bbk 22.19 s17 udk 519.6
iZDANIE OSU]ESTWLENO PRI PODDERVKE rOSSIJSKOGO FONDA FUNDAMENTALXNYH ISSLEDOWANIJ PO PROEKTU 95-01-21063
s A MA RS KI J a a m IH AJ LO W a p mATEMATI^ESKOE MODELIROWAm nAUKA fIZMATLIT S
NIE: iDEI. mETODY. pRIMERY. .
.,
.
|
.
.:
.
, 1997. | 320
. |
ISBN 5-02-015186-6.
w MONOGRAFII IZLOVENY UNIWERSALXNYE METODOLOGI^ESKIE PODHODY POZWO LQ@]IE BEZOTNOSITELXNO K KONKRETNYM OBLASTQM PRILOVENIJ STROITX ADEKWAT NYE MATEMATI^ESKIE MODELI IZU^AEMYH OB_EKTOW pREDSTAWLENY METODY I PRIME RY POSTROENIQ I ANALIZA MATEMATI^ESKIH MODELEJ DLQ RAZLI^NYH ZADA^ MEHANIKI FIZIKI BIOLOGII \KONOMIKI SOCIOLOGII NA OSNOWE ISPOLXZOWANIQ FUNDAMENTALX NYH ZAKONOW PRIRODY WARIACIONNYH PRINCIPOW IERARHI^ESKIH CEPO^EK METODA ANALOGIJ dLQ SPECIALISTOW PO MATEMATI^ESKOMU MODELIROWANI@ ASPIRANTOW STUDEN TOW IZU^A@]IH I ISPOLXZU@]IH METODY MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ WY^I SLITELXNOGO \KSPERIMENTA tABL iL bIBLIOGR NAZW ,
-
.
-
,
,
,
,
-
,
,
,
.
,
,
-
,
,
-
.
. 5.
. 123.
. 89
.
nAU^NOE IZDANIE samarskij aLEKSANDR aNDREEWI^ mihajlow aLEKSANDR pETROWI^
,
matemati~eskoe modelirowanie: idei. metody. primery rEDAKTOR e ` hODAN kOMPX@TERNYJ NABOR a s bOLDAREWA n g sIROTENKO .
.
.
.
,
.
.
ib lr OT pODPISANO W PE^ATX S ORIGINAL MAKETA fORMAT = bUMAGA OFSETNAQ pE^ATX OFSETNAQ uSL PE^ L u^ IZD L tIRAV \KZ zAKAZ TIP s iZDATELXSKAQ FIRMA fIZIKO MATEMATI^ESKAQ LITERATURA ran mOSKWA w lENINSKIJ PROSPEKT oTPE^ATANO W mOSKOWSKOJ TIPOGRAFII ran mOSKWA g {UBINSKIJ PER 41787
020297 60
.
.
27.11.91.
-
90 16.
. 20.
.-
25.06.97.
1.
.
. 22.
2000
.
.
.
.
{018.
-
117071
-71,
121099
-99,
, 15
2
., 6
62-97. nAUKA, II POLUGODIE s 1402020000{018 053(02)-97
ISBN 5-02-015186-6
a a sAMARSKIJ a p mIHAJLOW c
.
.
.
.
,
, 1997
oglawlenie wwedenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
glawa I
prostej{ie matemati~eskie modeli i osnownye ponqtiq matemati~eskogo modelirowaniq
x
1. |LEMENTARNYE MATEMATI^ESKIE MODELI . . . . . . . . . . . . . . . .
11
x
2. pRIMERY MODELEJ, POLU^AEMYH IZ FUNDAMENTALXNYH ZAKONOW PRIRODY
26
x
3. wARIACIONNYE PRINCIPY I MATEMATI^ESKIE MODELI . . . . . . . . .
34
x
4. pRIMER IERARHII MODELEJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
x
5. uNIWERSALXNOSTX MATEMATI^ESKIH MODELEJ . . . . . . . . . . . . . .
48
x
6. nEKOTORYE MODELI PROSTEJIH NELINEJNYH OB_EKTOW . . . . . . . .
53
fUNDAMENTALXNYE ZAKONY PRIRODY (11). 2. wARIACIONNYE PRINCIPY (16). pRIMENENIE ANALOGIJ PRI POSTROENII MODELEJ (19). 4. iERARHI^ESKIJ PODHOD K POLU^ENI@ MODELEJ (21). 5. o NELINEJNOSTI MATEMATI^ESKIH MODELEJ (23). 6. pREDWARITELXNYE WYWODY (25). uPRAVNENIQ (26). 1. 3.
tRAEKTORIQ WSPLYTIQ PODWODNOJ LODKI (26). 2. oTKLONENIE ZARQVENNOJ ^ASTICY W \LEKTRONNO-LU^EWOJ TRUBKE (28). 3. kOLEBANIQ KOLEC sATURNA (30). 4. dWIVENIE ARIKA, PRISOEDINENNOGO K PRUVINE (32). 5. zAKL@^ENIE (33). uPRAVNENIQ (34). 1.
oB]AQ SHEMA PRINCIPA gAMILXTONA (34). 2. tRETIJ SPOSOB POLU^ENIQ MODELI SISTEMY ARIK|PRUVINA (35). 3. kOLEBANIQ MAQTNIKA W POLE SIL TQVESTI (37). 4. zAKL@^ENIE (39). uPRAVNENIQ (40). 1.
rAZLI^NYE WARIANTY DEJSTWIQ ZADANNOJ WNENEJ SILY (40). 2. dWIVENIE TO^KI KREPLENIQ, PRUVINA NA WRA]A@]EMSQ STERVNE (41). 3. u^ET SIL TRENIQ (42). 4. dWA TIPA NELINEJNYH MODELEJ SISTEMY ARIK|PRUVINA (44). 5. zAKL@^ENIE (47). uPRAVNENIQ (47). 1.
vIDKOSTX W U-OBRAZNOM SOSUDE (48). 2. kOLEBATELXNYJ \LEKTRI^ESKIJ KONTUR (49). 3. mALYE KOLEBANIQ PRI WZAIMODEJSTWII DWUH BIOLOGI^ESKIH POPULQCIJ (50). 4. pROSTEJAQ MODELX IZMENENIQ ZARPLATY I ZANQTOSTI (51). 5. zAKL@^ENIE (52). uPRAVNENIQ (52). 1.
1. o PROISHOVDENII NELINEJNOSTI (53). 2. tRI REVIMA W NELINEJNOJ MODELI POPULQCII (53). 3. wLIQNIE SILXNOJ NELINEJNOSTI NA PROCESS KOLEBANIJ (55). 4. o ^ISLENNYH METODAH (56). uPRAVNENIQ (57).
g l a w a II
polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow prirody
x
1. sOHRANENIE MASSY WE]ESTWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
x
2. sOHRANENIE \NERGII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
x
3. sOHRANENIE ^ISLA ^ASTIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
pOTOK ^ASTIC W TRUBE (58). 2. oSNOWNYE PREDPOLOVENIQ O GRAWITACIONNOM REVIME TE^ENIQ GRUNTOWYH WOD (60). 3. bALANS MASSY W \LEMENTE GRUNTA (61). 4. zAMYKANIE ZAKONA SOHRANENIQ MASSY (63). 5. o NEKOTORYH SWOJSTWAH URAWNENIQ bUSSINESKA (64). uPRAVNENIQ (66). 1.
pREDWARITELXNYE SWEDENIQ O PROCESSAH TEPLOPEREDA^I (66). 2. wYWOD ZAKONA fURXE IZ MOLEKULQRNO-KINETI^ESKIH PREDSTAWLENIJ (68). 3. uRAWNENIE BALANSA TEPLA (70). 4. pOSTANOWKA TIPI^NYH KRAEWYH USLOWIJ DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI (72). 5. oB OSOBENNOSTQH MODELEJ TEPLOPEREDA^I (74). uPRAVNENIQ (76). 1.
oSNOWNYE PONQTIQ TEORII TEPLOWOGO IZLU^ENIQ (76). 2. uRAWNENIE BALANSA ^ISLA FOTONOW W SREDE (78). 3. nEKOTORYE SWOJSTWA URAWNENIQ PERENOSA IZLU^ENIQ (80). uPRAVNENIQ (82). 1.
1
4
x
oglawlenie 4. sOWMESTNOE PRIMENENIE NESKOLXKIH FUNDAMENTALXNYH ZAKONOW . . .
pREDWARITELXNYE PONQTIQ GAZOWOJ DINAMIKI (82). 2. uRAWNENIE NERAZRYWNOSTI DLQ SVIMAEMOGO GAZA (83). 3. uRAWNENIQ DWIVENIQ GAZA (84). 4. uRAWNENIE \NERGII (85). 5. uRAWNENIQ GAZOWOJ DINAMIKI W LAGRANVEWYH KOORDINATAH (86). 6. kRAEWYE USLOWIQ DLQ URAWNENIJ GAZOWOJ DINAMIKI (88). 7. nEKOTORYE OSOBENNOSTI MODELEJ GAZOWOJ DINAMIKI (90). uPRAVNENIQ (92). 1.
82
g l a w a III
x
modeli iz wariacionnyh principow ierarhii modelej
,
1. uRAWNENIQ DWIVENIQ, WARIACIONNYE PRINCIPY I ZAKONY SOHRANENIQ W MEHANIKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
x
2. mODELI NEKOTORYH MEHANI^ESKIH SISTEM . . . . . . . . . . . . . . .
105
x
3. uRAWNENIE bOLXCMANA I PROIZWODNYE OT NEGO . . . . . . . . . . . . .
118
uRAWNENIQ DWIVENIQ MEHANI^ESKOJ SISTEMY W FORME nX@TONA (93). 2. uRAWNENIQ DWIVENIQ W FORME lAGRANVA (95). 3. wARIACIONNYJ PRINCIP gAMILXTONA (99). 4. zAKONY SOHRANENIQ I SWOJSTWA PROSTRANSTWA-WREMENI (101). uPRAVNENIQ (105). 1.
mAQTNIK NA SWOBODNOJ PODWESKE (105). 2. nEPOTENCIALXNYE KOLEBANIQ mALYE KOLEBANIQ STRUNY (111). 4. |LEKTROMEHANI^ESKAQ ANALOGIQ uPRAVNENIQ (117). 1. 3.
(109). (115).
oPISANIE SOWOKUPNOSTI ^ASTIC S POMO]X@ FUNKCII RASPREDELENIQ (118). uRAWNENIE bOLXCMANA DLQ FUNKCII RASPREDELENIQ (120). 3. rASPREDELENIE mAKSWELLA I H -TEOREMA (121). 4. uRAWNENIQ DLQ MOMENTOW FUNKCII RASPREDELENIQ (124). 5. cEPO^KA GIDRODINAMI^ESKIH MODELEJ GAZA (130). uPRAVNENIQ (135). 1. 2.
gl a w a IV
modeli nekotoryh trudnoformalizuemyh obektow
x
1. uNIWERSALXNOSTX MATEMATI^ESKIH MODELEJ . . . . . . . . . . . . . .
136
x
2. nEKOTORYE MODELI FINANSOWYH I \KONOMI^ESKIH PROCESSOW . . . . .
150
x
3. nEKOTORYE MODELI SOPERNI^ESTWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
x
4. dINAMIKA RASPREDELENIQ WLASTI W IERARHII . . . . . . . . . . . . .
180
dINAMIKA SKOPLENIQ AMEB (136). 2. sLU^AJNYJ MARKOWSKIJ PROCESS (140). pRIMERY ANALOGIJ MEVDU MEHANI^ESKIMI, TERMODINAMI^ESKIMI I \KONOMI^ESKIMI OB_EKTAMI (146). uPRAVNENIQ (150). 1. 3.
oRGANIZACIQ REKLAMNOJ KAMPANII (150). 2. wZAIMOZA^ET DOLGOW PREDPRIQTIJ (154). 3. mAKROMODELX RAWNOWESIQ RYNO^NOJ \KONOMIKI (160). 4. mAKROMODELX \KONOMI^ESKOGO ROSTA (167). uPRAVNENIQ (169). 1.
wZAIMOOTNOENIQ W SISTEME HI]NIK|VERTWA (171). 2. gONKA WOORUVENIJ MEVDU DWUMQ STRANAMI (173). 3. bOEWYE DEJSTWIQ DWUH ARMIJ (175). uPRAVNENIQ (179). 1.
oB]AQ POSTANOWKA ZADA^I I TERMINOLOGIQ (180). 2. mEHANIZMY PERERASPREDELENIQ WLASTI WNUTRI IERARHI^ESKOJ STRUKTURY (186). 3. bALANS WLASTI W INSTANCII, USLOWIQ NA EE GRANICAH I PEREHOD K NEPRERYWNOJ MODELI (189). 4. pRAWOWAQ SISTEMA WLASTX|OB]ESTWO. sTACIONARNYE RASPREDELENIQ I WYHOD WLASTI ZA RAMKI POLNOMO^IJ (194). 5. rOLX OSNOWNYH HARAKTERISTIK SISTEMY W FENOMENE PREWYENIQ (PRINIVENIQ) WLASTI (198). 6. iNTERPRETACIQ REZULXTATOW I WYWODY (199). uPRAVNENIQ (201). 1.
glawa V
issledowanie matemati~eskih modelej
x
1. pRIMENENIE METODOW PODOBIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202
x
2. pRINCIP MAKSIMUMA I TEOREMY SRAWNENIQ . . . . . . . . . . . . . .
221
x
3. mETOD OSREDNENIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
1. aNALIZ RAZMERNOSTEJ I GRUPPOWOJ ANALIZ MODELEJ (202). 2. aWTOMODELXNYE (SAMOPODOBNYE) PROCESSY (208). 3. rAZLI^NYE REVIMY RASPROSTRANENIQ WOZMU]ENIJ W NELINEJNYH SREDAH (214). uPRAVNENIQ (221).
fORMULIROWKA, NEKOTORYE SLEDSTWIQ (221). 2. kLASSIFIKACIQ REVIMOW S OBOSTRENIEM (226). 3. rASIRENIE AWTOMODELXNOGO METODA (229). uPRAVNENIQ (234). 1.
lOKALIZOWANNYE STRUKTURY W NELINEJNYH SREDAH (235). 2. rAZLI^NYE SPOSOBY OSREDNENIQ (238). 3. kLASSIFIKACIQ REVIMOW GORENIQ TEPLOPROWODNOJ SREDY (241). uPRAVNENIQ (246). 1.
x
oglawlenie 4. o PEREHODE K DISKRETNYM MODELQM . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. nEOBHODIMOSTX ^ISLENNOGO MODELIROWANIQ, \LEMENTARNYE PONQTIQ TEORII RAZNOSTNYH SHEM (246). 2. nEPOSREDSTWENNAQ FORMALXNAQ APPROKSIMACIQ (251). 3. iNTEGRO-INTERPOLQCIONNYJ METOD (256). 4. pRINCIP POLNOJ KONSERWATIWNOSTI (259). 5. pOSTROENIE RAZNOSTNYH SHEM S POMO]X@ WARIACIONNYH PRINCIPOW (262). 6. iSPOLXZOWANIE IERARHI^ESKOGO PODHODA K POLU^ENI@ DISKRETNYH MODELEJ (265). uPRAVNENIQ (269).
5 246
gl a w a VI
matemati~eskoe modelirowanie slovnyh obektow
x
1. zADA^I TEHNOLOGII I \KOLOGII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270
x
2. fUNDAMENTALXNYE PROBLEMY ESTESTWOZNANIQ . . . . . . . . . . . . .
283
x
3. wY^ISLITELXNYJ \KSPERIMENT S MODELQMI TRUDNOFORMALIZUEMYH OB_EKTOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
299
spisok literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
1. fIZI^ESKI BEZOPASNYJ QDERNYJ REAKTOR (270). 2. gIDROLOGI^ESKIJ BARXER PROTIW ZAGRQZNENIQ GRUNTOWYH WOD (274). 3. sLOVNYE REVIMY OBTEKANIQ TEL GAZOM (277). 4. |KOLOGI^ESKI PRIEMLEMYE TEHNOLOGII SVIGANIQ UGLEWODORODNYH TOPLIW (281).
1. nELINEJNYE \FFEKTY W LAZERNOJ TERMOQDERNOJ PLAZME (283). 2. mATEMATI^ESKAQ RESTAWRACIQ tUNGUSSKOGO FENOMENA (288). 3. kLIMATI^ESKIE POSLEDSTWIQ QDERNOGO KONFLIKTA (292). 4. mAGNITOGIDRODINAMI^ESKOE DINAMO sOLNCA (296).
1. dISSIPATIWNYE BIOLOGI^ESKIE STRUKTURY (299). 2. pROCESSY W PEREHODNOJ \KONOMIKE (302). 3. tOTALITARNYE I ANARHI^ESKIE \WOL@CII RASPREDELENIQ WLASTI W IERARHIQH (306).
sWETLOJ PAMQTI AKADEMIKA aNDREQ nIKOLAEWI^A tIHONOWA POSWQ]AETSQ
wwedenie nEWOZMOVNO PREDSTAWITX SEBE SOWREMENNU@ NAUKU BEZ IROKOGO PRIMENENIQ MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ. sU]NOSTX \TOJ METODOLOGII SOSTOIT W ZAMENE ISHODNOGO OB_EKTA EGO OBRAZOM | MATEMATI^ESKOJ MODELX@ | I DALXNEJEM IZU^ENII MODELI S POMO]X@ REALIZUEMYH NA KOMPX@TERAH WY^ISLITELXNO-LOGI^ESKIH ALGORITMOW. |TOT TRETIJ METOD POZNANIQ, KONSTRUIROWANIQ, PROEKTIROWANIQ SO^ETAET W SEBE MNOGIE DOSTOINSTWA KAK TEORII, TAK I \KSPERIMENTA. rABOTA NE S SAMIM OB_EKTOM (QWLENIEM, PROCESSOM), A S EGO MODELX@ DAET WOZMOVNOSTX BEZBOLEZNENNO, OTNOSITELXNO BYSTRO I BEZ SU]ESTWENNYH ZATRAT ISSLEDOWATX EGO SWOJSTWA I POWEDENIE W L@BYH MYSLIMYH SITUACIQH (PREIMU]ESTWA TEORII). w TO VE WREMQ WY^ISLITELXNYE (KOMPX@TERNYE, SIMULQCIONNYE, IMITACIONNYE) \KSPERIMENTY S MODELQMI OB_EKTOW POZWOLQ@T, OPIRAQSX NA MO]X SOWREMENNYH WY^ISLITELXNYH METODOW I TEHNI^ESKIH INSTRUMENTOW INFORMATIKI, PODROBNO I GLUBOKO IZU^ATX OB_EKTY W DOSTATO^NOJ POLNOTE, NEDOSTUPNOJ ^ISTO TEORETI^ESKIM PODHODAM (PREIMU]ESTWA \KSPERIMENTA). nEUDIWITELXNO, ^TO METODOLOGIQ MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ BURNO RAZWIWAETSQ, OHWATYWAQ WSE NOWYE SFERY | OT RAZRABOTKI TEHNI^ESKIH SISTEM I UPRAWLENIQ IMI DO ANALIZA SLOVNEJIH \KONOMI^ESKIH I SOCIALXNYH PROCESSOW. |LEMENTY MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ ISPOLXZOWALISX S SAMOGO NA^ALA POQWLENIQ TO^NYH NAUK, I NE SLU^AJNO, ^TO NEKOTORYE METODY WY^ISLENIJ NOSQT IMENA TAKIH KORIFEEW NAUKI, KAK nX@TON I |JLER, A SLOWO ALGORITM PROISHODIT OT IMENI SREDNEWEKOWOGO ARABSKOGO U^ENOGO aLX-hOREZMI. wTOROE ROVDENIE \TOJ METODOLOGII PRILOSX NA KONEC 40-H|NA^ALO 50-H GODOW XX WEKA I BYLO OBUSLOWLENO PO KRAJNEJ MERE DWUMQ PRI^INAMI. pERWAQ IZ NIH | POQWLENIE |wm (KOMPX@TEROW), HOTQ I SKROMNYH PO NYNENIM MERKAM, NO TEM NE MENEE IZBAWIWIH U^ENYH OT OGROMNOJ PO OB_EMU RUTINNOJ WY^ISLITELXNOJ RABOTY. wTORAQ | BESPRECEDENTNYJ SOCIALXNYJ ZAKAZ | WYPOLNENIE NACIONALXNYH PROGRAMM sssr I s{a PO SOZDANI@ RAKETNO-QDERNOGO ]ITA, KOTORYE NE MOGLI BYTX REALIZOWANY TRADICIONNYMI METODAMI. mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE SPRAWILOSX S \TOJ ZADA^EJ: QDERNYE WZRYWY I POLETY RAKET I SPUTNIKOW BYLI PREDWARITELXNO OSU]ESTWLENY W NEDRAH |wm S POMO]X@ MATEMATI^ESKIH MODELEJ I LIX ZATEM PRETWORENY NA PRAKTIKE. |TOT USPEH WO MNOGOM OPREDELIL DALXNEJIE DOSTIVENIQ METODOLOGII, BEZ PRIMENENIQ KOTOROJ W RAZWITYH STRANAH NI ODIN KRUPNOMASTABNYJ TEHNOLOGI^ESKIJ, \KOLOGI^ESKIJ ILI \KONOMI^ESKIJ PROEKT TEPERX WSERXEZ NE
7 RASSMATRIWAETSQ (SKAZANNOE SPRAWEDLIWO I PO OTNOENI@ K NEKOTORYM SOCIALXNO-POLITI^ESKIM PROEKTAM). sEJ^AS MATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE WSTUPAET W TRETIJ PRINCIPIALXNO WAVNYJ \TAP SWOEGO RAZWITIQ, WSTRAIWAQSX W STRUKTURY TAK NAZYWAEMOGO INFORMACIONNOGO OB]ESTWA. wPE^ATLQ@]IJ PROGRESS SREDSTW PERERABOTKI, PEREDA^I I HRANENIQ INFORMACII OTWE^AET MIROWYM TENDENCIQM K USLOVNENI@ I WZAIMNOMU PRONIKNOWENI@ RAZLI^NYH SFER ^ELOWE^ESKOJ DEQTELXNOSTI. bEZ WLADENIQ INFORMACIONNYMI RESURSAMI NELXZQ I DUMATX O REENII WSE BOLEE UKRUPNQ@]IHSQ I WSE BOLEE RAZNOOBRAZNYH PROBLEM, STOQ]IH PERED MIROWYM SOOB]ESTWOM. oDNAKO INFORMACIQ KAK TAKOWAQ ZA^ASTU@ MALO ^TO DAET DLQ ANALIZA I PROGNOZA, DLQ PRINQTIQ REENIJ I KONTROLQ ZA IH ISPOLNENIEM. nUVNY NADEVNYE SPOSOBY PERERABOTKI INFORMACIONNOGO SYRXQ W GOTOWYJ PRODUKT, T. E. W TO^NOE ZNANIE. iSTORIQ METODOLOGII MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ UBEVDAET: ONA MOVET I DOLVNA BYTX INTELLEKTUALXNYM QDROM INFORMACIONNYH TEHNOLOGIJ, WSEGO PROCESSA INFORMATIZACII OB]ESTWA. tEHNI^ESKIE, \KOLOGI^ESKIE, \KONOMI^ESKIE I INYE SISTEMY, IZU^AEMYE SOWREMENNOJ NAUKOJ, BOLXE NE PODDA@TSQ ISSLEDOWANI@ (W NUVNOJ POLNOTE I TO^NOSTI) OBY^NYMI TEORETI^ESKIMI METODAMI. pRQMOJ NATURNYJ \KSPERIMENT NAD NIMI DOLOG, DOROG, ^ASTO LIBO OPASEN, LIBO POPROSTU NEWOZMOVEN, TAK KAK MNOGIE IZ \TIH SISTEM SU]ESTWU@T W EDINSTWENNOM \KZEMPLQRE. cENA OIBOK I PROS^ETOW W OBRA]ENII S NIMI NEDOPUSTIMO WYSOKA. pO\TOMU MATEMATI^ESKOE (IRE | INFORMACIONNOE ) MODELIROWANIE QWLQETSQ NEIZBEVNOJ SOSTAWLQ@]EJ NAU^NO-TEHNI^ESKOGO PROGRESSA. sAMA POSTANOWKA WOPROSA O MATEMATI^ESKOM MODELIROWANII KAKOGO-LIBO OB_EKTA POROVDAET ^ETKIJ PLAN DEJSTWIJ. eGO MOVNO USLOWNO RAZBITX NA TRI \TAPA: MODELX | ALGORITM | PROGRAMMA (SM. SHEMU). wwedenie
nA PERWOM \TAPE WYBIRAETSQ (ILI STROITSQ) \KWIWALENT OB_EKTA, OTRAVA@]IJ W MATEMATI^ESKOJ FORME WAVNEJIE EGO SWOJSTWA | ZAKONY, KOTORYM ON POD^INQETSQ, SWQZI, PRISU]IE SOSTAWLQ@]IM EGO
8
wwedenie
^ASTQM, I T. D. mATEMATI^ESKAQ MODELX (ILI EE FRAGMENTY) ISSLEDUETSQ TEORETI^ESKIMI METODAMI, ^TO POZWOLQET POLU^ITX WAVNYE PREDWARITELXNYE ZNANIQ OB OB_EKTE. wTOROJ \TAP | WYBOR (ILI RAZRABOTKA) ALGORITMA DLQ REALIZACII MODELI NA KOMPX@TERE. mODELX PREDSTAWLQETSQ W FORME, UDOBNOJ DLQ PRIMENENIQ ^ISLENNYH METODOW, OPREDELQETSQ POSLEDOWATELXNOSTX WY^ISLITELXNYH I LOGI^ESKIH OPERACIJ, KOTORYE NUVNO PROIZWESTI, ^TOBY NAJTI ISKOMYE WELI^INY S ZADANNOJ TO^NOSTX@. wY^ISLITELXNYE ALGORITMY DOLVNY NE ISKAVATX OSNOWNYE SWOJSTWA MODELI I, SLEDOWATELXNO, ISHODNOGO OB_EKTA, BYTX \KONOMI^NYMI I ADAPTIRU@]IMISQ K OSOBENNOSTQM REAEMYH ZADA^ I ISPOLXZUEMYH KOMPX@TEROW. nA TRETXEM \TAPE SOZDA@TSQ PROGRAMMY, PEREWODQ]IE MODELX I ALGORITM NA DOSTUPNYJ KOMPX@TERU QZYK. k NIM TAKVE PRED_QWLQ@TSQ TREBOWANIQ \KONOMI^NOSTI I ADAPTIWNOSTI. iH MOVNO NAZWATX \LEKTRONNYM \KWIWALENTOM IZU^AEMOGO OB_EKTA, UVE PRIGODNYM DLQ NEPOSREDSTWENNOGO ISPYTANIQ NA \KSPERIMENTALXNOJ USTANOWKE | KOMPX@TERE. sOZDAW TRIADU MODELX|ALGORITM|PROGRAMMA, ISSLEDOWATELX POLU^AET W RUKI UNIWERSALXNYJ, GIBKIJ I NEDOROGOJ INSTRUMENT, KOTORYJ WNA^ALE OTLAVIWAETSQ, TESTIRUETSQ W PROBNYH WY^ISLITELXNYH \KSPERIMENTAH. pOSLE TOGO KAK ADEKWATNOSTX (DOSTATO^NOE SOOTWETSTWIE) TRIADY ISHODNOMU OB_EKTU UDOSTOWERENA, S MODELX@ PROWODQTSQ RAZNOOBRAZNYE I PODROBNYE OPYTY, DA@]IE WSE TREBUEMYE KA^ESTWENNYE I KOLI^ESTWENNYE SWOJSTWA I HARAKTERISTIKI OB_EKTA. pROCESS MODELIROWANIQ SOPROWOVDAETSQ ULU^ENIEM I UTO^NENIEM, PO MERE NEOBHODIMOSTI, WSEH ZWENXEW TRIADY. bUDU^I METODOLOGIEJ, MATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE NE PODMENQET SOBOJ MATEMATIKU, FIZIKU, BIOLOGI@ I DRUGIE NAU^NYE DISCIPLINY, NE KONKURIRUET S NIMI. nAOBOROT, TRUDNO PEREOCENITX EGO SINTEZIRU@]U@ ROLX. sOZDANIE I PRIMENENIE TRIADY NEWOZMOVNO BEZ OPORY NA SAMYE RAZNYE METODY I PODHODY | OT KA^ESTWENNOGO ANALIZA NELINEJNYH MODELEJ DO SOWREMENNYH QZYKOW PROGRAMMIROWANIQ. oNO DAET NOWYE DOPOLNITELXNYE STIMULY SAMYM RAZNYM NAPRAWLENIQM NAUKI. rASSMATRIWAQ WOPROS IRE, NAPOMNIM, ^TO MODELIROWANIE PRISUTSTWUET PO^TI WO WSEH WIDAH TWOR^ESKOJ AKTIWNOSTI L@DEJ RAZLI^NYH SPECIALXNOSTEJ | ISSLEDOWATELEJ I PREDPRINIMATELEJ, POLITIKOW I WOENA^ALXNIKOW. pRIWNESENIE W \TI SFERY TO^NOGO ZNANIQ POMOGAET OGRANI^ITX INTUITIWNOE UMOZRITELXNOE MODELIROWANIE, RASIRQET POLE PRILOVENIJ RACIONALXNYH METODOW. kONE^NO VE, MATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE PLODOTWORNO LIX PRI WYPOLNENII HOROO IZWESTNYH PROFESSIONALXNYH TREBOWANIJ: ^ETKAQ FORMULIROWKA OSNOWNYH PONQTIJ I PREDPOLOVENIJ, APOSTERIORNYJ ANALIZ ADEKWATNOSTI ISPOLXZUEMYH MODELEJ, GARANTIROWANNAQ TO^NOSTX WY^ISLITELXNYH ALGORITMOW I T. D. eSLI VE GOWORITX O MODELIROWANII SISTEM S U^ASTIEM ^ELOWE^ESKOGO FAKTORA, T. E. TRUDNOFORMALIZUEMYH OB_EKTOW, TO K \TIM TREBOWANIQM NEOBHODIMO DOBAWITX AKKURATNOE RAZGRANI^ENIE MATEMATI^ESKIH I VITEJSKIH TERMINOW (ZWU^A]IH ODINAKOWO, NO IME@]IH RAZNYJ SMYSL), OSTOROVNOE PRIMENENIE UVE GOTOWOGO MATEMATI^ESKO-
wwedenie
9
GO APPARATA K IZU^ENI@ QWLENIJ I PROCESSOW (PREDPO^TITELEN PUTX OT ZADA^I K METODU, A NE NAOBOROT) I RQD DRUGIH. rEAQ PROBLEMY INFORMACIONNOGO OB]ESTWA, BYLO BY NAIWNO UPOWATX TOLXKO NA MO]X KOMPX@TEROW I INYH SREDSTW INFORMATIKI. pOSTOQNNOE SOWERENSTWOWANIE TRIADY MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ I EE WNEDRENIE W SOWREMENNYE INFORMACIONNO-MODELIRU@]IE SISTEMY | METODOLOGI^ESKIJ IMPERATIW. lIX EGO WYPOLNENIE DAET WOZMOVNOSTX POLU^ATX TAK NUVNU@ NAM WYSOKOTEHNOLOGI^NU@, KONKURENTOSPOSOBNU@ I RAZNOOBRAZNU@ MATERIALXNU@ I INTELLEKTUALXNU@ PRODUKCI@. rAZLI^NYM ASPEKTAM MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ POSWQ]ENO NEMALO, HOTQ QWNO NEDOSTATO^NO, HOROIH I RAZNYH KNIG. pRI NAPISANII DANNOJ KNIGI AWTORY STAWILI PERED SOBOJ CELX OTOBRATX I IZLOVITX PODHODY K POSTROENI@ I ANALIZU MATEMATI^ESKIH MODELEJ, OB]IE DLQ RAZLI^NYH OBLASTEJ ZNANIQ, NE ZAWISQ]IE OT KONKRETNOJ SPECIFIKI. oKRUVA@]IJ L@DEJ MIR EDIN, I ISSLEDOWATELI \FFEKTIWNO ISPOLXZU@T \TOT DAR PRIRODY, WYRAVA@]IJSQ W TOM ^ISLE W UNIWERSALXNOSTI MATEMATI^ESKIH MODELEJ. kONE^NO, SODERVANIE KNIGI SWQZANO W OPREDELENNOJ MERE S LI^NYM OPYTOM AWTOROW. tEM NE MENEE, PRIDERVIWAQSX SFORMULIROWANNOJ WYE TO^KI ZRENIQ, NAM BYLO LEG^E RASIRQTX RAMKI IZLOVENIQ I DEMONSTRIROWATX IROKIE WOZMOVNOSTI MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ | OT MEHANIKI DO SOCIALXNYH NAUK. |TIM, KAK POLAGA@T AWTORY, DANNAQ KNIGA I OTLI^AETSQ OT KNIG NAIH KOLLEG. ~TO KASAETSQ STILQ KNIGI, TO MY STREMILISX IZBEGATX GROMOZDKIH I STROGIH PROCEDUR (KOTORYE ZAINTERESOWAWIJSQ ^ITATELX MOVET NAJTI W SPECIALXNYH IZDANIQH), A OBRA]ALI OSNOWNOE WNIMANIE NA OPISANIE IDEJ I SOOTWETSTWU@]IH IM PRIMEROW. pO\TOMU KNIGA SODERVIT BOLXOE KOLI^ESTWO ILL@STRACIJ I UPRAVNENIJ, EE MATERIAL BEZ OSOBYH ZATRUDNENIJ MOVET BYTX ISPOLXZOWAN DLQ FORMIROWANIQ U^EBNYH KURSOW PO RAZLI^NYM KONKRETNYM NAPRAWLENIQM MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ. nEBOLXOJ OB_EM KNIGI NE POZWOLIL OSWETITX RQD WAVNYH TEM HOTELOSX BY BOLEE PODROBNO RASSMOTRETX PODHODY K POSTROENI@ DISKRETNYH MODELEJ I ^ISLENNYE METODY, WOPROSY OSNA]ENIQ MODELEJ I IH IDENTIFIKACII, IH SINTEZA I DEKOMPOZICII I T. D. pO \TOJ VE PRI^INE SPISOK LITERATURY WKL@^AET LIX NEOBHODIMYJ MINIMUM | \TO LIBO RABOTY, REZULXTATY KOTORYH NEPOSREDSTWENNO OTRAVENY W TEKSTE, LIBO KL@^EWYE KNIGI, GDE MOVNO NAJTI DALXNEJIE SSYLKI. pODBOR MATERIALA I MANERA EGO IZLOVENIQ OTWE^A@T KONCEPCIQM OTE^ESTWENNOJ KOLY MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ, WSEGDA NAHODIWEJSQ NA MIROWOM UROWNE I IROKO TRAKTU@]EJ DANNU@ METODOLOGI@. pO\TOMU MY NE MOVEM NAZWATX WSEH SWOIH KOLLEG, OB]ENIE S KOTORYMI TAK ILI INA^E POWLIQLO NA SODERVANIE KNIGI. aWTORY S^ITA@T SWOIM PRIQTNYM DOLGOM POBLAGODARITX DOKTORA FIZIKO-MATEMATI^ESKIH NAUK n. w. zMITRENKO, WZQWEGO NA SEBQ NELEGKIJ TRUD PO PRO^TENI@ RUKOPISI I SDELAWEGO RQD CENNYH ZAME^ANIJ, DOKTOROW FIZIKO-MATEMATI^ESKIH NAUK b. n. ~ETWERUKINA, w. f. tIKINA I AKADEMIKA ran a. a. pETROWA ZA PREDOSTAWLEN-
10
wwedenie
NYE MATERIALY I PLODOTWORNYE DISKUSSII PO AKTUALXNYM PROBLEMAM MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ. aWTORY PRIZNATELXNY TAKVE DOKTORU FIZIKO-MATEMATI^ESKIH NAUK w. q. kARPOWU, KANDIDATU FIZIKOMATEMATI^ESKIH NAUK a. e. kOROLEWU, KANDIDATU TEHNI^ESKIH NAUK w. a. oWSQNNIKOWU, INVENERU w. i. zELEPNEWU, \KONOMISTU o. a. bUSYGINU ZA POLEZNOE OBSUVDENIE NEKOTORYH SPECIALXNYH WOPROSOW. mY BLAGODARNY TAKVE SOTRUDNIKAM iNSTITUTA MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ ran n. g. sIROTENKO I a. s. bOLDAREWU, PROFESSIONALXNO IZGOTOWIWIM ORIGINAL-MAKET KNIGI. nADEEMSQ, ^TO NAA KNIGA BUDET INTERESNA I POLEZNA KAK NA^INA@]IM, TAK I OPYTNYM ISSLEDOWATELQM I PEDAGOGAM, ISPOLXZU@]IM METODY MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ I WY^ISLITELXNOGO \KSPERIMENTA W SWOEJ NAU^NOJ DEQTELXNOSTI. mOSKWA, I@NX 1997 G. a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
g la w a I
prostej{ie matemati~eskie modeli i osnownye ponqtiq matemati~eskogo modelirowaniq x 1. |LEMENTARNYE MATEMATI^ESKIE MODELI
rASSMOTRIM NEKOTORYE PODHODY K POSTROENI@ PROSTEJIH MATEMATI^ESKIH MODELEJ, ILL@STRIRU@]IE PRIMENENIE FUNDAMENTALXNYH ZAKONOW PRIRODY, WARIACIONNYH PRINCIPOW, ANALOGIJ, IERARHI^ESKIH CEPO^EK. nESMOTRQ NA PROSTOTU, PRIWLEKAEMYJ MATERIAL DAST WOZMOVNOSTX NA^ATX OBSUVDENIE TAKIH PONQTIJ, KAK ADEKWATNOSTX MODELEJ, IH OSNA]ENIE, NELINEJNOSTX, ^ISLENNAQ REALIZACIQ I RQDA DRUGIH PRINCIPIALXNYH WOPROSOW MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ. 1. fUNDAMENTALXNYE ZAKONY PRIRODY. nAIBOLEE RASPROSTRANENNYJ METOD POSTROENIQ MODELEJ SOSTOIT W PRIMENENII FUNDAMENTALXNYH ZAKONOW PRIRODY K KONKRETNOJ SITUACII. |TI ZAKONY OB]EPRIZNANY, MNOGOKRATNO PODTWERVDENY OPYTOM, SLUVAT OSNOWOJ MNOVESTWA NAU^NO-TEHNI^ESKIH DOSTIVENIJ. pO\TOMU IH OBOSNOWANNOSTX NE WYZYWAET SOMNENIJ, ^TO, POMIMO WSEGO PRO^EGO, OBESPE^IWAET ISSLEDOWATEL@ MO]NU@ PSIHOLOGI^ESKU@ PODDERVKU. nA PERWYJ PLAN WYDWIGA@TSQ WOPROSY, SWQZANNYE S TEM, KAKOJ ZAKON (ZAKONY) SLEDUET PRIMENQTX W DANNOM SLU^AE I KAK \TO DELATX. A) sOHRANENIE \NERGII. |TOT ZAKON IZWESTEN PO^TI DWESTI LET I ZANIMAET, POVALUJ, NAIBOLEE PO^ETNOE MESTO SREDI WELIKIH ZAKONOW PRIRODY. pOLAGAQSX NA NEGO, \KSPERT PO BALLISTIKE, VELA@]IJ BYSTRO OPREDELITX SKOROSTX REWOLXWERNOJ PULI I NE IME@]IJ POBLIZOSTI SPECIALXNOJ LABORATORII, MOVET WOSPOLXZOWATXSQ OTNOSITELXNO PROSTYM USTROJSTWOM TIPA MAQTNIKA | GRUZA, PODWEENNOGO NA LEGKOM VESTKOM I SWOBODNO WRA]A@]EMSQ STERVNE (RIS. 1). pULQ, ZASTRQWAQ W GRUZE, SOOB]IT SISTEME PULQ| GRUZ SWO@ KINETI^ESKU@ \NERGI@, KOTORAQ rIS. 1 W MOMENT NAIBOLXEGO OTKLONENIQ STERVNQ OT WERTIKALI POLNOSTX@ PEREJDET W POTENCIALXNU@ \NERGI@ SISTEMY. |TI TRANSFORMACII OPISYWA@TSQ CEPO^KOJ RAWENSTW mv2 = (M + m) V 2 = (M + m) gl (1 ; cos ): 2 2
12
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
zDESX mv2 =2 | KINETI^ESKAQ \NERGIQ PULI MASSY m, IME@]EJ SKOROSTX v, M | MASSA GRUZA, V | SKOROSTX SISTEMY PULQ|GRUZ SRAZU POSLE STOLKNOWENIQ, g | USKORENIE SWOBODNOGO PADENIQ, l | DLINA STERVNQ, | UGOL NAIBOLXEGO OTKLONENIQ. iSKOMAQ SKOROSTX OPREDELQETSQ FORMULOJ r (1) v = 2 (M + m) gl (1 ; cos ) m
KOTORAQ BUDET WPOLNE TO^NOJ, ESLI NE U^ITYWAEMYE NAMI POTERI \NERGII NA RAZOGREW PULI I GRUZA, NA PREODOLENIE SOPROTIWLENIQ WOZLUHA, RAZGON STERVNQ I T. D. NEWELIKI. |TO, NA PERWYJ WZGLQD, RAZUMNOE RASSUVDENIE NA SAMOM DELE NEWERNO. pROCESSY, PROISHODQ]IE PRI SLIPANII PULI I MAQTNIKA, UVE NE QWLQ@TSQ ^ISTO MEHANI^ESKIMI. pO\TOMU PRIMENENNYJ DLQ WY^ISLENIQ WELI^INY V ZAKON SOHRANENIQ MEHANI^ESKOJ \NERGII NESPRAWEDLIW: SOHRANQETSQ POLNAQ, A NE MEHANI^ESKAQ \NERGIQ SISTEMY. oN DAET LIX NIVN@@ GRANICU DLQ OCENKI SKOROSTI PULI (DLQ PRAWILXNOGO REENIQ \TOJ PROSTOJ ZADA^I NADO WOSPOLXZOWATXSQ TAKVE ZAKONOM SOHRANENIQ IMPULXSA | SM. UPR. 1). sHODNYE RASSUVDENIQ MOVET PRIMENITX I INVENER DLQ OCENKI WREMENI tk SWERLENIQ SLOQ METALLA TOL]INY L LAZEROM S MO]NOSTX@ W, IZLU^ENIE KOTOROGO PERPENDIKULQRNO POWERHNOSTI MATERIALA (RIS. 2). eSLI \NERGIQ LAZERA POLNOSTX@ IDET NA ISPARENIE STOLBIKA
rIS. 2. nA^ALXNAQ, PROMEVUTO^NAQ I KONE^NAQ STADII SWERLENIQ METALLA LAZEROM
METALLA MASSY LS (S | OBLU^AEMAQ PLO]ADX, LS | OB_EM STOLBIKA, | PLOTNOSTX WE]ESTWA), TO ZAKON SOHRANENIQ \NERGII WYRAVAETSQ RAWENSTWOM E0 = Wtk = hLS
(2)
GDE h | \NERGIQ, TREBUEMAQ DLQ ISPARENIQ EDINICY MASSY. wELI^INA h IMEET SOSTAWNU@ STRUKTURU: h = (TPL ; T ) h1 + h2 + h3 , POSKOLXKU
x 1]
13 MATERIAL NEOBHODIMO POSLEDOWATELXNO NAGRETX DO TEMPERATURY PLAWLENIQ TPL , A ZATEM RASPLAWITX I PREWRATITX W PAR (T | ISHODNAQ TEMPERATURA, h1 | UDELXNAQ TEPLOEMKOSTX, h2 I h3 | SOOTWETSTWENNO UDELXNAQ TEPLOTA PLAWLENIQ I PAROOBRAZOWANIQ). iZMENENIE GLUBINY WYEMKI l(t) SO WREMENEM OPREDELQETSQ IZ DETALXNOGO BALANSA \NERGII W PROMEVUTKE WREMENI OT t DO t + dt. nA |lementarnye matemati~eskie modeli
ISPARENNU@ ZA \TO WREMQ MASSU l(t + dt) ; l(t)] S = dl S TRATITSQ \NERGIQ dl hS, RAWNAQ \NERGII W dt, SOOB]AEMOJ WE]ESTWU LAZEROM: dl hS = W dt
OTKUDA POLU^AETSQ DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE
dl W dt = hS : eGO INTEGRIROWANIE (S U^ETOM TOGO, ^TO NA^ALXNAQ GLUBINA WYEMKI RAWNA NUL@) DAET W t = E(t) l(t) = hS (3) hS GDE E(t) | WSQ \NERGIQ, WYDELENNAQ LAZEROM K MOMENTU WREMENI t. sLEDOWATELXNO, GLUBINA WYEMKI PROPORCIONALXNA ZATRA^ENNOJ \NERGII (PRI^EM WELI^INA tk , KOGDA l(tk ) = L, SOWPADAET S WY^ISLENNOJ PO FORMULE (2)). w DEJSTWITELXNOSTI PROCESS SWERLENIQ GORAZDO SLOVNEE RASSMOTRENNOJ SHEMY | \NERGIQ TRATITSQ NA NAGREW WE]ESTWA, NA UDALENIE PAROW IZ WYEMKI, KOTORAQ MOVET IMETX NEPRAWILXNU@ FORMU, I T. D. pO\TOMU UWERENNOSTX W PRAWILXNOSTI PREDLOVENNOGO MATEMATI^ESKOGO OPISANIQ ZNA^ITELXNO MENXE, ^EM W SLU^AE S PULEJ. wOPROS O SOOTWETSTWII OB_EKTA I EGO MODELI | ODIN IZ CENTRALXNYH W MATEMATI^ESKOM MODELIROWANII, I W DALXNEJEM MY BUDEM NEODNOKRATNO K NEMU WOZWRA]ATXSQ. B) sOHRANENIE MATERII. iMENNO \TIM SOOBRAVENIEM RUKOWODSTWUETSQ KOLXNIK, REA@]IJ ZADA^U O ZAPOLNENII BASSEJNA WODOJ, WTEKA@]EJ I WYTEKA@]EJ IZ DWUH TRUB. kONE^NO VE, OBLASTX PRIMENENIQ \TOGO ZAKONA NESRAWNENNO IRE. pUSTX, NAPRIMER, IMEETSQ NEBOLXOE KOLI^ESTWO RADIOAKTIWNOGO WE]ESTWA (URANA), OKRUVENNOGO TOLSTYM SLOEM OBY^NOGO MATERIALA (SWINCA), | SITUACIQ TIPI^NAQ LIBO PRI HRANENII DELQ]IHSQ MATERIALOW, LIBO PRI IH ISPOLXZOWANII W \NERGETIKE (RIS. 3). pOD SLOWOM NEBOLXOJ PODRAZUMEWAETSQ UPRO]A@]EE OBSTOQTELXSTWO, A IMENNO TO, ^TO WSE PRODUKTY RASPADA, NE ISPYTYWAQ STOLKNOWENIJ S ATOMAMI WE]ESTWA, BESPREPQTSTWENNO POKIDA@T OBLASTX I. dRUGIMI SLOWAMI, DLINA SWOBODNOGO PROBEGA PRODUKTOW RASPADA I W PERWOM WE]ESTWE ZNA^ITELXNO BOLXE HARAKTERNYH RAZMEROW SAMOGO MATERIA-
14
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
LA LI , T. E. I LI . sLOWA TOLSTYJ SLOJ OZNA^A@T, ^TO W SOGLASII S CELQMI HRANENIQ PRODUKTY DELENIQ POLNOSTX@ POGLO]A@TSQ W OBLASTI II. |TO GARANTIRUETSQ PRI WYPOLNENII PROTIWOPOLOVNOGO USLOWIQ II LII , GDE II | DLINA PROBEGA PRODUKTOW RASPADA WO WTOROM WE]ESTWE, LII | EGO HARAKTERNYJ RAZMER. iTAK, WSE, ^TO WYLETAET IZ OBLASTI I, POGLO]AETSQ W OBLASTI II, I SUMMARNAQ MASSA OBOIH WE]ESTW SO WREMENEM NE MENQETSQ. |TO I ESTX ZAKON SOHRANENIQ MATERII, PRIMENENrIS. 3 NYJ K DANNOJ SITUACII. eSLI W NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI t = 0 MASSY WE]ESTW BYLI RAWNY MI (0) I MII (0), TO W L@BOJ MOMENT WREMENI SPRAWEDLIW BALANS MI (0) + MII (0) = MI (t) + MII (t):
(4)
oDNOGO URAWNENIQ (4), O^EWIDNO, NEDOSTATO^NO DLQ OPREDELENIQ TEKU]IH ZNA^ENIJ DWUH MASS | MI (t) I MII (t). dLQ ZAMYKANIQ MATEMATI^ESKOJ FORMULIROWKI NEOBHODIMO PRIWLE^X DOPOLNITELXNOE SOOBRAVENIE O HARAKTERE RASPADA. oNO GLASIT, ^TO SKOROSTX RASPADA (^ISLO ATOMOW, RASPADA@]IHSQ W EDINICU WREMENI) PROPORCIONALXNO OB]EMU ^ISLU ATOMOW RADIOAKTIWNOGO WE]ESTWA. zA NEBOLXOE WREMQ dt MEVDU MOMENTAMI t I t + dt WSEGO RASPADETSQ NI (t + dt) ; NI (t) = ;NI (t + dt) > 0 0 < < 1 ATOMOW. zDESX WTORI^NO ISPOLXZOWAN ZAKON SOHRANENIQ WE]ESTWA, NO PRIMENITELXNO NE KO WSEMU PROCESSU, A K OTREZKU WREMENI dt. w \TOM URAWNENII, OPISYWA@]EM BALANS ATOMOW, W PRAWOJ ^ASTI STOIT ZNAK MINUS (WE]ESTWO UBYWAET), A WELI^INA NI (t + dt) OTWE^AET NEKOTOROMU SREDNEMU ZNA^ENI@ ^ISLA ATOMOW ZA RASSMATRIWAEMOE WREMQ. pEREPIEM EGO W DIFFERENCIALXNOJ FORME:
dNI (t) = ;N (t): I dt u^ITYWAQ, ^TO MI (t) = I NI (t), GDE I | ATOMNYJ WES WE]ESTWA I, PO-
LU^AEM
dMI (t) = ;M (t): I dt
(5) pRI SAMOPROIZWOLXNOJ RADIOAKTIWNOSTI L@BOJ ATOM IMEET NEKOTORU@ NE ZAWISQ]U@ OT SOSTOQNIQ OKRUVA@]EGO WE]ESTWA WEROQTNOSTX RASPADA. pO\TOMU ^EM BOLXE (MENXE) SAMOGO RADIOAKTIWNOGO WE]ESTWA, TEM BOLXE (MENXE) WYDELQETSQ PRODUKTOW RASPADA W EDINICU WREMENI. kO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI > 0 (POSTOQNNAQ RASPADA ) OPREDELQETSQ KONKRETNYM WE]ESTWOM.
x 1]
|lementarnye matemati~eskie modeli
15
uRAWNENIQ (4), (5) WMESTE S USLOWIQMI I LI , II LII , A TAKVE WELI^INAMI , MI (0), MII (0) I SOSTAWLQ@T MATEMATI^ESKU@ MODELX RASSMATRIWAEMOGO OB_EKTA. iNTEGRIRUQ (5), POLU^AEM, ^TO MASSA DELQ]EGOSQ MATERIALA UBYWAET PO \KSPONENCIALXNOMU ZAKONU MI (t) = MI (0) e;t
I PRI t ! 1 W OBLASTI I WE]ESTWO POLNOSTX@ IS^EZAET. tAK KAK SUMMARNAQ MASSA W SOOTWETSTWII S (4) OSTAETSQ POSTOQNNOJ, TO W OBLASTI II KOLI^ESTWO WE]ESTWA RASTET: ; MII (t) = MII (0) + MI (0) ; MI (0) e;t = MII (0) + MI (0) 1 ; e;t I PRI t ! 1 PRODUKTY RASPADA POLNOSTX@ PEREHODQT IZ OBLASTI I W OBLASTX II. W) sOHRANENIE IMPULXSA. nEPODWIVNO STOQ]AQ W BEZWETRENNU@ POGODU NA POWERHNOSTI OZERA LODKA NA^NET DWIGATXSQ WPERED, ESLI SDELATX NESKOLXKO AGOW OT EE NOSA K KORME. tAK PROQWLQET SEBQ ZAKON SOHRANENIQ IMPULXSA, UTWERVDA@]IJ: POLNYJ IMPULXS SISTEMY, NE ISPYTYWA@]EJ DEJSTWIQ WNENIH SIL, SOHRANQETSQ. nA PEREDWIVENIE GREBCA LODKA REAGIRUET SME]ENIEM W PROTIWOPOLOVNU@ STORONU. pRINCIP REAKTIWNOGO DWIVENIQ POLOVEN W OSNOWU MNOGIH ZAME^ATELXNYH TEHNI^ESKIH USTROJSTW, NAPRIMER, RAKETY, WYWODQ]EJ NA ORBITU WOKRUG zEMLI ISKUSSTWENNYJ SPUTNIK, DLQ ^EGO EJ TREBUETSQ RAZWITX SKOROSTX PRIMERNO 8 KM/S. pROSTEJAQ MATEMATI^ESKAQ MODELX DWIVENIQ RAKETY POLU^AETSQ IZ ZAKONA SOHRANENIQ IMPULXSA W PRENEBREVENII SOPROTIWLENIEM WOZDUHA, GRAWITACIEJ I DRUGIMI SILAMI, ISKL@^AQ, KONE^NO, TQGU REAKTIWNYH DWIGATELEJ. pUSTX PRODUKTY SGORANIQ RAKETNOGO TOPLIWA POKIDA@T RASPOLOVENNYE W KORMOWOJ ^ASTI WYHLOPNYE SOPLA SO SKOROSTX@ u (DLQ SOWREMENNYH TOPLIW WELI^INA u RAWNA 3{5 KM/S). zA MALYJ PROMEVUTOK WREMENI dt MEVDU MOMENTAMI t I t + dt ^ASTX TOPLIWA WYGORELA, I MASSA RAKETY IZMENILASX NA WELI^INU dm. iZMENILSQ TAKVE IMPULXS RAKETY, ODNAKO SUMMARNYJ IMPULXS SISTEMY RAKETA PL@S PRODUKTY SGORANIQ OSTALSQ TEM VE, ^TO I W MOMENT t, T. E. m(t) v(t) = m(t + dt) v(t + dt) ; dm v(t + dt) ; u] GDE v(t) | SKOROSTX RAKETY, v(t + dt) ; u (0 < < 1) | SREDNQQ ZA PROMEVUTOK dt SKOROSTX ISTEKA@]IH IZ SOPEL GAZOW (OBE SKOROSTI BERUTSQ OTNOSITELXNO zEMLI). pERWYJ ^LEN W PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA | IMPULXS RAKETY W MOMENT t + dt, WTOROJ | IMPULXS, PEREDANNYJ ISTEKA@]IM GAZOM ZA WREMQ dt. u^ITYWAQ, ^TO m(t + dt) = m(t) + (dm=dt) dt + O(dt2), ZAKON SOHRANENIQ IMPULXSA MOVNO PEREPISATX W WIDE DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ dm u m dv = ; dt dt
16
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
W KOTOROM ^LEN ; (dm=dt) u, O^EWIDNO, NE ^TO INOE, KAK SILA TQGI RAKETNYH DWIGATELEJ, I KOTOROE, BUDU^I PREOBRAZOWANNYM K WIDU LEGKO INTEGRIRUETSQ:
dv = ;u d(ln m) dt dt
m
0 v(t) = v0 + u ln m(t)
GDE v0 , m0 | SOOTWETSTWENNO SKOROSTX I MASSA RAKETY W MOMENT t = = 0. eSLI v0 = 0, TO MAKSIMALXNAQ SKOROSTX RAKETY, DOSTIGAEMAQ PRI POLNOM SGORANII TOPLIWA, RAWNA
m v = u ln m +0m : p s
(6)
zDESX mp | POLEZNAQ MASSA (MASSA SPUTNIKA), ms | STRUKTURNAQ MASSA (MASSA SOBSTWENNO RAKETNOJ KONSTRUKCII | TOPLIWNYH BAKOW, DWIGATELEJ, SISTEM UPRAWLENIQ I T. D.). pROSTAQ FORMULA cIOLKOWSKOGO (6) POZWOLQET SDELATX FUNDAMENTALXNYJ WYWOD O KONSTRUKCII RAKETY DLQ KOSMI^ESKIH POLETOW. wWEDEM WELI^INU = m m;sm , KOTORAQ HARAKTERIZUET PRI mp = 0 OTNO0 p ENIE STRUKTURNOJ I NA^ALXNOJ MASS RAKETY. tOGDA DLQ PRAKTI^ESKI REALXNYH ZNA^ENIJ = 01, u = 3 KM/S POLU^AEM PRI mp = 0 v = u ln (1=) = 7 KM=S: oTS@DA SLEDUET, ^TO DAVE W SAMOJ IDEALXNOJ SITUACII (POLEZNAQ MASSA RAWNA NUL@, OTSUTSTWU@T GRAWITACIQ I SOPROTIWLENIE WOZDUHA I T. D.) RAKETA RASSMATRIWAEMOGO TIPA NE SPOSOBNA DOSTI^X PERWOJ KOSMI^ESKOJ SKOROSTI. tEM SAMYM NEOBHODIMO ISPOLXZOWATX MNOGOSTUPEN^ATYE RAKETY | WYWOD, K KOTOROMU PRILI OSNOWOPOLOVNIKI KOSMONAWTIKI. dANNYJ PRIMER ILL@STRIRUET TAKVE SWOEGO RODA PRINCIP NAIBOLXEGO BLAGOPRIQTSTWIQ, ^ASTO ISPOLXZUEMYJ NA NA^ALXNOJ STADII MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ SLOVNYH OB_EKTOW: ESLI OB_EKT, POSTAWLENNYJ W NAILU^IE USLOWIQ, NE W SOSTOQNII DOSTI^X TREBUEMYH HARAKTERISTIK, TO NADO IZMENITX SAM PODHOD K OB_EKTU LIBO SMQG^ITX TREBOWANIQ K NEMU ESLI VE TREBOWANIQ W PRINCIPE DOSTIVIMY, TO SLEDU@]IE AGI SWQZANY S ISSLEDOWANIEM WLIQNIQ NA OB_EKT DOPOLNITELXNYH OSLOVNQ@]IH FAKTOROW. 2. wARIACIONNYE PRINCIPY. e]E ODIN PODHOD K POSTROENI@ MODELEJ, PO SWOEJ IROTE I UNIWERSALXNOSTI SOPOSTAWIMYJ S WOZMOVNOSTQMI, DAWAEMYMI FUNDAMENTALXNYMI ZAKONAMI, SOSTOIT W PRIMENENII TAK NAZYWAEMYH WARIACIONNYH PRINCIPOW. oNI PREDSTAWLQ@T SOBOJ WESXMA OB]IE UTWERVDENIQ O RASSMATRIWAEMOM OB_EKTE (SISTEME, QWLENII) I GLASQT, ^TO IZ WSEH WOZMOVNYH WARIANTOW EGO POWEDENIQ (DWIVENIQ, \WOL@CII) WYBIRA@TSQ LIX TE, KOTORYE UDOWLETWORQ@T OPREDELENNOMU USLOWI@. oBY^NO SOGLASNO \TOMU USLOWI@ NEKOTORAQ
x 1]
|lementarnye matemati~eskie modeli
17
SWQZANNAQ S OB_EKTOM WELI^INA DOSTIGAET \KSTREMALXNOGO ZNA^ENIQ PRI EGO PEREHODE IZ ODNOGO SOSTOQNIQ W DRUGOE. dOPUSTIM, AWTOMOBILX, DWIVU]IJSQ S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ v, DOLVEN POPASTX IZ TO^KI a W TO^KU w I PRI \TOM KOSNUTXSQ NEKOTOROJ PRQMOJ LINII s (RIS. 4). wODITELX AWTOMOBILQ O^ENX TOROPITSQ I WYBIRAET IZ MNOVESTWA TRAEKTORIJ PUTX, TREBU@]IJ MINIMALXNYH
rIS. 4. rAZLI^NYE TRAEKTORIIDWIVENIQ IZ TO^KI A W TO^KU B S KASANIEM PRQMOJ C . vIRNOJ LINIEJ WYDELEN BYSTREJIJ PUTX
ZATRAT WREMENI. pREDSTAWIM ZATRA^ENNOE WREMQ KAK FUNKCI@ WELI^INY | UGLA MEVDU PRQMOJ I OTREZKOM PUTI OT TO^KI a DO PRQMOJ: b a + t() = v sin v sin () :
zDESX A I b | DLINY PERPENDIKULQROW, OPU]ENNYH IZ TO^EK a I w NA PRQMU@, () | UGOL MEVDU PRQMOJ I OTREZKOM PUTI IZ TO^KI KASANIQ DO TO^KI w . uSLOWIE \KSTREMALXNOSTI t() PO ARGUMENTU OZNA^AET, ^TO dt() d =ext = 0 ILI a cos + b cos () d = 0: (7) sin2 sin2 () d dLQ L@BYH ZNA^ENIJ SPRAWEDLIWO RAWENSTWO b c = tga + tg () 2 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
18
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
GDE c | RASSTOQNIE MEVDU PROEKCIQMI TO^EK a I w NA PRQMU@ (ODINAKOWOE DLQ WSEH TRAEKTORIJ). dIFFERENCIRUQ EGO, POLU^AEM SOOTNOENIE a + b d = 0 sin2 sin2 () d
(8)
KOTOROE WMESTE S USLOWIEM MINIMALXNOSTI (7) OZNA^AET cos = cos () T. E. RAWENSTWO UGLOW I (SM. UPR. 5). dALEE NETRUDNO NAJTI SAMI ZNA^ENIQ min, tmin ^EREZ ZADANNYE WELI^INY A , b, S . oDNAKO SEJ^AS DLQ NAS WAVNO DRUGOE | USLOWIE MINIMALXNYH ZATRAT WREMENI PRIWELO K WYBORU SOOTWETSTWU@]EJ TRAEKTORII PO PRAWILU UGOL PADENIQ RAWEN UGLU OTRAVENIQ. nO WEDX TAKOMU ZAKONU POD^INQETSQ I HOD SWETOWOGO LU^A, POPADA@]EGO NA OTRAVA@]U@ POWERHNOSTX! mOVET BYTX, I W OB]EM SLU^AE LU^I SWETA DWIVUTSQ PO TRAEKTORIQM, OBESPE^IWA@]IM BYSTREJEE POPADANIE SIGNALA IZ ODNOJ TO^KI W DRUGU@? dA, IMENNO TAK I PROISHODIT SOGLASNO IZWESTNOMU WARIACIONNOMU PRINCIPU fERMA, OPIRAQSX NA KOTORYJ, MOVNO POLU^ITX WSE OSNOWNYE ZAKONY GEOMETRI^ESKOJ OPTIKI. pOKAVEM \TO, RASSMOTREW PRELOMLENIE LU^EJ NA GRANICE DWUH SRED (RIS. 5). sWET, WYHODQ]IJ IZ TO^KI a, DWIVETSQ W PERWOJ SREDE SO SKOROSTX@ va , PRELOMLQETSQ I, PEREHODQ ^EREZ LINI@ RAZDELA, DWIGAETSQ
rIS. 5. wOZMOVNYE TRAEKTORII SWETOWYH LU^EJ, IDU]IH IZ TO^KI A W TO^KU B I PRELOMLQ@]IHSQ NA LINII C | GRANICE RAZDELA DWUH SRED. vIRNOJ LINIEJ WYDELENA TRAEKTORIQ, OTWE^A@]AQ ZAKONU PRELOMLENIQ cos = cos = va =vb
WO WTOROJ SREDE SO SKOROSTX@ vb I POPADAET W TO^KU w . eSLI | UGOL PADENIQ LU^A, A () | UGOL EGO PRELOMLENIQ, TO WREMQ PROHOVDENIQ
x 1]
|lementarnye matemati~eskie modeli
19
IZ a W w RAWNO
b a + : t() = v sin a vb sin () uSLOWIE MINIMALXNOSTI t() ZAPISYWAETSQ W WIDE (SR. S (7)) a cos b cos d va sin + vb sin () d = 0 A PRODIFFERENCIROWANNOE PO USLOWIE POSTOQNSTWA WELI^INY c POPREVNEMU WYRAVAETSQ FORMULOJ (8). zDESX WELI^INY A , b, S IME@T TOT VE SMYSL, ^TO I W PREDYDU]EM SLU^AE. iSKL@^AQ IZ POSLEDNEJ FORMULY PROIZWODNU@ d =d, PRIHODIM K RAWENSTWU cos = va (9) cos vb T. E. K IZWESTNOMU ZAKONU PRELOMLENIQ SWETA. sFORMULIROWANNYE PRIMENITELXNO K KAKOMU-LIBO KLASSU QWLENIJ WARIACIONNYE PRINCIPY POZWOLQ@T EDINOOBRAZNO STROITX SOOTWETSTWU@]IE MATEMATI^ESKIE MODELI. iH UNIWERSALXNOSTX WYRAVAETSQ TAKVE W TOM, ^TO, ISPOLXZUQ IH, MOVNO W OPREDELENNOJ STEPENI OTWLEKATXSQ OT KONKRETNOJ PRIRODY PROCESSA. tAK, WODITELX AWTOMOBILQ, SLEDU@]IJ PRINCIPU MINIMALXNOGO WREMENI I VELA@]IJ POPASTX IZ TO^KI a, NAHODQ]EJSQ NA PES^ANOJ PO^WE (ODNA SKOROSTX), W TO^KU w , RASPOLOVENNU@ NA TRAWQNISTOM LUGU (DRUGAQ SKOROSTX), OBQZAN POEHATX NE PO PRQMOJ, SOEDINQ@]EJ a I w , A PO LOMANNOJ TRAEKTORII, SDELAW NEOBHODIMOE PRELOMLENIE NA LINII, RAZDELQ@]EJ PESOK I TRAWU. 3. pRIMENENIE ANALOGIJ PRI POSTROENII MODELEJ. w OGROMNOM ^ISLE SLU^AEW PRI POPYTKE POSTROITX MODELX KAKOGO-LIBO OB_EKTA LIBO NEWOZMOVNO PRQMO UKAZATX FUNDAMENTALXNYE ZAKONY ILI WARIACIONNYE PRINCIPY, KOTORYM ON POD^INQETSQ, LIBO, S TO^KI ZRENIQ NAIH SEGODNQNIH ZNANIJ, WOOB]E NET UWERENNOSTI W SU]ESTWOWANII PODOBNYH ZAKONOW, DOPUSKA@]IH MATEMATI^ESKU@ FORMULIROWKU. oDNIM IZ PLODOTWORNYH PODHODOW K TAKOGO RODA OB_EKTAM QWLQETSQ ISPOLXZOWANIE ANALOGIJ S UVE IZU^ENNYMI QWLENIQMI. ~TO, KAZALOSX BY, OB]EGO MEVDU RADIOAKTIWNYM RASPADOM I DINAMIKOJ POPULQCIJ, W ^ASTNOSTI IZMENENIEM ^ISLENNOSTI NASELENIQ NAEJ PLANETY? oDNAKO NA PROSTEJEM UROWNE TAKAQ ANALOGIQ WPOLNE PROSMATRIWAETSQ, O ^EM SWIDETELXSTWUET ODNA IZ PROSTEJIH MODELEJ POPULQCIJ, NAZYWAEMAQ MODELX@ mALXTUSA. w EE OSNOWU POLOVENO PROSTOE UTWERVDENIE | SKOROSTX IZMENENIQ NASELENIQ SO WREMENEM t PROPORCIONALXNA EGO TEKU]EJ ^ISLENNOSTI N(t), UMNOVENNOJ NA SUMMU KO\FFICIENTOW ROVDAEMOSTI (t) > 0 I SMERTNOSTI (t) 6 0. w REZULXTATE PRIHODIM
K URAWNENI@
dN(t) = (t) ; (t)] N(t) (10) dt WESXMA POHOVEMU NA URAWNENIE RADIOAKTIWNOGO RASPADA I SOWPADA@]EGO S NIM PRI < (ESLI I POSTOQNNYE). |TO NEUDIWITELXNO, 2
20
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
TAK KAK PRI IH WYWODE ISPOLXZOWALISX ODINAKOWYE SOBRAVENIQ. iNTEGRIROWANIE URAWNENIQ (10) DAET
0Zt 1 N(t) = N(0) exp @ (t) ; (t)] dtA t0
GDE N(0) = N(t = t0) | NA^ALXNAQ ^ISLENNOSTX. nA RIS. 6 PRIWEDENY GRAFIKI FUNKCII N(t) PRI POSTOQNNYH I (RAZNYM PODOBNYM DRUG DRUGU KRIWYM SOOTWETSTWU@T RAZNYE t0 | ZNA^ENIQ WREMENI NA^ALA PROCESSA). pRI = ^ISLENNOSTX OSTAETSQ POSTOQNNOJ, T. E. W \TOM SLU^AE REENIEM URAWNENIQ QWLQETSQ RAWNOWESNAQ WELI^INA N(t) = N(0). rAWNOWESIE MEVDU ROVDAEMOSTX@ I
rIS. 6. iZMENENIE ^ISLENNOSTI POPULQCII SO WREMENEM W MODELI mALXTUSA
SMERTNOSTX@ NEUSTOJ^IWO W TOM SMYSLE, ^TO DAVE NEBOLXOE NARUENIE RAWENSTWA = PRIWODIT S TE^ENIEM WREMENI KO WSE BOLXEMU OTKLONENI@ FUNKCII N(t) OT RAWNOWESNOGO ZNA^ENIQ N(0). pRI < < ^ISLENNOSTX NASELENIQ UBYWAET I STREMITSQ K NUL@ PRI t ! 1, A PRI > RASTET PO NEKOTOROMU \KSPONENCIALXNOMU ZAKONU, OBRA]AQSX W BESKONE^NOSTX PRI t ! 1. pOSLEDNEE OBSTOQTELXSTWO I POSLUVILO OSNOWANIEM DLQ OPASENIJ mALXTUSA O GRQDU]EM PERENASELENII zEMLI SO WSEMI WYTEKA@]IMI OTS@DA POSLEDSTWIQMI. kAK W DANNOM PRIMERE, TAK I W RQDE RASSMOTRENNYH WYE SLU^AEW MOVNO UKAZATX NEMALO O^EWIDNYH OGRANI^ENIJ PRIMENIMOSTI POSTROENNOJ MODELI. kONE^NO VE, SLOVNEJIJ PROCESS IZMENENIQ ^ISLENNOSTI NASELENIQ, ZAWISQ]IJ K TOMU VE OT SOZNATELXNOGO WMEATELXSTWA SAMIH L@DEJ, NE MOVET OPISYWATXSQ KAKIMI-LIBO PROSTYMI ZAKONOMERNOSTQMI. dAVE W IDEALXNOM SLU^AE IZOLIROWANNOJ BIOLOGI^ESKOJ POPULQCII PREDLOVENNAQ MODELX NE OTWE^AET REALXNOSTI W POLNOJ MERE HOTQ BY IZ-ZA OGRANI^ENNOSTI RESURSOW, NEOBHODIMYH DLQ EE SU]ESTWOWANIQ. sDELANNOE ZAME^ANIE TEM NE MENEE NISKOLXKO NE UMALQET ROLI ANALOGIJ W POSTROENII MATEMATI^ESKIH MODELEJ O^ENX SLOVNYH QWLENIJ.
x 1]
21 pRIMENENIE ANALOGIJ OSNOWANO NA ODNOM IZ WAVNEJIH SWOJSTW MODELEJ | IH UNIWERSALXNOSTI, T. E. IH PRILOVIMOSTI K OB_EKTAM PRINCIPIALXNO RAZLI^NOJ PRIRODY. tAK, PREDPOLOVENIQ TIPA SKOROSTX IZMENENIQ WELI^INY PROPORCIONALXNA ZNA^ENI@ SAMOJ WELI^INY (ILI NEKOTOROJ FUNKCII OT NEE) IROKO ISPOLXZU@TSQ W DALEKIH DRUG OT DRUGA OBLASTQH ZNANIJ. |lementarnye matemati~eskie modeli
4. iERARHI^ESKIJ PODHOD K POLU^ENI@ MODELEJ. lIX W REDKIH SLU^AQH BYWAET UDOBNYM I OPRAWDANNYM POSTROENIE MATEMATI^ESKIH MODELEJ DAVE OTNOSITELXNO PROSTYH OB_EKTOW SRAZU WO WSEJ POLNOTE, S U^ETOM WSEH FAKTOROW, SU]ESTWENNYH DLQ EGO POWEDENIQ. pO\TOMU ESTESTWEN PODHOD, REALIZU@]IJ PRINCIP OT PROSTOGO | K SLOVNOMU, KOGDA SLEDU@]IJ AG DELAETSQ POSLE DOSTATO^NO PODROBNOGO IZU^ENIQ NE O^ENX SLOVNOJ MODELI. pRI \TOM WOZNIKAET CEPO^KA (IERARHIQ ) WSE BOLEE POLNYH MODELEJ, KAVDAQ IZ KOTORYH OBOB]AET PREDYDU]IE, WKL@^AQ IH W KA^ESTWE ^ASTNOGO SLU^AQ. pOSTROIM TAKU@ IERARHI^ESKU@ CEPO^KU NA PRIMERE MODELI MNOGOSTUPEN^ATOJ RAKETY. kAK BYLO USTANOWLENO W KONCE P. 1, REALXNAQ ODNOSTUPEN^ATAQ RAKETA NESPOSOBNA RAZWITX PERWU@ KOSMI^ESKU@ SKOROSTX. pRI^INA \TOGO | ZATRATY GOR@^EGO NA RAZGON NENUVNOJ, OTRABOTAWEJ ^ASTI STRUKTURNOJ MASSY. sLEDOWATELXNO, PRI DWIVENII RAKETY NEOBHODIMO PERIODI^ESKI IZBAWLQTXSQ OT BALLASTA. w PRAKTI^ESKOJ KONSTRUKCII \TO OZNA^AET, ^TO RAKETA SOSTOIT IZ NESKOLXKIH STUPENEJ, OTBRASYWAEMYH PO MERE IH ISPOLXZOWANIQ. pUSTX mi | OB]AQ MASSA i-J STUPENI, mi | SOOTWETSTWU@]AQ STRUKTURNAQ MASSA (PRI \TOM MASSA TOPLIWA RAWNA WELI^INE (1 ; ) mi ), mp | MASSA POLEZNOJ NAGRUZKI. wELI^INY I SKOROSTX ISTE^ENIQ GAZOW u ODINAKOWY DLQ WSEH STUPENEJ. wOZXMEM DLQ OPREDELENNOSTI ^ISLO STUPENEJ n = 3. nA^ALXNAQ MASSA TAKOJ RAKETY RAWNA
m0 = mp + m1 + m2 + m3 :
rASSMOTRIM MOMENT, KOGDA IZRASHODOWANO WSE TOPLIWO PERWOJ STUPENI I MASSA RAKETY RAWNA WELI^INE mp + m1 + m2 + m3 :
tOGDA PO FORMULE (6) PERWONA^ALXNOJ MODELI SKOROSTX RAKETY RAWNA
v1 = u ln m + m m+0 m + m : p 1 2 3 pOSLE DOSTIVENIQ SKOROSTI v1 STRUKTURNAQ MASSA m1 OTBRASYWAETSQ I WKL@^AETSQ WTORAQ STUPENX. mASSA RAKETY W \TOT MOMENT RAWNA mp + m2 + m3 :
nA^INAQ S \TOGO MOMENTA I DO MOMENTA POLNOGO WYGORANIQ TOPLIWA WTOROJ STUPENI, NI^TO NE MEAET POLXZOWATXSQ UVE POSTROENNOJ MODELX@, PRIMENIW EE K RASSMATRIWAEMOMU SLU^A@. wSE RASSUVDENIQ O SOHRANENII SUMMARNOGO IMPULXSA I SOOTWETSTWU@]IE WYKLADKI OSTA@TSQ W SILE (SLEDUET TOLXKO U^ESTX, ^TO U RAKETY UVE ESTX NA^ALXNAQ
22
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
SKOROSTX v1). tOGDA PO FORMULE (6) POSLE WYGORANIQ TOPLIWA WO WTOROJ STUPENI RAKETA DOSTIGAET SKOROSTI
m2 + m3 : v2 = v1 + u ln mmp++m p 2 + m3
tAKIE VE RASSUVDENIQ PRIMENIMY I K TRETXEJ STUPENI RAKETY. pOSLE OTKL@^ENIQ EE DWIGATELEJ SKOROSTX RAKETY RAWNA
m3 : v3 = v2 + u ln mmp++m p 3
|TU CEPO^KU NETRUDNO PRODOLVITX DLQ L@BOGO ^ISLA STUPENEJ I POLU^ITX SOOTWETSTWU@]IE FORMULY. w SLU^AE VE n = 3 DLQ OKON^ATELXNOJ SKOROSTI IMEEM v3 = ln u
m0 mp + m1 + m2 + m3
m + m + m m + m
p 2 3 p 3
mp + m2 + m3 mp + m3 m0 , 2 = mpm+ m+2m+ m3 , 3 = ILI, WWODQ WELI^INY 1 = m + m p 2 + m3 p 3 m + m p 3 = m , POLU^AEM p
v3 = ln u
1 1 + (1 ; 1)
2 1 + (2 ; 1)
3 1 + (3 ; 1) : dANNOE WYRAVENIE SIMMETRI^NO PO OTNOENI@ K WELI^INAM 1, 2 , 3, I NETRUDNO POKAZATX, ^TO EGO MAKSIMUM DOSTIGAETSQ W SIMMETRI^NOM SLU^AE, T. E. PRI 1 = 2 = 3 = . pRI \TOM DLQ i = 3 v3 = P1 ;; : P = exp ; 3u pROIZWEDENIE 123 = RAWNO, KAK LEGKO PROWERITX, OTNOENI@ m0 =mp , ILI m0 = 1 ; 3 : 3 = m P ; p
dLQ MNOGOSTUPEN^ATOJ RAKETY, ANALOGI^NO, IMEEM m0 = 1 ; n P = exp ; vn mp P ; nu GDE n | ^ISLO STUPENEJ.
(11)
x 1]
23 pROANALIZIRUEM FORMULU (11). pRIMEM vn = 105 KM/S, = 01. tOGDA DLQ n = 2 3 4 POLU^AEM m0 = 149 mp , m0 = 77 mp , m0 = 65 mp SOOTWETSTWENNO. |TO ZNA^IT, ^TO DWUHSTUPEN^ATAQ RAKETA PRIGODNA DLQ WYWEDENIQ NA ORBITU NEKOTOROJ POLEZNOJ MASSY (ODNAKO PRI ODNOJ TONNE POLEZNOGO GRUZA NEOBHODIMO IMETX RAKETU WESOM 149 TONN). pEREHOD K TRETXEJ STUPENI UMENXAET MASSU RAKETY PO^TI W DWA RAZA (NO, KONE^NO VE, USLOVNQET EE KONSTRUKCI@), A ^ETYREHSTUPEN^ATAQ RAKETA NE DAET ZAMETNOGO WYIGRYA PO SRAWNENI@ S TREHSTUPEN^ATOJ. pOSTROENIE IERARHI^ESKOJ CEPO^KI POZWOLILO OTNOSITELXNO PROSTO PRIJTI K \TIM WAVNYM WYWODAM. iERARHIQ MATEMATI^ESKIH MODELEJ ^ASTO STROITSQ I PO PROTIWOPOLOVNOMU PRINCIPU OT SLOVNOGO K PROSTOMU. w \TOM SLU^AE REALIZUETSQ PUTX SWERHU WNIZ | IZ DOSTATO^NO OB]EJ I SLOVNOJ MODELI PRI SOOTWETSTWU@]IH UPRO]A@]IH PREDPOLOVENIQH POLU^AETSQ POSLEDOWATELXNOSTX WSE BOLEE PROSTYH (NO IME@]IH UMENXA@]U@SQ OBLASTX PRIMENIMOSTI) MODELEJ. 5. o NELINEJNOSTI MATEMATI^ESKIH MODELEJ. pROSTOTA RASSMOTRENNYH WYE MODELEJ WO MNOGOM SWQZANA S IH LINEJNOSTX@. w MATEMATI^ESKOM PLANE \TO WAVNOE PONQTIE OZNA^AET, ^TO SPRAWEDLIW PRINCIP SUPERPOZICII, T. E. L@BAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ REENIJ (NAPRIMER, IH SUMMA) TAKVE QWLQETSQ REENIEM ZADA^I. pOLXZUQSX PRINCIPOM SUPERPOZICII, NETRUDNO, NAJDQ REENIE W KAKOM-LIBO ^ASTNOM SLU^AE, POSTROITX REENIE W BOLEE OB]EJ SITUACII. pO\TOMU O KA^ESTWENNYH SWOJSTWAH OB]EGO SLU^AQ MOVNO SUDITX PO SWOJSTWAM ^ASTNOGO | RAZLI^IE MEVDU DWUMQ REENIQMI NOSIT LIX KOLI^ESTWENNYJ HARAKTER. nAPRIMER, UWELI^ENIE W DWA RAZA SKOROSTI ISTE^ENIQ RAKETNOGO TOPLIWA WEDET TAKVE K DWUKRATNOMU UWELI^ENI@ SKOROSTI RAKETY, UMENXENIE UGLA PADENIQ SWETOWOGO LU^A NA OTRAVA@]U@ POWERHNOSTX OZNA^AET TAKOE VE IZMENENIE UGLA OTRAVENIQ I T. D. dRUGIMI SLOWAMI, W SLU^AE LINEJNYH MODELEJ OTKLIK OB_EKTA NA IZMENENIE KAKIH-TO USLOWIJ PROPORCIONALEN WELI^INE \TOGO IZMENENIQ. dLQ NELINEJNYH QWLENIJ, MATEMATI^ESKIE MODELI KOTORYH NE POD^INQ@TSQ PRINCIPU SUPERPOZICII, ZNANIE O POWEDENII ^ASTI OB_EKTA E]E NE GARANTIRUET ZNANIQ POWEDENIQ WSEGO OB_EKTA, A EGO OTKLIK NA IZMENENIE USLOWIJ MOVET KA^ESTWENNO ZAWISETX OT WELI^INY \TOGO IZMENENIQ. tAK, UMENXENIE UGLA PADENIQ LU^A SWETA NA GRANICU RAZDELA DWUH SRED PRIWODIT K UMENXENI@ UGLA PRELOMLENIQ, NO TOLXKO DO OPREDELENNOGO PREDELA. eSLI UGOL PADENIQ STANOWITSQ MENXE KRITI^ESKOGO (SM. FORMULU (9)), TO PROISHODIT KA^ESTWENNOE IZMENENIE | SWET PERESTAET PRONIKATX ^EREZ GRANICU RAZDELA WO WTORU@ SREDU, ESLI ONA MENEE PLOTNAQ, ^EM PERWAQ. tEM SAMYM PRELOMLENIE SWETA | PRIMER NELINEJNOGO PROCESSA. bOLXINSTWO REALXNYH PROCESSOW I SOOTWETSTWU@]IH IM MATEMATI^ESKIH MODELEJ NELINEJNY. lINEJNYE VE MODELI OTWE^A@T WESXMA ^ASTNYM SLU^AQM I, KAK PRAWILO, SLUVAT LIX PERWYM PRIBLIVENIEM K REALXNOSTI. nAPRIMER, POPULQCIONNYE MODELI SRAZU STANOWQTSQ NELINEJNYMI, ESLI PRINQTX WO WNIMANIE OGRANI^ENNOSTX DOSTUPNYH POPULQCII RESURSOW. pRI IH WYWODE S^ITAETSQ, ^TO: 1) SU]ESTWUET RAWNOWESNAQ ^ISLENNOSTX POPULQCII Np , KOTORU@ MOVET OBESPE^ITX OKRUVA@]AQ SREDA |lementarnye matemati~eskie modeli
24
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
2) cKOROSTX IZMENENIQ ^ISLENNOSTI POPULQCII PROPORCIONALXNA SAMOJ ^ISLENNOSTI, UMNOVENNOJ (W OTLI^IE OT MODELI mALXTUSA) NA WELI^INU EE OTKLONENIQ OT RAWNOWESNOGO ZNA^ENIQ, T. E.
dN = 1 ; N N dt Np
> 0:
(12)
~LEN (1 ; N=Np ) W \TOM URAWNENII OBESPE^IWAET MEHANIZM NASY]ENIQ ^ISLENNOSTI | PRI N < Np (N > Np ) SKOROSTX ROSTA POLOVITELXNA (OTRICATELXNA) I STREMITSQ K NUL@, ESLI N ! Np .
rIS. 7. lOGISTI^ESKIE KRIWYE, SOOTWETSTWU@]IE RAZLI^NYM ZNA^ENIQM NA^ALXNOJ ^ISLENNOSTI N (0)
pREDSTAWLQQ URAWNENIE (12) W WIDE
dN + dN = dt Np ; N N
I INTEGRIRUQ EGO, POLU^AEM ; ln(Np ; N) + ln N = t + C: pOSTOQNNAQ;INTEGRIROWANIQ OPREDELQETSQ IZ USLOWIQ N(t = 0) = N(0), T. E. C = ln (Np ; N(0));1 N(0) . w REZULXTATE NAHODIM et ; N N N(0) et N = Np N N(0) ; N(0) p p ; N(0) ILI, W OKON^ATELXNOM WIDE, p N(0) et N(t) = N ;NN(0) (1 ; et) : p pOWEDENIE FUNKCII N(t) OPISYWAETSQ TAK NAZYWAEMOJ LOGISTI^ESKOJ KRIWOJ (RIS. 7). pRI L@BOM N(0) ^ISLENNOSTX STREMITSQ K RAWNOWES-
x 1]
|lementarnye matemati~eskie modeli
25
NOMU ZNA^ENI@ Np , PRI^EM TEM MEDLENNEJ, ^EM WELI^INA N(t) BLIVE K N(0). tEM SAMYM RAWNOWESIE, W OTLI^IE OT SLU^AQ MODELI (10), USTOJ^IWO. lOGISTI^ESKAQ MODELX BOLEE REALISTI^NO OTRAVAET DINAMIKU POPULQCII W SRAWNENII S MODELX@ mALXTUSA, NO SAMA ONA S NEOBHODIMOSTX@ STANOWITSQ NELINEJNOJ I PO\TOMU BOLEE SLOVNOJ. zAMETIM, ^TO PREDPOLOVENIQ O MEHANIZMAH NASY]ENIQ ISPOLXZU@TSQ PRI POSTROENII MNOGIH MODELEJ W RAZLI^NYH OBLASTQH ZNANIJ. 6. pREDWARITELXNYE WYWODY. pROCESS POSTROENIQ MODELEJ MOVET BYTX USLOWNO RAZBIT NA SLEDU@]IE \TAPY. 1. kONSTRUIROWANIE MODELI NA^INAETSQ SO SLOWESNO-SMYSLOWOGO OPISANIQ OB_EKTA ILI QWLENIQ. pOMIMO SWEDENIJ OB]EGO HARAKTERA O PRIRODE OB_EKTA I CELQH EGO ISSLEDOWANIQ \TA STADIQ MOVET SODERVATX TAKVE NEKOTORYE PREDPOLOVENIQ (NEWESOMYJ STERVENX, TOLSTYJ SLOJ WE]ESTWA, PRQMOLINEJNOE RASPROSTRANENIE SWETOWYH LU^EJ I T. D.). dANNYJ \TAP MOVNO NAZWATX FORMULIROWKOJ PREDMODELI. 2. sLEDU@]IJ \TAP | ZAWERENIE IDEALIZACII OB_EKTA. oTBRASYWA@TSQ WSE FAKTORY I \FFEKTY, KOTORYE PREDSTAWLQ@TSQ NE SAMYMI SU]ESTWENNYMI DLQ EGO POWEDENIQ. nAPRIMER, PRI SOSTAWLENII BALANSA MATERII (P. 1B)) NE U^ITYWALSQ, WWIDU EGO MALOSTI, DEFEKT MASS, KOTORYM SOPROWOVDAETSQ RADIOAKTIWNYJ RASPAD. pO WOZMOVNOSTI IDEALIZIRU@]IE PREDPOLOVENIQ ZAPISYWA@TSQ W MATEMATI^ESKOJ FORME (PODOBNO USLOWI@ I LI W P. 1B)), S TEM ^TOBY IH SPRAWEDLIWOSTX PODDAWALASX KOLI^ESTWENNOMU KONTROL@. 3. pOSLE WYPOLNENIQ PERWYH DWUH \TAPOW MOVNO PEREHODITX K WYBORU ILI FORMULIROWKE ZAKONA (WARIACIONNOGO PRINCIPA, ANALOGII I T. P.), KOTOROMU POD^INQETSQ OB_EKT, I EGO ZAPISI W MATEMATI^ESKOJ FORME. pRI NEBHODIMOSTI ISPOLXZU@TSQ DOPOLNITELXNYE SWEDENIQ OB OB_EKTE, TAKVE ZAPISYWAEMYE MATEMATI^ESKI (NAPRIMER, POSTOQNSTWO WELI^INY c DLQ WSEH TRAEKTORIJ LU^EJ SWETA, WYTEKA@]EE IZ GEOMETRII ZADA^I P. 2). sLEDUET IMETX W WIDU, ^TO DAVE DLQ PROSTYH OB_EKTOW WYBOR SOOTWETSTWU@]EGO ZAKONA OTN@DX NE TRIWIALXNAQ ZADA^A (SM. UPR. 1). 4. zAWERAET FORMULIROWKU MODELI EE OSNA]ENIE. nAPRIMER, NEOBHODIMO ZADATX SWEDENIQ O NA^ALXNOM SOSTOQNII OB_EKTA (SKOROSTX RAKETY I EE MASSU W MOMENT t = 0) ILI INYE EGO HARAKTERISTIKI (WELI^INY l, g W P. 1A) , I , II W P. 1B) (t) I (t) W P. 3), BEZ ZNANIQ KOTORYH NEWOZMOVNO OPREDELITX POWEDENIE OB_EKTA. i, NAKONEC, FORMULIRUETSQ CELX ISSLEDOWANIQ MODELI (NAJTI ZAKON PRELOMLENIQ SWETA, DOSTI^X PONIMANIQ ZAKONOMERNOSTEJ IZMENENIQ POPULQCII, OPREDELITX TREBOWANIQ K KONSTRUKCII RAKETY, ZAPUSKA@]EJ SPUTNIK, I T. D.). 5. pOSTROENNAQ MODELX IZU^AETSQ WSEMI DOSTUPNYMI ISSLEDOWATEL@ METODAMI, W TOM ^ISLE SO WZAIMNOJ PROWERKOJ RAZLI^NYH PODHODOW (SM., NAPRIMER, UPR. 4, 7). w OTLI^IE OT RASSMATRIWAEMYH W x 1 PROSTEJIH SLU^AEW, BOLXINSTWO MODELEJ NE PODDA@TSQ ^ISTO TEORETI^ESKOMU ANALIZU, I PO\TOMU NEOBHODIMO IROKO ISPOLXZOWATX WY^ISLITELXNYE METODY. |TO OBSTOQTELXSTWO OSOBENNO WAVNO PRI IZU^ENII NELINEJNYH OB_EKTOW, TAK KAK IH KA^ESTWENNOE POWEDENIE ZARANEE, KAK PRAWILO, NEIZWESTNO.
26
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
6. w REZULXTATE ISSLEDOWANIQ MODELI NE TOLXKO DOSTIGAETSQ POSTAWLENNAQ CELX, NO I DOLVNA BYTX USTANOWLENA WSEMI WOZMOVNYMI SPOSOBAMI (SRAWNENIEM S PRAKTIKOJ, SOPOSTAWLENIEM S DRUGIMI PODHODAMI) EE ADEKWATNOSTX | SOOTWETSTWIE OB_EKTU I SFORMULIROWANNYM PREDPOLOVENIQM. nEADEKWATNAQ MODELX MOVET DATX REZULXTAT, SKOLX UGODNO OTLI^A@]IJSQ OT ISTINNOGO (SR. FORMULU (1) I REZULXTAT UPR. 1), I DOLVNA BYTX LIBO OTBROENA, LIBO SOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM MODIFICIROWANA. upravneniq 1. w PERWOJ ZADA^E P. 1, A) PRIMENITE DLQ NAHOVDENIQ WELI^INY V (SKOROSTI SISTEMY PULQ|GRUZ SRAZU POSLE STOLKNOWENIQ) NE ZAKON SOHRANENIQ \NERGII, A ZAKON SOHRANENIQIMPULXSA. uBEDITESX, ^TO DLQ SKOROSTI PULI v POLU^AETSQFORMULA, DA@]AQ ZNA^ENIE W ((M + m)=m)1=2 RAZ MENXE, ^EM POLU^A@]EESQ PO FORMULE (1). 2. pUSTX MO]NOSTX LAZERA, SWERLQ]EGO MATERIAL (P. 1, A)), ZAWISIT OT WREMENI, T. E. W = W (t). kAK IZMENITSQ FORMULA (3)? oSTAETSQ LI W SILE UTWERVDENIE O TOM, ^TO GLUBINA WYEMKI PROPORCIONALXNA ZATRA^ENNOJ \NERGII? 3. nAJDITE MOMENT WREMENI, KOGDA RASPADAETSQ POSLEDNIJ ATOM RADIOAKTIWNOGO WE]ESTWA (P. 1, B)). pO^EMU W MODELI (5) WE]ESTWO RASPADAETSQ POLNOSTX@ LIX PRI t ! 1? 4. pREDPOLOVIM, ^TO W P. 1, W) RASSMATRIWAETSQ IDEALXNAQ ODNOSTUPEN^ATAQ RAKETA, U KOTOROJ NEPRERYWNO OTBRASYWAETSQ OTRABOTAWAQ I STAWAQ NENUVNOJ ^ASTX STRUKTURNOJ MASSY (K MOMENTU POLNOGO SGORANIQ TOPLIWA ms = 0). pOLXZUQSX ZAKONOM SOHRANENIQ IMPULXSA, POKAVITE, ^TO MAKSIMALXNAQ SKOROSTX TAKOJ RAKETY OPREDELQETSQ PO FORMULE v = (1 ; ) u ln(m0 =mp ). sRAWNITE EE S FORMULOJ (6). pO^EMU IDEALXNAQ RAKETA MOVET DOSTI^X L@BOJ SKOROSTI? 5. pROWERXTE S ISPOLXZOWANIEM (8), ^TO USLOWIE (7) ESTX USLOWIE MINIMALXNOSTI DLQ WELI^INY t(). iZ RIS. 5 OPREDELITE, KAKAQ SKOROSTX BOLXE | va ILI vb ? pOLXZUQSX FORMULOJ (9), NAJDITE, PRI KAKIH UGLAH LU^I SWETA NE PRONIKA@T IZ SREDY a W SREDU b, T. E. KOGDA REALIZUETSQ \FFEKT POLNOGO WNUTRENNEGO OTRAVENIQ SWETA , ISPOLXZUEMYJ W RQDE TEHNI^ESKIH USTROJSTW. , KAK SEBQ DOLVNA WESTI PRI BOLXIH t WELI^INA r(t) = (t) ; ; (t6.) >oPREDELITE 0 W MODELI mALXTUSA (10), ^TOBY ^ISLENNOSTX POPULQCII OSTAWALASX OGRANI^ENNOJ PRI t ! 1. 7. pEREJDITE W FORMULE (11) DLQ MNOGOSTUPEN^ATOJ RAKETY K PREDELU PRI n ! 1 I UBEDITESX, ^TO EE PREDELXNAQ SKOROSTX WY^ISLQETSQ PO FORMULE DLQ IDEALXNOJ RAKETY IZ UPR. 4. pO^EMU REZULXTATY SOWPADA@T? 8. rASSMOTRITE W LOGISTI^ESKOJ MODELI (12) MALYE OTKLONENIQ OT POLOVENIQ RAWNOWESIQ, T. E. SITUACI@, KOGDA REENIE IMEET WID N (t) = Np + N (t), GDE jLIWA N (t)j Np . pOKAVITE, ^TO DLQ WELI^INY N (t) W PERWOM PRIBLIVENII SPRAWEDLINEJNAQ MODELX TIPA MODELI mALXTUSA (10).
x 2. pRIMERY MODELEJ, POLU^AEMYH
IZ FUNDAMENTALXNYH ZAKONOW PRIRODY
pO SRAWNENI@ S P. 1 IZ x 1 BOLEE PODROBNO I DLQ BOLEE SLOVNYH OB_EKTOW RASSMOTRIM MODELI, SLEDU@]IE IZ ZAKONOW aRHIMEDA, nX@TONA, kULONA I DRUGIH HOROO IZWESTNYH ZAKONOW. oBSUDIM NEKOTORYE SWOJSTWA RASSMATRIWAEMYH OB_EKTOW. 1. tRAEKTORIQ WSPLYTIQ PODWODNOJ LODKI. pUSTX PODWODNAQ LODKA, NAHODQ]AQSQ W MOMENT WREMENI t = 0 NA GLUBINE H OT POWERHNOSTI MORQ I DWIVU]AQSQ S POSTOQNNOJ GORIZONTALXNOJ SKOROSTX@ v
x 2]
27 (RIS. 8), POLU^AET PRIKAZ PODNQTXSQ NA POWERHNOSTX. eSLI PROMEVUTOK WREMENI, ZA KOTORYJ CISTERNY PODLODKI OSWOBOVDA@TSQ OT WODY I ZAPOLNQ@TSQ WOZDUHOM, S TEM ^TOBY EE SREDNQQ PLOTNOSTX 1 STALA MENXE PLOTNOSTI WODY 0 , NEWELIK, TO MOVNO S^ITATX, ^TO W MOMENT t = 0 NA PODLODKU NA^INAET DEJSTWOWATX WYTALKIWA@]AQ SILA, BOLXAQ, ^EM WES LODKI. pO ZAKONU aRHIMEDA WYTALKIWA@]AQ SILA RAWNA F = gV 0 , GDE g | USKORENIE SWOBODNOGO PADENIQ, V | OB_EM PODLODKI. sUMMARNAQ SILA, DEJSTWU@]AQ NA PODLODKU W WERTIKALXNOM NAPRAWLENII, | RAZNOSTX MEVDU F I WESOM TELA P = gV 1 , A SOOB]AEMOE E@ USKORENIE PO WTOROMU ZAmodeli iz fundamentalxnyh zakonow prirody
KONU nX@TONA RAWNO 2 1 V ddth2 = F ; P = gV (0 ; 1 ): rIS. 8 kOORDINATA l, HARAKTERIZU@]AQ GORIZONTALXNOE POLOVENIE PODLODKI, IZMENQETSQ PO ZAKONU DWIVENIQ TELA S POSTOQNNOJ SKOROSTX@: dl dt = v: rEAQ \TI URAWNENIQ, NAHODIM, ^TO h(t) = g 0 ; 1 t2 l(t) = vt 1 I ^TO LODKA WSPLYWET NA POWERHNOSTX W MOMENT t = tk , KOGDA 1=2 h(tk ) = g 0 ; 1 t2k = H tk = g (1;H ) : 1 0 1
(1)
pRI \TOM W GORIZONTALXNOM NAPRAWLENII PODLODKA PROJDET RASSTOQNIE
1H = L = vtk = g ( ; ) : 0 1 12
iSKL@^AQ IZ (1) WREMQ, NAJDEM TRAEKTORI@ DWIVENIQ PODLODKI W KOORDINATAH (l h) h = g 0 ; 1 l2 1 v 2
KOTORAQ OKAZYWAETSQ PARABOLOJ S WERINOJ W TO^KE l = 0, h = 0 (PRI WYWODE (1) WERTIKALXNAQ SKOROSTX LODKI, A TAKVE WELI^INY l I h PRINIMALISX RAWNYMI NUL@ W MOMENT t = 0). s^ITALOSX TAKVE, ^TO NIKAKIE DRUGIE WERTIKALXNYE SILY, KROME F I P , NA PODLODKU NE DEJSTWU@T. |TO PREDPOLOVENIE WERNO LIX PRI MALYH SKOROSTQH WSPLYTIQ, KOGDA MOVNO PRENEBRE^X SOPROTIWLENIEM WODY DWIVENI@ LODKI (SM. UPR. 1). iTAK, NEPOSREDSTWENNOE PRIMENENIE ZAKONA aRHIMEDA, OPREDELQ@]EGO WELI^INU WYTALKIWA@]EJ SILY, I ZAKONA nX@TONA, SWQZYWA@]E-
28
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
GO SILU, DEJSTWU@]U@ NA TELO, I EGO USKORENIE, POZWOLILO LEGKO NAJTI TRAEKTORI@ PODLODKI. o^EWIDNO, ^TO PARABOLI^ESKOJ TRAEKTORIEJ OBLADAET L@BOE DWIVU]EESQ W PLOSKOSTI TELO, IME@]EE PO ODNOMU IZ NAPRAWLENIJ POSTOQNNU@ SKOROSTX I NA KOTOROE W DRUGOM NAPRAWLENII DEJSTWUET POSTOQNNAQ SILA (URAWNENIQ (1) FAKTI^ESKI DA@T PARAMETRI^ESKU@ ZAPISX PARABOLY). k TAKIM DWIVENIQM OTNOSQTSQ, NAPRIMER, POLET KAMNQ, BROENNOGO S WYSOTY H S GORIZONTALXNOJ SKOROSTX@ v ILI POLET \LEKTRONA W \LEKTRI^ESKOM POLE PLOSKOGO KONDENSATORA. oDNAKO W POSLEDNEM SLU^AE POLU^ITX TRAEKTORI@ TELA NEPOSREDSTWENNO IZ FUNDAMENTALXNYH ZAKONOW NELXZQ, TREBUETSQ PRIMENITX BOLEE DETALXNU@ PROCEDURU. rASSMOTRIM \TOT WOPROS PODROBNEE. 2. oTKLONENIE ZARQVENNOJ ^ASTICY W \LEKTRONNO-LU^EWOJ TRUBKE. bUDEM S^ITATX, ^TO OBKLADKI KONDENSATORA \LEKTRONNOLU^EWOJ TRUBKI (RIS. 9) PREDSTAWLQ@T SOBOJ BESKONE^NYE PLOSKOSTI
rIS. 9
(PREDPOLOVENIE SPRAWEDLIWO W SLU^AE, ESLI RASSTOQNIE MEVDU OBKLADKAMI MNOGO MENXE IH RAZMEROW, A \LEKTRON DWIVETSQ NA BOLXOM UDALENII OT IH KRAEW UPR. 2). o^EWIDNO, ^TO \LEKTRON BUDET PRITQGIWATXSQ K NIVNEJ OBKLADKE I OTTALKIWATXSQ OT WERHNEJ. sILA PRITQVENIQ F DWUH RAZNOIMENNYH ZARQDOW \LEMENTARNO OPREDELQETSQ IZ
ZAKONA kULONA
F = qr1q22
x 2]
29 GDE q1 I q2 | WELI^INY ZARQDOW, r | RASSTOQNIE MEVDU NIMI. sLOVNOSTX ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO W DANNOM PRIMERE NA OBKLADKE NAHODITSQ BESKONE^NO MNOGO ZARQDOW, KAVDYJ IZ KOTORYH RASPOLOVEN NA SWOEM RASSTOQNII OT DWIVU]EGOSQ \LEKTRONA. pO\TOMU NEOBHODIMO SNA^ALA NAJTI SILU, INDUCIRUEMU@ KAVDYM ZARQDOM, I ZATEM, PROSUMMIROWAW WSE \LEMENTARNYE SILY, OPREDELITX REZULXTIRU@]EE DEJSTWIE OBKLADOK NA \LEKTRON. rAZOB_EM WS@ PLOSKOSTX NIVNEJ OBKLADKI NA \LEMENTARNYE POLOSKI, HARAKTERIZU@]IESQ KOORDINATAMI r1 r2 r3 ;1 < r1 r3 < 1 r2 0 (SM. RIS. 9). pODS^ITAEM SILU PRITQVENIQ \LEKTRONA ZARQDOM, NAHODQ]EMSQ NA \LEMENTARNOJ PLO]ADKE ds = dr1 dr3 I RAWNYM dq = q0 ds, GDE q0 | POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX ZARQDA NA OBKLADKE. eSLI ^ASTICA NAHODITSQ NA RASSTOQNII r2 OT ZARQVENNOJ PLOSKOSTI, TO dr1 = r2 (tg( + d) ; tg ) = r2 cosd2 (ZDESX U^ITYWAETSQ MALOSTX WELI^NY d). dLQ OPREDELENIQ WELI^INY dr3 IMEEM r3 + dr3 tg( + d ) r3 = tg : r1 + dr1 = sin( + d) r2 tg modeli iz fundamentalxnyh zakonow prirody
iZ POSLEDNIH DWUH FORMUL NAHODIM
2 dr3 = (r1 + dr1) tg( + d ) ; r1 tg = r1 d =(cossin )+ dr1 tg
GDE, ANALOGI^NO PREDYDU]EMU, U^TENA TAKVE I MALOSTX WELI^INY d . uMNOVAQ dr1 NA dr3 I OTBRASYWAQ ^LEN BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI, POLU^AEM ds = r2r1 dd =(cos2 cos2 sin ). sILA PRITQVENIQ \LEKTRONA S ZARQDOM qe K \LEMENTARNOJ PLO]ADKE ds RAWNA qeq0r2 r1 dd dF = r2 cos 2 cos2 sin
GDE r | SREDNEE RASSTOQNIE OT \LEKTRONA DO PLO]ADKI, KOTOROE S U^ETOM MALOSTI WELI^IN d, d WY^ISLQETSQ PO FORMULE r = = r2=(cos cos ). w ITOGE DLQ \LEMENTARNOJ SILY IMEEM d = qeq0 dd dF = qeq0 rr1 d cos 2 sin
A DLQ EE WERTIKALXNOJ SOSTAWLQ@]EJ
dF? = dF cos cos = qeq0 cos dd : pROINTEGRIROWAW WYRAVENIE DLQ F? PO OT = 0 DO = =2, NAJDEM SILU PRITQVENIQ \LEKTRONA K ^ASTI \LEMENTARNOJ POLOSKI, RASPOLOVENNOJ W KWADRANTE r1 > 0, r3 > 0: dF+ = qeq0 d:
30
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
pROSUMMIROWAW dF + PO OT = 0 DO = =2, T. E. PO WSEM POLOSKAM KWADRANTA r1 > 0, r3 > 0, OPREDELIM SILU PRITQVENIQ, INDUCIRUEMU@ ZARQDAMI, RASPOLOVENNYMI W \TOM KWADRANTE: dF + = 2 qeq0 :
u^ITYWAQ DEJSTWIE WSEH ^ETYREH KWADRANTOW PLOSKOSTI NIVNEJ OBKLADKI I PROWODQ ANALOGI^NYE RASSUVDENIQ DLQ WERHNEJ OBKLADKI, POLU^IM REZULXTIRU@]U@ SILU PRITQVENIQ (OTTALKIWANIQ) \LEKTRONA KO WSEM ZARQDAM KONDENSATORA
F = 4 qeq0: (2) sILA F NAPRAWLENA WDOLX OSI r2 K NIVNEJ OBKLADKE (SOSTAWLQ@]IE F PO OSQM r1 , r3, O^EWIDNO, RAWNY NUL@ W SILU SIMMETRII | ^TOBY UBEDITXSQ W \TOM, DOSTATO^NO RASSMOTRETX DEJSTWIE ZARQDA, NAHODQ]EGOSQ NA PLO]ADKE, RASPOLOVENNOJ W KWADRANTE r1 < 0, r3 < 0 I SIMMETRI^NOJ PLO]ADKE ds). pOSKOLXKU SILA F NE ZAWISIT OT r2, A PO GORIZONTALXNOJ OSI ^ASTICA DWIVETSQ S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ v, TO PRIHODIM K SITUACII PREDYDU]EGO PUNKTA | PRIMENIW WTOROJ ZAKON nX@TONA, LEGKO POLU^ITX FORMULY, ANALOGI^NYE (1), OPISYWA@]IE DWIVENIE \LEKTRONA PO PARABOLI^ESKOJ TRAEKTORII I DA@]IE WOZMOVNOSTX WY^ISLITX WSE EE PARAMETRY. oDNAKO W OTLI^IE OT SLU^AQ S PODLODKOJ PRQMOE PRIMENENIE FUNDAMENTALXNOGO ZAKONA kULONA DLQ POLU^ENIQ MODELI DWIVENIQ \LEKTRONA OKAZYWAETSQ NEWOZMOVNYM. pOTREBOWALOSX, OPIRAQSX NA FUNDAMENTALXNYJ ZAKON, SNA^ALA OPISATX \LEMENTARNYJ AKT WZAIMODEJSTWIQ ZARQDOW, I UV ZATEM, PROSUMMIROWAW WSE \TI AKTY, UDALOSX NAJTI REZULXTIRU@]U@ SILU. pODOBNAQ SITUACIQ I POSLEDOWATELXNOSTX DEJSTWIJ WESXMA TIPI^NY PRI POSTROENII MODELEJ, TAK KAK MNOGIE FUNDAMENTALXNYE ZAKONY USTANAWLIWA@T WZAIMOOTNOENIQ KAK RAZ MEVDU \LEMENTARNYMI ^ASTQMI ISHODNOGO OB_EKTA. |TO, RAZUMEETSQ, SPRAWEDLIWO NE TOLXKO DLQ \LEKTRI^ESKIH SIL, NO, NAPRIMER, I DLQ SIL TQGOTENIQ. 3.
kOLEBANIQ KOLEC sATURNA.
pOSTROIM MODELX DWIVENIQ TO^E^NOJ MASSY M0 W POLE SIL TQGOTENIQ, SOZDAWAEMOM MATERIALXNYM KOLXCOM S RADIUSOM R0 I LINEJNOJ PLOTNOSTX@ 0 . kOLXCO S^ITAETSQ BESKONE^NO TONKIM, DWIVENIE PROISHODIT WDOLX OSI KOLXCA rIS. 10 (RIS. 10). dANNAQ SHEMA MOVET RASSMATRIWATXSQ KAK IDEALIZACIQ PROCESSA KOLEBANIJ KOLEC sATURNA. tEM NE MENEE, NESMOTRQ NA SU]ESTWENNYE UPRO]ENIQ, NEPOSREDSTWENNOE ISPOLXZOWANIE ZAKONA WSEMIRNOGO TQGOTENIQ 1 F = mr0 m 2
x 2]
31 GDE F | SILA PRITQVENIQ DWUH TEL, IME@]IH MASSY m0 I m1 , r | RASSTOQNIE MEVDU NIMI, | POSTOQNNAQ TQGOTENIQ, NE MOVET DATX OKON^ATELXNOJ MODELI DWIVENIQ KOLEC sATURNA, TAK KAK MASSY m0 , m1 DOLVNY BYTX TO^E^NYMI. pO\TOMU WY^ISLIM SNA^ALA SILU PRITQVENIQ MEVDU TO^E^NOJ MASSOJ M0 I MASSOJ dm, SODERVA]EJSQ W MALOM \LEMENTE KOLXCA dl, KOTORU@ UVE MOVNO S^ITATX TO^E^NOJ: dF = MR0 dm 2 : zDESX R, r | SOOTWETSTWENNO RASSTOQNIE OT MASSY M0 DO KOLXCA I DO CENTRA KOLXCA. o^EWIDNO, ^TO PRI 0 6 6 =2 (DLQ =2 6 6 2 WYKLADKI ANALOGI^NY) R0 = sin = p R0 r = ; cos = p r : 2 2 R R r + R0 r2 + R20 pOSKOLXKU dm = 0 dl = 0 R0 d = ;0 r tg d , TO dF = ; MR020 r tg d = ; Mr0 0 sin cos d : nAJDEM PROEKCI@ SILY dF NA OSX r (IMENNO \TA PROEKCIQ OPREDELQET INTERESU@]EE NAS DWIVENIE): dF? = dF cos = ; Mr0 0 sin cos2 d : pROSUMMIROWAW TEPERX SILY TQGOTENIQ, SOZDAWAEMYE WSEMI \LEMENTAMI KOLXCA, T. E. WZQW INTEGRAL OT dF? PO OT = 0 DO = 2 , NAJDEM REZULXTIRU@]U@ SILU: F = ;2 Mr0 0 sin cos2 = ; M0 M1 2 r 2 3=2 (3) (r + R0 ) GDE M1 = 2 R00 | POLNAQ MASSA KOLXCA. kAK I W PREDYDU]EM PUNKTE, GORIZONTALXNAQ PROEKCIQ REZULXTIRU@]EJ SILY RAWNA NUL@ IZ-ZA SIMMETRI^NOGO RASPOLOVENIQ KOLXCA OTNOSITELXNO MASSY M0 . sILA TQGOTENIQ (3) SU]ESTWENNO OTLI^AETSQ OT WYRAVENIQ, DAWAEMOGO ZAKONOM DLQ TO^E^NYH MASS, PEREHODQ W NEGO LIX PRI r R0, KOGDA KOLXCO MOVNO UPODOBITX TO^E^NOJ MASSE BLAGODARQ BOLXOMU, W SRAWNENII S RAZMERAMI KOLXCA, RASSTOQNI@ MEVDU TQGOTE@]IMI TELAMI. eSLI VE r R0, TO 1 F = ; MR0 M 3 r 0 I SILA PRITQVENIQ, W PROTIWOPOLOVNOSTX SLU^A@ TO^E^NYH MASS, UBYWAET S UMENXENIEM RASSTOQNIQ MEVDU OB_EKTAMI (E]E ODIN PREDELXNYJ PEREHOD RASSMOTREN W UPR. 3). modeli iz fundamentalxnyh zakonow prirody
32
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
pRIMENIW K MASSE M0 WTOROJ ZAKON nX@TONA, POLU^IM URAWNENIE EE DWIVENIQ WDOLX OSI r:
d2r = ; M r 1 2 3 dt2 (r + R20) =2 KOTOROE, W OTLI^IE OT P. 1 I P. 2, SU]ESTWENNO NELINEJNO I STANOWITSQ LINEJNYM LIX PRI r R0: d2 r = ; M1 r: (4) dt2 R30 4. dWIVENIE ARIKA, PRISOEDINENNOGO K PRUVINE. w POLU^ENII MODELEJ PP. 1{3 GLAWNU@ ROLX IGRALI FUNDAMENTALXNYE ZAKONY, OPREDELQWIE PROISHOVDENIE I WELI^INU SIL, DEJSTWU@]IH NA OB_EKT, A WTOROJ ZAKON nX@TONA BYL KAK BY WSPOMOGATELXNYM I PRIMENQLSQ NA POSLEDNEJ STADII POSTROENIQ MODELI. kONE^NO VE, TAKOE DELENIE ^ISTO USLOWNO. wEDX ESLI RE^X IDET O ZADA^AH DINAMIKI, TO MOVNO ISPOLXZOWATX I DRUGU@ SHEMU | SNA^ALA SWQZATX S POMO]X@ ZAKONA nX@TONA PROEKCII USKORENIQ TELA S PROEKCIQMI rIS. 11 DEJSTWU@]IH NA NEGO SIL, A ZATEM, ISHODQ IZ TEH ILI INYH SOOBRAVENIJ, WY^ISLITX \TI SILY KAK FUNKCII KOORDINAT, POLU^IW ZAMKNUTU@ MODELX. pRODEMONSTRIRUEM \TOT PODHOD NA PRIMERE MODELI DWIVENIQ ARIKA, PRISOEDINENNOGO K PRUVINE, S VESTKO ZAKREPLENNYM KONCOM (RIS. 11). pUSTX r | KOORDINATA ARIKA WDOLX OSI PRUVINY, LEVA]EJ NA GORIZONTALXNOJ PLOSKOSTI, I NAPRAWLENIE DWIVENIQ ARIKA SOWPADAET S EE OSX@. tOGDA PO WTOROMU ZAKONU DINAMIKI 2 F = ma = m ddt2r GDE m | MASSA ARIKA, a | EGO USKORENIE. bUDEM S^ITATX PLOSKOSTX IDEALXNO GLADKOJ (T. E. DWIVENIE PROISHODIT BEZ TRENIQ), PRENEBREVEM TAKVE SOPROTIWLENIEM WOZDUHA I PRIMEM WO WNIMANIE TO, ^TO WES ARIKA URAWNOWEIWAETSQ REAKCIEJ PLOSKOSTI. eDINSTWENNAQ SILA, DEJSTWU@]AQ NA ARIK W NAPRAWLENII OSI r, O^EWIDNO, SILA UPRUGOSTI PRUVINY. oPREDELIM EE, ISPOLXZUQ ZAKON gUKA, GLASQ]IJ, ^TO DLQ RASTQVENIQ (SVATIQ) PRUVINY NEOBHODIMO PRILOVITX SILU F = ;kr GDE KO\FFICIENT k > 0 HARAKTERIZUET UPRUGIE SWOJSTWA PRUVINY, A r | WELI^NU EE RASTQVENIQ ILI SVATIQ OTNOSITELXNO NEJTRALXNOGO, NENAGRUVENNOGO POLOVENIQ r = 0. uRAWNENIE DWIVENIQ ARIKA PRINIMAET WID (URAWNENIE \LEMENTARNOGO OSCILLQTORA) 2 m ddt2r = ;kr t > 0: (5)
x 2]
modeli iz fundamentalxnyh zakonow prirody
33
oNO OPISYWAET EGO GARMONI^ESKIE KOLEBANIQ I IMEET OB]EE REENIE r = A sin !t + B cos !t
(6) GDE ! = k=m | SOBSTWENNAQ ^ASTOTA KOLEBANIJ SISTEMY PRUVINA| ARIK. zNA^ENIQ A I B LEGKO OPREDELQ@TSQ IZ NA^ALXNOGO SOSTOQNIQ OB_EKTA, T. E. ^EREZ WELI^INY r(t = 0) = r0 I v(t = 0) = v0 (v(t) | SKOROSTX ARIKA), PRI^EM r(t) 0 PRI r0 = v0 = 0. zAMETIM, ^TO URAWNENIE (4) S TO^NOSTX@ DO OBOZNA^ENIJ SOWPADAET S (5), PO\TOMU W P. 3 RE^X TAKVE LA O PROCESSE KOLEBANIJ, NO PRIMENITELXNO K SISTEME sATURN|KOLXCO. pODHODY, S POMO]X@ KOTORYH STROILISX MODELI DANNOGO PARAGRAFA, NE DOLVNY, RAZUMEETSQ, PROTIWORE^ITX DRUGIM FUNDAMENTALXNYM ZAKONAM PRIRODY. sOOTWETSTWU@]AQ PROWERKA NEPROTIWORE^IWOSTI (ESLI ONA WOZMOVNA) WESXMA POLEZNA DLQ USTANOWLENIQ PRAWILXNOSTI MODELEJ. pOQSNIM \TO, ISPOLXZUQ DLQ WYWODA URAWNENIQ (5) NE ZAKON nX@TONA, A ZAKON SOHRANENIQ \NERGII. pOSKOLXKU TO^KA KREPLENIQ PRUVINY NEPODWIVNA, TO STENKA NE SOWERAET RABOTU NAD SISTEMOJ PRUVINA|ARIK (I NAOBOROT), I EE POLNAQ MEHANI^ESKAQ \NERGIQ E OSTAETSQ POSTOQNNOJ. wY^ISLIM EE. kINETI^ESKAQ \NERGIQ OPREDELQETSQ DWIVENIEM ARIKA (PRUVINA S^ITAETSQ NEWESOMOJ): 2 2 EK = mv2 = m (dr=dt) : 2 pOTENCIALXNAQ \NERGIQ SISTEMY SODERVITSQ W PRUVINE, EE NETRUDNO NAJTI, OPREDELIW RABOTU, NEOBHODIMU@ DLQ RASTQVENIQ (SVATIQ) PRUVINY NA WELI^INU r:
p
EP = ;
Zr 0
Fdr0 =
Zr 0
2
kr0 dr0 = k r2 :
dLQ NEIZMENNOJ SO WREMENEM WELI^INY E = EK + EP (INTEGRALA \NERGII) POLU^AEM
2 kr2 E = m (dr=dt) + 2 : 2 tAK KAK dE=dt 0, TO, PRODIFFERENCIROWAW INTEGRAL \NERGII PO t,
PRIHODIM K WYRAVENI@
d2r + k dr r = dr m d2 r + kr = 0 m dr dt dt2 dt dt dt2 T. E. K URAWNENI@ (5), PROWERIW TEM SAMYM PRAWILXNOSTX EGO POLU^ENIQ. pODOBNU@ PROCEDURU NETRUDNO PROWESTI I DLQ PRIMEROW PP. 1{3. 5. zAKL@^ENIE. 1. dAVE W PROSTEJIH SITUACIQH DLQ POSTROENIQ MODELI MOVET POTREBOWATXSQ ISPOLXZOWANIE NE ODNOGO, A NESKOLXKIH FUNDAMENTALXNYH ZAKONOW. 3 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
34
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
2. pRQMOE FORMALXNOE PRIMENENIE FUNDAMENTALXNYH ZAKONOW K OB_EKTU, RASSMATRIWAEMOMU KAK CELOE, NE WSEGDA WOZMOVNO (PP. 2, 3). w \TIH SLU^AQH TREBUETSQ PROSUMMIROWATX \LEMENTARNYE AKTY WZAIMODEJSTWIQ MEVDU EGO ^ASTQMI, PRINIMAQ WO WNIMANIE SWOJSTWA OB_EKTA (NAPRIMER, EGO GEOMETRI@). 3. oDNIMI I TEMI VE MODELQMI MOGUT OPISYWATXSQ SOWERENNO RAZNYE PO SWOEJ PRIRODE OB_EKTY, POD^INQ@]IESQ RAZNYM FUNDAMENTALXNYM ZAKONAM, I, NAOBOROT, DANNOMU ZAKONU MOGUT OTWE^ATX PRINCIPIALXNO RAZNYE MODELI (NAPRIMER, LINEJNYE I NELINEJNYE SM. P. 3). 4. nEOBHODIMO ISPOLXZOWATX WSE WOZMOVNOSTI DLQ PROWERKI PRAWILXNOSTI POSTROENIQ MODELI (PREDELXNYE PEREHODY | PP. 2, 3, DRUGIE FUNDAMENTALXNYE ZAKONY | P. 4 I T. D.). upravneniq 1. w ZADA^E O WSPLYTII PODWODNOJ LODKI U^ITYWAETSQ SOPROTIWLENIE WODY. pRINIMAQ SILU SOPROTIWLENIQ RAWNOJ F1 = ;k0 u, GDE k0 > 0 | KO\FFICIENT, ZAWISQ]IJ OT SWOJSTW WODY I FORMY PODLODKI, u | WERTIKALXNAQ SKOROSTX LODKI, NAJDITE MAKSIMALXNU@ GLUBINU H , PRI WSPLYTII S KOTOROJ SILOJ F1 MOVNO PRENEBRE^X W L@BOJ MOMENT WREMENI t 6 tk (DOLVNO WYPOLNQTXSQ TREBOWANIE F1 F ; P ). 2. pOWTORQQ RASSUVDENIQ P. 2, NAJDITE SILU PRITQVENIQ \LEKTRONA K OBKLADKAM KONDENSATORA, IME@]IM KONE^NYE RAZMERY R1 , R3 . uBEDITESX W TOM, ^TO PRI R1 ! 1, R3 ! 1 POLU^ENNOE WYRAVENIE PEREHODIT W FORMULU (2). 3. w ZADA^E P. 3 WWEDITE TOL]INU KOLXCA d, NAJDITE SILU F I UBEDITESX, ^TO POLU^ENNOE WYRAVENIE PRI d ! 0 SOWPADAET S FORMULOJ (3). 4. pUSTX RASSTOQNIE MEVDU TO^KOJ NEJTRALXNOGO POLOVENIQ PRUVINY r = = 0 I STENKOJ, K KOTOROJ ONA KREPITSQ, RAWNO L (SM. RIS. 11). nAJDITE, POLXZUQSX FORMULOJ (6), USLOWIQ NA WELI^INY r0 , v0 , PRI WYPOLNENII KOTORYH ARIK NE MOVET UDARITXSQ O STENKU (W PROTIWNOM SLU^AE MODELX (5) NEWERNA, TAK KAK PRI SOUDARENII SO STENKOJ ARIK ISPYTYWAET S EE STORONY DEJSTWIE NEKOTOROJ SILY, NE U^ITYWAEMOJ W URAWNENII (5)).
x 3. wARIACIONNYE PRINCIPY I MATEMATI^ESKIE MODELI dADIM UPRO]ENNU@ FORMULIROWKU WARIACIONNOGO PRINCIPA gAMILXTONA DLQ MEHANI^ESKOJ SISTEMY. nA EGO OSNOWE WYWEDEM URAWNENIQ DWIVENIQ ARIKA NA PRUVINE I MAQTNIKA W POLE SIL TQVESTI. sOPOSTAWIM REZULXTATY POLU^ENIQ MODELEJ IZ FUNDAMENTALXNYH ZAKONOW I IZ WARIACIONNOGO PRINCIPA. 1. oB]AQ SHEMA PRINCIPA gAMILXTONA. pUSTX IMEETSQ MEHANI^ESKAQ SISTEMA, FORMALXNOGO I STROGO OPREDELENIQ KOTOROJ POKA DAWATX NE BUDEM, IMEQ W WIDU, ODNAKO, ^TO WSE \LEMENTY TAKOJ SISTEMY I WZAIMODEJSTWIE MEVDU NIMI OPREDELQ@TSQ ZAKONAMI MEHANIKI (ODIN IZ PROSTEJIH PRIMEROW | RASSMOTRENNAQ W P. 4 x 2 SISTEMA ARIK| PRUVINA). wWEDEM PONQTIE OBOB]ENNYH KOORDINAT Q(t), POLNOSTX@ OPREDELQ@]IH POLOVENIE MEHANI^ESKOJ SISTEMY W PROSTRANSTWE. wELI^INA Q(t) MOVET BYTX DEKARTOWOJ KOORDINATOJ (NAPRIMER, KOORDINATA r W SISTEME ARIK|PRUVINA), RADIUSOM-WEKTOROM, UGLOWOJ KOORDINATOJ, NABOROM KOORDINAT MATERIALXNYH TO^EK, SOSTAWLQ@]IH
x 3]
wariacionnye principy i matemati~eskie modeli 35
SISTEMU, I T. D. wELI^INU dQ=dt ESTESTWENNO NAZWATX OBOB]ENNOJ SKOROSTX@ MEHANI^ESKOJ SISTEMY W MOMENT WREMENI t. nABOR WELI^IN Q(t) I dQ=dt OPREDELQET SOSTOQNIE MEHANI^ESKOJ SISTEMY WO WSE MOMENTY WREMENI. dLQ OPISANIQ MEHANI^ESKOJ SISTEMY WWODITSQ FUNKCIQ lAGRANVA, POSTROENIE KOTOROJ | OTDELXNYJ WOPROS, BOLEE PODROBNO RASSMATRIWAEMYJ W GL. III. w PROSTEJIH SLU^AQH FUNKCIQ lAGRANVA IMEET QSNYJ SMYSL I ZAPISYWAETSQ W WIDE L(Q dQ=dt) = EK ; EP (1) GDE EK , EP | KINETI^ESKAQ I POTENCIALXNAQ \NERGII SISTEMY SOOTWETSTWENNO. dLQ CELEJ DANNOGO PARAGRAFA NET NEOBHODIMOSTI DAWATX OB]EE OPREDELENIE WELI^IN EK , EP , POSKOLXKU W RASSMATRIWAEMYH PRIMERAH ONI WY^ISLQ@TSQ O^EWIDNYM OBRAZOM. wWEDEM DALEE WELI^INU SQ], NAZYWAEMU@ DEJSTWIEM :
Zt dQ SQ] = L Q dt dt: 2
t1
(2)
iNTEGRAL (2), O^EWIDNO, QWLQETSQ FUNKCIONALOM OT OBOB]ENNOJ KOORDINATY Q(t), T. E. FUNKCII Q(t), ZADANNOJ NA OTREZKE t1 t2], ON STAWIT W SOOTWETSTWIE NEKOTOROE ^ISLO S (DEJSTWIE). pRINCIP gAMILXTONA DLQ MEHANI^ESKOJ SISTEMY GLASIT: ESLI SISTEMA DWIVETSQ PO ZAKONAM MEHANIKI, TO Q(t) | STACIONARNAQ FUNKCIQ DLQ SQ], ILI
d (3) d" SQ + "']"=0 = 0: fIGURIRU@]AQ W PRINCIPE NAIMENXEGO DEJSTWIQ (3) FUNKCIQ '(t) | NEKOTORAQ PROBNAQ FUNKCIQ, OBRA]A@]AQSQ W NULX W MOMENTY t1, t2 I UDOWLETWORQ@]AQ TOMU USLOWI@, ^TO Q(t) + "'(t) | WOZMOVNAQ KOORDINATA DANNOJ SISTEMY (W OSTALXNOM '(t) PROIZWOLXNA). sMYSL PRINCIPA (3) W TOM, ^TO IZ WSEH APRIORI MYSLIMYH (DOPUSKAEMYH) TRAEKTORIJ (DWIVENIJ) SISTEMY MEVDU MOMENTAMI t1 , t2 WYBIRAETSQ (REALIZUETSQ) DWIVENIE, DOSTAWLQ@]EE MINIMUM FUNKCIONALU DEJSTIQ (OTS@DA PROISHODIT I NAZWANIE PRINCIPA). fUNKCIQ "'(t) NAZYWAETSQ WARIACIEJ WELI^INY Q(t). iTAK, SHEMA PRIMENENIQ PRINCIPA gAMILXTONA (3) DLQ POSTROENIQ MODELEJ MEHANI^ESKIH SISTEM SOSTOIT W SLEDU@]EM: OPREDELQ@TSQ OBOB]ENNYE KOORDINATY Q(t) I OBOB]ENNYE SKOROSTI dQ=dt SISTEMY, STROQTSQ FUNKCIQ lAGRANVA L(Q dQ=dt) I FUNKCIONAL DEJSTWIQ SQ], MINIMIZACIQ KOTOROGO NA WARIACIQH "'(t) KOORDINATY Q(t) I DAET ISKOMU@ MODELX.
2. tRETIJ SPOSOB POLU^ENIQ MODELI SISTEMY ARIK| PRUVINA . wOSPOLXZUEMSQ PRINCIPOM gAMILXTONA DLQ POSTROENIQ
MODELI DWIVENIQ ARIKA, SOEDINENNOGO S PRUVINOJ (P. 4 x 2). w KA^ESTWE OBOB]ENNOJ KOORDINATY SISTEMY ESTESTWENNO WYBRATX OBY^NU@ 3
36
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
\JLEROWU KOORDINATU ARIKA r(t). tOGDA OBOB]ENNAQ SKOROSTX dr=dt = = v(t) | OBY^NAQ SKOROSTX ARIKA. fUNKCIQ lAGRANVA (1), RAWNAQ L = EK ; EP , ZAPISYWAETSQ ^EREZ UVE NAJDENNYE W P. 4 x 2 ZNA^ENIQ KINETI^ESKOJ I POTENCIALXNOJ \NERGII SISTEMY: 2 r2 : L = m (dr=dt) ; k 2 2 dLQ WELI^INY DEJSTWIQ POLU^AEM WYRAVENIE
Zt dr Zt " m dr 2 k # 2 Sr] = L r dt dt = 2 dt ; 2 r dt: 2
2
t1
t1
tEPERX, W SOOTWETSTWII SO SHEMOJ P. 1, WY^ISLIM DEJSTWIE NA WARIACIQH "'(t) KOORDINATY r(t):
# Zt " m d(r + "') 2 k 2 Sr + "'] = ; 2 (r + "') dt: 2 dt 2
t1
pOSLEDN@@ FORMULU NEOBHODIMO PRODIFFERENCIROWATX PO " (U^ITYWAQ, ^TO FUNKCII r, ', dr=dt, d'=dt OT " NE ZAWISQT): d Sr + "'] = d 1 d" d" 2
Zt " ( dr 2 dr d' d' 2) m dt + 2" dt dt + "2 dt ; t # 2
1
; k fr2 + 2"r' + "2 '2 g dt =
# Zt " ( dr d' d' 2) 2 = m +" ; k fr' + "' g dt 2
I POLOVITX W NEJ " = 0:
t1
dt dt
dt
d Sr + "'] = Z m dr d' ; kr' dt = 0: "=0 d" dt dt t2
t1
pRAWAQ ^ASTX \TOGO WYRAVENIQ (RAWNOGO NUL@ W SOGLASII S PRINCIPOM gAMILXTONA | SM. (3)) S POMO]X@ INTEGRIROWANIQ EE PERWOGO ^LENA PO ^ASTQM I S U^ETOM TOGO, ^TO ' = 0 W MOMENTY t1 , t2 , PREOBRAZUETSQ K WIDU
d Sr + "'] = ; Z ' m d2r + kr dt = 0: "=0 d" dt2 t2
t1
x 3]
wariacionnye principy i matemati~eskie modeli 37
pOSKOLXKU PROBNAQ FUNKCIQ '(t), FIGURIRU@]AQ W FORMULIROWKE PRINCIPA NAIMENXEGO DEJSTWIQ, PROIZWOLXNA, TO ^ASTX WYRAVENIQ, STOQ]AQ POD ZNAKOM INTEGRALA W KWADRATNYH SKOBKAH, DOLVNA BYTX RAWNA NUL@ WO WSE MOMENTY WREMENI t1 < t < t2 : 2 m ddt2r = ;kr
T. E. DWIVENIE SISTEMY DOLVNO OPISYWATXSQ URAWNENIEM (5), POLU^ENNYM W x 2 IZ ZAKONA nX@TONA (PERWYJ SPOSOB) I ZAKONA SOHRANENIQ \NERGII (WTOROJ SPOSOB). wSE TRI PODHODA OKAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI (TAK KAK MEVDU NIMI SU]ESTWUET GLUBOKAQ SWQZX, BOLEE PODROBNO IZU^AEMAQ W GL. III). 3. kOLEBANIQ MAQTNIKA W POLE SIL TQVESTI. pRIWEDEM NESKOLXKO BOLEE SLOVNYJ PRIMER PRIMENENIQ PRINCIPA gAMILXTONA S PODROBNYM RASSMOTRENIEM NA^ALXNOJ STADII POSTROENIQ MODELI | OPISANIEM MEHANI^ESKOJ SISTEMY. pUSTX NA NEPODWIVNOM ARNIRE PODWEEN MAQTNIK | GRUZ MASSY m, NAHODQ]IJSQ NA KONCE STERVNQ DLINY l (RIS. 12). {ARNIR S^ITAETSQ IDEALXNO GLADKIM W TOM SMYSLE, ^TO W NEM NE PROISHODQT POTERI \NERGII NA TRENIE. nEPODWIVNOSTX ARNIRA OZNA^AET, ^TO OT NEGO \NERGIQ W SISTEMU STERVENX|GRUZ NE POSTUPAET, TAKOJ ARNIR NESPOSOBEN SOWERITX NAD NEJ KAKU@-LIBO RABOTU. sTERVENX S^ITAETSQ NEWESOMYM I ABSOL@TNO VESTKIM, T. E. EGO KINETI^ESKAQ I POTENCIALXNAQ \NERGII RAWNY NUL@, A GRUZ NE MOVET SOWERATX DWIVENIJ WDOLX OSI STERVNQ. gRUZ IMEET NEBOLXIE RAZMERY PO SRAWNENI@ S DLINOJ STERVNQ (MATERIALXNAQ TO^KA), USKORENIE SWOBODNOGO PADENIQ g POSTOQNNO, SOPROTIWLENIEM WOZDUHA rIS. 12 PRENEBREGAETSQ, KOLEBANIQ PROISHODQT W FIKSIROWANNOJ WERTIKALXNOJ PLOSKOSTI (DLQ ^EGO, O^EWIDNO, WEKTOR NA^ALXNOJ SKOROSTI GRUZA DOLVEN LEVATX W \TOJ PLOSKOSTI). pOSLE WSEH \TIH UPRO]A@]IH PREDPOLOVENIJ QSNO, ^TO POLOVENIE MAQTNIKA OPREDELQETSQ LIX ODNOJ OBOB]ENNOJ KOORDINATOJ, W KA^ESTWE KOTOROJ WYBEREM UGOL (t) OTKLONENIQ STERVNQ OT WERTIKALI. oBOB]ENNAQ SKOROSTX W DANNOM SLU^AE | UGLOWAQ SKOROSTX d=dt. kINETI^ESKAQ \NERGIQ SISTEMY DAETSQ FORMULOJ
EK = 21 mv2 = 21 m l d dt
2 1 d 2 = 2 ml2 dt
A POTENCIALXNAQ \NERGIQ WYRAVENIEM EP = mgh = ;mg (l cos ; l) GDE h | OTKLONENIE MAQTNIKA OT NAINIZEGO POLOVENIQ PO WERTIKALI. w DALXNEJIH WYKLADKAH WELI^INU mgl W EP OPUSTIM, TAK KAK POTENCIALXNAQ \NERGIQ OPREDELQETSQ S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOJ.
38 (2):
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
tEPERX NETRUDNO WY^ISLITX FUNKCI@ lAGRANVA (1) I DEJSTWIE
" 2 # d 1 d L dt = ml 2 l dt + g cos # Zt " 1 d 2 S] = ml 2 l dt + g cos dt: 2
t1
nAHODQ DEJSTWIE NA WARIACIQH + "'(t):
# Zt " 1 d d' 2 S + "'] = ml 2 l dt + " dt + g cos( + "') dt = t Zt " 1 ( d 2 d d' d' 2) 2
1
= ml
2
t1
2
+ 2" dt dt
dt
+ "2
dt
DIFFERENCIRUQ EGO PO " I POLAGAQ " = 0, POLU^AEM
t2
#
+ g cos( + "') dt
d S + "'] = ml Z l d d' ; 'g sin dt = 0: "=0 d" dt dt t1
kAK I W P. 1, INTEGRIRUEM PERWYJ ^LEN WYRAVENIQ W SKOBKAH PO ^ASTQM I, U^ITYWAQ, ^TO '(t) = 0 W MOMENTY t1 , t2, PRIHODIM K SLEDU@]EMU URAWNENI@:
Zt d2 ml ' l dt2 + g sin dt = 0 2
t1
KOTOROE W SILU PROIZWOLXNOSTI '(t) MOVET UDOWLETWORQTXSQ LIX ESLI DLQ WSEH t1 < t < t2 SPRAWEDLIWO d2 = ; g sin : dt2 l
(4)
zAMETIM, ^TO URAWNENIE KOLEBANIJ MAQTNIKA (4) W OTLI^IE OT URAWNENIQ (5) x 2 NELINEJNO. |TO OBSTOQTELXSTWO SWQZANO S BOLEE SLOVNOJ GEOMETRIEJ SISTEMY STERVENX|GRUZ, A IMENNO: USKORENIE, ISPYTYWAEMOE GRUZOM, NE PROPORCIONALXNO KOORDINATE, KAK W SLU^AE ZAKONA gUKA, A QWLQETSQ BOLEE SLOVNOJ FUNKCIEJ OTKLONENIQ OT POLOVENIQ RAWNOWESIQ (UGLA ). eSLI VE \TI OTKLONENIQ MALY, TO sin , I MODELX MALYH KOLEBANIJ LINEJNA: d2 = ; g : dt2 l
x 3]
wariacionnye principy i matemati~eskie modeli 39
poNI OPISYWA@TSQ FORMULOJ, ANALOGI^NOJ (6) IZ x 2, GDE ! = = g=l | SOBSTWENNAQ ^ASTOTA MALYH KOLEBANIJ, A WELI^INY A, B OPREDELQ@TSQ ^EREZ (t = 0), d dt (t = 0).
4. zAKL@^ENIE. pRIMERY ISPOLXZOWANIQ PRINCIPA gAMILXTONA DLQ POSTROENIQ MODELEJ MEHANI^ESKIH SISTEM RISU@T WESXMA ^ETKU@ PROGRAMMU DEJSTWIJ, W OB]EM WIDE OPISANNU@ W P. 1. uNIWERSALXNOSTX, STROGO FORMALIZOWANNYE POSLEDOWATELXNYE PROCEDURY, NE ZAWISQ]IE OT DETALEJ KONKRETNOJ SISTEMY, BEZUSLOWNO, WESXMA PRIWLEKATELXNAQ ^ERTA WARIACIONNYH PRINCIPOW. w PRIWEDENNYH WYE PROSTYH SLU^AQH MODELI MOGUT BYTX OTNOSITELXNO LEGKO POLU^ENY I INYMI SPOSOBAMI. oDNAKO DLQ MNOGIH DRUGIH, BOLEE SLOVNYH OB_EKTOW, WARIACIONNYE PRINCIPY OKAZYWA@TSQ FAKTI^ESKI EDINSTWENNYM METODOM POSTROENIQ MODELEJ. tAK, NAPRIMER, MEHANI^ESKIE ^ASTI BOLXINSTWA ROBOTOTEHNI^ESKIH USTROJSTW SOSTOQT IZ BOLXOGO KOLI^ESTWA RAZNOOBRAZNYH \LEMENTOW, SWQZANNYH MEVDU SOBOJ RAZLI^NYMI SPOSOBAMI. iH MATEMATI^ESKIE MODELI WKL@^A@T BOLXOE ^ISLO URAWNENIJ, EDINOOBRAZNO POLU^AEMYH W OSNOWNOM S POMO]X@ WARIACIONNYH PRINCIPOW. |TOT PODHOD USPENO PRIMENQETSQ TAKVE I DLQ SISTEM INOJ PRIRODY (FIZI^ESKIH, HIMI^ESKIH, BIOLOGI^ESKIH), DLQ KOTORYH FORMULIRU@TSQ SOOTWETSTWU@]IE OB]IE UTWERVDENIQ O HARAKTERE IH \WOL@CII (POWEDENIQ). tO OBSTOQTELXSTWO, ^TO PRINCIP gAMILXTONA I DRUGIE PODHODY DA@T SOWPADA@]IE MODELI, ESTESTWENNO, POSKOLXKU ONI OPISYWA@T ODIN I TOT VE ISHODNYJ OB_EKT. rAZUMEETSQ, TAKOE SOWPADENIE GARANTIROWANO TOLXKO PRI ODNIH I TEH VE ISHODNYH PREDPOLOVENIQH OB OB_EKTE. eSLI EGO IDEALIZACIQ (KAK ODIN IZ PERWYH \TAPOW POSTROENIQ MODELI) PROWODITSQ ODINAKOWO, TO RAZNYE SPOSOBY POLU^ENIQ MODELEJ DOLVNY DAWATX TOVDESTWENNYE REZULXTATY. pUSTX, NAPRIMER, W SISTEME ARIK|PRUVINA POQWLQETSQ DOPOLNITELXNAQ SILA NEKOTOROGO WNENEGO WOZDEJSTWIQ NA ARIK F1 . tOGDA IZ WTOROGO ZAKONA nX@TONA NETRUDNO POLU^ITX URAWNENIE DWIVENIQ ARIKA 2 m ddt2r = ;kr + F1
(SR. S (5) x 2). pRIMENQQ PRINCIP gAMILXTONA K TAKOJ SISTEME, NEOBHODIMO U^ESTX NALI^IE \TOJ SILY. o^EWIDNO, ^TO OPREDELENIQ OBOB]ENNOJ KOORDINATY, OBOB]ENNOJ SKOROSTI I KINETI^ESKOJ \NERGII EK OSTA@TSQ NEIZMENNYMI. w TO VE WREMQ WYRAVENIE DLQ POTENCIALXNOJ \NERGII SU]ESTWENNO IZMENQETSQ (SR. S P. 2) NA WELI^INU, RAWNU@ RABOTE, PROIZWEDENNOJ \TOJ SILOJ NAD SISTEMOJ: 2 Z 2 EP = k r2 + F1 dr = k r2 + F1r:
r
0
pROWODQ ANALOGI^NYE P. 2 WYKLADKI S SOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM IZMENENNYMI WELI^INAMI L I Q, NETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO PRINCIP gAMILXTONA DAET NAPISANNOE WYE URAWNENIE S WNENEJ SILOJ F1.
40
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
upravneniq 1. pROWERXTE, ^TO MODELX (4) POSTROENA PRAWILXNO, POLU^IW EE S POMO]X@ WTOROGO ZAKONA nX@TONA. 2. iSPOLXZUQ REZULXTATY P. 2 x 2 I PRINCIPgAMILXTONA, POSTROJTEMODELXKOLEBANIJ MAQTNIKA W \LEKTRI^ESKOM POLE, SOZDAWAEMOM ZARQVENNOJ GORIZONTALXNOJ PLOSKOSTX@, NAD KOTOROJ PODWEEN MAQTNIK. zARQD GRUZA RAWEN q, POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX ZARQDOW NA PLOSKOSTI | q0 (SILOJ TQVESTI PRENEBRE^X). pO^EMU, NESMOTRQ NA RAZLI^NU@ PRIRODU DEJSTWU@]IH SIL, POLU^AETSQ MODELX, ANALOGI^NAQ (4)?
x 4. pRIMER IERARHII MODELEJ dLQ DWIVENIQ ARIKA, SOEDINENNOGO S PRUVINOJ, POSTROIM IERARHI^ESKU@ CEPO^KU MODELEJ PO PRINCIPU SNIZU WWERH. pOSLEDOWATELXNO WWEDEM NOWYE USLOVNQ@]IE FAKTORY I DADIM IH MATEMATI^ESKOE OPISANIE. 1. rAZLI^NYE WARIANTY DEJSTWIQ ZADANNOJ WNENEJ SILY. pUSTX NA ARIK DEJSTWUET IZWESTNAQ WNENQQ SILA F (r t), ZAWISQ]AQ OT WREMENI I POLOVENIQ ARIKA. oNA MOVET POROVDATXSQ POLEM TQGOTENIQ (SM. UPR. 1), IMETX \LEKTRI^ESKOE ILI MAGNITNOE PROISHOVDENIE I T. D. iZ WTOROGO ZAKONA nX@TONA SRAZU POLU^AEM, ^TO PO SRAWNENI@ S BAZOWOJ MODELX@ KOLEBANIJ 2 m ddt2r = ;kr
(1)
2 m ddt2r = ;kr + F(r t):
(2)
W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ (1) POQWLQETSQ DOPOLNITELXNYJ ^LEN: pROSTEJIJ WARIANT URAWNENIQ (2) OTWE^AET POSTOQNNOJ SILE F (r t) = F0. pROWEDQ ZAMENU r = r ; F0 =k, POLU^AEM DLQ r d2r = ;kr dt2 T. E. POSTOQNNAQ SILA NE WNOSIT IZMENENIJ W PROCESS KOLEBANIJ ZA TEM ISKL@^ENIEM, ^TO KOORDINATA NEJTRALXNOJ TO^KI, W KOTOROJ SILA, DEJSTWU@]AQ NA ARIK, RAWNA NUL@, SDWIGAETSQ NA WELI^INU F0=k. gORAZDO BOLEE SLOVNAQ KARTINA DWIVENIQ MOVET POROVDATXSQ ZAWISQ]EJ OT WREMENI SILOJ F(t). rASSMOTRIM DLQ OPREDELENNOSTI PERIODI^ESKU@ WNEN@@ SILU F(t) = F0 sin !1 t: 2 m ddt2r = ;kr + F(t) = ;kr + F0 sin !1 t: (3) rEENIE LINEJNOGO URAWNENIQ (3) NAHODITSQ KAK SUMMA OB]EGO REENIQ ODNORODNOGO URAWNENIQ (FORMULA (6) x 2) I ^ASTNOGO REENIQ NEODNORODNOGO URAWNENIQ (3), KOTOROE BUDEM ISKATX W WIDE r1(t) = C sin !1 t: (4)
x 4]
primer ierarhii modelej
41
pODSTANOWKOJ \TOGO WYRAVENIQ W (3) NAHODIM
p
F0 0 C = k ;Fm! 2 = m (!2 ; !2 ) 1 1
GDE ! = k=m | ^ASTOTA KOLEBANIJ PRUVINY W OTSUTSTWIE WNENIH SIL, ILI SOBSTWENNAQ ^ASTOTA SISTEMY. w ITOGE DLQ OB]EGO REENIQ (3) IMEEM r(t) = A sin !t + B cos !t + m (!2F0; !2 ) sin !1t: 1
iTAK, WNENQQ SILA F(t) PRIWODIT NE TOLXKO K POQWLENI@ W SISTEME DOPOLNITELXNYH KOLEBANIJ S ^ASTOTOJ !1, NO I K WOZNIKNOWENI@ REZONANSA | NEOGRANI^ENNOMU ROSTU AMPLITUDY KOLEBANIJ PRI !1 ! ! !. 2. dWIVENIE TO^KI KREPLENIQ, PRUVINA NA WRA]A@]EMSQ STERVNE. rEZONANS W SISTEME MOVET BYTX WYZWAN TAKVE BLAGODARQ DEJSTWI@ SIL INERCIONNOGO PROISHOVDENIQ. pUSTX TO^KA KREPLENIQ PRUVINY DWIVETSQ PO ZADANNOMU ZAKONU r0(t) = f(t). tOGDA W SISTEME KOORDINAT, SWQZANNOJ S \TOJ TO^KOJ, NA ARIK DEJSTWUET, POMIMO NATQVENIQ PRUVINY, SILA INERCII, RAWNAQ ma(t), GDE a(t) | USKORENIE, OBUSLOWLENNOE DWIVENIEM SISTEMY KOORDINAT, a(t) = d2f=dt2 . w \TOJ SISTEME KOORDINAT DWIVENIE ARIKA OPISYWAETSQ URAWNENIEM 2 m ddt2r = ;kr + F (t) GDE F (t) = ;ma(t) = ;m d2f=dt2 | NEKOTORAQ ZADANNAQ FUNKCIQ WREMENI. kAK I W PREDYDU]EM SLU^AE, PRI SOOTWETSTWU@]EM PERIODI^ESKOM DWIVENII TO^KI KREPLENIQ W SISTEME WOZNIKAET REZONANS. pRI BOLEE SLOVNOJ GEOMETRII SILY INERCII SISTEMY MOGUT ZAWISETX NE TOLXKO OT WREMENI t, NO I OT KOORDINATY r. eSLI PRUVINA NADETA NA STERVENX, DWIVU]IJSQ S UGLOWOJ SKOROSTX@ !(t), TO CENTROBEVNAQ SILA INERCII RAWNA F = mv2 (t)=R = m!2 (t) R, GDE v(t) = !(t) R, R = R0 + r, R0 | DLINA PRUVINY W NENAGRUVENNOM SOSTOQNII, r | OTKLONENIE ARIKA OT NEJTRALXNOGO POLOVENIQ, r > ;R0. uRAWNENIE DWIVENIQ ARIKA PRINIMAET WID 2 m ddt2r = ;kr + F(r t) (5) GDE F (r t) = m!2 (t) (R0 + r), ILI
2 m ddt2r = ;(k ; m!2 (t)) r + m!2 (t) R0 PRI^EM, O^EWIDNO, PRI r R0 LINEJNOE URAWNENIE (5), OB]EE REENIE KOTOROGO ZDESX NE WYPISYWAETSQ W2 SILU EGO GROMOZDKOSTI, PEREHODIT W URAWNENIE WIDA (3) S F (t) = ;m! (t) R0. oDNAKO W DANNOM SLU^AE REZONANS NEWOZMOVEN, TAK KAK WNENQQ SILA WSEGDA NAPRAWLENA W ODNU STORONU I NE W SOSTOQNII RASKA^ATX SISTEMU.
42
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
zAMETIM, ^TO USLOVNENNAQ PO SRAWNENI@ S ISHODNYM SLU^AEM GEOMETRIQ OTN@DX NE WSEGDA OZNA^AET BOLEE SLOVNOE POWEDENIE OB_EKTA. rASSMOTRIM, NAPRIMER, ARIK, PRIKREPLENNYJ K DWUM PRUVINAM S VESTKOSTX@ k1 I k2 (RIS. 13). nA^ALO KOORDINAT POMESTIM W TO^KU, GDE SILY, DEJSTWU@]IE NA ARIK SO STORONY OBEIH PRUVIN, URAWNOWEIWA@T DRUG DRUGA (PRI \TOM DOLVNO SOBL@DATXSQ NEKOTOROE USLOWIE NA PARAMETRY SISTEMY, ^TOBY ARIK NE rIS. 13 MOG UPIRATXSQ W ODNU IZ TO^EK KREPLENIQ | SM. UPR. 2). pO ZAKONU gUKA PRI OTKLONENII r NA ARIK SO STORONY LEWOJ PRUVINY DEJSTWUET SILA ;k1 r, A SO STORONY PRAWOJ | SILA ;k2 r (OBE SILY NAPRAWLENY W ODNU STORONU, TAK KAK PRI RASTQVENII PERWOJ PRUVINY WTORAQ PRUVINA, NAOBOROT, SVIMAETSQ). w ITOGE PRIHODIM K TAKOMU VE URAWNENI@, KAK I W SLU^AE ODNOJ PRUVINY, 2 m ddt2r = ;k1 r ; k2r = ;kr NO S UWELI^ENNOJ VESTKOSTX@ k = k1 + k2, SKLADYWA@]EJSQ IZ VESTKOSTEJ OBEIH PRUVIN. 3. u^ET SIL TRENIQ. w RASSMATRIWAEMOJ SISTEME SILY TRENIQ MOGUT POQWLQTXSQ PO KRAJNEJ MERE IZ-ZA DWUH PRI^IN. pERWAQ IZ NIH | NEIDEALXNOSTX POWERHNOSTEJ ARIKA I PLOSKOSTI, PO KOTOROJ ON DWIVETSQ. w \TOM SLU^AE SILA TRENIQ RAWNA F = k1P , GDE k1 | KO\FFICIENT TRENIQ, P = mg | WES ARIKA. oNA WSEGDA NAPRAWLENA PROTIW DWIVENIQ ARIKA, EE ZNAK PROTIWOPOLOVEN ZNAKU SKOROSTI ARIKA v = = dr=dt, T. E. F = ;k1mg sign(dr=dt). dWIVENIE ARIKA POD^INQETSQ URAWNENI@ 2 (6) m ddt2r = ;kr ; k1mg sign dr dt KOTOROE WNENE POHOVE NA URAWNENIE (2) S POSTOQNNOJ SILOJ F(r t) = = F0. oDNAKO IZ-ZA ZNAKOPEREMENNOSTI SILY ONO NE SWODITSQ K STANDARTNOMU URAWNENI@ KOLEBANIJ. |TO OBSTOQTELXSTWO SLUVIT WYRAVENIEM TOGO, ^TO URAWNENIQ (1) I (6) OPISYWA@T SU]ESTWENNO RAZNYE PROCESSY. w ^ASTNOSTI, AMPLITUDA KOLEBANIJ ARIKA W POSLEDNEM SLU^AE UMENXAETSQ SO WREMENEM. w \TOM NETRUDNO UBEDITXSQ, PEREPISAW (6) W WIDE m dv dt + kr = ;k1 mg signv UMNOVIW OBE ^ASTI \TOGO WYRAVENIQ NA v=2: v v m v2 dv dt + kr 2 = ;k1 mg sign v 2 I S U^ETOM TOGO, ^TO v = dr=dt, POLU^IW m dv2 + k dr2 = ; 1 k mg sign v v: 2 dt 2 dt 2 1
x 4]
primer ierarhii modelej
43
pOSLEDNEE URAWNENIE \KWIWALENTNO URAWNENI@
d mv2 + k r2 = ; 1 k mg sign v v: (7) dt 2 2 2 1 pRINIMAQ WO WNIMANIE, ^TO W LEWOJ ^ASTI (7) POD ZNAKOM PROIZWODNOJ STOIT SUMMA KINETI^ESKOJ I POTENCIALXNOJ \NERGII SISTEMY E(t) = = EK (t) + EP (t), A PRAWAQ ^ASTX (7) PRI v 6= 0 OTRICATELXNA, IMEEM dE(t) dE(t) < 0 v 6= 0 = 0 v = 0 dt dt T. E. POLNAQ \NERGIQ E(t) UBYWAET SO WREMENEM. pOSKOLXKU W MOMENTY DOSTIVENIQ ARIKOM MAKSIMALXNOJ AMPLITUDY rm (t) EGO SKOROSTX (I KINETI^ESKAQ \NERGIQ EK ) RAWNA NUL@, TO W \TI MOMENTY EP = = krm2 (t)=2 = E(t), I W SILU UBYWANIQ E(t) AMPLITUDA jrm(t)j | TAKVE UBYWA@]AQ FUNKCIQ WREMENI. bOLEE PODROBNO RASSMOTRIM REZULXTAT DEJSTWIQ SILY TRENIQ INOGO PROISHOVDENIQ, WOZNIKA@]EJ IZ-ZA SOPROTIWLENIQ SREDY, W KOTOROJ DWIVETSQ ARIK (WOZDUHA, WODY I T. D.). w \TOM SLU^AE SILA TRENIQ NE POSTOQNNA, A SU]ESTWENNO ZAWISIT OT SKOROSTI DWIVENIQ. |TA ZAWISI-
MOSTX OPISYWAETSQ IZWESTNOJ FORMULOJ sTOKSA F = ; v = ; dr dt GDE KO\FFICIENT > 0 OPREDELQETSQ RAZMERAMI ARIKA, PLOTNOSTX@ SREDY, EE WQZKOSTX@ I T. D. uRAWNENIE DWIVENIQ W WQZKOJ SREDE IMEET WID 2 m ddt2r = ;kr + F(v) = ;kr ; dr dt :
(8)
nAJDEM OB]EE REENIE LINEJNOGO URAWNENIQ (8), IZBAWIWISX PREDWARITELXNO OT ^LENA S PERWOJ PROIZWODNOJ. pODSTANOWKA W (8) ZAMENY r(t) = r(t) et DAET DLQ NOWOJ FUNKCII r(t) URAWNENIE
2 r + et dr + 2et r = m et ddt2r + et d dt dt r ; etr: = ;kret ; et d dt
sOKRATIW W NEM MNOVITELX et I POLOVIW = ; =(2m), PRIDEM K URAWNENI@ 2 2r d m dt2 = ; k ; 4m r = ;k1 r: (9) w OTLI^IE OT URAWNENIQ (1) PERWYJ MNOVITELX W PRAWOJ ^ASTI (9) MOVET MENQTX ZNAK W ZAWISIMOSTI OTtZNA^ENIJ PARAMETROW k, , m SISTEMY, ^TO S U^ETOM SWQZI r(t) = e r(t) PRIWODIT K SU]ESTWENNO INOMU EE POWEDENI@ OTNOSITELXNO STANDARTNOGO SLU^AQ.
44
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
pRI MALOJ WQZKOSTI, T. E. PRI k ; 2 =(4m) = k1 > 0 REENIE r(t) DAETSQ FORMULOJ (6) x 2, I DLQ r(t) IMEEM
r = ret = e;t=(2m) (A sin !t + B cos !t) GDE ! = (k1=m)1=2 , A KONSTANTY A, B NAHODQTSQ ^EREZ r0, v0 . w SISTEME PROISHODQT ZATUHA@]IE SO WREMENEM KOLEBANIQ (SM. TAKVE UPR. 3) S ^ASTOTOJ !. eSLI k1 = 0, TO WELI^INA dr=dt POSTOQNNA, ILI, ^TO TO VE SAMOE, r(t) = ct + c1 . dLQ r(t) S U^ETOM NA^ALXNYH DANNYH POLU^AEM 0 t+r : r(t) = e;t=(2m) (ct + c1) = e;t=(2m) v0 + r 0 2m
w DANNOM SLU^AE KOLEBANIQ OTSUTSTWU@T BLAGODARQ PODAWLQ@]EMU DEJSTWI@ SIL WQZKOGO TRENIQ. sISTEMA MOVET LIX ODIN RAZ PROJTI TO^KU r = 0, DLQ ^EGO NEOBHODIMO I DOSTATO^NO WYPOLNENIQ USLOWIJ v0 < ; r0 =(2m), r0 > 0 ILI v0 > ; r0 =(2m), r0 < 0, T. E. NA^ALXNAQ SKOROSTX ARIKA DOLVNA BYTX DOSTATO^NO WELIKA I NAPRAWLENA K TO^KE r = 0. pRI \TOM, O^EWIDNO, SKOROSTX ARIKA v(t) = dr=dt MOVET MENQTX ZNAK LIX ODIN RAZ. nAKONEC, PRI BOLXOJ WQZKOSTI DEJSTWIE SILY TRENIQ NASTOLXKO ZNA^ITELXNO, ^TO DLQ L@BYH r0 , v0 ARIK ZASTREWAET W SREDE, NIKOGDA NE PROHODQ TO^KU r = 0, A LIX ODNOSTORONNE PRIBLIVAQSX K NEJ PRI t ! 1. dEJSTWITELXNO, PRI k1 < 0 REENIE URAWNENIQ (9) (SM. TAKVE UPR. 4) ZNAKOPOSTOQNNO (PREDPOLOVENIE O PROTIWNOM SRAZU VE PRIWODIT K PROTIWORE^I@ S URAWNENIEM), SLEDOWATELXNO, WELI^INA r(t) TAKVE NE MENQET ZNAK. pOWEDENIE FUNKCII r(t) PRI t ! 1 MOVNO PONQTX IZ SWOJSTW PERWOGO INTEGRALA URAWNENIQ (9)
dr 2
m dt
= ;k1r2 + const
KOTORYJ NETRUDNO POLU^ITX, UMNOVAQ OBE ^ASTI (9) NA dr=dt I INTEGRIRUQ ODIN RAZ PO t. pREDPOLOVENIQ O TOM, ^TO r(t) ! 1 ILI r(t) ! C1 PRI t ! 1 PROTIWORE^AT POSLEDNEMU RAWENSTWU. oSTAETSQ EDINSTWENNYJ WARIANT r(t) ! 0, t ! 1, I, TAKIM OBRAZOM, r(t) ! 0, t ! 1. iTAK, DWIVENIE SISTEMY W WQZKOJ SREDE OTLI^AETSQ BOLXIM PO OTNOENI@ K IDEALXNOJ SITUACII RAZNOOBRAZIEM, PRI^EM WO WSEH SLU^AQH ONO PROISHODIT S ZATUHANIEM. 4. dWA TIPA NELINEJNYH MODELEJ SISTEMY ARIK|PRUVINA . fORMULA sTOKSA SPRAWEDLIWA, STROGO GOWORQ, TOLXKO DLQ USTANOWIWIHSQ DWIVENIJ, KOGDA DEJSTWIE POSTOQNNOJ WNENEJ SILY URAWNOWEIWAETSQ SILOJ WQZKOGO TRENIQ TAK, ^TO W ITOGE TELO PEREME]AETSQ S POSTOQNNOJ SKOROSTX@. wPOLNE WOZMOVNY SITUACII, PRI KOTORYH SILA SOPROTIWLENIQ WQZKOJ SREDY PRI MALYH SKOROSTQH MENXE, A PRI BOLXIH SKOROSTQH BOLXE , ^EM WY^ISLQEMAQ PO FORMULE sTOKSA NAPRIMER, F(v) = ; v jvj, GDE > 0, > ;1. tOGDA ISKOMAQ WELI^INA r(t) OPREDELQETSQ IZ URAWNENIQ 2 m ddt2r = ;kr + F(v) = ;kr ; v jvj:
(10)
x 4]
45 uRAWNENIE (10), W OTLI^IE OT WSEH RASSMOTRENNYH RANEE MODELEJ, NELINEJNO, I EGO REENIE WYPISATX, WOOB]E GOWORQ, NELXZQ (HOTQ MOVNO PROWESTI DOSTATO^NO DETALXNOE IZU^ENIE SISTEMY I W NELINEJNOM SLU^AE, W ^ASTNOSTI, USTANOWITX, POLXZUQSX PRIEMOM, PRIMENQWIMSQ DLQ URAWNENIQ (6), ZATUHA@]IJ HARAKTER DWIVENIQ SISTEMY). pO\TOMU OGRANI^IMSQ ZDESX PRIBLIVENNYM ANALIZOM POWEDENIQ SISTEMY W DWUH EE PREDELXNYH POLOVENIQH | W OKRESTNOSTI TO^EK v = 0 I r = 0. oBA POLOVENIQ, O^EWIDNO, NE MOGUT DOSTIGATXSQ ODNOWREMENNO, TAK KAK \TO OZNA^ALO BY, ^TO SISTEMA POKOITSQ. eSLI v(t0 ) = 0 (ZDESX MOMENT t0 | ODIN IZ MOMENTOW DOSTIVENIQ MAKSIMALXNOJ AMPLITUDY r0), TO WTORYM ^LENOM W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ (10) MOVNO PRENEBRE^X PO SRAWNENI@ S PERWYM, I ONO PRINIMAET
WID
primer ierarhii modelej
2
m ddt2r = ;kr0:
pOSKOLXKU RASSMATRIWAETSQ MALAQ OKRESTNOSTX t OKOLO MOMENTA t0 , TO PRENEBREGAETSQ TAKVE OTKLONENIEM r W SRAWNENII S r0. u^ITYWAQ, ^TO v(t0 ) = 0, POLU^AEM
r = r ; r0 = ; 21 mk r0 (t ; t0 )2 T. E. ARIK DWIVETSQ S POSTOQNNYM (W PERWOM PRIBLIVENII) USKORENIEM, TAK KAK NA NEGO DEJSTWUET LIX SILA NATQVENIQ PRUVINY, POSTOQNNAQ W OKRESTNOSTI TO^KI r = r0, A SILA TRENIQ RAWNA NUL@. pRI r(t0) = 0 (t0 | ODIN IZ MOMENTOW PROHOVDENIQ SISTEMOJ NA^ALA KOORDINAT, ESLI, KONE^NO, TO^KA r = 0 DOSTIGAETSQ HOTQ BY ODIN RAZ) PERWYJ ^LEN W PRAWOJ ^ASTI MAL PO SRAWNENI@ SO WTORYM, I 2 m ddt2r = ; v0 jv0j: zDESX TAKVE PRENEBREGAETSQ OTKLONENIEM v OT ZNA^ENIQ v0 = = v(t0 ) WWIDU EGO MALOSTI. tAK KAK r(t0) = 0, TO IZ POSLEDNEGO URAWNE-
NIQ SLEDUET
0 jv0j (t ; t )2 + v (t ; t ): r = r = ; v2m 0 0 0
zNA^IT, I W \TOM POLOVENII SISTEMA ISPYTYWAET POSTOQNNOE (W PERWOM PRIBLIVENII) USKORENIE, OPREDELQEMOE LIX SILOJ TRENIQ, POSKOLXKU NATQVENIE PRUVINY RAWNO NUL@. dANNYJ WYWOD WPOLNE O^EWIDEN I SPRAWEDLIW DLQ WSEH POLOVENIJ SISTEMY, HOTQ USKORENIE ARIKA PRI v= 6 0, r = 6 0 OPREDELQETSQ UVE SOWMESTNYM DEJSTWIEM OBEIH SIL. iSKL@^ENIE SOSTAWLQET LIX TO^KA, GDE kr0 = ; v0 jv0j, KOGDA PRAWAQ ^ASTX URAWNENIQ (10) OBRA]AETSQ W NULX I PERWYJ ^LEN W USKORENII SISTEMY W \TOT MOMENT t = t0 RAWEN NUL@. rAZLAGAQ r(t) W RQD tEJLORA W OKRESTNOSTI TO^KI t = t0: r(t) = r(t0 ) + dr dt (t0 ) (t ; t0 ) +
46
prostej{ie modeli i ponqtiq
+ 12
gl. I
d2 r (t ) (t ; t )2 + 1 d3r (t ) (t ; t )3 + : : : 0 0 dt2 0 6 dt3 0
GDE TO^KAMI OBOZNA^ENY ^LENY BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI, I PRI2 NIMAQ WO WNIMANIE, ^TO ddt2r (t = t0 ) = 0, NAHODIM
1 d3r (t ) (t ; t )3 + : : : r = r(t) ; r0 = dr (t ) (t ; t ) + 0 0 0 dt 6 dt3 0 T. E. W GLAWNOM ^LENE USKORENIE SISTEMY W OKRESTNOSTI TO^KI t = t0 NE POSTOQNNO, A QWLQETSQ LINEJNOJ FUNKCIEJ WREMENI (SM. TAKVE UPR. 5). e]E ODIN TIP NELINEJNOSTI MOVET OBUSLOWLIWATXSQ IZMENQ@]IMISQ MEHANI^ESKIMI SWOJSTWAMI PRUVINY. zAKON gUKA DEJSTWITELEN, WOOB]E GOWORQ, LIX PRI MALYH OTKLONENIQH (DEFORMACIQH) PRUVINY OT NENAGRUVENNOGO NEJTRALXNOGO POLOVENIQ. pRI ZAMETNYH DEFORMACIQH PRUVINA, W ZAWISIMOSTI OT MATERIALA, IZ KOTOROGO ONA IZGOTOWLENA, I WELI^INY DEFORMACII, MOVET WESTI SEBQ KAK MQGKAQ, I TOGDA SILA NATQVENIQ BUDET MENXE, ^EM POLAGAETSQ PO ZAKONU gUKA (W SLU^AE VESTKOJ PRUVINY | NAOBOROT). vESTKOSTX PRUVINY W TAKOJ SITUACII STANOWITSQ FUNKCIEJ KOORDINATY, T. E. k = k(r), I URAWNENIE
DWIVENIQ PRINIMAET WID
2 m ddt2r = ;k(r) r
(11)
GDE, RAZUMEETSQ, k(r) > 0. nAPRIMER, ESLI k(r) = k0=(1 + jrj), TO PRUVINA MQGKAQ. uRAWNENIE (11) NELINEJNOE TAK VE, KAK I (10), NO DOSTATO^NO O^EWIDNY PO KRAJNEJ MERE DWA RAZLI^IQ MEVDU (10) I (11). w OTLI^IE OT (10), MOVNO WYPISATX (NEQWNOE) REENIE DLQ (11) S DWUKRATNYM ISPOLXZOWANIEM KWADRATURY. kROME TOGO, PEREPISYWAQ (11) W WIDE m dr dt
d2r dt2
0Zr 1 r Z dr d d @ k(r0 ) r0 dr0A 0 0 0 = ; dr dt k(r) r = dt dr k(r ) r dr = ; dt 0
0
U^ITYWAQ, ^TO LEWAQ ^ASTX \TOGO WYRAVENIQ RAWNA mv dv=dt = = m dv2 =dt, I INTEGRIRUQ EGO PO t, POLU^AEM
dr 2 Zr
EK + EP = m dt
+ k(r0) r0 dr0 = const > 0: 0
(12)
|TO OZNA^AET KONSERWATIWNOSTX DWIVENIQ, OPISYWAEMOGO MODELX@ (11), ILI POSTOQNSTWO POLNOJ \NERGII SISTEMY. sU]ESTWOWANIE PERWOGO INTEGRALA (12) POZWOLQET USTANOWITX OB]IJ SO SLU^AEM LINEJNOJ SISTEMY FAKT | KOLEBATELXNYJ HARAKTER IZU^AEMOGO DWIVENIQ. dEJSTWITELXNO, IZ (12) SLEDUET OGRANI^ENNOSTX FUNKCIJ v(t) = dr=dt I r(t) PRI L@BYH t > 0. rEENIE NE IMEET PREDELA PRI t ! 1, TAK KAK PRI v(t ! 1) ! v1 = 6 0 \TO PROTIWORE^ILO BY OGRANI^ENNOSTI FUNKCII r(t) PRI t ! 1, A DLQ v(t ! 1) ! v1 = 0 NEWOZMOVNO, ^TOBY
x 4]
47
primer ierarhii modelej
r(t ! 1) ! r1 6= 0 | TOGDA IZ (11) SLEDOWALA BY NEOGRANI^ENNOSTX WELI^INY v(t) PRI t ! 1 (SLU^AJ VE v1 = r1 = 0 PROTIWORE^IT (12)). tEM SAMYM ARIK KOLEBLETSQ. oN NEOGRANI^ENNOE ^ISLO RAZ PROHODIT TO^KU r = 0 (W PROTIWNOM SLU^AE WELI^INA r(t) BYLA BY ZNAKOOPREDELENNOJ WMESTE S USKORENIEM d2 r=dt2 (SM. (11)) I v ! 1, t ! 1). 5. zAKL@^ENIE. pRIWEDENNYE W \TOM PARAGRAFE POSTROENIQ DEMONSTRIRU@T IERARHI^ESKU@ CEPO^KU MODELEJ SISTEMY ARIK| PRUVINA, POLU^A@]IHSQ ODNA IZ DRUGOJ PRI POSLEDOWATELXNOM OTKAZE OT PREDPOLOVENIJ, IDEALIZIRU@]IH IZU^AEMYJ OB_EKT. w ODNIH SLU^AQH USLOVNENIE NE WNOSIT NI^EGO NOWOGO W POWEDENIE SISTEMY (POSTOQNNAQ WNENQQ SILA, ARIK NA DWUH PRUVINAH), W DRUGIH EE SWOJSTWA MENQ@TSQ SU]ESTWENNYM OBRAZOM. pUTX OT PROSTOGO K SLOVNOMU DAET WOZMOVNOSTX PO\TAPNO IZU^ATX WSE BOLEE REALISTI^NYE MODELI I SRAWNIWATX IH SWOJSTWA. sU]ESTWUET I DRUGOJ PUTX POSTROENIQ I IZU^ENIQ MODELEJ | OT OB]EGO K ^ASTNOMU. iZ REZULXTATOW DANNOGO PARAGRAFA O^EWIDNO: DOSTATO^NO OB]EE URAWNENIE DWIVENIQ SISTEMY ARIK|PRUVINA ZA-
PISYWAETSQ W WIDE
2 m ddt2r = ;k(r t) r + F r t dr dt
k > 0
GDE k I F MOGUT BYTX RAZNOOBRAZNYMI FUNKCIQMI SWOIH ARGUMENTOW. oPIRAQSX NA \TU OB]U@ MODELX, MOVNO, PROWODQ SOOTWETSTWU@]IE KONKRETIZACII, POSLEDOWATELXNO POLU^ATX I IZU^ATX BOLEE PROSTYE MODELI. nAPRIMER, ZAWISIMOSTX k OT r I t OTWE^AET SLEDU@]EMU POSLE (5) URAWNENI@ I URAWNENI@ (11), ZAWISIMOSTX F OT r, t | NALI^I@ WNENEJ SILY ILI SILY INERCII (URAWNENIQ (2), (3), (5)), A OT dr=dt | SOPROTIWLENI@ SREDY (URAWNENIQ (6), (8), (10)). dANNYJ PODHOD TAKVE IROKO rIS. 14 PRIMENQETSQ, W TOM ^ISLE I POTOMU, ^TO POZWOLQET SRAZU USTANOWITX NEKOTORYE OB]IE SWOJSTWA OB_EKTA, KONKRETIZIRUQ I DOPOLNQQ IH W BOLEE ^ASTNYH SITUACIQH. upravneniq 1. pOLU^ITE URAWNENIE DWIVENIQ ARIKA NA PRUVINE, PEREME]A@]EGOSQ PO IDEALXNOJ POWERHNOSTI S NEPOSTOQNNYM NAKLONOM POD DEJSTWIEM SILY NATQVENIQ PRUVINY I SILY TQVESTI. uRAWNENIE POWERHNOSTI: y = f (x), y0 6 0 (RIS. 14). 2. pODBERITE WELI^INY k1 , k2 , m, r0 , v0 TAK, ^TOBY W SISTEME NA RIS. 13 OTSUTSTWOWALO SOPRIKOSNOWENIE ARIKA S TO^KAMI KREPLENIQ. 3. pOLXZUQSX PRIEMOM, PRIMENQWIMSQ PRI ANALIZE URAWNENIQ (6), POKAVITE, ^TO W SLU^AE URAWNENIQ (8) DWIVENIE PROISHODIT S ZATUHANIEM. 4. wYPIITE REENIE URAWNENIQ (9) PRI k1 < 0 ^EREZ GIPERBOLI^ESKIE FUNKCII I UBEDITESX W TOM, ^TO REENIE URAWNENIQ (8) STREMITSQ K NUL@ PRI t ! 1. 5. pOLXZUQSX RAZLOVENIEM W RQD tEJLORA FUNKCII r (t) W OKRESTNOSTI TO^KI t = t0 , GDE PRAWAQ ^ASTX URAWNENIQ (10) RAWNA NUL@, NAJDITE WELI^INU d3 r=dt3 (t0 ).
48
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
x 5. uNIWERSALXNOSTX MATEMATI^ESKIH MODELEJ rASSMOTRIM PROCESSY KOLEBANIJ W OB_EKTAH RAZLI^NOJ PRIRODY. pOKAVEM, ^TO NESMOTRQ NA RAZNU@ SU]NOSTX OB_EKTOW IM SOOTWETSTWU@T ODNI I TE VE MATEMATI^ESKIE MODELI. 1. vIDKOSTX W U-OBRAZNOM SOSUDE. vIDKOSTX ZANIMAET ^ASTX SOSUDA U-OBRAZNOJ FORMY, PREDSTAWLQ@]EGO SOBOJ IZOGNUTU@ TRUBKU RADIUSA r0 (RIS. 15). mASSA VIDKOSTI M0 , EE PLOTNOSTX 0 . sTENKI SOSUDA IDEALXNO GLADKIE, POWERHNOSTNYM NATQVENIEM PRENEBREGAETSQ, ATMOSFERNOE DAWLENIE I USKORENIE SWOBODNOGO PADENIQ g POSTOQNNY.
rIS. 15
w SOSTOQNII RAWNOWESIQ VIDKOSTX, O^EWIDNO, POKOITSQ, EE WYSOTA W OBOIH KOLENAH SOSUDA ODINAKOWA. eSLI EE WYWESTI IZ RAWNOWESIQ, TO NA^NETSQ DWIVENIE, HARAKTER KOTOROGO USTANOWIM S POMO]X@ ZAKONA SOHRANENIQ \NERGII, POSKOLXKU W SILU SDELANNYH PREDPOLOVENIJ EE POTERI W SISTEME OTSUTSTWU@T. pOTENCIALXNU@ \NERGI@ SISTEMY WY^ISLIM ^EREZ RABOTU, KOTORU@ NEOBHODIMO SOWERITX, ^TOBY PEREMESTITX EE IZ SOSTOQNIQ RAWNOWESIQ (GDE h1 = h2 ) W POLOVENIE, IZOBRAVENNOE NA RIS. 15. oNA RAWNA
Zh
Zh
h
h
2
2
EP = ; P dh2 = ; 0 s0 (h1 ; h) g dh
h = h1 + h2 2
GDE P | WES TOJ ^ASTI VIDKOSTI W LEWOM KOLENE, UROWENX KOTOROJ PREWYAET WELI^INU h2 . rABOTA SIL ATMOSFERNOGO DAWLENIQ RAWNA NUL@,
x 5]
uniwersalxnostx matemati~eskih modelej
49
TAK KAK DLQ RAZNYH KOLEN SOOTWETSTWU@]IE PEREME]ENIQ NAPRAWLENY W RAZNYE STORONY. nEIZWESTNYE WELI^INY h1 (t) I h2(t) SWQZANY O^EWIDNYM SOOTNOENIEM h1 (t) + h2 (t) = const > 0, WYRAVA@]IM POSTOQNSTWO POLNOJ DLINY STOLBA VIDKOSTI W SOSUDE S POSTOQNNYM SE^ENIEM. pODSTAWLQQ POSLEDNEE RAWENSTWO W WYRAVENIE DLQ EP , POLU^AEM POSLE INTEGRIROWANIQ EP = ;0 s0 g (;h22 (t) + Ch2(t) + C1): pRI WY^ISLENII KINETI^ESKOJ \NERGII U^TEM POSTOQNSTWO SE^ENIQ TRUBKI I NESVIMAEMOSTX VIDKOSTI. |TO OZNA^AET, ^TO STOLB VIDKOSTI DWIVETSQ KAK CELOE, I EE SKOROSTX v(t) ODINAKOWA WO WSEH SE^ENIQH. pRIMEM ZA v(t) WELI^INU dh2(t)=dt, I TOGDA
2 2 EK = 21 M0 dh dt
A IZ ZAKONA SOHRANENIQ \NERGII SLEDUET
dh2 2 M 0 E(t) = EK (t) + EP (t) = 2 dt ; 0 s0 g (;h22 + Ch2 + C1): tAK KAK dE=dt = 0, TO, PRODIFFERENCIROWAW \TO WYRAVENIE, POLU^AEM 2 M0 ddth22 = 0 s0 g (;2h2 + C) ^TO, S U^ETOM TAKOGO VE SOOTNOENIQ DLQ WELI^INY h1(t), DAET URAWNENIE
2 M0 ddt2h = ;0 s0 gh = ; 0 r02 gh GDE h = (h2 ; h1 )=2 | OTKLONENIE UROWNQ VIDKOSTI OT POLOVENIQ RAWNOWESIQ. oNO, S TO^NOSTX@ DO OBOZNA^ENIJ, POLNOSTX@ SOWPADAET S URAWNENIEM (1) x 4 DLQ SISTEMY ARIK|PRUVINA (W DANNOM SLU^AE ANALOGOM ARIKA SLUVIT STOLB VIDKOSTI, A ROLX PRUVINY IGRAET TQGOTENIE). pOSLEDOWATELXNYJ OTKAZ OT IDEALIZACII OB_EKTA DAET BOLEE POLNYE EGO MODELI (KAK I W x 4). nAPRIMER, U^ET SILY POWERHNOSTNOGO NATQVENIQ, RAWNOJ 02 r0 (0 | KO\FFICIENT POWERHNOSTNOGO NATQVENIQ) I WSEGDA NAPRAWLENNOJ PROTIW DWIVENIQ VIDKOSTI, PRIWODIT K URAWNENI@ WIDA (7) x 4 DLQ WELI^INY h (SM. TAKVE UPR. 1). 2. kOLEBATELXNYJ \LEKTRI^ESKIJ KONTUR. |TO USTROJSTWO PREDSTAWLQET SOBOJ KONDENSATOR, SOEDINENNYJ PROWODAMI S INDUKTIWNOJ KATUKOJ. w MOMENT t = 0 CEPX ZAMYKAETSQ, I ZARQD S OBKLADOK KONDENSATORA NA^INAET RASPROSTRANQTXSQ PO CEPI (RIS. 16). rIS. 16 sOPROTIWLENIE PROWODOW BUDEM S^ITATX RAWNYM NUL@, EMKOSTX KONDENSATORA RAWNA C, INDUKTIWNOSTX KATUKI
4 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
50 prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I L. dLQ IZMENQ@]EJSQ SO WREMENEM WELI^INY q(t), GDE q(t) | ZARQD NA OBKLADKAH KONDENSATORA, NEOBHODIMO POLU^ITX SOOTWETSTWU@]EE URAWNENIE. o^EWIDNO, ^TO TOK i(t) I NAPRQVENIE v(t) TAKVE QWLQ@TSQ FUNKCIQMI WREMENI. pO FIZI^ESKOMU SMYSLU WELI^INY C W L@BOJ MOMENT WREMENI IMEEM RAWENSTWO v(t) = q(t) C (EMKOSTX RAWNA WELI^INE ZARQDA, KOTORYJ NEOBHODIMO POMESTITX NA OBKLADKI KONDENSATORA DLQ UWELI^ENIQ RAZNOSTI POTENCIALOW MEVDU NIMI NA EDINICU). tAK KAK \LEKTRI^ESKOE SOPROTIWLENIE W CEPI OTSUTSTWUET, TO PADENIQ NAPRQVENIQ NA PROWODAH NET, I RAZNOSTX POTENCIALOW v(t), SU]ESTWU@]AQ NA KONDENSATORE, PODAETSQ NEPOSREDSTWENNO NA KATUKU. pRI PEREMENNOM TOKE W KATUKE WOZNIKAET \LEKTRODWIVU]AQ SILA SAMOINDUKCII, RAWNAQ " = ;L di=dt. zAKON oMA DLQ CEPI W OTSUTSTWIE SOPROTIWLENIQ WYGLQDIT SLEDU@]IM OBRAZOM: v(t) = ;"(t)
ILI
q(t) C = ;"(t) = L di=dt: tAK KAK PO OPREDELENI@ i = ;dq=dt (PRI UBYWANII ZARQDA NA KONDENSATORE TOK W CEPI UWELI^IWAETSQ, I NAOBOROT), TO IZ POSLEDNEGO
SOOTNOENIQ POLU^AEM URAWNENIE 2
L ddt2q = ;Cq
OPISYWA@]EE PROCESS KOLEBANIJ WELI^INY q(t) (A SLEDOWATELXNO, I WELI^IN i(t), v(t)) W PROSTEJEM \LEKTRI^ESKOM KONTURE, TOVDESTWENNOE (1) x 4. w SISTEME EMKOSTX|INDUKTIWNOSTX KOLEBANIQ PROISHODQT TAK VE, KAK I W SISTEME ARIK|PRUVINA (I TAK VE USLOVNQ@TSQ SOOTWETSTWU@]IE MODELI PRI U^ETE DOPOLNITELXNYH PROCESSOW | SM. UPR. 2). 3. mALYE KOLEBANIQ PRI WZAIMODEJSTWII DWUH BIOLOGI^ESKIH POPULQCIJ. pUSTX NA ODNOJ I TOJ VE TERRITORII PROVIWA@T DWE BIOLOGI^ESKIE POPULQCII S ^ISLENNOSTQMI N(t) I M(t), PRI^EM PERWAQ RASTITELXNOQDNAQ, A WTORAQ UPOTREBLQET W PI]U PREDSTAWITELEJ PERWOJ POPULQCII. sKOROSTX IZMENENIQ N(t) SKLADYWAETSQ IZ OPREDELQEMOJ PO PERWOMU ^LENU W PRAWOJ ^ASTI FORMULY (10) x 1 SKOROSTI PRIROSTA BLAGODARQ ROVDAEMOSTI (\FFEKT NASY]ENIQ NE U^ITYWAETSQ SR. S (12) x 1) I IZ SKOROSTI UBYWANIQ BLAGODARQ SOSEDSTWU SO WTOROJ POPULQCIEJ: dN = ( ; M) N (1) 1 1 dt GDE 1 > 0, 1 > 0, ^LEN 1 MN OPISYWAET WYNUVDENNOE UBYWANIE (ESTESTWENNOJ SMERTNOSTX@ POPULQCII PRENEBREGAEM). ~ISLENNOSTX WTOROJ POPULQCII RASTET TEM BYSTREE, ^EM BOLXE ^ISLENNOSTX PERWOJ POPULQCII, A PRI EE OTSUTSTWII UMENXAETSQ SO
x 5]
51 SKOROSTX@, PROPORCIONALXNOJ ^ISLENNOSTI M(t) (TEM SAMYM EE ROVDAEMOSTX NE U^ITYWAETSQ, KAK I \FFEKT NASY]ENIQ): dM = (; + N) M (2) 2 2 dt GDE 2 > 0, 2 > 0. o^EWIDNO, ^TO SISTEMA NAHODITSQ W RAWNOWESII PRI M0 = 1 = 1 I N0 = 2= 2 , KOGDA dN=dt = dM=dt = 0. rASSMOTRIM MALYE OTKLONENIQ SISTEMY OT RAWNOWESNYH ZNA^ENIJ, T. E. PREDSTAWIM REENIE W WIDE N = N0 + n, M = M0 + m, n N0 , m M0 . pODSTAWLQQ N I M W URAWNENIQ (1), (2), POLU^IM, OTBRASYWAQ ^LENY BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI, dn = ; N m (3) 1 0 dt dm = ; M n: (4) 2 0 dt dIFFERENCIRUQ (3) PO t I PODSTAWLQQ W POLU^ENNOE URAWNENIE FUNKCI@ dm=dt, OPREDELQEMU@ IZ (4), PRIDEM K URAWNENI@ d2 n = ; n 1 2 dt2 ANALOGI^NOMU PO FORME URAWNENI@ (1) x 4. sLEDOWATELXNO, WpSISTEME PROISHODQT MALYE KOLEBANIQ ^ISLENNOSTI S ^ASTOTOJ ! = 12, ZAWISQ]EJ TOLXKO OT KO\FFICIENTOW ROVDAEMOSTI I SMERTNOSTI 1 I 2 . zAMETIM, ^TO WELI^INA m(t) POD^INQETSQ TAKOMU VE URAWNENI@, PRI^EM ESLI OTKLONENIE n(t) RAWNO NUL@ W NA^ALXNYJ MOMENT t = 0, TO m(t = 0) IMEET MAKSIMALXNU@ AMPLITUDU, I NAOBOROT (SM. REENIE URAWNENIQ KOLEBANIJ (6) x 2). |TA SITUACIQ, KOGDA ^ISLENNOSTI n(t) I m(t) NAHODQTSQ W PROTIWOFAZE, WOSPROIZWODITSQ DLQ WSEH MOMENTOW ti = iT=4, i = 1 2 : : :, (T | PERIOD KOLEBANIJ) I OTRAVAET ZAPAZDYWANIE REAKCII ^ISLENNOSTI ODNOJ POPULQCII NA IZMENENIE ^ISLENNOSTI DRUGOJ (SM. TAKVE UPR. 3). 4. pROSTEJAQ MODELX IZMENENIQ ZARPLATY I ZANQTOSTI. rYNOK TRUDA, NA KOTOROM WZAIMODEJSTWU@T RABOTODATELI I NAEMNYE RABO^IE, HARAKTERIZUETSQ ZARPLATOJ p(t) I ^ISLOM ZANQTYH N(t). pUSTX NA NEM SU]ESTWUET RAWNOWESIE, T. E. SITUACIQ, KOGDA ZA PLATU p0 > 0 SOGLASNY RABOTATX N0 > 0 ^ELOWEK. eSLI PO KAKIM-TO PRI^INAM \TO RAWNOWESIE NARUAETSQ (NAPRIMER, PO WOZRASTU ^ASTX RABOTNIKOW UHODIT NA PENSI@ LIBO U PREDPRINIMATELEJ WOZNIKA@T FINANSOWYE TRUDNOSTI), TO FUNKCII p(t) I N(t) OTKLONQ@TSQ OT ZNA^ENIJ p0 , N0 . bUDEM S^ITATX, ^TO RABOTODATELI IZMENQ@T ZARPLATU PROPORCIONALXNO OTKLONENI@ ^ISLENNOSTI ZANQTYH OT RAWNOWESNOGO ZNA^ENIQ.
tOGDA 4
uniwersalxnostx matemati~eskih modelej
dp = ; (N ; N ) 1 0 dt
1 > 0:
52
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
pREDPOLOVIM, ^TO ^ISLO RABOTNIKOW UWELI^IWAETSQ ILI UMENXAETSQ TAKVE PROPORCIONALXNO ROSTU ILI UMENXENI@ ZARPLATY OTNOSITELXNO ZNA^ENIQ p0 , T. E. dN = (p ; p ) 2 0 dt
2 > 0:
dIFFERENCIRUQ PERWOE URAWNENIE PO t I ISKL@^AQ IZ NEGO S POMO]X@ WTOROGO URAWNENIQ WELI^INU N, PRIHODIM K STANDARTNOJ MODELI KOLEBANIJ d2(p ; p0 ) = ; (p ; p ) dt2
1 2
0
ZARABOTNOJ PLATY OTNOSITELXNO POLOVENIQ RAWNOWESIQ (ANALOGI^NO I DLQ WELI^INY N(t)). iZ PERWOGO INTEGRALA \TOGO URAWNENIQ 1 (N ; N0 )2 + 2 (p ; p0 )2 = const > 0 WIDNO, ^TO W NEKOTORYE MOMENTY t = ti, i = 1 2 : : :, KOGDA p = p0 (T. E. ZARPLATA STANOWITSQ RAWNOJ RAWNOWESNOMU ZNA^ENI@), IMEEM N > N0 , T. E. ^ISLO ZANQTYH BOLXE RAWNOWESNOGO, A PRI N = N0 POLU^AEM p > > p0, T. E. ZARPLATA PREWYAET RAWNOWESNU@. w \TI MOMENTY FOND ZARABOTNOJ PLATY, RAWNYJ pN, PREWYAET RAWNOWESNOE ZNA^ENIE p0 N0 (ILI MENXE EGO), ESLI PRI PODHODE K MOMENTU ti WYPOLNENO p > p0 ILI N > N0 (I NAOBOROT). nO W SREDNEM ZA PERIOD KOLEBANIJ WELI^INA pN RAWNA p0 N0 (UPR. 4). 5. zAKL@^ENIE. pOSTROENNYE W DANNOM PARAGRAFE MODELI W ODNIH SLU^AQH OSNOWANY NA TO^NO IZWESTNYH ZAKONAH (PP. 1, 2), W DRUGIH | NA NABL@DAEMYH FAKTAH I LIBO NA ANALOGIQH (P. 3), LIBO NA PRAWDOPODOBNYH PREDSTAWLENIQH O HARAKTERE OB_EKTA (P. 4). hOTQ I SU]NOSTX RASSMATRIWAWIHSQ QWLENIJ, I PODHODY K POLU^ENI@ OTWE^A@]IH IM MODELEJ SOWERENNO RAZLI^NY, POSTROENNYE MODELI OKAZALISX IDENTI^NY DRUG DRUGU. |TO SWIDETELXSTWUET O WAVNEJEM SWOJSTWE MATEMATI^ESKIH MODELEJ | IH UNIWERSALXNOSTI, | IROKO ISPOLXZUEMOM PRI IZU^ENII OB_EKTOW SAMOJ RAZNOOBRAZNOJ PRIRODY. upravneniq 1. pUSTX W ZADA^E OB U-OBRAZNOM SOSUDE LEWOE KOLENO IMEET PEREMENNOE SE^ENIE, T. E. r = r0 (h). pOKAVITE, PRIMENQQ WTOROJ ZAKON nX@TONA I PREDPOLAGAQ OTSUTSTWIE GORIZONTALXNOJ KOMPONENTY U SKOROSTI VIDKOSTI, ^TO DLQ WELI^INY h POLU^AETSQ URAWNENIE WIDA (11) x 4. 2. wWODQ W LC -KONTUR SOPROTIWLENIE R I ISPOLXZUQ ZAKON oMA, UBEDITESX W TOM, ^TO MODELX KOLEBANIJ W LCR-KONTURE ANALOGI^NA URAWNENI@ (8) x 4. 3. sWEDITE NELINEJNU@ SISTEMU (1), (2) K URAWNENI@ WTOROGO PORQDKA I POKAVITE, ^TO ONA (KAK I EE LINEJNYJ ANALOG (3), (4)) IMEET PERWYJ INTEGRAL. 4. pOLXZUQSXFORMULOJ (6) x 2 DLQ OB]EGOREENIQURAWNENIQKOLEBANIJ, POKAVITE, ^TO SREDNEE ZNA^ENIE FONDA ZARABOTNOJ PLATY pN (P. 4) ZA PERIOD KOLEBANIJ RAWNO RAWNOWESNOMU.
x 6]
nekotorye modeli prostej{ih nelinejnyh ob ektow 53
x 6. nEKOTORYE MODELI PROSTEJIH NELINEJNYH OB_EKTOW oBSUDIM PROISHOVDENIE NELINEJNOSTI I RASSMOTRIM NEKOTORYE EE POSLEDSTWIQ, PROQWLQ@]IESQ W POWEDENII IZU^AEMYH OB_EKTOW. pROILL@STRIRUEM NEIZBEVNOSTX PRIMENENIQ ^ISLENNYH METODOW DLQ IH ANALIZA. 1. o PROISHOVDENII NELINEJNOSTI. kAK UVE OTME^ALOSX W P. 5 x 1, LINEJNYE MODELI POD^INQ@TSQ PRINCIPU SUPERPOZICII. w \TOM SLU^AE, NAHODQ ^ASTNYE REENIQ I SUMMIRUQ IH, KAK PRAWILO, UDAETSQ POSTROITX I OB]EE REENIE (TIPI^NYE PRIMERY | FORMULA (6) x 2 I FORMULA DLQ OB]EGO REENIQ URAWNENIQ (3) x 4 W MODELQH KOLEBANIJ). dLQ NELINEJNYH MODELEJ PRINCIP SUPERPOZICII NEPRIMENIM, I OB]EE REENIE MOVNO NAJTI LIX W REDKIH SLU^AQH. oTDELXNYE VE ^ASTNYE REENIQ NELINEJNYH URAWNENIJ MOGUT NE OTRAVATX HARAKTER POWEDENIQ OB_EKTA W BOLEE OB]EJ SITUACII. iSTO^NIKAMI NELINEJNOSTI MOGUT BYTX MNOGIE PRI^INY. fUNDAMENTALXNYE ZAKONY PRIRODY | ZAKON TQGOTENIQ I ZAKON kULONA | IZNA^ALXNO NELINEJNY (KWADRATI^NAQ ZAWISIMOSTX SILY WZAIMODEJSTWIQ MEVDU MASSAMI ILI ZARQDAMI), I POTOMU OSNOWANNYE NA NIH MODELI, WOOB]E GOWORQ, TAKVE NELINEJNY. sWOJ WKLAD W NELINEJNOSTX MODELEJ WNOSQT BOLEE SLOVNAQ GEOMETRIQ QWLENIQ (SM. UPR. 1 x 4 I UPR. 1 x 5), RAZLI^NYE WNENIE WOZDEJSTWIQ (SM. URAWNENIE (10) x 4) I, KONE^NO VE, IZMENENIE HARAKTERA WZAIMODEJSTWIQ W SAMOM OB_EKTE PRI IZMENENII EGO SOSTOQNIQ (\FFEKT NASY]ENIQ W MODELQH POPULQCIJ, MENQ@]AQSQ VESTKOSTX PRUVINY). w SU]NOSTI, REALXNYM QWLENIQM OTWE^A@T TOLXKO NELINEJNYE MODELI, A LINEJNYE SPRAWEDLIWY LIX PRI OPISANII NEZNA^ITELXNYH IZMENENIJ WELI^IN, HARAKTERIZU@]IH OB_EKT. 2. tRI REVIMA W NELINEJNOJ MODELI POPULQCII. w OTLI^IE OT MODELI mALXTUSA (10) x 1 I MODELI (12) x 1 KO\FFICIENT ROVDAEMOSTI BUDEM S^ITATX ZAWISQ]IM OT ^ISLENNOSTI POPULQCII N(t), T. E. = (N). kO\FFICIENT SMERTNOSTI TAKVE ZAWISIT OT N. uRAWNENIE DINAMIKI POPULQCII dN = ((N) ; (N)) N (1) dt NELINEJNO BLAGODARQ IZMENENI@ HARAKTERISTIK WZAIMODEJSTWIQ WNUTRI POPULQCII PRI IZMENENII EE SOSTOQNIQ. pOLOVIM DLQ OPREDELENNOSTI (N) = 0 = const, (N) = 0N, T. E. ROVDAEMOSTX PROPORCIONALXNA ^ISLENNOSTI (NAPRIMER, POTOMU ^TO ^LENY POPULQCII ZAINTERESOWANY W EE ROSTE). tOGDA URAWNENIE (1) PREOBRAZUETSQ K WIDU dN = N 2 ; N (2) 0 0 dt S KWADRATI^NOJ NELINEJNOSTX@ (HARAKTERNOJ TAKVE DLQ NEKOTORYH HIMI^ESKIH REAKCIJ). rASSMOTRIM POWEDENIE FUNKCII N(t) PRI RAZLI^NYH NA^ALXNYH ^ISLENNOSTQH N(0) = N0 (RIS. 17).
54
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
A) pRI N0 < NKR = 0 =0 ^ISLENNOSTX MONOTONNO UMENXAETSQ SO WREMENEM, STREMQSX K NUL@ PRI t ! 1. rEENIE DAETSQ FORMULOJ, ANALOGI^NOJ FORMULE DLQ REENIQ URAWNENIQ (12) x 1, GDE t ZAMENQETSQ NA ;t (OBRATNAQ LOGISTI^ESKAQ KRIWAQ SR. S RIS. 7, x 1). B) pRI KRITI^ESKOM ZNA^ENII N0 = NKR ^ISLENNOSTX POPULQCII NE ZAWISIT OT WREMENI. W) pRI N0 > NKR HARAKTER REENIQ PRINCIPIALXNO IZMENQETSQ PO SRAWNENI@ SO SLU^AQMI A) I B): ^ISLENNOSTX RASTET SO WREMENEM, PRI^EM NASTOLXKO BYSTRO, ^TO OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX ZA KONE^NOE WREMQ t = tf . wELI^INA tf TEM MENXE, ^EM BOLXE N0 (SM. UPR. 1).
rIS. 17
nELINEJNOSTX URAWNENIQ (2) POROVDAET BOLXOE RAZNOOBRAZIE \FFEKTOW, SODERVA]IHSQ DAVE W PROSTEJEJ MODELI: TRI WOZMOVNYH REVIMA IZMENENIQ ^ISLENNOSTI SO WREMENEM NEUSTOJ^IWOSTX REVIMA B) | PRI MALYH OTKLONENIQH W OBLASTX A) ILI W) REENIE UDALQETSQ OT LINII NKR = 0 =0 SILXNU@ ^UWSTWITELXNOSTX FUNKCII N(t) K NA^ALXNYM DANNYM N0 NAKONEC, KATASTROFI^ESKIJ ROST ^ISLENNOSTI POPULQCII ZA KONE^NOE WREMQ PRI N0 > NKR . zAMETIM, ^TO POSLEDNEE SWOJSTWO NE ^ASTNYJ REZULXTAT, A IMEET MESTO DLQ L@BYH MODELEJ WIDA
dN = F(N) t > 0 N(0) > 0 F (N) > 0 dt ESLI PRI BOLXIH N FUNKCIQ F(N) RASTET BYSTREE PERWOJ STEPENI N, TO^NEE, ESLI DLQ F (N) SPRAWEDLIW KRITERIJ Z1 dN F(N) < 1 N (0)
POLU^A@]IJSQ NEPOSREDSTWENNYM INTEGRIROWANIEM URAWNENIQ.
x 6]
nekotorye modeli prostej{ih nelinejnyh ob ektow 55 3.
wLIQNIE SILXNOJ NELINEJNOSTI NA PROCESS KOLEBANIJ.
uRAWNENIE KOLEBANIJ
2 m ddt2r = ;k(r) r
(3)
GDE FUNKCIQ k(r) > 0 OPISYWAET VESTKOSTX PRUVINY, | ODNO IZ OTNOSITELXNO NEMNOGIH NELINEJNYH URAWNENIJ, DLQ KOTOROGO MOVNO WYPISATX OB]EE REENIE. wWODQ WELI^INU SKOROSTI v = dr=dt, PEREPIEM (3) W WIDE m dv dt = ;k(r) r
dr = v dt
DELQ PERWOE IZ \TIH URAWNENIJ NA WTOROE, POLU^IM NELINEJNOE URAWNENIE PERWOGO PORQDKA k(r) r m dv dr = ; v :
(4)
rAZDELQQ W (4) PEREMENNYE:
mv dv = ;k(r) r dr I DWAVDY INTEGRIRUQ POSLEDNEE URAWNENIE, NAHODIM v2
dr 2
= dt
Zr
= ;2 k0(r0 ) r0 dr0 + C 0
k0 (r) = k(r) m
v u Zr dr = u u tC ; 2 k0(r0) r0 dr0 dt 0
0v 1;1 r Zr Bu Z u tC ; 2 k0(r0) r0 dr0 CA + C1 t = dr @u 0
0
(5)
GDE W NEQWNO WYPISANNOM OB]EM REENII (5) KONSTANTY C, C1 MOVNO OPREDELITX, ZNAQ NA^ALXNYE DANNYE. zAMETIM, ^TO DANNAQ PROCEDURA PO OTNOENI@ K URAWNENIQM WIDA (10) x 4 NEPRIMENIMA (PEREMENNYE NE RAZDELQ@TSQ), I NAJTI IH OB]EE REENIE \TIM SPOSOBOM UVE NELXZQ. w LINEJNOM SLU^AE (k(r) = k0 ) INTEGRALXNYE KRIWYE URAWNENIQ (4) PREDSTAWLQ@T SOBOJ KONCENTRI^ESKIE KRUGI S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT, RADIUS KOTORYH OPREDELQETSQ NA^ALXNOJ \NERGIEJ SISTEMY I DWIVENIE PO KOTORYM OPISYWAET PERIODI^ESKIJ WO WREMENI PROCESS KOLEBANIJ (RIS. 18).
56
prostej{ie modeli i ponqtiq
gl. I
rASSMOTRIM TEPERX SILXNO NELINEJNU@ SISTEMU, W KOTOROJ PRUVINA WEDET SEBQ KAK SWERHMQGKAQ, NAPRIMER, k(r) = 1=(r2 + ), > 0. w PREDELXNOM SLU^AE = 0 URAWNENIE (4) PRINIMAET WID 1 m dv dr = ; vr
I EGO REENIE PRINCIPIALXNO OTLI^AETSQ OT REENIQ (4) (SM. RIS. 19) TEM, ^TO \NERGIQ NE SOHRANQETSQ I, BOLEE TOGO, NEOGRANI^ENNO RASTET
rIS. 18
rIS. 19
PRI r ! 0. pRI OSLABLENII NELINEJNOSTI PROCESS KOLEBANIJ PRIOBRETAET OBY^NYJ HARAKTER (UPR. 2). 4. o ^ISLENNYH METODAH. rASSMOTRENNYE ZDESX PRIMERY DOSTATO^NO UBEDITELXNO SWIDETELXSTWU@T O NEIZBEVNOSTI PRIMENENIQ ^ISLENNYH METODOW DLQ MODELIROWANIQ NELINEJNYH OB_EKTOW IZ-ZA QWNOJ NEDOSTATO^NOSTI ^ISTO TEORETI^ESKIH PODHODOW I SLOVNOGO, RAZNOOBRAZNOGO POWEDENIQ HARAKTERIZU@]IH \TI OB_EKTY WELI^IN. wPRO^EM, \TOT WYWOD SPRAWEDLIW I DLQ LINEJNYH MODELEJ, SODERVA]IH BOLXOE ^ISLO NEIZWESTNYH WELI^IN, NEZAWISIMYH PEREMENNYH, PARAMETROW I IME@]IH SLOVNU@ PROSTRANSTWENNU@ STRUKTURU. dLQ POSTROENIQ SOOTWETSTWU@]IH ^ISLENNYH MODELEJ IROKO ISPOLXZU@TSQ METODY, PODHODY I PRIEMY, RAZRABATYWAEMYE PRI SOZDANII ISHODNYH MODELEJ, I WOZNIKA@T SWOI SPECIFI^ESKIE PROBLEMY, TREBU@]IE GLUBOKOGO IZU^ENIQ. pOQSNIM POSLEDNEE UTWERVDENIE PROSTYM PRIMEROM. dLQ URAWNENIQ (10) x 1 dN = ( ; ) N = N t > 0 N(0) = N0 dt GDE DLQ OPREDELENNOSTI ( ; ) > 0, WPOLNE LOGI^NO PREDLOVITX SLEDU@]U@ ^ISLENNU@ SHEMU (RAZBIW OSX t NA RAWNYE OTREZKI WELI^INY = ti+1 ; ti , i = 0 1 2 : : : t0 = 0 I ZAMENIW PROIZWODNU@ NA KONE^NU@
x 6]
nekotorye modeli prostej{ih nelinejnyh ob ektow 57
RAZNOSTX):
Ni+1 ; Ni = N i
iZ (6) POLU^AEM
i = 0 1 : : : N(t0 ) = N0 :
(6)
Ni+1 = ( + 1) Ni
^TO DAET DLQ EGO REENIQ
N1 = (1 + ) N0
N2 = (1 + )2 N0
Ni = (1 + )i N0 = (1 + )t= N0 T. E. PRI t ! 1 REENIE (6) MOVET OTLI^ATXSQ OT ISKOMOGO SKOLX UGODNO SILXNO. sLEDOWATELXNO, DLQ POLU^ENIQ NUVNOJ TO^NOSTI NEOBHODIMO DOLVNYM OBRAZOM WYBIRATX AG W ZAWISIMOSTI OT WELI^INY OTREZKA INTEGRIROWANIQ T (UPR. 3). upravneniq 1. pOLXZUQSX ZAMENOJ, PRIMENENNOJ PRI ANALIZE URAWNENIQ (8) x 4, NAJDITE REENIE URAWNENIQ (2) PRI N0 > NKR I WY^ISLITE WELI^INU tf ^EREZ N0 , 0 , 0 . 2. nAJDITE OGRANI^ENIE NA ROST FUNKCII k (r ) ! 1, r ! 0 W URAWNENII (3), PRI WYPOLNENII KOTOROGO SISTEMA ARIK|PRUVINA BYLA BY KONSERWATIWNOJ, T. E. SOHRANQLASX BY EE POLNAQ \NERGIQ. 3. iSPOLXZUQ PREDSTAWLENIE ^ISLA e W WIDE SOOTWETSTWU@]EGO PREDELA, POKAVITE, ^TO DLQ ZADANNYH WELI^IN , N0 , T REENIE URAWNENIQ (6) STREMITSQ PRI ! 0 K REENI@ ISHODNOJ ZADA^I.
w ZAKL@^ENIE, OSNOWYWAQSX NA MATERIALE DANNOJ GLAWY, WYDELIM RQD TEM, QWLQ@]IHSQ KL@^EWYMI DLQ RAZWITIQ I PRIMENENIQ METODOLOGII MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ. k NIM OTNOSQTSQ: WOPROSY IDEALIZACII ISHODNOGO OB_EKTA I FORMULIROWKA SOOTWETSTWU@]IH PREDPOLOVENIJ PRIMENENIE KAK STROGIH PROCEDUR (FUNDAMENTALXNYE ZAKONY, WARIACIONNYE PRINCIPY), TAK I METODA ANALOGIJ I DRUGIH PODHODOW K POSTROENI@ MATEMATI^ESKIH MODELEJ (W TOM ^ISLE I TRUDNOFORMALIZUEMYH) METODY KA^ESTWENNOGO ISSLEDOWANIQ NELINEJNYH MODELEJ POSTROENIE \FFEKTIWNYH WY^ISLITELXNYH ALGORITMOW, REALIZU@]IH MODELI. |TI WOPROSY, NARQDU S OPISANIEM NEKOTORYH AKTUALXNYH PRILOVENIJ, SOSTAWLQ@T OSNOWNOE SODERVANIE POSLEDU@]IH GLAW. bIBLIOGRAFIQ K GLAWE I: 7, 16, 25, 40, 47, 57, 60, 66, 73, 76{79, 81,
83, 84].
g la w a II
polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow prirody x 1. sOHRANENIE MASSY WE]ESTWA nA OSNOWE SOSTAWLENIQ BALANSA MASSY WE]ESTWA I NEKOTORYH DOPOLNITELXNYH SOOBRAVENIJ POSTROIM MODELI POTOKA NEWZAIMODEJSTWU@]IH ^ASTIC I DWIVENIQ GRUNTOWYH WOD W PORISTOJ SREDE. oPIEM RQD SWOJSTW POLU^ENNYH MODELEJ I OBSUDIM IH WOZMOVNYE OBOB]ENIQ. 1. pOTOK ^ASTIC W TRUBE. w CILINDRI^ESKOJ TRUBE S POPERE^NYM SE^ENIEM S (RIS. 20) DWIVUTSQ ^ASTICY WE]ESTWA (PYLINKI, \LEKTRONY). sKOROSTX IH DWIVENIQ u(t) > 0 WDOLX OSI x, WOOB]E GOWORQ, IZMENQETSQ SO WREMENEM. nAPRIMER, ZARQVENNYE ^ASTICY MOGUT USKORQTXSQ ILI ZAMEDLQTXSQ POD DEJSTWIEM \LEKTRI^ESKOGO POLQ. dLQ rIS. 20 POSTROENIQ PROSTEJEJ MODELI RASSMATRIWAEMOGO DWIVENIQ WWEDEM SLEDU@]IE PREDPOLOVENIQ: A) ^ASTICY MEVDU SOBOJ NE WZAIMODEJSTWU@T (NE STALKIWA@TSQ, NE PRITQGIWA@TSQ I T. D.). dLQ \TOGO, O^EWIDNO, PLOTNOSTX ^ASTIC DOLVNA BYTX DOSTATO^NO MALOJ (W \TOM SLU^AE ZARQVENNYE ^ASTICY NE TOLXKO NE STALKIWA@TSQ, NO I NE OKAZYWA@T DRUG NA DRUGA WLIQNIQ IZ-ZA BOLXOGO RASSTOQNIQ MEVDU NIMI) B) NA^ALXNAQ SKOROSTX WSEH ^ASTIC, NAHODQ]IHSQ W ODNOM I TOM VE POPERE^NOM SE^ENII S KOORDINATOJ x, ODINAKOWA I NAPRAWLENA WDOLX OSI x W) NA^ALXNAQ PLOTNOSTX ^ASTIC TAKVE ZAWISIT TOLXKO OT KOORDINATY x G) WNENIE SILY, DEJSTWU@]IE NA ^ASTICY, NAPRAWLENY WDOLX OSI x. pREDPOLOVENIE A) OZNA^AET, ^TO SKOROSTX ^ASTIC MOVET IZMENQTXSQ LIX POD DEJSTWIEM WNENIH SIL, PREDPOLOVENIQ B){G) OBESPE^IWA@T ODNOMERNOSTX PROCESSA PERENOSA, T. E. ZAWISIMOSTX ISKOMOJ PLOTNOSTI POTOKA ^ASTIC TOLXKO OT KOORDINATY x I WREMENI t > 0. iTAK, PO ZADANNOJ NA^ALXNOJ PLOTNOSTI (x t = 0) = 0 (x) NEOBHODIMO NAJTI PLOTNOSTX ^ASTIC (x t) W L@BOJ MOMENT WREMENI DLQ
x 1]
59 L@BYH x (SKOROSTX DWIVENIQ u(t) ZADANA). pRIBEGNEM K ZAKONU SOHRANENIQ MASSY, PODS^ITAW BALANS WE]ESTWA W MALOM \LEMENTE TRUBY OT x DO x + dx ZA WREMQ dt (RIS. 21). sLEWA W \LEMENTARNYJ OB_EM WHODIT KOLI^ESTWO WE]ESTWA S MASSOJ, RAWNOJ Su(t) dt (x t + dt) 0 6 6 1 GDE Su(t) dt | OB_EM WOEDEGO ZA PROMErIS. 21 VUTOK WREMENI dt WE]ESTWA. ~EREZ PRAWOE SE^ENIE \LEMENTA ZA TO VE WREMQ WYHODIT MASSA, RAWNAQ ;Su(t) dt (x + dx t + dt) 6= 0 6 6 1 T. E. SUMMARNOE IZMENENIE MASSY RAWNO dm = Su(t) ((x t + dt) ; (x + dx t + dt)) dt: w SILU MALOSTI PROMEVUTKA dt SKOROSTX u(t) S^ITAETSQ POSTOQNNOJ. wELI^INY (x t + dt) I (x + dx t+ dt) | SREDNIE PO WREMENI ZNA^ENIQ PLOTNOSTI W SE^ENIQH x I x + dx. dRUGOJ SPOSOB PODS^ETA IZMENENIJ W FIKSIROWANNOM OB_EME S dx O^EWIDEN IZ SMYSLA WELI^INY (x t): dm = S dx ((x + dx t + dt) ; (x + dx t)) 0 < < 1 GDE (x + dx t + dt) I (x + dx t) | SREDNIE PO PROSTRANSTWU ZNA^ENIQ PLOTNOSTI W MOMENTY t I t + dt. pRIRAWNIWAQ OBA POLU^ENNYE DLQ dm WYRAVENIQ I USTREMLQQ dx I dt K NUL@, PRIHODIM K URAWNENI@ DLQ (x t), OTWE^A@]EMU ZAKONU SOHRANENIQ MASSY, @ + @ u(t) = 0 ;1 < x < 1 t > 0 (1) @t @x sohranenie massy we}estwa
S NA^ALXNYM USLOWIEM
(x 0) = 0 (x) ;1 < x < 1: (2) wELI^INA u (POTOK WE]ESTWA, ILI POTOK MASSY ) RAWNA KOLI^ESTWU WE]ESTWA, PROHODQ]EMU W EDINICU WREMENI ^EREZ EDINI^NU@ POWERHNOSTX POPERE^NOGO SE^ENIQ TRUBY. kAK WIDNO IZ (1), SKOROSTX IZMENENIQ PLOTNOSTI WE]ESTWA SO WREMENEM W L@BOM SE^ENII OPREDELQETSQ SKOROSTX@ IZMENENIQ POTOKA WE]ESTWA PO KOORDINATE x. sHOVIM SWOJSTWOM OBLADA@T MNOGIE MODELI, OTWE^A@]IE ZAKONAM SOHRANENIQ I OPISYWA@]IE SOWSEM DRUGIE PROCESSY. w SLU^AE POSTOQNNOJ SKOROSTI u(t) = u0 PRIHODIM K PROSTEJEMU
LINEJNOMU URAWNENI@ W ^ASTNYH PROIZWODNYH @ + u @ = 0 @t 0 @x
;1 < x < 1 t > 0:
(3)
60 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II eGO OB]EE REENIE NETRUDNO NAJTI, PRINQW WO WNIMANIE, ^TO URAWNENIE (3) IMEET HARAKTERISTIKI | LINII x = u0 t + C, NA KOTORYH ZNA^ENIQ ISKOMOJ FUNKCII POSTOQNNY WO WREMENI, T. E. (x = u0t + C t) = c , ILI, W \KWIWALENTNOJ ZAPISI, (x t) = (x + u0 (t ; t0) t0 ) t ; t0 > 0: wYBIRAQ t0 = 0, POLU^IM (x t) = () = (x + u0 t): (4) iNTEGRAL (4) I QWLQETSQ OB]IM REENIEM URAWNENIQ (3). iZ FORMULY (4) I NA^ALXNYH DANNYH (2) LEGKO NAJTI ISKOMU@ FUNKCI@, PRI^EM ONA ZAWISIT NE PO OTDELXNOSTI OT PEREMENNYH x, t, A OT IH KOMBINACII = x + u0t (BEGU]AQ WOLNA ). pROSTRANSTWENNYJ PROFILX PLOTNOSTI BEZ ISKAVENIJ PERENOSITSQ WDOLX POTOKA (RIS. 22) S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ (URAWNENIE (3) NAZYWA@T TAKVE URAWNENIEM PERENOSA ). |TO OSNOWNOE SWOJSTWO REENIQ URAWNENIQ (3) NESKOLXKO MODIFICIRUETSQ W SLU^AE, rIS. 22 KOGDA SKOROSTX ^ASTIC ZAWISIT OT WREMENI (SM. UPR. 1) | PROFILX PLOTNOSTI PERENOSITSQ ZA RAWNYE PROMEVUTKI WREMENI NA RAZNYE RASSTOQNIQ. eSLI VE PO KAKIM-TO PRI^INAM SKOROSTX POTOKA ZAWISIT OT PLOTNOSTI (u = u()), TO URAWNENIE (1) STANOWITSQ NELINEJNYM, I POWEDENIE EGO REENIQ MOVET IMETX KA^ESTWENNO INOJ HARAKTER (SM. P. 7 x 4). 2. oSNOWNYE PREDPOLOVENIQO GRAWITACIONNOMREVIME TE^ENIQ GRUNTOWYH WOD. pORISTAQ SREDA PREDSTAWLQET SOBOJ PLAST WO-
DOPRONICAEMOGO MATERIALA (PESOK, GLINA), OGRANI^ENNOGO SNIZU GRUNTOM, NE PROPUSKA@]IM WODU (GRANIT), A SWERHU | POWERHNOSTX@ ZEMLI (RIS. 23). eSLI IZ-ZA INTENSIWNOJ RABOTY ARTEZIANSKIH SKWAVIN ILI W REZULXTATE OBILXNYH OSADKOW UROWENX WODY W KAKOM-LIBO MESTE SLOQ IZMENQETSQ, TO POD DEJSTWIEM SILY TQVESTI NA^INAETSQ DWIVENIE VIDKOSTI, WYRAWNIWA@]EE EE SWOBODNU@ POWERHNOSTX. dLQ OPISANIQ \TOGO PROCESSA WWEDEM PREVDE WSEGO RQD PREDPOLOVENIJ: 1) WODA RASSMATRIWAETSQ KAK NESVIMAEMAQ VIDKOSTX S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ 2) TOL]INA PLASTA MNOGO MENXE EGO IRINY I DLINY 3) PODSTILA@]AQ POWERHNOSTX NE IMEET RAZRYWOW I IZLOMOW, ZADA@]AQ EE IZWESTNAQ FUNKCIQ H(x y) | DOSTATO^NO GLADKAQ FUNKCIQ SWOIH ARGUMENTOW 4) SWOBODNAQ POWERHNOSTX WODY h = h(x y t) PLAWNO MENQETSQ S IZMENENIEM KOORDINAT x, y 5) GRUNTOWYE WODY NIGDE NE WYHODQT NA POWERHNOSTX ZEMLI, PRI^EM NA SWOBODNOJ POWERHNOSTI VIDKOSTI DAWLENIE POSTOQNNO
x 1]
61 6) GRUNT ODNORODEN, T. E. EGO FIZIKO-MEHANI^ESKIE SWOJSTWA NE ZAWISQT OT ARGUMENTOW x, y, z. pERWOE PREDPOLOVENIE WPOLNE ESTESTWENNO, POSKOLXKU W RASSMATRIWAEMOM PROCESSE NE MOGUT DOSTIGATXSQ DAWLENIQ, SPOSOBNYE ZAMETNO IZMENQTX PLOTNOSTX WODY. oSTALXNYE PREDPOLOVENIQ UPRO]A@]IE. nAPRIMER, WTOROE PREDPOLOVENIE (TONKIJ PLAST) OZNA^AET, ^TO TE^ENIE VIDKOSTI DWUMERNOE I WSE EGO HARAKTERISTIKI NE ZAWISQT OT KOORDINATY z, POSLEDNIE DWA PREDPOLOVENIQ POZWOLQ@T POSTROITX MODELX, EDINOOBRAZNU@ WO WSEH TO^KAH GRUNTA, I T. D. wMESTE S TEM PREDPOLOVENIQ 1){6) OTN@DX NE WYHOLA]IWA@T SUTI PROCESSA, TAK KAK ONI WYPOLNQ@TSQ W BOLXOM KOLI^ESTWE REALXNYH SITUACIJ. sohranenie massy we}estwa
rIS. 23
3. bALANS MASSY W \LEMENTE GRUNTA. wYDELIM W PLASTE \LEMENTARNYJ OB_EM, OBRAZU@]IJSQ W REZULXTATE PERESE^ENIQ WERTIKALXNOJ PRIZMY ABCD PODSTILA@]EJ I SWOBODNOJ POWERHNOSTQMI GRUNTA. pOSKOLXKU RAZMERY PRIZMY dx I dy MALY, A FUNKCII H I h GLADKIE (PREDPOLOVENIQ 3), 4)), TO POLU^IWEESQ TELO S HOROEJ STEPENX@ TO^NOSTI MOVNO S^ITATX PARALLELEPIPEDOM. wWEDEM NEIZWESTNYE FUNKCII v = v(x y t) I u = u(x y t) | SOSTAWLQ@]IE SKOROSTI VIDKOSTI WDOLX OSEJ x, y (RIS. 24). pODS^ITAEM KOLI^ESTWA VIDKOSTI, WHODQ]EJ W PARALLELEPIPED I WYHODQ]EJ IZ NEGO ZA PROMEVUTOK WREMENI dt. ~EREZ GRANX DC W \LEMENT GRUNTA WHODIT MASSA WODY, RAWNAQ OB_EMU PROEDEJ ^EREZ NEE VIDKOSTI, UMNOVENNOMU NA PLOTNOSTX , T. E. WELI^INA
u (H + h) dy dt
62 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II A ^EREZ GRANX AB WYHODIT MASSA WODY
@ u (H + h) dy dt + @x u (H + h)] dx dy dt: w \TOM WYRAVENII PO SRAWNENI@ S PREDYDU]IM DOBAWLQETSQ ^LEN, OPISYWA@]IJ PRIRA]ENIE FUNKCII u (H + h) PRI PEREHODE OT PLOSKOSTI
rIS. 24
x K PLOSKOSTI x + dx. sAMA VE WELI^INA u (H + h), KAK I W P. 1, IMEET SMYSL POTOKA MASSY (WE]ESTWA). iTAK, PRI DWIVENII VIDKOSTI WDOLX OSI x W \LEMENTE dx GRUNTA
NAKAPLIWAETSQ MASSA
@ u (H + h)] dx dy dt: ; @x pROWODQ ANALOGI^NYE RASSUVDENIQ DLQ GRANEJ AD I BC, POLU^AEM IZMENENIE MASSY WODY ZA S^ET EE DWIVENIQ WDOLX OSI y: @ v (H + h)] dx dy dt: ; @y pOSKOLXKU WDOLX OSI z W \LEMENT GRUNTA VIDKOSTX NE WTEKAET I NE WYTEKAET IZ NEGO (SNIZU | PODSTILA@]IJ PLAST, A ^EREZ SWOBODNU@ POWERHNOSTX NET POTOKA WE]ESTWA), TO SUMMARNOE IZMENENIE MASSY WODY W \LEMENTE GRUNTA RAWNO
@
@ v (H + h)] dx dy dt: ; @x u (H + h)] + @y
(5)
oB]EE KOLI^ESTWO VIDKOSTI W PARALLELEPIPEDE RAWNO EGO OB_EMU, UMNOVENNOMU NA PLOTNOSTX I NA KO\FFICIENT PORISTOSTI m < 1 (TAK KAK ^ASTX OB_EMA ZANQTA GRUNTOM): m (H + h) dx dy:
iZMENENIE MASSY WODY W \LEMENTE ZA WREMQ dt, O^EWIDNO, RAWNO
@
@t m (H + h)] dx dy dt:
x 1]
sohranenie massy we}estwa
63
u^ITYWAQ, ^TO @H=@t 0, @=@t 0, IZ POSLEDNEGO WYRAVENIQ POLU^AEM
m @h (6) @t dx dy dt I, PRIRAWNIWAQ (5) K (6), PRIHODIM K URAWNENI@ NERAZRYWNOSTI, WYRAVA@]EMU ZAKON SOHRANENIQ MASSY W RASSMATRIWAEMOM PROCESSE: @ @ m @h (7) @t = ; @x u (H + h)] ; @y v (H + h)] : w URAWNENII (7) SKOROSTX IZMENENIQ RASSMATRIWAEMOJ WELI^INY (W DANNOM SLU^AE MASSY) SO WREMENEM OPREDELQETSQ DIWERGENCIEJ POTOKA \TOJ WELI^INY | SWOJSTWO, HARAKTERNOE DLQ MNOGIH MODELEJ, POLU^AEMYH IZ ZAKONOW SOHRANENIQ (SR. S URAWNENIEM (1)). s U^ETOM TOGO, ^TO @=@x 0, @=@y 0, URAWNENIE (7) PEREPISYWAETSQ W BOLEE PROSTOJ FORME: @ @ m @h (8) @t = ; @x u (H + h)] ; @y v (H + h)] : 4. zAMYKANIE ZAKONA SOHRANENIQ MASSY. uRAWNENIE (8) SODERVIT TRI NEIZWESTNYH WELI^INY | h, u, v. sLEDOWATELXNO, DLQ ZAMYKANIQ MODELI NEOBHODIMO PRIWLE^X KAKIE-TO DOPOLNITELXNYE SOOBRAVENIQ O HARAKTERE PROCESSA. iH DAET POLU\MPIRI^ESKIJ ZAKON dARSI @p v = ; @p u = ; @x (9) @y GDE p(x y t) | DAWLENIE W VIDKOSTI, > 0 | KO\FFICIENT, OPREDELQEMYJ SWOJSTWAMI GRUNTA. sOGLASNO ZAKONU dARSI KOMPONENTY SKOROSTI TE^ENIQ VIDKOSTI PROPORCIONALXNY SOOTWETSTWU@]IM KOMPONENTAM GRADIENTA DAWLENIQ. zAMETIM, ^TO PO SWOEMU FIZI^ESKOMU SMYSLU GRADIENT DAWLENIQ | \TO SILA (OTNESENNAQ K EDINICE OB_EMA). w TO VE WREMQ PO WTOROMU ZAKONU nX@TONA DEJSTWU@]AQ NA TELO SILA PROPORCIONALXNA EGO USKORENI@, A NE SKOROSTI, KAK W ZAKONE dARSI. oDNAKO DANNOE PROTIWORE^IE KAVU]EESQ, TAK KAK PRI TE^ENII ^EREZ GRUNT (FILXTRACII) VIDKOSTX PREODOLEWAET SOPROTIWLENIE EGO ^ASTIC, W OTLI^IE OT SWOBODNOGO TE^ENIQ (SR. S URAWNENIEM DWIVENIQ VIDKOSTI W x 4). w FORMULAH (9) ISPOLXZUETSQ NOWAQ NEIZWESTNAQ WELI^INA | DAWLENIE VIDKOSTI. eE SWQZX S UVE WWEDENNYMI WELI^INAMI NETRUDNO NAJTI, PRINQW PREDPOLOVENIE O MEDLENNOM I PO^TI GORIZONTALXNOM TE^ENII WODY. tOGDA DINAMI^ESKOJ SOSTAWLQ@]EJ DAWLENIQ MOVNO PRENEBRE^X I WY^ISLQTX EGO PO ^ISTO GIDROSTATI^ESKOMU ZAKONU KAK DAWLENIE, SOZDAWAEMOE STOLBOM VIDKOSTI: p(x y z t) = g (h(x y t) ; z) + const GDE const | DAWLENIE NA POWERHNOSTI VIDKOSTI (NAPRIMER, ATMOSFERNOE), g | USKORENIE SWOBODNOGO PADENIQ.
64 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II pODSTAWLQQ POSLEDN@@ FORMULU W (9), POLU^AEM @h v = ; g @h u = ; g @x (10) @y I, ISPOLXZUQ (10) W URAWNENII NERAZRYWNOSTI (8), OKON^ATELXNO PRI-
HODIM K URAWNENI@ DWIVENIQ GRUNTOWYH WOD
@h = k @ (H(x y) + h) @h + k @ (H(x y) + h) @h (11) @t @x @x @y @y k = g m ILI K URAWNENI@ bUSSINESKA, SODERVA]EMU LIX ODNU NEIZWESTNU@ FUNKCI@ h(x y t). 5. o NEKOTORYH SWOJSTWAH URAWNENIQ bUSSINESKA. uRAWNENIE (11) NESTACIONARNOE (ISKOMAQ FUNKCIQ h ZAWISIT OT t), DWUMERNOE (h ZAWISIT OT x I y), OTNOSQ]EESQ K PARABOLI^ESKOMU TIPU. oNO NEODNORODNOE, TAK KAK FUNKCIQ H ZAWISIT OT x, y, I NELINEJNOE, POSKOLXKU W EGO PRAWOJ ^ASTI PRISUTSTWU@T ^LENY WIDA (hhx )x I (hhy )y . w SRAWNENII S URAWNENIEM (1) URAWNENIE bUSSINESKA | GORAZDO BOLEE SLOVNYJ MATEMATI^ESKIJ OB_EKT. w SILU NELINEJNOSTI EGO OB]EE REENIE NE MOVET BYTX NAJDENO ANALITI^ESKI, ODNAKO OTNOSITELXNO NETRUDNO POLU^ITX NEKOTORYE WPOLNE SODERVATELXNYE ^ASTNYE REENIQ (SM. UPR. 2), KOTORYE SLUVAT TAKVE TESTAMI PRI RAZRABOTKE ^ISLENNYH METODOW DLQ URAWNENIQ (11). dLQ POSTROENIQ ZAWERENNOJ MODELI DWIVENIQ GRUNTOWYH WOD NEOBHODIMO ZNATX WHODNYE DANNYE DLQ URAWNENIQ (11): FORMU PODSTILA@]EJ POWERHNOSTI H(x y), KO\FFICIENT k I KRAEWYE USLOWIQ, ZADA@]IE FUNKCI@ h W NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI I NA GRANICAH PLASTA (I, BYTX MOVET, W NEKOTORYH WYDELENNYH OBLASTQH PLASTA, NAPRIMER, NA ARTEZIANSKOJ SKWAVINE). bOLEE PODROBNO FORMULIROWKA KRAEWYH USLOWIJ DLQ URAWNENIJ PARABOLI^ESKOGO TIPA OBSUVDAETSQ W x 2. zDESX OTMETIM TOLXKO, ^TO PROSTEJIM WARIANTOM FORMULIROWKI KRAEWYH USLOWIJ DLQ URAWNENIQ (11) QWLQETSQ ZADANIE LIX NA^ALXNOGO USLOWIQ | FUNKCII h(x y t) W MOMENT t = 0: h(x y t = 0) = h0 (x y) ;1 < x < 1 ;1 < y < 1: tAKAQ POSTANOWKA OTWE^AET ZADA^E kOI DLQ URAWNENIQ (11), REAEMOGO, ESTESTWENNO, TAKVE W OBLASTI ;1 < x < 1, ;1 < y < 1. w ZADA^E kOI PO IZWESTNOMU RASPREDELENI@ UROWNQ GRUNTOWYH WOD h0 NAHODITSQ FUNKCIQ h DLQ WSEH t > 0. rASSMOTRENIE PLASTA BESKONE^NYH RAZMEROW, KONE^NO VE, IDEALIZACIQ. oDNAKO ESLI IZU^AETSQ TE^ENIE W NEBOLXOJ CENTRALXNOJ OBLASTI PLASTA NA OTNOSITELXNO NEBOLXOM PROMEVUTKE WREMENI, TO WLIQNIEM GRANIC PLASTA MOVNO PRENEBRE^X, I REENIE ZADA^I kOI OPISYWAET WPOLNE REALXNYJ PROCESS. oTMETIM TAKVE, ^TO NEKOTORYE KRAEWYE USLOWIQ BYLI FAKTI^ESKI NEQWNO WWEDENY W MODELX PRI WYWODE URAWNENIQ bUSSINESKA. pREDPO-
LOVENIE O NEPRONICAEMOSTI PLASTA BYLO ISPOLXZOWANO PRI POLU^ENII
x 1]
65 URAWNENIQ BALANSA, A BEZ PREDPOLOVENIQ 5) O ZAZORE MEVDU POWERHNOSTX@ ZEMLI I POWERHNOSTX@ GRUNTOWYH WOD (T. E. KOGDA WSQ VIDKOSTX NAHODITSQ W PORISTOJ SREDE) NELXZQ BYLO BY ISPOLXZOWATX ZAKON dARSI WO WSEJ RASSMATRIWAEMOJ OBLASTI. rAZUMEETSQ, WYPOLNENIE \TIH I DRUGIH PREDPOLOVENIJ DOLVNO KONTROLIROWATXSQ PRI IZU^ENII DANNOGO OB_EKTA NA OSNOWE POSTROENNOJ MODELI. pRI WWEDENII DOPOLNITELXNYH PREDPOLOVENIJ OB]AQ MODELX UPRO]AETSQ. tAK, ESLI PO KAKIM-TO PRI^INAM REENIE NE ZAWISIT OT WREMENI t (STACIONARNYJ PROCESS), TO PRIHODIM K \LLIPTI^ESKOsohranenie massy we}estwa
MU URAWNENI@
@h @ @h @ (12) @x (H + h) @x + @y (H + h) @y = 0 DLQ REENIQ KOTOROGO, ESTESTWENNO, NE TREBUETSQ ZADANIE FUNKCII h W NA^ALXNYJ MOMENT. w PROSTEJEM SLU^AE (12) PREWRA]AETSQ W URAWNENIE lAPLASA (SM. UPR. 3). eSLI PODSTILA@]AQ POWERHNOSTX GORIZONTALXNA (H(x y) = H0 = const), TO URAWNENIE bUSSINESKA STANOWITSQ ODNORODNYM: @h = k @ h @h + k @ h @h : @t @x @x @y @y pRI DOPOLNITELXNOM PREDPOLOVENII OB ODNOMERNOSTI TE^ENIQ, KOGDA ISKOMOE REENIE ZAWISIT LIX OT ODNOJ PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ, NAPRIMER, KOORDINATY x, PRIHODIM K URAWNENI@ @h = k @ h @h (13) @t @x @x NAZYWAEMOMU TAKVE ODNOMERNYM URAWNENIEM TIPA NELINEJNOJ TEPLOPROWODNOSTI (SM. x 2) ILI ODNOMERNYM URAWNENIEM IZOTERMI^ESKOJ FILXTRACII. oDNOMERNYMI QWLQ@TSQ, NAPRIMER, TE^ENIQ W PLASTAH, SILXNO WYTQNUTYH PO ODNOMU IZ NAPRAWLENIJ, TAK ^TO IZMENENIEM WELI^IN WDOLX POPERE^NOGO SE^ENIQ PLASTA MOVNO PRENEBRE^X (ESLI ^EREZ OGRANI^IWA@]IE EGO W POPERE^NYH NAPRAWLENIQH POWERHNOSTI VIDKOSTX NE PROTEKAET). nAKONEC, SAMAQ PROSTAQ MODELX TE^ENIQ GRUNTOWYH WOD DAETSQ URAWNENIEM TEPLOPROWODNOSTI (ILI URAWNENIEM DIFFUZII WE]ESTWA ) dh = kH d2h (14) 0 dx2 dt POLU^A@]IMSQ PRI USLOWII h H0, T. E. DLQ MALYH IZMENENIJ UROWNQ VIDKOSTI PO SRAWNENI@ S TOL]INOJ PLASTA. pOSLEDNIE TRI URAWNENIQ OTNOSQTSQ K PARABOLI^ESKOMU TIPU, PRI^EM URAWNENIE (14) LINEJNOE I SU]ESTWU@T HOROO IZWESTNYE METODY POLU^ENIQ EGO OB]EGO REENIQ. rAZUMEETSQ, KROME PERE^ISLENNYH WOZMOVNY I DRUGIE UPRO]ENIQ ISHODNOJ MODELI, NAPRIMER DWUMERNOE URAWNENIE (13). iZ URAWNENIQ bUSSINESKA OTNOSITELXNO NETRUDNO POLU^ITX I BOLEE SLOVNYE MODELI, KOGDA NEWERNY NEKOTORYE IZ SFORMULIROWANNYH 5 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
66 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II W P. 2 PREDPOLOVENIJ. w ^ASTNOSTI, WO MNOGIH SLU^AQH GRUNT NEODNORODEN, T. E. m = m(x y), = (x y), I NEOBHODIMO U^ITYWATX POSTUPLENIE VIDKOSTI W PLAST W REZULXTATE OSADKOW. tOGDA OBOB]ENIE
URAWNENIQ bUSSINESKA IMEET WID
m(x y) dh = ; @ (x y) (H + h) @h ; g dt @x @x @h @ ; @y (x y) (H + h) @y + q(x y t) (15) GDE q(x y t) HARAKTERIZUET MO]NOSTX OSADKOW W TO^KE x, y W MOMENT WREMENI t (SM. UPR. 4). iTAK, PRIMENENIE FUNDAMENTALXNOGO ZAKONA SOHRANENIQ MASSY POZWOLILO POLU^ITX RAZNOOBRAZNYE MODELI RASSMATRIWAEMYH PROCESSOW. rAZLI^IE MEVDU MODELQMI OPREDELQETSQ TIPOM POLU^ENNYH URAWNENIJ (GIPERBOLI^ESKIJ, PARABOLI^ESKIJ, \LLIPTI^ESKIJ), IH PROSTRANSTWENNO-WREMENNYMI HARAKTERISTIKAMI (STACIONARNOE, NESTACIONARNOE, ODNOMERNOE, MNOGOMERNOE), NALI^IEM ILI OTSUTSTWIEM NELINEJNOSTEJ, A TAKVE POSTANOWKOJ KRAEWYH USLOWIJ. tAKIM OBRAZOM, W ZAWISIMOSTI OT KONKRETNYH SWOJSTW OB_EKTA I DOPOLNITELXNYH PREDPOLOVENIJ, OSNOWYWAQSX NA ODNOM I TOM VE FUNDAMENTALXNOM ZAKONE, MOVNO POLU^ITX SOWERENNO RAZLI^NYE MATEMATI^ESKIE MODELI. s DRUGOJ STORONY, KAK BUDET NE RAZ POKAZANO W DALXNEJEM, ODNI I TE VE MATEMATI^ESKIE MODELI MOGUT, W SILU SWOEJ UNIWERSALXNOSTI, OTWE^ATX OB_EKTAM SOWERENNO RAZNOJ PRIRODY. upravneniq 1. nAJDITE ZAMENU PEREMENNYH, SWODQ]U@ URAWNENIE (1) K URAWNENI@ (3), I R POKAVITE, ^TO REENIE W SLU^AE u = u(t) IMEET WID (4), GDE = x + 0t u(t) dt. 2. rEENIE URAWNENIQ (13) WIDA h(x t) = u(t) (x) (T. E. W RAZDELQ@]IHSQ PEREMENNYH) NAZYWAETSQ UPORQDO^ENNYM REVIMOM bUSSINESKA W SLU^AE, ESLI u(t) ! 0, t ! 1. pOKAVITE, ^TO u(t) | STEPENNAQ FUNKCIQ WREMENI PRI BOLXIH t. 3. uSTANOWITE, PRI KAKIH PREDPOLOVENIQH URAWNENIE (12) SWODITSQ K URAWNENI@ lAPLASA. 4. pOLXZUQSX ZAKONOM SOHRANENIQ MASSY I ZAKONOM dARSI, POLU^ITE URAWNENIE (15).
x 2. sOHRANENIE \NERGII zAKON SOHRANENIQ \NERGII WMESTE S NEKOTORYMI DOPOLNITELXNYMI PREDPOLOVENIQMI PRIMENIM DLQ POSTROENIQ MODELEJ RASPROSTRANENIQ TEPLA W SPLONOJ SREDE. sFORMULIRUEM TIPI^NYE KRAEWYE ZADA^I DLQ URAWNENIJ TEPLOPEREDA^I. oBSUDIM NEKOTORYE FIZI^ESKIE I MATEMATI^ESKIE SWOJSTWA POLU^ENNYH MODELEJ. 1. pREDWARITELXNYE SWEDENIQ O PROCESSAH TEPLOPEREDA^I. tEPLOWAQ \NERGIQ, ILI TEPLO | \TO \NERGIQ HAOTI^ESKOGO DWIVENIQ ATOMOW ILI MOLEKUL WE]ESTWA. oBMEN TEPLOM MEVDU RAZLI^NYMI U^ASTKAMI MATERIALA NAZYWAETSQ TEPLOPEREDA^EJ, A SAMI MATERIALY, OBLADA@]IE HOROO WYRAVENNYM SWOJSTWOM TEPLOPEREDA^I, |
x 2]
sohranenie |nergii
67
TEPLOPROWODNYMI. k NIM OTNOSQTSQ, NAPRIMER, METALLY, W KOTORYH TEPLOWAQ \NERGIQ PERENOSITSQ W OSNOWNOM SWOBODNYMI \LEKTRONAMI, NEKOTORYE GAZY I T. D. pROCESSY PEREDA^I TEPLA RASSMATRIWA@TSQ W USLOWIQH TAK NAZYWAEMOGO LOKALXNOGO TERMODINAMI^ESKOGO RAWNOWESIQ (ltr). pONQTIE ltr DLQ GAZOW WWODITSQ PRI L, T. E. KOGDA DLINA SWOBODNOGO PROBEGA ^ASTIC WE]ESTWA MNOGO MENXE HARAKTERNYH RAZMEROW RASSMATRIWAEMOGO OB_EKTA (SPLONAQ SREDA ). ltr PODRAZUMEWAET TAKVE, ^TO PROCESSY IZU^A@TSQ PRI WREMENAH, BOLXIH, ^EM (WREMQ MEVDU STOLKNOWENIQMI ^ASTIC), I NA RAZMERAH, BOLXIH, ^EM . tOGDA W OBLASTQH WE]ESTWA, RAZMERY KOTORYH PREWOSHODQT WELI^INU (NO MNOGO MENXE WELI^INY L), USTANAWLIWAETSQ RAWNOWESIE I DLQ NIH MOVNO WWESTI SREDNIE WELI^INY PLOTNOSTI, SKOROSTI TEPLOWOGO DWIVENIQ ^ASTIC I T. D. |TI LOKALXNYE WELI^INY (RAZNYE W RAZNYH TO^KAH SREDY) PRI SFORMULIROWANNYH PREDPOLOVENIQH NAHODQTSQ IZ RAWNOWESNOGO MAKSWELLOWSKOGO RASPREDELENIQ ^ASTIC (SM. x 3 GL. III). k NIM OTNOSITSQ I TEMPERATURA T , OPREDELQ@]AQ SREDN@@ KINETI^ESKU@ \NERGI@ ^ASTIC: mv2 = 3 kT 2 2 GDE m | MASSA ^ASTICY, v | SREDNQQ SKOROSTX HAOTI^ESKOGO DWIVENIQ, k | POSTOQNNAQ bOLXCMANA (W SLU^AE TAK NAZYWAEMOGO BOLXCMANOWSKOGO GAZA). sWQZANNAQ S HAOTI^ESKIM DWIVENIEM ^ASTIC \NERGIQ WE]ESTWA (WNUTRENNQQ \NERGIQ) OPREDELQETSQ ^EREZ TEMPERATURU S POMO]X@ WELI^INY UDELXNOJ TEPLOEMKOSTI c( T ), A IMENNO T) c( T) > 0 c( T ) = @"( @T GDE = mn | PLOTNOSTX WE]ESTWA (n | ^ISLO ^ASTIC W EDINICE OB_EMA), "( T) | WNUTRENNQQ \NERGIQ EDINICY MASSY. dRUGIM SLOWAMI, TEPLOEMKOSTX | \TO \NERGIQ, KOTORU@ NADO SOOB]ITX EDINICE MASSY WE]ESTWA, ^TOBY UWELI^ITX EGO TEMPERATURU NA ODIN GRADUS. nAIBOLEE PROSTOE WYRAVENIE DLQ TEPLOEMKOSTI POLU^AETSQ W SLU^AE IDEALXNOGO GAZA (GAZA, ^ASTICY KOTOROGO WZAIMODEJSTWU@T LIX PRI NEPOSREDSTWENNOM STOLKNOWENII I, PODOBNO BILLIARDNYM ARAM, BEZ POTERI SUMMARNOJ KINETI^ESKOJ \NERGII). eSLI W NEKOTOROM OB_EME IDEALXNOGO GAZA SODERVITSQ N ^ASTIC, TO IH POLNAQ WNUTRENNQQ \NERGIQ ESTX 2 E = N mv2 = 23 NkT = 32 M mk T GDE M = Nm | SUMMARNAQ MASSA ^ASTIC, A UDELXNAQ WNUTRENNQQ \NERGIQ, ILI \NERGIQ NA EDINICU MASSY, DAETSQ FORMULOJ E = 3 k T "= M 2m T. E. TEPLOEMKOSTX IDEALXNOGO GAZA RAWNA 3k=(2m) I NE ZAWISIT OT WELI^IN , T . 5
68 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II
w OB]EM SLU^AE SWQZX MEVDU WNUTRENNEJ \NERGIEJ I TEMPERATUROJ BOLEE SLOVNAQ. nAPRIMER, POMIMO KINETI^ESKOJ \NERGII DWIVU]IHSQ ^ASTIC, WNUTRENNQQ \NERGIQ SODERVIT SOSTAWLQ@]U@, SWQZANNU@ S POTENCIALXNOJ \NERGIEJ IH WZAIMODEJSTWIQ, ZAWISQ]EJ OT SREDNEGO RASSTOQNIQ r MEVDU NIMI. w SWO@ O^EREDX r (n);1=3 = (=m);1=3 , GDE n | ^ISLO ^ASTIC W EDINICE OB_EMA, T. E. " ZAWISIT OT PLOTNOSTI . pO\TOMU W TEORII TEPLOPEREDA^I WELI^INY " (ILI, ^TO TO VE SAMOE, c) QWLQ@TSQ, WOOB]E GOWORQ, FUNKCIQMI OT I T. iH KONKRETNYJ WID OPREDELQETSQ SWOJSTWAMI RASSMATRIWAEMOJ SREDY. 2. wYWOD ZAKONA fURXE IZ MOLEKULQRNO-KINETI^ESKIH PREDSTAWLENIJ. dLQ POLU^ENIQ MATEMATI^ESKOJ MODELI TEPLOPEREDA^I NEOBHODIMO, POMIMO OPISANNYH W P. 1 PONQTIJ, WWESTI WAVNOE PONQTIE POTOKA TEPLA. pOTOKOM TEPLA (ILI TEPLOWOJ \NERGII) W DANNOJ TO^KE NAZYWAETSQ KOLI^ESTWO TEPLA, PERENOSIMOE W EDINICU WREMENI ^EREZ EDINI^NU@ POWERHNOSTX, POME]ENNU@ W DANNU@ TO^KU WE]ESTWA (SR. S PONQTIEM POTOKA MASSY W x 1). o^EWIDNO, ^TO POTOK TEPLA | WEKTORNAQ WELI^INA (POSKOLXKU ONA W OB]EM SLU^AE ZAWISIT OT ORIENTACII EDINI^NOJ POWERHNOSTI W PROSTRANSTWE). wYDELIM W SREDE TO^KU S KOORDINATAMI x, y, z I WY^ISLIM KOMPONENTY POTOKA W TEPLA PO SOOTWETSTWU@]IM OSQM (WELI^INY Wx , Wy , Wz ). rASPOLOVIM PLO]ADKU EDINI^NOJ WELI^INY (TRIHOWAQ LINIQ NA RIS. 25) PERPENDIKULQRNO OSI x. ~ASTICY, DWIVU]IESQ WDOLX OSI x, PERESEKA@T EE SPRAWA NALEWO I SLEWA NAPRAWO S RAWNOJ WEROQTNOSTX@. oDNAKO ESLI TEMPERATURY ^ASTIC (A, SLEDOWATELXNO, I IH KINETI^ESKIE \NERGII) RAZNYE PO PRAWU@ I LEWU@ STORONY PLO]ADKI, TO W EDINICU WREMENI ^EREZ NEE SPRAWA I SLEWA PERENOSQTSQ RAZNYE \NERGII. rAZNOSTX \TIH \NERGIJ I FORMIRUET POTOK TEPLA WDOLX OSI x. wYDELIM NA RIS. 25 OBLASTI, OTSTOQ]IE NA RASSTOQNIE = v OT PLO]ADKI SPRAWA I rIS. 25 SLEWA. iZ ^ASTIC, NAHODQ]IHSQ W PRAWOJ OBLASTI, PRIMERNO 1=6 ^ASTX DWIVETSQ NALEWO, TAK KAK WSE ESTX NAPRAWLENIJ (WWERH | WNIZ, WPERED | NAZAD, NAPRAWO | NALEWO) RAWNOWEROQTNY. zA WREMQ \TA ^ASTX ^ASTIC S NEOBHODIMOSTX@ PERESE^ET PLO]ADKU I PERENESET \NERGI@, RAWNU@ 1 n mvP2 6 2
GDE vP | SKOROSTX ^ASTIC W PRAWOJ OBLASTI (WELI^INY n, S^ITA@TSQ W PERWOM PRIBLIVENII RAWNYMI PO OBE STORONY PLO]ADKI). aNALOGI^NO, ^ASTICY IZ LEWOJ OBLASTI PERENOSQT \NERGI@ 1 n mvL2 6 2
GDE vL | SKOROSTX ^ASTIC SLEWA OT PLO]ADKI. rAZNOSTX \TIH \NERGIJ,
x 2]
sohranenie |nergii
69
OTNESENNAQ K EDINICE WREMENI, PREDSTAWLQET SOBOJ WELI^INU
2 2 Wx = 16 nv mv2 L ; mv2 P = mnv 6 ("L ; "P )
GDE "L , "P | WNUTRENNQQ \NERGIQ WE]ESTWA SOOTWETSTWENNO SLEWA I SPRAWA OT PLO]ADKI, A W KA^ESTWE v BERETSQ SREDNQQ MEVDU vL I vP SKOROSTX ^ASTIC. w PERWOM PRIBLIVENII WELI^INY "L , "P MOVNO WYRAZITX ^EREZ WELI^INU " (\NERGI@ W TO^KE x, T. E. NA PLO]ADKE) SLEDU@]IM OBRAZOM: @" = " + c @T "P = " + @x @x
@" = " ; c @T : "L = " ; @x @x pODSTAWLQQ \TI FORMULY W WYRAVENIE DLQ Wx , POLU^AEM Wx = ;{ @T (1) @x GDE { = cv=3. pROWODQ TAKIE VE RASSUVDENIQ DLQ KOMPONENT Wy , Wz , PRIHODIM
K WYRAVENIQM
Wy = ;{ @T @y
Wz = ;{ @T @z :
(2)
oB_EDINENIE (1) I (2) DAET ZAKON fURXE W = ;{ grad T: (3) wELI^INA { NAZYWAETSQ KO\FFICIENTOM TEPLOPROWODNOSTI. zAMETIM, ^TO KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI ZAWISIT W OB]EM SLU^AE OT PLOTNOSTI I TEMPERATURY WE]ESTWA: { = cv 3 > 0
(4)
POSKOLXKU NE TOLXKO TEPLOEMKOSTX c, NO I DLINA SWOBODNOGO PROBEGA TAKVE MOVET BYTX FUNKCIEJ OT , T. tAK, NAPRIMER, W GAZE, NAHODQ]EMSQ W OBY^NYH USLOWIQH, TEPLO PERENOSITSQ MOLEKULAMI (MOLEKULQRNAQ TEPLOPROWODNOSTXp). dLQ WELI^INY W \TOM SLU^AE p SPRAWEDLIWO 1=, A TAK KAK v T , TO IZ (4) IMEEM {m T (TEPLOEMKOSTX S^ITAETSQ POSTOQNNOJ). w PLAZME (GDE OSNOWNU@ ROLX W PERENOSE TEPLA IGRA@T \LEKTRONY) DLINA PROBEGA \LEKTRONA ZAWISIT OT , T, TAK ^TO T 2 ;1 , I DLQ WELI^INY {e SPRAWEDLIWO {e T 5=2 (c | POSTOQNNAQ). iTAK, ZAKON fURXE GLASIT: POTOK TEPLA PROPORCIONALEN GRADIENTU TEMPERATURY. tAK KAK TEPLOWAQ \NERGIQ NEPOSREDSTWENNO SWQZANA S TEMPERATUROJ, TO W OPREDELENNOM SMYSLE MOVNO S^ITATX, ^TO POTOK TEMPERATURY PROPORCIONALEN GRADIENTU SAMOJ TEMPERATURY. sOWERENNO TAKIM VE SWOJSTWOM OBLADAET BLIZKIJ PO SU]NOSTI PROCESS
70 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II DIFFUZII WE]ESTWA (ZAKON fIKA). aNALOGI^NU@ INTERPRETACI@ MOVNO PRIDATX ZAKONU dARSI (10) IZ x 1, HOTQ DWIVENIE GRUNTOWYH WOD PO SWOEJ PRIRODE PRINCIPIALXNO OTLI^AETSQ OT PROCESSA DIFFUZII TEPLA (I ZAKON dARSI NE IMEET STOLX OTNOSITELXNO PROSTOGO TEORETI^ESKOGO OBOSNOWANIQ, KAK ZAKONY fURXE I fIKA).
3. uRAWNENIE BALANSA TEPLA. pRIMENIM ZAKON SOHRANENIQ \NERGII DLQ MATEMATI^ESKOGO OPISANIQ PROCESSA TEPLOPEREDA^I. bUDEM PRI \TOM S^ITATX, ^TO WNUTRENNQQ \NERGIQ WE]ESTWA IZMENQETSQ LIX BLAGODARQ MEHANIZMU TEPLOPROWODNOSTI, T. E. DRUGIE WIDY \NERGII POLAGAEM NESU]ESTWENNYMI (NAPRIMER, PRENEBREGAEM IZMENENIEM WNUTRENNEJ \NERGII ZA S^ET HIMI^ESKIH REAKCIJ ILI ZA S^ET RABOTY SIL DAWLENIQ, SVIMA@]IH NEKOTORYJ OB_EM GAZA, I T. D.). wYDELIM W TEPLOPROWODNOJ SREDE \LEMENTARNYJ KUrIS. 26 BIK SO STORONAMI dx, dy, dz (RIS. 26) I PRIWEDEM PODS^ET IZMENENIQ SODERVA]EJSQ W NEM TEPLOWOJ \NERGII ZA MALYJ PROMEVUTOK WREMENI dt. pO SDELANNYM PREDPOLOVENIQM \TO IZMENENIE MOVET BYTX WYZWANO LIX RAZNOSTX@ POTOKOW TEPLA, WHODQ]IH I WYHODQ]IH ^EREZ RAZNYE GRANI KUBIKA. tAK, POTOKI WDOLX OSI x PRIWODQT K UMENXENI@ ILI UWELI^ENI@ WNUTRENNEJ \NERGII OB_EMA NA WELI^INU Wx (x y z t) ; Wx (x + dx y z t)]dy dz dt GDE dx dy | PLO]ADX GRANI, PERPENDIKULQRNOJ OSI x. w \TOJ FORMULE S^ITAETSQ, ^TO Wx KAK FUNKCIQ WREMENI NE SILXNO IZMENQETSQ ZA PROMEVUTOK dt, I MOVNO WZQTX EE ZNA^ENIE W MOMENT t. tO^NO TAKIM VE OBRAZOM WY^ISLQ@TSQ IZMENENIQ WNUTRENNEJ \NERGII PO OSQM y, z: Wy (x y z t) ; Wy (x y + dy z t)] dx dz dt
Wz (x y z t) ; Wz (x y z + dz t)] dx dy dt: sUMMARNOE IZMENENIE \NERGII E = E(t + dt) ; E(t) ESTX E = ; div W dx dy dz dt: s DRUGOJ STORONY, WELI^INU E MOVNO WYRAZITX ^EREZ IZMENENIE TEM-
PERATURY OB_EMA I ^EREZ EGO TEPLOEMKOSTX PO FORMULE E = (T (t + dt) ; T(t)) c( t) dx dy dz W KOTOROJ IZ-ZA MALOSTI OB_EMA BERUTSQ NEKOTORYE SREDNIE PO NEMU ZNA^ENIQ TEMPERATURY I PLOTNOSTI. pRIRAWNIWAQ DWA POSLEDNIH WYRAVENIQ DRUG DRUGU I USTREMLQQ dt K NUL@, POLU^AEM OB]EE URAWNENIE, OPISYWA@]EE RASPROSTRANENIE
x 2] TEPLA :
sohranenie |nergii
71
C @T @t = div({ grad T)
(5)
IME@]EE W RAZWERNUTOJ FORME WID
@T @ @T @ @T @T @ C @t = @x { @x + @y { @y + @z { @z (6) GDE C = c. uRAWNENIE (6) | NESTACIONARNOE, TREHMERNOE (FUNKCIQ T ZAWISIT OT WREMENI t I TREH PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH x, y, z) URAWNENIE PARABOLI^ESKOGO TIPA. oNO NEODNORODNOE, TAK KAK TEPLOEMKOSTX, KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI I PLOTNOSTX MOGUT BYTX, WOOB]E GOWORQ, RAZNYMI W RAZNYH TO^KAH WE]ESTWA, I NELINEJNOE, POSKOLXKU FUNKCII c I { MOGUT ZAWISETX OT TEMPERATURY T (T. E. OT ISKOMOGO REENIQ). pRI DOPOLNITELXNYH PREDPOLOVENIQH O HARAKTERE PROCESSA TEPLOPEREDA^I URAWNENIE (6) MOVET UPRO]ATXSQ. tAK, ESLI PROCESS STACIONARNYJ, T. E. TEMPERATURA NE ZAWISIT OT WREMENI, TO (6) PREWRA]AETSQ W URAWNENIE \LLIPTI^ESKOGO TIPA @ { @T + @ { @T + @ { @T (7) @x @x @y @y @z @z A ESLI FUNKCII c, { NE ZAWISQT OT TEMPERATURY, TO (6) STANOWITSQ LINEJNYM PARABOLI^ESKIM URAWNENIEM, KOTOROE W SLU^AE ODNORODNOJ SREDY ({ , c, NE ZAWISQT OT x, y, z) PRINIMAET WID @T = k T (8) 0 @t GDE WELI^INA k = { =c NAZYWAETSQ KO\FFICIENTOM TEMPERATUROPROWODNOSTI. dLQ URAWNENIQ (8) OTNOSITELXNO NETRUDNO WYPISATX OB]EE REENIE. w ODNOMERNOM SLU^AE (TEMPERATURA ZAWISIT LIX OT t I x) IZ (6) POLU^AEM
@T @ @T C @t = @x { @x :
(9)
uRAWNENIE (9) SWODITSQ K URAWNENI@ TIPA NELINEJNOJ TEPLOPROWODNOSTI
@u = @ k(u) @u (10) @t @x @x PRI DOPU]ENII, ^TO @c=@x 0, @ { =@x 0 (SR. S URAWNENIEM (13) IZ x 1). nAKONEC, ESLI { = {0 , c = c0, GDE {0 , c0 | POSTOQNNYE, TO IZ (10) POLU^AETSQ URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI | PROSTEJEE URAWNENIE
PARABOLI^ESKOGO TIPA
@u = k @ 2 u : @t 0 @x2
(11)
72 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II kAK I W SLU^AE URAWNENIQ bUSSINESKA, IZ OSNOWNOGO URAWNENIQ (6) MOVNO POLU^ITX RAZLI^NYE OBOB]ENIQ, SOOTWETSTWU@]IE BOLEE SLOVNYM, ^EM RASSMOTRENYE WYE, MEHANIZMAM TEPLOPEREDA^I. tAK, DLQ NEIZOTROPNOJ SREDY (T. E. KOGDA KO\FFICIENTY TEPLOPROWODNOSTI RAZNYE PO RAZNYM NAPRAWLENIQM) S \NERGOWYDELENIEM WMESTO (6) IMEEM @T @ @T @ @T @T @ C @t = @x {x @x + @y {y @y + @z {z @z + f(x y z t T) (12) GDE {x , {y , {z | KO\FFICIENTY W ZAKONE fURXE (3) PO OSQM x, y, z, A FUNKCIQ f | MO]NOSTX WYDELENIQ (ILI POGLO]ENIQ) \NERGII. nEIZOTROPNOSTX, NAPRIMER, W SLU^AE \LEKTRONNOJ TEPLOPROWODNOSTI, MOVET WYZYWATXSQ DOSTATO^NO SILXNYM MAGNITNYM POLEM, ZATRUDNQ@]IM DWIVENIE PERENOS^IKOW TEPLA POPEREK SILOWYH LINIJ POLQ, A WYDELENIE \NERGII MOVET BYTX SWQZANO S IDU]IMI W WE]ESTWE HIMI^ESKIMI REAKCIQMI ILI PROTEKANIEM \LEKTRI^ESKOGO TOKA. wSE POLU^ENNYE W DANNOM PUNKTE URAWNENIQ WYWEDENY S POMO]X@ FUNDAMENTALXNOGO ZAKONA SOHRANENIQ \NERGII I ZAKONA fURXE (SR. S WYWODOM URAWNENIQ bUSSINESKA W x 1). wMESTE S ZADANNYMI FUNKCIQMI c, { , I KRAEWYMI USLOWIQMI ONI PREDSTAWLQ@T SOBOJ ZAMKNUTYE MATEMATI^ESKIE MODELI PROCESSA TEPLOPEREDA^I. 4. pOSTANOWKA TIPI^NYH KRAEWYH USLOWIJ DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. dLQ PROSTOTY BUDEM RASSMATRIWATX ODNOMERNYE PROCESSY TEPLOPROWODNOSTI. oNI IME@T MESTO, NAPRIMER, W DLINNOM I TONKOM METALLI^ESKOM STERVNE (RIS. 27), NAGREWAEMOM S ODNOGO IZ TORCOW, PRI USLOWII, ^TO STERVENX IZOTROPEN, EGO NA^ALXNAQ TEMPERATURA W L@BOM POPERE^NOM SE^ENII NE ZAWISIT OT y, z (\TO VE SWOJSTWO DOLVNO SOBL@DATXSQ I NA TORCAH STERVNQ), A POTErIS. 27 RQMI TEPLA S BOKOWOJ POWERHNOSTI MOVNO PRENEBRE^X. bUDEM S^ITATX TAKVE, ^TO TEPLOEMKOSTX STERVNQ POSTOQNNA. tOGDA TEMPERATURA ZAWISIT TOLXKO OT x I t, I EE RASPREDELENIE WDOLX STERVNQ W RAZLI^NYE MOMENTY WREMENI OPI-
SYWAETSQ URAWNENIEM
@T = @ k(T) @T (13) @t @x @x SPRAWEDLIWYM PRI 0 < x < l, t > 0. dLQ OPREDELENIQ FUNKCII T (x t), T. E. REENIQ, DOSTATO^NO ZADATX NA^ALXNU@ TEMPERATURU STERVNQ: T (x t) = T0 (x) 0 6 x 6 l (14) I ZNATX TEMPERATURU NA KONCAH STERVNQ W L@BOJ MOMENT WREMENI: T(0 t) = T1 (t) T(l t) = T2 (t) t > 0: (15)
x 2]
73 zADA^A (13){(15) NAZYWAETSQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^EJ DLQ PARABOLI^ESKOGO URAWNENIQ (13) NA OTREZKE x 2 0 l]. fIZI^ESKI USLOWIE (15) SOOTWETSTWUET TOMU, ^TO NA KONCAH STERVNQ S POMO]X@ KAKIH-TO WNENIH ISTO^NIKOW TEPLA PODDERVIWAETSQ OPREDELENNAQ TEMPERATURA, ZAWISQ]AQ, WOOB]E GOWORQ, OT WREMENI. eSLI VE NA TORCAH STERVNQ ZADA@TSQ WMESTO (15) POTOKI TEPLA KAK FUNKCII WREMENI: = W1(t) k(T(l t)) @T = W2(t) t > 0 (16) ;k(T(0 t)) @T @x x=0 @x x=l TO TAKAQ ZADA^A NAZYWAETSQ WTOROJ KRAEWOJ ZADA^EJ NA OTREZKE 0 l]. dANNAQ SITUACIQ REALIZUETSQ, NAPRIMER, KOGDA TORCY STERVNQ NAGREWA@TSQ LU^AMI LAZERNOGO SWETA IZWESTNOJ MO]NOSTI. bOLEE SLOVNYJ (NELINEJNYJ) WARIANT USLOWIJ NA TORCAH OTWE^AET SILXNO NAGRETOMU I PO\TOMU IZLU^A@]EMU \NERGI@ STERVN@, NE KONTAKTIRU@]EMU S KAKIMI-LIBO TELAMI. tOGDA W EDINICU WREMENI STERVENX TERQET NA SWOIH GRANICAH (TORCAH) \NERGI@, RAWNU@ T 4 (0 t) I T 4 (l t) SOOTWETSTWENNO, I WMESTO (15) ILI (16) POLU^A@TSQ USLOWIQ @T @T 4 4 T (0 t) = k(T(0 t)) @x T (l t) = ;k(T (l t)) @x (17) x=0 x=l t > 0 GDE > 0. wOZMOVNY TAKVE I INYE WIDY KRAEWYH USLOWIJ, SOOTWETSTWU@]IE INYM FIZI^ESKIM SITUACIQM. rAZUMEETSQ, DOPUSTIMY RAZLI^NYE KOMBINACII USLOWIJ (15){(17), NAPRIMER, NA LEWOM KONCE IZWESTNA TEMPERATURA, A NA PRAWOM POTOK TEPLA, I T. D. rAZNOOBRAZIE POSTANOWOK KRAEWYH USLOWIJ DLQ URAWNENIJ TEPLOPEREDA^I SWQZANO I S RAZLI^NYMI IDEALIZACIQMI ISHODNOJ ZADA^I (13){(15). pRI ANALIZE RASPROSTRANENIQ TEPLA OKOLO ODNOGO IZ TORCOW DLINNOGO STERVNQ W TE^ENIE SRAWNITELXNO KOROTKOGO WREMENI WLIQNIEM DRUGOGO TORCA MOVNO PRENEBRE^X. wMESTO (15) DOSTATO^NO ZADATX LIX ODNO IZ USLOWIJ (DLQ OPREDELENNOSTI NA LEWOM KONCE): T (0 t) = T1 (t) t > 0 (18) I REATX URAWNENIE W OBLASTI x > 0 ((13), (14), (18) | PERWAQ KRAEWAQ ZADA^A W POLUPROSTRANSTWE ). oBSUVDAWAQSQ UVE NA PRIMERE URAWNENIQ bUSSINESKA (x 1) ZADA^A kOI RASSMATRIWAETSQ WO WSEM PROSTRANSTWE ;1 < x < 1. dLQ URAWNENIQ (13) ZADAETSQ LIX NA^ALXNOE RASPREDELENIE TEMPERATURY (14). tAKAQ POSTANOWKA WPOLNE RAZUMNA, KOGDA RASSMATRIWA@TSQ PROCESSY W CENTRALXNOJ ^ASTI STERVNQ I WLIQNIE OBOIH TORCOW MOVNO S^ITATX NESU]ESTWENNYM. dLQ MNOGOMERNYH URAWNENIJ TEPLOPROWODNOSTI POSTANOWKA KRAEWYH USLOWIJ PO SRAWNENI@ S ODNOMERNYM SLU^AEM SU]ESTWENNO NE MENQETSQ: NA GRANICAH OBLASTI ZADA@TSQ LIBO TEMPERATURA, LIBO POTOK TEPLA, LIBO KAKIE-TO BOLEE SLOVNYE IH KOMBINACII, A TAKVE (W sohranenie |nergii
74 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II MOMENT t = 0) NA^ALXNOE RASPREDELENIE TEMPERATURY. zAMETIM, ^TO W SLU^AE STACIONARNOGO URAWNENIQ (7) ZADA@TSQ LIX GRANI^NYE USLOWIQ. kRAEWYE USLOWIQ DLQ URAWNENIQ DWIVENIQ GRUNTOWYH WOD IZ x 1 WPOLNE ANALOGI^NY OPISANNYM W \TOM PUNKTE (PRI \TOM ANALOGAMI TEMPERATURY I POTOKA TEPLA W URAWNENII bUSSINESKA SLUVAT UROWENX GRUNTOWYH WOD I POTOK MASSY). 5. oB OSOBENNOSTQH MODELEJ TEPLOPEREDA^I. nAIBOLEE PROSTAQ IZ WSEH OBSUVDAWIHSQ WYE ZADA^ TEPLOPROWODNOSTI | ZADA^A O STACIONARNOM PROCESSE DLQ URAWNENIQ (11) NA OTREZKE 0 l]: 2 k0 @@xT2 = 0
T(0) = T1 T (l) = T2 :
eE REENIE | LINEJNAQ FUNKCIQ KOORDINATY x: T(x) = T2 ; T1 x + T 0 < x < l: 2
l
(19)
rEENIE (19) IMEET WPOLNE O^EWIDNYJ FIZI^ESKIJ SMYSL. dEJSTWITELXNO, PRI STACIONARNOM PROCESSE POTOKI TEPLA, WHODQ]IE W L@BOE POPERE^NOE SE^ENIE STERVNQ I WYHODQ]IE IZ NEGO, RAWNY (INA^E TEMPERATURA W SE^ENII MENQLASX BY). pO\TOMU POTOK DOLVEN BYTX POSTOQNEN W L@BOJ TO^KE x, ^TO PO ZAKONU fURXE (3) PRI { = {0 = const WOZMOVNO LIX PRI LINEJNOM PROFILE TEMPERATURY. wMESTE S TEM PRIMENENIE ZAKONA fURXE PRIWODIT K POQWLENI@ ODNOGO NE IME@]EGO FIZI^ESKOGO SMYSLA \FFEKTA, HARAKTERNOGO DLQ URAWNENIJ PARABOLI^ESKOGO TIPA. pOQSNIM EGO, RASSMOTREW DLQ URAWNENIQ (11), REAEMOGO WO WSEM PROSTRANSTWE ;1 < x < 1, ZADA^U O TAK NAZYWAEMOM MGNOWENNOM TO^E^NOM ISTO^NIKE TEPLA. tREBUETSQ NAJTI RASPREDELENIE TEMPERATURY PRI WSEH t > 0, ;1 < x < 1, WYZWANNOE WYDELENIEM W MOMENT t = 0 W PLOSKOSTI x = 0 NEKOTOROGO KOLI^ESTWA TEPLA Q0. nA^ALXNAQ TEMPERATURA S^ITAETSQ RAWNOJ NUL@: T (x 0) = T0 (x) 0, ;1 < x < 1. tAKAQ POSTANOWKA | IDEALIZACIQ REALXNOGO PROCESSA, SPRAWEDLIWAQ PRI WYPOLNENII SOOTWETSTWU@]IH USLOWIJ (NAPRIMER, PO CENTRU HOLODNOGO STERVNQ PROPUSKAETSQ MO]NYJ POPERE^NYJ IMPULXS \LEKTRI^ESKOGO TOKA, DEJSTWU@]EGO O^ENX KOROTKOE WREMQ I ZATRAGIWA@]EGO MALYJ U^ASTOK METALLA). rEENIE POSTAWLENNOJ TAKIM OBRAZOM ZADA^I DAETSQ FORMULOJ
2 T (x t) = pQ0 exp ; 4kx t 2 k0 t 0
t > 0
(20)
^TO PROWERQETSQ NEPOSREDSTWENNOJ PODSTANOWKOJ W URAWNENIE (11) sIMMETRI^NAQ FUNKCIQ (20) W SILU IZWESTNOGO RAWENSTWA
Z1
;1
p
e;y2 dy =
x 2]
75
sohranenie |nergii
OBLADAET SWOJSTWOM
Z1 ;1
T (x t) dx = Q0
t > 0
TAK ^TO ZAKON SOHRANENIQ \NERGII WYPOLNQETSQ. w TO VE WREMQ SOGLASNO (20) TEMPERATURA W L@BOJ TO^KE PROSTRANSTWA W L@BOJ MOMENT t > 0 OTLI^NA OT NULQ. tEM SAMYM MODELX (11) I MNOGIE DRUGIE MODELI TEPLOPEREDA^I OPISYWA@T PROCESSY S BESKONE^NOJ SKOROSTX@ RASPROSTRANENIQ WOZMU]ENIJ (TEMPERATURA PRI t = 0 BYLA NULEWOJ DLQ WSEH x). |TOGO NEDOSTATKA LIENY (NO LIX PRI OPREDELENNYH USLOWIQH) URAWNENIQ TIPA NELINEJNOJ TEPLOPROWODNOSTI (10) (W ^ASTNOSTI, URAWNENIE (13) x 1). dLQ MODELI (10) S k(T ) = k0T , > 0 RASSMOTRIM PROCESS RASPROSTRANENIQ TEPLA W POLUPROSTRANSTWO rIS. 28 x > 0 PRI ZADANNOJ NA GRANICE TEMPERATURE: T(0 t) = T1 (t). nA^ALXNAQ TEMPERATURA SREDY S^ITAETSQ NULEWOJ: T (x 0) = T0(x) 0, x > 0. ~ASTNOE REENIE \TOJ ZADA^I, OTWE^A@]EE GRANI^NOMU ZAKONU T1 (t) =
D2 = 1
k0 t t > 0 IMEET WID BEGU]EJ WOLNY (SR. S REENIEM (4) x 1), RASPROSTRANQ@]EJSQ OT GRANICY WGLUBX WE]ESTWA NE S BESKONE^NOJ, A S KONE^NOJ SKOROSTX@ D > 0 (RIS. 28):
8 = > < D (Dt ; x) = x 6 Dt T(x t) = > k0 : 0 x > Dt 1
1
t > 0:
(21)
oDNAKO \TO SWOJSTWO REALIZUETSQ LIX PRI RASPROSTRANENII TEPLA W HOLODNU@ SREDU I TERQETSQ W SLU^AE OTLI^NOJ OT NULQ NA^ALXNOJ TEMPERATURY WE]ESTWA (BOLEE PODROBNO \TOT KRUG WOPROSOW RASSMATRIWAETSQ W GL. V). oPISANNYJ DEFEKT, SWQZANNYJ S NEPRIMENIMOSTX@ ZAKONA fURXE (I ZAKONA dARSI W SLU^AE URAWNENIQ bUSSINESKA) W OKRESTNOSTI FRONTA RASPROSTRANENIQ TEPLOWOJ \NERGII, NE PREPQTSTWUET IROKOMU PRIMENENI@ PARABOLI^ESKIH URAWNENIJ (IZ (20) WIDNO, ^TO DOLQ \NERGII, SODERVA]EJSQ W WE]ESTWE PRI DOSTATO^NO BOLXIH ZNA^ENIQH x, NI^-
76 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II TOVNO MALA W SRAWNENII S POLNOJ \NERGIEJ Q0). oNI SLUVAT HOROIM PRIMEROM UNIWERSALXNOSTI MATEMATI^ESKIH MODELEJ, OPISYWAQ BOLXOE KOLI^ESTWO RAZNOOBRAZNYH PROCESSOW (SM. TAKVE x 1 GL. IV), IME@]IH PRINCIPIALXNO RAZNU@ PRIRODU. upravneniq 1. nAJDITE INTEGRALXNU@ ZAMENU FUNKCII T , S POMO]X@ KOTOROJ URAWNENIE (9) PRINIMAET WID (10). 2. iSPOLXZUQ TE VE RASSUVDENIQ, ^TO I PRI WYWODE ZAKONA (3) I URAWNENIQ (6), POLU^ITE URAWNENIE (12). 3. pOLU^ITEREENIE (20) DLQ ZADA^I O MGNOWENNOMTO^E^NOMISTO^NIKETEPLA, PREDSTAWLQQ EGO W WIDE T (x t) = f (t) '( ), GDE = x=p4k0 t. 4. pOSTROJTE REENIE (21) DLQ URAWNENIQ (10) S k (T ) = k0 T , > 0, PREDSTAWIW TEMPERATURU W WIDE T (x t) = Af ( ), A > 0, = Dt ; x. uBEDITESX W TOM, ^TO W TO^KE FRONTA WOLNY x = Dt POTOK TEPLA RAWEN NUL@.
x 3. sOHRANENIE ^ISLA ^ASTIC wWEDEM NEKOTORYE PONQTIQ TEORII TEPLOWOGO IZLU^ENIQ, PERENOSIMOGO W SREDE SWETOWYMI KWANTAMI. zAKON SOHRANENIQ ^ISLA KWANTOW ISPOLXZUEM DLQ POLU^ENIQ KINETI^ESKOGO URAWNENIQ, KOTOROMU POD^INQETSQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ FOTONOW. oBSUDIM NEKOTORYE SWOJSTWA POSTROENNOJ MODELI LU^ISTOGO TEPLOOBMENA W WE]ESTWE. 1. oSNOWNYE PONQTIQ TEORII TEPLOWOGO IZLU^ENIQ. w WE]ESTWE, NAGRETOM DO DOSTATO^NO WYSOKOJ TEMPERATURY, BOLXU@ ROLX IGRA@T PROCESSY PERENOSA \NERGII SWETOWYMI KWANTAMI (FOTONAMI). rASPROSTRANQQSX W SREDE, RASSEIWAQSX I POGLO]AQSX NA ATOMAH I MOLEKULAH WE]ESTWA, A TAKVE ISPUSKAQSX IMI, FOTONY OBESPE^IWA@T LU^ISTYJ TEPLOOBMEN MEVDU RAZLI^NYMI U^ASTKAMI SREDY. bLAGODARQ IMENNO \TOMU MEHANIZMU GORQ]IJ KAMIN NAGREWAET WOZDUH W POME]ENII. pOLE IZLU^ENIQ, ZAPOLNQ@]EE PROSTRANSTWO, MOVNO RASSMATRIWATX KAK \LEKTROMAGNITNOE IZLU^ENIE S ^ASTOTOJ KOLEBANIJ I DLINOJ WOLNY , SWQZANNYMI ^EREZ SKOROSTX SWETA c ( = c=). eSLI VE GOWORITX O POLE IZLU^ENIQ KAK O SOWOKUPNOSTI BOLXOGO ^ISLA ^ASTIC | SWETOWYH KWANTOW, TO NEOBHODIMO WWESTI PONQTIE \NERGII KWANTA h (h | POSTOQNNAQ pLANKA), DWIVU]EGOSQ SO SKOROSTX@ c. w OTLI^IE OT POLQ TEMPERATUR, HARAKTERIZUEMOGO KOORDINATAMI x, y, z I WREMENEM t, DLQ OPISANIQ IZLU^ENIQ WAVNO ZNATX TAKVE EGO ^ASTOTU (WOOB]E GOWORQ, RAZNU@ DLQ RAZNYH KWANTOW) I NAPRAWLENIE DWIVENIQ KWANTOW W L@BOJ TO^KE PROSTRANSTWA W L@BOJ MOMENT t. pROSLEDITX TRAEKTORI@ KAVDOGO IZ OGROMNOGO ^ISLA FOTONOW W WE]ESTWE POPROSTU NEWOZMOVNO. pO\TOMU W TEORII IZLU^ENIQ ISPOLXZUETSQ STATISTI^ESKIJ WEROQTNOSTNYJ PODHOD, OSNOWANNYJ NA WWEDENII FUNKCII RASPREDELENIQ ^ASTIC. |TO WAVNOE PONQTIE USPENO ISPOLXZUETSQ DLQ IZU^ENIQ SOWOKUPNOSTI BOLXOGO ^ISLA ^ASTIC ILI INYH OB_EKTOW W RAZLI^NYH OBLASTQH ZNANIQ (SM., NAPRIMER, x 3 GL. III).
x 3]
77 fUNKCIQ RASPREDELENIQ FOTONOW f = f(~r ~ t) ZAWISIT OT ^ASTOTY KWANTOW, RADIUSA-WEKTORA ~r (T. E. OT KOORDINAT x, y, z), NAPRAWLENIQ DWIVENIQ ^ASTIC ~ I WREMENI t. eE SMYSL SOSTOIT W SLEDU@]EM. rASSMOTRIM W NEKOTORYJ MOMENT WREMENI t \LEMENT OB_EMA d~r OKOLO TO^KI ~r (RIS. 29). tOGDA WELI^INA f(~r ~ t) d d~r d ~ (1) PO OPREDELENI@ | \TO ^ISLO KWANTOW, NAHODQ]IHSQ W SPEKTRALXNOM INTERWALE ( + + d) (T. E. IH ^ASTOTA LEVIT MEVDU ZNA^ErIS. 29 NIQMI I + d), ZANIMA@]IH OB_EM d~r I IME@]IH NAPRAWLENIE DWIVENIQ W DIAPAZONE OT ~ DO ~ + d ~ ( ~ | EDINI^NYJ WEKTOR). rAZMER OB_EMA d~r PREDPOLAGAETSQ GORAZDO BOLXE DLINY WOLNY , TAK ^TO WOLNOWYE \FFEKTY NESU]ESTWENNY. fUNKCIQ RASPREDELENIQ (1) | ODNO IZ ISHODNYH PONQTIJ TEORII LU^ISTOGO TEPLOOBMENA, S POMO]X@ KOTOROGO WWODQTSQ I WY^ISLQ@TSQ WSE OSTALXNYE HARAKTERISTIKI, OPISYWA@]IE \TOT PROCESS. wELI^INA I , OPREDELQEMAQ PO FORMULE I (~r ~ t) = hcf( ~r ~ t) (2) NAZYWAETSQ SPEKTRALXNOJ INTENSIWNOSTX@ IZLU^ENIQ. oNA PREDSTAWLQET SOBOJ KOLI^ESTWO LU^ISTOJ \NERGII W SPEKTRALXNOM INTERWALE OT DO + d, PERENOSIMOE FOTONAMI ZA EDINICU WREMENI ^EREZ EDINI^NU@ PLO]ADKU, POME]ENNU@ W TO^KE ~r I PERPENDIKULQRNU@ K NAPRAWLENIQM IH POLETA (KOTORYE LEVAT W DIAPAZONE UGLOW OT ~ DO ~ + d ~ RIS. 30). dEJSTWITELXNO, TAK KAK \NERGIQ KWANTA RAWNA h, A OB]EE ^ISLO KWANTOW S ^ASTOrIS. 30 TOJ OT DO + d I S NAPRAWLENIEM POLETA OT ~ DO ~ + d ~ W EDINICE OB_EMA RAWNO f d d ~ , TO PERENOSIMAQ IMI ZA2 1 S ^EREZ RASPOLOVENNU@ PERPENDIKULQRNO POLETU PLO]ADKU W 1 SM \NERGIQ RAWNA hcf d d ~ , ^TO SOGLASUETSQ S OPREDELENIEM (2). sPEKTRALXNAQ PLOTNOSTX IZLU^ENIQ Z Z U (~r t) = h f d ~ = 1c I d ~ (3) sohranenie ~isla ~astic
4
4
PREDSTAWLQET3 SOBOJ KOLI^ESTWO LU^ISTOJ \NERGII KWANTOW, SODERVA]IHSQ W 1 SM PROSTRANSTWA W TO^KE ~r W MOMENT t W EDINI^NOM INTERWALE ^ASTOT I IME@]IH ^ASTOTU . e]E ODNOJ WAVNOJ HARAKTERISTIKOJ SLUVIT SPEKTRALXNYJ POTOK IZLU^ENIQ S~ . fOTONY, PERESEKA@]IE EDINI^NU@ PLO]ADKU S NAPRAWLENIEM NORMALI ~n, PERENOSQT ^EREZ NEE \NERGI@ (W 1 S W INTERWALE OT
78 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II R DO + d) RAWNU@ hc f cos d ~ (RIS. 31). aNALOGI^NO WY^ISLQETSQ 2 \NERGIQ, RASPROSTRANQ@]AQSQ ^EREZ PLO]ADKU SPRAWA NALEWO, NO INTEGRIROWANIE WEDETSQ PO LEWOJ POLUSFERE. iH RAZNOSTX I DAET WELI^INU S :
Z
S (~r t ~n) = hc f cos d ~ 4
rIS. 31
(4)
GDE | UGOL MEVDU NAPRAWLENIEM DWIVENIQ KWANTOW I NORMALX@. wELI^INA S | PROEKCIQ WEKTORA S~ NA NORMALX ~n, A SAM WEKTOR ESTX S~ =
Z
4
I ~ d ~ :
(5)
zAMETIM, ^TO PRI IZOTROPNOM (NE ZAWISQ]EM OT NAPRAWLENIQ ~ ) IZLU^ENII SPEKTRALXNAQ PLOTNOSTX, KAK SLEDUET IZ (3), RAWNA U = 4 hf
A IZ (5) WIDNO, ^TO POTOK S~ RAWEN NUL@ W L@BOJ TO^KE PROSTRANSTWA. pOLNYE INTENSIWNOSTX, PLOTNOSTX I POTOK IZLU^ENIQ MOVNO POLU^ITX IZ SPEKTRALXNYH HARAKTERISTIK INTEGRIROWANIEM PO WSEMU SPEKTRU ^ASTOT . 2. uRAWNENIE BALANSA ^ISLA FOTONOW W SREDE. wYWEDEM URAWNENIE, OPISYWA@]EE PERENOS IZLU^ENIQ W SREDE, POLXZUQSX ZAKONOM SOHRANENIQ ^ISLA ^ASTIC I SLEDU@]IMI PREDPOLOVENIQMI: 1) PROCESS RASPROSTRANENIQ KWANTOW ODNOMERNYJ, T. E.
f = f( x ~ t) 2) RASSEQNIEM KWANTOW SWETA NA ATOMAH ILI MOLEKULAH (T. E. IZMENENIEM IH NAPRAWLENIQ) MOVNO PRENEBRE^X 3) IZWESTEN HARAKTER POGLO]ENIQ I ISPUSKANIQ SWETA ATOMAMI I MOLEKULAMI WE]ErIS. 32 STWA 4) FOTONY SAMOPROIZWOLXNO NE IS^EZA@T I NE POQWLQ@TSQ. rASSMOTRIM BALANS ^ASTIC W \LEMENTARNOM CILINDRE, IME@]EM OSX W NAPRAWLENII ~ , DLINU ds = dx= cos I OSNOWANIE d (RIS. 32), GDE | UGOL MEVDU OSX@ x I WEKTOROM ~ . bUDEM INTERESOWATXSQ IZLU^ENIEM ^ASTOTY W EDINI^NOM INTERWALE ^ASTOT, RASPROSTRANQ@]IMSQ WNUTRI EDINI^NOGO TELESNOGO UGLA W NAPRAWLENII ~ .
x 3]
79 w SOOTWETSTWII S (1) (SM. TAKVE OPREDELENIE (2)) ZA WREMQ dt W LEWOE OSNOWANIE CILINDRA WHODIT ^ISLO ^ASTIC, RAWNOE cf( x ~ t) d dt: sohranenie ~isla ~astic
zA TO VE WREMQ IZ EGO PRAWOGO OSNOWANIQ WYHODIT ^ISLO ^ASTIC (cf( x ~ t) + c df) d dt
GDE WELI^INA df OPISYWAET PRIRA]ENIE FUNKCII f PRI PEREHODE OT ODNOGO OSNOWANIQ K DRUGOMU. pOSKOLXKU f = f( ~ x t), TO \TU WELI^INU MOVNO PREDSTAWITX W WIDE @f ds df = @f dt + @t @s
dx ds = cos
GDE PERWOE SLAGAEMOE OTWE^AET EE PRIRA]ENI@ PO WREMENI ZA PROMEVUTOK dt, A WTOROE | PRIRA]ENI@ PO KOORDINATE s. u^ITYWAQ, ^TO SKOROSTX FOTONOW RAWNA c I dt = ds=c, POLU^AEM
1 @f @f df = c @t + @s ds:
iTAK, ^ISLO FOTONOW W CILINDRE ZA WREMQ dt IZMENILOSX NA WELI^INU
@f ds d dt = ; @f + c cos @f ds d dt: + c (6) ; @f @t @s @t @x nAPOMNIM, ^TO ^EREZ BOKOWU@ POWERHNOSTX CILINDRA FOTONY, IME@]IE NAPRAWLENIE POLETA ~ I NE PRETERPEWA@]IE RASSEQNIQ, NE PROLETA@T. tAKIM OBRAZOM, IZMENENIE ^ISLA KWANTOW W OB_EME CILINDRA MOVET WYZYWATXSQ LIX IH POGLO]ENIEM ILI ISPUSKANIEM ATOMAMI I MOLEKULAMI WE]ESTWA, NAHODQ]EGOSQ WNUTRI CILINDRA. dLQ WY^ISLENIQ \TOJ WELI^INY WWODITSQ PONQTIE RAWNOWESNOGO IZLU^ENIQ, KOGDA ^ISLO KWANTOW, POGLO]ENNYH WE]ESTWOM, RAWNO ^ISLU ISPU]ENNYH ^ASTIC (IZLU^ENIE I WE]ESTWO NAHODQTSQ W RAWNOWESII) W L@BOJ MOMENT WREMENI. rAWNOWESNAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ fR ESTX (ZAKON pLANKA )
h 2 2 fR = c3 exp 1 ; kT (7) GDE T | TEMPERATURA WE]ESTWA (S^ITAETSQ, ^TO SREDA NAHODITSQ W USLOWIQH LOKALXNOGO TERMODINAMI^ESKOGO RAWNOWESIQ, I W L@BOJ EE TO^KE MOVNO WWESTI TAKIE HARAKTERISTIKI, KAK TEMPERATURA, WNUTRENNQQ \NERGIQ I T. D.). w OTSUTSTWIE RAWNOWESIQ MEVDU IZLU^ENIEM I WE]ESTWOM INTENSIWNOSTX POGLO]ENIQ (ISPUSKANIQ) FOTONOW PROPORCIONALXNA RAZNOSTI MEVDU fR I f, T. E. WELI^INE {0 c (f ; fR )
80 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II GDE {0 = { (1 ; exp(h=kT)), A { | KO\FFICIENT POGLO]ENIQ, OPREDELQEMYJ SOSTOQNIEM SREDY I EE SWOJSTWAMI. iZMENENIE ^ISLA KWANTOW W OB_EME CILINDRA ZA WREMQ dt RAWNO {0 (f ; fR ) d ds dt: (8) pRIRAWNIWAQ (6) I (8), POLU^AEM DLQ FUNKCII RASPREDELENIQ KINETI^ESKOE URAWNENIE, OPISYWA@]EE PERENOS IZLU^ENIQ W SREDE: @f + c cos @f = { 0 (f ; f) (9) @t @x R GDE fR ZADAETSQ FORMULOJ (7). uRAWNENIE (9) WMESTE S FUNKCIQMI fR , {0 I KRAEWYMI USLOWIQMI PREDSTAWLQET SOBOJ ZAMKNUTU@ MODELX RASPROSTRANENIQ LU^ISTOJ \NERGII PRI SDELANNYH WYE PREDPOLOVENIQH. 3. nEKOTORYE SWOJSTWA URAWNENIQ PERENOSA IZLU^ENIQ. pOLU^ENNOE NA OSNOWANII ZAKONA SOHRANENIQ ^ISLA ^ASTIC NESTACIONARNOE ODNOMERNOE NEODNORODNOE GIPERBOLI^ESKOE URAWNENIE (9) MOVET BYTX OBOSNOWANO TAKVE I S POMO]X@ ZAKONA SOHRANENIQ \NERGII. dEJSTWITELXNO, W CILINDRE RASSMATRIWALSQ BALANS ^ASTIC, IME@]IH ODINAKOWU@ ^ASTOTU I, SLEDOWATELXNO, ODINAKOWU@ \NERGI@ h. u^ITYWAQ \TO, (9) LEGKO PEREPISATX KAK URAWNENIE OTNOSITELXNO SPEKTRALXNOJ INTENSIWNOSTI IZLU^ENIQ I = hcf: 1 @I + cos @I = { (I ; I ) (10) R c @t @x KOTOROE \KWIWALENTNO (9), NO IMEET BOLEE NEPOSREDSTWENNYJ FIZI^ESKIJ SMYSL. pRI INTEGRIROWANII (10) PO TELESNOMU UGLU ~ (T. E. PO WSEM NAPRAWLENIQM POLETA KWANTOW) POLU^AEM URAWNENIE, SWQZYWA@]EE PLOTNOSTX IZLU^ENIQ (3) I EGO POTOK (4): @U + @S = c{ (U ; U ): (11) R @t @x
|TO URAWNENIE MOVNO TRAKTOWATX KAK URAWNENIE NERAZRYWNOSTI DLQ IZLU^ENIQ DANNOJ ^ASTOTY, WYRAVA@]EE ZAKON SOHRANENIQ IZLU^ENIQ I WPOLNE ANALOGI^NOE URAWNENI@ (7) x 1 W TEORII DWIVENIQ GRUNTOWYH WOD I URAWNENI@ (5) x 2 W TEORII TEPLOPROWODNOSTI. nAIBOLEE O^EWIDNA \TA ANALOGIQ W TREHMERNOM SLU^AE, KOGDA URAWNENIQ (10) I (11) PRINIMA@T WID
1 @I + ~ rI = { (I ; I ) (12) R c @t 1 @I + div S~ = c{ (U ; U ): (13) R c @t hOTQ URAWNENIQ (9){(13) LINEJNYE, NELXZQ, WOOB]E GOWORQ, UTWERVDATX, ^TO MODELI LU^ISTOGO TEPLOOBMENA PRO]E NELINEJNYH MODELEJ, RASSMOTRENNYH W x 1,2. wEDX, REAQ (9){(13), MOVNO POLU^ATX KAVDYJ
x 3]
81 RAZ LIX SPEKTRALXNYE (T. E. DLQ DANNOJ ^ASTOTY ) HARAKTERISTIKI IZLU^ENIQ, RASPROSTRANQ@]EGOSQ W ZADANNOM NAPRAWLENII ~ . dLQ POLNOJ KARTINY NEOBHODIMO NAJTI NUVNYE WELI^INY DLQ WSEH ZNA^ENIJ , ~ (ILI KAKIE-TO INTEGRALY OT NIH), ^TO QWLQETSQ GORAZDO BOLEE TRUDNOJ ZADA^EJ. k TOMU VE W BOLEE SLOVNYH SITUACIQH (NALI^IE RASSEIWANIQ FOTONOW I T. D.) SAMI MODELI (9){(13) MOGUT ZNA^ITELXNO USLOVNQTXSQ. nAIBOLEE PROSTAQ MODELX PERENOSA IZLU^ENIQ POLU^AETSQ IZ (10), ESLI POGLO]ENIEM I ISPUSKANIEM KWANTOW MOVNO PRENEBRE^X I RASSMATRIWATX SLU^AJ, KOGDA WSE ^ASTICY DWIVUTSQ W ODNOM NAPRAWLENII. tOGDA DLQ L@BYH ZNA^ENIJ MOVNO POLOVITX cos = 1 I PRIJTI K sohranenie ~isla ~astic
URAWNENI@
1 @I + @I = 0 c @t @x POLNOSTX@ IDENTI^NOMU URAWNENI@ (3) x 1 DLQ POTOKA NEWZAIMODEJSTWU@]IH MATERIALXNYH ^ASTIC. eSLI INTENSIWNOSTX IZLU^ENIQ NE ZAWISIT OT WREMENI, TO (10) PRE-
WRA]AETSQ W NEODNORODNOE LINEJNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE cos dI (14) dx + { I = { I R OB]EE REENIE KOTOROGO IMEET WID I (x) =
Zx
x0
{ I R e;{(x ) dx0 + I0 e;{(x0 ) : 0
(15)
R R zDESX { (x0) = xx { dx00 { (x0) = xx0 { dx00 (DLQ PROSTOTY W (15) PO0
LOVENO cos = 1), I0 | POSTOQNNAQ INTEGRIROWANIQ. nE OSTANAWLIWAQSX PODROBNO NA FIZI^ESKOM SMYSLE REENIQ (15), POQSNIM, ^TO PERWYJ ^LEN OBQZAN SWOIM PROISHOVDENIEM IZLU^ENI@, WOZNIKEMU W WE]ESTWE NA OTREZKE OT x0 DO x (I OSLABLENNOMU POGLO]ENIEM). wTOROE SLAGAEMOE PREDSTAWLQET SOBOJ IZLU^ENIE OT KAKIH-TO WNENIH ISTO^NIKOW, WHODQ]IH W WE]ESTWO NA EGO GRANIICE x0 (I TAKVE OSLABLENNOE POGLO]ENIEM PO MERE RASPROSTRANENIQ PO SREDE). eSLI I R I { | IZWESTNYE FUNKCII KOORDINATY x (DLQ \TOGO DOLVNY BYTX IZWESTNY TEMPERATURA I PLOTNOSTX WE]ESTWA WDOLX TRAEKTORII ^ASTIC), TO REENIE URAWNENIQ (14) SWODITSQ K KWADRATURE. w PROTIWOPOLOVNOM RASSMOTRENNOMU SLU^AE PROSTRANSTWENNO ODNORODNOGO POLQ IZLU^ENIQ IZ (10) POLU^AEM 1 @I = { (I ; I ): (16) R c @t pROCESS, OPISYWAEMYJ URAWNENIEM (16), SOOTWETSTWUET SITUACII, KOGDA W NEOGRANI^ENNOJ I PERWONA^ALXNO HOLODNOJ SREDE (T. E. W MOMENT t = 0 IZLU^ENIQ NET) S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ PROISHODIT BYSTRYJ NAGREW WE]ESTWA DO NEKOTOROJ TEMPERATURY T, KOTORAQ ZATEM 6 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
82 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II PODDERVIWAETSQ NEIZMENNOJ WO WREMENI. pOSKOLXKU POTERX IZLU^ENIQ S GRANIC NET, TO PROSTRANSTWENNYE GRADIENTY T RAWNY NUL@ I { , I R NE ZAWISQT OT x, y, z. wOZNIKEE W REZULXTATE NAGREWA IZLU^ENIE TAKVE IMEET NULEWOJ GRADIENT (T. E. I = I (t)) I, OBMENIWAQSX \NERGIEJ S WE]ESTWOM, STREMITSQ S TE^ENIEM WREMENI K RAWNOWESNOMU ZNA^ENI@ PO \KSPONENCIALXNOMU ZAKONU. upravneniq 1. pROWERXTE PRAWILXNOSTX WYRAVENIQ (5). 2. pOWTORQQ RASSUVDENIQ P. 2, POLU^ITE TREHMERNOE URAWNENIE (9) ILI (10) W SLU^AE, KOGDA FUNKCIQ RASPREDELENIQ ZAWISIT OT x, y, z. 3. iSPOLXZUQ OPREDELENIQ (3), (4), WYWEDITE IZ (12) URAWNENIE (13). 4. pOLU^ITE REENIE (15) URAWNENIQ (14) I KONKRETIZIRUJTE EGO W SLU^AE POSTOQNNYH { , I R . 5. uBEDITESX W TOM, ^TO REENIE URAWNENIQ NASY]ENIQ (16) (SR. S URAWNENIEM (12) x 1 GL. I) IMEET \KSPONENCIALXNYJ WID, I NAJDITE POKAZATELX\KSPONENTY.
x 4. sOWMESTNOE PRIMENENIE
NESKOLXKIH FUNDAMENTALXNYH ZAKONOW
zAKONY SOHRANENIQ MASSY, IMPULXSA, \NERGII ISPOLXZUEM DLQ POSTROENIQ MATEMATI^ESKOJ MODELI, OPISYWA@]EJ TE^ENIE SVIMAEMOGO GAZA. oBSUDIM OTLI^IQ POLU^ENNOJ MODELI OT MODELEJ, RASSMATRIWAEMYH W x 1{3, A TAKVE NEKOTORYE SLEDU@]IE IZ NEE SWOJSTWA GAZODINAMI^ESKIH DWIVENIJ. 1. pREDWARITELXNYE PONQTIQ GAZOWOJ DINAMIKI. zAMETNOE IZMENENIE PLOTNOSTEJ VIDKOSTEJ I TWERDYH TEL MOVET DOSTIGATXSQ LIX PRI OGROMNYH DAWLENIQH W DESQTKI I SOTNI TYSQ^ ATMOSFER I WYE. gAZOOBRAZNYE SREDY GORAZDO LEG^E PODWERGA@TSQ SVATI@: PRI PEREPADE DAWLENIQ W ODNU ATMOSFERU PLOTNOSTX GAZA, PERWONA^ALXNO NAHODIWEGOSQ PRI ATMOSFERNOM DAWLENII, UMENXAETSQ ILI UWELI^IWAETSQ NA WELI^INU, SOPOSTAWIMU@ S NA^ALXNOJ EGO PLOTNOSTX@. w GAZOWOJ DINAMIKE, IZU^A@]EJ DWIVENIE SVIMAEMYH SRED POD DEJSTWIEM KAKIH-LIBO WNENIH SIL ILI SIL DAWLENIQ SAMOGO WE]ESTWA, S^ITAETSQ WYPOLNENNYM NERAWENSTWO L, GDE | DLINA SWOBODNOGO PROBEGA, L | HARAKTERNYE RAZMERY OBLASTI RASSMATRIWAEMOGO TE^ENIQ (SPLONAQ SREDA). s^ITAETSQ TAKVE WYPOLNENNOJ GIPOTEZA O ltr (SM. P. 1 x 2). w USLOWIQH ltr SVIMAEMU@ SREDU MOVNO RASSMATRIWATX KAK SOWOKUPNOSTX BOLXOGO ^ISLA VIDKIH ^ASTIC S RAZMERAMI, MNOGO BOLXIMI , NO MNOGO MENXIMI, ^EM L. dLQ KAVDOJ TAKOJ ^ASTICY, SWQZANNOJ S NEBOLXOJ FIKSIROWANNOJ MASSOJ SREDY, WWODQTSQ HARAKTERIZU@]IE EE SREDNIE WELI^INY | PLOTNOSTX , DAWLENIE p, TEMPERATURA T , WNUTRENNQQ \NERGIQ " I T. D., A TAKVE SKOROSTX ~v EE MAKROSKOPI^ESKOGO DWIVENIQ KAK EDINOGO CELOGO. wSE \TI WELI^INY W OB]EM SLU^AE ZAWISQT OT TREH PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH x, y, z I WREMENI t. w DALXNEJEM BUDEM TAKVE PREDPOLAGATX OTSUTSTWIE W SREDE PROCESSOW TEPLOPEREDA^I, WQZKOGO TRENIQ, ISTO^NIKOW I STOKOW \NERGII,
x 4]
sowmestnoe primenenie neskolxkih zakonow
83
NAPRIMER, IZLU^ENIQ, I, KROME TOGO, OTSUTSTWIE WNENIH OB_EMNYH SIL I ISTO^NIKOW (STOKOW) MASSY W WE]ESTWE. 2. uRAWNENIE NERAZRYWNOSTI DLQ SVIMAEMOGO GAZA. pRIMENIM RASSUVDENIQ, ANALOGI^NYE TEM, ^TO ISPOLXZOWALISX DLQ WYWODA URAWNENIJ NERAZRYWNOSTI (7) x 1, (5) x 2 DLQ TE^ENIQ GRUNTOWYH WOD I PROCESSA TEPLOPEREDA^I. rASSMOTRIM W NEKOTOROJ OBLASTI PROSTRANSTWA, ZANQTOJ DWIVU]IMSQ GAZOM, \LEMENTARNYJ KUBIK SO STORONAMI dx, dy, dz I PODS^ITAEM W NEM BALANS MASSY ZA WREMQ dt (RIS. 33). zDESX vx , vy , vz | KOMPONENTY SKOROSTI PO SOOTWETSTWU@]IM OSQM. pO OSI x ^EREZ GRANX S KOORDINATOJ x W KUBIK ZA WREMQ dt POSTUPAET MASSA GAZA, RAWNAQ vx dy dz dt POSKOLXKU WELI^INA vx NE ^TO rIS. 33 INOE, KAK POTOK MASSY PO NAPRAWLENI@ OSI x. zA TO VE SAMOE WREMQ IZ GRANI S KOORDINATOJ x + dx
WYTEKAET MASSA
vx + d(vx )] dy dz dt
GDE ^EREZ d(vx ) OBOZNA^ENO PRIRA]ENIE POTOKA MASSY PRI PEREHODE OT KOORDINATY x K KOORDINATE x + dx. sUMMIRUQ OBA POSLEDNIH WYRAVENIQ I U^ITYWAQ, ^TO @ (v ) dx d(vx ) = @x x
POLU^AEM WELI^INU IZMENENIQ MASSY W KUBIKE ZA WREMQ dt BLAGODARQ DWIVENI@ GAZA WDOLX OSI x: @ (v ) dx dy dz dt: dmx = ; @x x
(1)
tO^NO TAKIM VE OBRAZOM NAHODIM IZMENENIQ MASSY ZA S^ET DWIVENIQ PO OSQM y, z: @ (v ) dx dy dz dt dmy = ; @y y @ (v ) dx dy dz dt: dmz = ; @z z
(2)
w FIKSIROWANNOM OB_EME KUBIKA IZMENENIE NAHODQ]EJSQ W NEM MASSY GAZA WYRAVAETSQ TAKVE ^EREZ IZMENENIE EGO PLOTNOSTI SO WREMENEM: 6
dm = @ @t dt dx dy dz:
(3)
84 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II sUMMIRUQ dmx , dmy , dmz I PRIRAWNIWAQ REZULXTAT K dm, POLU^AEM IZ (1){(3) ISKOMOE URAWNENIE NERAZRYWNOSTI @ + div ~v = 0 (4) @t WYRAVA@]EE ZAKON SOHRANENIQ MASSY WE]ESTWA PRIMENITELXNO K DWIVENI@ SVIMAEMOGO GAZA. pO SWOEJ FORME I SMYSLU (SKOROSTX IZMENENIQ WELI^INY OPREDELQETSQ DIWERGENCIEJ POTOKA \TOJ WELI^INY) ONO WPOLNE ANALOGI^NO URAWNENI@ NERAZRYWNOSTI (7) x 1 I URAWNENIQM (5) x 2, (11) x 3. oDNAKO ANALOGIQ S TE^ENIEM GRUNTOWYH WOD NA \TOM ZAKAN^IWAETSQ. pRI SWOBODNOM DWIVENII GAZA EGO DINAMIKA OPREDELQETSQ LIX SILAMI DAWLENIQ SAMOGO GAZA, W OTLI^IE OT DWIVENIQ VIDKOSTI, ISPYTYWA@]EJ SOPROTIWLENIE ^ASTIC GRUNTA. 3. uRAWNENIQ DWIVENIQ GAZA. dLQ IH POLU^ENIQ PRIMENIM
WTOROJ ZAKON nX@TONA K \LEMENTARNOJ VIDKOJ ^ASTICE, IME@]EJ W NEKOTORYJ MOMENT t FORMU KUBIKA S GRANQMI dx, dy, dz (RIS. 34). vIDKAQ ^ASTICA | \TO PEREME]A@]IJSQ W PROSTRANSTWE I MErIS. 34 NQ@]IJ SWO@ FORMU OB_EM, SODERVA]IJ W RAZNYE MOMENTY WREMENI t ODNI I TE VE ATOMY I MOLEKULY GAZA. tEM SAMYM EGO MASSA dm POSTOQNNA. dLQ PROSTOTY WYWODA BUDEM S^ITATX, ^TO ZA KOROTKOE WREMQ dt KUBIK NE MENQET SWOEJ FORMY I SME]AETSQ PO WSEM NAPRAWLENIQM NA RASSTOQNIE, MNOGO MENXEE EGO RAZMEROW. oPREDELIM SNA^ALA SILU, DEJSTWU@]U@ NA KUBIK, NAPRIMER W NAPRAWLENII OSI y. oNA, O^EWIDNO, RAWNA RAZNOSTI DAWLENIJ NA LEWOJ I PRAWOJ GRANQH, UMNOVENNOJ NA IH PLO]ADI (INYH SIL PO PREDPOLOVENI@ NET): Fy = p(x y z t) ; p(x y + dy z t)] dx dz: sILA Fy RAWNA USKORENI@ VIDKOJ ^ASTICY W NAPRAWLENII y, UMNOVENNOMU NA EE MASSU dm = dx dy dz: Fy = dvdty dx dy dz: (5) zAMENQQ W PERWOM WYRAVENII DLQ Fy RAZNOSTX DAWLENIJ ^EREZ PROIZWODNU@ OT DAWLENIQ PO y I PRIRAWNIWAQ EGO K (5), PRIHODIM K URAWNENI@, OPISYWA@]EMU DWIVENIE GAZA WDOLX OSI y: @p : dvdty = ; @y (6) tO^NO TAK VE POLU^AEM URAWNENIQ DWIVENIQ PO NAPRAWLENIQM x, z: @p dvdtx = ; @x (7)
x 4]
sowmestnoe primenenie neskolxkih zakonow
@p z dv dt = ; @z
85 (8)
IME@]IE, KAK I (6), O^EWIDNYJ FIZI^ESKIJ SMYSL. w WEKTORNOJ FORME URAWNENIQ (6){(8) IME@T WID v = ; grad p: d~ (9) dt pOQSNIM, ^TO W (6){(9) ^EREZ df=dt OBOZNA^ENA POLNAQ (SUBSTANCIONALXNAQ, T. E. SWQZANNAQ S FIKSIROWANNYMI ^ASTICAMI GAZA) PROIZWODNAQ PO WREMENI KAKOJ-LIBO WELI^INY, HARAKTERIZU@]EJ DANNU@ NEIZMENNU@ MASSU GAZA. rASKRYW df=dt ^EREZ ^ASTNYE PROIZWODNYE PO x I t W SOOTWETSTWII S PRAWILOM df=dt = @f=@t + (~v grad) f, PRIDEM K URAWNENIQM DWIVENIQ |JLERA @~v + (~v grad)~v = ; 1 grad p: (10) @t bUDU^I ZAPISANY POKOORDINATNO, ONI PRINIMA@T WID @vx + v @vx + v @vx + v @vx = ; 1 @p (11) @t x @x y @y z @z @x @vy + v @vy + v @vy + v @vy = ; 1 @p (12) @t x @x y @y z @z @y @vz + v @vz + v @vz + v @vz = ; 1 @p : (13) @t x @x y @y z @z @z w OTLI^IE OT TE^ENIQ GRUNTOWYH WOD, GRADIENTY DAWLENIQ W URAWNENIQH DWIVENIQ GAZA (6){(13) OPREDELQ@T KOMPONENTY USKORENIQ WE]ESTWA, A NE KOMPONENTY EGO SKOROSTI (SR. S ZAKONOM dARSI (9) x 1). uRAWNENIQ (4), (11){(13) SODERVAT PQTX NEIZWESTNYH WELI^IN | , p, vx , vy , vz . dLQ IH ZAMYKANIQ ESTESTWENNEE WSEGO ISPOLXZOWATX ZAKON SOHRANENIQ \NERGII. 4. uRAWNENIE \NERGII. dLQ EGO POLU^ENIQ ISPOLXZUEM TU VE UPRO]ENNU@ SHEMU, ^TO I W P. 3: BUDEM RASSMATRIWATX IZMENENIE WNUTRENNEJ \NERGII FIKSIROWANNOJ MASSY GAZA dm ZA KOROTKIJ PROMEVUTOK WREMENI dt. tAK KAK PO SDELANNYM DOPU]ENIQM W WE]ESTWE OTSUTSTWUET TEPLOPROWODNOSTX, WQZKOSTX I ISTO^NIKI (STOKI) \NERGII, TO \TO IZMENENIE WYZYWAETSQ LIX RABOTOJ SIL DAWLENIQ NA GRANQH KUBIKA PRI EGO SVATII ILI RASIRENII. rABOTA DAWLENIQ, SWQZANNAQ S DWIVENIEM GRANEJ OB_EMA WDOLX OSI x, O^EWIDNO, RAWNA dAx = p (vx (x) ; vx (x + dx)) dt dy dz GDE SLAGAEMYE W SKOBKAH MOVNO, OTBRASYWAQ ^LENY WTOROGO PORQDKA MALOSTI, PEREPISATX ^EREZ PROIZWODU@ @vx =@x I POLU^ITX x dAx = ;p @v @x dx dy dz dt:
86 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II zDESX p | SREDNEE DAWLENIE W \LEMENTARNOM OB_EME. aNALOGI^NO, y dAy = ;p @v @y dx dy dz dt z dAz = ;p @v @z dx dy dz dt:
pOLNAQ RABOTA, SOWERENNAQ NAD GAZOM ZA WREMQ dt, ESTX dA = dAx + dAy + dAz = ;p div ~v dx dy dz dt: oNA RAWNA IZMENENI@ WNUTRENNEJ \NERGII OB_EMA, T. E.
dA = d" dx dy dz " | UDELXNAQ WNUTRENNQQ \NERGIQ. pRIRAWNQW OBA WYRAVENIQ DLQ dA I USTREMIW K NUL@ dt, OKON^ATELXNO POLU^IM d" (14) dt + p div~v = 0 GDE d"=dt | POLNAQ (SUBSTANCIONALXNAQ) PROIZWODNAQ WNUTRENNEJ \NERGII PO WREMENI. zAMETIM, ^TO S POMO]X@ URAWNENIJ NERAZRYWNOSTI I DWIVENIQ URAWNENIE (14) PRIWODITSQ, PODOBNO (4), K DIWERGENTNOMU WIDU @ " + v2 = ; div ~v " + v2 + p~v : (15) @t 2 2 sLEWA W (15) STOIT PROIZWODNAQ OT POLNOJ (WNUTRENNEJ I KINETI^ESKOJ) \NERGII GAZA W DANNOJ TO^KE PROSTRANSTWA. tAK KAK TERMODINAMI^ESKIE SWOJSTWA WE]ESTWA PREDPOLAGA@TSQ IZWESTNYMI, TO " | IZWESTNAQ FUNKCIQ UVE WWEDENNYH WELI^IN p I , I URAWNENIE (14) LIBO (15) DAET NEDOSTA@]U@ SWQZX DLQ OPREDELENIQ ISKOMYH GAZODINAMI^ESKIH WELI^IN. 5. uRAWNENIQ GAZOWOJ DINAMIKI W LAGRANVEWYH KOORDINATAH. w POLU^ENNYH MODELQH TE^ENIE GAZA HARAKTERIZUETSQ ZAWISIMOSTX@ WELI^IN OT DEKARTOWYH KOORDINAT x, y, z I WREMENI t. |TOT SPOSOB OPISANIQ (\JLEROW PODHOD ) TRAKTUET DWIVENIE SREDY S TO^KI ZRENIQ NEPODWIVNOGO STORONNEGO NABL@DATELQ I UDOBEN, NAPRIMER, PRI IZU^ENII OBTEKANIQ GAZOM MODELEJ LETATELXNYH APPARATOW W A\RODINAMI^ESKIH TRUBAH. w LAGRANVEWOM PODHODE KOORDINATA SWQZYWAETSQ NE S OPREDELENNOJ TO^KOJ PROSTRANSTWA, A S OPREDELENNOJ, FIKSIROWANNOJ ^ASTICEJ WE]ESTWA | VIDKOJ ^ASTICEJ. lAGRANVEWY KOORDINATY UDOBNY, NAPRIMER, PRI ANALIZE NEKOTORYH WNUTRENNIH PROCESSOW, PROTEKA@]IH W ^ASTICE, SKAVEM, HIMI^ESKIH REAKCIJ, SKOROSTX KOTORYH OPREDELQETSQ NE PROSTRANSTWENNYM POLOVENIEM ^ASTICY, A EE TEMPERATUROJ I PLOTNOSTX@. lAGRANVEW PODHOD MOVET BYTX POLEZEN I PO DRUGIM PRI^INAM: ON, NAPRIMER, NEQWNO ISPOLXZOWALSQ W PP. 3, 4 DLQ UPRO]ENNOGO WYWODA URAWNENIJ DWIVENIQ I \NERGII (RASSMATRIWALASX VIDKAQ ^ASTICA W WIDE KUBIKA).
x 4]
87 oSOBENNO NAGLQDNU@ I PROSTU@ FORMU GAZODINAMI^ESKIE URAWNENIQ W LAGRANVEWYH KOORDINATAH IME@T W ODNOMERNOM SLU^AE. dEJSTWITELXNO, WZQW W NAPRAWLENII OSI x STOLB EDINI^NOGO SE^ENIQ, LEWAQ GRANICA KOTOROGO PODWIVNA I SWQZANA S FIKSIROWANNYMI ^ASTICAMI WE]ESTWA, MOVNO WWESTI LAGRANVEWU KOORDINATU PO PRAWILU sowmestnoe primenenie neskolxkih zakonow
m(x) =
Zx
x0
(x t) dx
dm = dx
(16)
GDE x0(t) | KOORDINATA ^ASTIC STOLBA NA EGO LEWOM KONCE, x(t) | TEKU]AQ KOORDINATA (W KA^ESTWE ^ASTICY S KOORDINATOJ x0(t) MOVNO WYBRATX ^ASTICU OKOLO TWERDOJ STENKI, OGRANI^IWA@]EJ GAZ, ILI U GRANICY S PUSTOTOJ, ESLI TAKOWYE IME@TSQ). wELI^INA m(x) | MASSA STOLBA MEVDU TO^KAMI x0 , x. sWQZX (16) DAET NAIBOLEE ESTESTWENNYJ I PROSTOJ SPOSOB WWEDENIQ LAGRANVEWOJ PEREMENNOJ (NAZYWAEMOJ W \TOM SLU^AE MASSOWOJ KOORDINATOJ ). tEPERX WSE GAZODINAMI^ESKIE WELI^INY TRAKTU@TSQ KAK ZAWISQ]IE NE OT x, t, A OT m, t. pOLU^IM DLQ NIH URAWNENIQ DWIVENIQ IZ ODNOMERNYH URAWNENIJ W \JLEROWOJ FORME @ + v @ = ; @v @t @x @x
@v + v @v = ; 1 @p (17) @t @x @x @" + v @" = ; p @v : @t @x @x wYRAVENIQ, STOQ]IE W (17) SLEWA, \TO UVE WWODIWIESQ SUBSTANCIONALXNYE PROIZWODNYE, OPISYWA@]IE IZMENENIE SO WREMENEM WELI^IN, OTNOSQ]IHSQ K FIKSIROWANNOJ MASSOWOJ KOORDINATE m. tOGDA, ISPOLXZUQ (16), IZ (17) POLU^AEM @ 1 @v (18) @t = @m @v = ; @p (19) @t @m @" = ;p @v : (20) @t @m zDESX @=@t | SUBSTANCIONALXNAQ PROIZWODNAQ PO WREMENI OT SOOTWETSTWU@]IH WELI^IN. fIZI^ESKAQ TRAKTOWKA URAWNENIJ DWIVENIQ (19) I \NERGII (20) TA VE, ^TO I W \JLEROWYH KOORDINATAH (W OTLI^IE OT URAWNENIQ NERAZRYWNOSTI (18)). pOSLEDNEE PREDSTAWLQET SOBOJ O^EWIDNOE SWOJSTWO: OB_EM (A S NIM I PLOTNOSTX) FIKSIROWANNOJ VIDKOJ ^ASTICY IZMENQETSQ SO WREMENEM BLAGODARQ RAZNOSTI SKOROSTEJ NA EE GRANICAH.
88 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II s POMO]X@ (19) URAWNENIE \NERGII MOVNO ZAPISATX W DIWERGENT-
NOM WIDE
@ " + v2 = ; @ (pv) @t 2 @m
(21)
GDE SLEWA STOIT PROIZWODNAQ PO WREMENI OTNOSITELXNO POLNOJ \NERGII ^ASTICY. eSLI REENIE LAGRANVEWYH URAWNENIJ NAJDENO, W ^ASTNOSTI, NAJDEN UDELXNYJ OB_EM V (m t) = 1=(m t), TO ZAWISIMOSTX GAZODINAMI^ESKIH FUNKCIJ OT \JLEROWOJ KOORDINATY NAHODITSQ IZ KWADRATURY (SM. (16)) dx = V (m t) dm
x(m t) =
Zm 0
V (m t) dm + x0 (t):
s POMO]X@ TAKIH VE RASSUVDENIJ NETRUDNO POLU^ITX LAGRANVEWY URAWNENIQ W SLU^AE CILINDRI^ESKOJ I SFERI^ESKOJ SIMMETRII, KOGDA GAZODINAMI^ESKIE WELI^INY ZAWISQT LIX OT ODNOJ PROSTRANSTWENNOJ KOORDINATY r (r | RASSTOQNIE OT OSI ILI OT CENTRA SIMMETRII) I OT WREMENI t. oNI TAKVE IME@T WESXMA PROSTOJ I NAGLQDNYJ WID, ^EGO NELXZQ SKAZATX O DWUMERNOM I TREHMERNOM SLU^AE. nESMOTRQ NA RAZNYE FORMY ZAPISI, \JLEROWY I LAGRANVEWY URAWNENIQ GAZOWOJ DINAMIKI OBLADA@T, ESTESTWENNO, ANALOGI^NYMI SWOJSTWAMI, QWLQQSX NELINEJNYMI GIPERBOLI^ESKIMI URAWNENIQMI W ^ASTNYH PROIZWODNYH (NESTACIONARNYMI I W OB]EM SLU^AE MNOGOMERNYMI). nA IH OSNOWE POLU^A@TSQ BOLEE SLOVNYE MODELI DWIVENIQ SVIMAEMYH SRED, WKL@^A@]IE DOPOLNITELXNYE FIZI^ESKIE PROCESSY. tAK, DLQ GAZA, OBLADA@]EGO TEPLOPROWODNOSTX@, U^ASTWU@]EJ W PROCESSE PERENOSA \NERGII, URAWNENIQ NERAZRYWNOSTI (18) I DWIVENIQ (19) OSTA@TSQ W SILE, A URAWNENIE \NERGII PRIOBRETAET WID
@" = ;p @v ; @W (22) @t @m @m GDE W = ;{ @T=@m | POTOK TEPLA, { = { ( T ) | KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI. wNUTRENNQQ \NERGIQ VIDKOJ ^ASTICY TAKOGO GAZA IZMENQETSQ NE TOLXKO ZA S^ET RABOTY SIL DAWLENIQ, NO I IZ-ZA NALI^IQ TEPLOPEREDA^I. bOLEE PROSTYE, ^EM (18){(20), MODELI GAZOWOJ DINAMIKI POLU^A@TSQ PRI SOOTWETSTWU@]IH DOPOLNITELXNYH PREDPOLOVENIQH (SM. P. 7). 6. kRAEWYE USLOWIQ DLQ URAWNENIJ GAZOWOJ DINAMIKI. nAIBOLEE NAGLQDNA IH POSTANOWKA W SLU^AE ODNOMERNOGO TE^ENIQ GAZA, OPISYWAEMOGO URAWNENIQMI (18){(20). rASSMOTRIM TAKOE TE^ENIE W TRUBE, WNUTRI KOTOROJ POME]EN GAZ, OGRANI^ENNYJ SPRAWA I SLEWA NEPRONICAEMYMI TWERDYMI STENKAMI | PORNQMI (RIS. 35). ~ASTICAM, NAHODQ]IMSQ U LEWOJ STENKI, PRIPIEM KOORDINATU m = 0 TOGDA KOORDINATA ^ASTIC U PRAWOJ STENKI RAWNA m = M, GDE M | POLNAQ MASSA GAZA MEVDU PORNQMI W STOLBE EDINI^NOGO SE^ENIQ. wNUTRENNIE
x 4]
89 ^ASTICY IME@T KOORDINATU 0 < m < M. uRAWNENIQ (18){(20) RASSMATRIWA@TSQ W OBLASTI 0 < m < M I PRI t > 0. dLQ OPREDELENIQ TE^ENIQ PRI WSEH 0 < m < M I t > 0 NEOBHODIMO ZADATX: 1) NA^ALXNYE USLOWIQ, T. E. SOSTOQNIE GAZA W MOMENT t = 0, v(m 0) = v0 (m) p(m 0) = p0(m) (m 0) = 0 (m) (23) sowmestnoe primenenie neskolxkih zakonow
0 6 m 6 M
W (23) WMESTO p ILI MOVNO, POLXZUQSX URAWNENIQMI SOSTOQNIQ SREDY, ZADAWATX NA^ALXNU@ TEMPERATURU T (m 0) = T0 (m) 2) GRANI^NYE USLOWIQ, T. E. ZAWISIMOSTX OT WREMENI GAZODINAMI^ESKIH WELI^IN NA GRANICAH m = 0, m = M, NAPRIMER, ZAKON IZMENENIQ DAWLENIQ
p(0 t) = p1 (t) p(M t) = p2(t) t > 0 (24) ILI ZAKON IZMENENIQ SKOROSTI PORNEJ (T. E. IH TRAEKTORI@ W \JLEROWYH KOORDINATAH, TAK KAK @x=@t = v) v(0 t) = v1 (t) v(M t) = v2 (t) t > 0: (25) zNANIE KRAEWYH USLOWIJ (23) I (24) (LIBO (25)) POLNOSTX@ OPREDELQET ODNOZNA^NOE REENIE RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I O PORNE. w KA^ESTWE GRANI^NYH USLOWIJ DOPUSKA@TSQ TAKVE RAZLI^NYE KOMBINACII (24) I (25), KOGDA NA LEWOJ GRANICE PODDERVIWAETSQ IZWESTNOE DAWLENIE p1(t), A NA PRAWOJ ZADAETSQ IZWESTNAQ SKOROSTX v2 (t) (ILI NAOBOROT, KAK NA RIS. 35). eSLI INTERESOWATXSQ LIX TE^ENIEM W OKRESTNOSTI ODNOGO IZ PORNEJ, S^ITAQ WLIQNIE WTOROGO PORNQ NESU]ESTWENNYM, TO DOSTATO^NO ZADATX LIX ODNO IZ USLOWIJ (24) (ILI (25)), NAPRIMER, PRI m = 0, I USLOWIE (23) PRI WSEH m > 0 (GAZ ZANIMAET POLUPROSTRANSTWO, OGRANI^ENNOE SLEWA PORNEM). nAKONEC, GRANI^NYE USLOWIQ (24) ILI (25) WOOB]E NE ZADA@TSQ, KOGDA WLIQNIEM GRANIC NA DWIVENIE GAZA W CENTRALXNOJ OBLASTI MOVNO PRENEBRE^X (RASSMATRIWAQ PROrIS. 35 CESS PRI DOSTATO^NO MALYH WREMENAH). tOGDA IZ ISHODNOJ ZADA^I DLQ URAWNENIJ (18){(20) POLU^AETSQ ZADA^A kOI | ZADA^A OB \WOL@CII SO WREMENEM NEKOTOROGO PERWONA^ALXNOGO RASPREDELENIQ GAZODINAMI^ESKIH WELI^IN, ZADANNOGO W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE. pRI \TOM NA^ALXNYE DANNYE (23) OPREDELENY DLQ WSEH ;1 < m < 1, A URAWNENIQ REA@TSQ W OBLASTI ;1 < < m < 1, t > 0. wAVNYJ KLASS KRAEWYH USLOWIJ | USLOWIQ NA GRANICE S WAKUUMOM. pUSTX SILXNO SVATYJ GAZ, IME@]IJ WYSOKOE DAWLENIE, NA^INAET ISTEKATX W SRAWNITELXNO RAZREVENNU@ SREDU, NAHODQ]U@SQ PRI NIZKOM
90 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II DAWLENII. iDEALIZIRUQ \TOT PROCESS, MOVNO S^ITATX DAWLENIE I PLOTNOSTX W PROSTRANSTWE, W KOTOROE ISTEKAET GAZ, RAWNYMI NUL@, T. E. ZADAWATX USLOWIE p1 (t) = 0, t > 0, LIBO p2(t) = 0, t > 0 (LIBO p1 (t) = = p2(t) = 0, t > 0), W ZAWISIMOSTI OT KONKRETNOJ POSTANOWKI ZADA^I. 7.
nEKOTORYE OSOBENNOSTI MODELEJ GAZOWOJ DINAMIKI.
dLQ POQSNENIQ \TIH OSOBENNOSTEJ PREDWARITELXNO UPROSTIM URAWNENIQ (18){(20), ISPOLXZUQ DWA OBSTOQTELXSTWA. pERWOE IZ NIH | OTSUTSTWIE W SREDE (PO PREDPOLOVENI@) POTERX \NERGII ZA S^ET TEPLOPROWODNOSTI, WQZKOSTI, IZLU^ENIQ, WNENIH ISTO^NIKOW I STOKOW \NERGII I T. D. s TERMODINAMI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ \TO OZNA^AET, ^TO PROCESS ADIABATI^ESKIJ I \NTROPIQ S KAVDOJ FIKSIROWANNOJ VIDKOJ ^ASTICY SO WREMENEM NE MENQETSQ. tOGDA URAWNENIE \NERGII (20) MOVNO PEREPISATX W \KWIWALENTNOJ FORME @S = 0: (26) @t w \TOM NETRUDNO UBEDITXSQ, TAKVE ^ISTO FORMALXNO PRIMENQQ
WTOROE NA^ALO TERMODINAMIKI
T dS = d" + p dV
(27)
K VIDKOJ ^ASTICE. wTOROE OBSTOQTELXSTWO | OSOBENNAQ PROSTOTA WYRAVENIQ \NTROPII ^EREZ DAWLENIE I PLOTNOSTX W SLU^AE IDEALXNOGO GAZA:
S = CV lnp; + S0 (28) GDE > 1 | POKAZATELX ADIABATY, RAWNYJ OTNOENI@ UDELXNOJ TEPLOEMKOSTI PRI POSTOQNNOM DAWLENII (Cp ) I POSTOQNNOM OB_EME (CV ), S0 | NESU]ESTWENNAQ KONSTANTA. iZ (26) S U^ETOM (28) IMEEM @(p; ) = 0 @t
^TO \KWIWALENTNO WYRAVENI@
p; = '(m)
(29)
OZNA^A@]EMU NEZAWISIMOSTX OT WREMENI \NTROPII L@BOJ ^ASTICY GAZA. fUNKCIQ '(m) OPISYWAET RASPREDELENIE \NTROPII PO MASSE GAZA, OPREDELQEMOE PO ZADANNYM W MOMENT t = 0 FUNKCIQM p0(m), 0 (m). iSPOLXZUQ INTEGRAL (29) WMESTO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ (20), SWEDEM (18), (19) K DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ WTOROGO PORQDKA OTNOSITELXNO PLOTNOSTI:
@ 2 = @ a +1 @ (30) @t2 @m 0 @m GDE a0 = '0 , A POSTOQNNAQ '0 | \NTROPIQ, PREDPOLAGAEMAQ NE ZAWISQ]EJ TAKVE I OT MASSOWOJ KOORDINATY (SLU^AJ IZ\NTROPI^ESKOGO TE^ENIQ). gIPERBOLI^NOSTX URAWNENIQ (30) I TEM SAMYM URAWNENIJ GAZOWOJ DINAMIKI LEGKO USTANOWITX NE PRIBEGAQ K WY^ISLENI@ HARAKTERISTIK, A POLU^IW EGO LINEJNYJ ANALOG. dLQ \TOGO RASSMOTRIM MALYE WOZMU-
]ENIQ GAZODINAMI^ESKIH WELI^IN W OKRESTNOSTI POSTOQNNOGO REENIQ
x 4]
91 (m t) 0 . pREDSTAWLQQ WOZMU]ENNOE REENIE W WIDE (m t) = 0 + I PREDPOLAGAQ MALYMI KAK SAMI WOZMU]ENIQ, TAK I IH PROIZWODNYE, IZ (30) POLU^AEM URAWNENIE DLQ (^ERTO^KU OPUSKAEM): @ 2 = c2 @ 2 : (31) @t2 0 @m2 lINEJNOE URAWNENIE (31) POLNOSTX@ ANALOGI^NO URAWNENI@ KOLEBANIJ STRUNY IZ x 2 GL. III, IME@]EMU, KAK IZWESTNO, GIPERBOLI^ESKIJ TIP. oNO OPISYWAET RASPROSTRANENIE MALYH (ZWUKOWYH p ) WOZMU]ENIJ W GAZE (URAWNENIE AKUSTIKI ) SO SKOROSTX@ ZWUKA c0 = p0 =0 I, W SILU LINEJNOSTI, DLQ NEGO NETRUDNO NAJTI OB]EE REENIE. e]E ODNO UPRO]ENIE URAWNENIJ (18), (19), (29) POLU^AETSQ W PREDPOLOVENII O TOM, ^TO TE^ENIE IMEET HARAKTER PROSTOJ WOLNY, T. E. L@BYE GAZODINAMI^ESKIE WELI^INY QWLQ@TSQ FUNKCIQMI KAKOJ-TO ODNOJ WYBRANNOJ WELI^INY, NAPRIMER PLOTNOSTI. iZ (18), (19), (29) I S U^ETOM TOGO, ^TO v = v(), POLU^AEM @ @ ;1 @ ; 12 @ @t = v @m v @t = ;a0 @m GDE v | PROIZWODNAQ SKOROSTI PO PLOTNOSTI. iSKL@^AQ IZ POSLEDNIH URAWNENIJ WELI^INU v , PRIHODIM K URAWNENI@ hOPFA @ + pa +1 @ = 0: 2 (32) 0 @t @m uRAWNENIE (32) PERWOGO PORQDKA, NO ONO SODERVIT TIPI^NU@ GAZODINAMI^ESKU@ NELINEJNOSTX, I PO\TOMU SLUVIT HOROEJ MODELX@ DLQ IZU^ENIQ NELINEJNYH \FFEKTOW, HARAKTERNYH DLQ TE^ENIJ SVIMAEMOGO GAZA. sAMYJ QRKIJ IZ NIH | GRADIENTNAQ KATASTROFA, ZAKL@^A@]AQSQ W POQWLENII W WOLNAH SVATIQ BESKONE^NYH GRADIENTOW GAZODINAMI^ESKIH WELI^IN, NESMOTRQ NA TO, ^TO W NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI WSE FUNKCII QWLQ@TSQ GLADKIMI. pOQSNIM \TO PONQTIE SLEDU@]IMI PROSTYMI RASSUVDENIQMI. sowmestnoe primenenie neskolxkih zakonow
uRAWNENIE hOPFA MOVET BYTX ZAPISANO W HARAKTERISTI^ESKOM WIDE
d
dt s = 0:
(33)
zDESX INDEKS s OZNA^AET, ^TO POLNAQ PROIZWODNAQ PO WREMENI BERETSQ WDOLX HARAKTERISTIKI | LINII W KOORDINATAH m, t, NA KOTOROJ ZNA^ENIE REENIQ (PLOTNOSTI) OSTAETSQ POSTOQNNYM WO WSE MOMENTY. rASKRYWAQ (33) W WIDE @ + dms (t) @ = 0 (34) @t dt @m GDE ms (t) | ZNA^ENIE KOORDINATY m DLQ DANNOJ HARAKTERISTIKI W RAZNYE MOMENTY WREMENI, I SRAWNIWAQ (32) I (34), NAHODIM URAWNENIE
HARAKTERISTIKI
ms (t) = pa0
+1 2
t + ms (0):
92 polu~enie modelej iz fundamentalxnyh zakonow gl. II iZ \TOGO WYRAVENIQ WIDNO, ^TO SOSTOQNIQ S BO LXIM ZNA^ENIEM PLOTNOSTI RASPROSTRANQ@TSQ PO MASSE GAZA S BOLXEJ SKOROSTX@, ^EM SOSTOQNIQ S MENXEJ PLOTNOSTX@, I W KAKOJ-TO MOMENT WREMENI DOGONQ@T POSLEDNIE. w REENII OBRAZUETSQ NEODNOZNA^NOSTX, EGO GRADIENTY W TO^KE SLIQNIQ SOSTOQNIJ S RAZNYMI PLOTNOSTQMI NEOGRANI^ENNO WOZRASTA@T. sHEMATI^ESKI \TOT PROCESS IZOBRAVEN NA RIS. 36, GDE POKAZANA \WOL@CIQ SO WREMENEM NA^ALXNOGO PROFILQ PLOTNOSTI TREUGOLXNOJ FORMY: WERINA TREUGOLXNIKA ^EREZ NEKOTOROE WREMQ OKAZYWAETSQ W TO^KE S TOJ VE KOORDINATOJ mk , ^TO I EGO PEREDNIJ FRONT.
rIS. 36
gRADIENTNAQ KATASTROFA | NELINEJNYJ \FFEKT (PODROBNEE SM. GL. V). oN NE WOZNIKAET W LINEJNOM URAWNENII (31) I LINEJNOM URAWNENII PERENOSA (3) x 1, POLU^A@]EMSQ IZ (32) PRI RASSMOTRENII MALYH WOZMU]ENIJ W OKRESTNOSTI POSTOQNNOGO REENIQ. sU]ESTWOWANIE \TOGO \FFEKTA PRIWODIT K NEOBHODIMOSTI RASSMATRIWATX RAZRYWNYE REENIQ URAWNENIJ GAZOWOJ DINAMIKI (ZAMETIM, ^TO PRI PROHOVDENII RAZRYWA ^EREZ VIDKU@ ^ASTICU EE \NTROPIQ IZMENQETSQ). w \TOM SOSTOIT WAVNOE OTLI^IE NELINEJNYH GIPERBOLI^ESKIH URAWNENIJ OT PARABOLI^ESKIH (MODELI W x 1, 2). upravneniq 1. pOLU^ITE URAWNENIE (21) IZ (20), ISPOLXZUQ URAWNENIE (19). 2. iSPOLXZUQ ZAKON SOHRANENIQ \NERGII PRIMENITELXNO K WNUTRENNEJ \NERGII VIDKOJ ^ASTICY, WYWEDITE URAWNENIE (22). 3. uBEDITESX W \KWIWALENTNOSTI URAWNENIJ (26) I (20), ISPOLXZUQ (27) I (28). 4. pOLU^ITE URAWNENIE (31) NE IZ (30), A IZ (18), (19), (29), PRIMENQQ TE VE RASSUVDENIQ. 5. iSPOLXZUQ HARAKTERISTI^ESKU@ FORMU URAWNENIQ hOPFA, NAJDITE MOMENT tk I TO^KU mk GRADIENTNOJ KATASTROFY DLQ SITUACII NA RIS. 36.
bIBLIOGRAFIQ K GLAWE II: 30, 43, 44, 55, 69, 74].
g la w a III
modeli iz wariacionnyh principow, ierarhii modelej x 1. uRAWNENIQ DWIVENIQ, WARIACIONNYE PRINCIPY I ZAKONY SOHRANENIQ W MEHANIKE pRIWEDEM \LEMENTARNYE SWEDENIQ IZ KLASSI^ESKOJ MEHANIKI, ILL@STRIRU@]IE SWQZX MEVDU URAWNENIQMI DINAMIKI nX@TONA I lAGRANVA, WARIACIONNYM PRINCIPOM gAMILXTONA, ZAKONAMI SOHRANENIQ DLQ MEHANI^ESKIH SISTEM I SWOJSTWAMI PROSTRANSTWA-WREMENI. 1. uRAWNENIQ DWIVENIQ MEHANI^ESKOJ SISTEMY W FORME nX@TONA. dINAMIKA SISTEMY, SOSTOQ]EJ IZ N MATERIALXNYH TO^EK, ISPYTYWA@]IH DEJSTWIE KAKIH-LIBO SIL, OPISYWAETSQ URAWNENIQMI 2
mi ddt~r2i = F~i
i = 1 : : : N (1) GDE mi | MASSA MATERIALXNOJ TO^KI, t > 0 | WREMQ, ~ri | EE RADIUSWEKTOR, F~i = F~i (t ~r d~r=dt) | REZULXTIRU@]AQ WSEH DEJSTWU@]IH NA NEE SIL. ~EREZ ~r OBOZNA^ENO MNOVESTWO KOORDINAT WSEH TO^EK SISTEMY. wELI^INY F~i S^ITA@TSQ ZADANNYMI I MOGUT ZAWISETX KAK OT WREMENI, TAK I OT PROSTRANSTWENNYH KOORDINAT I SKOROSTEJ (PRI^EM NE TOLXKO WYDELENNOJ i-J TO^KI, NO I WSEH RASSMATRIWAEMYH TO^EK). sISTEMA (1) | MATEMATI^ESKOE WYRAVENIE WTOROGO ZAKONA nX@TONA, PRIMENENNOGO K SOWOKUPNOSTI MATERIALXNYH TO^EK. zAPISANNAQ W POKOORDINATNOJ FORME ONA, O^EWIDNO, SOSTOIT IZ 3N URAWNENIJ WTOROGO PORQDKA OTNOSITELXNO 3N NEIZWESTNYH KOORDINAT xi(t), yi (t), zi (t), i = 1 : : : N. eSLI IZWESTNY NA^ALXNYE KOORDINATY xi(0), yi (0), zi (0), i = 1 : : : N, TO^EK I IH SKOROSTI dxi=dt, dyi =dt, dzi=dt W MOMENT t = 0, TO SISTEMA (1) DAET WOZMOVNOSTX NAJTI KOORDINATY I SKOROSTI WSEH TO^EK PRI L@BYH t > 0, T. E. REITX OSNOWNU@ ZADA^U KLASSI^ESKOJ MEHANIKI. uRAWNENIQ DINAMIKI W FORME (1) SPRAWEDLIWY DLQ INERCIALXNOJ, ILI GALILEEWOJ SISTEMY OTS^ETA. w NEJ SWOBODNAQ MATERIALXNAQ TO^KA, T. E. TO^KA, NE ISPYTYWA@]AQ KAKIH-LIBO WOZDEJSTWIJ, DWIVETSQ RAWNOMERNO I PRQMOLINEJNO. dRUGIMI SLOWAMI, W \TOJ SISTEME KOORDINAT WYPOLNQETSQ PERWYJ ZAKON nX@TONA. pRIMEROM MOVET SLUVITX SISTEMA OTS^ETA, VESTKO SWQZANNAQ S POEZDOM, DWIVU]IMSQ S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ PO PRQMOJ I GORIZONTALXNO ROWNOJ VELEZNODOROVNOJ KOLEE. {ARIK, PU]ENNYJ PO GLADKOMU POLU WAGONA TAKOGO POEZDA, BUDET
94
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
DWIGATXSQ OTNOSITELXNO NEGO RAWNOMERNO I PRQMOLINEJNO (\TO SWOJSTWO SRAZU VE UTRA^IWAETSQ PRI TORMOVENIQH I USKORENIQH POEZDA, NA POWOROTAH, POD_EMAH I SPUSKAH | SISTEMA OTS^ETA STANOWITSQ NEINERCIALXNOJ). kONE^NO VE, INERCIALXNAQ SISTEMA OTS^ETA | IDEALIZIROWANNOE PONQTIE, OPRAWDANNOE, ODNAKO, PRI RASSMOTRENII MNOGIH WAVNYH MEHANI^ESKIH QWLENIJ. o^EWIDNOE OTSUTSTWIE INERCIALXNOSTI SISTEMY OTS^ETA, VESTKO SWQZANNOJ S zEMLEJ (HOTQ BY IZ-ZA EE WRA]ENIQ), NE MEAET S HOROEJ TO^NOSTX@ OPISYWATX RQD ZEMNYH DWIVENIJ TAKIH, KAK DWIVENIE POEZDA PO EE POWERHNOSTI (DLQ POLETA BALLISTI^ESKOJ RAKETY PODOBNOE OPISANIE MOVET BYTX UVE NETO^NYM). l@BAQ SISTEMA OTS^ETA, POKOQ]AQSQ ILI PRQMOLINEJNO DWIVU]AQSQ S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ PO OTNOENI@ K NEKOTOROJ INERCIALXNOJ SISTEME, TAKVE QWLQETSQ INERCIALXNOJ. mNOVESTWO TAKIH SISTEM, POROVDAEMYH ISHODNOJ SISTEMOJ x, y, z, t, OPREDELQETSQ SLEDU@]IMI PREOBRAZOWANIQMI KOORDINAT I WREMENI:
x = x + a y = y + b z = z + c t = t x = x y = y z = z t = t + a (2) x = x cos + y sin y = ;x sin + y cos z = z t = t x = x ; vx t y = y ; vy t z = z ; vz t t = t A TAKVE L@BYMI KOMBINACIQMI \TIH PREOBRAZOWANIJ. zDESX a, b, c, vx , vy , vz | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE TAK VE, KAK I | UGOL POWOROTA SISTEMY OTS^ETA OTNOSITELXNO ODNOJ IZ OSEJ KOORDINAT (W DANNOM SLU^AE OSI z). kLASSI^ESKAQ MEHANIKA ISHODIT IZ PRINCIPA OTNOSITELXNOSTI gALILEQ | RAWNOPRAWIQ WSEH INERCIALXNYH SISTEM (2), T. E. IZ TOGO, ^TO ZAKONY MEHANIKI ODINAKOWY W L@BOJ IZ NIH. |TOT PRINCIP OTRAVAET, W ^ASTNOSTI, ODNORODNOSTX PROSTRANSTWA I WREMENI (PERWOE I WTOROE PREOBRAZOWANIQ (2)) I IZOTROPNOSTX PROSTRANSTWA | OTSUTSTWIE W NEM WYDELENNYH NAPRAWLENIJ (TRETXE PREOBRAZOWANIE). pOSLEDNEE IZ PREOBRAZOWANIJ (2) | PEREHOD K SISTEME OTS^ETA, DWIVU]EJSQ S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ OTNOSITELXNO ISHODNOJ, | NAZYWAETSQ PREOBRAZOWANIEM gALILEQ. zAMETIM, ^TO ESLI PO KAKIM-TO PRI^INAM PRIHODITSQ RASSMATRIWATX DWIVENIE W ZAWEDOMO NEINERCIALXNOJ SISTEME OTS^ETA, TO WTOROJ ZAKON nX@TONA W FORME (1) NE WYPOLNQETSQ. tAK, ARIK, PU]ENNYJ PO GLADKOJ GORIZONTALXNOJ POWERHNOSTI WRA]A@]EGOSQ DISKA OT CENTRA K EGO KRA@, W SISTEME OTS^ETA, VESTKO SWQZANNOJ S DISKOM, DWIVETSQ UVE NE PRQMOLINEJNO, A PO KRIWOJ TRAEKTORII, KAK BY ISPYTYWAQ DEJSTWIE NEKOTOROJ WNENEJ SILY. dLQ NEINERCIALXNYH SISTEM URAWNENIQ (1) I DRUGIE ZAKONY MEHANIKI STANOWQTSQ SPRAWEDLIWYMI PRI IH OTNOSITELXNO NESLOVNOJ MODIFIKACII. eE SUTX ZAKL@^AETSQ W DOBAWLENII K DEJSTWU@]IM NA SISTEMU SILAM FIKTIWNYH WNENIH SIL INERCII, WELI^INA KOTORYH OPREDELQETSQ IZ HARAKTERA DWIVENIQ NEINER-
CIALXNOJ SISTEMY OTS^ETA PO OTNOENI@ K WYBRANNOJ INERCIALXNOJ
x 1]
wariacionnye principy w mehanike
95
SISTEME. oBY^NO VE ISHODNAQ SISTEMA OTS^ETA W MEHANIKE S^ITAETSQ INERCIALXNOJ, A EE NEINERCIALXNOSTX SPECIALXNO OGOWARIWAETSQ. nEIZMENNOSTX ZAKONOW MEHANIKI PO OTNOENI@ K PREOBRAZOWANIQM (2) MOVET WYRAVATXSQ RAZLI^NYM OBRAZOM. eSLI DLQ URAWNENIJ, SOOTWETSTWU@]IH \TIM ZAKONAM, PRI PEREHODE K NOWOJ SISTEME OTS^ETA 1) NE MENQETSQ IH STRUKTURA, 2) NE MENQETSQ WID FUNKCIJ OT KOORDINAT, SKOROSTEJ I USKORENIJ, FIGURIRU@]IH W URAWNENIQH (IMI QWLQ@TSQ SILY, \NERGIQ, KOLI^ESTWO DWIVENIQ I DRUGIE MEHANI^ESKIE WELI^INY), TO URAWNENIQ INWARIANTNY PO OTNOENI@ K ZADANNOMU PREOBRAZOWANI@. pRIMEROM SLUVAT URAWNENIQ 2 m1 ddtr21 = ;k (l + r1 ; r2 )
(3) 2r2 d m2 dt2 = ;k (r2 ; r1 ; l) NEIZMENNYE PRI L@BOM PREOBRAZOWANII (2) (SM. TAKVE UPR. 1). uRAWNENIE, OPISYWA@]EE KOLEBANIQ KOLEC sATURNA, IZ P. 3 x 2 GL. I 2 M2 ddt2r = M1 M2 2 r 2 3=2 (r + R0) INWARIANTNO PRI SDWIGE WREMENI t = t + a, NO IZMENQET SWO@ FORMU PRI SDWIGE KOORDINATY r = r + a: 2 a M2 ddtr2 = M1 M2 ((r ;ra); 2 + R20 )3=2 W TOM SMYSLE, ^TO WYRAVENIE, STOQ]EE W EGO PRAWOJ ^ASTI (T. E. SILA), KAK FUNKCIQ KOORDINATY ZAPISYWAETSQ INA^E, ^EM W ISHODNOM URAWNENII. fORMA ZAPISI URAWNENIJ MEHANIKI, TERQ@]AQ SWOJSTWO 1), NO SOHRANQ@]AQ SWOJSTWO 2) PRI PREOBRAZOWANIQH (2), NAZYWAETSQ KOWARIANTNOJ. iZ POKOORDINATNOJ ZAPISI URAWNENIJ (1) NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IH KOWARIANTNOSTX OTNOSITELXNO PREOBRAZOWANIJ (2) (ODNAKO PRI BOLEE SLOVNYH PREOBRAZOWANIQH ISHODNOJ SISTEMY OTS^ETA, NAPRIMER, PRI PEREHODE K CILINDRI^ESKIM I SFERI^ESKIM KOORDINATAM, KOWARIANTNOSTX URAWNENIJ DWIVENIQ W FORME nX@TONA UTRA^IWAETSQ). 2. uRAWNENIQ DWIVENIQ W FORME lAGRANVA. uRAWNENIQ lAGRANVA | UDOBNAQ ZAPISX WTOROGO ZAKONA nX@TONA, KOWARIANTNAQ PO OTNOENI@ K GORAZDO BOLEE IROKOMU KLASSU PREOBRAZOWANIJ SISTEM OTS^ETA, NEVELI (2) (KOWARIANTNOSTX PONIMAETSQ W TOM VE SMYSLE, ^TO I PRI PREOBRAZOWANIQH INERCIALXNYH SISTEM). pOQSNIM, KAK POLU^A@TSQ \TI URAWNENIQ, NA PRIMERE SAMOJ PROSTOJ MEHANI^ESKOJ SISTEMY, SOSTOQ]EJ IZ ODNOJ MATERIALXNOJ TO^KI, SOWERA@]EJ ODNOMERNOE DWIVENIE. w ISHODNOJ INERCIALXNOJ SISTEME KOORDINAT ONO OPISYWA-
ETSQ URAWNENIEM
2 m ddt2r = F r dr dt t :
(4)
96
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
pUSTX ZADANO PREOBRAZOWANIE KOORDINAT r(t) = r(q(t) t), GDE q(t) | NOWAQ KOORDINATA MATERIALXNOJ TO^KI. dLQ EE SKOROSTI POLU^AEM SLEDU@]EE WYRAVENIE ^EREZ FUNKCII r(q) I q(t): @r q_ + @r : v = dr = dt @q @t
(5)
zDESX q_ = dq=dt | SKOROSTX TO^KI W NOWYH KOORDINATAH (\TO W OB]EM SLU^AE UVE NE REALXNAQ KINEMATI^ESKAQ SKOROSTX, A WSEGO LIX HARAKTERISTIKA TEMPA IZMENENIQ KOORDINATY q TO^KI SO WREMENEM). nASTOQ]AQ VE SKOROSTX v W NOWOJ SISTEME OTS^ETA, W OTLI^IE OT STAROJ, STANOWITSQ SOGLASNO (5) FUNKCIEJ KOORDINATY q I SKOROSTI q,_ T. E. v = v(q q_ t). wY^ISLIM TEPERX USKORENIE TO^KI ! W NOWYH KOORDINATAH, PREDSTAWIW EGO PREDWARITELXNO W \KWIWALENTNOM WIDE:
2 1 dv @r 1 d @r d @r ! = ddt2r = dv dt = @r=@q dt @q = @r=@q dt v @q ; v dt @q : pRODIFFERENCIROWAW (5) PO q,_ POLU^IM @r @v @q = @ q_ T. E. WYRAVENIE DLQ PREOBRAZOWANIQ PERWOGO ^LENA W KWADRATNYH SKOBKAH. dLQ WTOROGO ^LENA, U^ITYWAQ (5), IMEEM CEPO^KU RAWENSTW d @r(q(t) t) = @ 2 r q_ + @ 2 r = @ @r q_ + @r = @v : dt @q @q2 @q@t @q @q @t @q iSPOLXZUQ DWA POSLEDNIH RAWENSTWA, PRIDEM K OKON^ATELXNOMU WY-
RAVENI@
1 d @(v2 =2) ; @(v2 =2) !(q q_ t) = @r=@q dt @ q_ @q PODSTAWIW KOTOROE W (4), POLU^IM URAWNENIE d @(mv2 =2) ; @(mv2 =2) = F(q q_ t) @r : (6) dt @ q_ @q @q w (6) WELI^INA F (q q_ t) | SILA, STOQ]AQ W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ (4), NO ZAPISANNAQ W NOWYH KOORDINATAH, ZAWISIMOSTX EE OT ARGUMENTOW q, q,_ t W OB]EM SLU^AE NE TAKAQ, KAK OT r, r,_ t. uRAWNENIE (6) | PROSTEJEE URAWNENIE DWIVENIQ W FORME lAGRANVA. w EGO LEWOJ ^ASTI POD ZNAKAMI DIFFERENCIROWANIQ STOIT, O^EWIDNO, KINETI^ESKAQ \NERGIQ TO^KI, A W PRAWOJ | DEJSTWU@]AQ NA NEE SILA, UMNOVENNAQ NA WELI^INU @r=@q, HARAKTERIZU@]U@ SWQZX MEVDU STARYMI I NOWYMI KOORDINATAMI. pRI TREHMERNOM DWIVENII TO^KI WMESTO KOORDINAT x, y, z NEOBHODIMO WWESTI TRI NOWYE KOORDINATY q1, q2 , q3. pOWTORIM RASSUVDENIQ, PREDESTWOWAWIE WYWODU (6), NO WOZXMEM W KA^ESTWE v, !, F POO^EREDNO vx , vy , vz !x , !y , !z Fx , Fy , Fz | SOOTWETSTWENNO PROEKCII SKOROSTI, USKORENIQ I SILY. rASSMOTRIM POO^EREDNO IH KAK FUNKCII
x 1]
97 ARGUMENTOW q1, q_1, t q2 , q_2, t q3, q_3, t I PODSTAWIM POLU^ENNYE WYRAVENIQ W ZAPISANNYE POKOORDINATNO URAWNENIQ nX@TONA m dvx =dt = Fx , m dvy =dt = Fy , m dvz =dt = Fz . w REZULXTATE PRIDEM UVE K TREM URAWNENIQM, ANALOGI^NYM (6). nAPRIMER, PERWOE IZ NIH IMEET WID @x @y @z d @T @T (7) dt @ q_ ; @q = Fx @q + Fy @q + Fz @q wariacionnye principy w mehanike
1
1
1
1
1
GDE T = m (vx2 + vy2 + vz2 )=2 | KINETI^ESKAQ \NERGIQ TO^KI. iZ \TIH PRIMEROW QSNA PROCEDURA DLQ OB]EGO SLU^AQ DWIVENIQ N TO^EK, POLOVENIE KAVDOJ IZ KOTORYH OPREDELQETSQ TREMQ KOORDINATAMI xi(t), yi (t), zi (t), i = 1 : : : N (WYKLADKI WPOLNE SHOVI S TEMI, ^TO ISPOLXZOWALISX PRI POLU^ENII (6), (7), I NE PRIWODQTSQ WWIDU IH GROMOZDKOSTI). pEREHOD K NOWYM KOORDINATAM ZADAETSQ PROIZWOLXNYM PREOBRAZOWANIEM
xi = xi(q1 : : : qn t) yi = yi (q1 : : : qn t) (8) zi = zi (q1 : : : qn t) GDE i = 1 : : : N, n = 3N. w (8) WELI^INY qj , 1 6 j 6 3N, | TAK NAZYWAEMYE OBOB]ENNYE KOORDINATY. iH OB]EE ^ISLO, KAK I W STAROJ SISTEME OTS^ETA, ESTESTWENNO, RAWNO 3N. pRI PEREHODE K KOORDINATAM qj L@BAQ STARAQ KOORDINATA MOVET ZAWISETX, WOOB]E GOWORQ, OT WSEH NOWYH (KAK, NAPRIMER, W SLU^AE PEREHODA OT DEKARTOWYH KOORDINAT x, y, z K SFERI^ESKIM KOORDINATAM , ', ). pO\TOMU W PRAWYH ^ASTQH FORMUL (8) PREDUSMOTRENA ZAWISIMOSTX OT WSEH WELI^IN qj . pOSLE PODS^ETA PROEKCIJ (TO^NEE, KOMPONENT) WSEH WEKTOROW ~vi , ~!i, F~i , i = 1 : : : N, NA WSE NOWYE KOORDINATNYE OSI qj , PODSTANOWKI POLU^ENNYH WYRAVENIEJ W POKOORDINATNYE URAWNENIQ (1) I IH SUMMIROWANIQ PO INDEKSU i PRI FIKSIROWANNOM ZNA^ENII j PRIHODIM K OB]IM URAWNENIQM lAGRANVA d @T @T j = 1 : : : n: (9) dt @ q_ ; @q = j j
j
w (9), KAK I PRI N = 1, WELI^INA T | KINETI^ESKAQ \NERGIQ SISTEMY N N 2 X X T = mi vi = mi~vi ~vi i = 1 : : : N
2 i=1 ZAPISANNAQ W KOORDINATAH qj . wELI^INY N N X i + F @yi + F @zi = X F~ (q q_ t) @~ri Fix @x j= iy iz i @qj @qj @qj @qj i=1 i=1 i=1
2
(10)
MOVNO PONIMATX KAK WYRAVENNYE W KOORDINATAH qj PROEKCII SIL F~i NA OSI qj | OBOB]ENNYE SILY (FUNKCII j@~ri=@qj j | KO\FFICIENTY 7 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
98 wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III lAME ^EREZ A~ B~ OBOZNA^ENO SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW A~ I ~ w UKAZANNOJ TRAKTOWKE URAWNENIQ (9) PREDSTAWLQ@T SOBOJ ZAPISX B). WTOROGO ZAKONA nX@TONA (1) W PROEKCIQH NA OSI qj . oNI ZAMETNO UPRO]A@TSQ W SLU^AE, KOGDA WSE SILY POTENCIALXNY, T. E. SU]ESTWUET FUNKCIQ !(x1 : : : xN y1 : : : yN z1 : : : zN t) TAKAQ,
^TO
@! F = ; @! F = ; @! Fix = ; @x iy iz @y @z i
i
pODSTAWIM \TI WYRAVENIQ W (10) I POLU^IM
i
i = 1 : : : N:
N @! @x X @! @y @! @z i i i + + : j =; i=1
@xi @qj
@yi @qj
@zi @qj
zAMENQQ W POSLEDNEM RAWENSTWE W FUNKCII ! STARYE ARGUMENTY NA NOWYE, PRIHODIM K WYWODU, ^TO EGO PRAWAQ ^ASTX PREDSTAWLQET SOBOJ ^ASTNU@ PROIZWODNU@ NEKOTOROJ FUNKCII V (q t), NAZYWAEMOJ POTENCIALOM, PO ARGUMENTU qj , T. E. @V j = ; @q : j dRUGIMI SLOWAMI, ESLI ISHODNYE SILY POTENCIALXNY, TO I OBOB]ENNYE SILY POTENCIALXNY, I URAWNENIQ (9) PRIOBRETA@T WID d @L ; @L = 0 j = 1 : : : n (11) dt @ q_ @q j
j
L = T ; V: (12) pRI POLU^ENII (11), (12) U^TENO, ^TO FUNKCIQ V (q t) NE ZAWISIT OT q,_ I PO\TOMU @L=@qj = @T=@ q_j . w URAWNENIQH lAGRANVA (11) WELI^INA L | RAZNOSTX KINETI^ESKOJ I POTENCIALXNOJ \NERGIJ SISTEMY, WYRAVENNYH W NOWYH KOORDINATAH. eE NAZYWA@T FUNKCIEJ lAGRANVA, LAGRANVIANOM ILI KINETI^ESKIM POTENCIALOM SISTEMY. uRAWNENIQ (9), (11), POLU^ENNYE IZ URAWNENIJ nX@TONA (1), KOWARIANTNY, KAK SLEDUET IZ IH WIDA, OTNOSITELXNO PROIZWOLXNOGO PREOBRAZOWANIQ (8) ISHODNOJ SISTEMY OTS^ETA, A WHODQ]IE W NIH FUNKCII IME@T QSNYJ MEHANI^ESKIJ SMYSL. dLQ IH NAPISANIQ PRIMENITELXNO K KONKRETNOJ SISTEME NEOBHODIMO WYPOLNITX SLEDU@]IE DEJSTWIQ: WYBRATX NEZAWISIMYE KOORDINATY q1 : : : qn NAJTI OBOB]ENNYE SILY (10) KAK FUNKCII NOWYH KOORDINAT (ESLI SILY POTENCIALXNY, TO \TOGO DELATX NE NUVNO) WYRAZITX W NOWYH KOORDINATAH KINETI^ESKU@ \NERGI@ T I POTENCIALXNU@ \NERGI@ ! I NAJTI LAGRANVIAN (12) (W SLU^AE POTENCIALXNYH SIL) PODSTAWITX POLU^ENNYE WYRAVENIQ W (9), (11). |TA STANDARTNAQ PROCEDURA NAZYWAETSQ LAGRANVEWYM FORMALIZMOM. pOSLE EE REALIZACII POLU^AETSQ SISTEMA IZ 3N DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ WTOROGO PORQDKA DLQ KOORDINAT q1 : : : qn, WSEGDA RAZREIMAQ OTNOSITELXNO IH WTORYH PROIZWODNYH: q"j = Gj (q q_ t)
j = 1 2 : : : n:
(13)
x 1]
99 pRI IZWESTNYH NA^ALXNYH ZNA^ENIQH qj (0), q_j (0), j = 1 : : : n, URAWNENIQ (13) DA@T WOZMOVNOSTX OPISATX DWIVENIE SISTEMY W L@BOJ MOMENT t > 0, T. E. REITX OSNOWNU@ ZADA^U MEHANIKI. pREIMU]ESTWA LAGRANVEWA PODHODA ZAKL@^A@TSQ W EGO EDINOOBRAZII (KOWARIANTNOSTX), W POLU^ENII OTNOSITELXNO PROSTOGO MATEMATI^ESKOGO OPISANIQ DWIVENIQ O^ENX SLOVNYH MEHANI^ESKIH USTROJSTW (NAPRIMER, ROBOTOTEHNI^ESKIH) W PROIZWOLXNYH SISTEMAH OTS^ETA (W TOM ^ISLE, KAK WIDNO IZ (8), I W NEINERCIALXNYH SISTEMAH BEZ WWEDENIQ DOPOLNITELXNYH SIL INERCII). zAMETIM, ^TO URAWNENIQ (1) TAKVE MOGUT BYTX WYPISANY W WIDE, KOWARIANTNOM PO OTNOENI@ K PREOBRAZOWANIQM (8). oDNAKO ONI NE RAZREA@TSQ OTNOSITELXNO STARIH PROIZWODNYH I SODERVAT GORAZDO BOLXE (PO SRAWNENI@ S URAWNENIEM (9)) FUNKCIJ OT NOWYH KOORDINAT, NE IME@]IH K TOMU VE PROSTOGO MEHANI^ESKOGO SMYSLA. e]E ODNO PREIMU]ESTWO OPISANNOGO FORMALIZMA PROQWLQETSQ PRI IZU^ENII SISTEM S MEHANI^ESKIMI SWQZQMI (WO WSEH PREDYDU]IH RASSUVDENIQH DLQ UPRO]ENIQ RASSMATRIWALISX SWOBODNYE SISTEMY). sWQZI NAKLADYWA@T NA DWIVENIE TO^EK SISTEMY OPREDELENNYE OGRANI^ENIQ, WYZWANNYE PRISUTSTWIEM MATERIALXNYH OB_EKTOW, NEPOSREDSTWENNO W NEE NE WHODQ]IH. pRIMERAMI SLUVAT SWQZI IZ-ZA NALI^IQ VESTKOJ POWERHNOSTI, OGRANI^IWA@]EJ DWIVENIE KATQ]EGOSQ PO NEJ ARIKA, ILI NEWESOMOGO VESTKOGO STERVNQ, SOEDINQ@]EGO DWE TO^E^NYE MASSY, I T. P. sWQZI ZADA@TSQ NABOROM K SOOTNOENIJ WIDA fk (~ri ~r_ t) = 0, 0 6 6 k 6 K 6 3N, KOTORYM DOLVNO UDOWLETWORQTX REENIE URAWNENIJ nX@TONA (1). sAMI VE URAWNENIQ (1) W \TOM SLU^AE MODIFICIRU@TSQ, W IH PRAWYH ^ASTQH SLEDUET (PRI NEKOTORYH PREDPOLOVENIQH O HARAKTERE SWQZEJ) PODSTAWITX WMESTO F~i WELI^INU F~i + R~ i. sILA R~ i | WY^ISLQEMAQ IZ TEH ILI INYH SOOBRAVENIJ REAKCIQ SWQZEJ. pO\TOMU PRI PODHODE nX@TONA OPISANIE NESWOBODNYH SISTEM PO SRAWNENI@ SO SWOBODNYMI MOVET ZAMETNO USLOVNITXSQ. pRI PODHODE lAGRANVA REAKCII SWQZEJ DLQ O^ENX IROKOGO KLASSA FUNKCIJ fk (~ri ~r_ t) U^ITYWA@TSQ AWTOMATI^ESKI, W REZULXTATE ^EGO OBOB]ENNYE SILY (10) NE SODERVAT W SEBE WELI^IN R~ i (SAMA PROCEDURA POLU^ENIQ URAWNENIJ lAGRANVA POLNOSTX@ ANALOGI^NA SLU^A@ SWOBODNYH SISTEM). bOLEE TOGO, ^ISLO URAWNENIJ lAGRANVA RAWNO KOLI^ESTWU TAK NAZYWAEMYH STEPENEJ SWOBODY l = 3N ; K I MOVET BYTX ZNA^ITELXNO MENXE, ^EM DLQ SISTEMY BEZ SWQZEJ. ~ISLO NOWYH NEZAWISIMYH KOORDINAT qj , ESTESTWENNO, TAKVE RAWNO 3N ; K. iTAK, URAWNENIQ lAGRANVA WYWODQTSQ IZ URAWNENIJ nX@TONA, I NAOBOROT (UPR. 2). tAKIM OBRAZOM, LAGRANVEW PODHOD, KAK I PODHOD nX@TONA, MOVET BYTX POLOVEN W OSNOWU MEHANIKI. 3. wARIACIONNYJ PRINCIP gAMILXTONA. w KA^ESTWE FUNDAMENTA MEHANIKI MOGUT RASSMATRIWATXSQ NE TOLXKO DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ (1), (9) ILI (11), SWQZYWA@]IE MEHANI^ESKIE PARAMETRY W DANNYJ MOMENT WREMENI t, NO TAKVE NEKOTORYE OB]IE SWOJSTWA, HARAKTERIZU@]IE DWIVENIE MEHANI^ESKOJ SISTEMY W CELOM, NA L@BOM PROIZWOLXNOM OTREZKE WREMENI OT t0 DO t1. uBEDIMSQ W \TOM, ANALIZI7
wariacionnye principy w mehanike
100
wariacionnye principy, ierarhii modelej
RUQ WELI^INU
Zt
1
Q = L(q(t) q(t) _ t) dt t0
gl. III
(14)
NAZYWAEMU@ DEJSTWIEM PO gAMILXTONU NA OTREZKE t0 t1 ]. o^EWIDNO, ^TO (14) QWLQETSQ FUNKCIONALOM, ZAWISQ]IM OT TOGO, KAK DWIVETSQ SISTEMA W MOMENTY t0 6 t 6 t1 . wOZXMEM W (n + 1)-MERNOM PROSTRANSTWE q, t DWE TO^KI M0 (q(t0 ) t0) I M1 (q(t1) t1 ), ZAFIKSIROWAW TEM SAMYM MOMENTY t0 , t1 I POLOVENIE SISTEMY W \TI MOMENTY (SKOROSTI q_ W MOMENTY t0 , t1 NE FIKSIRU@TSQ). iZ TO^KI M0 W TO^KU M1 SISTEMA MOVET POPASTX, DWIGAQSX W PROSTRANSTWE q, t, WOOB]E GOWORQ, PO L@BYM KINEMATI^ESKI WOZMOVNYM TRAEKTORIQM (PUTQM), T. E. PO PUTQM, DOPUSKAEMYM SU]ESTWU@]IMI SWQZQMI (SM. RIS. 37 DLQ SLU^AQ PROSTRANSTWA q1, q2, t). pUSTX SREDI \TIH PUTEJ IMEETSQ TAK NAZYWAEMYJ PRQMOJ PUTX (SPLONAQ LINIQ). nA NEM FUNKrIS. 37 CII qj (t), j = 1 : : : n, W L@BOJ MOMENT WREMENI POD^INQ@TSQ URAWNENIQM lAGRANVA (11). oSTALXNYE PUTI NAZYWA@TSQ OKOLXNYMI (TRIHOWYE LINII). pRINCIP gAMILXTONA FORMULIRUETSQ TAK: DEJSTWIE Q IMEET NA PRQMOM PUTI \KSTREMALXNOE PO SRAWNENI@ S OKOLXNYMI PUTQMI ZNA^ENIE. oHARAKTERIZUEM WSE WOZMOVNYE PUTI ODNOPARAMETRI^ESKIM SEMEJSTWOM FUNKCIJ qj = qj (t ) t0 6 t 6 t1 jj 6 < 1 j = 1 : : : n GDE ZNA^ENI@ = 0 OTWE^AET PRQMOJ PUTX, A ZNA^ENIQM = 6 0 | OKOLXNYE PUTI. tOGDA DEJSTWIE (14), O^EWIDNO, QWLQETSQ FUNKCIEJ PARAMETRA : Q() =
Zt
t0
1
Lqj (t ) q_j (t ) t] dt:
wARIACIQ Q PRI WARXIROWANII PARAMETRA ESTX
Zt1 Zt1 X n @L @q @L qj + @ q_ q_j dt Q = @ d = L dt = j j =1 @qj t0
t0
(15)
T. E. RAWNA SUMME PRIRA]ENIJ, WYZWANNYH WARIACIEJ KOORDINAT qj (t ) I SKOROSTEJ q_j (t ).
x 1]
101 pROINTEGRIROWAW PO ^ASTQM WTOROJ ^LEN W PRAWOJ ^ASTI (15), PO-
LU^AEM
wariacionnye principy w mehanike
t Zt n X d @L @L ; q dt Q = @ q_ (q_j ) ; t j=1 dt @q_j @qj j j =1 j n @L X
1
1
t0
0
ILI, ISPOLXZUQ PERESTANOWO^NOSTX OPERACIJ WARXIROWANIQ PO I DIFFERENCIROWANIQ PO t: (q_j ) =
dq_ (t ) j
dt
@ d q (t ) = d @ q (t ) = d q = @ dt j dt @ j dt j
PRIHODIM K RAWENSTWU
t Zt n X d @L @L Q = @ q_ qj ; dt @ q_j ; @qj qj dt: j =1 j j =1 t n @L X
1
1
t0
(16)
0
pO POSTROENI@ WARIACII qj () RAWNY NUL@ W MOMENTY t0 , t1 , T. E. RAWEN NUL@ PERWYJ ^LEN W PRAWOJ ^ASTI (16). dLQ PRQMOGO PUTI PO OPREDELENI@ SPRAWEDLIWY URAWNENIQ lAGRANVA (11), PO\TOMU RAWEN NUL@ TAKVE I WTOROJ ^LEN. tAKIM OBRAZOM, NA PRQMOM PUTI Q = 0. w \TOM SOSTOIT MATEMATI^ESKOE WYRAVENIE PRINCIPA gAMILXTONA. eGO E]E NAZYWA@T PRINCIPOM NAIMENXEGO DEJSTWIQ, POSKOLXKU DEJSTWIE WDOLX PRQMOGO PUTI, KAK MOVNO POKAZATX PRI NEKOTORYH DOPOLNITELXNYH PREDPOLOVENIQH, IMEET NAIMENXEE W SRAWNENII S OKOLXNYMI PUTQMI ZNA^ENIE. dLQ BOLEE OB]IH MEHANI^ESKIH SISTEM (NE POD^INQ@]IHSQ URAWNENIQM (11)) SHOVEE UTWERVDENIE NAZYWAETSQ PRINCIPOM gAMILXTONA| oSTROGRADSKOGO. nAPOMNIM, ^TO W TERMINAH WARIACIONNOGO IS^ISLENIQ URAWNENIQ (11) NAZYWA@TSQ DIFFERENCIALXNYMI URAWNENIQMI |JLERA DLQ WARIACIONNOJ ZADA^I
Zt
1
Q = L(q q_ t) dt = 0 t0
PRQMOJ PUTX | \KSTREMALX@, A OTWE^A@]EE EMU ^ISLO Q( = 0) | STACIONARNYM ZNA^ENIEM FUNKCIONALA Q. nETRUDNO UBEDITXSQ W SPRAWEDLIWOSTI UTWERVDENIQ, OBRATNOGO PRINCIPU gAMILXTONA: ESLI DLQ NEKOTOROGO PUTI WYPOLNQETSQ SWOJSTWO Q = 0, TO \TOT PUTX QWLQETSQ PRQMYM (UPR. 3). pO\TOMU WSE TRI RASSMOTRENNYH WYE PODHODA RAWNOPRAWNY I MOGUT BYTX POLOVENY W OSNOWU MATEMATI^ESKOGO OPISANIQ MEHANI^ESKIH SISTEM. 4. zAKONY SOHRANENIQ I SWOJSTWA PROSTRANSTWA-WREMENI. aNALIZ INTEGRALXNYH MEHANI^ESKIH HARAKTERISTIK NE SWODITSQ K FORMULIROWKE PRINCIPA gAMILXTONA I RAZLI^NYH EGO OBOB]ENIJ. oN POZWOLQET USTANOWITX I DRUGIE FUNDAMENTALXNYE SWOJSTWA MEHANI^ESKIH SISTEM. pRODEMONSTRIRUEM NEKOTORYE IZ \TIH SWOJSTW W SLU^AE
102
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
DWIVENIJ W POTENCIALXNYH POLQH, KOGDA KAK WNENIE, TAK I WNUTRENNIE SILY, DEJSTWU@]IE NA TO^KI SISTEMY, POTENCIALXNY. dLQ \TOGO PONADOBITSQ WY^ISLITX WARIACI@ DEJSTWIQ Q NA BOLEE OB]EM, NEVELI SOWOKUPNOSTX PRQMYH I OKOLXNYH PUTEJ IZ P. 3, SEMEJSTWE KRIWYH W (n + 1)-MERNOM PROSTRANSTWE q1 : : : qn t. rASSMOTRIM \TO ODNOPARAMETRI^ESKOE SEMEJSTWO
q1 = q1(t ) : : : qn = qn(t ) (17) GDE | PARAMETR, ODNOZNA^NO OPREDELQ@]IJ KRIWU@, W ^ASTNOSTI EE NIVNIJ I WERHNIJ KONCY W PROSTRANSTWE q, t (RIS. 38). nA PU^OK (17) NE NAKLADYWAETSQ KAKIH-LIBO OGRANI^ENIJ, PO\TOMU KRIWYE MOGUT NA^INATXSQ I KON^ATXSQ W RAZNYE MOMENTY WREMENI t0 () I t1(), PERESEKATXSQ MEVDU SOBOJ,
RAZNYE KRIWYE MOGUT SOWPADATX W NA^ALXNYE I KONE^NYE MOMENTY I T. D. wARIACIQ DEJSTWIQ Q =
tZ1 ()
t0 ()
L(q q_ t) dt
NA PU^KE (17) NAHODITSQ S POMO]X@ RASSUVDENIJ, WPOLNE ANALOGI^NYH TEM, ^TO ISPOLXZOWALISX PRI POLU^ENII (16), ODNAKO SOOTWETSTWU@]IE WYKLADKI GORAZDO SLOVNEE, TAK KAK NA^ALXNOE I KONE^NOE POLOVENIQ KRIWYH SEMEJSTWA W PROSTRANSTWE q, t ZAWISQT OT PARAMETRA . pO\TOMU PRIWEDEM TOLXKO KONE^NYJ REZULXTAT: OB]AQ FORMULA DLQ Q W SLU^AE ODNOPARAMETRI^ESKOGO PU^KA (17) IMEET WID rIS. 38
0n 1t () tZ() n X X d @L @L Q = @ pj qj ; H tA ; q dt: (18) ; t () t () j=1 dt @q_j @qj j j =1 1
0
1
0
sMYSL FUNKCIJ pj I H BUDET RAZ_QSNEN NIVE. o^EWIDNO, ^TO ESLI NA^ALA I KONCY WSEH KRIWYH PU^KA SOWPADA@T, TO qj = t = 0, I IZ (18) SRAZU SLEDUET (16), ILI PRINCIP gAMILXTONA. fUNKCII pj I FUNKCIQ H NAZYWA@TSQ SOOTWETSTWENNO OBOB]ENNYMI IMPULXSAMI I GAMILXTONIANOM SISTEMY. wELI^INY pj WWODQTSQ KAK ^ASTNYE PROIZWODNYE LAGRANVIANA PO SKOROSTQM q_j : pj = @@L q_ = pj (q q_ t) j
j = 1 : : : n
(19)
I W PROSTEJEM SLU^AE DWIVENIQ TO^KI W DEKARTOWYH KOORDINATAH W STACIONARNOM POTENCIALXNOM POLE (FUNKCIQ ! IZ P. 2 NE ZAWISIT QWNO OT WREMENI) SOWPADA@T S PROEKCIQMI KOLI^ESTWA DWIVENIQ NA OSI x, y, z. w SILU NE OBSUVDAEMYH ZDESX OB]IH SWOJSTW LAGRANVIANA
x 1]
wariacionnye principy w mehanike
103
SOOTNOENIQ (19) MOGUT BYTX RAZREENY OTNOSITELXNO OBOB]ENNYH SKOROSTEJ: q_j = hj (q p t)
T. E. SU]ESTWUET WZAIMNO ODNOZNA^NYJ PEREHOD OT LAGRANVEWYH PEREMENNYH q, q,_ t K TAK NAZYWAEMYM GAMILXTONOWYM PEREMENNYM q, p, t. fUNKCIQ H OPREDELQETSQ RAWENSTWOM H(q p t) =
n X j =1
pj q_j ; L
(20)
GDE LAGRANVIAN L I OBOB]ENNYE SKOROSTI WYPISANY W PEREMENNYH q, p, t. gAMILXTONIAN IGRAET WAVNU@ ROLX PRI IZU^ENII POTENCIALXNYH DWIVENIJ, W ^ASTNOSTI POTOMU, ^TO IZ URAWNENIJ lAGRANVA (11) POLU^A@TSQ URAWNENIQ DWIVENIQ W FORME gAMILXTONA (KANONI^ESKIE URAWNENIQ) @H p_ = ; @H q_j = @p j @q j
j
j = 1 : : : n
(21)
I NAOBOROT (UPR. 4). fUNKCIQ H IMEET QSNYJ MEHANI^ESKIJ SMYSL: ESLI PREOBRAZOWANIQ ISHODNOJ SISTEMY (8) STACIONARNY (QWNO NE ZAWISQT OT t), TO W L@BOJ MOMENT WREMENI GAMILXTONIAN ^ISLENNO RAWEN POLNOJ \NERGII SISTEMY, T. E. H = T + ! = E:
pOSLE \TIH POQSNENIJ USTANOWIM SWQZX ZAKONOW SOHRANENIQ W MEHANIKE SO SWOJSTWAMI PROSTRANSTWA I WREMENI. rASSMOTRIM ODNOPARAMETRI^ESKOE PREOBRAZOWANIE SISTEMY OTS^ETA q, t qj = 'j (q t )
j = 1 : : : n t = (q t ) (22) TAKOE, ^TO ONO TOVDESTWENNO PRI = 0 I DLQ NEGO SU]ESTWUET OBRATNOE PREOBRAZOWANIE. pUSTX LAGRANVIAN ZADANNOJ MEHANI^ESKOJ SISTEMY, DWIVU]EJSQ W POTENCIALXNOM POLE, INWARIANTEN OTNOSITELXNO PREOBRAZOWANIJ (q q_ t ) NE ZAWISIT OT (22). |TO ZNA^IT, ^TO NOWYJ LAGRANVIAN L I KAK FUNKCIQ q , q_ , t IMEET TOT VE WID, ^TO I ISHODNYJ LAGRANVIAN W PEREMENNYH q, q,_ t. tOGDA SU]ESTWUET FUNKCIQ OT p, q, t @j n X j ; H (23) (q p t) = pj @' @ =0 @ =0 j =1
NE MENQ@]AQ NA PRQMYH PUTQH SWOEGO ZNA^ENIQ S TE^ENIEM WREMENI (PERWYJ INTEGRAL DWIVENIQ). w (23) pj , H | SOOTWETSTWENNO OBOB]ENNYE IMPULXSY (19) I GAMILXTONIAN (20), ZAPISANNYE W PEREMENNYH p, q, t. sHEMA DOKAZATELXSTWA SFORMULIROWANNOGO UTWERVDENIQ (TEOREMA n"ETER) WYGLQDIT TAK. w PROSTRANSTWE q, t WYBIRAETSQ KRIWAQ q(t), NA KOTOROJ Q = 0, T. E. OTWE^A@]AQ ^ASTI NEKOTOROGO PRQMOGO PUTI NA
104
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
OTREZKE t0 t1 ]. w SOOTWETSTWII S (22) \TA KRIWAQ POROVDAET W PROSTRANSTWE q , t SEMEJSTWO KRIWYH q (t ). nA NIH, W SILU INWARIANTNOSTI LAGRANVIANA, WARIACIQ DEJSTWIQ RAWNA NUL@ PRI WSEH ZNA^ENIQH , ILI, PO FORMULE (18), PRIMENENNOJ DLQ PROSTRANSTWA q , t ,
0n 1t () X Q = @ pj qj ; H t A ; t () j =1 1 tZ()0 n @L X @L d ; @ ; A qj dt = 0:
1
0
1
t0 ()
j =1 dt
@ q_
@qj
(24)
eSLI W (24) POLOVITX = 0, T. E. WZQTX TOVDESTWENNOE PREOBRAZOWANIE, TO PODYNTEGRALXNOE WYRAVENIE OBRA]AETSQ W NULX, TAK KAK W KOORDINATAH q, t KRIWAQ q(t) | PRQMOJ PUTX , I NA NEM UDOWLETWORQ@TSQ URAWNENIQ lAGRANVA (11) DLQ L = L . zNA^IT, NEOBHODIMO, ^TOBY WYPOLNQLOSX
20 1t ()3 n 64 @X(pj qj ; H t)A 75
1
j =1
= 0:
t0 () =0
oTS@DA S U^ETOM SWOJSTW PREOBRAZOWANIQ (22) NETRUDNO WY^ISLITX qj I t I, USTREMIW K NUL@, POLU^ITX FORMULU (23). pOSKOLXKU PRQMOJ PUTX I TO^KI t0 , t1 BYLI WYBRANY PROIZWOLXNO, TO UTWERVDENIE TEOREMY SPRAWEDLIWO DLQ L@BOGO PRQMOGO PUTI (DLQ WSEH ISTINNYH DWIVENIJ) SISTEMY. iZ TEOREMY n"ETER SLEDUET ZAKON SOHRANENIQ POLNOJ MEHANI^ESKOJ \NERGII DLQ SISTEM, LAGRANVIAN (TAK VE KAK I GAMILXTONIAN) KOTORYH QWNO NE ZAWISIT OT WREMENI, ILI KONSERWATIWNYH SISTEM. dEJSTWITELXNO, WZQW W KA^ESTWE (22) SDWIG PO WREMENI qj = qj
t = t + LEGKO UBEDITXSQ W INWARIANTNOSTI LAGRANVIANA I IZ (23) POLU^ITX ; = H = T + ! = const: j = 1 : : : n
aNALOGI^NYM OBRAZOM USTANAWLIWA@TSQ ZAKON SOHRANENIQ KOLI^ESTWA DWIVENIQ DLQ ZAMKNUTOJ (NE ISPYTYWA@]EJ DEJSTWIQ WNENIH SIL) SISTEMY (UPR. 5) I RQD DRUGIH ZAKONOW MEHANIKI. pRI RASSMOTRENII DWIVENIJ NE NA ODNOM PRQMOM PUTI, A NA NEKOTORYH WYDELENNYH MNOVESTWAH PRQMYH PUTEJ POLU^A@TSQ BOLEE OB]IE PERWYE INTEGRALY MEHANI^ESKIH SISTEM | INTEGRALXNYE INWARIANTY. nEKOTORYE IZ NIH MOGUT BYTX POLOVENY, KAK I PRINCIP gAMILXTONA, W OSNOWU MEHANIKI. gLUBOKAQ SWQZX URAWNENIJ DWIVENIQ, ZAKONOW SOHRANENIQ, WARIACIONNYH PRINCIPOW I SWOJSTW SIMMETRII POZWOLQET \KWIWALENTNYM OBRAZOM ISPOLXZOWATX RAZNOOBRAZNYE PODHODY DLQ POSTROENIQ MATEMATI^ESKIH MODELEJ MEHANI^ESKIH SISTEM. zAMETIM, ^TO INWARIANTNYE
x 2]
105 SWOJSTWA OB_EKTOW \FFEKTIWNO PRIMENQ@TSQ NE TOLXKO DLQ POSTROENIQ, NO I DLQ ANALIZA (SM., NAPRIMER, GL. V) MODELEJ MNOGIH QWLENIJ. modeli nekotoryh mehani~eskih sistem
upravneniq 1. pOKAVITE, ^TO URAWNENIQ (3) OPISYWA@T DWIVENIE ARIKOW S MASSAMI m1 , m2 , SOEDINENNYH NEWESOMOJ PRUVINOJ S VESTKOSTX@ k (l | DLINA NENAGRUVENNOJ PRUVINY, r1 (t) 6 r2 (t)). pROWERXTE INWARIANTNOSTX URAWNENIJ PRI PEREHODE OT ODNOJ INERCIALXNOJ SISTEMY K DRUGOJ. 2. wZQW W KA^ESTWE (8) TOVDESTWENNOE PREOBRAZOWANIE ISHODNOJ SISTEMY OTS^ETA, UBEDITESX W TOM, ^TO IZ URAWNENIJ (9) POLU^AETSQ POKOORDINATNAQ FORMA ZAPISI URAWNENIJ (1). 3. pROWERXTE, ISPOLXZUQ RAWENSTWO (16), ^TO DLQ PUTI, WDOLX KOTOROGO Q = 0, UDOWLETWORQ@TSQ URAWNENIQ lAGRANVA (11). 4. uSTANOWITE \KWIWALENTNOSTX URAWNENIJ gAMILXTONA (21) I lAGRANVA (11) NA PRIMERE DWIVENIQ ODNOJ MATERIALXNOJ TO^KI W STACIONARNOM POTENCIALXNOM POLE, RASSMATRIWAQ EGO W DEKARTOWYH KOORDINATAH x, y, z. 5. w OTSUTSTWIE WNENIH SIL POTENCIALXNAQ \NERGIQ SISTEMY, A ZNA^IT, I FUNKCIQ lAGRANVA NE MENQ@TSQ PRI SDWIGE NA^ALA KOORDINAT . wZQW W KA^ESTWE (22) PREOBRAZOWANIE DEKARTOWYH KOORDINAT xi = xi + P , y = yi , z = zi (i = 1 :: : N ), t = t, UBEDITESX W TOM, ^TO (23) IMEET WID = Ni=1 mi x_ i = const, T. E. ^TO DLQ TAKOJ SISTEMY SPRAWEDLIW ZAKON SOHRANENIQ KOLI^ESTWA DWIVENIQ W PROEKCII NA OSX x.
x 2. mODELI NEKOTORYH MEHANI^ESKIH SISTEM uRAWNENIQ lAGRANVA I PRINCIP gAMILXTONA PRIMENIM DLQ OPISANIQ RAZLI^NYH TIPOW DWIVENIQ MAQTNIKA I MALYH KOLEBANIJ STRUNY, A TAKVE KOLEBANIJ \LEKTRI^ESKOGO TOKA W KONTURE, DLQ ^EGO ISPOLXZUEM \LEKTROMEHANI^ESKU@ ANALOGI@. oBSUDIM NEKOTORYE SWOJSTWA IZU^AEMYH PROCESSOW. 1. mAQTNIK NA SWOBODNOJ PODWESKE. sISTEMA SOSTOIT IZ DWUH TO^E^NYH MASS, m1 I m2 , SOEDINENNYH NEWESOMYM VESTKIM STERVNEM DLINY l (RIS. 39). dWIVENIE PROISHODIT W POLE SILY TQVESTI I S^ITAETSQ PLOSKIM, T. E. RASSMATRIWAETSQ W SISTEME OTS^ETA x, y, t. tO^KA S MASSOJ m1 (PODWESKA) NE ZAKREPLENA, A MOVET PEREME]ATXSQ WDOLX OSI x (SR. S P. 3 x 3 GL. I). dLQ OPISANIQ PLOSKOGO DWIVENIQ DWUH TO^EK W ISHODNOJ SISTEME OTS^ETA NEOBHODIMO, WOOB]E GOWORQ, NAJTI IZ URAWNENIJ (1) x 1 ^ETYRE FUNKCII WREMENI, x1(t), y1 (t), x2(t), y2 (t), T. E. DEKARTOWY KOORDINATY PERWOJ I WTOROJ TO^EK. oDNAKO IZU^AEMAQ SISTEMA NESWOBODNA, POSKOLXrIS. 39 KU SODERVIT DWE MEHANI^ESKIE SWQZI (P. 2 x 1). oDNA IZ NIH OPISYWAETSQ URAWNENIEM y1 0 (PODWESKA NE MOVET SOWERATX WERTIKALXNYH PEREME]ENIJ), A WTORAQ | URAWNENIEM (x1 ; x2)2 + y22 = l2 (RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI PRI L@BOM t
106
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
RAWNO DLINE STERVNQ). pO\TOMU PRI PEREHODE K URAWNENIQM lAGRANVA DOSTATO^NO WYBRATX (PO ^ISLU STEPENEJ SWOBODY) LIX DWE NOWYE NEZAWISIMYE KOORDINATY. wOZXMEM W KA^ESTWE OBOB]ENNYH KOORDINAT WELI^INY q1(t) = x1(t) I q2(t) = (t), GDE | UGOL MEVDU WERTIKALX@ I OSX@ STERVNQ. tAKOJ WYBOR SOOTWETSTWUET PREOBRAZOWANI@ (8) x 1 WIDA x1 = q1 x2 = q1 + l sin q2 y2 = ;l cos q2: wYRAZIM SNA^ALA KINETI^ESKU@ \NERGI@ SISTEMY T = T1 + T2 W KOORDINATAH q1, q2. dLQ PODWESKI IMEEM 2 2 2 T1 = m12v1 = m12v1 x = m12x_ 1 :
dLQ MAQTNIKA POLU^AEM
2 T2 = m22v2 = m22 (v22 x + v22 y ): s POMO]X@ RAWENSTW v2x = x_ 1 + l_ cos , v2 y = l_ sin , PERWOE IZ KOTORYH U^ITYWAET SOSTAWNOE DWIVENIE MASSY m2 WDOLX OSI x KAK SUMMU DWIVENIJ WMESTE S PODWESKOJ I OTNOSITELXNO NEE, ZAPIEM WELI^INU T2 KAK FUNKCI@ x1, : 2 T2 = m22x_ 2 + m22 (2l_ x_ 1 cos + l2 _ 2): rASSMOTRIM TEPERX SILY, DEJSTWU@]IE NA TO^KI m1 , m2 . sILA TQVESTI I WERTIKALXNAQ PROEKCIQ R1y REAKCII STERVNQ R~ 1, PRILOVENNYE K PODWESKE, URAWNOWEIWA@TSQ REAKCIEJ OPORY, I PO\TOMU WERTIKALXNAQ RAWNODEJSTWU@]AQ SILA RAWNA NUL@. sILA F1 x PREDSTAWLQET SOBOJ, O^EWIDNO, GORIZONTALXNU@ PROEKCI@ REAKCII STERVNQ (SWQZI) R1x . pRI LAGRANVEWOM PODHODE SILY REAKCII STERVNQ NA DWIVENIE KAK PODWESKI, TAK I MAQTNIKA, T. E. SILY R~ 1 I R~ 2, U^ITYWATX NET NEOBHODIMOSTI (KONKRETNYJ PRIMER SODERVITSQ W P. 2). pO\TOMU IZ WSEH DEJSTWU@]IH SIL DOSTATO^NO PRINQTX WO WNIMANIE TOLXKO SILU TQVESTI F~2 , DEJSTWU@]U@ NA MAQTNIK. dLQ EE PROEKCIJ IMEEM RAWENSTWA @! F2x = 0 F2y = ;m2 g = ;m2 @y 2 GDE !(y2 ) = m2 gy2 | POTENCIALXNAQ \NERGIQ MAQTNIKA. w KOORDINATAH q1, q2 !(y2 ) WYRAVAETSQ FORMULOJ V (q2) = ;m2 lg cos : tAK KAK IZU^AEMOE DWIVENIE POTENCIALXNO, TO SLEDUET WOSPOLXZOWATXSQ URAWNENIQMI lAGRANVA (11) x 1, GDE j = 1 2, i = 1 2, I L = T ; V = T1 + T2 ; V ILI, W RAZWERNUTOM WIDE, L = m1 +2 m2 x_ 21 + m22 l (l_ 2 + 2x_ 1cos _ ) + m2 lg cos : (1)
x 2]
107 iZ (1) DIFFERENCIROWANIEM PO q1, q_1, q2, q_2 (NAPOMNIM, ^TO q1 = x1, q2 = ) POLU^AEM @L @L _ @q1 = 0 @ q_1 = (m1 + m2 ) x_ 1 + m2 lcos modeli nekotoryh mehani~eskih sistem
@L @L @q2 = ;m2 l sin (x_ 1_ + g) @ q_2 = m2 l (l_ + x_ 1 cos ):
pODSTAWLQQ POLU^ENNYE WYRAVENIQ W URAWNENIQ lAGRANVA I PROIZWODQ DIFFERENCIROWANIE PO t, PRIHODIM K DWUM URAWNENIQM OTNOSITELXNO x1, : (m1 + m2 ) x"1 + m2 l cos " = m2 l sin _ 2 (2) cos x"1 + l" = ;g sin PREDSTAWLQ@]IM SOBOJ MODELX IZU^AEMOJ SISTEMY. w SOOTWETSTWII S OB]IMI SWOJSTWAMI LAGRANVEWA FORMALIZMA URAWNENIQ (2) RAZREIMY OTNOSITELXNO x"1 , " I PRI IZWESTNYH ZNA^ENIQH NA^ALXNYH OBOB]ENNYH KOORDINAT I OBOB]ENNYH SKOROSTEJ POZWOLQ@T NAJTI KOORDINATY I SKOROSTI TO^EK W L@BOJ MOMENT WREMENI. nELINEJNAQ SISTEMA ^ETWERTOGO PORQDKA (2) LEGKO SWODITSQ K URAWNENI@ WTOROGO PORQDKA, NAPRIMER ISKL@^ENIEM IZ NEE WELI^INY x"1: l (m1 + m2 sin2 ) " = ; sin m2l cos _ 2 + (m1 + m2 ) g]: (3) |TOT REZULXTAT | SLEDSTWIE INWARIANTNOSTI LAGRANVIANA (1) OTNOSITELXNO DWUH ODNOPARAMETRI^ESKIH SEMEJSTW PREOBRAZOWANIJ. pERWOE IZ NIH DAETSQ FORMULOJ x1 = x1 + (L NE MENQETSQ PRI SDWIGE KOORDINATY x1 ), A WTOROE | FORMULOJ = + m sign 2 , GDE m = 1 2 : : : | PARAMETR PREOBRAZOWANIQ (L NE MENQETSQ PRI POWOROTE SISTEMY KOORDINAT NA UGOL, KRATNYJ 2 ). sOGLASNO TEOREME n"ETER (P. 4 x 1) U SISTEMY IME@TSQ DWA PERWYH INTEGRALA, OPREDELQEMYE PO FORMULE (23) x 1, I PO\TOMU EE PORQDOK MOVET BYTX PONIVEN NA DWE EDINICY. e]E ODIN INTEGRAL SISTEMY O^EWIDEN: LAGRANVIAN (1) NE ZAWISIT QWNO OT WREMENI (KONSERWATIWNOSTX), I SOHRANQETSQ EE POLNAQ \NERGIQ H = = T + V . |TO SWOJSTWO OBESPE^IWAET WOZMOVNOSTX PONIVENIQ PORQDKA SISTEMY (2) E]E NA ODNU EDINICU I SWEDENIQ (3) K URAWNENI@ PERWOGO PORQDKA (UPR. 1). dANNYJ PRIMER HOROO ILL@STRIRUET RAZLI^IE MEVDU LAGRANVEWYM I NX@TONOWYM PODHODAMI K OPISANI@ DWIVENIQ MEHANI^ESKIH SISTEM. uRAWNENIQ nX@TONA DLQ PODWESKI I MAQTNIKA W KOORDINATNOJ FORME WYGLQDQT TAK: m1 x"1 = R1 (x2 ; x1)=l m2 x"2 = ;R1 (x2 ; x1)=l (4) m2 y"2 = ;R2y2 =l ; m2 g
108
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
GDE R1 = R2 = R | MODULX WEKTORA REAKCIJ STERVNQ, PRILOVENNYH K MASSAM m1 I m2 (SM. RIS. 39), PRI^EM O^EWIDNO, ^TO R~ 1 = ;R~ 2. rEAKCIQ SOZDAETSQ NATQVENIEM STERVNQ, KOTORYJ W IDEALIZIROWANNOJ POSTANOWKE S^ITAETSQ ABSOL@TNO VESTKIM, I EGO DEFORMACIEJ PRENEBREGAETSQ. tRI URAWNENIQ (4) SODERVAT ^ETYRE NEIZWESTNYH WELI^INY: x1, x2, y2 , R. sISTEMU (4) MOVNO ZAMKNUTX, ISPOLXZUQ URAWNENIE SWQZI (x2 ; x1 )2 + y22 = l2 , I PRIJTI K NEKOTOROMU NELINEJNOMU URAWNENI@ WTOROGO PORQDKA (SM. TAKVE UPR. 2). oDNAKO W SLU^AE BOLEE SLOVNYH SISTEM \TA GROMOZDKAQ PROCEDURA STANOWITSQ FAKTI^ESKI NEOSU]ESTWIMOJ. pRI SOSTAWLENII URAWNENIJ lAGRANVA ONA NE TREBUETSQ (^TO I POSLUVILO PERWONA^ALXNOJ PRI^INOJ RAZRABOTKI LAGRANVEWA FORMALIZMA). kROME TOGO, INWARIANTNYE SWOJSTWA LAGRANVIANA QSNO UKAZYWA@T NA SU]ESTWOWANIE PERWYH INTEGRALOW DWIVENIQ, ^TO SU]ESTWENNO UPRO]AET ISSLEDOWANIE. pOLU^A@]EESQ IZ (3) URAWNENIE PERWOGO PORQDKA OTNOSITELXNO NETRUDNO IZU^ITX W PLOSKOSTI FUNKCIJ , d=dt (FAZOWOJ PLOSKOSTI) I OPREDELITX WSE HARAKTERISTIKI DWIVENIQ W ZAWISIMOSTI OT NA^ALXNYH DANNYH. oGRANI^IMSQ RASSMOTRENIEM MALYH KOLEBANIJ SISTEMY, KOGDA 1. oTBRASYWAQ W (3) ^LENY BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI, PRIHODIM K URAWNENI@ " = ; gl m1m+ m2 1
KOTOROE, O^EWIDNO, IMEET OB]EE REENIE (t) = A sin !t + B cos !t
GDE KONSTANTY A I B OPREDELQ@TSQ IZ NA^ALXNYH DANNYH, A ^ASTOTA KOLEBANIJ DAETSQ FORMULOJ !=
s g
m2 : 1 + l m1
pw SRAWNENII S VESTKO ZAKREPLENNYM MAQTNIKOM, DLQ KOTOROGO !0 = = g=l, ^ASTOTA UWELI^IWAETSQ, ZAWISIT OT ZNA^ENIJ m1 , m2 I RASTET TEM BOLXE, ^EM BOLXE STANOWITSQ OTNOENIE m2 =m1 , ^TO SWQZANO SO SWOBODNYM DWIVENIEM TO^KI KREPLENIQ. |TIM VE OB_QSNQETSQ E]E ODNO OTLI^IE, ZAKL@^A@]EESQ W SLEDU@]EM. pUSTX W NA^ALXNYJ MOMENT t = 0 OTKLONENIE MAQTNIKA RAWNO (0) > 0, A EGO SKOROSTX, KAK I SKOROSTX PODWESKI, RAWNA NUL@, T. E. \NERGIQ SISTEMY SOSREDOTO^ENA W POTENCIALXNOJ \NERGII MAQTNIKA. oNA POLNOSTX@ PREOBRAZUETSQ W EGO KINETI^ESKU@ \NERGI@ PRI PROHOVDENII IM NIZEJ TO^KI. w \TOT MOMENT SKOROSTX MAQTNIKA RAWNA v2 x = x_ 1 + l. pRI EE WY^ISLENII U^TEM, ^TO W DANNOM SLU^AE (t) = (0) cos !t I ^TO x"1 = ;l" ; g (POSLEDNEE RAWENSTWO WYTEKAET IZ LINEARIZOWANNOJ SISTEMY (2)). tAKIM
x 2]
modeli nekotoryh mehani~eskih sistem
OBRAZOM,
109
Zt
x_ 1 = ;l_ ; g(t) dt 0
ILI
Zt
v2 x = ;g (0) cos !t dt: 0
w INTERESU@]IJ NAS MOMENT t = =(2!) v2 x ( = 0) = ;g(0)
=Z(2!) 0
cos !t dt = ; g(0) ! :
|TO ZNA^ENIE W !=!0 RAZ MENXE MAKSIMALXNOJ SKOROSTI MAQTNIKA NA VESTKOJ PODWESKE | ZAPASENNAQ WNA^ALE \NERGIQ ^ASTI^NO PEREHODIT W KINETI^ESKU@ \NERGI@ PODWESKI. eSLI VE m1 ! 1 (O^ENX MASSIWNAQ PODWESKA), TO, ESTESTWENNO, KAK MALYE, TAK I KONE^NYE KOLEBANIQ SISTEMY SOWPADA@T S DWIVENIEM VESTKO ZAKREPLENNOGO MAQTNIKA. 2. nEPOTENCIALXNYE KOLEBANIQ. u^TEM TEPERX DEJSTWIE SIL TRENIQ NA MAQTNIK I PODWESKU, S^ITAQ IH PROPORCIONALXNYMI SKOROSTQM: F~1 = ; 1~v1 F~2 = ; 2~v2
1 > 0 2 > 0: tAK KAK SILY TRENIQ ZAWISQT OT SKOROSTEJ, TO DWIVENIE NEPOTENCIALXNO, I SLEDUET ISPOLXZOWATX URAWNENIQ lAGRANVA (9) x 1 S OBOB]ENNYMI SILAMI W PRAWYH ^ASTQH. wYBIRAQ, KAK I PREVDE, q1 = x1, q2 = , POLU^AEM IZ OB]EJ FORMULY (10) x 1 1 = F1 x
@x1 + F @y1 + F @x2 + F @y2 @q1 1y @q1 2 x @q1 2y @q1
@x1 + F @y1 + F @x2 + F @y2 @q2 1y @q2 2 x @q2 2y @q2 GDE F1x , F1y , F2x , F2 y | KOMPONENTY RAWNODEJSTWU@]IH SIL, PRILOVENNYH K MASSAM m1 , m2 (SM. RIS. 39). pRINQW WO WNIMANIE, ^TO F1y = 0, I RAWENSTWA @x1=@q1 = @x2 =@q1 = 1, @y1 =@q1 = @x1 =@q2 = 0, @x2 =@q2 = l cos q2, @y2 =@q2 = l sin q2, UPROSTIM WYRAVENIQ DLQ 1, 2 : 1 = F1 x + F 2 x (5) 2 = F2x l cos q2 + F2y l sin q2: 2 = F1 x
110
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
wYRAZIM KOMPONENTY DEJSTWU@]IH SIL W KOORDINATAH q1 = x1, q2 = : F1x = F1x + R1x = ; 1 v1 x + R1x = ; 1 x_ 1 + R sin F2x = F2x + R2x = ; 2 v2 x + R2x = ; 2 (x_ 1 + lcos _ ) ; Rsin F2y = F2y + R2y ; mg = ; 2v2 y + R2y ; m2 g = = ; 2l_ sin + Rcos ; m2 g GDE R | WELI^INA SILY REAKCII STERVNQ. pODSTAWLQQ IH W (5), POLU^IM 1 = ; ( 1 + 2 ) x_ 1 ; 2l_ cos (6) 2 = 2 lx_ 1 cos ; 2 l2 _ ; m2 gl sin : w SOOTWETSTWII S OB]IM SWOJSTWOM LAGRANVEWA FORMALIZMA REAKCII SWQZEJ, KAK WIDNO IZ (6), NE WOLI W OKON^ATELXNOE WYRAVENIE DLQ 1, 2. kINETI^ESKAQ \NERGIQ SISTEMY T NAJDENA W P. 1: _ ): T = m1 +2 m2 x_ 21 + m22 l (l_ 2 + 2x_ 1cos
wY^ISLQQ ANALOGI^NO P. 1 PROIZWODNYE dT=dq1 2 I dT=d_q1 2 I DIFFERENCIRUQ PO t, PRIDEM K URAWNENIQM lAGRANVA PRIMENITELXNO K RASSMATRIWAEMOJ SISTEME (m1 + m2 ) x"1 + m2 l cos " = m2 l sin _ 2 + 1 (7) m2 l cos x"1 + m2 l2 " = 2 : kAK I DLQ POTENCIALXNOGO DWIVENIQ, NELINEJNAQ SISTEMA ^ETWERTOGO PORQDKA (7) RAZREAETSQ OTNOSITELXNO STARIH PROIZWODNYH, I PRI ZADANNYH NA^ALXNYH ZNA^ENIQH x1(0), x_ 1 (0), (0), (0) _ IZ NEE OPREDELQ@TSQ POLOVENIQ I SKOROSTI MASS m1 , m2 W L@BOJ MOMENT WREMENI. oDNAKO, W OTLI^IE OT SISTEMY (2), U IZU^AEMOGO DWIVENIQ NET TREH PERWYH INTEGRALOW (TEOREMA n"ETER SPRAWEDLIWA DLQ POTENCIALXNYH DWIVENIJ), I EE PORQDOK MOVET BYTX PONIVEN LIX NA EDINICU (UPR. 3). e]E ODNO OTLI^IE ZAKL@^AETSQ W WIDE BALANSNOGO \NERGETI^ESKOGO SOOTNOENIQ E(0) = E(t) + A(t)
(8) GDE E(0) | POLNAQ NA^ALXNAQ \NERGIQ SISTEMY, E(t) = T (t) + V (t) | TEKU]AQ POLNAQ \NERGIQ, A(t) | RABOTA SIL TRENIQ, PROIZWEDENNAQ K MOMENTU t. mEHANI^ESKIJ SMYSL (8) SOSTOIT W TOM, ^TO WELI^INA UTRA^ENNOJ (DISSIPIROWANNOJ) \NERGII SISTEMY RAWNA RABOTE, SOWERENNOJ NAD NE@ NEPOTENCIALXNYMI SILAMI TRENIQ. pOLU^IM RAWENSTWO (8) DLQ PROSTOTY W SLU^AE 2 = 0 (TRENIE ISPYTYWAET LIX PODWESKA). iZ (6) IMEEM 1 = ; 1 x_ 1 2 = ;m2 lg sin:
x 2]
111 pODSTAWIM \TI WYRAVENIQ W (7), UMNOVIM PERWOE URAWNENIE NA x_ 1, WTOROE | NA ,_ SLOVIM OBA URAWNENIQ I PRIDEM K RAWENSTWU x"1 ((m1 + m2 ) x_ 1 + m2 l cos ) _ + " (m2 lx_ 1 cos + m2 l2 ) _ = = m2 l sin _ x_ 1 ; m2 lg sin _ ; 1 x_ 21: (9) sOOTNOENIE (9) SOWPADAET S PRODIFFERENCIROWANNYM PO WREMENI RAWENSTWOM (8), W KOTOROM POLNAQ \NERGIQ W MOMENT t ESTX E(t) = m1 +2 m2 x_ 21 + m22 l (l_ 2 + 2x_ 1cos _ ) ; m2 lg cos modeli nekotoryh mehani~eskih sistem
A RABOTA SILY TRENIQ DAETSQ FORMULOJ
Zt dx1 2 Zt dx1 A(t) = ; F1 dx1 = 1v1 dx1 = 1 dt dx1 = 1 dt dt: Zt
Zt
0
0
0
0
tAKIM OBRAZOM, (9) \KWIWALENTNO RAWENSTWU
0
d (E(t) + A(t)) = d @E(t) + Z dx1 1 dt dt dt t
0
2 1 dtA = 0
ILI, ^TO TO VE SAMOE, RAWENSTWU (8). tAK KAK
dE(t) = ; dx1 1 dt dt
2
6 0
TO W SRAWNENII S KONSERWATIWNOJ SISTEMOJ P. 1 POLNAQ \NERGIQ W DANNOM SLU^AE NE POSTOQNNA, A UBYWAET SO WREMENEM. pRI MALYH KOLEBANIQH VESTKO ZAKREPLENNOGO MAQTNIKA IZ (7) POLU^AEM URAWNENIE " = ; m 2 _ ; gl 2
\KWIWALENTNOE URAWNENI@ DWIVENIQ W WQZKOJ SREDE ARIKA NA PRUVINKE (P. 3 x 4 GL. I) I IME@]EE PROSTOE OB]EE REENIE. 3. mALYE KOLEBANIQ STRUNY. pRIMENIMOSTX PRINCIPA gAMILXTONA NE OGRANI^IWAETSQ SISTEMAMI MATERIALXNYH TO^EK. oN RASPROSTRANQETSQ NA OB_EKTY, NE QWLQ@]IESQ, STROGO GOWORQ, SOWOKUPNOSTQMI TO^E^NYH MASS. pRIMEROM SLUVIT UPRUGAQ NITX ILI STRUNA | SPLONAQ SREDA, KOTORU@, ODNAKO, MOVNO RASSMATRIWATX KAK MNOVESTWO PRIMYKA@]IH DRUG K DRUGU MATERIALXNYH TO^EK. bUDEM S^ITATX, ^TO TOL]INA STRUNY MNOGO MENXE EE DLINY l I ^TO ONA IMEET POSTOQNNU@ LINEJNU@ PLOTNOSTX 0 . nATQNUTAQ S SILOJ F0 STRUNA W SOSTOQNII RAWNOWESIQ NEPODWIVNA I PREDSTAWLQET SOBOJ PRQMU@ LINI@. pRI OTKLONENII OT RAWNOWESIQ, NAPRIMER, W REZULXTATE UDARA, STRU-
112
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
NA IZGIBAETSQ, EE U^ASTKI NA^INA@T DWIGATXSQ (RIS. 40). kOLEBANIQ S^ITA@TSQ PLOSKIMI I MALYMI | IH AMPLITUDA ZNA^ITELXNO MENXE DLINY STRUNY. |TO PREDPOLOVENIE POZWOLQET PRENEBRE^X PRODOLXNYMI SME]ENIQMI I SKOROSTQMI U^ASTKOW STRUNY, RASSMATRIWAQ TOLXKO POPERE^NOE IH DWIVENIE. pREDSTAWIM STRUNU KAK SOWOKUPNOSTX N MATERIALXNYH TO^EK S RAWNYMI MASSAMI mi = 0 l=N = 0 x, i = 1 : : : N. dLINA KAVDOGO U^ASTKA STRUNY, SODERVA]EGO MASSU mi , RAWNAQ x W POLOVENII RAWNOWESIQ I NESILXNO, WWIDU MALOSTI KOLEBANIJ, IZMENQ@]AQSQ PRI OTKLONENII OT NEGO, S^ITAETSQ MALOJ. pO\TOMU POLOVENIE i-J MATERIALXNOJ TO^KI W L@BOJ MOMENT WREMENI MOVNO OHARAKTERIZOWATX WELI^INAMI xi(t) (PRODOLXNOJ KOORDINATOJ CENTRA i-GO OTREZKA) I yi (t) (POPERE^NYM OTKLONENIEM CENTRA OTREZKA OT POLOVENIQ RAWNOWESIQ).
rIS. 40
wWEDENNYE TAKIM OBRAZOM OBOB]ENNYE (W DANNOM SLU^AE | DEKARTOWY) KOORDINATY POLNOSTX@ OPISYWA@T PLOSKOE DWIVENIE RASSMATRIWAEMOJ SISTEMY. w SILU MALOSTI OTKLONENIJ, KAK UVE OTME^ALOSX, dxi(t)=dt = vix = 0, T. E. KOORDINATY xi NE ZAWISQT OT WREMENI. sOSTAWLQ@]IE STRUNU MATERIALXNYE TO^KI SWQZANY MEVDU SOBOJ I PRI N ! 1, x ! 0 OBRAZU@T DLQ L@BOGO MOMENTA WREMENI W PLOSKOSTI x, y NEKOTORU@ KRIWU@ y = y(x t):
(10) w OTLI^IE OT RASSMATRIWAWIHSQ WYE MEHANI^E^ESKIH SWQZEJ, KOTORYE WSEGDA S^ITA@TSQ ZADANNYMI, SWQZX (10) NEIZWESTNA, I FUNKCIQ y(x t) PODLEVIT OPREDELENI@. eSLI ONA NAJDENA, TO TEM SAMYM IZWESTNY KOORDINATY yi = y(xi t), I POSKOLXKU KOORDINATY xi NE MENQ@TSQ S TE^ENIEM WREMENI, POLNOSTX@ IZWESTNO DWIVENIE SISTEMY. kINETI^ESKAQ \NERGIQ i-J MASSY OPREDELQETSQ PO FORMULE
2 1 @y 2 = 2 mi @ti :
i Ti = 21 mi vi2 y = 12 mi dy dt
pRI POLU^ENII \TOJ FORMULY ISPOLXZOWANO RAWENSTWO dyi =dt = @yi =@t, SPRAWEDLIWOE POTOMU, ^TO dxi=dt = 0. pOLNAQ KINETI^ESKAQ \NERGIQ
x 2]
modeli nekotoryh mehani~eskih sistem
113
SISTEMY RAWNA
@yi 2 1 X @y 2 N N X 1 T = 2 mi @t = 2 0 @t x: (11) i i=1 i=1 wY^ISLIM TEPERX SILY, DEJSTWU@]IE NA i-@ MASSU. pO PREDPOLOVENI@ O MALYH KOLEBANIQH Fix = 0. wERTIKALXNAQ KOMPONENTA Fiy OPREDELQETSQ KAK SUMMA WERTIKALXNYH KOMPONENT SILY NATQVENIQ STRUNY NA PRAWOM I LEWOM KONCAH i-GO OTREZKA. eGO UDLINENIE PRI OTKLONENII OT POLOVENIQ RAWNOWESIQ MALO, PO\TOMU SILU NATQVENIQ STRUNY MOVNO S^ITATX NEIZMENNOJ I RAWNOJ F0. tOGDA WERTIKALXNYE SOSTAWLQ@]IE SIL, PRILOVENNYH K PRAWOMU I LEWOMU KONCAM, SOOTWETSTWENNO RAWNY
x @y F; = ;F0 sin = ;F0 @x xi + 2
x @y F+ = F0 sin = F0 @x xi ; 2 (SM. RIS. 40 NAPOMNIM, ^TO SILA NATQVENIQ NAPRAWLENA PO KASATELXNOJ K STRUNE). w ITOGE POLU^AEM Fiy = F+ + F; = F0 yx (x ; x=2) ; yx (x + x=2)] ILI, U^ITYWAQ MALOSTX OTREZKA x, Fiy = ;F0 (yxx )i x: pRIMEM WO WNIMANIE, ^TO IZ (10) SLEDUET @y = yx @x, I PEREPIEM POSLEDNEE WYRAVENIE W WIDE
@ @ @ Fi y = ;F0 x @x yx = ;F0 x yx @y yx = ; 12 F0 x @y yx2 : i i i oTS@DA SRAZU WIDNO, ^TO WSE SILY Fiy , i = 1 : : : N, POTENCIALXNY, PRI^EM POTENCIALXNAQ \NERGIQ i-J MASSY DAETSQ FORMULOJ ; Vi = 21 F0 yx2 i x
A POLNAQ POTENCIALXNAQ \NERGIQ STRUNY ESTX
N ; X V = 12 F0 yx2 i x: i=1
(12)
pOSKOLXKU DWIVENIE SISTEMY POTENCIALXNO, TO K NEMU PRILOVIM PRINCIP gAMILXTONA, SFORMULIROWANNYJ W x 1. iZ (11), (12) POLU^AEM LAGRANVIAN
@y 2# N " @y 2 X 1 L(y y_ t) = T ; V = 2 0 @t ; F0 @x x i=1 i 8 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
y_ = @y @t :
114
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
dEJSTWIE PO gAMILXTONU WY^ISLQETSQ PO FORMULE
@y 2# Zt 1 X N " @y 2 Q(y y_ t) = L dt = 2 0 @t ; F0 @x x dt (13) Zt
1
1
t0
t0
i=1
i
GDE t0, t1 | DWA PROIZWOLXNYH MOMENTA WREMENI, W KOTORYE SISTEMA IMEET KOORDINATY yi (t0 ), yi (t1). pEREJTI IZ SOSTOQNIQ S yi (t0 ) W SOSTOQNIE S yi (t1 ) MOVNO, WOOB]E GOWORQ, MNOGIMI PUTQMI. pRINCIP gAMILXTONA WYDELQET IZ \TOGO MNOVESTWA ISTINNYJ PRQMOJ PUTX, DLQ KOTOROGO WARIACIQ DEJSTWIQ Q RAWNA NUL@. wY^ISLIM S POMO]X@ (13) WARIACI@ Q, PRIDAWAQ WARIACI@ yi KOORDINATAM I y_i | SKOROSTQM i-H TO^EK:
Zt
1
Q = L dt = t0
= 21
Zt X N " 1
t0 i=1
@y @ 20 @y ; F 0 @t @t @y
" 2# # @y
y x dt:
@x
i
(14)
pERWYJ ^LEN W PRAWOJ ^ASTI (14) WOZNIKAET W REZULXTATE WARXIROWANIQ SKOROSTI y_i , A WTOROJ | PRI WARXIROWANII KOORDINATY yi . dLQ PREOBRAZOWANIQ PERWOGO ^LENA PROINTEGRIRUEM EGO PO ^ASTQM, ISPOLXZUQ PERESTANOWO^NOSTX OPERACIJ WARXIROWANIQ I DIFFERENCIROWANIQ PO t, I, PRINIMAQ WO WNIMANIE, ^TO y(t0 ) = y(t1 ) = 0, POLU^IM
Zt X N
N @y x dt = Z X @ 2 y y x dt: 20 @y 0 @t @t i @t2 i i t0 i=1 t0 i=1 wTOROJ ^LEN S U^ETOM RAWENSTWA @y = yx @x PEREPISYWAETSQ W WIDE " 2# Zt1 X Zt1 @2y N 1 @ @y ;2 F0 @x i yi = ; F0 @x2 i yi x dt: i=1 @y
1 2
1
t0
t1
t0
pOSLE PODSTANOWKI \TIH WYRAVENIJ W (14) POLU^IM
Zt X N @2y @ 2 y y x dt: Q = 0 @t2 ; F0 @x i 2 i t i=1 1
0
pEREJDEM OT DISKRETNOJ SISTEMY MATERIALXNYH TO^EK, KOTOROJ PERWONA^ALXNO BYLA ZAMENENA STRUNA, K SPLONOJ SREDE. dLQ \TOGO W POSLEDNEM RAWENSTWE USTREMIM N ! 1, ZAMENIM x NA dx I OPUSTIM INDEKS i:
Zt Zl @2y 2y @ Q = 0 @t2 ; F0 @x2 y dx dt: t 0 1
0
x 2]
115 nA PRQMOM PUTI Q = 0, ^TO WOZMOVNO, LIX ESLI W POSLEDNEM RAWENSTWE PODYNTEGRALXNOE WYRAVENIE RAWNO NUL@ PRI WSEH x I t, T. E. @ 2 y = a2 @ 2 y a2 = F0 0 < x < l t > 0: (15) 0 @t2 0 @x2 0 sLEDOWATELXNO, PRI MALYH KOLEBANIQH STRUNY EE OTKLONENIE POD^INQETSQ URAWNENI@ (15), IZ KOTOROGO PRI SOOTWETSTWU@]IH KRAEWYH USLOWIQH OPREDELQETSQ FUNKCIQ y = y(x t). pRINCIP gAMILXTONA PRIMENITELXNO K RASSMATRIWAEMOJ SITUACII MOVNO TRAKTOWATX KAK SPOSOB POLU^ENIQ URAWNENIQ SWQZI (10). w SILU SWOJSTW LAGRANVIANA POLNAQ \NERGIQ H = T + V STRUNY SOHRANQETSQ SO WREMENEM (KONSERWATIWNOSTX DWIVENIQ NETRUDNO USTANOWITX TAKVE NEPOSREDSTWENNO IZ URAWNENIQ (15) SM. UPR. 4). uRAWNENIE MALYH KOLEBANIJ STRUNY (15) (! = 2 a0 = | ^ASTOTA KOLEBANIJ S DLINOJ WOLNY ) | LINEJNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA W ^ASTNYH PROIZWODNYH GIPERBOLI^ESKOGO TIPA. pRINCIP SUPERPOZICII POZWOLQET POLU^ITX EGO OB]EE REENIE KAK SUMMU ^ASTNYH REENIJ, ISPOLXZUQ SOOTWETSTWU@]IE METODY TEORII URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. oSNOWNOJ KRAEWOJ ZADA^EJ DLQ (15) QWLQETSQ PERWAQ KRAEWAQ ZADA^A NA OTREZKE 0 l], KOGDA DLQ ODNOZNA^NOGO OPREDELENIQ REENIQ ZADA@TSQ NA^ALXNYE OTKLONENIQ y(x 0) = y0 (x), 0 < x < l, SKOROSTI y(x _ 0) = = y_0 (x), 0 < x < l, I GRANI^NYE ZNA^ENIQ FUNKCII y(0 t) = y1(t), t > 0 I y(0 l) = y2 (t), t > 0. oSNOWNAQ ZADA^A DOPUSKAET RAZLI^NYE MODIFIKACII, SAMAQ PROSTAQ IZ KOTORYH | ZADA^A kOI, REAEMAQ NA WSEJ PRQMOJ ;1 < x < 1. tAKAQ IDEALIZACIQ OPRAWDANA W SLU^AE, ESLI RASSMATRIWAETSQ DWIVENIE CENTRALXNOJ ^ASTI STRUNY W TE^ENIE NEPRODOLVITELXNOGO WREMENI, I WLIQNIEM GRANIC MOVNO PRENEBRE^X. dLQ REENIQ ZADA^I kOI DOSTATO^NO ZNATX NA^ALXNYE SKOROSTI I KOORDINATY STRUNY, T. E. FUNKCII y0 (x), y_0 (x) PRI ;1 < x < 1. dLQ ^ASTNOGO WIDA DWIVENIJ, OBLADA@]IH SWOJSTWOM @y=@t = = c @y=@x, c = const (PROSTYE WOLNY), URAWNENIE (15) PEREHODIT W IZU^ENNOE W x 1 GL. II GIPERBOLI^ESKOE URAWNENIE PERWOGO PORQDKA, ILI URAWNENIE PERENOSA (SM. TAKVE UPR. 5). oTMETIM, ^TO OBY^NO URAWNENIE (15) POLU^A@T S POMO]X@ NEPOSREDSTWENNOGO PRIMENENIQ WTOROGO ZAKONA nX@TONA I ZAKONA gUKA K \LEMENTARNOMU U^ASTKU STRUNY. pRI \TOM PREDPOLOVENIQ O MALOSTI KOLEBANIJ, ODNORODNOSTI STRUNY I T. D. W OBOIH PODHODAH ODNI I TE VE. pO\TOMU I MATEMATI^ESKIE MODELI DWIVENIQ STRUNY W OBOIH SLU^AQH ODINAKOWY. 4. |LEKTROMEHANI^ESKAQ ANALOGIQ. rASPROSTRANENIE PRINCIPA gAMILXTONA WOZMOVNO NE TOLXKO NA PROCESSY DWIVENIQ SPLONYH SRED, NO I NA NEKOTORYE NEMEHANI^ESKIE OB_EKTY. rASSMOTRIM UVE IZU^AWIJSQ W x 5 GL. I KOLEBATELXNYJ KONTUR, SOSTOQ]IJ IZ KONDENSATORA S EMKOSTX@ C0 I KATUKI S INDUKTIWNOSTX@ L0 . w NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI CEPX RAZOMKNUTA, ZARQD SOSREDOTO^EN NA OBKLADKAH KONDENSATORA. pRI ZAMYKANII CEPI KONDENSATOR NA^INAET RAZRQVATXSQ, I PO NEJ IDET TOK. 8
modeli nekotoryh mehani~eskih sistem
116
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
|LEKTROMEHANI^ESKAQ ANALOGIQ ZAKL@^AETSQ W SLEDU@]EM. oBOB]ENNOJ KOORDINATE OTWE^AET ZARQD NA OBKLADKAH KONDENSATORA | NEIZWESTNAQ FUNKCIQ WREMENI q = q(t). wELI^INA \LEKTRI^ESKOGO TOKA q(t) _ = dq(t)=dt = i(t) IGRAET ROLX OBOB]ENNOJ SKOROSTI. dLQ PRAWILXNOGO OPREDELENIQ ANALOGOW KINETI^ESKOJ \NERGII (\NERGII DWIVENIQ) I POTENCIALXNOJ \NERGII (\NERGII KONDENSATORA) BUDEM RUKOWODSTWOWATXSQ SLEDU@]IMI NAWODQ]IMI SOOBRAVENIQMI. |NERGIQ PEREME]A@]IHSQ PO PROWODNIKU ZARQDOW (\NERGIQ TOKA) PROPORCIONALXNA KWADRATU SKOROSTI v IH NAPRAWLENNOGO DWIVENIQ. s DRUGOJ STORONY, ZARQD, PROHODQ]IJ ^EREZ POPERE^NOE SE^ENIE S PROWODNIKA W EDINICU WREMENI (TOK), RAWEN i = q0nSv, GDE q0 , n | WELI^INY \LEMENTARNOGO ZARQDA I OB_EMNOJ KONCENTRACII PERENOS^IKOW2 TOKA2 SOOTWETSTWENNO. sLEDOWATELXNO, \NERGIQ DWIVENIQ ^ASTIC T v i , T. E. PROPORCIONALXNA KWADRATU TOKA q(t) _ = i(t). kO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI (ANALOG MASSY) BERETSQ RAWNYM L0 , T. E. T = T(q)_ = 12 L0 q_2:
pOTENCIALXNAQ \NERGIQ KONTURA SODERVITSQ W KONDENSATORE. dLQ EGO ZARQDKI TREBUETSQ ZATRATITX OPREDELENNU@ RABOTU PO RAZDELENI@ RAZNOIMENNYH ZARQDOW. sOGLASNO ZAKONU kULONA SILA, PREPQTSTWU@]AQ \TOMU, KAK FUNKCIQ ZARQDOW q1 , q2 PROPORCIONALXNA 2IH PROIZWEDENI@ q1q2 (ESLI q1 = q2 = q, TO SILA PROPORCIONALXNA q ). tAKIM OBRAZOM, RABOTA PO RAZDELENI@ ZARQDOW, T. E. POTENCIALXNAQ \NERGIQ SISTEMY V , PROPORCIONALXNA KWADRATU OBOB]ENNOJ KOORDINATY: V = V (q) = 2C1 q2 0
GDE 1=C0 | ANALOG KO\FFICIENTA UPRUGOJ SILY W ZAKONE gUKA (SISTEMA p ARIK|PRUVINA), ILI WELI^INE g=l W SLU^AE KOLEBANIJ MAQTNIKA. pRIMEM TEPERX WO WNIMANIE, ^TO DEJSTWU@]IE W KONTURE SILY IME@T ^ISTO \LEKTROSTATI^ESKOE PROISHOVDENIE (SOPROTIWLENIEM PROWODNIKOW PRENEBREGAETSQ, T. E. TRENIE OTSUTSTWUET, KAK OTSUTSTWU@T I POTERI \NERGII NA IZLU^ENIE \LEKTROMAGNITNYH WOLN). pO ZAKONU kULONA \TI SILY OPREDELQ@TSQ OBOB]ENNOJ KOORDINATOJ q I NE ZAWISQT OT q._ w \TOM SMYSLE SILY POTENCIALXNY, I WMESTE S NIMI POTENCIALXNA RASSMATRIWAEMAQ SISTEMA. pO\TOMU U NEE SU]ESTWUET LAGRANVIAN L = T ; V I K NEJ PRIMENIM ANALOG PRINCIPA gAMILXTONA: DLQ ISTINNOGO PUTI SISTEMY WARIACIQ DEJSTWIQ Q=
Zt
1
t0
L dt
RAWNA NUL@ (ZDESX, KAK OBY^NO, t0, t1 | DWA PROIZWOLXNO WZQTYH MOMENTA WREMENI). pUSTX FUNKCIQ q(t 0) = q0(t) OTWE^AET PRQMOMU PUTI SISTEMY W PROMEVUTKE t0 < t < t1. wARIACIQ KOORDINATY q(t ), 6= 0, RAWNA q = q(t ) ; q0 (t), GDE q(t ) | WSE WOZMOVNYE TRAEKTORII,
x 2]
117 IME@]IE ODINAKOWYE KOORDINATY q(t0 ), q(t1 ). dLQ WARIACII DEJmodeli nekotoryh mehani~eskih sistem
STWIQ IMEEM
Zt
Zt 1
t0
t0
1
Q = L dt =
1
L0q_2 ;
2
1 q dt = 1 Z L(q) ; L(q0 )] dt: C0 2 t1
t0
tAK KAK q = q0 + q, TO PODYNTEGRALXNOE WYRAVENIE MOVNO PREDSTAWITX W WIDE L(q) ; L(q0 ) = L0 (q_0 )2 + 2q_0 q_ + q_2 ; ; C1 (q0 )2 + 2q0 q + q2 ; L0 (q_0 )2 + C1 (q0 )2 : 0
0
oTBROSIW W NEM ^LENY WTOROGO PORQDKA MALOSTI, POLU^IM Q =
Zt
L0 q_0 q_ ; C1 q0 q dt:
1
0
t0
iNTEGRIRUQ ^LEN L0 q0 q,_ GDE q_ = d(q)=dt, PO ^ASTQM I U^ITYWAQ, ^TO q(t0 ) = q(t1 ) = 0, PRIDEM K OKON^ATELXNOMU WYRAVENI@ DLQ Q Q =
Zt 1
t0
L0 q"0 +
1 q0 q dt = 0: C0
iZ NEGO DLQ ZARQDA q(t) (WERHNIJ INDEKS U q0 OPU]EN) SLEDUET URAWNENIE L0 q" = ; C1 q 0
OPISYWA@]EE KOLEBANIQ W \LEKTRI^ESKOM KONTURE I POLU^ENNOE W x 5 GL. I DRUGIM SPOSOBOM. zAMETIM, ^TO POLNAQ \NERGIQ KOLEBANIJ H = = T + V SOHRANQETSQ SO WREMENEM, ^TO SOGLASUETSQ S INWARIANTNOSTX@ LAGRANVIANA OTNOSITELXNO SDWIGA PO WREMENI. rASSMOTRENNAQ ANALOGIQ PRIMENIMA TAKVE K \LEKTRI^ESKIM CEPQM GORAZDO BOLEE SLOVNOJ KONFIGURACII, NA EE OSNOWE STROQTSQ MATEMATI^ESKIE MODELI PROTEKA@]IH W NIH PROCESSOW. pRIWEDENNYJ PRIMER DALEKO NE EDINSTWENNAQ ILL@STRACIQ IROKOJ PRIMENIMOSTI PRINCIPA gAMILXTONA I DRUGIH WARIACIONNYH PRINCIPOW. oNI ^ASTO ISPOLXZU@TSQ PRI POSTROENII MATEMATI^ESKIH MODELEJ NE TOLXKO MEHANI^ESKIH ILI FIZI^ESKIH, NO I MNOGIH HIMI^ESKIH, BIOLOGI^ESKIH I INYH QWLENIJ. upravneniq 1. iSPOLXZUQ ZAMENU d=dt = v , SWEDITE URAWNENIE (3) K WIDU dv=d = f (v ). 2. pEREHODOM W URAWNENIQH (4) K KOORDINATAM x2 = x1 + l sin , y2 = ;l cos POLU^ITE URAWNENIE (3).
118
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
3. w SISTEMU (7) WELI^INA x1 QWNYM OBRAZOM NE WHODIT. pOKAVITE, ISPOLXZUQ \TO SWOJSTWO, ^TO (7) SWODITSQ K SISTEME URAWNENIJ TRETXEGO PORQDKA OTNOSITELXNO FUNKCIJ X (t) = dx1 =dt, Y (t) = d=dt, Z (t) = (t). 4. uMNOVXTE OBE ^ASTI URAWNENIQ (15) NA @y=@t I, INTEGRIRUQ POLU^ENNOE RAWENSTWO OT t = 0 DO t > 0 I OT x = 0 DO x = l, UBEDITESX W TOM, ^TO H (t) = H (0) DLQ L@BYH t > 0. 5. pOLU^ITE REENIE URAWNENIQ (15), OPISYWA@]EE DWIVENIQ STRUNY, DLQ KOTORYH @y=@t = c @y=@x.
x 3. uRAWNENIE bOLXCMANA I PROIZWODNYE OT NEGO pOSTROIM IERARHI^ESKU@ CEPO^KU MODELEJ, OPISYWA@]IH DINAMIKU BOLXOGO ^ISLA MATERIALXNYH ^ASTIC. oSNOWOJ PERWONA^ALXNOJ MODELI BUDET SLUVITX KINETI^ESKOE URAWNENIE bOLXCMANA DLQ FUNKCII RASPREDELENIQ. iZ NEGO PO PRINCIPU SWERHU WNIZ PUTEM POSLEDOWATELXNOGO WWEDENIQ UPRO]A@]IH PREDPOLOVENIJ POLU^IM MODELI DLQ WQZKOGO TEPLOPROWODNOGO GAZA, URAWNENIQ |JLERA I URAWNENIQ AKUSTIKI. 1. oPISANIE SOWOKUPNOSTI ^ASTIC S POMO]X@ FUNKCII RASPREDELENIQ. w PROSTRANSTWE x, y, z NAHODITSQ VIDKOSTX ILI GAZ | BOLXOE ^ISLO MATERIALXNYH ^ASTIC (MOLEKUL, ATOMOW, \LEKTRONOW, IONOW), SWOBODNO DWIVU]IHSQ W PROMEVUTKAH MEVDU WZAIMNYMI STOLKNOWENIQMI. eSLI IZWESTNY KOORDINATY I SKOROSTI L@BOJ ^ASTICY KAK FUNKCII WREMENI, TO TEM SAMYM POLNOSTX@ IZWESTNY OSNOWNYE HARAKTERISTIKI RASSMATRIWAEMOGO ANSAMBLQ. oNI OPREDELQ@SQ NA^ALXNYM SOSTOQNIEM KAVDOJ ^ASTICY, HARAKTEROM WZAIMODEJSTWIQ MEVDU NIMI (NAPRIMER, \LEKTRONY I IONY PRITQGIWA@TSQ ILI OTTALKIWA@TSQ PO ZAKONU kULONA), A TAKVE DEJSTWU@]IMI NA NIH WNENIMI SILAMI. zADAWAQ W MOMENT t = 0 POLOVENIE I SKOROSTI ^ASTIC I ZNAQ WSE DEJSTWU@]IE NA NIH SILY, MOVNO W PRINCIPE REITX OSNOWNU@ ZADA^U MEHANIKI (x 1) DLQ RASSMATRIWAEMOJ SISTEMY (IMEETSQ W WIDU, ^TO ONI POD^INQ@TSQ ZAKONAM KLASSI^ESKOJ MEHANIKI). tAKOJ PODHOD (PRIMENITELXNO K OBY^NOMU GAZU ON NAZYWAETSQ MOLEKULQRNOJ DINAMIKOJ ) DAET IS^ERPYWA@]U@ INFORMACI@ I ZANIMAET WYSEE MESTO W IERARHII MATEMATI^ESKIH OPISANIJ GAZA. oDNAKO PRI DOSTATO^NO BOLXOM KOLI^ESTWE ^ASTIC REALIZOWATX EGO PRAKTI^ESKI NEWOZMOVNO W TOM ^ISLE I POTOMU, ^TO IH NA^ALXNYE POLOVENIQ I SKOROSTI NIKOGDA W TO^NOSTI NE IZWESTNY. kROME TOGO, KAK PRAWILO, NET NEOBHODIMOSTI PROSLEVIWATX POWEDENIE KAVDOJ ^ASTICY, POSKOLXKU INTERES PREDSTAWLQ@T LIX SREDNIE HARAKTERISTIKI SISTEMY TAKIE, KAK PLOTNOSTX, SKOROSTX, TEMPERATURA I T. P. pO\TOMU OPISANIE S POMO]X@ PERWOPRINCIPOW, T. E. S PRIMENENIEM WTOROGO ZAKONA nX@TONA K KAVDOJ IZ ^ASTIC, ISPOLXZUETSQ TOLXKO W SPECIALXNYH SLU^AQH. pEREHOD K SLEDU@]EMU ZWENU W IERARHII MODELEJ OSNOWAN NA OTKAZE OT IZU^ENIQ INDIWIDUALXNOJ SUDXBY ^ASTIC. wWODITSQ STATISTI^ESKOE WEROQTNOSTNOE OPISANIE IH ANSAMBLQ S POMO]X@ FUNKCII RASPREDELENIQ f(~r~v t), GDE ~r, ~v | RADIUS-WEKTOR I SKOROSTX SOOTWETSTWENNO. fUNKCIQ f ZAWISIT OT KOORDINAT ESTIMERNOGO FAZOWOGO PROSTRANSTWA x, y, z, vx , vy , vz (PROSTRANSTWA
x 3]
119 SOSTOQNIJ) I WREMENI (SR. S FUNKCIEJ RASPREDELENIQ FOTONOW W x 3 GL. II). wELI^INA f(~r~v t) d~r d~v PO OPREDELENI@ RAWNA ^ISLU ^ASTIC, NAHODQ]IHSQ W MOMENT t (TO^NEE, IH SREDNEMU ZNA^ENI@ ZA KOROTKIJ PROMEVUTOK WREMENI dt) W \LEMENTE d~r d~v FAZOWOGO PROSTRANSTWA, T. E. IME@]IH KOORDINATY W INTERWALE OT ~r DO ~r + d~r I SKOROSTI W DIAPAZONE OT ~v DO ~v + d~v. |LEMENT d~r d~v S^ITAETSQ MALYM W SRAWNENII S HARAKTERNYMI RAZMERAMI SISTEMY, NO SODERVA]IM DOSTATO^NO BOLXOE ^ISLO ^ASTIC. dLQ PROSTOTY RASSMATRIWAETSQ GAZ, SOSTOQ]IJ IZ ^ASTIC ODNOGO SORTA. ~EREZ FUNKCI@ RASPREDELENIQ WY^ISLQ@TSQ SREDNIE WELI^INY, HARAKTERIZU@]IE SOSTOQNIE GAZA W PROSTRANSTWE I WO WREMENI. nAPRIMER, O^EWIDNO, ^TO WYRAVENIE urawnenie bolxcmana i proizwodnye ot nego
Z
n(~r t) = f(~r~v t) d~v
GDE INTEGRIROWANIE WEDETSQ PO WSEM SKOROSTQM, ESTX NE ^TO INOE, KAK ^ISLO ^ASTIC, NAHODQ]IHSQ W EDINICE FIZI^ESKOGO OB_EMA S KOORDINATOJ ~r W MOMENT WREMENI t. w OB]EM SLU^AE SREDNIE WELI^INY NAHODQTSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX (~v ) | PROIZWOLXNAQ FUNKCIQ OT SKOROSTIP^ASTICY (KINETI^ESKAQ \NERGIQ, SKOROSTX I T. D.). oBOZNA^IM ^EREZ USREDNENNU@ ZA WREMQ dt SUMMU ZNA^ENIJ FUNKCII PO WSEM ^ASTICAM, NAHODQ]IMSQ W \LEMENTARNOM FIZI^ESKOM OB_EME d~r. tOGDA SREDNEE, TP. E. PRIHODQ]EESQ NA ODNU ^ASTICU, ZNA^ENIE POLU^AETSQ DELENIEM NA ^ISLO ^ASTIC W OB_EME d~r, KOTOROE RAWNO n d~r:
X
(~v )
h i = n d~r : s DRUGOJ STORONY, ^ISLO ^ASTIC W \LEMENTARNOM OB_EME P WKLADFAZOWOM d~r d~v RAWNO f d~r d~v, I KAVDAQ IZ NIH WNOSIT W , RAWNYJ (~v ), A IH OB]IJ \LEMENTARNYJ WKLAD RAWEN f d~r d~v. u^TEM TEPERX, ^TO ^ASTICY, NAHODQ]IESQ W FIZI^ESKOM OB_EME d~r, MOGUT IMETX L@BYE SKOROSTI ~v . pO\TOMU DLQ POLU^ENIQ IH POLNOGO WKLADA NEOBHODIMO PROSUMMIROWATX \LEMENTARNYE WKLADY PO WSEM SKOROSTQM:
X
NIQ
(~v ) = d~r
Z
(~v ) f(~r~v t) d~v:
sRAWNIWAQ DWE POSLEDNIE FORMULY, POLU^IM DLQ SREDNEGO ZNA^E-
Z Z f d~v f d~v h i= Z = n : f d~v
(1)
120
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
tAKOWA SWQZX L@BOJ SREDNEJ FUNKCII, HARAKTERIZU@]EJ GAZ, S FUNKCIEJ RASPREDELENIQ. nAPRIMER, ESLI (~v) = ~v , TO DLQ SKOROSTI GAZA IMEEM Z ~V (~r t) = ~v f(~r~v t) d~v n;1 : aNALOGI^NO, PO IZWESTNOJ FUNKCII RASPREDELENIQ MOVNO WY^ISLITX KAK FUNKCII ~r I t I DRUGIE MAKROSKOPI^ESKIE WELI^INY, OPISYWA@]IE SOSTOQNIE GAZA. 2. uRAWNENIE bOLXCMANA DLQ FUNKCII RASPREDELENIQ. dADIM NESTROGIJ WYWOD \TOGO URAWNENIQ, OSNOWYWAQSX NA SLEDU@]IH PREDPOLOVENIQH: 1) WREMQ STOLKNOWENIQ (NEPOSREDSTWENNOGO \FFEKTIWNOGO SILOWOGO WZAIMODEJSTWIQ) ^ASTIC MNOGO MENXE WREMENI, PROHODQ]EGO MEVDU IH STOLKNOWENIQMI 2) WLIQNIEM WNENIH SIL, DEJSTWU@]IH NA ^ASTICY (GRAWITACIONNYH, \LEKTRI^ESKIH I T. D.), MOVNO PRENEBRE^X 3) ^ASTICY NE RAS]EPLQ@TSQ I NE OB_EDINQ@TSQ. rASSMOTRIM ^ASTICY, NAHODQ]IESQ W MOMENT t W FAZOWOM OB_EME d~r d~v (IME@]IE KOORDINATY I SKOROSTI W DIAPAZONAH OT ~r DO ~r + d~r I OT ~v DO ~v + d~v SOOTWETSTWENNO). pUSTX STOLKNOWENIQ MEVDU NIMI OTSUTSTWU@T. tOGDA K MOMENTU t = t + dt SKOROSTI ^ASTIC NE IZMENQ@TSQ, A IH KOORDINATY POLU^AT PRIRA]ENIQ, SOOTWETSTWU@]IE NA^ALXNYM SKOROSTQM: ~v = ~v ~r = ~r + ~v dt GDE, NAPOMNIM, WELI^INY ~v I ~r LEVAT W UKAZANNYH WYE DIAPAZONAH. wY^ISLIM FAZOWYJ OB_EM ^ASTIC d~r d~v W MOMENT t . iZ POSLEDNIH
DWUH RAWENSTW IMEEM
v 2 d~v = d~v d~r = d~r + d~v dt = d~r + d~ dt (dt) + : : :
T. E. d~r d~v = d~r d~v , I FAZOWYJ OB_EM ^ASTIC SOHRANQETSQ S TO^NOSTX@ DO ^LENOW PORQDKA (dt)2 . pRI \TOM ^ISLO ^ASTIC f(~r~v t) d~r d~v, ~v t) d~r d~v W NAHODIWIHSQ W OB_EME d~ r d~ v , RAWNO IH ^ISLU f(~ r OB_EME d~r d~v . dRUGIMI SLOWAMI, W OTSUTSTWIE STOLKNOWENIJ f = f , T. E. FUNKCIQ RASPREDELENIQ NE MENQETSQ SO WREMENEM, ^ASTICY LIX SMENQ@T FAZOWYJ OB_EM (W DANNOM SLU^AE TOLXKO SWOI KOORDINATY). u^TEM TEPERX WOZMOVNOSTX STOLKNOWENIJ, WWEDQ PONQTIE INTEGRALA STOLKNOWENIJ S(f). pO SWOEMU SMYSLU WELI^INA S(f) d~r d~v dt | RAZNOSTX MEVDU ^ISLOM ^ASTIC, WYEDIH BLAGODARQ STOLKNOWENIQM ZA WREMQ dt IZ OB_EMA d~r d~v (I NE POPAWIH W OB_EM d~r d~v ), I^ISLOM ^ASTIC, POPAWIH IZ-ZA STOLKNOWENIJ ZA WREMQ dt W OB_EM d~r d~v (I NE NAHODIWIHSQ W PERWONA^ALXNOM OB_EME d~r d~v ). tOGDA URAWNENIE BALANSA (SOHRANENIQ) ^ISLA ^ASTIC ZA WREMQ dt PRI PEREHODE OT OB_EMA d~r d~v K OB_EMU d~r d~v ZAPISYWAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: f(~r ~v t ) d~r d~v ; f(~r~v t) d~r d~v = ;S(f) d~r d~v dt:
x 3]
urawnenie bolxcmana i proizwodnye ot nego
121
o^EWIDNO, ^TO (W OTLI^IE OT PROCESSA BEZ STOLKNOWENIJ) PRI U^ETE STOLKNOWENIJ, WOOB]E GOWORQ, f 6= f . rAZLOVIM LEWU@ ^ASTX URAWNENIQ BALANSA W RQD tEJLORA, OPUSKAQ ^LENY PORQDKA (dt)2 I WYE:
@f d~r f(~r~v t) d~r d~v + @f @t d~r d~v dt + @~r dt d~r d~v dt + d~v + @f @~v dt d~r d~v dt ; f(~r~v t) d~r d~v = ;S(f) d~r d~v dt: w POLU^ENNOM RAWENSTWE d~r=dt = ~v I m d~v =dt = F~ , GDE F~ | WNENQQ SILA, KOTORAQ PO PREDPOLOVENI@ RAWNA NUL@, m | MASSA ^ASTICY . wYBEREM PROMEVUTOK dt NASTOLXKO MALYM, ^TO ZA WREMQ OT t DO t = = t + dt ^ASTICY NE STALKIWA@TSQ. tOGDA FAZOWYJ OB_EM SOHRANQETSQ, I d~r d~v = d~r d~v . pODELIW OBE ^ASTI RAWENSTWA NA d~r d~v dt I USTREMIW dt K NUL@, PRIDEM K URAWNENI@ bOLXCMANA @f + ~v @f + S(f) = 0 (2) @t @~r KOTOROE QWLQETSQ SLEDU@]EJ PO SLOVNOSTI MODELX@ (POSLE MODELEJ, POLU^AEMYH IZ PERWOPRINCIPOW) W IERARHII MATEMATI^ESKIH OPISANIJ GAZA. oNO PREDSTAWLQET SOBOJ NELINEJNOE INTEGRO-DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE. eGO KONKRETNAQ ZAPISX ZAWISIT OT HARAKTERA STOLKNOWENIJ ^ASTIC, T. E. OT WIDA FUNKCII S(f). zAMETIM, ^TO (2) LEGKO OBOB]AETSQ NA GAZ, SOSTOQ]IJ IZ ^ASTIC RAZNOGO SORTA, I NA SLU^AJ, KOGDA WNENQQ SILA F~ OTLI^NA OT NULQ (ONA MOVET BYTX WYZWANA, NAPRIMER, NALI^IEM \LEKTROMAGNITNYH POLEJ). pRI OTSUTSTWII STOLKNOWENIJ, T. E. PRI S(f) = 0, (2) PREWRA]AETSQ W URAWNENIE PERENOSA IZ x 1 GL. II. 3. rASPREDELENIE mAKSWELLA I H -TEOREMA. oDIN IZ NAIBOLEE IROKO UPOTREBLQEMYH INTEGRALOW STOLKNOWENIJ ZAPISYWAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: ZZZ S(f) = (f 0 f10 ; ff1 ) gb db d d~v1: (3)
nE PRIWODQ GROMOZDKOGO WYWODA FORMULY (3), POQSNIM SMYSL WHODQ]IH W NEE WELI^IN. ~EREZ f = f(~r~v t), f1 = f1 (~0r~v1 0t) OBOZNA^ENY FUNKCII RASPREDELENIQ DO STOLKNOWENIQ, ^EREZ f = f (~r~v 0 t), f10 = 0 0 = f1 (~r~v1 t) | POSLE STOLKNOWENIQ, GDE ~v I ~v1 | SKOROSTI DWUH STALKIWA@]IHSQ ^ASTIC. wELI^INA g | MODULX IH OTNOSITELXNOJ SKOROSTI, b | TAK NAZYWAEMYJ PRICELXNYJ PARAMETR (RASSTOQNIE NAIMENXEGO SBLIVENIQ MEVDU ^ASTICAMI), | UGLOWAQ HARAKTERISTIKA IH WZAIMODEJSTWIQ. iNTEGRIROWANIE PROIZWODITSQ PO WSEM WOZMOVNYM ZNA^ENIQM WELI^IN b, , ~v1. iNTEGRAL STOLKNOWENIJ W FORME bOLXCMANA (3) POLU^AETSQ SUMMIROWANIEM \LEMENTARNYH AKTOW MEHANI^ESKOGO WZAIMODEJSTWIQ MEVDU ^ASTICAMI. pRI \TOM PREDPOLAGAETSQ SLEDU@]EE: STOLKNOWENIQ UPRUGIE (SOHRANQ@TSQ SUMMARNYE MASSA, IMPULXS, MOMENT IMPULXSA I \NERGIQ ^ASTIC, ^TO OZNA^AET, W ^ASTNOSTI, WYPOLNENIE RAWENSTW g = = g0 , b = b0 ) SILA WZAIMODEJSTWIQ ^ASTIC ZAWISIT LIX OT RASSTOQNIQ
122
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
MEVDU NIMI I ZNA^ITELXNO BOLXE WNENIH SIL ^ISLO STOLKNOWENIJ S U^ASTIEM BOLEE DWUH ^ASTIC PRENEBREVIMO MALO (GAZ NE SLIKOM PLOTNYJ). pRI IZWESTNYH KONKRETNYH ZAKONAH WZAIMODEJSTWIQ ^ASTIC IZ (3) SLEDU@T BOLEE KONKRETNYE WYRAVENIQ DLQ INTEGRALA STOLKNOWENIJ, ISPOLXZUEMYE, NAPRIMER, PRI IZU^ENII QWLENIJ W PLAZME, GDE \LEKTRONY I IONY PRITQGIWA@TSQ I OTTALKIWA@TSQ PO ZAKONU kULONA. iSPOLXZUQ SWOJSTWA INTEGRALA (3), POLU^IM ODNO PROSTOE, NO O^ENX WAVNOE REENIE URAWNENIQ bOLXCMANA. rASSMOTRIM GAZ, NAHODQ]IJSQ W SOSTOQNII TERMODINAMI^ESKOGO RAWNOWESIQ, T. E. W SITUACII, KOGDA WSE EGO MAKROSKOPI^ESKIE HARAKTERISTIKI POSTOQNNY PO PROSTRANSTWU I NE ZAWISQT OT WREMENI. pRI \TOM, O^EWIDNO, FUNKCIQ f(~r~v t) TAKVE NE ZAWISIT OT ~r I t, T. E. f = f(~v ). iZ (2) SRAZU VE SLEDUET URAWNENIE
ZZZ
(f 0 f10 ; ff1 ) gb db d d~v1 = 0
UDOWLETWORQ@]EESQ LIX PRI WYPOLNENII USLOWIQ ILI
ff1 = f 0 f10
lnf(~v ) + lnf1 (~v1 ) = ln f 0 (~v 0 ) + ln f10 (~v10 ): dRUGIMI SLOWAMI, SUMMA LOGARIFMOW FUNKCIJ RASPREDELENIQ SOHRANQETSQ, QWLQQSX INWARIANTOM STOLKNOWENIQ. nO PRI UPRUGIH STOLKNOWENIQH INWARIANTNY TAKVE POLNAQ \NERGIQ ^ASTIC: mv2 + mv12 = mv0 2 + mv10 2 2 2 2 2 I IH POLNYJ IMPULXS: m~v + m~v1 = m~v 0 + m~v10 :
|TI SWOJSTWA DA@T SPOSOB NAHOVDENIQ FUNKCIONALXNOJ ZAWISIMOSTI f OT ~v. rADI PROSTOTY USTANOWIM \TU ZAWISIMOSTX DLQ ODNOMERNOGO SLU^AQ, KOGDA WEKTORY WSEH SKOROSTEJ PARALLELXNY DRUG DRUGU. tOGDA, UMNOVAQ POSLEDNIE DWA RAWENSTWA NA POSTOQNNYE WELI^INY a1 , a2 I WY^ITAQ IH IZ PREDYDU]EGO, POLU^IM F (v) + F (v1 ) = F (v0 ) + F (v10 ) GDE ISPOLXZOWANO OBOZNA^ENIE F (x) = ln f(x) ; a1 m=2 x2 ; a2 mx. w \TOM RAWENSTWE ARGUMENTY SLAGAEMYH PROIZWOLXNY, PO\TOMU ONO MOVET WYPOLNQTXSQ LIX PRI F (x) a3 (a3 | POSTOQNNAQ). tAKIM OBRAZOM, DLQ FUNKCII RASPREDELENIQ SPRAWEDLIWO ln f(v) = a12m v2 + a2mv + a3 :
wYDELQQ W PRAWOJ ^ASTI \TOGO WYRAVENIQ POLNYJ KWADRAT,
lnf(v) = a12m v + aa2 1
2 a2m ; 2a2 + a3 1
x 3]
urawnenie bolxcmana i proizwodnye ot nego
123
I IZBAWLQQSX OT LOGARIFMA, PRIHODIM K FORMULE ( ) ( 2) 2m 2a a ; a a m a 1 3 1 2 2 exp v+ f(v) = exp
(4)
2a1
2
a1
WYRAVA@]EJ ZAWISIMOSTX f OT v. w SILU SWOJSTW FUNKCII f(v) IME@T MESTO (SM. (1)) RAWENSTWA Z Z Z m (v ; V )2 3 n = f dv nV = vf dv nkT = f dv
2 2 GDE n | KONCENTRACIQ ^ASTIC V | IH SREDNQQ (MAKROSKOPI^ESKAQ) SKOROSTX T | SREDNQQ TEMPERATURA ^ASTIC (PO OPREDELENI@), WYRAVAEMAQ ^EREZ SREDN@@ KINETI^ESKU@ \NERGI@ IH HAOTI^ESKOGO DWIVENIQ S TEPLOWOJ SKOROSTX@ c = v ; V I IZMERQEMAQ W GRADUSAH kELXWINA (SM. TAKVE P. 1 x 2 GL. II) k | POSTOQNNAQ bOLXCMANA. iSPOLXZUQ \TI RAWENSTWA I OBOZNA^ENIQ, ISKL@^IM IZ (4) WELI^INY a1, a2, a3: o m 3=2 n m exp ; 2kT (v ; V )2 : (5) f(v) = n 2 kT aNALOGI^NOE WYRAVENIE SPRAWEDLIWO (PRI ZAMENE v NA ~v I V NA V~ ) I W MNOGOMERNOM SLU^AE. fORMULA (5) PREDSTAWLQET SOBOJ ODNO IZ REENIJ URAWNENIQ bOLXCMANA, OPISYWA@]EE RASPREDELENIE ^ASTIC PO SKOROSTQM W GAZE, NAHODQ]EMSQ W SOSTOQNII TERMODINAMI^ESKOGO RAWNOWESIQ (RASPREDELENIE mAKSWELLA ). tAKOE VE RASPREDELENIE SPRAWEDLIWO NE TOLXKO PRI POLNOM, NO I PRI LOKALXNOM TERMODINAMI^ESKOM RAWNOWESII (ltr), KOGDA MAKROSKOPI^ESKIE HARAKTERISTIKI n, T, V QWLQ@TSQ MEDLENNO MENQ@]IMISQ FUNKCIQMI ~r I t. tO^NEE, PRI ltr FUNKCII n(~r t), T(~r t), V (~r t) MALO MENQ@TSQ NA RASSTOQNIQH PORQDKA DLINY SWOBODNOGO PROBEGA l I ZA WREMQ SWOBODNOGO PROBEGA . pO\TOMU W USLOWIQH ltr RASSUVDENIQ, PREDESTWOWAWIE WYWODU FORMULY (5), PRIMENIMY K L@BOJ TO^KE ~r W L@BOJ MOMENT WREMENI t (PRI \TOM FIGURIRU@]IE W (5) ZNA^ENIQ n, T , V RAZNYE W RAZNYH TO^KAH PROSTRANSTWA I W RAZLI^NYE MOMENTY WREMENI). s POMO]X@ RASPREDELENIQ mAKSWELLA USTANAWLIWAETSQ IME@]AQ FUNDAMENTALXNOE ZNA^ENIE H -TEOREMA bOLXCMANA, SOGLASNO KOTOROJ S UWELI^ENIEM WREMENI \NTROPIQ GAZA (OPISYWAEMOGO URAWNENIEM (2)), WOZRASTAET. bUDEM S^ITATX RASPREDELENIE ^ASTIC PO PROSTRANSTWU ODNORODNYM (NO ZAWISQ]IM OT WREMENI). tOGDA URAWNENIE bOLXCMANA (2)
PRINIMAET WID
@f = Z (f 0 f 0 ; ff ) gb db dd~v : 1 1 1 @t
H-FUNKCIQ bOLXCMANA WWODITSQ PO FORMULE H(t) =
Z
f ln f d~v
(6)
124
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
I PO OPREDELENI@ PREDSTAWLQET SOBOJ \NTROPI@ EDINICY OB_EMA GAZA, WZQTU@ S OBRATNYM ZNAKOM, T. E. S(t) = ;H(t). eE PROIZWODNAQ PO WREMENI ESTX
dH = Z (1 + ln f) @f d~v dt @t ILI, S U^ETOM URAWNENIQ (6), dH = Z (1 + ln f) (f 0 f 0 ; ff ) gb db d d~v d~v : 1 1 1 dt aNALOGI^NO, PRINIMAQ WO WNIMANIE SIMMETRI@ URAWNENIQ (6) OTNOSITELXNO FUNKCIJ f I f1, POLU^AEM dH = Z (1 + ln f ) (f 0 f 0 ; ff ) gb db d d~v d~v 1 1 1 1 dt T. E. dH = 1 Z (f 0 f 0 ; ff ) (2 + ln ff ) gb db d d~v d~v : 1 1 1 1 dt 2
wTORI^NO ISPOLXZUQ SIMMETRI@ URAWNENIQ (6) (OTRAVA@]U@ OBRATIMOSTX PROCESSA UPRUGIH STOLKNOWENIJ), NETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO DLQ OBRATNOGO STOLKNOWENIQ SPRAWEDLIWA TAKAQ VE FORMULA, T. E. dH = 1 Z (ff ; f 0 f 0 )(2 + lnf 0 f 0 ) g0 b0 db0 d0 d~v 0 d~v 0 1 1 1 1 dt 2 NO W NEJ WELI^INY f 0 , f10 I f, f1 POMENQLISX0 MESTAMI . wYE OTME0 (RAWNY TAKVE I ^ALOSX, ^TO DLQ UPRUGIH STOLKNOWENIJ g = g , b = b DIFFERENCIALY: db d = db0 d0 , d~v d~v1 = d~v 0 d~v10 ). pO\TOMU IZ DWUH POSLEDNIH URAWNENIJ OKON^ATELXNO POLU^AEM dH = ; 1 Z (f 0 f 0 ; ff ) ln f 0 f10 gb db d d~v d~v : (7) 1 1 1 dt 4 ff1 zNAK PROIZWODNOJ dH=dt OPREDELQETSQ ZNAKOM FUNKCII F (x y) = = (x ; y) ln(x=y), STOQ]EJ POD INTEGRALOM. lEGKO USTANAWLIWAETSQ, ^TO F (x y) > 0 (RAWENSTWO F (x y) = 0 OTWE^AET RAWNOWESNOMU SOSTOQNI@, KOGDA FUNKCIQ RASPREDELENIQ POSLE STOLKNOWENIQ NE MENQETSQ). pO\TOMU ;dH=dt = dS=dt > 0, T. E. \NTROPIQ GAZA W NERAWNOWESNOM SOSTOQNII RASTET, PRIBLIVAQSX K MAKSIMALXNOMU ZNA^ENI@. oNO DOSTIGAETSQ W SOSTOQNII TERMODINAMI^ESKOGO RAWNOWESIQ, W KOTOROM ^ASTICY RASPREDELENY PO ZAKONU mAKSWELLA. tAKIM OBRAZOM, KINETI^ESKOE URAWNENIE bOLXCMANA, W OTLI^IE OT URAWNENIJ KLASSI^ESKOJ MEHANIKI, OPISYWAET NEOBRATIMYE PROCESSY. |TO | SLEDSTWIE PEREHODA OT MODELEJ, OSNOWANNYH NA PERWOPRINCIPAH, K MODELQM, ISPOLXZU@]IM OSREDNENNOE STATISTI^ESKOE OPISANIE SOWOKUPNOSTI ^ASTIC S POMO]X@ FUNKCII RASPREDELENIQ. 4. uRAWNENIQ DLQ MOMENTOW FUNKCII RASPREDELENIQ. sLEDU@]IJ POSLE URAWNENIQ bOLXCMANA UROWENX W IERARHII MATEMATI^ESKOGO OPISANIQ SOWOKUPNOSTI ^ASTIC | GIDRODINAMI^ESKIE MODELI
x 3]
125 GAZA. dLQ IH POLU^ENIQ USTANOWIM SNA^ALA NEKOTORYE SWOJSTWA INTEGRALA STOLKNOWENIJ, SPRAWEDLIWYE NE TOLXKO DLQ BOLXCMANOWSKOGO GAZA, NO I W OB]EM SLU^AE. tREBUETSQ LIX, ^TOBY STOLKNOWENIQ BYLI UPRUGIMI. tOGDA IZ NEIZMENNOSTI ^ISLA ^ASTIC DO I POSLE STOLKNOWEurawnenie bolxcmana i proizwodnye ot nego
NIQ SLEDUET RAWENSTWO
Z
S(f(~v )) d~v = 0
(8)
Z mv2 m~v S(f(~v )) d~v = 0 2 S(f(~v )) d~v = 0:
(9)
A IZ ZAKONOW SOHRANENIQ IMPULXSA I \NERGII WYTEKA@T SOOTNOENIQ (UPR. 3)
Z
w DALXNEJEM TAKVE PONADOBQTSQ FORMULY Z @ Z (~v) f d~v = @ (nh i) (~v) @f d~ v = @t @t @t
(10) Z @f @ @ (~v) vi @x d~v = @x (~v ) vi f d~v = @x (nh (~v ) vi i) i i i LEGKO WYWODIMYE IZ FORMULY (1) DLQ SREDNIH FUNKCIJ, OPISYWA@]IH SOSTOQNIE GAZA. pOLU^IM TEPERX IZ URAWNENIQ bOLXCMANA URAWNENIQ R DLQ MOMENTOW FUNKCII RASPREDELENIQ, T. E. DLQ WELI^IN WIDA (~v) f d~v. rADI PROSTOTY WYKLADKI BUDEM PROWODITX DLQ ODNOMERNOGO SLU^AQ, KOGDA ~r = x, ~v = v. uMNOVIM (2) NA (~v ) = 1 I PROINTEGRIRUEM POLU^ENNOE WYRAVENIE PO SKOROSTQM: Z @f Z @f Z dv + dv + S(f) dv = 0: @t @x
Z
u^ITYWAQ, ^TO W SILU (8) TRETIJ ^LEN SLEWA W POSLEDNEM URAWNENII RAWEN NUL@, I ISPOLXZUQ FORMULY (10), PEREPIEM POSLEDNEE URAWNENIE W WIDE @ @ @t n + @x (nhvi): pOSKOLXKU hvi = V , TO IMEEM @n + @ (nV ) = 0 @t @x ILI, UMNOVIW DANNOE URAWNENIE NA m, PRIHODIM K URAWNENI@ NERAZ-
RYWNOSTI
@ + @ (V ) = 0 (11) @t @x GDE = nm | PLOTNOSTX GAZA, V | EGO MAKROSKOPI^ESKAQ SKOROSTX. w MNOGOMERNOM SLU^AE ANALOGOM (11) QWLQETSQ URAWNENIE @ + div(V~ ) = 0 @t
126
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
LIBO \KWIWALENTNOE EMU URAWNENIE d = ; div V~ : (12) dt pUSTX TEPERX FUNKCIQ (v) RAWNA IMPULXSU, T. E. (v) = mv. pOWTORQQ PREDYDU]U@ PROCEDURU, POLU^IM IZ (2)
Z @f Z @f Z mv dv + v mv dv + S(f) mv dv = 0: @t @x
w SILU PERWOJ FORMULY (9) TRETIJ ^LEN W LEWOJ ^ASTI \TOGO URAWNENIQ RAWEN NUL@. iSPOLXZUQ (1) I FORMULY (10), PRIHODIM K URAWNENI@
@ @ ; 2 (13) @t (nmV ) + @x nm v = 0 GDE v2 | SREDNIJ KWADRAT SKOROSTI ^ASTIC. dLQ EGO WY^ISLENIQ WWEDEM HAOTI^ESKU@ SKOROSTX ^ASTIC c (TEPLOWU@ SKOROSTX), PREDSTAWLQ@]U@ SOBOJ RAZNOSTX MEVDU SOBSTWENNOJ SKOROSTX@ v I SKOROSTX@ MAKROSKOPI^ESKOGO DWIVENIQ GAZA V KAK EDINOGO CELOGO, T. E. c = v ; V . dLQ SREDNEGO ZNA^ENIQ v2 IMEEM v2 = (V + c)2 = V 2 + 2hcV i + c2 = V 2 + c2 : w POSLEDNEM RAWENSTWE U^TENO, ^TO hcV i = 0 = V hci W SILU HAOTI^NOSTI TEPLOWOGO DWIVENIQ. iSPOLXZUQ POLU^ENNOE WYRAVENIE DLQ v2 , IZ (13) POSLEDOWATELXNO IMEEM @ (V ) + @ (V 2 ) + @ ; c2 = 0 @t @x @t @ + @V + V @ (V ) + V @V + @ ; c2 = 0: @t @t @x @x @x pERWYJ I TRETIJ ^LENY SLEWA W POSLEDNEM URAWNENII W SILU (11) WZAIMNO UNI^TOVA@TSQ. pO\TOMU EGO MOVNO ZAPISATX KAK @V + V @V = 1 @P : (14) @t @x @x w MNOGOMERNOM SLU^AE ANALOG ODNOMERNOGO URAWNENIQ (14) IMEET
WID
@ V~ + V~ (rV~ ) = 1 grad P @t ILI, ^TO \KWIWALENTNO, dV~ = 1 grad P: (15) dt w URAWNENIQH DWIVENIQ GAZA (14), (15) ISPOLXZOWANY SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ: Pij = ;hcicj i, i j = 1 2 3 xi = x y z DLQ i = 1 2 3.
x 3]
urawnenie bolxcmana i proizwodnye ot nego
127
w ZAWERENIE POLU^IM URAWNENIE DLQ IZMENENIQ \NERGII, WZQW W KA^ESTWE (~v ) WELI^INU mv2 =2, UMNOVIW EE NA URAWNENIE (2) I PROINTEGRIROWAW EGO PO SKOROSTQM:
Z @f mv2 Z Z @f mv2 mv2 dv = 0: dv + v dv + S(f) @t 2 @x 2 2
tRETIJ ^LEN SLEWA W DANNOM WYRAVENII RAWEN NUL@ (SM. WTORU@ FORMULU (9)), A PERWYE DWA ZAPISYWA@TSQ PO FORMULE (1) ^EREZ SREDNIE WELI^INY:
!
@ n mv2 @t 2
" @ ! mv2 " + @x n 2 v = 0:
sNOWA WWEDEM TEPLOWU@ SKOROSTX c = v ; V I WY^ISLIM WELI^I NU v3 = (V + c)3 = V 3 + 3V 2c + 3V c2 + c3 = V 3 + 3V c2 + c3 (ZDESX U^TENO, ^TO 3V 2c = 3V 2hci = 0 W SILU HAOTI^NOSTI TEPLOWOGO DWIVENIQ, SM. TAKVE UPR. 4). iSPOLXZUQ WYRAVENIQ DLQ v2 I v3 I RAWENSTWO = nm, POLU^IM
1@ 1 @; 2 1 @ 2 3 2 @t (V ) + 2 @t c + 2 @x (V ) + @ ;V c2 + 1 @ ; c3 = 0 + 32 @x 2 @x ILI, PRODIFFERENCIROWAW STOQ]IE SLEWA PERWYJ I TRETIJ ^LENY \TOGO URAWNENIQ: 1 @ (V 2 ) = V 2 @ + V @V 1 @ (V 3 ) = V 2 @V + V 2 @V 2 @t 2 @t @t 2 @x 2 @x @x I PRINIMAQ WO WNIMANIE URAWNENIQ (11) I (14), UMNOVENNYE SOOTWETSTWENNO NA V 2 I V , PRIDEM K URAWNENI@ @ ; c2 + 1 @ ; c2 + 3 @ ;V c2 + 1 @ ; c3 = 0: ;V @x 2 @t 2 @x 2 @x
pREDSTAWLQQ W NEM TRETIJ ^LEN SLEWA W WIDE
POLU^IM
3 @ ;V c2 = 3 V @ ; c2 + 3 c2 @V 2 @x 2 @x 2 @x
1 V @ ; c2 + 1 @ ; c2 + 3 c2 @V + 1 @ ; c3 = 0: (16) 2 @x 2 @t 2 @x 2 @x 2 fIGURIRU@]AQ W (16) WELI^INA c =2 = nm c2 =2 PREDSTAWLQET SOBOJ \NERGI@ HAOTI^ESKOGO DWIVENIQ ^ASTIC, ZAKL@^ENNYH W EDINICE OB_EMA GAZA, ILI EGO WNUTRENN@@ \NERGI@ (DLQ PROSTOTY S^ITAETSQ, ^TO ONA OPREDELQETSQ LIX POSTUPATELXNYM DWIVENIEM ^ASTIC). o^EWIDNO, ^TO WNUTRENNQQ \NERGIQ ", OTNESENNAQ K EDINICE MASSY, RAWNA
128 wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III " = c2 =2. tOGDA PERWYJ I WTOROJ ^LENY SLEWA W (16) MOVNO PREDSTA-
WITX KAK
1 V @ ; c2 = V @" + 1 V c2 @ 2 @x @x 2 @x 1 @ ; c2 = @" + c2 @ = @" ; c2 @ (V ) = 2 @t @t 2 @t @t 2 @x @" 1 V c2 @ = @t ; 21 c2 @V ; @x 2 @x GDE PRI POLU^ENII WTOROGO WYRAVENIQ ISPOLXZOWANO URAWNENIE NERAZRYWNOSTI (11). pODSTAWIW \TI RAWENSTWA W (16), POLU^IM @" 2 @V 1 @ ; 3 @" @t + V @x + c @x + 2 @x c = 0 ILI, OKON^ATELXNO, @V @W d" (17) dt = P @x ; @x :
w MNOGOMERNOM SLU^AE URAWNENIE \NERGII IMEET WID ~ + X !ij @Vi ; div W: ~ d" = ; p div V dt @x i j
w (17) I (18) WELI^INA W~ OPREDELQETSQ KAK
j
(18)
c2~c (19) W~ = 2 I NAZYWAETSQ WEKTOROM POTOKA TEPLA (W DALXNEJEM STANET PONQTNA OPRAWDANNOSTX \TOGO NAZWANIQ). bOLEE SLOVNU@ STRUKTURU IMEET WWEDENNYJ WYE (SM. URAWNENIE (15)) TENZOR NAPRQVENIJ P : Pij = ;hcicj i = ;pij + !ij GDE ij | SIMWOL kRONEKERA, A WELI^INY p, !ij DA@TSQ FORMULAMI # 2 ! c2 c p = 3 !ij = 3 ij ; hcicj i : (20) zDESX, KAK NETRUDNO WIDETX, p | DAWLENIE ^ASTIC GAZA, SWQZANNOE SO SREDNEJ \NERGIEJ IH HAOTI^ESKOGO DWIVENIQ, T. E. S TEMPERATU ROJ T = m=(3k)] c2 , SOOTNOENIEM p = nkT = kT=m (STROGO GOWORQ, TAK TEMPERATURA OPREDELQETSQ DLQ SOSTOQNIJ, BLIZKIH K RAWNOWESNYM). wTOROE SLAGAEMOE W FORMULE DLQ P | TENZOR WQZKIH NAPRQVENIJ !ij . wQZKIE SILY OBUSLOWLENY TRENIEM MEVDU ^ASTQMI GAZA, IME@]IMI RAZNYE MAKROSKOPI^ESKIE SKOROSTI. eGO PROISHOVDENIE NETRUDNO PONQTX, PREDSTAWIW SEBE, NAPRIMER, DWA PLOSKIH SLOQ GAZA, DWIVU]IHSQ DRUG OTNOSITELXNO DRUGA. ~ASTICY, PEREHODQ]IE ^EREZ GRANICU RAZDELA IZ BYSTROGO SLOQ W MEDLENNYJ SLOJ, BUDUT UWELI^IWATX
x 3]
urawnenie bolxcmana i proizwodnye ot nego
129
SREDN@@ SKOROSTX POSLEDNEGO, I NAOBOROT. tEM SAMYM SKOROSTI SLOEW WYRAWNIWA@TSQ, ^TO OZNA^AET NALI^IE SILY TRENIQ MEVDU NIMI. uRAWNENIQ (11), (12), (14), (15), (17), (18) DLQ MOMENTOW ZAPISANY OTNOSITELXNO SREDNIH (GIDRODINAMI^ESKIH) WELI^IN, HARAKTERIZU@]IH GAZ: PLOTNOSTI, SKOROSTI, DAWLENIQ, WNUTRENNEJ \NERGII. pRI IH WYWODE NE PRIWLEKALISX KAKIE-LIBO SU]ESTWENNYE DOPOLNITELXNYE PREDPOLOVENIQ, I W \TOM SMYSLE ONI PRINADLEVAT K TOMU VE IERARHI^ESKOMU UROWN@, ^TO I URAWNENIE bOLXCMANA. oDNAKO, W OTLI^IE OT URAWNENIQ (2), IH E]E NELXZQ NAZWATX MODELX@ GAZA, TAK KAK ONI NEZAMKNUTY: KROME , KOMPONENT SKOROSTI V~ , p, " W NIH SODERVATSQ TAKVE ~ T. E. ^ISLO URAWNENIJ MENXE ^ISLA NEIZWESTNYH. WELI^INY !ij , W, pOPYTKA SOSTAWITX PO ANALOGI^NOJ SHEME URAWNENIQ DLQ MOMENTOW BOLEE WYSOKOGO PORQDKA S CELX@ NAHOVDENIQ !ij , W~ PRIWODIT K POQWLENI@ W \TIH URAWNENIQH NOWYH NEIZWESTNYH WELI^IN. pO\TOMU DLQ POLU^ENIQ GIDRODINAMI^ESKIH MODELEJ GAZA NEOBHODIMO WYRAZITX ~ ^EREZ ISKOMYE GIDRODINAMI^ESKIE PARAMETRY , V~ , p, ". tO!ij , W GDA W PQTI URAWNENIQH BUDUT FIGURIROWATX PQTX NEIZWESTNYH WELI^IN (NAPOMNIM, ^TO WNUTRENNQQ \NERGIQ S^ITAETSQ IZWESTNOJ FUNKCIEJ PLOTNOSTI I DAWLENIQ: " = "( p), ILI PLOTNOSTI I TEMPERATURY: " = "( T )).
pOLU^ITX \TI WYRAVENIQ DLQ !ij , W~ MOVNO RAZNYMI SPOSOBAMI, NAPRIMER, ZADAWAQ NEKOTORYE POLU\MPIRI^ESKIE ZAWISIMOSTI. bOLEE STROGIM QWLQETSQ SPOSOB, SOSTOQ]IJ W PRIBLIVENNOM REENII ISHODNOGO KINETI^ESKOGO URAWNENIQ (2). dLQ \TOGO WWODITSQ SU]ESTWENNOE PREDPOLOVENIE O TOM, ^TO DLINA SWOBODNOGO PROBEGA l (WREMQ SWOBODNOGO PROBEGA ) ^ASTIC MNOGO MENXE HARAKTERNOGO RAZMERA L (HARAKTERNOGO WREMENI t) ZADA^I. dRUGIMI SLOWAMI, SISTEMA BLIZKA K SOSTOQNI@ ltr, A FUNKCIQ RASPREDELENIQ f NESILXNO OTLI^AETSQ OT LOKALXNO MAKSWELLOWSKOJ. tOGDA, ZAPISYWAQ REENIE W WIDE BESKONE^NOGO RQDA f = f (0) + f (1) + : : : (GDE f (0) | MAKSWELLOWSKAQ FUNKCIQ (5), A f (1) | MALOE OTKLONENIE OT NEE), S^ITAQ OSTALXNYE ^LENY RQDA PRENEBREVITELXNO MALYMI PO OTNOENI@ K f (1) I PODSTAWLQQ WYRAVENIE f = f (0) + f (1) W (2), MOVNO NAJTI QWNYJ WID WOZMU]ENIQ f (1) . pOSLE \TOGO UVE ^EREZ IZWESTNU@ FUNKCI@ f = f (0) + f (1) PO FORMULE (1) NAHODITSQ TEPLOWAQ SKOROSTX ~c = ~v + V~ I PO FORMULAM (19), (20) OPRE~ nAPRIMER, W ~ WY^ISLQETSQ SLEDU@]IM DELQ@TSQ WELI^INY !ij , W. OBRAZOM: Z m j~c j2 ~ W= ~c (f (0) + f (1) ) d~c: 2
zAMETIM, ^TO PRI f = f (0) WY^ISLENIQ DA@T !ij 0, W~ 0: W GAZE S MAKSWELLOWSKIM RASPREDELENIEM ^ASTIC WQZKIE NAPRQVENIQ I POTOKI TEPLA OTSUTSTWU@T. nE BUDEM OPISYWATX SLOVNYJ I GROMOZDKIJ PROCESS NAHOVDENIQ FUNKCII f (1) PUTEM REENIQ (2) (PRI EGO PROWEDENII ISPOLXZUETSQ 9 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
130
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
PREDPOLOVENIE l L ( t)). pRIWEDEM KONE^NYJ REZULXTAT: f (1) =
2 r m @ lnT m @Vi 3 X 1 = f (0) 4;A()~c 2kT @~r ; 2kT B() cicj ; 3 ij j~c j2 @x 5 j i j
GDE A() I B() | SKALQRNYE FUNKCII ARGUMENTA = m j~c j2=(2kT), WID KOTORYH ZAWISIT, W ^ASTNOSTI, OT WIDA INTEGRALA STOLKNOWENIJ MEVDU ^ASTICAMI. wYRAVENIE DLQ f (1) SODERVIT NEIZWESTNYE MAKROSKOPI^ESKIE WELI^INY T(~r t), V (~r t). pO\TOMU PROCEDURU OPREDELENIQ f (1) NELXZQ NAZWATX REENIEM URAWNENIQ bOLXCMANA W POLNOM SMYSLE \TOGO PONQTIQ, T. E. NAHOVDENIEM NEIZWESTNOJ FUNKCII f(~r~v t) WO WSEJ OBLASTI EE OPREDELENIQ. pOD REENIEM ZDESX SLEDUET PONIMATX USTANOWLENIE S POMO]X@ (2) NEKOTORYH SWQZEJ MEVDU GIDRODINAMI^ESKIMI PARAMETRAMI SREDY. iSPOLXZOWANIE DWUH POSLEDNIH FORMUL DAET DLQ POTOKA TEPLA ~ = ;{ grad T: W (21) dLQ KOMPONENT TENZORA WQZKIH NAPRQVENIJ SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE WYRAVENIQ:
@Vi ! = @Vi + @Vj i 6= j: (22) !ii = div V~ + 2 @x ij @xj @xi i wELI^INA { > 0 NAZYWAETSQ KO\FFICIENTOM TEPLOPROWODNOSTI, WELI^INY > 0, > 0 | KO\FFICIENTAMI WQZKOSTI. kO\FFICIENTY PERENOSA { , , MOGUT, WOOB]E GOWORQ, ZAWISETX OT I T , T. E. OT SOSTOQNIQ GAZA. iH FUNKCIONALXNAQ ZAWISIMOSTX OT , T I ^ISLENNOE ZNA^ENIE OPREDELQ@TSQ, KAK SLEDUET IZ WIDA f (0) , f (1) , SWOJSTWAMI ^ASTIC (MASSOJ, HARAKTEROM WZAIMODEJSTWIQ MEVDU NIMI I T. D.). fORMULA (21) | ZAPISX ZAKONA fURXE DLQ TEPLOPROWODNYH SRED (SM. TAKVE x 2 GL. II), FORMULA (22) | ZAKON nAWXE|sTOKSA DLQ WQZKIH VIDKOSTEJ I GAZOW, SWQZYWA@]IJ KOMPONENTY TENZORA WQZKIH NAPRQVENIJ SO SKOROSTQMI DEFORMACII (OBOB]ENIE ZAKONA WQZKOSTI nX@TONA). 5. cEPO^KA GIDRODINAMI^ESKIH MODELEJ GAZA. zAKONY (21), (22) POZWOLQ@T PRI ZADANNYH KO\FFICIENTAH PERENOSA ZAMKNUTX WYWEDENNYE W P. 4 URAWNENIQ DLQ MOMENTOW I POLU^ITX MODELI GAZA W GIDRODINAMI^ESKOM PRIBLIVENII. pODSTANOWKA (21), (22) W (15), (18) PRIWODIT (S U^ETOM (12)) K SISTEME PQTI URAWNENIJ, SOSTOQ]EJ IZ URAW-
NENIQ NERAZRYWNOSTI
d = ; div V~ dt
(23)
TREH URAWNENIJ DWIVENIQ (ZAPISANNYH W WEKTORNOJ FORME KO\FFICI-
x 3]
urawnenie bolxcmana i proizwodnye ot nego
131
ENTY , S^ITA@TSQ POSTOQNNYMI)
dV~ = ; 1 grad p + + graddiv V~ + V~ dt
I URAWNENIQ \NERGII
~ ~ 2 d" dt = ;p div V + (div V ) + 2
X @Vi 2 i
@xi
+
X @Vi @Vj 2 + + div { grad T +
i6=j
@xj
@xj
(24)
(25)
GDE = =, df=dt = @f=@t + (V~ grad) f | POLNAQ (SUBSTANCIONALXNAQ) PROIZWODNAQ PO WREMENI. pRI IZWESTNYH KRAEWYH USLOWIQH IZ \TIH URAWNENIJ NAHODQTSQ PQTX ISKOMYH FUNKCIJ: , p I TRI KOMPONENTY SKOROSTI V~ . sISTEMA (23){(25) PREDSTAWLQET SOBOJ SLEDU@]IJ POSLE URAWNENIQ bOLXCMANA UROWENX W IERARHII MATEMATI^ESKIH OPISANIJ BOLXOGO ^ISLA WZAIMODEJSTWU@]IH ^ASTIC | MODELX SVIMAEMOGO WQZKOGO TEPLOPROWODNOGO GAZA. wMESTO NAHOVDENIQ FUNKCII f, ZAWISQ]EJ OT ESTI KOORDINAT ~r, ~v (A TAKVE WREMENI t), I OPREDELENIQ ^EREZ NEE SREDNIH WELI^IN ZADA^A SWELASX K POISKU NEPOSREDSTWENNO GIDRODINAMI^ESKIH PARAMETROW, QWLQ@]IHSQ K TOMU VE FUNKCIQMI LIX TREH DEKARTOWYH KOORDINAT I WREMENI. zAMETIM, ^TO S POMO]X@ SHOVIH POSTROENIJ IZ URAWNENIQ (2) POLU^A@TSQ BOLEE SLOVNYE, ^EM (23){(25), GIDRODINAMI^ESKIE MODELI, U^ITYWA@]IE, NAPRIMER, ANIZOTROPNOSTX, NALI^IE WNENIH SIL, HIMI^ESKIH REAKCIJ W SREDE, ZARQVENNYH ^ASTIC I \LEKTROMAGNITNYH POLEJ I T. D. pOLU^ENNAQ IZ ISHODNOGO KINETI^ESKOGO URAWNENIQ (2) MODELX (23){(25) IMEET QSNU@ INTEPRETACI@ W GIDRODINAMI^ESKIH TERMINAH. uRAWNENIE (23) | ZAPISX ZAKONA SOHRANENIQ MASSY VIDKOJ ^ASTICY, POLNOSTX@ SOWPADA@]AQ S URAWNENIEM NERAZRYWNOSTI, WYWEDENNYM W x 4 GL. II DRUGIM SPOSOBOM. uRAWNENIE (24) WYRAVAET WTOROJ ZAKON nX@TONA, PRIMENENNYJ K FIKSIROWANNOJ VIDKOJ ^ASTICE: EE USKORENIE OPREDELQETSQ SUMMOJ SIL DAWLENIQ I WQZKIH NAPRQVENIJ. nAKONEC, (25) OPISYWAET IZMENENIE SO WREMENEM WNUTRENNEJ \NERGII VIDKOJ ^ASTICY ZA S^ET RABOTY SIL DAWLENIQ (PERWYJ ^LEN W PRAWOJ ^ASTI), WQZKOGO TRENIQ (SLEDU@]IE TRI ^LENA) I TEPLOPEREDA^I (POSLEDNIJ ^LEN). w OTLI^IE OT TEPLOPROWODNOSTI WQZKOSTX, KAK \TO SRAZU WIDNO IZ (25), WSEGDA PRIWODIT K UWELI^ENI@ WNUTRENNEJ \NERGII WSEGO GAZA (TO VE SAMOE SPRAWEDLIWO I DLQ \NTROPII SREDY). mODELI BOLEE NIZKIH IERARHI^ESKIH UROWNEJ POLU^A@TSQ IZ (23){ (25) PRI SOOTWETSTWU@]IH UPRO]ENIQH I KONKRETIZACIQH RASSMATRIWAEMOGO OB_EKTA, OPREDELQEMYH PROTEKA@]IMI W NEM FIZI^ESKIMI PROCESSAMI, EGO GEOMETRIEJ I T. D. ~ISLO OBRAZU@]IHSQ TAKIM OBRAZOM IERARHI^ESKIH CEPO^EK MOVET BYTX WESXMA WELIKO. pRODEMONSTRIRUEM NEKOTORYE IZ NIH. 9
132
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
w OTSUTSTWIE TEPLOPROWODNOSTI, T. E. PRI { = 0, MODELX (23){(25) OTWE^AET WQZKOMU SVIMAEMOMU NETEPLOPROWODNOMU GAZU (URAWNENIQM nAWXE|sTOKSA, IROKO PRIMENQEMYM DLQ OPISANIQ MNOGIH PROCESSOW W ESTESTWOZNANII I TEHNOLOGII). dLQ WAVNOGO ^ASTNOGO SLU^AQ NESVIMAEMOJ VIDKOSTI, KOGDA (~r t) = const, IZ (23) SLEDUET, ^TO div V~ = 0, I MODELX nAWXE|sTOKSA SOSTOIT IZ ^ETYREH URAWNENIJ
dV~ = ; 1 grad p + V~ div V~ = 0 (26) dt A URAWNENIE \NERGII (25) ZAMENQETSQ ZADANNOJ ZAWISIMOSTX@ " = = "( p) = "(p). kOGDA SILY DAWLENIQ GORAZDO BOLXE SIL WQZKIH NAPRQVENIJ, MOVNO POLOVITX = 0, I IZ (26) SLEDU@T URAWNENIQ DWIVENIQ |JLERA DLQ NESVIMAEMOJ VIDKOSTI, I WMESTE S OSTA@]IMSQ NEIZMENNYM
URAWNENIEM NERAZRYWNOSTI POLU^AEM
dV~ = ; grad p div V~ = 0: (27) dt eSLI DWIVENIE, WDOBAWOK, POTENCIALXNO, T. E. SU]ESTWUET SKALQRNAQ FUNKCIQ (x y z t) TAKAQ, ^TO V~ = grad (PRI \TOM, KAK SLEDUET IZ IZWESTNOJ FORMULY WEKTORNOGO ANALIZA, rot V~ = 0), TO SISTEMA (27) SWODITSQ K URAWNENI@ lAPLASA DLQ POTENCIALA = 0 PRI^EM PERWOE IZ URAWNENIJ (27) UDOWLETWORQETSQ AWTOMATI^ESKI (SM. UPR. 5). w OTSUTSTWIE WQZKOSTI SISTEMA (23){(25) OPISYWAET TE^ENIQ SVIMAEMOGO TEPLOPROWODNOGO GAZA, ^ASTO WSTRE^A@]IESQ WO MNOGIH QWLENIQH. w \TOM SLU^AE URAWNENIE \NERGII (ODNOMERNAQ GEOMETRIQ) @V @W @T d" dt = ;p @x ; @x W = ;{ @x SOWPADAET, S U^ETOM PEREHODA OT \JLEROWYH KOORDINAT K LAGRANVEWYM, S URAWNENIEM (22) IZ x 4 GL. II, POLU^ENNYM S POMO]X@ PRQMOGO PRIMENENIQ ZAKONA SOHRANENIQ \NERGII K VIDKOJ ^ASTICE. dLQ NEPODWIVNOJ SREDY (V~ 0) MODELX PREDSTAWLQET SOBOJ URAWNENIE TEPLOPEREDA^I (5) IZ x 2 GL. II @"(T) C @T = div { (gradT) C = @t @T KOTOROE PRI POSTOQNNYH C, { DLQ STACIONARNOGO PROCESSA PREWRA]AETSQ W URAWNENIE lAPLASA DLQ TEMPERATURY T: T = 0:
rASSMOTRIM TEPERX SREDU BEZ DISSIPATIWNYH PROCESSOW WQZKOSTI I TEPLOPROWODNOSTI ( = 0, = 0, { = 0). tOGDA IZ (23){(25) SRAZU
x 3]
133 POLU^A@TSQ URAWNENIQ DWIVENIQ |JLERA DLQ SVIMAEMOJ VIDKOSTI @ V~ + (V~ grad ) V~ = ; 1 grad p @t urawnenie bolxcmana i proizwodnye ot nego
DOPOLNENNYE URAWNENIQMI NERAZRYWNOSTI I \NERGII d = ; div V~ d" = ;p div V~ dt dt T. E. PRIHODIM K MODELI, SOWPADA@]EJ S SISTEMOJ (4), (10), (14) IZ x 4 GL. II, A W SLU^AE = const | S SISTEMOJ (27). oDNA IZ IERARHI^ESKIH POSLEDOWATELXNOSTEJ, POROVDAEMAQ DANNOJ MODELX@, MOVET BYTX OBRAZOWANA, NAPRIMER, SLEDU@]IM PUTEM. pREDPOLOVIM SNA^ALA, ^TO PROCESS ODNOMERNYJ, I PEREJDEM K MASSOWOJ KOORDINATE m. tOGDA POLU^IM SISTEMU (18){(20) IZ x 4, GL. II
@ 1 = @V @V = ; @p @" = ;p @V @t @m @t @m @t @m GDE ^EREZ @=@t OBOZNA^ENA POLNAQ PROIZWODNAQ PO WREMENI. |TA SISTEMA, SOSTOQ]AQ IZ TREH URAWNENIJ, W SLU^AE IZ\NTROPI^ESKOGO TE^ENIQ IDEALXNOGO GAZA SWODITSQ K KWAZILINEJNOMU URAWNENI@ WTOROGO PORQDKA (URAWNENIE (30) IZ x 4 GL. II): @ 2 = @ a +1 @ : @t2 @m 0 @m iZ NEGO DLQ DWIVENIJ, PREDSTAWLQ@]IH SOBOJ MALYE OTKLONENIQ OT POSTOQNNOGO TE^ENIQ, SLEDU@T URAWNENIE AKUSTIKI @2 = c @2 @t2 0 @m2 (ANALOGI^NOE URAWNENI@ KOLEBANIJ STRUNY IZ x 2 GL. III c0 = p = p0 =0 | SKOROSTX ZWUKA), LIBO, ESLI TE^ENIE | PROSTAQ WOLNA, URAWNENIE hOPFA @ + pa +1 @ = 0 2 0 @t @m RASSMOTRENNYE W P. 7 x 4 GL. II. nAKONEC, IZ URAWNENIQ AKUSTIKI W SLU^AE TE^ENIQ TIPA PROSTOJ WOLNY LIBO IZ URAWNENIQ hOPFA DLQ MALYH WOZMU]ENIJ WYTEKAET POLU^ENNOE W P. 1 x 1 GL. II LINEJNOE URAWNENIE PERENOSA @ + a +1 1=2 @ = 0 0 0 @t @m
KOTOROE MOVNO S^ITATX PROSTEJEJ MODELX@ GAZA W KLASSE URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH. w ZAKL@^ENIE NAPOMNIM LOGIKU POSTROENIQ IERARHII MATAMATI^ESKIH OPISANIJ BOLXOGO ^ISLA WZAIMODEJSTWU@]IH ^ASTIC: 1) NAIBOLEE SLOVNYE MODELI OSNOWANY NA PERWOPRINCIPAH, T. E. NA PRIMENENII ZAKONOW KLASSI^ESKOJ MEHANIKI K KAVDOJ ^ASTICE SREDY
134
wariacionnye principy, ierarhii modelej
gl. III
rIS. 41. iERARHI^ESKIE CEPO^KI MODELEJ GAZA. sTRELKI | PEREHOD K MODELI BOLEE NIZKOGO IERAHI^ESKOGO UROWNQ, CIFRY | SOOTWETSTWU@]IE PREDPOLOVENIQ OB OB_EKTE: 1 | WOZMOVNOSTX STATISTI^ESKOGO OPISANIQ GAZA S POMO]X@ FUNKCII RASPREDELENIQ, UPRUGIE STOLKNOWENIQ 2 | BLIZOSTX PROCESSOW K LOKALXNOMU TERMODINAMI^ESKOMU RAWNOWESI@ 3, 19 | OTSUTSTWIE TEPLOPROWODNOSTI 4, 11 | NESVIMAEMOSTX VIDKOSTI 5, 7, 18 | OTSUTSTWIE WQZKOSTI 6 | IDEALXNAQ VIDKOSTX, POTENCIALXNYE TE^ENIQ 8 | NEPODWIVNOSTX GAZA 9 | STACIONARNYJ PROCESS, POSTOQNSTWOKO\FFICIENTA TEPLOPROWODNOSTI 10 | OTSUTSTWIEWQZKOSTI I TEPLOPROWODNOSTI 12 | ODNOMERNYE TE^ENIQ 13 | IDEALXNYJ GAZ, \NTROPIQ POSTOQNNA 14, 17 | MALYE WOZMU]ENIQ GAZA 15, 16 | TE^ENIQ TIPA PROSTOJ WOLNY
2) PRI PEREHODE K SLEDU@]EMU UROWN@ IERARHII | KINETI^ESKOMU URAWNENI@ bOLXCMANA (2) | ISPOLXZUETSQ WEROQTNOSTNOE OPISANIE GAZA S POMO]X@ FUNKCII RASPREDELENIQ, A DLQ KONKRETIZACII INTE-
x 3]
urawnenie bolxcmana i proizwodnye ot nego
135
GRALA STOLKNOWENIJ MEVDU ^ASTICAMI WWODQTSQ PREDPOLOVENIQ OB IH UPRUGOM HARAKTERE, OB OTSUTSTWII TROJNYH STOLKNOWENIJ I T. D. 3) PREDPOLOVENIE O LOKALXNOM TERMODINAMI^ESKOM RAWNOWESII | OSNOWNOE DLQ PEREHODA K OPISANI@ GAZA W GIDRODINAMI^ESKOM PRIBLIVENII, T. E. K URAWNENIQM (23){(25) 4) OSNOWNAQ GIDRODINAMI^ESKAQ MODELX (23){(25) POROVDAET, W ZAWISIMOSTI OT HARAKTERA RASSMATRIWAEMYH PROCESSOW, RAZNOOBRAZNYE IERARHI^ESKIE CEPO^KI, ^ASTX IZ KOTORYH BYLA OPISANA WYE (RIS. 41). iERARHIQ MODELEJ GAZA SODERVIT IROKIJ SPEKTR URAWNENIJ, SU]ESTWENNO OTLI^A@]IHSQ DRUG OT DRUGA I W ^ISTO MATEMATI^ESKOM OTNOENII. k NIM OTNOSQTSQ SISTEMY URAWNENIJ KLASSI^ESKOJ MEHANIKI WYSOKOJ RAZMERNOSTI, KINETI^ESKIE URAWNENIQ, URAWNENIQ MEHANIKI SPLONYH SRED. pOSLEDNIE W SWO@ O^EREDX MOGUT PODRAZDELQTXSQ NA LINEJNYE I NELINEJNYE, NA URAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA (URAWNENIQ |JLERA I hOPFA), PARABOLI^ESKOGO (URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI) I \LLIPTI^ESKOGO (URAWNENIE lAPLASA) TIPOW, A TAKVE SMEANNOGO TIPA, NA STACIONARNYE I NESTACIONARNYE, MNOGOMERNYE I ODNOMERNYE URAWNENIQ I T. D. dOPOLNITELXNYE WARIACII POSTROENNYH MODELEJ SWQZANY S RAZLI^NYMI WARIANTAMI KRAEWYH USLOWIJ I DRUGIH WHODNYH DANNYH. pRODEMONSTRIROWANNYJ W DANNOM PARAGRAFE METOD POSTROENIQ MODELEJ PO PRINCIPU SWERHU WNIZ BOLEE UNIWERSALEN, ^EM SPOSOB, OSNOWANNYJ NA PRINCIPE SNIZU WWERH. tAK, NAPRIMER, URAWNENIE bOLXCMANA NEWOZMOVNO POLU^ITX IZ KAKIH-LIBO MODELEJ BOLEE NIZKOGO IERARHI^ESKOGO UROWNQ. pRI POSTROENII I ANALIZE L@BOJ MODELI WSEGDA POLEZNO ZNATX EE MESTO W OB]EJ IERARHII MODELEJ IZU^AEMOGO OB_EKTA. |TO DAET WOZMOVNOSTX PRAWILXNO OCENIWATX OBLASTX EE PRIMENIMOSTI I ^ETKO OSOZNAWATX EE SWQZI S MODELQMI DRUGIH UROWNEJ, T. E. SPOSOBSTWUET BOLEE GLUBOKOMU PONIMANI@ ISSLEDUEMYH QWLENIJ. upravneniq 1. iSPOLXZUQ SWOJSTWA FUNKCII RASPREDELENIQ f (v ), WYRAVAEMYE FORMULOJ (1), POLU^ITE IZ (4) FORMULU (5). 2. pROWERXTE, ^TO FIGURIRU@]AQ W (7) FUNKCIQ F (x y ) NEOTRICATELXNA. 3. pOLU^ITE FORMULY (8), (9), ISHODQ IZ OPREDELENIQ INTEGRALA STOLKNOWENIJ S (f (~v)). , ISPOLXZUQ PROSTYE KONKRETNYE PRIMERY, W TOM, ^TO WELI^INA c3 4.NE uBEDITESX RAWNA TOVDESTWENNO NUL@ (W OTLI^IE OT SREDNEJ TEPLOWOJ SKOROSTI hci). 5. iSPOLXZUQ FORMULU WEKTORONOGO ANALIZA 1 grad jV~ j2 = V~ (rot V~ ) + (V~ r) V~ x 2
I PRIMENQQ OPERACI@ rot K OBEIM ^ASTQM PERWOGO URAWNENIQ (27), POLU^ITE IZ NEGO URAWNENIE @ (rot V~ )=@t = rot V~ rot V~ ], TOVDESTWENNO UDOWLETWORQ@]EESQ W SLU^AE POTENCIALXNYH TE^ENIJ.
bIBLIOGRAFIQ K GLAWE III: 3, 11, 20, 42, 43, 45, 69, 72].
g la w a IV
modeli nekotoryh trudnoformalizuemyh ob ektow x 1. uNIWERSALXNOSTX MATEMATI^ESKIH MODELEJ pOSTROIM MATEMATI^ESKIE MODELI DINAMIKI SKOPLENIQ AMEB I SLU^AJNOGO MARKOWSKOGO PROCESSA. pOWEDENIE VIWOJ MATERII (AMEBY) I NEMATERIALXNOJ WELI^INY (PLOTNOSTX WEROQTNOSTI) OPIEM TEMI VE PARABOLI^ESKIMI URAWNENIQMI, ^TO I QWLENIQ MERTWOJ PRIRODY, IZU^ENNYE W GL. II. rASSMOTRIM TAKVE ANALOGII MEVDU NEKOTORYMI MEHANI^ESKIMI ILI FIZI^ESKIMI OB_EKTAMI I \KONOMI^ESKIMI PROCESSAMI. 1. dINAMIKA SKOPLENIQ AMEB. aMEBA | ODNOKLETO^NYJ ORGANIZM RAZMEROM OKOLO DESQTI MIKRON (10;3 SM), OBITA@]IJ W PO^WE I PEREDWIGA@]IJSQ W NEJ S POMO]X@ LOVNONOVEK, T. E. ^ASTEJ SWOEGO TELA. pITA@TSQ AMEBY W OSNOWNOM BAKTERIQMI, POGLO]AQ IH WMESTE S ZEMLEJ (ESLI PI]I DOSTATO^NO, TO AMEBY RAZMNOVA@TSQ DELENIEM NA DWE ^ASTI). iZ NABL@DENIJ I \KSPERIMENTA IZWESTNO, ^TO DINAMIKA RAZWITIQ IH SOOB]ESTWA | DOSTATO^NO BOLXOGO KOLI^ESTWA AMEB, NAHODQ]IHSQ NA NEBOLXOM RASSTOQNII DRUG OT DRUGA, | BYWAET DOSTATO^NO SLOVNOJ. nAPRIMER, W ZAWISIMOSTI OT WNENIH USLOWIJ AMEBY MOGUT SOBIRATXSQ W OGROMNYE (DO SOTEN TYSQ^ TUK) SKOPLENIQ, KOTORYE NA^INA@T DWIGATXSQ KAK EDINOE CELOE, HOTQ INDIWIDUALXNOSTX KAVDOJ AMEBY SOHRANQETSQ. zAME^ENO, ^TO \TO MAKROSKOPI^ESKOE ORGANIZOWANNOE DWIVENIE PROISHODIT W NAPRAWLENII K BOLEE WYSOKOJ KONCENTRACII NEKOTOROGO HIMI^ESKOGO WE]ESTWA, WYRABATYWAEMOGO SAMIMI AMEBAMI. mATEMATI^ESKAQ MODELX DINAMIKI SKOPLENIQ AMEB BAZIRUETSQ NA SLEDU@]IH PREDPOLOVENIQH: 1) RASSTOQNIE MEVDU AMEBAMI MALO W SRAWNENII S RAZMERAMI IH SKOPLENIJ (SOTNI MIKRON), IH MOVNO RASSMATRIWATX KAK SPLONU@ SREDU I WWODITX KONCENTRACI@ N(x y z t) | ^ISLO AMEB W EDINICE OB_EMA 2) PROCESS ODNOMERNYJ, T. E. KONCENTRACIQ AMEB I DRUGIE WELI^INY QWLQ@TSQ FUNKCIQMI TOLXKO KOORDINATY x I WREMENI t 3) AMEBY NE ROVDA@TSQ I NE UMIRA@T W PROCESSE MAKROSKOPI^ESKOGO DWIVENIQ, T. E. HARAKTERNOE WREMQ DWIVENIQ (NESKOLXKO ^ASOW) MALO PO OTNOENI@ K HARAKTERNYM WREMENAM RAZMNOVENIQ I VIZNI AMEB
x 1]
137 4) INDIWIDUALXNOE DWIVENIE AMEB PRI OTSUTSTWII STIMULIRU@]IH WNENIH WOZDEJSTWIJ (PI]A, TEPLO I T. D.) BESPORQDO^NO, HAOTI^NO WYDELENNYH NAPRAWLENIJ NET I KAVDAQ AMEBA MOVET S RAWNOJ WEROQTNOSTX@ DWIGATXSQ KAK WPRAWO, TAK I WLEWO 5) ESLI W SREDE ESTX PRITQGIWA]EE HIMI^ESKOE WE]ESTWO, TO K SOBSTWENNOMU NEUPORQDO^ENNOMU DWIVENI@ AMEB DOBAWLQETSQ IH NAPRAWLENNOE DWIVENIE W OBLASTX S BOLXEJ PLOTNOSTX@ \TOGO WE]ESTWA. sOSTAWIM URAWNENIE BALANSA AMEB W \LEMENTE SREDY dx ZA WREMQ dt, ISPOLXZUQ ZAKON SOHRANENIQ IH ^ISLA (PREDPOLOVENIE 3)). w \TOM SLU^AE OB]EE ^ISLO AMEB W OB_EME dx (PLO]ADX POPERE^NOGO SE^ENIQ EDINI^NA) IZMENQETSQ LIX IZ-ZA RAZNOSTI POTOKA AMEB W (x t) NA LEWOJ I PRAWOJ GRANICAH \LEMENTA. wELI^INA W(x t) PONIMAETSQ W OBY^NOM SMYSLE: \TO ^ISLO AMEB, PERESEKA@]IH EDINI^NU@ POWERHNOSTX ZA EDINI^NOE WREMQ. iSKOMOE URAWNENIE WYGLQDIT TAK (SR. S URAWNENIEM BALANSA TEPLA W x 2 GL. II): t + dt) ; N(x t)] dx = W(x t) ; W(x + dx t)] dt N(x W | NEKOTORYE SREDNIE ZNA^ENIQ WELI^IN NA MALYH PROMEVUTGDE N, KAH dx, dt. uSTREMLQQ dx I dt K NUL@, PRIHODIM K DIFFERENCIALXNOMU uniwersalxnostx matemati~eskih modelej
URAWNENI@ BALANSA ^ISLA AMEB
@N = ; @W : @t @x
wELI^INA W = Wc + Wd SKLADYWAETSQ IZ DWUH SOSTAWLQ@]IH, Wc I Wd . ~ASTX Wc OB]EGO POTOKA FORMIRUETSQ ZA S^ET HAOTI^ESKOGO DWIVENIQ AMEB, I PO\TOMU PO ANALOGII S ZAKONOM fURXE DLQ PROCESSA DIFFUZII TEPLA (x 2 GL. II) EGO MOVNO ZAPISATX ^EREZ GRADIENT IH KONCENTRACII: Wc = ; @N @x GDE > 0 | NEKOTORYJ KO\FFICIENT, HARAKTERIZU@]IJ RASSMATRIWAEMU@ SREDU. |TU FORMULU DLQ Wc I WELI^INU NETRUDNO POLU^ITX IZ BOLEE PODROBNOGO ANALIZA PROCESSA NA MIKROUROWNE, ISPOLXZUQ TE VE RASSUVDENIQ, KOTORYE PRIMENQLISX DLQ QWLENIJ PEREDA^I TEPLA. pRI POLU^ENII WYRAVENIQ DLQ SOSTAWLQ@]EJ Wd , OPISYWA@]EJ NAPRAWLENNYJ POTOK AMEB, BUDEM S^ITATX, ^TO WELI^INA Wd TEM BOLXE, ^EM BOLXE GRADIENT PLOTNOSTI PRITQGIWA@]EGO WE]ESTWA:
@ : Wd = N @x zDESX > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ, (x t) | PLOTNOSTX WE]ESTWA, A MNOVITELX N PERED GRADIENTOM OZNA^AET, ^TO PRI ZADANNOM GRADIENTE WELI^INY SOSTAWLQ@]AQ POTOKA Wd PROPORCIONALXNA KONCENTRACII AMEB W DANNOJ TO^KE. oB_EDINQQ WYRAVENIQ DLQ Wc , Wd I PODSTAWLQQ IH W URAWNENIE BALANSA, POLU^AEM @N = @ @N ; N @ : (1) @t @x @x @x
138
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
w URAWNENII (1) DWE NEIZWESTNYH FUNKCII | N I . pO\TOMU NEOBHODIMO POLU^ITX, POLXZUQSX ZAKONOM SOHRANENIQ WE]ESTWA, URAWNENIE BALANSA DLQ WELI^INY . pRI \TOM SLEDUET U^ESTX, ^TO SKOROSTX WYDELENIQ HIMI^ESKOGO WE]ESTWA PROPORCIONALXNA KONCENTRACII AMEB. bUDEM U^ITYWATX TAKVE RASPAD WE]ESTWA, SKOROSTX KOTOROGO, ESTESTWENNO, PROPORCIONALXNA EGO KONCENTRACII (ANALOGI^NO PROCESSU RADIOAKTIWNOGO RASPADA SM. x 1 GL. I). tAKIM OBRAZOM, W EDINICU WREMENI W EDINI^NOM OB_EME POQWLQETSQ I IS^EZAET KOLI^ESTWO WE]ESTWA, RAWNOE f = N ; GDE > 0, > 0 | KONSTANTY, HARAKTERIZU@]IE SOOTWETSTWENNO SKOROSTX EGO WYDELENIQ AMEBAMI I SKOROSTX RASPADA (W \TOM SOSTOIT OTLI^IE MODELI DLQ WE]ESTWA OT MODELI DLQ AMEB, W KOTOROJ ONI NE UMIRA@T I NE ROVDA@TSQ). iZMENENIE PLOTNOSTI WE]ESTWA W \LEMENTARNOM OB_EME SREDY PROISHODIT TAKVE I WSLEDSTWIE RAZNOSTI EGO POTOKOW NA LEWOJ I PRAWOJ GRANICAH \LEMENTA. oNO DIFFUNDIRUET W SREDE IZ MEST S BOLXEJ KONCENTRACIEJ W MESTA S MENXEJ KONCENTRACIEJ PODOBNO TOMU, KAK TEPLO RASPROSTRANQETSQ OT BOLEE NAGRETYH U^ASTKOW TEPLOPROWODNOJ SREDY K MENEE NAGRETYM. |TO DWIVENIE SOZDAET, SOGLASNO ZAKONU fIKA, POTOK W , RAWNYJ @ W = ;D @x GDE D > 0 | KO\FFICIENT DIFFUZII (WYWOD ZAKONA fIKA ANALOGI^EN WYWODU ZAKONA fURXE). iTAK, URAWNENIE BALANSA WE]ESTWA IMEET WID @ = ; @W + f @t @x ILI, U^ITYWAQ WYRAVENIQ DLQ W I f, @ = D @ 2 + N ; : (2) @t @x2 uRAWNENIQ (1), (2) WMESTE SO WHODNYMI DANNYMI , , , , D SLUVAT MODELX@ DINAMIKI SKOPLENIQ AMEB PRI SDELANNYH WYE PREDPOLOVENIQH. dLQ ODNOZNA^NOGO OPREDELENIQ REENIQ, T. E. FUNKCIJ N(x t), (x t), NEOBHODIMO, KAK OBY^NO, ZNATX SOOTWETSTWU@]IE NA^ALXNYE I GRANI^NYE USLOWIQ. nAIBOLEE PROSTO ONI WYGLQDQT W SLU^AE ZADA^I kOI, KOGDA PROCESS RASSMATRIWAETSQ W NEOGRANI^ENNOM PROSTRANSTWE ;1 < x < 1 TOGDA DOSTATO^NO ZADATX W MOMENT t = 0 NA^ALXNU@ KONCENTRACI@ AMEB N(x 0) = N0 (x) I PLOTNOSTX WE]ESTWA (x 0) = 0 (x). uRAWNENIQ (1), (2) WZAIMOSWQZANY: W PERWOE IZ NIH WHODIT WELI^INA , WO WTOROM FIGURIRUET WELI^INA N. sISTEMA (1), (2) NELINEJNA IZ-ZA NALI^IQ ^LENA N @=@x W SKOBKAH, STOQ]IH W PRAWOJ ^ASTI (1). rASSMATRIWAEMYE SOOTWETSTWENNO OTNOSITELXNO KONCENTRACIJ AMEB N I PLOTNOSTI WE]ESTWA URAWNENIQ (1) I (2), KAK NETRUDNO WIDETX, PRINADLEVAT K PARABOLI^ESKOMU TIPU.
x 1]
139 eSLI AMEBY NE WYDELQ@T PRITQGIWA@]EGO WE]ESTWA I (x t) 0, TO (1) PEREHODIT W URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI (ILI DIFFUZII) @N = @ 2 N @t @x2 ^TO LEGKO OB_QSNITX, POSKOLXKU W POTOKE W OSTAETSQ LIX SOSTAWLQ@]AQ Wc , SOOTWETSTWU@]AQ BESPORQDO^NOMU, NENAPRAWLENNOMU DWIVENI@ AMEB. kOGDA AMEBY PO KAKIM-TO PRI^INAM PERESTA@T WYDELQTX WE]ESTWO, KO\FFICIENT W (2) STANOWITSQ RAWNYM NUL@, I S \TOGO MOMENTA URAWNENIE (2) PRINIMAET WID (DIFFUZIQ S RASPADOM) @ = D @ 2 ; (3) @t @x2 I SWODITSQ PROSTOJ ZAMENOJ (UPR. 1) TAKVE K URAWNENI@ TEPLOPROWODuniwersalxnostx matemati~eskih modelej
NOSTI
@u = D @ 2 u : @t @x2 iZ-ZA NELINEJNOSTI SISTEMY (1), (2) SKONSTRUIROWATX EE OB]EE REENIE NELXZQ, I PO\TOMU OPREDELENIE PROSTRANSTWENNO-WREMENNOJ DINAMIKI SKOPLENIQ AMEB | WESXMA NEPROSTAQ ZADA^A. oDNAKO ONA ZNA^ITELXNO OBLEG^AETSQ, ESLI IZU^A@TSQ MALYE OTKLONENIQ OT POSTOQNNOGO WO WREMENI I PO PROSTRANSTWU REENIQ N N0 , 0 , T. E. KOGDA NELINEJNAQ ZADA^A STANOWITSQ LINEJNOJ. tAKOE REENIE
SU]ESTWUET LIX PRI SOOTNOENII
N0 = 0
OZNA^A@]EM, ^TO WYDELENIE WE]ESTWA I EGO RASPAD URAWNOWEIWA@T DRUG DRUGA. lINEARIZOWANNAQ W OKRESTNOSTI POSTOQNNOGO REENIQ SISTEMA (1), (2) (SR. S URAWNENIEM AKUSTI^ESKIH KOLEBANIJ W x 4 GL. II) IMEET WID # ! @ N~ = @ @ N~ ; N @ ~ 0 @x @t @x @x
@~ = D @ 2 ~ + N~ ; ~ @t @x2
(4)
GDE N~ I ~ | MALYE WOZMU]ENIQ (N~ N0 , ~ 0 ). eE OB]EE REENIE DLQ NEOGRANI^ENNOGO PROSTRANSTWA ;1 < x < 1 (W \TOM SLU^AE NET NEOBHODIMOSTI UDOWLETWORQTX GRANI^NYM USLOWIQM) MOVNO POSTROITX W WIDE SUMMY ^ASTNYH REENIJ (GARMONIK) N~ = C1 sin kx e t ~ = C2 sin kx e t GDE k > 0 | WOLNOWOE ^ISLO, C1, C2 | KONSTANTY. dLQ ^ASTNYH REE-
NIJ DOLVNY WYPOLNQTXSQ SOOTNOENIQ
C1 ( + k2 ) = C2 N0 k2 C2 ( + + Dk2 ) = C1
(5)
140
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
SWQZYWA@]IE DLINU WOLNY GARMONIKI = 2 =k S WELI^INOJ | EE INKREMENTOM (ILI DEKREMENTOM), HARAKTERIZU@]IM NARASTANIE ILI ZATUHANIE WOZMU]ENIQ SO WREMENEM. iSKL@^AQ C1 I C2 IZ (5), POLU^AEM OTNOSITELXNO KWADRATNOE URAWNENIE
2 + b + c = 0 (6) 2 2 2 2 GDE b = + k ( + D), c = k ( + Dk ) ; N0k . oBA KORNQ URAWNENIQ (6) OTRICATELXNY TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA c > 0, T. E. PRI
WYPOLNENII NERAWENSTWA
( + Dk2 ) > N0: (7) eSLI IMEET MESTO (7), TO DLQ L@BYH ZNA^ENIJ k AMPLITUDA WOZMU]ENIJ S L@BOJ DLINOJ WOLNY UMENXAETSQ S TE^ENIEM WREMENI, I POSTOQNNOE REENIE USTOJ^IWO. nERAWENSTWO (7) ZAWEDOMO WYPOLNENO
PRI
> N0 (ILI > 0 )
T. E. DLQ FIKSIROWANNYH PARAMETROW ZADA^I PRI DOSTATO^NO MALYH KONCENTRACIQH AMEB (I PLOTNOSTQH PRITQGIWA@]EGO WE]ESTWA). w PROTIWNOM SLU^AE WOZMOVNA NEUSTOJ^IWOSTX POSTOQNNOGO REENIQ (ESLI W NA^ALXNOM SPEKTRE WOZMU]ENIJ NAJDUTSQ DLINNOWOLNOWYE GARMONIKI S NEBOLXIMI ZNA^ENIQMI k, RASTU]IE SO WREMENEM), POROVDA@]AQ BOLEE SLOVNU@ KARTINU \WOL@CII SKOPLENIQ AMEB. rAZUMEETSQ, LINEARIZOWANNAQ MODELX NE DAET IS^ERPYWA@]EJ KARTINY PROCESSA, NO IZ NEE MOVNO IZWLE^X RQD SWEDENIJ, POLEZNYH DLQ BOLEE POLNOGO ISSLEDOWANIQ. 2. sLU^AJNYJ MARKOWSKIJ PROCESS. tIPI^NYM PRIMEROM PODOBNOGO PROCESSA SLUVIT DWIVENIE POME]ENNOJ W VIDKOSTX MALENXKOJ TWERDOJ ^ASTICY, SOWERA@]EJ HAOTI^ESKIE PEREME]ENIQ POD DEJSTWIEM BESPORQDO^NYH STOLKNOWENIJ S MOLEKULAMI VIDKOSTI (BROUNOWSKOE DWIVENIE). eE POLOVENIE W L@BOJ MOMENT WREMENI t > t0 ZADAETSQ KOORDINATAMI x, y, z TREHMERNOGO PROSTRANSTWA R3. w DALXNEJEM DLQ UPRO]ENIQ WYKLADOK BUDEM RASSMATRIWATX ODNOMERNOE DWIVENIE1 , T. E. SLU^AJNYE BLUVDANIQ BROUNOWSKOJ ^ASTICY WDOLX OSI x, x 2 R . sLU^AJNYJ PROCESS NAZYWAETSQ MARKOWSKIM, ESLI PO POLOVENI@ TO^KI x W MOMENT WREMENI t ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ WEROQTNOSTX EE NAHOVDENIQ W PROIZWOLXNYJ MOMENT t0 > t W NEKOTOROJ ^ASTI (W L@BOM IZMERIMOM PODMNOVESTWE E) PROSTRANSTWA R1. dRUGIMI SLOWAMI, \TO PROCESS BEZ POSLEDEJSTWIQ , KOGDA SOBYTIQ, SLU^IWIESQ W PROMEVUTKE WREMENI MEVDU t I t0, NE WLIQ@T NA POLOVENIE TO^KI W MOMENT t0. mARKOWSKIJ PROCESS POLNOSTX@ HARAKTERIZUETSQ FUNKCIEJ p(t x t0 x0) x 2 R1 NAZYWAEMOJ PLOTNOSTX@ WEROQTNOSTI W TO^KE x0 , ZNAQ KOTORU@, NETRUDNO WY^ISLITX WEROQTNOSTX p(x t t0 E) =
Z
E (x ) 0
p(x t x0 t0) dx0
x 1]
uniwersalxnostx matemati~eskih modelej 141 NAHOVDENIQ ^ASTICY W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI E(x0 ) TO^KI x0 W MOMENT WREMENI t0.
o^EWIDNO, ^TO DLQ FUNKCII p WYPOLNENO USLOWIE NORMIROWKI
Z
p(t x t0 x0) dx0 = 1
(8)
1 R
T. E. W L@BOJ MOMENT1 ^ASTICA OBQZATELXNO NAHODITSQ W KAKOJ-LIBO TO^KE PROSTRANSTWA R . pRI POSTROENII MODELI MARKOWSKOGO PROCESSA SU]ESTWENNYM OBRAZOM ISPOLXZUETSQ PREDPOLOVENIE O EGO SILXNOJ NEPRERYWNOSTI. s^ITAETSQ, ^TO ^ASTICA ZA MALYE PROMEVUTKI WREMENI t MOVET POLU^ITX ZAMETNYE PRIRA]ENIQ KOORDINATY x > LIX S MALOJ WEROQTNOSTX@. |TO ZNA^IT, ^TO DLQ L@BOGO > 0
Z
jx ;xj>
p(t ; t x t x0) dx0 = o( t)
0
ILI, W \KWIWALENTNOJ ZAPISI, lim 1 t!0 t
Z
jx ;xj>
p(t ; t x t x0) dx0 = 0:
(9)
0
pREDPOLAGAETSQ TAKVE, ^TO DLQ L@BYH > 0 SU]ESTWU@T RAWNOMERNYE PO x PREDELY lim 1 t!0 t
1 lim t!0 t
Z
(x0 ; x) p(t ; t x t x0) dx0 = b > 0
(10)
(x0 ; x)2 p(t ; t x t x0) dx0 = 2a > 0:
(11)
jx ;xj< 0
Z
jx ;xj< 0
|TI PREDPOLOVENIQ IME@T SLEDU@]U@ INTERPRETACI@: WEROQTNOSTX DLQ ^ASTICY NAHODITXSQ W MOMENT t W INTERWALE jx0 ; xj < PROPORCIONALXNA t (UMENXAETSQ S UMENXENIEM PROMEVUTKA WREMENI, PROEDEGO OT NA^ALXNOGO MOMENTA t ; t, ^TO ESTESTWENNO) I OBRATNO PROPORCIONALXNA NEKOTOROJ SREDNEJ WELI^INE RAZMERA INTERWALA jx0 ; xj (I EGO KWADRATU, ^TO TAKVE ESTESTWENNO). wELI^INY a I b ZAWISQT, WOOB]E GOWORQ, OT TO^KI x I MOMENTA t, T. E. a = a(x t), b = b(x t), NO DLQ PROSTOTY ZDESX RASSMATRIWAETSQ ^ASTNYJ SLU^AJ, KOGDA a I b | POSTOQNNYE. nAKONEC, POSLEDNEE ISPOLXZUEMOE NIVE PREDPOLOVENIE SOSTOIT W TOM, ^TO DLQ L@BYH t, x, t0, x0 SU]ESTWU@T NEPRERYWNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII p PO x @p @ 2 p : @x @x2
(12)
142
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
oSNOWNOE SWOJSTWO RASSMATRIWAEMOGO PROCESSA WYRAVAETSQ TOVDESTWOM mARKOWA p(t x t0 x0) =
Z
p(x t t x) p(t x t0 x0) dx
(13)
1 R
GDE t < t < t0 | NEKOTORYJ MOMENT WREMENI W PROMEVUTKE OT t DO t0, A 0 x | KOORDINATA ^ASTICY W MOMENT t, t < t < t , NEKOTORAQ PROMEVUTO^NAQ TO^KA PRI DWIVENII OT TO^KI x DO TO^KI x0. sMYSL TOVDESTWA (13) PROQSNQETSQ PRI RASSMOTRENII PEREHODA IZ TO^KI x W TO^KU x0 KAK POSLEDOWATELXNOSTI DWUH PEREHODOW | SNA^ALA IZ TO^KI x W TO^KU x, A ZATEM IZ TO^KI x W TO^KU x0 (NA RIS. 42 POKAZANY WOZMOVNYE KOMBINACII \TIH PEREHODOW, PRI^EM PROMEVUTO^NYE PEREME]ENIQ IZOBRAVENY TRIHOWYMI LINIQMI, A OSNOWNOJ PEREHOD | SPLONYMI). wEROQTNOSTX SOBYTIQ, SOSTOQ]EGO IZ DWUH POSLErIS. 42 DOWATELXNYH NEZAWISIMYH SOBYTIJ, RAWNA PROIZWEDENI@ WEROQTNOSTEJ KAVDOGO SOBYTIQ, PO\TOMU POD INTEGRALOM W (13) STOIT PROIZWEDENIE SOOTWETSTWU@]IH WELI^IN. iNTEGRAL BERETSQ PO WSEM WOZMOVNYM PROMEVUTO^NYM TO^KAM x 2 R1. dLQ RASSMATRIWAEMOGO PROCESSA TOVDESTWO mARKOWA IGRAET ROLX SWOEOBRAZNOGO FUNDAMENTALXNOGO ZAKONA , SWQZYWAQ NEKOTORYM OBRAZOM ZNA^ENIQ FUNKCII p W TO^KAH t x I t0 x0. s EGO POMO]X@ WY^ISLIM SNA^ALA RAZNOSTX WELI^IN p W MOMENTY t ; t I t: p(t ; t x t0 x0) ; p(t x t0 x0) = =
Z
p(t ; t x t x) p(t x t0 x0) dx ; p(t x t0 x0)
1 R
Z
p(t ; t x t x) dx:
1 R
pERWOMU ^LENU W LEWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA OTWE^AET (SM. (13)) PERWYJ INTEGRAL W EGO PRAWOJ ^ASTI, A WTOROMU | TOVDESTWENNYJ EMU ^LEN, UMNOVENNYJ NA INTEGRAL, KOTORYJ SOGLASNO USLOWI@ NORMIROWKI (8) RAWEN EDINICE. mNOVITELX p(t x t0 x0) NE ZAWISIT OT x, I PO\TOMU, WNOSQ EGO POD ZNAK INTEGRALA, PEREPIEM RAWENSTWO W WIDE p(t ; t x t0 x0) ; p(t x t0 x0) =
Z
= p(t x t0 x0) ; p(t x t0 x0)] p(t ; t x t x) dx: 1 R
pODELIM TEPERX W \TOM RAWENSTWE OBE EGO ^ASTI NA t I RAZOB_EM INTEGRAL NA DWA | PO OBLASTI jx ; xj > I jx ; xj < : p(t ; t x t0 x0) ; p(t x t0 x0) = I + I (14) t
1
2
x 1]
uniwersalxnostx matemati~eskih modelej
1 I1 = t 1 I2 = t
Z
143
jx ;xj>
p(t x t0 x0) ; p(t x t0 x0)] p(t ; t x t x) dx
Z
jx ;xj<
p(t x t0 x0) ; p(t x t0 x0)] p(t ; t x t x) dx:
iNTEGRAL I1 W SILU SWOJSTWA SILXNOJ NEPRERYWNOSTI (9) STREMITSQ K NUL@ PRI t ! 0 (PERWYJ SOMNOVITELX W PODYNTEGRALXNOM WYRAVENII NE ZAWISIT OT t I NE WLIQET NA POWEDENIE I1 PRI t ! 0). iNTEGRAL I2 PREOBRAZUEM, RASKLADYWAQ S U^ETOM (12) PERWYJ SOMNOVITELX PO STEPENQM (x ; x): 1 I2 = t 1 + t
Z
jx ;xj<
Z
jx ;xj<
1 + t
Z
@p(t x t0 x0) (x ; x) p(t ; t x t x) dx + @x
1 @ 2 p(t x t0 x0) (x ; x)2 p(t ; t x t x) dx + 2 @x2
jx ;xj<
2 0 0 o(x ; x)2] 12 @ p(t@xx2t x ) p(t ; t x t x) dx:
uSTREMIM W \TOM RAWENSTWE t K NUL@, ZAME^AQ, ^TO ^ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII p, STOQ]IE POD ZNAKOM INTEGRALA, NE ZAWISQT OT x. wYNOSQ IH IZ-POD INTEGRALA, DLQ PERWYH DWUH ^LENOW POLU^IM, W SILU PREDPOLOVENIJ (10), (11), ^TO IH PREDELY SOOTWETSTWENNO RAWNY x t0 x0) a @ 2 p(t x t0 x0) b @p(t @x @x2
A TRETXE SLAGAEMOE PREDSTAWIM W WIDE 2 0 0 1 "(x ; x) 12 @ p(t@xx2t x ) t
Z
jx ;xj<
(x ; x)2 p(t ; t x t x) dx
GDE "(x ; x) | SREDNEE ZNA^ENIE FUNKCII "(x ; x), PRI^EM PO OPREDELENI@ WELI^INY o(x ; x)2] IMEEM "(x ; x) ! 0 PRI ! 0. oSU]ESTWIM W POSLEDNEM WYRAVENII PREDELXNYJ PEREHOD SNA^ALA PRI ! 0. |TOT PREDEL, O^EWIDNO, RAWEN NUL@ PRI L@BYH t > 0. pO\TOMU EGO PREDEL PRI t ! 0 TAKVE RAWEN NUL@. nAKONEC, PREDEL LEWOJ ^ASTI (14) PRI t ! 0 RAWEN PROIZWODNOJ FUNKCII p PO WREMENI. sUMMIRUQ \TI REZULXTATY, POLU^AEM IZ (14) URAWNENIE kOLMOGOROWA DLQ PLOTNOSTI WEROQTNOSTI, SPRAWEDLIWOE DLQ WSEH t > t0 , ;1 < x < 1: @p(t x t0 x0) = a @ 2 p(t x t0 x0) + b @p(t x t0 x0) : @t @x2 @x
(15)
144
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
uRAWNENIE (15) | LINEJNOE PARABOLI^ESKOE URAWNENIE. |TIMI VE SWOJSTWAMI OBLADA@T I EGO OBOB]ENIQ. nAPRIMER, W SLU^AE, KOGDA WELI^INY b I a W (10), (11) ZAWISQT OT t x, ANALOG URAWNENIQ (15) IMEET WID
@p = a(t x) @ 2 p + b(t x) @p : (16) @t @x2 @x eSLI VE TO^KA x PRINADLEVIT n-MERNOMU PROSTRANSTWU, T. E. x = = (x1 x2 : : : xn), TO DLQ FUNKCII p cPRAWEDLIWO SLEDU@]EE OBOB]ENIE (15), (16): n n @p = X @2p + X @p a (t x) (17) @t i j =1 ij @xi @xj i=1 bi (t x) @xi GDE bi (t x) I aij (t x) WY^ISLQ@TSQ PO FORMULAM (10), (11), NO W (10) WMESTO SOMNOVITELQ (x0 ; x) BERETSQ WELI^INA (x0 ; x)i , A W (11) WMESTO (x0 ; x)2 FIGURIRUET WYRAVENIE (x0 ; x)i (x0 ; x)j , i j = 1 2 : : : n. zAMETIM, ^TO (17) OTN@DX NE FORMALXNOE OBOB]ENIE (15), (16). sLU^AJNYE MARKOWSKIE PROCESSY MOGUT PROTEKATX NE TOLXKO W REALXNOM FIZI^ESKOM PROSTRANSTWE (BROUNOWSKOE DWIVENIE), NO I W TAK NAZYWAEMOM FAZOWOM PROSTRANSTWE. oNI HARAKTERNY DLQ MNOGIH TEHNI^ESKIH I INYH SISTEM, SOSTOQNIE KOTORYH OPISYWAETSQ SOWOKUPNOSTX@ FAZOWYH PEREMENNYH x1 x2 : : : xn, ^ISLO KOTORYH MOVET BYTX ZNA^ITELXNO BOLXE TREH. pROSTEJIJ WARIANT URAWNENIQ kOLMOGOROWA POLU^AETSQ IZ (15) PRI b = 0: @p = a @ 2 p (18) @t @x2 I PREDSTAWLQET SOBOJ URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI (ILI DIFFUZII). oDNAKO MEVDU MATEMATI^ESKIMI MODELQMI TEPLOPEREDA^I I SLU^AJNOGO MARKOWSKOGO PROCESSA ESTX SU]ESTWENNAQ RAZNICA. pRI WYWODE URAWNENIQ (15) DLQ FUNKCII p(t x) ISPOLXZOWALISX (W OTLI^IE OT WYWODA URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI) USLOWIQ SILXNOJ NEPRERYWNOSTI (9){ (11). |TO PRIWODIT K TOMU, ^TO FUNKCIQ p(t x) NE MOVET BYTX L@BYM REENIEM URAWNENIQ kOLMOGOROWA. oNA OKAZYWAETSQ TAK NAZYWAEMYM FUNDAMENTALXNYM REENIEM URAWNENIJ (15){(18). pRO]E WSEGO POQSNITX \TO SWOJSTWO FUNKCII p(t x) W SLU^AE PROSTEJEGO URAWNENIQ (18). pUSTX FUNKCIQ u(t x) | REENIE URAWNENIQ (18), OPREDELENNOE PRI t > t0 , ;1 < x < 1 I UDOWLETWORQ@]EE ZADAN-
NOMU NA^ALXNOMU USLOWI@ u(t x) ! u0 (x) > 0 PRI t ! t0: (19) 0 0 tOGDA, ESLI p(x t t x ) | FUNDAMENTALXNOE REENIE (18), TO FUNKCIQ u(t x) NAHODITSQ PO FORMULE
Z
u(t x) = p(t x t0 x0) u0(x0 ) dx0: 1 R
(20)
x 1]
uniwersalxnostx matemati~eskih modelej
145
tO, ^TO u(t x), ZADAWAEMAQ W WIDE (20), | REENIE (18), NETRUDNO USTANOWITX DIFFERENCIROWANIEM (UPR. 4). sWOJSTWO (19) DOKAZYWAETSQ S POMO]X@ RAZBIENIQ INTEGRALA W (20): u(t x) =
Z
jx ;xj<
Z
p(t x t0 x0) u0 (x0) dx0 +
jx ;xj>
0
p(t x t0 x0) u0(x0 ) dx0:
0
pRI t = t0 TO^KA IMEET KOORDINATU x, I PO\TOMU 0PO SWOJSTWU SILXNOJ NEPRERYWNOSTI WEROQTNOSTX EE NAHOVDENIQ PRI t ! t ! t0 W OBLASTI jx0 ; xj > NULEWAQ, T. E. p(t x t0 x0) ! 0 PRI t0 ! t0. sLEDOWATELXNO, IZ POSLEDNEJ FORMULY POLU^AEM
Z
lim p(t x t0 x0) u0 (x0) dx0 = tlim t !t0 !t0 0
Z
0
p(t x t0 x0) u0(x0 ) dx0:
jx;yj< iSPOLXZUQ USLOWIE NORMIROWKI (8) PRI t0 ! t0 , x0 ! x I U^ITYWAQ NE1 R
ZAWISIMOSTX LEWOGO PREDELA W POSLEDNEJ FORMULE OT , POLU^AEM lim t !t 0
0
Z
p(t x t0 x0) u0(x0 ) dx0 = u0 (x)
1 R
T. E. FORMULU (19). tOT FAKT, ^TO FUNKCIQ p(t x) NE L@BOE, A IMENNO FUNDAMENTALXNOE REENIE URAWNENIQ kOLMOGOROWA (DLQ URAWNENIJ (15){(17) DOKAZATELXSTWO ANALOGI^NO), NE QWLQETSQ DEFEKTOM RASSMATRIWAEMOJ MODELI, A OTRAVAET ESTESTWENNOE SWOJSTWO SLU^AJNOGO MARKOWSKOGO PROCESSA. dEJSTWITELXNO, W NA^ALXNYJ MOMENT t = t0 BLUVDA@]AQ TO^KA IMEET NEKOTORU@ KOORDINATU x0 ,0 I PO\TOMU p(x t0) 0 PRI x = 6 x0 . w TO VE WREMQ IZ USLOWIQ (8) PRI t = t = t0 SLEDUET, ^TO
Z
1 R
p(x t0) dx = 1
T. E. NA^ALXNYMI DANNYMI DLQ URAWNENIQ (18) (I URAWNENIJ (15){(17)) SLUVIT -FUNKCIQ. rEENIQ ZADA^I kOI DLQ LINEJNYH PARABOLI^ESKIH URAWNENIJ S TAKIM NA^ALXNYM USLOWIEM QWLQ@TSQ IH FUNDAMENTALXNYMI REENIQMI. pROSTEJIJ PRIMER | FUNKCIQ MGNOWENNOGO TO^E^NOGO ISTO^NIKA TEPLA DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI (11) IZ x 2 GL. II, DAWAEMAQ PROSTOJ FORMULOJ (20) IZ x 2 GL. II I IME@]AQ TE VE SWOJSTWA, ^TO I FUNKCIQ p(t x). dLQ BOLEE OB]IH URAWNENIJ (15){ (17) NE SU]ESTWUET STOLX PROSTYH PREDSTAWLENIJ IH FUNDAMENTALXNYH REENIJ. oDNAKO TO OBSTOQTELXSTWO, ^TO WELI^INA p(t x) POD^INQETSQ URAWNENI@ kOLMOGOROWA I QWLQETSQ EGO FUNDAMENTALXNYM REENIEM, SU]ESTWENNO ISPOLXZUETSQ PRI ISSLEDOWANII OB_EKTOW, W KOTORYH PROTEKA@T SLU^AJNYE MARKOWSKIE PROCESSY, W ^ASTNOSTI W ZADA^AH UPRAWLENIQ TAKIMI OB_EKTAMI. 10 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
146
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
uNIWERSALXNOSTX MATEMATI^ESKIH MODELEJ pARABOLI^ESKIE URAWNENIQ
.
oB_EKT (PROCESS)
gl. IV
t A BL IC A 1
oSNOWNYE PREDPOLOVENIQ I ZAKONY
dWIVENIE GRUNTOWYH sOHRANENIE MASSY, ZAKON dARSI WOD tEPLOPEREDA^A sOHRANENIE \NERGII, ZAKON fURXE SOHRANENIE MASSY, DIFFUZIQ WE]ESTWA ZAKON fIKA dWIVENIE SKOPLENIQ sOHRANENIE ^ISLA AMEB, HAOTI^NOSTX DWIVENIQ AMEB W OTSUTSTWIE PRITQGIWA@]EGO WE]ESTWA AMEB sLU^AJNYJ MARKOWSKIJ PROCESS tOVDESTWO mARKOWA, SILXNAQ NEPRERYWNOSTX PROCESSA dINAMIKA zAKONOPOSLUNOSTX, POSTULAT O MEHANIZMAH RASPREDELENIQ WLASTI PERERASPREDELENIQ WLASTI W IERARHII W IERARHII
iTAK, PARABOLI^ESKIE URAWNENIQ | ODIN IZ PRIMEROW UNIWERSALXNOSTI MATEMATI^ESKIH MODELEJ (TABL. 1). oNI OPISYWA@T IROKIJ KRUG PROCESSOW SOWERENNO RAZLI^NOJ PRIRODY (POSLEDNIJ PRIMER W TABLICE RASSMATRIWAETSQ W x 4). oTMETIM, ^TO PARABOLI^ESKIE URAWNENIQ ^ASTO SWQZYWA@TSQ S HAOTI^ESKIMI NEUPORQDO^ENNYMI QWLENIQMI (TEPLOPEREDA^A, DIFFUZIQ I T. D.). oDNAKO ONI PRIMENIMY I KO MNOGIM PROCESSAM, KOTORYE RASSMATRIWA@TSQ KAK DETERMINIROWANNYE (DWIVENIE GRUNTOWYH WOD, FILXTRACIQ GAZA W PORISTOJ SREDE I T. D.). uNIWERSALXNOSTX MATEMATI^ESKIH MODELEJ | OTRAVENIE EDINSTWA OKRUVA@]EGO NAS MIRA I SPOSOBOW EGO OPISANIQ. pO\TOMU METODY I REZULXTATY, RAZRABOTANNYE I NAKOPLENNYE PRI MATEMATI^ESKOM MODELIROWANII ODNIH QWLENIJ, OTNOSITELXNO LEGKO, PO ANALOGII, MOGUT BYTX PERENESENY NA IROKIE KLASSY SOWSEM DRUGIH PROCESSOW. 3. pRIMERY ANALOGIJ MEVDU MEHANI^ESKIMI, TERMODINAMI^ESKIMI I \KONOMI^ESKIMI OB_EKTAMI. oSOBOE ZNA^ENIE METOD ANALOGIJ IMEET PRI MATEMATI^ESKOM MODELIROWANII TRUDNOFORMALIZUEMYH OB_EKTOW, DLQ KOTORYH FUNDAMENTALXNYE ZAKONY, WARIACIONNYE PRINCIPY I INYE OB]IE I MATEMATI^ESKI STROGIE UTWERVDENIQ LIBO NEIZWESTNY, LIBO WOOB]E NE SU]ESTWU@T. k TAKIM OB_EKTAM OTNOSQTSQ, NAPRIMER, SISTEMY S ZAMETNYM WMEATELXSTWOM L@DEJ, W ^ASTNOSTI \KONOMI^ESKIE SISTEMY. oDNA IZ WAVNYH MEHANIKO-\KONOMI^ESKIH ANALOGIJ | ANALOGIQ MEVrIS. 43 DU RAWNOWESIEM MATERIALXNOJ ^ASTICY W POTENCIALXNOM POLE WNENIH SIL I WYBOROM OPTIMALXNOGO PLANA PROIZWODSTWA. rASSMOTRIM RADI PROSTOTY EE ^ASTNYJ SLU^AJ. pUSTX EDINI^NAQ MASSA (TO^KA NA RIS. 43) NAHODITSQ W POLE SILY TQVESTI I
x 1]
147 MOVET ZANIMATX, WOOB]E GOWORQ, L@BOE POLOVENIE W OBLASTI PROSTRANSTWA, OGRANI^ENNOGO SNIZU TWERDOJ IDEALXNOJ POWERHNOSTX@. uRAWNENIE POWERHNOSTI DAETSQ ZAWISIMOSTX@ y1 (x) > 0, GDE x, y | SOOTWETSTWENNO GORIZONTALXNAQ I WERTIKALXNAQ KOORDINATY ^ASTICY, y1 (x) | GLADKAQ FUNKCIQ. o^EWIDNO, ^TO WELI^INA y | RASSTOQNIE ^ASTICY OT OSI ABSCISS | POD^INQETSQ NERAWENSTWU y > y1 (x) 0 6 x 6 x1 : (21) pOLE SILY TQVESTI POTENCIALXNO, T. E. SU]ESTWUET FUNKCIQ (POTENCIAL) P (x y) TAKAQ, ^TO KOMPONENTY EE GRADIENTA OPREDELQ@T WNEN@@ SILU, DEJSTWU@]U@ NA MATERIALXNU@ ^ASTICU W DANNOJ TO^KE POLQ. w RASSMATRIWAEMOJ SITUACII grad P = (0 ;g) GDE g | USKORENIE SWOBODNOGO PADENIQ (GORIZONTALXNAQ KOMPONENTA, ESTESTWENNO, RAWNA NUL@). sLEDOWATELXNO, POTENCIAL DAETSQ FORMULOJ P = ;gy (22) W KOTOROJ OPU]ENA NESU]ESTWENNAQ ADDITIWNAQ POSTOQNNAQ. iZMENENIE POTENCIALA PRI PEREME]ENIQH ^ASTICY W POLE SILY TQVESTI RAWNO RABOTE A, SOWERAEMOJ \TOJ SILOJ, I OPREDELQETSQ TOLXKO NA^ALXNYM I KONE^NYM POLOVENIEM ^ASTICY (W DANNOM SLU^AE TOLXKO KOORDINATOJ y): uniwersalxnostx matemati~eskih modelej
A=
xZ2 y2
x1 y1
dP = P(x2 y2 ) ; P(x1 y1 ) = P (y2 ) ; P(y1):
(23)
tO^KA x y NAZYWAETSQ POLOVENIEM RAWNOWESIQ, ESLI ^ASTICA, POME]ENNAQ W NEE I IME@]AQ NULEWU@ SKOROSTX, OSTAETSQ W NEJ L@BOE WREMQ (PRI NALOVENNYH SWQZQH (21) I WNENEJ SILE grad P (x y )). pOTENCIAL W TO^KE RAWNOWESIQ DOSTIGAET SWOEGO \KSTREMALXNOGO ZNA^ENIQ. |TO SWOJSTWO HOROO ILL@STRIRUET RIS. 43, GDE RAWNOWESNYMI QWLQ@TSQ TO^KI MINIMUMA FUNKCII y1 (x) (W NIH SILA TQVESTI URAWNOWEIWAETSQ REAKCIEJ OPORY). l@BOE WIRTUALXNOE (NE PROTIWORE^A]EE SWQZQM (21)) MALOE SME]ENIE ^ASTICY IZ \TIH TO^EK PRIWEDET K TOMU, ^TO NAD NE@ BUDET SOWERENA, KAK WIDNO IZ (23), OTRICATELXNAQ RABOTA, I POTENCIAL UMENXITSQ (ESLI PEREME]ENIE POLNOSTX@ ILI ^ASTI^NO OSU]ESTWLQETSQ PO POWERHNOSTQM y1 (x), x = 0, x = x1, TO, POSKOLXKU ONI S^ITA@TSQ IDEALXNYMI I SILY TRENIQ OTSUTSTWU@T, A IH REAKCIQ PERPENDIKULQRNA PEREME]ENI@, \TO NE SKAZYWAETSQ NA WELI^INE RABOTY). wO WSEH DRUGIH TO^KAH OBLASTI y > y1 (x), 0 6 x 6 x1 POTENCIAL (22) NE DOSTIGAET SWOEGO MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ. iTAK, POISK USTOJ^IWOGO POLOVENIQ RAWNOWESIQ SWODITSQ K REENI@ ZADA^I P (x y) ! max PRI y > y1 (x) 0 6 x 6 x1: (24) zAKON POKOQ mOPERT@I (24) ANALOGI^NYM OBRAZOM FORMULIRUETSQ I DLQ OB]IH MEHANI^ESKIH SISTEM, TO^KI RAWNOWESIQ KOTORYH NAHODQTSQ NE STOLX PROSTO, KAK W PRIWEDENNOM SLU^AE. nAPRIMER, ESLI 10
148
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
NA ^ASTICU DEJSTWU@T, KROME SILY TQVESTI, DRUGIE POTENCIALXNYE SILY, TO TO^KI RAWNOWESIQ OTN@DX NE OBQZANY SOWPADATX S TO^KAMI MINIMUMOW FUNKCII y1 (x). w \KONOMI^ESKOJ INTERPRETACII ZADA^A (24) NAZYWAETSQ ZADA^EJ NELINEJNOGO PROGRAMMIROWANIQ I ^ASTO WOZNIKAET PRI PLANIROWANII PROIZWODSTWA. pUSTX NEKOTOROE PREDPRIQTIE WYPUSKAET PRODUKCI@ (KIRPI^I), OB_EM KOTOROJ OBOZNA^IM x, 0 6 x 6 x1. dLQ PROIZWODSTWA PREDPRIQTI@ NEOBHODIMO ZATRATITX NEKOTORYJ RESURS (GLINU), OSTATOK KOTOROGO POSLE WYPOLNENIQ PLANA OBOZNA^IM y (NA^ALXNYJ RESURS RAWEN y0 I S^ITAETSQ NEZAWISQ]IM OT WELI^INY PLANA x, y0 6 y 6 0). iZWESTNO, ^TO PROIZWODSTWO PROISHODIT PRI NEKOTORYH RESURSNYH OGRANI^ENIQH SWERHU, T. E. y0 6 y 6 y1 (x) 0 6 x 6 x1 (25) GDE y1 (x) | MINIMALXNOE KOLI^ESTWO NEISPOLXZOWANNYH RESURSOW, KOTOROE PREDPRIQTIE PO TEHNOLOGI^ESKIM, FINANSOWYM ILI INYM PRI^INAM OBQZANO IMETX W SWOEM RASPORQVENII POSLE WYPOLNENIQ PLANA x (y1 (x) S^ITAETSQ ZADANNOJ GLADKOJ FUNKCIEJ x). w UPRO]ENNOJ POSTANOWKE PRIBYLX P (x y) RAWNA RAZNOSTI MEVDU STOIMOSTX@ WYPU]ENNOJ PRODUKCII fx I STOIMOSTX@ ZATRA^ENNYH RESURSOW g (y ; y0 ): P (x y) = fx + g (y0 ; y) (26) GDE f, g | CENA EDINICY PRODUKCII I RESURSA SOOTWETSTWENNO (OSTALXNYE ZATRATY S^ITA@TSQ NESU]ESTWENNYMI). zADA^A PLANIROWANIQ PROIZWODSTWA SOSTOIT W TOM, ^TOBY WYBRATX PLAN x , WYPOLNENIE KOTOROGO DAET MAKSIMALXNU@ PRIBYLX (26) PRI RESURSNYH OGRANI^ENIQH (25): P (x y) ! max PRI y0 6 y 6 y1 (x) 0 6 x 6 x1: (27) fORMULIROWKI, PODOBNYE (27), SPRAWEDLIWY DLQ WESXMA OB]IH ZADA^ PLANIROWANIQ. dLQ POLU^ENIQ POLNOJ ANALOGII NESKOLXKO USLOVNIM ZADA^U O RAWNOWESII MATERIALXNOJ ^ASTICY. wWEDEM DOPOLNITELXNO K SILE TQVESTI POTENCIALXNU@ WNEN@@ SILU (SM. RIS. 43), DEJSTWU@]U@ NA ^ASTICU W NAPRAWLENII OSI x I RAWNU@ PO WELI^INE f. nAPRIMER, DLQ ZARQVENNOJ ^ASTICY \TA SILA POQWLQETSQ PRI NALI^II SOOTWETSTWU@]EGO \LEKTRI^ESKOGO POLQ. tOGDA POTENCIAL ESTX P(x y) = fx + gy
^TO S TO^NOSTX@ DO NESU]ESTWENNOJ ADDITIWNOJ POSTOQNNOJ SOWPADAET S (26). zAWERAET ANALOGI@ WWEDENIE IDEALXNOJ TWERDOJ POWERHNOSTI y = y0 , OGRANI^IWA@]EJ DWIVENIE MATERIALXNOJ ^ASTICY SWERHU TOGDA (21) PRIMET WID (25) (S U^ETOM TOGO, ^TO ZATRATY WSEGDA S^ITA@TSQ OTRICATELXNYMI).
x 1]
149 iTAK, ZADA^I (24) I (27) POLNOSTX@ ANALOGI^NY I IME@T SOWPADA@]IE REENIQ x y . zAMETIM, ^TO MEHANIKO-\KONOMI^ESKIE ANALOGII IME@T MESTO NE TOLXKO DLQ OB]IH FORMULIROWOK PROBLEM, NO I DLQ MNOGIH SODERVATELXNYH KONKRETNYH PONQTIJ (SILA | PREDELXNAQ PRIBYLX, REAKCIQ SWQZEJ | PREDELXNYE IZDERVKI I T. D.). nA PLANE x y (OPTIMALXNOM PLANE ) MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ DOSTIGAET NE TOLXKO \KONOMI^ESKIJ ANALOG POTENCIALA | PRIBYLX, NO TAKVE E]E ODNA WELI^INA, KOTOROJ STAWITSQ W SOOTWETSTWIE UVE NE MEHANI^ESKOE, A TERMODINAMI^ESKOE PONQTIE, | \NTROPIQ. iZWESTNO, ^TO PREDOSTAWLENNAQ SAMOJ SEBE TERMODINAMI^ESKAQ SISTEMA, NAPRIMER, GAZ W IZOLIROWANNOM SOSUDE (SM. P. 3 x 3 GL. III), S NAIBOLXEJ WEROQTNOSTX@ PEREHODIT W SOSTOQNIE S NAIMENXEJ UPORQDO^ENNOSTX@ PARAMETROW, HARAKTERIZU@]IH SOSTAWLQ@]IE EE ^ASTICY (ATOMY, MOLEKULY). w \TOM SOSTOQNII SISTEMA NAHODITSQ W RAWNOWESII, EE PARAMETRY ODNI I TE VE WO WSEH EE TO^KAH. pO\TOMU NE SU]ESTWUET KAKOGO-LIBO SPOSOBA RAZLI^ITX (UPORQDO^ITX) EE ^ASTI DRUG OTNOSITELXNO DRUGA: DOSTIGAETSQ NAIBOLXIJ (W SRAWNENII S DRUGIMI WOZMOVNYMI SOSTOQNIQMI) BESPORQDOK | HAOS. mEROJ \TOGO BESPORQDKA SLUVIT \NTROPIQ, QWLQ@]AQSQ FUNKCIEJ SOSTOQNIQ SISTEMY I PRINIMA@]AQ MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE, KOGDA SISTEMA NAHODITSQ W RAWNOWESII. uniwersalxnostx matemati~eskih modelej
rIS. 44
dLQ NEKOTOROGO PROIZWOLXNOGO NEOPTIMALXNOGO PLANA (x y) 6= 6= (x y ) IZ ZADA^I (27) RASSMOTRIM "-OKRESTNOSTX WSEH SOSEDNIH PLANOW (x y) (T. E. WYPOLNENO jx ; xj < ", jy ; yj < "). pOSKOLXKU PLAN (x y) NEOPTIMALEN, TO W EGO "-OKRESTNOSTI WSEGDA SU]ESTWUET NEPUSTOE MNOVESTWO PLANOW, KOTORYE: LIBO NE UDOWLETWORQ@T RESURSNYM OGRANI^ENIQM (OBLASTI A I B NA RIS. 44) LIBO NE IME@T PREIMU]ESTWA PO PRIBYLI W SRAWNENII S PLANOM (x y) (OBLASTX C NA RIS. 44) LIBO OBLADA@T OBOIMI \TIMI SWOJSTWAMI. |TO OZNA^AET, ^TO W OKRESTNO-
150
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
STI TO^KI (x y) MOVNO PROWESTI ^ASTI^NOE UPORQDO^ENIE PLANOW DRUG OTNOSITELXNO DRUGA, TAK KAK IZWESTNA PROCEDURA PREDPO^TENIQ ODNIH PLANOW DRUGIM. oB_EM MNOVESTWA \TIH PLOHIH PLANOW V ZAWISIT OT x, y, " I, O^EWIDNO, WSEGDA MENXE OBEMA "-OKRESTNOSTI: V (x y ") < V" = "2: rASSMOTRIM TEPERX "-OKRESTNOSTX OPTIMALXNOGO PLANA (x y ). w OTLI^IE OT SLU^AQ PLANA (x y) WSE PLANY IZ \TOJ OBLASTI MENEE PREDPO^TITELXNY PO OTNOENI@ K (x y ) (LIBO PO RESURSNYM OGRANI^ENI QM, LIBO PO WELI^INE PRIBYLI, IME@]EJ MAKSIMUM W TO^KE (x y )). w \TOM SLU^AE OB_EM PLOHIH PLANOW RAWEN OB_EMU WSEJ "-OKRESTNOSTI: V (x y ") = V" :
wWEDEM FUNKCI@
E(x y ") = V (xV y ") "
KOTORAQ SLUVIT MEROJ UPORQDO^ENNOSTI RAZLI^NYH SOSTOQNIJ DANNOJ SISTEMY. ~EM BLIVE TO^KA (x y) K RAWNOWESNOMU OPTIMALXNOMU SOSTOQNI@ (x y ), TEM BOLXE ZNA^ENIE FUNKCII E. o^EWIDNO, ^TO E < 1 PRI WSEH (x y) = 6 (x y ) I DOSTIGAET SWOEGO MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ E = 1 W TO^KE (x y ). oNA I QWLQETSQ \KONOMI^ESKIM ANALOGOM \NTROPII W RASSMATRIWAEMOJ ZADA^E. tAK VE, KAK I MEHANI^ESKIE ANALOGII, TERMODINAMI^ESKIE ANALOGII SPRAWEDLIWY DLQ MNOGIH WESXMA OB]IH \KONOMI^ESKIH SISTEM I IROKO PRIMENQ@TSQ PRI IH ISSLEDOWANII. upravneniq 1. iSPOLXZUQ ZAMENU WIDA (x t) = '(t) u(x t), SWEDITE (3) K URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI. 2. uBEDITESX W TOM, ^TO KWADRATNOE URAWNENIE (6) WSEGDA IMEET DEJSTWITELXNYE KORNI I ^TO NEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM OTRICATELXNOSTI OBOIH KORNEJ QWLQETSQ USLOWIE c > 0. 3. pOLU^ITE URAWNENIQ (16), (17), ISPOLXZUQ TE VE PREDPOLOVENIQ, ^TO I PRI WYWODE (15). 4. dIFFERENCIRUQ INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI (20) PO t x I ISPOLXZUQ URAWNENIE (18), UBEDITESX, ^TO FUNKCIQ u(t x) | REENIE URAWNENIQ (18).
x 2. nEKOTORYE MODELI FINANSOWYH
I \KONOMI^ESKIH PROCESSOW
rASSMOTRIM MODELI REKLAMNOJ KAMPANII, PROCEDURY POGAENIQ WZAIMNYH DOLGOW PREDPRIQTIJ, PROSTYE MAKROMODELI RAWNOWESIQ I ROSTA \KONOMI^ESKOJ SISTEMY. oBSUDIM ROLX ANALOGIJ, ISPOLXZUEMYH PRI POSTROENII MODELEJ, I NEKOTORYE WYWODY, SLEDU@]IE IZ IH ANALIZA. 1. oRGANIZACIQ REKLAMNOJ KAMPANII. fIRMA NA^INAET REKLAMIROWATX NOWYJ TOWAR ILI USLUGU. rAZUMEETSQ, ^TO PRIBYLX OT BUDU]IH PRODAV DOLVNA S LIHWOJ POKRYWATX IZDERVKI NA DOROGOSTOQ]U@ KAMPANI@. qSNO, ^TO WNA^ALE RASHODY MOGUT PREWYATX
x 2]
modeli finansowyh i |konomi~eskih processow
151
PRIBYLX, POSKOLXKU LIX MALAQ ^ASTX POTENCIALXNYH POKUPATELEJ BUDET INFORMIROWANA O NOWINKE. zATEM, PRI UWELI^ENII ^ISLA PRODAV, UVE WOZMOVNO RASS^ITYWATX NA ZAMETNU@ PRIBYLX, I, NAKONEC, NASTUPIT MOMENT, KOGDA RYNOK NASYTITSQ, I REKLAMIROWATX TOWAR DALEE STANET BESSMYSLENNO. mODELX REKLAMNOJ KAMPANII OSNOWYWAETSQ NA SLEDU@]IH OSNOWNYH PREDPOLOVENIQH. s^ITAETSQ, ^TO WELI^INA dN=dt | SKOROSTX IZMENENIQ SO WREMENEM ^ISLA POTREBITELEJ, UZNAWIH O TOWARE I GOTOWYH KUPITX EGO (t | WREMQ, PROEDEE S NA^ALA REKLAMNOJ KAMPANII, N(t) | ^ISLO UVE INFORMIROWANNYH KLIENTOW), | PROPORCIONALXNA ^ISLU POKUPATELEJ, E]E NE ZNA@]IH O NEM, T. E. WELI^INE 1(t) (N0 ; N(t)), GDE N0 | OB]EE ^ISLO POTENCIALXNYH PLATEVESPOSOBNYH POKUPATELEJ, 1(t) > 0 HARAKTERIZUET INTENSIWNOSTX REKLAMNOJ KAMPANII (FAKTI^ESKI OPREDELQEMU@ ZATRATAMI NA REKLAMU W DANNYJ MOMENT WREMENI). pREDPOLAGAETSQ TAKVE, ^TO UZNAWIE O TOWARE POTREBITELI TEM ILI INYM OBRAZOM RASPROSTRANQ@T POLU^ENNU@ INFORMACI@ SREDI NEOSWEDOMLENNYH, WYSTUPAQ KAK BY DOPOLNITELXNYMI REKLAMNYMI AGENTAMI FIRMY. iH WKLAD RAWEN WELI^INE 2(t) N(t) (N0 ; N(t)) I TEM BOLXE, ^EM BOLXE ^ISLO AGENTOW. wELI^INA 2 (t) > 0 HARAKTERIZUET STEPENX OB]ENIQ POKUPATELEJ MEVDU SOBOJ (ONA MOVET BYTX USTANOWLENA, NAPRIMER, S POMO]X@ OPROSOW). w ITOGE POLU^AEM URAWNENIE dN = (t) + (t) N(t)] (N ; N): (1) 1 2 0 dt pRI 1(t) 2 N(t) IZ (1) POLU^AETSQ MODELX TIPA MODELI mALXTUSA (10) IZ x 1 GL. I, PRI PROTIWOPOLOVNOM NERAWENSTWE | URAWNENIE LOGISTI^ESKOJ KRIWOJ (SM. (12) W x 1 GL. I) dN = N (N ; N) d = (t) dt 0 2 d REENIE KOTOROGO IZU^ENO W x 1 GL. I (SM. TAKVE RIS. 7). pOLU^ENNAQ ANALOGIQ WPOLNE PONQTNA, TAK KAK PRI POSTROENII DANNOJ MODELI I MODELI ROSTA ^ISLENNOSTI POPULQCII ISPOLXZOWALASX ODNA I TA VE IDEQ NASY]ENIQ: SKOROSTX ROSTA SO WREMENEM KAKOJ-LIBO WELI^INY PROPORCIONALXNA PROIZWEDENI@ TEKU]EGO ZNA^ENIQ \TOJ WELI^INY N(t) NA RAZNOSTX N0 ; N(t) MEVDU EE RAWNOWESNYM (POPULQCIQ) LIBO PREDELXNYM (POKUPATELI) I TEKU]IM ZNA^ENIQMI. aNALOGIQ MEVDU OBOIMI PROCESSAMI ZAKAN^IWAETSQ, ESLI W KAKOJTO MOMENT WREMENI WELI^INA 1 + 2N STANOWITSQ NULEWOJ ILI DAVE OTRICATELXNOJ (DLQ \TOGO NEOBHODIMO, ^TOBY ODIN ILI OBA KO\FFICIENTA 1(t), 2(t) STALI OTRICATELXNYMI). pODOBNYJ NEGATIWNYJ \FFEKT DOWOLXNO ^ASTO WSTRE^AETSQ W REKLAMNYH KAMPANIQH RAZLI^NOGO RODA I DOLVEN POBUDITX IH ORGANIZATOROW LIBO IZMENITX HARAKTER REKLAMY, LIBO WOWSE OTKAZATXSQ OT DALXNEJEJ PROPAGANDY. mEROPRIQTIQ PO UWELI^ENI@ POPULQRNOSTI TOWARA MOGUT, W ZAWISIMOSTI OT ZNA^ENIJ WELI^IN 1 (t), 2(t), N(t), NAPRAWLQTXSQ NA ULU^ENIE REZULXTATOW KAK PRQMOJ (PARAMETR 1), TAK I KOSWENNOJ (PARAMETR 2) REKLAMY.
152
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
mODELX (1) LIENA O^EWIDNOGO NEDOSTATKA, PRISU]EGO LOGISTI^ESKOMU URAWNENI@. dEJSTWITELXNO, ONO NE IMEET REENIJ, OBRA]A@]IHSQ W NULX W KONE^NYJ MOMENT WREMENI (IZ SOOTWETSTWU@]EJ FORMULY DLQ N(t) W P. 5 x 1 GL. I SLEDUET, ^TO N(t) ! 0 PRI t ! ;1). pRIMENITELXNO K REKLAME \TO OZNA^ALO BY, ^TO ^ASTX POKUPATELEJ E]E DO NA^ALA KAMPANII UVE ZNAET O NOWOM TOWARE. eSLI VE RASSMOTRETX MODELX (1) W OKRESTNOSTI TO^KI N(t = 0) = N(0) = 0 (t = 0 | MOMENT NA^ALA KAMPANII), S^ITAQ, ^TO N N0 , 2(t) N 1(t), TO URAWNENIE (1) PRINIMAET WID dN = (t) N 1 0 dt
I IMEET REENIE
Zt
N(t) = N0 1(t) dt 0
(2)
UDOWLETWORQ@]EE ESTESTWENNOMU NA^ALXNOMU USLOWI@ PRI t = 0. iZ (2) OTNOSITELXNO LEGKO WYWESTI SOOTNOENIE MEVDU REKLAMNYMI IZDERVKAMI I PRIBYLX@ W SAMOM NA^ALE KAMPANII. oBOZNA^IM ^EREZ p WELI^INU PRIBYLI OT EDINI^NOJ PRODAVI, KAKOJ BY ONA BYLA BEZ ZATRAT NA REKLAMU. s^ITAEM DLQ PROSTOTY, ^TO KAVDYJ POKUPATELX PRIOBRETAET LIX ODNU EDINICU TOWARA. kO\FFICIENT 1(t) PO SWOEMU SMYSLU | ^ISLO RAWNOZNA^NYH REKLAMNYH DEJSTWIJ W EDINICU WREMENI (NAPRIMER, RASKLEJKA ODINAKOWYH AFI). ~EREZ s OBOZNA^IM STOIMOSTX \LEMENTARNOGO AKTA REKLAMY. tOGDA SUMMARNAQ PRIBYLX ESTX
Zt
P = pN(t) = pN0 1(t) dt
A PROIZWEDENNYE ZATRATY
0
(3)
Zt
S = s 1 (t) dt: 0
pRIBYLX PREWOSHODIT IZDERVKI PRI USLOWII pN0 > s, I ESLI REKLAMA DEJSTWENNA I NEDOROGA, A RYNOK DOSTATO^NO EMOK, TO WYIGRY DOSTIGAETSQ S PERWYH VE MOMENTOW KAMPANII (W REALXNOSTI MEVDU OPLATOJ REKLAMY, REKLAMNYM DEJSTWIEM I POSLEDU@]EJ POKUPKOJ IMEET MESTO TAK NAZYWAEMYJ LAG | WREMENNAQ ZADERVKA, KOTORAQ MOVET BYTX U^TENA W BOLEE POLNYH MODELQH). pRI NE SLIKOM \FFEKTIWNOJ ILI DOROGOJ REKLAME FIRMA NA PERWYH AGAH NESET UBYTKI. oDNAKO \TO OBSTOQTELXSTWO, WOOB]E GOWORQ, NE MOVET SLUVITX OSNOWANIEM DLQ PREKRA]ENIQ REKLAMY. dEJSTWITELXNO, WYRAVENIE (3) I POLU^ENNOE S EGO POMO]X@ USLOWIE pN0 > s SPRAWEDLIWY LIX PRI MALYH ZNA^ENIQH N(t), KOGDA FUNKCII P I S RASTUT SO WREMENEM PO ODINAKOWYM ZAKONAM.
x 2]
153 pRI UWELI^ENII N(t) OTBROENNYE W (1) ^LENY STANOWQTSQ ZAMETNYMI, W ^ASTNOSTI USILIWAETSQ DEJSTWIE KOSWENNOJ REKLAMY. pO\TOMU FUNKCIQ N(t) MOVET STATX BOLEE BYSTROJ FUNKCIEJ WREMENI, ^EM W FORMULE (3). |TOT NELINEJNYJ \FFEKT W IZMENENII WELI^INY N(t) PRI NEIZMENNOM TEMPE ROSTA IZDERVEK DAET WOZMOVNOSTX SKOMPENSIROWATX FINANSOWU@ NEUDA^U NA^ALXNOJ STADII KAMPANII. pOQSNIM DANNOE UTWERVDENIE W ^ASTNOM SLU^AE URAWNENIQ (1) S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI 1 , 2. zAMENOJ N = 1=2 + N modeli finansowyh i |konomi~eskih processow
ONO SWODITSQ K LOGISTI^ESKOMU URAWNENI@ dN = N (N ; N) 2 0 dt
IME@]EMU REENIE
N0 = 1 + N0 2
(4)
= 1 + (N0 2=1 ; 1) exp (;N0 2t)];1: N(t) (5) pRI \TOM N0 = 1=2, TAK ^TO N(0) = 0, I NA^ALXNOE USLOWIE WY I, SLEDOWAPOLNQETSQ. iZ (4) WIDNO, ^TO PROIZWODNAQ FUNKCII N(t) TELXNO, FUNKCII N(t) MOVET PRI t > 0 BYTX BOLXE EE NA^ALXNOGO ZNA^ENIQ (PRI USLOWII N0 > 21=2 ILI N0 > 1=2). mAKSIMUM PROIZWODNOJ DOSTIGAETSQ PRI N = N0 =2, N = (1 =2 + N0 )=2: dN dN N02 = (1=2 + N0 )2 : = = 2 2 dt m dt m 4 4 w \TOT PERIOD DLQ TEKU]EJ, T. E. POLU^AEMOJ W EDINICU WREMENI
PRIBYLI IMEEM
2
(1=2 + N0 ) : Pm = p dN dt = p2 4 wY^ITAQ IZ Pm NA^ALXNU@ TEKU]U@ PRIBYLX P0 = p (dN=dt)t=0 = = 1N0 (SM. (2)), POLU^AEM p ; p N )2 ( = 2 2 0 1 Pm ; P0 = p 4 T. E. RAZNICA MEVDU NA^ALXNOJ I MAKSIMALXNOJ TEKU]EJ PRIBYLX@ MOVET BYTX WESXMA ZNA^ITELXNOJ (SM. TAKVE UPR. 1). sUMMARNYJ \KONOMI^ESKIJ \FFEKT OT KAMPANII (EGO NEOBHODIMYM USLOWIEM QWLQETSQ, O^EWIDNO, WYPOLNENIE NERAWENSTWA Pm = p (1=p2 + p2 N0 )2 =4 > > 1 s) OPREDELQETSQ WSEM EE HODOM, HARAKTERISTIKI KOTOROGO WY^ISLQ@TSQ IZ (4), (5) S POMO]X@ KWADRATURY (SM. TAKVE UPR. 2). kAK SLEDUET IZ (4), NA^INAQ S NEKOTOROGO MOMENTA, PRODOLVATX BLIZKIH K REKLAMU STANOWITSQ NEWYGODNO. dEJSTWITELXNO, PRI N(t), N0 , URAWNENIE (4) ZAPISYWAETSQ W WIDE dN = N (N ; N): (6) 2 0 0 dt
154
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
eGO REENIE STREMITSQ PRI t ! 1 K PREDELXNOMU ZNA^ENI@ N0 (A FUNKCIQ N(t) | K N0 ) PO MEDLENNOMU \KSPONENCIALXNOMU ZAKONU (UPR. 2). w EDINICU WREMENI POQWLQETSQ NI^TOVNO MALOE ^ISLO NOWYH POKUPATELEJ, I POSTUPA@]AQ PRIBYLX PRI L@BYH USLOWIQH NE MOVET POKRYTX PRODOLVA@]IHSQ IZDERVEK. aNALOGI^NYE HARAKTERISTIKI WY^ISLQ@TSQ DLQ URAWNENIQ (1) I RAZLI^NYH EGO OBOB]ENIJ, IROKO ISPOLXZUEMYH TAKVE DLQ OPISANIQ WNEDRENIQ TEHNOLOGI^ESKIH I INYH NOWESTW. 2. wZAIMOZA^ET DOLGOW PREDPRIQTIJ. l@BAQ ZNA^ITELXNAQ PO SWOIM MASTABAM \KONOMI^ESKAQ SISTEMA WKL@^AET W SEBQ DESQTKI TYSQ^ PREDPRIQTIJ (FIRM, KORPORACIJ I T. D.), OBMENIWA@]IHSQ MEVDU SOBOJ TOWARAMI I USLUGAMI. dAVE MELKAQ FIRMA, IME@]AQ OTNOSITELXNO NEBOLXOE ^ISLO NEPOSREDSTWENNYH PARTNEROW, KOSWENNO SWQZANA (^EREZ SWQZI PRQMYH I WTORI^NYH PARTNEROW) S OGROMNYM ^ISLOM PREDPRIQTIJ, WHODQ]IH W SISTEMU, I EE BLAGOPOLU^IE NAPRQMU@ ZAWISIT OT IH SOSTOQNIQ. |TO UTWERVDENIE TEM BOLEE SPRAWEDLIWO DLQ KRUPNYH KORPORACIJ, PODDERVIWA@]IH PARTNERSTWO S SOTNQMI I TYSQ^AMI \KONOMI^ESKIH AGENTOW. wZAIMOSWQZANNOSTX WSEH ZWENXEW \KONOMI^ESKOJ SISTEMY HOROO PROQWLQETSQ PRI PROWEDENII RAS^ETOW MEVDU PREDPRIQTIQMI ZA POSTAWLENNU@ PRODUKCI@. dEJSTWITELXNO, POLU^IW OT SWOIH KLIENTOW WYRU^KU ZA PREDOSTAWLENNYJ TOWAR, PREDPRIQTIE TRATIT EE NA ZAKUPKU SYRXQ I MAIN U DRUGIH FIRM, NA ZARPLATU (T. E. NA POKUPKU RABO^EJ SILY), NA REKLAMU I NA INYE DEJSTWIQ, NEOBHODIMYE DLQ SWOEGO NORMALXNOGO FUNKCIONIROWANIQ. tEM SAMYM W \KONOMI^ESKIJ OBOROT DOPOLNITELXNO WOWLEKAETSQ BOLXOE ^ISLO PARTNEROW DANNOGO PREDPRIQTIQ. w SWO@ O^EREDX KLIENTY, POLU^IWIE OT PREDPRIQTIQ TOWAR, NAPRAWLQ@T EGO NA DALXNEJU@ PEREPRODAVU, ISPOLXZU@T DLQ PROIZWODSTWA SOBSTWENNOJ PRODUKCII I T. D., TAKVE UWELI^IWAQ ^ISLO U^ASTWU@]IH W \KONOMI^ESKOJ DEQTELXNOSTI AGENTOW. eSLI POSTAWKI I PLATEVI ZA NIH OSU]ESTWLQ@TSQ SWOEWREMENNO (W IDEALE MGNOWENNO), TO S TO^KI ZRENIQ FINANSOWOGO OBRA]ENIQ \KONOMI^ESKOJ SISTEME NI^EGO NE GROZIT. dLQ PRODOLVENIQ SWOEJ DEQTELXNOSTI PREDPRIQTIQM NET NEOBHODIMOSTI NI ISPOLXZOWATX ZNA^ITELXNU@ ^ASTX SWOIH FINANSOWYH RESURSOW, NAHODQ]IHSQ NA BANKOWSKIH S^ETAH, NI, TEM BOLEE, PRODAWATX OSNOWNYE FONDY (ZEML@, ZDANIQ, OBORUDOWANIE, TEHNOLOGII). w REALXNOSTI MEVDU POSTAWKOJ TOWARA I EGO OPLATOJ (LIBO PREDOPLATOJ WSEGO TOWARA ILI EGO ^ASTI I SLEDU@]EJ ZA NEJ POSTAWKOJ) WSEGDA SU]ESTWUET ZADERVKA WO WREMENI. eE MINIMALXNOE ZNA^ENIE OPREDELQETSQ ^ISTO TEHNI^ESKIMI PRI^INAMI, TAK KAK WSEGDA TREBUETSQ WREMQ NA TRANSPORTIROWKU I RASFASOWKU TOWARA, NA PROWEDENIE BANKOWSKIH PEREWODOW I T. D. pRI NEBOLXIH LAGAH NEBOLXIH PARTIJ TOWARA (ILI NEBOLXIH DENEVNYH SUMM) PREDPRIQTIQ NA KOROTKOE WREMQ PRIWLEKA@T NEBOLXU@ ^ASTX SWOIH SWOBODNYH FINANSOW I ZATEM BYSTRO POPOLNQ@T \TI ZATRATY IZ POLU^AEMYH OT SWOIH PARTNEROW PLATEVEJ. oDNAKO WOZMOVNY SITUACII, KOGDA PO KAKIM-LIBO \KONOMI^ESKIM, FINANSOWYM, WNUTRI- ILI WNENEPOLITI^ESKIM, SOCIALXNYM, PSIHOLOGI^ESKIM I INYM PRI^INAM WREMQ ZADERVKI PLATEVEJ (POSTAWOK)
x 2]
155 STANOWITSQ SRAWNIMYM SO WREMENEM OBOROTA FINANSOW, A ABSOL@TNOE ZNA^ENIE (OB_EM) NEWYPOLNENNYH PLATEVEJ ILI POSTAWOK | SOPOSTAWIMYMI S OB_EMOM SWOBODNYH OBOROTNYH SREDSTW PREDPRIQTIJ. w \TOM SLU^AE WOZNIKAET TAK NAZYWAEMYJ KRIZIS NEPLATEVEJ, SPOSOBNYJ PRIWESTI K SERXEZNOMU KRIZISU WSEJ \KONOMI^ESKOJ SISTEMY. w SAMOM DELE, PREDPRIQTIE, NE POLU^IWEE DENXGI ZA POSTAWLENNU@ PRODUKCI@ (ILI OPLATIWEE TOWAR, NO NE POLU^IWEE EGO), NE MOVET RASPLATITXSQ SO SWOIMI POSTAW]IKAMI (POSKOLXKU OB_EM DOLGOW PREDPRIQTI@ SRAWNIM S WELI^INOJ EGO SWOBODNYH SREDSTW, TO IH ISPOLXZOWANIE NE MOVET PRINCIPIALXNO ULU^ITX SITUACI@). w SWO@ O^EREDX POSTAW]IKI NE RASPLA^IWA@TSQ SO SWOIMI KLIENTAMI, TE | SO SWOIMI I T. D. wOZNIKA@T DLINNYE CEPO^KI NEPLATEVEJ, PRONIZYWA@]IE WS@ SISTEMU. oNI, O^EWIDNO, MOGUT SOSTOQTX IZ N ZWENXEW, A IH OB]EE ^ISLO DOSTIGATX WELI^INY PORQDKA N! (N | OB]EE ^ISLO PREDPRIQTIJ). sUMMA ABSOL@TNYH WELI^IN DOLGOW PO WSEM CEPO^KAM MOVET NE TOLXKO PREWYATX SWOBODNYE SREDSTWA PREDPRIQTIJ, NO I STANOWITXSQ SOPOSTAWIMOJ SO STOIMOSTX@ IH OSNOWNYH FONDOW (RE^X IDET IMENNO O SUMME ABSOL@TNYH DOLGOW, TAK KAK L@BOE PREDPRIQTIE ODNOWREMENNO MOVET BYTX KAK DOLVNIKOM, TAK I KREDITOROM SWOIH PARTNEROW). sISTEMA ZAHODIT W TUPIK | PREDPRIQTIQ LIBO DOLVNY PREKRATITX PROIZWODSTWO, LIBO SNOWA ZANQTX DRUG U DRUGA SREDSTWA, UWELI^IW SUMMARNYJ WZAIMNYJ DOLG. w PRINCIPE DLQ RAZREENIQ SITUACII WOZMOVEN PODHOD, KOGDA NEKOTOROE UPOLNOMO^ENNOE U^REVDENIE (NAPRIMER, GLAWNYJ NACIONALXNYJ BANK) WYDAET WSEM PREDPRIQTIQM EDINOWREMENNYJ KREDIT, RAWNYJ SUMME WSEH DOLGOW. tOGDA ONI RASPLA^IWA@TSQ MEVDU SOBOJ I ZATEM WOZWRA]A@T KREDIT. oDNAKO TAKAQ KREDITNAQ \MISSIQ MOVET SPROWOCIROWATX SILXNU@ INFLQCI@ (PROIZWODSTWO TOWAROW NE UWELI^ILOSX, A DENEG W OBOROTE WDRUG STALO ZNA^ITELXNO BOLXE) SO WSEMI EE OTRICATELXNYMI POSLEDSTWIQMI. w L@BOM KRIZISE NEPLATEVEJ OPREDELENNU@ ROLX WSEGDA IGRAET ^ISTO TEHNI^ESKAQ KOMPONENTA, SWQZANNAQ S NESOWERENSTWOM SAMOJ PROCEDURY RAS^ETOW. w DALXNEJEM BUDEM RASSMATRIWATX KRIZISY, POROVDAEMYE IMENNO \TIMI FAKTORAMI, OTWLEKAQSX OT \KONOMI^ESKIH, POLITI^ESKIH I DRUGIH PRI^IN IH WOZNIKNOWENIQ. sNA^ALA POQSNIM SUTX PROBLEMY NA PROSTOM ^ISLOWOM PRIMERE DLQ SISTEMY IZ TREH PREDPRIQTIJ, KAVDOE IZ KOTORYH IMEET SWOBODNYE SREDSTWA, RAWNYE USLOWNO ODNOJ FINANSOWOJ EDINICE, I OSNOWNYE FONDY, RAWNYE 10 EDINICAM. pUSTX PERWOE PREDPRIQTIE DOLVNO WTOROMU 100 EDINIC, WTOROE DOLVNO TRETXEMU 100 EDINIC, I, NAKONEC, TRETXE PERWOMU TAKVE 100 EDINIC. sUMMARNYJ ABSOL@TNYJ DOLG PREDPRIQTIJ RAWEN 600 EDINICAM I OGROMEN W SRAWNENII S IH FONDAMI (30 EDINIC), NE GOWORQ UVE O SWOBODNYH SREDSTWAH (3 EDINICY). w TO VE WREMQ FINANSOWOE POLOVENIE \TOJ SISTEMY FAKTI^ESKI BLAGOPOLU^NOE, TAK KAK SUMMARNYJ DOLG KAVDOGO PREDPRIQTIQ W OTDELXNOSTI (T. E. SUMMA SREDSTW, KOTORYE PREDPRIQTIE DOLVNO DRUGIM, I DRUGIE DOLVNY EMU) RAWEN NUL@. o^EWIDNAQ PROCEDURA WZAIMOZA^ETA SOSTOIT W ODNOMOMENTNOM ANNULIROWANII (POGAENII) WSEH DOLGOW: OB_QWLQETSQ, ^TO NIKTO NIKOMU NE DOLVEN, I PARTNERY PRODOLVA@T SWO@ RABOTU, BUDUmodeli finansowyh i |konomi~eskih processow
156
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
^I SWOBODNYMI OT DOLGOWOGO BREMENI. cENTRALIZOWANNYJ KREDIT PRI \TOM, ESTESTWENNO, WOOB]E NE TREBUETSQ. pODOBNU@ OPERACI@, PROIZWEDENNU@ WRU^NU@, NELXZQ, KONE^NO, REALIZOWATX DLQ BOLXOGO ^ISLA PREDPRIQTIJ S OGROMNYM KOLI^ESKWOM FINANSOWYH OBQZATELXSTW. tREBU@TSQ BOLEE GLUBOKIE PODHODY, DLQ RASSMOTRENIQ KOTORYH NEOBHODIMO, PREVDE WSEGO, FORMALIZOWATX ZADA^U. iTAK, PUSTX \KONOMI^ESKAQ SISTEMA SOSTOIT IZ N PREDPRIQTIJ, MOGU]IH IMETX WZAIMNYE DOLGI. oBOZNA^IM DOLGI n-GO PREDPRIQTIQ m-MU ^EREZ xnm , GDE 1 6 n m 6 N (xnm < 0, ESLI PERWOE PREDPRIQTIE DOLVNO WTOROMU, I xnm > 0 W OBRATNOM SLU^AE). qSNO, ^TO xnm = ;xmn xnn = 0 T. E. SOWOKUPNOSTX DOLGOW OPISYWAETSQ KOSOSIMMETRI^NOJ MATRICEJ RAZMERA N N S NULEWOJ DIAGONALX@ (xnn = 0, POSKOLXKU PREDPRIQTIE SAMOMU SEBE DOLVNO BYTX NE MOVET). sUMMA WSEH WZAIMNYH DOLGOW WY^ISLQETSQ ^EREZ INDIWIDUALXNYE DOLGI PO PROSTOJ FORMULE X=
N X N X
n=1 m=1
jxnm j:
(7)
wELI^INA (7) SLUVIT ODNOJ IZ INTEGRALXNYH KOLI^ESTWENNYH HARAKTERISTIK FINANSOWOGO POLOVENIQ SISTEMY: ESLI ONA SOPOSTAWIMA S SUMMOJ WSEH SWOBODNYH SREDSTW PREDPRIQTIJ X0 , T. E. X > X0 =
N X
n=1
xn
(8)
TO OPISYWAEMAQ NERAWENSTWOM (8) SITUACIQ I OZNA^AET KRIZIS NEPLATEVEJ (ZDESX xn > 0 | INDIWIDUALXNYE SWOBODNYE SREDSTWA PREDPRIQTIJ). e]E ODNA WAVNAQ HARAKTERISTIKA | BALANS KREDITOW I DOLGOW (SALXDO) KAVDOGO PREDPRIQTIQ Sn =
N X
m=1
xnm
(9)
PRI^EM, KAK O^EWIDNO IZ (9), WOZMOVNY WARIANTY Sn > 0, Sn < 0, Sn = = 0. pRI Sn > 0 PREDPRIQTIE QWLQETSQ W NEKOTOROM SMYSLE KREDITOROM PREDPRIQTIJ-DOLVNIKOW, T. E. TEH, U KOGO Sn < 0 (PRI Sn = 0 PREDPRIQTIE W OTNOENII DOLGOW NEJTRALXNO). pRI jSn j < xn INDIWIDUALXNOE FINANSOWOE SOSTOQNIE PREDPRIQTIQ PO SU]ESTWU NORMALXNOE, POSKOLXKU EGO REALXNYE SUMMARNYE DOLGI (ILI KREDITY, DANNYE IM DRUGIM) MENXE EGO SWOBODNYH SREDSTW. aNALOGI^NO, SUMMARNOE ABSOL@TNOE SALXDO SISTEMY S=
N X
n=1
jSn j
(10)
x 2]
157 SLUVIT MAKROPOKAZATELEM EE WOZMOVNOGO FINANSOWOGO ZDOROWXQ. eSLI S < X0 , TO SWOBODNYH SREDSTW W SISTEME BOLXE, ^EM DEJSTWITELXNYH DOLGOW, I POTENCIALXNO ONA MOVET USPENO FUNKCIONIROWATX (PODOBNO SISTEME TREH PREDPRIQTIJ IZ PRIWEDENNOGO WYE PRIMERA). mEVDU WELI^INAMI X I S WSEGDA SU]ESTWUET OPREDELENNOE SOOTNOENIE. dLQ L@BOJ PROIZWOLXNOJ MATRICY DOLGOW WYPOLNQETSQ NERAmodeli finansowyh i |konomi~eskih processow
WENSTWO
X > S
(11) T. E. SUMMARNYJ DOLG NIKAK NE MOVET BYTX MENXE SUMMARNOGO SALXDO. zADA^A POGAENIQ WZAIMNYH0 DOLGOW SOSTOIT W TOM, ^TOBY, ZNAQ MATRICU xnm , NAJTI MATRICU x NOWYH DOLGOW, DLQ KOTOROJ WY0 < X. o^EWIDNO,nm POLNQLOSX BY X ^TO IDEALXNYM EE REENIEM BYLO BY X 0 = S, T. E. KOGDA NERAWENSTWO (11) STANOWITSQ RAWENSTWOM. zAMETIM, ^TO TOGDA DLQ BLAGOPOLU^NOJ PO SU]ESTWU SISTEMY S S 6 X0 DOSTIGALOSX BY SOOTNOENIE X 0 = S 6 X0 , I POSLE WZAIMOZA^ETA ONA MOGLA BY NORMALXNO RABOTATX (HOTQ UMENXENIE WELI^INY X W L@BOM SLU^AE POLEZNO). pRI POSTROENII MATEMATI^ESKOJ MODELI PROCEDURY WZAIMOZA^ETA DOLGOW POSLEDOWATELXNO ISPOLXZUETSQ RQD DEJSTWIJ, ANALOGI^NYH PROWODIMYM PRI ISSLEDOWANII ESTESTWENNONAU^NYH OB_EKTOW. pERWOE IZ NIH | OTKAZ NA OPREDELENNOM \TAPE OT DETALXNOGO RASSMOTRENIQ MNOVESTWA INDIWIDUALXNYH DOLGOW I SOOTWETSTWU@]IH SWQZEJ MEVDU PREDPRIQTIQMI. pEREHOD S MIKROUROWNQ NA MAKROUROWENX PODOBEN TOMU, KAK PRI OPISANII BOLXOGO ^ISLA ^ASTIC GAZA OTKAZYWA@TSQ OT NEOBHODIMOSTI PROSLEVIWATX TRAEKTORI@ KAVDOJ ^ASTICY I WWODQT NEKOTORYE USREDNENNYE HARAKTERISTIKI, ZNANIQ KOTORYH, ODNAKO, WPOLNE DOSTATO^NO rIS. 45 DLQ POLU^ENIQ PODROBNOJ KARTINY POWEDENIQ OB_EKTA (SM., NAPRIMER, WYWOD URAWNENIQ bOLXCMANA W x 3 GL. III). pROCEDURA PROSLEVIWANIQ CEPO^EK NEPLATEVEJ, PRIMENENNAQ
rIS. 46
rIS. 47
WYE DLQ TREH PREDPRIQTIJ, NE TOLXKO TRUDNOWYPOLNIMA DLQ N PREDPRIQTIJ, NO IMEET TAKVE I PRINCIPIALXNYJ NEDOSTATOK. dEJSTWITELXNO, RASSMOTRIM SNA^ALA CEPO^KU, W KOTOROJ KAVDOE PREDPRIQTIE S
158
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
PERWOGO PO M-E (M 6 N) DOLVNO DRUGOMU ODINAKOWU@ SUMMU, I TAKU@ VE SUMMU DOLVNO M-E PREDPRIQTIE PERWOMU (RIS. 45). cEPO^KA ZAMKNUTA, I REENIE O^EWIDNO | WSE DOLGI W CEPO^KE POGAA@TSQ. pUSTX TEPERX M-E PREDPRIQTIE NE DOLVNO PERWOMU (RIS. 46). tOGDA CEPO^KA RAZOMKNUTA, I \TOT METOD NEPRIMENIM. w TO VE WREMQ PROSTOE REENIE ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO DOLGI PREDPRIQTIJ SO WTOROGO PO (M ; 1)-E ANNULIRU@TSQ, A DOLG PERWOGO PEREADRESOWYWAETSQ M-MU (RIS. 47). |KONOMI^ESKIJ SMYSL PEREADRESACII SOOTWETSTWUET WEKSELXNOMU OBRA]ENI@, KOGDA DOLGOWOE OBQZATELXSTWO MENQET SWOIH HOZQEW, I W REZULXTATE U DOLVNIKA (PERWOE PREDPRIQTIE) POQWLQETSQ NOWYJ KREDITOR (M-E PREDPRIQTIE). w OTLI^IE OT SITUACII S DOLGAMI W CEPO^KAH POLNAQ SISTEMA DOLGOW PO WSEM CEPO^KAM ZAMKNUTA, TAK KAK RASSMATRIWA@TSQ WZAIMNYE DOLGI. w SAMOM DELE, IZ SWOJSTWA xnm = ;xmn SLEDUET, ^TO N X N X
n=1 m=1
xnm = 0
DLQ L@BOJ SOWOKUPNOSTI NEPLATEVEJ. u^ITYWAQ, ^TO Sn = PNm=1 xnm , IZ POSLEDNEGO RAWENSTWA POLU^AEM N X
ILI
n=1
X Sn >0
Sn = 0
Sn = ;
X Sn <0
Sn = S2
(12) (13)
T. E. SUMMA POLOVITELXNYH SALXDO PREDPRIQTIJ RAWNA PO ABSOL@TNOJ WELI^INE SUMME OTRICATELXNYH SALXDO. rASSMATRIWAEMAQ NA MAKROUROWNE SISTEMA WZAIMNYH DOLGOW OBLADAET SWOJSTWOM SIMMETRI^NOJ KONSERWATIWNOSTI (13), A ZAKON SOHRANENIQ (12) | ANALOG OBY^NYH ZAKONOW SOHRANENIQ (MASSY, \NERGII I T. D.) PRIMENITELXNO K IZU^AEMOJ SITUACII. rAWENSTWO (13) PROQSNQET POSTROENIE MATEMATI^ESKOJ MODELI IDEALXNOGO WZAIMOZA^ETA, KOTORYJ PROIZWODITSQ PRI SLEDU@]IH ESTESTWENNYH USLOWIQH: 1) WSE DOLGI xnm IZWESTNY I PRIZNA@TSQ PREDPRIQTIQMI 2) PRI PROWEDENII WZAIMOZA^ETA SALXDO PREDPRIQTIJ Sn OSTA@TSQ NEIZMENNYMI: Sn0 = Sn , T. E. INDIWIDUALXNOE FINANSOWOE POLOVENIE KAVDOGO IZ NIH W \TOM SMYSLE NE IZMENQETSQ 3) ^ASTX DOLGOW xnm SPISYWAETSQ, A ^ASTX PEREADRESOWYWAETSQ, T. E. U PREDPRIQTIJ MOGUT POQWITXSQ NOWYE DOLVNIKI I KREDITORY I IS^EZNUTX ^ASTX STARYH. sUTX MAKROPROCEDURY WZAIMOZA^ETA SOSTOIT W TOM, ^TO WMESTO WELI^IN xnm RASSMATRIWA@TSQ WELI^INY Sn . pREDPRIQTIQ S Sn < 0 OB_QWLQ@TSQ DOLVNIKAMI (W RAZMERE SWOIH SALXDO), A PREDPRIQTIQ S Sn > 0 | KREDITORAMI (W TEH VE RAZMERAH). zATEM DOLGI PREDPRIQTIJ S Sn < 0 KAKIM-TO OBRAZOM RASPREDELQ@TSQ MEVDU KREDITORAMI,
x 2]
modeli finansowyh i |konomi~eskih processow 159 T. E. NAHODITSQ NOWAQ SISTEMA DOLGOW x0nm . pRI \TOM WYPOLNENY ZAKON SOHRANENIQ (12), USLOWIE 2) I DOSTIGAETSQ RAWENSTWO X 0 = S PO\TOMU
REENIE ZADA^I QWLQETSQ OPTIMALXNYM. tAKIH OPTIMALXNYH REENIJ MOVET BYTX, WOOB]E GOWORQ, MNOGO, TAK KAK RASPREDELQTX DOLGI MEVDU KREDITORAMI MOVNO RAZNYMI SPOSOBAMI. pRIWEDEM DWA NAIBOLEE PROSTYH I NAGLQDNYH. pERWOE IZ NIH DAETSQ NESLOVNOJ FORMULOJ, PO KOTOROJ NOWYE DOLGI WY^ISLQ@TSQ ^EREZ STARYE: (14) x0 = Sn jSm j ; Sm jSnj : nm
S
sOGLASNO ALGORITMU (14) DOLG L@BOGO PREDPRIQTIQ (RAWNYJ Sn , ESLI Sn < 0) RASPISYWAETSQ PO PREDPRIQTIQM-KREDITORAM W DOLQH, PROPORCIONALXNYH WELI^INAM IH SALXDO (RAWNYM Sm , ESLI Sm > 0). pREDPRIQTIQM S B OLXIM POLOVITELXNYM SALXDO PRI^ITAETSQ OT KAVDOGO IZ DOLVNIKOW B OLXAQ ^ASTX EGO DOLGOW, PRI^EM W SUMME ONI DA@T WELI^INU Sm (UPR. 5). dLQ PREDPRIQTIJ S NULEWYM SALXDO WZAIMOZA^ET SWODITSQ K POGAENI@ WSEH IH DOLGOW I WSEH DOLGOW0 IM. zAMETIM, ^TO W REENII (14) DLQ NOWYH DOLGOW IMEEM xnm = 0 PRI Sn < 0, Sm < 0 LIBO PRI Sn > 0, Sm > 0 (POSLE WZAIMOZA^ETA DOLVNIKI NE DOLVNY DOLVNIKAM, A KREDITORY | KREDITORAM). |TO OZNA^AET, ^TO ^ISLO POLU^IWIHSQ FINANSOWYH SWQZEJ MEVDU PREDPRIQTIQMI ZNA^ITELXNO MENXE MAKSIMALXNO WOZMOVNOGO, KOGDA KAVDOE PREDPRIQTIE QWLQETSQ DOLVNIKOM ILI KREDITOROM L@BOGO DRUGOGO, I MATRICA DOLGOW NE IMEET NULEWYH \LEMENTOW (KROME, RAZUMEETSQ, DIAGONALXNYH). kOLI^ESTWO SWQZEJ MOVET BYTX ZNA^ITELXNO UMENXENO, ESLI PROWESTI PREDWARITELXNOE UPORQDO^IWANIE PREDPRQTIJ PO ABSOL@TNYM ZNA^ENIQM IH SALXDO I USTANOWITX NEPOSREDSTWENNYE SWQZI MEVDU DOLVNIKAMI I KREDITORAMI ODNOGO MASTABA (KRUPNYH S KRUPNYMI, MELKIH S MELKIMI I T. D.). |TA PROCEDURA DOPUSKAET PROSTU@ GEOMETRI^ESKU@ INTEPRETACI@. nA RIS. 48 NA WERHNEJ PRQMOJ LINII OPISANO RASPREDELENIE SALXDO KREDITOROW (W UBYWA@]EM PORQDKE). dLINA OTREZKOW \TOJ PRQMOJ RAWNA WELI^INE SALXDO KAVDOGO PREDPRQTIQ Sp > 0, 1 < p < N, A EE OB]AQ DLINA, O^EWIDNO, RAWNA S=2. nA NIVNEJ PRQMOJ OPISANO RASPREDELENIE SALXDO DOLVNIKOW Sq < 0, 1 < q < < N, p + q 6 N (SALXDO WZQTY S OBRATNYM ZNAKOM) TAKVE W rIS. 48 UBYWA@]EM PORQDKE. eE DLINA SOGLASNO (13) TAKVE RAWNA S=2. {TRIHOWYE LINII, PROWEDENNYE IZ UZLOW NIVNEJ PRQMOJ, DELQT PRQMU@ KREDITOROW NA q OTREZKOW, RAWNYH WELI^INE DOLGA KAVDOGO PREDPRIQTIQ. |TOT DOLG LIBO DOSTAETSQ ODNOMU KREDITORU, LIBO DELITSQ MEVDU NESKOLXKIMI W SOOTWETSTWII S RASPOLOVENIEM UZLOW WERHNEJ PRQMOJ OTNOSITELXNOGO DANNOGO OTREZKA. oPISANNYJ ALGORITM OPTIMALEN PO KRITERI@ X 0 = S I PREDSTAWLQETSQ NAILU^IM PO ^ISLU SWQZEJ, OSTA@]IHSQ POSLE WZAIMOZA^ETA.
160
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
t AB LI CA 2
pRIMER WZAIMOZA^ETA W SISTEME S N = 10 I NA^ALXNOJ MATRICEJ DOLGOW S NENULEWYMI NEDIAGONALXNYMI \LEMENTAMI 90
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
;25 ;1 ;20 4 25 25 ;450 ;15 150 3 ;40 1 ;22 10 322 1 ;25 2 0 0 0 0 1 0 0 0
3
4
5
6
7
8
9
;2 25 30 ;30 20 ;928 3 3 5 25 ;2 ;2 4 ;15 5 ;15 ;25 498 ;800 ;10 20 ;2 1 ;20 15 ;1 ;3
30
nA^ALXNAQ MATRICA (X = 3729)
kONE^NAQ MATRICA (X 0 = S = 62)
0 0 0 0 0 ;7 ;18 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
;28
0 0 ;2 0
0 0 0 4
0 0 0
0 0
0
pRIMER PODOBNOGO WZAIMOZA^ETA W SISTEME S N = 10 I NA^ALXNOJ MATRICEJ DOLGOW S 90 NENULEWYMI NEDIAGONALXNYMI \LEMENTAMI PRIWEDEN W TABL. 2. kONE^NAQ MATRICA SODERVIT LIX 14 NENULEWYH \LEMENTOW. w SPECIALXNYH SLU^AQH U ODNOGO DOLVNIKA OSTAETSQ ODIN KREDITOR, I NAOBOROT (UPR. 6). oTMETIM, ^TO \TI I DRUGIE PROCEDURY WZAIMOZA^ETA IME@T SMYSL LIX PRI WYPOLNENII USLOWIJ 1){3), T. E. PRI OPREDELENNOM SOGLAENII MEVDU PREDPRIQTIQMI. pRI^INY, NE POZWOLQ@]IE PRIDERVIWATXSQ DANNOGO SOGLAENIQ, MOGUT BYTX WESXMA RAZNOOBRAZNYMI | OT NEVELANIQ PLATITX DOLGI POTOMU, ^TO \TO WYGODNO DOLVNIKU, DO POSLEDSTWIJ SANKCIJ MEVDUNARODNYH ILI INYH ORGANIZACIJ, KOGDA FINANSOWYE SREDSTWA PREDPRIQTIJ ZAMORAVIWA@TSQ. |TI OBSTOQTELXSTWA I OPREDELQ@T RAMKI PRIMENIMOSTI MODELI WZAIMOZA^ETA, PRI POSTROENII KOTOROJ SU]ESTWENNO ISPOLXZOWALISX ANALOGII S MODELQMI NEKOTORYH ESTESTWENNONAU^NYH OB_EKTOW. 3. mAKROMODELX RAWNOWESIQ RYNO^NOJ \KONOMIKI. l@BOJ U^ASTNIK RYNO^NOGO \KONOMI^ESKOGO PROCESSA DEJSTWUET W SOOTWETSTWII SO SWOIMI INDIWIDUALXNYMI INTERESAMI (IZWLE^ENIE PRIBYLI, ULU^ENIE USLOWIJ TRUDA, MINIMIZACIQ RISKA, \KONOMIQ RESURSOW I T. D.). pROSTEJIJ WARIANT TAKOJ SISTEMY | \KONOMIKA S SOWERENNOJ KONKURENCIEJ, KOGDA KAVDYJ SUB_EKT \KONOMI^ESKI NI^TOVNO MAL I NE OKAZYWAET NEPOSREDSTWENNOGO WLIQNIQ NA UROWENX PROIZWODSTWA, CENY,
x 2]
161 ZARPLATU I DRUGIE MAKROPOKAZATELI. w TO VE WREMQ RAZOB]ENNYE DEJSTWIQ \KONOMI^ESKIH AGENTOW MOGUT SKLADYWATXSQ ^EREZ SU]ESTWU@]IE W SISTEME OTNOENIQ KUPLI-PRODAVI W SOWOKUPNU@ SOGLASOWANNU@ KARTINU DEJSTWIJ RABOTODATELEJ I NAEMNYH RABO^IH, FINANSISTOW I WKLAD^IKOW I T. D. modeli finansowyh i |konomi~eskih processow
eSLI W REZULXTATE TAKOGO KOLLEKTIWNOGO WZAIMODEJSTWIQ OB]EE PROIZWODSTWO TOWAROW I USLUG W SISTEME SOGLASOWANO S OB]IM SPROSOM NA NIH, TO TAKOE SOSTOQNIE \KONOMIKI NAZYWAETSQ RAWNOWESNYM, A USTANAWLIWA@]IESQ PRI \TOM CENY | RAWNOWESNYMI RYNO^NYMI CENAMI. bALANS MEVDU SPROSOM I PREDLOVENIEM IMEET MESTO, KAK PODRAZUMEWAETSQ, NE PRI PROIZWOLXNYH, A IMENNO PRI \TIH RYNO^NYH CENAH, ^TO OZNA^AET, W ^ASTNOSTI, PLATEVESPOSOBNOSTX SPROSA. oDNA IZ WAVNYH ZADA^ \KONOMI^ESKOJ NAUKI | OPREDELENIE USLOWIJ RAWNOWESIQ \KONOMIKI, I W TOM ^ISLE RAWNOWESNYH RYNO^NYH CEN. nAIBOLEE PROSTYE MATEMATI^ESKIE MODELI \KONOMI^ESKOGO RAWNOWESIQ STROQTSQ PRI SLEDU@]IH PREDPOLOVENIQH: 1) SOWERENNAQ RYNO^NAQ KONKURENCIQ, OZNA^A@]AQ OTSUTSTWIE KAK KRUPNYH PROIZWODSTWENNYH KORPORACIJ (I, TEM BOLEE, MONOPOLIJ), TAK I OB_EDINENIJ RABOTNIKOW, MOGU]IH DIKTOWATX SWOI USLOWIQ DLQ WSEJ SISTEMY 2) NEIZMENNOSTX PROIZWODSTWENNYH WOZMOVNOSTEJ SISTEMY: OBORUDOWANIE, PROIZWODSTWENNYE POME]ENIQ, TEHNOLOGII NE IZMENQ@TSQ SO WREMENEM 3) NEIZMENNYE WO WREMENI \KONOMI^ESKIE INTERESY PARTNEROW: PREDPRINIMATELI NE PYTA@TSQ UWELI^ITX SWO@ PRIBYLX, RABO^IE | ZARPLATU, INWESTOROW USTRAIWA@T PROCENTY, POLU^AEMYE PO CENNYM BUMAGAM, I T. D. oTWE^A@]IE \TIM PREDPOLOVENIQM MODELI OPISYWA@T WESXMA ^ASTNYJ SLU^AJ ZASTYWEJ WO WREMENI IDEALXNOJ RYNO^NOJ \KONOMIKI. oDNAKO ONI DA@T OTWET NA WOPROS O WOZMOVNOSTI SU]ESTWOWANIQ \KONOMI^ESKOGO RAWNOWESIQ, FORMIRU@]EGOSQ IZ RYNO^NOGO HAOSA, I, KROME TOGO, SWQZYWA@T MEVDU SOBOJ OSNOWNYE MAKROPOKAZATELI \KONOMI^ESKOJ SISTEMY. oDNA IZ TAKIH MAKROMODELEJ | MODELX kEJNSA | RASSMATRIWAET W KA^ESTWE AGENTOW NANIMATELEJ I NANIMAEMYH, POTREBITELEJ I SBEREGATELEJ, PROIZWODITELEJ I INWESTOROW, DEJSTWU@]IH NA RYNKAH RABO^EJ SILY, PRODUKTOW I DENEG, T. E. RASPREDELQ@]IH I OBMENIWA@]IH \TI TOWARY (TRUD, PRODUKTY, DENXGI) MEVDU SOBOJ. pERWYJ MAKROPOKAZATELX SISTEMY | NACIONALXNYJ DOHOD Y , QWLQ@]IJSQ EDINSTWENNYM (DLQ PROSTOTY) PRODUKTOM, PROIZWODIMYM E@ W EDINICU WREMENI. |TOT PRODUKT WYRABATYWAETSQ PROIZWODSTWENNYM SEKTOROM \KONOMIKI, A EGO WELI^INA DAETSQ FUNKCIEJ F , ZAWISQ]EJ OT KOLI^ESTWA I KA^ESTWA RESURSOW, SOSTAWA OSNOWNYH FONDOW I ^ISLA ZANQTYH RABOTNIKOW R (WTOROJ MAKROPOKAZATELX). w SOOTWETSTWII S PREDPOLOVENIEM 2) W SOSTOQNII RAWNOWESIQ PROIZWODSTWENNAQ FUNKCIQ R, A S NE@ I PRODUKT Y OPREDELQETSQ LIX ZANQTOSTX@, T. E. Y = F(R): 11 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
(15)
162
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV F (0) = 0, F 0(R) >
oTNOSITELXNO F (R) OBY^NO S^ITAETSQ, ^TO > 0, R > 0 I F 00(R) < 0 PRI R > 0 (RIS. 49). fUNKCIQ F(R) OBLADAET SWOJSTWOM NASY]ENIQ: S ROSTOM R WYPUSK RASTET WSE MEDLENNEE. tAKOJ PODHOD WPOLNE OPRAWDAN, POSKOLXKU PRI IZLINE BOLXOM ^ISLE ZANQTYH NA PROIZWODSTWE DLQ NIH POPROSTU NE NAJDETSQ SOOTWETSTWU@]EGO FRONTA RABOT. oDIN ILI NESKOLXKO STARATELEJ, OBNARUVIWIH ZOLOTU@ VILU, BYSTRO I BEZ POMEH DOSTIGNUT SWOEJ MAKSIMALXNOJ PROIZWODITELXNOSTI PRI BOLXOM KOLI^ESTWE RABO^IH ONI NA^INA@T MEATX DRUG DRUrIS. 49 GU, I IH INDIWIDUALXNAQ PROIZWODITELXNOSTX UMENXAETSQ NAKONEC, PRI O^ENX BOLXOM ^ISLE STARATELEJ DOBY^A ZOLOTA WOOB]E PERESTAET RASTI, TAK KAK WNOWX PRIBYWA@]IE NE MOGUT PODSTUPITXSQ K MESTU RAZRABOTKI. sOOTNOENIE (15) DAET SWQZX MEVDU RYNKAMI TRUDA (R) I PRODUKTA (Y ). dOPOLNITELXNOE SOOTNOENIE OPREDELQETSQ S POMO]X@ ODNOGO IZ OSNOWNYH POSTULATOW KLASSI^ESKOJ POLIT\KONOMII: 4) ZARABOTNAQ PLATA s RABOTNIKA RAWNA STOIMOSTI PRODUKTA, KOTORAQ BYLA BY POTERQNA PRI UMENXENII ZANQTOSTI NA ODNU EDINICU (ZARABOTNAQ PLATA RAWNA PREDELXNOMU PRODUKTU TRUDA). zAMETIM, ^TO W POSTULATE 4) NE U^ITYWA@TSQ (S^ITA@TSQ MALYMI) DRUGIE IZDERVKI, KOTORYE OTPALI BY W REZULXTATE SOKRA]ENIQ ODNOGO RABO^EGO MESTA (ZATRATY NA RESURSY, OBORUDOWANIE I T. D.). tAKIM OBRAZOM, IZ POSTULATA POLU^AEM Y (1) p = s GDE Y (1) | KOLI^ESTWO PRODUKTA, POTERQNNOE PRI UMENXENII ZANQTOSTI NA EDINICU, p | CENA PRODUKTA (TAK ^TO SLEWA W DANNOM RAWENSTWE ZAPISANA WELI^INA POTERQNNOJ STOIMOSTI). eSLI ZANQTOSTX IZMENILASX NA WELI^INU R, TO IZ POSLEDNEGO RAWENSTWA, O^EWIDNO, IMEEM
Y p = s R GDE Y = Y (1) R | STOIMOSTX, POTERQNNAQ ILI POLU^ENNAQ PRI IZMENENII ^ISLA RABOTNIKOW NA R. s^ITAQ R I Y MALYMI W SRAWNENII S R I Y , PEREPIEM POSLEDNEE RAWENSTWO W DIFFERENCIALXNOJ FORME: dY = s dR p ILI, PRINIMAQ WO WNIMANIE (15), F 0(R) = ps : (16)
x 2]
modeli finansowyh i |konomi~eskih processow 163 pOSKOLXKU F(R) ZADANA (A S NE@ IZWESTNA FUNKCIQ F 0 (R)), TO PRI
IZWESTNYH MAKROPOKAZATELQH s I p IZ (16) MOVNO NAJTI UROWENX ZANQTOSTI R, A IZ (15) I WELI^INU PRODUKTA Y . nAPOMNIM: \TOT UROWENX OTWE^AET ^ISLU RABOTNIKOW, SOGLASNYH TRUDITXSQ ZA DANNU@ ZARPLATU PRI DANNYH CENAH I DRUGIH HARAKTERISTIKAH SISTEMY, A NE WOOB]E WOZMOVNOMU ^ISLU NAEMNYH RABO^IH. pREDPOLAGAETSQ, ^TO DLQ OBESPE^ENIQ RAWNOWESNOGO UROWNQ ZANQTOSTI WSEGDA NAJDETSQ DOSTATO^NOE KOLI^ESTWO VELA@]IH RABOTATX NA SU]ESTWU@]IH USLOWIQH, T. E.: 5) PREDLOVENIE TRUDA NE SDERVIWAET PROIZWODSTWA, ^ISLO ZANQTYH OPREDELQETSQ SPROSOM NA TRUD SO STORONY PREDPRINIMATELEJ. dWA URAWNENIQ (15), (16) SODERVAT ^ETYRE WELI^INY. oTNOSITELXNO ODNOJ IZ NIH PREDPOLAGAETSQ, ^TO: 6) ZARABOTNAQ PLATA s W MODELI S^ITAETSQ ZADANNOJ. oNA OPREDELQETSQ W REZULXTATE KOMPROMISSA MEVDU RABOTODATELQMI I NANIMAEMYMI (REALXNAQ VE ZARPLATA ZAWISIT TAKVE I OT UROWNQ CEN). o^EWIDNO, DLQ POSTROENIQ ZAMKNUTOJ MODELI NEOBHODIMO DALXNEJEE RASSMOTRENIE RYNKA PRODUKTA I RYNKA FINANSOW. pROIZWEDENNYJ PRODUKT ^ASTI^NO TRATITSQ NA POTREBLENIE, A ^ASTI^NO SBEREGAETSQ: Y = S + !
GDE ! | POTREBLQEMAQ ^ASTX (W \KONOMIKU NE WOZWRA]AETSQ), A S | SBEREGAEMAQ ^ASTX, WOZWRA]A@]AQSQ W \KONOMI^ESKU@ SISTEMU (ILI FONDOOBRAZU@]IJ PRODUKT). sOOTNOENIE MEVDU WELI^INAMI S I ! OPREDELQETSQ IZ SLEDU@]IH SOOBRAVENIJ. oTNOSITELXNO WELI^INY ! S^ITAETSQ, ^TO: 7) POTREBLQEMAQ ^ASTX WYPUSKA ZAWISIT OT WELI^INY SAMOGO WYPUSKA, T. E. ! = !(Y ). pRI \TOM FUNKCIQ !(Y ) OBLADAET SWOJSTWOM NASY]ENIQ TAK VE, KAK I FUNKCIQ F (R): ^EM BOLXE WYPUSK, TEM MENXAQ DOLQ DOPOLNITELXNOGO WYPUSKA Y TRATITSQ NA POTREBLENIE (RIS. 49) I TEM BOLXAQ DOLQ SBEREGAETSQ. wELI^INA d!=dY = c(Y ) NAZYWAETSQ SKLONNOSTX@ K POTREBLENI@ I LEVIT W PREDELAH 0 < c < 1, INA^E PRI MALYH WYPUSKAH POTREBLQLOSX BY BOLXE PRODUKTA, ^EM PROIZWODILOSX BY (WELI^INA d = 1 ; c | SKLONNOSTX K NAKOPLENI@). fONDOOBRAZU@]IJ PRODUKT S = Y ; !(Y ) (17) WKLADYWAETSQ INWESTORAMI W \KONOMIKU S CELX@ POLU^ITX W BUDU]EM S \TIH INWESTICIJ DOHOD. w MODELI S^ITAETSQ, ^TO INWESTICII \KWIWALENTNY OTLOVENNOMU (OTNESENNOMU NA BUDU]EE) POTREBLENI@ I PO\TOMU OPREDELQ@TSQ E]E ODNIM FINANSOWYM MAKROPOKAZATELEM SISTEMY | NORMOJ BANKOWSKOGO PROCENTA r. dEJSTWITELXNO, SDELAW INWESTICII W RAZMERE A I POLU^IW ^EREZ GOD DOHOD D = Ar, INWESTOR NI^EGO NE TERQET (W DANNOM PRIMERE I NE WYIGRYWAET) PO SRAWNENI@ S WLOVENIEM \TIH SREDSTW W BANK POD PROCENT r. w OBOIH SLU^AQH SEGODNQNEE POTREBLENIE OTKLADYWAETSQ RADI WOZMOVNOSTI BOLXEGO POTREBLENIQ W SLEDU@]EM GODU. sPROS NA INWESTICII ZADAETSQ FUNKCIEJ A(r) TAKOJ, ^TO A0(r) < 0 PRI 0 < r < r1 I A(r) = 0 PRI r > r1: PRI BOLXOJ NORME PROCENTA INWESTICII OTSUTSTWU@T (RIS. 50). 11
164
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
w USLOWIQH RAWNOWESIQ PREDLOVENIE FONDOOBRAZU@]EGO PRODUKTA
S(Y ) SBALANSIROWANO SO SPROSOM NA INWESTICII A(r): S(Y ) = A(r) ILI, U^ITYWAQ (17), Y ; !(Y ) = A(r):
(18)
dLQ OKON^ATELXNOGO ZAMYKANIQ MODELI RASSMATRIWAETSQ RYNOK FINANSOW. dENXGI NUVNY \KONOMI^ESKIM AGENTAM DLQ POKUPKI FONDOOBRAZU@]EGO PRODUKTA, DLQ POTREBLENIQ, A TAKVE KAK ODNO IZ SREDSTW NAKOPLENIQ. s^ITAETSQ, ^TO DENXGI WYPUSKAET GOSUDARSTWO, I IH KOLI^ESTWO (PREDLOVENIE ) Z QWLQETSQ ZADANNYM UPRAWLQ@]IM PARAMETROM SISTEMY. oTNOSITELXNO SPROSA NA DENXGI DELAETSQ SLEDU@]EE PREDPOLOVENIE: 8) SPROS NA DENXGI PREDSTAWLQET SOBOJ SUMMU OPERACIONNOGO I SPEKULQTIWNOGO SPROSA. oPERACIONNYJ SPROS OPREDELQETSQ KOLI^ESTWOM DENEG, KOTOROE NADO IMETX NA RUKAH, ^TOBY PROIZWODITX POKUPKI TOWARA Y (KAK FONDOOBRAZU@]EGO, TAK I IDU]EGO NA POTREBLENIE). eSLI CENA PRODUKTA RAWNA p, A WREMQ OBRA]ENIQ RAWNO , TO OPERACIONNYJ SPROS RAWEN, O^EWIDNO, WELI^INE pY . sPEKULQTIWNYJ SPROS SWQZAN S WELI^INOJ NORMY PROCENTA r. eSLI NORMA PROCENTA WYSOKA, TO BOLXU@ ^ASTX DENEG IH WLADELXCY PREDPO^ITA@T HRANITX W BANKE, RASS^ITYWAQ NA HOROIJ DOHOD I VERTWUQ BOLEE WYSOKOJ STEPENX@ LIKWIDNOSTI BANKNOT (SPOSOBNOSTX@ OBMENIWATXSQ NA PRODUKTY) W SRAWNENII S BANKOWSKIMI OBQZATELXSTWAMI. pRI NIZKOJ PROCENTNOJ STAWKE SPEKULQTIWNYJ SPROS UWELI^IWAETSQ: WLADELXCY VELA@T IMETX NA RUKAH WSE BOLXE BANKNOT, AKKUMULIRUQ W NIH SWOI NAKOPLENIQ. pO\TOMU SPEKULQTIWNYJ SPROS ZADAETSQ FUNKCIEJ I(r) (RIS. 50) TAKOJ, ^TO rIS. 50 I 0 (r) < 0 PRI r > r2 I I(r) REZKO WOZRASTAET PRI r ! r2 (limI(r) = 1, r ! r2 WLADELXCY DENEG NE PRIOBRETA@T OBQZATELXSTW BANKA). eSTESTWENNO S^ITATX r2 < r1, TAK KAK W PROTIWNOM SLU^AE LIBO INWESTICII RAWNY NUL@, I GOWORITX OB \KONOMI^ESKOM RAWNOWESII NE PRIHODITSQ, LIBO FUNKCIQ I(r) NE OPREDELENA, I RASSMOTRENIE NE IMEET SMYSLA. tAK KAK FINANSOWYJ RYNOK NAHODITSQ W RAWNOWESII, TO BALANS (ZAKON SOHRANENIQ) DENEG W SISTEME DAETSQ URAWNENIEM Z = pY + I(r): (19) sWODQ WOEDINO URAWNENIQ (15), (16), (18), (19), PRIHODIM K MATEMATI^ESKOJ MODELI RYNO^NOGO RAWNOWESIQ, POLU^ENNOJ W PREDPOLOVE-
x 2]
modeli finansowyh i |konomi~eskih processow
165
NIQH 1){8): Y = F(R) F 0(R) = s=p Y ; !(Y ) = A(r) Z = pY + I(r):
(20)
w MODELI (20) ZADA@TSQ PARAMETRY SISTEMY s (STAWKA ZARABOTNOJ PLATY0 ), Z (PREDLOVENIE DENEG) I TEHNI^ESKIJ PARAMETR . fUNKCII F, F , !, A, I | IZWESTNYE FUNKCII SWOIH ARGUMENTOW S OPISANNYMI WYE SWOJSTWAMI. pO \TIM WHODNYM DANNYM IZ MODELI OPREDELQ@TSQ ^ETYRE NEIZWESTNYH WELI^INY: Y (WYPUSK PRODUKTA), R (ZANQTOSTX), p (CENA PRODUKTA) I r (NORMA PRIBYLI). iSKL@^AQ IZ (20) WELI^INY p, r, Y , URAWNENIQ (20) LEGKO SWESTI K ODNOMU URAWNENI@ OTNOSITELXNO R (R) ;1 ; sF F 0(R) + Z = I fA F(R) ; !(F(R))]g
(21)
GDE A;1 | FUNKCIQ, OBRATNAQ K FUNKCII A. nAJDQ IZ (21) ZNA^ENIE R, IZ (20) NETRUDNO OPREDELITX WSE OSTALXNYE ISKOMYE WELI^INY. dOKAVEM S POMO]X@ NESTROGIH, NO ZATO PROSTYH POSTROENIJ SU]ESTWOWANIE REENIQ (21), OSNOWYWAQSX NA ANALIZE GRAFIKOW FUNKCIJ, WHODQ]IH W EGO LEWU@ I PRAWU@ ^ASTI.
rIS. 51
rIS. 52
fUNKCIQ F(R) ; !(F(R)) | MONOTONNO RASTU]AQ FUNKCIQ R, RAWNAQ NUL@ PRI R = 0 (RIS. 51). eE MONOTONNOSTX SLEDUET IZ USLOWIQ d!(F(R))=d(F(R)) = c < 1, A ROST PO MERE UWELI^ENIQ R | IZ USLOWIQ dF (R)=dR > 0. dANNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ARGUMENTOM DLQ MONOTONNOJ FUNKCII A;1 , I IZ SWOJSTW FUNKCII A (RIS. 50) LEGKO USTANOWITX KA^ESTWENNYJ WID ZAWISIMOSTI A;1 OT R (RIS. 52), PRI^EM A;1 0 PRI R > R1 (R1 | NEKOTOROE ZNA^ENIE WELI^INY R, 0 < R1 < 1). w SWO@
166
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV O^EREDX A;1 SLUVIT ARGUMENTOM MONOTONNOJ FUNKCII I, SWOJSTWA KO-
TOROJ TAKOWY (RIS. 50), ^TO KAK FUNKCIQ R ONA IMEET WID, IZOBRAVENNYJ NA RIS. 53 (DLQ ZNA^ENIJ R > R2 FUNKCIQ I NE OPREDELENA).
rIS. 53
rIS. 54
rASSMOTRIM TEPERX LEWU@ ^ASTX URAWNENIQ (21). fUNKCIQ ;sF(R)=F 0(R) RAWNA NUL@ PRI R = 0 (S^ITAETSQ, ^TO F 0(0) 6= 0) (SM. RIS . 49). eE PERWAQ PROIZWODNAQ PO R, KAK SLEDUET IZ SWOJSTW FUNKCIJ F 0(R) > 0, F 00(R) < 0, OTRICATELXNA, T. E. ONA MONOTONNO UBYWAET (RIS. 54). sOWME]AQ GRAFIKI LEWOJ (KRIWAQ 2 ) I PRAWOJ (KRIWAQ 1 ) ^ASTEJ URAWNENIQ (21) NA ODNOM RIS. 55, UBEVDAEMSQ W TOM, ^TO PRI DOSTATO^NO BOLXOM ZNA^ENII UPRAWLQ@]EGO PARAMETRA Z KRIWYE PERESEKA@TSQ W NEKOTOROJ TO^KE R0, 0 < R0 < 1. tO^KA PERESE^ENIQ EDINSTWENNA W SILU MONOTONNOSTI GRAFIKOW. sLEDOWATELXNO, MODELX (20) DEJSTWITELXNO IMEET EDINSTWENNOE REENIE, OPISYWA@]EE RAWNOWESNOE SOSTOQNIE \KONOMIKI. oDNAKO ZNA^ENIE MODELI \TIM NE OGRANI^IWAETSQ. oNA MOVET BYTX ISPOLXZOWANA DLQ SRAWNITELXNOGO ANALIZA RAZLI^NYH, NO BLIZKIH SOSTOQNIJ RAWNOWESIQ (NE OTWE^AQ, ESTESTWENNO, NA WOPROS, KAKIM OBRAZOM SISTEMA PRIHODIT W RAWNOWESNOE SOSTOQNIE ILI WYHODIT IZ NEGO). dOPUSTIM, ^TO ZNA^ENIQ RAWNOWESNYH rIS. 55 PARAMETROW s0 I Z0 IZMENILISX NA MALYE WELI^INY s0 I Z0 PRI PEREHODE IZ ODNOGO RAWNOWESNOGO SOSTOQNIQ W DRUGOE (PARAMETR S^ITAEM NEIZMENNYM). tOGDA IZMENQTSQ I WSE OSTALXNYE HARAKTERISTIKI SISTEMY. iH MOVNO NAJTI IZ (20), IMEQ W WIDU, ^TO OBA SRAWNIWAEMYH SOSTOQNIQ RAWNOWESNY. nAPRIMER, IZ WTOROGO URAWNENIQ (20), ISPOLXZUQ RAZLOVENIE W RQD tEJLORA, POLU^AEM s0 p = s ; F 00(R ) R: 0 p0 p p0
pROWEDQ ANALOGI^NU@ PROCEDURU S OSTALXNYMI URAWNENIQMI SISTEMY (20) I SWODQ REZULXTATY WOEDINO, POLU^AEM p = a (A + !) + a (Z ; I) + a s ; a Y: 2 3 4 p0 1
(22)
x 2]
modeli finansowyh i |konomi~eskih processow
167
w WYRAVENII (22) PRISUTSTWU@T WSE HARAKTERISTIKI IZU^AEMOJ SISTEMY (KO\FFICIENTY ai < 0, i = 1 : : : 4, OPREDELQ@TSQ RAWNOWESNYMI ZNA^ENIQMI WELI^IN s0 , p0 , Y0 , r0 , FUNKCIJ R, !, A, I I IH PROIZWODNYH). pO\TOMU S EGO POMO]X@ MOVNO ANALIZIROWATX WESX KOMPLEKS IZMENENIJ, PROISHODQ]IH PRI PEREHODE OT ODNOGO RAWNOWESNOGO SOSTOQNIQ K DRUGOMU (TAK NAZYWAEMYJ SISTEMNYJ PODHOD ). pUSTX, NAPRIMER, PRI NEIZMENNOM ^ISLE ZANQTYH (T. E. R = 0, Y = 0), NEIZMENNYH ZARPLATE (s = 0) I UROWNE POTREBLENIQ (! = 0) TREBUETSQ PONIZITX CENU (p < 0), T. E. UWELI^ITX REALXNU@ ZARABOTNU@ PLATU RABOTA@]IH. tOGDA NEOBHODIMO STREMITXSQ UMENXITX INWESTICII (A < 0), SNIZITX OB]IJ OB_EM DENEG (Z < 0) I UWELI^ITX SPEKULQTIWNYJ SPROS NA NIH (I > 0). zAMETIM, ^TO TREBOWANIQ, WYTEKA@]IE IZ ANALIZA SOOTNOENIQ (22), MOGUT BYTX, WOOB]E GOWORQ, PROTIWORE^IWYMI. rAZUMEETSQ, \TA I DRUGIE SISTEMY MEROPRIQTIJ, MOGU]IE SLEDOWATX IZ POSTROENNOJ MODELI, NE REALIZU@TSQ AWTOMATI^ESKI PUTEM SOOTWETSTWU@]EJ WARIACII PARAMETRA Z ILI s (ILI OBOIH PARAMETROW). mODELX (20) LIX UKAZYWAET NA NEOBHODIMYE IZMENENIQ W POWEDENII \KONOMI^ESKIH AGENTOW. wOPROS O TOM, KAK DEJSTWITELXNO OBESPE^ITX \TI IZMENENIQ, UBEDIW U^ASTNIKOW RYNO^NOGO PROCESSA PRINQTX IH, WYHODIT ZA RAMKI RASSMATRIWAEMOJ MODELI. eGO REENIE SWQZANO S IZU^ENIEM E]E BOLEE TRUDNOFORMALIZUEMYH OB_EKTOW. pRI ISSLEDOWANII PODOBNYH OB_EKTOW IROKO PRIMENQ@TSQ PODHODY, PO^ERPNUTYE IZ ESTESTWENNONAU^NOJ SFERY, TAKIE, KAK IDEQ NASY]ENIQ, PEREHODY S MIKRO- NA MAKROUROWENX, ISPOLXZOWANIE ZAKONOW SOHRANENIQ, PREDSTAWLENIQ O STACIONARNOSTI I RAWNOWESNOSTI I DR. 4. mAKROMODELX \KONOMI^ESKOGO ROSTA. w RASTU]EJ \KONOMIKE ^ISLO RABOTA@]IH R(t) NE POSTOQNNO, A UWELI^IWAETSQ S TE^ENIEM WREMENI. w PROSTEJEJ MODELI S^ITAETSQ, ^TO TEMP PRIROSTA ZANQTYH RABOTNIKOW PROPORCIONALEN ^ISLU UVE RABOTA@]IH: dR = R(t): dt
pO\TOMU R(t) = R0et | ZARANEE IZWESTNAQ FUNKCIQ WREMENI (WELI^INA ZADAETSQ, R0 = R(0) | ^ISLO RABOTA@]IH W NA^ALXNYJ MOMENT t = 0). rABOTNIKI PROIZWODQT NACIONALXNYJ DOHOD Y (t), KOTORYJ ^ASTI^NO IDET NA POTREBLENIE I ^ASTI^NO NA NAKOPLENIE:
Y (t) = ! + A: (23) nAKOPLENNAQ ^ASTX PRODUKTA A WOZWRA]AETSQ W \KONOMIKU S TEM, ^TOBY SKOMPENSIROWATX WYBYWA@]IE IZ STROQ PROIZWODSTWENNYE MO]NOSTI, A TAKVE DLQ SOZDANIQ NOWYH MO]NOSTEJ. pOD MO]NOSTX@ M(t) PODRAZUMEWAETSQ MAKSIMALXNO WOZMOVNYJ WYPUSK PRODUKTA \KONOMIKOJ. rEALXNYJ WYPUSK PRODUKTA ZAWISIT, ESTESTWENNO, OT ^ISLA RABO-
TA@]IH I ZADAETSQ PROIZWODSTWENNOJ FUNKCIEJ WIDA Y (t) = M(t) f(x(t)): (24) w FORMULE (24) WELI^INA x(t) = R(t)=M(t) PO SWOEMU SMYSLU | KOLI^ESTWO RABOTA@]IH NA EDINICE MO]NOSTI. oTNOSITELXNO FUNKCII f(x) DELA@TSQ SLEDU@]IE PREDPOLOVENIQ: 00f(0) = 0, f 0 > 0 (WYPUSK RASTET S UWELI^ENIEM ^ISLA ZANQTYH) I f < 0 (NASY]ENIE). fUNK-
168
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
CIQ f(x) OPREDELENA DLQ ZNA^ENIJ x NA OTREZKE 0 6 x 6 xM , GDE xM = = RM =M, A RM (t) | ^ISLO RABO^IH MEST W HOZQJSTWE PRI MO]NOSTI M(t). eSLI WSE MESTA ZAPOLNENY, TO WYPUSK Y (t) PO OPREDELENI@ RAWEN M(t), T. E. DLQ f(x) DOLVNO WYPOLNQTXSQ USLOWIE f(xM ) = 1. oDNA IZ GLAWNYH ZADA^ TEORII \KONOMI^ESKOGO ROSTA | NAHOVDENIE OPTIMALXNYH W NEKOTOROM SMYSLE SPOSOBOW RAZDELENIQ PROIZWEDENNOGO PRODUKTA NA POTREBLQEMU@ I NAKAPLIWAEMU@ ^ASTI. kRITERIEM OPTIMALXNOSTI MOVNO WYBRATX, NAPRIMER, DUEWOE POTREBLENIE (KOLI^ESTWO PRODUKTA, POTREBLQEMOGO ODNIM RABOTA@]IM), T. E. WELI^INU c(t) = !(t)=R(t). sBEREVENNYJ W EDINICU WREMENI PRODUKT A(t) RASHODUETSQ NA SOZDANIE NOWOJ MO]NOSTI : A(t) = a I(t)
GDE a > 0 | S^ITA@]EESQ ZADANNYM I POSTOQNNYM KOLI^ESTWO FONDOOBRAZU@]EGO PRODUKTA, NEOBHODIMOE DLQ SOZDANIQ EDINICY NOWOJ MO]NOSTI, I(t) | ^ISLO EDINIC NOWOJ MO]NOSTI. tEMP WYBYTIQ SU]ESTWU@]EJ MO]NOSTI PREDPOLAGAETSQ PROPORCIONALXNYM WELI^INE SAMOJ MO]NOSTI, T. E. WELI^INE M(t), KO\FFICIENT WYBYTIQ > 0 ZADAETSQ POSTOQNNYM. w ITOGE DLQ IZMENENIQ FUNKCII M(t) POLU^AEM BALANSNOE SOOTNOENIE dM = I(t) ; M(t): (25) dt uRAWNENIQ (23){(25) SODERVAT ^ETYRE NEIZWESTNYH WELI^INY | Y (t), !(t), M(t), I(t). dLQ ZAMYKANIQ MODELI PREDPOLOVIM, ^TO SKOROSTX WWEDENIQ NOWOJ MO]NOSTI PROPORCIONALXNA WELI^INE UVE SU]ESTWU@]EJ MO]NOSTI: I(t) = M(t), GDE > 0 (WELI^INA, OBRATNAQ HARAKTERNOMU WREMENI NARA]IWANIQ MO]NOSTI) S^ITAETSQ ZADANNOJ I POSTOQNNOJ (ESTESTWENNO, > ). tOGDA REENIE URAWNENIQ (25) LEGKO NAHODITSQ: M(t) = M0 e( ;) t
(26) A WMESTE S NIM OPREDELQ@TSQ I WSE OSTALXNYE NEIZWESTNYE WELI^INY. pROANALIZIRUEM PROSTOJ, NO POKAZATELXNYJ SLU^AJ \KONOMI^ESKOGO ROSTA, KOGDA MO]NOSTX UWELI^IWAETSQ SO WREMENEM W TOM VE TEMPE, ^TO I ^ISLO RABOTA@]IH. dLQ \TOGO, O^EWIDNO, NEOBHODIMO, ^TOBY WY-
POLNQLOSX RAWENSTWO
; = : (27) oNO OZNA^AET TAKVE, ^TO S TEM VE TEMPOM RASTUT FUNKCII Y (t) (POSKOLXKU f(x(t)) = f(x = R0=M0 ) = const) I !(t), I(t). nAJDEM ^ISLO RABOTA@]IH I SOOTNOENIE MEVDU POTREBLENIEM I NAKOPLENIEM, PRI KOTORYH DUEWOE POTREBLENIE RABOTNIKOW MAKSIMALXNO. pO OPREDELENI@ c(t) = !(t) = Y (t) ; A(t) :
R(t) R(t) u^ITYWAQ, ^TO Y (t) = M(t) f(x), A(t) = a M(t), I PRINIMAQ WO WNI-
x 2]
modeli finansowyh i |konomi~eskih processow
169
MANIE (26), (27), POLU^AEM
c(t) = c = f(x) ; ax( + )
(28) T. E. DUEWOE POTREBLENIE SO WREMENEM NE IZMENQETSQ. eGO MAKSIMUM, KAK O^EWIDNO IZ (28), DOSTIGAETSQ PRI USLOWII dc = d f(x) ; a ( + ) = 0 dx dx x KOTOROE DAET URAWNENIE DLQ ISKOMOJ WELI^INY xm xm f 0 (xm ) ; f(xm ) + a ( + ) = 0: (29) |TO URAWNENIE WSEGDA IMEET EDINSTWENNOE REENIE 0 < xm 6 xM (UPR. 9). zAMETIM, ^TO POMIMO WSEH SDELANNYH PREDPOLOVENIJ, DLQ REALIZACII RASSMATRIWAEMOGO REVIMA \KONOMI^ESKOGO ROSTA NEOBHODIMO SOGLASOWANIE ^ISLENNOSTI RABOTA@]IH R0 S MO]NOSTX@ M0 W NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI TAK, ^TOBY R0 =M0 = xm . nORMA NAKOPLENIQ, OBESPE^IWA@]AQ MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE cm , nm = AY m m NAHODITSQ IZ RAWENSTW Ym = Mm f(xm ), Am = a Mm I IZ (27), (29): 0 (xm ) nm = 1 ; xm ff(x (30) m) I NAZYWAETSQ NORMOJ ZOLOTOGO PRAWILA ROSTA sOLOU. eSLI USLOWIE (27) NE WYPOLNENO, TO REVIMY ROSTA \KONOMIKI STANOWQTSQ BOLEE SLOVNYMI, I OPTIMIZACIQ IH HARAKTERISTIK PROWODITSQ NA WSEM RASSMATRIWAEMOM WREMENNOM INTERWALE. nAPOMNIM, ^TO POSTROENNAQ MODELX I PODOBNYE EJ MODELI NE U^ITYWA@T IZMENENIJ W PROIZWODSTWENNYH OTNOENIQH (ONI S^ITA@TSQ POSTOQNNYMI) I OPERIRU@T W OSNOWNOM TEHNOLOGI^ESKIMI SWQZQMI, DAWAQ, W ^ASTNOSTI, WERHNIE TEHNOLOGI^ESKIE OGRANI^ENIQ NA TEMP \KONOMI^ESKOGO ROSTA (UPR. 11). pRI IH POLU^ENII TAKVE IROKO ISPOLXZU@TSQ ANALOGII S ESTESTWENNONAU^NYMI OB_EKTAMI. upravneniq 1. pUSTX PARAMETRY 1 , N0 , p, s FIKSIROWANY. nAJDITE ZNA^ENIE PARAMETRA 2 , PRI KOTOROM FUNKCIQ Pm (2 ) DOSTIGAET MINIMALXNOGO ZNA^ENIQ, I UBEDITESX, ^TO W \TOM SLU^AE TEKU]AQ PRIBYLX P (t) MAKSIMALXNA W MOMENT t = 0, T. E. NA STARTE REKLAMNOJ KAMPANII. 2. nERAWENSTWO Pm > 1 s (ZAWISQ]EE OT 1 > 0 NELINEJNYM OBRAZOM) QWLQETSQ NEOBHODIMYM USLOWIEM PRIBYLXNOSTI REKLAMY. s^ITAQ PARAMETRY 2 , N0 , p, s FIKSIROWANNYMI, NAJDITE OBLASTI ZNA^ENIQ PARAMETRA 1 , W KOTORYH PRI ROSTE 1 DANNOE NERAWENSTWO USILIWAETSQ (OSLABLQETSQ). 3. s^ITAQ, ^TO \FFEKT NASY]ENIQ OT REKLAMY PROISHODIT PRI N (t) N0 , NAJDITE IZ URAWNENIQ (6) MOMENT WREMENI, KOGDA PRODOLVENIE KAMPANII STANET ZAWEDOMO UBYTO^NYM. 4. uBEDITESX W SPRAWEDLIWOSTI NERAWENSTW (11). 5. pROWERXTE, ISPOLXZUQ FORMULY (7), (9), (10), S POMO]X@ RAWENSTWA (13), ^TO DLQ REENIQ 0(14) WYPOLNENY SWOJSTWO x0nm = ;x0mn , USLOWIE 2) I KRITERIJ OPTIMALXNOSTI X = S .
170
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
6. pOKAVITE,^TO W SOOTWETSTWII S OPISANNOJ PROCEDUROJ NA^ALXNAQ MATRICA DOLGOW WIDA 0 +1 : :: +1 : :: +1 +1 ;1 0 : :: +1 : :: +1 +1
. . . . . . xnm = ;1 ;1 : :: 0 : :: +1 +1 . . . . . . ;1 ;1 : :: ;1 : :: 0 +1 ;1 ;1 : :: ;1 : :: ;1 0 GDE N ^ETNOE, X = N (N ; 1), PRINIMAET WID 0 0 : :: 0 0 : : : 0 N ; 1 0 : :: 0 0 : : : N ; 3 0 0 . .. . . . 0 0 : :: 0 +1 : : : 0 0 x0nm = 0 : :: ;1 0 : : : 0 0 0 . . .. . . 0 ; (N ; 3) : :: 0 0 : : : 0 0 ; (N ; 1) 0 : :: 0 0 : : : 0 0
PRI^EM X 0 = N 2 =2 = S < X . 7. wYRAVENIE Y = A=(1 ; c), GDE A | IZMENENIE W UROWNE INWESTICIJ, A Y | SOOTWETSTWU@]IJ PRIROST (UBYLX) WYPUSKA PRODUKTA, NAZYWAETSQ SOOTNOENIEM MULXTIPLIKATORA kEJNSA. pOLU^ITE EGO IZ MODELI (20). 8. pOLU^ITE WYRAVENIQ DLQ KO\FFICIENTOW ai , i = 1 : : : 4, W (22) I UBEDITESX W TOM, ^TO WSE ONI POLOVITELXNY. 9. dOKAVITE, ISPOLXZUQSWOJSTWA FUNKCII f (x), SU]ESTWOWANIE EDINSTWENNOGO REENIQ URAWNENIQ (29). 10. iSPOLXZUQ RASSUVDENIQ, PRIMENQWIESQ PRI WYWODE (30), POKAVITE, ^TO DLQ WELI^INY MAKSIMALXNOGO DUEWOGO POTREBLENIQ cm SPRAWEDLIWO RAWENSTWO cm = f 0 (xm) (WELI^INA f 0 (xm ) NAZYWAETSQPREDELXNOJ PROIZWODITELXNOSTX@ TRUDA | \TO PRIROST WYPUSKA PRODUKTA PRI UWELI^ENII ZANQTOSTI NA EDINICU). 11. pOKAVITE, ^TO ESLI WESX PROIZWEDENNYJ PRODUKT IDET NA NAKOPLENIE I MO]NOSTI ZAGRUVENY POLNOSTX@, TO \KONOMI^ESKIJ ROST REALIZUETSQ S TEMPOM Y (t) = Y0 t em t , m = 1=a ; .
x 3. nEKOTORYE MODELI SOPERNI^ESTWA pOSTROIM MODELI RAZLI^NYH WIDOW SOPERNI^ESTWA | DWUHWIDOWOJ BORXBY W POPULQCIQH, GONKI WOORUVENIJ, BOEWYH DEJSTWIJ. pOKAVEM OB]NOSTX METODOLOGI^ESKIH PODHODOW, PRIMENQEMYH PRI POLU^ENII I ANALIZE \TIH MODELEJ.
x 3]
171 1. wZAIMOOTNOENIQ W SISTEME HI]NIK|VERTWA . sTROGO GOWORQ, \TI OTNOENIQ (KAK I OTNOENIQ W ANALOGI^NOJ SISTEME PARAZIT|HOZQIN) NE MOGUT NAZYWATXSQ SOPERNI^ESTWOM. sOPERNI^ESTWO VERTWY S HI]NIKOM WYRAVAETSQ W IZMENENII ^ISLENNOSTI VERTWY, KOTORAQ W SWO@ O^EREDX SKAZYWAETSQ NA ^ISLENNOSTI HI]NIKA. dEJSTWITELXNO, NIKAKOJ ORGANIZM (TEM BOLEE POPULQCIQ) NE VIWET IZOLIROWANNO, A WZAIMODEJSTWUET SO SWOIM OKRUVENIEM. {IROKO RASPROSTRANENNYJ WID WZAIMODEJSTWIQ | ISPOLXZOWANIE ODNIMI VIWYMI ORGANIZMAMI (VIWOTNYMI, PTICAMI, RYBAMI, NASEKOMYMI) DRUGIH ORGANIZMOW W KA^ESTWE PI]I. mATEMATI^ESKAQ MODELX NAIBOLEE PROSTOJ, T. E. DWUHWIDOWOJ SISTEMY HI]NIK|VERTWA OSNOWYWAETSQ NA SLEDU@]IH PREDPOLOVENIQH: 1) ^ISLENNOSTI POPULQCIJ VERTW N I HI]NIKOW M ZAWISQT TOLXKO OT WREMENI (TO^E^NAQ MODELX, NE U^ITYWA@]AQ PROSTRANSTWENNOE RASPREDELENIE POPULQCII NA ZANIMAEMOJ TERRITORII SR. S MODELX@ SOOB]ESTWA AMEB W x 1) 2) W OTSUTSTWIE WZAIMODEJSTWIQ ^ISLENNOSTX WIDOW IZMENQETSQ PO MODELI mALXTUSA IZ P. 3 x 1 GL. I PRI \TOM ^ISLO VERTW UWELI^IWAETSQ, A ^ISLO HI]NIKOW PADAET, TAK KAK IM W \TOM SLU^AE NE^EM PITATXSQ: nekotorye modeli soperni~estwa
dN = N dM = ; M dt dt
> 0 > 0
3) ESTESTWENNAQ SMERTNOSTX VERTWY I ESTESTWENNAQ ROVDAEMOSTX HI]NIKA S^ITA@TSQ NESU]ESTWENNYMI 4) \FFEKT NASY]ENIQ ^ISLENNOSTI OBEIH POPULQCIJ NE U^ITYWAETSQ 5) SKOROSTX ROSTA ^ISLENNOSTI VERTWY UMENXAETSQ PROPORCIONALXNO ^ISLENNOSTI HI]NIKOW, T. E. WELI^INE cM, c > 0, A TEMP ROSTA HI]NIKOW UWELI^IWAETSQ PROPORCIONALXNO ^ISLENNOSTI VERTWY, T. E. WELI^INE dN, d > 0. oB_EDINQQ PREDPOLOVENIQ 1){5), PRIHODIM K SISTEME URAWNENIJ lOTKI|wOLXTERRA dN = ( ; cM) N dt (1) dM = (; + dN) M dt IZ KOTOROJ PO NA^ALXNYM ^ISLENNOSTQM N(0) = N(t = 0), M(0) = = M(t = 0) OPREDELQETSQ ^ISLENNOSTX POPULQCII W L@BOJ MOMENT t > 0. nELINEJNU@ SISTEMU (1) UDOBNO ISSLEDOWATX W PLOSKOSTI PEREMENNYH N, M, DLQ ^EGO PERWOE URAWNENIE PODELIM NA WTOROE: ( ; cM) N dN dM = (; + dN) M :
(2)
172
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
uRAWNENIQ (1), (2) IME@T POLOVENIE RAWNOWESIQ (ILI STACIONARNOE, NE ZAWISQ]EE OT WREMENI REENIE) M0 = c N0 = d :
(3) zADADIMSQ WOPROSOM OB USTOJ^IWOSTI POLOVENIQ RAWNOWESIQ (3). pOD \TIM PODRAZUMEWAETSQ SLEDU@]EE. eSLI NA^ALXNYE ^ISLENNOSTI W TO^NOSTI RAWNY WELI^INAM (3), TO KAK S TE^ENIEM WREMENI ONI IZMENQ@TSQ? eSLI PO KAKIM-TO PRI^INAM ^ISLENNOSTI NENAMNOGO OTKLONQ@TSQ OT WELI^IN M0 , N0 , TO WERNETSQ LI SISTEMA W POLOVENIE RAWNOWESIQ? nAKONEC, ESLI NA^ALXNYE ZNA^ENIQ N(0), M(0) ZAMETNO OTLI^A@TSQ OT RAWNOWESNYH, TO KAKIM OBRAZOM ONI MENQ@TSQ SO WREMENEM OTNOSITELXNO WELI^IN N0 , M0? ~TOBY PONQTX WREMENNU@ DINAMIKU FUNKCIJ N(t), M(t), PREOBRAZUEM URAWNENIE (2) K WIDU dN (; + dN) M = dM ( ; cM) N PODELIM OBE ^ASTI POLU^IWEGOSQ RAWENSTWA NA WELI^INU NM I PERENESEM WSE ^LENY W LEWU@ ^ASTX: dM ; c dM = 0: dN ; d dN + (4) N M uRAWNENIE (4) NETRUDNO PROINTEGRIROWATX I POLU^ITX SOOTNOE-
NIE
ln N ; dN + lnM ; cM = const
GDE KONSTANTA W PRAWOJ ^ASTI OPREDELQETSQ PO NA^ALXNYM ZNA^ENIQM N0 , M0 . dRUGIMI SLOWAMI, URAWNENIE (2), ILI, ^TO TO VE SAMOE, SISTEMA (1) IMEET INTEGRAL WIDA ln N + lne;dN + ln M + lne;cN = C:
pOTENCIRUQ POSLEDNEE WYRAVENIE, POLU^AEM INTEGRAL W WIDE N e;dN = C1M ; ecM
C1 > 0: (5) sU]ESTWOWANIE INTEGRALA (5) DAET WOZMOVNOSTX OTWETITX NA POSTAWLENNYE rIS. 56 WOPROSY (NA RIS. 56 IZOBRAVENY FAZOWYE TRAEKTORII SISTEMY (1) STRELKAMI POKAZANO NAPRAWLENIE DWIVENIQ PO TRAEKTORIQM S TE^ENIEM WREMENI): A) ESLI N(0) = N0 , M(0) = M0 , TO WO WSE MOMENTY WREMENI ^ISLENNOSTI POPULQCIJ NE MENQ@TSQ B) PRI MALOM OTKLONENII OT POLOVENIQ RAWNOWESIQ ^ISLENNOSTI KAK HI]NIKA, TAK I VERTWY S TE^ENIEM WREMENI NE WOZWRA]A@TSQ K RAWNOWESNYM ZNA^ENIQM (PRI \TOM IZ MODELI (1) POLU^AETSQ STANDARTNOE URAWNENIE KOLEBANIJ SM. P. 3 x 5 GL. I) W) ESLI OTKLONENIE OT POLOVENIQ RAWNOWESIQ WELIKO, TO POWEDENIE FUNKCIJ N(t), M(t) TAKOE VE, KAK W SLU^AE B).
x 3]
173 |TI WYWODY OZNA^A@T, ^TO ^ISLENNOSTI POPULQCIJ VERTWY I HI]NIKA SOWERA@T PERIODI^ESKIE KOLEBANIQ WOKRUG POLOVENIQ RAWNOWESIQ. aMPLITUDA KOLEBANIJ I IH PERIOD OPREDELQ@TSQ NA^ALXNYMI ZNA^ENIQMI ^ISLENNOSTEJ N(0), M(0) (UPR. 1, 2), ONI SOWERA@TSQ W PROTIWOFAZE: MAKSIMALXNOMU ZNA^ENI@ N(t) SOOTWETSTWUET MINIMALXNOE ZNA^ENIE M(t), I NAOBOROT (RIS. 57). kOLEBANIQ, SU]NOSTX KOTORYH WPOLNE PONQTNA (I ONI REALXNO NABL@DA@TSQ W PRIRODE) OZNA^A@T WOZNIKNOWENIE W DWUHWIDOWYH POPULQCIONNYH SISTEMAH ZNA^ITELXNO BOLEE SLOVNYH PROCESSOW, rIS. 57 ^EM W ODNOWIDOWYH SISTEMAH (SR. S MODELX@ mALXTUSA I LOGISTI^ESKOJ MODELX@ W GL. I). bOLEE TO^NYE MATEMATI^ESKIE OPISANIQ DWUHWIDOWYH WZAIMODEJSTWIJ U^ITYWA@T NERAWNOMERNOSTX RASPREDELENIQ ^ISLENNOSTI POPULQCIJ NA ZANIMAEMYH TERRITORIQH (IM SOOTWETSTWU@T SISTEMY URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH), WREMENNOE ZAPAZDYWANIE MEVDU ROVDENIEM OSOBEJ I IH ZRELOSTX@ I T. D. wOZNIKA@T GORAZDO BOLEE SLOVNYE KARTINY WZAIMODEJSTWIQ KAK PO WREMENI, TAK I W PROSTRANSTWE. nAPRIMER, PRI U^ETE NASY]ENIQ DLQ POPULQCII VERTW W PERWOM URAWNENII (1) POQWLQETSQ SOOTWETSTWU@]IJ LOGISTI^ESKIJ ^LEN, I ONO nekotorye modeli soperni~estwa
PRIOBRETAET WID
dN = ( ; cM ; aN) N: dt
(6)
w \TOM SLU^AE FAZOWYE TRAEKTORII IME@T rIS. 58 WID SPIRALEJ (RIS. 58), SHODQ]IHSQ S TE^ENIEM WREMENI K POLOVENI@ RAWNOWESIQ, A AMPLITUDA KOLEBANIJ UMENXAETSQ S TE^ENIEM WREMENI (UPR. 3). 2. gONKA WOORUVENIJ MEVDU DWUMQ STRANAMI. pREDPOLAGAETSQ, ^TO OB]EE KOLI^ESTWO WOORUVENIJ U KAVDOJ STRANY IZMENQETSQ SO WREMENEM W ZAWISIMOSTI OT TREH FAKTOROW: KOLI^ESTWA ORUVIQ U PROTIWNIKA, IZNOSA UVE SU]ESTWU@]EGO WOORUVENIQ I STEPENI NEDOWERIQ MEVDU PROTIWNIKAMI. tEMPY PRIROSTA I UMENXENIQ WOORUVENIJ PROPORCIONALXNY UKAZANNYM FAKTORAM, T. E. dM1 = (t) M ; (t) M + (t) 1 2 1 1 1 dt
(7) dM2 = (t) M ; (t) M + (t): 2 1 2 2 2 dt w URAWNENIQH (7) M1 (t) > 0, M2 (t) > 0 | OB_EMY WOORUVENIJ, KO\FFICIENTY 1(t) > 0, 2(t) > 0, 1 (t) > 0, 2 (t) > 0 HARAKTERIZU@T SKOROSTX STARENIQ WOORUVENIJ (ANALOG PROCESSA AMORTIZACII PROIZWODSTWENNYH MO]NOSTEJ W MODELQH \KONOMIKI), FUNKCII 1 (t) > 0,
174 modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
2 (t) > 0 OPISYWA@T UROWENX WZAIMNOJ NASTOROVENNOSTI (NEDOWERIQ) KONKURENTOW, KOTORYJ S^ITAETSQ NE ZAWISQ]IM OT KOLI^ESTWA WOORUVENIJ, A OPREDELQETSQ DRUGIMI PRI^INAMI. mODELX (7) NE U^ITYWAET MNOGIE WAVNYE FAKTORY, WLIQ@]IE NA DINAMIKU GONKI WOORUVENIJ, NO, TEM NE MENEE, DAET WOZMOVNOSTX PROANALIZIROWATX RQD SU]ESTWENNYH SWOJSTW \TOGO PROCESSA. aNALIZ NAIBOLEE PROST W ^ASTNOM SLU^AE, KOGDA FUNKCII i , i , i , i = 1 2, NE ZAWISQT OT WREMENI: dM1 = M ; M + 1 2 1 1 1 dt (8) dM2 = M ; M + : 2 1 2 2 2 dt
iSSLEDUEM SISTEMU (8) W PLOSKOSTI M1 , M2 S CELX@ OPREDELITX KA^ESTWENNOE POWEDENIE FUNKCIJ M1(t), M2 (t) WO WREMENI. uRAWNENIQ (8) IME@T POLOVENIE RAWNOWESIQ dM1=dt = 0 I dM2 =dt = 0. rAWNOWESNYE ZNA^ENIQ M10, M20 NAHODQTSQ, O^EWIDNO, IZ USLOWIJ 1 M2 ; 1 M1 + 1 = 0 2M1 ; 2 M2 + 2 = 0 I RAWNY M10 = 1 2 ;+ 2 1 M20 = 2 1 ;+ 1 2 : 1 2
1 2
1 2
1 2
(9)
iZ (9) SLEDUET PERWYJ WAVNYJ WYWOD: DLQ TOGO ^TOBY RAWNOWESIE SU]ESTWOWALO PRI POLOVITELXNYH ZNA^ENIQH WELI^IN M10, M20 (PO SWOEMU SMYSLU FUNKCII M1 (t), M2 (t) NEOTRICATELXNY), DOLVNO WYPOLNQTXSQ NERAWENSTWO 1 2 > 12: (10) sMYSL USLOWIQ (10) PROQSNQETSQ IZ SLEDU@]IH RASSUVDENIJ. pUSTX, NAPRIMER, PARAMETRY 1, 1 I 2 NEIZMENNY, A PARAMETR 2 UWELI^IWAETSQ. |TO OZNA^AET, ^TO PERWAQ STRANA NE MENQET SWO@ STRATEGI@ W OBLASTI WOORUVENIJ, A
WTORAQ NARA]IWAET WOORUVENIQ PRI NEIZMENNOM TEMPE IZNOSA ORUVIQ (PARAMETR 2 ). tOGDA rIS. 59 PRI DOSTATO^NO BOLXOJ WELI^INE 2 RAWNOWESIE STANET ZAWEDOMO NEWOZMOVNYM, A NERAWENSTWO (10) OBQZATELXNO NARUITSQ. zAMETIM, ^TO, ESLI OBA PARAMETRA 1 , 2 , HARAKTERIZU@]IE WZAIMNOE NEDOWERIE, RAWNY NUL@, TO POLOVENI@ RAWNOWESIQ OTWE^AET OTSUTSTWIE WOORUVENIJ U OBEIH STORON.
x 3]
175 iZU^IM TEPERX WOPROS OB USTOJ^IWOSTI RAWNOWESIQ (9) PRI USLOWII (10). w \TOM SLU^AE INTEGRALXNYE KRIWYE URAWNENIQ (8) W PLOSKOSTI M1 , M2 IME@T WID, IZOBRAVENNYJ NA RIS. 59. {TRIHOWYE PRQMYE OTWE^A@T IZOKLINAM NULQ (M2 = 2= 2 M1 + 2 = 2 ) I BESKONE^NOSTI (M2 = 1 =1 M1 ; 1 =1). iZOKLINA NULQ IMEET NAKLON, MENXIJ, ^EM IZOKLINA BESKONE^NOSTI (\TO SLEDUET IZ NERAWENSTWA (10)). sPLONYM LINIQM SOOTWETSTWU@T INTEGRALXNYE KRIWYE. sTRELKAMI POKAZANO NAPRAWLENIE DWIVENIQ PO INTEGRALXNYM KRIWYM S TE^ENIEM WREMENI. fUNKCII M1 (t) I M2 (t) PRI WOZRASTANII t STREMQTSQ K RAWNOWESNYM ZNA^ENIQM. tAKIM OBRAZOM, RAWNOWESIE USTOJ^IWO: L@BOE OTKLONENIE OT NEGO STANOWITSQ NI^TOVNO MALYM PO PROESTWII DOSTATO^NO BOLXOGO PROMEVUTKA WREMENI (UPR. 4, 5). iZ POSTROENNOJ MODELI NETRUDNO OPREDELITX NEKOTORYE HARAKTERISTIKI WOZMOVNYH POWEDENIJ SOPERNIKOW PRI PEREHODE OT ODNOGO POLOVENIQ RAWNOWESIQ K DRUGOMU. pUSTX, NAPRIMER, TEMP NARA]IWANIQ WOORUVENIJ W PERWOJ I WTOROJ STRANAH IZMENQETSQ NA NEBOLXU@ WELI^INU d (d = d1 = d2). pRI \TOM OB_EM WOORUVENIJ TAKVE IZMENQETSQ, PRI^EM OBE STORONY VELA@T, ^TOBY PRIRA]ENIQ dM10 I dM20 BYLI0 RAWNYMI I INTERESY OBEIH STORON NE U]EMLQLISX. dLQ WELI^IN dM1 , dM20 IZ (9) POLU^AEM 2 2 1 + 21 2 + 1 2 1 d dM10 = 12 2 + ( 1 2 ; 12)2 nekotorye modeli soperni~estwa
2
1 1 2 + 2 1 + 2 1 2 d: dM20 = 12 1 + ( ; )2 1 2
1 2
pREDPOLOVIM DLQ PROSTOTY, ^TO NASTOROVENNOSTI (NEDOWERIQ) PARTNEROW RAWNYE ( 1 = 2 ). tOGDA IZ RAWENSTWA dM10 = dM20 POLU^AEM USLOWIE PARITETA STORON PRI NEBOLXOM IZMENENII RAWNOWESIQ 1 (1 + 2 ; 1 ) = 2 (2 + 1 ; 2 ) KOTOROE MOVET BYTX POLOVENO W OSNOWU SOOTWETSTWU@]IH DOGOWORENNOSTEJ MEVDU STRANAMI, ESLI IZWESTNY WELI^INY 1, 2 , 1 , 2 . tAK, NAPRIMER, PUSTX 2 = 1, > 0. w \TOM SLU^AE IZ PREDYDU]EGO RAWENSTWA POLU^AEM 1 (1 ; ) = 1 ; 2 : (11) pRI < 1 (TEMP PRIROSTA WOORUVENIJ U WTOROJ STORONY MENXE, ^EM U PERWOJ) DLQ SOHRANENIQ PARITETA NEOBHODIMO 2 < 1 , T. E. U WTOROJ STORONY (W SOOTWETSTWII S FORMULOJ (11)) TEMP AMORTIZACII WOORUVENIJ DOLVEN BYTX MENXE. pRI PROTIWOPOLOVNOM NERAWENSTWE > 1 IMEEM, ESTESTWENNO, OBRATNOE SOOTNOENIE MEVDU SKOROSTQMI AMORTIZACII. 3. bOEWYE DEJSTWIQ DWUH ARMIJ. w PROTIWOBORSTWE MOGUT PRINIMATX U^ASTIE KAK REGULQRNYE ARMII, TAK I PARTIZANSKIE SOEDINENIQ. gLAWNOJ HARAKTERISTIKOJ SOPERNIKOW W RASSMATRIWAEMYH MODELQH QWLQ@TSQ ^ISLENNOSTI STORON N1 (t) > 0 I N2 (t) > 0. eSLI W KAKOJ-TO MOMENT WREMENI ODNA IZ ^ISLENNOSTEJ OBRA]AETSQ W NULX, TO DANNAQ
176
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
STORONA S^ITAETSQ POTERPEWEJ PORAVENIE (PRITOM, ^TO W \TOT MOMENT ^ISLENNOSTX DRUGOJ STORONY POLOVITELXNA). w SLU^AE DEJSTWIJ MEVDU REGULQRNYMI ^ASTQMI DINAMIKA IH ^ISLENNOSTI OPREDELQETSQ TREMQ FAKTORAMI: 1) SKOROSTX@ UMENXENIQ SOSTAWA IZ-ZA PRI^IN, NEPOSREDSTWENNO NE SWQZANNYH S BOEWYMI DEJSTWIQMI (BOLEZNI, TRAWMY, DEZERTIRSTWO) 2) TEMPOM POTERX, OBUSLOWLENNYH BOEWYMI DEJSTWIQMI PROTIWOBORSTWU@]EJ STORONY (KOTORYE W SWO@ O^EREDX OPREDELQ@TSQ KA^ESTWOM EE STRATEGII I TAKTIKI, UROWNEM MORALXNOGO DUHA I PROFESSIONALIZMOM BOJCOW, WOORUVENIQMI I T. D.) 3) SKOROSTX@ POSTUPLENIQ PODKREPLENIJ, KOTORAQ S^ITAETSQ NEKOTOROJ ZADANNOJ FUNKCIEJ WREMENI. pRI \TIH PREDPOLOVENIQH DLQ N1 (t), N2 (t) POLU^AEM SISTEMU URAWNENIJ dN1 = ; (t) N ; (t) N + (t) 1 1 2 2 1 dt (12) dN2 = ; (t) N ; (t) N + (t) 2 2 1 1 2 dt IZ KOTOROJ PRI ZADANNYH FUNKCIQH i , i , i , i = 1 2, I NA^ALXNYH ZNA^ENIQH N1 (0), N2 (0) ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ REENIE W L@BOJ MOMENT WREMENI t > 0. w (12) KO\FFICIENTY 1 2(t) > 0 HARAKTERIZU@T SKOROSTI POTERX W SILU OBY^NYH (NE BOEWYH) PRI^IN, 1 2(t) > 0 | TEMPY POTERX IZ-ZA DEJSTWIJ SOPERNIKA, 1 2 > 0 | SKOROSTI POSTUPLENIQ PODKREPLENIJ. wOJNA MEVDU REGULQRNYMI I PARTIZANSKIMI ^ASTQMI OPISYWAETSQ DRUGOJ MODELX@. gLAWNOE OTLI^IE W TOM, ^TO NEREGULQRNYE SOEDINENIQ W SRAWNENII S ARMEJSKIMI MENEE UQZWIMY, TAK KAK DEJSTWU@T SKRYTNO, ZA^ASTU@ OSTAWAQSX NEWIDIMYMI DLQ SOPERNIKA, WYNUVDENNOGO DEJSTWOWATX NEIZBIRATELXNO, PO PLO]ADQM, ZANIMAEMYM PARTIZANAMI. pO\TOMU S^ITAETSQ, ^TO TEMP POTERX PARTIZAN, PROWODQ]IH SWOI OPERACII W RAZNYH MESTAH NA NEKOTOROJ IZWESTNOJ TERRITORII, PROPORCIONALEN NE TOLXKO ^ISLENNOSTI ARMEJSKIH SOEDINENIJ N1 (t), NO I ^ISLENNOSTI SAMIH PARTIZAN N2 (t), T. E. OPREDELQETSQ ^LENOM WIDA 1 (t) N1 N2 . w REZULXTATE MODELX STANOWITSQ NELINEJNOJ: dN1 = ; (t) N ; (t) N + (t) 1 1 2 2 1 dt (13) dN2 = ; (t) N ; (t) N N + (t): 2 2 1 1 2 2 dt w (13) WSE WELI^INY IME@T TOT VE SMYSL, ^TO I W (12). iZU^IM MODELI (12), (13) (MODELI lAN^ESTERA ) W ^ASTNOM SLU^AE: 1 = 2 = 0 (STORONY NE POLU^A@T PODKREPLENIJ I KAK BY PREDOSTAWLENY SAMIM SEBE) 1 = const, 2 = const 1 = const, 2 = const (POSLEDNEE OZNA^AET, W ^ASTNOSTI, ^TO U PROTIWNIKOW WSEGDA NAJDETSQ DOSTATO^NOE KOLI^ESTWO WOORUVENIJ, KOTOROE MOVET ISPOLXZOWATXSQ GODNYMI K NESENI@ SLUVBY BOJCAMI).
x 3]
nekotorye modeli soperni~estwa
177
mODELX (12) STANOWITSQ AWTONOMNOJ I PRINIMAET WID
dN1 = ; N ; N 1 1 2 2 dt (14) dN2 = ; N ; N : 2 2 1 1 dt iZ URAWNENIJ (14) WIDNO, ^TO W DANNOM SLU^AE ^ISLENNOSTI STORON S TE^ENIEM WREMENI MOGUT TOLXKO UBYWATX. kAKOW WREMENNOJ HARAKTER \TOGO PROCESSA I KAKAQ STORONA POTERPIT PORAVENIE? ~TOBY WYQSNITX \TOT WOPROS, WWEDEM E]E ODNO UPRO]ENIE (WPOLNE OPRAWDANNOE DLQ KRATKOSRO^NYH KAMPANIJ): POLOVIM 1 = 2 = 0. dRUGIMI SLOWAMI, POTERI STORON OPREDELQ@TSQ LIX DEJSTWIQMI PROTIWNIKA. sISTEMA (14) UPRO]AETSQ: dN1 = ; N dN2 = ; N (15) 2 2 1 1 dt dt
I LEGKO NAHODITSQ EE INTEGRAL 1 N12(t) ; 2 N22 (t) = 1 N12(0) ; 2 N22(0) = C: (16) iZ (16) ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ POBEDITELX (RIS. 60). pRI C > > 0 POBEVDAET PERWAQ ARMIQ, PRI C < 0 | WTORAQ, W SLU^AE C = = 0 STORONY UNI^TOVA@T DRUG DRUGA ODNOWREMENNO, I POBEDITELQ NET. sMYSL \TIH REZULXTATOW WPOLNE QSEN IZ WIDA KONSTANTY W (16). dLQ POBEDY WAVNA NE TOLXKO ^ISLENNOSTX STORON W NA^ALE BOEWYH DEJSTWIJ (N1 (0), N2 (0)), NO I IH WYU^KA, KA^ESTWO IH WOORUVENIJ I T. D. (T. E. KO\FFICIENTY 1 , 2 ). tAK, ESLI C > 0, TO IZ (16) SLEDUET 1 N12(0) > 2 N22(0)
I DLQ DOSTIVENIQ POBEDY WTOROJ STORONE SLEDUET LIBO UWELI^ITX NArIS. 60 ^ALXNU@ ^ISLENNOSTX, LIBO ULU^ITX KA^ESTWO BOEWYH DEJSTWIJ, LIBO TO I DRUGOE ODNOWREMENNO. zAMETIM, ^TO \FFEKT OT UWELI^ENIQ KO\FFICIENTA 2 MENXE, ^EM OT TAKOGO VE UWELI^ENIQ ^ISLA N2 (0), KOTOROE WHODIT W POSLEDNEE NERAWENSTWO (TAK NAZYWAEMYJ KWADRATI^NYJ ZAKON BOEWYH DEJSTWIJ ) WO WTOROJ STEPENI. dIFFERENCIRUQ PERWOE IZ URAWNENIJ (15) I PRINIMAQ WO WNIMANIE WTOROE, POLU^AEM URAWNENIE DLQ N1 (t) d2 N 1 = N : 1 2 1 dt2
12 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
(17)
178
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
iZ (17) S U^ETOM NA^ALXNYH USLOWIJ N1 (t = 0) = N1 (0) I dN1=dt (t = = 0) = ; 2 N2 (0) NAHODIM ^ISLENNOSTX PERWOJ ARMII KAK FUNKCI@ WREMENI: p p p N1 (t) = N1 (0) ch 1 2 t ; ( 2 = 1 ) N2 (0) sh 1 2 t (18) ZNAQ KOTORU@, NETRUDNO NAJTI I FUNKCI@ N2 (t) (UPR. 7). rASSMOTRIM TEPERX DEJSTWIQ REGULQRNOJ ARMII PROTIW PARTIZAN W TEH VE UPRO]A@]IH PREDPOLOVENIQH, ^TO I W PREDYDU]EM SLU^AE. mODELX (13) PRIOBRETAET WID
dN1 = ; N dN2 = ; N N : (19) 2 2 1 1 2 dt dt ~ISLENNOSTI STORON, KAK I PREVDE, UBYWA@T SO WREMENEM, NO PO DRUGOMU ZAKONU. uMNOVIM PERWOE URAWNENIE (19) NA 1 N1 , WTOROE | NA 2 I WY^TEM WTOROE POLU^IWEESQ URAWNENIE IZ PERWOGO. w ITOGE
PRIDEM K URAWNENI@
IME@]EMU INTEGRAL
d 1 N 2(t) ; N (t) = 0 2 2 dt 2 1
1 N 2 (t) ; N (t) = 1 N 2 (0) ; N (0) = C : (20) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 iZU^IM FAZOWYE TRAEKTORII SISTEMY (19) S POMO]X@ INTEGRALA (20). iZ RIS. 61. WIDNO, ^TO PRI C1 > 0 POBEVDAET ARMIQ, PRI C1 <
rIS. 61
< 0 | PARTIZANY, A PRI C1 = 0 POBEDITELQ NET. tAK VE, KAK I PRI DEJSTWII REGULQRNYH ^ASTEJ, POBEDA OBESPE^IWAETSQ NE TOLXKO NA^ALXNOJ ^ISLENNOSTX@, NO I BOEWOJ WYU^KOJ I KA^ESTWOM ORUVIQ. pUSTX, NAPRIMER, C1 > 0, T. E. 1 N 2(0) > N (0): (21) 2 2 2 1
x 3]
nekotorye modeli soperni~estwa
179
tOGDA PARTIZANAM NEOBHODIMO OBESPE^ITX UWELI^ENIE KO\FFICIENTA 2 I POWYSITX SWO@ NA^ALXNU@ ^ISLENNOSTX N2 (0) NA SOOTWETSTWU@]U@ WELI^INU, INA^E ONI OBRE^ENY NA PORAVENIE. pRI^EM \TO UWELI^ENIE S ROSTOM WELI^INY N1 (0) DOLVNO RASTI NE LINEJNO, A PROPORCIONALXNO WTOROJ STEPENI N1 (0) (PARABOLI^ESKIJ ZAKON BOEWYH DEJSTWIJ ). mOVNO SKAZATX, ^TO W NEKOTOROM SMYSLE REGULQRNYE SOEDINENIQ NAHODQTSQ W BOLEE WYGODNOM POLOVENII, POSKOLXKU NERAWENSTWO (21) DLQ NIH DOSTIGAETSQ PRI MENXEM ROSTE NA^ALXNOJ ^ISLENNOSTI, ^EM PROTIWOPOLOVNOE (21) NERAWENSTWO DLQ ^ISLENNOSTI PARTIZAN. pOWEDENIE FUNKCIJ N1 (t), N2 (t) WO WREMENI NAHODITSQ IZ (19) S ISPOLXZOWANIEM INTEGRALA (20). tAK, DLQ N1 (t) IMEEM dN1 = C ; 1 N 2 1 2 1 dt
^TO \KWIWALENTNO URAWNENI@
dN1 C1 ; 1 N12=2 = dt:
(22)
iNTEGRIRUQ (22), NETRUDNO NAJTI N1 (t) I ZATEM N2 (t) KAK NEQWNYE FUNKCII WREMENI (UPR. 7). w ZAKL@^ENIE OTMETIM, ^TO RASSMOTRENNYE ZDESX PROSTEJIE MODELI SOPERNI^ESTWA SOOTWETSTWU@T SISTEMAM OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ WTOROGO PORQDKA (W OB]EM SLU^AE NEAWTONOMNYH I NELINEJNYH), IROKO RASPROSTRANENNYM PRI OPISANII MNOGIH ESTESTWENNONAU^NYH OB_EKTOW. |TO ZAKONOMERNO, TAK KAK ISPOLXZOWANNYE PRI POSTROENII PODHODY (NASY]ENIE, PROPORCIONALXNOSTX TEMPOW ROSTA WELI^INY ZNA^ENI@ \TOJ WELI^INY I DR.) ANALOGI^NY PODHODAM, PRIMENQEMYM W MEHANIKE, FIZIKE, HIMII. upravneniq 1. pOKAVITE, LINEARIZUQ SISTEMU (1) W OKRESTNOSTI RAWNOWESIQ (3), ^TO SOOTWETSTWU@]AQ EMU OSOBAQ TO^KA QWLQETSQ CENTROM. 2. wY^ISLITE PERIOD KOLEBANIJ W SISTEME HI]NIK|VERTWA W ZAWISIMOSTI OT EE HARAKTERISTIK (, , c, d) I NA^ALXNOGO SOSTOQNIQ. 3. uBEDITESX, LINEARIZUQ SISTEMU URAWNENIJ, SOSTOQ]U@ IZ URAWNENIQ (6) I WTOROGO URAWNENIQ (1), W TOM, ^TO DLQ NEE TO^KA RAWNOWESIQ | USTOJ^IWYJ FOKUS. 4. pOKAVITE, ^TO TO^KA RAWNOWESIQ (9) | USTOJ^IWYJ UZEL. 5. pOLU^ITE OCENKU DLQ WREMENI PRIHODA SISTEMY (8) W RAWNOWESIE S TO^NOSTX@ DO 1% W ZAWISIMOSTIOT EE HARAKTERISTIK I WELI^INY NA^ALXNOGO OTKLONENIQ. 6. uSTANOWITE HARAKTER KRIWIZNY FAZOWYH TRAEKTORIJ NA RIS. 60. 7. nAJDITE FUNKCI@ N2 (t), ISPOLXZUQ LIBO URAWNENIE (15), LIBO INTEGRAL (16), I SRAWNITE EE S FUNKCIEJ N1 (t) IZ (18). uBEDITESX W TOM, ^TO WYWODY, SDELANNYE NA OSNOWE ANALIZA INTEGRALA (16), PRAWILXNY (T. E. ^TO PRI C > 0 POBEVDAET PERWAQ STORONA, PRI C < 0 | WTORAQ). 8. nAJDITE REENIEURAWNENIQ (22) I OPREDELITEMOMENT, KOGDA FUNKCIQ N1 (t) OBRA]AETSQ W NULX (PRI \TOM, ESTESTWENNO, C1 < 0). uSTANOWITE HARAKTER KRIWIZNY FAZOWYH TRAEKTORIJ NA RIS. 61. 12
180
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
x 4. dINAMIKA RASPREDELENIQ WLASTI W IERARHII pOSTROIM I IZU^IM MAKROMODELX, OPISYWA@]U@ NEKOTORYE KL@^EWYE WZAIMODEJSTWIQ W SISTEME GOSUDARSTWENNAQ WLASTX|GRAVDANSKOE OB]ESTWO. rASSMOTRIM WLIQNIE REAKCII GRAVDANSKOGO OB]ESTWA I DRUGIH HARAKTERISTIK SISTEMY NA DINAMIKU RASPREDELENIQ WLASTI WNUTRI IERARHII, A TAKVE NEKOTORYE SWOJSTWA \TIH RASPREDELENIJ. 1. oB]AQ POSTANOWKA ZADA^I I TERMINOLOGIQ. iZU^ENIE STRUKTUR WLASTI | ODNA IZ GLAWNYH ZADA^ NAUK OB OB]ESTWE, PREVDE WSEGO POLITOLOGII. pONQTIE WLASTX TAINSTWENNO, MNOGOZNA^NO, S TRUDOM PODDAETSQ FORMALIZACII I KOLI^ESTWENNOMU IZMERENI@. eSTESTWENNO PO\TOMU, ^TO MATEMATI^ESKIE MODELI POLITOLOGII NOSQT W OSNOWNOM OPISATELXNYJ, FENOMENOLOGI^ESKIJ HARAKTER I PRIMENQ@TSQ K OTNOSITELXNO UZKOMU KRUGU PROBLEM MONITORINGA: STATISTI^ESKAQ OBRABOTKA \LEKTORALXNYH OVIDANIJ I REZULXTATOW WYBOROW, OPREDELENIE REJTINGOW RAZLI^NYH POLITI^ESKIH SIL, PROGNOZY GRQDU]IH PARLAMENTSKIH GOLOSOWANIJ NA OSNOWE UVE SOSTOQWIHSQ I T. D. pOSTROENIE MATEMATI^ESKIH MODELEJ OB]EJ POLITOLOGII RAZUMNO NA^INATX S IZU^ENIQ IMENNO GOSUDARSTWENNYH IERARHIJ KAK OBLADA@]IH WLASTX@ NA OFICIALXNYH, T. E. LEGKO FORMALIZUEMYH OSNOWANIQH. w \TOM SOSTOIT WAVNOE OTLI^IE GOSUDARSTWENNOJ WLASTI OT WLASTI NEZAWISIMYH SREDSTW MASSOWOJ INFORMACII (smi), INTELLEKTUALXNYH I NRAWSTWENNYH AWTORITETOW I DRUGIH WIDOW WLASTI. pOD IERARHIEJ, ILI IERAHI^ESKOJ STRUKTUROJ, PONIMAETSQ UPORQDO^ENNAQ PO STARINSTWU SOWOKUPNOSTX INSTITUTOW (INSTANCIJ, DOLVNOSTEJ, POSTOW, ^INOW I T. P.), NADELENNYH WLASTNYMI POLNOMO^IQMI OT IMENI GOSUDARSTWA (T. E. PO kONSTITUCII, ZAKONAM, USTAWAM, POSTANOWLENIQM, PRAWILAM, INSTRUKCIQM I T. P.). iME@TSQ W WIDU NE TOLXKO OB]EGOSUDARSTWENNYE U^REVDENIQ, NAPRIMER, FEDERALXNYE MINISTERSTWA, NO TAKVE MEVREGIONALXNYE, REGIONALXNYE I MESTNYE ORGANY, OFICIALXNO IME@]IE SOOTWETSTWU@]U@ WLASTX. sLOWO IERARHI^ESKAQ POD^ERKIWAET, ^TO WNUTRI STRUKTURY ZARANEE I ^ETKO OPREDELEN PORQDOK POD^INENNOSTI. kAVDOE EE ZWENO (KROME WYSEGO) IMEET STARIE, PRIKAZYWA@]IE INSTANCII I (ZA ISKL@^ENIEM NIZEGO ZWENA) MLADIE INSTANCII, WYPOLNQ@]IE PRIKAZY, ISHODQ]IE KAK OT DANNOJ INSTANCII, TAK I OT DRUGIH STARIH ZWENXEW. rAZUMEETSQ, PRIKAZY IDUT TOLXKO OT STARIH K MLADIM. gRAVDANSKOE OB]ESTWO | \TO ^ASTX OB]ESTWA, NEPOSREDSTWENNO NE OBLADA@]AQ GOSUDARSTWENNOJ WLASTX@. k NEMU OTNOSQTSQ GRAVDANE (W TOM ^ISLE GOSUDARSTWENNYE ^INOWNIKI, DEJSTWU@]IE WNE RAMOK SWOIH SLUVEBNYH OBQZANNOSTEJ) I RAZLI^NYE IH OB_EDINENIQ (POLITI^ESKIE, KULXTURNYE, PROFESSIONALXNYE), SEMXI I ^ASTNYE PREDPRIQTIQ I T. D. o^EWIDNO, ^TO ^LENY GRAVDANSKOGO OB]ESTWA NE MOGUT PRIKAZYWATX OT IMENI GOSUDARSTWA NI DRUG DRUGU, NI KAKIM-LIBO ZWENXQM WLASTNOJ STRUKTURY. nAPRIMER, NEGOSUDARSTWENNAQ KORPORACIQ, KAKOJ BY KRUPNOJ ONA NI BYLA, NE WPRAWE OFICIALXNO PRINUVDATX NIKAKOE ^ASTNOE LICO K TOMU ILI INOMU POWEDENI@. w TO VE WREMQ L@BAQ INSTANCIQ IMEET TAKU@ WOZMOVNOSTX PO OTNOENI@ K OPREDELENNOJ ^A-
x 4]
dinamika raspredeleniq wlasti w ierarhii
181
STI GRAVDANSKOGO OB]ESTWA, A NEKOTORYE | PO OTNOENI@ KO WSEMU OB]ESTWU. zAMETIM, ^TO ODNO I TO VE FIZI^ESKOE LICO MOVET ODNOWREMENNO KAK PRINADLEVATX KO WLASTNOJ STRUKTURE, TAK I BYTX ^LENOM GRAVDANSKOGO OB]ESTWA. rEAKCIQ OB]ESTWA | OTWET (POLOVITELXNYJ, OTRICATELXNYJ ILI BEZRAZLI^NYJ) GRAVDANSKOGO OB]ESTWA NA DEJSTWIQ TOGO ILI INOGO INSTITUTA WLASTI (S POMO]X@ WYBOROW, REFERENDUMOW, PLEBISCITOW, ^EREZ smi, OPROSY OB]ESTWENNOGO MNENIQ, MITINGI, ZABASTOWKII T. D.). w MODELX WWODITSQ TAKVE PONQTIE REAKCIQ IERARHII, SMYSL KOTOROGO, KAK I SMYSL TERMINA RASPREDELENIE WLASTI I DRUGIE TERMINOLOGI^ESKIE UTO^NENIQ, RAZ_QSNQETSQ NIVE.
rIS. 62
iERARHI^ESKAQ STRUKTURA SOSTOIT IZ N + 1 INSTANCII (RIS. 62), KAVDOJ IZ NIH PRIPISAN NOMER i (0 6 i 6 N). wYSAQ INSTANCIQ IMEET NOMER 0, NIZAQ | NOMER N. sTRELKA 4 OBOZNA^AET NAPRAWLENIE POD^INENNOSTI W STRUKTURE SWERHU WNIZ (ILI SLEWA NAPRAWO), T. E. NAPRAWLENIE DWIVENIQ WLASTNYH RASPORQVENIJ (PRIKAZOW), PEREDAWAEMYH PO IERARHI^ESKOJ LESTNICE. kONE^NO VE, DLQ L@BOJ KONKRETNOJ I DOSTATO^NO PROTQVENNOJ IERARHI^ESKOJ STRUKTURY (TEM BOLEE W MASTABAH GOSUDARSTWA, PUSTX NEBOLXOGO) OPREDELITX RASPOLOVENIE WSEH SOSTAWLQ@]IH EE INSTANCIJ W PORQDKE POD^INENNOSTI | O^ENX SLOVNAQ I TRUDOEMKAQ ZADA^A. w TOM ^ISLE I POTOMU, ^TO WLASTNYE ORGANY IME@T W REALXNOSTI DRE-
182
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
WESNOE STROENIE, MOGUT PRINADLEVATX RAZNYM WEDOMSTWAM, BYTX KAK PERSONIFICIROWANNYMI, TAK I KOLLEGIALXNYMI I T. D. pONQTIE POD^INENNOSTX IMEET PO\TOMU USLOWNYJ OSREDNENNYJ SMYSL. oDNAKO DLQ POSTROENIQ MATEMATI^ESKOJ MODELI I ANALIZA FUNDAMENTALXNYH SWOJSTW WLASTNYH STRUKTUR DOSTATO^NO TOGO, ^TO \TA ZADA^A MOVET BYTX REENA W PRINCIPE, WPRO^EM, NA OSNOWE NEKOTORYH KOLI^ESTWENNYH KRITERIEW. dLQ PROQSNENIQ \TOGO WOPROSA NEOBHODIMO UTO^NITX RAZLI^NYE PONIMANIQ SLOWA WLASTX. oNO ^ASTO UPOTREBLQETSQ W SMYSLE ORGANY WLASTI (wERHOWNYJ sUD, GORODSKAQ DUMA, MESTNOE OTDELENIE MILICIII T. P.). rAWNOCENNOJ ZAMENOJ DANNOGO PONQTIQ SLUVAT TERMINY INSTANCII, IERARHI^ESKAQ STRUKTURA, IERARHIQ. dRUGOE WAVNOE ZNA^ENIE \TOGO SLOWA OPISYWAETSQ TERMINOM WLASTNYE POLNOMO^IQ. s^ITAETSQ, ^TO WLASTNYE POLNOMO^IQ L@BOJ INSTANCII MOGUT BYTX, WOOB]E GOWORQ, OPREDELENY S POMO]X@ NEKOTOROGO SOWOKUPNOGO KOLI^ESTWENNOGO KRITERIQ, WKL@^A@]EGO W SEBQ NOMINALXNOE (FORMALXNOE) POLOVENIE INSTANCII W STRUKTURE, OB_EM NAHODQ]IHSQ W EE RASPORQVENII L@DSKIH, FINANSOWYH, MATERIALXNYH, INFORMACIONNYH, INTELLEKTUALXNYH, ZAKONODATELXNYH, RASPORQDITELXNYH I INYH WIDOW RESURSOW, RAZMER I MESTOPOLOVENIE KONTROLIRUEMOJ TERRITORII, PRESTIVNOSTX W GLAZAH OB]ESTWENNOGO MNENIQ I \KSPERTOW I T. D. w UKAZANNOM PONIMANII SLOWO WLASTX OZNA^AET WOZMOVNYJ UROWENX (STEPENX, SILU) WLIQNIQ DANNOGO WLASTNOGO INSTITUTA NA POWEDENIE DRUGIH INSTANCIJ I NA VIZNX GRAVDANSKOGO OB]ESTWA. iNSTANCII, IME@]EJ BOLXIE WLASTNYE POLNOMO^IQ, OTWODITSQ, ESTESTWENNO, BOLEE WYSOKOE MESTO (MENXIJ NOMER) W IERARHII PO SRAWNENI@ S INSTANCIEJ, IME@]EJ MENXIE POLNOMO^IQ. pRI \TOM DLQ RASSMOTRENIQ OB]IH WOPROSOW NET NEOBHODIMOSTI WWODITX KAKIE-LIBO ABSOL@TNYE EDINICY IZMERENIQ WLASTI DOSTATO^NO PRINQTX WLASTNYE POLNOMO^IQ WYSEJ INSTANCII ZA EDINICU (ILI ZA 100%), TOGDA POLNOMO^IQ L@BOJ DRUGOJ INSTANCII BUDUT WYRAVATXSQ W DOLQH (ILI PROCENTAH) PO OTNOENI@ K WYSEMU INSTITUTU. dALXNEJEE UTO^NENIE TERMINA WLASTNYE POLNOMO^IQ SWQZANO S PONQTIQMI MAKSIMALXNYE POLNOMO^IQ I MINIMALXNYE POLNOMO^IQ. pERWOE OPISYWAET TE DEJSTWIQ, KOTORYE ORGAN WLASTI MOVET WYPOLNITX MAKSIMALXNO W NEKOTOROJ SITUACII W SOOTWETSTWII S ZAKONODATELXSTWOM. nAPRIMER, GUBERNATOR IMEET PRAWO, PRI IZWESTNYH OBSTOQTELXSTWAH, OB_QWITX ^REZWY^AJNOE POLOVENIE NA KONTROLIRUEMOJ IM TERRITORII, NO NIKAK NE PRAWOMO^EN REATX WOPROSY WOJNY I MIRA. mINIMALXNYE POLNOMO^IQ OPISYWA@T DEJSTWIQ, KOTORYE WLASTX OBQZANA PREDPRINIMATX WSEGDA (pREZIDENT OBQZAN PREDSTAWLQTX EVEGODNOE B@DVETNOE POSLANIE W kONGRESS). oBA \TI PONQTIQ HOROO ILL@STRIRU@TSQ, NAPRIMER, STATXQMI uGOLOWNOGO KODEKSA, OPREDELQ@]IMI ZA ODIN I TOT VE WID PRESTUPLENIQ MAKSIMALXNYE I MINIMALXNYE SROKI NAKAZANIQ. dRUGIMI SLOWAMI, MAKSIMALXNYE I MINIMALXNYE POLNOMO^IQ DA@T ZAKONNYE WERHNIE I NIVNIE GRANICY WLASTI KAVDOJ INSTANCII. zAMETIM, ^TO GRANICY WLASTI MOGUT, KAK IZWESTNO IZ PRAKTIKI MNOGIH GOSUDARSTW, OPREDELQTXSQ NE TOLXKO ZAKONODATELXSTWOM, NO TAK-
x 4]
dinamika raspredeleniq wlasti w ierarhii
183
VE TRADICIQMI I SISTEMOJ PRECEDENTOW. oDNAKO DLQ KRATKOSTI WS@DU DALXE RE^X BUDET IDTI O ZAKONODATELXNO USTANOWLENNYH POLNOMO^IQH. w MATEMATI^ESKOJ MODELI MAKSIMALXNYE WLASTNYE POLNOMO^IQ ZADA@TSQ NEKOTOROJ POLOVITELXNOJ FUNKCIEJ p2 (i t), 0 6 i 6 N (KRUVO^KI NA RIS. 62), MONOTONNO UBYWA@]EJ S ROSTOM NOMERA i, T. E. W L@BOJ MOMENT WREMENI t SPRAWEDLIWO p2(i + 1 t) < p2 (i t) < p2 (i ; ; 1 t), 1 6 i 6 N ; 1. mINIMALXNYE POLNOMO^IQ ZADA@TSQ POLOVITELXNOJ FUNKCIEJ p1 (i t), 0 6 i 6 N (KRESTIKI NA RIS. 62), TAKVE MONOTONNO UBYWA@]EJ S ROSTOM i, T. E. p1 (i + 1 t) < p1 (i t) < p1 (i ; ; 1 t), 1 6 i 6 N ; 1 (RAZUMEETSQ, WSEGDA p1 (i t) < p2 (i t), 0 6 i 6 N). oBE FUNKCII, WOOB]E GOWORQ, ZAWISQT OT WREMENI t, POSKOLXKU SO WREMENEM MOGUT IZMENQTXSQ ZAKONODATELXSTWO, TERRITORIALXNOE DELENIE I T. P. ~ISTO UMOZRITELXNYE SITUACII, KOGDA W ZAKONODATELXSTWE ZAPISANO WLASTX MOVET DELATX WSE ILI WLASTX NE OBQZANA DELATX ^TOLIBO, ESTESTWENNO, NE RASSMATRIWA@TSQ, T. E. GRANICY WLASTI (HOTQ BY FORMALXNO) WSEGDA OPREDELENY, I WMESTE S NIMI OPREDELENY FUNKCII p1, p2. pOD^ERKNEM E]E RAZ: DLQ RASSMATRIWAEMOJ TAKIM OBRAZOM (W AGREGIROWANNOJ OBOB]ENNOJ MANERE) IERARHI^ESKOJ STRUKTURY POLOVENIE L@BOJ INSTANCII OPREDELQETSQ NE TOLXKO EE NOMINALXNYM MESTOM, NO I WSEMI OTNOSQ]IMISQ K DELU (I ZA^ASTU@ BOLEE WESOMYMI) FAKTORAMI. tAKIM OBRAZOM, NOMER INSTANCII, OTWE^A@]IJ NEKOTOROMU SREDNEMU ^INOWNIKU IZ WLASTNOGO DREWA, NE FORMALXNAQ KOORDINATA, A KOORDINATA PO SU]ESTWU. pRIWEDENNYM WYE RASSUVDENIQM O WLASTNYH POLNOMO^IQH I O SPOSOBE RASSTANOWKI INSTANCIJ W PORQDKE POD^INENNOSTI NETRUDNO PRIDATX BOLEE PODROBNU@ I STROGU@ MATEMATI^ESKU@ FORMU (MIKROOPISANIE), ODNAKO DLQ IZU^ENIQ PRINCIPIALXNYH SWOJSTW SISTEMY WLASTX|OB]ESTWO \TO NE IMEET REA@]EGO ZNA^ENIQ. nAKONEC, E]E ODNO ISPOLXZUEMOE W MODELI PONIMANIE SLOWA WLASTX SWQZANO S FAKTI^ESKI OSU]ESTWLQEMYM W DANNYJ MOMENT DANNOJ INSTANCIEJ UROWNEM WLASTNOGO WLIQNIQ (ILI WELI^INOJ WLASTI ). dEJSTWITELXNO, WLASTNYE POLNOMO^IQ OPREDELQ@T LIX WERHNIE I NIVNIE ZAKONNYE GRANICY UROWNQ ILI WELI^INY WLASTI (W \TOM SMYSLE MOVNO PONIMATX IZWESTNOE WYRAVENIE OB_EM WLASTNYH POLNOMO^IJ). |TI GRANICY, WOOB]E GOWORQ, DOSTIGA@TSQ NE WSEGDA I NE WS@DU. pUSTX, NAPRIMER, PO NEKOTOROJ STATXE uGOLOWNOGO KODEKSA, PREDUSMATRIWA@]EJ OT TREH DO PQTI LET LIENIQ SWOBODY, SUDY ZA NEKOTOROE WREMQ WYNESLI DOSTATO^NO MNOGO PRIGOWOROW SO SREDNIM SROKOM ^ETYRE GODA. tOGDA REALIZOWANNAQ IMI PO DANNOJ STATXE WLASTX SOSTAWILA 80% OT IH MAKSIMALXNYH I 133% OT IH MINIMALXNYH POLNOMO^IJ. w MATEMATI^ESKOJ MODELI FAKTI^ESKI DOSTIGAEMOJ WLASTI OTWE^AET NEOTRICATELXNAQ FUNKCIQ p(i t), 0 6 t 6 N, ZAWISQ]AQ OT PROSTRANSTWENNOJ KOORDINATY i I WREMENI t (ZWEZDO^KI NA RIS. 62). eSLI DLQ KAKIH-TO ZNA^ENIJ i, t WYPOLNQETSQ p(i t) > p2(i t) (ILI p(i t) < < p1 (i t)), TO ESTESTWENNO GOWORITX O WYHODE WLASTI ZA RAMKI POLNOMO^IJ, ILI O PREWYENII (PRINIVENII ) WLASTI.
184
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
pRINCIPIALXNAQ RAZNICA MEVDU FUNKCIQMI p1 (i t), p2 (i t) I FUNKCIEJ p(i t) SOSTOIT W TOM, ^TO, W OTLI^IE OT IZWESTNYH, ZADANNYH (PUSTX I W SAMOM OB]EM WIDE) WLASTNYH POLNOMO^IJ p1 (i t), p2(i t), FUNKCIQ p(i t) | NEIZWESTNAQ, ISKOMAQ WELI^INA, OPISYWA@]AQ TEKU]EE RASPREDELENIE WLASTI W IERARHI^ESKOJ STRUKTURE. pOSTROENIE SOOTWETSTWU@]EJ MATEMATI^ESKOJ MODELI I IZU^ENIE PROSTRANSTWENNO-WREMENNOJ DINAMIKI IMENNO DLQ FUNKCII p(i t) (RASPREDELENIQ WLASTI) W ZAWISIMOSTI OT WSEH FAKTOROW, PRISUTSTWU@]IH W IZU^AEMOJ SISTEME, PRIWODITSQ NIVE. zAMETIM, ^TO PONQTIE REALXNOE RASPREDELENIE WLASTI OZNA^AET WWEDENIE W MODELX SLEDU@]EGO P R E D P O L OV E N I Q 1: WSE PARTNERY W SISTEME WLASTX|OB]ESTWO ZAKONOPOSLUNY: ZAKONY SOBL@DA@TSQ, NALOGI PLATQTSQ, PRIKAZY WYPOLNQ@TSQ (W PROTIWNOM SLU^AE FUNKCIQ p(i t) | WELI^INA WLASTI | STANOWITSQ WESXMA NEOPREDELENNOJ ILI WOWSE TERQET SMYSL ). tAKOJ PODHOD OT PROSTOGO K SLOVNOMU, T. E. POSTROENIE MODELI DLQ SILXNO IDEALIZIROWANNOJ SITUACII I DALXNEJEE EE USOWERENSTWOWANIE, QWLQETSQ TIPI^NYM (A ZA^ASTU@ I EDINSTWENNO WOZMOVNYM) PRI MATEMATI^ESKOM MODELIROWANII SLOVNYH OB_EKTOW. pRIWEDEM OB]EE OPISANIE WZAIMODEJSTWIJ W SISTEME WLASTX| OB]ESTWO. oNO SOSTOIT W SLEDU@]EM: A) GRAVDANSKOE OB]ESTWO NEPOSREDSTWENNO ILI ^EREZ SWOIH PREDSTAWITELEJ PRINIMAET (DOPOLNQET, IZMENQET) kONSTITUCI@ (STRELKA 1 NA RIS. 62). oNO, TAKIM OBRAZOM, WYSTUPAET KAK ISTO^NIK (ZAKAZ^IK, HOZQIN) WLASTI DLQ IERARHI^ESKOJ STRUKTURY, WZAIMODEJSTWUQ S NE@ S U^ETOM SU]ESTWU@]EGO ZAKONODATELXSTWA B) IERARHI^ESKAQ STRUKTURA SU]ESTWUET NE SAMA PO SEBE, A KAK OTKRYTAQ SISTEMA, WZAIMODEJSTWU@]AQ S kONSTITUCIEJ I GRAVDANSKIM OB]ESTWOM. kONSTITUCIQ (W IROKOM PONIMANII, WKL@^A@]EM ZAKONY, USTAWY I T. D.) SLUVIT DLQ IERARHII SWOEOBRAZNYM REZERWUAROM, IZ KOTOROGO EE ZWENXQ PO MERE NEOBHODIMOSTI MOGUT LIBO ^ERPATX DOPOLNITELXNYE PORCII WLASTI (STRELKA 2 ), LIBO WOZWRA]ATX OBRATNO EE IZBYTO^NYE DOLI (STRELKA 3 ). tAKIM OBRAZOM, MEVDU IERARHIEJ I kONSTITUCIEJ OSU]ESTWLQETSQ KAK BY OBMEN WLASTX@ I, W NEQWNOM WIDE, KAK BY OBMEN WLASTX@ (SWOBODOJ) MEVDU IERARHIEJ I GRAVDANSKIM OB]ESTWOM | U^REDITELEM kONSTITUCII W) WNUTRI SAMOJ IERARHI^ESKOJ STRUKTURY PROISHODIT PERERASPREDELENIE TEKU]EJ WLASTI MEVDU SOSTAWLQ@]IMI EE INSTANCIQMI (STRELKA 4 ) W SOOTWETSTWII S PRINQTYMI W IERARHII MEHANIZMAMI PEREDA^I WLASTNYH RASPORQVENIJ G) PO OTNOENI@ K GRAVDANSKOMU OB]ESTWU WLASTNYE STRUKTURY WYSTUPA@T KAK ZAPRE]A@]IE (STRELKA 5 ) ILI RAZREA@]IE (STRELKA 6 ) INSTITUTY, WWODQ]IE I OTMENQ@]IE TE ILI INYE UVESTO^ENIQ ILI POSLABLENIQ (TIPI^NYJ PRIMER | EVEGODNYJ PRIZYW W ARMI@ I DEMOBILIZACIQ, KOGDA ODNA ^ASTX NASELENIQ NA^INAET NESTI DOPOLNITELXNU@ POWINNOSTX, A DRUGAQ OT NEE OSWOBOVDAETSQ). oDIN IZ KL@^EWYH WOPROSOW DLQ OPISANIQ WZAIMODEJSTWIQ W SISTEME IERARHIQ|OB]ESTWO | OPREDELENIE WELI^INY OBMENA WLASTX@
x 4]
185 MEVDU IERARHI^ESKOJ STRUKTUROJ I kONSTITUCIEJ (I, OPOSREDOWANNO, W ITOGE MEVDU IERARHIEJ I OB]ESTWOM). wWODITSQ SLEDU@]EE P R E D P O L OV E N I E 2: ZNAK I WELI^INA OBMENA WLASTX@ MEVDU IERARHI^ESKOJ STRUKTUROJ I kONSTITUCIEJ OPREDEL@TSQ REAKCIEJ SISTEMY. pOD REAKCIEJ SISTEMY PODRAZUMEWAETSQ SUMMARNAQ REAKCIQ OBOIH PARTNEROW (IERARHII I OB]ESTWA) NA TEKU]EE RASPREDELENIE WLASTI p(i t) W STRUKTURE. nAPRIMER, PRIMENITELXNO K REAKCII OB]ESTWA IMEETSQ W WIDU, ^TO ESLI W DANNYJ MOMENT WREMENI ONO WYRAVAET SWOE OTRICANIE TEH ILI INYH DEJSTWIJ DANNOGO ZWENA IERARHII (SOPROTIWLENIE), TO \TO POBUVDAET INSTANCI@ UMENXITX OSU]ESTWLQEMU@ E@ WLASTX, KAK BY OTLOVIW PRO ZAPAS NEKOTOROE EE KOLI^ESTWO W KONSTITUCIONNYJ REZERWUAR (I UMENXITX ILI WOWSE IZBEVATX SOOTWETSTWU@]IH OTRICATELXNYH, S TO^KI ZRENIQ OB]ESTWA, POSLEDSTWIJ). pODHODQ]IJ PRIMER | TREBOWANIQ SMQG^ITX TE ILI INYE WIDY NALOGOW. pOLOVITELXNAQ VE REAKCIQ OB]ESTWA (T. E. EGO PODDERVKA) POBUVDAET INSTANCI@ UWELI^ITX UROWENX REALIZUEMOJ E@ WLASTI, WZQW NEOBHODIMYE RESURSY IZ ZAKONODATELXSTWA (PRIMER | TREBOWANIQ USILITX BORXBU S PRESTUPNOSTX@). kA^ESTWENNYJ HARAKTER REAKCII OB]ESTWA SWQZYWAETSQ S DOMINIRU@]IM W NEM TIPOM SOZNANIQ (PRAWOWOE, ANARHI^ESKOE, AWTORITARNOE, SMEANNOE). w RASSMATRIWAEMOJ MODELI REAKCIQ OB]ESTWA OPISYWAETSQ NEKOTOROJ ZADAWAEMOJ FUNKCIEJ FS (i t p p1 p2), ZAWISQ]EJ, WOOB]E GOWORQ, OT WSEH WWEDENNYH RANEE WELI^IN: NOMERA INSTANCII i WREMENI t UROWNQ WLASTI, OSU]ESTWLQEMOJ INSTANCIEJ p(i t) WLASTNYH POLNOMO^IJ p1(i t), p2 (i t). |TO DAET WOZMOVNOSTX DOSTATO^NO POLNO I TO^NO OTRAZITX STRUKTURIROWANNOE I MENQ@]EESQ WO WREMENI OTNOENIE OB]ESTWA K IERARHII. nAPRIMER, ESLI DLQ WSEH MYSLIMYH ZNA^ENIJ SWOIH ARGUMENTOW, T. E. W L@BOJ SITUACII IMEEM FS < 0 (FS > 0), TO W OB]ESTWE, O^EWIDNO, PREOBLADAET ANARHI^ESKOE (TOTALITARNOE) SOZNANIE. rEAKCIQ OB]ESTWA PREDSTAWLQETSQ WELI^INOJ, WPOLNE NABL@DAEMOJ I IZMERQEMOJ, I SLUVIT OSNOWNOJ EGO POWEDEN^ESKOJ HARAKTERISTIKOJ W NEKOTOROM OSREDNENNOM PO WSEM \LEMENTAM GRAVDANSKOGO OB]ESTWA SMYSLE. pRI \TOM PODRAZUMEWAETSQ, ^TO REAKCIQ WYRAVENA WOWREMQ, WERNO ISTOLKOWANA INSTANCIEJ I U^TENA E@ W SWOEJ DEQTELXNOSTI. aNALOGI^NYM OBRAZOM W MODELX WWODITSQ ODNA IZ POWEDEN^ESKIH HARAKTERISTIK WLASTNOJ STRUKTURY | REAKCIQ IERARHII. |TO PONQTIE HARAKTERIZUET STREMLENIE ZWENXEW IERARHII POWYSITX ILI PONIZITX UROWENX WLASTI, REALIZUEMYJ IMI W DANNYJ MOMENT WREMENI. eJ OTWE^AET ZADAWAEMAQ FUNKCIQ FH (i t p p1 p2), ZAWISQ]AQ OT TEH VE ARGUMENTOW, ^TO I FS , I IME@]AQ TOT VE SMYSL, NO UVE PRIMENITELXNO K IERARHII (EE MOVNO NAZWATX STEPENX@ WLASTOL@BIQ INSTANCIJ ). w DALXNEJEM DLQ PROSTOTY BUDEM S^ITATX FH 0, T. E. IERARHII BEZRAZLI^EN UROWENX OSU]ESTWLQEMOJ E@ WLASTI, I REAKCIQ SISTEMY F = FS + FH OPREDELQETSQ LIX GRAVDANSKOJ KOMPONENTOJ. dANNOE UPRO]ENIE NE MENQET ^ISTO MATEMATI^ESKIH SWOJSTW MODELI, POSKOLXKU FUNKCII FS , FH , F ZAWISQT OT ODNIH I TEH VE ARGUMENTOW. oDNAKO PRI INTERPRETACII REZULXTATOW, RAZUMEETSQ, NEOBHODIMO U^ITYWATX ROLX KAVDOJ SOSTAWLQ@]EJ FS , FH W SUMMARNOJ REAKCII F . dinamika raspredeleniq wlasti w ierarhii
186
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
w PRIWEDENNOM OB]EM OPISANII SISTEMA WLASTX|OB]ESTWO PREDSTAET KAK ZAMKNUTYJ SAMOSOGLASOWANNYJ I SAMOORGANIZU@]IJSQ OB_EKT S RAZLI^NYMI PRQMYMI I OBRATNYMI SWQZQMI. uROWENX WLASTI, OSU]ESTWLQEMOJ L@BOJ INSTANCIEJ IERARHII W L@BOJ MOMENT WREMENI, OTN@DX NE PROIZWOLEN, A QWLQETSQ REZULXTATOM SISTEMNOGO WZAIMODEJSTWIQ WSEH KOMPONENT OB_EKTA: IDU]IH PO IERARHI^ESKOJ LESTNICE WLASTNYH RASPORQVENIJ, REAKCII OB]ESTWA, DEJSTWU@]EGO ZAKONODATELXSTWA, NA^ALXNOGO SOSTOQNIQ SISTEMY I T. D. dLQ POLU^ENIQ NA OSNOWE \TOJ OB]EJ SHEMY MATEMATI^ESKOJ MODELI RASSMOTRIM PODROBNEE SOBSTWENNO WLASTNU@ STRUKTURU. 2. mEHANIZMY PERERASPREDELENIQ WLASTI WNUTRI IERARHI^ESKOJ STRUKTURY. wNUTRI IERARHII L@BAQ INSTANCIQ PRINIMAET K ISPOLNENI@ KAKIE-TO WLASTNYE RASPORQVENIQ, IDU]IE OT STARIH ZWENXEW, I W SWO@ O^EREDX PEREDAET KAKIE-TO PRIKAZY MLADIM ZWENXQM. pRI \TOM PROISHODIT NEKOTOROE PERERASPREDELENIE WLASTI MEVDU STUPENQMI IERARHII (NAPOMNIM, ^TO RE^X IDET NE O WLASTNYH POLNOMO^IQH, A O REALXNO OSU]ESTWLQEMOM, TEKU]EM UROWNE WLASTI | WELI^INE p(i t)). wWODITSQ OSNOWNOJ POWEDEN^ESKIJ P OS TU L AT: W IERARHII WLASTX MOVET PEREDAWATXSQ TOLXKO OT INSTANCIJ S BOLXEJ TEKU]EJ WLASTX@ K INSTANCIQM S MENXEJ TEKU]EJ WLASTX@ (PRI^EM SKOROSTX PEREDA^I TEM BOLXE, ^EM BOLXE RAZNICA MEVDU ZNA^ENIQMI TEKU]EJ WLASTI W INSTANCIQH ). rASSMATRIWA@TSQ DWA GLAWNYH MEHANIZMA, OTWETSTWENNYH ZA PERERASPREDELENIE WLASTI WNUTRI IERARHII. A) bLIZKODEJSTWIE. uSLOWNO GOWORQ, \TOT MEHANIZM MOVNO NAZWATX PEREDA^EJ WLASTI PO KOMANDE, KOGDA NA^ALXNIK OTDAET WLASTNOE RASPORQVENIE BLIVAJIM POD^INENNYM, KOTORYE TAKVE WZAIMODEJSTWU@T TOLXKO SO SWOIMI NEPOSREDSTWENNYMI POD^INENNYMI. dANNYJ MEHANIZM SOOTWETSTWUET HOROO IZWESTNOJ B@ROKRATI^ESKOJ PROCEDURE (SLOWO B@ROKRATI^ESKIJ I WSE DRUGIE PONQTIQ UPOTREBLQ@TSQ BEZ KAKIH-LIBO \MOCIONALXNYH OTTENKOW | KAK RABO^IJ TERMIN). pUSTX i-Q INSTANCIQ PEREDALA (i + 1)-J INSTANCII NEKIJ PRIKAZ (NAPRIMER, PORU^ILA PODGOTOWITX PROEKT GODOWOGO OT^ETA O FINANSOWOJ DEQTELXNOSTI ODNOGO IZ PODWEDOMSTWENNYH U^REVDENIJ). ~TO PROIZOLO W TAKOM \LEMENTARNOM AKTE WZAIMODEJSTWIQ MEVDU SOSEDQMI PO IERARHII? wMESTE S PRIKAZOM POD^INENNYJ POLU^IL NEKOTORU@ (PUSTX NEBOLXU@ I PUSTX WREMENNO) PORCI@ WLASTI, DOPOLNITELXNU@ K TOMU UROWN@ WLASTI, KOTORYJ ON REALXNO ZANIMAL (NAPRIMER, IMEQ PRIKAZ, ON W BOLXEJ STEPENI, ^EM RANXE, IZU^AET FINANSOWYE DOKUMENTY). s DRUGOJ STORONY, i-Q INSTANCIQ UTRATILA NEKOTORU@ ^ASTX OT SWOEJ TEKU]EJ WLASTI, PERELOVIW KONTROLX ZA DANNYM U^ASTKOM RABOTY NA (i + 1)-E ZWENO. sOWOKUPNOSTX PEREDAWAEMYH RASPORQVENIJ FORMIRUET SWOEGO RODA POTOK WLASTI, IDU]EJ OT i-J K (i + 1)-J INSTANCII. oPREDELIM POTOK WLASTI W(i t) KAK KOLI^ESTWO WLASTI, POLU^ENNOE W EDINICU WREMENI (i + 1)-J STUPENX@ OT i-J STUPENI. w SOOTWETSTWII c POSTULATOM WELI^INA W(i t) POLOVITELXNA PRI p(i t) > p(i + 1 t), OTRICATELXNA PRI p(i t) < p(i + 1 t) I RAWNA NUL@
x 4]
dinamika raspredeleniq wlasti w ierarhii
187
PRI p(i t) = p(i + 1 t). rASSMATRIWAETSQ WESXMA OB]EE WYRAVENIE DLQ W(i t): W(i t) = ;{ p(i t) ; p(i + 1 t) p(i t) p(i + 1 t) i i + 1 t]
p(i + 1 t) ; p(i t)] (1) GDE FUNKCIQ { POLOVITELXNA PRI WSEH ZNA^ENIQH ARGUMENTOW, OT KOTORYH ONA ZAWISIT. fORMULA (1) | KONKRETIZACIQ POSTULATA PRIMENITELXNO K RASSMATRIWAEMOMU MEHANIZMU BLIZKODEJSTWIQ. pOLOVITELXNOSTX FUNKCII { OBESPE^IWAET NUVNYJ ZNAK WELI^INY W(i t). w ^ASTNOSTI, ESLI W KAKOJ-TO MOMENT WREMENI t OKAZYWAETSQ, ^TO p(i + 1 t) > p(i t), T. E. MLADAQ INSTANCIQ IMEET WLASTX, BOLXU@, ^EM STARAQ, TO POTOK WLASTI AWTOMATI^ESKI SRABATYWAET W STORONU UMENXENIQ RAZNICY p(i t) ; p(i + 1 t), SPOSOBSTWUQ PREODOLENI@ \TOJ NENORMALXNOJ SITUACII (SWIDETELXSTWU@]EJ O NEBLAGOPOLU^II W DANNYH ZWENXQH IERARHII). pOTOK WLASTI RASTET S ROSTOM RAZNICY p(i t) ; p(i + 1 t), ^TO SOOTWETSTWUET WTOROJ ^ASTI POSTULATA (DLQ \TOGO TREBUETSQ NALOVITX SOOTWETSTWU@]EE OGRANI^ENIE NA { KAK FUNKCI@ OT p(i t) ; p(i + + 1 t)). |TO OZNA^AET, W ^ASTNOSTI, ^TO NA^ALXNIK (PRI PRO^IH RAWNYH USLOWIQH) DAET TEM BOLXE PORU^ENIJ POD^INENNOMU, ^EM MENXE TOT W DANNYJ MOMENT WREMENI ZAGRUVEN RABOTOJ. oB]NOSTX WYRAVENIQ (1) W TOM, ^TO DLQ POTOKA WLASTI PREDUSMOTRENA, POMIMO ZAWISIMOSTI OT RAZNICY p(i t) ; p(i + 1 t), TAKVE ZAWISIMOSTX OT WSEH WWEDENNYH RANEE WELI^IN: ZNA^ENIJ ISKOMOJ FUNKCII p(i + 1 t), p(i t) KOORDINAT i, i + 1 WREMENI t. zAWISIMOSTX OT t I i, i + 1 OZNA^AET TAKVE NEQWNU@ ZAWISIMOSTX OT ZADANNYH WLASTNYH POLNOMO^IJ p1, p2 I REAKCII OB]ESTWA F (WPRO^EM, \TU ZAWISIMOSTX NETRUDNO WWESTI I QWNYM OBRAZOM). oB]NOSTX ZAKL@^AETSQ TAKVE I W TOM, ^TO NA WSE \TI ZAWISIMOSTI NE NAKLADYWAETSQ NIKAKIH SU]ESTWENNYH OGRANI^ENIJ, KROME TREBOWANIQ, ^TOBY PRI p(i + 1 t) = p(i t) WYPOLNQLOSX W(i t) = 0. zAMETIM, ODNAKO, ^TO PO FORMULE (1) POTOK WLASTI OPREDELQETSQ TOLXKO WELI^INAMI, OTNOSQ]IMISQ K NEPOSREDSTWENNO WZAIMODEJSTWU@]IM (W DANNOM SLU^AE SOSEDNIM) INSTANCIQM. fUNKCIQ { IMEET OPREDELENNYJ B@ROKRATI^ESKIJ SMYSL, OPISYWAQ SWOJSTWA WLASTNOJ SREDY, NEKOTORYE ASPEKTY WZAIMOOTNOENIJ WNUTRI IERARHII. pUSTX, K PRIMERU, POTOK WLASTI W(i t) I WELI^INA p(i t) FIKSIROWANY, A { = {0 = const, T. E. FUNKCIQ { NE ZAWISIT OT WREMENI I DRUGIH WELI^IN. tOGDA PO FORMULE (1) POLU^AEM, ^TO S WOZRASTANIEM {0 RAZNICA p(i + 1 t) ; p(i t) KAK ABSOL@TNO, TAK I OTNOSITELXNO UMENXAETSQ. mOVNO SKAZATX, ^TO S ROSTOM {0 UMENXAETSQ OTWETSTWENNOSTX STAREJ INSTANCII, KOTORAQ WSE BOLEE TERPIMO OTNOSITSQ K WYRAWNIWANI@ SWOEJ WLASTI S WLASTX@ MLADEGO PARTNERA. s UMENXENIEM WELI^INY {0 SITUACIQ, ESTESTWENNO, OBRATNAQ. B) dALXNODEJSTWIE. oBRAZNOE OPISANIE \TOGO MEHANIZMA MOVET BYTX DANO IZWESTNYM WYRAVENIEM KOMANDA ^EREZ GOLOWU . |TO OZNA^AET, ^TO i-Q INSTANCIQ OTDAET WLASTNYE RASPORQVENIQ ZWENXQM S DALEKIMI NOMERAMI, MINUQ BLIVAJIH POD^INENNYH. k TAKOGO RODA DEJSTWIQM MOVNO OTNESTI, NAPRIMER, RASPORQVENIE O PEREHODE WOORUVENNYH SIL NA LETN@@ FORMU ODEVDY, DLQ REALIZACII KOTOROGO
188
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
FAKTI^ESKI NE TREBUETSQ PROCEDURA PEREDA^I PO KOMANDE, DOSTATO^NO OPUBLIKOWATX SOOTWETSTWU@]IJ PRIKAZ DLQ SWEDENIQ (I ISPOLNENIQ) SRAZU WSEH WOENNOSLUVA]IH. oBRAZU@]IJSQ BLAGODARQ MEHANIZMU DALXNODEJSTWIQ POTOK WLASTI (SMYSL TOT VE, ^TO I W SLU^AE A)), POLU^AEMYJ (i + 1)-J INSTANCIEJ OT j-GO ZWENA, MOVET BYTX WYRAVEN DOSTATO^NO OB]EJ FORMULOJ V (i + 1 j t) = (p(i + 1 t) p(j t) i + 1 j t) p(j t) ; p(i + 1 t)] (2) GDE FUNKCIQ > 0 W SOGLASII S POSTULATOM. pO SWOEMU SMYSLU POWEDEN^ESKAQ HARAKTERISTIKA BLIZKA K FUNKCII { , NO, WO-PERWYH, E@ OPISYWAETSQ WZAIMODEJSTWIE NE SOSEDNIH, A UDALENNYH DRUG OT DRUGA INSTANCIJ, T. E. j = 6 i + 2 i WO-WTORYH, WELI^INA MOVET OBRA]ATXSQ W NULX, T. E. PREDUSMOTRENA WOZMOVNOSTX OTSUTSTWIQ KOMAND ^EREZ GOLOWU MEVDU KAKIMI-LIBO STUPENQMI IERARHII. tAK VE, KAK I FUNKCIQ { , ONA ZAWISIT TOLXKO OT WELI^IN, OTNOSQ]IHSQ K NEPOSREDSTWENNO WZAIMODEJSTWU@]IM ZWENXQM. |TI ZAWISIMOSTI APRIORI NE PODWERGA@TSQ KAKIM-LIBO OGRANI^ENIQM (TREBUETSQ TOLXKO, ^TOBY V (i + 1 j t) = 0 PRI p(i + 1 t) = p(j t)) I MOGUT BYTX DOPOLNENY QWNOJ ZAWISIMOSTX@ OT DRUGIH WWEDENNYH RANEE WELI^IN. pOD^ERKNEM E]E RAZ, ^TO OBA RASSMOTRENNYH MEHANIZMA PREDSTAWLQ@T SOBOJ USREDNENIE, AGREGIROWANIE DETALXNOGO MIKROOPISANIQ WZAIMODEJSTWIJ WNUTRI IERARHI^ESKOJ STRUKTURY, IME@]EJ, KONE^NO VE, NE PROSTU@ KONFIGURACI@ CEPO^KI, A SKOREE TOPOLOGI@ BOLXOGO KOLI^ESTWA DEREWXEW SO WZAIMOPERESEKA@]IMISQ KRONAMI. sDELAEM E]E ODNO WAVNOE RAZ_QSNENIE. w MEHANIZMAH A) I B) WLASTNYE RASPORQVENIQ, PEREDAWAEMYE OT i-J (j-J) K (i + 1)-J INSTANCII, W NORMALXNOJ SITUACII (T. E. PRI p(i t) > p(i + 1 t) ILI p(j t) > p(i + + 1 t), j < i) NESUT S SOBOJ, SOGLASNO POSTULATU I EGO KONKRETIZACIQM (1), (2), NEKOTORU@ POLOVITELXNU@ PORCI@ WLASTI DLQ (i + 1)-J INSTANCII. eSLI VE IMEET MESTO UVE UPOMINAWIJSQ NENORMALXNYJ SLU^AJ, KOGDA p(i t) < p(i + 1 t) ILI p(j t) < p(i + 1 t), j < i, TO PO POSTULATU NEKOTORAQ DOLQ WLASTI PEREHODIT UVE OT MLADEGO K STAREMU ZWENU. |TO PREDPOLOVENIE ESTESTWENNO I OTWE^AET SUTI IERARHI^ESKOJ STRUKTURY (ESLI, KONE^NO, KONKRETNYJ NA^ALXNIK NE ZABLUVDAETSQ OTNOSITELXNO REALXNOGO UROWNQ SWOEJ WLASTI PO SRAWNENI@ S REALXNOJ WLASTX@ POD^INENNOGO). w TO VE WREMQ POSTULAT, OPISYWAQ SITUACI@ MLADIJ NE MOVET POLU^ITX PORCI@ WLASTI OT STAREGO, ESLI TOT W DANNYJ MOMENT IMEET MENXU@ (ILI RAWNU@) REALXNU@ WLASTX, NE OPISYWAET, KAZALOSX BY, WOZMOVNU@ SITUACI@, KOGDA STARIJ IMEET WLASTX, BOLXU@, ^EM MLADIJ, NO WDOBAWOK E]E I OTBIRAET U MLADEGO ^ASTX EGO WLASTI (\TO PROTIWORE^ILO BY POSTULATU). rASSMOTRIM \TU POSLEDN@@ SITUACI@ BOLEE PODROBNO, ^TOBY UBEDITXSQ, ^TO W TO^NOJ, PRAWILXNOJ INTERPRETACII ONA FAKTI^ESKI NEREALIZUEMA (PO KRAJNEJ MERE, W NEKOTOROM SREDNEM SMYSLE). dEJSTWITELXNO, OTOBRAW ^ASTX WLASTI U KOGO-LIBO IZ SWOIH POD^INENNYH (NAPRIMER, OTOZWAW NEKOTOROE PORU^ENIE), NA^ALXNIK RANO ILI POZDNO WSE RAWNO SPUSTIT WNIZ \TO PORU^ENIE W WIDE KAKOGO-LIBO PRIKAZA, NO, BYTX MOVET, DRUGIMI PUTQMI. iBO W L@BOJ IERARHII NIKAKAQ
x 4]
189 INSTANCIQ NE SPOSOBNA WZQTX NA SEBQ NEPOSREDSTWENNU@ REALIZACI@ ZAMETNOJ DOLI PORU^ENIJ, S NEOBHODIMOSTX@ WYPOLNQEMYH DAVE MALOJ ^ASTX@ POD^INENNYH EJ ZWENXEW (IMEETSQ W WIDU DOSTATO^NO PROTQVENNAQ IERARHI^ESKAQ STRUKTURA). s DRUGOJ STORONY, DELO W ITOGE DOLVNO BYTX SDELANO, I PRIKAZ, A S NIM I PORCIQ WLASTI, BUDUT TAK ILI INA^E PEREDANY MLADIM. tAKIM OBRAZOM, WWEDENNYJ POSTULAT ESTESTWEN I OBOSNOWAN HOTQ BY W SREDNEM. iNOE DELO | BOLEE KONKRETNYE WZAIMOOTNOENIQ MEVDU ZWENXQMI IERARHII, WNENE POHOVIE NA OBSUVDENNU@ WYE SITUACI@. oNI MOGUT BYTX OPISANY OPREDELENNYMI RANEE FUNKCIQMI. pUSTX, NAPRIMER, W USLOWNOJ PARE NA^ALXNIK|ZAMESTITELI NA^ALXNIKA PERWYJ PO KAKIM-LIBO PRI^INAM NE UDOWLETWOREN RABOTOJ ODNOGO IZ SWOIH ZAMESTITELEJ. sTARIJ MOVET, NAPRIMER, PREDPRINQTX SLEDU@]IE DEJSTWIQ: 1) SMESTITX FIZI^ESKOE LICO, ZAMENIW EGO BOLEE PODHODQ]EJ FIGUROJ 2) NAPRAWITX POTOK WLASTNYH RASPORQVENIJ ^EREZ DRUGIH ZAMESTITELEJ. w \TIH DWUH SLU^AQH W IERARHII W CELOM I W OTWE^A@]EJ EJ MODELI FAKTI^ESKI NE MENQETSQ NI^EGO, KROME PERSON. w ^ASTNOSTI, INSTANCIQ ZAMESTITELI KAK CELOE POLU^AET TOT VE POTOK WLASTI. w RASPORQVENII NA^ALXNIKA MOGUT IMETXSQ I TAKIE SPOSOBY: 3) USILITX ROLX KOMAND ^EREZ GOLOWU DANNOGO ZAMESTITELQ 4) IZMENITX EGO WLASTNYE POLNOMO^IQ 5) UPRAZDNITX DANNU@ DOLVNOSTX. sLU^AJ 3) OTWE^AET UMENXENI@ WELI^INY { I UWELI^ENI@ , W SLU^AE 4) SOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM IZMENQ@TSQ FUNKCII p1 I p2 , W SLU^AE 5) UMENXAETSQ ^ISLO ZWENXEW N W IERARHII. rAZUMEETSQ, MOGUT BYTX REALIZOWANY I RAZLI^NYE KOMBINACII \TIH DEJSTWIJ (W TOM ^ISLE I PO OTNOENI@ KO WSEJ INSTANCII ZAMESTITELI). eSLI VE NA^ALXNIK, NAOBOROT, WESXMA UDOWLETWOREN KAKIM-LIBO ZAMESTITELEM, TO EGO DEJSTWIQ BUDUT, ESTESTWENNO, PROTIWOPOLOVNYMI. wSE \TI IZMENENIQ NE ZATRAGIWA@T SU]ESTWA POSTULATA I OPISYWA@TSQ S POMO]X@ IZMENENIQ WWEDENNYH WYE FUNKCIJ p1 , p2, { , , F. sOOWETSTWU@]AQ FORMALIZACIQ DOLVNA, KONE^NO VE, PROWODITXSQ T]ATELXNO I AKKURATNO. 3. bALANS WLASTI W INSTANCII, USLOWIQ NA EE GRANICAH I PEREHOD K NEPRERYWNOJ MODELI. tEPERX, KOGDA WWEDENY OSNOWNYE MODELXNYE PONQTIQ, OPISANY WZAIMOSWQZI I PREDPOLOVENIQ, MOVNO SDELATX POSLEDNIJ AG W POSTROENII MODELI I OTWETITX NA WOPROS: KAK NAJTI RASPREDELENIE WLASTI W IERARHII, T. E. FUNKCI@ p(i t)? dLQ L@BOGO i-GO ZWENA WLASTNOJ STRUKTURY W L@BOJ MOMENT WREMENI t ONA POD^INQETSQ URAWNENI@, PRI WYWODE KOTOROGO ISPOLXZUETSQ SWOEGO RODA LOKALXNYJ Z AK O N S O HR A N E N I Q W L AS TI: SKOROSTX IZMENENIQ (UMENXENIQ ILI UWELI^ENIQ ) WELI^INY WLASTI INSTANCII OPREDELQETSQ POTOKAMI WLASTI I REAKCIEJ SISTEMY. pODS^ITAEM, KAKOE KOLI^ESTWO WLASTI POLU^AET (TERQET) i-Q INSTANCIQ ZA PROMEVUTOK WREMENI t MEVDU MOMENTAMI t I t + t. |TO KOLI^ESTWO FORMIRUETSQ: dinamika raspredeleniq wlasti w ierarhii
190
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
A) POTOKOM WLASTI, POLU^AEMYM OT (i ; 1)-J STUPENI PO MEHANIZMU (1), T. E. WELI^INOJ p; = W(i ; 1 t) t B) POTOKOM, OTDAWAEMYM W (i + 1)-E ZWENO PO ANALOGI^NOMU MEHANIZMU, p+ = ;W (i t) t W) SUMMOJ POTOKOW, POLU^AEMYH I OTDAWAEMYH PO MEHANIZMU (2) OT UDALENNYH INSTANCIJ (j 6= i + 1 i ; 1), p =
N X j =0
V (i j t) t
G) SKOROSTX@ OBMENA WLASTX@ MEVDU INSTANCIEJ I ZAKONODATELXSTWOM, KOTORAQ OPREDELQETSQ PO PREDPOLOVENI@ 2 REAKCIEJ GRAVDANSKOGO OB]ESTWA, pF = F(i t p(i t) p1(i t) p2(i t)) t: sKLADYWAQ WELI^INY p; , p+ , p , pF , POLU^AEM SUMMARNOE
IZMENENIE
p = p(i t + t) ; p(i t) =
2 3 N X = 4W(i ; 1 t) ; W (i t) + V (i j t) + F(i t : : :)5 t: j =0
(3)
pRI WYWODE URAWNENIQ BALANSA (3) PROMEVUTOK WREMENI t PREDPOLAGAETSQ, KAK OBY^NO, DOSTATO^NO MALYM, TAK ^TOBY WELI^INY W , V , F MOVNO BYLO S^ITATX POSTOQNNYMI. iSPOLXZUETSQ TAKVE (I \TO SU]ESTWENNO) PREDPOLOVENIE 1 O ZAKONOPOSLUNOSTI, OZNA^A@]EE, W ^ASTNOSTI, ^TO W L@BOM ZWENE IERARHII WLASTNOE RASPORQVENIE WSEGDA WYPOLNQETSQ I POSTUPIWAQ S NIM PORCIQ WLASTI NA DELE REALIZUETSQ (A NE IS^EZAET BESSLEDNO). nAPOMNIM, ^TO WWEDENNYJ WYE IERARHI^ESKIJ POSTULAT UVE NAEL SWOE MATEMATI^ESKOE WOPLO]ENIE W FORMULAH (1), (2). rAZDELIW OBE ^ASTI (3) NA t, POLU^AEM URAWNENIE DLQ SKOROSTI IZMENENIQ WLASTI i-J INSTANCII SO WREMENEM N p(i t) = ;W(i t) ; W(i ; 1 t)] + X V (i j t) + F (i t : : :): t j =0
(4)
sMYSL (4) QSEN IZ RASSUVDENIJ, PREDESTWOWAWIH WYWODU BALANSA (3). uRAWNENIQ (3), (4) ZAPISANY DLQ PROIZWOLXNOGO NOMERA 0 < i < N. dLQ ZAPISI BALANSA W TO^KE i = 0 NEOBHODIMO OPREDELITX WELI^INU W(;1 t) POTOKA WLASTI, POLU^AEMOJ SAMOJ STAREJ INSTANCIEJ (S NOMEROM 0) OT NESU]ESTWU@]EJ WYESTOQ]EJ INSTANCII. o^EWIDNO, ^TO
x 4]
191 \TOT POTOK WSEGDA RAWEN NUL@ (WYSEJ INSTANCII NIKTO NE MOVET PRIKAZATX). aNALOGI^NO, WELI^INA W (N t) | POTOK WLASTI, PEREDAWAEMYJ SAMOJ MLADEJ STUPENX@ IERARHII W NESU]ESTWU@]U@ NIVESTOQ]U@ STUPENX, TAKVE RAWEN NUL@ (PRIKAZYWATX NEKOMU). iTAK, POTOK WLASTI NA GRANICAH IERARHII WSEGDA RAWEN NUL@: W (;1 t) = W(N t) 0: (5) eSLI RASSMATRIWAETSQ LIX ^ASTX IERARHII, NE WKL@^A@]AQ WYSIE I (ILI) NIZIE INSTANCII, TO, O^EWIDNO, NA GRANICAH DOLVNY ZADAWATXSQ (IZ TEH ILI INYH SOOBRAVENIJ) POTOKI WLASTI KAK FUNKCII WREMENI. dLQ ZAMYKANIQ URAWNENIQ (4) NEOBHODIMO, POMIMO USLOWIJ (5), ZADATX TAKVE RASPREDELENIE WLASTI W NEKOTORYJ NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI t = t0 , T. E. FUNKCI@ p(i t0 ) = p0 (i) > 0 0 6 i 6 N: (6) uRAWNENIE (4) S USLOWIQMI (5), (6) I ZADANNYMI FUNKCIQMI { , , F, p1 , p2 PREDSTAWLQET SOBOJ ZAMKNUTU@ DISKRETNU@ MODELX RASPREDELENIQ WLASTI W SISTEME IERARHI^ESKAQ STRUKTURA|GRAVDANSKOE OB]ESTWO, MATEMATI^ESKI REALIZU@]U@ OB]U@ SHEMU, PRINQTU@ W P. 1. oNA POZWOLQET DLQ L@BYH MOMENTOW WREMENI t > t0 I L@BYH TO^EK 0 6 i 6 N NAJTI REENIE (RASPREDELENIE WLASTI W IERARHII), T. E. FUNKCI@ p(i t). oSU]ESTWIM TEPERX PEREHOD K NEPRERYWNOJ MODELI, RASSMATRIWAQ WLASTNU@ IERARHI@ KAK SPLONU@ SREDU, T. E. S^ITAQ ^ISLO INSTANCIJ DOSTATO^NO BOLXIM (N 1), A WSE WHODQ]IE W MODELX FUNKCII | DOSTATO^NO GLADKIMI. dISKRETNOJ KOORDINATE i STAWITSQ W SOOTWETSTWIE NEPRERYWNAQ KOORDINATA x (NOMERAM i SOOTWETSTWU@T TO^KI xi, WYBRANNYE, NAPRIMER, PO PRAWILU xi = i), A CELO^ISLENNOMU OTREZKU 0 N] | OTREZOK 0 l] (WELI^INA l | ANALOG DLINY IERARHI^ESKOJ STRUKTURY, A KOORDINATA x HARAKTERIZUET MESTO INSTANCII W IERARHII: ^EM BOLXE x, TEM MLADE INSTANCIQ). rAZNOSTI WIDA p(i + + 1 t) ; p(i t) W (1) I p(i t + t) ; p(i t), W(i t) ; W (i ; 1 t) W (4) ZAMENQ@TSQ SOOTWETSTWU@]IMI PERWYMI PROIZWODNYMI, SUMMA W PRAWOJ ^ASTI (4) | INTEGRALOM, A ZAWISIMOSTX WSEH WHODQ]IH W (4){(6) FUNKCIJ OT ARGUMENTOW i, t ZAMENQETSQ NA ZAWISIMOSTX OT x, t. w REZULXTATE DLQ FUNKCII p(x t) (PODROBNYE WYKLADKI NE PRIWODQTSQ, TAK KAK ONI DOSTATO^NO O^EWIDNY SR. S WYWODOM MODELI TEPLOPEREDA^I W x 2 GL. II) POLU^AETSQ SLEDU@]EE URAWNENIE: @p = @ { p @p x t @p + @t @x @x @x dinamika raspredeleniq wlasti w ierarhii
Zl
+ p(x0) p(x) x0 x] p(x0 t) ; (x t)] dx0 + F (p p1 p2 x t) 0
0 < x < l t > t0
(7)
192
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
S GRANI^NYMI USLOWIQMI WTOROGO RODA @p = 0 W (l t) = ;{ @p = 0 t > t (8) W(0 t) = ;{ @x 0 x=0 @x x=l I NA^ALXNYMI USLOWIQMI p(x t0) = p0(x) > 0 0 6 x 6 l (9) PRI^EM { > 0, > 0, A POLOVITELXNYE FUNKCII p1 , p2 MONOTONNO UBYWA@T PO x. uRAWNENIE (7) PREDSTAWLQET SOBOJ PARABOLI^ESKOE INTEGRODIFFERENCIALXNOE URAWNENIE (W TOM SMYSLE, ^TO W OTSUTSTWIE INTEGRALXNOGO ^LENA ONO ANALOGI^NO URAWNENI@ TEPLOPEREDA^I SM. TAKVE UPR. 1). w MATEMATI^ESKOM OTNOENII MODELX (7){(9), APPROKSIMIRU@]AQ ISHODNU@ MODELX (4){(6), ZAMKNUTA I KORREKTNA, T. E. ODNOZNA^NO OPREDELQET REENIE | GLADKU@ NEOTRICATELXNU@ FUNKCI@ p(x t) DLQ WSEH 0 6 x 6 l I t > t0 (PRI NEKOTORYH NESU]ESTWENNYH DLQ OB]NOSTI OGRANI^ENIQH NA WHODNYE DANNYE). zAMETIM, ^TO PRI ^ISLENNOM MODELIROWANII ZADA^I (7){(9) PROIZWODITSQ OBRATNYJ PEREHOD K ZADA^E (4){(6) (SM. UPR. 2). nAPOMNIM SMYSL WELI^IN, WHODQ]IH W MODELX (7){(9). fUNKCIQ p(x t) (REENIE) OPISYWAET PROSTRANSTWENNO-WREMENNU@ DINAMIKU RASPREDELENIQ WLASTI W IERARHI^ESKOJ STRUKTURE, T. E. ZAWISIMOSTX WELI^INY (UROWNQ) REALXNO OSU]ESTWLQEMOJ INSTANCIEJ WLASTI OT EE MESTOPOLOVENIQ (KOORDINATA x) I WREMENI t. sKOROSTX IZMENENIQ FUNKCII p(x t) (LEWAQ ^ASTX URAWNENIQ (7)) OPREDELQETSQ SLEDU@]IMI HARAKTERISTIKAMI: 1) RAZNOSTX@ POTOKOW WLASTI, POLU^AEMOJ PO MEHANIZMU A) OT BLIVAJIH SOSEDEJ PO IERARHII ILI OTDAWAEMOJ IM (PERWYJ, DIFFERENCIALXNYJ ^LEN W PRAWOJ ^ASTI (7)) 2) SUMMOJ POTOKOW WLASTI, POLU^AEMOJ INSTANCIEJ PO MEHANIZMU B) OT OTDALENNYH STUPENEJ IERARHII ILI OTDAWAEMOJ IM (WTOROJ, INTEGRALXNYJ ^LEN W PRAWOJ ^ASTI (7)) 3) REAKCIEJ GRAVDANSKOGO OB]ESTWA, T. E. FUNKCIEJ F (x t p(x t) p1(x t) p2(x t)) (TRETIJ ^LEN W PRAWOJ ^ASTI (7)) 4) MINIMALXNYMI I MAKSIMALXNYMI WLASTNYMI POLNOMO^IQMI IERARHII | MONOTONNO UBYWA@]IMI PO x FUNKCIQMI p1 (x t) > 0, p2(x t) > 0 5) WNUTRENNIMI POWEDEN^ESKIMI SWOJSTWAMI IERARHI^ESKOJ STRUKTURY | FUNKCIQMI { p(x t) @p x t > 0 (p(x0 t) p(x t) x0 x t) > 0 @x 6) NA^ALXNYM RASPREDELENIEM WLASTI W STRUKTURE | FUNKCIEJ p0(x) > 0. tAKIM OBRAZOM, MODELX (7){(9) | MATEMATI^ESKAQ REALIZACIQ OB]EJ SHEMY SISTEMY WLASTX|OB]ESTWO, IZLOVENNOJ W P. 1 I OT-
WE^A@]EJ SAMOORGANIZU@]EMUSQ OB_EKTU S RAZLI^NYMI PRQMYMI I
x 4]
193 OBRATNYMI SWQZQMI. oPISYWAEMOE E@ RASPREDELENIE WLASTI W IERARHII USTANAWLIWAETSQ NE PROIZWOLXNO, A W REZULXTATE WZAIMODEJSTWIQ WSEH \LEMENTOW SISTEMY. o^ERTIM RAMKI PRIMENIMOSTI POLU^ENNOJ MODELI. pRI EE POSTROENII SU]ESTWENNO ISPOLXZOWALISX POSTULAT, PREDPOLOVENIE 1 O ZAKONOPOSLUNOSTI SISTEMY, PREDPOLOVENIE 2 OB OPREDELQ@]EM WLIQNII REAKCII GRAVDANSKOGO OB]ESTWA NA SKOROSTX OBMENA WLASTX@ MEVDU IERARHIEJ I ZAKONODATELXSTWOM, A TAKVE S^ITALOSX, ^TO HARAKTER TEKU]EGO WZAIMODEJSTWIQ MEVDU DWUMQ ZWENXQMI IERARHII ZAWISIT OT TEKU]EGO SOSTOQNIQ TOLXKO \TIH INSTANCIJ. wSE \TI PREDPOLOVENIQ SFORMULIROWANY W WOZMOVNO NAIBOLEE OB]EM WIDE, TRI IZ NIH PREDSTAWLQ@TSQ WPOLNE ESTESTWENNYMI I OBOSNOWANNYMI (^TO VE KASAETSQ PREDPOLOVENIQ O ZAKONOPOSLUNOSTI, TO \TA NEOBHODIMAQ NA NA^ALXNOM \TAPE ISSLEDOWANIQ IDEALIZACIQ W DALXNEJEM MOVET MODIFICIROWATXSQ). bUDEM NAZYWATX (7){(9) OB]EJ MATEMATI^ESKOJ MODELX@ DINAMIKI RASPREDELENIQ WLASTI W GOSUDARSTWENNYH IERARHI^ESKIH STRUKTURAH, WZAIMODEJSTWU@]IH S GRAVDANSKIM OB]ESTWOM. pOSTROENNAQ WYE MODELX POZWOLQET ANALIZIROWATX RQD DOWOLXNO OB]IH PROBLEM, SWQZANNYH S FUNKCIONIROWANIEM I \WOL@CIEJ SISTEMY WLASTX|OB]ESTWO. pERE^ISLIM NEKOTORYE IZ NIH: 1) POLU^ENIE NEOBHODIMYH I DOSTATO^NYH USLOWIJ SU]ESTWOWANIQ (ILI NESU]ESTWOWANIQ) STACIONARNYH (T. E. POSTOQNNYH WO WREMENI) RASPREDELENIJ WLASTI I USLOWIJ USTOJ^IWOSTI TAKIH STACIONAROW 2) ANALIZ I PROGNOZ KRIZISOW WLASTI RAZLI^NOGO HARAKTERA: PREWYENIE WLASTI NENORMALXNYE, NEMONOTONNYE RASPREDELENIQ WLASTI W IERARHII, KOGDA NEKOTORYE MLADIE INSTANCII OSU]ESTWLQ@T REALXNU@ WLASTX, BOLXU@, ^EM NEKOTORYE STARIE STUPENI ANARHI^ESKIE ILI TOTALITARNYE \WOL@CII RASPREDELENIQ WLASTI I T. D. 3) IZU^ENIE REZULXTATOW IZMENENIJ, PROISHODQ]IH W REAKCII GRAVDANSKOGO OB]ESTWA, W ZAKONODATELXSTWE, WO WZAIMOOTNOENIQH WNUTRI IERARHII I T. D., NA PROSTRANSTWENNO-WREMENNU@ DINAMIKU RASPREDELENIQ WLASTI. wOZMOVNO TAKVE ISSLEDOWANIE RAZLI^NYH KOMBINACIJ PROBLEM 1){3). sAMO SOBOJ PODRAZUMEWAETSQ, ^TO ANALIZ PERE^ISLENNYH WYE I DRUGIH OTNOSQ]IHSQ K SU]ESTWU DELA ZADA^ DOLVEN SOPROWOVDATXSQ T]ATELXNOJ IH POSTANOWKOJ I AKKURATNOJ INTERPRETACIEJ REZULXTATOW W TERMINAH ISPOLXZUEMOJ MODELI. mODELX (7){(9) POZWOLQET DATX WESXMA OB]IJ OTWET NA RQD OB]IH WOPROSOW, WOZNIKA@]IH PRI IZU^ENII PROBLEM 1){3). nAPRIMER, ISPOLXZUQ TEOREMY SRAWNENIQ REENIJ PARABOLI^ESKIH URAWNENIJ (SM. x 2 GL. V), NETRUDNO USTANOWITX, ^TO PRI UWELI^ENII POLOVITELXNOJ REAKCII GRAVDANSKOGO OB]ESTWA NA DEJSTWIQ WSEH INSTANCIJ WLASTX W L@BOJ INSTANCII IERARHII TAKVE UWELI^IWAETSQ, A PRI UWELI^ENII OTRICATELXNOJ REAKCII | NAOBOROT, A TAKVE ^TO BOLXIE dinamika raspredeleniq wlasti w ierarhii
NA^ALXNYE RASPREDELENIQ WLASTI W IERARHII PRIWODQT PRI PRO^IH RAWNYH USLOWIQH K BOLXEMU UROWN@ WLASTI WO WSEH ZWENXQH WO WSE POSLEDU@]IE MOMENTY WREMENI, I NAOBOROT. 13 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
194
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
oDNAKO PERWOSTEPENNYJ INTERES PREDSTAWLQ@T WSE VE BOLEE KONKRETNYE WOPROSY, OTWETY NA KOTORYE MOVNO POLU^ITX PRI OPREDELENNYH KONKRETIZACIQH SISTEMY WLASTX|OB]ESTWO. nEKOTORYE IZ NIH IZU^A@TSQ NIVE. 4. pRAWOWAQ SISTEMA WLASTX|OB]ESTWO . sTACIONARNYE RASPREDELENIQ I WYHOD WLASTI ZA RAMKI POLNOMO^IJ. oDNA IZ NAIBOLEE ESTESTWENNO FORMALIZUEMYH SISTEM WLASTX|OB]ESTWO | PRAWOWAQ SISTEMA. pO\TOMU PROSTEJIE KONKRETIZACII OB]EJ MODELI (7){(9) OTWE^A@T IMENNO \TOMU SLU^A@. sISTEMA WLASTX|OB]ESTWO NAZYWAETSQ PRAWOWOJ, ESLI REAKCIQ OB]ESTWA NA DEJSTWIQ L@BOJ INSTANCII IERARHII WSEGDA NAPRAWLENA NA UDERVANIE RASPREDELENIQ WLASTI W RAMKAH PREDPISANNYH EJ POLNOMO^IJ. pODRAZUMEWAETSQ, ^TO MAKSIMALXNYE I MINIMALXNYE POLNOMO^IQ SOOTWETSTWU@T PRAWU W OB]EPRINQTOM SMYSLE \TOGO PONQTIQ (PODOBNYJ TIP REAKCII OTWE^AET PRAWOWOMU OB]ESTWENNOMU SOZNANI@).
rIS. 63
w OB]EJ MODELI SFORMULIROWANNOE WYE OPREDELENIE REALIZUETSQ ZADANIEM SOOTWETSTWU@]EJ FUNKCII F (p p1 p2 x t). nA RIS. 63 POKAZAN KA^ESTWENNYJ WID FUNKCIJ p2 (x t), p1 (x t) | MAKSIMALXNYH I MINIMALXNYH WLASTNYH POLNOMO^IJ INSTANCIJ IERARHII W NEKOTORYJ MOMENT WREMENI t W ZAWISIMOSTI OT IH MESTA (KOORDINATY x). pO SWOEMU SMYSLU p1(x t), p2 (x t) | MONOTONNO UBYWA@]IE PO x POLOVITELXNYE FUNKCII, PRI^EM p2 (x t) > p1 (x t), 0 6 x 6 l, t > t0 (P. 1). oBLASTX, LEVA]AQ MEVDU KRIWYMI p1 , p2 , | PRAWOWOE POLE, OBLASTX WYE ZNA^ENIJ p2 USLOWNO NAZYWAETSQ DIKTATUROJ, OBLASTX NIVE ZNA^ENIJ p1 | ANARHIEJ. iSKOMOE REENIE | RASPREDELENIE WLASTI p(x t) | MOVET APRIORI W RAZNYE MOMENTY WREMENI LIBO POLNOSTX@ NAHODITXSQ W PRAWOWOJ OBLASTI, LIBO ^ASTI^NO ILI POLNOSTX@ WYHODITX IZ NEE. kA^ESTWENNYJ WID ZAWISIMOSTI FUNKCII F (p p1 p2 x t) OT WELI^INY WLASTI p(x t) (W NEKOTORYJ MOMENT t DLQ NEKOTOROGO ZNA^ENIQ x) POKAZAN NA RIS. 64. eSLI WELI^INA WLASTI PREWYAET MAKSIMALXNYE POLNOMO^IQ (p > p2), TO REAKCIQ OB]ESTWA OTRICATELXNA I RASTET S
x 4]
195 ROSTOM \TOGO PREWYENIQ ESLI VE p < p1, T. E. WELI^INA WLASTI MENXE MINIMALXNYH POLNOMO^IJ, TO, NAOBOROT, REAKCIQ POLOVITELXNA I RASTET S UWELI^ENIEM OTKLONENIQ. w PROMEVUTKE p1 6 p 6 p2 REAKCIQ OB]ESTWA S ROSTOM p MONOTONNO IZMENQETSQ OT POLOVITELXNYH0 K OTRICATELXNYM ZNA^ENIQM, OBRA]AQSX W NULX W NEKOTOROJ TO^KE p (x t), p1 < p0 < p2, 0 60 x 6 l, t > t0 . wELI^INU p (x t) MOVNO NAZWATX IDEALXNYM (SREDNIM) RASPREDELENIEM WLASTI W TOM SMYSLE, ^TO PRI REALIZACII TAKOGO RASPREDELENIQ REAKCIQ OB]ESTWA0 NA DEJSTWIQ IERARHII WSEGDA I WS@DU RAWNQLASX BY NUL@ (FUNKCIQ p (x t) S^ITAETSQ MONOTONNOJ PO x SM. RIS. 63). dinamika raspredeleniq wlasti w ierarhii
rIS. 64
iTAK, W PRAWOWOJ SISTEME OB]ESTWO OTRICATELXNO REAGIRUET NA POLOVITELXNOE OTKLONENIE WLASTI OT NEKOTOROGO SREDNEGO EE ZNA^ENIQ, USILIWAQ WELI^INU REAKCII S UWELI^ENIEM \TOGO OTKLONENIQ (DLQ OTRICATELXNYH OTKLONENIJ REALIZUETSQ PROTIWOPOLOVNAQ SITUACIQ). pO SWOEJ KOLI^ESTWENNOJ AMPLITUDE REAKCIQ ZAWISIT NE TOLXKO OT RAZNOSTI p ; p0 , NO, WOOB]E GOWORQ, I OT WREMENI t ONA MOVET BYTX RAZNOJ DLQ RAZNYH ZWENXEW IERARHII (KOORDINATA x) I MOVET WKL@^ATX BOLEE TONKU@ ZAWISIMOSTX OT WELI^INY p(x t) (NAPRIMER, NA RIS. 64 INTENSIWNOSTX REAKCII DLQ OBLASTEJ DIKTATURY p > p2 I ANARHII p < p1 ZAMETNO WYE, ^EM DLQ PRAWOWOJ OBLASTI p1 < p < p2). pEREJDEM K IZU^ENI@ STACIONARNYH (NE ZAWISQ]IH OT WREMENI) RASrIS. 65 PREDELENIJ WLASTI W PRAWOWOJ SISTEME. nA^NEM S ANALIZA NAIBOLEE PROSTOJ, NO WMESTE S TEM SODERVA]EJ WSE SU]ESTWENNYE KOMPONENTY MODELI PRAWOWOJ SISTEMY. dLQ \TOGO BUDEM S^ITATX, ^TO W OB]EJ MODELI (7){(9): 1) FUNKCIQ { , SOOTWETSTWU@]AQ MEHANIZMU PEREDA^I WLASTI PO KOMANDE, POSTOQNNA, T. E. { = {0 = const > 0 13
196
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
2) W IERARHII NET MEHANIZMA KOMAND ^EREZ GOLOWU, T. E. 0 3) REAKCIQ OB]ESTWA | LINEJNAQ FUNKCIQ OTKLONENIQ OT IDEALXNOGO UROWNQ WLASTI I NE ZAWISIT OT t, T. E. F (p x) = k1 (p0(x) ; p) GDE k1 > 0 HARAKTERIZUET AMPLITUDU REAKCII (RIS. 65) 4) IDEALXNOE RASPREDELENIE WLASTI p0 I WLASTNYE POLNOMO^IQ p1 , p2 NE MENQ@TSQ SO WREMENEM I LINEJNO UBYWA@T S ROSTOM KOORDINATY x (RIS. 66), T. E. p0 = H ; kx H > 0 p1 = (1 ; ) p0 p2 = (1 + ) p0: zDESX k > 0 | STEPENX UBYWANIQ FUNKCII p0 PO x, 0 < < < 1 | OTNOSITELXNAQ RAZNICA MEVDU p0 I p1, p2 (PRI^EM p0 = = (p1 + p2)=2 | SREDNEE ARIFMETI^ESKOE OT MINIMALXNYH I MAKSIMALXNYH POLNOMO^IJ), p0 (0) = H, p0 (l) = H ; kl > 0. wELI^INA (H ; kl)=H = p0 (l)=p0 (0) = p1 (l)=p1 (0) = p2(l)=p2 (0) < 1 | OTNOENIE POLNOMO^IJ NIZIH I WYSIH STEPENEJ IERARHII, ILI PEREPAD POLNOMO^IJ.
rIS. 66
w REZULXTATE UPRO]ENIJ 1){4) POLU^AEM BAZOWU@ MODELX PRAWOWOJ SISTEMY:
@p = @ { @p + k (p0(x) ; p) 0 < x < l t > t 1 0 @t @x 0 @x @p = { @p = 0 t > t (10) {0 @x 0 x=0 0 @x x=l p(x t0) = p0 (x) > 0 0 6 x 6 l GDE k1 > 0, p0(x) = H ; kx, H > 0, k > 0. zAMETIM, ^TO MODELX (10) LINEJNA, I DLQ NEE OTNOSITELXNO NETRUDNO WYPISATX OB]EE REENIE.
x 4]
dinamika raspredeleniq wlasti w ierarhii
197
sTACIONARNYE (p(x t) = p(x)) REENIQ (10) NAHODQTSQ IZ ZADA^I
{0p00 = k1 p ; (H ; kx)] p0 (0) = p0 (l) = 0 0 < x < l p0 = dp
dx
SODERVA]EJ ^ETYRE PARAMETRA: {0, k1, k, l, I SWODQ]EJSQ MASTABIROWANIEM (SM. x 1 GL. V) p = p=H, x = x=l K ZADA^E S DWUMQ PARAMETRAMI ap00 = p ; (1 ; bx) 0 < x < l p0 (0) = p0 (1) = 0 (11) GDE a = {0=(k1 l2 ), b = kl=H < 1 (^ERTO^KI NAD WELI^INAMI p I x W (11) OPU]ENY).
rIS. 67
zADA^A (11) IMEET HOROO IZWESTNOE EDINSTWENNOE (NEOTRICATELXNOE) REENIE, DAWAEMOE MONOTONNO UBYWA@]EJ PO x FUNKCIEJ 1=2 p(x) = a 1=2 a b;a 1=2 e ;e ;
;
1 1 1 ; e;a =2 exa =2 + ;
+
;
1 1 ; ea =2 ;
1 e;xa =2 + (1 ; bx): ;
(12)
kA^ESTWENNOE POWEDENIE REENIQ (12) OPREDELQET PARAMETR a (PARAMETR b 1, TAK ^TO 1 ; b 1, POSKOLXKU RASSMATRIWA@TSQ DOSTATO^NO PROTQVENNYE IERARHI^ESKIE STRUKTURY S ZAMETNYM PEREPADOM POL NOMO^IJ). wID REENIQ DLQ ZNA^ENIJ b = 09 I TREH ZNA^ENIJ a = 10;3, 10;2, 10;1 PRIWEDEN NA RIS. 67. s ROSTOM a REENIE (KRIWYE 1{3 ) STANOWITSQ BOLEE POLOGIM, I PRI NEKOTOROM a > aKR REENIE ^ASTI^NO LEVIT W OBLASTI p > p2 (KRIWAQ 3 ). aNALIZIRUQ (12) I RIS. 67, MOVNO SDELATX SLEDU@]IE PREDWARITELXNYE WYWODY:
198
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
1) STACIONARNOE RASPREDELENIE WLASTI W PRAWOWOJ SISTEME SU]ESTWUET 2) SU]ESTWUET OBLASTX PARAMETROW SISTEMY, W KOTOROJ RASPREDELENIE WLASTI WYHODIT ZA RAMKI POLNOMO^IJ (W DANNOM SLU^AE DLQ ^ASTI MLADIH STUPENEJ WLASTX PREWYENA. nETRUDNO WYPISATX NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE NAHOVDENIQ WLASTI W PRAWOWOJ OBLASTI: a=b 12
1= ea 2 ; 1 ;
%
1= ea 2 + 1 ;
6 (1 ; b) (1 + ):
(13)
s ROSTOM WELI^INY a KRITERIJ (13) NARUAETSQ WSE SILXNEE, PRI^EM ESLI a ! 1, TO p(x) ! 1 ; b=2. mAKSIMALXNOE PREWYENIE (DOSTIGAEMOE W TO^KE x = 1) RAWNO p(1) ; p2 (1) = 1 ; b=2 ; (1 + ) (1 ; b), ^TO PRI b 1 DAET p(1) ; p2(1) 05, T. E. PREWYENIE SOSTAWLQET 50% OT MAKSIMALXNYH POLNOMO^IJ 3) IDEALXNOE RASPREDELENIE WLASTI (TRIHOWAQ PRQMAQ NA RIS. 67) NE REALIZUETSQ, REENIE WSEGDA IMEET DOBAWKU K WELI^INE p0 (x) = = 1 ; bx | WTOROMU ^LENU W PRAWOJ ^ASTI (12). wWIDU WAVNOSTI WYWODOW 1), 2) NEOBHODIMO WYQSNITX STEPENX IH OB]NOSTI, T. E. PONQTX, NE QWLQ@TSQ LI ONI SWOJSTWAMI TOLXKO UPRO]ENNOJ MODELI (10). 5. rOLX OSNOWNYH HARAKTERISTIK SISTEMY W FENOMENE PREWYENIQ (PRINIVENIQ) WLASTI. wWEDEM NEKOTORYE OBOB]ENIQ W BAZOWU@ MODELX (10). 1) mEHANIZM KOMAND ^EREZ GOLOWU. w PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ (10) POQWLQETSQ DOPOLNITELXNOE SLAGAEMOE WIDA
Zl 0
p(x0) ; p(x)] dx0
(ZDESX WZQTO = 0 = const > 0). zADA^A DLQ STACIONARNOGO REENIQ (ANALOG ZADA^I (11)) POSLE SOOTWETSTWU@]EGO MASTABIROWANIQ IMEET
WID
Z1
ap00 = p ; (1 ; bx)] ; p(x0) ; p(x)] dx0 0
(14)
p0(0) = p0(1) = 0 0 < x < 1 GDE = 0l=k1 > 0. nESLOVNOJ ZAMENOJ (14) SWODITSQ K ZADA^E (11) S NENULEWYMI KRAEWYMI USLOWIQMI (UPR. 3), IME@]EJ REENIE WIDA (12). uSLOWIE (13) PEREHODIT W USLOWIE
2
3
b 4z ;1=2 ez =2 ; 1 + 5 6 (1 ; b) (1 + ) 1 1+ ez =2 + 1 2 1
z = 1 +a
x 4]
dinamika raspredeleniq wlasti w ierarhii
199
KOTOROE TAK VE, KAK I (13), WSEGDA NARUAETSQ PRI DOSTATO^NO BOLXIH ZNA^ENIQH a I (ILI) (MAKSIMALXNOE PREWYENIE TO VE, ^TO I W SLU^AE 0 = 0, TAK KAK p(x) ! 1 ; b=2 PRI BOLXIH a, ). 2) uTO^NENNAQ REAKCIQ GRAVDASKOGO OB]ESTWA. w OB]ESTWE SU]ESTWUET ^ASTX, KOTORAQ W PRINCIPE NE SOGLASNA S L@BYMI DEJSTWIQMI IERARHII (W BAZOWOJ MODELI KAK BY PREDPOLAGALOSX, ^TO TAKOJ KOMPONENTY NET). pODOBNAQ REAKCIQ MOVET BYTX OPISANA DOBAWLENIEM W PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ (10) SLAGAEMOGO WIDA k2 p, k2 < 0 (T. E. \TA ^ASTX REAKCII WSEGDA OTRICATELXNA I TEM BOLXE, ^EM BOLXE WELI^INA WLASTI). dLQ FUNKCII p(x) W \TOM SLU^AE POLU^AETSQ ZADA^A, ANALOGI^NAQ (11). oDNAKO PRI DOSTATO^NO BOLXIH ZNA^ENIQH k2 I a REENIE, O^EWIDNO, UHODQ IZ OBLASTI p > p2 , POPADAET W OBLASTX p < p1 , T. E. RASPREDELENIE WLASTI WYHODIT ZA RAMKI MINIMALXNYH POLNOMO^IJ (W DANNOM SLU^AE \TO PROISHODIT S WYSIMI INSTANCIQMI). 3) rAZLI^NYE MEHANIZMY PEREDA^I WLASTI PO KOMANDE. A) w PERWOM ^LENE PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ (10) RASSMATRIWAETSQ NE FUNKCIQ { = {0 = const, A FUNKCIQ { = {0 j@p=@xj, > ;1. |TO ZNA^IT, ^TO STEPENX OTWETSTWENNOSTI IERARHII ZAWISIT OT GRADIENTA WELI^INY p(x t) (NERAWENSTWO > ;1 OBESPE^IWAET PARABOLI^NOSTX SOOTWETSTWU@]EGO URAWNENIQ). dLQ POLU^A@]EJSQ STACIONARNOJ ZADA^I SU]ESTWUET EDINSTWENNOE MONOTONNOE REENIE. pRI DOSTATO^NO BOLXIH ZNA^ENIQH PARAMETRA, ANALOGI^NOGO PARAMETRAM a I IZ (11), (14), RASPREDELENIE WLASTI WYHODIT ZA RAMKI POLNOMO^IJ (POSKOLXKU S EGO ROSTOM REENIE STREMITSQ K NEKOTOROJ KONSTANTE). B) w PERWOM ^LENE PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ (10) WMESTO FUNKCII { = {0 = const BERETSQ FUNKCIQ { = {0p , > ;1, T. E. OTWETSTWENNOSTX ZWENXEW IERARHII ZAWISIT OT WELI^INY REALIZUEMOJ IMI WLASTI. pO SRAWNENI@ S PREDYDU]IMI SLU^AQMI REZULXTATY PRINCIPIALXNO NE MENQ@TSQ. w SLU^AQH A), B) \TI WYWODY POLU^A@TSQ IZ ANALIZA POLEJ INTEGRALXNYH KRIWYH SOOTWETSTWU@]IH NELINEJNYH URAWNENIJ PERWOGO PORQDKA (SM. UPR. 4). 6. iNTERPRETACIQ REZULXTATOW I WYWODY. iTAK, IZ 1){3) P. 5 SLEDUET, ^TO WYWODY 1), 2) P. 4 O SU]ESTWOWANII STACIONARNYH RASPREDELENIJ WLASTI W PRAWOWOJ SISTEME I NALI^II FENOMENA PREWYENIQ (PRINIVENIQ) WLASTI (DAVE W TAKOJ SISTEME) NOSQT DOSTATO^NO OB]IJ HARAKTER. eSLI WYWOD 1) P. 4 BEZUSLOWNO POLOVITELXNYJ, TO WYWOD 2) P. 4 NEOBHODIMO OBSUDITX BOLEE PODROBNO, POSKOLXKU ON OZNA^AET NALI^IE QWNOGO KRIZISA WLASTI. wO WSEH SLU^AQH, RASSMOTRENNYH W PP. 4, 5, WYHOD WLASTI ZA RAMKI POLNOMO^IJ PROISHODIT PRI DOSTATO^NO BOLXIH ZNA^ENIQH NEKOTORYH PARAMETROW a I (ILI) (ILI IH ANALOGOW). ~TOBY PONQTX SUTX PROBLEMY, OBRATIMSQ K BAZOWOJ MODELI P. 4. w ZADA^E (11) PARAMETR a OPREDELQETSQ FORMULOJ a = k{l02 1
(15)
QWLQQSX SISTEMNYM PARAMETROM (SODERVA]IM NESKOLXKO HARAKTERISTIK OB_EKTA), A TAKVE PARAMETROM PODOBIQ (DLQ SISTEM S RAZLI^-
200
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
gl. IV
NYMI ZNA^ENIQMI {0 , k1, l, NO S ODINAKOWYMI ZNA^ENIQMI a PROFILX WLASTI IMEET ODIN I TOT VE KA^ESTWENNYJ WID). iZ (15) WIDNO, ^TO a UWELI^IWAETSQ S ROSTOM PARAMETRA {0, HARAKTERIZU@]EGO INTENSIWNOSTX MEHANIZMA PEREDA^I WLASTI PO KOMANDE, I S UMENXENIEM PARAMETROW k1, l | REAKCII OB]ESTWA I DLINY IERARHI^ESKOJ STRUKTURY. pUSTX k1, l FIKSIROWANY, A {0 RASTET (WMESTE S NIM RASTET I WELI^INA a). s ROSTOM {0 UMENXAETSQ OTWETSTWENNOSTX WSEH ZWENXEW IERARHII W TOM SMYSLE, ^TO STARIE INSTANCII WSE BOLEE LEGKO TRANSPORTIRU@T POTOKI WLASTI MLADIM SOSEDQM (SM. P. 2). pREDELXNAQ BEZOTWETSTWENNOSTX ({0 = 1) OZNA^AET, ^TO L@BAQ INSTANCIQ STANOWITSQ SWOEGO RODA TELETAJPOM, PEREDA@]IM POLU^ENNYE SWERHU WLASTNYE RASPORQVENIQ (I POSTUPA@]IE S NIMI PORCII WLASTI) WNIZ BEZ WSQKOGO IH IZMENENIQ. w REZULXTATE U NIVNIH STUPENEJ IERARHII KAK BY NAKAPLIWA@TSQ IZLIKI WLASTI (KRIWAQ 3 NA RIS. 67), KOTORYE NE MOGUT BYTX UMENXENY ZA S^ET REAKCII OB]ESTWA (ONA FIKSIROWANA). pO\TOMU NIZIE INSTANCII WYNUVDENY WYJTI ZA RAMKI SWOIH MAKSIMALXNYH POLNOMO^IJ. aNALOGI^NAQ KARTINA NABL@DAETSQ PRI IZMENENII PARAMETRA = 0 l=k1 (KOMANDY ^EREZ GOLOWU). b@ROKRATI^ESKIJ SMYSL USLOWIQ (13) I EGO ANALOGOW ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO, ESLI HARAKTERISTIKI IERARHII I GRAVDANSKOGO OB]ESTWA IZWESTNYM OBRAZOM SOGLASOWANY, TO RASPREDELENIE WLASTI OSTAETSQ W PRAWOWOJ OBLASTI (I NAOBOROT). rASSUVDENIQ, SOPROWOVDA@]IE ANALIZ SOOTNOENIQ (15), SLUVAT WYRAVENIEM OB]EGO PROTIWORE^IQ, PRISU]EGO IERARHI^ESKOJ STRUKTURE. oNO SOSTOIT W SLEDU@]EM. s ODNOJ STORONY, W IERARHII OBQZATELXNO DOLVEN BYTX PEREPAD POLNOMO^IJ (PRI^EM WESXMA ZNA^ITELXNYJ), SOOTWETSTWU@]IH EE WYSIM I NIZIM ZWENXQM, INA^E IERARHIQ NE IMEET SMYSLA. s DRUGOJ STORONY, MEHANIZMY PEREDA^I WLASTI WNUTRI IERARHII WSEGDA RABOTA@T NA SGLAVIWANIE RAZNICY WO WLASTI MEVDU INSTANCIQMI. eSLI DANNYE MEHANIZMY STANOWQTSQ WSE SILXNEE, TO OSTA@]AQSQ BEZ IZMENENIJ REAKCIQ GRAVDANSKOGO OB]ESTWA DAVE W PRAWOWOJ SISTEME NE W SOSTOQNII KONKURIROWATX S \TIMI PROCESSAMI I SKOMPENSIROWATX SGLAVIWANIE. rASPREDELENIE WLASTI STANOWITSQ WSE BOLEE POLOGIM I S NEOBHODIMOSTX@ ^ASTI^NO WYHODIT ZA RAMKI PREDPISYWAEMYH EJ POLNOMO^IJ. zAMETIM, ^TO DANNOE SWOJSTWO IMEET MESTO NE TOLXKO DLQ OB]EJ PRAWOWOJ SISTEMY WLASTX|OB]ESTWO. tAKIM OBRAZOM, SPRAWEDLIWY DWA SLEDU@]IH WYWODA: 1) DLQ PRAWOWOJ SISTEMY WSEGDA SU]ESTWUET EDINSTWENNOE STACIONARNOE RASPREDELENIE WLASTI W IERARHI^ESKOJ STRUKTURE, PRI^EM WELI^INA WLASTI MONOTONNO PADAET PRI PEREHODE OT STARIH K MLADIM INSTANCIQM 2) DAVE W PRAWOWOJ SISTEME WSEGDA SU]ESTWUET OBLASTX PARAMETROW, PRI REALIZACII KOTORYH RASPREDELENIE WLASTI WYHODIT ZA GRANICY PRAWOWOGO POLQ. sTOLX VE OB]IM QWLQETSQ I WYWOD 3) IZ P. 4 O NEWOZMOVNOSTI REALIZACII IDEALXNOGO RASPREDELENIQ WLASTI, T. E. TAKOGO RASPREDELENIQ, PRI KOTOROM REAKCIQ OB]ESTWA WSEGDA I WS@DU BYLA BY NULEWOJ. |TOT WYWOD USTANAWLIWAETSQ \LEMENTARNO, I EGO SMYSL DOSTATO^NO QSEN: PRI
x 4]
dinamika raspredeleniq wlasti w ierarhii
201
NULEWOJ REAKCII IERARHIQ PERESTALA BY WZAIMODEJSTWOWATX SO SWOIM PARTNEROM | GRAVDANSKIM OB]ESTWOM. w TO VE WREMQ SOGLASNO MODELI IERARHI^ESKAQ CEPO^KA PODWERVENA PROTIWOPOLOVNO NAPRAWLENNYM WLIQNIQM (PODDERVKA I SOPROTIWLENIE OB]ESTWA, PRIBYLX I UBYLX WLASTI W INSTANCIQH). w USLOWIQH PRAWOWOJ SISTEMY IH DINAMI^ESKAQ KONKURENCIQ FORMIRUET W ITOGE STACIONARNYJ PROFILX WLASTI PODOBNO TOMU, KAK STATI^ESKAQ KONKURENCIQ SIL TQVESTI I UPRUGOSTI OPREDELQET FORMU TROSA, WISQ]EGO MEVDU OPORAMI. w OTSUTSTWIE REAKCII EDINSTWENNO WOZMOVNYM REENIEM W \TOM SLU^AE BYLO BY POSTOQNNOE PO PROSTRANSTWU I WO WREMENI RASPREDELENIE WLASTI (UPR. 4). iZ \TOGO WYWODA, W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO PRI UMENXENII RAZNICY MEVDU MAKSIMALXNYMI I MINIMALXNYMI POLNOMO^IQMI (W PREDELXNOM SLU^AE \TO OZNA^AET RAWENSTWO WELI^IN p1 p2 p0) RASPREDELENIE WLASTI WSEGDA WYHODIT IZ PRAWOWOJ OBLASTI. dRUGIMI SLOWAMI, DLQ DEJSTWIJ IERARHII NE SLEDUET OTWODITX SLIKOM UZKOE PRAWOWOE POLE, INA^E ONA BUDET WYNUVDENNO WYHODITX ZA ZAKONNYE RAMKI SWOEJ WLASTI. pRI POSTROENII RASSMOTRENNOJ MODELI SISTEMY WLASTX|OB]ESTWO I EE OBOB]ENIJ IROKO ISPOLXZOWALISX ANALOGII, PO^ERPNUTYE IZ IZU^ENIQ ESTESTWENNONAU^NYH OB_EKTOW: PEREHOD OT DISKRETNOJ K NEPRERYWNOJ MODELI (IERARHIQ TRAKTUETSQ KAK SPLONAQ SREDA) ANALOG ZAKONA fURXE PRI OPISANII MEHANIZMOW PERERASPREDELENIQ WLASTI W IERARHII ZAKON SOHRANENIQ WLASTI PRI WYWODE OSNOWNOGO URAWNENIQ PONQTIE POTOK WLASTI I DR. |TI ANALOGII DOPUSKA@T RAZUMNU@ INTEPRETACI@, IH PRIMENENIE POZWOLQET GLUBVE PONQTX PRINCIPIALXNYE SWOJSTWA STOLX TRUDNOFORMALIZUEMOGO OB_EKTA. upravneniq 1. uRAWNENIE WIDA ut = L(uxx ux u x t) NAZYWAETSQ PARABOLI^ESKIM, ESLI @L=@uxx > 0. pOLU^ITE USLOWIQ DLQ FUNKCII {(p px x t) W URAWNENII (7), ZAPISANNOM BEZ INTEGRALXNOGO ^LENA, PRI KOTORYH ONO QWLQETSQ PARABOLI^ESKIM. 2. pOLOVIW = 0, OSU]ESTWITE, ISPOLXZUQRAZLOVENIE FUNKCIJW RQD tEJLORA I UDERVIWAQ GLAWNYE ^LENY, PEREHOD OT MODELI (4){(6) K (7){(9). zAMENQQ PROIZWODNYE KONE^NYMI RAZNOSTQMI, WYPOLNITE OBRATNYJ PEREHOD OT MODELI (7){(9) K (4){(6).
R
pROWEDQ ZAMENU v(x) = p(x)(1 + ) ; (1 ; bx) ; B , GDE B = 0l p(x0 ) dx0 , POLU^ITE IZ (14) KRAEWU@ ZADA^U DLQ FUNKCII v(x). 4. pREDSTAWLQQ STACIONARNOE URAWNENIE (10) W WIDE SISTEMY DWUH URAWNENIJ, NAJDITE DLQ SLU^AEW { = {0 , { = {0 j@p=@xj , > ;1 I { = {0p , > ;1 ZAMENY, SWODQ]IE EGO K URAWNENI@ PERWOGO PORQDKA. 5. pROWERXTE, ^TO PRI F 0, 0 REENIE URAWNENIQ (7) S USLOWIQMI (8) W STACIONARNOM SLU^AE IMEET WID p(x) = const. 3.
86].
bIBLIOGRAFIQ K GLAWE IV: 1, 5, 9, 10, 37, 38, 40, 48{50, 56, 58, 85,
g la w a V
issledowanie matemati~eskih modelej x 1. pRIMENENIE METODOW PODOBIQ dADIM HARAKTERISTIKU SPOSOBOW UPRO]ENIQ MATEMATI^ESKIH MODELEJ, OSNOWANNYH NA SWOJSTWAH IH SIMMETRII. pRIWEDEM OPISANIE SAMOPODOBNYH (AWTOMODELXNYH) QWLENIJ. iSSLEDUEM NEKOTORYE AWTOMODELXNYE PROCESSY DLQ NELINEJNYH PARABOLI^ESKIH I GIPERBOLI^ESKIH URAWNENIJ. 1. aNALIZ RAZMERNOSTEJ I GRUPPOWOJ ANALIZ MODELEJ. oDNO IZ FUNDAMENTALXNYH SWOJSTW PRIRODNYH, TEHNOLOGI^ESKIH, MNOGIH \KONOMI^ESKIH I SOCIALXNYH OB_EKTOW | SIMMETRIQ (PODOBIE, POWTORQEMOSTX, WOSPROIZWODIMOSTX) | NAHODIT SWOE OTRAVENIE W IH MATEMATI^ESKIH MODELQH. nALI^IE KAKOGO-LIBO WIDA SIMMETRII U IZU^AEMOGO QWLENIQ OZNA^AET BOLXU@ PROSTOTU OB_EKTA W SRAWNENII S EGO MENEE SIMMETRI^NYM ANALOGOM. nA \TOM OSNOWYWA@TSQ IROKO PRIMENQEMYE METODY UPRO]ENIQ MATEMATI^ESKIH MODELEJ I, SLEDOWATELXNO, METODY UPRO]ENIQ IH ANALIZA. oNI SOSTOQT W PONIVENII PORQDKA SISTEMY URAWNENIJ, OBRAZU@]IH MODELX, W UMENXENII ^ISLA PEREMENNYH, OT KOTORYH ZAWISQT ISKOMYE WELI^INY, ILI ^ISLA POSTOQNNYH PARAMETROW, OPREDELQ@]IH PROCESS, I T. D. (TAK, SIMMETRIQ FUNKCII TREH PEREMENNYH OTNOSITELXNO \TIH PEREMENNYH POZWOLILA NAJTI MAKSIMALXNO WOZMOVNOE ZNA^ENIE SKOROSTI TREHSTUPEN^ATOJ RAKETY SM. P. 4 x 1 GL. I). tIPI^NYJ PODHOD K ISPOLXZOWANI@ SWOJSTW SIMMETRII | ANALIZ RAZMERNOSTI WELI^IN, WHODQ]IH W MODELX. ~ASTX HARAKTERISTIK OB_EKTOW IZMERQETSQ W KAKIH-LIBO EDINICAH, IME@]IH NEPOSREDSTWENNYJ (MEHANI^ESKIJ, FIZI^ESKIJ, \KONOMI^ESKIJ I T. D.) SMYSL. nAPRIMER, MASSA W GRAMMAH, TEMPERATURA W GRADUSAH kELXWINA, WALOWYJ NACIONALXNYJ PRODUKT W RUBLQH. tAKIE WELI^INY NAZYWA@TSQ RAZMERNYMI, IH ^ISLENNOE ZNA^ENIE ZAWISIT OT WYBORA EDINIC IZMERENIQ. sREDI NIH WYDELQ@TSQ WELI^INY S NEZAWISIMOJ (OSNOWNOJ) RAZMERNOSTX@, ILI RAZMERNO NEZAWISIMYE WELI^INY. nAPRIMER, ESLI DLQ OPISANIQ MEHANI^ESKIH QWLENIJ ISPOLXZUETSQ SISTEMA EDINIC sgs (SANTIMETR, GRAMM, SEKUNDA), TO RAZMERNOSTI DLINY x, MASSY m I WREMENI t NEZAWISIMY I NE WYRAVA@TSQ ODNA ^EREZ DRUGU@ . w OTLI^IE OT NIH RAZMERNOSTX KINETI^ESKOJ \NERGII E = mv2 =2 OPREDELQETSQ ^EREZ RAZMERNOSTI OSNOWNYH WELI^IN PO FORMULE E] = m]x]2t];2 = G cM2 S;2 ,
x 1]
203 NAZYWAEMOJ FORMULOJ RAZMERNOSTI (ZDESX v = dx=dt, ^EREZ SIMWOL f] OBOZNA^AETSQ RAZMERNOSTX WELI^INY f). tAKIE WELI^INY NAZYWA@TSQ RAZMERNO ZAWISIMYMI. nAPOMNIM, ^TO QWLENIQ I PROCESSY MOGUT OPISYWATXSQ TAKVE I BEZRAZMERNYMI WELI^INAMI, SKAVEM, OTNOENIEM DLINY WODONOSNOGO PLASTA K EGO IRINE, POKAZATELEM STEPENI W FORMULE, DA@]EJ ZAWISIMOSTX KO\FFICIENTA TEPLOPROWODNOSTI OT TEMPERATURY, GODOWYM BANKOWSKIM PROCENTOM I T. P. sISTEMY EDINIC IZMERENIQ MOVNO WYBIRATX PO-RAZNOMU, PRI^EM SWQZI MEVDU WELI^INAMI, HARAKTERIZU@]IMI OB_EKT (POLU^AEMYE IZ ZAKONOW PRIRODY ILI INYH SOOBRAVENIJ), NE DOLVNY IZMENQTXSQ PRI IZMENENII EDINIC IZMERENIQ. nAPRIMER, WTOROJ ZAKON nX@TONA F = = ma (F | SILA, a | USKORENIE) W SISTEME si ZAPISYWAETSQ TO^NO TAK VE, KAK I W SISTEME sgs. iNWARIANTNOSTX QWLENIJ I PROCESSOW PO OTNOENI@ K IZMENENI@ EDINIC IZMERENIQ NAHODIT SWOE WOPLO]ENIE W TAK NAZYWAEMOJ ! - TE OR E ME. pUSTX IMEETSQ FUNKCIONALXNAQ SWQZX a = F (a1 a2 : : : ak ak+1 : : : an) (1) MEVDU n + 1 RAZMERNYMI WELI^INAMI a, a1 , : : :, an , GDE WELI^INY a1, : : :, ak IME@T NEZAWISIMU@ RAZMERNOSTX, I PUSTX \TA SWQZX NE ZAWISIT OT WYBORA SISTEMY EDINIC IZMERENIQ (WELI^INA a ISKOMAQ, A OSTALXNYE ZADAWAEMYE ). tOGDA SWQZX (1) MOVET BYTX ZAPISANA KAK ! = F(1 (2) | :{z: : 1} |!1 : :{z: !n;k}) primenenie metodow podobiq
k
n;k
T. E. W WIDE SOOTNOENIQ MEVDU n + 1 ; k WELI^INAMI !, !1 , : : : : : :, !n;k , PREDSTAWLQ@]IMI SOBOJ BEZRAZMERNYE KOMBINACII IZ n + + 1 RAZMERNYH WELI^IN a, a1 , : : :, an. pRI \TOM WELI^INY !, !1, : : :, !n;k SWQZANY S a, a1 , : : :, an PROSTYMI SOOTNOENIQMI a = !am1 1 am2 2 : : :amk k ak+1 = !1 al11 al22 : : :alkk (3) . . . . . . . . . . . an = !n;k ap11 ap22 : : :apkk : zDESX POKAZATELI STEPENEJ m1 , : : :, mk l1 , : : :, lk : : : p1 , : : :, pk TE VE, ^TO I W SOOTWETSTWU@]IH FORMULAH RAZMERNOSTEJ DLQ RAZMERNO ZAWISIMYH WELI^IN a, ak+1, : : :, an , NAPRIMER W FORMULE a] = = a1]m1 a2]m2 : : :ak ]mk . dOKAZATELXSTWO !-TEOREMY OSNOWANO NA INWARIANTNOSTI SWQZI (1) OTNOSITELXNO EDINIC IZMERENIQ. pREVDE WSEGO PROWEDEM OBEZRAZMERIWANIE SOOTNOENIQ (1), ISHODQ IH TOGO, ^TO L@BAQ RAZMERNO NEZAWISIMAQ WELI^INA ai, i = 1, : : :, k, MOVET BYTX PREDSTAWLENA W WIDE ai = ai i. zDESX BEZRAZMERNYJ KO\FFICIENT ai | ^ISLOWOE ZNA^ENIE WELI^INY ai
204
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
W PRIMENQEMOJ SISTEME EDINIC, A SOMNOVITELX i IMEET RAZMERNOSTX ai I HARAKTERIZUET MASTAB IZMERENIQ (DESQTKI ILI SOTNI FUNTOW, SOTNI ILI TYSQ^I GRADUSOW, MILLIONY ILI MILLIARDY RUBLEJ I T. D.). ~ISLOWYE ZNA^ENIQ BEZRAZMERNYH MNOVITELEJ DLQ RAZMERNO ZAWISIMYH WELI^IN a, ak+1, : : :, an WY^ISLQ@TSQ S ISPOLXZOWANIEM MASTABNYH MNOVITELEJ i, i = 1 : : : k, PO PRAWILU a = m1 m2a: : :mk ak+1 = l1 al2k+1 lk an = p1 pa2 n: : : pk : : : 1
k
2
1 2
k
1 2
k
NEPOSREDSTWENNO SLEDU@]EMU IZ FORMUL RAZMERNOSTEJ DLQ KAVDOJ IZ NIH. sOOTNOENIE (1) MOVNO TRAKTOWATX TAKVE I KAK SWQZX MEVDU ^ISLOWYMI ZNA^ENIQMI WELI^IN a, a1 , : : :, an (T. E. SWQZX MEVDU BEZRAZMERNYMI WELI^INAMI a, a1 , : : :, an), NE ZAWISQ]U@, PO PREDPOLOVENI@, OT EDINIC IZMERENIQ. tAKIM OBRAZOM, DLQ L@BYH NABOROW MASTABNYH MNOVITELEJ i SPRAWEDLIWO ILI
a = F (a1 a2 : : : ak ak+1 : : : an)
a m1 1 m2 2 : : :mk k =
#
!
= F a1 a2 : : : ak l1 al2k+1 lk : : : p1 pa2 n: : :pk : 1 2 k 1 2 : : :k 1 2 k pOLOVIM TEPERX 1 = a1 , 2 = a2, : : :, k = ak . dRUGIMI SLOWAMI, WYBEREM MASTABNYE MNOVITELI TAK, ^TOBY W POLU^ENNOJ SISTEME EDINIC IZMERENIQ WELI^INY a1, : : :, ak TOVDESTWENNO RAWNQLISX EDINICE. tOGDA IZ POSLEDNEGO SOOTNOENIQ NEMEDLENNO WYTEKA@T FORMULY (2) I (3). pRIMENENIE !-TEOREMY SNIVAET ^ISLO WELI^IN, FIGURIRU@]IH W OPISANII OB_EKTA, I DAET QWNYJ SPOSOB PREDSTAWLENIQ ISKOMOJ WELI^INY a (I WELI^IN ak+1 , : : :, an) ^EREZ !, !1 , : : :, !n;k I a1, : : :, ak . oN BEZRAZLI^EN K KONKRETNOMU WIDU FUNKCIONALXNOJ ZAWISIMOSTI (1), TREBUETSQ LIX DOSTATO^NAQ GLADKOSTX FUNKCII F . w ^ASTNOSTI, ESLI n = k, TO, KAK SRAZU SLEDUET IZ (2), ! = const, I a = const am1 1 am2 2 : : :amk k T. E. DLQ REENIQ POLU^AETSQ PROSTOE WYRAVENIE ^EREZ ZADAWAEMYE PARAMETRY (^TOBY ZNATX TO^NOE ZNA^ENIE a, OSTAETSQ OPREDELITX KONSTANTU). pUSTX, NAPRIMER, IZWESTNO, ^TO PERIOD KOLEBANIQ MAQTNIKA T (SM. P. 3 x 3 GL. I) NE ZAWISIT OT EGO NA^ALXNOGO OTKLONENIQ I SKOROSTI, A OPREDELQETSQ LIX EGO DLINOJ l, MASSOJ m I USKORENIEM SWOBODNOGO PADENIQ g. fUNKCIONALXNAQ SWQZX T = T(l m g) SODERVIT ^ETYRE RAZMERNYH WELI^INY, TRI IZ KOTORYH IME@T NEZAWISIMYE RAZMERNOSTI. wYBEREM W KA^ESTWE TAKOWYH T , 1l I m,1 TOGDA DLQ RAZMERNOSTI g BUDEM IMETX g] = l]T ];2, ILI T] = l] =2 g]; =2 , OTKUDA p T = const l=g:
x 1]
205 s TO^NOSTX@ DO BEZRAZMERNOGO MNOVITELQ DANNAQ FORMULA SOWPADAET S POLU^ENNOJ IZ REENIQ URAWNENIQ KOLEBANIJ MAQTNIKA (POPUTNO WYQSNQETSQ, ^TO IH PERIOD NE ZAWISIT OT m). zAMETIM, ^TO BEZRAZMERNYE PARAMETRY, HARAKTERIZU@]IE OB_EKT, PRI WARIACII EDINIC IZMERENIQ NE IZMENQ@TSQ I PO\TOMU W !-TEOREME NE FIGURIRU@T. pROCEDURA OBEZRAZMERIWANIQ (MASTABIROWANIQ ) WSEGDA POLEZNA PRI IZU^ENII MATEMATI^ESKIH MODELEJ, POSKOLXKU MOVET DATX WAVNU@ PREDWARITELXNU@ INFORMACI@ OB OB_EKTE. nAPRIMER, W REZULXTATE MASTABIROWANIQ ZADA^I P. 4 x 4 GL. IV WYQSNILOSX, ^TO EE REENIE OPREDELQETSQ FAKTI^ESKI NE ^ETYRXMQ, A LIX ODNIM PARAMETROM. pOLU^AEMYE S POMO]X@ !-TEOREMY BEZRAZMERNYE WELI^INY !1 , : : :, !n;k MOVNO NAZWATX PARAMETRAMI (KRITERIQMI ) PODOBIQ W TOM SMYSLE, ^TO RAZNYE PO SWOIM MASTABAM, NO ODINAKOWYE PO SU]NOSTI QWLENIQ I PROCESSY WEDUT SEBQ KA^ESTWENNO ODINAKOWO PRI ZADANNOM NABORE PARAMETROW !1, : : :, !n;k (I ODINAKOWO IZMENQ@TSQ PRI IH IZMENENII). iNWARIANTNOSTX MODELEJ PO OTNOENI@ K SISTEME EDINIC IZMERENIQ | ^ASTNYJ SLU^AJ BOLEE OB]IH SWOJSTW IH SIMMETRII. nAIBOLEE HOROO RAZRABOTANNYJ I IROKO PRIMENQEMYJ PODHOD, ISPOLXZU@]IJ PODOBIE MODELEJ, OSNOWAN NA TAK NAZYWAEMOM INWARIANTNO-GRUPPOWOM METODE ISSLEDOWANIQ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. dEJSTWITELXNO, BOLXINSTWO DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ, PREDSTAWLQ@]IH SOBOJ SOSTAWNU@ ^ASTX MATEMATI^ESKIH MODELEJ MNOGIH QWLENIJ, OSTA@TSQ NEIZMENNYMI (INWARIANTNYMI ) PRI NEKOTORYH PREOBRAZOWANIQH WHODQ]IH W NIH NEZAWISIMYH PEREMENNYH I ISKOMYH FUNKCIJ. nAPRIMER, URAWNENIE TEPLOPEREDA^I (5) IZ x 2 GL. II (4) c @T @t = div({ grad T) INWARIANTNO K SDWIGU WREMENI t0 = t + 0t0 I, ESLI FUNKCII c I { NE ZAWISQT OT ~r, K SDWIGU KOORDINAT ~r = ~r + ~r0. w ^ASTNOM SLU^AE c = c0 , { = {0T , T. E. PRI STEPENNOJ ZAWISIMOSTI KO\FFICIENTA TEPLOPROWODNOSTI OT TEMPERATURY, (4) 0NE MENQET0 SWOEGO WIDA PRI PREOBRAZOWANIQH RASTQVENIQ|SVATIQ: t = t, ~r = ~r, T 0 = T (^ISLA , , DOLVNY POD^INQTXSQ NEKOTOROJ SWQZI SM. UPR. 1). aNALOGI^NYMI SWOJSTWAMI OBLADA@T, KAK LEGKO WIDETX, ODNOMERprimenenie metodow podobiq
NYE URAWNENIQ GAZOWOJ DINAMIKI DLQ IDEALXNOGO POLITROPNOGO GAZA
@ 1 @v @v @p @ ; ; (5) @t = @m @t = ; @m @t p = 0 ZAPISANNYE W MASSOWYH KOORDINATAH (SM. PP. 5, 7 x 4 GL. II). nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO W TOM ILI INOM WIDE INWARIANTNOSTX PRISU]A BOLXINSTWU POSTROENNYH W GL. I{IV MODELEJ. rASSMOTRENNYE WYE PREOBRAZOWANIQ PEREMENNYH I RAZLI^NYE IH KOMBINACII I OBOB]ENIQ OTNOSQTSQ K KLASSU TAK NAZYWAEMYH TO^E^NYH PREOBRAZOWANIJ, ILI PREOBRAZOWANIJ lI (PROIZWODNYE OT WELI^IN
206
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
NE PREOBRAZU@TSQ). pUSTX ONI K TOMU VE UDOWLETWORQ@T NEKOTORYM DOPOLNITELXNYM USLOWIQM (PREDSTAWLQ@T SOBOJ GRUPPU). tOGDA DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE, DOPUSKA@]EE GRUPPU lI, MOVET BYTX UPRO]ENO: LIBO PONIVAETSQ EGO PORQDOK, LIBO UMENXAETSQ ^ISLO NEZAWISIMYH PEREMENNYH, OPREDELQ@]IH ISKOMYE FUNKCII. oDNA IZ CELEJ GRUPPOWOGO ANALIZA | OPREDELENIE WSEH GRUPP PREOBRAZOWANIJ, DOPUSKAEMYH DANNYM URAWNENIEM ILI SISTEMOJ URAWNENIJ, I SOOTWETSTWU@]IH \TIM GRUPPAM TAK NAZYWAEMYH INWARIANTNYH REENIJ URAWNENIJ. s TO^KI ZRENIQ ISSLEDOWANIQ MATEMATI^ESKIH MODELEJ WAVNY, PREVDE WSEGO, NE SLOVNAQ I GROMOZDKAQ PROCEDURA GRUPPOWOGO ANALIZA, A EGO KONE^NYE ITOGI PRIMENITELXNO K KONKRETNOMU URAWNENI@ (DLQ BOLXINSTWA BAZOWYH MATEMATI^ESKIH MODELEJ \TI REZULXTATY POLU^ENY). pRIWEDEM W KA^ESTWE WAVNOGO ^ASTNOGO PRIMERA ITOG GRUPPOWOGO ANALIZA URAWNENIQ (4) PRI c = 1, { = { (T ) W ODNOMERNOM SLU^AE (TABL. 3). nOMERA W LEWOM STOLBCE TABLICY OTWE^A@T RAZLI^NYM GRUPPOWYM PREOBRAZOWANIQM, A W EE KLETKAH PRIWEDENY SOOTWETSTWU@]IE IM INWARIANTNYE REENIQ DLQ RAZLI^NYH WIDOW (SPECIFIKACIJ) FUNKt A BL IC A 3
gRUPPOWAQ KLASSIFIKACIQ URAWNENIQ @T = @ {(T ) @T @t @x @x
1 2 3 4
{(T ) PROIZWOLXNOE
T = f ( ), T = f ( ), T = f ( ), T = f ( ),
=x
=t
=x;t
= x2 =t
{(T ) = eT
{(T ) = T ( 6= ;4=3)
T = t1=(2) f ( )
= xt = ;( + =2)=(2)
5
|
T = 1 ln x + f ( ) 1 2
= tx T = ln t + f ( )
= x ( = 0)
6
|
T = x + f ( )
= tex
T = et f ( )
= xe;t=2
7
|
T = 2t + f ( )
= xe;t
T = ex f ( )
= tex
;
T = t;1= f ( )
= x ( = ;=2)
x 1]
primenenie metodow podobiq
207
CII { (T ). sIMWOL OZNA^AET POWTOR WYRAVENIQ, STOQ]EGO W STROKE SLEWA, PRO^ERK | OTSUTSTWIE INWARIANTNYH REENIJ. ~EREZ OBOZNA^EN INWARIANT | KOMBINACIQ, NE IZMENQ@]AQSQ PRI DANNOM PREOBRAZOWANII. pRI PODSTANOWKE INWARIANTNOGO REENIQ T(x t) W ODNOMERNOE URAWNENIE (4) POLU^AETSQ OBYKNOWENNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE OTNOSITELXNO FUNKCII f() (TAKVE INWARIANT PREOBRAZOWANIQ). iSSLEDOWATX EGO GORAZDO PRO]E, ^EM ISHODNOE URAWNENIE W ^ASTNYH PROIZWODNYH. dALEE NE PREDSTAWLQET TRUDA WYPISATX FUNKCI@ T (x t) ^EREZ f() I IZU^ITX EE SWOJSTWA, ESLI IZWESTNY SWOJSTWA f(). gRUPPOWYE PREOBRAZOWANIQ S NOMERAMI 1{4 OSNOWNYE, POSKOLXKU DOPUSKA@TSQ PRI PROIZWOLXNYH SPECIFIKACIQH FUNKCII { (T). sLU^AJ 1 | STACIONARNOE REENIE (INWARIANTNOSTX (4) PO OTNOENI@ K SDWIGU PO t), 2 | POSTOQNNOE PO PROSTRANSTWU REENIE (INWARIANTNOSTX K SDWIGU PO x), 3 | REENIE TIPA BEGU]EJ WOLNY (INWARIANTNOSTX K ODNOWREMENNOMU SDWIGU PO t I x), 4 | REENIE S POSTOQNNYM ZNA^ENIEM FUNKCII T(x t) W TO^KE x = 0 (INWARIANTNOSTX K PREOBRAZOWANIQM WIDA t0 = 2t, x0 = x, T 0 (x0 t0) = T(x t)). rASIRENIQ OSNOWNOJ GRUPPY (NAZYWAEMYE PODGRUPPAMI ) PROISHODQT PRI KONKRETIZACIQH { (T) = eT , { (T ) = T FUNKCII { (T ). tAK, DLQ REENIJ PQTOJ PODGRUPPY WELI^INA INWARIANTNA K PREOBRAZOWANI@ RASTQVENIQ-SVATIQ, KOTOROE W \TOM SLU^AE DOPUSKAETSQ ISHODNYM URAWNENIEM (POQSNIM: REENIE 4 OTWE^AET FAKTI^ESKI ^ASTNOMU SLU^A@ PREOBRAZOWANIJ RASTQVENIQ-SVATIQ DLQ PROIZWOLXNOJ FUNKCII { (T), A DLQ { (T) = T IM OTWE^A@T REENIQ W RAZDELQ@]IHSQ PEREMENNYH). rEENIQ DLQ PODGRUPP 6 I 7 POROVDA@TSQ KOMBINACIEJ IZ PREOBRAZOWANIJ SDWIGA I RASTQVENIQ-SVATIQ. zAMETIM: WID PO^TI WSEH INWARIANTNYH REENIJ IZ TABL. 3 BYL POLU^EN E]E DO GRUPPOWOGO ANALIZA IZ DRUGIH SOOBRAVENIJ (IZ TEORII RAZMERNOSTEJ, PREDELXNYMI PEREHODAMI, UGADYWANIEM REENIQ I PRQMOJ PODSTANOWKOJ EGO W URAWNENIE (4)). oDNAKO \TO NE UMALQET DOSTOINSTWA DANNOGO METODA, PO KRAJNEJ MERE W SILU DWUH PRI^IN. oN DAET STROGIJ I IS^ERPYWA@]IJ OTWET OB OSNOWNOJ GRUPPE PREOBRAZOWANIJ I O TEH SPECIFIKACIQH URAWNENIJ (MODELEJ), PRI KOTORYH \TA GRUPPA RASIRQETSQ (ZARANEE IZWESTNO, ^TO DRUGIE SPECIFIKACII { (T) W URAWNENII (4), SKAVEM, WIDA { (T ) = ln(1 + T), NE DOPUSKA@T DOPOLNITELXNYH K OSNOWNYM REENIJ). kROME TOGO, SWOJSTWA SIMMETRII URAWNENIJ MOGUT BYTX WESXMA RAZNOOBRAZNYMI I NEOVIDANNY MI. nAPRIMER, DLQ NE OPISANNOGO W TABL. 3 SLU^AQ { = T , = ;4=3 URAWNENIE (4) IMEET BOLXOE ^ISLO NETRIWIALXNYH PREOBRAZOWANIJ, OPREDELQEMYH LIX S POMO]X@ GRUPPOWOGO ANALIZA, PREDSTAWLQ@]EGO SOBOJ REGULQRNYJ SPOSOB UPRO]ENIQ MATEMATI^ESKIH MODELEJ. pOD^ERKNEM TAKVE, ^TO \TOT METOD IZU^AET SWOJSTWA DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ KAK TAKOWOGO, T. E. SWOJSTWA LIX ^ASTI MODELI ISHODNOGO OB_EKTA (BEZ DRUGIH WHODNYH DANNYH, NAPRIMER BEZ KRAEWYH USLOWIJ). pO\TOMU PRIGODNOSTX POLU^AEMYH NA EGO OSNOWE TEH ILI INYH INWARIANTNYH REENIJ DLQ OPISANIQ KONKRETNOGO QWLENIQ DOLVNA ISSLEDOWATXSQ DOPOLNITELXNO. w OTLI^IE OT GRUPPOWOGO ANALIZA, TEORIQ RAZMERNOSTEJ (EE MOVNO RASSMATRIWATX KAK PRIMENE-
208
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
NIE ^ASTNOGO SLU^AQ GRUPPOWOJ SIMMETRII, SWODQ]EJSQ K RASTQVENI@SVATI@ EDINIC IZMERENIQ) I WYTEKA@]AQ IZ NEE !-TEOREMA OPERIRU@T S MODELX@ WO WSEJ EE POLNOTE. 2. aWTOMODELXNYE (SAMOPODOBNYE) PROCESSY. sREDI INWARIANTNYH REENIJ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ WYDELQETSQ WAVNYJ KLASS SAMOPODOBNYH, ILI AWTOMODELXNYH REENIJ (SMYSL \TOGO NAZWANIQ STANET PONQTNYM ^UTX NIVE). k NIM PRINQTO OTNOSITX IROKO ISPOLXZUEMYE REENIQ TIPA BEGU]EJ WOLNY (SLU^AJ 4 IZ TABL. 3 DLQ { = T SM. TAKVE UPR. 4 x 2 GL. II), STEPENNYE AWTOMODELXNYE REENIQ (SLU^AJ 5 SM. TAKVE UPR. 3 x 2 GL. II) I \KSPONENCIALXNYE AWTOMODELXNYE REENIQ (SLU^AI 6, 7). uBEDIMSQ W POLEZNOSTI POSTROENIQ I ANALIZA AWTOMODELXNYH REENIJ DLQ ISSLEDOWANIQ MATEMATI^ESKIH MODELEJ. w KA^ESTWE PERWOGO PRIMERA RASSMOTRIM REENIQ TIPA BEGU]EJ WOLNY DLQ SISTEMY URAWNENIJ (5). oNI I]UTSQ W WIDE (m t) = () = (m ; Dt) v(m t) = v() = v(m ; Dt) p(m t) = p() = p(m ; Dt) GDE D > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ. pODSTAWLQQ \TI WYRAVENIQ W (5) S ZAMENOJ DLQ EDINOOBRAZIQ TRETXEGO URAWNENIQ DIWERGENTNYM URAWNENIEM \NERGII (21) x 4 GL. II, POLU^IM WMESTO URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH SISTEMU TREH OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ dv + dp = 0 ;D d " + v2 + d (pv) = 0 = 0 ; D D dd 1 + dv d d d d 2 d GDE "() = "(m ; Dt) | WNUTRENNQQ \NERGIQ GAZA (" = "(p )). iNTEGRIRUQ IH W PROIZWOLXNYH PREDELAH 0, 1 , UBEVDAEMSQ W TOM, ^TO BEGU]AQ WOLNA OTWE^AET TE^ENIQM, W KOTORYH SOHRANQ@TSQ TRI INTEGRALA: 2
D 1 + v = C ;Dv + p = Cp D" + D v2 ; pv = C":
(6)
w SLU^AE NEPRERYWNYH TE^ENIJ INTEGRALY (6) DA@T EDINSTWENNOE REENIE | POSTOQNNYE PRI WSEH ZNA^ENIQ , v, p, ". nETRIWIALXNYJ REZULXTAT POLU^AETSQ, ESLI U^ESTX, ^TO URAWNENIQ GAZOWOJ DINAMIKI BLAGODARQ SU]ESTWOWANI@ W NIH GRADIENTNOJ KATASTROFY MOGUT DOPUSKATX RAZRYWNYE REENIQ (SM. P. 7 x 4 GL. II). pUSTX RAZRYW FUNKCIJ (), v(), p() RASPOLOVEN W TO^KE = 0. w OBLASTQH > 0, < 0, T. E. SPRAWA I SLEWA OT NEGO, TE^ENIE, O^EWIDNO, POSTOQNNO I HARAKTERIZUETSQ NABORAMI WELI^IN 0 , v0 , p0 I 1 , v1, p1 (SM. RIS. 68, NA KOTOROM REENIE IZOBRAVENO KAK FUNKCIQ KOORDINATY m W MOMENTY WREMENI t1 , t2 , t3 t1 < t2 < t3 ). sKA^OK GAZODINAMI^ESKIH PARAMETROW NE PROIZWOLEN. pOKAVEM \TO, ANALIZIRUQ SMYSL NAPISANNYH WYE INTEGRALOW (SPRAWEDLIWYH TAKVE I DLQ RAZRYWNYH TE^ENIJ).
x 1]
209 oPISYWAEMYJ AWTOMODELXNYM REENIEM RAZRYW DWIVETSQ PO MASSE GAZA S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ D. nEIZMENNOSTX MASSOWOJ SKOROSTI primenenie metodow podobiq
rIS. 68
OBESPE^IWAET RAWENSTWO POTOKA WE]ESTWA I = D, WTEKA@]EGO S ODNOJ STORONY RAZRYWA I WYTEKA@]EGO S DRUGOJ EGO STORONY. nARUENIE \TOGO ESTESTWENNOGO FIZI^ESKOGO TREBOWANIQ OZNA^ALO BY POQWLENIE ILI IS^EZNOWENIE PRI PEREHODE ^EREZ NEGO KAKOGO-TO KOLI^ESTWA WE]ESTWA. pOTOK WTEKA@]EJ MASSY RAWEN, PO OPREDELENI@, I 0 = = D = 0 (u ; v0 ), A WYTEKA@]EJ I 1 = D = 1 (u ; v1 ), GDE u | \JLEROWA SKOROSTX DWIVENIQ RAZRYWA, PRI^EM u ; v0 > 0 I u ; v1 > > 0. pERWYJ INTEGRAL (6), KAK SLEDUET IZ RAWENSTWA I = I 0 = I 1 , PREDSTAWLQET SOBOJ TOVDESTWO u = u. oBRATIMSQ KO WTOROMU INTEGRALU (6), ZAPISAW EGO DLQ WELI^IN S INDEKSAMI 0 I 1: Cp0 = p0 + 0 (u ; v0 )2 ; I u Ip0 ; I u Cp1 = p1 + 1 (u ; v1 )2 ; I u Ip1 ; I u: fIGURIRU@]IE W \TIH RAWENSTWAH WELI^INY Ip0 , Ip1 SUTX POTOKI IMPULXSA Ip SPRAWA I SLEWA OT RAZRYWA. pOSKOLXKU Cp = Cp0 = Cp1 , TO ONI TAKVE RAWNY: Ip = Ip0 = Ip1 . iNA^E PRI PEREHODE ^EREZ BESKONE^NO TONKU@ POWERHNOSTX RAZRYWA ^ASTICY WE]ESTWA POLU^ALI BY PRIRA]ENIE IMPULXSA, ^TO WOZMOVNO LIX PRI NALI^II DEJSTWU@]IH NA NEM BESKONE^NO BOLXIH SIL. nAKONEC, TRETIJ INTEGRAL (6) POSLE NESLOVNYH WYKLADOK ZAPISY-
WAETSQ PO OBE STORONY RAZRYWA W WIDE C"0 = I"0 ; u Ip0 + I 0 u2 C"1 = I"1 ; u Ip1 + I 1 u2 GDE I" = (u ; v) " + (u ; v) (u ; v2 )=2 + p (u ; v) | POTOK \NERGII. pOSKOLXKU W BEGU]EJ WOLNE WELI^INA C" POSTOQNNA I, KAK UVE USTANOWLENO WYE, POSTOQNNY WELI^INY I , Ip , TO TAKVE POSTOQNEN POTOK \NERGII I" , ^TO OZNA^AET RAWENSTWO I"0 = I"1 . |NERGIQ, WTEKA@]AQ W RAZRYW, RAWNA WYTEKA@]EJ IZ NEGO \NERGII (PROTIWNOE OZNA^ALO BY SU]ESTWOWANIE WNUTRI NEGO ISTO^NIKOW \NERGII BESKONE^NOJ INTENSIWNOSTI). 14 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
210
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
u^ITYWAQ REZULXTATY, SLEDU@]IE IZ ANALIZA INTEGRALOW (6), PRIHODIM K WYWODU O NEPRERYWNOSTI POTOKOW MASSY, IMPULXSA I \NERGII PRI PEREHODE ^EREZ POWERHNOSTX RAZRYWA GAZODINAMI^ESKIH PARAMETROW: I 0 = I 1 Ip0 = Ip1 I"0 = I"1 :
zAMETIM, ^TO \TOT WYWOD SPRAWEDLIW TAKVE I W SLU^AE D = 0 (KONTAKTNYJ RAZRYW ). dLQ DWIVU]EGOSQ PO MASSE GAZA RAZRYWA (UDARNOJ WOLNY ) IZ USTANOWLENNYH RAWENSTW NETRUDNO NAJTI PRI IZWESTNOJ SKOROSTI D USLOWIQ g@GONIO | ODNOZNA^NU@ SWQZX MEVDU WELI^INAMI DO I POSLE SKA^KA (SM. UPR. 2, 3). |TI USLOWIQ MOVNO TAKVE POLU^ITX I S POMO]X@ NEPOSREDSTWENNOGO WY^ISLENIQ POTOKOW PO OBE STORONY UDARNOJ WOLNY. oDNAKO AWTOMODELXNYE REENIQ TIPA BEGU]EJ WOLNY W SILU IH SWOJSTW POZWOLQ@T AWTOMATI^ESKI POLU^ATX USLOWIQ g@GONIO DLQ BOLXOGO ^ISLA MODELEJ SPLONYH SRED, W ^ASTNOSTI DLQ SITUACIJ, KOGDA SKA^OK PROISHODIT NE W BESKONE^NO TONKOM SLOE, A IMEET PROSTRANSTWENNU@ PROTQVENNOSTX, OBUSLOWLENNU@ WSEGDA PRISUTSTWU@]IMI W WE]ESTWE DISSIPATIWNYMI PROCESSAMI. pRI \TOM URAWNENIQ DLQ BEGU]EJ WOLNY OPISYWA@T E]E I STRUKTURU PEREHODNOGO SLOQ. zAMETIM, ^TO USLOWIQ g@GONIO DOPUSKA@T KAK SKA^KI SVATIQ, KOGDA DAWLENIE, PLOTNOSTX I WNUTRENNQQ \NERGIQ GAZA ZA UDARNOJ WOLNOJ WOZRASTA@T, TAK, FORMALXNO, I SKA^KI RAZREVENIQ. pOSLEDNIE, ODNAKO, MOGUT REALIZOWYWATXSQ LIX PRI NALI^II W SREDE SOOTWETSTWU@]IH FIZI^ESKIH PROCESSOW, NAPRIMER, SPECIALXNOGO TIPA HIMI^ESKIH REAKCIJ. sAMOPODOBNOSTX, ILI AWTOMODELXNOSTX, POSTROENNOGO REENIQ HOROO WIDNA NA RIS. 68: ONO BEZ IZMENENIJ WOSPROIZWODITSQ W RAZLI^NYE MOMENTY WREMENI NA RAZLI^NYH U^ASTKAH WE]ESTWA. rEENIE PONIMAETSQ W OBOB]ENNOM SMYSLE, POSKOLXKU ONO UDOWLETWORQET DIFFERENCIALXNYM URAWNENIQM (5) LIX W OBLASTQH NEPRERYWNOGO TE^ENIQ. rASSMATRIWAEMOE W OBLASTI ;1 < m < 1, ONO PREDSTAWLQET SOBOJ ODNO IZ OBOB]ENNYH REENIJ ZADA^I kOI DLQ URAWNENIJ GAZOWOJ DINAMIKI. eSLI VE W KAKOJ-LIBO TO^KE S FIKSIROWANNOJ MASSOWOJ KOORDINATOJ, SKAVEM, W TO^KE m = 0, ZADA@TSQ SOOTWETSTWU@]IE GRANI^NYE USLOWIQ, TO EGO MOVNO TRAKTOWATX KAK REENIE W OBLASTI m > 0 ZADA^I O PORNE, WDWIGA@]EMSQ S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ W SREDU S POSTOQNNYMI PARAMETRAMI. iZU^IM TEPERX STEPENNOE AWTOMODELXNOE REENIE DLQ ^ASTNOGO SLU^AQ URAWNENIQ (4)
@T = @ k T @T @t @x 0 @x
(7)
OPISYWA@]EGO RASPROSTRANENIE TEPLA W NEOGRANI^ENNOJ SREDE (;1 < < x < 1) OT MGNOWENNOGO TO^E^NOGO ISTO^NIKA. w MOMENT t = 0 W TO^KE x = 0 WYDELQETSQ KOLI^ESTWO TEPLA Q0 . dANNAQ POSTANOWKA POLNOSTX@ SOWPADAET S POSTANOWKOJ ANALOGI^NOJ ZADA^I IZ P. 5 x 2 GL. II, S TOJ
x 1]
211 RAZNICEJ, ^TO KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI (TO^NEE, TEMPERATUROPROWODNOSTI ) k(T ) = k0 T , > 0, NE POSTOQNEN, A QWLQETSQ RASTU]EJ STEPENNOJ FUNKCIEJ TEMPERATURY. dLQ NAHOVDENIQ AWTOMODELXNOGO REENIQ ISPOLXZUEM !-TEOREMU. o^EWIDNO, ONO ZAWISIT OT ^ETYREH OPREDELQ@]IH PARAMETROW x, t, k0, Q0, T. E. T = T (x t k0 Q0). dANNOE RAWENSTWO SWQZYWAET PQTX RAZMERNYH WELI^IN, TRI IZ KOTORYH IME@T NEZAWISIMYE RAZMERNOSTI. sLEDOWATELXNO, SOGLASNO !-TEOREME ONO SWODITSQ K FUNKCIONALXNOJ ZAWISIMOSTI ! = F(!1) MEVDU DWUMQ BEZRAZMERNYMI WELI^INAMI, !, !1 . wYBEREM W KA^ESTWE RAZMERNO ZAWISIMYH WELI^INY Q0 , x, t. tOGDA IZ URAWNENIQ (7) DLQ k0 SLEDUET FORMULA RAZMERNOSTI k0] = = Q0]; x];2=t]. fORMULU RAZMERNOSTI T] = Q0]=x] DLQ T POLU^AEM primenenie metodow podobiq
IZ USLOWIQ
Q0 =
Z1 ;1
T (x t) dx
t > 0
OZNA^A@]EGO SOHRANENIE PERWONA^ALXNO WYDELIWEJSQ \NERGII W NEOGRANI^ENNOJ SREDE BEZ ISTO^NIKOW I STOKOW TEPLA. iZ !-TEOREMY I FORMUL RAZMERNOSTI IMEEM
! = T(x t) xQ;0 1 !1 = k0 tx;(2+) Q0 I, S U^ETOM SWQZI ! = F (!1 ), T (x t) xQ;0 1 = F(k0tx;(2+) Q0 ): pEREPIEM POSLEDNEE RAWENSTWO W WIDE, PRINQTOM W TABL. 3, WWODQ OBOZNA^ENIE = !;1 1=(+2) :
T(x t) = Q0 x;1F(!1) = Q0x;1 () = Q02+ k0; 2+ t; 2+1 () ILI, OBOZNA^AQ () ^EREZ f(), 1
2
T(x t) = Q02+ k0; 2+ t; 2+1 f() = Q;0 2+ k0; 2+ t; 2+1 x: (8) bEZRAZMERNYJ INWARIANT NAZYWAETSQ AWTOMODELXNOJ PEREMENNOJ, FUNKCIQ f() | BEZRAZMERNOJ FUNKCIEJ (PREDSTAWITELEM) TEMPERATURY, RAZMERNYJ MNOVITELX PERED f() W (8) | MASTABNYM MNOVITELEM. fIKSIROWANNYM AWTOMODELXNYM SOSTOQNIEM NAZYWAETSQ SOSTOQNIE, SOOTWETSTWU@]EE FIKSIROWANNOJ AWTOMODELXNOJ KOORDINATE = 0 . aNALIZ RAZMERNOSTEJ DAET WOZMOVNOSTX POLU^ITX CENNU@ PREDWARITELXNU@ INFORMACI@ O PROCESSE, NE NAHODQ POLNOSTX@ REENIQ ZADA^I. tAK, TEMP IZMENENIQ SO WREMENEM REENIQ W TO^KE = 0, W ^ASTNOSTI, W TO^KE = 0, OPREDELQETSQ LIX MASTABNYM MNOVITELEM. pO\TOMU W NA^ALE KOORDINAT x = 0 ( = 0) TEMPERATURA UBYWAET 2
1
PO ZARANEE IZWESTNOMU ZAKONU 14
T(0 t) t; 2+1 f(0):
1
212
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
tAKVE ZARANEE IZWESTNA SKOROSTX ROSTA SO WREMENEM KOORDINATY x DLQ SOSTOQNIQ = 0: x(0 ) t 2+1 0: eSLI PRINQTX T (0 t) ZA HARAKTERNU@ TEMPERATURU NAGRETOJ OBLASTI, A x(0) | ZA EE HARAKTERNYJ RAZMER, TO IH PROIZWEDENIE T(0 t) x(0) NE ZAWISIT OT WREMENI, ^TO SOGLASUETSQ S USLOWIEM POSTOQNSTWA TEPLOWOJ \NERGII Q0, SODERVA]EJSQ W SREDE. pODSTAWIW (8) W (7) I PROWEDQ DIFFERENCIROWANIE, POLU^IM NELINEJNOE OBYKNOWENNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA OTNOSITELXNO f(): f + f 0 = ;(f f 0 )0: 2+ 2+ pREOBRAZUEM EGO K WIDU
1 0 00 (2 + ) (f) + (f f ) = 0 I ODIN RAZ PROINTEGRIRUEM: 1 0 (2 + ) f + f f = s1 : zDESX C1 = 0, TAK KAK PRI = 0 REENIE S^ITAETSQ OGRANI^ENNYM (f(0) < 1), GLADKIM I, PO POSTROENI@, SIMMETRI^NYM, T. E. f 0 (0) = = 0. pRI C1 = 0 PEREMENNYE W POSLEDNEM URAWNENII RAZDELQ@TSQ I ONO LEGKO INTEGRIRUETSQ: 1= 2 f() = ( ; ) 2 (2 + ) j j 6 : pOSKOLXKU POLU^ENNAQ FORMULA PRI j j > DAET OTRICATELXNYE ZNA^ENIQ, TO W \TOJ OBLASTI f() POLAGAETSQ RAWNOJ NUL@ (REENIE W TO^KAH j j = SIWAETSQ S TRIWIALXNYM REENIEMR ). wELI^INA R 1 f() = () > 0 OPREDELQETSQ IZ RAWENSTWA ;1 d = ; f() d = = 1 | BEZRAZMERNOGO ANALOGA USLOWIQ POSTOQNSTWA \NERGII W SREDE (2 + )+1 21; ; (1=2 + 1=3) +21 = ; (1=) =2 GDE ; | GAMMA-FUNKCIQ. iSPOLXZUQ (8), PRIHODIM K OKON^ATELXNOMU WIDU REENIQ ZADA^I O MGNOWENNOM TO^E^NOM ISTO^NIKE TEPLA W NELINEJNOJ SREDE: T (x t) = 8 2 1
1= >
:0 jxj > x (t): zDESX x (t) = (Q0 k0 )1=(2+) t1=(2+) .
x 1]
primenenie metodow podobiq
213
rEENIE (9) OBOB]ENNOE, TAK KAK PRI DOSTATO^NO BOLXIH EGO PROIZWODNYE PO x I t W TO^KAH jxj = x (t) NE SU]ESTWU@T I W NIH ONO NE UDOWLETWORQET URAWNENI@ (7) W KLASSI^ESKOM SMYSLE (SM. UPR. 4). oDNAKO ESTESTWENNOE FIZI^ESKOE TREBOWANIE NEPRERYWNOSTI POTOKA TEPLA W(x t) = ;k0T @T=@x W TO^KAH jxj = x (t), KAK I DLQ REENIQ (21) x 2 GL. II, WYPOLNQETSQ (PROTIWNOE OZNA^ALO BY NALI^IE W \TIH TO^KAH ISTO^NIKOW ILI STOKOW \NERGII BESKONE^NOJ INTENSIWNOSTI). rASPROSTRANENIE TEPLA PROISHODIT W WIDE WOLNY, OHWATYWA@]EJ SO WREMENEM WSE NOWYE I NOWYE U^ASTKI WE]ESTWA (RIS. 69). oNA DWIVETSQ PO SREDE S KONE^NOJ SKOROSTX@ (SR. S REENIEM (20) x 2 GL. II DLQ SLU^AQ = 0). fRONT WOLNY | TO^KA, OTDELQ@]AQ NAGRETU@ ^ASTX PROSTRANSTWA OT HOLODNOJ, | PRODWIGAETSQ PO ZAKONU x (t) t 2+1 , OTWE^AQ ODNOWREMENNO KAK FIKSIROWANNOMU AWTOMODELXNOMU SOSTOQNI@ = , TAK I FIKSIROWANNOMU FIZI^ESKOMU SOSTOQNI@ T (x (t) t) = 0.
rIS. 69
sAMOPODOBIE REENIQ (9) IMEET NESKOLXKO INOE GEOMETRI^ESKOE WYRAVENIE, ^EM W PREDYDU]EM PRIMERE. kRIWYE NA RIS. 69 MOVNO SOWMESTITX W ODNU (W FUNKCI@ f()) POSLE IH AWTOMODELXNOJ OBRABOTKI | SOOTWETSTWU@]IH PREOBRAZOWANIJ RASTQVENIQ-SVATIQ KAK ARGUMENTOW x, t, TAK I FUNKCII T(x t). oSOBU@ ROLX AWTOMODELXNYE REENIQ IGRA@T DLQ NELINEJNYH MODELEJ KAK WAVNYE ^ASTNYE REENIQ, RASKRYWA@]IE TE ILI INYE SWOJSTWA OB_EKTOW. iH IZU^ENIE SPOSOBSTWUET WYRABOTKE SWOEGO RODA \LEMENTARNOGO QZYKA NELINEJNYH QWLENIJ (UDARNAQ WOLNA, TEPLOWAQ WOLNA I T. D.). oDNAKO \TIM IH ZNA^ENIE DALEKO NE OGRANI^IWAETSQ. pRI OPREDELENNYH USLOWIQH ONI SLUVAT PROMEVUTO^NYMI ASIMPTOTIKAMI DLQ BOLXOGO KLASSA FORMALXNO NEAWTOMODELXNYH PROCESSOW. o^EWIDNO, ^TO WYDELENIE TEPLOWOJ \NERGII W KAKOJ-TO ^ASTI WE]ESTWA NE MOVET BYTX NI MGNOWENNYM, NI TO^E^NYM. tEM NE MENEE EE RASPROSTRANENIE W SREDE (S k(T ) = k0T , > 0), DOSTATO^NO HOLODNOJ W MOMENT t = 0, PO ISTE^ENII DOSTATO^NO BOLXOGO WREMENI I PRI DOSTATO^NO BOLXIH ZNA^ENIQH x (t) S HOROEJ TO^NOSTX@ OPISYWAET-
214
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
SQ REENIEM (9). dETALI NA^ALXNOJ STADII ZABYWA@TSQ, I PROCESS WYHODIT NA SAMOPODOBNYJ REVIM (NA PROMEVUTO^NU@ ASIMTOTIKU). 3. rAZLI^NYE REVIMY RASPROSTRANENIQ WOZMU]ENIJ W NELINEJNYH SREDAH. eSLI NELINEJNAQ MODELX OBLADAET BOGATYMI GRUPPOWYMI SWOJSTWAMI, TO POQWLQETSQ WOZMOVNOSTX POLU^ATX NE OTDELXNYE REENIQ, A NABORY PROMEVUTO^NYH ASIMPTOTIK S RAZNOOBRAZNYMI SWOJSTWAMI. iZU^IM RAZLI^NYE REVIMY RASPROSTRANENIQ TEPLA, OPISYWAEMYE URAWNENIEM (7). pROCESS RASSMATRIWAETSQ W POLUOGRANI^ENNOJ SREDE 0 < x < 1, HOLODNOJ W MOMENT t = t0: T (x t0) = T0(x) = 0 0 < x < 1 (10) I NAGREWAEMOJ S LEWOJ GRANICY TAKIM OBRAZOM, ^TO TEMPERATURA W TO^KE x = 0 RASTET SO WREMENEM PO ZAKONU T(0 t) = A0 (tf ; t)n n < 0 t0 6 t < tf < 1: (11) zADA^A (7), (10), (11) IMEET SMYSL LIX PRI t < tf , POSKOLXKU W KONE^NYJ MOMENT t = tf GRANI^NAQ TEMPERATURA OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX. pROCESSY PODOBNOGO TIPA NAZYWA@TSQ REVIMAMI S OBOSTRENIEM I QWLQ@TSQ MATEMATI^ESKOJ IDEALIZACIEJ MNOGIH REALXNO NABL@DAEMYH QWLENIJ, POROVDAEMYH GEOMETRIEJ OB_EKTOW, IH NELINEJNOSTX@ I T. D. k NIM OTNOSQTSQ, NAPRIMER, SHOVDENIE SFERI^ESKOJ UDARNOJ WOLNY K EE CENTRU, SHLOPYWANIE PUZYRXKOW WOZDUHA W VIDKOSTQH I DRUGIE WIDY KUMULQCII (GEOMETRI^ESKIJ FAKTOR). dRUGOJ PRIMER: ROST ^ISLENNOSTI NASELENIQ zEMLI N(t) HOROO OPISYWAETSQ W TE^ENIE NESKOLXKIH POSLEDNIH WEKOW ZAKONOM N(t) = N0 =(tf ; t), tf = 2026 (GOD), SLEDU@]IM IZ POPULQCIONNOJ MODELI dN=dt = 0N 2 (SM. P. 2 x 6 GL. I SILXNAQ NELINEJNOSTX). rEENIE ZADA^I (7), (10), (11) OPREDELQETSQ, O^EWIDNO, WELI^INAMI x, t, k0, A0 , t0 , tf . fUNKCIONALXNAQ SWQZX T = T (x t k0 A0 t0 tf ) SODERVIT SEMX PARAMETROW, TRI IZ KOTORYH QWLQ@TSQ RAZMERNO NEZAWISIMYMI. iZBAWIMSQ OT MEA@]IH AWTOMODELXNOSTI PARAMETROW t0, tf . wOZXMEM (BEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI) MOMENT OBOSTRENIQ tf = = 0 I BUDEM RASSMATRIWATX PROCESS PRI ;1 6 t < 0, T. E. POLOVIM t0 = ;1 (WREMQ PO-PREVNEMU WOZRASTAET, TE^ET OT PROLOGO K BUDU]EMU). sFORMULIROWANNAQ TAKIM OBRAZOM ZADA^A STANOWITSQ, PO !-TEOREME, AWTOMODELXNOJ. pROWODQ WYKLADKI, ANALOGI^NYE PRIMENQWIMSQ PRI WYWODE FORMULY (8), POLU^IM WID ISKOMOGO AWTOMODELXNOGO REENIQ: 1 1+n T (x t) = A0 (;t)n f() = k0; =2 A;0 =2 (;t); 2 x > 0: (12) pODSTANOWKA (12) W (7) DAET DLQ NAHOVDENIQ f() OBYKNOWENNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA (S KRAEWYMI USLOWIQMI, WYTEKA@]IMI IZ (10), (11)):
d df 1 + n df d f d ; 2 d + nf = 0
f(1) = 0 f(0) = 1: (13)
x 1]
215 uRAWNENIE (13) W SWO@ O^EREDX DOPUSKAET PREOBRAZOWANIE PODOBIQ 0 = = , f 0 = f, = 2= (RASTQVENIE-SVATIE) I PO\TOMU SWODITSQ K URAWNENI@ PERWOGO PORQDKA (UPR. 5), ISSLEDUEMOGO STANDARTNYMI METODAMI. aNALIZ POKAZYWAET, ^TO REENIE ZADA^I (13) SU]ESTWUET PRI WSEH n < 0, > 0, EDINSTWENNO I MONOTONNO. eGO SWOJSTWA OPREDELQ@TSQ SOOTNOENIEM MEVDU PARAMETRAMI n (SKOROSTX ROSTA GRANI^NOJ TEMPERATURY) I (NELINEJNOSTX SREDY). kRITI^ESKIM QWLQETSQ ZNA^ENIE n = ;1=, PRI KOTOROM W URAWNENII (13) WTOROJ ^LEN WYPADAET I ONO INTEGRIRUETSQ QWNYM OBRAZOM (UPR. 6). pEREPISYWAQ EGO S POMO]X@ (12) W ISHODNYH PEREMENNYH,
IMEEM
primenenie metodow podobiq
8 = > :0 1
GDE
2
x 6 x x > x
(14)
=2 x = xS 2k0A0 + 2 : (15) pERWOE IZ KRAEWYH USLOWIJ (13) WYPOLNQETSQ DOSRO^NO (T. E. PRI x = x (k0 A0 ) < 1), TEPLOWOJ POTOK NA FRONTE RAWEN NUL@ (TAK VE, KAK I W REENII (9)). rEENIE (14) OBOB]ENNOE, POSKOLXKU EGO PROIZWODNYE W TO^KE x = x PRI DOSTATO^NO BOLXIH NE SU]ESTWU@T. pRI n < ;1= USLOWIQ NA GRANICE MEVDU NAGRETYM I HOLODNYM WE]ESTWOM TAKVE WYPOLNQ@TSQ W KONE^NOJ TO^KE = (n ) < 1 (ZNA^ENIE KOORDINATY FRONTA DLQ KONKRETNYH n, NAHODITSQ ^ISLENNO). w EE OKRESTNOSTI POWEDENIE REENIQ OPISYWAETSQ ASIMPTOTI^ESKIM WYRAVENIEM, PERWYJ ^LEN KOTOROGO | REENIE UPRO]ENNOGO URAWNENIQ, POLU^A@]EGOSQ f() ! 0, ! : 8 IZ (13) W PREDPOLOVENII 1= > < ; 1 + n ( ; )1= + : : : 6 2 f() = (16) > :0 > : 1
zDESX I DALEE MNOGOTO^IEM OBOZNA^ENY ^LENY BOLEE WYSOKOGO PORQDKA MALOSTI. iZ (16) WIDNO, ^TO REENIE PRI n < ;1= OBOB]ENNOE S TEM VE PORQDKOM GLADKOSTI, ^TO I (9) (GLADKOSTX U (14) WYE, ^EM U (9) I (16)). oDNAKO POTOK TEPLA W TO^KE FRONTA, KAK I DLQ (9) I (14), NEPRERYWEN. w OTLI^IE OT SLU^AQ n 6 ;1=, PRI n > ;1= USLOWIQ NA FRONTE WOLNY WYPOLNQ@TSQ LIX PRI ! 1. rEENIE | GLADKAQ PRI WSEH > 0 FUNKCIQ, EGO ASIMPTOTI^ESKOE RAZLOVENIE U FRONTA DAETSQ FORMULOJ 2n;2
1 + n > 0 (17) f() = C 1+2nn + C1 1+n + : : : +1 GDE C = C(n ) > 0 (NAHODITSQ ^ISLENNO) I C1 = ;C + 2n (2n + + n ; 1)]=(1 + n)2 < 0.
216
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
dLQ WSEH n, PRI ! 0 REENIE IMEET ASIMPTOTIKU
f() = 1 + f 0 (0) + : : : f 0 (0) = df (n ) d
=0
< 0
OZNA^A@]U@, ^TO POTOK TEPLA NA GRANICE SREDY POLOVITELEN I \NERGIQ POSTUPAET W WE]ESTWO. pEREJDEM K ANALIZU FIZI^ESKIH SWOJSTW POSTROENNYH REENIJ, RAZLI^AQ SLU^AI n = ;1=, n < ;1= I n > ;1=. 1) pRI n = ;1= FRONT TEPLOWOJ WOLNY NEPODWIVEN. |FFEKTIWNYJ RAZMER NAGRETOJ OBLASTI, NAPRIMER, POLUIRINA, T. E. TO^KA x\F(t) TAKAQ, ^TO T(x\F (t) t)=T(0 t) = 1=2, TAKVE NE IZMENQETSQ SO WREMENEM. aWTOMODELXNOSTX DANNOGO REENIQ, KAK I WSEH REENIJ W RAZDELQ@]IHSQ PEREMENNYH (IME@]IH WID u(x t) = = U(t) V (x)), WYRAVAETSQ W ODINAKOWOSTI EGO PROSTRANSTWENNYH PROFILEJ W RAZLI^NYE MOMENTY WREMENI. pROFILI OTLI^A@TSQ W DANNOM SLU^AE LIX RASTU]EJ SO WREMENEM AMPLITUDOJ U(t). tAKIM VE SWOJSTWOM OBLADAET UPORQDO^ENNYJ REVIM bUSSINESKA, DLQ KOTOROGO AMPLITUDA | UBYWA@]AQ FUNKCIQ WREMENI (UPR. 2 IZ x 1 GL. II). rEENIE (14) MOVNO NAZWATX OSTANOWIWEJSQ TErIS. 70 PLOWOJ WOLNOJ (SM. RIS. 70, GDE POKAZANY PROFILI REENIQ DLQ SREDY S = 2, KRESTIKAMI OTME^ENA POLUIRINA). w \TOM REVIME PRI t ! 0 W WE]ESTWO POSTUPAET NEOGRANI^ENNOE KOLI^ESTWO \NERGII TEMPERATURA I KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI PRI WSEH 0 6 x < xS STREMQTSQ K BESKONE^NOSTI. tEM NE MENEE TEPLO NE PRONIKAET DALEE TO^KI S KOORDINATOJ x = = xS , OPREDELQEMOJ INTENSIWNOSTX@ GRANI^NOGO REVIMA A0 I SWOJSTWAMI SREDY k0, . rEENIE (14) POKAZYWAET, ^TO RASPROSTRANENIE TEPLA MOVET BYTX LOKALIZOWANO W OBLASTI KONE^NYH RAZMEROW | OBLASTI LOKALIZACII (xS | GLUBINA LOKALIZACII ). pO\TOMU SU]ESTWUET PRINCIPIALXNAQ WOZMOVNOSTX KONCENTRIROWATX L@BOE KOLI^ESTWO \NERGII W OGRANI^ENNYH U^ASTKAH WE]ESTWA BEZ RASPROSTRANENIQ EE ZA PREDELY ZONY LOKALIZACII. 2) w SLU^AE n < ;1= KOORDINATA FRONTA WOLNY NAGREWA NEOGRANI^ENNO UWELI^IWAETSQ PRI t ! 0: x (t) = k01=2 A0=2 (;t) 1+2n ! 1: tO VE SAMOE SPRAWEDLIWO DLQ POLUIRINY WOLNY x\F (t) I KOORDINAT WSEH TO^EK x(t 0) S FIKSIROWANNYM AWTOMODELXNYM SOSTOQNIEM = 0 .
x 1]
217 pROSLEDIM ZA IZMENENIEM REENIQ W FIKSIROWANNOJ TO^KE WE]ESTWA x = x0 < 1. oTWE^A@]AQ EJ AWTOMODELXNAQ KOORDINATA (t x0), KAK WIDNO IZ WTOROJ FORMULY (12), STREMITSQ K NUL@ PRI t ! 0. rASKRYWAQ PERWU@ FORMULU (12), POLU^IM PRI t ! 0 T (x0 t) = A0 (;t)n f((x0 t)) ! A0 (;t)n f(0) = A0(t)n ! 1: tAKIM OBRAZOM, PRI PRIBLIVENII K MOMENTU OBOSTRENIQ WOLNA OHWATYWAET WSE PROSTRANSTWO, TEMPERATURA W L@BOJ TO^KE SREDY NEOGRANI^ENNO WOZRASTAET, LOKALIZACIQ OTSUTSTWUET. w \TOM OTNOENII REENIE ANALOGI^NO BEGU]EJ WOLNE (21) IZ x 2 GL. II, ODNAKO BESKONE^NYE PARAMETRY DOSTIGA@TSQ NE PRI t ! 1, A ZA KONE^NOE WREMQ. pROISHODIT SWERHBYSTRYJ PROGREW SREDY. 3) sOWSEM PO-INOMU REALIZUETSQ RASPROSTRANENIE TEPLA PRI n > > ;1=. iZ (12) WIDNO, ^TO POLUIRINA SOKRA]AETSQ SO WREMENEM PO
ZAKONU
primenenie metodow podobiq
x\F (t) = k0=2 A0=2 (;t)
1+n 2 \F
! 0 t ! 0: rEENIE PREDSTAWLQET SOBOJ TEPLOWU@ WOLNU S UMENXA@]EJSQ \FFEKTIWNOJ GLUBINOJ PROGREWA. s TE^ENIEM WREMENI POSTUPA@]AQ W WE]ESTWO \NERGIQ SOSREDOTO^IWAETSQ W SOKRA]A@]EJSQ OBLASTI WBLIZI GRANICY (RIS. 71). fRONT TEPLOWOJ WOLNY, KAK SLEDUET IZ (17), (12), NAHODITSQ W TO^KE x = 1 (PRI x < 1 RAZMER NAGRETOJ OBLASTI SO WREMENEM UMENXALSQ BY, ^TO W SREDE BEZ POGLO]ENIQ \NERGII NEWOZMOVNO). dLQ FIKSIROWANNOJ TO^KI WE]ESTWA x = x0 (0 < x0 < 1) IMEEM rIS. 71 (x0 t) ! 1, t ! 0, T. E. KOORDINATA (x0 t) STREMITSQ, W OTLI^IE OT PREDYDU]EGO SLU^AQ, K KOORDINATE FRONTA. iSPOLXZUQ ASIMPTOTIKU (17) I FORMULU (12), POLU^AEM PRI t ! 0 2n T (x0 t) ! C (k0;n A0) 1+1n x01+n + 2n+2 + C1 (k01;nA10; ) 1+1n x01+n (;t) + : : : (18) nESMOTRQ NA NEOGRANI^ENNYJ ROST TEMPERATURY W TO^KE x = 0, WO WSEJ OSTALXNOJ SREDE ONA PRI WSEH t 6 tf OGRANI^ENA SWERHU PREDELXNOJ KRIWOJ (PERWYJ ^LEN W (18) NA RIS. 71 | TRIHOWAQ KRIWAQ). w SLU^AE 3) TAKVE OSU]ESTWLQETSQ LOKALIZACIQ TEPLA, NO W DRUGOM REVIME, ^EM PRI n = ;1=. aNALIZ AWTOMODELXNYH REENIJ ZADA^I (7), (10), (11) POZWOLIL S POMO]X@ PROSTYH MATEMATI^ESKIH SREDSTW USTANOWITX SU]ESTWOWANIE W TEPLOPROWODNOJ SREDE TREH PRINCIPIALXNO RAZLI^NYH REVIMOW 1
218
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
RASPROSTRANENIQ TEPLA I IZU^ITX RQD IH WAVNYH SWOJSTW. oNI OPREDELQ@TSQ W OSNOWNOM SKOROSTX@ PODWODA \NERGII K SREDE PRI t ! 0 I STEPENX@ EE NELINEJNOSTI. dLQ MEDLENNYH REVIMOW NAGREWA (n = ;1=, S-REVIM n > ;1=, LS-REVIM ) IMEET MESTO LOKALIZACIQ TEPLA, PRI BYSTROM NAGREWE (n < ;1=, HS-REVIM ) \TOT \FFEKT OTSUTSTWUET. nABORY RAZNOOBRAZNYH PO SWOIM SWOJSTWAM AWTOMODELXNYH REENIJ MOVNO POLU^ATX NE TOLXKO DLQ MATEMATI^ESKIH MODELEJ, SWODQ]IHSQ K KWAZILINEJNYM PARABOLI^ESKIM URAWNENIQM, NO, NAPRIMER, I DLQ URAWNENIJ GAZOWOJ DINAMIKI. iZU^IM OBOSTRQ@]IESQ REVIMY RASPROSTRANENIQ WOZMU]ENIJ DLQ PROSTEJEGO KWAZILINEJNOGO GIPERBOLI^ESKOGO URAWNENIQ | URAWNENIQ hOPFA (32) IZ x 4 GL. II
@p + k p @p = 0 (19) @t 0 @m ZAPISANNOGO OTNOSITELXNO DAWLENIQ p = p(m t), = ( + 1)=(2 ) < 1. rASSMOTRIM DLQ NEGO ZADA^U O PORNE, SVIMA@]EM GAZ, ZANIMA@]IJ POLUPROSTRANSTWO m > 0, S NULEWYM NA^ALXNYM DAWLENIEM: p(m t0 ) = p0 (m) = 0 0 < m < 1: (20) pORENX RASPOLOVEN W TO^KE m = 0, DAWLENIE NA NEM RASTET W REVIME S OBOSTRENIEM: p(0 t) = A0 (tf ; t)n n < 0 t0 6 t < tf < 1: (21) zADA^A (19){(21) AWTOMODELXNA, ESLI PODOBNO PREDYDU]EMU SLU^A@ POLOVITX t0 = ;1 (KAK I RANEE, WOZXMEM BEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI tf = 0). eE REENIE W SOOTWETSTWII S !-TEOREMOJ IMEET WID p(m t) = A0 (;t)n f() = k0;1A0; (;t);(1+n) m > 0: (22) iZ (19), (22) POLU^AEM DLQ OPREDELENIQ f() URAWNENIE PERWOGO PORQDKA df (23) d (f + (1 + n) ) ; nf = 0 KOTOROE, BUDU^I ZAPISANNYM W WIDE d = f + (1 + n) df nf LINEJNO OTNOSITELXNO . oNO IMEET OB]EE REENIE = f +1=n ; f (24) UDOWLETWORQ@]EE SLEDU@]EMU IZ (21) USLOWI@ f(0) = 1 (PRI ANALIZE (24) NEOBHODIMO TAKVE SLEDITX ZA WYPOLNENIEM USLOWIQ f(1) = 0, WYTEKA@]EGO IZ (20)). sWOJSTWA REENIJ ZAWISQT OT SOOTNOENIJ MEVDU n I . 1) pRI n = ;1= IZ (24), (22) POLU^AEM QWNOE REENIE W RAZDELQ@]IHSQ PEREMENNYH (OSTANOWIWAQSQ WOLNA SVATIQ, ILI GAZODINAMI^ESKIJ S-REVIM): 8 ;1= > (25) :0 m > m
x 1]
219 GDE m = mS k0A0 | KOORDINATA FRONTA WOLNY SVATIQ, OTDELQ@]EGO PRIEDIJ W DWIVENIE GAZ OT NEWOZMU]ENNOGO WE]ESTWA. fRONT WOLNY I EE POLUIRINA POSTOQNNY WO WREMENI, DAWLENIE I WSE OSTALXNYE GAZODINAMI^ESKIE WELI^INY | SKOROSTX, PLOTNOSTX I T. D. | NEOGRANI^ENNO NARASTA@T W OBLASTI 0 6 m < mS PRI t ! 0. oDNAKO PRI m > mS GAZ OSTAETSQ NEPODWIVNYM I HOLODNYM PRI WSEH t < 0 (W \JLEROWYH KOORDINATAH \TO OZNA^AET, ^TO PORENX SVIMAET PRILEGA@]U@ K NEMU KONE^NU@ MASSU GAZA mS W BESKONE^NO TONKIJ SLOJ, NIKAK NE ZATRAGIWAQ OSTALXNOE WE]ESTWO). rEENIE (25) DEMONSTRIRUET \FFEKT LOKALIZACII SVATIQ NA OGRANI^ENNOJ GLUBINE mS , OPREDELQEMOJ PARAMETRAMI ZADA^I, T. E. \FFEKT, WPOLNE ANALOGI^NYJ LOKALIZACII TEPLA W S-REVIME. 2) tAKAQ VE PO^TI POLNAQ ANALOGIQ SPRAWEDLIWA I W SLU^AE n > > ;1= (GAZODINAMI^ESKIJ LS-REVIM). rEENIE, KAK WIDNO IZ (24), MONOTONNO UBYWAET S UWELI^ENIEM I OBRA]AETSQ W NULX PRI = 1 (USLOWIE f(1) = 0 WYPOLNENO). fRONT WOLNY SVATIQ RASPOLOVEN W TO^KE m = 1, EE POLUIRINA m\F (t) = k0A0 (;t)1+n \F SOKRA]AETSQ DO NULQ PRI t ! 0 (\F LEGKO NAHODITSQ IZ (24) S U^ETOM RAWENSTWA f(\F ) = 1=2). |NERGIQ, SOOB]AEMAQ GAZU PORNEM, KONCENTRIRUETSQ W UMENXA@]EJSQ SO WREMENEM OBLASTI WBLIZI GRANICY. dLQ L@BOGO 0 < m0 < 1 IMEEM (m0 t) ! 1, t ! 0. pO\TOMU, RAZREAQ (24) OTNOSITELXNO f() PRI ! 1: n 1 f() = 1+nn + n (1 + n);1 1+n + : : : I PEREHODQ S POMO]X@ (22) K ISHODNYM PEREMENNYM, POLU^AEM PRI t!0 A n A+1 1+1n n 1 n 0 1+n p(m0 t) ! kn m0 + 1 + n n0;1 m01+n (;t) + : : : k 0 0 rEENIE STREMITSQ SNIZU K PREDELXNOJ KRIWOJ (PERWYJ ^LEN W POLU^ENNOJ FORMULE), OBRA]AQSX W MOMENT t = 0 W BESKONE^NOSTX LIX W TO^KE m = = 0. 3) dLQ ANALIZA REENIQ PRI n < ;1= RASSMOTRIM POLE INTEGRALXNYH KRIWYH URAWNENIQ (23), POKAZANNOE NA RIS. 72 (VIRNOJ LINIEJ WYDELENA KRIWAQ I, DLQ KOTOROJ f(0) = 1, TRIHOWAQ LINIQ | IZOKLINA BESKONE^NOSTI, RAZDELQ@]AQ PLOSKOSTX NA OBLArIS. 72 STI A I B). iZ RISUNKA WIDNO, ^TO NEPRERYWNOGO REENIQ, OTWE^A@]EGO TREBOWANI@ f(1) = 0, primenenie metodow podobiq
;
;
220
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
NE SU]ESTWUET , TAK KAK KRIWU@ I NELXZQ PRODOLVITX W OBLASTX B ZA LINI@ f 0 = 1. pO \TOJ VE PRI^INE NELXZQ POSTROITX I RAZRYWNYE REENIQ, POLU^A@]IESQ S POMO]X@ SKA^KOW, IZOBRAVENNYH STRELKAMI. tAKIM OBRAZOM, EDINSTWENNAQ WOZMOVNOSTX | PEREHOD S KRIWOJ I SKA^KOM, POPADA@]IM NA OSX ABSCISS, I PRODOLVENIE PRI > , | KOORDINATA SKA^KA, REENIQ NULEM (ZNA^ENIE f() = 0 UDOWLETWORQET URAWNENI@ (23)). uSLOWIE NA SKA^KE DLQ REENIQ URAWNENIQ (19) MOVNO POLU^ITX PO ANALOGII S URAWNENIQMI (5), PREDSTAWIW (19) W DIWERGENTNOM WIDE @p + @'(p) = 0 @t @m
GDE '(p) = k0p+1 =( + 1), I POSTROIW DLQ NEGO RAZRYWNOE REENIE TIPA BEGU]EJ WOLNY p(m t) = p(m ; Dt). zNA^ENIQ FUNKCII p DO I POSLE RAZRYWA SWQZANY SOOTNOENIEM '(p1 ) : D = '(pp0 ) ; 0 ; p1 oTS@DA DLQ AWTOMODELXNOGO REENIQ (22) IMEEM +1 f +1 1 D = ;(1 + n) ( + 1) = f0 f ; 0 ; f1 GDE | AWTOMODELXNAQ KOORDINATA RAZRYWA, D | EGO OBEZRAZMERENNAQ SKOROSTX, SWQZANNAQ S MGNOWENNOJ SKOROSTX@ D(t) SOOTNOENIEM
rIS. 73
dLQ INTERESU@]EGO NAS SLU^AQ f0 = 0 NAD = ( + 1);1k0A0 (;t)n D. HODIM SWQZX MEVDU f1 I f1 = ;(1 + n) ( + 1) ]1= ISPOLXZUQ KOTORU@ NETRUDNO USTANOWITX, ^TO TO^KA (f1 ) LEVIT WYE LINII f 0 = 1, T. E. ISKOMOE RAZRYWNOE REENIE DEJSTWITELXNO SU]ESTWUET.
x 2]
221 rEENIE KAK FUNKCIQ m IZOBRAVENO W RAZLI^NYE MOMENTY WREMENI NA RIS. 73. eGO FRONT m (t) I POLUIRINA m\F NEOGRANI^ENNO princip maksimuma i teoremy srawneniq
RASTUT SO WREMENEM PO ZAKONU m (t) m\F (t) (;t)1+n ! 1 t ! 0: wOZMU]ENIE W PREDELE OHWATYWAET WSE PROSTRANSTWO, REENIE W L@BOJ TO^KE m0 < 1 STREMITSQ K BESKONE^NOSTI PRI t ! 0 (UPR. 7). tAKIM OBRAZOM, KAK I DLQ PROCESSOW TEPLOPROWODNOSTI, W MEDLENNYH REVIMAH S OBOSTRENIEM WOZMU]ENIQ LOKALIZOWANY, W BYSTRYH | LOKALIZACIQ OTSUTSTWUET. zAMETIM, ^TO URAWNENIE (19) WYWODITSQ IZ URAWNENIJ (5) W PREDPOLOVENII O NEPRERYWNOSTI I IZ\NTROPI^NOSTI TE^ENIQ (PROSTAQ WOLNA). tAK KAK POSTROENNYE REENIQ W SLU^AE n > ;1= NEPRERYWNY, TO ONI UDOWLETWORQ@T (5) I DOPUSKA@T NEPOSREDSTWENNU@ GAZODINAMI^ESKU@ INTERPRETACI@ (W OTLI^IE OT RAZRYWNOGO REENIQ PRI n < ;1=).
upravneniq 1. pROWERXTE PRQMOJ PODSTANOWKOJ, ^TO URAWNENIE (4) S c = c0 , { = {0 T INWARIANTNO K PREOBRAZOWANI@ RASTQVENIQ-SVATIQ PRI USLOWII ;2 = 1. 2. uBEDITESX, ISPOLXZUQ (6), ^TO NA RAZRYWE, NE DWIVU]EMSQ PO MASSE GAZA (KONTAKTNYJ RAZRYW, D = 0), SKOROSTX I DAWLENIE NEPRERYWNY. 3. uDARNAQ WOLNA, DLQ KOTOROJ p1 p0 , NAZYWAETSQ SILXNOJ. pOLU^ITE IZ (6) USLOWIE g@GONIO PO PLOTNOSTI NA TAKOM RAZRYWE (W SLU^AE IDEALXNOGO GAZA " = = p=(( ; 1) )), POLAGAQ DLQ PROSTOTY v0 = 0. pOKAVITE, ^TO NA SILXNOJ UDARNOJ WOLNE SKA^OK PLOTNOSTINE ZAWISIT OT D I DAETSQ FORMULOJ 1 =0 = ( + 1)=( ; 1). 4. uSTANOWITE, ^TO PRI > 1 PERWYE PROIZWODNYE REENIQ (9) PO x I t RAZRYWNY W TO^KE x = x (t), A PRI > 1=2 PRETERPEWA@T RAZRYW WTORYE PROIZWODNYE. 2= 5. pROWERXTE, ^TO ZAMENA PEREMENNYH = ln , f = '( ), = d'=d LIBO ; 1 1 ; ZAMENA ' = ; f f df=d , = ; f =(df=d ) SWODIT (13) K URAWNENI@ PERWOGO PORQDKA WIDA d=d' = F ( ')=(' ( ')) (WO WTOROM SLU^AE URAWNENIE ISSLEDOWATX LEG^E, ^EM W PERWOM, POSKOLXKU FUNKCII F , SODERVAT PROSTU@ NELINEJNOSTX WIDA '). +1 )00 = 6. uRAWNENIE (13) PRI n = ;1= MOVET BYTX ZAPISANO W WIDE (f = ;( + 1) nf . iSPOLXZUQ ZAMENY u = f +1 , u0 = v, PONIZXTE EGO PORQDOK I PROINTEGRIRUJTE POLU^ENNOE URAWNENIE. 7. uBEDITESX, ISPOLXZUQ (22), ^TO PRI n < ;1= DLQ L@BOJ TO^KI m0 < 1 SPRAWEDLIWO (m0 t) ! 0, t ! 0 I p(m0 t) ! p(0 t) ! 1, t ! 0.
x 2. pRINCIP MAKSIMUMA I TEOREMY SRAWNENIQ dADIM PREDSTAWLENIE O NEPRERYWNOJ ZAWISIMOSTI PROCESSA OT WHODNYH DANNYH. s POMO]X@ TEOREM SRAWNENIQ I NABORA AWTOMODELXNYH REENIJ POSTROIM ZAMKNUTU@ KLASSIFIKACI@ REVIMOW S OBOSTRENIEM W NELINEJNYH SREDAH. rASSMOTRIM OBOB]ENIQ AWTOMODELXNOGO METODA. 1. fORMULIROWKA, NEKOTORYE SLEDSTWIQ. sOWOKUPNOSTI PROMEVUTO^NYH ASIMPTOTIK, KAKIMI BY RAZNOOBRAZNYMI ONI NI BYLI, NE MOGUT DATX OPISANIE OB_EKTA W OB]EM SLU^AE HOTQ BY POTOMU, ^TO PRI IH POLU^ENII WSEGDA PRIHODITSQ DELATX SILXNYE UPRO]A@]IE PREDPOLOVENIQ (NULEWOJ NA^ALXNYJ FON TEMPERATURY W NAGREWAEMOJ SREDE, POSTOQNSTWO TE^ENIQ DO I POSLE UDARNOJ WOLNY, REENIE NA GRANI-
222 issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V CE | STEPENNAQ FUNKCIQ WREMENI I T. D.). pOSTROENIE DOSTATO^NO POLNOJ KARTINY NEWOZMOVNO BEZ ISPOLXZOWANIQ USTOJ^IWOSTI MATEMATI^ESKIH MODELEJ, ILI NEPRERYWNOJ ZAWISIMOSTI REENIJ OT WHODNYH DANNYH. pOD \TIM PODRAZUMEWAETSQ SWOJSTWO REENIJ NESILXNO (W NEKOTOROM SMYSLE) IZMENQTXSQ PRI NESILXNOM IZMENENII KRAEWYH USLOWIJ, KO\FFICIENTOW URAWNENIJ I DRUGIH HARAKTERISTIK MODELEJ. uSTOJ^IWOSTX, MATEMATI^ESKI WYRAVAEMAQ PO-RAZNOMU DLQ RAZNYH SITUACIJ, QWLQETSQ ODNIM IZ NEOBHODIMYH USLOWIJ KORREKTNOSTI MODELEJ, BEZ ^EGO NELXZQ GOWORITX OB IH ADEKWATNOSTI IZU^AEMOMU OB_EKTU (PREDPOLAGAETSQ, ^TO W OPREDELENNOM SMYSLE USTOJ^IW I SAM OB_EKT). dLQ USTOJ^IWYH MODELEJ NABORY ^ASTNYH REENIJ SLUVAT SWOEGO RODA ORIENTIRAMI ILI GRANICAMI SREDI MNOVESTWA WSEH WOZMOVNYH REENIJ. |TO OSOBENNO WAVNO, ESLI ZADA^A NELINEJNA I SKONSTRUIROWATX EE OB]EE REENIE IZ ^ASTNYH NELXZQ. pRIMENITELXNO K URAWNENIQM PARABOLI^ESKOGO TIPA \TO SWOJSTWO NAHODIT SWOE WOPLO]ENIE W PRINCIPE MAKSIMUMA I TEOREMAH SRAWNENIQ. rASSMOTRIM ZADA^U kOI DLQ URAWNENIQ NELINEJNOJ TEPLOPROWODNOSTI: @T = @ k(T ) @T k(T) > 0 T > 0 @t @x @x (1) ;1 < x < 1 t > 0 T (x 0) ; T0 (x) > 0 ;1 < x < 1: p R I N C I P M A K S I MU M A. mAKSIMUM REENIQ T (x t) (TEMPERATURY ) W L@BOJ MOMENT WREMENI NE PREWOSHODIT MAKSIMUMA NA^ALXNYH DANNYH T0 (x) (NA^ALXNOJ TEMPERATURY ): max T(x t) 6 ;1max T (x): (2) <x<1 0 t>0 ;1<x<1 nERAWENSTWO (2) IMEET O^EWIDNYJ FIZI^ESKIJ SMYSL. mAKSIMUM NA^ALXNOGO RASPREDELENIQ TEMPERATURY NIKAK NE MOVET UWELI^ITXSQ S TE^ENIEM WREMENI, WEDX PO ZAKONU fURXE POTOK TEPLA PERENOSIT \NERGI@ OT NAGRETYH U^ASTKOW SREDY K HOLODNYM. w SLU^AE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ (1) W POLUPROSTRANSTWE PRINCIP MAKSIMUMA IMEET STOLX VE QSNYJ SMYSL I OZNA^AET, ^TO
max T(x t) 6 max 06max T (x) max T (0 t) (3) t>0 0<x<1 x<1 0 t>0
GDE T0 (x) | NA^ALXNAQ TEMPERATURA WE]ESTWA, T(0 t) | ZADAWAEMAQ NA EGO GRANICE TEMPERATURA. iZ PRINCIPA MAKSIMUMA SLEDU@T TE O R E M Y S RA W N E N I Q. dLQ ZADA^I kOI (2) FORMULIROWKA WYGLQDIT SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX T (1) (x t), T(x t), T (2) (x t) | REENIQ ZADA^I kOI, SOOTWETSTWU@]IE NA^ALXNYM DANNYM T0(1) (x), T0 (x), T0(2) (x). tOGDA ESLI T0(1)(x) 6 T0 (x) 6 T0(2) (x) DLQ WSEH ;1 < x < 1,
x 2] TO
princip maksimuma i teoremy srawneniq
223
T (1) (x t) 6 T (x t) 6 T (2)(x t) DLQ WSEH ;1 < x < 1, t > 0. (4)
dRUGIMI SLOWAMI, ESLI WZQTX DWA ODINAKOWYH OBRAZCA TEPLOPROWODNOGO MATERIALA TAKIH, ^TO NA^ALXNAQ TEMPERATURA ODNOGO IZ NIH NE MENXE, ^EM W TAKOJ VE TO^KE DRUGOGO, TO W L@BOJ POSLEDU@]IJ MOMENT WREMENI \TO SWOJSTWO SOHRANITSQ. dLQ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I W POLUPROSTRANSTWE TEOREMA SRAWNENIQ REENIJ OZNA^AET SLEDU@]EE. wYPOLNENIE NERAWENSTW T0(1) (x) 6 T0 (x) 6 T0(2) (x) 0 < x < 1 T (1)(0 t) 6 T (0 t) 6 T (2)(0 t) t > 0 WLE^ET ZA SOBOJ NERAWENSTWA T (1)(x t) 6 T(x t) 6 T (2)(x t) DLQ WSEH 0 6 x < 1, t > 0, (5) GDE T (1)(x t), T (x t), T (2)(x t) | REENIQ ZADA^I, SOOTWETSTWU@]IE KRAEWYM USLOWIQM T (1)(x), T (x), T (2) (x) I T (1)(0 t), T (0 t), T (2) (0 t). kAK I PRINCIP MAKSIMUMA, TEOREMY SRAWNENIQ IME@T NEPOSREDSTWENNYJ FIZI^ESKIJ SMYSL: BOLXEE TEPLOWOE WOZDEJSTWIE NA FIKSIROWANNYJ OB_EKT PRIWODIT K FORMIROWANI@ W NEM BOLXEGO POLQ TEMPERATURY. aNALOGI SFORMULIROWANNYH UTWERVDENIJ SPRAWEDLIWY I DLQ DRUGIH ZADA^ TEORII TEPLOPROWODNOSTI. iSPOLXZUQ ^ASTNYE REENIQ KAKIH-LIBO ZADA^ DLQ URAWNENIJ PARABOLI^ESKOGO I \LLIPTI^ESKOGO TIPOW, MOVNO OCENITX (OGRANI^ITX SWERHU I SNIZU) REENIQ BOLEE OB]IH ZADA^ I, NE ZNAQ IH W DETALQH, SDELATX WYWODY OB]EGO HARAKTERA. nEPRERYWNAQ ZAWISIMOSTX REENIJ OT WHODNYH DANNYH W TOJ ILI INOJ FORME USTANOWLENA TAKVE DLQ IROKIH KLASSOW GIPERBOLI^ESKIH URAWNENIJ (NAPRIMER, DLQ URAWNENIQ (19) IZ x 1 ONA WYRAVAETSQ TEOREMAMI SRAWNENIQ, ANALOGI^NYMI TEOREMAM DLQ URAWNENIQ (1)). iZ NERAWENSTW (4) I SWOJSTW REENIQ (9) IZ x 1 WYTEKAET KONE^NAQ SKOROSTX RASPROSTRANENIQ WOZMU]ENIJ W ZADA^E kOI (1) DLQ URAWNENIQ (1) S k(T ) = k0T , > 0, PRI USLOWII, ^TO NA^ALXNOE RASPREDELENIE TEMPERATURY T0 (x) | FINITNAQ FUNKCIQ, T. E. T0 (x) 0, jxj > > R0 < 1. pUSTX Tm | MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE FUNKCII T0 (x). tOGDA, WWODQ W FORMULU (9) IZ x 1 SDWIG PO WREMENI NA WELI^INU t0 I WYBIRAQ POSTOQNNYE Q0 I t0 DOSTATO^NO BOLXIMI, NETRUDNO UDOWLETWORITX 0 0), IZ KOTOROGO SLEDUET NERAWENSTWO T0 (x) 6 NERAWENSTWU Tm 6 T(R 6 T0 (x 0) = T0 (x), ;1 < x < 1, GDE ^EREZ T(x t) OBOZNA^ENO REENIE ZADA^I O MGNOWENNOM TO^E^NOM ISTO^NIKE TEPLA. tAK KAK ONO MAVORIRUET REENIE OB]EJ ZADA^I kOI (1) PO NA^ALXNYM DANNYM, TO IZ TEOREMY SRAWNENIQ (4) WYTEKAET T(x t) 6 T(x t), ;1 < x < 1, t > 0. pO\TOMU W L@BOJ MOMENT WREMENI t > 0 NAJDETSQ WELI^INA R(t) TAKAQ, ^TO T(x t) 0 DLQ WSEH jxj > R(t). |TO I OZNA^AET KONE^NU@ SKOROSTX DWIVENIQ FRONTA TEPLOWOJ WOLNY.
224
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
pUTEM SHOVIH POSTROENIJ IZ SWOJSTW REENIQ TIPA BEGU]EJ WOLNY (21) x 2 GL. II I NERAWENSTW (5) LEGKO USTANAWLIWAETSQ (PRI FINITNOJ FUNKCII T0 (x)) KONE^NAQ SKOROSTX RASPROSTRANENIQ TEPLA W SLU^AE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I W POLUPROSTRANSTWE. sLEDOWATELXNO, \TOT \FFEKT IMEET OB]IJ, A NE ^ASTNYJ HARAKTER. oN SWQZAN S OSOBENNOSTQMI URAWNENIQ NELINEJNOJ TEPLOPROWODNOSTI (1). dLQ MNOGIH WAVNYH PROCESSOW TEMPERATURA W NEKOTORYH ^ASTQH WE]ESTWA MOVET S^ITATXSQ PRAKTI^ESKI RAWNOJ NUL@ (NAPRIMER, NA NA^ALXNOJ STADII SILXNOGO WZRYWA W ATMOSFERE TEMPERATURA WNE EGO ZONY NI^TOVNO MALA PO SRAWNENI@ S TEMPERATUROJ W OBLASTI, OHWA^ENNOJ WZRYWOM). pRI DOSTATO^NO SILXNOM ROSTE KO\FFICIENTA TEPLOPROWODNOSTI OT TEMPERATURY WELI^INA k(T ) W \TIH ZONAH TAKVE FAKTI^ESKI RAWNA NUL@. rASKRYWAQ PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ (1):
@T = k(T ) @ 2 T + k0 @T 2 @t @x2 T @x UBEVDAEMSQ, ^TO W TO^KAH x t, W KOTORYH T(x t) = 0 I, TAKIM OBRAZOM, k(T (x t)) = 0, ONO WYROVDAETSQ W URAWNENIE PERWOGO PORQDKA (W OSTALXNOJ OBLASTI (1) | PARABOLI^ESKOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA). tAKOWA MATEMATI^ESKAQ PODOPLEKA KONE^NOJ SKOROSTI RASPROSTRANENIQ TEPLA W SREDU S NULEWYM TEMPERATURNYM FONOM. w TO^KAH WYROVDENIQ REENIE, KAK UVE BYLO POKAZANO NA ^ASTNYH PRIMERAH, SLEDUET PONIMATX W OBOB]ENNOM SMYSLE, W OSTALXNOJ OBLASTI ONO UDOWLETWORQET URAWNENI@ (1) W OBY^NOM (KLASSI^ESKOM) SMYSLE. bOLEE PODROBNO RASSMOTRIM DOKAZATELXSTWO SU]ESTWOWANIQ \FFEKTA LOKALIZACII TEPLA W ZADA^E kOI. uTWERVDENIE SOSTOIT W SLEDU@]EM: REENIE T(x t) ZADA^I kOI DLQ URAWNENIQ @T = @ k T @T > 0 t > t0 ;1 < x < 1 (6) @t @x 0 @x
S NA^ALXNOJ FUNKCIEJ
8 = > :0 2
jxj 6 x0
(7)
jxj > x0 LOKALIZOWANO W (PERWONA^ALXNOJ) OBLASTI jxj 6 x0 W TE^ENIE WREMENI LOKALIZACII tL , NE MENXEGO, ^EM
2 tL = 2k (x+02) T (8) 0 M T. E. T (x t) 0, jxj > x0, t0 6 t 6 t0 + tL . w SILU (2) MAKSIMUM Tm (t) REENIQ ZADA^I (6), (7) NE PREWOSHODIT NA^ALXNOGO PRI WSEH t > t0 : Tm (t) = T(0 t) 6 TM
x 2]
225 PRI^EM RAWENSTWO Tm (t) = T (0 t) SLEDUET IZ SIMMETRII ZADA^I. rASSMOTRIM REENIE T(x t) W OBLASTI x > 0, OBOZNA^IW EGO ^EREZ T+ (x t). fUNKCI@ T+ (x t) MOVNO, O^EWIDNO, TRAKTOWATX PRI t > t0 KAK REENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ (6) W OBLASTI x > 0 S NA^ALXNYM USLOWIEM T+ (x t0) IZ (7) I USLOWIEM NA GRANICE T+ (0 t), UDOWLETWOprincip maksimuma i teoremy srawneniq
RQ@]IM NERAWENSTWU
T+ (0 t) = Tm (t) = T (0 t) 6 TM : pO POSTROENI@ FUNKCIQ T+ (x t0) NE ^TO INOE, KAK REENIE (14), (15) IZ x 1 (AWTOMODELXNYJ S-REVIM TS (x t), W KOTOROM A0 = = x20=(2k0 ( + 2))]1= , xS = x0), WZQTOE W MOMENT t0 = ;tL = = ;x20=(2k0 ( + 2) TM ). sRAWNIM REENIQ T+ (x t) I TS (x t) PRI t0 6 t < 0 (WZAIMNOE RASPOLOVENIE FUNKCIJ T (x t0), T+ (x t), TS (x t), WZQTYH W MOMENT t > t0 , POKAZANO NA RIS. 74). nA^ALXNYE DANNYE W OBOIH SLU^AQH SOWPADA@T,
rIS. 74
A GRANI^NOE USLOWIE DLQ T+ (x t) MAVORIRUETSQ GRANI^NYM USLOWIEM DLQ TS (x t): T+ (0 t) 6 TM 6 A0 (;t);1= t0 6 t < 0: iZ TEOREMY SRAWNENIQ (5) I SWOJSTW S-REVIMA IMEEM T+ (x t) 0 x > x0 t0 6 t < 0: w SILU SIMMETRII T; (x t) = T+ (;x t), GDE T; (x t) | REENIE T (x t) W OBLASTI x < 0 (SM. RIS. 74). s U^ETOM \TOGO OKON^ATELXNO POLU^AEM SFORMULIROWANNOE WYE UTWERVDENIE T(x t) 0 jxj > x0 t0 6 t 6 t0 + tL : iZ TEOREMY SRAWNENIQ (4) SLEDUET, ^TO L@BOE NA^ALXNOE RASPREDELENIE TEMPERATURY, MAVORIRUEMOE FUNKCIEJ (7) (I IME@]EE SOWPADA@]IE S NEJ FRONTY), TAKVE LOKALIZOWANO W OBLASTI jxj 6 x0, A WREMQ 15 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
226
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
LOKALIZACII OCENIWAETSQ SNIZU PO FORMULE (8). tAKIM OBRAZOM, SPRAWEDLIW WYWOD OB]EGO HARAKTERA: DLQ SREDY, TEPLOPEREDA^A W KOTOROJ OPISYWAETSQ URAWNENIEM (6), WSEGDA MOVNO UKAZATX PROFILI TEMPERATURY, OBLADA@]IE INERCIONNOSTX@. fRONTY TAKIH PROFILEJ, WZQTYH W KA^ESTWE NA^ALXNYH DANNYH, NA^INA@T DWIGATXSQ PO WE]ESTWU NE SRAZU, A PO ISTE^ENII NEKOTOROGO WREMENI (SM. TAKVE UPR. 1). zAMETIM, ^TO W SREDE S DOSTATO^NO SILXNYM POGLO]ENIEM TEPLA (UPR. 2) WOZMOVNY SITUACII, KOGDA RAZMER NAGRETOJ OBLASTI OGRANI^EN POSTOQNNOJ WELI^INOJ PRI WSEH t0 6 t 6 1 (FIZI^ESKIJ SMYSL \TOGO \FFEKTA O^EWIDEN). 2. kLASSIFIKACIQ REVIMOW S OBOSTRENIEM. iNERCIONNOSTX SWOJSTWENNA LIX DOSTATO^NO POLOGIM TEMPERATURNYM PROFILQM \TO WIDNO IZ SRAWNENIQ LOKALIZOWANNOGO RASPREDELENIQ (7) I, SKAVEM, REENIQ ZADA^I O MGNOWENNOM TO^E^NOM ISTO^NIKE TEPLA (FORMULA (9) x 1). oDNIM IZ SPOSOBOW FORMIROWANIQ PODOBNYH PROFILEJ MOVET BYTX WOZDEJSTWIE NA TEPLOPROWODNU@ SREDU SOOTWETSTWU@]IH GRANI^NYH REVIMOW. nAPRIMER, W SLU^AE REENIQ (14), (15) IZ x 1 POSTUPLENIE \NERGII S GRANICY SOGLASOWANO SO SWOJSTWAMI SREDY TAKIM OBRAZOM, ^TO W L@BOJ MOMENT WREMENI W WE]ESTWE WOSPROIZWODQTSQ INERCIONNYE PROFILI WIDA (7) (WREMQ LOKALIZACII KOTORYH, ESTESTWENNO, UMENXAETSQ S ROSTOM TEMPERATURY). oPIRAQSX NA IZU^ENNYE W P. 3 x 1 AWTOMODELXNYE REENIQ I TEOREMY SRAWNENIQ, DADIM KLASSIFIKACI@ GRANI^NYH REVIMOW S OBOSTRENIEM PO REZULXTATAM IH WOZDEJSTWIQ NA NELINEJNYE SREDY. rASSMOTRIM DLQ (6) PERWU@ KRAEWU@ ZADA^U W POLUPROSTRANSTWE x > 0 S GRANI^NYM USLOWIEM T (0 t) ! 1 t ! 0 t0 6 t < 0 (9) I, DLQ PROSTOTY, NULEWYMI NA^ALXNYMI DANNYMI T(x t0) = T0 (x) = 0 x > 0: (10) lOKALIZACIQ W \TOM SLU^AE , W OTLI^IE OT ZADA^I kOI , OZNA^AET SU]ESTWOWANIE POSTOQNNOJ l < 1 TAKOJ, ^TO DLQREENIQ T(x t) ZADA^I (6), (9), (10) SPRAWEDLIWO T(x t) 0 PRI l > l , t0 6 t < 0. dRUGIMI SLOWAMI, TEPLOWYE WOZMU]ENIQ W TE^ENIE WSEGO PROCESSA NAGREWA NE PRONIKA@T DALEE NEKOTOROJ KONE^NOJ GLUBINY l (W PROTIWNOM SLU^AE LOKALIZACIQ OTSUTSTWUET). iZ TEOREMY SRAWNENIQ (5) I SWOJSTW AWTOMODELXNOGO S-REVIMA WYTEKAET, ^TO ESLI T(0 t) 6 A0 (;t);1= t0 6 t < 0 TO W ZADA^E (6), (9), (10) IMEET MESTO LOKALIZACIQ TEPLA NA GLUBINE l = xS , A EE REENIE MAVORIRUETSQ FUNKCIEJ TS (x t). eSLI VE (9) UDOWLETWORQET NERAWENSTWU T (0 t) 6 A0 (;t)n ;1= < n < 0 t0 6 t 6 0 (11) TO REENIE LOKALIZOWANO NA GLUBINE (UPR. 3)
2 l 6 2k0A0 (;t)1=+n +
=
12
(12)
x 2]
princip maksimuma i teoremy srawneniq I PRI 0 6 x 6 l DLQ NEGO SPRAWEDLIWA OCENKA (UPR. 4)
227
T (x t) 6 C(n ) (k0;nA0 ) 1+1n x 1+2nn x 6 l t0 6 t < 0 (13) SLEDU@]AQ IZ SU]ESTWOWANIQ PREDELXNOJ KRIWOJ (18) x 1 DLQ AWTOMODELXNOGO LS-REVIMA. nERAWENSTWO, PREDESTWU@]EE (11), OPREDELQET KLASS GRANI^NYH REVIMOW S OBOSTRENIEM, PRIWODQ]IH K LOKALIZACII TEPLA NERAWENSTWO (11) UTO^NQET \TOT REZULXTAT: PRI EGO WYPOLNENII REALIZUETSQ LS-REVIM, TEMPERATURA PRI t ! 0 NEOGRANI^ENNO RASTET LIX W TO^KE x = 0. pRI NENULEWYH, NO FINITNYH FUNKCIQH T0 (x) W (10) OBA SDELANNYH WYE UTWERVDENIQ O LOKALIZACII OSTA@TSQ W SILE. nEOBHODIMO LIX WYBRATX DOSTATO^NO BOLXOJ WELI^INU A0 W MAVORIRU@]IH REENIE AWTOMODELXNYH S- I LS-REVIMAH KONKRETNYE OCENKI (12), (13), ESTESTWENNO, PRETERPEWA@T IZMENENIQ. zAMETIM, ^TO DLQ OB]EGO LS-REVIMA FRONT WOLNY, W OTLI^IE OT AWTOMODELXNOGO, NAHODITSQ NE PRI x = 1, A W KONE^NOJ TO^KE. |FFEKT LOKALIZACII W KRAEWYH ZADA^AH NE SWQZAN S BYSTROTOJ NAGREWA WE]ESTWA KAK TAKOWOJ. ~TOBY UBEDITXSQ W \TOM, PROANALIZIRUEM POWEDENIE REENIQ (6), (9), (10) W SLU^AE, KOGDA T(0 t) > A0 (;t)n n < ;1= t0 6 t < 0: (14) pREVDE WSEGO POKAVEM, ^TO W NEKOTORYJ MOMENT t (t0 < t < 0) REENIE T(x t) OTLI^NO OT NULQ W OKRESTNOSTI GRANICY x = 0. dLQ \TOGO t) TIPA BEGU]EJ WOLNY SRAWNIM EGO S REENIEM T(x 8 D > < k D (t ; t0) ; x]1= x 6 D (t ; t0) T(x t) = > 0 (15) :0 x > D (t ; t0) DLQ URAWNENIQ (6), W KOTOROM D = A0 (;t)n;1 k0=]1=2 . pO POSTROENI@ T(x t0) 0, A POSTOQNNAQ D PODOBRANA TAK, ^TOBY T(0 t) 6 T(0 t) 6 t), 0 6 x < 1, 6 A0 (;t)n , t0 6 t < 0. sLEDOWATELXNO, T(x t) 6 T(x t0 6 t < 0 W SILU TEOREMY SRAWNENIQ (5). oBRATIMSQ TEPERX K REENI@ (12) IZ x 1 PRI n < ;1= (AWTOMODELXNYJ HS-REVIM), OBOZNA^IW EGO ^EREZ Ta (x t). wYBEREM W NEM WELI^INU A0 a 6 A0 TAKOJ, ^TOBY PRI t = t ONO MAVORIROWALOSX FUNK t), x > 0 CIEJ (15), WZQTOJ W MOMENT t = t , T.E. ^TOBY Ta (x t ) 6 T(x I, TAKIM OBRAZOM, Ta (x t ) 6 T(x t ), x > 0. iZ (14) IMEEM Ta (0 t) 6 6 T(0 t) DLQ WSEH t > t . tOGDA IZ TEOREMY SRAWNENIQ (5) POLU^AEM (MAVORIROWANIE NERAWENSTWO T (x t) 6 T (x t) DLQ WSEH x > 0 I t > t a PRI t > t AWTOMODELXNOGO HS-REVIMA IZU^AEMYM REENIEM). pOSKOLXKU Ta (x t) ! 1, t ! 0, x > 0, TO I T (x t) ! 1 PRI t ! 0 W L@BOJ TO^KE x > 0. pRI WYPOLNENII NERAWENSTWA (14) LOKALIZACIQ TEPLA OTSUTSTWUET, WOLNA NAGREWA PRI t ! 0 OHWATYWAET WSE WE]ESTWO, TEMPERATURA W L@BOJ EGO TO^KE NEOGRANI^ENNO RASTET (DANNOE UTWERVDENIE TEM BOLEE SPRAWEDLIWO, ESLI T (x t0) 6 0). 15
228
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
|TOT WYWOD ZAWERAET KLASSIFIKACI@ GRANI^NYH REVIMOW S OBOSTRENIEM W NELINEJNYH TEPLOPROWODNYH SREDAH. pRI WOZDEJSTWII NA 1= ; WE]ESTWO MEDLENNYH S- I LS-REVIMOW (T(0 t) 6 A0 (;t) ILI T (0 t) 6 A0 (;t)n , ;1= < n < 0) \NERGIQ LOKALIZUETSQ W OBLASTI KONE^NYH RAZMEROW, W BYSTRYH HS-REVIMAH (14) LOKALIZACIQ NE IMEET MESTA. dLQ POLNOTY KARTINY POQSNIM, ^TO \FFEKT LOKALIZACII REALIZUETSQ I PRI OTKAZE OT TREBOWANIQ T(x t0) 0, x > 0 (ILI OT TREBOWANIQ FINITNOSTI FUNKCII (10)). w \TOM SLU^AE LOKALIZACI@ SLEDUET PONIMATX WBOLEE OB]EM \FFEKTIWNOM SMYSLE KAK SU]ESTWOWANIE POSTOQNNOJ L < 1 TAKOJ, ^TO REENIE ZADA^I (6), (9) PRI PROIZWOLXNOJ OGRANI^ENNOJ FUNKCII T0 (x) OGRANI^ENO PRI x > L , t > t0, NESMOTRQ NA BESPREDELXNYJ ROST REENIQ W TO^KE x = 0. kLASSIFIKACIQ GRANI^NYH REVIMOW S OBOSTRENIEM NE ZAWISIT OT HARAKTERA NA^ALXNOGO RASPREDELENIQ TEMPERATURY I OSTAETSQ PREVNEJ. w ^ASTNOSTI, NE IMEET ZNA^ENIQ, SU]ESTWUET ILI NET W RASSMATRIWAEMOM PROCESSE KONE^NYJ FRONT TEPLOWOJ WOLNY. w KA^ESTWE PRIMERA, ILL@STRIRU@]EGO \TI UTWERVDENIQ, RASSMOTRIM DLQ URAWNENIQ (6) ZADA^U S GRANI^NYM USLOWIEM T (0 t) = AS (;t);1= t0 6 t < 0 (16) OTWE^A@]IM REENI@ TS (x t) | AWTOMODELXNOMU S-REVIMU, NO S POSTOQNNYM NA^ALXNYM FONOM TEMPERATURY T(x t0) = T0 = AS (;t0 );1= : (17) eE REENIE T(x t), O^EWIDNO, MAVORIRUET TS (x t): TS (x t) 6 T(x t) x > 0 t0 6 t < 0: tAK KAK TEMPERATURA W TO^KE x = 0 DLQ OBOIH REENIJ ODNA I TA VE, TO IZ POSLEDNEGO NERAWENSTWA WYTEKAET SLEDU@]EE NERAWENSTWO NA PROIZWODNYE W \TOJ TO^KE: @T @T S ; @x 6 ; @x t0 6 t < 0 x=0 x=0 A IZ NEGO | NERAWENSTWO DLQ POTOKOW TEPLA NA GRANICE @T @T S W(0 t) = ;k(T) @x 6 WS (0 t) = ;k(TS ) @x x=0
x=0
(18)
t0 6 t < 0: fIZI^ESKIJ SMYSL (18) W TOM, ^TO PRI PRO^IH RAWNYH USLOWIQH PERWONA^ALXNO BOLEE NAGRETAQ SREDA HUVE WOSPRINIMAET POSTUPA@]U@ S GRANICY \NERGI@ PO SRAWNENI@ S MENEE NAGRETOJ. pROINTEGRIRUEM (6) S U^ETOM (18) PO x OT 0 DO 1 I PO t OT t0 DO t < 0 I (POSKOLXKU WS (1 t) = W(1 t) = 0, t0 6 t < 0) POLU^IM
Z1
Z1
0
0
T (x t) ; T0 ] dx 6 TS (x t) ; TS (x t0)] dx
x 2]
princip maksimuma i teoremy srawneniq
229
ILI, RAZBIW OBLASTX INTEGRIROWANIQ NA ^ASTI OT x = 0 DO x = xS I OT x = xS DO x = 1 I IMEQ W WIDU, ^TO TS (x t) 0, x > xS , t > t0, PRIDEM K NERAWENSTWU
ZxS
Z1
ZxS
0
xS
0
T(x t) ; T0 ] dx + T(x t) ; T0 ] dx 6 TS (x t) ; TS (x t0)] dx:
tAK KAK T (x t) > T0 , x > 0, t > t0 (UPR. 5), TO DANNOE NERAWENSTWO MOVNO PEREPISATX W WIDE
Z1
ZxS
ZxS
xS
0
0
0 6 T (x t) ; T0 ] dx 6 TS (x t) ; T (x t)] dx + T0 ; TS (x t0)] dx
OTKUDA SLEDUET, W SILU NERAWENSTW T(x t) > TS (x t), x > 0, t > t0, I T0 > TS (x t0), x > 0, OGRANI^ENNOSTX FUNKCII T (x t) PRI WSEH x > xS , t0 6 t 6 0. dRUGIMI SLOWAMI, W ZADA^E (6), (16), (17) OSU]ESTWLQETSQ \FFEKTIWNAQ LOKALIZACIQ TEPLA NA GLUBINE L = xS , W TO^NOSTI RAWNOJ GLUBINE LOKALIZACII PRI OTSUTSTWII TEMPERATURNOGO FONA. kLASSIFIKACIQ REVIMOW S OBOSTRENIEM DLQ PROCESSOW, OPISYWAEMYH GIPERBOLI^ESKIM URAWNENIEM (19) IZ x 1, PROWODITSQ ANALOGI^NYMI METODAMI I PRIWODIT K WESXMA SHOVIM REZULXTATAM: PRI DEJSTWII NA SREDU MEDLENNYH GRANI^NYH REVIMOW IMEET MESTO LOKALIZACIQ, W SLU^AE BYSTRYH REVIMOW \TOT \FFEKT OTSUTSTWUET. 3. rASIRENIE AWTOMODELXNOGO METODA . pRODEMONSTRIROWANNYJ W PP. 1, 2 PODHOD, OSNOWANNYJ NA ISPOLXZOWANII IROKIH KLASSOW AWTOMODELXNYH ILI INYH ^ASTNYH REENIJ I NEPRERYWNOJ ZAWISIMOSTI PROCESSA OT WHODNYH DANNYH, DOPUSKAET RAZNOOBRAZNYE OBOB]ENIQ. pOKAVEM, ^TO \FFEKT LOKALIZACII TEPLA MOVET OSU]ESTWLQTXSQ NE TOLXKO W ODNOMERNOJ, NO I W MNOGOMERNOJ GEOMETRII, POSTROIW SOOTWETSTWU@]EE QWNOE REENIE URAWNENIQ
@T = @ k T @T + @ k T @T + @ k T @T @t @x 0 @x @y 0 @y @z 0 @z (19) t0 6 t < 0 RASSMATRIWAEMOGO W KWADRANTE x > 0, y > 0, z > 0 (ZDESX, KAK I RANEE, T = T(x y z t) | TEMPERATURA). pO ANALOGII S ODNOMERNYM S-REVIMOM (14), (15) IZ x 1 BUDEM ISKATX ^ASTNOE REENIE (19) W RAZDELQ@]IHSQ PEREMENNYH, T. E. T (x y z t) = U(t) f(x y z). pODSTANOWKA \TOGO WYRAVENIQ W (19) DAET DLQ U(t) TAKU@ VE, KAK I W ODNOMERNOJ GEOMETRII, FORMULU U(t) = = A0 (;t);1= . dLQ FUNKCII f(x y z) POLU^AETSQ SLOVNOE \LLIPTI^ESKOE URAWNENIE. pO\TOMU OGRANI^IMSQ PROSTYM SLU^AEM, KOGDA PROSTRANSTWENNAQ ^ASTX REENIQ ZAWISIT FAKTI^ESKI OT ODNOGO ARGUMENTA: f(x y z) = = f(), = x + y + z. tOGDA f() POD^INQETSQ URAWNENI@ (13) x 1 PRI
230 issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V n = ;1=, REENIE KOTOROGO UVE IZWESTNO. w ITOGE PRIHODIM K MNOGOMERNOMU S-REVIMU TS (x y z t) = 8 2= > :0 x + y + z > r 1 GDE r = rS (2k0A0 ( + 2)=) =2 WY^ISLQETSQ PO FORMULE DLQ ODNOMERNOGO REENIQ. rEENIE (20) OPISYWAET NAGREW TREHMERNOJ TEPLOPROWODNOJ SREDY W REVIME S OBOSTRENIEM, POSKOLXKU GRANI^NAQ TEMPERATURA T(0 y z t), T (x 0 z t), T(x y 0 t) OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX (W OBLASTI < rS ) PRI t ! 0. tO VE SAMOE PROISHODIT W \TOJ OBLASTI I S REENIEM. oDNAKO WO WSEM OSTALXNOM PROSTRANSTWE > rS KWADRANTA x > 0, y > 0, z > 0 TEMPERATURA RAWNA NUL@ WPLOTX DO MOMENTA t = 0. rAZMER OBLASTI LOKALIZACII rS (RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO PLOSKOSTI FRONTA TEPLOWOJ WOLNY), KAK I PREVDE, ZAWISIT OT SWOJSTW SREDY k0, I INTENSIWNOSTI GRANI^NOGO REVIMA A0 . pOSKOLXKU DLQ REENIJ URAWNENIQ (19) SPRAWEDLIWY TEOREMY SRAWNENIQ, TO IZ (20) SRAZU OPREDELQETSQ KLASS GRANI^NYH REVIMOW, PRIWODQ]IH K LOKALIZACII TEPLA W RASSMATRIWAEMOJ MNOGOMERNOJ OBLASTI. iH DALXNEJAQ KLASSIFIKACIQ WPOLNE ANALOGI^NA POLU^ENNYM W P. 2 REZULXTATAM. oBRATIMSQ TEPERX K BOLEE IROKOJ TRAKTOWKE AWTOMODELXNYH REENIJ, RASSMOTREW PONQTIE PRIBLIVENNYE AWTOMODELXNYE REENIQ. pRO]E WSEGO EGO WWESTI NA PRIMERE ZADA^I O NAGREWE SREDY S POSTOQNNYMI TEPLOFIZI^ESKIMI SWOJSTWAMI W REVIME S OBOSTRENIEM: @T = k @ 2 T 0 < x < 1 t 6 t < 0 0 @x2 0 @t (21) T(0 t) ! 1 t ! 0: pOLOVIM BEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI T(x t0) = 0, x > 0. oB]EE REENIE LINEJNOJ ZADA^I (21) HOROO IZWESTNO:
Z 2 x x T(x t) = p exp ; 4k (t ; ) (t ; );3=2 T(0 ) d: 2 k0 t 0 t
0
(22)
s POMO]X@ (22) NETRUDNO PROWESTI KLASSIFIKACI@ REENIJ (21) W ZAWISIMOSTI OT WIDA T (0 t). wIDNO, ^TO, POSKOLXKU PRI ! t, t ! ! 0 PERWYJ SOMNOVITELX W PODYNTEGRALXNOM WYRAVENII STREMITSQ K NUL@, A WTOROJ I TRETIJ K BESKONE^NOSTI, TO WOZMOVEN L@BOJ IZ IZU^AWIHSQ W P. 2 REVIMOW RASPROSTRANENIQ TEPLA. tAK, DLQ T(0 t) = A0 e;a0 =t, a0 > 0 | PARAMETR, HARAKTERIZU@]IJ GRANI^NYJ REVIM p , TEMPERATURA NEOGRANI^ENNO RASTET WO WSEH TO^KAH 0 6 x 6 xS = 2 k0a0 PRI t ! 0, A W OBLASTI x > xS OGRANI^ENA DLQ
x 2]
princip maksimuma i teoremy srawneniq
231
WSEH t 6 0. tAKVE OGRANI^ENA TEPLOWAQ \NERGIQ, SODERVA]AQSQ PRAWEE TO^KI x = xS :
Z1
lim T(x0 t) dx0 < 1
t!0
x
x > xS t 6 0
T. E. OSU]ESTWLQETSQ \FFEKTIWNAQ LOKALIZACIQ p TEPLA W S-REVIME S WY^ISLQEMOJ IZ (22) GLUBINOJ L = xS = 2 k0a0 . rASSMOTREW KRAEWOE USLOWIE BOLEE OB]EGO WIDA T (0 t) = A0 exp (a0 (;t)n ) n < 0 (23) POLU^IM, ^TO PRI ;1 < n < 0 REALIZUETSQ LS-REVIM, A DLQ n < ;1 HS-REVIM. aNALIZ INTEGRALA (22) NE MOVET DATX NEKOTORYH WAVNYH DETALXNYH SWOJSTW PROCESSA. nAPRIMER, DLQ TOGO ^TOBY POLU^ITX ZAKON IZMENENIQ SO WREMENEM POLUIRINY x\F (t), NADO FAKTI^ESKI REITX INTEGRALXNOE URAWNENIE (22). zADA^A (21), (23) NE DOPUSKAET, KAK LEGKO POKAZATX S POMO]X@ !-TEOREMY, I POSTROENIE AWTOMODELXNYH REENIJ. mODIFICIRUEM (21), (23) SLEDU@]IM OBRAZOM: WMESTO (23) WOZXMEM GRANI^NOE USLOWIE W WIDE T(0 t) = A0 exp (a0 (;t)n ) ; 1], n < 0 (DOBAWLENIE KONSTANTY SDELANO DLQ UDOBSTWA I PRI t ! 0 ROLI NE IGRAET) I PROWEDEM ZAMENU V (x t) = A0 ln(T (x t)=A0 + 1). tOGDA DLQ V (x t) POLU^IM ZADA^U
@V = k @ 2 V + k0 @V 2 0 < x < 1 t 6 t < 0 0 @x2 A 0 @t 0 @x V (0 t) = A0 a0 (;t)n n < 0 t0 6 t < 0 V (x t0) = 0 0 6 x < 1:
(24)
gRANI^NOE USLOWIE (24) | STEPENNAQ FUNKCIQ WREMENI. eSLI PO ANALOGII S P. 3 x 1 ISKATX REENIE ZADA^I (24) W WIDE, BLIZKOM K STEPENNOMU AWTOMODELXNOMU REENI@, TO DLQ TAKOGO REENIQ PRI t ! 0 PERWYJ ^LEN W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ STANOWITSQ NI^TOVNO MALYM PO SRAWNENI@ SO WTORYM, I IM MOVNO PRENEBRE^X (UPR. 6). bOLEE STROGIJ ANALIZ POKAZYWAET, ^TO DEJSTWITELXNO REENIE ZADA^I (24) BLIZKO PRI t ! 0 K REENIQM BOLEE PROSTOJ ZADA^I
@u = k0 @u 2 0 < x < 1 ;1 < t < 0 @t A0 @x u(0 t) = A0 a0 (;t)n n < 0 ;1 6 t < 0 u(x ;1) = 0:
(25)
232
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
w OTLI^IE OT (24) REENIE u(x t) ZADA^I (25) | STEPENNOE AWTOMODELXNOE REENIE, PROANALIZIROWATX KOTOROE NE PREDSTAWLQET TRUDA. fUNKCIQ u(x t) QWLQETSQ PRIBLIVENNYM AWTOMODELXNYM REENIEM DLQ ZADA^I (24) I, SLEDOWATELXNO, DLQ ISHODNOJ ZADA^I (21), (23). oTNOSITELXNAQ TO^NOSTX OPISANIQ ULU^AETSQ S TE^ENIEM WREMENI:
1 ; A0 eu(x t)=A ! 0 T (x t) 0
t ! 0 x > 0:
iZ SWOJSTW u(x t) WYTEKAET ZAKON DLQ POLUIRINY WOLNY NAGREWA x\F(t) = (;t)(1;n)=2 ln 2 k0=(a0 (;n))]1=2 , KOTORAQ UMENXAETSQ WO WSEH TREH REVIMAH (SR. S NELINEJNOJ SREDOJ). zAMETIM, ^TO POSTROENIE I ANALIZ PRIBLIVENNYH AWTOMODELXNYH REENIJ WOZMOVNY I ISPOLXZU@TSQ PRI IZU^ENII IROKOGO KLASSA URAWNENIJ PARABOLI^ESKOGO TIPA. e]E ODNO WAVNOE RASIRENIE AWTOMODELXNOGO METODA OSNOWANO NA OBOB]ENII PONQTIQ SRAWNENIQ REENIJ. sU]NOSTX \TOGO PODHODA SOSTOIT W SRAWNENII REENIJ ZADA^, OTWE^A@]IH NE TOLXKO RAZNYM KRAEWYM USLOWIQM, KAK W PP. 1, 2, NO I RAZNYM URAWNENIQM (W SLU^AE URAWNENIQ (1) | RAZNYM FUNKCIQM k(T )). w OPREDELENNOM SMYSLE RE^X IDET OB USTOJ^IWOSTI PROCESSA TEPLOPEREDA^I PO OTNOENI@ K WOZMU]ENIQM TEPLOFIZI^ESKIH SWOJSTW SREDY. pRI \TOM W KA^ESTWE ODNOGO IZ SRAWNIWAEMYH REENIJ MOVNO WYBRATX REENIE HOROO IZU^ENNOGO URAWNENIQ (NAPRIMER, (6) ILI (21)) I POLU^ITX SODERVATELXNYE REZULXTATY DLQ REENIJ BOLEE SLOVNYH URAWNENIJ. pROSTEJIJ WARIANT TAKOGO PODHODA PRODEMONSTRIRUEM W SLU^AE URAWNENIQ (21). rASSMOTRIM REENIQ T (1) (x t) I T (2) (x t) DWUH KRAEWYH ZADA^ W POLUPROSTRANSTWE x > 0: @T (1) = k(1) @ 2 T (1) x > 0 t > 0 0 @x2 @t T (1)(0 t) = T1(1) (t) t > 0 T (1)(x 0) = T0(1)(x)
x > 0
@T (2) = k(2) @ 2 T (2) x > 0 t > 0 0 @x2 @t T (2)(0 t) = T1(2) (t) t > 0 T (2)(x 0) = T0(2)(x)
(26)
(27)
x > 0:
dLQ RAZNOSTI V (x t) = T (2) (x t) ; T (1) (x t) IZ (26), (27) POLU^IM SLE-
x 2]
princip maksimuma i teoremy srawneniq
233
DU@]U@ KRAEWU@ ZADA^U:
@V = k(1) @ 2 V + (k(2) ; k(1)) @T (2) 0 @x2 0 0 @t @x V (0 t) = T1(2)(t) ; T1(1) (t) t > 0 V (x 0) = V0(x) = T0(2)(x) ; T0(1) (x)
x > 0 t > 0 (28) x > 0:
pUSTX WYPOLNENY TREBOWANIQ MAVORIROWANIQ REENIQ T (1) (x t) REENIEM T (2)(x t) PO KRAEWYM USLOWIQM: T1(1) (t) 6 T1(2)(t) t > 0
(29) T0(1) (x) 6 T0(2) (x) x > 0 I PO KO\FFICIENTU TEPLOPROWODNOSTI: k0(1) 6 k0(2) : (30) (2) pUSTX TAKVE DLQ REENIQ T (x t) SPRAWEDLIWO @ 2 T (2) > 0 @T (2) > 0 PRI x > 0 t > 0: (31) @x2 @t sWOJSTWO (31) NEUBYWANIQ FUNKCII T (2) (x t) SO WREMENEM W L@BOJ TO^KE x > 0 OBESPE^IWAETSQ (PRI T0(2)(x) 0) NEUBYWANIEM PO t GRANI^NOGO USLOWIQ T1(2) (t). pROWERIM \TO, PRODIFFERENCIROWAW URAWNENIE (27) PO t I POLU^IW DLQ FUNKCII Z (2) (x t) = @T (2) =@t = ;W (2) (x t)=k0
ZADA^U
@Z (2) = k(2) @ 2 Z (2) x > 0 t > 0 0 @x2 @t Z (2) (0 t) > 0 t > 0
(32)
Z (2) (x 0) 0: eE REENIE, KAK NETRUDNO POKAZATX (UPR. 7), NEOTRICATELXNO PRI WSEH x > 0, t > 0 (W SLU^AE T0(2) 6 0 DLQ WYPOLNENIQ NERAWENSTWA (31) DOSTATO^NO NALOVITX E]E I USLOWIE @ 2 T0 (x)=@x2 > 0, x > 0). pRI WYPOLNENII NERAWENSTW (29){(31) ZADA^A (28) DLQ V (x t) STA-
NOWITSQ ZADA^EJ
@V = k(1) @ 2 V + f(x t) 0 @x2 @t V (0 t) > 0 t > 0 V0 (x) > 0 x > 0
x > 0 t > 0 (33)
234
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
S NEOTRICATELXNYMI KRAEWYMI USLOWIQMI I NEOTRICATELXNOJ FUNKCIEJ f(x t) (ISTO^NIKAMI TEPLA) W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ (33). eE REENIE NEOTRICATELXNO PRI WSEH x > 0 I t > 0. oTS@DA SLEDUET MAVORIROWANIE REENIQ ZADA^I (26) S KO\FFICIENTOM k0(1) REENIEM ZADA^I (27) S KO\FFICIENTOM k0(2) WO WSEJ RASSMATRIWAEMOJ OBLASTI: T (1)(x t) 6 T (2) (x t) t > 0 t > 0: (34) w SLU^AE URAWNENIQ (1) NERAWENSTWO (34) SPRAWEDLIWO PRI DOPOLNITELXNOM K (29){(31) TREBOWANII NA KO\FFICIENTY k(1)(T), k(2)(T), IME@]EM WID k(2)(T )=k(1)(T)]0T > 0, T > 0. s POMO]X@ PODOBNYH TEOREM SRAWNENIQ (SPRAWEDLIWYH I DLQ PARABOLI^ESKIH URAWNENIJ OB]EGO WIDA) USTANAWLIWAETSQ, NAPRIMER, PRINCIPIALXNO WAVNYJ REZULXTAT: DLQ SREDY S L@BYMI TEPLOFIZI^ESKIMI SWOJSTWAMI WSEGDA MOVNO UKAZATX KLASS GRANI^NYH REVIMOW, PRIWODQ]IH K LOKALIZACII TEPLA, I KLASS REVIMOW, PRI DEJSTWII KOTORYH NA SREDU LOKALIZACIQ OTSUTSTWUET. tAKIM OBRAZOM, \TOT \FFEKT NOSIT OB]IJ HARAKTER. upravneniq 1. iSPOLXZUQ REENIE (9) IZ x 1 I TEOREMU SRAWNENIQ (4), POKAVITE, ^TO LOKALIZACIQ WOZMU]ENIEJ W ZADA^E kOI WOZMOVNA LIX W TE^ENIE KONE^NOGO WREMENI I ^TO PRI L@BOJ NA^ALXNOJ FUNKCII T0 (x) 0 KOORDINATA FRONTA TEPLOWOJ WOLNY x(t) ! 1, t ! 1. 2. w URAWNENII @T = @ k T @T ; q T 0 @t @x 0 @x (q0 > 0) ^LEN q0 T HARAKTERIZUET ZAWISQ]U@ OT TEMPERATURY INTENSIWNOSTX POGLO]ENIQ TEPLA W SREDE. zAMENAMI T = e;q0 t V , = (1 ; e;q0 t )=(q0 ) SWEDITE EGO K URAWNENI@ @V = @ k T @V : @ @x 0 @x w KA^ESTWE REENIQ V (x ) URAWNENIQ BEZ POGLO]ENIQ WOZXMITE TO, KOTOROE DAETSQ FORMULOJ (9) IZ x 1, I SDELAJTE OBRATNYJ PEREHOD OT V (x ) K T (x t). uBEDITESX, ^TO DLQ POSTROENNOGO TAKIM OBRAZOM REENIQ T (x t) ISHODNOGO URAWNENIQ x (t) ! ! (Q0k0 )1=(2+) (q0);1=(2+) PRI t ! 1. sRAWNIWAQ KRAEWOE USLOWIE (11) S REENIEM TS (x t) (FORMULY (14), (15) IZ x 1 ) 3.W TO^KE x = 0, DOKAVITE SPRAWEDLIWOSTX OCENKI (12) PRI NA^ALXNYH DANNYH (10). 4. uBEDITESX, ^TO REENIE ZADA^I (6), (9), (10) MAVORIRUETSQ W SLU^AE NERAWENSTWA (11) RASSMOTRENNYM W P. 3 x 1 REENIEM DLQ AWTOMODELXNOGO LS-REVIMA. 5. pROWERXTE NERAWENSTWO T (x t) > T0 , x > 0, t > t0 , DLQ REENIQ ZADA^I (6), (16), (17), ISPOLXZUQ (5) I U^ITYWAQ, ^TO KONSTANTA UDOWLETWORQET URAWNENI@ (6). 6. pROWERXTE, ^TO ESLI ISKATX REENIE URAWNENIQ (25) PRI n = ;1 W WIDE V (x t) A0 a0 (t);1 f (x) (ANALOG S-REVIMA), TO PRI t ! 0 (24) WYROVDAETSQ W URAWNENIE (25). 7. dOKAVITE OT PROTIWNOGO NEOTRICATELXNOSTX REENIJ ZADA^ (32) I (33) (ISPOLXZUJTETEOREMU SRAWNENIQ (5) I TOT FAKT, ^TO PRI NULEWYH KRAEWYH USLOWIQH REENIQ | TOVDESTWENNYE NULI).
x 3]
metod osredneniq
235
@T = @ k T @T + q T 0 @t @x 0 @x q0 > 0 > 1 ;1 < x < 1 t 6 t0
(1)
x 3. mETOD OSREDNENIQ rASSMOTRIM WARIANT METODA OSREDNENIQ, PRIMENQEMYJ DLQ IZU^ENIQ PROSTRANSTWENNO-WREMENNOJ DINAMIKI LOKALIZOWANNYH STRUKTUR. sFORMULIRUEM DWA PODHODA K OSREDNENNOMU OPISANI@. s IH POMO]X@ POLU^IM KLASSIFIKACI@ REVIMOW GORENIQ W TEPLOPROWODNYH SREDAH. 1. lOKALIZOWANNYE STRUKTURY W NELINEJNYH SREDAH. iZU^AWIJSQ W x 1, 2 \FFEKT LOKALIZACII WOZMU]ENIJ MOVET PROQWLQTXSQ NE TOLXKO PRI WNENIH WOZDEJSTWIQH NA SREDU, ZADANNYH W WIDE SOOTWETSTWU@]IH GRANI^NYH REVIMOW S OBOSTRENIEM, NO I BLAGODARQ EE SOBSTWENNYM NELINEJNYM SWOJSTWAM. dOSTATO^NO SILXNAQ NELINEJNOSTX (SM. PROSTOJ PRIMER W x 6 GL. I) POROVDAET REVIMY S OBOSTRENIEM, KOTORYE W SWO@ O^EREDX SLUVAT PRI^INOJ WOZNIKNOWENIQ STRUKTUR | LOKALIZOWANNYH W PROSTRANSTWE NEODNORODNOSTEJ WELI^IN. iZU^IM PROSTRANSTWENNO-WREMENNOE POWEDENIE RASPREDELENIQ TEMPERATURY W TEPLOPROWODNOM WE]ESTWE S NELINEJNYMI ISTO^NIKAMI TEPLA. |NERGIQ WYDELQETSQ W REZULXTATE GORENIQ, PROTEKANIQ HIMI^ESKIH ILI INYH WIDOW REAKCIJ. sREDA S^ITAETSQ NEOGRANI^ENNOJ (ZADA^A kOI), PROCESS GORENIQ ODNOMERNYM. oN OPISYWAETSQ URAWNENIEM
S NA^ALXNOJ FUNKCIEJ
;1 < x < 1: (2) tEPLOFIZI^ESKIE HARAKTERISTIKI WE]ESTWA (KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI I SILXNO NELINEJNYJ ( > 1) ISTO^NIK \NERGII q0T ) | STEPENNYE FUNKCII TEMPERATURY, HOROO APPROKSIMIRU@]IE W RQDE SLU^AEW REALXNYE ZAWISIMOSTI. gORENIE INICIIRUETSQ NA^ALXNYM RASPREDELENIEM TEMPERATURY T0 (x) 6 0 (W PROTIWNOM SLU^AE WE]ESTWO OSTAWALOSX BY HOLODNYM). pOSTROIM PRIMER LOKALIZOWANNOJ STRUKTURY GORENIQ W ZADA^E (1), (2). bUDEM ISKATX EE REENIE W RAZDELQ@]IHSQ PEREMENNYH W WIDE T (x t) = U(t) f(x). tOGDA IZ (1) IMEEM T (x t0) = T0 (x)
+1 d df f dU dt = U dx k0 f dx + U q0f
OTKUDA WIDNO, ^TO PEREMENNYE RAZDELQ@TSQ W SLU^AE, KOGDA = + 1, I TOGDA U ;(+1) dU = 1 d dt
f dx
k0 f
df dx + q0f = C
(3)
GDE C > 0 (I]UTSQ REVIMY S RASTU]EJ WO WREMENI TEMPERATUROJ). dLQ U(t) IZ (3) POLU^AEM WYRAVENIE U(t) = (C1 ; Ct);1= C1 > 0 (4)
236
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
IME@]EE SMYSL LIX PRI t < C1=(C) I OBRA]A@]EESQ W BESKONE^NOSTX W KONE^NYJ MOMENT WREMENI C1 = Ct. tAKIM OBRAZOM, TEMPERATURA RASTET W REVIME S OBOSTRENIEM. w DALXNEJEM POLOVIM BEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI C = 1= I OBOZNA^IM C1 = tf . ~TOBY NAJTI f(x), ZAMENOJ f +1 = y PREOBRAZUEM (3) SNA^ALA K URAWNENI@ 1 k0 00 +1 + 1 y = y ; q0y
IME@]EMU WID URAWNENIQ KOLEBANIJ ARIKA NA PRUVINKE S SOOTWETSTWU@]EJ WNENEJ SILOJ (SM. P. 1 x 4 GL. I), A ZATEM, ISPOLXZUQ ZAMENU y0 = !, K URAWNENI@ PERWOGO PORQDKA 1 k0 d! = y +1 ; q0y : + 1 dy
! eGO INTEGRIROWANIE DAET SWQZX MEVDU ! I y: k0 !2 = + 1 y +2 y2 + C : +1 ; q0 2 +1 2 +2 2 dLQ OPREDELENIQ KONSTANTY C2 U^TEM, ^TO FUNKCIQ ! = y0 = 0 = f f ( + 1) S TO^NOSTX@ DO ^ISLOWOGO MNOVITELQ PREDSTAWLQET SOBOJ PROSTRANSTWENNU@ ^ASTX W WYRAVENII DLQ POTOKA W (x t) = = ;k0T @T=@x = ;k0U +1 f f 0 . nA FRONTE TEPLOWOJ STRUKTURY KAK TEMPERATURA f, TAK I TEPLOWOJ POTOK DOLVNY OBRA]ATXSQ W NULX. sLEDOWATELXNO, ! = 0 PRI y = 0 (f = 0) I OTS@DA C2 = 0. pEREHODQ W POSLEDNEM URAWNENII OT y I ! OBRATNO K f, POLU^AEM (PRI C2 = 0)
KWADRATURU
dx =
r (++1)1 k0 df
f 2+2
f ; ; q0
KOTORAQ INTEGRIRUETSQ QWNYM OBRAZOM:
( + 2) ; = B = r q0 : (5) f = A cos2= Bx A = q0 2 ( + 1) 2 k0 ( + 1) oB_EDINQQ (4) I (5), PRIHODIM K OKON^ATELXNOMU WIDU ISKOMOGO 1
REENIQ
8 2 ( + 1)
x = > ; = 2 > q (t ; t)] cos < 0 f ( + 2) LT T (x t) = > > :0 p p GDE L = 2 k =q ( + 1)=2. 1
T
0 0
1
jxj 6 L2T jxj > L2T
(6)
x 3]
metod osredneniq
237
rEENIE (6) OPISYWAET NEMONOTONNOE RASPREDELENIE TEMPERATURY (STRUKTURU) S NEPODWIVNYM FRONTOM I NEIZMENNOJ POLUIRINOJ | AWTOMODELXNYJ S-REVIM GORENIQ W NELINEJNOJ TEPLOPROWODNOJ SREDE. nESMOTRQ NA BESPREDELXNYJ ROST TEMPERATURY W STRUKTURE PRI t ! ! tf (PRI t ! ;1 TEMPERATURA OBRA]AETSQ W NULX), PROCESS GORENIQ LOKALIZOWAN W KONE^NOJ OBLASTI jxj 6 LT =2, RAZMER KOTOROJ OPREDELQETSQ PARAMETRAMI WE]ESTWA k0 , q0, . lOKALIZACIQ OZNA^AET OTSUTSTWIE WLIQNIQ GORQ]EJ STRUKTURY NA U^ASTKI SREDY, NAHODQ]IESQ ZA GRANICAMI OBLASTI jxj 6 LT =2. tAKIM OBRAZOM, GORENIE NELINEJNOJ SREDY MOVET OSU]ESTWLQTXSQ W WIDE L@BOGO ^ISLA NEZAWISIMYH DRUG OT DRUGA TEPLOWYH STRUKTUR (ESLI IH MAKSIMUMY RAZDELENY RASSTOQNIEM, BOLXIM LT ). pRI^INA USLOVNENIQ PROCESSA, RASPADA EGO NA STRUKTURY ZAKL@^AETSQ W OTKRYTOSTI RASSMATRIWAEMOJ SISTEMY, W OBMENE \NERGIEJ S OKRUVA@]EJ SREDOJ. w SRAWNENII S TAKIMI SISTEMAMI TERMODINAMI^ESKI ZAMKNUTYE PROCESSY NE DOPUSKA@T WOZNIKNOWENIQ STRUKTUR. w TEPLOPROWODNOJ SREDE BEZ ISTO^NIKOW, KAK WIDNO IZ SWOJSTW REENIQ ZADA^I O MGNOWENNOM TO^E^NOM ISTO^NIKE TEPLA (P. 2 x 1) I TEOREM SRAWNENIQ, RASPREDELENIE TEMPERATURY PRI t ! 1 STANOWITSQ PROSTRANSTWENNO ODNORODNYM. pO ANALOGII S AWTOMODELXNYMI GRANI^NYMI REVIMAMI S OBOSTRENIEM IZ x 1 DLQ SREDY BEZ ISTO^NIKOW TEPLA WOZMOVNO POSTROENIE TAKVE AWTOMODELXNYH LS- I HS-REVIMOW GORENIQ. oNI I]UTSQ W WIDE (UPR. 1) T(x t) = q0 (tf ; t)]; 1 f() ; ( + 1) = 1=2 m;1x m = 2 ( ; 1) k0 q0 (tf ; t)m 1
;
(7)
I OBLADA@T SHOVIMI SO SWOIMI GRANI^NYMI ANALOGAMI SWOJSTWAMI: W SLU^AE LS-REVIMA ( > + 1) POLUIRINA LOKALIZOWANNOJ STRUKTURY SOKRA]AETSQ SO WREMENEM, A TEMPERATURA OGRANI^ENA SWERHU PREDELXNOJ KRIWOJ PRI WSEH t 6 tf W SLU^AE HS-REVIMA ( < + 1) LOKALIZACIQ OTSUTSTWUET. nO BUKWALXNOE POWTORENIE SHEMY, PRIMENQWEJSQ W x 1, 2, NEPRIEMLEMO DLQ IZU^ENIQ TEPLOWYH STRUKTUR, PO KRAJNEJ MERE W SILU DWUH PRI^IN. sU]ESTWOWANIE I SWOJSTWA AWTOMODELXNYH LSI HS-REVIMOW GORENIQ USTANAWLIWA@TSQ (IZ-ZA SLOVNOSTI SOOTWETSTWU@]EGO URAWNENIQ SM. UPR. 2) GORAZDO BOLEE TONKIMI, ^EM W x 1, 2, METODAMI. kROME TOGO, NEPOSREDSTWENNOE PRIMENENIE AWTOMODELXNYH REENIJ I TEOREM SRAWNENIQ DLQ ANALIZA ZADA^I (1), (2) W OB]EM SLU^AE NE DAET ZAWERENNYH REZULXTATOW. nAPRIMER, OTNOSITELXNO NETRUDNO PROWERITX, ^TO W ZADA^E (1), (2) PRI = + + 1 L@BYE NA^ALXNYE WOZMU]ENIQ TEMPERATURY BUDUT RAZWIWATXSQ W REVIME S OBOSTRENIEM (UPR. 3). dOKAZATX VE IH LOKALIZACI@ DAVE W \TOM ^ASTNOM SLU^AE, ISPOLXZUQ OBY^NYE TEOREMY SRAWNENIQ, NEWOZMOVNO.
238
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
dEJSTWITELXNO, W OTLI^IE OT GRANI^NYH REVIMOW S OBOSTRENIEM, RAZLI^NYE REENIQ ZADA^I (1), (2) MOGUT IMETX RAZLI^NYE I NE(2) IZWESTNYE ZARANEE MOMENTY OBOSTRENIQ t(1) f 6= tf (IZ (6) WIDNO, ^TO PRI PRO^IH RAWNYH USLOWIQH tf TEM MENXE, ^EM BOLXE AMPLITUDA STRUKTURY W MOMENT t = t0). pO\TOMU ODNO IZ SRAWNIWAEMYH REENIJ PERESTAET SU]ESTWOWATX RANXE DRUGOGO, I DALXNEJEE SRAWNENIE TERQET SMYSL (NEOBHODIMO ISPOLXZOWATX BOLEE SLOVNYE METODY SRAWNENIQ). 2. rAZLI^NYE SPOSOBY OSREDNENIQ. dLQ UPRO]ENNOGO ANALIZA PROSTRANSTWENNO-WREMENNYH HARAKTERISTIK TEPLOWYH STRUKTUR WOSPOLXZUEMSQ METODOM OSREDNENIQ. rAZLI^NYE WARIANTY \TOGO METODA OSNOWANY NA OTKAZE OT TO^NOGO OPISANIQ POWEDENIQ REENIQ KAK PO PROSTRANSTWU, TAK I PO WREMENI, I NA PEREHODE K NEKOTORYM SREDNIM HARAKTERNYM WELI^INAM, WY^ISLQEMYM IZ BOLEE PROSTYH MODELEJ. pRIMENITELXNO K TEPLOWYM STRUKTURAM W KA^ESTWE TAKIH WELI^IN MOVNO WYBRATX PARY AMPLITUDA|POLUIRINA ILI AMPLITUDA| POLOVENIE FRONTA. rASSMOTRIM PERWU@ IZ NIH. bUDEM S^ITATX NA^ALXNU@ FUNKCI@ T0 (x) FINITNOJ, IME@]EJ MAKSIMUM W TO^KE x = 0 I BLIZKOJ K SIMMETRI^NOJ FUNKCII. tOGDA REENIE T(x t) ZADA^I (1), (2) TAKVE BUDET PO^TI SIMMETRI^NYM. pRIBLIVENNOE REENIE I]ETSQ W POHOVEM NA AWTOMODELXNYJ (SM. (7)) WIDE T (x t) = (t) () = jxj (8) '(t)
GDE (t) I '(t) | ZAWISQ]IE OT WREMENI ISKOMYE AMPLITUDA I POLUIRINA STRUKTURY, () | NEKOTORAQ FIKSIROWANNAQ FINITNAQ MONOTONNO UBYWA@]AQ FUNKCIQ, PRI^EM (0) = 1. pOTREBUEM, ^TOBY (8) UDOWLETWORQLO INTEGRALXNYM RAWENSTWAM (ZAKONAM SOHRANENIQ)
Z1 @ @T Z1 @t dx ; @x T @x dx ; T dx = 0 ;1 ;1
Z1 @T
;1
Z1 @ @T Z1 +1 @t T dx ; @x T @x T dx ; T dx = 0: ;1 ;1
Z1 @T ;1
pERWOE IH NIH | ZAKON SOHRANENIQ \NERGII, WTOROE MOMENTNOE URAWNENIE SLEDUET IZ INTEGRIROWANIQ (1), UMNOVENNOGO NA T(x t) (cR. S P. 4 x 3 GL. III). dLQ PROSTOTY W (1) POLOVENO k0 = q0 = 1, ^TO NE OGRANI^IWAET OB]NOSTI1 , TAK KAK \KWIWALENTNO ISPOLXZOWANI@ ZAMENY t0 = q0t, x0 = x (q0=k0) =2 . iNTEGRIROWANIEM DWUH POSLEDNIH RAWENSTW PO ^ASTQM S U^ETOM TOGO, ^TO PRI x = 1 POTOK TEPLA ;T @T=@x
x 3]
239
metod osredneniq
RAWEN NUL@, POLU^AEM d dt
Z1 ;1
T dx =
Z1 ;1
T dx
1 1 1 1 d Z T 2 dx = ; Z T @T 2 dx + Z T +1 dx: 2 dt @x ;1
;1
(9)
;1
pODSTANOWKA (8) W (9) DAET SISTEMU DLQ (t), '(t):
d (t) '(t)] = '(t) 1 dt d 2(t) '(t)] = ; +2 (t) ';2 (t) + +1 (t) '(t) 2 3 dt GDE 1, 2, 3 | POLOVITELXNYE POSTOQNNYE, 1 =
Z1
;1
d
Z1 d 2 , Z1 2 d 2 = 2 d d ;1 Z1
3 = 2
(10)
;1
+1 d
, Z1 ;1
;1
(11)
2 d:
pRI \TOM PREDPOLAGAETSQ, ^TO FUNKCIQ () TAKOWA, ^TO WYRAVENIQ DLQ 1, 2, 3 IME@T SMYSL. sISTEMU (10) NETRUDNO RAZREITX OTNOSITELXNO PROIZWODNYH:
d = +1 h( ; ) ;(+1) '2 ; i 3 1 2 dt '2 (12) d' = h(2 ; ) ;(+1) '2 + i t > t = 0 1 3 2 0 dt ' A OT (12) | PEREJTI K URAWNENI@ d = ; a;(+1) '2 ; 1 = 0 ' > 0 (13) d' ' b;(+1) '2 ; 1 GDE a = (3 ; 1)=2, b = (3 ; 21)=2. pOTREBUEM WYPOLNENIQ USLOWIQ 3 > 21, T. E. a > 0 b > 0 (14)
240
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
NEOBHODIMOGO DLQ TOGO, ^TOBY SISTEMA (12) DOPUSKALA REVIMY S OBOSTRENIEM. iTAK, ANALIZ ZADA^I (1), (2) SWELSQ K IZU^ENI@ OBYKNOWENNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ PERWOGO PORQDKA. tAKOE VE SILXNOE UPRO]ENIE POLU^AETSQ DLQ OSREDNENIQ AMPLITUDA|POLOVENIE FRONTA. rEENIE I]ETSQ W TOM VE WIDE (15) T (x t) = (t) () = jxj
g(t) GDE (t) > 0 | AMPLITUDA STRUKTURY, A g(t) > 0 UVE NE POLUIRINA, A POLOVENIE EE DWIVU]EGOSQ FRONTA. fUNKCIQ () WYBIRAETSQ TAK, ^TO () > 0, 0 < < 1, I () = 0, > 1, (0) = 1, 0 (0) = 0. w KA^ESTWE PERWOGO INTEGRALXNOGO URAWNENIQ DLQ I g WYBEREM ZAKON SOHRANENIQ \NERGII I ANALOGI^NO (10) POLU^IM d (t) g(t)] = g(t) t > 0: (16) 1 dt dLQ WYWODA DOPOLNITELXNOGO URAWNENIQ WOSPOLXZUEMSQ TEM, ^TO g(t) | FRONT TEPLOWOJ WOLNY, I PO\TOMU W (g(t) t) 0, T(g(t) t) 0. dIFFERENCIRUQ WTOROE IZ \TIH TOVDESTW PO WREMENI: @T dg + @T 0 @g dt @t ISPOLXZUQ (1) I ZAPISYWAQ PROIZWODNYE W WIDE PREDELOW, PRIDEM K RA-
WENSTWU
dg lim T(g(t) t) ; T(x t) = dt jxj!g (t) g(t) ; x ;
= jxj!lim g (t)
W(g(t) t) ; W (x t)
; T (x t)
: g(t) ; x oNO UPRO]AETSQ, ESLI U^ESTX, ^TO g(t) | TO^KA FRONTA I T (g(t) t) = W (g(t) t) 0: dg lim T (x t) = lim W (x t) + T (x t) : dt jxj!g (t) g(t) ; x jxj!g (t) g(t) ; x w OKRESTNOSTI FRONTA PO PREDPOLOVENI@ TEMPERATURA, KAK I W INERTNOJ SREDE, IMEET SLEDU@]EE ASIMPTOTI^ESKOE PREDSTAWLENIE: T (x t) (g(t) ; jxj)1= (SM. W x 1 REENIQ S DWIVU]IMSQ FRONTOM DLQ URAWNENIQ (1) BEZ ISTO^NIKA). tOGDA, KAK NETRUDNO PROWERITX, WTOROJ ^LEN SPRAWA W POSLEDNEM RAWENSTWE MAL I IM MOVNO PRENEBRE^X (^TO I OB_QSNQET PREDPOLOVENIE O MALOM WLIQNII ISTO^NIKA \NERGII NA STRUKTURU REENIQ U FRONTA). oTS@DA POLU^AEM FORMULU dg = lim W = ; lim T ;1 @T (17) T !0 dt T !0 T @x ;
;
;
x 3]
241 DLQ SKOROSTI dg=dt DWIVENIQ FRONTA WOLNY. pODSTANOWKA (15) W (17) metod osredneniq
DAET
dg(t) = (t) t > 0 4 g(t) dt GDE 4 = ;( )0 (1)= > 0. rAZREAQ (16) OTNOSITELXNO 0 (t), ZAPIEM (16), (18) KAK d = ; +1 g;2 dg = g;1 4 dt 1 dt 4
(18)
(19)
A ZATEM PEREJDEM K URAWNENI@
d = h ;(+1) g2 ; 1i g > 0 = 1 : (20) dg g 4 kAK I W PREDYDU]EM SLU^AE, \WOL@CIQ SREDNIH HARAKTERISTIK TEPLOWOJ STRUKTURY OPISYWAETSQ GORAZDO BOLEE PROSTOJ MODELX@, ^EM ISHODNAQ. 3. kLASSIFIKACIQ REVIMOW GORENIQ TEPLOPROWODNOJ SREDY. nA^NEM ANALIZ ZADA^I (1), (2) SO SLU^AQ = + 1, OPIRAQSX NA PERWYJ SPOSOB OSREDNENIQ. uRAWNENIE (13) IMEET PROSTOJ WID: d = ; a'2 ; 1 > 0 ' > 0 (21) d' ' b'2 ; 1 I LEGKO INTEGRIRUETSQ: ; 2 ; 2 (3121) ; 1 ; 1 C0 = ' 1 ; 3 1 '2 2 GDE C0 > 0 | POSTOQNNAQ, OPREDELQEMAQ NA^ALXNYMI ZNA^ENIQMI '(0), (0). hARAKTER \WOL@CII TEPLOWOJ STRUKTURY NAGLQDNO WIDEN IZ POWEDENIQ FAZOWYH TRAEKTORIJ URAWNENIQ (21) (RIS. 75). vIRNOJ LINIEJ ;
POKAZANA TRAEKTORIQ ' 'S = = 2 (3 ; 21)]1=2 = L2T (22) OTWE^A@]AQ AWTOMODELXNOMU S-REVIMU GORENIQ (6) (ONA VE | IZOKLINA BESKONE^NOSTI URAWNENIQ rIS. 75 (21)), TRIHOWAQ LINIQ | IZOKLINA NULQ ' = a;1=2 < 'S . sPRAWEDLIWOSTX (22) WYTEKAET IZ TOGO, ^TO W SOOTWETSTWII S (6) FUNKCI@ () W (8) ESTESTWENNO WZQTX W WIDE 8 2 >
:0
16 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
j j > 1:
242
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
tOGDA IZ (6) POLU^AEM DLQ AMPLITUDY I POLUIRINY SOOTNOENIQ
+ 1) = (t ; t);1= '(t) = LT (t) = 2 ( f ( + 2) 2 A DLQ KO\FFICIENTOW 1, 2, 3 IZ (11) | + 2 = 2 = + 4 : 1 = 2 ( 2 ( + 2) 3 +2 + 1) pODSTANOWKA \TIH WYRAVENIJ W (21) PRIWODIT K TOVDESTWU, T. E. AWTOMODELXNOE REENIE ABSOL@TNO TO^NO OPISYWAETSQ METODOM OSREDNENIQ. ~TO VE KASAETSQ NEAWTOMODELXNYH REENIJ, TO WSE ONI, KAK WIDNO IZ RIS. 75, RAZWIWA@TSQ W REVIME S OBOSTRENIEM, IH TRAEKTORII STREMQTSQ K AWTOMODELXNOJ: '(t) ! 'S , t ! tf . oTS@DA SLEDUET (UPR. 4) (t) ' (1 );1= (tf ; t);1= t ! tf (23) T. E. NA RAZWITOJ STADII GORENIE PROTEKAET PO AWTOMODELXNOMU ZAKONU. nA NA^ALXNOJ STADII ONO MOVET IDTI BOLEE SLOVNYM OBRAZOM: PRI FUNKCIQH T0 (x) S POLUIRINOJ, MENXEJ '0 , TEMPERATURA W STRUK1
rIS. 76
rIS. 77
TURE SNA^ALA UMENXAETSQ I NA^INAET RASTI LIX POSLE DOSTIVENIQ POLUIRINOJ KRITI^ESKOGO RAZMERA ' = '0 . sLU^AJ 6= + 1 BUDEM ANALIZIROWATX S POMO]X@ URAWNENIQ (20). oNO IMEET PRI = 6 + 3 OB]EE REENIE (UPR. 5) ;(+1) 2 +11 ; ( + 3) (24) g ; l0 g = C0 l0 = 1 ; ( + 1) GDE C0 > 0 OPREDELQETSQ NA^ALXNYMI DANNYMI, A PRI = + 3 | REENIE 2 = g2 (C0 ; 2 lng)];1 C0 = const > 0: (25) pOWEDENIE INTEGRALXNYH KRIWYH URAWNENIQ RAZLI^NO W DIAPAZONAH < + 1, + 1 < < + 3, > + 3. nA RIS. 76, 77, SOOTWETSTWU@]IH SLU^AQM < + 1, + 1 < < + 3, TRIHOWYMI LINIQMI POKAZANY IZOKLINY NULQ 0 , VIRNOJ | OSOBAQ TRAEKTORIQ (SEPARATRISA) ;
= D = l0
;(
;1) g; ;(2 +1) 1
(26)
x 3]
243
metod osredneniq
SU]ESTWU@]AQ PRI < + 1 (I > + 3) I OTWE^A@]AQ ZNA^ENI@ C0 = 0 W OB]EM REENII. rASSMOTRIM POWEDENIE SREDNIH HARAKTERISTIK TEPLOWYH STRUKTUR. w SLU^AE < + 1 (RIS. 76) WSE TRAEKTORII SHODQTSQ K SEPARATRISE (26), I STRUKTURA, KAK SLEDUET IZ (19), ASIMPTOTI^ESKI STREMITSQ K AWTOMODELXNOMU REVIMU (SM. (7)): (+1) (t) (tf ; t) 1 1 g(t) (tf ; t) 2 ( 1) t ! tf PRI^EM g(t) ! 1 PRI t ! tf , T. E. LOKALIZACIQ TEPLA W HS-REVIME OTSUTSTWUET. bOLEE RAZNOOBRAZNO POWEDENIE TEPLOWYH STRUKTUR LS-REVIMA ( > > + 1). pRI + 1 < < + 3 (RIS. 77) L@BAQ TRAEKTORIQ IMEET WERTIKALXNU@ ASIMPTOTU S KOORDINATOJ ;
;
;
;(+1) ;( +3)
g = C0
T. E. g(t) ! g , t ! tf , ^TO OZNA^AET LOKALIZACI@ GORENIQ W OBLASTI jxj < g . aMPLITUDA STRUKTURY RASTET PO AWTOMODELXNOMU ZAKONU (tf ; t);1=(;1) , t ! tf (POWEDENIE POLUIRINY PRI DANNOM SPOSOBE OSREDNENIQ, ESTESTWENNO, NE OPISYWAETSQ). wYWOD O RAZWITII OBOSTRQ@]EJSQ LOKALIZOWANNOJ STRUKTURY SPRAWEDLIW DLQ ^ASTI TRAEKTORIJ I W SLU^AE > + 3, PRI^EM DLQ = + 3 IZ (25) POLU^AEM g = = eC0 =(2) . oDNAKO PRI > + + 3 (RIS. 78 LINII D I 0 IME@T TOT VE SMYSL, ^TO I NA RIS. 76) NA FAZOWOJ PLOSKOSTI LS-REVIMA SU]ESTWUET SEPARATRISA (26), RAZDELQ@]AQ PRINCIPIALXNO RAZNYE KLASSY REENIJ. dLQ NA^ALXNYH FUNKCIJ T0 (x), OTWE^A@]IH OBLASTI WYE LINII D , RAZWIWAETSQ UVE IZU^ENNYJ REVIM S OBOSTRENIEM. eSLI VE NA^ALXNOE WOZMU]ErIS. 78 NIE IMEET LIBO NEBOLXU@ AMPLITUDU, LIBO NEBOLXOJ RAZMER (OBLASTX NIVE LINII D ), TO REVIM S OBOSTRENIEM NE RAZWIWAETSQ. tEMPERATURA W STRUKTURE (SM. (24)) \WOL@CIONIRUET PO ZAKONU 1 (g) ' F0g;1 F0 = C0 l0; +1 > 0 g ! 1: oTS@DA I IZ (19) POLU^A@TSQ ASIMPTOTI^ESKIE OCENKI 1 1 (t) t; +2 g(t) t +2 t ! 1: pODOBNOE POWEDENIE HARAKTERNO DLQ AWTOMODELXNYH REENIJ W SREDE BEZ WYDELENIQ \NERGII, NAPRIMER, DLQ REENIQ ZADA^I O MGNOWENNOM TO^E^NOM ISTO^NIKE TEPLA IZ P. 2 x 1. iTAK, W SLU^AE > + 3 PRI NEDOSTATO^NO SILXNOM INICIIROWANII PROCESS GORENIQ SREDY ZATUHAET. ;
16
244
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
zAMETIM, ^TO W HS-REVIME I W OBOSTRQ@]EMSQ LS-REVIME SU]ESTWUET (ANALOGI^NO S-REVIMU) KRITI^ESKIJ RAZMER STRUKTURY ' = '0 , PRI DOSTIVENII KOTOROGO EE TEMPERATURA NA^INAET RASTI. mETOD OSREDNENIQ POZWOLIL POLU^ITX WPOLNE ZAKON^ENNU@ KLASSIFIKACI@ STRUKTUR GORENIQ W NELINEJNOJ SREDE. pOKAVEM, ^TO IH WOZNIKNOWENIE NE QWLQETSQ SPECIFI^ESKIM SWOJSTWOM PROCESSOW, OPISYWAEMYH PARABOLI^ESKIMI URAWNENIQMI. pOSTROIM PROSTOJ PRIMER LOKALIZOWANNYH GAZODINAMI^ESKIH STRUKTUR. rASSMOTRIM NEPRERYWNOE (BEZ UDARNYH WOLN) SVATIE KONE^NOJ MASSY GAZA 2M0 , ZAKL@^ENNOJ WNUTRI CILINDRI^ESKOGO PORNQ (RIS. 79). oDNOMERNYJ PROCESS OPISYWAETSQ SISTEMOJ URAWNENIJ
@ 1 = @ rv @v = ;r @p @t @m @t @m (27) p; = '(m) > 0 dr = v 0 < m < M t 6 t 0 0 dt GDE: t | WREMQ m | MASSOWAQ KOORDINATA, rIS. 79 OTS^ITYWAEMAQ OT OSI SIMMETRII I SWQZANNAQ S \JLEROWOJ KOORDINATOJ SOOTNOENIEM dm = r dr , v, p | ISKOMYE PLOTNOSTX, SKOROSTX I DAWLENIE GAZA > 1 | POKAZATELX ADIABATY ' | ZADANNAQ \NTROPIJNAQ FUNKCIQ. sISTEMU (27) NETRUDNO POLU^ITX (ANALOGI^NO P. 5 x 4 GL. II) IZ URAWNENIJ DWIVENIQ W FORME |JLERA. nAPOMNIM: PERWYE DWA URAWNENIQ (27) | ZAKONY SOHRANENIQ MASSY I IMPULXSA, TRETXE | INTEGRAL ADIABATI^NOSTI (W OTSUTSTWIE UDARNYH WOLN \NTROPIQ FIKSIROWANNOJ ^ASTICY GAZA SO WREMENEM NE MENQETSQ), ^ETWERTOE | KINEMATI^ESKAQ SWQZX MEVDU r I v. pO ANALOGII S TEPLOWYMI S-REVIMAMI POSTROIM REENIE (27) W RAZDELQ@]IHSQ PEREMENNYH: p(m t) = p1(t) (m) v(m t) = u1 (t) u(m) r(m t) = r1(t) R(m) (28) 0 6 m 6 M0 t0 6 t < tf PRI^EM WREMENNU@ ^ASTX (28) BEZ SU]ESTWENNOGO OGRANI^ENIQ OB]NOSTI (UPR. 6) SRAZU WOZXMEM W WIDE STEPENNYH FUNKCIJ p = p0(tf ; t)n (m) v = u0 (tf ; t)n1 u(m) (29) r = r0(tf ; t)n2 R(m) 0 6 m 6 M0 t0 6 t < tf < 1 I POLOVIM W DALXNEJEM DLQ UPRO]ENIQ WYKLADOK p0 = u0 = r0 = 1.
x 3]
245
metod osredneniq
pODSTAWLQQ \TI WYRAVENIQ W (27), POLU^IM n = ;2 n1 = 1 ; < 0 n2 = 1 > 0: (30) w OTLI^IE OT PLOSKOGO SLU^AQ (SM. SOOTWETSTWU@]EE REENIE W P. 3 x 1), POKAZATELX n W ZAKONE DLQ DAWLENIQ NE ZAWISIT OT . dLQ OPREDELENIQ , u, R IMEEM SISTEMU ; 2 '(m)1= ;1= = d(Ru) 1 ; u = R d u = ; 1 R
dm
dm
0 < m 6 M0 KOTORAQ LEGKO REAETSQ. nAPRIMER, PROSTRANSTWENNYJ PROFILX DLQ (m) DAETSQ PROSTOJ FORMULOJ ; M0 ) 0 6 m 6 M (31) (m) = (M0 ) + ( ; 1) (m 0
2 GDE (M0 ) OPREDELQETSQ IZ ZAKONA DLQ DAWLENIQ NA PORNE. zAMETIM, ^TO W SILU URAWNENIQ u = ;R= SKOROSTX GAZA NA OSI CILINDRA r = 0 (m = 0) UDOWLETWORQET ESTESTWENNOMU USLOWI@ SIMMETRII v(0 t) = 0. iZ (29){(31) NAJDEM OKON^ATELXNYJ WID REENIQ DLQ DAWLENIQ: ( ; 1) (m ; M ) 0 ; 2 p(m t) = (tf ; t) (M0 ) +
2 0 6 m 6 M0 t0 6 t < tf I (S U^ETOM TRETXEGO URAWNENIQ (27)) DLQ PLOTNOSTI: ; M0 ) 1= (m t) = (tf ; t);2= '(m);1= (M0 ) + ( ; 1) (m
2 0 6 m 6 M0 t0 6 t < tf : pOLOVIM W POSLEDNEJ FORMULE DLQ PROSTOTY (M0 ) = ( ; 1) M0 = 2 I
POLU^IM
= m = (m t) = ;2 1 (tf ; t);2= '(m) (32) 0 6 m 6 M0 t0 6 t < tf : iZ (32) WIDNO, ^TO FUNKCIQ (m t), W OTLI^IE OT p(m t), MOVET IMETX \KSTREMUMY. sTEPENX SVATIQ U^ASTKA SREDY OPREDELQETSQ EGO \NTROPIEJ '(m) I DAWLENIEM W NEM. bLAGODARQ NEIZ\NTROPI^NOSTI PRI MONOTONNOM PROFILE DAWLENIQ W WOLNE SVATIQ WOZMOVNO DOSTI^X BOLXEJ PLOTNOSTI W OBLASTQH S MENXIM DAWLENIEM I POLU^ITX GAZODINAMI^ESKIE STRUKTURY (W POSTROENNOM PRIMERE STRUKTURY L@BOJ 1
1
246
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
SLOVNOSTI SM., NAPRIMER, UPR. 7). oNI PREDSTAWLQ@T SOBOJ SWQZANNYE S FIKSIROWANNOJ MASSOJ GAZA RASTU]IE W REVIME S OBOSTRENIEM I LOKALIZOWANNYE NEMONOTONNOSTI PLOTNOSTI. upravneniq 1. pOLOVIW FORMALXNO W ZADA^E (1), (2) t0 ! ;1 I T (x ;1 ) 0, NAJDITE S POMO]X@ -TEOREMY PREDSTAWLENIE EE REENIQ W WIDE (7). 2. pODSTANOWKOJ (7) W (1) POLU^ITE DLQ f ( ) NELINEJNOE OBYKNOWENNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA. uBEDITESX, ^TO ONO NE DOPUSKAET PREOBRAZOWANIQ PODOBIQ TIPA RASTQVENIE-SVATIE (I PO\TOMU NE SWODITSQ K URAWNENI@ PERWOGO PORQDKA). 3. pROWERXTE, ^TO REENIE ZADA^I (1), (2) PRI = + 1 I L@BYH T0 (x) 6 0 OBRA]AETSQW BESKONE^NOSTXPRI t ! tf < 1 W OBLASTI, RAZMERY KOTOROJNE MENXE, ^EM LT . dLQ DOKAZATELXSTWAPOSTROJTEPOSLEDOWATELXNOOGRANI^IWA@]IEEGO SNIZU FUNKCII | REENIE ZADA^I O MGNOWENNOM TO^E^NOMISTO^NIKE TEPLA I REENIE (6), A ZATEM PRIMENITE TEOREMU SRAWNENIQ. 4. pOLU^ITE, PRIBLIVENNO REAQ (12) PRI ' ! 'S , t ! tf , FORMULU (23). 5. pROWERXTE, ^TO URAWNENIE (20) DOPUSKAET PREOBRAZOWANIE PODOBIQ RASTQVENIE-SVATIE. iSPOLXZUQ ZAMENY WIDA ln = u, ln g = v, POLU^ITE EGO OB]EE REENIE (24), (25). 6. pODSTANOWKOJ (28) W (27) PROWERXTE, ^TO FUNKCII p1 (t), v1 (t), r1 (t) DA@TSQ KWADRATUROJ, IZ KOTOROJ PRI t ! tf < 1 ASIMPTOTI^ESKI SLEDU@T WREMENNYE ZAWISIMOSTI (29). 7. pODBERITE PRIMERY TAKOGO RASPREDELENIQ \NTROPII 'N (m) > 0, 0 < m < < M0 , W (32), ^TOBY PLOTNOSTX IMELA L@BOE NAPERED ZADANNOE ^ISLO \KSTREMUMOW N . uBEDITESX, ^TO PRI \TOM FUNKCIQ 'N (m) MOVET BYTX MONOTONNOJ.
x 4. o PEREHODE K DISKRETNYM MODELQM dADIM PREDSTAWLENIE OB \LEMENTARNYH TREBOWANIQH K ^ISLENNYM METODAM I OB OSNOWNYH PONQTIQH TEORII RAZNOSTNYH SHEM. rASSMOTRIM NEKOTORYE TIPI^NYE PODHODY K KONSTRUIROWANI@ DISKRETNYH ANALOGOW ISHODNYH MODELEJ, ISPOLXZUEMYH DLQ IH ^ISLENNOGO ISSLEDOWANIQ. 1. nEOBHODIMOSTX ^ISLENNOGO MODELIROWANIQ, \LEMENTARNYE PONQTIQ TEORII RAZNOSTNYH SHEM. kAK BY GLUBOKI I RAZNOOBRAZNY NI BYLI METODY KA^ESTWENNOGO ANALIZA MATEMATI^ESKIH MODELEJ, OBLASTX IH PRIMENIMOSTI WESXMA OGRANI^ENA. |TO | LIBO PROSTYE, GLAWNYM OBRAZOM LINEJNYE, MODELI, LIBO OTDELXNYE FRAGMENTY SLOVNYH, W TOM ^ISLE NELINEJNYH MODELEJ. eDINSTWENNYM UNIWERSALXNYM SPOSOBOM ISSLEDOWANIQ MODELEJ QWLQETSQ PRIMENENIE ^ISLENNYH METODOW DLQ NAHOVDENIQ PRIBLIVENNOGO REENIQ POSTAWLENNOJ ZADA^I S POMO]X@ SREDSTW SOWREMENNOJ WY^ISLITELXNOJ TEHNIKI I INFORMATIKI. dOSTUPNYJ PONIMANI@ KOMPX@TERA WY^ISLITELXNYJ ALGORITM, T. E. POSLEDOWATELXNOSTX OPERACIJ (ARIFMETI^ESKIH, LOGI^ESKIH I T. D.), W REZULXTATE WYPOLNENIQ KOTORYH NAHODITSQ REENIE, DOLVEN UDOWLETWORQTX WESXMA VESTKIM I POD^AS PROTIWORE^IWYM TREBOWANIQM. k NIM OTNOSITSQ, PREVDE WSEGO, NEOBHODIMOSTX POLU^ITX REENIE S ZADANNOJ TO^NOSTX@ ZA RAZUMNOE I PO WOZMOVNOSTI MINIMALXNOE ^ISLO DEJSTWIJ, POSKOLXKU WREMQ ODNOGO RAS^ETA DOLVNO IZMERQTXSQ MINUTAMI I LIX W UNIKALXNYH SLU^AQH | ^ASAMI. oB_EMY OBRABATYWAEMOJ PRI \TOM INFORMACII NE MOGUT PREWYATX WOZMOVNOSTEJ EMKOSTI
x 4]
247 MAINNOJ PAMQTI, W PROCESSE WY^ISLENIJ NELXZQ DOPUSKATX WOZNIKNOWENIQ NE WOSPRINIMAEMYH KOMPX@TEROM SLIKOM BOLXIH (MALYH) ^ISEL, STRUKTURA ALGORITMA DOLVNA BYTX DOSTATO^NO PROSTOJ I U^ITYWATX ARHITEKTURU WY^ISLITELXNOJ SISTEMY I T. D. tOLXKO OTWE^A@]IE \TIM TREBOWANIQM WY^ISLITELXNYE ALGORITMY POZWOLQ@T PROWODITX WSESTORONNEE ^ISLENNOE ISSLEDOWANIE ISHODNOJ MODELI, PODWERGATX EE WY^ISLITELXNOMU \KSPERIMENTU, PROWODQ EE ANALIZ W SAMYH RAZNYH SITUACIQH I POLU^AQ IS^ERPYWA@]U@ INFORMACI@ OB IZU^AEMOM OB_EKTE. tAKOE PONIMANIE MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ OZNA^AET NE PROSTO UTO^NENIE KOLI^ESTWENNYH HARAKTERISTIK QWLENIJ, NO TAKVE IZU^ENIE OSNOWNYH IH KA^ESTWENNYH SWOJSTW. pOSLEDNEE WAVNO PREVDE WSEGO DLQ NELINEJNYH OB_EKTOW, POWEDENIE KOTORYH MOVET BYTX WESXMA RAZNOOBRAZNYM I NEOVIDANNYM. pOD^ERKNEM, ^TO PROBLEMY ^ISLENNOGO MODELIROWANIQ NE SNIMA@TSQ SAMI SOBOJ PO MERE POQWLENIQ WSE BOLEE MO]NYH I DEEWYH KOMPX@TEROW. |TO SWQZANO, PO MENXEJ MERE, S DWUMQ PRI^INAMI: USLOVNENIEM WYDWIGAEMYH KAK PRAKTIKOJ, TAK I TEORIEJ ZADA^ I NEOBHODIMOSTX@ PROWEDENIQ BOLXOGO ^ISLA SERIJ WY^ISLITELXNYH \KSPERIMENTOW DLQ DOSTATO^NO POLNOGO IZU^ENIQ OB_EKTA. pO\TOMU RAZRABOTKA \FFEKTIWNYH WY^ISLITELXNYH ALGORITMOW WSEGDA OSTAETSQ ODNOJ IZ KL@^EWYH ZADA^ MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ. dLQ IH KONSTRUIROWANIQ IROKO ISPOLXZU@TSQ METODY, IDEI I PODHODY, PRIMENQEMYE PRI POSTROENII ISHODNYH MATEMATI^ESKIH MODELEJ. |TA SWQZX HOROO PROSLEVIWAETSQ NA PRIMERE O^ENX IROKOGO KLASSA MODELEJ | TEH, KOTORYE SWODQTSQ K DIFFERENCIALXNYM URAWNENIQM. dLQ NIH PROCESS SOZDANIQ WY^ISLITELXNYH ALGORITMOW SOSTOIT IZ DWUH GLAWNYH \TAPOW: NA PERWOM STROQTSQ DISKRETNYE ANALOGI ISHODNYH MODELEJ I IZU^A@TSQ IH SWOJSTWA, NA WTOROM DISKRETNYE URAWNENIQ REA@TSQ ^ISLENNO (\LEMENTARNYJ PRIMER PRIWEDEN W P. 4 x 6 GL. I). w DALXNEJEM OSNOWNOE WNIMANIE UDELIM PERWOMU \TAPU, RASSMOTREW SNA^ALA PROSTEJU@ KRAEWU@ ZADA^U DLQ URAWNENIQ WTOROGO POo perehode k diskretnym modelqm
RQDKA NA OTREZKE
d du = ;f(x) dx dx
0 < x < l u(0) = u1 u(l) = u2
(1)
PREDPOLAGAQ ZDESX I DALEE, ^TO EE REENIE (PONIMAEMOE W SOOTWETSTWU@]EM SMYSLE) SU]ESTWUET I EDINSTWENNO. pEREHOD OT (1) K DISKRETNOJ MODELI RAZBIWAETSQ NA DWE STADII. zAMENIM NEPRERYWNU@ OBLASTX 0 < x < l NA DISKRETNU@ | SOWOKUPNOSTX KONE^NOGO ^ISLA TO^EK N. sAMYJ PROSTOJ SPOSOB | RAWNOMERNOE DELENIE OTREZKA 0 l] PO PRAWILU xi = ih, h = l=N, 0 6 i 6 N. mNOVESTWO ! h = !h fx = 0 x = lg, !h = fxig, i = 6 0 N, \TIH TO^EK PREDSTAWLQET SOBOJ (RAWNOMERNU@) RAZNOSTNU@ SETKU S AGOM h, TO^KI xi | EE UZLY (SM. RIS. 80, NA KOTOROM ^ERTO^KAMI OTME^ENY OSNOWNYE UZLY SETKI, A KRESTIKAMI | WSPOMOGATELXNYE UZLY xi+1=2 = (xi+1 ; xi )=2 S POLUCELYMI INDEKSAMI). wSE FIGURIRU@]IE W (1) FUNKCII RASSMATRI-
248
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
WA@TSQ TEPERX KAK FUNKCII NE NEPRERYWNOGO ARGUMENTA x, A DISKRETNOGO ARGUMENTA xi (SETO^NYE FUNKCII ), NAPRIMER, ANALOGOM REENIQ rIS. 80
u(x), 0 6 x 6 1, SLUVIT APPROKSIMIRU@]EE EGO PRIBLIVENNOE REENIE y(xi ), 0 6 i 6 N. nA WTOROJ STADII STROQTSQ DISKRETNYE ANALOGI DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ (1) I WHODNYH DANNYH. nAIBOLEE ESTESTWENNAQ DISKRETIZACIQ DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA | ZAMENA PROIZWODNYH SOOTWETSTWU@]IMI KONE^NYMI RAZNOSTQMI. wWEDEM OBOZNA^ENIQ ux = u(x + h)h ; u(x) ux = u(x) ; hu(x ; h) ux x = ux ;h ux : (2) pERWYE DWA WYRAVENIQ IZ (2) | DISKRETNAQ APPROKSIMACIQ PROIZWODNOJ du=dx, DLQ POLU^ENIQ KOTOROJ DOSTATO^NO ISPOLXZOWATX ZNA^ENIQ FUNKCII u(x) LIX W DWUH TO^KAH (DWUHTO^E^NYJ ABLON ). rAZLAGAQ u(x) W RQD tEJLORA, NETRUDNO UBEDITXSQ W TOM, ^TO du du dx (x) = ux + O(h) dx (x) = ux + O(h)
du x + h = u + O(h2) du x ; h = u + O(h2): x x dx 2 dx 2 dRUGIMI SLOWAMI, du=dx W CELYH UZLAH SETKI x = xi APPROKSIMIRUETSQ WYRAVENIQMI (2) S PERWYM PORQDKOM APPROKSIMACII, A W POLUCELYH TO^KAH x = xi+1=2 , x = xi;1=2 (W SILU SIMMETRII) | SO WTORYM. dLQ ZAMENY WTOROJ PROIZWODNOJ FUNKCII u (TRETXE WYRAVENIE (2)) TREBUETSQ, O^EWIDNO, TREHTO^E^NYJ ABLON x ; h, x, x + h, PRI^EM d du = u + O(h2 ) = u(x + h) ; 2u(x) + u(x ; h) + O(h2) x x dx dx h2 T. E. APPROKSIMACIQ IMEET WTOROJ PORQDOK (UPR. 1). dISKRETNAQ APPROKSIMACIQ WHODNYH DANNYH W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE NE PREDSTAWLQET TRUDA I OSU]ESTWLQETSQ TO^NO: 'i = f(xi ) = = fi , i = 0 : : : N y0 = y(0) = u1 , yN = y(l) = u2. oB_EDINQQ WSE \TI RASSUVDENIQ, ZAMENIM (1) SISTEMOJ N ; 1 RAZNOSTNYH URAWNENIJ DLQ NAHOVDENIQ N ; 1 NEIZWESTNYH ZNA^ENIJ PRIBLIVENNOGO REENIQ yi W UZLAH xi SETKI !h : i + yi;1 = ;' yx x = ;' ILI yi+1 ; 2y i h2 (3) i = 1 2 : : : N ; 1 y0 = u1 yN = u2:
x 4]
249 sISTEMA (3) S KRAEWYMI USLOWIQMI NAZYWAETSQ RAZNOSTNOJ SHEMOJ I SLUVIT DISKRETNYM ANALOGOM MODELI (1). eE REENIE NAHODITSQ OTNOSITELXNO PROSTO (SM. P. 2). pROILL@STRIRUEM, ISPOLXZUQ (1){(3), \LEMENTARNYE PONQTIQ, SWQZANNYE S RAZNOSTNYMI SHEMAMI. sETO^NAQ FUNKCIQ zi = yi ; ui, i = = 0 : : : N, T. E. RAZNICA MEVDU TO^NYM I PRIBLIVENNYM REENIQMI W UZLAH SETKI x = xi, NAZYWAETSQ POGRENOSTX@. eSLI zi = O(h), i = = 1 : : : N > 0, TO RAZNOSTNAQ SHEMA (3) SHODITSQ (S PORQDKOM ), I zi ! 0, h ! 0 DLQ WSEH i: PRI IZMELX^ENII SETKI yi SKOLX UGODNO HOROO APPROKSIMIRUET TO^NOE REENIE u(x) W UZLAH xi. mEVDU UZLAMI ISKOMOE REENIE MOVNO PRI NEOBHODIMOSTI DOOPREDELITX S POMO]X@ OBY^NOJ INTERPOLQCII. w \TOM SLU^AE POSTROENIE RAZNOSTNOJ SHEMY DOSTIGAET SWOEJ CELI. ~TOBY USTANOWITX SHODIMOSTX SHEMY (3), RASSMOTRIM SETO^NU@ o perehode k diskretnym modelqm
FUNKCI@
i = u00i ; ux xi i = 1 : : : N ; 1 NAZYWAEMU@ POGRENOSTX@ APPROKSIMACII DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA RAZNOSTNYM, ILI NEWQZKOJ (ZDESX TRIHAMI OBOZNA^ENO DIFFERENCIROWANIE PO x, u00i = u00(xi )). eSLI i = O(h ), i = 1 : : : N ; 1 > 0, TO IMEET MESTO APPROKSIMACIQ: NEPRERYWNYJ OPERATOR PRIBLIVAETSQ DISKRETNYM S PORQDKOM (ZDESX, KAK UVE POKAZANO WYE, = = 2), I i ! 0, h ! 0, i = 1 : : : N ; 1. fUNKCIQ fi ; 'i , i = 0 : : : N, | POGRENOSTX APPROKSIMACII PRAWOJ ^ASTI (W IZU^AEMOM PRIMERE ONA TOVDESTWENNO RAWNA NUL@, KAK I POGRENOSTX APPROKSIMACII KRAEWYH USLOWIJ). wY^TEM WO WNUTRENNIH UZLAH SETKI i = 1 : : : N ; 1 URAWNENIE (1) IZ (3) I POLU^IM yx xi ; u00i = ;'i + fi i = 1 : : : N ; 1 ILI, U^ITYWAQ RAWENSTWA z = yi ; ui , i = u00i ; ux xi , 'i = fi , PRIDEM K SISTEME RAZNOSTNYH URAWNENIJ DLQ POGRENOSTI zi S NULEWYMI KRAEWYMI USLOWIQMI: zx x = i = 1 : : : N ; 1 z(0) = z(N) = 0 (4) PRAWAQ ^ASTX KOTOROJ | POGRENOSTX APPROKSIMACII . dANNOE SWOJSTWO POZWOLQET USTANOWITX OSNOWNU@ SWQZX MEVDU UVE WWEDENNYMI PONQTIQMI SHODIMOSTI I APPROKSIMACII SHEMY (3) I PONQTIEM EE USTOJ^IWOSTI. pOSLEDNEE PODRAZUMEWAET, ^TO DLQ L@BYH DOPUSTIMYH WHODNYH DANNYH ', u1 , u2 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO kyk = max jy j 6 C k'k = C max j'ij i = 0 : : : N (5) i i i
GDE C > 0 | POSTOQNNAQ, NE ZAWISQ]AQ OT i I OT h (W DANNOM SLU^AE USTOJ^IWOSTX PO PRAWOJ ^ASTI). sHEMA (4) | ^ASTNYJ SLU^AJ (3). pO\TOMU W SLU^AE WYPOLNENIQ (5) (SM. UPR. 2) DLQ NEE NEMEDLENNO IMEEM jz j 6 C jj ILI zi = O(h ) ! 0 h ! 0 i = 0 : : : N
250 issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V T. E. IZ SWOJSTW APPROKSIMACII ( = O(h )) I USTOJ^IWOSTI (5) RAZNOSTNOJ SHEMY (3) SLEDUET EE SHODIMOSTX (S TEM VE PORQDKOM, ^TO I PORQDOK APPROKSIMACII, = = 2). pOQSNIM S POMO]X@ KA^ESTWENNYH RASSUVDENIJ, ^TO USTANOWLENNAQ SWQZX RASPROSTRANQETSQ NA, WOOB]E GOWORQ, L@BYE KLASSY RAZNOSTNYH SHEM. pUSTX NEKOTORAQ OB]AQ (ABSTRAKTNAQ) ZADA^A Lu = ;f(x) x 2 G x = fx1 : : : xng (6) u = (x) x 2 ; G = G ; W KOTOROJ L | LINEJNYJ DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR, DEJSTWU@]IJ W OTKRYTOJ OBLASTI x 2 G (; | GRANICAn ZAMYKANIQ G = G ; OBLASTI G), f I | ZADANNYE FUNKCII x 2 R (PRAWAQ ^ASTX I ZNA^ENIE ISKOMOGO REENIQ NA GRANICE), APPROKSIMIRUETSQ NEKOTOROJ RAZNOSTNOJ
SHEMOJ
Lh yh = ;'h x 2 !h (7) yh ( h ) = h x 2 h ! h = !h h G, ;, ^EREZ Lh OBOZNA^EN GDE ! h , !h , h | RAZNOSTNYE ANALOGI DLQ G, SOOTWETSTWU@]IJ RAZNOSTNYJ OPERATOR, A SETO^NYE FUNKCII yh , 'h ,
h | ANALOGI TO^NOGO REENIQ u I WHODNYH DANNYH f, . wWEDEM, KAK I WYE, POGRENOSTX zh = yh ; uh , NEWQZKU h = = (Lu)h ; Lh uh I, S^ITAQ APPROKSIMACI@ PRAWOJ ^ASTI I KRAEWYH USLOWIJ TO^NOJ, POLU^IM S U^ETOM (6) Lh zh = h x 2 !h zh = 0 x 2 h : (8) aNALOGI^NO SLU^A@ SHEMY (3) PRAWAQ ^ASTX RAZNOSTNOJ ZADA^I DLQ z PREDSTAWLQET SOBOJ POGRENOSTX APPROKSIMACII . eSLI SHEMA (7) USTOJ^IWA, T. E. kyh k(1) 6 C k'h k(2) (GDE SIMWOLAMI kk(1) I kk(2) OBOZNA^ENY NEKOTORYE, WOOB]E GOWORQ, RAZNYE NORMY SETO^NYH FUNKCIJ yh I 'h ), TO IZ (8) SLEDUET kzh k(1) 6 C kh k(2) : oTS@DA WIDNO, ^TO APPROKSIMACIQ (kh k ! 0, jhj ! 0) I USTOJ^IWOSTX SHEMY (7) OBESPE^IWA@T EE SHODIMOSTX (kzh k ! 0, jhj ! 0). tAKIE VE UTWERVDENIQ SPRAWEDLIWY PO OTNOENI@ I K DRUGIM ZADA^AM DLQ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ, APPROKSIMIRUEMYH RAZNOSTNYMI SHEMAMI, W TOM ^ISLE I K NELINEJNYM (PRI \TOM OPREDELENIE USTOJ^IWOSTI SOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM MODIFICIRUETSQ). tAKIM OBRAZOM, K DISKRETNYM MODELQM PRED_QWLQ@TSQ PO MENXEJ MERE DWA TREBOWANIQ | APPROKSIMACIQ ISHODNOJ MODELI I USTOJ^IWOSTX. tOGDA PRI DOSTATO^NO TO^NOM ^ISLENNOM REENII RAZNOSTNYH URAWNENIJ (KAK PRAWILO, ONI PREDSTAWLQ@T SOBOJ SISTEMY LINEJNYH I NELINEJNYH ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ PORQDKA N, GDE N | ^ISLO UZLOW SETKI) I DOSTATO^NO MALYH AGAH POLU^AETSQ DOSTATO^NO TO^NOE PRIBLIVENNOE REENIE. pOD^ERKNEM: ^ISLO UZLOW NE MOVET BYTX SLIKOM BOLXIM (A EE AGI SLIKOM MALENXKIMI), TAK KAK
x 4]
251 ^ISLENNOE REENIE NEOBHODIMO NAJTI ZA PRIEMLIMOE ^ISLO OPERACIJ, T. E. ISPOLXZUQ REALXNYE SETKI. rASSMOTRIM NEKOTORYE TIPI^NYE METODY POSTROENIQ DISKRETNYH MODELEJ. 2. nEPOSREDSTWENNAQ FORMALXNAQ APPROKSIMACIQ. |TOT, ISTORI^ESKI PERWYJ I, KAK SLEDUET IZ NAZWANIQ, LEGKO INTERPRETIRUEMYJ METOD PROST, QSEN I ^ASTO DAET DISKRETNYE MODELI HOROEGO KA^ESTWA. pOKAVEM \TO, POSTROIW RAZNOSTNU@ APPROKSIMACI@ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I NA OTREZKE 0 l] DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI @u = @ @u 0 < x < l 0 < t 6 T @t @x @x (9) u(0 t) = u1(t) u(0 l) = u2 (t) 0 6 t 6 T u(x 0) = u0 (x) 0 6 x 6 l: o perehode k diskretnym modelqm
eE REENIE u(x t) PREDPOLAGAETSQ SU]ESTWU@]IM I I]ETSQ W OBLASTI 0 < x < l PRI WSEH 0 < t 6 T (RIS. 81).
rIS. 81
wYBEREM PROSTEJU@ DISKRETIZACI@ RAS^ETNOJ OBLASTI, RAZBIW EE RAWNOMERNO N ; 1 WERTIKALXNYMI I M GORIZONTALXNYMI LINIQMI. tO^KI IH PERESE^ENIQ MEVDU SOBOJ I S OTREZKAMI 0 l], 0 T], l T] DADUT UZLY SETKI !h . tAKAQ SETKA NAZYWAETSQ RAWNOMERNOJ S AGOM PO PROSTRANSTWU h = l=N, xi = ih, 0 6 i 6 N, I PO WREMENI = T=M, tj = j, 0 6 j 6 M SOWOKUPNOSTX UZLOW S ODINAKOWYM INDEKSOM j | WREMENNYM SLOEM (RIS. 81). w GRANI^NYH (PRINADLEVA]IH OTREZKAM 0 l], 0 T], l T]) UZLAH FUNKCIQ u(x t) IZWESTNA IZ KRAEWYH USLOWIJ (9), I APPROKSIMACIQ O^EWIDNA: y0j = u1(tj ), yNj = u2 (tj ), j = 0 1 : : : M yi0 = u0(xi ), 0 6 i 6 N.
252
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
pRIBLIVENNOE REENIE yij NEOBHODIMO NAJTI NA MNOVESTWE WNUTRENNIH UZLOW !h SETKI !h = !h h . pROWEDEM ESTESTWENNU@ APPROKSIMACI@ DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA RAZNOSTNYM, ZAPISYWAQ POSLEDNIJ ODINAKOWO W L@BOJ TO^KE (xi tj ) SETKI !h . pROIZWODNU@ PO WREMENI ZAMENIM PERWOJ RAZNOSTX@: @u=@t (yij +1 ; yij )=. u^ITYWAQ, ^TO W NEJ FIGURIRU@T ZNA^ENIQ RAZNOSTNOGO REENIQ S DWUH WREMENNYH SLOEW, WTORU@ PROIZWODNU@ PO x ZAMENIM SUMMOJ2WYRAVE NIJ (POLU^ENNYH W P. 1), WZQTYH NA (j + 1)-M I j-M SLOQH: @ u=@x2 j yxj +1 x + (1 ; ) yx x , GDE 0 6 6 1. w ITOGE WMESTO (9) PRIDEM K SHEME S WESAMI +1 ; 2yj +1 + yj +1 j j j yij +1 ; yij = yij+1 i i;1 + (1 ; ) yi+1 ; 2yi + yi;1
h2 (xi yj ) 2 !h
h2
y0j = u1(0 tj ) yNj = u2 (l tj ) j = 0 1 : : : M yi0 = u0(xi ) 0 6 i 6 N
(10)
PREDSTAWLQ@]EJ SOBOJ SISTEMU (N ; 1) M LINEJNYH ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ DLQ NAHOVDENIQ STOLXKIH VE ZNA^ENIJ FUNKCII yij . kAVDOE IZ URAWNENIJ (10) ZAPISANO PRI = 6 0 1 NA ESTITO^E^NOM ABLONE S ISPOLXZOWANIEM UZLOW S INDEKSAMI (i ; 1 j + 1), (i j + 1), (i + 1 j + 1), (i ; 1 j), (i j), (i + 1 j). pOGRENOSTX EE APPROKSIMACII W OB]EM SLU^AE ESTX WELI^INA O( + h2 ), T. E. PERWOGO PORQDKA PO WREMENI I WTOROGO PO PROSTRANSTWU. dLQ SIMMETRI^NOJ SHEMY S = 1=2 PORQDOK APPROKSIMACII PO WREMENI UWELI^IWAETSQ DO O( 2 ) (UPR. 3). pRI = 0 1 IZ (10) POLU^A@TSQ BOLEE PROSTYE ^ISTO QWNAQ ( = = 0, ^ETYREHTO^E^NYJ ABLON (i j + 1), (i ; 1 j), (i j), (i + 1 j)) I ^ISTO NEQWNAQ ( = 1, ^ETYREHTO^E^NYJ ABLON (i ; 1 j + 1), (i j + 1), (i + 1 j + 1), (i j)) SHEMY. pRI = 0 KAVDOE IZ URAWNENIJ SHEMY (10) SODERVIT LIX ODNU NEIZWESTNU@ WELI^INU yij +1 . pO\TOMU EE REENIE LEGKO NAHODITSQ PO QWNYM FORMULAM PRI PEREHODE OT j-GO K (j + 1)-MU SLO@ S ISPOLXZOWANIEM IZWESTNYH ZNA^ENIJ REENIQ NA GRANICE (NA SLOE j = 0 REENIE IZWESTNO IZ NA^ALXNYH DANNYH). w SLU^AE NEQWNOJ SHEMY (I WSEH SHEM S = 6 0) RAZNOSTNYE URAWNE+1 NA KAVDOM NIQ SODERVAT TRI NEIZWESTNYH WELI^INY: yij;+11 , yij +1 , yij+1 WREMENNOM SLOE POLU^AETSQ ZADA^A TIPA (3). pODOBNYE ZADA^I DLQ TREHTO^E^NYH URAWNENIJ WIDA Ai yi;1 ; Ciyi + Bi yi+1 = ;Fi i = 1 : : : N ; 1 (11) y0 = {1y1 + 1 yN = {2yN ;1 + 2 GDE Ai 6= 0, Bi 6= 0, i = 1 : : : N ; 1, PRI USLOWIQH jCij > jAij + jBij, i = 1 : : : N ; 1 j{j 6 1, = 1 2 j{1j + j{2j < 2 (DLQ (3) I (10) \TI
x 4]
253 USLOWIQ WYPOLNENY) OTNOSITELXNO LEGKO REA@TSQ METODOM PROGONKI. u REENIQ (11) PREDPOLAGAETSQ NALI^IE REKURRENTNOJ ZAWISIMOSTI o perehode k diskretnym modelqm
WIDA
yi = i+1yi+1 + i+1 (12) PODSTANOWKA KOTOROJ W (11) DAET DLQ KO\FFICIENTOW i+1 I i+1 REKUR-
RENTNYE SOOTNOENIQ
Fi i+1 = C ;Bi A i+1 = CAi ;i + A i i i i i i
i = 1 : : : N1:
iZ NIH S POMO]X@ KRAEWOGO USLOWIQ PRI i = 0 NAHODQTSQ i+1, i+1 WO WSEH UZLAH SETKI (PRQMAQ PROGONKA). dALEE, S POMO]X@ USLOWIQ W TO^KE i = N PRI IZWESTNYH i+1, i+1 PO FORMULE (12) WY^ISLQ@TSQ ZNA^ENIQ yN , yN ;1 , : : :, y1 , y0 (OBRATNAQ PROGONKA). zAMETIM: PROSTOTA REENIQ ALGEBRAI^ESKOJ SISTEMY (10) OBUSLOWLENA PROSTOJ (TREHDIAGONALXNOJ) STRUKTUROJ EE MATRICY. nESKOLXKO BOLEE SLOVNYMI, ^EM W P. 1, RASSUVDENIQMI USTANAWLIWAETSQ USTOJ^IWOSTX SHEMY (10), PRI^EM SU]ESTWUET KA^ESTWENNAQ RAZNICA MEVDU SLU^AQMI = 0 I = 1. ~ISTO NEQWNAQ SHEMA USTOJ^IWA PRI L@BOM SOOTNOENII MEVDU AGAMI h I (BEZUSLOWNAQ USTOJ^IWOSTX ), W TO WREMQ KAK DLQ ^ISTO QWNOJ SHEMY NEOBHODIMO WYPOLNENIE NERAWENSTWA 6 Ch2, C > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ (USLOWNAQ USTOJ^IWOSTX ). dANNOE TREBOWANIE (TIPI^NOE DLQ QWNYH RAZNOSTNYH SHEM, POROVDAEMYH PARABOLI^ESKIMI URAWNENIQMI) MOVET NAKLADYWATX SLIKOM VESTKIE OGRANI^ENIQ NA AG PO WREMENI. pO\TOMU, NESMOTRQ NA SWO@ PROSTOTU, QWNYE SHEMY DLQ REENIQ \TIH ZADA^ PRAKTI^ESKI NE ISPOLXZU@TSQ. aNALOGI^NYM OBRAZOM STROQTSQ RAZNOSTNYE SHEMY TIPA (10) DLQ OTLI^NYH OT (9) KRAEWYH ZADA^ I BOLEE OB]IH PARABOLI^ESKIH URAWNENIJ. nAPRIMER, DLQ URAWNENIQ NELINEJNOJ TEPLOPROWODNOSTI @u = @ k(u) @u @t @x @x ODNA IZ O^EWIDNYH APPROKSIMACIJ PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I WYGLQDIT SLEDU@]IM OBRAZOM: " +1 ; yj +1 j +1 j +1 # yij +1 ; yij = 1 kj yij+1 i ; kj yi ; yi;1
h i+1=2
h
i;1=2
h
(xi yj ) 2 !h y0j = u1(0 tj ) yNj = u2 (l tj ) j = 0 1 : : : M yi0 = u0(xi ) 0 6 i 6 N
GDE kij+1=2 I kij;1=2 | NEKOTORYE PRIBLIVENIQ KO\FFICIENTA TEPLOPROWODNOSTI W POLUCELYH UZLAH i + 1=2, i ; 1=2, WZQTYE DLQ PROSTOTY NA
254 issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V j-M SLOE. dANNAQ NEQWNAQ USTOJ^IWAQ SHEMA LEGKO REAETSQ, KAK I (10), METODOM PROGONKI. eSLI VE KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI APPROKSIMIRUETSQ NA (j + 1)-M SLOE, TO ONA STANOWITSQ NELINEJNOJ I REAETSQ S POMO]X@ SOOTWETSTWU@]IH METODOW POSLEDOWATELXNYH PRIBLIVENIJ (ITERACIONNYH PROCEDUR ). iTAK, NA OSNOWE PRQMOJ APPROKSIMACII W RQDE SLU^AEW PROSTO POLU^A@TSQ DISKRETNYE MODELI, OBLADA@]IE NUVNYMI KA^ESTWAMI. w TO VE WREMQ EGO FORMALXNOE PRIMENENIE MOVET PRIWESTI TAKVE I K POSTROENI@ DISKRETNYH ANALOGOW ISHODNYH MODELEJ, NE IME@]IH NI^EGO OB]EGO SO SWOIMI PROOBRAZAMI. wOZXMEM WESXMA ESTESTWENNU@ APPROKSIMACI@ URAWNENIQ (9) | RAZNOSTNOE URAWNENIE yij +1 ; yij ;1 = yij+1 ; 2yij + yij;1 (13) 2 h2 ZAPISANNOE NA PQTITO^E^NOM ABLONE (i j + 1), (i + 1 j), (i j), (i ; 1 j), (i j ; 1). wMESTE S SOOTWETSTWU@]IMI KRAEWYMI USLOWIQMI ONO OBRAZUET TREHSLOJNU@ SHEMU (W OTLI^IE OT DWUHSLOJNOJ SHEMY (10)), IME@]U@ POGRENOSTX APPROKSIMACII O( 2 + h2) I LEGKO REAEMU@ PO QWNYM FORMULAM. oDNAKO DANNAQ SHEMA NEPRIGODNA, TAK KAK NEUSTOJ^IWA PRI L@BYH h I (ABSOL@TNO NEUSTOJ^IWA). eE REENIE PRI OGRANI^ENNYH KRAEWYH USLOWIQH MOVET STANOWITXSQ SKOLX UGODNO BOLXIM, KOGDA j ! 1 (t ! 1), ^TO PROTIWORE^IT PRINCIPU MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ (9). pOQSNIM \TO, PREDSTAWLQQ REENIE URAWNENIQ (13) S NULEWYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI KAK SUMMU ^ASTNYH REENIJ (GARMONIK), KAVDAQ IZ KOTORYH IMEET WID y(k) (x t) = T(k) (t) X (k) (x), k = 1 2 : : : N ; ; 1 (RAZDELENIE PEREMENNYH). tOGDA, PODSTAWLQQ y(k)(x t) W (13) I RAZDELQQ PEREMENNYE, DLQ L@BOJ GARMONIKI IMEEM j ;1 (k) (k) (k) T(jk+1 ) ; T(k) = Xi+1 ; 2Xi + Xi;1 = ; (14) k 2T(jk) h2Xi(k) GDE k = 4=(h2) sin( kh=2) > 0 | PARAMETR RAZDELENIQ, ILI SOBSTWENNOE ZNA^ENIE DLQ GARMONIKI S NOMEROM k (UPR. 4). wREMENNAQ ^ASTX REENIQ y(k) (x t), KAK SLEDUET IZ (14), POD^INQ-
ETSQ URAWNENI@
j j T(jk+1 ) ; T(k) = ;k T(k)
k = 2k > 0
j IME@]EMU ^ASTNOE REENIE WIDA T(jk+1 ) = qk T(k) (IZ DANNOJ SWQZI SLEj +1 0 DUET T(jk+1 ) = qk T(k) ). pRI \TOM qk DOLVNA UDOWLETWORQTX URAWNENI@ qk2 + k qk ; 1 = 0 c DEJSTWITELXNYMI KORNQMI, ODIN IZ KOTORYH PO MODUL@ BOLXE EDINICY PRI L@BYH k . w SILU \TOGO PRI DOSTATO^NO BOLXIH j W OB]EM REENII URAWNENIQ (13) MOGUT PRISUTSTWOWATX SKOLX UGODNO BOLXIE PO ABSOL@TNOJ WELI^INE GARMONIKI.
x 4]
255 pODOBNYMI PRIMERAMI NE IS^ERPYWA@TSQ NEDOSTATKI NEPOSREDSTWENNOJ FORMALXNOJ APPROKSIMACII. w BOLEE SLOVNYH SITUACIQH DLQ POROVDAEMYH E@ DISKRETNYH MODELEJ MOGUT NE WYPOLNQTXSQ DAVE FUNDAMENTALXNYE SWOJSTWA, PRISU]IE ISHODNYM OB_EKTAM. pROILL@STRIRUEM \TO, RASSMOTREW SLEDU@]U@ ZADA^U DLQ STACIONARNOGO URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI: d k(x) du = 0 0 < x < 1 k(x) > C > 0 1 dx dx (15) u(0) = 1 u(1) = 0: mODELX (15) | ODNA IZ PROSTEJIH W TEORII TEPLOPEREDA^I ZA TEM ISKL@^ENIEM, ^TO KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI k(x) MOVET BYTX RAZRYWNOJ FUNKCIEJ (TEPLOPROWODQ]IJ MATERIAL SOSTOIT IZ RAZNYH WE]ESTW). rASKROEM DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR (15): d k(x) du = k d2k + dk du dx dx dx2 dx dx I ISPOLXZUEM DLQ POLU^ENNOGO WYRAVENIQ SOWERENNO ESTESTWENNYE, NA PERWYJ WZGLQD, ZAMENY (SETKA RAWNOMERNAQ) d2u u dk ki+1 ; ki;1 du ui+1 ; ui;1 : dx2 x x dx 2h dx 2h s U^ETOM GRANI^NYH USLOWIJ (15) PRIDEM K RAZNOSTNOJ SHEME i + yi;1 + ki+1 ; ki yi+1 ; yi;1 = 0 ki yi+1 ; 2y h2 2h 2h (16) 0 < i < N y0 = 1 yN = 0 IME@]EJ PORQDOK APPROKSIMACII O(h2). pUSTX k(x) | RAZRYWNAQ KUSO^NO-POSTOQNNAQ FUNKCIQ: (k1 0 < x < k(x) = (17) k2 < x < 1 GDE | IRRACIONALXNOE ^ISLO, = xn + h, xn = nh, 0 < < 1, k1 6= 6= k2. pRI TAKOJ FUNKCII k(x) REENIE (15), O^EWIDNO, LINEJNYM OBRAZOM ZAWISIT OT x, PRI^EM NAKLON FUNKCII u(x) RAZLI^EN W OBLASTQH S RAZNYMI ZNA^ENIQMI KO\FFICIENTA TEPLOPROWODNOSTI. eDINSTWENNOE REENIE OPREDELQETSQ IZ USLOWIJ SOPRQVENIQ W TO^KE x = , T. E. ;() = u+ () I POTOKA TEPLA IZ ;USLOWIQ NEPRERYWNOSTI TEMPERATURY u W () = W + () (W(x) = ;k(x) du=dx): (1 ; 0x 0 6 x 6 0 = ({ + (1 ; { ) );1 u(x) = (18) 0 (1 ; x) 6 x 6 1 0 = { 0 { = k1 =k2: o perehode k diskretnym modelqm
256
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
nETRUDNO NAJTI REENIE RAZNOSTNOJ ZADA^I (16) W SLU^AE (17), POLXZUQSX TEM, ^TO URAWNENIE (16) IMEET WID yi;1 ; 2yi + yi+1 = 0 PRI i= 6 n, i = 6 n + 1 I, SLEDOWATELXNO, (1 ; xi 0 6 x 6 xn yi = y(xi ) = (19) (1 ; xi ) xn+1 6 x 6 1: kO\FFICIENTY , POLU^A@TSQ IZ URAWNENIJ (16) W TO^KAH i = n, i = n + 1 (xn = ; h, xn+1 = + (1 ; ) h): 1 = + (1 ; ) + h ( ; ; (1 ; ) ) { 5{ ; 1
= 35 + ; { = 3{ + 1 = :
iZ \TIH FORMUL WIDNO, ^TO ! 0 = ( + (1 ; ) );1 , ! 0 = = 0 PRI h ! 0. pO\TOMU PRI h ! 0 FUNKCIQ y~(x h) | REENIE (9), DOOPREDELENNOE MEVDU UZLAMI SETKI S POMO]X@ LINEJNOJ INTERPOLQCII, | IMEET PREDEL (1 ; 0x 0 6 x 6 u(x) = hlim y ~ (x h) = (20) !0 0 (1 ; x) 6 x 6 1: fUNKCII (20) I (19) SOWPADA@T LIX W SLU^AE { = 1 (k1 = k2). sLEDOWATELXNO, REENIE RAZNOSTNOJ ZADA^I STREMITSQ PRI h ! 0 NE K REENI@ ZADA^I (13), A K SOWSEM DRUGOJ FUNKCII: RAZNOSTNAQ SHEMA (16) RASHODITSQ. pRI^INA EE RASHODIMOSTI USTANAWLIWAETSQ IZ ANALIZA REENIQ ; () = u+ ()), (20) W TO^KE x = : TEMPERATURA W NEJ ;NEPRERYWNA (u A POTOK TEPLA PRETERPEWAET RAZRYW (W () = 6 W + () UPR. 5). sHEMA (16) NARUAET ZAKON SOHRANENIQ (BALANS) TEPLA W WE]ESTWE, T. E. FUNDAMENTALXNYJ ZAKON, NA OSNOWE KOTOROGO POLU^A@TSQ WSE MODELI PROCESSA TEPLOPEREDA^I. pODOBNYE DISKRETNYE MODELI NAZYWA@TSQ NEKONSERWATIWNYMI I, KAK PRAWILO, NE MOGUT ISPOLXZOWATXSQ DLQ ISSLEDOWANIQ ISHODNYH MODELEJ. 3. iNTEGRO-INTERPOLQCIONNYJ METOD. iZ PRIWEDENNYH PRIMEROW QSNO, ^TO PEREHOD K DISKRETNYM MODELQM NELXZQ OSU]ESTWLQTX ^ISTO FORMALXNO. oN DOLVEN OSTAWLQTX W SILE PO WOZMOVNOSTI NAIBOLXEE ^ISLO OSNOWNYH SWOJSTW, KOTORYMI OBLADA@T MODELI ISHODNYH OB_EKTOW. pRIMENITELXNO K URAWNENI@ (15) \TO OZNA^AET, ^TO DLQ OTWE^A@]EJ EMU RAZNOSTNOJ SHEMY NEOBHODIMO WYPOLNENIE DISKRETNOGO ANALOGA ZAKONA SOHRANENIQ \NERGII. {IROKO ISPOLXZUEMYJ PODHOD K POSTROENI@ TAKIH SHEM OSNOWAN NA ZAPISI \TOGO ZAKONA W INTEGRALXNOJ FORME DLQ Q^EEK xi;1 6 x < xi, xi = ih, i = 1 : : : N, RAZNOSTNOJ SETKI S POSLEDU@]EJ ZAMENOJ POLU^A@]IHSQ INTEGRALOW I PROIZWODNYH PRIBLIVENNYMI RAZNOSTNYMI WYRAVENIQMI (INTEGROINTERPOLQCIONNYJ METOD ).
x 4]
o perehode k diskretnym modelqm
257
dLQ STACIONARNOGO PROCESSA TEPLOPROWODNOSTI BEZ POGLO]ENIQ I WYDELENIQ \NERGII URAWNENIE BALANSA TEPLA NA OTREZKE xi;1=2 < x < < xi+1=2 (WYBRANY POLUCELYE INDEKSY) OZNA^AET RAWENSTWO POTOKOW NA EGO GRANICAH: Wi;1=2 ; Wi+1=2 = 0 i = 1 : : : N ; 1: (21) pROINTEGRIRUEM RAWENSTWO W(x) = ;k(x) du=dx NA OTREZKE xi;1 6 6 x 6 xi:
Zxi W (x) ui;1 ; ui = k(x) dx xi
;1
I, PREDPOLAGAQ W (x) = W~ i;1=2 = const PRI xi;1 6 x 6 xi (PROSTEJAQ INTERPOLQCIQ), POLU^IM Zxi dx ~ 1 ui;1 ; ui Wi; =2 k(x) xi
;1
OTKUDA PRIBLIVENNOE ZNA^ENIE DLQ W~ i;1=2 DAETSQ FORMULOJ
0 Zxi 1;1 dx A :
W~ i;1=2 = ai ui ;hui;1 ai = @ h1
xi
;1
k(x)
pODSTAWIW EE W (21), PRIDEM K KONSERWATIWNOJ (SR. S (16)) RAZNOSTNOJ SHEME 1 a yi+1 ; yi ; a yi ; yi;1 = 0 1 6 i 6 N ; 1 i h i+1 h h
2 Zxi 3;1 2Z0 3;1 1 dx ds 5 4 5 ai = 4 h k(x) = k(xi + sh) xi
;1
(22)
;1
DLQ KOTOROJ ZAKON SOHRANENIQ \NERGII WYPOLNEN KAK DLQ KAVDOJ Q^EJKI, TAK I DLQ WSEGO OTREZKA 0 1] (UPR. 6). tAKIM VE OBRAZOM STROQTSQ KONSERWATIWNYE DISKRETNYE MODELI DLQ BOLEE SLOVNYH, W TOM ^ISLE NELINEJNYH I NESTACIONARNYH PROCESSOW TEPLOPEREDA^I. pRIMENIMOSTX INTEGRO-INTERPOLQCIONNOGO I PODOBNYH EMU METODOW RASPROSTRANQETSQ NA IROKIE KLASSY MODELEJ. oN WAVEN, W ^ASTNOSTI, DLQ ZADA^ GAZOWOJ DINAMIKI, REENIQ KOTORYH (SM. P. 2 x 1) MOGUT BYTX RAZRYWNYMI. pOSTROIM KONSERWATIWNYE RAZNOSTNYE APPROKSIMACII DLQ URAWNENIJ ODNOMERNOGO TE^ENIQ GAZA, ZAPISANNYH W MASSOWYH KOORDINATAH (P. 5 x 4 GL. II) W DIWERGENTNOM WIDE: @ = @v @v = ; @p @ " + v2 = ; @ (pv) @t @m @t @m @t 2 @m 0 < t 6 T 0 < m < M0 :
17 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
(23)
258
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
zDESX t | WREMQ, m | MASSOWAQ KOORDINATA = 1= | UDELXNYJ OB_EM ( | PLOTNOSTX), v | SKOROSTX, p | DAWLENIE I " = "( p) | WNUTRENNQQ \NERGIQ GAZA. wWEDEM SETKU S RAWNOMERNYMI AGAMI PO WREMENI I PROSTRANSTWU: ! h = fmi = ih i = 0 1 : : : N h = M0 =N g ! = ftj = j j = 0 1 : : : M = T=M g ! h = ! h ! :
rADI PROSTOTY DLQ SETO^NYH ANALOGOW GAZODINAMI^ESKIH WELI^IN SOHRANIM TE VE OBOZNA^ENIQ, OTNOSQ FUNKCI@ v K CELYM TO^KAM SETKI (m = mi ), A p, , " | K POLUCELYM (m = mi+1=2 ). pROINTEGRIRUEM WTOROE URAWNENIE (23) W PRQMOUGOLXNIKE mi;1=2 6 6 m 6 mi+1=2 , tj 6 t 6 tj +1 : mZi+1=2
(vj +1 ; vj ) dm +
mi 1=2 ;
tZj+1
(pi+1=2 ; pi;1=2 ) dt = 0
tj
A OSTALXNYE | W PRQMOUGOLXNIKE mi 6 m 6 mi+1 , tj 6 t 6 tj +1: mZi+1
tZj+1
mi
tj
(j +1 ; j ) dm ;
mZi+1"
(vi+1 ; vi ) dt = 0
#
2 j +1 2 j " + v2 ; " + v2 dm +
mi
tZj+1
(pv)i+1 ; (pv)i ] dt = 0:
tj
wREMENNYE INTEGRALY, WHODQ]IE W \TI TOVDESTWA, ZAMENIM WYRAVENIQMI tZj+1
tZj+1
tj
tj
p dt p(1 )
v dt v(2 )
tZj+1 tj
(pv)i dt = p (i3 ) vi(4 )
GDE f ( ) = f j +1 + (1 ; ) f j , | WESA ( = 1 2 3 4), p i = = 05 (pi;1=2 + pi+1=2 ). pROSTRANSTWENNYE INTEGRALY ZAMENIM PO O^EWIDNOMU PRAWILU, NAPRIMER, mZi+1=2 mi 1=2 ;
v dm vi h
mZi+1 mi
dm i+1=2 h:
x 4]
259 w ITOGE PRIDEM K ^ETYREHPARAMETRI^ESKOMU SEMEJSTWU RAZNOST-
NYH SHEM
o perehode k diskretnym modelqm
vij +1 ; vij = ; pi+1=2 ; pi;1=2 (1 ) h
ij++11=2 ; ij+1=2 vi+1 ; vi (2 ) = h
(24)
3 ) v(2 ) ; p (3 ) v(4 ) Eij++11=2 ; Eij+1=2 p (i+1 i i i+1 = h 2 2 GDE Ei+1=2 = "i+1=2 + (vi + vi+1 )=2 | POLNAQ \NERGIQ i-J Q^EJKI GAZA. oNI PREDSTAWLQ@T SOBOJ KONSERWATIWNYE DISKRETNYE ANALOGI URAWNENIJ (23) PRI L@BYH , = 1 : : : 4. dLQ NIH IME@T MESTO RAZNOSTNYE ANALOGI ZAKONOW SOHRANENIQ MASSY, IMPULXSA I POLNOJ \NERGII W L@BOJ Q^EJKE SETKI (INTEGRIROWANIEM URAWNENIJ (24) PO SETKE ! h NETRUDNO USTANOWITX SPRAWEDLIWOSTX ZAKONOW SOHRANENIQ W DISKRETNOJ FORME DLQ WSEJ MASSY GAZA 0 6 m 6 M0 ). pRI 1 = 0, 2 = 3 = 4 = 1 SISTEMA (24) MOVET BYTX REENA PO QWNYM FORMULAM: SNA^ALA NAHODQTSQ vij +1 , ZATEM ij++11=2 , A IZ TRETXEGO URAWNENIQ (24) I URAWNENIQ SOSTOQNIQ p = ( ; 1) " (W SLU^AE IDEALXNOGO GAZA) METODOM PROGONKI OPREDELQ@TSQ S ISPOLXZOWANIEM KRAEWYH USLOWIJ PRI i = 0, i = N ZNA^ENIQ pi+1=2 DLQ WSEH i = 0 1 : : : N. nEQWNYE SHEMY (24) REA@TSQ S POMO]X@ ITERACIONNYH METODOW. w OTLI^IE OT URAWNENIJ PARABOLI^ESKOGO TIPA, QWNYE SHEMY DLQ GIPERBOLI^ESKIH URAWNENIJ USTOJ^IWY NE PRI USLOWII 6 Ch2 , A PRI WYPOLNENII GORAZDO BOLEE MQGKOGO NERAWENSTWA 6 Ch, I PO\TOMU ^ASTO PRIMENQ@TSQ NA PRAKTIKE. zAMETIM TAKVE, ^TO PRI PRAKTI^ESKIH WY^ISLENIQH W GAZODINAMI^ESKIE RAZNOSTNYE SHEMY WWODITSQ ISKUSSTWENNAQ WQZKOSTX , SGLAVIWA@]AQ SILXNYE RAZRYWY. |TO ZAMETNO OBLEG^AET PROWEDENIE RAS^ETOW, TAK KAK OTPADAET NEOBHODIMOSTX W SPECIALXNOM WYDELENII OBLASTEJ RAZRYWOW (ODNORODNYE SHEMY ). 4. pRINCIP POLNOJ KONSERWATIWNOSTI. bOLEE SU]ESTWENNOE OTLI^IE DISKRETNYH MODELEJ GAZOWOJ DINAMIKI OT MODELEJ TEPLOPEREDA^I ZAKL@^AETSQ W RAZNOOBRAZII SPOSOBOW MATEMATI^ESKOGO PREDSTAWLENIQ ZAKONOW SOHRANENIQ DLQ GAZA. w ^ASTNOSTI, TRETXE URAWNENIE (23) MOVET BYTX ZAPISANO NE DLQ POLNOJ \NERGII E = " + v2 =2, A DLQ WNUTRENNEJ \NERGII ", PRI^EM PO MENXEJ MERE W DWUH WIDAH: @" = ;p @v @" = ;p @ : (25) @t @m @t @t
dLQ ISHODNOJ MODELI \TI I DRUGIE FORMY ZAPISI \KWIWALENTNY I PEREHODQT ODNA W DRUGU@ PRI SOOTWETSTWU@]IH PREOBRAZOWANIQH URAWNENIJ. w SLU^AE DISKRETNYH MODELEJ DANNOE SWOJSTWO OTN@DX NE GARANTIRUETSQ. nAPRIMER, IZ TRETXEGO URAWNENIQ KONSERWATIWNOJ SHEMY (24), WOOB]E GOWORQ, NE SLEDU@T DISKRETNYE ANALOGI URAWNENIJ 17
260 issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V (25). wERNO I OBRATNOE: DLQ SHEMY, APPROKSIMIRU@]EJ URAWNENIQ WNUTRENNEJ \NERGII, NE OBQZATELXNO WYPOLNQETSQ ZAKON SOHRANENIQ POLNOJ \NERGII. pROSTYM PRIMEROM SLUVIT NEKONSERWATIWNAQ SHEMA KREST j +1= j +1= vij +1 ; vij = ; pi+1=22 ; pi;1=22 h 3 1 +1 ; vj +1 ij++1==22 ; ij++1==22 vij+1 i (26) = h 3 1 j +1 j "ji++1==22 ; "ji++1==22 j +3=2 vi+1 ; vi = ; p i+1=2 h DLQ NAPISANIQ KOTOROJ ISPOLXZUETSQ AHMATNAQ SETKA (SM. RIS. 82 TO^KAMI I KRESTIKAMI OBOZNA^ENY UZLY PRIMENQEMOGO ESTITO^E^NOGO ABLONA FUNKCII ", p, OTNESENY K POLUCELYM, A v | K CELYM UZLAM) I LEGKO REAEMAQ W SLU^AE p = ( ; 1) " PO QWNYM FORMULAM. pODOBNAQ ^ASTI^NAQ, NEPOLNAQ KONSERWATIWNOSTX DISKRETNYH MODELEJ MOVET SDELATX IH NEPRIGODNYMI DLQ ^ISLENNOGO MODELIROWANIQ (SOHRANENIE POLNOJ \NERGII NE OZNA^AET, ^TO EE SOSTAWLQ@]IE | KINETI^ESKAQ I WNUTRENNQQ \NERGII, A S NIMI SKOROSTX I TEMPERATURA GAZA, | RASS^ITYWA@TSQ PRAWILXNO, I T. P.). pO\TOMU PRI POSTROENII DISKRETNYH MODELEJ NEOBHODIMO OTRAZITX W NIH KAK MOVNO BOLXEE ^ISLO FUNDAMENTALXNYH SWOJSTW ISHODNYH OB_EKTOW. wZQW ZA ISHODNOE ^ETYREHPARAMErIS. 82 TRI^ESKOE SEMEJSTWO KONSERWATIWNYH SHEM (24), POLU^IM OBLADA@]IE SFORMULIROWANNYM KA^ESTWOM RAZNOSTNYE APPROKSIMACII URAWNENIJ (23).
dLQ UPRO]ENIQ DALXNEJIH WYKLADOK WWEDEM OBOZNA^ENIQ pi = pi+1=2 i = i+1=2 "i = "i+1=2 p = pji v = vij
pi+1=2 ; pi;1=2 vi+1 ; vi = v = p m m h h POSLE ^EGO ^ERTU NAD p, I " BUDEM OPUSKATX (KROME SPECIALXNYH SLU^AEW). s TOJ VE CELX@ BUDEM WMESTO TRETXEGO URAWNENIQ (24) RASSMATRIWATX APPROKSIMACI@ PERWOGO URAWNENIQ (25) DLQ WNUTRENNEJ \NERGII. kROME TOGO, PONADOBITSQ FORMULA f () = f () + ( ; ) ft (27) GDE I | L@BYE ^ISLA, f () = f^ + (1 ; ) f, f^ = f j +1 .
x 4]
261 s U^ETOM SDELANNYH ZAME^ANIJ IZ (24) POLU^AETSQ ^ETYREHPARAo perehode k diskretnym modelqm
METRI^ESKOE SEMEJSTWO SHEM vt = ;pm( 1 ) t = vm(2 ) "t = ;p(3 ) vm(4 ) (28) OT KOTORYH POTREBUEM POLNOJ KONSERWATIWNOSTI, T. E. TOGO, ^TOBY ONI APPROKSIMIROWALI TAKVE URAWNENIE DLQ POLNOJ \NERGII (TRETXE URAWNENIE (23)) I WTOROE URAWNENIE (25). iZ WTOROGO URAWNENIQ (28), RAWENSTWA vm(4 ) = vm(2 ) ; (4 ; ; 2 ) vmt = t + (4 ; 2 ) vmt I TRETXEGO URAWNENIQ (28) SLEDUET "t = ;p(3 ) t + 1 E GDE 1 E = ; (4 ; 2) p(mt3 ) . tAKIM OBRAZOM, SHEMA (28) APPROKSIMIRUET WTOROE URAWNENIE (25) LIX PRI WYPOLNENII RAWENSTWA 2 = 4. eSLI \TO RAWENSTWO NE WYPOLNQETSQ, TO WOZNIKAET DISBALANS 1 E WNUTRENNEJ \NERGII, WYZWANNYJ POQWLENIEM W DISKRETNOJ SREDE DOPOLNITELXNYH (FIKTIWNYH) ISTO^NIKOW I STOKOW \NERGII. nAJDEM TEPERX 2 E | DISBALANS POLNOJ \NERGII. uMNOVIM PERWOE URAWNENIE (28) NA v(0 5) = 05 (v + v^) I POLU^IM URAWNENIE vt2 = ;(v0 5) p(1 ) m 2
POSLE ^EGO SLOVIM EGO S TRETXIM URAWNENIEM (28):
2
" + v2
t
= ;p(3 ) vm(4 ) ; v0 5p(m 1 ) :
(29)
pREOBRAZUEM PRAWU@ ^ASTX (29) S POMO]X@ FORMULY (27):
p(3 ) vm(4 ) + v0 5 p(m 1 ) = = (p(1 ) + (3 ; 1) pt ) (vm(0 5) + (4 ; 05) vmt ) + v(0 5)p(m 1 ) = = (p((;11)) v0 5)m + 2 E
GDE PRINQTY OBOZNA^ENIQ
p(;1) = pi;1 = pi;1=2
2 E = (3 ; 1 ) vm(0 5)pt + + (4 ; 05) p(mt1 ) + 2 (3 ; 1) (4 ; 05) pt vmt : w ITOGE (29) PRINIMAET WID v2 " + 2 = ;(p((;11)) v(0 5) )m ; 2 E: t tAKIM OBRAZOM, URAWNENIE (29) NE APPROKSIMIRUET URAWNENIE DLQ POLNOJ \NERGII (TO VE SAMOE OTNOSITSQ I K SHEME (26) SM. UPR. 7). dISBALANS 2 E, KAK I DISBALANS 1 E, IMEET ISKUSSTWENNOE PROISHOVDENIE.
262
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
oN OTSUTSTWUET LIX W SLU^AE 3 = 1, 4 = 05 I, SLEDOWATELXNO, 2 = oB_EDINQQ \TI REZULXTATY, PRIDEM WMESTO ^ETYREHPARAMETRI^ESKOGO SEMEJSTWA SHEM (28), POLU^ENNYH S POMO]X@ INTEGRO-INTERPOLQCIONNOGO METODA, K ODNOPARAMETRI^ESKOMU SEMEJSTWU vt = ;p(m 1 ) t = vm(0 5) "t = ;p(1 ) vm(0 5) (30) POLNOSTX@ KONSERWATIWNYH (1 E = 2 E = 0) DISKRETNYH MODELEJ GAZOWOJ DINAMIKI. zAMETIM, ^TO TRETXE IZ URAWNENIJ (30) MOVNO ZAMENITX ODNIM IZ URAWNENIJ = 05.
"t = ;p(1 ) t
2
" + v2
t
= ;(p((;11)) v(0 5) )m
A WMESTO POSLEDNEGO WZQTX ODNO IZ URAWNENIJ
#
!
#
!
2 v2 v2 + v(+1) (1 ) v(0 5))m " + (+1) = ; (p " + = ;(p(1 ) v(0 5))m : 2 t 4 t sHEMA (30) W OB]EM SLU^AE OBLADAET APPROKSIMACIEJ O( + h2 ), A PRI 1 = 05 APPROKSIMACIQ PO WREMENI IMEET WTOROJ PORQDOK. pRI 1 = 0 SHEMA (30) QWNAQ, I EE REENIE NAHODITSQ PO PROSTYM FORMULAM. iZ STRUKTURY 1 E I 2 E HOROO WIDNO, ^TO ONI OSOBENNO WELIKI, ESLI HARAKTERISTIKI GAZA SILXNO MENQ@TSQ PO PROSTRANSTWU I PO WREMENI (RAZRYWNYE TE^ENIQ, SILXNAQ NEODNORODNOSTX SREDY, REVIMY S OBOSTRENIEM I T. P.). w \TIH SITUACIQH FIKTIWNYE ISTO^NIKI \NERGII STANOWQTSQ SRAWNIMYMI S REALXNYMI WELI^INAMI, I REZULXTATY ^ISLENNOGO MODELIROWANIQ ISHODNOGO OB_EKTA ZAMETNO OTLI^A@TSQ OT EGO DEJSTWITELXNOGO POWEDENIQ. dISBALANSY MOGUT BYTX UMENXENY S POMO]X@ UMENXENIQ AGA PO WREMENI , ^TO, ESTESTWENNO, PRIWODIT K SOOTWETSTWU@]EMU UWELI^ENI@ ^ISLA RAS^ETNYH OPERACIJ (UMENXENIE AGA SETKI PO PROSTRANSTWU WOOB]E NE SKAZYWAETSQ NA WELI^INE 1 E, 2 E). pRINCIP POLNOJ KONSERWATIWNOSTI, NAEDIJ PRIMENENIE PRI REENII MNOGIH SLOVNYH ZADA^, | ODIN IZ NADEVNYH PODHODOW K POSTROENI@ DISKRETNYH MODELEJ S NEOBHODIMYMI KA^ESTWAMI. 5. pOSTROENIE RAZNOSTNYH SHEM S POMO]X@ WARIACIONNYH PRINCIPOW. wARIACIONNYE PRINCIPY, SLUVA]IE ODNIM IZ OSNOWNYH SPOSOBOW POLU^ENIQ MATEMATI^ESKIH MODELEJ RAZLI^NYH OB_EKTOW, IROKO ISPOLXZU@TSQ TAKVE I DLQ POSTROENIQ SOOTWETSTWU@]IH DISKRETNYH ANALOGOW. |TOMU SPOSOBSTWU@T IH UNIWERSALXNOSTX, OTNOSITELXNAQ PROSTOTA PRIMENENIQ, SWQZX S ZAKONAMI SOHRANENIQ I SWOJSTWAMI SIMMETRII. sAMYJ ESTESTWENNYJ PUTX PRI TAKOM PODHODE | DISKRETIZACIQ ISHODNOGO OB_EKTA (SREDY), FORMULIROWKA DLQ POLU^ENNOGO OB_EKTA WARIACIONNOGO PRINCIPA I WYWOD NA EGO OSNOWE SWQZEJ (URAWNENIJ) DLQ DISKRETNYH WELI^IN, T. E. ZAWERENIE KONSTRUIROWANIQ ISKOMOJ DISKRETNOJ MODELI.
x 4]
263
o perehode k diskretnym modelqm
pOSTROIM, SLEDUQ \TOJ LOGIKE, RAZNOSTNYE SHEMY DLQ URAWNENIJ (23) ODNOMERNOJ GAZOWOJ DINAMIKI W LAGRANVEWYH KOORDINATAH I SRAWNIM IH SO SHEMAMI PP. 3, 4. bUDEM RASSMATRIWATX GAZ KAK SOWOKUPNOSTX SOSEDSTWU@]IH DRUG S DRUGOM MATERIALXNYH TO^EK (^ASTIC), RAZBIW EGO MASSU M0 DLQ PROSTOTY RAWNOMERNO NA N ^ASTEJ S MASSOJ mi+1=2 = M0 =N, i = = 0 1 : : : N ; 1 (MASSA mi+1=2 | ANALOG AGA h W (24), (25)). dRUGIMI SLOWAMI, KAK I W P. 3, WWEDEM RAZNOSTNU@ SETKU S UZLAMI W TO^KAH i = 0 1 : : : N I RAWNOMERNYMI PO MASSE Q^EJKAMI. kOORDINATY I SKOROSTI ^ASTICY (Q^EJKI) OHARAKTERIZUEM ^EREZ DEKARTOWY KOORDINATY xi, xi+1 I SKOROSTI vi , vi+1 SOOTWETSTWU@]IH UZLOW. oSTALXNYE PARAMETRY MATERIALXNYH TO^EK | PLOTNOSTX i+1=2 , UDELXNYJ OB_EM i+1=2 , DAWLENIE pi+1=2 , WNUTRENN@@ \NERGI@ "i+1=2 | OTNESEM K SEREDINE Q^EJKI (POLUCELYJ INDEKS). pRIMENIM DLQ POSTROENNOJ TAKIM OBRAZOM DISKRETNOJ SREDY PRINCIP gAMILXTONA, WYBRAW xi (t), xi+1(t) W KA^ESTWE OBOB]ENNYH KOORDINAT Q^EEK (WELI^INY vi (t) = dxi=dt = x_ i, vi+1 (t) = dxi+1=dt = = x_ i+1 IGRA@T ROLX OBOB]ENNYH SKOROSTEJ). kINETI^ESKU@ \NERGI@ SISTEMY OPREDELIM DOSTATO^NO O^EWIDNYM WYRAVENIEM NX ;1
NX ;1
v2 + v2 m1+1=2 i 4 i+1 i=0 i=0 KAK SUMMU \NERGIJ KAVDOJ ^ASTICY (WOZMOVNY I DRUGIE WYRAVENIQ) m 1 v2 + v2 Ti+1=2 = i2+ =2 i 2 i+1 : pOTENCIALXNU@ \NERGI@ ^ASTIC BUDEM SOOTNOSITX S IH WNUTRENNEJ \NERGIEJ "i+1=2 = "i+1=2 (xi xi+1), POSKOLXKU EE WYSWOBOVDENIE DAET WOZMOVNOSTX SOWERITX RABOTU, PODOBNO TOMU KAK ZAMYKANIE OBKLADOK ZARQVENNOGO KONDENSATORA WYSWOBOVDAET ZAPASENNU@ W NEM \NERGI@, PREOBRAZU@]U@SQ W DWIVENIE ZARQDOW SM. P. 4 x 2 GL. III. zAMETIM, ^TO TAKOE OPREDELENIE POTENCIALXNOJ \NERGII DLQ RASSMATRIWAEMOJ SISTEMY, KAK I OBOSNOWANIE POTENCIALXNOSTI EE DWIVENIQ, TREBUET PODROBNOGO I GROMOZDKOGO ANALIZA (W P. 3 x 2 GL. III ON PROWEDEN DLQ BOLEE PROSTOGO SLU^AQ MALYH KOLEBANIJ STRUNY). pO\TOMU OGRANI^IMSQ PRIWEDENNYMI WYE KA^ESTWENNYMI SOOBRAVENIQMI. T=
Ti+1=2 =
sUMMARNAQ POTENCIALXNAQ \NERGIQ SOWOKUPNOSTI Q^EEK ESTX V=
NX ;1 i=0
Vi+1=2 =
NX ;1 i=0
mi+1=2 "i+1=2
GDE Vi+1=2 | \NERGIQ OTDELXNOJ ^ASTICY. lAGRANVIAN DISKRETNOJ GAZOWOJ SREDY DAETSQ WYRAVENIEM L = T ;V =
2 2 mi+1=2 vi +4vi+1 ; "i+1=2 i=0
NX ;1
(31)
264
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
A FUNKCIONAL DEJSTWIQ | FORMULOJ Q=
Zt
1
t0
L(x(t) x(t) _ t) dt = =
Zt NX ;1 1
t0 i=0
mi+1=2
v2 + v2 i
4
i+1
; "i+1=2 (xi xi+1) dt:
(32)
pROWARXIRUEM W SOOTWETSTWII SO SHEMOJ PRIMENENIQ PRINCIPA gAMILXTONA (P. 3 x 1 GL. III) DEJSTWIE (32) PO WSEM KINEMATI^ESKI WOZMOVNYM PUTQM, WY^ISLIW SNA^ALA WARIACII SOSTAWLQ@]IH EGO ^LENOW. tAK KAK vi = x_ i , TO
2 2 i x_ i = 1 vi x_ i: v4i = 41 @v @ x_ i 2
wARIACIQ WNUTRENNEJ \NERGII DAETSQ FORMULOJ
@"i+1=2 @" 1 "i+1=2 = @x xi + @xi+ =2 xi+1 i i+1
A DLQ WARIACII DEJSTWIQ IMEEM
Zt
1
NX ;1 1
vi x_ i + 12 vi+1 x_ i+1 ; 2 i=0 t0 i+1=2 x ; @"i+1=2 x ; @"@x i @x i+1 dt: i i+1 pROINTEGRIRUEM W POSLEDNEM RAWENSTWE ^LENY vi x_ i I vi+1 x_ i+1 PO ^ASTQM, U^TEM PERESTANOWO^NOSTX OPERACIJ WARXIROWANIQ I DIFFERENCIROWANIQ PO WREMENI ( x_ i = d(xi)=dt) I PRIMEM WO WNIMANIE USLOWIE xi = 0, i = 0 : : : N ; 1, PRI t = t0 , t = t1 . pOLU^IM WYRAVENIE, IZ KOTOROGO WIDNO, ^TO W SILU NEZAWISIMOSTI WARIACIJ xi DLQ Q IMEEM, ^TO Q = 0 LIX TOGDA, KOGDA RAWNY NUL@ KO\FFICIENTY PRI L@BOJ xi , T. E. PRI WYPOLNENII URAWNENIJ dvi = ; @"i+1=2 ; @"i;1=2 i = 0 : : : N ; 1: dt @xi @xi w IH LEWYH ^ASTQH ZAPISANO USKORENIE Q^EEK GAZA. ~TOBY WYQSNITX SMYSL PRAWYH ^ASTEJ, NAPOMNIM, ^TO DLQ RASSMATRIWAEMYH ZDESX ADIABATI^ESKIH TE^ENIJ SPRAWEDLIWY RAWENSTWA d" = ;p d I "(p ) = "() (SM. FORMULY (27), (29) IZ x 4 GL. II). oTS@DA DLQ DISKRETNOJ SREDY POLU^AEM d"i+1=2 = ;pi+1=2 di+1=2 , "i+1=2 = "(i+1=2 ) = = "(xi+1 ; xi )=mi+1=2 ]. pROWODQ PREOBRAZOWANIQ @"i+1=2 @"i+1=2 @i+1=2 pi+1=2 @xi = @i+1=2 @xi = mi+1=2 Q =
mi+1=2
x 4]
o perehode k diskretnym modelqm pi;1=2 @"i;1=2 @"i;1=2 @i;1=2 = = ; @xi @i;1=2 @xi mi;1=2
265
PRIDEM K OKON^ATELXNOMU WIDU POLU^ENNYH IZ PRINCIPA gAMILXTONA URAWNENIJ DWIVENIQ GAZOWYH ^ASTIC (NA RAWNOMERNOJ SETKE): dvi = ; pi+1=2 ; pi;1=2 i = 0 : : : N ; 1: (33) dt (m 1 + m 1 )=2 i+ =2
i; =2
pRISOEDINIM K (33) URAWNENIE di+1=2 vi+1 ; vi =
i = 0 : : : N ; 1 (34) mi+1=2 SLEDU@]EE IZ RAWENSTWA i+1=2 = (xi+1 ; xi )=mi+1=2 (ZAKON SOHRANENIQ MASSY Q^EJKI), A TAKVE WYTEKA@]EE IZ RAWENSTWA d"i+1=2 = = ;pi+1=2 di+1=2 I IZ (34) URAWNENIE d"i+1=2 di+1=2 vi+1 ; vi i = 0 : : : N ; 1 (35) 1=2 1=2 = ; p = ; p i + i + dt dt mi+1=2 WYRAVA@]EE ZAKON IZMENENIQ WNUTRENNEJ \NERGII. wMESTE S ZADANNYM URAWNENIEM SOSTOQNIQ "i+1=2 = "(i+1=2) SISTEMA (33){(35) PREDSTAWLQET SOBOJ POLUDISKRETNU@ MODELX DINAMIKI GAZA, OTWE^A@]U@ WSEM NEOBHODIMYM ZAKONAM SOHRANENIQ | IMPULXSA, MASSY, \NERGII (ZAMETIM, ^TO ZAKON SOHRANENIQ POLNOJ \NERGII E = T + V SRAZU SLEDUET IZ INWARIANTNOSTI LAGRANVIANA (31) PO OTNOENI@ K SDWIGU WREMENI). pROWODQ W (33){(35) ZAMENU PROIZWODNYH PO WREMENI KONE^NYMI RAZNOSTQMI, PEREHODQ K BEZYNDEKSNYM OBOZNA^ENIQM I WWODQ WESA 1, 2, 3, 4 , POLU^IM DISKRETNU@ MODELX GAZOWOJ DINAMIKI vt = ;p(1 ) m t = vm(2 ) "t = ;p(3 ) vm(4 ) SOWPADA@]U@ S RAZNOSTNOJ SHEMOJ (28), POSTROENNOJ W P. 3 S POMO]X@ INTEGRO-INTERPOLQCIONNOGO METODA (PRI SOOTWETSTWU@]EM WYBORE WESOW ONA STANOWITSQ POLNOSTX@ KONSERWATIWNOJ). pRIMENIMOSTX PRODEMONSTRIROWANNOGO PODHODA NE OGRANI^IWAETSQ RASSMOTRENNYM WYE PROSTEJIM SLU^AEM (SM., NAPRIMER, UPR. 8). wARIACIONNYE PRINCIPY \FFEKTIWNO ISPOLXZU@TSQ DLQ POLU^ENIQ DISKRETNYH MODELEJ W WESXMA TRUDNYH SITUACIQH (MNOGOMERNYE PROCESSY, SETKI SLOVNOJ STRUKTURY I T. D.). 6. iSPOLXZOWANIE IERARHI^ESKOGO PODHODA K POLU^ENI@ DISKRETNYH MODELEJ. oSNOWNAQ IDEQ DANNOGO PODHODA | ISPOLXZOWANIE ZNANIQ O MESTE PODLEVA]EJ DISKRETIZACII MODELI W IERARHII MODELEJ IZU^AEMOGO OB_EKTA. eSLI IERARHIQ POSTROENA PO PRINCIPU SWERHU WNIZ, TO, PROWEDQ ^ASTI^NU@ ILI POLNU@ DISKRETIZACI@ OB]EJ MODELI, ZATEM PEREHODQT K DISKRETNOJ MODELI BOLEE NIZKOGO UROWNQ. eSTESTWENNO, ISPOLXZUETSQ SPOSOB PEREHODA, PRINQTYJ DLQ ISHODNYH MODELEJ. w REZULXTATE WYPOLNENIQ PODOBNOJ PROCEDURY W POSTROdt
ENNU@ DISKRETNU@ MODELX PRIWNOSQTSQ DOPOLNITELXNYE ^ERTY MODELI
266
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V
BOLEE WYSOKOGO UROWNQ, I \TO MOVET POWYSITX ADEKWATNOSTX APPROKSIMIRU@]EJ MODELI ISHODNOMU OB_EKTU. kONKRETIZIRUEM \TI RASSUVDENIQ, RASSMOTREW URAWNENIQ, OPISYWA@]IE ODNOMERNYE TE^ENIQ NEWQZKOGO NETEPLOPROWODNOGO GAZA (ZAPISANNU@ W DIWERGENTNOM WIDE ODNOMERNU@ SISTEMU (4), (10), (15) IZ x 4 GL. II)
@ + @(V ) = 0 @t @x @(V ) + @ (V 2 + p) = 0 (36) @t @x @E + @ V (E + p)] = 0: @t @x 2 zDESX E = (V =2 + 3RT=2) | SUMMA KINETI^ESKOJ I WNUTRENNEJ \NERGIJ EDINICY OB_EMA GAZA, T. E. EGO POLNAQ \NERGIQ, T = p=(R) | TEMPERATURA, R = k=m | GAZOWAQ POSTOQNNAQ, k | POSTOQNNAQ bOLXCMANA, m | MASSA ATOMA ILI MOLEKULY GAZA. nAPOMNIM, ^TO W PP. 4, 5 x 3 GL. III URAWNENIQ (36) POLU^ENY IZ KINETI^ESKOGO URAWNENIQ bOLXCMANA W REZULXTATE EGO OSREDNENIQ PRI USLOWII, ^TO FUNKCIQ RASPREDELENIQ f(x v t) LOKALXNO MAKSWELLOWSKAQ (FORMULA (5) x 3 GL. III): i m 3=2 h m exp ; 2kT (v ; V )2 (37) f (0) (v) = n 2 kT GDE v | SKOROSTX HAOTI^ESKOGO DWIVENIQ ^ASTIC GAZA (PRI MAKSWELLOWSKOM RASPREDELENII W SREDE OTSUTSTWU@T WQZKIE NAPRQVENIQ I POTOKI TEPLA). dISKRETNYE ANALOGI URAWNENIJ (36) MOVNO STROITX L@BYM IZ OPISANNYH W PREDYDU]IH PUNKTAH SPOSOBOM. iERARHI^ESKIJ PODHOD W DANNOM SLU^AE (I DLQ NEKOTORYH OBOB]ENIJ (36)) ZAKL@^AETSQ W SLEDU@]EM: 1) FUNKCIQ RASPREDELENIQ f (REENIE URAWNENIQ (2) x 3 GL. III) I MAKROHARAKTERISTIKI GAZA RASSMATRIWA@TSQ KAK FUNKCII DISKRETNOGO ARGUMENTA tj , j = 0 1 : : :, T. E. PROWODITSQ DISKRETIZACIQ PO WREMENI ISHODNOJ MODELI | KINETI^ESKOGO URAWNENIQ bOLXCMANA 2) WELI^INA = tj +1 ; tj (AG DISKRETIZACII) BERETSQ DOSTATO^NO MALOJ, ^TOBY UDOWLETWORITX USLOWI@ 6 l=j hvi j, GDE l | HARAKTERNAQ DLINA SWOBODNOGO PROBEGA, j hvi j | MODULX HARAKTERNOJ SKOROSTI ^ASTIC. pO\TOMU ZA WREMQ ^ISLO STOLKNOWENIJ MEVDU ^ASTICAMI NEWELIKO I IMI MOVNO PRENEBRE^X (SM. WYWOD URAWNENIQ bOLXCMANA) 3) FUNKCIQ RASPREDELENIQ f j +1 = f(x v tj +1) IZMENQETSQ (SM. WYWOD URAWNENIQ bOLXCMANA) W SRAWNENII S FUNKCIEJ f j = f(x v tj ) LIX ZA S^ET IZMENENIQ ^ASTICAMI IH FAZOWOGO OB_EMA, PO\TOMU SPRA-
WEDLIWA PROSTAQ SWQZX
f(x v tj +1 ) = f(x ; v v tj )
(38)
x 4]
267 QWLQ@]AQSQ REENIEM URAWNENIQ bOLXCMANA W OTSUTSTWIE STOLKNOWENIJ 4) SWQZX (38) UPRO]AETSQ PUTEM RAZLOVENIQ f j +1 W RQD tEJLORA PO PARAMETRU v: j 2 @ 2 f j v2 + : : : v + (39) f j +1 = f j ; @f @x 2 @x2 S TO^NOSTX@ DO ^LENOW TRETXEGO PORQDKA2 TAK KAK FUNKCIQ RASPREDELENIQ \KSPONENCIALXNO UBYWAET S ROSTOM v , TO WKLAD ^ASTIC S BOLXIMI SKOROSTQMI S^ITAETSQ MALYM I SOOTWETSTWU@]IE ^LENY W (39) OTBRASYWA@TSQ 5) PODOBNO TOMU, KAK \TO DELALOSX W P. 4 x 3 GL. III PRI WYWODE URAWNENIJ DLQ MOMENTOW, SOOTNOENIQ (39) POSLEDOWATELXNO UMNOVA@TSQ NA FUNKCII (v), SOOTWETSTWENNO RAWNYE 1, mv, mv2 =2 (SUMMATORNYE INWARIANTY ), I INTEGRIRU@TSQ PO WSEM SKOROSTQM v W REZULXTATE SWQZX MEVDU f j +1 I f j PREOBRAZUETSQ W SWQZI UVE MEVDU SREDNIMI GIDRODINAMI^ESKIMI PARAMETRAMI GAZA TAKIMI, KAK PLOTNOSTX, POTOK MASSY, POLNAQ \NERGIQ: Z Z Z mv2 = mf dv V = mvf dv E = 2 f dv I DRUGIMI WELI^INAMI, WZQTYMI W MOMENTY tj , tj +1 (INYMI SLOWAMI, POLU^AETSQ DISKRETNAQ PO WREMENI GIDRODINAMI^ESKAQ MODELX SREDY) 6) POSLE SOOTWETSTWU@]EJ DISKRETIZACII PO PROSTRANSTWU STROQTSQ OKON^ATELXNYE DISKRETNYE (I PO WREMENI, I PO PROSTRANSTWU) MODELI GAZA, U^ITYWA@]IE NEKOTORYE ^ERTY ISHODNOGO KINETI^ESKOGO URAWNENIQ (KINETI^ESKI SOGLASOWANNYE RAZNOSTNYE SHEMY ) ONI, WOOB]E GOWORQ, NE MOGUT BYTX POLU^ENY APPROKSIMACIEJ GIDRODINAMI^ESKIH MODELEJ (NAPRIMER, URAWNENIJ (36)), POSKOLXKU DLQ IH KONSTRUIROWANIQ ISPOLXZU@TSQ SWOJSTWA MODELI BOLEE WYSOKOGO IERARHI^ESKOGO UROWNQ. nAIBOLEE PROSTOJ WARIANT OPISANNYH WYE PROCEDUR SOOTWETSTWUET SLU^A@ LOKALXNO MAKSWELLOWSKOJ FUNKCII RASPREDELENIQ (37) I OTWE^A@]IH EJ (DLQ ODNOMERNYH TE^ENIJ) URAWNENIJ (36), POLUDISKRETNYE ANALOGI KOTORYH WYGLQDQT TAK: ^ ; + @ (V ) = @ 2 (V 2 + p) @x 2 @x2 (cV ) ; V + @ (V 2 + p) = @ 2 (V 3 + 3pV ) (40) @x 2 @x2 E^ ; E + @ V (E + p)] = @ 2 V 2 (E + 2p) + p (E + p) @x 2 @x2 GDE DLQ UPRO]ENIQ ZAPISI WWEDENO OBOZNA^ENIE gj +1 = g^, gj = g. pRI IH WYWODE INTEGRALY, POLU^A@]IESQ W PRAWOJ ^ASTI (39), PREDSTAWLENY (S U^ETOM SWOJSTW FUNKCII RASPREDELENIQ f (0) ) KAK SUMMY I o perehode k diskretnym modelqm
268
issledowanie matemati~eskih modelej
gl. V 2 PROIZWEDENIQ MOMENTOW FUNKCII e;z RAZLI^NYH PORQDKOW. nE^ETNYE
MOMENTY RAWNY NUL@, A ^ETNYE OPREDELQ@TSQ PO FORMULE
Z1
;1
1=2 2 2r ; z e z dz = r (2r ; 1)!!:
2
pOSLE PROWEDENIQ TEM ILI INYM SPOSOBOM DISKRETIZACII PROSTRANSTWENNYH OPERATOROW IZ (40) POLU^A@TSQ POLNOSTX@ DISKRETNYE ANALOGI URAWNENIJ (36), ^ISLENNOE REENIE KOTORYH MOVET BYTX NAJDENO PO QWNYM FORMULAM (NETRUDNO POSTROITX I NEQWNYE WARIANTY MODELI (40), POMENQW W (38) MESTAMI f j +1 I f j ). sTOQ]IE W PRAWOJ ^ASTI (40) ^LENY PERWOGO PORQDKA MALOSTI PO PREDSTAWLQ@T SOBOJ DOBAWKI K OBY^NYM DISKRETNYM MODELQM DLQ (36), NESU]IE DOPOLNITELXNU@ INFORMACI@ O PROISHOVDENII APPROKSIMIRUEMOJ MODELI. nE PRIWODQ DOSTATO^NO GROMOZDKIJ WYWOD WSEJ SISTEMY (40), OGRANI^IMSQ LIX URAWNENIEM NERAZRYWNOSTI. pREDSTAWLQQ (39) W WIDE j +1 j j 2 j m f ; f + m @f v = m @ f v2
@x 2 @x2 UMNOVAQ \TO WYRAVENIE NA (v) = 1 I INTEGRIRUQ EGO PO v, POLU^IM j +1 ; j + Z m @f j v dv = Z m @ 2 f j v2 dv @x 2 @x2 ILI, WYNOSQ ZNAK DIFFERENCIROWANIQ ZA INTEGRAL (SM. FORMULY (10) x 3 GL. III), j +1 ; j + @ Z f j v dv = @ 2 Z f j v2 dv: @x 2 @x2 pREOBRAZUEM INTEGRALY W POSLEDNEM RAWENSTWE W SOOTWETSTWII S OPREDELENIQMI (SM. P. 4 x 3 GL. III) FUNKCIJ V I p I PRIHODIM K URAWNENI@ ^ ; + @ (V ) = @ 2 (V 2 + p) @x 2 @x2 T. E. K PERWOMU IZ URAWNENIJ (36). oPISANNYJ WYE PODHOD OBOB]AETSQ NA MNOGOMERNYE ANALOGI URAWNENIJ (36) I NA BOLEE SLOVNYE MODELI TE^ENIJ GAZA, NAPRIMER NA URAWNENIQ nAWXE|sTOKSA (SM. P. 5 x 3 GL. III). w POSLEDNEM SLU^AE WMESTO MAKSWELLOWSKOJ FUNKCII RASPREDELENIQ f = f (0) ISPOLXZUETSQ, ESTESTWENNO, SLEDU@]EE PRIBLIVENIE | FUNKCIQ f = f (0) + f (1) , OTWE^A@]AQ SREDE S NENULEWYMI WQZKIMI NAPRQVENIQMI I POTOKAMI TEPLA (SM. P. 4 x 3 GL. III). pOQSNIM: GRANI^NYE USLOWIQ DLQ MODELEJ TIPA (40) NE MOGUT BYTX WZQTY W TO^NOSTI TAKIMI VE, KAK W SLU^AE URAWNENIJ |JLERA (ILI nAWXE|sTOKSA) UVE HOTQ BY POTOMU, ^TO PRI AWTOMATI^ESKOM IH PERENOSE DISKRETNAQ MODELX STALA BY NEKONSERWATIWNOJ. pO\TOMU NE TOLXKO URAWNENIQ MODELI (40), NO TAKVE I KRAEWYE USLOWIQ DLQ NIH DOLVNY
x 4]
269 BYTX SOGLASOWANY S KRAEWYMI USLOWIQMI DLQ ZANIMA@]EGO BOLEE WYSOKIJ IERARHI^ESKIJ UROWENX KINETI^ESKOGO URAWNENIQ. kINETI^ESKI SOGLASOWANNYE RAZNOSTNYE SHEMY W SILU SWOEGO POSTROENIQ OBLADA@T RQDOM SWOJSTW, DELA@]IH IH WESXMA \FFEKTIWNYMI DLQ ^ISLENNOGO MODELIROWANIQ MNOGIH DOSTATO^NO SLOVNYH TE^ENIJ GAZA. o perehode k diskretnym modelqm
upravneniq 1. rAZLAGAQ FUNKCI@ u(x) W RQD tEJLORA W OKRESTNOSTI TO^KI x I UDERVIWAQ DOSTATO^NOE ^ISLO ^LENOW, PROWERXTE, ^TO RAZNOSTNAQ PROIZWODNAQ uxx PRIBLIVAET PROIZWODNU@ d2 u=dx2 SO WTORYM PORQDKOM. 2. pUSTX W ZADA^E (3) S y0 = yN = 0 UZEL i0 6= 0 N TAKOW, ^TO jyi0 j = max jyi j, 0 6 i 6 N . zAPISYWAQ URAWNENIE (3) W TO^KE i0 , POKAVITE SPRAWEDLIWOSTX NERAWENSTWA jyi0 j 6 j'i0 j=2 I, TEM SAMYM, NERAWENSTWA (5), GDE C = 1=2. 3. rAZLAGAQ FUNKCI@ u(x t) W OKRESTNOSTI TO^KI x = xi , t = (tj +1 + y j )=2 W RQD tEJLORA, UBEDITESX, ^TO PRI = 1=2 POGRENOSTX APPROKSIMACII SHEMY (10) RAWNA O( 2 + h2 ). 4. pROWERXTEPRQMOJPODSTANOWKOJ, ^TO ZADA^A NA SOBSTWENNYEZNA^ENIQ Xx x + + X = 0, 0 < x < ih < 1 X (0) = X (1), X (x) 6 0, IMEET NETRIWIALXNYEREENIQ | p SOBSTWENNYE FUNKCII WIDA X (k) = 2 sin kx. ; + 5. pROWERXTE, ^TO DLQ REENIQ (20) RAZNOSTXMEVDU W ( ) I W ( ) RAWNA q = = ;0 ( ; {) k2 I ^TO q ! 1 PRI { ! 0, T. E. MO]NOSTX FIKTIWNOGO ISTO^NIKA TEPLA MOVET BYTX SKOLX UGODNO BOLXOJ. 6. sUMMIRUQ URAWNENIE (22) PO i = 1 : : : N ; 1, POLU^ITE RAZNOSTNYJ ZAKON SOHRANENIQ TEPLA WO WSEJ SETO^NOJ OBLASTI W 1=2 ; W N ;1=2 = 0, GDE W i;1=2 = = ;ai (yi ; yi;1 )=h. j+1=2 = p j = p , j+3=2 = j+1 = ^ I T. D. zAPIITE 7. wWEDITE OBOZNA^ENIQ p i i i+1=2 i+1=2 SHEMU KREST (26) W WIDE vt = ;p m t = v^m " t = ;^p v^m : uMNOVAQ vt = ;p m NA v(05) I POWTORQQ RASSUVDENIQ, ISPOLXZOWANNYE PRI WYWODE (30), PREDSTAWXTE TRETXE URAWNENIE (26) W WIDE v2 ; = ; p v(05) ; E " + ;1 m 2 t GDE DISBALANS POLNOJ \NERGII E = p tvm(05) + 0 5 pvmt + 0 5 2 pt vmt , W OTLI^IE OT SLU^AQ SHEMY (24), NEUSTRANIM. 8. pROWERXTE, POWTORQQ W SLU^AE NERAWNOMERNOJ PO MASSE RAZNOSTNOJ SETKI POSTROENIQ P. 5, ^TO URAWNENIQ (34), (35) MODELI (33){(35) OSTA@TSQ BEZ IZMENENIJ, A URAWNENIE (33) HOTQ I NESKOLXKO WIDOIZMENQETSQ, NO SOHRANQET SWOJ FIZI^ESKIJ SMYSL (POLU^ITE EGO).
bIBLIOGRAFIQ K GLAWE V: 2, 6, 8, 12, 15, 17, 18, 21, 22, 24, 26, 29{31, 33, 34, 46, 51, 59, 61{65, 67, 68, 70, 71, 74, 75, 80, 87{89].
g la w a VI
matemati~eskoe modelirowanie slovnyh ob ektow x 1. zADA^I TEHNOLOGII I \KOLOGII pOKAVEM NEOBHODIMOSTX IROKOGO PRIMENENIQ WY^ISLITELXNOGO \KSPERIMENTA DLQ ANALIZA I PROGNOZA KRUPNYH TEHNOLOGI^ESKIH I \KOLOGI^ESKIH PROEKTOW. pRIWEDEM KONKRETNYE PRIMERY, ILL@STRIRU@]IE TESNU@ WZAIMOSWQZX PROBLEM TEHNOLOGII I \KOLOGII, NEIZBEVNOSTX ISPOLXZOWANIQ MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ DLQ IH REENIQ. 1. fIZI^ESKI BEZOPASNYJ QDERNYJ REAKTOR. qDERNAQ \NERGETIKA SLUVIT ODNOJ IZ OSNOW INDUSTRII MNOGIH RAZWITYH STRAN, ZANIMAQ W RQDE IZ NIH PERWOE, W SRAWNENII S DRUGIMI WIDAMI \NERGETIKI, MESTO PO WYRABOTKE \LEKTRO\NERGII. pROBLEMY EE BEZOPASNOSTI SLOVNY I RAZNOOBRAZNY: ZAHORONENIE OTHODOW I UMENXENIE POTREBNOSTI W DOBY^E URANA, \FFEKTIWNOE ISPOLXZOWANIE OBEDNENNOGO I OSWOBOVDA@]EGOSQ PRI QDERNOM RAZORUVENII URANA I, KONE^NO VE, PREDOTWRA]ENIE TQVELYH AWARIJ NA REAKTORAH. w REAKTORAH L@BOGO TIPA OPREDELQ@]IMI FIZI^ESKIMI PROCESSAMI QWLQ@TSQ NEJTRONNO-QDERNYE REAKCII, PRIWODQ]IE K WYDELENI@ \NERGII W EGO AKTIWNOJ ZONE, I OTWOD OT \TOJ ZONY TEPLA, ISPOLXZUEMOGO ZATEM DLQ POLU^ENIQ \LEKTRO\NERGII. rABOTA@]IJ REAKTOR PODDERVIWAETSQ W KRITI^ESKOM SOSTOQNII, KOGDA ^ISLO WYDELQ@]IHSQ NEJTRONOW TAKOWO, ^TO WYRABATYWAEMAQ MO]NOSTX PRAKTI^ESKI NE ZAWISIT OT WREMENI. w PODKRITI^ESKOM REVIME NEJTRONOW POQWLQETSQ MENXE, ^EM TERQETSQ, I REAKCIQ DELENIQ BYSTRO ZATUHAET. w NADKRITI^ESKOM SOSTOQNII, NAOBOROT, NEJTRONNYJ WYHOD SLIKOM WELIK, I \TO MOVET PRIWESTI K RAZOGREWU I WZRYWU AKTIWNOJ ZONY. w OBY^NYH REAKTORAH KRITI^ESKOE SOSTOQNIE FIZI^ESKI NEUSTOJ^IWO, ONO PODDERVIWAETSQ ISKUSSTWENNO S POMO]X@ O^ENX SLOVNOJ SISTEMY UPRAWLENIQ. bEZ TAKOJ SISTEMY PROISHODIT WYHOD LIBO NA PODKRITI^ESKIJ, LIBO NA NADKRITI^ESKIJ REVIMY. rEAKTOR DELAETSQ S ZAPASOM REAKTIWNOSTI (NADKRITI^NOSTX), KOTORYJ KOMPENSIRUETSQ WWEDENIEM W AKTIWNU@ ZONU SPECIALXNYH STERVNEJ, POGLO]A@]IH LINIE NEJTRONY. eSLI VE PO MERE WYGORANIQ TOPLIWA REAKTIWNOSTX UMENXAETSQ, TO UPRAWLQ@]IE STERVNI ^ASTI^NO WYWODQTSQ IZ SISTEMY I NEJTRONNYJ POTOK WYRASTAET DO WELI^INY, NEOBHODIMOJ DLQ PLANOWOJ RABOTY REAKTORA.
x 1]
271 hARAKTERNOE WREMQ OTKLONENIQ OT KRITI^ESKOGO SOSTOQNIQ OPREDELQETSQ W OSNOWNOM PERIODOM ZAPAZDYWA@]IH NEJTRONOW, T. E. NEJTRONOW, WYDELQ@]IHSQ IZ OSKOLKOW DELENIQ LIX NEKOTOROE WREMQ SPUSTQ POSLE REAKCII RASPADA. |TOT PERIOD MENEE ODNOJ MINUTY, ^TO PRED_QWLQET WESXMA VESTKIE TREBOWANIQ K SISTEME UPRAWLENIQ. iMENNO ZA \TO KOROTKOE WREMQ ONA DOLVNA PRINQTX I REALIZOWATX SOOTWETSTWU@]EE REENIE PRI WOZNIKNOWENII NEPREDWIDENNYH SITUACIJ. gLAWNAQ IDEQ FIZI^ESKI BEZOPASNOGO REAKTORA | KOMPONENTY TOPLIWA DOLVNY BYTX PODOBRANY TAK, ^TOBY, WO-PERWYH, EGO HARAKTERNOE WREMQ BYLO ZAMETNO BOLXE MINUTY I, WO-WTORYH, ^TOBY W REVIME EGO RABOTY POQWILISX \LEMENTY SAMOREGULIROWANIQ. |TOGO MOVNO DOSTI^X, ESLI W REAKTORE SREDI PRO^IH REAKCIJ BUDET DOSTATO^NO ZAMETNOJ SLEDU@]AQ CEPO^KA PREWRA]ENIJ: zada~i tehnologii i |kologii
239 239 238U + n ;! 239U ;! Np ;! Pu ;
;
GDE ^EREZ 238U, 239U, 239Np, 239Pu OBOZNA^ENY SOOTWETSTWU@]IE IZO;TOPY URANA, NEPTUNIQ I PLUTONIQ, SIMWOLOM n NEJTRON, SIMWOL OZNA^AET BETA-RASPAD (ISPUSKANIE \LEKTRONA QDROM). w \TOM SLU^AE OBRAZU@]IJSQ W REZULXTATE PLUTONIJ QWLQETSQ OSNOWNYM I ISPOLXZUEMYM SRAZU TOPLIWOM. hARAKTERNOE WREMQ TAKOJ REAKCII | WREMQ DWUH BETA-RASPADOW, RAWNOE PRIBLIZITELXNO 2,5 SUTKAM, T. E. ONO PO^TI NA ^ETYRE PORQDKA BOLXE, ^EM DLQ ZAPAZDYWA@]IH NEJTRONOW. |FFEKT SAMOREGULQCII SWQZAN S TEM, ^TO UWELI^ENIE (PO KAKIM-TO PRI^INAM) POTOKA NEJTRONOW PRIWEDET K BYSTROMU WYGORANI@ PLUTONIQ, UMENXENI@ EGO KONCENTRACII I SOOTWETSTWENNO POTOKA NEJTRONOW (OBRAZOWANIE VE NOWYH QDER 239Pu BUDET IDTI W PREVNEM TEMPE PRIMERNO W TE^ENIE 2,5 SUTOK). eSLI VE, NAOBOROT, POTOK NEJTRONOW W REZULXTATE WNENEGO WMEATELXSTWA REZKO UMENXITSQ, TO UMENXITSQ SKOROSTX WYGORANIQ I UWELI^ITSQ TEMP NARABOTKI PLUTONIQ S POSLEDU@]IM UWELI^ENIEM ^ISLA WYDELQ@]IHSQ W REAKTORE NEJTRONOW ^EREZ PRIBLIZITELXNO TAKOE VE (RAWNOE NESKOLXKIM SUTKAM) WREMQ. oPISANNYE PREWRA]ENIQ PROTEKA@T I W TRADICIONNYH REAKTORAH, ODNAKO W NIH ONI QWLQ@TSQ WTOROSTEPENNYMI DLQ \NERGOWYDELENIQ, POSKOLXKU ISPOLXZU@TSQ W OSNOWNOM DLQ NAKOPLENIQ PLUTONIQ. oTWET NA WOPROS, SU]ESTWUET LI TAKAQ SMESX U I Pu, PRI KOTOROJ DANNAQ REAKCIQ STANOWITSQ DOMINIRU@]EJ, MOVET BYTX POLU^EN TOLXKO S POMO]X@ MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ \TOJ SLOVNEJEJ SISTEMY. dOSTATO^NO POLNAQ MATEMATI^ESKAQ MODELX AKTIWNOJ ZONY REAKTORA DOLVNA WKL@^ATX W SEBQ MODELI NESTACIONARNYH PROSTRANSTWENNO TREHMERNYH PROCESSOW PERENOSA NEJTRONOW W SILXNO NEODNORODNOJ SREDE, WYGORANIQ TOPLIW I REAKTORNOJ KINETIKI, A TAKVE MODELX OTWODA TEPLA. oDNAKO DLQ PROWERKI OSU]ESTWIMOSTI WYDWINUTOJ FIZI^ESKOJ IDEI, PRI^EM S HOROEJ KOLI^ESTWENNOJ TO^NOSTX@, MOVNO OGRANI^ITXSQ BOLEE PROSTOJ MODELX@. pERWOE UPRO]ENIE | RAZDELXNYJ ANALIZ NEJTRONNO-QDERNYH PROCESSOW I PROCESSA TEPLOOTWODA (ONO OPRAWDANO PRI BOLXIH WREMENAH REGULIROWANIQ). sOBSTWENNO NEJTRONNYE
272
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
PROCESSY WPOLNE DOPUSTIMO IZU^ATX NE W TREHMERNOJ, A W ODNOMERNOJ GEOMETRII RASSMATRIWAQ IH K TOMU VE W DIFFUZIONNOM I ODNOGRUPPOWOM PRIBLIVENII (POSLEDNEE OZNA^AET, ^TO SOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM OSREDNQ@TSQ SPEKTRALXNYE HARAKTERISTIKI NEJTRONOW). pOLU^A@]IESQ PRI \TIH UPRO]ENIQH URAWNENIQ PERENOSA NEJTRONOW PO SWOEMU TIPU W NEKOTOROM SMYSLE BLIZKI K URAWNENIQM TEPLOPEREDA^I (x 2 GL. II). oNI REA@TSQ SOWMESTNO S URAWNENIQMI REAKTORNOJ KINETIKI DLQ ESTI GRUPP PREDESTWENNIKOW ZAPAZDYWA@]IH NEJTRONOW (URAWNENIQ TIPA RADIOAKTIWNOGO RASPADA, NO S U^ETOM ISTO^NIKOW NEJTRONOW) I URAWNENIQMI WYGORANIQ DLQ PO^TI DWADCATI TIPOW IZOTOPOW U, Pu, Np I DRUGIH \LEMENTOW. rAZDELENIE \TIH TREH MODELEJ NEWOZMOVNO, POSKOLXKU BOLXINSTWO ISKOMYH WELI^IN FIGURIRUET WO WSEH URAWNENIQH. mETOD REENIQ | POLUDISKRETNAQ (PROSTRANSTWENNAQ) APPROKSIMACIQ ISHODNOJ MODELI S POSLEDU@]IM ^ISLENNYM INTEGRIROWANIEM PO WREMENI POLU^A@]EJSQ SLOVNOJ SISTEMY OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ WYSOKOJ RAZMERNOSTI. tIPI^NYJ WY^ISLITELXNYJ \KSPERIMENT SOSTOIT W ZADANII NA^ALXNOJ KRITI^ESKOJ SBORKI (T. E. SMESI WE]ESTW I GEOMETRII AKTIWNOJ ZONY TAKIH, ^TOBY POLU^IWIJSQ REAKTOR BYL KRITI^ESKIM) I IZU^ENII \WOL@CII SO WREMENEM OSNOWNYH HARAKTERISTIK REAKTORA. zAMETIM: NA^ALXNAQ SBORKA NAHODITSQ S POMO]X@ SPECIALXNOGO PREDWARITELXNOGO WY^ISLITELXNOGO \KSPERIMENTA. oDIN IZ WARIANTOW SBORKI W CILINDRI^ESKOJ GEOMETRII SLEDU@]IJ: zONA 1
zONA 2
sTALX
oBEDNENNYJ PRIRODNYJ URAN (235 U | 0,33%, 238 U | 99,77%) sTALX
r1 = 89 48 SM
r2 = 200 SM
239 238
Pu |8% U | 92%
Na
Na
sBORKA RAZBITA NA DWE ZONY RAZNYH RAZMEROW S RAZNYM SODERVANIEM PLUTONIQ I IZOTOPOW URANA (PRISUTSTWIE W GOMOGENNOJ SMESI NATRIQ SOOTWETSTWUET NALI^I@ TEPLONOSITELQ, STALX OTWE^AET KONSTRUKCIONNYM \LEMENTAM). nA RIS. 83 PRIWEDENA DINAMIKA (IZMERQEMOJ W 10;6 S;1 ) WELI^INY (t) | HARAKTERISTIKI WREMENI OTKLONENIQ OT KRITI^NOSTI DLQ RASSMATRIWAEMOGO DWUHZONNOGO REAKTORA (PRI > > 0 ^ISLO WYDELQ@]IHSQ NEJTRONOW PROPORCIONALXNO et ). wIDNO, ^TO W TE^ENIE PO^TI DEWQTI MESQCEW RABOTY U REAKTORA BEZ UPRAWLENIQ jj 6 10;6 S;1 , T. E. WREMQ EGO OTKLONENIQ OT KRITI^NOSTI SOSTAWLQET PRIMERNO 10 SUTOK (W DANNOM WARIANTE, ESLI NE WWODITSQ WNENEE UPRAWLENIE, REAKTOR ^EREZ DEWQTX MESQCEW ZATUHAET). tAKIM OBRAZOM, UBEDITELXNO PODTWERVDAETSQ OSNOWNAQ IDEQ O FIZI^ESKI BEZOPASNOM REAKTORE.
x 1]
zada~i tehnologii i |kologii
273
rIS. 83
rIS. 84
rIS. 85
wY^ISLITELXNYJ \KSPERIMENT, KROME OB]EGO WYWODA, DAET TAKVE RQD O^ENX WAVNYH DETALEJ RABOTY IZU^AEMOJ SISTEMY . nA RIS. 84 POKAZANA PROSTRANSTWENNAQ KONCENTRACIQ PLUTONIQ N(239Pu) (W 1022 SM;3 ), A NA RIS. 85 | PROCENTNAQ STEPENX WYGORANIQ TOPLIWA W RAZLI^NYE MOMENTY WREMENI. w OTLI^IE OT OBY^NYH REAKTOROW ZDESX DOSTIGAETSQ WYSOKAQ STEPENX ISPOLXZOWANIQ GOR@^EGO (TEORETI^ESKI, BEZ INVENERNYH OGRANI^ENIJ, 40{50% WMESTO STANDARTNYH 4{5%). 18 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
274
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
|KSPERIMENTY S MODELX@ OTWE^A@T I NA WOPROS OB USTOJ^IWOSTI REAKTORA K SILXNYM WOZMU]ENIQM (AWARIQM). nAPRIMER, WOZMOVEN WYBROS ^ASTI TEPLONOSITELQ (NATRIQ) IZ AKTIWNOJ ZONY W REZULXTATE SAMOPROIZWOLXNOGO ILI NASILXSTWENNOGO RAZRYWA OBOLO^KI TRUBOPROWODA. nA RIS. 86 PRIWEDENA ZAWISIMOSTX WELI^INY OT WREMENI POSLE PODOBNOJ AWARII. oNA MODELIROWALASX SLEDU@]IM OBRAZOM: W MOMENT t = 63 SUT. IZ PERWOJ ZONY W INTERWALE 0 6 r 6 6 154 SM ZA 15 MIN S POSTOQNNOJ SKOROSTX@ BYL WYWEDEN rIS. 86 WESX NATRIJ. |TO PRIWELO K WOZNIKNOWENI@ KOLEBANIJ HARAKTERNOGO WREMENI (PRI \TOM EGO MINIMALXNOE ZNA^ENIE SOSTAWLQLO 8 MIN, ^TO WPOLNE DOSTATO^NO DLQ REALXNOJ KORREKCII RABOTY REAKTORA). w DALXNEJEM WOZNIKEE WOZMU]ENIE GASITSQ SAMIM REAKTOROM BEZ KAKOGO-LIBO WNENEGO WOZDEJSTWIQ (SAMOREGULIROWKA) I ^EREZ 32 ^ EGO HARAKTERNOE WREMQ STABILIZIRUETSQ, STANOWQSX RAWNYM, KAK I PREVDE, PRIMERNO 10 SUT. |KSPERIMENTY S MODELX@ OBOSNOWYWA@T TAKVE I NEKOTORYE DRUGIE PREIMU]ESTWA RASSMATRIWAEMOGO REAKTORA, NAPRIMER NET NEOBHODIMOSTI DOBAWLQTX W AKTIWNU@ ZONU NOWYE PORCII PLUTONIQ WZAMEN WYGOREWEGO (PO\TOMU NET NUVDY W TRANSPORTIROWKE I INYH MANIPULQCIQH S ODNOJ IZ OSNOWNYH KOMPONENT QDERNOGO ORUVIQ). tAKIM OBRAZOM, MATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE I WY^ISLITELXNYJ \KSPERIMENT POZWOLQ@T NE TOLXKO KA^ESTWENNO, NO I KOLI^ESTWENNO IZU^ATX ODIN IZ PERSPEKTIWNYH SPOSOBOW POWYENIQ BEZOPASNOSTI QDERNOJ \NERGETIKI. 2. gIDROLOGI^ESKIJ BARXER PROTIW ZAGRQZNENIQ GRUNTOWYH WOD. sNABVENIE KRUPNYH GORODOW I PROMYLENNYH CENTROW DOBROKA^ESTWENNOJ WODOJ DLQ PITXQ I WODOJ DLQ TEHNI^ESKIH NUVD DAWNO STALO OSTROJ TEHNO-\KOLOGI^ESKOJ PROBLEMOJ. dLQ EE REENIQ POMIMO OTKRYTYH I POTOMU LEGKO ZAGRQZNQEMYH ISTO^NIKOW (REKI, OZERA, WODOHRANILI]A) AKTIWNO ISPOLXZU@TSQ PODZEMNYE WODY WLAGOSODERVA]IH PLASTOW. oNI MENEE PODWERVENY ANTROPOGENNYM WOZDEJSTWIQM, ODNAKO I DLQ NIH WOPROSY, SWQZANNYE S ZA^ASTU@ NEIZBEVNYM ZAGRQZNENIEM, OSTA@TSQ AKTUALXNYMI. oDIN IZ NIH | LOKALIZACIQ WREDNYH PRIMESEJ, PRONIKA@]IH W ^ASTX PLASTA S TEM, ^TOBY WODA W DRUGIH ^ASTQH OSTAWALASX ^ISTOJ I PRIGODNOJ DLQ POTREBLENIQ. rIS. 87 |TU CELX MOVNO DOSTI^X, ISPOLXZUQ ^ASTX GRUNTOWYH WOD DLQ SOZDANIQ NA PUTI RASPROSTRANENIQ ZAGRQZNENIJ SWOEOBRAZNOGO GIDROLOGI^ESKOGO BARXE-
x 1]
275 RA. oB]AQ EGO SHEMA POKAZANA NA RIS. 87: MEVDU ISTO^NIKOM ZAGRQZNENIQ (ZWEZDO^KI) I WODOZABORNYMI SKWAVINAMI USTANAWLIWA@TSQ SPECIALXNYE SKWAVINY, NAKA^IWA@]IE (DOSTATO^NO ^ISTU@) WODU W PLAST I POWYA@]IE EE UROWENX (BARXER). nAKA^KA SOZDAET PRINUDITELXNOE DWIVENIE GRUNTOWYH WOD WPRAWO I WLEWO OT BARXERA (STRELKI). fILXTRU@]AQSQ NAPRAWO ^ASTX POTOKA SNOSIT NAZAD TEKU]U@ EJ NAWSTRE^U WODU S PRIMESQMI, PREPQTSTWUQ DALXNEJEMU PRODWIVENI@ ZAGRQZNENIJ WDOLX PLASTA. mATEMATI^ESKAQ MODELX, REALIZU@]AQ \TU SHEMU, SODERVIT URAWNENIQ FILXTRACII GRUNTOWYH WOD I URAWNENIQ RASPROSTRANENIQ PRIMESEJ, DOPOLNENNYE SOOTWETSTWU@]IMI WHODNYMI DANNYMI (SWOJSTWAMI GRUNTA, WODY I PRIMESEJ, SWEDENIQMI O GEOMETRII RASSMATRIWAEMOJ OBLASTI, KRAEWYMI USLOWIQMI I T. D.). pRI OTNOSITELXNO NEBOLXOM SODERVANII PRIMESEJ W WODE ONI NE OKAZYWA@T NA EE DWIVENIE ZAMETNOGO WLIQNIQ, I PO\TOMU FILXTRACI@ MOVNO RASSMATRIWATX OTDELXNO OT DINAMIKI RASPROSTRANENIQ ZAGRQZNENIJ. pRI NEKOTORYH DOPU]ENIQH, GLAWNYM IZ KOTORYH QWLQETSQ PREDPOLOVENIE O DOSTATO^NOJ PROTQVENNOSTI PLASTA, DWIVENIE WODY OPISYWAETSQ W RAMKAH MODELI bUSSINESKA (x 1 GL. II). w \TOM SLU^AE WSE HARAKTERISTIrIS. 88 KI PROCESSA | FUNKCII PEREMENNYH x, y, t (WID SWERHU NA PLAST IZOBRAVEN NA RIS. 88, GDE KRESTIKAMI OBOZNA^ENY NAKA^IWA@]IE, KWADRATIKAMI | WODOZABORNYE SKWAVINY, A ZWEZDO^KAMI | ISTO^NIK ZAGRQZNENIJ). mODELX RASPROSTRANENIQ PRIMESEJ POLU^AETSQ (KAK I URAWNENIE bUSSINESKA) IZ ZAKONA SOHRANENIQ (BALANSA) MASSY PRIMESI W \LEMENTE GRUNTA. w OTSUTSTWIE DIFFUZII ZAGRQZNENIJ ONA PREDSTAWLQET SOBOJ zada~i tehnologii i |kologii
OBY^NOE URAWNENIE NERAZRYWNOSTI I W PROSTEJEM WARIANTE IMEET WID
@ @ @ @t C (H + h)] + @x C (H + h) u] + @y C (H + h) v] = Q(x y t) GDE C(x t) | ISKOMAQ KONCENTRACIQ PRIMESEJ, Q(x y t) | IZWESTNAQ INTENSIWNOSTX ISTO^NIKOW ZAGRQZNENIJ (OSTALXNYE OBOZNA^ENIQ TE VE, ^TO I W x 1 GL. II). |TO URAWNENIE MOVNO TAKVE TRAKTOWATX (PRI IZWESTNYH FUNKCIQH h, u, v) KAK DWUMERNOE URAWNENIE PERENOSA KONCENTRACII C. tAK KAK PO ZAKONU dARSI @h v = ; @h = g u = ; @x @y
TO DANNOE URAWNENIE PEREPISYWAETSQ W FORME
@ C (H + h)] ; @ C (H + h) @h ; @ C (H + h) @h = @t @x @x @y @y = Q(x y t): 18
276
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
eSLI VE PRINQTX WO WNIMANIE ZAMETNOE HAOTI^ESKOE DWIVENIE PRIMESEJ, TO POSLEDNEE URAWNENIE USLOVNQETSQ:
@ C (H + h)] ; @ C (H + h) @h ; @ C (H + h) @h = @t @x @x @y @y @ @C @ @C = @x D (H + h) @x + @y D (H + h) @y + Q(x y t) STANOWQSX URAWNENIEM WTOROGO PORQDKA (PARABOLI^ESKOGO TIPA) OTNOSITELXNO FUNKCII C. dOPOLNITELXNYE ^LENY W EGO PRAWOJ ^ASTI OTWE^A@T UWELI^ENI@ ILI UMENXENI@ MASSY PRIMESI W \LEMENTE GRUNTA BLAGODARQ NALI^I@ POTOKOW, WY^ISLQEMYH PO ZAKONU fIKA W = ;D grad C GDE D > 0 | KO\FFICIENT GIDRODINAMI^ESKOJ DISPERSII (ANALOG KO\FFICIENTA TEPLOPROWODNOSTI W ZAKONE fURXE SM. TABL. 1). oDIN IZ ESTESTWENNYH SPOSOBOW PEREHODA K DISKRETNOJ MODELI | APPROKSIMACIQ SISTEMY DWUH PARABOLI^ESKIH URAWNENIJ: URAWNENIQ bUSSINESKA IZ x 1 GL. II DLQ h I PRIWEDENNOGO WYE URAWNENIQ DLQ C, RAZNOSTNOJ SHEMOJ, KONSTRUIRUEMOJ, NAPRIMER, NA OSNOWE INTEGROINTERPOLQCIONNOGO METODA (\TO OSOBENNO UDOBNO W SLU^AE RAWNOMERNOJ SETKI). zAMETIM, ^TO URAWNENIE DLQ h NE SODERVIT WELI^INY C, I \TO SWOJSTWO MODELI ZNA^ITELXNO OBLEG^AET EE ^ISLENNOE ISSLEDOWANIE. rAZUMNO ISPOLXZOWATX BEZUSLOWNO USTOJ^IWYE NEQWNYE SHEMY, POZWOLQ@]IE PROWODITX RAS^ET S DOSTATO^NO KRUPNYM AGOM PO WREMENI. pOLU^A@]AQSQ W ITOGE SISTEMA NELINEJNYH RAZNOSTNYH URAWNENIJ REAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. sNA^ALA IZ RAZNOSTNOGO
URAWNENIQ bUSSINESKA DLQ hji (NE SODERVA]EGO FUNKCI@ Cij ) NAHODQTSQ ZNA^ENIQ hji . zATEM ONI ISPOLXZU@TSQ W RAZNOSTNYH URAWNENIH DLQ Cij , OTKUDA POSLEDNIE I OPREDELQ@TSQ. pRI REENII DISKRETNYH ANALOGOW DWUMERNYH PARABOLI^ESKIH URAWNENIJ DLQ h I C PRIMENQETSQ STANDARTNYJ METOD PEREMENNYH NAPRAWLENIJ (I ITERACIONNYE PROrIS. 89. A | t = 2 GODA B | t = 7 LET W | t = CEDURY), ZAKL@^A@]IJSQ = 13 LET G | t = 33 GODA W POSLEDOWATELXNOM REENII PROGONKOJ NABORA ODNOMERNYH ZADA^ (SNA^ALA PO NAPRAWLENI@ x, POTOM PO NAPRAWLENI@ y, I NAOBOROT). nA RIS. 89, A{G PRIWEDENY REZULXTATY DEMONSTRACIONNOGO WY^ISLITELXNOGO \KSPERIMENTA PO OPISANNOJ WYE METODIKE, MODELI-
x 1]
zada~i tehnologii i |kologii
277
RU@]EGO DINAMIKU QWLENIQ (ZAMKNUTYE LINII OTWE^A@T POSTOQNNYM ZNA^ENIQM KONCENTRACII PRIMESEJ W NEKOTORYH USLOWNYH EDINICAH). dLQ PROSTOTY SWOJSTWA GRUNTA S^ITALISX POSTOQNNYMI, NA DOSTATO^ NO UDALENNOM OT ISTO^NIKA ZAGRQZNENIJ RASSTOQNII WELI^INY hji I Cij POLAGALISX RAWNYMI NUL@, RAS^ETNYE AGI PO WREMENI I PO PROSTRANSTWU SOSTAWLQLI PRIMERNO ODIN MESQC I ODIN KILOMETR SOOTWETSTWENNO. hARAKTERNYE MASTABY WSEGO PROCESSA | DESQTKI LET I SOTNI KILOMETROW (RAZMER NEBOLXOJ CENTRALXNOEWROPEJSKOJ STRANY). iZ RIS. 89 HOROO WIDNO, ^TO PRIMESI OT ISTO^NIKA ZAGRQZNENIJ RASPROSTRANQ@TSQ WO WSE STORONY, KROME NAPRAWLENIQ, GDE POSTAWLEN GIDROLOGI^ESKIJ BARXER, PREDOHRANQ@]IJ ZABORNYE SKWAVINY OT POPADANIQ W NIH NEDOBROKA^ESTWENNOJ WODY. rAZUMEETSQ, OKON^ATELXNYJ OTWET O CELESOOBRAZNOSTI GIDROLOGI^ESKOGO BARXERA MOVET BYTX POLU^EN LIX POSLE DOPOLNITELXNYH ISSLEDOWANIJ PO MODELIROWANI@ IZU^AEMYH PROCESSOW, W TOM ^ISLE S U^ETOM SWOJSTW KONKRETNYH GRUNTOW, RAZLI^NYH SPOSOBOW RASPOLOVENIQ SKWAVIN, \KONOMI^ESKIH ASPEKTOW I T. D. o^EWIDNO, ^TO TE ILI INYE REENIQ RASSMATRIWAEMOJ PROBLEMY DOLVNY OPIRATXSQ NA MATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE I WY^ISLITELXNYJ \KSPERIMENT, POSKOLXKU MASTABY QWLENIQ ISKL@^A@T NATURNYE \KSPERIMENTY, A LABORATORNYE ISPYTANIQ W SILU OTSUTSTWIQ PODOBIQ DA@T LIX OGRANI^ENNU@ INFORMACI@. 3. sLOVNYE REVIMY OBTEKANIQ TEL GAZOM. sHOVAQ S PP. 1, 2 SITUACIQ HARAKTERNA I DLQ ZADA^ KONSTRUIROWANIQ SOWREMENNOJ LETATELXNOJ TEHNIKI. a\RODINAMI^ESKIE TRUBY, W KOTORYH PRODUWA@TSQ FRAGMENTY BUDU]IH APPARATOW, PREDSTAWLQ@T SOBOJ O^ENX DOROGOSTOQ]IE I SLOVNYE INVENERNYE SOORUVENIQ. sTOIMOSTX ^ASA IH \KSPLUATACII MOVET DOSTIGATX NESKOLXKIH TYSQ^ DOLLAROW. pOLU^AEMYE PRI \TOM \KSPERIMENTALXNYE DANNYE NE POLNY (IBO NELXZQ PROWESTI ISPYTANIQ PRI WSEH DOPUSTIMYH SKOROSTQH, UGLAH ATAKI I T. D.) I TREBU@T PRAWILXNOJ RASIFROWKI. k TOMU VE ONI OTNOSQTSQ LIX K OTDELXNYM ^ASTQM APPARATOW. pOSLEDNIJ NEDOSTATOK NE MOVET BYTX USTRANEN PO PRINCIPIALXNOJ PRI^INE. kARTINA OBTEKANIQ GAZOM POME]ENNOJ W TRUBU MALENXKOJ MATERIALXNOJ KOPII POLNOGO IZDELIQ IMEET MALO OB]EGO S PROCESSAMI, PROISHODQ]IMI NA REALXNYH (METRY I DESQTKI METROW) MASTABAH, TAK KAK MEVDU NIMI NET DETALXNOGO PODOBIQ. w \TOM LEGKO UBEDITXSQ, WYPISAW DWA OSNOWNYH BEZRAZMERNYH PARAMETRA PODOBIQ (SM. x 1 GL. V) DLQ RASSMATRIWAEMOGO KLASSA QWLENIJ | ^ISLO mAHA (M = u=c | OTNOENIE SKOROSTI TE^ENIQ K SKOROSTI ZWUKA) I ^ISLO rEJNOLXDSA (Re = uL= , GDE | KO\FFICIENT WQZKOSTI GAZA, L | HARAKTERNYJ RAZMER APPARATA). iZ WIDA ^ISEL M I Re SLEDUET, ^TO, SOHRANQQ ODINAKOWYM DLQ RAZNYH L ^ISLO M, NEWOZMOVNO OSTAWITX NEIZMENNOJ TAKVE I WELI^INU Re = McL= , HARAKTERIZU@]U@ OTNOENIE SIL DAWLENIQ K SILAM WQZKOSTI. pO\TOMU OSNOWNU@ INFORMACI@ O POWEDENII LETATELXNYH APPARATOW POLU^A@T IZ WY^ISLITELXNYH \KSPERIMENTOW, PROWODQ]IHSQ WO WSEM DIAPAZONE DOPUSTIMYH PARAMETROW. nATURNYE VE ISPYTANIQ SLUVAT W OSNOWNOM W KA^ESTWE \TALONNYH OPYTOW: IZ SRAWNENIQ IH REZULXTATOW S REZULXTATAMI MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ WYQSNQ-
278
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
ETSQ ADEKWATNOSTX ISPOLXZUEMYH MODELEJ, TO^NOSTX WY^ISLITELXNYH ALGORITMOW I PRI NEOBHODIMOSTI PROWODITSQ IH USOWERENSTWOWANIE. pRODEMONSTRIRUEM WZAIMOOTNOENIQ WY^ISLITELXNOGO I NATURNOGO \KSPERIMENTOW NA PRIMERE MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ NEKOTORYH SLOVNYH TE^ENIJ S POMO]X@ METODIKI, OSNOWANNOJ NA OPISANNYH W P. 6 x 4 GL. V KINETI^ESKI SOGLASOWANNYH RAZNOSTNYH SHEMAH DLQ URAWNENIJ |JLERA I nAWXE|sTOKSA. w RASSMATRIWAEMYH NIVE PRIMERAH PROCESSY WQZKOGO PERENOSA SU]ESTWENNY LIX W UZKOJ OBLASTI POGRANSLOQ OKOLO GRANICY OBTEKAEMYH TEL, PO\TOMU REALISX URAWNENIQ |JLERA. oDNA IZ REAWIHSQ \TALONNYH ZADA^ | OPISANIE NESTACIONARNYH DWUMERNYH TE^ENIJ W KOLENE PLOSKOGO PRQMOUGOLXNOGO KANALA, DLQ KOTORYH IME@TSQ DOSTATO^NO NADEVNYE \KSPERIMENTALXNYE DANNYE. w NIVN@@ ^ASTX KANALA (RIS. 90, 91), ZANIMAEMOGO WNA^ALE NEPO-
rIS. 90
rIS. 91
DWIVNYM GAZOM ( = 14), PODAETSQ SWERHZWUKOWOJ (M = 12) POTOK, PRI RASPROSTRANENII KOTOROGO WWERH I NAPRAWO POSLEDOWATELXNO WOZNIKAET RQD SLOVNYH GAZODINAMI^ESKIH KONFIGURACIJ. iSPOLXZOWALISX SETKI S ^ISLOM UZLOW Nx Ny = 3000 S AGOM PO PROSTRANSTWU hx = hy = 1=27 I PO WREMENI = 02. nA RIS. 90, 91 DLQ MOMENTOW WREMENI t = 30, t = 40 PRIWEDENY \KWIDISTANTNYE S AGOM = 0083 IZOLINII PLOTNOSTI GAZA W KANALE EDINI^NOGO SE^ENIQ (1 = 0747, 14 = 1826 DLQ RIS. 90 I 24 = 2656 DLQ RIS. 91, EDINICY IZMERENIQ USLOWNYE). nA RIS. 90 HOROO WIDNA ZONA UPLOTNENIQ | UDARNAQ WOLNA, OBRAZU@]AQSQ PRI OGIBANII POTOKOM PRQMOUGOLXNOGO WYSTUPA (LINII SGU]A@TSQ), I SFORMIROWAWAQSQ ZA NEJ ZONA RAZREVENIQ. u WERHNEJ STENKI KANALA GAZ TORMOZITSQ I UPLOTNQETSQ. w REZULXTATE \TOGO TORMOVENIQ W TE^ENII POQWLQETSQ OTRAZIWAQSQ OT STENKI UDARNAQ WOLNA (RIS. 91, PLOTNOSTX GAZA W OBLASTI UPLOTNENIQ UMENXAETSQ PRI UDALENII OT LEWOJ GRANICY, ^TO ESTESTWENNO). w DALXNEJEM KARTINA STANOWITSQ E]E BOLEE SLOVNOJ: OTRAVENNYE OT GRANIC UDARNYE WOLNY RASPROSTRANQ@TSQ PO POTOKU, WZAIMODEJSTWU@T MEVDU SOBOJ, WNOWX OTRAVA@TSQ OT STENOK I T. D. iH DINAMIKA DETALXNO PROSLEVIWAETSQ W WY^ISLITELXNOM \KSPERIMENTE. aDEKWATNOSTX MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ IZU^AEMYM QWLENIQM PODTWERVDAETSQ SOPOSTAWLENIEM RIS. 91 I SOOTWETSTWU@]EGO EMU RIS. 92, NA KOTOROM PREDSTAWLENA INTERFEROGRAMMA RASPREDELENIQ PLOTNOSTI W POTOKE, POLU^ENNAQ IZ PRQMOGO NATURNOGO \KSPERIMENTA. wIDNO HO-
x 1]
279 ROEE KA^ESTWENNOE I KOLI^ESTWENNOE SOWPADENIE REZULXTATOW WY^ISLITELXNOGO I REALXNOGO \KSPERIMENTOW. zada~i tehnologii i |kologii
rIS. 92. iNTERFEROGRAMMA RASPREDELENIQ PLOTNOSTI W NATURNOM \KSPERIMENTE
tAKIM OBRAZOM, ISPOLXZOWAWAQSQ ^ISLENNAQ MODELX WPOLNE PRIGODNA DLQ OPISANIQ TE^ENIJ SLOVNOJ STRUKTURY, I S EE POMO]X@ MOVNO IZU^ATX I DRUGIE PROCESSY (W TOM ^ISLE TE, DLQ KOTORYH NET DOSTOWERNYH \KSPERIMENTOW). nA RIS. 93, 94 PRIWEDENY REZULXTATY ^ISLENNOGO MODELIROWANIQ OBTEKANIQ GAZOM PEREDNEJ ^ASTI CILINDRI^ESKOGO TELA S IGLOJ | DLINNYM TONKIM WYSTUPOM, OBRA]ENNYM K NABEGA@]EMU SPRAWA (WDOLX OSI z) POTOKU. pARAMETRY GAZA W POTOKE: M = 35, = 1, = 14 RAZMERY TELA: DIAMETR OSNOWNOGO CILINDRA D = 50, DIAMETR IGLY d = 2, EE DLINA l = 46. rAS^ET PROWODILSQ W KOORDINATAH r z
rIS. 93
280
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
rIS. 94
NA SETKE, SODERVA]EJ PRIMERNO 3000 UZLOW. iZOBRAVENY \KWIDISTANTNYE IZOLINII DAWLENIQ (DLQ RIS. 93 p1 = 144, p10 = 1147, DLQ RIS. 94 p1 = 19, p10 = 2444), VIRNAQ LINIQ S TO^KAMI | ZWUKOWAQ LINIQ S M = 1. sRAWNENIE RIS. 93 (t = 53) I RIS. 94 (t = 83) POKAZYWAET, ^TO OBTEKANIE IMEET NE USTANOWIWIJSQ, A SILXNO NESTACIONARNYJ HARAKTER (PRI^EM PULXSACII WELI^IN MOGUT BYTX DOWOLXNO ZNA^ITELXNYMI). sUTX \TIH, KAK POKAZYWAET ^ISLENNOE MODELIROWANIE, PO^TI PERIODI^ESKIH KOLEBANIJ SOSTOIT W UWELI^ENII I UMENXENII RAZMEROW ZONY TE^ENIQ MEVDU UDARNOJ WOLNOJ (^ASTYE IZOLINII) I TELOM. uDARNAQ WOLNA, WOZNIKA@]AQ W REZULXTATE TORMOVENIQ NABEGA@]EGO POTOKA, PEREME]AETSQ SO WREMENEM WDOLX IGLY PO^TI PO WSEJ EE DLINE, ^TO PRIWODIT K ZAMETNYM IZMENENIQM PARAMETROW TE^ENIQ W OKRESTNOSTI IGLY. nA RIS. 95 POKAZANA WREMENNAQ DINAMIKA DAWLENIQ W DWUH HARAKTERNYH TO^KAH TELA (VIRNYE TO^KI NA RIS. 93). lINIQ 1 OPISYWAET DAWLENIE W TO^KE I, LINIQ 2 | DAWLENIE W TO^KE II, LINIQ 3 OTWE^AET HARAKTERNOMU RAZMERU (PO OSI z) ZONY MEVDU UDARNOJ WOLNOJ I TELOM. aMPLITUDA KOLEBANIJ WESXMA WELIKA (W 2{3 RAZA BOLXE SREDNEGO ZNA^ENIQ) TAK VE, KAK I IH ^ASTOTA, RAWrIS. 95 NAQ PRIMERNO l=c (GDE c | SKOROSTX ZWUKA W OBLASTI MEVDU UDARNOJ WOLNOJ I TELOM). pO\TOMU WOZNIKNOWENIE PULXSACIJ (NABL@DAEMYH TAKVE I W NATURNYH \KSPERIMENTAH) I IH KOLI^ESTWENNYE HARAKTERISTIKI DLQ RAZLI^NYH PARAMETROW NABEGA@]IH POTOKOW I KONFIGURACIJ TEL OBQZATELXNO NEOBHODIMO U^ITYWATX PRI PROEKTIROWANII SOOTWETSTWU@]IH LETATELXNYH APPARATOW. pOD^ERKNEM, ^TO POSTOQNNO WOZRASTA@]AQ SLOVNOSTX PODOBNYH ZADA^ TREBUET NE TOLXKO ISPOLXZOWANIQ WSE BOLEE MO]NYH KOMPX@TEROW, NO I (W NEMENXEJ STEPENI) POSTOQNNOGO SOWERENSTWOWANIQ DISKRETNYH MODELEJ I WY^ISLITELXNYH ALGORITMOW.
x 1]
zada~i tehnologii i |kologii
281
4. |KOLOGI^ESKI PRIEMLEMYE TEHNOLOGII SVIGANIQ UGLEWODORODNYH TOPLIW. bOLXAQ ^ASTX ISPOLXZUEMOJ W PROMYLEN-
NOSTI I BYTU \NERGII PROIZWODITSQ W TOPO^NO-SVIGA@]IH USTROJSTWAH | KOTLAH t|c, GAZOWYH TURBINAH, DWIGATELQH WNUTRENNEGO SGORANIQ I T. D. hIMI^ESKAQ \NERGIQ SVIGAEMYH W WOZDUHE UGLEWODORODOW (BENZIN, KEROSIN, MAZUT, METAN) LIBO REALIZUETSQ NEPOSREDSTWENNO DLQ OBOGREWA, LIBO PREOBRAZUETSQ W MEHANI^ESKU@ ILI \LEKTRI^ESKU@ \NERGI@. oB]EE SWOJSTWO WSEH \TIH PROCESSOW ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO WOZDUH SODERVIT NE TOLXKO KISLOROD (OKISLITELX), NO I ZAMETNU@ DOL@ POBO^NOGO WE]ESTWA | AZOTA. s U^ASTIEM POSLEDNEGO W PROCESSE GORENIQ OBRAZU@TSQ SOEDINENIQ, KOTORYE, W OTLI^IE OT NEJTRALXNOGO AZOTA, HIMI^ESKI AKTIWNY (GLAWNYE IZ NIH | OKSIDY AZOTA NO I NO2 ). wRED OT POPADANIQ OKSIDOW W ATMOSFERU RAZNOOBRAZEN: ONI SLUVAT GLAWNYM ISTO^NIKOM WOZNIKNOWENIQ KISLOTNYH DOVDEJ, SU]ESTWENNO SPOSOBSTWU@T ISTON^ENI@ OZONOWOGO SLOQ ATMOSFERY, TOKSI^NY DLQ DYHANIQ I T. D. oBY^NO ISPOLXZU@TSQ DWA METODA SNIVENIQ WYBROSOW OKSIDOW AZOTA. pERWYJ IZ NIH | O^ISTKA PRODUKTOW GORENIQ. sOOTWETSTWU@]EE OBORUDOWANIE WESXMA \FFEKTIWNO, NO ODNOWREMENNO I O^ENX DOROGO. sTOIMOSTX SOWREMENNYH FILXTROW DOSTIGAET DO 10{30% OT STOIMOSTI SAMOJ t|c, W TAKOJ VE PROPORCII UWELI^IWA@TSQ RASHODY NA EE TEKU]U@ \KSPLUATACI@. oSNOWNAQ IDEQ WTOROGO METODA | ORGANIZACIQ PROCESSA GORENIQ TAKIM SPOSOBOM, PRI KOTORM OBRAZOWANIE OKSIDOW AZOTA BYLO BY MINIMALXNYM PRI SOHRANENII \NERGETI^ESKIH HARAKTERISTIK USTANOWKI. oSU]ESTWLENIE \TOGO PODHODA OZNA^ALO BY ZAMETNOE SNIVENIE ZATRAT NA GAZOO^ISTKU PRODUKTOW GORENIQ OT NO I NO2 (POLNOSTX@ PODAWITX IH OBRAZOWANIE NELXZQ). pROISHODQ]EE W TOPO^NYH USTROJSTWAH PROCESSY O^ENX SLOVNY. w NIH PROISHODIT MNOVESTWO HIMI^ESKIH PREWRA]ENIJ BOLXOGO ^ISLA RAZLI^NYH WE]ESTW, WYDELENIE I POGLO]ENIE \NERGII, GAZODINAMI^ESKOE DWIVENIE SMESEJ, TURBULENTNOE PEREMEIWANIE KOMPONENT GOR@^EGO S WOZDUHOM I PRODUKTAMI GORENIQ I T. D. dINAMIKA \TIH QWLENIJ SILXNO ZAWISIT OT REVIMA PODA^I TOPLIWA, KONFIGURACII KOTLOW, RASPOLOVENIQ GORELOK I DRUGIH HARAKTERISTIK TOPOK. pO\TOMU POISK \KOLOGI^ESKI DOPUSTIMYH REVIMOW IH RABOTY NE MOVET OPIRATXSQ NI NA ^ISTO TEORETI^ESKIE PREDSTAWLENIQ, NI NA NATURNYE \KSPERIMENTY | DOROGIE, DLITELXNYE I NEBEZOPASNYE. uDOWLETWORITELXNAQ PO SWOEJ POLNOTE MATEMATI^ESKAQ MODELX RABOTY KOTLA t|c WKL@^AET W SEBQ DWE WZAIMOSWQZANNYH ^ASTI. pERWAQ IZ NIH | LOKALXNOE OPISANIE HIMI^ESKOJ KINETIKI DLQ 32 KOMPONENT SMESI, W OSOBENNOSTI TEH REAKCIJ, KOTORYE IGRA@T NAIBOLXU@ ROLX W OBRAZOWANII TOKSI^NYH ZAGRQZNITELEJ. wTORAQ ^ASTX | NESTACIONARNAQ PROSTRANSTWENNO DWUMERNAQ MODELX MAKROPROCESSOW TEPLOMASSOPERENOSA (DIFFUZIQ WE]ESTW, TEPLOPEREDA^A, KONWEKTIWNOE DWIVENIE I T. D.). oNA OSLOVNQETSQ TAKVE NEOBHODIMOSTX@ U^ETA REALXNOJ GEOMETRII KOTLA (p-OBRAZNAQ FORMA), NALI^IEM W NEM NESKOLXKIH QRUSOW GORELOK, SLUVA]IH DLQ WPRYSKIWANIQ TOPLIWA I WOZDUHA, I DRUGIMI FAKTORAMI. iZ WY^ISLITELXNYH \KSPERIMENTOW S TAKOJ MODELX@ NAHODQTSQ WSE NEOBHODIMYE HARAKTERISTIKI GORENIQ PRI RAZLI^NYH
282
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
REVIMAH RABOTY KOTLA I OTBIRA@TSQ OPTIMALXNYE. oHARAKTERIZUEM ODIN IZ FRAGMENTOW MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ OPISANNYH QWLENIJ, OGRANI^IWISX PERWOJ ^ASTX@ | ISSLEDOWANIEM KINETIKI OBRAZOWANIQ NO I NO2 PRI GORENII CH4 (METANA), SMEANNOGO S WOZDUHOM (SMESX S^ITAETSQ IZOTERMI^ESKOJ I PROSTRANSTWENNO ODNORODNOJ). pOLNAQ MODELX WKL@^AET W SEBQ 196 PRQMYH I STOLXKO VE OBRATNYH REAKCIJ DLQ 32 U^ASTWU@]IH W GORENII WE]ESTW: O2 , N2 , CH4 , O, N, NO, NO2 I T. D. w MATEMATI^ESKOM OTNOENII ONA PREDSTAWLQET SOBOJ SISTEMU IZ 196 2 = 392 OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ, OPISYWA@]IH PRIBYLX I UBYLX KOMPONENT W REZULXTATE SOOTWETSTWU@]IH PRQMYH I OBRATrIS. 96 NYH REAKCIJ. iNTEGRIROWANIE EE PO WREMENI PRI IZWESTNYH NA^ALXNYH KONCENTRACIQH WE]ESTW DAET PODROBNU@ DINAMIKU PROCESSA. pRI \TOM PROSLEVIWA@TSQ NE TOLXKO SUMMARNAQ KONCENTRACIQ TOGO ILI INOGO WE]ESTWA, NO I WSE PUTI EGO OBRAZOWANIQ, ^TO OSOBENNO WAVNO DLQ ANALIZA MEHANIZMOW POQWLErIS. 97 NIQ TOKSI^NYH PRIMESEJ (ODIN IZ \FFEKTIWNYH METODI^ESKIH PRIEMOW, OBLEG^A@]IH RAS^ETY: PO REZULXTATAM PROBNYH WY^ISLENIJ OTME^A@TSQ REAKCII, WNOSQ]IE NEZNA^ITELXNYJ WKLAD W PROCESS I PO\TOMU WPOSLEDSTWII W MODELI NE U^ITYWAEMYE). oPIEM ODIN IZ TIPI^NYH WY^ISLITELXNYH \KSPERIMENTOW, PROWODIWIHSQ W BLIZKIH K REALXNYM USLOWIQM. sMESX NAHODITSQ PRI ATMOSFERNOM DAWLENII, EE TEMPERATURA RAWNA 2000 K, A NA^ALXNYJ SOSTAW W MOMENT t = 0 ZADAETSQ W SLEDU@]IH DOLQH: N2] 07, O2 ] 02, CH4 ] 01. rAS^ET PROWODILSQ DO USTANOWLENIQ RAWNOWESIQ, T. E. DO TEH POR, KOGDA KONCENTRACIQ L@BOJ IZ KOMPONENT PERESTAET IZMENQTXSQ. nA RIS. 96 POKAZANA ZAWISIrIS. 98 MOSTX OT WREMENI DLQ MOLQRNOJ (OB_EMNOJ) KONCENTRACII KOMPONENT ISHODNOJ SMESI, NA RIS. 97 | DLQ H2 O, CO2 , CO, NA RIS. 98 | DOLI AZOTOSODERVA]IH WE]ESTW, W TOM ^ISLE NO, NO2 I N2 O (ZAKISI AZOTA). pERWYJ WYWOD | SGORANIE METANA ;PROISHODIT O^ENX BYSTRO I EGO SODERVANIE WBLIZI MOMENTA t = 41 10 5 S PADAET PRAKTI^ESKI DO NULQ. pROCESS SOBSTWENNO GORENIQ POSLE \TOGO PREKRA]AETSQ.
x 2]
283 rASSMOTRIM TEPERX KINETIKU PREWRA]ENIJ AZOTOSODERVA]IH WE]ESTW. pREVDE WSEGO IZ RIS. 98 WIDNO, ^TO ITOGOWAQ KONCENTRACIQ NO NA MNOGO PORQDKOW PREWYAET KONCENTRACI@ DRUGIH WREDNYH PRIMESEJ. pO\TOMU OSNOWNOE WNIMANIE DOLVNO BYTX NAPRAWLENO NA UMENXENIE IMENNO \TOJ KOMPONENTY. sU]ESTWENNO TAKVE TO, ^TO SODERVANIE NO MONOTONNO UWELI^IWAETSQ SO WREMENEM. zNA^IT, PROBLEMU UMENXENIQ WYHODA NO PRO]E REATX, PODAWLQQ EGO OBRAZOWANIE (ESLI VE NO UVE OBRAZOWALSQ, TO OBESPE^ITX EGO IS^EZNOWENIE GORAZDO TRUDNEE). bOLEE WAVNYJ REZULXTAT SLEDUET IZ SOPOSTAWLENIQ DINAMIKI IZMENENIQ ;SODERVANIQ CH4 I NO. dLQ NO \KSPERIMENT DAET W MOMENTY t = 4 10 5 S, t = 01 S, ;t 5= 20 S ZNA^ENIQ;KONCENTRACII , RAWNYE SOOTWETSTWENNO NO] 8 10 , NO] 2 10 4, NO] 6 10;4. dRUGIMI SLOWAMI, K TOMU MOMENTU, KOGDA GORENIE METANA PRAKTI^ESKI ZAKON^ILOSX, W SMESI PRISUTSTWUET LIX 13% OT OB]EGO KOLI^ESTWA OBRAZU@]EGOSQ W ITOGE NO (OSNOWNAQ ^ASTX WREDNYH PRIMESEJ POQWLQETSQ POSLE TOGO, KAK UVE ZAWERILISX \NERGETI^ESKI POLEZNYE REAKCII SVIGANIQ METANA). sILXNAQ WREMENNAQ RAZNOMASTABNOSTX \TIH DWUH PROCESSOW UKAZYWAET NA ODNU IZ PRINCIPALXNYH WOZMOVNOSTEJ SU]ESTWENNOGO UMENXENIQ NO W PRODUKTAH GORENIQ. nEOBHODIMO KAK MOVNO BYSTREE (W IDEALE SRAZU VE POSLE WYGORANIQ METANA) UDALITX PRODUKTY GORENIQ IZ ZONY PLAMENI I REZKO OHLADITX. w REZULXTATE DALXNEJIE HIMI^ESKIE PREWRA]ENIQ, W TOM ^ISLE I OBRAZOWANIE NO, PREKRATQTSQ, PRI^EM BEZ POTERI \NERGETI^ESKOJ MO]NOSTI USTANOWKI. mODELIROWANIE QSNO UKAZYWAET I NA RQD DRUGIH WAVNYH SWOJSTW PROCESSA, NAPRIMER, WYHOD NO MONOTONNO UMENXAETSQ PRI UMENXENII TEMPERATURY GORENIQ, WYHOD ZAKISI AZOTA N2 O (OZONORAZRUA@]EE WE]ESTWO) ZAMETEN LIX NA PROMEVUTO^NYH STADIQH PROCESSA, W DALXNEJEM ONA PREWRA]AETSQ W BEZWREDNYJ N2 , I T. D. |TI WYWODY O^ENX POLEZNY DLQ WYRABOTKI REKOMENDACIJ PO KONSTRUIROWANI@ \KOLOGI^ESKI PRIEMLEMYH \NERGETI^ESKIH USTANOWOK. fundamentalxnye problemy estestwoznaniq
x 2. fUNDAMENTALXNYE PROBLEMY ESTESTWOZNANIQ rASSMOTRIM PRIMENENIE METODOLOGII MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ K REENI@ NEKOTORYH FUNDAMENTALXNYH PROBLEM IZ RAZLI^NYH OBLASTEJ ESTESTWOZNANIQ. pOKAVEM, ^TO ONA POZWOLQET NE TOLXKO OPREDELQTX KOLI^ESTWENNYE HARAKTERISTIKI IZU^AEMYH PROCESSOW, NO I OBNARUVIWATX KA^ESTWENNO NOWYE QWLENIQ. 1. nELINEJNYE \FFEKTY W LAZERNOJ TERMOQDERNOJ PLAZME. rEALXNAQ PERSPEKTIWA REENIQ \NERGETI^ESKIH PROBLEM BUDU]EGO SWQZANA S UPRAWLQEMYM TERMOQDERNYM SINTEZOM (uts) IZOTOPOW WODORODA, PREVDE WSEGO DEJTERIQ (D) I TRITIQ (T): D + T = 4 He + n + 176 m\w: w \TOJ \LEMENTARNOJ REAKCII D + T OBRAZU@TSQ QDRO GELIQ (-^ASTICA) I NEJTRON S SUMMARNOJ KINETI^ESKOJ \NERGIEJ 17,6 m\w, OSNOWNAQ ^ASTX KOTOROJ (14 m\w) SODERVITSQ W NEJTRONAH (1 m\w RAWEN 1602 10;13 dV). w GRAMME DT-SMESI SKRYTA OGROMNAQ \NERGIQ,
284
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
\KWIWALENTNAQ \NERGII, WYDELQ@]EJSQ PRI SVIGANII 15 T UGLQ. nESOMNENNYE PREIMU]ESTWA uts: PRAKTI^ESKI NEOGRANI^ENNYE ZAPASY W mIROWOM OKEANE GOR@^EGO, OBLADA@]EGO KOLOSSALXNOJ TEPLOTWORNOJ SPOSOBNOSTX@, A TAKVE \KOLOGI^ESKAQ ^ISTOTA. dLQ INICIIROWANIQ REAKCII D + T TREBUETSQ NAGRETX SMESX DO NESKOLXKIH DESQTKOW MILLIONOW GRADUSOW I SVATX EE DO PLOTNOSTEJ, SOPOSTAWIMYH HOTQ3 BY S PLOTNOSTX@ DT-LXDA (OHLAVDENNOJ DT-SMESI), RAWNOJ 02 G=SM . eSLI W DALXNEJEM UDASTSQ UDERVATX EE W \TOM SOSTOQNII W TE^ENIE WREMENI, DOSTATO^NOGO DLQ TOGO, ^TOBY ZAMETNAQ ^ASTX TOPLIWA WYGORELA, TO WYDELITSQ \NERGIQ, SRAWNIMAQ S \NERGIEJ, POTRA^ENNOJ NA NAGREW I SVATIE PLAZMY. rEALIZACIQ \TOJ SHEMY W LABORATORNYH, A ZATEM I W PROMYLENNYH USLOWIQH OZNA^ALA BY PRAKTI^ESKOE REENIE ODNOJ IZ STAREJIH FUNDAMENTALXNYH PROBLEM FIZIKI. o PRINCIPIALXNOJ OSU]ESTWIMOSTI TERMOQDERNOGO SINTEZA IZWESTNO S SEREDINY NYNENEGO WEKA: W 40-H GODAH BYLO USTANOWLENO, ^TO \NERGIQ IZLU^ENIQ sOLNCA WO MNOGOM OBQZANA SWOIM PROISHOVDENIEM PROTEKA@]IM W EGO NEDRAH REAKCIQM SLIQNIQ IZOTOPOW WODORODA. wPERWYE PROWEDENNYE W 50-H GODAH WZRYWY WODORODNYH BOMB | PRIMER RUKOTWORNOJ TERMOQDERNOJ REAKCII. oDNAKO OBA \TIH SPOSOBA WYDELENIQ \NERGII NEPRIGODNY DLQ CELEJ uts. nA sOLNCE PLAZMA UDERVIWAETSQ W NUVNOM SOSTOQNII ZA S^ET MO]NYH GRAWITACIONNYH SIL, A \NERGIQ, SOPROWOVDA@]AQ WZRYW DAVE MINIAT@RNOJ WODORODNOJ BOMBY, NA MNOGO PORQDKOW PREWOSHODIT PRIEMLEMU@ DLQ MIRNOGO ISPOLXZOWANIQ WELI^INU. sU]ESTWUET NESKOLXKO OSNOWNYH FIZI^ESKIH IDEJ REALIZACII uts. iSTORI^ESKI PERWAQ IZ NIH | MAGNITNOE UDERVANIE, A NAIBOLEE RAZRABOTANNAQ KONSTRUKCIQ | TOKAMAK, T. E. TOROIDALXNAQ KAMERA, W KOTOROJ WNENIE I GENERIRUEMYE TOKAMI PLAZMY MAGNITNYE POLQ NE DA@T RAZLETETXSQ I OSTYTX NAGRETOMU PLAZMENNOMU BUBLIKU. s \TIM OTNOSITELXNO STACIONARNYM SPOSOBOM POLU^ENIQ \NERGII SINTEZA KONKURIRUET INERCIALXNYJ SINTEZ. eGO IDEQ SOSTOIT W TOM, ^TOBY BYSTRO NAGRETX KAPELXKU GOR@^EGO, KOTOROE IZ-ZA INERCIONNOSTI DWIVENIQ NE USPEET RAZLETETXSQ I OHLADITXSQ, POKA W NEJ NE NARABOTAETSQ NUVNOE KOLI^ESTWO TEROMOQDERNOJ \NERGII. pERIODI^ESKI USTRAIWAEMYE MIKROWZRYWY BUDUT DAWATX POSTOQNNYE POTOKI NEJTRONOW I -^ASTIC, UTILIZIRUEMYH ZA PREDELAMI RABO^EJ KAMERY. nAIBOLEE PODHODQ]IM ISTO^NIKOM STOLX BYSTROGO NAGREWA QWLQ@TSQ LAZERY. w LAZERNOM TERMOQDERNOM SINTEZE (lts) POSLEDOWATELXNOSTX SOBYTIJ TAKOWA. iZLU^ENIE, NAPRAWLENNOE NA SFERI^ESKU@ MIENX, POGLO]AETSQ W EE NARUVNYH SLOQH, NAGREWAET I ISPARQET IH. oBRAZUETSQ RAZLETA@]AQSQ S BOLXIMI SKOROSTQMI KORONA, REAKTIWNAQ SILA KOTOROJ SVIMAET I NAGREWAET QDRO MIENI. dALEE PROISHODIT BURNOE TERMOQDERNOE GORENIE I WYDELENIE \NERGII, POSLE ^EGO MIENX RAZLETAETSQ I OSTYWAET. pERWYE PROBNYE OCENKI POKAZALI, ^TO DLQ REALIZACII lts TRE8{109 dV BU@TSQ LAZERY, SPOSOBNYE WYDELQTX IZLU^ENIE S \NERGIEJ 10 W TE^ENIE NESKOLXKIH NANOSEKUND (1 NS = 10;9 S), FOKUSIRUQ EE W KROE^NOJ OBLASTI RAZMEROM NESKOLXKO DESQTKOW MIKRON. w NASTOQ]EE
x 2]
fundamentalxnye problemy estestwoznaniq
285
WREMQ LAZEROW S TAKIMI PARAMETRAMI NE SU]ESTWUET, NE PREDWIDITSQ IH POQWLENIQ I W OBOZRIMOM BUDU]EM. zAMETNO SNIZITX \NERGETI^ESKIJ POROG lts POZWOLQET ISPOLXZOWANIE RAZLI^NYH NELINEJNYH \FFEKTOW, PRISU]IH LAZERNOJ PLAZME. oNI IZU^A@TSQ KAK \KSPERIMENTALXNO, TAK I TEORETI^ESKI S POMO]X@ WY^ISLITELXNOGO \KSPERIMENTA S MATEMATI^ESKIMI MODELQMI LAZERNYH MIKROWZRYWOW. nE HARAKTERIZUQ IH PODROBNO, POQSNIM, ^TO OSNOWOJ MATEMATI^ESKOGO OPISANIQ PROCESSOW W CENTRALXNOJ ^ASTI MIENI SLUVAT URAWNENIQ TEPLOPEREDA^I I DINAMIKI SVIMAEMOGO GAZA (x 2 I 4 GL. II). dLQ IH DISKRETNOJ APPROKSIMACII USPENO PRIMENQ@TSQ POLNOSTX@ KONSERWATIWNYE RAZNOSTNYE SHEMY I SHEMY, POLU^AEMYE IZ DISKRETNYH ANALOGOW WARIACIONNYH PRINCIPOW (PP. 4, 5 x 4 GL. V). oDIN IZ \FFEKTOW SWQZAN S TIPI^NOJ GAZODINAMI^ESKOJ NELINEJNOSTX@. pRI SVATII QDRA MIENI W SILU GRADIENTNOJ KATASTROFY (P. 7 x 4 GL. II) WOZNIKA@T UDARNYE WOLNY, KOTORYE NAGREWA@T EE CENTRALXNU@ ^ASTX UVE NA NA^ALXNOJ STADII PROCESSA I MEA@T DALXNEJEMU EE SHLOPYWANI@. w REZULXTATE DOSTIGA@TSQ PLOTNOSTI GORAZDO MENXIE, ^EM TE, KOTORYE MOVNO BYLO BY POLU^ITX PRI ADIABATI^ESKOM, BEZUDARNOM SVATII (I PRI TOJ VE \NERGII LAZERA). |TO W SWO@ O^EREDX PRIWODIT K REZKOMU UMENXENI@ WYHODA TERMOQDERNOJ \NERGII, POSKOLXKU SKOROSTX REAKCII SINTEZA PROPORCIONALXNA KWADRATU PLOTNOSTI GOR@^EGO. oDNAKO PROCESS SVATIQ MOVNO ORGANIZOWATX TAK, ^TOBY ON PROHODIL BEZUDARNYM OBRAZOM, KOGDA WSE GENERIRUEMYE SVIMA@]IM QDRO PORNEM GAZODINAMI^ESKIE WOZMU]ENIQ PRIHODQT W CENTR MIENI ODNOWREMENNO I UDARNYE WOLNY NE WOZNIKA@T WPLOTX DO MOMENTA EE SHLOPYWANIQ. oDNO IZ PROSTYH ANALITI^ESKIH REENIJ URAWNENIJ GAZOWOJ DINAMIKI, DEMONSTRIRU@]EE PRINCIPIALXNU@ OSU]ESTWIMOSTX TAKOGO PROCESSA, PRIWEDENO W P. 3 x 3 GL. V. pODROBNOE MATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE REVIMOW BEZUDARNOGO SWERHSVATIQ MIENEJ UBEDITELXNO POKAZALO, ^TO ONO DEJSTWITELXNO MOVET BYTX REALIZOWANO I DOSTIGAEMAQ W NEM PLOTNOSTX WE]ESTWA SOSTAWLQET DESQTKI I SOTNI GRAMM NA KUBI^ESKIJ SANTIMETR. pRI \TOM \NERGETI^ESKIJ POROG, NEOBHODIMYJ DLQ PROWEDENIQ KRITI^ESKOGO OPYTA (WKLAD \NERGII W MIENX I EE WYHOD RAWNY), SNIVAETSQ NA NESKOLXKO PORQDKOW I RAWEN 105{106 dV. lAZERNYJ IMPULXS, OBESPE^IWA@]IJ SWERHSVATIE, DOLVEN BYTX PROFILIROWAN, T. E. EGO ;MO]NOSTX DOLVNA IZMENQTXSQ SO WREMENEM PO ZAKONU G(t) = G0 (tf ; t) 2 (REVIM S OBOSTRENIEM SM. x 1{3 GL. V). sHOVEGO REZULXTATA MOVNO DOBITXSQ, ESLI ZAMENITX WREMENNOE PROFILIROWANIE LAZERNOGO SWETA PROSTRANSTWENNYM (GIDRODINAMI^ESKIM) PROFILIROWANIEM. |TO DOSTIGAETSQ ZAMETNYM USLOVNENIEM KONSTRUKCII MIENI (SM. RIS. 99), NO LAZERNYJ IMPULXS KAK FUNKCIQ WREMENI IMEET TRADICIONNU@ APKOOBRAZNU@ FORMU. oBE OPISANNYE KONCEPCII, DETALXNO PROWERENNYE W WY^ISLITELXNYH \KSPERIMENTAH, IME@T PRINCIPIALXNYJ HARAKTER DLQ RAZWITIQ lts, POSKOLXKU DELA@T EGO ODNIM IZ OSNOWNYH SPOSOBOW REALIZACII UPRAWLQEMOGO SINTEZA. oNI POKA NE MOGUT BYTX PROWERENY W PRQMYH NATURNYH \KSPERIMENTAH, PO\TOMU ADEKWATNOSTX MATEMATI^ESKIH MO-
286
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
DELEJ lts I NADEVNOSTX POLU^AEMYH NA IH OSNOWE WYWODOW USTANAWLIWAETSQ PUTEM T]ATELXNOGO SRAWNENIQ S SU]ESTWU@]IMI \KSPERIMENTAMI PO NAGREWU I SVATI@ LAZERNYH MIENEJ.
rIS. 99
tAK, DLQ MIENEJ SLOVNOJ KONSTRUKCII ODNOJ IZ CENTRALXNYH PROBLEM QWLQETSQ OBESPE^ENIE SIMMETRII I USTOJ^IWOSTI SVATIQ. tOL]INA OBOLO^EK, OKRUVA@]IH DT-GAZ, SOSTAWLQET NESKOLXKO PROCENTOW OT NA^ALXNOGO RAZMERA MIENI, I PROCESS SVATIQ MOVNO UPODOBITX PREWRA]ENI@ PUSTOJ QI^NOJ SKORLUPY W SGUSTOK RAZMEROM S MAKOWOE ZERNYKO. pO\TOMU SLU^A@]EESQ NESOWPADENIE REZULXTATOW ODNOMERNYH SFERI^ESKI SIMMETRI^NYH RAS^ETOW SVATIQ S \KSPERIMENTOM NEUDIWITELXNO. w KAVDOM TAKOM SLU^AE TREBUETSQ WYQSNENIE PRI^IN. nA RIS. 100 A, B PRIWEDENA RASS^ITANNAQ FORMA TIPI^NOJ \KSPERIMENTALXNOJ MIENI W MOMENT NAIBOLXEGO SVATIQ (A | OB]IJ WID, B | CENTRALXNAQ ^ASTX SGU]ENIE LINIJ OTWE^AET UWELI^ENI@ PLOTNOSTI). wIDNO, ^TO EE CENTR NESIMMETRI^EN I, SAMOE GLAWNOE, SDWINUT NA 50 MKM OTNOSITELXNO PERWONA^ALXNOGO POLOVENIQ. w REZULXTATE REALXNYJ NEJTRONNYJ WYHOD UMENXILSQ W 100 RAZ W SRAWNENII S RASS^ITANNYM PO ODNOMERNOJ MODELI. wY^ISLITELXNYE rIS. 100 \KSPERIMENTY USTANOWILI TO^NU@ PRI^INU SDWIGA | NESIMMETRI^NOSTX LAZERNOGO IZLU^ENIQ, PRIHODQ]EGO NA POWERHNOSTX MIENI, ^TO POZWOLILO WYRABOTATX SOOTWETSTWU@]IE PRAKTI^ESKIE REKOMENDACII. nE MENEE WAVNAQ PRI^INA POTERI ODNOMERNOSTI SVATIQ | GIDRODINAMI^ESKAQ NEUSTOJ^IWOSTX NA GRANICE LEGKOJ I TQVELOJ VIDKO-
x 2]
287 STEJ, ISPYTYWA@]IH USKORENIE (BLAGODARQ EJ RTUTX, NALITAQ NA POWERHNOSTX WODY, NAHODQ]EJSQ W SOSUDE, I ISPYTYWA@]AQ DEJSTWIE SIL TQVESTI, NEIZBEVNO PEREMEIWAETSQ S WODOJ, ^EGO NE PROISHODIT, ESLI, NAOBOROT, WODA NALITA NA POWERHNOSTX RTUTI). iMENNO \TOJ SITUACII OTWE^AET KONE^NAQ STADIQ SVATIQ TQVELOJ OBOLO^KOJ MENEE PLOTNOGO CENTRA: OBOLO^KA TORMOZITSQ I PO\TOMU USKORENIE, WYZWANNOE SILAMI INERCII, NAPRAWLENO W STORONU OT TQVELOGO K LEGKOMU WE]ESTWU. eSLI NEUSTOJ^IWOSTX USPEET RAZWITXSQ DOSTATO^NO SILXNO, TO ZAMETNO NARUITSQ SIMMETRI^NOSTX SVATIQ I, BOLEE TOGO, POPADANIE ^ASTI WE]ESTWA OBOLO^KI W ZONU GORENIQ SRAZU VE PREKRATIT REAKCI@. nABL@DATX \TOT TIP NEUSTOJ^IWOSTI NEPOSREDSTWENNO W \KSPERIMENTAH S MIENQMI NELXZQ. pO\TOMU ISPOLXZUETSQ UNIWERSALXNOSTX MATEMATI^ESKIH MODELEJ. sNA^ALA SRAWNIWA@TSQ REZULXTATY MODELIROWANIQ S NATURNYMI \KSPERIMENTAMI W UDARNYH TRUBAH | USTROJSTWAH, GDE NEUSTOJ^IWOSTX WYZYWAETSQ ISKUSSTWENNO UDARNOJ WOLNOJ, PROHODQ]EJ PO RAZNOPLOTNOJ SREDE (\TO DOSTIGAETSQ RAZDELENIEM RAZNYH WE]ESTW DIAFRAGMOJ). zATEM DELA@TSQ WYWODY DLQ LAZERNYH MIENEJ. nA RIS. 101 A, B POKAZANA FORMA GRANICY RAZDELA MEVDU TQVELYM (KSENON) I LEGKIM (ARGON) GAZAMI NA MOMENT t = = 100 MS (DLINA WOLNY NA^ALXNOGO WOZMU]ENIQ = 24 MM) A | DANNYE \KSPERIMENTA, B | REZULXTATY RAS^ETOW. wIDrIS. 101 NO, ^TO ^ISLENNOE MODELIROWANIE DAET NE TOLXKO TIPI^NU@ KA^ESTWENNU@ KARTINU (GRIBY), NO I WPOLNE TO^NO OPISYWAET KOLI^ESTWENNYE HARAKTERISTIKI (AMPLITUDU GRIBOW I T. D.). w SILU \TOGO WY^ISLITELXNYJ \KSPERIMENT STANOWITSQ NADEVNYM INSTRUMENTOM IZU^ENIQ GIDRODINAMI^ESKOJ NEUSTOJ^IWOSTI, W ^ASTNOSTI DLQ OPREDELENIQ DOPUSKOW W TO^NOSTI IZGOTOWLENIQ MIENEJ. aDEKWATNOSTX MODELEJ LAZERNOGO SINTEZA POZWOLQET RASSMATRIWATX WOZMOVNOSTX ISPOLXZOWANIQ E]E ODNOGO HARAKTERNOGO DLQ PLAZMY TIPA NELINEJNOSTI, BLAGODARQ KOTOROJ W SREDE OBRAZU@TSQ LOKALIZOWANNYE STRUKTURY GORENIQ (SM. x 3 GL. V). eSLI PLAZMA DOSTATO^NO PLOTNAQ (NESKOLXKO DESQTKOW GRAMMOW NA KUBI^ESKIJ SANTIMETR), TO -^ASTICY POGLO]A@TSQ W MESTE IH WYDELENIQ. pUSTX, K TOMU VE, W PERWOM PRIBLIVENII GIDRODINAMI^ESKIM DWIVENIEM IZ-ZA EGO INERCIONNOSTI MOVNO PRENEBRE^X W SRAWNENII S PROCESSAMI TEPLOPEREDA^I I GORENIQ. tOGDA RASPROSTRANENIE WYDELQ@]EJSQ \NERGII PROISHODIT fundamentalxnye problemy estestwoznaniq
W REZULXTATE TEPLOPEREDA^I I OPISYWAETSQ URAWNENIEM
@T = @ k T @T + q0T @t @x 0 @x 1 + BT b GDE k0 > 0, q0 > 0 | POSTOQNNYE PRI KO\FFICIENTE TEPLOPROWODNOSTI PLAZMY I ISTO^NIKE \NERGII OT TERMOQDERNYH REAKCIJ. dLQ WODORODNOJ PLAZMY = 25, A POSTOQNNYE = 52, b = 36 I B W ISTO^NIKE
288
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
TAKOWY, ^TO ON MOVET BYTX APPROKSIMMIROWAN STEPENNOJ FUNKCIEJ WIDA q0T 5 2 (PRI 1 < T < 3{4 K\w), q0T 3 5 (PRI T 4{5 K\w) I q0T 1 6 (T > 5 K\w). sLEDOWATELXNO, DO TEMPERATUR PRIMERNO 5 106 k NELINEJNOSTX SREDY OTWE^AET LOKALIZOWANNYM LS- I S-REVIMAM GORENIQ. nA RIS. 102 POKAZANA WREMENNAQ DINAMIKA STRUKTURY GORENIQ W PLAZME S PLOTNOSTX@ 20 G=SM3 (^ISLENNYJ RAS^ET), NA RIS. 103 | TAKOJ VE RAS^ET, NO
rIS. 102.;101 | t = 0 0 S 2 |;10t = = 3 2 10 S 3 | t = 3 8 10 S 4 | t ;=104 1 10;10 S 5 |;10t = = 4 3 10 S 6 | t =;10 4 5 10 S 7 | t = 4 7 10 S
rIS. 103. ;1 8 | t = 0 0 S 2 |;t8 = = 3 538 10 S 3 |;t8= 3 715 10 S 4 | t = ;38 728 10 S 5 | ;t8 = = 3 732 10 S 6 |;t8= 3 735 10 S 7 | t = 3 737 10 ;8S 8 | t = = 3 738 10 S
PRI NALI^II SOBSTWENNOGO IZLU^ENIQ IZ PLAZMY. iZLU^ENIE DAVE NESKOLXKO ULU^AET LOKALIZACI@ GORENIQ, KOTOROE NE RASPROSTRANQETSQ PO SREDE I PRI BOLEE WYSOKIH, ^EM 5 K\w, TEMPERATURAH. pO\TOMU PRI PRAWILXNOM INICIIROWANII TERMOQDERNOJ REAKCII WOZNIKAQ W CENTRE MIENI OBLASTX SAMOLOKALIZOWANNOGO GORENIQ MOVET POSLUVITX NADEVNYM ZAPALOM DLQ PODVIGA OSTALXNOJ MASSY GOR@^EGO. sTOIMOSTX SOWREMENNYH \KSPERIMENTALXNYH USTANOWOK DLQ uts | PROTOTIPOW BUDU]IH \LEKTROSTANCIJ | DOSTIGAET SOTEN MILLIONOW DOLLAROW, \KSPERIMENTY NA NIH SLOVNY, TRUDOEMKI I DLITELXNY. eSTESTWENNO, ^TO PRI REENII PROBLEMY uts NI ODNA FIZI^ESKAQ ILI TEHNOLOGI^ESKAQ IDEQ WSERXEZ NE RASSMATRIWAETSQ BEZ EE T]ATELXNOGO IZU^ENIQ METODAMI MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ I WY^ISLITELXNOGO \KSPERIMENTA. 2. mATEMATI^ESKAQ RESTAWRACIQ tUNGUSSKOGO FENOMENA. nAIBOLEE QRKIJ IZ IZWESTNYH PRIMEROW KRUPNOMASTABNYH STOLKNOWENIJ NEBESNOGO TELA S ATMOSFEROJ ZEMLI | tUNGUSSKIJ FENOMEN, NABL@DAWIJSQ OKOLO 7 ^ 30 I@NQ 1908 G. MNOGIMI VITELQMI OBIRNOGO RAJONA wOSTO^NOJ sIBIRI S CENTROM NEDALEKO OT POSELKA wANAWARA (R. pODKAMENNAQ tUNGUSKA ). oGROMNOE SWETQ]EESQ KOSMI^ESKOE TELO (UGLOWOJ RAZMER 05 NA RASSTOQNII 100 KM, T. E. POPERE^NYJ RAZMER OKOLO 800 M) DWIGALOSX PO QSNOMU NEBU POD NEKOTORYM UGLOM K GORIZONTU SO SKOROSTX@ BOLEE 1 KM=S. zATEM ONO SKRYLOSX ZA LESOM, POSLE ^EGO POQWILASX QRKAQ SWETOWAQ WSPYKA I MNOGOKRATNYE AKUSTI^ESKIE WOLNY, RAZBIWIE STEKLA OKON W OKRESTNOSTI BOLEE 100 KM. sWIDETELI O]U]ALI TAKVE ZAMETNYJ TEPLOWOJ IMPULXS I NABL@DALI POQWLENIE
x 2]
fundamentalxnye problemy estestwoznaniq
289
TENEJ, WYZWANNYH WSPYKOJ. gEOFIZI^ESKIE I SEJSMI^ESKIE STANCII rOSSII I WSEGO MIRA ZAREGISTRIROWALI OBOEDIE NESKOLXKO RAZ ZEMNOJ AR WOZDUNYE I SEJSMI^ESKIE WOLNY. pOSLEDU@]IE \KSPEDICII OBNARUVILI SILXNYE RAZRUENIQ W TAJGE (WYWAL LESA2) I SLEDY SWETOWOGO POWREVDENIQ DEREWXEW NA PLO]ADI OKOLO 2000 KM WOKRUG \PICENTRA SOBYTIQ. wE]ESTWENNYH SLEDOW NEBESNOGO TELA NAJDENO NE BYLO. wSE \TI DANNYE SWIDETELXSTWU@T | NAD TAJGOJ PROIZOEL MO]NYJ WOZDUNYJ WZRYW (BEZ6 OBRAZOWANIQ KRATERA NA POWERHNOSTI zEMLI) S \NERGIEJ NE MENEE 10 T TROTILOWOGO \KWIWALENTA. tAKIM OBRAZOM, SAMA PRIRODA POSTAWILA UNIKALXNYJ KRUPNOMASTABNYJ \KSPERIMENT. iZU^AQ EGO, MOVNO POLU^ITX MNOGIE WAVNYE SWEDENIQ, OTNOSQ]IESQ K ASTRONOMII, NEBESNOJ MEHANIKE, TEORII KOMET I METEOROIDOW (TAK NAZYWA@T METEORITY DO IH PADENIQ NA zEML@). zAMETIM, ^TO METEORITY (POMIMO OBRAZCOW LUNNOGO GRUNTA, DOSTAWLENNYH S POMO]X@ KOSMI^ESKIH \KSPEDICIJ) QWLQ@TSQ EDINSTWENNYMI POPADA@]IMI NA zEML@ OBRAZCAMI WE]ESTWA wSELENNOJ. gLAWNOE SWOJSTWO tUNGUSSKOGO QWLENIQ: WZRYWNOJ RASPAD TELA NAD zEMLEJ PRI OTSUTSTWII ZNA^ITELXNYH KOLI^ESTW EGO WE]ESTWA NA EE POWERHNOSTI GOWORIT O TOM, ^TO IM NE MOG BYTX PLOTNYJ KAMENNYJ ILI VELEZNYJ METEOROID. iM QWLQLSQ LIBO REDKO WSTRE^A@]IJSQ RYHLYJ KAMENNYJ METEOROID S POWYENNYM SODERVANIEM LXDA, UGLERODA I UGLEWODORODOW, LIBO FRAGMENT QDRA KOMETY | KONGLOMERAT KUSKOW LXDA, GAZA I PYLI. wSE \TI WE]ESTWA LEGKO ISPARQ@TSQ ILI SGORA@T W ATMOSFERE, NE OSTAWLQQ POSLE SEBQ SLEDOW. kOMETNAQ GIPOTEZA POLNEE OB_QSNQET NEKOTORYE SWOJSTWA QWLENIQ. i ESLI WERNA IMENNO ONA, TO tUNGUSSKIJ FENOMEN | EDINSTWENNYJ DOSTOWERNYJ PRIMER STOLKNOWENIQ KOMETY S zEMLEJ (HOTQ WEROQTNOSTX TAKOGO SOBYTIQ ZNA^ITELXNO MENXE WEROQTNOSTI STOLKNOWENIQ S RYHLYMI METEOROIDOM). oB]AQ GIPOTEZA NE DAET OTWETA NA WOPROS OB OSNOWNYH HARAKTERISTIKAH KOSMI^ESKOGO TELA | MASSE, SKOROSTI, UGLE PADENIQ, \NERGII, WYSWOBODIWEJSQ PRI WZRYWE, I T. D. eE OPROWERVENIE ILI PODTWERVDENIE MOVET BYTX POLU^ENO LIX PUTEM MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ FENOMENA I SOPOSTAWLENIQ REZULXTATOW WY^ISLITELXNYH \KSPERIMENTOW S IME@]IMISQ NABL@DENIQMI OSTAWLENNYH IM RAZRUENIJ. |TA SLOVNEJAQ OBRATNAQ ZADA^A MATEMATI^ESKOJ RESTAWRACII SOBYTIQ W OB]EM WIDE FORMULIRUETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: W MOMENT WREMENI t = 0 W ATMOSFERE NA WYSOTE z = z0 ZADANO DWIVU]EESQ SO SKOROSTX@ v0 POD UGLOM 0 TELO S LINEJNYMI RAZMERAMI L0 , PLOTNOSTX@ 0 , TEMPERATUROJ T0 , TEPLOTOJ PAROOBRAZOWANIQ i0 I HARAKTERNOJ WELI^INOJ NAPRQVENIQ NA RAZRYW 0. nA^ALXNOE SOSTOQNIE ATMOSFERY MOVNO S HOROEJ TO^NOSTX@ OPISYWATX W IZOTERMI^ESKOM PRIBLIVENII (TEMPERATURA POSTOQNNA) S PLOTNOSTX@ I DAWLENIEM , MENQ@]IMISQ S WYSOTOJ PO \KSPONENCIALXNOMU ZAKONU: = 0 exp(;z=H0), p = p0 exp(;z=H0 ), GDE H0 | NEKOTORAQ NORMIROWO^NAQ POSTOQNNAQ. w OSNOWU MATEMATI^ESKOGO OPISANIQ FENOMENA KLADUTSQ NESTACIONARNYE URAWNENIQ nAWXE|sTOKSA DLQ SVIMAEMOGO WQZKOGO TEPLOPROWODNOGO GAZA (P. 5 x 3 GL. III), RASSMATRIWAEMYE W PROSTRANSTWENNO TREHMERNOJ GEOMETRII. pOSKOLXKU QWLENIE HARAKTERIZUETSQ WYSOKIMI 19 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
290
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
TEMPERATURAMI I NALI^IEM IZLU^ENIQ, TO GIDRODINAMI^ESKIE URAWNENIQ DOPOLNQ@TSQ TAKVE TREHMERNYM URAWNENIEM PERENOSA IZLU^ENIQ (x 3 GL. II). oNI DOLVNY REATXSQ SOWMESTNO PRI RAZLI^NYH NABORAH PERE^ISLENNYH WYE PARAMETROW, WARXIRUEMYH W DOSTATO^NO IROKIH DIAPAZONAH. dLQ POLU^ENIQ REENIQ, ESTESTWENNO, NEOBHODIMO ZADATX SWOJSTWA SREDY | KO\FFICIENTY WQZKOSTI, TEPLOPROWODNOSTI, POGLO]ENIQ SWETA, URAWNENIQ SOSTOQNIQ I T. D. w ITOGE ZADA^A SODERVIT BOLEE DESQTI PARAMETROW, OPREDELQ@]IH REENIE (PRIMENENIE METODOW PODOBIQ | SM. x 1 GL. V | POZWOLQET SNIZITX IH ^ISLO I NESKOLXKO UPROSTITX ANALIZ REZULXTATOW). ~ISLENNAQ REALIZACIQ OPISANNYH MODELEJ OSU]ESTWLQLASX S POMO]X@ SOOTWETSTWU@]IH KONE^NO-RAZNOSTNYH SHEM. sHEMATI^ESKI TE^ENIE SOBYTIJ, POLU^ENNOE IZ WY^ISLITELXNOGO \KSPERIMENTA, IZOBRAVENO NA RIS. 104 (W DANNOM SLU^AE 0 = 35 , TELO PREDSTAWLQET SOBOJ POLUSFERI^ESKU@ PEREDN@@ ^ASTX RADIUSA 70 M S PRIMYKA@]IM K NEJ CILINDROM TOL]INY 140 M). {TRIHPUNKTIRNOJ LINIEJ OBOZNA^ENA TRAEKTORIQ TELA, SPLONYMI | POROVDAEMYE EGO DWIVENIEM UDARNYE WOLNY W POSLEDOWATELXNYE MOMENTY WREMENI. w MOMENTY t1 , t2 UDARNAQ WOLNA BALLISTI^ESKAQ, ANALOGI^NAQ TOJ, ^TO POQWLQETSQ WOKRUG LETQ]EGO SO SWERHrIS. 104 ZWUKOWOJ SKOROSTX@ PREDMETA, NAPRIMER ISTREBITELQ. w MOMENT t3 , SOOTWETSTWU@]IJ WYSOTE TELA z = = 7 KM, KONFIGURACIQ UDARNOJ WOLNY USLOVNQETSQ. k \TOMU WREMENI PROISHODIT SILXNOE TORMOVENIE I NAGREW TELA, W REZULXTATE KOTOROGO EGO WE]ESTWO NA^INAET WZRYWNYM OBRAZOM RASIRQTXSQ, OBRAZUQ SFEROPODOBNU@ SILXNU@ UDARNU@ WOLNU. dALXNEJAQ DINAMIKA PROCESSA, W TOM ^ISLE I HARAKTER RAZRUENIJ, OPREDELQETSQ OBEIMI WOLNAMI. oNI PRIMERNO ODNOWREMENNO (MOMENT t4 ) PRIHODQT K POWERHNOSTI zEMLI I OTRAVA@TSQ OT NEE (\TO SPRAWEDLIWO LIX DLQ PRAWOJ, LEVA]EJ POD TRAEKTORIEJ ^ASTI POWERHNOSTI). tAK KAK TRAEKTORIQ NAKLONNA, TO KARTINA NE MOVET BYTX SIMMETRI^NOJ OTNOSITELXNO CENTRA SFERI^ESKOJ UDARNOJ WOLNY, PRINIMAEMOJ ZA \PICENTR WZRYWA. dEJSTWITELXNO, RASPROSTRANQ@]AQSQ PROTIW ^ASOWOJ STRELKI WERHNQQ ^ASTX BALLISTI^ESKOJ UDARNOJ WOLNY DOLVNA PROJTI DO POWERHNOSTI zEMLI, NAHODQ]EJSQ SLEWA OT \PICENTRA, BOLXEE RASSTOQNIE, ^EM EE NIVNQQ ^ASTX. pO\TOMU ONA NE TOLXKO DOSTIGAET POWERHNOSTI POZVE, NO QWLQETSQ TAKVE BOLEE SLABOJ I PROIZWODIT MENEE ZNA^ITELXNYE RAZRUENIQ. wYWOD O NESIMMETRI^NOSTI RAZRUENIJ (NA PO^TI ROWNOJ POWERHNOSTI TAJGI W MESTE KATASTROFY) BLESTQ]E SOWPADAET S NATURNYMI IZMERENIQMI. nA RIS. 105 POKAZANY REZULXTATY OBRABOTKI HARAKTERISTIK WYWALA LESA W RAJONE PADENIQ KRUGOWYE LINII OTWE^A@T RAWNYM ZNA^ENIQM SILY RAZRUA@]IH FAKTOROW, RADIALXNYE | NAPRAWLENI@ POWALENNYH DEREWXEW. kARTINA ZAMETNO NESIMMETRI^NA, ONA
x 2]
291 IMEET FORMU BABO^KI, A NE KONCENTRI^ESKIH KRUGOW, KOTORYE POLU^ILISX BY PRI WERTIKALXNOM PADENII TELA ILI PRI TO^E^NOM WZRYWE KOSMI^ESKOGO APPARATA S MALOJ MASSOJ, NE OBRAZU@]EGO IZ-ZA \TOGO SILXNOJ BALLISTI^ESKOJ UDARNOJ WOLNY (WYSKAZYWALISX GIPOTEZY OB ISKUSSTWENNOM PROISHOVDENII tUNGUSSKOGO TELA). fundamentalxnye problemy estestwoznaniq
rIS. 105
rIS. 106
nA RIS. 106 IZOBRAVENY ANALOGI^NYE DANNYE WY^ISLITELXNOGO \KSPERIMENTA (STRELKAMI OBOZNA^ENO NAPRAWLENIE DWIVENIQ WOZDUHA PO POWERHNOSTI, TRIHOWYE LINII OTWE^A@T POLOVENI@ FRONTA UDARNOJ WOLNY, CIFRY OKOLO NIH | MOMENTY WREMENI W SEKUNDAH), SOWPADA@]IE NE TOLXKO KA^ESTWENNO, NO, PRI SOOTWETSTWU@]EM PODBORE PARAMETROW TELA, I KOLI^ESTWENNO S POSLEDSTWIQMI FENOMENA. oTNOSITELXNO NEZAWISIMYJ SPOSOB PROWERKI PRAWILXNOSTI WYBORA NA^ALXNYH HARAKTERISTIK TELA DAET MODELIROWANIE DEJSTWIQ IZLU^ENNOGO IM TEPLOWOGO IMPULXSA (STEPENI OVOGA DEREWXEW). sOPOSTAWLENIE PRIWEDENO NA RIS. 107. tO^KI OBOZNA^A@T DANNYE NATURNYH NABL@DENIJ: 1 | SLABYJ OVOG, 2 | UMERENNYJ, 3 | SILXNYJ (OBUGLIWANIE). sPLONAQ LINIQ OTWE^AET POLU^ENNOJ IZ RAS^ETOW WELI^INE IZLU^ENIQ I = 16 KAL=SM2 W TE^ENIE 2 S, NEOBHODIMOJ DLQ WOZGORANIQ DEREWXEW. oNA PRAKTI^ESKI TO^NO SOWPADAET S REALXNOJ GRANICEJ ZONY OVOGA. wOSPROIZWEDENIE NA OSNOWE MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ tUNGUSSKOGO FENOMENA PRIWODIT K SLEDU@]IM WPOLNE UBEDITELXNYM GLAWNYM WYWODAM, SOrIS. 107 WOKUPNOSTX KOTORYH NE MOVET BYTX POLU^ENA DRUGIMI METODAMI : TELO OB]EJ MASSOJ 105 T WTORGLOSX W ATMOSFERU POD UGLOM 35 SO SKOROSTX@ OKOLO 40 KM=S, RAZRUILOSX, REZKO ZATORMOZILOSX NA WYSOTE 65 KM, UDARNYE WOLNY RAZRUILI LESNOJ MASSIW, A IZLU^ENIE OT NAGRETYH DO 10{12 103 k OSTATKOW TELA PROIZWELO OVOGI I WOSPLAMENENIE DEREWXEW, MO]NOSTX WZRYWA SOSTAWLQLA PRIMERNO 15 mT. 19
292
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
3. kLIMATI^ESKIE POSLEDSTWIQ QDERNOGO KONFLIKTA. dOSTATO^NO TO^NYJ DOLGOWREMENNYJ PROGNOZ POGODY I IZMENENIJ KLIMATA (WYZWANNYH W PERWU@ O^EREDX ANTROPOGENNYMI PRI^INAMI) KRAJNE NEOBHODIMY DLQ OSMYSLENNOGO PLANIROWANIQ \KONOMI^ESKOJ, TEHNOLOGI^ESKOJ, \KOLOGI^ESKOJ I DRUGIH WIDOW AKTIWNOSTI ^ELOWE^ESTWA KAK W REGIONALXNOM, TAK I W GLOBALXNOM MASTABAH. oPTIMALXNOE RAZME]ENIE INDUSTRIALXNYH CENTROW, PRIORITETNOE ISPOLXZOWANIE TEH ILI INYH WIDOW SYRXEWYH I \NERGETI^ESKIH RESURSOW, PREDPO^TITELXNYJ WYBOR KONKURIRU@]IH TEHNOLOGIJ, PRAWILXNYE AKCENTY W AGROPROMYLENNOJ POLITIKE | WSE \TI PROBLEMY NAHODQTSQ W TESNOJ WZAIMOZAWISIMOSTI S SOSTOQNIEM ATMOSFERY, mIROWOGO OKEANA I POWERHNOSTI zEMLI. pROTEKA@]IE W NIH GEOFIZI^ESKIE PROCESSY O^ENX RAZNOOBRAZNY I SLOVNY. oNI WKL@^A@T W SEBQ GIDRODINAMI^ESKIE DWIVENIQ ATMOSFERNOGO WOZDUHA I WOD MOREJ I OKEANOW, TEPLO- I MASSOOBMEN W SISTEME OKEAN|ATMOSFERA, POGLO]ENIE, RASSEQNIE I OTRAVENIE SOLNE^NOGO IZLU^ENIQ (RAZNOGO W RAZNYE WREMENA GODA), SEZONNYE IZMENENIQ PODSTILA@]EJ POWERHNOSTI I MNOGIE DRUGIE QWLENIQ. iH SLOVNOSTX SWQZANA TAKVE S NEODNORODNOSTX@ ZEMNOJ POWERHNOSTI I WNENEJ NESTACIONARNOSTX@ | WRA]ENIEM ZEMNOGO ARA WOKRUG SOBSTWENNOJ OSI I WOKRUG sOLNCA. nEUDIWITELXNO, ^TO POGODNYE I KLIMATI^ESKIE QWLENIQ OTLI^A@TSQ SILXNOJ RAZNOMASTABNOSTX@ WO WREMENI I W PROSTRANSTWE. nAPRIMER, SKOROSTX WETRA U DANNOJ TO^KI POWERHNOSTI zEMLI MOVET WO MNOGO RAZ OTLI^ATXSQ OT SKOROSTEJ WETRA NA WYSOTAH NAD \TOJ TO^KOJ. kROME TOGO, ATMOSFERNYE I OKEANI^ESKIE POTOKI SILXNO TURBULENTNY, T. E. HARAKTERIZU@]IE IH WELI^INY ISPYTYWA@T HAOTI^ESKIE FL@KTUACII, MASTAB KOTORYH DOSTIGAET SOTEN I TYSQ^ KILOMETROW. nAKONEC, WSE UPOMQNUTYE PROCESSY SU]ESTWENNO NELINEJNY I IH OTKLIK NA IZMENENIE KAKIH-LIBO PARAMETROW TRUDNOPREDSKAZUEM. pO\TOMU PROGNOZ POGODY NE MOVET BYTX DAN S DOSTATO^NOJ GARANTIEJ. |TOMU PREPQTSTWU@T NE STOLXKO OGRANI^ENNOSTX WOZMOVNOSTEJ WY^ISLITELXNOJ TEHNIKI, S POMO]X@ KOTOROJ RASS^ITYWA@TSQ GEOMETEOPOLQ, ILI OTSUTSTWIE NUVNOGO ^ISLA DANNYH, ZAMERQEMYH STACIONARNYMI I PODWIVNYMI STANCIQMI, SKOLXKO PRINCIPIALXNYE PRI^INY, SWQZANNYE S MASTABOM I SLOVNOSTX@ OB_EKTA. tO^NYJ PROGNOZ POGODY NA NESKOLXKO DNEJ | WPOLNE HOROIJ REZULXTAT. oPISANNYE TRUDNOSTI OBQZATELXNO DOLVNY U^ITYWATXSQ PRI OCENKE WOZMOVNYH POSLEDSTWIJ ^ASTO WYDWIGAEMYH MNOGO^ISLENNYH PROEKTOW, ZATRAGIWA@]IH KLIMATI^ESKIE PROCESSY, TAKIH, KAK, NAPRIMER, PEREBROSKA ^ASTI STOKA SEWERNYH REK rOSSII W ZASULIWYE MESTNOSTI, PEREKRYTIE bERINGOWA PROLIWA, S TEM, ^TOBY KLIMAT W REGIONE K @GU OT NEGO STAL BOLEE TEPLYM, I T. D. pODOBNYE \KSPERIMENTY S SISTEMOJ, SU]ESTWU@]EJ W EDINSTWENNOM \KZEMPLQRE, OSU]ESTWIMY LIX ODIN RAZ, IH REZULXTATY NEOBRATIMY I DOLVNY BYTX IZWESTNY S NAU^NO OBOSNOWANNOJ TO^NOSTX@. pO\TOMU OSNOWNYM SREDSTWOM ANALIZA I PROGNOZA DANNYH OB_EKTOW SLUVIT WY^ISLITELXNYJ \KSPERIMENT S IH MATEMATI^ESKIMI MODELQMI.
x 2]
293 nEKOTORYE PROBLEMY MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ \TIH QWLENIJ OBLEG^A@TSQ, ESLI RE^X IDET O DOLGOSRO^NYH IZMENENIQH POGODY (MESQCY) I KLIMATA (GODY, DESQTILETIQ). zNA^ENIQ SREDNIH WELI^IN NA DOSTATO^NO DLINNOM PROMEVUTKE WREMENI W MENXEJ STEPENI ZAWISQT OT MELKOMASTABNYH PULXSACIJ I NEUSTOJ^IWOSTEJ. kLIMATI^ESKIE MODELI SISTEMY ATMOSFERA|OKEAN SOSTOQT IZ RQDA WZAIMOSWQZANNYH BLOKOW: TREHMERNYE NESTACIONARNYE URAWNENIQ DWIVENIQ SVIMAEMOJ I NESVIMAEMOJ VIDKOSTI S U^ETOM WQZKOSTI I TEPLOPROWODNOSTI (TIPA URAWNENIJ nAWXE|sTOKSA), URAWNENIQ PERENOSA IZLU^ENIQ W ATMOSFERE I T. D. oNI REA@TSQ SOWMESTNO PRI ZADANNOM NA^ALXNOM SOSTOQNII SISTEMY (W TOM ^ISLE SOSTOQNII PODSTILA@]EJ POWERHNOSTI) I IZWESTNOJ DINAMIKE SOLNE^NOJ RADIACII I DRUGIH WNENIH FAKTOROW. iH DISKRETNYE ANALOGI, PREDSTAWLQ@T SOBOJ, KAK PRAWILO, RAZNOSTNYE SHEMY. tAK KAK WY^ISLITELXNYE ALGORITMY DLQ REENIQ \TIH PROBLEM S NEOBHODIMOSTX@ DOLVNY BYTX \KONOMI^NYMI I OBLADATX HOROEJ RAZREA@]EJ SPOSOBNOSTX@ (TO^NOSTX@), TO PRI POSTROENII RAZNOSTNYH SHEM SU]ESTWENNO ISPOLXZU@TSQ, NAPRIMER, OPISANNYE W x 4 GL. V PODHODY. kLIMATI^ESKIE WY^ISLITELXNYE \KSPERIMENTY USLOWNO MOVNO PODRAZDELITX NA DWA TIPA. k PERWOMU OTNOSQTSQ TE, ^TO PRIZWANY UDOSTOWERITX ADEKWATNOSTX MODELEJ PUTEM SOPOSTAWLENIQ IH REZULXTATOW S IME@]IMISQ SEJ^AS NADEVNYMI DANNYMI NATURNYH NABL@DENIJ. |KSPERIMENTY WTOROGO RODA NAPRAWLENY NA PROGNOZ DOLGOSRO^NYH KLIMATI^ESKIH IZMENENIJ, WYZWANNYH ESTESTWENNYMI ILI ISKUSSTWENNYMI PRI^INAMI. nA RIS. 108 DANO SOPOSTAWLENIE KALIBROWO^NYH WY^ISLITELXNYH \KSPERIMENTOW PO ODNOJ IZ NAIBOLEE POLNYH MODELEJ KLIMATA S DANNYMI NABL@DENIJ. iZMERQEMAQ WELI^INA hvi | SREDNQQ ZA GOD SKOROSTX WETRA (W M/S) DLQ WSEWOZMOVNYH IROT NA WYSOTE, OTWE^A@]EJ DAWLENIQM 400 MBAR I 800 MBAR (KRIWYE 1 I 2). {TRIHOWYE LINII | REZULXTATY NABL@DENIJ. rAS^ETY PROWODILISX NA USTANOWLENIE: ZADAWALISX TIPI^NYE DLQ DANNOGO WREMENI GODA WNENIE rIS. 108 WOZDEJSTWIQ I S^ET WELSQ DO WYHODA PROCESSA NA KWAZISTACIONARNYJ REVIM, SOOTWETSTWU@]IJ WYBRANNOMU MESQCU, POSLE ^EGO WELI^INY OSREDNQLISX PO WREMENI I PO PROSTRANSTWU. sOOTWETSTWIE REZULXTATOW WY^ISLITELXNYH \KSPERIMENTOW I NABL@DENIJ OKAZALOSX WPOLNE UDOWLETWORITELXNYM DLQ STOLX SLOVNOGO OB_EKTA, OSOBENNO W ZONE \KWATORA (PASSATNYE WETRY). uSTANOWLENNAQ ADEKWATNOSTX KLIMATI^ESKOJ MODELI DAET WOZMOVNOSTX PROWODITX PROGNOSTI^ESKIE \KSPERIMENTY, NAPRIMER SWQZANNYE S PROBLEMOJ PARNIKOWOGO \FFEKTA. bOLXOE KOLI^ESTWO CO2 (OKISI UGLERODA) ANTROPOGENNOGO PROISHOVDENIQ WYBRASYWAETSQ W WOZDUH I, PREPQTSTWUQ WYHODU SOBSTWENNOGO IZLU^ENIQ zEMLI W KOSMOS, SPOSOBSTWUET UWELI^ENI@ SREDNEJ TEMPERATURY ATMOSFERY. |TO W SWO@ fundamentalxnye problemy estestwoznaniq
294
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
t A BL IC A 4
sREDNQQ TEMPERATURA ATMOSFERY, C tEMPERATURAWOZDUHA U PODSTILA@]EJ POWERHNOSTI, C tEMPERATURA PODSTILA@]EJ POWERHNOSTI, C pOTOK KOROTKOWOLNOWOJ RADIACII NA PODSTILA@]U@ POWERHNOSTX, wT=M2 oSADKI, MM=SUT
1
2
3
;13,9 19 2
;15,3 17 54
;15,8 17 0
12,5 255,3 2,04
13,6 254,3 2,15
14,3 254,8 2,17
O^EREDX MOVET PRIWESTI K INTENSIWNOMU TAQNI@ LXDOW, POWYENI@ UROWNQ mIROWOGO oKEANA I DRUGIM NEGATIWNYM GLOBALXNYM POSLEDSTWIQM. w TABL. 4 PRIWEDENY NEKOTORYE DANNYE MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ SISTEMY ATMOSFERA|OKEAN PRI RAZLI^NYH KONCENTRACIQH CO2 W WOZDUHE. pERWYJ STOLBEC OTWE^AET SOWREMENNOJ KONCENTRACII, WTOROJ I TRETIJ | SOOTWETSTWENNO UDWOENNOMU I U^ETWERENNOMU SODERVANI@ CO2 . wY^ISLITELXNYJ \KSPERIMENT DLQ \TIH DWUH GIPOTETI^ESKIH SITUACIJ PROWODILSQ DO USTANOWLENIQ NOWOGO, OTLI^NOGO OT NYNENEGO KWAZIRAWNOWESIQ W SISTEME S POSLEDU@]IM OSREDNENIEM REZULXTATOW. wIDNO, ^TO SREDNQQ TEMPERATURA KAK WOZDUHA, TAK I PODSTILA@]EJ POWERHNOSTI ZAMETNO UWELI^IWAETSQ (IZMENENIE GLOBALXNOJ TEMPERATURY NA 1{2 C S^ITAETSQ ZNA^ITELXNYM), RASTET I SREDNEE ^ISLO OSADKOW. |KSPERIMENT TAKVE HOROO DEMONSTRIRUET NELINEJNOSTX OB_EKTA. uWELI^ENIE SREDNEJ TEMPERATURY PRI PEREHODE OT UDWOENNOGO K U^ETWERENNOMU SODERVANI@ CO2 NAMNOGO MENXE, ^EM PRI UDWOENII SOWREMENNOJ KONCENTRACII. oTKLIK SISTEMY ATMOSFERA|OKEAN NA WNENEE (W DANNOM SLU^AE ANTROPOGENNOE) WOZDEJSTWIE NE PROPORCIONALEN WELI^INE \TOGO WOZDEJSTWIQ (W RASSMATRIWAEMOJ SITUACII SISTEMA SMQG^AET POSLEDSTWIQ UWELI^ENIQ INDUSTRIALXNOJ AKTIWNOSTI ^ELOWEKA). mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE POZWOLQET OCENIWATX REZULXTATY NE TOLXKO PLAWNYH, KAK W OPISANNOM WYE SCENARII, NO I REZKIH WNENIH WMEATELXSTW W SISTEMU. oDNIM IZ NIH MOVET BYTX QDERNYJ KONFLIKT MEVDU WO@@]IMI DERVAWAMI. pOLNAQ NEPRIEMLEMOSTX DLQ CIWILIZACII GLOBALXNOJ QDERNOJ WOJNY DAWNO OB]EPRIZNANA. oDNAKO W SWOE WREMQ RASSMATRIWALASX WOZMOVNOSTX OGRANI^ENNOGO OBMENA UDARAMI (ATAKA NA GORODA) S ISPOLXZOWANIEM MALOJ ^ASTI BOEZAPASA. kAKOWY BUDUT KLIMATI^ESKIE POSLEDSTWIQ OGRANI^ENNOJ QDERNOJ WOJNY? oPYT MASSIROWANNYH BOMBARDIROWOK KRUPNYH GORODOW WO WREMQ wTOROJ MIROWOJ WOJNY SWIDETELXSTWUET O NEIZBEVNOSTI WOZNIKNOWENIQ W NIH OGROMNYH POVAROW. iH INTENSIWNOSTX TAKOWA, ^TO W OGNE SGORA@T NE TOLXKO LEGKOWOSPLAMENQ@]IESQ MATERIALY (DEREWO, PLASTMASSY), NO I NEGOR@^IE W OBY^NYH USLOWIQH ASFALXT, BETON, KIRPI^. w OTLI^IE OT OTNOSITELXNO ^ISTOGO GORENIQ LESOW, MO]NYE GORODSKIE POVARY BUDUT SOPROWOVDATXSQ WYBROSOM W ATMOSFERU OGROMNOGO KO-
x 2]
fundamentalxnye problemy estestwoznaniq
295
LI^ESTWA SAVI | PO NEKOTORYM OCENKAM, PRIMERNO PO 1 T SAVI NA 1 T TROTILOWOGO \KWIWALENTA ZARQDA. |TO ZNA^IT, ^TO QDERNAQ ATAKA GORODOW S SUMMARNOJ MO]NOSTX@ 100 mT (PRIMERNO 1% OT OB]EGO BOEZAPASA QDERNYH DERVAW) PRIWEDET K NEMEDLENNOMU POPADANI@ W ATMOSFERU 108 T SAVI. tAKAQ STEPENX ZADYMLENIQ W NESKOLXKO DESQTKOW RAZ UMENXIT POTOK SOLNE^NOGO SWETA U PODSTILA@]EJ POWERHNOSTI. wY^ISLITELXNYE \KSPERIMENTY IMITIROWALI IMENNO \TOT SCENARIJ: W MODELQH MGNOWENNO IZMENQLISX SOOTWETSTWU@]IE HARAKTERISTIKI ATMOSFERY NAD NAIBOLEE WEROQTNYMI RAJONAMI WOZMOVNOGO KONFLIKTA I PROSLEVIWALASX WREMENNAQ DINAMIKA KLIMATI^ESKIH WELI^IN. gLAWNYM \FFEKTOM QWLQETSQ BYSTROE I ISKL@^ITELXNO SILXNOE OHLAVDENIE WOZDUHA NAD KONTINENTAMI: DAVE W SLU^AE ISPOLXZOWANIQ WSEGO 1% IME@]EGOSQ W NALI^II BOEZAPASA SREDNQQ TEMPERATURA U PODSTILA@]EJ POWERHNOSTI ^EREZ NEDEL@ UPADET NA 15 C. sREDNQQ TEMPERATURA BOLEE WYSOKIH SLOEW ATMOSFERY, NAOBOROT, UWELI^ITSQ PRIMERNO NA TAKU@ VE WELI^INU (POSKOLXKU W NIH POGLO]AETSQ WSQ SOLNE^NAQ RADIACIQ). oBRAZU@]AQSQ TEMPERATURNAQ INWERSIQ ^REZWY^AJNO STABILXNA (HOLODNOE | WNIZU, TEPLOE | WWERHU) I SOHRANITSQ W TE^ENIE MNOGIH MESQCEW.
rIS. 109
pODOBNOE RAZWITIE SOBYTIJ NELXZQ NAZWATX INA^E KAK GLOBALXNOJ KLIMATI^ESKOJ KATASTROFOJ. pRI \TOM SREDNIE KLIMATI^ESKIE WELI^INY NE DA@T O NEJ POLNOGO PREDSTAWLENIQ. nA RIS. 109 POKAZANY IZOLINII TEMPERATURY WOZDUHA U POWERHNOSTI zEMLI NA 30{40 DENX POSLE 100MEGATONNOGO KONFLIKTA. tEMPERATURA UPADET NIVE NORMY NA 56 C NA SEWERE eWROPY, NA 65C NA SEWERE sIBIRI, NA 43 C W
296
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI sEWERNOJ aMERIKE I NA 41C NA @GE aZII I T. D. nA WYSOTE GORNYH LED-
NIKOW TEMPERATURA STANET NAMNOGO WYE NORMALXNOJ, ^TO PRIWEDET K BURNYM PAWODKAM. oGROMNYE MASSY WODY, POPAW NA PEREOHLAVDENNYE RAWNINY, POKRO@T IH LEDQNOJ KORKOJ. oKEAN IZ-ZA SWOEJ BOLXOJ TEPLOEMKOSTI BUDET OSTYWATX GORAZDO MEDLENNEE, I KONTRAST TEMPERATUR MEVDU WODOJ I SUEJ PORODIT NEWIDANNOJ SILY URAGANY W OBIRNYH PRIBREVNYH RAJONAH. kATASTROFA DEJSTWITELXNO GLOBALXNA E]E I POTOMU, ^TO DYM, WYDELIWIJSQ W OTDELXNOM REGIONE, RASPROSTRANITSQ NA WS@ PLANETU I PRINESET QDERNU@ ZIMU W L@BU@ TO^KU, NE ISKL@^AQ I TO^KI, IZ KOTOROJ BYL NANESEN WNEZAPNYJ ODNOSTORONNIJ UDAR. rANEE S^ITALOSX, ^TO OSNOWNYMI PORAVA@]IMI FAKTORAMI QDERNOGO ORUVIQ QWLQ@TSQ PRONIKA@]AQ RADIACIQ I UDARNYE WOLNY. mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE UBEDITELXNO SWIDETELXSTWUET: POMIMO \TIH (OTNOSITELXNO LOKALXNYH) FAKTOROW QDERNYJ KONFLIKT BUDET SOPROWOVDATXSQ GLOBALXNYMI KATASTROFI^ESKIMI IZMENENIQMI KLIMATA, I PO\TOMU ON NEPRIEMLEM DAVE W OGRANI^ENNOM WARIANTE. 4. mAGNITOGIDRODINAMI^ESKOE DINAMO sOLNCA. dWADCATIDWUHLETNIE CIKLY SOLNE^NOJ AKTIWNOSTI IME@T NEMALOWAVNOE ZNA^ENIE DLQ ZEMNOJ VIZNEDEQTELXNOSTI. zAMETNOE UWELI^ENIE AMPLITUDY MAGNITNOGO POLQ, GENERIRUEMOGO sOLNCEM, SKAZYWAETSQ NA ^ISLE ZABOLEWANIJ, NA USLOWIQH SELXSKOHOZQJSTWENNOGO PROIZWODSTWA, NA NADEVNOSTI FUNKCIONIROWANIQ SREDSTW RADIO- I TELESWQZI. kA^ESTWENNOE OB_QSNENIE I KOLI^ESTWENNOE OPISANIE SOLNE^NOJ MAGNITNOJ SINUSOIDY OTNOSITSQ K ^ISLU FUNDAMENTALXNYH ESTESTWENNONAU^NYH PROBLEM, SODERVA]IH, K TOMU VE, PARADOKSALXNYE ZAGADKI. nAPRIMER, KAK SWIDETELXSTWU@T IZMERENIQ EVEGODNYH PRIROSTOW DREWESNOJ MASSY (TOL]INY KOLEC NA SREZAH DEREWXEW), NESKOLXKO WEKOW NAZAD KOLEBANIQ MAGNITNOGO POLQ sOLNCA PREKRA]ALISX BOLEE ^EM NA 50 LET. wYSKAZYWALISX RAZLI^NYE SOOBRAVENIQ O PRIRODE \TOGO QWLENIQ, W TOM ^ISLE I O WLIQNII `PITERA, PERIOD OBRA]ENIQ KOTOROGO WOKRUG sOLNCA SOSTAWLQET 11,9 LET. w SEREDINE 50-H GODOW BYLA SFORMULIROWANA PERWAQ, PRETENDU@]AQ NA NAU^NU@ DOSTOWERNOSTX KONCEPCIQ | TEORIQ SOLNE^NOGO mgd-DINAMO. pOD \TIM TERMINOM PONIMAETSQ SLOVNAQ SOWOKUPNOSTX PROCESSOW, SLUVA]IH PRI^INOJ PERIODI^ESKOJ GENERACII MAGNITNYH POLEJ SWETILA. oNI WKL@^A@T W SEBQ KONWEKTIWNYE I TURBULENTNYE GIDRODINAMI^ESKIE DWIVENIQ SOLNE^NOJ PLAZMY NA EGO POWERHNOSTI I WO WNUTRENNIH SLOQH. dWIVU]IESQ ZARQVENNYE ^ASTICY (TOKI) SOZDA@T MAGNITNOE POLE, PREOBRAZUQ W NEGO ^ASTX SWOEJ KINETI^ESKOJ \NERGII. w SWO@ O^EREDX WOZNIKEE MAGNITNOE POLE WLIQET NA DWIVENIE \LEKTRONOW I IONOW I TEM SAMYM SOZDA@TSQ PREDPOSYLKI DLQ POQWLENIQ W SISTEME PERIODI^ESKOGO PROCESSA. pROWERKA SPRAWEDLIWOSTI TEORII mgd-DINAMO MOVET BYTX OSU]ESTWLENA LIX PUTEM WY^ISLITELXNYH \KSPERIMENTOW S MATEMATI^ESKIMI MODELQMI GENERACII SOLNE^NYH MAGNITNYH POLEJ I SOPOSTAWLENIQ (TAM, GDE \TO UDAETSQ) IH REZULXTATOW S DANNYMI NABL@DENIJ. oSNOWNYE URAWNENIQ \TIH MODELEJ POLU^A@TSQ PRI SOOTWETSTWU@]IH
x 2]
fundamentalxnye problemy estestwoznaniq
297
PREDPOLOVENIQH IZ SISTEMY URAWNENIJ mAKSWELLA I IME@T WID @ B~ = rotB~ ~r ~!]] + rot B~ ; rot rot B~ @t
div B~ = 0:
~ r t) | ISKOMYJ WEKTOR MAGNITNOJ INDUKCII, ~r I t | zDESX B~ = B(~ RADIUS-WEKTOR I WREMQ, ~! = ~! (~r) | ZADANNYJ WEKTOR UGLOWOJ SKOROSTI, ZAWISQ]IJ OT PROSTRANSTWENNYH KOORDINAT (POSKOLXKU sOLNCE, NE BUDU^I TWERDYM TELOM, WRA]AETSQ OTN@DX NE KAK EDINOE CELOE), = (~r), = (~r), = (~r) | ZADAWAEMYE USREDNENNYE HARAKTERISTIKI SOOTWETSTWENNO TURBULENTNO-KONWEKTIWNOGO DWIVENIQ, TURBULENTNOJ PROWODIMOSTI I MAGNITNOJ PRONICAEMOSTI PLAZMY. zAMETIM, ^TO WHODNYE DANNYE ~!, , , TO^NO NEIZWESTNY, I PO\TOMU ADEKWATNOSTX REZULXTATOW MODELIROWANIQ DOLVNA PROWERQTXSQ OSOBENNO T]ATELXNO. rEENIE PROBLEMY NESKOLXKO OBLEG^AETSQ TEM, ^TO OSNOWNAQ 22-LETNQQ SOSTAWLQ@]AQ KRUPNOMASTABNOGO KOLEBL@]EGOSQ MAGNITNOGO POLQ sOLNCA QWLQETSQ OSESIMMETRI^NOJ (NE ZAWISIT OT AZIMUTALXNOGO, MERIDIONALXNOGO UGLA). wMESTO ISHODNOJ TREHMERNOJ ZADA^I MOVNO OGRANI^ITXSQ ANALIZOM PROCESA W DWUMERNOJ POSTANOWKE. oDNAKO I PRI TAKOM ZAMETNOM UPRO]ENII MODELX WSE RAWNO OSTAETSQ DOSTATO^NO SLOVNOJ. tREBUETSQ, WARXIRUQ WHODNYE DANNYE, ^ISLENNO REATX BOLXOE KOLI^ESTWO NESTACIONARNYH ZADA^ DLQ SISTEMY DWUH KWAZILINEJNYH PARABOLI^ESKIH URAWNENIJ W OBLASTI r < R, GDE R | RADIUS sOLNCA (WNUTRENNIE ZADA^I), I STOLXKO VE ZADA^ DLQ \LLIPTI^ESKOGO URAWNENIQ W OBLASTI r > R, GDE = 1 (WNENIE ZADA^I). pRI \TOM, RAZUMEETSQ, IH REENIQ DOLVNY UDOWLETWORQTX NEKOTORYM USLOWIQM SOPRQVENIQ PRI r = R. dOPOLNITELXNAQ SLOVNOSTX, SOPROWOVDA@]AQ REENIE WNUTRENNIH ZADA^, | NALI^IE W OBLASTI r < R DWUH ZON: LU^ISTOGO QDRA 0 < r < R0 < R (GDE WELI^INA MALA, NO PRENEBRE^X E@ NELXZQ) I KONWEKTIWNOJ ZONY R0 < r < R, NA GRANICE KOTOROJ S QDROM SILXNO IZMENQETSQ NE TOLXKO , NO I FUNKCIQ . dISKRETNYJ ANALOG RASSMATRIWAEMOJ MODELI OSNOWAN NA RAZNOSTNOJ APPROKSIMACII DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ DLQ WNUTRENNEJ ZADA^I I INTEGRALXNOGO URAWNENIQ DLQ WNENEJ ZADA^I (W OBLASTI r > R UDOBNEE ^ISLENNO REATX INTEGRALXNOE URAWNENIE, \KWIWALENTNOE ISHODNOMU \LLIPTI^ESKOMU). dLQ ^ISLENNOGO INTEGRIROWANIQ SISTEMY PARABOLI^ESKIH URAWNENIJ PRIMENQLISX NEQWNYE ABSOL@TNO USTOJ^IWYE RAZNOSTNYE SHEMY PEREMENNYH NAPRAWLENIJ, REAEMYE RAZLI^NYMI WARIANTAMI METODA PROGONKI. zNAQ ZNA^ENIQ SETO^NYH FUNKCIJ NA GRANICE r = R, OTNOSITELXNO NETRUDNO, ISPOLXZUQ USLOWIQ SOPRQVENIQ, NAJTI REENIE RAZNOSTNOGO INTEGRALXNOGO URAWNENIQ PRI r > R I TEM SAMYM POLNOSTX@ REITX ZADA^U. pRI POSTROENII DISKRETNYH APPROKSIMACIJ U^ITYWALASX WOZMOVNOSTX SU]ESTWOWANIQ REZKIH IZMENENIJ KO\FFICIENTOW URAWNENIJ PO PROSTRANSTWU (SM. P. 3 x 4 GL. V). tAKVE BYLO OBESPE^ENO SWOJSTWO SIMMETRII ^ISLENNOGO REENIQ (^ETNOSTX ILI NE^ETNOSTX) OTNOSITELXNOGO SOLNE^NOGO \KWATORA, PRISU]EE REENI@ ISHODNOJ ZADA^I PRI SIMMETRI^NYH NA^ALXNYH DANNYH.
298
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
wY^ISLITELXNYE \KSPERIMENTY POKAZALI, ^TO KA^ESTWENNYJ I WO MNOGOM KOLI^ESTWENNYJ HARAKTER PROCESSA ZAWISIT OT WELI^INY OSNOWNOGO BEZRAZMERNOGO PARAMETRA ZADA^I | ^ISLA D = R30!0 = 02 , GDE 0, !0 , 0 | NEKOTORYE HARAKTERNYE ZNA^ENIQ FUNKCIJ , !, . pRI D DKR KOLEBANIQ PROISHODQT S POSTOQNNYM PERIODOM I POSTOQNNOJ AMPLITUDOJ. pRI D > DKR (D < DKR ) KOLEBANIQ IME@T NESKOLXKO INOJ PERIOD I NARASTA@T (ZATUHA@T).
rIS. 110
|LEMENTARNAQ INTERPRETACIQ \TOGO REZULXTATA SLEDUET IZ ANALIZA STRUKTURY ^ISLA D. pUSTX, NAPRIMER, WELI^INY R, 0, 0 POSTOQNNY, A !0 IZMENQETSQ. pRI MALYH !0 (^ISLO D TAKVE MALO) \NERGII WRA]ENIQ sOLNCA NEDOSTATO^NO DLQ PODDERVANIQ PERIODI^ESKOGO PROCESSA I ON, STARTOWAW, SO WREMENEM ZATUHAET. pRI BOLXIH !0 SOLNE^NAQ DINAMOMAINA RABOTAET SLIKOM INTENSIWNO, GENERIRUQ RASTU]EE PO AMPLITUDE POLE. nAKONEC, ESLI KOMBINACIQ HARAKTERNYH PARAMETROW OTWE^AET KRITI^ESKOMU ZNA^ENI@ DKR , TO KOLEBANIQ NOSQT NABL@DAEMYJ W DEJSTWITELXNOSTI REGULQRNYJ HARAKTER. nA RIS. 110 IZOBRAVENY (W BEZRAZMERNYH EDINICAH) REZULXTATY WY^ISLITELXNYH \KSPERIMENTOW, SOOTWETSTWU@]IH OPISANNYM REVIMAM (KRIWAQ 1 OTWE^AET SLU^A@ D = = 275 104 > DKR , KRIWAQ 2 | D = 23 104 < < DKR , KRIWAQ 3 SOOTWETSTWUET ZNA^ENI@ D = = DKR = 256 104 I REGULQRNYM KOLEBANIQM S PERIODOM P = 0248). zNA^ENIQ PERIODA I AMPLITUDY KOLEBANIJ W USTANOWIWEMSQ REVIME NE ZAWISQT OT PRINIMAEMYH W RAS^ETAH NA^ALXNYH RASPREDELENIJ I S HOROEJ KOLI^ESTWENNOJ TO^NOSTX@ SOGLASU@TSQ S DANNYMI NABL@DENIJ. dANNYJ WYWOD NE SWQZAN S PODGONKOJ rIS. 111 NETO^NO IZWESTNYH FUNKCIJ ~!, , , DLQ POLU^ENIQ IZ MODELI ZARANEE IZWESTNOGO REZULXTATA. w \TOM UBEVDAET SOPOSTAWLENIE BOLEE TONKIH \FFEKTOW, SOPROWOVDA@]IH SOL-
x 3]
299 NE^NU@ AKTIWNOSTX. nA RIS. 111 PRIWEDENY WREMENNYE BATTERFLQJDIAGRAMMY | IME@]AQ WID KRYLA BABO^KI KONFIGURACIQ LINIJ RAWNOGO UROWNQ MAGNITNOGO POLQ NA POWERHNOSTI sOLNCA (RAS^ETNYE REZULXTATY ZA POLOWINU PERIODA). zONY S WYSOKOJ WELI^INOJ MAGNITNOGO POLQ (CIFRA 2 | IM OTWE^A@T SOLNE^NYE PQTNA) SO WREMENEM SME]A@TSQ IZ POLQRNYH OBLASTEJ K \KWATORU, A IH MESTO ZANIMA@T ZONY S MENXIM MAGNITNYM POLEM (CIFRA 1 ), I NAOBOROT. pROCESS PERIODI^ESKI POWTORQETSQ, HOROO SOGLASUQSX S REALXNOJ KARTINOJ. e]E ODIN IZ SPOSOBOW PODTWERVDENIQ ADEKWATNOSTI MATEMATI^ESKOJ MODELI SOLNE^NOGO DINAMO | PEREHOD K ANALIZU TREHMERNYH PROCESSOW. oNI OPISYWA@T DINAMIKU NEOSESIMMETRI^NYH KOMPONENT MAGNITNOGO POLQ sOLNCA, SOWPADA@]U@ WO MNOGIH ^ERTAH S REALXNOJ KARTINOJ. mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE POKAZYWAET, ^TO sOLNCE QWLQETSQ NELINEJNYM mgd-GENERATOROM, DOPUSKA@]IM NEOVIDANNYE REVIMY RABOTY (IMENNO S NELINEJNOSTX@ SWQZYWA@TSQ PAUZY W EGO AKTIWNOSTI). pO\TOMU IH ZNANIE WAVNO NE TOLXKO DLQ FUNDAMENTALXNOJ NAUKI, NO I DLQ PRAKTI^ESKIH CELEJ. modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
x 3. wY^ISLITELXNYJ \KSPERIMENT
S MODELQMI TRUDNOFORMALIZUEMYH OB_EKTOW
pRODEMONSTRIRUEM UNIWERSALXNOSTX MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ NA PRIMERAH ISSLEDOWANIQ TRUDNOFORMALIZUEMYH OB_EKTOW, DLQ KOTORYH NE SU]ESTWU@T ILI NEIZWESTNY TO^NO SFORMULIROWANNYE ZAKONY. pOKAVEM, ^TO EGO PRIMENENIE DAET RAZNOOBRAZNYE WOZMOVNOSTI DLQ BOLEE GLUBOKOGO PONIMANIQ IH PRINCIPIALXNYH SWOJSTW. 1. dISSIPATIWNYE BIOLOGI^ESKIE STRUKTURY. w RASSMATRIWAEMOJ W P. 1 x 3 GL. IV BIOLOGI^ESKOJ MODELI TIPA HI]NIK|VERTWA IGNORIRUETSQ WOZMOVNOSTX NEODNORODNOGO RAZME]ENIQ POPULQCII W ZANIMAEMOJ E@ ^ASTI PROSTRANSTWA. tAKIE MODELI SLUVAT LIX PERWYM PRIBLIVENIEM K REALXNOSTI. w DEJSTWITELXNOSTI USLOWIQ PROVIWANIQ POPULQCII NIKOGDA NE BYWA@T ODINAKOWYMI W RAZNYH ^ASTQH AREALA. kROME TOGO, DAVE DLQ PROSTRANSTWENNO ODNORODNOJ SREDY OBITANIQ WSEGDA SU]ESTWENNY ^ISTO BIOLOGI^ESKIE PRI^INY SKOPLENIQ ILI RAZREVENIQ PREDSTAWITELEJ POPULQCII: INSTINKTIWNYE POWEDEN^ESKIE MOTIWY SOBIRANIQ IH W STAI I STADA, SEZONNYE IZMENENIQ W PRIRODE (NAPRIMER, NASTUPLENIE PORY NERESTA ILI WZROSLENIQ PTENCOW) I T. D. pO\TOMU BOLEE PODROBNYE MATEMATI^ESKIE OPISANIQ POPULQCIJ DOLVNY U^ITYWATX PROSTRANSTWENNYE FAKTORY. oDNA IZ TIPI^NYH BIOLOGI^ESKIH MODELEJ TAKOGO RODA WYGLQDIT TAK:
dN = ( ; cM) N + D @ 2 N N @x2 dt dM = (; + N) M + D @ 2M M @x2 dt GDE t | WREMQ, x | PROSTRANSTWENNAQ KOORDINATA (DLQ PROSTOTY PROCESS S^ITAETSQ ODNOMERNYM), N(x t) I M(x t) | PLOTNOSTI VERTW
300
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
I HI]NIKOW, > 0, c > 0, > 0, > 0, DN > 0, DM > 0 | POSTOQNNYE, HARAKTERIZU@]IE WNUTRENNIE SWOJSTWA POPULQCIJ. oT URAWNENIJ lOTKI|wOLXTERRA DANNAQ MODELX OTLI^AETSQ PRISUTSTWIEM W PRAWOJ ^ASTI ^LENOW DIFFUZIONNOGO WIDA (DN , DM | KO\FFICIENTY DIFFUZII) I PREDSTAWLQET SOBOJ SISTEMU DWUH URAWNENIJ PARABOLI^ESKOGO TIPA OTNOSITELXNO WELI^IN N I M. pROISHOVDENIE \TIH DISSIPATIWNYH ^LENOW OBOSNOWYWAETSQ TEMI VE PREDPOLOVENIQMI, ^TO DELALISX W P. 1 x 1 GL. IV PRI POLU^ENII MODELI DINAMIKI SKOPLENIQ AMEB: NA SKOROSTX IZMENENIQ ^ISLENNOSTI POPULQCII WLIQET NALI^IE HAOTI^ESKOGO DWIVENIQ OSOBEJ W PROSTRANSTWE, FORMIRU@]EE IH POTOK IZ BOLEE ZASELENNYH W MENEE ZASELENNYE MESTNOSTI (ON S^ITAETSQ PROPORCIONALXNYM GRADIENTU IH PLOTNOSTI). pOWEDENIE ^ISLENNOSTI POPULQCII W PROSTRANSTWENNYH MODELQH MOVET KARDINALXNYM OBRAZOM OTLI^ATXSQ OT KARTINY, DAWAEMOJ TO^E^NYMI MODELQMI. rASSMOTRIM, NAPRIMER, TAKOJ \FFEKT, KAK FORMIROWANIE W PROSTRANSTWE WOLNY POGONI HI]NIKA ZA VERTWOJ. nA RIS. 112 POKAZANY REZULXTATY DEMONSTRACIONNOGO WY^ISLITELXNOGO \KSPERIMENTA S OPISANNOJ MODELX@ (EDINICY IZMERENIQ USLOWNYE). zADA^A RASSMATRIWALASX W NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI (ZADA^A kOI), NA^ALXNAQ PLOTNOSTX VERTW | \KSPONENCIALXNO UBYWA@]AQ S ROSTOM KOORDINATY x FUNKCIQ. s^ITALOSX, ^TO MIGRACIQ VERTW OTSUTSTWUrIS. 112 ET, T. E. DN = 0 | SLU^AJ, OTWE^A@]IJ ^ASTO WSTRE^A@]IMSQ REALXNYM SITUACIQM, KOGDA PODWIVNOSTX VERTW SU]ESTWENNO MENXE PODWIVNOSTI HI]NIKOW. nA FRONTE WOLNY POGONI FORMIRUETSQ PIK PLOTNOSTI KAK HI]NIKOW, TAK I VERTW (SM. RIS. 112, GDE IZOBRAVENY PROFILI FUNKCIJ M(x t) I N(x t) W NEKOTORYJ MOMENT WREMENI). zA FRONTOM WOLNY W SISTEME USTANAWLIWAETSQ KWAZIRAWNOWESIE I ZNA^ENIQ WELI^IN BLIZKI K POSTOQNNYM. wREMENNAQ DINAMIKA OBRAZOWANIQ PROFILQ PLOTNOSTI HI]NIKOW (RIS. 113) SWIDETELXSTWUET O BLIZOSTI PROCESSA NA RASSMATRIWAEMOM PROMEVUTKE WREMENI K AWTOMODELXNOMU (SAMOPODOBNOMU) REVIMU. kARTINA PRAKTI^ESKI BEZ IZMENENIJ WOSPROIZWODITSQ W RAZNYE MOMENTY WREMENI W RAZLI^NYH OBLASTQH PROSTRANSTWA, PRI^EM SKOROSTX PEREME]ENIQ HARAKTERNYH TO^EK PROFILQ SLABO rIS. 113 ZAWISIT OT WREMENI (AMPLITUDA MAKSIMUMA NESKOLXKO UMENXAETSQ S TE^ENIEM WREMENI, TAK KAK WOLNA DWIVETSQ PO UBYWA@]EMU FONU PLOTNOSTI VERTW). tAKOE RAZWITIE OTWE^AET AWTOMODELXNOSTI TIPA BEGU]EJ WOLNY (SM. P. 2 x 1 GL. V), W SLU^AE KOTOROJ WSE WELI^INY ZAWISQT OT KOMBINACII = x ; Dt, D > 0 (DLQ NEKOTORYH ^ASTNYH ZNA^ENIJ PARAMETROW AWTOMODELXNOE REENIE UDAETSQ POLU^ITX ANALITI^ESKI). iZU^ENIE RASPREDELENNYH BIOLOGI^ESKIH SISTEM HOROO ILL@STRIRUET TAKVE I DRUGIE SOOTNOENIQ MEVDU MODELQMI RAZNYH IERAR-
x 3]
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
301
HI^ESKIH UROWNEJ | TO^E^NYMI I PROSTRANSTWENNYMI. rASSMOTRIM ^ASTO ISPOLXZUEMU@ MODIFIKACI@ PRIWEDENNYH WYE URAWNENIJ: dN = N 2 N0 ; N ; cMN + D @ 2 N N @x2 dt N0 dM = (; + N) M + D @ 2 M M @x2 dt
GDE N0 > 0. oNA OTLI^AETSQ OT KLASSI^ESKOJ MODELI lOTKI|wOLXTERRA WIDOM ^LENOW, OPISYWA@]IH DINAMIKU VERTWY W OTSUTSTWIE HI]NIKA: 1) PRI MALYH PLOTNOSTQH POPULQCII (DLQ WIDOW, RAZMNOVA@]IHSQ POLOWYM PUTEM) SKOROSTX ROSTA ^ISLENNOSTI PROPORCIONALXNA ^ASTOTE KONTAKTOW MEVDU OSOBQMI, T. E. KWADRATU EE PLOTNOSTI (SR. S x 6 GL. I) 2) SU]ESTWUET USTOJ^IWAQ RAWNOWESNAQ PLOTNOSTX POPULQCII VERTW N = N0 , OPREDELQEMAQ UROWNEM DOSTUPNYH RESURSOW (SR. S LOGISTI^ESKOJ MODELX@ W P. 5 x 1 GL. I). tO^E^NYJ (DN = DM = 0) ANALOG DANNOJ MODELI PREDSTAWLQET SOBOJ NELINEJNU@ SISTEMU DWUH OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. oNA W SOOTWETSTWU@]EM DIAPAZONE PARAMETROW IMEET PREDELXNYJ CIKL | TAKU@ KONFIGURACI@ INTEGRALXNYH KRIWYH W FAZOWOJ PLOSKOSTI N, M, KOGDA PRI t ! 1 TRAEKTORII NAWIWA@TSQ NA OGRANI^ENNU@ ZAMKNUTU@ KRIWU@ (AWTOKOLEBANIQ, PROCESS KA^ESTWENNO PODOBEN OPISANNOMU W P. 1 x 3 GL. IV). pOLU^AEMOE IZ WY^ISLITELXNOGO \KSPERIMENTA, PROWODIMOGO W TOM VE DIAPAZONE PARAMETROW, POWEDENIE ^ISLENNOSTI POPULQCIJ SU]ESTWENNYM OBRAZOM ZAWISIT OT NA^ALXNOGO SOSTOQNIQ SISTEMY. |KSPERIMENT OTWE^AL USLOWIQM KOLXCEWOGO AREALA (OKRESTNOSTI BEREGOWYH LINIJ ZAMKNUTYH WODOEMOW, UROWNI POSTOQNNOJ WYSOTY W GORNOJ MESTNOSTI I T. P.), I PO\TOMU GRANI^NYE USLOWIQ DLQ FUNKCIJ N(x t), M(x t) BRALISX PERIODI^ESKIMI PO x. s^ITALOSX TAKVE, ^TO PODWIVNOSTX HI]NIKOW GORAZDO BOLXE PODWIVNOSTI VERTW (DN DM ).
rIS. 114
nA RIS. 114 W BEZRAZMERNYH EDINICAH POKAZAN WID NEKOTORYH NA^ALXNYH RASPREDELENIJ VERTWY (A ) I HI]NIKA (B ), PRIWODQ]IH K USTANOWLENI@ SO WREMENEM ODNORODNOGO PO PROSTRANSTWU AWTOKOLEBATELXNOGO PROCESSA, SOOTWETSTWU@]EGO USTOJ^IWOMU PREDELXNOMU CIKLU W TO^E^NOJ MODELI (W ). bIOLOGI^ESKAQ INTERPRETACIQ \TOGO REZULXTATA TAKOWA: W ODNORODNOM AREALE (LESU) NEBOLXIH RAZMEROW (ZAJCY I
302
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
WOLKI MNOGO RAZ USPEWA@T OBEVATX EGO ZA WREMQ SU]ESTWOWANIQ OSOBEJ) POPULQCII MOGUT WZAIMODEJSTWOWATX LIX W AWTOKOLEBATELXNOM REVIME S IZMENQ@]IMISQ W PROTIWOFAZE ^ISLENNOSTQMI. eSLI VE PRI PRO^IH RAWNYH USLOWIQH ZAJCY VIWUT OSEDLO, T. E. W ODNIH I TEH VE MESTAH, A WOLKI AKTIWNO MIGRIRU@T PO WSEMU LESU W POISKAH PROPITANIQ, TO, POMIMO ODNORODNYH AWTOKOLEBANIJ, WOZMOVNY PROSTRANSTWENNO NEODNORODNYE (NO STACIONARNYE PO WREMENI) RASPREDELENIQ ^ISLENNOSTI POPULQCIJ.
rIS. 115
nA RIS. 115 A{W PRODEMONSTRIROWANY NEKOTORYE IZ NA^ALXNYH PROFILEJ ^ISLENNOSTI POPULQCII VERTW, OTWE^A@]IH \TOMU NE OPISYWAEMOMU TO^E^NOJ MODELX@ REVIMU (RIS. 116). w NEM ^ISLENNOSTX WOLKOW ODINAKOWA PO WSEMU LESU, A ZAJCEW NA ODNOM KONCE LESA WSEGDA O^ENX MNOGO | PRIMERNO STOLXKO VE, SKOLXKO IH BYWAET NA PIKE ODNORODNYH AWTOKOLEBANIJ, A NA DRUGOM KONCE IH WSEGDA O^ENX MALO. nESMOTRQ NA ODINAKOWYE PO AREALU USLOWIQ PROVIWANIQ, W SISTEME POQWLQETSQ TAK NAZYWAEMAQ STACIONARNAQ DISSIPATIWNAQ STRUKTURA (sds). zAMETIM, ^TO W OTLI^IE OT rIS. 116 STRUKTUR GORENIQ (x 3 GL. V), WOZNIKNOWENIE sds OBUSLOWLENO NE REVIMAMI S OBOSTRENIEM I LOKALIZACIEJ DIFFUZIONNYH PROCESSOW, A KONKURENCIEJ ISTO^NIKOW I STOKOW \NERGII (W TERMINAH TEORII TEPLOPEREDA^I). nEODNORODNOSTI sds OTWE^A@T REALXNO NABL@DAEMOJ PQTNISTOSTI ZASELENIQ ODNORODNYH TERRITORIJ SOPERNI^A@]IMI BIOLOGI^ESKIMI WIDAMI. 2. pROCESSY W PEREHODNOJ \KONOMIKE. tRANSFORMACIQ \KONOMI^ESKOJ SISTEMY S DOMINIROWANIEM GOSUDARSTWENNOJ SOBSTWENNOSTI I PLANOWYH CENTRALIZOWANNYH NA^AL K KONKURENTNOJ RYNO^NOJ \KONOMIKE S PREOBLADANIEM ^ASTNOJ SOBSTWENNOSTI (LIBO NAOBOROT) SOPROWOVDAETSQ SLOVNEJIMI PEREHODNYMI PROCESSAMI. |TO NEUDIWITELXNO, TAK KAK, HOTQ OBA TIPA \TIH SISTEM NE SU]ESTWU@T W ^ISTOM WIDE, RAZNICA MEVDU NIMI NOSIT FUNDAMENTALXNYJ HARAKTER: REGULIROWANIE S POMO]X@ FINANSOWYH INSTRUMENTOW, REAGIRU@]IH NA IZMENENIQ \KONOMI^ESKIH POKAZATELEJ, ILI PUTEM PRIKAZOW, SLEDU@]IH IZ ANALIZA WOZNIKA@]IH DEFICITOW STREMLENIE MAKSIMIZIROWATX PRIBYLX PREDPRIQTIQ ILI WYPOLNITX PLAN PO^TI POLNOE SAMOOBESPE^ENIE TRUDOSPOSOBNYH INDIWIDUUMOW ILI GARANTIROWANNYJ, PO MERE WOZMOVNOSTI, MINIMUM GOSUDARSTWENNOGO SOCIALXNOGO OBESPE^ENIQ WSEGO NASELENIQ I T. D.
x 3]
303 mATEMATI^ESKIE MODELI RYNO^NOJ \KONOMIKI DAWNO RAZRABATYWA@TSQ I OTNOSITELXNO HOROO IZU^ENY, ^EGO NELXZQ SKAZATX O MODELQH PLANOWOJ I, TEM BOLEE, PEREHODNOJ \KONOMIKI. pOSLEDNIE NE MOGUT BYTX (DAVE W PRINCIPIALXNOM PLANE) SWEDENY K MODELQM KLASSI^ESKOGO TIPA, NAPRIMER K TEM, ^TO RASSMATRIWALISX W x 2 GL. IV, POSKOLXKU ONI DOLVNY OTRAVATX W SEBE OSNOWNYE ^ERTY OBEIH \KONOMI^ESKIH SISTEM. |FFEKTIWNYJ METODOLOGI^ESKIJ PODHOD K POSTROENI@ MODELEJ, OBLADA@]IH \TIM SINTETI^ESKIM SWOJSTWOM, SOSTOIT W TOM, ^TO SNA^ALA STROQTSQ MODELI BALANSOW MATERIALXNYH I FINANSOWYH POTOKOW, KOTORYE W OPREDELENNOM SMYSLE UNIWERSALXNY, T. E. PRIGODNY DLQ OPISANIQ \KONOMIKI L@BOGO TIPA. oNI PREDNAMERENNO NEZAMKNUTY, A SPOSOB IH ZAMYKANIQ PRQMYM OBRAZOM ZAWISIT OT POWEDENIQ \KONOMI^ESKIH AGENTOW, POLITIKI GOSUDARSTWA I T. D. pRI ZADANII RAZNYH WIDOW PROIZWODSTWENNYH OTNOENIJ (SCENARIEW) I TEM SAMYM PRI ZADANII RAZNYH SPOSOBOW ZAMYKANIQ POLU^A@TSQ MODELI DLQ RAZNYH TIPOW \KONOMIK. modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
rIS. 117
bLOK-SHEMA ODNOJ IZ NIH PRIWEDENA NA RIS. 117. w NEJ NA MAKROUROWNE OTRAVENY DOWOLXNO SLOVNYE WZAIMOOTNOENIQ \KONOMI^ESKIH PARTNEROW, REGULIRU@]IE PROIZWODSTWO, OBMEN I RASPREDELENIE PRODUKTOW I USLUG, SLOVIWIESQ W \KONOMIKE rOSSII K KONCU PERWOJ TRETI 90-H GODOW XX WEKA. wIDNO, ^TO MODELX OTWE^AET SMEANNOJ, PEREHODNOJ \KONOMIKE: POMIMO GOSUDARSTWA (OSNOWNOGO AGENTA PLANOWOJ SISTEMY), W NEJ FIGURIRU@T, NAPRIMER, KOMMER^ESKIE BANKI, RABOTA@]IE W USLOWIQH KONKURENCII S CELX@ IZWLE^ENIQ PRIBYLI.
304
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
nE OPISYWAQ POLNOSTX@ WSE PREDPOLOVENIQ O PROIZWODSTWENNYH OTNOENIQH, ZALOVENNYE W MODELX, OHARAKTERIZUEM NEKOTORYE IZ NIH: 1) WYDELQ@TSQ SEKTORY, ISPYTYWA@]IE KONKURENCI@ IMPORTA, I \KSPORTNYE OTRASLI 2) TRUDOWYE KOLLEKTIWY I ADMINISTRACIQ W SEKTORAH ZAINTERESOWANY W UWELI^ENII FONDA ZARABOTNOJ PLATY I, NESMOTRQ NA SOKRA]ENIE SPROSA NA PRODUKCI@, DOBIWA@TSQ \TOGO S POMO]X@ WZAIMNYH NEPLATEVEJ I LXGOTNYH KREDITOW cENTRALXNOGO bANKA (cb) ^ISTYE INWESTICII OTSUTSTWU@T, PROIZWODSTWENNYE MO]NOSTI UMENXA@TSQ 3) IZMENENIE USLOWIJ PROIZWODSTWA WLIQET NA ZARABOTNU@ PLATU, NO NE NA UROWENX ZANQTOSTI BANKROTSTW PREDPRIQTIJ NET, NOMINALXNAQ BEZRABOTICA NEWELIKA 4) \KSPORTIRUETSQ TOLXKO SYRXE, A IMPORTIRU@TSQ TOLXKO POTREBITELXSKIE TOWARY 5) RYNKI KONTROLIRU@TSQ PROMYLENNO-FINANSOWOJ OLIGARHIEJ, WERINU KOTOROJ ZANIMA@T \KSPORTERY 6) MAKRO\KONOMI^ESKAQ POLITIKA GOSUDARSTWA SWODITSQ K OPREDELENI@ STAWOK NALOGOW, OB_EMOW LXGOTNYH KREDITOW cb, GOSUDARSTWENNYH ZAKUPOK, WYPLAT NASELENI@ IZ GOSB@DVETA I DOTACIJ PREDPRIQTIQM I T. D. sFORMULIROWANNYJ SCENARIJ WOPLO]AETSQ W OB]U@ MODELX, W REZULXTATE ^EGO POLU^AETSQ KONKRETNAQ MODELX PEREHODNOGO PERIODA. w MATEMATI^ESKOM OTNOENII ONA PREDSTAWLQET SOBOJ GROMOZDKU@ I SLOVNU@ SISTEMU NELINEJNYH OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ (DOPOLNENNYH BOLXIM ^ISLOM ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ) OTNOSITELXNO NESKOLXKIH DESQTKOW OSNOWNYH \KONOMI^ESKIH WELI^IN (NAPRIMER, WYPUSKOW RAZLI^NYH WIDOW PRODUKCII) I SODERVAT MNOGO OPREDELQ@]IH REENIQ HARAKTERISTIK I PARAMETROW (NAPRIMER, INFLQCIONNYE OVIDANIQ NASELENIQ). |TI WHODNYE DANNYE NAHODQTSQ I UTO^NQ@TSQ, KAK I SCENARII, PO TEKU]EMU SOSTOQNI@ SISTEMY. nAPRIMER, W ODNOM IZ WARIANTOW MODELI S^ITALOSX, ^TO cb NE PROWODIT OPERACIJ NA WNUTRENNEM WAL@TNOM RYNKE, TOGDA K KONCU 1993 G. KURS DOLLARA DOLVEN BYL BY, SOGLASNO MODELI, PODNQTXSQ DO 4000 R./DOLL. oDNAKO S SEREDINY 1993 G. cb NA^AL SOOTWETSTWU@]IE DEJSTWIQ, I W REALXNOSTI KURS DOEL LIX DO OTMETKI 1300 R./DOLL. w MODELX BYLI WNESENY U^ITYWA@]IE NOWU@ POLITIKU IZMENENIQ, I DAWAEMYE E@ WREMENNYE RQDY S \TOGO MOMENTA NEPLOHO SOWPADA@T S FAKTI^ESKIMI (SM. TABL. 5). wY^ISLITELXNYE \KSPERIMENTY KAK S \TOJ, TAK I S DRUGIMI MODELQMI TRANSFORMIRU@]EJSQ \KONOMIKI, POSTROENNYMI PODOBNYM VE OBRAZOM, POZWOLILI SDELATX RQD DOWOLXNO OB]IH WAVNYH WYWODOW. w ^ASTNOSTI, BYLO USTANOWLENO, ^TO PEREHOD OT PO^TI RAZWALIWEJSQ W KONCE 80-H|NA^ALE 90-H GODOW PLANOWOJ SOWETSKOJ \KONOMIKI K \FFEKTIWNOMU RAWNOWESNOMU SOSTOQNI@ NOWOJ RYNO^NOJ \KONOMI^ESKOJ SISTEMY DAVE W LU^EM SLU^AE ZAJMET NE MENEE DESQTI LET, BUDET SOPROWOVDATXSQ WYSOKOJ STRUKTURNOJ BEZRABOTICEJ I BANKROTSTWAMI MNOGIH PREDPRIQTIJ.
x 3]
305
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
t A BL IC A 5 dATA
bIRVEWOJ KURS
rAS^ETNYJ KURS
dATA
bIRVEWOJ KURS
rAS^ETNYJ KURS
03.05 05 10 12 17 19 24 26 31 02.06 07 09 14 16 21 23 28 30
1820 1854 1859 1869 1877 1881 1895 1901 1916 1918 1940 1952 1952 1959 1971 1977 1985 1989
1779 1814 1809 1837 1827 1858 1852 1868 1881 1896 1891 1915 1927 1927 1947 1957 1969 1983
05.07 07 12 14 19 26 28 02.08 04 09 11 16 18 23 25 30 01.09
1998 2011 2020 2022 2028 2052 2052 2060 2081 2087 2108 2117 2141 2161 2156 2153 2204
1984 2009 2018 2029 2038 2065 2076 2087 2104 2104 2128 2137 2148 2157 2171 2183 2193
dRUGOJ, NE MENEE ZNA^IMYJ REZULXTAT \KSPERIMENTIROWANIQ S MODELQMI ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO USTANOWLENO POPADANIE POSLEREFORMENNOJ ROSSIJSKOJ \KONOMIKI W OSOBYJ TIP KWAZIRAWNOWESNOGO SOSTOQNIQ, OTLI^NOGO OT IZU^AEMYH W KLASSI^ESKIH POLIT\KONOMI^ESKIH MODELQH. oNO WESXMA NE\FFEKTIWNO: W \TOM SOSTOQNII \KONOMI^ESKIM AGENTAM NET SMYSLA (WYGODY) NI SBEREGATX RESURSY, NI INWESTIROWATX IH W PROIZWODSTWENNYJ SEKTOR \KONOMIKI, NO ZATO KRAJNE WYGODNO SOHRANQTX WZAIMNYE NEPLATEVI I DRUGIE ZADERVKI W OBRA]ENII FINANSOW. lXGOTNYE KREDITY cb PRI PRAWILXNO WZWEENNOJ I TO^NO ADRESOWANNOJ DOZIROWKE NESKOLXKO ULU^A@T \FFEKTIWNOSTX DANNOGO RAWNOWESIQ, NO NE MOGUT KARDINALXNO IZMENITX OB]U@ KARTINU (DLQ ^ASTNYH WARIANTOW MODELI SU]ESTWOWANIE TAKOGO RAWNOWESIQ USTANAWLIWAETSQ, KAK I W x 2 GL. IV, OTNOSITELXNO PROSTYMI ANALITI^ESKIMI METODAMI I OPISYWAETSQ NESLOVNYMI USTANOWIWIMISQ REENIQMI). oBA OPISANNYH WYWODA WPOLNE SOGLASU@TSQ S NABL@DAEMOJ W POSLEDNIE GODY MAKRO\KONOMI^ESKOJ SITUACIEJ W rOSSII. s POMO]X@ MODELI PROWODQTSQ TAKVE I BOLEE DETALXNYE ISSLEDOWANIQ RAZLI^NYH KONKRETNYH WOPROSOW TEKU]EJ \KONOMI^ESKOJ POLITIKI. k NEJ PRED_QWLQETSQ ESTESTWENNOE TREBOWANIE BEZOPASNOSTI, TRAKTUEMOE W MODELI KAK NEDOPUSTIMOSTX REZKOGO RAZRUENIQ PUSTX NE SLIKOM \FFEKTIWNYH, NO SLOVIWIHSQ I REALXNO SU]ESTWU@]IH \KONOMI^ESKIH OTNOENIJ I STRUKTUR. |TO OTN@DX NE NADUMANNAQ PROBLEMA, POSKOLXKU RE^X IDET NE O ^XEM-TO SOZNATELXNOM STREMLENII K RAZRUENI@, A O NEPROFESSIONALXNOM ISPOLXZOWANII \KONOMI^ESKIH INSTRUMENTOW W O^ENX SLOVNOJ I NEUSTOJ^IWOJ SITUACII. tIPI^NAQ ZADA^A | OPREDELENIE RAZMERA LXGOTNYH KREDITOW, DAWAEMYH GOSUDARSTWOM PROIZWODITELQM FAKTI^ESKI POD OTRICATELXNYJ 20 a. a. sAMARSKIJ, a. p. mIHAJLOW
306
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
PROCENT. mODELX POKAZALA | KRAJNOSTI WESXMA OPASNY. oTSUTSTWIE LXGOTNYH KREDITOW PRIWODIT NE TOLXKO K REZKOMU (W TE^ENIE NEDELX I MESQCEW) PODAWLENI@ INFLQCII (I DAVE K DEFLQCII), NO TAKVE I K RAZRUENI@ PROIZWODSTWENNYH STRUKTUR, W BOLXINSTWE SWOEM UVE PRISPOSOBIWIHSQ K INFLQCII. iH DOHODY SOKRA]A@TSQ NASTOLXKO, ^TO NEIZBEVNO MASSOWOE BEGSTWO RABOTNIKOW PREDPRIQTIJ I USILENIE SPADA PROIZWODSTWA. w PROTIWOPOLOVNOM SLU^AE O^ENX BOLXIH LXGOTNYH KREDITOW I POROVDAEMOJ IMI GIPERINFLQCII RAZWALIWAETSQ SISTEMA KOMMER^ESKIH BANKOW. oNI PLANIRU@T SWO@ PRIBYLX, ISHODQ IZ TEMPOW INFLQCII. pOKA EE ROST NE SLIKOM WELIK, IH DEJSTWIQ, OSNOWANNYE DAVE NA GRUBYH PROGNOZAH, OBESPE^IWA@T USTOJ^IWU@ PRIBYLX. pRI GIPERINFLQCII NEIZBEVNAQ NETO^NOSTX PROGNOZOW PRIWODIT K SISTEMATI^ESKIM UBYTKAM BANKOW I FAKTI^ESKOMU IS^EZNOWENI@ (W OTNOSITELXNOM SMYSLE) IH SOBSTWENNOGO KAPITALA. uPOMQNEM TAKVE I O DWUH DRUGIH KONKRETNYH AKTUALXNYH SOBYTIQH, ZNA^IMYH DLQ ROSSIJSKOJ \KONOMIKI I ANALIZIROWAWIHSQ S POMO]X@ WY^ISLITELXNYH \KSPERIMENTOW S MODELX@. pERWOE IZ NIH | ^ERNYJ WTORNIK 11 OKTQBRQ 1994 G. | KATASTROFI^ESKOE PADENIE KURSA RUBLQ PO OTNOENI@ K DOLLARU, KOTORYJ ^EREZ NESKOLXKO DNEJ WOZWRATILSQ PRIMERNO NA PREVNIJ UROWENX. dOSTATO^NAQ ADEKWATNOSTX MODELI POZWOLILA NE TOLXKO (POSTFAKTUM) OPISATX DINAMIKU OSNOWNYH \KONOMI^ESKIH MAKROPOKAZATELEJ POSLE WTORNIKA, NO I OBOSNOWANNO OPREDELITX \KONOMI^ESKIH AGENTOW, KOTORYE, PUSTX NEWOLXNO, WYIGRALI (BAZOWYE OTRASLI, DOHODY GOSB@DVETA) I PROIGRALI (OSNOWNAQ ^ASTX NASELENIQ, IMPORTERY) W REZULXTATE \TOGO SOBYTIQ. wTOROE | ARMEJSKAQ OPERACIQ W ~E^NE, NA^ATAQ W KONCE 1994 G. I POTREBOWAWAQ ZNA^ITELXNYH DOPOLNITELXNYH GOSUDARSTWENNYH RASHODOW NA EE PROWEDENIE I NA MEROPRIQTIQ PO WOSSTANOWLENI@ \KONOMIKI I SOCIALXNOJ SFERY RESPUBLIKI (PO RAZNYM OCENKAM OT NESKOLXKIH TRILLIONOW DO DESQTKOW TRILLIONOW RUBLEJ). oSNOWNOJ WYWOD IZ REZULXTATOW MODELIROWANIQ: HOTQ ^E^ENSKIJ KRIZIS I NE MOVET WYZWATX GIPERINFLQCI@, NO, DAVE PRI VESTKOJ ANTIINFLQCIONNOJ POLITIKE GOSUDARSTWA, ON WNOSIT ZAMETNYJ WKLAD W INFLQCI@ I SPOSOBSTWUET SNIVENI@ REALXNYH DOHODOW BOLXINSTWA NASELENIQ. 3. tOTALITARNYE I ANARHI^ESKIE \WOL@CII RASPREDELENIQ WLASTI W IERARHIQH. rEZULXTATY ANALIZA MATEMATI^ESKOJ MODELI SISTEMY WLASTX|OB]ESTWO, POLU^ENNYE W x 4 GL. IV, KASALISX W OSNOWNOM STACIONARNYH RASPREDELENIJ WLASTI MEVDU ZWENXQMI IERARHII W USLOWIQH PRAWOWOGO OB]ESTWA. nESMOTRQ NA FENOMEN WYHODA IERARHII ZA RAMKI PREDPISYWAEMYH EJ POLNOMO^IJ, REALIZU@]IJSQ PRI RASSOGLASOWANII HARAKTERISTIK SISTEMY, W PRAWOWOM SLU^AE WSEGDA IMEET MESTO DINAMI^ESKAQ USTOJ^IWOSTX. pOD \TIM PODRAZUMEWAETSQ SLEDU@]EE: L@BOE NESTACIONARNOE RASPREDELENIE WLASTI RANO ILI POZDNO WOZWRA]AETSQ K STACIONARU I TEM SAMYM PRIHODIT W PRAWOWOE POLE (S^ITAETSQ, ^TO SAM STACIONAR PRINADLEVIT PRAWOWOJ OBLASTI). wY^ISLITELXNYJ \KSPERIMENT NAGLQDNO DEMONSTRIRUET \TO SWOJSTWO PRAWOWOJ SISTEMY (W NEKOTOROM SMYSLE ONO ZALOVENO W EE OPREDELENII). nA RIS. 118 POKAZAN PRIMER PODOBNOGO WOZWRATA WLASTI
x 3]
307 W PRAWOWOE POLE DLQ SLU^AQ BAZOWOJ MODELI (P. 4 x 4 GL. IV) S PARAMETRAMI {0 = 5 10;3, b = 09, = 075, k1 = H = l = 1, t0 = 0. nA^ALXNYE DANNYE p0(x) WZQTY W WIDE STUPENXKI: PRI 0 6 6 x 6 03 IMEEM p0(x) = 2 > p2, PRI x > 03 IH ZNA^ENIQ OTWE^A@T STACIONARNOMU REENI@. fUNKCIQ p(x t) DLQ MOMENTOW t1, t2 , t3 , t4 IZOBRAVENA SPLONYMI LINIQMI SOOTWETSTWENNO 1, 2, 3, 4. |TOT SCENARIJ OTWE^AET TOMU, ^TO IERARHIQ (W DANNOM SLU^AE EE WYSIE ZWENXQ) PO KAKIM-TO PRI^INAM ZAMETNO PREWYSILA SWOI MAKSIMALXNYE POLNOMO^IQ. oDNAKO REAKCIQ modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
OB]ESTWA OBESPE^ILA WOZWRAT REENIQ W PRAWOWYE RAMKI I USTANOWLENIE ^EREZ KAKOE-TO WREMQ STACIONARNOGO RASPREDELENIQ WLASTI (NAPOMNIM, ^TO rIS. 118. t1 = 0 05, t2 = 0 15, t3 = 0 35, t4 = RADI PROSTOTY ZDESX S^ITAETSQ, = 0 75 ^TO REAKCIQ IERARHII RAWNA NUL@, T. E. ^INOWNIKAM BEZRAZLI^EN UROWENX REALIZUEMOJ IMI WLASTI I ONI POSLUNO SLEDU@T ZA REAKCIEJ OB]ESTWA). dLQ WREMENI USTANOWLENIQ S HOROEJ TO^NOSTX@ SPRAWEDLIWO tUST 1=k1, T. E. PRI OSTALXNYH POSTOQNNYH PARAMETRAH SISTEMY RASPREDELENIE WLASTI TEM BYSTREE PRIHODIT W PRAWOWU@ OBLASTX, ^EM BOLXE INTENSIWNOSTX REAKCII OB]ESTWA k1. eSLI PARTNERY W SISTEME WLASTX|OB]ESTWO HOTQT KAK MOVNO BYSTREE PREODOLETX NA^ALXNU@ SITUACI@, TO IM SLEDUET POZABOTITXSQ (PRI PRO^IH RAWNYH USLOWIQH) OB USILENII REAKCII OB]ESTWA (WYBORY, OPROSY, INFORMIROWANIE I T. P.). dANNOE ZAKL@^ENIE WPOLNE SOOTWETSTWUET STANDARTNYM POLITOLOGI^ESKIM RECEPTAM. iZ WY^ISLITELXNYH \KSPERIMENTOW (W SO^ETANII S TEORETI^ESKIM ANALIZOM), PROWODIMYH DLQ OB]EJ MODELI PRAWOWOJ SISTEMY, SLEDUET EE USTOJ^IWOSTX. dRUGIMI SLOWAMI, W PRAWOWOM SLU^AE IERARHI^ESKAQ STRUKTURA I GRAVDANSKOE OB]ESTWO NAHODQTSQ W SOSTOQNII USTOJ^IWOGO DINAMI^ESKOGO RAWNOWESIQ. sOWERENNO INA^E MOVET OBSTOQTX DELO PRI NEKOTORYH, WNENE, BYTX MOVET, NEZNA^ITELXNYH DEFORMACIQH OB]ESTWENNOGO SOZNANIQ PO OTNOENI@ K PRAWOWOMU. w \TIH SLU^AQH NELXZQ DAVE PRIBLIZITELXNO GOWORITX O SU]ESTWOWANII KAKOGO-LIBO DINAMI^ESKOGO RAWNOWESIQ SISTEMY WLASTX|OB]ESTWO. nIVE RASSMOTREN RQD ILL@STRIRU@]IH \TO POLOVENIE SCENARIEW \WOL@CII RASPREDELENIQ WLASTI, POLU^ENNYH S POMO]X@ WY^ISLITELXNOGO \KSPERIMENTA. 20
308
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
I. tOTALITARNAQ LOWUKA. pO OTNOENI@ K PRAWOWOJ SISTEME OB]ESTWENNOE SOZNANIE (REAKCIQ OB]ESTWA F(p x)) DEFORMIROWANO TAK, KAK IZOBRAVENO NA RIS. 119 (GRAFIK F(p) SOSTOIT IZ OTREZKA LINII 1 OT p = 0 DO p = = p2 I LINII 2 ). |TO OZNA^AET, ^TO PRI p < p2 REAKCIQ OB]ESTWA PRAWOWAQ , PRI p2 < p < pKR = 25 p0 SLABOPRAWOWAQ, T. E. SOPROTIWLENIE PREWYENI@ WLASTI SU]ESTWUET, NO UMENXAETSQ S ROSTOM p. nAKONEC, PRI p > rIS. 119 > pKR OB]ESTWO TREBUET REALIZACII WSE BOLXEJ WLASTI I \TI TREBOWANIQ TEM SILXNEE, ^EM BOLXE WELI^INA p. nA RIS. 120 PRIWEDENY REZULXTATY RAS^ETA PO BAZOWOJ MODELI (NO S F (p) IZ RIS. 119) PRI {0 = 75 10;2 (OSTALXNYE PARAMETRY TE VE, ^TO I NA RIS. 118). nA^ALXNYJ UROWENX WLASTI W L@BOM ZWENE IERARHII RAWEN NUL@ (p0 (x) = 0, 0 6 x 6 1). oPIEM STADII RAZWITIQ SCENARIQ: A) POSKOLXKU PRI t0 = 0 p0(x) 0, TO W NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI REAKCIQ OB]ESTWA OBESPE^IWAET ROST WELI^INY WLASTI I EE WOZWRAT W OBLASTX p1 < p < < p2 (KRIWYE 1, 2 ), PRI^EM BOLXAQ ^ASTX ZWENXEW IERARHII NAHODITrIS. 120. t1 = 0 155, t2 = 0 635, t3 = 1 915, t4 = 6 395, SQ W0 OBLASTI p1 < p < < p (KRIWAQ 3 ) I POt5 = 15 995, t6 = 17 915, t7 = 19 195, t8 = 19 835 PREVNEMU POLU^AET OT OB]ESTWA PORCII WLASTI. rEENIE RASTET WS@DU, TAK KAK INTENSIWNO RABOTA@]IJ MEHANIZM PEREDA^I WLASTI OT STARIH K MLADIM ZWENXQM OBESPE^IWAET EGO UWELI^ENIE W OKRESTNOSTI TO^KI x = 1, GDE REAKCIQ OB]ESTWA UVE OTRICATELXNA (DLQ ^ASTI KRIWOJ 3, RASPOLOVENNOJ W OBLASTI p0 < p < pKR ) B) SITUACIQ, IZOBRAVENNAQ KRIWOJ 4, KL@^EWAQ DLQ PONIMANIQ DANNOGO SCENARIQ. bLAGODARQ POLOGOSTI PROFILQ WLASTI (PARAMETR {0 DOSTATO^NO WELIK) NEBOLXOE KOLI^ESTWO NIZIH INSTANCIJ POPADAET W OBLASTX, GDE p > pKR I GDE ONI NA^INA@T POLU^ATX PODPITKU WLASTX@ W OSNOWNOM OT OB]ESTWA (F (p) > 0 PRI p > pKR ), A NE OT STARIH SOSEDEJ
x 3]
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
309
W) PODOBNAQ PODPITKA PRIWODIT (K NE O^ENX BOLXOMU) POWYENI@ WLASTI NIZIH INSTANCIJ PO OTNOENI@ K UROWN@ WLASTI BLIVAJIH STARIH ZWENXEW (KOTORYE POKA E]E NAHODQTSQ W OBLASTI F(p) < 0, p0 < p < pKR ). pO POSTUTATU (P. 2 x 4 GL. IV) STARIE PARIRU@T \TO POWYENIE, OTBIRAQ ^ASTX WLASTI U MLADIH I WYHODQ ZA S^ET \TOGO ISTO^NIKA W OBLASTX p > pKR , F (p) > 0 (KRIWYE 5, 6 ) G) WOLNA PREWYENIQ WLASTI I WYHODA W OBLASTX p > pKR RASPROSTRANQETSQ PO IERARHII SPRAWA NALEWO (SNIZU WWERH), I FUNKCIQ p(x t) NEOBRATIMO RASTET DO SKOLX UGODNO BOLXIH ZNA^ENIJ (KRIWYE 7, 8 I T. D.) PRI WSEH 0 6 x 6 1 (IMENNO TAKOW SMYSL UPOTREBLQEMOGO W DANNOM PUNKTE SLOWA TOTALITARNYJ). oPISANNYJ SCENARIJ WESXMA NETRIWIALEN (DAVE S ^ISTO MATEMATI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ). dEJSTWITELXNO, IERARHIQ, POLNOSTX@ NAHODIWAQSQ W OBLASTI MALYH (NULEWYH) ZNA^ENIJ p(x t), S TE^ENIEM WREMENI POLNOSTX@ PERELA W OBLASTX NEOGRANI^ENNYH ZNA^ENIJ p(x t), PREODOLEW SWOEOBRAZNU@ POLOSU SOPROTIWLENIQ, WYSTAWLENNU@ ZAKONODATELXSTWOM I REAKCIEJ GRAVDANSKOGO OB]ESTWA (OBLASTX p0 < p < < pKR ). sRABOTALI DWA FAKTORA | DEFORMACIQ OB]ESTWENNOGO SOZNANIQ I ^ERES^UR INTENSIWNYE MEHANIZMY PERERASPREDELENIQ WLASTI W IERARHII. iMENNO POSLEDNIE WYTQNULI WS@ IERARHI@ ZWENO ZA ZWENOM W OBLASTX p > pKR , KUDA PERWONA^ALXNO POPALA LIX NEZNA^ITELXNAQ ^ASTX NIZIH INSTANCIJ (LOWUKA). pRI UMENXENII WELI^INY {0 SITUACIQ NORMALIZUETSQ | REENIE WYHODIT NA STACIONAR. II. aNARHI^ESKAQ LOWUKA. w PREDYDU]EM SCENARII (KAK I W MODELI WOOB]E) NE ZALOVENO NIKAKIH SOZNATELXNYH POPOLZNOWENIJ IERARHI^ESKOJ STRUKTURY NA DIKTATURU. pRI OBRATNOJ DEFORMACII OB]ESTWENNOGO SOZNANIQ REALIZUETSQ OBRATNYJ SCENARIJ. fUNKCIQ F (p) IZOBRAVENA NA RIS0 . 119 ^ASTX@ LINII 1 PRI p > p1 I LINIEJ 3. pRI p > p1 = 085 p REAKCIQ KAK I W PRAWOWOM SLU^AE, PRI pKR = 07 p0 < p < p1 REAKCIQ SLABOPRAWOWAQ, T. E. POLOVITELXNA, NO UMENXAETSQ S UMENXENIEM p. nAKONEC, PRI p < pKR REAKCIQ OB]ESTWA NAPRAWLENA NA UMENXENIE WLASTI I TEM BOLXE, ^EM BOLXE \TO UMENXENIE. rEZULXTATY RAS^ETA PRIWEDENY NA RIS. 121. pARAMETRY MODELI TE VE, ^TO I W SLU^AE RIS. 120 (ZA ISKL@^ENIEM, ESTESTWEN- rIS. 121. t1 = 0 075, t2 = 0 315, t3 = 1 275, t4 = 3 195, t5 = 8 315, t6 = 10 875, t7 = 11 515 NO, WIDA F (p)). nA^ALXNYE DANNYE: p0(x) = 2, 0 6 x 6 1, T. E. W MOMENT t0 = 0 RASPREDELENIE WLASTI POLNOSTX@ NAHODITSQ W OBLASTI p > p0 (GDE F(p) < 0).
310
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
|WOL@CIQ RASPREDELENIQ WLASTI IDET PO OBRATNOMU PO SRAWNENI@ SO SLU^AEM I SCENARI@: REENIE PRI DOSTATO^NO BOLXIH0t OBRA]AETSQ W NULX DLQ WSEH 0 6 x 6 1, PROHODQ POLOSU pKR < p < p , GDE F (p) > > 0. wNA^ALE UROWENX WLASTI UMENXAETSQ, I BOLXAQ ^ASTX PROFILQ WLASTI POPADAET W PRAWOWU@ OBLASTX p1 < p < p2 . zATEM ^ASTX STARIH INSTANCIJ NEZNA^ITELXNO PROWALIWAETSQ W OBLASTX p < pKR (LINIQ 5 ), ODNAKO \TOGO DOSTATO^NO DLQ TOGO, ^TOBY SO WREMENEM W \TU OBLASTX PERELI WSE ZWENXQ IERARHII I PROIZOLO NEOBRATIMOE UMENXENIE REENIQ p(x t) DO NULQ PRI WSEH 0 6 x 6 1 KAK I W SLU^AE I, MEHANIZMY PERERASPREDELENIQ WLASTI SLIKOM SILXNY, IH UMENXENIE PRIWODIT K NORMALXNOJ \WOL@CII K STACIONARNOMU REENI@. III. uSTALOSTX OB]ESTWA I DREML@]AQ LOWUKA. pRI ZADANNYH W PP. I, II PARAMETRAH SISTEMY WLASTX|OB]ESTWO \WOL@CIQ RASPREDELENIQ WLASTI PREDOPREDELENA W TOM SMYSLE, ^TO DLQ L@BYH NA^ALXNYH DANNYH p0 (x) REALIZU@TSQ OPISANNYE WYE SCENARII (ZA ISKL@^ENIEM KOLI^ESTWENNYH RAZLI^IJ KA^ESTWENNOE POWEDENIE FUNKCII p(x t) TO VE SAMOE). bOLEE SLOVNAQ I RAZNOOBRAZNAQ \WOL@CIQ MOVET REALIZOWYWATXSQ W SLU^AQH, KOGDA HARAKTERISTIKI SISTEMY IZMENQ@TSQ SO WREMENEM. nA RIS. 122 PRIWErIS. 122. t1 = 0 155, t2 = 0 63, t3 = 2 555, t4 = 7 035, DENY REZULXTATY RAS^Et5 = 21 115, t6 = 55 675, t7 = 99 835 TA MODELI S ;FUNKCIEJ F (p) TAKOJ VE, KAK I DLQ RAS^ETA NA RIS. 120, NO S {0 = 10 2 (W \TOM SLU^AE STACIONARNOE REENIE DLQ PRAWOWOJ SISTEMY SLEGKA WYHODIT W OBLASTX p > p2 , NO TAK, ^TO MEVDU NIM I OBLASTX@ p > pKR OSTAETSQ ZAMETNYJ ZAZOR). wTOROE OTLI^IE W TOM, ^TO W MOMENT t = tKR = = 8 KAK POLOVITELXNAQ, TAK I OTRICATELXNAQ ^ASTI REAKCII OB]ESTWA PO AMPLITUDE SKA^KOM UMENXA@TSQ W 10 RAZ, HOTQ KA^ESTWENNO, KAK FUNKCII p, ONI IME@T PREVNIJ WID (LINIQ 1 PRI p < p2 I LINIQ 2 NA RIS. 119). tAKOE IZMENENIE F (p) SO WREMENEM MOVET BYTX INTERPRETIROWANO KAK USTALOSTX OB]ESTWA. |WOL@CIQ FUNKCII p(x t) SLEDU@]AQ: A) REENIE RASTET I WHODIT W OBLASTX p1 < p < p2 , KAK I NA RIS. 120 (KRIWYE 1, 2 ) B) REENIE NA NEKOTOROE WREMQ STANOWITSQ BLIZKIM K STACIONARNOMU (KRIWYE 3, 4 ), KOTOROE, W OTLI^IE OT SCENARIQ I, PRI DANNOM ZNA^ENII {0 SU]ESTWUET W) UMENXENIE REAKCII OB]ESTWA W MOMENT t = tKR PRIWODIT K PROSTRANSTWENNOMU RAZGLAVIWANI@ RASPREDELENIQ WLASTI I POPADANI@
x 3]
modeli trudnoformalizuemyh ob ektow
311
^ASTI NIZIH INSTANCIJ W OBLASTX p > pKR | KRIWAQ 5 (REENIE OSTAWALOSX BY STACIONARNYM PRI PREVNEJ F (p)) G) LOWUKA, SWQZANNAQ S WIDOM F (p x t), PROSYPAETSQ, I DALEE REENIE NEOGRANI^ENNO RASTET PRI WSEH 0 6 x 6 1 (KRIWYE 6 I T. D.). IV. aKTIWIZACIQ OB]ESTWA I WOZROVDA@]IJSQ STACIONAR. w OTLI^IE OT PREDYDU]EGO RAS^ETA, W MOMENTY WREMENI 6 < t < 10 AMPLITUDA REAKCII WOZRASTAET W 10 RAZ (PRI^EM WELI^INA pKR TAKVE UWELI^IWAETSQ). tAKOE POWEDENIE F(p) MOVET BYTX INTERPRETIROWANO KAK AKTIWIZACIQ OB]ESTWA.
rIS. 123. t1 = 0 15, t2 = 0 75, t3 = 2 35, t4 = 5 55, t5 = 7 15, t6 = 7 55, t7 = 19 90
rEENIE (RIS. 123) WNA^ALE WEDET SEBQ KAK I W SLU^AE RIS. 122, POPADAQ W OBLASTX p > pKR (KRIWYE 3, 4 ). pRI WZQTOM ZNA^ENII {0 = 10;1 I NE MENQ@]EJSQ SO WREMENEM FUNKCII F(p) FUNKCIQ p(x t) NEOGRANI^ENNO ROSLA BY (KAK I NA RIS. 122). oDNAKO UWELI^ENIE AMPLITUDY F (p) PRI t > 6 PRIWODIT K TOMU, ^TO W SISTEME POQWLQETSQ STACIONARNOE REENIE, NA KOTOROE S TE^ENIEM WREMENI (KRIWYE 5, 6 ) RASPREDELENIE WLASTI I WYHODIT (KRIWAQ 7 ), IZBEVAW GROZIWEJ EMU LOWUKI. rAZUMEETSQ, SCENARII I{IV I IH POLITOLOGI^ESKIE INTERPRETACII WESXMA USLOWNY (HOTQ BY POTOMU, ^TO PRI ZAMETNOM PREWYENII ILI PRINIVENII WLASTI MODELX, STROGO GOWORQ, NEPRIMENIMA, TAK KAK NARUAETSQ PREDPOLOVENIE O ZAKONOPOSLUNOSTI SISTEMY). oDNAKO ONI DEMONSTRIRU@T POTENCIALXNOE BOGATSTWO WOZMOVNYH POWEDENIJ RASPREDELENIQ WLASTI W IERARHII, ZALOVENNYH W MODELX, KOTORAQ SODERVIT RAZLI^NYE PRQMYE I OBRATNYE SWQZI, NELINEJNOSTI I PROSTRANSTWENNO-WREMENNYE WARIACII HARAKTERISTIK OB_EKTA, A TAKVE UKAZYWA@T NA WOZMOVNOSTX OSMYSLENNOGO TOLKOWANIQ \WOL@CII IZU^AEMOJ SISTEMY. nAPRIMER, ANARHI^ESKAQ LOWUKA MOVET BYTX SOOTNESENA S ROSSIJSKIMI SOBYTIQMI 1917 G. (W BOLXEJ STEPENI) I KONCA 80-H|NA^ALA 90-H GODOW (W MENXEJ STEPENI). dEJSTWITELXNO, PROWAL W UROWNE WLASTI WYSIH IERARHOW (KULXMINACIQ | OTRE^ENIE MONARHA I OTSTAWKA
312
modelirowanie slovnyh ob ektow
gl. VI
GENSEKA) POD SILXNEJIM DAWLENIEM GRAVDANSKOGO OB]ESTWA I PRI BEZOTWETSTWENNYH DEJSTWIQH IERARHII S POSLEDU@]EJ CEPNOJ REAKCIEJ UMENXENIQ I DAVE IS^EZNOWENIQ WLASTNOGO WLIQNIQ W OSTALXNYH EE ZWENXQH WPOLNE OPISYWAETSQ \TIM SCENARIEM. iNTERPRETACIQ IMEET SMYSL, KONE^NO, LIX NA NA^ALXNOJ STADII PROCESSA (OB]AQ TENDENCIQ K ANARHII). dALEE ONA NE MOVET BYTX PRODOLVENA HOTQ BY POTOMU, ^TO STARAQ WLASTNAQ STRUKTURA PROSTO PERESTALA SU]ESTWOWATX. e]E ODIN PRIMER | POLITI^ESKOE RAZWITIE rOSSII W POSLEDNEJ TRETI 1993 G. eMU OTWE^AET SCENARIJ WOZWRAT WLASTI W RAMKI POLNOMO^IJ. fORMALXNO WYEDAQ IZ (NE SOWSEM ^ETKIH) GRANIC PRAWOWOGO POLQ IERARHIQ W TO VE WREMQ OBESPE^ILA GRAVDANSKOMU OB]ESTWU WOZMOVNOSTX DLQ USILENNOGO WYRAVENIQ SWOEJ REAKCII S POMO]X@ WYBOROW W pARLAMENT. |TO POZWOLILO OB]ESTWU WERNUTX WLASTNU@ STRUKTURU W PRAWOWU@ OBLASTX, UTO^NENNYE RAMKI KOTOROJ BYLI USTANOWLENY K TOMU VE PRI NEPOSREDSTWENNOM EGO U^ASTII PUTEM KONSTITUCIONNOGO REFERENDUMA. pOD^ERKNEM: MATEMATI^ESKIE MODELI TRUDNOFORMALIZUEMYH OB_EKTOW WSEGDA SODERVAT W SEBE PLOHO ILI NE POLNOSTX@ IZWESTNYE POWEDEN^ESKIE HARAKTERISTIKI VIWYH SU]ESTW. pO\TOMU K NIM NELXZQ PRED_QWLQTX TREBOWANIQ ADEKWATNOSTI I TO^NOSTI, HARAKTERNYE DLQ MODELIROWANIQ PROBLEM TEHNOLOGII I ESTESTWOZNANIQ. oDNAKO I W \TOJ, WYSEJ STEPENI SLOVNOSTI SFERE ANALIZ, PROGNOZ I PRINQTIE REENIJ W NEMALOJ MERE OSNOWANY NA ISPOLXZOWANII (PUSTX PO^TI I NE OSOZNANNOM) KAKIH-TO MODELEJ I METODOW MODELIROWANIQ, ^A]E WSEGO PRIMITIWNYH. pO\TOMU IROKOE PRIMENENIE METODOLOGII MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ I WY^ISLITELXNOGO \KSPERIMENTA PREDSTAWLQETSQ NEIZBEVNYM I W DANNOJ OBLASTI ^ELOWE^ESKOJ DEQTELXNOSTI. bIBLIOGRAFIQ K GLAWE VI: 4, 10, 13, 14, 19, 23, 27, 28, 32, 35, 36, 39, 41, 48, 49, 52{54, 58, 66, 81, 82].
spisok literatury 1. aBRAMOW a.p., iWANILOW `.p. fIZIKA I MATEMATI^ESKAQ \KONOMIKA. | m.: zNANIE, 1991. | 32 S. 2. aD_@TOW m.m., kLOKOW `.a., mIHAJLOW a.p. aWTOMODELXNYE TEPLOWYE STRUKTURY S SOKRA]A@]EJSQ POLUIRINOJ // dIFFERENC. URAWNENIQ. | 1983. | t. 19, 7. | s. 1107{1114. 3. aJZERMAN m.a. kLASSI^ESKAQ MEHANIKA. | m.: nAUKA, 1980. | 368 S. 4. aLEKSANDROW w.w., aRHIPOW p.l., pARHOMENKO w.p., sTEN^IKOW g.l. gLOBALXNAQ MODELX SISTEMY OKEAN|ATMOSFERA I ISSLEDOWANIE EE ^UWSTWITELXNOSTI K IZMENENI@ KONCENTRACII CO2 // iZWESTIQ an sssr. fIZIKA ATMOSFERY I OKEANA. | 1983. | t. 19, 5. | s. 451{458. 5. aMELXKIN w.w. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ W PRILOVENIQH. | m.: nAUKA, 1987. | 160 S. 6. aNUFRIEWA i.a., mIHAJLOW a.p. nEOGRANI^ENNYE REENIQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ PERENOSA. | pREPRINT / ipm an sssr. | m., 1985. | 34. | 29 S. 7. aRSENXEW a.a., sAMARSKIJ a.a. ~TO TAKOE MATEMATI^ESKAQ FIZIKA. | m.: zNANIE, 1983. | 64 S. 8. aHROMEEWA t.s., kURD@MOW s.p., mALINECKIJ g.g., sAMARSKIJ a.a. nESTACIONARNYE STRUKTURY I DIFFUZIONNYJ HAOS. | m.: nAUKA, 1992. | 542 S. 9. aMANOW s.a. wWEDENIE W MATEMATI^ESKU@ \KONOMIKU. | m.: nAUKA, 1984. | 296 S. 10. bAZYKIN a.d. mATEMATI^ESKAQ BIOFIZIKA WZAIMODEJSTWU@]IH POPULQCIJ. | m.: nAUKA, 1985. | 182 S. 11. bARANOW w.b., kRASNOBAEW n.w. gIDRODINAMI^ESKAQ TEORIQ KOSMI^ESKOJ PLAZMY. | m.: nAUKA, 1977. | 336 S. 12. bARENBLATT g.i. pODOBIE, AWTOMODELXNOSTX, PROMEVUTO^NYE ASIMPTOTIKI. | l.: gIDROMETIZDAT, 1982. | 208 S. 13. bELOCERKOWSKIJ o.m. ~ISLENNOE MODELIROWANIE W MEHANIKE SPLONYH SRED. | m.: nAUKA, 1994. | 442 S. 14. bO^KOW m.w., lOWA^EW l.a., ~ETWERUKIN b.n. hIMI^ESKAQ KINETIKA OBRAZOWANIQ NO PRI GORENII METANA W WOZDUHE // mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE. | 1992. | t. 4, 9. | s. 3{36. 15. bUDAK b.m., sAMARSKIJ a.a., tIHONOW a.n. sBORNIK ZADA^ PO MATEMATI^ESKOJ FIZIKE. | m.: nAUKA, 1980. | 686 S. 16. wABI]EWI^ p.n. ~ISLENNOE MODELIROWANIE. | m.: iZD-WO mgu, 1993. | 152 S. 17. wOLOSEWI^ p.p., dARXIN n.a., lEWANOW e.i., sHIRTLADZE n.m. zADA^A O PORNE W GAZE S ISTO^NIKAMI I STOKAMI (AWTOMODELXNYE REENIQ). | tBILISI: iZD-WO tgu, 1986. | 238 S. 18. wOLOSEWI^ p.p., lEWANOW e.i. aWTOMODELXNYEREENIQZADA^ GAZOWOJ DINAMIKI S U^ETOM TEPLOPROWODNOSTI. | m.: iZD-WO mfti, 1996. | 212 S. 19. gAMALIJ e.g., dEM^ENKO n.n., lEBO i.g. I DR. tEORETI^ESKOE ISSLEDOWANIE USTOJ^IWOSTI SVATIQ TONKOSTENNYH OBOLO^E^NYH MIENEJ, OBLU^AEMYH LAZERAMI S \NERGIEJ W IMPULXSE PORQDKA 1 KdV // kWANTOWAQ \LEKTRONIKA. | 1988. | t. 15, 8. | s. 1622{1632. 20. gANTMAHER f.r. lEKCII PO ANALITI^ESKOJ MEHANIKE. | m.: nAUKA, 1968. | 300 S. 21. gODUNOW s.k., rQBENXKIJ w.s. rAZNOSTNYE SHEMY (WWEDENIE W TEORI@). | m.: nAUKA, 1977. | 440 S.
314
spisok literatury
22. gOLOWIZNIN w.m., sAMARSKIJ a.a., fAWORSKIJ a.p. wARIACIONNYJ PODHOD K POSTROENI@ KONE^NORAZNOSTNYH MATEMATI^ESKIH MODELEJ W GIDRODINAMIKE // dan sssr. | 1977. | t. 235, 6. | s. 1285{1288. 23. gOLXDIN w.q., aNISTRATOW d.`. rEAKTOR NA BYSTRYH NEJTRONAH W SAMOREGULIRUEMOM NEJTRONNO-QDERNOM REVIME // mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE. | 1995. | t. 7, 10. | s. 21{32. 24. dEMIDOW m.a., mIHAJLOW a.p. |FFEKTY LOKALIZACII I OBRAZOWANIQ STRUKTUR PRI SVATII KONE^NOJ MASSY GAZA W REVIME S OBOSTRENIEM // pmm. | 1986. | t. 50, 1. | s. 119{127. 25. dORODNICYN a.a. iNFORMATIKA: PREDMET I ZADA^I // kIBERNETIKA. sTANOWLENIE INFORMATIKI. | m.: nAUKA, 1996. 26. dORODNICYN w.a., eLENIN g.g. sIMMETRIQ W REENII URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. |m.: zNANIE, 1984. | 64 S. 27. eLIZAROWA t.g., pAWLOW a.n., ~ETWERUKIN b.n. pRIMENENIE KINETI^ESKOGO ALGORITMADLQ RAS^ETA GAZODINAMI^ESKIHTE^ENIJ // dIFFERENC. URAWNENIQ. | 1985. | t. 21, 7. | s. 1179{1185. 28. eLIZAROWA t.g., pAWLOW a.n., ~ETWERUKIN b.n. iSPOLXZOWANIE KWAZIGIDRODINAMI^ESKOJ SISTEMY DLQ RAS^ETA OBTEKANIQ TELA S IGLOJ // dan sssr. | 1987. | t. 297, 2. | s. 327{331. 29. eLIZAROWA t.g., ~ETWERUKIN b.n. kINETI^ESKIE ALGORITMY DLQ RAS^ETA GIDRODINAMI^ESKIH TE^ENIJ // vwm I mf. | 1985. | t. 25, 10. | s. 1526{ 1533. 30. zELXDOWI^ q.b., rAJZER `.p. fIZIKA UDARNYH WOLN I WYSOKOTEMPERATURNYH GIDRODINAMI^ESKIH QWLENIJ. | m.: nAUKA, 1966. | 688 S. 31. zMITRENKO n.w., kURD@MOW s.p., mIHAJLOW a.p. tEORIQ REVIMOW S OBOSTRENIEM W SVIMAEMYH SREDAH // iTOGI NAUKI I TEHNIKI. sOWREMENNYE PROBLEMY MATEMATIKI. nOWEJIE DOSTIVENIQ. t. 28. | m.: winiti, 1986. | s. 3{94. 32. zMITRENKO n.w., kURD@MOW s.p., mIHAJLOW a.p., sAMARSKIJ a.a. lOKALIZACIQ TERMOQDERNOGO GORENIQ W PLAZME S \LEKTRONNOJ TEPLOPROWODNOSTX@ // pISXMA W v|tf. | 1977. | t. 26, 9. | s. 620{624. 33. zMITRENKO n.w., mIHAJLOW a.p. iNERCIQ TEPLA. | m.: zNANIE, 1982. | 64 S. 34. iBRAGIMOW n.h. gRUPPY PREOBRAZOWANIJ W MATEMATI^ESKOJ FIZIKE. | m.: nAUKA, 1983. | 280 S. 35. iWANOWA t.s., rUZMAJKIN a.a. mETOD REENIQ ZADA^I MAGNITOGIDRODINAMI^ESKOGO DINAMO sOLNCA // vwm I mf. | 1976. | t. 16, 4. | s. 956{968. 36. iWANOWA t.s., rUZMAJKIN a.a. nELINEJNAQ MAGNITOGIDRODINAMI^ESKAQ MODELX DINAMO sOLNCA // aSTRONOM. VURN. | 1977. | t. 54. | s. 846{858. 37. kALITKIN n.n., mIHAJLOW a.p. iDEALXNOE REENIE ZADA^I ZA^ETA WZAIMNYH DOLGOW // mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE. | 1995. | t. 7, 6. | s. 111{117. 38. kLOKOW `.a., mIHAJLOW a.p. oB ODNOJ KRAEWOJ ZADA^E nEJMANA DLQ INTEGRODIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ // dIFFERENC. URAWNENIQ. | 1996. | t. 32, 8. | s. 1110{1113. 39. kOROBEJNIKOW w.p. mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE KATASTROFI^ESKIH QWLENIJ PRIRODY. | m.: zNANIE, 1986. | 48 c. 40. kRASNO]EKOW p.s., pETROW a.a. pRINCIPY POSTROENIQ MODELEJ. | m.: iZD-WO mgu, 1983. | 264 S. 41. kRIKSIN `.a., sAMARSKAQ e.a., tIKIN w.f. bALANSOWAQ MODELX RASPROSTRANENIQ PRIMESI W PLANOWOM FILXTRACIONNOM POTOKE // mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE. | 1993. | t. 5, 6. | s. 69{84. 42. lANDAU l.d., lIFIC e.m. mEHANIKA. | m.: nAUKA, 1973. | 207 S. 43. lANDAU l.d., lIFIC e.m. mEHANIKA SPLONYH SRED. | m.: gOSTEHIZDAT, 1953. | 788 S. 44. lEJBENZON l.s. dWIVENIE PRIRODNYH VIDKOSTEJ I GAZOW W PORISTOJ SREDE. | m.{l.: gOSTEHIZDAT, 1947. | 244 S. 45. lOJCQNSKIJ l.g. mEHANIKA VIDKOSTI I GAZA. | m.: gOSTEHIZDAT, 1950. | 676 S. 46. mAR^UK g.i. mETODY WY^ISLITELXNOJMATEMATIKI. | m.: nAUKA, 1989. | 608 S. 47. mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE / pOD RED. dV. |NDR@SA, r. mAK-lOUNA PER. S ANGL. | m.: mIR, 1979. | 278 S.
spisok literatury
315
48. mIHAJLOW a.p. mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE RASPREDELENIQ WLASTI W IERARHI^ESKIH STRUKTURAH // mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE. | 1994. | t. 6, 6. | s. 108{138. 49. mIHAJLOW a.p. mODELIROWANIE\WOL@CII RASPREDELENIQWLASTI W GOSUDARSTWENNYH IERARHIQH // wESTNIK fONDA rOSSIJSKIJ OB]ESTWENNO-POLITI^ESKIJ CENTR . | 1996. | 2. | s. 26{39. 50. mOISEEW n.n. mATEMATI^ESKIE ZADA^I SISTEMNOGO ANALIZA. | m.: nAUKA, 1981. | 488 S. 51. oWSQNNIKOW l.w. gRUPPOWOJ ANALIZ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. | m.: nAUKA, 1978. | 400 S. 52. pARHOMENKO w.p., sTEN^IKOW g.l. mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIEKLIMATA. | m.: zNANIE, 1986. | 32 S. 53. pETROW a.a. |KONOMIKA. mODELI. wY^ISLITELXNYJ \KSPERIMENT. | m.: nAUKA, 1996. 54. pETROW a.a., pOSPELOW i.g., {ANANIN a.a. oPYT MATEMATI^ESKOGO MODELIROWANIQ \KONOMIKI. | m.: |NERGOIZDAT, 1996. | 544 S. 55. pOLUBARINOWA-kO^INA p.q. tEORIQ DWIVENIQ GRUNTOWYH WOD. | m.: nAUKA, 1977. 56. pONTRQGIN l.s., bOLTQNSKIJ w.g., gAMKRELIDZE r.w., mI]ENKO e.f. mATEMATI^ESKAQ TEORIQ OPTIMALXNYH PROCESSOW. | m.: gOSTEHIZDAT, 1961. | 392 S. 57. pOPOW `.p., sAMARSKIJ a.a. wY^ISLITELXNYJ \KSPERIMENT. | m.: zNANIE, 1983. | 64 S. 58. rIZNI^ENKO g.`., rUBIN a.b. mATEMATI^ESKIE MODELI BIOLOGI^ESKIH REPRODUKCIONNYH PROCESSOW. | m.: iZD-WO mgu, 1993. | 300 S. 59. sAMARSKIJ a.a. wWEDENIE W ^ISLENNYE METODY. | m.: nAUKA, 1982. | 272 S. 60. sAMARSKIJ a.a. mATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE I WY^ISLITELXNYJ \KSPERIMENT // wESTNIK an sssr. | 1979. | 5. | s. 38{49. 61. sAMARSKIJ a.a. tEORIQ RAZNOSTNYH SHEM. | m.: nAUKA, 1989. | 616 S. 62. sAMARSKIJ a.a., aNDREEW w.b. rAZNOSTNYE METODY DLQ \LLIPTI^ESKIH URAWNENIJ. | m.: nAUKA, 1976. | 352 S. 63. sAMARSKIJ a.a., gALAKTIONOW w.a., kURD@MOW s.p., mIHAJLOW a.p. rEVIMY S OBOSTRENIEM W ZADA^AH DLQ KWAZILINEJNYH PARABOLI^ESKIH URAWNENIJ. | m.: nAUKA, 1987. | 478 S. 64. sAMARSKIJ a.a., gULIN a.w. uSTOJ^IWOSTX RAZNOSTNYH SHEM. | m.: nAUKA, 1973. | 416 S. 65. sAMARSKIJ a.a., kOLDOBA a.w., pOWE]ENKO `.a. I DR. rAZNOSTNYE SHEMY NA NEREGULQRNYH SETKAH. | mINSK: zao kRITERIJ , 1996. | 274 S. 66. sAMARSKIJ a.a., mIHAJLOW a.p. kOMPX@TERY I VIZNX (MATEMATI^ESKOE MODELIROWANIE). | m.: pEDAGOGIKA, 1987. | 128 S. 67. sAMARSKIJ a.a., nIKOLAEW e.s. mETODY REENIQ SETO^NYH URAWNENIJ. | m.: nAUKA, 1978. | 592 S. 68. sAMARSKIJ a.a., pOPOW `.p. rAZNOSTNYE SHEMY GAZOWOJ DINAMIKI. | m.: nAUKA, 1980. | 352 S. 69. sEDOW l.i. mEHANIKA SPLONOJ SREDY. T. I. | m.: nAUKA, 1973. | 536 S. 70. sEDOW l.i. mETODY PODOBIQ I RAZMERNOSTI W MEHANIKE. | m.: nAUKA, 1981. | 448 S. 71. sIDOROW a.f., {APEEW w.p., qNENKO n.n. mETOD DIFFERENCIALXNYH SWQZEJ I EGO PRILOVENIQ K GAZOWOJ DINAMIKE. | nOWOSIBIRSK: nAUKA, 1984. | 272 S. 72. sILIN w.p. wWEDENIE W KINETI^ESKU@ TEORI@ GAZOW. | m.: nAUKA, 1971. | 332 S. 73. tIHONOW a.n., kOSTOMAROW d.p. wWODNYE LEKCII PO PRIKLADNOJ MATEMATIKE. | m.: nAUKA, 1984. | 190 S. 74. tIHONOW a.n., sAMARSKIJ a.a. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. | m.: nAUKA, 1972. | 736 S. 75. fEDORENKO r.p. wWEDENIE W WY^ISLITELXNU@ FIZIKU. | m.: iZD-WO mfti, 1994. | 526 S. 76. Avula X.J.R. Mathematical Modeling // Encyclopedia of Physical Science. | 1987. | V. 7. | P. 719{728. 77. Bender E.A. An Introduction to Mathematical Modelling. | N.Y.: Wiley, 1978. 78. Cross M., Moscardini A.O. Learning the Art of Mathematical Modelling. | N.Y.: Wiley, 1985. | 154 p.
316
spisok literatury
79. Dym C.L., Ivey E.S. Principles of Mathematical Modelling. | N.Y.: Academic Press, 1980. | 256 p. 80. Hoerner S., von. Population Explosion and Interstellar Expansion // Journal of British Interplanetary Society. | 1975. | V. 28, No. 11. | P. 691{712. 81. Jacoby S.L.S, Kowalik J.S. Mathematical Modelling with Computers. | Englewood Cli!s, N.J.: Prentice Hall, Inc., 1980. | 292 p. 82. Lebo I.G., Rozanov V.B., Tishkin V.F. et al. Numerical Simulation of Ruchtmyer| Meshkov Instalility / Eds. R. Young, J. Glimm, B. Boston // Proc. of the Fifth Int. Workshop on Compressible Turbulent Mixing. | N.Y.: Word Scienti"c, 1995. | P. 346{356. 83. Lehman R.S. Computer, Simulation and Modelling: An Introduction. | N.Y.: Wiley, 1977. 84. Mathematical Modelling /Eds. J.G.Andrews, R.R.McLone. | London: Butterworths, 1976. 85. Rapoport A. Mathematical Models in the Social and Behavioral Sciences. | N.Y.: Wiley, 1983. 86. Saaty T.L., Alexander J.M. Thinking with Models: Mathematical Models in the Physical, Biological and Social Sciences. | N.Y.: Pergamon Press, 1981. 87. Samarskii A.A., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhailov A.P. Blow-up in Quasilinear Parabolic Equations. | Berlin: Walter de Gruyter, 1995. | 534 p. 88. Samarskii A.A., Nikolaev E.S. Numerical Methods for Grid Equations. V. 1, 2. | Basel: Birkh#auser Verlag, 1981. | 242 p., 502 p. 89. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Computational Heat Transfer. V. 1, 2. | N.Y.: Wiley, 1995. | 406 p., 422 p.
