɬɢɹ ɢ ɬ.ɩ.), ɬ.ɟ. ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɟ ɦɟɪɵ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɢ ɨɰɟɧɤɢ, ɫɞɟɥɚɧɧɨɣ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɨɩɵɬɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ. x ɍɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɟ ɮɨɪɦɵ ɢ ɫɬɟɩɟɧɢ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ. ɋɨɜɪɟɦɟɧɧɚɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɤɚɤ ɬɟɨɪɢɹ ɩɪɢɧɹɬɢɹ ɪɟɲɟɧɢɣ ɜ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɢ. Ɉɧɚ ɜɤɥɸɱɚɟɬ ɜ ɫɟɛɹ ɬɚɤɠɟ ɦɟɬɨɞɵ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɢɫɥɚ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɯ ɞɥɹ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɧɚɞɟɠɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ, ɞɨ ɧɚɱɚɥɚ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɣ (ɩɥɚɧɢɪɨɜɚɧɢɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ) ɢɥɢ ɜ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɣ (ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ), ɱɬɨ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɭɠɟ ɧɚ ɷɬɚɩɟ ɫɛɨɪɚ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɢ ɭɦɟɧɶɲɢɬɶ ɨɛɴɟɦ ɫɨɛɢɪɚɟɦɵɯ ɞɚɧɧɵɯ ɛɟɡ ɫɧɢɠɟɧɢɹ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɢ ɨɰɟɧɨɤ.
8.2. Ƚɟɧɟɪɚɥɶɧɚɹ ɢ ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ. ɋɩɨɫɨɛɵ ɨɬɛɨɪɚ ȿɫɥɢ ɧɭɠɧɨ ɢɡɭɱɢɬɶ, ɤɚɤ ɜ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɯ ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧ ɧɟɤɨɬɨɪɵɣ ɩɪɢɡɧɚɤ, ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɳɢɣ ɷɬɢ ɨɛɴɟɤɬɵ, ɧɟ ɜɫɟɝɞɚ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɤɚɠɞɵɣ ɨɛɴɟɤɬ (ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɫɥɢɲɤɨɦ ɦɧɨɝɨ, ɩɪɢ ɩɪɨɜɟɪɤɟ ɨɛɴɟɤɬ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɭɧɢɱɬɨɠɟɧ, ɢ ɬ.ɩ.). ȼ ɷɬɢɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɨɬɛɢɪɚɸɬ ɱɚɫɬɶ ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɢ ɩɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦ ɨɬɨɛɪɚɧɧɵɯ ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɫɭɞɹɬ ɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚɯ ɜɫɟɯ ɨɛɴɟɤɬɨɜ. Ɉ
ȼɵɛɨɪɤɨɣ ɢɥɢ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶɸ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɫɥɭɱɚɣɧɨ ɨɬɨɛɪɚɧɧɵɯ ɨɛɴɟɤɬɨɜ.
84
Ʌɟɤɰɢɹ 8
Ɉ
Ƚɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶɸ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɢɫɯɨɞɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɨɛɴɟɤɬɨɜ, ɢɡ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɜɵɛɨɪɤɚ.
Ɉ
Ɉɛɴɟɦ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ (ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɢɥɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ) – ɱɢɫɥɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɞɚɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ.
!
Ⱦɥɹ ɭɩɪɨɳɟɧɢɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɩɪɢ ɨɱɟɧɶ ɛɨɥɶɲɨɦ ɨɛɴɟɦɟ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɱɚɫɬɨ ɩɪɢɧɢɦɚɸɬ, ɱɬɨ ɟɟ ɨɛɴɟɦ ɛɟɫɤɨɧɟɱɟɧ. ɉɨɞɨɛɧɨɟ ɞɨɩɭɳɟɧɢɟ ɨɫɧɨɜɚɧɨ ɧɚ ɡɚɤɨɧɟ ɛɨɥɶɲɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ, ɢɦ ɜɧɨɫɢɦɚɹ, ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɧɟ ɫɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɚ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɯ ɜɵɛɨɪɤɢ. ɉɪɢ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɟɧɢɢ ɨɬɛɨɪɚ ɜɨɡɦɨɠɧɵ ɞɜɚ ɫɩɨɫɨɛɚ.
Ɉ
ȼɵɛɨɪɤɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɜɬɨɪɧɨɣ, ɟɫɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨ ɨɬɨɛɪɚɧɧɵɣ ɞɥɹ ɨɛɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɨɛɴɟɤɬ ɜɨɡɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɭɸ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɩɟɪɟɞ ɨɬɛɨɪɨɦ ɫɥɟɞɭɸɳɟɝɨ ɨɛɴɟɤɬɚ. ȼ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɜɵɛɨɪɤɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɛɟɫɩɨɜɬɨɪɧɨɣ.
!
ɉɪɢ ɨɱɟɧɶ ɛɨɥɶɲɨɦ ɨɛɴɟɦɟ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɢ ɧɟɛɨɥɶɲɨɦ ɨɛɴɟɦɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɪɚɡɥɢɱɢɟ ɦɟɠɞɭ ɩɨɜɬɨɪɧɨɣ ɢ ɛɟɫɩɨɜɬɨɪɧɨɣ ɜɵɛɨɪɤɚɦɢ ɫɬɢɪɚɟɬɫɹ.
ɑɬɨɛɵ ɩɨ ɞɚɧɧɵɦ ɜɵɛɨɪɤɢ ɦɨɠɧɨ ɛɵɥɨ ɫɭɞɢɬɶ ɨ ɜɫɟɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ, ɱɬɨɛɵ ɱɥɟɧɵ ɜɵɛɨɪɤɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɥɢ ɟɟ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨ. Ɍɚɤɚɹ ɜɵɛɨɪɤɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɟɩɪɟɡɟɧɬɚɬɢɜɧɨɣ (ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɟɥɶɧɨɣ). Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ, ɱɬɨɛɵ ɜɵɛɨɪɤɚ ɛɵɥɚ ɪɟɩɪɟɡɟɧɬɚɬɢɜɧɨɣ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵ: 1) ɫɥɭɱɚɣɧɵɣ ɨɬɛɨɪ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, 2) ɪɚɜɧɨɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɜ ɜɵɛɨɪɤɭ ɥɸɛɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, 3) ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɨɣ ɨɛɴɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ. Ⱦɥɹ ɨɛɟɫɩɟɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɫɬɢ ɨɬɛɨɪɚ ɢ ɪɚɜɧɨɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɜ ɜɵɛɨɪɤɭ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬɫɹ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɦɟɬɨɞɵ ɨɬɛɨɪɚ. ȿɫɥɢ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɢɡɜɥɟɤɚɸɬɫɹ ɩɨ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, ɝɨɜɨɪɹɬ ɨ ɩɪɨɫɬɨɦ ɫɥɭɱɚɣɧɨɦ ɨɬɛɨɪɟ (ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɨɜɬɨɪɧɵɦ ɢ ɛɟɫɩɨɜɬɨɪɧɵɦ). ȿɫɥɢ ɢɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɪɚɡɛɢɜɚɸɬɫɹ ɧɚ ɝɪɭɩɩɵ, «ɫɟɪɢɢ», ɫɟɪɢɹ ɨɬɛɢɪɚɟɬɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨ ɢ ɩɨɞɜɟɪɝɚɟɬɫɹ ɫɩɥɨɲɧɨɣ ɩɪɨɜɟɪɤɟ, ɨɬɛɨɪ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɟɪɢɣɧɵɦ. Ʉ ɬɚɤɨɦɭ ɩɪɢɛɟɝɚɸɬ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɟɫɥɢ ɩɪɨɞɭɤɰɢɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɛɨɥɶɲɢɦ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨɦ ɫɬɚɧɤɨɜ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɢɡɧɨɲɟɧɧɨɫɬɢ: ɫɥɭɱɚɣɧɨ ɨɬɛɢɪɚɟɬɫɹ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɫɬɚɧɤɨɜ ɢ ɢɯ ɩɪɨɞɭɤɰɢɹ ɩɨɞɜɟɪɝɚɟɬɫɹ ɫɩɥɨɲɧɨɣ ɩɪɨɜɟɪɤɟ. Ɍɢɩɢɱɟɫɤɢɣ ɨɬɛɨɪ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ: ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɚɹ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɚ «ɬɢɩɢɱɟɫɤɢɟ» ɱɚɫɬɢ, ɢɡ ɤɚɠɞɨɣ ɱɚɫɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɣ ɨɬɛɨɪ. ɉɨɞɨɛɧɵɣ ɫɩɨɫɨɛ ɨɬɛɨɪɚ ɩɪɢɦɟɧɹɟɬɫɹ, ɟɫɥɢ ɫɬɚɧɤɢ, ɩɪɨɢɡɜɨɞɹɳɢɟ ɩɪɨɞɭɤɰɢɸ, ɢɦɟɸɬ ɪɚɡɧɭɸ ɫɬɟɩɟɧɶ ɢɡɧɨɲɟɧɧɨɫɬɢ: ɢɡ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɫɬɚɧɤɨɜ ɤɚɠɞɨɣ ɝɪɭɩɩɵ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɵɛɨɪɤɚ, ɱɬɨ ɝɚɪɚɧɬɢɪɭɟɬ ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɢɟ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɣ ɜɵɛɨɪɤɟ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɤɚɠɞɨɣ ɝɪɭɩɩɵ.
Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. ȼɵɛɨɪɤɢ ɢ ɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ
85
Ɇɟɯɚɧɢɱɟɫɤɢɣ ɨɬɛɨɪ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ ɱɟɪɟɡ ɪɟɝɭɥɹɪɧɵɟ ɢɧɬɟɪɜɚɥɵ, ɫɤɚɠɟɦ, ɩɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɤɚɠɞɚɹ 20-ɹ ɞɟɬɚɥɶ ɢ ɬ.ɩ. Ⱦɥɹ ɨɛɟɫɩɟɱɟɧɢɹ ɪɟɩɪɟɡɟɧɬɚɬɢɜɧɨɫɬɢ ɩɪɢ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɦ ɨɬɛɨɪɟ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦ ɤɨɧɬɪɨɥɶ ɩɟɪɢɨɞɢɱɧɨɫɬɢ: ɟɫɥɢ ɧɚ ɫɬɚɧɤɟ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢ ɡɚɦɟɧɹɟɬɫɹ ɪɟɠɭɳɢɣ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬ ɢ ɩɟɪɢɨɞ ɨɬɛɨɪɚ ɞɟɬɚɥɟɣ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɩɟɪɢɨɞɨɦ ɡɚɦɟɧɵ, ɬɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨ, ɱɬɨ ɨɬɛɢɪɚɬɶɫɹ ɛɭɞɭɬ ɞɟɬɚɥɢ, ɨɛɪɚɛɨɬɚɧɧɵɟ ɬɨɥɶɤɨ ɡɚɬɭɩɢɜɲɢɦɫɹ ɢɥɢ ɬɨɥɶɤɨ ɫɜɟɠɢɦ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɨɦ. ɂ ɜ ɬɨɦ, ɢ ɜ ɞɪɭɝɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɨɰɟɧɬ ɛɪɚɤɚ ɜ ɜɵɛɨɪɤɟ ɛɭɞɟɬ ɨɬɥɢɱɚɬɶɫɹ ɨɬ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɩɨ ɜɫɟɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ. ȼɨɡɦɨɠɧɵ ɬɚɤɠɟ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɢ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɨɬɛɨɪɚ.
8.3. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɉɭɫɬɶ ɢɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɢɡɜɥɟɱɟɧɚ ɜɵɛɨɪɤɚ ɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɹɬɫɹ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɡɚ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ X, ɩɪɢɱɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟ x1 ɧɚɛɥɸɞɚɥɨɫɶ n1 ɪɚɡ, ɡɧɚɱɟɧɢɟ x2 – n2 ɪɚɡ,…, ɡɧɚɱɟɧɢɟ xk – nk ɪɚɡ,
k
¦n
i
i 1
n – ɨɛɴɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ.
ȼɨɡɦɨɠɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ x1 , x2 ,…, xk ɩɪɢɧɹɬɨ ɧɚɡɵɜɚɬɶ ɜɚɪɢɚɧɬɚɦɢ, ɚ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɜɚɪɢɚɧɬ, ɡɚɩɢɫɚɧɧɭɸ ɜ ɩɨɪɹɞɤɟ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɹ – ɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɵɦ ɪɹɞɨɦ. ɑɢɫɥɚ n1 , n2 ,…, nk ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ, ɚ wi k
§
ni n
·
– ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ ¨ ¦ wi 1¸ . ©i
1
¹
ɉɟɪɟɱɟɧɶ ɜɚɪɢɚɧɬ ɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɢɦ ɱɚɫɬɨɬ (ɢɥɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɚɫɬɨɬ) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ ɢɥɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɦ ɪɹɞɨɦ. Ɉɛɵɱɧɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɣ ɪɹɞ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ ɬɚɛɥɢɰɵ: X
x1
x2
… xi … xk
ni
n1
n2
… ni … nk
X
x1
x2
… xi
wi
w1
w2
… wi … wk
ɢɥɢ
ɉɪɢɦɟɪ:
… xk
ɉɪɢ 100 ɩɨɞɛɪɚɫɵɜɚɧɢɹɯ ɢɝɪɚɥɶɧɨɣ ɤɨɫɬɢ ɧɚ ɜɟɪɯɧɟɣ ɝɪɚɧɢ ɟɞɢɧɢɰɚ ɜɵɩɚɥɚ m1 22 ɪɚɡɚ, ɞɜɨɣɤɚ - m2 16 , ɬɪɨɣɤɚ - m3 13 , ɱɟɬɜɟɪɤɚ - m4 24 , ɩɹɬɟɪɤɚ - m5 12 ɢ, ɧɚɤɨɧɟɰ, ɲɟɫɬɟɪɤɚ - m6 13 ɪɚɡ. ɋɱɢɬɚɹ ɱɢɫɥɨ ɜɵɩɚɜɲɢɯ ɨɱɤɨɜ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ, ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɞɥɹ ɧɟɟ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɣ ɪɹɞ.
86
Ʌɟɤɰɢɹ 8
X ni wi
1 22
2 16
3 13
4 24
5 12
6 13
0,22 0,16 0,13 0,24 0,12 0,13
ȼ ɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɟɫɥɢ ɱɢɫɥɨ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɜɟɥɢɤɨ, ɢɥɢ ɟɫɬɶ ɨɫɧɨɜɚɧɢɹ ɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɢ ɦɨɠɟɬ ɩɪɢɧɹɬɶ ɥɸɛɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɡ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɚ, ɫɬɪɨɹɬ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɣ ɪɹɞ. Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɜɚɪɢɚɧɬ ɝɪɭɩɩɢɪɭɸɬ ɩɨ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɚɦ (ɨɛɵɱɧɨ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɣ ɞɥɢɧɵ), ɜ ɩɟɪɜɨɣ ɫɬɪɨɤɟ ɭɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɨɦɟɠɭɬɨɤ, ɜɨ ɜɬɨɪɨɣ – ɱɢɫɥɨ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ, ɩɨɩɚɜɲɢɯ ɜ ɞɚɧɧɵɣ ɩɪɨɦɟɠɭɬɨɤ. Ⱦɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɣ ɞɥɢɧɵ ɱɚɫɬɢɱɧɨɝɨ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɚ ɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ ɋɬɟɪɞɠɟɫɚ. ɉɭɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɪɚɫɩɨɥɚɝɚɸɬɫɹ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ > a,b@ , ɨɛɴɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ – n . ba ' Ⱦɥɢɧɚ ɱɚɫɬɢɱɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ , 1 log 2 n ɱɢɫɥɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɨɜ k 1 log 2 n (ɛɟɪɟɬɫɹ ɛɥɢɠɚɣɲɟɟ ɤ log 2 n ɰɟɥɨɟ), ' ɩɟɪɜɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɧɚɱɢɧɚɟɬɫɹ ɜ ɬɨɱɤɟ xmin a . 2 ɉɪɢɦɟɪ:
ɉɭɫɬɶ ɢɡɦɟɪɟɧ ɪɨɫɬ 50 ɫɥɭɱɚɣɧɨ ɜɵɛɪɚɧɧɵɯ ɱɟɥɨɜɟɤ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɞɨ 1 ɫɦ (ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɧɢɠɟ). 175, 179, 170, 163, 159, 170, 181, 153, 163, 167, 171, 173, 178, 170, 183, 169, 168, 170, 188, 176.
171, 170, 152, 168, 172, 179, 172, 170, 186, 180, 181, 180, 160, 165, 158,
160, 167, 165, 167, 156, 187, 178, 175, 168, 168, 173, 160, 167, 172, 180,
Ɋɨɫɬ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ, ɧɨ ɜ ɫɢɥɭ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɢ ɢɡɦɟɪɟɧɢɣ ɥɸɛɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɷɬɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɛɭɞɭɬ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɬɶ ɧɟɤɨɬɨɪɨɦɭ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɦɭ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ. Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɪɨɫɬɚ ɜ ɜɵɛɨɪɤɟ ɢɡɦɟɧɹɸɬɫɹ ɨɬ 152 ɫɦ ɞɨ 188 ɫɦ, ɬ.ɟ., ɩɪɢɧɢɦɚɸɬ 37 ɡɧɚɱɟɧɢɣ, ɨɛɴɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ – 50 ɱɟɥɨɜɟɤ. ɇɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɞɚɧɧɨɣ ɜɵɛɨɪɤɢ ɜ ɬɚɤɨɦ ɜɢɞɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɡɚɦɟɬɧɵɟ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɵɟ ɬɪɭɞɧɨɫɬɢ. ɍɩɨɪɹɞɨɱɢɦ ɞɚɧɧɵɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɩɨ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɸ (ɪɚɧɠɢɪɭɟɦ ɜɵɛɨɪɤɭ): 152, 153, 156, 158, 159, 167, 168, 168, 168, 168, 172, 172, 173, 173, 175, 181, 183, 186, 187, 188.
160, 160, 160, 163, 163, 169, 170, 170, 170, 170, 175, 176, 178, 178, 179,
165, 165, 167, 167, 167, 170, 170, 171, 171, 172, 179, 180, 180, 180, 181,
ɉɨɫɬɪɨɢɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɣ ɪɹɞ.
'
188 152 36 | | 6,36 | 6 , k | 6, 644 | 7 , xmin 1 log 2 50 6,644
152 3 149 .
87
Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. ȼɵɛɨɪɤɢ ɢ ɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ
X
>149 ,155 >155,161 >161,167 >167 ,173 >173,179 >179 ,185 >185,191@
ni
2
6
4
20
7
8
3
wi
0,04
0,12
0,08
0,4
0,14
0,16
0,06
8.4. ɉɨɥɢɝɨɧ ɢ ɝɢɫɬɨɝɪɚɦɦɚ Ⱦɥɹ ɧɚɝɥɹɞɧɨɫɬɢ ɱɚɫɬɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɟ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɢɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɪɹɞɨɜ: ɞɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɝɨ ɪɹɞɚ - ɩɨɥɢɝɨɧ, ɞɥɹ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɝɨ ɪɹɞɚ ɝɢɫɬɨɝɪɚɦɦɭ. Ɉ
ɉɨɥɢɝɨɧ ɱɚɫɬɨɬ (ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɚɫɬɨɬ), ɟɫɬɶ ɥɨɦɚɧɚɹ, ɨɬɪɟɡɤɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɨɟɞɢɧɹɸɬ ɬɨɱɤɢ x1 ,n1 , x2 ,n2 ,…, xi ,ni ,… ɢɥɢ x1 ,w1 , x2 ,w2 ,…,
xi ,wi ,… . Ɉ
Ƚɢɫɬɨɝɪɚɦɦɚ ɱɚɫɬɨɬ (ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɚɫɬɨɬ) ɟɫɬɶ ɫɬɭɩɟɧɱɚɬɚɹ ɮɢɝɭɪɚ, ɫɨɫɬɨɹɳɚɹ ɢɡ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ, ɨɫɧɨɜɚɧɢɹɦɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɥɭɠɚɬ ɱɚɫɬɢɱɧɵɟ ni § wi · , ¨ hi ɢɧɬɟɪɜɚɥɵ ɞɥɢɧɨɣ 'xi xi 1 xi ɢ ɜɵɫɨɬɚɦɢ hi ¸ . ɉɥɨ'xi © 'xi ¹ ɳɚɞɶ ɜɫɟɣ ɝɢɫɬɨɝɪɚɦɦɵ ɱɚɫɬɨɬ ɪɚɜɧɚ n (ɨɛɴɟɦɭ ɜɵɛɨɪɤɢ), ɚ ɩɥɨɳɚɞɶ ɜɫɟɣ ɝɢɫɬɨɝɪɚɦɦɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɚɫɬɨɬ ɪɚɜɧɚ 1.
ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɚɯ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɩɨɥɢɝɨɧ ɱɚɫɬɨɬ ɢ ɝɢɫɬɨɝɪɚɦɦɚ ɱɚɫɬɨɬ ɞɥɹ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ ɩɪɢɦɟɪɨɜ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɹɞɚ ɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɝɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɹɞɚ.
88
Ʌɟɤɰɢɹ 8
8.5. ɗɦɩɢɪɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɉɭɫɬɶ ɡɚɞɚɧɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X. Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɟɪɟɡ nx ɱɢɫɥɨ ɜɚɪɢɚɧɬ, ɦɟɧɶɲɢɯ x , n – ɨɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ ɧɚɛɥɸɞɟn ɧɢɣ (ɨɛɴɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ). Ɉɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɚɹ ɱɚɫɬɨɬɚ ɫɨɛɵɬɢɹ ^ X x` ɪɚɜɧɚ x . ɉɪɢ n n ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ x ɦɟɧɹɟɬɫɹ ɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɚɹ ɱɚɫɬɨɬɚ, ɬ.ɟ., x ɟɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɹ ɨɬ x . n ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɷɬɚ ɮɭɧɤɰɢɹ ɫɬɪɨɢɬɫɹ ɩɨ ɞɚɧɧɵɦ ɨɩɵɬɚ, ɟɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɨɣ (ɨɩɵɬɧɨɣ). ɗɦɩɢɪɢɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ (ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɵɛɨɪɤɢ) F * x ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɚɹ ɱɚɫɬɨɬɚ ɫɨɛɵɬɢɹ ^ X x` , nx F * x , n ɝɞɟ n x – ɱɢɫɥɨ ɜɚɪɢɚɧɬ, ɦɟɧɶɲɢɯ x , n – ɨɛɴɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ. Ɉ Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F x ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X, ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɚɹ ɩɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɈ
!
ɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, ɬ.ɟ., ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ ^ X x` . ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɚɹ ɢ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɟɞɢɧɨɨɛɪɚɡɧɨ (ɧɨ ɩɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɹɦ: ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɚɹ – ɩɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ, ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɚɹ – ɩɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ), ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɵ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ( F * x – ɧɟɭɛɵɜɚɸɳɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, 0 d F * x d 1 , ɟɫɥɢ x1 – ɧɚɢɦɟɧɶɲɚɹ ɜɚɪɢɚɧɬɚ, ɚ xk – ɧɚɢɛɨɥɶɲɚɹ, ɬɨ F * x
0 ɩɪɢ x d x1 ɢ
F * x 1 ɩɪɢ x ! xk ).
Ɍ
ɉɪɢ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɢ ɨɛɴɟɦɚ ɜɵɛɨɪɤɢ ɪɚɡɥɢɱɢɹ ɦɟɠɞɭ F * x ɢ F x ɭɦɟɧɶɲɚɸɬɫɹ. ɋɩɪɚɜɟɞɥɢɜɚ ɫɥɟɞɭɸɳɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ (Ƚɥɢɜɟɧɤɨ). ɉɪɢ ɧɟɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɦ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɢ ɨɛɴɟɦɚ ɜɵɛɨɪɤɢ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F * x ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɩɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɤ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F x :
H ! 0 x R lim P F * x F x H nof
1.
ɉɪɢɦɟɪ: ɉɨɫɬɪɨɢɦ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɥɹ ɪɚɧɟɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɨɝɨ ɩɪɢɦɟɪɚ (ɩɨɞɛɪɚɫɵɜɚɧɢɟ ɤɨɫɬɢ). Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ ɧɢɠɟ. X ni wi
1 22
2 16
3 13
4 24
5 12
6 13
0,22 0,16 0,13 0,24 0,12 0,13
89
Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. ȼɵɛɨɪɤɢ ɢ ɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ
Ⱦɥɹ x d 1 ɭɫɥɨɜɢɟ ^ X x` ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɜɵɩɨɥɧɟɧɨ, ɬ.ɟ., F * x
0 ɩɪɢ
x d 1 ; ɞɥɹ 1 x d 2 ɭɫɥɨɜɢɟ ^ X x` ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɜ 22 ɫɥɭɱɚɹɯ ɢɡ 100, ɬ.ɟ., F * x 0,22 ɩɪɢ 1 x d 2 . ɉɪɨɞɨɥɠɚɹ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ
F * x
0 , °0, 22, ° °0,38, ° ®0,51, °0,75, ° °0,87 , ° ¯1,
x d 1, 1 x d 2, 2 x d 3, 3 x d 4, 4 x d 5, 5 x d 6, x ! 6.
Ⱦɥɹ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɪɢɦɟɪɚ (ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɣ ɪɹɞ) ɦɨɠɧɨ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɝɢɫɬɨɝɪɚɦɦɭ ɤɭɦɭɥɹɬɢɜɧɵɯ (ɧɚɤɨɩɥɟɧɧɵɯ) ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɚɫɬɨɬ, ɬ.ɟ., ɞɨɥɸ ɬɟɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜɵɛɨɪɤɢ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɨɩɚɞɚɸɬ ɜ ɞɚɧɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɢɥɢ ɦɟɧɶɲɟ. Ʉɚɤ ɜɢɞɧɨ ɢɡ ɪɢɫɭɧɤɚ, ɯɨɞ ɷɬɨɣ ɝɢɫɬɨɝɪɚɦɦɵ ɩɨɜɬɨɪɹɟɬ ɯɨɞ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. 1,2 0,94
1
1
0,78
0,8
0,64
0,6 0,4 0,2
0,16
0,24
0,04
0 149—155 155—161 161—167 167—173 173—179 179—185 185—191
90
Ʌɟɤɰɢɹ 8
8.6. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɵɛɨɪɤɢ ɉɭɫɬɶ ɢɦɟɟɬɫɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɚɹ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɨɛɴɟɦɚ N, ɢɡ ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɞɟɥɚɧɚ ɜɵɛɨɪɤɚ ɨɛɴɟɦɚ n. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɣ ɪɹɞ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɭɸɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɚɫɬɨɬɵ ɢɯ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ, ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɨɜɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Xȼ (ɢɫɯɨɞɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɩɟɪɟɨɛɨɡɧɚɱɢɦ ɤɚɤ ɏȽ). Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɷɬɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɜ ɤɚɤɨɣ-ɬɨ ɦɟɪɟ ɛɥɢɡɤɢ, ɧɨ ɧɟ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ. X
x1
x2
x3
x4
… xk
ni
n1
n2
n3
n4
… nk
wi
w1
w2
w3
w4
… wk
Ʉɚɠɞɨɣ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏȽ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɟɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɣ ɚɧɚɥɨɝ – ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Xȼ. ɉɪɢ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɢ ɨɛɴɟɦɚ ɜɵɛɨɪɤɢ n o N ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ Xȼ ɛɭɞɭɬ ɫɯɨɞɢɬɶɫɹ ɩɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɤ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɦ ɏȽ. ɇɚɢɛɨɥɟɟ ɭɩɨɬɪɟɛɢɬɟɥɶɧɵ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɜɵɛɨɪɤɢ. Ɉ ȼɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ – ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɜɵɛɨɪɤɢ: k x1 x2 ... xn 1 k xB wi xi . ¦ ni xi ¦ n ni1 i 1 ɂɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɬɚɤɠɟ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ x , M * X , m*x .
ȼɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɦɨɞɚ Mo* – ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜ ɜɵɛɨɪɤɟ (ɜɚɪɢɚɧɬɚ ɫ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɣ ɱɚɫɬɨɬɨɣ). Ɉ ȼɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɦɟɞɢɚɧɚ Me* – ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɩɪɢɯɨɞɹɳɟɟɫɹ ɧɚ ɫɟɪɟɞɢɧɭ ɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ. ȿɫɥɢ ɨɛɴɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ ɱɟɬɟɧ, xm xm 1 n 2m , ɬɨ Me* , ɟɫɥɢ ɧɟɱɟɬɟɧ, n 2m 1 , ɬɨ Me* xm 1 . 2 ȼ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɞɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɦɟɞɢɚɧɚ Me ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɤɚɤ ɤɨɪɟɧɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ 1 P X Me P X ! Me , ɬ.ɟ., ɫɨɛɵɬɢɹ X Me ɢ X ! Me ɪɚɜɧɨɜɟ2 ɪɨɹɬɧɵ. Ⱦɥɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɝɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɹɞɚ (ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ) ɬɚɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɪɟɞɢ xi ɦɨɠɟɬ ɧɟ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ, ɱɟɦ ɢ ɜɵɡɜɚɧɨ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɫɩɨɫɨɛɚ ɜɵɛɨɪɚ ɦɟɞɢɚɧɵ. Ɉ ȼɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ – ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ xi xB , Ɉ
91
Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. ȼɵɛɨɪɤɢ ɢ ɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ k 1 k 2 2 n x x wi xi xB . ¦ ¦ i i B ni1 i 1 ɗɬɚ ɮɨɪɦɭɥɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɚ ɤ ɜɢɞɭ k 1 k 2 2 2 2 DB ni xi xB ¦ wi xi 2 xB x2 x , ¦ ni1 i 1
DB
ɝɞɟ x 2
M * x2 , x
M * x – ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ
ɜɟɥɢɱɢɧ. Ɉ ȼɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ – V B
DB .
ɂɫɩɪɚɜɥɟɧɧɚɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ – n 1 k 2 2 s DB ni xi xB . ¦ n 1 n 1 i 1 Ɉ ɂɫɩɪɚɜɥɟɧɧɨɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ – s s2 . Ɇɟɧɟɟ ɭɩɨɬɪɟɛɢɬɟɥɶɧɵ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ. Ɉ ɇɚɱɚɥɶɧɵɣ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɩɨɪɹɞɤɚ k 1 n k D k* > X @ x k xi . ¦ ni1 Ɉ ɐɟɧɬɪɚɥɶɧɵɣ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɩɨɪɹɞɤɚ k 1 n k k Pk* > X @ x x xi x . ¦ ni1 Ɉ ȼɫɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɫɯɨɞɹɬɫɹ ɩɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɤ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɦ ɦɨɦɟɧɬɚɦ, ɬ.ɟ., ɦɨɦɟɧɬɚɦ, ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɵɦ ɩɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, H ! 0 lim P D k* > X @ D k > X @ H 1 , H ! 0 lim P Pk* > X @ Pk > X @ H 1 . Ɉ
n of
n of
Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɟɫɬɶ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɚ ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ – ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɣ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ. Ⱦɥɹ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɝɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɹɞɚ ɜɫɟ ɜɵɲɟɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɫɨɯɪɚɧɹɸɬɫɹ, ɧɨ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ x1 , x2 ,…, xk ɛɟɪɭɬɫɹ ɫɟɪɟɞɢɧɵ ɫɨɨɬx x ɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɨɜ > x1 ,x2 , > x2 ,x3 ,…, > xk ,xk 1 @ , ɬɨ ɟɫɬɶ ɱɢɫɥɚ 1 2 , 2 x2 x3 x xk 1 ,…, k . 2 2
92
Ʌɟɤɰɢɹ 8
8.7. ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ Ⱦɥɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɨɛɴɟɦɚ N ɫ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɵɦ ɩɪɢɡɧɚɤɨɦ X ɬɚɤɠɟ ɦɨɠɧɨ ɜɜɟɫɬɢ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ (ɜ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɝɨ ɩɚɪɚɝɪɚɮɚ ɷɬɨ ɛɭɞɭɬ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏȽ). ɑɚɳɟ ɜɫɟɝɨ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬɫɹ ɬɪɢ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ.
Ƚɟɧɟɪɚɥɶɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ – ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ X ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ: x1 x2 ... xN xȽ . N ȿɫɥɢ ɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɪɢɡɧɚɤɚ x1 ,x2 ,...,xk ɢɦɟɸɬ ɱɚɫɬɨɬɵ N1 ,N 2 ,...,N k , ɩɪɢɱɟɦ N1 N2 ... Nk N , ɬɨ k 1 k xȽ pi xi M X , ¦ Ni xi ¦ N i1 i 1 Ni – ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ x1 ,x2 ,...,xk . ɝɞɟ pi N Ɉ Ƚɟɧɟɪɚɥɶɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ – ɫɪɟɞɧɟɟ ɩɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ xi x Ƚ , k 1 k 2 2 DȽ N x x pi xi x Ƚ . ¦ ¦ i i Ƚ N i1 i 1 Ɉ
Ƚɟɧɟɪɚɥɶɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ – V Ƚ DȽ . ɍɩɨɬɪɟɛɥɹɟɬɫɹ ɬɚɤɠɟ ɬɟɪɦɢɧ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ. ɉɨ ɦɟɪɟ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɹ ɨɛɴɟɦɚ ɜɵɛɨɪɤɢ n o N ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ Xȼ ɛɭɞɭɬ ɩɪɢɛɥɢɠɚɬɶɫɹ ɤ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɦ ɏȽ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɢ ɩɪɢ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɦ ɨɛɴɟɦɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɜ ɤɚɤɨɣ-ɬɨ ɦɟɪɟ ɫɥɭɠɚɬ ɨɰɟɧɤɚɦɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɵɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ. Ɉ ɬɨɦ, ɜ ɤɚɤɨɣ ɦɟɪɟ, ɩɨɣɞɟɬ ɪɟɱɶ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɪɚɡɞɟɥɟ. Ɉ
Ʌɟɤɰɢɢ 9 – 10 ɋɌȺɌɂɋɌɂɑȿɋɄɂȿ ɈɐȿɇɄɂ ɉȺɊȺɆȿɌɊɈȼ ɊȺɋɉɊȿȾȿɅȿɇɂə ȼ ɥɟɤɰɢɹɯ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɸɬɫɹ ɨɞɧɚ ɢɡ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ – ɨɰɟɧɤɚ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɦɨɞɟɥɢ. Ɉɛɫɭɠɞɚɸɬɫɹ ɜɢɞɵ ɨɰɟɧɨɤ (ɬɨɱɟɱɧɵɟ ɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɟ), ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɨɰɟɧɨɤ, ɦɟɬɨɞɵ ɢɯ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ, ɪɟɲɚɸɬɫɹ ɬɢɩɢɱɧɵɟ ɡɚɞɚɱɢ.
9.1. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 9.2. Ɍɨɱɟɱɧɵɟ ɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ. Ⱦɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ, ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɨɰɟɧɤɢ, ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ (ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶ) 9.3. ɇɟɫɦɟɳɟɧɧɵɟ, ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɵɟ ɢ ɫɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ 9.4. Ɍɨɱɟɱɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɩɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɦɭ ɫɪɟɞɧɟɦɭ 9.5. Ɍɨɱɟɱɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɩɨ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɨɣ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ 9.6. Ɇɟɬɨɞ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɞɥɹ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 9.7. Ɇɟɬɨɞ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ ɞɥɹ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 10.1. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ 10.2. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɩɪɢ ɢɡɜɟɫɬɧɨɦ V. 10.3. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɩɪɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɦ V. 10.4. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ V ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
9.1. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɉɭɫɬɶ ɢɦɟɟɬɫɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɚɹ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɨɛɴɟɦɚ N, ɢɫɫɥɟɞɭɟɬɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X, ɫɞɟɥɚɧɚ ɜɵɛɨɪɤɚ ɨɛɴɟɦɚ n ɢ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ x1 , x2 ,…, xn . ȼ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɯ ɪɚɡɞɟɥɚɯ ɦɵ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɥɢ ɷɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɚɫɬɨɬɵ ɢɯ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɤɚɤ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɨɜɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, Xȼ. ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɧɚɦ ɩɨɧɚɞɨɛɢɬɫɹ ɢɧɨɣ ɜɡɝɥɹɞ ɧɚ ɫɢɬɭɚɰɢɸ. Ɉ
ȼɵɛɨɪɤɚ – ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X 1 ,X 2 ,..., X n , ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ.
94
Ʌɟɤɰɢɢ 9 -10
Ʉɨɧɤɪɟɬɧɵɣ ɧɚɛɨɪ ɱɢɫɟɥ x1 ,x2 ,...,xn , ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɩɪɢ ɜɵɛɨɪɟ n ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɢɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, ɢɦɟɧɭɟɬɫɹ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɟɣ ɜɵɛɨɪɤɢ. ɉɪɢ ɩɨɜɬɨɪɧɨɦ ɨɬɛɨɪɟ ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɜɨɡɧɢɤɧɟɬ ɢɧɚɹ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɹ ɜɵɛɨɪɤɢ, ɢɧɨɣ ɧɚɛɨɪ ɱɢɫɟɥ x1c ,x2c ,...,xnc . Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɜɜɟɞɟɧɧɵɟ ɪɚɧɟɟ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɤɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɡɚɜɢɫɹɳɢɦɢ ɨɬ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨɣ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ ɜɵɛɨɪɤɢ, ɬ.ɟ., ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ. ɉɪɢ ɢɡɭɱɟɧɢɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X, ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, ɱɚɫɬɨ ɢɡ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɫɨɨɛɪɚɠɟɧɢɣ ɭɞɚɟɬɫɹ ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɜɢɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɩɨ ɞɚɧɧɵɦ ɜɵɛɨɪɤɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɨɰɟɧɢɬɶ (ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ ɧɚɣɬɢ) ɟɝɨ ɱɢɫɥɟɧɧɵɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɟɫɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɢɦɟɟɬ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ, ɬɨ ɞɥɹ ɩɨɥɧɨɝɨ ɟɝɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɨɰɟɧɢɬɶ ɟɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɢ ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ. Ɉ
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ – ɮɭɧɤɰɢɹ ɨɬ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X 1 ,X 2 ,...,X n , ɬ.ɟ., ɬɚɤɠɟ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ 4* X 1 , X 2 ,..., X n , ɤɨɬɨɪɚɹ ɧɚ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɹɯ ɜɵɛɨɪɤɢ x1 ,x2 ,...,xn ; x1c ,x2c ,...,xnc ;…, ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ 4*1 , 4*2 ,…; ɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɫɥɭɠɢɬ ɨɰɟɧɤɨɣ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 4 .
9.2. Ɍɨɱɟɱɧɵɟ ɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ. Ⱦɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ, ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɨɰɟɧɤɢ, ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ (ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶ) ɋɭɳɟɫɬɜɭɸɬ 2 ɜɢɞɚ ɨɰɟɧɨɤ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ (ɱɢɫɥɨɜɵɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ) ɢɡɭɱɚɟɦɨɝɨ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɩɨ ɞɚɧɧɵɦ ɜɵɛɨɪɤɢ – ɬɨɱɟɱɧɵɟ ɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɟ. Ɉ
Ɍɨɱɟɱɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ 4 – ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ 4* X 1 , X 2 ,..., X n , ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɣ ɞɥɹ ɥɸɛɨɣ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ ɜɵɛɨɪɤɢ ɩɪɢɧɢɦɚɸɬ ɡɚ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ 4 ,
4 | 4* x1 ,x2 ,...,xn . Ɉ
ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ 4 – ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ 4* X 1 ,X 2 ,...,X n ɬɚɤɚɹ, ɱɬɨ P H1 4 4* X 1 ,X 2 ,...,X n H 2 J
1D ,
ɢɥɢ, ɢɧɚɱɟ P 4* X 1 ,X 2 ,...,X n H1 4 4* X 1 ,X 2 ,...,X n H 2 1 D , ɬ.ɟ., ɢɧɬɟɪɜɚɥ
95
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
4 X , X *
1
2
,..., X n H1 ,4* X 1 , X 2 ,..., X n H 2
ɡɚɤɥɸɱɚɟɬ ɜ ɫɟɛɟ (ɩɨɤɪɵɜɚɟɬ) ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ 4 ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ J . ɋɚɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɧɨɫɢɬ ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ, ɜɟɥɢɱɢɧɚ J 1 D ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɨɰɟɧɤɢ (ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶɸ, ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɞɨɜɟɪɢɹ), ɱɢɫɥɚ 4* X 1 ,X 2 ,...,X n H1 ɢ 4* X 1 ,X 2 ,...,X n H 2 – ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɝɪɚɧɢɰɚɦɢ, D – ɭɪɨɜɧɟɦ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ (ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨɫɬɢ). ɋɦɵɫɥ ɷɬɢɯ ɬɟɪɦɢɧɨɜ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ: Ⱦɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬ ɫɬɟɩɟɧɶ ɞɨɜɟɪɢɹ ɤ ɫɨɛɵɬɢɸ (ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ), ɱɬɨ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɣ (ɧɨ ɧɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɣ!) ɩɚɪɚɦɟɬɪ 4 ɫɨɞɟɪɠɢɬɫɹ ɜɧɭɬɪɢ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ; ɭɪɨɜɟɧɶ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬ ɪɢɫɤ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ, ɱɬɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪ 4 ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬɫɹ. ɑɟɦ ɛɨɥɟɟ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɵ ɩɨɫɥɟɞɫɬɜɢɹ ɨɲɢɛɤɢ, ɱɬɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪ 4 ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬɫɹ ɜ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ, ɬɟɦ ɦɟɧɶɲɢɦ ɭɪɨɜɧɟɦ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ ɧɭɠɧɨ ɡɚɞɚɜɚɬɶɫɹ. Ɂ. ȿɫɥɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 4* X 1 ,X 2 ,...,X n ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɫɜɨɟɣ ɦɟɞɢɚɧɵ, ɩɪɢɦɟɧɹɸɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɫɩɨɫɨɛ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ: P 4* X 1 , X 2 ,..., X n 4 H J 1 D ,
P 4* X 1 , X 2 ,..., X n H 4 4* X 1 , X 2 ,..., X n H J
1D ,
ɬ.ɟ. ɧɢɠɧɹɹ ɢ ɜɟɪɯɧɹɹ ɝɪɚɧɢɰɵ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɰɟɧɨɱɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ 4* X 1 ,X 2 ,...,X n . ȼɟɥɢɱɢɧɚ H , ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɳɚɹ ɲɢɪɢɧɭ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɨɰɟɧɤɢ. ɉɪɢ ɧɟɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨɣ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 4* X 1 ,X 2 ,...,X n ɞɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɯ ɝɪɚɧɢɰ ɨɛɵɱɧɨ ɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ
P 4 4* X 1 , X 2 ,..., X n H1
D
, P 4 ! 4* X 1 , X 2 ,...,X n H 2
D
. 2 2 Ɍɨɱɟɱɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ ɩɪɨɳɟ ɜ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ, ɧɨ ɧɟ ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɫɬɟɩɟɧɶ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɨɫɬɢ ɨɰɟɧɤɢ, ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ. ɇɚɪɹɞɭ ɫ ɜɨɡɦɨɠɧɵɦɢ ɝɪɚɧɢɰɚɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ, ɞɚɸɬ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ, ɫ ɤɨɬɨɪɨɣ ɢɫɬɢɧɧɨɟ (ɧɟɫɥɭɱɚɣɧɨɟ!) ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɥɟɠɢɬ ɦɟɠɞɭ ɷɬɢɦɢ (ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ) ɝɪɚɧɢɰɚɦɢ. ȿɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨ, ɱɟɦ ɛɨɥɶɲɟ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶ ɨɰɟɧɤɢ, ɬɟɦ ɲɢɪɟ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ, ɢ ɧɚɨɛɨɪɨɬ, ɬɚɤ ɱɬɨ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɤɨɦɩɪɨɦɢɫɫɨɦ ɦɟɠɞɭ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɢ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶɸ ɨɰɟɧɤɢ. ɇɚɢɛɨɥɟɟ ɱɚɫɬɨ ɡɚɞɚɸɬ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶ 0,95; 0,99 ɢ 0,999.
96
Ʌɟɤɰɢɢ 9 -10
9.3. ɇɟɫɦɟɳɟɧɧɵɟ, ɫɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɵɟ ɢ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ, ɱɬɨɛɵ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɰɟɧɤɟ ɦɨɠɧɨ ɛɵɥɨ ɞɨɜɟɪɹɬɶ, ɨɧɚ ɞɨɥɠɧɚ ɨɛɥɚɞɚɬɶ ɧɟɤɨɬɨɪɵɦɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦɢ. Ɉ
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɰɟɧɤɚ 4* ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɫɦɟɳɟɧɧɨɣ, ɟɫɥɢ ɟɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɪɚɜɧɨ 4 , ɬ.ɟ. M ª¬ 4* º¼ 4 .
Ɉ
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɰɟɧɤɚ 4* ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨɣ, ɟɫɥɢ ɨɧɚ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɩɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɤ ɨɰɟɧɢɜɚɟɦɨɦɭ ɩɚɪɚɦɟɬɪɭ, ɬ.ɟ.
H ! 0 lim P 4* 4 H n of
1.
!
ɂɡ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɑɟɛɵɲɟɜɚ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɧɟɫɦɟɳɟɧɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ, ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɬɪɟɦɢɬɫɹ ɤ ɧɭɥɸ ɩɪɢ n o f , ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨɣ.
Ɉ
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɰɟɧɤɚ 4* ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɣ, ɟɫɥɢ ɩɪɢ ɞɚɧɧɨɦ ɨɛɴɟɦɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɢɡ ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɨɰɟɧɨɤ ɨɧɚ ɢɦɟɟɬ ɧɚɢɦɟɧɶɲɭɸ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ.
!
ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɧɟ ɜɫɟɝɞɚ ɭɞɚɟɬɫɹ ɞɨɛɢɬɶɫɹ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɜɫɟɯ ɬɪɟɯ ɬɪɟɛɨɜɚɧɢɣ ɤ ɨɰɟɧɤɟ. ɋɨɨɛɪɚɠɟɧɢɹ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɣ ɭɞɨɛɧɨɫɬɢ ɡɚɫɬɚɜɥɹɸɬ ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɧɟ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɚɞɟɤɜɚɬɧɵɦɢ ɨɰɟɧɤɚɦɢ, ɧɨ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɬɶ, ɤɚɤɢɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ɦɵ ɩɪɟɧɟɛɪɟɝɚɟɦ. ɇɢɠɟ, ɩɪɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɢ ɤɨɧɤɪɟɬɧɵɯ ɨɰɟɧɨɤ, ɷɬɢ ɚɫɩɟɤɬɵ ɛɭɞɭɬ ɨɛɫɭɠɞɚɬɶɫɹ.
9.4. Ɍɨɱɟɱɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɩɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɦɭ ɫɪɟɞɧɟɦɭ ȼɵɛɟɪɟɦ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɨɰɟɧɤɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ M > X @ a ɫɪɟɞɧɟɟ X 1 X 2 ... X n ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X 1 ,X 2 ,..., X n : X B ; n ɞɥɹ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨɣ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ ɜɵɛɨɪɤɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɷɬɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɪɚɜɧɵ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɦ ɫɪɟɞɧɢɦ. ɇɚɣɞɟɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɨɰɟɧɤɢ X B :
1 §1 n · 1 § n · 1 n M ¨ ¦ Xi ¸ M ¨ ¦ Xi ¸ M >Xi @ na ¦ n n n n i 1 © i1 ¹ ©i1 ¹ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, X B – ɧɟɫɦɟɳɟɧɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ M > X @ . M ª¬ X B º¼
a,
§1 n · 1 n ɉɨ ɬɟɨɪɟɦɟ ɑɟɛɵɲɟɜɚ H ! 0 lim P ¨ ¦ X i ¦ M > X i @ H ¸ 1 , ɢɫɩɨɥɶn of ni1 ©ni1 ¹ ɡɭɹ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ, ɷɬɨ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
97
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
lim P X B M > X @ H
n of
1 , ɬ.ɟ., ɩɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ, X B – ɫɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧ-
ɤɚ M > X @ . ȿɫɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ, ɬɨ ɨɰɟɧɤɚ
X B ɛɭɞɟɬ ɢ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɣ. ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɜɨ ɜɫɟɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɞɥɹ ɨɰɟɧɤɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ X B (ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ ɬɚɤɠɟ X ).
9.5. Ɍɨɱɟɱɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɩɨ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɨɣ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ 2 1 n ɉɨɤɚɠɟɦ, ɱɬɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ DB X X ¦ i B (ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚni1 ɱɟɧɢɟ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ) ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɦɟɳɟɧɧɨɣ ɨɰɟɧɤɨɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ. ɇɚɣɞɟɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ DB :
M > DB @
§1 n M ¨ ¦ Xi X B ©n i 1
2
2 §1 n §1 n · · 2 M ¨ ¦ Xi ¨ ¦ Xi ¸ ¸ ¨n i 1 © n i 1 ¹ ¸¹ ©
· ¸ ¹ 2
1 § n 1 1 § n · 2 · M ¨ ¦ Xi ¸ 2 M ¨ ¦ Xi ¸ M X 12 X 22 ... X n2 n ©i 1 n ¹ n ©i 1 ¹ § § ·· 1 2 2 2 ¨ ¨ 2 M X 1 X 2 ... X n 2 X 1 X 2 X 1 X 2 X 2 X 3 ... X n 1 X n ¸ ¸
¸ ¸¸ ¨¨ ¨ n 2 C n © ¹¹ © n 1 MX 12 MX 22 ... MX n2 2 n 2 2 MX 1 MX 2 MX 1 MX 2 MX 2 MX 3 ... MX n 1 MX n n § · · ¨ ¸ n 1 § 2 2 2 2 MX MX ... MX MX MX MX MX ... MX MX ¨ ¸
n 2 ¨ ¸ n 2 © n ¹ n n 1 ¨ ¸ 2 © ¹ n 1 2 n n 1 n 1 n 1 2 2 2 2 n MX MX MX MX 2 n n n2 n2 n 1 n 1 2 MX 2 MX DX . n n Ɍɚɤ ɤɚɤ M > DB @ z DX , ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɦɟɳɟɧɧɨɣ ɨɰɟɧɤɨɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ. Ⱦɥɹ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɧɟɫɦɟɳɟɧɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱ-
98
Ʌɟɤɰɢɢ 9 -10
n DB , n 1
ɧɨ ɩɟɪɟɣɬɢ ɤ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɨɣ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ, s 2
2 n 1 n DB X X ¦ i B . n 1 n 1 i 1 Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɚɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɫɦɟɳɟɧɧɨɣ ɨɰɟɧɤɨɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ. ɉɨɤɚɠɟɦ, ɱɬɨ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɚɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨɣ ɨɰɟɧɤɨɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɜɵɛɨɪɨɱɧɭɸ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ; ɞɥɹ ɟɟ ɫɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ, ɱɬɨɛɵ ɞɥɹ H ! 0 2 §1 n · 2 lim P DB DX H 1 lim P ¨ ¦ X i X B M ª X M > X @ º H ¸ 1 , n of n of ¬ ¼ ©ni1 ¹
s2
2 §§1 n 2 · 2 · lim P ¨ ¨ ¦ X i M ¬ª X 2 ¼º ¸ X B M > X @ H ¸ 1 , n of ¹ ©©n i 1 ¹ 2 2 lim P §¨ D 2* > X @ D 2 > X @ D1* > X @ D1 > X @ H ·¸ 1 . n of © ¹
Ɍɚɤ ɤɚɤ lim P D 2* > X @ D 2 > X @ H n of
2
2
1 ɢ lim P D1* > X @ D1 > X @ H n of
1, ɬɨ
2 2 ɢ lim P §¨ D 2* > X @ D 2 > X @ D1* > X @ D1 > X @ H ·¸ 1 , n of © ¹ ɬ.ɟ., ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ – ɫɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪn n 1 , lim s 2 lim lim DB DX , ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɢ ɢɫɫɢɢ. Ɍɚɤ ɤɚɤ lim n of n 1 n of n of n 1 nof ɩɪɚɜɥɟɧɧɚɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨɣ ɨɰɟɧɤɨɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ. n ! Ɉɰɟɧɤɚ s 2 DB ɞɥɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɷɮɮɟɤn 1 ɬɢɜɧɨɣ, ɧɨ ɞɥɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɨɰɟɧɤɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɢ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɣ, ɬ.ɟ., ɩɪɢ n o f ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɷɬɨɣ ɨɰɟɧɤɢ ɤ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɨɰɟɧɤɢ ɫɬɪɟɦɢɬɫɹ ɤ ɟɞɢɧɢɰɟ.
9.6. Ɇɟɬɨɞ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɞɥɹ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ȼ ɪɚɦɤɚɯ ɷɬɨɝɨ ɦɟɬɨɞɚ, ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɧɨɝɨ Ʉ. ɉɢɪɫɨɧɨɦ, ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɬɨɱɟɱɧɵɯ ɨɰɟɧɨɤ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɛɟɪɭɬɫɹ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɢɟ, ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɬɨɝɨ ɠɟ ɩɨɪɹɞɤɚ. Ɇɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɵɦɢ ɨɰɟɧɤɚɦɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɦɨɦɟɧɬɨɜ.
99
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
Ɉɰɟɧɤɚ ɨɞɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ. ɉɭɫɬɶ ɢɡɜɟɫɬɟɧ ɜɢɞ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ f x,T , ɡɚɜɢɫɹɳɟɣ ɨɬ ɨɞɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ T , ɧɨ ɧɟ ɢɡɜɟɫɬɧɨ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɷɬɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ. Ⱦɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɨɰɟɧɤɢ ɷɬɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɨɞɧɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɞɥɹ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ: xB M X . Ɍɚɤ ɤɚɤ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨf
ɤɭɩɧɨɫɬɢ M X
³ x f x,T dx
M T ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ
f
x1 x2 ... xn ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ ɜɵɛɨɪn x1 x2 ... xn ɦɵ ɩɨɥɭɤɢ x1 ,x2 ,...,xn , ɬɨ ɩɨɫɥɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ M T n ɱɚɟɦ T * \ x1 ,x2 ,...,xn , ɨɰɟɧɤɭ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɤɚɤ ɮɭɧɤɰɢɸ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨɣ ɜɵɛɨɪɤɢ.
T , ɚ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ xB
ɉɪɢɦɟɪ: ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɫ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ f x O e O x x t 0 ɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɦ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ O . Ɇɟɬɨɞɨɦ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɩɨ ɜɵɛɨɪɤɟ x1 ,x2 ,...,xn ɨɰɟɧɢɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɷɬɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ. Ɋɟɲɟɧɢɟ. f f 1 1 1 M X ³ xO e O x dx O x t te t dt xB , ɬ.ɟ. O . ³ xB O0 O 0 ɂɬɚɤ, ɨɰɟɧɤɚ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ O*
1 . xB
Ɉɰɟɧɤɚ ɞɜɭɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ. ɉɭɫɬɶ ɡɚɞɚɧ ɜɢɞ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɡɚɜɢɫɹɳɟɣ ɨɬ ɞɜɭɯ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ, f x,T1 ,T 2 . Ⱦɥɹ ɢɯ ɨɰɟɧɤɢ ɦɨɠɧɨ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɩɪɢɪɚɜɧɹɬɶ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɬ.ɟ., 1 n k * k Dk > X @ x xi , P2* > X @ P2 > X @ , ɢɥɢ M X xB , D X DB . ¦ ni1 Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɫɥɭɱɚɸ ɨɞɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ, ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɟɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ T1 ,T 2 , ɚ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɡɚɜɢɫɹɬ ɨɬ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ ɜɵɛɨɪɤɢ. Ɋɟɲɚɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɭɸ ɫɢɫɬɟɦɭ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɢɯ ɬɨɱɟɱɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ: T1* \ 1 x1 ,x2 ,...,xn , T 2* \ 2 x1 ,x2 ,...,xn . ɉɪɢɦɟɪ: ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɫ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ
100
Ʌɟɤɰɢɢ 9 -10 x a 2
1 2 e 2V ɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɦɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ a ɢ V . ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ f x V 2S Ɇɟɬɨɞɨɦ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɩɨ ɜɵɛɨɪɤɟ x1 ,x2 ,...,xn ɨɰɟɧɢɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɷɬɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ. Ɋɟɲɟɧɢɟ. ɉɪɢɪɚɜɧɹɟɦ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɢ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɢɟ ɫɪɟɞɧɢɟ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ. Ʉɚɤ ɢɡɜɟɫɬɧɨ, ɞɥɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ M X a , D X V 2 .
Ɍɨɝɞɚ
a*
xB
x1 x2 ... xn , V* n
DB
1 n ¦ xi xB ni1
2
.
9.7. Ɇɟɬɨɞ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ ɞɥɹ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ɇɟɬɨɞ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ, ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɧɵɣ Ɋ. Ɏɢɲɟɪɨɦ, ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɪɢɦɟɧɟɧ ɞɥɹ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɤɚɤ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɯ, ɬɚɤ ɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ.
Ⱦɢɫɤɪɟɬɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ɉɭɫɬɶ ɏ – ɞɢɫɤɪɟɬɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ ɩɨɥɭɱɟɧɚ ɜɵɛɨɪɤɚ ɡɧɚɱɟɧɢɣ x1 ,x2 ,...,xn . ȼɢɞ ɡɚɤɨɧɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢɡɜɟɫɬɟɧ; ɡɚɤɨɧ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ T , ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɬɨɱɟɱɧɭɸ ɨɰɟɧɤɭ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɞɚɧɧɵɯ ɜɵɛɨɪɤɢ. 1 , 2 , ..., n . Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ P X xi p xi ;T , i Ɏɭɧɤɰɢɟɣ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɮɭɧɤɰɢɸ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ T ɢ ɞɚɧɧɵɯ ɜɵɛɨɪɤɢ x1 ,x2 ,...,xn : L x1 ,x2 ,...,xn ;T p x1 ;T p x2 ;T ... p xn ;T . ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ T ɩɪɢɧɢɦɚɟɬɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢɟ * T T * x1 ,x2 ,...,xn , ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ ɮɭɧɤɰɢɹ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ. ɉɨɥɭɱɟɧɧɭɸ ɨɰɟɧɤɭ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɨɰɟɧɤɨɣ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɮɭɧɤɰɢɢ L ɢ ln L ɞɨɫɬɢɝɚɸɬ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ ɩɪɢ ɨɞɧɨɦ ɢ ɬɨɦ ɠɟ ɡɧɚɱɟɧɢɢ T , ɩɪɢ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɯ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹɯ ɱɚɳɟ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɜɬɨɪɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ, ɧɚɡɵɜɚɟɦɭɸ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ: ln L x1 ,x2 ,...,xn ;T ln p x1 ;T ln p x2 ;T ... ln p xn ;T . ! ɉɨɫɥɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ d ln L 0 , ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɩɪɚɜɞɨdT ɩɨɞɨɛɢɹ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɞɚɟɬ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ, ɧɟd 2 ln L 0. ɨɛɯɨɞɢɦɨ ɨɬɨɛɪɚɬɶ ɬɨɱɤɢ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ, ɩɨɥɶɡɭɹɫɶ ɭɫɥɨɜɢɟɦ dT 2 ɉɨɥɭɱɟɧɧɚɹ ɬɨɱɤɚ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ T * ɞɚɟɬ ɨɰɟɧɤɭ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɚɜɞɨɩɨ-
101
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
ɞɨɛɢɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ T . ! Ɉɰɟɧɤɢ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɦɟɬɨɞɨɦ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ: 1) ɫɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɵ (ɧɨ ɦɨɝɭɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɫɦɟɳɟɧɧɵɦɢ); 2) ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɵ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ (ɩɪɢ n o f ɡɚɤɨɧ ɢɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɪɢɛɥɢɠɚɟɬɫɹ ɤ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ); 3) ɫɪɟɞɢ ɜɫɟɯ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɯ ɨɰɟɧɨɤ ɨɰɟɧɤɢ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɦɟɬɨɞɨɦ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ, ɢɦɟɸɬ ɧɚɢɦɟɧɶɲɭɸ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ, ɬ.ɟ., ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ T ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ T * ɷɮɮ , ɬɨ ɨɧɚ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɦɟɬɨɞɨɦ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ. Ɇɟɬɨɞ ɨɫɨɛɟɧɧɨ ɩɨɥɟɡɟɧ ɩɪɢ ɦɚɥɵɯ ɨɛɴɟɦɚɯ ɜɵɛɨɪɨɤ; ɤ ɧɟɞɨɫɬɚɬɤɚɦ ɦɟɬɨɞɚ ɦɨɠɧɨ ɨɬɧɟɫɬɢ ɝɪɨɦɨɡɞɤɢɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ. ɉɪɢɦɟɪ: ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ ɉɭɚɫɫɨɧɚ: O xi e O Pm X xi , xi! ɝɞɟ m – ɞɥɢɧɚ ɫɟɪɢɢ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ, xi – ɱɢɫɥɨ ɩɨɹɜɥɟɧɢɣ ɫɨɛɵɬɢɹ ɜ i -ɣ ɫɟɪɢɢ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ, n– ɨɛɴɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ (ɱɢɫɥɨ ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɵɯ ɫɟɪɢɣ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ), O – ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. Ɇɟɬɨɞɨɦ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ ɩɨ ɜɵɛɨɪɤɟ x1 ,x2 ,...,xn ɨɰɟɧɢɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɷɬɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ. Ɋɟɲɟɧɢɟ: ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ: § O x1 e O O x2 e O O xn e O · ln L x1 ,x2 ,...,xn ; O ln ¨ ... ¸ x2! xn! ¹ © x1! x § · O¦ i ln ¨ e nO ¸ ¨ x1! x2! ... xn! ¸ © ¹
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ:
¦ x ln O nO ln x ! x ! ... x ! .
d ln L dO
ɟɝɨ ɪɟɲɟɧɢɟ (ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɬɨɱɤɚ): O ɉɪɨɜɟɪɢɦ
d 2 ln L dO 2
ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɟ
¦ x 0 , i
O
2
ɬ.ɟ.,
1
i
¦ x n i
O
¦ x i
n ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɵɯ
O
n
0, xB .
ɭɫɥɨɜɢɣ
ɷɤɫɬɪɟɦɭɦɚ:
xB – ɬɨɱɤɚ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ, ɢ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ
ɨɰɟɧɤɢ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɧɚ ɧɭɠɧɨ ɜɡɹɬɶ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ
2
O
*
O ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɉɭɚɫɫɨ-
xB .
ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ɉɭɫɬɶ ɏ – ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ ɩɨɥɭɱɟɧɚ ɜɵɛɨɪɤɚ ɡɧɚɱɟɧɢɣ x1 ,x2 ,...,xn . ȼɢɞ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢɡɜɟɫɬɟɧ; ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ T , f x f x,T , ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɬɨɱɟɱɧɭɸ ɨɰɟɧɤɭ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɞɚɧɧɵɯ ɜɵɛɨɪɤɢ.
102
Ʌɟɤɰɢɢ 9 -10
Ɏɭɧɤɰɢɟɣ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɮɭɧɤɰɢɸ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ T ɢ ɞɚɧɧɵɯ ɜɵɛɨɪɤɢ x1 ,x2 ,...,xn : L x1 ,x2 ,...,xn ;T f x1 ;T f x2 ;T ... f xn ;T . Ⱦɚɥɶɧɟɣɲɢɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɵ ɫɥɭɱɚɸ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ɉɪɢɦɟɪ: ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɫ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ f x O e O x x t 0 ɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɦ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ O . Ɇɟɬɨɞɨɦ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ ɩɨ ɜɵɛɨɪɤɟ x1 ,x2 ,...,xn ɨɰɟɧɢɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɷɬɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ. Ɋɟɲɟɧɢɟ. ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ: ln L x1 ,x2 ,...,xn ; O ln O e O x1 O e O x2 ... O e O xn
O x ln O n e ¦ i
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ:
d ln L dO
ɟɝɨ ɪɟɲɟɧɢɟ (ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɬɨɱɤɚ): O
n ln O O ¦ xi .
n
¦ xi 0 ,
O
n
¦ x i
§ ¦ xi · ¨ ¸ ¨ n ¸ © ¹
1
ɉɪɨɜɟɪɢɦ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɟ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɷɤɫɬɪɟɦɭɦɚ: ɬ.ɟ.,
O
1 . xB d 2 ln L dO2
n
O2
0,
1 – ɬɨɱɤɚ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ, ɢ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɨɰɟɧɤɢ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɚɜxB
ɞɨɩɨɞɨɛɢɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ
O ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɭɠɧɨ ɜɡɹɬɶ ɜɟɥɢɱɢ-
ɧɭ, ɨɛɪɚɬɧɭɸ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɦɭ ɫɪɟɞɧɟɦɭ,
O*
1 , ɱɬɨ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɨɰɟɧɤɨɣ, xB
ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɦɟɬɨɞɨɦ ɦɨɦɟɧɬɨɜ.
ȿɫɥɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɞɜɭɯ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ, f x f x;T1 ,T 2 , ɬɨ ɢ ɮɭɧɤɰɢɹ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɞɜɭɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ, T1 ,T 2 . Ⱦɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɯ ɬɨɱɟɤ ɧɭɠɧɨ ɪɟɲɢɬɶ ɫɢɫɬɟɦɭ w ln L 0, ° wT ° 1 ® ° w ln L 0, °¯ wT 2 Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ, ɱɬɨɛɵ ɜ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɬɨɱɤɟ ɞɨɫɬɢɝɚɥɫɹ ɦɚɤɫɢɦɭɦ, ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ, ɱɬɨɛɵ ɜɵɩɨɥɧɹɥɢɫɶ ɭɫɥɨɜɢɹ AC B 2 ! 0 , A 0 (ɢɥɢ C 0 ), ɝɞɟ A,B,C – ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜɬɨɪɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɜ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɬɨɱɤɟ P T1 ,T 2 :
!
103
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
A
w 2 ln L , B wx 2 P
w 2 ln L ,C wxwy P
w 2 ln L . wy 2 P
ɉɪɢɦɟɪ: ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɫ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ x a 2
1 2 e 2V ɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɦɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ a ɢ V . Ɇɟɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ f x V 2S ɬɨɞɨɦ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ ɩɨ ɜɵɛɨɪɤɟ x1 ,x2 ,...,xn ɨɰɟɧɢɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɷɬɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ. Ɋɟɲɟɧɢɟ. ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ: x a 2 x a 2 x a 2 § 1 1 2 2 2 n 2 · 1 1 2 V 2 V ... ln L x1 ,x2 ,...,xn ;a,V ln ¨ e e e 2V ¸ ¨ V 2S ¸ V 2S V 2S © ¹ § · 1 2 2 ¦ xi a 1 2 ¨ ¸ n ln V n ln 2S 1 2V ln e x a . n 2 ¦ i ¨ n ¸ 2 2V ¨V ¸ 2S © ¹ ɍɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ: 2 w ln L n ¦ xi a w ln L ¦ xi na 0, 0, wV V2 V V3 wa 2 xi xi a ¦ ¦ 2 xB , V DB . ɢɯ ɪɟɲɟɧɢɟ (ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɬɨɱɤɚ): a n n ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɷɤɫɬɪɟɦɭɦɚ ɩɨɤɚɡɵɜɚɟɬ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɷɬɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬɫɹ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɢɹ.
10.1. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ ɉɪɢ ɩɨɥɭɱɟɧɢɢ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɧɚɬɶ ɥɢɲɶ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ ɨɰɟɧɤɢ 4* X 1 ,X 2 ,...,X n ɤɚɤ ɮɭɧɤɰɢɸ ɞɚɧɧɵɯ ɜɵɛɨɪɤɢ, ɚ ɞɥɹ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɬɚɤɠɟ ɡɧɚɬɶ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ 4* X 1 , X 2 ,..., X n , ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɪɚɫɫɱɢɬɵɜɚɟɬɫɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ, ɜɢɞ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɢ ɩɨɞɥɟɠɚɬ ɨɰɟɧɤɟ. ɉɟɪɜɨɟ ɡɚɬɪɭɞɧɟɧɢɟ ɩɪɟɨɞɨɥɟɜɚɟɬɫɹ ɬɟɦ, ɱɬɨ ɢɧɨɝɞɚ ɜɢɞ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɦɨɠɟɬ ɩɨɫɬɭɥɢɪɨɜɚɬɶɫɹ (ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ, ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɢ ɬ.ɞ.). ȼ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɩɪɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɨɦ ɨɛɴɟɦɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɪɟɚɥɶɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɰɟɧɤɢ ɫ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɦɨɠɧɨ ɡɚɦɟɧɢɬɶ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɨɣ (ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ n o f ). ȼ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ, ɢɡ ɬɟɨɪɟɦɵ Ʌɹɩɭɧɨɜɚ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ X 1 X 2 ... X n ɫɪɟɞɧɟɣ X B ɢɥɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɣ ɱɚɫɬɨɬɵ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɪɢɡɧɚn
104
Ʌɟɤɰɢɢ 9 -10
ni ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɵ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨ ɨɬ ɜɢɞɚ ɝɟn ɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. ɉɨɩɵɬɤɢ ɪɚɡɪɟɲɟɧɢɹ ɜɬɨɪɨɝɨ ɡɚɬɪɭɞɧɟɧɢɹ ɩɪɢɜɨɞɹɬ ɤ ɞɜɭɦ ɫɩɨɫɨɛɚɦ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ: ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɦɭ ɢ ɬɨɱɧɨɦɭ. ɉɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɣ ɫɩɨɫɨɛ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɡɚɦɟɧɟ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, ɨɬ ɤɨɬɨɪɵɯ ɡɚɜɢɫɢɬ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ 4* , ɧɚ ɢɯ ɬɨɱɟɱɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɜɵɛɨɪɤɢ. Ⱦɚɥɟɟ ɨɰɟɧɤɚ ɫɬɪɨɢɬɫɹ, ɤɚɤ ɟɫɥɢ ɛɵ ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɛɵɥɢ ɛɵ ɢɡɜɟɫɬɧɵ. Ɍɨɱɧɵɣ ɫɩɨɫɨɛ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧ ɥɢɲɶ ɜ ɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ ɢɡɜɟɫɬɟɧ ɡɚɤɨɧ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɫɬɪɨɹɬɫɹ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɵɯ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, ɧɨ ɡɚɜɢɫɢɬ ɥɢɲɶ ɨɬ ɨɛɴɟɦɚ ɜɵɛɨɪɤɢ. ȼ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ, ɩɪɢ ɨɰɟɧɤɟ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɨɰɟɧɤɭ ɤɚ wi
4*
T
M >X @ XB n DB n 1
n,
ɤɨɬɨɪɚɹ ɩɨɞɱɢɧɹɟɬɫɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ, ɡɚɜɢɫɹɳɟɦɭ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ ɨɛɴɟɦɚ ɜɵɛɨɪɤɢ n . ɋ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɣ ɨɰɟɧɤɨɣ ɫɜɹɡɚɧɨ ɪɟɲɟɧɢɟ ɬɪɟɯ ɬɢɩɨɜ ɡɚɞɚɱ: 1) ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɩɨ ɡɚɞɚɧɧɨɦɭ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɦɭ ɢɧɬɟɪɜɚɥɭ ɢ ɨɛɴɟɦɭ ɜɵɛɨɪɤɢ; 2) ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɩɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɢ ɨɛɴɟɦɭ ɜɵɛɨɪɤɢ; 3) ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɝɨ ɨɛɴɟɦɚ ɜɵɛɨɪɤɢ ɩɨ ɡɚɞɚɧɧɵɦ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɢ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɦɭ ɢɧɬɟɪɜɚɥɭ.
10.2. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɩɪɢ ɢɡɜɟɫɬɧɨɦ V. ɉɭɫɬɶ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ( x a )2
1 2 e 2V , ɝɞɟ V D> ɏ @ , a M > ɏ @ X , ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ f ( x ) V 2S ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ V ɫɱɢɬɚɟɦ ɢɡɜɟɫɬɧɵɦ. ɉɭɫɬɶ ɫɞɟɥɚɧɚ ɜɵɛɨɪɤɚ ɨɛɴɟɦɚ n ɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɚ X B , ɤɨɬɨɪɚɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ a ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ.
105
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
X 1 X 2 ... X n – ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ n X 1 ,X 2 ,...,X n , ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɬɚɤ ɠɟ, ɤɚɤ ɢ ɩɪɢɡɧɚɤ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨ-
Ɍɚɤ ɤɚɤ X B
ɫɬɢ X, ɬɨ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ X B ɬɚɤɠɟ ɧɨɪɦɚɥɟɧ, M > X B @
M >X @ a , ɚ
ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X B ɜ n ɪɚɡ ɦɟɧɶɲɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ V2 ɜɟɥɢɱɢɧɵ X: V 2 ª¬ X B º¼ . n
1). Ɉɩɪɟɞɟɥɢɦ, ɫ ɤɚɤɨɣ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶɸ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɚ ɩɨɤɪɵɜɚɟɬɫɹ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɨɦ ɩɪɢ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɢ H, ɬ.ɟ. ɧɚɣɞɟɦ P X B a H ɢɥɢ P X B H a X B H .
§ H · §H n · H n ¸ 2Ɏ ¨ 2Ɏ ¨ Ɍɨɝɞɚ, P ɏ ɜ a H , ¸ 2Ɏ t J , ɝɞɟ t V ¨ V ɏɜ ¸ V © ¹ © ¹ ɝɞɟ Ɏ(t) – ɮɭɧɤɰɢɹ Ʌɚɩɥɚɫɚ. Ɂɧɚɹ V, H ɢ n, ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ ɩɨ ɬɚɛɥɢɰɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɮɭɧɤɰɢɢ Ʌɚɩɥɚɫɚ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶ J ɨɰɟɧɤɢ X B ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ a.
2). ɉɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ X B ɢ ɢɡɜɟɫɬɧɨɦɭ V ɧɚɣɬɢ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ, ɤɨɬɨɪɵɣ ɫ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶɸ J ɩɨɤɪɵɜɚɟɬ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ. ɗɬɨ ɢ ɟɫɬɶ ɡɚɞɚɱɚ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ X B . ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɬɚɛɥɢɰɵ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɮɭɧɤɰɢɢ Ʌɚɩɥɚɫɚ, ɩɨ J ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ t
H n , ɨɬɫɸɞɚ H V tV §
tV n
. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ
tV · ,XB ɩɨɥɭɱɚɸɬ ɢɫɤɨɦɵɣ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ¨ X B ¸ , ɫ ɧɚɞɟɠn n © ¹ tV ɧɨɫɬɶɸ J ɩɨɤɪɵɜɚɸɳɢɣ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɚ; ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɨɰɟɧɤɢ H . n §H n · 3). ɉɨ ɡɚɞɚɧɧɵɦ V, H ɢ J, ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ 2Ɏ ¨ ¸ J , ɧɚɣɬɢ V © ¹ ɨɛɴɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ n. Ɋɟɲɚɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ 2Ɏ t J , ɩɨ J ɧɚɯɨɞɢɦ t , ɚ ɡɚɬɟɦ ɢɡ 2
t
H n § tV · ɧɚɯɨɞɢɦ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɵɣ ɨɛɴɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ n ¨ ¸ . V ©H ¹
ɉɪɢɦɟɪ:
ɂɡɦɟɪɟɧɢɟ ɦɚɫɫɵ 50 ɫɥɭɱɚɣɧɨ ɨɬɨɛɪɚɧɧɵɯ ɩɨɫɥɟ ɢɡɝɨɬɨɜɥɟɧɢɹ ɞɟɬɚɥɟɣ ɞɚɥɨ X B* = 10 ɝ. ȿɫɬɶ ɨɫɧɨɜɚɧɢɹ ɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ
V 2 = 0,09. Ɋɟɲɟɧɢɟ: 1) Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ P = 0,95 ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɟ ɝɪɚɧɢɰɵ ɞɥɹ ɫɪɟɞɧɟɣ
106
Ʌɟɤɰɢɢ 9 -10
ɦɚɫɫɵ ɞɟɬɚɥɟɣ X ɜɨ ɜɫɟɣ ɩɚɪɬɢɢ. ɇɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɬɟɨɪɟɦɵ Ʌɹɩɭɧɨɜɚ ɦɨɠɧɨ ɢɫɯɨɞɢɬɶ ɢɡ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ ɦɚɫɫɵ ɞɟɬɚɥɟɣ. 2 Ⱦɚɧɨ: n = 50, X B* = 10 ɝ, V = 0,09 ɢ P = 0,95. ɂɡ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ 2Ɏ t 0 ,95 ɩɨ ɬɚɛɥɢɰɚɦ ɮɭɧɤɰɢɢ Ʌɚɩɥɚɫɚ ɧɚɯɨɞɢɦ t = 1,96, ɨɬɤɭɞɚ
P
tV 1,96 0 ,3 0 , 083 . Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ, ɱɬɨ ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ 50 n 0,95 ɫɪɟɞɧɹɹ ɦɚɫɫɚ ɫɨɞɟɪɠɢɬɫɹ ɜ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɟ [9,917; 10,083]. 2) Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɩɪɢ ɬɟɯ ɠɟ ɭɫɥɨɜɢɹɯ, ɫ ɤɚɤɨɣ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɦɨɠɧɨ ɝɚɪɚɧɬɢɪɨɜɚɬɶ ɨɲɢɛɤɭ ɜɵɛɨɪɤɢ, ɧɟ ɩɪɟɜɵɲɚɸɳɭɸ 0,05. ɉɨ ɜɟɥɢɱɢɧɟ
H
H = 0,05 ɜɵɱɢɫɥɹɟɦ t
H n V
0,05 50 0 ,3
1,1785 . ɉɨ ɬɚɛɥɢɰɚɦ ɮɭɧɤ-
2Ɏ 1,1785 | 0 , 76 .
ɰɢɢ Ʌɚɩɥɚɫɚ P
3) Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɨɛɴɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ ɭɤɚɡɚɧɧɚɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɚɹ ɨɲɢɛɤɚ H = 0,05 ɝɚɪɚɧɬɢɪɭɟɬɫɹ ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ P = 0,95. ɂɡ P = 0,95 ɧɚɯɨɞɢɦ t =
§ tV · 1,96, ɨɬɤɭɞɚ n ¨ ¸ ©H ¹
2
2
§ 1,96 0 ,3 · ¨ ¸ | 138, 2976 | 140 . © 0 ,05 ¹
10.3. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɩɪɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɦ V. Ⱦɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɩɨɫɬɚɜɥɟɧɧɨɣ ɜ ɡɚɝɨɥɨɜɤɟ ɡɚɞɚɱɢ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɏɜ a , ɝɞɟ t ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ T={t}, sɜ / n
1 n sɜ ¦ xi ɏ ɜ n 1 i 1 ɧɟɧɢɹ.
2
ɧɟɫɦɟɳɟɧɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨɝɨ ɨɬɤɥɨ-
ɋɬɶɸɞɟɧɬ (ɩɫɟɜɞɨɧɢɦ ɚɧɝɥɢɣɫɤɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ Ƚɨɫɫɟɬɚ) ɩɨɤɚɡɚɥ, ɱɬɨ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ T (ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ) ɨɩɢɫɵɜɚ§n· n Ƚ¨ ¸ 2 § t · 2 ©2¹ ɟɬɫɹ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟɦ f n t 1 ¨ ¸ . § n 1· © n 1¹ S ( n 1 )Ƚ ¨ ¸ © 2 ¹ f
Ɂɞɟɫɶ Ƚ ( x )
³t
x 1 t
e dt - ɝɚɦɦɚ–ɮɭɧɤɰɢɹ ɗɣɥɟɪɚ. ɗɬɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɧɚ-
0
ɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ. Ƚɪɚɮɢɤ f n t ɩɨɯɨɠ ɧɚ ɝɪɚɮɢɤ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɡɚɤɨɧɚ, ɧɨ f n ( t ) ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɨɛɴɟɦɨɦ
107
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
ɜɵɛɨɪɤɢ n ɢ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɩɚ2 1 t2 ɪɚɦɟɬɪɨɜ ɚ ɢ V lim f n t e . Ɉɱɟn of 2S tJ
ɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ P t tJ
³
f n ( t )dt
J.
tJ
Ɏɭɧɤɰɢɹ f n ( t ) ɱɟɬɧɚɹ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɦɨɠɧɨ ɡɚtJ
ɩɢɫɚɬɶ J
2 ³ f n ( t )dt . ɗɬɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɩɨ0
ɡɜɨɥɹɟɬ ɧɚɣɬɢ tJ ɩɨ ɡɚɞɚɧɧɵɦ n ɢ J. ȼɨ ɜɫɟɯ ɤɧɢɝɚɯ ɩɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɟ ɢɦɟɸɬɫɹ ɬɚɛɥɢɰɵ, ɩɨ ɤɨɬɨɪɵɦ ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ tJ , ɡɧɚɹ n ɢ J. ɍɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ
t
ɏɜ a , sɜ / n
ɦɨɠɧɨ
P t tJ
ɡɚɩɢɫɚɬɶ
§ ɏɜ a tJ P¨ ¨ sɜ / n ©
· ¸ J, ¸ ¹
ɢɥɢ
ts · § P¨ ɏ ɜ a J ɜ ¸ J . n¹ © Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɨɩɪɟɞɟɥɢɜ tJ ɩɨ ɬɚɛɥɢɰɟ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ, ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ, ɩɨɤɪɵɜɚɸɳɢɣ c ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶɸ J ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ. ɂɬɚɤ, ɩɨ ɢɦɟɸɳɟɣɫɹ ɜɵɛɨɪɤɟ x1 ,x2 ,...,xn ɧɚɯɨɞɢɦ ɏ ɜ ɢ sɜ . Ɂɚɬɟɦ, ɡɚɞɚɜɚɹɫɶ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶɸ J, ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ, ɩɨɤɪɵɜɚɸɳɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɚ. Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɧɚɯɨɞɢɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɭɸ ɨɰɟɧɤɭ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ. ɉɪɢɦɟɪ:
ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɢɦɟɟɬ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ. ɋ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶɸ J = 0,95 ɧɚɣɬɢ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɞɥɹ ɨɰɟɧɤɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ a, ɟɫɥɢ ɩɪɢ ɨɛɴɟɦɟ ɜɵɛɨɪɤɢ n=36 ɩɨɥɭɱɟɧɨ ɏ ɜ =24, s = 3. Ɋɟɲɟɧɢɟ. ɉɨ ɬɚɛɥɢɰɚɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɩɪɢ n = 36 ɢ J = 0,95 ɧɚɯɨt s 2 , 03 3 ɞɢɦ tJ = 2,03. Ɍɨɝɞɚ ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɨɰɟɧɤɢ J 1, 015 . 36 n
Ⱦɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɞɥɹ a ɏ ɜ 1, 015; ɏ ɜ 1, 015
!
22 ,985; 25,015 .
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɩɪɢ nof ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɫɬɪɟɦɢɬɫɹ ɤ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ, ɬɨ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɩɪɢ n > 30 ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɜɦɟɫɬɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ.
108
Ʌɟɤɰɢɢ 9 -10
10.4. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ V ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɉɭɫɬɶ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɢ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɨɰɟɧɢɬɶ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɟ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ (ɫ.ɤ.ɨ.) V ɩɨ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɨɦɭ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɦɭ ɫ.ɤ.ɨ. s . Ʉɚɤ ɛɵɥɨ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɩɪɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɢ ɬɨɱɟɱɧɵɯ ɨɰɟɧɨɤ, ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɫ.ɤ.ɨ. ɫɥɭɠɢɬ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɨɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ V . ɉɨɫɬɚɜɢɦ ɬɟɩɟɪɶ ɜɨɩɪɨɫ ɨɛ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɣ ɨɰɟɧɤɟ V , ɬ.ɟ., ɨ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɢ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ, ɩɨɤɪɵɜɚɸɳɟɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪ V ɫ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶɸ J . ɉɪɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ, ɫɜɹɡɚɧɧɵɯ ɫ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦ, ɨɛɫɭɠɞɚɥɨɫɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ F 2 (ɉɢɪɫɨɧɚ). Ɋɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɹ ɜɵɛɨɪɤɭ ɤɚɤ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X 1 ,X 2 ,..., X n , ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɬɚɤ ɠɟ, ɤɚɤ ɢ ɩɪɢɡɧɚɤ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ X, ɡɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X i X B ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɰɟɧɬɪɢ-
ɪɨɜɚɧɧɵɦɢ M X i X B
0, ɚ
Xi X B
V
– ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɦɢ ( m
0, V
1 ). ɋɭɦ-
ɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɷɬɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɚ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɨɣ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɞɢɫ2 1 n 2 ɩɟɪɫɢɢ, s X X , ɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ F 2 . ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɷɬɢ ¦ i B n 1 i 1 X 1 X 2 ... X n , ɬɨ ɱɢɫɥɨ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɫɜɹɡɚɧɵ ɟɳɟ ɨɞɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶɸ, X B n s 2 n 1 ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ –, F 2 ɪɚɜɧɨ n 1 . Ɏɨɪɦɭɥɚ ɞɥɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɷɬɨɝɨ 2
V
ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɩɪɢɦɟɪɧɵɣ ɜɢɞ ɝɪɚɮɢɤɨɜ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɦ ɩɚɪɚɝɪɚɮɟ (ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɫɜɹɡɚɧɧɵɟ ɫ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦ). Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɣ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ P s G V s G J ɢ ɩɪɟɨɛɪɚɡɭɟɦ ɞɜɨɣɧɨɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ (ɭɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ V ! 0 ):
1 ɨɛɨɡɧɚɱɢɜ
G s
q , ɩɨɥɭɱɢɦ
ɩɪɢ q 1 : 1 q ɩɪɢ q t 1 : 0
V s
V s
1 q ,
G s
1 q
V s
V s
1
G s
;
1 q , ɱɬɨ ɞɚɟɬ
1 s 1 n 1 s n 1 n 1 ; , 1 q V 1 q 1 q 1 q V
1 q (ɬɚɤ ɤɚɤ V ɢ s ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵ), 1 s n 1 s n 1 f. f, 1 q V V 1 q
109
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
ȼɟɥɢɱɢɧɭ
s n 1
V
ɟɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨ ɨɛɨɡɧɚɱɢɬɶ ɱɟɪɟɡ F
F2 .
Ɍɨɝɞɚ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɪɚɧɟɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ n 1 F1 F F 2 ( q 1 ) ɢɥɢ F1 F f ( q t 1 ), ɝɞɟ F1 , F2 1 q ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɟɥɢɱɢɧɵ F ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
n 1 . 1 q
x2 2
x n 2 e , n 3 1 n § · 2 2 *¨ ¸ © 2 ¹ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɨɰɟɧɢɜɚɟɦɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ V , ɧɨ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɨɛɴɟɦɚ ɜɵɛɨɪɤɢ n . ɇɢɠɟ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɝɪɚɮɢɤɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɷɬɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɞɥɹ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɨɛɴɟɦɚ ɜɵɛɨɪɤɢ n . ɂɫɯɨɞɧɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ ɞɥɹ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ: f x,n
n 1 1 q
³ f x,n dx
J.
n 1 1 q
Ɋɟɲɟɧɢɹ ɷɬɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ q q n,J , ɬɚɤɠɟ ɤɚɤ ɢ ɤɜɚɧɬɢɥɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɢ ɫɜɹɡɚɧɧɵɯ ɫ ɧɢɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ ɜ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɬɚɛɥɢɰɚɯ ɢ ɧɚɣɬɢ ɲɢɪɢɧɭ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨɝɨ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ.
110
Ʌɟɤɰɢɢ 9 -10
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɛɨɥɟɟ ɞɨɫɬɭɩɧɵ ɬɚɛɥɢɰɵ ɤɜɚɧɬɢɥɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F 2 , ɢɡɥɨɠɢɦ ɟɳɟ ɨɞɢɧ ɫɩɨɫɨɛ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ, ɩɨɤɪɵɜɚɸɳɟɝɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɟ ɫ.ɤ.ɨ. V ɫ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ. Ɂɚɩɢɲɟɦ ɟɝɨ ɜ ɜɢɞɟ: P s G V s G J , ɝɞɟ ɝɪɚɧɢɰɵ s G ɢ s G ɩɨɤɚ ɧɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɵ. ɇɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɞɥɹ V ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɵ ɜ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɞɥɹ F
2
s 2 n 1
V
2
: P F 2 F 2 F 2 J
1J D, 2 1 D , ɬ.ɟ. ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɤɜɚɧɬɢɥɹɦɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟ-
ɢ ɜɟɥɢɱɢɧɵ F 2 ɢ F 2 ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɣ: P F 2 d F 2 P F 2 t F 2 D , P F 2 d F 2
ɧɢɹ F 2 ɭɪɨɜɧɹ D ɢ ɭɪɨɜɧɹ 1 D , ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ.
!
ɑɚɫɬɨ ɜ ɬɚɛɥɢɰɚɯ ɩɪɢɜɨɞɹɬɫɹ ɧɟ ɤɜɚɧɬɢɥɢ q p ( P X q p
ɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ k p ( P X ! k p
p ) , ɚ ɤɪɢ-
p ). ɇɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɩɪɟ-
ɞɵɞɭɳɟɝɨ ɪɚɡɞɟɥɚ ɫ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟɦ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɯ ɬɨɱɟɤ ɛɭɞɭɬ ɜɵɝɥɹɞɟɬɶ ɬɚɤ: P F 2 ɤɪ F 2 F 2 ɤɪ J ,
1 J P F ! F D, 2 P F ! F 1D . 2
2
ɤɪ
2
2
ɤɪ
ɉɪɢɦɟɪ:
ɂɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ ɫ.ɜ. ɏ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ. ɉɨ ɜɵɛɨɪɤɟ ɨɛɴɟɦɚ n 25 ɧɚɣɞɟɧɨ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɨɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɫ.ɤ.ɨ. s 0 ,8 . ɇɚɣɬɢ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ, ɩɨɤɪɵɜɚɸɳɢɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɟ ɫ.ɤ.ɨ. ɫ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɶɸ 0,95. Ɋɟɲɟɧɢɟ: 1). ɋɩɨɫɨɛ. ɉɨ ɬɚɛɥɢɰɟ q q n,J ɢ ɞɚɧɧɵɦ n 25 ɢ J 0,95 ɧɚɯɨɞɢɦ
q 0,32 . ɂɫɤɨɦɵɣ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ (ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɣ): s 1 q V s 1 q , 0 ,8 1 0 ,32q V 0 ,8 1 0 ,32 ɢɥɢ 0 ,544 V 1, 056 . 2). ɋɩɨɫɨɛ. ɉɨ J
0,95 ɧɚɯɨɞɢɦ D 0 , 025 ɢ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ ɞɥɹ n F 2 ɤɪ 13,12 , F 2 ɤɪ 40, 65
ɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥ (ɧɟɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɣ) ɞɥɹ V : s n 1 s n 1 V ,
F 2 ɤɪ
F 2 ɤɪ
25 :
0 , 625 V 1,113 .
Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɨɛɚ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɯ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ 0,95 ɩɨɤɪɵɜɚɸɬ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɟ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɟ ɫ.ɤ.ɨ. V ; ɜɬɨɪɨɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ, ɧɟɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɣ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ s , ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɭɠɟ: 1,056 - 0,544 = 0,512; 1,113 - 0,625 = 0,488.
Ʌɟɤɰɢɢ 11–12 ɉɊɈȼȿɊɄȺ ɋɌȺɌɂɋɌɂɑȿɋɄɂɏ ȽɂɉɈɌȿɁ
11.1. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ. ɉɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ ɢ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ, ɧɭɥɟɜɚɹ ɢ ɤɨɧɤɭɪɢɪɭɸɳɚɹ, ɩɪɨɫɬɚɹ ɢ ɫɥɨɠɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɵ 11.2. Ɉɲɢɛɤɢ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɪɨɞɚ 11.3. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɣ ɤɪɢɬɟɪɢɣ. Ʉɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ. Ɉɛɥɚɫɬɶ ɩɪɢɧɹɬɢɹ ɝɢɩɨɬɟɡɵ. Ʉɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ 11.4. ɍɪɨɜɟɧɶ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ ɢ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɤɪɢɬɟɪɢɹ 11.5. ȼɢɞɵ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɯ ɨɛɥɚɫɬɟɣ 11.6. Ɇɟɬɨɞɢɤɚ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡ 12.1. ɇɟɤɨɬɨɪɵɟ ɬɢɩɢɱɧɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ 12.1.1 ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɝɢɩɨɬɟɡ ɨ ɞɨɥɟ ɩɪɢɡɧɚɤɚ 12.1.2 ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɝɢɩɨɬɟɡ ɨ ɫɪɟɞɧɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɢ 12.1.3 ɋɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɞɜɭɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɟɣ 12.1.4 ɋɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɨɣ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɫ ɝɢɩɨɬɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɟɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ 12.2. ɇɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ ɝɢɩɨɬɟɡɵ. Ʉɪɢɬɟɪɢɢ ɫɨɝɥɚɫɢɹ ɉɢɪɫɨɧɚ ɢ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ 12.2.1 Ʉɪɢɬɟɪɢɣ ɉɢɪɫɨɧɚ 12.2.2. Ʉɪɢɬɟɪɢɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ
11.1. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ. ɇɭɥɟɜɚɹ ɢ ɤɨɧɤɭɪɢɪɭɸɳɚɹ, ɩɪɨɫɬɚɹ ɢ ɫɥɨɠɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɵ Ɂɚɞɚɱɚ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɜ ɢɡɜɟɫɬɧɨɦ ɫɦɵɫɥɟ ɧɚɩɨɦɢɧɚɟɬ ɡɚɞɚɱɭ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɩɨ ɞɚɧɧɵɦ ɜɵɛɨɪɤɢ: ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɢ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɞɚɧɧɵɯ ɜɵɛɨɪɤɢ ɜɵɧɨɫɢɬɫɹ ɫɭɠɞɟɧɢɟ ɨ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨɫɬɢ ɷɬɨɝɨ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ. ȼɚɠɧɨ ɨɬɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɜɨɩɪɨɫ ɞɨɥɠɟɧ ɩɨɞɥɟɠɚɬɶ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɸ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ. ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɩɪɢɦɟɪ, ɡɚɢɦɫɬɜɨɜɚɧɧɵɣ ɢɡ ɤɧɢɝɢ ə.ɂ. ɏɭɪɝɢɧɚ: ɝɟɪɨɣ ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɤɧɢɝɢ Ɉ. Ȼɟɧɞɟɪ ɭɡɧɚɟɬ ɨ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɢ ɜ ɝɨɪɨɞɟ ɑɟɪɧɨɦɨɪɫɤɟ ɩɨɞɩɨɥɶɧɨɝɨ ɦɢɥɥɢɨɧɟɪɚ (Ⱥ.ɂ. Ʉɨɪɟɣɤɨ). Ɉɧ ɦɨɠɟɬ ɩɪɢɧɹɬɶ ɷɬɭ ɝɢɩɨɬɟɡɭ (ɢ ɧɚɱɚɬɶ ɩɪɟɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɦɨɝɨ ɦɢɥɥɢɨɧɟɪɚ), ɦɨɠɟɬ ɨɬɜɟɪɝɧɭɬɶ ɝɢɩɨɬɟɡɭ (ɢ ɡɚɧɹɬɶɫɹ ɱɟɦ-ɥɢɛɨ ɞɪɭɝɢɦ), ɧɨ ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɩɨɜɬɨɪɢɬɶ ɨɛɫɬɨɹɬɟɥɶɫɬɜɚ, ɜ ɤɨɬɨɪɵɯ ɨɧ ɩɨɥɭɱɢɥ ɷɬɨ ɢɡɜɟɫɬɢɟ: ɞɚɠɟ ɟɫɥɢ ɨɧ ɩɨɥɭɱɢɬ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨɟ ɫɨɨɛɳɟɧɢɟ ɨɬ ɞɪɭɝɨɝɨ ɫɨɛɟɫɟɞɧɢɤɚ, ɭɪɨɜɟɧɶ ɟɝɨ ɢɧɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɨɫɬɢ ɛɭɞɟɬ ɭɠɟ ɢɧɵɦ. ɋɨɛɵɬɢɟ «Ʉɨɪɟɣɤɨ – ɦɢɥɥɢɨɧɟɪ», ɧɟɫɨɦɧɟɧɧɨ, ɹɜɥɹɟɬɫɹ
112
Ʌɟɤɰɢɢ 11–12
ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦ ɞɥɹ Ɉɫɬɚɩɚ ɂɛɪɚɝɢɦɨɜɢɱɚ ɤ ɦɨɦɟɧɬɭ ɧɚɱɚɥɚ ɟɝɨ ɷɫɤɚɩɚɞɵ, ɧɨ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ (ɜ ɫɦɵɫɥɟ, ɜɤɥɚɞɵɜɚɟɦɨɦ ɜ ɷɬɨ ɩɨɧɹɬɢɟ ɜ ɪɚɦɤɚɯ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ). Ƚɢɩɨɬɟɡɚ, ɩɪɢɧɹɬɚɹ Ɉ. Ȼɟɧɞɟɪɨɦ («Ʉɨɪɟɣɤɨ – ɦɢɥɥɢɨɧɟɪ») ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɢ ɧɟ ɩɨɞɩɚɞɚɟɬ ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɯ ɞɚɥɟɟ ɦɟɬɨɞɨɜ. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɭɬɜɟɪɠɞɚɸɬ ɱɬɨ-ɥɢɛɨ ɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢ ɭɫɬɨɣɱɢɜɵɯ ɫɨɛɵɬɢɹɯ (ɫɨɛɵɬɢɹ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨɝɭɬ ɩɪɨɬɟɤɚɬɶ ɦɧɨɝɨɤɪɚɬɧɨ ɩɪɢ ɢɞɟɧɬɢɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ). Ʉɚɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɪɟɱɶ ɢɞɟɬ ɨ ɜɢɞɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɢɥɢ ɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɯ, ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɳɢɯ ɷɬɭ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. ɉɪɢɦɟɪɵ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ: 1) ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɚɹ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ; 2) ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɞɜɭɯ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ ɪɚɜɧɵ; 3) ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɩɪɢɡɧɚɤɚ, ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ 0 D 2. ȼɜɟɞɟɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. Ɉ ȿɫɥɢ ɜ ɝɢɩɨɬɟɡɟ ɭɬɜɟɪɠɞɚɟɬɫɹ ɱɬɨ-ɬɨ ɨ ɡɧɚɱɟɧɢɢ ɤɚɤɨɝɨ-ɬɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ, ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ. ȿɫɥɢ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬ ɱɬɨ-ɬɨ, ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɨ ɧɟ ɢɡɦɟɪɹɟɦɨɟ (ɧɚɩɪɢɦɟɪ, «ɩɪɢɡɧɚɤ ɢɦɟɟɬ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ»), ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ. Ɉ Ɉɫɧɨɜɧɨɣ (ɧɭɥɟɜɨɣ) ɝɢɩɨɬɟɡɨɣ H 0 ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɜɵɞɜɢɧɭɬɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ. Ⱥɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨɣ (ɤɨɧɤɭɪɢɪɭɸɳɟɣ) ɝɢɩɨɬɟɡɨɣ H1 ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɝɢɩɨɬɟɡɭ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɩɪɨɬɢɜɨɪɟɱɢɬ ɜɵɞɜɢɧɭɬɨɣ. Ɉ Ƚɢɩɨɬɟɡɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɨɫɬɨɣ, ɟɫɥɢ ɨɬɜɟɬ ɧɚ ɧɟɟ ɨɞɧɨɡɧɚɱɟɧ («ɩɪɢɡɧɚɤ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ», «ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɪɚɜɧɚ 2», «ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɜɭɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵ», ɢ ɬ.ɩ.). ȿɫɥɢ ɨɬɜɟɬ ɧɟɨɞɧɨɡɧɚɱɟɧ, ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɥɨɠɧɨɣ («ɩɪɢɡɧɚɤ ɧɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ», «ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟ ɪɚɜɧɚ 2», «ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɛɨɥɶɲɟ 2», «ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɜɭɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɧɟ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵ», ɢ ɬ.ɩ.). ɍɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ «ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɛɨɥɶɲɟ 2» ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɦɭ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɭ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɣ: «ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɪɚɜɧɚ 2,1», «ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɪɚɜɧɚ 2,2», ɢ ɬ.ɞ. Ɉ
11.2. Ɉɲɢɛɤɢ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɪɨɞɚ ȼɵɞɜɢɧɭɬɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɣ ɢɥɢ ɧɟ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɣ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɟɟ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɩɨ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɢɦ ɞɚɧɧɵɦ, ɬ. ɟ. ɩɨ ɜɵɛɨɪɤɟ. ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɫɨɞɟɪɠɢɦɨɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨ, ɬɨ ɢ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ, ɫɞɟɥɚɧɧɵɟ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɜɵɛɨɪɤɢ, ɫɥɭɱɚɣɧɵ, ɬ.ɟ., ɨɧɢ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɢ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵ, ɢ ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɵ. ȼ ɢɬɨɝɟ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɩɪɢɧɹɬɵ ɧɟɜɟɪɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɜ ɞɜɭɯ ɫɥɭɱɚɹɯ, ɬ.ɟ. ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɞɨɩɭɳɟɧɵ ɨɲɢɛɤɢ ɞɜɭɯ ɬɢɩɨɜ. Ɉ Ɉɲɢɛɤɨɣ ɩɟɪɜɨɝɨ ɪɨɞɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɨɲɢɛɤɭ, ɞɨɩɭɫɤɚɟɦɭɸ ɜ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ
113
ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ
ɨɬɜɟɪɝɧɭɬɚ ɩɪɚɜɢɥɶɧɚɹ ɨɫɧɨɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ( H 0 ɨɬɜɟɪɝɧɭɬɚ, ɯɨɬɹ ɨɧɚ ɜɟɪɧɚ). Ɉ Ɉɲɢɛɤɨɣ ɜɬɨɪɨɝɨ ɪɨɞɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɨɲɢɛɤɭ, ɞɨɩɭɫɤɚɟɦɭɸ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɢɧɹɬɢɹ ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɨɣ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ( H 0 ɩɪɢɧɹɬɚ, ɯɨɬɹ ɨɧɚ ɧɟɜɟɪɧɚ). ȼɨɡɦɨɠɧɵɟ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ ɩɪɨɜɟɪɹɟɦɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ Ƚɢɩɨɬɟɡɚ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ
ȼɟɪɧɚ ɨɫɧɨɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0
ȼɟɪɧɚ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H1
Ɉɲɢɛɤɚ ɩɟɪɜɨɝɨ ɪɨɞɚ ɉɪɚɜɢɥɶɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ
Ƚɢɩɨɬɟɡɚ ɧɟ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ ɉɪɚɜɢɥɶɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ
Ɉɲɢɛɤɚ ɜɬɨɪɨɝɨ ɪɨɞɚ
11.3. ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɣ ɤɪɢɬɟɪɢɣ. Ʉɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ. Ɉɛɥɚɫɬɶ ɩɪɢɧɹɬɢɹ ɝɢɩɨɬɟɡɵ. Ʉɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ Ⱦɥɹ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡɵ H 0 ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɨ ɩɨɞɨɛɪɚɧɧɭɸ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ, ɬɨɱɧɨɟ ɢɥɢ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɣ ɢɡɜɟɫɬɧɨ. Ɉ ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ 4 , ɫɥɭɠɚɳɚɹ ɞɥɹ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡɵ H 0 (ɨɫɧɨɜɧɨɣ), ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɦ ɤɪɢɬɟɪɢɟɦ, ɢɥɢ ɩɪɨɫɬɨ ɤɪɢɬɟɪɢɟɦ. ɇɚɛɥɸɞɚɟɦɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ 4 ɧɚɛɥ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ, ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɨɟ ɩɨ ɜɵɛɨɪɤɟ. Ɉ Ʉɪɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɛɥɚɫɬɶɸ S ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɢɹ, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɨɫɧɨɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ.
Ɉɛɥɚɫɬɶɸ ɩɪɢɧɹɬɢɹ ɝɢɩɨɬɟɡɵ (ɞɨɩɭɫɬɢɦɨɣ ɨɛɥɚɫɬɶɸ) S ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɢɹ, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɨɫɧɨɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 ɧɟ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ. Ɉ Ʉɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ ɪɚɡɞɟɥɹɸɬ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ ɢ ɨɛɥɚɫɬɶ ɩɪɢɧɹɬɢɹ ɝɢɩɨɬɟɡɵ. Ɉɫɧɨɜɧɨɣ ɩɪɢɧɰɢɩ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ: ɟɫɥɢ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ 4ɧɚɛɥ ɩɨɩɚɞɚɟɬ ɜ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ, ɬɨ ɨɫɧɨɜɧɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ H 0 ɨɬɤɥɨɧɹɸɬ ɢ ɩɪɢɧɢɦɚɸɬ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ H1 , ɟɫɥɢ 4ɧɚɛɥ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ ɨɛɥɚɫɬɢ ɩɪɢɧɹɬɢɹ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɝɢɩɨɬɟɡɭ H 0 ɩɪɢɧɢɦɚɸɬ, ɝɢɩɨɬɟɡɭ H1 ɨɬɤɥɨɧɹɸɬ. ȼ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɤɪɢɬɟɪɢɣ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɭɸ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ (ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɩɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɫɪɚɡɭ ɨ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɯ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ), ɨɞɧɚɤɨ ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɟ ɨɞɧɨɦɟɪɧɵɟ ɤɪɢɬɟɪɢɢ. Ʉɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɢ ɞɨɩɭɫɬɢɦɚɹ ɨɛɥɚɫɬɢ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɟɫɬɶ ɨɞɧɨɈ
114
Ʌɟɤɰɢɢ 11–12
ɦɟɪɧɵɟ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ. ȼɢɞ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɢɞɚ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɢ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡ.
11.4. ɍɪɨɜɟɧɶ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ ɢ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɤɪɢɬɟɪɢɹ Ɉ
ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɜɟɪɲɢɬɶ ɨɲɢɛɤɭ ɩɟɪɜɨɝɨ ɪɨɞɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɭɪɨɜɧɟɦ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɱɟɪɟɡ D, D P H1 H 0 .
ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɨɲɢɛɤɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɪɨɞɚ ɨɛɵɱɧɨ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ E, E
P H 0 H1 .
Ɇɨɳɧɨɫɬɶɸ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɜ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɚ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H1 (ɬ.ɟ., ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɤɪɢɬɟɪɢɹ – ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɧɟɞɨɩɭɳɟɧɢɹ ɨɲɢɛɤɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɪɨɞɚ). Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɪɚɜɧɚ 1 - E. Ɉɛɵɱɧɨ ɞɥɹ D ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ: D = 0,05, D = 0,01 ɢ ɬ.ɩ.. Ʉɚɤ ɛɵ ɧɢ ɛɵɥɚ ɦɚɥɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ D, ɩɨɩɚɞɚɧɢɟ 4ɧɚɛɥ ɜ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ ɟɫɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɦɚɥɨɜɟɪɨɹɬɧɨɟ, ɧɨ ɧɟ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɧɟ ɢɫɤɥɸɱɟɧɨ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɜɟɪɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɟ H 0 ɡɧɚɱɟɧɢɟ 4ɧɚɛɥ ɦɨɠɟɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɜ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ. Ɉɬɤɥɨɧɹɹ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɝɢɩɨɬɟɡɭ H 0 , ɦɵ ɞɨɩɭɫɤɚɟɦ ɨɲɢɛɤɭ ɩɟɪɜɨɝɨ ɪɨɞɚ, ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɤɨɬɨɪɨɣ ɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ D. ɑɟɦ ɦɟɧɶɲɟ D, ɬɟɦ ɦɟɧɟɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨ ɞɨɩɭɫɬɢɬɶ ɨɲɢɛɤɭ ɩɟɪɜɨɝɨ ɪɨɞɚ. Ɉɞɧɚɤɨ ɫ ɭɦɟɧɶɲɟɧɢɟɦ D ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ, ɚ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɦɟɧɟɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɦ ɩɨɩɚɞɚɧɢɟ ɜ ɧɟɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ 4ɧɚɛɥ ɞɚɠɟ ɤɨɝɞɚ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 ɧɟ ɜɟɪɧɚ. ɉɪɢ D 0 ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 ɛɭɞɟɬ ɜɫɟɝɞɚ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶɫɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨ ɨɬ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ ɜɵɛɨɪɤɢ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɭɦɟɧɶɲɟɧɢɟ D ɜɥɟɱɟɬ ɡɚ ɫɨɛɨɣ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɨɲɢɛɤɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɪɨɞɚ E ɢ ɜ ɷɬɨɦ ɫɦɵɫɥɟ ɨɲɢɛɤɢ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɪɨɞɚ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɤɨɧɤɭɪɢɪɭɸɳɢɦɢ. Ɂɧɚɱɢɦɨɫɬɶ ɨɲɢɛɨɤ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɪɨɞɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɜɟɫɶɦɚ ɪɚɡɥɢɱɧɨɣ ɢ ɜ ɨɞɧɢɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɫɬɪɟɦɹɬɫɹ ɭɦɟɧɶɲɢɬɶ D, ɜ ɞɪɭɝɢɯ – E. ɉɪɢɦɟɧɢɬɟɥɶɧɨ ɤ ɪɚɞɢɨɥɨɤɚɰɢɢ ɝɨɜɨɪɹɬ, ɱɬɨ D – ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɪɨɩɭɫɤɚ ɫɢɝɧɚɥɚ, E – ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɥɨɠɧɨɣ ɬɪɟɜɨɝɢ, ɩɪɢɦɟɧɢɬɟɥɶɧɨ ɤ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɭ D – ɪɢɫɤ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟɥɹ (ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɡɚɛɪɚɤɨɜɚɬɶ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɟ ɢɡɞɟɥɢɹ), E – ɪɢɫɤ ɩɨɬɪɟɛɢɬɟɥɹ (ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɪɨɩɭɫɬɢɬɶ ɧɟɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɟ ɢɡɞɟɥɢɹ). Ɉɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨɟ ɭɦɟɧɶɲɟɧɢɟ ɨɲɢɛɨɤ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɪɨɞɚ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɥɢɲɶ ɩɪɢ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɢ ɨɛɴɟɦɚ ɜɵɛɨɪɨɤ. Ɉɛɵɱɧɨ ɩɪɢ ɩɪɨɜɟɪɤɟ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɡɚɞɚɸɬɫɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦ ɭɪɨɜɧɟɦ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D ɢ ɨɛɴɟɦɨɦ ɜɵɛɨɪɤɢ n. Ʉɪɢɬɟɪɢɣ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɛɵɥɚ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɣ. Ɉ
115
ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ
11.5. ȼɢɞɵ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɯ ɨɛɥɚɫɬɟɣ ɉɭɫɬɶ ɩɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɟ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ X , ɞɚɧɧɨɦɭ ɱɢɫɥɭ a ɢ ɞɥɹ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɤɪɢɬɟɪɢɣ 4 , ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫɭɧɤɚɯ. ȿɫɥɢ ɜɟɪɧɚ ɧɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 : X a , ɬɨ M 4 a . ȿɫɥɢ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɜɵɞɜɢɝɚɟɬɫɹ H1 : X a , ɬɨ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ ɟɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨɦ 4 41 , ɬ.ɟ., ɜɵɛɪɚɬɶ ɥɟɜɨɫɬɨɪɨɧɧɸɸ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ. Ɂɚɞɚɜɲɢɫɶ ɭɪɨɜɧɟɦ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D, ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ P 4 41 D ɧɚɯɨɞɢɦ ɥɟɜɨɫɬɨɪɨɧɧɸɸ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɬɨɱɤɭ 41 . ɉɪɢ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɟ H1 : X ! a ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ P 4 ! 42 D (ɩɪɚɜɨɫɬɨɪɨɧɧɹɹ); ɧɚɤɨɧɟɰ, ɟɫɥɢ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ H1 :
X z a , ɬɨ ɫɬɪɨɢɬɫɹ ɞɜɭɫɬɨɪɨɧɧɹɹ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ, ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ P 4 41 P 4 ! 42 D . Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɞɜɟ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ 41 ɢ 42 ɢɡ ɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ ɛɟɫɱɢɫɥɟɧɧɵɦ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨɦ ɫɩɨɫɨɛɨɜ. ɑɚɳɟ ɜɫɟɝɨ ɞɜɭɫɬɨɪɨɧɧɸɸ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ ɫɬɪɨɹɬ ɤɚɤ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɭɸ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɹ 41 ɢ 42 ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ P 4 41
D 2
,
P 4 ! 42
D 2
.
11.6. Ɇɟɬɨɞɢɤɚ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡ Ɇɟɬɨɞɢɤɚ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɷɬɚɩɚɦ. 1. Ɏɨɪɦɭɥɢɪɭɸɬɫɹ ɨɫɧɨɜɧɚɹ ɩɪɨɜɟɪɹɟɦɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 ; ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɭɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ, ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɤɚɤɢɯ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜ ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɚ ɩɪɨɜɟɪɤɚ, ɬ.ɟ. ɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H1 .
116
Ʌɟɤɰɢɢ 11–12
2. ɉɨɞɛɢɪɚɟɬɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɣ ɤɪɢɬɟɪɢɣ 4 4 X 1 ,X 2 ,...,X n – ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɜɵɱɢɫɥɹɟɦɚɹ ɩɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦ ɜɵɛɨɪɤɢ. 3. Ɏɨɪɦɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɩɪɚɜɢɥɨ ɩɪɨɜɟɪɤɢ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɣ ɨɛɴɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ n ɩɨ ɡɚɞɚɧɧɵɦ ɭɪɨɜɧɸ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D ɢ ɦɨɳɧɨɫɬɢ ɤɪɢɬɟɪɢɹ 1 – E ɢɥɢ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ ɦɢɧɢɦɢɡɚɰɢɢ E ɩɪɢ ɞɚɧɧɵɯ D ɢ n. 4. ȼ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɩɪɨɜɟɪɹɟɦɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɢ ɟɟ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɨɞɧɨ- ɢɥɢ ɞɜɭɫɬɨɪɨɧɧɹɹ ɩɪɨɜɟɪɤɚ. ȼɵɛɨɪ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɞɢɤɬɭɟɬɫɹ ɫɭɳɟɫɬɜɨɦ ɩɪɨɜɟɪɤɢ. ȿɫɥɢ ɩɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ, ɱɬɨ ɩɪɨɰɟɧɬ ɛɪɚɤɚ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ 5% (ɬ.ɟ. H 0 : 4 0,05 ), ɬɨ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɞɨɥɠɧɚ ɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶɫɹ ɤɚɤ H1 : 4 ! 0,05 , ɬɚɤ ɤɚɤ ɟɫɥɢ ɩɪɨɰɟɧɬ ɛɪɚɤɚ ɦɟɧɶɲɟ 5, ɬɨ ɩɚɪɬɢɹ ɬɟɦ ɛɨɥɟɟ ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɩɪɢɧɹɬɚ. ȿɫɥɢ ɜ ɝɢɩɨɬɟɡɟ H 0 : 4 a 4 ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬ ɩɪɟɞɟɥ ɩɪɨɱɧɨɫɬɢ ɦɚɬɟɪɢɚɥɚ ɧɚ ɪɚɡɪɵɜ, ɬɨ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɨɣ ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ H1 : 4 a . ɇɚɤɨɧɟɰ, ɟɫɥɢ ɜ ɝɢɩɨɬɟɡɟ H 0 : 4 a 4 ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬ ɜɟɫ ɝɢɪɢ, ɬɨ ɞɨɥɠɧɚ ɫɬɪɨɢɬɶɫɹ ɞɜɭɫɬɨɪɨɧɧɹɹ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ 4 41 ɢ 4 ! 42 . 5. ɉɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨɦɭ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɜɵɱɢɫɥɹɸɬɫɹ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ. 6. ɉɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɜɵɛɨɪɤɚ X 1 , X 2 ,..., X n ɢ ɞɥɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ ɜɵɛɨɪɤɢ x1 ,x2 ,...,xn ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ 4ɧɚɛɥ 4 x1 ,x2 ,...,xn . ȿɫɥɢ ɷɬɨ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɨɩɚɞɚɟɬ ɜ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ, ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 ɩɪɢɡɧɚɟɬɫɹ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɞɚɧɧɵɦ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɢ ɩɨɷɬɨɦɭ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ. ȿɫɥɢ 4ɧɚɛɥ ɩɨɩɚɞɚɟɬ ɜ ɞɨɩɭɫɬɢɦɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ, ɬɨ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɩɪɢɡɧɚɟɬɫɹ ɧɟ ɩɪɨɬɢɜɨɪɟɱɚɳɟɣ H 0 ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɦ ɞɚɧɧɵɦ ɢ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɪɢɡɧɚɧɚ ɩɪɚɜɞɨɩɨɞɨɛɧɨɣ. Ⱦɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɜɢɞɚ ɩɪɨɜɟɪɹɟɦɵɯ ɝɢɩɨɬɟɡ ɪɚɡɪɚɛɨɬɚɧɵ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɢ. ɑɚɳɟ ɜɫɟɝɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɢɦɟɸɳɢɟ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ, ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ F 2 (ɉɢɪɫɨɧɚ), t – ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ, F - ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɏɢɲɟɪɚ – ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ. ɉɪɢɜɟɞɟɧɧɚɹ ɜɵɲɟ ɫɯɟɦɚ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬ, ɱɬɨ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɢɡɜɟɫɬɟɧ ɢ ɨɰɟɧɤɟ ɩɨɞɥɟɠɚɬ ɨɞɢɧ ɢɥɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. Ɍɚɤɢɟ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɧɨɫɹɬ ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ. ɇɚɪɹɞɭ ɫ ɩɨɞɨɛɧɵɦɢ ɝɢɩɨɬɟɡɚɦɢ ɩɪɢɯɨɞɢɬɫɹ ɩɪɨɜɨɞɢɬɶ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɢ ɩɪɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɦ ɡɚɤɨɧɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ. ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɦɢ. ɇɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɢ ɨɛɥɚɞɚɸɬ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨ ɦɟɧɶɲɟɣ ɦɨɳɧɨɫɬɶɸ, ɧɟɠɟɥɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ, ɬ.ɟ. ɞɥɹ ɫɨɯɪɚɧɟɧɢɹ ɬɨɣ ɠɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ E ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɛɨɥɶɲɟ ɨɩɵɬɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ. ɋ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ, ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɢ ɦɨɝɭɬ ɩɪɢɦɟɧɹɬɶɫɹ ɩɪɢ ɥɸɛɨɦ ɡɚɤɨɧɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɢ ɩɪɢɦɟɧɢɦɵ ɤɚɤ ɤ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɵɦ, ɬɚɤ ɢ ɤ ɤɚɱɟɫɬɜɟɧɧɵɦ (ɪɚɧɝɨɜɵɦ) ɩɪɢɡɧɚɤɚɦ.
117
ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ
12.1. ɇɟɤɨɬɨɪɵɟ ɬɢɩɢɱɧɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɱɚɫɬɨ ɜɫɬɪɟɱɚɸɳɢɟɫɹ ɡɚɞɚɱɢ, ɪɟɲɚɸɳɢɟɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡ. ɗɬɨ ɩɪɟɠɞɟ ɜɫɟɝɨ ɡɚɞɚɱɢ ɫɪɚɜɧɟɧɢɹ: ɫɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ (ɞɨɥɢ ɩɪɢɡɧɚɤɚ, ɫɪɟɞɧɟɝɨ, ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ) ɫ ɧɨɪɦɚɬɢɜɧɵɦɢ; ɫɪɚɜɧɟɧɢɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɞɜɭɯ ɜɵɛɨɪɨɤ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ (ɞɥɹ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɨ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɧɨɫɬɢ ɷɬɢɯ ɜɵɛɨɪɨɤ ɤ ɨɞɧɨɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ). Ɍɢɩɢɱɧɵɟ ɧɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ ɡɚɞɚɱɢ – ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɨ ɜɢɞɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ ɪɚɫɯɨɠɞɟɧɢɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ.
12.1.1. ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɝɢɩɨɬɟɡ ɨ ɞɨɥɟ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɚ) ɋɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɨɥɢ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɫ ɧɨɪɦɚɬɢɜɨɦ ɉɭɫɬɶ ɞɨɥɹ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɪɢɡɧɚɤɚ p ɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɪɚɜɧɨɣ a , ɬ.ɟ., H 0 : p a . Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɜɧɚɱɚɥɟ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ H 1 : p z a , ɬ.ɟ. ɞɜɭɫɬɨɪɨɧɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɢɣ ɩɪɨɜɟɪɤɢ. m – ɱɚɫɬɨɬɭ ɩɨɹɜɥɟȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɜɨɡɶɦɟɦ 4 n ɧɢɹ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɜ ɜɵɛɨɪɤɟ. ɗɬɚ ɫ.ɜ. ɞɥɹ ɜɨɡɜɪɚɬɧɨɣ ɜɵɛɨɪɤɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ, ɧɨ ɩɪɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɢɯ ɨɛɴɟɦɚɯ ɜɵɛɨɪɤɢ ɦɨɠɧɨ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹɦɢ (ɉɭɚɫɫɨɧɚ ɢɥɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦ). Ⱦɥɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢɡ ɭɪɨɜɧɹ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D ɧɚɣɞɟɦ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɣ ɤɜɚɧɬɢɥɶ zD : 2
§m · P ¨ a d zD V ¸ | Ɏ zD Ɏ zD 2Ɏ zD 1D , 2 ¹ 2 2 2 © n ɝɞɟ Ɏ z – ɮɭɧɤɰɢɹ Ʌɚɩɥɚɫɚ. ɋɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɞɥɹ ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ V
a 1 a n
, ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ
a 1 a a 1 a , 42 a zD . 2 2 n n Ⱦɥɹ ɞɜɭɫɬɨɪɨɧɧɟɝɨ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɩɪɚɜɢɥɨ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɜɵɝɥɹɞɢɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ: ɟɫɥɢ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ, ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɨɟ ɩɨ ɞɚɧɧɵɦ ɜɵɛɨɪɤɢ, ɩɨɩɚɞɚɟɬ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɦɟɠɞɭ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ, 41 4ɧɚɛɥ 42 , ɧɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ p a ɧɟ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ, ɟɫɥɢ ɧɟ ɩɨɩɚɞɚɟɬ – ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɨɞɧɨɫɬɨɪɨɧɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɢɣ ɩɪɨɜɟɪɤɢ, ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɜɵɞɜɢɧɟɦ H1 : p ! a . ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ zD – ɤɜɚɧɬɢɥɶ ɭɪɨɜɧɹ D , ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɵɣ ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ a 1 a §m · P ¨ ! 42 ¸ 0,5 Ɏ zD D , ɝɞɟ 42 a za . n ©n ¹ 41
a zD
118 Ƚɢɩɨɬɟɡɚ
Ʌɟɤɰɢɢ 11–12
H 0 ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ, ɟɫɥɢ m ! 42 , ɢ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬɫɹ, ɟɫɥɢ m d 42 .
n ɂɡɦɟɧɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɦɨɠɟɬ ɢɡɦɟɧɢɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɩɪɨɜɟɪɤɢ.
n
ɉɪɢɦɟɪ: ɉɭɫɬɶ ɩɪɨɜɨɞɢɬɫɹ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɹ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɹ ɚɤɬɢɜɧɨɝɨ ɜɟɳɟɫɬɜɚ ɜ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɫɬɚɧɞɚɪɬɭ, ɤɨɬɨɪɵɣ ɪɚɜɟɧ 10%, ɬ.ɟ. ɩɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɧɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 : p 0 ,1 , ɝɞɟ p – ɞɨɥɹ ɚɤɬɢɜɧɨɝɨ ɜɟɳɟɫɬɜɚ ɜ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ. Ⱦɥɹ ɤɨɧɬɪɨɥɹ m ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɚ ɜɵɛɨɪɤɚ ɢɡ 100 ɩɪɨɛ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɞɚɥɚ 0,152 . ɋɱɢɬɚɬɶ ɥɢ ɝɢɩɨn ɬɟɡɭ ɜɟɪɧɨɣ ɢɥɢ ɩɪɨɞɭɤɰɢɸ ɫɥɟɞɭɟɬ ɡɚɛɪɚɤɨɜɚɬɶ ɤɚɤ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɭɸ ɧɨɪɦɚɬɢɜɚɦ? Ɋɟɲɟɧɢɟ: Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɧɚɱɚɥɚ ɫɥɭɱɚɣ, ɤɨɝɞɚ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɨɬ ɧɨɪɦɚɬɢɜɚ ɜ ɨɛɟ ɫɬɨɪɨɧɵ ɧɟɠɟɥɚɬɟɥɶɧɵ, ɬ.ɟ. ɤɨɝɞɚ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɩɨ ɞɜɭɫɬɨɪɨɧɧɟɦɭ ɤɪɢɬɟɪɢɸ, H1 : p z a . ɉɪɢɦɟɦ ɭɪɨɜɟɧɶ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D 0 , 05 ɢ ɩɨ ɬɚɛɥɢɰɟ ɮɭɧɤɰɢɢ Ʌɚɩɥɚɫɚ ɧɚɣɞɟɦ ɤɜɚɧɬɢɥɶ zD 1,96 ɢ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ 2
41
0 ,1 1,96
0,1 1 0,1 100
0 ,041 ,
42
0,1 1,96
0,1 1 0,1 100
0,159 .
m 0,152 ɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜ ɞɨɩɭɫɬɢɦɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ, ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 ɧɟ ɨɬn ɤɥɨɧɹɟɬɫɹ, ɩɚɪɬɢɹ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɩɪɢɡɧɚɟɬɫɹ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɣ. ɉɭɫɬɶ ɬɟɩɟɪɶ ɧɟɞɨɩɭɫɬɢɦɵɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɩɪɟɜɵɲɟɧɢɟ ɧɨɪɦɚɬɢɜɧɨɝɨ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɹ ɚɤɬɢɜɧɨɝɨ ɜɟɳɟɫɬɜɚ, ɬ.ɟ. ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɚ ɩɪɨɬɢɜ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɵ H1 : p ! a . ɉɪɢ ɬɨɦ ɠɟ ɭɪɨɜɧɟ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D 0 , 05 Ɍɚɤ ɤɚɤ
0,1 1 0,1 m 0,149 . Ɍɟɩɟɪɶ 0,152 ! 4 2 , ɬ.ɟ. 100 n ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɩɨɩɚɞɚɟɬ ɜ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ ɢ ɫ ɬɟɦ ɠɟ ɭɪɨɜɧɟɦ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ ɧɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɨɬɤɥɨɧɟɧɚ, ɩɚɪɬɢɹ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɫɬɚɧɞɚɪɬɭ. zD
1, 65 ɢ 4 2
0,1 1, 65
ɛ) ɋɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɨɥɟɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɜ ɞɜɭɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɹɯ m m ɉɭɫɬɶ 1 ɢ 2 – ɱɚɫɬɨɬɵ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɨɞɧɨɝɨ ɢ ɬɨɝɨ ɠɟ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɜ ɞɜɭɯ ɫɨɜɨn1 n2 ɤɭɩɧɨɫɬɹɯ ɢɡ n1 ɢ n2 ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ. ɇɭɥɟɜɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɨɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ, ɱɬɨ ɨɛɟ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬ ɫɨɛɨɣ ɞɜɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɢɡ ɨɞɧɨɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɫ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɞɨɥɟɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ p , ɚ ɪɚɫɯɨɠɞɟɧɢɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɯ ɱɚɫɬɨɬ ɧɨɫɢɬ ɫɥɭɱɚɣɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ. ɉɨɫɬɪɨɟɧɢɟ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɪɚɡɥɢɱɧɨ ɞɥɹ ɛɨɥɶɲɢɯ ɢ ɦɚɥɵɯ ɜɵɛɨɪɨɤ. 1. Ȼɨɥɶɲɢɟ ɜɵɛɨɪɤɢ. ȿɫɥɢ n1 ɢ n2 – ɛɨɥɶɲɢɟ ɱɢɫɥɚ (ɩɪɢɦɟɪɧɨ ɛɨɥɶɲɟ 30), ɬɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɯ ɱɚɫɬɨɬ ɛɭɞɟɬ ɛɥɢɡɤɨ ɤ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɫ ɩɚɪɚ§m · §m · § m · p 1 p ɢ ɦɟɬɪɚɦɢ M ¨ 1 ¸ M ¨ 2 ¸ p ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹɦɢ V 2 ¨ 1 ¸ n n n n 1 © 1¹ © 1¹ © 2¹
119
ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ
§ m2 · p 1 p . Ⱦɥɹ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɜɜɟɞɟɦ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ¸ n2 © n2 ¹ m1 m2 4 . ȿɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɬɚɤɠɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦ ɫ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ n1 n2
V2 ¨
§m m · §m · §m · M ¨ 1 2 ¸ M ¨ 1 ¸ M ¨ 2 ¸ p p 0, © n1 n2 ¹ © n1 ¹ © n2 ¹ §m m · §m · §m · §1 1· V 2 4 V 2 ¨ 1 2 ¸ V 2 ¨ 1 ¸ V 2 ¨ 2 ¸ p 1 p ¨ ¸ . © n1 n2 ¹ © n1 ¹ © n2 ¹ © n1 n2 ¹ ȼ ɞɚɧɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɞɜɭɫɬɨɪɨɧɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɢɣ, ɬ.ɟ. ɚɥɶm m ɬɟɪɧɚɬɢɜɧɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ ɜɵɛɪɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ H1 : 1 z 2 . Ɂɚɞɚɜɲɢɫɶ ɭɪɨɜɧɟɦ ɡɧɚn1 n2 ɱɢɦɨɫɬɢ D , ɧɚɣɞɟɦ zD ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ M 4
2
§m · P ¨ a d zD V ¸ Ɏ zD Ɏ zD 2Ɏ zD 1 D 2 2 2 2 n © ¹ ɢ ɜɵɱɢɫɥɢɦ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ 1 1 1 1 41 zD p 1 p , 42 zD p 1 p , 2 2 n1 n2 n1 n2 ɝɞɟ ɜɟɥɢɱɢɧɚ p ɡɚɦɟɧɹɟɬɫɹ ɟɟ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɨɣ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɞɚɧɧɵɯ ɞɜɭɯ ɜɵɛɨɪɨɤ: m1 m2 p . n1 n2 ȿɫɥɢ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ, ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɨɟ ɩɨ ɞɚɧɧɵɦ ɜɵɛɨɪɤɢ, ɩɨɩɚɞɚɟɬ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɦɟɠɞɭ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ, 41 4ɧɚɛɥ 42 , ɧɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɧɟ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ, ɟɫɥɢ ɧɟ ɩɨɩɚɞɚɟɬ – ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ. ɉɪɢɦɟɪ:
ɉɭɫɬɶ ɱɢɫɥɨ ɛɪɚɤɨɜɚɧɧɵɯ ɢɡɞɟɥɢɣ ɜ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɣ ɩɚɪɬɢɢ ɫɨɫɬɚɜɢɥɨ 4 ɢɡ 100, ɚ ɜ ɤɨɧɬɪɨɥɶɧɨɣ – 12 ɢɡ 500. Ɉɰɟɧɢɬɶ ɫ ɭɪɨɜɧɟɦ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D 0 , 01 ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨɫɬɶ ɪɚɫɯɨɠɞɟɧɢɣ ɞɨɥɟɣ ɛɪɚɤɚ ɜ ɷɬɢɯ ɞɜɭɯ ɩɚɪɬɢɹɯ. Ɋɟɲɟɧɢɟ: ɉɨ ɭɪɨɜɧɸ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D 0 , 01 ɧɚɯɨɞɢɦ ɤɜɚɧɬɢɥɶ zD 2 ,58 . 2
4 12 ɇɚɯɨɞɢɦ ɬɨɱɟɱɧɭɸ ɨɰɟɧɤɭ p : p 0,027 , ɨɬɤɭɞɚ 100 500 1 1 V 0 , 027 1 0 , 027 0 , 0177 , 100 500 41 2 ,58 0 , 0177 0 , 0458 , 4 2 2 ,58 0 , 0177 0 , 0458 .
120
Ʌɟɤɰɢɢ 11–12
4 12 0 ,016 , ɬ.ɟ. ɥɟɠɢɬ ɜ ɞɨɩɭɫɬɢɦɨɣ 100 500 ɨɛɥɚɫɬɢ. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɵɟ ɪɚɡɥɢɱɢɹ ɧɟ ɩɪɨɬɢɜɨɪɟɱɚɬ ɝɢɩɨɬɟɡɟ H 0 ɢ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɪɚɫɯɨɠɞɟɧɢɟ ɫ ɭɪɨɜɧɟɦ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D 0 , 01 ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ ɧɟɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɵɦɢ. ɇɚɛɥɸɞɚɟɦɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ 4 ɧɚɛɥ
2. Ɇɚɥɵɟ ɜɵɛɨɪɤɢ. ȿɫɥɢ n1 ɢ n2 – ɦɚɥɵɟ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟ ɧɨɪɦɚɥɶm1 m2 ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɧɟɩɪɚɜɨɦɟɪɧɵɦ. ȼ ɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɥɹ ɤɪɢɬɟɪɢɹ 4 n1 n2 ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɤɪɢɬɟɪɢɣ ɉɢɪɫɨɧɚ F 2 . ȼɢɞ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɩɪɢɜɟɞɟɧ ɜ ɪɚɡɞɟɥɟ, ɝɞɟ ɨɛɫɭɠɞɚɥɢɫɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɫɜɹɡɚɧɧɵɟ ɫ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦ. ɋɝɪɭɩɩɢɪɭɟɦ ɞɚɧɧɵɟ ɜ ɬɚɛɥɢɰɭ. Ɏɚɤɬɢɱɟɫɤɢɟ ɱɚɫɬɨɬɵ
ɋɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ
Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɱɚɫɬɨɬɵ
A
A
ȼɫɟɝɨ
A
ȼɵɛɨɪɤɚ 1
m1
m1
n1
pn1
ȼɵɛɨɪɤɚ 2
m2
m2
n2
pn2
n1 n2
–
m1 m2 m1 m2
ȼɫɟɝɨ
A
1 p n1 1 p n2 –
ɑɟɪɟɡ m1 ɢ m2 ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜ ɤɚɠɞɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, ɨɛɥɚɞɚɸɳɢɯ ɩɪɢɡɧɚɤɨɦ A , ɱɟɪɟɡ m1 ɢ m2 – ɧɟ ɨɛɥɚɞɚɸɳɢɯ. ȿɫɥɢ ɷɬɨ ɜɵɛɨɪɤɢ ɢɡ ɨɞɧɨɣ ɢ ɬɨɣ ɠɟ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɫ ɞɨɥɟɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ p , ɬɨ ɦɨɠɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɱɚɫɬɨɬɵ pn1 , 1 p n1 ɢ ɬ.ɞ., ɤɨɬɨɪɵɟ ɭɤɚm1 m2 . ɡɚɧɵ ɜ ɞɜɭɯ ɩɨɫɥɟɞɧɢɯ ɫɬɨɥɛɰɚɯ. Ⱦɥɹ p ɩɪɢɧɢɦɚɟɬɫɹ ɨɰɟɧɤɚ p n1 n2 ȼɵɱɢɫɥɹɟɦ F 2 ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ 2
2
2
2 ª m1 1 p n1 º ª m2 1 p n2 º m1 pn1 2 ¬ ¼ ¬ ¼ . F pn1 pn1 1 p n1 1 p n2 Ɍɚɤ ɤɚɤ ɦɟɠɞɭ ɱɟɬɵɪɶɦɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɬɪɢ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ, ɬɨ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɬ.ɟ. ɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ F 2 ɫɥɟɞɭɟɬ ɭɱɟɫɬɶ ɨɞɧɭ ɫɬɟɩɟɧɶ ɫɜɨɛɨɞɵ (Q 1 ). ɇɭɥɟɜɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ ɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɦ ɜ ɜɢɞɟ «ɨɛɟ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɟɫɬɶ ɜɵɛɨɪɤɢ ɢɡ ɨɞɧɨɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ». ȼ ɞɚɧɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɟɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨ ɩɪɢɦɟ-
m1 pn1
121
ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ
ɧɢɬɶ ɨɞɧɨɫɬɨɪɨɧɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɢɣ: ɨɩɪɟɞɟɥɢɜ ɞɥɹ ɞɚɧɧɨɝɨ ɭɪɨɜɧɹ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ F 02 , ɩɪɢ F 2 ! F 02 ɨɬɤɥɨɧɹɟɦ ɧɭɥɟɜɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ, ɩɪɢ
F 2 d F 02 ɫɱɢɬɚɟɦ ɪɚɫɯɨɠɞɟɧɢɹ ɦɟɠɞɭ ɜɵɛɨɪɤɚɦɢ ɧɟɡɧɚɱɢɦɵɦɢ. ɉɪɢɦɟɪ:
ɉɭɫɬɶ ɱɢɫɥɨ ɛɪɚɤɨɜɚɧɧɵɯ ɢɡɞɟɥɢɣ ɜ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɣ ɩɚɪɬɢɢ ɫɨɫɬɚɜɢɥɨ 9 ɢɡ 50, ɚ ɜ ɤɨɧɬɪɨɥɶɧɨɣ – 7 ɢɡ 30. Ɉɰɟɧɢɬɶ ɫ ɭɪɨɜɧɟɦ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D 0,05 ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨɫɬɶ ɪɚɫɯɨɠɞɟɧɢɣ ɞɨɥɟɣ ɛɪɚɤɚ ɜ ɷɬɢɯ ɞɜɭɯ ɩɚɪɬɢɹɯ. Ɋɚɫɱɟɬ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɦ ɩɨ ɨɰɟɧɤɟ m1 m2 97 16 0, 2 . p n1 n2 16 64 80
A
A
ȼɫɟɝɨ
A
A
ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɚɹ ɩɚɪɬɢɹ 9 Ʉɨɧɬɪɨɥɶɧɚɹ ɩɚɪɬɢɹ 7 ȼɫɟɝɨ 16 ȼɵɱɢɫɥɹɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ:
41 23 64
50 30 80
10 6 –
40 24 –
ɋɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ
F
2 ɷɤɫɩ
9 10 10
ɉɪɢ D 0 , 05 ɢ Q 1 F 02 ɧɭɥɟɜɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ.
2
41 40 40
2 3,8 ɢ F ɷɤɫɩ
2
7 6
2
23 24
2
0 ,333 . 6 24 F 02 , ɩɨɷɬɨɦɭ ɧɟɬ ɨɫɧɨɜɚɧɢɣ ɨɬɜɟɪɝɚɬɶ
12.1.2. ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɝɢɩɨɬɟɡ ɨ ɫɪɟɞɧɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɢ Ʉɚɤ ɢ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦ ɩɚɪɚɝɪɚɮɟ, ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɫɨ ɫɬɚɧɞɚɪɬɨɦ ɢ ɫɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɪɟɞɧɢɯ ɞɜɭɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɟɣ. ɚ) ɋɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫ ɧɨɪɦɚɬɢɜɨɦ ɉɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɟ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ X ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ a , ɬ.ɟ. H 0 : X a . Ɍɚɤɢɟ ɡɚɞɚɱɢ ɜɫɬɪɟɱɚɸɬɫɹ ɩɪɢ ɩɪɨɜɟɪɤɟ ɤɚɱɟɫɬɜɚ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ, ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɦɨɝɨ ɧɟɤɨɬɨɪɵɦ ɫɪɟɞɧɢɦ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɟɦ: ɫɪɟɞɧɟɟ ɜɪɟɦɹ ɪɚɛɨɬɵ ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɚ, ɫɪɟɞɧɢɣ ɪɚɡɦɟɪ ɞɟɬɚɥɢ, ɫɪɟɞɧɟɟ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɨɜ ɫɦɟɫɢ ɢ ɬ.ɞ. Ɂɚɞɚɱɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɟɪɟɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɧɚ ɤɚɤ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɧɨɫɬɢ ɞɚɧɧɨɣ ɜɵɛɨɪɤɢ ɤ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɢɦɟɟɬ ɧɭɠɧɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ. Ʉɚɤ ɢ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦ ɪɚɡɞɟɥɟ, ɫɥɟɞɭɟɬ ɪɚɡɥɢɱɚɬɶ ɫɥɭɱɚɢ ɛɨɥɶɲɢɯ ɢ ɦɚɥɵɯ ɜɵɛɨɪɨɤ. ȿɫɥɢ ɜɵɛɨɪɤɚ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɜɟɥɢɤɚ, ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ X B ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɣ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨɣ ɬɟɨɪɟɦɵ ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦ (ɨɧɨ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ). ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɜɦɟɫɬɨ ɫɚɦɨɝɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ X B ɭɞɨɛɧɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɟɝɨ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɣ (ɬ.ɟ., ɰɟɧɬɪɢɪɨɜɚɧɧɵɣ ɢ ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɵɣ) ɚɧɚɥɨɝ z , ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ X B ɨɬ ɫɬɚɧɞɚɪɬɚ:
z
XB a
V XB
.
122
Ʌɟɤɰɢɢ 11–12
Ɍɚɤ ɤɚɤ M z 0 ɢ V z 1 , ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ z ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ. ɉɪɢ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨɫɬɢ ɝɢɩɨɬɟɡɵ H 0 ɦɚɬɟ-
ɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ M X B
a ɢ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ z ɧɭɥɹ – ɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɫɥɭ-
X
ɱɚɣɧɵɯ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɟɣ ɜɵɛɨɪɤɢ. ȿɫɥɢ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɜɵɞɜɢɝɚɟɬɫɹ H1 : X z a , ɡɚɞɚɜɲɢɫɶ ɭɪɨɜɧɟɦ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D , ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
P z d zD ɧɚɣɞɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟ zD
z1
zD , z2
2
2
2Ɏ zD
1D
2
ɢ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ ɞɥɹ ɞɜɭɫɬɨɪɨɧɧɟɣ ɩɪɨɜɟɪɤɢ:
zD . ȿɫɥɢ ɧɚɣɞɟɧɧɨɟ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɜɵɛɨɪɤɢ ɡɧɚɱɟɧɢɟ zɷɤɫɩ ɛɭ-
2
2
ɞɟɬ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɭ zɷɤɫɩ zD , ɬɨ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 ɧɟ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ, 2
ɟɫɥɢ zɷɤɫɩ t zD , ɬɨ H 0 ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ. 2
ɉɪɢɦɟɪ:
ɉɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨ ɫɪɟɞɧɟɦ ɪɚɡɦɟɪɟ ɞɟɬɚɥɢ H 0 : X ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨɣ H1 : X z 5,8 ɦɦ . ɂɡ 0, 4 ɦɦ . ɉɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦ ɜɵɛɨɪɤɢ
ɧɨ
V
5,8 ɦɦ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶ-
ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɝɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ ɨɛɴɟɦɨɦ n 100 ɩɨɥɭɱɟɧɨ
X B 5, 2 ɦɦ . ɉɪɢɦɟɦ ɭɪɨɜɟɧɶ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D 0 , 05 ɢ ɧɚɣɞɟɦ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɣ ɤɜɚɧɬɢɥɶ zD 1,96 . Ⱦɨɩɭɫɬɢɦɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ z 1,96;1,96 . ȼɵɱɢɫ2
4 ,8 5 , 2 1 ! 1,96 ɜɢɞɢɦ, ɱɬɨ 0,4 ɨɧɨ ɩɨɩɚɥɨ ɜ ɞɨɩɭɫɬɢɦɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ. Ƚɢɩɨɬɟɡɚ H 0 ɧɟ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ.
ɥɹɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ zɷɤɫɩ
ȿɫɥɢ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɡɚɞɚɟɬɫɹ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚɦɢ
H1 : X ! a ɢɥɢ
H1 : X a , ɬɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɨɞɧɨɫɬɨɪɨɧɧɹɹ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɩɪɢ ɩɨɦɨɳɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
zD , ɜɵɱɢɫɥɹɟɦɨɝɨ ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
P z zD 0,5 Ɏ zD D ɢ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ ɡɚɞɚɟɬɫɹ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨɦ z ! zD ɢɥɢ z zD . Ⱦɥɹ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹ ɢɡɥɨɠɟɧɧɵɯ ɩɪɚɜɢɥ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɧɚɬɶ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ (ɜɟɥɢɱɢɧɭ V ). ȿɫɥɢ ɨɧɚ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɚ (ɱɬɨ ɛɨɥɟɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɪɟɚɥɶɧɨɣ ɫɢɬɭɚɰɢɢ), ɬɨ ɩɪɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɨɦ n (ɤɚɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, n ! 30 ) ɦɨɠɧɨ ɡɚɦɟɧɢɬɶ V ɧɚ ɟɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɭɸ ɧɟɫɦɟɳɟɧɧɭɸ ɨɰɟɧɤɭ 2 1 n xi X B . ¦ n 1 i 1 Ɉɞɧɚɤɨ ɩɪɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ, ɚ ɬɚɤɠɟ ɩɪɢ ɦɚɥɵɯ ɨɛɴɟɦɚɯ ɜɵɛɨɪɨɤ ɭɞɨɛɧɟɟ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɤɪɢɬɟɪɢɣ XB a t n 1 , s ɤɨɬɨɪɵɣ ɢɦɟɟɬ t - ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɫ Q n 1 ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ.
s
123
ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ
Ⱦɚɥɶɧɟɣɲɟɟ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɟ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɞɥɹ ɞɜɭɯ- ɢ ɨɞɧɨɫɬɨɪɨɧɧɟɣ ɩɪɨɜɟɪɨɤ ɩɪɨɜɨɞɢɬɫɹ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦɭ, ɧɨ ɜɦɟɫɬɨ ɤɜɚɧɬɢɥɟɣ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ zD ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɤɜɚɧɬɢɥɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ tD , ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɵɟ ɩɨ ɬɚɛɥɢɰɚɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ, ɚ ɧɟ Ʌɚɩɥɚɫɚ. ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɩɨɞɨɛɧɚ ɮɭɧɤɰɢɢ Ƚɚɭɫɫɚ (ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ), ɧɨ ɢɦɟɟɬ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɣ ɷɤɫɰɟɫɫ, ɜɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɱɟɝɨ ɜ «ɯɜɨɫɬɚɯ» ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɡɚɤɥɸɱɟɧɚ ɛóɥɶɲɚɹ ɩɥɨɳɚɞɶ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɪɢ ɬɨɦ ɠɟ ɭɪɨɜɧɟ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɟ tD ɛɭɞɟɬ ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ zD , ɬ.ɟ. ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɲɢɪɟ, ɱɟɦ ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɵɣ ɧɚ ɨɫɧɨɜɟ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ.
ɉɪɢɦɟɪ:
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɭɫɥɨɜɢɹ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɝɨ ɩɪɢɦɟɪɚ ( H 0 : ɫɪɟɞɧɢɣ ɪɚɡɦɟɪ ɞɟɬɚɥɢ
X
5,8 ɦɦ ,
ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɚ
H1 :
X z 5,8 ɦɦ ,
ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɟ
ɫɪɟɞɧɟɟ
X B 5, 2 ɦɦ ) ɫ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹɦɢ: ɜɵɛɨɪɤɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɦɚɥɨɣ, n 15 , ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ s 0, 4 ɦɦ . ɉɪɢ ɬɨɦ ɠɟ ɭɪɨɜɧɟ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D 0 ,05 ɢ ɱɢɫɥɟ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ Q n 1 15 1 14 ɧɚɣɞɟɦ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɣ ɤɜɚɧɬɢɥɶ tD 2,145 . 2
Ⱦɨɩɭɫɬɢɦɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ t 2 ,145; 2 ,145 . ȼɵɱɢɫɥɹɹ ɜɵɛɨ4 ,8 5 , 2 14 0, 4 ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ.
ɪɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ tɷɤɫɩ
3, 74 2 ,145 ɜɢɞɢɦ, ɱɬɨ ɜ
ɛ) ɋɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɪɟɞɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɞɜɭɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɉɭɫɬɶ ɢɦɟɸɬɫɹ ɞɜɟ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɳɢɟɫɹ ɫɪɟɞɧɢɦɢ X , Y ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹɦɢ V x2 , V y2 . ȼɵɞɜɢɝɚɟɬɫɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ, ɱɬɨ ɷɬɢ ɫɪɟɞɧɢɟ ɪɚɜɧɵ, ɬ.ɟ.
H 0 : X Y . Ⱦɥɹ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɷɬɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɢɡ ɤɚɠɞɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɜɵɛɨɪɤɚ: ɢɡ ɩɟɪɜɨɣ – ɨɛɴɟɦɨɦ n1 , ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɨɥɭɱɚɸɬɫɹ X B ɢ s x2 , ɢɡ ɜɬɨɪɨɣ – ɨɛɴɟɦɨɦ n2 , ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɨɥɭɱɚɸɬɫɹ YB ɢ s 2y . s x2 ɢ s 2y – ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɜɵɛɨɪɨɤ. Ⱦɥɹ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦ ɤɪɢɬɟɪɢɣ X B YB . 4 D X B YB
Ɍɚɤ ɤɚɤ M X B
X , M YB
Y , ɩɪɢ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨɫɬɢ ɧɭɥɟɜɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ H 0
ɛɭɞɟɦ ɢɦɟɬɶ M 4 0 . ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɢ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɹ ɜɵɛɨɪɤɢ (ɚ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɢ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ) ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦɢ, ɩɨɥɭɱɢɦ
124
Ʌɟɤɰɢɢ 11–12
2
X
2
X V Y 2
V y2
V x2
. n1 n2 Ɍɟɩɟɪɶ ɫɞɟɥɚɟɦ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɨɟ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ, ɱɬɨ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɨɛɟɢɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɪɚɜɧɵ, ɬ.ɟ. V x2 V y2 V 2 . ɗɬɨ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɧɭɠɞɚɟɬɫɹ ɜ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɨɣ ɩɪɨɜɟɪɤɟ, ɨ ɱɟɦ ɪɟɱɶ ɩɨɣɞɟɬ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɪɚɡɞɟɥɟ. ȿɫɥɢ ɩɪɢɧɹɬɶ ɷɬɨ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ, ɬɨ §1 1· V 2 X B YB V 2 ¨ ¸ . © n1 n2 ¹ ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɷɬɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɜ ɮɨɪɦɭɥɭ ɞɥɹ ɤɪɢɬɟɪɢɹ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ X B YB 4 . 1 1 V n1 n2
V
B
YB
V
B
B
ȿɫɥɢ ɨɛɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɨɝɨ ɨɛɴɟɦɚ, ɬɨ X B ɢ YB ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɵ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɛɭɞɟɬ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧ ɢ ɤɪɢɬɟɪɢɣ 4 . Ɂɚɦɟɧɹɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɭɸ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ V 2 ɟɟ ɧɟɫɦɟɳɟɧɧɨɣ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɨɣ n1
2
¦ x
i
s |
XB
i 1
2
n2
¦ y Y i
i 1
B
2
n1s x2 n2 s 2y
n1 n2 2 n1 n2 2 ɩɪɢɞɟɦ ɤ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦɭ ɤɪɢɬɟɪɢɸ n n 2 X B YB z 1 2 1 1 n1s x2 n2 s 2y n1 n2 (ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ Q
,
n1 n2 2 , ɬɚɤ ɤɚɤ ɩɪɢ ɪɚɫɱɟɬɟ s x2 ɢ s 2y ɢɫɩɨɥɶ-
ɡɭɸɬɫɹ ɞɜɚ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɞɥɹ ɫɪɟɞɧɢɯ X B ɢ YB . Ⱦɚɥɶɧɟɣɲɚɹ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɜɟɞɟɬɫɹ ɨɛɵɱɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɫ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟɦ ɬɚɛɥɢɰ ɮɭɧɤɰɢɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ʌɚɩɥɚɫɚ. ȿɫɥɢ ɜɵɛɨɪɤɢ ɦɚɥɨɝɨ ɨɛɴɟɦɚ ɢ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɦɨɠɟɬ ɩɪɢɜɟɫɬɢ ɤ ɨɲɢɛɤɚɦ, ɞɥɹ ɬɨɝɨ ɠɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ z ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ. ɉɪɢɦɟɪ: Ⱦɥɹ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɢ ɧɨɜɨɣ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɢ ɨɬɛɢɪɚɸɬɫɹ ɞɜɟ ɝɪɭɩɩɵ ɪɚɛɨɱɢɯ: ɜ ɩɟɪɜɨɣ ɝɪɭɩɩɟ ɱɢɫɥɟɧɧɨɫɬɶɸ n1 40 ɱɟɥ., ɝɞɟ ɩɪɢɦɟɧɹɟɬɫɹ ɧɨɜɚɹ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɹ, ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɞɚɧɧɵɟ: ɫɪɟɞɧɹɹ ɜɵɪɚɛɨɬɤɚ ɜ ɲɬɭɤɚɯ X B 84 , ɩɪɢ ɷɬɨɦ sx 10 ,1 , ɜɨ ɜɬɨɪɨɣ ɝɪɭɩɩɟ ɱɢɫɥɟɧɧɨɫɬɶɸ n2 54 YB
77 ,5 s y
8, 4 .
Ɉɩɪɟɞɟɥɢɦ ɫɨ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɶɸ D
0 , 05 , ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ ɥɢ ɧɨɜɚɹ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɹ
ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ
125
ɨɤɚɡɚɥɚ ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ. ȼɵɱɢɫɥɹɟɦ 84 77 ,5 40 54 2 zɷɤɫɩ 3,364 . 2 2 1 1 40 10,1 54 8, 4 40 54 Ʉɪɢɬɢɱɟɫɤɨɟ ɬɚɛɥɢɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɩɪɢ D 0 , 05 ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ 1,96. Ɍɚɤ ɤɚɤ z ɷɤɫɩ ! 1,96 , ɬɨ ɧɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨɛ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɢ ɜɥɢɹɧɢɹ ɧɨɜɨɣ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɢ ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɨɬɤɥɨɧɟɧɚ. ȿɫɥɢ, ɫɱɢɬɚɹ n1 ɢ n2 ɧɟɛɨɥɶɲɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ, ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ, ɩɨɥɭɱɚɟɬɫɹ ɬɨɬ ɠɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ.
12.1.3. ɋɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɞɜɭɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɉɪɨɜɟɪɹɬɶ ɝɢɩɨɬɟɡɭ ɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɞɜɭɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɩɪɢɯɨɞɢɬɫɹ ɜɨ ɦɧɨɝɢɯ ɫɥɭɱɚɹɯ: ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɩɪɢ ɚɧɚɥɢɡɟ ɫɬɚɛɢɥɶɧɨɫɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ ɞɨ ɢ ɩɨɫɥɟ ɜɜɟɞɟɧɢɹ ɬɟɯɧɢɱɟɫɤɨɝɨ ɧɨɜɲɟɫɬɜɚ (ɫɬɚɛɢɥɶɧɨɫɬɶ ɜɵɩɭɫɤɚ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɢɡɦɟɪɹɟɬɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɢɡɦɟɪɹɟɦɨɝɨ ɩɪɢɡɧɚɤɚ), ɩɪɢ ɢɡɭɱɟɧɢɢ ɤɚɱɟɫɬɜɚ ɢɡɦɟɪɢɬɟɥɶɧɵɯ ɩɪɢɛɨɪɨɜ (ɫɨɩɨɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɟɣ ɨɬɞɟɥɶɧɵɯ ɩɪɢɛɨɪɨɜ), ɩɪɢ ɢɡɭɱɟɧɢɢ ɫɬɟɩɟɧɢ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɫɬɢ ɞɜɭɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɜ ɨɬɧɨɲɟɧɢɢ ɤɚɤɨɝɨ-ɥɢɛɨ ɩɪɢɡɧɚɤɚ (ɤɜɚɥɢɮɢɤɚɰɢɢ ɪɚɛɨɱɢɯ, ɭɫɩɟɜɚɟɦɨɫɬɢ ɭɱɚɳɢɯɫɹ ɢ ɬ.ɞ.). ɇɟɨɛɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ, ɤɚɤ ɛɵɥɨ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦ ɪɚɡɞɟɥɟ, ɢ ɩɪɢ ɫɪɚɜɧɟɧɢɢ ɫɪɟɞɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɞɜɭɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɟɣ, ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɜ ɛɨɥɶɲɢɧɫɬɜɟ ɫɥɭɱɚɟɜ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɵɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɪɚɜɧɵ. ɉɭɫɬɶ ɢɦɟɸɬɫɹ ɞɜɟ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɪɚɜɧɵ V 12 ɢ V 22 ; ɧɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 : V 12 V 22 . Ɍɚɤ ɤɚɤ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɵɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵ, ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ ɧɚ ɨɫɧɨɜɟ ɫɨɩɨɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɯ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ s12 ɢ s22 . ȿɫɥɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ
s12 : s22 ɛɥɢɡɤɨ ɤ 1, ɧɟɬ ɨɫɧɨɜɚɧɢɣ ɨɬɤɥɨɧɹɬɶ ɧɭɥɟɜɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ, ɟɫɥɢ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨ ɨɬɥɢɱɚɟɬɫɹ – ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ. Ⱦɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɜɨɩɪɨɫɚ, ɧɚɫɤɨɥɶɤɨ ɛɨɥɶɲɢɦ ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɨɬɥɢɱɢɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɯ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ, ɱɬɨɛɵ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɧɭɥɟɜɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɛɵɥɨ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɵɦ, ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ s12 F , ɝɞɟ s12 ! s22 . 2 s2 Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɷɬɨɝɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ, ɧɚɡɵɜɚɸɳɟɟɫɹ F –ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ Ɏɢɲɟɪɚ – ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ, ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɥɨɫɶ ɪɚɧɟɟ, ɩɪɢ ɨɛɫɭɠɞɟɧɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ, ɫɜɹɡɚɧɧɵɯ ɫ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦ. Ɉɧɨ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɞɜɭɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ – ɱɢɫɟɥ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɱɢɫɥɢɬɟɥɹ ɢ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɹ: Q 1 n1 1 ɢ Q 2 n2 1, ɝɞɟ n1 ɢ n2 – ɨɛɴɟɦɵ ɜɵɛɨɪɨɤ. ɑɢɫɥɚ Q 1 ɢ Q 2 ɭɤɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɜ ɮɢɝɭɪɧɵɯ ɫɤɨɛɤɚɯ ɪɹɞɨɦ ɫ ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ F : s12 Q 1 ½ F ; ® ¾. s22 ¯Q 2 ¿
126
Ʌɟɤɰɢɢ 11–12
Ʉɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ ɫɬɪɨɢɬɫɹ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɜɢɞɚ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ. 1). ɇɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 : V 12 V 22 . Ⱥɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 1 : V 12 ! V 22 (ɫɱɢɬɚɟɦ, ɱɬɨ ɜɵɛɨɪɤɢ ɩɪɨɧɭɦɟɪɨɜɚɧɵ ɬɚɤ, ɱɬɨ s12 ! s22 ). ɉɨ ɡɚɞɚɧɧɨɦɭ D ɢ ɢɡɜɟɫɬɧɵɦ Q 1 ɢ Q 2 ɩɨ ɬɚɛɥɢɰɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ɏɢɲɟɪɚ – ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ ɧɚɯɨɞɢɦ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ FD . ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɝɢɩɨɬɟɡɵ H 0 ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦɭ ɩɪɚɜɢɥɭ: ɟɫɥɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɯ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ Fɷɤɫɩ ! FD , ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ; ɟɫɥɢ Fɷɤɫɩ FD , ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 ɧɟ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ. 2). ɇɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 : V 12 V 22 . Ⱥɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H1 : V 12 z V 22 . ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɫɬɪɨɢɦ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɭɸ ɞɜɭɫɬɨɪɨɧɧɸɸ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ ɫ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ F1 ɢ F2 , ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɵɦɢ ɢɡ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ
D
,
D
. 2 2 ɉɪɚɜɚɹ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɬɨɱɤɚ F2 ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɧɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨ ɩɨ ɬɚɛɥɢɰɟ ɤɪɢɬɢP F F1
P F ! F2
ɱɟɫɤɢɯ ɬɨɱɟɤ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ɏɢɲɟɪɚ – ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ ɞɥɹ ɭɪɨɜɧɹ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ
D
2 ɢ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ Q 1 ɢ Q 2 . Ʌɟɜɵɯ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɯ ɬɨɱɟɤ F1 ɬɚɛɥɢɰɚ ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬ, ɧɨ, ɩɪɢ ɜɵɛɪɚɧɧɨɦ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨɦ ɫɩɨɫɨɛɟ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ, ɞɨɫɬɢɝɚɟɬɫɹ ɩɨɩɚɞɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ F ɜ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ, ɪɚɜɧɨɣ ɭɪɨɜɧɸ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D . Ɍɚɤ ɤɚɤ ɢɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɭɪɨɜɧɹ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ P F F1 P F ! F1 D , ɬɨ ɜɵɛɢɪɚɹ P F ! F2
D
D 2
, ɦɵ ɨɞɧɨɜɪɟ-
. ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɝɢɩɨɬɟɡɵ H 0 ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɩɨ 2 ɬɨɦɭ ɠɟ ɩɪɚɜɢɥɭ, ɱɬɨ ɢ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɨɞɧɨɫɬɨɪɨɧɧɟɣ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ, ɧɨ ɬɚɛɦɟɧɧɨ ɞɨɫɬɢɝɚɟɦ ɢ P F F1
D
, ɜɞɜɨɟ ɦɟɧɶɲɟɝɨ, ɱɟɦ ɡɚ2 ɞɚɧɧɵɣ ɭɪɨɜɟɧɶ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ: ɟɫɥɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɯ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ Fɷɤɫɩ ! F2 , ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ; ɟɫɥɢ Fɷɤɫɩ F2 , ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 ɧɟ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ.
ɥɢɱɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɢɳɭɬɫɹ ɞɥɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
ɉɪɢɦɟɪ: Ⱦɜɚ ɡɚɜɨɞɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɹɬ ɨɞɧɨɬɢɩɧɵɟ ɢɡɦɟɪɢɬɟɥɶɧɵɟ ɩɪɢɛɨɪɵ. Ⱦɥɹ ɫɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɱɟɫɬɜɚ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɩɪɨɜɟɞɟɧɵ ɫɟɪɢɢ ɢɡɦɟɪɟɧɢɣ ɩɪɢɛɨɪɚɦɢ ɤɚɠɞɨɝɨ ɡɚɜɨɞɚ. ɂɡ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɟɣ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɫɞɟɥɚɧɵ ɜɵɛɨɪɤɢ, ɨɛɴɟɦɵ ɤɨɬɨɪɵɯ n1 n2 15 , ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɵɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ s12 1,35 ɢ s22 0, 45 . ɉɪɢ ɭɪɨɜɧɟ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D 0,1 ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɝɢɩɨɬɟɡɭ ɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɟ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɵɯ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɩɪɢ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɟ V 12 z V 22 . ɇɚɣɞɟɦ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ
127
ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ
1,35 3. 0 , 45 ɂɳɟɦ ɬɚɛɥɢɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɩɪɢ ɭɪɨɜɧɟ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ, ɜɞɜɨɟ ɦɟɧɶɲɟ Fɷɤɫɩ
Fɤɪɢɬ
D
0,05 ɞɥɹ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ Q 1 Q 2 n1 1 14 : 2 2 , 48 . Ɍɚɤ ɤɚɤ Fɷɤɫɩ ! Fɤɪɢɬ , ɧɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɧɟ
ɡɚɞɚɧɧɨɝɨ, ɬ.ɟ. ɩɪɢ
ɩɪɢɧɢɦɚɟɬɫɹ, ɪɚɡɥɢɱɢɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢ ɡɧɚɱɢɦɨ. ɉɪɢɛɨɪɵ ɜɬɨɪɨɝɨ ɡɚɜɨɞɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɹɬ ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ ɫ ɦɟɧɶɲɟɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɟɣ, ɫ ɦɟɧɶɲɢɦ ɪɚɡɛɪɨɫɨɦ ɢ ɩɨɷɬɨɦɭ ɛɨɥɟɟ ɩɪɟɞɩɨɱɬɢɬɟɥɶɧɵ.
12.1.4. ɋɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɨɣ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɫ ɝɢɩɨɬɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɟɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɉɭɫɬɶ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɚɹ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɢ ɟɫɬɶ ɨɫɧɨɜɚɧɢɹ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ (ɫɤɚɠɟɦ, ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɯ ɢɫɩɵɬɚɧɢɣ), ɱɬɨ ɝɢɩɨɬɟɬɢɱɟɫɤɚɹ (ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɦɚɹ) ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɪɚɜɧɚ V 02 . ɂɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɢɡɜɥɟɱɟɧɚ ɜɵɛɨɪɤɚ ɨɛɴɟɦɚ n ɢ ɩɨ ɧɟɣ ɜɵɱɢɫɥɟɧɚ ɢɫɩɪɚɜɥɟɧɧɚɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ s 2 ɫ Q n 1 ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ. Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ, ɡɧɚɱɢɦɨ ɥɢ ɨɬɥɢɱɢɟ s 2 ɨɬ V 02 . Ʉɚɤ ɧɭɥɟɜɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ ɜɵɞɜɢɝɚɟɦ H 0 : V 2 V 02 . ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɩɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ, ɟɫɥɢ ɧɭɠɧɨ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɩɪɢɛɨɪɨɜ, ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɨɜ, ɫɬɚɧɤɨɜ, ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɶ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɢɡɜɟɫɬɧɚ ɞɨɩɭɫɬɢɦɚɹ ɦɟɪɚ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ ɪɚɡɦɟɪɚ ɞɟɬɚɥɟɣ V 02 , ɢɡɝɨɬɨɜɥɹɟɦɵɯ ɫɬɚɧɤɨɦ-ɚɜɬɨɦɚɬɨɦ, ɢ ɩɨ ɧɚɣɞɟɧɧɨɣ ɩɨ ɜɵɛɨɪɤɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɟ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ s 2 ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ, ɡɧɚɱɢɦɨ ɥɢ ɨɬɥɢɱɢɟ s 2 ɨɬ V 02 , ɧɭɠɧɚ ɩɟɪɟɧɚɥɚɞɤɚ ɫɬɚɧɤɚ ɢɥɢ ɧɟ ɧɭɠɧɚ. ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɧɭɥɟɜɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɩɪɢɦɟɦ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢ n 1 s 2 ɧɭ . Ɇɨɠɧɨ ɞɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɨɧɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ (ɩɪɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦ ɪɚɫ2
V0
ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ ɩɪɢɡɧɚɤɚ) ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ F 2 ɫ Q n 1 ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ. ɂɬɚɤ, ɤɪɢɬɟɪɢɣ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɧɭɥɟɜɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ n 1 s 2 2 F . 2
V0
Ʉɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ ɫɬɪɨɢɬɫɹ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɜɢɞɚ ɚɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ. 1). ɇɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 : V 2 V 02 . Ⱥɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H1 : V 2 ! V 02 . ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɫɬɪɨɢɦ ɩɪɚɜɨɫɬɨɪɨɧɧɸɸ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ 2 P F 2 ! F ɤɪɢɬ D.
128
Ʌɟɤɰɢɢ 11–12 2 ɉɨ ɬɚɛɥɢɰɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F 2 ɧɚɯɨɞɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟ F ɤɪɢɬ , ɢ, ɫɪɚɜɧɢɜɚɹ
2 2 2 2 2 2 F ɷɤɫɩ ɫ F ɤɪɢɬ , ɩɪɢ F ɷɤɫɩ ! F ɤɪɢɬ ɨɬɤɥɨɧɹɟɦ ɧɭɥɟɜɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ, ɩɪɢ F ɷɤɫɩ F ɤɪɢɬ
ɩɪɢɧɢɦɚɟɦ ɧɭɥɟɜɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ. 2). ɇɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 : V 2
V 02 . Ⱥɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 1 : V 2 z V 02 .
ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɫɬɪɨɢɦ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɭɸ ɞɜɭɫɬɨɪɨɧɧɸɸ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɣ 2 P F 2 F ɤɪɢɬ.ɥɟɜ
D
,
2 P F 2 ! F ɤɪɢɬ.ɩɪɚɜ
D
. 2 2 ȼ ɬɚɛɥɢɰɟ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɯ ɬɨɱɟɤ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F 2 ɩɪɢɜɨɞɹɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ «ɩɪɚɜɵɟ» ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ. ɗɬɨ ɡɚɬɪɭɞɧɟɧɢɟ ɦɨɠɧɨ ɨɛɨɣɬɢ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ: ɬɚɤ 2 2 ɢ F 2 t F ɤɪɢɬ.ɥɟɜ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵ ɢ ɜ ɫɭɦɦɟ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬ ɤɚɤ ɫɨɛɵɬɢɹ F 2 F ɤɪɢɬ.ɥɟɜ ɜɫɟ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɫɨɛɵɬɢɣ, ɬɨ 2 2 P F 2 F ɤɪɢɬ.ɥɟɜ P F 2 t F ɤɪɢɬ.ɥɟɜ 1. 2 2 ɉɨɷɬɨɦɭ P F 2 F ɤɪɢɬ.ɥɟɜ ɧɚɯɨɞɢɦ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ P F 2 t F ɤɪɢɬ.ɥɟɜ 1
D
. 2 ɧɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ, ɜ ɩɪɨ-
2 2 2 F ɤɪɢɬ.ɥɟɜ ɢɥɢ F 2 ! F ɤɪɢɬ.ɩɪɚɜ ɉɪɢ F ɷɤɫɩ ɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ – ɩɪɢɧɢɦɚɟɬɫɹ. 3). ɇɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 : V 2 V 02 . Ⱥɥɶɬɟɪɧɚɬɢɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 1 : V 2 V 02 . Ʌɟɜɨɫɬɨɪɨɧɧɹɹ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ ɫɬɪɨɢɬɫɹ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ 2 P F 2 t F ɤɪɢɬ 1D .
2 2 F ɤɪɢɬ.ɥɟɜ ɧɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ, ɜ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ – ɩɪɢɉɪɢ F ɷɤɫɩ ɧɢɦɚɟɬɫɹ.
12.2. ɇɟɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ ɝɢɩɨɬɟɡɵ. Ʉɪɢɬɟɪɢɢ ɫɨɝɥɚɫɢɹ ɉɢɪɫɨɧɚ ɢ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ ȼ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɯ ɩɚɪɚɝɪɚɮɚɯ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɥɢɫɶ ɦɟɬɨɞɵ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɬɞɟɥɶɧɵɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. Ɉɫɨɛɨɟ ɦɟɫɬɨ ɡɚɧɢɦɚɸɬ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɫɨɝɥɚɫɨɜɚɧɧɨɫɬɢ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɦ (ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɵɦ) ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ. Ʉɪɢɬɟɪɢɢ ɫɨɝɥɚɫɢɹ ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɨɬɜɟɬɢɬɶ ɧɚ ɜɨɩɪɨɫ ɨ ɬɨɦ, ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɥɢ ɪɚɡɥɢɱɢɹ ɦɟɠɞɭ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɦ ɢ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹɦɢ ɫɬɨɥɶ ɧɟɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɵɦɢ, ɱɬɨ ɨɧɢ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɩɪɢɩɢɫɚɧɵ ɜɥɢɹɧɢɸ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ, ɢɥɢ ɧɟɬ. ɉɭɫɬɶ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɟɧ, ɧɨ ɟɫɬɶ ɨɫɧɨɜɚɧɢɹ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɨɧ ɢɦɟɟɬ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɜɢɞ. ȼ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ, ɟɫɥɢ ɜɵɩɨɥɧɹɸɬɫɹ ɭɫɥɨɜɢɹ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɣ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨɣ ɬɟɨɪɟɦɵ, ɟɫɬɶ ɨɫɧɨɜɚɧɢɹ ɨɠɢɞɚɬɶ, ɱɬɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ – ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɟ; ɟɫɥɢ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɢ ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɪɚɜɧɵ, ɬɨ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɚɹ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ ɉɭɚɫɫɨɧɚ ɢ ɬ.ɞ. ɗɬɢ ɭɬɜɟɪɠɞɟ-
129
ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ
ɧɢɹ ɧɨɫɹɬ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɝɢɩɨɬɟɡ, ɚ ɧɟ ɤɚɬɟɝɨɪɢɱɟɫɤɢɯ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɣ, ɢ ɞɨɥɠɧɵ ɛɵɬɶ ɩɨɞɜɟɪɝɧɭɬɵ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɩɪɨɜɟɪɤɟ. Ⱦɥɹ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡɵ H 0 : ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɞɚɧɧɵɣ ɜɢɞ (ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɵɣ, ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɣ ɢ ɞɪ.) ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɨ ɩɨɞɨɛɪɚɧɧɚɹ ɫ. ɜ., ɤɨɬɨɪɚɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɪɢɬɟɪɢɟɦ ɫɨɝɥɚɫɢɹ. Ʉɪɢɬɟɪɢɣ ɫɨɝɥɚɫɢɹ ɟɫɬɶ ɤɪɢɬɟɪɢɣ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɨ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɦɨɦ ɡɚɤɨɧɟ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. ɂɦɟɟɬɫɹ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ ɫɨɝɥɚɫɢɹ: F 2 (ɯɢ- ɤɜɚɞɪɚɬ) ɉɢɪɫɨɧɚ, Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ, Ɇɢɡɟɫɚ – ɋɦɢɪɧɨɜɚ ɢ ɞɪ.. Ɇɵ ɩɨɡɧɚɤɨɦɢɦɫɹ ɫ ɤɪɢɬɟɪɢɹɦɢ F 2 ɢ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ.
12.2.1. Ʉɪɢɬɟɪɢɣ ɉɢɪɫɨɧɚ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣ, ɤɨɝɞɚ ɜɵɛɨɪɤɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬɫɹ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɦ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɦ ɪɹɞɨɦ. Ⱦɥɹ ɢɡɭɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɩɪɨɜɟɞɟɧɨ n ɨɩɵɬɨɜ, ɞɢɚɩɚɡɨɧ ɧɚɛɥɸɞɚɜɲɢɯɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɪɚɡɛɢɬ ɧɚ q ɢɧɬɟɪɜɚɥɨɜ. Ɋɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: ɂɧɬɟɪɜɚɥɵ pi
mi n
x1 ...x2
x2 ...x3
…
x ...x
p1
p2
…
pq
q 1
q
ɝɞɟ mi – ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ ɜ i -ɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ,
q
¦m
i
n.
i 1
ȼ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɦɵɦ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɦ ɡɚɤɨɧɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɜɵɱɢɫɥɢɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɫ.ɜ. ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ pi P xi X xi 1 ɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɜɟɥɢɱɢɧɭ q
2 n p p , ¦ i i i 1 pi ɤɨɬɨɪɚɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬ ɫɬɟɩɟɧɶ ɪɚɫɯɨɠɞɟɧɢɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɢ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɢɯ mi ɞɚɧɧɵɯ. ɍɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ pi , ɩɨɥɭɱɢɦ n
F
2
2 F ɧɚɛɥ
q
m
i
npi
2
. npi Ɇɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɩɪɢ n o f ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɷɬɨɣ ɫ.ɜ., ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨ ɨɬ ɬɨɝɨ, ɤɚɤɨɜ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, ɫɬɪɟɦɢɬɫɹ ɤ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɉɢɪɫɨɧɚ F 2 ɫ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ Q q 1 k , ɝɞɟ k – ɱɢɫɥɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɨɰɟɧɢɜɚɟɦɵɯ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɧɚɛɥɸɞɟɧɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ. ȿɫɥɢ ɩɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɫɨɝɥɚɫɢɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɭɚɫɫɨɧɚ, ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɨɰɟɧɢɜɚɟɬɫɹ ɩɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɦ ɞɚɧɧɵɦ, ɬɨ Q q 2 , ɟɫɥɢ ɩɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɫɨɝɥɚɫɢɟ ɫ ɧɨɪ-
¦ i 1
130
Ʌɟɤɰɢɢ 11–12
ɦɚɥɶɧɵɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɦ ɞɚɧɧɵɦ ɨɰɟɧɢɜɚɸɬɫɹ ɞɜɚ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ X ɢ V , ɬɨ Q q 3 ɢ ɬ.ɞ. ɉɪɢ ɩɨɥɧɨɦ ɫɨɜɩɚɞɟɧɢɢ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ F 2 0 , ɜ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ F 2 ! 0 . Ɂɚɞɚɜɲɢɫɶ ɭɪɨɜɧɟɦ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ 2 D , ɧɚɯɨɞɢɦ ɬɚɛɥɢɱɧɨɟ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ FD2 , ɩɪɢ F ɧɚɛɥ FD2 ɩɪɢɧɢɦɚɟɦ 2 ɝɢɩɨɬɟɡɭ H 0 , ɩɪɢ F ɧɚɛɥ t FD2 ɨɬɤɥɨɧɹɟɦ ɝɢɩɨɬɟɡɭ H 0 ɨ ɜɢɞɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ.
ȼ ɫɜɹɡɢ ɫ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɢɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɨɦ ɡɚɤɨɧɚ ɉɢɪɫɨɧɚ F 2 ɞɨɥɠɧɵ ɜɵɩɨɥɧɹɬɶɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɭɫɥɨɜɢɹ: 1) ɜɵɛɨɪɤɚ ɞɨɥɠɧɚ ɨɛɪɚɡɨɜɵɜɚɬɶɫɹ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɨɬɛɨɪɚ; 2) ɨɛɴɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ n ɞɨɥɠɟɧ ɛɵɬɶ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɢɦ (ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɧɟ ɦɟɧɟɟ 50 ɟɞɢɧɢɰ); 3) ɱɢɫɥɟɧɧɨɫɬɶ ɤɚɠɞɨɣ ɝɪɭɩɩɵ ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɧɟ ɦɟɧɟɟ 5 (ɟɫɥɢ ɷɬɨ ɭɫɥɨɜɢɟ ɧɟ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ, ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɨɛɴɟɞɢɧɟɧɢɟ ɦɚɥɨɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɪɜɚɥɨɜ). ɉɪɢɦɟɪ: ɇɚ ɷɤɡɚɦɟɧɟ ɷɤɡɚɦɟɧɚɬɨɪ ɡɚɞɚɟɬ ɫɬɭɞɟɧɬɭ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɢɧ ɜɨɩɪɨɫ ɩɨ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɱɟɬɵɪɟɯ ɱɚɫɬɟɣ ɤɭɪɫɚ. ɂɡ 100 ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ 26 ɩɨɥɭɱɢɥɢ ɜɨɩɪɨɫ ɩɨ ɩɟɪɜɨɣ ɱɚɫɬɢ, 32 - ɩɨ ɜɬɨɪɨɣ, 17 - ɩɨ ɬɪɟɬɶɟɣ, ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ - ɩɨ ɱɟɬɜɟɪɬɨɣ. ɉɪɢ ɭɪɨɜɧɟ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D=0,05 ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɝɢɩɨɬɟɡɭ, ɱɬɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɜɨɩɪɨɫ ɩɨ ɥɸɛɨɣ ɢɡ ɱɟɬɵɪɟɯ ɱɚɫɬɟɣ ɞɥɹ ɩɪɢɲɟɞɲɟɝɨ ɧɚ ɷɤɡɚɦɟɧ ɨɞɢɧɚɤɨɜɚ. Ɉɛɴɟɦɵ ɜɵɛɨɪɤɢ ɢ ɝɪɭɩɩ n 100 , m1 26 , m2 32 , m3 17 , m4
100 26 32 17
25 . ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɜɨɩɪɨɫ ɩɨ ɥɸɛɨɣ ɢɡ ɱɟ-
ɬɵɪɟɯ ɱɚɫɬɟɣ ɨɞɢɧɚɤɨɜɚ, ɬ.ɟ. pi
p
0 , 25 , npi
25; i 1, 2 ,3, 4 .
ɇɚɛɥɸɞɚɟɦɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ
F
2 ɧɚɛɥ
26 25
2
2
17 25
2
25 25
2
25 25 25 1 49 64 114 4,56 . 25 25 Ɍɚɤ ɤɚɤ ɧɢ ɨɞɢɧ ɢɡ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɦɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟ ɧɚɯɨɞɢɥɫɹ ɩɨ ɜɵɛɨɪɤɟ, ɬɨ k 0 ɛ q 4 ɢ ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ Q 4 1 0 3 . ɉɨ ɬɚɛɥɢɰɟ ɞɥɹ Q 3 ɢ D=0,05 ɧɚɯɨɞɢɦ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɬɨɱɤɭ F ɤɪ2
25
32 25
2 7 ,82 . Ɍɚɤ ɤɚɤ F ɧɚɛɥ
4 ,56 F ɤɪ2
7 ,82 , ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨ ɪɚɜɧɨɜɟɪɨɹɬ-
ɧɨɫɬɢ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɜɨɩɪɨɫ ɩɨ ɥɸɛɨɣ ɢɡ ɱɟɬɵɪɟɯ ɱɚɫɬɟɣ ɤɭɪɫɚ ɧɟ ɨɬɜɟɪɝɚɟɬɫɹ.
ɉɪɢɦɟɪ: Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɏ ɜ ɜɵɛɨɪɤɟ ɡɚɞɚɧɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɦ ɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɵɦ ɪɹɞɨɦ (ɩɟɪɜɵɣ ɢ ɜɬɨɪɨɣ ɫɬɨɥɛɰɵ ɬɚɛɥɢɰɵ). ɉɪɢ ɭɪɨɜɧɟ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D=0,05 ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɝɢɩɨɬɟɡɭ ɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ ɏ ɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ. xi
*
mi
mi
n'Ɏ
*
mi mi
m
* i
mi
2
m
* i
mi mi
2
131
ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ
9,0 – 9,1 9,1 – 9,2 9,2 – 9,3 9,3– 9,4 9,4 – 9,5 9,5 – 9,6 9,6 – 9,7 9,7 – 9,8 9,8 – 9,9 9,9 – 10,0 10,0 – 10,1 10,1 – 10,2 10,2 – 10,3 10,3 – 10,4 ɂɬɨɝɨ:
2 5 27 52 117 203 228 180 105 60 14 4 2 1
1,4 6,4 23,2 62,0 126 189 214,2 181,3 115,7 54,7 19,5 5,2 1,1 0
1000
999,7
-0,8
0,64
0,08
3,8 -10 -9 4 13,8 1,3 10,7 5,3 5,5
14,4 100 81 16 190,4 1,7 174,5 28,1 30,3
0,62 1,61 0,64 0,08 0,89 0,01 0,99 0,51 1,55
0,7
0,49
0,08
–
–
7,06
ɉɨ ɞɚɧɧɨɦɭ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɦɭ ɪɹɞɭ ɫɨɫɬɚɜɢɦ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɵɣ ɪɹɞ (ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɜɨɡɶɦɟɦ ɫɟɪɟɞɢɧɵ ɢɧɬɟɪɜɚɥɨɜ, ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ – ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɚɫɬɨɬɵ):
X w
X w
9,05
9,15
9,25
9,35
9,45
9,55
9,65
0,002 0,005 0,027 0,052 0,117 0,203 0,228 9,75
9,85
9,95 10,05 10,15 10,25 10,35
0,180 0,105 0,060 0,014 0,004 0,002 0,001
Ⱦɥɹ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɪɹɞɚ ɧɚɣɞɟɦ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ X B
9 , 643 ɢ ɢɫ-
ɩɪɚɜɥɟɧɧɭɸ ɜɵɛɨɪɨɱɧɭɸ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ sB2 0,166 . ɉɪɢɧɢɦɚɹ ɢɯ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɬɨɱɟɱɧɵɯ ɨɰɟɧɨɤ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɩɨ ɬɚɛɥɢɰɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɮɭɧɤɰɢɢ Ʌɚɩɥɚɫɚ ɧɚɣɞɟɦ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɱɚɫɬɨɬɵ (ɬɪɟɬɢɣ ɫɬɨɥɛɟɰ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɬɚɛɥɢɰɵ). ɉɪɢ ɞɚɥɶɧɟɣɲɢɯ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹɯ ɨɛɴɟɞɢɧɢɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɵ ɫ ɦɚɥɵɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ (ɱɢɫɥɚ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ ɨɛɜɟɞɟɧɵ ɪɚɦɤɚɦɢ) ɢ ɧɚɣɞɟɦ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɨɟ ɡɧɚ2 ɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ F ɧɚɛɥ 7 , 06 (ɱɟɬɜɟɪɬɵɣ – ɲɟɫɬɨɣ ɫɬɨɥɛɰɵ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɬɚɛɥɢɰɵ). ɉɪɢ ɭɪɨɜɧɟ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D=0,05 ɢ ɱɢɫɥɟ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ Q 11 1 2 8 ɬɚɛɥɢɱɧɨɟ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ F ɤɪ2 15,5 . 2 Ɍɚɤ ɤɚɤ F ɧɚɛɥ
7 , 06 F ɤɪ2 15 , 5 , ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦ ɡɚɤɨɧɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɏ ɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɧɟ ɩɪɨɬɢɜɨɪɟɱɢɬ ɨɩɵɬɧɵɦ ɞɚɧɧɵɦ (ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɧɟ ɨɬɜɟɪɝɚɟɬɫɹ).
132
Ʌɟɤɰɢɢ 11–12
12.2.2. Ʉɪɢɬɟɪɢɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ ȼɟɥɢɱɢɧɚ F 2 ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɝɪɭɩɩɢɪɨɜɤɢ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɩɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚɦ, ɱɬɨ ɜɧɨɫɢɬ ɜ ɨɰɟɧɤɭ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɫɥɭɱɚɣɧɨɫɬɢ.
ȼ ɪɹɞɟ ɫɥɭɱɚɟɜ ɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɞɨɛɧɟɟ ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɤɪɢɬɟɪɢɟɦ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ, ɨɫɧɨɜɚɧɧɨɦ ɧɚ ɫɪɚɜɧɟɧɢɢ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F * x (ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɨɣ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɨɩɵɬɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ) ɢ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɦɨɣ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F x . ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɦɟɪɵ ɪɚɫɯɨɠɞɟɧɢɹ ɛɟɪɟɬɫɹ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɦɟɠɞɭ ɨɩɵɬɧɨɣ F * x ɢ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɣ F x ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚɤɨɩɥɟɧɧɵɯ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɚɫɬɨɬ,
Dn
max ' n x
max F * x F x . x
Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɟɫɥɢ ɪɚɫɯɨɠɞɟɧɢɹ ɫɥɢɲɤɨɦ ɜɟɥɢɤɢ, ɬɨ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ F x , ɨɬɜɟɪɝɚɟɬɫɹ. ɉɪɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɢɯ ɨɛɴɟɦɚɯ ɜɵɛɨɪɤɢ (ɤɚɤ ɩɨɤɚɡɵɜɚɟɬ ɩɪɚɤɬɢɤɚ, ɩɪɢ n ! 20 ) ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ ɤɪɢɬɟɪɢɹ, ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɧɵɦ Ⱥ.ɇ. Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɵɦ, ɮɨɪɦɚɥɶɧɨ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɵɦ ɩɪɢ n o f : ɟɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ F x ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚ, ɬɨ ɩɪɢ nof f k 2 k 2t 2 , ɩɪɢ t ! 0; ° ¦ 1 e P Dn n t o K t ® k f n of °0 , ɩɪɢ t d 0. ¯ ɉɪɢ ɡɚɞɚɧɧɨɦ ɭɪɨɜɧɟ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D ɤɪɢɬɟɪɢɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬ ɨɫɧɨɜɧɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ H 0 ɨ ɜɢɞɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F x , ɟɫɥɢ Dn ! D1D , ɝɞɟ D1D – ɤɜɚɧɬɢɥɶ ɭɪɨɜɧɹ 1 D ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ D ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ H 0 . ȿɫɥɢ Dn d D1D , ɬɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɞɚɧɧɵɟ ɧɟ ɩɪɨɬɢɜɨɪɟɱɚɬ ɝɢɩɨɬɟɡɟ H 0 . Ʉɜɚɧɬɢɥɶ D1D ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ t K t1D 1 D , D1D 1D . n
133
ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ
Ɍɚɛɥɢɰɵ ɮɭɧɤɰɢɢ K t ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɜ ɥɢɬɟɪɚɬɭɪɟ (ɫɦ. ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɟ). ɉɪɢ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɢ ɤɪɢɬɟɪɢɹ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ ɩɪɨɞɟɥɵɜɚɸɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɞɟɣɫɬɜɢɹ: 1. ɉɨ ɨɩɵɬɧɵɦ ɞɚɧɧɵɦ ɜɵɞɜɢɝɚɟɬɫɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨ ɡɚɤɨɧɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. 2. ȼɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ tɷɤɫɩ Dn n , ɝɞɟ Dn max F * x F x . x
3. Ɂɚɞɚɟɬɫɹ ɭɪɨɜɟɧɶ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D. 4. ɉɨ ɬɚɛɥɢɰɟ ɮɭɧɤɰɢɢ K t ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ tɤɪɢɬ
t1D ɬɚɤɨɟ, ɱɬɨ K t1D 1 D .
5. ȿɫɥɢ tɷɤɫɩ ! tɤɪɢɬ , ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨɬɜɟɪɝɚɟɬɫɹ, ɟɫɥɢ tɷɤɫɩ d tɤɪɢɬ , ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɧɟ ɨɬɜɟɪɝɚɟɬɫɹ. ɉɪɢɦɟɧɢɦ ɤɪɢɬɟɪɢɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ ɤ ɡɚɞɚɱɟ, ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɨɣ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦ ɩɪɢɦɟɪɟ. ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɬɚɛɥɢɰɭ:
xn
wn
F * xn
F xn
ɫ
9,05 9,15 9,25 9,35 9,45 9,55 9,65 9,75 9,85 9,95 10,05 10,15 10,25 10,35
0,002 0,005 0,027 0,052 0,117 0,203 0,228 0,180 0,105 0,060 0,014 0,004 0,002 0,001
0,002 0,007 0,034 0,086 0,203 0,406 0,634 0,814 0,919 0,979 0,993 0,997 0,999 1,000
0,000 0,001 0,009 0,039 0,123 0,288 0,518 0,741 0,894 0,968 0,993 0,999 1,000 1,000
0,002 0,006 0,025 0,047 0,080 0,118 0,116 0,073 0,025 0,011 0,000 0,002 0,001 0,000
ɇɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɨɞɭɥɹ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɜɵɞɟɥɟɧɨ ɠɢɪɧɵɦ ɲɪɢɮɬɨɦ, Dɷɤɫɩ 0,118 . Ⱦɥɹ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɹɞɚ n 14 ,
tɷɤɫɩ
0,118 14
0,442 . ɉɪɢ ɬɨɦ ɠɟ ɭɪɨɜɧɟ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D=0,05 tɤɪɢɬ
1,36 .
Ɍɚɤ ɤɚɤ tɷɤɫɩ tɤɪɢɬ , ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɧɟ ɨɬɜɟɪɝɚɟɬɫɹ.
Ʌɟɤɰɢɢ 13-14 ɋɌȺɌɂɋɌɂɑȿɋɄɈȿ ɂɋɋɅȿȾɈȼȺɇɂȿ ɁȺȼɂɋɂɆɈɋɌȿɃ. ɄɈɊɊȿɅəɐɂɈɇɇɕɃ ɂ ɊȿȽɊȿɋɋɂɈɇɇɕɃ ȺɇȺɅɂɁ
13.
14.
Ɉɫɧɨɜɵ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ 13.1. Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ 13.2. ɗɥɟɦɟɧɬɵ ɬɟɨɪɢɢ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ. Ⱥɧɚɥɢɡ ɩɚɪɧɵɯ ɫɜɹɡɟɣ 13.3. Ɉɰɟɧɤɚ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɹ ɫɜɹɡɢ ɩɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɦ ɞɚɧɧɵɦ. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɟ ɩɨɥɟ 13.4. Ⱥɧɚɥɢɡ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ 13.4.1. Ɍɨɱɟɱɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ 13.4.2. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ Ɉɫɧɨɜɵ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ 14.1. ɍɫɥɨɜɧɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ. ȼɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ 14.2. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɚɹ ɬɚɛɥɢɰɚ. ȼɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɥɢɧɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ 14.3. Ʌɢɧɟɣɧɚɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɹ. ȼɵɛɨɪɨɱɧɵɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ
13. Ɉɫɧɨɜɵ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ 13.1. Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ ɉɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɦɧɨɝɢɯ ɡɚɞɚɱ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɢ ɨɰɟɧɢɬɶ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɦɟɠɞɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɩɪɢɦɟɪɨɜ. ɉɪɢɦɟɪ: Ⱦɜɨɟ ɢɝɪɚɸɬ ɜ ɤɨɫɬɢ. X 1 – ɱɢɫɥɨ ɨɱɤɨɜ ɭ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢɝɪɨɤɚ, X 2 – ɭ ɜɬɨɪɨɝɨ, Y – ɫɭɦɦɚ, ɤɨɬɨɪɭɸ ɩɨɥɭɱɚɟɬ (ɢɥɢ ɩɥɚɬɢɬ) ɩɟɪɜɵɣ ɢɝɪɨɤ. ɉɪɢɦɟɪ:
Y – ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɢɡɧɨɫɚ (ɜ ɦɦ) ɩɪɨɬɟɤɬɨɪɚ ɲɢɧɚ ɧɚ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɹɯ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɬɢɩɚ ɩɨɫɥɟ 10000 ɤɦ ɩɪɨɛɟɝɚ, X 1 – ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɧɚɝɪɭɡɤɢ (ɜ ɤɝ) ɧɚ ɤɨɥɟɫɨ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɹ, X 2 – ɬɢɩ ɩɪɨɬɟɤɬɨɪɚ (ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɬɪɢ ɬɢɩɚ ɩɪɨɬɟɤɬɨɪɨɜ). ȿɫɥɢ ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɫɬɟɩɟɧɶ ɜɥɢɹɧɢɹ X 1 ɢ X 2 ɧɚ Y , ɬɨ ɦɨɠɧɨ ɞɚɬɶ ɪɟɤɨɦɟɧɞɚɰɢɢ ɩɨ ɩɪɨɞɥɟɧɢɸ ɞɨɥɝɨɜɟɱɧɨɫɬɢ ɲɢɧɵ.
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɣ ɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ
135
ɉɪɢɦɟɪ: ɉɭɫɬɶ Y1 – ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɯɢɦɢɱɟɫɤɨɣ ɭɫɬɚɧɨɜɤɢ (ɜ ɬ/ɱ), Y2 – ɩɪɨɰɟɧɬ ɛɪɚɤɚ ɝɨɬɨɜɨɣ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ. Ɍɟɯɧɨɥɨɝ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬ, ɱɬɨ ɧɚ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ Y1 ɢ Y2 ɜɥɢɹɸɬ ɜ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɬɚɤɢɟ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɱɟɫɤɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ, ɤɚɤ: X 1 – ɜɥɚɠɧɨɫɬɶ ɫɵɪɶɹ (ɜ %), X 2 – ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɜ ɪɟɚɤɬɨɪɟ ɭɫɬɚɧɨɜɤɢ, X 3 – ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɩɪɢɦɟɫɢ (ɜ %). ȿɫɥɢ ɧɚɣɬɢ ɜɢɞ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ Y1 ɢ Y2 ɨɬ X 1 , X 2 ,
X 3 , ɬɨ ɦɨɠɧɨ ɩɨɞɨɛɪɚɬɶ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɣ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɱɟɫɤɢɣ ɪɟɠɢɦ (ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɩɪɢ ɞɨɩɭɫɬɢɦɨɦ ɩɪɨɰɟɧɬɟ ɛɪɚɤɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɛɭɞɟɬ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɣ ɢɥɢ ɩɪɢ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɵɦ ɛɭɞɟɬ ɩɪɨɰɟɧɬ ɛɪɚɤɚ). ɉɪɢɦɟɪ: ɉɭɫɬɶ Y – ɭɫɩɟɜɚɟɦɨɫɬɶ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ ɩɨ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɞɢɫɰɢɩɥɢɧɟ (ɢɡɦɟɪɹɟɦɚɹ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɫɪɟɞɧɢɦ ɛɚɥɥɨɦ ɧɚ ɷɤɡɚɦɟɧɟ). Ɋɟɤɬɨɪɚɬ ɩɪɨɜɨɞɢɬ ɨɛɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ ɞɚɧɧɨɝɨ ɜɭɡɚ ɫ ɰɟɥɶɸ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɹ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɡɧɚɱɢɦɵɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ, ɜɥɢɹɸɳɢɯ ɧɚ Y . ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɫɞɟɥɚɧɨ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɨ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɷɬɢɦɢ ɮɚɤɬɨɪɚɦɢ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ: X 1 – ɜɪɟɦɹ, ɡɚɬɪɚɱɢɜɚɟɦɨɟ ɫɬɭɞɟɧɬɨɦ ɧɚ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɭɸ ɪɚɛɨɬɭ, X 2 – ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɪɨɩɭɳɟɧɧɵɯ ɡɚɧɹɬɢɣ, X 3 – ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɫɬɢɩɟɧɞɢɢ. ɋɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɥɢ ɜɡɚɢɦɨɫɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ ɮɚɤɬɨɪɚɦɢ
X 1 , X 2 , X 3 ? ȼ ɤɚɤɨɣ ɦɟɪɟ ɨɧɢ ɨɤɚɡɵɜɚɸɬ ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɚ ɭɫɩɟɜɚɟɦɨɫɬɶ? ɉɪɢɜɟɞɟɧɧɵɟ ɩɪɢɦɟɪɵ ɧɟ ɢɫɱɟɪɩɵɜɚɸɬ ɜɫɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɢ ɡɚɞɚɱ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɝɨ ɬɢɩɚ, ɧɨ ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɨɬɦɟɬɢɬɶ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɨɫɬɢ. 1. ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɫɜɹɡɚɧɵ ɫɬɪɨɝɨɣ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶɸ (ɩɪɢɦɟɪ 1: ɯɨɬɹ Y ɢ ɫɥɭɱɚɣɧɚ, ɧɨ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ X 1 ɢ X 2 ). 2. Ɂɚɜɢɫɢɦɨɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɟ Y ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ, ɞɚɠɟ ɟɫɥɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ X 1 , X 2 , …, X k ɬɚɤɨɜɵɦɢ ɧɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɡɧɚɱɟɧɢɟ Y ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ X 1 , X 2 , …, X k , ɤɨɬɨɪɵɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶ ɜɵɞɟɥɢɥ (ɩɨ ɟɝɨ ɦɧɟɧɢɸ, ɨɧɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɢɦɢ), ɧɨ ɢ ɦɧɨɝɢɦɢ ɞɪɭɝɢɦɢ ɧɟɭɱɬɟɧɧɵɦɢ ɮɚɤɬɨɪɚɦɢ, ɚ ɬɚɤɠɟ ɨɲɢɛɤɚɦɢ ɢɡɦɟɪɟɧɢɣ. ɗɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɫɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ Y ɢ X 1 , X 2 , …, X k ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ, ɚ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɣ – ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ X 1 , X 2 , …, X k ɜɥɢɹɟɬ ɧɚ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɝɨ Y ɱɟɪɟɡ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɡɚɤɨɧɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Y . ȿɫɥɢ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ X 1 , X 2 , …, X k ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɢɡɦɟɧɟɧɢɸ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ Y , ɫɜɹɡɶ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɣ. 3. ɇɟɤɨɬɨɪɵɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɦɨɝɭɬ ɢɦɟɬɶ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ, ɚ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ – ɤɚɱɟɫɬɜɟɧɧɵɣ (ɩɪɢɦɟɪ 2). 4. ɇɚɫ ɦɨɠɟɬ ɢɧɬɟɪɟɫɨɜɚɬɶ ɥɢɛɨ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɝɨ Y ɨɬ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ X 1 , X 2 , …, X k , ɥɢɛɨ ɜɡɚɢɦɨɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɦɟɠɞɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ (ɧɟɨɛɹɡɚ-
136
Ʌɟɤɰɢɢ 13–14
ɬɟɥɶɧɨ ɦɟɠɞɭ ɜɫɟɦɢ). Ɍɚɤ, ɜ ɩɪɢɦɟɪɟ 4 ɦɨɠɟɬ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɬɶ ɜɡɚɢɦɨɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɦɟɠɞɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ X 1 , X 2 ɢ X 3 . ɉɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɟ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɢ ɩɪɢɜɨɞɹɬ ɤ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɚɦ ɡɚɞɚɱ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɭɩɪɨɳɟɧɧɨ ɦɨɠɧɨ ɤɥɚɫɫɢɮɢɰɢɪɨɜɚɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ: 1) ɡɚɞɚɱɢ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ – ɡɚɞɚɱɢ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɧɚɥɢɱɢɹ ɜɡɚɢɦɨɫɜɹɡɟɣ ɦɟɠɞɭ ɨɬɞɟɥɶɧɵɦɢ ɝɪɭɩɩɚɦɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ; 2) ɡɚɞɚɱɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ – ɡɚɞɚɱɢ, ɫɜɹɡɚɧɧɵɟ ɫ ɩɪɨɜɟɪɤɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɨ ɧɚɥɢɱɢɢ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɣ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɦɟɠɞɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦ Y ɢ ɨɞɧɢɦ ɢɥɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɦɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ X 1 , X 2 , …, X k , ɤɨɬɨɪɵɟ ɧɨɫɹɬ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ. 3) ɡɚɞɚɱɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ – ɡɚɞɚɱɢ, ɜ ɤɨɬɨɪɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ X 1 , X 2 , …, X k , ɧɨɫɹɬ ɤɚɱɟɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɥɢ ɢɦɟɧɨɜɚɧɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ, ɚ ɢɫɫɥɟɞɭɟɬɫɹ ɢ ɭɫɬɚɧɚɜɥɢɜɚɟɬɫɹ ɫɬɟɩɟɧɶ ɢɯ ɜɥɢɹɧɢɹ ɧɚ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɟ Y .
13.2. ɗɥɟɦɟɧɬɵ ɬɟɨɪɢɢ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ. Ⱥɧɚɥɢɡ ɩɚɪɧɵɯ ɫɜɹɡɟɣ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɡɚɞɚɱɭ ɨ ɜɵɛɨɪɟ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɹ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ X ɢ Y . ɉɭɫɬɶ ɫɢɫɬɟɦɚ X ,Y ɢɦɟɟɬ ɞɜɭɦɟɪɧɵɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
f x, y
1 2 xy
2SV xV y 1 r
e
2 ª y my « x mx « V2 V 2y x ¬«
1 2 2 1 rxy
2
2 rxy
º x mx y m y » Vx Vy » ¼»
,
ɝɞɟ mx , m y - ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɠɢɞɚɧɢɹ, V x , V y – ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ, rxy – ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɜɟɥɢɱɢɧ X ɢ Y . ɍɫɥɨɜɧɚɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Y ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ X x ,
f y x
1
V Y x 2S
y m
e
2
Y x
2V Y2 x
,
ɬɚɤɠɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ mY x (ɭɫɥɨɜɧɨɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ) ɢ V Y2 x (ɭɫɥɨɜɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ) ɩɪɢ ɡɧɚɱɟɧɢɢ
X x , ɤɨɬɨɪɵɟ ɫɜɹɡɚɧɵ ɫ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ ɢɫɯɨɞɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:
M Y X
x
D Y X
x V Y2 x
mY x
my r
Vy m ax , Vx
V y 2 1 r 2 .
ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɥɢɧɢɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɪɹɦɨɣ, ɚ ɭɫɥɨɜɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ x .
137
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɣ ɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ
ȿɫɥɢ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ X ,Y ɨɬɥɢɱɟɧ ɨɬ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ, ɬɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɭɫɥɨɜɧɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ M Y X x f x ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɢ ɧɟɥɢɧɟɣɧɵɦ. ɇɚɩɨɦɧɢɦ, ɱɬɨ ɷɬɚ ɮɭɧɤɰɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫ.ɜ. Y ɨɬ ɟɟ ɫɪɟɞɧɟɝɨ, m y . ȿɝɨ ɦɨɠɧɨ ɪɚɡɛɢɬɶ ɧɚ ɞɜɚ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ: y my f x my y f x , ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ f x ɜ ɬɨɱɤɟ x ɨɬ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ m y ɢ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɜɨɡɦɨɠɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ y ɨɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɜ ɬɨɱɤɟ x . ɉɨɤɚɠɟɦ, ɱɬɨ ɪɚɫɫɟɹɧɢɟ V y2 ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Y ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɟɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɟɫɬɶ ɫɭɦɦɚ ɞɜɭɯ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ: ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ Y ɨɬ ɟɟ ɭɫɥɨɜɧɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ f X ɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ f X ɨɬ m y .
2
M f X
M M Y X
D Y V y 2
M Y m y
my ,
M Y
M
f X m y Y f X
2
>0,1@
f X m Y f X M f X m M Y f X M f X m 2
2
M Y f X 2 M
y
y
2
2
,
y
ɬɚɤ ɤɚɤ M
f X m Y f X y
0.
Ⱦɨɤɚɠɟɦ ɩɨɫɥɟɞɧɟɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɞɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X ɢ Y , ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɹ, ɱɬɨ ɢɯ ɫɨɜɦɟɫɬɧɚɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ p x, y z 0 : f f
M
f X m Y f X ³ ³ y f x f x m p x, y dxdy y
y
f f
f § f p x, y p x, y · f x m p x dx y dy f x dy ¸ ¨³ y X ³f ³ p x p x X X f © f ¹ f f p x, y p x, y ɬɚɤ ɤɚɤ , y dy f x ³f p X x ³f p X x dy 1 . ȿɫɥɢ ɜɜɟɫɬɢ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ f
V 2f
D f X
M
f X m , V 2
y
2 y
ɬɨ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɜ ɜɢɞɟ 2
V y2 V 2f V y .
0,
2
M Y f X ,
138
Ʌɟɤɰɢɢ 13–14
ɂɡ ɷɬɨɝɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɫɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ X ɢ Y ɬɟɦ ɬɟɫɧɟɟ, ɱɟɦ ɛɨɥɶɲɢɣ ɜɤɥɚɞ ɜ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ V y2 ɜɧɨɫɢɬ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ V 2f , ɩɨɪɨɠɞɟɧɧɨɟ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ f x ɧɨɲɟɧɢɟ
M Y X
x . ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɬɚɤɨɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬɫɹ ɨɬ-
V 2f V y2
IYX
2
Vy 1 2 , Vy
ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɟ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɦ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɝɨ Y ɩɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɦɭ X. 2 2 d 1 . ȿɫɥɢ IYX 1 , ɬ.ɟ., ɂɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ 0 d IYX 2
Vy
M Y f X
2
0 , ɷɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ X ɢ Y ɫɜɹɡɚɧɵ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ
2 0 , ɥɢɧɢɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ – ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɚɹ ɩɪɹɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶɸ, Y f X , ɟɫɥɢ IYX ɦɚɹ, ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɫ.ɜ. X ɧɟ ɦɟɧɹɟɬ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɫ.ɜ. Y (ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ, ɷɬɨ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ, ɟɫɥɢ X ɢ Y ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ). 2 ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɝɨ Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɢ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ I XY X ɩɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɦɭ Y .
!
Ⱦɥɹ ɜɵɹɫɧɟɧɢɹ ɫɬɟɩɟɧɢ ɬɟɫɧɨɬɵ ɫɜɹɡɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɨɛɚ ɤɨɪ2 2 ɢ IYX . ɉɭɫɬɶ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ X ɢ Y ɫɜɹɡɚɧɵ ɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɯ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ, I XY ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶɸ, Y X 2 , ɢ X ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ -1, 0, 1 ɫ 2 2 1 , I XY 0 (ɜ ɫɢɥɭ ɫɢɦɦɟɬɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɹɦɢ 1/3 ɤɚɠɞɨɟ. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ IYX ɪɢɱɧɨɫɬɢ ɩɚɪɚɛɨɥɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ ɡɧɚɱɟɧɢɣ y ɢ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨɫɬɢ ɪɚɫ2 ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ X ). ȿɫɥɢ ɨɝɪɚɧɢɱɢɬɶɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟɦ I XY , ɬɨ ɦɨɠɟɬ ɜɨɡɧɢɤɧɭɬɶ ɥɨɠɧɨɟ ɜɩɟɱɚɬɥɟɧɢɟ, ɱɬɨ X ɢ Y ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ.
Ɋɚɧɟɟ ɩɪɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɢ ɫɢɫɬɟɦ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɜɜɨɞɢɥɫɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ M X m x Y m y rXY .
V xV y
Ⱦɥɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X ɢ Y 2 I XY
2 IYX
2 rXY .
Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɞɥɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɩɚɪɵ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ
D Y X
x V Y2 x 2
M Y f X X
2 V y 2 1 rXY M Y M Y X
x
M Y f X 2
2
V y,
X ,Y
x
2
X
ɭɫɥɨɜɧɚɹ
x
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɣ ɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ
ɢ ɬɚɤ ɤɚɤ
139
2
I
2 YX
2 Vy 1 2 V y Vy
2 V y2 1 IYX ,
2 ɨɬɤɭɞɚ IYX
2 rXY . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɞɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɬɨɪɚɹ ɱɚɫɬɶ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ. 2 2 ȼ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɢ I XY ɢ rXY ɫɜɹɡɚɧɵ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚɦɢ: 2 2 0 d rXY d I XY d 1. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɜɨɡɦɨɠɧɵ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɜɚɪɢɚɧɬɵ: 2 0 , ɟɫɥɢ Y ɢ X ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ, ɧɨ ɨɛɪɚɬɧɨɟ (ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ) ɧɟɜɟɪɧɨ; ɚ) rXY 2 2 ɛ) rXY I XY 1 ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɢɦɟɟɬɫɹ ɫɬɪɨɝɚɹ ɥɢɧɟɣɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ Y ɨɬ X ; 2 2 d I XY 1 ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɢɦɟɟɬɫɹ ɫɬɪɨɝɚɹ ɧɟɥɢɧɟɣɧɚɹ ɮɭɧɤɜ) rXY ɰɢɨɧɚɥɶɧɚɹ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ Y ɨɬ X ; 2 2 I XY 1 ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɪɟɝɪɟɫɫɢɹ Y ɩɨ X ɫɬɪɨɝɨ ɥɢɧɟɣɧɚ, ɝ) rXY ɧɨ ɧɟɬ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ; 2 2 I XY 1 ɭɤɚɡɵɜɚɟɬ ɧɚ ɬɨ, ɱɬɨ ɧɟɬ ɫɬɪɨɝɨɣ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɞ) rXY ɫɬɢ, ɚ ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɧɟɥɢɧɟɣɧɚɹ ɤɪɢɜɚɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɩɪɢɛɥɢɠɚɟɬ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɥɭɱɲɟ, ɱɟɦ ɥɸɛɚɹ ɩɪɹɦɚɹ ɥɢɧɢɹ. ɂɬɚɤ, ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɹ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ X ɢ Y ɫɥɟɞɭɟɬ ɜɵɛɪɚɬɶ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɟ 2 2 (ɢɥɢ IYX ), ɟɫɥɢ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ X ,Y ɧɟɢɡɜɟɫɬɟɧ; ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ I XY
ɟɫɥɢ ɟɫɬɶ ɨɫɧɨɜɚɧɢɹ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ X ,Y ɢɦɟɟɬ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɬɨ ɜɦɟɫɬɨ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɝɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɫɥɟɞɭɟɬ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ rXY .
13.3. Ɉɰɟɧɤɚ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɹ ɫɜɹɡɢ ɩɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɦ ɞɚɧɧɵɦ. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɟ ɩɨɥɟ ɉɨɫɥɟ ɜɵɛɨɪɚ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɹ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɜɹɡɢ ɡɚɞɚɱɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɢ ɟɝɨ ɨɰɟɧɤɢ (ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɣ), ɚ ɬɚɤɠɟ ɜ ɩɪɨɜɟɪɤɟ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɨ ɡɧɚɱɢɦɨɦ ɨɬɥɢɱɢɢ ɟɝɨ ɨɬ ɧɭɥɹ ɧɚ ɨɫɧɨɜɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ. ɉɭɫɬɶ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɞɥɹ ɫɢɫɬɟɦɵ X ,Y ɩɨɥɭɱɟɧɚ ɜɵɛɨɪɤɚ ɡɧɚɱɟɧɢɣ xi , yi , 1,2 ,...,n . ɉɪɢ ɢɡɭɱɟɧɢɢ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɞɜɭɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X ,Y ɩɨ ɜɵɛɨɪɤɟ
xi , yi ɨɛɳɭɸ ɤɚɪɬɢɧɭ ɢɯ ɜɡɚɢɦɧɨɣ ɢɡɦɟɧɱɢɜɨɫɬɢ ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ, ɢɡɨɛɪɚɡɢɜ ɧɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ-
140
Ʌɟɤɰɢɢ 13–14
ɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɜɫɟ ɬɨɱɤɢ. ɗɬɨ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɦ ɩɨɥɟɦ. ɍɠɟ ɩɨ ɜɢɞɭ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɝɨ ɩɨɥɹ ɱɚɫɬɨ ɦɨɠɧɨ ɫɞɟɥɚɬɶ ɜɵɜɨɞ ɨ ɧɚɥɢɱɢɢ ɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɟ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ Y ɢ X . Ɍɚɤ, ɧɚ ɩɟɪɜɨɦ ɪɢɫɭɧɤɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɬɨɱɤɢ ɥɟɠɚɬ ɜɧɭɬɪɢ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɷɥɥɢɩɫɚ (ɷɥɥɢɩɫɚ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ) ɫ ɨɫɹɦɢ, ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵɦɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɵɦ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɫ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟɦ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, X ɜɟɥɢɱɢɧɚ Y ɧɟ ɛɭɞɟɬ ɦɟɧɹɬɶ ɫɜɨɟɝɨ ɭɫɥɨɜɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɬ.ɟ. X ɢ Y , ɩɨɜɢɞɢɦɨɦɭ, ɧɟɤɨɪɪɟɥɢɪɨɜɚɧɵ. ɇɚɩɪɨɬɢɜ, ɧɚ ɜɬɨɪɨɦ ɪɢɫɭɧɤɟ ɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɭɫɥɨɜɧɨɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ M Y x f x ɢɦɟɟɬ ɥɢɧɟɣɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ, ɢ, ɡɧɚɱɢɬ, ɫɥɟɞɭɟɬ ɨɠɢɞɚɬɶ, ɱɬɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ rXY ɛɥɢɡɨɤ ɤ ɟɞɢɧɢɰɟ. ɇɚ ɬɪɟɬɶɟɦ ɪɢɫɭɧɤɟ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɬɨɱɟɤ xi , yi ɝɨɜɨɪɢɬ ɨ ɧɚɥɢɱɢɢ ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪɚ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ f x , ɢ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ rXY ɦɨɠɟɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɛɥɢɡɤɢɦ ɤ ɧɭɥɸ, ɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ I XY – ɛɥɢɡɤɢɦ ɤ ɟɞɢɧɢɰɟ.
13.4. Ⱥɧɚɥɢɡ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ 13.4.1. Ɍɨɱɟɱɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɉɭɫɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɟ ɞɚɧɧɵɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɵ ɜ ɧɟɫɝɪɭɩɩɢɪɨɜɚɧɧɨɦ ɜɢɞɟ. Ɍɨɝɞɚ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ rXY ɛɟɪɭɬ * ɟɝɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ rXY : n
¦ x
i
* XY
r
r
X
i 1
* n
¦ x
i
i 1
X
2
y Y i
n
¦ y Y
2
.
i
i 1
ɉɪɢɦɟɪ: ɇɚɣɞɟɦ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɞɥɹ ɩɚɪɵ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X ,Y , ɝɞɟ X – ɪɨɫɬ (ɜ ɫɦ), ɚ Y – ɦɚɫɫɚ ɬɟɥɚ (ɜ ɤɝ) ɜɵɛɪɚɧɧɨɝɨ ɧɚɭɝɚɞ ɫɬɭɞɟɧɬɚ. ȼɵɛɨɪɤɚ ɨɛɴɟɦɚ n 15 ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ (ɫɬɨɥɛɰɵ 2 ɢ 5).
141
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɣ ɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ
Ɋɨɫɬ,
ɫɦ
ɇɨɦɟɪ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ
Ɇɚɫɫɚ,
ɤɝ
xi
xi X
x X
yj
yi Y
1
165
-8,33
69,44
72,9
9,83
96,69
-81,94
2
171
-2,33
5,44
48,4
-14,67
215,11
34,22
3
182
8,67
75,11
66,3
3,23
10,45
28,02
4
165
-8,33
69,44
64,1
1,03
1,07
-8,61
5
183
9,67
93,44
62,7
-0,37
0,13
-3,54
6
180
6,67
44,44
76,0
12,93
167,27
86,22
7
183
9,67
93,44
73,8
10,73
115,20
103,76
8
166
-7,33
53,78
50,6
-12,47
155,42
91,42
9
173
-0,33
0,11
52,3
-10,77
115,92
3,59
10
172
-1,33
1,78
56,5
-6,57
43,12
8,76
11
174
0,67
0,44
66,8
3,73
13,94
2,49
12
170
-3,33
11,11
61,6
-1,47
2,15
4,89
13
164
-9,33
87,11
72,8
9,73
94,74
-90,84
14
168
-5,33
28,44
52,6
-10,47
109,55
55,82
15
184
10,67
113,78
68,6
5,53
30,62
59,02
ɋɭɦɦɚ
2600
747,33
946,0
1171,39
293,27
ɫɪɟɞɧɟɟ
173,33
2
i
2
y Y x X y Y i
i
i
63,1 27,34
ɋɄɈ
34,23
ȼɧɚɱɚɥɟ ɧɚɯɨɞɢɦ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ 1 X ¦ xi 173,3 ɢ Y n i
1 ¦ yi n i
63,1 ,
ɡɚɬɟɦ ɜɵɱɢɫɥɹɟɦ ɪɚɡɧɨɫɬɢ xi X ɢ (ɫɬɨɥɛɰɵ 3 ɢ 6), ɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɵ (ɫɬɨɥɛɰɵ 4 ɢ 7) ɢ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ (ɫɬɨɥɛɟɰ 8). Ɂɚɬɟɦ ɧɚɯɨɞɢɦ ɫɭɦɦɵ 15
¦
xi X
i 1
2
15
¦ x
i
i 1
X
747 ,3 ,
15
¦
yi Y
i 1
y Y i
293,3
ɢ ɜɵɱɢɫɥɹɟɦ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ:
r*
293,3 747 ,3 1171,4
0,313 .
2
1171,4 ,
142
Ʌɟɤɰɢɢ 13–14
13.4.2. ɂɧɬɟɪɜɚɥɶɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ ɉɪɢ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɢ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɞɥɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɢ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɟɝɨ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ ɛɭɞɟɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɚɹ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɢɦɟɟɬ ɞɜɭɦɟɪɧɵɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɨɰɟɧɤɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ r* xi , y j ɢɦɟɟɬ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɠɢɞɚɧɢɟɦ M ª¬ r xi , y j º¼ | r *
2 2
r 1 r 2
2n
1 r . ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɟɣ D ª¬ r* xi , y j º¼ | n ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɨɛɳɢɣ ɦɟɬɨɞ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ, ɨɫɧɨɜɚɧɧɵɣ ɧɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦ ɡɚɤɨɧɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɨɰɟɧɤɢ ɩɪɢ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ J 1 D , ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɞɥɹ ɧɢɠɧɟɣ ɢ ɜɟɪɯɧɟɣ ɝɪɚɧɢɰ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ: r | r*
r* 1 r*
2
2n
r* 1 r*
u
1 r*
1
2
u
D
2
,
n
2
1 r*
2
, n ɝɞɟ r* – ɬɨɱɟɱɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ, u
r | r*
2n
1
D
2
1
ɧɨɝɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɭɪɨɜɧɹ 1
D
– ɤɜɚɧɬɢɥɶ ɫɬɚɧɞɚɪɬ-
2
D
. 2 ɋɥɟɞɭɟɬ ɡɚɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɷɬɢɦɢ ɨɰɟɧɤɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɩɪɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɢɯ ɨɛɴɟɦɚɯ ɜɵɛɨɪɤɢ (ɧɟ ɦɟɧɟɟ 500). ɉɪɢ ɦɚɥɵɯ ɨɛɴɟɦɚɯ ɜɵɛɨɪɤɢ ɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɟ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɞɥɹ rXY , ɨɫɧɨɜɚɧɧɨɟ ɧɚ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɢ Ɋ.Ɏɢɲɟɪɚ: 1 1 r* ɢɥɢ z arcth r* . z ln * 2 1 r * 1 1 r xi , y j ɭɠɟ ɩɪɢ ɧɟɈɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ Z ln 2 1 r* xi , y j ɛɨɥɶɲɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ n ɩɪɢɛɥɢɡɢɬɟɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɫ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ 1 1 r r 1 , D Z | . M Z | ln n3 2 1 r 2 n 1 ɗɬɨ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɸ r th z , r th z ,
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɣ ɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ
143
ɝɞɟ
u D u D 1 1 r* 1 1 r* r* 1 1 r* 2 2 z ln , . z ln * * 2 1 r 2 n 1 2 1 r 2 n 1 n3 n3 ɉɪɢ ɩɪɨɜɟɪɤɟ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ H 0 : rXY 0 (ɬ.ɟ. ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɨ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɢ Y ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɤɪɢɬɟɪɢɣ r* xi , y j n 2 t . 2 * 1 r xi , y j
ɗɬɚ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɢɦɟɟɬ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɫ n 2 ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ. ȿɫɥɢ ɨɤɚɠɟɬɫɹ, ɱɬɨ r* n 2 t D n 2 , 1 * 2 2 1 r ɬɨ ɝɢɩɨɬɟɡɭ H 0 ɩɪɢɧɢɦɚɸɬ ɩɪɢ ɭɪɨɜɧɟ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D . ɉɪɢɦɟɪ: ȼ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦ ɩɪɢɦɟɪɟ ɛɵɥɚ ɧɚɣɞɟɧɚ ɬɨɱɟɱɧɚɹ ɨɰɟɧɤɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ r* 0 ,313 . Ɉɩɪɟɞɟɥɢɦ ɧɢɠɧɸɸ ɢ ɜɟɪɯɧɸɸ ɝɪɚɧɢɰɵ ɞɨɜɟɪɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɩɪɢ J 0,9 ɢ ɩɪɨɜɟɪɢɦ ɝɢɩɨɬɟɡɭ H 0 : rXY 0 ɧɚ ɭɪɨɜɧɟ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D 0,1 . ɂɫɩɨɥɶɡɭɟɦ ɩɟɪɜɵɣ ɜɚɪɢɚɧɬ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ. ɉɨ ɬɚɛɥɢɰɟ ɤɜɚɧɬɢɥɟɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɟ u D u0 ,95 1, 65 . 1
2
0 ,902 0 ,322 0 ,384 | 0 , 062 , 15 0 ,902 r 0 ,313 0 , 009 1, 65 0 ,322 0 ,384 | 0 , 706 . 15 ȼɬɨɪɨɣ ɦɟɬɨɞ (ɞɥɹ ɦɚɥɵɯ ɜɵɛɨɪɨɤ) ɞɚɟɬ ɛɨɥɟɟ ɧɚɞɟɠɧɵɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ: r th z | 0 ,162 , r th z | 0,658 . Ⱦɥɹ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɝɢɩɨɬɟɡɵ H 0 : rXY 0 ɩɨ ɬɚɛɥɢɰɟ ɤɜɚɧɬɢɥɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ r
0 ,313 0 , 009 1, 65
ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɧɚɯɨɞɢɦ ɤɜɚɧɬɢɥɶ t0 ,95 13 1, 77 ɢ ɫɪɚɜɧɢɜɚɟɦ ɫɨ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ
t
*
r* n 2 1 r
* 2
0 ,313
13 0 ,902
1,19 .
ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ 1,19 1, 77 ɧɟɬ ɨɫɧɨɜɚɧɢɣ ɨɬɤɥɨɧɢɬɶ ɝɢɩɨɬɟɡɭ H 0 , ɬ.ɟ., ɧɚ ɭɪɨɜɧɟ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D 0 ,1 X ɢ Y ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦɢ. Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɚɧɚɥɢɡ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɝɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ: ɩɨɥɭɱɟɧɢɟ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɨɣ ɨɰɟɧɨɤ ɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ ɨɰɟɧɤɢ.
144
Ʌɟɤɰɢɢ 13–14
14. Ɉɫɧɨɜɵ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɉɨɫɥɟ ɨɛɧɚɪɭɠɟɧɢɹ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɫɜɹɡɟɣ ɦɟɠɞɭ ɢɡɭɱɚɟɦɵɦɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶ ɩɪɢɫɬɭɩɚɟɬ ɤ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɦɭ ɨɩɢɫɚɧɢɸ ɢɧɬɟɪɟɫɭɸɳɢɯ ɟɝɨ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ. Ⱦɥɹ ɞɨɫɬɢɠɟɧɢɹ ɷɬɢɯ ɰɟɥɟɣ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɪɟɲɢɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɡɚɞɚɱɢ: 1) ɩɨɞɨɛɪɚɬɶ ɤɥɚɫɫ ɮɭɧɤɰɢɣ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɰɟɥɟɫɨɨɛɪɚɡɧɨ ɢɫɤɚɬɶ ɧɚɢɥɭɱɲɭɸ (ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦ ɫɦɵɫɥɟ) ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɚɰɢɸ ɢɫɤɨɦɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ; 2) ɧɚɣɬɢ ɨɰɟɧɤɢ ɞɥɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ, ɜɯɨɞɹɳɢɯ ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɫɤɨɦɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ; 3) ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɚɞɟɤɜɚɬɧɨɫɬɶ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɫɤɨɦɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ; 4) ɜɵɹɜɢɬɶ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɢɧɮɨɪɦɚɬɢɜɧɵɟ ɜɯɨɞɧɵɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ (ɮɚɤɬɨɪɵ). ɋɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɢ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ ɩɪɟɞɦɟɬ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ.
14.1. ɍɫɥɨɜɧɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ. ȼɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɉɪɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɢ ɦɧɨɝɨɦɟɪɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ (ɥɟɤɰɢɹ 6) ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɥɢɫɶ ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɢɯ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ: ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ, ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ. Ɉɰɟɧɤɚɦɢ ɷɬɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɫɥɭɠɚɬ ɢɯ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɚɧɚɥɨɝɢ. ɇɚɢɛɨɥɟɟ ɜɚɠɧɵɦɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɠɢɞɚɧɢɹ, ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɵɟ ɩɨ ɜɵɛɨɪɤɟ – ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ. Ɉ
ɍɫɥɨɜɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ y x – ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Y , ɧɚɛɥɸɞɚɜɲɢɯɫɹ ɩɪɢ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɦ ɡɧɚɱɟɧɢɢ ɫ.ɜ. X x . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɭɫɥɨɜɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ x y .
Ɉ
ɍɫɥɨɜɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ x y – ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X , ɧɚɛɥɸɞɚɜɲɢɯɫɹ ɩɪɢ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɦ ɡɧɚɱɟɧɢɢ ɫ.ɜ. Y y . ɇɚɩɨɦɧɢɦ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ:
M Y x
f x ,
ɭɫɥɨɜɧɨɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ M Y x ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ x . ɗɬɚ ɮɭɧɤɰɢɹ f x ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ Y ɧɚ X , ɚ ɟɟ ɝɪɚɮɢɤ – ɥɢɧɢɟɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ. ȼɵɛɨɪɨɱɧɵɣ ɚɧɚɥɨɝ ɷɬɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, y x f * x , ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɵɛɨɪɨɱ-
ɧɵɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ Y ɧɚ X , ɮɭɧɤɰɢɹ f * x – ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ Y ɧɚ X , ɟɟ ɝɪɚɮɢɤ – ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɥɢɧɢɟɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ Y ɧɚ X . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɢ ɞɥɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ X ɧɚ Y .
145
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɣ ɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ
14.2. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɚɹ ɬɚɛɥɢɰɚ. ȼɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɥɢɧɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ
X ,Y
ɉɭɫɬɶ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɞɥɹ ɫɢɫɬɟɦɵ
ɩɨɥɭɱɟɧɚ ɜɵɛɨɪɤɚ
ɡɧɚɱɟɧɢɣ xi , yi , 1,2 ,...,n . ȿɫɥɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ xi ɢ yi ɩɨɜɬɨɪɹɸɬɫɹ, ɬɨ ɢɯ ɝɪɭɩɩɢɪɭɸɬ:
x , y ,n , i i
j
ij
1,2 ,...,l; j 1,2 ,...,k;
n.
¦n
ij
i,j
Ɂɞɟɫɶ xi ɢ y j – ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ X ɢ Y , ɚ nij – ɱɚɫɬɨɬɚ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɩɚɪɵ ɡɧɚɱɟɧɢɣ xi , y j . ɑɚɳɟ ɜɫɟɝɨ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɞɚɧɧɵɟ ɨɪɝɚɧɢɡɭɸɬ ɜ ɜɢɞɟ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɣ ɬɚɛɥɢɰɵ: X Y
y1
x1
x2
…
xl
n11
n21
…
nl1
my
¦n ¦n
m1
i1
i
y2
n12
…
n22
nl 2
m2
i2
i
… yk
… n1k
… n2k
… …
… nlk
…
mk
¦n
ik
i
nx
n1
¦n
1j
n2
j
¦n
2j
… nl
¦n
lj
n
j
j
¦n ¦m i
i
j
l
k
j
Ƚɪɭɩɩɢɪɭɹ ɞɚɧɧɵɟ ɩɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ xi ɢɥɢ y j : l
k
¦n
ij
j 1
ni ; i 1,2 ,...,l; n x ; ¦ nij i 1
m j ; j 1,2 ,...,k; m y ;
¦n ¦m i
i 1
j
n,
j 1
ɩɨ ɞɚɧɧɵɦ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɣ ɬɚɛɥɢɰɵ ɦɨɠɧɨ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɯ (ɩɨɫɥɟɞɧɹɹ ɫɬɪɨɤɚ ɢ ɩɨɫɥɟɞɧɢɣ ɫɬɨɥɛɟɰ ɬɚɛɥɢɰɵ) ɢ ɢɯ ɫɪɟɞɧɢɟ ɩɨ ɜɵɛɨɪɤɟ X B ɢ Y B : X nx
x1 n1
x2 … xl n2 … nl
Y my
y1 y2 … yk m1 m2 … mk
1 1 YB ni xi , ¦mj y j . ¦ n j n i Ⱦɥɹ ɧɚɝɥɹɞɧɨɫɬɢ ɞɚɧɧɵɟ ɬɚɛɥɢɰɵ ɢɡɨɛɪɚɠɚɸɬ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢ. Ʉɚɠɞɭɸ ɩɚɪɭ xi , y j ɢɡɨɛɪɚɠɚɸɬ ɬɨɱɤɨɣ ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ (ɏɈY). ɑɚɫɬɨɬɭ nij , ɫ ɤɨɬɨɪɨɣ XB
ɞɚɧɧɚɹ ɩɚɪɚ ɜɫɬɪɟɱɚɟɬɫɹ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ, ɢɡɨɛɪɚɠɚɸɬ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦ ɱɢɫɥɨɦ
146
Ʌɟɤɰɢɢ 13–14
ɛɥɢɡɤɨ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɵɯ ɬɨɱɟɤ ɥɢɛɨ ɩɢɲɭɬ ɱɢɫɥɨ nij ɜɨɡɥɟ ɨɞɧɨɣ ɬɨɱɤɢ. ɉɨɫɬɪɨɟɧɧɨɟ ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɢɟ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɣ ɬɚɛɥɢɰɵ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɩɨɥɟɦ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ. Ɍɚɤɠɟ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɢɡɨɛɪɚɠɚɬɶ ɞɚɧɧɵɟ ɬɚɛɥɢɰɵ ɤɪɭɝɚɦɢ, ɰɟɧɬɪ ɤɨɬɨɪɵɯ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɜ ɬɨɱɤɟ xi , y j , ɚ ɞɢɚɦɟɬɪ (ɢɥɢ ɩɥɨɳɚɞɶ)
ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɟɧ nij . Ɍɨɱɤɚ ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ (ɏɈY) ɫ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ X B ,YB
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɰɟɧɬɪɨɦ ɪɚɫɫɟɢɜɚɧɢɹ. Ɇɨɠɧɨ ɬɚɤɠɟ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, Y ɩɪɢ X x j ɢɥɢ ɏ ɩɪɢ Y yi . Y
x xj
m
Y
x x1
§ x ,Y ¨ j ©
y1
y2
…
m1 j
m2 j
… mlj
yl
Ɂɧɚɹ ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ: ɢ ɬ.ɩ. ɉɨɫɬɪɨɢɦ ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ (ɏɈY) ɬɨɱɤɢ ,Y ,..., Y x x2
x xj
· ¸ ¹
x xk
ɢ ɫɨɟɞɢɧɢɦ ɢɯ ɨɬɪɟɡɤɚɦɢ ɩɪɹɦɵɯ. ɉɨɥɭɱɟɧɧɭɸ ɥɨɦɚɧɭɸ ɧɚɡɵɜɚɸɬ
ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɥɢɧɢɟɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ Y ɧɚ X . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɦɨɠɧɨ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɜɵɛɨɪɨɱɧɭɸ ɥɢɧɢɸ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ X ɧɚ Y . ȿɫɥɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X ɢ (ɢɥɢ) Y ɡɚɞɚɧɵ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɦ ɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɵɦ ɪɹɞɨɦ, ɬɨ ɭɞɨɛɧɨ ɩɟɪɟɣɬɢ ɤ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɵɦ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦ, ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ ɫ ɫɟɪɟɞɢɧɚɦɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥɨɜ. Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ, ɟɫɥɢ ɜɚɪɢɚɧɬɵ (ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ) ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɪɚɜɧɨɨɬɫɬɨɹɳɢɦɢ, ɬ.ɟ., ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɭɸ ɩɪɨɝɪɟɫɫɢɸ ɫ ɪɚɡɧɨɫɬɶɸ h , ɛɵɜɚɟɬ ɭɞɨɛɧɨ ɩɟɪɟɣɬɢ ɤ ɭɫɥɨɜɧɵɦ ɜɚɪɢɚɧɬɚɦ: xi C ui , h ɝɞɟ C ɥɨɠɧɵɣ ɧɭɥɶ (ɧɨɜɨɟ ɧɚɱɚɥɨ ɨɬɫɱɟɬɚ), ɚ h – ɲɚɝ, ɬ.ɟ. ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɫɨɫɟɞɧɢɦɢ ɩɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɵɦɢ ɜɚɪɢɚɧɬɚɦɢ (ɧɨɜɚɹ ɟɞɢɧɢɰɚ ɦɚɫɲɬɚɛɚ). ȿɫɥɢ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɥɨɠɧɨɝɨ ɧɭɥɹ ɜɡɹɬɚ ɤɚɤɚɹ-ɬɨ ɢɡ ɜɚɪɢɚɧɬ xm , ɬɨ ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɜɚɪɢɚɧɬɵ – ɰɟɥɵɟ ɱɢɫɥɚ, ɱɬɨ ɭɩɪɨɳɚɟɬ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ. Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, x1 i 1 h ª¬ x1 m 1 h º¼ ui i m. h
147
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɣ ɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ
ɉɪɢɦɟɪ: Ⱦɚɧɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɚɹ ɬɚɛɥɢɰɚ. ɉɨɫɬɪɨɢɬɶ ɩɨɥɟ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ, ɧɚɣɬɢ ɰɟɧɬɪ ɪɚɫɫɟɢɜɚɧɢɹ, ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɥɢɧɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ. ɋɟɛɟɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɟɞɢɧɢɰɵ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ, ɪɭɛ. (ɭ) 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 ɂɬɨɝɨ:
Ɇɟɫɹɱɧɚɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɬɪɭɞɚ, ɬɵɫ. ɲɬ. (ɯ) 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 1 1 2 3 4 1 3 7 4 2 4 5 2 1 4 8 16 9 3
ɂɬɨɝɨ 4 8 14 11 3 40
Ɉɬ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɯ ɪɹɞɨɜ ɞɥɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɩɟɪɟɣɞɟɦ ɤ ɨɛɵɱɧɵɦ, ɚ ɡɚɬɟɦ ɤ ɭɫɥɨɜɧɵɦ ɜɚɪɢɚɧɬɚɦ, ɩɪɢɧɹɜ ɡɚ ɥɨɠɧɵɟ ɧɭɥɢ Cx 15 , C y 11 , ɲɚɝɢ hx hy 2 . ɉɪɨ10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 ɢɡɜ. X 11 13 15 17 19 Xc -2 -1 0 1 2
ɋɟɛɟɫɬ. Y Yc
6-8 8-10 10-12 12-1414-16 7 -2
9 -1
11 0
13 1
ɇɨɜɵɟ ɢ ɫɬɚɪɵɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɫɜɹɡɚɧɵ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɹɦɢ:
X 15 2
X Cx hx
Xc
Cx X c hx
X
Yc
15 X c 2 ,
Y
Y Cy hy
C y Y c hy
Y 11 , 2
11 Y c 2 .
Ⱦɥɹ ɧɨɜɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɚɹ ɬɚɛɥɢɰɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ:
Xc
Yc
-2 -1 0 1 2 ɂɬɨɝɨ:
-2
-1
2 2 4
3 4 1 8
0 1 3 7 5
1 1 4 4
2 2 1
16
9
3
ɂɬɨɝɨ 4 8 14 11 3 40
Ɂɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɯ:
Xc nx
1 2 16 9 3
-2 -1 0 4
8
Yc my
-2 -1 0 1 2 4 8 14 11 3
15 2
148
Ʌɟɤɰɢɢ 13–14
Ʉɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɰɟɧɬɪɚ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ: X cB
1 ¦ ni xic n i
YB
1 ¦ mj y j n j
1 1 2 4 1 8 0 16 1 9 2 3 , 40 40
1 2 4 1 8 0 14 111 2 3 40
1 . 40
Ʉɚɤ ɜɢɞɧɨ, ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɰɟɧɬɪɚ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ ɧɟɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨ ɨɬɥɢɱɚɸɬɫɹ ɨɬ ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ (ɜ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ X c , Y c ). ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɫɩɪɚɜɚ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɟ ɩɨɥɟ. ɉɥɨɳɚɞɢ ɤɪɭɝɨɜ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɵ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦ ɱɚɫɬɨɬɚɦ nij ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɩɚɪɵ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
x , y . ȼɢɡɭɚɥɶɧɨɟ ɜɩɟɱɚɬɥɟɧɢɟ ɝɨɜɨɪɢɬ, ɱɬɨ ɜɟi
j
ɥɢɱɢɧɵ ɜɡɚɢɦɨɡɚɜɢɫɢɦɵ. ɉɨɫɬɪɨɢɦ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɥɢɧɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ, ɞɥɹ ɱɟɝɨ ɜɵɱɢɫɥɢɦ ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ. Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɦɨɞɢɮɢɰɢɪɭɟɦ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɭɸ ɬɚɛɥɢɰɭ, ɞɨɩɨɥɧɢɜ ɟɟ ɭɫɥɨɜɧɵɦɢ ɫɪɟɞɧɢɦɢ:
¦y n , x ¦ y p y x ¦n j ij
Y
x xi
M Y X
j
i
j
j
i
j
ij
j
X
y yj
M X Y
yj
¦ x p x i
i
i
yj
¦xn . ¦n i ij
i
ij
i
Xc
Yc
X
-2 -1 0 1 2 y yj
-2 -1 0 1 3 3 7 2 4 5 2 1
1 1 4 4
Y
x x 2 2 5/4 1 5/8 1/14 -8/11 -5/3 i
3/2 3/4 0 -5/9 -5/3
ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɩɨɤɚɡɚɧɵ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɥɢɧɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ, ɫɩɥɨɲɧɚɹ – Y , ɲɬɪɢɯɨɜɚɹ – x xi
X
. Ʉɚɤ ɜɢɞɧɨ, ɨɛɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɛɥɢɡɤɢ ɤ y yj
ɥɢɧɟɣɧɵɦ, ɱɬɨ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɨɝɪɚɧɢɱɢɬɶɫɹ ɥɢɧɟɣɧɵɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ.
ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ. Ʉɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɵɣ ɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ
149
14.3. Ʌɢɧɟɣɧɚɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɹ. ȼɵɛɨɪɨɱɧɵɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ Ʌɢɧɟɣɧɚɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɹ ɡɚɫɥɭɠɢɜɚɟɬ ɜɧɢɦɚɧɢɹ ɩɨ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɦ ɩɪɢɱɢɧɚɦ: 1. Ⱦɥɹ ɞɜɭɦɟɪɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ (ɏ,Y), ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɩɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ, ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɯ ɥɢɧɟɣɧɵ. 2. ɇɟɥɢɧɟɣɧɭɸ ɪɟɝɪɟɫɫɢɸ ɩɪɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɦɨɠɧɨ ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɢɪɨɜɚɬɶ ɤɭɫɨɱɧɨ - ɥɢɧɟɣɧɨɣ. 3. ɇɟɥɢɧɟɣɧɭɸ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɩɭɬɟɦ ɡɚɦɟɧɵ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɦɨɠɧɨ ɫɜɟɫɬɢ ɤ ɥɢɧɟɣɧɨɣ. Ɍɚɤ ɤɚɤ ɨɛɴɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ ɤɨɧɟɱɟɧ, ɬɨ ɨ ɥɢɧɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɦɨɠɧɨ ɫɭɞɢɬɶ ɥɢɲɶ ɩɨ ɮɨɪɦɟ ɨɩɵɬɧɨɣ ɥɢɧɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ. Ɂɚɞɚɱɚ ɨ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɢ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɥɢɧɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɜɵɪɚɜɧɢɜɚɧɢɸ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɦɟɬɨɞɨɦ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ. Ʉɚɤ ɛɵɥɨ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɪɚɧɟɟ (ɥɟɤɰɢɹ 6), ɩɪɹɦɵɟ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɡɚɞɚɸɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ:
y
my r
Vy x mx Vx
– ɩɪɹɦɚɹ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ Y ɧɚ X ,
x
mx r
Vx y my Vy
– ɩɪɹɦɚɹ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ X ɧɚ Y . Ɂɞɟɫɶ mx , m y – ɫɪɟɞɧɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, V x ,
V y – ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ, r – ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ. ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɦɵ ɢɦɟɟɦ ɬɨɥɶɤɨ ɞɚɧɧɵɟ ɜɵɛɨɪɤɢ, ɷɬɢ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɞɨɥɠɧɵ ɛɵɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɵ ɩɨ ɜɵɛɨɪɤɟ. Ⱦɥɹ ɞɚɧɧɵɯ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɝɨ ɩɪɢɦɟɪɚ: ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ:
mx my
X cB Y cB
1 , 40 1 ; 40
150
Ʌɟɤɰɢɢ 13–14
ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ: § · ¦i ni ¨© xic X cB ¸¹ n
Vx 2
2
2
¦ n xc i
2
i
§ · ¨ X cB ¸ © ¹
i
n 2
2
4 2 8 1 16 0 9 1 3 2
2
40 § · ¦j m j ¨© ycj Y cB ¸¹ n
Vy 2
2
2
2
¦ m j y cj
1 | 1,060 , 1600
2
j
n 2
2
§ · ¨ Y cB ¸ © ¹
2
2
4 2 8 1 14 0 11 1 3 2 1 | 1,084 ; 40 1600 ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɹ:
K XY
M
X m Y m x
M XY m y mx
y
1 1 2 8 4 2 4 4 8 2 40 1600
1 nij xic y cj X cB Y cB ¦ n i,j 34 1 | 0,8494 , 40 1600
ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ:
rXY
K XY
V xV y
|
0,8494 | 0,7392 . 1,060 1,084
Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɩɪɹɦɵɯ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɩɪɢɧɢɦɚɸɬ ɜɢɞ: y 0,756 x 0,006 – ɪɟɝɪɟɫɫɢɹ Y ɧɚ X , x 0,723 y 0,007 –ɪɟɝɪɟɫɫɢɹ X ɧɚ Y . ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɩɨɤɚɡɚɧɵ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɟ ɥɢɧɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɢ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɩɪɹɦɵɟ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ (ɫɩɥɨɲɧɵɟ – ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ Y ɧɚ X , ɲɬɪɢɯɨɜɵɟ – ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ X ɧɚ Y ).
Ʌɟɤɰɢɢ 15-16 ɈɋɇɈȼɕ ȾɂɋɉȿɊɋɂɈɇɇɈȽɈ ȺɇȺɅɂɁȺ ȼ ɥɟɤɰɢɹɯ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɸɬɫɹ ɦɟɬɨɞɵ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ ɦɟɠɞɭ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ ɜ ɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ ɩɨɫɥɟɞɧɢɟ ɧɨɫɹɬ ɤɚɱɟɫɬɜɟɧɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ. Ɏɨɪɦɭɥɢɪɨɜɤɚ ɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ ɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɟɦ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ.
15.1. ɂɫɯɨɞɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ 15.2. Ƚɪɭɩɩɨɜɨɟ ɢ ɨɛɳɟɟ ɫɪɟɞɧɟɟ. Ƚɪɭɩɩɨɜɚɹ, ɜɧɭɬɪɢɝɪɭɩɩɨɜɚɹ, ɦɟɠɝɪɭɩɩɨɜɚɹ ɢ ɨɛɳɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ 15.3. Ɉɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ ɩɪɢ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɫɥɭɱɚɣɧɨɦ ɩɥɚɧɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ 16.1. Ɉɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ ɩɪɢ ɝɪɭɩɩɢɪɨɜɤɟ ɩɨ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɛɥɨɤɚɦ 16.2. Ⱦɜɭɯɮɚɤɬɨɪɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ ɩɪɢ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɫɥɭɱɚɣɧɨɦ ɩɥɚɧɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ
15.1. ɂɫɯɨɞɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ Ɉɛɴɟɤɬɚɦɢ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɨɬɤɥɢɤɨɦ ɢ ɮɚɤɬɨɪɚɦɢ, ɤɨɝɞɚ ɩɨɫɥɟɞɧɢɟ ɧɨɫɹɬ ɧɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɵɣ, ɚ ɤɚɱɟɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɥɢ ɢɦɟɧɨɜɚɧɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ. ɉɪɢɦɟɪɚɦɢ ɬɚɤɢɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɦɨɝɭɬ ɫɥɭɠɢɬɶ: – ɫɩɨɫɨɛ ɤɪɟɩɥɟɧɢɹ ɞɟɬɚɥɢ ɩɪɢ ɟɟ ɨɛɪɚɛɨɬɤɟ; – ɪɟɠɢɦ ɮɭɧɤɰɢɨɧɢɪɨɜɚɧɢɹ ɭɫɬɚɧɨɜɤɢ; – ɭɪɨɜɟɧɶ ɤɜɚɥɢɮɢɤɚɰɢɢ ɨɩɟɪɚɬɨɪɚ; – ɦɟɬɨɞɢɤɚ ɨɛɭɱɟɧɢɹ (ɢɥɢ ɥɟɱɟɧɢɹ); – ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɮɢɪɦɵ ɢ ɬ.ɞ. Ȼɭɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶ ɮɚɤɬɨɪɵ ɱɟɪɟɡ A , B , C ,…, ɚ ɨɬɤɥɢɤ ɩɪɢ ɷɬɨɦ – ɱɟɪɟɡ X . Ʉɚɠɞɵɣ ɢɡ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɢɦɟɟɬ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɭɪɨɜɧɟɣ, ɢɥɢ ɝɪɚɞɚɰɢɣ. Ɍɚɤ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɟɫɥɢ X – ɷɬɨ ɫɬɟɩɟɧɶ ɢɡɧɨɫɚ ɩɨɤɪɵɲɤɢ ɧɚ ɤɨɥɟɫɟ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɹ, ɚ ɜɵɛɪɚɧɧɵɟ ɮɚɤɬɨɪɵ A ɢ B – ɷɬɨ ɬɢɩ ɞɨɪɨɝɢ ɢ ɬɢɩ ɪɢɫɭɧɤɚ ɩɪɨɬɟɤɬɨɪɚ, ɬɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɭɪɨɜɧɢ ɮɚɤɬɨɪɚ A – ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɬɢɩɵ ɞɨɪɨɝ, ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɭɪɨɜɧɢ ɮɚɤɬɨɪɚ B – ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɪɢɫɭɧɤɢ ɩɪɨɬɟɤɬɨɪɚ. ɉɭɫɬɶ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɵɣ ɨɛɴɟɤɬ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɬɚɤɢɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦ (ɨɬɤɥɢɤɨɦ) X ɢ ɩɨɞɜɟɪɠɟɧɨ ɜɥɢɹɧɢɸ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɭɱɢɬɵɜɚɟɦɵɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ A , B ɢ ɞɪɭɝɢɯ, ɧɟ ɤɨɧɬɪɨɥɢɪɭɟɦɵɯ ɜ ɞɚɧɧɨɦ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɟ ɮɚɤɬɨɪɨɜ. Ɂɚɞɚɱɚ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨɛɵ ɩɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɡɚ ɷɬɢɦ ɨɛɴɟɤɬɨɦ ɞɚɬɶ ɨɬɜɟɬ ɧɚ ɜɨɩɪɨɫ: ɫɥɟɞɭɟɬ ɥɢ ɫɱɢɬɚɬɶ ɞɟɣɫɬɜɢɟ ɮɚɤɬɨɪɨɜ A ɢ B ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɵɦ (ɡɧɚɱɢɦɵɦ) ɧɚ ɮɨɧɟ ɨɫɬɚɥɶɧɵɯ (ɧɟɭɱɬɟɧɧɵɯ) ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɢɥɢ ɧɟɬ?
152
Ʌɟɤɰɢɢ 15–16
Ɏɨɪɦɭɥɢɪɨɜɤɚ ɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ ɞɥɹ ɨɬɜɟɬɚ ɧɚ ɷɬɨɬ ɜɨɩɪɨɫ ɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɟɦ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ. ȼ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɱɢɫɥɚ ɚɧɚɥɢɡɢɪɭɟɦɵɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɪɚɡɥɢɱɚɸɬ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɵɣ, ɞɜɭɯɮɚɤɬɨɪɧɵɣ ɢ ɬ.ɞ. ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ. Ⱦɚɥɟɟ ɛɭɞɭɬ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɟ ɡɚɞɚɱɢ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɢ ɞɜɭɯɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ (ɧɟɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ ) ɮɚɤɬɨɪɚɦɢ. ȿɫɥɢ ɢɫɫɥɟɞɭɟɬɫɹ ɜɥɢɹɧɢɟ ɨɞɧɨɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ, ɬɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɦɨɞɟɥɶ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɨɝɨ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɜɵɝɥɹɞɢɬ ɤɚɤ
xij
X D j H ij ,
( )
ɝɞɟ xij – ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɪɢɡɧɚɤɚ X , ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɜ i -ɦ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɟ i 1,...,n j , ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɦ j -ɦɭ ɭɪɨɜɧɸ ɮɚɤɬɨɪɚ A
j
1,..., p , X – ɨɛɳɟɟ ɫɪɟɞɧɟɟ, D j –
ɜɤɥɚɞ ɜ ɜɟɥɢɱɢɧɭ xij , ɨɛɭɫɥɨɜɥɟɧɧɵɣ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɮɚɤɬɨɪɚ A (ɷɮɮɟɤɬ ɮɚɤɬɨɪɚ A ɧɚ j -ɦ ɭɪɨɜɧɟ, D j – ɧɟɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ), H ij – ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɚ, ɜɵɡɜɚɧɧɚɹ ɜɥɢɹɧɢɟɦ ɜɫɟɯ ɩɪɨɱɢɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ. ɉɪɢɧɢɦɚɟɬɫɹ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ, ɱɬɨ H ij ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɫ ɧɭɥɟɜɵɦ ɫɪɟɞɧɢɦ ɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɟɣ. ɉɨɫɥɟɞɧɟɟ ɞɨɩɭɳɟɧɢɟ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɩɪɨɜɨɞɢɬɶ ɩɪɨɜɟɪɤɭ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɝɢɩɨɬɟɡ, ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɭɠɟ ɢɡɜɟɫɬɧɵɟ ɤɪɢɬɟɪɢɢ, ɨɫɧɨɜɚɧɧɵɟ ɧɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦ ɡɚɤɨɧɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɵɯ ɜ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ. ȿɫɥɢ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹ ɜɥɢɹɧɢɟ ɞɜɭɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ( A ɢ B ), ɬɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɦɨɞɟɥɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɢɦɟɟɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɜɢɞ xijk X D i E j J ij H ijk , ( ) ɝɞɟ xijk – ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɪɢɡɧɚɤɚ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɜ k -ɦ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɢ ɧɚ i -ɦ ɭɪɨɜɧɟ ɮɚɤɬɨɪɚ A ɢ ɧɚ j -ɦ ɭɪɨɜɧɟ ɮɚɤɬɨɪɚ B , X – ɨɛɳɟɟ ɫɪɟɞɧɟɟ, Di – ɷɮɮɟɤɬ ɮɚɤɬɨɪɚ A ɧɚ i -ɦ ɭɪɨɜɧɟ, E j – ɷɮɮɟɤɬ ɮɚɤɬɨɪɚ B j -ɦ ɭɪɨɜɧɟ, J ij – ɷɮɮɟɤɬ, ɜɵɡɜɚɧɧɵɣ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɮɚɤɬɨɪɨɜ, H ijk – ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɚ.
15.2. Ƚɪɭɩɩɨɜɨɟ ɢ ɨɛɳɟɟ ɫɪɟɞɧɟɟ. Ƚɪɭɩɩɨɜɚɹ, ɜɧɭɬɪɢɝɪɭɩɩɨɜɚɹ, ɦɟɠɝɪɭɩɩɨɜɚɹ ɢ ɨɛɳɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɉɭɫɬɶ ɜɫɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɪɢɡɧɚɤɚ X ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ (ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɢɥɢ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ) ɪɚɡɛɢɬɵ ɧɚ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɝɪɭɩɩ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɤɚɠɞɭɸ ɝɪɭɩɩɭ ɤɚɤ ɨɬɞɟɥɶɧɭɸ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɨɛɴɟɦɚ. Ɉ Ƚɪɭɩɩɨɜɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ – ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ X ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɝɪɭɩɩɟ. Ɉ Ɉɛɳɟɟ ɫɪɟɞɧɟɟ – ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ X ɜɨ ɜɫɟɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ.
153
Ɉɫɧɨɜɵ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ
Ɍ
Ɉɛɳɟɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɪɚɜɧɨ ɫɪɟɞɧɟɦɭ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɦɭ ɝɪɭɩɩɨɜɵɯ ɫɪɟɞɧɢɯ, ɜɡɜɟɲɟɧɧɨɦɭ ɩɨ ɨɛɴɟɦɚɦ ɝɪɭɩɩ. Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ: Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɨɛɴɟɦ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ n , ɱɢɫɥɨ ɝɪɭɩɩ m , ɝɪɭɩɩɨɜɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ xk , ɨɛɳɟɟ ɫɪɟɞɧɟɟ
x , ɱɢɫɥɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜ
k -ɣ ɝɪɭɩɩɟ
nk ,
m
¦n
k
n.
k 1
ɉɭɫɬɶ ɜ k -ɣ ɝɪɭɩɩɟ ɧɚɛɥɸɞɚɸɬɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɪɢɡɧɚɤɚ x1 ,x2 ,...,xnk . Ɍɨɝɞɚ
Ɉ
Ɉ
Ɉ
Ɉ
Ɍ
x1 x2 ... xnk
6x k
, ɝɞɟ 6x k – ɫɭɦɦɚ ɡɧɚɱɟnk nk ɧɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɞɥɹ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ k -ɣ ɝɪɭɩɩɵ, ɢ 6x k xk nk . Ɉɛɳɟɟ ɫɪɟɞɧɟɟ x1 x2 ... xn 1 m n1 x1 n2 x2 ... nm xm 1 m . x 6 x nk xk ¦ ¦ k n nk1 nk1 n Ƚɪɭɩɩɨɜɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ – ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ X, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɯ ɝɪɭɩɩɟ, ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɝɪɭɩɩɨɜɨɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ, 1 nk 2 Dk ɝɪ xik xk (ɫɭɦɦɢɪɨɜɚɧɢɟ ɢɞɟɬ ɩɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦ k -ɣ ɝɪɭɩɩɵ). ¦ nk i 1 ȼɧɭɬɪɢɝɪɭɩɩɨɜɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ – ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ, ɜɡɜɟɲɟɧɧɨɟ ɩɨ ɨɛɴɟɦɚɦ ɝɪɭɩɩ, n1 D1 ɝɪ n2 D2 ɝɪ ... nm Dɶ ɝɪ 1 m . D ɜɧɭɬɪ n D ¦ k k ɝɪ nk1 n Ɇɟɠɝɪɭɩɩɨɜɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ – ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɝɪɭɩɩɨɜɵɯ ɫɪɟɞɧɢɯ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɛɳɟɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ, 1 m 2 D ɦɟɠɝɪ nk xk x . ¦ nk 1 Ɉɛɳɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ – ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ X, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɯ ɜɫɟɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ, ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɛɳɟɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ, 1 n 2 D ɨɛɳ xi x , ¦ ni1 (ɫɭɦɦɢɪɨɜɚɧɢɟ ɢɞɟɬ ɩɨ ɜɫɟɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ). ɋɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ: ȿɫɥɢ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɝɪɭɩɩ, ɬɨ ɨɛɳɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɪɚɜɧɚ ɫɭɦɦɟ ɜɧɭɬɪɢɝɪɭɩɩɨɜɨɣ ɢ ɦɟɠɝɪɭɩɩɨɜɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ. Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ: 1 n 1 m nk 1 m nk 2 2 2 D ɨɛɳ x x x x i i xi xk xk x ¦ ¦¦ ¦¦ ni1 nk1i1 nk1i1 1 m nk ª 2 2 xi xk xk x 2 xi xk xk x º ¦¦ ¼ nk 1i 1¬ ɝɪɭɩɩɨɜɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ xk
154
Ʌɟɤɰɢɢ 15–16
1 m nk 1 m nk 2 m nk 2 2 x x x x k xi xk xk x ¦¦ i k n ¦¦ ¦¦ nk1i1 n k 1 i 1 k 1 i 1 nk 1 m 1 m 2 m 2 nk xk x ¦ xk x ¦ xi xk ¦ nk Dk ɝɪ n ¦ nk1 nk1 k 1 i 1 D ɜɧɭɬɪ D ɦɟɠɝɪ
ɉɪɢɦɟɪ: ɉɭɫɬɶ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɞɜɭɯ ɝɪɭɩɩ, ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɪɹɞɵ ɞɥɹ ɧɢɯ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ: 2 4 5 3 8 xi xic 1 7 2 3 mi mic 2 2
3
Ɉɛɴɟɦɵ
ɝɪɭɩɩ
n1
¦mi 10 ,
¦ mc
n2
i 1
i
5,
ɨɛɴɟɦ
n n1 n2 15 , ɱɢɫɥɨ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɜ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɹɯ Q 1 Ƚɪɭɩɩɨɜɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ 3
1 2 7 4 2 5 x1 4, n1 10 n1 x1 n2 x2 x ɨɛɳɟɟ ɫɪɟɞɧɟɟ n1 n2 Ƚɪɭɩɩɨɜɵɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ 1 3 2 mi xi x1 ¦ n1 i 1
¦ mc xc i
i 1
n2
4 10 6 5 15
D ɨɛɳ
2
2.
2
7 4 143
D ɜɧɭɬɪ D ɦɟɠɝɪ
2
14 . 3
2
10 4 143
2
2
15 148 D ɨɛɳ . 45
2
6 , 10
6.
5 6 143
2 3 143
2
2
2
8 . 9
15
2 5 143
12 8 5 9
2 3 38 5
1 2 4 7 4 4 2 5 4 10 2
1 m 2 D ɦɟɠɝɪ nk xk x ¦ nk1 Ɉɛɳɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ
i
i 1
x2
2 3 6 3 8 6 1 2 2 D2 ɝɪ mic xi x2 ¦ 5 n2 i 1 ȼɧɭɬɪɢɝɪɭɩɩɨɜɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ 1 m 10 0,6 5 6 12 D ɜɧɭɬɪ nk Dk ɝɪ . ¦ nk1 15 5 Ɇɟɠɝɪɭɩɩɨɜɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ
1 2 143
3, Q2
2
¦ mi xi
D1 ɝɪ
ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ
i 1
3 8 143
2
148 . 45
6,
155
Ɉɫɧɨɜɵ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ
!
ɝɪɭɩɩɨɜɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ ɧɟ ɪɚɡɥɢɱɚɸɬɫɹ, x1 x2 ... xm x , ɬɨ 1 m 2 D ɦɟɠɝɪ nk xk x 0 ɢ ɜɧɭɬɪɢɝɪɭɩɩɨɜɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ¦ nk1 ɨɛɳɟɣ, D ɜɧɭɬɪ D ɨɛɳ . ȿɫɥɢ ɠɟ ɝɪɭɩɩɨɜɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ ɪɚɡɥɢɱɚɸɬɫɹ, ɬɨ ȿɫɥɢ
ɪɚɡɥɢɱɚɸɬɫɹ ɢ D ɜɧɭɬɪ ɢ D ɨɛɳ . ɂɦɟɧɧɨ ɧɚ ɫɨɩɨɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɢ ɨɩɢɪɚɟɬɫɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ.
15.3. Ɉɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ ɩɪɢ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɫɥɭɱɚɣɧɨɦ ɩɥɚɧɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɩɪɨɫɬɨɣ ɩɥɚɧ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ – ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɫɥɭɱɚɣɧɵɣ (ɪɚɧɞɨɦɢɡɢɪɨɜɚɧɧɵɣ). ɉɪɢ ɬɚɤɨɦ ɫɩɨɫɨɛɟ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɢ ɚɧɚɥɢɡɚ ɞɚɧɧɵɯ ɧɟ ɩɪɟɞɩɪɢɧɢɦɚɸɬɫɹ ɧɢɤɚɤɢɟ ɞɟɣɫɬɜɢɹ, ɫɩɨɫɨɛɫɬɜɭɸɳɢɟ ɩɨɜɵɲɟɧɢɸ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɢ ɡɚɤɥɸɱɟɧɢɣ ɩɪɢ ɬɨɦ ɠɟ ɨɛɴɟɦɟ ɞɚɧɧɵɯ ɢɥɢ ɭɦɟɧɶɲɟɧɢɸ ɨɛɴɟɦɚ ɞɚɧɧɵɯ ɩɪɢ ɬɨɦ ɠɟ ɭɪɨɜɧɟ ɧɚɞɟɠɧɨɫɬɢ. ɂɫɫɥɟɞɭɟɦ ɜɧɚɱɚɥɟ ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɚ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɨɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ. Ɋɚɡɨɛɶɟɦ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɧɚ p ɝɪɭɩɩ (ɜɵɛɨɪɨɤ), ɪɚɡɥɢɱɚɸɳɢɯɫɹ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ ɭɪɨɜɧɟɦ ɮɚɤɬɨɪɚ. ɑɢɫɥɨ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɜ ɤɚɠɞɨɣ ɝɪɭɩɩɟ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦ, ɨɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɢɫɥɨ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɜ j -ɣ ɝɪɭɩɩɟ ( j 1,2 , ..., p ) ɱɟɪɟɡ n j . Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɜ j -ɣ ɝɪɭɩɩɟ ɨɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɟɪɟɡ xij , ɝɞɟ i 1,2 , ..., n p , i – ɩɨɪɹɞɤɨɜɵɣ ɧɨɦɟɪ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɜ j -ɣ ɝɪɭɩɩɟ. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɨɮɨɪɦɢɦ ɜ ɜɢɞɟ ɬɚɛɥɢɰɵ: ɇɨɦɟɪ ɜɵɛɨɪɤɢ ɇɚɛɥɸɞɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɈɛɴɟɦ Ƚɪɭɩɩɨɜɨɟ ɋɭɦɦɚ ɧɢɹ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɜɵɛɨɪɤɢ ɫɪɟɞɧɟɟ (ɭɪɨɜɟɧɶ ɮɚɤɬɨɪɚ) 1 T1 ¦ xi1 x11 , x21 , ..., xi1 , ..., xn11 X1 n1 1 ¦ xi1 i n1 i … … … … … 1 T j ¦ xij Xj x1 j , x2 j , ..., xij , ..., xn1 j nj j ¦ xij nj i i
…
…
…
p
x1 p , x2 p , ..., xip , ..., xn1 p
np
…
Tp
¦x
Xp
ip
i
… 1 ¦ xip np i
1 ¦¦ xij j i j N i j ȼ ɬɚɛɥɢɰɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɵ (ɤɪɨɦɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ) ɨɛɴɟɦɵ ɜɵɛɨɪɨɤ, ɫɭɦɦɵ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɢ ɫɪɟɞɧɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɞɚɧɧɨɦɭ ɡɧɚɋɭɦɦɚ
N
¦n
j
G
¦¦ x
ij
X
156
Ʌɟɤɰɢɢ 15–16
ɱɟɧɢɸ ɩɪɢɡɧɚɤɚ, ɚ ɬɚɤɠɟ ɨɛɳɢɟ: ɱɢɫɥɨ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ, ɫɭɦɦɚ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɢ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ. ȼ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɢɞɟɟɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɦɵ ɞɨɥɠɧɵ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɬɶ ɞɜɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ: ɩɟɪɜɚɹ, ɦɟɠɝɪɭɩɩɨɜɚɹ, ɨɛɭɫɥɨɜɥɟɧɚ ɜɥɢɹɧɢɟɦ ɢɡɭɱɚɟɦɨɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ (ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɝɪɭɩɩɨɜɵɯ ɫɪɟɞɧɢɯ); ɜɬɨɪɚɹ, ɜɧɭɬɪɢɝɪɭɩɩɨɜɚɹ, ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɟɭɱɬɟɧɧɵɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ. ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɫɭɦɦɵ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɣ ɡɚɩɢɲɟɦ ɜ ɜɢɞɟ
¦¦ x
ij
i
X
j
2
¦¦ x
XjXjX
ij
i
j
¦¦ ª«¬ x
ij
i
X
j
j
¦¦ x
ij X j
i
j
2
2
2 xij X
2
¦¦ X i
j
j
X
j
X
2
X XjX
j
j
ij
j
j
j
j
j
ij
i
2
¦¦ x X ¦ n X X . 2¦¦ x X X X 2¦ X X ¦ x i
2
º»¼
2¦¦ xij X j X j X i
2
ɋɥɚɝɚɟɦɨɟ
j
j
j
j
ij
j
Xj
i
§ · 2¦ X j X ¨ ¦ xij n j X j ¸ 0 . j © i ¹
Ɉɛɨɡɧɚɱɢɜ
¦¦ x
ij
i
j
¦¦ i
X
j
XjX
2
Q0 ,
¦¦ x
ij
i
2
j
¦nj X j X j
X
2
j
2
Q1 ,
Q2 ,
ɩɟɪɟɩɢɲɟɦ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɜ ɜɢɞɟ Q0 Q1 Q2 , ɝɞɟ Q0 – ɨɛɳɚɹ ɫɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɣ, Q1 – ɫɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɣ ɨɬ ɝɪɭɩɩɨɜɵɯ ɫɪɟɞɧɢɯ (ɫɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɨɫɬɚɬɨɱɧɵɯ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɣ), Q2 – ɜɡɜɟɲɟɧɧɚɹ ɫɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɣ ɝɪɭɩɩɨɜɵɯ ɫɪɟɞɧɢɯ ɨɬ ɨɛɳɟɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ. Ⱦɥɹ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɨɰɟɧɨɤ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɤɚɠɞɭɸ ɫɭɦɦɭ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɪɚɡɞɟɥɢɬɶ ɧɚ ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ Q . Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɟɪɟɡ Q 0 ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ, ɭɱɢɬɵɜɚɟɦɨɟ ɩɪɢ ɪɚɫɱɟɬɟ ɨɛɳɟɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ, Q 1 – ɩɪɢ ɪɚɫɱɟɬɟ ɜɧɭɬɪɢɝɪɭɩɩɨɜɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ, Q 2 – ɩɪɢ ɪɚɫɱɟɬɟ ɦɟɠɝɪɭɩɩɨɜɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ. ɉɪɢ ɪɚɫɱɟɬɟ ɧɟɫɦɟɳɟɧɧɨɣ ɨɰɟɧɤɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɪɚɜɧɨ N 1, ɬɚɤ ɤɚɤ ɨɞɧɚ ɫɬɟɩɟɧɶ ɫɜɨɛɨɞɵ ɬɟɪɹɟɬɫɹ ɩɪɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ ɫɪɟɞɧɟɝɨ, ɬ.ɟ. Q 0 N 1 . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɩɪɢ ɨɰɟɧɤɟ ɜɧɭɬɪɢɝɪɭɩɩɨɜɵɯ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ Q 1 N p , ɬɚɤ ɤɚɤ p ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɬɟɪɹɟɬɫɹ ɩɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ p ɝɪɭɩɩɨɜɵɯ ɫɪɟɞɧɢɯ X j . ɇɚɤɨɧɟɰ, ɩɪɢ ɨɰɟɧɤɟ ɦɟɠɝɪɭɩɩɨɜɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ Q 2 p 1 , ɬɚɤ ɤɚɤ ɝɪɭɩɩɨɜɵɟ ɫɪɟɞɧɢɟ ɜɚɪɶɢɪɭɸɬ ɜɨɤɪɭɝ ɨɞɧɨɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, Q1 Q 2 N p p 1 N 1 Q 0 .
157
Ɉɫɧɨɜɵ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɫɭɦɦɵ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɢ ɱɢɫɥɚ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ, ɜɵɱɢɫɥɢɦ ɧɟɫɦɟɳɟɧɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ ɬɪɟɯ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ: Q0 Q1 Q2 2 2 s02 , s1 , s2 . N 1 Np p 1 Ƚɪɭɩɩɵ, ɧɚ ɤɨɬɨɪɵɟ ɪɚɡɛɢɬɚ ɜɫɹ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɬ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ ɮɚɤɬɨɪɚ, ɩɨɷɬɨɦɭ s12 ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬ ɪɚɫɫɟɹɧɢɟ ɜɧɭɬɪɢ ɝɪɭɩɩ, (ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɚɪɢɚɰɢɹ ɩɪɢɡɧɚɤɚ, s12 ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɬɚɤɠɟ ɨɫɬɚɬɨɱɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɟɣ); s22 ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬ ɪɚɫɫɟɹɧɢɟ ɝɪɭɩɩɨɜɵɯ ɫɪɟɞɧɢɯ (ɫɢɫɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɜɚɪɢɚɰɢɹ). Ɂɚɞɚɱɭ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨɫɬɢ ɜɥɢɹɧɢɹ ɢɫɫɥɟɞɭɟɦɨɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ ɦɨɠɧɨ, ɤɚɤ ɨɛɫɭɠɞɚɥɨɫɶ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦ ɩɚɪɚɝɪɚɮɟ, ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɤɚɤ ɡɚɞɚɱɭ ɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɢ ɜɧɭɬɪɢɝɪɭɩɩɨɜɨɣ ɢ ɦɟɠɝɪɭɩɩɨɜɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ. ȿɫɥɢ ɜɥɢɹɧɢɟ ɮɚɤɬɨɪɚ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɟɬ, ɬɨ s12 ɢ s22 ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦɢ ɨɰɟɧɤɚɦɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ V 2 . ȿɫɥɢ ɠɟ ɮɚɤɬɨɪ ɨɤɚɡɵɜɚɟɬ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨɟ ɜɥɢɹɧɢɟ, ɬɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ s22 : s12 ɩɪɟɜɡɨɣɞɟɬ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɣ ɩɪɟɞɟɥ ɢ ɜɵɛɨɪɤɢ ɫɥɟɞɭɟɬ ɫɱɢɬɚɬɶ ɜɡɹɬɵɦɢ ɢɡ ɪɚɡɧɵɯ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɟɣ (ɨɬɥɢɱɚɸɳɢɯɫɹ ɭɪɨɜɧɟɦ ɜɨɡɞɟɣɫɬɜɢɹ ɮɚɤɬɨɪɚ). ɋɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɞɜɭɯ ɜɵɛɨɪɨɤ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ F - ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ɏɢɲɟɪɚ – ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ. ȼɵɞɜɢɝɚɟɬɫɹ ɧɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 :
X ɨɛ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɢ ɜɥɢɹɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɚ ɉɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɦ ɞɚɧɧɵɦ s22 p 1 ½ 2 2
; ® ɜɵɱɢɫɥɹɸɬɫɹ ɨɰɟɧɤɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ s1 ɢ s2 ɢ ɢɯ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ F ¾. ȼ s12 ¯ N p ¿ ɮɢɝɭɪɧɵɯ ɫɤɨɛɤɚɯ ɩɨɫɥɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɭɤɚɡɚɧɵ ɱɢɫɥɚ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ, ɭɱɬɟɧɧɵɯ ɩɪɢ ɪɚɫɱɟɬɟ s12 ɢ s22 . Ɂɚɞɚɜɲɢɫɶ ɭɪɨɜɧɟɦ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D , ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦ ɩɨ ɬɚɛɥɢɰɟ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ FD ɢ ɫɪɚɜɧɢɜɚɟɦ ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ F ɫ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɦ. ȿɫɥɢ F d FD , ɬɨ ɧɟɬ ɨɫɧɨɜɚɧɢɣ ɨɬɜɟɪɝɚɬɶ ɧɭɥɟɜɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ, ɜɥɢɹɧɢɟ ɮɚɤɬɨɪɚ ɧɟ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ; ɟɫɥɢ ɠɟ F ! FD , ɬɨ ɧɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨɬɜɟɪɝɚɟɬɫɹ ɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢ ɩɨɞɬɜɟɪɠɞɚɟɬɫɹ ɜɥɢɹɧɢɟ ɮɚɤɬɨɪɚ. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɭɞɨɛɧɨ ɨɮɨɪɦɢɬɶ ɜ ɜɢɞɟ ɬɚɛɥɢɰɵ, ɧɨɫɹɳɟɣ ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɬɚɛɥɢɰɵ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ. ɑɢɫɥɨ ɏɚɪɚɤɬɟɪ Ɉɰɟɧɤɚ ɋɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɜɚɪɢɚɰɢɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɫɜɨɛɨɞɵ 2 Q2 ɋɢɫɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ Q2 ¦ n j X j X s22 p 1 (ɦɟɠɝɪɭɩɩɨɜɚɹ) p 1 j 2 Q1 Ɉɫɬɚɬɨɱɧɚɹ Q1 ¦¦ xij X j s12 Np (ɜɧɭɬɪɢɝɪɭɩɩɨɜɚɹ) Np i j X1
X2
... X p
ɂɬɨɝɨ:
Q0
Q1 Q2
¦¦ x
ij
i
j
X
2
N 1
––
158
Ʌɟɤɰɢɢ 15–16
Ⱦɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɫɭɦɦ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɭɞɨɛɧɨ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ: T j2 G 2 G2 2 Q0 ¦ xij , Q2 ¦ , Q1 Q0 Q2 , N N ij j nj
¦ x – ɫɭɦɦɚ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɩɪɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦ ɡɧɚɱɟɧɢɢ ɮɚɤɬɨɪɚ, ¦¦ x – ɨɛɳɚɹ ɫɭɦɦɚ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ.
ɝɞɟ T j
ij
i
G
ij
i
j
ɉɪɢɦɟɪ: Ⱦɥɹ ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɜɥɢɹɧɢɹ ɦɟɬɨɞɢɤɢ ɨɛɭɱɟɧɢɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɟɧɧɵɦ ɧɚɜɵɤɚɦ ɧɚ ɤɚɱɟɫɬɜɨ ɩɨɞɝɨɬɨɜɤɢ ɨɬɛɢɪɚɸɬɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɱɟɬɵɪɟ ɝɪɭɩɩɵ ɭɱɟɧɢɤɨɜ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɨɫɥɟ ɨɤɨɧɱɚɧɢɹ ɨɛɭɱɟɧɢɹ (ɩɨ ɪɚɡɧɵɦ ɦɟɬɨɞɢɤɚɦ) ɩɨɤɚɡɚɥɢ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ (ɫɦ. ɬɚɛɥɢɰɭ ɧɢɠɟ). Ƚɪɭɩɩɚ (ɦɟɬɨɞɢɤɚ) 1
ȼɵɪɚɛɨɬɤɚ, ɲɬ. 60, 80, 75, 80, 85, 70 75, 66, 85, 80, 70, 80, 80, 90 60, 80, 65, 60, 86, 75 95, 85, 100, 80 ɂɬɨɝɨ:
2 3 4
ɑɢɫɥɨ ɭɱɟɧɢɤɨɜ 6
ɋɭɦɦɚɪɧɚɹ ɜɵɪɚɛɨɬɤɚ, ɲɬ. 450
7
546
78
6 4 23
426 360 1782
71 90 77,48
ȼɵɱɢɫɥɹɹ ɫɭɦɦɵ, ɢɦɟɟɦ G 1782 , N 23 , G2 138066 ,3 , ¦j xij2 140481 , N ɢ ɡɚɩɨɥɧɹɟɦ ɬɚɛɥɢɰɭ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ. ɏɚɪɚɤɬɟɪ ɜɚɪɢɚɰɢɢ ɋɢɫɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ Ɉɫɬɚɬɨɱɧɚɹ ɂɬɨɝɨ
ɋɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ
T j2
¦n j
ɑɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ
917 , 7
3
Q1 1497 , 0
19
2414 , 7
22
Q2
Q0
Ƚɪɭɩɩɨɜɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ 75
138984
j
Ɉɰɟɧɤɚ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ
917 ,7 305,9 3 1497 ,0 78,8 19 ––
305,9 3,88 . Ⱦɥɹ ɭɪɨɜɧɹ ɡɧɚɱɢ78,8 0 , 05 ɬɚɛɥɢɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ FD 3,13 . Ɍɚɤ ɤɚɤ F ! FD , ɧɭ-
ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ F
ɦɨɫɬɢ D
ɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ H 0 : X 1 X 2 ... X p X ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ 0,95 ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ, ɬ.ɟ. ɦɟɬɨɞɢɤɚ ɨɛɭɱɟɧɢɹ ɡɧɚɱɢɦɨ ɜɥɢɹɟɬ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɟɧɧɵɟ ɧɚɜɵɤɢ.
159
Ɉɫɧɨɜɵ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ
16.1. Ɉɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ ɩɪɢ ɝɪɭɩɩɢɪɨɜɤɟ ɩɨ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɛɥɨɤɚɦ ɉɭɫɬɶ ɩɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɪɚɡɥɢɱɢɟ ɜ ɭɪɨɠɚɣɧɨɫɬɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɫɨɪɬɨɜ ɫɟɥɶɫɤɨɯɨɡɹɣɫɬɜɟɧɧɨɣ ɤɭɥɶɬɭɪɵ. ȿɫɥɢ ɜɫɟ ɭɱɚɫɬɤɢ ɡɟɦɥɢ ɩɨ ɩɥɨɞɨɪɨɞɢɸ ɩɪɢɦɟɪɧɨ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵ, ɬɨ ɥɭɱɲɟ ɜɫɟɝɨ ɩɪɢɛɟɝɧɭɬɶ ɤ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɫɥɭɱɚɣɧɨɦɭ ɩɥɚɧɭ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹ ɫɨɪɬɨɜ ɩɨ ɭɱɚɫɬɤɚɦ. Ɉɞɧɚɤɨ ɭɱɚɫɬɤɢ ɱɚɳɟ ɜɫɟɝɨ ɪɚɡɥɢɱɚɸɬɫɹ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ, ɢ ɷɬɨ ɛɭɞɟɬ ɜɵɡɵɜɚɬɶ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɣ ɪɚɡɛɪɨɫ ɜ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ. Ⱦɥɹ ɭɫɬɪɚɧɟɧɢɹ ɜɥɢɹɧɢɹ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɫɬɢ ɜɵɞɟɥɟɧɧɭɸ ɞɥɹ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɩɥɨɳɚɞɶ ɞɟɥɹɬ ɧɚ ɭɱɚɫɬɤɢ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɧɚɡɨɜɟɦ ɛɥɨɤɚɦɢ, ɫ ɩɪɢɦɟɪɧɨ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɦ ɤɚɱɟɫɬɜɨɦ ɡɟɦɥɢ ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɤɚɠɞɨɝɨ ɛɥɨɤɚ (ɦɟɠɞɭ ɛɥɨɤɚɦɢ ɦɨɝɭɬ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɬɶ ɛɨɥɶɲɢɟ ɪɚɡɥɢɱɢɹ ɜ ɨɬɧɨɲɟɧɢɢ ɤɚɱɟɫɬɜɚ ɡɟɦɥɢ). Ɂɚɬɟɦ ɤɚɠɞɵɣ ɛɥɨɤ ɞɟɥɹɬ ɧɚ ɫɬɨɥɶɤɨ ɞɟɥɹɧɨɤ, ɫɤɨɥɶɤɨ ɢɫɩɵɬɵɜɚɟɬɫɹ ɫɨɪɬɨɜ ɤɭɥɶɬɭɪɵ. Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɫɨɪɬɨɜ ɩɨ ɞɟɥɹɧɤɚɦ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɜ ɫɥɭɱɚɣɧɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ. Ɍɚɤɨɣ ɦɟɬɨɞ ɩɥɚɧɢɪɨɜɚɧɢɹ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɩɨɥɭɱɢɥ ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɦɟɬɨɞ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɛɥɨɤɨɜ. ȼ ɨɬɥɢɱɢɟ ɨɬ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɩɥɚɧɚ ɱɢɫɥɨ ɟɞɢɧɢɰ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɭɪɨɜɧɹ ɮɚɤɬɨɪɚ ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɦ, ɬ.ɟ. n1 n2 ... n j ... n p n . Ɇɨɞɟɥɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ xij X Di E j H ij , ɝɞɟ Di – ɷɮɮɟɤɬ ɛɥɨɤɨɜ, E j – ɷɮɮɟɤɬ ɭɪɨɜɧɹ ɮɚɤɬɨɪɚ, H ij – ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɚ. ɉɪɟɢɦɭɳɟɫɬɜɨ ɦɟɬɨɞɚ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɛɥɨɤɨɜ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɫ ɟɝɨ ɩɨɦɨɳɶɸ ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ ɪɚɡɛɪɨɫ ɞɚɧɧɵɯ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɫɜɨɞɹɬɫɹ ɜ ɬɚɛɥɢɰɭ: ɍɪɨɜɟɧɶ ɮɚɤɬɨɪɚ
Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɩɨ ɛɥɨɤɚɦ 1
2
1
x11
x21
2
x12
…
…
…
ɋɭɦɦɚ ɩɨ ɫɬɪɨɤɚɦ
ɋɪɟɞɧɟɟ ɩɨ ɭɪɨɜɧɹɦ ɮɚɤɬɨɪɚ
T1
X1 X2
…
n x n1
x22
i … xi1 … xi 2
…
xn 2
T2
…
…
…
…
…
…
…
j
x1 j
x2 j
…
xij
…
xnj
Tj
Xj
…
…
…
…
…
…
…
…
…
p
x1 p
x2 p … xip
…
xnp
Tp
Xp
ɋɭɦɦɚ ɩɨ ɜɟɪɬɢɤɚɥɢ
B1
B2
…
Bi
…
Bp
G
X
ɋɪɟɞɧɟɟ ɩɨ ɛɥɨɤɚɦ
B1
B2
…
Bi
…
Bp
––
––
…
160
Ʌɟɤɰɢɢ 15–16
¦¦ x
Ɉɛɳɭɸ ɫɭɦɦɭ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ Q0
ij
i
X
j
2
ɪɚɡɨɛɶɟɦ ɧɚ ɬɪɢ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸ-
ɳɢɟ:
¦¦ x
Q0
X
ij
i
j
2
¦¦ x
ij
i
Bi Bi X j X j X X X
j
ª xij Bi X j X Bi X X j X º ¦¦ ¬ ¼ i j ij
j
2
2
2
2
B X X X º»¼ 2¦¦ X X B X + 2¦¦ ª x B X X B X x B X X X X º . ¬ ¼
¦¦ ª«¬ x i
2
Bi X j X
i
j
j
i
ij
i
i
j
i
ij
i
i
j
j
j
j
ȼɫɟ ɫɭɦɦɵ ɩɟɪɟɤɪɟɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɣ ɨɛɪɚɳɚɸɬɫɹ ɜ ɧɨɥɶ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ,
2¦¦ X j X i
j
B X 2¦ X i
j
X
j
¦ B X i
0,
i
ɬɚɤ ɤɚɤ
¦ B X ¦ B n X i
0.
i
i
i
Ɉɫɬɚɜɲɢɟɫɹ ɫɭɦɦɵ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɬɶ:
Q0
¦¦ x
ij
i
X
j
¦¦ i
2
¦¦ ª¬« x
ij
i
Bi X j X
j
xij Bi X j X
j
2
p ¦ Bi X i
2
2
2
B X X i
n¦ X j X j
2
j X
2
º¼»
Q1 Q2 Q3 ,
ɝɞɟ ɩɟɪɜɨɟ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ, Q1 , ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɨɫɬɚɬɨɱɧɭɸ ɜɚɪɢɚɰɢɸ, ɜɬɨɪɨɟ, Q2 – ɜɚɪɢɚɰɢɸ ɦɟɠɞɭ ɛɥɨɤɚɦɢ, ɬɪɟɬɶɟ, Q3 – ɦɟɠɝɪɭɩɩɨɜɭɸ ɜɚɪɢɚɰɢɸ, ɨɛɭɫɥɨɜɥɟɧɧɭɸ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟɦ ɭɪɨɜɧɹ ɮɚɤɬɨɪɚ. Ɋɚɫɱɟɬ ɭɞɨɛɧɨ ɜɟɫɬɢ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ: ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ Q0 , Q2 ɢ Q3 ɧɟɩɨ2
2 i
¦B
2
G G i , Q2 , Q3 N p N ij ɚ Q1 ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɤɚɤ ɢɯ ɪɚɡɧɨɫɬɶ, Q1 Q0 Q2 Q3 .
ɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨ,
Q3
Q1
Q0
¦ xij2
¦T j
n
2 j
G2 , N
ɋɧɨɜɚ ɨɪɝɚɧɢɡɭɟɦ ɞɚɧɧɵɟ ɜ ɬɚɛɥɢɰɭ. ɑɢɫɥɚ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɞɥɹ Q0 , Q2 , ɨɱɟɜɢɞɧɵ, ɚ ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɞɥɹ Q1 ɧɚɣɞɟɦ ɢɡ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ Q 0 Q 2 Q 3 .
161
Ɉɫɧɨɜɵ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ
ɏɚɪɚɤɬɟɪ ɜɚɪɢɚɰɢɢ
ɋɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ
ɋɢɫɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ (ɦɟɠɝɪɭɩɩɨɜɚɹ)
Q3
Ɇɟɠɞɭ ɛɥɨɤɚɦɢ
Q2
Ɉɫɬɚɬɨɱɧɚɹ
j
ɂɬɨɝɨ:
2
2
Q0 Q2 Q3
¦¦ i
F
p¦ Bi X
Q1 Q0
n¦ X j X
i
Ⱦɥɹ s32 ; s12
ɑɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ
xij X
j
p 1
s32
n 1
s22
n 1 p 1
2
Ɉɰɟɧɤɚ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ
s12
Q3 p 1
Q2 n 1 Q1 n 1 p 1
N 1
––
ɩɪɨɜɟɪɤɢ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ ɜɥɢɹɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɚ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦ ɤɪɢɬɟɪɢɣ Ɏɢɲɟɪɚ ½ p 1 ® ¾ , ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɧɭɥɟɜɨɣ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɹ, ɱɬɨ ɪɚɫp n 1 1 ¯ ¿
ɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɣ ɮɚɤɬɨɪ ɧɟ ɜɥɢɹɟɬ ɧɚ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɪɢɡɧɚɤɚ. Ʉɚɤ ɨɛɵɱɧɨ, ɩɪɢ F d FD ɧɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɧɟ ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ, ɩɪɢ F ! FD – ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ, ɬ.ɟ. ɜɥɢɹɧɢɟ ɮɚɤɬɨɪɚ ɫɱɢɬɚɟɬɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢ ɡɧɚɱɢɦɵɦ. Ʉɚɤ ɜɢɞɧɨ ɢɡ ɬɚɛɥɢɰɵ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ, ɜɜɟɞɟɧɢɟ ɛɥɨɤɨɜ ɭɦɟɧɶɲɚɟɬ ɞɨɥɸ ɨɫɬɚɬɨɱɧɨɣ ɜɚɪɢɚɰɢɢ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɱɚɫɬɶ ɷɬɨɣ ɜɚɪɢɚɰɢɢ ɬɟɩɟɪɶ ɨɛɴɹɫɧɹɟɬɫɹ ɪɚɡɥɢɱɢɟɦ ɜ ɛɥɨɤɚɯ. ɉɪɢɦɟɪ: Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɭɸ ɫɢɬɭɚɰɢɸ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɪɢɦɟɧɹɟɬɫɹ ɦɟɬɨɞ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɛɥɨɤɨɜ. ɉɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɭɪɨɠɚɣɧɨɫɬɶ ɱɟɬɵɪɟɯ ɫɨɪɬɨɜ ɩɲɟɧɢɰɵ. Ⱦɥɹ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɜɵɞɟɥɟɧɨ ɩɹɬɶ ɭɱɚɫɬɤɨɜ ɡɟɦɥɢ, ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɜɵɫɟɹɧɵ ɜɫɟ ɱɟɬɵɪɟ ɫɨɪɬɚ ɩɲɟɧɢɰɵ (ɞɟɥɹɧɤɢ ɩɨ 1 ɝɚ). Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ. ɍɪɨɠɚɣɧɨɫɬɶ (ɰ/ɝɚ) ɩɨ ɛɥɨɤɚɦ ɍɪɨɜɟɧɶ ɮɚɤɬɨɪɚ
ɋɭɦɦɚ ɩɨ ɛɥɨɤɚɦ
ɋɪɟɞɧɟɟ ɩɨ ɮɚɤɬɨɪɚɦ
Tj
Xj
1
2
3
4
5
1
28,7
26,7
21,6
25,0
28,2
130,2
26,04
2
24,5
28,5
27,7
28,7
32,5
141,8
28,38
3
23,2
24,7
20,0
24,0
24,0
115,9
23,18
4
29,0
28,7
22,5
28,0
27,0
135,2
27,04
ɋɭɦɦɵ ɩɨ
105,4
108,6
91,8
105,7 111,7
523,2
26,16
162
Ʌɟɤɰɢɢ 15–16
ɫɨɪɬɚɦ ( Bi ) ɋɪɟɞɧɟɟ ɩɨ ɛɥɨɤɚɦ
26,35
27,15
22,95
26,42 27,92
––
––
( Bi ) ɉɨ ɞɚɧɧɵɦ ɬɚɛɥɢɰɵ ɧɚɯɨɞɢɦ G 2 ij
¦x
13867 ,38 ,
2 i
¦B
523, 2 ,
54979, 74 ,
i
ij
G2 N
13692 ,14 ,
¦T
2 j
67771,1 ,
j
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɫɭɦɦɵ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɣ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ. ɂɫɬɨɱɧɢɤ ɜɚɪɢɚɰɢɢ Ɇɟɠɞɭ ɫɨɪɬɚɦɢ Ɇɟɠɞɭ ɛɥɨɤɚɦɢ
Q3
62 , 08
ɑɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ 3
Q2
52 ,80
4
ɋɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ
Ɉɫɬɚɬɨɱɧɚɹ
Q1
60 ,36
12
ɂɬɨɝɨ
Q0
175, 24
19
Ɉɰɟɧɤɚ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ s32 20,69
s22 2 1
s
13, 20 5, 03 ––
20 , 69 4 ,11 . Ⱦɥɹ ɭɪɨɜɧɹ ɡɧɚɱɢ5, 03 ɦɨɫɬɢ D 0 , 05 ɢ ɱɢɫɥɚɯ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ 3 ɢ 12 ɬɚɛɥɢɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ FD 3, 49 . Ɍɚɤ ɤɚɤ F ! FD , ɧɭɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨɛ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɢ ɜɥɢɹɧɢɹ ɫɨɪɬɚ ɧɚ ɭɪɨɠɚɣɧɨɫɬɶ ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ 0,95 ɨɬɤɥɨɧɹɟɬɫɹ, ɬ.ɟ. ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɫɨɪɬɚ ɢɦɟɸɬ ɪɚɡɥɢɱɧɭɸ ɭɪɨɠɚɣɧɨɫɬɶ. Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɛɵ ɞɚɧɧɵɣ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ ɩɪɨɜɨɞɢɥɫɹ ɩɨ ɫɯɟɦɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɩɥɚɧɚ, ɬɨ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɭɪɨɠɚɣɧɨɫɬɢ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɵɟ ɪɚɡɥɢɱɢɟɦ ɜ ɩɥɨɞɨɪɨɞɢɢ ɨɬɞɟɥɶɧɵɯ ɛɥɨɤɨɜ, ɨɬɧɨɫɢɥɢɫɶ ɛɵ ɤ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ Q1 175, 24 62 , 08 113,16 ɢ ɨɫɬɚɬɨɱɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ (ɭɠɟ ɩɪɢ 16 ɫɬɟɩɟɧɹɯ ɫɜɨɛɨɞɵ) ɫɨɫɬɚɜɢɬ 113,16 : 16 7 ,07 . 20 , 69 ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ F 2 ,93 ɢ ɧɭ7 , 07 ɥɟɜɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɧɟ ɨɬɤɥɨɧɹɥɚɫɶ ɛɵ, ɬ.ɟ. ɩɪɢ ɛɨɥɟɟ ɜɵɫɨɤɨɦ ɭɪɨɜɧɟ ɲɭɦɚ ɜɥɢɹɧɢɟ ɫɨɪɬɚ ɧɚ ɭɪɨɠɚɣɧɨɫɬɶ ɧɟ ɡɚɦɟɬɧɨ.
ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ F
16.2. Ⱦɜɭɯɮɚɤɬɨɪɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ ɩɪɢ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɫɥɭɱɚɣɧɨɦ ɩɥɚɧɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɣ ɩɥɚɧ, ɩɨɡɜɨɥɹɸɳɢɣ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɜɥɢɹɧɢɟ ɪɹɞɚ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɩɨɪɨɡɧɶ, ɧɨ ɢ ɢɯ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɟ. ɉɭɫɬɶ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɜɵɹɜɢɬɶ ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɚ ɧɟɤɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤ X ɞɜɭɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ A ɢ B ɢ ɢɯ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɣ
163
Ɉɫɧɨɜɵ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ
(ɨɛɨɡɧɚɱɢɦ A u B ). Ɇɨɞɟɥɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: xijk X D i E j J ij H ijk . Ɉɩɵɬ ɩɪɨɜɨɞɢɬɫɹ ɩɪɢ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ A ɢ B , ɩɪɢɱɟɦ ɭ ɮɚɤɬɨɪɚ A ɪɚɡɥɢɱɚɸɬɫɹ p ɭɪɨɜɧɟɣ, ɭ ɮɚɤɬɨɪɚ B – q ɭɪɨɜɧɟɣ, ɱɬɨ ɞɚɟɬ pq ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɮɚɤɬɨɪɨɜ. Ⱦɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹ ɨɩɵɬ ɩɨɜɬɨɪɹɟɬɫɹ n ɪɚɡ, ɨɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ N npq . Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦ ɜ ɜɢɞɟ ɬɚɛɥɢɰɵ, ɝɞɟ xijk – ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɜ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɟ ɫ ɩɨɪɹɞɤɨɜɵɦ ɧɨɦɟɪɨɦ k ( k 1, ..., n ), ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɨɦ ɩɪɢ i -ɦ ɭɪɨɜɧɟ ɮɚɤɬɨɪɚ A ( i 1, ..., p ) ɢ j -ɦ ɭɪɨɜɧɟ ɮɚɤɬɨɪɚ B ( j 1, ..., q ). ɍɪɨɜɟɧɶ ɮɚɤɬɨɪɚ B
B1
B2
ɍɪɨɜɟɧɶ ɮɚɤɬɨɪɚ A
A2
x111 ,x112 ,
x211 ,x212 ,
..., x11n
..., x21n
x121 ,x122 ,
x221 ,x222 ,
..., x12n
..., x22n
…
…
…
Bq ɋɭɦɦɚ
… …
..., x2 qn
¦x
¦x
1 jk
jk
Ap x p11 ,x p12 , ..., x p1n
x p 21 ,x p 22 , ..., x p 2 n
…
x1q1 ,x1q 2 , x2 q1 ,x2 q 2 , ..., x1qn
ɋɭɦɦɚ
…
A1
… …
2 jk
jk
¦x
i1k
ik
¦x
i 2k
ik
…
x pq1 ,x pq 2 , ..., x pqn
¦x jk
pjk
…
¦x
iqk
ik
¦x
ijk
ijk
ɉɨ ɞɚɧɧɵɦ ɬɚɛɥɢɰɵ ɜɵɱɢɫɥɢɦ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ɋɭɦɦɵ: ɨɛɳɚɹ ɫɭɦɦɚ Q ¦ xijk ; ijk
ɫɭɦɦɵ ɩɨ ɫɬɪɨɤɚɦ ɬɚɛɥɢɰɵ
¦x
Q B j
ijk
ik
(ɜɵɱɢɫɥɟɧɵ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɚ B , ɢɡɦɟɧɹɸɬɫɹ ɜɞɨɥɶ ɫɬɨɥɛɰɚ); ɫɭɦɦɵ ɩɨ ɫɬɨɥɛɰɚɦ ɬɚɛɥɢɰɵ Q A i ¦ xijk jk
(ɜɵɱɢɫɥɟɧɵ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɚ A, ɢɡɦɟɧɹɸɬɫɹ ɜɞɨɥɶ ɫɬɪɨɤɢ); ɫɭɦɦɵ ɩɨ ɤɥɟɬɤɚɦ ɬɚɛɥɢɰɵ Qij ¦ xijk k
(ɜɵɱɢɫɥɟɧɵ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɨɜ A ɢ B ) . ɋɪɟɞɧɢɟ:
164
Ʌɟɤɰɢɢ 15–16
¦x
ijk
ɨɛɳɟɟ ɫɪɟɞɧɟɟ
ijk
X
pqn
Q ; pqn
¦x
Q B j
ijk
ɫɪɟɞɧɢɟ ɩɨ ɫɬɪɨɤɚɦ ɬɚɛɥɢɰɵ X B j
ik
pn pn (ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɚ B ); ¦jk xijk Q A i X A i ɫɪɟɞɧɢɟ ɩɨ ɫɬɨɥɛɰɚɦ ɬɚɛɥɢɰɵ qn qn (ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɚ A ); ¦k xijk X ij ɫɪɟɞɧɢɟ ɩɨ ɤɥɟɬɤɚɦ ɬɚɛɥɢɰɵ n (ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɨɜ) . Ɉɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚ ɨɬɞɟɥɶɧɨɝɨ ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ xijk ɨɬ ɨɛɳɟɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ X ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɜ ɜɢɞɟ: xijk X
x X X X x X X X X X X X X X ijk
ij
ij
ijk
ij
ij
Ai
Ai
B j
B j ij
X x
X X A i X X B j X X A i X B j
ijk
X ij
.
ɉɟɪɜɨɟ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ ɮɚɤɬɨɪɚ A , ɜɬɨɪɨɟ – ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ ɮɚɤɬɨɪɚ B , ɬɪɟɬɶɟ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɷɮɮɟɤɬɵ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɹ ɮɚɤɬɨɪɨɜ A ɢ B , ɚ ɩɨɫɥɟɞɧɟɟ – ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɟɭɱɬɟɧɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ. Ɋɚɡɥɨɠɢɦ ɫɭɦɦɭ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɣ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɪɢɡɧɚɤɚ X ɨɬ ɨɛɳɟɝɨ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɧɚ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɟ. ɋ ɭɱɟɬɨɦ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɭɦɦɵ ɩɟɪɟɤɪɟɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɣ ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ
¦ x
ijk
ijk
X
2
2
¦ X X ¦ X Ai
ijk
¦ X ij X A i X B j X ijk
X
X ij
B j
ijk
2
¦ x
ijk
ijk
2
2
.
ɇɚɣɞɟɦ ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɟ ɤɚɠɞɨɦɭ ɢɫɬɨɱɧɢɤɭ ɜɚɪɢɚɰɢɢ. Ɉɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɪɚɜɧɨ N 1 ( N – ɨɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ, N npq ). ɑɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɦɟɠɞɭ ɫɬɨɥɛɰɚɦɢ ɪɚɜɧɨ p 1 , ɦɟɠɞɭ ɫɬɪɨɤɚɦɢ – q 1 , ɞɥɹ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɹ – p 1 q 1 , ɜɧɭɬɪɢ ɹɱɟɟɤ –
n 1 pq
N pq . ɉɪɨɜɟɪɤɚ:
N pq p 1 q 1 p 1 q 1
165
Ɉɫɧɨɜɵ ɞɢɫɩɟɪɫɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ
N pq p 1 q 1 pq p q 1 N 1 . Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɨɮɨɪɦɢɦ ɜ ɜɢɞɟ ɬɚɛɥɢɰɵ: ɏɚɪɚɤɬɟɪ ɜɚɪɢɚɰɢɢ
ɋɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ p
Ɏɚɤɬɨɪ A Ɏɚɤɬɨɪ B ȼɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɟ Au B Ɉɫɬɚɬɨɱɧɚɹ ɜɚɪɢɚɰɢɹ
ɑɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ
i
q
np ¦ X B j X
Q3
j
pq
2
nq ¦ X A i X
Q4
2
n ¦ X ij X A i X B j X
Q2
ij
pqn
¦
Q1
xijk X ij
ijk
¦ x
Q0
ɂɬɨɝɨ
ijk
X
ijk
2
Ɉɰɟɧɤɚ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ
p 1
s42
Q4 p 1
q 1
s32
Q3 q 1
p 1 q 1
2
s22
s12
N pq
2
Q2 p 1 q 1
N 1
Q1 N pq ––
ɂɫɫɥɟɞɭɟɦ ɜɥɢɹɧɢɟ ɤɚɠɞɨɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ ɜ ɨɬɞɟɥɶɧɨɫɬɢ ɢ ɜɥɢɹɧɢɟ ɢɯ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɹ, ɞɥɹ ɱɟɝɨ ɜɵɱɢɫɥɢɦ ɬɪɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɪɢɬɟɪɢɹ: * A
F
s32 q 1 ½ * ; ® ¾ , FAB s12 ¯ N pq ¿
s42 p 1 ½ * ; ® ¾ , FB s12 ¯ N pq ¿
s22 p 1 q 1 ½ ; ® ¾. s12 ¯ N pq ¿
ɉɪɨɜɟɪɹɸɬɫɹ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɨ ɧɟɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨɫɬɢ ɜɥɢɹɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɚ A , ɮɚɤɬɨɪɚ B ɢ ɢɯ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɹ A u B : X A 1 X A 2 ... X A p X ,
X B 1 X B 2 ... X B q X , X ij X A i X B j X . ɉɨ ɡɚɞɚɧɧɨɦɭ ɭɪɨɜɧɸ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D ɢ ɢɡɜɟɫɬɧɵɦ ɱɢɫɥɚɦ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɬɚɛɥɢɱɧɵɟ (ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ) ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɪɢɬɟɪɢɹ FA D , FB D , FAB D ɢ ɫɪɚɜɧɢɜɚɸɬɫɹ ɫ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧ* ɬɚɥɶɧɵɦɢ FA* , FB* , FAB . ȿɫɥɢ F d FD , ɧɟɬ ɨɫɧɨɜɚɧɢɣ ɨɬɜɟɪɝɧɭɬɶ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸ-
ɳɭɸ ɨɫɧɨɜɧɭɸ ɝɢɩɨɬɟɡɭ (ɜɥɢɹɧɢɢ ɮɚɤɬɨɪɚ ɧɟɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ); ɟɫɥɢ F ! FD , ɨɫɧɨɜɧɚɹ ɝɢɩɨɬɟɡɚ ɨɬɜɟɪɝɚɟɬɫɹ (ɜɥɢɹɧɢɟ ɮɚɤɬɨɪɚ ɫɱɢɬɚɟɬɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢ ɡɧɚɱɢɦɵɦ). Ⱦɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɫɭɦɦ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɭɞɨɛɧɨ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ: p
Q4
¦ i
pq
Q2
Q
2
Ai
nq Qij2
p
¦ nq ¦ ij
i
2
q
Q , N 2 A i
Q
nq
Q3
¦ j
q
¦ j
2 B j
Q2 , np N
Q
B j
np
2
Q2 , N
§ n 2 Qij2 · ¦ij ¨ ¦k xijk n ¸ . © ¹ pq
Q1
Q
166
Ʌɟɤɰɢɢ 15–16
ɉɪɢɦɟɪ: ɉɭɫɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨ ɩɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɚ ɫɪɨɤɢ ɪɚɛɨɬɵ ɞɟɬɚɥɢ ɞɜɭɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ: ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɹ ɢɡɝɨɬɨɜɥɟɧɢɹ (ɬɪɢ ɦɟɬɨɞɚ, ɮɚɤɬɨɪ A ) ɢ ɦɚɬɟɪɢɚɥ (ɞɜɚ ɜɢɞɚ, ɮɚɤɬɨɪ B ). Ⱦɚɧɧɵɟ (ɱɢɫɥɨ ɦɟɫɹɰɟɜ ɪɚɛɨɬɵ ɞɟɬɚɥɢ) ɫɨɛɪɚɧɵ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ. Ɇɚɬɟɪɢɚɥ (ɮɚɤɬɨɪ B) 1
Ɍɟɯɧɨɥɨɝɢɹ (ɮɚɤɬɨɪ A ) 1 10; 8; 7; 10
ɋɪɟɞɧɟɟ
ɋɭɦɦɚ ɩɨ ɫɬɪɨɤɟ
2
3
8; 12; 14; 12
15; 8; 10; 10
124
10,33
2
12; 8; 8; 7
12; 13; 11; 14
13; 15; 12; 10
135
11,25
ɋɭɦɦɚ ɩɨ ɫɬɨɥɛɰɭ
70
96
93
259
––
ɋɪɟɞɧɟɟ
8,75
12,00
11,63
––
––
Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɫɭɦɦ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɞɚɸɬ: ɂɫɬɨɱɧɢɤ ɜɚɪɢɚɰɢɢ Ɏɚɤɬɨɪ A Ɏɚɤɬɨɪ B ȼɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɟ Au B Ɉɫɬɚɬɨɱɧɚɹ ɜɚɪɢɚɰɢɹ ɂɬɨɝɨ:
50,6
ɑɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ 2
5,0
1
s32
5, 0
2,8
2
s22
1, 4
85,4
18
s12
4 ,8
143,8
23
ɋɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ
Ɉɰɟɧɤɚ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ s42 25,3
––
ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɪɢɬɟɪɢɹ 25,3 5, 0 2½ 1 ½ * 1, 4 2½ 5,3; ® ¾ , FB* 1,1; ® ¾ , FAB 0, 28; ® ¾ . FA* 4 ,8 4,8 4,8 ¯18 ¿ ¯18 ¿ ¯18 ¿ ɉɪɢ D 0 , 05 ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ 2½ 1½ 2½ FA D ® ¾ 3,555 ; FB D ® ¾ 4, 414 , FAB D ® ¾ 3,555 . ¯18 ¿ ¯18 ¿ ¯18 ¿ ɋɪɚɜɧɢɜɚɹ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ * FA* 5,3 ! FA D 3,555 , FB* 1,1 FB D 4 , 414 , FAB 0 , 28 FAB D 3,555 . Ɍɚɤ ɤɚɤ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɧɭɥɟɜɵɯ ɝɢɩɨɬɟɡ ɜɵɞɜɢɝɚɥɢɫɶ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɨɛ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɢ ɜɥɢɹɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɨɜ, ɬɨ ɝɢɩɨɬɟɡɭ ɨɛ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɢ ɜɥɢɹɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɚ Ⱥ ɫɥɟɞɭɟɬ ɨɬɤɥɨɧɢɬɶ, ɮɚɤɬɨɪ Ⱥ ɨɤɚɡɵɜɚɟɬ ɡɧɚɱɢɦɨɟ ɜɥɢɹɧɢɟ, ɞɥɹ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɝɢɩɨɬɟɡ ɨɛ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɢ ɜɥɢɹɧɢɹ ɮɚɤɬɨɪɚ ȼ ɢ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɹ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɨɫɧɨɜɚɧɢɣ ɧɟɬ, ɢɯ ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɟɡɧɚɱɢɦɨ. ȼɵɜɨɞ: ɫɪɨɤ ɫɥɭɠɛɵ ɞɟɬɚɥɢ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɦɟɬɨɞɚ ɢɡɝɨɬɨɜɥɟɧɢɹ ɢ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɢɞɚ ɦɚɬɟɪɢɚɥɚ (ɜ ɪɚɦɤɚɯ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɢ ɦɚɬɟɪɢɚɥɨɜ!).
ɉɊɂɅɈɀȿɇɂə
168 ɉɊɂɅɈɀȿɇɂȿ 1
Ɏɭɧɤɰɢɹ Ƚɚɭɫɫɚ 0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
(ɯ) 0,06
0,07
0,08
0,09
0,0 0,398942 0,398922 0,398862 0,398763 0,398623 0,398444 0,398225 0,397966 0,397668 0,397330 0,1 0,396953 0,396536 0,396080 0,395585 0,395052 0,394479 0,393868 0,393219 0,392531 0,391806 0,2 0,391043 0,390242 0,389404 0,388529 0,387617 0,386668 0,385683 0,384663 0,383606 0,382515 0,3 0,381388 0,380226 0,379031 0,377801 0,376537 0,375240 0,373911 0,372548 0,371154 0,369728 0,4 0,368270 0,366782 0,365263 0,363714 0,362135 0,360527 0,358890 0,357225 0,355533 0,353812 0,5 0,352065 0,350292 0,348493 0,346668 0,344818 0,342944 0,341046 0,339124 0,337180 0,335213 0,6 0,333225 0,331215 0,329184 0,327133 0,325062 0,322972 0,320864 0,318737 0,316593 0,314432 0,7 0,312254 0,310060 0,307851 0,305627 0,303389 0,301137 0,298872 0,296595 0,294305 0,292004 0,8 0,289692 0,287369 0,285036 0,282694 0,280344 0,277985 0,275618 0,273244 0,270864 0,268477 0,9 0,266085 0,263688 0,261286 0,258881 0,256471 0,254059 0,251644 0,249228 0,246809 0,244390 1,0 0,241971 0,239551 0,237132 0,234714 0,232297 0,229882 0,227470 0,225060 0,222653 0,220251 1,1 0,217852 0,215458 0,213069 0,210686 0,208308 0,205936 0,203571 0,201214 0,198863 0,196520 1,2 0,194186 0,191860 0,189543 0,187235 0,184937 0,182649 0,180371 0,178104 0,175847 0,173602 1,3 0,171369 0,169147 0,166937 0,164740 0,162555 0,160383 0,158225 0,156080 0,153948 0,151831 1,4 0,149727 0,147639 0,145564 0,143505 0,141460 0,139431 0,137417 0,135418 0,133435 0,131468 1,5 0,129518 0,127583 0,125665 0,123763 0,121878 0,120009 0,118157 0,116323 0,114505 0,112704 1,6 0,110921 0,109155 0,107406 0,105675 0,103961 0,102265 0,100586 0,098925 0,097282 0,095657 1,7 0,094049 0,092459 0,090887 0,089333 0,087796 0,086277 0,084776 0,083293 0,081828 0,080380 1,8 0,078950 0,077538 0,076143 0,074766 0,073407 0,072065 0,070740 0,069433 0,068144 0,066871 1,9 0,065616 0,064378 0,063157 0,061952 0,060765 0,059595 0,058441 0,057304 0,056183 0,055079 2,0 0,053991 0,052919 0,051864 0,050824 0,049800 0,048792 0,047800 0,046823 0,045861 0,044915 2,1 0,043984 0,043067 0,042166 0,041280 0,040408 0,039550 0,038707 0,037878 0,037063 0,036262 2,2 0,035475 0,034701 0,033941 0,033194 0,032460 0,031740 0,031032 0,030337 0,029655 0,028985 2,3 0,028327 0,027682 0,027048 0,026426 0,025817 0,025218 0,024631 0,024056 0,023491 0,022937 2,4 0,022395 0,021862 0,021341 0,020829 0,020328 0,019837 0,019356 0,018885 0,018423 0,017971 2,5 0,017528 0,017095 0,016670 0,016254 0,015848 0,015449 0,015060 0,014678 0,014305 0,013940 2,6 0,013583 0,013234 0,012892 0,012558 0,012232 0,011912 0,011600 0,011295 0,010997 0,010706 2,7 0,010421 0,010143 0,009871 0,009606 0,009347 0,009094 0,008846 0,008605 0,008370 0,008140 2,8 0,007915 0,007697 0,007483 0,007274 0,007071 0,006873 0,006679 0,006491 0,006307 0,006127 2,9 0,005953 0,005782 0,005616 0,005454 0,005296 0,005143 0,004993 0,004847 0,004705 0,004567
ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɹ
169
3,0 0,004432 0,004301 0,004173 0,004049 0,003928 0,003810 0,003695 0,003584 0,003475 0,003370 3,1 0,003267 0,003167 0,003070 0,002975 0,002884 0,002794 0,002707 0,002623 0,002541 0,002461 3,2 0,002384 0,002309 0,002236 0,002165 0,002096 0,002029 0,001964 0,001901 0,001840 0,001780 3,3 0,001723 0,001667 0,001612 0,001560 0,001508 0,001459 0,001411 0,001364 0,001319 0,001275 3,4 0,001232 0,001191 0,001151 0,001112 0,001075 0,001038 0,001003 0,000969 0,000936 0,000904 3,5 0,000873 0,000843 0,000814 0,000785 0,000758 0,000732 0,000706 0,000681 0,000657 0,000634 3,6 0,000612 0,000590 0,000569 0,000549 0,000529 0,000510 0,000492 0,000474 0,000457 0,000441 3,7 0,000425 0,000409 0,000394 0,000380 0,000366 0,000353 0,000340 0,000327 0,000315 0,000303 3,8 0,000292 0,000281 0,000271 0,000260 0,000251 0,000241 0,000232 0,000223 0,000215 0,000207 3,9 0,000199 0,000191 0,000184 0,000177 0,000170 0,000163 0,000157 0,000151 0,000145 0,000139 4,0 0,000134 0,000129 0,000124 0,000119 0,000114 0,000109 0,000105 0,000101 0,000097 0,000093 4,1 0,000089 0,000086 0,000082 0,000079 0,000076 0,000073 0,000070 0,000067 0,000064 0,000061 4,2 0,000059 0,000057 0,000054 0,000052 0,000050 0,000048 0,000046 0,000044 0,000042 0,000040 4,3 0,000039 0,000037 0,000035 0,000034 0,000032 0,000031 0,000030 0,000028 0,000027 0,000026 4,4 0,000025 0,000024 0,000023 0,000022 0,000021 0,000020 0,000019 0,000018 0,000017 0,000017 4,5 0,000016 0,000015 0,000015 0,000014 0,000013 0,000013 0,000012 0,000012 0,000011 0,000011 4,6 0,000010 0,000010 0,000009 0,000009 0,000008 0,000008 0,000008 0,000007 0,000007 0,000007
170 ɉɊɂɅɈɀȿɇɂȿ 2
Ɏɭɧɤɰɢɹ Ʌɚɩɥɚɫɚ Ɏ(ɯ) 0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0 0,000000 0,003989 0,007978 0,011967 0,015953 0,019939 0,023922 0,027903 0,031881 0,035856 0,1 0,039828 0,043795 0,047758 0,051717 0,055670 0,059618 0,063559 0,067495 0,071424 0,075345 0,2 0,079260 0,083166 0,087064 0,090954 0,094835 0,098706 0,102568 0,106420 0,110261 0,114092 0,3 0,117911 0,121719 0,125516 0,129300 0,133072 0,136831 0,140576 0,144309 0,148027 0,151732 0,4 0,155422 0,159097 0,162757 0,166402 0,170031 0,173645 0,177242 0,180822 0,184386 0,187933 0,5 0,191462 0,194974 0,198468 0,201944 0,205402 0,208840 0,212260 0,215661 0,219043 0,222405 0,6 0,225747 0,229069 0,232371 0,235653 0,238914 0,242154 0,245373 0,248571 0,251748 0,254903 0,7 0,258036 0,261148 0,264238 0,267305 0,270350 0,273373 0,276373 0,279350 0,282305 0,285236 0,8 0,288145 0,291030 0,293892 0,296731 0,299546 0,302338 0,305106 0,307850 0,310570 0,313267 0,9 0,315940 0,318589 0,321214 0,323814 0,326391 0,328944 0,331472 0,333977 0,336457 0,338913 1,0 0,341345 0,343752 0,346136 0,348495 0,350830 0,353141 0,355428 0,357690 0,359929 0,362143 1,1 0,364334 0,366500 0,368643 0,370762 0,372857 0,374928 0,376976 0,378999 0,381000 0,382977 1,2 0,384930 0,386860 0,388767 0,390651 0,392512 0,394350 0,396165 0,397958 0,399727 0,401475 1,3 0,403199 0,404902 0,406582 0,408241 0,409877 0,411492 0,413085 0,414656 0,416207 0,417736 1,4 0,419243 0,420730 0,422196 0,423641 0,425066 0,426471 0,427855 0,429219 0,430563 0,431888 1,5 0,433193 0,434478 0,435744 0,436992 0,438220 0,439429 0,440620 0,441792 0,442947 0,444083 1,6 0,445201 0,446301 0,447384 0,448449 0,449497 0,450529 0,451543 0,452540 0,453521 0,454486 1,7 0,455435 0,456367 0,457284 0,458185 0,459071 0,459941 0,460796 0,461636 0,462462 0,463273 1,8 0,464070 0,464852 0,465621 0,466375 0,467116 0,467843 0,468557 0,469258 0,469946 0,470621 1,9 0,471284 0,471933 0,472571 0,473197 0,473810 0,474412 0,475002 0,475581 0,476148 0,476705 2,0 0,477250 0,477784 0,478308 0,478822 0,479325 0,479818 0,480301 0,480774 0,481237 0,481691 2,1 0,482136 0,482571 0,482997 0,483414 0,483823 0,484222 0,484614 0,484997 0,485371 0,485738 2,2 0,486097 0,486447 0,486791 0,487126 0,487455 0,487776 0,488089 0,488396 0,488696 0,488989 2,3 0,489276 0,489556 0,489830 0,490097 0,490358 0,490613 0,490863 0,491106 0,491344 0,491576 2,4 0,491802 0,492024 0,492240 0,492451 0,492656 0,492857 0,493053 0,493244 0,493431 0,493613 2,5 0,493790 0,493963 0,494132 0,494297 0,494457 0,494614 0,494766 0,494915 0,495060 0,495201 2,6 0,495339 0,495473 0,495603 0,495731 0,495855 0,495975 0,496093 0,496207 0,496319 0,496427 2,7 0,496533 0,496636 0,496736 0,496833 0,496928 0,497020 0,497110 0,497197 0,497282 0,497365 2,8 0,497445 0,497523 0,497599 0,497673 0,497744 0,497814 0,497882 0,497948 0,498012 0,498074 2,9 0,498134 0,498193 0,498250 0,498305 0,498359 0,498411 0,498462 0,498511 0,498559 0,498605 3,0 0,498650 0,498694 0,498736 0,498777 0,498817 0,498856 0,498893 0,498930 0,498965 0,498999
ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɹ
171
3,1 0,499032 0,499064 0,499096 0,499126 0,499155 0,499184 0,499211 0,499238 0,499264 0,499289 3,2 0,499313 0,499336 0,499359 0,499381 0,499402 0,499423 0,499443 0,499462 0,499481 0,499499 3,3 0,499517 0,499533 0,499550 0,499566 0,499581 0,499596 0,499610 0,499624 0,499638 0,499650 3,4 0,499663 0,499675 0,499687 0,499698 0,499709 0,499720 0,499730 0,499740 0,499749 0,499758 3,5 0,499767 0,499776 0,499784 0,499792 0,499800 0,499807 0,499815 0,499821 0,499828 0,499835 3,6 0,499841 0,499847 0,499853 0,499858 0,499864 0,499869 0,499874 0,499879 0,499883 0,499888 3,7 0,499892 0,499896 0,499900 0,499904 0,499908 0,499912 0,499915 0,499918 0,499922 0,499925 3,8 0,499928 0,499930 0,499933 0,499936 0,499938 0,499941 0,499943 0,499946 0,499948 0,499950 3,9 0,499952 0,499954 0,499956 0,499958 0,499959 0,499961 0,499963 0,499964 0,499966 0,499967 4,0 0,499968 0,499970 0,499971 0,499972 0,499973 0,499974 0,499975 0,499976 0,499977 0,499978 4,1 0,499979 0,499980 0,499981 0,499982 0,499983 0,499983 0,499984 0,499985 0,499985 0,499986 4,2 0,499987 0,499987 0,499988 0,499988 0,499989 0,499989 0,499990 0,499990 0,499991 0,499991 4,3 0,499991 0,499992 0,499992 0,499993 0,499993 0,499993 0,499993 0,499994 0,499994 0,499994 4,4 0,499995 0,499995 0,499995 0,499995 0,499995 0,499996 0,499996 0,499996 0,499996 0,499996 4,5 0,499997 0,499997 0,499997 0,499997 0,499997 0,499997 0,499997 0,499998 0,499998 0,499998 4,6 0,499998 0,499998 0,499998 0,499998 0,499998 0,499998 0,499998 0,499998 0,499999 0,499999
172 ɉɊɂɅɈɀȿɇɂȿ 2 (ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɟ) Ʉɜɚɧɬɢɥɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
P q P q P q
0,900
0,905
0,910
0,915
0,920
0,925
0,930
0,935
0,940
0,945
1,282
1,311
1,341
1,372
1,405
1,440
1,476
1,514
1,555
1,598
0,950
0,955
0,960
0,965
0,970
0,975
0,980
0,985
0,990
0,995
1,645
1,695
1,751
1,812
1,881
1,960
2,054
2,170
2,326
2,576
0,9955
0,996
0,9965
0,997
0,9975
0,998
0,9985
0,999
0,9995
0,9999
2,612
2,652
2,697
2,748
2,807
2,878
2,968
3,090
3,291
3,719
173
ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɹ
ɉɊɂɅɈɀȿɇɂȿ 3 2 Ʉɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F (ɉɢɪɫɨɧɚ)
0,001 0,005 0,01 0,025 0,05
0,1
0,2
0,3
0,7
0,8
0,9 0,95 0,975
0,99
0,995
0,999
1 10,83 7,879 6,635 5,024 3,841 2,706 1,642 1,074 0,1480,0640,0160,0040,001 1,571E-04 3,927E-051,570E-06 2 13,82 10,60 9,210 7,378 5,991 4,605 3,219 2,408 0,7130,4460,2110,1030,051 0,020
0,010
0,002
3 16,27 12,84 11,34 9,348 7,815 6,251 4,642 3,665 1,4241,0050,5840,3520,216 0,115
0,072
0,024
4 18,47 14,86 13,28 11,14 9,488 7,779 5,989 4,878 2,1951,6491,0640,7110,484 0,297
0,207
0,091
5 20,51 16,75 15,09 12,83 11,07 9,24
7,29
6,06 3,0002,3431,6101,1450,831 0,554
0,412
0,210
6 22,46 18,55 16,81 14,45 12,59 10,64 8,56
7,23 3,8283,0702,2041,6351,237 0,872
0,676
0,381
7 24,32 20,28 18,48 16,01 14,07 12,02 9,80
8,38 4,6713,8222,8332,1671,690 1,239
0,989
0,599
8 26,12 21,95 20,09 17,53 15,51 13,36 11,03 9,52 5,5274,5943,4902,7332,180 1,647
1,344
0,857
9 27,88 23,59 21,67 19,02 16,92 14,68 12,24 10,66 6,3935,3804,1683,3252,700 2,088
1,735
1,152
10 29,59 25,19 23,21 20,48 18,31 15,99 13,44 11,78 7,2676,1794,8653,9403,247 2,558
2,156
1,479
11 31,26 26,76 24,73 21,92 19,68 17,28 14,63 12,90 8,1486,9895,5784,5753,816 3,053
2,603
1,834
12 32,91 28,30 26,22 23,34 21,03 18,55 15,81 14,01 9,0347,8076,3045,2264,404 3,571
3,074
2,214
13 34,53 29,82 27,69 24,74 22,36 19,81 16,98 15,12 9,9268,6347,0415,8925,009 4,107
3,565
2,617
14 36,12 31,32 29,14 26,12 23,68 21,06 18,15 16,22 10,829,4677,7906,5715,629 4,660
4,075
3,041
15 37,70 32,80 30,58 27,49 25,00 22,31 19,31 17,32 11,7210,318,5477,2616,262 5,229
4,601
3,483
16 39,25 34,27 32,00 28,85 26,30 23,54 20,47 18,42 12,6211,159,3127,9626,908 5,812
5,142
3,942
17 40,79 35,72 33,41 30,19 27,59 24,77 21,61 19,51 13,5312,0010,098,6727,564 6,408
5,697
4,416
18 42,31 37,16 34,81 31,53 28,87 25,99 22,76 20,60 14,4412,8610,869,3908,231 7,015
6,265
4,905
19 43,82 38,58 36,19 32,85 30,14 27,20 23,90 21,69 15,3513,7211,6510,128,907 7,633
6,844
5,407
20 45,31 40,00 37,57 34,17 31,41 28,41 25,04 22,77 16,2714,5812,4410,859,591 8,260
7,434
5,921
21 46,80 41,40 38,93 35,48 32,67 29,62 26,17 23,86 17,1815,4413,2411,5910,28 8,897
8,034
6,447
22 48,27 42,80 40,29 36,78 33,92 30,81 27,30 24,94 18,1016,3114,0412,3410,98 9,542
8,643
6,983
23 49,73 44,18 41,64 38,08 35,17 32,01 28,43 26,02 19,0217,1914,8513,0911,69 10,20
9,260
7,529
24 51,18 45,56 42,98 39,36 36,42 33,20 29,55 27,10 19,9418,0615,6613,8512,40 10,86
9,886
8,085
25 52,62 46,93 44,31 40,65 37,65 34,38 30,68 28,17 20,8718,9416,4714,6113,12 11,52
10,52
8,649
26 54,05 48,29 45,64 41,92 38,89 35,56 31,79 29,25 21,7919,8217,2915,3813,84 12,20
11,16
9,222
27 55,48 49,65 46,96 43,19 40,11 36,74 32,91 30,32 22,7220,7018,1116,1514,57 12,88
11,81
9,803
28 56,89 50,99 48,28 44,46 41,34 37,92 34,03 31,39 23,6521,5918,9416,9315,31 13,56
12,46
10,39
29 58,30 52,34 49,59 45,72 42,56 39,09 35,14 32,46 24,5822,4819,7717,7116,05 14,26
13,12
10,99
30 59,70 53,67 50,89 46,98 43,77 40,26 36,25 33,53 25,5123,3620,6018,4916,79 14,95
13,79
11,59
35 66,62 60,27 57,34 53,20 49,80 46,06 41,78 38,86 30,1827,8424,8022,4720,57 18,51
17,19
14,69
174 40 73,40 66,77 63,69 59,34 55,76 51,81 47,27 44,16 34,8732,3429,0526,5124,43 22,16
20,71
17,92
45 80,08 73,17 69,96 65,41 61,66 57,51 52,73 49,45 39,5836,8833,3530,6128,37 25,90
24,31
21,25
50 86,66 79,49 76,15 71,42 67,50 63,17 58,16 54,72 44,3141,4537,6934,7632,36 29,71
27,99
24,67
55 93,17 85,75 82,29 77,38 73,31 68,80 63,58 59,98 49,0646,0442,0638,9636,40 33,57
31,73
28,17
60 99,61 91,95 88,38 83,30 79,08 74,40 68,97 65,23 53,8150,6446,4643,1940,48 37,48
35,53
31,74
65 105,99 98,10 94,42 89,18 84,82 79,97 74,35 70,46 58,5755,2650,8847,4544,60 41,44
39,38
35,36
70 112,32 104,21100,43 95,02 90,53 85,53 79,71 75,69 63,3559,9055,3351,7448,76 45,44
43,28
39,04
75 118,60 110,29106,39 100,84 96,22 91,06 85,07 80,91 68,1364,5559,7956,0552,94 49,48
47,21
42,76
80 124,84 116,32112,33 106,63101,88 96,58 90,41 86,12 72,9269,2164,2860,3957,15 53,54
51,17
46,52
85 131,04 122,32118,24 112,39107,52 102,08 95,73 91,32 77,7173,8868,7864,7561,39 57,63
55,17
50,32
90 137,21 128,30124,12 118,14113,15 107,57101,05 96,52 82,5178,5673,2969,1365,65 61,75
59,20
54,16
95 143,34 134,25129,97 123,86118,75 113,04106,36101,7287,3283,2577,8273,5269,92 65,90
63,25
58,02
100149,45 140,17135,81 129,56124,34 118,50111,67106,9192,1387,9582,3677,9374,22 70,06
67,33
61,92
Ɍɚɛɥɢɰɚ ɡɧɚɱɟɧɢɣ q
J
n
q n,J
J
n
0,95
0,99
0,999
0,95
0,99
0,999
5
1,37
2,67
5,64
20
0,37
0,58
0,88
6
1,09
2,01
3,88
25
0,32
0,49
0,73
7
0,92
1,62
2,98
30
0,28
0,43
0,63
8
0,80
1,38
2,42
35
0,26
0,38
0,56
9
0,71
1,20
2,06
40
0,24
0,35
0,50
10
0,65
1,08
1,80
45
0,22
0,32
0,46
11
0,59
0,98
1,60
50
0,21
0,30
0,43
12
0,55
0,90
1,45
60
0,188
0,269
0,38
13
0,52
0,83
1,33
70
0,174
0,245
0,34
14
0,48
0,78
1,23
80
0,161
0,226
0,31
15
0,46
0,73
1,15
90
0,151
0,211
0,29
16
0,44
0,70
1,07
100
0,143
0,198
0,27
17
0,42
0,66
1,01
150
0,115
0,160
0,211
18
0,40
0,63
0,96
200
0,099
0,136
0,185
19
0,39
0,60
0,92
250
0,089
0,120
0,162
175
ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɹ
ɉɊɂɅɈɀȿɇɂȿ 4 Ʉɜɚɧɬɢɥɢ t - ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ
176 ɉɊɂɅɈɀȿɇɂȿ 4 (ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɟ)
Ʉɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ t - ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ( k - ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ) ɍɪɨɜɟɧɶ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ D (ҏҞɞɜɭɫɬɨɪɨɧɧɹɹ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ) k
0,25
0,2
0,1
0,05
0,02
0,01
0,005
0,002
0,001
1
2,414
3,078
6,314
12,706
31,821
63,656
127,32
318,29
636,58
2
1,604
1,886
2,920
4,303
6,965
9,925
22,328
31,600
3
1,423
1,638
2,353
3,182
4,541
5,841
14,089 7,453
10,214
12,924
4
1,344
1,533
2,132
2,776
3,747
4,604
5,598
7,173
8,610
5
1,301
1,476
2,015
2,571
3,365
4,032
4,773
5,894
6,869
6
1,273
1,440
1,943
2,447
3,143
3,707
4,317
5,208
5,959
7
1,254
1,415
1,895
2,365
2,998
3,499
4,029
4,785
5,408
8
1,240
1,397
1,860
2,306
2,896
3,355
3,833
4,501
5,041
9
1,230
1,383
1,833
2,262
2,821
3,250
3,690
4,297
4,781
10
1,221
1,372
1,812
2,228
2,764
3,169
3,581
4,144
4,587
11
1,214
1,363
1,796
2,201
2,718
3,106
3,497
4,025
4,437
12
1,209
1,356
1,782
2,179
2,681
3,055
3,428
3,930
4,318
13
1,204
1,350
1,771
2,160
2,650
3,012
3,372
3,852
4,221
14
1,200
1,345
1,761
2,145
2,624
2,977
3,326
3,787
4,140
15
1,197
1,341
1,753
2,131
2,602
2,947
3,286
3,733
4,073
16
1,194
1,337
1,746
2,120
2,583
2,921
3,252
3,686
4,015
17
1,191
1,333
1,740
2,110
2,567
2,898
3,222
3,646
3,965
18
1,189
1,330
1,734
2,101
2,552
2,878
3,197
3,610
3,922
19
1,187
1,328
1,729
2,093
2,539
2,861
3,174
3,579
3,883
20
1,185
1,325
1,725
2,086
2,528
2,845
3,153
3,552
3,850
21
1,183
1,323
1,721
2,080
2,518
2,831
3,135
3,527
3,819
22
1,182
1,321
1,717
2,074
2,508
2,819
3,119
3,505
3,792
23
1,180
1,319
1,714
2,069
2,500
2,807
3,104
3,485
3,768
24
1,179
1,318
1,711
2,064
2,492
2,797
3,091
3,467
3,745
25
1,178
1,316
1,708
2,060
2,485
2,787
3,078
3,450
3,725
26
1,177
1,315
1,706
2,056
2,479
2,779
3,067
3,435
3,707
27
1,176
1,314
1,703
2,052
2,473
2,771
3,057
3,421
3,689
177
ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɹ 28
1,175
1,313
1,701
2,048
2,467
2,763
3,047
3,408
3,674
29
1,174
1,311
1,699
2,045
2,462
2,756
3,038
3,396
3,660
30
1,173
1,310
1,697
2,042
2,457
2,750
3,030
3,385
3,646
40
1,167
1,303
1,684
2,021
2,423
2,704
2,971
3,307
3,551
50
1,164
1,299
1,676
2,009
2,403
2,678
2,937
3,261
3,496
60
1,162
1,296
1,671
2,000
2,390
2,660
2,915
3,232
3,460
70
1,160
1,294
1,667
1,994
2,381
2,648
2,899
3,211
3,435
80
1,159
1,292
1,664
1,990
2,374
2,639
2,887
3,195
3,416
90
1,158
1,291
1,662
1,987
2,368
2,632
2,878
3,183
3,402
100
1,157
1,290
1,660
1,984
2,364
2,626
2,871
3,174
3,390
200
1,154
1,286
1,653
1,972
2,345
2,601
2,838
3,131
3,340
178 ɉɊɂɅɈɀȿɇɂȿ 5
F-ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɏɢɲɟɪɚ-ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ
ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɹ
179 ɉɊɂɅɈɀȿɇɂȿ 5 (ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɟ)
180 ɉɊɂɅɈɀȿɇɂȿ 5 (ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɟ) Ɍɚɛɥɢɰɚ 5
Ʉɜɚɧɬɢɥɢ F-ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ɏɢɲɟɪɚ-ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ
k1 - ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɛɨɥɶɲɟɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ (ɱɢɫɥɢɬɟɥɶ) k2 - ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ ɦɟɧɶɲɟɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ (ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ)
ɍɪɨɜɟɧɶ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ a = 0,01 k1 k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1 4052,2 4999,3 5403,5 5624,3 5764 5859 5928,3 5981 6022,46055,96083,46106,7 6125,8 6143 6157 2 98,502 99 99,164 99,251 99,302 99,33199,35799,375 99,39 99,39799,40899,419 99,422 99,42699,433 3 34,116 30,816 29,457 28,71 28,237 27,91127,67127,48927,34527,22827,13227,052 26,983 26,92426,872 4 21,198 18 16,694 15,977 15,522 15,20714,97614,79914,65914,54614,45214,374 14,306 14,24914,198 5 16,258 13,274 12,06 11,392 10,967 10,67210,45610,28910,15810,0519,96269,8883 9,8248 9,77 9,7223 6 13,745 10,925 9,7796 9,1484 8,7459 8,466 8,26 8,1017 7,976 7,87427,78967,7183 7,6575 7,605 7,559 7 12,246 9,5465 8,4513 7,8467 7,4604 7,19146,99296,84016,71886,62016,53816,4691 6,41 6,359 6,3144 8 11,259 8,6491 7,591 7,0061 6,6318 6,37076,17766,02885,91065,81435,73435,6667 5,6089 5,55885,5152 9 10,562 8,0215 6,992 6,4221 6,0569 5,80185,61285,46715,35115,25655,17795,1115 5,0545 5,00524,9621 10 10,044 7,5595 6,5523 5,9944 5,6364 5,38585,20015,05674,94244,84914,77164,7058 4,6496 4,60084,5582 11 9,6461 7,2057 6,2167 5,6683 5,316 5,0692 4,886 4,74454,63154,53934,46244,3974 4,3416 4,29334,2509 12 9,3303 6,9266 5,9525 5,4119 5,0644 4,82054,63954,49944,38754,29614,21984,1553 4,0998 4,05174,0096 13 9,0738 6,7009 5,7394 5,2053 4,8616 4,6203 4,441 4,30214,19114,10034,02453,9603 3,9052 3,85733,8154 14 8,8617 6,5149 5,5639 5,0354 4,695 4,45584,2779 4,14 4,02973,9394 3,864 3,8002 3,7452 3,69763,6557 15 8,6832 6,3588 5,417 4,8932 4,5556 4,31834,14164,00443,89483,80493,72993,6662 3,6115 3,56393,5222 16 8,5309 6,2263 5,2922 4,7726 4,4374 4,20164,02593,88963,78043,69093,61623,5527 3,4981 3,4506 3,409 17 8,3998 6,1121 5,185 4,6689 4,336 4,10153,92673,79093,68233,59313,51853,4552 3,4007 3,35333,3117 18 8,2855 6,0129 5,0919 4,579 4,2479 4,01463,84063,70543,59713,50813,43383,3706 3,3162 3,26893,2273 19 8,185 5,9259 5,0103 4,5002 4,1708 3,93863,76533,63053,52253,43383,35963,2965 3,2422 3,19493,1533 20 8,096 5,849 4,9382 4,4307 4,1027 3,87143,69873,56443,45673,36823,29413,2311 3,1769 3,1296 3,088
181
ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɹ
ɉɊɂɅɈɀȿɇɂȿ 5 (ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɟ) ɍɪɨɜɟɧɶ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ a = 0,02 k1 k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1 1012,5 1249,5 1350,5 1405,8 1440,6 1464,41481,8 1495 1505,41513,71520,61526,3 1531,2 1535,4 1539 2 48,505 49 49,165 49,249 49,298 49,33249,35649,37349,38749,39849,40749,415 49,422 49,427 49,431 3 20,618 18,858 18,11 17,694 17,429 17,245 17,11 17,00716,926 16,86 16,80516,759 16,72 16,686 16,657 4 14,04 12,142 11,343 10,899 10,616 10,41910,27410,16210,07410,0039,94369,8938 9,8514 9,8148 9,7829 5 11,323 9,4544 8,6702 8,233 7,953 7,75767,6137 7,503 7,41517,34387,28477,2348 7,1923 7,1555 7,1234 6 9,8764 8,0521 7,287 6,8594 6,5847 6,39286,25086,14156,05465,98395,92525,8757 5,8334 5,7968 5,7648 7 8,9877 7,2026 6,4539 6,0347 5,7647 5,57565,43555,32735,24135,17125,11285,0636 5,0214 4,985 4,9531 8 8,3895 6,6366 5,9014 5,4889 5,2227 5,03594,8972 4,79 4,70464,63484,57684,5277 4,4857 4,4493 4,4174 9 7,9605 6,234 5,5097 5,1027 4,8395 4,65454,51694,41054,3255 4,256 4,19824,1493 4,1073 4,0709 4,039 10 7,6384 5,9336 5,2182 4,8157 4,555 4,37144,23474,12884,0442 3,975 3,91733,8684 3,8264 3,79 3,7581 11 7,3879 5,7012 4,9932 4,5943 4,3357 4,15334,01743,91193,82753,75843,70083,6519 3,6099 3,5735 3,5415 12 7,1877 5,5163 4,8145 4,4187 4,1617 3,9804 3,845 3,73983,65573,5867 3,529 3,4802 3,4381 3,4017 3,3696 13 7,0241 5,3657 4,6692 4,276 4,0205 3,83993,70513,60013,51613,44723,38963,3407 3,2986 3,262 3,2299 14 6,8879 5,2407 4,5488 4,1578 3,9036 3,72373,58923,48453,40063,33173,27413,2252 3,183 3,1464 3,1142 15 6,7729 5,1355 4,4474 4,0584 3,8052 3,626 3,49183,38733,30353,2346 3,177 3,128 3,0858 3,049 3,0168 16 6,6744 5,0455 4,3609 3,9737 3,7214 3,54263,40873,30443,22063,15183,0941 3,045 3,0028 2,966 2,9336 17 6,5892 4,9678 4,2863 3,9006 3,6491 3,47073,33713,23293,14923,08033,02262,9735 2,9312 2,8943 2,8619 18 6,5147 4,9001 4,2213 3,8368 3,5861 3,40813,27473,17063,0869 3,018 2,96032,9112 2,8688 2,8318 2,7993 19 6,449 4,8404 4,1641 3,7809 3,5307 3,35313,21993,11593,03222,96332,90552,8563 2,8139 2,7769 2,7443 20 6,3907 4,7876 4,1134 3,7313 3,4817 3,30443,17133,06742,98372,9148 2,857 2,8077 2,7652 2,7281 2,6955
182 ɉɊɂɅɈɀȿɇɂȿ 5 (ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɟ) ɍɪɨɜɟɧɶ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ a = 0,05 k1 k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1 161,45 199,5 215,71 224,58 230,16 233,99236,77238,88240,54241,88242,98 243,9 244,69 245,36245,95 2 18,513 19 19,164 19,247 19,296 19,32919,35319,37119,38519,39619,40519,412 19,419 19,42419,429 3 10,128 9,5521 9,2766 9,1172 9,0134 8,94078,88678,84528,81238,78558,76338,7447 8,7286 8,71498,7028 4 7,7086 6,9443 6,5914 6,3882 6,2561 6,16316,0942 6,041 5,99885,96445,93585,9117 5,8911 5,87335,8578 5 6,6079 5,7861 5,4094 5,1922 5,0503 4,95034,87594,81834,77254,7351 4,704 4,6777 4,6552 4,63584,6188 6 5,9874 5,1432 4,7571 4,5337 4,3874 4,28394,20674,1468 4,099 4,06 4,02743,9999 3,9764 3,95593,9381 7 5,5915 4,7374 4,3468 4,1203 3,9715 3,866 3,78713,72573,67673,6365 3,603 3,5747 3,5503 3,52923,5107 8 5,3176 4,459 4,0662 3,8379 3,6875 3,58063,50053,43813,38813,34723,31293,2839 3,259 3,23743,2184 9 5,1174 4,2565 3,8625 3,6331 3,4817 3,37383,29273,22963,17893,13733,10253,0729 3,0475 3,02553,0061 10 4,9646 4,1028 3,7083 3,478 3,3258 3,21723,13553,07173,02042,9782 2,943 2,913 2,8872 2,8647 2,845 11 4,8443 3,9823 3,5874 3,3567 3,2039 3,09463,0123 2,948 2,89622,85362,81792,7876 2,7614 2,73862,7186 12 4,7472 3,8853 3,4903 3,2592 3,1059 2,99612,91342,84862,79642,75342,71732,6866 2,6602 2,63712,6169 13 4,6672 3,8056 3,4105 3,1791 3,0254 2,91532,83212,76692,7144 2,671 2,63462,6037 2,5769 2,55362,5331 14 4,6001 3,7389 3,3439 3,1122 2,9582 2,84772,76422,69872,64582,60222,56552,5342 2,5073 2,4837 2,463 15 4,5431 3,6823 3,2874 3,0556 2,9013 2,79052,70662,64082,58762,54372,50682,4753 2,4481 2,42442,4034 16 4,494 3,6337 3,2389 3,0069 2,8524 2,74132,65722,59112,53772,49352,45642,4247 2,3973 2,37332,3522 17 4,4513 3,5915 3,1968 2,9647 2,81 2,69872,6143 2,548 2,49432,44992,41262,3807 2,3531 2,329 2,3077 18 4,4139 3,5546 3,1599 2,9277 2,7729 2,66132,57672,51022,45632,41172,37422,3421 2,3143 2,29 2,2686 19 4,3808 3,5219 3,1274 2,8951 2,7401 2,62832,54352,47682,42272,37792,3402 2,308 2,28 2,25562,2341 20 4,3513 3,4928 3,0984 2,8661 2,7109 2,599 2,514 2,44712,39282,3479 2,31 2,2776 2,2495 2,225 2,2033
183
ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɹ
ɉɊɂɅɈɀȿɇɂȿ 5 (ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɟ) ɍɪɨɜɟɧɶ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɢ a = 0,1 k1 k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1 39,864 49,5 53,593 55,833 57,24 58,204 58,906 59,439 59,857 60,195 60,473 60,705 60,902 61,073 61,22 2 8,5263
9
9,1618 9,2434 9,2926 9,3255 9,3491 9,3668 9,3805 9,3916 9,4006 9,4082 9,4145 9,42 9,4247
3 5,5383 5,4624 5,3908 5,3427 5,3091 5,2847 5,2662 5,2517 5,24 5,2304 5,2224 5,2156 5,2098 5,2047 5,2003 4 4,5448 4,3246 4,1909 4,1072 4,0506 4,0097 3,979 3,9549 3,9357 3,9199 3,9067 3,8955 3,8859 3,8776 3,8704 5 4,0604 3,7797 3,6195 3,5202 3,453 3,4045 3,3679 3,3393 3,3163 3,2974 3,2816 3,2682 3,2567 3,2468 3,238 6 3,776 3,4633 3,2888 3,1808 3,1075 3,0546 3,0145 2,983 2,9577 2,9369 2,9195 2,9047 2,892 2,8809 2,8712 7 3,5894 3,2574 3,0741 2,9605 2,8833 2,8274 2,7849 2,7516 2,7247 2,7025 2,6839 2,6681 2,6545 2,6426 2,6322 8 3,4579 3,1131 2,9238 2,8064 2,7264 2,6683 2,6241 2,5893 2,5612 2,538 2,5186 2,502 2,4876 2,4752 2,4642 9 3,3603 3,0064 2,8129 2,6927 2,6106 2,5509 2,5053 2,4694 2,4403 2,4163 2,3961 2,3789 2,364 2,351 2,3396 10 3,285 2,9245 2,7277 2,6053 2,5216 2,4606 2,414 2,3771 2,3473 2,3226 2,3018 2,2841 2,2687 2,2553 2,2435 11 3,2252 2,8595 2,6602 2,5362 2,4512 2,3891 2,3416 2,304 2,2735 2,2482 2,2269 2,2087 2,193 2,1792 2,1671 12 3,1766 2,8068 2,6055 2,4801 2,394 2,331 2,2828 2,2446 2,2135 2,1878 2,166 2,1474 2,1313 2,1173 2,1049 13 3,1362 2,7632 2,5603 2,4337 2,3467 2,283 2,2341 2,1953 2,1638 2,1376 2,1155 2,0966 2,0802 2,0658 2,0532 14 3,1022 2,7265 2,5222 2,3947 2,3069 2,2426 2,1931 2,1539 2,122 2,0954 2,073 2,0537 2,037 2,0224 2,0095 15 3,0732 2,6952 2,4898 2,3614 2,273 2,2081 2,1582 2,1185 2,0862 2,0593 2,0366 2,0171 2,0001 1,9853 1,9722 16 3,0481 2,6682 2,4618 2,3327 2,2438 2,1783 2,128 2,088 2,0553 2,0281 2,0051 1,9854 1,9682 1,9532 1,9399 17 3,0262 2,6446 2,4374 2,3077 2,2183 2,1524 2,1017 2,0613 2,0284 2,0009 1,9777 1,9577 1,9404 1,9252 1,9117 18 3,007 2,6239 2,416 2,2858 2,1958 2,1296 2,0785 2,0379 2,0047 1,977 1,9535 1,9333 1,9158 1,9004 1,8868 19 2,9899 2,6056 2,397 2,2663 2,176 2,1094 2,058 2,0171 1,9836 1,9557 1,9321 1,9117 1,894 1,8785 1,8647 20 2,9747 2,5893 2,3801 2,2489 2,1582 2,0913 2,0397 1,9985 1,9649 1,9367 1,9129 1,8924 1,8745 1,8588 1,8449
184 ɉɊɂɅɈɀȿɇɂȿ 6
Ʉɪɢɬɟɪɢɣ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ K x
f
k
lim P On x 1 2¦ 1 e 2 k
n of
k 1
2 2
x
, x t 0.
185
ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɹ
ɉɊɂɅɈɀȿɇɂȿ 6 (ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɟ) x
K(x)
x
K(x)
x
K(x)
0.200
5.0515148e-13
0.825
0.4959458
1.450
0.9701585
0.225
2.9067959e-10
0.850
0.5346808
1.475
0.9742187
0.250
2.6823810e-8
0.875
0.5718426
1.500
0.9777820
0.275
7.4978976e-7
0.900
0.6072693
1.525
0.9809007
0.300
9.3058013e-6
0.925
0.6408494
1.550
0.9836226
0.325
6.5259653e-5
0.950
0.6725145
1.575
0.9859917
0.350
3.0285263e-4
0.975
0.7022323
1.600
0.9880480
0.375
1.0351449e-3
1.000
0.7300003
1.625
0.9898279
0.400
2.8076732e-3
1.025
0.7558406
1.650
0.9913643
0.425
6.3737237e-3
1.050
0.7797944
1.675
0.9926870
0.450
0.0125894
1.075
0.8019187
1.700
0.9938226
0.475
0.0222693
1.100
0.8222818
1.725
0.9947948
0.500
0.0360548
1.125
0.8409611
1.750
0.9956250
0.525
0.0543280
1.150
0.8580401
1.775
0.9963320
0.550
0.0771832
1.175
0.8736065
1.800
0.9969324
0.575
0.1044449
1.200
0.8877503
1.825
0.9974409
0.600
0.1357172
1.225
0.9005625
1.850
0.9978705
0.625
0.1704469
1.250
0.9121336
1.875
0.9982323
0.650
0.2079870
1.275
0.9225530
1.900
0.9985364
0.675
0.2476524
1.300
0.9319078
1.925
0.9987912
0.700
0.2887648
1.325
0.9402825
1.950
0.9990041
0.725
0.3306849
1.350
0.9477581
1.975
0.9991816
0.750
0.3728330
1.375
0.9544122
2.000
0.9993291
0.775
0.4147012
1.400
0.9603181
2.025
0.9994514
0.800
0.4558576
1.425
0.9655452
2.050
0.9995525
