This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
О зависит только от формы области D и от числа miп a (s) = а0 > О, но не от функции w. Из не равенств ( 1 О) и ( 1 1 ) , очевидно, следует сходимость соответствующих вариаци !! онным постановкам крае .. u В Ы Х з адач (А) И ( В ) M И H II · мизирующих последователь ностей к и и v соответствен но, поскольку при з амене � членом W N соответствую щей минимизирующей по следовательности правые, а c l--�---зн ачит, и левые ч а сти нера-------7--- венств ( 1 0 ) и ( 1 1 ) при N-+oo ...1 --+-..,...Ь .:z: стремятся к нулю. и L{оказательство теорем 3 Р и с . 46. и 4 · основано н а следующей лемме. Л е м м а . Пусть функция 'fJ (х, у) Е W и a (s) ;;;;:: а 0 > О. Тогда справедливо следующее неравенство:
Н тf dx dy � � { H [( �� У + ( �; Y] dxdy + �Г a (s) rJ2 ds} · ( 1 2) D
D
Здесь � - н екоторая постоя н н ая , котор ая полностью опреде ля ется обл а стью D и числом ао и не зависит от функции 'I'J (x, y ) E W.
Доказ ательство нера венства ( 1 2) п роведем при дополнительном предпо ложении, что каждая п р я м а я у = coпst пересекает границу Г области D н е более чем в двух точках. Это предположение н е вызвано существом дела, Н () благодаря е м у доказательство становится коротки м . П усть х , у - т о ч к а в н утри области D (рис. 46) . Тогда 'IJ
( х, у ) = 'IJ (х' . у) +
� дТ] 1tt у ) ."<:
х'
d t.
(1 3�
зэз
В д Р И А Ц I ! ОНI-! ЬI Е И П Р О Е К ЦИ О Н Н Ы Е М ЕТОДЫ
§ 38]
В озведем обе части нер авенства ( 1 3) в квадрат и воспользуемся очевид ным неравенством 2АВ � AZ + 8 2 , спр аведли в ы м для любых двух чfiсел А
11
В:
( 1 4) Воспользуемся неравепством Буняковекого
� """'
Из ( 1 4)
11
( 1 5) получим 71 2 ( х , у ) � 2
[
( )
х"
( Ь - а)
'1 2 (х' , у ) + ( Ь - )
)(
х"
а
iJ x
х'
дТJ
,
( дТJ (х , у ) )2 dxo �:· у) у d x
]
( 1 5)
( 1 6)
.
Проинтег р и р уем обе части ( 1 6) по х в предела х от х х' х' (у) до х " " х (у) , воспользов авшись тем, что п р а в а я часть от х не з а висит: х
= =
1
�
7] 2 (х ,
[ [
у) d x � 2 (х" - х ' ) � 2 (Ь - ) а
о
у) + (Ь -
а
)
dx
�� D
71 2 dx dy � 2 (Ь - ) а
d
[�
7)2 (х ' ,
с
0Чf'ВИДИО, ЧТО
�
d
с
'11 2 (х' ,
dx
,
в
D
�
г
а
(s) '11 2 ds;
( 1 7)
.
пределах
у) dy + (Ь - а) И ( �� У dx dy
у) dy � � '11 2 (s) ds � �о г
�
х"
Пр оинтегрируем теперь обе ч асти н е р а венства ( 1 7 ) по у д о y = do Получим
у=с
===
�
), ( дf) �; у ) у ] } ( дТJ �� у ) У ]
'1 2 (х' , у ) + ( Ь - а )
7) 2 (х ' ,
= =
]
о
от
( 1 8)
( 1 9)
[ ГЛ . 12
В д РИ дЦИОННО- И П РОЕ I<:ЦИОННО- РдЗНОСТНЬI Е СХЕМЫ
334
И з ( 1 8), ( 1 9) и (20 ) следует
И D
'1) 2 dx dy �
� 2 (Ь -
а)
� � [( �� У + ( �; YJ d dy} max [ �о , { �� [ ( �� У + ( �; YJ dx dy � }
[ �о � Г
111) 2 ds
+
( Ь - а)
x
D
� 2 ( Ь - а)
+
max [ :о
е, нер авенство ( 1 2) , причем за постоянную
= 2
r.
]
�
�
]
Ь-а .
a (s ) 1) 2 ds ,
можно п р и нять ч исло
�=
С л е д с т в и е. Пусть s ( , ) E W и s l г = 0 . Тогда справед ливо следующее неравенство Фридрихса : (Ь - а)
, Ь- а .
xy
�� s2 dxdy � a. � Не ;� у + с ;; YJ dxdy . D
(2 1 )
D
где ii = 2 (Ь - а) 2 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим
= --- .
1 Для Ь-а s ( х, у) """' Т] (х, у ) Е W, удовлетворяющ их дополнитель ному услов и ю а
(s)
= а0
= 0, неравенство ( 1 2) примет вид (2 1 ) ; где ii
Д ока з а тел ьство те оре м
=�
= 2 ( Ь - а ) 2•
6 1 г=ТJ 1 г= ф ункций
w Е W , w l г = q> ( s ) , функция s = w - и удовлетворяет усло ы
3. Для вся кой функции
в ия м следствия из леммы, а потому и нер авенству ( 2 1 ) . Если учесть р авенство ( 4 ) то
(4')
И [ ( ;� У + ( ;; YJ dx dy = l (w) - / (и) , n
(2 1 ) можно з а п исать
в
фор ме
� � ( w - и)� dx dy � ii [ / (w) - 1 (и) ] .
(2 1 ')
D
Прибавляя к неравенству ( 2 1 ' ) р а венство ( 4') , получим нера венство ( 1 0 ) , в котором сх. = ii + 1. Теор е м а 3 доказ а н а . Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 4. Для всякой функции w Е W функция 'У\ = w - v удовлетворяет условию леммы, а значит, и нера венству ( 1 2) . Если учесть равенство (8)
И [ ( ;� У + ( �; YJ dxdy + � a (s) 'Y\ 2 ds = l (w) D
Г
J
(v) ,
(8')
§ 38]
ВАР И А UИОНН Ь!Е И 11 Р ОЕ!ЩИОН !-I ЫЕ МЕТОДЫ
335
то ( 1 2 ) можно за писать в форме
� � (w - v)· ! dxdy � � [J (w) - J (v)].
( 1 2')
D
С кл адывая ( 8') и ( 1 2') почленно и отбрасывая в левой ч а сти неотрицательное сл ага емое � а (s ) Тl � d s , получ и м неравен г = � � ство ( 1 1 ) с постоянной + 1 . Теор е м а 4 доказана. 3. В ариационный м етод Р итца. Из теорем 3 и 4 в силу нера• венств ( 1 0) и ( 1 1 ) следует, что приближения м и для решений и и v краевых задач (А) и ( В ) могут служить те функции w из числа допустимых (w Е W и w lг = <р ( s ) для задачи (А) и w Е W для зад.а ч и ( В ) ) , н а которых функцианалы / (w) и J (w) прини м а ют значения, близкие к миним альным значения м этих функцианалов 1 ( и ) и J (v) на соответствующих кл ассах допустимых функций. ' Для фа ктического отыскания приближенных решений Рит цем в 1 908 г. был предложен прием, который мы излож и м сна чала применительно к задаче (А) . Для удобства изложения бу дем считать, что в краевом условии ( А )
f p ) } .
О п р едел и м н о р м у в Щ, ф о р м у л о й
r = т/h,
}
1 и 11 = s u p l ит 1 .
u = {uт} = {eiam} п р и л ю б о м веществ енном CG п р и н а �Jiе п р о стр а н ству U/, н я вл я ю т с я собств е н н ы м и функци я JI.Н опе r а т о р а R ,, : [ ( 1 - r ) + re1o.] eio.m = '}, ',а) и , ( 1 - r ) e io.m + r e 1 o. (m + l ) R hu
циr1
жат
=
=
т
Тогда функ-
OUEI-IК:A
§ 43]
где
Н ОР М СТЕ П Е Н Е й О П Е РАТО РО В
389
'А (а) =
(7 )
1 - r + re 1a
является собственным ч и сло м . Условие устойчивости (5) в в иду нез ависимости 'А( а) от т сводится к требо в а н и ю 1 'А( а1) 1 :::;;;; 1 , к о торое выполняется п р и всех вещественных а п р и r :::;;;; 1 . Как показано в § 25, условие (5) в слу ч а е з адачи Коши для двуслойных р а з ностных схем относител ьно одной искомой се точ ной функции не только необходи м о , но и достаточно дл я устойчивости, если но р м а определе н а р авенством
(
11 и 11 = h m�oo и�
) '/,
·
(В э том случ ае { e iam} не п р и н адлеж ат прост р а н ству иh и , сле · дов ательно, не я в л я ются собствен н ы м и функци я м и , но точки (7) в с е равно п р и н адлеж ат спектру операто р а Rh.) 2. Сnектрал ьный критер ий огра-ниченности стеnеней самосо nряженного оnератора. Допустим, что М - м ерное л инейное про стр анство иh состоит и з функци й , определенных в точ к а х Р1, Р2, . . . , Pm сетки ( э т а сетка может л е ж а т ь н а отрезке, н а плоскости и л и в п рост р а нстве - без различно ) , и ч т о в и ;. вве дено скаля рное произ ведение, которое д л я произвольной п а р ы функций и, v Е и;. обоз н а ч и м (и, v ) . Пусть, далее, опер атор Rh р а вномерно п о h о г р а н ичен некоторой постоянной с1: 00
(8)
и отображ ает прост р а н ство и;. н а некоторое подпрост р а н ство О;. с Uh р аз м ерности N :::;;;; М, причем на подп ространстве О;. опер атор R,, я вляется с а м о сопряжен н ы м , т. е. (Rhи, v) = ( и , Rhv) для любой п а р ы функций и , v Е й;.. К а к и з вестно и з кур са ли нейной алгебры, в этом случае в подп рост р а н стве D ;. суще ствует ортанорм альный базис
(9)
состоящий из собственных векто ров операто р а Rh. Обозн ач им через 'At, 'А2, , 'AN соответствующие ( в еществен н ы е) собствен ные числ а : •
•
k = 1 , 2, . . . ,
•
N.
( 1 О)
Т е о р е м а 1 . Для выполнения оценки ( 3 ) необходи.но и до статочно, чтобы выполнялось неравенство с 2 = const. (1 1) 1 3 С. К.
Год у 1 1 о в ,
В. С. Рябенький
390
[ГЛ. 1 3
l<ОНСТРУ!(ЦИЯ ОП ЕРАТОРА П ЕРЕХО ДА
Д о к а з а т е л ь с т в о . Н е о б х о д и м о с т.ь док а з а н а в п . 1 . Докажем д о с т а т о ч н о с т ь . П усть и Е U/,. Р а злож и м вектор R11и = v Е U!t по б аз и су (9) : Тогда в силу ( 1 0)
v = L ak 'Ф( k )·
k R�и = R�- 1 V = L (л.�- 1 а k) 'Ф( ), k= 1 м
а� � m ax 1 л. �- 1 1 k=1 k
(f ) ,= '/
max 1 л.�- 1
k
1 · 11 v 11 .
( 1 2)
Прини м а я во в н и м ание, что б л агод аря ( 8 )
11 v 11 = 11 R h и l l � c 1 l l и ll, а также у словие ( 1 1 ) , из оценки ( 1 2) выведем ( 3 ) :
1 R� 1 � Ct m ax 1 л �- I 1 � Ct ( l + с2•У - ' � Ct ( l + Cir:)тt-r: < с 1 ес,т = К. k
Ниже м ы у ст а н о в и м некото рые п р и з н а ки самосопряженно сти оператора Rh и укажем некото рые способы оценки соб ственных ч и се л . 3. П р из н а к и сам осопряженности. В в едем обоз начение ( 1 3) и будем считать, что с к а л я рное произведение в п рост р а нстве И h определено р авенством ( 1 4) ( и, v) = [и, v]. Пусть, далее, опер атор Rh,
Ь
=
Rh a , задан формул а м и
Ь (Pk ) = L ak sa (Ps), Ps
где Ps и Ph п робегают все множество точек сетки. Опер атор R ,.1 явля ется с а м осопря же нным в том и только том случае, если ( 1 5) В не з а в и ся щей от нумерации точек ф о р м е этот rrр и з н а к озна ч ает, что п р и в ы ч и слении Ь (Р) в п роиз вольной точке Р сетки з н а чение a ( Q ) в другой произ вольной точке Q должно входить с тем же коэф ф и циенто м , с к а к и м значение а (Р) входит в вы· р ажение для Ь ( Q ) .
§ 43]
О ЦЕНКА НОРМ CTEП EH EV'I ОПЕРАТОРОВ
39 1
Е сли среди точек сетки { P h} выделено н екоторое п одмно жество Гh (гра ница о б л а сти ) и опер атор Rh з ад а н формул а м и
p k Е rh ,
ь (Pk) = L aksa (Ps) , рs
b (Pk) = O ,
Pk E Гh,
}
( 1 6)
то н а подпростр а н стве D1t формул ы ( 1 6) р а вносильны следую щи м : Ь (Pk) = L aksa (Ps) , если
P s Ё Гh Ь (Pk) = О ,
е сли
VA тогд а , к а к легко видеть, состоит в р а вен ств а х Условие с а мосопряженности операто р а R h
на подпространстве
aks = ask , Ps E Гh, Pk E Гh. 1 ак , н а п ример, оператор Ь = R ha, b k = (1 - 2 r ) ak + r (щ - I + ан 1 ) , k = 1 , 2 , . . . Ь0 = Ь м = О ,
(17)
, M- 1, }
возник ающий п р и п р и в еде нии р азностного а н а лога у р а внения теплопро водности н а отрезке к каноническому в иду ( 2 ) , удов летворяет условию ( 1 7 ) , но н е удовлетворя ет у сл о в и ю ( 1 5 ) . 4. Оценки с обственных значений опер атора R h . В некоторых случ аях собственные з н а чения можно указать точно, к а к это было сдел ано в § 27 для оператора Ахх н ад функция м и на се точном отрезке, обр ащающи м и ен в нуль на его концах, а также дл я оператора Ахх + А у у н ад функци я м и на сеточном к в адр ате, обр ащающимиен в нуль на его сторонах. Д ля самосопряженных р а зностных о п е р а торов можно поль зов аться в а р и ацион н ы м и м етод а м и . Известно, что в этом случа е , ', и') ( R '1' и ' ) in ( Rhи ( 1 8) m ax , ( иh, , и' , ) = Л:Пах· m ' ( ) и и', ' h
и Е и�
и Еu
Пусть, н а пример, опер атор Ахх + Ауу дей ствует н а сето чные функции простр а н ств а ИА , определ е н н ы е н е н а к в адрате, а в более сложной обл а сти, соста вленной и з к вадр атов, и о б р а щ аю щиеся в нуль на 'г р анице этой обл а сти. П о м е стим эту обла сть в достаточно большую к в адр атную сеточную обл а сть и р а ссмот рим опер атор Ахх + Ауу н ад функци я м и и з U'h, о п р едел е н ны м и н а сеточн о м к вадр ате и обр ащающи миен в нуль н а его г р а н ице. Доопредел и м каждую функцию и' из ИА до некоторой функ ц и и u " из U'h, положи в. ее тождественно р а вной нул ю во всех тех точк ах сеточного кв адр ата, которые н е п р и н адлежат 1 3*
КОНСТРУКЦИЯ ОП ЕРАТОРА ПЕРЕХОДА
392
[ ГЛ .
13
пер вона ч альной обл а сти. Легко видеть, что для к аждой такой ф ункции бл а год арЯ ее о б р ащению в нул ь на гран ице пернона ч а л ьной о бл а сти в ы полнен о р а венство
( Rhи ' . и' ) (и ', и ' )
=
(R!z!l", и")
(и", и")
Поэто му при п ереходе от формул ( 1 8 ) к формул а м ( Rhи " . u") m in (и", и" ) = A,,min 1 " и e U
�
и") ma x ( Rhи", (и". и " )
" и е
U
�
=
,,
Am ax
полу ч и м числа Л.�1п и Л.�ах , которые удовлетворяют оцен кам
( 1 9) Но в случае к в адратной о бл а сти собствен н ые з н а чен ия известны ' т а к что "', ,,m i n и "', "m a x и звестн ы, и мы получ или оценки ( 1 9 ) гра н и ц спектр а операто р а Ахх + Ауу н ад функци я м и и з U�, опреде лен н ы м и в п е р в о н а чальной о бл а сти. Во м ногих случ а я х можно п р и м ен я ть в а р и а ционные методы оценки собственных з н а ч е н и й , а н алоги ч н ы е в а р и ацион н ы м м е тод а м для дифференциальных ура в н е н и й . Н апример, пе рвое собственное з н а чение задачи
где Г h - граница сеточной области D h и во в нутрен них точках задано в ы р ажение
�2 { а ( Xm + � , Уп ) (uт + l . n - Uтп) - а ( Xm - � Уп ) (Uтn - Uт- 1 , п ) } + + �2 { Ь ( Xm , Уп + � ) (ит, n + l - llтп) а (х, у) > О , - Ь ( Xm, Уп - � ) ( итп - Uт, п- 1 ) } ,
RhUmn =
,
Ь (х, у) > О,
м ожет л и ш ь у м е н ьшиться от з а м е н ы переменных коэффициен тов а ( х, у) , Ь (х, у ) на посто я н ные
а = max а (х , у) , х, у
Ь = max Ь (х , у). х, у
Это док а з ы в ается т а к ж е , к а к а н алоги ч н ы й ф а кт для дифферен ц и а л ь н ы х у р а в нений, см. [ 1 9].
О Ц Е Н К А НОРМ СТЕПЕ Н Е й О П Е РАТОРОВ
§ 43]
393
В случае посто я н н ы х коэф ф и циентов можно п � r ейти от ис ходной обла сти к к в адр атной и получить оценки, подо б н ы е оцен к а м ( 1 9) . Собствен ные ч и сл а операто р а аАхх + ЬАуу в к в адр ат ной обл асти легко вычислить точно. 5. В ыбор скалярного у м н оже н и я. Пусть опер атор R,,, v = = R,,и, задан р авенством (20)
причем при некотором фиксиро в а н н о м выборе скаля рного у м н о ж ения ( и , v ) == [ и, v ] не обязательно п о формул а м ( 1 3) , ( 1 4 ) опер аторы Ah и B h -са мосоп ряженные:
> 0: [Вь и . и] > О , если и =Р О. Тог да опер атор Rh = В /; Аь является са мосопряжен н ы м в см ысле Пусть, далее, B h
� -
скалярного умножения В самом деле,
(и , v)вь == [Вь и, v ] .
(Bh"1 A hи, v)8ь = [Вь (Вh"1Аь) и, v] = [Ah u, v ]
(2 1 )
=
= [и, Ahv] = [ Bh" 1 Вhи, Ahv - ] = [ В ьи , B'h 1 Ahv ] = (и , Bh" 1 Аьv) вь. Док азанное тождество по и и v
( Bh" 1 A hи, v)вh = (и , Bh" 1 Ahv)вь
и о з н а ч ает самосопряженность операто р а R h · Таким образом; выбор скаля рного ум ножения по ф о р м ул е ( 2 1 ) позволяет воспользов аться спектральным к ритерием п . 2 огра ниченности норм степеней са мосопряженных операторов . И м енно, можно утверждать, что опер атор R h . о п р едел е н н ы й р а венством (20 ) , и меет вещественные собствен н ы е з н а чения Л k и полную ортан о р м ал ьную систему собст венных векторов 'ljJ(kJ: (22) А.k Вь 'Ф ( k ) = Ah 'Ф ( k >, и что р а сположение всех собственных чи сел Лk на отрезке - 1 � Л :s:;:;; 1 необходи м о и достато чно дл я выполнения н е р а венств
(23)
где нор м а опер атор а з адаетс я с помощью скаляр ного у м ноже ния
(2 1 ). .
394
КОНСТРУКЦИ Я ОП Е РАТОРА П EP EXOilA
[ГЛ .
13
6. Кр итер и и устойчи вости Сам арского. В предложенной А . А . С а м арским [ 23 ] , [24] теории устойчивости широкого клас са р а зностных схем в гильбертовам п ростр а н стве указаны не обходи м ы е _ и достато чные условия устойчивости в тер минах л и н е й ных н е р а ве н ств м ежду опер атор н ы м и коэффициент а м и этих схе м , а т а к ж е получе ны другие резул ьтаты . П р и в едем здесь л и ш ь д в а р езул ьтата из этой теории. Пусть Uh - евклидоно п р о стр а н ство с некоторым скалярным ум ножением (u , v ) = [u, v ] , и пусть опер атор R,, , v = R h u, и, V Е Uh , з а д а н р а ве Н СТВОМ
(2 4 )
где A h и B h - с а м о сопряженные опер аторы, причем Bh > О . Оп р едел и м энергетическую норму 1 и llв h в простр а н стве Ufa, положив (25) Тогда с п р а ведл и в а следующая
Т е о р е м а 2 . Jl словия
2 O � Ah � Bh т
(26)
необходимы и достаточны для выполнения неравенств II R � II � 1 ,
р � О.
(27)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Определ и м с а м осоп ряженный опер а тор A'h р ав е н ством A'h = B h - тАh. Тогда ( 2 4 ) р а в носильно р а венству ( 2 0 ) , а условия ( 2 6 ) р а в носильны условиям -B h :::;;;; :::;;;; А11 :::;;;; B h , т. е. усл о в и я м
(28) К а к п о к а з а н о в п . 5, опер атор Rh я в л я ется с а мосопряжен н ы м в с м ы сл е скаля рного ум ножения ( 2 1 ) и утвержде ние тео р е м ы р а в носильно утвержде нию, что все собственные числа 'Ak операто р а Rh лежат н а отрезке - 1 � Л � 1 в том и только том случ ае, если выпол н е н ы условия ( 2 8 ) . Докажем это по следнее утвержде н и е . Пусть в ы п о л н е н ы условия ( 2 8 ) . Ум ножим р а в е н ство (22) с к а л я р н о н а собстве н ную функцию -ф
'J.. [B �
1
,
1 -
§ 43]
395
ОЦ Е Н К А Н О Р М СТЕ П Е Н Е й ОП Е Р АТ О РО В
О б р атно, пусть m a x 1 Лп 1 � 1 . Покажем, что выполнены усло k вия (28) . Пусть ck '� \ ) - р азложение п роизвольн аго эле по ортанорм альному в с м ы сл е скаля рно г о у м н о м ента и Е:: жения ( 2 1 ) б а з и су {�(kJ} . Тогда
Uh
и=L
k k k k 1 [А,1и, и] 1 = 1 [Ah L Ck'�( ) , L Ck�\ ) ] 1 = 1 [L ckAh'�( ) , L ck�( )] 1 = k 1 [l.: ckлkвh�( k ) , L Ck'�( k ) ] 1 = 1 [вh L CkAk�( ) ' L Ck'�\ k)] 1 = = / (l.: ckлk,� ( kJ, L ck� ( k> )вh / = L с� 1 Лk 1 � =
� L с� = (и, и)8h = [В hи , и]
Отсюда [В,,и, и] � 1 [д,,и, 1 , что р а в н осильно услов и я м ( 2 8 ) . Теоре м а док а з а н а . З а мети м , что проверка условий ( 2 8 ) р авносильн� п роверке того, будут л и н еотрицател ь н ы все собстве н н ы е ч и сл а с а м о со пряженных в см ысле скалярного у м ножения [и, v ] опер аторов Bh - дh и B h + дh .
и]
.
Приведем без доказ ательст ва еще один критер и й устойчив � сти, примени мый к р аз ностны м схемам (24) , для котор ых B h > О, A h A h > О. Введем в пространстве И h' энергетичес к ую норму 1 1 и IIA Теорема
3.
положи в 1 1 и =
h
•
1 1� """' [ Ar.u. и ] . h
Выполн е ни е условия Btz ;;;;" 2 A h необходимо и достаточно 't
для того, ч т обы и м е ло лtе ст о неравенство 11 R h IIA < 1 . h
Теорема 3 содержится в п. 4 § 1 гл. VI книги [23] и доказывается без п омощи спектр ального п одхода, котор ый эдесь н е удается при менить из-за несамосопряженности оператора Bh. 1 . Пусть опер атор R ,, ,
ЗА Д АЧИ
Ь """' R ha, задан формулами Ь т = ( 1 - r) am + ram + l • т = О, 1 , , Ьм = О. . . .
М - 1, }
М. Покаэать, что в простра нстве И� сеточных функций { а т } • т = О, 1 , нельзя задать с кал я р н ое п р о и з в еден ие так, чтобы оператор R.h стал само сопряженным. .
. • .
Г Л А В А 14
С П Е КТ РА Л Ь Н Ы й П Р И З Н А К УСТО й Ч И В ОСТ И Н ЕСАМО С О П РЯ Ж Е Н Н Ы Х Э В ОЛ Ю Ц И О Н Н Ы Х К Р А Е В Ы Х ЗАДА Ч
Здесь м ы покажем, что по спектру неса мосо пряжен ного опе р атор а Rh нельзя судить об усто й ч и вости р а з н остной краевой задачи в ограниченной о бл а сти, в в едем понятие спектр а семей ств а опер аторов {Rh} и р ассмотр и м спектральную постановку вопроса о б устойчивости, оста ющуюся р азумной и в случ ае не с а мосопряженных р а зностных краевых з адач в огран иченных обл а стях. Будет у к а з а н необходи мый и близкий к дост аточному спектр а л ь н ы й п р и з н а к устойчивости. § 44 . Спектр семейства операторов {Rь} 1 . Н еобход и м ость усовершенствования спектрально го при энака устой ч и вости. В гл . 1 3 было пок а з а но, что обычно эволю цио н н ы е р а зностные краевые задачи можно при вести к виду uP+ I = RhuP + т рР, (l) u0 задано
}
так, чтобы устой чивость н а и н тер в але в р е м е н и О � t � Т была р а вносильна р а вномерной по h огр аниченности норм степеней операто р а перехода R11. т. е. оценке
II R � II < К , р = 1 , 2,
. . . , [Т/т] ,
(2)
где Л - ш а г сетки по в р е м е н и , т = т ( h ) . Было уста новлено, что р а сположен ие собственных з н ачени й о перато р а R h внутри круга
1л1< 1
с
т
( 3) на ком плексной плоскости необходи мо дл я выполнения усло вия ( 2 ) , т. е. для усто й ч и вости . В § 43 было п о к а з а н о , что в слу ч а е с а м осопряженного операто р а R,, условие (3 ) я вляется не тол ыю необходи м ы м , но и достато чным у с л о в и е м р а в но м е рной +
§ 44]
С П СКТР СЕМЕйСТВА ОПЕРАТОРОВ
397
огр аниченности ( 2 ) норм степенеi'1 операто р а R,,. Этот же ф а кт установлен в § 25 и для разностной з ад а ч и Коши с посто я н н ы м и коэффициент а м и в случ ае двуслойных р а з н о стных схе м относител ьно одной неизвестной функции н е з а в и с и м о от того, и м еет ли м е сто са мосопряженность. Одн ако в общем случ ае не с амосопряженных р а з ностных кр аевых з адач в огра ниченных областях необходи м ы й признак ( 3 ) очень далек от достаточного и совершенно неадекватен воп росу о р а вномерной огра ниченности (2) норм I R� / степеней опер ато ра Rh· Это п о к а з ы вает следующий п р и м е р . П р и м е р . Для р азностн9й кр аевой задачи � l � и ;;, + l - и � и + -и ,
l � [Т/т] , . , м-' Mh = l , J
= <jJ (Хт, fp) ,
h
-r
р = О, 1 , иХt = О, и� = 'IJ (хт ) • m = O, 1 '
.
.
.
.
.
а п п роксимирующей з адачу u t - Их
'
( 4)
= <р (х, t) , и ( I , t) = O , O < x < l , O < t < T, и (х, О) = 'fJ (х)
при естественном п р и ведении к каноническому в иду ( l ) опер а· т о р Rh, v = R,,u, з адается формул а м и
Vm = ( l - r) u т + rиm+ I • m = O, l , v м = О, r = т/h .
Его м атрица и меет вид
Rh =
l!-, ·: о
г
·
1 -r
о о
о -. . . г
.
.
•
о ... о ...
. . ., М- 1,
OJ \ .� ,. : . О
о
(5)
о
С п ектр м атрицы состоит и з ее собственных з н а чений, т. е. из корнеi'I уравнения d e t (Rh - ЛЕ ) = О или - Л ( l - r - Л) м = О.
Корни этого у р а в нения Л = О и Л = l - r о б р азуют спектр операто р а R,, при любом h. Этот спектр лежит в единичном круге 1 Л 1 � l при О < r ::;:;;; 2. Между тем для схе м ы ( 4 ) п р и l < r � 2 н е выполнено условие Куранта, Ф р идрихса и Л е ви, так что устой ч и вости I I R � II < К ни в к акой разумной нор ме быть н е мож ет.
398
УСТО й Ч И В О СТЬ Н Е САМ О С О П Р Я Ж Е I-1 !-! Ы Х
В самом деле, покажем, что в случае сп р аведливо неравенство p=J,
2 , . . . , [T/'t]
max
[ГЛ. 1 4
З Лд А Ч
Т ;;;;;. 1 и нормы
11
и
l
= max т
11 R /: 11 ;;;;. 1 1 - 2r 1 1 /h = p l lh,
При r > 1 также р > 1 , так что при /! -+ О и
т =
�
1 Um 1 (6)
rh -+ О величи н а
max 11 R/: 11 р
экспоненциально возрастает и условие 1 R% < К rp yGo н а р уш аетс я . Д л я доказ ате льства нер авенства ( 6 ) з а метим, ч т о в случае u ;;, = ( - 1 ) т , т = О , 1 , . . . , М, з н ачения и� функции
uP = R/:un,
р
=
1,
2, . . . ,
М при
sадаются фор мулой
т = О, 1 ,
m = O, 1 , . . . ,
u� = ( - 1 ) m ( l - 2r) P, Поэтому
1 Rf.u0 1 ;;;;. 1 1 - 2r iP 11 i1° 11,
так что при этих з н ачениях р, р
=
1,
=
2,
. • •
,
М-р
М - р.
р � М,
. . . , М,
II R f. l[ ;;;;. l l - 2 r i P , p = l , 2 , . . . ; M = l /lt, и неравенство ( 6 ) доказ ано.
Итак, установлено, что необходи м ы й спектр альный п р и з н а к ( 3 ) р а n н о м е рной о г р а н и ч е нности [ R f. 11 < К , и спользующий соб стnе н н ы е з н а ч е н и я опер аторов R,,, сли ш ком груб в случ ае неса мосопряжен ных опер аторов R,,: в н аш е м п ри м е р е о н не ул авли в ает н еустойчнвость, и м е ю щую м е сто п р и 1 < r ::;:;; 2. 2 . Оп р еделе н и е спект ра семейства операторов. Пусть линей н ы й опер атор R,, оп ределен на линейном нормированном про стр а н стве U/z. Будем обозначать через {R,,} совокупность опер аторов Rh при в сех тех з н ачениях h, которые п р и ни м ает п а р а м етр lt, х а р а ктеризующий густоту сетк и . По с а м о й п р и роде р а з ностных схем ш а г сетки h может п р и ни м ать сколь угодно м алые поло жител ьные з н ачения. Ко м плексное ч и сло Л буде м н а з ыв ать то чкой спектра се.мей ства операторов {Rh} , если для л ю б ы х положительных ho и в можно указ ать т а кое lt, h < h 0, что неравенство
11 R hи - Ли 11 < в ll и 11
и м еет н екоторое решение ll , и Е И/. . Совокупность в сех таких чисел Л будем назьш ать
семейства о п ераторов { Rh } ·
спектр ом
§
СПЕКТР
44]
С Е М Е й СТ В А
ОПR Р АТОРОВ
399
3. Необходимое условие устойч и вости.
Т е о р е м а 1 . Пусть хотя бы одн.а точка Л о спектра селtейства о ператоров { R1, } лежит вн.е един.и чн.ого круга комплексн.ой пло скости, так что 1 Ло 1 > 1 . В таком случае н.ельзя указать общую для все х h постоян.н.ую К такую, чтобы вь�полн.ялось н.еравен.ство II R i: II < K. (7) в котором р пробегает целые зн.ачен.ия от О до р = Ро (h ) , где po ( h ) -+ оо при h -+ О.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим с н а ч а л а , что не существует чисел ho > О и с > О таких, что при в сех h < ho спр а ведл и в а оценк а (8) II Rh ll < с .
При этом допуще н и и док а з ы в аемое утвержде н и е очевидно. По этому остается р а ссмотреть слу ч а й , когда суще ствуют h0 > О и с > О такие, что п р и h < ho н е р а в е н ство ( 8 ) сп р а ведл и в о . Полож и м I Л o l = 1 + б, г д е Ло - та точ к а спектр а , д л я кото рой 1 Ло 1 > 1 . З ад а в ш и сь произ вольно ч и слом К, в ы б е р е м р и е так, чтобы выполнялись н е р а в е н ст в а
( 1 + 6)Р > 2К, 1 - ( 1 + с + с2 + . . . + с Р- 1 ) е >
;.
По определению точки спектр а семейства опер аторов { R h } , можно указать сколь угодно м ал ы е положител ь н ы е h, п р и кото рых существует вектор и Е U h , Я ВЛЯЮЩИЙСЯ р е ш е н и е м н е р а · венства Положим Я сно, что
(9 )
R hи = Л.0и + z.
1 z 1 < е 11 и //. Далее , и з ( 1 0) можно вывести , чт о ( 1 0)
R�и = Л.ьи + (Л.С - 1 z + л.g-2Rhz + . + Ri: - 1 z). Поскольк у 1 Л.0 1 > 1 , то � �Л- 1 z + л.ь-2R hz + . . . + R K - 1 z ll � � 1 Ло IP ( 1 + 1 R,� ll + II R � II + . . . + I R Г 1 \\ ) e ll tt //, .
.
а следовательно ,
� RI:и \I ;;;;;:: I Лo iP [ 1 - e ( l + c + c2 + . . . + cp-I)] II и ll > 1 1 > (1 + 6) Р 2 11 и 11 ;;;;;:: 2 К 2 1/ и ll = К // и //.
400
[ГЛ.
УСТОйЧ И В ОСТЬ I I Е С А М ОСО П Р Я Ж Е Н Н Ы Х З АДАЧ
14
Ч и сло h во всем этом построении можно считать н а столько м а л ы м , чтобы р было меньше, чем p0 (h ) . В в иду произвольности К док а з а н о н а ше утверждение о том , что расположение всех точек спектра семейства операторов
{R,,} внутри или па границе едини чного круга 1 Л 1 � 1 необходилю для выполнения оценки I R � II < К .
4 . Обсуждение понятия сп ектр а семейства опер ато ров {Rh } · Н ач н е м с того, что обратим в н и м а н и е н а а н алогию между опре делением точки спектра се м е й ст в а опер аторов {Rh } и следующим определением точки спектр а к а кого-либо опер атор а R, которое 11 р и в одится в курсах функци о н а л ьного а н ализ а . Мы будем в к а ч естве R б р ать опер атор Rh п р и некотором фиксиро ванном h. Точк а Л н а к о м плексной плоскости н а з ы в ается точкой спек тра оператора R,,, если при л юбом положительном е неравенство
и м еет решение и, п р и н адлежащее прост р а н ству Uh, на котором о п р еделен опер атор Rh. П р и с р а в н е н и и определений точки спектр а семейства о п ера торов {R h} и точки спект р а опер атор а R h м ожет возникнуть м ысль, что спектр семейст в а {Rh} состоит из тех точек комплекс но й плоскости , которые полу ч а ются путем предел ьного перехода при h -+ О из точек спектра опер атор а Rh, когда h -+ О по все в о змож ным подпоследов ател ьностя м . Но, вообще говоря, это предположение ошибочно. Р а ссмотрим опер атор Rh. v = Rhи , з ад а в аемый р а венствами
(1 - Г) ll т + rиm+ l • m = 0 , 1 , . . . , M - 1 , Vm Mh = 1 . . Vм = О , =
}
( 1 1)
Опер атор ( 1 1 ) дей ствует в (М + 1 ) -мерном л и нейном про ст р а н ст в е и описыв ается м атрицей ( 5 ) . И з вестно, что спектр м атрицы состоит из ее со бственных зн ачен и й , т. е. из корней А ур авнения det (R,, - ЛЕ ) = О . Мы вычислили эти собственные з н ачения в п. 1 . Это А = О и Л = 1 - r. Т а к и м образом, спектр оп ерато р а Rh п р и л ю б ом h состоит из двух точек А = О и Л = 1 - r, не з а в и сящих от h Одн а ко спектр семейства опер а торов {R1,} , к а к будет показано в § 45, состоит не только из этих двух точек, чего, к а з алось б ы , можно было ожидать, а еще и и з всех точек круга 1 А - 1 + r 1 < r р адиуса r с центром в точке А = 1 - r ( р и с . 27, стр . 248 ) . П р и r � 1 спектр семейства �пер аторов {Rh} лежит в единичном к руге I Л I � 1, а при r > 1 этот необходи м ы й спектр альный п р и з н а к устойчивости не в ып ол н е н : нер а венс;во 1 Rl: � < К не может выполняться р а вномер н о п о h.
§ 44]
С ПЕ КТР СЕМЕй СТВА ОП ЕРАТОРОВ �
401
На рис. 53 приведены г р а ф ики з а в и с имости вел и ч и н 11 R�\\ от р т: = prh в случ а е r = 3/ 2 для р азличны х з н а че н и й h. В этом случ ае спектр к аждого операто р а R,, состоит из двух точек Л = О и Л = - 1/2 , лежащих внутри еди н и ч н о г о круг а . Этим п редо п р е деляется поведен ие г р а ф и к а вел и ч и н ы II R � II п р и бол ьших з н а ч е н и я х р т: . Величина I I R� II стремится к н у л ю п р и р т: -+ оо , т. е. о с ь абсцисс я вляется а с и м п тотой ( в подробных кур сах алгебры док а з ы в ает ся , что нор м а степеней м атрицы стрем ится к ну лю при росте показ ателя /11 >IJ2 >!J.т степени, если все собственные з н ачения м атрицы по модулю меньше еди н ицы ) . То обстоятельство, что спектр семейств а опер а торов {Rh} не цел и ком ле- о жит в единичном круге, Рис. 53. сказывается на поведе11 н ии величины R � 1 1 при h -+ О и при не слишком бол ьших з н а чениях рт:. Н а и большее з н а чение величины II R% 1 н а отрезке О < р т: < Т ( Т - произволь н а я положите�ьная постоя н н а я ) бы стро р а стет при уменьшении h. Но это и озн а ч ает н еустойчи вость на отрезке О < t < Т, в то время как поведение 11 R% 11 п р и рт: -+ оо, связанное со спектром каждого отдел ьного опер атор а R1,, со вершенно н е существенно при исследо в а н и и устойчивости . 5. Близость необходимого признака устойчи вости к доста точ ному. С п р а в едл и в а следующая Т е о р е м а 2. Пусть оператор R1, определен. на конечномер-
ном при каждом h нормированном пространстве и� и равно мерно по h огран.и•tен. н.екоторой постоянной с: ( 1 2) II R h ll < с . Пусть, далее, спектр семейства операторов {R1,} ц еликом лежит в замкнутом едини чном круге 1 Л 1 :;:::;;; 1 . Тогда при любом 8 > О н.ор .м ы степеней операторов R,, удов летворяют оценке
.4 =1= А ( 8 ) зависит только от 8 , но н. е от h. Ф акт, устан авливаемый этой теоремой, о з н а ч ает, что р а спо л uжение спектр а се мейст в а опер аторов {Rh} в еди н и ч н о м к р у г е
( 1 3)·
где
[ГЛ.
УСТОйЧИВОСТЬ Н Е С АМОСОПР 51ЖЕННЫХ ЗАДАЧ
402
14
не только необходи м о для устойчи вости, но и г а р а нтирует от «грубой» н еустойчивости . При выполнении условий теоремы ве личина 1 ..; р ..; [ T/-r]
max
I R� ii
при h --+ О о ст а ется о г р а н иченной либо р а стет м едленнее сте п е н и р IT/-rl с л ю б ы м осно ванием р = 1 + е, превосходящим еди н и цу . Д о к а з а т е л ь с т в о . П р ед в а р ительно покажем, что если с пектр семейства опер аторов { R ,,} лежит в круге I Л I � р, то для л юбого Л , удовлет воряющего нера венству I Л I � р + е, е > О, существуют ч и сл а А = А ( е ) и fto > О такие, что при любом .h < h 0 и л ю б о м и Е и h, и =1= О, в ы полнено не равенство 11 R hи -
р+е Ли 1 1 > ""А("Е) 11 и 11.
( 1 4)
Допустим п р отивное. Тогда н а йдутся е > О ; последов атель ности ч и сел hk > О, hk --+ О; комплексных чисел Лk, 1 Лk 1 > р + е ; векторов иh Е и h такие, что
k
k
( 1 5)
р kП р и достаточно больших з н а чениях k, п р и которых < 1, ч и·сл а Лk в силу ( 1 2 ) не м о гут лежать вне круга 1 Л 1 � с + 1 , т а к к а к в н е этого круга +е
I Rh k и - Ли l ;;;=: ( 1 Л 1 - II R h k 1 ) 11 и 11 ;;;=: ll и 11. Т а к и м о б р а зо м , последо вательность Лk ограничена, а следова-
тельно, и м еет п р едел ьную точку Л, 1 Л 1 � р + е. Л егко видеть, · что в силу ( 1 5 ) точ к а Л п р и н адлежит спектру семейства опер а торов { R 1.} , в о п реки п редп оложен и ю , ч т о сп ектр лежит в круге .
Пусть теперь R - линейный оператор, переводящий некото рое конеч но м ерное н о р м и р о в а нное простр а н ство и в себ я. Лусть дл я л ю бого комплексного Л, 1 Л 1 � r > О, и л юбого и Е и при векотором а = coпst > О спра ведливо неравенство
IЛI �
р.
11 Rи - Ли 11 ;;;=: а 1 1 и 11.
1 RP 1 �
Тогд а
r P+ I а
--
( 1 6)
, Р = 1 , 2,
( 1 7)
Нер а венство ( 1 7 ) вытекает и з следующего и з вестного р а венства: R/
=-
2�i
ф
ЛР (R - ЛЕ) - 1
[ i\i = r
dЛ.,
( 1 8)
§
АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ СПЕКТРА
45]
403
( 1 6) , в с ил у которого /I (R - Л.E) -1 / ::::;;;: _!_ , Для док а а з а тельств а нера венства ( 1 3) полож и м а = �iв� , r = р + в, р = 1 , R = Rh- Тогда ( 1 7) совп адает с ( 1 3) .
и
условия
В заключение н а метим доказательство равен ства ( 1 8) . Положим
u P+ l
=
R иР , и
(Л ) =
L �= .
Умножим обе ч асти р�венства u v + I = R u v на Л - Р р = О до р = оо. Получим ли
или Из определения лv-l и Щ : 11Р
=
и (Л)
2�i ф
(Л) - Ли 0 =
видно,
лр - ! и
I Л I =r
р =О
что
(Л) d Л
uv
= -
Rи
и
просумми руем по р от
(Л ),
я вляется
2� i ф
l � l =r
вычетом вектор -функции
Л Р ( R - Л Е) - 1 u0 d Л.
Но иР = R P u0, так что последнее р авенство р ав носильно операторному р а венству ( 1 8) .
В этом п а р а г р а ф е м ы сфор м улировали спектр ал ьную поста новку задачи о б устойчивости эволюционных р а з ностных схе м , и меющую смысл д л я любых эволюци о н н ы х р а з н остных схе м , приводи м ы х к в иду u P+ l = R hu P + t" p P , u0 задано
}
так, чтобы выполнение условия
I R� i < K. р = 1 , 2,
. . .,
[T/t" ] , было р а в носильно устойчивости. Это могут быть двусл о й н ые, м ногослойные схе м ы , схе м а р а сщепле ния и т а к далее для з адач н а отрезке, в м ногомерных или составных обл а стях. Эта спектр а л ь н а я постановка з адачи требует в ы я снить, ле жит л и спектр семейств а опер аторов { R h } в еди н и ч н о м круге
IЛI � 1.
§ 4 5. Алгоритм вычисл е н и я сnе ктра семейств а раз ностных опер аторов н а д сеточ н ы м и фун кция м и н а отрезке В этом п а р аграфе м ы о п и ш е м алгоритм вычисления спектр а семейства р а з ностных опер аторов {Rh} н ад простр а н ств а м и се точ ных функций ( или вектор-функци й ) на отр езке. За норму функции ( или вектор - функции ) п р и м е м м а ксимум а б солютн ых
4 04
УСТО ИЧ И Н ОСТЬ Н Е САМОСОПР51ЖЕННЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ .
14
величин з н ачений, п р и н и м аемых функцией (или компонента м и вектор-функци и ) . 1 . Характерный п р и мер. С е м е й ство опер аторов {R1, } , v = == R hu , о п р едел и м р а ве н ств а м и
Vт = ( 1 - r) ит + rи т + 1 , m = O , 1, . . . , М - 1 , Vм = О . ·
}
( ) l
Опер атор R h , определ е н н ы й р авенств а м и ( 1 ) , возн икает при ее· тестве н н о м п р и ведении р азностной краевой з адачи u� + 1 - и � h
к виду
= q> (хт, fp) ,
р = О, 1 , . . . , [T/t] - 1 , + rм l � о и = , и = 'Ф (хт) • т = о, 1 , . . . , М - 1 , uP + 1 = R hиP + т рР, и0 з адано .
!J
(2)
Соотн ошения (2) я в л я ются р а зностны м а н алогом дифференци альной к р аевой з ад а ч и
щ - и х = q> (х, t), О � х :;;;;; 1 , o :;;;;; t :;;;;; T, и (х, О) = 'Ф (х), и ( l , t) = О. Мы уже р а сс м атривали р азностную схему (2) в п . 2 § 26 в к а
честве примера, иллюстрирующего п р и м енение п р и з н а к а Б абен ко - Гел ь ф а н д а . Н а по м н и м , что согл асно это му призн аку исследо в а н и е и сходной задачи на отрезке следует р азбить на исследо в а н и е трех вспомогател ьных задач: з адачи б е з боков ы х г р а н и ц , з адачи с одной только левой г р а ницей и задачи с од ной тол ько п р а во й г р а н ицей, для к аждой из которых н адо н айти все собственные зн ачения опер аторов перехода от u P к и Р + 1 • О к а з ы в ается , что алгоритм вычисления спект р а семейства опер аторов {R h } совпад ает с процедурой Б а бенко - Гел ьфанда. Чтобы описать алгоритм вычисления спектра семейства опе р аторов {R h } , н а р яду с о п е р а тором R,,, заданным р а венства м и +� � <( 1 ) , р а ссмотр и м три вспомогательны х оператора : R , R и R. + -> +� Опер атор R . v = Rи, задается н а л и н е й н о м простр а н стве огр а ниченных функций и = { . . . , и- 1 , uo, и 1 , . . . } , определен н ы х на всей сеточной п р я м ой - оо < mh < оо , по формуле +
l, . . .
Эта фор м ул а полу ч а ется из р авенств ( l ) при удалении левой г р а н и цы в - оо , а п р а вой в + оо , что отр ажено стрел кой с � + дву мя конца м и в обоз н ачении опер атор а : R . Опер атор R ,
Vт = ( 1 - r) ит + rит + 1 , m = O,
(3)
АЛ ГОРИТМ В ЬI Ч И С Л Е J-I I I Я С П Е К Т Р А
§ 45]
405
= Rи, задается п а линейном простр а н стве сеточных функций и = ( ио. и 1 , . . . , Urn, ) , определе н н ых н а сеточ н о й полупря м ой Xm = тl� . т = О, 1 , 2, . . . , и стр е м я щихся к нулю п р и т - + оо . v
�
•
.
.
Он з адается формул о й
Vт = ( 1 - r) uт + ram + l , m = O, 1 , . . .
Эта формул а получ а ется из формул ( ! ) п р и уд алении п р а в о й гр а н и цы в + оо , что отр ажено м не м о н и ческим з н а чком -+ � в обоз н а чении опер атор а : R . + + Н а конец, опер атор R , v = Ru , н ад функци я м и
(4 )
и м) . ит - 0 п р и т - - оо , определен н ы м и н а сет очной полупрямоi1 = mh, т = . . . , -2, - 1 , О, 1 , . . . , М, з ададим формул а м и V m ( 1 - r ) Urn + ГИт+ 1 ' т = . . . ' - 1 ' О, 1 ' . . . ' м - 1 ' (S) Vм = О. и =(.
. . , Um ,
•
.
.
,
llм - 1 ,
х,"
}
=
Эти фор мулы получились из фор мул ( 1 ) при уда л е н и и л евой + гр аницы в - оо , что т а кже отр ажено в обоз н а ч е н п и опер атор а : R.
Р ис. 54.
Мы види м , что опер аторы R, R и R от h не з а в и сят. Обл а сти определения функций и = {ит} дл я опер а торов ( 1 ) , ( 3 ) , ( 4 ) и ( 5 ) показ а в ы н а р и с . 54. Будет пока з а но, ч то совокупность +�
�
<-
собственн ых зна чений всех трех операторов составляет спектр семейства разност/lьtХ операторов { R1J . Собств е н н ы е з н а ч е н и я опер аторов R, R и R м ы у ж е вычис· ляли в § 26, одн а ко воспроиз ведем здесь и х в ы ч исление, т а к tt
< ->
�
+
как, прежде чем переходить к док <1 з а тельству сформул и р о в а н ного утверждения, н адо отчетл иво пр едст а в ит ь с е б е структуру <+-> � собственных функций опер а торов R , R и R. Пр ежде всего выясн и м , к аково м ножество точеi\ Л н а ком · плексной плоскости , дл я которых ура внение +�
Rи - 'Аи = О
4 06
[ГЛ. 14
УСТОй ЧИВОСТЬ Н Е С А I',\ОСОП Р Я Ж Е Н I I Ь! Х З АДАЧ
и м еет огр а н иченное решение и = {ит} . т = О, + 1 , . . . Эти �-> числ а 1 и есть собственные з н а ч е н и я оператор а R . В н а шем ��
п р и мере у р а в н е н и е R и - Ли = О и м еет вид ( 1 - r - Л.) и т + r и т + l = 0, т = О ,
+ 1, . . .
В с я кое решение этого обыкновенного р а з постного у р а в н е н и я первого п о р я д к а , к а к вытекает и з § 1 , м о ж е т лишь посто и н н ы м м н ожителем отл и ч а ться от сеточной функции tt 111 = q m , т = = О, + 1 , . . . , где q - корень х а р а ктер и стического уравнения ( 1 - r - 1) + rq = О. Связь м ежду числ а м и Л и q можно з а п и с а т ь т акже в ф о р м е Л. = 1 - r + rq. Решение ит = q m огр а н и чено при т -+ + оо и при т -+ - оо тол ько в том случ ае, е сли 1 q 1 = 1 , q = eia, О � а � 2л. По этому м н ожество тех з н ачений Л, при которых решение ит = qm огр а н ичено, получается по формул е Л. = 1 - r + rq = 1 - r + r e1a, когда q = eia пробегает еди н и ч ную окружность 1 q l = 1 на ком. �� плексной плоскости . Точ к а 1 пробегает п р и этом окружность Л р адиуса r с центром в точке 1 - r ( р и с . 26, а, стр . 289) . � В ы ч исл и м собственные з н ачения опер.атор а R, т. е. те Л., п р и которых уравнение �
и м еет решение tt = ( и0, и 1 , , tt m , . . . ) , стремящееся к нул ю п р и т -+ + оо . � У р а в н е н и е Rи - Л.и = О в р а з в ер нутом в иде можно з а п и сать так: Rи - Л.и = О •
•
•
( 1 - r - Л.) и т + rит+ l = 0 , т = О , 1 , . . .
Е го решение ит = qm, т = О, 1 , . . . , стремится к нулю при т -+ + оо , если 1 q 1 < 1 . Соответствующи е собственные значения
1 =
1 - r + rq з а пол н я ют п р и этом в н утренность круга
Л радиуса r с центр ом в точке 1 - r ( р и с . 2 6 , 6) ." < Алгоритм вычисл е н и я собствен ных чисел оператора R а н а � логичен а л горитму в ы числения собств е н н ы х чисел опер атор а R. � Ур авнение R и - Л.tt = О з а п и ш е м ра звер нуто : � ->
( 1 - r - Л) ит + rttm + t = O , т = . . . , - 1 , 0, 1 , . . . , М - 1 , - Л.им = О.
}
( 6)
§ 451
.1\. Л ГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ С П ЕКТРА
407
В с я к а я сето чная функция tt = { ит } . т = М, М - 1 , . . . , удовлетворяющая первому из этих соотношен и й , с точн остью до постоянного м ножител я по-прежнему и м еет вид ит = qm, п р и чем Л и q по-прежнему с в я з а н ы р а венством Л = 1 - r + rq. Р е шение ит = q>n, т = М, М - 1, . . . , стре м ится к нулю п р и т -+ - оо , е с л и 1 q 1 > 1 . В торое соотношение ( 6) , т. е. р авенство - Л и ы = О, н а кл ады в а ет на решение llm = qm допол нительное требов ание - Лим = - лqм = О или Л = О. Если точ к а Л = О лежит вне круга р адиуса r с центром в точке 1 - r, изобр ажен ного н а рис. 26, в , т. е. если r < 1 /2, то ей соответствует н е кото+ рое зн ачение q, 1 q 1 > 1 . Множество Л тех Л , при которых ура в<нение Rи - Ли = О и м еет стр е м я щееся к нулю п р и т -+ - оо решение, состоит из одной этой точки Л = О. В случ ае r � 1 /2, как + следует из продел анного а н а л и з а , ура внение Rи - Л и = О не и м еет стремящихся к нулю п р и т -+ - оо решений н и п р и к а ком комш1ексном (или вещественном ) Л. +� � + О бъединение собственных з н а ч е н и й опер аторов R , R и R изображено для слу ч а я r < 1/2 н а рис. 2 7, а, а дл я слуЧ а я r > 1/2 на р и с. 2 7 , б и 27, в . ' Докажем теперь, что спектр семей ств а опер аторов { R h} сов+ +� � падает с объединением А м н ож еств Л, Л и Л собств енных +->
�
+
з начений вспомогательных опер аторов R, R, R. Н адо показать, что к ажд а я точка м н ожест в а Л п р и н адлежит спектру семейств а р а з н остных опер аторов { R h} и что друг их то чек спектр н е содержит. Сн а ч а л а покажем, что всякая точка Ло Е Л прин адлежит спектру семейств а р азностн ых опер аторов. Для этого достаточно установить, что, ка ково бы н и было 8 > О , не р а в енство
(7)
имеет решение и п р и всех достаточно м а л ы х положительных з н аче ни я х h . Решение и = ( и о , и 1 , . . . , и м) мож·но н аз в ать «по чти собственным вектором» опер атор а R h . поскольку решение уравнения Rhи - Ли = О в алгебре прин ято н а з ы в ать собствен ным вектор о м . Построения, с помощью которых проводится доказ ательство, +� � + з ависят от того, к а кому из трех м н ожеств Л, Л или Л п р и н ад+� л ежит точка Ло. Н а чн е м со случ а я Л 0 Е Л. Покажем , что п р и любом 8 > О и всех достаточно м алых h нер авенство (7 ) и м е ет решение и. Переходи м к построению функц ии и = ( и о , и 1 , . . . , Им) . По <-� опр едел ению м ножеств а Л существует qo, 1 qo 1 = 1 , та кое, что
408
УСТОйЧi'I ВОСТЬ НЕСАМОСОП РЯЖЕННЬIХ З А !l: А Ч
[ГЛ.
14
Лo = ( I - r) + rq o , а ур авнение ( 1 - r - Лo) vm + rvm+I = O, т = О, ± 1 , . . . , и м еет огр а н иченное р е шение vm = qbn , т = О, + 1 , . . . Будем р а сс м атр и в ать это решение тол ько п р и т = О, 1 , . . . , М, сох р а н я я обозн ачение v . В е ктор , qg1 ) , v = (v0 , v i > . . . , vм) = ( I , Qo , .
•
.
uче в идно, удовлетворял бы ур авнению Rhv - J, o v = О, которое в р а звер нутом в иде з а писыв ается соотношен и я м и
( I - r - Л0) v т + r v m + I = O, т = О , 1 , . . . , М - 1 , - Л0 vм = 0,
}
есл и бы не н а р у ш алось последнее из этих соотношен и й . Соотно J!lен и е - Лоvм = О можно счит ать г р а н и ч н ы м условием дл я ре шения обыкновен ного разност и ного урав нения
r - Ло) И111 + Гllm + I = О , т = О, 1 , . . . , М - 1 .
(1 -
Ч т о б ы удовле т в о r и т ь это м у г р а ничному усл о в и ю , кото р о е з а дано п р и m JV/ , т . е . н а п р а в о ы конце отрезка О ::::;;; х ::::;;; 1 , « под v = ( 1 , %• . . . п р а в и м » вектор =
помножив ка ждую н з его 1ш мпонент V m на множитель ( М - т) h. Полученный вектор обоз н а ч и м и = ( и 0 , l l 1 , , U.м) ,
. . . , q�1 ) ,
•
Рис. 55.
=
•
•
um = (М - т) hq�.
На р и с . 55 приведены графи ки функций v = {vm} 1 1 и = { и т} в сл у ч а е q 0 = - 1 . Нор м а вектора и р а в н а единице:
l l и 11 = max l um 1 = max 1 (М - т) h q�1 1 = Mh = 1 . т т Оце н и м норму ве ктор а w = ( w0, w 1 , . . . , · w м ) , определенного р а ве н ством w Rhu - Л.0и. Для координ а т вектор а w получ а ем ==
следующие выраж е ни я :
j w т 1 = 1 ( 1 - r - Л0) (М - т) h q� + r (M - т - I ) h qgz+ I I = = 1 [( 1 - r - Л 0) + tQo] (М - т) hq� -- r lщr;: + l i = j O · (M - т) hq�n - r hqgz + 1 j = r h, m = O, 1 , . . . , М - 1 , 1 wм 1 = О - Л0 О О. =
_
•
=
§ 45
409
АЛГОРИТМ ВЫЧИС Л ЕНИЯ СПЕI(ТРА
Отсюда видно, что ll w l l = rh, и п р и h < в/г в ы п олнено н е р а венство ll w ll = I I R h и - Лои ll < в ll и ll . Эти м и з ав е р ш а ется док а з а +-+ тельство того, что точ к а Л0 Е Л п р и н адл ежит спектру семейс тва разн остны х опер а т оров {R 1, } . Покажем, что если точ к а Ло п р и н адлежит одному и з м н о + -+ жеств Л или Л' то о н а я в л я ется точкой спектр а семейств а -+ опер аторов {Rh} . Пусть для определенности Л0 Е Л . Тогда по -+ -+ определению м н ожеств а Л ур авнение R v - Л. 0v = О , которое в р азвернуто м в иде з аписыв а ется р авенств а м и
( l - r - Л0) vт + rv m + l = 0, m = O, 1 , 2 , . . . ,
и м еет решение v m = q[f, 1 q0 1 < 1 , т = О , 1 , . . Будем р а ссм атр и в ать это решение только п р и т = О, 1 , . . ' м' положи в . .
и = (и0 , и l > . . . ,
и м)
= ( 1 , q0 ,
•
•
•
.
. •
, qg-t) .
Вычир:ш м для этой сеточной функции и, г р а ф и к которой в слу чае q = 1/ 2 изобр ажен на рис. 56, норму вектор а w == R1, и - Л0и. Из р авенств
l w m i = I ( I - r - Л0 ) q[f + rq[f + 1 I = O, m = O, . I , . . , М - 1 , .
lw
м
l = l qo lм
следует, что 11 w 11 = 1 q0 lм = 1 q0 / 11 h . Если h н а столько м ало, что h 1 q0 / 1 1 < в, то l l w l l = I I R 1, и - Лott ll < в = в ll и ll , поскольку l l и ll = 1 . Итак, док а з а н о, что в н а ш е м п р и м е р е все точ ки м н ожеств <+-> -+ л, Л и Л прин адлежат спектру qm семей ств а р азностных операто ров . Покажем теперь, что вся к а я точ к а Л о , н е п р и н адлежащая +-> -+ + {) мн ожеств а м Л, А и Л, не п р и н адР и с. 56. лежит спектру семейства {Rh} . Именно покажем, что существует чи сло А > О, не з а в ися щее от h и такое, что для л ю бой фун кцшz и = (ио, и 1 , . . . , и м ) выпо л нено нер авенство (8) 11 R hu - Л.ои 11 � А 11 и 11.
(tj /)� .
Тогд а п р и в < А н е равенство I I R h и - Лои l l < в l l и l l не и м еет р е шения и точк а Ло не прин адлежит спектру. Обозн а ч и м f = == R1, и - f...о и , тогда неравенство ( 8 ) з а пишется т ак : 14 С. 1(.
ll f ii � A II и l /.
Гом н ов,
В, С. Р ябенький
(9)
4\0
[ГЛ. 1 4
УСТОйЧИВОСТЬ НЕСАМОСОПРЯЖЕНН ЬIХ ЗАДАЧ
Эту оценку мы и будем обосновыв ать. Р а венство з а п и ш е м в р а з в е р нуто м в иде :
R1,u - Лои = f
( 1 - r - Ло) ит + rит+ l = f т, т = О , 1 , . . . , М - 1 , - Лаим = f м ·
}
( 1 0)
Буде�! р а с с м атрив ать э т и соотн ошения к а к ур а внение относи тельн.о и, а f будем считать заданной п р а вой ч а стью. З апишем р ешение и = {ит} в в иде сум м ы , положив Uт = am + � n"
т=
о,
1 , . . . ' М,
(1 1)
где am - ком поненты огр а н иченного решения а = {am} следую щего у р а в н ен и я :
{ о, о,
( 1 - r - Ла) ат + r ат + 1 = F т = =
если т < О , f т, если т = О , 1 , . . . , М - 1 , если т � М.
( 1 2)
Тогда в силу л и н е й ности в е ктор � = { � m} , компоненты которого входят в р авенство ( l l ) , есть р ешение уравнения ( 1 - r - A.o ) �т + r� т + l = 0 , m = O , 1 , . . , М - 1 , - А.а�м = f м + Л аам· .
}
( 1 3)
Для док а з а тельств а оценки ( 9) , которую при сдел анном в ы \ б оре нор м ы можно перепис ать в форме 1 Uт 1 < A max l f т l, в . т силу соотн ошения Um = а"" + � т достаточно установить оценки вида ( 1 4) 1 ат 1 :'(; А , max 1 f т 1. ( 1 5) 1 � т 1 :'(; А 2 max 1 f т 1.
где А 1 и А 2 - н е1<.оторы е постоя нные. Н а ч н е м с оценки ( 1 4 ) . З а мети м , что у р а в н е н и е ( 1 2 ) есть уравненпе первого порядка в ида аат + Ьат + l = Fт , m = O , + 1 , . . . ,
где а = l - r - Ло, Ь = r. Ур авнение та кого вида было р а с с мотрено в § 2, где получена оцен к а m a x 1 Fт 1 1 ат 1 � 1 :1 - 1 Ь 1
=
m a x 1 fт 1
ai - 1 Ь 1 l�J -lb 1 ::::_ бо/2, 1
В р а сс м атри в а е мо м примере стояние от точки �.о до м н ожеств а Л + Л + Л.
( 1 6)
где бо - р а с� Из ( 1 6) поэтомУ,
§
4\1
' :АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛ ЕН ИЯ СПЕТ<ТРА
45]
вытекает доказыв аемое н е р а венство ( 1 4 ) . Оце н к а ( 1 5 ) вытекает из з а писи решен ия у р а в н е н и я ( 1 3) в следующем виде :
где Q o опр едел яется соот ношен и е м ( 1 r - Л о) + rqo = О. По предположен и ю точ к а Ло не п р и н адл ежит м н ожеству и по этому л ежит вне круга с центром в точке 1 r и р адиусом r. А в этом случ ае l qo l > 1 . Д алее, I Лo l = 6 1 > О, т а к к а к если бы + � +� было Ло = О, то /.0 п р и н адлежало бы м ножеству Итак, используя р а ве н ство ( 1 7) и учиты в а я уже док аза нную оценку ( 1 4 ) , получи м н е р а в е н ство ( 1 5) : ( 1 7)
Л
-
-
Л + Л + Л.
l �т l = 1 fм ��оам l · j q�-м j :::;;; l f:: l + l aт l:::;;; 1f 1 - + А1 m x l f т .ш а х� б1
a
-
т
l = A2 m ax i f
m l·
Итак, дока з а н о, что спектр семейства опер аторов {Rh} , опрел.е+� ленного формулой ( 1 ) , совпадает с объединением м н ожеств Л , + � н а комплексной плоскости . и
Л Л
2. Алгоритм вычисления спектра в общем случае.
R ,,a, а, Ь Е Uh , задан равенством Т е о р е м а Пусть оператор Rh, Ь В,,Ь A h a , где Ah и в ,, - некоторые линейные операторы, определенные на конечномерноАI линейном нормированном пространстве Uh со зна
=
торы А 1, и Bh равномерно по h ограничены, а оператор B h иАiеет paвнoAiepll o ограниченный обратны й Bi; 1 : 11 A h 11· 11 В11 11 · 1 B i; 1 ll < с . В таком слу•юе спектр сеАtейства операторо в { R,, } не содержит тех и толмо тех Л на комплексной плоскостtt, при которых оператор А ,, - 'Л.В,, имеет при всех достато •tНо Аtалых h равномерно по /� огранuченный обратный оператор. Д оказа тельств о очсв п дпо. и Пусть теперь опер атор R h ,
мы
v
=
его изл агать не б удем . R ,, и , з а д а н р а з ностн ы м и соотношенпя ы н
( 1 8)
причем задача ko
L
BkmDm + k = <JJ m,
k - - k. � k.
хорошо обуслов лена.
t
1 �0
ь , v i = 'Фl'
ko ..so;;
т
о:;;; М
-
ko,
J
1 J
( 1 9)
412
УСТОйЧИВОСТЬ HE CAMOCOПP51ЖE I-II-I Ы X ЗАДАЧ
Предполагается, что
Akm = Ak
( :),
Bkm = Bk
[ГЛ. 14
( �),
где А п (х} и Вп (х) - квадратные м атрицы, определенные н а отрезке О � х � 1 , удовлетворяющие н а этом отрезке услов иям гладкости ( 1 4) § 4; а ;, Ь ; , а ; , р ; - прямоугольн ы е ч исловые матрицы, не зависящие от М. В таком случае п рименима теорема и спектр семейства операторов {Rh} состоит из всех тех Л , для которых р а зн остная краевая задача k,
L
k = - ko 2k.
L
i =O
( Л Bkm - Аk т) Um+k = qJ m .
( Л Ь i - a i) u i = Ф р
2k,
L
i=O
ko � т
( Л �t -
J! �
� М - k0,
(20)
1
al) u M - i = Ф2 )
не является хорошо об условленной. Для в ы яснения того, является ли за дача (20) хорошо обусловленной, п р и каждом Л можно воспользов аться кри терием п. 7 § 4 . З АДАЧИ
1 . Доказать, что дл я семейства р азностных операторов {Rh}, заданн ого р авенств а м и
ит = ( \ - r) Um + ГUm + l • t n = 0, \ , и Mh = 1 , м = О,
,
• •
М-
,
\,
и =
R h u,
�
J
J
( �
р ассмотренн ого в этом п а р а г р афе, спектр не изменится, если нор му опре делить не по формуле 11 и 11 = 1 Um 1 •. а по формуле ll и 11 = h 1 u m 12 ' /, .
и
rn,;; x
2. Дока зать, что спектр семейства р азностных операторов {Rh},
и =
з аданного р авенствами
t1т = ( l - r + ,•l7 ) ит + rttm+ J • т = О, \ , [) м = о, Mll = 1 ,
•
. •
)
Rhu,
, M - I, J
f
не з а висит от з н а ч е н и я чнсла v и совпадает со спектром, постр оенным в этом п а р аграфе для случая '' = О. 3. В ы числить спектр семейства опер атор ов {Rh}, и = R ,,u, заданного ра венст в а м и
tlm = ( \
au0
+
bu1
r) Um + r (urn - 1 + llm + l ) , т = 1 , 2 , = О, u м = О, Mh = \ , r = const,
-
М - 1, )
f
где а и Ь - заданные числа. Рассмотреть случаи l a l > l b l и l a l < l b l .
§ 46. Ядра сnектров семейств оnераторов
и�t
неi;ото Пусть Rh отобр ажает линейное н ормирован ное пр остр анство рой р азмерности N, N = N (h) , в себя. Будем писать в место Rh и и� соответ ственно R N и и N , чтобы в обозначениях была явно указ ана размерно�ть_ Пр едполагается, что N ...... оо при h -+ О,
§
46]
5ШРА СПЕКТРОВ СЕМЕ й СТВ ОПЕРАТОРОВ
{R w} зависит от выбора последовательности норм 11 · 11 w в пространствах
Здесь мы обсудим вопрос о том, насколько спектр семейства оперзтороЕ
иw
тем самым, н асколика ишзариантен спектр альный признак огр аниченносп ноrм степенеi'r опер атора R w (теорема 1 из § 44) относительно выбора норм Относительно семейства операторов { R w} будем предполагать, что соб ственные числа всех опер аторов R w ограничены в совокупности, т. е. лежа1 в векоторим круге
и,
1 Л 1 "( с
==;о
const.
Очевидно, что для выполнения условия ( 1) достаточно, чтобы существо в ала хотя бы одна последовательность норм 11 · 11 w такая, чтобы в ыполнялис1 нерапенства 1 R w 1 w < с' const. Отсюда видно, что ограничение ( 1 ) есте ственно: оно выполняется для семейств операторов {R} w перехода со слоя н а слой, возн нкающих п р и рассмотрении эволюционных разностных краевых зада'r. Переходим к определению понятия ядра спектра, с помощью которого и будут сформулированы результаты этого параграфа. Пусть з аданы: какая -либо последовательность норм 11 · 11 w , число а Е [0, 1] и целое k � О. Обозначим че� ез Л (а, k, N) м ножество точек Л, для которых нер апенство 11 Rми - Ли 11 < а N - k 11 и !! имеет решени� и Е и w. Зна чок N при написании нор м мы опускаем. О п р е д е л е н и е. Ядром показателя а Е [0, 1] семейства операторов {R w]
=
назовсАt следующее Аtножество Л (а) на комплексной плоскости:
Л (а) = Здесь
U
n n
(
U
k ;;:. O s > O N > s
N>s
Л (а ,
)
k, N ) . •
Л (а, k, N) = Л 5 (а,
k)
есть теоретика-множественное замыкание объединения множеств Л (а, k, N) при всех N > s; n Л s (а, k ) "=" Л ( а , k) пересечение всех м ножеств
Л s ( а,
k);
П
k ;;:. o
-
s>O Л (а, k ) = Л (а ) - пересечение всех м ножеств Л (а, k) .
Т е о р е м а 1 . Ядро Л ( а) , а Е [0, Аtейст в а операторов {R к } tl за.икнуто.
1], целиком содержится в спектре се
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что если точка Ло не принадлежит спектру семейства операторов {Rw}, то она не принадлежит и ядру. Дейстпи телыю, найдутся Е > О и N о такие, что при всех N > N о для любого и Е и w выполнено неравенство IIRw и - Ло и ll � Е 1 и 11 . Но тогда для всех Л из круга Е 1 л - Ло 1 < Е/2 в ыполнено также нер а венство 1 R N и - Ли 11 � z ll и 11 - Вп иду этого при N > No ни одно м ножество Л (а, k, N) не содержнт точек в круге 1 Л - Ло 1 < Е/2. Отсюда следует справедливость первого утверждения теоремы. Для доказательства замкнутости ядра Л (а) заметим, что Л, (а, k ) замкнуты по построешrю, а множества Л (а, k ) и Л (а) - как пересечения замкнутых множеств. П р и м е р. Вы<шслим ядро Л (а) , а Е [О, 1 ], для семейства опер аторов {R w}, если оператор R N + I ' v = R N + l и' задан р авенствами Vn
а
норма -
= (! = 0,
- r)
ип + ГИ п + r •
раnенетвам 11 и 1 = IJ ( и0, VN
и1,
n
• • •
= О, . . . !,
, N - !,
, и N) 1/ = ш а х /
ип
/·
t
J
( 2)
[ Г Л. 1 4
УСТОйЧ ИВОСТЬ НЕСАМОСОПР51ЖЕННЬIХ З АД А Ч
414
Покажем, что Л (а) состоит из точки Л са ar с центром в точке 1 - r: 1 Л - (1
=
О
и из замкнутого круга р адиу
r) 1 < ar. (3 ) Действительно, Л = О, как м ы видели в п. 1 § 2 является собственны м числом д л я всех оnераторов R N , а потому принадлежит всем множествам Л (а, k, N) и, следовательно, ядру. Далее, для любого /. о , лежащего строго внутри круга (3) , при некоторых вещественном а; ;;;;;. О и Ь > 1 имеет место представление
4
·
,
ar
')., о = 1 - r + Ь е t a ,
Неравенство 11 R N и - Лои 11 < aN N - " 11 и 11 п р и любом фиксированном всех достатЬчно больших N имеет решение
k
и
f (a/b)n ei an , n = О , 1 , , , . , N - 1 , ип = { L О , n = N. .
Следовательно, п р и всех достаточно больших N множества Л (а, k , N) содер жат точку Ло, а з начит, ее содержит и Л ( а ) . Итак, внутренние точки круга (3) принадлежат ядру Л (а) , а ввиду замкнутости ядра ему принадлежит и гра н ица круга (3) . Если точка 'Ло =1= О не принадлежит кругу (3) , т. е.
; е 1 а,
а 'Л0 = 1 - r +
а ;;?: О, Ь =
1
-
2б, б > О ,
[
то, выписав функцию Грина р азностного уравнения первого порядка ( § 2) , можно установить, что пpir любом Л из круга 1 Л - 'Л о 1 < miп 1 Л о 1. 1 � при всех достаточно больших N и всех и Е и N выполнено неравенство N 1 1 R N и Л и 11 > a 11 и 11 . Отсюда следует, что точки этого кру г а не прин адл е жат Л (а, k, N) , если N достаточно велико, а следовательно, н не принад.lе жат ни замыканию их объединений Л, (а, k) , н и ядру Л (а) . З аметим, что ядро Л (О) показателя а = О в р ассмотренном примере со стоит из двух точек 'Л = О и Л = 1 r, а ядро .\ ( 1 ) совпадает со всем снект ром семейства опер аторов { R N } . который б ыл вычислен в На этом закончим рассмотрение пршrера н вернемся к общим построе -
-
ниям.
0]
§ 4 5.
О п р е д е л е н и е. Я д р о Л ( О ) назовем абсолютным ядром. Т е о р е м а 2. А бсолютное ядро семейства операторов { R N } не зааи с ит
от выбора последовательностtt нор.11 ll · llм ·
Д о к а з а т е л ь с т в о следует из того факта, что пр н а = О �шожество Л (а, k , N ) совпадает при каждом N с м ножество�! собственных зн ачеrrн ii опе
р атора R N ' которое не зависит от нормы в простр анстве и N ' Т е о р е м а 3 . При усло вии ( 1 ) последо в ат ел ь ность н орм l · llм в се� д а можн о выбрать так, чтобы спектр сеАtейства операторов { R м } совпадал со
Д о к а з а т е л ь с т в о. Укажем конструкцшо норм, существование кото рых утверждается в теореме. Выберем базис в пр остр анстве и N так, чтобы м атрица преоnразования R N в этом базисе была жордан овоii н модул и всех внеднагона.1 Ы I Ы Х членов былн меньше чем 1 /N. Введем скалярное у :ш о ж е н не и нарожденную н м норму, объявив этот базнс ортонормальным. [ слп /. о произвольная точка , не принадлеж ащая Л (О) , и е > О - р асстояние от этой
своtш абсолютным ядроАt.
j 47]
УСТ()11 Ч I ! ВОСТЬ ЛЛ ГОГ'IПМОЕ РЕ Ш ПIИ Я YPAB I I C I I I IП
415
точки до замкнутого в силу теор емы 1 м н ожества Л (О) , т о м о ж н о п р оверин., ч то 11 Rи - Лои
Е 11 � 4 ll и 11
п р и в с е х N > 8/в и всех и Е
nр!I I I адлеж н т спектру семе iiст ва операторов 1 Jт ai<, если спектр
{ RN }· { RN }
иN '
так что Ло н е
я др ом Л (О) показа теля а = О п р и задашюм в ыборе норм, к а к это и м еет м е семеi"I ства операторов
не совпадает со своим
ство в р а ссмотренном выше п р шrере (2) п р и норые l l и ll = rnax [ u n 1 . то за счет в ы бора другой п оследов ательности н о р м м о ж н о получить в к а честв е спеюра более узкое ы н ожество Л (О) . Од нако в теории р а зпостн ы х схем используются не вполне п ронзволы rые нор ы ы . О бозн ачим ч е р е з 11 · \lc N норму, р авную макси м у м у абсолютн ы х величи н в сех компонент, о б р а зующих сеточную функци ю (или вектор-функцию) из и N · В ыдел и м класс п оследов ательностеii н о р м ll · ll м • д л я которых существуст н атуральное s , з а в исящее от п оследовательности, и такое, что при всех доста точ l \ 0 бо.1ьших N спра вед.1нво нера венство
(4 ) О чевидн о , что с а м а нор м а 11 · :!с м н все встреча в ш иеся н а м в св я зи с р а з н ос т I I Ы Ы II у р а внениями нормы при возрастающем N образуют п оследовательности и з у к а з а н ного класса ( 4) . Т е о р е м а 4. Ядро Л (а) показателя а Е [0, 1 ] не зависит от выбора по следовательности норм из числа удовлетворяющuх требованию ( 4) . Д о к а з а т е л ь с т в о неп осредстве нно следует из определс ниl1 . Рассмотрим т е п е р ь сеыеiiство операторов {R,,}, определенных р а всiiстu а м и ( 1 8) и ( 1 9 ) и з § 45, п р едположив дополнительно, ч т о м ат р и ч н ы е коэффи циенты A k н Bk постоянны : A ,, (x) = A k (O) , B ,, (x) == B k ( O) . Для этого семей ства опер атоrов спра ведлива следую щая в а ж н а я Т е о р е м а 5 ( А. В . Соколов ) . Если в пространствах и:. = им, г д е дей
ствуют 011ераторы R1, R N , введены норлtы 11 · !!с N ' то ядро Л ( 1 ) rюказателя 1 спектра сеАtейства операторов { R м } совпадает со всем спектром этого се.1tейства операторов. =
а =
·
Из этой теоремы и теоремы 4 следует, что п р и любом выборе п оследо в а тельности н о р м 1 1 3 класса н о р м , у довлетв оряющнх условию ( 4) , спектр :емеiiств а операторов { R N } содержит спектр се�1ейст в а операторов { R N }. п олученного 1 1ри н c п o л i,з o в a J I I I I I н о р м [[ · l lc N ' c н o c o ri в ы ч нслешr я которого о п н с а н IJ п . 2 § 4 5 . Поэто�r у с с .1 н 11е в ы п олнено спектра.1 ы10е уеловне огр а н нче н iJОСТ I I н орм стспспеii оп сr а торов R N (теорем а l J I З § 4 4 ) п р н в ы боре н о р м ll · llc м , то 0 1 1 0 не в ыполнено и п р и .1юбом другом в ы боре п оследов ательностн н о р �! 11з чнс.1а удовлетв о r я ю щ r 1 х условию (4) . Д ок : в а тельст11о тсоре�IЫ Л. В. С околов а требует сложного нсследов а н r r я , н м ы его н е н злагас�r.
§ 47. Об
усто й ч и вости и т е р а ц и о н н ы х ал го р и т м о в р е ш е н и я н е с а м о со n р я ж е н н ы х р азно с т н ы х у р а в н е н и й
Р е ш е н и е стац и о н а р н ы х з а д а ч установление�! м о ж н о п о i ш м а т ь к а к неко тор ы ii IПС рацнон l l ы i"I 1 1 р оцесс, а результаты, п олуче 1 1 1 1 Ы е н а очередном вре м е н н о м с.1ое, - к :� к соответствующее п р иближение. В § 35 была р ассмотр с н а в кач�;<:твс п р н м е r а р а зностна я задача Дирнхле д л я у р а в н е н и я Пуассона.
416
� СТО Г! Ч И ВОСТЬ
Н Е САМОСОПРЯЖЕННЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. 1 4
В случае нулевL:х услови й н а грашще - это самосопряженная разност ная задача. В соответствии с этим в п р оцессе установления можно было раз· лагать ошибну по полной ортогональной снетеме собственных функций. По р асположению собственных чисел можно было судить одновременно и о ско р ости убывания погрешности, и о влиянии ошибок округления, вносимых на пр омежуточных слоях. Оказывается, при решении несамосопряженных р азностных уравнений установлением дело обстоит, вообще говоря, не так. Может возникнуть, не смотря на сходимость итер ащюнного процесса, неустойчивость из-за болыuой •Iувствительности к ошибкам округления. Это явление мы здесь точно определнм и обсудим. При этом окажется полезным понятие спектра и ядр а спектр а семейства р азностных опер аторов. Пусть
(1) - семейство линейных уравнений («р азностное уравнение») . относительно не известного элемента и из некоторого N-мер ного линейного нормированного n ростр анства и N , зависящее от натурального п а р а метра N. Мы будем р ас сматривать итерационный nроцесс (2 ) ит + l = R N ит + fN, m = O, I , . . . . 'Ak = 'Ah (N)
вычисления решения и. Будем nредnолагать, что все собственные з начения оnератора R N по модулю м еньше еднницы
(3 ) т. е. что известны й критерий сходимости процесса (2) выполнен, nричем ll и - и т ii = O (p�) .
П усть теnерь вычислен11 я (2) ведутся nриближенно лом р = q + а десятичных знаков, т. е. по формуле о
ит + l
= R N й т + f N + I Q-P 11 и т 11 о ' т
с
не1шторым чис
Е и N ' 1 1 о 1 1 < 1 произвольны. т т З ададим н атуральное q и будем требовать, чтобы nри произвольных 11 б ,, 1 1 ,;:::;; 1 , k = О , 1 , . . . , выполн ялось нер авенство
где
и йт " < ""lim"" = 11 т�
\0-q 11 и 11.
(4 )
(5) бh,
(6 )
Нера венство (6 ) обеспечнвает воз�rожность вычнсmпь решение и по фор мулам (5 ) с ошибкой, не nревосходя щ ей едишщу q-го десятичного знака (в смысле нормы в и N ) . Л е м м а. Для вьтолнения требования (6) необходшtо, •tтобьt число ц «запасных знаков» в форАtуле (5) удовлетворяло неравенству и достаточно, •tтобьt где
а
( 1 - 1 0-q) <р "( l oa ,
( 1 + 1 0- q) <р < I Oa,
удовлетворяло неравенству <р
т � оо
= l im
max
/' f
ff бk JI = I /j k = O
Доказательство предоставляем чнтателю,
R'!J- k ok
1·
§ 47]
УСТОйЧИВОСТЬ АЛ ГОРИТМОВ Р Е Ш ЕНИЯ УРА ВНЕ НИ й
417
Отметим, что существованне ер = cp ( N) следует и з условия (3) . В даль неiiшем будем понимать под а = а (N) наименьшее целое, обеспечивающее выполнение требования (6) . Из леммы видно, что такое число существует, н с о т р и ц а тельно, от q зависит несущественно либо не зависит вовсе. О п р е д е л е н и е. Сходящиfrся итерацнонный алгоритм (2) б у де м назы вать устой•швы.м, е с л и существует н е зависящая от N постоян н а я С, при ко торой выполнено неравенство
a (N)
< С;
(7)
сходящийся итерационныl1 алгоритм будем называть сЛабо устойчивым, если сущсствуffi' не зависящая от N постоянная С, при которой выполнено нера венство a (N) ..;;; с 1 n N, (8)
но устойчнвость места не и меет. Наконец, сходящийся итерационный алго ритм будем называть неустойчивым, если он не является ни устойчивым, ни слабо устойчивым. П р и м е р . З аnишем уравнение - 2 Un + Un+ l - fn = О , n = О , 1 , . . . , N - 1 , l
в
форме
(9)
J
UN = O
U n = ( 1 - 2r ) uп + run + l + rf", , U N = 0,
n = O,
1
•
• • •
, N - 1, l
j
( 1 0)
где г - nараметр. Итерационный алгоритм (2) для уравнения ( 1 0) при мет вид
, N - 1 ,' и: + 1 = ( 1 - 2r) u� + rи�+ t + rfп• n = 0, 1 , так что оnератор R N , v = R N u заnишется формулами Vn = ( \ - 2r) Un + ГUn + l • n = О, 1 , , N - 1 , , V N = 0.
(11)
• • •
. • •
Оnер атор R N имеет, как легко в идеть, только два собственных значения 1 -2r и Лz (N) = O. Не равенство ( 3) выполнено и итерационный алгоритм ( 1 1 ) сходится п р и 2 < 1 . Примем за норму 11 и 1 1 = m; x 1 u n . Покажем, что при r < 3 он устой-
'Л 1 (N) = r
чив, а nри r
2 · 3 неустоичив. деиствительно, если r < 3 , то
> 2
.;;;;;; max ( 1 1 - 3r
•
max 1 Vn 1
1. 1 1
- r 1 ) max 1 u n 1 . n
так что 11 R N 11 .;;;;;; m ax ( 1 1 - 3 r 1 . 1 1 - r 1 ) = р < 1 . Поэтому <р ( N ) .;;;;;; 1 _ , р и в силу леммы имеет место оценка (7) с nостоянной С = -2 1 n ( 1 - р ) . 2 Пусть теперь r > З . Положим в ( 1 1 ) fn = О, и� = (- 1 ) n. Легко видеть, что
n
1
в таком случаЕ! и;: = ( 1 - 3r)m ( - l ) n , n = О , 1, . . . , N - т. Отсюда следует, ч то // R � II ;;;:. pm , m = 1 , 2 , . . . , N - 1 , где p = l l - 3r l > \ . Поэтому cp (N) > p N, а в силу леммы а :::::: N lg р , что доказывает неустойчивость. Можно nоказать, что при г = нтер ационный алгоритм ( l l ) слабо устойчив.
i
418
У СТ Оf'! Ч И В ОСТL Н Е СА М О СО П РЯ Ж Е Н I-I Ы Х ЗЛДЛ Ч
[Г Л .
14
Таким образом, СIIектральныi\ критернi'J сход11мос1 :1 ( 3 ) итерашюrшого :Jлrорнтма 11е определяет его устойчивости. Спектральный кр нтернй и при знаки устойчивости формулируютсп не в тер минах расположения спектров каждого из операторов R , а в терминах р асположения спеюра и ядер спектра семейства опер аторов {R N}. Именно, в предположеll!ш, что семеi\ство опера торов {R N} р авномерно ограничено, 11 R N 11 < С, легко проверить следующие утвержденн п . Л е м м а. Для того чтобы при всех достаточно болышtх знаrtсниях N ите рационный алгорит J.t ( 2) был сходящимся, достато•tно, чтобы радиус р ка кого-нибудь ядра спектра сеJ.tейства операторов {R N} был строго мен ь ше единицы.
К р 11 т е р и й у с т о й ч и в о с т и. Для устойчивости итерационного алго ритма (2) необходиJ.tО и достаточно, ttтобы спектр семейства операторов {R .v } лежал строго внутри единичного круга. Т е о р е м а. Для того чтобы итерационный а л горит J.t (2) сход ился и был устойчив или слабо устойчив, достаточно, чтобы радиус р ядра Л ( 1 ) спектра сем ейства операторов {R N} был строго меньше единицы; для неустойчивостu сходящегося итерационного алгоритма (2) достаточно, •tтобы радиус р этого ядра спектра семейства операторов {R N} был строго больше единицы. В § 46 показано, что пдро Л ( 1 ) спектра семейства операторов {R н} не ·
зависит от выбор а норм из естественного для р азностных уравнений класса (4) § 46. Отсюда следует, в частности, что если операторы R N являются равномерно по N сжимающими, IIR н 11 =s;;;; р < 1, так что спектр, а значит, н ядро Л ( 1 ) спектра семейства операторов {R N } лежат в круге I Л I =s;;;; р < 1 , то итерационный алгоритм (2) устойчив и остается устойчивым (сильно и л и слабо) и в любой другой норме ( 4) § 46, в которой операторы R N могут перестать быть сж имающими. . В р ассмотренном выше примере спектр семейства операторов {R N} со стоит из круга 1 Л - ( 1 - 2г) 1 =s;;;; г н точки Л = О, п р ичем совпадает со своим 2 ядром Л ( ! ) . Утвер ждение об устойчивости алгоритма ( 1 1 ) при г < 3 и н е " 2 устоичивости при г > 3 можно сделать поэтому и с помощью спектральных признаков. Длп вычисления решения ( несамосопряженного) уравнения вида A Nи + fN = O ( 1 2) можно пытаться строить итерационный алгоритм в форме
BN u m + 1 = BN u m + ( A,v u m + fN) .
( 1 3)
П р и этом опер атор B N надо подобрать так, чтобы е г о было легко ЧIIС ленно обратить и чтобы спектр семейства операторов {B;y ' A N } имел воз�юж J ю меньш ий р адиус fJ , р < 1 . В силу оценки 1 R'!j // "( С (Е) · ( р + E)m, гд е Е > О произвольно, а С ( Е) не зависит от N, это обеспечит быструю сходи мость, а в силу критерия устойчивости, сформулированного выше, - устойчн Iюсть итерационного алгоритма ( 1 3) .
ДОПОЛНЕНИЕ
М Е Т О Д В Н УТ Р Е Н Н И Х Г РА Н И Ч Н Ы Х УС Л О В И й В теории краевых задач для аналитических функций, т. е. для решений систNr ы ур авнений Кошп - Рпмана, а также для решениii более общих crr cтe�l ура вненнii с ч а стн ы�ш пр оизводными, примен яется Аrетод сингулярных интегральных уравнений. Он состоит в сведении краевых задач к некоторым интегр альным уравнениям н а гран ице р ассматриваемой области. П р и этом в дополнение к задашrьrм граничным условиям используются следствия самой системы дифференцнальньrх уравнений - соотношения, которым должны удо влетворять функции (и их нормальные производньrе) на границе области, чтобы их можно было доопределить внутри области до некоторого решения соответствующей системы. В случае аналитических функций - это классиче ское условие Сохоцкого - Племеля, которое возникает при переходе в ин тегр альной формуле Коши QJ
(z)
=
r __Lill_ d ь � 2:rtt j ь у
z
к пределу п р и стремлении z к границе у. В случае дифференциальных урав нений второго порядка соответствующее условие возникает из формулы Грина, выраж ающей решение в каждой точке областн через значения этого решения и его нормальной производной па границе. Ч тобы получить это условие, также надо перейти к пределу при стремлении точки изнутри обла сти к ее границе, воспользовавшись свойствами потенциалов простого и двой ного слоев. Мет од внутренних граннчньrх условий по идее аналогичен описанному методу редукции краевых задач для уравнений с частными производньr м и к интегр альным уравнениям н а границе. Роль дополнительных граничных усло вий, аналогичных условию Сохоцкого - Племеля, играют в нутренние гранич !lhrе условия, возника ющие и з раз ностного аналога интегр альной формулы Коши ( ил н р азностного аналога формулы Грина) . 1 . Класс систем разнос.тны х уравнений. Рассматриваются краевые задачи для общих систем разностных уравнений с постоянными коэф ф ициентами, которые в векторной записи имеют вид Lu
=
L
kEK
Ak11n + k - fn .
(\)
где n = (п ,, nz , . . . , п . ) . k = ( k , , flz , . . . , k. ) - мультииндексы, А ,. - квадрат н ые м ат р ицы , f - з аданная н и н - искомая вектор-функции, К - конечное �люжество (шаблон) . Будем предполагать, что систем а ( 1) удовлетворяет с.1едующе�rу алгебр анческо�rу условню: характеристическая матрица k (2) А Ш == L лks , kEK n
' ДОПОЛНЕНИЕ
420 k
k
-t l •• �s s и � 1 ' • • • , � - комплексные пар аметры, не является то ж • где ts k = ь1 • s дественно по s вырожденной:
d e t А Ш Ф О.
(3 )
Это ограничение естественно: можно по казать, что в случае det А ( s ) = О уравнение ( 1 ) имеет решение не п р и всякой финитной (по п) п р авой части f n . 2. Фундаментальное р е ш ен ие. Матричную функцию Gn назовем фунда ментальным решением системы ( 1 ) , если она одновременно удовлетворяет следующим двум уравнениям:
L
A k Gn - k =
k e l(
� Е,
�
(4 )
( 4') L G n - k A k = �� Е . k e l( Л е м м а . П у сть Q ( s t . . , S t ) есть произвольн ы й много ч лен от про и з вольного ч и сла t комплексных аргументов, не обращающийся тождественно в нул ь. Тог да можно вы б рать радиусы г; окружностей 1 s ; 1 = г; так, чтобы выполнялось неравенство Q (st, . . . , st) =1= 0, если l st l = г t , l st l = гt. . .
•
. . .
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем индукцией по числу аргументов t. При t = 1 число корней Q ( st ) = О конечно и утверждение очевидно. Считая, ч т о утверждение доказано для t = р, установим его в случае t = р + 1. Многоч .'l еН Q (st, . . . , S P + t ) расположим по степеням S Р н : Q ( s . . . . . , s p + l) =
Q o (s . .
. . . , s p) s :+ l + . . . + Q м (s .. . . . , s p)·
где М - некоторое н атуральное число и Qo ( s t, . . . , S P ) не обращается тож· дественно в н уль. Выберем Г t, , Гр так, чтобы Qo ( s t, . . , S P ) =1= О п р и l st l = Г t, . . . , l s P I = Г р . Это возможно по предположению индукции. В ы бирая теперь Г р + t достаточно большим, можно добиться, чтобы при l s ; \ = г ; , j = 1 , . . , р + 1, выполнялось нер авенство Q (st, . . , S P + t ) =1= О. Т е о р е м а 1 . Матрица G n , определяемая равенством • • •
.
Gn
=
1
( 2 л;i)s
� ';}'
� ';}'
• • •
.
1 � А- ш ';}' n l + 1 n + 1 ds i 61 " ' ss s .
• • •
l !i.J I -'J
•
'
. d� s .
(5 )
является фундаментальным решением.
Здесь r; в соответствии с леммой выбраны так, чтобы det А ( s ) =1= О, если l s; l = r; . Д о к а з а т е л ь с т в о получается непосредственной проверкой. Учитыва 111 свойства вычетов, nолучаем
3. Граница сеточной области. огр аниченном множ е с тве
L и """'
L
k e l(
Рассмотрим уравнение ( 1) на некотором
A kиn+ k
=
f n• ·
n Е
D o,
(6 )
где Do - произвольная сеточна я область определения правой ч асти · fn · Тогда иn е ст ь множество D, которое пр обегает т о ч к а
о бл а сть определения решения
42 1
МЕТОД ВНУТРЕННИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИй
n + k, если n и k пробегают независимо Do и К соответственно. Сопоставим каждому г Е D подмножество К т множества К , состоящее из всех тех k Е К, для которых r - k Е Do. Границей Г назовем со· вокупность всех тех точек r Е. D, для которых К, х х х х х х х х х непусто. Например, для простейшего разностного х х аналога уравнения Пуассона L и ""'
и
п , - 1,
n,
+
ип
, n,+ 1 n, + , , n,- 1 4 , , = =, + иn , + l .
+
ип п
ип
Nh
l
h 2 F п . п ,,
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
множество Do состоит из тех точек (nth, n2h) \ кото· х х х х х х х х х рые попали внутрь квадрата l x1 l � \, l x2 � \ . Множество К - из п яти векторов ( \ , 0) , (0, 1 ) , (- \ , 0) , (0, - \ ) , (0, 0) . Множество D - сово· Р ис. 57 . купиость всех целочисденных точек квадрата nt � N, 1 n2 l � N, кроме четырех угловых flt N. Граница Г состоит из дву� слоев точек, отмеченных на 1 n2 l р ис. 57 крестиками. l n 1 I < N,
\ n2 l < N;
l= =
\
4. Разностные аналоги интегральных формул
Коши
и
типа Коши.
Л е м м а. Пусть B n - произвольная Аtатрица-функция, для ко1 орой имеет
смьtсл умножение справа на квадратную Аtатрицу порядка т , определенная на всей целочисленной сетке. Справедливо следующее тождество:
=
L
nED
( k LJ( B - n + kAk ) ип E
L
rЕГ
(k��EJ(r B - r+ kAk )
и ,.
(7 )
Д о к а з а т е л ь с т в о. Вектор-функцию и n , n Е. D, можно записать в виде
Левая и правая части тождества (7) линейно зависят от и. Поэтому для доказательства достаточно проверить справедливость тождества (7) для век· тор-функции если n =1= t , если n = t, при каждом фиксированном t Е D :
L
n Е Do
- V +k k = L ьь� B_t+kAkvt L B-t+kAkvt - L B-t+ k Akvt k E /( k E J( k E J( t L ( L B -n+kAk) 0n - L ( L B - r+J(Ak) v,. n E D k Е /( Г Е Г k E J( r k { 1 , если D0, t _k
B-n
L
k Е /(
AkVn + k =
L L
k Е /( n Е D0 =
=
где
111 un
=
о. если t
-
k
-
е
е
Dn.
B nAk n
=
=
422
ДОПОЛН ЕНИЕ
Т е о р е м а 2. Пусть {иn}, п Е D , - nроизвольное решение уравнения (6)", а G " - rzроизвольное фундаментальное решение. Тогда справедлива формула
если п Е D , если п Е D.
(8)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Помножим обе части равенства (6) слева на м атрицу G t - n и просуммируем по в сем п Е D o. Воспользовавшись тож де ством (7 ) , а з атем р авенством (4') , получим формулу (8) . С л е д с т в и е. Каждое решение {иn} уравнения ( 6) полностью оп реде
ляется своими значетtЯАIU на Г tt восстанавливается по этmt зна•tениям rю форАtуле (8) . Т е о р е м а 3. Пусть {ur} - произвольная вектор-функция раз,нерностu rn, определенная на Г, и пусть G n - произвольное фундаАtентальное решение. Тогда формула ttn =
L
rеГ
(L
k e K,
)
Gn- r+ kAk Vr +
L
m e D,
задает некоторое решение уравнения (6) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Применнм оператор определенной формулой (9) :
Lun
=
L
rе Г
[k L
e K,
( L Gn - r+ k ) Ak
]
llr
+
L
m e D,
Gn-m rm, п Е D, L
(9)
к вектор - функции {иn},
(L G /1-m) fm, п Е Dо. ( 1 0)
Вы•шслим правую ч асть. В силу (4) имеем LGn - r+ k =
{ Е, О,
есл и п = r - k, е сл и
п =1= r - k.
Но в силу определения множества Kr точz<а п = r - k не принадлежит D0, так что первое слагаемое в пр авой части формулы ( 1 0) есть нулевой вектор. В торое слагаемое есть, очевидно, { п . так что L и n = { n . п теорема доказана. Ра венство (8) аналогично интегральной формуле Коши для аналитиче с ю zх функций q> (z) в ограниченной области d с грашщей у:
_12:n:i_
� ....2JQ_ d � = ':У � - z
t ev
{
q>
(z), если z .= d, О, если z Е d U у.
(ll)
П р и этом роль аналитических функций, границы об.1 астн и ядра Коши 1 1 игра ют соответственно решения {иn} задачи (6) , граница Г се 2:n:i � z точной области D и выр ажение L Gn - r +kAk , учитывающее через _
множество ТОЧЮI r Е
Kr, Г.
(
k eK
,
)
по которому ведется сумм ирование, структуру границы вблизи
Формулу (9) в таком случае естественно сравнить с интегральной фор мулоii типа Коши. Формул а (8) аналогична также формуле Грина для урав нения Л апласа. Подчеркнем, однако, следующее существенное р азлнчне между формула ми ( 1 1 ) и (8) : интегральная формула Коши справедлива только строго в нутри области d, а р азностная формула ( 8) - всюду •I a D, включая то•tки
А налогичное р а зли ч ие и м е ется также между ф о р м у л о й (9) и фор мулоii Гри н а.
грани цы Г.
МСТОЛ B H YTPEI-11-ПI X ГРАН И ЧН ЫХ УСЛО В ИI-1
423
5. Внутренние г раничные усло в и я .
Т е о р е м а 4. Пусть Gn - какое-нибудь фундаАtентальное решение урав нения ( 1 ) . Для того •tтобы заданную на Г вектор-функцшо {и,}, r Е Г, Аtожно было доопределить всюду в ограни•tенной сето•tной области D до пекоторога решения у равнения (6) , необходшю и достато•tно, •tтобы при всех n Е Г вы tюлнялись равенства
L
rЕГ
(L k E
!(Г
Gn - r + k
)
Ur
+ m LE D0 Gn - mfm
=
ип ,
n Е Г.
( 1 2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если {и,}, r Е Г, можно доопределить всюду на D до векоторого решения {и п }, п Е D , то, примею1в к этому решению формулу (8) , а затем р ассматривая полученное равенство только при n Е Г, убедимся в выполнении ( 1 2) . Обратно, если {и,}, r Е Г, удовлетворяет ( 1 2 ) , то примем V т == и, и построим некоторое решение {и п}, n Е D , по формуле (9) . В силу ( 1 2) гра ничные значения этого решения {и,}, r Е Г, совпадут с заданными. ДОJ(азанная теорема 4 дает основание назвать р авенства ( 1 2) внутрен тtми гранu•щыми условиями: эти условия не задаются извне, а являются следствиями самого разностного уравнения. Если формулы (8) и (9) тр актовать как аналоги и нтегральных формул Коши н типа Коши, то внутренние граничные условия аналогичны классиче ским условиям Сохоцкого - Племеля, при которых заданную на границе у области на комплексной плоскости функцию <р (z) можно доопределить всюду в области до некоторой аналитической функции. Формулу (8) можно понимать как адекватную системе (6) р азностную формулу Грина, котор ая неявно учитывает «скачки потенциалов» н а грани це Г и приводит к внутренним граничным условиям ( 1 2 ) 6. О п ератор граничного nроектирования. В озможна отличная от ( 1 2 ) запись внутренних граничных условий. Б у д ем обозначать через и г линейное простр анство всех сеточных вектор -функциi'1 и г = { и , } . r Е Г, а через и� nодпространство тех из них, которые можно доопределить всюду в D до решений {и " } , п Е D , однородного уравнения, соответствующего уравне нию (6) . Определнм линеiiиое отображение Р, и г = Рvг , простр анства и г в себя следующей форму л ой:
d
d
.
n Е Г.
-
( 1 3)
Т е о р е м а 5. Оператор Р есть оператор проектирования и г на и �. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, п р и любом V г Е и г в сн.�у теоре �Iы 3 элемент ll г = Р v г принадлежит и�. Если V г Е и�. то в силу теоремы 2 получим Риг = иг. Теорема доказана. Оператор Р , определенный фор м улой ( 1 3 ) , б у де м назывilть опсраторо.м граншиюго проектирования. С его помощью внутренние граничные услови я ( 1 2) в случае f n == О записьшаются п форме ( 1 4) Подчеркнем, что опер атор граничного проектирования зависит от выбора фундаменталыюга решения G". 7 . Об щая i( раев ая задача. В силу следствия ю теоремы 2 каждое реше lШС уг а в н еаия (6) восстанавлив ается по его значениям на границе Г. 8то
ДОПОЛНЕНИЕ
424
дt�ет основание определить общую линейную краевую задачу для уравнения (6) как краевую задачу вида Lu
==
L
keK
A J: U n + k
lиг = qJ,
=
fп,
п Е D o,
qJ Е Ф ,
}
� J
( 1 5)
где 1 - какой-нибудь линейный оператор, отображающий пространство и г на некоторое линейное простр анство Ф . Естественные разностные схемы, аппрО!{Симирующие первую, вторую или третью краевые задачи для уравнения Пуассона, наприм�р. легко з аписать в виде ( 1 5) . Название «общая краев а я задача» несколько условно: могут встретиться разностные краевые задачи, имеющие иной, чем ( 1 5) , вид. Н апример, та ковы естественные р азностные схемы для дифференциальных краевых задач, в которых пор ядок дифференциального уравнения ниже пор ядка дифферен циальных краевых условий. 8 . Основна я иде я м етода внутренних граничных условий. Пусть для про• стоты f ,. = О. Между р азностной краевой задачей Lu = О, lи г = qJ ( 1 6) и между задачей
и г - Р иг = О, 1ttг = qJ
( 1 7)
существует тесная связь. Именно, граничные значени я и г { ur }. r Е Г, каж дого решения {u n }, п Е D, задачи ( 1 6) удовлетворяют в силу теоремы 2 уравнениям ( 1 7 ) . Обр атно, каждое решение иг = {и r }• r Е Г, задачи ( 1 7) в силу теоремы 4 и следствия из теоремы 2 можно единственным обр азом до определить всюду в D до решения задачи ( 1 6) . Основпая идея метода вну1"реппих граничных условий состоит в переходе от исходпой разностной крае вой задачи ( 1 6) к системе уравнений ( 1 7) на границе Г. Продвижения, ко1"Орые при этом удается получить, основаны н а двух обстоятельствах. Первое из них - м алое по сравнению с задачей ( 16) число непзвестных, участвую щих в задаче ( 1 7) . Второе - специальный вид системы ( 1 7 ) , в структуру которой органически включен опер атор граничного проектировання. 9. Устойчивость внутрен н и х г р а н и ч н ы х ус ловий. Можно опасаться, что в нутренние граничные условия иг - Ри г = О «почти вырождены», и поэтому задача ( 1 7) плохо обусловлена независимо от вида опер атора 1, так что пере ход от задачи ( 1 6) к задаче ( 1 7) связан с потерей вычислительной устой чивоспr. Будем считать, что простр анство Ф вложено в простр анство и г, введем в пространстве и г (а значит, и в пространстве Ф с и г) норму 11 - 11 и докажем теорему, означающую, что п р и переходе от задачи ( 1 6) к задаче ( 1 7) не происходит потери вычислительпой устоiiчив(1СТИ. Т е о р е м а 6. Пусть задача ( 1 7 ) имеет решение и г при любом qэ Е Ф, • =
причем выполнена оценка
где с от qэ не зависит. Обозначим
ll и г 1 � с 11 qJ 11. Пусть, далее, V г - произвольный
( 1 8)
эле.Аtент
из
иг. ( 1 9)
ТQгда справедлива оценка
11 v г 1 1 �
с
( 11 Ф 11
+ 1 1 1 1 Ф 11 ) + 11 Ф 11
(20)
МЕТОД ВНУТРЕННИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИй
4 25
Если р ассматривать ( 1 9 ) как уравнения для определения Vг, то оценка означает, что чувствительность решения задачи ( 1 9 ) к возмущениям :;j; правой части внутренних граничных условий характеризуется постоянной с из оц енки ( 1 8 ) , т. е. чувствительностыо решения к возмущениям правой ча С Т ! ! задшшого граничного у с ловия lu г = <р . Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим (20)
zг """" v г - -ф = Рv г .
В
zг = Рv г Е И г .
zг - Рzг = О, lzг = l ( иг - -ф) = ij\ - t-iii ,
силу теоремы 5 имеем
'
Поэтому
11 z г 11 :s;;;; с 11 Ф - t-iii 11 :s;;;; с ( 11 Ф 11 + \\ l \\ 11 -iii \1 ). Отсюда с учетом тождества zг = Vг - -ф следует ( 20) . 1 0. Дополнительн ая иде я . Изложим полезную при численном решении краевых задач для уравнений с ч астными производными идею примен ительно к следующей задаче. Пусть функция и (х, у) определена в некоторой области d с достаточно гладкой границей у как решение задачи Днрихле д2 и д2 и х О т. е zг удовлетворяет системе вида ( 1 7) и в силу ( 1 8) оценке
и
дх 2 + д у 2 = , ( , у ) и lv = а (s) ,
требуетси найти производную
_2!!. 1 дп
v
Е d,
= Ь (s)
1
в направлении в н утренней нормали. Такая задача возника е т, ес л и п о темпе ратуре и \ v = a (s) на границе у требуется н айти установившийся тепловой поток через границу. Под s понимается длина дуги вдоль границы у, пр ичем будем считать для определенности, что полная длина гр аницы у есть 2:n:. Функцию
�1
дп v
= Ь (s)
будем искать приближено в виде частичной суммы Ь
(s) = L (а.1 cos js + �/ sln js) k
/ =О
ее ряда Фурье. ·для определения коэффициентов тодом внутренних граничных условий. Зададим h > О, построим сетку и
( хп , • Уп,) = (n 1 h, n2h)
разностное уравнение и n , + I, n , 11 n . - I . n, + и п, ,
Ошесем к D0
=
�
D
+
все
n, + I
OGJ
и
PJ воспользуемся ме
+ иn,n,- I - 4ип,п, = О.
те точки сетк и, к о т о р ые вместе со всеми 'Iетырьмп
426
Д ОПО Л НЕ НИЕ
соседшrми точками прин адлежат dUy. Тогда определится сеточная оG.1асть = Dh, ее граница Г = Гh и вrrутреrrние грашrчныс условия и г - Риг = О Идея состоит в том, чтобы по функции и l v = a (s) и фукrщии
D
ди
dn
1
=
v
b (s ) .
записанной в вrще ряда с неопределенными коэффициентамrr, продолжить решение по формуле Тейлора с границы у в приграничную полоску, где ле ж r r т граница сеточной области fh; затем подобрать rrеопределеrшые ко эффrrшrеrrты
ai = aJ, �i �j'
из условия мшшмизацrrи rrевязки, возrrнкающеr"r прп подстановке пpoдomкcrr границы у в приграничную полоску функции u ( x, у) , во вrrутрсннне граничные условия. =
IIOЙ с
1 1 . Сопоставление метода внутренних граничных условиИ с rул я рньr х интегральных урав нений. В начале Дополнения м ы
м е т о д о r.1
с ш r
указывали r : a аналогию между методом внутренних граничных условий и методом с ш rгу лярrrых интегральных уравнений, которая не является полноii. Здесь м ы со поставrrм эти методы, уточняя аналогию и выявляя существенные р азлнчrrя. Для сопоставления сначала опишем идею метода сингулярных интсгр а.1ьных уравнений для дифференциальных краевых задач на п ри мере зад�чн д2и д 2и дх2 + дх2 - fl и = 0 ' 1
2
х = ( x r . х2) Е d ,
(2 1 )
(22) а rи1 = QJ ( х) , х = ( x r. Х: ) Е у, d - ограниченная(х) область, у - се граница. Краевес усло rra границе облает.� его проrrзrю.:шую
a0uo +
где fl 11 вие (22) связывает решение и = и о по направлению внутренней нормали д и/дv и 1 (х) . Коэффициенты а0 заданные опер аторы. Выпишем классическую формулу Грина для у равнения ( 2 1 ) : =
coпst > О,
=
и
(х) =
)
у Е 'V
[g ( x - y) �� - и ��] day.
r: а1 -
(23)
гд е g (х) - фундаментальное решение уравнени я ( 21 ) , стре�шщеес1 к н у.1ю н а бесконечности. Устремим х к границе у. Воспользовавшись c r o ikтв � м rr потенциалов простого и двойного слоев, получим rra границе у с о о ш о ш с н r r е вида (2 1 ) , связ ывающее решение и (х) 11 его rrор�rальную проrrзводrrую ди/д\' = 1 1 1 (х) rra границе области ; Ь о 1 1 Ь 1 - некоторые известные и нтегральные операторы. Переход от задачи ( 2 1 ) , (22) rc равносилыrоii системе ура внений (22) , (24) отrrосительrrо функций и о (х) и и , (х) , определенных на границе у , и состав ляет сущность метода сшrгулярrrых шrтегральных уравнениii . Для сравнения р асс�rотри м теперь метод внутренних грашrчных услов r r й прнмеrrительно к следующей общей краевой задаче для разностного аналога уравнения (2 1 ) н квадратной сеточной области
и п, - 1 , n, + 11 п , , n,+ l + u n , + l , n, + и п,. n2 - l - (4 + !l) lln,, n, = О , -N<
n,,
n2
< N,
(25) (26)
МЕТОД ВНУТРЕННИХ ГРАНИЧ Н Ы Х УС J! О ВИ У!
427
З апишем в н утренние г р аничные условия иг - Р иг = О в удобной для дальнейшего форме. Легко п р оверить, что форму л а (9) в этом случае может быть переписана в форме
ип ==
r
L
Е
Qo
[ G п -r (ilv и r) - и r (av G п - r)] +
L
r E Qo
u r/\;1 ,
n E D,
( 2 7)
где Q 0 - совокупность точек Г, лежащих н а сторонах квадрата 1 n t l N, N , т. е . н а внеш н ем слое двухслойной границы Г сеточ ной квадратной 1 n2 l области (рис. 57) , а il v - р азностн ы й а налог пронз11одной по н а п р авлению внутренней нормали. З аметим, что формула (27) была бы полным а н алогом классической фор м улы Грина ( 23) , если б ы в ее п р авой ч асти отсутствовало «Си нгулярное слаг а емое» 1\ � и r . Однако в таком случае р авенство (27) имело б ы место не при всех n Е D, а лишь при n Е D o. И з него нельзя было бы п олучить О. Эти условия получаются тогда внутренние граничные условия и г - Ри г из (27) , если n п робегает не всю область D , а только точки г р а н ицы Г, и заппсыв аются двумя системами р авенств =
=
L
=
ип = ип =
L
r E Qn
L
r E Q0
[Gn - r (avиr) - иr (avGn- rH + ип, n [Gп - r (avиr) - и r (�vGn - rH • n
(28)
Е Qo,
Е Г '\._ Qo,
(29 )
отвечающих, соответственно, точкам n Е Q o в нешнего и точкам n Е Г '\._ Q 0 в н утр еннего слоев двойной г р а н иц ы Г. В качестве G n в р авенствах (28) и (29) будем использовать огр а ниченное фундаментальное р ешение. О т. е. Можно показать, что внутренние граничные условия и г - Р и г система ур авнений (28) , ( 29) , алгебраически р а в носиль на каждой из отдельно взятых п одсистем (28) или (29) . Подсисте м а (28) а н алогич н а интегральному соотношению (24) , так что раз ностным а н а логом з адачи (22) , (24) я вляется задача ( 27) , (28) , но не задача =
lиг =
<р,
ttr
,
- Ри г = О,
заппсывае�tая р а венствами (27) - (29) , кото р а я рассматр ивается в методе вну трен н и х граничных услови й . Имеется очевидная р азница между в н утр е н н и м и граничными условиями и г - Риг = О , т. е . системой (28) , (29) , и одной только подсистемой ( 28) . В нутрешше г р : :шнч ные условия
содер жат избыточные р авенства (29) . В этом смысле р а з ностные внутренние граничные услов и я
больше похожи н е н а интегральное соотношение (24) , а н а условия Сохац кого - Племеля для аналитических функций. Эти последние п редставляют собоi1 два вещественных соотношения, связывающих две вещественных фувк ф ш, в о они не нез а н нсимы, и многообразие удовлетворяющих условиям Со хоцtшго - Племеля пар функций з а ы исит от одной пр оизвольпой веществен но!! функции.
ДОПОЛН Е НИЕ
428
Отмети м , что в нутренние гра ничные условия
uг - Р и г = о
выгодно отлича ются от р а вносильной им п одсистемы (28) тем, что в их структуру входит оператор граничного проектирования. Благода р я этому обстоя тельству задача
lи г =
устойчива в см ысле В общем случае при систем у и г - Риг = сильная исходной, но Можно показать,
<р , и г
- Р иг = 'Ф
теоремы 6 относител.ьно возмущения п р авой части 'Ф · вычеркивании части уравнений из числа составляющих О м ожет получиться подсистема , алгеб ра ически равно уже не обладающая свойством устойчивости. что в н ашем примере (25) , (26) в место
и г - Ри г =
О
удобнее использовать не подсистем у (28) , а подсистему (29) , которая устой чива и в отличие от подсистемы (28) состоит из независимых уравнений ее р а н г р а в е н числу составляющих ее уравнений. Итак, в р ассматриваемом примере а н алогия между м етодом внутренних гр а н ич н ы х условий и м етодом сингулярных интегральных уравнений, ан ало гичных условию Сохоцкого - Племеля, не является полной. Тем более, нет полной а налогии с классическим м етодом и нтегр альных у равнений, в котор о м искомой функцией я вляется н е само решение исходной задачи ( 2 1 ) , (22) на г р а н ице, а некото рая вспомогательная плотность потен циала п р остого или двойного слоя. В заключение за метим, что м ы употребляем выражение «Метод сингуля р ны х интегральных уравнений», п оскольку условие Сохоцкого - Племеля содер ж и т сингул я р н ы й интеграл. В п р имере этого пункта условие (26) содержит сходящиеся несобетвен н ы е интегралы.
Б И БЛ И О Г РА Ф И Ч Е С К И Е
К О М М Е Н ТА Р И И
К r л. 1 , §§ 1 , 2 . С общеi1 теор11ей линейных р а зностных уравнений можн() познакомиться, например, по гл. V книги [7]. К rл . 2, § 5. С методом п р огонки и его обоснованием для некотор uго класса р азностны х к раевых задач авторы впервые познакомились в 1 953 году по рукописи статьи И. М. Гельфанда и О. В. Л окуцнеЕского «Метод про гонки для решения р азностных уравнений» (см., например, [ 1 0] ) . Существуют вар ианты п р огоюш, предназначенные для в ычисле ния решений р азностных краевых задач, не рассмотренных в нашей книге. С р езультатами и библио графией можно познакомиться п о книгам [4], [ 1 5], [23] и др. К r л . 3. Идея использовать при обоснов ании п р огонки непосредственн() свойство хорошей ·обусловленности р азностной кр аевой задачи была выска зана Н . С. Б а хв аловым. Некото рые ш аг и в осуществление этой идеи были сделаны при изложении прогонки в книге [ 1 0], а з атем В . В . Огневой, Ж В М и МФ 7, N2 4 ( 1 967) , котор о й п р и н адлежит идея р ассмотр е н и я урез а н н ы х систем. Модифицированное изложение этой р а боты и м еется в к н и г е [8]. Приведеиное в § 6 обоснование хорошей обусловленности р а з ностной l<р аевой задачи использует дипломную р а боту студе нта Новосибирского уни верситета Б агисбаев а, которому, в частности, п р и н адлежит п р и м е р , показы вающий, что условие гладкости коэффициентов нельзя игнор ировать. К rл. 6, §§ 19, 20. Подробнее поз накомиться с метод а м и численного ре шения обыкновенных днфференциальных уравнений можно п о книге [4] и ук азанной в ней литер атуре. Разностные схемы для некоторых важных классов дифференциальных уравнений с разрывными J<оэффициентами построены в теор и и однородных р азностных схем А. Н . Тихонова и А. А . С а м а р с1<ого и изложены в одной из глав к ниги [23]. К r л . 7, § 2 1 . Понятие устойч ивости раз ностных схем относительно оши бок округления n р и задании начальных данных впервые описано Д ж . фон Ней маном и Р. Д. Рнхтмайером в 1 950 году (см. сб. переподов «Мех а н и к а » , в . 1 , 1 95 1 ) в р аботе, посвященной р а счету газод и н а м ических скачков. Пер в а я система опр еделений устойчивости и аппрокси мации, п р и котор ой сходимость является следствием аппрокси мации и устойчивости, была п р едложена В. С . Рябеньким, ДАН СССР 86, N2 6 ( 1 952) , n случ ае р азностных а н алогов з адачи Коши для снетем уравне н и й с частн ы м и п р оизnодны м и . Принятая в н а ш е й к н и г е система основных определен иl1 и теорема о том, что из аппрокси м ации 11 устойчивости следует сходимость, близки к предло женным А. Ф. Ф илнппоn ы м , ДАН СССР 1 00, N2 6 ( 1 955) . См. также [22] пли [ 1 0]. Отличие состоит главны м образом в том, что м ы используем более уни версальное, чем А. Ф . Ф илиппов, определение аппрокси мации . Существуют другие естественные систе мы определений основных поня тий, п ри которых аппроксима1шя и устоi1чи в ость обеспеч ивают сходимость. Среди них наи более известна систе ма определен и й П . Д . Л акса, предложен ная в 1 956 году (см., например, [�0]) . В теории Лакса ра ссм атр иваютс я р а з ностные схемы д л я нестацио н а р н ы х з адач, п ричем предполагается, ч т о эти
430
БИБЛИОГР АФИЧЕСКИЕ KOM MEIITA PHИ
р а з н остные схемы действуют i l t: в простра нстве сеточных функций, а в т о м же функциональном п р остр а нстве, что и дифференциальное уравнение. П р н этом (дополrш тел ы ю м ) предположении доказывается, что для аппр оксшшрующей р а з н остной схемы устойчивость и сходимость имеют место одн оврсмешю. Эта теорем а эквивалентности Л акса является одной и з конкретизаrщi1 более об щей конструкции Л. В. Канторовича, УМН 3, в 6 ( 1 948) . В п ослед н и е годы А. А. Сама рский п р едложил 11 развнл в соа вторстве с А. В . Гулнным теорию усто йчнвости, п р н м е н н м ую к весьма ш нрокоr.rу классу р аз ностных схем ( с м . [23j, [24] r r § 43 н а стоящеir rш иги ) . С новы м и результата�ш. fi н uл rюграфией н обзор а м и р абот по устойчrшо с т н р а з ностных схем можно познаком иться по ю rигам [ 1 0], [ 1 5], [20]-[28]. С.1е;r.ует схазатr .. ч rо в р а боте 1 923 r o ;r. a Р . Кур анта, К. Ф р идрихса и Г. Л е в н (см. УМН 8 ( 1 940) ) и во многих других р а ботах, где м етод конеч ных р аз ностей используется для доказ ательства существования решениlr дифференциальных у р авнений, устанавливаются пер авепства , которые в со временной тер м и н ологии можно истолков ать как устойчивость в тех или и н ы х н ор �r а х . Однако понятие устойчивости возникло в связи с использова н и е i\1 р а з ностных схем для п р иближешюго в ычисления р ешений в п р едполо ж е н r ш , что эти решения существуют. Поэтому устойчивость изучается обычно в более слабых н о р м а х , чем это нужно для доказ ательства существо вания. Отмети м , ч т о впервые метод конечных разностей был использов ан для доказ ател ьств а существования решений уравнений с частными про изводнымн в 1 924 году Л . А. Л юстер ником (см. УМН 8 ( 1 940) ) , кото рый рассматривал уравнение Л апласа. К г л . 7, § 22, п . 3. Излагаемый здесь прнем ноетроения р азностных схем п р едложен в р а бота х : Р . L. 1. B r i a n , А. 1. Ch. Е. J. 7 ( 1 96 1 ) ; J . Douglas, N u m . M a t h . 4 ( 1 962) ; J . D o u g l a s, T r a n s . Amer. S oc. 8 9 ( 1 958) ; С . К. Годунов, Раз ностные методы решения уравнений газовой динамики. Новосибирск, 1 962 ( р о т а п р инт) . Дв у мерный в а р и ант р ассмотренной в этом пункте схемы с пере счето м Л а кса - В ендрова [20], для газоди н а м и ческих задач предложен Л. А. Чудов ы м (см. обзорную статью Г. С. Росляко ва и Г. Ф. Теленина в сб. «Численные методы в газовой динамике», М., Изд-во М ГУ, в. 2, 1 963) . Идея метода Рунге - Кутта была п р именена В. В. Русановым (препринт ИПМ А Н СССР, 1 967) для построения р азностной схемы третьего порядка точно сти в случае газодинамических р асчетов. Л. А. Чудов (статья в сб. « Некото рые п р и менения метода сеток в газо вой д и н а м ике», в . 1 . «Течения в пограничном слое», Изд-во М ГУ, 1 97 1 ) для уравнений п а р аболического типа построил раз ностную схему типа Рунге Кутта второго п о р ядка точности, обладающую хорошими сглаживающими с войств а м и . Схемы с пересчетом п р именяются в о м ногих газодинамических р а счетах. С м . , например, [ 1 ]. Существуют и другие методы построения раз ностных схем (см. [4], [ 1 3], [ 1 9]-{28] ) . К r л . 8, § 25, п. 5. Н а сколько известно авторам, возможность использо вать дифференциальные п риближения для исследования р а зностных урав не ний впервые заметил в 50-х годах А. И. Жуков (сообщение н а семинаре И ПI\\ ) , котор о м у п р и н адлежит р а ссмотренный здесь п р имер. Теория диффе р е н ц и альных п р иближений, в которой изучаются асимптотические и группо вые свойства интересных классов р азностных уравнений, построена I-1 . Н . Я н е нко и Ю . И. Шокин ы м , Сиб. м атем. ж . 1 0, N2 5 ( 1 969) ; Численные ыето;щ мех. сплошноlr среды, 2 , N2 2 ( 1 97 1 ) . К этим же вопросам относятся ст атьи Н. Н. Кузнецова, ДАН 200, N2 5, ( 1 97 1 ) ; ДАН 204, N2 2 ( 1 972) ; ЖВМ и М Ф , 1 2 , N2 12 ( 1 972 ) . К r л . 8, § 26, п. 1 . Идея з а м о р а ж и в а н и я коэффицr1ентов во внутрен них точках п ред.:южена в цитир ован н о й выше статье Неi'Iмана и Рнхтмайер а (см. п р и мечание к § 2 1 ) ,
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИ Е КОММ ЕНТАРИИ
431
К гл. 8 , § 2 6 , п . 2. П р и з н а к К . К Б а бенко 1 1 1 1 . М . Гельфанда б ы л ;!.о ложен в и х совместном с О. В. Л окуциевским доi<ладе н а конференции по функшю нальпому а нализу в Москве в 1 956 году. См. также [2] и п р и ыечапия к г л. 1 4, помещен ные ниже. К г л . 8, § 27. Существует оче нь экон омный по числу ариф�rепrческих деi"!ствиi"r алгоритм вычисления коэффициентов конечного р яда Фурье, н а з ы ваем ый быстрым преобразовапием Ф у р ь е . С м . , н а п р и мер, [4] или [ 1 5]. В ч а стности, отметим оценку погрешпости р аз ностного решения у р а внения Пуассона, н айденную Е . А . Во.�ковым (Тр. М а тем. ин-та и м . В . А. Стек.1ова 1 1 7 ( 1 97 2) ) в условиях отсутствия а ппрокси м а ц и и оператора Л апласа со вто рым порядком в числе слоев сетки, неогр анпченно р а стущем при и з м ельчении шага. Эта оценка н то ж е время является более сильной, чем р а вномерная оце1ша второго порядка, так как она устана вливает дополнительное убыва ние погрешп остеii вблпзп границы области. Конечные ряды Ф урье для анализа нестацнон а р н ы х р азностных у р а вне ний, по-видпмому, впервые использовала О. А. Л а дыженская. С помощью этого аппар ата ею была н а йдена сходяща яся неявпая р азностная схема для rtшерболических по И . Г. Петровскому систем. По-видимому, это был первый пример сходящейся неявной раз ностной схем ы (0. А. Л адыженска я, Авто реферат, канд. дисс., Л ГУ, март 1 9 4 9 ) . См. также [ 1 3]. К гл. 9. См. книги [ 1 ]-[3], [9], [ 1 3], [ 1 4], [2 1 ] , [26] и и меющуюея там библио графию; в сборниках статей и журналах посто янно появляются н овые ра боты по числе нным методам механики сплошных сред. К гл. 1 0 . Схема переменных напр авлений ( 1 2 ) и з § 32 построена Д. Пис м аном и Г. Рэr<фордом в 1 956 году (см., например , [5] или [28] ) ; схем а р а с щепления (7) из § 3 1 пр едлож е н а Н. Н. Я ненко, ДАН СССР 125, N2 6 ( 1 9 5 9 ) . В настоящее время схемы р асщепления построены для м н огих основ н ы х з а дач м а тематической физшш. С м . , например, [5], [ 1 5], [23], [2 7 ] , [28], моногра фию Е. Г. Дьяконова, Разпостные методы решения краевых задач, ч. 1 ( 1 9 7 1 ) и ч . 2 ( 1 97 2) , 11зд-во М ГУ, и и меющуюся т а м библиографию. В идоизменение метода переменных напр авлений, п олучающееся путем объединения его с вариацион н ы м методом Ритца, предложено и использовано для вычисления собственных з начений сильноэллиптических операто ров и для решения р азностного уравнения Л апласа в р аботах: Г. П. П рокопов, ЖВМ �� МФ 8, N2 1 ( 1 968) ; С . К Годунов и Г. П . П рокопов, Ж В М и М Ф 9, N2 2 ( 1 9 69 ) . С. К. Годунов, В . В . Огнева, Г. П. Прокопов, С б . «дифференц. урав нения с частными производн ы м н» , Т р у д ы с и мпозиума, посв я щен ного 60-летшо акад. С. Л Соболева , 1 970. Оригинальная конструкция лакально-одномер ных схе м предложена И. В . Фрязипоным ( ЖВМ 1 1 М Ф 1 3, N2 1, 3, 1 97 3) . К гл. 1 0, § 33. Относительно метода крупных частиц О. м·. Белоцерrюв ского н Ю . М. Давыдова и его прнложений, помимо р а боты, цитнр о в а ю ю ii в § 33, см. м опогр а ф п ю [3] ; текст обзор ного доклада О . М Белоцерковского н В. F.. Я шщкоrо н з IV В с:?союзп. I<опф. п n ш ш а м н ке р а зреженного г � з а в 1 975 году в Звен игороде; текст лскц1ш О. М. Бе.�оцер ковского н а К а р м а - ' новс к п х чтеп п я х 1 976 года в Б р юсселе. К г л . 1 1 , § 34. Для р а з н остного уравнен и я Пуассона в 11 р я м оугольюше с а м ы м экоi юмпым спосоuом вычи слен и я решения яв,1ястся быстрое преобра зование Ф урье (см. п р и мечавне к § 2 7 ) . Разностными схем а м и для уравне н и й Л а пласа и Пуассона в криволинейных областях, начиная от р аботui Л . А. Люстер ника 1 924 года , з а нимались м н огие авто р ы . См., п а п р п м е р , [4], [ 1 6], [23] н имеющуюся там б иблиографию. Оценки погреш пости, в ы р а ж а ющпеся непосредственно через исходные дан ные, получены для р яда схем, аппроксимирующих задачи Дирихле, Нейшша и смешан ную краевую з а д а ч у для уравнений Л апласа и Пуассона н а п р я �ю уrольпике, пр ямоугольном параллелепипеде и некоторых треугольн иках с м _ Е . А. В олков, Т р . Матем. и н - т а и м . В . А. Стеклова 7 4 ( 1 966) , 1 0 5 ( 1 969) , И А. Султанова, ЖВМ н МФ 1 1 , N2 5 ( 1 97 1 ) и библ. там же. Е . . А В олкоа
БИБЛИ ОГ РАФИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ
432
уста новил также ( Тр. Мате м. и н -та ш 1 . В . А. Стеклова 128 ( 1 972) ) , что если раз ностный оператор в граничных узлах удовлетвор яет некоторому услов ию адеква тности с тандартному п ятиточечному р азностному оператору Л а пласа, то р а J носпюе решение у р а в н е н и я Пуа ссона, продолженное с сетки па за м rш утую обла сть с кривоюшейной г р а н ицей, n р и достаточно гладких данных задпчн п р о к с шш р у е т с о втор ы м п о р я д к о �1 отноr птел ы ю шага пско мос ре .ш епне в м есте с п р оизводными до пор ядка n включительно, n ;;;:;,: О любое. К г л . 1 1 , § 35. Идея р ассмотрения решений стацио н а р н ы х задач как пре дела решений нестаци о н а р н ы х при возрастании времени впервые использо в а н а в 30-х годах А. Н. Тихоновым. О д н а н з р азпостных с х е м установлени я для р асчета сташюнар ного сверх з в у кового обтекания тел газом п р едложена С. К. Годуновым, А. В. З аброди ным 11 Г. П . П р окопо в ы м , ЖВМ и МФ 1, N2 6 ( 1 96 1 ) , см. [9]. И нтересно отметить, что обоснование устойчивости этой схемы, описанное в р а боте К. А. Б а г р и иов екого и С . К. Году нова, ДАН СССР 1 1 5, N2 3 ( 1 957) , исполь зует р асщепление р азностных операторов. И меется ряд р а бот мноrнх авторов в н а п р а влении расчета стаци о н а р н ы х задач установлением. Один из первых эффективных методов ускорения сходимости при реше нии р а з н остного ур авнения Пуассона указал Л. А. Л юстер ник, Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова 20 ( 1 947) . К г л . 1 1 , § 36. М ногочлены Ч ебышева для выбор а оптим ального набора итер ационных п а р а метров используются в р азлич ных задачах, начиная с ра бот А. А. Абрамова, М . К. Гавур и н а , Фландерса и Шортли, относящихся к 1 950 году. Новые р езультаты, библиогр афия и обзоры с р азличных точек зрения итерационных методов решения раз ност ных эллиптических кр аевых задач содер ж атся в к н и г а х [5], [ 1 6], [23], [28]; в монографиях Е. Г. Дьяконова, Итер ацпонные методы решения р азностных а н алогов краевых задач для уравнений эллиптического типа , Киев, 1 970 (ротапринт) ; Г. И . Марчука и Ю . А. Кузнецова, Итерационные методы и квадратичные функционалы, Ново сибирск, « Н аука» СО, 1 972 ( ротапринт ) ; в обзор ной статье Р. П . Федоренко, УМН 28, N2 2 ( 1 973) и в др. К г л . 12. О с н о в ная идея получения вариацнонно-разностных схем содер жится в р аботе Р. Кур анта (Courant К, B u l l . Arner. Math. Soc. 49, М 1 ( 1 943) ) . Независимо в инженерных р а счетах пр очности ч асто пользавались без теоретического обоснования р азлич н ы м и реализациями вариационно-раз н оспJ Ы Х схем под названием метода конечных элементов. Системати ческому изложению основ теории в а р и ационно-р азностных схем и некотор ы х и х п р иложений посвящена монография Л. А. Оганесяна, В. Я. Ришшпда и Л. А Руховца « В а р и ацио нно-р азностные методы решения эллиптических у р а в ненпй», ч . 1 и 2, Т р . сем и на р а по дифференц. уравнениям, И н -т физики 11 м а тем атшш АН Л и товской ССР, в . 5, В ильнюс, 1 973 и в. В, Вильнюс, 1 974. Рот а п р . , кото ую мы использовали при р аботе над этой гла вой. С м . также, например, [ 1 2 , [ 1 8], [25]. В н а стоящее время в а р иационно-р аз ностные схемы реализованы в виде хорошо отработанных п р о г р а м м н а быстр одействующие вычислительные ма шины для р яда задач тео р и и упр угости. См., н апример, [ 1 2]. И меются чис ленные реализации проекци онпо-раз нос тного метода и для некоторых др угих задач, не только эллиптических. Ряд р абот последнего времени помещен в двух сборниках « В а р иационно-разностные методы в математической ф изике», Новосиби рск, 1 974 и Новосибирск, 1 976. К г л . 1 3, § 42. Стаци о н а р н ы е решения часто ис пользуют для выяснения ха р актер а сходимости в близи г р а ниц. См., например, С . К. Годунов, Матем. сб. 4 7 ( 89 ) , 3 ( 1 957) . К г л . 1 3, § 43, п. 4. Здесь исдольз ован написанный А. Ф . Филипповым п. 4 из § 6 книги [22].
аn
f.
433
Б И Б .Т! И О Г Р А Ф И Ч Е С К И Е КОММЕ Н Т А Р И И
К гл. 1 3, § 43, n . 5. В ы бор скалярного умножения (и, v) в11 по формуле ( 2 1 ) , по-видимому, впервые предложен Н . Миньо в 1 953 году в ч а стном слу чае р аз ностного аналога у р а внения теплопровод ности с переме н н ы м и коэф фициентами, а в более общей форме - в § 15 книги [22], где имеется танже модифициров анное изложение упомя нутой р аботы Н. Миньо. К гл. 1 3, § 43, n . 6. Первый из критериев устойчивости А. А. С а м а р ского, приведеи ных в этом пункте, получается из теоремы 5, п . 6, § 1 гл. V I книги [23], сели вместо гильбертова пр остр а н ства рассматривать евклидоно и поло жить р = 1 . С м . также п. 7, § 1, гл. V I книги [23]. К гл. 14, § 44. Понятие спект р а семейства р азностных операторов введено в книге [ 1 0] , г д е авторы с помощью этого понятия, в частности, обосновали признак К. И. Бабенко и И. м_ Гельфанда устойчивости нестацион а р н ы х за дач на отрезке. Т а м же доказано, что р асположение спектра семейства опера торов в единичном круге необходимо д л я устойчивости. Теорема 2 получена В . С . Рябеньким, ДАН СССР 1 85, Ng 2 ( 1 969) . К гл. 1 4 , § 46. Понятне ядр а спектра семейства операторов введено В. С. Рябеньки м, ДАН СССР 1 85, N2 2 ( 1 969) . Там же сформулированы тео ремы 1-4. Теорема А. В . Соколова для случ ая с к а л я р н ы х коэффициентов А " , в ,. опубликована в Д А Н С С С Р 208, Ng 2 ( 1 973) . Доказательство в общем случае матричных коэффициентов содерж ится в его статье, Тр. Моек. матем. общ. 35, Изд-во М ГУ , 1 976. К гл . 14, § 47. Здесь изложена статья В. С . Р я бенького, ДАН СССР 1 93, 3 ( 1 970) . К Дополнению. Метод внутренних граничных услов и й ( М В ГУ) пр едло жен В. С. Рябеньким, Докт. дисс., Ин-т прикл. математики АН СССР ( 1 969) . В пп . 1 -9 и 1 1 изложена часть статьи В. С. Рябенького, УМН 26, Ng 3 ( 1 97 1 ) . В этой статье даны также не1ютор ые приложенпя М В ГУ к исследов анию и вычислению решений р азностных краевых задач в простых и сост а в н ы х об л астях. Содержание п. 1 0 опубликовано в док.� а де В. С. Р я бенького на конфr репции, посвященной семидесятипятилетию акад. И. Г. Петровского в М ГУ (я н в а р ь 1 976) . К п. 2 Дополнени я . А. Я . Белянков, Мате м. заметки 1 8, Ng 5 ( 1 975) , до+ казал существование фундаментального решения, р а стущего при 1/ n 112 =
+ . . . + n� -> оо не бы стрее в екоторой степени 1 n 1 1 . Им ж е построено т а к назыв аемое циклическое фундаментальное реш ение,
n�
поз воляющее строить внутренние граничные услов и я н допусJ<ающее эффек тивное построение с помощью быстрого преобразов ашш Ф урье, статья в сб. «З адач и мех а и нк и и матем . ф из ию!», посвященном п а мяти акад. И . Г. Пет ровского, «Наука», 1 976. А. В. З абродин и В. В. Огнеп а , препринт И ПМ АН СССР ( 1 973) , ис п ользов аJJи моднфицированный и м п вариант М В ГУ для р а счета нелинейной задачи теплопроводности на графах.
Л И Т Е РАТУРА
1 . А л а л ы к и н Г. Б . , Г о д у н о в С. К.. , К и р е е в а И. Л. , П л и н е р Л. А., РЕшение однu�tерных задач газовой динамики в n одв ижных сетках, М., « Н а у к а :> , 1 970. 2 . Б а u с п к о К. . Н . , В о с к р е с е п с 1{ и И Г. П., Л ю G н м о IJ А. Н . , Р у с а н о в В. В . , Пространствепное о бтек ание гладких тел идеальным газом, М . , « Н ауках', 1 964. 3. Б е л о ц е р к о в с к и й О . М. и др ., Численное исследо вание современных за.:щч газовой д н п а м ик и , М., « Н аука», 1 974. 4. Б а х в а л о в Н . С., Численные методы, М. , « Н аука», 1 975. 5 . I3 а з о в В., Ф о р с а й т Дж., Разностные методы решения уравнениir в частных производных, 1'-'l . , И JI , 1 963. 6. Г а в у р и 1 1 М. К., Лекщш по метода м вычнсленrri"r, М . «Наука», 1 97 1 . 7 . Г е л ь ф о н д А . 0., Исчисление конечных р азностеi"r, М., «Наука», 1 967. 8. Г о д у н о в С. К., Ур а в нения матем ашческой физики, М., «Наука» , 1 97 1 . 9 . Г о д у н о в С . К.. , 3 а б р о д н н А . В . , И в а н о в М . Я . , К р а ii к о А . Н., П р о к о п о в Г. П., Чнсленное решение м н огомер ных задач газовой д и н а м шш, М . , ,, : J а ук а » , 1 976. 1 0. Г о д у н о в С . К.. , Р я б е н ь к и й В. С. , Введение IJ теорию разностных c x e � r . М . , Ф и з м атгиз, 1 962. 1 1 Д ь я ч е н к о В. Ф . , Основные понятия вычнслителыюй математнки, М., « Н а ука», 1 972. 1 2. 3 е н к е в и ч 0., Метод rюнеч н ы х элементов в технике, М., «Мнр» , 1 975. 1 :i. Л а д ы ж е н с к а я О. А., Краевые задач н матем атнческоi'1 фнзшщ М., « Н а у к а », 1 973 1 4 . Л ю G и м о в А. Н . , Р у с а н о в В. В . , Течение газа около туnых тел, ч. 1 , ,\\ . , 1 !;; 70. 1 5 . М а р ч у к Г. И . , Методы вычислнтелыю1"1 м атематшш, Н о в о с н u н р с к , « 1 I а у к а :' , 1 978. 16 1\l а р ч у к Г. И., Л е б е д е в В. И., Ч и с ле н н ы е методы в теор 1 1 1 1 переноса н е ii т р о н о в , М., Атомнздат, 1 97 1 . 1 7 . М н х л и 1 1 С . Г., Численная реалнзащш в а р н а ц и ш ш ы х м е т о д о в , М . , « 1 ! а у к а », 1 968. 1 8. О д э н Д ж., К о н е ч н ы е элементы в нелинеiшой м е х а п и ке ·сnлошн ых с ред, М., «Мнр» , 1 976. 1 9. П е т р о в с к н й И . Г . , Лекции ou уравненнях с ч а с т п ы м н п ро н з в о .J.Н Ы М I I М . , Физм атrнз, 1 96 1 . 20. Р а х т м а й е р Р . Д., М о р т о н К. , Р а з п о ст н ы е методы р е ш с ш r я к р n с в ы х задач, М., «Мир», 1 972. 2 1 . Р о ж д е с т в е н с к и й Б. Л ., Я н е н к о Н . I-1., Снете мы к в а З I I Л НI I е fш ы х уравнений н и х приложения в raзoвoii динам н ке, М., «Н аука», 1 968. 22. Р я G е н ь к и й В. С ., Ф и л и п п о в А. Ф., Об устойчивости р азностных ур а в нений, М., Гостехиздат, 1 95б. .
.
-
,
Л П Т Е Р ЛТУРА
43r>
23. С а м а р с к и й А. А., Введение в теор ию р а зностных схем , М., «Науюt.о, 1 97 1 . 24. С а м а р с к и й А . А. , Г у л и н А . В . , Устойчивость разностных схем, М., « Наука», 1 973. 25. С а м а р с к и й А . А., А н д р е е в В. Б., Р азн остные м етоды дл я элт ш тических уравнений, М., « Н а ука», 1 976. 26. С а м а р с к и й А . А., П о п о в Ю. П., Разностные схемы газовой ди н а мики, М., « Н аука», 1 975. 27. Т и х о н о в А . Н., С а м а р с к и й А . А ., Ур авнения математической фи зики, М., «Наука», 1 972. 28. Я п е н к о Н. Н., Метод дробных ш а гов решения м н о г ом ерн ы х з а д г ч ;. r .з тематической физики, Новосибирск, « Н аука», 1 967. 29. С т р е н г Г., Ф и к с Дж., Теория метода конечных элементов, М . , «Мпр», 1 977.
П Р ЕД М ЕТ Н �Ш УКА ЗАТ ЕЛ Ь Абсолютное ядро, свойства 4 1 4 Ада мса схема 1 60, 1 62 Алгоритм вычисл ительна неустойчи вый, пример 53 для выч исления решения резо нансной задачи Дир ихле 305, 307, 309, 3 1 3, 324 -- п р о гонки 5 1 , 52 А п проксимационная вязкость 237, 238 Аппр оксимация 92, 1 72 дифференциальной к р аевой задачи р а з ностной схемой 9 1 , 92, 96, 1 08 , 1 72, 1 76 порядка h� 96--98, 1 72 , 1 74 -- производной 77, 78, 1 03 Бабенr<О -- Гельфанда признак 243 Велоцерkовского -- Да выдова метод крупных частнц 296, 43 1 В а р иационные м етоды оценки соб ственных значеннii 392 - -- решения краевых задач 327 В а р иационная постановка задачи Дирихле 329 -- -- третьей краевой задачи 33 1 В а р н а цпошю-р азпосша я схема 32 1 -- -- --, определение 344, 345 -- -- -- для з адачи Д и р ихле 346 - -- -- -- тр етьей краевой задачи 354 Вы г лаживанне решения р а зностной з адачи 237 rалеркипа ме,.од 34 1 , 344 Г р а н иц а сеточной области 420 Граничные условия внутренние 423 Группо в а я р азностная схем а 28 1 - -- разн остной схемы, примеры по строения 204, 205
Днфференциальная краевая задача, обобщенное решение 269-275 -- -- --, с имволн ческая зап ись 1 2, 84 -- -- -- эллнп тическ�я 289 Дифференц и а л ьное п р иближение р а з ностного у р а в нения 238, 430 -- ур а в нение дивергентного вида 280 Дугласа -- Рэкфорда метод 320 Задача Коши для волнового уравне шш, а п проксим ирующая разност ная схема 229 -- -- -- уравнения теплопроводности, аппрокс и м и р ующие разност ные схем ы 1 88, 1 89 -- м одельн а я 209, 25 1 -- о р аспаде р аз р ы в а 273, 28 1 -- ЭВОЛЮЦИ О Н Н а Я 22 \ , 36\ Замор а ж н в а н и е коэффициентов в о внутрен н н х точка х 240 И нв а р и а н т ы Рнмана 374 Интегральн а я формула Коши, раз Iюстный а налог 42 1 , 422 -- -- типа Коши, р аз ностный а н алог 42 1 , 422 Интегральное п р едста nление решения разностной задачи Коши 232, 233 Итерационные методы, выбор точно сти 3 1 1 -- п а р а метры, оптимальный выбор 309, 3 1 1 -- --, нумерация 3 1 6, 320 -- --, чебышевекий набор 3 1 3--3 1 5 Итеr ационный процесс Ричардсона 313 Итерация с персменным ш а гом 3 1 3 Колмогоровс1Ш i1 поперечник 339, 349 Конечных элементов метод 327, 432
437
П Р ЕД М Е ТН Ы й Y K A З A ТI:O .Ji b
Кош и интегр альная формула, раз ностный аналог 42 1 -422 - р азностная задача 22 1 , 239 Краевая задача дифференциальная см. Дифференциальная краевая задача - - общая для с истем разностных уравнений н а сеточном отрезке, условие хорошей обусловленности 48 - - разностна я - см. Р азностная краевая задача Критер ии С а м а р ского устойчивости р а з ностных схем 394, 395 Критерий хорошей обусловленности р а зностной краевой задачи 42, 44, 60 Кур анта, Фридрихса и Леви условие 2 1 1 , 2 1 2, 2 1 7, 2 1 9 Лакса теорем а эквивалентности 430 Линейное пр остра нство нормирован ное 87 Мера обусловленности система ли нейных уравнений 40 Метод в нутренних граничных условий 4 1 9, 427 - Дугласа - Рэкфорла 320 - конечных р а з ностей 1 1 , 84, 277 - - элементов 327, 432 - крупных частиц Белоцерковского - Давыдова 296, 439 - неопределенпых коэффициентов 1 9 1 - Ньютона 1 69 - прогонки 5 1 , 53, 67, 70, 1 69, 429 - -, варианты 429 - -, история 429 - -, обоснование 56-65 - -, оценка прогоночных коэффициентов 65 - релаксационный Федоренко 323326 - сеток 84 - стрельбы 55, 1 67 - установления 304 - характеристик 277 Модальн а я задача 209, 25 1 , 2 6 1 , 268 Невязка 92 Неймана м етод исследования эволю ционных разностных з адач 2 2 1 - спектр альныi1 признак устойчиво сти р а зностной задачи К:оши 222, 223, 229, 338
Норма 87, 88, 1 О 1 , 1 1 5-- 1 1 8, 363, 366, 387 - энергетическая 256, 394, 395 Н ьютона метод 1 69
Обобщение решения диффе ренциаль ного уравпепия 268, 269, 273-275 Обусловленность, хорошая обуслов ленность 39 Опер атор гра ничного п р оектировапия 4 2 3 , 42 1 - перехода 1 27 , 1 36, 366, 369 - -, конструирование 375 - -, оценка норм степеней 366, 387, 400 - -, оценки собстве нных з н ачений 3 9 1 -393 - -, п р из н аки самосопр яженности 390 Ошибка окружения 53, 57, 1 07, 1 44, 317 Парсеваля р авенство 232, 252 Поперечню< колмогоровекий 339, 349 Пор ядок р а зностного уравнения 1 8, 2 1 - точности р а з ностной схемы 72, 75, 90, 1 2 1 , 1 45 Преобразование Фурье быстрое 4 3 1 Признак Б а бенко - Гельфанда устой чивости нестац ионар н ы х з адач н а отре3ке 343, 4 3 1 устойчивости р а з ностной схемы, достаточный 1 34, 234, 368, 372, 374, 387, 389, 394 - - -, необходимый 368, 369 - - р аз постных схем решения задачи Кошн 1 23, 234, 235 - спектральный - см. Спектраль н ы й п р и з н ю< устой•швости хорошей обусловленности 40-42, 44, 60 Признюш самосопряженности р а з Iюстных операторов 390 П р и нц ип з а м ороженных коэффициентов 236, 240, 2 4 1 - м аксимума 1 77, 269, 900 П р огонка 5 1 , 52 П роекционно-р азностная схема 3 27 , 344, 3 4 5 Производная, з а м е н а р азностными отношениями 1 03 Разностная з адача Коши 22 1 23 1
-- - -, анаЛИЗ ,
УСТОЙЧИВ ОСТИ
224-
438
ПРЕДМЕТНЫй УКАЗАТЕ Л Ь
Разностн а я эвдача Кош и , и н теграль ное п р едста вление решения 232, 233 - -, спектральный п р и з н а к устой чивости Неймана 2 2 2 , 2 2 3 , 229, 388 - -. условия устойчи вости 22 1 , 233, 235 - -, к р а е в а я обшая 424 - - - , п р и е м ы построе ния 1 89 - - -, п р и з н а ки хорошей обусловленности 40-43 - - с возмуше н н ы м и коэффи циента м и , оценка решений 56, 5 8 , 59 -, с и м волическая з а п и с ь 8 8 - - устойч ивая 1 25, 1 76 - -, хорошо обусловленная 39, 56, 64 - схе м а устойчивая а бсолютно 267 - Адамса 1 60, 1 62 схема Годунова 2 8 1 - дивергентная 280-283 - для волнового уравнения 229 - - - задачи Дирихле 1 90, 2 1 7, 2 1 8, 298, 302, 303 - - - - о колеб а н и я х струны 260 - - - интегрального уравнения 1 14 - - - кр аевоlr задачи 9 1 , 92, 1 68, 1 72 , 1 76 системы уравнений а кустики 374 уравнения с р а з р ы в н ы м и коэффициентами 4 2 9 - - - с ч а с т н ы м и про изводн ы ми 1 7 1 - - - теплопроводности 1 88, 1 89, 254, 257, 305, 362, 372-373 -, кано ннческ а я з а п нсь 1 25, 1 33, 365 консервативная 280 пегибкая 1 88 неустоi'Iчив::J я 8 1 н е я в н а я 1 89 , 265, 266 - псременных напр авле ний 288, 296, 4 9 1 - , пор ядок точrюстн 7 2 , 7 5 , 1 00 , 1 45 -, построение г р а шrчrrых услови й 204 - , - н а основе интегралыюга за кона сохранения 278, 283 - - предиктор-корректор - см. Раз ност н а я с х е м а с пересчетом - -, п р иведение к каноническому виду 365, 366
Разностн а я зада ча , п р иеыы п о с т р о е ния 1 03, 1 05, 1 57, 1 72, 1 73, 1 83, 204, 274, 276, 278, 284, 430 -, п р и знаки устойчивости 1 23, 1 34. 1 46, 1 38, 2 1 1 , 2 1 9, 22 1 , 2222�;). 368, 3 7 1 -389 -, r. p n п c p l\ :.1 С Х ОД ! J М ОС Т И 7 1 , 9 1 , 1 1 8, 1 7 2 -, p a з u i J C i r н c на подсистемы 1 00, 1 02 -, р а сше п л е r r и я 284, 286, 289, 297, 43 1 - Рунге - Кутта 1 05 , 1 57, 1 58 , 1 62 - - с искусственrюlr вязr\остью 276 - - с пересчетом 1 05, 200-202, 282, 430 - -, свойство д и вергентности 279, 280, 282, 283 - - с х о п я ш а я с я 87, 89, 1 08, 1 7 1 , 1 72, 1 76 - -, точность задания 1 45 - установления 306, 307, 309, 395 - устойчи вая 1 06, 1 07, 1 24, 1 75, 1 76 -, усто йчи вость относительно О Ш I ! бок о к р угл е н ия 429 - - Э i"! л е р а 1 05, 1 09, 1 57, 1 58 - - ЭKOIIOM IIЧIJaЯ 289 - - я в н а я 262, 266 Раз ностное у р а в н е н и е 1 5, 1 6 - второго п о р ящ{ а 1 8, 25 - - - -, фунда ментальное решение 29 -
- -, д н ф ф е р е н u r1 а л ы r ое
нне 237, 430 - -, С К О р О С Т Ь
75, 1 08 Разностный
п р и б .1 н ж е -
CXOДIIMOCTH
p e Ш � >I IJ Я
а налог r r н т е г р а .% н ы х ф о р мул Ко ш и и типа К о ш и 386 Р а с п а д р а з р ы в а 273, 28 1 Расше п л е 1 ш е по фнзичесюrм ф а ]{ТО
р ::J М 297 Рела r\сационный 323-326
м етод
Фсдо р е н ко
Р и м а н о п ы н н в а р и а н т ы 374 Ритца метод 335, 344 Рича рдсона нтеранноJIIJЫЙ
пр оцесс
3 1 3, 3 1 4 Рунге - Кутт::J схема 1 05, 1 57, 1 58, 1 62 Р я д Фурье д л я сеточной ф р к ш ш 250
Самарского
критерии устоiiчrш осп: схrм 394, 395 С а м о сопр яженность оператора 393 р а зностных
П РЕДМЕТН Ы й УК А ЗАТЕЛЬ Сетка 1 1 , 1 6, 84, 278
Сеточ н а я функция 38, 84, 86-88 - - , р а з.�ожен и с в конеч н ы i'r ряд Ф у рье 252, 26 1 Скорость схо д и м ости решения р а зrюстrюго у р а в н е н и я 7 5 , 1 08, 1 76 Сохоцкого - Племеля усл о в и е 4 1 9,
423
С пектр се1е iiства о п е р а т о р о в , алгоритм вычисления 403, 404, 4 1 1 - - -, о п ределе н и е 398 - - -, ядра 4 1 2 Спектр а л ь н ы й критернii огр а н ич е н н о сти степепсii с а м осоп р я ж ен ного о п е р а то р а 389 - npюrraк Нсii м а п а устоi'rч и востп раз ностной задачи Коши 222, 38� - - огра н и ч е r шостп норм степеней опер а то р а 387, 389 - - устойчивости р а з ностной с х е м ы
1 36, 1 38, 1 39, 22 1 , 223, 229, 387389, 3!)8 Схема п е р с м е н н ы х н а п р а вл е н и й 288, 309, 320 Сход н м ость порядка hk 90, 1 08, 1 72 р а з ноетпой с х е м ы 87, 89, 1 08 , 1 2 1 , 1 76
Tcupe:vr a
Уеловне Куранта, Ф р идрихса и Л е в и 2 1 1 , 2 1 2 , 2 1 7, 2 1 9 - н а л и н и и р а з р ы в а решения 27 1 - С о х о цкого - Племеля 4 1 9, 429 У сто й ч и н ость алгоритмов 53, 67 -70, 1 47, 1 48, 3 1 7-320, 4 1 5, 4 1 6, 4 1 7 в н утрен н и х г р а н и ч н ы х усло в и й 389 н е л и н е i'r н ы х задач, п р и Р м иссле до в а н и я 1 55, 24 1 р а з ностной з а д а ч и К о ш и , необхо д и м о е и достато•нюе ус,1овие 233,
235
- - - относителыю в о з м у щ е н и я н ач а л ь н ы х д а н н ы х 222 - - схемы 8 1 , 1 06- 1 08, 1 24, 1 75,
1 76, 387, 389, 390
- - -, количестве н н а я етика 1 49 Федо р е нко
о в к л ючешш
ядра
спектра
С П С!\Тр 4 1 3
1 1 6, 429
о r о в п а д е r r r ш я д р а спект р а со с п еrпрш1 4 1 4, 432 - о стру ктуре с п е к т р а семейства операторов 40 1 - об r т в а р п а нтrюстн ядра п о к аз а те.l я 4 1 5 - oG устоi'1 ч и востн возм ущенной схе мы 1 45 - Э K B I I B 3 .l e H T ! I O C T I I Л а кс а 430 Te o p e :vr ы о с в о i'rс т в а х абсолютr юго я др а 4 1 3-4 1 4 Точ к а с п с к тря о п е р а т о р а 309 - - c e � r e iicтв a о п е р а торов 398, 400
х а р а ктерн-
релаксацнонный
м етод
323-326
Ф р ид р и х с а н е р а в епство 334 Фундаментальное р е ш е н и е 22, 29, 30,
385
- - огра н и ч е н н о е 3 1 -33 - - , оценка 30-35 - - р а з ностного у р а в н е н и я
420
о с в я з и между а п п р о к с и м ацнеi'r , устоii ч и в о стью н сходнм остыо 1 08, В
439
22, 29;
- - , усло в и е огра н и ч е н ности 22 Ф у рье быстрое п р е о б р а з о в а н п е 43 1 - р я д для сето ч н о й ф у н к ц и и 250 Х а р а ктер истнчешое у р а в н е r ш е 26 Частная производная, з а м е н а разно с т н ы м и отноше н и я м и 1 83, 1 84
386, 40 1 , 402
Эволюциоr ш а я з а д а ч а 22 1 , 222, 228, Э i'r л е р а схема 1 95 , 1 09, 1 57, 1 5 8 Э н е р гетическое н е р а в е н ство 255 Ядра п о к а з а теля с п е r\ т р а семеi'lствз о п е р ато ро в 4 1 3, 4 1 5, 433
Сергей
l(онстантинови' Годунов,
В и к.тор Содо.монович Рлбеньк.ий
РАЗНОСТНЫЕ
Введение
М.,
1977
г.,
в
СХЕМЫ
теорию
440 стр.
с
илл.
Редактор Г. fl. П и рага ва
Тех п. редактор Л. В. Лиха чма :Корректор Т . С . Вайсбе р г Сдаю в н а бор 20. 1 2.76. Подпис ано к печати 28.04.77. Бума. га 6 0 Х901/11, тип. No 3. Физ. печ. л. 27,5. Условн. печ. л. 27,5. Уч.-нзд. л. 25,25. ТИр а ж 25000 экз. Цена к н иги 1 р. 14 к. 3 ai< аз No 425. Издательство сН а у к а.. Главная р е д а кцпя физико-м атем атической дптературы 1 1707 1 , Москва, В-7 1 , Леншi сiш й п ро с не кт, 15 Орден а Трудового :Кра сного З н а м ен и Ленинградская т ип огра фи я No 2 II MCIIII Ев г е ни и Соколовой Союзполиграфпром а ври Госудuрt тя�нном комитете Совета Мини стров СССР по делам н з д а т с л ьств, п о л играф ии и юшжной торговли, 198052, Лепин rрад, Л-52, И з м а йловс юtil пр о сп е кт, 29,