ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МАТЕМАТИКА
Указания к выполнению контрольных заданий Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель:
Воронеж 2007
С.А. Ткачева
2
Утверждено научно-методическим советом математического факультета 28 февраля 2007 года протокол № 6
Рецензент: к.ф.-м.н., доцент Леженина И.Ф.
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов 2 курса очно-заочной формы обучения и 4 курса заочной формы обучения филологического факультета.
Для специальности: 031001(021700) – Филология
3 Элементы теории вероятностей Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений. 1. Основные понятия Опыт, эксперимент, наблюдение, называется испытанием. Примеры испытаний: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости. Результат, исход испытания называют событием. Событиями являются выпадение герба или цифры, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости. События обозначают: А, В, С,… и т.д. Явления, происходящие в результате случайного эксперимента, называются элементарными исходами. Считается, что при проведении случайного эксперимента реализуется только один из возможных элементарных исходов. Если монету подбросить один раз, то элементарными исходами можно считать выпадение герба (Г) или цифры (Ц). Если случайным экспериментом считать троекратное подбрасывание монеты, то элементарными исходами можно считать следующие: ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ. Множество всех элементарных исходов случайного эксперимента называется пространством элементарных исходов. Будем обозначать пространство элементарных исходов буквой Ω (омега большая), i-й элементарный исход будем обозначатьωi (ω-омега малая). Если пространство элементарных исходов содержит n элементарных исходов, то Ω=(ω1, ω2 ,..., ωn ). Для троекратного подбрасывания монеты Ω=(ГГГ, ГГЦ,...ЦЦЦ).
Приведем примеры событий. Пусть бросается игральная кость, и элементарным исходом считается выпавшее число очков: Ω=(1,2,3,4,5,6). A — событие, заключающееся в том, что выпало четное число очков: А=(2,4,6); B — событие, заключающееся в том, что выпало число очков, не меньшее 3-х: B=(3,4,5,6). Говорят, что те исходы, из которых состоит событие А, благоприятствуют событию А.
4 События удобно изображать в виде рисунка, который называется диаграммой Венна. На рисунке 1 пространство элементарных исходов Ω изображено в виде прямоугольника, а множество элементарных исходов, Рис.1 благоприятствующих событию A, заключено в эллипс. Суммой (объединением) двух событий А и B (обозначается AUB ) называется событие, состоящее из всех элементарных исходов, принадлежащих по крайней мере одному из событий А или B. Событие AUB происходит, если происходит по крайней мере одно из событий А или B. Рис.2
Приведем пример объединения событий. Пусть два стрелка стреляют в мишень одновременно, и событие А состоит в том, что в мишень попадает 1-й стрелок, а событие B - в том, что в мишень попадает 2-й. Событие AUB означает, что мишень поражена, или, иначе, что в мишень попал хотя бы один из стрелков. Произведением (пересечением) A∩B событий А и B называется событие, состоящее из всех тех элементарных исходов, которые принадлежат и А и B. На рисунке 3 пересечение событий А и B изображено в виде заштрихованной области. Рис.3
В условиях приведенного выше примера событие A∩B заключается в том, что в мишень попали оба стрелка. Разностью А\B или А-B событий А и B называется событие, состоящее из всех исходов события А, не Рис.4 благоприятствующих событию B. Диаграмма Венна разности событий А и B изображена на рисунке 4. В условиях рассмотренного выше примера событие А\B заключается в том, что первый стрелок попал в мишень, а второй промахнулся.
5 Событие Ω называется достоверным (оно обязательно происходит в результате случайного эксперимента). Пустое множество ∅ называется невозможным событием. Событие A = Ω \ A называется противоположным событию А или дополнением события А. Вероятность события A вычисляется по формуле P( A ) = 1 − p ( A) События А и B называются несовместными, если нет исходов, принадлежащих и А и B, то есть A∩B = ∅. На рисунке 5 изображены несовместные события А и B. Рис.5 2. Определение вероятности Определение 1. Совокупность событий образует полную группу для данного испытания, если его результатом становится хотя бы одно из них. Примеры: выпадение герба и цифры при однократном подбрасывании монеты; попадание в цель и промах при одном выстреле. Рассмотрим полную группу попарно несовместимых событий A1 , A2 ,..., An , связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в этом испытании: 1) множество исходов конечно; 2) все исходы равновозможны, т.е. условия испытания не создают преимущества в появлении какого-либо события перед другими возможными. Определение 2. События A1 , A2 ,..., An , образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями. Определение 3. Событие A называют благоприятствующим событию B , если наступление события A влечет за собой наступление события B . Пример. При бросании игральной кости события A2 , A4 , A6 появление соответственно двух, четырех и шести очков и А - событие, состоящее в появлении четного числа очков; события A2 , A4 , A6 благоприятствуют событию А. Определение 4. Вероятностью P( A) события А называют m числа элементарных событий, благоприятствующих отношение n событию А, к числу элементарных событий, т.е. m P( A) = . n
6 Пример. 1. Вычислить вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Решение. События А- выпадение герба и В – выпадение монеты, образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Здесь n = 2 , событию А благоприятствует само 1 событие А, т.е. m = 1 . Поэтому P( A) = . 2 Пример. 2. Вычислить вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков, делящееся на два (событие А). Решение. Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих элементарных событий 3 (выпадение 2, 4, 6). Поэтому 3 1 P( A) = = . 6 2 Свойства вероятности. 1. Вероятность достоверного события равна единице. 2. Вероятность невозможного события равна нулю. 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P ( A) ≤ 1 . 3. Основные формулы комбинаторики Комбинаторика – раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов). Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его M . Перестановкой из n элементов называется заданный порядок во множестве M . Примеры перестановок: 1) распределение n различных должностей среди n человек; 2) расположение n различных предметов в одном ряду. Сколько различных перестановок можно образовать во множестве M ? Число перестановок обозначается Pn (читается Р из n). Чтобы вывести формулу числа перестановок, представим себе n ячеек, пронумерованных числами 1,2,...n. Все перестановки будем образовывать, располагая элементы Un в этих ячейках. В первую ячейку можно занести любой из n элементов (иначе: первую ячейку можно заполнить n различными способами). Заполнив первую ячейку, можно n-1 способом заполнить вторую ячейку
7 (иначе: при каждом способе заполнения первой ячейки находится n1 способов заполнения второй ячейки). Таким образом существует n(n-1) способов заполнения двух первых ячеек. При заполнении первых двух ячеек можно найти n-2 способов заполнения третьей ячейки, откуда получается, что три ячейки можно заполнить n(n1)(n-2) способами. Продолжая этот процесс, получим, что число способов заполнения n ячеек равно n(n − 1)(n − 2 )...3 ⋅ 2 ⋅1 . Отсюда
Pn = n(n − 1)(n − 2)... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n! По определению считается: 1!= 1 ; 0!= 1 . Пример 1. Для лечения заболевания применяют три лекарства. Полагают, что последовательность, в которой применяют лекарства, оказывает существенное влияние на результат лечения. Сколько имеется различных порядков назначения этих лекарств? Решение. Имеется P3 = 3!= 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 различных порядков назначения трех лекарств. Размещениями из n элементов по k элементов будем называть упорядоченные подмножества, состоящие из k элементов, множества M - (множества, состоящего из n элементов). Число размещений из n элементов по k элементов обозначается Ank (читается "А из n по k"). Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета 1) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и назначить их на 5 различных должностей? 2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в ряд на полке? В задачах о размещениях полагается k < n . В случае, если k = n , то легко получить Ank = Pn = n! Для подсчета Ank используем тот же метод, что использовался для подсчета Pn ,только здесь возьмем лишь k ячеек. Первую ячейку можно заполнить n способами, вторую - при заполненной первой, можно заполнить n-1 способами. Можно продолжать этот процесс до заполнения последней k-й ячейки. Эту ячейку при заполненных первых k-1 ячейках можно заполнить n-(k-1) способами (или n-k+1). Таким образом все k ячеек заполняются числом способов, равным n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 2)(n − k + 1) =
Отсюда получаем: Ank =
n! ( n − k )!
n! (n − k )!
8 Пример 2. Сколько существует различных вариантов выбора четырех кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны? Решение. Число сочетаний из 9 по 4 - A94 , по формуле числа размещений получим:
A94 =
9! 9! = = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024 . (9 − 4)! 5!
Сочетаниями из n элементов по k элементов называются подмножества, состоящие из k элементов множества M (множества, состоящего из n элементов). Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов (но не порядком их расположения, как у размещений). Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается k C n (читается "C из n по k"). Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета числа сочетаний: 1) Сколькими способами можно из 15 человек выбрать 6 кандидатов для назначения на работу в одинаковых должностях? 2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 книг? Выведем формулу для подсчета числа сочетаний. Пусть имеется множество M и нужно образовать упорядоченное подмножество множества M , содержащее k элементов (то есть образовать размещение). Делаем это так: 1) выделим какие-либо k элементов из n элементов множества M . Это, согласно сказанному выше, можно сделать C nk способами; 2) упорядочим выделенные k элементов, что можно сделать Pk = k! способами. Всего можно получить C nk Pk вариантов (упорядоченных подмножеств), откуда следует: Ank = C nk ⋅ Pk , то есть
Cnk
Ank n! = = Pk (n − k )!k!
Пример 3. Сколькими способами можно выбрать 6 человек из 15. Решение. Данное количество человек можно выбрать числом способов, равным 9 C15 =
15! 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 = = 5005 . 9!6! 6⋅5⋅ 4⋅3⋅ 2
9 Пример 4. В лабораторной клетке содержат трех белых и трех коричневых мышей. Найти число способов выбора двух мышей, если они могут быть любого цвета. Решение. В данном случае цвет не существенен. Поэтому имеется
C62 =
6! 5 ⋅ 6 = = 15 2!4! 2
способов выбора двух мышей из шести.
Задачи на подсчет числа подмножеств конечного множества называются комбинаторными. Пример 5. Из набора, содержащего 10 одинаковых на вид электроламп, среди которых 4 бракованных, случайным образом выбирается 5 ламп. Какова вероятность, что среди выбранных ламп будут 2 бракованные? Решение. Прежде всего отметим, что выбор любой пятерки 5 ламп имеет одну и ту же вероятность. Всего существует C10 способов составить такую пятерку, то есть случайный эксперимент 5 в данном случае имеет C10 равновероятных исходов. Сколько из этих исходов удовлетворяют условию "в пятерке две бракованные лампы", то есть сколько исходов принадлежат интересующему нас событию? Каждую интересующую нас пятерку можно составить так: выбрать две бракованные лампы, что можно сделать числом способов, равным C 42 . Каждая пара бракованных ламп может встретиться столько раз, сколькими способами ее можно дополнить тремя небракованными лампами, то есть С63 раз. Получается, что число пятерок, содержащих две бракованные лампы, равно C 42 ⋅ C63 . Отсюда, обозначив искомую вероятность через P , получаем:
C 42 ⋅ C63 10 P= = . 5 21 C10 Пример 6. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различные, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно? Решение. Две последние цифры можно набрать A102 способами, а благоприятствовать событию В (цифры набраны правильно) будет только один способ. Поэтому
10
P( B) =
1 1 1 = = . 2 A10 10 ⋅ 9 90
Лингвистические проблемы. Лингвистам - социалистам по живым и мёртвым языкам, часто приходится разгадывать надписи, сделанные на незнакомых языках. Предположим, что им попался текст, написанный при помощи 26 незнакомых знаков. Эти знаки являются буквами, изображающими каждые один из 26 звуков. Задача. Сколькими способами в этом случае можно сопоставить звуки знакам письма? Решение. Расположим знаки письма в некотором порядке. Тогда каждый способ сопоставления даст некоторую перестановку звуков. Но из 26 звуков можно составить Р26=26! перестановок. А это приблизительно равно 4 ⋅10 26. Проверить все эти возможности непосильная работа не только для человека, но и для электронной вычислительной машины. Поэтому стараются уменьшить число возможностей. Часто удаётся отделить знаки, обозначающие гласные, от знаков, обозначающих согласные (гласные чаще стоят рядом с согласными, чем гласные рядом с гласными или согласные рядом с согласными; наблюдая, какие сочетания знаков чаще всего встречаются, можно отделить знаки для гласных от знаков для согласных). Предположим, что удалось найти 7 знаков для гласных и 19 знаков для согласных. Подсчитаем, во сколько раз уменьшилось число возможностей? 7 знаков для гласных можно переставлять друг с другом 7! способами, а 19 знаков для согласных 19! способами. Общее число комбинаций равно 7!⋅19! . Значит, работа уменьшилась в 26!/ 7!⋅19! ≈ 650000 раз. Стало легче, хотя и 7!⋅19! – очень большое число. Далее разумно подсчитывать частоту появления отдельных знаков. Сравнивая эту частоту с частотой появления букв, в словах близких к данному языку, можно примерно угадать значения некоторых знаков. Другие знаки удаётся найти, сравнив данный текст с тем же текстом на ином языке (древние цари любили вещать о своих «подвигах» на нескольких языках). Предположим, что в результате этой работы опознано 4 гласных и 13 согласных букв. Поэтому ещё остаётся 3⋅! 6!=4320 возможностей. А такое число комбинаций уже можно по порядку проверить, используя электронные вычислительные машины. С аналогичными трудностями встречаются и криптологи – специалисты по расшифровке кодов.
11 5. Формулы сложения вероятностей Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
P( A + B) = P( A) + P ( B)
(1)
Для попарно несовместимых событий A 1 , A 2 ,..., A n P ( A1 , A2 ,..., An ) = P ( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An ) . Сумма вероятностей противоположных событий A и A равна единице: P( A + A ) = P( A) + P( A ) . Пример. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? 3 P( A) = , синий Решение. Вероятность вынуть красный шар 10 5 P( B) = . События А и В несовместны, по формуле (1) 10 3 5 получаем: P( A + B ) = P ( A) + P ( B) = + = 0,8 10 10
6. Условные вероятности Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученный билет? Определим пространство элементарных исходов: Ω=(1,2,3,...,28,29,30). Пусть событие А заключается в том, что студент вытащил выученный билет: А = (1,...,5,25,...,30,), а событие В — в том, что студент вытащил билет из первых двадцати: В = (1,2,3,...,20) Событие А∩В состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 - это вероятность события B. Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В произошло (обозначим её Р(А/В)). Таким образом? решение задачи определяется формулой P(А∩В) = Р(А/В) Р(B)
(1)
Эта формула называется формулой умножения вероятностей, а вероятность Р(А/В) — условной вероятностью события A. Пример 1. Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу один за другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черным?
12 Пусть X — событие, состоящее в извлечении первым белого шара, а Y — событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. Тогда X∩Y событие, заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй — черным. P(Y/X) =3/9 =1/3 — условная вероятность извлечения вторым черного шара, если первым был извлечен белый. Учитывая, что P(X) = 7/10, по формуле умножения вероятностей получаем: P(X∩Y) = 7/30. Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и В называются независимыми), если Р(А/В)=Р(А). За определение независимых событий можно принять следствие последней формулы и формулы умножения P(А∩В) = Р(А) Р(B)
(2)
Таким образом, для независимых событий
P ( AB) = P( A) ⋅ P( B ) , верно также и P ( A B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ); P ( AB ) = P ( A) ⋅ P ( B ); P ( A B ) = P ( A ) ⋅ P( B ); Пример 2. Четыре стрелка одновременно стреляют в цель. Вероятности попадания в цель для каждого стрелка соответственно равны: 0,7; 0,75; 0,7; 0,65. Чему равна вероятность того, что цель будет поражена (хотя бы одним стрелком)? Решение. Обозначим за AI (i = 1,2,3,4) событие, состоящее в том, что i -й стрелок попал в цель. Эти события независимы, их вероятности равны по условию:
P( A1 ) = 0,7; P ( A2 ) = 0,75; P ( A3 ) = 0,7; P ( A4 ) = 0,65; Цель не будет поражена, (событие A ), если все стрелки промахнутся
A = A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 . Вычисляя вероятность, получаем
P( A) = 1 − P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P( A4 ) = 1 − 0,3 ⋅ 0,25 ⋅ 0,3 ⋅ 0,35 = 0,992125. Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:
P( A + B) = P( A) + P( B) − P( AB) .
(3)
13 Пример 3. В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым. Решение. Обозначим A1 - первое растение здорово; A2 - второе растение здорово; A1 + A2 - хотя бы одно растение здорово. Так как события A1 и A2 совместимые, то согласно формуле (3), P( A1 + A2 ) = P( A1 ) + P ( A2 ) − P ( A1 A2 ) = 0,95 + 0,95 − 0,95 ⋅ 0,95 = 0,9975 .
7. Формула полной вероятности Пусть события H1, H2,..., Hn образуют полную группу событий, т.е. 1) все события попарно несовместны: Hi ∩ Hj =∅; i, j=1,2,...,n; i≠j 2) их объединение образует пространство элементарных исходов Ω: Ω=H1U H2U ... U Hn.
Пусть А - некоторое событие: А ⊂ Ω (диаграмма Венна представлена на рисунке 8). Тогда имеет место формула полной вероятности: P(A) = P(A/ H1)P(H1) + P(A/ H2)P(H2) + ...+ P(A/ Hn)P(Hn) n
= ∑ P( A / H i ) P( H i ) i =1
Пример 1. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30%, второго - 50%, третьего - 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной. Решение. Пусть событие H1 состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, H2 на втором, H3 - на третьем заводе. Очевидно: P(H1) = 3/10, P(H2) = 5/10, P(H3) = 2/10. Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/Hi означает событие, состоящее в том, что выбранная бракованная лампа из ламп, произведенных на i-ом заводе. Из условия задачи следует: P (A/H1) = 5/10; P(A/H2) = 3/10; P(A/H3) = 2/10
14 По формуле полной вероятности получаем
3 5 5 3 2 2 17 P( A) = ⋅ + ⋅ + ⋅ = . 10 100 10 100 10 100 500 Формула Байеса Пусть H1,H2,...,Hn - полная группа событий и А⊂Ω - некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности
P( H / A) = k
P ( H I A) k
P(A)
(*)
Здесь P(Hk /A) - условная вероятность события (гипотезы) Hk или вероятность того, что Hk реализуется при условии, что событие А произошло. По теореме умножения вероятностей числитель формулы (*) можно представить в виде P(Hk∩A) = P(A∩Hk) = P(A /Hk) P(Hk) Для представления знаменателя формулы (*) можно использовать формулу полной вероятности n
P( A) = ∑ P ( A / H i ) P ( H i ) i =1
Теперь из (*) можно получить формулу, называемую формулой Байеса:
P( H k / A) =
P( A / H ) P( H k ) k
n ∑ P( A / H i ) i =1
По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы Hk при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез. Пример 1. Рассмотрим приведенную выше задачу об электролампах, только изменим вопрос задачи. Пусть покупатель купил электролампу в этом магазине, и она оказалась бракованной. Найти вероятность того, что эта лампа изготовлена на втором заводе. Решение. Выпишем формулу Байеса для этого случая
P( H 2 / A) =
P( A / H 2 ) P( H 2 ) P( A)
15 Из этой формулы получаем: P(H2 /A) = 15/34.
Контрольные задания 1. В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. Наудачу вынимают одно яйцо. Какова вероятность, что вынутое яйцо некачественное? Отв. 0,05. 2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков. Отв. 0,5. 3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5? Отв. 0,81. 4. В сосуд емкостью 10 литров попала одна болезнетворная бактерия. Какова вероятность зачерпнуть ее при наборе из этого сосуда стакана воды (0,2 л.)? Отв. 0,02. 5. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность выстрела на оценку «хорошо» равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»? Отв. 0,7. 6. Бросается один раз игральная кость. Определить вероятность выпадения 3 или 5 очков. 1 Отв. . 3 6. В урне 30 шаров: 15 белых, 10 красных и 5 синих. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один? Отв. 0,5. 7. В денежно-вещевой лотерее на серию 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет? Отв. 0,2. 8. В колоде 36 карт. Наудачу вынимают из колоды 2 карты. Определите вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз. 3 Отв. . 35 9. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара белые. Отв. 0,1. 10. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд 2 туза?
16
1 . 105 11. Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, вторым стрелком – 0,7. Найти вероятность поражения цели двумя пулями в одном залпе. Отв. 0,56. 12. Найти вероятность одновременного появления герба при одном бросании двух монет. Отв. 0,25. 13. В семье двое детей. Принимая события, состоящие в рождении мальчика и девочки равновероятными, найти вероятность того, что в семье: а) все девочки; б) дети одного пола. Отв. а) 0,25; б) 0,5. 14. Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из двух посеянных семян взойдет какое-либо одно. Отв. 0,91. 15. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута пика или туз? 1 Отв. . 3 16. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет четное или кратное трем число очков. 2 Отв. . 3 17. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна равно 0,8, а второго – 0,9. Найдите вероятность того, что взятая наудачу деталь – стандартная. Отв.0,85. 18. В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки для карманного фонарика. Какова вероятность того, что две вынутые из коробки наудачу батарейки окажутся новыми? 15 Отв. . 28 19. На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово «ЖУК»? 1 Отв. . 6 20. Слово «керамит» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешиваются, и из них извлекаются по очереди четыре карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово «река»? Отв.
17 Отв.
1 . 840
Дискретные случайные величины. Часто результатом случайного эксперимента является число. Например, можно подбросить игральную кость и получить одно из чисел: 1,2,3,4,5,6. Можно подъехать к бензоколонке и обнаружить определённое число автомашин в очереди. Можно выстрелить из пушки и измерить расстояние от места выстрела до места падения снаряда. В таких случаях будем говорить, что имеем дело со случайной величиной. Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимают одно значение из множества возможных значений. Случайные величины будем обозначать: X , Y , Z , … Значения случайной величины будем записывать в виде конечной или бесконечной последовательности x1, x2,…, xn,…. Случайная величина, которая может принимать лишь конечное или счётное число значений, называется дискретной. Рассмотрим дискретную случайную величину X с конечным множеством случайных значений. Величина X считается заданной, если перечислены все ее возможные значения, а также вероятности, с которыми величина X может принять эти значения. Указанный перечень возможных значений и их вероятностей называют законом распределения дискретной случайной величины. Обычно закон распределения дискретной случайной величины представляется в виде таблицы: X P
х1 p1
х2 p2
х3 p3
… …
хn pn
(1)
В дальнейшем будем называть величину pi вероятностью значения хi случайной величины. Так как в результате испытания величина X всегда принимает одно из значений x1 , x2 ,..., xn , то p1 + p2 + ... + pn = 1 . Отметим, что закон распределения содержит всю информацию о случайной величине, и задать случайную величину можно, просто представив её закон распределения. Пример 1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 100000 р., 10 выигрышей по 10000 р., и 100 выигрышей по 1000 р. При общем числе билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.
18 Решение. Здесь возможные значения для X есть: x1 = 0, x2 = 1000, x3 = 10000, x4 = 100000 . Вероятности их будут: p2 = 0,01, p3 = 0,001, p4 = 0,0001, p1 = 1 − 0,01 − 0,001 − 0,0001 = 0,9889. Закон распределения может быть задан таблицей: X
0
100
10000
Р
0,9889
0,01
0,001
100000 0,0001
Математическое ожидание дискретной случайной величины. Пусть задан закон распределения случайной величины X . X P
х1 p1
… хn … pn ожиданием М( X ) дискретной случайной
х2 p2
х3 p3
Математическим величины X называют сумму произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:
M ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xni pn Рассмотрим пример. Пусть в некотором магазине, торгующем электробытовой техникой, получены статистические данные о числе проданных холодильников в каждый день месяца (условно считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней). Эти данные собраны в таблицу Количество проданных холодильников
0
1
2
3
4
5
Число дней, в которые было продано столько холодильников
3
7
8
9
2
1
По этой таблице легко подсчитать число холодильников, проданных в магазине за месяц: 0*1+1*7+2*8+3*9+4*2+5*1 = 63. Чтобы подсчитать среднее число холодильников, продававшихся в один день месяца, нужно эту сумму разделить на 30, в результате получим 2,1. Если в приведенной таблице каждое число второй строки поделить на 30, то получится последовательность дробей
19
1 7 4 3 1 1 ; ; ; ; ; , 10 30 15 10 15 30 каждая из которых представляет собой так называемую относительную частоту, с которой в данный месяц появлялся приведенный в верхней строке объём продаж. Очевидно, что если просуммировать все произведения чисел, стоящих в первой строке таблицы, на их относительные частоты, то получится то же среднее число продававшихся в один день холодильников:
0⋅
1 7 4 3 1 1 + 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ + 4 ⋅ + 5 ⋅ = 2,1 10 30 15 10 15 30
Если бы в последней формуле относительные частоты рассчитывались не для одного месяца, а для существенно большего срока, то при некоторых условиях (например, при отсутствии кризисных явлений, существенно влияющих на спрос населения на дорогостоящие товары) эти относительные частоты можно было бы считать довольно близкими к вероятностям соответствующих значений объёма продаж. Таким образом, приходим к выводу, что математическое ожидание случайной величины – это в некотором смысле её среднее значение. Следует отметить, что случайная величина может вообще не принимать значения, равного её математическому ожиданию. Так, например, случайная величина, принимающая только значения 1 и –1, каждое – с вероятностью 0,5, имеет математическое ожидание, равное нулю. Теорема. Математическое ожидание дискретной случайной величины X приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний) Пример. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной законом распределения 1 0 X Р p q Здесь p + q = 1. M( X ) = 1⋅р + 0⋅q = р Свойства математического ожидания. 1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине.
M (C ) = C
20 множитель можно выносить 2. Постоянный математического ожидания, т. е. M (CX ) = CM ( X ) .
за
знак
3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин X и Y равно сумме их математических ожиданий:
M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y ) . Пример 1. Заданы n одинаково распределённых случайных величин х1, х2, …, хn с законом распределения хi 1 0 P p q Найти математическое ожидание суммы этих случайных величин. Решение. M( x1 + x2 + ... + xn ) = M ( x1 + x2 + ... + xn ) = np Теорема. Если случайные величины X и Y независимы, то М( X Y ) = М( X )⋅М( Y ) Пример 2. Найти математическое ожидание случайной величины Z = X + 2Y , если известны математические ожидания случайных величин X и Y : M ( X ) = 5, M (Y ) = 3.
Решение. Используя свойства 2 и 3 математического ожидания, получаем M ( Z ) = M ( X + 2Y ) = M ( X ) + 2 M (Y ) = 5 + 2 ⋅ 3 = 11 Пример 3. Независимые случайные величины заданы законами распределения 1 2 0,5 1 X Y 0,2 0,8 0,3 0,7 p p Найти математическое ожидание каждой из данных величин: Решение. M ( X ) = 1 ⋅ 0,2 + 2 ⋅ 0,8 = 1,8 , M (Y ) = 0,5 ⋅ 0,3 + 1 ⋅ 0,7 = 0,15 + 0,7 . Случайные величины X и Y независимы, поэтому искомое математическое ожидание
M ( XY ) = M ( X ) ⋅ M (Y ) = 1,8 ⋅ 0,85 = 1,53 . Дисперсия случайной величины. Дисперсия D( X ) случайной величины формулой
X
определяется
21 D( X ) = M( X – M( X ))2 Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. Рассмотрим случайную величину X с законом распределения 1 2 3 X 1 1 1 Р 6 2 3 Вычислим её математическое ожидание. M( X ) = 1⋅ 1 + 2⋅ 1 + 3⋅ 1 = 13 6 2 3 6 Составим закон распределения случайной величины X – M( X ) X– M( X ) Р
5 −7 −1 6 6 6 1 1 1 6 2 3 а затем закон распределения случайной величины (ξ – Mξ)2 (X – 25 49 1 2 36 36 36 M( X )) 1 1 1 Р 2 3 6 Теперь можно рассчитать величину D( X ):
D( X ) =
1.
2. 3. 4. 5.
1 1 25 1 49 1 17 ⋅ + ⋅ + ⋅ = 36 2 36 3 36 6 36
Свойства дисперсии случайной величины Дисперсия дискретной случайной величины X равна разности между математическим ожиданием квадрата величины X и квадратом ее математического ожидания: D( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ) . Дисперсия постоянной величины С равна нулю. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX ) = C 2 D( X ) . Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: Дисперсия разности двух независимых случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий: D( X − Y ) = D( X ) + D(Y ) .
22 Средним квадратичным отклонением σ ( X ) случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии σ ( X ) = D( X ) . Пример 1. Найти дисперсию случайной величины, заданной законом распределения
1 p
X Р
0 q
Решение. Выше было показано, что M( X ) = р. Легко видеть, что M ( X 2 ) = p 2 . Таким образом, получается, что D ( X ) = р – р2 = pq. Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию. Пример 2. Пусть X и Y – независимые случайные величины с заданными законами распределения: X
р
0 0,25
1 0,75
Y
р
1 0,7
2 0,7
Показать, что D( X + Y ) = D ( X ) + D (Y ) .
Непрерывные случайные величины. Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить таблицу распределения. Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной. В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (–∝ ; a), [b;∝), (–∝; ∝). Пусть X – непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала (a, b) и х – действительное число. Под выражением X < x понимается событие «случайная величина X приняла значение, меньшее x ». Вероятность этого события P( X < x) есть некоторая функция переменной x :
F ( X ) = P( X < x)
(1)
23 Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины X называется функция F (X ) , равная вероятности того, что X приняла значения, меньшее X .
Свойства функции распределения 1. 0 ≤ F ( X ) ≤ 1 . 2. F ( X ) - неубывающая функция, т.е., если x1 < x 2 , то F ( x1 ) < F ( x 2 ) 3. Вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал [a, d } равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала (a, b) :
P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a ) Пример 1. Случайная величина задана функцией распределения
⎧0, при x ≤ −1 ⎪x 1 ⎪ F ( x) = ⎨ + , при − 1 < x ≤ 3 . ⎪4 4 ⎪⎩1, при x > 3 Найти вероятность того, что в результате испытания с.в. X примет значение, принадлежащее полуинтервалу [0,2). Решение. Так как на полуинтервале [0,2) F(X )=
x 1 + , то 4 4
P (0 ≤ X < 2) = F (2) − F (0) =
1 1 1 1 + − = . 2 4 4 2
Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины X (или ее плотностью вероятности) называется функция f (x) , равная производной интегральной функции: f (x) = F ′(x)
P(a ≤ X ≤ b) =
b
∫ f (x )dx a
(3)
24 Это равенство можно также p(x)
рассматривать
как
определение
функции f (x) . Отсюда следует, что x1
x2
вероятность попадания случайной
x
величины в любой интервал (х1, х2)
Рис. 1
равна
площади
фигуры,
образованной отрезком [х1, х2] оси х, графиком функции f (x) и вертикальными прямыми х = х1, х = х2, как изображено на рисунке 1. Если
все
возможные
значения
случайной
величины
принадлежат интервалу (а; b), то для f (x) – её плотности распределения справедливо равенство b
∫ f ( x)dx = 1 a
Для удобства иногда считают функцию f (x) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины. Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция f (x) , удовлетворяющая двум условиям: 1) f (x) ≥ 0; ∞
2)
∫ f ( x)dx = 1
−∞
В качестве примера рассмотрим случайную величину X , равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае
f (x) постоянна внутри этого промежутка: ⎧c a ≤ x ≤ b f ( x) = ⎨ ⎩0 x < a; x > b По свойству 2) функции f (x) ∞
b
−∞
a
∫ f ( x)dx = ∫ cdx = c(b − a) = 1
25
1 . График b−a функции f (x) представлен на c = 1 b-a рисунке 2. Для функции распределения справедливо равенство Отсюда
c=
p(x)
x
x
F ( x) =
Рис. 2
∫ f (t )dt .
−∞
Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:
при x ≤ a ⎧0 x ⎪⎪ dt x−a F ( x) = ⎨∫ при a < x < b = b a b a − − a ⎪ ⎪⎩1 при x ≥ b
1
a
График функции F(x) представлен на
b
x
Рис. 3
рисунке 3.
Закон распределения непрерывной случайной величины можно определить заданием либо функции f (x) , либо функции F(x). Функцию дискретной
распределения случайной
F(x)
можно
величины
X,
построить
если
задан
и
для закон
распределения этой случайной величины. Пусть задана дискретная случайная величина ξ с законом распределения X
1
2
3
Р
0,2
0,5
0,3
Построим функцию F(x), используя определение F(x) = P( X ≤ x).
x <1
⎧0 ⎪0,2 ⎪ F ( x) = ⎨ ⎪0,7 ⎪⎩ 1
при 1 ≤ x < 2 при 2 ≤ x < 3
График
функции
при
при
F(x) 1
x≥3
изображён на рисунке 4.
F(x)
1
2 3 Рис. 4
26 Очевидно, что закон распределения дискретной случайной величины можно задать с помощью таблицы, где каждому значению этой случайной величины ставится в соответствие вероятность, или с помощью функции распределения. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Математическое ожидание непрерывной случайной величины ξ определяется равенством
M (X ) =
∞
∫ xf (x )dx
−∞
в предположении, что интеграл существует (сходится). Здесь сохраняется смысл математического ожидания как среднего значения случайной величины. Все свойства математического ожидания, приведённые ранее для дискретных случайных величин, имеют место и для непрерывных случайных величин.
Дисперсия непрерывной случайной величины X определяется равенством D( X ) =
∞
2 ∫ (x − MX ) f (x )dx
−∞
Дисперсия непрерывной случайной величины имеет те же свойства, что и дисперсия дискретной случайной величины. Величина
D( X ) называется среднеквадратическим отклонением.
Напомним читателю, что на обоих приведённых рисунках площади фигур, заключённых между горизонтальной координатной осью и графиками плотности распределения, одинаковы и равны единице. Приведём пример расчёта математического ожидания и дисперсии для случайной величины, равномерно распределённой на промежутке [a; b]. Ранее было получено выражение для плотности распределения такой случайной величины:
27
⎧ 0 ⎪ 1 f ( x) = ⎨ ⎪b − a ⎩ 0
x
при
при a ≤ x ≤ b x>b
при b
1 b 1 x2 M (X ) = xdx = ∫ b−a a b−a 2
= a
1 b2 − a2 a + b = 2 2 b−a
a+b лежит в середине промежутка [a; b], и этот результат 2 можно было получить, используя второе из приведённых выше свойств математического ожидания непрерывной случайной величины. Точка
2 2 b ( 1 ⎛⎜ b 2 a +b⎞ 1 a + b ) b ⎞⎟ ⎛ D( X ) = ∫ ⎜ x − dx = ⎟ ∫ x dx − (a + b )∫ xdx + 4 ∫ dx ⎟ = b − a ⎜⎝ a 2 ⎠ b−a a⎝ a a ⎠
b
(
)
1 b 3 − a 3 (a + b ) b 2 − a 2 (a + b ) (b − a ) (b − a ) = = + − b−a 3 2(b − a ) 4(b − a ) 12 2
2
Отсюда видно, что чем длиннее промежуток, тем больше дисперсия случайной величины, равномерно распределённой на этом промежутке. Пример 1. Плотность распределения случайной величины ξ имеет вид ⎧c cos x − π / 2 ≤ x ≤ π / 2 p ( x) = ⎨ ⎩0 x < −π / 2; x > π / 2 Найти M ( X ) , D( X ), F(x), P (π/6 < х < π/3). Решение. Сначала определим величину параметра с. По свойству нормировки π /2
c
∫ cos xdx = 1
−π / 2
Отсюда следует, что с= 1/2. Математическое ожидание случайной величины равно 0, так как плотность распределения – чётная функция. Дисперсию случайной величины определим по формуле
28
1 D( X ) = 2
π /2
∫x
2
−π / 2
2
cos xdx . Вычислив определённый интеграл, получаем
D( X ) = π /4 – 1. Функция F(x) на промежутке (−∝; –π/2) равна нулю, на промежутке (–π/2; π/2) эта функция равна (1 + sinx)/2, на ∝) функция равна 1. промежутке (π/2; 3 −1 .Пусть случайная величина X P(π / 6 < ξ < π / 3) = (1 + sin x) / 2 ππ // 36 = 4 - число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найдите закон распределения случайной величины X .
29 Контрольные задания 1.
В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается выигрыш
в 5000 р. и 10 выигрышей по 1000 рублей. Найдите закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета. 2.
Закон распределения случайной величины X задан таблицей
X
1
2
3
p
0,3
0,2
0,5
Найти математическое ожидание X . Отв.2,2. 3.
Найти математическое ожидание случайной величины X , зная закон
ее распределения: X
2
3
5
p
0,3
0,1
0,6 Отв.3,9.
4.
Производятся два выстрела с вероятностями попадания в цель,
равными p1 = 0, 4
p2 = 0, 3 . Найдите математическ0ие ожидания общего числа
попаданий. Отв.0,7. 5.
Найдите математическое ожидание суммы числа очков, которые
могут выпасть при одном бросании двух игральных костей. Отв.7. 6.
Найдите математическое ожидание произведения числа очков,
которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей. Отв.12,25. 7.
Независимые случайные величины X и
Y заданы следующими
законами распределения: X
2
4
5
p
0,1
0,3
0,6
Y
7
9
p
0,8
0,2
30 Найдите математическое ожидание случайной величины XY . Отв.32,56. 8.
X , которая задана
Найдите дисперсию случайной величины
следующим законом распределения: X
1
2
5
p
0,3
0,5
0,2 Отв.2,01.
9.
Известны дисперсии двух независимых случайных величин X , Y :
D ( X ) = 4, D(Y ) = 3. Найдите дисперсию суммы этих величин.
Отв.7. 10.
Дисперсия случайной величины X равна 5. Найдите дисперсию
следующих величин: а) X -1; б) -2 X ; в) 3 X +6. Отв.а) 5; б) 20; в) 45. 11.
Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин
X
-2
-1
0
1
2
p
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Отв. M ( X ) = 0,1; D( X ) = 1,29. 12.
Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин
X
1
3
4
6
7
p
0,1
0,1
0,3
0,4
0,1
Отв. M ( X ) = 4,7; D( X ) = 3,01. 13.
Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин
X
5
7
10
15
p
0,2
0,5
0,2
0,1 Отв. M ( X ) = 8; D( X ) = 8.
14.
Случайная величина X принимает только 2 значения: 1 и -1.
Каждое с вероятностью 0,5. Найти
дисперсию
D( X )
и среднее
квадратичное отклонение σ ( X ) . Отв. D( X ) =1, σ ( X ) =1. 15.
Пусть закон распределения случайной величины X задан таблицей
X
4
10
20
p
0,25
0,5
0,25
31 Определить математическое ожидание M ( X );
дисперсию D( X ) и среднее
квадратичное отклонение σ ( X ) . Отв. M ( X ) = 11; D( X ) = 33. σ (Ч ) = 5,75. 16.
Функция распределения случайной величины ξ имеет вид ⎧0 x < 1 ⎪ F ( x) = ⎨0,25 x 3 − x 2 + x − 1 1 ≤ x ≤ 2 ⎪1 x > 2 ⎩ Найти М( X ), D( X ), P (1 < х < 1,5). Плотность распределения случайной величины ξ имеет вид ⎧0 x < 2 ⎪ a F ( x) = ⎨ 2≤ x≤3 x − 1 ⎪ ⎩0 x > 3 Найти М( X ), D( X ), F(x), P (1 < х < 2,5)
(
17.
)
ЛИТЕРАТУРА 1. Воронов М.В. Математика для студентов гуманитарных факультетов / М. В. Воронов, Г.Г. Мещерякова. – Ростов н/Д. : Феникс, 2002. – 384 с. 2. Гресс П.В. Математика для гуманитариев / П.В. Гресс. – М. : Логос, 2003. – 120 с. Электронный каталог Научной библиотеки ВГУ – (htpp://www.lib.vsu.ru)
32
Учебное издание Математическая статистика. Компьютерный практикум Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель: Ткачева Светлана Анатольевна
Редактор Бунина Т.Д.
33
