Задачи по векторному анализу: Учебное пособие

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÂÎËÃÎÃÐÀÄÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÂÎËÃÎÃÐÀÄÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

Â.Ê. Ìèõàéëîâ, Á.Í. Ñèïëèâûé, À.Ì. Àôàíàñüåâ

ÇÀÄÀ×È ÏÎ ÂÅÊÒÎÐÍÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Âîëãîðàä 2001

ÁÁÊ 22.151.51 Ì69 Ðåöåíçåíòû: ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. È.Ï. Ðóäåíîê, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Ñ.Â. Êðþ÷êîâ Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ áèáëèîòå÷íî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ÂîëÃÓ

Ì69

Ìèõàéëîâ Â.Ê. è äð. Çàäà÷è ïî âåêòîðíîìó àíàëèçó: Ó÷åáíîå ïîñîáèå / Â.Ê. Ìèõàéëîâ, Á.Í. Ñèïëèâûé, À.Ì. Àôàíàñüåâ. — Âîëãîãðàä: Èçäàòåëüñòâî Âîëãîãðàäñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, 2001. — 148 ñ. ISBN 5-85534-427-4 Ïîñîáèå ñîäåðæèò íåîáõîäèìûé ìèíèìóì çàäà÷ ïî îñíîâíûì ðàçäåëàì âåêòîðíîãî àíàëèçà â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðîãðàììîé äàííîãî êóðñà äëÿ ôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ.  íà÷àëå êàæäîãî ðàçäåëà äàþòñÿ êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ è ïðèâîäÿòñÿ ïîêàçàòåëüíûå ðåøåíèÿ íåñêîëüêèõ õàðàêòåðíûõ çàäà÷. Áîëüøèíñòâî çàäà÷ ñáîðíèêà ÿâëÿþòñÿ òèïîâûìè è ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèìè, èìåþùèìè öåëüþ îòðàáîòêó òåõíèêè ïðèìåíåíèÿ àïïàðàòà âåêòîðíîãî àíàëèçà. Îäíàêî çíà÷èòåëüíîå ìåñòî óäåëåíî è ïðèêëàäíûì çàäà÷àì ôèçèêè.  êîíöå çàäà÷ííêà ñîäåðæàòñÿ îòâåòû íà ïðåäëàãàåìûå çàäà÷è. Ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñòóäåíòîâ ìëàäøèõ êóðñîâ ôèçè÷åñêèõ è ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ.

ISBN 5-85534-427-4

© Â.Ê. Ìèõàéëîâ, Á.Í. Ñèïëèâûé, À.Ì. Àôàíàñüåâ, 2001 © Èçäàòåëüñòâî Âîëãîãðàäñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, 2001 © Âîëãîãðàäñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò, 2001

Ñîäåðæàíèå ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ ............................................................. 5 ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß ............................................................. 6 1. ÑÊÀËßÐÍÎÅ ÏÎËÅ .................................................... 8 1.1. Ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ, ëèíèè óðîâíÿ ................ 8 1.2. Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ ....................... 12 1.3. Ãðàäèåíò .......................................................... 16 2. ÂÅÊÒÎÐÍÎÅ ÏÎËÅ .................................................. 23 2.1. Âåêòîðíûå ëèíèè ............................................ 23 2.2. Ïîòîê .............................................................. 28 2.3. Äèâåðãåíöèÿ ................................................... 33 2.4. Òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî ................................. 36 2.5. Ðàáîòà .............................................................. 42 2.6. Ðîòîð. Ïðàâèëà ðàáîòû ñ îïåðàòîðîì ∇ ........... 51 2.7. Òåîðåìà Ñòîêñà. Ôîðìóëà Ãðèíà .................... 57 3. ÒÈÏÛ ÂÅÊÒÎÐÍÛÕ ÏÎËÅÉ ................................. 63 3.1. Ïîòåíöèàëüíîå ïîëå. Ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë .................................... 63 3.2. Ñîëåíîèäàëüíîå ïîëå. Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ..................................... 71 3.3. Ëàïëàñîâî ïîëå. Ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè ..... 80 4. ÊÐÈÂÎËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒÛ ......................................................... 84 4.1. Ïîíÿòèå î êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ ....... 84 4.2. Ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà ................................... 88 4.3. Îïåðàöèè âåêòîðíîãî àíàëèçà â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ ...................... 90 4.3.1.Óðàâíåíèÿ âåêòîðíûõ ëèíèé ................ 90 4.3.2. Ãðàäèåíò ................................................ 91 4.3.3. Äèâåðãåíöèÿ .......................................... 92 4.3.4. Ðîòîð ..................................................... 92 4.3.5. Âû÷èñëåíèå ïîòîêà ............................... 94 4.3.6. Âû÷èñëåíèå ðàáîòû ................................. 9

4.3.7. Âû÷èñëåíèå ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà .... 99 4.3.8. Ïîñòðîåíèå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ... 104 4.3.9. Îïåðàòîð Ëàïëàñà ................................ 107 5. ÒÅÍÇÎÐÛ ................................................................. 111 5.1. Ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà. Îïðåäåëåíèå òåíçîðà. Ñèììåòðèÿ òåíçîðà ... 111 5.2. Ãëàâíûå îñè òåíçîðà ..................................... 115 5.3. Òåíçîðû â ôèçèêå ........................................ 120 5.4. Ïðîñòåéøèå îïåðàöèè ñ òåíçîðàìè ............. 121 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ .......................................... 146

4

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ Ïðåäëàãàåìîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîäåðæèò íåîáõîäèìûé ìèíèìóì çàäà÷ â îáúåìå ïðîãðàììû ïî âåêòîðíîìó àíàëèçó äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ.  íà÷àëå êàæäîãî ðàçäåëà äàþòñÿ êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ áåç äîêàçàòåëüñòâà, ò. å. îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, îïðåäåëåíèÿ, ôîðìóëû, à òàêæå ïðèâîäÿòñÿ ïîêàçàòåëüíûå ðåøåíèÿ íåñêîëüêèõ õàðàêòåðíûõ çàäà÷. Ýòî ïîçâîëÿåò ñòóäåíòó îâëàäåòü òåõíèêîé è êóëüòóðîé ðåøåíèÿ çàäà÷ ñàìîñòîÿòåëüíî èëè ïðè ìèíèìàëüíîé ïîìîùè ïðåïîäàâàòåëÿ. Áîëüøèíñòâî çàäà÷ ïîñîáèÿ ÿâëÿþòñÿ òèïîâûìè è ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèìè. Îíè èìåþò öåëüþ ïðàêòè÷åñêîå îñâîåíèå àïïàðàòà âåêòîðíîãî àíàëèçà, äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ îñîáîãî èñêóññòâà, õîòÿ ìíîãèå èç íèõ äîñòàòî÷íî òðóäíû. Íî çíà÷èòåëüíîå âíèìàíèå óäåëåíî è çàäà÷àì ïðèêëàäíîãî õàðàêòåðà èç ìåõàíèêè è ýëåêòðîäèíàìèêè, ðåøåíèå êîòîðûõ, îäíàêî, íå òðåáóåò ñïåöèàëüíûõ äîïîëíèòåëüíûõ ñâåäåíèé èç ñîîòâåòñòâóþùèõ äèñöèïëèí. Îñîáåííîñòüþ òàêèõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ ëèøü òî, ÷òî â íèõ ìåòîäàìè âåêòîðíîãî àíàëèçà èññëåäóþòñÿ ñâîéñòâà íå èñêóññòâåííî ñêîíñòðóèðîâàííûõ, à êîíêðåòíûõ ôèçè÷åñêèõ ïîëåé.  çàêëþ÷èòåëüíîì ðàçäåëå ïîñîáèÿ ïðåäëàãàåòñÿ íåñêîëüêî çàäà÷ íà îñíîâíûå ñâîéñòâà òåíçîðîâ è ïðîñòåéøèå îïåðàöèè ñ íèìè â ïðÿìîóãîëüíûõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ.  êîíöå ñáîðíèêà äàþòñÿ êðàòêèå îòâåòû ïî÷òè íà âñå ïðåäëàãàåìûå çàäà÷è, êðîìå òåõ íåìíîãèõ, êîòîðûå ñâÿçàíû ñ êàêèì-ëèáî äîêàçàòåëüñòâîì. Èíîãäà âìåñòî îòâåòà èëè â äîáàâëåíèå ê íåìó äàåòñÿ ìåòîäè÷åñêàÿ ðåêîìåíäàöèÿ â ôîðìå ëåãêîé ïîäñêàçêè, ïîìîãàþùåé ïîäñòóïèòüñÿ ê äàííîé çàäà÷å. Ïðè ñîñòàâëåíèè íàñòîÿùåãî ñáîðíèêà çàäà÷ èñïîëüçîâàëèñü èñòî÷íèêè [3—8], ñòàâøèå áèáëèîãðàôè÷åñêîé ðåäêîñòüþ. Ìíîãèå çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ îðèãèíàëüíûìè ïî ñîäåðæàíèþ èëè ïî ïîñòàíîâêå. Ó÷åáíîå ïîñîáèå ðàññ÷èòàíî íà ñòóäåíòîâ ìëàäøèõ êóðñîâ ôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ è ïðåäïîëàãàåò èõ çíàêîìñòâî ñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèåé, âåêòîðíîé àëãåáðîé è îñíîâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.

5

ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß Â ñáîðíèêå çàäà÷ èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ îáùåïðèíÿòàÿ (èëè áëèçêàÿ ê îáùåïðèíÿòîé) ñèìâîëèêà: ρ ρ ρ e x , e y , e z — áàçèñíûå îðòû äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò; ρ en — åäèíè÷íàÿ íîðìàëü; ρ eτ — åäèíè÷íûé êàñàòåëüíûé âåêòîð; ρ ρ a ⋅ b — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ; ρ ρ a × b — âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ; ρρρ ( abc ) — ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òðåõ âåêòîðîâ; ρ ρ dl = eτ dl — îðèåíòèðîâàííûé ýëåìåíò êðèâîé; ρ ρ dS = en dS — îðèåíòèðîâàííûé ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè; u( x , y, z ) — ñêàëÿðíîå ïîëå îáùåãî âèäà â äåêàðòîâîé ñèñòåìå; ρ a ( x, y , z ) — âåêòîðíîå ïîëå îáùåãî âèäà â äåêàðòîâîé ñèñòåìå; ρ ρ a = {a x , a y , a z } — âåêòîðíîå ïîëå a ( x , y, z ) , çàäàâàåìîå åãî

êîìïîíåíòàìè a x ( x , y, z ) , a y ( x , y , z ) , ρ ρ ρ ρ a z ( x , y, z ) , ò. å. a = a x e x + a y e y + a z e z ;

ρ r = {x , y, z} — ðàäèóñ-âåêòîð, çàäàâàåìûé åãî êîìïîíåíòàìè ρ ρ ρ ρ x, y, z, ò. å. r = {x , y , z} = xe x + ye y + ze z ; ρ r= r =

x2 + y2 + z2

— ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì (x, y, z) äî íà÷àëà êîîðäèíàò;

ρ = x2 + y2

— ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì (x, y, z) äî îñè z;

(q1, q2, q3) — îáîáùåííûå êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû; (ρ, ϕ, z) — öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû; (ρ, θ, ϕ) — ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû;

6

ρ ρ ρ eρ , eϕ , e z — îðòîãîíàëüíûé áàçèñ öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò; ρ ρ ρ er , eθ , eϕ — îðòîãîíàëüíûé áàçèñ ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò; ∇ — îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà (îïåðàòîð íàáëà); ∆ — îïåðàòîð Ëàïëàñà (îïåðàòîð äåëüòà); ∇u — êðàòêîå îáîçíà÷åíèå îïåðàöèè grad u; ρ ρ ∇ ⋅ a — êðàòêîå îáîçíà÷åíèå îïåðàöèè div a ; ρ ρ ∇ × a — êðàòêîå îáîçíà÷åíèå îïåðàöèè rot a . Äðóãèå èñïîëüçóåìûå â çàäà÷àõ ñèìâîëû îïèñàíû â íà÷àëå ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçäåëà èëè ïðè ôîðìóëèðîâêå çàäà÷è.

7

1. ÑÊÀËßÐÍÎÅ ÏÎËÅ Îïðåäåëåíèå. Åñëè â êàæäîé òî÷êå M (x, y, z) íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà V îïðåäåëåíî çíà÷åíèå ñêàëÿðíîé ôóíêöèè u = u (M), òî ãîâîðÿò, ÷òî â ýòîé îáëàñòè çàäàíî ñêàëÿðíîå ïîëå u (x, y, z). Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ u îäíîçíà÷íà è ïðèíèìàåò â îáëàñòè V êîíå÷íûå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ïðèìåðû ôèçè÷åñêèõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé: T = T (x, y, z) — ïîëå òåìïåðàòóð; p = p (x, y, z) — ïîëå äàâëåíèé; ρ = ρ (x, y, z) — ïîëå ïëîòíîñòåé ñðåäû; ϕ = ϕ (x, y, z) — ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. Îïðåäåëåíèå. Ñêàëÿðíîå ïîëå u íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, åñëè îíî íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Åñëè æå u = u (x, y, z, t), òî ïîëå íàçûâàåòñÿ íåñòàöèîíàðíûì. Äàëåå, åñëè íå áóäåò ñïåöèàëüíûõ îãîâîðîê, ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî ñòàöèîíàðíûå ïîëÿ. Îïðåäåëåíèå. Ñêàëÿðíîå ïîëå íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì, åñëè ôóíêöèÿ u çàâèñèò òîëüêî îò äâóõ êîîðäèíàò, íàïðèìåð u = u (x, y). 1.1. Ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ, ëèíèè óðîâíÿ Ãåîìåòðè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u (x, y, z) ñëóæàò ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ. Îïðåäåëåíèå. Ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u — ýòî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ãäå ôóíêöèÿ u èìååò êàêîå-ëèáî ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì, ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì u (x, y, z) = C, ãäå C = const. Ýòî óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå. Ïðèäàâàÿ âåëè÷èíå C çíà÷åíèÿ C1, C2, ... CN, ïîëó÷àåì ñåìåéñòâî ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ â ïðîñòðàíñòâå. Ïðèìåðû ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ: 1) ñåìåéñòâîì ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ ïîòåíöèàëà ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà (ýêâèïîòåíöèàëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè) ÿâëÿþòñÿ êîíöåíòðè÷åñêèå ñôåðû, îáùèé öåíòð êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ çàðÿäîì; 8

2) ñåìåéñòâîì ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ ïîëÿ òåìïåðàòóð ïðÿìîé äëèííîé ðàâíîìåðíî íàãðåòîé íèòè (ýêâèòåìïåðàòóðíûìè ïîâåðõíîñòÿìè) áóäóò êðóãîâûå êîàêñèàëüíûå öèëèíäðû, îáùàÿ îñü êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ íèòüþ. Òàê êàê ôóíêöèÿ u (x, y, z) ïðåäïîëàãàåòñÿ îäíîçíà÷íîé, òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâà ïðîõîäèò òîëüêî îäíà ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ, ò. å. ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ íå ïåðåñåêàþòñÿ. Åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì, ò. å., íàïðèìåð, u = u (x, y), òî åãî ãåîìåòðè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì áóäóò ëèíèè óðîâíÿ — ãåîìåòðè÷åñêèå ìåñòà òî÷åê íà ïëîñêîñòè xOy, ãäå u (x, y) = C. Ïðèìåð 1. Îïðåäåëèòü ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = x2 + y2 + z2 .

Ðåøåíèå. Ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì x2 + y2 + z2 = C ,

êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñåìåéñòâî ñôåð x2 + y2 + z2 = C2 (C = R1, R2, ... — ðàäèóñû ñôåð). Ïðèìåð 2. Îïðåäåëèòü ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ

ρ ρ ρ ρ u = a ⋅ r , ãäå a = {a1 , a 2 , a3} — ïîñòîÿííûé âåêòîð, r = {x, y, z}

— ðàäèóñ-âåêòîð. Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ çäåñü èìååò âèä: ρ ρ a ⋅ r = C, èëè: a1x + a2y + a3z = C. Ïîëàãàÿ Ñ = Ñ1, Ñ2, ... , ïîëó÷àåì ñåìåéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé. Ïðèìåð 3. Óêàçàòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è íàéòè ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = z / (x2 + y2). Ðåøåíèå. Äàííîå ïîëå îïðåäåëåíî âñþäó, êðîìå îñè z, ò. å. êðîìå òî÷åê x = y = 0. Ïîëàãàÿ u = C, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ âîêðóã îñè z ñ âåðøèíîé â íà÷àëå êîîðäèíàò: z = C (x2+ y2), C = C1, C2, ...

9

Ïðè C > 0 èìååì ñåìåéñòâî ïàðàáîëîèäîâ, íàïðàâëåííûõ â ñòîðîíó z > 0, à ïðè C < 0 — â ñòîðîíó z < 0. Ïðè Ñ = 0 ïîëó÷àåì z = 0 — ýòî ïëîñêîñòü x0y. Ïðèìåð 4. Èçîáðàçèòü ñåìåéñòâî ëèíèé óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u=

x2 + y2 . 2( x + y )

Ðåøåíèå. Ëèíèÿ óðîâíÿ äàííîãî ïîëÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì: x2 + y2 = C, 2( x + y )

êîòîðîå ïðèâîäèòñÿ ê âèäó: (x — C)2 + (y — C)2 = 2C 2. Ïîëàãàÿ Ñ = Ñ1, Ñ2, ..., ïîëó÷àåì ñåìåéñòâî îêðóæíîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó (0, 0), â êîòîðîé ñàìî ïîëå u íå îïðåäåëåíî. Öåíòðû îêðóæíîñòåé ëåæàò íà áèññåêòðèñå ïðÿìîãî óãëà x0y (ðèñ. 1): ïðè C > 0 — â ïåðâîì êâàäðàíòå, ïðè C < 0 — â òðåòüåì.

Ðèñ. 1

Çàäà÷è • Íàéòè ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ñëåäóþùèõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé: 1.1. u =

1 ; 2 x + y2 + z2

1.2.

10

u=

x2 + y2 ; z

1.3. u = x2 + y2 — z2;

1.6.

2 2 1.4. u = 4 y + 9 z ;

ρ ρρρ ρ u = ( a , b , r ) , ãäå a è b

— ïîñòîÿííûå âåêòîðû;

1.5. u = ln r ;

1.7. 1.8.

u = xy/z;

ρ ρ ex ⋅ r u = ρ ρ. ey ⋅ r

• Èçîáðàçèòü ñåìåéñòâà ëèíèé óðîâíÿ ñëåäóþùèõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé: 1.13. u =

1.9. u = 2x — y;

x2 + y2 . 2x

1.10.

u=

1.11.

u = y2 x ;

1.15. u =

1.12.

u = x2 − y2 ;

1.16. u = ln x 2 − y 2 4 ;

y x;

1.17. u = arctg

(

1.14. u = x2 + 9y2 — 18y; 2x − y + 1 ; x2

(

)

)

x 2 + y 2 + ( x − 1)2 + y 2 .

• Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå è ïîñòðîèòü ãðàôèê ëèíèè óðîâíÿ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M äëÿ ñëåäóþùèõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé: 1.18. u = x 2 + y 2 + 2 , M (3, 5); 1.19. u = 4 x 2 − y 2 , M (2, -1); 1.20. u = 4 x 2 − y 2 , M (1, 2); 1.21. u = x 2 + 9 y 2 − 18 y , M (3, -1); 1.22. u = ( 4 x + y − 1) x 2 , M (4, 1); 2 2 1.23. u = ( x + y ) x , M (4, 0). 1.24. Ïîêàçàòü, ÷òî ïîâåðõíîñòÿìè óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ρ ρ ρ ρ ρ u = ( a × r ) ⋅ b , ãäå a è b — ïîñòîÿííûå âåêòîðû, ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå âåêòîðó ρ ρ a×b .

11

1.25. Ïóñòü r1 è r2 — ðàññòîÿíèÿ îò ïåðåìåííîé òî÷êè äî äâóõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê M1 (-C, 0) è M2 (C, 0), à u = r1r2 — ñêàëÿðíîå ïîëå (ëèíèè óðîâíÿ ýòîãî ïîëÿ íàçûâàþòñÿ îâàëàìè Êàññèíè). Íàéòè óðàâíåíèå ëèíèè óðîâíÿ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò (ýòà êðèâàÿ èìååò ñïåöèàëüíîå íàçâàíèå — ëåìíèñêàòà). 1.26. Ïóñòü Ì1 è Ì2 — ôèêñèðîâàííûå òî÷êè, Ì — ïåðåìåííàÿ òî÷êà, α1 è α2 — óãëû, êîòîðûå ñîñòàâëÿþò ρ ρ ρ âåêòîðû rM M è rM M ñ âåêòîðîì rM M 2 . Ïîñòðîèòü 1

1

2

ëèíèè óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = α1 — α2. Ïðèìå÷àíèå. Óãëîì ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè, ïðèâåäåííûìè ê îáùåìó íà÷àëó, íàçûâàþò òîò èç äâóõ îáðàçîâàííûõ èìè óãëîâ, êîòîðûé íå ïðåâîñõîäèò π . 1.2. Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ Ïóñòü çàäàíî ñêàëÿðíîå ïîëå u = u (x, y, z). Îòìåòèì â ýòîì ïîëå êàêóþ-ëèáî òî÷êó Ì è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå îðèåíòèðîâàííóþ ïðÿìóþ l, çàäàâàåìóþ åäèíè÷íûì âåêòîðîì ρ l = {l x , l y , l z } . È ïóñòü Ì´ — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà ïðÿìîé l, ñìåùåííàÿ âäîëü âåêòîðà íèå:

ρ l îòíîñèòåëüíî èñõîäíîé òî÷êè Ì. Ñîñòàâèì îòíîøåu( M ′ ) − u( M ) , MM ′

(1.1)

ρ

ãäå ÌÌ´ — âåëè÷èíà ñìåùåíèÿ âäîëü âåêòîðà l . Îïðåäåëåíèå. Ïðåäåë îòíîøåíèÿ (1.1), åñëè îí ñóùåñòâóåò, êîãäà òî÷êà Ì´ ïðèáëèæàåòñÿ ê òî÷êå Ì ïî ïðÿìîé l, íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u â òî÷êå Ì ïî ρ íàïðàâëåíèþ l è îáîçíà÷àåòñÿ äu /ä lM :

∂ u ∂l

= lim M

M ′→ M

u( M ′ ) − u( M ) . MM ′

12

(1.2)

Ýòà ïðîèçâîäíàÿ îïðåäåëÿåò «ñêîðîñòü» èçìåíåíèÿ ñêàëÿðíîãî

ρ

ïîëÿ u â òî÷êå Ì ïî íàïðàâëåíèþ l . Ïðîèçâîäíàÿ (1.2) åñòü ñêàëÿð, òàê êàê îíà ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû. Âûðàæåíèå (1.2) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó, óäîáíîìó äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé. Ðàññìàòðèâàÿ ∂u/∂l êàê ïðîèçâîäíóþ ñëîæíîé ôóíêöèè, çàïèøåì:

∂ u ∂ u dx ∂ u dy ∂ u dz = + + ∂ l ∂ x dl ∂ y dl ∂ z dl . À òàê êàê dx dy dz = cos α = l x , = cos β = l y , = cos γ = l z , dl dl dl

ρ ãäå α, β è γ — íàïðàâëÿþùèå óãëû åäèíè÷íîãî âåêòîðà l , òî

∂ u ∂ u ∂ u ∂ u = l lx + ly + ∂l ∂x ∂ y ∂ z z,

(1.3)

∂ u ∂ u ∂ u ∂ u = cos α + cos β + cos γ . ∂l ∂x ∂ y ∂z

(1.4)

èëè:

Âñå ïðîèçâîäíûå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u (x, y, z) áåðóòñÿ â òî÷êå Ì. Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ x y – â òî÷êå Ì (1, 1) ïî íàïðàâëåíèþ ê òî÷êå Ì´(4, 5). y x ρ Ðåøåíèå. Åäèíè÷íûé âåêòîð íàïðàâëåíèÿ l íàõîäèì íîðρ ìèðîâêîé âåêòîðà rMM ′ = {3, 4}:

u=

ρ rρ 3 4  l = ρMM ′ =  ,  rMM ′  5 5  . Ïðîèçâîäíûå â òî÷êå Ì (1, 1):

∂ u 1 y = + ∂ x y x2

= 2, (1,1)

∂ u x 1 =− 2 − = −2 . ∂ y y x (1,1) 13

Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó (1.3), ïîëó÷àåì: 3 4 2 ∂ u = 2⋅ − 2⋅ = − . 5 5 5 ∂l

Òî, ÷òî ∂u/∂l M < 0, îçíà÷àåò, ÷òî ñêàëÿðíîå ïîëå u â òî÷êå Ì óáûâàåò â äàííîì íàïðàâëåíèè. Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = arctg (xy) â òî÷êå Ì (1, 1), ïðèíàäëåæàùåé ïàðàáîëå y = x2, â íàïðàâëåíèè åå êàñàòåëüíîé â ýòîé òî÷êå â ñòîðîíó ðîñòà ôóíêöèè y. Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà íàõîäèì íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû âåêòîρ ðà l â òî÷êå Ì. Òàê êàê òàíãåíñ óãëà ìåæäó êàñàòåëüíîé ê ïàðàáîëå è îñüþ x : tg α =

òî cos α = 1 êå Ì :

dy = 2 x x =1 = 2 , dx

5 , cos β = sin α = 2

∂ u y = ∂ x 1 + x2 y2

= (1,1)

5 . Ïðîèçâîäíûå ïîëÿ u â òî÷-

∂ u x = ∂ y 1 + x2 y2

1 2,

= (1,1)

1 2.

Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåííèÿ â ôîðìóëó (1.4), ïîëó÷àåì:

∂ u 1 1 1 2 3 5 = ⋅ + ⋅ = ∂l 2 5 2 5 10 .

Çàäà÷è • Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíûå â òî÷êå Ì ïî íàïðàâëåíèþ ê òî÷êå Ì´ ñëåäóþùèõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé: 1.27. u = x2y + xz2,

M (1, 5, 0), M´(4, 5, 4);

1.28. u = x + y + z , M (1, 1, 1), M´(3, 2, 1); 2

1.29. u = xy2z ,

2

2

M (5, 1, 2), M´(9, 4, 14);

14

1.30. u =

xy + x + 9 , 5x

1.31. u = 1 r,

M(3, 1), M´(7, 4); M ( 2 , 0, 0), M´(0, 1, 1);

1.32. u = xe + ye − z 2 , M (3, 0, 2), M´(4, 1, 3); y

x

1.33. u = ( x 2 + y 2 ) x , M (1, 0), M´(0,5; 0,5). 1.34. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = ln (ex + ey) â íà÷àëå êîîðäèíàò ïî íàïðàâëåíèþ ëó÷à, ñîñòàâëÿþùåãî óãîë 60° ñ îñüþ àáñöèññ. 1.35. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = arctg (y/x) â òî÷êå Ì (2, -2) îêðóæíîñòè x 2 + y 2 — 4x = 0 âäîëü åå êàñàòåëüíîé â ýòîé òî÷êå â íàïðàâëåíèè âîçðàñòàíèÿ àáñöèññû. 1.36. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = ln (x 2 + y 2) â òî÷êå Ì (1, 2) ïàðàáîëû y 2 = 4x âäîëü åå êàñàòåëüíîé â ýòîé òî÷êå â íàïðàâëåíèè âîçðàñòàíèÿ àáñöèññû. 1.37. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = arctg(xy) â òî÷êå Ì (3, -3) ïî íàïðàâëåíèþ ê íà÷àëó êîîðäèíàò. 1.38. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = x2/a2+y2/b2+z2/c2 â ëþáîé òî÷êå Ì ïî íàïðàâëå-

ρ

íèþ ðàäèóñà-âåêòîðà r ýòîé òî÷êè ðàâíà 2u/r. 1.39. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = x2/4 + y2/9 + z2 â òî÷êå Ì (1, -2, 3) ïî íàïðàâëå-

ρ

íèþ ðàäèóñà-âåêòîðà r ýòîé òî÷êè. 1.40. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = 1/r

ρ

ïî íàïðàâëåíèþ, çàäàííîìó åäèíè÷íûì âåêòîðîì l . 1.41. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñôåðè÷åñêîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u(r) ïî íàïðàâëåíèþ, çàäàííîìó åäèíè÷íûì

ρ

âåêòîðîì l . 1.42. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = (x 2 + y 2) 2 â òî÷êå Ì (1, -2, 0) ïî íàïðàâëåíèþ ðàäèóñà-âåêòîðà

ρ r ýòîé òî÷êè.

15

1.3. Ãðàäèåíò Îïðåäåëåíèå. Âåêòîð, èìåþùèé â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò êîìïîíåíòû  ∂ u ∂ u ∂ u  , , ,   ∂ x ∂ y ∂ z 

íàçûâàåòñÿ ãðàäèåíòîì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u (x, y, z) â äàííîé òî÷êå è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì grad u :  ∂ u ∂ u ∂ u  ∂ u ρ ∂ u ρ ∂ u ρ grad u =  , , ex + e + e = ∂ y y ∂z z.  ∂ x ∂ y ∂ z  ∂ x Òåïåðü ñîîòíîøåíèå (1.3) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:

∂ u ∂l

ρ = l ⋅ grad u

M

.

(1.5)

M

Ñîâîêóïíîñòü òðåõ îïåðàöèé äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ñïåöèàëüíûì ñèìâîëîì ∇ — äèôôåðåíöèàëüíûì îïåðàòîðîì íàáëà, êîòîðûé â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ñèìâîëè÷åñêîãî âåêòîðà ñ êîìïîíåíòàìè ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z:  ∂ ∂ ∂  ∇= , , .  ∂ x ∂ y ∂ z 

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ u (x, y, z), ïîäâåðæåííàÿ åãî äåéñòâèþ, ïðåâðàùàåòñÿ â âåêòîð grad u:  ∂ u ∂ u ∂ u  ∇u =  , ,  = grad u .  ∂ x ∂ y ∂ z  Ñ ó÷åòîì ýòîãî, ñîîòíîøåíèå (1.5) óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå:

∂ u ρ = l ⋅ ∇u ∂l

16

ρ ( l = 1 ).

(1.6)

Äàëåå âåçäå ïîä çàïèñüþ ∇u áóäåì ïîíèìàòü âåêòîð grad u. Ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ∇u îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: a) âåêòîð ∇u íàïðàâëåí ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ u (x, y, z) = C â êàæäîé åå òî÷êå (ðèñ. 2);

Ðèñ. 2 á) âåêòîð ∇u íàïðàâëåí â ñòîðîíó ðîñòà ôóíêöèè u; â) ñêîðîñòü ðîñòà ôóíêöèè u ìàêñèìàëüíà â íàïðàâëåíèè ãðàäèåíòà: äåéñòâèòåëüíî, èç (1.6) âèäíî, ÷òî ∂u/∂l→max ïðè ρ l ↑↑∇u, à ñàìà âåëè÷èíà ýòîé ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè ðîñòà (∂u/∂l)max = ∇u; ã) ïóñòü u (x, y, z) è v (x, y, z) — äâà ñêàëÿðíûõ ïîëÿ, òîãäà: ∇(u + v) = ∇u + ∇v, ∇(uv) = u ∇v + v ∇u. Èç ñâîéñòâà à) ñëåäóåò, ÷òî åäèíè÷íàÿ íîðìàëü

ρ en ê ïî-

âåðõíîñòè óðîâíÿ u (x, y, z) = C â ëþáîé åå òî÷êå âûðàæàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì: ρ ∇u en = ∇u ,

ïðè÷åì ýòà íîðìàëü íàïðàâëåíà â ñòîðîíó ðîñòà ôóíêöèè u. ρ ρ Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = a ⋅ r , ρ ãäå a = {a1 , a 2 , a3} — ïîñòîÿííûé âåêòîð. ρ ρ Ðåøåíèå. Òàê êàê a ⋅ r = a1 x + a2 y + a3 z , òî  ∂ u ∂ u ∂ u  ρ ∇u =  , ,  = {a1 , a 2 , a3} = a = const .  ∂ x ∂ y ∂ z  Ïîñêîëüêó ïîâåðõíîñòÿìè óðîâíÿ äàííîãî ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ ïëîñ-

ρ

êîñòè (ñì. ïðèìåð 2 ðàçä. 1.1), òî âåêòîð a áóäåò íîðìàëüíûì ê ñåìåéñòâó ýòèõ ïëîñêîñòåé. Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü ãðàäèåíò ïîòåíöèàëà ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà q:

17

ϕ (r ) = k ãäå k =

q , r

1 — êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè â ñèñòåìå ÑÈ. 4πε 0

Ðåøåíèå.  ∂ϕ ∂  −x 1 x  = kq = − kq 3 . = kq ∂x ∂ x  x 2 + y 2 + z 2  ( x 2 + y 2 + z 2 )3 2 r

Àíàëîãè÷íî:

∂ϕ ∂ϕ y z = − kq 3 , = − kq 3 . ∂ y ∂z r r È òîãäà ïîëó÷àåì:  ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ  kq q ρ ∇ϕ =  , ,  = − 3 {x , y , z} = − k 3 r . ∂ ∂ ∂ x y z r r  

Ïðèìåð 3. Îïðåäåëèòü óãîë θ ìåæäó ãðàäèåíòàìè ñêàëÿðíûõ ïîëåé u = x + y + z è v = x2 + y2 + z2 â òî÷êå Ì (1, 1, 0). Ðåøåíèå. ∇u = {1, 1, 1} — ýòî ïîñòîÿííûé âåêòîð, íîðìàëüíûé ê ïëîñêîñòè x + y + z = Ñ ; ∇v = {2x, 2y, 2z}M = {2, 2, 0}. Ïðîíîðìèðóåì ýòè ãðàäèåíòû: ρ ∇u ρ ∇v 1 1 = = n1 = {111 , , } , n2 = {11 , ,0} . ∇u ∇v 3 2

Òîãäà

ρ ρ 1 6 cos θ = n1 ⋅ n2 = (1 + 1 + 0) = ; θ ≈ 35°. 3 6

18

Çàäà÷è 1.43. Âû÷èñëèòü ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = zer â òî÷êå Ì (0, 0, 0). • Îïðåäåëèòü óãîë θ ìåæäó ãðàäèåíòàìè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u â òî÷êàõ Ì è N : 1.44.

u = arctg( x y) , Ì(1,1), N (-1, -1);

1.45. u = cos 1.46. u =

1 , M (1, 0), N (2, 2); x + y2 2

x , M (1, 2, 2), N (-3, 1, 0). x + y2 +z2 2

• Îïðåäåëèòü óãîë θ ìåæäó ãðàäèåíòàìè ñêàëÿðíûõ ïîëåé u è v â òî÷êå Ì: 1.47. u =

x 2 + y 2 , v = x − 3 y + 3xy ,

1.48. u = r , v = ln r , 2

Ì (3, 4); M (0, 0, 1);

M (0, 0, 0). 1.49. u = z exp(r ) , v = x ln( 2 + y 2 + z 2 ) , 1.50. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = yzex â òî÷êå Ì (0, 0, 1) ïî íàïðàâëåíèþ åãî ãðàäèåíòà è âäîëü îñè y. 1.51. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = x2 + y2 2

â òî÷êå Ì ( 2 , 1), ïðèíàäëåæàùåé ãèïåðáîëå x2 — y2 = 1, â íàïðàâëåíèè íîðìàëè ê íåé (â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ àáñöèññû). 1.52. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = ln(xy) â òî÷êå Ì (1, 2), ïðèíàäëåæàùåé ïàðàáîëå y = 2x2, â íàïðàâëåíèè íîðìàëè ê íåé (â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ àáñöèññû). 1.53. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = ln(x2 + y2) â òî÷êå Ì (1, 1) â íàïðàâëåíèè íîðìàëè ê ëèíèè óðîâíÿ ýòîãî ïîëÿ (â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ àáñöèññû).

19

1.54. Ïîêàçàòü, ÷òî â ëþáîé òî÷êå ýëëèïñà 2x2 + y2 = 3 ïðîèçâîäíàÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = y2/x ïî íàïðàâëåíèþ íîðìàëè ê ýëëèïñó ðàâíà íóëþ. 1.55.  êàêîé òî÷êå Ì ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = x2 + 2y2 + 3z2 + xy + 3x — 2y — 6z ðàâåí íóëþ? 1.56.  êàêèõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = x3 + y3 + z3 — 3xyz : a) ïåðïåíäèêóëÿðåí îñè z; á) ðàâåí íóëþ? 1.57.  êàêèõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà ìîäóëü ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = ln(1/r) ðàâåí åäèíèöå? 1.58. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = 1/r â òî÷êå Ì (2, 2, 1) ïî íàïðàâëåíèþ åãî ãðàäèåíòà è âäîëü îñè z. 1.59. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = xyz â íàïðàâëåíèè ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîãî ïîëÿ v = lnr â òî÷êå Ì (2, 2, 1). 1.60. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = x3y2z â òî÷êå Ì (1, 1, 1) â íàïðàâëåíèè ãðàäèåíòà ïîëÿ v = x3+y2+z â ýòîé òî÷êå. 1.61. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u (x, y, z) â íàïðàâëåíèè ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîãî ïîëÿ v (x, y, z). Ïðè êàêîì óñëîâèè îíà ðàâíà íóëþ? • Âû÷èñëèòü ãðàäèåíòû ñëåäóþùèõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé, â êîρ ρ ρ òîðûõ a è b — ïîñòîÿííûå âåêòîðû, à r — ðàäèóñ-âåêòîð: ρρρ 1.62. u = r; 1.66. u = ( abr ) . 1.63. u =

ρ ρ ρ ρ 1.67. u = ( a ⋅ r )( b ⋅ r ) ;

1 ; r2

ρ ρ a ⋅r ; r3 ρ ρ ρ 1.69. u = ( a × r ) ⋅ b ; ρ ρ 1.70. u = ( a × r )2 ;

1.64. u = r n ;

1.68. u =

ρ ρ 1.65. u = r ⋅ ez ;

1.71. Äîêàçàòü, ÷òî â ëþáîé òî÷êå óãîë ìåæäó ãðàäèåíòàìè äâóõ ñêàëÿðíûõ ïîëåé u = 1/(x + y + z) è v = exp(x + y — 2z) ðàâåí π/2. 20

1.72. Äîêàçàòü, ÷òî ëèíèè óðîâíÿ ñêàëÿðíûõ ïîëåé u = (x2 — y2)3 è v = exy îáðàçóþò íà ïëîñêîñòè êðèâîëèíåéíóþ îðòîãîíàëüíóþ ñåòêó. 1.73. Äîêàçàòü, ÷òî ñåìåéñòâà ãèïåðáîë x2 — y2 = A (A = A1, A2, ...) è xy = B (B = B1, B2, ...) âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû â êàæäîé òî÷êå èõ ïåðåñå÷åíèÿ. Èçîáðàçèòü ýòè ñåìåéñòâà. • Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå u ÿâëÿåòñÿ ñôåðè÷åñêèì, ò. å. u = u (r), òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: ρ r ∇ u = u ′ 1.74. ; r r 1.75.

ρ r ⋅ ∇u = rur′ ;

ρ 1.76. r × ∇u = 0 . 1.77. Ïóñòü rNM — ðàññòîÿíèå îò ïåðåìåííîé òî÷êè Ì ρ äî íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè N, eNM — åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé èç N â M . ρ Ïîêàçàòü, ÷òî ∇rNM = eNM . 1.78. Ïóñòü ρNM — ðàññòîÿíèå îò ïåðåìåííîé òî÷êè Ì äî íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ïðÿìîé, è òî÷êà N åñòü îñíîâàíèå ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè Ì ρ ρ íà ýòó ïðÿìóþ. Ïîêàçàòü, ÷òî ∇ρ NM = eNM , ãäå eNM — åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé èç N â M. 1.79. Îïðåäåëèòü óãîë ìåæäó íîðìàëÿìè ê ïàðàáîëîèäó z = x2+ y2 â òî÷êàõ Ì (1/2, 0, 1/4) è N (0, 1/2, 1/4). 1.80. Îïðåäåëèòü óãîë ìåæäó íîðìàëÿìè ê ñôåðå

x2 + y2 + z2 = 1

â

òî÷êàõ

Ì (1/2, 1/2, 1/

2 )

è N (-1/2, 1/2, -1/ 2 ). 1.81. Ïóñòü r1 è r2 — ðàññòîÿíèÿ îò ïåðåìåííîé òî÷êè äî íåêîòîðûõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê Ì1 è Ì2. Ýëëèïñ åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ ñóììà ýòèõ ðàññòîÿíèé îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé. Ðàññìàòðèâàÿ ýëëèïñ êàê ëèíèþ óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = r1 + r2, äîêàçàòü, ÷òî åãî íîðìàëü â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå Ì ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé óãëà Ì1ÌÌ2. Ïîäñêàçêà. Âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòîì çàäà÷è 1.77.

21

1.82. Ïàðàáîëà åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ ðàññòîÿíèå r äî ôèêñèðîâàííîé òî÷êè, íàçûâàåìîé ôîêóñîì, ðàâíî ðàññòîÿíèþ ρ äî ôèêñèðîâàííîé ïðÿìîé, íàçûâàåìîé äèðåêòðèñîé. Ðàññìàòðèâàÿ ïàðàáîëó êàê ëèíèþ óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = r — ρ , äîêàçàòü, ÷òî ñâåòîâûå ëó÷è, ïàðàëëåëüíûå îñè ïàðàáîëè÷åñêîãî çåðêàëà, ïîñëå îòðàæåíèÿ îò åãî ïîâåðõíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â ôîêóñå. Ïîäñêàçêà. Âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòàìè çàäà÷ 1.77 è 1.78. 1.83. «... Çàêîí ãèïåðáîëè÷åñêèõ çåðêàë òàêîâ: ëó÷è ñâåòà, ïàäàÿ íà âíóòðåííþþ ïîâåðõíîñòü ãèïåðáîëè÷åñêîãî çåðêàëà, ñõîäÿòñÿ â îäíîé òî÷êå, â ôîêóñå ãèïåðáîëû ...» (À.Í. Òîëñòîé. Ãèïåðáîëîèä èíæåíåðà Ãàðèíà). Ïîêàçàòü, ÷òî â ôîêóñå ãèïåðáîëè÷åñêîãî çåðêàëà ñõîäÿòñÿ ëèøü òå ëó÷è, êîòîðûå äî ïàäåíèÿ íà åãî ïîâåðõíîñòü áûëè íàïðàâëåíû âî âòîðîé ôîêóñ. Èñïîëüçîâàòü òîò ôàêò, ÷òî ãèïåðáîëà åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ ðàçíîñòü ðàññòîÿíèé äî äâóõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê (ôîêóñîâ) åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ.

22

2. ÂÅÊÒÎÐÍÎÅ ÏÎËÅ Îïðåäåëåíèå. Åñëè â êàæäîé òî÷êå Ì(x,y,z) íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà îïðåäåëåíà âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà ρ a ( x , y, z ) , òî ãîâîðÿò, ÷òî â ýòîé îáëàñòè çàäàíî âåêρ òîðíîå ïîëå a . Åñëè ââåäåíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò, òî çàäàíèå âåêρ òîðíîãî ïîëÿ a ( x, y , z ) ýêâèâàëåíòíî çàäàíèþ òðåõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé ax(x,y,z), ay(x,y,z), az(x,y,z), ò. å. ρ ρ ρ ρ a ( x , y , z ) = a x ( x , y , z )e x + a y ( x , y , z )e y + a z ( x , y, z )e z . Ïðèìåðû ôèçè÷åñêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé: ρ ρ • v = v ( x , y , z ) — ïîëå ñêîðîñòåé ÷àñòèö â ïîòîêå æèäêîñòè; ρ ρ • F = F ( x , y , z ) — ïîëå ãðàâèòàöèîííûõ ñèë íåêîòîðîé ñèñòåìû ìàññ; ρ ρ • E = E ( x , y , z ) — ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. ρ Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå a íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, åñëè ρ ρ îíî íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Åñëè æå a = a ( x, y, z, t ) , òî ρ ïîëå a íàçûâàåòñÿ íåñòàöèîíàðíûì. Äàëåå, åñëè íå áóäåò ñïåöèàëüíûõ îãîâîðîê, ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî ñòàöèîíàðíûå âåêòîðíûå ïîëÿ. 2.1. Âåêòîðíûå ëèíèè Ãåîìåòðè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì âåêòîðíîãî ïîëÿ ñëóæàò âåêòîðíûå ëèíèè. ρ Îïðåäåëåíèå. Ëèíèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ a ( x , y, z ) íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííàÿ â ïðîñòðàíñòâå êðèâàÿ, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé âåêòîð aρ íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê ýòîé êðèâîé. Ïðèìåðû âåêòîðíûõ ëèíèé: • ëèíèè ïîëÿ ñêîðîñòåé òî÷åê âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã ôèêñèðîâàííîé îñè òâåðäîãî òåëà ÿâëÿþòñÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè îêðóæíîñòÿìè; 23

• ëèíèè ïîëÿ ñêîðîñòåé ÷àñòèö â ïîòîêå æèäêîñòè — ýòî èõ òðàåêòîðèè; ρ • ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E òî÷å÷íîãî çàðÿäà — ýòî ðàäèàëüíûå ëó÷è, èñõîäÿùèå èç çàðÿäà. ρ Åñëè ïîëå a ñòàöèîíàðíî, òî åãî âåêòîðíûå ëèíèè íåèçìåííû â ïðîñòðàíñòâå. ρ Òàê êàê âåêòîðíîå ïîëå a ïðåäïîëàãàåòñÿ îäíîçíà÷íûì, ρ ò. å. êàæäîé òî÷êå Ì ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííûé âåêòîð a ( M ) , òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó Ì ïðîõîäèò òîëüêî îäíà âåêòîðíàÿ ëèíèÿ, ò. å. âåêòîðíûå ëèíèè íå ïåðåñåêàþòñÿ. ρ Îïðåäåëåíèå. Åñëè âåêòîðíîå ïîëå a ïîñòîÿííî â ïðîñòðàíñòâå êàê ïî âåëè÷èíå, òàê è ïî íàïðàâëåíèþ, ò. å. ρ a = const(x, y, z) , òî îíî íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì. Ãåîìåòðè÷åñêè îäíîðîäíîå ïîëå èçîáðàæàåòñÿ ñåìåéñòâîì ïàðàëëåëüíûõ îðèåíòèðîâàííûõ ïðÿìûõ, ðàâíîîòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà. Ïóñòü çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå ρ a = {a x ( x , y , z ), a y ( x , y , z ), a z ( x , y , z )}. Åãî âåêòîðíûå ëèíèè îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: dx dy dz = = a x a y az .

(2.1)

Èõ èíòåãðèðîâàíèå äàåò ñèñòåìó äâóõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé: ϕ1( x, y, z ) = C1;  ϕ2( x, y, z ) = C2,

êàæäîå èç êîòîðûõ çàäàåò íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå (à òî÷íåå — ñåìåéñòâî ïîâåðõíîñòåé). Ïåðåñå÷åíèå êàæäîé ïàðû ïîâåðõíîñòåé ýòèõ ñåìåéñòâ è îáðàçóåò âåêòîðíóþ ëèíèþ ïîëÿ ρ a ( x , y, z ) . ρ Ïðèìåð 1. Íàéòè âåêòîðíûå ëèíèè ïîëÿ v ( x , y, z ) ñêîðîñòåé òî÷åê òâåðäîãî òåëà, âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã îñè z ñ óãëîâîé ñêîρ ðîñòüþ ω = {0,0, ω } , è îïðåäåëèòü èõ îðèåíòàöèþ. 24

ρ ρ ρ Ðåøåíèå. Òàê êàê v = ω × r , òî ρ ex ρ v= 0

ρ ey

x

y

0

ρ ez

ρ ρ ω = −ωyex + ωxey + 0 = ω{− y, x,0} . z

(2.2)

Ïîäñòàâëÿÿ êîìïîíåíòû âåêòîðà vρ â ñèñòåìó (2.1), ïîëó÷àåì: dy dz dx = = −y 0 . x

Èç ïîñëåäíåé äðîáè ñëåäóåò, ÷òî z = const — ýòî ñåìåéñòâî ïëîñêîñòåé z = C1, C2, ..., ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñè z. Ïåðâîå ðàâåíñòâî ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ: xdx + ydy = 0, èëè: d(x2 + y2) = 0. Îòñþäà: x2 + y2 = R2. Ýòî ñåìåéñòâî êðóãîâûõ öèëèíäðîâ, ñîîñíûõ îñè z. Âåêòîðíûå ëèíèè îáðàçóþòñÿ ïåðåñå÷åíèåì íàéäåííûõ ïëîñêîñòåé è öèëèíäðîâ, ò. å. ýòî áóäåò ñåìåéñòâî êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé ñ îáùåé îñüþ z. Îðèåíòàöèÿ ëèíèé îïðåäåëÿåòñÿ èç àíàëèçà çíàêîâ êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîëÿ (2.2) â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ïðîñòðàíñòâà. Òàê íàïðèìåð, â ïîëóïðîñòðàíñòâå y > 0 êîìïîíåíòà vx = -ωy < 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â îáëàñòè y > 0 ñòðåëêà âåêòîðíîé ëèíèè íàïðàâëåíà â ñòîðîíó óáûâàíèÿ êîîðäèíàòû x. Ñëåäîâàòåëüíî, îðèåíòàöèÿ îêðóæíîñòè áóäåò îáðàçîâûâàòü ïðàâûé âèíò îòíîñèòåëüíî ñòðåëêè îñè z (ðèñ. 3). Àíàëîãè÷íûé àíàëèç êîìïîíåíòû vy (vy > 0 ïðè x > 0) ïðèâîäèò ê òàêîìó æå ðåçóëüòàòó.

Ðèñ. 3

ρ ρ ρ ρ Ïðèìåð 2. Íàéòè âåêòîðíóþ ëèíèþ ïîëÿ a = − ye x + xe y + be z ,

ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (1, 0, 0).

25

Ðåøåíèå. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âåêòîðíîé ëèíèè çäåñü èìåþò âèä: dy dz dx = = −y x b .

(2.3)

Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì: x2 + y2 = C12 — ýòî ñåìåéñòâî öèëèíäðîâ. ×òîáû ïðîèíòåãðèðîâàòü âòîðîå óðàâíåíèå, ââåäåì ïàðàìåòð t òàêîé, ÷òî x = C1 cos t , y = C1 sin t . Òîãäà âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.3) áóäåò: dz = bdt, îòêóäà z = bt + C2 . Èòàê, ïîëó÷àåì ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âåêòîðíûõ ëèíèé: x = C1 cos t,   y = C1 sin t, .  z = bt + C . 2 

 òî÷êå (1, 0, 0) ïàðàìåòð t = 0. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå t â âûøåïðèâåäåííóþ ñèñòåìó, íàõîäèì: Ñ1 = 1, Ñ2 = 0. Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âåêòîðíîé ëèíèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (1, 0, 0), áóäóò èìåòü âèä: x = cos t,   y = sin t, . z = bt. 

Ýòî — âèíòîâàÿ ëèíèÿ. ρ Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå a íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì, åñëè âñå åãî âåêòîðíûå ëèíèè ëåæàò â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, è â êàæäîé èç ýòèõ ïëîñêîñòåé ïîëå îäíî è òî æå.  ýòîì ñëó÷àå â êàêîé-ëèáî èç òàêèõ ïëîñêîñòåé óäîáíî ρ ââåñòè äåêàðòîâó ñèñòåìó x0y, è òîãäà ïîëå a â ýòîé ñèñòåìå íå áóäåò ñîäåðæàòü z-êîìïîíåíòû: ρ ρ ρ a = ax ( x, y )ex + a y ( x, y )ey = {ax , a y} . Òåïåðü åäèíñòâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîé âåêòîðíîé ëèíèè ïðèíèìàåò âèä: 26

dy a y ( x, y ) = dx ax ( x, y ) , (z = const). Ïðèìåðîì ïëîñêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëå ñêîðîñòåé (2.2).

Çàäà÷è • Ïîñòðîèòü ñåìåéñòâà âåêòîðíûõ ëèíèé è îòìåòèòü èõ îðèåíòàöèè äëÿ ñëåäóþùèõ ïëîñêèõ ïîëåé: ρ ρ 2.1. a = {x , y} ; 2.5. a = {x 2, xy} ; ρ ρ 2.2. a = {− x , y} ; 2.6. a = {x ,2 y} ; ρ ρ 2.3. a = { y , x} ; 2.7. a = {1,2 x} ; ρ ρ 2.4. a = {− y , x} ; 2.8. a = {x − y , x + y} . • Ïîñòðîèòü ñåìåéñòâà âåêòîðíûõ ëèíèé ïîëåé ãðàäèåíòîâ ñëåäóþùèõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé: 2.9. u = x 2 − y 2 ; 2.11. u = xy ; 2.13. u = y x 2 ; 2.10. u = y x ;

2.12. u =

x2 1 + y 2 ; 2.14. u = . 4 r

ρ 2.15. Òî÷å÷íûé çàðÿä, äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ v , ñîçäàåò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ìàãíèòíîå ïîëå ρ ρ ρ ρ B = k ( v × r ) / r 3 , ãäå r — âåêòîð, ïðîâåäåííûé èç çàðÿäà ê òî÷êå íàáëþäåíèÿ, k — íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò. Ïóñòü çàðÿä ðàâíîìåðíî äâèæåòñÿ âäîëü îñè ρ ρ z ñî ñêîðîñòüþ v . Íàéòè âåêòîðíûå ëèíèè ïîëÿ B , ñîçäàâàåìîãî ýòèì çàðÿäîì. 2.16. Íàéòè âåêòîðíóþ ëèíèþ ïîëÿ ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîé ôóíêöèè u=

z x2 + y2 ,

ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó Ì (0, 1, 1).

27

2.2. Ïîòîê ρ Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü â âåêòîðíîì ïîëå a ( x, y , z ) íàõîäèòñÿ ãëàäêàÿ îðèåíòèðîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü S. Òîãäà ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ρ ρ ρ ρ (2.4) Φ = ∫∫ (a ⋅ en )dS = ∫∫ a ⋅ dS S

S

ρ íàçûâàåòñÿ ïîòîêîì âåêòîðíîãî ïîëÿ a ÷åðåç ïîâåðρ õíîñòü S; çäåñü en — åäèíè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ íîðρ ρ ìàëü ê ïîâåðõíîñòè S íà åå ýëåìåíòå dS, dS = en dS — îðèåíòèðîâàííûé ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè S. Ïîòîê Ô ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ñêàëÿðíîé è àëãåáðàè÷åñêîé, ò.å. îí ìîæåò áûòü áîëüøå íóëÿ, ðàâåí íóëþ èëè ìåíüøå íóëÿ. Åñëè ïîâåðõíîñòü S çàìêíóòà, òî åå óñëîâíî ïîëîæèòåëüíîé ρ ñòîðîíîé ÿâëÿåòñÿ íàðóæíàÿ, ò.å. ïîëîæèòåëüíóþ íîðìàëü en â ëþáîé åå òî÷êå ïðèíÿòî íàïðàâëÿòü íàðóæó. Ïîòîê âåêòîðíîãî ρ ïîëÿ a ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü îáîçíà÷àåòñÿ òàê: ρ ρ Φ = ∫∫ a ⋅ dS . S

Ñâîéñòâà ïîòîêà 1. Ïðè ñìåíå óñëîâíî ïîëîæèòåëüíîé ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè S ïîòîê Ô ìåíÿåò çíàê. ρ ρ 2. Ïóñòü a è b — êàêèå-ëèáî âåêòîðíûå ïîëÿ, à p è q — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, òîãäà ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ∫∫ ( pa + qb ) ⋅ dS = p∫∫ a ⋅ dS + q∫∫ b ⋅ dS . S

S

S

Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîñòüþ ïîòîêà. 3. Åñëè ïîâåðõíîñòü S ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ãëàäêèõ ôðàãìåíòîâ S1, S2, ..., SN, òî ρ

ρ

ρ

N

ρ

∫∫ a ⋅ dS = ∑ ∫∫ a ⋅ dS . k =1 S

Sk

28

Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ àääèòèâíîñòüþ ïîòîêà. ρ Âû÷èñëåíèå ïîòîêà âåêòîðíîãî ïîëÿ a ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S â îáùåì ñëó÷àå åñòü çàäà÷à î âû÷èñëåíèè ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà (2.4), äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ñïåöèàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ. Îäíàêî äëÿ íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ρ âàðèàíòîâ âåêòîðíûõ ïîëåé a è ïîâåðõíîñòåé S ýòó çàäà÷ó óäàåòñÿ ñâåñòè ê ïðîñòîìó óìíîæåíèþ. ρ ρ Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ a = r ÷åðåç ïëîñêóþ ïëàñòèíêó ïëîùàäüþ S, íå ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. ρ Ðåøåíèå. Ýëåìåíòàðíûé ïîòîê ïîëÿ r ÷åðåç ïëîùàäêó dS ïëàñòèíêè ρ ρ dΦ = r ⋅ dS = r cos α dS = hdS , ãäå h — ðàññòîÿíèå îò ïëîñêîñòè ïëàñòèíêè äî íà÷àëà êîîðäèíàò (ðèñ. 4). Ïîëîæèòåëüíàÿ íîðìàëü ê ïëàñòèíêå çäåñü âûáðàíà îò ρ íà÷àëà êîîðäèíàò Î. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîê âåêòîðà r ÷åðåç âñþ ïëàñòèíêó ρ ρ Φ = ∫∫ r ⋅ dS = h ∫∫ dS = hS . S

S

Ðèñ. 4

ρ ρ Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ a = r ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îõâàòûâàþùóþ íà÷àëî êîîðäèíàò. Ðåøåíèå. Ðàçîáüåì îáúåì V, îãðàíè÷åííûé äàííîé ïîâåðõíîñòüþ S, íà óçêèå ïèðàìèäû ñ êîñûìè îñíîâàíèÿìè dS, ÿâëÿþùèìèñÿ ó÷àñòêàìè ïîâåðõíîñòè S, è îáùåé âåðøèíîé Î â íà÷àëå êîîðäèíàò (ðèñ. 5). È ïóñòü dSn = dScosα — ïðîåêöèÿ ïëîùàä-

29

ρ êè dS íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ âåêòîðó r . Òîãäà îáúåì ïèðàìèäû ñ ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ dSn è âûñîòîé r 1 dS r . 3 n

dV =

.

Ðèñ. 5

ρ Ïîòîê âåêòîðà r ÷åðåç ïëîùàäêó dS ρ ρ dΦ = r ⋅ dS = r cos α dS = rdS n = 3dV . ρ Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîê âåêòîðà r ÷åðåç âñþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S Φ = ∫∫ dΦ = 3∫∫ dV = 3V . S

S

Àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòîò æå ðåçóëüòàò áóäåò ïîëó÷åí è â ñëó÷àå, êîãäà íà÷àëî êîîðäèíàò Î ëåæèò âíå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S. ρ Ïðèìåð 3. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x 2 + y 2, y 2 + z 2, z 2 + x 2} ÷åðåç ÷àñòü ïëîñêîñòè x0y, îãðàíè÷åííóþ îêðóæíîñòüþ x2+y2 = R2 è îðèåíòèðîâàííóþ â íàïðàâëåíèè îñè z. ρ ρ Ðåøåíèå. Òàê êàê åäèíè÷íàÿ íîðìàëü en = e z , à êðóã ëåæèò â ïëîñêîñòè z = 0, òî ïîòîê ρ ρ ρ ρ Φ = ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫ (a ⋅ ez )dS = ∫∫ az dS = ∫∫ ( z 2 + x 2 )dS = ∫∫ x 2dS , S

S

S

S

S

ãäå S — êðóã x + y = R , dS — ýëåìåíò ïëîùàäè ýòîãî êðóãà. 2

2

2

30

Ïîëó÷åííûé ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ êàê â äåêàðòîâûõ, òàê è â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ.  äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ ýëåìåíò ïëîùàäè dS = dxdy, è ïîòîê R

Φ = 4∫ x 2dx 0

R2 − x 2

R

π ∫ dy = 4∫ x 2 R2 − x 2 dx = 4 R4 . 0 0

 ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ: x = r cosϕ, dx = -r sinϕ⋅ dϕ, dS = rdr dϕ, è òîãäà ïîòîê R 2π

Φ = ∫∫ x 2dS = ∫ ∫ r 2 cos2 ϕ ⋅ rdrdϕ = S

0 0

2π

π R4 cos2 ϕ ⋅ dϕ = R4 . 4 ∫0 4

Çàäà÷è ρ ρ 2.17. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü â âèäå «êîíóñà ñ äíîì», ñîîñíîãî îñè z. Âåðøèíà êîíóñà íàõîäèòñÿ â òî÷êå (0, 0, 0), à åãî îñíîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ êðóã ðàäèóñîì R, ïàðàëëåëüíûé ïëîñêîñòè x0y è íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè z = H îò íåå. ρ ρ 2.18. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü êðóãîâîãî êîíóñà, îñíîâàíèå êîòîðîãî ðàäèóñîì R ëåæèò â ïëîñêîñòè x0y, à âåðøèíà íàõîäèòñÿ â òî÷êå (0, 0, H). ρ ρ 2.19. Äîêàçàòü, ÷òî ïîòîê ïîëÿ a = r ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, íå îõâàòûâàþùóþ íà÷àëî êîîðäèíàò, ðàâåí 3V, ãäå V — îáúåì, îõâàòûâàåìûé ïîâåðõíîñòüþ S. ρ ρ 2.20. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r ÷åðåç öèëèíäðè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü x2 + y2 = R2, 0 ≤ z ≤ h. ρ ρ 2.21. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r r 3 ÷åðåç ñôåðó ðàäèóñîì R ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. ρ ρ 2.22. Âû÷èñëèòü ïîòîê öåíòðàëüíîãî ïîëÿ a = f ( r )r (ãäå f (r) — ïðîèçâîëüíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ ðàññòîÿíèÿ òî÷êè äî íà÷àëà êîîðäèíàò) ÷åðåç ñôåðó ðàäèóñîì R ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.

31

2.23. Òî÷å÷íûé çàðÿä, íàõîäÿùèéñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò, ñîçäàåò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðè÷åñêîå ρ ρ ïîëå E = kr r 3 , ãäå k — íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò. Âû-

2.24. 2.25. 2.26.

2.27. 2.28. 2.29. 2.30. 2.31.

2.32.

2.33.

÷èñëèòü ïîòîê ýòîãî ïîëÿ ÷åðåç êðóã ðàäèóñîì R, îñü êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ îñüþ z, à åãî öåíòð ëåæèò íà ðàññòîÿíèè z = h îò íà÷àëà êîîðäèíàò. ρ ρ 3 Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r / r ÷åðåç ïëîñêîñòü z = h ≠ 0. ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê îäíîðîäíîãî ïîëÿ a = {a x , a y , a z } ÷åðåç êðóã ðàäèóñîì R, ïåðïåíäèêóëÿðíûé îñè z. ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê îäíîðîäíîãî ïîëÿ a = {0,0, a z } ÷åðåç ïëîùàäêó S â ôîðìå òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ M1 (1, 0, 0), M2 (0, 2, 0), M3 (0, 0, 3). ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê îäíîðîäíîãî ïîëÿ a = {0,0, a z } ÷åðåç âåðõíþþ ïîëóñôåðó x2 + y2 + z2 = R2. ρ Äîêàçàòü, ÷òî ïîòîê îäíîðîäíîãî ïîëÿ a ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí íóëþ. ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x 2 + y 2, y 2 + z 2, z 2 + x 2} ÷åðåç ïîâåðõíîñòü êóáà 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, 0 ≤ z ≤ l. ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x 3, y3, z 3} ÷åðåç ïîâåðõíîñòü êóáà 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, 0 ≤ z ≤ l. ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {1,−1, xyz} ÷åðåç êðóã, ïîëó÷åííûé ñå÷åíèåì øàðà x2 + y2 + z2 ≤ R2 ïëîñêîñòüþ y = x. Íîðìàëü ê êðóãó îáðàçóåò îñòðûé óãîë ñ îðρ òîì ex . ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = { y + z, x + z, x + y} ÷åðåç êðóã, ïîëó÷åííûé ñå÷åíèåì øàðà x2 + y2 + z2 ≤ 1 ïëîñêîñòüþ x + y + z = 1. Íîðìàëü ê êðóãó îáðàçóåò îñòρ ðûé óãîë ñ îðòîì e z . ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x 2, y 2, z 2} ÷åðåç òðåóãîëüíóþ ïëîùàäêó, âåðøèíû êîòîðîé íàõîäÿòñÿ â òî÷êàõ Ì1 (1, 2, 0), Ì2 (0, 2, 0) è Ì3 (0, 2, 2).

32

2.34.

2.35.

2.36.

2.37.

Íîðìàëü ê ïëîùàäêå íàïðàâëåíà â ñòîðîíó íà÷àëà êîîðäèíàò. ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {2x 2 − y, y − x 2,1 − x 2} ÷åðåç òðåóãîëüíóþ ïëîùàäêó — ÷àñòü ïëîñêîñòè x + y + z — 3 = 0, ðàñïîëîæåííóþ â ïåðâîì îêòàíòå. ρ Íîðìàëü ê ïëîùàäêå îáðàçóåò îñòðûé óãîë ñ îðòîì e y . ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = { y, z, x} ÷åðåç òðåóãîëüíóþ ïëîùàäêó — ÷àñòü ïëîñêîñòè x + y + z — 3 = 0, ðàñïîëîæåííóþ â ïåðâîì îêòàíòå. Íîðìàëü ê ïëîùàäêå ρ îáðàçóåò îñòðûé óãîë ñ îðòîì e y . ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = { y + x, y − x, x + y + z} ÷åðåç ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà x2 + y2 = R2, îãðàíè÷åííóþ ïëîñêîñòÿìè z = 0 è z = 1. ρ ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r ÷åðåç ó÷àñòîê ïëîñêîñòè x —2y + z = 2, îãðàíè÷åííûé êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè. Íîðìàëü ê ïëîñêîñòè îáðàçóåò îñòðûé ρ óãîë ñ îðòîì e z . Ïîäñêàçêà. Ðàññòîÿíèå h îò ïëîñêîñòè Ax + By + Cz = D äî íà÷àëà êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé h=

D . A2 + B2 + C 2

2.3. Äèâåðãåíöèÿ ρ Ïóñòü çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå a ( x , y, z ) . Âûáåðåì â ýòîì ïîëå íåêîòîðóþ òî÷êó Ì è îêðóæèì åå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ ∆S ïðîèçâîëüíîé ôîðìû. È ïóñòü ∆V — îáúåì, îãðàíè÷åííûé ïîâåðõíîñòüþ ∆S. Ñîñòàâèì îòíîøåíèå: ρ ρ ∫∫ a ⋅ dS ∆S . (2.5) ∆V

33

Åñëè ïîâåðõíîñòü ∆S ñòÿãèâàòü ê òî÷êå Ì, ò. å. ∆S→0Ì, òî è ∆V→0. Ïðè ýòîì îòíîøåíèå (2.5) ìîæåò ñòðåìèòüñÿ êàê ê êîíå÷íîìó, òàê è ê áåñêîíå÷íîìó ïðåäåëó. Îïðåäåëåíèå. Åñëè îòíîøåíèå (2.5) èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë, êîãäà îáëàñòü ∆V ñòÿãèâàåòñÿ ê òî÷êå Ì, òî ýòîò ïðåäåë ρ íàçûâàåòñÿ äèâåðãåíöèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ a â òî÷êå ρ Ì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì div a : ρ div a = lim

∆V → 0 M

1 ∆V

ρ

ρ

∫∫ a ⋅ dS ∆S

.

(2.6)

Äèâåðãåíöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ — ýòî ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà. Îíà îáðàçóåò ñêàëÿðíîå ïîëå â äàííîì âåêòîðíîì ïîëå. ρ Åñëè â äàííîé òî÷êå âåêòîðíîãî ïîëÿ div a > 0 , òî ãîâîðÿò, ρ ÷òî â ýòîé òî÷êå åñòü èñòî÷íèê ïîëÿ, à åñëè div a < 0 , òî — ñòîê ïîëÿ (îòðèöàòåëüíûé èñòî÷íèê). ρ Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå, ó êîòîðîãî div a = 0 â îáëàñòè V, íàçûâàåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì â ýòîé îáëàñòè. Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî âû÷èñëåíèÿ äèâåðãåíöèè åå èíâàðèàíòíîå îïðåäåëåíèå (2.6) íåóäîáíî. Áîëåå óäîáíûì äëÿ ýòîãî ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèå äèâåðãåíöèè â êîîðäèíàòíîé ôîðìå. Ïóñòü â äåρ êàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âåêòîðíîå ïîëå a èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå

∂ax ∂a y ∂az , , ∂x ∂y ∂z , ρ ãäå ax, ay, az — êîìïîíåíòû âåêòîðà a . Òîãäà ρ ∂a ∂a ∂a div a = x + y + z . ∂x ∂y ∂z

(2.7)

Çàìå÷àíèå. Ôîðìóëó (2.7) óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñèìâîëè÷åñêîãî âåêòîðà ∇ =  ∂ , ∂ , ∂   ∂x ∂y ∂z  ρ (îïåðàòîðà ∇) íà âåêòîð a : ρ ρ div a = ∇ ⋅ a .

34

Ñâîéñòâà äèâåðãåíöèè ρ ρ 1. Ïóñòü a è b — äâà âåêòîðíûõ ïîëÿ, òîãäà ρ ρ ρ ρ div( a + b ) = div a + div b . ρ 2. Ïóñòü a ( x , y, z ) — âåêòîðíîå ïîëå, à u (x, y, z) — ñêàëÿðíîå ïîëå. Òîãäà

ρ ρ ρ div(ua ) = u div a + a ⋅ grad u ,

èëè â ñèìâîëè÷åñêîé çàïèñè

ρ ρ ρ ∇( ua ) = u∇ ⋅ a + a ⋅ ∇u .

Çàäà÷è • Íàéòè äèâåðãåíöèþ ñëåäóþùèõ âûðàæåíèé, â êîòîðûõ

ρ ρ ρ a è c — ïîñòîÿííûå âåêòîðû, r — ðàäèóñ-âåêòîð, f (r) — ñôåðè÷åñêàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ: ρ 2.38. r ; ρ 2.39. r / r ; ρ 2.40. v r ln r ; 2ρ 2.41. r c ; ρρ ρ 2.42. a ( c ⋅ r ) ; ρρ ρ 2.43. r ( c ⋅ r ) ;

ρ 2.44. f ( r )c ; ρ ρ 2.45. v( r × a ) ; ρ ρ ρ 2.46. v c × ( r × a ) ; ρ ρ ρ 2.47. v r × ( r × a ) ; ρ ρ 2.48. r ( r × a ) ; ρ ρ 2.49. f ( r )( r × a ) .

ρ

2.50. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ ïîëÿ ñêîðîñòåé v òî÷åê òâåðäîãî òåëà, âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã îñè z. ρ ρ ρ 2.51. Âû÷èñëèòü div E , ãäå E = qr ( 4πε 0 r 3 ) — ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà q. ρ ρ ρ ρ 2.52. Âû÷èñëèòü div B , ãäå B = kv × r r 3 — ìàãíèòíîå ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà, äâèæóùåãîñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðî-

ρ

ñòüþ v .

35

2.53. ßâëÿåòñÿ ëè ñîëåíîèäàëüíûì ïîëåì ãðàäèåíò ñêàëÿðíîé ôóíêöèè ϕ = q ( 4πε 0 r ) (ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà q)? 2.54. ßâëÿåòñÿ ëè ñîëåíîèäàëüíûì ïîëåì ãðàäèåíò ñêà-

2.55.

2.56. 2.57.

2.58.

ëÿðíîé ôóíêöèè u = kx 2 2 (óïðóãàÿ ýíåðãèÿ ïðóæèíû æåñòêîñòüþ k)? ßâëÿåòñÿ ëè ñîëåíîèäàëüíûì ïîëåì ãðàäèåíò ñêàëÿðíîé ôóíêöèè u = ln ρ , ãäå ρ — ðàññòîÿíèå òî÷êè äî îñè z ? ρ Âû÷èñëèòü div(rα r ) . Ïðè êàêîì ÷èñëå α ýòî ïîëå áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì? ρ Âû÷èñëèòü div f ( r )r , ãäå f (r) — ñôåðè÷åñêàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ. Ïðè êàêîé ôóíêöèè f ýòî ïîëå áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì? ρ ρ ρ ρ Âû÷èñëèòü div f ( ρ )ρ , ãäå ρ = xe x + ye y . Ïðè êàêîé ôóíêöèè f ýòî ïîëå áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì?

2.59. Äîêàçàòü, ÷òî divgrad f (r ) = f ′′ + 2 f ′ r , ãäå f (r) — ñôåðè÷åñêîå ñêàëÿðíîå ïîëå. 2.60. Äëÿ êàêèõ ñêàëÿðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé f (r) èõ ãðàäèåíòû îáðàçóþò ñîëåíîèäàëüíûå ïîëÿ? 2.4. Òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî Òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî î ïðåîáðàçîâàíèè ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà â îáúåìíûé ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç öåíòðàëüíûõ òåîðåì âåêòîðíîãî àíàëèçà. Òåîðåìà. Ïóñòü â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà âåêòîðíîå ρ ïîëå a ( x, y , z ) èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå

∂ax ∂a y ∂az , , ∂x ∂y ∂z . ρ Òîãäà ïîòîê ïîëÿ a ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ çàìêíóòóþ ρ ïîâåðõíîñòü S ðàâåí èíòåãðàëó îò äèâåðãåíöèè a ïî îáúåìó V, îãðàíè÷åííîìó ïîâåðõíîñòüþ S: 36

ρ

ρ

ρ

∫∫ a ⋅ dS = ∫∫∫ div adV . S

V

(2.8)

ρ Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ïîëå a ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì â îáëàñòè V, îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòüþ S, òî ρ ρ ∫∫ a ⋅ dS = 0 . S

Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü â òî÷êå Ì èìååòñÿ èçîëèðîâàííûé èñòî÷íèê ρ ρ ïîëÿ a , ò. å. div a = 0 âñþäó, êðîìå òî÷êè Ì. Òîãäà ρ ïîòîê ïîëÿ a ÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü, îõâàòûâàþùóþ òî÷êó Ì, íå çàâèñèò îò ôîðìû ýòîé ïîâåðõíîñòè. ρ Ñëåäñòâèå 3. Ïîòîê ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ a ÷åðåç äâå ëþáûå ïîâåðõíîñòè S1 è S2, îãðàíè÷åííûå îäíèì êîíòóðîì Ñ, èìååò îäèíàêîâîå çíà÷åíèå ïðè óñëîâèè, ÷òî îáëàñòü ìåæäó S1 è S2 íå èìååò èñòî÷íèêîâ, ò. å. ÷òî â ρ ýòîé îáëàñòè div a = 0. Òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíûì ìåòîäîì âû÷èñëåíèÿ ïîòîêà, òàê êàê ñâîäèò ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë îáû÷íî ê áîëåå ïðîñòîìó — îáúåìíîìó. ρ Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ r = {x , y, z} ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S. Ðåøåíèå. Íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå ïîòîêà çäåñü äîâîëüíî òðóäîåìêî (ñì. ïðèìåð 2 ðàçä. 2.2, à òàêæå çàäà÷ó 2.19). Òåîðåìà ρ Îñòðîãðàäñêîãî ðåøàåò çàäà÷ó ñðàçó, òàê êàê div r = 3 ,

ρ ρ ρ r ∫∫ ⋅ dS = ∫∫∫ divrdV = 3V , S

V

íåçàâèñèìî îò òîãî, îõâàòûâàåò ïîâåðõíîñòü S íà÷àëî êîîðäèíàò èëè íåò. ρ Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x 2, y 2, z 2} ÷åðåç âåðõíþþ ïîëóñôåðó ñ «äíîì»: x2 + y2 + z2 = R2, z = 0 (z > 0).

37

Ðåøåíèå. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (2.8) ïîòîê Φ = 2∫∫∫ ( x + y + z )dV ,

(2.9)

V

ãäå V — âåðõíåå ïîëóøàðèå ðàäèóñîì R. Îáúåìíûé èíòåãðàë (2.9) ëåãêî áåðåòñÿ êàê â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ, òàê è â äåêàðòîâûõ. Âîçüìåì åãî â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ. Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì åãî íà òðè èíòåãðàëà: I1 = 2∫∫∫ xdV , I2 = 2∫∫∫ ydV , I3 = 2∫∫∫ zdV . V

V

V

Òàê êàê êîîðäèíàòû x è y ýêâèâàëåíòíû îòíîñèòåëüíî ïîëóøàðèÿ, òî I1 = I2. Ïîýòîìó âû÷èñëèì, íàïðèìåð, òîëüêî I2. Îáúåìíûé èíòåãðàë I2 ñâåäåòñÿ ê áîëåå ïðîñòîìó, åñëè ýëåìåíò îáúåìà dV âûðàçèòü êàê ôóíêöèþ y. Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì ïîëóøàð íà òîíêèå ïîëóäèñêè òîëùèíîé dy, îäèí èç êîòîðûõ ïîêàçàí íà ðèñ. 6.

Ðèñ. 6

Åãî îáúåì dV =

πh2dy π ( R2 − y 2 )dy = . 2 2

Òîãäà

38

R

I2 = π ∫ ( R2 − y 2 ) ydy = 0 . 2 −R

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà I3 ïîëóøàð ðàçáèâàåòñÿ íà òîíêèå äèñêè òîëùèíîé dz, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè z. Îáúåì òàêîãî äèñêà, íàõîäÿùåãîñÿ íà ðàññòîÿíèè z îò ïëîñêîñòè x0y, dV = πh2dz = π (R2 — z2)dz . È òîãäà R

Φ = I3 = 2∫ π ( R2 − z 2 )zdz = 0

π R4 2 .

ρ Ïðèìåð 3. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x 2 + y 2, y 2 + z 2, z 2 + x 2} ÷åðåç âåðõíþþ ïîëóñôåðó x2 + y2 + z2 = R 2 (z > 0). Ðåøåíèå. Çàìêíåì ïîëóñôåðó «äíîì» — êðýãîì ðàäèóñà R, îáðàçîâàâ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S = Sñô + Sêð, ïðè÷åì íîðìàëü ρ ê êðóãó îáðàùåíà â ñòîðîíó − e z , à íîðìàëü ê ïîëóñôåðå — â ñòîðîíó ðîñòà êîîðäèíàòû z , ò. å. âñå íîðìàëè áóäóò âíåøíèìè ïî îòíîøåíèþ ê çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S. Òîãäà â ñèëó ñâîéñòâà àääèòèâíîñòè ïîòîêà ÔS = Ôñô+ Ôêð, îòêóäà èñêîìûé ïîòîê ρ ρ ρ ρ Φсф = Φ S − Φк р = ∫∫ a ⋅ dS − ∫∫ a ⋅ dS . πR 2

S

Ïåðâûé èíòåãðàë âû÷èñëÿåì ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî: ρ ρ ρ ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫∫ divadV = 2∫∫∫ ( x + y + z )dV . S

V

V

Îí ðàâåí πR /2, êàê ïîêàçàíî â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. Âòîðîé èíòåãðàë Ôêð âû÷èñëåí â ïðèìåðå 3 ðàçä. 2.2. Ïîñêîëüêó â äàííîì ρ ρ ñëó÷àå íîðìàëü ê êðóãó en = − e z , òî çäåñü 4

ρ

ρ

πR4 . 4 πR ρ Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé ïîòîê ïîëÿ a ÷åðåç âåðõíþþ ïîëóñôåðó

∫∫ a ⋅ dS = − 2

π 4 π 4 Φсф = R + R = 3 πR4 . 2 4 4

39

Çàäà÷è ρ ρ 2.61. Ïîòîê ïîëÿ a = r / r 3 ÷åðåç ñôåðó x2 + y2 + z2 = R2, âû÷èñëåííûé íåïîñðåäñòâåííî, ðàâåí 4π, à ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî — íóëþ. Ïî÷åìó? • Ðåøèòü ñëåäóþùèå çàäà÷è ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåìû Îñòðîãðàäñêîãî èëè åå ñëåäñòâèé. ρ ρ 2.62. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r / r 3 ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü x2 + y2 + (z — 2)2 = 1. ρ 2ρ 2.63. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r r ÷åðåç ñôåðó x2 + y2 + z2 = R2. 2.64. Òî÷å÷íûé çàðÿä, äâèæóùèéñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñρ òüþ v , ñîçäàåò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ìàãíèòρ ρ ρ íîå ïîëå B = k ( v × r ) / r 3 , ãäå k — íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò. Âû÷èñëèòü ïîòîê ýòîãî ïîëÿ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü x2 + (y — 2)2 + z2 = 1. ρ ρ ρ ρ ρ 2.65. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = ρρ , ãäå ρ = xe x + ye y , ÷åðåç öèëèíäðè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü x2 + y2 = R2, 0 ≤ z ≤ h. ρ 2.66. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {xy ,2 y,− z} ÷åðåç ñôåðó x2 + y2 + z2 = 4. ρ 2.67. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x 3, y3, z 3} ÷åðåç ñôåðó x2 + y2 + z2 = R2. ρ 2.68. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x 3, y3, z 3} ÷åðåç ïîâåðõíîñòü êóáà 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, 0 ≤ z ≤ l. ρ 2.69. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x 2, y 2, z 2} ÷åðåç ïîâåðõíîñòü êóáà -l ≤ x ≤ l, -l ≤ y ≤ l, -l ≤ z ≤ l. ρ 2.70. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {2 x , y , z} ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S : x2 + y2 = z2, z = 4. ρ 2.71. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x, xz , y} ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S : z = 4 — x2 — y2, z = 0. ρ 2.72. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {2 x ,0,− z} ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S : x2 + y2 = R2, z = 0, z = h. ρ 2.73. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = { yz , xz , xy} :

40

2.74.

2.75. 2.76.

2.77.

2.78.

2.79.

2.80.

a) ÷åðåç ïîëíóþ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà x2 + y2 ≤ R2, 0 ≤ z ≤ h; á) ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ýòîãî öèëèíäðà. ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {2 x ,0,− z} ÷åðåç öèëèíäðè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü x2 + y2 = 4, 0 ≤ z ≤ 1. Ïîëîæèòåëüíàÿ ñòîðîíà öèëèíäðà — âíåøíÿÿ. ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = { y , x , z} ÷åðåç âåðõíþþ ïîëóñôåðó x2 + y2 + z2 = R2 (z ≥ 0). ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x 2, y 2, z 2} ÷åðåç êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü x2 + y2 = z2, 0 ≤ z ≤ h. Ïîëîæèòåëüíàÿ ñòîðîíà êîíóñà — âíåøíÿÿ. ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {x,0, z} ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ïàðàáîëîèäà z = x2 + y2, ëåæàùóþ ìåæäó ïëîñêîñòÿìè z = 0 è z = 4. Ïîëîæèòåëüíàÿ ñòîðîíà ïàðàáîëîèäà — âíåøíÿÿ. ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {2 x,− y ,1 − z} ÷åðåç ÷àñòü ïàðàáîëîèäà z = 1 — x2 — y2, ëåæàùóþ íàä ïëîñêîñòüþ x0y. Ïîëîæèòåëüíàÿ ñòîðîíà ïàðàáîëîèäà — âíåøíÿÿ. ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = {xz, yz,1 − z 2} ÷åðåç ÷àñòü ïàðàáîëîèäà z = 1 — x2 — y2, ëåæàùóþ íàä ïëîñêîñòüþ x0y. Ïîëîæèòåëüíàÿ ñòîðîíà ïàðàáîëîèäà — âíåøíÿÿ. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ u (x, y, z) ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì âòîðîãî ïîðÿäêà, òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S èíòåãðàë

∂u

∫∫ ∂n dS S

ïðîïîðöèîíàëåí îáúåìó, îãðàíè÷åííîìó S, ëèáî ðàâåí íóëþ. 2.81. Òî÷å÷íûé çàðÿä q, íàõîäÿùèéñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò, ñîçäàåò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðèρ ρ ÷åñêîå ïîëå E = qr ( 4πε 0 r 3 ) , ãäå ε0 — ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âû÷èñëèòü ïîòîê ýòîãî ïîëÿ ÷åðåç ïðîèçâîëü41

íóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îõâàòûâàþùóþ ýòîò çàðÿä. 2.82. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âûρ ÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = { yz ,− xz , z} ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S : x2 + y2 = 1, z = 0, z = 1. 2.83. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âûρ ÷èñëèòü ïîòîê îäíîðîäíîãî ïîëÿ a = {α , β , γ } ÷åðåç òðåóãîëüíóþ ïëîùàäêó S, âåðøèíû êîòîðîé íàõîäÿòñÿ â òî÷êàõ Ì1 (1, 0, 0), Ì2 (0, 1, 0), Ì3 (0, 0, 1). Ïîëîæèòåëüíàÿ íîðìàëü ê ïëîùàäêå íàïðàâëåíà îò íà÷àëà êîîðäèíàò. 2.84. Äàâëåíèå â æèäêîñòè íà ãëóáèíå h p = p0 + ρgh, ãäå p0 — àòìîñôåðíîå äàâëåíèå, ρ — ïëîòíîñòü æèäêîñòè, g — óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Èñïîëüçóÿ èíòåãðàëüíûé àíàëîã ôîðìóëû Îñòðîãðàäñêîãî ρ ∫∫ udS = ∫∫∫ ∇udV , S

V

ãäå u — ïðîèçâîëüíîå ñêàëÿðíîå ïîëå, äîêàçàòü, ÷òî ρ ρ ρ F = − mg , ãäå F — ñèëà, äåéñòâóþùàÿ ñî ñòîðîíû æèäêîñòè íà ïîãðóæåííîå â íåå òåëî, m — ìàññà æèäêîñòè, âûòåñíåííîé òåëîì (çàêîí Àðõèìåäà). 2.5. Ðàáîòà ρ Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü â âåêòîðíîì ïîëå a ( x , y, z ) çàäàíà îðèåíòèðîâàííàÿ êðèâàÿ 1—2. Òîãäà êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë 2 2 ρ ρ ρ ρ A = ∫ (a ⋅ eτ )dl = ∫ a ⋅ dl 1

(2.10)

1

ρ íàçûâàåòñÿ ðàáîòîé âåêòîðíîãî ïîëÿ a âäîëü êðèρ âîé 1—2; çäåñü eτ — åäèíè÷íûé êàñàòåëüíûé âåêòîð ρ ρ ê êðèâîé 1—2 íà åå ýëåìåíòå dl, dl = eτ dl — îðèåíòèðîâàííûé ýëåìåíò êðèâîé 1—2. Ðàáîòà À ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ñêàëÿðíîé è àëãåáðàè÷åñêîé, ò. å. îíà ìîæåò áûòü áîëüøå íóëÿ, ðàâíà íóëþ è ìåíüøå íóëÿ.

42

Ïðèìåð 1. Ïóñòü ñïóòíèê ëåòàåò âîêðóã Çåìëè ïî êðóãîâîé îðáèòå. Òîãäà â êàæäîé òî÷êå åãî òðàåêòîðèè äåéñòâóþùàÿ íà ρ íåãî ñèëà òÿæåñòè F ïåðïåíäèêóëÿðíà ýëåìåíòó åãî òðàåêòîðèè ρ ρ ρ dl , ò.å. F ⋅ dl = 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ðàáîòà ñèëû òÿæåñòè

ρ ρ A = ∫ F ⋅ dl = 0 2

1

ρ íà ëþáîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè, õîòÿ ïîëå F ( x , y , z ) ≠ 0 . Ïðèìåð 2. Ïðè äâèæåíèè òåëà ââåðõ ðàáîòà ñèëû òÿæåñòè ρ îòðèöàòåëüíà, òàê êàê ñìåùåíèå dl àíòèïàðàëëåëüíî ñèëå òÿæåρ ρ ρ ñòè mg : mg ⋅ dl < 0 . Åñëè êðèâàÿ 1—2 çàìêíóòà, ò. å. îáðàçóåò íåêîòîðûé îðèåíòèðîâàííûé êîíòóð Ñ, òî êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë (2.10) íàρ çûâàåòñÿ öèðêóëÿöèåé ïîëÿ a ïî êîíòóðó Ñ è îáîçíà÷àåòñÿ òàê:

ρ ρ A = ∫ a ⋅ dl . C

Òàê êàê â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ

ρ a = {ax , a y , az} ,

ρ dl = {dx, dy, dz} , òî ðàáîòó (2.10) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

2 ρ ρ 2 A = ∫ a ⋅ dl = ∫ ax ( x, y, z )dx + a y ( x, y, z )dy + az ( x, y, z )dz . (2.11) 1

1

(

)

Ñâîéñòâà ðàáîòû 1. Ïðè ñìåíå íàïðàâëåíèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ðàáîòà ìåíÿåò çíàê: 2

ρ ρ

∫ a ⋅ dl 1

1 ρ ρ = −∫ a ⋅ dl ; 2

Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðè ñìåíå îðèåíòàöèè ýëåρ ρ ρ ìåíòà dl ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå a ⋅ dl ìåíÿåò çíàê.

43

ρ ρ 2. Ïóñòü a è b — êàêèå-ëèáî âåêòîðíûå ïîëÿ, à p è q — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, òîãäà 2 ρ ρ 2ρ ρ ρ ρ ρ ∫ ( pa + qb ) ⋅ dl = p∫ a ⋅ dl + q ∫ b ⋅ dl . 2

1

1

1

Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîñòüþ ðàáîòû. 3. Åñëè êðèâàÿ 1—3 ðàçáèòà íà äâà ó÷àñòêà 1—2 è 2—3, òî 3

ρ ρ

2

ρ ρ

3

ρ ρ

∫ a ⋅ dl = ∫ a ⋅ dl + ∫ a ⋅ dl . 1

1

2

Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ àääèòèâíîñòüþ ðàáîòû. Âû÷èñëåíèå ðàáîòû Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà (2.10) íàäî âûðàçèòü êîîðäèíàòû òî÷êè íà êðèâîé 1—2 ôóíêöèÿìè êàêîãîëèáî îäíîãî ïàðàìåòðà, è òîãäà çàäà÷à ñâåäåòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ïðîñòîãî èíòåãðàëà. Îáû÷íî êðèâàÿ 1—2 çàäàåòñÿ îäíèì èç ñëåäóþùèõ äâóõ ñïîñîáîâ. Ñïîñîá 1. Êðèâàÿ 1—2 çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè: x = x(ϕ), y = y (ϕ), z = z (ϕ), ïðè÷åì ïàðàìåòð ϕ íåïðåðûâíî ìåíÿåòñÿ îò ϕ1 â òî÷êå 1 äî ϕ2 â òî÷êå 2. Òîãäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî dx = x ′dϕ , dy = y ′dϕ , dz = z ′dϕ ,

âìåñòî êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà (2.11) ïîëó÷àåì ïðîñòîé: A=

ϕ2

∫ [a x ( x(ϕ ), y (ϕ ), z (ϕ )) x ′ + a y ( x(ϕ ), y (ϕ ), z (ϕ )) y ′ + a z ( x(ϕ ), y(ϕ ), z (ϕ ))z ′]dϕ.

ϕ1

Ñïîñîá 2.

Êðèâàÿ 1—2 çàäàíà ñèñòåìîé óðàâíåíèé y = y(x), z = z (x), ïðè÷åì êîîðäèíàòà x íåïðåðûâíî ìåíÿåòñÿ îò x1 â òî÷êå 1 äî x2 â òî÷êå 2. Òîãäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî dy = y ′dx , dz = z ′dx , âìåñòî êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà (2.11) ïîëó÷àåì ïðîñòîé:

44

A=

x2

∫ [ax ( x, y( x ), z( x )) + a y ( x, y( x ), z( x )) y ′ + az ( x, y( x ), z( x ))z ′]dx .

x1

ρ Ïðèìåð 3. Âû÷èñëèòü ðàáîòó âåêòîðíîãî ïîëÿ r = {x, y} âäîëü ïðàâîé âåðõíåé ÷åòâåðòè ýëëèïñà x2/a2 + y2/b2 = 1 îò òî÷êè (0, b) äî (a, 0). Ðåøåíèå 1. Äàííûé ýëëèïñ ìîæíî çàäàòü ïàðàìåòðè÷åñêè: x = acosϕ, y = bsinϕ. Òîãäà: dx = -asinϕdϕ, dy = bcosϕdϕ, è ðàáîòà 2 ρ ρ 2 A = ∫ r ⋅ dl = ∫ ( xdx + ydy ) = 1

1

0

2 2 ( −a 2 sin ϕ cos ϕ + b2 sin ϕ cos ϕ )dϕ = a − b . 2 π /2

∫

Ðåøåíèå 2. Èç êàíîíè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ýëëèïñà äëÿ åãî ïåðâîé ÷åòâåðòè èìååì: y = b 1 − x2 a2 .

Òîãäà dy = −

b xdx ⋅ a2 1 − x2 a2 ,

è ðàáîòà 2

a

b2 a 2 − b2 A = ∫ ( xdx + ydy ) = ∫  x − 2 x dx =   2 . a 1 0

Ïðèìåð 4. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ òî÷å÷íîρ ρ ãî çàðÿäà E = kr / r 3 âäîëü ïðîèçâîëüíîé êðèâîé 1—2. Ðåøåíèå. Ïóñòü x = x (ϕ), y = y (ϕ), z = z (ϕ) — ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ êðèâîé 1—2. Òîãäà ðàáîòà ϕ2

2

y A = ∫ ( Ex dx + E y dy + Ez dz ) = ∫ k  x3 x ′ + 3 y ′ + z3 z ′ dϕ = r r  r 1 ϕ 1

ϕ2

r2

1

1

2   = k ∫ 1 3 d ( x 2 + y 2 + z 2 )dϕ = k ∫ dr 3 = k  1 − 1  . ϕ 2 2 r d r  r1 r2  r ϕ

45

Âèäíî, ÷òî ðàáîòà òàêîãî ïîëÿ íå çàâèñèò îò ôîðìû êðèâîé 1—2, à òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷åê äî íà÷àëà êîîðäèíàò. ρ Ïðèìåð 5. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = {− y , x} âäîëü îêðóæíîñòè (x — h)2 + y2 = R2. Ðåøåíèå. Çàäàäèì îêðóæíîñòü (x — h)2 + y2 = R2 ïàðàìåòðè÷åñêè: x = h + Rcosϕ, y = Rsinϕ (ðèñ. 7). Òîãäà èñêîìàÿ öèðêóëÿöèÿ áóäåò ðàâíà:

∫ (ax dx + a y dy ) =

2π

∫ ( R2 sin 2 ϕdϕ + ( h + R cos ϕ ) R cos ϕdϕ ) = 0

2π

= ∫ ( R2 + hR cos ϕ )dϕ = 2πR2 . 0

Ðèñ. 7

ρ Ïðèìåð 6. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = { y , x , x + y + z} îò òî÷êè Ì1 (3, 4, 0) äî Ì2 (0, 0, 5) ïî ïðÿìîé. Ðåøåíèå. Êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå äàííîé ïðÿìîé èìååò âèä: x −3 y −4 z −0 . = = 0−3 0−4 5−0

Îòñþäà y=

4 5 4 5 x , z = 5 − x , dy = dx , dz = − dx . 3 3 3 3

È òîãäà ðàáîòà A=

M2

0

M1

3

4

4



4

5   5 

∫ ( ydx + xdy + ( x + y + z )dz) = ∫  3 x + 3 x +  x + 3 x + 5 − 3 x  − 3  dx = 18. 46

Çàäà÷è ρ 2.85. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = {x 2, y 2, z 2} îò òî÷êè Ì1 (0, 0, 0) äî Ì2 (1, 1, 1) ïî ïðÿìîé. ρ 2.86. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = {− y , x} âäîëü âåðõíåé ïîëîâèíû ýëëèïñà x2/a2 + y2/b2 = 1 ñëåâà íàïðàâî. ρ 2.87. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = {x 2, xy} îò òî÷êè Ì1 (0, 1) äî Ì2 (1, 0): a) ïî ïðÿìîé; á) ïî äóãå îêðóæíîñòè x2 + y2 = 1; â) ïî ïàðàáîëå y = (1 — x)2; ã) ïî êîîðäèíàòíûì îñÿì. ρ 2.88. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = {x 2 − 2 xy, y 2 − 2 xy} îò òî÷êè Ì1 (-1, 1) äî Ì2 (1, 1): a) ïî ïàðàáîëå y = x2; á) ïî ïðÿìîé. ρ 2.89. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = {−ωy , ωx ,0} : à) îò òî÷êè 1 äî 2 (ðèñ. 8) ïî âèíòîâîé ëèíèè x = Rcosϕ, y = Rsinϕ, z = hϕ/(2π); á) îò òî÷êè 1 äî 3 ïî ïóòè 1—2—3 (ðèñ. 8); â) îò òî÷êè 1 äî 3 ïî ïðÿìîé; ã) îò òî÷êè 1 äî 3 ïî ïóòè 1—2—0—3 (ðèñ. 8).

Ðèñ. 8

47

ρ ρ 2.90. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = r âäîëü ãèïåðáîëû x2 — y2 = 9 îò òî÷êè Ì1 (3, 0) äî Ì2 (5, 4). ρ ρ 2.91. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = r âäîëü ïîëóêóáè÷åñêîé ïàðàáîëû c2x3 — y2 = 0 îò òî÷êè Ì1 (0, 0) äî Ì2 (1, ñ). ρ ρ 2.92. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = r / r 3 âäîëü ïðîèçâîëüíîé êðèâîé 1•—2 ñ çàäàííûìè êîîðäèíàòàìè íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷åê. 2.93. Äîêàçàòü, ÷òî ðàáîòà âñÿêîãî öåíòðàëüíîãî ïîëÿ ρ ρ a = f ( r )r îò òî÷êè 1 äî 2 íå çàâèñèò îò ôîðìû òðàåêòîðèè 1—2, à òîëüêî îò êîîðäèíàò íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷åê. ρ 2.94. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y + x, y − x} ïî îêðóæíîñòè x2 + y2 = R2, îáõîäÿ åå ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. ρ 2.95. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y, x 2,− z} ïî îêðóæíîñòè x2 + y2 = R2, z = h, îáõîäÿ åå ïî ïðàâîìó âèíòó îòíîñèòåëüíî îñè z . ρ 2.96. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = {x 2 − 2 xy, y 2 − 2 xy} îò òî÷êè Ì1 (-1, 1) äî Ì2 (1, 1) ïî ïàðàáîëå y = x2. 2.97. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ

ρ  y 2 − x 2  a= 2 , 2  2 x + y 2   x + y îò òî÷êè Ì1 (R, 0) äî M2 (-R, 0) ïî îêðóæíîñòè x2 + y2 = R2. 2.98. Ïðÿìîé áåñêîíå÷íî äëèííûé ïðîâîä ñ òîêîì, íàïðàâëåííûé âäîëü îñè z , ñîçäàåò â îêðóæàþùåì ïðîρ ñòðàíñòâå ìàãíèòíîå ïîëå B = k{− y / ρ 2, x / ρ 2,0} , ãäå k — íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò, ρ 2 = x2 + y2. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ýòîãî ïîëÿ ïî ïðîèçâîëüíîìó ïëîñêîìó êîíòóðó Ñ, îõâàòûâàþùåìó îñü z â ïëîñêîñòè z = 0. Îáõîä — ïî ïðàâîìó âèíòó îòíîñèòåëüíî îñè z . ρ 2.99. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = {− y 3, x 3} ïî ýëëèïñó x2/a2 + y2/b2 = 1, îáõîäÿ åãî ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.

48

ρ 2.100. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y,− x} ïî êîíòóðó Ñ, îáðàçîâàííîìó ïåðâîé ÷åòâåðòüþ àñòðîèäû x2/3 + y2/3 = R2/3 (x ≥ 0, y ≥ 0) è îñÿìè êîîðäèíàò. Îáõîä êîíòóðà — ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. 2.101. Äîêàçàòü, ÷òî öèðêóëÿöèÿ ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u (x, y, z) ðàâíà íóëþ. ρ 2.102. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = {2 xz ,− y , z} ïî êîíòóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïëîñêîñòè x + y + 2z = 2 ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè. Îáõîä — â íàïðàâëåíèè ÷åðåäîâàíèÿ îñåé x → y → z → x. ρ ρ 2.103. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = z 2ex ïî êîíòóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ñôåðû x2 + y2 + z2 = 16 ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). Îáõîä — â íàïðàâëåíèè ÷åðåäîâàíèÿ îñåé x → y → z → x. ρ 2.104. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = {2 x + z ,2 y − z , xyz} ïî êîíòóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ x2 + y2 = 1 — z ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). Îáõîä — â íàïðàâëåíèè ÷åðåäîâàíèÿ îñåé x → y → z → x. ρ 2.105. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y 2 , z 2 ,0} ïî êîíòóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïîâåðõíîñòåé x2 + y2 = 9 è 3y + 4z = 5. ρ 2.106. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y,− x, z} ïî êîíòóðó x2 + y2 + z2 = R2, x = z. Îáõîä — ïî ïðàâîìó âèíòó îòíîñèòåëüíî îñè z. ρ 2.107. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y ,− x, z} ïî êîíòóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïîâåðõíîñòåé x2 + y2 + z2 = R2 è x2 + y2 = z2 (z > 0). Îáõîä — ïî ïðàâîìó âèíòó îòíîñèòåëüíî îñè z. ρ 2.108. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y 2, z 2, x 2} ïî êîíòóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïîâåðõíîñòåé x2 + y2 + z2 = R2 è x2 + y2 = Rz (z > 0). ρ 2.109. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = {xy , yz , xz} ïî êîíòóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì öèëèíäðà x2 + y2 = 1

49

è ïëîñêîñòè x + y + z = 1. Îáõîä — ïî ïðàâîìó âèíòó îòíîñèòåëüíî îñè z . 2.6. Ðîòîð. Ïðàâèëà ðàáîòû ñ îïåðàòîðîì ∇ Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò çàäàíî âåêρ òîðíîå ïîëå a ( x , y, z ) ñ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûìè êîìïîíåíòàìè ax, ay, az. Òîãäà âåêòîð, îáîçíàρ ÷àåìûé ñèìâîëîì rot a è îïðåäåëÿåìûé âûðàæåíèåì ρ ex ρ rot a = ∂ ∂ x ax

ρ ey

∂ ∂y ay

ρ ez

∂a y  ρ  ∂a x ∂a z  ρ  ∂a y ∂a x  ρ  ∂a − − ∂ ∂z =  z − e + e ,(2.12) e + ∂ z  x  ∂ z ∂ x  y  ∂ x ∂ y  z  ∂y az

íàçûâàåòñÿ ðîòîðîì âåêòîðíîãî ïîëÿ aρ â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. ρ Ðîòîð ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé õàðàêòåðèñòèêîé ïîëÿ a â äàííîé òî÷êå è âûðàæàåò ñïîñîáíîñòü ïîëÿ ñîâåðøàòü ðàáîòó ïî ìàëîìó êîíòóðó âáëèçè ýòîé òî÷êè. Îïðåäåëåíèå. Åñëè âî âñåé îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ ρ ρ a rot a ≡ 0 , òî ïîëå íàçûâàåòñÿ áåçâèõðåâûì. Åñëè æå ρ ρ rot aρ ≠ 0 , òî ïîëå a íàçûâàåòñÿ âèõðåâûì. âåêòîðíîå ïîëå, Âåêòîð rot a îáðàçóåò â ïðîñòðàíñòâå íîâîå ρ a ïîðîæäåííîå èñõîäíûì âåêòîðíûì ïîëåì . Êàê è äëÿ âñÿêîãî ρ âåêòîðíîãî ïîëÿ, äëÿ ïîëÿ rot a ìîæíî íàéòè åãî ðîòîð è äèρ ρ âåðãåíöèþ, ò. å. âûïîëíèòü îïåðàöèè rot(rot a ) è div(rot a ) . Òàê, íàïðèìåð, ρ ∂  ∂az − ∂a y  + ∂  ∂ax − ∂az  + ∂  ∂a y − ∂ax  = 0 div(rot a ) =   ∂x  ∂y ∂z  ∂y  ∂z ∂x  ∂z  ∂x ∂y 

(ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê âñå ñëàãàåìûå çäåñü ïîïàðíî óíè÷òîæàρ þòñÿ). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ a ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî: ρ (2.13) div(rot a ) ≡ 0. Ýòî îäíî èç çàìå÷àòåëüíûõ òîæäåñòâ âåêòîðíîãî àíàëèçà.

50

Ïðàâèëà ðàáîòû ñ îïåðàòîðîì ∇ Îïåðàöèè âåêòîðíîãî àíàëèçà «grad», «div» è «rot» óäîáíî ïðîèçâîäèòü è çàïèñûâàòü â ñîêðàùåííîé ôîðìå ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà ∇ (íàáëà):

∇ = {∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z} , êîòîðûé â ðàìêàõ âåêòîðíîé àëãåáðû ðàáîòàåò êàê ôîðìàëüíûé âåêòîð, õîòÿ ñàì ïî ñåáå îí âåêòîðîì íå ÿâëÿåòñÿ, ò. å. íå èìååò íè âåëè÷èíû, íè íàïðàâëåíèÿ. Ïðèåìû ðàáîòû ñ îïåðàòîðîì ∇ íàçûâàþòñÿ ñèìâîëè÷åñêèì ìåòîäîì ðàñ÷åòîâ.  ñèìâîëè÷åñêîì ìåòîäå îïåðàòîð ∇ íàäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1. Îïåðàòîð ∇ íå äåéñòâóåò íà âåëè÷èíû, ñòîÿùèå ñëåâà îò íåãî. 2. Äåéñòâèå îïåðàòîðà ∇ íà ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ u (x, y, z) ýêâèâàëåíòíî îïåðàöèè «grad», ò. å.     ∇u =  ∂ , ∂ , ∂ u =  ∂u , ∂u , ∂u  = grad u . (2.14)  ∂x ∂y ∂z   ∂x ∂y ∂z  ρ 3. Íà âåêòîðíóþ âåëè÷èíó a = { y , x , z} îïåðàòîð ∇ ìîæåò äåéñòâîâàòü äâîÿêî — «ñêàëÿðíî» è «âåêòîðíî»; ñîîòâåòñòâóþùèå äåéñòâèÿ ýêâèâàëåíòíû îïåðàöèÿì «div» è «rot»:

ρ  ρ ∂a ∂a ∂a  ∇ ⋅ a =  ∂ , ∂ , ∂  ⋅ ax , a y , az = x + y + z = div a ; (2.15) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x y z x y z  

{

}

ρ  ρ  ∇ × a =  ∂ , ∂ , ∂  × ax , a y , az = rot a ,  ∂x ∂y ∂z 

{

}

(2.16)

ò. å. â ýòèõ îïåðàöèÿõ îïåðàòîð ∇ ïðîÿâëÿåò êàê äèôôåðåíöèàëüíûå, òàê è âåêòîðíûå ñâîéñòâà. 4. Åñëè îïåðàòîð ∇ äåéñòâóåò íà íåñêîëüêî ñòîÿùèõ ïîñëå íåãî âåëè÷èí, òî íàäî ó÷èòûâàòü åãî äèôôåðåíöèàëüíóþ ïðèðîäó, ò. å. åãî èñïîëüçîâàíèå äîëæíî ïîä÷èíÿòüñÿ ïðàâèëàì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñóììû èëè ïðîèçâåäåíèÿ ñêàëÿðíûõ èëè âåêòîðíûõ âåëè÷èí. Òàê,

51

íàïðèìåð, åñëè u è v — äâà ñêàëÿðíûõ ïîëÿ, òî ∇(uv) = v∇u + u∇v. 5. Åñëè îïåðàòîð ∇ äåéñòâóåò íà êàêîå-ëèáî ïðîèçâåäåíèå ñ ó÷àñòèåì âåêòîðíîé âåëè÷èíû, òî ñíà÷àëà ó÷èòûâàåòñÿ åãî äèôôåðåíöèàëüíûé õàðàêòåð, à çàòåì óæå âåêòîðíûé. 6. Åñëè â ñëîæíîì âûðàæåíèè îïåðàòîð ∇ äåéñòâóåò òîëüêî íà îäíó èç âåëè÷èí, òî îíà îòìå÷àåòñÿ èíäåêñîì ó îïåðàòîðà ∇, êîòîðûé â îêîí÷àòåëüíîì âûðàæåíèè ñíèìàåòñÿ. 7. Âñå âåëè÷èíû, íà êîòîðûå îïåðàòîð ∇ íå äåéñòâóåò, â îêîí÷àòåëüíîì ðåçóëüòàòå ñòàâÿòñÿ âïåðåäè íåãî. ρ Ïðèìåð 1. Ïóñòü u(x,y,z) — ñêàëÿðíîå ïîëå, a ( x , y, z ) — âåêòîðíîå ïîëå. Òîãäà ρ ρ ρ ρ ρ ρ div( ua ) = ∇ ⋅ ( ua ) = ∇ a ( ua ) + ∇ u ( ua ) = u( ∇ a ⋅ a ) + (∇ u u ) ⋅ a = ρ ρ ρ ρ u( ∇ ⋅ a ) + a ⋅ ( ∇u ) = u div a + a ⋅ grad u .

Ïðèìåð 2.

ρ ρ ρ ρ rot( ua ) = ∇ × ( ua ) = ∇ a × ( ua ) + ∇ u × ( ua ) =... Òåïåðü ðàáîòàåì ïî ïðàâèëàì âåêòîðíîé àëãåáðû, ïåðåìåùàÿ ñêàëÿð u ëèáî ïîä «æäóùèé» åãî îïåðàòîð ∇, ëèáî âûíîñÿ åãî çà ∇ âëåâî: ρ ρ ρ ρ ... = u( ∇ a × a ) + ( ∇ u u ) × a = u rot a − a × grad u .

(Çäåñü ó÷òåíà àíòèêîììóòàòèâíîñòü âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ). Ïðèìåð 3. ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ div( a × b ) = ∇ ⋅ ( a × b ) = ∇ a ⋅ ( a × b ) + ∇ b ⋅ ( a × b ) =... Òåïåðü èñïîëüçóåì âåêòîðíûé õàðàêòåð îïåðàòîðà ∇, ò. å. ïðàâèëà ðàáîòû ñî ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì òðåõ âåêòîðîâ, ïîäâîäÿ ρ ρ âåêòîðû a èëè b ïîä «æäóùèé» èõ îïåðàòîð ∇ è ìåíÿÿ ìåñòàìè îïåðàöèè «⋅» è «×»: ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ... = (∇ a × a ) ⋅ b − (∇ b × b ) ⋅ a = b ⋅ (∇ × a ) − a ⋅ (∇ × b ) = b ⋅ rot a − a ⋅ rot b.

52

(Çäåñü ó÷òåíà ñìåíà çíàêà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðè èçìåíåíèè ïîðÿäêà ñîìíîæèòåëåé). Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïîêîîðäèíàòíîå âû÷èñëåíèå îïåðàρ ρ ρ öèé, íàïðèìåð rot( ua ) èëè div( a × b ) , ïðèâîäèò ê òåì æå ðåçóëüòàòàì, íî ÿâëÿåòñÿ íåñðàâíåííî áîëåå ãðîìîçäêèì è òðóäîåìêèì. Åñëè ê âûðàæåíèÿì (2.14)—(2.16) ïðèìåíèòü îïåðàòîð ∇ ïîâòîðíî, òî ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàöèè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðèìåð 4.

∇ ⋅ ∇u = div(grad u) = ( ∇ ⋅ ∇ )u = ∇ 2 u = ∆u , ãäå 2 2 2     ∆ = ∇2 =  ∂ , ∂ , ∂  ⋅  ∂ , ∂ , ∂  = ∂ 2 + ∂ 2 + ∂ 2 ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z   ∂x ∂y ∂z  ∂x

— äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð âòîðîãî ïîðÿäêà, íàçûâàåìûé îïåðàòîðîì Ëàïëàñà. Ïðèìåð 5.

ρ ρ ρ ∇ ⋅ (∇ × a ) = div(rot a ) = (∇ × ∇) ⋅ a ≡ 0 .

Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ òî, ÷òî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ îäèíàêîâûõ âåêòîðîâ (õîòÿ è ôîðìàëüíûõ) ðàâíî íóëþ. Ýòî çàìå÷àòåëüíîå òîæäåñòâî ïîëó÷åíî ðàíåå [ôîðìóëà (2.13)] ïðÿìûì ïîêîîðäèíàòíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì. Ïðèìåð 6.

∇ × (∇u ) = rot (grad u ) = (∇ × ∇ )u ≡ 0 . Ýòî åùå îäíî çàìå÷àòåëüíîå òîæäåñòâî âåêòîðíîãî àíàëèçà, è åãî òàê æå ëåãêî ïðîâåðèòü ïîêîîðäèíàòíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì, êàê è (2.13). Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàíèå ïðàâèë ðàáîòû ñ îïåðàòîðîì ∇ çíà÷èòåëüíî ñîêðàùàåò îáúåì âû÷èñëåíèé, ïðè÷åì åñëè ðå÷ü èäåò î âû÷èñëåíèÿõ ãðàäèåíòà, äèâåðãåíöèè èëè ðîòîðà îò ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèé ñêàëÿðíûõ è âåêòîðíûõ ïîëåé, òî ðåçóëüòàòû áóäóò âñåãäà ïðàâèëüíûìè. Îäíàêî, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðè èññëåäîâàíèÿõ ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâ ïîëåé ðàáîòàòü ñ îïåðàòî-

53

ðîì ∇ ñëåäóåò ñ îñòîðîæíîñòüþ, òàê êàê ðåçóëüòàò èíîãäà ïðèâîäèò ê íåâåðíûì âûâîäàì. Ïîýòîìó ïðè ñîìíåíèè â ïðàâèëüíîñòè òàêèõ âûâîäîâ èõ íàäî ïðîâåðÿòü íà ïðîñòûõ ÷àñòíûõ âàðèàíòàõ èëè æå ïðÿìûì ïîêîîðäèíàòíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì, õîòü ýòî ïîðîé è ãðîìîçäêî. Ïðèìåð 7.  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè âåêòîðíîé àëãåáðû ( ∇u ) × ( ∇v ) = ( ∇ × ∇ )uv = 0 ,

îäíàêî ÿñíî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ýòî íåâåðíî. Ïðèìåð 8. Ôîðìàëüíî

ρ ρ ρ ρ a ⋅ rot a = a ⋅ (∇ × a ) = 0 ,

òàê êàê â ñìåøàííîì ïðîèçâåäåíèè çäåñü äâà îäèíàêîâûõ âåêòîρ ρ ðà, ò. å. ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî âñåãäà a⊥ rot a . Îäíàêî, âûïîëíÿÿ ýòó ρ îïåðàöèþ ïîêîîðäèíàòíî, íàïðèìåð äëÿ ïîëÿ a = {z , x , y} , ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî íå òàê: ρ ρ ρ rot a = {111 , , } , a ⋅ rot a = x + y + z . Ïðèìåð 9. Îïåðàöèþ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ grad( a ⋅ b ) = ∇( a ⋅ b ) = ∇ a ( a ⋅ b ) + ∇ b ( a ⋅ b ) =...

ïðîâåñòè äàëåå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè âåêòîðíîé àëãåáðû ρ ρ íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì (âåêòîðû a è b íå âûíîñÿòñÿ çà ñêîáêè), ïîýòîìó ëîãè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ ñèìâîëè÷åñêèì ìåòîäîì ýòà çàäà÷à íå èìååò. È õîòÿ ðåçóëüòàò ýòîé îïåðàöèè èçâåñòåí [1], íî îí ñëèøêîì ãðîìîçäêèé è äîñòèãàåòñÿ èñêóññòâåííûì ïðèåìîì, òàê ÷òî äîñòîèíñòâà ñèìâîëè÷åñêîãî ìåòîäà â ýòîé îïåðàöèè íå ïðîÿâëÿþòñÿ.

Çàäà÷è •  íèæåñëåäóþùèõ çàäà÷àõ èñïîëüçîâàòü, ãäå ýòî óìåñòíî, ñâîéñòâà îïåðàòîðà ∇. ρ 2.110. Âû÷èñëèòü ðîòîð âåêòîðíîãî ïîëÿ a = {− y 2, x 2,0} . 2.111. Âû÷èñëèòü ðîòîð ìàãíèòíîãî ïîëÿ

ρ y B = k − 2 , x2 ,0 ,  ρ ρ  54

ïðÿìîãî áåñêîíå÷íî äëèííîãî ïðîâîäà ñ òîêîì (çäåñü

ρ = x 2 + y 2 — ðàññòîÿíèå äî îñè z, k — íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò). 2.112. Âû÷èñëèòü ðîòîð ïîëÿ ñêîðîñòåé òî÷åê òâåðäîãî òåëà, âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã îñè z ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω (ðèñ. 9). 2.113. Âû÷èñëèòü ðîòîð è äèâåðãåíöèþ ïîëÿ ñêîðîñòåé ÷àñòèö âîäû â ïîòîêå, åñëè ñêîðîñòü vx ïî ãëóáèíå ïîòîêà ìåíÿåòñÿ ëèíåéíî, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 10, à ïî øèðèíå ïîñòîÿííà.

Ðèñ. 9 Ðèñ. 10 2.114. Âû÷èñëèòü ðîòîð è äèâåðãåíöèþ ïîëÿ ñêîðîñòåé ÷àñòèö âîäû â ïîòîêå, åñëè ñêîðîñòü vx ïî øèðèíå ïîòîêà ìåíÿåòñÿ ïî ïàðàáîëå (v = 0 — ó áåðåãîâ, v = vm — â ñåðåäèíå), à ïî ãëóáèíå ïîñòîÿííà (ðèñ. 11).

Ðèñ. 11

ρ ρ 2.115. Âû÷èñëèòü ðîòîð ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E = kr / r 3 òî÷å÷íîãî çàðÿäà (çäåñü k — íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò). 2.116. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêîå öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîå ïîëå ρ ρ a = f ( r )r ÿâëÿåòñÿ áåçâèõðåâûì.

55

ρ ρ • Äîêàçàòü ðàâåíñòâà, â êîòîðûõ a è c — ïîñòîÿííûå âåêρ òîðû, r — ðàäèóñ-âåêòîð, u(r) — ñôåðè÷åñêîå ñêàëÿðíîå ïîëå: ρ ρ ρ ρ ρ ρ 2.117. rot( rc ) = ( r × c ) / r ; 2.121. rot( c × r ) = 2c ; ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 2.118. rot( r 3 c ) = 3r ( r × c ) ; 2.122. rot[( c × r ) × a ] = a × c ; ρ ρρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 2.123. rot[( c × r ) × r ] = 3( c × r ) ; 2.119. rot( r ⋅ a )c = a × c ; ρ ρρ ρ ρ ρ ρ ρ 2.120. rot( r ⋅ c )r = c × r ; 2.124. rot[u( r )c ] = u ′( r × c ) / r . ρ ρ • Äîêàçàòü ðàâåíñòâà, â êîòîðûõ a è b — ïðîèçâîëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ: ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 2.125. rot( a × b ) = ( a div b − b div a ) + [( b ⋅ ∇ )a − ( a ⋅ ∇ )b ] ; ρ ρ ρ ρ 2.126. rotrot a = grad(div a ) − ∆a , ãäå ∆a = {∆a x , ∆a y , ∆a z } . ρ 2.127. Ïîëüçóÿñü ðàâåíñòâîì çàäà÷è 2.126, âû÷èñëèòü rotrot a ρ ïðè a = {z 2, x 2, y 2} . ρ 2.128. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè âåêòîðíîå ïîëå a = u∇v , ãäå u è ρ ρ v — ñêàëÿðíûå ïîëÿ, òî a⊥ rot a . ρ ρ ρ 2.129. Äîêàçàòü, ÷òî ïîëå a = c × ∇u , ãäå c — ïîñòîÿííûé âåêòîð, ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì. ρ ρ 2.130. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïîëÿ a è b áåçâèõðåâûå, òî ρ ρ ïîëå ( a × b ) — ñîëåíîèäàëüíî. ρ 2.131. Äîêàçàòü, ÷òî ïîòîê ðîòîðà ïîëÿ a ÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S ðàâåí íóëþ. 2.132. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, ñâÿçûâàþùèå ýëåêòðè÷åñêîå ρ ρ ïîëå E è ìàãíèòíîå ïîëå B , èìåþò âèä: ρ  ρ B ∂ rot E = − ∂t ρ,  ρ rot B = 12 ∂E . c ∂t 

ρ Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ïîëå E ñîëåíîèäàëüíî, òî èç ýòîé ñèñòåìû ñëåäóåò âîëíîâîå óðàâíåíèå:

56

ρ ρ 1 ∂ 2E ∆E = 2 2 , c ∂t

ãäå ∆ = ∇ 2 — îïåðàòîð Ëàïëàñà. 2.7. Òåîðåìà Ñòîêñà. Ôîðìóëà Ãðèíà Òåîðåìà Ñòîêñà î ïðåîáðàçîâàíèè êîíòóðíîãî èíòåãðàëà â ïîâåðõíîñòíûé ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç îñíîâíûõ â âåêòîðíîì àíàëèçå, êàê è òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî. ρ Òåîðåìà. Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ a ( x , y, z ) ïî êîíòóðó Ñ ðàâíà ïîòîêó ðîòîðà ýòîãî ïîëÿ ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ ïîâåðõíîñòü S, îãðàíè÷åííóþ ýòèì êîíòóðîì: ρ ρ ρ ρ ρ ρ ∫ a ⋅ dl = ∫∫ (rota ⋅ n )dS = ∫∫ rota ⋅ dS (2.17) C

S

S

(îáõîä êîíòóðà Ñ è îðèåíòàöèÿ S îáðàçóþò ïðàâûé âèíò). Ïðè ýòîì äîëæíî áûòü âûïîëíåíî âàæíîå óñρ ëîâèå: ïîëå a ( x, y , z ) èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå â ëþáîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè S è íà êîíòóðå Ñ. Åñëè êîíòóð Ñ îõâàòûâàåò áåñêîíå÷íóþ (çàìêíóòóþ) ëèρ íèþ, âî âñåõ òî÷êàõ êîòîðîé ïîëå a íå îïðåäåëåíî èëè íå èìååò ïðîèçâîäíûõ, òî òåîðåìà Ñòîêñà íåïðèìåíèìà, òàê êàê ëþáàÿ ïîâåðõíîñòü S, îãðàíè÷åííàÿ êîíòóðîì Ñ, îáÿçàòåëüíî ïåðåñå÷åò ýòó ëèíèþ è óñëîâèå òåîðåìû Ñòîêñà âûïîëíåíî íå áóäåò. Ïðèìåð 1. Ïî òåîðåìå Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ ρ a = { y , x 2 ,− z} ïî îêðóæíîñòè x2 + y2 = R2, z = 0, îáõîäÿ åå ïî ïðàâîìó âèíòó îòíîñèòåëüíî îñè z . ρ ρ Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà âû÷èñëèì ðîòîð ïîëÿ a : rot a = {0,0,2 x − 1} . Ïîâåðõíîñòü S åñòåñòâåííî âûáðàòü ïëîñêîé, â âèäå êðóãà ðàäèρ óñîì R. Íîðìàëü ê ýòîìó êðóãó n = {0,0,1} , ñëåäîâàòåëüíî, ρ ρ (rot a ) ⋅ n = 2 x − 1 . È òîãäà èñêîìàÿ öèðêóëÿöèÿ ρ ρ ρ ρ ∫ a ⋅ dl = ∫∫ (rota ) ⋅ ndS = ∫∫ (2x − 1)dS = −πR2 + 2 ∫∫ xdS . 2πR

πR 2

πR 2

57

πR 2

Ïîñëåäíèé èíòåãðàë ëåãêî âû÷èñëèòü, çàïèñàâ ýëåìåíò ïëîùàäè dS êàê ôóíêöèþ x. Äëÿ ýòîãî íàäî ðàçáèòü êðóã πR2 íà óçêèå ïîëîñêè äëèíîé l = 2 R2 − x 2

è øèðèíîé dx (ðèñ. 12). Òîãäà R

∫∫ xdS = 2 ∫ x

πR 2

R2 − x 2 dx = 0 .

−R

Âïðî÷åì, ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî áûëî áû ïðåäñêàçàòü ñðàçó, ïîñêîëüêó ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë áåðåòñÿ îò íå÷åòíîé ôóíêöèè ïî ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò îáëàñòè. Òàêèì îáðàçîì, èñêîìàÿ öèðêóëÿöèÿ ðàâíà -πR2.

Ðèñ. 12

Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ ρ  y  a = − 2 , x2 ,0 , ãäå ρ 2 = x 2 + y 2 , ρ ρ  

âäîëü îêðóæíîñòè x2+ y2 = R2, z = 0. Ðåøåíèå. Íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå öèðêóëÿöèè ñ ïîìîùüþ çàìåí x = Rcosϕ, y = Rsinϕ, z = 0 äàåò çíà÷åíèå 2π (ñì. çàäà÷ó 2.98). Âû÷èñëåíèå æå ïî òåîðåìå Ñòîêñà (2.17) äàåò íîëü, ρ òàê êàê rot a = 0 (ñì. çàäà÷ó 2.111). Íî ïîñêîëüêó êîíòóð Ñ â ρ äàííîì ñëó÷àå îõâàòûâàåò îñü z , íà êîòîðîé ïîëå a íå îïðåäåëåíî (ρ = 0), òî çäåñü íå âûïîëíåíî óñëîâèå òåîðåìû Ñòîêñà, òàê êàê ëþáàÿ ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííàÿ äàííûì êîíòóðîì, îáÿçàòåëüíî áóäåò ïåðåñåêàòü îñü z . Òàê ÷òî òåîðåìó Ñòîêñà äëÿ ýòîãî

58

êîíòóðà ïðèìåíÿòü íåëüçÿ. Åñëè áû êîíòóð Ñ íå îõâàòûâàë îñü z, òî âñåãäà áû íàøëàñü ïîâåðõíîñòü S, íå ïåðåñåêàþùàÿ îñü z, è òîãäà êàê ïðè íåïîñðåäñòâåííîì âû÷èñëåíèè, òàê è ïî òåîðåìå Ñòîêñà (ïðèìåíåííîé ê òàêîé ïîâåðõíîñòè S) öèðêóëÿöèÿ áûëà áû ðàâíà íóëþ.

Çàäà÷è 2.133. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèðρ êóëÿöèþ ïîëÿ a = {z , x , y} ïî êîíòóðó x2 + y2 = R2, z = 0. Îáõîä — ïî ïðàâîìó âèíòó îòíîñèòåëüíî îñè z. 2.134. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ρ ïîëÿ a = { y,− x , z} ïî êîíòóðó x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , x2 + y2 = z2 (z > 0). Îáõîä êîíòóðà — ïî ïðàâîìó âèíòó îòíîñèòåëüíî îñè z . 2.135. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ρ ïîëÿ a = { y , z , x} ïî êîíòóðó x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , x + y + z = 0. Îáõîä êîíòóðà — ïî ïðàâîìó âèíòó îòρ ρ ρ íîñèòåëüíî âåêòîðà ( e x + e y + e z ) . 2.136. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ρ ïîëÿ a = {xy , yz , xz} ïî êîíòóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì öèëèíäðà x2 + y2 = 1, è ïëîñêîñòè x + y + z = 1. Îáõîä êîíòóðà — ïî ïðàâîìó âèíòó îòíîñèòåëüíî ρ ρ ρ âåêòîðà ( e x + e y + e z ) . 2.137. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèðρ êóëÿöèþ ïîëÿ a = { y − z, z − x, x − y} ïî êîíòóðó x2 + y2 = R2, x + y + z = 0. Îáõîä êîíòóðà — ïî ïðàâîìó âèíòó îòíîñèòåëüíî îñè z. 2.138. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ρ ïîëÿ a = { y ,− x, z} ïî êîíòóðó x2 + y2 + z2 = R2, x = z. Îáõîä êîíòóðà — ïî ïðàâîìó âèíòó îòíîñèòåëüíî îñè z. 2.139. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ρ ïîëÿ a = {z 2,0,0} ïî êîíòóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ñôåðû x2 + y2 + z2 = R2 ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñ-

59

2.140.

2.141.

2.142.

2.143.

2.144.

êîñòÿìè (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). Îáõîä êîíòóðà — â íàïðàâëåíèè ÷åðåäîâàíèÿ îñåé x → y → z → x. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ρ ïîëÿ a = { y 2, x 2, z 2} ïî êîíòóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ñôåðû x2 + y2 + z2 = R2 ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè x0z è x0y (y ≥ 0, z ≥ 0). Îáõîä êîíòóðà — ρ ρ ïî ïðàâîìó âèíòó îòíîñèòåëüíî âåêòîðà ( e y + e z ) . Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèðρ êóëÿöèþ ïîëÿ a = {2 xz ,− y , z} ïî êîíòóðó Ñ, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïëîñêîñòè x + y + 2z = 2 ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè. Îáõîä êîíòóðà — â íàïðàâëåíèè ÷åðåäîâàíèÿ îñåé x →y → z → x. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèðρ êóëÿöèþ ïîëÿ a = { y ( x + z ), z ( x + y ), x ( y + z )} ïî êîíòóðó Ñ, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïëîñêîñòè x + y + z = 3 ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè. Îáõîä êîíòóðà — â íàïðàâëåíèè ÷åðåäîâàíèÿ îñåé x → y → z → x. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèðρ êóëÿöèþ ïîëÿ a = {− xz,2, y 2 / 2} ïî êîíòóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì êîíóñà x2 + y2 = (z — 1)2 ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). Îáõîä êîíòóðà — â íàïðàâëåíèè ÷åðåäîâàíèÿ îñåé x → y → z → x. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Ñòîêñà âû÷èñëèòü öèð-

ρ

êóëÿöèþ ïîëÿ a = {x, z,− y} ïî êîíòóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì êîíóñà (x — 1)2 = y2 + z2 ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). Îáõîä êîíòóðà — â íàïðàâëåíèè ÷åðåäîâàíèÿ îñåé x → y → z → x. 2.145. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ñòîêñà âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ ρ a = {x 2− yz, y 2 − xz, z 2 − xy} ïî âèíòîâîé ëèíèè x = Rcosϕ, y = Rsinϕ, z = hϕ/(2π) îò òî÷êè Ì1 (R, 0, 0) äî M2 (R, 0, h).

60

Ôîðìóëà Ãðèíà Ôîðìóëà Ãðèíà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì âàðèàíòîì òåîðåìû Ñòîρ ρ êñà, êîãäà ïîëå a — ïëîñêîå, ò. å. a = {a x ( x , y ), a y ( x , y )} .  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà (2.17) ïðèíèìàåò âèä: ρ ρ

 ∂a y

∫ a ⋅ dl = ∫∫  ∂x

C

S

−

∂ax  dxdy . ∂y 

(2.18)

Ôîðìóëà Ãðèíà íåñêîëüêî óïðîùàåò âû÷èñëåíèå öèðêóëÿöèè ïëîñêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ.

Çàäà÷è • Ñëåäóþùèå çàäà÷è ðåøèòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû Ãðèíà. Îáõîä êîíòóðîâ âåçäå ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. ρ 2.146. Äîêàçàòü, ÷òî öèðêóëÿöèÿ ïîëÿ a = {− y , x} ïî êîíòóðó Ñ ðàâíà óäâîåííîé ïëîùàäè ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ýòèì êîíòóðîì. ρ 2.147. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = {− y 3, x 3} ïî êîíòóðó x2 + y2 = 1. ρ 2.148. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y 2 ,− x 2} ïî êîíòóðó x + y + 1 = 0, x = 0, y = 0. ρ 2.149. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y + x, y − x} ïî êîíòóðó x + y = 1, x = 0, y = 0.

ρ

2.150. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = {x − y 2 ,2 xy} ïî êîíòóðó y = x, y = x2. 2.151. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ ρ a = {x ln(1 + y 2}, x 2 y / (1 + y 2 )} ïî êîíòóðó x2 + y2 = 2x. 2.152. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ ρ a = {( ye xy − y 3 ),( xe xy + x 3 )} ïî êîíòóðó x2 + y2 = 1.

61

ρ 2.153. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = {(e x sin y − y ),(ex cos y − 1)} ïî ïîëóîêðóæíîñòè x2 + y2 = 2x (y ≥ 0), ïðîõîäÿ åå ñïðàâà íàëåâî. ρ 2.154. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = {(e x cos y − y ),(1 − e x sin y )} ïî ïîëóîêðóæíîñòè x2 + y2 = 2x (y ≥ 0), ïðîõîäÿ åå ñïðàâà íàëåâî. ρ 2.155. Äîêàçàòü, ÷òî öèðêóëÿöèÿ ïîëÿ a = {− y / ρ 2, x / ρ 2} , ãäå ρ2 = x2 + y2, ïî êîíòóðó Ñ: a) ðàâíà íóëþ, åñëè êîíòóð íå îõâàòûâàåò íà÷àëî êîîðäèíàò; á) ðàâíà 2π, åñëè êîíòóð îõâàòûâàåò íà÷àëî êîîðäè íàò.

62

3. ÒÈÏÛ ÂÅÊÒÎÐÍÛÕ ÏÎËÅÉ 3.1. Ïîòåíöèàëüíîå ïîëå. Ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë Âîçüìåì êàêîå-ëèáî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå ñêàρ ëÿðíîå ïîëå ϕ (x, y, z) è îáðàçóåì èç íåãî âåêòîðíîå ïîëå a îïåρ ðàöèåé ∇: a = −∇ϕ . Òàêîå âåêòîðíîå ïîëå áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïîòåíöèàëüíûì ïî îïðåäåëåíèþ. ρ Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå a ( x , y, z ) , çàäàííîå â îáëàñòè V, íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ îäρ íîçíà÷íàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ ϕ , ÷òî ïîëå a â ýòîé îáëàñòè ïðåäñòàâèìî â âèäå ρ (3.1) a = −∇ϕ , ò. å. åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ÷üèì-òî ãðàäèåíòîì. Ôóíêöèÿ ϕ (x, y, z), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ýòîìó óñëîâèþ, íàçûâàρ åòñÿ ïîòåíöèàëîì âåêòîðíîãî ïîëÿ a . Êîììåíòàðèè 1. Çíàê «-» â îïðåäåëåíèè (3.1) ââåäåí äëÿ óäîáñòâà è ρ âûðàæàåò òî, ÷òî ëèíèè ïîëÿ a íàïðàâëåíû â ñòîðîíó óáûâàíèÿ ïîòåíöèàëà. Òàê íàïðèìåð, òåïëî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ñòîðîíó óáûâàíèÿ òåìïåðàòóðû, æèäêîñòü òå÷åò â ñòîðîíó óáûâàíèÿ äàâëåíèÿ. 2. Èç îïðåäåëåíèÿ (3.1) âèäíî, ÷òî åñëè âìåñòî ϕ âçÿòü ôóíêöèþ ϕ* = ϕ + Ñ, ãäå Ñ — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿíρ íàÿ, òî ∇ϕ* = ∇ϕ , ò. å. çàäàííîå âåêòîðíîå ïîëå a èìååò íå âïîëíå îïðåäåëåííûé ïîòåíöèàë.  ñâÿçè ñ ýòèì ãîâîðÿò, ÷òî ïîòåíöèàë ϕ îïðåäåëÿåòñÿ ïîëåì ρ a ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé. 3. Ëþáàÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ϕ(x,y,z) ÿâëÿåòñÿ ÷üèì-ëèáî ïîòåíöèàëîì, ò. å. ïîρ ðîæäàåò îïðåäåëåííîå ïîòåíöèàëüíîå ïîëå a ïî ôîðρ ìóëå (3.1), íî íå äëÿ ëþáîãî ïîëÿ a ñóùåñòâóåò

63

ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ ϕ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñîîòíîøåíèþ (3.1). 4. Âñå òðè êîìïîíåíòû ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ îäíîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé ϕ (ïîòåíöèàëîì ýòîãî ïîëÿ):

∂ϕ a = − ∂ϕ ∂ϕ , y ∂y , az = − ∂z , ∂x òîãäà êàê äëÿ çàäàíèÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ñëóæàò òðè íåçàâèñèìûå ñêàëÿðíûå ôóíêöèè: ax (x, y, z), ay (x, y, z), az (x, y, z). ax = −

Ñâîéñòâà ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ 2

1. Ðàáîòà ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ

ρ ρ

∫ a ⋅ dl

íå çàâèñèò îò

1

ôîðìû êðèâîé 1—2, à òîëüêî îò êîîðäèíàò òî÷åê 1 è 2. 2. Öèðêóëÿöèÿ ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ ïî ëþáîìó êîíòóðó ðàâíà íóëþ. 3. Ïîòåíöèàëüíîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ áåçâèõðåâûì, ò. å. ρ rot a = 0 . Ýòî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ (3.1) è ëåãêî ïîäòâåðæäàåìîãî òîæäåñòâà rot grad ϕ ≡ 0 , èëè ∇×∇ϕ ≡ 0. Êðèòåðèè ïîòåíöèàëüíîñòè ïîëÿ ρ Êðèòåðèé 1.Åñëè öèðêóëÿöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ a ïî ëþáîìó êîíòóðó ðàâíà íóëþ, òî îíî ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì. ρ Êðèòåðèé 2.Åñëè â ëþáîé òî÷êå îäíîñâÿçíîé îáëàñòè V * rot a ≡ 0 , ρ òî ïîëå a ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì â ýòîé îáëàñòè. ρ Åñëè æå îáëàñòü V íåîäíîñâÿçíà, òî óñëîâèÿ rot a ≡ 0 ______________ * Îáëàñòü V òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ îäíîñâÿçíîé, åñëè íà ëþáîé êîíòóð Ñ â ýòîé îáëàñòè ìîæíî íàòÿíóòü ïîâåðõíîñòü, öåëèêîì ëåæàùóþ â îáëàñòè V.

64

íåäîñòàòî÷íî äëÿ åãî ïîòåíöèàëüíîñòè; â ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå êðèòåðèÿ 1. Ïðèìåð 1. Ìàãíèòíîå ïîëå ïðÿìîãî òîêà i, òåêóùåãî âäîëü îñè z, èìååò âèä: ρ µi y  B = 0 − 2 , x2 ,0 , ãäå ρ 2 = x 2 + y 2 . 2π  ρ ρ  Óñòàíîâèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè îíî ïîòåíöèàëüíûì. Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà ïðîâåðèì âûïîëíåíèå êðèòåðèÿ 2. Íåρ ñëîæíûå âû÷èñëåíèÿ ðîòîðà ïîëÿ B äàþò: ρ ρ ρ (rot B ) x = (rot B ) y = (rot B ) z = 0 . ρ Îäíàêî íà îñè z ïîëå B íå ñóùåñòâóåò, ñëåäîâàòåëüíî, îáëàñòü ρ îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ B ÿâëÿåòñÿ íåîäíîñâÿçíîé, è ïîýòîìó çäåñü íåîáõîäèìà ïðîâåðêà âûïîëíåíèÿ êðèòåðèÿ 1. Äëÿ ýòîãî âûáåðåì êîíòóð Ñ â âèäå îêðóæíîñòè, îõâàòûâàþùåé îñü z : x = Rcosα, y = Rsinα . Òîãäà ρ ρ ∫ B ⋅ dl = ∫ ( Bx dx + By dy ) = C

=

C

µ 0i 2π  R sin αR sin α R cos αR cos α    dα = µ0i ≠ 0 . +  R2 R2 2π ∫0 

ρ Ñëåäîâàòåëüíî, âî âñåì ïðîñòðàíñòâå ïîëå B íå ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, ò. å. äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà íåëüçÿ îäíîçíà÷íî ñîïîñòàâèòü îïðåäåëåííûé ïîòåíöèàë ϕ , òàê êàê ïðè îáõîäå âîêðóã îñè z ýòî ÷èñëî óâåëè÷èâàåòñÿ íà µ0i :

ϕ M = (ϕ M ) o + Nµ 0 i , ãäå N — ÷èñëî îáõîäîâ âîêðóã îñè z âäîëü âåêòîðíîé ëèíèè ρ ïîëÿ B . Ïðèìåð 2. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå äëèííîé ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé íèòè, íàòÿíóòîé âäîëü îñè z, èìååò âèä: ρ y   E = k  x2 , 2 ,0 , ρ ρ  

65

ãäå ρ2 = x2 + y2, k — íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò. Óñòàíîâèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ýòî ïîëå ïîòåíöèàëüíûì. Ðåøåíèå. Ïðîâåðêà âûïîëíåíèÿ êðèòåðèÿ 2 äàåò: ρ ρ ρ (rot E ) x = (rot E ) y = (rot E ) z = 0 . ρ Îäíàêî íà îñè z ïîëå E íå ñóùåñòâóåò, ñëåäîâàòåëüíî, îáëàñòü ρ îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ E ÿâëÿåòñÿ íåîäíîñâÿçíîé, è ïîýòîìó çäåñü íóæíà ïðîâåðêà êðèòåðèåì 1. Äëÿ ýòîãî âûáåðåì êîíòóð Ñ â âèäå îêðóæíîñòè, îõâàòûâàþùåé îñü z : x = Rcosα, y = Rsinα. Òîãäà

ρ

ρ

2π

 R cos αR sin α + R sin αR cos α  dα = 0 .  R2 R2 0

∫ E ⋅ dl = ∫ ( Ex dx + E y dy ) = k ∫  −

C

C

ρ Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëå E ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì âî âñåì ïðîñòðàíñòâå.

Âû÷èñëåíèå ïîòåíöèàëà Êàê îòìå÷àëîñü â êîììåíòàðèè 2 ê îïðåäåëåíèþ (3.1), ïîρ òåíöèàë ϕ ïîëÿ a îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðåäñòàâèòü ïîòåíöèàë ϕ îäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé êîîðäèíàòû òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå, ò. å. ϕ = ϕ (x, y, z), îäíó èç òî÷åê â ïðîñòðàíñòâå ôèêñèðóþò, ñ÷èòàÿ åå áàçîâîé òî÷êîé Ì0 è ïîëàãàÿ ϕ (Ì0) = 0. Òîãäà ïîòåíöèàë ïðîèçâîëüíîé ρ òî÷êè M (x, y, z) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàáîòà ïîëÿ a îò òî÷êè Ì äî áàçîâîé Ì0 ïî ëþáîìó ïóòè (ïîñêîëüêó ðàáîòà ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ íå çàâèñèò îò ôîðìû ïóòè):

ϕM =

M0

∫

ρ ρ a ⋅ dl .

M

(3.2)

Áàçîâóþ òî÷êó Ì0 âûáèðàþò îáû÷íî ëèáî â íà÷àëå êîîðäèíàò, ρ åñëè ïîëå a òàì ñóùåñòâóåò, ëèáî â áåñêîíå÷íîñòè. Ïðè ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ ïîòåíöèàëîâ ïîëåé ðåàëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì áàçîâóþ òî÷êó âûáèðàþò íà çåìëå, íà êîðïóñàõ ïðèáîðîâ, íà êàêèõ-ëèáî ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêàõ. ρ Ïóñòü óñòàíîâëåíî, ÷òî çàäàííîå âåêòîðíîå ïîëå a ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, ò. å. âûïîëíåí êàêîé-ëèáî êðèòåðèé åãî ïî-

66

òåíöèàëüíîñòè. Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà ϕ = ϕ (x, y, z) ýòîãî ïîëÿ îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé áàçîâîé òî÷êè Ì0 ìîæíî âû÷èñëèòü íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè. Âûáîð òîãî èëè èíîãî èç íèõ îïðåρ äåëÿåòñÿ êîíêðåòíîé ñòðóêòóðîé ïîëÿ a . Ñïîñîá 1. Ïîêîîðäèíàòíûé ïîäõîä. Ýòîò ñïîñîá ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïóòü èíòåãðèðîâàíèÿ â (3.2) âûáèðàåòñÿ â âèäå òðåõ îòðåçêîâ, ïàðàëëåëüíûõ îñÿì êîîðäèíàò (ðèñ. 13). Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè òî÷êà Ì0 íàõîäèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò, ò. å. ρ Ì0 (0, 0, 0). Òîãäà ïîòåíöèàë ïîëÿ a â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå M (x, y, z): 0 ρ ρ ϕ ( x, y, z ) = ∫ a ⋅ dl = M

0

∫ (a dx + a y dy + az dz ) =

x M ( x, y, z )

0

0

0

x

y

z

= ∫ ax ( x, y, z )dx + ∫ a y (0, y, z )dy + ∫ az (0,0, z )dz .

(3.3)

Ðèñ. 13

Çàìå÷àíèå. Ôîðìóëà (3.3) ñïðàâåäëèâà òîëüêî äëÿ çàâåäîìî ïîρ òåíöèàëüíîãî ïîëÿ. Åñëè ïîëå a íå ïîòåíöèàëüíî, òî ðåçóëüòàò (3.3) áóäåò ëèøü ÷àñòíûì çíà÷åíèåì ðàáîòû ïîëÿ ïî ýòîìó êîíêðåòíîìó ïóòè. Ïî äðóãîìó ïóòè ðàáîòà áóäåò äðóãîé. ρ Ïðèìåð 3. Ïóñòü a = { yz , xz , xy} . Âû÷èñëèòü ïîòåíöèàë ýòîãî ïîëÿ â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà îòíîñèòåëüíî áàçîâîé òî÷êè Ì0 (0, 0, 0).

67

Ðåøåíèå. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, òàê êàê åãî ðîòîð ðàâåí íóëþ, à îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ρ ïîëÿ a îäíîñâÿçíà. Òîãäà ïî ôîðìóëå (3.3) ïîëó÷àåì: 0

0

0

x

y

z

ϕ ( x, y, z ) = ∫ yzdx + ∫ 0dy + ∫ 0dz = − xyz . Ñïîñîá 2. Ñîñòàâëåíèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà. ρ Ïóñòü óñòàíîâëåíî, ÷òî ïîëå a ïîòåíöèàëüíî. Òîãäà â ñèëó (3.1) ìîæíî çàïèñàòü:

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dx + dy + dz = −(a x dx + a y dy + az dz ) . (3.4) ∂x ∂y ∂z ρ Åñëè èç êîìïîíåíò ïîëÿ a â ïðàâîé ÷àñòè (3.4) óäàñòñÿ ñîñòàâèòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë, òî îí è áóäåò ÿâëÿòüñÿ èñêîìûì ïîòåíöèàëîì ϕ (x, y, z) âåêρ òîðíîãî ïîëÿ a . ρ ρ Ïðèìåð 4. Ïóñòü a = r = {x , y , z} . Òîãäà dϕ =

dϕ = −( xdx + ydy + zdz ) = −

2 d(x2 + y2 + z2 ) = − d  r  .  2 2

Ñëåäîâàòåëüíî,

ϕ =−r +C. 2 Åñëè ïðè r = 0 ïîòåíöèàë ϕ = 0, òî Ñ = 0 è òîãäà ϕ = -r2/2. Ñïîñîá 3. Âàðèàíò öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîãî ïîëÿ. ρ Ïóñòü âåêòîðíîå ïîëå a ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíî-ñèìρ ρρ ρ ìåòðè÷íûì, ò. å. a = a ( r ) = f ( r )r , ãäå f(r) — ïðîèçâîëüíàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ òî÷êè äî íà÷àëà êîîðäèíàò. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðîòîð ýòîãî ïîëÿ ðàâåí íóëþ. À òàê êàê îáëàñòü åãî ñóùåñòâîâàíèÿ îäíîñâÿçíà, òî â ñèëó êðèòåðèÿ 2 ýòî ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì.  ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ýòî ïîëå çàïèñûρ ρ ρ âàåòñÿ â âèäå a = f ( r )rer , ãäå er — åäèíè÷íûé ðàäè2

68

àëüíûé âåêòîð. Òîãäà åäèíñòâåííàÿ ðàäèàëüíàÿ êîìρ ïîíåíòà ar = f (r)r ïîëÿ a ñâÿçàíà ñ ïîòåíöèàëîì ϕ ñîîòíîøåíèåì ar = −(∇ϕ )r = −

∂ϕ ∂r

,

îòêóäà

ϕ = − ∫ ar dr = − ∫ f (r )rdr + C . Êîíñòàíòà Ñ îïðåäåëÿåòñÿ èç ïîñòóëèðóåìîãî çíà÷åíèÿ ϕ (0) èëè ϕ (∞) è îáû÷íî îêàçûâàåòñÿ íóëåâîé. ρ ρ Ïðèìåð 5. Âû÷èñëèòü ïîòåíöèàë ãóêîâñêîãî ïîëÿ a = − kr . ρ ρ Ðåøåíèå.  ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå a = − krer . Òîãäà

ϕ = ∫ krdr = k r + C . 2 Ïîëàãàÿ ϕ (0) = 0, ïîëó÷èì Ñ = 0, è òîãäà ϕ = kr2/2. Ïðèìåð 6. Âû÷èñëèòü ïîòåíöèàë êóëîíîâñêîãî ïîëÿ ρ ρ 3 a = r / (r ) . ρ ρ ρ Ðåøåíèå.  ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå a = rer / (r 3 ) = er / (r 2 ) . Òîãäà 2

ϕ = − ∫ dr2 = 1 + C . r r Ïîëàãàÿ ϕ (∞) = 0, ïîëó÷èì Ñ = 0, è òîãäà ϕ = 1/r. Çäåñü ïîòåíöèàë ϕ îïðåäåëåí îòíîñèòåëüíî áåñêîíå÷íîñòè, òàê êàê â íóëå îí íå ñóùåñòâóåò.

Çàäà÷è • Óñòàíîâèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè ïîòåíöèàëüíûìè ñëåäóþùèå âåêòîðíûå ïîëÿ, è åñëè äà, òî âû÷èñëèòü èõ ïîòåíöèàëû îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò èëè áåñêîíå÷íîñòè: ρ ρ 3.1. a = {xz ,2 y , xy} ; 3.5. a = { yz + 1, xz , xy} ; ρ ρ 3.2. a = {2xy + z 2,2 yz + x 2,2 xz + y 2} ; 3.6. a = {− y , x ,0} ; ρ ρ 3.3. a = {x 3, y 3, xz 3} ; 3.7. a = { y, x ,0} ; ρ ρ 3.4. a = {2xyz, x 2 z, x 2 y} ; 3.8. a = { y, x, ez} ; 3.9.

ρ a = { y + z, x + z, x + y} ; 69

ρ , , } / (x + y + z) ; 3.10. a = {111 ρ 3.11. a = { yz ( 2 x + y + z ), xz ( x + 2 y + z ), xy ( x + y + 2 z )} . ρ ρ 3.12. Äîêàçàòü, ÷òî îñåâîå ðàäèàëüíîå ïîëå a = f ( ρ )ρ , ãäå ρ ρ = {x , y ,0} , f ( ρ ) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàññòîÿíèÿ òî÷êè äî îñè z, ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì. 3.13. Äîêàçàòü, ÷òî âåêòîðíûå ëèíèè ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ ρ a âñþäó ïåðïåíäèêóëÿðíû ïîâåðõíîñòÿì ðàâíîãî ïîòåíöèàëà (ýêâèïîòåíöèàëüíûì ïîâåðõíîñòÿì) ϕ = const. ρ ρ 3.14. Ïóñòü a1 è a 2 — ïîòåíöèàëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ, à èõ ïîòåíöèàëàìè ÿâëÿþòñÿ ñêàëÿðíûå ôóíêöèè ϕ1 è ϕ2. Äîêàçàòü, ÷òî ñêàëÿðíîå ïîëå ϕ = ϕ1 + ϕ2 ÿâëÿåòñÿ ρ ρ ρ ïîòåíöèàëîì âåêòîðíîãî ïîëÿ a = a1 + a 2 . ρ 3.15. Âàæíåéøèìè ñâîéñòâàìè ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ a ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå: 2

à) ðàáîòà

ρ ρ

∫ a ⋅ dl

íå çàâèñèò îò ôîðìû êðèâîé

1

1—2, à òîëüêî îò êîîðäèíàò òî÷åê 1 è 2; ρ ρ á) öèðêóëÿöèÿ ∫ a ⋅ dl = 0 ïî ëþáîìó êîíòóðó Ñ. C

Äîêàçàòü, ÷òî ýòè ñâîéñòâà òîæäåñòâåííû, ò. å. ÷òî èç ñâîéñòâà (a) ñëåäóåò (á), à èç (á) ñëåäóåò ñâîéñòâî (à). 3.16. Âíóòðè áåñêîíå÷íîãî ïëîñêîãî ñëîÿ -d ≤ x ≤ d ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. Èçâåñòíî, ÷òî òàêîé ñëîé ñîçäàåò â ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðè÷åñêîå ρ ïîëå E = {E x ,0,0} , ãäå

 kx при − d ≤ x ≤ d ,  Ex =  kd при x ≥ d, − kd при x ≤ −d , 

70

k — íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò (ðèñ. 14). Âû÷èñëèòü ïîòåíöèàë ýòîãî ïîëÿ íà âñåé îñè x îòíîñèòåëüíî òî÷êè x = 0.

Ðèñ. 14

3.17. Ïóñòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ V ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ ρ a ñîäåðæèò íà÷àëî êîîðäèíàò, ïðè÷åì ëþáàÿ òî÷êà M (x, y, z) ýòîé îáëàñòè ìîæåò áûòü ñîåäèíåíà ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò îòðåçêîì ïðÿìîé, öåëèêîì ïðèíàäëåæàùèì V. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ïîρ òåíöèàë ϕ ïîëÿ a â òî÷êå M (x, y, z) îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò Î ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå 0 ρ ρ ϕ ( M ) = ∫ (a( M ′) ⋅ r )dt , 1

ρ ãäå r — ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M (x, y, z), à òî÷êà M´(tx, ty, tz) ïðè èçìåíåíèè t îò 1 äî 0 ïðîáåãàåò îò òî÷êè Ì äî Î ïî ïðÿìîé.

3.2. Ñîëåíîèäàëüíîå ïîëå. Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ρ Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå a ( x , y, z ) , çàäàííîå â îáëàñòè V, íàçûâàåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì â ýòîé îáëàñòè, åñëè ñóρ ùåñòâóåò òàêîå âåêòîðíîå ïîëå A( x , y , z ) , äëÿ êîòîðîãî

ρ ρ a = rot A ,

71

(3.5)

ρ ò. å. åñëè ïîëå a ÿâëÿåòñÿ ðîòîðîì êàêîãî-òî äðóãîãî ρ ïîëÿ. Ïîëå A ïðè ýòîì íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïîρ òåíöèàëîì èñõîäíîãî ïîëÿ a *. ρ Èç (3.5) ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A çàäàííîãî ρ ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ a îïðåäåëÿåòñÿ íåîäíîçíà÷íî, à ñ òî÷íîñòüþ äî ãðàäèåíòà ïðîèçâîëüíîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè y (x, y, z). Äåéρ ρ ñòâèòåëüíî, ïîëå A ′ = ( A + ∇ψ ) òàêæå áóäåò ÿâëÿòüñÿ âåêòîðíûì ρ ïîòåíöèàëîì ïîëÿ a , ïîñêîëüêó ρ ρ ρ ρ ρ ρ rot A′ = rot( A + ∇ψ ) = rot A + rot ∇ψ = rot A + 0 = a . ρ Çàìå÷àíèå. Ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë ϕ ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ a îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé êîíñòàíòû Ñ, òàê êàê ∇ (ϕ + Ñ) = ∇ϕ.

Ñâîéñòâà ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ ρ 1. Åñëè âñþäó âíóòðè çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S ïîëå a ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì, òî ρ ρ ∫∫ a ⋅ dS = 0 . S

ρ 2. Ïîòîê ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ a ÷åðåç äâå ëþáûå ïîâåðõíîñòè S1 è S2, îãðàíè÷åííûå îáùèì êîíòóðîì Ñ, îäèíàêîâ ïðè óñëîâèè, ÷òî â îáëàñòè V ìåæäó S1 è S2 íåò èñòî÷íèêîâ.

______________ * Ðàíåå, â ðàçäåëå 2.3, áûëî äàíî äðóãîå îïðåäåëåíèå ñîëåíîè-

ρ

äàëüíîãî ïîëÿ: ýòî ïîëå, äëÿ êîòîðîãî div a ≡ 0 â íåêîòîðîé îáëàñòè V. Ìîæíî äîêàçàòü [1, 2], ÷òî ýòè îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû, ò. å. åñëè

ρ

ρ

ïîëå a ïðåäñòàâèìî â âèäå (3.5), òî div a ≡ 0 (ýòî ñëåäóåò èç òîãî,

ρ

ρ

ρ

÷òî divrot A ≡ 0 ), à åñëè â îáëàñòè V div a ≡ 0 , òî äëÿ ïîëÿ a âñåãäà

ρ

ρ

ρ

ìîæíî ïîäîáðàòü ïîëå A òàêîå, ÷òî rot A = a .

72

Ïðèìåð 1. Ïóñòü â íà÷àëå êîîðäèíàò íàõîäèòñÿ òî÷å÷íûé ρ ρ èñòî÷íèê, ñîçäàþùèé ïîëå a = r / r 3 . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî ïîëå ñîëåíîèäàëüíî âñþäó, êðîìå òî÷êè (0, 0, 0), ãäå îíî íå ρ îïðåäåëåíî, ò. å. div a = 0 ïðè r ≠ 0. È ïóñòü çàäàí êîíòóð Ñ: x2 + y2 = R2, z = h (ðèñ. 15). Òîãäà ρ ρ ρ ρ ρ ρ ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫ a ⋅ dS ≠ ∫∫ a ⋅ dS , S S S 1

2

3

òàê êàê îáëàñòü ìåæäó S1 è S2 íå ñîäåðæèò èñòî÷íèêîâ, à îáëàñòü ìåæäó S1 è S3 ñîäåðæèò.

Ðèñ. 15

ρ ρ ρ ρ Ïðèìåð 2. Çàäàíî ïîëå a = (c × r ) / r 3 , ãäå c — ïîñòîÿííûé ρ âåêòîð. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî div a = 0 ïðè r ≠ 0, ò. å., êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ýòî ïîëå ñîëåíîèäàëüíî âñþäó, êðîìå òî÷êè (0, 0, 0), ãäå îíî íå îïðåäåëåíî. Íî ó ýòîãî ïîëÿ èñòî÷íèêîâ íåò. Äëÿ ïðîâåðêè îòñóòñòâèÿ òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà â òî÷êå (0,0,0) äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü ïîòîê ýòîãî ïîëÿ ÷åðåç ìàëóþ ñôåðó, îõâàòûâàþùóþ òî÷êó (0, 0, 0), è óáåäèòüñÿ, ÷òî îí ðàâåí íóëþ, ïîñêîëüêó âñþäó íà ýòîé ñôåðå êîìïîíåíòà ar = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî êîíòóðà Ñ (ðèñ. 15) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫ a ⋅ dS . S1

S2

S3

73

Ïîñòðîåíèå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ρ Åñëè ñîëåíîèäàëüíîñòü çàäàííîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ a â îáρ ëàñòè V óñòàíîâëåíà, ò. å. íàéäåíî, ÷òî div a = 0 â îáëàñòè V, òî ρ ïîñòðîåíèå åãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A ñîñòîèò â îòûñêàíèè êàêîãî-ëèáî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ âåêòîðíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (3.5), êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî òðåì ñêàëÿðíûì

∂A ∂A ∂Az ∂Ay ∂A ∂A − = ax , x − z = a y , y − x = az . (3.6) ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x Êîìïîíåíòû Ax (x, y, z), Ay (x, y, z), Az (x, y, z) âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ρ A , óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèÿì (3.6), ìîãóò áûòü íàéäåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì. ρ Ïîëüçóÿñü îòíîñèòåëüíûì ïðîèçâîëîì âûáîðà âåêòîðà A , ïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû Ax = 0. Òîãäà ñèñòåìà (3.6) ïðèìåò âèä:  ∂Az ∂Ay − = ax , ∂ ∂ y z а)  ∂Az = −a y , б) ∂x  ∂Ay = az . в) ∂x 

(3.7)

Èç (3.7á) è (3.7â) èìååì: а ) Az ( x, y, z ) = −∫ a y ( x, y, z )dx + C1( y, z ),  б ) Ay ( x, y, z ) = ∫ az ( x, y, z )dx + C2( y, z ),

(3.8)

ãäå C1 (y, z) è C2 (y, z) — ïðîèçâîëüíûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè, íî òàêèå, ÷òîáû óäîâëåòâîðÿëîñü óðàâíåíèå (3.7à). Ïîýòîìó îäíó èç íèõ âñåãäà ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ, íàïðèìåð Ñ2, òàê ÷òî Ay = ∫ az dx .

(3.9)

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè C1 (y, z), à çàòåì è ïîñëåäíåé êîìïîíåíòû Az , ïîäñòàâèì (3.8à) è (3.9) â óðàâíåíèå (3.7à): −

∂ a dx + ∂C1 − ∂ a dx = a x ; ∂y ∫ y ∂y ∂z ∫ z 74

îòñþäà

∂C1( y, z ) ∂ ∂ = a dx + ∫ az dx + ax . ∂y ∂y ∫ y ∂z

(3.10)

Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (3.10) íå çàâèñèò îò x. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü åå ïî x è ó÷åñòü, ÷òî ρ div a = 0 :

∂  ∂ a dx + ∂ a dx + a  =  x ∂x  ∂y ∫ y ∂z ∫ z  ∂a ∂a ∂a ∂a = ∂  ∂ ∫ a y dx + ∂  ∂ ∫ az dx + x = y + z + x = 0 .  ∂z  ∂x  ∂x ∂y  ∂x ∂y ∂z ∂x ρ Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè div a ≠ 0 , òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë äëÿ ρ ïîëÿ a ïîñòðîèòü íå óäàñòñÿ. Èíòåãðèðóÿ (3.10) ïî y, ïîëó÷àåì ∂  ∂ C1( y, z ) = ∫  ∫ a y dx dy + ∫  ∫ az dx dy + ∫ ax dy + C3( z ) , (3.11)  ∂z   ∂y  ãäå C3(z) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ïîëàãàÿ äëÿ ïðîñòîòû Ñ3 = 0 è ïîäñòàâëÿÿ (3.11) â (3.8à), ïîëó÷àåì ïîñëåäíþþ êîìïîíåíòó ρ Az èñêîìîãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A . ρ Çàìå÷àíèå. Ââèäó îòíîñèòåëüíîãî ïðîèçâîëà âûáîðà âåêòîðà A , âìåñòî óñëîâèÿ Ax = 0 ìîæíî ïîëîæèòü Ay = 0 èëè Az = 0. Òîãäà óðàâíåíèÿ (3.7), à çíà÷èò è âñå íàéäåííûå ρ êîìïîíåíòû âåêòîðà A áóäóò äðóãèìè, íî âñå ðàâåíñòâà (3.6) áóäóò âûïîëíåíû è â ýòîì ñëó÷àå. Èíîé ρ âèä âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A ïîëó÷èòñÿ è â âàðèàíòå, êîãäà â (3.8) ïîëîæèòü Ñ1 = 0, à Ñ2 èñêàòü êàê ðåøåíèå (3.7à). ρ Ïðèìåð 3. Ïîñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A ïîëÿ ρ a = { y , z ,0} . ρ ρ Ðåøåíèå. Òàê êàê div a = 0 , òî ïîëå a ñîëåíîèäàëüíî. Óðàâíåíèÿ (3.6) äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà â íàøåì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèä:

75

∂Ay ∂A ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az − = y, − = z , ∂x = ∂yx . ∂y ∂z ∂z ∂x

(3.12)

Ïîëîæèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè Ax = 0; òîãäà äâà ïîñëåäíèõ óðàâíåíèÿ (3.12) äàþò: Az = -xz + C1 (y, z), Ay = C2 (y, z), ãäå C1 (y, z) è C2 (y, z) — ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè, íî òàêèå, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ïåðâîå óðàâíåíèå (3.12). Ïîýòîìó ìîæíî ïîëîæèòü, íàïðèìåð, Ñ1 = 0, òàê ÷òî òðåòüÿ êîìïîíåíòà Az = -xz. Âòîðóþ êîìïîíåíòó Ay òåïåðü ñðàçó íàõîäèì èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (3.12):

∂ (− xz ) − ∂Ay = y , ∂y ∂z îòêóäà Ay = -yz + C3 (z). Ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ C3 (z) òàêæå ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ, è òîãäà ρ (3.13) A = {0,− yz ,− xz} . Ââèäó îòíîñèòåëüíîé ãðîìîçäêîñòè ïðîöåäóðû ïîñòðîåíèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà âñåãäà ñëåäóåò óáåæäàòüñÿ, ÷òî íàéäåííûé âåêòîðíûé ïîòåíöèàë äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ òàêîâûì, ò. å. ÷òî îí óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3.5). Åñòü åùå îäèí ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ρ A , êîòîðûé âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïðîùå ðàññìîòðåííîãî âûøå. Ïóñòü ρ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ V ñîëåíîèäàëüíîãî ïîëÿ a ñîäåðæèò íà÷àëî êîîðäèíàò Î, ïðè÷åì ëþáàÿ òî÷êà M(x,y,z) ýòîé îáëàñòè ìîæåò áûòü ñîåäèíåíà ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò îòðåçêîì ïðÿìîé, öåëèêîì ïðèíàäëåæàùèì V. Òîãäà îäèí èç âåêòîðíûõ ïîòåíöèàëîâ ïîëÿ ρ a ìîæåò áûòü íàéäåí ïî ôîðìóëå 1 ρ ρ ρ A( M ) = ∫ (a( M ′) × r )tdt , 0

(3.14)

ρ ãäå r — ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M (x, y, z), à òî÷êà M´(tx, ty, tz) ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà t îò 0 äî 1 ïðîáåãàåò îò òî÷êè Î äî Ì ïî ïðÿìîé.

76

ρ Ïðèìåð 4. Íàéòè âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A ñîëåíîèäàëüíîãî ρ ïîëÿ a = { y , z ,0} èç ïðèìåðà 3. Ðåøåíèå. Âû÷èñëèì ôóíêöèþ ïîä èíòåãðàëîì (3.14): ρ ρ ρ ex ey ez ρ ρ ρ ρ ρ t(a( M ′ ) × r ) = t ty tz 0 = t 2 z 2ex − t 2 yzey + t 2( y 2 − xz )ez . x y z

Òîãäà

ρ 1 A( x, y, z ) = {z 2,− yz, y 2 − xz} . 3 Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïîëó÷èëñÿ íåñêîëüêî áîëåå ãðîìîçäêèì, ÷åì (3.13), íî óðàâíåíèþ (3.5) îí óäîâëåòâîðÿåò. Ïîêàæåì, ÷òî âåêòîðíûå ïîòåíöèàëû (3.13) è òîëüêî ÷òî íàéäåííûé îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íà ãðàäèåíò íåêîòîðîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè ψ, ò. å. ÷òî èõ ðàçíîñòü 1 2 2 2  1  3 z , 3 yz,  3 y 2 + 3 xz  = ∇ψ .   Ïîñêîëüêó îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ òàêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé, òî äëÿ ïîòåíöèàëüíîñòè ýòîãî ïîëÿ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åãî ðîòîð áûë ðàâåí íóëþ. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî òàê. Âïðî÷åì, ýòîò ðåçóëüòàò ñëåäóåò è èç òîãî, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ïîëåé A1 è A2 rot( A1 − A2 ) = rot A1 − rot A2 , à åñëè îáà îíè ÿâëÿþòñÿ ρ âåêòîðíûìè ïîòåíöèàëàìè îäíîãî è òîãî æå ïîëÿ a , òî ïîëå ρ ρ ( A1 − A2 ) áåçâèõðåâîå, à çíà÷èò, îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå ρ ρ A1 − A2 = ∇ψ .

Çàäà÷è 3.18. Òî÷å÷íûé ýëåêòðè÷åñêèé (èëè ìàãíèòíûé) äèïîëü ñîçäàåò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðè÷åñêîå (èëè ìàãíèòíîå) ïîëå ρ ρ ρ ρ (p⋅r) ρ p a =3 5 r − 3 , r r

77

ρ ãäå p — ìîìåíò äèïîëÿ, ïîñòîÿííûé âåêòîð. Óñòàíîρ âèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ïîëå a ñîëåíîèäàëüíûì. 3.19. Ðàâíîìåðíî çàðÿæåííàÿ ñôåðà ðàäèóñîì R, âðàùàþùàÿñÿ âîêðóã ñâîåé îñè, èìååò ìàãíèòíûé äèïîëüρ íûé ìîìåíò p (ïîñòîÿííûé âåêòîð). Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë òàêîé ñôåðû îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì:

ρ ( pρ × rρ) / R3 при r < R, A=  ρ ρ 3 ( p × r ) / r при r > R.

Ïîêàçàòü, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå ýòîé ñôåðîé,

ρ 2 pρ / R3 при r < R, B= ρ ρ ρ 5 ρ 3 3( p ⋅ r )r / r − p / r при r > R.

• Ïðîöåäóðîé, ïðåäñòàâëåííîé ôîðìóëàìè (3.7)—(3.11), ïîñòðîèòü âåêòîðíûå ïîòåíöèàëû ñëåäóþùèõ ñîëåíîèäàëüíûõ ïîëåé: ρ ρ 3.20. a = {111 3.22. a = {2 y ,− z ,2 x} ; , , }; ρ ρ 3.21. a = { y , z , x} ; 3.23. a = {0,0, ex − e y} ; ρ 3.24. a = {x 2, y 2,−2 z( x + y )} . ρ 3.25. Âåêòîðíûìè ïîòåíöèàëàìè ïîëÿ a = {0,0,2ω} ÿâëÿþòρ ñÿ: A1 = {−ωy, ωx,0} — ïîëå ñêîðîñòåé ÷àñòèö òâåðäîãî òåëà, âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã îñè z ñ óãëîâîé ñêîðîñρ òüþ ω (çàäà÷à 2.112); A2 = {0,2ωx ,0} — ïîëå ñêîðîñòåé ÷àñòèö â ïîòîêå æèäêîñòè (â ðåêå), òåêóùåé âäîëü îñè y (çàäà÷à 2.113). Ïîêàçàòü, ÷òî ýòè âåêòîðíûå ïîòåíöèàëû îòëè÷àþòñÿ íà ãðàäèåíò íåêîòîðîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè ψ, è íàéòè åå. ρ ρ 3.26. Íàéòè âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ a = r = {x , y , z} . 3.27. Ïî áåñêîíå÷íî äëèííîìó òîíêîìó ïðîâîäó, ïðîòÿíóòîìó âäîëü îñè z, òå÷åò òîê i, êîòîðûé ñîçäàåò â ïðîñòðàíñòâå ìàãíèòíîå ïîëå

78

ρ µi y x  B = 0 − 2 , 2 ,0 , 2π  ρ ρ  2 2 2 ãäå ρ = x + y , µ0 — ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Äîêàçàòü ñîëåíîèäàëüíîñòü ýòîãî ïîëÿ è ïðîöåäóðîé (3.7)— (3.11) ïîñòðîèòü åãî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë. 3.28. Áåñêîíå÷íî äëèííàÿ ïðÿìàÿ íèòü, ïðîòÿíóòàÿ âäîëü îñè z, íåñåò çàðÿä, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûé ïî åå äëèíå ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ γ. Òàêàÿ íèòü ñîçäàåò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ρ γ x y  , ,0 E= 2πε0  ρ 2 ρ 2  , ãäå ρ2 = x2 + y2, ε0 — ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ. Äîêàçàòü ñîëåíîèäàëüíîñòü ýòîãî ïîëÿ è ïðîöåäóðîé (3.7)— (3.11) ïîñòðîèòü åãî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë. Âû÷èñëèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë òàêæå ïî ôîðìóëå (3.14). Çàìå÷àíèå. Íà ïðàêòèêå äëÿ îïèñàíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ âåêòîðíûé ïîòåíöèàë íå ïðèìåíÿåòñÿ, ïîñêîëüêó òàêèå ïîëÿ ìîãóò áûòü îïèñàíû áîëåå ïðîñòûì ñïîñîáîì — ñ ïîìîùüþ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà. 3.29.  áåñêîíå÷íîì ïî îñÿì y è z ñëîå, îãðàíè÷åííîì ïëîñêîñòÿìè x = d è x = -d, â íàïðàâëåíèè îñè z òå÷åò ýëåêòðè÷åñêèé òîê. Ìàãíèòíîå ïîëå ýòîãî òîêà èìååò âèä

µ j{0,x,0} при − d ≤ x ≤ d , ρ  0 B = µ0 j{0,d ,0} при x > d, µ j{0,−d ,0} при x < − d ,  0 ãäå j — ïëîòíîñòü òîêà â ñëîå, µ0 — ìàãíèòíàÿ ïîñòîρ ÿííàÿ. Ïîêàçàòü, ÷òî òàêîå ïîëå B ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì, è ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû (3.7)—(3.11) ïîñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ýòîãî ïîëÿ âíóòðè è âíå ñëîÿ, íåïðåðûâíûé íà åãî ãðàíèöàõ.

79

ρ 3.30. Íàéòè âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîãî ñëîÿ, îïèñàííîãî â çàäà÷å 3.16. • Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3.14), íàéòè âåêòîðíûå ïîòåíöèàëû ñëåäóþùèõ ïîëåé, ïðåäâàðèòåëüíî óáåäèâøèñü â èõ ñîëåíîèäàëüíîñòè: ρ ρ 3.33. a = {6 x ,−15 y,9 z} ; 3.31. a = {111 , , }; ρ ρ 3.32. a = { y , z , x} ; 3.34. a = {0,2 cos( xz ),0} . 3.35. Äîêàçàòü, ÷òî îäèí èç âåêòîðíûõ ïîòåíöèàëîâ îäíîρ ρ ρ ρ ðîäíîãî ïîëÿ a ïðèâîäèòñÿ ê âèäó A = (a × r ) / 2 . Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåñòè ïóòåì ïîñòðîåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà. ρ 3.36. Ïóñòü p — ïîñòîÿííûé âåêòîð. Äîêàçàòü ñîëåíîèρ ρ ρ äàëüíîñòü ïîëÿ a = p × r è ïî ôîðìóëå (3.14) íàéòè åãî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë. • Äîêàçàòü ñîëåíîèäàëüíîñòü ïåðå÷èñëåííûõ íèæå ïîëåé, â ρ ρ êîòîðûõ r — ðàäèóñ-âåêòîð, p — ïîñòîÿííûé âåêòîð, u(r) — çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, è ïîêàçàòü, ÷òî èõ âåêòîðíûå ïîòåíöèàëû ρ ρ ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå A = f ( r ) p , ãäå f (r) — íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ ðàññòîÿíèÿ òî÷êè äî íà÷àëà êîîðäèíàò; íàéòè êîíêðåòíûé âèä ôóíêöèè f (r) äëÿ ýòèõ ïîëåé: ρ ρ ρ ρ ρ ρ 3.39. a = ( r × p ) / r ; 3.37. a = r ( r × p ) ; ρ ρ ρ ρ ρ ρ 3.38. a = r × p ; 3.40. a = ( r × p ) / r 3 ; ρ ρ ρ ρ ρ 3.41. a = u( r )r × p ; 3.42. a = ∇u × p .

3.3. Ëàïëàñîâî ïîëå. Ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè ρ Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíîå ïîëå a ( x , y, z ) íàçûâàåòñÿ ëàïëàñîâûì â îáëàñòè V, åñëè â ëþáîé òî÷êå ýòîé îáëàñòè ρ ρ div a = 0 , rot a = 0 . Òàêèì îáðàçîì, â îäíîñâÿçíîé îáëàñòè ëàïëàñîâî ïîëå ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî ïîòåíöèàëüíûì è ñîëåíîèäàëüíûì.

80

Èç ñâîéñòâà ïîòåíöèàëüíîñòè ëàïëàñîâà ïîëÿ ñëåäóåò, ÷òî â îäíîñâÿçíîé îáëàñòè îíî ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñêàëÿðíûì ρ ïîòåíöèàëîì u, óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèþ a = − grad u . Ïîäñòàâρ ëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå div a = 0 , ïîëó÷àåì divgrad u = 0 èëè

∆u = 0 ,

(3.15)

∂2 ∂2 ∂2 ãäå ∆ = ∇2 = ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 — îïåðàòîð Ëàïëàñà (ëàïëàñèàí). Óðàâíåíèå (3.15) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ëàïëàñà. Îïðåäåëåíèå. Ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ u(x,y,z), äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ è óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà, íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé. Ïðèìåðû ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé: • u = C; • u = ax + by + cz + d; • u = xyz; • u = xy + xz + yz; • u = x2 — y2. Ðåøåíèå âñåõ çàäà÷ íàñòîÿùåãî ðàçäåëà ïðåäïîëàãàåòñÿ â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ.

Çàäà÷è • Óñòàíîâèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè ãàðìîíè÷åñêèìè ñëåäóþùèå ñêàëÿðíûå ïîëÿ, â êîòîðûõ

ρ = x 2 + y2 , r = x 2 + y2 + z 2 : 3.43. u = ln ρ ;

3.45. u = ln r ;

3.44. u = 1 / ρ ; 3.46. u = 1 / r . `3.47. Çàêîí Ôóðüå óòâåðæäàåò, ÷òî ïëîòíîñòü òåïëîâîãî ρ ρ ïîòîêà j = en dQ / ( dSdt ) â äàííîé òî÷êå âåùåñòâà ïðîïîðöèîíàëüíà ãðàäèåíòó òåìïåðàòóðû â ýòîé òî÷êå: ρ j = − λ∇T , ãäå λ — êîýôôèöèåíò, íàçûâàåìûé òåïëîïðîâîäíîñòüþ âåùåñòâà. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè â îá-

81

3.48.

3.49. 3.50. 3.51. 3.52. 3.53. 3.54.

3.55.

ëàñòè V íåò èñòî÷íèêîâ òåïëà, òî òåìïåðàòóðíîå ïîëå T (x, y, z) ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèì â ýòîé îáëàñòè. Âû÷èñëèòü ∆r : a) íà ïëîñêîñòè; á) â ïðîñòðàíñòâå. Âû÷èñëèòü ∆r 2 : Âû÷èñëèâ ∆r n, ïîêàçàòü, ÷òî ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ u = rn ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé òîëüêî ïðè n = -1. ρ ρ Ïðè êàêîé ôóíêöèè u(r) âåêòîðíîå ïîëå a = u( r )r áóäåò ëàïëàñîâûì â ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ? Âû÷èñëèâ ∆u (ρ), íàéòè îáùèé âèä ãàðìîíè÷åñêîãî öèëèíäðè÷åñêîãî ïîëÿ u (ρ). Âû÷èñëèâ ∆u (r), íàéòè îáùèé âèä ãàðìîíè÷åñêîãî ñôåðè÷åñêîãî ïîëÿ u (r). Äîêàçàòü, ÷òî åñëè u è v — äâà ñêàëÿðíûõ ïîëÿ, òî ∆(uv) = u∆v + v∆u + 2 (∇u⋅∇v). Äîêàçàòåëüñòâî âûïîëíèòü êîîðäèíàòíûì è ñèìâîëè÷åñêèì ìåòîäàìè. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå u (x, y, z) ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèì â îáëàñòè V, îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòüþ S, òî

∂u

∫∫ ∂n dS = 0 , S

ãäå ∂/∂n — ïðîèçâîäíàÿ ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S. 3.56. Ïóñòü u (x, y, z) — äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ â îáëàñòè V, îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòüþ S. Äîêàçàòü, ÷òî

∂u

∫∫ ∂n dS = ∫∫∫ ∆udV S

V

.

(3.16)

3.57. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé îáëàñòè V, îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòüþ S,

∂

∫∫ ∂n (r 2 )dS = 6V , S

ãäå ∂/∂n — ïðîèçâîäíàÿ ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S.

82

3.58. Äîêàçàòü, ÷òî

∂  1

0, если поверхность S не охватывает то ÷ ку (0,0,0),

∫∫ ∂n  r  dS = - 4π , если поверхность S охватывает то ÷ ку (0,0,0).

3.59. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå u (x, y, z) ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèì â îáëàñòè V, îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòüþ S, òî

∂u

∫∫ u ∂n dS = ∫∫∫ (∇u)2 dV , S

V

ãäå ∂/∂n — ïðîèçâîäíàÿ ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S. ρ ρ ρ 3.60. Äîêàçàòü, ÷òî ∆a = grad(div a ) − rot(rot a ) , ρ ãäå ∆a = {∆( a x ), ∆( a y ), ∆( a z )} . ρ ρ ρ 3.61. Âû÷èñëèòü ∆( c × r ) , ãäå c — ïîñòîÿííûé âåêòîð. Çàäà÷ó ðåøèòü: a) êîîðäèíàòíûì ìåòîäîì; á) ñèìâîëè÷åñêèì ìåòîäîì, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (3.17). ρ ρ 3.62. Äîêàçàòü, ÷òî ∆( u( r )r ) = ( u ′′ + 4u ′ / r )r .

83

4. ÊÐÈÂÎËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒÛ 4.1. Ïîíÿòèå î êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ Îïðåäåëåíèå. Òðîéêà ÷èñåë (q1, q2, q3), âûáèðàåìàÿ ïî êàêîìó-ëèáî ïðàâèëó, íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè Ì, åñëè ìåæäó ýòîé òðîéêîé è ïîëîæåíèåì òî÷êè Ì â ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Åñëè ýòè òðè ÷èñëà îïðåäåëèòü êàê ðàññòîÿíèÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè çíàêàìè îò òî÷êè Ì äî òðåõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòåé, òî, ïîëîæèâ q1 = x, q2 = y, q3 = z , ïîëó÷èì ïðÿìîóãîëüíûå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè Ì. Îäíàêî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïîëîæåíèå òî÷êè Ì â ïðîñòðàíñòâå óäîáíåå çàäàâàòü êàêîé-ëèáî äðóãîé òðîéêîé ÷èñåë, áîëåå ñîîòâåòñòâóþùåé ñèììåòðèè êîíêðåòíîé çàäà÷è. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè ñðåäè òàêèõ êîîðäèíàòíûõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ.  öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëîæåíèå òî÷êè Ì â ïðîñòðàíñòâå çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé òðîéêîé ÷èñåë: • q1 = ρ — ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî îñè z (ρ ≥ 0); • q2 = ϕ — óãîë ïîâîðîòà ïîëóïëîñêîñòè (ρ, z) îòíîñèòåëüíî îñè x (0 ≤ ϕ ≤ 2π); • q3 = z — ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî ïëîñêîñòè (x, y) (-∞ < z < ∞). Ñâÿçü öèëèíäðè÷åñêèõ è äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò òî÷êè âèäíà èç ðèñ. 16: x = ρ cos ϕ ,   y = ρ sin ϕ , z = z. 

(4.1)

 ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëîæåíèå òî÷êè Ì â ïðîñòðàíñòâå çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé òðîéêîé ÷èñåë: • q1 = r — ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî íà÷àëà êîîðäèíàò (r ≥ 0); • q2 = θ — óãîë ìåæäó ëó÷îì r è îñüþ z (ïîëÿðíûé óãîë) (0 ≤ θ ≤ π); 84

• q3 = ϕ — óãîë ïîâîðîòà ïîëóïëîñêîñòè (r, z) îòíîñèòåëüíî îñè x (àçèìóòàëüíûé óãîë) (0 ≤ ϕ < 2π). Ñâÿçü ñôåðè÷åñêèõ è äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò òî÷êè ïðîñëåæèâàåòñÿ íà ðèñ. 17: x = r sin θ cos ϕ ,   y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ . 

(4.2)

Ðèñ. 16 Ðèñ. 17 Èç îïðåäåëåíèÿ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ èç âåëè÷èí q1, q2, q3 äîëæíà ÿâëÿòüñÿ ôóíêöèåé ðàäèóñà-âåêρ ρ òîðà r òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå. À òàê êàê ðàäèóñ-âåêòîð r âïîëíå îïðåäåëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûìè äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè, òî êàæäàÿ èç îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òðåõ äåêàðòîâûõ: q1 = q1 (x, y, z), q2 = q2 (x, y, z), q3 = q3 (x, y, z). È îáðàòíî — êàæäàÿ èç òðåõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òðåõ îáîáùåííûõ: x = x (q1, q2, q3), y = y (q1, q2, q3), z = z (q1, q2, q3). Äëÿ öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàò ïîñëåäíèå ïåðåõîäû âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè (4.1) è (4.2). Îïðåäåëåíèå. Ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ, íà êîòîðûõ êàæäàÿ èç êîîðäèíàò èìååò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå: q1 (x, y, z) = C1,

85

q2 (x, y, z) = C2, q3(x,y,z) = C3 — íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè â ñèñòåìå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò.  öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå: • ρ = const — êðóãîâûå öèëèíäðû ñ îñüþ, ëåæàùåé íà îñè z; • ϕ = const — ïîëóïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îñü z ïîä óãëîì ϕ ê îñè x; • z = const — ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè z .  ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå: • r = const — ñôåðû ñ öåíòðîì â òî÷êå Î; • θ = const — êðóãîâûå ïîëóêîíóñû ñ âåðøèíîé â òî÷êå Î; îñè ýòèõ ïîëóêîíóñîâ ñîâïàäàþò ñ îñüþ z, à îáðàçóþùèå èìåþò óãîë θ ñ îñüþ z; • ϕ = const — ïîëóïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îñü z ïîä óãëîì ϕ ê îñè x. Ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ êàæäîé ïàðû êîîðäèíàòíûõ ïîâåðõíîñòåé îáðàçóþò êîîðäèíàòíûå ëèíèè â ñèñòåìå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò. Îïðåäåëåíèå. Ëèíèè â ïðîñòðàíñòâå, âäîëü êîòîðûõ èçìåíÿåòñÿ òîëüêî êîîðäèíàòà q1, íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè (q1); àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ êîîðäèíàòíûå ëèíèè (q2) è (q3).  öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå: • ëèíèè (ρ) — ëó÷è, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè z ñ íà÷àëîì íà ýòîé îñè; • ëèíèè (ϕ) — îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè íà îñè z, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ýòîé îñè; • ëèíèè (z) — ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå îñè z (ðèñ. 18).  ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå: • ëèíèè (r) — ëó÷è, âûõîäÿùèå èç òî÷êè Î; • ëèíèè (θ) — ìåðèäèàíû íà ñôåðå; • ëèíèè (ϕ) — ïàðàëëåëè íà ñôåðå (ðèñ. 19).

86

Ðèñ. 18 Ðèñ. 19 Çàìå÷àíèå. Îáîáùåííûå êîîðäèíàòû íå îáÿçàòåëüíî èìåþò ðàçìåðíîñòü äëèíû, îíè ìîãóò áûòü è óãëàìè; íî êîîðäèíàòíûå ëèíèè — ýòî âñåãäà îáúåêòû, ýëåìåíòû êîòîðûõ èìåþò ðàçìåðíîñòü äëèíû. Ïîñêîëüêó íåêîòîðûå êîîðäèíàòíûå ëèíèè â öèëèíäðè÷åñêîé è ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìàõ íå ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè, òî òàêèå êîîðäèíàòíûå ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ êðèâîëèíåéíûìè. ρ ρ ρ Îïðåäåëåíèå. Òðîéêà åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ e1 , e2 , e3 , íàïðàâëåííûõ ïî êàñàòåëüíûì ê ñîîòâåòñòâóþùèì êîîðäèíàòíûì ëèíèÿì (q1), (q2), (q3) â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ ïåðåìåííûõ q1, q2, q3, íàçûâàåòñÿ áàçèñîì êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû (q1, q2, q3). Íóìåðàöèÿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ âåäåòñÿ òàê, ÷òîáû ýòà òðîéêà áûëà ïðàâîé. ρ ρ ρ Åñëè â äåêàðòîâîé ñèñòåìå áàçèñíûå âåêòîðû e x , e y , e z ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè âî âñåõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà, òî â êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå îíè âñå èëè ÷àñòü èç íèõ áóäóò ìåíÿòü ñâîå íàïðàâëåíèå ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé òî÷êè ê äðóãîé, ò. å. áàçèñ â êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå áóäåò ïîäâèæíûì. Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, åñëè â ëþáîé òî÷êå Ì áàçèñíûå âåêòîρ ρ ρ ðû e1 , e2 , e3 ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû.  îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàòíûå ëèíèè áóäóò âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû â ëþáîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.

87

Öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðàìè îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ ñèñòåì êîîðäèíàò. Áàçèñîì öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ òðîéêà åäèíè÷íûõ âçàèìíî ρ ρ ρ îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ (îðòîâ) eρ , eϕ , e z (ðèñ. 18), à áàçèñîì ρ ρ ρ ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû — òðîéêà er , eθ , eϕ (ðèñ. 19). Îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé âñÿêîé êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû Ëàìý H1, H2, H3, âõîäÿùèå â ðàçëè÷íûå âûðàæåíèÿ è îïåðàöèè âåêòîðíîãî àíàëèçà â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ. Äëÿ ýëåìåíòîâ ãåîìåòðèè â îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ (q1, q2, q3) ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ: 1) ýëåìåíòû äëèí äóã êîîðäèíàòíûõ ëèíèé: dli = Hidqi (i = 1, 2, 3); 2) ýëåìåíòû ïëîùàäè êîîðäèíàòíûõ ïîâåðõíîñòåé: dS1 = dl2dl3 = H2H3dq2dq3, dS2 = dl1dl3 = H1H3dq1dq3, dS3 = dl1dl2 = H1H2dq1dq2; 3) ýëåìåíò îáúåìà: dV = dl1dl2dl3 = H1H2H3dq1dq2dq3.  ÷àñòíîñòè, â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (ρ, ϕ, z) êîýôôèöèåíòû Ëàìý H1 = 1, H2 = ρ, H3 = 1, è òîãäà:

dl ρ = dρ , dlϕ = ρdϕ , dl z = dz ; dS ρ = ρdϕdz , dSϕ = dρdz , dS z = ρdρdϕ ; dV = ρdρdϕdz .  ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (r, θ, ϕ) êîýôôèöèåíòû Ëàìý H1 = 1, H2 = ρ, H3 = r sinθ, è òîãäà: dl r = dr , dlθ = rdθ , dlϕ = r sin θ dϕ ; dSr = r 2 sin θ dθ dϕ , dSθ = r sin θ drdϕ , dS ϕ = rdrdθ ; dV = r 2 sin θ drdθdϕ .

4.2. Ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà Ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ âåêòîðíûõ ïîëåé èç äåêàðòîâîé ñèñòåìû â êàêóþ-ëèáî îáîáùåííóþ (èëè íàîáîðîò) íåîáõîäèìî çàäàâàòü íå òîëüêî ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò òèïà (4.1)

88

èëè (4.2), íî è ôîðìóëû ïåðåõîäà èç îäíîãî áàçèñà â äðóãîé: ρ ρ ρ ρ ρ ρ ( e x , e y , e z ) ↔ ( e 1 , e2 , e3 ) . Â îáùåì âèäå ïðåîáðàçîâàíèå áàçèñà äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â áàçèñ îáîáùåííîé ñèñòåρ ρ ρ ìû ( e 1 , e2 , e3 ) äàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì: ρ 1  ∂x ρ ∂y ρ ∂z ρ  ek = e + e + e  Hk  ∂qk x ∂qk y ∂qk z  , k = 1, 2, 3,

(4.3)

ãäå H1, H2, H3 — êîýôôèöèåíòû Ëàìý äàííîé îáîáùåííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû ïîäñòàíîâêà (4.1) â (4.3) äàåò: ρ ρ ρ eρ = ex cos ϕ + ey sin ϕ , ρ ρ ρ eϕ = −ex sin ϕ + ey cos ϕ , ρ ρ e = e . z z

(4.4à)

Îòñþäà óæå ëåãêî ïîëó÷èòü è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå: ρ ρ ρ ex = eρ cos ϕ − eϕ sin ϕ , ρ ρ ρ ey = eρ sin ϕ + eϕ cos ϕ , eρ = eρ . z z

(4.4á)

ρ ρ ρ Ïðèìåð. Çàïèñàòü ïîëå a ( x , y , z ) = {− y , x ,0} = − ye x + xe y â öèëèíäðè÷åñêîì áàçèñå. Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (4.1) è (4.4á), ïîëó÷àåì ρ ρ a ( ρ, ϕ , z ) = ρeϕ . Àíàëîãè÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñîâ ìåæäó ñôåðè÷åñêîé è äåêàðòîâîé ñèñòåìàìè êîîðäèíàò èìåþò áîëåå ãðîìîçäêèé âèä. ρ Îäíàêî åñëè âåêòîðíîå ïîëå a ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷-

ρ

ρ

íûì, ò. å. ïðåäñòàâèìî â âèäå a = f ( r ) r , òî â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ îíî èìååò òîëüêî ðàäèàëüíóþ êîìïîíåíòó: ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ a = a ( r ) = f ( r )rer .  ÷àñòíîñòè, E = kr / r 3 = ker / r 2 , F = − kr = − krer .

89

Çàäà÷è • Ïðåäñòàâèòü â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ñëåäóþùèå âåêòîðíûå ïîëÿ, çàäàííûå â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ. 4.1. Ìàãíèòíîå ïîëå ïðÿìîãî òîêà ρ k B = 2 {− y, x,0} . ρ

4.2. Àçèìóòàëüíî-öèëèíäðè÷åñêîå ïîëå îáùåãî âèäà ρ a = f ( ρ ){− y, x ,0} . 4.3. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïðÿìîé íèòè ρ k E = 2 {x, y,0} . ρ

4.4. Ðàäèàëüíî-öèëèíäðè÷åñêîå ïîëå îáùåãî âèäà ρ a = f ( ρ ){x , y,0} . 4.5. Ïðîäîëüíîå îñåñèììåòðè÷íîå (îòíîñèòåëüíî îñè z) ïîëå ρ ρ yρ xρ a = f1( ρ, z ) ex + f1( ρ, z ) ey + f2 ( ρ, z )ez . ρ ρ

4.3. Îïåðàöèè âåêòîðíîãî àíàëèçà â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ 4.3.1. Óðàâíåíèÿ âåêòîðíûõ ëèíèé Ïóñòü â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ (q1, q2, q3) çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå ρ ρ ρ ρ (4.5) a = a1(q1, q2, q3 )e1 + a2(q1, q2 , q3 )e2 + a3(q1, q2, q3 )e3 . Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âåêòîðíûõ ëèíèé ýòîãî ïîëÿ èìåþò âèä: H1dq1 H2dq2 H3dq3 = = a1 a2 a3 ,

90

ãäå H1, H2, H3 — êîýôôèöèåíòû Ëàìý äàííîé ñèñòåìû êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò.  ÷àñòíîñòè, â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (q1 = ρ, q2 = ϕ, q3 = z; H1 = 1, H2 = ρ, H3 = 1):

ρdϕ dρ dz = = a1( ρ, ϕ , z ) a2 ( ρ, ϕ , z ) a3( ρ, ϕ , z ) ; â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (q1 = r, q2 = θ, q3 = ϕ; H1 = 1, H2 = r, H3 = r sinθ): r sin θdϕ dr rdθ = = a1(r, θ , ϕ ) a2(r, θ , ϕ ) a3(r, θ , ϕ ) .

ρ ρ ρ Ïðèìåð 1. Íàéòè âåêòîðíûå ëèíèè ïîëÿ a = eρ + ϕeϕ = {1, ϕ ,0} . Ðåøåíèå. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âåêòîðíûõ ëèíèé dρ ρdϕ dz = = ϕ 1 0 .

Îòñþäà z = C1, ρ = C2ϕ. Ýòî ñïèðàëè Àðõèìåäà â ïëîñêîñòÿõ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñè z . 4.3.2. Ãðàäèåíò Ïóñòü çàäàíî ñêàëÿðíîå ïîëå u (q1, q2, q3). Òîãäà åãî ãðàäèåíò  1 ∂u 1 ∂u 1 ∂ u  ∇u =  , , .  H1 ∂q1 H2 ∂q2 H3 ∂q3 

 ÷àñòíîñòè, â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ:

 ∂u 1 ∂u ∂u  ∇u =  , , ; ∂æ æ ∂ϕ ∂z  â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ:

  ∇u = ∂u , 1 ∂u , 1 ∂u  . ∂ ∂θ θ ∂ϕ sin r r r  

91

(4.6.)

Çàäà÷è 4.6. Íàéòè âåêòîðíûå ëèíèè ïîëÿ ρ θ eρ + sin θ eρ a = 2 cos . r r3 r3 θ ρ ρ ρ 4.7. Íàéòè âåêòîðíûå ëèíèè ïîëÿ a = ρeϕ + bez , ãäå b — ÷èñëî. 4.8. Íàéòè ñåìåéñòâî ëèíèé áûñòðåéøåãî âîçðàñòàíèÿ ïîëÿ u = r 2 cosθ. 4.9. Íàéòè íàïðàâëåíèå áûñòðåéøåãî âîçðàñòàíèÿ ïîëÿ cos θ â òî÷êå Ì (1, π/2, 0). r2 4.10. Âû÷èñëèòü ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = r 2 cosθ. 4.11. Âû÷èñëèòü ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = ρ + zcosϕ. u=−

4.3.3. Äèâåðãåíöèÿ Ïóñòü çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå (4.5). Òîãäà åãî äèâåðãåíöèÿ ρ div a =

 ∂ (a1 H2 H3 ) ∂ (a2 H 1H3 ) ∂ (a3 H 1H2 )  1 + + . H1 H2 H3  ∂q1 ∂q2 ∂q3

(4.7)

 ÷àñòíîñòè, â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (q1 = ρ, q2 = ϕ, q3 = z; H1 = 1, H2 = ρ, H3 = 1): ρ a ∂a 1 ∂a2 ∂a3 + div a = 1 + 1 + ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ;

â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (q1 = r, q2 = θ, q3 = ϕ; H1 = 1, H2 = r, H3 = r sinθ): ρ 1 ∂ (a1r 2 ) 1 ∂ (a2 sin θ ) 1 ∂a3 div a = 2 + + ∂r ∂θ r r sin θ r sin θ ∂ϕ .

92

4.3.4. Ðîòîð Ïóñòü çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå (4.5). Òîãäà åãî ðîòîð ρ e1 H2 H3 ρ ∂ rot a = ∂q1 a1 H1

ρ e2 H1 H3 ∂ ∂q1 a2 H2

ρ e3 H1 H2 ∂ ∂q3 . a3 H3

 ÷àñòíîñòè, â öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ: ρ eρ ρ ρ ∂ rot a = ∂ρ a1

ρ eϕ

∂ ∂ϕ a2 ρ

ρ ρ ez er ρ r 2 sin θ ρ ∂ ∂ rot a = ∂z ; ∂r a3 a1

ρ eθ r sin θ ∂ ∂θ a2r

ρ eϕ r ∂ ∂ϕ . a3r sin θ

Çàäà÷è ρ ρ ρ 4.12. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ ïîëÿ a = 2 cos θ r 2 er + sin θ eθ . ρ ρ ρ 4.13. Âû÷èñëèòü ðîòîð ïîëÿ a = cos θ r 3 er + sin θ r 3 eθ . 4.14. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ è ðîòîð ïîëÿ ρ ρ ρ a = 2 cos θ r 3 er + sin θ r 3 eθ . ρ ρ ρ ρ 4.15. Âû÷èñëèòü ðîòîð ïîëÿ a = cos ϕ eρ − sin ϕ ρ eϕ + ρ 2ez . 4.16. Âû÷èñëèòü ðîòîð îñåñèììåòðè÷íîãî ïîëÿ ρ ρ ρ a = ρ 2 zeρ − ρz 2ez . 4.17. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ è ðîòîð ïîëÿ ρ a = {1 ρ, ρ cos ϕ , z sin ϕ} . ρ ρ ρ 4.18. Êàæäûé èç áàçèñíûõ âåêòîðîâ eρ , eϕ , ez öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò çàäàåò âåêòîðíîå ïîëå. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ è ðîòîð êàæäîãî èç ýòèõ ïîëåé.

93

ρ ρ ρ 4.19. Êàæäûé èç áàçèñíûõ âåêòîðîâ er , eθ , eϕ ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò çàäàåò âåêòîðíîå ïîëå. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ è ðîòîð êàæäîãî èç ýòèõ ïîëåé. ρ 4.20. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ ïîëÿ a = ∇(cos θ r 2 ) . 4.21. Íàéòè ôóíêöèþ f (r ) , ïðè êîòîðîé öåíòðàëüíîå ïîëå ρ ρ a = f (r )er áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì. 4.22. Íàéòè ôóíêöèþ f ( ρ ) , ïðè êîòîðîé ðàäèàëüíî-öèρ ρ ëèíäðè÷åñêîå ïîëå a = f ( ρ )eρ áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì. 4.23. Íàéòè ôóíêöèþ aϕ ( ρ, ϕ , z ) , ïðè êîòîðîé êîëüöåâîå ρ ρ öèëèíäðè÷åñêîå ïîëå a = aϕ eϕ áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì. 4.24. Íàéòè ôóíêöèþ f ( ρ, z ) , ïðè êîòîðîé ïðîäîëüíîå îñåñèììåòðè÷íîå (îòíîñèòåëüíî îñè z) ïîëå ρ ρ ρ a = ρzeρ + f ( ρ, z )ez áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì. 4.25. Íàéòè ôóíêöèþ f ( ρ, z ) , ïðè êîòîðîé ïðîäîëüíîå îñåñèììåòðè÷íîå (îòíîñèòåëüíî îñè z) ïîëå ρ ρ ρ a = ρ 2 zeρ + f ( ρ, z )ez áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì. 4.3.5. Âû÷èñëåíèå ïîòîêà Èñïîëüçîâàòü êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ρ ïîòîêà âåêòîðíîãî ïîëÿ a ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S öåëåñîîáðàçíî, êîãäà âñÿ ýòà ïîâåðõíîñòü èëè åå ÷àñòè ÿâëÿþòñÿ ó÷àñòêàìè êîîðäèíàòíûõ ïîâåðõíîñòåé äàííîé êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû.  ýòîì ρ ρ ñëó÷àå ïîâåðõíîñòíûå èíòåãðàëû ∫∫ a ⋅ dS ñâîäÿòñÿ ê äâîéíûì èëè òðîéíûì. Ýëåìåíòû ïëîùàäè dS ðàçëè÷íûõ êîîðäèíàòíûõ ïîâåðõíîñòåé â öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ïðèâåäåíû â êîíöå ðàçäåëà 4.1. ρ ρ ρ ρ Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = ρeρ + ϕeϕ + zez ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ öèëèíäðîì ρ = R è ïëîñêîñòÿìè z = 0 è z = h.

94

Ðåøåíèå. ×åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà Sáîê íåíóëåρ âîé ïîòîê ñîçäàåò òîëüêî ρ-êîìïîíåíòà ïîëÿ a , à ÷åðåç òîðöû Síèæ è Sâåðõ — òîëüêî z-êîìïîíåíòà, ñëåäîâàòåëüíî, ρ

ρ



    +  ∫∫ zdS  +  ∫∫ zdS  =  ρ = R  Sниж  z = 0  Sвер х  z = h 

∫∫ a ⋅ dS = ∫∫ aρ dS + ∫∫ az dS + ∫∫ az dS =  ∫∫ ρdS  S

S бок

S ниж

 Sбок

S ве р х

= R ∫∫ dS + 0 + h ∫∫ dS = 2πR2 h + πR2h = 3πR2h S бок

S ве р х

.

Ïðèìåð 2. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî ρ ρ âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = rer ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ âåðõíåé ïîëóñôåðîé r = R è ïëîñêîñòüþ z = 0. Ðåøåíèå. Òàê êàê íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû r = R, òî ïðè íåïîñðåäñòâåííîì âû÷èñëåíèè

∫∫ rdS = R ∫∫ dS = 2πR3 .

2πR 2

2πR 2

Ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî, ρ ρ ρ ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫∫ divadV . S

V

ρ À òàê êàê div(rer ) = 3 , òî ρ ρ ∫∫ a ⋅ dS = 3∫∫∫ dV = 3V = 2πR3 . S

V

Ïðèìåð 3. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî ρ ρ ρ âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = cos θ er + sin θ eθ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ âåðõíåé ïîëóñôåðîé r = R è ïëîñêîñòüþ θ = π/2. Ðåøåíèå. ρ ρ 1. Íåïîñðåäñòâåííî. Èíòåãðàë ∫∫ a ⋅ dS ðàçáèâàåòñÿ íà äâà: ïî ïîëóñôåðå Sñô è ïî «äíó» Säí, ïðè÷åì ÷åðåç ïîâåðõíîñòü Sñô ïîòîê ñîçäàåòñÿ òîëüêî êîìïîíåíòîé ar, à ÷åðåç ïîâåðõíîñòü Säí — òîëüêî êîìïîíåíòîé aθ:

95

ρ

ρ

∫∫ a ⋅ dS = ∫∫ cos θ dSr + ∫∫ sin θ dSθ , S

S сф

S дн

ãäå dSr = r 2sinθdθdϕ — ýëåìåíò ïëîùàäè êîîðäèíàòíîé ïîâåðõíîñòè r = const (ñôåðû), dSθ — ýëåìåíò ïëîùàäè êðóãà (äíà). À òàê êàê íà ýòîì êðóãå θ = π/2, òî âòîðîé èíòåãðàë ðàâåí ïëîùàäè «äíà», ò. å. πR2. Ïåðâûé æå èíòåãðàë ïðè r = const = R: π / 2 2π    ∫∫ cos θ dSr  = ∫ ∫ cos θ R2 sin θ dθ dϕ = πR2 .   S  r = R θ =0 ϕ =0 сф

Òàêèì îáðàçîì, îáùèé ïîòîê ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü Ô = 2πR 2. ρ 2. Ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî. Òàê êàê div a = (4 cos θ ) / r , à ýëåìåíò îáúåìà øàðà dV = r 2 sin θ dr dθ dϕ , òî ρ

ρ

ρ

∫∫ a ⋅ dS = ∫∫∫ divadV S

V

R π / 2 2π

= 4∫

∫ ∫

0 0

0

cos θ r 2 sin θ dr dθ dϕ = 2πR2 . r

Çàäà÷è 4.26. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âûρ ρ ρ ÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = ρ e ρ + zeϕ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ öèëèíäðîì ρ = R è ïëîñêîñòÿìè z = 0 è z = h. 4.27. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âûρ ρ ρ ρ ÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = ρ e ρ + ρϕ eϕ − 2zez ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ öèëèíäðîì ρ = R, ïîëóïëîñêîñòÿìè ϕ = 0 è ϕ = π/2 è ïëîñêîñòÿìè z = 0 è z = h. 4.28. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âûρ ρ ÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = re r ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ âåðõíåé ïîëóñôåðîé r = R è ïëîñêîñòüþ θ = π/2.

96

ρ ρ 4.29. Äîêàçàòü, ÷òî ïîòîê ïîëÿ a = er / r 2 ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S ðàâåí 4π, åñëè ïîâåðõíîñòü S îõâàòûâàåò íà÷àëî êîîðäèíàò, è ðàâåí íóëþ, åñëè íå îõâàòûâàåò. ρ ρ ρ 4.30. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r 2θ er + rθ eθ ÷åðåç âíåøíþþ ñòîðîíó âåðõíåé ïîëóñôåðû r = R. ρ ρ ρ 4.31. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = (2 cos θ er + sin θ eθ ) / r 3 ÷åðåç âíåøíþþ ñòîðîíó âåðõíåé ïîëóñôåðû r = R. 4.32. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âûρ ρ ρ ÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = cos θ e r − sin θ eθ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ âåðõíåé ïîëóñôåðîé r = R è ïëîñêîñòüþ θ = π/2. 4.33. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âûρ ρ ρ ÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = re r +r sin θ eθ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ âåðõíåé ïîëóñôåðîé r = R è ïëîñêîñòüþ θ = π/2. 4.34. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âûρ ρ ρ ÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r 2e r + R2r sin θ cos ϕ eϕ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ êîîðäèíàòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè r = R, θ = π/2, ϕ = 0, ϕ = π/2. 4.35. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ïëîùàäêà S ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñå÷åíèå öèëèíäðà ρ ≤ R, 0 ≤ z ≤ h ïëîñêîñòüþ y = R/2. ρ ρ Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = eρ / ρ ÷åðåç ýòó ïëîùàäêó. 4.36. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ïëîùàäêà S ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñå÷åíèå öèëèíäðè÷åñêîãî ñëîÿ R1 ≤ ρ ≤ R2, 0 ≤ z ≤ h ïîëóρ ρ ïëîñêîñòüþ ϕ = π/2. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = eϕ / ρ

÷åðåç ýòó ïëîùàäêó. 4.3.6. Âû÷èñëåíèå ðàáîòû Èñïîëüçîâàíèå êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò äëÿ âû÷èñëåíèÿ ρ ðàáîòû âåêòîðíîãî ïîëÿ a âäîëü êðèâîé L öåëåñîîáðàçíî, êîãäà âñÿ ýòà êðèâàÿ èëè åå ÷àñòè ÿâëÿþòñÿ ó÷àñòêàìè êîîðäèíàòíûõ ëèíèé äàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.  ýòîì ñëó÷àå êðèâîëèíåéíûå

97

èíòåãðàëû ñâîäÿòñÿ ê îáûêíîâåííûì. Ýëåìåíòû dl êîîðäèíàòíûõ ëèíèé â öèëèíäðè÷åñêîé è ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìàõ ïðèâåäåíû â êîíöå ðàçäåëà 4.1. Ïóñòü â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ (q1, q2, q3) çàäàíî âåêρ ρ ρ ρ ρ òîðíîå ïîëå a = a1e1 + a2e2 + a3e3 . Òîãäà îðèåíòèðîâàííûé ýëåìåíò dl ïðîèçâîëüíîé êðèâîé L â ýòèõ êîîðäèíàòàõ ρ ρ ρ ρ dl = H1dq1e1 + H2 dq2e2 + H3dq3e3 . ρ Ðàáîòà ïîëÿ a âäîëü êðèâîé L åñòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ρ ρ ∫ a ⋅ dl = ∫ (a1H1dq1 + a2 H2dq2 + a3 H3dq3 ) . L

L

 ÷àñòíîñòè, â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (q1 = ρ, q2 = ϕ, q3 = z; H1 = 1, H2 = ρ, H3 = 1): ρ ρ ∫ a ⋅ dl = ∫ (aρ dρ + ρaϕ dϕ + az dz ) ; L

L

â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (q1 = r, q2 = θ, q3 = ϕ; H1 = 1, H2 = r, H3 = r sinθ): ρ ρ ∫ a ⋅ dl = ∫ (ar dr + raθ dθ + r sin θ aϕ dϕ ) . L

L

Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü ðàáîòó (öèðêóëÿöèþ) ïîëÿ ρ ρ ρ a = rer + r sin θ eϕ ïî îêðóæíîñòè r = R, θ = π/2. Ðåøåíèå.

ρ ρ

∫ a ⋅ dl = ∫ (ar dr + r sin θ aϕ dϕ ) . Íî òàê êàê íà îêðóæíîñòè r = R, dr = 0, θ = π/2, òî ρ ρ

∫ a ⋅ dl L

2π

= 0 + R2 sin 2(π / 2) ∫ dϕ = 2πR2 . 0

ρ ρ ρ ρ Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = 4ρ sinϕ eρ + zeϕ + ρez îò òî÷êè (0, π/4, 0) äî òî÷êè (R, π/4, 0) ïî ïðÿìîé L: ϕ = π/4, z = 0. Ðåøåíèå. Íà äàííîé êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé z = 0, dz = 0, ϕ = π/4, dϕ = 0; è òîãäà

98

R ρ ρ ⋅ = ρ = a dl a d ρ ∫ ∫ ∫ 4ρ sin(π / 4)dρ = R 2 . L

L

0

Ïðèìåð 3. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ ρ ρ ρ ρ 3 a = ρ sinϕ eρ + ρzeϕ + ρ ez ïî êîíòóðó Ñ : ρ = sinϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π, z = 0. Ðåøåíèå. Íà êîíòóðå Ñ èìååì: z = 0, dz = 0, ρ = sin ϕ , dρ = cosϕdϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π. Òîãäà èñêîìàÿ öèðêóëÿöèÿ

ρ ρ

∫ a ⋅ dl

= ∫ (aρ dρ + ρaϕ dϕ + az dz ) = ∫ sin 2 ϕ cos ϕ dϕ + 0 + 0 =

π

sin 3 ϕ = 0. 3 0

Çàäà÷è ρ ρ ρ 4.37. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = rer + ( R + r )sin θ eϕ ïî îêðóæíîñòè r = R, θ = π/2 â íàïðàâëåíèè âîçðàñòàíèÿ óãëà ϕ. ρ ρ ρ ρ 4.38. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = ρ cos ϕ eρ + ρ sin ϕ eϕ + ρez ïî âèòêó âèíòîâîé ëèíèè L: ρ = R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, z = ϕ. ρ ρ ρ ρ 4.39. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = rer + 2θ cos ϕ eθ + ϕ eϕ ïî ïîëóîêðóæíîñòè L : r = R, ϕ = 0, 0 ≤ θ ≤ π. ρ ρ ρ 4.40. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = sin 2 θ er + sin 2θ eθ ïî ïðÿìîé L: ϕ = π/2, r = 1/(sinθ), π/6 ≤ θ ≤ π/2. ρ ρ ρ ρ 4.41. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = zeρ + ρeϕ + ρez ïî îêðóæíîñòè ρ = R, z = 0. ρ ρ ρ 4.42. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = cos ϕ eρ + ρ eϕ ïî êîíòóðó ρ = sinϕ (0 ≤ ϕ ≤ π). ρ ρ ρ 4.43. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ïîëÿ a = (2 cos θ er + sin θ eθ ) / r 3 ïî ïîëóîêðóæíîñòè L : r = R, ϕ = 0, 0 ≤ θ ≤ π.

4.3.7. Âû÷èñëåíèå ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà Ïðåæäå ÷åì âû÷èñëÿòü ïîòåíöèàë âåêòîðíîãî ïîëÿ aρ â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ, íåîáõîäèìî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî ïîëå

99

äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, ò. å. ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå êàêîãî-ëèáî êðèòåðèÿ ïîòåíöèàëüíîñòè (ðàçä.3.1).  ÷àñòρ íîñòè, åñëè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ a îäíîñâÿçíà, òî äëÿ åãî ρ ïîòåíöèàëüíîñòè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû rot a = 0 â ëþáîé òî÷êå åãî îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. ρ Ïóñòü óñòàíîâëåíî, ÷òî çàäàííîå âåêòîðíîå ïîëå a(q1, q2 , q3 ) ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì. Òîãäà åãî ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë u (q1, q2, q3) ìîæíî íàéòè ñëåäóþùèìè ñïîñîáàìè. Ñïîñîá 1. Ñîñòàâëåíèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà. Òàê êàê ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ñêàëÿðíîé ôóíêöèè u (q1, q2, q3) â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ

∂u dq + ∂u dq + ∂u dq ∂q1 1 ∂q2 2 ∂q3 3 , ρ à â ñèëó ïîòåíöèàëüíîñòè ïîëÿ a îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå (4.6) du =

ρ  1 ∂u 1 ∂u 1 ∂u  a = {a1, a2 , a3} = −∇u = − , , ,  H1 ∂q1 H2 ∂q2 H3 ∂q3 

òî ai= −

1 ∂u Hi ∂qi (i = 1, 2, 3).

(4.8)

È òîãäà

du = −(a1 H1dq1 + a2 H2dq2 + a3 H3dq3) . (4.9) ρ Åñëè èç êîìïîíåíò ïîëÿ a â ïðàâîé ÷àñòè (4.9) óäàñòñÿ ñîñòàâèòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë, òî îí è áóäåò ÿâëÿòüñÿ èñêîρ ìûì ïîòåíöèàëîì u (q1, q2, q3) âåêòîðíîãî ïîëÿ a . ßñíî, ÷òî ýòîò ñïîñîá õîðîø òîëüêî äëÿ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûõ âåêòîðíûõ ïîëåé, äëÿ êîòîðûõ ñòðóêòóðà ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà du(q1, q2, q3) ëåãêî óãàäûâàåòñÿ. Âûðàæåíèå (4.9) â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ïðèíèìàåò âèä:

(

)

du( ρ, ϕ , z ) = − aρ dρ + aϕ ρdϕ + az dz ;

100

(4.10)

à â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ îíî èìååò âèä:

(

)

du(r, θ , ϕ ) = − ar dr + aθ rdθ + aϕ r sin θ dϕ .

(4.11)

ρ ρ ρ Ïðèìåð 1. Íàéòè ïîòåíöèàë ïîëÿ a = −2r cos θ er + r sin θ eθ . Ðåøåíèå. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî ïîëå ïîòåíöèàëüíî, ρ òàê êàê îáëàñòü åãî îïðåäåëåíèÿ îäíîñâÿçíà è rot a = 0 . Ïîäñòàâρ ëÿÿ òåïåðü êîìïîíåíòû ïîëÿ a â âûðàæåíèå (4.11), ïîëó÷àåì: du = 2r cos θ dr − r 2 sin θ dθ .

Çäåñü ïîä åäèíûé äèôôåðåíöèàë ëåãêî «çàãîíÿþòñÿ» âñå ïåðåìåííûå: du = cos θ d (r 2 ) + r 2 d (cos θ ) = d (r 2 cos θ ) .

Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé ïîòåíöèàë u(r, θ , ϕ ) = r 2 cos θ + C . ρ ρ ρ ρ Ïðèìåð 2. Íàéòè ïîòåíöèàë ïîëÿ a = eρ + eϕ / ρ + ez . Ðåøåíèå. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðîòîð ýòîãî ïîëÿ ðàâåí íóëþ. Ëåãêî çäåñü ñòðîèòñÿ è ïîëíûé äèôôåðåíöèàë: du = −( dρ + dϕ + dz ) = − d ( ρ + ϕ + z ) . ρ Îäíàêî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ a íåîäíîñâÿçíà: ïðè ρ = 0 (ò. å. íà îñè z) îíî íå ñóùåñòâóåò. Âû÷èñëèâ æå öèðêóëÿöèþ ýòîãî ïîëÿ ïî êàêîìó-ëèáî êîíòóðó, îõâàòûâàþùåìó îñü z, íàïðèìåð ïî îêðóæíîñòè ρ = R, z = 0, ïîëó÷àåì: ρ ρ ∫ a ⋅ dl = ∫ (aρ dρ + ρaϕ dϕ )ρ = R = ∫ dϕ = 2π .

À ðàç ðàáîòà ïî êîíòóðó íå ðàâíà íóëþ, òî ïîëå íå ïîòåíöèàëüíî. Ôîðìàëüíî æå âû÷èñëåííàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ u = -(ρ + ϕ + z) ïîòåíöèàëîì íå ÿâëÿåòñÿ, ïîñêîëüêó ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ïîëóïëîñêîñòü ϕ = 0 îíà èñïûòûâàåò ñêà÷îê 2π. Ñïîñîá 2. Ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé. ρ Åñëè ñòðóêòóðà ïîëÿ a äîñòàòî÷íî ñëîæíà è óãàäàòü âèä ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà ïðàâîé ÷àñòè (4.9) íå óäàåòñÿ, òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîòåíöèàëà u(q1,q2,q3) ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4.8), êîòîðàÿ â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ïðèíèìàåò âèä:

101

∂u = −a ∂u = −ρa ∂u = −az ; ρ , ϕ , ∂ϕ ∂ρ ∂z â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ýòà ñèñòåìà èìååò âèä: ∂u = −a ∂u = −ra ∂u = −r sin θ a ϕ. r, θ , ∂ϕ ∂r ∂θ Ïðèìåð 3. Íàéòè ïîòåíöèàë ïîëÿ

(4.12)

(4.13)

ρ ρ ln ρ ρ ρ  a = − 1 arctg z + cos ϕ  eρ + sin ϕ eϕ = e 1 + z2 z .  ρ

Ðåøåíèå. Ïðåæäå âñåãî óáåäèìñÿ â ïîòåíöèàëüíîñòè ýòîãî ρ ïîëÿ. Íåñëîæíûå âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî rot a = 0 . Îäíàêî ρ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ a íåîäíîñâÿçíà: îíî íåîïðåäåëåíî íà îñè z, ò. å. ïðè ρ = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü ðàρ âåíñòâî íóëþ öèðêóëÿöèè ïîëÿ a ïî êàêîìó-ëèáî êîíòóðó, îõâàòûâàþùåìó îñü z. Âûáåðåì â êà÷åñòâå òàêîãî êîíòóðà îêðóæíîñòü ρ = R, z = 0. Ýòî äàåò: ρ

ρ

∫ a ⋅ dl

2π

= ∫ (aρ dρ + ρaϕ dϕ )ρ = R = R ∫ sin ϕ dϕ = 0 . 0

ρ Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëå a ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì. Èñêîìûé ïîòåíöèàë u (ρ, ϕ, z) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (4.12):  ∂u = 1 arctg z + cos ϕ ,  ∂ρ ρ  ∂u  ∂ϕ = −ρ sin ϕ ,   ∂u = ln ρ2 .  ∂z 1 + z

(4.14)

Èíòåãðèðîâàíèå ýòîé ñèñòåìû ìîæíî íà÷èíàòü ñ ëþáîãî óðàâíåíèÿ, íî ïðîùå íà÷àòü ñ òðåòüåãî: u = ln ρ ⋅ arctg z + C1( ρ, ϕ ) .

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå (4.14), ïîëó÷àåì:

∂C ( ρ, ϕ ) 1 1 arctg z + 1 = arctg z + cos ϕ , ρ ∂ρ ρ 102

îòêóäà C1 = ρ cos ϕ + C2 (ϕ ) ,

ò. å. u = ln ρ ⋅ arctg z + ρ cos ϕ + C2(ϕ ) .

Ïîäñòàâëÿÿ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (4.14), ïîëó÷àåì: − ρ sin ϕ +

∂C2 = −ρ sin ϕ , ∂ϕ

ò. å. Ñ2 = const = C. Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé ïîòåíöèàë u( ρ, ϕ , z ) = ln ρ ⋅ arctg z + ρ cos ϕ + C .

Çàäà÷è • Óñòàíîâèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè ïîòåíöèàëüíûìè ñëåäóþùèå âåêòîðíûå ïîëÿ, è åñëè äà, òî âû÷èñëèòü èõ ïîòåíöèàëû ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé: ρ 4.44. a =

4.45. 4.46. 4.47. 4.48. 4.49.

ρ ρ eρ ; ρ2 + 4 ρ ρ a = f ( ρ )eρ ; ρ ρ ρ ρ a = (2ρ + sin ϕ )eρ + cos ϕ eϕ + 2 zez ; ρ ρ a = ρeϕ ; ρ ρ ρ a = ρzeρ + ( ρ 2 / 2 − z 2 )ez ; ρ ρ a = eϕ / ρ ;

ρ ρ eρ cos ϕ ρ ρ eϕ + 2 zez ; 4.50. a = eρ sin ϕ eρ + ρ ρ ρ ϕρ ρ 4.51. a = ρeρ + ρ eϕ + zez ; ρ ρ 4.52. a = f (r )er ;

103

ρ ρ ρ 4.53. a = θ er + eθ ; ρ ρ ρ 4.54. a = −2r cos θ er + r sin θ eθ ; ρ ρ ρ ρ 4.55. a = sin θ ⋅ cos ϕ er + cos θ ⋅ cos ϕ eθ − sin ϕ eϕ ; ρ 2 cos θ ρ sin θ ρ er + 3 eθ . 4.56. a = r3 r 4.57. Âíóòðè áåñêîíå÷íîãî êðóãëîãî öèëèíäðà ρ ≤ R ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. Èçâåñòíî, ÷òî òàêîé öèëèíäð ñîçäàåò â ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ρ при ρ ≤ R , ρ kρ E = E( ρ )eρ , ãäå E( ρ ) =  2 kR / ρ при ρ ≥ R (çäåñü k — íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò). Âû÷èñëèòü ïîòåíöèàë u (ρ) ýòîãî ïîëÿ, ïîëàãàÿ, ÷òî u (0) = 0. 4.58. Ïî îáúåìó øàðà ρ ≤ R ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. Èçâåñòíî, ÷òî òàêîé øàð ñîçäàåò â ρ ρ ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå E = E(r )er , ãäå

kr / R3 при r ≤ R , E(r) =  2 k / r при r ≥ R (çäåñü k — íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò). Âû÷èñëèòü ïîòåíöèàë u (r) ýòîãî ïîëÿ îòíîñèòåëüíî áåñêîíå÷íîñòè. ×åìó ðàâåí ïîòåíöèàë u0 â öåíòðå øàðà? 4.59. Ïðè êàêîé ôóíêöèè f (ρ, z) îñåñèììåòðè÷íîå (îòíîρ ρ ρ ñèòåëüíî îñè z) ïîëå a = ρ 2 zeρ + f ( ρ, z )ez áóäåò ïîòåíöèàëüíûì? 4.60. Ïðè êàêîé ôóíêöèè f (ρ, z) îñåñèììåòðè÷íîå (îòíîρ ρ ρ ñèòåëüíî îñè z) ïîëå a = ρzeρ + f ( ρ, z )ez áóäåò ïîòåíöèàëüíûì?

104

4.3.8. Ïîñòðîåíèå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ρ ρ Ïðåæäå ÷åì âû÷èñëÿòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A ïîëÿ a , çàäàííîãî â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ, íåîáõîäèìî óáåäèòüρ ñÿ, ÷òî ýòî ïîëå ñîëåíîèäàëüíî, ò. å. ÷òî div a = 0 . Åñëè ñîëåíîèäàëüíîñòü çàäàííîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ â îáëàñρ òè V óñòàíîâëåíà, òî ïîñòðîåíèå åãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A ñîñòîèò â îòûñêàíèè êàêîãî-ëèáî ðåøåíèÿ âåêòîðíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (3.5), çàïèñàííîãî â ñîîòâåòñòâóþùèõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ (ñì. ðàçä. 4.3.4).  öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèå (3.5) ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùèì òðåì ñêàëÿðíûì:  ∂Az ∂  ∂ϕ − ∂z ( ρAϕ ) = ρaρ ,  ∂A ∂A ρ z  ∂z − ∂ρ = aϕ ,   ∂ ( ρA ) − ∂Aρ = ρA . z ϕ  ∂ρ ∂ϕ

(4.15)

 ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò âèä:  ∂ ( A r sin θ ) − ∂ (rA ) = a r 2 sin θ , r  ∂θ ϕ ∂ϕ θ  ∂Ar ∂  ∂ϕ − ∂r (r sin θ Aϕ ) = aθ r sin θ ,   ∂ (rAθ ) − ∂Ar = raϕ . ∂θ  ∂r

(4.16)

ρ Íåèçâåñòíûå êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïîëÿ A ñòðîÿòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû, àíàëîãè÷íîé (3.7)—(3.11) ðàçäåëà 3.2, íî ïðîäåëàííîé â ñîîòâåòñòâóþùèõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ.  çàâèρ ñèìîñòè îò òîãî, êàêàÿ èç êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A è êàêàÿ èç êîíñòàíò èíòåãðèðîâàíèÿ áóäóò ïîëîæåíû ðàâíûìè íóëþ, ñòðóêòóðû ïîëó÷åííûõ âåêòîðíûõ ïîòåíöèàëîâ áóäóò ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûìè. Íî âî âñåõ ñëó÷àÿõ êðèòåðèåì ïðàâèëüíîñòè ïîñòðîåρ ρ ρ íèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A äîëæíî áûòü ðàâåíñòâî rot A = a .

105

ρ ρ ρ Ïðèìåð. Ïîñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A ïîëÿ a = er / r 2 . Ðåøåíèå. Ýòî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Ëåãêî ρ óáåäèòüñÿ, ÷òî âî âñåé îáëàñòè åãî îïðåäåëåíèÿ div a = 0 , ñëåäîâàòåëüíî, ýòî ïîëå ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì. Óðàâíåíèÿ (4.16) äëÿ îòûñêàíèÿ íåèçâåñòíûõ êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ρ A ýòîãî ïîëÿ â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ïðèíèìàþò âèä:  ∂ ( Aϕ sin θ ) ∂Aθ sin θ − = ,  ∂θ ∂ϕ r  ∂ (rAϕ )  ∂Ar  ∂ϕ = sin θ ∂r ,   ∂ (rAθ ) = ∂Ar ∂θ  ∂r

(çäåñü ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ó÷òåíà íåçàâèñèìîñòü ïåðåìåííûõ r, θ, ϕ). ρ Ïîëüçóÿñü îòíîñèòåëüíûì ïðîèçâîëîì âûáîðà âåêòîðà A , ïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû Ar = 0. Òîãäà äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò Aθ è Aϕ ïîëó÷àåì ñèñòåìó:  ∂ ( Aϕ sin θ ) ∂Aθ sin θ − = ,  ∂θ ∂ϕ r  ∂ (rA )  ϕ  ∂r = 0,  ∂ (rA ) θ = 0.   ∂r

(4.17)

Äâà ïîñëåäíèõ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (4.17) äàþò âûðàæåíèå: Aϕ =

C1(θ , ϕ ) C (θ , ϕ ) , Aθ = 2 , r r

ãäå Ñ1 è Ñ2 — ïðîèçâîëüíûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè, íî òàêèå, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (4.17). Ïîýòîìó îäíó èç íèõ ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ, íàïðèìåð Ñ2. Òîãäà è êîìïîíåíòà Àθ = 0; à ïîäñòàíîâêà Àϕ â ïåðâîå óðàâíåíèå (4.17) äàåò âûðàæåíèå:

∂ (C1(θ , ϕ )sin θ ) = sin θ , ∂θ 106

îòêóäà C (ϕ ) C1 = − 1 + 3 tg θ sin θ .

Ïîëàãàÿ Ñ3 = 0, ïîëó÷àåì: ρ  1  1 A = 0,0,− , ò. å. θ  . r tg θ tg  ρ ρ Íåñëîæíàÿ ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òî rot A = er / r 2 , ò. å. ÷òî ïîñòρ ðîåííîå âåêòîðíîå ïîëå A äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ρ ïîòåíöèàëîì èñõîäíîãî ïîëÿ a . Åñëè ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ íå Ñ2, à Ñ1, òî íóëåâîé ñòàíåò êîìïîíåíòà Àϕ, è âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïðèìåò âèä: Aϕ = −

ρ  ϕ sin θ  A = 0,− ,0 . r  

 ýòîì ñëó÷àå îí èìååò «íåïðèÿòíûé» ðàçðûâ íà ïîëóïëîñêîñòè ϕ = 0.

Çàäà÷è 4.61. Ïîñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ýëåêòðè÷åñêîãî ρ ρ ïîëÿ E = eρ / ρ ïðÿìîé ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé íèòè. 4.62. Ïîñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ìàãíèòíîãî ïîëÿ ρ ρ B = eϕ / ρ ïðÿìîãî òîêà. ρ ρ 4.63. Ïîñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ a = ρeϕ . 4.64. Ïîñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë îñåñèììåòðè÷íîãî ρ ρ ρ ïîëÿ a = ρzeρ − z 2ez . 4.65. Ïîñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë îñåñèììåòðè÷íîãî ρ ρ ρ ïîëÿ a = ρ 2 zeρ − 3ρz 2ez / 2 . 4.66. Ïîñòðîèòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ ρ θ eρ + sin θ eρ E = 2 cos ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ. r r3 r3 θ

107

ρ ρ 4.67. Íàéòè âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ a = rer .

4.3.9. Îïåðàòîð Ëàïëàñà Îïåðàòîð Ëàïëàñà (ëàïëàñèàí) ñêàëÿðíîé ôóíêöèè u (q1, q2, q3) â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ îïðåäåëÿåòñÿ êàê äèâåðãåíöèÿ îò åå ãðàäèåíòà: ∆u = div(grad u) = ∇ ⋅ ∇u .

Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëû (4.6) è (4.7), ïîëó÷àåì: ∆u(q1, q2 , q3 ) =

 ∂  H2 H3 ∂u  1 ∂  H1 H3 ∂u  ∂  H1 H2 ∂u    +  +   H1 H2 H3  ∂q1  H1 ∂q1  ∂q2  H2 ∂q2  ∂q3  H3 ∂q3  .

 öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (ρ, ϕ, z) ëàïëàñèàí ïðèîáðåòàåò âèä:

∆u =

1 ∂  ∂u  + 1 ∂ 2u + ∂ 2u ρ  ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ 2 ∂ϕ 2 ∂z 2 .

(4.18)

 ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (r, θ, ϕ) ∆u =

∂  sin θ ∂u  + ∂ 2u 1 ∂  2 ∂u  1 1 + r ∂θ  r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 . (4.19) r 2 ∂r  ∂r  r 2 sin θ ∂θ 

Åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå u(q1,q2,q3) çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ ρ äî íåêîòîðîé îñè, ò. å. u = u(ρ), òî îíî íàçûâàåòñÿ îñåâûì, èëè öèëèíäðè÷åñêèì. Äëÿ òàêîãî ïîëÿ îò ëàïëàñèàíà (4.18) îñòàåòñÿ òîëüêî åãî ðàäèàëüíàÿ ÷àñòü:

  ∆u = ∆ ρu = 1 ∂  ρ ∂u  . ρ ∂ρ  ∂ρ 

(4.20)

Åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå u (q1, q2, q3) çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ r äî íåêîòîðîãî öåíòðà Î, ò. å. u = u(r), òî îíî íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì, èëè ñôåðè÷åñêèì. Äëÿ òàêîãî ïîëÿ îò ëàïëàñèàíà (4.19) îñòàåòñÿ òîëüêî åãî ðàäèàëüíàÿ ÷àñòü: ∆u = ∆ r u =

1 ∂  2 ∂u  1 ∂ 2 r = (ur ) r 2 ∂r  ∂r  r ∂r 2

(4.21)

Ïðèìåð. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ∆u = 0, çàâèñÿùåå òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ ρ äî íåêîòîðîé îñè. 108

Ðåøåíèå. Òàê êàê u = u(ρ), òî, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (4.20), ïîëó÷àåì:

1 ∂  ρ ∂u  =   0. ρ ∂ρ  ∂ρ  Îòñþäà

ρ ∂u = const = C1 . ∂ρ Ñëåäîâàòåëüíî, u = C1 ln ρ + C2 .

Çàäà÷è • Óñòàíîâèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè ãàðìîíè÷åñêèìè ñëåäóþùèå ñêàëÿðíûå ïîëÿ: 4.68. u = 1/ρ; 4.72. u = 1/r; 4.69. u = lnρ; 4.73. u = lnr; 4.70. u = ρ2 cos2ϕ; 4.74. u = r2 sinθ; 4.71. u = ρ + Ccosϕ; 4.75. u = r cos2θ. 4.76. Âû÷èñëèòü ∆(rn), ãäå n — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. 4.77. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ∆u = 0, çàâèñÿùåå òîëüêî îò: à) ðàññòîÿíèÿ r äî íåêîòîðîãî öåíòðà; á) ïîëÿðíîãî óãëà θ ; â) àçèìóòàëüíîãî óãëà ϕ . 4.78. Ïóñòü u = u (r). Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ∆u = Ñ, ãäå Ñ — ïîñòîÿííàÿ. 4.79. Ïóñòü u = u(r). Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ∆u = r n, ãäå n — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. 4.80. Ïóñòü u = u (z). Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ∆u = z n, ãäå n — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. ρ ρ 4.81. Ïðè êàêîé ôóíêöèè u (ρ) âåêòîðíîå ïîëå a = u( ρ )eρ áóäåò ëàïëàñîâûì? ρ ρ 4.82. Ïðè êàêîé ôóíêöèè u (r) âåêòîðíîå ïîëå a = u(r )er áóäåò ëàïëàñîâûì? 109

4.83. Ïðè êàêîé ôóíêöèè f (ρ, z) îñåñèììåòðè÷íîå (îòíîρ ρ ρ ñèòåëüíî îñè z) ïîëå a = ρzeρ + f ( ρ, z )ez áóäåò ëàïëàñîâûì? 4.84. Ïðè êàêîé ôóíêöèè f (ρ,z) îñåñèììåòðè÷íîå (îòíîρ ρ ρ ñèòåëüíî îñè z) ïîëå a = ρ 2 zeρ + f ( ρ, z )ez áóäåò ëàïëàñîâûì? 4.85. Íàéòè óñòàíîâèâøååñÿ ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû T (r) â îäíîðîäíîì ñôåðè÷åñêîì ñëîå, åñëè íà âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè ñëîÿ ðàäèóñîì R1 ïîääåðæèâàåòñÿ òåìïåðàòóðà T1, à íà âíåøíåé ïîâåðõíîñòè ðàäèóñîì R2 — òåìïåðàòóðà T2. Èçâåñòíî, ÷òî óñòàíîâèâøååñÿ ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà ∆T = 0.

110

5. ÒÅÍÇÎÐÛ 5.1. Ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà. Îïðåäåëåíèå òåíçîðà. Ñèììåòðèÿ òåíçîðà

ρ ρ ρ

Ïåðåõîä îò ñòàðîãî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà ( е1 , e2 , e3 )

ρ′ ρ ′ ρ ′

ê íîâîìó ( е1 , e2 , e3 ) çàäàåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà Ã = [γij] (i, j = 1, 2, 3):

ρ ρ ei ′ = ∑ γ ij e j

(i = 1,2 ,3).

(5.1)

j

Ìàòðèöà à îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1. Ìàòðèöà ô îáðàòíîãî ïåðåõîäà îò íîâîãî áàçèñà ê ñòàðîìó

ρ ρ ei = ∑ γ ij′ e j ′ j

ÿâëÿåòñÿ òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöåé Ã, ò. å. γ´ij = γji . 2. Ìàòðèöà Ã ´ ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ìàòðèöåé Ã, ò. å. Ã ´ = Ã Ò = Ã -1. 3.

∑γ

ki

1 при i = j , γ kj = ∑ γ ikγ jk = δ ij =   0 при i ≠ j .

Ìàòðèöû, îáëàäàþùèå òàêèì ñâîéñòâîì, íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè. 4. det à = det à ´ = ±1. Îïðåäåëåíèå. Òðîéêà çàíóìåðîâàííûõ ÷èñåë (x1, x2, x3), çàâèñÿùèõ îò âûáîðà áàçèñà è èçìåíÿþùèõñÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó ïî çàêîíó

xi′ = ∑ γ ij x j

(i = 1,2 ,3),

j

íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì 1-ãî ðàíãà. Ñàìè ÷èñëà x1, x2, x3 íàçûâàþòñÿ êîìïîíåíòàìè ýòîãî òåíçîðà â äàííîì áàçèñå.

111

×àñòíûì âàðèàíòîì òåíçîðà 1-ãî ðàíãà ÿâëÿåòñÿ âåêòîð. Ñïðàâåäëèâî îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå:

xi = ∑ γ ij′ x′j , j

ãäå γ′ij — êîýôôèöèåíòû ìàòðèöû à ´ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà. Îïðåäåëåíèå. Äåâÿòü ÷èñåë, çàíóìåðîâàííûõ äâóìÿ èíäåêñàìè (ìàòðèöà):

 a11 T =  a 21   a 31

a 12 a 22 a 32

a 13  a 23  ,  a 33 

çàâèñÿùèõ îò âûáîðà áàçèñà è ïðåîáðàçóþùèõñÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó ïî çàêîíó

a kl′ = ∑ ∑ γ ki γ lj a ij i

( k , l = 1,2 ,3),

(5.2)

j

íàçûâàþòñÿ òåíçîðîì 2-ãî ðàíãà Ò. Ñàìè ÷èñëà àij íàçûâàþòñÿ êîìïîíåíòàìè ýòîãî òåíçîðà â äàííîì áàçèñå. ×àñòíûì âàðèàíòîì òåíçîðà 2-ãî ðàíãà ÿâëÿåòñÿ íàáîð êîýôôèöèåíòîâ öåíòðàëüíîé ïîâåðõíîñòè 2-ãî ïîðÿäêà. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ òåíçîðû áîëåå âûñîêèõ ðàíãîâ. Òàê íàïðèìåð, òåíçîð 3-ãî ðàíãà — ýòî îáúåêò, îïèñûâàåìûé êóáè÷åñêîé ìàòðèöåé (3 x 3 x 3) êîýôôèöèåíòîâ àijk, ïðåîáðàçóþùèõñÿ ïðè ïîâîðîòàõ áàçèñà ïî çàêîíó

a ′pqr = ∑ ∑ ∑ γ pi γ qj γ rk a ijk . i

j

k

Ôîðìóëà (5.2) äàåò çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ êîìïîíåíò òåíçîðà Ò ïðè ïåðåõîäå îò ñòàðîãî áàçèñà ê íîâîìó. Ìàòðè÷íàÿ ôîðìà ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ èìååò âèä: Ò ′ = ÃÒà -1.

112

Îïðåäåëåíèå. Åñëè ó òåíçîðà 2-ãî ðàíãà Ò êîìïîíåíòû îáëàäàþò ñâîéñòâîì àij = aji , òî òåíçîð Ò íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì. Ó ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà 2-ãî ðàíãà óæå íå 9, à òîëüêî 6 íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò. Îïðåäåëåíèå. Åñëè ó òåíçîðà 2-ãî ðàíãà Ò êîìïîíåíòû îáëàäàþò ñâîéñòâîì àij = -aji , òî òåíçîð Ò íàçûâàåòñÿ àíòèñèììåòðè÷íûì. Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ó àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ài i = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, îí èìååò âñåãî 3 íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíòû:

TAS

 0 = − a12   − a13

a12 0 − a 23

a13  a 23 .  0 

Ñâîéñòâà ñèììåòðèè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé áàçèñà. Ëþáîé òåíçîð Ò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñóììû ñèììåòðè÷íîãî è àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðîâ: Ò = ÒS + TAS .

Çàäà÷è 5.1. Íàéòè ìàòðèöû ïðÿìîãî à è îáðàòíîãî Ã-1 ïðåîáðà-

ρ ρ

5.2. 5.3. 5.4.

5.5.

çîâàíèé îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà ( e1 , e2 ) ïðè åãî ïîâîðîòå íà óãîë α ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ òàêæå îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöåé. Äîêàçàòü, ÷òî det à = ±1, ãäå à — ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà. Äîêàçàòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû (à1, à2, à3), çàäàþùèå ïëîñêîñòü a1x1 + a2x2 + a3x3 = 1, îáðàçóþò òåíçîð 1-ãî ðàíãà. Äîêàçàòü, ÷òî òàáëèöà äåâÿòè êîýôôèöèåíòîâ [aij] (i, j = 1, 2, 3), çàäàþùèõ öåíòðàëüíóþ ïîâåðõíîñòü 2-ãî ïîðÿäêà

∑ ∑ a ij xi x j i

= 1, îáðàçóåò òåíçîð 2-ãî ðàíãà.

j

113

5.6. Ïóñòü â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå âåêòîð

ρ x çàäàí êîìïîíåíòàìè (x1, x2, x3). Äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëà

aij = xixj (i, j = 1, 2, 3) îáðàçóþò òåíçîð 2-ãî ðàíãà. 5.7. Ïóñòü â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå âåê-

ρ ρ

òîðû x и y çàäàíû êîìïîíåíòàìè (x1, x2, x3) è (y1, y2 , y3). Äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëà aij = xi yj (i, j = 1, 2, 3) îáðàçóþò òåíçîð 2-ãî ðàíãà.

ρ ρ ρ

5.8. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè a , b и c — âåêòîðû, òî 33 = 27

5.9.

5.10. 5.11. 5.12.

5.13.

÷èñåë dijk = ai bj ck (i, j, k = 1, 2, 3) îáðàçóþò òåíçîð 3-ãî ðàíãà. Äîêàçàòü, ÷òî êîìïîíåíòû åäèíè÷íîãî òåíçîðà [δij] íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïîâîðîòå îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà, ò. å. ÷òî δ´ij = δij . Äîêàçàòü, ÷òî êîìïîíåíòû ñôåðè÷åñêîãî òåíçîðà [λδij] èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòîâ áàçèñà. Äîêàçàòü èíâàðèàíòíîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ρ ρ ( x ⋅ y) â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå. Ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîé òåíçîð 2-ãî ðàíãà Ò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñóììû ñèììåòðè÷íîãî ÒS è àíòèñèììåòðè÷íîãî ÒAS òåíçîðîâ. Òåíçîð 2-ãî ðàíãà Ò çàäàí ìàòðèöåé

 1 2 3 [ a ij ] =  4 5 6.    7 8 9 Ðàçëîæèòü åãî íà ñèììåòðè÷íûé ÒS = [bij] è àíòèñèììåòðè÷íûé ÒAS = [cij] òåíçîðû. 5.14. Äîêàçàòü, ÷òî ñâîéñòâî ñèììåòðèè òåíçîðà èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòîâ áàçèñà, ò. å. åñëè, íàïðèìåð, òåíçîð Ò ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì â áàçèñå

ρ ρ ρ ( e1 , e2 , e3 ) , òî îí ñèììåòðè÷åí â ëþáîì äðóãîì îð-

òîíîðìèðîâàííîì áàçèñå.

114

5.15. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ÷èñëà [aij] îáðàçóþò ñèììåòðè÷íûé, à ÷èñëà [bij] — àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîðû, òî ñóììà S = ∑ ∑ a ij bij = 0. i

j

ρ ρ

5.16. Â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå ( e1 , e2 ) ìàòðèöà òåíçî-

 6 2 . Íàéòè ìàòðèöó [a′ij] 3 ρ ρ ýòîãî òåíçîðà â áàçèñå ( e1′ , e2′ ) , ïîâåðíóòîì íà óãîë

ðà Ò èìååò âèä: [ a ij ] =  2

α = 45° ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè îòíîñèòåëüíî èñõîäíîãî.

ρ ρ

5.17. Â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå ( e1 , e2 ) ìàòðèöà òåíçî-

 0 2 . Íàéòè ìàòðèöó [a´ij] 3 ρ ρ ýòîãî òåíçîðà â áàçèñå ( e1′ , e2′ ) , ïîâåðíóòîì íà óãîë

ðà Ò èìååò âèä: [ a ij ] =  2

α = 90° ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè îòíîñèòåëüíî èñõîäíîãî. 5.2. Ãëàâíûå îñè òåíçîðà

Òåíçîð 2-ãî ðàíãà Ò ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíûé ρ îïåðàòîð. Äåéñòâóÿ íà êàêîé-ëèáî âåêòîð x , îí ïîðîæäàåò íî-

ρ

ρ

âûé âåêòîð y , îòëè÷àþùèéñÿ îò x êàê ïî âåëè÷èíå, òàê è ïî

ρ

ρ

íàïðàâëåíèþ: y = Tx . Îäíàêî ìîãóò ñóùåñòâîâàòü òàêèå âåêòîðû

ρ x , êîòîðûå ïîä äåéñòâèåì íà íèõ òåíçîðà Ò íå ìåíÿþòñÿ ïî

íàïðàâëåíèþ, à òîëüêî ïî âåëè÷èíå, ò. å. òàêèå, äëÿ êîòîðûõ

ρ ρ Tx = λx,

(5.3)

ãäå λ — íåêîòîðîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. ρ Îïðåäåëåíèå. Åñëè äëÿ òåíçîðà Ò ñóùåñòâóþò âåêòîðû x , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (5.3), òî îíè íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè òåíçîðà Ò. ×èñëà λ, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûì âåêòîðàì â çàäà÷å (5.3), íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè òåíçîðà Ò. 115

Çàäà÷à îá îòûñêàíèè ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé òåíçîðà Ò ðåøàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïåðåìíîæàÿ ìàòðèöó [aij] òåíçîðà Ò â äàííîì áàçèñå íà

ρ

âåêòîð x ïî ïðàâèëó «ñòðîêà íà ñòîëáåö», ïîëó÷àåì èç îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ (5.3) ñèñòåìó:

 ( a11 − λ )x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0,  a 21 x1 + (a 22 − λ ) x2 + a 23 x3 = 0,  a x + a x + ( a − λ ) x = 0. 32 2 33 3  31 1

(5.4)

Ýòà ñèñòåìà èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå, ò. å. x1, x2, x3, íå ðàâíûå íóëþ îäíîâðåìåííî, åñëè åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ:

( a11 − λ )

a12

a13

a 21

( a 22 − λ )

a 23

a 31

a 32

( a 33 − λ )

= 0.

(5.5)

Åñëè òåíçîð Ò ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, òî âñå òðè êîðíÿ óðàâíåíèÿ (5.5) ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè, à òðè ñîîòâåòñòâóþùèå ãëàâíûå îñè (òðè ñîáñòâåííûõ âåêòîðà) òåíçîðà Ò âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Äàëåå âåçäå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ôèçè÷åñêè âàæíûé âàðèàíò, êîãäà òåíçîð Ò ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, ò. å. aij = aji . Îïðåäåëèâ èç óðàâíåíèÿ (5.5) òðè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1, λ2 è λ3 (âîçìîæíî, ÷òî íåêîòîðûå èç íèõ èëè äàæå âñå òðè áóäóò îäèíàêîâûìè) è ïîäñòàâèâ èõ ïîî÷åðåäíî â ñèñòåìó (5.4), íàéäåì äëÿ êàæäîãî èç íèõ êîìïîíåíòû ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Íîðìèðîâêà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ äàñò îðòîíîðìèðî-

ρ ρ ρ

âàííûé áàçèñ ( e1′ , e2′ , e3′ ) ãëàâíûõ îñåé òåíçîðà Ò.  áàçèñå ãëàâíûõ îñåé ìàòðèöà òåíçîðà Ò ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé, ïðè÷åì íà åå ãëàâíîé äèàãîíàëè íàõîäÿòñÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ òåíçîðà Ò. Ãëàâíûå îñè ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè îñÿìè íåêîòîðîé öåíòðàëüíîé ïîâåðõíîñòè 2-ãî ïîðÿäêà; åå óðàâíåíèå â ñèñòåìå ãëàâíûõ îñåé ( x1′ , x2′ , x3′ ) íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì:

λ1 x1′ 2 + λ 2 x2′ 2 + λ 3 x3′ 2 = 1. 116

Åñëè λ1, λ2 è λ3 ïîëîæèòåëüíû (âàðèàíò, íàèáîëåå âàæíûé â ôèçèêå), òî ýòà ïîâåðõíîñòü ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîèäîì ñ ïîëóîñÿìè

a 1 = 1 / λ1 , a 2 = 1 / λ 2 , a 3 = 1 / λ 3 : x1′ 2

+

a12

x2′ 2 a 22

x3′ 2

+

a 32

= 1.

Ïðè λ1 = λ2 — ýòî ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ âîêðóã îñè x′3 ; ïðè λ1 = λ 2 = λ 3 = l ýëëèïñîèä âûðîæäàåòñÿ â ñôåðó ðàäèóñîì

R= 1/ λ .

ρ ρ

Ïðèìåð. Â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå ( e1 , e2 ) ìàòðèöà òåí-

 2 1 . Íàéòè íîâûé îðòîíîðìèðîâàí2

çîðà Ò èìååò âèä: [ a ij ] =  1

íûé áàçèñ, â êîòîðîì ýòà ìàòðèöà áóäåò äèàãîíàëüíîé, è çàïèñàòü åå. Èçîáðàçèòü íàïðàâëåíèÿ íîâûõ îðò â ñòàðîì áàçèñå (ãëàâíûå îñè òåíçîðà Ò ); çàïèñàòü ìàòðèöó à ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà; çàïèñàòü óðàâíåíèå òåíçîðíîãî ýëëèïñîèäà (â äàííîì ñëó÷àå — ýëëèïñà) â ñèñòåìå ãëàâíûõ îñåé. Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå (5.5), íàçûâàåìîå õàðàêòåðèñòè÷åñêèì, äëÿ äàííîãî òåíçîðà èìååò âèä:

(2 − λ )

1

1

(2 − λ )

= 0,

èëè

λ 2 − 4λ + 3 = 0. Êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ: λ1 = 1, λ2 = 3. Ïðè λ = 1 ñèñòåìà (5.4) ïðèíèìàåò âèä:

x1 + x2 = 0,   x1 + x2 = 0.  êà÷åñòâå åå ðåøåíèÿ ìîæíî âçÿòü, íàïðèìåð, òàêîå: x1 = 1, x2 = -1. Íîðìèðóÿ ýòî ðåøåíèå, íàõîäèì åäèíè÷íûé ñîáñòâåí-

117

íûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ = 1:

1 ρ e1′ = {1,−1}. Ïðè λ = 3 ñèñòåìà (5.4) ïðèíèìàåò âèä: 2 − x1 + x2 = 0,   x1 − x2 = 0, ρ

îòêóäà, íàïðèìåð, x1 = 1, x2 = 1 è e2′ =

ρ ρ

1 {1,1}. 2

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî e1′ ⋅ e2′ = 0, ò. å. ñîáñòâåííûå âåêòîðû òåíçîðà Ò âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.

ρ ρ

Ïîñêîëüêó ìû ïîëó÷èëè ðàçëîæåíèå íîâûõ îðò ( e1′ , e2′ ) ïî

ρ ρ

ñòàðîìó áàçèñó ( e1 , e 2 ) , òî ñ ó÷åòîì (5.1) ìàòðèöà à ïðåîáðàçî-

ρ ρ

ρ ρ

âàíèÿ áàçèñà ( e1 , e 2 ) â áàçèñ ( e1′ , e2′ ) èìååò âèä:

  Г=  

1 2 1 2

−

1  2 . 1   2 

Èç ðàçëîæåíèé íîâûõ îðò ïî ñòàðîìó áàçèñó âèäíî, ÷òî

ρ ρ

ρ ρ

áàçèñ ( e1′ , e2′ ) ïîâåðíóò îòíîñèòåëüíî èñõîäíîãî ( e1 , e 2 ) íà 45° ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ìàòðèöà òåíçîðà Ò â ñèñòåìå ãëàâíûõ îñåé áóäåò èìåòü âèä:

1 0 [ a ij′ ] =  .  0 3 ρ  2 1 óäëèíÿåò âåêòîð x1′ = {1,−1} (èëè  2 ρ ρ ρ e1′ ) â 1 ðàç áåç ïîâîðîòà, à âåêòîð x2′ = {1,1} (èëè e2′ ) â 3 ðàçà Èòàê, òåíçîð T =  1

áåç åãî ïîâîðîòà:

118

 2 1 − 1 − 1  1 2  1  = 1 1  ,     

 2 1 1 1  1 2 1 = 31.    

Çàäà÷è ρ ρ

5.18. Â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå ( e1 , e 2 ) ìàòðèöà òåíçî-

 6 2 . Íàéòè íîâûé îðòî3

ðà Ò èìååò âèä: [ a ij ] =  2

íîðìèðîâàííûé áàçèñ, â êîòîðîì ýòà ìàòðèöà áóäåò äèàãîíàëüíîé, è çàïèñàòü åå. Èçîáðàçèòü íàïðàâëåíèÿ íîâûõ îðò â ñòàðîì áàçèñå; çàïèñàòü ìàòðèöó Ã ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà.

 0 2 . 3

5.19. Ðåøèòü çàäà÷ó 5.18 äëÿ ìàòðèöû [ a ij ] =  2

1 1 3 5.20. Ðåøèòü çàäà÷ó 5.18 äëÿ ìàòðèöû [ a ij ] = 1 5 1 ,    3 1 1 ρ ρ ρ çàäàííîé â áàçèñå ( e1 , e2 , e3 ).  2 4 0   5.21. Ðåøèòü çàäà÷ó 5.18 äëÿ ìàòðèöû [ a ij ] = 4 8 0 ,    0 0 1 ρ ρ ρ çàäàííîé â áàçèñå ( e1 , e2 , e3 ).  0 0 1 5.22. Ðåøèòü çàäà÷ó 5.18 äëÿ ìàòðèöû [ a ij ] =  0 1 0 ,   1 0 0 ρ ρ ρ çàäàííîé â áàçèñå ( e1 , e2 , e3 ).

119

5.3. Òåíçîðû â ôèçèêå

Çàäà÷è 5.23. Äîêàçàòü, ÷òî ìãíîâåííàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà àíòèñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì 2-ãî ðàíãà. 5.24. Íàéòè òåíçîð èíåðöèè I òîíêîãî îäíîðîäíîãî ñòåðæíÿ ìàññîé m è äëèíîé l , ïîëàãàÿ, ÷òî öåíòð âðàùåíèÿ ëåæèò â ñåðåäèíå ñòåðæíÿ. Îñü x3 âûáðàòü âäîëü ñòåðæíÿ. 5.25. Íàéòè òåíçîð èíåðöèè I è ýëëèïñîèä èíåðöèè îäíîðîäíîãî äèñêà ìàññîé m, ðàäèóñîì R, ïîëàãàÿ, ÷òî öåíòð âðàùåíèÿ ëåæèò â öåíòðå äèñêà, à îñü x3 íàïðàâëåíà âäîëü îñè äèñêà. 5.26. Íàéòè òåíçîð èíåðöèè I è ýëëèïñîèä èíåðöèè òîíêîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíêè ìàññîé m, ñî ñòîðîíàìè a è b, ïîëàãàÿ, ÷òî öåíòð âðàùåíèÿ ëåæèò â öåíòðå ïëàñòèíêè, à îñü x3 íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ïëàñòèíêè. 5.27. Íàéòè òåíçîð èíåðöèè I ñïëîøíîãî îäíîðîäíîãî êðóãëîãî öèëèíäðà ìàññîé m, ðàäèóñîì R, âûñîòîé h, ïîëàãàÿ, ÷òî öåíòð âðàùåíèÿ ëåæèò â öåíòðå ìàññ öèëèíäðà, à îñü x3 íàïðàâëåíà âäîëü îñè öèëèíäðà. 5.28. Íàéòè òåíçîð èíåðöèè I è ýëëèïñîèä èíåðöèè øàðà ìàññîé m, ðàäèóñîì R, ïîëàãàÿ, ÷òî öåíòð âðàùåíèÿ Î ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè øàðà, à îñü x3 íàïðàâëåíà èç òî÷êè Î ê öåíòðó øàðà. 5.29. Òåíçîð ïðîâîäèìîñòè Λ íåêîòîðîãî êðèñòàëëà â áà-

ρ ρ ρ

çèñå ( e1 , e 2 , e 3 ) èìååò êîìïîíåíòû

 7 −2 0  [ λij ] = − 2 6 − 2 ⋅ 10 6 ( Ом ⋅ м) −1 .    0 − 2 5  Ê êðèñòàëëó ïðèëîæåíî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå Å = 1 Â/ì, íàïðàâëåííîå âäîëü îñè x3. Íàéòè:

120

ρ

à) âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà j â êðèñòàëëå â (À/ìì2) è

ρ

ρ

óãîë α ìåæäó âåêòîðàìè j è Е ; á) ãëàâíûå çíà÷åíèÿ λ1, λ2, λ3 òåíçîðà ïðîâîäèìîñòè Λ è ñîîòâåòñòâóþùèå ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ

ρ ρ ρ ( e1′ , e2′ , e3′ ) .

5.30. Ìåæäó ïëàñòèíàìè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà íàõîäèò-

ρ ρ ρ

ñÿ äèýëåêòðè÷åñêèé êðèñòàëë.  áàçèñå ( e1 , e 2 , e 3 ) , â ρ êîòîðîì îðò e3 íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëàñòèíàì, êîìïîíåíòû òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè

 5 − 2 0 [ ε ij ] =  − 2 4 2.   2 3  0 ρ

ρ

 êîíäåíñàòîðå ñîçäàíî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå E = Ee3 . Íàéòè:

ρ

à) âåêòîð D â êðèñòàëëå è óãîë α ìåæäó âåêòîðàìè

ρ ρ E è D;

á) ãëàâíûå çíà÷åíèÿ ε1, ε2, ε3 òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè êðèñòàëëà è ñîîòâåòñòâóþùèå

ρ ρ ρ

ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ ( e1′ , e2′ , e3′ ) .

5.4. Ïðîñòåéøèå îïåðàöèè ñ òåíçîðàìè Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü aij è bkl — êîìïîíåíòû äâóõ òåíçîðîâ 2-ãî ðàíãà. Ñîñòàâèì âñåâîçìîæíûå ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ êîìïîíåíò:

cijkl = a ij bkl

121

(i , j , k , l = 1,2 ,3).

(5.6)

Òàáëèöà 34 ÷èñåë [ cijkl ] , ñîñòàâëåííûõ ïî ïðàâèëó (5.6), îáðàçóåò òåíçîð 4-ãî ðàíãà, íàçûâàåìûé ïîëíûì ïðîèçâåäåíèåì òåíçîðîâ [aij] è [bkl]: Ñ = ÀÂ. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå íåêîììóòàòèâíî, ò. å. À ≠ ÂÀ. Ïðàâèëî (5.6) îòíîñèòñÿ ê òåíçîðàì ëþáîãî ðàíãà. Òàê, íàïðèìåð, åñëè êîýôôèöèåíòû aij îáðàçóþò òåíçîð 2-ãî ðàíãà, à êîýôôèöèåíòû bk — òåíçîð 1-ãî ðàíãà, òî 33 = 27 êîýôôèöèåíòîâ cijk = aijbk (i, j, k = 1, 2, 3) îáðàçóþò òåíçîð 3-ãî ðàíãà. Ðàíã ïîëíîãî ïðîèçâåäåíèÿ òåíçîðîâ ðàâåí ñóììå ðàíãîâ ñîìíîæèòåëåé: rang C = rang A + rang B. Îïðåäåëåíèå. Ñâåðòûâàíèåì íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå òåíçîðà ïóòåì ñóììèðîâàíèÿ åãî êîìïîíåíò ïî êàêèì-ëèáî äâóì èíäåêñàì. Ïðè ýòîì ðàíã òåíçîðà ïîíèæàåòñÿ íà 2. Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ñâåðòûâàíèå ìîæíî ïðîèçâîäèòü òîëüêî ó òåíçîðîâ ðàíãà íå ìåíüøå äâóõ. Îïåðàöèþ ñâåðòûâàíèÿ ìîæíî ïðèìåíÿòü ê òåíçîðó íåñêîëüêî ðàç, ïîêà åãî ðàíã íå ñòàíåò ìåíüøå äâóõ. Òàêèì îáðàçîì, òåíçîð ÷åòíîãî ðàíãà ìîæåò áûòü ñâåðíóò äî ñêàëÿðà, à òåíçîð íå÷åòíîãî ðàíãà — òîëüêî äî âåêòîðà. Ïðèìåð 1. Ïóñòü 33 = 27 ÷èñåë aijk (i, j, k = 1, 2, 3) îáðàçóþò òåíçîð 3-ãî ðàíãà. Òîãäà åãî ñâåðòêà ïî äâóì ïåðâûì èíäåêñàì äàñò òåíçîð 1-ãî ðàíãà (âåêòîð)

bk = ∑ a iik = a11k + a 22 k + a 33k

( k = 1,2 ,3).

i

Ïðèìåð 2. Ñâåðòêîé òåíçîðà 2-ãî ðàíãà ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿð:

a = ∑ a ii = a11 + a 22 + a 33 . i

Îïðåäåëåíèå. Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì òåíçîðîâ íàçûâàåòñÿ îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ýòèõ òåíçîðîâ ñ ïîñëåäóþùèì ñâåðòûâàíèåì ïî èíäåêñàì, îòíîñÿùèìñÿ ê ðàçíûì ñîìíîæèòåëÿì. Ïðèìåð 3. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå òåíçîðà 2-ãî ðàíãà [aij] íà âåêòîð [bk] ñî ñâåðòûâàíèåì ïî ïîñëåäíèì èíäåêñàì äàñò íî-

ρ

ρ

âûé âåêòîð c = A ⋅ b ñ êîìïîíåíòàìè ci = ∑ a ij b j j

122

(i = 1,2 ,3).

Ýòî èçâåñòíàÿ îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ìàòðèöû íà âåêòîð ïî ïðàâèëó «ñòðîêà íà ñòîëáåö». Ïðèìåð 4. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ òåíçîðîâ 2-ãî ðàíãà [aij] è [bij] ñî ñâåðòûâàíèåì ïî ïàðå ðàçíîïîçèöèîííûõ èíäåêñîâ äàñò íîâûé òåíçîð 2-ãî ðàíãà Ñ = À⋅Â ñ êîìïîíåíòàìè

cik = ∑ a ij b jk (i , k = 1,2 ,3). Ýòî èçâåñòíàÿ îïåðàöèÿ ïåðåìíîæåj

íèÿ ìàòðèö ïî ïðàâèëó «ñòðîêà íà ñòîëáåö», äàþùàÿ íîâóþ ìàòðèöó.

ρ

Îïðåäåëåíèå. Òåíçîð 2-ãî ðàíãà ∇a , îïðåäåëÿåìûé êàê ïîëíîå ïðîèçâåäåíèå ñèìâîëè÷åñêîãî âåêòîðà

 ∂ ∂ ∂  íà âåêòîð aρ = a , a , a è èìå{ 1 2 3} , , ∇=   ∂x1 ∂x2 ∂x3 

∂a ρ þùèé êîìïîíåíòû (∇a ) ij = i (i , j = 1,2 ,3) , íàçûâà∂x j

ρ

åòñÿ ãðàäèåíòîì âåêòîðíîãî ïîëÿ a .

ρ

Òåíçîð ∇a ÿâëÿåòñÿ ìåðîé íåîäíîðîäíîñòè âåêòîðíîãî ïîëÿ

 ∂u ∂u ∂u  ρ , , a , ïîäîáíî òîìó, êàê âåêòîð ∇u =   ÿâëÿåòñÿ  ∂x1 ∂x2 ∂x3  ìåðîé íåîäíîðîäíîñòè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u ( x1 , x2 , x3 ).

ρ

ρ

ρ

Çàìå÷àíèå. ∇a ≠ ∇ ⋅ a = div a. Ïîäîáíî òîìó, êàê â ðàçäåëå 1.3 ïðåäñòàâëÿëàñü ïðîèçâîäíàÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u( x1 , x2 , x3 ) ïî íàïðàâëåíèþ, çàäàâàåìîìó ρ ∂u ρ åäèíè÷íûì âåêòîðîì l : = l ⋅ ∇u (ôîðìóëà (1.6), ìîæíî ââåñòè ∂λ

ρ

ïîíÿòèå ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîãî ïîëÿ a ( x1 , x2 , x3 ) ïî íàïðàâëåρ ρ íèþ l êàê ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå åäèíè÷íîãî âåêòîðà l íà òåíçîð

ρ ∇a :

123

ρ ∂a ρ ρ = l ⋅ ∇ a. ∂l

 ðåçóëüòàòå ýòîé îïåðàöèè ïîëó÷àåòñÿ âåêòîð

ρ ∂a ñ êîìïîíåíòàìè ∂l

ρ ρ ∂a  ∂a    = ∑ l j (∇a )ij = ∑ l j i (i = 1,2,3). ∂ l ∂ xj  i j j ρ

∂a Âèäíî, ÷òî âåêòîð — ýòî ñâåðòêà ïîëíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåê∂l ρ ρ òîðà l íà òåíçîð âòîðîãî ðàíãà ∇a .

Çàäà÷è 5.31. Íàéòè ñâåðòêó òåíçîðà Ò, çàäàííîãî ìàòðèöåé

 1 2 3 [ a ij ] =  4 5 6.    7 8 9

ρ

5.32. Íàéòè ñâåðòêó òåíçîðà ∇a . 5.33. Äîêàçàòü, ÷òî ñâåðòêîé òåíçîðà 3-ãî ðàíãà ÿâëÿåòñÿ òåíçîð 1-ãî ðàíãà. 5.34. Òåíçîð 3-ãî ðàíãà Ò = ÀÂ, ãäå òåíçîðû âòîðîãî ðàíãà À è ïåðâîãî ðàíãà Â çàäàíû êîìïîíåíòàìè:

 0  1 2 3   A = [ a ij ] = 4 5 6 , B = [ bk ] =  1.      2  7 8 9 Íàéòè ñâåðòêó òåíçîðà Ò ïî äâóì ïîñëåäíèì èíäåêñàì. 5.35. Âû÷èñëèòü ãðàäèåíò âåêòîðíîãî ïîëÿ

ρ ρ ρ a = − x1 e1 + x2 e2 .

124

5.36. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ âåêòîðíîãî ïîëÿ

ρ ρ ρ ρ a = − x2 e1 + x1e 2 ïî íàïðàâëåíèþ ðàäèóñà-âåêòîðà r .

5.37. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ âåêòîðíîãî ïîëÿ

ρ ρ ρ ρ r = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ïî íàïðàâëåíèþ, çàäàííîìó

ρ åäèíè÷íûì âåêòîðîì l .

125

ÎÒÂÅÒÛ 1. Ñêàëÿðíîå ïîëå 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16. 1.17.

1.18. 1.19. 1.20. 1.21. 1.22. 1.23. 1.24.

Ïàðàáîëîèäû âðàùåíèÿ: z = C— x2 — y2. Êðóãîâûå êîíóñû: z2 = C2 (x2 + y2). Îäíîïîëîñòíûå ãèïåðáîëîèäû: x2 + y2 — z2 = C2. Ýëëèïòè÷åñêèå öèëèíäðû: 4y2 + 9z2 = C2. Êîíöåíòðè÷åñêèå ñôåðû: x2 + y2 + z2 = C2. Ñåìåéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé: x

y

z

a1

a2

a3 = C

b1

b2

b3

.

Ãèïåðáîëè÷åñêèå ïàðàáîëîèäû: xy = Cz. Ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îñü z. Ñåìåéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ: 2x — y = C. Ïó÷îê ïðÿìûõ: y = Cx (C ≥ 0). Ñåìåéñòâî ïàðàáîë: y2 = Cx. Ñåìåéñòâî ãèïåðáîë: x2 — y2 = C. Ñåìåéñòâî îêðóæíîñòåé ñ öåíòðàìè íà îñè x: (x — C)2 + y2 = C2. Ñåìåéñòâî ýëëèïñîâ: x2 + 9 (y—1)2 = C + 9. Ñåìåéñòâî ïàðàáîë: y = (1 + C) — (x — C)2/C. Ñåìåéñòâî ãèïåðáîë ñ àñèìïòîòàìè y = ±2x è ôîêóñàìè íà îñè x. r1 + r2 = C, ãäå r1 è r2 — ðàññòîÿíèÿ îò ïåðåìåííîé òî÷êè äî ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê Ì1(0, 0) è Ì2(1, 0); ïðè Ñ = 1 — ýòî îòðåçîê Ì1Ì2, ïðè Ñ > 1 — ñåìåéñòâî ýëëèïñîâ ñ ôîêóñàìè â òî÷êàõ Ì1 è Ì2. Îêðóæíîñòü: x2 + y2 = 34. Ãèïåðáîëà: 4x2 — y2 = 15. Ïàðà ïðÿìûõ: 2x + y = 0, 2x — y = 0. Ýëëèïñ: x2 + 9(y — 1)2 = 45. Ïàðàáîëà: (x — 2)2 = y + 3. Îêðóæíîñòü: (x — 2)2 + y2 = 4. —. 126

1.25. (x2 + y2)2 = 2C2(x2 — y2); èëè, â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ: r = C cos 2ϕ .

1.26. Îêðóæíîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè Ì1 è Ì2. 1.27. 6.

1.33. − 2 / 2 .

1.28. 15 / 5 . 1.29. 128/13.

1.34. ( 3 + 1) / 4 . 1.35. 1/4.

1.30. -1/25.

1.36. 3 2 / 5 .

1.31.

2 / 4.

1.37. 3 2 / 82 .

1.32. e3 / 3 .

1.38. — .

1.39. 349 / (18 14 ) . ρ ρ ∂u = − 1 cos(lρ, rρ) ∂u = 0 1.40. ; ∂l ïðè l ⊥r . 2 ∂l r ∂u = u′ cos(lρ, rρ) . 1.51. 2 3 / 3 . 1.41. r ∂l 1.42. 1.43. 1.44. 1.45. 1.46. 1.47. 1.48. 1.49.

∂u = 20 5 . ∂r ρ ez . θ = π. π/4. arccos (-8/9). cosθ ≈ -0,2; θ ≈ 101,5o. θ = 0. π/2.

1.50. 1.

1.52. 7 17 / 34 . 1.53. 1.54. 1.55. 1.56. 1.57. 1.58. 1.59. 1.60.

2. — M (-2, 1, 1). a) xy = z2; á) x = y = z. Íà ñôåðå r = 1. 1/9; -1/27. 4. 14 .

∂u = (∇u) ⋅ (∇v ) / ∇v ∂u = 0 ; ïðè ∇u⊥∇v . ∂l ∂l ρ ρ 1.62. r / r . 1.65. ez . ρ ρ ρ 1.63. −2r / r 4 . 1.66. a × b . ρ ρρ ρ ρρ ρ 1.64. nr ( n −2)r . 1.67. a(b ⋅ r ) + b (a ⋅ r ) . 1.61.

127

ρρ ρ ρ ρ ρ a 3r (a ⋅ r ) − b×a . 1.68. r 3 . 1.69. 5 r ρ ρ ρρ 2 1.70. 2a r − 2(a ⋅ r )a . Ïîäñêàçêà. Ïðåäñòàâèòü èñõîäíîå âûðàæåíèå â âèäå äâîéíîãî âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, è ïîñëå åãî ðàñêðûòèÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòîì çàäà÷è 1.67. 1.71. — . 1.72. — . 1.73. Ïîäñêàçêà. Ââåñòè ñêàëÿðíûå ïîëÿ u = x 2 — y 2 è v = xy. 1.74. — . 1.75. Ïîäñêàçêà. Ó÷åñòü çàäà÷ó 1.74. 1.76. Ïîäñêàçêà. Ó÷åñòü çàäà÷ó 1.74. 1.77. — . 1.78. — . 1.79. 60î. Ïîäñêàçêà.Ââåñòè ñêàëÿðíîå ïîëå u = x2 + y2 — z. 1.80. 120î. Ïîäñêàçêà. Ââåñòè ñêàëÿðíîå ïîëå u = x2 + y2 + z2. 1.81. — . 1.82. — . 1.83. — .

2. Âåêòîðíîå ïîëå 2.1. y = Cx — ðàäèàëüíûå ëó÷è, íàïðàâëåííûå îò öåíòðà. 2.2. xy = C — ãèïåðáîëû ñ àñèìïòîòàìè x = 0 è y = 0, íàïðàâëåííûå â ñòîðîíû y = ±∞. 2.3. y2 — x2 = C — ãèïåðáîëû ñ àñèìïòîòàìè y = ±x , îðèåíòèðîâàííûå âäîëü àñèìïòîòû y = x îò öåíòðà. 2.4. x2 + y2 = R2 — îêðóæíîñòè, îðèåíòèðîâàííûå ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. 2.5. y = Cx — ðàäèàëüíûå ëó÷è, íàïðàâëåííûå ñëåâà íàïðàâî. 2.6. y = Cx2 — ïàðàáîëû, âåòâè êîòîðûõ îðèåíòèðîâàíû â ñòîðîíû îò òî÷êè (0, 0). 2.7. y = x2 + C — ïàðàáîëû, îðèåíòèðîâàííûå ñëåâà íàïðàâî. 2.8.

x 2 + y 2 = C ⋅ exp(arctg( y / x )) ; èëè, â ïîëÿðíûõ êîîð-

äèíàòàõ: ρ = Ceϕ — ëîãàðèôìè÷åñêèå ñïèðàëè. Ïîä128

ñêàçêà. Äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ-

2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16.

2.17. 2.18. 2.19. 2.20.

íåíèÿ y ′ = f ( x, y ) ââåñòè íîâóþ ôóíêöèþ u = y/x, ñîõðàíèâ àðãóìåíò x. xy = C — ãèïåðáîëû. x2 + y2 = R2 — îêðóæíîñòè. x2 — y2 = C — ãèïåðáîëû. y = Cx4. x2 + 2y2 = C2 — ýëëèïñû. y = Cx — ëó÷è, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. x2 + y2 = C2 — êîíöåíòðè÷åñêèå îêðóæíîñòè ñ îáùåé îñüþ z. x = 0, y2 + 2z2 = 3 — ýëëèïñ â ïëîñêîñòè x = 0, âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûé ñ ñåìåéñòâîì ïàðàáîë z = Cy2 â ýòîé æå ïëîñêîñòè. πR2H. 2.27. πR2az. 2 πR H. 2.28. —. — 2.29. 3l 4. 2 2πR h. 2.30. 3l 5. 2πR2 .

2.21. 4π.

2.31.

2.22. 4πR3f (R).

2.32. 4π 3 9 .

(

)

2.23. 2πk 1 − 1 1 + ( R h)2 . 2.24. 2.25. 2.26. 2.37. 2.38. 2.39. 2.40. 2.41. 2.42. 2.43.

2.33. -4.

2π . 2.34. 9/2. πR2az. 2.35. 27/2. 2àz. 2.36. 2πR2h 2. Ïîäñêàçêà. Âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèìåðîì 1 ðàçä. 2.2. ρ ρ 3. 2.44. (c ⋅ r ) f ′ r . 2/r. 2.45. 0. ρ ρ lnr + 1. 2.46. 2(a ⋅ c ) . ρ ρ ρ ρ 2.47. 2(a ⋅ r ) . 2(c ⋅ r ) . ρ ρ a ⋅c . 2.48. 0. ρ ρ 4(c ⋅ r ) . 2.49. 0.

2.50. 0.

129

ρ ρ 2.51. div E = 0 , êðîìå òî÷êè (0, 0, 0), ãäå ïîëå E íå îïðåäåëåíî. ρ ρ 2.52. div B = 0 , êðîìå òî÷êè (0, 0, 0), ãäå ïîëå B íå îïðåäåëåíî.

2.53. Äà.

2.56. (α + 3)rα ; α = -3.

2.54. Íåò.

2.57. 3 f + rf ′ ; f = C/r3.

2.83. 2.84. 2.85. 2.86. 2.87. 2.88. 2.89.

2.58. 2 f + ρf ′ ; f = C/ρ2. 2.59. — . f (r) = C/r. Ïîäñêàçêà. Ñì. çàäà÷è 1.74 è 2.59. Òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî çäåñü ïðèìåíÿòü íåëüçÿ, òàê ρ êàê â òî÷êå (0, 0, 0) ïîëå a è åãî ïðîèçâîäíûå íå îïðåäåëåíû. 0. 2.72. πR2h. 5 4πR . 2.73. a) 0; á) 0. 0. 2.74. 2πR2h. 3 2πhR . 2.75. (2/3)πR3. (32/3)π. 2.76. -πh4/2. 5 (12/5) πR . 2.77. 0. 3l 5 . 2.78. π . 0. 2.79. π . (256/3)π. 2.80. — . 8π. 2.81. q/ε0. 2.82. π . (α + β + γ)/2. Ïîäñêàçêà. Ñì. ïîäñêàçêó ê çàäà÷å 2.37. —. 1. -πab. a) 1/6; á) 0; â) 7/30; ã) 1/3. a) -14/15; á) 2/3. a) 2πωR2; á) πωR2/2; â) ωR2; ã) 0.

2.90. 2.91. 2.92. 2.93. 2.98.

(r22 − r12 ) / 2 = 16 . (1 + c2)/2. ln(r2/r1). —. 2πk.

2.55. Äà. 2.60. 2.61.

2.62. 2.63. 2.64. 2.65. 2.66. 2.67. 2.68. 2.69. 2.70. 2.71.

2.94. 2πR2. 2.95. -πR2. 2.96. -14/15. 2.97. -4R2/3. 2.105. 0. 2.106. − 2πR2 .

2.99. 3πab(a2 + b2)/4. 130

π

2.107. -πR2. 2.108. 0. 2.109. -π . 2.110. 2 {0, 0, x + y}. 2.111. 0. 2.112. {0, 0, 2ω}. ρ ρ ρ 2.113. v = {vm z h ,0,0} , rot v = {0, vm h ,0} , div v = 0 . ρ ρ ρ 2.114. v = {vm(1 − y 2 a 2 ),0,0} , rot v = {0,0,2 vm y a 2} , div v = 0 . 2.100. 2.101. 2.102. 2.103. 2.104.

-3πR2/16. —. 4/3. 128/3. 4/3.

2.115. 0. 2.127. -{2, 2, 2}.

2.136. - π . 2.137. -6πR2.

2.133. πR2. 2.134. -πR2.

2.138. − 2πR2 . 2.139. 2R3/3.

2.135. − 3πR2 .

2.140. -4R3/3.

2.141. 4/3. Ïîäñêàçêà. Ïîñêîëüêó ïîâåðõíîñòü S ïðîèçâîëüíà, òî åå óäîáíî âûáðàòü ñîñòîÿùåé èç òðåõ ïëîñêèõ òðåóãîëüíûõ ôðàãìåíòîâ, ëåæàùèõ íà êîîðäèíàòíûõ ïëîñêîñòÿõ. 2.142. -27/2.Ïîäñêàçêà. Ñì. ïîäñêàçêó ê çàäà÷å 2.141. 2.143. 0. Ïîäñêàçêà. Ñì. ïîäñêàçêó ê çàäà÷å 2.141. 2.144. -π/2. Ïîäñêàçêà. Ñì. ïîäñêàçêó ê çàäà÷å 2.141. 2.145. h3/3. Ïîäñêàçêà. Çàìêíóòü âèíòîâóþ ëèíèþ ïðÿìîé è ïðèìåíèòü òåîðåìó Ñòîêñà. 2.146. — . 2.149. -1. 2.147. 3π/2. 2.150. 4/15. 2.148. 2/3. 2.151. 0. 2.152. 3π/2. 2.153. π/2. Ïîäñêàçêà. Çàìêíóòü ïîëóîêðóæíîñòü îòðåçêîì îñè x. 2.154. π/2 + 1 — e2. Ïîäñêàçêà. Ñì. ïîäñêàçêó ê çàäà÷å 2.153. 2.155. Ïîäñêàçêà. Âî âòîðîì ñëó÷àå âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ρ ïîëÿ a ïî îêðóæíîñòè Ñ1, öåëèêîì ëåæàùåé âíóòðè êîíòóðà Ñ (öåíòð îêðóæíîñòè — â íà÷àëå êîîðäèíàò); ïîñëå ýòîãî ïðèìåíèòü ôîðìóëó Ãðèíà ê îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé êðèâûìè Ñ è Ñ1. 131

3. Òèïû âåêòîðíûõ ïîëåé 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Íåò. ϕ = -(x2y + y2z + z2x). Íåò. ϕ = -x2yz.

3.10. ϕ = -lnx + y + z. 3.11. ϕ = -xyz (x + y + z).

3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9.

ϕ = -(xyz + x). Íåò. ϕ = -xy. ϕ = -(xy + ez — 1). ϕ = -(xy + xz + yz).

ρ 3.12. Ïîäñêàçêà. Ïîêàçàòü, ÷òî rot a = 0 , à çàòåì âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïî êîíòóðó, îõâàòûâàþùåìó îñü z , êàê â ïðèìåðå 2 ðàçä. 3.1. 3.13. — .

3.14. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ∇(ϕ1 + ϕ 2 ) = ∇ϕ1 + ∇ϕ2 . 3.15. — . 3.16. ϕ = -kx2/2 ïðè x ≤ d, ϕ = k(d2/2 — xd) ïðè x > d, ϕ = k (d2/2 + xd) ïðè x < -d. ρ 3.17. — . 3.21. A = {0, x 2 2 , y 2 2 − xz} . ρ 3.18. Äà. 3.22. A = {0, x 2 , y 2 − xz} . ρ 3.19. — . 3.23. A = {0, e x − xe y ,0} . ρ ρ 3.20. A = {0, x, y − x} . 3.24. A = {0,− x( xz + 2 yz ),− xy 2} . 3.25. ψ = ωxy + C . ρ ρ 3.26. Ïîëå a = r íå ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì è ïîýòîìó íå èìååò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà. ρ µi 3.27. A = − 2π0 {0,0, ln ρ} . ρ γ  3.28. A1 = πε 0,0,− arctg 2 0

x  Aρ =  yz , − xz ,0 y  , 2  ρ 2 ρ 2  .

п ри x ≤ d ; − µ0 jx 2 / 2 ρ  3.29. A = {0,0, Az} , ãäå Az = µ0 jd 2 / 2 − µ0 jxd при x > d; µ jd 2 / 2 + µ jxd при x < −d . 0  0

132

3.30. Ïðè x ≤ d âåêòîðíûé ïîòåíöèàë íå ñóùåñòâóåò, òàê ρ ρ êàê â ýòîé îáëàñòè div E ≠ 0 . Ïðè x > d A = kd{0,0, y} .

ρ

Ïðè x < -d A = − kd{0,0, y} .

ρ

1 1 ρ ρ {z − y, x − z, y − x} = (a × r ) . 2 2

ρ

1 2 1 ρ ρ {z − xy, x 2 − yz, y 2 − xz} = (a × r ) . 3 3

3.31. A = 3.32. A =

ρ

3.33. A = {−8 yz, xz,7 xy} . ρ  sin( xz ) sin( xz )  , 0, − . 3.34. A =  x 2   3.35. — .

ρ

3.36. A =

1 ρ ρ ρ 1 ρρ ρ ρ2 ( p × r ) × r = (r ( p ⋅ r ) − pr ) . 3 3

3.37. f = r 3 3 . Ïîäñêàçêà. Ñì. çàäà÷ó 2.124. 3.38. f = r 2 2 . 3.39. f = r . 3.40. f = −1 r . 3.41. f = ∫ ru(r )dr . Ïîäñêàçêà. Ñì. çàäà÷ó 2.124 èëè ïðèìåð 2 3.42. 3.43. 3.44. 3.45.

ðàçä. 2.6. f = u(r). Äà. Íåò. Íåò.

3.52.

∆u = u′′ + u′ ρ ; u = C1 ln ρ + C2 .

3.53.

∆u = u′′ + 2 u′ r ; u = C1 r + C2 .

3.46. Äà. 3.47. — . 3.48. a) 1/r ; á) 2/r. 3.49. 6. 3.50. ∆r n = n (n + 1)rn—2. 3.51. u(r) = C/r3, ãäå Ñ — ëþáîå ÷èñëî. Ïîäñêàçêà. Ñì. çàäà÷ó 2.57.

3.54. — . 133

3.55. 3.56. 3.57. 3.58.

3.59. 3.60. 3.61. 3.62.

Ïîäñêàçêà. Ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî. Ïîäñêàçêà. Ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî. Ïîäñêàçêà. Ñì. çàäà÷è 3.56 è 3.49. Ïîäñêàçêà.  ïåðâîì ñëó÷àå ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî, äîêàçûâàþùóþ ñîîòíîøåíèå (3.16); âî âòîðîì ñëó÷àå ââåñòè ñôåðó x2 + y2 + z2 = R2, öåëèêîì ëåæàùóþ âíóòðè S, âû÷èñëèòü ïîòîê ÷åðåç íåå íåïîñðåäñòâåííî, à çàòåì ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî ê îáëàñòè, çàêëþ÷åííîé ìåæäó ýòîé ñôåðîé è ïîâåðõíîñòüþ S. Ïîäñêàçêà. Ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî. ρ Ïîäñêàçêà. Âûïîëíèòü îïåðàöèþ rotrot a ñèìâîëè÷åñêèì ìåòîäîì. 0. Ïîäñêàçêà. Äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî âûïîëíèòü ïîêîîðäèíàòíî, íî ëó÷øå âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (3.17).

4. Êðèâîëèíåéíûå îðòîãîíàëüíûå êîîðäèíàòû ρ ρ ρ ρ 4.1. B = eϕ ρ . 4.4. a = f ( ρ )ρeρ . ρ ρ ρ ρ ρ 4.2. a = f ( ρ )ρeϕ . 4.5. a = f1( ρ, z )eρ + f2 ( ρ, z )ez . ρ ρ 4.3. E = eρ ρ . 4.6. ϕ = C1 , r = C2 sin 2 θ . 4.7. ρ = C1 , z = bϕ + C2 (âèíòîâûå ëèíèè). 4.8. ϕ = C1 , r = C2 sin 2 θ .

ρ , ,0} — â íàïðàâëåíèè îðòà eθ . 4.9. ∇u = {01

4.10. ∇u = {2r cos θ ,−r sin θ ,0} . ρ z sin ϕ ρ ρ  z sin ϕ  4.11. ∇u = eρ − ρ eϕ + cos ϕ ⋅ ez = 1,− ρ , cos ϕ  .   ρ cos θ 4.12. div a = 2 . r

4.14. 0; 0.

ρ sin θ ρ 4.13. rot a = − 2 eϕ . r

ρ ρ sin ϕ ρ e . 4.15. rot a = −2ρeϕ + ρ z

134

ρ ρ 4.16. rot a = ( ρ 2 + z 2 )eϕ . ρ ρ z cos ϕ  4.17. div a = 0 ; rot a =  ,0, cos ϕ  .  ρ  ρ ρ ρ 4.18. div eρ = 1 ρ , div eϕ = 0 , div ez = 0 ; ρ ρ ρ ρ rot eρ = 0 , rot eϕ = ez ρ , rot ez = 0 . ρ ρ ρ 2 1 4.19. div er = , div eθ = r tg θ , div eϕ = 0 ; r ρ ρ ρ eθ er ρ ρ eϕ rot eρ − rot er = 0 , rot eθ = , ϕ = r tg θ r . r 4.20. 0.

4.21. f = C r 2 . 4.22. f = C ρ . 4.23. aϕ = aϕ ( ρ, z ) — ëþáàÿ ôóíêöèÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò ϕ. 4.24. f = − z 2 + f1( ρ ) , ãäå f1(ρ) — ïðîèçâîëüíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ. 3 4.25. f = − ρz 2 + f1( ρ ) , ãäå f1(ρ) — ïðîèçâîëüíàÿ ñêàëÿð2 íàÿ ôóíêöèÿ. 4.26. 2πR2h. 4.27. πR2h/4. 4.28. 2πR3. 4.29. Ïîäñêàçêà. Âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Îñòðîãðàäñêîãî è ñëåäñòâèåì 2 ðàçä. 2.4. 4.30. 2πR4. 4.31. 2π/R. 4.32. 0. 4.33. 8πR3/3. 4.34. πR4/2 — R5/3. ρ 4.35. 2πh/3. Ïîäñêàçêà. Òàê êàê ïîëå a ñîëåíîèäàëüíî ρ ( div a = 0 ), òî â ñèëó ñëåäñòâèÿ 3 òåîðåìû Îñòðîãðàäñêîãî (ðàçä. 2.4), ïëîñêóþ ïëîùàäêó S, îãðàíè÷åííóþ ïðÿìîóãîëüíûì êîíòóðîì, ìîæíî çàìåíèòü íà ó÷àñòîê öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ðàäèóñà R,

135

4.36. 4.37. 4.38. 4.39. 4.40. 4.41. 4.42. 4.43. 4.44. 4.45.

îïèðàþùåéñÿ íà äâå ñòîðîíû òîãî æå êîíòóðà è äîïîëíåííîé äâóìÿ òîðöåâûìè ñåãìåíòàìè êðóãà. h ln( R2 R1) . 4.46. u = −( ρ 2 + ρ sin ϕ + z 2 ) . 4πR2. 4.47. Ïîëå íå ïîòåíöèàëüíî. 2πR. 4.48. u = z 3 3 − zρ 2 2 . π2R. 4.49. Ïîëå íå ïîòåíöèàëüíî. 1/2. 4.50. u = eρ sin ϕ + z 2 . 2πR2. 4.51. Ïîëå íå ïîòåíöèàëüíî. π. 4.52. u = − ∫ f (r )dr . 2/R2. 4.53. u = −rθ . 4.54. u = r 2 cos θ . u = − ρ2 + 4 . 4.55. u = r sin θ ⋅ cos ϕ . u = − ∫ f ( ρ )dρ . 4.56. u = cos θ r 2 .

при ≤ R; − kρ 2 / 2 4.57. u( ρ ) =  2 2 − ( kR / 2 + kR ln( ρ R)) при ≥ R. ( k 2 R)(3 − r 2 R2 ) при ≤ R; k u0 = u(0) = 3 . 4.58. u(r ) =  2R при ≥ R . k r 

4.59. f ( ρ, z ) = ρ 3 3 + f1( z ) , ãäå f1(z) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. 4.60. f ( ρ, z ) = ρ 2 2 + f1( z ) , ãäå f1(z) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. 4.61. Âåêòîðíûå ïîòåíöèàëû ìîãóò áûòü, íàïðèìåð, òàρ ρ êèìè: A = {0,0, ϕ} , A = {0,− z ρ ,0} ; îäíàêî ïåðâûé èç íèõ «íåõîðîø» òåì, ÷òî èìååò ðàçðûâ ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ïîëóïëîñêîñòü ϕ = 0. 4.62. Ñðåäè âåêòîðíûõ ïîòåíöèàëîâ âîçìîæíû òàêèå: ρ ρ A = {z ρ,0,0} , A = {0,0,− ln ρ} . 4.63. Âîçìîæíû, íàïðèìåð, òàêèå âàðèàíòû âåêòîðíûõ ïîρ ρ òåíöèàëîâ: A = {ρz,0,0} , A = {0,0,− ρ 2 2} . ρ 4.64. A = {0,− ρz 2 2 ,0} . ρ 4.65. A = {0,− ρ 2 z 2 2 ,0} . ρ 4.66. A = {0,0,(sin θ ) r 2} . ρ ρ 4.67. Ïîëå a = rer íå ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì, è ïîýòîìó íå èìååò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà. 136

4.68. 4.69. 4.70. 4.71.

Íåò. Äà. Äà. Íåò.

4.72. 4.73. 4.74. 4.75. 4.76.

Äà. Íåò. Íåò. Íåò. n (n + 1)r n—2.

á) u = C1 ln tg(θ 2) + C2 ;

4.77. a) u = C1 r + C2 ; â) u = C1ϕ + C2 .

4.78. u = Cr 2 6 + C1 r + C2 , ãäå Ñ1 è Ñ2 — ïîñòîÿííûå. 4.79. a) åñëè n ≠ −2 è n ≠ −3 , òî u =

C r n +2 + 1 + C2 ; ( n + 2)( n + 3) r

á) åñëè n = −2 , òî u = ln r + C1 r + C2 ; ln r C1 â) åñëè n = −3 , òî u = − + + C2 . r r

4.80. a) åñëè n ≠ −1 è n ≠ −2 , òî u =

z n +2 + C1z + C2 , ( n + 1)( n + 2)

ãäå Ñ1 è Ñ2 — ïîñòîÿííûå; á) åñëè n = −1 , òî u = z ln z + C1z + C2 ; â) åñëè n = −2 , òî u = − ln z + C1z + C2 . 4.81. u = C ρ , ãäå Ñ — ïîñòîÿííàÿ. 4.82. u = C r 2 , ãäå Ñ — ïîñòîÿííàÿ. 4.83. f ( ρ, z ) = ρ 2 2 − z 2 + C , ãäå Ñ — ïîñòîÿííàÿ. 4.84. Íè ïðè êàêîé. 4.85. T =

R1T1( R2 − r ) + R2T2(r − R1 ) . r( R2 − R1 )

5. Òåíçîðû

 – cos α sinα  −1 ; Г = Г' , ãäå Г ′ — òðàíñïîíè − sinα cosα

5.1. Г = 

ðîâàííàÿ ìàòðèöà Ã.

137

5.2. Ïóñòü [aij] è [bij] — äâå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

∑ aik a jk k

= δ ij ,

∑ bik b jk k

= δ ij .

Ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ «ñòðîêà íà ñòîëáåö»

cij = ∑ a ik bkj . Ñîñòàâèì è ïðåîáðàçóåì ñóììó: k

∑ cik c jk = ∑ (∑ aimbmk ∑ a jnbnk ) = ∑ ∑ aima jn ∑bmkbnk = k

k

m

n

m n

k

= ∑ ∑ aima jnδ mn = ∑ aima jm = δ ij . m n

m

Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà [cij] óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ îðòîãîíàëüíîñòè. 5.3. Ñòðîêè ìàòðèöû Ã ñîñòàâëåíû èç êîìïîíåíò íîâûõ

ρ ρ ρ

áàçèñíûõ âåêòîðîâ ( e1′ , e2′ , e3′ ) â ñòàðîì áàçèñå

ρ ρ ρ ( e1 , e2 , e3 ) , ñëåäîâàòåëüíî, det à ìîæåò áûòü ïðåä-

ñòàâëåí ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì áàçèñíûõ âåêòî-

ρ ρ ρ

ðîâ ( e1′ , e2′ , e3′ ) , êîòîðîå ðàâíî îáúåìó êóáà, ïîñòðîρρ ρ åííîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ, ò. å. V = ( e1′e2′ e3′ ) = ±1. Çíàê «+» áåðåòñÿ, åñëè îáà áàçèñà ïðàâûå èëè ëåâûå, à çíàê «-», åñëè îäèí áàçèñ ïðàâûé, à äðóãîé ëåâûé. 5.4. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè:

∑ a i xi

= 1. Ïðè ïîâîðîòå áà-

i

çèñà ñòàðûå êîîðäèíàòû êàæäîé òî÷êè ïëîñêîñòè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç íîâûå ôîðìóëîé: xi = ∑ γ ik ′ xk′ . Ñëåk

äîâàòåëüíî,

∑ ∑ a i γ ik′ xk′ = ∑ (∑ γ ki a i )xk′ i

k

k

âíóòðåííèå ñóììû a k′ =

= 1. Çäåñü

i

∑ γ ki a i

îáðàçóþò êîýôôè-

i

öèåíòû ïëîñêîñòè â íîâîì áàçèñå. Âèäíî, ÷òî òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ a 1 , a 2 , a 3 ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåíèþ òåíçîðà 1-ãî ðàíãà.

138

5.5. Äîêàçàòåëüñòâî òàêîå æå, êàê â çàäà÷å 5.4. 5.6. Ïðè ïåðåõîäå ê íîâîìó áàçèñó êîìïîíåíòû âåêòîðîâ ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíó: xi′ = ∑ γ ik xk ,x′j = ∑ γ jl xl .

Ñëåäîâàòåëüíî, â íîâîì áàçèñå: aij′ = xi′x′j = ∑∑ γ ikγ jl xk xl = ∑∑ γ ikγ jl akl .

Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ÷èñåë a kλ ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåíèþ òåíçîðà 2-ãî ðàíãà. 5.7. Äîêàçàòåëüñòâî òàêîå æå, êàê â çàäà÷å 5.6. 5.8. Äîêàçàòåëüñòâî òàêîå æå, êàê â çàäà÷å 5.6. 5.9. Ïîñêîëüêó [δ ij ] — òåíçîð, òî δ ij′ = ∑∑ γ ikγ jl δ kl = ∑ γ ikγ jk = δ ij k

(òàê êàê ìàòðèöà [γ ij ] îðòîãîíàëüíà). 5.10. Äîêàçàòåëüñòâî òàêîå æå, êàê â çàäà÷å 5.9. 5.11.  íîâîì áàçèñå ρ ρ x′ ⋅ y′ = ∑ xi′yi′ = ∑ ( ∑ γ ik xk )(∑ γ il yl ) == ∑∑ xk yl ∑ γ ikγ il = i

k

l

k

ρ ρ = ∑∑ xk ylδ kl = ∑ xk yk = x ⋅ y. k

l

l

i

k

5.12. Î÷åâèäíî, ÷òî ìîæíî çàïèñàòü:

a ij =

1 1 ( a ij + a ji ) + ( a ij − a ji ) = bij + cij . 2 2

Íî òåíçîð TS = [ bij ] =

1 [ a ij + a ji ] ÿâëÿåòñÿ ñèììåò2

êàê

bij = b ji ,

ðè÷íûì,

òàê

TAS = [ cij ] =

1 [ a ij − a ji ] ÿâëÿåòñÿ àíòèñèììåòðè÷2

íûì, òàê êàê cij = − c ji . 139

à

òåíçîð

5.13.  ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì çàäà÷è 5.12, ïîëó÷àåì:

 0 − 1 − 2 1 3 5    [ bij ] = 3 5 7 , [ cij ] =  1 0 − 1.     0   2 1 5 7 9 ρ ρ ρ 5.14. Ïóñòü â áàçèñå ( e1 , e2 , e3 ) a ij = a ji . Òîãäà aij′ = ∑∑ γ ikγ jl akl = ∑∑ γ ikγ jl alk = ∑∑ γ jlγ ik alk = a′ji . k

l

k

l

l

k

5.15. Òàê êàê a ij = a ji , à bij = −b ji , òî íàáîð ÷èñåë

cij = a ij bij îáðàçóåò àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð 2-ãî ðàíãà. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà âñåõ åãî êîìïîíåíò

S = ∑ ∑ cij = 0. i

j

5.16. Â íîâîì áàçèñå a′kl = ∑∑ γ kiγ lj aij , ãäå [γ ij ] — ìàòðèöà

ρ

ρ

ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà: ei′ = ∑ γ ij e j . Ðàñêëàäûâàÿ

ρ

ρ

ρ ρ

îðòû e1′ è e2′ ïî ñòàðîìó áàçèñó ( e1 , e2 ) , ïîëó÷àåì:

ρ ρ ρ  e1′ = e1 ⋅ cos α + e 2 ⋅ sin α , ãäå α — óãîë ïîâîðîòà ρ ρ ρ e 2′ = − e1 ⋅ sin α + e 2 ⋅ cos α ,

áàçèñà (ñì. çàäà÷ó 5.1). Ïðè α = 45° èìååì:

[γ ij ] =

1 2

 1 1 − 1 1. Îäíàêî âìåñòî äâîéíîãî ñóììè 

ðîâàíèÿ òåõíè÷åñêè óäîáíåå âûïîëíèòü îïåðàöèþ ïåðåìíîæåíèÿ

ìàòðèö:

T ′ = ГТГ −1 ,

ãäå

T = [ a ij ], T ′ = [ a ij′ ]. Äëÿ ýòîãî íàäî âû÷èñëèòü ìàòðèöó îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Г

−1

. Íî òàê êàê áà-

çèñ ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì, òî Г −1 = Г ′, ãäå

Г ′ — òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà Ã, ò. å. 140

Г −1 =

Òîãäà T ′ =

1 2

1 − 1 1 1 .  

1  1 1  6 2 1 − 1 1  13 − 3 = . 2 − 1 1  2 3 1 1  2  − 3 5 

Âèäíî, ÷òî â íîâîì áàçèñå ìàòðèöà òåíçîðà òàêæå ïîëó÷èëàñü ñèììåòðè÷íîé, êàê è äîëæíî áûòü â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè ñâîéñòâà ñèììåòðèè. 5.17. T ′ = ГТГ

−1

 0 1  0 2  0 − 1  3 − 2 =   = . − 1 0  2 3 1 0  − 2 0 

Ðåøåíèå òàêîå æå, êàê â çàäà÷å 5.16. 5.18.  7 0 ρ 1  2 1 1 1 ρ T′ =  {2,1}, e2′ = {− 1,2}; Г = − 1 2. ; e1′ = 0 2 5 5 5   

5.19. 4 0  ρ 1 1 1  1 2 ρ − 2,1}; Г = T′ =  1,2}, e 2′ = ; e1′ = { {  .  5 5 5  − 2 1 0 − 1

5.20. 3 0 0  1 1 1 ρ ρ ρ T ′ =  0 6 0 ; e1′ = {1,−1,1}, e2′ = {1,2,1}, e3′ = {1,0,−1}.   3 6 2  0 0 − 2

Ìàòðèöà Т ′ ñîñòîèò èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé òåíçîðà Ò, ðàñïîëîæåííûõ íà åå ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî Т ′ = ГТГ −1 . 5.21. 0 0 0  1 1 ρ ρ ρ T ′ = 0 10 0; e1′ = {2,−1,0}, e2′ = {1,2,0}, e3′ = {0,0,1}.   5 5 0 0 1

Ñòðîêàìè ìàòðèöû Ã ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòû âåêòî-

ρ ρ ρ

ðîâ e1′ , e2′ , e3′ . 141

1 0 0  1 ρ ρ ρ 5.22. T ′ =  0 1 0 ; e3′ = {− 1,0,1}. Îðòû e1′ è e2′   2  0 0 − 1 ìîãóò áûòü ëþáûìè â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé

ρ ρ ρ

ρ

îðòó e3′ , íî òàêèìè, ÷òîáû òðîéêà ( e1′ , e2′ , e3′ ) îáðàçîâûâàëà ïðàâûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ; íàïðè-

ρ

1 ρ {1,0,1}, e2′ = {0,1,0}. Ñòðîêàìè ìàòðè2 ρ ρ ρ öû Ã ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòû âåêòîðîâ e1′, e2′ , e 3′ . Ëåãìåð e1′ =

êî óáåäèòüñÿ, ÷òî Т ′ = ГТГ −1 .

ρ

ρ

ρ

5.23. Ïîñêîëüêó v = ω × r , òî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî êîìρ ρ ïîíåíòû âåêòîðîâ v è r ñâÿçàíû ëèíåéíûìè ñîîò-

 0 ρ ρ  íîøåíèÿìè: v = Ω r , ãäå Ω = ω 3  − ω 2

− ω3 0

ω1

ω2  − ω1 ,  0 

à çíà÷èò, êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà Ω îïðåäåëÿþò òåíçîð 2-ãî ðàíãà. 5.24. I =

1 0 0  ml 2  0 1 0 . 12  0 0 0 

 1 0 0 mR2  5.25. I = 0 1 0 ;   4  0 0 2 a 2 m 5.26. I = 12  0 0 

0 b

2

0

mR2 2 ( x1 + x22 + 2 x32 ) = 1. 4

  0 ; 2 2  ( a + b ) 0

142

m 2 2 ( a x1 + b 2 x22 + ( a 2 + b 2 ) x32 ) = 1. 12  ( R2 + h 2 / 3) 0 0   m 2 2 0 0 . ( R + h / 3) 5.27. I =  4 0 0 2 R2    7 0 0 mR2  5.28. I = 0 7 0;   5  0 0 2

mR2 ( 7 x12 + 7 x22 + 2 x32 ) = 1. 5

 0 ρ ρ   ρ 5.29. j = ΛE; E = 0 , ñëåäîâàòåëüíî,   1  0   0  ρ    A  6 A  j = − 2 ⋅ 10  2  = − 2 ;      мм 2  м   5   5 

α ≈ 22 0 ; λ1 = 3, λ 2 = 6, λ 3 = 9; ρ 1 ρ 1 ρ 1 e1′ = {1,2 ,2}, e2′ = {2 ,1,−2}, e3′ = {− 2 ,2 ,−1}. 3 3 3  0 ρ ρ ∃ 0 E = ε 0  2; α ≈ 34 0 ; ε 1 = 1, ε 2 = 4 , ε 3 = 7; 5.30. D = εε    3 143

ρ 1 ρ 1 ρ 1 e1′ = {1,2,−2}, e 2′ = {2,1,2}, e3′ = {− 2,2,1}. 3 3 3 5.31. 15. 5.32.

∂a

ρ

∑ (∇a ) ii = ∑ ∂xi i

i

ρ ρ = ∇ ⋅ a = div a .

i

5.33. — . 5.34. Ñâåðòêîé áóäåò âåêòîð [ ci ] , êîìïîíåíòû êîòîðîãî

8 ci = ∑ a ij b j . Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëà, ïîëó÷àåì: [ c ] = 17 . i   j  26  − 1 0 0 ρ  ∂a i    5.35. ∇a =   =  0 1 0 .  ∂x j   0 0 0   ρ ∂ai  ∂a   5.36. ∂r  = ∑ l j ∂x ,  i j j ρ rρ ãäå l = — åäèíè÷íûé ðàäèóñ-âåêòîð. Ïîäñòàâëÿÿ r ρ ρ êîìïîíåíòû âåêòîðîâ a è l , ïîëó÷àåì:

ρ ∂a = ∂r

1 x12 + x22

{− x2 , x1 }.

ρ ∂r ρ = l = –onst. 5.37. ∂l

144

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Êî÷èí Í.Å. Âåêòîðíîå èñ÷èñëåíèå è íà÷àëà òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1965. 428 ñ. 2. Áóäàê Á.Ì., Ôîìèí Ñ.Â. Êðàòíûå èíòåãðàëû è ðÿäû. Ì.: Íàóêà, 1967. 608 ñ. 3. Äåìèäîâè÷ Á.Ï. Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. ÃÈÒÒË, 1954. 512 ñ. 4. Êðàñíîâ Ì.Ë., Êèñåëåâ À.È., Ìàêàðåíêî Ã.È. Âåêòîðíûé àíàëèç. Ì.: Íàóêà, 1978. 160 ñ. 5. Ï÷åëèí Á.Ê. Âåêòîðíûé àíàëèç äëÿ èíæåíåðîâ-ýëåêòðèêîâ è ðàäèñòîâ. Ì.: Ýíåðãèÿ, 1968. 256 ñ. 6. Êðó÷êîâè÷ Ã.È. è äð. Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ñïåöèàëüíûì ãëàâàì âûñøåé ìàòåìàòèêè. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1970. 512 ñ. 7. Î÷àí Þ.Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìåòîäàì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1973. 192 ñ. 8. Ìèñþðêååâ È.Â. Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìåòîäàì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1975. 168 ñ.

145

Äëÿ çàìåòîê

Äëÿ çàìåòîê

Ó÷åáíîå èçäàíèå

Ìèõàéëîâ Âëàäèìèð Êîíñòàíòèíîâè÷ Ñèïëèâûé Áîðèñ Íèêîëàåâè÷ Àôàíàñüåâ Àíàòîëèé Ìèõàéëîâè÷ ÇÀÄÀ×È ÏÎ ÂÅÊÒÎÐÍÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Ãëàâíûé ðåäàêòîð À.Â. Øåñòàêîâà Ðåäàêòîð Î.Ñ. Êàøóê Òåõíè÷åñêèé ðåäàêòîð À.Å. Ñòåïàíîâ Õóäîæíèê Í.Í. Çàõàðîâà

ËÐ ¹ 020406 îò 12.02.97 Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 12.05 2001 ã. Ôîðìàò 60x84/16. Áóìàãà òèïîãðàôñêàÿ ¹ 1. Ãàðíèòóðà Òàéìñ. Óñë. ïå÷. ë. 8,4. Ó÷.-èçä. ë. 9,0. Òèðàæ 200 ýêç. Çàêàç . «Ñ» 41.

Èçäàòåëüñòâî Âîëãîãðàäñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. 400062, Âîëãîãðàä, óë. 2-ÿ Ïðîäîëüíàÿ, 30.