Обратные задачи в теории сингулярных возмущений

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 3 (2003). С. 63–88 УДК 517.927.75+517.928.2

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ c 2003 г. °

Р. ШЕФКЕ

АННОТАЦИЯ. Первая часть статьи посвящена совместной работе с Сигруном Бодином (США). Рассматривается дифференциальное уравнение второго порядка ε2 y 00 = (1+ε2 ψ(x, ε))y с малым параметром ε, где ψ аналитическая и четная относительно ε функция. Хорошо известно, что данное уравнение имеет два формальных решения y ± (x, ε) = e±x/ε h± (x, ε), где h± (x, ε) — формальный ряд по степеням ε, коэффициенты которого являются функциями переменной x. Показано, что одно (соответственно оба) из этих решений 1-суммируемо в некоторых направлениях, если ψ удовлетворяет определенным условиям, в частности относительно области определения по переменной x. Мы покажем, что эти условия существенно необходимы для 1-суммируемости одного (соответственно обоих) из указанных формальных решений. При доказательстве решается обратная задача, а именно строится дифференциальное уравнение, в котором имеет место некоторое явление Стокса. Вторая часть статьи посвящена совместной работе с Августином Фрушаром (Франция), связанной с обратными задачами для общих (аналитических) линейных уравнений εr y 0 = A(x, ε)y в окрестности точки, не являющейся точкой поворота, и для (аналитических) уравнений второго порядка εy 00 − 2x y 0 − g(x, ε)y = 0, соответствующих резонансу в смысле Аккерберга— О’Маллея, т. е. удовлетворяющих условию Матковского: существует нетривиальное формальное реP шение yˆ(x, ε) = yn (x)εn , коэффициенты которого не имеют полюсов в точке x = 0.

СОДЕРЖАНИЕ

1. О суммируемости формальных решений в теории Лиувилля—Грина . . . . . 2. Классификация в обыкновенной точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Построение уравнений второго порядка с резонансом Аккерберга—О’Маллея Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.

О

СУММИРУЕМОСТИ ФОРМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В ТЕОРИИ

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

63 80 83 87

ЛИУВИЛЛЯ—ГРИНА

Данный раздел посвящен обзору совместной с Сигруном Бодином работы, опубликованной в [2]. Рассматривается линейное дифференциальное уравнение второго порядка ε2

© ª d2 y = 1 + ε2 ψ(x, ε) y, 2 dx

(1.1)

где ε ∈ Dε0 := {ε ∈ C : |ε| < ε0 } — малый комплексный параметр, ψ(x, ε): D × Dε0 → C — аналитическая в некоторой области D ⊂ C функция. Известно (Олвер [15, гл. 10]), что (1.1) имеет формальное решение вида ˆ + (x, ε) = ex/ε yˆ+ (x, ε) = ex/ε h

∞ X

hn (x)εn ,

(1.2)

n=0

где h0 (x) = 1, n

1 1X hn+1 (x) = − h0n (x) + 2 2

Zx ψk (t)hn−k (t) dt

(n = 0, 1, . . .).

k=0 x0 c °2003 МАИ

63

64

Р. ШЕФКЕ

Здесь ψ(x, ε) =

∞ X

ψn (x)εn .

n=0

Если мы выберем другой нижний предел интегрирования (вместо x0 ), то получим некоторое формальное решение вида (1.2), умноженное справа на формальный ряд по степеням ε с первым слагаемым, равным 1. Конечно, любой формальный степенной ряд, полученный из (1.2) умножением справа на формальный ряд, не зависящий от x, снова даст формальное решение. Далее будем рассматривать только формальное решение, определенное выше при некотором фиксированном x0 ∈ D. Более того, будем считать, что x0 = 0; этого всегда можно добиться при помощи простого преобразования. Для простоты предположим, что функция ψ(x, ε) четная по ε (включая важный случай, когда ψ = ψ(x) не зависит от ε). Тогда второе формальное решение (которое существует и без предположения о четности) представимо в виде −

+

yˆ (x, ε) = yˆ (x, −ε) = e

−x/ε ˆ −

ˆ − (x, ε) = h (x, ε), h

∞ X

(−1)n hn (x)εn .

n=0

К сожалению, формальные решения обычно расходятся. Сибуя [19] в более общей ситуации показал, что формальные решения имеют «порядок Жеврея 1» равномерно по x из некоторой подобласти области D. Т. е. он доказал существование неотрицательных констант c0 , c1 , таких, что |hn (x)| 6 c0 cn1 n!. Более подробную информацию (включая описание константы c1 ) см. в работе Дунстера, Лутца и Шефке [6]. Также известно (см., например, Васов [23, теорема 26.3]), что для каждого достаточно узкого ε-сектора существуют решения (обычные — не формальные) y + (x, ε) = e±x/ε h+ (x, ε), ˆ + (x, ε) (соответственно) в качестве равномерных асимптотакие, что функции h+ (x, ε) имеют h тических разложений при малых |x| (0 ∈ D). Дунстер, Лутц и Шефке [6] нашли в явном виде решения уравнения © ª d2 y = 1 + ε2 ψ(x) y (1.3) 2 dx в терминах сходящихся рядов с обратными факториалами для h+ (x, ε): они показали, что аналитичность ψ(x) в некоторой полубесконечной горизонтальной полосе, содержащей x = 0 и неограниченной слева, совместно с условием роста |ψ(x)| 6 k/(1 + |x|2 ) приводит к представлению y + (x, ε) в виде ряда с обратными факториалами ( ) ∞ X bn (x) + x/ε y (x, ε) = e 1+ , 1 1 1 ( + 1) . . . ( + n) ε ε ε n=0 µ ¶ 1 абсолютного сходящегося при Re > c > 0 (c произвольно). Данное разложение существует и ε является равномерным по x в полубесконечной полосе меньшей высоты (по существу, необходимо отступить от особенности функции ψ(x)). Если высота полубесконечной полосы аналитичности не очень велика, то замена переменных x → ωx, ω > 1, приведет к ряду с обратными факториалами относительно 1/(ωε), вместо 1/ε. Введение комплексного ω соответствует повороту области аналитичности. Изучая их доказательство, приходим к выводу о том, что оно может быть перенесено на случай функций ψ(x, ε), аналитических вблизи ε = 0 и удовлетворяющих тем же предположениям. Таким образом, если область D аналитичности функции ψ(x) содержит сектор ε2

SL (α, δ) = {x ∈ C : |arg(α − x)| < δ} для некоторых δ > 0 и α > 0 (α достаточно велико и определяется высотой упомянутой полосы), ˆ + (x, ε) представляется в виде ряда с обратными факториалами по 1 для каждого |θ| < δ, то h ε eiθ 1 ˆ + (x, ε) будет абсолютно сходящегося для Re iθ > c > 0 (c произвольно). В частности, ряд h εe ˆ + (x, ε) может быть записан через «1-суммируемым» в каждом направлении | arg ε| < δ, т. е. h

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

65

интеграл Лапласа в ε-секторе с бисектрисой, определяемой направлением arg ε = 0, и раствором π + 2δ > π (введение в теорию суммируемости можно найти, например, в работе Балсера [1], а введение в теорию рядов с обратными факториалами и их связь с преобразованием Лапласа — ˆ − (x, ε) 1-суммируема в в работе Васова [23, гл. 11]). Из соображений симметрии следует, что h направлении | arg (ε) − π| < δ для x из SL . Аналогично, если D содержит сектор SR (α, δ) = {x ∈ C : | arg(x − α)| < δ}, ˆ − (x, ε) 1-суммируема в каждом направлении | arg ε| < δ, соответственно h ˆ + (x, ε) — в нато h правлении | arg (ε) − π| < δ равномерно для x из SR (α, δ). Нас интересует обратная задача. Рассмотрим (1.1), где функция ψ(x, ε) аналитична для x, принадлежащих некоторой области D, 0 ∈ D, и ε ∈ Dε0 для некоторого ε0 > 0. Предположим, что ˆ + (x, ε) 1-суммируемо для | arg ε| < δ при функция ψ(x, ε) четна по ε и формальное решение h некотором δ > 0 равномерно по x из некоторой окрестности нуля. Что можно сказать при этих условиях о функции ψ(x, ε) и, в частности, о ее аналитическом продолжении? Одной из причин, побудивших нас заинтересоваться этим вопросом, была похожая обратdw ная задача для уравнения ε = w − εf (x), где f (x) аналитична вблизи начала коордиdx ∞ X нат. Его формальное решение w ˆ = f (n−1) (x)εn имеет формальное преобразование Бореля ∞ X f (n) (x)

n=1

ˆ x) экtn = f (x + t). Поэтому возможность аналитически продолжить B(t, n! n=0 вивалентно возможности аналитически продолжить f (x), а w(x, ˆ ε) суммируемо в направлении d тогда и только тогда, когда f (x) допускает аналитическое продолжение в сектор S(d − α, d + α) = {x ∈ C : 0 < |x| < ∞, d − α < arg x < d + α} для некоторого α > 0 и имеет в этом секторе экспоненциальных рост порядка не более, чем один. Другой пример — это задача Коши для комплексного уравнения теплопроводности ˆ x) = B(t,

∂2 ∂ u(x, t) = u(x, t), ∂t ∂x2

u(x, 0) = g(x). ∞ X g (2n) (x)

tn 1-суммиn! n=0 руемо в направлении arg t = 0 тогда и только тогда, когда g(x) голоморфна и имеет экспоненциальный рост порядка не более, чем два, в некоторой горизонтальной полосе. Наше первоначальное оптимистичное предположение о том, что 1-суммируемость формального решения yˆ+ (x, ε) уравнения (1.1) для | arg ε| < δ, по крайней мере в случае когда ψ не зависит от ε, влечет аналитичность ψ(x) в некотором секторе SL (α, δ), оказалось неверным (см. контрпример в разделе 1.1). Мы докажем, однако, следующее утверждение. Лутц, Мияке и Шефке [13] установили, что формальное решение u ˆ(x, t) =

Теорема 1. Рассмотрим уравнение (1.1) с функцией ψ(x, ε), аналитической на D×Dε0 , 0 ∈ D. Предположим, что функция ψ четная относительно ε, т. е. ψ(x, −ε) = ψ(x, ε). Предположим ˆ + (x, ε) 1-суммируемо в | arg ε| < δ при некотором δ > 0 также, что формальное решение h ˜ 0∈D ˜ ⊂ D. Тогда существует функция ϕ(x), аналитическая в секторе равномерно по x из D, ˜ SL (α, δ) при некоторых положительных α, δ˜ и такая, что ϕ(x) = O(e−µ|x| ) при x → ∞ в ˜ для некоторого µ > 0 и SL (α, δ) © ª d2 z ε2 2 = 1 + ε2 ϕ(x) z (1.4) dx ˜ ∩ D) ˜ × Dε0 для некоторого 0 < ε0 < ε0 . аналитически эквивалентно уравнению (1.1) на (SL (α, δ) 0 0 ˜ ∩D ˜ × Dε0 и такие, что Т. е. существуют функции a(x, ε) и b(x, ε), аналитические на SL (α, δ) 0 замена y = a(x, ε)z+b(x, ε)εz 0 переводит (1.4) в (1.1). Более того, эти функции удовлетворяют условиям a(x, 0) = 1, b(x, 0) = a0 (x, 0) = b0 (x, 0) = 0 при всех x. ˜ для некоторого Замечание. Заключение теоремы 1, т. е. аналитичность ϕ(x) в секторе SL (α, δ) ˆ уравнения (1.4), эквивалентного (1.1), также достаточна для того, чтобы функция h(x, ε) была

66

Р. ШЕФКЕ

˜ Это следует из результата Дунстера, Лутца и Шефке [6], того факта, 1-суммируема в | arg ε| < δ. что сходящийся степенной ряд может быть переписан в виде ряда с факториалами, и того, что 1-суммируемые ряды образуют алгебру. Усовершенствовав наше доказательство, можно получить δ˜ = δ, но это также приведет к увеличению технических трудностей. В любом случае небольшое изменение наших доказательств позволяет выбрать любое 0 < δ˜ < δ при любом значении δ. Поворачивая одновременно arg ε и arg x, мы видим каким образом связаны секторы суммируемости по ε и секторы аналитичности эквивалентных уравнений (1.4). Идея доказательства следующая. Вначале мы доказываем существование фундаментальных матриц для матричного дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (1.1), в котором обнаруживается явление Стокса. Затем мы строим (используя принцип неподвижной точки на пространствах функций, аналитических в SL ) матричные функции Zj (x, ε), удовлетворяющие тому же явлению Стокса. Это приводит к дифференциальному уравнению (1.4), аналитически эквивалентному (1.1). Заменяя x на −x и ε на −ε, из соображений симметрии получим следующее утверждение. Следствие 1. Рассмотрим уравнение (1.1) с функцией ψ(x, ε), аналитической на D × Dε0 , 0 ∈ D. Предположим, что ψ(x, −ε) = ψ(x, ε). Предположим также, что формальное решение ˆ + (x, ε) 1-суммируемо в секторе | arg ε − π| < δ при некотором δ > 0 равномерно для x из h ˜ для ˜ 0 ∈ D ˜ ⊂ D. Тогда существует функция ϕR (x), аналитическая в секторе SR (α, δ) D, ˜ для некоторых положительных α и δ˜ и такая, что ϕ(x) = O(e−µ|x| ) при x → ∞ в SR (α, δ) некоторого положительного µ и © ª d2 z ε2 2 = 1 + ε2 ϕR (x) z (1.5) dx ˜ ∩D ˜ × Dε0 для некоторого 0 < ε0 < ε0 . аналитически эквивалентно уравнению (1.1) на SR (α, δ) 0 0 ˜ ∩D ˜ × Dε0 и такие, Т. е. существуют функции aR (x, ε) и bR (x, ε), аналитические на SR (α, δ) 0 что замена y = aR (x, ε)z + bR (x, ε)εz 0 переводит (1.5) в (1.1). Более того, эти функции удовлетворяют условиям aR (x, 0) = 1, bR (x, 0) = a0R (x, 0) = b0R (x, 0) = 0 для всех x. Теперь предположим, что (1.1) удовлетворяет одновременно предположениям теоремы 1 и следствия 1. Как отмечалось выше, это эквивалентно естественному предположению, что оба формальˆ ± (x, ε) 1-суммируемы в некотором секторе | arg ε| < δ (а также в секторе | arg ε−π| < δ). ных ряда h Тогда мы получаем два уравнения, эквивалентных (1.1) на разных областях. Будет ли одно уравнение на объединении этих областей эквивалентно (1.1)? Ответ положителен и выражается следующей теоремой. Теорема 2. Рассмотрим уравнение (1.1) с функцией ψ(x, ε), аналитической на D × Dε0 , 0 ∈ D. Предположим, что ψ(x, −ε) = ψ(x, ε). Предположим также, что формальное решение ˆ h(x, ε) 1-суммируемо в | arg ε| < δ и |π − arg ε| < δ при некотором δ > 0 равномерно по x из некоторой окрестности точки x = 0. Тогда существуют α > 0, δ˜ > 0, ε00 > 0 и функция ˜ ∪ SR (α, δ) ˜ и |ε| < ε0 и такая, что u(x, ε) = O(x−2 ) при u(x, ε), аналитическая при x ∈ SL (α, δ) 0 ˜ ∪ SR (α, δ) ˜ 3 x → ∞ равномерно по ε и SL (α, δ) © ª ε2 w00 = 1 + ε2 u(x, ε) w (1.6) аналитически эквивалентно уравнению (1.1) для x из некоторой окрестности нуля и |ε| < ε00 . Более того, функция u четная по ε. Замечание. Утверждение относительно асимптотического поведения при x → ∞ в теореме 2 слабее, чем в теореме 1, и мы не можем утверждать, что u не зависит от ε. Это есть следствие нашего метода доказательства; нам также неизвестно, можно ли усилить теорему 2. Используя замечание после теоремы 1 и модифицируя метод доказательства, можно установить ˆ следующее. Предположим, что h(x, ε) 1-суммируема в каждом направлении, кроме конечного числа направлений d1 , . . . , dk по модулю 2π, равномерно по x из некоторой окрестности нуля. Тогда найдется α > 0, такое, что для всех µ > 0 существует функция u ˜(x, ε), аналитическая для

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

67

|ε| < ε00 и для комплексных x, не принадлежащих ни одному из секторов |arg(x exp(i dj ) − α| < µ, j = 1, . . . , k, и ©такая, что u ˜(x, ε) = O(x−2 ) при |x| → ∞ равномерно для |ε| < ε00 и при этом уравª нение ε2 w00 = 1 + ε2 u ˜(x, ε) w аналитически эквивалентно уравнению (1.1) для x из окрестности нуля и |ε| < ε00 . Более того, функция u ˜ четная по ε. После примера в разделе 1.1 и рассмотрения некоторых предварительных сведений в разделе 1.2 мы дадим доказательства теорем 1 и 2 в разделах 1.3 и 1.4 соответственно. 1.1. Пример. Рассмотрим частный случай уравнения (1.3) n d2 y ao ε2 2 = 1 + ε2 2 y (a ∈ C), dx x когда имеется аналитичность в точке x = 1. Известно (см., например, Олвер [15, с. 238]), что уравнение Бесселя

(1.7)

d2 y dy + t + (t2 − ν 2 )y = 0 (1.8) 2 dt dt при ν = n+1/2 (n ∈ Z) имеет линейно независимые решения, выражаемые через функции Ганкеля, которые можно записать в виде конечных сумм µ ¶1/2 N X n+1 2 As (ν) (1) Hν (t) = ei(t−( 2 )π) is s , πt t s=0 µ ¶1/2 N X 2 As (ν) −i(t−( n+1 (2) )π) 2 e Hν (t) = (−i)s s . πt t t2

s=0

1

Здесь N = |n + 1/2| + 1/2. (См. работу Олвера [15], где приведены As (ν).) Полагая y = t− 2 z и x = itε, преобразуем (1.8) к виду · ¸ 2 2 00 2 ν − 1/4 ε z (x) = 1 + ε z(x). (1.9) x2 Данное уравнение имеет при ν = n + 1/2 линейно независимые решения µ ¶1/2 N X 2 As (ν) (1) π x/ε −i n+1 2 zν (x) = (−ε)s s , e e π x s=0 µ ¶1/2 N n+1 X As (ν) 2 εs s . zν(2) (x) = e−x/ε ei 2 π π x s=0

n2 +n

Следовательно, (1.7) при a = имеет решения, представимые сходящимися рядами, которые, следовательно, суммируемы в каждом направлении и, в частности, при | arg ε| < δ. Однако (1.7) не аналитично ни в каком секторе вида | arg (α − (x − 1))| < δ (α > 0). 1.2. Σ-оператор. Рассмотрим покрытие круга {ε : 0 < |ε| < ε0 } секторами ¡ π ¢ ¡ π δ 3π δ ¢ π S1 = S − − δ, + δ, ε0 и S2 = S + , − , ε0 2 2 2 2 2 2 µ ¶ µ ¶ π δ π 3π 3π δ при некотором δ > 0. Пусть D1 = S + , + δ, ε0 и D2 = S − δ, − , ε0 . Здесь 2 2 2 2 2 2 Sj ⊂ C (не на римановой сфере). Пусть U — банахово пространство векторов ~u = {u1 (ε), u2 (ε)}, где uj : Sj → C — аналитические ограниченные функции, с нормой k~uk = max sup |uj (ε)|. j=1, 2 ε∈Sj

Пусть D — банахово пространство векторов d~ = {d1 (ε), d2 (ε)}, где ¯ dj : ¯Dj → C — аналитические ¯ ¯ dj (ε) ~ = max sup ¯ dj (ε) ¯. функции, такие, что ограничены, с нормой kdk ¯ j=1, 2 ε∈Dj ε ε ¯ Заметим, что D и U зависят от δ и ε0 , однако мы не будем явно указывать эту зависимость.

68

Р. ШЕФКЕ

Рассмотрим разностный оператор ~ где dj = y3−j − yj : Dj → C. ∆ : U0 → D : ~y 7→ d, Здесь U0 =

½ ¾ 1 ~u ∈ U : (u2 (ε) − u1 (ε)) ограничена на D1 ∪ D2 . ε

Для заданного d~ ∈ D классическая формула Коши—Гейне дает решение ~y уравнения ∆~y = d~ в виде 2

yk : Sk → C,

1 X ε 7→ 2πi

Zεj

j=1 0

dj (µ) dµ, µ−ε

где εj = ε0 eiαj , αj есть направление, определяющее бисектрису сектора Dj (т. е. α1 = π/2 + 3δ/4, α2 = 3π/2 − 3δ/4), при этом путь интегрирования находится слева от ε, если j = k, и справа от ε, если j = k + 1 (mod 2). Однако yk имеет логарифмическую особенность при ε = εk , и, следовательно, ~y не принадлежит U0 . Как и в работе Фрушара и Шефке [7, 8], эта проблема может быть решена при помощи «процедуры усреднения». Положим Zδ/8

~ =4 Σd(ε) δ

~yθ (ε)dθ.

(1.10)

−δ/8 2

Здесь ~yθ = {yθ,1 , yθ,2 }, yθ,k

1 X : Sk → C, ε → 7 2πi

Zεj,θ

j=1 0

dj (µ) dµ, где εj,θ = εj eiθ , и путь интегрироµ−ε

¯j вания — тот же, что и выше. Длина δ/4 интервала усреднения гарантирует, что εj,θ остается в D ¯j. и не подходит к сторонам сектора D Теорема 3. ~ определенная в (1.10), удовлетворяет соотношению 1. Для каждого d~ ∈ D пара функций Σd, ~ = d. ~ ∆(Σd) 2. Формула (1.10) определяет ограниченный линейный оператор Σ : D → U0 . В частности, для каждого δ > 0 существует M > 0, такое, что kΣk 6 ε0 M , где ε0 — общий радиус секторов Sj . 3. Рассмотрим оператор C := εΣ − Σε, действующий из D в U0 по формуле ~ ~ (C d)(ε) = εΣ(d)(ε) − Σ(~g )(ε),

где

~ ~g (ε) := εd(ε).

ε2 Для каждого d~ ∈ D функция C d~ постоянна (не зависит от ε). Имеем kCk 6 0 . 4π Доказательство. 1. Вытекает непосредственно из построения. 2. См. [2, раздел 3.1]. 3. Следует из того, что Z Z Z d(µ) µd(µ) ε dµ − dµ = − d(µ) dµ. µ−ε µ−ε Оценка для нормы C получается непосредственными вычислениями при помощи данной выше интегральной формулы для C.

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

69

1.3. Доказательство теоремы 1. Разделим доказательство на несколько частей. В разделе 1.3.1, используя предположение о суммируемости, построим некоторые фундаментальные решения векторного уравнения (1.11), соответствующего уравнению (1.1), в котором наблюдается явление Стокса на специальном покрытии проколотого круга 0 < |ε| < ε0 . В разделе 1.3.2 мы построим матричнозначные функции, аналитические в широкой x-области, для которых наблюдается то же явление Стокса. Наконец, в разделе 1.3.3 мы рассмотрим соответствующее дифференциальное уравнение и покажем, что оно обладает свойствами, указанными в теореме 1. 1.3.1. Явление Стокса. Перепишем уравнение (1.1) в матричном виде µ ¶ 0 1 0 εy = y = A(x, ε)y, 1 + ε2 ψ(x, ε) 0

(1.11)

где A(x, ε) аналитическая для x из D и ε из Dε0 . Из введения следует, что (1.11) имеˆ ет формальное фундаментальное решение вида Yˆ (x, ε) = H(x, ε) eΛx/ε , где Λ = diag{1, −1}, ∞ X ˆ ˆ должна удовлетворять H(x, ε) = Hn (x)εn и все Hn (x) аналитичны при x ∈ D. Тогда H уравнению

n=0

εH 0 = AH − HΛ.

(1.12)

Приравнивая слагаемые при εj , j = 0, 1, видим, что без ограничения общности µ ¶ 1 1 H0 (x) = . 1 −1 ˆ+ Пусть S(α, β, r) = {ε ∈ C : 0 < |ε| < r, α < arg ε < β}. Поскольку мы предположили, что h ˜ 1-суммируема arg ε| < ´δ, то существует единственная аналитическая функция h+ 1 (x, ε): D × S1 , ³ π в |π x/ε есть решение уравнения (1.1) S1 = S − − δ, + δ, ε0 → C, такая, что y1+ (x, ε) = h+ 1 (x, ε) e 2 2 ˆ + (x, ε)ex/ε является асимптотическим разложением. Как уже говорилось ˜ × S1 , для которого h на D + ˆ во введении, h имеет порядок Жеврея 1 (это также следует из суммируемости); следовательно, применяя преобразование Бореля и укороченное преобразование Лапласа (в отрицательном наˆ + , получаем некоторую функцию h ˜ 2 , определенную для Re ε < 0 правлении вещественной оси) к h 00 0 и удовлетворяющую уравнению εh + 2 h = εψ(x, ε)h с точностью до e−µ/|ε| . Теперь определим h+ 2 ˜ 2 (0, ε) и как единственное решение предыдущего уравнения с начальными условиями h+ (0, ε) = h 2 0 ˜0 ˜ h+ (при помощи леммы Гронуолла), 2 (0, ε) = h2 (0, ε). Уменьшая, если надо, D и ε0 , можно показать µ ¶ π δ 3π δ ˜ что h+ + , − , ε0 , удовлетворяет 2 определена и аналитична при (x, ε) ∈ D × S2 , S2 = S 2 2 2 2 + ˆ указанному дифференциальному уравнению и имеет h в качестве асимптотического разложения ˜ Таким образом, y + (x, ε) = h+ (x, ε)ex/ε определяет второе при S2 3 ε → 0 равномерно на D. 2 2 ˆ + (x, ε)ex/ε является асимптотическим разложением; это решение уравнения (1.1), для которого h ˜ × S2 . На рис. 1 схематично изображены секторы S1 , S2 и их пересечение решение определено на D (закрашенное более темным цветом). Более подробно построение h+ 2 описано в [4, разделы 5 и 6] (см. также, например, [24, теорема 3.3.1]). ˆ + (x, 0) = 1, можем считать (в силу равномерной суммируемости), что hi (x, ε) 6= 0, Так как h уменьшая, если надо, ε0 (i = 1, 2). Поделив решения на 1/hi (0, ε), можем без ограничения общности считать, что yi+ (0, ε) = 1

для ε ∈ Si .

(1.13)

В силу симметрии ψ(x, ε), мы можем заменить ε на −ε в (1.1). В результате получим, что yi− (x, ε) = yi+ (x, −ε) (i = 1, 2) также являются решениями уравнения (1.1). В частности, −x/ε −x/ε y1− (x, ε) = h+ = h− 1 (x, −ε)e 1 (x, ε)e

70

Р. ШЕФКЕ

РИС. 1. Секторы S1 , S2 и их пересечение µ ˜ × S3 , S3 = S есть решение на D

¶ π 3π − δ, + δ, ε0 , а 2 2

−x/ε y2− (x, ε) = h+ 2 (x, −ε)e µ ¶ π δ π δ ˜ есть решение на D × S4 , S4 = S − + , − , ε0 . Очевидно, yi− (0, ε) = 1 (i = 1, 2). 2 2 2 2 ~ (x, ε) = (Y1 , . . . , Y4 ), Yj Таким образом, (1.11) имеет фундаментальные матричные решения Y µ ¶ ³π ´ π 3π 3π ˜ и ε ∈ Tj , где T1 = S определены при x ∈ D − δ, + δ, ε0 , T2 = S2 , T3 = S − δ, + δ, ε0 , 2 2 2 2 + − T4 = S4 . Первые строки этих матриц имеют вид (1, 0) Y1 = [y1 , y1 ], (1, 0) Y2 = [y2+ , y1− ], (1, 0) Y3 = [y1+ , y1− ], (1, 0) Y4 = [y1+ , y2− ]. Пусть Dj = Tj ∩ Tj+1 (1 6 j 6 4), где T5 = T1 . На рис. 2 схематично изображены секторы Tj и их пересечения Dj (закрашенные более темным цветом). При j = 1, 2 это определение совпадает

РИС. 2. Секторы T1 , . . . , T4 и их пересечения D1 , . . . , D4 с определением Dj , данным в разделе 1.2. Таким образом, возникает явление Стокса Yj+1 (x, ε) = Yj (x, ε)(I + Ej (ε)),

˜ ε ∈ Dj , 1 6 j 6 4, x ∈ D,

(1.14)

где матрицы Ej не зависят от x и имеют экспоненциальный порядок малости 1, т. е. существует β > 0, такое, что kEj (ε)k 6 exp(−β/|ε|) , ε ∈ Dj , 1 6 j 6 4. (1.15)

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

71

Это следует из того, что все матричные функции Hj (x, ε) имеют одно и то же асимптотическое разложение Жеврея. Специальный вид фундаментальных матриц порождает специальный вид матриц Ej : µ µ ¶ ¶ (Ej )11 0 0 (Ej )12 Ej = для j = 1, 2 и Ej = для j = 3, 4. (1.16) (Ej )21 0 0 (Ej )22 Из симметрии y − (x, ε) = y + (x, −ε) следует, что

µ ¶ 0 1 Ej+2 (−ε) = F Ej (ε)F, ε ∈ Dj , для j = 1, 2; здесь F = . 1 0

(1.17)

Пусть Yj (x, ε) = Hj (x, ε) eΛx/ε

(1 6 j 6 4)

и ˜j (x, ε) := eΛx/ε Ej (ε) e−Λx/ε E

(1 6 j 6 4).

(1.18)

Тогда (1.14) эквивалентно ˜j (x, ε), ∆Hj (x, ε) = Hj+1 (x, ε) − Hj (x, ε) = Hj (x, ε)E

˜ ε ∈ Dj , 1 6 j 6 4. x ∈ D,

(1.19)

Более того, из равенства h+ j (0, ε) = 1 вытекает, что (Ej )11 (ε) + (Ej )21 (ε) = 0

для ε ∈ Dj , j = 1, 2

(Ej )12 (ε) + (Ej )22 (ε) = 0

для ε ∈ Dj , j = 3, 4.

(1.20)

1.3.2. Построение новых матричных функций. Теперь рассмотрит матрицы Ej из (1.16), удовлетворяющие соотношениям (1.17) и (1.20). Для данного заданного явления Стокса мы хотим построить решения уравнений (1.19) и (1.18) (которые мы снова обозначим через Hj ), такие, что Hj (x, ε) определены для ε ∈ Tj и x из соответствующим образом выбранной «широкой» области G. Для того, чтобы получить из данных Hj подходящее скалярное дифференциальное уравнение второго порядка (1.4), определим вторые строки этих матриц при помощи первых строк следующим образом: µ ¶ h+ h− H(x, ε) = . (1.21) 0 0 εh+ + h+ εh− − h− В силу (1.18) это согласуется с (1.19). Таким образом, достаточно определить первые строки матриц Hj . Из специального вида (1.16) матриц Ej , j = 1, . . . , 4, следует, что первые столбцы матриц H3 , H4 , H1 являются аналитическими продолжениями один другого. Обозначим их первую компоненту через h+ 1 ; она определена на G × S1 . Верхний левый элемент матрицы H2 обозначим через h+ ; он определен на G × S2 . Аналогичным образом обозначим соответствующий элемент h− 2 1, определенный на S3 , и h− , определенный на S . 4 2 Из симметрии (1.17) матриц E и из (1.21) вытекает, что четверка (H1 , . . . , H4 ), состоящая из j µ ¶ 1 0 ˜ j (x, ε) := H Hj+2 (x, −ε)F , удовлетворяет (1.19). Следовательно, достаточно построить 0 −1 − + только h+ i на G × Si (i = 1, 2), а затем воспользоваться соотношением hi (x, ε) := hi (x, −ε) и видом (1.21), чтобы закончить построение матриц Hj , которые будут удовлетворять (1.19). + Таким образом, заменяя h− j (x, ε) на hj (x, −ε), получим, что первые строки (1.19) при j = 1, 2 приводятся при помощи (1.16) и (1.18) к виду + + −2x/ε h+ (E1 )21 (ε) h+ 2 (x, ε) − h1 (x, ε) = (E1 )11 (ε) h1 (x, ε) + e 1 (x, −ε)

для ε ∈ D1 ,

+ + −2x/ε h+ (E2 )21 (ε) h+ 1 (x, ε) − h2 (x, ε) = (E2 )11 (ε) h2 (x, ε) + e 1 (x, −ε)

для ε ∈ D2 .

Обозначим

µ ~h+ =

h+ 1 h+ 2

(1.22)

¶ .

(1.23)

72

Р. ШЕФКЕ

Заметим, что компоненты вектора ~h+ являются функциями, определенными на различных областях (G × S1 и G × S2 соответственно). Далее, (1.22) можно переписать в виде ¶ µ ¶ µ (E1 )11 0 Ex (E1 )21 h− + + 1 ~ ~ ∆h = h + , (1.24) 0 (E2 )11 Ex (E2 )21 h− 1 + где Ex (x, ε) = e−2x/ε и h− 1 (x, ε) = h1 (x, −ε) при x ∈ D1 ∪ D2 . Запишем последнее уравнение в виде ~ ∆~h+ = E1~h+ + Ex h− (1.25) 1 E2 .

Напомним, что |Ej (ε)| 6 exp(−β/|ε|) для ε ∈ Dj , j = 1, 2. Функция e−2x/ε совместно с определением Σ−оператора из раздела 1.2 задает x-область G. Более точно, потребуем, чтобы ~ 2 было экспоненциально мало, скажем, |e−2x/ε (Ej )21 | 6 e−β/(2|ε|) для x ∈ G и ε ∈ Dj , j = 1, 2. Ex E Положим ½ ¾ β G = x ∈ C : Re (xe−i arg ε ) > − , ε ∈ D1 ∪ D2 . 4 Область G есть секториальная область, которая получается при пересечении четырех полуплоскоβ π δ π 3π 3π δ стей Re(x exp(iρl )) > − , где ρl , l = 1, . . . , 4, принимает значения + , + δ, −δ и − 4 2 2 2 2 2 2 (см. рис. 3). Заметим, что G содержит сектор SL (α, δ/2) при некотором α.

РИС. 3. Область G Пусть UG — банахово пространство векторов ~u = (u1 , u2 )T , где uj : G×Sj → C — аналитические ограниченные функции, с нормой k~uk = max sup |uj (x, ε)|. j

x∈G,ε∈Sj

Пусть DG — банахово пространство векторов d~ = (d1 , d2 )T , где dj : G×D ¯ j → C ¯— аналитические ¯ ¯ dj (x, ε) ~ = max sup ¯ dj (x, ε) ¯. ограничено, с нормой kdk функции, такие, что ¯ j x∈G,ε∈Dj ¯ ε ε Заметим, что Σ-оператор, введенный в теореме 3, естественным образом порождает оператор (который мы также обозначаем для простоты через Σ) DG → UG . Лемма 1. Отображение

³ ´ ~2 , Φ : ~u 7→ (1, 1)T + Σ E1 ~u + Ex (~u)− E 1

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

½ где (~u)− 1 (x, ε) = u1 (x, −ε), является сжимающим в UG для ε0 < min константа из теоремы 3.

73

¾ β β , , где M — 2 2 log(6M )

~ Доказательство. Пусть задан вектор ~u ∈ UG . Из определения G следует, что E1 ~u + Ex (~u)− 1 E2 принадлежит DG , и, пользуясь нормой пространства DG , видим, что если ε0 < β/2, то выполняется 2 −β/(2ε0 ) ~ e k~uk. По теореме об аналитической зависимости интегралов оценка kE1 ~u +Ex (~u)− 1 E2 k 6 ε0 от параметров Φ(~u) есть пара функций, аналитических при x ∈ G и ε ∈ S1 , соответственно ε ∈ S2 . Используя теорему 3 и полученную выше оценку для ~u = ~u1 − ~u2 , получим 1 kΦ(~u1 ) − Φ(~u2 )k 6 2M e−β/(2ε0 ) k~u1 − ~u2 k 6 k~u1 − ~u2 k. 3 Таким образом, уравнение (1.24) имеет единственное решение ~h+ в UG , которое в силу (1.20) удовлетворяет соотношению ~h+ (0, ε) = (1, 1)T . (1.26) Заметим также, что элементы ~h+ 0 и ~h+ 00 принадлежат UG , так как они являются неподвижными точками отображений µ ¶ 2 −~ − + ~2 ~v 7→ Σ E1~v + Ex (~v )1 E2 − Ex (~h )1 E ε и µ ¶ µ ¶ 4 4 −~ + −0 ~ + −~ ~ ~ w ~ 7→ Σ E1 w ~ + Ex (w) ~ 1 E2 − Ex (h )1 E2 + Σ 2 Ex (h )1 E2 ε ε соответственно, полученные дифференцированием уравнения неподвижной точки для ~h+ . Мы воспользуемся этим ниже. Положим ~h− (x, ε) := ~h+ (x, −ε). Тогда матрицы, заданные в (1.21), и первые строки − (1, 0) H1 = [h+ 1 (x, ε), h1 (x, ε)], − (1, 0) H2 = [h+ 2 (x, ε), h1 (x, ε)], − (1, 0) H3 = [h+ 1 (x, ε), h1 (x, ε)]

и − (1, 0) H4 = [h+ 1 (x, ε), h2 (x, ε)]

определены на G × Tj . Как уже говорилось в начале доказательства, матрицы Hj удовлетворяют (1.19). Таким образом, мы построили матрицы Z˜j (x, ε) := Hj (x, ε) eΛx/ε ,

(1.27)

определенные при x ∈ G и ε ∈ Tj (1 6 j 6 4), такие, что Z˜j+1 (x, ε) = Z˜j (x, ε) [I + Ej (ε)]

(ε ∈ Dj , j = 1, . . . , 4).

(1.28)

1.3.3. Построение нового уравнения. Используя матричные функции Z˜j (x, ε), построенные в предыдущем разделе, введем функцию A(x, ε) := εZ˜j0 (x, ε)Z˜j−1 (x, ε),

(1.29)

не зависящую от выбора j на пересечениях Dj , что следует из (1.28). Более того, соотношение A(x, ε) = εHj0 (x, ε)Hj−1 (x, ε) + Hj (x, ε)ΛHj−1 (x, ε) показывает, что она ограничена при ε → 0. Следовательно, функция A аналитическая при x ∈ G и {ε : |ε| < ε0 } (ε = 0 — устранимая особенность). Из особого вида (1.21) матриц Hj вытекает, что µ ¶ 0 1 A(x, ε) = . (1.30) a(x, ε) b(x, ε)

74

Р. ШЕФКЕ

Следующий шаг заключается в том, чтобы выяснить, можно ли выявить некоторую особую структуру функций a(x, ε) и b(x, ε). Специальный вид построенных матриц Z˜j (x, ε) приводит к наличию симметрии Z˜j (x, −ε) = Λ Z˜j (x, ε) F,

(1.31)

где F была определена в (1.17). Из (1.31) и (1.29) следует, что A(x, −ε) = −ΛA(x, ε)Λ, откуда в свою очередь получаем a(x, −ε) = a(x, ε), b(x, −ε) = −b(x, ε), (1.32) т. е. a — четная, а b — нечетная по ε функции. Аналогично (1.12) для Hj имеем εHj0 = AHj − Hj Λ.

(1.33)

Из (1.21) и (1.33) следует, что a(x, ε) и b(x, ε) должны удовлетворять следующим соотношениям при k ∈ {1, 2}: +0 + + +0 + 00 ε2 h+ k + 2εhk + hk = ahk + b[εhk + hk ], (1.34) −0 − − −0 − 00 ε2 h− − 2εh + h = ah + b[εh − h ]. k k k k k k Далее сосредоточим наше внимание на первом уравнении в (1.34) и объединим случаи k = 1 и k = 2 при помощи вектора ~h+ , определенного в (1.23). Устремляя ε к нулю и вспоминая, что в силу (1.32) b(x, 0) = 0, находим a(x, 0) = 1. Следовательно, a(x, ε) = 1 + εα(x, ε), b(x, ε) = εβ(x, ε), где α теперь — нечетная, а β — четная по ε функции (ср. (1.32)), и из (1.23) и (1.34) вытекает ε~h+ 00 + 2~h+ 0 = α~h+ + β[ε~h+ 0 + ~h+ ].

(1.35)

По лемме 1 имеем ~h+ = (1, 1)T + Σ∆~h+ . Причина, по которой имеет смысл воспользоваться данным представлением, заключается в том, что согласно теореме теореме 3 εΣ(f~)(x, ε) − Σ(εf~)(x, ε) = C(f~)(x), это дает возможность выделить члены, не зависящие от ε. Тогда (1.35) принимает вид Σ∆[ε~h+ 00 + 2~h+ 0 ] + C(∆(~h+ 00 )) = α[(1, 1)T + Σ∆~h+ ] + β[(1, 1)T + Σ∆(~h+ + ε~h+ 0 ) + C(∆(~h+ 0 ))]. Подставляя (1.35) в левую часть последнего равенства, окончательно получаем Σ∆[α~h+ + β(ε~h+ 0 + ~h+ )] + C(∆~h+ 00 ) = α[(1, 1)T + Σ∆~h+ ] + β[(1, 1)T + Σ∆(~h+ + ε~h+ 0 ) + C(∆~h+ 0 )].

(1.36)

Покажем, что (1.36) имеет единственную пару решений (α, β), такую, что α — нечетная по ε, а β — четная по ε функции. Предположим, что существуют две пары решений (αk , βk ) (k = 1, 2), ˜ обладающих указанным свойством симметрии. Пусть α ˜ = α2 − α1 и β˜ = β2 − β1 . Тогда (˜ α, β) удовлетворяет однородному уравнению µ ¶ ·µ ¶ ¸ h i 1 1 +0 ˜ ~ ˜ ~h+ 0 + ~h+ ) − α ˜ ~h+ 0 + ~h+ ). (1.37) α ˜ +β + C(∆(h )) = Σ∆ α ˜~h+ + β(ε ˜ Σ∆~h+ − βΣ∆(ε 1 1 ~ Используя ограниченность Σ-оператора (см. теорему 3) и обозначая правую часть (1.37) через R, ~ оценим kRk следующим образом: n o ˜ k∆[ε~h+ 0 + ~h+ ]k . ~ 6 2ε0 M k˜ kRk αk k∆~h+ k + kβk Здесь мы воспользовались тем, что α ˜ , β˜ — аналитические функции переменной ε и, следовательно, + + ~ ~ ∆(˜ αh ) = α ˜ ∆(h ) и т. д. Из (1.25), (1.15) и определения области G (при этом также учитывается производная от (1.25) и рассуждения, следующие за формулой (1.26)) вытекает, что обе нормы k∆~h+ k и k∆~h+ 0 k экспоненциально малы; следовательно, n o ˜ ~ 6 1 k˜ αk + kβk kRk 4

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

75

для x ∈ G и достаточно малого ε0 . Учитывая симметрию α ˜ , β˜ и вспоминая, что образы оператора C не зависят от ε, получаем µ ¶ 1 ~ 1 ~ α ˜ (x, ε) = (R(x, ε) − R(x, −ε)), 1 2 ·µ ¶ ¸ 1 ~ 1 ˜ ~ β(x, ε) + C(∆(~h+ 0 )) = (R(x, ε) + R(x, −ε)). 1 2 ³ ´ ˜ (для малого ε0 ), ˜ 6 2 k˜ αk + kβk По теореме 3 имеем kCk 6 ε20 /(4π) и, таким образом, k˜ αk + kβk 3 что и доказывает наше утверждение. Итак, уравнение (1.36) имеет единственную пару решений: α (нечетное по ε) и β (четное по ε). Предположим, что α(x, ε) = 0, а β(x, ε) = β(x) не зависит от ε. Так как оператор умножения на функцию, не зависящую от ε, коммутирует с Σ и ∆, (1.36) принимает вид C(∆(~h+ 00 )) = β[(1, 1)T + C(∆~h+ 0 )].

(1.38)

Поскольку C не зависит от ε, то отсюда и из определения оператора Σ получаем, что две компоненты вектора C(f~)(x) совпадают. Следовательно, функция h i β(x) = (1, 0)C(∆(~h+ 00 ))/ 1 + (1, 0)C(∆(~h+ 0 )) (1.39) является решением уравнения (1.38). Как говорилось выше, существует единственное решение α(x, ε), β(x, ε) уравнения (1.36), такое, что α — нечетная, а β — четная по ε функции. С другой стороны, функции α, β, такие, что a(x, ε) = 1 + εα(x, ε), b(x, ε) = εβ(x, ε) и a, b были построены при помощи (1.29) и (1.30), являются нечетным/четным решением α, β уравнения (1.36). Тем самым, имеем a(x, ε) = 1, b(x, ε) = εβ(x), где β определено по формуле (1.39). Таким образом, мы построили систему µ ¶ 0 1 0 εz = z, (1.40) 1 εβ(x) где функция β не зависит от ε и является аналитической и ограниченной на G; при этом для некоторого набора фундаментальных матриц Z˜j , j = 1, . . . , 4, наблюдается то же явление Стокса, что и (1.14). Используя (1.26) и тот факт, что h− (x, ε) = h+ (x, −ε), получаем, что первая строка матрицы Rx

β(t)/2 dt

, Z˜j (0, ε) имеет вид (1 1). Положим v(x) := e0 µ ¶ v(x) 0 V (x, ε) = и Z˜j = V Zj , j = 1, . . . , 4. εv 0 (x) v(x) Заменяя z на V (x, ε)z, преобразуем (1.40) к виду µ ¶ 0 1 0 ˜ εz = z = A(x, ε)z, где ϕ = β 2 /4 − β 0 /2. 1 + ε2 ϕ(x) 0

(1.41)

(1.42)

Матрицы Zj (x, ε) являются фундаментальными решениями этой системы, и первые строки матриц Zj (0, ε) равны (1, 1). Тогда функция T (x, ε) := Yj (x, ε)Zj−1 (x, ε),

(1.43)

где Yj обозначает фундаментальные решения уравнения (1.11), не зависит от индекса j, аналитична для малых |x| и |ε| < ε0 и устанавливает аналитическую эквивалентность соответствующих систем скалярных уравнения второго порядка (1.1) и (1.4). Поскольку первые строки всех матриц Yj (0, ε) и Zj (0, ε) равны (1, 1) (ср. (1.13) и (1.43)), то T11 (0, ε) = 1 и T12 (0, ε) = 0. Из (1.43), (1.11) и (1.42) получаем ˜ εT 0 = AT − T A.

(1.44)

76

Р. ШЕФКЕ

Полагая ε = 0, видим, что T (x, 0) имеет вид ¶ µ T11 (x, 0) T12 (x, 0) T (x, 0) = . T12 (x, 0) T11 (x, 0)

(1.45)

Сравнивая коэффициенты при ε1 , получим T 0 (x, 0) = 0. Из (1.44) и (1.45) следует T (x, 0) = I, что эквивалентно последнему утверждению теоремы. Покажем, что ϕ(x) = O(e−µ|x| ) при x → ∞ для некоторого положительного µ. Для этого вернемся к лемме 1. Поскольку ~h+ есть единственная неподвижная точка оператора Φ, определенного в лемме 1, и оператор Σ не зависит от x, то для любого фиксированного x ∈ G функция ~h+ : ε 7→ ~h+ (x, ε) есть единственная неподвижная точка оператора Φx : U → U, действующего по x ³ ´ T −~ ~ 2 , ( )− были определены до леммы 1. формуле ~u 7→ (1, 1) + Σ E1 ~u + Ex (~u)1 E2 , где E1 , Ex , E 1 ˜ ˜ ⊂ G. Рассмотрим достаточно малое α > 0 и положительное δ < δ/2, такие, что S = SL (α, δ) Тогда найдутся C, µ > 0, такие, что |Ex (ε)| = exp(−2 Re(x/ε)) 6 C exp(−µ|x|) |ε| для всех x ∈ S, ε ∈ D1 ∪ D2 . В доказательстве леммы 1 было показано (неявно), что линейный оператор L : ~u 7→ Σ (E1 ~u) имеет норму, меньшую 1/3. Согласно теорема 3 оператор Σ имеет норму ε0 M . Таким образом, ~h+ x удовлетворяет неравенству ° ° ° ° ° ° °~ + °~ + ° °~ + ° T +° ~ h − (1, 1) − L h 6 ε M C exp(−µ|x|) h 6 ε M C ° x ° x° °h ° exp(−µ|x|) 0 0 x° ° ° −1 ((1, 1)T ), получим, что °~ + −~ + ° = O(e−µ|x| ) для x ∈ S; для x ∈ S. Обозначая ~h+ = (id − L) h h ° ∞ x ∞° ˜ таким образом, ~h+ (x, ε) сходится к ~h+ ∞ (ε) при | arg x| < δ, x → ∞ равномерно по ε ∈ D1 ∪ D2 . + 0 + 00 ~ ~ Используя уравнения неподвижной точки для h и h , аналогично предыдущему получаем, что ~h+ 0 (x, ε) = O(e−µ|x| ) и ~h+ 00 (x, ε) = O(e−µ|x| ). Применяя (1.39) и (1.42), а также формулу Коши, ˜ для любого α видим, что ϕ(x) = O(e−µ|x| ) при x → ∞ в SL (˜ α, δ) ˜ ∈]0, α[. Доказательство теоремы 1 завершено. 1.4. Доказательство теоремы 2. Согласно теореме 1 и следствию 1 из предположений теоремы 2 следует существование функций ϕL (x) и ϕR (x), аналитических соответственно при x ∈ SL (α, δ) и x ∈ SR (α, δ) и таких, что обе системы µ ¶ 0 1 0 εZ = Z = Ak (x, ε)Z, k ∈ {R, L}, (1.46) 1 + ε2 ϕk (x) 0 ˜ ∩ SL (α, δ) ∩ SR (α, δ) и |ε| < ε0 . Для краткости обоаналитически эквивалентны (1.11) для x ∈ D значим эти две системы через (AL ) и (AR ). Тогда (AL ) и (AR ) аналитически эквивалентны в ˜ в противном слуобласти D(α, δ) = SL (α, δ) ∩ SR (α, δ). Считаем, что D(α, δ) содержится в D, чае мы всегда можем соответствующим образом уменьшить секторы. Таким образом, существует матрица P (x, ε), аналитическая для x ∈ D(α, δ) и малых |ε| и переводящая (AL ) в (AR ), т. е. преобразование y = P (x, ε)z переводит εy 0 = AL (x, ε)y в εz 0 = AR (x, ε)z. Заметим, что можно положить P (x, ε) = TL (x, ε)−1 TR (x, ε), где TL (x, ε) (соответственно TR (x, ε)) переводит (1.11) в (AL ) (соответственно в (AR )). Мы воспользуемся этим позже; отсюда, в частности, следует (при помощи (1.44)), что первая строка в P (0, ε) равна (1, 0) и что P (x, 0) = I. Наша цель — найти уравнение (B) на SL ∪ SR , аналитически эквивалентное (AL ) на SL и (AR ) на SR . Итак, для k ∈ {R, L} ищутся матричные функции Qk (x, ε), определенные и аналитические при x ∈ Sk (α, δ) и |ε| < ε0 соответственно и такие, что Qk (x, ε) переводят (B) в (Ak ). Ограничимся рассмотрением случая Qk (x, 0) = I, k ∈ {R, L}. Отсюда вытекает, что QR , QL должны удовлетворять соотношению P (x, ε) = Q−1 L (x, ε) QR (x, ε) для x ∈ D(α, δ), |ε| < ε0 .

(1.47)

Это означает, что мы должны решать задачу факторизации. Пусть задана функция P , аналитическая на SL ∩ SR ; требуется найти функцию QL , аналитическую на SL , и функцию QR , аналитическую на SR , удовлетворяющие (1.47). Пусть задача факторизации решена; тогда QL переводит некоторое уравнение (BL ) в (AL ) на SL , а QR переводит некоторое уравнение (BR ) в (AR ) на SR ,

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

77

где BR (x, ε) = BL (x, ε) на пересечении указанных секторов. Таким образом, BL и BR являются аналитическими продолжениями друг для друга и определяют одну аналитическую функцию B на SL ∪ SR ; тем самым мы нашли уравнение (B), аналитическое на SL ∪ SR и аналитически эквивалентное (1.11). Такого рода задача рассматривалась в случае прямоугольных областей Картаном и в случае секториальных областей — Сибуей [18, теоремы 2.2.1 и 6.6.1] (см. также Болибрух [3]). Наша статья [2] также содержит соответствующее доказательство — с одной стороны, для полноты картины и, с другой стороны, поскольку наше новое доказательство основано на принципе неподвижной точки и использует некоторый ограниченный линейный оператор, аналогичный Σ из теоремы 3 (такой оператор оказывается полезным и в других случаях). Нам будет удобно рассмотреть модификации секторов Sk (α, δ), k ∈ {R, L}, такие, что их пересечение есть круг и, что более важно для нашего доказательства, их границы пересекаются не только в конечном множестве точек. Однако наши рассуждения применимы и к более общим областям. Итак, выберем настолько малое x0 > 0, чтобы Dx0 = {x ∈ C | |x| < x0 } содержалось в D(α, δ). mod — «модифицированный сектор», ограниченный слева дугой Пусть SR x = x0 eit ,

π/2 − δ 6 t 6 3π/2 + δ,

соединенной с лучами, параллельными arg x = ±δ; аналогично вводится SLmod (см. рис. 4). Заметим, что решение задачи факторизации для модифицированных секторов дает решение этой задачи для пересечения секторов Sk (˜ α, δ), k ∈ {R, L} при некотором α ˜ ∈]0, α[. 4

2

-6

-4

-2

0

2

4

6

-2

-4 mod при некоторых значениях x и δ РИС. 4. Модифицированные области SLmod и SR 0

Положим P = I + ∆P , Q−1 L = I + L, QR = I + R. Нам надо показать, что существуют матричные mod соответственно и |ε| < ε и функции L(x, ε) и R(x, ε), аналитические при x ∈ SLmod и x ∈ SR 0 такие, что ∆P − LR = L + R для x ∈ Dx0 , |ε| < ε0 , (1.48) Пусть F — банахово пространство функций, аналитических и ограниченных при x, принадлежащем кругу Dx0 , и ε ∈ Dε0 , с обычной супремум-нормой. Прежде чем приступить к решению задачи факторизации, построим ограниченные линейные операторы CL и CR , такие, что для каждой f ∈ F функция g = CL f аналитична на SLmod , функция mod и f (x, ε) = g(x, ε) + h(x, ε) при x ∈ S mod ∩ S mod = D . h = CR f аналитична на SR x0 L R mod ×D ) — банахово пространство функций, аналитических Зафиксируем α0 ∈ (0, δ). Пусть H(SR ε0 mod × D . Зададим оператор C : F → H(S mod × D ) формулой и ограниченных в SR ε0 ε0 R R 1 (CR F )(x, ε) = 2α0

π/2+α Z 0

π/2−α0

1 2πi

−x Z0 eiα

x0 eiα ,L

F (t, ε) dt dα, t−x

(1.49)

78

Р. ШЕФКЕ

где контур интегрирования сколь угодно близок к левой полуокружности, соединяющей x0 eiα и −x0 eiα . Имеет место следующий результат. Лемма 2. Линейный оператор CR ограничен, и kCR k = K, где K > 1. Доказательство, являющееся модификацией доказательства ограниченности оператора Σ из работы [2, раздел 3.1], можно найти в [2, раздел 3.2]. Похожим образом зададим оператор CL : F → H(SLmod × Dε0 ), действующий по формуле 1 (CL F )(x, ε) = 2α0

π/2+α Z 0

xZ0 eiα

1 2πi

F (t, ε) dt dα, t−x

(1.50)

−x0 eiα ,R

π/2−α0

где контур интегрирования сколь угодно близок к правой полуокружности, соединяющей точки x0 eiα и −x0 . При½этом kCL k = K. Заметим, что CL f + CR f = f для любой f ∈ F. ¾ 1 , где K — то же, что и в лемме 2. Положим G = F ∈ F | kF k 6 3K 2 Лемма 3. Отображение χ : G → G, определенное по формуле χ : F 7→ ∆P − (CL F )(CR F ), является сжимающим в G при достаточно малом ε0 . Следовательно, оно имеет единственную неподвижную точку. 2 Доказательство. Поскольку ∆P (x, 0) = 0 для x ∈ Dx0 , то |∆P (x, ε)| 6 для x ∈ Dx0 и 9K 2 1 1 достаточно малых |ε| < ε0 . Тогда если kF k 6 , , то в силу леммы 2 имеем kCL F k 6 2 3K 3K 1 kCR F k 6 ; следовательно, 3K 1 k∆P − (CL F )(CR F )k 6 . 3K 2 Таким образом, χ(F ) = ∆P − (CL F )(CR F ) ∈ G. Если F1 , F2 ∈ G, то 2 kχ(F1 ) − χ(F2 )k = kCL F1 (CR F1 − CR F2 ) + (CL F1 − CL F2 ) CR F2 k 6 kF2 − F1 k. 3 Что и требовалось доказать. Обозначим единственную неподвижную точку отображения χ через F˜ , т. е. χ(F˜ ) = F˜ ∈ G.

(1.51)

Заметим, что при фиксированном ε функция F˜ε : x 7→ F˜ (x, ε) есть единственная неподвижная ˜ G˜ := H(Dx ), χε (H)(x) := ∆P (x, ε) − (CL H)(x)(CR F )(x) — точка отображения χε : G˜ → G, 0 здесь мы использовали те же обозначения CL , CR для не зависящих от ε операторов, которые определяются аналогично (1.49) и (1.50). Так как ∆P (x, 0) = 0, то неподвижная точка F˜ удовлетворяет соотношению F˜ (x, 0) = (CL F˜ )(x, 0) = (CR F˜ )(x, 0) = 0 (поскольку F0 (x) = 0 — единственная неподвижная точка отображения χ0 ). Положим L = CL F˜ , R = CR F˜ . Видим, что (1.48) имеет пару решений (R, L), такую, что R(x, 0) = L(x, 0) = 0; следовательно, (1.47) имеет решение, удовлетворяющее соотношению QL (x, 0) = QR (x, 0) = I. Как отмечалось выше, отсюда следует существование уравнения (B) на SL ∪ SR , аналитически эквивалентного (1.11). Рассматривая Qk и Ak при k ∈ {R, L}, убеждаемся, что B должно удовлетворять равенству B = (εQ0k + Qk Ak ) Q−1 для k ∈ {R, L}. k Учитывая, что Qk (x, 0) = I, получаем

µ B(x, 0) =

0 1 1 0

(1.52)

¶ .

(1.53)

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

79

Для k ∈ {R, L} из того, что Qk ∈ H(Skmod × Dε0 ) и Qk (x, 0) = I, следует (с помощью формулы mod Коши), что Qk (x, ε) → I при ε → 0 равномерно для x ∈ Skmod . Немного уменьшая SLmod и SR (если необходимо), видим, что Q0L и Q0R также ограничены; таким образом, можно считать, что mod при достаточно малых ε. (1, 2)-элемент матрицы B(x, ε) отличен от нуля на SLmod ∪ SR µ ¶ b11 (x, ε) b12 (x, ε) Пусть, далее, x принадлежит Dx0 . Обозначим B(x, ε) = и сделаем b21 (x, ε) b22 (x, ε) замену переменных µ ¶ 1 0 y˜ = y. b11 (x, ε) b12 (x, ε) Тогда уравнение µ ¶ 0 1 0 ε˜ y = y˜, ˜ c˜(x, ε) d(x, ε) где ´ ³ εb0 12 (1.54) c˜ = εb011 + b12 b21 − b11 + b22 , b12 b0 d˜ = ε 12 + b11 + b22 , (1.55) b12 ˜ уравнению и корректно определено на S mod ∪ S mod . аналитически эквивалентно заданному на D L R Заметим, что согласно предыдущему b12 (x, ε) 6= 0 на всей рассматриваемой области. В силу (1.53) ˜ имеем c˜(x, 0) = 1 и d(x, 0) = 0. Таким образом, положим ˜ c˜(x, ε) = 1 + εc(x, ε), d(x, ε) = εd(x, ε)

(1.56)

и получим скалярное уравнение Ã Zx Полагая y˜ = exp 0

ε2 y˜00 = ε2 d(x, ε)˜ y 0 + [1 + εc(x, ε)]y. ˜ !

d(t, ε) dt w, приходим к уравнению 2 · 2

00

µ 2

ε w = 1 + εc + ε

d2 d0 − 4 2

¶¸ w,

(1.57)

аналитически эквивалентному исходному уравнению (1.1). Далее мы преобразуем данное уравнение, еще раз используя симметрию. Вспомним, что в силу (1.31) µ ¶ 0 1 Zj (x, −ε) = Λ Zj (x, ε) F, где F = . 1 0 Здесь Zj , 1 6 j 6 4, — фундаментальные решения, построенные в доказательстве теоремы 1. Аналогичные соотношения симметрии позволяют получить фундаментальные матричные решения Yj исходного дифференциального уравнения (1.11) и решения, построенные в следствии 1. Отсюда вытекает следующее соотношение симметрии, обеспечивающее аналитическую эквивалентность Tk (x, −ε) = Λ Tk (x, ε) Λ, k ∈ {L, R}. Как отмечалось выше, P = TL−1 TR ; таким образом, P (x, −ε) = Λ P (x, ε) Λ.

(1.58)

Рассматривая уравнение неподвижной точки (1.51) для (x, −ε) и используя (1.58), убеждаемся в том, что Λ F˜ (x, −ε) Λ = ∆P (x, ε) − Λ (CL F˜ )(x, −ε) (CR F˜ )(x, −ε) Λ = = ∆P (x, ε) − (CL ΛF˜ Λ)(x, −ε) (CR ΛF˜ Λ)(x, −ε), так как постоянная матрица Λ коммутирует с операторами CL и CR и Λ2 = I. Сравнивая (1.51) и (1.59) в силу единственности неподвижной точки получаем, что F˜ (x, −ε) = Λ F˜ (x, ε) Λ.

80

Р. ШЕФКЕ

Следовательно, Qk (x, −ε) = Λ Qk (x, ε) Λ,

k ∈ {L, R}.

Заметим, что Ak (x, −ε) = Ak (x, ε) и Λ Ak (x, ε) Λ = −Ak (x, ε) для k ∈ {R, L}; отсюда и из (1.52) вытекает µ ¶ −b11 (x, ε) b12 (x, ε) B(x, −ε) = −Λ B(x, ε) Λ = . b21 (x, ε) −b22 (x, ε) ˜ ˜ Следовательно, в (1.54) имеем c˜(x, −ε) = c˜(x, ε), а также d(x, −ε) = −d(x, ε). Учитывая (1.56), получаем c = εη(x, ε), где η(x, ε) = η(x, −ε) и d(x, −ε) = d(x, ε). Таким образом, (1.57) можно записать в виде £ ¤ ε2 w00 = 1 + ε2 u(x, ε) w, где u(x, ε) — четная по ε функция. Рассмотрим асимптотическое поведение u при x → ∞. Вначале заметим, что QR = I + CR F˜ и QL = (I + CL F˜ )−1 , где F˜ есть неподвижная точка отображения χ из леммы 3. Поэтому согласно (1.49) и (1.50) они представимы в виде сходящихся рядов по степеням 1/x, начинающихся с I. Оказывается, что соответствующие коэффициенты при 1/x совпадают. Следовательно, используя утверждение теоремы 1 (и следствия 1) о поведении при x → ∞ и определение (1.52), получаем ¶ µ 0 1 B(x, ε) = Qk (x, ε) Qk (x, ε)−1 + O(x−2 ) при Sk 3 x → ∞, k ∈ {R, L}. 1 0 µ ¶ c11 (ε)/x 1 + c12 (ε)/x Таким образом, B(x, ε) = + O(x−2 ), где c11 , c12 — некоторые 1 − c12 (ε)/x −c11 (ε)/x аналитические функции при x → ∞. ˜ определенные в (1.54) и (1.55), имеют порядок O(x−2 ). Тогда c Отсюда вытекает, что c˜ − 1 и d, и d, определенные в (1.56), также имеют порядок O(x−2 ). При этом SR и SL при необходимости следует несколько уменьшить. Следовательно, то же утверждение справедливо и для u(x, ε). 2. КЛАССИФИКАЦИЯ

В ОБЫКНОВЕННОЙ ТОЧКЕ

В данном разделе представлена совместная работа [8] с А. Фрушаром из университета Ла Рошеля (Франция). Рассматриваются системы вида (A)

εh y 0 (x, ε) = A(x, ε)y(x, ε),

(2.1)

где h ∈ N∗ , y ∈ H0n , A ∈ M := M(n, H0 ), H0 — пространство ростков голоморфных функций в окрестности точки (0, 0) ∈ C2 . Предполагается, что A(0, 0) имеет n различных собственных значений λ1 , . . . , λn . Обозначим через U плотное открытое подмножество M, состоящее из матриц A с указанным свойством. Будем писать (A) ∼ (B), если существует T ∈ GL(n, H0 ), такое, что замена y = T z переводит (A) в (B). Ищутся множество J и отображение Φ : U → J , совместимое с ∼ (т. е. выполняется импликация (A) ∼ (B) ⇒ Φ(A) = Φ(B)), такие, что фактор-отображение Φ∼ : U/ ∼ → J биективно. Для этого мы воспользуемся формальными решениями уравнения (A). Напомним некоторые хорошо известные факты, связанные с такими решениями. Прежде всего, при достаточно малых |x| матрица A(x, 0) имеет различные собственные значения λn (x), которые могут быть выбраны аналитическими по x. Теорема 26.3 [23] (см. также [24, ˆ Q. теорема 2.8]) утверждает, что существует фундаментальное формальное решение вида Yˆ = He Здесь X ˆ H(x, ε) = Hν (x)εν ∈ GL(n, C{x}[[ε]]), det(H0 (0)) 6= 0, ν>0

все Hn аналитичны в одном и том же круге Dρ = {x ∈ C ; |x| < ρ} и Q = diag(q1 , . . . , qn ),

qk (x, ε) =

h X r=1

qkr (x)ε−r ,

qkr ∈ C{x},

qkr (0) = 0,

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

где, в частности,

81

Zx qkh (x)

=

λk (ξ)dξ. 0

(Простой заменой решения Y всегда можно добиться выполнения соотношения qkr (0) = 0.) ˆ R также есть фундаментальное решение Согласно теоремам 4.2-1 и 4.2-2 работы [24] Zˆ = Ke уравнения (A) того же вида и с тем же порядком λj , что и ранее, тогда и только тогда, когда (i) Q = R; ˆ =K ˆ C. ˆ (ii) существует постоянная (по x) диагональная матрица Cˆ ∈ GL(n, C[[ε]]), такая, что H Далее, хорошо известно (см., например, [20–22]), что с точностью до умножения справа вида (ii) ˆ H имеет порядок Жеврея 1/h, т. е. существуют константы C, x0 > 0, такие, что для всех ν ∈ N и всех x, |x| < x0 , имеем ³ ν´ ν kHν (x)k 6 C Γ 1 + ; h более того, существует 2h + 1 (обычных) фундаментальных решений Yj , определенных на D × Sj , ˆ Q где секторы Sj образуют указанное в доказательстве теоремы 4 покрытие, таких, что Yˆ = He есть их общее асимптотическое разложение. Заметим также, что замена переменных y = T z, T ∈ GL(n, H0 ), переводящее уравнение (A) в ˆ Q уравнеэквивалентное уравнение (B), переводит формальное фундаментальное решение Yˆ = He ˆ Q уравнения (B), где H ˆ = T K. ˆ Следония (A) в формальное фундаментальное решение Zˆ = Ke вательно, Q есть первый естественный инвариант. Второй инвариант определяется классом эквиˆ ε) по модулю умножения слева на обратимую матрицу S(ε) и умножения справа валентности H(0, ˆ на обратимую диагональную матрицу C(ε) класса Жеврея (1/h). ˆ где Теорема 4. Рассмотрим множество J пар (Q, [L]), • Q — n × n диагональная матрица с элементами на диагонали qk =

h X

qkν (x)ε−ν , анали-

ν=1

тическими по x и являющимися полиномами степени 6 h относительно 1/ε, такая, что Q(0, ε) = 0 и (qkh )0 (0) все различны, ˆ — класс эквивалентности n × n обратимых матриц L(ε) ˆ • [L] с элементами из класса Жеврея порядка 1/h относительно следующего отношения эквивалентности: ˆ1 ∼ L ˆ 2 тогда и только тогда, когда существуют S ∈ GL(n, C{ε}) и D ˆ = diag(d1 , . . . , dn ), L ˆ ˆ ˆ dk ∈ C[[ε]]1/h , dk (0) 6= 0, такие, что L1 = S L2 D. Вспомним, что U есть множество (n × n)-матриц с аналитическими в точке (0, 0) коэффициентами и различными собственными значениями. Рассмотрим отображение ˆ ε)]), Φ : U → J , A 7→ (Q, [H(0, ˆ Q — фундаментальное формальное решение уравнения (A). где Yˆ = He Тогда отображение Φ индуцирует биективное фактор-отображение Φ∼ : U/ ∼ → J . Более того, в каждом классе эквивалентности [A] из U/ ∼ найдется уравнение, такое, что A есть полином по ε степени не выше h − 1. Доказательство. Тот факт, что два эквивалентных уравнения имеют одни и те же инварианты ˆ ε)]), вытекает из предыдущих рассуждений. Следовательно, отображение Φ∼ корректно (Q, [H(0, определено. Докажем вначале его инъективность. ˆ и формальными реПусть заданы уравнения (A), (B) с совпадающими инвариантами (Q, [L]) Q Q ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ε), K(0, ˆ ε) ∈ [L]. ˆ шениями Y = He для уравнения (A) и Z = Ke для уравнения (B), H(0, Необходимо найти T ∈ GL(n, C{x, ε}), переводящее (A) в (B). ˆ есть диагональная матрица с поПусть матрица S = S(ε) представима сходящимся рядом, D рядком Жеврея (1/h), обе матрицы обратимы и ˆ ε) = S(ε)K(0, ˆ ε)D(ε). ˆ H(0,

82

Р. ШЕФКЕ

ˆ K ˆ D) ˆ −1 ; тогда Tˆ есть решение линейного уравнения Положим Tˆ := H( εh T 0 = AT − T B с начальным условием Tˆ(0, ε) = S(ε). По теореме Сибуя [16], T сходится при малых x и малых ε. Поскольку T переводит (A) в (B), инъективность преобразования Φ∼ доказана. Для доказательства сюръективности отображения Φ∼ мы снова должны решить некоторую обратную задачу, а именно построить дифференциальное уравнение с заданным явлением Стокса. ˆ ∈ J . Воспользуемся вначале укороченным преобразованием Бореля— Пусть задано (Q, [L]) ˆ семейства L ~ = (L0 , . . . , L2h ), где Lj : Sj → GL(n, C) — Лапласа для построения на базе L аналитические функции на секторах Sj , образующих соответствующее покрытие на ε-плоскости X 2π ˆ lν εν и dj = j (см. раздел 1.2). А именно пусть L(ε) = ; положим 2h + 1 ν>0 n o π Sj = ε ∈ C ; 0 < |ε| < ε0 , | arg ε − dj | < −µ , 2h ¡ ¢ h P ν где ε0 , µ > 0 достаточно малы. Пусть λ(u) = ν>0 lν /Γ 1 + h u (ряд сходится при малых u); положим idj εZ 0e ³ ´ ³ ´ Lj (ε) = z −h λ(u) exp −(u/ε)h d uh . 0

Тогда все матрицы

Rj := L−1 j Lj+1 − 1 являются экспоненциально малыми порядка h, т. е.

³ ´ ∃c > 0 ∀j ∈ {0, . . . , 2h} ∀ε ∈ Sj ∩ Sj+1 , ||Rj (ε)|| 6 exp −c|ε|−h .

Так как Q есть полином относительно ε−1 степени не больше h и Q(0, ε) = 0, то при достаточно малых |x| имеем c ||Q(x, ε)|| 6 |ε|−h . 3 Следовательно, все матрицы ˜ j (x, ε) := eQ(x, ε) Rj e−Q(x, ε) R также являются экспоненциально малыми порядка h при малых |x|. ~ = (H0 , . . . , H2h ), Hj : Dρ × Sj → GL(n, C) и Предположим, что существует H ˜ j ). Hj+1 = Hj (1 + R (2.2) ~ := He ~ Q . Покажем, что Z(x, ε) := Y ~ (x, ε)L(ε) ~ −1 однозначна, т. е. удовлетворяет Положим Y соотношению Zj+1 = Zj . Действительно, имеем ˜ j eQ ) = Hj (eQ + eQ Rj ) = Yj (1 + Rj ) = Yj L−1 Lj+1 . Yj+1 = Hj+1 eQ = Hj (eQ + R j

~ 0Y ~ −1 , Отсюда вытекает, что матричная функция переменных x, ε, заданная формулой A := εh Y h 0 −1 аналитична по обеим переменным x и ε, так как A также равняется ε Z Z , и (A) имеет инваˆ рианты Q и [L]. ~ удовлетворяющую (2.2). Для этого снова воспользуемся теоремой 3 из Осталось построить H, раздела 1.2. Сохраняя обозначения раздела 1.2, перепишем (2.2) в виде ~˜ ~ =H ~R ∆H (2.3) ~˜ = (R ~ = (Hj+1 −Hj )j=0,...,2h mod(2h+1) и R ˜0, . . . , R ˜ 2h )). Используя ограниченный оператор Σ (где ∆H из теоремы 3, перепишем (2.3) в виде ~˜ ~ = 1 + Σ(H ~ R). H ˜ экспоненциально мало и оператор Σ ограничен, то мы имеем уравнение неподвижной Так как R точки при малых ε; следовательно, оно имеет единственное решение. Тем самым сюръективность отображения Φ∼ доказана.

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

83

Покажем теперь, что данное решение дает уравнение с полиномом A степени не выше h−1. Дей~ удовлетворяет уравнению H ~ = 1 + Σ∆H. ~ Поскольку Σ и ∆ коммутируют ствительно, решение H h 0 h 0 ~ ~ с производной по x, получаем ε H = ε Σ∆(H ). Используя пункт 3 теоремы 3, получим ~ 0 = Σ(εh ∆H ~ 0 ) + PH , εh H (2.4) где PH = PH (x, ε) — полином по ε степени не выше h − 1. ~ = He ~ Q есть решение, определяется по формуле Матрица A уравнения, для которого Y ~ 0Y ~ −1 = εh (H ~ 0H ~ −1 + HQ ~ 0H ~ −1 ). A = εh Y Следовательно,

~ 0 = AH ~ − HΛ, ~ εh H ~ = 1 + Σ∆H ~ получаем где Λ := εh Q0 . Из (2.4) и равенства H ~ 0 ) + PH = A(1 + Σ∆H) ~ − (1 + Σ∆H)Λ. ~ Σ(εh ∆H

(2.5)

~ ~ ~ = ∆(AH). ~ Следовательно, Поскольку Λ и A однозначны, имеем ∆(H)Λ = ∆(HΛ) и A∆H ~ 0 ) + PH = A − Λ + AΣ(∆H) ~ − Σ(A∆H) ~ + Σ∆(AH ~ − HΛ). ~ Σ(εh ∆H В силу (2.5) решение последнего уравнения эквивалентно нахождению полиномиального решения степени не выше h − 1 уравнения ~ − Σ(AD) ~ = QH , A + AΣ(D) ~ и QH = PH + Λ = PH + εh Q0 — полиномы степени не выше h − 1, так как Q — где D = ∆H полином относительно 1/ε степени не выше h с нормой не меньше единицы. Запишем QH в виде h−1 h−1 X X QH = Qn,H (x)εn . Подставляя A = An (x)εn в это уравнение и пользуясь соотношением n=0

n=0

An ΣD = Σ(An D), получим треугольную систему An = Qn,H −

h−1 X

Ak Pk,n (D), n = 0, . . . , h − 1,

k=n+1

где Pk,n определяются из соотношения εk ΣD−Σ(εk D) =

k−1 X

Pk,ν (D)εν . Следовательно, существует

ν=0

решение A, являющееся полиномом степени не выше h − 1. 3.

ПОСТРОЕНИЕ

УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С РЕЗОНАНСОМ

АККЕРБЕРГА—О’МАЛЛЕЯ

В данном разделе представлена часть совместной с А. Фрушаром работы [7]. Поясним вкратце, что такое резонанс Аккерберга—О’Маллея (более подробно см. [7]). Рассмотрим краевую задачу εy 00 + ϕ(x, ε)y 0 + ψ(x, ε)y = 0, y(a) = 1,

y(b) = B > 0,

(3.1) (3.2)

где y — вещественнозначная функция вещественного переменного x ∈ [a, b]; ϕ и ψ — достаточно гладкие функции; ε > 0 — малый параметр. Эта задача в общем случае имеет единственное решение y(x, ε). Изучается его асимптотическое поведение при ε → 0. В случае когда функция ϕ0 : x 7→ ϕ(x, 0) имеет постоянный знак на [a, b], скажем положительна, в точке x = a возникает пограничный слой, тогда как на остальной части интервала y(x, ε) сходится к решению так называемого регуляризованного уравнения ϕ(x, 0)y 0 + ψ(x, 0)y = 0,

(3.3)

удовлетворяющего условию y0 (b) = B. Если ϕ0 отрицательно, то пограничный слой возникает в точке x = b. Если функция ϕ0 обращается в ноль в некоторой точке x0 ∈]a, b[ — для простоты будем считать, что x0 = 0 — и если xϕ(x, 0) 6 0, то, вообще говоря, возникают два пограничных слоя в точках a и b и решение сходится к нулю в открытом интервале. Однако может так случится,

84

Р. ШЕФКЕ

что возникает только один пограничный слой и y(x, ε) сходится к нетривиальному решению y0 регуляризованного уравнения (3.3) на остальной части интервала (имеется в виду равномерная сходимость на компактных подмножествах оставшегося полуоткрытого интервала). В этом случае будем говорить, что для (3.1) имеет место резонанс в смысле Аккерберга—О’Маллея. Копел [10] показал, что данная задача эквивалентна нахождению решения уравнения (3.1), сходящемуся к нетривиальному решению регуляризованного уравнения, которое может уже не удовлетворять краевым условиям. В случае ϕ00 (x) < 0, т. е. когда ϕ0 имеет простую точку поворота x = 0, Лакин [11] и Кук и Екхауз [5] независимо друг от друга показали, что необходимым условием резонанса является существование резонансного решения, т. е. формального решения X yˆ(x, ε) = yn (x)εn n>0

уравнения (3.1) с коэффициентами yn , аналитическими в окрестности точки x = 0. Это условие впервые было сформулировано Матковским [14]; поэтому оно называется условием Матковского. Сибуя [17] свел задачу к случаю ϕ0 (x) = −2x и показал, что условие Матковского достаточно для резонанса, если ψ аналитична по x в круге с центром в начале координат, содержащем отрезок [a, b] (и аналитична по ε вблизи ε = 0). Это утверждение было усилено Лином [12]: условие Матковского достаточно для резонанса в случае, когда обе функции ϕ и ψ аналитичны в окрестности [a, b] × {0}. В [7] мы рассматриваем более общий подход; в качестве приложения дается другое доказательство результата Лина, которое обобщается на случай точек поворота, не являющихся простыми. Когда автор впервые излагал данный результат, его спросили, почему он использует такие сложные методы для решения «такой простой задачи»; при этом автор вопроса полагал, что формальные ряды в условии Матковского (если они существуют, т. е. если коэффициенты не имеют полюсов в точке x = 0) всегда сходятся. Это не верно, но при этом похоже нет простого примера аналитического уравнения, для которого условие Матковского было бы выполнено, а формальное решение расходилось бы. Это привело нас в [7] к задаче построения такого примера. А именно мы хотим построить уравнения вида εy 00 − 2x y 0 + g(x, ε)y = 0,

(3.4)

где g аналитична по переменным x, ε в некоторой окрестности точки 0 ∈ C2 , такое, что (3.4) имеет резонансные решения и все его формальные решения расходятся. Для простоты ограничимся случаем y0 (x) ≡ 1, что эквивалентно g(x, 0) ≡ 0. Будем считать, что |ε| < ε0 , где ε0 6 1 фиксировано. Преимущество того, что мы имеем фиксированный коэффициент при y 0 , заключается в следующем. Если y1 — решение уравнения (3.4), то второе решение можно найти по формуле y2 = T y1 , где Zx 2 (T y)(x, ε) = y(x, ε) et /ε y(t, ε)−2 dt. (3.5) 0

Наш метод заключается в следующем. 1. Строим функцию z : D µ ¶ × S → C, где D = D(0, 1) ⊂ C — открытый круг, S — открытый 5π 5π сектор S − , , ε0 на римановой поверхности логарифма, со следующими свойствами: 4 4 z(0, ε) ≡ 1 и z(x, ε) → 1 при S 3 ε → 0

(3.6)

z(x, εe2πi ) = z(x, ε) + e2/ε (T z)(x, ε) для |arg ε + π| < π4 .

(3.7)

равномерно на D и

Здесь T — оператор, определенный в (3.5). 2. Показываем, что уравнение (3.4) имеет решение z. Таким образом, g(x, ε) = −ε

z 00 z0 (x, ε) + 2x (x, ε) z z

(3.8)

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

85

есть нетривиальный пример уравнения, имеющего аналитическое резонансное решение; при этом единственное сходящееся формальное решение есть нулевое решение. Другими словами, мы строим уравнение (3.4), такое, что его аналитическое резонансное решение имеет заданную монодромию при однократном обходе ε вокруг начала координат. Замечания. 1. Постоянную функцию y0 (x) ≡ 1 можно заменить на любую функцию, не обращающуюся в ноль на замыкании D. Коэффициент 2x при y 0 можно заменить другими функциями, зависящими от x или (x, ε); это особенно интересно в случае функции xp при нечетном p. 2. Функцию e2/ε можно заменить на любую функцию, аналитическую в секторе |arg ε + π| < π/4 и являющуюся экспоненциально малой при ε → 0. Сектор S можно заменить на покрытие из раздела 1.2. Размер x-окрестности, на которой задается z, зависит от константы в экспоненте (в данном случае равной 2) и от указанного покрытия. Это позволяет строить резонансные уравнения на любых выпуклых x-областях, содержащих начало координат. 3. Функция z не обязательно должна принимать вещественные значения для вещественных x, ε, но тогда следует использовать более «симметричное» соотношение монодромии, например π z(x, εeπi ) − i e−2/ε (T z)(x, εeπi ) = z(x, εe−πi ) + i e−2/ε (T z)(x, εe−πi ) для |arg ε| < . 4 Первая часть описанного метода технически довольно трудная. Мы укажем детали в конце данного раздела (теорема 5). Во второй части мы должны показать, что указанная там функция g аналитична по x, ε и что все ненулевые формальные решения соответствующего уравнения расходятся. Тот факт, что функция z не есть однозначная функция переменной ε (согласно (3.7)), указывает, что если она имеет асимптотическое разложение при ε → 0, то оно не будет сходящимся. Предположим мы уже доказали существование функции z, удовлетворяющей (3.6) и (3.7). Уменьшая, если необходимо, ε0 , мы можем определить функцию g : D × S → C по формуле (3.8). Поскольку g остается ограниченной при ε → 0, то аналитичность g вытекает из следующего утверждения. Предложение 1. Функция g, определенная по формуле (3.8), однозначна, т. е. при x ∈ D, ε ∈ S, |arg ε + π| < π/4 выполняется g(x, εe2πi ) = g(x, ε). Доказательство. Утверждение может быть доказано при помощи простого вычисления, но есть другой путь. Зададим g по формуле (3.8). Тогда z удовлетворяет уравнению (3.4) с указанной функцией g. Мы видели, что T z удовлетворяет тому же уравнению, что и z; следовательно, правая часть равенства (3.7) удовлетворяет уравнению (3.4). Используя (3.7), получаем, что z(x, ε) и z(x, εe2πi ) удовлетворяют одному и тому же уравнению (3.4) при x ∈ D и | arg ε + π| < π/4. Снова используя (3.8), завершаем доказательство. 2

Поскольку |(T z)(x, ε)| 6 C e|x| /|ε| при x ∈ D, |arg ε + π| < π/4, то разность z(x, εe2πi ) − z(x, ε) экспоненциально мала при x ∈ D. По теореме Рамиса—Сибуя (см. также результат ниже) z(x, ε) имеет асимптотическое разложение порядка Жеврея 1 при ε → 0. Обозначим соответствующий ∞ X формальный ряд через zˆ(x, ε) = zn (x)εn . n=0

Так как z неоднозначна, ряд zˆ расходится для некоторых значений x 6= 0. Далее мы даже определим асимптотическое поведение функций zn (x) при n → ∞ для x 6= 0, arg x ∈ / π4 Z. В силу (3.6) при arg ε = ±π, ε → 0 имеем 1√ π π T z(x, ε) ∼ −πε, если |arg x| < или |arg x − π| < , 2 4 4 и ε x2 /ε π T z(x, ε) ∼ e , если |arg x ± π/2| < . 2x 4 Конечно, эти аппроксимации равномерны только по переменной x, принадлежащей компактным подмножествам указанных выше секторов. Отсюда получаем µ ¶ ε 2 + x2 1√ 2/ε 2πi 2πi −πεe , соответственно z(x, εe )−z(x, ε) ∼ exp (3.9) z(x, εe )−z(x, ε) ∼ 2 2x ε

86

Р. ШЕФКЕ

в рассмотренных выше случаях. Применяя формулу Коши—Гейне [17] 1 z(x, ε) = 2πi

πi εZ 0e

1 dµ + z(x, µ) µ−ε 2πi

ε0Ze−πi

¡ ¢ z(x, µ) − z(x, µe2πi )

0

ε0 e−πi

dµ µ−ε

(x ∈ D, |ε| < ε0 , |arg ε| < π), получим zn (x) =

1 2πi

πi εZ 0e

z(x, µ)µ−n ε0 e−πi

dµ 1 + µ 2πi

ε0Ze−πi

0

¡ ¢ dµ z(x, µ) − z(x, µe2πi ) µ−n . µ

Отсюда и из (3.9) вытекает существование некоторой константы C и некоторой аналитической функции G 6= 0, таких, что ¶ µ 1 −n zn (x) ∼ C 2 Γ n − , соответственно zn (x) ∼ G(x) (2 + x2 )−n Γ(n − 1) 2 при n → ∞ в рассмотренных выше случаях. Это подтверждает, что zˆ имеет порядок расходимости Жеврея 1. Априори можно было бы построить сходящийся ряд, умножая zˆ на некоторый формальный ряд, не зависящий от x. Однако в данном случае этого сделать нельзя, так как zˆ(x, ε) уже сходится при x = 0. Заметим, что каждое решение уравнения (3.4), представимое формальным рядом, есть произведение zˆ и некоторого формального ряда, не зависящего от x. В действительности определитель Вронского двух решений 2 имеет в качестве сомножителя ex /ε , и поэтому не может существовать двух линейно независимых формальных решений. Следовательно, если мы нашли функцию z, удовлетворяющую (3.6) и (3.7), мы тем самым привели пример аналитического уравнения (3.4), имеющего аналитическое резонансное решение и такого, что все его ненулевые формальные решения расходятся. Может показаться, что ряд yˆ(t, ε1/s ) = zˆ(tεr/s , ε) сходится для некоторых r, s. Однако если бы dˆ z r/s dˆ y (t, ε1/s ) = (tε , ε)εr/s также должна была бы сходится, но это было так, то производная dt dx dz dˆ z (0, ε) расходится. В действительности согласно (3.6) и (3.7) производная (0, ε) удовлетворяет dx dx соотношению dz dz (0, εe2πi ) = (0, ε) + e2/ε dx dx для |arg ε + π| < π4 . Как и ранее, отсюда следует, что коэффициенты dn ее асимптотического ряда при ε → 0 удовлетворяют условию dn ∼ C 2−n (n − 1)! при n → ∞; следовательно, ряд расходится. Заменяя e2/ε на любую наперед заданную экспоненциально малую функцию (а также выбирая соответствующее покрытие), можно построить аналитическое уравнение (3.4), такое, что для dˆ z его формального решения zˆ, удовлетворяющего условию zˆ(0, ε) = 1, производная (0, ε) есть dx заданный ряд порядка Жеврея 1; мы обсудим это более подробно в следующей статье [8]. Осталось доказать следующее утверждение. Теорема 5. Для достаточно малых ε0 существует функция z, удовлетворяющая (3.6), (3.7). Доказательство. Положим z(x, ε) = 1+u(x, ε). Докажем существование функции u : D×S → C, такой, что u(0, ε) ≡ 0, u = O(ε) при ε → 0 равномерно по x ∈ D и u(x, εe2πi ) = u(x, ε) + e2/ε [T (1 + u)](x, ε) (3.10) π для x ∈ D, ε ∈ S, |arg ε + π| < . Для этого мы перепишем (3.10) в виде уравнения неподвижной 4 точки. Введем два банаховых пространства. • B(D) — пространство всех функций v(x, ε), аналитических на D × V , где µ ¶ 5π 3π V = S − , − , ε0 , 4 4

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

87

для которых существует константа C, такая, что |v(x, ε)| 6 C |ε|2 при x ∈ D, ε ∈ V . В качестве нормы k · k2 на B(D) возьмем инфимум этих констант. • E(D) — пространство всех функций w(x, ε), аналитических на D × S, где µ ¶ 5π 5π S = S − , , ε0 , 4 4 для которых существует константа K, такая, что |w(x, ε)| 6 K |ε| при x ∈ D, ε ∈ S. В качестве нормы k · k1 на E(D) возьмем инфимум этих констант. Для функций v : V → C и w : S → C, не зависящих от x, мы вводим аналогичным образом банаховы пространства B и E. Воспользуемся следующим вариантом теоремы 3 из раздела 1.2. Лемма 4. Существует непрерывный линейный оператор Σ : B → E, такой, что для каждого элемента v ∈ B его образ w = Σv удовлетворяет соотношению w(εe2πi ) = w(ε) + v(ε) для ε ∈ V.

(3.11)

Определим еще один оператор ΣD : B(D) → E(D) по формуле (ΣD ) v(x, .) = Σ[v(x, .)] для всех x ∈ D. Теперь достаточно доказать существование неподвижной точки u оператора ΣD T˜, близкой к 0 ∈ E(D) и такой, что u(0, ε) ≡ 0. Здесь отображение T˜ : E(D) ⊃ DT˜ → B(D) определено формулой (T˜w)(x, ε) = e2/ε [T (1 + w)](x, ε) для x ∈ D, ε ∈ V, 1 DT˜ обозначает подмножество в E(D), содержащее все функции, для которых |w(x, ε)| 6 . Опе2 ратор T˜ корректно определен, так как e2/ε экспоненциально мало. Аналогично предыдущему можно доказать, что ΣD T˜ есть сжимающее отображение для достаточно малого ε0 . Таким образом, оно имеет неподвижную точку u ∈ E(D). Используя определение отображений T˜ и ΣD , получаем u(0, ε) ≡ 0. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Balser W. Formal power series and linear systems of meromorphic ordinary differential equations. — New York: Springer, 2000 2. Bodine S., Schafke R. On the summability of formal solutions in Liouville-Green theory// J. Dynamical ¨ Control Systems. — 2002. — 8. — С. 371–398 3. Bolibruch A. Fuchsian differential equations and holomorphic bundles [in Russian]. — Moscow: MCCME, 2000 4. Canalis–Durand M., Ramis J. P., Schafke R., Sibuya Y. Gevrey solutions of singularly perturbed ¨ differential and difference equations// J. Reine Angew. Math. — 2000. — 518. — С. 95–129 5. Cook L. P., Eckhaus W. Resonance in a boundary value problem of singular perturbation type// Stud. Appl. Math. — 1973. — 52. — С. 129–139 R. Convergent Liouville-Green expansions for second-order linear 6. Dunster T. M., Lutz D. A., Schafke ¨ differential equations, with an application to Bessel functions// Proc. R. Soc. Lond., Ser. A, Math. Phys. Eng. Sci. — 1993. — 440. — С. 37–54 7. Fruchard A., Schafke R. Overstability and resonance// Accepted for publication in Ann. Inst. Fourier ¨ R. Classification of resonant equations// Manuscript, 2002 8. Fruchard A., Schafke ¨ 9. Hsieh P. F., Sibuya Y. Basic theory of ordinary differential equations. — New York: Springer, 1999 10. Kopell N. A geometric approach to boundary layer problems exhibiting resonance// SIAM J. Appl. Math. — 1979. — 37, № 2. — С. 436–458 11. Lakin W. D. Boundary value problems with a turning point// Stud. Appl. Math. — 1972. — 51. — С. 261– 275 12. Lin C. H. The sufficiency of Matkowsky-condition in the problem of resonance// Trans. Am. Math. Soc. — 1983. — 278, № 2. — С. 647–670 R. On the Borel summability of divergent solutions of the heat equation// 13. Lutz D. A., Miyake M., Schafke ¨ Nagoya Math. J. — 1999. — 154. — С. 1–29 14. Matkowsky B. J. On boundary layer problems exhibiting resonance// SIAM Rev. — 1975. — 17, № 1. — C. 82–100

88

Р. ШЕФКЕ

15. Olver F. W. J. Asymptotics and special functions. — New York: Academic Press, 1974 16. Sibuya Y. On the convergence of formal solutions of systems of linear ordinary differential equations containing a parameter// In: MRC Technical Summary Report, Vol. 511, Madison: University of Wisconsin, 1964 17. Sibuya Y. A theorem concerning uniform simplification at a transition point and the problem of resonance// SIAM J. Math. Anal. — 1981. — 12. — С. 653–668 18. Sibuya Y. Linear differential equations in the complex domain: Problems of analytic continuation// Transl. Math. Monogr. — 1990. — 82 19. Sibuya Y. Gevrey property of formal solutions in a parameter// Lect. Notes Pure Appl. Math. — 1990. — 124. — С. 394–401 20. Sibuya Y. The Gevrey asymptotics in the case of singular perturbations// J. Differ. Equations. — 2000. — 165. — С. 255–311 21. Stenger C. On a conjecture of W. Wasow concerning the nature of turning points// C. R. Acad. Sci. — 1997. — 325. — С. 27–32 22. Stenger C. Points tournants de syst`emes d’´equations diff´erentielles ordinaires singuli`erements perturb´ees// Thesis, Preprint IRMA, Strasbourg, France, 1999 23. Wasow W. Asymptotic expansions for ordinary differential equations. — New York: Robert E. Krieger Publishing Co., 1976 24. Wasow W. Linear turning point theory. — New York: Springer, 1985

Reinhard Sch¨afke Universit´e Louis Pasteur Strasbourg, France E-mail: [email protected]