Теоретические основы школьного курса математики: Рабочая учебная программа дисциплины

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Факультет математический Кафедра методики преподавания математики

УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной работе УрГПУ _____________________Т.Н. Шамало «______»________________2007 г.

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

По дисциплине

«Теоретические основы школьного курса математики» Для направления «050200 – Физико-математическое образование», профиль «050201 М – Математическое образование» По циклу СДМ – специальные дисциплины

Очная форма обучения Курс – 5 Семестр – 10 Объем в часах всего – 200 в т.ч.: лекции – 50 практические занятия – 50 самостоятельная работа - 100 Экзамен – 10 семестр

Екатеринбург 2007

Рабочая учебная программа по дисциплине «Теоретические основы школьного курса математики» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2007. – 8 с.

Составители: Ю.Н. Мухин, к. ф.-м. н., зав. кафедрой геометрии; И.Л. Хмельницкий, к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и теории чисел. Рабочая учебная программа обсуждена на заседаниях кафедры алгебры и теории чисел и кафедры геометрии УрГПУ Протокол от 07.04.2006 № 8 Зав. кафедрой А.П. Ильиных, Ю.Н. Мухин. Отделом нормативного обеспечения образовательного процесса УрГПУ присвоен рег. № от . Начальник отдела

Р.Ю. Шебалов

2

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Курс «Теоретические основы школьного курса математики» ставит своей целью показать, как фундаментальные понятия математики отражаются на содержании школьной математики. Программа ориентирована на подготовку специалистов, способных проектировать и реализовывать образовательные программы по математике в разных типах образовательных учреждений.

2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 2.1 . Учебно-тематический план очной формы обучения № п/п

1 2 3 4 5 6 7

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

Теория множеств как основа математики Отношения и отображения в школьной математике Алгебраические операции в школьной математике Действительные числа и школьная математика Функции в школьной математике Метрическая аксиоматика геометрии Геометрические величины. Итого:

8 24 12 12 76 24 40 200

Аудиторные занятия ВсеЛек Пракго ции тические

Самостоятельная работа

4

2

2

4

12

4

8

12

6

2

4

6

6

4

2

6

38

20

18

38

12

6

6

12

20 100

10 50

10 50

20 100

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1. Теория множеств как основа математики. «Наивная теория множеств». Парадоксы теории множеств. Аксиоматика Цермело-Френкеля. Теория множеств в школьной математике. 2. Отношения и отображения в школьной математике. Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений на множестве, бинарные отношения с различными наборами свойств. Операции над бинарными отношениями, их связь со свойствами бинарных отношений. Отношение эквивалентности и классификация. Комбинаторика бинарных отношений на конечных множествах. Бинарные отношения в школьной математике. Отображение множеств. Частные виды отображений, их связь с композицией отображений. Комбинаторика отображений конечных множеств. Отображения в школьном курсе математики. 3

3. Алгебраические операции в школьной математике. Алгебраическая операция. Бинарные алгебраические операции, их свойства. Комбинаторика бинарных операций на конечных множествах. Алгебры. Упорядочивание алгебры, симметризация алгебры. Поле частных области целостности. Алгебраические операции и алгебры в школьном курсе математики. 4. Действительные числа и школьная математика. Аксиоматика действительных чисел. Построение системы действительных чисел с помощью бесконечных дробей. Построение системы действительных чисел с помощью сечений Дедекинда. Действительные числа в школьном курсе математики. 5. Функции в школьном курсе математики. Функции. Функции действительной переменной, их свойства. Аксиоматические определения элементарных функций, свойства, теоремы существования и единственности. Линейная, степенная, показательная, логарифмическая функции как изоморфизмы числовых групп. Определение тригонометрических функций на языке гомоморфизмов групп. 6. Метрическая аксиоматика геометрии. Сигнатура и аксиоматика евклидовой планиметрии по В.Ф. Кагану, А.Н. Колмогорову, А.В. Погорелову в сравнении с системами Д. Гильберта и Г. Вейля. Понятие движения. Группа движений плоскости. Геометрические инварианты движений. Аксиома подвижности, ее флаговая форма. Признаки тождественности движения и другие первичные следствия аксиом подвижности. Определение осевой симметрии как нетождественного движения с двумя неподвижными точками, наличие прямой неподвижных точек, инволютивность, существование осевой симметрии с данной осью. Определение центральной симметрии, ее инволютивность. Лемма о движениях, меняющих местами две точки, и ее следствия о свойствах осевых и центральных симметрий. Определение поворота как движения с единственной неподвижной точкой (или тождественного). Лемма о движениях, переводящих один данный луч в другой ( с тем же началом). Определение и существование биссектрисы угла. Следствие об откладывании угла, конгруэнтного данному, при данном флаге. Эквивалентность определения поворота «школьному» определению. Понятия прямого угла и перпендикулярности прямых. Свойства осевых симметрий, связанные с перпендикулярностью. Теорема о перпендикуляре и три ее следствия. Расстояние от точки до прямой. Теорема о равнобедренном треугольнике, следствие о наклонных. Теоремы о медиатрисе и о биссектрисе угла. Теоремы о пересечении прямой с окружностью, о пересечении двух окружностей. Признаки конгруэнтности треугольников. 7. Геометрические величины. Понятия измерения длин отрезков и величин углов в абсолютной геометрии. 4

Существование и единственность функций «длина отрезка» и «величина угла» в системе Г. Вейля. Возможность двоичного деления единицы масштаба и процесс измерения отрезка в системе Д.Гильберта. Существование и единственность функции «длина отрезка» в системе Д.Гильберта, ее Сюръективность. Измерение углов системах Вейля и гильберта. Реализация функций «длина отрезка» и «величина угла» в арифметической модели евклидовой геометрии и в модели Кэли-Клейна планиметрии Лобачевского. Области и замкнутые области. Выпуклые многоугольники. Пути и ломаные пути. Разложение фигуры в сумму фигур. Многоугольные фигуры и действия с ними. Площади многоугольников, треугольников, параллелограммов и трапеций. Существование и единственность функции «площадь» на классе многоугольных фигур. Поведение площади многоугольной фигуры при аффинных преобразованиях. Равносоставленность многоугольных фигур как отношение эквивалентности. Равносоставленность треугольника с равновеликим прямоугольником. Равносоставленность равновеликих параллелограммов с одинаковыми основаниями. Теорема Бойаи-Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольных фигур. Квадрируемые фигуры и нуль-фигуры. Критерий квадрируемости фигуры в терминах ее границы. Различные виды линий как части границ квадрируемых фигур. «Классические» фигуры. Существование и единственность функции «площадь» на классе квадрируемых фигур. Поведение площади при аффинных преобразованиях. Многогранные фигуры и их объемы. Неравносоставленность куба и правильного тетраэдра. Кубируемые фигуры и их объемы. Поведение объема при аффинном преобразовании. Скалярные величины.

4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 1. 2. 3. 4. 5. 6.

4.1. Вопросы для экзамена Теория множеств в школьной математике. Бинарные отношения в школьной математике Отображения в школьном курсе математики. Алгебраические операции и алгебры в школьном курсе математики. Построение системы действительных чисел с помощью бесконечных дробей. Построение системы действительных чисел с помощью сечений Дедекин5

да. 7. Действительные числа в школьном курсе математики. 8. Аксиоматические определения элементарных функций, свойства, теоремы существования и единственности. 9. Линейная, степенная, показательная, логарифмическая функции как изоморфизмы числовых групп. 10. Определение тригонометрических функций на языке гомоморфизмов групп. 11. Сигнатура и аксиоматика евклидовой планиметрии по А.Н. Колмогорову в сравнении с системами Д.Гильберта и Г. Вейля. 12. Понятие движения. Группа движений плоскости. Геометрические инварианты движений. 13. Аксиома подвижности, ее флаговая форма. Движения с двумя и тремя неподвижными точками. 14. Существование и единственность функции «длина отрезка» в системе Г. Вейля. 15. Существование и единственность функции «длина отрезка» в системе Д.Гильберта. 16. Измерение углов в системах Вейля и Гильберта. 17. Существование и единственность функции «площадь» на классе многоугольных фигур. 18. Теорема Бойаи-Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольных фигур. 19. Квадрируемые фигуры и нуль-фигуры. Критерий квадрируемости фигуры в терминах ее границы. Свойства линий как границ фигур. 20. Кубируемые фигуры и их объемы. 21. Скалярные величины.

5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ В результате обучения по данной программе: студент должен знать:  отражение фундаментальных понятий математики в школьном курсе математики; студент должен уметь:  применять аппарат математической логики при изучении взаимосвязей между различными свойствами бинарных отношений, отображений, бинарных операций;  доказывать основные теоремы курса.

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

6

6.1.Рекомендуемая литература Основная 1. Болтянский, В.Г. Равносоставленность многоугольников и многогранников [Текст] / В.Г. Болтянский // Энциклопедия элементарной математики. Кн. 5. Геометрия. – М.:ГИФМЛ, 1961. – С.142-181. 2. Виленкин, Н.Я. Современные основы школьного курса математики [Текст] / Н.Я. Виленкин, К.И. Дуничев, Л.А. Калужнин, А.А. Столяр. – М.: Наука, 1980. – 287 с. 3. Ефимов, Н.В. Высшая геометрия [Текст] / Н.В. Ефимов. – М.: ГИФМЛ, 1961. – 580 с. 4. Мухин, Ю.Н. Геометрические преобразования [Текст] / Ю.Н. Мухин. – Свердловск, 1974. – 45 с. 5. Рохлин, В.А. Площадь и объем [Текст] / В.А. Рохлин // Энциклопедия элементарной математики. Кн. 5. Геометрия. – М.:ГИФМЛ, 1966. – С.788. 6. Шиханович, Ю.А. Введение в современную математику [Текст] / Ю.А. Шиханович. – М.: Наук, 1973. – 207 с. Дополнительная 1. Абрамов, А.М. Аксиома подвижности и ее следствия [Текст] / А.М. Абрамов // Преподавание геометрии в 6-8 классах. Сб. статей. – М.: Просвещение, 1979. – С.247-278. 2. Абрамов, А.М. Начальные понятия геометрии [Текст] / А.М. Абрамов // Преподавание геометрии в 6-8 классах. Сб. статей. – М.: Просвещение, 1979. – С.227-246. 3. Калужнин, Л.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики [Текст] / Л.А. Калужнин. – М.: Просвещение, 1978. – 286 с.

7. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ Мухин Юрий Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой геометрии УрГПУ. Хмельницкий Игорь Львович, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ. Раб. телефон 371-12-61 7

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «Теоретические основы школьного курса математики» для направления «050200 – Физико-математическое образование», профиль «050201 М – Математическое образование» по циклу СДМ – специальные дисциплины

Подписано в печать Формат 60х84/16 Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 0,5 Тираж экз. Заказ . Уральский государственный педагогический университет. 620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26

8