Современные проблемы науки и образования: Рабочая учебная программа дисциплины

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Факультет математический Кафедра алгебры и теории чисел Кафедра геометрии Кафедра математического анализа Кафедра методики преподавания математики

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

По дисциплине

«Современные проблемы науки и образования» Для направления «050200 – Физико-математическое образование», магистерская программа «050201 М – Математическое образование» По циклу ДНМ – дисциплины направления, федеральный компонент

Очная форма обучения Курс – 5,6 Семестр – 10,11,12 Объем в часах всего – 400 в т.ч.: лекции – 124 практические занятия – 76 самостоятельная работа - 200 Экзамен – 12 семестр Зачет – 10,11 семестр

Екатеринбург 2007

Рабочая учебная программа по дисциплине «Современные проблемы науки и образования» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2007. – 11 с. Составители: Ананьев Б.И., д. ф.-м. н., доцент кафедры математического анализа; Липатникова И.Г., д. пед. н., доцент кафедры МПМ; Мухин Ю.Н., д. ф.м. н., профессор, зав. кафедрой геометрии; Семенова И.Н., к. пед. н., доцент кафедры МПМ; Сесекин А.Н., д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой прикладной математики УГТУ-УПИ; Фрейдман П.А., к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и теории чисел. Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедр алгебры и теории чисел, геометрии, математического анализа, методики преподавания математики УрГПУ Протокол от 07.04.2006 № 8 Зав. кафедрой Ильиных А.П., д. ф.-м. н., профессор Отделом нормативного обеспечения образовательного процесса УрГПУ присвоен рег. № от . Начальник отдела Р.Ю. Шебалов

2

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Программа дисциплины «Современные проблемы науки и образования» ориентирована на раскрытие специфики математики как научного знания и современной образовательной дисциплины, на овладение методами научных исследований в области математики и математического образования. Предусматривает подготовку специалистов, способных проектировать и реализовывать образовательные программы по математике в разных типах образовательных учреждений, в том числе в условиях профильного обучения. В данной программе отражена тема «5-я проблема Гильберта и строение локально компактных групп».Этот выбор позволяет сделать обзор богатой истории решения замечательной проблемы Гильберта о том, будет ли группой Ли произвольная локально евклидова группа и показать роль российских математиков в решении этой и некоторых других связанных с материалом курса проблем; поскольку по сути своей проблема относится и к математическому анализу, и к алгебре, и к геометрии, курс убедительно демонстрирует единство математики; курс дает возможность закрепления и углубления знаний по топологии и алгебре, полученных ранее, и тем самым решает некоторые проблемы высшего образования; он решает и проблемы среднего математического образования, так как содержит построение основных элементарных функций как непрерывных гомоморфизмов числовых групп. Один из разделов программы посвящен вопросам, связанным с изучением и обобщением числовых систем, в частности, изучению арифметических свойств колец целых алгебраических чисел квадратичных полей. В программу включен раздел, посвященный изучению методов теории вероятностей и математической статистики, используемых для обработки статистической информации при анализе и прогнозе финансовых операций, и раздел, посвященный изучению методов конечномерной и бесконечномерной безусловной и условной оптимизации, широко применяемых в различных областях науки и техники, в экономике. Еще один раздел программы посвящен современным проблемам математического образования, современным технологиям обучения математике. Цели и задачи данной дисциплины состоят в следующем. 1. Напомнить уже изученные и сообщить студентам новые теоретические сведения из современных разделов математики. 2. Углубить и расширить представления студентов о построении математических дисциплин на основе аксиоматического метода. 3. Напомнить о существенности некоторых понятий современной математики для крайне важных фрагментов курса элементарной математики в средней школе и математических курсов в вузах. 4. Познакомить студентов с современными методами и технологиями обучения математике.

3

2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 2.1 . Учебно-тематический план очной формы обучения 10 семестр № п/п

1 2

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

5-я проблема Гильберта и строение локальнокомпактных групп. Обобщения числовых систем. Итого:

54

54 108

Аудиторные занятия ВсеЛек Пракго ции тические

Самостоятельная работа

27

15

12

27

27 54

15 30

12 24

27 54

11 семестр № п/п

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

1

Методы оптимизации Статистическая обработка информации и анализ финансового рынка Итого:

68 68

2

136

Аудиторные занятия ВсеЛек Пракго ции тические

Самостоятельная работа

34

20

14

34

34

20

14

34

68

40

28

68

12 семестр № п/п

1 2

3

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

Современные проблемы математического образования Теоретические основы развивающего обучения математике Современная общеобразовательная технология обучения математике в рамках программы «Школа 2000….» Итого:

52 52

Аудиторные занятия ВсеЛек Пракго ции тические

Самостоятельная работа

26

18

8

26

26

18

8

26

26

18

8

26

78

54

24

78

52

156

4

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1. 5-я проблема Гильберта и строение локально-компактных групп. Хаусдорфовы пространства Групповая топология и топологические группы, регулярность их пространств Системы окрестностей единицы. Компактность и локальная компактность. Компактность в топологических группах. Замкнутые подгруппы, порождения, монотетичные подгруппы. Пространство смежных классов. Факторгруппы, непрерывные гомоморфизмы и их свойства. Основные элементарные функции как непрерывные гомоморфизмы числовых групп. Свойства связных пространств. Связные компоненты. Связная компонента единицы. Нульмерные и связные локально компактные группы. Тихоновские произведения и проективные пределы. Группы Ли. 5-я проблема Гильберта. Строение локально компактных групп. Монотетичные группы. Компактно покрываемые и индуктивно компактные группы. Индуктивно компактный радикал. 2. Обобщения числовых систем. Методология современной алгебры. Новые концептуальные идеи и направления развития теории числовых систем. Квадратичные поля. Отношение делимости и деление с остатком. Разложение на неразложимые множители. Кольца главных идеалов. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Сравнения второй степени по простому модулю в кольце Z. Нахождение неразложимых чисел в кольце целых алгебраических чисел. Современные теории в области алгебры. Методы исследований и получения новых знаний в современной алгебре. 3. Методы оптимизации. Постановка задачи линейного программирования (ЛП). Различные формы задачи линейного программирования. Геометрический метод решения задачи ЛП. Симплекс-метод. Геометрическая интерпретация задачи ЛП. Отыскание первого базиса (метод искусственного базиса). Транспортная задача. Определение исходного опорного плана в транспортной задаче. Метод потенциалов. Открытая транспортная задача. Численные методы решения задач нелинейного программирования. Минимизация унимодальных функций. Метод деления отрезка пополам. Метод золотого сечения. Численные методы безусловной минимизации функции n переменных. Относительный экстремум функции. Методы штрафных функций. Необходимые и достаточные условия безусловного экстремума функции n переменных. Относительный экстремум функции. Метод множителей Лагранжа. Необходимые условия экстремума первого и второго порядка. Достаточные условия экстремума. Бесконечномерные задачи оптимизации. Вариационное исчисление. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления. Лемма Дюбуа-Раймона. Уравнение Эйлера. Постановка задачи оптимального управления. Принцип максимума Л.С. Понтрягина. Метод динамического программирования Р. Беллмана. 4. Статистическая обработка информации и анализ финансового рынка. 5

Закономерности детерминированные и стохастические. Частота и вероятность. Классическая формула подсчета вероятностей. Элементы комбинаторики. Операции над событиями. Аксиоматический подход к вероятности. Условная вероятность. Зависимость и независимость событий. Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Кредитный риск и способы его уменьшения. Случайные дискретные величины (д.с.в.). Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и ее свойства. Корреляционный момент. Канонические законы распределения д.с.в. Матрицы последствий рисков. Принятие решений в условиях полной неопределенности. Принятие решений в условиях частичной неопределенности. Риск как среднее квадратичное отклонение. Байесовский подход к принятию решений. Случайные непрерывные величины (н.с.в.). Функции распределения. Математическое ожидание и дисперсия н.с.в.. Равномерное, показательное и нормальное распределения. Начальная статистическая обработка информации. Генеральная совокупность и выборки из нее. Характеристики выборки. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема и ее следствия. Усреднение влияния независимых факторов. Страхование. Обеспечение репрезентативности выборки. Случайные многомерные величины. Функции случайных величин. Точечные оценки параметров генеральной совокупности. Метод максимального правдоподобия. Интервальные оценки. Линейная однофакторная регрессия. Статистические характеристики ценных бумаг. Влияние корреляции разных бумаг. Оптимальный портфель. Оптимальный портфель при наличии безрисковых бумаг. 5. Современные проблемы математического образования. Проблемы математического образования на общеметодологическом, педагогическом и дидактическом уровнях. Проблемы математического образования в зарубежной школе. Генезис проблем математического образования в России с 17 века по настоящее время. Проблемы математического образования, обусловленные современной образовательной парадигмой. Современные проблемы школьного математического образования на методическом уровне. 6. Теоретические основы развивающего обучения математике. Основные составляющие методологии развивающего обучения (РО). Схемы развития мышления в системе РО. Особенности формирования мышления в развивающем обучении. Деятельностная концепция развивающего обучения. Соотношение обучения и развития учащихся в РО. Структура учебного процесса в системе РО. Три подхода к построению технологий РО. Пути реализации развивающего обучения в процессе изучения математики. Анализ теоретических материалов с точки зрения их открытости и возможности погружения в систему РО. Обзор результатов исследований в области развивающего обучения. Анализ современных образовательных технологий с точки зрения их соответствия технологии РО. Организация творческой деятельности учащихся в РО. 7. Современная общеобразовательная технология обучения математике в рамках программы «Школа 2000…» Цель, место и роль обучения математике в общем образовании. Гуманитар6

но-ориентированное обучение математике. Теоретические основы развивающего обучения. Технология как методический инструментарий инновационного педагогического процесса. Технология урока в рамках программы «Школа 2000…». Особенности построения непрерывного курса математики по программе Л.Г. Петерсон. Мониторинг в рамках программы «Школа 2000…».

4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 4.1 . Темы, вынесенные на самостоятельное изучение 1. Топологические пространства, их эквивалентные определения через базу топологии, через открытые и замкнутые подмножества. Хаусдорфовы пространства. 2. Свойства оператора замыкания. Критерий принадлежности точки замыканию подмножества. 3. Индуцированная топология. Произведения топологических пространств. 4. Локально замкнутые подмножества. 5. Эквивалентные определения непрерывности отображения. Открытые и замкнутые отображения. Гомеоморфизмы. Топология как геометрия по схеме Ф.Клейна. 6. Групповая топология и топологические группы. Непрерывность сдвигов и трансформаций; следствия. Сохранение открытости и несохранение замкнутости при умножении подмножеств. 7. Нахождение всех автоморфизмов поля комплексных чисел. 8. Геометрический метод нахождения всех евклидовых колец целых алгебраических чисел мнимых квадратичных полей. 9. Сведение сравнений второй степени по простому модулю к двучленному сравнению. 4.3. Вопросы для зачета 1. Два определения регулярности пространства. Теорема Колмогорова. 2. Построение групповых топологий при помощи полной системы окрестностей единицы («ядерной базы»). Связь замыкания подмножества с ядрами. 3. Построение групповых топологий при помощи направленного семейства нормальных подгрупп. Недискретные топологии на группе целых чисел. р-Адические числа. 4. Компактность, свойства и примеры компактов. 5. Локальная компактность, ее связь с локальной замкнутостью. 6. Компактность произведения компактов в топологических группах. Лемма об отделении компакта от замкнутого подмнржества и ее след7

ствия. Нормальность пространства локально компактной группы. 7. Компактные и локально компактные матричные группы. 8. Локальная компактность группы р-адических чисел. 9. Подгруппы, порождения, циклические и монотетичные подгруппы, монотетичность T и Zр . 10. Замыкание подгруппы, нормальной, абелевой подгруппы. 11. Нормализаторы, централизаторы, центры, коммутанты, плотные подгруппы. 12. Замкнутость локально замкнутых подгрупп. 13. Замкнутые подгруппы векторных групп. 14. Свойства связных пространств. Связные компоненты. Связная компонента единицы. 15. Доказать, что связная компонента подгруппы (нормальной подгруппы, тихоновского произведения групп) есть подгруппа ( нормальная подгруппа, тихоновское произведение связных компонент сомножителей) всей группы. Доказать, что подгруппа, (топологически) порожденная связным подмножеством, содержащим единицу, связна. 16. Лемма о компонентах компакта (без док-ва). Лемма о компактной окрестности единицы, критерий нульмерности локально компактной группы и проконечность нульмерной компактной группы. 17. Связность расширений и взаимных коммутантов, централов связных групп. центральность вполне несвязных нормальных подгрупп связных групп. 18. Критерий связности локально-компактной группы. 19. Альтернатива Понтрягина и ее вариант для групп Ли. 20. Строение нульмерной локально компактной группы О строении монотетичных групп. 21. Связь понятий индуктивной компактности и локальной компактности, проблемы Бернсайда и их решения. Сохранение индуктивной компактности подгруппы при замыкании. 22. Теорема О.Ю.Шмидта-В.С.Чарина о сохранении индуктивной компактности при расширениях. (Теорема об индуктивно компактном радикале).

5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ В результате обучения по данной программе: студент должен знать суть 5 проблемы Гильберта, историю и характер ее решения; основные результаты арифметики колец целых алгебраических чисел квадратичных полей; современные проблемы и технологии обучения математике. Студент должен уметь доказывать основные первоначальные предложения о группах, делать проверки наличия ряда свойств у конкретных групп, 8

строить основные элементарные функции как гомоморфизы числовых групп; находить минимальный многочлен целых алгебраических чисел, фундаментальный базис кольца целых алгебраических чисел конкретного квадратичного поля, раскладывать целые алгебраические числа в произведения неразложимых множителей.

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 6.1.Рекомендуемая литература Основная 1. Ашманов, С.А. Математические модели и методы в экономике [Текст] / С.А. Ашманов. – М.: Наука, 1980. – 267 с. 2. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры [Текст] / Н. Бурбаки. – М.: Наука, 1968. – 272 с. 3. Бурбаки Н. Общая топология. Числа и связанные с ними группы и пространства [Текст] / Н. Бурбаки. – М.: Физматгиз, 1959. – 247 с. 4. Бурбаки Н.Спектральная теория [Текст] / Н. Бурбаки. – М.: Мир, 1972. – 183 с. 5. Ганеев, Х.Ж. Пути реализации развивающего обучения математике [Текст] / Х.Ж. Ганеев. – Екатеринбург: УрГПУ, 1997. – 184 с. 6. Ганеев, Х.Ж. Теоретические основы развивающего обучения математике [Текст] / Х.Ж. Ганеев. – Екатеринбург: УрГПУ, 1997. – 154 с. 7. Малыхин, В.И. Математика в экономике [Текст] / В.И. Малыхин. – М.: ИНФРА-М, 2001. 8. Моисеев, Н.Н. Методы оптимизации [Текст] / Н.Н. Моисеев, Ю.П. Иванилов, Е.П. Столярова. – М.: Наука, 1978. – 236 с. 9. Мухин Ю.Н. Локально компактные группы [Текст] / Ю.Н. Мухин. – Свердловск: УрГУ, 1981. – 92 с. 10. Мухин Ю.Н. Обобщенно коммутативные локально компактные группы [Текст] / Ю.Н. Мухин. – Свердловск: УрГУ, 1986. – 95 с. 11. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы [Текст] / Л.С. Понтрягин. – М.: Наука, 1973. – 519 с. 12. Постников, М.М. Введение в алгебраическую теорию чисел [Текст] / М.М. Постников. – М.: Наука, 1982. – 264 с. 13. Скляренко Е.Г. К пятой проблеме Гильберта [Текст] / Е.Г. Скляренко. // Проблемы Гильберта. – М.: Наука, 1969. – С. 101-115. 14. Фрейдман, П.А. Арифметика колец целых алгебраических чисел квадратичных полей [Текст]: учеб. пособие / П.А. Фрейдман; Урал. гос. пед. унт. – Екатеринбург: [б.и.], 2002. – 120 с. 15. Хьюитт Э. Абстрактный гармонический анализ. Т.1 [Текст] / Э. Хьюитт, 9

К. Росс. – М.: Наука, 1975. – 654 с. 6.2. Информационное обеспечение дисциплины Локальная сеть математического факультета УрГПУ, сайт кафедры алгебры и теории чисел, «Информационная обучающая среда».

7. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ПРОГРАММЫ Ананьев Б.И., д. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры математического анализа; Липатникова И.Г., д. пед. н., доцент, доцент кафедры МПМ; Мухин Ю.Н., д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой геометрии; Семенова И.Н., к. пед. н., доцент, доцент кафедры МПМ; Сесекин А.Н., д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой прикладной математики УГТУ-УПИ; Фрейдман П.А., к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры алгебры и теории чисел. Телефон: 3-714-666

10

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «Современные проблемы науки и образования» для направления «050200 – Физико-математическое образование» магистерская программа «050201 М – Математическое образование» по циклу ДНМ – дисциплины направления, федеральный компонент

Подписано в печать Формат 60х84/16 Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 1 Тираж экз. Заказ . Уральский государственный педагогический университет. 620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов

11