Существование решений экстремальных задач

Ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèé ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ Â.Ì.Òèõîìèðîâ, À.Â.Ôóðñèêîâ 22 ÿíâàðÿ 2004 ã.

ß óáåæäåí, ÷òî áóäåò âîçìîæíî äîêàçûâàòü òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ îáùåãî ïðèíöèïà [...]. Ýòîò îáùèé ïðèíöèï, âîçìîæíî, ïðèáëèçèò íàñ ê îòâåòó íà ñëåäóþùèé âîïðîñ: èìååò ëè ðåøåíèå êàæäàÿ ðåãóëÿðíàÿ âàðèàöèîííàÿ ïðîáëåìà, åñëè ñàìîìó ïîíÿòèþ ðåøåíèå ïðè ñëó÷àå ïðèäàâàòü ðàñøèðåííîå òîëêîâàíèå. Ä. Ãèëüáåðò.

1

Ïðèíöèï êîìïàêòíîñòè

Òåìà, ðàññìàòðèâàåìàÿ â ýòîé ãëàâå, íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíà ñ äâàäöàòîé ïðîáëåìîé Ãèëüáåðòà  îäíîé èç äâàäöàòè òðåõ çíàìåíèòûõ ïðîáëåì, ïîñòàâëåííûõ â åãî äîêëàäå íà ïàðèæñêîì Êîíãðåññå 1900 ãîäà  ïðîáëåìîé ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé çàäà÷ âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ. Îáùèé ïðèíöèï äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ, î êîòîðîì ãîâîðèò Ãèëüáåðò, ýòî, âèäèìî, ïðèíöèï êîìïàêòíîñòè.

1.1

Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ

X  òîïîëîãè÷åñêîå R = R ∪ {∞} ∪ {−∞},

Íàïîìíèì ñíà÷àëà íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé. Ïóñòü

1

ïðîñòðàíñòâî ãäå

R

è

R

 ðàñøèðåííàÿ ïðÿìàÿ, ò. å.

 âåùåñòâåííàÿ îñü.

1 Òîïîëîãè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì ïîäìíîæåñòâ, ñîäåðæàùèõ

X, ∅,

(X, τ )

íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

X

è ñèñòåìà

τ

åãî

è çàìêíóòûõ îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ

ëþáîé ñîâîêóïíîñòè ìíîæåñòâ è ïåðåñå÷åíèÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ. Â

1

f : X → R íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííîé, åñëè îíà íå ðàâíà òîæäåñòâåííî +∞, è äëÿ âñåõ x ∈ X, f (x) > −∞. Ôóíêöèÿ f : X → R íàçûâàåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíîé ñíèçó íà X , åñëè Ôóíêöèÿ

âûïîëíåíî îäíî èç óñëîâèé:

x∈X n→∞

i) Äëÿ ëþáîãî ñÿ ê

x

ïðè

è ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

{xn }n∈N , ñõîäÿùåé-

f (x) ≤ lim inf f (xn ) := lim inf f (xi ), n→∞

ii) Äëÿ ëþáîãî

{x ∈ X | f (x) ≤ λ},

λ ∈ R

Ëåáåãîâî ìíîæåñòâî ôóíêöèè

çàìêíóò â

Ïðåäëîæåíèå 1.1.

f, X × R.

ò. å. ìíîæåñòâî

Ñâîéñòâà

Äîêàçàòåëüñòâî.

n → ∞.

f,

ò. å.

Lλ f :=

çàìêíóòî.

iii) Íàäãðàôèê ôóíêöèè

α ≥ f (x)},

n→∞ i≥n

i)

⇒

Òàê êàê ñîãëàñíî i)

i), ii), iii)

epif := {(x, α) ∈ X × R |

ýêâèâàëåíòíû.

λ ∈ R, xn ∈ Lλ f è xn → x b f (b x) ≤ lim inf f (xn ) ≤ λ, òî x b ∈ Lλ f ,

ii). Ïóñòü

ïðè ÷òî

Lλ f . ⇒ iii). Ïóñòü (xn , αn ) ∈ epif , ò. å. αn ≥ f (xn ), è xn → x b, αn → α b ïðè n → ∞. Äîïóñòèì, ÷òî α b < f (b x), ò. å. iii) íå âåðíî, è ïîëîæèì ε = (f (b x) − α b)/2. Òàê êàê αn → α b, òî ïðè ëþáîì äîñòàòî÷íî áîëüøîì n αn ≤ α b + ε. Îòñþäà è èç óñëîâèÿ f (xn ) ≤ αn â ñèëó ii) ñëåäóåò, ÷òî f (b x) ≤ α + ε. Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî íåðàâåíñòâî âûðàæåíèå äëÿ ε, ïîëó÷èì ïðîòèâîðå÷èå ñ ïðåäïîëîæåíèåì, ÷òî f (b x) > α b. iii) ⇒ i). Ïóñòü i) íå âåðíî, ò. å. ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

äîêàçûâàåò çàìêíóòîñòü ii)

xn → x b

ïðè

÷òî

f (b x) > β := lim inf f (xn ). n∈∞

{xm }  ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } òàêàÿ, ÷òî f (xm ) → β ïðè m → ∞. Åñëè β > −∞, òî ïðè ëþáîì m Ñëåäîâàòåëüíî

β < ∞.

n → ∞, Ïóñòü

(xm , f (xm )) ∈ epif, (xm , f (xm )) → (b x, β)

ïðè

m → ∞.

τ íàîòêðûòûìè, à èõ äîïîëíåíèÿ çàìêíóòûìè. Òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ êîìïàêòíûì (èëè êîìïàêòîì), åñëè èç ëþáîãî åãî ïîêðûòèÿ ìîæíî âûòîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëåíî ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè. Ìíîæåñòâà èç

çûâàþò

áðàòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå.

2

(b x, β) ∈ / epif , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò iii). Åñëè β = −∞, òî äëÿ ëþáîãî α ∈ R ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ m ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî α > f (xm ), è ñëåäîâàòåëüíî (xm , α) ∈ epif . Êîíå÷íî, (xm , α) → (b x, α) ïðè m → ∞. Íî åñëè âçÿòü α < f (b x), òî (b x, α) 6∈ epif , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò iii).

Íî

Êîíòðîëüíûé âîïðîñ 1.1

(äàëåå

ÊÂ):

Ïðèâåñòè ïðèìåð ðàçðûâ-

íîé ôóíêöèè, ïîëóíåïðåðûâíîé ñíèçó. Â îñíîâå òåîðèè ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ ëåæèò

(Ïðèíöèï êîìïàêòíîñòè Âåéåðøòðàññà  Ëåáåãà) Ïóñòü X  êîìïàêòíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è f  ñîáñòâåííàÿ ïîëóíåïðåðûâíàÿ ñíèçó ôóíêöèÿ íà X . Òîãäà f îãðàíè÷åíà ñíèçó è ñóùåñòâóåò òî÷êà x b ∈ X , â êîòîðîé f äîñòèãàåò àáñîëþòíîãî ìèíèìóìà.

Òåîðåìà 1.1.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ln f, n ∈ Z. Èç îïðåäåëåíèÿ ii) ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó ñëåäóåò, ÷òî Un := X \ Ln f , n ∈ Z îòêðûòûå ìíîæåñòâà â X . ßñíî, ÷òî . . . ⊂ Un ⊂ Un−1 ⊂ . . . è ÷òî {Un }n∈Z  îòêðûòîå ïîêðûòèå â X . Èç îïðåäåëåíèÿ êîìïàêòíîñòè ñóùåñòâóåò ÷èñëî m ∈ Z òàêîå, ÷òî Um = X , ò. å. f îãðàíè÷åíà ñíèçó è ïîòîìó ñóùåñòâóåò íèæíÿÿ ãðàíü µ := inf x∈X f (x). Åñëè íèæíÿÿ ãðàíü íå äîñòèãàåòñÿ,òî ïîëîæèâ Vn := X \ Lµ+1/n f , n ∈ N, ïîëó÷èì, ÷òî {Vn }n∈N åñòü îòêðûòîå ïîêðûòèå X . Ñëåäîâàòåëüíî, (ñíîâà èç-çà îïðåäåëåíèÿ êîìïàêòíîñòè) ñóùåñòâóåò ÷èñëî s ∈ N òàêîå, ÷òî X = Vs , ò. å. f > µ + 1/s. Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ µ. Ðàññìîòðèì

Î òîì, íàñêîëüêî ñóùåñòâåííî òðåáîâàíèå êîìïàêòíîñòè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ìèíèìèçèðóåìîé ôóíêöèè ñâèäåòåëüñòâóåò ñëåäóþùèé ïðèìåð 2 çàäà÷è ìèíèìèçàöèè íà R íåîòðèöàòåëüíîãî ìíîãî÷ëåíà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà îò äâóõ ïåðåìåííûõ, â êîòîðîé íåò ðåøåíèÿ: x21 + (x1 x2 − 1)2 →

min.

(Ðàçóìååòñÿ, ñóùåñòâóþò òðèâèàëüíûå ïðèìåðû íåñóùåñòâîâàíèÿ

ïðè îòñóòñòâèè êîìïàêòíîñòè äàæå äëÿ ôóíêöèé îäíîãî ïåðåìåííîãî. 1 → min, x ∈ R, ãäå ðåøåíèÿ íåò.) Òàêîâà, ñêàæåì, çàäà÷à 1+x2 Îòìåòèì, ÷òî â çàäà÷àõ âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ ìèíèìèçèðóþòñÿ ôóíêöèîíàëû, êîòîðûå îáû÷íî îïðåäåëåíû íà íåîãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâàõ áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ. Òàê êàê òàêèå ìíîæåñòâà íå ÿâëÿþòñÿ êîìïàêòíûìè, íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå òåîðåìû 1.1 â òàêîé ñèòóàöèè íåâîçìîæíî. Óñòàíîâèì ïðèíöèï êîìïàêòíîñòè, ïðèìåíèìûé ê çàäà÷àì âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.

3

1.2

Ïðèíöèï êîìïàêòíîñòè

X íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, ò.å. ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, ñíàáæåííîå íîðìîé k · k. Â íåì ïîìèìî ñõîäèìîñòè ïî íîðìå k · k (ò.å. ñèëüíîé Ïóñòü

ñõîäèìîñòè) ñóùåñòâóåò è äðóãîé òèï ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà. Ïîñëåäîâà-

{xn }n∈N íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà X íàçûâàåòñÿ ñëàáî ñõîäÿùåéñÿ, åñëè äëÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî îãðàíè÷åííîãî ôóíê∗ ∗ ∗ öèîíàëà x íà X (ò.å. äëÿ x ∈ X )

òåëüíîñòü ýëåìåíòîâ

hx∗ , xn i → hx∗ , xi ãäå

hx∗ , xi

 çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà

Ïîäìíîæåñòâî

çàìêíóòûì,

A

ïðîñòðàíñòâà

åñëè ïðåäåë

x b

n→∞

x∗ íà âåêòîðå x. X íàçûâàåòñÿ ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî

ëþáîé ñëàáî ñõîäÿùèéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî-

xn ∈ A ïðèíàäëåæèò A. Êâ 1.2. Ïóñòü X  íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî è A (ñèëüíî) çàìêíóòîå ïîäííîæåñòâî X . Âñåãäà ëè îíî ÿâëÿåòñÿ ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî ñòè åãî ýëåìåíòîâ

çàìêíóòûì? Íàïîìíèì, ÷òî íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ

áàíàõîâûì,

åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, ò.å. ëþáàÿ åãî ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ñõîäèòñÿ. Áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî

ôëåêñèâíûì,

X

íàçûâàåòñÿ

ðå-

åñëè èç âñÿêîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åãî ýëåë-

ìåíòîâ ìîæíî âûáðàòü ñëàáî ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïðèìåðîì ðåôëåêñèâíîãî ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî Ω  îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå Rn ) ïðè 1 < p < ∞ (ñì. [I]).

2

Lp (Ω)

(ãäå

Êâ 1.3.

Ïðèâåñòè ïðèìåð íîðìèðîâàííîãî, íî íå áàíàõîâà ïðîñòðàí-

ñòâà.

Çàäà÷à 1.1.

Äîêàçàòü, ÷òî âñå êîíå÷íîìåðíûå íîðìèðîâàííûå ïðî-

ñòðàíñòâà ðåôëåêñèâíû. Çàäà÷à 1. 2∗ . Ïðèâåñòè ïðèìåð íåðåôëåêñèâíîãî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà.  ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèÿìè i), ii), iii) ôóíêöèé, ïîëóíåïðåðûâíûõ ñíèçó, ìîæíî äàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèîíàë f : X → R íàçûâàåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó íà X îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè, åñëè âûïîëíåíî îäíî èç óñëîâèé:

2 Îòìåòèì, ÷òî î÷åíü ÷àñòî ðåôëåêñèâíûì íàçûâàþò áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ñîâïàäàþùåå ñî ñâîèì âòîðûì ñîïðÿæåííûì íèè

X

â

X ∗∗ .

X ∗∗ := (X ∗ )∗ ïðè

X,

êàíîíè÷åñêîì âëîæå-

Ýêâèâàëåíòíîñòü ýòèõ äâóõ îïðåäåëåíèé ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå òåîðå-

ìû Ýáåðëåéíà-Øìóëüÿíà (ñì. [I]).

4

x∈X n→∞

i') Äëÿ ëþáîãî ùåéñÿ ê

x

ïðè

è ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

{xn },

ñëàáî ñõîäÿ-

f (x) ≤ lim inf f (xn ) n→∞

i') Äëÿ ëþáîãî

λ∈R

ëåáåãîâî ìíîæåñòâî

Lλ f

ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî

çàìêíóòî. ii') Íàäãðàôèê

epif

Ïðåäëîæåíèå 1.2.

ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóò â

Ñâîéñòâà

i'), ii'), iii')

X × R.

ýêâèâàëåíòíû.

Çàäà÷à 1.3 Äîêàçàòü ïðåäëîæåíèå 1.2 (àíàëîãè÷íî ïðåäëîæåíèþ1.1).

X  ðåôëåêñèâíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, A ⊂ X , f íà X . Ðàññìîòðèì ýêñòðåìàëüíóþ çàäà÷ó:

Ïóñòü öèîíàë

f (x) → min;

x ∈ A.

 ôóíê-

(1.1)

Ðåøåíèå çàäà÷è, ò. å. òî÷êó, â êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ ãëîáàëüíûé ìèíè-

xˆ. êîýðöèòèâíà, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî λ ∈ R ëåáåãîâî ìíîæåñòâî Lλ (f ) = {x ∈ A | f (x) ≤ λ} íåïóñòî è îãðàíè÷åíî â X . ( ñëó÷àå, êîãäà â (1.1) A = X êîýðöèòèâíûì ÷àñòî íàçûâàþò ôóíêöèîíàë f , à íå çàäà÷ó (1.1)). ìóì ôóíêöèîíàëà

f,

îáîçíà÷èì

Ãîâîðÿò, ÷òî çàäà÷à (1.1)

(Î ñóùåñòâîâàíèè òî÷êè ìèíèìóìà) Ïóñòü ñîáñòâåííûé ôóíêöèîíàë f îïðåäåëåí íà ðåôëåêñèâíîì áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå X è ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó íà X îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè. Òîãäà, åñëè ìíîæåñòâî A ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî, à çàäà÷à (1.1) êîýðöèòèâíà, òî ôóíêöèîíàë f îãðàíè÷åí ñíèçó è äîñòèãàåò ñâîåãî àáñîëþòíîãî ìèíèìóìà íà A. Òåîðåìà 1.2.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü

µ = inf f (x) x∈A

è λ  ÷èñëî èç îïðåäåëåíèÿ êîýðöèòèâíîñòè çàäà÷è (1.1). Òàê êàê Lλ (f ) 6= ∅, òî λ ≥ µ. Åñëè λ = µ, òî ëþáàÿ òî÷êà x ∈ Lλ f 6= ∅ ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé àáñîëþòíîãî ìèíèìóìà f (x) è òåîðåìà äîêàçàíà. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé λ > µ. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ íèæíåé ãðàíè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

xn ∈ A,

÷òî

f (xn ) → µ.

Âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

èñêëþ÷åíèåì, âîçìîæíî, êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðèíàäëåæàò

5

{xn }n∈N

çà

Lλ (f ) è ïîýòîìó

{kxn k}

ìíîæåñòâî

îãðàíè÷åíî. Âñëåäñòâèå ðåôëåêñèâíîñòè

X,

ïåðåõî-

xn → xˆ A xˆ ∈ A,

äÿ, åñëè íóæíî, ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

X.

ñëàáî â

Âñëåäñòâèå ñåêâåíöèàëüíîé ñëàáîé çàìêíóòîñòè

à áëàãîäàðÿ ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè

f (ˆ x) ≤ µ = limn→∞ f (x). Òàê êàê ïî óñëîâèþ f (ˆ x) > −∞, òî µ êîíå÷íî f (ˆ x) = µ, ò. å. xˆ  òî÷êà àáñîëþòíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà f .

è

Ó òåîðåìû 1.2 èìåþòñÿ äâà äîñòàòî÷íî òðóäíî ïðîâåðÿåìûõ óñëîâèÿ: ñåêâåíöèàëüíî ñëàáîé çàìêíóòîñòè ìíîæåñòâà ñíèçó ôóíêöèîíàëà

f

A

è ïîëóíåïðåðûâíîñòè

îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè. Â ñëåäóþùåì

ïóíêòå ìû ïðèâåäåì ëåãêî ïðîâåðÿåìûå óñëîâèÿ, ãàðàíòèðóþùèå èõ âûïîëíåíèå.

1.3

Òåîðåìà Ìàçóðà è åå ñëåäñòâèÿ

Íà÷íåì ñ íàïîìèíàíèÿ îïðåäåëåíèé. Åñëè ñòðàíñòâà

X,

òî îòðåçîê

[a, b],

a, b

 òî÷êè ëèíåéíîãî ïðî-

ñîåäèíÿþùèé ýòè òî÷êè, îïðåäåëÿåòñÿ

ôîðìóëîé

[a, b] := {x ∈ X| x = αa + (1 − α)b,

α ∈ [0, 1]}.

A ïðîñòðàíñòâà X íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè äëÿ ëþáûõ òî÷åê a, b ∈ A îòðåçîê [a, b] ïðèíàäëåæèò A. Çàäà÷à 1.4. Äîêàçàòü, ÷òî çàìûêàíèå A âûïóêëîãî ìíîæåñòâà A âûïóêëî. (Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî A ⊂ X è X - íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî.) n Åñëè x1 , . . . , xn ∈ X , òî ïðè ëþáûõ αi ≥ 0 òàêèõ, ÷òî Σi=1 αi = 1 Ïîäìíîæåñòâî

âåêòîð

x=

n X

αi xi

(1.2)

i=1 íàçûâàåòñÿ Åñëè

A

âûïóêëîé êîìáèíàöèåé

êîìáèíàöèÿ (1.2) ïðèíàäëåæèò

A.

x1 , . . . , n . x1 , . . . , xn ∈ A, òî

âåêòðîâ

 âûïóêëîå ìíîæåñòâî è

ëþáàÿ âûïóêëàÿ

Äåéñòâèòåëüíî, åñëè â (1.2)

n = 2,

òî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ âûïóêëîãî ìíîæåñòâà. Ïóñòü óòâåðæäåíèå äîêàçàíî äëÿ âñåõ âûïóêëûõ êîìáèíàöèé íå áîëåå, ÷åì n−1 0 ýëåìåíòîâ è ïóñòü â (1.2) |α | = α1 + · · · + αn−1 > 0 (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå P αi x = xn ∈ A). Òîãäà ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè x0 = n−1 i=1 |α0 | xi ∈ A è 0 0 ïî îïðåäåëåíèþ âûïóêëîãî ìíîæåñòâà x = |α |x + αn xn ∈ A.

B  ïîäìíîæåñòâî â X . Îâûïóêëåíèåì B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâûïóêëûõ êîìáèíàöèé ýëåìåíòîâ B . Îâûïóêëåíèå îáîçíà÷àåòñÿ

Ïóñòü âî âñåõ

6

ConvB . ConvB

 âûïóêëîå ìíîæåñòâî, ïîòîìó, ÷òî, åñëè

y1 =

n X

αi xi ,

y2 =

i=1

òî ïðè ëþáîì

βj zj

j=1

xi ∈ B , i = 1, . . . n, zj ∈ B , j =

 âûïóêëûå êîìáèíàöèè ýëåìåíòîâ

1, . . . , m,

m X

γ ∈ (0, 1)

γy1 + (1 − γ)y2 =

ýëåìåíò

n X

γαi xi +

i=1

m X

(1 − γ)βj zj

j=1

ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ èç

B è ïîýòîìó ïðèíàäëåæèò

ConvB . Çàäà÷à 1.5. ïëîñêîñòè:

Âû÷èñëèòü îâûïóêëåíèå îáúåäèíåíèÿ äâóõ ãèïåðáîë íà

H1 {(x1 , x2 )|x1 x2 = 1, xi > 0, i = 1, 2}

è

H2 = {x1 x2 = −1, x1 <

0, x2 > 0}. (Ìàçóð) Ïóñòü x b ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn | n ∈ P N} ïðè n → ∞. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn = nj=1 αj,n xj âûïóêëûõ êîìáèíàöèé ýëåìåíòîâ xk , ÷òî yn → x b ñèëüíî ïðè n → ∞. Òåîðåìà 1.3.

Äîêàçàòåëüñòâî.

x b íå ïðèíàäëåæèò çàìûêàíèþ Conv{xn } îâûïóêëåíèÿ ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà {xn }. Òàê êàê çàìûêàíèå âûïóêëîãî ìíîæåñòâà âûïóêëî, òî Conv{xn }  çàìêíóòîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî, è x b∈ / Conv{xn }. Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû ∗ îòäåëèìîñòè ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë x òàêîé, Äîïóñòèì ïðîòèâíîå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

÷òî

sup z∈Conv{xn } ïðè íåêîòîðîì

ε > 0.

hx∗ , zi < hx∗ , x bi − ε

Íî ýòî íåðàâåíñòâî ïðîòèâîðå÷èò ñëàáîé ñõîäèìî-

ñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

xn

ê

x b.

Âàæíóþ ðîëü â äàëüíåéøåì èãðàþò äâà ñëåäñòâèÿ òåîðåìû Ìàçóðà.

Åñëè ìíîæåñòâî âûïóêëî è çàìêíóòî, òî îíî ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî. Ñëåäñòâèå 1.1.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü

xn ∈ A

è

xn → x b

n → ∞. Ïî yk âûïóêëûõ êîìk → ∞. Òàê êàê A  ÷òî x b ∈ A. ñëàáî ïðè

òåîðåìå Ìàçóðà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áèíàöèé ýëåìåíòîâ âûïóêëî, òî

y k ∈ A,

xn ,

÷òî

yk → x b

ñèëüíî ïðè

à èç çàìêíóòîñòè

7

A

ñëåäóåò,

Åñëè ôóíêöèîíàë f : X → R ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì è ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó, òî îí ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè. Ñëåäñòâèå 1.2.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Èç óñëîâèé òåîðåìû è ñâîéñòâà iii) ïîëóíåïðå-

epif âûïóêëî è çàìêíóòî â X × R. Ïîýòîepif ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî, à â ñèëó

ðûâíîñòè ñíèçó ìíîæåñòâî ìó ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 1.1 ñâîéñòâà iii') ôóíêöèÿ

f

ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõî-

äèìîñòè.

2

Ïîñòàíîâêà çàäà÷è î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ. Êîíòðïðèìåðû

Íà÷íåì ñ ôîðìóëèðîâêè òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ âàðèàöèîííîé çàäà÷è.

2.1

Îäíîìåðíàÿ âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à

Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ çàäà÷ó âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ:

Z

t1

J (x(·)) =

L(t, x(t), x(t)) ˙ dt → min,

x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ,

(2.1)

t0

−∞ < t0 < t1 < ∞. Ïðèìåíèì íàø îáùèé ïîäõîä ê ýòîé çàäà÷å. Ïåðâûå îáùèå òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé áûëè äîêàçàíû Òîíåëëè. 2 Ôóíêöèÿ L(t, x, p), (t, x, p) ∈ [t0 , t1 ] × R íàçûâàåòñÿ åñëè ïðè ëþáûõ

(t, x) ∈ [t0 , t1 ] × R

îíà âûïóêëà ïî

êâàçèðåãóëÿðíîé,

p. [t0 , t1 ] Lq ([t0 , t1 ]),

Ñîâîêóïíîñòü àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå

ôóíêöèé,

ïðîèçâîäíàÿ êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó îáîçíà÷àWq1 ([t0 , t1 ]) (òàêèå ïðîñòðàíñòâà íîñÿò èìÿ Ñ. Ë. Ñîáîëåâà). Èìååò

åòñÿ

ìåñòî ñëåäóþùàÿ

(Òîíåëëè î ñóùåñòâîâàíèè) Ïóñòü èíòåãðàíò (t, x, x) ˙ 7→ L : [t0 , t1 ]×R → R â çàäà÷å (2.1) íåïðåðûâåí ïî âñåì ïåðåìåííûì, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåì ïî x˙ , êâàçèðåãóëÿðåí è óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþ-

Òåîðåìà 2.1.

2

8

ùåìó óñëîâèþ ðîñòà: L(t, x, x) ˙ ≥ α|x| ˙ q + β , α > 0, β ∈ R, q > 13 . Òîãäà â 1 ïðîñòðàíñòâå Wq ([t0 , t1 ]) ñóùåñòâóåò ðåøåíèå (àáñîëþòíûé ìèíèìóì) çàäà÷è (2.1). Ýòà òåîðåìà áóäåò äîêàçàíà (ïðè÷åì â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå) â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. Åå äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò â ñâåäåíèè ê òåîðåìå 1.2. Ïðè ýòîì íàèáîëåå òðóäíûì îêàçûâàåòñÿ ïðîâåðêà òîãî, ÷òî èç êâàçèðåãóëÿðíîñòè èíòåãðàíòà ñëåäóåò ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó ôóíêöèîíàëà îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè. Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå ðîñòà â òåîðåìå Òîííåëè äèêòóåò âûáîð ôóíêöèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, íà êîòîðîì åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü çàäà1 ÷ó (2.1). Ýòèì ïðîñòðàíñòâîì ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî Ñîáîëåâà Wq (t0 , t1 ). Âûáîð ôóíêöèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, íàèáîëåå åñòåñòâåííîãî äëÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ëåæèò â îñíîâå ïîäõîäà Ñîáîëåâà. 1 Íà ïðîñòðàíñòâå Ñîáîëåâà Wq (t0 , t1 ) ââåäåì íîðìó

Z

t1

kx(·)kWq1 (t0 ,t1 ) =

1/q . (|x(t)| + |x(t)| ˙ ) dt) q

q

t0 Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî âñå ñâîéñòâà íîðìû çäåñü âûïîëíåíû çà èñêëþ÷å-

kxk = 0 ⇒ x = 0. Äåéñòâèòåëüíî, kxkWq1 (t0 ,t1 ) = 0 è äëÿ x(t) = 0 ëèøü ïðè ïî÷òè âñåõ t ∈ (t0 , t1 ). Îäíàêî, åñëè êàê â ïðîñòðàñòâå 1 Ëåáåãà Lq (t0 , t1 ) ýëåìåíòîì ïðîñòðàíñòâà Wq (t0 , t1 ) ñ÷èòàòü êëàññ ýêâè1 âàëåíòíûõ (ò. å. ñîâïàäàþùèõ ïî÷òè âñþäó) ôóíêöèé, òî Wq (t0 , t1 ) áóäåò

íèåì îäíîãî:

áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Òàê êàê ëþáîé êëàññ ñîäåðæèò åäèíñòâåííóþ àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ, òî ìû ìîæåì îïåðèðîâàòü ñ ýëåìåí1 òàìè Wq (t0 , t1 ) êàê ñ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè.

2.2

Ïðèìåðû íåñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ

Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðèìåðû çàäà÷è (2.1) â êîòîðûõ íåò ðåøåíèÿ, ò. å. íèæíÿÿ ãðàíü ôóíêöèîíàëà

J

íå äîñòèãàåòñÿ. Ýòè ïðèìåðû, â ÷àñòíî-

ñòè, óñòàíàâëèâàþò ñóùåñòâåííîñòü âñåõ óñëîâèé òåîðåìû 1.2 äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.1).

3  ñëåäóþùåì ðàçäåëå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ýòî óñëîâèå ðîñòà ïî ñóùåñòâó ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ êîýðöèòèâíîñòè.  ëèòåðàòóðå ýòî óñëîâèå ðîñòà îáû÷íî è íàçûâàþò óñëîâèåì êîýðöèòèâíîñòè (ñì., íàïðèìåð, [E]).

9

(Áîëüöà: íåâûïóêëîñòü èíòåãðàíòà ïî x˙ ) Z 1 ((x˙ 2 (t) − 1)2 + x2 (t)) dt → min, x(0) = x(1) = 0. J1 (x(·)) =

Ïðèìåð 2.1.

0 Èíòåãðàíò ïåíü ïî

(x˙ 2 − 1)2 + x2

ôóíêöèîíàëà

J1

ðàñòåò êàê ÷åòâåðòàÿ ñòå-

x˙

è ïîýòîìó çàäà÷ó åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü â ïðîñòðàíñòâå 1 Ñîáîëåâà W4 (0, 1). 1 ßñíî, ÷òî J1 (x(·)) > 0 äëÿ ëþáîãî x(·) ∈ W4 (0, 1), x(t) 6≡ 0, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè x ¯(t) ≡ 0, òî J(¯ x(·)) = 1. Åñëè æå âçÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

Z

t

Un (τ ) dτ,

xn (t) =

ãäå

Un (t) = sgn sin 2πnt, n ∈ N,

0

xn (·) → 0 (n → ∞) ðàâíîìåðíî íà [0, 1], â òî âðåìÿ êàê |x ˙ n (t)| = 1 ï.â. è ñëåäîâàòåëüíî, J(xn (·)) → 0 (n → ∞). Çíà÷èò íèæíÿÿ ãðàíü ó çàäà÷è  íóëü, à ðåøåíèÿ â W41 (0, 1) íåò, è ïðè÷èíà â òîì, ÷òî ôóíêöèÿ x ˙ 7→ (x˙ 2 − 1)2  íåâûïóêëàÿ. (îíà èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå), òî î÷åâèäíî, ÷òî

Ñîïîñòàâèì òåïåðü ïðèìåð Áîëüöà ñ òåîðåìîé 1.2. Âûáîð ïðîñòðàíW41 (0, 1) â êà÷åñòâå îáëàñòè îïðåäåëèíèÿ çàäà÷è Áîëüöà ñðàçó îáåñïå÷èâàåò åå êîýðöèâíîñòü è êîíå÷íîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèîíàëà. Ìíîæåñòâà

ñòâî

A = {x(t) ∈ W41 (0, 1) | x(0) = x(1) = 0} çàìêíóòî. Ýòî âûòåêàåò èç ïðèâåäåííîé â ñëåäóþùåì ðàçäåëå òåîðåìû 3.3 (î ñëåäå). Ïîýòîìó, áóäó÷è âûïóêëûì, ìíîæåñòâî

A

ÿâëÿåòñÿ

ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòûì.

Çàäà÷à 2.1.

Ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà

A

1 â W4 (0, 1).

Çàäà÷à 2.2.

Ïðîâåðèòü êîýðöèòèâíîñòü çàäà÷è èç ïðèìåðà Áîëüöà.

Èç âñåõ óñëîâèé òåîðåìû 1.2 îñòàëîñü íåïðîâåðåííûì ëèøü óñëîâèå î ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëà

J1 . Òàê êàê çàäà÷à èç ïðèìåðà 2.1 íå èìååò ðåøåíèÿ, òî J1 ýòîìó óñëîâèþ íå óäîëåòâîðÿåò.

Âûâîä:

Óñëîâèå î ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé

ñõîäèìîñòè ñóùåñòâåííî äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû 1.2 î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ.

10

Èìåííî åãî íàðóøåíèå è ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé ïðè÷èíîé íåñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å. (Çäåñü âïðî÷åì óìåñòíî îòìåòèòü, ÷òî â ñèëó óòâåðæäåíèé, ïðèâåäåííûõ íèæå, êâàçèðåãóëÿðíîñòü èíòåãðàíòà èç (2.1), ò. å. åãî âûïóêëîñòü ïî

x˙ ,

ýêâèâàëåíòíà åãî ïîëóíå-

ïðåðûâíîñòè ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè â ñîîòâåòñòâóþùåì ïðîñòðàíñòâå Ñîáîëåâà.)

(Âåéåðøòðàññà: âûðîæäåíèå èíòåãðàíòà) Z 1 t2 x˙ 2 (t) dt → min, x(0) = 0, x(1) = 1. J2 (x(·)) =

Ïðèìåð 2.2.

0 Ýòî  çíàìåíèòûé ïðèìåð Âåéåðøòðàññà, êîòîðûì îí àðãóìåíòèðîâàë íåïîëíîòó àðãóìåíòîâ Ðèìàíà, êàñàþùèõñÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ

4

âàðèàöèîííîé çàäà÷è. . Çäåñü åñòåñòâåííûì ôóíêöèîíàëüíûì ïðîñòðàíñòâîì ÿâëÿåòñÿ íå Ñîáîëåâñêèé êëàññ, à ïðîñòðàíñòâî

W (0, 1) èçìåðèìûõ ôóíêöèé ñ êîíå÷íîé

íîðìîé

Z kxkW (0,1) =

1

1/2 (t x˙ (t) + tx (t)) dt . 2 2

2

0 Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïîä çíàêîì èíòåãðàëà îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëîì J2 , à ÷ëåí tx2 (t) äîáàâëåí, ÷òîáû íîðìà íà ôóíêöèÿõ, òîæäåñòâåííî ðàâ2 íûõ êîíñòàíòå, íå áûëà íóëåâîé. Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíò t ïåðåä x äå2 2 ëàåò ýòîò ÷ëåí ïîä÷èíåííûì ÷ëåíó t x ˙ (ñì. íèæå íåðàâåíñòâî (2.2)).

J2 (x(·)) > 0 äëÿ ôóíêöèè x(·) ∈ W (0, 1), x(0) = 0, x(1) = 1. À åñëè âçÿòü ( N t, 0 ≤ t ≤ 1/N, xN (t) = 1, t ≥ 1/N, N ∈ N,

Ìû âèäèì, ÷òî ðÿþùåé óñëîâèÿì

òî, î÷åâèäíî,

óäîâëåòâî-

J2 (xN (·)) → 0 (N → ∞).

Ñíîâà: çíà÷åíèå çàäà÷è  íóëü, à ðåøåíèÿ â

W (0, 1)

íåò.

4 Èç êíèãè â êíèãó ïåðåõîäÿò ðàññêàçû î òîì, êàê Âåéåðøòðàññ âîçðàçèë Ðèìàíó, ÿêîáû ñ÷èòàâøåìó, ÷òî ìèíèìóì èíòåãðàëà Äèðèõëå ñóùåñòâóåò, òàê êàê èíòåãðàíò ïîëîæèòåëåí.  êíèãå [K] àâòîð ïèøåò, ÷òî Âåéåðøòðàññ íàøåë ñëàáîå ìåñòî â ïðèíöèïå Äèðèõëå è â 1869 ãîäó îïóáëèêîâàë êðèòèêó ýòîãî ïðèíöèïà, è äàëåå: Ðèìàí óìåð, òàê è íå íàéäÿ îòâåòà íà âîçðàæåíèå Âåéåðøòðàññà. Íåêîòîðàÿ äåëèêàòíîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî Ðèìàí óìåð â 1866 ãîäó.

11

Ñîïîñòàâèì ïðèìåð Âåéåðøòðàññà ñ òåîðåìîé 1.2. Êîíå÷íîñòü ôóíê-

J2 (x) è åãî íåïðåðûâíîñòü â W (0, 1), à çíà÷èò, â ñèëó âûïóêëîñòè

öèîíàëà

è ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè, î÷åâèäíû.

Çàäà÷à 2.3.

Äîêàçàòü íåïðåðûâíîñòü â

W (0, 1)

è âûïóêëîñòü ôóíê-

J2 (x).

öèîíàëà

Äëÿ ïðîâåðêè êîýðöèòèâíîñòè

1

Z

ïîêàæåì, ÷òî

1 tx (t) dt ≤ 2 2

0 äëÿ ëþáîé ôóíêöèè

J2

1

Z

t2 x˙ 2 (t) dt

(2.2)

0

x(t) ∈ W0 ≡ {y(t) ∈ W (0, 1) | y(1) = 0}.

Äåéñòâè-

òåëüíî,

2  Z x(τ ˙ ) dτ ≤

Z |x(t)| = −

1

1−t t

Z

2

t

=

t

1

dτ τ2

Z

1

τ 2 x˙ 2 (τ ) dτ =

t

1

τ 2 x˙ 2 (τ ) dτ

t

è ïîýòîìó

Z

1

Z

2

1

Z (1 − t)

tx (t) dt ≤ 0

0 Ìíîæåñòâî

A

0

1

1 τ x˙ (τ ) dτ dt ≤ 2 2 2

Z

1

τ 2 x˙ 2 (τ ) dτ.

0

èç (1.1) â ñëó÷àå ïðèìåðà Âåéåðøòðàññà èìååò âèä

A = {x ∈ W (0, 1) | x(0) = 0, x(1) = 1} A ⊂ W0 + 1, ïðè÷åì ñïðàâà ñòîèò ñäâèã ìíîæåñòâà W0 íà ôóíêJ2 ñëåäóåò èç îãðàíè÷åííîñòè íà W (0, 1) ìíîæåñòâà è çíà÷èò

öèþ, òîæäåñòâåííî ðàâíóþ åäèíèöå. Ïîýòîìó êîýðöèâíîñòü

{x ∈ W0 + 1 | J2 (x) ≤ R} ∀R > 0, êîòîðàÿ âûòåêàåò èç (2.2). Ñ ïîìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé

xN (t),

èñïîëüçîâàííîé äëÿ

äîêàçàòåëüñòâà íåñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ â ïðèìåðå Âåéåðøòðàññà, óñòàíàâëèâàåòñÿ íåçàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà

A, à çíà÷èò, A íå ÿâëÿåòñÿ ñåêâåí-

öèàëüíî ñëàáî çàìêíóòûì.

Âûâîä:

Óñëîâèå ñåêâåíöèàëüíî ñëàáîé çàìêíóòîñòè ìíîæåñòâà

ùåñòâåííî äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû 1.2.

12

A ñó-

Ïðè÷èíà íåñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ â ïðèìåðå Âåéåðøòðàññà  â íàëè÷èè óñëîâèÿ

x(0) = 0

ïðè ñèëüíîé âûðîæäåííîñòè èíòåãðàíòà â íóëå.

Äåéñòâèòåëüíî, åñëè â çàäà÷å óáðàòü ýòî ãðàíè÷íîå óñëîâèå, òî ìíîæåñòâî

A

çàìåíèòñÿ íà

Aˆ = {x ∈ W (0, 1) | x(1) = 1}, à ýòî ìíîæåñòâî, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, çàìêíóòî â Ïðèìåð 2.3.

öèîíàëà)

W (0, 1).

(Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð: íåêîýðöèòèâíîñòü ôóíê-

Z

T

J3 (x(·)) =

(x˙ 2 − x2 ) dt → min, T > π, x(0) = x(T ) = 0.

0

W21 (0, T ). Çäåñü, åñëè ðàññìîòðåòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn (t) = n sin(πt/T ), n ∈ N, òî ëåãêî óáåäèòñÿ, ÷òî J3 (xn (·)) → −∞ (n → ∞), è çíà÷èò, àáñîëþòíîãî Ýòó çàäà÷ó åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü íà ïðîñòðàíñòâå Ñîáîëåâà

ìèíèìóìà â çàäà÷å íåò. Ïðè÷èíîé íåñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çäåñü ÿâëÿåòñÿ íåêîýðöèâíîñòü çàäà÷è, êîòîðàÿ ëåãêî óñòàíàâëèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ óêàçàííîé âûøå ïî-

xn (t) = n sin(πt/T ). Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî λ ∈ ìíîæåñòâî Lλ J3 ñîäåðæèò xn ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n è → ∞ ïðè n → ∞. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî Lλ J3 íåîãðàíè÷åíî λ ∈ R. Âñå îñòàëüíûå óñëîâèÿ òåîðåìû 1.2 âûïîëíåíû äëÿ

ñëåäîâàòåëüíîñòè

R ëåáåãîâî kxn kW21 (0,T ) ïðè ëþáîì

ýòîé çàäà÷è.  ÷àñòíîñòè, ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè äëÿ

J3

óñòàíàâëèâàåòñÿ êàê â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû

Òîíåëëè (ñì. òåîðåìó 3.7 â ñëåäóþùåì ðàçäåëå).

3

Ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèé âàðèàöèîííîé çàäà÷è

 ýòîì ðàçäåëå ïîñëå íàïîìèíàíèÿ íåêîòîðûõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ôàêòîâ òåîðèè ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà Òîíåëëè î ñóùåñòâîâàíè ðåøåíèÿ çàäà÷è âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.

13

3.1

Ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà

Ïóñòü

Ω

Rd ,

 îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå

ãðàíèöà êîòîðîé

∂Ω

ÿâëÿåòñÿ

áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûì ìíîãîîáðàçèåì. Íàïîìíèì, ÷òî ñèìâî∞ ëîì C (Ω) îáîçíà÷àåòñÿ ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ∞ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà çàìûêàíèè Ω îáëàñòè Ω, à C0 (Ω) ýòî ïîä∞ ïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà C (Ω), ñîñòîÿùåå èç ôóíêöèé ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì. Ïðè ýòîì íîñèòåëü suppf

= {x ∈ Ω : f (x) 6= 0},

f (suppf )

îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:

ïðè÷åì ÷åðòà íàâåðõó îïÿòü îáîçíà÷àåò îïå-

ðàöèþ çàìûêàíèÿ ìíîæåñòâà.

x → u(x), ïðèíàäëåæàùóþ ïðîñòðàíñòâó Lp (Ω). Åå îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé ∂u/∂xk íàçûâàåòñÿ òàêàÿ îáîáùåííàÿ ôóíê∞ öèÿ (ò. å. ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå C0 (Ω), ÷òî   Z ∂ϕ(x) ∂u u(x) dx = − , ϕ , ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), ∂xk ∂xk Ω Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

∂u íà ïðîáíîé ôóíêïðè÷åì ñïðàâà ñòîèò çíà÷åíèå îáîáùåííîé ôóíêöèè ∂xk 1 öèè ϕ). Ïðîñòðàíñòâîì Ñîáîëåâà Wp (Ω), 1 ≤ p < ∞, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òàêèõ ôóíêöèé u(·) ∈ Lp (Ω) ó êîòîðûõ âñå îáîáùåííûå ïðîèçâîäíûå ∂u , k = 1, . . . , d, ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó Lp (Ω). ∂xk 1 Íîðìà â ïðîñòðàíñòâå Wp (Ω) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:

ku(·)kpWp1 (Ω)

Z  = Ω

p  Z d X ∂u p p p |u(x)| + ∂xk dx = (|u(x)| + |∇u(x)| )dx. Ω

k=1

Êàê è â ñëó÷àå îäíîãî ïåðåìåííîãî, ÷òîáû âûïèñàííîå âûðàæåíèå äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿëî íîðìó, ýëåìåíòîì ïðîñòðàíñòâà íóæíî ñ÷èòàòü

u(x), à êëàññ ýêâèâàëåíòíûõ ôóíêöèé, ñîâu(x) ïðè ïî÷òè âñåõ x ∈ Ω). Èìåííî òàê ìû è áóäåì ñ÷èòàòü,

íå ôèêñèðîâàííóþ ôóíêöèþ ïàäàþùèõ ñ

õîòÿ è áóäåì äîïóñêàòü âîëüíîñòü ðå÷è, íàçûâàÿ ýëåìåíòîì ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà êîíêðåòíûå ôóíêöèè. Òåîðåìà 3.1.

(î ïîëíîòå) Ïðîñòðàíñòâî Wp1 (Ω) ïîëíî.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {un } ôóíäàìåíòàëüíà 1 â Wp (Ω). Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {un }, {∂un /∂xj }, j = 1, . . . , d ôóíäàìåíòàëüíû â Lp (Ω), à â ñèëó ïîëíîòû Lp (Ω) ñóùåñòâóþò òàêèå ôóíêöèè u, u(j) , j = 1, . . . , d , ÷òî ïðè n → ∞

un → u,

∂un → u(j) , ∂xj

j = 1, . . . , d 14

â

Lp (Ω)

ϕ ∈ C0∞ (Ω) Z Z Z Z ∂ϕ ∂ϕ ∂un n→∞ n→∞ u dx ←− un dx = − ϕ dx −→ − u(j) ϕ dx. ∂x ∂x ∂x j j j Ω Ω Ω Ω

Ïîýòîìó ïðè ëþáîì

∂u (â ñìûñëå îáîáùåííûõ ôóíêöèé), ÷òî äîêàçûâàåò ïîë∂xj 1 íîòó ïðîñòðàíñòâà Wp (Ω).

Çíà÷èò

u(j) =

Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà

5

ñëåäóþùèå ôóíäàìåíòàëüíûå óòâåð-

æäåíèÿ:

(î ïëîòíîñòè äëÿ ïðîñòðàíñòâà Wp1 (Ω)) Ïðîñòðàíñòâî C ∞ (Ω) ïëîòíî â Wp1 (Ω) ïðè 1 ≤ p < ∞.

Òåîðåìà 3.2.

Ïóñòü îáëàñòü Ω îãðàíè÷åíà. Òîãäà ïðîñòðàíñòâî Wq1 (Ω) âïîëíå íåïðåðûâíî âëîæåíî â Lq (Ω): Wq1 (Ω) b Lq (Ω).

Ëåììà 3.1.

u(·) ∈ C ∞ (Ω), òî, î÷åâèäíî, îïðåäåëåíî ñóæåíèå (ñëåä) ôóíêöèè ãðàíèöó ∂Ω: γu = u(·)|∂Ω . Èìååò ìåñòî

Åñëè

u(·)

íà

¯ äî (î ñëåäå) Îïåðàòîð ñëåäà ïðîäîëæàåòñÿ ñ C ∞ (Ω) 1 íåïðåðûâíîãî îïåðàòîðà γ : Wp (Ω) → Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞.

Òåîðåìà 3.3.

Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà. Ñíà÷àëà äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè u(·) ∈ ∞

C (Ω)

óñòàíàâëèâàåòñÿ îöåíêà

kγu(·)kLp (∂Ω) ≤ Cku(·)kWp1 (Ω) , ãäå êîíñòàíòà

C

íå çàâèñèò îò

(3.1)

u(·)

(è ýòî ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé ÷àñòüþ äîêàu(·) ∈ Wp1 (Ω) ñ ïîìîùüþ ∞ òåîðåìû î ïëîòíîñòè âûáèðàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü un (·) ∈ C (Ω), 1 ñõîäÿùàÿñÿ ê u(·) â Wp (Ω). Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíäàìåíòàëüíà 1 â Wp (Ω), à â ñèëó ïðèâåäåííîé âûøå îöåíêè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü γun (·)

çàòåëüñòâà). Ïîòîì äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè

ôóíäàìåíòàëüíà â ðûé îáîçíà÷àåòñÿ

Lp (∂Ω). Çíà÷èò, γun (·) èìååò ïðåäåë â Lp (∂Ω), êîòîγu(·). Äàëåå óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî ñëåä γu(·) ñâÿçàí

u(·) (ò. å. íå çàâèñèò îò àïïðîêñèìèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè) γu(·) è u(·) ñïðàâåäëèâà ïðèâåäåííàÿ âûøå îöåíêà.

ëèøü ñ è äëÿ

Òàêàÿ ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà õàðàêòåðíà äëÿ òåîðèè ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà: ñíà÷àëà äîêàçûâàåìûé ôàêò óñòàíàâëèâàåòñÿ äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé, à ïîòîì ïðîâîäèòñÿ ïðîöåññ çàìûêàíèÿ.

5 Îòíîñèòåëüíî äîêàçàòåëüñòâà ýòîé è äðóãèõ òåîðåì î ïðîñòðàíñòâàõ Ñîáîëåâà ñì., íàïðèìåð, [E].

15

Çàäà÷à 3.1.

Äîêàæèòå ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà (3.1) äëÿ ëþáîé d 1 ôêíêöèè u(x) ∈ C (Ω) åñëè à) Ω = (a, b) (îäíîìåðíûé ñëó÷àé), á) Ω ∈ R ∞ - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ ãðàíèöåé ∂Ω ⊂ C . 1 Îïðåäåëèì ñëåäóþùåå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà Wp (Ω):

o 1

1 W p (Ω) = {u(·) ∈ Wp (Ω) | γu(·) = 0}, ãäå

γ  îïåðàòîð ñóæåíèÿ íà ãðàíèöó ∂Ω. Ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé àíàëîã

òåîðåìû î ïëîòíîñòè, êîòîðûé ìû òàêæå ïðèâîäèì áåç äîêàçàòåëüñòâà.

o 1

Òåîðåìà 3.4.

(î ïëîòíîñòè äëÿ ïðîñòðàíñòâà W p (Ω)) Ïðîñòðàíñòâî o 1

C0∞ (Ω) ïëîòíî â W p (Ω) ïðè 1 ≤ p < ∞. Â äàëüíåéøåì ïðè p o 1 W21 (Ω) = H 1 (Ω), W 2 (Ω)

=2

ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òàêæå îáîçíà÷åíèÿ:

= H01 (Ω).

Íàêîíåö, ïðèâåäåì åùå ñëåäóþùóþ âàæíóþ îöåíêó (îñòàâèâ åå òàêæå áåç äîêàçàòåëüñòâà).

o 1

(íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà) Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè u(·) ∈W p (Ω) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Z Z p |u(x)| dx ≤ c |∇u(x)|p dx Òåîðåìà 3.5.

Ω

Ω

ñ êîíñòàíòîé c, çàâèñÿùåé ëèøü îò îáëàñòè Ω. o 1

 ñèëó íåðàâåíñòâà Ôðèäðèõñà íîðìó â ïðîñòðàíñòâå

W p (Ω)

åñòå-

ñòâåííî çàäàâàòü ðàâåíñòâîì:

Z kuk o 1

W p (Ω)

p

|∇u(x)| dx

=

1/p .

Ω

Äîêàæåì òåïåðü âàæíóþ äëÿ íàñ òåîðåìó î ðåôëåêñèâíîñòè ïðî1 ñòðàíñòâ Wp (Ω). Òåîðåìà 3.6.

Ïðîñòðàíñòâî Wp1 (Ω) ðåôëåêñèâíî, åñëè 1 < p < ∞.

16

Äîêàçàòåëüñòâî.

Íàïîìíèì, ÷òî

Lp (Ω)

- ðåôëåêñèâíîå ïðîñòðàí1 1 ñòâî, ïðè÷åì åãî ñîïðÿæåííîå ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ Lq (Ω) ãäå + = 1. q p Èç òåîðåìû î âèäå ôóíêöèîíàëà íà ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè ïðîñòðàíñòâ n ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî (Lp (Ω)) := Lp (Ω)×· · ·×Lp (Ω) (n ðàç) èìååò â êà÷åñòâå n ñîïðÿæåííîãî ïðîñòðàíñòâî (Lq (Ω)) , îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò åãî ðåôëåên ñèâíîñòü, òàê êàê åãî âòîðîå ñîïðÿæåííîå ñîâïàäàåò ñ (Lp (Ω)) , ò.å. ñ íèì æå.

A : Wp1 (Ω) → (Lp (Ω))d+1 , 1 îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîé Au = (u, ∂u/∂x1 , . . . , ∂u/∂xd ). Î÷åâèäíî, AWp (Ω) d+1 - çàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñòâî â (Lp (Ω)) (äîêàçàòåëüñòâî òàêîå æå êàê Ðàññìîòðèì ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð

â òåîðåìå 3.1), à â ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.1 îíî ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî. ∗ 1 Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ôóíêöèîíàëà F ∈ (Wp (Ω)) ñóùåñòâóåò d+1 (f0 , . . . , fd ) ∈ (Lq (Ω)) , ãäå 1/p + 1/q = 1 òàêîé, ÷òî

Z F (u) =

(f0 (x)u(x) + Ω

d X

fj (x)

j=1

∂u(x) ) dx ∀ u ∈ Wp1 (Ω). ∂xj

(3.2)

1 îïðåäåëÿåò ôóíêöèîíàë F1 íà AWp (Ω). Ïî òåîðåìå d+1 1 Õàíà-Áàíàõà F1 ìîæíî ïðîäîëæèòü ñ AWp (Ω) íà âñå ïðîñòðàíñòâî (Lp (Ω)) d+1 ñ ñîõðàíåíèåì íîðìû. Òàê êàê ôóíêöèîíàë íà (Lp (Ω)) îïðåäåëÿåòñÿ d+1 íåêîòîðûì ýëåìåíòîì (f0 , . . . , fd ) ∈ (Lq (Ω)) , òî îòñþäà ñëåäóåò (3.2). 1 Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {un } îãðàíè÷åíà â Wp (Ω). Çíà÷èò ïîñëåd+1 äîâàòåëüíîñòü {(un , ∂un /∂xj , j = 1, . . . , d)} îãðàíè÷åíà â (Lp (Ω)) , è Äåéñòâèòåëüíî,

F

â ñèëó ðåôëåêñèâíîñòè ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâà-

{wk } ≡ {(unk , ∂unk /∂xj , j = 1, . . . , d)} ñëàáî ñõîäÿùàÿñÿ ê w b ∈ (Lp (Ω))d+1 Òàê êàê wk ∈ AWp1 (Ω), è ìíîæåñòâî AWp1 (Ω) ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî, òî w b èìååò âèä w b = (b u, ∂b u/∂xj , j = 1, . . . , d)}. 1 Çíà÷èò ââèäó (3.2) unk → u b ñëàáî â Wp (Ω). Çàäà÷à 3.2. Ïóñòü Y - çàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñòâî ðåôëåêñèâíîãî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà X . Äîêàçàòü, ÷òî Y - ðåôëåêñèâíîå ïðîñòðàíñòâî. òåëüíîñòü

Çàäà÷à 3.3.

o 1

Äîêàçàòü ðåôëåêñèâíîñòü ïðîñòðàíñòâà

W p (Ω),

åñëè

1 < p < ∞. Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå çàäà÷è âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.

17

3.2

Âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à: êîýðöèòèâíîñòü è óñëîâèÿ ðîñòà

Ìû èçó÷èì ñëåäóþùèé ìíîãîìåðíûé àíàëîã ïðîñòåéøåé çàäà÷è âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ (2.1):

Z L(x, y(x), ∇y(x)) dx → min

J(y(·)) =

(3.3)

Ω ïðè óñëîâèè, ÷òî

y(x)|x∈∂Ω = 0 Ω ⊂ Rd  (x1 , . . . , xd ) ∈ Ω

ãäå

îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ ãðàíèöåé

(3.4)

∂Ω

êëàññà

C ∞, x =

y(x)  èñêîìàÿ âåùåñòâåííîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, ∇y(x) = (∂y/∂x1 , . . . , ∂y/∂xd )  åå ãðàäèåíò. Îá èíòåãðàíòå L(x, y, p) = L(x, y, p1 , . . . , pd ) áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî  íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå,

L(·, ·, ·) ∈ C(Ω × R × Rd ), ∀(x, y) ∈ Ω × R L(x, y, ·) ∈ C 1 (Rd ).

(3.5)

Îòìåòèì, ÷òî ïîëíûì àíàëîãîì îäíîìåðíîé ïðîñòåéøåé çàäà÷è èç ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà ÿâëÿåòñÿ ìèíèìèçàöèÿ ôóíêöèîíàëà (3.3) ïðè óñëîâèè

y(x)|x∈∂Ω = y0 (x), ãäå çàäàííàÿ ôóíêöèÿ

y0 (x) 6= 0.

Çäåñü ìû îãðàíè÷èìñÿ èçó÷åíèåì çà-

äà÷è (3.3), (3.4) ñ îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì. Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.3), (3.4) (òåîðåìà Òîíåëëè) áóäåò äîêàçàíà ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 1.2 î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ àá-

êîýðöèòèâíîñòè ôóíêöèîíàëà J(y) èç (3.3) ìû íàëîæèì íà ôóíêöèþ L(x, y, p) ñëåäóþùåå óñëîâèå ðîñòà: ñòðàêòíîé çàäà÷è. ×òîáû ãàðàíòèðîâàòü ñïðàâåäëèâîñòü óñëîâèÿ

Ïóñòü çàäàíî

1
α > 0, β ≥ 0

òàêèå, ÷òî íåðàâåíñòâî

L(x, y, p) ≥ α|p|q − β ñïðàâåäëèâî ïðè âñåõ Åñëè ôóíêöèÿ

L

(3.6)

(3.7)

x ∈ Ω, y ∈ R, p ∈ R d .

óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (3.6), (3.7), òî çàäà÷ó (3.3), Wq1 (Ω), à îãðà-

(3.4) åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü íà ïðîñòðàíñòâå Ñîáîëåâà o 1 íè÷åíèå (3.4) çàïèñàòü â âèäå y ∈ A ≡W q (Ω). 18

o 1

Ôóíêöèîíàë J(y), y ∈W q (Ω) îãðàíè÷åí ñíèçó, íå ðàâåí òîæäåñòâåííî +∞ è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ êîýðöèòèâíîñòè.

Ëåììà 3.2.

Äîêàçàòåëüñòâî. ãðèðóÿ ïî

Ω

Ïîäñòàâëÿÿ â (3.7)

(y, p) → (y(x), ∇y(x))

è èíòå-

ïîëó÷èì, ÷òî

Z

q

J(y) ≥ α

Z

|∇y(x)| dx − β Ω

dx = αkykqo 1

− β|Ω|,

(3.8)

W q (Ω)

Ω

o 1

J(y) íà W q (Ω). ¯ , y|∂Ω = 0 y ∈ C 1 (Ω)

îòêóäà ñëåäóåò îãðàíè÷åííîñòü ñíèçó ôóíêöèîíàëà

L(x, y, p) J(y) < ∞.

Òàê êàê èìååì

R

óäîâëåòâîðÿåò (3.5), òî ïðè

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ y0 (x) o 1 = J(y0 ). Î÷åâèäíî, LR J = {y ∈W q (Ω):

¯ , y0 |∂Ω = 0 ∈ C 1 (Ω) J(y) ≤ R} 6= ∅.

è ïîëîæèì

Êðîìå òîãî, â

ñèëó íåðàâåíñòâà (3.8)

o 1

LR J ⊂ {y ∈W q (Ω) : kykqo 1

W q (Ω)

Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî

LR J

≤

1 (β|Ω| + R)}. α J

îãðàíè÷åíî, è ôóíêöèîíàë

óäîâëåòâî-

ðÿåò óñëîâèþ êîýðöèòèâíîñòè. Èòàê, â ëåììå 3.2 ïîêàçàíî, ÷òî óñëîâèÿ (3.6), (3.7) ãàðàíòèðóþò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ êîýðöèòèâíîñòè ó çàäà÷è (3.3), (3.4). Ïîêàæåì íà ïðîñòîì ïðèìåðå, ÷òî íåâûïîëíåíèå óñëîâèé (3.6), (3.7) ïðèâîäèò ê îòñóòñòâèþ êîýðöèòèâíîñòè. Ýòî óêàçûâàåò, ÷òî óñëîâèÿ (3.6), (3.7) ðîäñòâåííû óñëîâèþ êîýðöèòèâíîñòè â ñëó÷àå çàäà÷è (3.3), (3.4). Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ îäíîìåðíóþ çàäà÷ó âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ

Z

1

L(y(x)) ˙ dx → inf, y(−1) = y(1) = 0,

J(y) =

(3.9)

−1

L(p) ∈ C 1 (R), L(0) = 0, L(p) ≥ 0 è ïðè |p| > p0 , L(p) = |p|q−ε , ãäå ε > 0 ñêîëü óãîäíî ìàëî. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî q > 1, q − ε > 1. Êîíå÷íî, L(p) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (3.6), (3.7) c q , çàìåíåííûì íà

ãäå

q − ε,

o 1

è ïîýòîìó çàäà÷à (3.9) êîýðöèòèâíà â ïðîñòðàíñòâå

Îäíàêî

L(p)

íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (3.6), (3.7) c

q.

W q−ε (−1, 1).

Ýòî ïðèâîäèò ê

ñëåäóþùåìó óòâåðæäåíèþ. Ëåììà 3.3.

Çàäà÷à

o 1

(3.9)

íå êîýðöèòèâíà â ïðîñòðàíñòâå W q (−1, 1). 19

Äîêàçàòåëüñòâî.

Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé

yk (x)

ñ

ïîìîùüþ èõ ïðîèçâîäíûõ

  0, y˙ k (x) = k α ,   α −k , α>0

ãäå

|x| > 1/k, 0 < x < 1/k, −1/k < x < 0,

óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:

1 1 <α< q q−ε è êðàåâûì óñëîâèÿì

yk (−1) = yk (1) = 0.

Ïðÿìûå âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâà-

þò, ÷òî âñëåäñòâèå (3.10) ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ

Z

1

Z

k

1/k

k α(q−ε) dx = 2k α(q−ε)−1 → 0

L(y˙ k (x)) dx = 2 −1

(3.10)

k → ∞,

0

à òàêæå

Z

q

kyk k o 1

1/k

=

W q (−1,1)

k αq dx = 2k αq−1 → ∞ k → ∞.

−1/k

Ïåðâîå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî

λ > 0 y k ∈ Lλ J ìíîæåñòâî Lλ J

ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k .  ñèëó âòîðîãî ñîîòíîøåíèÿ o 1 íåîãðàíè÷åíî íà W q (−1, 1) ïðè ëþáîì λ > 0. Âñëåäñòâèå íåðàâåíñòâà

L(p) ≥ 0

ìíîæåñòâî

ôóíêöèîíàë

3.3

J

Lλ J 6= ∅ ∀λ > 0.

Òàêèì îáðàçîì óñòàíîâëåíî, ÷òî

o 1

êîýðöèòèâåí íà

W q (−1, 1).

Êâàçèðåãóëÿðíîñòü è ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè

Çàïèñü çàäà÷è (3.3), (3.4) â ôîðìå àáñòðàêòíîé çàäà÷è (1.1) òàêîâà:

o 1

J(y) → min, y ∈W q (Ω), ïðè÷åì ôóíêöèîíàë

J

çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì (3.3) è îïðåäåëåí íà

Áóäó÷è çàìêíóòûì ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà

20

(3.11)

Wq1 (Ω). Wq1 (Ω),

o 1

ìíîæåñòâî

W q (Ω)

ÿâëÿåòñÿ ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòûì. Òàêèì îá-

ðàçîì, äëÿ çàäà÷è (3.11) ïðîâåðåíû âñå óñëîâèÿ àáñòðàêòíîé òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì óñëîâèÿ ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè äëÿ ôóíêöèîíàëà

J.

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òîáû

îáåñïå÷èòü âûïîëíèìîñòü ýòîãî óñëîâèÿ äëÿ èíòåãðàëüíîãî ôóíêöèîíàëà âèäà (3.3) íå îáÿçàòåëüíî òðåáîâàòü âûïóêëîñòè ýòîãî ôóíêöèîíàëà,

L(x, y, p) òîëüêî ïî ïåðå-

à äîñòàòî÷íî òðåáîâàòü âûïóêëîñòè èíòåãðàíòà ìåííûì

p,

ò. å.

ôóíêöèÿ

åãî êâàçèðåãóëÿðíîñòè.

p 7→ L(x, y, p)

Íàëîæèì ýòî óñëîâèå:

âûïóêëà ïðè ëþáûõ

¯ y ∈ R. x ∈ Ω,

(3.12)

Òåîðåìà 3.7. Ïóñòü èíòåãðàíò L îãðàíè÷åí ñíèçó è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì êâàçèðåãóëÿðíîñòè (3.12) è ãëàäêîñòè (3.5). Òîãäà ôóíêöèîíàë J , îïðåäåëåííûé â (3.3), ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè íà Wq1 (Ω).

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ìû äîëæíû ïîêàçàòü, ÷òî åñëè

yk → yˆ

ñëàáî â

Wq1 (Ω),

(3.13)

òî

J(ˆ y ) ≤ Jˆ ≡ lim inf J(yk ). k→∞

Ïåðåõîäÿ, åñëè íóæíî, ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

ˆ lim J(yk ) = J.

k→∞ Â ñèëó (3.13)

max kyk kWq1 < ∞

(ñì. [KF], ãë. 4 Ÿ 3) è ïîýòîìó, âñëåäñòâèå k 1 ëåììû 3.1 î ïîëíîé íåïðåðûâíîñòè âëîæåíèÿ Wq (Ω) b Lq (Ω), yk → y ˆ ñèëüíî â Lq (Ω). Ïîýòîìó, ïåðåõîäÿ åñëè íóæíî ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

yk (x) → yˆ(x) Äëÿ ëþáîãî

ε>0

Eε

x ∈ Ω.

(3.14)

ñîãëàñíî òåîðåìå Åãîðîâà ([KF], ãë. 5 Ÿ 4)

yk (x) → yˆ(x) ãäå

ïðè ïî÷òè âñåõ

ðàâíîìåðíî ïî

 íåêîòîðîå èçìåðèìîå ïîäìíîæåñòâî

mes(Ω \ Eε ) ≤ ε 21

x ∈ Eε ,

Ω,

äëÿ êîòîðîãî

(3.15)

(mesA  ýòî ëåáåãîâà ìåðà ìíîæåñòâà Ïóñòü

A). Fε = {x ∈ Ω: |ˆ y (x)| + |∇ˆ y (x)| ≤ 1/ε}.

ε → 0,

ïðè

Òàê êàê

mes(Ω \ Fε ) → 0

òî äëÿ ìíîæåñòâà

Gε = Fε ∩ Eε

(3.16)

mes(Ω \ Gε ) → 0 ε → 0.

(3.17)

ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

Âñëåäñòâèå (3.13)

Z (ϕ(x), ∇yk (x) − ∇ˆ y (x)) dx → 0

ïðè

k→∞

ϕ ∈ (Lr (Ω))d ≡ Lr (Ω)×· · ·×Lr (Ω) (d ðàç) ñ 1r + 1q = 1 è ïîýòîìó ëþáîì äîñòàòî÷íî ìàëîì ε > 0 Z ε (Lp (x, yˆ(x), ∇ˆ y (x)), ∇yk (x) − ∇ˆ y (x)) dx → 0 k → ∞. γk :=

äëÿ ëþáîé ïðè

Gε  ñèëó (3.14), (3.16) ïðè êàæäîì äîñòàòî÷íî ìàëîì

αkε

ε>0

Z := Z

(L(x, yk (x), ∇ˆ y (x)) − L(x, yˆ(x), ∇ˆ y (x))) dx+ Gε

(Lp (x, yk (x), ∇ˆ y (x)) − Lp (x, yˆ(x), ∇ˆ y (x)), ∇yk (x) − ∇ˆ y (x)) dx → 0

+ Gε

k→∞ Âñëåäñòâèå (3.12)

L(x, yk (x), ∇yk (x)) ≥ L(x, yˆ(x), ∇ˆ y (x))+ +[L(x, yk (x), ∇ˆ y (x)) − L(x, yˆ(x), ∇ˆ y (x))]+ +(Lp (x, yˆ(x), ∇ˆ y (x)), ∇yk (x) − ∇ˆ y (x))+ +(Lp (x, yk (x), ∇ˆ y (x)) − Lp (x, yˆ(x), ∇ˆ y (x)), ∇yk (x) − ∇ˆ y (x)). Gε ,

Èíòåãðèðóÿ ýòî íåðàâåíñòâî ïî αkε :

Z

Z L(x, yk (x), ∇yk (x)) dx ≥

Gε

ïîëó÷èì, ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå

L(x, yˆ(x), ∇ˆ y (x)) dx + γkε + αkε .

Gε 22

γkε ,

(3.18)

 ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèåì îãðàíè÷åííîñòè ñíèçó èíòåãðàíòà

L

¯ × R × Rd L(x, y, p) ≥ −β ∀(x, y, p) ∈ Ω β ≥ 0. Ïîýòîìó â ñèëó (3.17), (3.18) äëÿ ëþáîãî δ > 0 ñóùåñòâóþò òàêèå ε > 0 è k0 > 0, ÷òî ïðè âñåõ k > k0 Z Z J(uk ) = L(x, yk , ∇yk ) dx + L(x, yk , ∇yk ) dx ≥ Gε Ω\Gε Z y ) − δ. ≥ −βmes(Ω \ Gε ) + J(ˆ y) − L(x, yˆ, ∇ˆ y ) dx + γkε + αk ≥ J(ˆ ñ íåêîòîðûì

Ω\Gε Òàê êàê

3.4

δ

çäåñü ïðîèçâîëüíî, òî

J(ˆ y ) ≤ Jˆ = limk→∞ J(yk ).

Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèé êâàçèðåãóëÿðíîñòè

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå Òåîðåìå 3.7. Äåéñòâèòåëüíî, èìååò ìåñòî

Ïóñòü ôóíêöèîíàë J , îïðåäåëåííûé â (3.3), (3.4), óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ðîñòà (3.7) è ãëàäêîñòè (3.5). Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî ýòîò ôóíêöèîíàë ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè â ïðîñòðàíñòâå Wq1 (Ω). Òîãäà äëÿ âñåõ x0 ∈ Ω, y0 ∈ R èíòåãðàíò L(x0 , y0 , p) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ïî p ∈ Rd .

Òåîðåìà 3.8.

Ýòà òåîðåìà äîêàçàíà, íàïðèìåð, â ìîíîãðàôèè ×.Á.Ìîððè [M]. Îòìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû 3.8 ñïðàâåäëèâî è äëÿ îäíîìåðííûõ âåêòîðíûõ çàäà÷ âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ, ò. å. äëÿ ëàãðàæèàíîâ L(x, y, p) ñ x ∈ [t0 , t1 ], y ∈ Rn , p ∈ Rn .  ñëó÷àå æå ìíîãîìåðíûõ âåêòîðíûõ çàäà÷ âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:

Ïóñòü ôóíêöèîíàëó èç (3.3) îòâå÷àåò ëàãðàíæèàí L(x, y, p) ñ x ∈ Ω ⊂ R , y ∈ Rn , p ∈ Rdn è ïðè ýòîì J ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè â (Wq1 (G))n . Òîãäà äëÿ âñåõ x0 ∈ Ω, y0 ∈ Rn , p0 ∈ Rdn Z L(x0 , y0 , p0 + ∇ζ) dx ≥ L(x0 , y0 , p0 )mesG (3.19) Òåîðåìà 3.9.

d

G

äëÿ ëþáîãî ïîñòîÿííîãî âåêòîðà (x0 , y0 , p0 ), ëþáîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè G ñ ëèïøåöåâîé ãðàíèöåé è ëþáîé ôóíêöèè ζ ∈ (C 1 (G))n ðàâíîé òîæäåñòâåííî íóëþ íà ãðàíèöå ∂G. 23

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ òàêæå ìîæíî íàéòè â êíèãå ×.Á.Ìîððè [M].

L, óäîâëåòâîðÿþùèé íåðàâåíñòâó (3.19) îáû÷íî íàçûâàþò n= d = 1 ñëåäóåò âûïóêëîñòü ëàãðàíæèàíà L(x, y, p) ïî ïåðåìåííûì [M]).  îáùåì ñëó÷àå n > 1, d > 1 âûïóêëîñòü L ïî ïåðåìåííûì p

Èíòåãðàíò

êâàçèâûïóêëûì ïî Ìîððè. Èç êâàçèâûïóêëîñòè ïî Ìîððè â ñëó÷àÿõ

1 p

èëè (ñì.

èç êâàçèâûïóêëîñòè ïî Ìîððè íå ñëåäóåò.

3.5

Òåîðåìà Òîííåëè

Òåïåðü ìû ìîæåì äîêàçàòü îñíîâíóþ òåîðåìó î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.3), (3.4).

(Òîíåëëè) Ïóñòü èíòåãðàíò L(x, y, p) ∈ C ∞ (Ω × R × Rd ) èç (3.3) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ãëàäêîñòè (3.5), ðîñòà (3.6), (3.7) è âûïóêëîñòè ïî p (3.12). Òîãäà â ïðîñòðàíñòâå Wq1 (Ω) ñóùåñòâóåò ðåøåíèå yˆ(x) ∈ Wq1 (Ω) çàäà÷è (3.3), (3.4).

Òåîðåìà 3.10.

Äîêàçàòåëüñòâî.

 ñèëó ëåììû 3.2 è òåîðåìû 3.7 çàäà÷à (3.3),

(3.4) óäîâëåòâîðÿåò âñåì ïðåäïîëîæåíèÿì òåîðåìû 1.2 î ðàçðåøèìîñòè àáñòðàêòíîé ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è. Ïîýòîìó èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû Òîíåëëè.

4

Óðàâíåíèå Ýéëåðà

Ìû âûâîäèì íåîáõîäèìîå óñëîâèå, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò ðåøåíèå

yb(x)

çàäà÷è (3.3), (3.4).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìîå óðàâíåíèå Ýéëåðà. Äàëåå ìû îïðåäåëÿåì ïîíÿòèå ýëëèïòè÷íîñòè è, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå Ýéëåðà, îáñóæäàåì ñâÿçü ýòîãî ïîíÿòèÿ ñ óñëîâèåì êâàçèðåãóëÿðíîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ëàãðàíæèàíà.

4.1

Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà

Íàëîæèì íà èíòåãðàíò

L èç (3.3) äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå, áîëåå æåñòêîå,

÷åì óñëîâèå (3.5):

L(x, y, p) ∈ C(Ω × R × Rd ),

∀x ∈ Ω, L(x, ·, ·) ∈ C 1 (Rd+1 ).

(4.1)

Êðîìå òîãî, íåîáõîäèìî íàëîæèòü îãðàíè÷åíèÿ íà ñêîðîñòü ðîñòà èíòåãðàíòà

L(x, y, p)

ïðè

|y| + |p| → ∞

Ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò

24

òàêèå êîíñòàíòû

α1 > 0, α2 > 0

÷òî

|L(x, y, p)| ≤ α1 (1 + |y|q + |p|q ),

(4.2)

à òàêæå

|Ly (x, y, p)| +

d X

|Lpj (x, y, p)| ≤ α2 (1 + |y|q−1 + |p|q−1 ),

(4.3)

j=1 äëÿ ëþáûõ

(x, y, p) ∈ Ω × Rd+1 ,

Ëåììà 4.1.

ãäå

Ly = ∂L/∂y, Lpi = ∂L/∂pi

Ïóñòü äëÿ èíòåãðàíòà L âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 3.10 o 1

(Òîíåëëè), à òàêæå óñëîâèÿ (4.1)(4.3). Òîãäà ðåøåíèå yb(x) ∈W q (Ω) çàäà÷è (3.3), (3.4) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó èíòåãðàëüíîìó òîæäåñòâó: ) Z (X d ∂h(x) + Ly (x, yb(x), ∇b y (x))h(x) dx = 0 (4.4) Lpj (x, yb(x), ∇b y (x)) ∂xj j=1 Ω

o 1

äëÿ ëþáûõ h ∈W q (Ω) Äîêàçàòåëüñòâî.

Ãëàâíîå, ÷òî òðåáóåòñÿ äîêàçàòü ýòî äèôôåðåí-

îïðåäåëåííîãî â (3.3), â òî÷êå y b. o 1 Ïîêàæåì ýòî, èñïîëüçóÿ (4.1)(4.3). Ïóñòü h ∈W q (Ω) è λ ∈ (0, 1).  ñèëó

öèðóåìîñòü ïî Ãàòî ôóíêöèîíàëà

J(y),

(3.3)

J(b y + λh) − J(b y) = λ

Z M (x, yb, h, λ) dx

(4.5)

Ω ãäå

M (x, yb, h, λ) = à

b L(x, yb(x) + λh(x), ∇b y (x) + λ∇h(x)) − L(x) , λ

(4.6)

b L(x) = L(x, yb(x), ∇b y (x)). Âñëåäñòâèå óñëîâèÿ (4.1) ïðè ïî÷òè âñåõ x ∈ Ω by (x)h(x) + (L bp (x), ∇h(x)), M (x, y, h, λ) → L

ïðè

λ → 0,

ïðè÷åì

by (x) = Ly (x, yb(x), ∇b bp (x) = Lp (x, yb(x), ∇b L y (x)), L y (x)). 25

(4.7)

λ → 0, èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ëåáåãà. Äëÿ ýòîãî íàì íóæíî óêàçàòü ìàæîðàíòó ôóíêöèè M (x, y, h, λ), íå çàâèñÿîò λ è ïðèíàäëåæàùóþ L1 (Ω).  ñèëó (4.6) è ðàâåíñòâà g(λ)−g(0) = Rùóþ 1 d g(λs)ds ïîëó÷èì: 0 ds

Ìû ïåðåéäåì ê ïðåäåëó â (4.5) ïðè

M (x, y, h, λ) =

R1

Ly (x, y(x) + λsh(x), ∇y(x) + λs∇h(x))h(x) +

0

+(Lp (x, y + λsh, ∇y + λs∇h), ∇h(x)) ds

(4.8)

Îöåíèâàÿ ïðàâóþ ÷àñòü (4.8) ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ (4.3), Ãåëüäåðà è Þíãà, ïîëó÷èì

R1 |M (x, y, h, λ)| ≤ c0 (1 + |y(x) + λsh(x)|q−1 + 0 q−1

+|∇y(x) + λs∇h(x)| )(|h(x)| + |∇h(x)|) ds ≤ R1 ≤ c1 (1 + |y + λsh|q + |∇y + λs∇h|q + |h|q + |∇h|q ) ds ≤ 0

R1 ≤ c2 (1 + |y(x)|q + |∇y(x)|q + |h(x)|q + |∇h(x)|q ) ds,

(4.9)

0

c2 íå çàâèñèò îò λ ∈ (−1, 1). Ñëåäîâàòåëüíî ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà L1 (Ω). Ïîýòîìó, ïåðåõîäÿ â (4.5) ê ïðåäåëó ïðè λ → 0 ïîìîùüþ òåîðåìû Ëåáåãà, ïîëó÷èì, ÷òî J(y) èíòåãðèðóåì ïî Ãàòî, è Z n o 0 by (x)h(x) + (L bp (x), ∇h(x)) dx hJ (b y ), hi = L (4.10)

ãäå

(4.9) ïðèíàäëåæèò ñ

Ω Òàê êàê

yb

âìåñòå ñ

h

 òî÷êà àáñîëþòíîãî ìèíèìóìà çàäà÷è (3.3), (3.4), òî ëåâàÿ o 1 ÷àñòü (4.5) íåîòðèöàòåëüíà ïðè ëþáîì λ ∈ (−1, 1), è h ∈W q (Ω). Ïîýòîìó o 1 è ëåâàÿ ÷àñòü (4.10) íåîòðèöàòåëüíà ïðè ëþáîì h ∈W q (Ω). Òàê êàê ìû ìîæåì ïîñòàâèòü â (4.10) è

−h,

òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

(4.4). Âçÿâ â (4.4)

h ∈ C0∞ (Ω),

ïîëó÷àåì, ÷òî ýòî èíòåãðàëüíîå ðàâåíñòâî

ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ

d X ∂ − Lp (x, yˆ(x), ∇ˆ y (x)) + Ly (x, yˆ(x), ∇y(x)) = 0, ∂xj j j=1 26

(4.11)

ãäå ïðîèçâîäíûå

∂ L ïîíèìàþòñÿ â ñìûñëå òåîðèè îáîáùåííûõ ôóíê∂xj pj

öèé.

Óðàâíåíèå (4.11) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ýéëåðà, ñîîòâåòñòâóþùèì âàðèàöèîííîé çàäà÷å (3.3), (3.4).

Îïðåäåëåíèå 4.1.

o 1

Ôóíêöèÿ yˆ(x) ∈W q (Ω) íàçûâàåòñÿ îáîùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (4.11), (3.4), åñëè yˆ óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðàëüíîìó òîæäåñòâó (4.4).

Îïðåäåëåíèå 4.2.

Èç òåîðåìû 3.10 (Òîííåëè) è ëåììû 4.1 ñðàçó ñëåäóåò

Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 3.10 è ëåììû 4.1. Òîãäà ó çàäà÷è (4.11), (3.4) ñóùåñòâóåò îáîáùåííîå ðåøåíèå

Ïðåäëîæåíèå 4.1.

o 1

yˆ(x) ∈W q (Ω). 4.2

Ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ

Ïðåäïîëîæèì äîïîëíèòåëüíî, ÷òî

∀x ∈ Ω

L(x, y, p) ∈ C 2 (Rd+1 ).

(4.12)

Óðàâíåíèå (4.11) ìîæíî ôîðìàëüíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:

d X

2

ˆ p ,p ∂ yˆ(x) − − L j i ∂xi ∂xj i,j=1 ãäå

ˆ p ,p = L j i

d X

ˆ p ,y ∂ yˆ(x) + L ˆ y = 0, L j ∂x j j=1

∂L(x,ˆ y (x),∇ˆ y (x)) , à ôóíêöèè ∂pj ∂pi

ˆ p ,y , L ˆy L j

(4.13)

îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî.

Îòìåòèì, ÷òî â óðàâíåíèè (4.13) âòîðûå ïðîèçâîäíûå ÿâëÿþòñÿ, âîîáPd ∂ 2 yˆ ˆ ùå ãîâîðÿ, îáîáùåííûìè ôóíêöèÿìè, è ïîýòîìó ñóììå i,j=1 Lpj ,pi ∂xi ∂xj ìîæíî ïðèäàòü ñìûñë òîëüêî ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (4.11). Òåì íå ìåíåå çàïèñü (4.13) óðàâíåíèÿ (4.11) ïîëåçíà, ïîòîìó ÷òî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü îäèí î÷åíü âàæíûé êëàññ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ  êëàññ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé.

Íåëèíåéíîå óðàâíåíèå (4.11) íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì íà ôóíêöèè yˆ(x) åñëè ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà γ > 0 òàêàÿ, ÷òî

Îïðåäåëåíèå 4.3.

27

äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ξ = (ξ1 , . . . , ξd ) ∈ Rd è òî÷êè x ∈ Ω ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî d X Lpj ,pi (x, yˆ(x), ∇ˆ y (x))ξj ξi ≥ γ|ξ|2 , (4.14) i,j=1

ãäå, íàïîìíèì, |ξ|2 =

2 j=1 ξj .

Pd

Ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âàæíû ïîòîìó, ÷òî âîçíèêàþò âî ìíîãèõ çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè è â äðóãèõ ïðèëîæåíèÿõ. Îíè òàêæå òåñíî ñâÿçàíû ñ çàäà÷àìè âàðèàöèîííîãî èñ÷èñåíèÿ. Ïîñëåäíåå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî óñëîâèå ýëëèïòè÷íîñòè ÿâëÿåòñÿ óñèëåíèåì óñëîâèÿ âûïóêëîñòè, èãðàþùåãî â òåîðèè çàäà÷ âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü. ×òîáû ýòî ïîêàçàòü, íàïîìíèì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:

Ïóñòü F (z) ∈ C 2 (Rk ). Ôóíêöèÿ F (z) âûïóêëà â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà

Ëåììà 4.2.

k X ∂ 2 F (z) ξi ξj ≥ 0 ∂z ∂z i j i,j=1

∀ξ = (ξ1 , . . . , ξk ) ∈ Rk

(4.15)

ïðè êàæäîì z ∈ Rk . Äîêàçàòåëüñòâî.

F (z) âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ íà Rk . Ïîëîæèì α ∈ [0, 1], z ∈ Rk , v ∈ Rk . Î÷åâèäíî Φ(α)

Ïóñòü

Φ(α) = F (z + α(v − z)),

ãäå

âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ. Â ñèëó íåðàâåíñòâà Èåíññåíà è òåîðåìû Ëàãðàíæà (î ñðåäíåì) ïðè ëþáîì

α ∈ (0, 1)

ïîëó÷èì:

Φ(1) − Φ(α) Φ(α) − Φ(0) 0 0 − = Φ (α2 ) − Φ (α1 ) = 0≤ 1−α α

Z

α2

00

Φ (β) dβ

(4.16)

α1

α1 , α2  íåêîòîðûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâàì 0 < α1 < α < α2 < 1. Ïîëîæèâ ξ = v − z, ϕ = ξ/|ξ| è èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå 2 (z) 00 k äëÿ ìàòðèöû âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè F , ïîëó÷èì F (z) = k ∂∂zFi ∂z j ãäå

èç (4.16), ÷òî

Z α2 1 00 0≤ Φ (β) dβ = 2 (α2 − α1 )|ξ| α1 Z α2 1 00 = hF (z + β|ξ|ϕ)ϕ, ϕi dβ = α2 − α1 α1 Z α2 |ξ| 1 00 hF (z + ζϕ)ϕ, ϕi dζ = (α2 − α1 )|ξ| α1 |ξ| 28

(4.17)

Ïåðåõîäÿ â ïðàâîé ÷àñòè (4.17) ê ïðåäåëó ïðè ëè

|ξ| → 0, ïîëó÷èì (4.15). Åñ-

F (z) óäîâëåòâîðÿåò (4.15), òî ïîâòîðÿÿ ïðèâåäåííûå âûøå ðàññóæäåΦ(α), à çíà÷èò è F (z), óäîâëåòâî-

íèÿ â îáðàòíîì ïîðÿäêå, ïîëó÷èì, ÷òî

ðÿþò íåðàâåíñòâó Èåíññåíà, ò. å. ÿâëÿþòñÿ âûïóêëûìè ôóíêöèÿìè. Àíàëîã óñëîâèÿ ýëëèïòè÷íîñòè (4.14) äëÿ ôóíêöèè

F (z) ïåðåïèñûâà-

åòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

k X ∂ 2 F (z) ξi ξj ≥ γ|ξ|2 ∂zi ∂zj i,j=1 ãäå

γ

íå çàâèñèò îò

Åñëè

F (z)

ξ

è

∀ξ = (ξ1 , . . . , ξk ) ∈ Rk , z ∈ Rk

(4.18)

z.

óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4.18), òî ýòà ôóíêöèÿ ñòðîãî âû-

ïóêëà. Äåéñòâèòåëüíî, èç (4.18), (4.17), (4.16) ñëåäóåò, ÷òî

ρ + Φ(α) = αΦ(1) + (1 − α)Φ(0) ρ = γα(1 − α)(α2 (α) − α1 (α))|v − z|2 , ïðè÷åì ÷èñëà α2 (α) > α1 (α) îïðåäåëÿþòñÿ ïî α. Òàê êàê ρ > 0 ïðè ëþáîì α ∈ (0, 1), òî Φ(α)ñòðîãî âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ. Çíà÷èò è F (z) ñòðîãî âûïóêëà. 4 Êàê ïîêàçûâàåò ïðèìåð ñòðîãî âûïóêëîé ôóíêöèè F (z) = z , íå óäîâëåòâîðÿþùèé ïðè z = 0 óñëîâèþ (4.18), óñëîâèå ýëëèïòè÷íîñòè (4.18)

ãäå

ñèëüíåå óñëîâèÿ ñòðîãîé âûïóêëîñòè. Åñëè â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (4.14) èç îïðåäåëåíèÿ 4.3

γ = 0,

òî

óðàâíåíèå (4.11) íàçûâàåòñÿ âûðîæäàþùèìñÿ ýëëèïòè÷åñêèì óðàâíåíèåì. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå âûïóêëîñòè èíòåãðàíòà ìåííûì

p

L(x, y, p)

ïî ïåðå-

ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ âûðîæäåííîé ýëëèïòè÷íîñòè. Èìåííî

îíî ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ âàðèàöèîííîé çàäà÷è â òåîðåìå Òîíåëëè (ïðè âûïîëíåíèè äðóãèõ òðåáóåìûõ óñëîâèé), à íå óñëîâèå ýëëèïòè÷íîñòè. Òåì íå ìåíèå, óñëîâèå ýëëèïòè÷íîñòè èãðàåò â àíàëèçå î÷åíü âàæíóþ ðîëü, ÷òî îáúÿñíÿåòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå äâóìÿ ïðè÷èíàìè. Âî-ïåðâûõ, êëàññ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé çíà÷èòåëüíî øèðå êëàññà ýëëèïòï÷åñêèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà âàðèàöèîííûõ çàäà÷, è äëÿ ýòîãî êëàññà óäàåòñÿ ïîñòðîèòü òåîðèþ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé ( èëè ïî êðàéíåé ìåðå òåîðèþ íîðìàëüíîé ðàçðåøèìîñòè, ò. å. ðàçðåøèìîñòè äëÿ èñõîäíûõ äàííûõ, îáíóëÿþùèõ êîíå÷íîå ÷èñëî ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèîíàëîâ). Âî-âòîðûõ, äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé îáû÷íî óäàåòñÿ äîêàçàòü òåîðåìó î ãëàäêîñòè ðåøåíèé ïðè ãëàäêèõ èñõîäíûõ äàííûõ. Äëÿ âûðîæäåííûõ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé, äàæå ÿâëÿþùèõñÿ óðàâíåíèÿìè

29

Ýéëåðà âàðèàöèîííîé çàäà÷è, ãëàäêîñòü ðåøåíèé ÷àñòî äîêàçàòü íå óäàåòñÿ. Áîëåå òîãî, ýòè ðåøåíèÿ äàëåêî íå âñåãäà ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìè.

5

Âàðèàöèîííûå íåðàâåíñòâà.

 ýòîì ðàçäåëå èññëåäóþòñÿ âàðèàöèîííûå íåðàâåíñòâà. Òàêèå íåðàâåíñòâà âîçíèêàþò êàê ñèñòåìû îïòèìàëüíîñòè äëÿ çàäà÷ âèäà (1.1) ñ ìíîæåñòâàìè îãðàíè÷åíèé

A,

èìåþùèìè ñòðóêòóðó áîëåå ñäîæíóþ, ÷åì

ó ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ðàññìîòðåí ïðèìåð âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà, âîçíèêàþùåãî â çàäà÷å ñ ïðåïÿòñòâèåì.

5.1

Àáñòðàêòíîå íåðàâåíñòâî

Âåðíåìñÿ ê çàäà÷å (1.1) èç ðàçäåëà 1:

f (x) → inf, ãäå

A

x ∈ A,

ïîäìíîæåñòâî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà

X, f :→ R

(5.1) ñîáñòâåííûé

ôóíêöèîíàë è âûâåäåì äëÿ íåå íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà â ïðåäïîëîæåíèè âûïóêëîñòè Ãàòî ôóíêöèîíàëà

f

è

A

è äèôôåðåíöèðóåìîñòè ïî

f.

Ïóñòü çàäà÷à (5.1) èìååò ðåøåíèå, ìíîæåñòâî A âûïóêëî, à ôóíêöèîíàë f äèôôåðåíöèðóåì ïî Ãàòî è ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì. Òîãäà a) xˆ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (5.1) â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè x b ∈ A; hf 0 (ˆ x), x − xˆi ≥ 0 ∀x ∈ A (5.2)

Òåîðåìà 5.1.

ãäå,íàïîìíèì, hf 0 (ˆ x), ziýòî çíà÷åíèå ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà f 0 (ˆ x) ∈ X ∗ íà âåêòîðå z ∈ X ; b) ðåøåíèå çàäà÷è (5.1) åäèíñòâåííî, åñëè f  ñòðîãî âûïóêëûé ôóíêöèîíàë. Äîêàçàòåëüñòâî.

xˆ ðåøåíèå çàäà÷è, à x ∈ A. Aâûïóêëî, òî ïðè ëþáîì δ ∈ (0, 1) âåêòîð xˆ + δ(x − xˆ) ∈ A è (f (ˆ x + δ(x − xˆ)) − f (ˆ x))/δ ≥ 0. Ïåðåõîäÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðè δ → 0, ïîëó÷èì (5.2). Ïóñòü x ˆ óäîâëåòâîðÿåò (5.2). Ïî íåðàâåíñòâó Èåííñåíà a) Ïóñòü

(f (ˆ x + δ(x − xˆ)) − f (ˆ x))/δ ≤ f (x) − f (ˆ x) 30

Òàê êàê ïîýòîìó ïðåäåëó

Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî íåðàâåíñòâà ïðè Ïîýòîìó

δ→0

ñòðåìèòñÿ ê

hf 0 (ˆ x), x − xˆi ≥ 0.

f (x) − f (ˆ x) ≥ 0 ∀x ∈ A. xˆ1 6= xˆ2  äâà ðåøåíèÿ, òî èç-çà âûïóêëîñòè A (ˆ x1 + xˆ2 )/2 ∈ A, ñòðîãîé âûïóêëîñòè f ,

b)Åñëè à â ñèëó

1 x1 ) + f (ˆ x2 )) = inf f (x), f ((ˆ x1 + xˆ2 )/2) < (f (ˆ x∈A 2 ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ, ÷òî Îïðåäåëåíèå 5.1.

âåíñòâîì. 5.2

Íåðàâåíñòâî

(5.2)

xˆ1 , xˆ2

 ðåøåíèÿ çàäà÷è.

íàçûâàåòñÿ âàðèàöèîííûì íåðà-

Çàäà÷à ñ ïðåïÿòñòâèåì

Ω ⊂ Rd  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ ãðàíèöåé ∂Ω êëàññà C ∞ , ϕ(x) ∈ C(Ω) çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, ïðè÷åì

Ïóñòü òåïåðü à

ϕ(x)|∂Ω ≤ 0 Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî

X∂ = {u(x) ∈ H01 (Ω) : u(x) ≥ ϕ(x)

ï.â.

x ∈ Ω}

(5.3)

(ï. â. çíà÷èò "ïðè ïî÷òè âñåõ") è çàïèøåì ýêñòðåìàëüíóþ çàäà÷ó:

Z J(u) =

(|∇u(x)|2 − 2u(x)f (x)) dx → inf, u ∈ X∂ ,

(5.4)

Ω ãäå

f (x) ∈ L2 (Ω)

 çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, à ôóíêöèÿ

u(x)

èùåòñÿ â

H01 (Ω).

Çàäà÷à (5.4) îïèñûâàåò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ìåìáðàíû ñî ñìåùåíèåì

u(x), x ∈ Ω,

∂Ω: u|∂Ω = 0. Ïðè ýòîì íà ìåìáðàíó äåéf (x), è ìåìáðàíà èìååò îãðàíè÷åíèå ñíèçó âèäà u(x) ≥ ϕ(x). (Îò ïðåïÿòñòâèÿ ϕ(x) è ïðîèçîøëî íàçâàíèå çàäà÷è.) Çàäà÷à 5.1. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî X∂ âûïóêëî è çàìêíóòî â H01 (Ω). çàêðåïëåííîé íà

ñòâóåò ñèëà ñ ïëîòíîñòüþ

Çàäà÷à 5.2. ðûâíîâòü íà

Äîêàçàòü âûïóêëîñòü ôóíêöèîíàëà (5.4) è åãî íåïðå-

H01 (Ω).

Çàäà÷à 5.3.

Äîêàçàòü, ÷òî

J(u) → ∞

öèîíàë (5.4).

31

ïðè

kukH01 → ∞,

ãäå

J

- ôóíê-

Çàäà÷à (5.4) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå uˆ(x) ∈ H01 (Ω). Ýòî ðåøåíèå ìîæåò áûòü îïèñàíî ñ ïîìîùüþ âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà: uˆ ∈ X∂ ∀u ∈ X∂ Z   (∇ˆ u(x), ∇u(x) − ∇ˆ u(x)) − f (x)(u(x) − uˆ(x)) dx ≥ 0, (5.5)

Òåîðåìà 5.2.

Ω

ãäå X∂  ìíîæåñòâî

(5.3).

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ñâåäåì çàäà÷ó (5.4) ê àáñòðàêòíîé çàäà÷å (5.1). 1 Ïîëîæèì X = H0 (Ω), òîãäà ìíîæåñòâî X∂ , îïðåäåëåííîå â (5.3), âûïóêëî è çàìêíóòî â X , à çíà÷èò, è ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî. Ôóíêöèîíàë

J(u)

èç (5.4) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåì 1.2 è 5.1.  ÷àñòíîñòè,

åãî êîýðöèòèâíîñòü âûòåêàåò èç î÷åâèäíîãî ñâîéñòâà:

J(u) → ∞

ïðè

kukH01 (Ω) → ∞,

à ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäè1 ìîñòè  èç åãî âûïóêëîñòè è íåïðåðûâíîñòè íà H0 (Ω). Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ òåîðåìû 1.2,5.1 è ñëåäñòâèÿ 1.1, 1.2, ìû óñòàíîâèì ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ, à òàêæå åãî õàðàêòåðèçàöèþ ñ ïîìîùüþ âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà (5.2), êîòîðîå â ñëó÷àå çàäà÷è (5.4) èìååò âèä (5.5).  òîì ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà â çàäà÷å (5.1) A = X , íåðàâåíñòâî (5.2) 0 ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî hf (x), ϕi = 0 ∀ϕ ∈ X . ×òîáû åãî ïîëó÷èòü, äîñòàòî÷íî â (5.2) âçÿòü

x = xˆ ± ϕ.

Ïðèìåíÿÿ ýòî ðàâåíñòâî ê ýêñòðå-

ìàëüíîé çàäà÷å

Z J(u) =


|∇u(x)|2 − 2u(x)f (x) dx → inf, u|∂Ω = 0,

(5.6)

Ω â êîòîðîé

X = H01 (Ω),

ïîëó÷èì, ÷òî ñïðàâåäëèâî

Äëÿ ëþáîãî f ∈ L2 (Ω) çàäà÷à (5.6) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå uˆ(x) ∈ H01 (Ω) è ýòî ðåøåíèå îïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà Z Z (∇ˆ u(x), ∇ϕ(x)) dx = f (x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ H01 (Ω). (5.7) Ïðåäëîæåíèå 5.1.

Ω Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî

Ω

uˆ(x)

â (5.7)  äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ,

òî èíòåãðèðóÿ â ëåâîé ÷àñòè (5.7) ïî ÷àñòÿì è ó÷èòûâàÿ, ÷òî

32

uˆ|∂Ω =

ϕ|∂Ω = 0

ïîëó÷èì, ÷òî

uˆ(x)

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è Äèðèõëå

äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà:

−∆ˆ u(x) = f (x), x ∈ Ω, uˆ|∂Ω = 0, (ãäå

−∆ = −

Pd

j=1

(5.8)

∂ 2 /∂x2j ).

Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ íèåì çàäà÷è (5.8), åñëè

uˆ

uˆ(x) ∈ H01 (Ω) íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì ðåøå-

óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðàëüíîìó ðàâåíñòâó (5.7).

Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå

uˆ(x)

ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è (5.7) ÿâëÿåòñÿ

îáîáùåííûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (5.8). Ïðåäëîæåíèå 5.1 àâòîìàòè÷åñêè óñòàíàâëèâàåò ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà.

6

Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè.

 ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì èçó÷àòü çàäà÷è óïðàâëåíèÿ: àáñòðàêòíóþ çàäà÷ó è îäíó çàäà÷ó ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè: ìû äîêàæåè èõ ðàçðåøèìîñòü è äëÿ ðåøåíèÿ âòîðîé çàäà÷è âûâåäåì ñèñòåìó îïòèìàëüíîñòè. Áîëåå ïîëíî ýòà òåìà èññëåäîâàíà â [F]

6.1

Àáñòðàêòíàÿ íåëèíåéíàÿ çàäà÷à óïðàâëåíèÿ

Ïóñòü

Y, V

 ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà,

Y1 , U

 ðåôëåê-

Y1 íåïðåðûâíî âëîæåíî â Y , U∂  U , L : Y1 × U → V ëèíåïðåðûâíûå îïåðàòîðû, J(y, u) :

ñèâíûå áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà, ïðè÷åì

âûïóêëîå çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà

F : Y1 → V íåëèíåéíûé Y × U → R  ñîáñòâåííûé ôóíêöèîíàë, ïîëóíåïðåðûâíûé ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè â Y × U . Ðàññìàòðèâàåòñÿ ýêñòðåìàëüíàÿ

íåéíûé, à

çàäà÷à

J(u, y) → inf, L(y, u) + F (y) = 0, u ∈ U∂ . Ïàðà

(y, u) ∈ Y1 × U

(6.1)

íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìîé, åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò

âòîðîìó è òðåòüåìó èç ñîîòíîøåíèé (6.1) è äîïóñòèìûõ ïàð îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì

J(u, y) < ∞.

Ìíîæåñòâî

A.

Ðåøåíèåì çàäà÷è (6.1) íàçûâàåòñÿ òàêàÿ äîïóñòèìàÿ ïàðà ÷òî

J(ˆ y , uˆ) = inf J(y, u) ≡ Jmin . (y,u)∈A

33

(ˆ y , uˆ) ∈ A,

Íà çàäà÷ó (6.1) íàêëàäûâàþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: Óñëîâèå 6.1. Óñëîâèå 6.2.

(íåòðèâèàëüíîñòè). A 6= ∅ (êîýðöèòèâíîñòè). Ñóùåñòâóåò òàêîå λ ∈ R, ÷òî

ìíîæåñòâî Aλ = {(y, u) ∈ A: J(y, u) ≤ λ} íåïóñòî è îãðàíè÷åíî â Y1 × U . Óñëîâèå 6.3.

(êîìïàêòíîñòè). Ñóùåñòâóåò íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàí-

ñòâî Y−1 , ñîäåðæàùåå Y , ïðè÷åì âëîæåíèå Y1 ⊂ Y−1 âïîëíå íåïðåðûâíî, è âûïîëíåíî óñëîâèå: äëÿ ëþáîãî ôóíêöèîíàëà s èç íåêîòîðîãî âñþäó ïëîòíîãî ìíîæåñòâà S ⊂ V ∗ ôóíêöèÿ y 7→ hF (y), si ïðîäîëæàåòñÿ ñ ïðîñòðàíñòâà Y1 äî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà íà ïðîñòðàíñòâå Y−1 . Ïðè âûïîëíåíèè ïåðå÷èñëåííûõ âûøå óñëîâèé ñóùåñòâóåò ðåøåíèå (ˆ y , uˆ) çàäà÷è (6.1). Òåîðåìà 6.1.

Äîêàçàòåëüñòâî. ìèçèðóþùàÿ

Ïóñòü

(yn , un ) ∈ A

 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ìèíè-

J: J(yn , un ) −→ Jmin ≡ inf J(y, u). n→∞

 ñèëó óñëîâèÿ êîýðöèòèâíîñòè

(y,u)∈A

kyn kY1 + kun kU ≤ C

Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ ðåôëåêñèâíîñòü ïðîñòðàíñòâà

è C íå çàâèñèò îò n. Y1 × U , è ïåðåõîäÿ,

åñëè íóæíî, ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

yn → yˆ

ñëàáî â

Y1 , un → uˆ

 ñèëó âûïóêëîñòè è çàìêíóòîñòè ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå ∗ ∗

uˆ ∈ U∂ .

U∂ ,

ñëàáî â

óñëîâèÿ

U.

un ∈ U∂

è ñëåäñòâèÿ 1.1

Êðîìå òîãî, äëÿ ëþáîãî ôóíêöèîíàëà

v ∈V

hv ∗ , L(yn , un )i = hL∗ v ∗ , (yn , un )i −→ hL∗ v ∗ , (ˆ y , uˆ)i = hv ∗ , L(ˆ y , vˆ)i. n→∞

Òàê êàê âëîæåíèå

Y−1 . s∈S ⊂V∗

ñèëüíî â

Y1 ⊂ Y−1

âïîëíå íåïðåðûâíî,

yn → yˆ

ïðè

n → ∞

Ïîýòîìó â ñèëó Óñëîâèÿ 6.3 (êîìïàêòíîñòè) äëÿ ëþáîãî

hF (yn ), si −→ hF (ˆ y ), si. n→∞

(yn , un ) n → ∞ â ýòîì

Ïîäñòàâèâ

âî âòîðîå èç ñîîòíîøåíèé (6.1), ïåðåéäåì ê ïðåäåëó

ïðè

ðàâåíñòâå, ó÷èòûâàÿ ïîëó÷åííûå âûøå ñîîòíîøåíèÿ.

34

L(ˆ y , uˆ) + F (ˆ y ) = 0, êîòîðîå âìåñòå ñ âêëþ÷åíèåì u ˆ ∈ U∂ äîêàçûâàåò, ÷òî (ˆ y , uˆ) ∈ A. Òàê êàê âëîæåíèå Y1 ⊂ Y íåïðåðûâíî, yn → y ˆ ñëàáî â Y è ïîýòîìó  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ðàâåíñòâî

−∞ < J(ˆ y , uˆ) ≤ lim J(yn , un ) = Jmin . n→∞

(ˆ y , uˆ)  ðåøåíèå çàäà÷è (6.1), à ôóíêöèîíàë J ìíîæåñòâå A.

Ñëåäîâàòåëüíî ñíèçó íà

îãðàíè÷åí

Î÷åâèäíî, çàäà÷à (6.1) ÿâëÿåòñÿ ñïåöèôèêàöèåé çàäà÷è (1.1) èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, çàäà÷è (5.1). Ñóùåñòâåííîñòü ïðåäïîëîæåíèé òåîðåìû 1.2 î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ çàäà÷è (5.1) ïîäðîáíî îáñóæäàëàñü íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ. Ýòè ïðèìåðû àâòîìàòè÷åñêè ïîäòâåðæäàþò ñóùåñòâåííîñòü âñåõ óñëîâèé òåîðåìû 6.1 äîêàçàííîé âûøå, çà èñêëþ÷åíèåì óñëîâèÿ 6.3 (êîìïàêòíîñòè). Äëÿ ïðîâåðêè ñóùåñòâåííîñòè ýòîãî óñëîâèÿ ðàññìîòðèì çàäà÷ó

1

Z

(y 2 (t) + u2 (t)) dt → inf, u(t) + y(t) ˙ 2 = 1, y(0) = y(1) = 0.

J(y, u) = 0

(6.2) Âûðàçèâ

u(t)

÷åðåç

y(t) ˙

èç âòîðîãî ñîîòíîøåíèÿ è ïîäñòàâèâ ýòî âû-

ðàæåíèå â ïåðâîå ñîîòíîøåíèå, ïîëó÷èì çàäà÷ó èç ïðèìåðà 2.1 Áîëüöà.  ýòîì ïðèìåðå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî çàäà÷à Áîëüöà íå èìååò ðåøåíèÿ x ∈ W41 (0, 1). Ñëåäîâàòåëüíî, íå èìååò ðåøåíèÿ (y, u) â ïðîñòðàíñòâå W41 (0, 1) × L2 (0, 1) è çàäà÷à (6.2). Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òî çàäà÷à (6.2) óäîâëåòâîðÿåò âñåì ïðåäïîëîæåíèÿì òåîðåìû 6.1 çà èñêëþ÷åíèåì óñëîâèÿ êîìïàêòíîñòè. Îòñþäà âñëåäñòâèå îòñóòñòâèÿ ðåøåíèé ó (6.2), áóäåò ñëåäîâàòü äâà ôàêòà: à) Çàäà÷à (6.2) óñëîâèþ 6.3 (êîìïàêòíîñòè) íå óäîâëåòâîðÿåò, è á) Ýòî óñëîâèå êîìïàêòíîñòè ñóùåñòâåííî äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû 6.1.

Çàäà÷à (6.2) óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì òåîðåêðîìå óñëîâèÿ (6.3) (êîìïàêòíîñòè).

Ïðåäëîæåíèå 6.1.

ìû

6.1

Äîêàçàòåëüñòâî.

o 1

Y = U = V = U∂ = L2 (0, 1), Y1 =W 4 (0, 1), L(y, u) = u, F (y) = y˙ − 1, J(y, u)  ôóíêöèîíàë èç (6.2). Ýòîò 2 ôóíêöèîíàë ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì íîðìû ïðîñòðàíñòâà Y ×U = (L2 (0, 1)) Ïîëîæèì 2

è ïîýòîìó âûïóêë è íåïðåðûâåí, à çíà÷èò, è ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè â o 1

Y × U.

W 4 (0, 1) × L2 (0, 1) → L2 (0, 1)

Î÷åâèäíî, îïåðàòîðû L(y, u) = u: o 1 2 è F (y) = y˙ − 1: W 4 (0, 1) → L2 (0, 1) 35

A äîïóñòèìûõ ýëåìåíòîâ íå ïóñòî, òàê êàê, íà(y, u) = (0, 1) ∈ A. Äîêàæåì êîýðöèòèâíîñòü çàäà÷è. Òàê êàê

íåïðåðûâíû. Ìíîæåñòâî ïðèìåð,

o 1

A = {(y, u) ∈W 4 ×L2 : u + y˙ 2 − 1 = 0}, òî   Z 1 o 1 2 2 2 Aλ = (y, u) ∈W 4 ×L2 | u = 1 − y˙ , y + u dt ≤ λ ⊂ 0   Z Z 1 o 1 4 2 2 2 y˙ dt = (1 − u) dt ⊂ ⊂ (y, u) ∈W 4 ×L | kuk ≤ λ, 0   Z 1 √ o 1 2 2 4 2 2 ⊂ (y, u) ∈W 4 ×L | kuk ≤ λ, y˙ dt ≤ (kuk + 1) ≤ ( λ + 1) , 0 ãäå

k · k = k · kL2 (0,1) ,

ïðè÷åì ïåðâîå âêëþ÷åíèå ïîëó÷èëîñü â ðåçóëüòàòå 2 èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâåíñòâà è îòáðàññûâàíèÿ ÷ëåíà ñ y â íåðàâåíñòâå èç

ïåðâîãî ìíîæåñòâà. Ïîñëåäíåå ìíîæåñòâî â öåïî÷êå îãðàíè÷åíî â o 1 U =W 4 ×L2 â ñèëó íåðàâåíñòâà Ôðèäðèõñà (ñì. òåîðåìó 3.5).

6.2

Ïðîñòðàíñòâà

Y1 ×

H −1 (Ω)

Äëÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû 6.1 ê êîíêðåòíûì çàäà÷àì íàì ïîíàäîáèòñÿ −1 ôóíêöèîíàëüíîå ïðîñòðàíñòâî H (Ω). Íà ïðîñòðàíñòâå L2 (Ω) îïðåäåëèì íîðìó

R kf kH −1 (Ω) =

sup ϕ∈H01 (Ω),ϕ6=0

fn ∈ L2 (Ω)

f (x)ϕ(x) dx kϕkH01 (Ω)

L2 (Ω) ïî ýòîé íîðìå. −1  ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïî íîðìå H (Ω) ïîñëåäîâàòåëü-

è îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâî Ïóñòü

H −1 (Ω)

Ω

êàê ïîïîëíåíèå

íîñòü, ðåàëèçóþùàÿ íåêîòîðûé ýëåìåíò ýòîãî ïîïîëíåíèÿ. Èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû

k · kH −1 (Ω) ñëåäóåò, ÷òî Z fn (x)ϕ(x) dx ≤ kfn kH −1 (Ω) kϕkH01 (Ω) . Ω

Çíà÷èò ôóíêöèîíàëû èç ëåâîé ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà, çàäàâàåìûå ýëå1 ìåíòàìè fn , ñòðåìÿòñÿ ê íåêîòîðîìó ôóíêöèîíàëó f íà H0 (Ω), óäîâëåòâîðÿþùåìó íåðàâåíñòâó

|hf, ϕi| ≤ kf kH −1 (Ω) kϕkH01 (Ω) ,

36

h·, ·i

ñëåâà ïîðîæäåíî

H −1 (Ω)

ñïðàâà îïðåäåëÿ-

ïðè÷åì, î÷åâèäíî, ñîîòíîøåíèå äâîéñòâåííîñòè ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì â

L2 (Ω),

à íîðìà

kf k

åòñÿ ðàâåíñòâîì

kf kH −1 (Ω) =

hf, ϕi . ϕ∈H01 (Ω),ϕ6=0 kϕkH01 (Ω) sup

−1 Òàêèì îáðàçîì ïîêàçàíî, ÷òî H (Ω) ñîñòîèò èç ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåé1 −1 (Ω) èçîìîðôíî (H01 (Ω))∗ . íûõ ôóíêöèîíàëîâ íà H0 (Ω). Ïîêàæåì, ÷òî H 1 ∗ Ïóñòü F ∈ (H0 (Ω)) . Ñîãëàñíî òåîðåìå Ðèññà ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ uF ∈ 1 H0 (Ω) òàêàÿ, ÷òî

Z

∇uF (x) · ∇ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ H01 (Ω).

F (ϕ) = Ω

Âçÿâ â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà

ϕ ∈ C0∞ (Ω),

ïîëó÷èì, èñïîëüçóÿ

îïðåäåëåíèå îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé:

Z h−∆uF , ϕi = Ω

∇uF (x) · ∇ϕ(x) dx ≤ k∇uF kL2 (Ω) kϕkH01 (Ω) .

(6.3)

Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà íà kϕkH 1 (Ω) , âçÿâ supremum ïî 0 0 6= ϕ ∈ C0∞ (Ω) è âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé 3.4, ïîëó÷èì, ÷òî −∆uF ∈ H −1 (Ω) è

k − ∆uF kH −1 (Ω) ≤ kuF kH01 (Ω) . Ïîýòîìó äîêàçàíà íåïðåðûâíîñòü îïåðàòîðà

−∆ : H01 (Ω) → H −1 (Ω). Â ñèëó òåîðåìû Ðèññà äëÿ ëþáîãî ÷òî

Z

f ∈ H −1 (Ω)

(6.4) ñóùåñòâóåò

∇u(x) · ∇ϕ(x) dx = hf, ϕi ∀ϕ ∈ H01 (Ω),

u ∈ H01 (Ω), (6.5)

Ω è ïîýòîìó, ó÷èòûâàÿ (6.3), ïîëó÷àåì, ÷òî îïåðàòîð (6.4) ñþðúåêòèâåí. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó òåîðåìû Áàíàõà îá îáðàòíîì îïåðàòîðå äîêàçàíà Ëåììà 6.1.

èH

−1

(Ω).

Îïåðàòîð

(6.4)

óñòàíàâëèâàåò èçîìîðôèçì ìåæäó H01 (Ω)

37

Èòàê, èç òåîðåìû Ðèññà è Ëåììû 6.1 ñëåäóåò èçîìîðôèçì ïðîñòðàíñòâ 1 (H0 (Ω))∗ è H −1 (Ω). 1 Ôóíêöèÿ u ∈ H0 (Ω), óäîâëåòâîðÿþùàÿ (6.5), íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà (ñð. ñ (5.7), (5.8)). Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ è −1 åäèíñòâåííîñòè çàäà÷è (5.8), ïðàâäà, óæå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî f ∈ H (Ω).

6.3

Ïðèìåð çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ

Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìîé ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè.

Z

Z

4

|y(x) − w(x)| dx + N

J(y, u) = Ω

|u(x)|2 dx → inf,

(6.6)

Ω

−∆y(x) + y 2 (x) = f (x) + u(x), x ∈ Ω; y|∂Ω = 0; u ∈ U∂ , ãäå

w ∈ L4 (Ω), f ∈ H −1 (Ω)

 çàäàííûå ôóíêöèè,

N > 0, U∂

(6.7) (6.8)  âûïóêëîå

L2 (Ω). Õàðàêòåðíûìè ïðèìåðàìè U∂ ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå: U∂ = {u ∈ L2 (Ω), kukL2 ≤ R} è U∂ = {u ∈ ¯ , i = 1, 2 è α1 (x) ≤ L2 (Ω) | α1 (x) ≤ u(x) ≤ α2 (x) ï.â.}, ãäå αi (x) ∈ C(Ω) α2 (x) − δ ñ íåêîòîðûì δ > 0. Èñêîìîé ÿâëÿåòñÿ ïàðà (y(x), u(x)). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî y(x) ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (6.7) 1 ñ ïðàâîé ÷àñòüþ f (x)+u(x), ò. å. y ∈ H0 (Ω) óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðàëüíîìó çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà

òîæäåñòâó

Z

(∇y(x) · ∇ϕ(x) + y 2 (x)ϕ(x)) dx = hf + u, ϕi ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω).

Ω Îòìåòèì, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (6.7) íå äîêàçàíî ïðè ïðîèçâîëüíîé ïðàâîé ÷àñòè

f + u.

Áîëåå òîãî, åñòü âñå

îñíîâàíèÿ ïîëàãàòü, ÷òî íå ïðè âñåõ ïðàâûõ ÷àñòÿõ îáîáùåííîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò, à çíà÷èò, íå ïðè âñåõ

U∂

è

f

çàäà÷à áóäåò óäîâëåòâîðÿòü

óñëîâèþ íåòðèâèàëüíîñòè. Ïîýòîìó ìû âûíóæäåíû íàëîæèòü

Ñóùåñòâóåò ïàðà (y, u) ∈ (H01 (Ω) ∩ L4 (Ω)) × L2 (Ω), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñîîòíîøåíèÿì (6.7), (6.8).

Óñëîâèå 6.4.

Óñëîâèå 6.4 áóäåò, íàïðèìåð, âûïîëíåíî, åñëè Òîãäà ïàðà

(y, u) = (0, −f )

f ∈ L2 (Ω)

óäîâëåòâîðÿåò (6.7), (6.8).

38

è

−f ∈ U∂ .

Ïóñòü çàäàíû w ∈ L4 (Ω), f ∈ H −1 (Ω), N > 0 è âûïîëíåíî óñëîâèå 6.4. Òîãäà ñóùåñòâóåò ðåøåíèå (ˆ y , uˆ) ∈ (H01 (Ω) ∩ L4 (Ω)) × L2 (Ω) çàäà÷è (6.6)(6.8).

Òåîðåìà 6.2.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé 6.1. Ïîëîæèì Y = L4 (Ω), Y1 = L4 (Ω)∩H01 (Ω), U = L2 (Ω), V = H −1 (Ω), L(y, u) = −∆y−u, F (y) = y 2 , J(y, u)  ôóíêöèîíàë (6.6). Èç íåïðåðûâíîñòè è âûïóêëîñòè J(y, u) ñëåäóåò åãî ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè â L4 (Ω) × L2 (Ω). Íåïðåðûâ−1 1 (Ω), íîñòü îòîáðàæåíèé L(y, u) = −∆−u : (H0 (Ω)∩L4 (Ω))×L2 (Ω) → H −1 2 1 F (y) = y − f : (L4 (Ω) ∩ H0 (Ω)) → H (Ω) î÷åâèäíà (ñì. ëåììó 6.1), à óñëîâèå íåòðèâèàëüíîñòè ãàðàíòèðîâàíî óñëîâèåì 6.4. Ïðîâåðèì òåïåðü êîýðöèâíîñòü. Èìååì ïðè

λ > 0:

Aλ = {(y, u) ∈ (L4 ∩ H01 ) × L2 | −∆y = f + u − y 2 , J(y, u) ≤ λ} ⊂ √ 4 ⊂ {(y, u) ∈ (L4 ∩ H01 ) × L2 | −∆y = f + u − y 2 , kykL4 ≤ λ + kwkL4 , p kukL2 ≤ λ/N }. Â ñèëó ëåììû 6.1

kykH01 ≤ kf kH −1 + ckukL2 + ckyk2L4

è ïîýòîìó ïîñëåäíåå

èç âûïèñàííûõ âûøå ìíîæåñòâ âêëþ÷àåòñÿ â ìíîæåñòâî

kykH01

√ 4 {(y, u) ∈ (L4 ∩ H01 ) × L2 | kykL4 ≤ λ + kwkL4 , p p √ 4 ≤ c( λ + kwkL4 )2 + kf kH −1 + c λ/N , kukL2 ≤ λ/N },

êîòîðîå, î÷åâèäíî, îãðàíè÷åíî â

(L4 ∩ H01 ) × L2 .

Y−1 = L2 (Ω).  ñèëó îãðàíè÷åííîñòè îáëàñòè Ω, âëîæåíèÿ L4 (Ω) ⊂ L2 (Ω), ò. å. Y ⊂ Y−1 1 íåïðåðûâíî. Ïðîñòðàíñòâî Y1 = L4 (Ω) ∩ H0 (Ω) âïîëíå íåïðåðûâíî âêëàäûâàåòñÿ â Y−1 = L2 (Ω) â ñèëó ëåììû 3.1, â êîòîðîé âçÿòî q = 2. R 2 Î÷åâèäíî, ôóíêöèîíàë y 7→ hF (y), si = y (x)s(x) dx − hf, si íåïðåΩ ∞ ðûâåí íà L2 (Ω) ïðè ëþáîé ôóíêöèè s(x) ∈ C0 (Ω). Òàê êàê ìíîæåñòâî S = C0∞ (Ω) ïëîòíî â H01 (Ω) = (H −1 (Ω))∗ , òî ñïðàâåäëèâîñòü óñëîâèÿ êîìÄîêàæåì, íàêîíåö, óñëîâèå êîìïàêòíîñòè. Ïîëîæèì

ïàêòíîñòè óñòàíîâëåíà. Ñëåäîâàòåëüíî, äîêàçûâàåìàÿ òåîðåìà âûòåêàåò èç òåîðåìû 6.1.

6.4

Ñèñòåìà îïòèìàëüíîñòè

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â çàäà÷å (6.6)(6.8) ñëîâàìè, ðàññìîòðèì çàäà÷ó (6.6), (6.7).

39

U∂ = U = L2 (Ω),

ò. å., äðóãèìè

Íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà î âëîæåíèè ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà, êîòîðàÿ ïðèâîäèòñÿ áåç äîêàçàòåëüñòâà.

(Ñîáîëåâà î âëîæåíèè) Âëîæåíèå H 1 (Ω) ⊂ Lp (Ω) íåïðåðûâíî, åñëè d(1/2 − 1/p) ≤ 1, ãäå d = dimΩ.

Òåîðåìà 6.3.

Ñèñòåìó îïòèìàëüíîñòè, ò. å. íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ 1 çàäà÷è (6.6), (6.7), ìû âûâåäåì â ñëó÷àå, êîãäà H0 (Ω) íåïðåðûâíî âêëà1 1 äûâàåòñÿ â L4 (Ω) è ïîýòîìó Y1 = L4 (Ω) ∩ H0 (Ω) = H0 (Ω).  ñèëó òåîðåìû 6.3 Ñîáîëåâà î âëîæåíèè, ýòî óñëîâèå áóäåò âûïîëíåíî, åñëè

d = dimΩ ≤ 4.

(6.9)

Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (6.9) è (ˆ y , uˆ) ∈ H01 (Ω)×L2 (Ω)  ðåøåíèå çàäà÷è (6.6), (6.7). Òîãäà ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ p ∈ H01 (Ω) òàêàÿ, ÷òî òðîéêà (ˆ y , uˆ, p) óäîâëåòâîðÿåò êðàåâîé çàäà÷å, ñîñòîÿùåé èç ðàâåíñòâ (6.7) è óðàâíåíèé

Òåîðåìà 6.4.

−∆p(x) + 2ˆ y (x)p(x) = −4(ˆ y (x) − w(x))3 , x ∈ Ω; p|∂Ω = 0, p(x) = 2N uˆ(x).

(6.10) (6.11)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì ïðèíöèï Ëàãðàíæà äëÿ ãëàäêîé çàäà÷è:

J(x) → inf, ãäå

J(·) : X → R

F (x) = 0,

F (·) : X → V îïåðàòîð, ñòðîãî ìèíèìóìà x ˆ ýòîé çàäà÷è, ïðè÷åì èçâåñòíî,

 ôóíêöèîíàë è

äèôôåðåíöèðóåìûå â òî÷êå 0 ÷òî îïåðàòîð F (ˆ x) : X → V äåéñòâóåò íà. Òîãäà ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ∗ ∗ ∗ Ëàãðàíæà L(x, v ) = f (x) + hv , F (x)i ïðè íåêîòîðîì v ∈ V îáðàùàåòñÿ ∗ 0 x, v ) = 0. â íóëü â òî÷êå x ˆ: Lx (ˆ 1 −1 Ïîëîæèì X = Y1 × U = H0 (Ω) × L2 (Ω), V = H (Ω), x = (y, u), 2 F (x) = −∆y + y − u − f . Òàê êàê â ñèëó (6.9) è òåîðåìû âëîæåíèÿ 1 1 −1 Ñîáîëåâà H0 (Ω) ⊂ L4 (Ω), òî îïåðàòîð F (x) : H0 (Ω) × L2 (Ω) → H (Ω) ≡ 0 V íåðïåðûâåí. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ F îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

F 0 (ˆ y , uˆ)(y, u) = Fy0 (ˆ y , uˆ)y + Fu0 (ˆ y , uˆ)u = −∆y + 2ˆ y y − u, ïðè÷åì îïåðàòîð

F 0 (ˆ y , uˆ) : H01 (Ω) × L2 (Ω) → H −1 (Ω)

íåïðåðûâåí. ×òî-

áû äîêàçàòü ñþðúåêòèâíîñòü ýòîãî îïåðàòîðà, íóæíî äëÿ ëþáîãî H −1 (Ω) íàéòè (z, v) ∈ H01 (Ω) × L2 (Ω), óäîâëåòâîðÿþùèå ðàâåíñòâó

−∆z(x) + 2ˆ y (x)z(x) − v(x) = g(x). 40

g ∈

(6.12)

z ∈ H01 (Ω) óäîâëåòâîðÿþùèì óðàâíåíèþ −∆z = g . Ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî z äîêàçàíî â ëåììå 6.1. Ïîëîæèì v(x) = 2ˆ y (x)z(x). Òàê êàê y ˆ, z ∈ H01 (Ω), òî â ñèëó âëîæåíèÿ H01 (Ω) ⊂ L4 (Ω), v(x) ∈ L2 (Ω). 1 Î÷åâèäíî, ïîñòðîåííàÿ ïàðà (z, v) ∈ H0 × L2 óäîâëåòâîðÿåò (6.12) è òåì Âîçüìåì

ñàìûì ñïðàâåäëèâîñòü óñëîâèé ïðèìåíèìîñòè ïðèíöèïà Ëàãðàíæà ïðîâåðåíà. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà â ñëó÷àå çàäà÷è (6.6), (6.7) èìååò âèä:

Z

((y − w)4 + N u2 + p(x)(−∆y + y 2 − u)) dx − hp, f i,

L(y, u, p) =

(6.13)

Ω

p ∈ H01 (Ω),

à ñàì ïðèíöèï Ëàãðàíæà ýêâèâàëåíòåí äâóì ñîîòíîøåíèÿì

hL0y (ˆ y , uˆ, p), yi = 0 ∀y ∈ H01 (Ω),

(6.14)

hL0u (ˆ y , uˆ, p), ui

(6.15)

= 0 ∀u ∈ L2 (Ω).

Ïðèìåíÿÿ (6.14) ê (6.13), ïîëó÷èì, ÷òî

Z

[4(ˆ y − w)3 y + p(−∆y + 2ˆ y y)] dx = 0 ∀y ∈ H01 (Ω),

Ω îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

p ∈ H01 (Ω)

ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è

(6.10), êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî îáîáùåííîìó ðåøåíèþ çàäà÷è (6.7), ââåäåííîìó âûøå. Ïðèìåíÿÿ ðàâåíñòâî (6.15) ê (6.13), ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå

Z (2N uˆ(x)u(x) − p(x)u(x))dx = 0 ∀u ∈ L2 (Ω), Ω îòêóäà ñëåäóåò (6.11).

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [I]

Ê.Èîñèäà. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì., Ìèð, 1967.

[KF] À.Í.Êîëìîãîðîâ, Ñ.Â.Ôîìèí. Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ì., Íàóêà, 1968. [K]

Ð.Êóðàíò. Ïðèíöèï Äèðèõëå, êîíôîðìíûå îòîáðàæåíèÿ è ìèíèìàëüíûå ïîâåðõíîñòè. Ì., ÈË., 1953.

41

[M]

C.B.Morrey.

Multiple

integrals

in

the

calculus

of

variations.

Grundlehren math. Wiss. 130, Springer, Berlin, 1966. [F]

À.Â.Ôóðñèêîâ. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ðàñïðåäåëåííûìè ñèñòåìàìè. Òåîðèÿ è ïðèëîæåíèÿ. Íîâîñèáèðñê, Íàó÷íàÿ êíèãà, 1999.

[SU]

Â.À.Ñîëîííèêîâ, Í.Í.Óðàëüöåâà

[E]

Ë.Ê.Ýâàíñ. Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Íîâîñèáèðñê, Òàìàðà Ðîæêîâñêàÿ, 2003.

42