О спектре оператора Лапласа на искривленных произведениях римановых многообразий

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2008. Том 49, № 1

УДК 517.954+517.984.5

О СПЕКТРЕ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА НА ИСКРИВЛЕННЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ Н. В. Глотко Аннотация. Описан существенный спектр оператора Лапласа, действующего на k-формах на одном классе искривленных произведений с двумерной базой. Ключевые слова: оператор Лапласа, дифференциальная форма, искривленное произведение римановых многообразий, существенный спектр самосопряженного оператора.

1. Введение Одним из наиболее важных глобальных инвариантов полного риманова многообразия является нижняя грань спектра оператора Лапласа. Оператор Лапласа на полном некомпактном многообразии M , заданный на гладких финитных функциях C0∞ (M ), самосопряжен в существенном и имеет единственное самосопряженное расширение на пространстве измеримых суммируемых с квадратом функций L2 (M ). В частности, представляет интерес исследование характера существенного спектра оператора Лапласа, тесно связанного с асимптотическим поведением кривизны и объема многообразия на бесконечности. Проблемой нахождения спектра оператора Лапласа на некомпактных многообразиях занимались многие авторы. В частности, в [1–5] изучался спектр оператора Лапласа — Бельтрами на функциях, в [6–8] — на дифференциальных формах. В настоящей работе мы исследуем спектр оператора Лапласа — Бельтрами на одном специальном классе римановых субмерсий — искривленных (скрещенных) произведениях римановых многообразий [9–12]. Метрики искривленного произведения часто возникают при решении задач ОТО и теории струн. На многообразиях такого вида «работает» метод разделения переменных, что существенно облегчает задачу исследования спектра. 2. Метод разделения переменных на искривленных произведениях Пусть M — гладкое n-мерное ориентируемое риманово многообразие, ƒk T ∗ M — k-я внешняя степень кокасательного расслоения T ∗ M над M . Сечения расслоения ƒk T ∗ M — это дифференциальные формы степени k на M . Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ–8526.2006.1) и при финансовой поддержке проекта INTAS № 03–51–3251 «Simplicial algebra, homology theories, K-theory and homotopy theory».

c 2008 Глотко Н. В.

24

Н. В. Глотко

Риманова метрика многообразия M индуцирует на каждом слое ƒk T ∗ Mx скалярное произведение h·, ·ix . Будем использовать следующие обозначения для некоторых пространств сечений расслоения ƒk T ∗ M : C ∞ (ƒk T ∗ M ) — пространство всех гладких сечений расслоения ƒk T ∗ M , C0∞ (ƒk T ∗ M ) — пространство гладких сечений с компактными носителями, лежащими в int M = M \ ∂M , Lk1,loc (M ) — пространство тех дифференциальных форм степени k на M , представления которых в локальных картах многообразия M имеют локально интегрируемые коэффициенты, Lk2 (M ) — гильбертово пространство, снабженное скалярным произведением Z Z hω1 , ω2 iM = hω1 , ω2 ix dµM = ω1 ∧ ∗M ω2 , M

M

где ∗M — оператор Ходжа (действие этого оператора на формах степени k будем обозначать через ∗kM ), dµM — элемент риманова объема многообразия M ; это пространство образовано всеми формами ω ∈ Lk1,loc (M ), для которых 1
1 R 2 |ω|2x dµM 2 < ∞, причем = kωkLk2 (M ) = hω, ωiM M

|ω|2x

= g i1 j1 . . . g ik jk (x)ωi1 ...ik (x)ωj1 ...jk (x).

В дальнейшем мы будем иметь дело со следующими дифференциальными операторами, действующими в пространствах дифференциальных форм: dkM : k C0∞ (ƒk T ∗ M ) → C0∞ (ƒk+1 T ∗ M ) — оператор внешнего дифференцирования, δM : ∞ k ∗ ∞ k−1 ∗ C0 (ƒ T M ) → C0 (ƒ T M ) — оператор кодифференцирования, формально k nk+n+1 сопряженный к оператору dk−1 ∗M dn−k M , δM ω = (−1) M ∗M . При помощи операторов dM и δM определяется оператор Лапласа на гладких формах степени p с компактными носителями:
k+1 k k kM ω = δM dM + dk−1 M δM ω. k Операторы dkM , δM и kM допускают плотно определенные замкнутые про∞ k ∗ должения с C0 (ƒ T M ) на пространства интегрируемых с квадратом форм Lk2 (M ). Мы будем обозначать эти продолжения теми же символами: dkM : k Lk2 (M ) → Lk+1 (M ), δM : Lk2 (M ) → Lk−1 (M ), kM : Lk2 (M ) → Lk2 (M ). Если 2 2 k многообразие M полно, то M — расширение по Фридрихсу оператора Лапласа, заданного на гладких формах с компактными носителями. Нам понадобятся следующие известные факты спектральной теории оператора Лапласа на полных многообразиях [13].

Теорема 1. Пусть M — связное замкнутое ориентируемое гладкое многообразие. Для любой римановой метрики g на M обозначим через kg = dd∗ +d∗ d оператор Лапласа —
Бельтрами, действующий на k-формах на M . Тогда (1) спектр σ kg оператора kg состоит из неограниченной последовательности неотрицательных собственных значений 0 < λ1,k (g) ≤ λ2,k (g) . . . ≤ λm,k (g) → ∞; эта последовательность начинается с нуля тогда и только тогда, когда k-е число Бетти bk (M ) (в смысле гармонических форм) многообразия M отлично от нуля; (2) последовательность собственных k-форм оператора kg , соответствующих собственным значениям {λm,k (g)}m∈N , образует полный ортонормированный базис в Lk2 (M ).

О спектре оператора Лапласа

25

Теорема 2. Пусть M — полное некомпактное риманово многообразие. То

F r
гда σess kM = σess kM1 для любого компакта K ⊂ M , где M1 = M \int K,
F r k а M1 — расширение по Фридрихсу ограничения оператора Лапласа kM на пространство гладких финитных k-форм с носителями в int M1 . В дальнейшем будем предполагать, что многообразие M является полным искривленным (скрещенным) эйнштейновым произведением над двумерной базой, M = R2 ×f 2 F , где слой F — гладкое замкнутое многообразие, dim F = n−2. Риманова метрика на M имеет вид gM = gB + f 2 gF , где gB — метрика на двумерной базе, f — положительная функция на базе, имеющая нужный порядок ˆ 0 gF . Для таких гладкости. F снабжено полной метрикой Эйнштейна gF с rˆ0 = λ многообразий существует классификация, а именно полные метрики Эйнштейна на искривленных произведениях с двумерной базой при n > 3 сводятся к метрикам следующих пяти типов, см., например, [9] (здесь (u, v) — декартовы, а (t, θ) — полярные координаты на базе R2 ): (a) gM = du2 + dv 2 + gF ; (b) gM = du2 + e2u dv 2 + e2u gF ; (c) gM = du2 + f 02 (u)dv 2 + f 2 (u)gF , причем f (0) = 1, f 0 > 0, f 02 = −1+ n−3 3−n ; +f 2 + 2(n−3) (n−1)n−1 f (d) gM = dt2 +

4f 02 (t) 2 (n−3)2 dθ + 2 02 2

f 2 (t)gF , причем f (0) = 1, f 0 ≥ 0, f 02 = 1 − f 3−n ; ˆ

λ0 (e) gM = dt2 + b f (t)dθ + f 2 (t)gF , причем f (0) = a, f 0 ≥ 0, f 02 = n−3 + q
ˆ ˆ ˆ λ0 n−3 −λ0 λ0 ˆ +f 2 − an−1 + n−3 a f 3−n , 1b = n−1 2 a + 2a , a > 0 при λ0 ≥ 0, a > n−3 при ˆ 0 < 0. λ В настоящей работе мы исследуем характер существенного спектра метрик (a), (d) и (e). Отметим сразу, что для вычисления непрерывной части спектра эйнштейновость слоя F несущественна, и можно считать в дальнейшем без ограничения общности, что F — просто гладкое замкнутое ориентируемое риманово многообразие. Однако поведение изолированных собственных значений бесконечной кратности зависит от топологии слоя. Мы надеемся исследовать этот вопрос позднее. k Получим сначала общие выражения для операторов dkM , δM , kM , ∗kM для 2 2 2 2 метрик вида gM = dt + g (t)ds + σ (t)gF на произвольном искривленном произведении M = R2 ×(g,σ) F с двумерной базой и искривляющими функциями g(t) и σ(t). Здесь t, s — координаты в базе. Каждая дифференциальная форма на M может быть однозначно представлена в виде ω = α1 + α2 ∧ ds + β1 ∧ dt + β2 ∧ ds ∧ dt, где α1 , α2 , β1 , β2 — формы на M , не содержащие ds и dt. Формы α1 , α2 , β1 , β2 можно считать формами на F , параметризованными двумя переменными s и t. Имеем     k−1 k k ∂α1 k ∂α1 dM ω = dkF α1 + dk−1 α + (−1) ∧ ds + d β + (−1) ∧ dt 2 1 F F ∂s ∂t   k ∂α2 k−1 ∂β1 + dk−2 β + (−1) + (−1) ∧ ds ∧ dt, (1) 2 F ∂t ∂s
∗kM ω = σ n−2k−2 g(∗kF α1 ) ∧ ds ∧ dt + (−1)n−k−1 σ n−2k g −1 ∗k−1 F α2 ∧ dt

n−2k+2 −1 k−2 + (−1)n−k σ n−2k g ∗k−1 g ∗F β2 , (2) F β1 ∧ ds + σ

26

Н. В. Глотко

k δM ω

   −2 k k 2k−n −1 ∂ n−2k = σ δF α1 + (−1) σ g (σ g) β1 ∂t  ∂β1 ∂α2 + (−1)k + g −2 (−1)k + σ −2 δFk−2 β2 ∧ ds ∧ dt ∂t ∂s    −2 k−1 k 2k−n−2 ∂ n−2k+2 −1 + σ δF α2 + (−1) σ g (σ g ) β2 ∂t    k ∂β2 −2 k−1 k−1 −2 ∂β2 ∧ ds + σ δF β1 + (−1) ∧ dt. (3) + (−1) g ∂t ∂s

Здесь k = deg ω. Тогда действие kM на ω будет иметь следующий вид: kM ω = (M ω)0 + (M ω)1 ∧ ds + (M ω)2 ∧ dt + (M ω)3 ∧ ds ∧ dt, где ∂ 2 α1 ∂ 2 α1 − g −2 2 ∂t  ∂s2  ∂ n−2k−2 ∂α1 ∂σ − σ 2k−n+2 g −1 (σ g) + 2(−1)k σ −1 dk−1 β1 , ∂t ∂t ∂t F

(M ω)0 = σ −2 kF α1 −

2 ∂ 2 α2 ∂g ∂β1 −2 ∂ α2 − g − 2g −1 2 2 ∂t ∂s  ∂t ∂s ∂ n−2k −1 ∂α2 ∂σ 2k−n (σ g ) + 2(−1)k σ −1 dk−2 β2 , −σ g ∂t ∂t ∂t F

(4)

(M ω)1 = σ −2 k−1 F α2 −

2 ∂ 2 β1 −2 ∂ β1 − g 2 ∂t ∂s2    ∂ ∂β1 2 ∂g ∂α2 − σ 2k−n g −1 (σ n−2k g) + ∂t ∂t g 3 ∂t ∂s    ∂ ∂ ∂(σ −2 ) k − σ 2k−n g −1 (σ n−2k g) β1 + (−1)k−1 δF α1 , ∂t ∂t ∂t

(5)

(M ω)2 = σ −2 k−1 F β1 −

(6)

2 ∂ 2 β2 −2 ∂ β2 − g 2 ∂t2   ∂s ∂β2 ∂ 2k−n−2 n−2k+2 −1 (σ g ) −σ g ∂t ∂t    ∂ ∂ ∂(σ −2 ) k−1 − σ 2k−n−2 g (σ n−2k+2 g −1 ) β2 + (−1)k−1 δF α2 . (7) ∂t ∂t ∂t

(M ω)3 = σ −2 k−2 F β2 −

Для дальнейшего анализа нам потребуется следующее Предложение 1. Пусть F — гладкое многообразие, dim F = n и d

d

d

0 → C ∞ (F ) → C ∞ (ƒT ∗ F ) → · · · → C ∞ (ƒn T ∗ F ) → 0 — комплекс де Рама гладких форм на F . Тогда для каждого k, 1 ≤ k ≤ n − 1, имеет место следующее разложение: C ∞ (ƒk T ∗ F ) = dC ∞ (ƒk−1 T ∗ F ) ⊕ δC ∞ (ƒk+1 T ∗ F ) ⊕

H

k

F;

О спектре оператора Лапласа Lk2 (F ) = dC ∞ (ƒk−1 T ∗ F ) ⊕ δC ∞ (ƒk+1 T ∗ F ) ⊕

H

27

H

k

F,

k где замыкания берутся в норме L2 , F — пространство гармонических форм на F . Таким образом, для каждой формы ω ∈ Lk2 (R2 ×f 2 F ) можно написать следующее разложение (здесь 0 ≤ k ≤ n):

ω = α1δ ⊕ (α1d + α2δ ∧ ds + β1δ ∧ dt) ⊕ (α2d ∧ ds + β1d ∧ dt + β2δ ∧ ds ∧ dt) ⊕ β2d ∧ ds ∧ dt. (8) Здесь α1d , α2d , β1d , β2d — замкнутые формы на F , параметризованные переменными t, s; α1δ , α2δ , β1δ , β2δ — ко-замкнутые формы на F , параметризованные переменными t, s; deg α1d = deg α1δ = k, deg α2d = deg β1d = deg α2δ = deg β1δ = k − 1, deg β2δ = deg β2d = k − 2. Имеем (ортогональное) разложение пространства Lk2 (R2 ×f 2 F ): Lk2 (R2 ×f 2 F ) = Mk1 (R2 ×f 2 F ) ⊕ Mk2 (R2 ×f 2 F ) k∗ 2 2 ⊕ Mk∗ 2 (R ×f 2 F ) ⊕ M1 (R ×f 2 F )

(9)

в соответствии с разложением (8). Перестановочные соотношения k dkF kF = k+1 F dF ;

k δFk kF = k−1 F δF ;

∂ ∂ k dF = dkF ; ∂t ∂t

∂ k ∂ k ∂ k ∂ ∂ ∂ d = dkF ; δ = δFk ; δ = δFk ∂s F ∂s ∂t F ∂t ∂s F ∂s дают разложение
F r
F r
F r
F r
F r kM = kM1 ⊕ kM2 ⊕ kM∗2 ⊕ kM∗1 ,

(90 )

где символ F r означает расширение по Фридрихсу соответствующего оператора с C0∞ (ƒk T ∗ (R2 ×f 2 F ))∩Mi и с C0∞ (ƒk T ∗ (R2 ×f 2 F ))∩M∗i соответственно. Таким образом, разложение (9) приводит оператор Лапласа. Имеем   2
∂ 2 α1δ ∂α1δ ∂ n−2k−2 −2 ∂ α1δ 2k−n+2 −1 kM1 α1δ = σ −2 kF α1δ − − g − σ g (σ g) , ∂t2 ∂s2 ∂t ∂t (10) 
∂ 2 α1d ∂ 2 α1d kM2 (α1d + α2δ ∧ ds + β1δ ∧ dt) = σ −2 kF α1d − − g −2 2 ∂t ∂s2    ∂ n−2k−2 ∂α1d ∂σ − σ 2k−n+2 g −1 (σ g) + 2(−1)k σ −1 dk−1 β 1δ ∂t ∂t ∂t F  ∂ 2 α2δ ∂ 2 α2δ ∂g ∂β1δ + σ −2 k−1 − g −2 − 2g −1 F α2δ − 2 ∂t ∂s2 ∂t ∂s      ∂ ∂α2δ ∂ 2 β1δ ∂ 2 β1δ − σ 2k−n g σ n−2k g −1 ∧ ds + σ −2 k−1 − g −2 F β1δ − 2 ∂t ∂t ∂t ∂s2      ∂ ∂β1δ 2 ∂g ∂α2δ − σ 2k−n g −1 σ n−2k g + ∂t ∂t g 3 ∂t ∂s      −2 ∂ 2k−n −1 ∂ ∂(σ ) k − σ g σ n−2k g β1δ + (−1)k−1 δF α1d ∧ dt. (11) ∂t ∂t ∂t

28

Н. В. Глотко

Оператор Ходжа ∗ изометрически отображает пространство k-форм M1 вида α1δ на пространство форм M∗1 вида β2d ∧ ds ∧ dt, а пространство форм M2 вида α1d + α2δ ∧ ds + β1δ ∧ dt — на пространство форм M∗2 вида α2d ∧ ds + β1d ∧ dt + β2δ ∧ ds ∧ dt.
F r Поэтому для вычисления спектра оператора kM достаточно понять,
F r
F r k k . Учитывая разложение и M2 как устроены спектры операторов M1 (90 ), имеем для спектра оператора Лапласа следующее представление: σess kM





Fr

=

2 [

σess kMi


F r


(110 )

.

i=1

Поскольку многообразие F замкнуто, спектры операторов kF для 0 ≤ k ≤ n−2 дискретны и для любого k ∈ 0, n − 2 имеется (полный) ортонормированный базис в Lk2 (F форм {b1q } оператора kF , отвечающих собственным  ) kсобственных значениям λq [14, 15], таких, что δFk b1q = 0. Мы можем разложить форму α1δ по этому базису: M α1δ = uq (s, t)b1q , uq (s, t)b1q ∈ Lk2 (R2 ×f 2 F ). (12) q

Эта сумма ортогональна в пространстве Lk2 (R2 ×f 2 F ). Для каждого q имеем 2
∂ 2 uq (s, t) −2 ∂ uq (s, t) b − g b1q kM1 (uq (s, t)b1q ) = λkq σ −2 uq (s, t)b1q − 1q 2 2 ∂t   ∂s ∂uq (s, t) ∂ n−2k−2 − σ 2k−n+2 g −1 (σ g) b1q . (13) ∂t ∂t

Для форм ω вида uq (s, t)b1q L2 -норма имеет вид ZZ 2 kωkLk (R2 × 2 F ) = g(t)σ n−2k−2 (t)|uq (s, t)|2 dsdt. 2

(14)

f

R2


F r унитарно эквивалентен прямой сумме расширений по Оператор kM1 Фридрихсу (0λkq )F r операторов 0λkq : C0∞ (R2 ) → L2 (R2 , gσ n−2k−2 ),   2 ∂ n−2k−2 ∂u ∂2u k −2 −2 ∂ u 2k−n+2 −1 −σ g (σ g) . 0λkq u = λq σ u − 2 − g 2 ∂t ∂s ∂t ∂t Рассмотрим следующее унитарное преобразование: U0 : L2 (R2 , gσ n−2k−2 ) → L2 (R2 ), Имеем коммутативную диаграмму C0∞ (R2 )  0λk  qy

U

0 −−−− → C0∞ (R2 )  q  D0k y

L2 (R2 , gσ n−2k−2 ) −−−−→ L2 (R2 ). U0

1

U0 (u) = g 2 σ

n−2k−2 2

u.

(15)

О спектре оператора Лапласа q Оператор D0k Имеем q D0k u


F r

29

унитарно эквивалентен оператору (0λkq )F r .

 2 ∂2u 1 −1 ∂ 2 g −2 ∂ u u= = − 2 −g + g ∂t ∂s2 2 ∂t2  2 (2k − n + 2) −1 ∂ 2 σ (n − 2k − 2)(n − 2k − 4) −2 ∂σ − + σ σ 2 ∂t2 4 ∂t  2  1 −2 ∂g (2k − n + 2) −1 −1 ∂σ ∂g − g − σ g u. (16) 4 ∂t 2 ∂t ∂t U0 0λkq U0−1




λkq σ −2 u

Справедливо включение ∞ [

q σess D0k


F r


⊆ σess kM1


F r


(160 )

q=0

Аналогично формы вида ω = α1d + α2δ ∧ ds + β1δ ∧ dt допускают разложения  X 1 k−1 k k q ω= uq (s, t)dF c3q + (−1) vq (s, t)c3q ∧ ds + (−1) wq (s, t)c3q ∧ dt , q λk−1 q где {c3q } — ортонормированный базис собственных для оператора k−1 ко- F замкнутых форм степени k−1, соответствующих собственным значениям λk−1 , q  1 k−1 и, как нетрудно проверить, √ k−1 dF c3q — ортонормированный базис заλq  мкнутых форм на F , соответствующих собственным значениям λk−1 . Для q каждого q имеем   1 k−1 k k k uq dF c3q + (−1) vq c3q ∧ ds + (−1) wq c3q ∧ dt M2 q λk−1 q = kM2 ,1 (uq , vq , wq ) + kM2 ,2 (uq , vq , wq ) ∧ ds + kM2 ,3 (uq , vq , wq ) ∧ dt,  2 ∂ 2 uq −2 ∂ uq = σ −2 λk−1 uq − − g q ∂t2 ∂s2    q ∂ n−2k−2 ∂uq 1 k−1 2k−n+2 −1 −1 ∂σ −σ g (σ g) + 2σ λq wq q dk−1 F c3q , ∂t ∂t ∂t k−1 λq

kM2 ,1 (uq , vq , wq )

 ∂ 2 vq ∂ 2 vq = σ −2 λk−1 vq − − g −2 2 q 2 ∂t ∂s    ∂ n−2k −1 ∂vq ∂g ∂wq −σ 2k−n g (σ g ) − 2g −1 (−1)k c3q , ∂t ∂t ∂t ∂s

(17)

kM2 ,2 (uq , vq , wq )

(18)

 ∂ 2 wq ∂ 2 wq kM2 ,3 (uq , vq , wq ) = σ −2 λk−1 wq − − g −2 q 2 ∂t ∂s2     ∂ n−2k ∂wq 2 ∂g ∂vq − σ 2k−n g −1 (σ g) + ∂t ∂t g 3 ∂t ∂s     q ∂ ∂(σ −2 ) ∂ n−2k k − σ 2k−n g −1 (σ g) wq − λk−1 u q q (−1) c3q . (19) ∂t ∂t ∂t

30

Н. В. Глотко Как и ранее, для форм вида 1

ω=q

λk−1 q

k k uq dk−1 F c3q + (−1) vq c3q ∧ ds + (−1) wq c3q ∧ dt

L2 -норма записывается как ZZ 2 kωkLk (R2 × 2 F ) = g(t)σ n−2k−2 (t)|uq (s, t)|2 dsdt 2

f

R2

ZZ +

g −1 (t)σ n−2k (t)|vq (s, t)|2 dsdt +

R2

ZZ

g(t)σ n−2k (t)|wq (s, t)|2 dsdt. (20)

R2


F r Таким образом, оператор kM2 унитарно эквивалентен прямой сумме
F r k расширений по Фридрихсу 1λk−1 операторов q

k1λk−1 q

:

C0∞ (R2 )

⊕

C0∞ (R2 )

⊕ C0∞ (R2 )

→ L2 (R2 , gσ n−2k−2 ) ⊕ L2 (R2 , g −1 σ n−2k ) ⊕ L2 (R2 , gσ n−2k ),  ∂2u ∂2u σ −2 λk−1 u − 2 − g −2 2 q ∂t ∂s   q ∂ n−2k−2 ∂u ∂σ − σ 2k−n+2 g −1 (σ g) + 2σ −1 λk−1 w, q ∂t ∂t ∂t   2 ∂ n−2k −1 ∂v ∂g ∂w ∂2v −2 ∂ v 2k−n − g − σ g (σ g ) − 2g −1 , (21) σ −2 λk−1 v − q ∂t2 ∂s2 ∂t ∂t ∂t ∂s     2 ∂2w ∂ n−2k ∂w 2 ∂g ∂v −2 ∂ w 2k−n −1 σ −2 λk−1 w − − g − σ g (σ g) + q ∂t2 ∂s2 ∂t ∂t g 3 ∂t ∂s     q ∂ ∂ n−2k ∂(σ −2 ) σ 2k−n g −1 − (σ g) w − λk−1 u . q ∂t ∂t ∂t {u, v, w} = 1λk−1 q

В данном случае возьмем следующую изометрию: L2 (R2 , gσ n−2k−2 ) L2 (R2 ) ⊕ ⊕ U1 : L2 (R2 , g −1 σ n−2k ) −→ L2 (R2 ) ⊕ ⊕ L2 (R2 , gσ n−2k ) L2 (R2 ), 1

U1 (u, v, w) = (g 2 σ

n−2k−2 2

1

u, g − 2 σ

n−2k 2

1

v, g 2 σ

n−2k 2

Dq1k ,

w).

Имеем матричный дифференциальный оператор расширение по Фриq
F r дрихсу которого D1k унитарно эквивалентно оператору (1λqk−1 )F r :
Dq1k {u, v, w} = U1 (1λqk−1 )F r U−1 {u, v, w} 1  q
q
q = D1k 1 {u, v, w}, D1k {u, v, w}, (D1k )3 {u, v, w} , 2 где  2 ∂2u 1 −1 ∂ 2 g q
−2 k−1 −2 ∂ u − g + g D1k {u, v, w} = σ λ u − q 2 2 1 ∂t ∂s 2 ∂t2

О спектре оператора Лапласа −

31

 2    (2k − n + 2) −1 −1 ∂σ ∂g (2k − n + 2) −1 ∂ 2 σ 1 −2 ∂g − σ g − σ g 2 2 ∂t 4 ∂t 2 ∂t ∂t   2   q (2k − n + 2)(2k − n + 4) −2 ∂σ ∂σ + σ u + 2 λk−1 w, (22) σ −2 q 4 ∂t ∂t  2 1 −1 ∂ 2 g ∂2v −2 ∂ v = − − 2 −g g ∂t ∂s2 2 ∂t2      2 (2k − n) −1 ∂ 2 σ 3 −2 ∂g (2k − n) −1 −1 ∂σ ∂g + − − σ g σ g 2 ∂t2 4 ∂t 2 ∂t ∂t  2    (2k − n)(2k − n + 2) −2 ∂σ ∂g ∂w σ , − v − 2g −2 4 ∂t ∂t ∂s

q
{u, v, w} D1k 2

σ −2 λk−1 v q

(23)

 2 ∂2w 1 −1 ∂ 2 g −2 ∂ w = − 2 −g − g ∂t ∂s2 2 ∂t2    2 ∂g (2k − n) −1 ∂ σ (2k − n) −1 −1 ∂σ σ + σ g − 2 2 ∂t 2 ∂t ∂t  2  2  (2k − n)(2k − n − 2) −2 ∂σ 3 ∂g − g −2 − σ w 4 ∂t 4 ∂t     q ∂g ∂v −2 ∂σ + 2 λk−1 + 2g −2 σ u. (24) q ∂t ∂s ∂t

q
D1k {u, v, w} 3

σ −2 λk−1 w q

Имеем включение ∞ [

σess Dq1k


F r


⊆ σess kM2


F r


.

(240 )

q=0

Таким образом, исследование спектра оператора Лапласа на искривленном произведении с двумерной базой сводится к изучению спектров двух диффеq ренциальных операторов — скалярного оператора D0k и матричного операто


q k Fr ра D1k . Заметим еще, что в силу теоремы 2 σess M = σess kM1 , где M1 = B 2 ×f 2 F , B 2 = R2 \ B 2 (0, R) а kM1 — расширение по Фридрихсу оператора Лапласа на M1 с множества гладких финитных форм с носителями в int M1 . Поэтому достаточно ограничиться анализом поведения существенных спектров q операторов D0k и Dq1k на B 2 = S 1 × [R, +∞) с достаточно большим R. 3. Существенный спектр метрик типов (a) и (d) Запишем теперь операторы (16) и (22)–(24) в случае интересующих нас метрик. Для метрики типа (a) (g ≡ 1, σ ≡ 1) имеем q D0k u = λkq u −

∂2u ∂2u − 2, ∂t2 ∂s

∂2u ∂2u q
q D1k {u, v, w} = D0k−1 u = λk−1 u− 2 − 2, q 1 ∂t ∂s 2 2 ∂ v ∂ v q
q D1k 2 {u, v, w} = D0k−1 v = λk−1 v − 2 − 2, q ∂t ∂s ∂2w ∂2w q
q D1k {u, v, w} = D0k−1 w = λk−1 w− 2 − . q 3 ∂t ∂s2

(25)

32

Н. В. Глотко

Метрики типа (d) и (e) допускают дальнейшую редукцию уравнений. Разлагая функции u(t, θ), v(t, θ) и w(t, θ) по собственным функциям eilθ оператора Лапласа на S 1 (здесь мы переобозначили s = θ) и полагая g(t) = bf 0 (t), +∞ +∞
F r
F r
F r L L ql
F r ∼u ∼u σ(t) = f (t), получим kM1 и kM2 , где D0k Dql 1k q,l=0

ql D0k u=

q,l=0

 000 1 k d2 u l2 1f f 00 λ u − + u + + (n − 2k − 2) f2 q dt2 (bf 0 )2 2 f0 f  00 2  2  (n − 2k − 2)(n − 2k − 4) f 0 1 f + − u, 4 f0 4 f

1 d2 u l2 ql
D1k {u, v, w} = 2 λk−1 u− 2 + u q 1 f dt (bf 0 )2  000  2  2  1f 1 f 00 (n − 2k − 2)(n − 2k − 4) f 0 f 00 + − + + (n − 2k − 2) u 2 f0 4 f0 4 f f   q f0 + 2 λk−1 w; (26) q f2 1 k−1 d2 v l2 ql
λ v − + v D1k {u, v, w} = q 2 f2 dt2 (bf 0 )2  000  00 2  2    1f 3 f (n − 2k)(n − 2k − 2) f 0 2il f 00 − − − v− w; 2 f0 4 f0 4 f b f 02   000   2 d2 w l2 1 f 3 f 00 1 k−1 ql
λ w − + w − − D1k {u, v, w} = 3 f2 q dt2 (bf 0 )2 2 f0 4 f0  0 2   00   0 q (n − 2k)(n − 2k + 2) f 2il f f k−1 − w+ v + 2 λq u 4 f b f 02 f2 или, в матричном виде,    u  v= Dql 1k  w

e ql D 0,k 2

f0 f2

0
q k−1 λq

0 ql b D0,k 2il b

f 00 f 02


q k−1    λq
 u f 00  v . f 02  w b 0 ql D

0 2 ff2 − 2il b




0,k

Приступим к основной задаче — нахождению существенного спектра. Отметим сразу, что в силу (160 ) и (240 ) ∞ [

σess Dq1k


F r


q=0

∞ [

∪

q σess D0k


F r


⊆ σess kM


F r


.

q=0

Предложение 2. Для метрики вида (a) σess kM В частности, если

H

k


F r


F 6= 0 или

 
= min λkq , λk−1 , +∞ . q q

H

k−1

F 6= 0, то σess kM


F r


= [0, +∞).

(27)

О спектре оператора Лапласа

33


F r
Для метрики вида (d) σess kM = [0, +∞) при любом k ∈ 0, n. Доказательство. Рассмотрим сначала метрику (d). При n = 4 она представляет собой риманов аналог метрики Шварцшильда (в случае, когда F =
F r
S 2 ). Во-первых, заметим, что σess kM ⊆ [0, +∞) всегда в силу положительной определенности оператора Лапласа — Бельтрами. Метрика типа (d) имеет вид gM = dt2 +

4f 02 (t) 2 dθ + f 2 (t)gF , (n − 3)2


(n−3) 1 f0 000 = − (n−2)(n−3) 2 f n−2 , f 2 f n−1 . 000
0, если t 6= 0, f 00 > 0, lim f 0 = 1, lim ff 0 = 0, t→∞ t→∞ 0
2 ql lim ff = 0. Оператор D0k в данном случае t→∞

причем f (0) = 1, f 0 ≥ 0, f 02 = 1−f 3−n , f 00 = Как нетрудно убедиться, f 0 > 00
00
2 lim ff = 0, lim ff 0 = 0, t→∞

t→∞

2

d имеет вид − dt 2 + Vql,k (t), где потенциал

(n − 3)2 l2 1 k 1 f 000 f 00 1 Vql,k (t) = + λ + + (n − 2k − 2) − q 4f 02 (t) f2 2 f0 f 4 +



f 00 f0

2

(n − 2k − 2)(n − 2k − 4) 4



f0 f

2

— непрерывная ограниченная на [R, +∞) функция, lim Vql,k (t) = 0. t→∞

Как известно из общей теории операторов Шредингера [16, 17], q0
F r
σess D0k = [0, +∞).
F r
q0
F r В силу (27) имеем [0, +∞) = σess D0k ⊆ σess kM . Поэтому

Fr σess kM = [0, +∞). q В случае метрики типа (a) операторы D0k и Dq0k имеют вид (25). Опе
L q
F r Fr ратор kM1 унитарно эквивалентен прямой сумме D0k , а оператор q
F r L q
F r kM2 — прямой сумме D1k . Имеем q

 

F r
min λkq , λk−1 , +∞ ⊆ σess kM . q q


F r q
F r С другой стороны, как нетрудно видеть, операторы D0k и Dq1k не имеют собственных значений для любого k. Отсюда получаем точное равенство
F r
 
σess kM = min λkq , λk−1 , +∞ . Предложение доказано. q q

4. Существенный спектр метрик типа (e)

σess

Лемма 1. Для метрик типа (e)
F r

F r
kM1 = [((n−2k−1)/2)2 , +∞), σess kM∗1 = [((n−2k+1)/2)2 , +∞).

при любом k. Доказательство. Метрика (e) имеет вид gM = dt2 + b2 f 02 (t)dθ2 + f 2 (t)gF ,

34

Н. В. Глотко

ˆ0 ˆ 0 n−3
3−n 1 ˆ0 λ λ λ причем f (0) = a, f 0 ≥ 0, f 02 = n−3 + f 2 − an−1 + n−3 a f , b = n−1 2 a + 2a , q
1 ˆ 0 ≥ 0, a > −λˆ 0 при λ ˆ 0 < 0, f 00 = f + (n−3) an−1 + λˆ 0 an−3 n−2 a > 0 при λ , n−3 2 n−3 f
ˆ 0 n−3
(n−2)(n−3) f0 λ 000 0 n−1 f =f − a + n−3 a 2 f n−1 . Как и в доказательстве предложения 2, нетрудно убедиться, что f 0 > 0, 000
0
2 00
00
2 если t 6= 0, f 00 > 0, lim ff 0 = 1, lim ff = 1, lim ff 0 = 1, lim ff = t→∞ t→∞ t→∞ t→∞

ql f 00 f0 1, lim f 2 = 0, lim f 0 2 = 0. Оператор D0k в данном случае имеет вид t→∞ l2

t→∞ 2

d − dt 2 +

1 k f 2 λq

+

+ Vk (t), где потенциал  2  2 1 f 000 f 00 1 f 00 (n − 2k − 2)(n − 2k − 4) f 0 Vk (t) = + (n − 2k − 2) − + 2 f0 f 4 f0 4 f
2 . По— непрерывная ограниченная на [R, +∞) функция, lim Vk (t) = n−2k−1 2 t→∞ +∞
F r L ql
F r скольку оператор kM1 унитарно эквивалентен прямой сумме D0k , b2 f 0 2 (t)

q,l=0

согласно общей теории операторов Шредингера имеем
F r
q0
F r
[((n − 2k − 1/2))2 , +∞) = σess D0k ⊆ σess kM1 .

F r
2 Докажем обратное включение. Пусть λ < n−2k−1 . Тогда λ 6∈ σess kM1 . 2 +∞

L F r F r ql ∼u D0k , где символ ∼u означает унитарную Действительно, kM1 q,l=0

эквивалентность. Если λ ∈ σess kM1


F r


, то найдется последовательность
F r
Вейля дифференциальных форм в Dom kM1 , т. е. такая последователь
F r
k 2 ность {ωq } ⊆ Dom M1 , что kωq kMk (B2 × 2 F ) ≤ C < ∞, {ωq } не имеет 1

f

сходящихся в Mk1 (B2 ×f 2 F ) подпоследовательностей и
F r
ωq − λωq = 0. lim kM1 q→∞

Эту последовательность всегда можно выбрать ортогональной, более того, мы можем положить ωq = aq (s, t)b1q , где {b1q } — (полный) ортонормированный k базис в  Lk2 (F ) собственных форм оператора F , отвечающих собственным значениям λkq . Кроме того, в силу справедливости разложения Ходжа мы можем считать, что δFk b1q = 0. Таким образом, имеется ограниченная в L2 ([R, +∞)) последовательность Вейля функций {aq }, не имеющая сходящихся подпоследо ql
F r

2 вательностей и такая, что D0k aq − λaq → 0 при q → +∞. ql
F r
Имеем Dom D0k ⊂ W01,2 ([R, +∞)) и

ql
F r  ql
F r D0k aq − λaq , aq ≤ D0k aq − λaq kaq k → 0 при q → +∞. Таким образом,

ql
F r D0k aq



+∞ Z

− λaq , aq = R

+∞ Z

+ R

+∞  Z d2 aq l2 1 k 2 − 2 + 2 02 aq aq dt + λ a dt dt b f (t) f2 q q R

 (n − 2k − 1)2 (n − 2k − 1)2 Vk (t)aq − aq + aq − λaq aq dt 4 4

О спектре оператора Лапласа +∞ Z

=

daq dt

+∞ Z

2 dt +

R +∞ Z

+

l2 a2 dt + 2 b f 02 (t) q

R

+∞ Z

35 1 k 2 λ a dt f2 q q

R

+∞   Z (n − 2k − 1)2 (n − 2k − 1)2 Vk (t) − a2q dt + − λ a2q dt. 4 4 R

R


n−2k−1 2

и существенный спектр не зависит от R, мы Так как lim Vk (t) = 2 t→∞ можем выбрать R настолько большим, что +∞ Z

(n − 2k − 1)2 Vk (t) − 4



a2q

+∞ Z

dt +

R

 (n − 2k − 1)2 − λ a2q dt > 0. 4

R

Но тогда +∞ Z a2q dt → 0 R

в противоречие с предположением.
F r
 Следовательно, σess kM1 ⊆  n−2k−1
2
, +∞ . 2



n−2k−1 2 , +∞ , 2

По двойственности имеем σess kM∗ 1 ложение доказано.


F r


т. е. σess kM1


F r


=

= [((n − 2k + 1)/2)2 , +∞). Пред-

Предложение 3. Пусть D — диагональный ный оператор на [R, +∞) вида  d2 0 − dt2 + a21 (t) + V1 (t)  d2 2 0 − dt2 + a2 (t) + V2 (t) D=  ··· ··· 0 0

матричный дифференциаль··· ··· ··· ···

2

d − dt 2

 0  0 ,  ··· 2 + an (t) + Vn (t)

причем Vi (t), ai (t) — вещественные непрерывные ограниченные функции на [R, +∞) и lim ai (t) = 0. t→+∞

Пусть ci =

inf t∈[R,+∞)

Vi (t). Тогда если λ < min ci , то λ 6∈ σ((D)F r ). i

Доказательство следует из очевидной оценки на C0∞ ([R, +∞)): hDu − λu, ui =

+∞ 2 n Z X dui i=1 R

dt

+

+∞ n Z X dt + a2i u2i dt i=1 R

n X

+∞ Z

i=1 R

(Vi −

λ) u2i

+∞ Z dt ≥ (min ci − λ)u2i dt > 0. i

R

Лемма 2. Пусть ω — ко-замкнутая форма из Mk2 (R2 ×f 2 F ), т. е.  X 1 k−1 k k q ω= uq (s, t)dF c3q + (−1) vq (s, t)c3q ∧ ds + (−1) wq (s, t)c3q ∧ dt q λk−1 q

36

Н. В. Глотко

k и δM ω = 0. Тогда компоненты формы ω удовлетворяют уравнениям q  0    00   λk−1 q f ∂vq 1 f ∂wq 1 + (n − 2k) uq + wq + + =0 f 2 f0 f ∂t bf 0 ∂s

(28)

для любого q. Доказательство проводится непосредственной проверкой.
F r
F r ql не имеют и Dql Лемма 3. Для метрики (e) операторы D0k (R) 1k (R)   n−2k−1
2
  собственных значений на (−∞, ε0 (R))∪ , +∞ \{0} и (−∞, ε1 (R))∪ 2
  n−2k−1
2 , +∞ \ {0} соответственно при любом R > 0, здесь 2 ε0 (R) =

inf t∈[R,+∞)

Vk1 (t),

ε1 (R) = min i

inf t∈[R,+∞)

Vki (t),

где  2 (n − 2k − 2)(n − 2k − 4) f 0 f 00 + (n − 2k − 2) ; 4 f f     2 2 1 f 000 3 f 00 (n − 2k)(n − 2k − 2) f 0 Vk2 (t) = − + + . 2 f0 4 f0 4 f
F r ql Доказательство. Рассмотрим сначала оператор D0k (R) . В силу предложения 3 он не имеет собственных значений, меньших ε0 (R). Пусть теперь
2
2 2 ql λ ≥ n−2k−1 и D0k (R)u = − ddt2u +Vqlk (t)u = λu. Обозначим µ2 = λ− n−2k−1 . 2 2 Заметим, что Vk1 (t) =

1 f 000 1 − 2 f0 4



f 00 f0

2

+

+∞ +∞  2 Z Z l2 1 k n − 2k − 1 |Vqlk (t)| dt = dt b2 f 02 (t) + f 2 λq + Vk (t) − 2 R

R +∞ +∞ Z Z l2 f 000 1 k 1 ≤ b2 f 02 (t) + f 2 λq dt + 2 f 0 − 1 dt R

R

+∞   Z f0 2 (n − 2k − 2)(n − 2k − 4) dt + − 1 4 f R +∞  +∞  Z Z f 00 2 f 00 1 dt < +∞, dt + (n − 2k − 2) + − 1 − 1 0 4 f f R

R

поскольку в силу свойств искривляющей функции все шесть интегралов в правой части неравенства сходятся. Но тогда решения уравнения d2 u 1 k l2 + λ u + u dt2 f2 q b2 f 02 (t) 2    d2 u n − 2k − 1 u − µ2 u = − 2 + Vqlk (t)u − µ2 u = 0 + Vk (t) − 2 dt

ql D0k (R)u − λu = −

имеют следующие асимптотики (см. [18, XI.9, следствие 9.2]): u ∼ c1 eiµt + c2 e−iµt при µ 6= 0 и u ∼ c1 t + c2 при µ = 0. Условие L2 -интегрируемости влечет c1 = c2 = 0 в обоих случаях, т. е. u = 0.

О спектре оператора Лапласа

37

Перейдем к исследованию второго оператора. Пусть λ 6= 0 и Dql 1k (R)(u, v, w) k 2 = λ(u, v, w). Рассмотрим форму из M2 (R ×f 2 F ): 1

ω=q

1

(bf 0 )− 2 f

2k−n+2 2

λk−1 q

1

2k−n 2

eilθ v(t)c3q ∧ ds

1

2k−n 2

eilθ w(t)c3q ∧ dt.

k 0 2 eilθ u(t)dk−1 F c3q + (−1) (bf ) f

+ (−1)k (bf 0 )− 2 f

k переводит формы из Mk2 (R2 ×f 2 F ) в формы Тогда kM2 ω = λω. Оператор δM k 2 из M1 (R ×f 2 F ). В силу коммутационных соотношений имеем k k k δM kM2 ω = k−1 M1 δM ω = λδM ω, k ω — собственная форма для оператора k−1 т. е. δM M1 . Но последний оператор не k имеет собственных значений, как показано выше. Поэтому δM ω = 0 и векторфункция (u, v, w) должна удовлетворять уравнениям (28). Имеем 
q k−1    f0   e ql D 0 2 λq 2 0k f u   u 00
ql  ql f 2il  v , b D1k v  =  0 D − 0k b f 02   q 00
0
w w f k−1 2il f 0 ql b D λq 2 2 02 f

b

f

0k

причем 2 b ql = − d + Vb1qk (t), D 0k dt2

d2 0 ql 0 b 0k D = − 2 + Vb1qk (t), dt а потенциалы определяются из выражений (26). Нетрудно видеть, что Vb1qk (t), 0 Ve1qk (t), Vb1qk (t) — непрерывные ограниченные на [R, +∞) функции и   2 2 n − 2k − 1 n − 2k + 1 0 b e b lim V1qk (t) = lim V1qk (t) = , lim V1qk (t) = . t→∞ t→∞ t→∞ 2 2 2 e ql = − d + Ve1qk (t), D 0k dt2

Рассмотрим уравнение Dql 1k (R)(u, v, w) = λ(u, v, w). Его можно переписать в виде dξ = Eξ + G(t)ξ, dt
dv dw где ξ = u, du dt , v, dt , w, dt , а матрица E имеет вид   E1 0 0 E =  0 E1 0  , 0 0 E2  
2
2 0 µ2i где Ei = , µ21 = n−2k−1 − λ, µ22 = n−2k+1 − λ, а матрица G(t) 2 2 1 0 +∞ R такова, что |Gij (t)| dt < ∞. Приводя E к жордановой форме и пользуясь R

теоремами 13.1 и 13.2 из [18, X.13, X.16], получаем для решений уравнения Dql 1k (R)(u, v, w) = λ(u, v, w) следующие асимптотики:

√ n−2k−1 √ n−2k−1 2 2 u ∼ cu1 e ( 2 ) −λ t + cu2 e− ( 2 ) −λ t ,

√ n−2k−1 √ n−2k−1 ( )2 −λ t ( )2 −λ t v v − 2 2 (29) v ∼ c1 e + c2 e ,

√ n−2k+1 √ n−2k+1 ( )2 −λ t − ( )2 −λ t 2 2 w ∼ cw + cw 1e 2e

38

Н. В. Глотко

при λ 6=


n−2k−1 2 , 2


n−2k+1 2 ; 2



√ n−2k+1 √ n−2k+1 ( )2 −λ t ( )2 −λ t w − 2 2 +c e (30) v ∼ cv1 t+cv2 ; w ∼ cw e 2 1

2 2 при λ = n−2k−1 , λ 6= n−2k+1 ; 2 2

√ n−2k−1 √ n−2k−1 2 2 u ∼ cu1 e ( 2 ) −λ t + cu2 e− ( 2 ) −λ t ,

(31) √ n−2k−1 √ n−2k−1 ( )2 −λ t ( )2 −λ t v v − w w 2 2 v ∼ c1 e + c2 e , w ∼ c1 t + c2

2 2 при λ = n−2k+1 , λ 6= n−2k−1 и, наконец, при n = 2k, λ = 14 2 2 u ∼ cu1 t+cu2 ;

u ∼ cu1 t + cu2 ,

w v ∼ cv1 t + cv2 , w ∼ cw (32). 1 t + c2 .  n−2k−1
2 n−2k+1
2 , сразу получаем Из соотношений (29) при λ ≥ max 2 2 u = v = w = 0 из соображений L2 -интегрируемости. Далее, из уравнения (28) для компонент u, w собственной вектор-функции имеем  000  2 1 k−1 d2 u l2 1f (n − 2k − 2)(n − 2k − 4) f 0 λ u − + u + + f2 q dt2 (bf 0 )2 2 f0 4 f  00 2   0 q 00 f f 1 f + (n − 2k − 2) u + 2 λk−1 w = λu; − q 4 f0 f f2

 00    000  1 k−1 l2 d2 w f dw 1 f f 00 + λ w − − 2 w − + (n − 2k) f2 q dt2 f 0 dt (bf 0 )2 2 f0 f  00 2  0 2   0 0 q 1 f 2 f (n − 2k)(n − 2k + 2) f λk−1 u = λw. + w− 0 − q 4 f0 4 f f f Асимптотики для w в данном случае имеют следующий вид (для u остаются теми же, что и в (29)):

√ √ n−2k−1 −1+ ( n−2k−1 )2 −λ t )2 −λ t w −1− ( 2 2 w ∼ bw e + b e . 1 2
2 . Согласно (29) и (30) Пусть λ < n−2k+1 2
√ n−2k+1 − ( )2 −λ t 2 w ∼ cw . 2e Таким образом, p p − ((n − 2k + 1)/2)2 − λ = −1 ± ((n − 2k − 1)/2)2 − λ, откуда λ = 0, что противоречит исходному предположению. Поэтому w = 0.
2 При λ ≥ n−2k+1 из требования L2 -интегрируемости опять же получаем 2 w = 0. Поэтому w = 0 всегда, если (u, v, w) — соответствующая ненулевому собственному значению λ собственная вектор-функция оператора Dql 1k (R), удовлетворяющая уравнению (28). Таким образом, уравнение Dql 1k (R)(u, v, w) = λ(u, v, w) принимает вид   2 d2 u l2 1 f 000 1 f 00 1 k−1 λ u− 2 + u+ − f2 q dt (bf 0 )2 2 f0 4 f0  2  (n − 2k − 2)(n − 2k − 4) f 0 f 00 + + (n − 2k − 2) u = λu; 4 f f

О спектре оператора Лапласа

39

 000  2  2  d2 v l2 1f 3 f 00 (n − 2k)(n − 2k − 2) f 0 1 k−1 λ v − + v − − − v=λv. f2 q dt2 (bf 0 )2 2 f0 4 f0 4 f
2 Если λ ≥ n−2k−1 , то требование L2 -интегрируемости даст u = v = 0, если 2 λ < ε1 (R), то воспользуемся предложением 3 и опять получим u = v = 0. Лемма доказана. В дальнейшем нам потребуется следующая техническая Лемма 4. Пусть D — симметричный матричный дифференциальный оператор на [R, +∞) вида      u DV1 0 W1 (t) u DV2 −iW2 (t)   v  , D v  =  0 w W1 (t) iW2 (t) DV3 w 2

d где DVi = − dt 2 + Vi (t), причем Vi , Wi — непрерывные вещественнозначные ограниченные функции t и lim Wi (t) = 0, lim Vi (t) = ci . t→∞

t→∞

Тогда σess (DF r ) = [min ci , +∞). i

Доказательство. Будем следовать идеям статей [19, 20], где изучался спектр матричных операторов типа Навье — Стокса. Пусть µ ∈ ρ(DV1 )∩ρ(DV2 ). Имеем   DV1 − µE 0 W1 (t) D − µE =  0 DV2 − µE −iW2 (t)  = U(µ)(D1 − µE)V(µ) W1 (t) iW2 (t) DV3 − µE   DV1 − µE 0 0  V(µ), 0 DV2 − µE 0 = U(µ)  0 0 DV3 − S(µ) − µE где
−1 S(µ) = W1 (DV1 − µE)−1 W1 + W2 DV2 − µE W2 ,   E 0 0 U(µ) =  0 E 0 , −1 −1 W1 (DV1 − µE) iW2 (DV2 − µE) E   −1 E 0 (DV1 − µE) W1 V(µ) =  0 E −i(DV2 − µE)−1 W2  . 0 0 E Тогда для любого λ D − λE = D − µE + (µ − λ)E  DV1 − λE 0 = U(µ)  0 DV2 − λE 0 0

DV3

 0  V(µ) 0 − S(µ) − λE + (µ − λ)[E − U(µ)V(µ)].

При этом E − U(µ)V(µ) 

0 0 = −(µ − λ)  W1 (DV1 − µE)−1

0 0 iW2 (DV2 − µE)−1

 (DV1 − µE)−1 W1 −i(DV2 − µE)−1 W2  , F (µ)

40

Н. В. Глотко

где F (µ) = W1 (DV1 − µE)−2 W1 + W2 (DV2 − µE)−2 W2 . Далее, W1 и W2 — непрерывные ограниченные убывающие на бесконечности функции, более того, нетрудно видеть, что W1 и W2 — относительно компактные возмущения DV1 и DV2 соответственно. Поэтому операторы W1 (DV1 − µE)−1 и W2 (DV2 − µE)−1 компактны. Ограниченность W1 и W2 влечет компактность оператора F (µ). Операторы U, V и U−1 , V−1 ограниченны. Поэтому оператор D−λE фред
r гольмов тогда и только тогда, когда D1 − λE фредгольмов, т. е. σess DF = 1 Fr −1 −1 σess (D ). Далее, компактность операторов W1 (DV1 − µE) и W2 (DV2 − µE) и ограниченность W1 и W2 влечет компактность оператора S(µ), по
функций r этому σess DF = σess (AF r ), где A — диагональный матричный оператор, 1   DV1 0 0 DV2 0 . A= 0 0 0 DV3 Таким образом, σess (DF r ) = σess (AF r ) =

3 S i=1

жение доказано.


σess DVFir = [min ci , +∞). Предлоi

Лемма 5. Имеет место равенство
F r
σess Dql = [min{((n − 2k − 1)/2)2 , ((n − 2k + 1)/2)2 }, +∞) 1k при любых k, q, l. Доказательство сразу следует из предыдущей леммы. Лемма 6. Имеют место равенства
F r
σess kM2 \ {0} = [min{((n − 2k − 1)/2)2 , ((n − 2k + 1)/2)2 }, +∞),
F r
σess kM∗2 \ {0} = [min{((n − 2k − 1)/2)2 , ((n − 2k + 1)/2)2 }, +∞) при любом k. Доказательство. Для удобства здесь мы будем явно указывать зависимость рассматриваемых операторов от R. Вспомним, что по теореме 2
F r

F r
0 σess kM2 (R) = σess kM2 (R ) (33) для любых R, R0 > 0. Пусть λ0 ∈ σess


F r
kM2

 \ {0},

λ0 < min

n − 2k − 1 2

2  2  n − 2k + 1 , . 2

Тогда найдется такая ортонормированная последовательность собственных форм
F r ψj ∈ Mk2 оператора kM2 , что
Fr kM2 ψj = λj ψj , lim λj = λ0 , kψj k = 1. j→∞

Раскладывая форму ψj по базису в Mk2 , имеем X 1 2k−n+2 1 q ψj = (bf 0 )− 2 f 2 eilθ ujql (t)dk−1 F c3q k−1 q,l λq 1

+ (−1)k (bf 0 ) 2 f

2k−n 2

1

j eilθ vql (t)c3q ∧ ds + (−1)k (bf 0 )− 2 f

2k−n 2

j eilθ wql (t)c3q ∧ dt



О спектре оператора Лапласа

41

и для компонент формы ψj — уравнения j j j
j j j
Dql 1k (R) uql , vql , wql = λj uql , vql , wql . Тогда поскольку λj → λ0 , для любого ε0 существует j0 такое, что |λj − λ0 | < ε0 для всех j ≥ j0 . Выберем ε0 достаточно малым так, что еще 2  2   n − 2k + 1 n − 2k − 1 , . λ0 + ε0 < min 2 2 Теперь мы можем подобрать положительное R0 так, чтобы ε1 (R0 ) из леммы 3 удовлетворяло следующему неравенству:  2  2  n − 2k − 1 n − 2k + 1 λ0 + ε0 < ε1 (R0 ) < min , , 2 2 и, пользуясь соотношениями (33), вырезать из M относительно компактную
F r часть B 2 (0, R0 ) ×f 2 F , что не повлияет на существенный спектр kM2 . Заметим также, что это R0 не зависит от q и l, а зависит только от поведения искривляющей функции на бесконечности, степени формы и размерности исходного многообразия. Но тогда для всех j > j0 по лемме 3 имеем ψj = 0, что противоречит исходному предположению. Лемма доказана. Предложение 4. Выполнено равенство
F r
σess kM \ {0} = [min{((n − 2k − 1)/2)2 , ((n − 2k + 1)/2)2 }, +∞) при любом k. Доказательство следует из лемм 1, 6 и равенства (110 ). ЛИТЕРАТУРА 1. Eichhorn J. The essential spectrum of non-simply-connected open complete Riemannian manifolds // Ann. Global Anal. Geom.. 1984. V. 2, N 1. P. 1–18. 2. McKean H. P. An upper bound to the spectrum of  on a manifold of negative curvature // J. Differential Geom.. 1970. V. 4, N 3. P. 359–366. 3. Cheeger J. On the spectral geometry of spaces with cone-like singularities // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1979. V. 76, N 5. P. 2103–2106. 4. Lee J. M. The spectrum of asymptotically hyperbolic Einstein manifold // Comm. Anal. Geom.. 1995. V. 3, N 1–2. P. 253–271. 5. Lax P. D., Phillips R. S. The asymptotic distribution of lattice points in Euclidean and non-Euclidean spaces // J. Funct. Anal.. 1982. V. 46, N 3. P. 280–350. 6. Carron G., Pedon E. On the differential form spectrum of hyperbolic manifolds // Ann. Scuola. Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (5). 2004. V. 3, N 4. P. 705–747. 7. Donnelly H. The differential form spectrum of hyperbolic space // Manuscripta Math.. 1981. V. 33, N 3/4. P. 365–386. 8. Antoci F. On the spectrum of the Laplace–Beltrami operator for p-forms for a class of warped product metrics // Adv. Math.. 2004. V. 188, N 2. P. 247–293. 9. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990. Т. 2. 10. Zeghib A. Geometry of warped products // http://www.umpa.ens-lyon.fr/ zeghib/conferences.html. 11. Dobarro F., Lami Dozo E. Scalar curvature and warped products of Riemann manifolds // Trans. Amer. Math. Soc.. 1987. V. 303, N 1. P. 161–168. ¨ 12. Dobarro F., Unal B. Curvature of multiply warped products // J. Geom. Phys.. 2005. V. 55, N 1. P. 75–106.

42

Н. В. Глотко

13. Eichhorn J. Spektraltheorie offener Riemannscher Mannigfaltigkeiten mit einer rotationssymmetrischen Metrik // Math. Nachr. 1983. Bd 114. S. 23–51. 14. Кузьминов В. И., Шведов И. А. О разложении в ортогональную прямую сумму комплексов де Рама искривленных произведений римановых многообразий // Сиб. мат. журн.. 1998. Т. 39, № 2. С. 354–368. 15. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при однородных краевых условиях // Сиб. мат. журн.. 1987. Т. 28, № 4. С. 82–96. 16. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 17. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы (спектральная теория). М.: Мир, 1966. 18. Hartman P. Ordinary differential equations. New York: Wiley, 1964. 19. Atkinson F. V., Langer H., Mennicken R., Shkalikov A. A. The essential spectrum of some matrix operators // Math. Nachr. 1994. Bd 167. S. 5–20. 20. Шкаликов А. А. О существенном спектре матричных операторов // Мат. заметки. 1995. Т. 58, № 6. С. 945–949. Статья поступила 10 августа 2006 г. Глотко Николай Владимирович