Дифференциальная геометрия: Учебное пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О В Ы СШ Е ГО О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУД А РСТ В Е Н Н Ы Й УН И В Е РСИ Т Е Т Ф акульте тприкладной мате матики, информатики и ме ханики К афе драте оре тиче ской и прикладной ме ханики

Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И А Л Ь Н А Я ГЕ О М Е Т РИ Я П особие по курсу"Д иффе ре нц иальная ге оме трия" для студе нтов 2 курсад/опоспе ц иальности 010901(010500) – "М е ханика"

В ороне ж –2004

2 Утве рж де нонаучно-ме тодиче ским сове том П М М факульте та (26.02.2003 года, протокол № 5) Составите ли: К рутов А .В ., М яснянкин Ю .М . П особие подготовле но на кафе дре Т иП М факульте та П М М В ороне ж ского государстве нного униве рсите та. Ре коме ндуе тся для студе нтов 2 курса д/о по спе ц иальности 010901(010500) – "М е ханика". В данном пособии соде рж атся общ ие ме тодиче ские указ ания, из лож е ние отде льны х наиболе е трудны х те м, контрольны е вопросы и упраж не ния, атакж е краткий список лите ратуры . М ате риал пре дставле н в сж атой форме , логиче ски вз аимосвяз ано отраж ае тваж не йш ие полож е ния диффе ре нц иальной ге оме трии. В пособии уде ляе тся внимание как общ им подходам к из уче нию диффе ре нц иальной ге оме трии, приз ванны м пре одоле ть не которы е из ве стны е трудности восприятия и усвое ния е е понятий, так и не которы м спе ц иальны м вопросам, которы е либо не достаточно полно и ясно, либо совсе м не отраж е ны в уче бной лите ратуре и наиболе е трудны для понимания. К онтрольны е вопросы име ю т свое й ц е лью побудить к осмы сле нию , пониманию и з акре пле нию з наний по основны м вопросам программы и направле ны нараскры тие сущ ности важ не йш ихпонятий. В оглаве угланаш де виз : П ростоо слож ном и неслож но опростом!

3 1. О Б Щ И ЕМ ЕТ О Д И Ч ЕС К И ЕУ К А ЗА Н И Я Д ля ясного понимания основны х полож е ний диффе ре нц иальной ге оме трии не обходимо че тко пре дставлять, какие объе кты и какими сре дствами из учае т диффе ре нц иальная геоме трия, какое соотнош е ние ме ж ду эле ме нтарной ш кольной ге оме трие й, аналитиче ской, диффе ре нц иальной классиче ской и совре ме нной ге оме трие й, а такж е внутре нню ю логиче ски обусловле нную структуруданногопре дме та. Н е обходимо такж е помнить, что успе х той или иной науки, е е прогре сси раз витие те сно связ аны с уровне м абстрагирования. В не ме ньш е й, а даж е в больш ей сте пени, это относится и к диффе ре нц иальной ге оме трии. Х отя мы вправе ож идать отге оме трии вообщ е и от диффе ре нц иальной ге оме трии, в частности, больш е й наглядности, че м от других наук, те м не ме не е при повы ш е нии уровня абстракц ии мы вы нуж де ны отходитьотнаглядны х пре дставле ний и в ге оме трии, (но по ж ите йским правилам пы тае мся найти привы чны е аналогии, ассоц иац ии и ухватиться з а них как з а соломинку). И ногда это получае тся и приноситопре де ле нную польз у, а в не которы х случаях и просто вре дно. И стина, как все гда, - на з олотой се ре дине . П о крайне й ме ре не обходимо помнить, что и в диффе ре нц иальной ге оме трии не все гдамож но и нуж но наглядно пре дставить то или иное понятие . А попы тки приводятк упрощ е нности и примитивиз му. О днако не все гдабуде тмного польз ы и отчре з ме рной отвле че нности от сути не которы х вполне понятны х ве щ е й в рамках рассматривае мы х з адач. К лассиче ская диффе ре нц иальная ге оме трия опе рируе тболе е наглядны ми понятиями, в то вре мя как совре ме нная диффе ре нц иальная ге оме трия и топология боле е абстрактны . И ногда, для того, чтобы пе ре броситьмостик отклассиче ской ге оме трии к совре ме нной, пре дставляе тся не обходимы м уж е в классиче ской ге оме трии вводить не которы е понятия совре ме нной ге оме трии, такие , наприме р, как топологиче ское отображ е ние и др., хотя со стороны это мож е т показ аться из лиш ним, так как крайне й не обходимости для з адач самой классиче ской ге оме трии в этом мож е ти не бы ть. К ак в те ории, так и при ре ш е нии з адач важ но раз личать: ве ктор (обоз начае мы й обы чно в лите ратуре латинскими буквами, ж ирны м ш рифтом, а такж е буквой сче рточкой или сострелкой вве рху); е го модуль(абсолю тную ве личину или длину), являю щ ийся скалярной не отриц ате льной ве личиной и часто обоз начае мы й те ми ж е буквами, что и соотве тствую щ ий ве ктор, только обы чны м ш рифтом, бе з че рточе к, стре лоче к и символов модуля; прое кц ию ве ктора на ось, являю щ ую ся алге браиче ской ве личиной и обоз начаемой обы чно буквой с инде ксом соотве тствую щ е й оси; составляю щ ую ве ктора на ось, являю щ ую ся одним из ве кторов, на которы е расклады вае тся данны й ве ктор. И ногда встре чаю тся и другие обоз наче ния, понятны е из те кста. П ри чте нии лите ратуры для глубокого понимания и проникнове ния в суть ве щ е й не ле ните сь внимате льно прочитать вве де ние , историче ский обз ор, е сли таковой име е тся и не спе ш ите по вре дной привы чке отброситьих как не что не нуж ное . П оле з но пе ре д этим хотя бы полистать книгу и просмотре ть оглавле ние .

4 2. И ЗБ Р А Н Н Ы ЕТ ЕМ Ы 2.1. В ы пуклостьи вогнутостькри вой Н аправле ние м, соотве тствую щ им в о гнут о с т и кривой в не которой е е данной точке буде м наз ы вать то, которое указ ы вае т сторону от спрямляю щ ей плоскости вдоль главной нормали, по которую находятся все точки кривой из достаточно малой окре стности данной точки. (П ротивополож ное этому буде т направле ние м в ы п укло с т и). Н е трудно показ ать, что это направле ние , eсли опре де ле но в данной точке кривой, то з адае тся ве ктором ν, которы й буде м наз ы ватьортом главной нормали кривой, направле нны м в сторону вогнутости, или просто ортом главной нормали, вы числяемы й в этой точке поформуле ν=− (r''×r')×r'/(|r''×r'||r'|). Д е йствите льно, пустьиме е тся гладкая как минимум бире гулярная в окре стности не которой точки p кривая r=r(p). Спрямляю щ ая плоскостьв этой точке опре де ляе тся ортогональны м ей ве ктором ν. О тклоне ние окре стны х точе к от этой плоскости в сторону ν буде м характе риз овать ве личиной δ=(Δ rν), для которой име е м после раз лож е ния r(p) в ряд по сте пе ням Δ p δ=(Δ r⋅ν)=(1/2)|r'×r"|(Δ p)2/|r'|+o(Δ p)2. Т аким образ ом, при достаточно малом Δ p отклоне ние δ для бире гулярной гладкой кривой буде тполож ите льны м и, сле довате льно, все точки кривой, достаточно близ кие от данной е е точки, будут ле ж ать по одну сторону от спрямляю щ е й плоскости в полож ите льном направле нии ν. К стати отме тим, что кривиз на с точностью до Δ p пропорц иональна отклоне нию δ, приходящ е муся нае диниц у|dr|. В ы числим отклоне ние точе к кривой от соприкасаю щ е йся плоскости в сторонубинормали. (Δ r⋅β)=(1/6)(r'''r'r")(Δ p)3/|r'×r"|+o(Δ p)3. О тсю да видно, что круче ние с точностью до (Δ p)3 пропорц ионально отклоне нию , приходящ е муся наединиц уве личины |dr×d2r|. К роме приве де нного, мож но дать е щ е сле дую щ е е опре де ле ние в о гнут о с т и. Н аправле ние м, соотве тствую щ им в о гнут о с т и кривой в не которой е е данной точке буде т то, которое указ ы вае тся множ е ством точе к главной полунормали, от которы х данная точка максимально удале на по сравне нию с другими точками кривой из окре стности данной. (П ротивополож ному направле нию – в ы п укло с т и буде т соотве тствовать минимальное удале ние ).

5

2.2. Н екоторое обобщ ени е формул Ф рене Д иффе ре нц иальны е уравне ния – обы чны е формулы Ф рене в не котором баз исе e=(e1,e2,e3), относите льно которого каж дая точкакривой, фиксированная по з начению е е параме тра, не из ме нна, име ю твид dτ|/ds= kν, dν/ds=− kτ +χβ, dβ/ds= − χν.

(1)

В водя обоз наче ния (τ, ν, β)=ε1=(ε11, ε21, ε31), формулы Ф ре не з апиш е м такж е в виде dεi1/ds=Bεi1=Ω×εi1, (i=1,2,3), где Ω – ве ктор Д арбу угловой скорости поворотатриэдраФ ре не при из ме не нии натурального параме траs, для которогоиме е м Ω=(Ω1, Ω2, Ω3)=χε1+kε3=χvτ+kv(τ×ν)=χv+k(v×ν), v=vτ.

(2)

И ли  0 −k 0    dε1/ds=Bтε1, B=  k 0 − χ  .    0 χ 0    2.2.1. О сь ки немати ческого ви нтатри эд раФ рене. В и нтовой ради ус и па ра метрви нта(в сравнени и с аналоги чны ми х арактери сти ка ми ки нема ти ческогови нтателаи ви нтовой ли ни и ) Ближ айш ая от точки M=r(s) кривой точка N оси кине матиче ского винта триэдраФ ре не кривой в точке M опре де лится ве ктором a=MN a=Ω×v/Ω2=[k/(k2+χ2)]ν. М одульве ктораa буде м наз ы ватьв инт о в ы м радиус о м . Д ля не гоиме е м a=|a|=k/(k2+χ2)=(aν)=(Ω×v)ν/Ω2=Ω(v×ν)/Ω2=(Ωβ)/Ω2=(1/Ω)cosα2.

(3)

6 Д ля параме траb кине матиче ского винтатриэдраФ ре не получим b=(Ωv)/Ω2=χ/(k2+χ2)=Ω(ν×β)/Ω2=(β×Ω)ν/Ω2=(1/Ω)sinα2. Зде сьα2 – угол, наиме ньш ие полож ите льны е з наче ния которого отсчиты ваю тся отβ к Ω против ходастре лки часов при наблю де нии из конц аве ктораν. Т аким образ ом, для винтовогорадиусаи параме траиме е м a=k/(k2+χ2)=(1/Ω)cosα2. (4) 2

2

b=χ/(k +χ )=(1/Ω)sinα2. О тсю даполучим (Сделатьсамостояте льно!) k=a/(a2+b2)=Ωcosα2, (5)

χ=b/(a +b )=Ωsinα2. 2

2

Ω=(k2+χ2)1/2=1/(a2+b2)1/2, α2=2arctg[χ/((k +χ ) +k)]=2arctg[b/((a +b ) +a]. 2

2 1/2

2

(6)

2 1/2

2.2.2. И нверсна я связькри ви зны и кручени я с ради усом и параметром ки нема ти ческогови нтатри эд раФ рене Заме тим, что (4), (5) име ю т форму пре образ ования инве рсии (пре образ ования обратны ми радиусами). Э то пре образ ование являе тся инволю тны м, т.е . таким, что в ре з ультате обратного пре образ ования лю бая пара инве рсно соотве тстве нны х точе к не ме няе тся. К ак из ве стно, в пре образ овании инве рсии ре ализ уе тся гармониче ское отнош е ние как частны й случай ангармониче ского, слож ного отнош е ния, играю щ е го важ ную роль в прое ктивной ге оме трии, так как оно являе тся инвариантом прое ктивны х пре образ ований [16]. Е сли кривиз ну k и круче ние χ, умнож е нны е на r2 считать координатами ξ,η точки-прообраз аD плоскости, указ ы вае мой конц ом ве ктораД арбу ρ=r2Ω, а ве личины a, b – координатами точки-образ а C, указ ы вае мой конц ом ве ктора с =Ω0/Ω= a 2 + b 2 Ω0, то диаме тр AB=2r инве ртирую щ е й окруж ности де лится этими точками в гармониче ском отнош е нии, т.е . в одинаковом отнош е нии λ и внутре нним и вне ш ним образ ом (рис. 1) (r− ρ)/(r+ρ)=(c− r)/(c+r)=λ; (1− ρ/r)/(1+ρ/r)=(c/r− 1)/(c/r+1)=λ.

(7′)

Т е пе рь все соотнош е ния и свойства, име ю щ ие ме сто для гармониче ской че тве рки точе к, могут бы ть распростране ны и на ве кторы ρ=r2Ω и с =Ω0/Ω= a 2 + b 2 Ω0.

7 Соотнош е ние (7′) связ ы η, b вае т два кине матикоκ κ−R ге оме триче ских инварианта: Ω κ+R 2 2 и c= a + b =1/Ω. В е личина c, обратная угловой скорости, име е т смы сл радиуса вращ е ния, коне ц которого при повороте на угол dϕ описы вае т эле ме нтарную дугу в плоскости вращ е ния, равную соотве тствую щ е й эле ме нтарной дуге 2α пространстве нной кривой C ds= a 2 + b 2 dϕ=(1/Ωz)dϕ [15]. b Сле дуе т з аме тить, что c=Ω0/Ω E лю бую плоскую кривую мож но B h рассматривать как прое кц ию D подходящ е й пространстве нной r2χ ρ=r2Ω кривой, наприме р, как прое кO α2 a ц ию линии откоса на плосrk R ξ, a кость, ортогональную тому не - A t/2 из ме нному в пространстве направле нию , е е касате льная с которы м образ уе т постоянны й угол. Т огда получе нны е ре - Р и с. 1. П ре образ ование инве рсии кривиз ны и круз ультаты будут име ть смы сл и че ния. Гармониче ское отнош е ние для плоской кривой. П рове де м из точки D пе рпе ндикуляр h к диаме тру AB до пе ре се че ния с окруж ностью в точке E, которая, сое диненная с конц ами диаме тра буде т являться ве рш иной прямого углатре угольникасостры м углом t/2. Т огдасуче том (7′) получим λ=(r2− ρ2)/(r+ρ)2=h2/(r+ρ)2=tg2(t/2),

(7′′)

r/c=ρ/r=cost, ρ/c=r2/c2=cos2t. О тсю дасле дуе т, что касате льная к окруж ности инве рсии, прове де нная из точки С , касае тся этой окруж ности в конц е E вы соты h, которы й являе тся ве рш иной и второго прямого угла, образ ованного прямой CE и радиусом окруж ности, прове денны м в точкукасания, приче м, гипоте нуз ы ле ж атнаодной прямой. Э то дае т способ построе ния че тве ртой гармониче ской точки C по тре м данны м A, D, В , a такж е способ обращ е ния числа или отре з ка. Ч тобы обратить число a, из меряе мое отре з ком OD при е диничном масш табном отре з ке AB/2=OB=r, из конц аD отре з капроводим пе рпе ндикуляр до пе ре се че ния в точке E сокруж ностью радиусаr и сц е нтром O, построе нной наAB как надиаме тре (рис. 1 – 2). И з точки E пе рпе ндикулярно радиусу EO проводим прямую EC

8 до пе ре се че ния спрямой AB, точкаС буде тче тве ртой гармониче ской, при этом длина r2/a отре з ка OC вы раж ае тся числом, обратны м по отнош е нию к числу a, вы раж аю щ е му длину отре з ка OD. угол π/2− α, как угол ме ж ду радиусом-лучом OE=b и лучом OD опре де ляе тся сточностью до з нака. Е сли под лучом OD пониматьве ктор Д арбу r2Ω угловой скорости триэдраФ ре не кривой, из ме ре нны й с помощ ью масш табной е диниц ы r, то угол α буде т име ть смы сл угла ме ж ду бинормалью и ве ктором Д арбу угловой скорости триэдра Ф ре не . И тогда этот ве ктор Д арбу раз лагае тся опре де ле нны м образ ом наве ктор кривиз ны r2k и ве ктор круче ния r2χ. О тсю да сле дуе т, что для опре де ле ния кривой достаточно з натьдлинуве ктораД арбуили длинуобратного е муве ктораa2+b2. К аковасвяз ь углов t и π/2− α? Раз ность этих углов вы бором масш табного е диничного отре з ка мож но све сти к нулю . Д ля этого з а е диниц у сле дуе т вз ять ве личинуb винтового параме тра(рис. 2). Считая точку D фокусом эллипса, угол t=π/2− α буде т являться эксц е нтриче ской аномалие й точки эллипса, име ю щ е й туж е абсц иссу, что и фокус. Т огда ве личина h е сть малая полуось эллипса, а r=OB – больш ая. Л уч OO′ дае т точку эллипса с эксц е нтриче ской аномалие й π/2− 2α, истинная аномалия которой опре де лится поиз ве стной из те оре тиче ской механики формуле . Рассмотрим случай, когдаотнош е ние λ равно характе ристиче скомучислу φ1=( 5 − 1)/2 з олотой пропорц ии, когдаDB/AD=AD/AB=AD/2r получим λ=φ1=(r− ρ)/(r+ρ)=(c− r)/(c+r), tgt/2=h/AD=(DB/tgt/2)/AD=(AD/2r)/tgt/2=((r+ρ)/2r)/tgt/2=(1/2)(1+cost)/tgt/2 => tgt/2=cost/2=λ1/2, sint/2=λ=(c− r)/(c+r); (c/r− 1)/(c/r+1)=φ1; (c/r− 1)=φ1(c/r+1); r/c=(1− φ1)/(1+φ1)=(1− tg2t/2)/(1+tg2t/2)=cost=φ13. А налогично тож е самое найде м для ρ/r. Т аким образ ом, для отнош е ний в этом случае име е м r/c=ρ/r=cost/2=tgt/2=sin3t=φ13, tgt=2 φ1 /φ2=2(1+φ1)2 φ1 . П ри пе ре ме щ е нии отточки к точке кривой гармониче ское отнош е ние буде тиме ть ме сто, но сраз ны м, вообщ е говоря, з начение м λ. К ривы е, у которы х име ю тся точки, где λ име е т опре де ле нное з наче ние , наприме р λ=φ1, будут составлятьопре де ле нны й таким образ ом класс. Ч е ты ре пе ре ме нны х, состоящ ие в гармониче ском отнош е нии могут являться частны ми ре ш е ниями уравне ния Рикатти. П риве де ние формул Ф ре не к одному уравне нию Рикатти в компле ксны х пе ре ме нны х осущ е ствляе тся с помощ ью з аме н пе ре ме нны х, одной из которы х является з аме наче ре з танге нсполовинногоаргуме нтатипа(7′′), которая раскры вае тсущ ностьэтой з аме ны . Д ля приме не ния пре образ ований инве рсии радиус-ве ктор ρ=r2Ω инве ртируе мой точки D сле дуе т совме стить с радиус-ве ктором с инверсно соотве тстве нной точки C, пове рнув е го сначала на π около направле ния Ω, а з ате м на – на угол α по (7′′) против ходастре лки часов около ортаν главной нормали, направле нного в сторону вогнутости кривой. Э то равносильно тому, что на прямой, соде рж ащ е й равны й по модулю радиусу кривиз ны ве ктор Ω0×(− R), в направле нии этого ве ктора нуж но располож ить ве ктор кривиз ны k=kβ обратномодульной ве личины , ананаправле нии ве ктораκΩ0 – ве ктор круче ния χ=χvs.

9

2.2.3. Т еоремао взаи мнообратны х вели чи нах Свойства пре образ ования инве рсии происте каю т из те оре мы о вз аимно обратны х ве личинах (обобщ аю щ е й такж е те оре му М е нье из те ории пове рхносте й). П риве де м этуте оре мув таком наиболе е ш ироком и усиле нном варианте . η, b κ

A′ κ− R

κ+R

a2/b

13

H′

(a/b)2b O′ 10

8

E

ρ

b h

r2χ O

15

2α

10

5 3

0

α

D ρ=r2 Ω

F G

B

r2k (b/a)2a

C

12,

D′

c=Ω0/Ω

F′

H

a b2/a R

B′

ξ, a

t/2

A

Р и с. 2. П ре образ ование инве рсии кривиз ны и круче ния. Гармониче ское отнош е ние . t/2=(π/2− α)/2.

О ртогональны е составляю щ ие ве ктора прямомодульной группы и вз аимно им обратномодульны е составляю щ ие , начало которы х поме щ е но в одной точке , связ аны те м, что ве кторная сумма одних ортогональна раз ности других, приче м конц ы составляю щ их одной группы ортогонально прое ц ируе тся на линию ве кторной суммы составляю щ их другой группы в коне ц обратномодульной суммы после дних, которы й де лит упоминавш ую ся раз ность в отнош е нии, равном квадрату отнош е ния длин пе рвы х, приче м ве ктор раз ности составляю щ их обратномодульной (прямомодульной) суммы , направле нной такж е как и прямомодульная (обратномодульная) сумма, паралле ле н раз ности прямомодульны х (обратномодульны х) составляю щ их, име е т ме сто раве нство отре з ков OG=HB′, OE=H′A′ и коне ц обратномодульной суммы являе тся че тве ртой гармониче ской точкой, инве рсно соотве тстве нной конц у прямомодульной суммы (рис. 2). П олож е ния этой те оре мы могут бы ть пе ре не се ны не посредстве нно на круче ние , радиус круче ния, кривиз ны и радиусы кривиз н кривы х вообщ е и се че ний пове рхности, в частности, как на вз аимно обратны е ве личины . (П оэтому

10 те оре маМ е нье не являе тся характе рной только для пове рхносте й, апроисте кае т из ге оме триче ских свойств вз аимообратны х чисе л, име ю щ их боле е общ ий характе р, благодаря че му она усиливае тся и обобщ ае тся и на ге оде з иче скую кривиз ну пове рхности (см. дале е )). Н а е е основе в наш е м случае мож но такж е утве рж дать, в частности, что коне ц ве ктора c ле ж ит на линии, сое диняю щ ей конц ы ве кторов Ω0×(− a) и κΩ0, пе рпе ндикулярной направле нию vs/Ω, вдолькоторого после поворотабуде тнаправле н ве ктор Ω=k+χ (рис. 2) (это подтве рж дае тся и не посре дстве нной прове ркой). Т ак что, конц ы ве кторов Ω0×(− a) и κΩ0 ортогонально прое ц ирую тся на эту линию в коне ц c, которы й де лит отре з ок ме ж дуконц ами этих двух ве кторов в отнош е нии, равном tg2α. Д анная те оре ма такж е мож е т служ ить такж е крите рие м контроля правильности и точности из ображ е ния обратны хдлин и углов при построе нии. 2.2.4. Разли чны е и нвари анты и натуральны е уравнени я кри вы х . А на ли з преи мущ естваугловогои нвари антаперед д руги ми Т ак как кривиз на и круче ние , опре де ляю щ ие кривую и являю щ ие ся е е инвариантами [1], одноз начно вы раж аю тся с одной стороны чере з a и b, с другой – че ре з Ω и α2, то a, b и Ω, α2 являю тся двумя парами инвариантов кривой, а каж дая из этих пар, з аданная в функц ии вре ме ни, являе тся раз новидностью натуральны х уравне ний кривой. И нварианты a, b обладаю т больш е й наглядностью по сравне нию скривиз ной и круче ние м, атакж е лучш ими воз мож ностями для из ме ре ния. И нварианты Ω, α2 такж е характе рны свое й наглядностью , ясны м кине матиче ским и ге оме триче ским смы слом. Т о, что одним из инвариантов являе тся угол, откры вае тне которы е пре дставляю щ ие инте ре своз мож ности пе ре ходаотбаз исаФ ре не к другим баз исам, диффе ре нц иальны е уравне ния для ортов которы х могут оказ аться з начите льно прощ е , че м уравне ния Ф ре не . Ф ормулы (4)–(6), связ ы ваю щ ие раз личны е инварианты , могут рассматриваться как з аме навнутре ннихпе ре ме нны хфункц ий. Т е пе рь име е м три пары инвариантов кривой и соотве тстве нно три раз новидности натуральны х уравне ний k=k(s), χ=χ(s);

a=a(s), b=b(s);

Ω=Ω(s), α2=α2(s).

Упраж не ние . П е ре ход отдиффе ре нц иальны х уравне ний-формул Ф ре не спе ре ме нны ми коэффиц ие нтами к уравне ниям аналогичной структуры с постоянны ми коэффиц ие нтами воз мож е н в соотве тствии с те оре мой Л япунова в случае , е сли пе ре ме нны е коэффиц ие нты являю тся пе риодиче скими функц иями. В каче стве приме раполучите уравне ния типаформул Ф ре не для кривой спе риодиче скими кривиз ной и круче ние м.

11 2.2.5. К и нема ти ко-геометри ческа я и нтерпретац и я основны х х арактери сти к кри вой К ине матиче ская инте рпре тац ия основны х из ве стны х характе ристик кривой и не которы х новы хпре дставле нанарис. 3.

κΩ

|κ|Ω0

vs,τ Rк

●

О сь кривиз ны

a b=bΩ0

k

kβ Ω(τ)=kβ Ц е нтр С 1 кривиз ны

1/r

α ●

R

a=aν О .К .В .

О

KN

k=aΩ2ν

1/Rк

k=1/R

r

|b|

Ω×(−R)

k(vs×ν)

Ω

Ω

Ω

1/Ω

vs/Ω

● ●

Ω0×(−R)

Ω0×(−a) χ χvs=χ α Ω×(−χR) R

Ω(β)=χvs С2 Ц е нтр круче ния О ськруче ния

В е ктор радиуса круче ния

κ

Р и с. 3. К ине матиче ские моде ли основны х характе ристик кривой. kβ=k(τ×ν)=k(r′s×ν)=k(vs×ν) – альте рнативны й ве ктор кривиз ны , χτ=χr′s=χvs – ве ктор круче ния как угловы е скорости касате льной и бинормали, Ω=χτ+kβ – ве ктор Д арбу. K – нормальная кривиз на кониче ской пове рхности, описы вае мой радиус-ве ктором кривой, Rк=RкN – ве ктор кривиз ны конуса, N – нормальконуса. Ц е нтр круче ния кривой в не которой е е точке мож но опре де лить иначе , наприме р так, что он буде т располож е н в сторону вогнутости, сле ва от точки кривой; се йчас он из ображ е н справа, чтобы сильноне з агромож датьрисунок

12 2.2.6. К ласси фи кац и я, рангкри вы х и обобщ енны е уравнени я Ф рене Н арядусбаз исом Ф ре не (τ,ν,β)=ε1=(ε11,ε21,ε31) рассмотрим баз исε2=(ε12,ε22,ε32), орты которого связ аны сортами баз исаФ ре не сле дую щ им образ ом ε12=ε21, ε22=− cosα2ε11+sinα2ε31, ε32=sinα2ε11+cosα2ε31; ε11=− cosα2ε22+sinα2ε32, ε21=ε12, ε31=sinα2ε22+cosα2ε32.

(7)

(8)

И ли в матричной форме ε2=A21ε1, ε1= A −211 ε2=A12ε2.

(9) (10)

М атриц у A21 постройте самостояте льно в каче стве упраж не ния. П родиффе ре нц ируе м (7) по дуге и использ уе м формулы Ф ре не и соотнош е ния (4), (8), получим диффе ре нц иальны е уравне ния для ортов баз исаε2 типаформул Ф ре не (В ы полнитьсамостояте льно!). ε′12=Ωε22, ε′22=− Ωε12+α′2ε32, ε′32=− α′2ε22.

(11)

(Самостояте льно з аписатьэтусисте мув матричной форме !). К ак видим, по структуре эти уравне ния сове рш е нно аналогичны уравне ниям Ф ре не и отличаю тся от них лиш ь те м, что вме сто кривиз ны и круче ния коэффиц ие нтами в них являю тся (α2)′ и Ω. Э ти коэффиц ие нты и не которая постоянная α20 такж е могутрассматриваться как инварианты кривой и как раз новидностье е натуральны х уравне ний. Ω=Ω(s), α′2=α'2(s), α20.

(12)

Д опустим, что с этими коэффиц ие нтами уравне ния (11) удае тся проинте грировать и те м опре делить орты второго баз иса. Т огдапо формулам (8) или (10), опре де ляя пре дварите льно из (12) угол α2 с точностью до постоянной α20, ле гко находятся и орты пе рвого баз иса– баз исаФ ре не , аз ате м и координатнове кторны е параме триче ские уравне ния кривой.

13 Рассмотрим кривую , для которой кривиз на и круче ние е сть пе риодиче ские сфаз ой π/2 функц ии дуги k(s)=Acosqs, χ(s)=Asin(qs), (A,q=const).

(13)

Уравне ния Ф ре не для этой кривой будут диффе ре нц иальны ми уравне ниями спе ре ме нны ми коэффиц ие нтами k(s), χ(s). К оэффиц ие нты Ω, α2 в аналогичны х уравне ниях, как не трудно убе диться, будутпостоянны ми для этой кривой. Д е йствите льно, из (5) и (13) име е м Ω=(k2+χ2)1/2=|A|=const. Д иффе ре нц ируя (5) и (13) подуге s, получим |α'2|=((k')2+(χ')2)1/2/Ω2=|q|=const. Э то мож но получитьтакж е из (6) суче том (13) α2=2arctg[χ/((k2+χ2)1/2+k)]=2arctg[Asinqs/(|A|+Acosqs]=qs (±π). О тсю да α'2=q=const. Т аким образ ом, две постоянны х ве личины Ω, α'2 и константа α20 опре де ляю т кривую и, сле довате льно, могут рассматриваться в каче стве раз новидности е е натуральны х уравне ний и как е е инварианты Ω=const, α'2=const, α20.

(14)

С этими постоянны ми коэффиц ие нтами уравне ния (11) ле гко инте грирую тся и те м опре де ляю тся орты второго баз иса. П о формулам (8), опре де ляя пре дварите льно из (14) угол α2, находятся орты пе рвого баз иса– баз исаФ ре не, аз ате м и координатно-ве кторны е уравне ния кривой. Способ получе ния з де сь второго баз иса мож е т использ оваться как алгоритм для получе ния после дую щ их баз исов. Д иффе ре нц иальны е уравне ния получаю тся с постоянны ми коэффиц ие нтами Ω=Ω1=const, α'2=const для ортов второго баз иса, как мы виде ли, лиш ь для кривой со спе ц иальны м видом з ависимости кривиз ны и круче ния от дуги. Е сли пе ре йти для этой кривой к тре тье му баз ису, мы получим диффе ре нц иальны е уравне ния с коэффиц ие нтами Ω2=const, α'3=0. (Сде латьсамостояте льно!). П остоянны м буде тпри этом, кстати сказ ать, и направле ние ве ктора Ω2, з адаю щ е го направле ние тре тье го орта ε33 тре тье го баз иса ε3. (Т акж е показ ать самим!). Д ля кривой общ е го вида, чтобы получить уравне ния спостоянны ми коэффиц ие нтами, сле дуе тосущ е ствитьпосле довате льны й пе ре ход к нуж ному n-му баз ису. А лгоритм построе ния баз исов

14 и инте грирования соотве тствую щ их уравне ний наглядно мож е тбы тьпре дставле н спомощ ью блок-схе мы [16–17]. Т ак как для кривой (14) тре тий ортε33 тре тье го баз исаε3 не из ме не н в не котором баз исе e=(e1, e2, e3), то в каче стве этого баз иса e е сть воз мож ность и смы сл вз ятьне которое фиксированное исходное полож е ние баз исаε3. Т огдабаз ис ε3 буде т сове рш ать вращ е ние около тре тье го орта e3=ε33 баз иса e, описы вае мое углом ϕ=∫Ω2ds, и для ортов баз исаε3 в баз исе e буде м име ть cos ϕ sin ϕ 0 ε3=Ae, A= − sin ϕ cos ϕ 0 . 0 0 1

(15)

Д але е ε2=A23ε3; ε1=A12ε2; r=∫ε11ds. Д анны й кине матиче ский подход в те ории кривы х расш иряе т воз мож ности конструирования и аппроксимац ии кривы х и пове рхносте й. Задание для самостояте льной работы П олучить координатно-ве кторны е уравне ния кривой, з аданной натуральны ми уравне ниями (13) или их раз новидностью (14). П оказ ать такж е , что для этой кривой главная нормаль наклоне на под одним и те м ж е углом к не из ме нномунаправле нию в пространстве , опре де ляе мы м ве ктором Ω2. 2.3. Л и ни и откоса Т е оре ма. Д ля того, чтобы кривая являлась линие й откоса (k/χ=λ=const), не обходимо и достаточно, чтобы направле ние е е ве ктора Д арбу бы ло не из ме нно. Н е обходимость. П усть кривиз на k и круче ние χ линии откоса удовле творяю тусловию k/χ=λ=const. Т огдадля произ водной по дуге ве ктораД арбусуче том формул Ф ре не име е м dΩ/ds=(χvs+k(vs×ν))'=χ'vs+k'(vs×ν)=(χ'/χ)Ω, что оз начае тне из ме нностьнаправле ния ве ктораД арбу. Д остаточность. П усть для ве ктора Д арбу не которой кривой вы полняе тся условие dΩ/ds=λΩ.

15 И ли

χ'vs+k'(vs×ν)=λχvs+λk(vs×ν).

О ткудаполучае м k'/k=χ'/χ=λ => k'/χ'− k/χ=0 => k'χ− χ'k=0 => (k/χ)'=0 => k/χ=const. 2.4. Н ормальна я и геод ези ческа я кри ви зна, геод ези ческое кручени е и и х геометри чески й и ки нема ти чески й смы сл 2.4.1. У равнени е поверх ности . К ри ва я наповерх ности Сущ е ствую т раз личны е способы аналитиче ского з адания пове рхности. Буде м з адаватьпове рхностьодним из этихспособов – параме триче ски. r=r(u,v)

(3.1)

где u,v – числовы е параме тры . Д ля з адания кривой на пове рхности достаточно указ ать з ависимость параме тров u и v. Н априме р в не явном виде F(u,v)=0 или в параме триче ском u=u(p), v=v(p).

(3.2)

Раве нства (3.2) е сть, так наз ы вае мы е , внутре нние уравне ния кривой на пове рхности. О бы чное ве кторно-параме триче ское уравне ние этой кривой на пове рхности (3.1) в не котором основном баз исе e=(e1, e2, e3) получим, подставив (3.2) в (3.1) r=r(u(p), v(p))=r(p).

(3.3)

2.4.2. Т ри эд рД арбу Н арядуснатуральны м триэдром Ф ре не кривой ε1=(ε11,ε21,ε31)= (τ,ν,β) рассмотрим подвиж ны й триэдр ε2=(ε12,ε 22, ε32)=(τ, b, N), τ=rp'/|rp'|, (3.5)

N=ru×rv/|ru×rv|, (3.6)

b=N×τ=(ru×rv)×rp',

(3.4) (3.7)

где τ – орт касате льной, ν – орт главной нормали, b – орт бинормали, N – орт нормали пове рхности, b – образ уе тсτ и N правую тройку.

16 2.4.3. Г еод ези ческая кри ви зна , норма льная кри ви зна , геод ези ческое кручени е и и х ки немати чески й смы сл Д ля произ водны х по дуге s кривой (3.3) напове рхности (3.1) ортов триэдраД арбубуде м име тьуравне ния, аналогичны е уравне ниям (2.4) или (2.7)

И ли

ε'12=(ε'12ε22)ε22+(ε'12ε32)ε32, ε'22=(ε'22ε12)ε12+(ε'22ε32)ε32, ε'32=(ε'32ε12)ε12+(ε'32ε12)ε12.

(3.9)

ε'i2=B2εi2=ω2×εi2 (i=1, 2, 3),

(3.10)

где B2 – матриц а угловой скорости триэдра Д арбу, для которой по аналогии с матриц е й B1 по(2.6) име е м  0 B2=  ω 23 − ω 22 

− ω 23 0 ω 21

' ' 0 − (ε12 ε 22 ) (ε32 ε12 )  ω 22     ' ' − ω 21  =  − (ε12 ε 22 ) 0 − (ε 22 ε32 )  . '  0   − (ε32 ε12 ) (ε '22 ε32 ) 0  

(3.11)

Зде сьобоз начим и наз ове м kg=(ε'12ε22)=− (ε'22ε12)=ω23, kN=(ε'12ε32)=− (ε'32ε12)=ω22, χg=(ε'22ε32)=− (ε'32ε22)=ω21;

(3.12)

з де сь kg – ге оде з иче ская кривиз на; kN – нормальная кривиз на; χg – ге оде з иче ское круче ние . В соотве тствии с(3.12) ге оде з иче ская кривиз наесть прое кц ия ве ктора ω2 угловой скорости триэдра Д арбу на нормаль N пове рхности. Н ормальная кривиз на е сть прое кц ия ве ктора ω2 угловой скорости триэдра Д арбу на направле ние b второго орта триэдра Д арбу. Ге оде з иче ское круче ние – прое кц ия ω2 на ортε12=τ касате льной кривой напове рхности. Д иффе ре нц иальны е уравне ния (3.9) для ортов триэдра Д арбу ε2=(ε12,ε22,ε32) кривой напове рхности з апиш е м в виде dε12/ds= kgε22+kNε32= kgb+kNN, dε22/ds=− kgε11− χgε32=− kgτ− χgN, dε32/ds=− kNε12− χgε22=− kNτ− χgb.

(3.13)

Д иффе ре нц иальны е уравне ния-формулы Ф ре не для той ж е кривой dε11/ds=kε21=kν=k, dε21/ds=− kε11+χε31=− kτ+χβ, dε31/ds=− χε21=− χν.

(3.14)

17 Сравним (3.14) и (3.13), учиты вая, что ε11=ε12=τ=rs'. Cравнивая пе рвы е уравне ния из (3.13) и (3.14) име е м, что орт ν главной нормали кривой (ве ктор кривиз ны k=kν) ле ж итв плоскости (b,N). О боз начим че ре з ϑ угол ме ж ду ν и N. Т огдаполучим (kN)=kcosϑ=kN, (kb)=ksinϑ=kg.

(3.15)

В соотве тствии с те оре мой М е нье из диффе ре нц иальной ге оме трии kN в (3.15) е сть кривиз на нормального се че ния пове рхности в направле нии τ, а такж е кривиз на прое кц ии наплоскость этого се че ния данной кривой. В е личина kg е сть кривиз на прое кц ии кривой на касате льную плоскость (τ,b) пове рхности. Е сли в пе рвом уравне нии (3.15) полож ить kg=0, то для кривой, соотве тствую щ е й этим з наче ниям kg , буде т k=kN, ν=N, β=b. Т акая кривая наз ы вае тся ге оде з иче ской. Д ля не е из второго уравне ния систе мы (3.14) и тре тье го уравне ния систе мы (3.15) буде м име тьχg=χ. Т .е . ве личинаχg для кривой напове рхности в не котором направле нии τ е сть круче ние ге оде з иче ской кривой на пове рхности в этом направле нии. П оэтому ве личина χg в (3.13) наз ы вае тся ге оде з иче ским или о т но с ит ельны м круче ние м. 2.4.4. В ы чи сли тельны е формулы д ля нормальной кри ви зны , геод ези ческой кри ви зны и геод ези ческого кручени я П олучим вы числите льную формулудля нормальной кривиз ны kN=(kN)=(r''N)=r''(ru×rv)/|ru×rv|, r's=ruu's+rvv's=(rudu+rvdv)/ds, r"ss=ruuu's2+2ruvu'sv's+rvvv's2+ruu''ss+rvv''ss, kN=((ruuN)du2+2(ruvN)dudv+(rvvN)dv2)/ds2=II/I. П олучим вы числите льную формулу для ге оде з иче ской кривиз ны kg. П о опре де ле нию име е м kg=kb=kνb=r''(s)b=r''(p)b/|r'|2=r''τn/|r'|2=r''r'n/|r'|3.

(3.16)

Раз лож им ве ктор второй произ водной r''=αru+βrv+γn; r'=ruu'+rvv'.

(3.17)

С другой стороны для не го получим r''=(ruu'+rvv')'=ruu(u')2+2ruvu'v'+rvv(v')2+ruu''+rvv''.

(3.18)

В торы е частны е произ водны е такж е з апиш е м в виде раз лож е ния, коэффиц ие нты Г ijk в котором наз ы ваю тсимволами К ристоффе ля

18 ruu= Г 111 ru+ Г 112 rv+(ruuN)N, a=u''+ Г 111 (u')2+2 Г 121 u'v'+ Г 221 (v')2, ruv= Г 121 ru+ Г 122 rv+(ruvN)N, b=v''+ Г 111 (u')2+2 Г 121 u'v'+ Г 221 (v')2, rvv= Г 221 ru+ Г 222 rv+(rvvN)N; γ= L(u')2+2Mu'v'+N(v')2,

(3.19)

kg=(r''×r')N/|r'|3=(av'− bu')|ru×rv|/|r'|3, ru×rv≠0,

(3.20)

kg=|ru×rv|[(u''+A)v'− (v''+B)u']/|r'|3,

(3.21)

A=a− u''= Г 111 (u')2+2 Г 121 u'v'+ Г 221 (v')2, (3.22) 2

2

B=b− v''= Г (u') +2 Г u'v'+ Г (v') . 1 11

1 12

1 22

П о те оре ме слож е ния угловы х скоросте й име е м ω2=ω1+ϑ'τ=χτ+kβ+ϑ'τ=(χ+ϑ')τ+kβ, χ=χg+ϑ'. Н айде м ϑ' че ре з характе ристики прое кц ий ве ктора кривиз ны кривой на пове рхности. И з (3.15) име е м kcosϑ=kN, ksinϑ=kg. Д иффе ре нц ируя пе рвое и подставляя е го во второе получае м k'cosϑ− kϑ'sinϑ=k'N, k'kN/k− ϑ'kg=k'N, ϑ'=− (k'kN− kk'N)/(kgk), χg=χ+(kg'kN− kgk'N)/(kg2+kN2). 2.5. Д и фференц и альны е внутренни е уравнени я геод ези ческой ли ни и В ы ш е мы получили вы числительную формулу для ге оде з иче ской кривиз ны kg kg=kb=kνb=r''(s)b=r''(p)b/|r'|2=(r''τN)/|r'|2=(r''r'N)/|r'|3, r''=αru+βrv+γN; r'=ruu'+rvv', kg=(r''×r')N/|r'|3=(av'− bu')|ru×rv|/|r'|3; ru×rv≠0,

(1) (2) (3)

kg=|ru×rv|[(u''+A)v'− (v''+B)u']/|r'|3,

(4)

A=a− u''= Г 111 (u')2+2 Г 121 u'v'+ Г 221 (v')2,

19 (5) 2

2

B=b− v''= Г (u') +2 Г u'v'+ Г (v') . 1 11

1 12

1 22

П риравнивая ге оде з иче скую кривиз ну к нулю , получим диффе ре нц иальное внутре нне е уравне ние ге оде з иче ской линии (u''+A)v'− (v''+B)u'=0.

(6)

О но опре де ле но не полностью , так как соде рж ит две искомы е функц ии. Э то обусловле ноне опре де ле нной параме триз ац ие й ге оде з иче ской линии. В ы явим з ависимостьотпараме триз ац ии и получим рабоче е диффе ре нц иальное уравне ние . П ре дставим r'' в виде r''=(r''τ)τ+(r''N)N+(r''b)b. П олож им для ге оде з иче ской (r''b)=0.

(7)

Т огдаиме е м r''− (r''N)N=(r''τ)τ=(r''τ)(ruu'+rvv')/|r'|.

(8)

Сравним это с(2), и приравняв коэффиц ие нты при ru, rv, получим a=u''+A=[(r''τ)/|r'|]u', b=v''+B=[(r''τ)/|r'|]v'. О тсю даполучае м диффе ре нц иальное уравне ние ге оде з иче ской линии в виде (u''+A)/u'=(v''+B)/v'=(r''τ)/|r'|. И ли (u''+A)v'=(v''+B)u'=u'v'(r''τ)/|r'|=u'v's''/|s'(p)|=− u'v'p''(s)/p'2. Буде м рассматриватьтакие параме триз ац ии ге оде з иче ской линии, при которы х (r''τ)=0. Э тому условию отве чае т, в частности, натуральная параме триз ац ия по дуге s, атакж е и лю бая другая по параме тру q, связ анны м сs лине йны м соотнош е ние м as+bq=c. Т огда, буде м име тьсисте мудвух диффе ре нц иальны х уравне ний для двух искомы х функц ий u=u(q) и v=v(q), пре дставляю щ их собой внутре нние уравне ния ге оде з иче ской r=r(u(q),v(q))=r(q),

20 (u''+A)v'=0,

(v''+B)u'=0,

которая име е т е динстве нное ре ш е ние при з аданны х начальны х условиях. Э ти уравне ния мож но пре дставитькак уравне ния Э йле радля не которой вариац ионной з адачи. 3. К О Н Т Р О Л ЬН Ы ЕВ О П Р О С Ы , ЗА Д А Ч И И У П Р А Ж Н ЕН И Я 1. Д оказ ать, что: 1.1. К асательная линии откосаво все х точках образ уе тпостоянны й угол с не из ме нны м направле ние м в пространстве ; 1.2. Главная нормальлинии откосаортогональнаэтомунаправле нию . 2. Сравнитьсе диниц е й каж дую из ве личин x's,y's,z's. 3. Записатьуравне ния Ф ре не в матричной форме : 3.1. В компоне нтной форме ; 3.2. В виде раз лож е ния по ве кторам баз исаФ ре не . 4. К ак опре де лить, являе тся ли з аданная параме триз ац ия кривой натуральной? 5. П оказ ать, что|r's×r"ss|=|r"ss|, где s е стьдуговая координата. 6. Д оказ ать, что |x'y''− y'x''|=(x''2+y''2)1/2,

(1)

где ш трихоз начае тдиффе ре нц ирование подуговой координате . Указ ание . П ринятьво внимание , что x'2+y'2=1, x'x''+y'y''=0,

(2) (3)

и воз ве дя исходное равенство (1) в квадрат, добавитьв е го ле вую частьравную нулю ле вую частьраве нства(3). 6. Н айти координатно-параме триче ские уравне ния плоской кривой, кривиз накоторой е стьлине йная функц ия дуговой координаты . 7. П оказ ать аналитиче ски, что из тре х раве нств r'N=0, r"N=0, r'"N=0 сле дуе т(r'r"r'")=0. 8. Сущ е ствуе т ли такая параме триз ац ия кривой, кроме натуральной, при которой r''⊥r'? Е сли сущ е ствуе т, то как онасвяз анаснатуральной?

21

4. Л И Т ЕРА Т У Р А О сновная 1. Н овиков С.П . Э ле ме нты диффе ре нц иальной ге оме трии и топологии / С.П . Н овиков, А .Т . Ф оме нко. – М .: Н аука, 1987. – 432 с. 2. П оз няк Э .Г. Д иффе ре нц иальная ге оме трия: П е рвое з накомство / Э .Г. П оз няк, Е .В . Ш икин. – М .: И з д-во М ГУ, 1990. – 384 с. 3. Д иффе ре нц иальная ге оме трия / И .В Бе лько [и др.]. – М инск: И з д-во Бе л. ун-та, 1982. – 256 с. 4. Сб. з адач по диффе ре нц иальной ге оме трии / В е де рников В .И . [и др.]. – М .: Н аука, 1979. – 272 с. Д ополните льная 5. А минов Ю .А . Д иффе ре нц иальная ге оме трия и топология кривы х / Ю .А . А минов. – М .: Н аука, 1987. – 60 с. 6. Бляш ке В . В ве де ние в диффе ре нц иальную ге оме трию / В . Бляш ке . – М .: ГИ Т Т Л , 1957. – 223 с. 7. Бляш ке В . Д иффе ре нц иальная ге оме трия и ге оме триче ские основы те ории относите льности Э йнш те йна / В . Бляш ке ; пе р. с не м. – М .–Л .: О Н Т И , 1935. – Т .1. – 330 с. 8. Д убровин Б.А . Совре ме нная ге оме трия: М е тоды и прилож е ния / Б.А Д убровин., С.П . Н овиков, А .Т . Ф оме нко. – М .: Н аука, 1986. – 760 с. 9. Н орде н А .П . К раткий курс диффе ре нц иальной ге оме трии / А .П . Н орде н. – М .: Ф из матгиз , 1958. – 244 с. 10. П огоре лов А .В . Д иффе ре нц иальная ге оме трия / А .В . П огоре лов. – М .: Н аука, 1974. – 176 с. 11. П остников М .М . Л ине йная алге бра и диффе ре нц иальная ге оме трия / М .М . П остников. – М .: Н аука, 1986. – 416 с. 12. Раш е вский П .К . К урсдиффе ре нц иальной ге оме трии / П .К . Раш е вский. – М .: ГИ Т Т Л , 1960. – 420 c. 13. Ф оксА . В ы числительная ге оме трия. П риме не ние в проектировании и напроиз водстве / А . Ф окс, М . П ратт; пе р. сангл. – М .: М ир, 1982. – 304 с. 14. Ф оме нко А .Т . Н аглядная ге оме трия и топология. М ате матиче ские образ ы в ре альном мире / А .Т . Ф оме нко. – М .: И з д-воМ ГУ, 1992. – 432 с. 15. Krutov A. Einige Begriffe und Wechselbeziungen in der kinematischen Geometrie / A. Krutov / Beitrage zur Algebra und Geometrie: Halle. 1990. V. 31. – S. 87–102. 16. Ч е тве рухин Н .Ф . П рое ктивная ге оме трия / Н .Ф . Ч е тве рухин. – М .: П росве щ е ние , 1969. – 368 с.

22

С О Д ЕР Ж А Н И Е К раткая аннотац ия 1. О бщ ие ме тодиче ские указ ания 2. И з бранны е темы 2.1. В ы пуклостьи вогнутостькривой 2.2. Н е которое обобщ е ние формул Ф ре не 2.2.1. О сь кине матиче ского винта триэдра Ф ре не . В интовой радиус и параме тр винта(в сравне нии саналогичны ми характе ристиками кине матиче ского винтате лаи винтовой линии) 2.2.2. И нве рсная связ ь кривиз ны и круче ния с радиусом и параме тром кине матиче ского винтатриэдраФ ре не 2.2.3. Т е оре мао вз аимнообратны х ве личинах 2.2.4. Раз личны е инварианты и натуральны е уравне ния кривы х. А нализ пре имущ е стваугловогоинвариантапе ре д другими Упраж не ние 2.2.5. К ине матико-ге оме триче ская инте рпре тац ия основны х характе ристик кривой 2.2.6. К лассификац ия, ранг кривы хи обобщ е нны е уравне ния Ф ре не 2.3. Л инии откоса 2.4. Н ормальная и ге оде з иче ская кривиз на, ге оде з иче ское круче ние и их ге оме триче ский и кине матиче ский смы сл 2.4.1. Уравнение пове рхности. К ривая напове рхности 2.4.2. Т риэдр Д арбу 2.4.3. Ге оде з иче ская кривиз на, нормальная кривиз на, ге оде з иче ское круче ние и их кине матиче ский смы сл 2.4.4. В ы числите льны е формулы для нормальной и ге оде з иче ской кривиз ны и ге оде з иче ского круче ния 2.5. Д иффе ре нц иальны е внутре нние уравне ния ге оде з иче ской линии 3. К онтрольны е вопросы , з адачи и упраж не ния 4. Л ите ратура

2 3 4 4 5

5 6 9 10 10 11 12 14 15 15 15 16 17 18 20 21

23

Составите ли: К рутов А ле ксе й В асилье вич, М яснянкин Ю рий М ихайлович Ре дактор:

Т ихомироваО .А .