Òàéíû óçëîâ
Íîçèê Àííà Àëåêñàíäðîâíà
ÒÀÉÍÛ ÓÇËÎÂ Êòî èç íàñ, äåðæà â ðóêàõ âåðåâêó, íå ïûòàëñÿ ñìàñòåðèòü èç íåå íå÷òî...
112 downloads
167 Views
660KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Òàéíû óçëîâ
Íîçèê Àííà Àëåêñàíäðîâíà
ÒÀÉÍÛ ÓÇËΠÊòî èç íàñ, äåðæà â ðóêàõ âåðåâêó, íå ïûòàëñÿ ñìàñòåðèòü èç íåå íå÷òî çàìûñëîâàòîå? Êàæäûé ìàëü÷èøêà õî÷åò çíàòü, êàê ñäåëàòü àðêàí, êàê íàäåæíî ïðèâÿçàòü ëîäêó ê ïðèñòàíè, êàê ïðèöåïèòü êðþ÷îê ê ëåñêå è ïîéìàòü íà íåãî îãðîìíóþ ðûáó. Äåâî÷êè îáîæàþò êðàñèâûå áàíòèêè, èì íðàâèòñÿ âÿçàòü íîñêè è øàðôèêè, ïëåñòè óêðàøåíèÿ èç ðàçíîöâåòíûõ íèòîê. Óìåíèå çàâÿçûâàòü óçëû íåîäíîêðàòíî âûðó÷àåò íàñ è âî âçðîñëîé æèçíè: ñòðàõîâêà â ãîðíûõ ïîõîäàõ, âåäðî äëÿ êîëîäöà, ñàìîäåëüíûé ïîâîäîê äëÿ ñîáàêè èëè óçäå÷êà äëÿ ëîøàäè... Íî çàäóìûâàåìñÿ ëè ìû íàä òåì, ÷òî çàâÿçûâàíèå óçåëêîâ ýòî öåëàÿ íàóêà, è ÷òî åþ çàíèìàëèñü è çàíèìàþòñÿ ó÷åíûå-ìàòåìàòèêè?  ñâîåé ñòàòüå ÿ õî÷ó êðàòêî ðàññêàçàòü îá ýòîé íàóêå, à òàêæå ïîêàçàòü íåñêîëüêî ïðèìåðîâ óçëîâ, êîòîðûå ìîãóò ïðèãîäèòüñÿ â ïîâñåäíåâíîé æèçíè. Òåîðèÿ óçëîâ îòíîñèòñÿ ê òàêîìó óâëåêàòåëüíîìó ðàçäåëó ìàòåìàòèêè, êàê òîïîëîãèÿ, èçó÷àþùàÿ òàê íàçûâàåìóþ ïðîáëåìó ðàçìåùåíèÿ èëè âñòàâêè îäíîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà â äðóãîå. Ïðîñòåéøèé ïðèìåð òåîðèè óçëîâ âêëþ÷àåò â ñåáÿ ðàñïîëîæåíèå êîëüöà â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîä óçëîì ìû áóäåì ïîíèìàòü çàìêíóòóþ êóñî÷íî-ëèíåéíóþ êðèâóþ â òðåõìåðíîì Åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R 3. Òàêèì îáðàçîì, ìàòåìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå óçëà îòëè÷àåòñÿ îò íàøåãî îáû÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î òîì, ÷òî óçåë ýòî êóñîê âåðåâêè ñ äâóìÿ ñâîáîäíûìè êîíöàìè: óçëû, È Â ØÓÒÊÓ È ÂÑÅÐÜÅÇ
èçó÷àåìûå â òåîðèè óçëîâ, âñåãäà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé çàìêíóòûé êîíòóð. Äâà óçëà ñ÷èòàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè èç îäíîãî óçëà ìîæíî ïîëó÷èòü äðóãîé, íå ðàçðåçàÿ åãî è íå ïðîïóñêàÿ ÷åðåç ñåáÿ; ãîâîðÿ íàó÷íûì ÿçûêîì, åñëè ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðôèçì â R 3. Îïðåäåëåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äîñòàòî÷íî òðóäíóþ çàäà÷ó, ïîýòîìó áîëüøàÿ ÷àñòü òåîðèè óçëîâ ïîñâÿùåíà ðàçðàáîòêå ìåòîäîâ, ïîçâîëÿþùèõ âûÿâëÿòü ýòè ýêâèâàëåíòíîñòè. Óçëû êëàññèôèöèðóþò ïî ïîíÿòèþ ñëîæíîñòè.  êà÷åñòâå îäíîé èç ìåð ñëîæíîñòè èñïîëüçóþò ÷èñëî ñàìîïåðåñå÷åíèé N, òî åñòü ÷èñëî äâîéíûõ òî÷åê â ïðîñòîé ïëîñêîé ïðîåêöèè óçëà. Ñóùåñòâóåò âñåãî îäèí òèï óçëà, ãäå N = 3 (åñëè íå ðàññìàòðèâàòü çåðêàëüíûå îòðàæåíèÿ), ýòî òðèëèñòíèê (ðèñóíîê 1) è îäèí òèï óçëà ñ N = 4. Ïðè N = 5 ñóùåñòâóåò äâà ðàçíûõ óçëà, à ïðè N = 6 òðè. Ïðè N = 7 ðàçíûõ óçëîâ óæå ñåìü, è, íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà, ÷èñëî òèïîâ óçëîâ íà÷èíàåò ðåçêî âîçðàñòàòü. Ïðè N = 13 èõ óæå 12 965, ïðè N = 16 1 701 935. Íà ðèñóíêå 2 ïðåäñòàâëåíû 16 ïðîñòåéøèõ óçëîâ çàìêíóòûõ êîíòóðîâ.
Ðèñóíîê 1.
89
Íîçèê À.À.
Ðèñóíîê 2.
Òåïåðü íà âðåìÿ çàáóäåì î òîì, ÷òî ó «ìàòåìàòè÷åñêîãî» óçëà íå ìîæåò áûòü ñâîáîäíûõ êîíöîâ, è ïåðåéäåì îò òåîðèè ê ïðàêòèêå: âåäü äëÿ òîãî è ñóùåñòâóåò â íàøåì æóðíàëå «ó÷åáíàÿ ìàñòåðñêàÿ», ÷òîáû íàó÷èòüñÿ ÷åìó-íèáóäü íîâîìó! Äëÿ íà÷àëà ïðåäëàãàþ îáñóäèòü îäèí èç ñàìûõ «õîäîâûõ» óçëîâ â ïîëíîì ñìûñëå ýòîãî ñëîâà óçåë íà øíóðêàõ íàøèõ áîòèíîê. Êàê ÷àñòî øíóðêè ðàçâÿçûâàþòñÿ â ñàìîå íåïîäõîäÿùåå âðåìÿ! À âñå ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ìû íå óìååì ïðàâèëüíî çàâÿçûâàòü óçåë. Ïîñìîòðèì íà ðèñóíîê 3. Îñíîâíîå ðàçëè÷èå ìåæäó ÷åòûðüìÿ ñõåìàìè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, êàê èìåííî ïåðåñåêàþòñÿ øíóðêè â ñàìîì öåíòðå óçëà. Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî â «íåíàäåæíîì» óçëå ïåðåñå÷åíèå øíóðêîâ â âåðõíåé è íèæíåé ñõåìå íàïðàâëåíî â îäíó ñòîðîíó.  «íàäåæíîì» óçëå îíè íàïðàâëåíû â ðàçíûå ñòîðîíû, ýòî
è ñëóæèò ïðè÷èíîé óñòîé÷èâîñòè ïîëó÷åííîãî óçëà. Ïðèñìîòðèòåñü âíèìàòåëüíî, êàê Âû çàâÿçûâàåòå øíóðêè. È åñëè âäðóã îêàçàëîñü, ÷òî «íåíàäåæíûì» óçëîì, ñîâåòóþ ñðî÷íî ïåðåó÷èòüñÿ! Ýòî ëåãêî: ÷òîáû óçåë ïîëó÷èëñÿ ïî-íàñòîÿùåìó íàäåæíûì, íàäî, çàâÿçàâ ïåðâûé óçåë, âòîðîé çàâÿçàòü â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè (ðèñóíîê 4). Î÷åíü èíòåðåñíûé ñàéò, ïîñâÿùåííûé ìåòîäàì çàâÿçûâàíèÿ øíóðêîâ, íàõîäèòñÿ ïî àäðåñó: http://www.fieggen.com/shoelace/ Òåïåðü ïîãîâîðèì î äðóãîé äåòàëè íàøåãî òóàëåòà ãàëñòóêå. Ñóùåñòâóþò äåñÿòêè ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ çàâÿçûâàíèÿ ãàë-
Íåíàäåæíûé óçåë
Íàäåæíûé óçåë
åãî çåðêàëüíîå îòðàæåíèå
åãî çåðêàëüíîå îòðàæåíèå
Ðèñóíîê 3.
90
Ðèñóíîê 4.
© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 6, 2004 ã.
Òàéíû óçëîâ
Ðèñóíîê 5.
Ðèñóíîê 6.
ñòóêîâ, çàâèñÿùèå îò ôîðìû óçëà, êîòîðûé òðåáóåòñÿ ïîëó÷èòü. Ïðèâåäó ïðèìåð: óçåë â âèäå ñèììåòðè÷íîãî òðåóãîëüíèêà ñðåäíåãî ðàçìåðà (ðèñóíîê 5). À òåïåðü ïîñìîòðèì, êàê çàâÿçàòü íàðÿäíóþ «áàáî÷êó» (ðèñóíîê 6). Òîìó, êòî õî÷åò íàó÷èòüñÿ åùå íåñêîëüêèì ñïîñîáàì çàâÿçûâàíèÿ ãàëñòóêîâ, ïðåäëàãàþ ïîñåòèòü ñàéò http://www.scoutdb.org/h2tat/ ×òî åùå äîëæåí óìåòü ëþáèòåëü ìàñòåðèòü óçëû? Êîíå÷íî æå, ðàçáèðàòüñÿ âî âñåõ âèäàõ ìîðñêèõ óçëîâ è çíàòü õîòÿ áû íåñêîëüêî ñïîñîáîâ èõ çàâÿçûâàíèÿ! Ýòî ïëîñêèé óçåë. Åãî çàâÿçûâàþò, åñëè íàäî ñîåäèíèòü äâå âåðåâêè ðàçíîé òîëùèíû (ðèñóíîê 7). Åñëè âåðåâêè îäèíàêîâûå, òî èñïîëüçóþò ïðÿìîé óçåë (ðèñóíîê 8) Ðèôîâûé óçåë íàäåæíûé è ëåãêî ðàçâÿçûâàåìûé (ðèñóíîê 9). Õîòèòå ñòàòü íàñòîÿùèì çíàòîêîì ìîðñêèõ óçëîâ? Ðåêîìåíäóþ ïîñåòèòü ñàéò, ãäå ïðåäñòàâëåíû ñîòíè ìîðñêèõ óçëîâ: http://randewy.narod.ru/
Åñëè íåò æåëàíèÿ ýêñïåðèìåíòèðîâàòü ñ íàñòîÿùåé âåðåâêîé, òî ìîãó ïðåäëîæèòü âåðåâêó âèðòóàëüíóþ. Íî äëÿ ýòîãî ïðèäåòñÿ âåðíóòüñÿ ê êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ «ìàòåìàòè÷åñêîãî óçëà» è âñïîìíèòü, ÷òî óçåë ýòî çàìêíóòûé êîíòóð è ó íåãî íåò ñâîáîäíûõ êîíöîâ. Ïðîãðàììà äëÿ ðàáîòû ñ âèðòóàëüíûìè óçëàìè íàçûâàåòñÿ Knots3D. Îíà ðèñóåò óçëû, îñíîâûâàÿñü íà ìåòîäå, ïðèäóìàííîì ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Êðèñòèàíîì Ìåðêàòîì (Christian Mercat). Ïðîãðàììà ïîçâîëÿåò ñòðîèòü óçëû äâóìÿ ñïîñîáàìè. Ïåðâûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ íà îñíîâå ñòàí-
Ðèñóíîê 7.
Ðèñóíîê 8.
Ðèñóíîê 9.
È Â ØÓÒÊÓ È ÂÑÅÐÜÅÇ
91
Íîçèê À.À.
Ðèñóíîê 10.
äàðòíûõ ôîðì, òàêèõ, êàê êâàäðàò, òðåóãîëüíèê, øåñòèóãîëüíèê, êðóã è äð.; îí ðåêîìåíäóåòñÿ íîâè÷êàì è íåñïåöèàëèñòàì. Âòîðîé ñïîñîá ïîäõîäèò òåì, êòî õîðîøî ðàçáèðàåòñÿ â óçëàõ è çíàåò, íà êàêîé èìåííî óçåë îí õî÷åò ïîñìîòðåòü. Ïðîãðàììà ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü óçåë æåëàåìîãî âèäà è ñ íåîáõîäèìûì íàáîðîì ïàðàìåòðîâ. Íåçàìåíèìàÿ, íà ìîé âçãëÿä, ôóíêöèÿ âîçìîæíîñòü ïîñìîòðåòü ñîçäàííûé óçåë íå òîëüêî â ïëîñêîì, äâóìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ðèñóíîê 10), íî è â îáúåìå (ðèñóíîê 11). Ïðè ýòîì îáúåìíûé ðèñóíîê ìîæíî ïîêðóòèòü ñ ïîìîùüþ ìûøêè, ÷òî ïîçâîëèò ðàññìîòðåòü åãî ñî âñåõ ñòîðîí! Èññëåäóÿ óçëû â òåîðèè, ìû ðàçâèâàåì ôàíòàçèþ è ïðîñòðàíñòâåííîå âîîáðàæåíèå. Èñïîëüçóÿ óçëû íà ïðàêòèêå è çàêðåïëÿÿ íåíàäåæíîå, ìû äåëàåì íàøó æèçíü áåçîïàñíåé; ñîçäàâàÿ ðóêîòâîðíûå øåäåâðû âÿçàíóþ îäåæäó, ïëåòåíûå êðóæåâà è ìíîãîå äðóãîå, ìû åå óêðàøàåì è ðàçíîîáðàçèì. À âîïðîñ, ÷òî æå ïîÿâèëîñü ðàíüøå âåðåâêà èëè óçåë, ïóñòü òàê è îñòàíåòñÿ áåç îòâåòà.
Ðèñóíîê 11.
Íîçèê Àííà Àëåêñàíäðîâíà, ñòóäåíòêà 4 êóðñà ìàòåìàòèêîìåõàíè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÑÏáÃÓ.
92
© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 6, 2004 ã.