Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е Р АЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О Б Р АЗО В АН И Ю В О Р О Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АР С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т

П особие поу равнениям вчастныхпроизводных. Т еорияи методы реш ениязадач У чебно-методическ ое пособие поспец иал ьности 010101 (010100) - М атематик а

В ороне ж 2005

2

У тв е рж д е но на учно-м е тод иче ским сов е том м а те м а тиче ского ф а кул ь те та 14 ию ня 2005 год а , протокол № 10

Со ста в ите л ь М а л ю тина О.П .

П особие под гото в л е но на ка ф е д ре ура в не ний в ча стны х производ ны хи те ории в е роятносте й м а те м а тиче ско го ф а кул ь те та В оро не ж ского госунив е рсите та П ре д л а га е м о е уче бно -м е тод иче ское пособие пре д ста в л яе т собой инте гриро в а нное изло ж е ние л е кционно-пра ктиче ских занятий курса «У ра в не ния в ча стны х производ ны х», пре д на зна че нного д л я студ е нто в в е че рне го отд е л е ния м а те м а тиче ско го ф а кул ь те та . Зд е сь сод е рж ится в ы в од ура в не ния кол е ба ний струны , кл а ссиф ика ция ура в не ний в торого поряд ка , прив е д е ние их к ка нониче ском у в ид у и од ин изо снов ны х м е тод о в ре ш е ний ура в не ний м а те м а тиче ской ф из ики – м е то д ха ра кте ристик Да л а м бе ра . На конкре тны х прим е ра х прив од ится по д робное из л ож е ние прив е д е ния ура в не ний ка ж д ого изтре х типо в к ка но ниче ско м у в ид у и ре ш е ние м е тод ом ха ра кте ристик. П осл е ка ж д о го прим е ра д а е тся список ре ко м е нд уе м ы х упра ж не ний с прил а га е м ы м и о тв е та м и д л я са м остояте л ь ного ре ш е ния

Ре ко м е нд уе тся д л я студ е нто в 4 курса в е че рне го о тд е л е ния м а те м а тиче ско го ф а кул ь те та

3

1. О сновные у равненияматематическ ой ф изик и У ра в не ние , св яз ы в а ю ще е не изве стную ф ункцию u ( x1 , x2 ,..., x n ) , не зав исим ы е пе ре м е нны е x1 , x2 ,..., x n и ча стны е производ ны е от не изве стной ф ункции, на зы в а е тся д иф ф е ре нциа л ь ны м ура в не ние м с ча стны м и про извод ны м и. Общий в ид этого ура в не ния: F ( x1, x 2 ,..., x n , u,

∂u ∂u ∂ku ,..., ,..., k1 k 2 ) = 0, ∂x1 ∂x n ∂x1 ∂x 2 ...∂x nkn

гд е F – зад а нна я ф ункция. На ив ы сший поряд о к ча стной произво д ной , в ход яще й в ура в не ние , на зы в а е тся поряд ком этого ура в не ния. Обще е ура в не ние с ча стны м и производ ны м и пе рв о го поряд ка с д в ум я не зав исим ы м и пе ре м е нны м и x и y м ож е т бы ть записа но в в ид е F ( x, y , u ,

∂u ∂u , )=0 ∂x ∂y

Обще е ура в не ние с ча стны м и производ ны м и в торо го поряд ка им е е т в ид F ( x, y , u ,

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u , , , , )=0 ∂x ∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

У ра в не ние с ча стны м и производ ны м и на зы в а е тся кв а зил ине й ны м и, е сл и о но л ине й но з а в исит от ста рш их производ ны хне изве стно й ф ункций . На прим е р, A( x, y )

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + B ( x , y ) + C ( x , y ) + f ( x, y , u , u x , u y ) = 0 ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2

е сть кв а зил ине й но е ура в не ние в торого поряд ка . У ра в не ние с ча стны м и про извод ны м и на з ы в а е тся л ине й ны м , е сл и оно л ине й но отно сите л ь но не изве стно й ф ункции и в се х е е ча стны хпроизвод ны х. Общий в ид л ине й но го ура в не ния в торого поряд ка с д в ум я не зав исим ы м и пе ре м е нны м и сл е д ую щий : A( x, y )

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + + + D ( x, y ) + E ( x, y ) + G ( x, y )u = F ( x, y ) 2 B ( x , y ) C ( x , y ) 2 2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

(1.1)

Ре ш е ние м ура в не ния с ча стны м и производ ны м и на зы в а е тся ф ункция u = u( x1 , x 2 ,...x n ) , кото ра я, буд учи по д ста в л е на в ура в не ние в м е сто не из в е стной ф ункции и е е ча стны хпроизвод ны х, о бра ща е т это ура в не ние в то ж д е ств о. К д иф ф е ре нциа л ь ны м ура в не ниям с ча стны м и производ ны м и в то ро го поряд ка прив о д ят м но гие зад а чи ф изики и м е ха ники. 1. К в ол нов ом у ура в не нию прив од ит изуче ние кол е ба те л ь ны х яв л е ний . 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u − a ( + + ) = f (t , x, y, z ) , ∂t 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

гд е а – скорость ра спростра не ния в ол ны в д а нно й сре д е .

(1.2)

4

2. П роце ссы ра спростра не ния те пл а в од нород ном изотропном те л е и яв л е ния д иф ф узии описы в а ю тся ура в не ние м те пл опров од ности. ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u − a 2 ( 2 + 2 + 2 ) = f (t , x, y , z ) ∂t ∂x ∂y ∂z

(1.3)

3. И зуче ние уста но в ив ш е гося те пл ов о го со стояния в од нород ном изото пном те л е прив од ит к ура в не нию П уа ссо на : ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = f ( x, y , z ) ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(1.4)

П ри отсутств ии исто чнико в те пл а в нутри те л а ура в не ние (1.4) пе ре ход ит в ура в не ние Л а пл а са ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(1.5)

У ра в не ния (1.2)-(1.5) на зы в а ю т осно в ны м и ура в не ниям и м а те м а тиче ской ф изики.И х ре ш е ние д а е т в озм ож ность иссл е д ов а ть ряд ф изиче ских и те хниче ских зад а ч. У ра в не ния (1.2)-(1.5) им е ю т, в ообще го в оря, не е д инств е нно е ре ш е ние . П ри ре ше нии конкре тной ф изиче ской зад а чи из в се х этих ре ш е ний не обход им о в ы бра ть то, которо е уд ов л е тв оряе т не которы м д о пол ните л ь ны м усл о в иям , в ы те ка ю щим из ф из иче ского см ы сл а зад а чи. Т а ким и д опол ните л ь ны м и усл о в иям и яв л яю тся на ча л ь ны е усл ов ия, относящие ся к м ом е нту в ре м е ни, с которого на чина е тся изуче ние яв л е ния, и гра ничны е усл о в ия, т.е . усл ов ия, зад а нны е на гра нице ра ссм а трив а е м ой сре д ы , гд е про те ка е т д а нны й ф изиче ский про це сс. За д а ча м а те м а тиче ско й ф из ики ко рре ктно по ста в л е на , е сл и ре ш е ние : 1) суще ств уе т; 2) е д инств е нно ; 3) устой чив о, т.е . м а л ы е изм е не ния д а нны х зад а чи в ы зы в а ю т м а л ы е изм е не ния ре ше ния, эти тре бо в а ния на поста нов ку зад а чи с пра ктиче ской то чки зре ния объясняе тся те м , что 1) ура в не ние л иш ь прибл иж е нно о тра ж а е т ра ссм а трив а е м ы й ф изиче ский про це сс; 2) на ча л ь ны е и гра ничны е усл о в ия не м огут бы ть о пре д е л е ны с а бсол ю тной точность ю .

5

2. К аноническ ий вид л инейногоу равнения второгопорядк асдву мя независимыми переменными Ра ссм о трим ура в не ние (1.1). Буд е м пре д пол а га ть , что коэф ф ицие нты A(x,y), B(x,y), C(x,y) не обра ща ю тся о д но в ре м е нно в нул ь . Е сл и в м е сто (x,y) в в е сти но в ы е не зав исим ы е пе ре м е нны е ξ = ξ ( x, y )

η = η ( x, y ),

гд е ξ ,η - д в а ж д ы не пре ры в но д иф ф е ре нцируе м ы е ф ункции, приче м Я кобиа н не обра ща е тся в нул ь : ∂ξ D(ξ ,η ) ∂x = D( x, y ) ∂η ∂x

∂ξ ∂y ≠ 0, ∂η ∂y

то ура в не ние м о ж но упростить и прив е сти е го к од ном у изтре х типов

∂ 2u ∂u ∂u = F1 (ξ ,η , u, , ) ∂ξ∂η ∂ξ ∂η (ил и, пол ож ив ξ = α + β , η = α − β , пол учим

(2.1)

∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u − = Φ 1 (α , β , u , , ) 2 2 ∂α ∂β ∂α ∂β

(2.1`)

∂ 2u ∂u ∂u = Φ 2 (ξ ,η , u , , ) 2 ∂ξ ∂η ∂η

(2.2)

∂ 2u ∂u ∂u = Φ 2 (ξ ,η , u , , ) 2 ∂ξ ∂η ∂ξ

(2.2`)

∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + = Φ 3 (ξ ,η , u , , ). 2 2 ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η

(2.3)

ил и

Е сл и ура в не ние (1.5) прив од ится к в ид у (2.1) ил и (2.1’), то это ура в не ние гипе рбол иче ско го типа , а ура в не ния (2.1), (2.1’) на з ы в а ю тся ка нониче ским и ура в не ниям и гипе рбол иче ского типа . Е сл и посл е зам е ны пол учим (2.2) ил и (2.2’), то ура в не ние (1.5) – па ра бол иче ско го типа . Е сл и по сл е зам е ны пол учим (2.3), то ура в не ние (1.5) – эл л иптиче ско го типа . Т ип ура в не ния м ож е т бы ть та кж е о пре д е л е н бе з прив е д е ния к ка но ниче ско м у в ид у, а не посре д ств е нно по коэф ф ицие нта м ура в не ния (1) по зна ку в ы ра ж е ния B 2 − AC . Е сл и в точке ( x0 , y0 ) B 2 − AC > 0, то ура в не ние (1.5) гипе рбол иче ско го типа в этой точке , при B 2 − AC = 0 - па ра бол иче ского, а при B 2 − AC < 0 эл л иптиче ского типа .

6

3. П риведение к к аноническ ому виду у равнении второгопорядк ав частных производных сдву мянезависимыми переменными Ра ссм о трим ура в не ние (1.1). Диф ф е ре нциа л ь ное ура в не ние A( dy ) 2 − 2 Bdxdy + C (dx 2 ) = 0

(3.1)

на зы в а е тся ура в не ние м ха ра кте ристик ура в не ния (1.1). Дл я ура в не ния гипе рбол иче ского типа ура в не ние ха ра кте ристик им е е т д в а инте гра л а : ϕ ( x, y ) = c1 , ψ ( x, y ) = c 2 , (3.2) т.е . суще ств уе т д в а се м е й ств а д е й ств ите л ь ны хха ра кте ристик. Спо м о щь ю зам е ны пе ре м е нны х ξ = ϕ ( x, y ) и η = ψ ( x, y ) (3.3) д иф ф е ре нциа л ь ное ура в не ние (1.1) прив о д ится к ка нониче ском у в ид у. Ра ссм о трим бол е е по д робно конкре тны й прим е р. П рим е р 1. П рив е сти к ка нониче ском у в ид у ура в не ние x 2

2 ∂ 2u 2 ∂ u − y = 0. ∂x 2 ∂y 2

Ре ш е ние : Зд е сь A = x 2 , B = 0, C = − y 2 , B 2 − AC = x 2 y 2 > 0 (искл ю че ние соста в л яе т сл уча й xy = 0 , но тогд а исход ное ура в не ние обра ща е тся в то ж д е ств о 0 = 0 ), сл е д о в а те л ь но, это ура в не ние гипе рбол иче ско го типа . Со ста в л яе м ура в не ние ха ра кте ристик: x 2 (dy ) 2 − y 2 (dx) 2 = 0 ил и ( xdy + ydx)( xdy − ydx) = 0 . П ол уча е м д в а д иф ф е ре нциа л ь ны х ура в не ния xdy + ydx = 0 и xdy − ydx = 0 . Ра зде л яя пе ре м е нны е и инте грируя, им е е м dy dx + = 0 , т.е . ln y + ln x = ln C1 y x dy dx − = 0 , т.е . ln y − ln x = ln C 2 x y

П о сл е поте нциро в а ния на ход им xy = C1

и

x = C 2 - ура в не ния д в ух се м е й ств ха ра кте ристик. y y В в е д е м но в ы е пе ре м е нны е ξ = xy, η = . x

В ы ра зим ча стны е производ ны е по ста ры м пе ре м е нны м че ре зча стны е про извод ны е по нов ы м пе ре м е нны м ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u ∂u = + = y− ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂ξ ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u ∂u = + = x+ ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ξ ∂η

y x2 1 x

7 ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ξ 2 ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂u ∂ 2ξ ∂ 2 u ∂η 2 ∂ 2 u ∂η ∂ξ ∂u ∂ 2η = + + + = ( ) + ( ) + ∂ξ∂η ∂x ∂x ∂ξ ∂x 2 ∂η 2 ∂x ∂η∂ξ ∂x ∂x ∂η ∂x 2 ∂x 2 ∂ξ 2 ∂x =

∂ 2 u ∂ξ 2 ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η 2 ∂u ∂ 2ξ ∂u ∂ 2η ∂ 2 u 2 ∂ 2u y(− y) + + + + = + + y ( ) 2 ( ) 2 ∂ξ 2 ∂x ∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η 2 ∂x ∂ξ ∂x 2 ∂η ∂x 2 ∂ξ 2 ∂ξ∂η x 2

+

∂ 2u ∂u 2 y ∂ 2 u 2 ∂ 2 u y 2 ∂u 2 y y 2 ∂u y 2 ∂ 2u − + + = − + + ( ) 0 y 2 ∂ξ ∂η x 3 ∂ξ 2 ∂η 2 x 2 x 2 ∂ξ∂η ∂η 2 x 4 ∂η x 3

А на л о гично на ход им ∂ u ∂ 2 u ∂ξ 2 ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η 2 ∂u ∂ 2ξ ∂u ∂ 2η ( ) 2 ( ) + = + + + = ∂ξ∂η ∂y ∂y ∂η 2 ∂y ∂ξ ∂y 2 ∂η ∂y 2 ∂y 2 ∂ξ 2 ∂y 2

∂ 2u 2 ∂ 2 u 1 ∂ 2 u 1 ∂u ∂u ∂ 2u 2 ∂ 2u ∂ 2u 1 x + 2 x + + 0 + 0 = x + 2 + ∂ξ∂η x ∂η 2 x 2 ∂ξ ∂η ∂ξ∂η ∂η 2 x 2 ∂ξ 2 ∂ξ 2

П од ста в ив в д а нное д иф ф е ре нциа л ь но е ура в не ние на й д е нны е д л я в то ры х производ ны х в ы ра ж е ния, пол учим x2 (

2 ∂ 2u 2 ∂ 2u y 2 ∂ 2u y 2 ∂u y ∂ 2u 1 ∂ 2u 2 ∂ u 2 − 2 + + 2 ) − ( + 2 + )=0 y y x ∂ξ∂η x 2 ∂η 2 x 4 ∂η x 3 ∂ξ∂η x 2 ∂η 2 ∂ξ 2 ∂ξ 2

−4

∂ 2u 2 ∂u y =0 y +2 ∂ξ∂η ∂η x

∂ 2 u 1 ∂u 1 − =0 ∂ξ∂η 2 ∂η xy ∂ 2u 1 ∂u − =0 ∂ξ∂η 2ξ ∂η

т.е . ура в не ние прив е д е но к ка нониче ском у в ид у. Дл я ура в не ния па ра бол иче ского типа о ба се м е й ств а ха ра кте ристик со в па д а ю т, то е сть ура в не ние ха ра кте ристик д а е т л ишь од ин инте гра л ϕ ( x, y ) = C . В этом сл уча е нуж но произ в е сти зам е ну пе ре м е нны х ξ = ϕ ( x, y ), η = ψ ( x, y ), гд е ψ ( x, y) - ка ка я-л ибо ф ункция, д л я ко торой ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η − ≠ 0. ∂x ∂y ∂y ∂x

П о сл е

та кой

зам е ны

ура в не ние

прив од ится

ка но ниче ско м у в ид у. П рим е р 2. П рив е сти к ка нониче ском у в ид у ура в не ние : 2 ∂2 z ∂2z 2 2 ∂ z sin x 2 y sin x − + y =0 ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2

Ре ш е ние : Зд е сь A = sin 2 x , B = − y sin x , C = y 2 . Т а к ка к B 2 − AC = y 2 sin 2 x − sin 2 xy 2 = 0 , то д а нно е ура в не ние – па ра бол иче ского типа . У ра в не ние ха ра кте ристик им е е т в ид sin 2 x (dy ) 2 + 2 y sin xdxdy + y 2 (dx) 2 = 0 ил и (sin xdy + ydy ) 2 = 0.

к

8

Ра зде л яя в ура в не нии sin xdy + ydx = 0 пе ре м е нны е и инте грируя, им е е м dy dx + =0 y sin x x ln y + ln tg = ln C 2 x ytg = C 2 x П роизве д е м зам е ну пе ре м е нно й : ξ = ytg , η = y (произвол ь на я ф ункция) 2

Т о гд а пол учим (пров е д я пре д в а рите л ь но опе ра ции д иф ф е ре нциро в а ния, а на л огичны е прив е д е нны м в прим е ре 1). ∂z 1 sec 2 x ∂z ∂z y sec 2 x ∂z = y + 0= , ∂x 2 2 ∂ξ ∂η 2 2 ∂ξ ∂ξ 1 x = y cos , т.к. ∂x 2 2 ∂η = 0; ∂x ∂z x ∂ξ ∂z ∂ξ x = tg + , т. к. = tg ∂y 2 ∂ξ ∂η ∂y 2 ∂η =1 ∂y 2 2 ∂2 z 1 ∂2 z ∂z 1 x x 2 x 2 ∂ z 2 ∂ z = ( y sec ) + 2 ⋅ 0 + 0 + y sec 2 tg = 2 2 2 2 2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂ξ 2 2 2 ∂x ∂η =

y2 x ∂2z y x x ∂z sec 4 + sec 2 tg 2 4 2 ∂ξ 2 2 2 ∂ξ

2 ∂2z x ∂2z ∂2 z 2 ∂z ∂z x ∂2z ∂2 z 2 x ∂ z 2 x = tg + 2 tg 1 + 1 + 0 + 0 = tg + 2 tg + 2 ∂ξ 2 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ∂ξ ∂η 2 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ∂y 2

Оста нов им ся бо л е е под робно на в ы числ е нии см е ша нной про извод но й ∂ z ∂ 2 z ∂ξ ∂ξ ∂ 2 z ∂ξ ∂η ∂z ∂ 2ξ ∂ 2 z ∂η ∂η ∂ 2 z ∂η ∂ξ ∂z ∂ 2η = + + + + + = ∂x∂y ∂ξ 2 ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η 2 ∂x ∂y ∂η∂ξ ∂x ∂y ∂η ∂x∂y 2

=

∂ 2 z ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ∂ 2 z ∂ 2 z ∂η ∂η ∂z ∂ 2ξ ∂z ∂ 2η + + + + ( ) + = ∂x ∂y ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂η 2 ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂y ∂ξ 2 ∂x ∂y

=

∂2z 1 ∂2z ∂z 1 x ∂2z 1 x x ∂z 2 x 2 x + + ⋅ + y sec tg ( y tg sec 0 1 ) 0 ⋅1 + sec 2 + 0= 2 2 2 2 ∂ξ∂η 2 ∂ξ 2 2 2 2 ∂η ∂ξ 2 ∂η

=

x 1 ∂z x 1 ∂2z x ∂2 z ( 2 tg + ) y sec 2 + sec 2 2 ∂ξ 2 ∂ξ∂η 2 2 ∂η 2

П од ста в л яя в д а нное д иф ф е ре нциа л ь ное ура в не ние в ы ра ж е ние д л я в то ры х производ ны х, им е е м

9

Ра зде л яя в ура в не нии sin xdy + ydx = 0 пе ре м е нны е и инте грируя, им е е м dy dx + =0 y sin x x ln y + ln tg = ln C 2 x ytg = C 2 x П роизве д е м зам е ну пе ре м е нно й : ξ = ytg , η = y (произвол ь на я ф ункция) 2

Т о гд а пол учим , пров е д я о пе ра ции д иф ф е ре нциро в а ния, а на л огичны е прив е д е нны м в прим е ре 1. ∂z 1 sec 2 x ∂z ∂z y sec 2 x ∂z = y + 0= , ∂x 2 2 ∂ξ ∂η 2 2 ∂ξ ∂ξ 1 x т.к. = y cos , ∂x 2 2 ∂η = 0; ∂x ∂z x ∂ξ ∂z = tg + , т. к. ∂y 2 ∂ξ ∂η

∂ξ x = tg ∂y 2 ∂η =1 ∂y 2 2 ∂2 z 1 ∂2 z ∂z 1 x x 2 x 2 ∂ z 2 ∂ z = ( y sec ) + 2 ⋅ 0 + 0 + y sec 2 tg = 2 2 2 2 2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂ξ 2 2 2 ∂x ∂η =

y2 x ∂2z y x x ∂z sec 4 + sec 2 tg 2 4 2 ∂ξ 2 2 2 ∂ξ

2 ∂2z x ∂2z ∂2 z 2 ∂z ∂z x ∂2z ∂2 z 2 x ∂ z 2 x = tg + 2 tg 1 + 1 + 0 + 0 = tg + 2 tg + 2 ∂ξ 2 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ∂ξ ∂η 2 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ∂y 2

Оста но в им ся бол е е под робно на в ы числ е нии см е ша нной производ ной ∂2 z ∂ 2 z ∂ξ ∂ξ ∂ 2 z ∂ξ ∂η ∂z ∂ 2ξ ∂ 2 z ∂η ∂η ∂ 2 z ∂η ∂ξ ∂z ∂ 2η = + + + + + = ∂x∂y ∂ξ 2 ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η 2 ∂x ∂y ∂η∂ξ ∂x ∂y ∂η ∂x∂y =

∂ 2 z ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ∂ 2 z ∂ 2 z ∂η ∂η ∂z ∂ 2ξ ∂z ∂ 2η + + + + ( ) + = ∂x ∂y ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂η 2 ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂y ∂ξ 2 ∂x ∂y

=

∂2z 1 ∂2z ∂z 1 x ∂2z 1 x x ∂z 2 x 2 x + + ⋅ + y sec tg ( y sec tg 0 1 ) 0 ⋅1 + sec 2 + 0= 2 2 2 2 ∂ξ∂η 2 2 2 ∂ξ 2 2 ∂η ∂ξ 2 ∂η

=

1 ∂2z x ∂2 z x 1 ∂z x ( 2 tg + ) y sec 2 + sec 2 2 ∂ξ 2 ∂ξ∂η 2 2 ∂η 2

П о д ста в л яя в д а нное д иф ф е ре нциа л ь ное ура в не ние в ы ра ж е ние д л я в торы х про извод ны х, им е е м

10 x 2 x ∂2z x ∂2z 2 1 ∂2z 2 1 ∂z 4 x 2 2 x y x y tg x tg + + − sec sin sec sin ( ) y sec 2 sin x − 2 2 4 ∂ξ 2 2 ∂ξ 2 2 2 ∂ξ∂η 2 ∂ξ 2 x ∂2 z ∂z ∂2 z 2 x 2 ∂ z 2 x y sec sin x + y ( 2 tg tg + − +2 )=0 ∂ξ ∂ξ∂η 2 ∂η 2 2 2 ∂ξ

В проце ссе про сте й ших а риф м е тиче ских д е й ств ий чл е ны , сод е рж а щие

∂2z и ∂ξ 2

∂2 z , в заим но уничтож а ю тся, и ура в не ние приним а е т в ид ∂ξ∂η x x ∂ 2 z ∂z x 1 ∂z y sec 2 tg sin 2 x + y 2 − y sec 2 sin x = 0 , 2 ∂ξ 2 ∂ξ 2 2 2 ∂η

ил и y

∂ 2 z ∂z = sin x . ∂η 2 ∂ξ

x 2 , tg x = ξ , то Т а к ка к sin x = x 2 η 1 + tg 2 2 2tg

sin x =

2ξη . ξ +η 2 2

Оконча те л ь но пол уча е м

∂2z ∂z 2ξ = 2 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ

Дл я ура в не ния эл л иптиче ского типа инте гра л ы ура в не ния ха ра кте ристик им е ю т в ид ϕ ( x, y) ± iψ ( x, y) = C1 , гд е ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y) - д е й ств ите л ь ны е ф ункции. Спо м о щь ю под ста нов ки ξ = ϕ ( x, y), ψ = ψ ( x, y ) ура в не ние прив о д ится к ка нониче ском у в ид у. (1) П рим е р 3. П рив е сти к ка но ниче ско м у в ид у ура в не ние ∂ z ∂2z ∂2 z −2 +2 2 =0 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

Ре ш е ние . Зд е сь A = 1 B = −1 C = 2 B 2 − AC = 1 − 2 = −1 < 0 - ура в не ние эл л иптиче ского типа . У ра в не ние ха ра кте ристик им е е т в ид (dy ) 2 + 2dxdy + 2(dx) 2 = 0 ил и y ' 2 +2 y '+2 = 0

Отсю д а y' = −1 ± i , пол уча е м д в а се м е й ств а м ним ы хха ра кте ристик: y + x − ix = C1 и

11

y + x + ix = C 2 .

П роизве д я з а м е ну пе ре м е нны х ξ = y + x, η = x, им е е м 2 ∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ξ ∂ ξ ∂ξ = 0; = 0; = 1; = 0 ; = 1; 2 ∂y ∂x∂y ∂y ∂x 2 ∂x ∂η ∂η ∂ 2η ∂ 2η ∂ 2η = 1; = 0; = 0; = 0 ; = 0 ; ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ∂x 2

∂z ∂z ∂z ∂z ∂z 1+ 1= ; = + ∂x ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂z ∂z ∂z ∂z = 1+ 0= ; ∂y ∂ξ ∂η ∂ξ ∂2 z ∂ 2 z ∂ξ ∂ 2 z ∂η ∂ 2 z ∂ξ ∂ 2 z ∂η ∂2z ∂2 z ∂2z = ( + ) + ( + ) = + 2 + ; ∂η∂ξ ∂x ∂η 2 ∂x ∂ξ ∂ξ∂η ∂η 2 ∂x 2 ∂ξ 2 ∂x ∂ξ∂η ∂x ∂2 z ∂ 2 z ∂ξ ∂ 2 z ∂η ∂ 2 z ∂2z = + = + ; ∂x∂y ∂ξ 2 ∂x ∂ξ∂η ∂x ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ξ ∂ 2 z ∂η ∂ 2 z = + = ∂y 2 ∂ξ 2 ∂y ∂ξ∂η ∂y ∂ξ 2

П о д ста в ив на й д е нны е в ы ра ж е ния в исхо д но е д иф ф е ре нциа л ь но е ура в не ние , пол уча е м ∂2 z ∂2 z ∂2z ∂2z ∂2 z ∂2 z + 2 + − 2 − 2 + 2 =0 ∂ξ∂η ∂η 2 ∂ξ∂η ∂ξ 2 ∂ξ 2 ∂ξ 2

ил и ∂2z ∂2 z + = 0. ∂ξ 2 ∂η 2

Ре ком е нд уе м ы е упра ж не ния: П рив е сти к ка нониче ском у в ид у ура в не ния: 1. x 2

2 ∂2z ∂2z 2 ∂ z + 2 xy + y =0 ∂x∂z ∂x 2 ∂y 2

2.

∂2 z ∂2z ∂2z ∂z ∂z − 4 − 3 −2 +6 =0 2 2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

3.

1 ∂2z 1 ∂2z + =0 x 2 ∂x 2 y 2 ∂y 2

4. x 2 5.

2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u + 2 xy + y =0 ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + =0 + 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2

1 ∂ 2u 1 ∂ 2u 6. 2 2 + 2 2 = 0 x ∂x y ∂y

12

4. У равнение к ол ебаний стру ны Струной на зы в а е тся тонка я нить , кото ра я м о ж е т св обо д но изгиба ть ся, т.е . не о ка зы в а е т ника ко го сопротив л е ния изм е не нию е е ф орм ы , не св язанного с изм е не ние м е е д л ины . П усть в пол о ж е нии ра в но в е сия струна со в па д а е т с о сь ю Ox. М ы пре д пол а га е м , что струна им е е т д л ину l и на тянута с сил ой T, x=0 - л е в ы й ко не ц струны (тогд а x=l пра в ы й ). Обо з на чим u(x,t) см е ще ние точки x струны в м ом е нт в ре м е ни t. В озьм е м о сь Ou ⊥ Ox и буд е м ра ссм а трив а ть л иш ь попе ре чны е кол е ба ния, когд а в сяка я точка x см е ща е тся тол ь ко пе рпе нд икул ярно Ox. П ри ка ж д о м ф иксиров а нном з на че нии t гра ф ик ф ункции u(x,t), оче в ид но, д а е т ф орм у струны в это т м о м е нт в ре м е ни ( рис. 1): Ра ссм а трив а я д а л е е тол ь ко м а л ы е ко л е ба ния струны , буд е м счита ть , что см е ще ние u(x,t), а та кж е про извод на я ∂u стол ь м а л ы , что их кв а д ра та м и и ∂t

про изве д е ниям и м ож но пре не бре чь по сра в не нию с са м им и этим и в е л ичина м и. В ы д е л им произвол ь ны й уча сто к [x1 , x2 ] струны , и пусть при ко л е ба нии этот о тре з ок д е ф орм ируе тся в не которы й о тре з ок M 1 M 2 (рис. 2). В ы числ им д л ину д уги M 1 M 2 S1 =

∫

M 1M 2

dS =

x2

∫

x1

2 ∂u  ∂u  1 + ( ) 2 dx ≈ ∫ dx = x 2 − x1 (в сил у того , что   ≈ 0 ) ∂x  ∂x  x1

2

x

u

T( x2 )

M2

α2

α1

M1

T( x1 )

x1

x2

Рис.2

x

13

т.е . в проце ссе м а л ы х кол е ба ний уд л ине ния струны не происход ит, сл е д о в а те л ь но, в сил у зако на Г ука в е л ичина на тяж е ния струны не м е няе тся со в ре м е не м . П ока ж е м , что в е л ичину на тяж е ния T м о ж но счита ть не зав исяще й о т x, т.е . T ≈ T0 . Сэтой це л ь ю ра ссм отрим уча сто к M 1 M 2 струны . T ( x1 ); T ( x2 ) - сил ы на тяж е ния. К ром е сил на тяж е ния на уча сток M 1 M 2 д е й ств ую т и сил ы ине рции. П о принципу Да л а м бе ра сум м а прое кции в се х сил на ось Ox и на ось Ou д ол ж на ра в нять ся нул ю . Т а к ка к м ы ра ссм а трив а е м тол ь ко попе ре чны е кол е ба ния, то сил ы ине рции и в не шние сил ы на пра в л е ны па ра л л е л ь но Ou, то гд а T ( x1 ) cosα ( x1 ) − T ( x2 ) cosα ( x2 ) = 0 , гд е α (x) уго л м е ж д у ка са те л ь ной в точке с а бсциссо й x к струне в м ом е нт в ре м е ни t с пол ож ите л ь ны м на пра в л е ние м о си Ox. В сил у м а л ости кол е ба ний cos α ( x) =

1 1 + tg α ( x) 2

1

=

1+Ux

2

≈1

и, сл е д ов а те л ь но, T ( x1 ) ≈ T ( x2 ) . Отсю д а в сил у произвол ь ности x1 и x2 сл е д уе т, что T не зав исит о т x, т.е . м ож но счита ть , что T ≈ T0 д л я в се хx и t.

П ро е кции на ось Ou сил на тяж е ния, д е й ств ую щих в то чка х M 1 и M 2 ра в няе тся Y = T0 [sin α ( x 2 ) − sin α ( x1 )], tgα ( x) Ux ∂u од на ко sin α ( x) = = + , 2 2 ∂x 1 + tg α ( x) 1 + Ux

и, сл е д о в а те л ь но,  ∂u    ∂u  −  Y = T0     ∂x  x = x2  ∂x  x = x1 

За м е ча я, что 2 ∂ 2u  ∂u   ∂u  −  = ∫ 2 dx,    ∂x  x = x2  ∂x  x = x1 x1 ∂x

x

о конча те л ь но пол учим ∂ 2u dx 2 x1 ∂x

x2

Y = T0 ∫

(4.1)

Обо з на чим че ре з p(x,t) в не ш ню ю сил у, д е й ств ую щую на струну па ра л л е л ь но оси Ou и ра ссчита нную на е д иницу д л ины . Тогд а прое кция на о сь Ou в не шне й сил ы , д е й ств ую ще й на уча сток M 1 M 2 струны , буд е т ра в на x2

∫ p( x, t )dx

(4.2)

x1

П усть ρ (x) - л ине й на я пл о тность струны , тогд а сил а ине рции уча стка M 1 M 2 струны буд е т ра в на

14 x2

− ∫ ρ ( x) x1

∂ 2u dx ∂t 2

(4.3)

За пише м усл ов ие ра в е нств а нул ю сум м ы про е кций в се х сил , д е й ств ую щих на уча сто к M 1 M 2 : сил на тяж е ния, в не шне й сил ы и сил ы ине рции, т.е .  ∂ 2u  ∂ 2u T ρ x − − p ( x, t )dx = 0 ( ) 2 ∫x  0 ∂x 2 ∂t  1

x2

Отсю д а , в сил у не пре ры в ности под ы нте гра л ь ной ф ункции и про извол ь ности x1 и x2 , сл е д уе т, что под ы нте гра л ь на я ф ункция д ол ж на ра в нять ся нул ю д л я ка ж д ой точки струны в л ю бой м о м е нт в ре м е ни t, т.е . ρ ( x)

∂ 2u ∂ 2u = T + p ( x, t ) 0 ∂t 2 ∂x 2

(4.4)

Э то е сть ура в не ние кол е ба ний струны .

Е сл и ρ = const ( сл уча й од нород ной струны ) ура в не ние (4.4) прим е т в ид гд е

2 ∂ 2u 2 ∂ u = a + f ( x, t ) , ∂t 2 ∂x 2

a=

T0 , ρ

f ( x, t ) =

(4.5)

p ( x, t ) . ρ

(4.6)

Е сл и в не шняя сил а о тсутств уе т, то p(x,t)=0, и пол уча е м ура в не ние св обод ны х ко л е ба ний струны : 2 ∂ 2u 2 ∂ u = a . ∂t 2 ∂x 2

(4.7)

Дл я пол но го опре д е л е ния про це сса кол е ба ния струны не обход им о кром е ура в не ния (7) зад а ть и не ко торы е д опол ните л ь ны е усл ов ия, в ы те ка ю щие из ф изиче ского см ы сл а зад а чи. На прим е р, в на ча л ь ны й м ом е нт в ре м е ни t=0 нуж но зад а ть на ча л ь ное пол ож е ние и на ча л ь ную ско ро сть

∂u ∂t

в о в се х t =0

то чка х струны . Э ти усл о в ия на зы в а ю тся на ча л ь ны м и усл ов иям и u t =0 = α ( x),

∂u ∂t

= β ( x).

(4.8)

t =0

В сл уча е огра ниче нной струны (струна им е е т коне чную д л ину), нуж но ука зать , что происход ит на е е ко нца х. Та ким обра з ом в оз ника ю т гра ничны е усл о в ия. Е сл и струна закре пл е на , то см е ще ния на конца хра в ны нул ю и гра ничны е усл ов ия им е ю т в ид : u x =0 = 0, u x =l = 0. (t ≥ 0). (4.9) Е сл и концы кол е бл ю тся, то u x =0 = µ1 (t ), u x =l = µ 2 (t ) . (4.9')

15

Т а ким о бра зом , ф изиче ска я зад а ча о кол е ба нии струны св е л а сь к м а те м а тиче ской зад а че : на й ти ре ше ние ура в не ния (4.4), уд ов л е тв оряю ще го не ко торы м на ча л ь ны м и гра ничны м усл о в иям . М ож но ра ссм а трив а ть кол е ба ния пол убе ско не чной ил и бе сконе чной струны , ко гд а о д ин ил и оба ко нца на ход ится бе сконе чно д а л е ко. Оба эти сл уча я яв л яю тся м а те м а тиче ской ид е а л изацие й струны , д л ина ко торой на сто л ь ко в е л ика , что за ра ссм а трив а е м ы й пе риод в ре м е ни на бл ю д е ния за е е ко л е ба ниям и, в л ияние м усл о в ий на ко нца х струны м о ж но пре не бре чь .

5. М етодхарак теристик Д ал амберадл явол новогоу равнения Ра ссм о трим ура в не ние св обод ны хко л е ба ний бе сконе чной струны : 2 ∂ 2u 2 ∂ u = a ∂t 2 ∂x 2

(− ∞ < x < +∞) .

(5.1)

Оче в ид но, что это ура в не ние гипе рбол иче ско го типа , та к ка к A=1, B=0, C = − a 2 , B 2 − AC = a 2 > 0. П роизве д е м в ура в не нии (1) зам е ну пе ре м е нны х ξ = x − at , η = x + at . Т о гд а

(5.2)

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = + 2 + ∂ξ∂η ∂η 2 ∂x 2 ∂ξ 2

(5.3)

П о д ста в л яя (5.3) в ура в не ние св обод ны х кол е ба ний струны (5.1), приход им к ура в не нию в нов ы хпе ре м е нны х ∂ 2u =0 ∂ξ∂η

(5.4)

∂  ∂u   =0 ∂η  ∂ξ 

(5.4')

За пиш е м ура в не ние (5.4) в в ид е

Ра ссм а трив а я ξ ка к па ра м е тр, им е е м из (5.4')

∂u (ξ ,η ) = f (ξ ), гд е ∂ξ

про извол ь на я ф ункция ξ . И нте грируя пол уче нное ра ссм а трив а я η ка к па ра м е тр, на ход им u = ∫ f (ξ )dξ + ψ (η ),

ура в не ние

f (ξ ) -

по ξ и

гд е ψ (η ) - про извол ь на я ф ункция о т η . П усть ∫ f (ξ )dξ = ϕ (ξ ), то гд а u (ξ ,η ) = ϕ (ξ ) + ψ (η ) , ил и в озвра ща ясь к ста ры м пе ре м е нны м (x,t) , пол учим u ( x, t ) = ϕ ( x − at ) + ψ ( x + at ) (5.5)

16

Л е гко пров е рить , что ф ункция u(x,t), опре д е л яе м а я ф орм ул ой (5.5), яв л яе тся ре ше ние м ура в не ния (5.1), е сл и ϕ и ψ - произвол ь ны е , д в а ж д ы не пре ры в но д иф ф е ре нцируе м ы е ф ункции. Де й ств ите л ь но, u" x 2 = ϕ " ( x − at ) + ψ " ( x + at ) u"t 2 = a 2ϕ " ( x − at ) + a 2ψ " ( x + at ), ϕ " (ξ ) =

∂ 2ϕ ∂ξ 2

ψ " (η ) =

гд е

∂ 2ψ . ∂η 2

Сл е д ов а те л ь но , (5.5) уд ов л е тв оряе т ура в не нию (5.1) В ы ясним ф из иче ский см ы сл ре ш е ния (5.5). Ра ссм отрим ф ункцию u1 = ϕ ( x − at )

(5.6) П ре д пол о ж им , что не зав исим ы е пе ре м е нны е изм е няю тся та к, что x-at=c, dx = a . В это м сл уча е см е ще ние струны , опре д е л яе м ое dt ф орм ул ой (5.6), буд е т оста в а ть ся по сто янны м , ра в ны м ϕ (c) . Са м о яв л е ние ,

то гд а dx-adt=0, т.е .

о писы в а е м ое ф ункцие й ϕ (x − at ) , на зы в а е тся ра спростра не ние м прям ой в о л ны . Т а ким о бра зом , ре ше ние (5.6) пре д ста в л яе т прям ую в ол ну, котора я ра спро стра няе тся в пол о ж ите л ь ном на пра в л е нии оси Ox со скорость ю a. А на л о гично u 2 ( x, t ) = ψ ( x, t ) пре д ста в л яе т обра тную в о л ну, котора я ра спро стра няе тся в отрица те л ь ном на пра в л е нии оси Ox со ско рость ю a. Т а ким обра з о м , ре ше ние (5.5) яв л яе тся сум м о й прям ой и обра тной в ол н. Э то прив од ит к сл е д ую ще м у способу гра ф иче ского по строе ния ф орм ы струны в л ю бой м о м е нт в ре м е ни t. В коорд ина тной систе м е (x,u) стро им крив ы е u1 = ϕ ( x) , u 2 = ψ ( x) , изобра ж а ю щие прям ую и обра тную в ол ны в на ча л ь ны й м о м е нт в ре м е ни t=0, и зате м , не изм е няя их ф орм ы , пе ре м е ща е м эти крив ы е со скоро сть ю a в ра з ны е сто роны в д ол ь оси Ox. Чтобы пол учить гра ф ик пол ож е ния струны в м о м е нт t=0, д о ста точно те пе рь по строить гра ф ик сум м ы см е ще нны хф ункций u1 ( x, t ) = ϕ ( x − at ) и u 2 ( x, t ) = ψ ( x − at ). П рям ы е на пл о скости (x,t) в ид а x − at = C1 , x + at = C 2 (5.7) на зы в а ю тся ха ра кте ристика м и ура в не ния кол е ба ний струны . В д ол ь пе рв ой ха ра кте ристики ф ункция ϕ ( x − at ) сохра няе т постоянно е зна че ние , ра в ное ϕ (C1 ) . А на л о гично д л я обра тной в ол ны , ф ункция ψ ( x + at ) сохра няе т по стоянно е зна че ние ψ (C 2 ) в д ол ь прям ой x + at = C 2 . Г ра ф иче ское из о бра ж е ние о писа нного проце сса ра спро стра не ния прям ой в ол ны д а но на рис. 3. П оскол ь ку на ка ж д ой прям ой x − at = C1 зна че ние u ( x, t ) = ϕ (C1 ) по стоянно, то гов орят, что на ча л ь ны е в озм уще ния ра спро стра няю тся по ха ра кте ристика м .

17

ϕ ( x − at )

C1

П рим е р. x2

2 ∂ 2u ∂u 2 ∂ u − y − 2y =0 2 2 ∂y ∂x ∂y

В сил у того, что B 2 − AC = x 2 y 2 > 0 - д а нное ура в не ние гипе рбол иче ско го типа x 2 dy − xydx = 0 ∂y ∂x − =0 y x

x 2 dy + xydx = 0 ln y + ln x = ln C 2 xy = C 2

ln y − ln x = ln C1 y = C1 x y ξ= , x

η = xy ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u 1 ∂u = + = + x ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ξ x ∂η ∂ 2 u 2 ∂u 2 y ∂u ∂ 2u ∂ 2u y 2 ∂ 2u  y  2 y + y + + 0 = + −   ∂ξ x 3 ∂η ∂ξ∂η  x 2  ∂η 2 ∂x 2 ∂ξ 2 x 4 ∂ 2u ∂ 2u 1 ∂ 2u 1 ∂ 2 u 2 ∂u ∂u = +2 x+ x + 0+ 0 2 2 2 2 ∂ξ∂η x ∂ξ ∂η ∂y ∂ξ x ∂η

∂ 2u  y 2 y 2  ∂ 2u ∂ 2u 2 2 ∂u  y 2 y  ∂u 2 2   + − y − y + − 2 ( ) (x y − x2 y2 ) + (−2 xy ) = 0 − 2 + + 2  2 2  2 ∂ξ∂η ∂ξ  x x  ∂η ∂ξ  x x  ∂η ∂ 2u ∂u − 4 y2 + ( −2 xy ) = 0 ∂ξ∂η ∂η

18 x ∂u ∂ 2u + =0 ∂ξ∂η 2 y ∂η ∂ 2u 1 ∂u + =0 ∂ξ∂η 2ξ ∂η ∂u = V (ξ ,η ) ∂η ∂V 1 + V =0 ∂ξ 2ξ ∂V ∂ξ =− V 2ξ 1 ln V = − ln ξ + ln C (η ) 2 V = C (η )ξ

−

1 2

− ∂u = C (η )ξ 2 ∂η 1

u (ξ ,η ) = ξ

−

1 2

u ( x, y ) =

x y

y ψ ( xy ) + ϕ ( ) - обще е ре ше ние . x

u ( x, y ) =

x y

e 5 xy + sin

2y x

−

1

∫ C (η )dη + ϕ (ξ ) = ξ 2ψ (η ) + ϕ (ξ )

- ча стное ре ше ние .

19

6. ЗадачаК ош и дл явол новогоу равнения За д а ча К оши со стоит в на хо ж д е нии ре ше ния ура в не ния 2 ∂ 2u 2 ∂ u = a , ∂t 2 ∂x 2

(− ∞ < x < ∞, t > 0),

(6.1)

уд ов л е тв оряю ще го на ча л ь ны м усл ов иям u t =0 = α ( x),

∂u ∂t

(− ∞ < x < ∞ ),

= β ( x),

(6.2)

t =0

За пише м ре ше ние Да л а м бе ра д л я ура в не ния (6.1) u ( x, t ) = ϕ ( x − at ) + ψ ( x + at ) . Опре д е л им ф ункции ϕ и ψ та ким обра з ом , чтобы в ы пол нял ись на ча л ь ны е усл о в ия (6.2). П од ста в л яя в (6.2), пол учим систе м у ура в не нии д л я о пре д е л е ния ϕ (x) и ψ (x) ϕ ( x) + ψ ( x) = α ( x) − aϕ ' ( x) + aψ ' ( x) = β ( x).

И нте грируя в то рое ра в е нств о, им е е м

ϕ ( x) + ψ ( x) = α ( x) x

− ϕ ( x) + ψ ( x) =

(6.3)

1 β ( y )dy + C , a ∫0

гд е C – произвол ь на я постоянна я. И зпол уче нной систе м ы на ход им ϕ (x) и ψ (x) x

1 1 C ϕ ( x) = α ( x) − β ( y )dy − ∫ 2 2a 0 2 x

т.е .

1 1 C ψ ( x) = α ( x) + β ( y )dy + ∫ 2 2a 0 2

Т огд а ф ункция им е е т в ид u ( x, t ) =

x + at

α ( x − at ) + α ( x + at ) 1 + β ( y )dy . 2 2e x −∫at

(6.4)

Л е гко пров е рить , что ф о рм ул а (6.4) д е й ств ите л ь но д а е т ре ше ние зад а чи К оши (6.1)-(6.2). Сл е д уе т л иш ь потре бов а ть , чтобы ф ункция α (x) бы л а д в а ж д ы не пре ры в но д иф ф е ре нцируе м а , а ф ункция β (x) од ин ра зне пре ры в но д иф ф е ре нцируе м а . П рим е р. На й ти ре ше ние з а д а чи К оши ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + 2 − 3 =0 ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 u

y =0

∂u ∂y

= 3x 2 =0

y =0

П ро в е рим , что ура в не ние гипе рбол иче ского типа . Де й ств ите л ь но: B − AC = 1 + 3 = 4 > 0 - гипе рбол иче ский тип 2

20 dy − (1 + 2)dx = 0 y − 3x = e ξ = 3x − y

dy − (1 − 2)dx = 0 y+x=e η = x+ y

Опустим под робно е из л ож е ние прив е д е ния исход но го ура в не ния к ка но ниче ско м у в ид у. ∂ 2u =0 ∂ξ∂η ∂ ∂ξ

 ∂u    = 0  ∂η 

∂u = e(η ) ∂η u (ξ , η ) = ∫ e(η )dη + ϕ (ξ )

u (ξ , η ) = ϕ (ξ ) + ψ (η ) u ( x, y ) = ϕ (3 x − y ) + ψ ( x + y )

y=3x+e y=-x+e u y =0 = ϕ (3 x ) + ψ ( x )   ∂u = −ϕ ' (3 x ) + ψ ' ( x)   ∂y y =0

ϕ (3 x ) + ψ ( x ) = 3 x 2  − ϕ ' (3 x) + ψ ' ( x) = 0

ϕ (3 x) + ψ ( x) = 3 x 2   1 − ϕ (3 x) + ψ ( x ) = e  3 4 ϕ (3 x) = 3 x 2 − e 3 9 x 2 3e ϕ (3 x) = − 4 4 9 x 2 3e ψ ( x) = 3 x 2 − + 4 4 3 3e ψ ( x) = x 2 + 4 4 t 2 3e ϕ (t ) = − 4 4 (3 x − y ) 2 3e 3( x + y ) 2 3e u ( x, y ) = − + + 4 4 4 4 2 2 u ( x, y ) = 3 x + y

не посре д ств е нной пров е ркой (д иф ф е ре нциров а ние м ) м ож но по ка зать пра в ил ь ность в ы числ е ния иско м о й ф ункции.

21

Ре ком е нд уе м ы е упра ж не ния: Ре ш ить зад а чу К о ш и 1. x 2 2. 3.

2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u − 2 xy − 3 y =0 ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2

∂u ∂ 2u ∂ 2u = 2 , е сл и u t =0 = x 2 2 ∂t ∂t ∂x

t =0

∂ 2u ∂ 2u ∂u = 4 , е сл и u t =0 = 0 2 2 ∂t ∂t ∂x

t =0

=0 =x

4. На й ти ф орм у струны , опре д е л яе м ой ура в не ние м и на ча л ь ны м и усл ов иям и 2 ∂ 2u ∂u 2 ∂ u =a , е сл и u t =0 = sin x 2 2 ∂t ∂t ∂x

= 1. t =0

Отв е ты : 1. 2. 3. 4.

(4 x 3 + 1)ψ ( x 3 ) = ϕ 0 ( x ) + 4ϕ 1 ( x) u = x2 + t 2 u = xt u = sin x cos at + t

7. Г раф ическ ое иссл едование реш ениязадачи К ош и Ра ссм о трим д в а сл уча я: I. α ≠ 0, β ≡ 0 II. α ≡ 0, β ≠ 0 I. на ча л ь ны е скоро сти то че к струны ра в ны нул ю , а на ча л ь ное см е ще ние им е е т м е сто л иш ь в ко не чном про м е ж утке [− k; k ] струны , т.е . α ( x) = 0 при x ∉ [− k ; k ]

2 ∂ u 2 ∂ u = a ∂t 2 ∂x 2 u t =0 = α ( x), 2

Рис.4 u t ' t =0 = 0

П усть гра ф ик ф ункции, описа нной в п.6, им е е т в ид , из обра ж е нны й на рис. 4. Ре ш е ние зад а чи в ы ра ж а е тся ф орм ул ой u ( x, t ) =

α ( x − at ) + α ( x + at ) 2

(7.1)

Ре ш е ние (7.1) е сть сум м а д в ух в ол н (прям ой и обра тной ), ра спро стра няю щихся в пра в о и в л е в о со скоро сть ю a, приче м на ча л ь на я ф орм а

ка ж д ой

в ол ны

о пре д е л яе тся гра ф иком ф ункции

пол ов ине на ча л ь ного см е ще ния.

α (x) , 2

ра в ной

22

Ра ссм о трим ф орм у о ткл оне ния струны д л я м ом е нто в в ре м е ни: 1) t=0; 2) t =

k k k ; 3) t = ; 4) t > ; 2a a a

Ф орм а откл о не ния струны буд е т опре д е л ять ся сл е д ую щим и гра ф ика м и:

2) t =

k 2a

3) t =

k a

4) t >

k a

Рис. 5.

23

В на ча л е t <

k k в о л ны на л е га ю т од на в д ругую , а зате м (t > ) ра сход ятся в a a

ра зны е стороны д руг от д руга . В ка ж д ой точке x струны посл е прохож д е ния обе их в ол н (а д л я точе к, л е ж а щих в не о бл а сти на ча л ь но го в озм уще ния, посл е прохож д е ния тол ь ко о д ной ) на ступа е т поко й (u=0). П усть точка x струны л е ж ит пра в е е про м е ж утка (-k;k), т.е . x > k . П ри x−k и (x,t)=0 , т.е . в ол на д о то чки x е ще не д ошл а . a a−k С м ом е нта в ре м е ни t = точка x на чне т д в иж е ние (на ча л ь но е a x+k прохож д е ние пе ре д не го ф ронта прям о й в ол ны ). П ри t > снов а на ступа е т a x+k соо тв е тств уе т про хо ж д е нию покой ; u(x,t)=0. М о м е нт в ре м е ни t = a t<

зад не го ф ронта прям ой в ол ны че ре зточку. II. На ча л ь ное см е ще ние u ( x, t ) = α ( x) ра в но нул ю , а

∂u ( x,0) = β ( x) отл ично ∂t

о т нул я л иш ь в ко не чном пром е ж утке [− k; k ] (на ча л ь ны й им пул ь с) 2 ∂ 2u 2 ∂ u = a ∂t 2 ∂x 2 u t =0 = 0,

∂u ∂t

= β ( x) t =0

Рис. 6 П усть гра ф ик β (x) им е е т в ид , из о бра ж е нны й на рис. 6, т.е . 1, x ∈ [− k ; k ] β ( x) =  0, x ∉ [− k ; k ]

Ре ш е ние зад а чи К оши в этом сл уча е зад а е тся ф о рм ул ой u ( x, t ) =

x + at

1 β ( y )dy 2a x −∫at

(6.2)

Обозна чим x

F ( x) =

1 β ( y )dy , a −∫k

(6.3)

24

то гд а u ( x, t ) =

−k

1 1 β ( y )dy + 2a x −∫at 2a

x + at

∫ β ( y )dy =

−k

1 1  2 a

x + at

∫ β ( y )dy −

−k

1 a

x − at



∫ β ( y)dy 

−k

У читы в а я (3), посл е д не е соотно ше ние м ож но пе ре писа ть сл е д ую щим о бра з ом F ( x + at ) − F ( x − at ) 1 1 = − F ( x − at ) + F ( x + at ). 2 2 2 1 П о строим гра ф ик ф ункции F ( x) (рис.7). 2 u ( x, t ) =

(6.4)

Ре ше ние (6.4) е сть сум м а д в ух в о л н, ра спростра няю щихся в пра в о и в л е в о со скорость ю

a , приче м

на ча л ь на я ф орм а

прям ой

в ол ны

−

1 F ( x − at ) 2

1 2 1 1 F ( x + at ) в ол ны – гра ф иком ф ункции F ( x) . 2 2

о пре д е л яе тся гра ф иком ф ункции − F ( x) , а на ча л ь на я ф орм а о бра тной

Ра ссм о трим ф орм у о ткл оне ния струны д л я м ом е нто в в ре м е ни: 1). t=0;

2). t =

k ; 2a

3). t =

k ; a

4). t >

k a

Ф орм а о ткл оне ния струны буд е т опре д е л ять ся сл е д ую щим и гра ф ика м и (см . рис.5): 1)

u(x,0)

25

2) t =

k , 2a

u(x,

3) t =

k ) 2a

k a k u ( x, ) a

4) t >

k a

u(x,t)

26

Т а м , гд е обе в о л ны , прям а я и обра тна я, уж е прошл и, струна прид е т в со стояние покоя, но не в е рне тся к исход ном у по л ож е нию , та к ка к д л я д оста точно бол ь ш их з на че ний в ре м е ни x + at > k F ( x + at ) ра в на по стоянной , а д л я x − at < −k F ( x − at ) = 0 . В струне о ста е тся та к на зы в а е м ое оста точное см е ще ние (см . рис.5). Т а ким обра з ом , д е й ств ие на ча л ь ного им пул ь са прив од ит к то м у, что с те че ние м в ре м е ни то чки струны сд в ига ю тся на отре з о к, д л ина кото ро го в ы ра ж а е тся инте гра л ом k

∫ β ( y)dy

−k

и оста е тся в по ко е в этом но в ом пол о ж е нии. В ол ны о ста в л яю т по сл е се бя ка к бы сл е д св ое го прохо ж д е ния.

27

Сод е рж а ние 1. Основ ны е ура в не ния м а те м а тиче ской ф изики… … … … … … … … … … ...3 2. К а нониче ский в ид л ине й ного ура в не ния в торого по ряд ка с д в ум я не зав исим ы м и пе ре м е нны м и… … … … … … … … … … … … … … … … … ...4 3. П рив е д е ние к ка нониче ско м у в ид у ура в не ний в торого поряд ка в ча стны х производ ны х с д в ум я не зав исим ы м и пе ре м е нны м и… … … … ..6 4. У ра в не ние кол е ба ний струны … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 5. М е тод ха ра кте ристик Да л а м бе ра д л я в ол но в о го ура в не ния… … … … ..15 6. За д а ча К о ши д л я в ол нов ого ура в не ния… … … … … … … … … … … … … 19 7. Г ра ф иче ско е иссл е д ов а ние ре ш е ния з а д а чи К ош и д л я в ол нов ого ура в не ния… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .21 8. Л ите ра тура … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...27 О сновнаял итерату ра 1. М а ртинсон Л .К . Диф ф е ре нциа л ь ны е ура в не ния м а те м а тиче ской ф изики: уче б.д л я студ . в тузов / Л .К . М а ртинсон, Ю .И . М а л ов .- М .: И здв о М Г Т У им . Н.Э . Ба ум а на , 2002.- 367с. –(М а те м а тика в те хниче ском унив е рсите те ; В ы п. 12). 2. Са бито в К . Б. У ра в не ния м а те м а тиче ской ф из ики: уче б. по собие д л я студ ., обуч. по спе циа л ь ностям «М а те м а тика », « П рикл а д на я м а те м а тика и инф орм а тика » и «Ф изика » / К .Б. Са бито в .-М .: В ы сш. ш к., 2003.-254с. 3. См ирно в М .М . Диф ф е ре нциа л ь ны е ура в не ния в ча стны х производ ны х в то ро го поряд ка : уче б. по собие / М .М .См ирно в .- М инск: И зд-в о БГ У , 1974.-232 с. 4. Сборник зад а ч по ура в не ниям / В .С. В л а д им иров [и д р.]; - М .: Ф изм а тл ит, 2003.- 288 с.

Д опол нител ьнаял итерату ра 1. У ра в не ния м а те м а тиче ской ф из ики. Те ория ф ункций ком пл е ксного пе ре м е нного: уче б.пособие / В .А . П о горе л е нко [и д р.].- В ороне ж : В Г У , 1975.- 66 с. Со ста в ите л ь М а л ю тина Окса на П е тро в на Ре д а ктор Т ихом иров а О.А .