シリーズ数学の世界 7 数学オリンピック教室

シリーズ・・・・

7 

数学の世界 野 ロ 廣 監修

数 学 オ リン ピック

教室 野 口 廣 著

朝倉書店

ま えが き ―数 学好 きの 諸 君 に―

  数 学 オ リン ピ ック に挑 戦 して み た い と思 う数 学 好 きの 生 徒 諸 君 や 父 兄 の 方 々 か ら 「何 を ？ ど ん な ふ うに 勉 強 した ら よい の か?」 と い う質 問 を 度 々受 け ます . こ の本 で も読 ん で み た ら,と 言 え る本 を つ く りた い と私 は 永 い 間 考 え て い まし た.や

っ と今 回,こ れ で ど うだ ろ う とい う本 が で き ま し た.

  そ の よ うな わ け で,こ

の 本 は 読 者 に数 学 オ リン ピ ッ クの 予 選 を突 破 す る の に

必 要 な 問題 解 決 力 を与 え よ う と企 画 され た もの で す.   数 学 オ リン ピ ックに 出題 され る 数学 の題 材 を 「集 合 と写 像 」,「 代 数 」,「数 論 」, 「組 合 せ 論 と グ ラ フ」,「幾 何 」 の５ つ の 分 野 に分 け て,各 分 野 を１ つ の章 と し ま し た.各 章 で は,ま ず は じめ にそ の 分 野 で 必 要 な記 号 や 概 念 や 主 要 定 理 を ま と め て述 べ ます.そ

して そ の 章 に 関 連 した 数 学 オ リン ピ ッ クの 出 題 問 題 に 挑 戦 し

ます.   概 念 や 定 理 は 証 明 な し に述 べ られ て い ま すが,将 すか ら,詳

しい 証 明 等 々は 気 に しな い で,こ

来 いず れ は 勉 強 す る もの で

こ で は 実 際 に使 う こ と に よ っ て そ

の 意 味 を よ く理 解 す れ ば 十 分 だ と思 い ます(そ

うす れ ば ,そ の 証 明 を 自分 で 考

え る こ と もで き る で し ょ う).   また 挑 戦 は ど の 章 か ら始 め て もい い と思 い ます し,も ちろ ん１ つ の 章 を 終 わ っ てか ら次 の章 へ とい う必 要 は あ りませ ん.気

ま ま に,あ っ ち の章 こ っ ちの 章 と,

で きそ うな 問 題 を拾 って い くの も１ つ の 方 法 で す .   とに か く,紙 と鉛 筆 と消 しゴ ム を持 っ て,ま ず 講 義 をざ っ と み て 問 題 に取 り 掛 か り ま し ょ う.問 題 を 読 ん で ウ ン!こ れ は こ うだ ろ う と思 った ら ,そ の と お りに まず 進 ん で み る こ とで す.行

き止 ま りに 入 り込 ん だ ら,そ れ も度 々 だ った

ら,も う止 め た と言 わ な い まで もガ ック リ し ます ね .こ ん な と き 「俺 は … … 」

な ど と思 うの は,と ん で も な い 思 い 違 い で す.プ ロ の 数 学 者 だ っ て 毎 日毎 日 こ の 絶 望 の 中で 暮 ら して い る の で す.そ

うし た と きは,仕 方 な い か ら解 答,解

を少 し読 み ま し ょ う.読 み 切 る必 要 は あ り ませ ん.ア た ら また,読

説

ア その 手か と見 当が つ い

む の を 止 め て そ の 先 を考 え て み ま し ょ う.数 学 好 きの 友 人 や 先 輩

が い るの で し た ら,そ の 人 た ち と議 論 す る の も と て も よい 方 法 で し ょ う.そ う して,ま

た 自分 ひ と りで 考 え 続 け ま す.そ れ を 時 間 の 無 駄 だ と思 うこ とは あ り

ませ ん.数 学 者 は１ 年 も２ 年 もい や 数 年 に わ た っ て で も,１ つ の 問 題 を 解 け る まで 考 え ます.私

は年 寄 りで 諸 君 の よ うに 力が あ りませ ん の で,こ

の 本 の 問題

は１ 題 を１ 週 間 で 解 け た ら万 歳 だ と思 って い ます.   問 題 の 解 き方 を何 題 覚 え た か と い うの で は な く,多 少 の ヒ ン トは別 と し て 自 分 で 問題 を 解 くこ とが 諸 君 の 才 能 を 大 き く成 長 させ るの で す,   と は い って も諸 君 は,「予 選 で１ 問 題 あ た りの 時 間 は15分

だ と い うの に,そ

れ で は とて も間 に 合 わ な い 」 と い うか も しれ ませ ん.し か し これ で 間 に 合 うの で す.予 選 で は こ の 本 の よ うな 解 答 は 要 求 して い ませ ん.自 信 あ り と思 う答 え の見 当が つ い た ら,そ れ を 答 えれ ば よい の で す.   最 後 に,数 学 オ リン ピ ッ クの 本 当 の 目 的 は 金 メダ ル で は な く,諸 君 の 数 学 的 な才 能が 将 来 に向 け て 大 き く花 開 くこ と な の で す.Good 2001年９

Luck!

月

野 口

廣

目

１ .

  次

ア イ デ ア

  １

  1.1  こ の 本 の 構 成[１]    1.1.1 

な ぜ 日 本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選 な の か 

  1.1.2 

この 本 で扱 う問 題

１ １  ３

  1.2  ア イ デ ア   1.2.1 

数 学 オ リ ン ピ ッ ク の 問 題 と ア イ デ ア 

  1.2.2 

ア イデ ア と予備 知 識

  14 14   16

  1.3  こ の 本 の 構 成[２] 

２.

17

集 合 と写 像

  2.1  集

 19 合

 

19

  2.1.1 

集 合 と は

  19

  2.1.2 

数 学 に お け る集 合

  21

  2.1.3 

集 合 の 表 し方

  2.1.4 

集 合 の 演 算 ・関 係 式

  2.2  関 数,写

像

  26   28   30

  2.2.1 

関 数 と写像  

31

  2.2.2 

関数 と 逆 関 数

  37

  2.3  集 合 の ３ つ の 表 示

 42

  2.3.1 

値 域 と して の 表 示

  42

  2.3.2 

座標平面 の図形

  44

３.

代

 

数

 

  3.1  高 次 方 程 式

 48

 

3.1.1 

複

 

3.1.2 

１の ｎ 乗 根

素

数 

  3.2  線

形

 

3.2.1 

線 形 代 数

 

3.2.2 

線 形 独 立,線

４.

数  

  4.1  合

48   50

性 

58

論 同

  58 形 従属

式

64  

  4.1.1 

合同式の 定義

  4.1.2 

基 本 性 質

  4.1.3 

合 同 式 を用 い る 問 題

  4.1.4 

中国式剰余定 理

  4.2  そ の 他 の テ ク ニ ッ ク

５.

  60

 

等

  4.2.1 

不

  4.2.2 

数 の 表 記

  4.2.3 

パ ラ メー タ表 示

式

  5.1.1 

順列

  5.1.2 

組

64  65

  65   67   74  

77

 

77  79

  82

組 合 せ論 とグ ラ フ

  5.1  順 列,組

48

  85

合せ

 85   85

合

せ

  5.2  そ の 他 の テ ク ニ ッ ク

 

87

  89

 

5.2.1 

包 除 原 理

 89

 

5.2.2 

鳩の巣原 理

  91

  5.3  組 合 せ 論 の 問 題

  92

 

5.3.1 

素 朴 な 解 法― と に か く数 え る

  92

 

5.3.2 

ア イ デ ア

  95

ラ

  99

  5.4  グ

フ

６

5.4.1 

.

幾 

グ ラ フ と は 

何

99

 106

  6.1  平 面 幾 何

  106

 

6.1.1 

ユ ー ク リ ッ ド幾 何 の 定 理

 106

 

6.1.2 

２ 次

 109

曲 線

  6.2  空 間 幾 何   

6.2.1 

ベ

 

6.2.2 

空 間 ベ ク トル の 外 積

あ

索

と が

き  

引 

ク ト ル

115  115   116

127

131

１ ア

  最 初 に,こ

イ

イ デ ア"に

に,数

つ い て 検 討 し,そ

学 オ リン の 後 で,

の 本 の 構 成 に つ い て の 話 に 立 ち 戻 る.

1.1 

1.1.1 

ア

の 本 の 構 成 に つ い て 述 べ て お くべ きで あ ろ う,次

ピ ッ ク に お け る 最 も 重 要 な 構 成 要 素,"ア も う 一 度,こ

デ

こ の 本 の 構 成[1]

な ぜ 日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選 な の か

  こ の本 の 目的 は,1999年

度 と2000年

度 日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク(JMO)の

予

選 の 問題 を題 材 とし て,読 者 を 数 学 オ リン ピ ックの 世 界 へ 招 待 す る こ とで あ る．   数 学 オ リ ン ピ ッ ク に は 日本 数 学 オ リ ン ピ ック予 選,日

本 数 学 オ リン ピ ッ ク本

選,国 際数 学 オ リン ピ ッ ク とあ るが,な ん とい って も花 形 は 国際 数 学 オ リン ピ ッ ク(IMO)で

あ る.そ の た め,な

にか と取 り上 げ られ るの は,国

際数 学 オ リン

ピ ッ クの 出題 問 題 で あ り,そ れ を紹 介 す る本 な らば,書 店 の 数 学 書 コ ー ナ ー に も何 冊 か 並 ん で い る.し か し,数 学 オ リン ピ ッ クの 世 界 へ 向 け て の 最 初 の 一 歩 と して は,国

際 数 学 オ リン ピ ッ クの 問 題 は あ ま りに も難 しす ぎ,普 通 の 数 学 好

きの 若 者 が 読 んで 数 学 オ リン ピ ッ クの 世 界 へ 誘 わ れ る と い うレベ ル の もの で は な い.ま た,そ の 難 し さの 質 に つ い て い うな らば,鍵

と な る ア イデ ア に 至 る ま

で の 難 し さだ けで な く,解 答 の 道 筋 をつ か ん で か ら本 当 に 解 答 と して 完 成 させ る段 階 で の 難 し さ も,負 け ず に 大 きい と い わ ざ る を 得 な い.ま

た,解 答 も記 述

式 で あ るた め,推 論 を文 章 と し て表 現 す る能 力 も必 要 に な っ て くる(そ して 困 っ た こ とに,「記 述 され た 証 明 と して 優 れ た もの に 仕 上 げ る ほ ど,元 の ア イデ アが

み え に く くな る 」 とい うケ ー ス が よ くあ る).も

ちろ ん,ア

イデ ア を 完 成 させ,

き ち ん と記 述 す る 力 を 身 につ け る こ と も大 切 で あ り,ま た,い

きな り超 難 問 に

挑 戦 す るの も,そ れ は それ で 魅 力 的 な道 で あ る.し か し,こ こ で は 別 の 道 を とっ て,数 学 オ リ ン ピ ッ ク関 係 の試 験 の 中 で は 比 較 的 や さ し い 日本 数 学 オ リン ピ ッ ク予 選 の 問題(以

下,予

選 問 題 と い う)を 題 材 と し て選 ん だ.予

選 問 題 を選 ん

だ メ リ ッ トと して 期 待 して い る の は 次 の 点 で あ る.   (１)難 し さの レベ ル が 適 度 で あ る.本 選 やIMOに で,や

比べ れ ば 適 度 と い うだ け

は り難 問 で は あ るが.

  (２)解 決 の 道 筋 をつ か ん で か らの プ ロ セ スが,比

較 的 す っ き りし て い る 問 題

が 多 い.   (３)答 え だ け を 要 求 す る 出題 形 式 な の で,「ど の よ うに記 述 す るか 」 とい うテ クニ ッ クか ら離 れ て,ア

イデ ア を味 わ う こ とが で きる.

(２),(３)に つ い て 言 う な らば,要

す るに 「数 学 の 一番 お い し い と こ ろ だ け を味

わ って や ろ う」 とい うこ とで,あ ま り高 い モ ラ ル の話 で は な い の だが … ….こ れ で よ い こ と に し よ う.   さて,予

選 問 題 を選 ぶ代 償 は 「国 際 数 学 オ リ ン ピ ッ クほ ど 華 や か で な い 」 と

い うこ と だ ろ う.し か し,国 際 数 学 オ リン ピ ッ クは 体 操 で 言 うな らば ウル トラ Ｄ の 世 界 なの だ.な に も最 初 か らそれ を 練 習 しな くて も よい の で は な い だ ろ う か.予 選 問 題 で も十 分 にプ ロの 数 学 者 が 楽 しめ る 問 題 な の だ か ら.特 に 最 近 の 日本 数 学 オ リン ピ ッ クで は,問 題 の 作 成 や 選 別 に 数 学 オ リ ン ピ ッ クOBの が 携 わ って い るだ け あ っ て,で

若手

きの 良 い 問 題が そ ろ っ て い る.せ っか くだか ら,

そ れ を利 用 す る こ とに し よ う.   こ の よ うなわ け で,1999年 を題 材 と して,こ

度 と2000年

度 日本 数 学 オ リン ピ ック予 選 の 問題

の 本 を構 成 す る こ と と し た.

  こ の 節 の 最 後 に,ま ず,実 際 の 試 験 と同 じ形 で,そ れ らの 問 題 を ま とめ て掲 載 し て あ る.次

に,問 題 を以 後 の 本 文 に 登 場 す る順 番 に 並 べ 替 え た うえで,該

当す るペ ー ジ を添 付 して 再 掲 し て あ る.   この 本 の使 い 方 は い ろ い ろあ る と思 うが,た

と えば 最 初 に,試 験 に 臨 ん で い

るつ も りで 問 題 にチ ャ レ ンジ して み る とい う手 もあ る.ま た,問 題 を ざ っ とみ て,面

白 そ うな 問 題 が あ っ た ら,そ の 本 文 該 当 ペ ー ジ(解

答 も そ の す ぐ後 にあ

る)の

近 辺 か ら読 み 始 め る と い う こ と も で き る.も

っ と も,標

準 プ ラ ン は ,や

は り 「本 は ペ ー ジ 順 に 読 む 」 と い う こ と な の だ が ．   こ れ か ら の 章 は,「集 合,写

像 」,「代 数 」,「数 論 」,「組 合 せ 論 と グ ラ フ 」,「幾 何 」

と 続 く.そ れ ら 各 章 に つ い て の 説 明 に 移 る 前 に,次 で 最 も大 切 な"ア に,先

い う もの に つ い て 検 討 し て お こ う.し

か し,そ

の前

ほ ど 予 告 し た と お り問 題 を ま と め て 掲 載 し て お く.

  1.1.2 

こ の 本 で 扱 う問 題

 ａ.1999年

１. 

イデ ア"と

の 節 で は 数 学 オ リン ピ ッ ク

度 日本 数 学 オ リ ン ピ ック 予 選

10円 玉,50円

玉,100円

玉 が そ れ ぞ れ 十 分 多 くあ る.こ れ ら の う ちか

ら何 個 か （０ 個 の ものが あ っ て も よい ）取 り出 して,そ の 合 計 金 額 を1000円

と

す る方 法 は 何 通 りあ る か. ２. 

(X,Y)を

直線-3x+5y=7上

の格 子 点 とす る と き,￨X+Y￨の

最 小値

を 求め よ.た だ し格子 点 とはｘ 座 標,ｙ 座 標 が と もに整 数 で あ る点 の こ と をい う. ３. 

1991≦n≦1999 

で あ る 自 然ｎ

で,次

の性 質 を満 た す もの す べ て

を 求 め よ.   「ｎ の３ 乗n3を

一 の 位 か ら 左 へ ３桁 ず つ に 区 切 っ て で き る 数 の 和 はｎ

に等

し い 」.   (例)n=1990 

と し て み る と,19903=7,880,599,000.よ

=7+880+599+000=1486≠1990で

４. 

一 辺 の 長 さが １の 立 方 体ABCD-EFGHを,対

面 で切 断 す る と き,切

って

和

上の性 質を満た さない.

り口 の 面 積 の 最 小 値 を 求 め よ.

角 線AGを

含 む平

５. 

次 の 規 則 に 従 っ て 得 点 す る ゲ ー ム を 考 え る.

  「サ イ コ ロ を １ 回 振 っ て,１,２,３ か が 出 れ ば １点,６

の い ず れ か が 出 れ ば ２ 点,４,５

の いず れ

が 出 れ ば ０ 点 を 得 る 」.

サ イ コ ロ を 繰 り返 しｎ 回 振 っ て,得

点 の 合 計 がｋ

に な る 確 率 をpn(k)と

表 す.

をで きる だ け 簡単 な 式 で 表 せ. ６. 

３辺 の 長 さが それ ぞ れAB=4,BC=6,AC=5の

の 辺BC上 それぞれ Poと

に 点 Ｐ を と り,Ｐ Ｍ,Ｎ

とす る.Ｍ,Ｎ

した と きBPoの

よ り ２辺AB,ACへ

三 角 形ABC 下 ろ し た垂 線 の 足 を

間 の距 離 を最 小 に す る よ う な Ｐ の位 置 を

長 さ を求 め よ.

７. 1999!/10nが 整 数 と な る よ う な 自然 数

ｎ の 最 大 値,お

よ び こ の と き の1999!/10n

の 一 の 位 の 数 字 を答 え よ. ８. 

三 角 形ABCで

∠A=60゜,∠B=20゜,AB=1の

と き,1/AC-BC

の 値 を 求 め よ. ９. n=abc+abd+acd+bcd-1/abcdが の 組(ａ,ｂ,ｃ,の

10. 

を す べ て 求 め,そ

整 数 と な る よ う な 自 然 数a≧b≧c≧d＞1 のａ の 値 を す べ て 答 え よ.

一 辺 の 長 さ １の 正 二 十 面 体 の 最 も長 い 対 角 線 の 長 さ を 求 め よ.

11. ｎ

を 自 然 数 と し,i=√-1,α=cos(2π/

を 自 然 数 で1≦m≦nと

n)+isin(2π/n)と

す る.ｍ

す る.こ の と き,次 の 和 を 計 算 し て １つ の 分 数 式 で

表 せ.

12. 

n(≧3)個

の 空 港 の 間 に 以 下 の(１),(２),(３)の

条 件 を満 た す よ う

に 直 行 便 を 開 設 す る と き,開 設 の仕 方 は 何 通 りあ るか.   (１)ど の 相 異 な る ２つ の 空 港Ａ,Ｂ Ｂ よ りＡ

の 間 に もＡ

よ り Ｂ へ の,あ

るい は

へ の 直 行 便 の ど ち らか 一 方 を必 ず 開 設 す る.

  (２)Ａ よ り Ｂ へ の 直 行 便 と,Ｂ な ２つ の 空 港Ａ,Ｂ

よ りＡ へ の 直 行 便 が 両 方 開 設 され る よ う

は 存 在 し な い ． また どの 空 港Ａ

で もＡ よ りＡ へ

の直 行 便 は な い.   (３)あ る 空 港Ｃ

よ り出発 し,直 行 便 を乗 りつ い で,ま

たＣ

に戻 って こら

れ る 空 港 Ｃ が 少 な くと も １つ 存 在 す る.

 ｂ.2000年 １.  り,各

度 日本 数 学 オ リン ピ ッ ク予 選

下 図 の よ う に 直 角 三 角 形 内 に ３ つ の 正 方 形 と ３つ の 円 Ｏ,O1,O2が 円 は そ れ ぞ れ を 含 む 小 直 角 三 角 形 の 内 接 円 で あ り,Ｏ,O2の

は そ れ ぞ れ ９,４で あ る.円O1の

直 径 の 長 さ を 求 め よ.

あ

直径の 長 さ

２. 

3a+5b(た

だ し, ａ,ｂ は ０ 以 上 の 整 数)の

形 で 表 せ な い 自然 数 の 最 大

値 を 求 め よ. ３. 

平 面 上 に 点 Ｏ を 通 る 直 線ｌ と,一

る ． た だ し,辺ABとｌ

辺 の 長 さ １ の 正 三 角 形OABが

は 交 点 を 持 た な い と す る.頂

し た 垂 線 とｌ と の 交 点 を そ れ ぞ れA',B'と る 最 大 値 を 求 め よ.こ

こ で ２ 点 Ｘ,Ｙ

４. 

段,ま

一 歩 で １段,２

通 りの 登 り 方 が あ る か.た

点Ａ,Ｂ

す る と き,  AA'+BB'の

に 対 し てXYは

あ

か らｌ に 下 ろ と りう

そ の 間 の 距 離 を 示 す.

た は ３ 段 を 登 れ る 人 が,７

だ し 途 中 で 下 り た り,足

段 の 石 段 を 登 る.何

踏 み し た りは し な い も の と

す る.

５. 

図 の よ うな 一 辺 の 長 さ １の 立 方 体ABCD-EFGHが

中 点 を Ｋ,辺DHの

中 点 をＬ,辺EFの

す る.八 面 体A-KLMN-Gの

６. ｎ

の 解 は,す

中 点 を Ｍ,辺FBの

体 積 を 求 め よ.

を 自然 数 と す る.有 理 数 係 数 の2n次

方程式

べ て x2+5x+7

の 解 に も な っ て い る.こ

の と き 係 数ａ1の

=0 値 を求 め よ．

あ り,辺CDの 中点 を Ｎ と

７. 

自 然数ｎ

(x,y,z)の ８. 

に 対 し て,0≦x＜x+y＜y+z≦nを

満 たす 整数の組

総 数 を 求 め よ.

40Ｃ20を41で

割 っ た 余 り を 求 め よ.

９.

を 求 め よ.た

10. 

だ し,[ｘ]はｘ

を 超 え な い 最 大 の 整 数 の こ と で あ る.

１か ２か ３の数 字が 書 か れ た カ ー ドが そ れ ぞ れ 十 分 た く さん あ る.そ

の 中 か らそ れ ぞ れ の 数 字 の カー ド を奇 数 枚 ず つ 合 計1999枚

を 選 び,一

列 に並

べ る.こ の 方 法 は何 通 りあ るか. 11. 

四 角 形ABCDが

あ り,直 線BDは

∠ABCの

あ り,AD//BC,∠ABC=∠BDC=1/2∠ACBで ２等 分 線 に な っ て い る と す る.こ

の と き ∠ABC

を 求 め よ.

12. 

数 列a1,a2,a3,…,a30は

以 下 の 条 件(ⅰ),(ⅱ)を

満 た す.こ

の よ うな

数 列 は 何 通 り あ る か.   条 件   (ⅰ)a1,a2,a3,…,a30は   (ⅱ)ｍ

が

満 た す.

１,２,３,…,30の

２,３,５ の そ れ ぞ れ の 場 合,1≦n＜n+m≦30と

に 対 し て,an+m-anは   (注)た

自然 数

ｍ

並 べ 換 え で あ る. な る 任 意 のｎ

と え ば,a1=1,a2=2,a3=3,…,a30=30は

で 割 り 切 れ る. 条 件(ⅰ),(ⅱ)を

ｃ.掲 載順 問題 集 ―問 題

１.―2000[3]

平 面 上 に 点 Ｏ を通 る 直 線ｌ と,一 辺 の 長 さ１ の 正 三 角形OABが あ る.た

だ し,辺ABとｌ

は 交 点 を 持 た な い とす る.頂

か らｌ に 下 ろ し た 垂 線 とｌ との 交 点 を そ れ ぞ れA',B'と AA'+BB'の XYは

点Ａ,Ｂ す る と き,

と り うる 最 大 値 を 求 め よ.こ こ で ２点 Ｘ,Ｙ に 対 して

そ の 間 の 距 離 を示 す.  (p.15)

― 問 題 ２.―2000[1]

下 図 の よ うに 直 角 三 角 形 内 に ３ つ の 正 方 形 と ３ つ の 円 Ｏ,O1,O2 が あ り,各 円 は そ れ ぞ れ を含 む小 直 角 三 角 形 の 内 接 円 で あ り,Ｏ,O2 の 直 径 の 長 さ は そ れ ぞ れ ９,４で あ る.円O1の

直径 の長 さを求め

よ.

 (p.15)

―問 題 ３.―2000[9]

を 求 め よ.た

だ し,[ｘ]はｘ

を 超 え な い 最 大 の 整 数 の こ とで あ る .  (p.42)

x2n

問 題 ４.―1999[2]

(X,Y)を

直 線-3x+5y=7上

の 格 子 点 とす る と き,￨X+Y￨の

最小 値 を求 め よ.た だ し格 子 点 と はｘ 座 標,ｙ 座 標 が と も に整 数で あ る 点 の こ と を い う.  (p.46)

― 問 題 ５.―1999[11] ｎを 自 然 数 と し,i=√-1,α=cos(2 を 自 然 数 で1≦m≦nと

す る.こ

π/n)+isin(2π/n)と の と き,次

す る.ｍ

の 和 を 計 算 し て １つ の

分 数 式 で 表 せ.

 (p.55)

―問 題 ６.―2000[6]

ｎを 自然 数 とす る.有 理 数 係 数 の2n次

方程 式

+a1x2n-1+a2x2n-2+…+a2n-1x+a2n=0 の 解 は,す

べ て x2+5x+7

の 解 に も な っ て い る.こ

―問 題

=0

の と き係 数a1の

値 を 求 め よ.

７.―2000[2]

3a+5b(た

だ し,ａ,ｂ は ０ 以 上 の 整 数)の

形 で 表 せ な い 自然 数 の 最

大 値 を 求 め よ.  (p.67)

 

― 問 題 ８.―2000[8] 40Ｃ20を41で

割 っ た 余 り を 求 め よ.

 (p.68)

―問 題 ９.―1999[7] 1999!/10n が 整 数 と な る よ うな 自 然 数

ｎ の 最 大 値,お

よび こ の と きの

1999!/10nの 一 の位 の 数 字 を答 え よ.  (p.71)

― 問 題10.―2000[12] 数 列a1,a2,a3,…,a30は

以 下 の 条 件(ⅰ),(ⅱ)を

満 た す.こ

の よ うな

数 列 は 何 通 り あ る か. 条件 (ｉ)  a1,a2,a3,…,a30は (ⅱ)ｍ

(ⅱ)を

並 べ 換 え で あ る. 

が ２,３,５の そ れ ぞ れ の 場 合,1≦n＜n+m≦30と 任 意 のｎ

 (注)た

自然 数 １,２,３,…,30の

に 対 し て,an+m-anは

なる

ｍ で 割 り切 れ る.

と え ば,a1=1,a2=2,a3=3,…,a30=30は

条 件(ⅰ),

満 た す.  (p.76)

―問 題11.―1999[9] n=abc+abd+acd+bcd-1/abcd の 組(a,b,c,d)の

が 整 数 と な る よ う な 自 然 数 ａ ≧b≧c≧d＞1

を す べ て 求 め,そ

のａ の 値 を す べ て 答 え よ.  (p.77)

― 問 題12.―1999[3] 1991≦n≦1999 

で あ る 自然 数

ｎ で,次

の 性 質 を満 た す もの すべ

て を 求 め よ, 「ｎ の ３乗n3を は

一 の 位 か ら左 へ ３桁 ず つ に 区 切 って で き る数 の和

ｎ に 等 し い 」.

(例)n=1990と

し て み る と,19903=7,880,599,000,よ

=7+880+599+000=1486≠1990で

って 和

上 の性 質 を満 た さな い .  (p.81)

― 問 題13.―1999[1]

10円 玉,50円

玉,100円

玉 が そ れ ぞ れ 十 分 多 くあ る.こ れ らの う ち

か ら何 個 か （０個 の ものが あ って も よい ） 取 り出 し て,そ の 合 計 金 額 を1000円

と す る 方 法 は何 通 りあ る か.  (p.93)

―問 題14.―2000[4] 一 歩 で １段

,２ 段,ま

た は ３段 を 登 れ る 人 が,７

通 りの 登 り 方 が あ る か.た

段 の 石 段 を 登 る.何

だ し 途 中 で 下 りた り,足

踏 み し た りは し な

い も の と す る.   (p.95)

― 問 題15.―2000[7] 自然 数 ｎ に 対 し て,0≦x＜x+y＜y+z≦nを

満 た す 整 数 の組

(ｘ,ｙ,ｚ)の 総 数 を 求 め よ.(p.96)

―問 題16.―2000[10]

１か ２か ３の 数 字 が 書 か れ た カ ー ドが そ れ ぞ れ 十 分 た く さん あ る.そ の 中か ら それ ぞ れ の 数 字 の カー ドを奇 数 枚 ず つ 合 計1999枚

を選 び ,一

列 に並 べ る.こ の 方 法 は何 通 りあ るか.  (p.97)

―問 題17.―1999[12] n(≧3)個

の 空 港 の 間 に 以 下 の(１),(２),(３)の

条件 を満たす よ う

に 直 行 便 を 開 設 す る と き,開 設 の 仕 方 は 何 通 りあ る か. (１)ど の 相 異 な る ２つ の 空 港 Ａ,Ｂ の 間 に も Ａ よ り Ｂ へ の,あ るい は Ｂ よ り Ａ へ の 直 行 便 の ど ち ら か 一 方 を必 ず 開設 す る. (２)Ａ

よ り Ｂ へ の 直 行 便 と,Ｂ

され る よ うな ２つ の 空 港Ａ,Ｂ

より Ａ への直行便が 両方 開設

は 存 在 し な い.ま た ど の 空 港 Ａ で

も Ａ よ り Ａ へ の 直 行 便 は な い. (３)あ る 空 港Ｃ

よ り出発 し,直 行 便 を乗 りつ いで,ま

て 来 られ る空 港Ｃ

たＣ

に戻 っ

が 少 な く と も １つ 存 在 す る.  (p.102)

― 問 題18.―1999[5] 次 の 規 則 に 従 っ て 得 点 す る ゲ ー ム を 考 え る. 「サ イ コ ロ を １回 振 っ て,１,２,３ い ず れ か が 出 れ ば １点,６

の い ず れ か が 出 れ ば ２点,４,５

の

が 出 れ ば０ 点 を 得 る 」.

サ イ コ ロ を 繰 り返 しｎ 回 振 っ て,得

点 の 合 計が

ｋ に な る 確 率 をpn(k)

と表 す.

をで きる だ け 簡 単 な式 で 表 せ.  (p.104)

―問 題19.―1999[6]

３辺 の 長 さが それ ぞ れAB=4,BC=6,AC=5の の 辺BC上

三 角 形ABC

に点 Ｐ を と り,Ｐ よ り ２辺AB,ACへ

の 足 を そ れ ぞ れＭ,Ｎ Ｐ の 位 置 をP0と

とす る.Ｍ,Ｎ

した と きBP0の

下 ろ し た 垂線

間 の 距 離 を最 小 に す る よ うな

長 さを 求 め よ.  (p.111)

―問 題20.―1999[8] 三 角 形   ABCで

∠A=60゜,∠B=20゜,AB=1の

1/ AC-BCの

と き,

値 を 求 め よ.  (p.112)

―問 題21.―2000[11] 四 角 形ABCDが あ り,直

あ り,AD//BC,∠ABC=∠BDC=1/2∠ACBで

線BDは

き ∠ABCを

∠ABCの

２等 分 線 に な っ て い る と す る.こ

の と

求 め よ.  (p.112)

―問題22.―1999[10] 一 辺 の 長 さ １の 正 二 十 面 体 の 最 も長 い 対 角 線 の 長 さ を 求 め よ.

 (p.120)

― 問 題23.―1999[4]

一 辺 の 長 さが １の 立 方 体ABCD-EFGHを 平 面 で 切 断 す る と き,切

,対 角 線AGを

含む

り口 の 面 積 の 最 小 値 を求 め よ.

 (p.121)

―問 題24.―2000[5]

図 の よ うな 一辺 の 長 さ １の 立 方 体ABCD-EFGHが の 中点 を Ｋ,辺DHの

あ り,辺CD

中 点 を Ｌ,辺EFの

中 点 を Ｎ とす る ．八 面 体A-KLMN-Gの

中点 を Ｍ,辺FBの 体 積 を求 め よ.

 (p.124)

1.2 

ア

イ

デ

ア

  大 学 の 入 学 試 験 は,入 学 後 の 勉 強 に つ い て い け るか と い う適 性 試 験 で あ る 以 上 に,高 校 で ち ゃん と勉 強 し た か を 問 う"学 習 成 果 評価 試 験"で あ る面 が 大 き い.し た が って,出 題 問 題 も,素 直 に 勉 強 の成 果 を 問 う問 題 ,つ ま り努 力 が 報 わ れ る 問 題 が 理 想 と され,い

わ ゆ る"奇 問"は 非 難 の 対 象 と され る.一

学 オ リン ピ ック の 問 題 で 理 想 と され る 問 題 は,ひ

方,数

とこ とで 言 うな ら ば"面 白い

問 題"で あ る.国 際 数 学 オ リ ン ピ ッ クの 目的 が 「若 い 数 学 の 才 能 を発 掘 しエ ン カ レ ッジ す る 」 で あ る こ とか ら も わか る よ うに,あ

り きた りの 知 識 の 積 み 重 ね

や,訓 練 の繰 り返 しで 得 ら れ る能 力 の 守備 範 囲 を外 し た,斬 新 な ア イデ ア を 必 要 とす る 問題 が 良 問 と され る の だ.

1.2.1 

数 学 オ リン ピ ッ ク の 問 題 と ア イデ ア

まず,問

題 を 解 い て み よ う.

―問 題 １.―

日本 数 学 オ リン ピ ッ ク 予 選2000[3]

平 面 上 に 点 Ｏ を 通 る 直 線ｌ

と,一

あ る.た

は 交 点 を 持 た な い と す る.頂

だ し,辺ABとｌ

辺 の 長 さ １ の 正 三 角 形OABが

か らｌ に 下 ろ し た 垂 線 とｌ と の 交 点 を そ れ ぞ れA',B'と AA'+BB'の XYは

す る と き,

と り う る 最 大 値 を 求 め よ ． こ こ で ２ 点 Ｘ,Ｙ

に対 して

そ の 間 の 距 離 を 示 す.

[解 答]辺ABの M'と

点 Ａ,Ｂ

中点 を Ｍ と し,Ｍ

す る と,2NM'=AA'+BB'で

  よ っ て 求 め る最 大 値 は 線 分MOがｌ

か らｌ に 下 ろ し た 垂 線 とｌ との 交 点 を あ る. に 垂 直 の と き で,2MM'=2MO=2×√3/2＝√3．

 

  「中点Ｍ

Ans.√3

を考 え る 」 こ とを 思 い つ い た と た ん に 問 題 は終 わ った よ うな もの

だ.「こ の よ うな タ イプ の 問 題 で は 中点 に 着 目」 とか い った ノ ウハ ウが あ る わ け で は な い の で,ア

イデ ア を思 い つ くか ど うか,と

い うこ とが 分 か れ 目 とな る.

もち ろん,単 純 に 計 算 を して 解 くこ と もで き る の だが,時   そ れ で は,も ― 問 題 ２.―

間は か か りそ うだ.

う一 題. 日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選2000[1]

下 図 の よ う に 直 角 三 角 形 内 に ３つ の 正 方 形 と ３つ の 円 Ｏ,O1,O2が あ り,各 円は それ ぞ れ を含 む小 直 角 三 角 形 の 内接 円 で あ り,Ｏ,O2の 直 径 の 長 さは そ れ ぞ れ ９,４で あ る.円O1の

直 径 の 長 さ を 求 め よ.

  な お,こ の 図 は1853年

に佐 々木 萬 蔵 が 陸 奥 の 国(現 在 の 岩 手 県)三

八 幡 神 社 に奉 納 し た算 額 か ら取 っ た もの で あ る(1999年 が 発 見(私 信 に よ る),同

１月30日

陸綾里

に 菅原 通 氏

７月 ９ 日 に岩 手 日報 に 掲 載 され た と前 川 太 市 氏 よ り

知 ら され た). [解 答]  予 選 で あ る か ら 解 答 は 答 え の ６ の み で,そ し か し,こ

の 証 明 は 書 か な い で よ い.

の 数 を 導 くた め の 直 感 的 な 道 筋 を 書 く と す る と,一

応次 の ように

な る.  Ｏ,O1,O2の

直 径 の 長 さ を Ｒ,R1,R2と

ま た △A1B1Cと

△A2B2Cは

す る.下

相 似 で あ り,Ｏ

す る 」.よ っ てR:R1=R1:R2．

図 で 「△ABCと

とO1,O1とO2が

  この 問 題 につ い て い うな らば,"ア

故 にR12=RR2=36,R1=6.

△A1B1C それ ぞ れ 対 応 Ans. 

6

イデ ア"は 解 く側 よ りも 問題 を考 えた 側 に

あ る とい え そ うだ.問 題 自身が とて も面 白い.と

こ ろで,こ

れ が 記 述 式 で,し

か も き ちん と し た証 明 を要 求 す る 問 題 な らば,「直 角 三 角 形 に 上 の 図 の よ う な意 味 で 内 接 す る正 方 形が 一 意 に存 在 す る」 とい うこ とを 証 明 す る こ とが 焦 点 と な る の か も しれ な い.し か し,「… … を 求 め よ」 と答 え を要 求 す る 形 式 で 出 題 し て い る 以 上,そ

もそ も問 題 文 が 「一 意 に 存 在 す る こ と」 を前 提 と して い る と も

い え そ うだ.と

もか く,答 えだ け 書 け ば よい の で,証

につ い て は,フ

ラ ク タル 図 形 の よ うに 相 似 な 図形 が 縮 小 して い くあ りさ まを 観

明 は 必 要 な く,こ の 問 題

賞 す れ ば よい だ ろ う.

 1.2.2 

ア イデ ア と予 備 知 識

 上 で み た 問題 は,ど

ち ら も普 通 の 高 校 生が 持 って い る予 備 知 識 以 上 の もの は

必 要 と しな い.数 学 オ リ ン ピ ッ クの 問 題 が この よ うな 問 題 だ け な らば,こ は い らな い.し か し,実 際 に は,高

の本

校 で 学 ぶ 他 に もあ る 程 度 の 予 備 知 識 は 必 要

で あ り,ま た 「数 学 オ リン ピ ッ ク に 向 け た 勉 強 」 も あ る 程 度 は 必 要 な の だ.数 学 オ リ ン ピ ッ クは 高 校 生(以 下)を 対 象 と した 数 学 コ ン テ ス トで あ る は ず な の に,こ の よ うに 特 別 の 勉 強が 必 要 に な る 理 由は,お な らば,次

お ざ っぱ に 単 純 化 して い う

の よ うに な る.

  (１)高 校 で 教 え る テ ー マ の うち の い くつ か は,そ

の扱 わ れ 方 が あ ま りに も表

面 的 で あ り,高 校 で の勉 強 に頼 っ た の で は 使 い こ な す こ とが で きな い.   (２)国 際 数 学 オ リン ピ ッ クは 数 十 年 の 歴 史が あ る の で,"過

去 問 の積 み 重 ね"

と して 自然 に"理 論"が で きて し ま っ て い る.   (３)数 学 に おけ る"理 論"は,過

去 の 数 学 者 が さ まざ まな 問 題 を 解 決 す る際

に 生 み 出 した ア イデ ア の 蓄 積 を結 晶 して 誕 生 し た もの,と

もい え る.し

たが っ て,喩 え て い うな らば 「ア イデ ア とい う肥 や しか ら育 っ た野 菜 を 摂 取 す るこ とに よ り,元 々の 肥 や し も身 に つ け る こ とが で き る 」 とい う こ とだ(い や な 喩 え だ な あ).   そ して,こ

れ らの 理 由 に よ り,こ の 本 が 必 要 とな るの だ.

 1.3 

こ の 本 の 構 成[２]

  以 上 をふ ま え て,こ の 本 の構 成 を紹 介 し よ う.   まず,上 の 理 由(１)で 述 べ た 高 校 の 教 科 書 が 頼 りに な ら な い テ ー マ は,「 集 合 」,「論 理 」 と い っ た あ た りだ.ま

た,「関数 」 の扱 い も(集 合 を ま と も に扱 わ

な い 以 上 や む を得 な い の だ が),や

や 古 典 的 で,「写像 」 と し て 理 解 し て 使 い こ

な す まで に は 至 って い な い.こ れ ら の テ ー マ を カバ ー す る た め,第

２章 「集 合

と 写像 」 を 用 意 した.こ こ は"高 校 数 学"か ら"現 代 数 学"へ の 橋 渡 し と し て も 重 要 な とこ ろ な の で,か

な りの ペ ー ジ を使 っ て 丁 寧 に 説 明 した.「論 理 」 に つ い

て も,本 当 は き ちん と扱 い た い と こ ろ な の だ が,ペ

ー ジ 数 の 関 係 もあ って 「中

途 半 端 に 述 べ て 混 乱 を招 くよ りは ま し」 と,触 れ な い こ と に し た.   第 ３章 か らの 各 章 の 存 在 理 由は,(２),(３)で

あ る.幸 い な こ と に,国 際 数 学

オ リン ピ ッ ク と違 って 日本 数 学 オ リン ピ ッ ク予 選 の 問題 で は,そ れ ほ ど 進 ん だ

"理 論"は で き あが って し ま って い な い(国 際 数 学 オ リン ピ

ッ クで は 過 去 問の 蓄

積 か ら 「オ イラ ー の 定 理 」 な ど と い う もの まで"期 待 され る予 備 知 識"に な っ て し ま って い る).第

３章 以 下 の 各 章 で は,数 学 オ リ ン ピ ッ ク に 向 け て知 って い

た方 が よい 予 備 知 識 を精 選 して,簡 潔 に 説 明 して あ る.そ こ で 紹 介 す る"定 理" は,い わ ば"野 菜"で あ る.そ れ を摂 取 す る こ と に よ り,ア

イデ ア を 生 み 出 す "数 学 的 セ ン ス の よ さ"が 伸 び る こ と も期 待 され て い るわ け だ .   最 初 の 節 に 掲 載 し た 問 題 は,そ れ ぞ れ 関 連 した 章 に 配 置 され て い る.問 題 に よ って は,そ

れ ぞ れ の 章 へ の 関 連 付 け とい う点 に 関 し て ,や や 無 理 が 感 じ られ

る もの も あ る と思 う.言 い訳 を して お こ う ： ど の 問 題 も,数

学 オ リ ン ピ ッ ク の 問 題 だ け の こ と は あ っ て ,そ

の 工 夫 を 要 す る.し

た が っ て,ど

の 問 題 に と っ て も ,本

い 章 は 「ア イデ ア 」 と い う 名 の つ い た 第 １章 で あ る .

れ な り

当 に ふ さわ し

２ 集 合 と 写 像

  集 合 は 高 校 で 勉 強 す る こ と に な って い る.ま た,写 像 とい う もの も,要 す る に 関 数 の こ とで あ り,こ れ も 中 学 ・高 校 で 勉 強 す る.し か し,数 学 オ リン ピ ッ クで の― とい う よ りは"数 学 で の"と い っ た 方が 適 切 か も しれ な いが― そ れ ら の概 念 の 重 要 性 は 高校 数 学 に お け る よ り も遙か に 大 き く,ま た,扱 も高校 で 教 え る も の とは 多 少 異 な って い る.も 校 の教 科 書 で の 集 合(と くな い.乏

論 理)の

扱 い は,な

い 方 の感 性

う少 しは っ き りい うな らば,高

ん と も 中途 半 端 で あ り,あ ま り よ

しい授 業 時 間 で の,し か も大 学 受 験 を控 え て の授 業 の 事 情 を考 え れ

ば,高 校 の 教 科 書 が こ うな る の もや む を得 な い のか もしれ な いが,少

な くと も,

自分 で 読 ん で 勉 強 す る 本 と し て ふ さわ し くな い こ とは 確 か で あ る.   そ こで,集

合 に つ い て は,教 科 書 の 内 容 に は 一切 頼 らず,最 初 か ら丁 寧 に 説

明 す る こ とに し よ う.ま た,関

数 につ い て も説 明 を補 充 す る.関 数 の 概 念 は 数

学 の 歴 史 の 中 で か な り変 化 を 遂 げ て きた もの で あ る だ け に,い

ろいろな見方が

混 じ って使 われ て い る.そ の た め,関 数 につ い て は 「わ か って い るの だ け ど,な に か 釈 然 と しな い もの が 残 る 」 と い う とこ ろで は な い だ ろ うか.よ

い機会 なの

で,簡 単 に そ の あ た りの"混 乱"を 調 べ て み る こ とに し よ う.

  2.1 

2.1.1 

集

合

と

集

合

は

ａ. 集 合 の 例 集 合 と は"も こ れ で,"説

の の 集 ま り"の 明"は

こ と で あ る.

終 わ り な の だ が,そ

う い わ れ て も な ん の こ と だ か よ くわ か

ら な い.集 て,明

合 と い う も の を 理 解 す る た め に は,と

に か く集 合 の 例 を い くつ も み

確 な イ メ ー ジ を 形 づ く っ て ゆ く の が よ い.

例１.20以

下 の 素 数 の 集 合.こ

の集合 は

{2,3,5,7,11,13,17,19} と表 さ れ る.２,３,５,７,11,13,17,19の "∈"を

用 いて

,た

そ れ ぞ れ を こ の 集 合 の 要 素 と よ び,記

号

とえば

5∈{2,3,5,7,11,13,17,19}

の よ う に 表 す.ま

た,

{2,3,5,7,11,13,17,19}∋5

と 書 い て も よ い.

  こ れ は 数 学 で の"ま

っ と う な"集

合 の 例 で あ る ． 次 は"日

常 的 な"集

合の例に

い こ う.

例 ２.サ ラ ダ,パ

ス タ,デ

A=｛

ザ ー ト,コ

サ ラ ダ,パ

ー ヒ ー の 集 合.こ

ス タ,デ

ザ ー ト,コ

れ を 文 字Ａ

ー ヒー

で表す と

｝

と な る.   集 合 は 英 語 で は 「set」(セ も 「集 まれ ！」 と か

ッ ト)で

「"集 合"時

ス が あ っ て よ く な い.カ

タ カ ナ 語 の 「セ ッ ト」 と い う言 葉 が,数

の 語 感 に フ ィッ ト し て い る よ うだ.上 トＡ 」 と な り,語

あ る.「 集 合 」 と い う 言 葉 に は,ど

順 を変 え れば

う して

間 」 と い っ た 「実 際 に 集 ま る 」 と い う ニ ュ ア ン 学 で の 「集 合 」

の 例 の 「集 合 Ａ」 は カ タ カ ナ 語 で は 「セ ッ

「Ａ セ ッ ト 」 と な る.要

す る に,レ

ス トラ ン と

か 喫 茶 店 の メ ニ ュ ー に あ る 「Ａ セ ッ ト 」 と 同 じ こ と で あ る.

  ｂ.集 合が"等

しい"と い うこ と

  集 合 に つ い て 重 要 な こ とは 「な にが そ の 要 素 で あ って,な にが そ の要 素 で ない か 明確 に 決 ま る」 とい う こ とで あ る.２ つ の 集 合 Ａ,Ｂ が 等 し い とい う こ とは,

 Ａ の 要 素 は い つ で も Ｂ の 要 素 で あ り,ま た,Ｂ

の要素はいつ で も Ａ

の要素であ るこ と

と 定 め る こ と に な る.集

合Ａ

と Ｂ が 等 し い こ と を,A=Bで

  と り た て て 言 う こ と も な さ そ う な 定 義 だ が,い

(１)も ち ろ ん,{2,3}={3,2}で

くつ か 注 意 を し て お こ う.

あ る.

(２)さ ら に,{2,3,3,2,2}の と に す る.こ

表 す.

よ う に 要 素 を 重 複 し て 表 記 す る こ と も許 容 す る こ

の 集 合 の 要 素 は ２ と ３ だ け だ か ら,{2,3,3,3,2}=｛2,3}

と な る. (３){2,3,3,2,2}は

「３個 の ２ と ２ 個 の ３ の 集 合 」 で は な く,あ

{2,3,3,2,2}={2,3}だ

と い う こ と で あ る.

  本 当 は,「 ３個 の ２」 と い う表 現 自 体,世 無 意 味 な の だ,世

く ま で も,

界 に ２ は １ つ し か 存 在 し な い の で,

界 に ２ は １つ し か 存 在 し な い と い う こ と は,見

落 と しが ち だ

が 大 切 な 事 実 で あ る.「 ２ 個 の りん ご 」 や 「２ 個 の ボ ー ル 」 な ら い く ら で も 存 在 す る が,そ

れ ら を 抽 象 化 し た"２"は

合{2,3}も

１つ し か 存 在 せ ず,"等

と こ ろ が,こ

れ が{コ

な る と 「サ ラ ダ,パ

ー ヒ ー,サ

ス タ,デ

い う こ と の 意 味 が 紛 れ な く定 ま る.

ラ ダ,パ

ス タ,デ

ザ ー ト,コ

ー ヒ ー}と

も

常 的 な 例 だ と,こ

の他 に もい く らで も危 な っか

に か と 混 乱 の 元 と な る.

  こ れ か ら 登 場 す る 集 合 は,い 数 学 の 世 界 で の"も

し い"と

た が っ て,集

ザ ー ト と コ ー ヒ ー ２杯 の 集 合 」 と 考 え た く な っ て,

ど う も 例 と し て う ま くな い.日 し い 点 が 出 て き て,な

１つ し か 存 在 し な い の だ.し

の"を

ず れ も 集 合{2,3,5,7,11,13,17,19}の

対 象 と し た,き

的 は 数 学 の 世 界 で 集 合 を 使 う こ と な の だ か ら,親 で い ら ぬ 混 乱 を 持 ち 込 む よ り も,数

よ うに

っ ち り と し た も の ば か り で あ る.目 し み の も て そ う な 日常 的 な 例

学 ら し い 集 合 を 例 に し て 考 え る 方 が よ っぽ

ど よ い.

  2.1.2 

数 学 に お け る集 合

 ａ.N,Z,Q,R,C  そ れ で は,数

学 ら し い ま と も な 集 合 の 例 に 移 ろ う.ま ず,こ

れ か ら よ く使 う集

合 と して 自然 数 の 集 合 Ｎ

正 整 数 １,２,３,４,… の 集 合

  {1,2,3,4,…} 整数の集 合 Ｚ

整 数…,-3,-2,-1,０,１,２,３,…

  {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,… 有理数の 集合 Ｑ

の 集合

 }

い わ ゆ る"分

数"の

集 合 の こ と.た

だ し整 数 も分 母 が

  １ の 分 数 と し て 表 され る の で 有 理 数 で あ る. 実数の集 合 Ｒ   (本 当 は,こ

"小 数 で 表 さ れ る 数"の

集 合 とで も い え ば わ か る と思 う

れ で は 定 義 に な っ て い な い の だ が).

複素 数の集合 Ｃ

高 校 で 勉 強 す る,複

素 数 す べ て か ら な る 集 合.

  これ らは い ず れ も,要 素 の 個 数 は有 限個 で は な い.要 素 の 個 数が 有 限 の 集 合 を 有 限 集 合,要 素 が 無 限個 あ る集 合 を 無 限 集 合 と い うが,上

の集合はいずれ も

無 限 集 合 で あ る.   そ れ で は,こ に 対 し て,Ａ

こで も う １つ 記 号"⊂"を

導 入 し て お こ う.２ つ の 集合 Ａ と Ｂ

の 要 素が い ず れ も集 合 Ｂ の 要 素 で あ る と き,集 合Ａ

は集合 Ｂ

の 部 分 集 合 で あ る とい い, A⊂B 

また は   B⊃A

と 表 す.   こ の 記 号 を用 い る と N⊂Z,Z⊂Q,Q⊂R,R⊂C と な る.こ

れ ら を ま とめ て

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C と 書 い て も よ い.   ｂ． ペ ア,ト   集 合{5,7}は

リ プ ル,順

序n-対

集 合{7,5}と

無 関 係 に 定 ま る.そ

等 し い.つ

れ に 対 し て,順

ま り集 合 は 要 素 を 列 挙 す る順 序 とは

序 ま で 考 え て の"５

と ７ の 対(ペ

ア)"を

表現 する ときには

(5,7) と書 き,こ れ を 第 １成 分 が ５で 第 ２成 分 が ７の順 序 対 と い う.   集 合Ａ

と集 合 Ｂ に対 して,第

１成 分 が 集 合 Ａ の 要 素 で 第 ２成 分 が 集 合 Ｂ

の 要 素 で あ る順 序 対 す べ てか らな る集 合 を,Ａ

と Ｂ の 直 積 集 合 とい いA×B

で 表 す. 例 ３.集 合 Ａ,Ｂ が A={1,2},  と 与 え ら れ て い る と す る.こ

B={3,4,5}

の とき

A×B={(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)}

で あ る.ま

た

B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2)}

と な る.さ

ら に,直

積 集 合A×AやB×Bを

考 え る こ と もで き

A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}  B×

B={(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(4,4),(4,5),(5,3),(5,4),(5,5)}

と な る.

 上 の 例 で,た

と えば(5,5)は

第 １成 分 が ５ で 第 ２成 分 も ５ の"順 序 対"で

あ っ て,"５ そ の もの"で は な い こ と に注 意 して ほ し い.  積 集 合 を考 え る と きに は,要 素 を"１ 次 元 的 に"列 挙 す る よ り も"２ 次 元 的 に" 整理 し て 考 え た 方 が 見 通 しが よい.た

と え ば 積 集 合A×Bは

と表 され る.   こ の表 を み れば わ か る よ うに,２ つ の 有 限 集 合Ａ

と Ｂ の 直 積 集 合A×Bの

要 素 の個 数 は,集 合 Ａ の 要素 の 個 数 と集 合 Ｂ の 要 素 の 個 数 の 積 で あ る.一 般 に有 限 集 合 Ａ の 要 素 の 個 数 を￨Ａ￨と 書 くこ とに す る.こ の 記 法 を用 い る と

￨A ×B￨=￨A￨×￨B￨ と な る.   順 序 対 は 第 １成 分 と 第 ２成 分 の ２つ の 成 分 か ら な る 対(ペ 第 １,第

２,第

３ 成 分 の ３ つ の 成 分 か ら な る ト リ プ ル を 考 え,ま

合 の 直 積 集 合 を 考 え た の と 同 様 に,３ 第 ３ 成 分 が そ れ ぞ れ Ａ,Ｂ,Ｃ

の 集 合 をＡ,Ｂ,Ｃ

例

を

合Ａ,Ｂ,Ｃ

つ の 集 合Ａ,Ｂ,Ｃ

が,同 た,２

に 対 し て,第

様 に つの集

１,第

２,

の 要 素 で あ る ト リプ ル す べ てか ら な る集 合 を 考 え

る こ とが で き る.こ

４.集

ア)だ

の 直 積 集 合 と い い,A×B×Cで

表 す.

A={1,2},B={3,4,5},C={0,1} と し て 定 め る と き,

A×B×C={(1,3,0),(1,4,0),(1,5,0),(2,3,0),(2,4,0),(2,5,0),

 (1,3,1),(1,4,1),(1,5,1),(2,3,1),(2,4,1),(2,5,1)}

  ３つ の 集 合 の 直積A×B×Cは,第

３成 分 が Ｃ の 要 素０,１ の そ れ ぞ れ の

場 合の表

を 上 下 に 重 ね て考 え る とパ ター ンが わ か りや す い.つ

ま り,３ つ の 集 合 の 直 積

は"３ 次 元"的 に 整 理 して 考 え るの が よ い.あ とで 「格 子 点 」 とい う言 葉 を導 入

す るが,こ

こで の 例 の よ うな 数 値 を要 素 と す る 集 合 の 直 積 は,平 面 や 空 間の 座

標 に 関 連 させ て 考 え る こ と もで き る.   同 様 に して ４つ の 集 合 の 直 積 や ５つ の 集 合 の 直 積 を定 義 す る こ と もで きる し, 一 般 にn -個 の 集 合 の 直 積 を定 義 す る こ と もで きる.し か し,「２個 の 場 合 は ペ ア 」,「 ３個 の 場 合 は トリプ ル 」 と言葉 を使 い 分 け て きた の で ４個 の 場 合,５ 個 の 場 合 は な ん と言 うべ きか わ ず らわ しい.そ

こ で,一 般 的 に ２個 の 場 合 は"2-順

序 対",３ 個 の 場 合 は"3-順 序 対"と い う用 語 を 導 入 し よ う.そ うす る と,た と えば 集 合 Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ の 直 積A×B×C×D×Eは  第 １成 分 が Ａ の 要 素,第 第 ４成 分 が Ｄ の 要 素,第

２成 分が Ｂ の 要素,第

３成 分 がＣ

の 要 素,

５成 分 が Ｅ の 要 素 で あ る5-順 序 対 す べ て

か らな る集 合 と して 定 め られ る.  次 の 定 理 が 成 り立 つ こ とは す ぐ わ か る と思 う. 定 理 １(積 集 合 の 要 素 の 個 数)i=1,2,…,nの

そ れ ぞ れ に対 し てAiが

有限

集 合 で あ る とす る.こ の と き ￨A1×A2×

…

×An￨=￨A1￨×￨A2￨×

…

×￨An￨

  ｃ.集 合 を 要 素 と す る集 合   集 合 とい う もの の 重 要 な特 徴 は,「集 合 は そ れ 自 身,１ つ の"も の"と 考 え ら れ る 」 と い う こ とで あ る.し たが っ て,集 合 を要 素 と す る 集 合 を 考 え る こ と も で きる. 例５.５

つの集合

{0,5},{1,6},{2,7},{3,8},{4,9} を要 素 と す る 集 合 を Ａ とす る と

A ={{0 ,5},{1,6},{2,7},{3,8},{4,9}}  こ の 例 で,た

と え ば 集 合{2,7}は

集 合 Ａ の 要 素 で あ り,ま

た,７

は集合

{2,7}の

要素だか ら 7∈{2,7},{2,7}∈A,つ

で あ る.こ

の 例 は,０

５ の 倍 数,５

ま り 

7∈{2,7}∈A

か ら ９ まで の 整 数 を

で 割 る と １ 余 る 数,…

…,５

で 割 る と ４余 る数

に分 類 した もの とな って い る."集 合 を要 素 と す る 集 合"と い う もの は 説 明 の た め に 作 為 的 に 考 え た もの で は な く,こ れ か ら い ろ い ろ な場 面 で使 わ れ る.

  2.1.3 

集 合 の 表 し方

  こ こ まで,い

ろ い ろ な 集 合 に 関 わ っ て き たが,そ

れ らの 集 合 を 規 定 す る際 に

大 まか に い うと ２通 りの や り方 を して きた.１ つ は,「集 合{2,3,5,7}」

のよう

に 要 素 を 列挙 して 集 合 を 定 め る や り方 で あ り,も う １つ は 「集 合 Ａ の 要 素 を 第 １成 分,集 合 Ｂ の 要 素 を第 ２成 分 とす るペ ア す べ て か らな る集 合 」 とい う ふ うに 文 章 で 定 め るや り方 で あ る.こ

こで は 集 合 の 記 述 の 仕 方 に つ い て,も

う

少 し 立 ち入 っ て調 べ て み よ う.   ａ.外 延 的記 法 と内 包 的 記 法   要 素 を 列 挙 して 集 合 を記 述 す る記 法 を,少

し 堅苦 しい 言 い 方 だ が 外 延 的 記 法

と い う.   外 延 的 記 法 で 与 え られ た 集 合{2,3,5,7}は,ま 集 合"と 定 め る こ と もで きる.こ

た,た

とえば"１ 桁 の 素 数 の

の"文 章 で 集 合 を 定 め るや り方"を も う少 し

フ ォー マ ル な 言 葉 で 規 定 して み よ う.   まず,「１桁 の 素 数 の 集合 」 を 自然 数 を １つ 持 っ て きて,そ れ が １桁 の 素 数 で あ る か を検 証 す る テ ス トを 行 い,そ の テ ス トにパ ス す れ ば 集 合 の 要 素 と して 登 録 しパ ス し な け れ ば 登 録 し ない,と

い う操 作 をす べ て の 自然 数 に つ い て 行 い,そ

の

結 果 と して 構 成 され た 集 合 と考 え る こ とに す る.自 然 数 は 無 限 に あ る の で テ ス ト も無 限 回 行 わ な け れ ば な らず,現 実 に で き る の か とい うこ とを 疑 問 とす る こ と も可 能 な の だ が,数

学で

は 「人 間が 実 際 に 無 限 回の テ ス トを 行 って 集 合 を 構 成 す る こ とが で きな い と し て も,そ の よ うな 集 合 は 定 ま り,存 在 す る 」 と考 え る.さ て,上 の 文 章 を 少 し 書 き換 え て 自然 数 を １つ 持 っ て きて(以 下 それ を 仮 にｎ で 表 す),ｎ

が １桁 の 素

数 で あ るか を検 証 す るテ ス トを行 い,そ の テ ス トにパ ス す れ ばｎ を集 合 の 要 素 と して 登 録 しパ ス し なけ れ ば 登 録 し な い,と い う操 作 を す べ て の 自然 数ｎ に つ い て 行 い,そ の 結 果 と して 構 成 され た 集 合 と して お く.こ うす る と,集 合 は   (１)ど の 範 囲 か ら候 補 を選 ぶ か を決 め て お き   (２)候 補 に対 して ど の よ うな 検 証 をす るか を指 定 し   (３)そ の 検 証 にパ スす る候 補 だ け を集 め た 集 合 を考 え る とい うや り方 で 記 述 す る こ とが で きる.こ の よ うに して 決 め られ る集 合 を,た と えば こ の 例 で は {n∈N｜nは と書 き表 す.こ

１桁 の 素 数}

の よ うな記 述 の 仕 方 を集 合 の 内 包 的 記 法 とい う.

コ メン ト 「ど の 範 囲 か ら候 補 を選 ぶ か 」と い うこ とに つ い て だ が,「範 囲 を 限 定せ ず に すべ て検 証 す る 」と考 え る な らば 指 定 しな くて も よ さそ うで あ る.ま た,形 式 的 に論 理 を 展 開 す る場 合 に も範 囲 の 指 定 は しな い.し か し,最 初 は と りあ え ず 範 囲 を 指 定 して 検 証 す る と考 え た 方が 理 解 しや す い と 思 う.た だ し,前 後 の 文脈 か ら 範 囲が 明 らか な と きは 範 囲の 指 定 を 省 略 す る.た とえ ば,自 然 数 だ け を考 え て い る こ とが 前 後 の 文 脈 で 明 白な らば,上

の 例 の 集 合 は{n￨nは

と書 か れ る こ と に な る.ま た,{n￨n∈Nか

つ

１桁 の 素 数}

ｎ は １桁 の 素 数}の

よう

な書 き 方 を し て も よ い.

  以 上,一 応 は 集 合 の 内 包 的 記 法 の 説 明 を した が,わ く説 明 し て も ます ます 混 乱 す るだ け な ので,例 科 書 で は あ っ さ り書 か れ て い る と思 うか,本   ｂ.内 包 的 記 法 の 例  簡 単な ケ ー スか ら始 め よ う.

か りづ らい と思 う.く ど

で 補 うこ と に し よ う.高 校 の 教

当 は そ ん な に 簡 単 な こ とで は な い.

例

６.集 合 Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ

をそれぞ れ

A={n∈Z￨2≦n＜10} B={x∈Z￨2≦x＜10} C ={x∈R￨2≦x＜10} D={x∈Z￨x2-5x+6=0} E={x∈R￨x2-5x+6=0} F={x∈Z￨x2-2=0}

と し て 定 め る.こ

の と き,ま

ず

A =B={2,3,4,5,6,7,8,9} で あ る．Ａ とＢ で は使 わ れ て い る 文 字 がｎ,ｘ と異 な っ て い るが,そ

れ は 「自

然 数 を １つ持 って き て(以 下 そ れ を仮 にｎ で 表 す 〉」 とい う と きの"仮 に表 す 名 前"な の だ か らｎ で もｘ で も 同 じ こ とで あ る.   一 方,集 合Ｃ は[2,10)と

い う記 号 で 表 され る 実 数 直 線 の 区 間 で あ る(本

当

に厳 密 に 言 う と"区 間"は 集 合 と い うだ け で な く,さ ら に順 序 関係 や 距 離 な ど の"構 造"が 入 っ て い る の だ が).   集 合 Ｄ と集 合 Ｅ で は,そ れ ぞ れ"x∈Z","x∈R"と て あ るの だが,結

異 な る範 囲 を 指 定 し

果 的 に等 し い 集 合 とな り,D=E={2,3}で

あ る.

  集 合 Ｆ の 要 素 は １つ も存 在 しな い.こ の よ うな"要 素 が １つ も存 在 しな い 集 合"も 集 合 と考 え て 空 集 合 と よ ぶ,空 集 合 を記 号 φ で 表 す.集 合 Ｆ で は "x∈Z"と 範 囲 を指 定 して あ るか ら こそ ,要 素 を持 た な か っ たの で あ り,仮 に 範 囲が 指 定 され て い な い な らば,F={√2,-√2}と

考 え る のが 自然 で あ ろ う.

  2.1.4  集 合 の 演 算 ・関 係 式   ａ.和 集 合,共

通 部 分,補 集 合

  ２つ の 集 合Ａ,Ｂ 定 義 す る.

に 対 して,和

集 合A∪Bと

共 通 部 分A∩Bを

次 の よ うに

定 義 １.Ａ,Ｂ

を 集 合 と す る と き,

A∪B={x￨x∈A 

も し くは  x∈B}

A∩B={x￨x∈A 

か つ  x∈B}

と定 め,A∪BをＡ,Ｂ

の 和 集 合,A∩BをＡ,Ｂ

の 共 通 部 分 とい う．

和 集 合 の こ と を合 併 集 合 と よぶ こ と も あ る．   こ こで は２ つ の 集 合 の和 集 合,共 集 合,…

通 部 分 を 定 義 し たが,３ つ の 集 合,４ つ の

… に つ い て も 同様 に定 義 で き る.た

と えば３ つ の 集 合,Ａ,Ｂ,Ｃ

の

共通 部分は A∩ B∩C={x￨x∈A 

か つ  x∈B 

か つ x∈C}

と な る.   次 に補 集 合 を定 義 す る.補 集 合 は 「ど の 集 合 の なか で 考 え るか 」 を指 定 して 初 め て 定 ま る もの で あ り,そ の"ど の 集 合 の 中で"と い う集 合 を全 体 集 合 とい う.し か し,こ うい った こ とは 言 葉 の気 分 を い っ て い るだ け の こ とで あ って,数 学 的 に は あ ま り意 味 が な い.こ

こで は,ド

ラ イ な 定 義 をす る こ とに し よ う.

定 義 ２.Ａは 集 合 Ｕ の 部 分 集 合 で あ る とす る.こ の と き集 合

{x∈U￨x〓A} をＡ のＵ

を 全 体 集 合 とす る補 集 合 とい い,Acで

表 す.

 コ メ ン ト  本 当 に厳 密 に い うな らば,Acと

い う記 号 は あ ま り よ くな い.２ つ の 集 合Ａ,Ｕ

に よ り決 ま る もの を 表 し て い る の に,記

号 の 中 に は１ つ の 集 合Ａ

しか現れ

な い か らで あ る.な ぜ この よ う な ル ー ズ な 表 現 が 許 され るか とい う と,そ れ は 全 体 集 合Ｕ

が た い て い の 場 合 文 脈 か ら 明 らか で あ り,し か もそ の 前 後 で

固 定 され て い る か ら で あ る.

例

７.偶

数 の 集 合{…,-4,-2,0,2,4,…}の

{…,-3,-1,1,3,…}で

あ る.

補 集 合 は 奇 数 の 集 合

  こ の 例 の 場 合,暗

黙 の う ち に 全 体 集 合 は 整 数 の 集 合 Ｚ と 考 え て い る.し

「偶 数 の 集 合{…,-4,-2,0,2,4,…}の

補 集 合 は …,-4,-2,0,2,4,…

か し, 以 外

の 実 数 の 集 合 で あ る 」 と 主 張 し て も,そ

れ は 数 学 と し て 誤 りで あ る と い う わ け

で は な い(数

反 す る解 釈 だ と い う こ と は で き るか も

学 の 世 界 の"信

しれ な い が)．

も し も,"良

頼 関 係"に

好 な 信 頼 関 係"が

築 か れ て い な い な ら ば,省

る こ と な し に 「偶 数 の 集 合{…,-4,-2,0,2,4,…}の 補 集 合 は 奇 数 の 集 合{…,-3,-1,1,3,…}で

略 をす

Ｚ を全 体 集 合 と して の あ る 」 と い うべ き で あ ろ う.

 ｂ.部 分 集 合 と ０,１ の 列  あ る集 合 の 部 分 集 合 すべ て の 集 合 を考 え る こ とが あ る. 例

８.３ つ の 文 字 ａ,ｂ,ｃの 集 合{a,b,c}の

部分 集 合 は

φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}

の ８つ で あ る.   これ らの 部 分 集 合 を 整 理 して 考 え るた め に は,下 の 表 の よ うに,部 分 集 合 の そ れ ぞ れ に ０,１か らな る長 さ ３の 列 を対 応 させ る と よい.

  つ ま り,最 初 の 数 字 は 「ａが そ の 部 分 集 合 の 要 素 な らば １,そ うで な け れ ば ０」 で あ り,２ 番 目 の 数 字,３ 番 目 の 数 字 は それ ぞ れ ｂ,ｃ に つ い て 同 様 に 考 え た もの で あ る.こ れ は,部 分 集 合 を 整 理 して 考 え る た め の な か な か う ま い テ ク ニ ックで あ る.

  2.2 

  集合 と並 ん で,関 し,"関

関

数,写

像

数,写 像 は現 代 数 学 を組 み立 て る 基 本 的概 念 で あ る.し か

数"と い う言 葉 は な じ み 深 い に して も,"写 像"と な る とあ ま り聞 い た

こ とが な い と思 う.ま ず は,言 葉 の説 明 か ら始 め よ う.

  2.2.1 

関 数 と 写 像

  フ ォー マ ル な 結 論 か ら言 う と,"関 数"と"写

像"の 違 い は な く,同 じで あ る.

し か し,"関 数"の 方 が 歴 史 の古 い 言 葉 で あ り,数 学 の 分 野 それ ぞ れ の 固 有 の 歴 史 を引 きず り,し た が って 使 わ れ 方 に多 少 の揺 らぎ が あ る.そ れ に 対 して,"写 像"は 現 代 数 学 の,い わ ば 人 造 語 で あ り意 味 は 確 定 して い る.   こ こで は,ま ず,写 像 と それ に 関 連 し た 用 語 の 定 義 か ら始 め て,そ "関 数"に つ い て検 討 す る こ と に し よ う.

の後 で

 ａ.写 像  写 像 は,「集 合Ａ か ら集 合 Ｂ へ の 写 像ｆ 」 と い っ た 形 で 定 義 され る. 定 義３.Ａ,Ｂ

を集 合 とす る.た だ し,Ａ,Ｂは

空 集 合 で は ない とす る.こ の と

き,集 合Ａ の 各 要 素ａ に集 合 Ｂ の 要素ｂ を(ａ に応 じ て)１ つ だ け 対 応 させ る 規 則 が 定 め られ て い る と き,そ れ をＡ か ら Ｂ へ の 写 像 とい う.こ の 写 像 を ｆで 表 す な らば,そ れ がＡ

か ら Ｂ へ の 写 像 で あ る とい うこ とは

f:A→B と書 か れ る.ま た,ｆ

に よ っ てａ に 対 応 す る Ｂ の 要 素がf(a)で

あ るこ とを

表 す た め に は, f:a→f(a) と 書 く.

  つ ま り,写 像 は 関 数 の よ うな も ので あ る.し か し,中 学 ・高 校 で 習 った"関 数"と 違 っ て,写 像 を与 え る た め に は,ま ず,「ど こ か らど こへ の写 像 か 」 とい うこ と を確 定 し な け れ ば な らな い.関 定 義 され て い るの か,あ

数y=x2な

らば,こ れ が 実 数 に 対 し て

る い は 正 の実 数 に 対 して 定 義 され て い る の か,あ

は整 数 に対 して定 義 され て い る の か,と い う問 題 は 「関 数y=x2」

るい

を与 え られ

てか ら 考 え れ ば よ い 問題 で あ る.そ れ に対 し て 写像 の 場 合,最 初 に 指 定 し な け れ ば な らな い もの は"ど こ か ら"を 意 味 す る"定 義 域"Ａ と"ど こへ の"を 意 味 す る Ｂ の２ つ の 集 合 で あ る.   ま た,こ れ に つ い て は後 で 検討 す るが,関

数 の イ メー ジ と し て 「式 で 与 え ら

れ て い る 」 とい うニ ュ ア ン スが あ る と思 う.し か し,上 の 定 義 で 「対 応 させ る 規 則 」 とい っ て い る もの は,式 で 与 え られ て い る必 要 が な いば か りで な く,"規 則 性 が あ る"必 要 もな い. 例 ９.集 合A={0,1,4,7}か

ら ギ リ シ ャ 文 字 α,β,γ の 集 合B={α,β,γ}へ

の写像

f:A→B を f(0)=β,f(1)=α,f(4)=α,f(7)=α と し て 定 め る.

  集 合 Ａ の 要 素 に 対 し て 集 合 Ｂ の 要素 が １つ 指 定 され て い る の で,こ れ は 確 か に 写 像 で あ る.し か し,こ の"対 応 を与 え る規 則"に は 特 に 規 則 性 は な い と 思 う(例 を作 る と き に は 出任 せ で 対 応 を作 った つ も りだ.後 か ら考 え れ ば,な にか 規 則 をこ じつ け られ な いで もな い が). 例10.実

数 の 集 合 Ｒ か ら Ｒ へ の 写 像ｆ f:R→R

を,x∈Rに

対 して

f(x)=x2 と定 め る.   こ の 場 合,"ど

こか ら"の 集 合Ａ

に相 当す るの は実 数 の 集 合 Ｒ で,ま た"ど

こへ"の 集 合 Ｂ に 相 当す るの も実 数 の 集 合Ｒ で あ る.こ 規 則"は 式 で 書 か れ た 規 則x→x2で 例11.実

あ り,規 則 正 しい.

数 の 集 合 Ｒ か ら 負 で な い 実 数 の 集 合R+={x∈R￨x≧0}へ

写像 ｇ

g:R→R+ を,x∈Rに

こで は"対 応 させ る

対 して

の

g(x)=x2 と定 め る.   記 号R+は

こ こ だ け の 記 号 で あ る(R+は"正

の"実 数 の 集 合 を意 味 し て使

わ れ る こ と もあ る).そ れ は と もか く,大 切 な 点 は,「こ の 例 の 写 像 ｇ と前 の 例 の 写 像 ｆ は 対 応 させ る規 則 は 同 じで あ って も異 な る写 像 で あ る 」 とい う こ とで あ る.「写 像 」 は対 応 させ る規 則 だ け で な く 「ど こか らど こへ の 写 像 か 」 も定 義 の 中 に組 み 込 まれ て い るか らで あ る.   ｂ.全 射,単

射,全 単 射

  写 像 に 関 し て,全 射,単 射,お

よび 全 単 射 とい う言 葉 を押 さえ て お くべ きで

あ る. 定 義 ４.ｆ は 集 合 Ａ か ら 集 合 Ｂ へ の 写 像 で あ る と す る.こ   ●集 合 Ａ の ど の よ う な ２ つ の 要 素a1,a2(た し て もf(a1)=f(a2)と

だ し,a1≠a2と

な ら な い と き,ｆ

つ 単 射 で あ る と き,ｆ

例12.f1:R→Rをx∈Rに

な る Ａ の 要 素ａ が 存 在 す る

は 全 単 射 で あ る と い う.

対 し てx2を

の と き,-2,2∈Rに

は な い.ま

対

は 全 射 で あ る と い う.

  ●ｆ が 全 射 で,か

る.こ

す る)に

は 単 射 で あ る と い う.

  ●集 合 Ｂ の ど の 要 素 ｂに 対 し て もf(a)=bと と き,ｆ

の と き

対 応 させ る 写 像 と し て 定 め

対 し てf1(-2)=f1(2)と

た,f1(x)=-1と

な るx∈Rは

な る の で,f1は

存 在 し な い の で,f1は

単射 で 全 射で は

な い.

 次 の ２つ の 例 に お い て,R+は

負 で な い実 数 の 集 合 とす る.

例13.f2:R→R+をx∈Rに こ の と き,上

対 し てx2を

と 同 じ 理 由 に よ りf2は

ば 必 ずx2=yを

満 た す 実 数ｘ

の と き,f3は

f:A→Bが

単 射 で は な い が,ｙ

が 存 在 す る の で,f2は

例14.f3:R+→R+をx∈R+に る.こ

対 応 さ せ る 写 像 と し て 定 め る.

対 し てx2を 全 単 射 で あ る.

全 単 射 で あ る と き,

が負 でない実 数 な ら

全 射 で あ る. 対 応 させ る 写 像 と して 定 め

は

  (１)(ｆ が 全 射 で あ る こ とか ら)Ｂ

の 各 要 素 ｂに 対 し てf(a)=bを

満たす

Ａ の 要 素ａ が 存 在 し,   (２)(ｆ が 単 射 で あ る こ とか ら)こ の よ うなａ は １つ しか 存 在 しな い. そ こ で,Ｂ

の 各 要 素 ｂに 対 し て,f(a)=bを

め,そ れ を ｆ の 逆 写 像 と よび,f-1で 例15.文

満 たすａ を 対 応 させ る写 像 を 定

表 す.

字 を 要 素 と す る ２つ の 集 合 Ａ,Ｂ をA={a,b,c,d},B={α,β,γ,δ}

と し て 与 え,Ａ

か ら Ｂ へ の写像 ｆ を

f(a)=α,f(b)=β,f(c)=γ,f(d)=δ

と定 め る と,ｆ は 全 単 射 で あ り,ｆ の 逆 写 像 f-1:B→A

f-1(α)=a,f-1(β)=b,f-1(γ)=c,f-1(δ)=d

 Ａ か ら Ｂ へ の 全 単 射 とい う とい か め し い の だ が,上 に,言

の例か らもわか るよ う

って い る こ とは 「グ ル ープ Ａ の メ ンバ ーが グ ル ープ Ｂ の メン バ ー と手

を つ な ぎ,あ ぶ れ た 人 もい な い し,ひ と りで ２人 と手 をつ な い で い る 人 もい な い 」 とい うだ け の こ とで あ る.当 然 の こ とだが,Ａ,Ｂ ら Ｂ へ の 全 単 射 が 存 在 す る な らばＡ

が 有 限 集 合 の 場 合,Ａ

か

と Ｂ の 要 素 の 個 数 は 等 し い.そ れ な ら

ば,無 限 集 合 の 場 合 で も"全 単 射 が 存 在 す る"と い うこ と を も って"要 素 の 個 数 が 等 し い"と い う こ と の 定 義 と し て や ろ うと い う発 想 が 生 まれ る.た だ,無

限

なの に"個 数"と い う言 葉 を使 うの も気 が 引 け る の で,集 合 の"濃 度"と い う用 語 を使 うこ とに な る の だ が.   この"濃 度"と い う概 念 で 無 限 集合 を分 類 す る とい う課 題 は,な か なか 刺 激 的 な 話 題 なの だが,そ

こ まで は 立 ち入 ら な い.大 学 で 数 学 系 の 学 科 に 進 む と,お

そ ら く"可 算 無 限"と"非  ｃ.集 合Ａ

可 算 無 限"の 区 別 に 悩 ま され る こ と に な るだ ろ う.

か ら Ａ 自身 へ の 写像

  「集 合 Ａ か ら集 合 Ｂ へ の 写 像 」 と言 った と きで も,集 合 Ａ と Ｂ は 必 ず し も別 の 集 合 で あ る必 要 は な い.特 にA=Bの

場 合,「集 合 Ａ か らそ れ 自身 へ

 a

の 写 像 ｆ」 とい うこ と に な るが,こ の よ うな"Ａ か らＡ へ の 写像"に は 「写像 を繰 り返 す こ とが で き る 」 とい う特 徴 が あ る.つ ま り,a∈Aに 要 素f(a)も,ま

た Ａ の 要素 な の で,そ

ｆで対応 する

れ にｆ で 対 応 す る要 素f(f(a))を

え る こ とが で き,さ ら に そ れ にｆ で 対 応 す る要 素f(f(f(a)))を で き,…

考

考 え る こ とが

… と,繰 り返 し繰 り返 し ｆ で 対 応 す る要 素 の 列 を考 え て ゆ くこ とが

で きる とい う こ とで あ る.こ の場 合,ま ず,f(f(f(a)))な 括 弧 を数 え る だ け で も煩 わ しい の で,f3(a)と

ど と い う書 き方 で は

い っ た 書 き方 を し,a∈Aか

ら

始 まる 列 a,f (a),f2(a),f3(a),f4(a),…

を 調 べ る こ と に な る.こ あ る 場 合,ａ

れ を ａ のｆ

を ｆ の 不 動 点 と よ ぶ(こ

と な る)． ま た,fk(a)=aを 点 と よ び,こ

に よ る 正 軌 道 と い う.こ

こ で,f(a)=aで

の 場 合,a=f(a)=f2(a)=f3(a)=…

満 た す 正 整 数ｋ

が 存 在 す る と き,ａ

の よ う な ｋ の 中 で 最 小 の も の を 周 期 点aの

は 周 期 １ の 周 期 点 で あ る と い っ て も よ い).ａ

をｆ の 周 期

周 期 と い う(不

動点

が 周 期 ｋ の 周 期 点 で あ る場 合

,f(a),f2(a),f3(a),…,fk-1(a),fk(a)(=a),fk+1(a)(=f(a)),…

は 周 期 ｋ で の 繰 り返 し に な る.た

と え ば,k=5と

す る と,f2003(a)は

f2003(a)=f3(f2000(a))=f3(f5×400(a))=f3(a)

と して 求 め られ る("周 期 性 の 利 用"は 数 学 オ リン ピ ッ クの 問 題 で よ く使 わ れ る テ ー マ で あ る),   こ うい った 発 想 でＡ か らＡ へ の 写 像 の性 質 を調 べ る 問 題 は 奥 の 深 い テ ー マ で,力

学 系 理 論 と よば れ る 数 学 の 分 野 とな って い る(も は や 流 行 語 に 近 い"カ

オ ス"と か"フ ラ ク タル"も こ の 分 野 の 守 備 範 囲 に 入 る).数

学 オ リン ピ ッ クで

も過 去 に何 題 か 力 学 系 的 な 発 想 の 問題 が 出 題 され て い る,特 に 予 備 知 識 と して 勉 強 し て お く必 要 が あ る わ け で は な い の だ が,"軌

道"と か"周 期 点"な ど の 言

葉 だ け 知 って お くだ け で"力 学 系 的 な写 像 の 見 方"を 取 り入 れ る こ とが で きる よ うに な る.   ｄ． 有 限集 合 に お け る 定理   "Ａ か ら Ａ 自身 へ の 写 像"に つ い て,特 て お くべ きで あ る.

にＡ が 有 限集 合 で あ る 場 合 を調 べ

定 理 ２.ｆ を 有 限 集 合Ａ か ら Ａ へ の 写 像 とす る.こ の と き   (１)ｆ が 単 射 な らばｆ は全 射 で もあ る   (２)ｆ が 全 射 な らばｆ は 単 射 で もあ る   (３)し たが って ｆ が 単 射,も

し くは 全 射 な らば,ｆ

全単 射で ある

  証 明 は,"要 素 の 個 数"と い う観 点 か ら考 えれ ば 明 らか で あ る と思 う.た だ し, 現 代 数 学 で の フ ォー マ ル な 扱 い で は,こ の 定 理 は"定 理"で は な く"有 限 集 合 の 定 義"と し て 扱 わ れ る の だ が.し か し,こ こ で は そ の よ うな こ とは,も

っ と先

の 勉 強 に 譲 っ て,無 限 集 合 の場 合 の 例 を調 べ る だ け に し て お こ う. 例16.f1をf1(n)=n+1で

定 め ら れ る Ｎ か ら Ｎ へ の 写 像 と す る と,f1は

単 射 だ が 全 射 で は な い(f1(n)=1を

満 た すn∈Nは

存 在 し な い か ら).

  な ん て こ と の な い 結 果 の よ う だ が,「f(n)=n+1は は,次

の よ う な"お

room

1,room

話"に

す る と,な

2,room

3,…

と 無 限 の 部 屋 数 の ホ テ ル が あ り ま し た.

そ の ホ テ ル が 満 室 で あ っ た あ る 夜,予 お 客 が 来 て し ま い ま し た.フ で す が,す へ ,room n+1へ room

単 射 だが 全 射 で は な い 」

か な か シ ョッ キ ン グ で あ る.

約 係 の 手 違 い で,も

ロ ン トマ ネ ー ジ ャ ー は 困 っ て し ま っ た の

ぐ に う ま い 手 を 思 い つ き ま し た.「room 2の

お 客 はroom

うひ と りの

3へ,以

と 移 っ て も ら お う.そ

1の お 客 はroom

下 同 様 にroom nの

う す れ ば,誰

2

お 客 はroom

も あ ぶ れ る こ と な し に,

1を 空 室 に で き る ！」.そ の 日 の 泊 ま り客 は み ん な い い 人 ば か り

だ っ た の で,ち

ょっ と 文 句 を 言 っ た だ け で,い

くれ ま し た.こ

う し て,満

が で き た の で す.無

う とお りの 移 動 を して

室 の ホ テ ル に新 た な お 客 を 受 け 入 れ る こ と

限 っ て 便 利 で す ね.

 しか し,有 限 集 合 で は,こ ん な 変 な こ とは 起 こ らな い.そ

れ で は,要 素 の個

数 の 話 が 出 て きた つ い で に,次 の 結 果 を紹 介 して お こ う. 集 合Ａ の 要 素 の 個 数 が Ｂ の 要素 の個 数 よ り大 きい な らば,Ａ へ の単 射 は 存 在 しな い . こ れ は,第

５章 で 出 て くる 「鳩 の 巣 原 理 」 の 基 本 形 で あ る.

から Ｂ

  2.2.2 

関 数 と逆 関 数

  そ れ で は,い よ い よ"関 数"の 説 明 に 移 ろ う.写 像 は"新 出 単 語"だ っ たが "関 数"は 中学 以 来 の古 い つ き合 い で あ る． 数 学 史 で の 関 数 の 歴 史 は さ ら に古 く, したが って さ まざ まな 遺 産 を引 きず っ てい る.関 数 とつ きあ って い る と,い ろい ろ 割 り切 れ な い 気 持 ちが 出 て くる の だが,こ た 方が よ い.こ

れ は 歴 史 の な せ る もの と割 り切っ

こで は,ま ず,結 論 と して の 関数 の 定 義 を し て,後

は"関 数概

念 の 歴 史"を 振 り返 る こ とに し よ う.   ａ.関

数

  そ れ で は,関

数 の 定 義 を し よ う.

 関 数 と は写 像 の こ とで あ る. 結 論 は,こ し よ う.し

れ で 終 わ りで あ る.こ か し,こ

こ で"歴

史"と

う し て お い て,結

基 づ く歴 史 と い え る も の で は な い.た

依 存 し,V=f(T)と

うて い ま と も な 史 実 に

だ,「 こ の よ う に 考 え る と"関

わ る 混 乱 が 理 解 し や す い 」 と い うだ け の た め の"お

第 １ス テ ー ジ:「V=f(T)」

論 へ の 歴 史 を た ど る こ とに

称 し て い る も の は,と

話"で

数"に

まつ

あ る.

「体 積Ｖ は 温 度 Ｔ に"…

… の 法 則"に よ り

な って い る 」 とい う関 数 の 使 わ れ 方 で あ る.こ れ は 関 数

概 念 の 基 本 形 で あ ろ う.し か し,後 の 発 展 との 比 較 の た め,こ

の設定で 暗黙の

う ちに 想 定 され て い る,次 の 点 を強 調 し て お きた い ．   (１)変 数 Ｔ とＶ は そ れ ぞ れ 温 度,体 積 と い う固有 の 意 味 を 持 つ.単 位 が 組 み 込 まれ て い な い 限 り,Ｔ とＶ は実 数 に す ぎ な い の だが,"人

間に とっ

て の 意 味"と して は 単 な る 実 数 で は な く,あ く まで も温 度 と体 積 で あ る.   (２)こ の 関 数 は,な ん らか の 実 験 装 置 で 実 現 され て い て,そ 操 作 し て 変 化 させ る と そ れ に つ れ てVが

変 わ る.つ

こ にお い て Ｔ を ま り,Ｔ に 対 して

Ｖが 決 ま る な ん らか の メ カ ニ ズ ム が 想 定 され て い て,そ

こにお いて Ｔ

は"操 作 可 能"で あ る.   (３)"… … の 法 則"と い う以 上,f(T)は 第 ２ ス テ ー ジ:「y=f(x)」

次 は,関

式 で 表 現 され て い る はず で あ る. 数y=f(x)の

テ ー ジ の"関 数"に お い て,関 数 を与 え る式f(T)だ の 意 味 を忘 れ て し ま う と,f(T)は

登 場 で あ る.第

１ス

け に 注 目 して,変 数 Ｔ,Ｖ

単 に"実 数 Ｔ に対 して 実 数Ｖ

を 対 応 させ

る規 則"と な る.そ れ な らば,な Ｔ の 代 わ りにｘ,Ｖ

に も Ｔ とか Ｖ とい う文 字 を 使 う必 要 も な く,

の 代 わ りにｙ を使 って も よ い.こ

の よ うに"ｘ にｙ を 対

応 させ る"と い う文 字 の 使 い方 を,あ た か も方 程 式 の 未 知 数 は 文 字ｘ を使 うの が デ フ ォル トス タン ダ ー ド(暗 黙 の 標 準 規 格)で あ る よ うに"標 準規 格"に して や る と,い ろ い ろ と説 明 を省 略 し て 述べ る こ とが で きて 便 利 で あ る.ま た,変 数 Ｔ,Ｖ

の 意 味 を捨 て て し まっ た の だ か ら,関 数 の 裏 に あ る"メ カニ ズ ム"も

意 味 が な くな る.こ

うして,上

の(１)と(２)に あ た る変 数 の 意 味 と メ カニ ズ ム

を放 棄 す る こ とに よ り,「実 数ｘ に対 して,あ い う ド ラ イな 関 数 概念y=f(x)が   こ の 関 数y=f(x)は

る 式 に よ り実ｙ

が 決 ま る」 と

得 られ る .

写 像 とほ とん ど 同 じ な の だが,重

点 は"対 応 させ る 式"

に あ る(つ ま り,(３)は キ ープ され て い る).し たが って,関 数(こ の場 合 は"式") を 決 め て か ら 「ど こか らど こへ の 関 数 な の か 」 とい う検 討 をす る こ とに な る. 第 ３ ス テ ー ジ:写 像 と して の 関 数

目標 の"写 像 と して の 関 数"へ は,後 は"関

数 が な ん らか の式 で 与 え られ る"と い うこ と を放 棄 して,"ど

こ か らど こへ の"

を最 初 か ら明 確 に 与 え る とい うだ け の こ とで あ る.こ の"式 と して の 関 数"概 念 の 変 遷 を調 べ るの は,特 連 して(本

に"複 素 数 に 対 して 関 数 の と る 値"と い う問 題 に 関

当 の)数 学 史 の 中 で も面 白 い 部 分 で あ る.

  以 上 を ま と め る と,「最 初 の(１),(２),(３)を 抽 象 化 し て(１),(２)を ら に(３)も

伴 っ た 第 １ス テ ー ジ の 関 数 か ら,

捨 て る こ と に よ り 第 ２ ス テ ー ジ の 関 数 概 念 へ と 進 み,さ

捨 て て し ま って 現 代 数 学 の写 像 と し て の 関 数 へ 到達 した 」 とい うス

ト ー リ ー で あ る.数

学 で の 概 念 の 進 化 は,か

な り の 部 分"捨

て る"と

い うこと

に 掛 か っ て い る の だ.

 ｂ.関 数 と関 数 値   さて,第

２ス テ ー ジ で は"ｘ に対 してｙ を対 応 させ る"と い う文 字 の 使 い 方

が デ フ ォル トス タ ン ダ ー ドな の で,関 数y=f(x)と る.写 像 の 説 明 で は い ち い ち 「ｘに 対 し てx2を 現 し て い た の と比 べ て,「関 数y=x2」

い う表 し 方が 支 配 的 に な 対 応 させ る写 像 」 と長 々 と 表

と書 くだ け で 済 む の だ か ら,こ れ は な

か な か 便 利 な 表 現 法 で あ る.し か し,こ の 表 記 の 隠 れ た 欠 点 と して,"y=x2" は 関 数 を表 す と読 め るだ け で な く,「２つ の 実 数ｘ とｙ につ い て 関 係y=x2が

成 り立 って い る 」 と読 む こ と もで きる とい う こ とで あ る.ま た,f(x)も,関 を 表 して い る と も特 定 の 値f(x)を

数

表 し て い る と も解 釈 で き る.

  この 曖 昧 性 は 今 の と こ ろ は 大 した 問題 に な ら ない の だ が,将

来"関 数 列 の収

束"に 関 し て 「各 点 収 束 」 と い う概 念 を 学 ぶ 段 階 に な る と や や 深 刻 に な る.   ｃ.逆

関

数

  高校 の教 科 書 に 出 て くる 関 数 は,第 多 くの 場 合,導

１ス テ ー ジ と第 ２ス テ ー ジ の もの で あ る.

入 の例 とか 最 後 の"応 用"は 第 １ス テ ー ジ の もの で,本

２ス テ ー ジ の 扱 い が ほ とん ど で あ る.た "第 １ス テ ー ジ"的 な捉 え 方 が 現 れ る .   さて,こ

文は第

だ し,積 分 の 変 数 変 換 の 説 明 とな る と

の 第 １ス テ ー ジ と第 ２ス テ ー ジ(念 の た め 確 認 して お くが,こ

んな

用 語 は他 で は通 用 し な い)の 違 いが 顕 著 に現 れ るの は,逆 関 数 をx=f-1(y) と書 くかy=f-1(x)と   まず,逆

書 くか とい うと こ ろ で あ る.

関 数 の 定 義 だが,こ

れ も逆 写 像 と同 じ こ とで あ る.た だ し,全 単 射

で な くて は 逆 写 像 は 存 在 せ ず,全 単 射 か ど うか は 「ど こ か ら ど こへ の 写 像 か 」 に 依 存 す る の で,逆

関 数 を 問 題 にす る と きに は 「ど こか らど こへ の 関 数 か 」が

関 数(写 像 の こ と)が 全 単 射 に な る よ うに 選ば れ て い る も の とす る.そ れ で は, 第 １ス テ ー ジ の発 想 で 逆 関数 を捉 え て み よ う.温 Ｔ の 関 数 と してV=f(T)と

度 Ｔ を操 作 す る と体 積Ｖ が

い う形 で 決 まっ て い る と す る と,そ の 逆 関 数 は,

「体 積 を 操 作 す る と温 度 が 決 まる 」 と捉 え てT=f-1(V)の 可 能"と い う意 味 で は,逆

形 に な る."操

関 数 を 考 え 得 る た め に は 体 積 を 操 作 す る こ とに よ り

温 度 が 変 化 す る よ うな 実 験 装 置 を 想 定 し なけ れ ば な ら ない わ け だ.し の"操 作 可 能"な 変 数 か ど うか とい う問 題 は,た

か し,こ

と えば 経 済 学 な ど で は 大 問 題

な よ うだ が(金 利 と通 貨 供 給 量 の ど ち らが 操 作 可 能 変 数 か?と 問 題 ら しい),純

作

粋 数 学 で は 問 題 に は な ら な い.そ こで,数

か い う タ イプ の

学 の 世 界 で は,第

１

ス テ ー ジ の発 想 の 特 徴 は 「変 数 が 固有 の 意 味 を持 って い る か 」 とい う点 と し て 残 る．仮 にｘ とｙ とい う変 数 名 を用 い る と し て も,そ れ ら に 固 有 の 意 味 を想 定 して い る な らば,逆   次 に,第

関 数 はx=f-1(y)と

な るの だ.

２ス テ ー ジ の 発 想 に 移 ろ う.こ の場 合,変数ｘ,ｙ

な い ． た と えばy=x2と

には固有の意味 は

い う関 数 は 「実 数 に 対 し て そ の 平 方 を対 応 させ る関

数 」 と も表 現 で きる わ け で,変 数 名 がｘ

とかｙ とい うの は 単 な る 習 慣 で 使 っ

て い る だ け の こ とで あ る.し たが っ て,「逆 関 数x=f-1(y)」

の よ うに わ ざ わ

ざ 普 通 と違 う変 数 名ｙ とｘ を使 う理 由 も特 に な い.そ こで,普 通 の 変 数 の用 い 方 を し てy=f-1(x)と

表 す の が 素 直 な 記 号 の 用 い 方 だ と い う こ と に な る.

  た と えば,ｃ を あ る定 数 と して 「体 積 は 温 度 の ｃ倍 に な る 」 な らば 「温 度 は 体積 の1/c倍

に な る」 わ け だ か ら 関 数V=cTの

逆 関 数 はT=V/cと

表すの

が 自然 で あ る.し か し,「実 数 に そ の ｃ倍 を対 応 させ る関 数 」 の 逆 関 数 とな る と 「実 数 に そ の1/cを

対 応 させ る関 数 」 で あ る か ら,両 方 と も"実 数 に"はｘ

表 し て 「関数y=cxの

逆 関 数 はｙ=x/c」

  結 局 の と こ ろ,y=f(x)の

で

と す る の が 自然 で あ ろ う.

逆 関 数 をx=f-1(y)と

す るかy=f-1(x)と

す るか は,変 数 に 意味 をみ て い るか ど うか とい う気 分 の 問題 な の で あ る.   同 じ 問 題 が,逆 関 数 の グ ラ フ を考 え る場 合 に も生 ず る.逆 関 数y=f-1(x) の グ ラ フ とい うな らば,そ の 関 数 の グ ラ フ を新 た に 書 くべ きで あ る(た と えば y =2xの

逆 関 数 の グ ラ フな らy=1/2xの

が 温 度 Ｔ,縦 軸 が 体 積Ｖ

グ ラ フ と い う具合 に) .し か し,横 軸

と し て 関数V=f(T)の

そ の 逆 関 数 の グ ラ フ とい うな らばV=f(T)の

グ ラ フが 書 か れ て い る場 合, グ ラ フそ の もの を 「横 軸 の Ｔ

が 縦 軸 のＶ に 依 存 して 決 ま る関 数 」 と して み る だ け の こ とで あ る.つ ま り,グ ラ フ を 書 き直 す必 要 は ない の だ.   こ う した 任 意 性 は 話 を煩 雑 に し て い るだ け の よ う にみ え る の だが,両

方 の観

点 を う ま く使 い分 け る こ とが で きる と,な か な か 便 利 な もの で あ る.   そ れ で は,逆 関数 に絡 ん だ 問題 を解 い て み よ う.し か し,こ の 問題 はか な りの 難 問 で あ る(た だ し,予 選 の 問 題 と して は,だ が).こ 年)日 本 数 学 オ リン ピ ック(JMO)の

の 問題 は 第10回(2000

予 選 で の 一 番 正 解 率 の 低 い 問 題 で あ った.

実 際,解 答 も"ア イデ ア一 発"と い うわ け に は い か ず,そ

れ な りの 準 備 が 必 要

で あ る.と は い って も,さ す が に 秘 め られ て い る ア イデ ア は見 事 で あ る.ま ず, ペ ー ジ をめ くっ て 問 題 を読 み ,一 人 で 解 答 を 考 え て み て ほ しい.   そ の あ とで,問 題 を 解 くため の準 備 に 移 ろ う.こ の 問 題 の キ ー ワー ドは,ガ ウ ス記 号,格 子 点,逆

関 数 の ３つ で あ る.ガ

説 明 し て い な い ので,最 は,い

ウ ス 記 号 と格 子 点 に つ い て は まだ

初 に 準 備 し て お こ う.た だ し,格 子 点 につ い て の 説 明

くぶ ん の ヒ ン トに な って い る.も

し,ノ ー ヒン トで 解 き た い な らば,格

子 点 に つ い て の 説 明 は 読 まず に チ ャ レ ン ジ す る と よい. ガ ウ ス 記 号   す べ て の 実ｘ こ でｎ

は 整 数 で,ｚ

[ｘ]は"ｘ

の ｎ をｘ

意 に"と

は,こ

の場 合

に 対 し て １つ し か 存 在 し な い 」 と い う こ と を い っ て

を 超 え な い 最 大 の 整 数"で [5]=5, 

表 す.[]を

ガ ウ ス 記 号 と い う.

あ る,

[-4.1]=-5, 

 座 標 平 面 に お い て,x-座

[π]=3

標 とy-座 標 が と も に 整 数 で あ る点 を格 子 点

とい う.定 義 は これ だ け の こ とな の だ が,要 け る こ とで あ る.つ

書 く こ と が で き る.こ

実 数 で あ る."一

の 整 数 部 分 と い い,￨x￨で

例 17.[3.9]=3, 

格子点

意 にx=n+zと

は0≦z＜1の

「こ の よ う な ｎ と ｚ はｘ い る.こ

は,一

点 は ガ ウ ス 記 号 と格 子 点 を関 連 づ

ま り,

関 数 ｆ がf(0)=0,f(x)＞0(0＜x≦100)を

満 た す とす る.こ の

と き,〓

は 関数y=f(x)の

で 囲 まれ る 領 域(た

だ し,x-軸 上 の 点 は領 域 に含 め ず,そ

ラ フ上 の 点 と直 線x=100上

グ ラ フ とx-軸,直線x=100 れ以外 のグ

の点 は 領域 に 含 め る)の 中に あ る格 子 点

の 個 数 に等 しい. と い うこ とで あ る(こ れ は落 ち着 い て 図 を書 い て 調 べ る とわ か る はず)． これ で 準 備 は で きた.そ れ で は,問 題 を解 い て み よ う. ―問 題 ３.―

を 求 め よ.た

[解 答] 

日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選2000[9]

だ し,[ｘ]はｘ

f(x)=x2/100と

を 超 え な い 最 大 の 整 数 の こ と で あ る.

定 め る.こ

の と き,逆

関 数 はx=10√yで

あ る.

は,関

数y=f(x)の

グ ラ フ とx-軸,直

グ ラ フ上 の 点 と直 線x=100上 含 め な い)の

は,関

囲 まれ る領 域(た

の 点 は領 域 に 含 め るが,x-軸

中に あ る格 子 点 の 個 数(Ｋ

数y=f(x)の

グ ラ フ とy-軸,直

グ ラ フ 上 の 点 と直 線y=100上 め な い)の

線x=100で

で 表 す)に

だ し,座

点 と 直 線y=100上

の 点 は 領 域 に 含 め る)の

上の点は領域 に含

線x=100,直

標 軸 上 の 点 は 領 域 に 含 め ず,直

線y=100 線x=100上

の

中 の 格 子 点 の 個 数(=1002)を,

こ の 領 域 内 で グ ラ フ 上 の 点 の 個 数(k=10,20,…,90,100の10個)だ し て 数 え た も の で あ る.し

だ し,

等 し い.

  上 の ２つ の 個 数 Ｋ とＬ の 和 は,x-軸,y-軸,直 で 囲 ま れ る 領 域(た

た,

囲 まれ る 領 域(た

の 点 は 領 域 に 含 め る が,y-軸

中 に あ る 格 子 点 の 個 数(Ｌ

上の点 は領 域に

で 表 す)に 等 しい.ま

線y=100で

だ し,

け重複

た が っ て, K+L=1002+10

であり

 

Ans. 

10010

 コ メン ト  こ の 解 答 の 核 心 は,逆 使 う こ とで あ る.こ

関 数 をx=f-1(y)と こ でy=f-1(x)の

み てy=f(x)と

グ ラ フを書 いて 考 えたの で は格 子

点 を う ま く勘 定 す る こ とが で き な くな っ て し ま う.

  2.3 

 2.3.1 

値 域 と し て の表 示

集 合 の 表 し方 と し て

同 じグ ラフ を

集 合 の ３つ の表 示

 (１)外 延 的 記 法: 

た と え ば,{1,3,5,7,9}

 (２)内 包 的 記 法: 

た と え ば,{n￨nは

が あ る こ と は,す で に述 べ た.と

１以 上10以

下 の 奇 数}

こ ろで,高 校 の 教 科 書 で は ,多

くの 場 合,外

延 的 記 法,内 包 的 記 法(こ の よ うな 言 葉 を表 に 出 す か ど うか は 別 と して)を 紹 介 し た 直 後 に,次 の よ うな タ イプ の 例 が 述 べ られ て い る よ うだ. 例18.平

方 数 の 集 合 は,{n2￨n∈N}と

  な に を 言 お う と し て い る か は,と

表 さ れ る.

て も よ くわ か る の だ が,そ

う な 記 述 の 仕 方 は 外 延 的 な の だ ろ う か,そ け は 内 包 的 記 法 に 似 て み え る の だ が,意 て い る.ど

ち ら か と い う と,ｎ

{12,22,32,…}と

い う こ と で あ り,外

気 に 近 く な る.と

と 動 く と き のn2

か

,つ

ま り,

延 的 記 法 の 発 想 に 近 い か も し れ な い.書 ｝ と す る と,も

はい っ て も,要

の よ

味 を 考 え る とそ の 枠 組 み か ら は外 れ

がn=1,2,3,…

き 方 を 少 し 変 え て,{n2￨n=1,2,3,…

れ で は,こ

れ と も 内 包 的 な の だ ろ う か.見

っ と外 延 的 記 法 の雰 囲

素 を 列 挙 し て い る わ け で は な い の で,外

延 的

記 法 と も い い 難 い.   こ う な る と,「 集 合 に は こ の よ う な 表 し 方 もあ る 」 と い う こ と で,き

ちん と定

義 し た 方 が よ い よ うだ. 定 義 ５.ｆ を 集 合Ａ

か ら Ｂ へ の 写 像 と す る.こ

{b∈B￨f(a)=bを

満 た すa∈Aが

の と き,集

合

存 在 す る}

を

{f(a)￨a∈A} と表 す ． コ メ ン ト[１] 写 像 の フ ォー マ ル な 定 義 に 則 っ て,"ｆ た が,ｆ

は Ａ か ら Ｂ へ の 写 像"と

が 式 で 与 え られ て い る場 合 に は,実

指 定 す る必 要 は な い.「ａがＡ

して お い

へ の"の 部 分 は 特 に

の す べ て の 要 素 を 動 く と き のf(a)の

い う感 じ の 集 合 な の だ .要 す る に,普 の こ と な の だ.

際 に は"Ｂ

全体 」 と

通"写 像 の 値 域"と 言 わ れ て い る 集 合

コ メ ン ト[２] 上 の 定 義 で 「f(a)=bを

満 た すa∈Aが

存 在 す る(よ

い う取 っつ き に くい 表 現 が 出 て き て い るが,こ る な らば 「Ａ の 要 素ａ

を使 っ てf(a)=bの

合)」 と で も な るの だ ろ うか.確 な いが,い

う な ｂの 集 合)」 と

れ は も う少 し 身 近 な 表 現 を す 形 で 表 され る(よ

うな ｂ の 集

か に こ の 方 が 最 初 は わ か りや す い か も しれ

ず れ 「… … が 存 在 す る 」 とい う形 の 構 文 に 慣 れ な け れ ば な ら な

い の だ か ら,ど

うせ な ら 早 く身 に つ け た 方 が よ い.

  以 上,集 合 の 表 し方 と し て,外 延 的記 法,内 包 的 記 法 の 他 に"第 ３の 記 法"が あ る とい うこ とで あ る.し か し,"第

３の 記 法"な ど とい う映 画 の 題 名 の よ うな

言 い 方 をす るの も気 が 引 け る の で,以 後,こ れ を 「値 域 と して の 記 法 」 と よぶ こ とに す る.

  2.3.2  座 標 平 面 の 図 形  ａ.方 程 式 を満 た す 集 合   座 標 平 面 上 の 図 形 を集 合 と し て捉 え る と き,そ れ を表 す表 記 も ３通 りあ る こ とに な る.   まず,外 延 的 記 法 だ が,Ｎ

や Ｚ の よ うな 無 限 集 合 と違 っ て"連 続 的 な"無 限

集 合 とな る と,さ す が に"…"を

駆 使 し た とこ ろで 「要 素 を 列 挙 し て 表 す 」 の

は 無 理 で あ る.   内 包 的 記 法 に つ い て は,た

とえ ば,直 線2x+3y-5=0と

いった表現が 内

包 的 記 法 に あ た り,こ れ は 直 線 を {(x,y)∈R2￨2x+3y-5=0} と い う集 合 と して 捉 え て い るわ け だ.こ  座 標 平面 か ら点(x,y)を

こで の 発 想 は

い ろ い ろ 選 ん で 方 程 式2x+3y-5=0を

満

た す か 調 べ て,こ の 方程 式 を 満 た す 点 だ け を集 め て 集 合 をつ くる とい う発 想 で あ る.こ の 表 記 の特 徴 は 「左 辺=0と い うこ とで は な い.た

とえ

い う形 で 書 かれ て い る 」 と

と 書 か れ て い た と し て も,こ

れ は 「(x,y)がy=-2/3x+5/3を

満た しているか

チ ェ ッ ク し て 集 合 を つ くる 」 と い う 発 想 に 立 っ て い る の で,内   ｂ.パ

包 的 記 法 で あ る.

ラ メー タ表 示

  一 方,値

域 と し て の 記 法 で 同 じ集 合 を 表 す と

と な る.こ

れ は[ｘ

が 動 く と き の(x,f(x))の

全 体 」 と い う発 想 で あ る ．

 コ メ ン ト  こ ん な こ と を い う と 混 乱 す る か も しれ な い が,「 値 域 と して の 記 法 」 の 定義 {f(x)￨x∈A)に

お け る写 像 ｆ に 相 当 す る の は,「ｘが 動 くと きの(x,f(x))

の 全 体 」に お け るｆ で は な く,Ｒ か らR2へ

の写 像x→(x,f(x))で

あ る.

  さて,上 の 内包 的 記法 と値 域 と して の 記 法 は それ ぞ れ,"方 程 式 の グ ラ フ"と "関 数 の グ ラ フ"の 発 想 に 相 当 す る と もい え そ うだ .た だ し,座 標 平 面 上 の 図 形 に 限定 して も値 域 と し て の 記 法 は"関 数 の グ ラ フ"よ り守 備 範 囲が 広 く,パ ラ メー タ表 示 とい わ れ て い る もの に 近 い. 例19.座

標 平 面 上 の 原 点 を 中心 とす る 半径 １の 円(単 位 円)は,内

包 的記 法

では {(x,y)∈R2￨x2+y2=1} と 表 さ れ,ま

た,θ

をパ ラ メ ー タ と して

{(cosθ,sinθ)￨0≦

θ ＜2π｝

と も 表 さ れ る.

  θ を パ ラ メ ー タ と す る パ ラ メ ー タ 表 示 で は(も い が),実

数 の 区 間[0,2π)か

値 域 と し て の 記 法{f(θ)￨θ 法 は,ま   な お,ｆ

た,集

らR2へ

ち ろん 別 の 文 字 を 使 っ て も よ

の 写 像f(θ)=(cosθ,sinθ)を

∈[0,2π)}と

な っ て い る.集

考 えて の

合 の 値 域 と して の 記

合 の パ ラ メ ー タ表 示 と い う こ と も で き る.

を"[0,2π)か

ら の 写 像"と

し た こ と に は 必 然 性 は な い.し

の よ う に す る と 「ｆ が 単 射 で あ る 」 と い う 利 点 が あ り,便

か し,こ

利 な こ とが 多 い ．ｆ

を,た

と え ば Ｒ か ら の 写 像 と し た り,[0,2π］ か ら の 写 像 と し て も よ い の だ が,

パ ラ メ ー タ 表 示 で は で き る だ け 単 射 に な る よ う に 設 定 し て おく の が よ い .

問 題 ４.―

日本 数 学 オ リン ピ ッ ク 予 選1999[２]

  (X,Y)を

直 線-3x+5y=7上

の 格 子 点 とす る と き,￨X+Y￨の

最小 値 を 求 め よ.た だ し格 子 点 と はｘ 座標,ｙ 座標 が と も に整 数 で あ る 点 の こ と をい う.

[解 答]ま

ず,こ

れ ら の 格 子 点 を パ ラ メ ー タ 表 示 す る こ と か ら 始 め る.こ

線 上 の 格 子 点 を,と

に か く １つ 探 す と,た

上 の 点 を １つ 選 ん で,そ

の 座 標 を(X,Y)と

と え ば(1,2)が

み つ か る.こ

の直 の直線

お く と,

-3X+5Y=7 -3.1+5.2=7

で あ る こ と か ら,

-3(X-1)+5(Y-2)=0

で あ る.こ

,つ

こ で5(Y-2)=3(x-1)=tと

ま り  5(Y-2)=3(X-1) お く.こ

の とき

とい う直線 の パ ラ メ ー タ表 示 が 得 られ る.た だ し,こ れ は 直 線 の パ ラ メー タ表 示 で あ っ て 直 線 上 の 格 子 点 の パ ラ メ ー タ表 示 には な っ て い な い.Ｘ,Ｙ に 整 数 で あ るた め に はtは こ でt=15kと

３ の倍 数 で,か つ ５の 倍 数 で な け れ ば な らな い.そ

お くと,直 線 上 の 格 子 点 の パ ラ メー タ表 示

{(5k+1,3k+2)￨k∈Z} が 得 ら れ る.   後 は,

X=1/3t+1,Y=1/5t+2

が とも

￨ X+Y￨=￨(5k+1)+(3k+2)￨=￨8k+3￨

の 最 小 値 を 求 め る だ け の こ と だ が,こ

れ は,k=0の

と き￨8k+3￨=3で  

  問 題 に 応 じた ア イデ ア を 得 る ため に は,明 確 で 一 般 的 な概 念,用

あ る. Ans. 

3

語 を用 い て

考 え た 方が ヒ ラ メキ も雄 大 な もの と な っ て くる.こ の 章 で は プ ロ の 数 学 者 が 現 在 使 って い る最 も新 し く基本 的 な"考 え る道 具"の い くつ か を 紹 介 した.こ れ ら を臆 せ ず,ど

ん ど ん使 って 問 題 を 解 い て ほ しい.読 者 は まだ 数 学 的 な 知 識 は 少

な い と し て も,問 題 を解 く とい う こ と に 関 して は,す で に 数 学 者 と同 じス タ ー トラ イ ン に立 って い るの で あ る.

 ３ 代

数

  こ の 章 の表 題 「代 数 」 は,高 校 の教 科 書 で い うな らば,だ い た い 「式 の 計 算 」, 「高 次 方 程 式 」,「 ベ ク トル 」,「 数 列 」 とい っ たあ た りの 章 に 相 当 す る.集 合や 論 理 と対 照 的 に 「代 数 」 に つ い て は 高 校 の教 科 書 に 安 心 して 頼 る こ とが で き る.そ こ で,こ

こで は教 科 書 で 不 足 し て い る 部 分(か つ,数

学 オ リ ン ピ ッ クで は 知 っ

て い た 方 が よ い 部 分)を 補 充 す る こ と に す る.

  3.1 

  3.1.1

複

素

数

  複 素 数 は 高 校 で 学 ぶ の だ が,そ 重 が 偏 って い る.ま

高 次 方 程 式

こ で の 扱 い は ２次 方 程 式 に 関 連 し た 話 題 に比

と も に扱 う と した ら これ が 限 界 な の だ が,と

は抜 きに して で も,も

りあ えず 証 明

う少 し高 い 視 点 か ら数 学 に お け る 複 素 数 の 役 割 を眺 め て

お い た 方 が よ さそ うだ.し か し,ま ず,高 校 の 教 科書 と重 複 す る の だ が,複

素

数 の 基 本 的 性 質 に つ い て 簡 単 に ま とめ て お こ う．   ａ.複 素 数 の 演 算   ２乗 し て負 と な る 実 数 は な い か らz2+1=0は し,i2=-1と ,y∈R)を

な る新 しい 数ｉ を導 入 す れ ば,z=士ｉ

実 数 の 解 を持 た な い.し か が 解 と な る.z=x+iyx

複 素 数 と い う.複 素 数 の 範 囲 で は,方 程 式z2+1=0に

限 らず,

ど の よ うな ２次 方 程 式 も解 を持 ち,１ 次 式 の 積 と して 因 数 分 解 され る.   複 素 数z=x+iy(x,y∈R)に

対 し,ｘ をｚ の 実 部 とい い,ｙ

と い う.複 素 数 全 体 の 集 合 をＣ で 表 す.   複 素 数 の 加(減)法,乗

法,除

法 は,

をｚ の 虚 部

(x+iy)±(u+iv)=(x±u)+i(y±v)

(x+iy)(u+iv)=xu+ixv+iyu+i2yv =(xu-yv)+i(xv+yu)

を利 用 して 計 算 で きる.  z=x+iyに

対 し てx-iyをｚ

 √x2+y2を￨z￨と   それ で は,複

の 共 役 複 素 数 とい い,ｚ

と 書 く.ま た,

書 き,ｚ の 絶 対 値 とい う. 素 数 の 本 格 的性 質 に 移 ろ う.

  ｂ.代 数 学 の 基 本 定理   複 素 数 は ２次 方 程 式 が 解 を持 つ よ うに す る た め に考 え た もの で あ っ た.そ れ で は,も

っ と次 数 の 高 い 方 程 式 を考 え る な らば,２ 次 方 程 式 が 常 に 解 を持 つ た

め に は 実 数 を複 素 数 まで 拡 張 し な け れ ば な ら な か った よ うに,さ し な け れ ば な ら な い の だ ろ うか.幸

らに 数 を 拡 張

い な こ と に,そ の よ うな必 要 は な い.ど ん

なｎ 次 方 程 式 も複 素 数 の範 囲 で す べ て解 け て し まい,こ れ 以 上,数 の 概 念 を広 げ る必 要が ない ので あ る.正 確 に は,次 定 理３.ｎ

の よ うに な る.

次 多 項 式(n≧1) f(x)=xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an

に 対 し て,f(αk)の=0を

満 た すｎ

個 の 複 素 数αk(k=1,2,…,n)が

存 在 し,

f(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αn) と,複 素 数 の 範 囲で 因 数 分 解 で きる.   多 項 式 の 係 数 は実 数 に 限 らず,複 素 数 で あ って も よい.こ の 定 理 を 代 数 学 の 基 本 定 理 とい う.証 明 は 大 学 で 学 ぶ こ とに な る.証 明 で 難 しい の は,方 程 式が (特 に偶 数 次 の方 程 式 が)複

素 数 の 範 囲で(少

な く と も １つ)解

を持 つ こ と を

示 す とこ ろ で あ る.こ れ は か な り難 しい の で,独 力 で チ ャ レ ン ジ す る の は控 え

た 方が よ さ そ うで あ る.  代 数 学 の 基 本 定 理 に よれ ば,ｎ

次多項式 は

xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=(x-α1)(x-α2)…(x-αn)

と １次 式 の積 の 形 に 因 数分 解 され る.こ の式 の右 辺 を 展 開 してｘ につ い て 降べ きの 順 に ま とめ,左 辺 の 係 数 と比 較 す る と 「解 と係 数 の 関 係 」が 得 られ る.特 に,右 辺 のxn-1次

の 係 数 は-(α1+α2+…+αn)で

あ り,左 辺 のxn-1次

の係 数 α1と 比 較 し て -α1=α1+α2+…+αn

が 得 られ る.ま た,定

数項 を 比 較 す る と an=(-1)nαlα2...αn

が 得 られ る.こ の 他 の 次 数 に つ い て も解 と係 数 の 関 係 を導 く こ とが で きる が, 特 に こ の ２つ が よ く使 わ れ る.anに 多 項 式 の 整 数 解 はanの

つ い て の解 と係 数 の 関 係 は,「整 数 係 数 の

約 数 」 とい う形 で使 わ れ る こ とが 多 い.

  3.1.2 

1の

ｎ 乗 根

  １のn乗

根,つ

ま り,方 程 式zn=1の

解 は い ろ い ろ と美 しい 性 質 を持 って

い る.高 校 の 数 学 で も扱 われ て い る の だ が,１ の ｎ 乗 根 の性 質 は 教 科 書 の 章 末 問題 レ ベ ル で 手 に 負 え る もの で は な い.数 学 オ リン ピ ッ クで も,実 際 に は １の ｎ 乗 根 は お 気 に入 りの テ クニ ッ クの １つ なの で あ るが,複

素数 は世界のすべ て

の 国で 教 え られ て い る わ け で もな い の で,国 際 数 学 オ リ ン ピ ッ クで は 多 少 遠 慮 が ちに 用 い られ て い る.し か し,日 本 数 学 オ リン ピ ッ クで は,後 で み る よ う に, 真 っ向 か ら複 素 数 の 問 題が 出題 され る.   １の ｎ 乗 根 は,幾 何 学 的 に単 位 円 の"回 転"と して 捉 え る こ とが 肝 心 で あ る.   ａ.複 素 数 の 極 座 標 表 示   複 素 数z=x+iyに

平 面 上 の 点(x,y)を

対 応 させ る.こ の 平 面 を複 素 数平

面 とか ガ ウ ス平 面 と い う.こ の と き 絶 対 値￨z￨は 原 点0とzの る.ま た,z≠0の

間の距離で あ

と き,原 点 とｚ を結 ぶ線 分 まで の 角 を,ｘ 軸 の 正 の 方 向か

ら反 時 計 回 りに測 っ た 角 度 をｚ の 偏 角 とい い,arg

zと 書 く.

例20. 

argi=90゜,arg(-3)=180゜,arg(-6i)=270゜ arg2=0゜,arg(1+i)=45゜

  複 素 数z=x+yiの

偏 角argzを

θ,絶 対 値｜z｜ を ｒ と す る と,

x=rcosθ,y=rsinθ

だか ら z=r(cosθ+isinθ)

と表 され る.こ れ をｚ の 極 座 標 表 示 とい う.  三 角 関 数 の 加 法 定 理 な ど に よ り,次 の 公 式 が 得 られ る ．

arg(z1z2)=argz1+argz2

が 成 り立 っ.

 ｂ.オ イ ラー の 公 式   三 角 関 数cosθ,sinθ

は 直 角 三 角 形 の 辺 の 比 か ら導 入 され た 幾 何 学 的 な 根 拠

を持 っ た関 数 で あ る.そ れ に 対 して 指 数 関 数y=exは"か

け 算 の 繰 り返 し"を

表す"指 数"を 根 拠 とす る 関 数 で あ る.こ の よ うに,出 身 は まっ た く異 な って い る に もか か わ らず,虚 数 を経 由 す る と両 者が 結 び つ く と主 張 し て い る の が,次 の 「オ イラ ー の 公 式 」 で あ る. オ イ ラ ー の 公 式eiθ=cosθ+isinθ

  さて,こ の"公 式"の 証 明 だが,実

は"証 明"と 言 わ れ て も 困 る の だ.と

いう

の も,指 数 関数 の 変 数 が 虚 数 の ケ ー ス は,ま だ 定 義 され て い な い の で,定 義 され て い な い もの に つ い て の 等 式 を 証 明 せ よ とい われ て も 困 る の だ.テ

イ ラー 展 開

と い う もの を学 ぶ と,指 数 関数 の 変 数 が 複 素 数 の 場 合 も考 え る こ とが で き る よ うに な り,三 角 関 数 と指 数 関 数 の テ イ ラ ー展 開 を比 較 す る こ とに よ りオ イ ラ ー の 公 式 を 証 明 す る こ とが 可 能 に な る.し か し,こ こ で は テ イ ラ ー展 開 を持 ち出

す わ け に は 行 か な い の で,オ

イ ラー の 公 式 は 「まだ 定 義 され て い な い 左 辺 を右

辺 の 複 素 数 と し て 定 義 し て い る」 と考 え て,公

式 で は な く"定 義"と み な す こ

と に し よ う.こ の よ うに 定 義 し た場 合,重 要 な こ とは 指 数 関 数 に つ い て の 通 常 の公式 eu・ev=eu+v,(eu)n=enu

が ｕ,ｖ が 虚 数 の 場 合 で も成 立 す る とい うこ とで あ る.こ れ は 直 接 計 算 す れ ば 確 か め られ る こ と な の で,自 分 で 確 認 して み て 欲 しい.   オ イ ラ ーの 公 式 は 数 学 オ リ ン ピ ックの 必 要 予 備 知 識 とい うわ け で は ない ． し か し,こ の公 式 を知 って い る とい な いで は,や は り複 素数 の振 る舞 い に つい て の 理 解 に 差が つ い て くるの だ.こ の 段 階で は,"不 義)と

い う程 度 の 理 解 で よ いか ら,と

 ｃ.1の

思 議 な 公 式"(も

りあ えず 使 っ て み る こ とが 大 事 で あ ろ う.

ｎ 乗根

  ｎ 次 方 程 式Zn=1は 平 面 上 で￨z￨=1で

ｎ 個 の 異 な る複 素 数 解 を持 ち,そ の 解 は す べ て ガ ウ ス 表 され る 半 径 １の 円周 上 に あ り,そ れ ら の 偏 角 は順 に0゜, で あ る.こ

い う.と

し くは 変 な 定

く に,偏

 ζ(ゼ ー タ)が

角 が〓 原 始ｎ

れ ら を １の ｎ 乗 根 と

の も の は 原始 ｎ 乗 根 と よば れ る. 乗 根 な ら ば,xn=1の

解 は

１,ζ,ζ2,ζ3,…,ζn-1

のｎ 個 で あ る.ζn,ζn+1,ζn+2以

下 は,そ

れ ぞ れ １,ζ,ζ2と な り周 期ｎ

り返 し に な る.   弧 度 法 で 表 す な ら ば １のｎ

乗 根 の偏 角 は

で あ る.ま

た,ζkた を 極 座 標 で 表 す と

で あ り,ま

た,"オ

イ ラ ー の 公 式"を

用 いて表す と

の繰

と な る.や

は り,こ

ト に 読 み と れ て,一   ｄ.単

の 表 現 が"ζkはζ=ei2π/nの

ｋ乗"と

い う関 係 が ダ イ レ ク

番 見 通 し が よ さ そ うで あ る ．

位 円の ｎ 等分

  す で に 調 べ た よ う に,１

の ｎ乗根

の偏角 は

で あ る.こ

れ は,複

１,ζ,ζ2,…,ζn-1が

素 平 面 上 の単 位 円 を

は,(x1,y1),(x2,y2)を

素 数

平 面 ベ ク トル の 和 と み な し た と き の ベ ク トル の 和 と な っ 位 円 をｎ 等 分 し た ｎ 個 の 分 点 を 終 点 と す る ｎ 本 の ベ ク ト ル

で あ る こ と が わ か る.つ

こ の 等 式 は,方

こ で,複

和z1+z2=x1+x2+(yi+y2)i

の 和 は 零 ベ ク ト ル と な る こ と を 考 慮 す る と,た が０

等分 し た分 点 に

順 に 配 置 さ れ て い る こ と を 意 味 す る.こ

z1=x1+y1iとz2=x2+y2iの

て い る こ と と,単

１ か ら 始 め てｎ

だ ち に,１,ζ,ζ2,…,ζn-1の

和

ま り

程 式zn-1=0に

お け る解 と係 数 の 関 係 と して 導 くこ と もで

き る.   さ て,上 (n-1)乗

の 等 式 は,「 １ の 原 始 ｎ 乗 根 を ζ と す る と き,ζ

の ０乗 か ら始 め て

ま で の 和 を と る と ０ に な る 」 と い う こ と で あ る.こ

こで原始 ｎ 乗根

ζ で は な く単 に １ の ｎ 乗 根 ζkに 対 し て"０ 乗 か ら 始 め て(n-1)乗

を 考 え た ら ど う な る だ ろ うか.ま 例21.n=7と

と な り,

し て,ζ

ず,例

は １ の 原 始ｎ

ま で の 和"

を 調 べ て み よ う. 乗 根,k=3と

す る.こ

の とき

(ζ3)0,(ζ3)1,(ζ3)2,(ζ3)3,(ζ3)4,(ζ3)5,(ζ3)6

は １,ζ,ζ2,ζ3,ζ4,ζ5,ζ6と(順

番 が 違 う だ け で)一

致 す る.し

た が っ て,こ

の

場 合 も 1+(ζ3)1+(ζ3)2+(ζ3)4+(ζ3)5+(ζ3)6=0

が 成 り立 つ.   こ の よ うに 書 くと記 号が ご ち ゃご ち ゃ して い て 難 しそ うに み え るの だ が,単 位 円 の ｎ 等 分 とい う視 点 で み る と,上 の理 屈 は 本 質 的 に は 池 の 周 りに ７ 個 の 石 が 置 い て あ り ます.２ つ 跳 び に 石 を渡 っ て い くと す べ て の 石 に １回ず つ 乗 っ て 元 に戻 り ます. とい う中学 入 試 問 題 的 な事 実 を使 っ て い る に す ぎ な い. 例22.n=6と

し て,ζ

は １ の 原 始ｎ

乗 根,k=2と

す る.こ

の とき

 (ζ2)0=1,(ζ2)1=ζ2,(ζ2)2=ζ4,(ζ2)3=1,(ζ2)4=ζ2,(ζ2)5=ζ4

と な り, (ζ2)0,(ζ2)1,(ζ2)2,(ζ2)3,(ζ2)4,(ζ2)5

に は1(=ζ0),ζ2,ζ4が(順 る.し

番 を 無 視 し て)そ

れぞ れ ２回ず つ 現 れ る こ とが わ か

たが って

1+(ζ2)1+(ζ2)2+(ζ2)3+(ζ2)4+(ζ2)5=2(1+ζ2+ζ4)

と な る が,こ

こ でζ2は

で あ る こ と,よ

１の 原 始 ３ 乗 根 で あ る こ と に 気 づ く と,1+ζ2+ζ4=0,

っ て,

1+(ζ2)1+(ζ2)2+(ζ2)3+(ζ2)4+(ζ2)5=0

で あ る こ とが わ か る.

 こ の よ うな例 を調 べ る と,一 般 に次 の結 果が 成 り立 つ こ とが わか る.

定 理 ４.ζ を １の 原 始ｎ 乗 根,ｋ はｎ の倍 数 で な い正 の 整 数 とす る． こ の と き 1+ζk+ζ2k+ζ3k+…+ζ(n-1)k=0 で あ る．

  こ の定 理 で,「ｋはｎ の 倍 数 で な い 」 とい う条 件 は 欠 か す こ とが で き な い.ｋ が ｎ の倍 数 の と きは,上 の 和 の 各項 はす べ て １と な って し まい,和 はｎ とな る. ―問 題 ５.―

日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選1999[11]

 ｎを 自 然 数 と し,i=√-1,α=cos(2π/n)+isin(2π/n)と

を 自然 数 で1≦m≦nと

す る.ｍ

す る.こ の と き,次 の 和 を 計 算 し て １つ の

分 数 式 で 表 せ.

[解 答] 

α は １ の ｎ 乗 根 で あ り,α π=1と

し て(αk）n=(αn)k=1が

成 り立 つ.

 因数分解の公 式

に お い てｙ に αkを 代 入 す る と

で あ る． し たが って

な る.ま

た,任

意 の 整 数ｋ

に対

ここ でm+jがｎ

の倍 数 で ない と き は,

と な ら な い の は,m+jが

〓と な る.こ

ｎ の 倍 数 の と き の み で あ り,こ

れが ０

の 場 合,αm+j=1

だ か ら,〓   し た が っ て,(*)式

右 辺 のｊ に つ い て の 総 和 は,j=n-mの

み を 考慮 す れ

ば よ く,

よって

 こ の 問 題 は,因

数分 解 の 公 式

を利 用 す る こ とに 気 づ けば それ ほ ど 難 し くな い.し か し,「なぜ 気 づ くの か 」 と 聞 か れ る と困 る． この あ た りの 感性 は 問題 を解 い て い る う ち に 自然 に 身 に 付 く もの,と い っ て し ま うのが 無 難 な の だ ろ うが(人

に よ って は 「当 た り前 で し ょ」

と答 え て 終 わ りか もしれ な い),あ え て 「なぜ 因 数 分 解 を も ちだ す の か 」の 理 由 を こ じつ け て み よ う.   分 数 式 の総 和 は 計 算 しづ ら い.整 式 の 総 和 な ら各 項 の 総和 を とれ ば よい だ け な の だが,分 数 式 で は,そ ん な に 簡単 で は な い.そ こで,よ

くと られ るア プ ロ ー

チ は1/1-xの よ うな タ イプ の 式 は 等 比 級 数 の 和 の 公 式

を 用 い て"整

式"に

直 し て か ら 総 和 を と る,と

い う や り 方 で あ る.た

と え ば,

と して 計 算 す る― と言 い たい の だが,こ れ は"無 限 級 数 の 収 束 性 の 問題"が 絡 む だ け に,や は りまず い.そ

こで,「無 限 等 比 級 数 で は な く,適 切 な項 で 打 ち切 っ

た 有 限 等 比級 数 を考 え れ ば ？」 と い うこ とに な り,こ の 場 合

と す る と う ま く行 く.つ

ま り

(最 初 の項 以 外 は す べ て ０に な るか ら) と こ ろ で,"等

比 級 数 の 和 の 公 式"

は 言 い換 え れ ば,因

な の だ か ら,こ よ い(両

数分解の公式

の タ イ プ の 問 題 で は"因

辺 にx-nを

か け て,x-1を

使 っ た 公 式 が 得 ら れ る).は

数 分 解 の 公 式"を

あ ら た め てｘ

使 う こ と を試 み る と

と 書 く こ と に す れ ば,前

た し て こ れ で 説 明 に な っ て い る だ ろ う か?

に

  3.2 

  3.2.1 

線

形

代

線

形

性

数

  ａ.線 形 と非 線 形   "線 形 性"は 耳 慣 れ な い 単 語 だ と思 うが,数 称 す る もの 全 般 に わ た っ て,最

学 に 限 らず,お

よそサ イエ ン ス と

も 重 要 な キ ー ワ ー ドで あ る.

  極 め て 乱 暴 な言 い 方 をす る な らば,"線

形"は"比

例"と か"重 ね 合 わ せ"に 相

当 す る.た と えば,「あ る仕 事 に 投 入 す る 人 員 を ２倍 に す る と,成 果 も ２倍 に な る」 とか 「輸 出の 増 加 が 経 済 成 長 に2%貢 貢 献 す る な らば,両

方 で 経 済 成 長 は3%増

献 し,公 共事 業 の大 盤 振 る舞 い が1% え る」 とい っ た観 点 で あ る.実 際 に

は,人 員 を ２倍 に し て も成 果 が ２倍 に な る か わ か らな い し,ま た,公 共 事 業 の 効 果 と輸 出 も相 互 に 関連 して い て,独

立 に 効 果 が 加 算 され るわ け で は な い.そ

もそ も,小 学校 の 算 数 的 正 確 さで 考 え る な らば,解 答 は 「1.02×1.01=1.0302 だ か ら3.02%増

え る 」 とす べ きだ.し か し,い ろ い ろ批 判 は あ るに し て も,こ

の よ うな 単 純 な 見 方 は,も の ご と を捉 え る基 本 と して 極 め て 使 い勝 手が よ い 観 点 な の だ.   そ の 理 由 に よ り,小 学 校 で は 正 比 例 を い や に な る くらい 教 え た し,ま た,中 学 に な って も関 数y=axと

い う形 で 正 比 例 の 発 展 を 強 調 して きた わ け だ.ま

た,微 分 法 も"線 形 で な い 関 数 を 線 形 な 関 数 で 近 似 す る計 算"と 捉 え る こ とが で き る.さ

らに,変 数 が 複 数 の 場 合 の 正 比 例 を扱 うた め に ベ ク トルが 登 場 し,大

学 に は い る と"線 形 性"の 一 般 理 論 を 「線 形 代 数 」 と い う科 目で １年 間 か け て じ っ く り勉 強 す る こ とに な る.   こ こ で は,線 形 代 数 まで は 踏 み 込 まな い が,空

間 ベ ク トル を例 に と って 簡 単

に 大 枠 をみ て お こ う.   ｂ.ベ ク トル と ス カ ラ ー   まず,空

間ベ ク トル 全 部 の 集 合 をＶ

合 Ｒ と し て,Ｋ  (１)u,v∈Vに

をス カ ラ ー と よぶ.こ 対 し て,そ

の和

とす る.ま た,こ の と き,

こで は Ｋ を 実 数 の 集

u＋v∈V

を対 応 させ る演算  (２)u∈Vと

ス カ ラ ーc∈Kに

対 し て ｕ の ス カ ラ ー倍 cu∈V

 を対応 させ る演算 と い う ２つ の 演 算 が 与 え られ,こ れ らの 演 算 に つ い て 分 配 法 則

c(u+v)=cu+cv を は じ め と し て い くつ か の 演 算 法 則 が 成 り立 つ.   こ こ で は,Ｖ ま た,も

は 空 間 ベ ク トル の 集 合 と し た が,平

っ と 高 次 元 の ベ ク トル を 考 え る こ と も あ る.一

の 要 素ｕ,ｖ

に 対 し て"和"u+vが

に 対 し てcuが

定 義 さ れ,集

定 義 さ れ て い て,分

を ベ ク トル 空 間,も

Ｋ に つ い て は,こ

こ で は 実 数 Ｒ と し た が,こ

で き る し,ま

た,も

の 要 素ｕ

し く は 線 形 空 間 と い う.ま

の ２つ

とス カラー ｃ

た,ス

カラ ー

ら に(多

少意味

と し て 整 数 Ｚ を 指 定 す る こ と も で き る.

  ベ ク トル と ス カ ラ ー と い う 言 葉 は,高

校 の 数 学 で も触 れ て い る か も しれ な い

こ で の 説 明 は 「ベ ク トル(1,-2,√3)と

ス カ ラ ー√3」

し て の ス カ ラ ー と 複 数 の 数 を 成 分 と す る"大

ク トル と い う ニ ュ ア ン ス で は な い だ ろ う か.つ 分 」 と い う ニ ュ ア ン ス で あ る.し 分 か ら は 切 り離 し て,単

合Ｖ

れ を有 理 数 Ｑ に 制 限 す る こ と も

っ と 広 く複 素 数 Ｃ と す る こ と もで き る.さ

合 い は 異 な っ て くる の だ が)Ｋ

独 の 数"と

合Ｖ

般 に は,集

配 法 則 等 の い くつ か の 指 定 され た 演 算 法 則

を 満 た す と き,Ｖ

が,そ

面 ベ ク トル と し て も よ い し,

か し,こ

と い う風 に,"単

き さ と 向 き を 持 っ た"ベ

ま り,「ス カ ラ ー は ベ ク トル の 成

れ か ら は,ス

カ ラ ー は ベ ク トル の 成

に 指 定 さ れ た も の と し て 捉 え る こ と に な る.た

と え ば,

実 数 を 成 分 と す る 空 間 ベ ク トル に つ い て も ス カ ラ ー Ｋ と し て 有 理 数 Ｑ を 考 え る こ と も 許 す こ と に な る.つ

ま り,こ

の 場 合,実

数 を 成 分 と す る ベ ク トル の ス

カ ラ ー 倍 と し て 有 理 数 を か け る こ と し か 許 さ な い わ け だ.

  3.2.2  線 形 独 立,線 形 従 属   線 形 代 数 に"線 形 独 立"と"線

形 従 属"と い う基 本 概 念 が あ り,こ れ に つ い て

知 って お くと 数学 オ リ ン ピ ッ クの 問 題 を解 く上 で もい くぶ ん見 通 しが よ くな る の で,ざ

っ とみ て お くこ と に し よ う.こ こで 本 質 的 な こ と は 「な に を ス カ ラ ー

と して 指 定 し て い る か 」 と い う点 で あ る. 例23.平

面 ベ ク トルu=(1,-2)は

た も の と し て 表 さ れ る.つ

ベ ク トルv=(√2,-2√2)に1/√2を

ま り,u=1/√2v.こ

かけ

の 式 は,√2u+(-1)v=0と

書

き 直 す こ と も で き る. 例24.u=(1,-2),v=(0,2)と だ し,a1=a2=0の る.つ

ま り,ｕ

す る と,a1,a2を

ど の よ う に 選 ん で も(た

ケ ー ス は 除 く)a1u+a2v=0と

表 す こ とは 不 可 能 で あ

とｖ に 対 し て は, a1u+a2v=0 

な ら ば  a1=a2=0

が 成 り立 つ. ベ ク ト ルu=(1,-2),v=(0,2)の

よ う に,条

a1u+a2v=0な

件

ら ばa1=a2=0

を 満 た す ２ つ の ベ ク ト ル を 線 形 独 立 な ベ ク トル と い う.ま (1,-2),v=(√2,-2√2)の

た,ベ

ク ト ルu=

よ う に こ の 条 件 を 満 た さ な い な ら ば,線

形従属で

あ る と い う．   線 形 独 立 な ベ ク トル に つ い て 成 り 立 つ 大 切 な 性 質 が あ る. 定 理 ５.ｕ,ｖ は 線 形 独 立 で あ る と す る.こ と 表 され て い る な ら ば,こ

の と き,ベ ク トルｗ

の よ う な 表 し 方 は 一 意 で あ る.つ

がa1u+a2v=w ま り,他

の係数 を

選 ん で 表 す こ と は 不 可 能 で あ る.

[証 明]

a1u+a2v=wの

他 にb1u+b2v=wと

表 さ れ た と す る.こ

の 等 式 の 両 辺 の 差 を と る と(a1-b1)u+(a2-b2)v=0が ,ｖ は 線 形 独 立 な の で,定 つ ま り,a1=b1か

つa2=b2で

義 に よ り,a1-b1=0か あ り,結

得 ら れ る.こ つa2-b2=0で

局 は 同 じ 表 現 に す ぎ な い.

の ２つ こ で,ｕ あ る.

  さ て,２

つ の ベ ク ト ル に つ い て で は な く,２ つ の 実 数 に つ い て 線 形 独 立 を 考

え た ら ど う な る だ ろ う か.つ

ま り,V=Rと

ん,こ

れ は ナ ン セ ン ス で あ る.つ

も,常

に ど ち ら か は ０ で な い 係 数 α1,α2を

と が 可 能 で あ る ． し か し,こ く,た

ま り,ど

し た ら ど う な る だ ろ う か.も

こ で,係

の よ う な ２ つ の 実 数ｕ,ｖ 選 ん でa1u+a2v=0と

数 α1,α2を,実

al=a2=0以

につ いて 表 すこ

数 の なか で 選 ぶ ので は な

と え ば 「有 理 数 か ら 選 ぶ 」 と 制 限 し て し ま う と,話

例25.u=1,v=√2と

ちろ

す る と き,a1u+a2v=0を

は 違 っ て く る.

満 た す 有 理 数a1,a2は

外 に 存 在 し な い.

  つ ま り,V=R,K=Qと    そ れ で は,一

す る と き,1,√2∈Vは"線

わ け だ.

般 の 線 形 空 間 に お い て 線 形 独 立 の 定 義 を し て お こ う.

定 義 ６.ス カ ラ ー を Ｋ と す る 線 形 空 間Ｖ こ の と き,条

形 独 立"な

に お い て,v1,…,vk∈vと

す る.

件 alv1+…+akvk=0

を 満 た すa1,…,ak∈Kはa1=…=ak=0以 ば,v1,…,vkは v1,…,vkは

外 に存 在 しな いな ら

は 線 形 独 立 で あ る と い う.v1,…,vkが

線 形 独 立 で な い と きは

線 形 従 属 で あ る と い う.

 コ メ ン ト［１］  v1 ,…,vkが

線 形 従 属 で あ る と し よ う.こ

の と き,

  alv1+…+akvk=0  を 満 た すa1,…ak∈Kが い.た

と えば,a1≠0で

存 在 し,そ の う ち の 少 な くと も １つ は ０ で は な あ る と し よ う.す る と,

 a1v1=-a2v2-…-akavk

 と 移 項 し て お い て か ら両 辺 をa1で

割 る こ と に よ り(こ

こでa1≠0が

必要

に な る)

 と 表 す こ と が で き る.つ あ る".

ま り,v1はv2,…vkで

表 す こ と が で き,"余

分で

 コ メ ン ト[２]  さ て,こ

こで ス カ ラー と し て Ｑ で は な く Ｚ を考 え て い る とす る と,状 況 は

少 し 異 な っ て くる.つ

ま り,線 形 独 立 や 線 形 従 属 の 定 義 はa1,…,ak偏

数 に 制 限 す る こ と で そ の ま ま通 用 す る の だ が,上 い う操 作 が,整

の"両 辺 をa1で

数 の 範 囲 で は 不 可 能 に な る(a1,…,ak偏

で あ る 場 合 を除 い て).ス

カ ラ ー と し て Ｚ の よ うに"わ

の を選 ん だ と きに は"線 形 空 間"と は い わ ず,"モ

を整

割 る"と

が す べ てa1の

倍数

り算"が で き な い も

ジ ュ ー ル"と い うべ きで あ

る.し か し,こ こ で は 特 に 区 別 せ ず に,こ の 場 合 に つ い て も線 形 独 立,線

形

従 属 な ど の 言 葉 を そ の ま ま用 い る こ と に す る.

  さ て,せ っか く線 形 独 立,線 形 従 属 と もの もの し い言 葉 を導 入 した の だ が,こ れ らの 概 念 を知 って い な い と数 学 オ リン ピ ッ クの 問 題が 解 け な い わ け で は な い. た と えば,次

の 問 題 は 大 げ さに い えば 線 形独 立 性 に 絡 ん だ 問 題 な の だ が,こ

の

程 度 の もの な らば 特 に"線 形 独 立"と 構 え て か か らな くて も十 分 に 解 くこ とが で き る.こ の 段 階 で は,線 形 独 立,線 形 従 属 とい った 見 方 を す る と,い

くらか

気 持 ちの 整 理 が つ くとい う程 度 の こ と で あ ろ う.た だ,数 学 を後 々勉 強 して ゆ く場 合,早 め に これ らの 概 念 に な じん で お くこ とが 潜 在 的 な パ ワー に な っ て く る と期 待 され るの だ.   そ れ で は,問 題 を解 い て み よ う. ― 問 題 ６.―

日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選2000[6]

ｎを 自然 数 とす る.有

理 数 係 数 の2n次

方程式

x2n+a1x2n-1+a2x2n-2+…+a2n-1x+a2n=0

の 解 は,す

べ て x2+5x+7

の 解 に も な っ て い る.こ

[解答]  方 程 式x2+5x+7=0の

=0

の と き係 数a1の

値 を 求 め よ.

であ

解 は〓 

り,ま た,代 数 学 の 基 本 定 理 に よ り,上 の2n次 μ1,μ2,…,μ2n

の 方 程 式 は2n個

の解

a1=5/2(k+l)

を 持 つ.解

と係 数 の 関 係 に よ り μ1+μ2+…+μ2n=-a1

が 成 り立 つ.こ る の で,k,ｌ

れ ら の2n個 をk+1=2nを

の 解 は い ず れ も 方 程 式x2+5x+7=0の 満 た す 整 数 と し て,2nの

と 一 致 し,ｌ 個 は λ２ と 一 致 す る.以

解 とな

解 の う ち の ｋ 個 は λ1

上 よ り,

-a1=kλ1十lλ2

,k十i=2n

を 満 た す 整 数ｋ,ｌ が 存 在 す る こ とが わ か る ．  さ て,u=1,v=√-3と

お く と,λ1,λ2は

と 表 さ れ る.V=Cと

お く と,ｕ,ｖ

い て 線 形 独 立 で あ り,し 存 在 す る な ら ば(す の だ が),つ

は ス カ ラ ー を Ｑ と す る 線 形 空 間Vに

た が っ て,kλ1+lλ2=-a1を

で に,そ

の よ う なｋ,ｌ

満 た す 有 理 数ｋ,ｌ が が 存 在 す る こ と を確 認 し て あ る

ま り

を 満 た す 有 理 数ｋ,ｌ が 存 在 す る な らば,a1=aluな

と な り,ｕ,ｖ

が 得 ら れ る.よ

と な る.さ

お

ので

は 線 形 独 立 で あ る こ と か ら,

っ て,k=lで

ら に,k+l=2nだ

あ り,ま

た,

か ら al=5n

が 成 り立 つ こ とが わ か る.  

Ans. 

5n

 ４ 数

  "数 論",も

論

し くは"整 数 論"と 呼 ば れ る分 野 で の テ ー マ は,数

学 オ リンピ ッ

クで は 「整 数 に つ い て の 問 題 を解 くこ と」 で あ る.こ れ は 言 葉 の 意 味 か らす れ ば,ご

く当 然 の こ とで あ り,数 学 オ リ ン ピ ック に 限 らず,今 か ら200年

前の数

学 で も当 然 の こ とで あ っ た.一 方,現 代 の 数 学 で は 整 数 論 の 対 象 は,い わ ゆ る 整 数 に限 定 され ず,3+√5の

よ うな 数(こ れ を"整 数"と 考 え る.普 通 の 意 味

で は 有 理 数で す ら ない の に!)を   この 本 で の,"数

論"は,も

論 で あ り,テ ー マ は 整 数(と

調 べ る こ と も整 数 論 の 守 備 範 囲 に 含 まれ る.

ち ろ ん 数 学 オ リン ピ ックで の"狭 い 意 味 で の"数 有 理 数)で あ る.し か し,"狭

い 意 味 で の"と い っ

て もか な りの広 さで あ り,数 論 の ひ と とお りの初 歩 を 述べ る だ け で も 「こ の 本 に そ れ を書 くに は ペ ー ジ 数が 不 足 し て い る 」 とい う こ と に な る.   最 近 の 国際 数学 オ リン ピ ッ クの 問 題 にチ ャ レ ン ジ す る た め に は,数 論 の ひ と とお りの 初 歩 を知 って い な い と安 心 で き な い.し か し,幸 い な こ とに,日 学 オ リン ピ ッ ク予 選 な ら,あ る 問 題 が 多 い.こ

本数

ま り装 備 を 身 につ け て い な くて も解 くこ との で き

の章 で は,数 論 に 関 連 して 準 備 す る装 備 は 合 同 式 だ け に留 め

て,ど ん ど ん 問題 を 解 い て み る こ と に し よ う.

  4.1 

合

同

式

  合 同式 を使 って解 け る 問題 は 「割 った 余 りに着 目 して 考 え る」 と い うセ ン スで い ろ い ろ 工 夫 す れ ば,合

同 式 で 計 算 しな くて も解 くこ とが で き る.つ

ま り,原

理 的 に は 合 同 式 は 不 要 な の だ.し か し,合 同 式 とい う もの は,過 去 に 多 くの 数 学 者 が 生 み 出 した"色 々 な工 夫"を 結 晶化 し た よ うな もの で あ り,そ れ を用 い る

と,い

ち い ち 頭 で 考 え な くて も手 を 動 か し て 計 算 す る だ け で 結 論 を 得 る こ と が

で き る.合

同 式 は,と

に か く使 い や す い"マ

に つ け ら れ る も の な の で,こ

  4.1.1 

シ ー ン"な

の だ.ま

た,簡

単 に 身

の 際 に マ ス タ ー し て し ま お う.

合 同 式 の 定 義

  ２つ の 整 数ａ,ｂ に つ い て,ａ,ｂ

の 差 が 正 整 数ｍ

で 割 り切 れ る と き,

a≡bmodm と 書 き,

ａ はｂ と,ｍ

を法 と して 合 同で あ る

(a iscongruent to b modulo m) と い う.

 a≡bmodmの

と き, ｋ を 整 数 と し てa=b+kmと

ま た,a≡bmodmの

と き,ａ

表 す こ と が で き る.

を ｍ で 割 っ た 余 り とｂ をｍ

で 割 っ た 余 りは

等 し い. 例26. 13≡4mod9,13≡1mod3,100≡0mod4 16≡16mod17,33≡-1mod17,-3≡2mod5

  上 の 例 で,た

と え ば33≡-1mod17は,a=33,b=-1と

a -b=33-(-1)=34=17×2で

 4.1.2 

基

し て

本

あ る こ と か ら わ か る.

性

質

  合 同 式 の 基 本 性 質 を ま とめ て お く.い ず れ も証 明 は 難 し くな い.  ａ.同

値 関係

  合 同 式 で は 法 ｍ は 固 定 して 考 え る こ とが 多 い の だ が,最

初 に まず,法

え る と きの 性 質 を 片づ け て お こ う. 定 理 ６(合 同 式 の 性 質 １)正 整 数 ｎ が 正 整 数 ｍ の倍 数 で,か つ a≡bmodnな

らば a≡bmodm

を変

定 理 ７(合 同式 の 性 質 ２)任 意 の整 数ａ は 正 整 数 ｍ を法 と して   0,1,…,m-1の こ れ は,"余

い ず れ か と合 同 で あ る.

り"の 定 義 か ら わ か る.

  次 は,法

ｍ を 固定 して 考 え る と

  合 同 式"≡"は

等 号"＝"と

似 ている

と い う 主 張 で あ る. 定 理 ８(合 同 式 の 性 質 ３:同

値 関 係)

(１)a≡amodm (２)a≡bmodm 

な ら ば   b≡amodm

(３)a≡bmodm 

か つ   b≡cmodm

な らば a≡cmodm

た と え ば,(３)はa-b=mk,b-c=mlな

ら ば,

a -c=(ａ-b)+(b-c)=mk+ml

=m(k+l) で あ る こ と か ら わ か る.   ｂ.演

算 との 関係

  そ れ で は,も

っ と も 使 い で の あ る 性 質 に 行 こ う.こ

計 算 は 等 号"＝"の 定 理

９(合

計 算 と ほ と ん ど 同 じ 」 と い う こ と を い っ て い る.

同 式 の 計 算 法)a1≡a2modmか

つb1≡b2modmな

(１)a1+b1≡a2+b2modm (２)a1-b1≡a2-b2modm (３)a1・b1≡a2・b2modm

た と え ば(３)は,次

れ ら は,「 合 同 式"≡"の

の よ う に し て 導 か れ る. a1≡a2modmだ

か らa2=a1+mk

らば

b1≡b2modmだ と 表 さ れ,し

か らb2=b1+ml

たが っ て

a2b2=(a1+mk)(b1+ml) =a1b1+(a1l+kb1+mkl)m よ っ て,a2b2≡alb1modm.

 他 も同様 に 示 され る.

  4.1.3 

合 同 式 を用 い る問 題

  そ れ で は,合 同式 を用 い て 数 学 オ リ ンピ ッ クの 問 題 を 解 い て み よ う.た だ し, 「合 同 式 を用 い て 」 とい って も,単 に 余 りに 着 目 して い るだ け の もの か ら,合 同 式 を本 格 的 に使 って 計 算 す る 問題 まで,さ 問題

７.―

3a+5b(た

まざ まで あ る.

日本 数 学 オ リン ピ ッ ク 予 選2000[2］

だ し,ａ,ｂ は ０以 上 の 整 数)の 形 で 表 せ な い 自然 数 の 最

大値 を求 め よ.

[解 答]  数 論 の 問 題 で は,ま

ず"実

験"か

ら ス タ ー トす る の が よ い.

  小 さ い 数 か ら 順 に 調 べ て ゆ く とn=7が3a+5bの み つ か る(ａ,ｂ る が).こ で,７

形に表せ ない 数 として

と し て 負 の 数 も 許 容 す る な ら ば,7=3×(-1)+5×2と

れ よ り 大 き な 数 で は3a+5bの

が 答 え の 候 補 に な る.日

表せ

形 に 表 せ な い 数 は み つ け られ な い の

本 数 学 オ リン ピ ッ ク予 選 は 解 答 の み を 要 求 し て

い る の だ か ら,こ

の 候 補 に か け る こ と に し て他 の 問 題 へ 進 む こ と も考 え 得 る選

択 肢 で あ ろ う.し

か し,こ

n=3a+5bの

こ で は,n＞7な

ら ば,ａ,ｂ

形 に 表 せ る こ と を 証 明 し よ う.

  まず, 8=3×1+5×1 9=3×3+5×0 10=3×0+5×2

を負 で な い 整 数 と し て

で あ る.n＞7と

す る とｎ は,ｋ

を負 で な い 整 数 と して

n-3k=8 n-3k=9 n-3k=10 に い ず れ か の 形 で 表 さ れ る ． よ っ て,ｎ

は

n=3×(1+k)+5×1 n=3×(3+k)+5×O n=3×(0+k)+5×2

の い ず れ か の 形 で 表 され る. ― 問 題 ８.― 40C20を41で

 

Ans. 

7

日本 数 学 オ リン ピ ッ ク 予 選2000[8] 割 っ た 余 り を 求 め よ.

 ２ 通 りの ア プ ロ ー チ で 解 答 し て み よ う.

[解 答 １] と に か く腕 力 を振 る って 計 算 す る.

よ っ て 余 り は１.

そ ん な つ も り で は な か っ た が,結

果 と し て 計 算 力 の テ ス トに な っ て し ま った

か?!!

[解 答 ２] 余 りを求 め る の で あ るか ら合 同 式 を用 い て 40C20=1mod41 を 示 す.

40C20・20!=40×39×

…

×21

≡(-1)×(-2)×

…

× （-20)mod 

41

=(-1)20×20!

=20!

  よ っ て,(40C20-1)・20!≡0mod41.   41は

素 数 な の で,41と20!は

い).よ

っ て40C20-1≡0mod41で

互 い に 素(つ

ま り,±1以

外 の 公 約 数 を持 た な

あ り,40C20≡1mod41.  

Ans. 

  この 問題 の核 心 は 「41が 素 数 で あ る 」 とい う点 に あ る.(40C20-1)・20！ を 導 く まで の 計 算 が 重 要 そ うな の だ が,こ も成 立 す る.し か し,そ あ る.た と えば,素

の 計 算 は41の

こか ら先 の 議 論 で は41が

1

≡0

よ う な素 数 で な くて

素 数 で あ る こ とが 本 質 的 で

数 で な い 数 ９ を選 んで 8C4を ９で 割 った あ ま りを 求め よ

と した らど うな るだ ろ うか.こ

の場 合 も

8C4.4!=8.7.6.5

(-1)(-2)(-3)(-4)mod9 =(-1)44!=4! だか ら (8C4-1)4!≡0mod9 と な る の だ が,こ   実 際,804を

の 式 か ら8C4-1≡0mod9は

導 か れ な い.

計 算 し て み る と804=70で

(70-1)・4!は

と 主 張 し て い る こ と に な る.こ 正 し い の だ が,69単

あ り,(8C4-1)4!≡0mod9は

９の 倍 数

れ は,69と4!の

両 方 が ３ の 倍 数 だか ら確 か に

独 で は ９ の 倍 数 に は な れ な い.つ

ま り,(70-1)・4!は

９

の 倍 数 と な る た め に,4!の 能 性 が あ る か ら こ そ,上 で あ る こ と,つ

因 数 ３ の 助 け を 借 りて い た わ け だ.こ の 解 答 で は 「41は 素 数 な の で,41と20!は

ま り,「20!は(40C20-1)・20!が41の

の よ うな 可 互 いに素」

倍 数 で あ るた め の 助 け

に な っ て い な い こ と 」 を 確 認 し た わ け だ.   合 同 式"≡"の

計 算 は 等 式"＝"の

計 算 と ほ と ん ど 平 行 し て 行 え る.し

か し,

等式 では ac=bc→a=b はc=0で

な け れ ば 成 り立 つ の だ が,合

同 式 で はc≠0modnで

あ って も

ac≡bcmodn→a≡bmodn

が 成 り立 つ と は 限 らな い.こ れ が 成 り立 つ た め に は,c〓0modnだ 十 分 で"ｃ と ｎ は 互 い に素"で な け れ ば な ら な い.こ

けでは不

こが 合 同 式 の 計 算 で 細 心

の 注 意 を 要 す る と こ ろで あ り,ま た,問 題 の ネ タに も な る と こ ろで あ る.   上 の 問 題 の 結 果 は,一 般 に は 次 の 命 題 と な る. 定 理10.p≧3が

素数の とき

[証 明]p-1/2=mと

お く と,

p-1Cm・m!=(p-1)(p-2)…(p-1-m+1)

≡(-1)(-2)…(-m)modp

=(-1)mm! よって (p-1Cm-(-1)m)m!≡0modp ｐは 素 数 な の で,ｐ

とｍ!は

互 い に 素 で あ り,

p-1Cm≡(-1)mmodp

な お,(-1)m=±1の±

は ｍ の 偶 奇 で 決 ま る の で,ｐ

素 数 な ら+1,４

で 割 っ て ３ 余 る 素 数 な ら-1で

―問 題 ９.―

日 本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選1999[7]

が ４ で 割 っ て １余 る

あ る.

1999!/10n が 整 数 と な る よ うな 自然 数ｎ の 最 大 値,お1999!/10n  よび,こ の と き の の 一 の位 の 数 字 を 答 え よ.

 コ メ ン ト

  持 っ て 回 っ た 表 現 の 問 題 文 に み え る が,実 い を し な い た め の サ ー ビ スで あ る.す

は こ の 問 題 文 は,典

型 的 な思 い 違

っ き り と 出題 す る な らば

  「1999!の 末 尾 に 連 続 し て つ く ０ の 個 数 は い くつ か 」 と で も 問 え ば よ い の だ が,こ

うす る と(表 現 が 多 少 曖 昧 だ と い う こ と は 措 く

こ と に し て も),「2×5=10と

い う形 で 末 尾 の ０が 供 給 さ れ,偶

は ５ の 倍 数 よ り多 い の だ か ら,１ か ら1999ま れ ば よ い 」 と考 え が ち な の だ.し か ら35ま

供 給 し て い る.こ

での ５の倍 数 の個 数 を数 え

か し,こ れ は 違 う.た と え ば,35!で

で の うち ５,15,20,25,30,35の

は な く)57を

数の 個 数

は １

６個 の ５ の 倍 数 に よ っ て(56で

れ が 典 型 的 な 落 と し 穴 で あ る.し

か し,「お

の 一 の 位 の 数 字 を 答 え よ」 と い う と こ ろ ま で 踏 み 込 ん よび こ の と きの1999!/10n で あ る と,イ ー ジ ー な評 価 で は 答 え られ な い の で,か

え っ て 間違 い が 避 け ら

れ る の だ.

[解 答]  積10の

1999!の

末 尾 に つ く０ は,１

０ と み ら れ る.よ

よ り1999ま

っ て ま ず,1999!の

で の 各 整 数 の 素 因 数 ５,２ の

中 に あ る 素 因 数 ５,２ の 個 数 を 求

め て み る.   「１ よ り1999ま

で の 各 整 数 の 素 因 数 ５の 個 数 の 総 和 は

  [1999/5]+[1999/52]+[1999/53]+[1999/54]=399+79+15+3=496

であ る」 とい う公 式 を 知 って い る な らば,即 座 に計 算 す る こ とが で き る.こ [ｘ]は"ｘ を 超 え な い 最 大 の 整 数"を 表 す(［］ １よ り1999ま

を ガ ウ ス 記 号 とい う).同 様 に,

で の 各 整 数 の 素 因 数 ２の 個 数 の 総 和 は

  [1999/2]+[1999/22]+…+[1999/210]

こで,記 号

=999+499+249+124+62+31+15+7+3+1=2020

で あ る.   一 般 に,ｐ

を 素 数 と し て,n!の

中 に あ る素 因 数 ｐ の個 数 は

で 与 え ら れ る(一 見,無 限 数 列 に み え るがpk＞nと は ０に な るの で,実

な るｋ に つ い て は[n/pk]

際 は 有 限 数 列 で あ る).

  こ の 公 式 を使 え ば,素

因 数 ２ の 個 数 の2020は

大 で あ るか ら,末 尾 の ０ の個 数 はn=496個

素 因 数 ５の 個 数 の496よ

り

で あ る こ とが わ か る.

ま た1999!/2496×5496=1999!/10496は 偶 数 で あ る こ と もわ か る   こ の公 式 を導 くの は 難 し くな い.ま た,覚 で,こ

え て お くと便 利 な 公 式 で は あ る の

の 公 式 を前 提 と して 解 答 を書 い て も よ い の だ が,問 題 の 後 半 「こ の と き

の 1999!/10n の 一 の位 の 数 字 を答 え よ 」の 解 答 を得 るプ ロ セ ス に は この 公 式 の 導 出 も 含 まれ て し ま う.そ

れ で は,公

式 を 前 提 とせ ず に,「 素 因 数 ５ の 個 数 を シ ス テ

マ テ ィッ ク に 数 え る 」 と い う 目 的 意 識 で1・2・3…1999を ず,1･2･3…1999に

変 形 し て み よ う.ま

現 れ る ５ の 倍 数 を す べ て １ に 置 き 換 え,５

の 倍 数で ま とめ て 整 理 す る と

1・2・3・4・5・6・7・8・9・10・11…1998・1999

=1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11…1998・1999

×(5・10・15・20・25・30…1995) =1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11…1998・1999

×5399(1・2・3・4・5・6…399)

(5399の 次 の括 弧 の 中 も 同様 の 変 形 をす る と) =1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11…

×5399(1・2・3・4・1・6…399) ×(5・10・15…395)

  1998・1999

の倍 数は ５

=1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11…

×5399(1・2・3・4・1・6…

×579(1・2・3…

  1998・1999

  399)

  79)

(さ らに 同 じ操 作 を繰 り返 して ゆ く と) =1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11・12・13・14・1…1999

×5399(1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11・12・13・14・1…399)

×579(1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11・12・13・14・1…79)

×515(1.2.3.4.1.6.7.8.9.1.11.12.13.14.1)

×53(1.2.3)

  こ こ で,399,79,15,３ [1999/54]で

あ り,よ

は,そ っ て,素

れ ぞ れ,[1999/5],[1999/52],[1999/53],

因 数 ５の 個 数 の 総 和 は

[1999/5]+[1999/52]+[1999/53]+[1999/54]=399+79+15+3=496 と な る.ま

1999!/5496

た,

=(1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11・12・13・14・1…1999)

×(1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11・12・13・14・1…399)

×(1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11・12・13・14・1…79)

×(1.2.3.4.1.6.7.8.9.1.11.12.13.14.1)

×(1.2.3)

と な る.こ

れ を10で

割 っ た 余 り を 求 め た い の だ が,そ

割 っ た 余 り を 求 め る.つ

ま り,５

を 法 と す る 合 同 式 で 計 算 す る.こ

1・2・3・4・1・6・7・8・9・1・11・12・13・14・1…

の 形 の積 は,法

の た め に,こ

を ５ とす る 合 同 式 で は 1・2・3・4・1・1・2・3・4・1・1・2・3・4・1…

れ を ５で の と き,

と 合 同 で あ り,1・2・3・4・1と

1999!/5496

い う長 さ ５ の パ タ ー ン の 繰 り返 し に な る.よ

って

≡(1・2・3・4・1)399・1・2・3・4

×(1.2.3.4.1)79.1.2.3.4

×(1・2・3・4・1)15・1・2・3・4

×(1.2.3.4.1)3

× 1.2.3

こ こ で,1・2・3・4・1≡-1mod5で

あ る こ と に 注 意 して 上 の 式 を計 算 す る

と,４

と 合 同 で あ る こ とが わ か る.よ

り,ま

た,こ

を ５で 割 っ た 余 りは ４ で あ

っ て,

れ が 偶 数 で あ る こ と は す で に わ か っ て い る の で,10で

は ４ で あ る こ と が わ か る(0,1,2,…,9の

割 った 余 り

う ちで ５ で 割 って ４ 余 る 偶 数 は ４

だ け で あ る)． Ans. ｎ

の 最 大 値 は496,1999!/10496の 一 の 位 の 数 字 は ４

 コ メ ン ト

  数 式 処 理 ソ フ トを使 っ て1999!を

計 算 し て み る と,1999!は5733桁

の 数 で,

 と な る.

  4.1.4 

中国式剰余定理

  次 の 問 題 を解 くため に は,中 国 式 剰 余 定 理 とい う定 理が 必 要 で あ る … … と い え ば,そ

うな の だ が,知

らな け れ ば 解 け な い か とい うと,そ ん な こ と は な い.

この 問 題 で は,n=30=2・3・5と

して 「１か ら30ま

れ ぞ れ で 割 っ た余 り」が 問 題 に な る の だ が,こ

で の 数 を ２,３,５の そ

の よ うな 具 体 的 な 設 定 で は,中

国 式 剰 余 定 理 とい う一 般 論 を知 らな くて も直 感 に 頼 って 切 り抜 け る こ と も可 能 で あ る(し ば しば,誤

った 直 感 的推 論 だ が 結 果 だ け は 正 しい とい うこ と もあ る

の だ が).   そ れ で は,こ の 場 合 の"中 国 式 剰 余 定 理"を 述 べ て み よ う.

  ｊ を１,２,３,…,30の り,5で

い ず れ か と し て,ｊ

に ２ で 割 っ た 余 り,３

割 っ た 余 り の ト リ プ ル を 対 応 さ せ る.た

j=24に

は(0,0,4)を

い ず れ か,第

対 応 さ せ る.こ

今 の と こ ろ,こ

まで の 数 が(１

に,こ

３成 分 は ０ ,１,２,３,４の い ず れ か り つ くれ る が,

つ だ け)対

れ ら の パ タ ー ン の そ れ ぞ れ に 対 し て,１

応 す る と い う こ と で あ る.た み つ か り,そ

  こ う な る 理 由 は,１,２,３,…,30に

に な る.し

リ フ゜ ル の 第 １成 分 は ０,１の

れ ら の パ タ ー ン は,2×3×5=30通

を 探 す とj=13が

る と,よ

は(1,2,2),

れ ら の パ タ ー ン の す べ て が 現 れ る か ど う か は わ か ら な い.中

式 剰 余 定 理 の 主 張 は,逆

す るｊ

う す る と,ト

２成 分 は ０,１,２の い ず れ か,第

と い うパ タ ー ン に な る.こ

と え ば,j=17に

で 割 った 余

くわ か る は ず だ.ト た が っ て,仮

か ら30

と え ば,(1,1,3)に

対応

れ 以 外 に は 存 在 し な い.

トリプ ル を対 応 させ る表 を 自分で 書 い て み

リプ ル の 成 分 は,そ

にj1,j2が

れ ぞ れ 周 期 ２,３,５の 繰 り返 し

同 じ ト リ プ ル を も っ た と す る と,

 ● 第 １成 分 が 一 致 す る の で,j2-j1は

第 １成 分 の 周 期 ２ で 割 り切 れ る

 ● 第 ２成 分 が 一 致 す る の で,j2-j1は

第 ２成 分 の 周 期 ３ で 割 り切 れ る

 ●第 ３成 分 が 一 致 す る の で,j2-j1は

第 ３成 分 の 周 期 ５ で 割 り切 れ る

と い う こ と に な り,j2-j1は る.し

か し,こ

で あ る.し

２,３,５の 最 小 公 倍 数30で

れ は,1≦j1,j2≦30だ

た が っ て,１,２,３,…,30に

ト リ プ ル の パ タ ー ン は30通

国

か ら(j1=j2で は,そ

割 り切 れ る こ と に な な い か ぎ り)不

可能

れ ぞ れ 異 な っ た ト リ プ ル が 対 応 し,

り し か な い の で,す

べ て の トリプ ル が １回ず つ 現

れ る こ と が 結 論 さ れ る.   同 じ 推 論 で,n=420=3×4×5×7に 割 っ た 余 り"と

対 し て も,"３,４,５,７ の そ れ ぞ れ で

い う デ ー タ か ら １,２,３,…,420の

う ち の １つ の 数 が 確 定 す る,

と い う こ と が 導 か れ る.   中 国 式 剰 余 定 理 は,こ

れ を 一 般 論 と し て 述 べ た も の で あ る.こ

す れ ば 一 般 論 ま で 拡 張 す る の も 難 し く な い が,き

本 で は 扱 わ な い こ と に す る.   そ れ で は,問

題 を 解 い て み よ う.

明

ちん と証 明 を記 述 し よ う とす

る と 別 の ア プ ロ ー チ で 証 明 し た 方 が 簡 潔 に 書 け る.だ の ア プ ロ ー チ で 証 明 を 書 く の も い や な の で,中

こ まで,説

か ら と い っ て,今

さ ら別

国 式 剰 余 定 理 の 一 般 論 は,こ

の

 

問 題10.−

日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選2000[12}

数 列a1,a2,a3,…,a30は

以 下 の 条 件(ⅰ),(ⅱ)を

満 た す.こ

の よ うな

数 列 は 何 通 りあ る か. 条件 (ⅰ)a1,a2,a3,…,a30は (ⅱ)ｍ

自 然 数 １,２,３,…,30の

が ２,３,５の そ れ ぞ れ の 場 合,1≦n
 (注)た (ⅱ)を

並 べ 換 え で あ る.  なる

ｍ で 割 り切 れ る.

と え ば,a1=1,a2=2,a3=3,…,a30=30は

条 件(ｉ),

満 た す.

[解 答]  条 件 を 満 た す 数 列{ai}の

各 項aiを

表 す と,数

り,１ つ お き に 同 じ 数 に な り,(ⅰ)よ

列{αi}は

条 件(ⅱ)よ

２で 割 っ た 余 り(mod2)をaiで

と し て ０,１,０,１,…,０,１ と １,０,１,０,…,１,０ の ２ 通 り(つ の 項 を ０,１の 順 列 と し て つ く る 場 合 の 数)の 数 列,た

と え ば １,１,１,１,…,１ で は,(こ

り{αi}

ま り,最

初 の ２つ

パ タ ー ン が あ り得 る.そ

れ 以外の

の 場 合 偶 数 が 現 れ ず)「 １,２,３,…,30

の 並 べ 替 え で あ る 」 と い う条 件 が 満 た され な い.   同 様 に 考 え て,  

aimod3が

つ く る 数 列{βi}の

周 期 は ３ に な り,3!通

り

 

aimod5が

つ く る 数 列{γi}の

周 期 は ５ に な り,5!通

り

あ り得 る.   ２,３,5で 割 っ た余 りを 指定 す る と １か ら30ま

で の 数が １つ だ け 確 定 す るの

で,問 題 の 条 件 を満 た す 数 列 は{αi},{βi},{γi}を

指 定 す る こ と に よ り定 め

られ る.よ っ て,求 め る答 え は 2!×3!×5!=2×6×120=1440

 

Ans. 

1440

  4.2 

  4.2.1 

不

等

そ の他 の テ ク ニ ッ ク

式

  「あ る 条 件 を満 た す 実 数 を 求 め よ 」 とい うタ イプ の 問 題,特

に 「方 程 式 の 解

を求 め よ 」 とい う問 題 で は,「すべ て の 可 能 性 を 総 当 た り的 に 調 べ 尽 くす 」 と い うア プ ロ ーチ は使 え な い.当 た り前 の こ とだ が,実 数 が 無 限個 あ るか らで あ る. さ らに,不 等 式 を うま く使 って,解 の 存 在 す る可 能性 がa≦x≦bの

範 囲だ け

で あ る と わ か った と し て も,や は り,総 当 た り的 ア プ ロ ーチ は不 可 能 で あ る.   一 方,「あ る 条 件 を満 た す 整 数 を 求 め よ」 とい う タ イプ の 問 題 とな る と,事 情 は か な り違 っ て くる.も ち ろ ん,こ の 場 合 も整 数 は 無 限 個 あ る の で総 当 た り的 ア プ ロ ー チ は 不 可 能 な の だ が,も

し も不 等 式 を う ま く使 っ てa≦n≦bの

範

囲 に 絞 り込 め た とす る と,こ の 範 囲 の 整 数 は 有 限 個 しか な い の で 総 当 た り的 ア プ ロ ーチ も可 能 に な る.実 際 に は,試 験 時 間 とい う制 約が あ るの で,有 い っ て もか な り小 さな 有 限個 で な くて は 処 理 し きれ な い.そ

こで,不

限個 と

等式 を 料

理 す る腕 と,そ の他 さ まざ まな トッ ピ ン グ を用 い て,「い か に 小 さ な可 能性 まで 要 領 よ く絞 り込 む か 」 と い う とこ ろ が 腕 の 見 せ ど こ ろ と な る ． ― 問 題11.―

日本 数 学 オ リン ピ ッ ク 予 選1999[9］

n=abc+abd+acd+bcd-1/abcdが 整 数 と な る よ う な 自然 数a≧b≧c≧d＞1 の 組(a,b,c,d)を

す べ て 求 め,そ

[解 答]  この 問題 は,も

のａ

の 値 を す べ て 答 え よ.

ち ろん 「数 論 の 問 題 と い う よ りは不 等 式 の 問 題 」で あ

る.数 論 ら し い とこ ろ は, nabcd=bcd+acd+abd+abc-1 だ か ら,a,b,c,dは 持 た な い)と ｍ

互 い に 素 で あ る(つ

ま り,ど

結 論 す る と こ ろ く ら い で あ る.こ

を 持 つ と,abcd,bcd,acd,abcは

の ペ ア も ±1以

れ は,た

と え ばａ

す べ て ｍ の 倍 数 に な り,ｍ

る こ と に な っ て し ま う こ と か ら わ か る.こ

う し て,a,b,c,dは

外の公約 数を とｄ が 公 約 数 は １ を 割 り切

互 い に 素 で あ り,

特 にa＞b＞c＞dで

あ る こ と も結 論 され る の だが,こ

こか ら 後 は,も

っぱ ら

不 等 式 の 問題 に な る.要 点 は,「あ る 数 よ り小 さな 自然 数 は 有 限個 し か な い の で, 全 部 を チ ェッ クす る こ とが で き る」 と い うこ とで あ る.

① に お い て,a≧b≧c≧d≧2で

  よ っ て,n=1で d=2,ま

あ るか ら

か つ 上 の 不 等 式 か ら1<4/dと

た はd=3で

あ る.ま

たn=1と

な る の でd≦3,す

なわち

して ① よ り

② が 成 り立 つ.  (ｉ)d=3の

と き,①

  よ っ てc＜92で

あ る.こ

  こ こ か ら,さ だ け な ら,次

よ り

ら に 不 等 式 で ｂ の 候 補 を 絞 り込 む こ と も で き る が,文

し て い る の で,②

の 両 辺 に ５ を か け て"因

よ り5ab=12a+12b-1が

数 分 解"を

素 数 だ か ら5a-12,5b-12の

が,こ

れ は11,も

し くは13が

て,こ

の 場 合,整

数 解 は な い.

  (ⅱ)d=2の

り,c=4 字 がａ,ｂ

の よ う に 因 数 分 解 を 用 い て 約 数 と 絡 ま せ て 絞 り込 ん で も よ い.

  d=3,c=4と

で,139は

れ とc＞d=3よ

と き,①

  こ れ か らc＜6.さ に 素 だ か ら,c=3,5の

得 ら れ る.こ

す る と,(5a-12)(5b-12)=139 ど ち ら か は ±1で

.こ

こ

な け れ ば な らな い

５ の 倍 数 で あ る こ と を 意 味 し 矛 盾 す る.よ

っ

より

ら に,c＞d=2よ い ず れ か.

りc=3,4,5で

あ り,ｃ

と ｄは互 い

  c=5な

ら ② よ り3ab=10a+10b-1で

(3a-10)(3b-10)=97.こ    c=3な

あ り,"因

の 場 合 も,整

あ り,(a-6)(b-6)=35.

こ こ で,35=35×1,35=7×5の

そ れ ぞ れ か らａ,ｂ

(a,b)=(41,7),(13,11)と

る と,

数 解 が な い こ と が 確 か め ら れ る.

ら ② よ りab=6ａ+6b-1で

い う 解 が 見 つ か る(そ

35=(-5)×(-7)か

数 分 解"す

が 求 め ら れ,

の 他 の ケ ー ス,た

とえば

ら は 問 題 の 条 件 を 満 た す 解 が 得 られ な い こ と も確 か め

て お く).   以 上 か ら,(n,a,b,c,d)=(1,13,11,3,2),(1,41,7,3,2)な

る ２組 の 解 が 存

在 す る こ と が わ か る.  

Ans. 

13,41

 コ メ ン ト

 この 問 題 の 後 半 で 用 い た テ ク ニ ッ ク は,一 般 的 に い え ば,「ａ,ｂはab=nを 満 た す 実 数 で あ る 」 と い う条 件 で はａ,ｂ と して 無 限 通 りの 可 能 性 が あ る が, 「ａ,ｂはab=nを か な い,と

満 た す 整 数 で あ る 」 とい う条 件 を 満 た すａ,ｂ は 有 限 個 し

い う こ とで あ る.こ

れ も,不 等 式 と並 ん で,"整

数 の 問 題"で 役

に 立 つ テ クニ ッ クで あ る.

  4.2.2    "数"は

数

の

表

記

数 学 の 対 象 だ が,"数

の 表 記"は,「

し ろ 人 間 の 側 に 属 す る 問 題 で あ る.た

ど の よ うに 数 を 表 す か 」 と い う,む

と え ば,"22"に

数 字 が ２ 個 並 ん で い る と い う 特 徴 を 持 つ(こ い う こ と を い っ た 場 合,こ る だ ろ う か.そ 数22は,人 う 記 号 を22個

れ は22と

う で は な い.こ

つ い て 「22は

２ とい う

の 特 徴 を 持 つ 次 の 数 は333)」

と

い う数 に つ い て の性 質 を述 べ た こ とに な

れ は 十 進 法 を 用 い て 表 現 し た か ら の 話 で あ っ て,

間 に と っ て の 把 握 し づ ら さ を 無 視 す る な らば,た

と え ば"１"と

い

並べて 1111111111111111111111

と表 す こ とに し て もか まわ な い(こ の 場 合,西

暦 を 用 い て 年 号 を 表 そ う とす る

とど ん な こ とに な る か は 言 う まで もな い が).し

か し,い か に使 い づ ら い もの で

あ って も,原 理 的 に は 数 の 表 記 と して 立 派 に 通 用 す る.そ し て,こ の 表 記 で は

上 に 述べ た た ぐ い の"特 徴"は すべ て 消 滅 す る.   な に を 言 い た い か とい う と,「数 の表 記 」 に 関 連 した 問題 は,あ 記"に 関 わ る の で あ っ て,"数"の

くまで も"表

性 質 そ の もの に 関 わ るの で は な い と い うこ と

で あ る.し た が って,そ れ は 「数 論 」 に は属 さず,む 適 切 で あ る(こ れ が 「数 論 」 の 章 の 中 で,わ

しろ,パ ズ ル と考 え た方 が

ざ わ ざ この よ うな 短 い 節 をつ くっ

た 理 由で あ る).   そ うは 言 っ て も,「数 の 表 記 」 に 関 す る問 題 は我 々 に な じみ 深 く,素 直 に 楽 し めば,そ

れ な りに 楽 しめ る.ま た,問 題 自 身 は 「数 論 」 で は な くと も,そ の 問

題 を 解 くテ クニ ッ ク と して は 数 論 が 使 わ れ る の だ.そ の よ うな わ け で,「数 の 表 記 」 の 問 題 は 数 学 オ リン ピ ッ ク問 題 と し て,よ

く出 題 され る こ と に な る.

  それ で は,「数 の 表 記 」の 問 題 に必 要 な"予 備 知 識"を 述 べ て お こ う.そ れ は,  た と え ば,1905を "1

,9,0,5"の

る 右 辺 の"係

十 進 法 で 表 し た 表 記"1905"に

お け る各 桁 の 数 字

役 割 は,1905=1×103+9×102+0×10+5に 数"で

おけ

あ る

と い う こ と だ け で あ る.も

し,十

進 法 で な く ７進 法 を 用 い る な らば ,

1905=5×73+3×72+6×7+1×1

で あ る こ と か ら,右

辺 の"係

数"5,3,6,1が1905の7進

法 に よ る 表 記"5361"

を 与 え る こ と に な る.

―問 題12.―

日本 数 学 オ リン ピ ッ ク 予 選1999[3]

1991≦n≦1999で

あ る 自然 数

ｎ で,次

の性 質 を満 た す もの す べ

て を 求 め よ. 「ｎ の ３乗n3を は

一 の 位 か ら左 へ ３桁 ず つ に 区 切 っ て で き る 数 の 和

ｎ に 等 し い 」.

(例)n=1990と

し て み る と,19903=7,880,599,000．

=7+880十599+000=1486≠1990で

[解 答]  こ の 問 題 で は1991≦n≦1999の

よ って 和

上の性 質を満た さない.

各 々 でn3を

計 算 し て,求

め る性

質 を 持 つ か 否 か を 確 か め る こ と に な る.   予 選 の 一 問 題 当 た りの 平 均 消 費 時 間 は15分

で あ る こ と を 念 頭 に お い て,早

く 正 確 に 計 算 す る に は ど う す べ き か を 考 え る 必 要 が あ る.   n3の が,０

計 算 に は(1990+m)3か(2000-m)3,こ の 多 い2000の

こ で1≦m≦9,を

用 い る

方 が 有 利 の よ う で あ る.

  で は,n=1999=2000-1か

ら 始 め る.

n3=(2000-1)3 =8×109-12×106+6×103-1

十 進 法 で の 表 示 と関 連 づ け る た め に は,"−"で の で,"上

項 が 結 ば れ て い た の で は まず い

の 位 か ら １ を借 りて くる"操 作 をす る と,

n3=(8-1)×109+(1000-12)×106+(6-1)×103+(1000-1)

よ っ て8-1,1000-12,6-1,1000-1の

４ つ の 数 に 区 切 ら れ る.つ

8-1=7,1000-12=988,6-1=5,1000-1=999だ

ま り,

か ら

n3=7,988,005,999

と な る.よ

っ て 求 め る 和 は8-1+1000-12+6-1+1000-1=2000-1.

  以 上 の 計 算 は 一 般 に 書 く こ と が で き そ う で あ る.以   題 意 を 満 た す ｎ を2000-kと

す る,こ

こ でｋ

下 の 解 答 が 得 ら れ る.

は1≦k≦9で

あ る 自 然 数.

(2000-k)3=8×109-12×106×k+6×103×k2-k3 =(8-1)×109+(1000-12k)×106×k+(6k2-1)×103 +(1000-k3)

よっ て,

8-1,1000-12k,6k2-1,1000-k3 の ４ つ の 数 に 区 切 ら れ る.し し くな る の は

た が っ て,３

桁 ず つ 区 切 っ た 和 が2000-kと

等

8-1+1000-12k+6k2-1+1000-k3=2000-k が 成 り立 つ と き,つ

ま り

k3 -6k2+11k-6=(k-1)(k-2)(k-3)=0 が 成 り 立 つ と きで あ る.よ

っ て,k=1,2,3で

あ り,求

め るｎ

は

n=1997,1998,1999

 

  4.2.3 

Ans. 

1997,1998,1999

パ ラ メータ表示

  第 ２章 で,パ

ラ メ ー タ 表 示 に つ い て 紹 介 し た が,そ

感 じ が す る.残

念 な が ら,パ

れ だ け で は 多 少 物 足 りな い

ラ メ ー タ 表 示 に 絡 ん だ 数 論 の 問 題 は1999年,2000

年 度 の 日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選 問 題 に は な い の で,代

わ り に"古

典"を

扱 う

こ と に し よ う.   次 の 例 は,パ

例27.座

ラ メ ー タ 表 示 の"御

利 益"を

味 わ え る 古 典 的 な 例 で あ る.

標 平 面 にお い て,x-座 標,y-座 標 共 に有 理 数 で あ る点 を 有 理 点 とい う.

単 位 円上 の 有 理 点 の 集 合

{(x,y)∈Q2￨x2+y2=1} か ら 点(-1,0)を

除 い た 集 合 は 有 理 数ｔ を パ ラ メ ー タ と し て

と 表 さ れ る.

  こ の パ ラ メ ー タ表 示 は 「点(-1,0)を

通 り ｙ-軸と 点(0,t)で

交 わ る直 線 が 単

位 円 と交 わ る座 標 」 を 計 算 す る こ とに よ り得 られ る.こ れ が 実 際 に 単 位 円上 の 有 理 点(点(-1,0)以

外 の だ が)を

す べ て 網 羅 し て い る こ との 検 証 も含 め て,

この 例 の 結 論 を確 か め るの は そ れ ほ ど 難 し い こ とで は な い.余 裕 が あ れ ば や っ

て み る と よ い.し

か し,こ

こ で は,こ

の パ ラ メ ー タ表 示 か ら ピ タ ゴ ラ ス数 を い

くつ か つ くっ て 楽 し む だ け に 留 め て お こ う.

  上 の パ ラ メー タ表 示 に,有 理 数ｔ をt=b/aと

と な り,し

お い て代 入 し,整 理 す る と

たが って

とな るは ず で あ る.こ

の等 式 の 分 母 を 払 う と

(a2-b2)2+(2ab)2=(a2+b2)2 とな る が,こ の 等 式 が 成 り立 つ こ とは 直 接 計 算 して も簡 単 に確 か め られ る.ａ,ｂ に 適 当 に 整 数 を代 入 す る と, X=a2-b2,Y=2ab,Z=a2+b2 は 等 式X2+Y2=Z2を

満 た す 整 数,つ

ま りピ タゴ ラ ス 数 に な る.こ の よ う

に して ピ タゴ ラ ス 数 を大 量 生 産 す る 手段 が 得 られ る ． 例28.a=2,b=1と   ま た,a=10,b=7と

選 ぶ とX=3,Y=4,Z=5と

な り32+42=52.

す る とX=61,Y=140,Z=149と

な り

512+1402(=2601+19600=22201)=1492 a=2002,b=777と

す る とX=3404275,Y=3111108,Z=4611733と

な り

34042752+31111082(=11589088275625+9678992987664 =21268081263289)=46117332

 コ メ ン ト

  単 位 円 上(た

だ し(-1,0)を

除 く)の 有 理 点 の パ ラ メ ー タ 表 示

 に お い て,パ

ラ メー タｔ が 有 理 数 だ け で な く実 数 全 部 を 動 い て よい とす る

と,こ れ は 単 位 円(た だ し(-1,0)を

除 く)の パ ラ メ ー タ 表 示 に な って い る ．

しか し,単 位 円 の パ ラ メー タ表 示 な ら ば

{(cosθ,sinθ)｜0≦

θ＜2π}

もあ る わ け で(そ の 他 に もい く らで もあ る),こ タ 表 示 と し て は,点(-1,0)を タ 表 示 の 決 定 的利 点 は,逆

ち ら の 方 が 単 位 円 のパ ラ メ ー

除 く必 要 もな く優 れ て い る.前 者 の パ ラ メ ー に い う な らば 「ｔを 有 理 数 に 制 限 す る だ け で,単

位 円 上 の 有 理 点 の パ ラ メ ー タ表 示 が 得 ら れ る 」 と い うこ と な の だ.

 

５

 組 合 せ 論 とグ ラフ

 5.1  順 列,組

合 せ

 有 限 集 合 Ｘ の 要 素 の 総 数― こ れ を￨Ｘ￨で 示 す― を 求 め る に は 集 合 Ｘ を い くつ か の 部 分 集 合Y1,Y2,…,Ynの  

X=Y1∪Y2∪

直 和,す な わ ち

…UYn,こ

に 分 割 し,各 々 の 部 分 集 合Yiの こ れ は 「Ｘ をY1,…Ynに

こ で 任 意 のi≠jでYi∩Yj=φ

要 素 の 個 数￨Yi￨の 和 を 求 め るの が 基 本 で あ る.

場 合 分 け す る」 と い う こ とで あ り,個 数 を 数 え あ

げ るた め の 基 本 的 手 段 とな る.以 下 に述 べ る 集 合 の 演 算 や 順 列,組 合 せ を用 い る と,も っ と 簡 単 に答 えが 求 ま る こ と もあ る.

  5.1.1 

順列

  ａ.順

 列

  い くつ か の もの― 対 象 と よぶ― を 一列 に並 べ た もの を順 列 とい う.互 い に 区 別 で き る(互 い に 相 異 な る)ｎ 個 の 対 象 の 順 列 の総 数 を考 え る,ま ず １番 目の 対 象 の 選 び 方 がｎ 通 りあ り,２ 番 目の 対 象 の 選 び 方 がn-1通 最 後 の 対 象 の選び 方 が １通 りあ る.よ

りあ り,…

…,

って その 総 数 は

n!=n・(n-1)・(n-2)・3・2・1

通 り で あ る. 例29.８

チ ー ム か ら な る サ ッ カ ー リ ー グ の シ ー ズ ン 終 了 時 の 成 績 順 位 は,同

位 が な い と す る と8!=40320通

り あ る.

順

kn

  ｂ.ｎ 個 か らｋ 個 の 順 列   相 異 な るｎ 個 の 対 象 か らｋ 個 を と り並 べ る順 列 の 総 数 を 考 え る.こ k≦nで

こで

あ る.ま ず １番 目の対 象 の 選 び 方 がｎ 通 りあ り,２ 番 目の 対 象 の 選 び

方 がn-1通

りあ り,…

…,ｋ 番 目の 対 象 の 選 び 方 がn-k+1通

りあ る.

よ って そ の 総 数 は

通 りで あ る.   ｃ.円

順

列

  相 異 な るｎ 個 の 対 象 か らｋ 個 を と り,円 周 上 に 並 べ る 順 列 の 総 数 を 考 え る. こ こでk≦nで

あ る,そ れ を適 当 に 回 転 した もの を 同 じ順 列 と考 えれ ば,上 の

場 合 の 数 を ｎ で割 っ た

通 りで あ る.   さら に,「円 順 列 を 裏 返 した もの も 同 じ とみ な す 」 と し て 数 珠 順 列 など と い う もの も考 え られ る の だが,こ

の 位 に な る と問 題 文 を 誤 解 の 生 じな い よ うに正 確

に 記 述 す る こ と の 方が 難 問 に な っ て くる.   ｄ.無 制 限 の 重 複 順 列   対 象 が ｋ 個 の タ イプ に分 け られ て,各

タ イプ に 属 す る対 象 は い くつ もあ り互

い に 区 別 で き な い と す る.こ の 対 象ｎ 個 の 順 列 の 総 数 を考 え る と,こ の 場 合 は 順 列 の １番 目,２ 番 目,……

の 要素 を そ れ ぞ れｋ 個 の タ イプ の 中か ら 選べ る

ので,

通 りの順 列 が あ る. 例30.０

も ６ も含 まな い ４桁 の正 の 整 数 の 総 数 は84個

で あ る.(同 じ よ うだ

が,「１ も ６ も含 まな い … … 」 とす る と 「最 高 桁 が ０か ら始 まる わ け が な い 」 の で,も

う少 し慎 重 に数 え な け れ ば な らな い.)

  ｅ.制 限 付 きの 重 複 順 列   対 象がｋ 個 の タ イプ に 分 け られ て い る とす る.そ し て,こ の場 合 タ イプ １の 対 象 はｎ1個

しか な く,タ イプ ２の 対 象 はｎ2個

の 対 象 はnk個

で,し

しか な く,…

…,タ

イプｋ

か もそ れ ら対 象 の 総 計 はn1+n2+…+nk=nで

あ

る とす る.こ の 場 合 の 対 象ｎ 個 の 順 列 の 総 数 を 考 え る.ま ずｎ 個 の 対 象 に 番 号 をつ け る な ど し て 全 部 異 な って る とみ な す と,ｎ 個 の順 列 はn!通 とに な る.こ こ で 再 び,各 イプ １のn1個

タ イプ の 対 象 ど う しは 区 別 し な い こ とに す る と,タ

の 対 象 を 並 べ 変 え たn1!個,タ

変 え たn2!個,… 1!.n2!…nk!個

りあ る こ

…,タ

イプｋ のnkの

イプ ２のn2個

の対 象 を 並べ

対 象 を 並 べ 変 え たnk!個,全

の 順列 が 同 じ もの とみ な され る こ とに な る.よ

って,こ

部 でn こで

求 め て い る総 数 は

で あ る.

例31."repetition"の

  5.1.2 

組

文 字 を用 い て で きる 単 語 の 総 数 は

合

せ

 ａ.２ 項 係 数   ｎ 個 の 要 素 よ りな る 集 合 か らｋ 個(n≧k)の

要 素 を取 り出 し て つ くれ る 部

分 集 合 の 個 数 を 求 め る.ま ず ｎ 個 の 要 素 か らｋ 個 の 要 素 を 取 り出 して つ くる 順 列 の個 数 はn!/（n -k)!で あ る.し か し,こ こ で は 並 べ た 位 置 は 区 別 しな いの だ か ら,ｋ 個 の 要 素 よ りな る集 合 の 順 列 の 個 数k!で

が 求 め る個 数 と な る.こ の 数 を

割 った

で 示 し,ｎ 個 の もの か らｋ 個 を取 り出 す 組 合 せ の 数 とい う.こ れ は(x+y)n を 展 開 し た と きのxkyn-kの

と定 め ら れ て い る.一

係 数 で あ るの で ２項 係 数 と も よば れ る.こ

こで,

般 に

は見 か け は 分 数 と し て 定 め られ て い るが,個

数 と して の 意 味 が あ る か ら,正 の

整 数 に な る.   次 の公 式が 成 り立 つ.

  ｂ.重 複 組 合 せ   対 象がｋ 個 の タ イプ に 分 け られ てい て,各

タ イプ の 対 象 は い くつ もあ り,互

い に 区 別 出 来 ない と す る.こ の 対 象 か らｎ 個 を 選 ぶ 組 合 せ の 個 数 は〓 通 りで あ る.   た とえ ば,赤 玉 Ｒ,白 玉 Ｗ,青 n =7と

玉 Ｂ を ７個 選 ぶ や り方 は(つ

ま り,k=3,

して い る) RRWWWWB WWWBBBB

な ど 色 々 考 え ら れ る.順 の 順 番 で 列 挙 し て よ い.こ k -1個

番 は 問 題 に し て い な い の だ か ら,い こ で,Ｒ

の 文 字 Ｘ を 書 き込 む と

と Ｗ,Ｗ

と Ｂ の 間 に"仕

つ で も Ｒ,Ｗ,Ｂ 切 り"の 意 味 で

RRXWWWWXB XWWWXBBBB と な る(Ｒ

が ０個 の と き も"仕 切 り"を 書 き 込 む).さ

同 じ 文 字,た

と え ば"Ｕ"に

ら に,Ｒ,Ｗ,Ｂ

をす べ て

書 き換 え て し ま う と

UUXUUUUXU XUUUXUUUU と な る が,こ

れ だ け の デ ー タか ら 上 の 並 べ 方 が 復 元 で き る(最

を Ｒ,次

の Ｘ の 左 の Ｕ を Ｗ,最

さ て,こ

の よ う な Ｕ と Ｘ の 並 べ 方 の 総 数 は 「n+k-1個

個 を Ｘ と す る か 」,つ

初の Ｘ の左の Ｕ

後 の Ｘ の 右 の Ｕ を Ｂ と 書 き 換 え れ ば よ い).

ま り,n+k-1の

中 か らk-1を

の う ち の ど のk-1 選 ぶ選び方 の総数

で あ る. 例32.だ

ん ご,お

は ぎ,あ

め,た

い 焼 き を 売 っ て い る 店 で,こ

の ４種 類 の も の

を ７個 買 う と きの 買 い 方 は

 5.2 

その他 の テ ク ニ ック

  「組 合せ 論 」の な か で 順 列 組 合せ は比 較 的 まと ま った 流 れ の 話 だ が,や っか い な こ と に 「組 合せ 論 」 には,こ

うい った ま と まっ た"理 論"(他

に は,た

とえば

母 関 数 の 理 論 な どが あ る)だ けで な く,個 別 の テ ク ニ ッ クが や た らに 多 い.こ こで は,そ の よ うな 立 ち入 った 話 題 は 専 門書 にゆ ず っ て,包 除 原 理 と"有 名 な" 鳩 の 巣 原 理 を 紹 介 す る に 留 め て お こ う.

  5.2.1

包

除

原

  有 限 集 合 Ｐ に 対 し てｋ

理 個 の 性 質P1,P2,…,Pkを

を 持 つ Ｐ の 部 分 集 合 をPi∩

… ∩Pjで

示 す.す

考 え る.性

質Pi,…,Pj

る と,P1,P2,…,Pkの

どの

￨A

性 質 を も持 た ない Ｐ の 要 素 の個 数 は 以 下 の よ うに な る. ￨P￨-(￨P1￨+￨P2￨+…+￨Pk￨) +(￨P1∩P2￨+￨P1∩P3￨+…+￨Pk-1∩Pk￨) -(￨P1∩P2∩P3￨+…+￨Pk +(-1)k￨P1∩P2∩

-2∩Pk-1∩Pk￨)+… …

  こ こ で,P1,P2,…,Pkの

∩ Ｐk￨

可 能 な 組 合 せ が す べ て 現 れ,性

の と きプ ラ ス(+),奇

数 個 の と き マ イ ナ ス(-)の

質の個数が偶 数個

符 号 を 持 つ.こ

の 定 理 は,以

下 の よ う に も 述 べ ら れ る. 定 理11(包

除 定 理)ｒ

個 の 有 限 集 合A1,A2,…,Arに

対 し て,次

の等 式が

成 り 立 つ.

  一 般 的 に 記 述 し た が,本 な い.ま は,特

た,こ

の よ う な,一

当 の と こ ろ,こ

れ で は 何 を い っ て い るか よ くわ か ら

般 形 が 必 要 に な る こ と も,あ

ま り な い.重

にｒ が あ ま り大 き く な い と き の 個 別 の 形 で あ る.r=2,3,4の

調 べ て お こ う. 例33.r=2の

場合

1∪A2￨=￨A1￨+￨A2￨-￨A1∩A2￨

例34.r=3の

場合

1∪A2∪A3￨=A1￨+￨A2￨+￨A3￨ -(￨A1∩A2￨+￨A1∩A3￨+￨A2∩A3￨) +￨A1∩A2 ∩A3￨

要なの ケース を

例35.r=4の

場合

￨A1 ∪A2∪A3∪A4￨

=￨A1￨+￨A2￨+￨A3￨+￨A4￨ -(￨A1∩A2￨+￨A1∩A3￨+￨A1∩A4￨+￨A2∩A3￨+￨A2∩A4￨+￨A3∩A4￨) +(￨A1∩A2∩A3￨+￨A1∩A2∩A4￨+￨A1∩A3∩A4￨+￨A2∩A3∩A4￨） -￨A1∩A2∩A3∩A4￨

  これ で,一 般 形 の 意 味 す る所 も推 測 で きる と思 う(し か し,r=5の 書 い て み る 気 力 は 起 こ ら な い と思 うが).包

除 原 理 は(特

場合 を

にｒ が 小 さい ケ ー ス

で)確 率 の 問 題 な ど で,し ば しば 暗 黙 の 知 識 とし て 用 い られ て い る.

  5.2.2 

鳩 の 巣 原 理

  鳩 の 巣 原 理 は,あ 説 で も,よ

ま りに も有 名 な"原 理"で あ る.数 学 オ リン ピ ッ ク問 題 の 解

く 「こ の 問 題 は 鳩 の 巣 原 理 で 解 決 され る」 と い っ た こ とが 書 か れ て

い る.そ れ で は鳩 の 巣 原 理 を知 ら な けれ ば 解 け な い 問 題 が あ る か とい う と,そ ん な こ と は な い."原

理"と い っ て も必 要 に なれ ば そ の 場 で 思 い つ くよ う な"原

理"だ か らで あ る.ま た,問 題 の ヒ ン トに 「この 問題 は鳩 の 巣 原 理 で 解 か れ る 」 と書 い て あ った と し て も,大 抵 の 場 合,ま

っ た く役 に 立 た な い.鳩

の巣原理に

持 ち 込 む まで の プ ロ セ スが 難 しい ケー スが ほ と ん ど だ か らで あ る.   そ れ で は,「鳩 の 巣 原 理 な ど 知 っ てい て も何 の 役 に も立 た な い」 と な る の か と い う と,そ れ も違 う．「鳩 の巣 原 理 とい う言 葉 で ま とめ て お くと,問 題 に 向か う 心 の 姿 勢 が 明 確 に な る」 とで もい っ た と こ ろ だ ろ うか.や

は り,そ れ な りの効

能 は あ る の だ. 定 理12(鳩

の 巣 原 理)Ｎ

羽 の 鳩 をｋ 個 の巣 に 入 れ る.N＞kで

くと も １つ の 巣 に は ２羽以 上 の 鳩 が 入 る.ま たN＞km(m∈N)で な く と も １つ の鳩 の 巣 に は,少

な くと もm+1羽

あれ ば 少 な あれば少

の 鳩 が 入 る.

 何 故 これ が 原 理 と よば れ る か と思 うほ ど 簡 単 な 定 理 で 証 明 は 不 要 で あ ろ う. も ち ろ ん,こ の 原 理 の 考 え 所 は,問 題 に 応 じ て,ど の よ うな鳩 の 巣 をつ くるか

と い う 点 に あ る.

例 題1.6人

が 会議 に 出席 した.す

り合 い で あ る か,あ

る と この ６人 の うち の あ る ３ 人 は 互 い に 知

る い は 互 い に まっ た く知 ら な い 人 ど う しで あ る こ と を証 明

せ よ.た だ し,ど の ２人 も互 い に 知 り合 い で あ るか,互

いに知 らないか のいず

れ か で あ る とす る. [解 答]  出 席 者 の １人 を Ａ と す る.残 に 分 け る.す

る と,鳩

と い う ２ つ の"巣"に

の 巣 原 理(５ 入 る)に

り の ５人 をＡ

人 の"鳩"が"知

よ り,い

上)の

り合 い","知

上)い

る 場 合 を 考 え る.

ど の ２ 人 も知 り合 い で あ れ ば,そ

"互 い に 知 り合 い で あ る ３ 人"と

な る

  ● 次 にＡ

人 が"互

い に 知 り 合 い で な い ３人"と

と 知 り合 い で あ る 人 が ３ 人(以

 も し こ の ３ 人(以

上)の

上)い

な る.

る 場 合 を 考 え る.

い に 知 り合 い で あ る ３ 人"と

 5.3 

の 中の ３

な る.

 こ の ３ 人 の う ち の あ る ２ 人 が 知 り 合 い で あ れ ば,こ

  そ れ で は,こ

れ らの ２人 と Ａ

ど の ２ 人 も 知 り合 い で な い な ら ば,こ

い に 知 り合 い で な い ３ 人"と

あ わ せ た ３ 人 が"互

の 中 の ３ 人 が,

.

  こ の ３ 人 の う ち の あ る ２ 人 が 知 り合 い で な け れ ば,こ を あ わ せ た ３ 人 が"互

り合 い で な い"

ず れ か の 組 が ３人 以 上 を 含 ん で い る.

  ● まず Ａ と 知 り合 い で な い 人 が ３ 人(以  も し こ の ３人(以

と 知 り合 い か 否 か で ２ 組

れ らの ２人 と Ａ を

な る.

組 合 せ論 の 問 題

こ ま で の 知 識 で ア プ ロ ー チ の で きる 問 題 に チ ャ レ ン ジ して み

よ う.

  5.3.1 

素 朴 な解 法― とに か く数 え る

  部 分 集 合 の 直 和 に 分 け て,場 合 分 け して 「とにか く数 え る 」 とい うこ とは,組 合 せ の 問 題 の"基 本 中 の 基 本"で あ ろ う.

―問 題13.―

日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選1999[1]

10円 玉,50円

玉,100円

玉 が そ れ ぞ れ 十 分 多 くあ る.こ れ ら の う ち

か ら何 個 か （０個 の ものが あ って も よい ）取 り出 して,そ の 合 計 金 額 を1000円

[解 答] 

とす る方 法 は何 通 りあ るか.

こ の 問 題 は10円

玉 と50円

玉 と100円

玉 で,1000円

を つ くる組 合 せ

の 問 題 で あ る.   ま ず 一 番 金 額 の 多 い100円

玉 を 何 個 使 う か に よ っ て 場 合 を 分 け る.100円

は ０ 個,１

個,…,1000/100=10個

で あ る.こ

れ ら11個

を 使 う こ と が で き る の で,場

の 各 々 の 場 合 に お け る1000円

玉

合 の 数 は11個

の つ く り方 の 個 数 を 求 め て

み る.   100円

玉 ０ 個 の 場 合   50円

玉 は ０ 個,１

数 で も使 う こ とが で き る.そ と の 差 額 だ け10円 り方 は21個   100円

個,…,1000/50=20個

し て 使 っ た50円

玉 を 使 え ば よ い.よ

玉 の 合 計 金 額 と1000円

っ て こ の 場 合 の1000円

の つ く

で あ る.

玉 １ 個 の 場 合   50円

玉 は ０個,１

個,…,1000-100/50=18個

の 個 数 で も使 うこ とが で き る ．そ して 使 った50円 円 との 差 額 だけ10円 く り方 は19個

  100円

の ど の個

のど

玉 の 合 計 金 額 と900

玉 を 使 え ば よ い.よ っ て こ の場 合 の1000円

のつ

で あ る.

玉 ９個 の 場 合   50円

玉 は ０ 個,１

の 個 数 で も使 う こ とが で き る.そ 円 と の 差 額 だ け10円

個,…,1000-900/50 

し て 使 っ た50円

=2個

のど

玉 の 合 計 金 額 と100

玉 を 使 え ば よ い ． よ っ て こ の 場 合 の1000円

のつ

く り 方 は ３ 個 で あ る.   100円

玉10個

の 場 合   50円

て こ の 場 合 の1000円 以 上 か ら 求 め る1000円

玉 は ０個,ま

た10円

の つ く り 方 は １個 で あ る.

の つ く り方 の 総 計 は

S =21+19+…+3+1

玉 も ０個 で あ る.よ

っ

通 りで あ る.こ a1よ

りa11ま

れ は 初 項a1=1,公 で のｎ=11項

差d=2の の 和 で あ る か ら,公

等 差 数 列{an=2n-1}の 式 を用いて

S=n/2{2a1+(n-1)d}=121  

Ans. 

121

 コ メ ン ト［１］

  「と に か く数 え る 」 とい っ て も,そ れ な りに"う に,「100円

まい へ た"は で て く る.仮

を何 枚 使 うか 」 で は な く,「10円 を 何 枚 使 うか 」 か ら始 め た と す

る と,わ ざ わ ざ 問 題 を 難 し く し て 解 い て い る よ うな 羽 目 に な る.  コ メン ト[２]   上 の 解 答 で は11通

りの そ れ ぞ れ に つ い て つ く り方 を数 を 数 え る と い う素 朴

な 方 法 を と っ た が,一般

に 「100玉 をｋ 枚 使 う と き 」 と してｋ の 式 と して

数 え る の も 簡 単 で あ る.ま

た,1000円

の 場 合 に 限 らず,一

得 る こ と も 難 し くな い だ ろ う.し か し,数 で は,要

般化 した結 果 を

学 オ リ ン ピ ッ クの よ う な"競 技"

求 され て い る ケ ー ス に つ い て の 答 え を 得 さ え す れ ば よ い の だ か ら,

ベ ス トな解 法 を取 ら な くと も,と に か く解 い て し ま えば よい.と い て あ る 解 答 は,"十 が ち だ が,実

か く本 に 書

分 に 時 間 を か け て 吟 味 し た エ レ ガ ン トな 解 答"に

際 に は 金 メダ ル 級 の 選 手 で も,"だ

な り

さ くて も確 実 な 方 法"を 選

ん で い る こ とが 多 い.

  こ れ か らの 問題 で は 特 に,解 答 を読 む前 に 自分 で 解 い てみ る こ とが 重 要 で あ る ． 解 答 を い き な り読 む と 「なぜ こん な こ と を思 い つ くこ とが で き る の か!」 とい う印 象 を受 け,自 信 を な くす お そ れ が あ る.し か し,そ の よ うな 解 答 は時 間が 十 分 あ る状 況 で 考 え た 解 答 な の で あ る.独 力 で 解 い て み る と意 外 に,長

く

て も単 調 な 議 論 で 解 け るケ ー スが 多 い こ と に気 づ くは ず だ.自 分 で 解 い た 後 で "エ レガ ン トな解 答"を み る な らば ,余 裕 を持 って応 対 す る こ とが で き る と思 う.   逆 に,独 力 で 解 け た か ら とい って,"エ い."エ

レガ ン トな解 答"を 無 視 す る の も まず

レ ガ ン トな解 答"に 接 して い る と,そ の うち に,"エ

レガ ン トな解 答"が

当 た り前 の こ との よ うに 第 一 感 と して 浮 か ん で くる 可 能 性 もあ るか らだ.

fn

  5.3.2 

ア

イ

―問 題14.―

デ

ア

日本 数 学 オ リン ピ ッ ク 予 選2000[4]

一 歩 で １段

,２ 段,ま

た は ３段 を 登 れ る 人 が,７

通 りの 登 り 方 が あ る か.た

段 の 石 段 を登 る． 何

だ し 途 中 で 下 り た り,足

踏 み し た りは し な

い も の と す る.

[解 答]  ｎ に つ い て の 漸 化 式 をつ くる.  ｎ 段 の 石 段 を登 る と きの 登 り方 をfn通

りと す る.n≧3の

と き,最 後 の 一

歩 で 場 合 分 け を す る と,  ●最 後 の 一 歩 が １段 登 りの と き,残 て,こ

りのn-1段

の 場 合 の 登 り方 の 数 はfn-1通

の 登 り方 はfn-1通

り.よ

っ

 ●最 後 の 一 歩 が ２ 段 登 りの と き,同

り. 様 に し てfn-2通

 ●最 後 の 一 歩 が ３ 段 登 りの と き は,fn-3通

り.

り.

よ って =fn-1+fn-2+fn-3 

とい う漸 化 式 が で きる.こ

(n≧3)

こで 初 期 条 件 は f0 =1,f1=1,f2=2

で あ る(０ 段 は 登 ら な い と い う １通 りだ け で あ る).こ

れ を 用 い て,順

次計 算 し

て い く と,

f3=4,f4=7,f5=13,f6=24,f7=44 よ っ て,７

段 の 石 段 の 登 り方 は44通

り,

 

Ans. 

 コ メ ン ト

こ の 問 題 は 色 々 な ア プ ロ ー チ で 解 く こ とが で き る.そ

もそ も,せ っか く制 限

重 複 組 合 せ な ど,ず い ぶ ん 準 備 し た の に,こ れ まで ま っ た く使 わ れ て な い の で 心 外 に感 じ る か も しれ な いが,漸

化 式 と い う ア プ ロ ー チ を と らず に 直 接 計

算 す る な らば,そ れ らの 道 具 が 活 躍 す る こ と に な る.ま た,そ れ らの 使 い 方

44

に も 腕 の 差 が 出 て き て,解 くて 確 実 な 解 法 は,こ

― 問 題15.―

答 を得 る ス ピ ー ド に も差 が つ く.し か し,最

も早

の 漸 化 式 を用 い る解 答 で あ ろ う.

日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選2000[7]

自然 数ｎ に対 して,0≦x＜x+y＜y+z≦nを (x,y,z)の

満 たす整 数の組

総 数 を求 め よ.

 コ メ ン ト

こ の 問 題 に つ い て も,「比 較 的 小 さな ｎ で 実 験 を し て 感 触 を掴 み な が ら,一 般 の 解 を 目指 す 」 と い う ア プ ロ ー チ は 可 能 で あ る.し か し,こ の 問 題 で 奇 異 に感 じ られ る の は,「問 題 に 意 味 が な く,多 少"作 為 的 な 設 定"と い う印 象 が す る 」 とい う点 で あ る.と こそ,解

い う こ とは … … 逆 に,こ

[解 答]  与 え られ た 条 件 に 現 れ る,ｘ,x+y,y+zを と,与

の"作 為 的 な 設 定"に

法 の ヒ ン トが 隠 さ れ て い る の で は?

そ れ ぞ れ ｕ,ｖ,ｗ

とお く

え られ た条 件 は

0≦u＜v＜w≦n と な る.ま

た,連

立方程式

x=u x+y

=v

y+z

=w

を 解 くと x =u

y =-u+v z=w+u-v

と な る の で,(u,v,w)に ＜x+y＜y+z≦nを を満 た す 整 数

対 し て(x,y,z)が

唯 一 つ 定 ま る.よ

満 た す 整 数ｘ,ｙ,ｚ

と,条

ｕ,ｖ,ｗ は １ 対 １ に 対 応 す る.(第

{(x,y,z)￨0≦x≦x+y＜y+z≦n},Ｕ={(u,v,w)￨0≦u＜v＜w≦n}

っ て,条

件0≦x

件0≦u＜v＜w≦n

２ 章 の 用 語 で い え ば,X=

で,f(x,y,z)=(x,x+y,y+z)と る.)条

す る と,全

件0≦u＜v＜w≦nを

単 射 な 写 像f:X→Uが

満 た す 整 数 ｕ,ｖ,ｗ は ０ か らｎ

個 の 整 数 の な か か ら ３ つ を 選 ぶ 組 合 せ だ け 存 在 す る の で,求

定 ま ま で のn+1

め る答 え は

Ans.〓

 コ メ ン ト

 出 題 者 が 想 定 して い る の は,お

そ ら く,こ の 解 答 で あ ろ う.し か し,自 分 で

解 い て み た 人 の 多 くは,ｘ,ｙ,ｚ の 可 能 性 を 数 え る 道 を 選 ん だ の で は な い だ ろ うか.そ らば,そ

れ で も よ い.解 答 は 長 くな る だ ろ うが,自

れ を押 し通 す こ と も 大 事 で あ る.ま た,い

答"が"よ

い解 答"で あ る と も 限 ら な い."エ

題 に し か 通 用 し な い け れ ど,"正 に 拡 張 で きパ ワ フ ル だ,と こ とは,"解

分 で納得 で きる方 針 な つ で も"エ レ ガ ン トな 解

レ ガ ン トな 解 答"だ

と,そ

の問

面 攻 撃"の 解 答 だ と も っ と広 い 範 囲 の 問 題

い う ケ ー ス もあ るの だ.な

に は と も あ れ,大

事な

答 を 得 る"と い う こ とだ.

問 題16.−

日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選2000[10}

１か ２か ３の 数 字 が 書 か れ た カ ー ドが そ れ ぞ れ 十 分 た くさん あ る.そ の 中か らそ れぞ れ の 数字 の カー ドを奇 数 枚 ず つ 合 計1999枚

を選 び,一

列 に並 べ る.こ の 方 法 は 何 通 りあ るか.

 コ メ ン ト  "奇 数 枚 ず つ"と い う条 件 さ え な け れ ば か,こ

[解 答] 

,と て も易 し い 問 題 に な る ． な ん と

の"易 し い 問 題"と 関 連 づ け られ な い だ ろ うか?

１か ２か ３の 数 字 が 書 か れ た カ ー ド か ら(奇

枚 を 選 び,一

列 に 並 べ る 並 べ 方 は,全

  こ れ ら の31999通

部 で31999通

数 枚 に 限 ら ず)合

計1999

りあ る.

り の 並 べ 方 に お い て,１,２,３ の 数 字 の カ ー ド に つ い て,そ

の 枚 数 の 偶 数 ・奇 数 の パ タ ー ン は,偶

数 を"Ｅ",奇

OO0,OEE,EOE,EEO

数 を"Ｏ"で

示す と

の い ず れ か で あ り,そ 数1999だ

れ 以 外 の パ タ ー ン(EEEと

と い う こ と か ら あ り得 な い.ま

かOOEな

ど)は

た,OEE,EOE,EEOの

そ れ ぞ れ の 並 べ 方 の 総 数 は 等 し い は ず で あ る(な

パ ター ン

ぜ な ら ば,数

字 １,２,３は 互 い

に 区 別 で き る ３ つ の 記 号 と い う以 外 な ん の 意 味 も な い か ら).し   (１)問 題 の 条 件 を 満 た す 並 べ 方(OOOの

パ タ ー ン)の

  (２)１ か ２ か ３ の 数 字 が 書 か れ た カ ー ド か ら,１ の カ ー ド を 偶 数 枚,計1999枚 タ ー ン)の と す る と,な

合計が 奇

を 選 び,一

た が っ て,

総 数 を Ｉ

の カ ー ド を 奇 数 枚,２

と ３

列 に 並 べ る 並 べ 方(OEEの

パ

総数 を Ｊ

ん の 制 限 も付 け ず に1999枚

 

並 べ る 並 べ 方 の 総 数31999と

の間に

31999=I+3J

と い う 関 係 が 成 り 立 つ.   そ れ で は,な

ん と か し て,Ｉ

と Ｊ の 関 係 を 得 られ な い だ ろ うか.こ

こ で,基

本 と な る ア イ デ ア は,「 ２ の カ ー ド を １枚 だ け ３ の カ ー ド に 置 き換 え る と,(１) の タ イ プ の 並 べ 方 は(２)の

タ イ プ に,(２)の

タ イ プ の 並 べ 方 は(１)の

タ イプ に な

る 」 と い う こ と で あ る.   し か し,こ

の ま ま で は,"２

の カ ー ドが １枚 も な い 場 合"が

こ の 置 き 換 え は １対 １の 対 応 に な っ て い る わ け で も な い.そ を ク リア ー す る 置 き 換 え を 工 夫 す る こ と に な る.結

ま ず い し,ま こ で,こ

た,

れ ら難 点

論 は 次 の よ う に な る.

 ●(１)の タ イ プ の 並 べ 方 の 集 合 を Ｘ,  ●(２)の タ イ プ の 並 べ 方 の 集 合 か ら,"す

べ て １の カ ー ド"と

い う並 べ 方 だ け

取 り除 い た集 合 を Ｙ と す る(し

た が っ て,￨X￨=I,￨Y￨=J-1).Ｘ

か ら Ｙ へ の 写 像ｆ

を次 の

よ う に 定 義 す る.   Ｘ の 要 素ｘ

は,数

字 １,２,３の カ ー ド 奇 数 枚 ず つ を 並 べ た も の で あ り,

数 字 １,２,３の カ ー ド の い ず れ も ０ 枚 で は な い(０ こ の 並 べ 方 ｘ を(左

ク し て ゆ き 最 初 に 現 れ た １で な い カ ー ド を,そ に,そ

は 偶 数 だ か ら).

か ら 右 へ 一 列 に 並 ん で い る と 考 え て)左

れ が ３ の カ ー ド な ら ２に 書 き換 え る.

か ら チ ェッ

れ が ２の カ ー ド な ら ３

こ う し て で き た 新 し い 並 べ 方 をf(x)と

し て 定 め る と,f(x)で

３ の カ ー ド は 両 方 と も偶 数 枚 で あ り,か

つ,"２

も ０枚"と 写 像ｆ

い う こ と も な い の で,f(x)∈Yで

は,２

の カ ー ド,

の カ ー ド と ３の カ ー ドの 両 方 と あ る.こ

う し て,Ｘ

か ら Ｙ への

が 定 め ら れ た.

  こ こ で,f(x)を

左 か ら チ ェ ッ ク し て ゆ く と,最

初 に 現 れ た １で な い カ ー ド は,

上 の 操 作 で 置 き 換 え た カ ー ド で あ る ． し た が っ て,こ な ら ３,３ の カ ー ド な ら ２,と 書 き換 え て や る と,元 つ ま り,集

合 Ｙ の 要 素ｙ

の カ ー ド を,２

の カー ド

の 並 べ 方 ｘ が 復 元 で き る.

に 対 し て,

  並 べ 方ｙ を 左 か ら チ ェッ ク し て ゆ き最 初 に 現 れ た １で な い カ ー ド を(Ｙ の 定 義 か ら 必 ず １で な い カ ー ド が 現 れ る),２

の カ ー ド な ら ３ に,３

の

カ ー ド な ら ２ に 書 き換 え て 得 ら れ る 並 べ 方 をg(y)と

し て 定 義 す る と,Ｙ

像 で あ る(つ

か ら Ｘ へ の 写 像ｇ

ま りｆ は 全 単 射 で あ る).よ

が 得 ら れ,こ

っ て,￨X￨=￨Y￨で

れ はｆ

の逆写

あ り,

I=J-1 で あ る こ と が わ か る.こ

れ と 31999=I+3J

よ り,31999=4I+3が

得 ら れ る.

  5.4 

  5.4.1 

 

グ

ラ

Ans.〓

フ

グ ラ フ と は

  こ こで 述 べ る グ ラ フ は 関 数 の グ ラ フ とは 別 の 概 念 で あ る.グ

ラ フ とは 有 限 個

の 頂 点 とそ の うち の 何 組 か の ２頂 点 を結 ぶ 辺 よ りな る 図形 で あ る.無 限 個 の 頂 点 や 辺 を考 え る こ とや,同

じ ２頂 点 を結 ぶ 辺 を複 数個 考慮 した り,あ る頂 点 か

ら 出 て そ こ に戻 る辺 を含 む グ ラ フ を考 え る こ と もあ る.グ ラ フ で は,頂 の よ うに 辺 で 結 ば れ て い るか だ け が 問 題 で,頂

点が ど

点 や 辺が 平 面 や 空 間 に ど の よ う

に 配 置 され て い る か は 関係 な い.都 合 上 グ ラ フ を平 面 上 に描 くが,２ つ の 辺 が 頂 点 以 外 の 点 で 交 わ っ て し ま って も,そ の 交 点 は無 視 し辺 は 交 わ っ て い ない と 考 え る.辺

を 直線 で 描 く必 要 もな い.頂

点 Ｐ に つ い て,Ｐ

を端 点 とす る辺 の

本 数 を Ｐ の 次 数 とい う. 例 題２.７ 人が 会議 に 出席 した.「この ７人の うち誰 を選 んで も,そ の 人 と互 い に 知 り合 い で あ る人が,ち

ょ うど ３人 い る 」 とい うこ とは あ り得 るか.た だ し,ど

の ２人 も互 い に 知 り合 い で あ るか,互 い に 知 らな い か の いず れ か で あ る とす る. [解 答]  出席 者 を 頂 点 で 示 し,知 り合 い で あ る場 合 に 辺 で 結 び グ ラ フ をつ くる. す る と,７ 頂 点 か らな り各 頂 点 の次 数が ３の グ ラ フが 存 在 す るか,と に な る.こ

い う問 題

うい うグ ラ フが 存 在 す る と仮 定 して み る.こ の と き,７ つ の頂 点 の

それ ぞ れ か ら ３本 の辺 が 出 て い て,１ つ の 辺 は両 端 の ２点 か ら"出 て い る辺"と な っ て い るの で,こ

の グ ラ フの 辺 の 数 は3×7/2=21/2本 で あ る.し か し,こ れ は

整 数 に は な ら な い.よ

って,こ

の よ うな グ ラ フが 存 在 す る と仮 定 す る こ とは 不

可 能 で あ り,こ の よ うな グ ラ フ は存 在 しな い.   ａ.彩 色 グ ラ フ   グ ラ フの 各 辺 あ るい は各 頂 点 に 色 を塗 っ た もの を彩 色 グ ラ フ とい う.   そ れ で は,鳩

の 巣 原 理 の 所 で 調べ た 例 題

 ６人 が 会 議 に 出 席 し た.す り合 い で あ る か,あ

る と この ６人 の うち の あ る ３人 は 互 い に知

るい は 互 い に まっ た く知 ら な い 人 ど う しで あ る こ

と を 証 明 せ よ.た だ し,ど の ２人 も互 い に 知 り合 い で あ る か,互 い に 知 らな い か の いず れ か で あ る とす る． を,知

り合 い な ら青,互

い に 知 ら な い な ら赤 の 辺 で 結 ぶ と考 え て,彩 色 グ ラ フ

の 言 葉 で 言 い 換 え て み よ う. 例 題３.６ 個 の 頂 点 を持 ち,相 異 な る ２頂 点 は 必 ず 赤,青 い ず れ か の 辺 で 結 ば れ て い る彩 色 グ ラ フ を考 え る.こ の と き グ ラ フ の 中 に,少

な くと も １つ,赤 三

角 形 か 青 三 角 形が 存 在 す る こ と を証 明せ よ. [解 答]頂

点 の １つ を Ａ とす る.残

りの ５つ の頂 点 を Ａ と赤 の 辺 で 結 ば れ て

い るか,青

の辺 で 結 ば れ て い る か で ２組 に 分 け る.す る と,鳩 の巣 原 理 に よ り,

いず れ か の 組 が ３つ 以 上 の 頂 点 を 含 ん で い る.  ● まずＡ

と赤 い辺 で 結 ば れ た 頂 点 が ３つ(以 上)あ

 も し この ３つ(以 上)の

る 場 合 を考 え る.

頂 点 が す べ て 青 い辺 で 結 ば れ て い るな らば,こ

の な か の ３つ の 頂 点が 青 三 角形 とな る.  こ の ３つ の 頂 点 の 内 の あ る ２つ の 頂 点 が 赤 い 辺 で 結 ば れ て い る な らば, これ らの ２つ の 頂 点 とＡ をあ わ せ た ３つ の 頂 点 が 赤 三 角形 を 構 成 す る.  ●次 にＡ

と青 い 辺 で 結 ば れ た頂 点が ３つ(以 上)あ

 この 場 合 も,"赤"と"青"を 青 三角 形,も

る場 合 を考 え る.

入 れ 替 え て 考 え れ ば,上

と 同 じ こ とで あ り,

し くは 赤 三 角 形 が 存 在 す る.

  慣 れ て くる と,"知

り合 い","知

グ ラ フ と し て の 設 定 の 方 が,は

り合 い で な い"と い っ た 日常 的 な設 定 よ り,

るか に考 えや す くな って くる.ま た,日

常的設

定 を離 れ て グ ラ フの 言 葉 で 表 現 し て お く と,「問 題 の 一 般 化 」 が 考 えや す くな る. た とえ ば,こ の 問 題 で,「赤,青 」 で 彩 色 す るの で は な く,「赤,青,白

」 の ３色

で 彩 色 す る な らば ど う な る だ ろ うか?   こ の 場合,"22個 の 頂 点 を もつ彩 色 グ ラ フ"と す れ ば,赤,青,白 のいずれか 一 色 だ けで 塗 られ た 三 角 形 の 存 在 が 証 明 され る .「Ａ以外 の21の 頂 点 を,Ａ と 赤,青,白

の うち どの 色 の 辺 で 結 ば れ て い るか で,３ つ の組 み に 分 け る と,い ず

れ か １つ の 組 み は ７個 以 上 の 頂 点 を 含 む.ま ず,.４ と赤 い 辺 で 結 ば れ た 頂 点 が ７個(以

上)あ

る 場 合,そ れ らの うち の ど の ２頂 点 も赤 い 辺 で 結 ば れ て い な い

な ら,７ 個(以 上)の た,…

頂 点 を 持 つ グ ラ フ の ２色 で の 彩 色 問 題 に 還 元 され る.ま

… 」,と い う調 子 で 証 明 され る.そ れ で は,「青,白,黄,赤,緑

色 な ら?一

」の ５

般 に,ｋ 色 な ら?  とい くらで も,問 題 を一 般 化 して ゆ くこ とが

で きる。   ｂ.一

筆 書 き

  グ ラ フが 連 結 で あ る と は,ど の ２頂 点 を選 ん で も,そ の ２点 が そ の グ ラ フの 辺 を た ど っ てで き る折 れ 線 で 結 べ る こ とで あ る.   連 結 グ ラ フの あ る 頂 点 か ら始 め て す べ て の辺 を ち ょ うど 一 度 だ け 通 り,元 の 頂 点 に 戻 る道 が 存 在 す る必 要 十 分 条 件 は,そ の グ ラ フ の 頂 点 の 次 数 が す べ て 偶

数 で あ る こ と で あ る.ま た,連 結 グ ラ フで 頂 点 の 次 数 が 奇 数 の もの が ち ょ うど ２つ あ り,他 は 偶 数 で あ る とす る.す る と次 数が 奇 数 で あ る頂 点 か ら始 め て他 の 奇 数 次 数 の 頂 点 で 終 わ る よ うに,一 筆 書 きで きる(一 筆 書 きの 書 き方 は一 通 りとは 限 らな い).こ れ を オ イラ ー の 一 筆 書 き定 理 とい う.   ｃ.有 向 グ ラ フ   グ ラ フ の 各 辺 を矢 印 で 置 き換 え,各 辺 に い ず れ か の 向 き を定 め た もの を有 向 グ ラ フ と い う.グ ラ フ で は"頂 点aと グ ラ フで は,そ

頂 点 ｂを 結 ぶ 辺"を 問 題 に す るが,有

向

の 代 わ りに"頂 点 α か ら頂 点 ｂへ の 辺"を 考 え る こ とに な る.

  有 向 グ ラ フは,抽 象 的 に 述 べ る な らば,集

合Ｖ

と積 集合V×Vの

Ｅの ペ ア(Ｖ,Ｅ)の こ とで あ り, Ｖの 要 素 を"頂 点",Ｅ

部分 集合

の 要 素(ａ,ｂ)を"頂 点

ａか ら頂 点 ｂへ の 辺"と い うこ とに な る.   有 向 グ ラ フの 頂 点ａ,ｂ に対 して,そ

の 有 向 グ ラ フの 辺 の 列

e0=(a0,a1),e1=(a1,a2),e2=(a2,a3),…,en-1=(an-1,an)

で,a=ａ0,b=anを る"と

い う.つ

満 た す も の が 存 在 す る と き"ａ ま り,頂

く こ とが で き る"と   特 に,ａ=bの

点aか

か ら ｂへ の 道 が 存 在 す

ら 出 発 し て 頂 点 ｂ へ,"矢

印 を た ど っ て 行 き着

い う こ と で あ る.

と き"ａ か らａ へ の 道"を

ル ー プ と い う.

問 題17.一

日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク予 選1999[12]

n(〓3)個

の 空 港 の 間 に以 下 の(１),(２),(３)の

条件 を満たす よ う

に 直 行 便 を 開 設 す る と き,開 設 の 仕 方 は何 通 りあ る か. (１)ど の 相 異 な る ２つ の 空港

Ａ,Ｂ の 間 に もＡ

よ り Ｂ へ の,あ

る い は Ｂ よ り Ａ へ の 直 行 便 の ど ち らか 一 方 を 必 ず 開設 す る. (２)Ａ

よ り Ｂ へ の 直 行 便 と,Ｂ

よ りＡ

へ の直行便が 両方開設

され る よ うな ２つ の 空 港 Ａ,Ｂ は 存 在 し な い.ま

た ど の 空 港Ａ

で

も Ａ よ り Ａ へ の 直行 便 は な い. (３)あ る空 港Cよ て 来 られ る 空 港Cが

り出 発 し,直 行 便 を乗 りつ い で,ま 少 な くと も １つ 存 在 す る ．

たＣ

に戻 っ

 コ メ ン ト

 "直 行 便 の 開設 の 仕 方"は 有 向 グ ラ フ と し て 表 現 で き

,特 に 条 件(３)は,"ル

ー

プ が 存 在 す る"と 言 い 表 す こ とが で き る.し か し,こ こ で は 問 題 文 の 表 現 に 即 し て 解 答 を 述 べ て み よ う.

［解 答 ］   まず(１),(２)の 条 件 を満 た す よ うな 開 設 の 仕 方 の 数 は,ｎ 個 の 空 港 か ら任 意 の ２つ の 空 港 を選 ん で きて そ の 間 に ど ち らか の 向 きに 直 行 便 を 設 定 す れ ば よい の で

通 りあ る.   そ し て 求 め る 開 設 の 仕 方 の 数 は,上

の 場 合 の 開設 の 仕 方 の 数 か ら"条 件(１),

(２)を満 た し(３)を 満 た さな い よ うな 開 設 の 仕 方"の 数 を引 い た もの で あ る.そ こ で,"条 件(１),(２)を 満 た し(３)を 満 た さ ない よ うな 開 設 の 仕 方"を 数 え る こ とに す る.ま ず,そ

の よ うな 開 設 の 仕 方"が

１つ 与 え られ た とす る.こ の と き,

そ の 空 港 か らは 直 行 便 が ど こに も出 て い ない"ど ん づ ま りの 空 港"が

１つ だ け

存 在 す る.な ぜ な らば,   ● も し,"ど

ん づ ま り の 空 港"が

存 在 し な い な ら ば,ど

こか の 空 港 か ら 出発 し

て 直 行 便 を 乗 り継 い で 行 く旅 を 永 遠 に 続 け る こ と が で き,条   さ な い こ と か ら,そ い.し

か し,空

  ●Alを"ど

り の 空 港"は

ら れ る.上

す る と き,Alの

他 の 空 港 は"ど

他 の 空 港 か ら,(条 件(１)に

ん づ ま りの 空 港"で

は な く,"ど

んづ ま

１ つ だ け 存 在 す る.

港AlとAlへ

空 港 の 間 の"条

っ て,"ど

の 直 行 便 が 存 在 す る.

 ● し た が っ て,Alの

こ こ で,空

れ は 不 可 能.よ

存 在 す る.

ん づ ま り の 空 港"と

よ り)Alへ

満 た

の 永 遠 の 旅 の 途 中で 同 じ空 港 に ２度 立 ち寄 る こ とは な

港 の 数 は 有 限 個 し か な い の で,こ

ん づ ま りの 空 港"が

件(３)を

件(１),(２)を

の 直 行 便 を す べ て 取 り除 い て し ま う と,n-1個 満 た し(３)を

と 同 じ 議 論 に よ り,こ

満 た さ な い よ う な 開 設 の 仕 方"が

こ で も"ど ん づ ま り の 空 港"が

の 得

１つ だ け 存 在

す る の で,そ

れ をA2で

  さ ら に,空 港A2と.A2へ "ど ん づ ま り の 空 港"を.A

表 す こ と に す る. の 直 行 便 を す べ て 取 り 除 い て し ま い,そ 3と

し,と

以 下 同 様 の 議 論 を 続 け る と,空

こで の

港 の列

Ai,A2,As,…,An

が 得 ら れ,任

意 のｉ,ｊ,た

だ し,1〓i,j〓n,に

i <j⇔Ajか と な る.つ

ま り,"条

か ら 空 港 の 列Al,A2,… 与 え る と,そ

らAiへ 件(１),(２)を

は"条

件(１),(２)を

て,ｎ

個 の 空 港 をAl,A2,…Anと

"条 件(１) て,求

,(２)を

の 直 行 便 が 存 在 す る  … …(*) 満 た し(３)を 満 た さ な い よ う な 開 設 の 仕 方"

が 定 め られ,ま

れ に 対 し て(＊)に

対 して

た,逆

に 空 港 の 列Al,A2,…,、Aη

よ り直 行 便 の 開 設 の 仕 方 を 決 め て や る と,こ

満 た し(３)を

満 た さ な い よ う な 開 設 の 仕 方"と

な る.よ

し て 一 列 に 並 べ る 並 べ 方 の 数=n!)だ

満 た し(３)を 満 た さ な い よ う な 開 設 の 仕 方"は

存 在 す る.よ

を れ っ け っ

め る 答 え は, 2nC2-n! 

通 り

で あ る. 

− 問 題18.一

Ans.2nC2-n!

日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選1999[５]

次 の 規 則 に 従 っ て 得 点 す る ゲ ー ム を 考 え る. 「サ イ コ ロ を １回 振 っ て,１,２,３ い ず れ か が 出 れ ば １点,６

の い ず れ か が 出 れ ば ２点,４,５

の

が 出 れ ば ０ 点 を 得 る 」.

サ イ コ ロ を 繰 り返 しｎ 回 振 っ て,得

点 の 合 計 がｋ

に な る 確 率 をpn(k)

と 表 す.

をで き るだ け 簡 単 な 式 で 表 せ.

[解 答] 

〓と い う式 は あ ま り美 し くな い の で,ま ず,問 題 を 少 し変 形 し

て 「サ イ コ ロ を １回 振 っ て,１,２,３

の い ず れ か が 出 れ ば １ 点,４,５

のいずれ

か が 出 れ ば0点,６ 振 っ て,得

が 出 れ ば-1点

点 の 合 計 がｋ

pn(n±k)=qn(±k）

を 得 る 」 と し,サ

に な る 確 率 をqn(k)と

イ コ ロ を 繰 り 返 しｎ

表 す こ と に す る.こ

〓を 求 め れ ば よ い わ け だ,こ

と な る の で,

回

うす る と, の 方 が,

分 母 と分 子 に"対 称 性"が あ り,き れ い な 形 で あ る.   しか し,ま だ,１ と,正

点 を 得 る確 率1/2,0点

負 で バ ラ ン ス が 崩 れ て+い る の で,ま

を得 る 確 率1/3,-1点 ず,1/2と1/6の

を 得 る確 率1/6

相 乗 平 均1/2√3をLと

お い て,

１点 を 得 る確 率L√3,0点

を得 る 確 率

-1点 を 得 る確 率〓

と し て や る と,正 負 で な にや ら意 味 あ りげ な バ ラ ン ス が 出 て くる.こ れ だけ 細 工 し て お い て か ら,〓

を 計 算 す る.

  １,２,３の い ず れ か が 出 る こ と を ○,４,５ る こ と を × で 表 す こ と に す る.○ △ が β 個,× る.こ

がγ

個,た

の い ず れ か が 出 る こ と を △,６

△○ × …

だ し,α-γ=k

の よ う な 目 の 出 方 で ,○ ,と

な る も の を,１

が 出

が α 個,

つ 固 定 して 考 え

れ に よ り獲 得 す る 点 数 はｋ で あ り,こ の よ う な 目 の 出 方 が 起 き る 確 率 は

で あ る,一 方,こ

の ○ △ ○ × … にお け る ○ を × に,×

と,こ れ に よ り獲 得 す る 点 数 は-k点

を○ に 書 き換 え て や る

で,こ れ の 起 き る確 率 は(α

とγ が 入 れ

替 わ るの で)

した が っ て,両 者 の確 率 の 比 の 値 は3kで

あ る.こ れ は 他 の 目 の 出 方 で も,○

の個 数 と ×の 個 数 の差 がｋ で あ るか ぎ り成 り立 つ こ とな の で,求 め る確 率 の 比 の 値 は3kで

あ る. 

Ans. 3k鳶

  こ の章 で 述 べ た題 材 は,組 合 せ 理 論 とか も っ と一 般 に は 離 散 数 学 と よば れ る 分 野 に属 して い て,コ あ る.

ン ピュ ー タ ーサ イエ ンス と深 く関 連 し た興 味 深 い 分 野 で

６ 幾

何

  幾何 学 に は,古 代 ギ リシ ャの ユ ー ク リッ ド幾何,三 角 関 数 を 用 い る 三 角 法,そ して デ カル トに よ る座 標 を用 い る 解 析 幾 何(こ

れ に は ベ ク トル な ど が 加 わ っ て

強 力 な手 法 と な っ て い る)な ど が あ る.

6.1 

平

面

幾

何

  6.1.1  ユ ー ク リ ッ ド幾 何 の 定 理   こ こで は まず ユ ー ク リッ ド幾 何 の 定 理 を証 明 な し に述 べ る.周 知 の 定 理 は 省 い た り名 前 だ け を 述べ た.   しか し,ユ ー ク リ ッド幾何 の 力 を つ け る 一番 よい方 法 は,こ れ らの 定 理 の 証 明 を し っか りと学 ぶ こ とで あ る.こ れ が 遠 ま わ りに み えて も最 も効 率 が よい― 「幾 何 学 に 王 道 は な い 」。ユ ー ク リ ッ ド幾 何 の ま と ま った 本 と して は 鈴 木 晋 一:『 幾 何 の 世 界 』(シ リー ズ 〈数 学 の 世界 〉６),朝 倉 書 店(2001) が あ るの で,数 学 オ リン ピ ッ ク を 目指 す 読 者 は ぜ ひ読 ん で ほ しい.   △ABCの

頂 点.Ａ,Ｂ,Ｃ の 対 辺 を そ れ ぞ れａ,ｂ,ｃ,外 接 円 の 半 径 を Ｒ,内

接 円 の 半 径 を ｒで 示 す.ま た,誤 解 の 生 じ る可 能 性 の な い 場 合 は,△ABCで △ABCの 定 理13(角

面 積 を表 す こ と にす る. の ２等 分 定 理)△ABCの

との 交 点 をそ れ ぞ れＰ,Ｑ

とす る と

∠Aの 内 角,外 角の ２等 分 線 と直線BC

定理14(ア

ポ ロ ニ ウ ス の 定 理) 

定 理15(メ

ネ ラ ウ ス の 定 理)△ABCと

と の 交 点 を そ れ ぞ れ Ｄ,Ｅ,Ｆ

点 Ｐ を △ABCの

辺BCの

直 線 ごが あ る.lと

と す る(こ

れ ら は Ａ,Ｂ,Ｃ

た こ こ で 線 分 の 長 さ はQS=-SQと

向 き を 付 け る).す

逆 に Ｄ,Ｅ,Ｆ

の(Ａ,Ｂ,Ｃ

た す と,点

が 直 線BC,CA,AB上

Ｄ,Ｅ,Ｆ

定 理16(チ

直 線BC,CA,AB と 異 な る と す る.ま ると

と 異 な る)点

で上 の式を満

は 一 直 線 上 に あ る.

ェ バ の 定 理) 

直 線BC,CA,ABと

△ABCと

点 Ｏ が あ る.直

の交点 をそれぞ れ

と 異 な る と す る.ま

中点 とす る と

Ｄ,Ｅ,Ｆ

た こ こ で 線 分 の 長 さ はQS=-SQと

線AO,BO,COと

と す る(こ

れ ら は Ａ,Ｂ,Ｃ 向 き を 付 け る).

する と

逆 に Ｄ,Ｅ,Ｆ た す と,直

が 直 線BC,A4,AB上

線AD,BE,CFは

定 理17.△ABCの

定 理18(モ

の(Ａ,Ｂ,Ｃ 一 点 で 交 わ る か,互

で 上 の 式 を満

い に 平 行 で あ る.

内接 円 の 半 径 を ｒ とす る と

ー リーの 定 理)△ABCの

角 形 の 頂 点 で あ る.

と 異 な る)点

隣 接 す る 各 角 の ３等 分 線 の 交 点 は 正 三

定 理19(ス

チ ュ ア ー ト の 定 理)△ABCの

=p,BP=m,PC=nと

辺BC上

の点 を Ｐ

と す る.AP

お くと

a(p2+mn)=b2m+c2n 定理20(三

角 形 の オ イ ラ ー 線 の 定 理)外

心 Ｏ,重 心 Ｇ,垂 心 Ｈ は オ イ ラ ー

線 と よば れ る直 線 上 に あ りOG:GH=1:2で 定理21(シ

ム ソ ン 線 の 定 理)△ABCの

あ る. 外 円上 の 点 よ り直 線BC,CA,AB上

へ 下 ろ した 垂 線 の 足 は シ ム ソ ン線 と よば れ る 直 線 上 に あ る . 定 理22(ア

ポ ロ ニ ウ ス の 円)与

え られ た ２点 へ の 距 離 の 比 が 一 定 で あ る点 の

軌 跡 は 円 また は 直 線 で あ る. 定 理23(ト

レ ミ ー 定理)四

辺 形ABCDが

円 に 内 接 す る必 要 十 分 条 件 は

AB・CD+BCCD=AC・BD

定 理24(軸 Ｄ,Ｅ,Ｆ

定 理)△ABCの を と る.す

直 線BC,CA,ABの

上 に そ れぞ れ 任 意 に点

る と △AEF,△BFD,△CDEの

３つ の 外 接 円 は 一 点 を

共 有 す る.

  そ の 他,円 周 角 の 定 理 や 方 べ きの 定 理 な どが あ る が,こ れ ら は よ く知 って い る と思 う.さ らに,三 角 形 の 五 心,つ

ま り三 角 形 の 重心,垂 心,内 心,外 心,傍

心 な ど に つ い て も定義 と基 本 的 な 性 質 を確 認 して お くと よ い.   三 角 関 数 に 関連 と した 定 理 で は 次 の 正 弦 定 理 ・余 弦 定 理 が 基 本 と な る. 定 理25(正

弦 定理) 

△ABCの

定 理26(余

弦 定 理) 

△ABCで

外 接 円 の 半 径 を Ｒ とす る と

以 下 が 成 り立 つ.

a2=b2+c2-2bccos 

A

  6.1.2   xy-平

2次

曲

線

面 上 でax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0で

曲 線 と い う.た

だ し,係

と も あ る の で,通

定 義 され た 曲線 を ２ 次

数 に よ っ て は,２

直 線,２

常 そ れ ら は 除 外 し て お く.そ

重 直 線,点,空

集合 になるこ

の 仮 定 の も と で,２

b2-4ac＜0の

と き楕 円

b2-4ac=0の

と き放 物 線

b2-4ac＞0の

と き双 曲 線

次 曲線 は

と よば れ る.こ れ らは,大 学 で 学 ぶ よ うに,適 当 に平 行 移 動 と回 転 を行 うと,そ れぞれ

と い う 形 に 変 換 で き る.   ２次 曲 線ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0上

の 点(x0,y0)に

お け る接 線

の 方程 式 は

2ax0x+b(x0y+xy0)+2cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+2f=0 で あ る.   ま た,２

次 曲 線 の 外 の 点(x0,y0)か

曲 線 の 接 点 をT,T'と と 同 じ に な る.こ   ａ.楕

の と き,直

の 直 線 を 極(x0,y0)に

線TT'の

方 程 式 も,接

次

線 の方程 式

関 す る 極 線 と い う.

円

  楕 円 は,２ る.実

す る.こ

ら ２ 次 曲 線 に 引 い た ２本 の 接 線 と,２

定 点 Ｆ,F'か

際,F=(c,0),F'=(-c,0)の

ら の 距 離 の 和 が 一 定 値2aで 場 合,こ

あ る点 Ｐ の 軌 跡 で あ

の 軌 跡 の方 程 式 は

と な る こ と が,

を 変 形 し て 得 ら れ る.b2=a2-c2(a〓b>0)と (-a,0)と(a,0)を

す れ ば,標

結 ぶ 線 分 を 長 軸,(0,-b)と(0,b)を

準 形 に な る.

結 ぶ 線 分 を短 軸 とい

う.長 軸 と短 軸 を あ わ せ て 主 軸 とい う.ａ を 長 半 径,ｂ を 短 半 径 と い い, 〓(<1)を 離 心 率 と い う.Ｆ,Ｆ'を

で あ る.も

焦 点 と い う.こ

の 楕 円 の 面 積 は πab

ちろ ん 円 は 楕 円の 特 別 な 場 合 で あ る.

  楕 円 の 周 上 の 点P=(x0,y0)に

で 表 さ れ る.こ

お け る接 線 の 方 程 式 は,

れ は 焦 点 と 結 ぶ ∠FPF'の

つ の 焦 点 Ｆ か ら 出 た 光 線 は,楕

外 角 を ２ 等 分 す る.し

た が っ て,１

円 の 周 で 反 射 す る と す べ て 他 の 焦 点F'に

集

ま る.   ｂ.双

曲

線

  ２ 定 点F=(-c,0),F'=(c,0)か

ら の 距 離 の 差 が 一 定 値2aで

あ る点 の 軌

跡 は,

で あ る.b2=c2-a2と を 焦 点,原

お い て 標 準 系 に し た と き,

点 を 中 心,(a,0)と(-a,0)を

〓を 漸 近 線,Ｆ,F'

頂 点 と い う,

〓を

離心 率 と い う. ｃ.放

物

定 点F=(c,0)と

と な る.Ｆ

線 直 線x=-cか

を 焦 点,x=-cを

ら の 距 離 が 等 し い 点 Ｐ の 軌 跡 はy2=4cx

準 線 とい う.焦 点 か ら出 た光 が 放 物 線 に 反 射 す

る と,ｘ 軸 に 平 行 に進 む.ｙ=ax2の

形 を放 物 線 の 標 準 形 に と る こ と も多 い.

― 問 題19.―

日 本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選1999[６]

３ 辺 の 長 さ が そ れ ぞ れAB=4,BC=6,AC=5の の 辺BC上

に点

Ｐ

線 の 足 を そ れ ぞ れＭ,Ｎ Ｐ の 位 置 をP0と

を と り,Ｐ

三 角 形ABC よ り ２ 辺AB,ACへ

と す る.Ｍ,Ｎ

し た と きBP0の

下ろ した垂

間の 距 離 を最 小 にす る よ うな

長 さ を 求 め よ.

 コ メ ン ト

 四 角 形AMPNに

お い て,∠AMP=∠ANP=90゜,つ

∠ANP=180゜

と な る と,"円

ま り,∠AMP+

に 内 接 す る 四 角 形"で

迫 るのが 第一 感 で あ

ろ う.

［解 答 ］   ∠AMP=∠ANP=90゜

よ り四 角 形AMPNは

円 に 内 接 し,AP

は そ の直 径 で あ る.正 弦 定 理 に よ り,直 径APは

で 与 え ら れ る の で,MNはAPに

比 例 す る.よ

も最 小 に な る.APが

最 小 に な る の は,APがBCの

こ の と き のBPをｘ

とす る と

っ て,APが

最 小 の と きMN

垂 線 に な る と き で あ る.

AP2=AB2-BP2=42-x2=AC2-PC2=52-(6-x)2 よ っ て,x=9/4

Ans.9/4

  こ の よ うに初 等 幾何 か ら 出発 す る 解 答 が 最 も簡 単 だ と思 うが,好

み に よ って

は"座 標 を使 って 腕 力 で 計 算 す る"と い うアプ ロ ー チ も よ い だ ろ う.   た と えば,点

Ｂ を原 点 に,点Ｃ

をｘ 軸 上 の 点(6,0)に

をP=(x,0)と

お く.ま た,点Ａ

は 第 １象 限 に と る こ と に す る,こ

  (１)条 件AB=4,AC=5か

ら 点Ａ の 座 標 を 求 め る.

  (２)点 Ａ の座 標 か ら,直 線ABの

方 程 式 を 求 め る.

  (３)点 Ｍ の 座 標 をｘ を用 い て 表 す.

と り,点

Ｐ の座標 の とき

  (４)同 様 に,直   (５)MNはxの

線ACの

方 程 式 を 求 め て,点

Ｎ の 座 標 をｘ を 用 い て表 す.

関 数 と し て 表 され る.

  (６)こ の 関 数 が 最小 値 を と るxを

求 め る.

とい う方 針 で 進 め ば よい.３ 点 Ａ,Ｂ,Ｃ を 座 標 平 面 に と るや り方 の 巧 拙 に よ り 計 算 の 繁 雑 さ は変 わ っ て くるが,い ず れ に して も,決 して 簡単 な 計 算 で は な い. しか し,「うま い ア イデ ア を 探 し求 め る よ りも,た とえ 長 く と も確 実 な 道 を選 ぶ 」 とい うの も現 実 的 な戦 略 か も しれ な い. 問 題20.一

日本 数 学 オ リン ピ ッ ク 予 選1999[8]

三 角 形   ABCで

1/AC-

BCの

∠A=60゜,∠B=20゜,AB=1の

と き,

値 を求 め よ,

コ メン ト

座 標 軸 を 導 入 して 解 析 幾 何 学 的 に 計 算 で 処 理 し よ う と して も,こ の 場 合 は な か な か う ま くい か な い.

[解 答]直

線AC上

き △AEBは 点

Ｆ

に,∠AEB=60゜

正 三 角 形 で あ る.次

を と る.BC=x,AC=yと

  角 の ２等 分 線 定 理   点 をＣ

とな る よ うな 点 に 線 分CE上

を と る.こ

に,∠CBF=20゜

「△ABFに

お い て,∠Bの

となる

２等 分 線 と 辺AFと

っ て,CF=xy.ま り,2y+xy=1.よ

た

っ て, 1/y-x

=2  

. Ans.2

日 本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選2000[11]

四 角 形ABCDが あ り,直

の交

あ る.」

に よ り,AC:CF=AB:BF=1:x.よ

問 題21.一

あ り,AD//BC,∠ABC=∠BDC=1/2∠ACBで

線BDは∠ABCの

き ∠ABCを

求 め よ.

の と

す る とEF=y,BF=x.

と す る と,AC:CF=AB:BFで

AE=AC+CF+EF=1よ

Ｅ

２ 等 分 線 に な っ て い る と す る.こ

の と

[解 答 １]  ∠DACの と直 線CDと

２等 分 線 と 直線BCと

の 交点 を Ｅ,∠DAEの

の 交点 を Ｆ とす る.ま た,∠ABC=2α

２等 分 線

とお けば,図

の よ うに

角 度 が 定 まる.

  ∠ABD=∠ADB=α A B=AE,よ

よ りAB=AD,∠ABE=∠AEB=2α っ て △ADEは

二 等 辺 三 角 形 で あ る.…

  さ ら に ∠CAE=∠CEA=2α   △CADと

△CFAに

２ 角 一 致 よ り △CADと ②,③

つ い て,∠Cが △CFAは

な ので

っ てCA2=OF・CD。

… … ③

△CFEは

相 似.よ

って

… ④

二 等 辺 三 角 形 な の で 直 線AFに

て ∠ADF=∠AEF=3α.…   ④,⑤

… ②

共 通,∠ADC=∠FAC=3α 相 似.よ

っ て △CEDと

で あ る.…

  ① よ り △ADEは

… ①

な の でCA=CE.…

よ りCE2=C.F・CD.よ

∠CDE=∠CEＦ

よ り

対 し て 対 称 で あ る.よ

っ

… ⑤

よ り ∠CDE=∠CEF=∠CEA+∠AEF=2α+3α=5α.

よ っ て ∠ADE=3α+5α=8α.△ADEは ∠ADE=8α

頂 自 が ∠DAE=2α,底

の 二 等 辺 三 角 形 な の で2α+8α+8α=180゜.ゆ

角が

え に α=10゜.

∠ ABC=2α=20゜.  

Ans.20゜

  い か に も平 面 幾何 の 問 題 ら し い巧 妙 な解 答 で あ る.こ の よ うな 問 題 と な る と, 座 標 と三 角 関 数 で 迫 る の は 難 し そ うだが,倍 せ ば,解

け ない わ け で は ない.

[解 答 ２]  点 Ｂ が 原 点,点 (xc,0),点

角 や ３倍 角 の 公 式 な ど を使 い こ な

Ａ の 座 標 が(xA,1)(xA＞0),点Ｃ

Ｄ の 座 標 が(xD,1)と

な る よ う に 座 標 を 導 入 す る.

の座標が

∠ ABC=2α ∠

ADC=3α

よ りxA=〓∠ACB=4α

よ りxC-xA=

よ りxD-xC=〓.一

方,∠DBC=α

よ りxD=

以 上 よ り,

① で あ る.(た

だ し,θ=(90+180n)゜

 ま た,△ACDの2つ で4α+3α<180゜.よ   以 下,方

に 対 し て〓

は ０ を 表 す も の と す る.)

の 内 角 の 大 き さ が∠ADC=4α,∠ADC=3α っ て0<α<〓……

程 式 ① を 解 く.t=tanα

なの

② と お く と,tanの

加 法 定 理 な ど よ り, 〓で あ る.よ

①⇔ ⇔ 4(1-t2)(3-t2)=2(1-t2)2(3-t2)+4(1-t2)(1-3t2) +(3-t2)(1-6t2+t4) ⇔1-33t2+27t4-3t6=0……

 こ こ で,t2=tan2α=

③

な の でc=cos2α

③⇔ ⇔(1+C)3-33(1+C)2(1-C)+27(1+C)(1-C)2-3(1-C)3=0 ⇔ -8-48C+64C3=0 ⇔16(-3cos 2α+4cos32α)=8

と お け ば,

っ て,

aa

⇔cos6α=1/2

(∵cosの 三 倍 角 の 公 式)

⇔6α=(60+360n)゜,(300+360n)゜(ｎ ⇔

は 整 数)

α=(10+60n)゜,(50+60n)゜(ｎ

は 整 数)…

④

  この ④ が 方 程 式 ① の 解 で あ る.こ れ らの 解 の うち,条 件 ② を満 た す もの は α=10゜

の 場 合 だ け で あ る.ゆ え に,∠ABC=2α=20゜.

6.2 

  6.2.1ベ  ａ.空

ク

ト

空

間

幾

何

ル

間 ベ ク トル

 ｖ は ３個 の 実 数ｘ,ｙ,ｚ の 順 序 対(ｘ,ｙ,ｚ)で の 成 分 と い う.空

間 の 原 点(0,0,0)か

あ り,ｘ,ｙ,ｚ は こ の ベ ク トルｖ

ら 空 間 の 点(ｘ,ｙ,ｚ)へ

ゆ く有 向 線 分 を 点

(ｘ,ｙ,ｚ)の 位 置 ベ ク ト ル と い う.   ベ ク ト ルvの

大 き さ(絶

対 値)を ￨v￨ =√x2+y2+z2

で 定 め る.￨u￨=1で (0,1,0),k=(0,0,1)は

あ る ベ ク トル を 単 位 ベ ク トル と い う.i=(1,0,0),j= そ れ ぞ れ 空 間 の 正 のｘ,ｙ,ｚ-軸

ト ル で あ る.   以 下 でa=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x1,y3,z3),x=(x,y,z)と す る,   ｂ,内

積

  ベ ク ト ルａ,ｂ の 内 積a・bを ・b=x1x2+y1y2+z1z2

と し て 定 め る,ａ,ｂ

の 間 の 角 を θ とす る と ・b=￨a￨￨b￨cosθ

と な る.

を示 す 特 別 な 単 位 ベ ク

a

 ｃ.直 線 の ベ ク トル 方 程 式  位 置 ベ ク トル ａ,ｂで あ る ２点 を通 る 直 線 の 方 程 式 は x=a+t(b-a)

,  t∈R

  ｄ.平 面 のベ ク トル方 程 式   位 置 ベ ク トルａ で あ る点 を 通 りベ ク トルｎ を法 線 ベ ク トル とす る平 面 の 方 程式 (x-a)・n=0 

n=(α,b,c)と

あ る い は  x・n=a.n

す る と 上 式 はax+by+cz+d=0と

こ の 平 面 に 点ｃ

な る.

よ り引 い た 垂 線 の 長 さ は

と し て 求 め ら れ る.   ２つ の 平 行 な 平 面x・n=k1とx・n=k2間

の距離は

と な る.

6.2.2 

空 間 ベ ク トル の 外 積a

=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)の

内積

・b=x1・x2+y1・y2+z1・z2

ａ,ｂの 外 積 あ る い は ベ ク トル 積

a×b=(y1z2-z1y2,z1x2-x1z2,x1y2-y1x2)=〓

を 定 義 す る.こ

こ でi=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)で

に つ い て 知 ら な い な らば,無

あ る.行

視 し て ２番 目 の 式 を 定 義 と 考 え れ ば よ い.

列式

a・(b

aとbの

  ベ ク トル 積a×bは

交 角 を θ と す る と,a・b=｜￨a￨￨｜｜b￨￨cosθ

そ の 絶 対 値 は￨￨a￨｜｜￨b￨￨sinθ で,ａ とｂ の 両 方 に 垂 直 で そ

の 向 は,ａ か らｂ へ と右 ネ ジ を 回 し た と きの ネジ の 進 む 方 向 で あ る.ベ 積a×bの

ク トル

絶 対 値 はａ,ｂ の つ くる平 行 四辺 形 の 面 積 に等 しい.

  内 積 ・外 積 と直 交 ・平 行 は 次 の よ うに 関 連 して い る. a⊥b⇔a・b=0,a//b⇔a×b=0   行 列 式 に つ い て 知 っ て い る な ら ば,次

の 公 式 も,"体

積"の

意味 づ け として

知 っ て お く と よ い. a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3)の

ス カ ラ ー三 重 積 を

×c)=b・(c×a)=c・(a×b)=〓

と定 義 す る と,ａ,ｂ,ｃ で,"体

か ら つ くられ る 平 行 六 面 体 の"体 積"に 等 しい.こ

こ

積"と 引用 符 つ きで 述 べ たが,こ れ は,こ の 値 が 負 とな る こ と もあ るか

らで あ る(正 確 に は,ス

カ ラ ー 三 重 積 の 絶 対 値 が 体 積 と な る).

  外 積 を使 う と簡 潔 に 表 され る 公 式 もあ る.   位 置 ベ ク トル がａ,ｂ で あ る ２点 を通 る 直線 に 点ｃ よ り引 い た垂 線 の 長 さは

  点ａ を通 る ベ ク トル ｕ の 方 向 の 直 線 と,点

ｂ を通 るベ ク トルｖ の 方 向 の 直

線 間 の 距 離(両 直 線 上 の 点 を 結 ぶ 線 分 の なか で 最 短 の もの の 長 さ)

 ａ.多   面   体  い くつ か の 面 で 囲 まれ た 有 界(十

分 大 きな ２次 元 球 面 の 中 に 含 まれ て い る こ

と〉 な 立 体 図 形 を 多 面 体 とい う.そ の 面 は 多 角形 で あ り,面 と面 との 交 わ りが

正 多 面 体 とそ の 展 開 図.(ａ)正 体,(ｄ)正

十 二 面 体,(ｅ)正

四 面 体,(ｂ)正

六 面 体,(ｃ)正

八面

二 十 面 体(『 図 説 数 学 の 事 典 』,p.284,

朝 倉書 店 に よる)

辺,辺

と辺 との 交 点 が 頂 点 で あ る.多 面 体 で は,辺

の こ と を稜 と もい う.

  す べ て の 面 が 合 同 な 正 多 角 形 で あ っ て,各 面 の 中 心 を通 る垂 線が す べ て 同 じ 点 で 交 わ る よ うな 多 面 体 を正 多 面 体 とい う.正 多 面 体 は 凸 図形 で あ る.   正 多 面 体 に は 上 図 に 示 した よ うな ５種 類 が あ る.   ｂ.閉 曲 面 の トポ ロ ジ ー   20世 紀 初 頭 に ア ン リー ・ポ ア ン カ レ(Henri  Poincare)は 新 しい 幾 何 学 を 創 立 した.こ

トポ ロジ ー とい う

の幾 何 学 は 一 般 の 図 形 の 比 較 的 お お まか な 性 質 を

研 究 す る もの で,そ

の 一分 野 で あ る位 相 空 間論 は 現 代 数 学 の 基 礎 を成 して い る.

  線 や 面 の 図 形 に 限 って トポ ロ ジ ー を 直 感 的 に 述 べ る と,線 や 面 は ゴ ム の よ う な弾 性 の あ る もの と考 え て,切

った り くっつ け た りし な い 限 り,自 由 に 曲げ た

り伸 ば した り縮 め た りし て形 を 変 え て も同 じ もの とみ な す.   多 面 体 の表 面 を閉 曲 面 と い う,閉 曲 面 Ｆ を 多 角 形(曲 が っ て い て も よい)の い くつか の 面 と,そ れ らの 面 と面 との 交 わ りの 辺(曲 線 分 で も よい)と,ま 辺 と辺 との 交 点 で あ る頂 点 と に分 割(三 角 形 分 割)す をe2,辺

の 個 数 をe1,頂

点 の 個 数 をe0と

る.そ

た

の と きの 面 の個 数

す る とき

x(F)=e2-e1+e0 は 三 角 分 割 の 仕 方 に よ らず 一 定 で あ る.  オ イラ ーの 公 式   閉 曲面 Ｆ が 凸 多 面 体 の 表 面 の と き に は

x(F)=e2-e1+e0=2 が 成 り 立 つ.

 一 般 の 多 面 体 の 表 面 で あ る 閉 曲面 Ｆ で は

x(F)=e2-e1-1+e0=2(1-g) を 満 た す 非 負 整 数ｇ が 定 ま る,こ の ｇ を 閉 曲 面 Ｆ の 種 数 とい う.

例36.凸

多 面 体 の 表 面 や 球 面 の 種 数g=0で

ラ ス の 種 数 は そ れ ぞ れg=1,2で

あ る.閉

曲 面 トー ラ ス や ２重 トー

あ る,

  こ の よ うな トポ ロ ジ ー の知 識が 数 学 オ リン ピ ッ クで 必 要 だ とい うわ け で は な い.し か し,多 少 は 現 代 数 学 へ 結 び つ く雰 囲気 を味 わ って お くの も悪 くは な い の で は?   そ れ で は,数 学 オ リン ピ ッ ク問 題 に 戻 る こ とに し よ う.

―問 題22.―

日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選1999[10]

一 辺 の 長 さ １の 正 二 十 面 体 の 最 も長 い対 角 線 の 長 さ を求 め よ .

[解 答]  正 二 十 面 体 の ち ょ うど 反 対 側 の ２辺AB,CDに

注 目す る と,ACは

明 らか に 最 も長 い 対 角 線 の １つ で あ る.四 角 形ABCDは

対 称 性 よ り長 方形 で

あ り,ま たBCとADは

長 さが 等 し く,そ れ ら は 一 辺 の長 さが １の 正 五 角 形

の"対 角 線"で あ る.

  そ こ で,一 辺 の 長 さ １の 正 五 角 形PQRSTの

対 角線PRの

長 さ ｘを求め

れ ば よい.こ れ は 高 校 の 教 科 書 で もsin  18゜ の 値 な ど に 関連 して 説 明 され て い る よ う に〓  よ っ て,BC=AD=〓

で あ る. で あ る.

よ って,最

も長 い 対 角 線 の長 さ.ACは

 

Ans.〓

― 問 題23.―

日本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選1999[4]

一 辺 の 長 さが １の 立 方 体ABCD 平 面 で 切 断 す る と き,切

[解 答]ま

ず,AGを

-EFGHを

,対 角 線AGを

含む

り口 の面 積 の 最 小 値 を 求 め よ.

含 む平 面 をAGを

軸 と し て 回 転 す る と き,そ れ が 立 方 体

を ど の よ うに 切 断 す るか を,ひ た す ら 観 察 す る(試 験 の と き に は不 可 能 な こ と だが,最

初 は 手 近 な立 方体 を手 に と って 考 え て み るの が よ い).そ の うちに 次 の

こ とが み え て くる は ず で あ る.   まず,記 号 を 準 備 し て お く.   ●線 分EF,FB,BC,CD,DH,HEを "ル ー プ"をlで

こ の 順 に 結 ん だ 折 れ 線 か らな る

表 す こ と に す る(集

合 と し て 書 くな らば

,l=EFUFBU

BCUCDUDHUHE).  ● 立 方 体 の 中 心(対

角 線AGの

  ●l上 の 点 Ｐ の 点Ｍ  ● こ の と き,Ｑ

もl上

中 点)を

Ｍ

で 表 し,

に つ い て の 点 対 称 な 点 を Ｑ で 表 す こ とに す る. の 点 で あ り,４ 点Ａ,Ｐ,Ｇ,Ｑ

は 同一平 面上 にあ

る.   ● こ の 平 面 をL(P)で

表 す こ と に す る.

こ の よ う に 記 号 を 定 め て お き,次

の よ う に"観

 (１)四 角 形APGQは"ABCD-EFGHを,AGを 断 し た と き の 切 り 口"と  (２)さ ら に 点 Ｐ が,点

察"を

進 め る.

含 む 平 面L(P)で

切

な る.

Ｅ を 出 発 し てl上

を 点 Ｆ 方 向 へ 進 み,l上

を一 周

して 出発 点 Ｐ に 戻 る と き,平 面 Ｌ(P)も そ れ に つれ て 回 転 し て １周 す る.  (３)し たが っ て,「点 Ｐ がl上 い つ か?」

を動 く と き △APGの

面 積 が 最 小 に な るの は

とい う問題 を解 け ば よい.

 (４)こ れ は,「Ｐ と線 分AGの

距 離 が 最小 に な る の は い つ か?」 が わ か れ ば

よ く,  (５)そ の た め に は 「点 Ｐ か らAGへ DH,HEの

う ち)Ｐ

引 い た 垂 線 が,(EF,FB,BC,CD,

を 含 む線 分 と直 交 す る の は い つ か?」

と い う問 題

が わか れば よい.  (６)こ の 問題 の答 えが 「Ｐ が そ れ を含 む 線 分 の 中点 で あ る と き」 とい うこ と は,"対 称 性"を よ く考 え れ ば わ か る. 点 Ｐ が いず れ か の 線 分 の 中 点 で あ る と き に は,

で あ り,対 称 性 に よ り Ｐ か らAGに

引 い た 垂 線 は 中 点 Ｍ でAGと

交わ るの

で あ り,

で,1/√2

四 角 形APGQの

面 積=2△APG=AG×AM=√6/2

 

Ans.√6/2

  確 か に 日本 数 学 オ リン ピ ッ ク予 選 は 解 答 のみ 答 え れ ば よ く,証 明 は 必 要 な い の で,こ

の 本 の解 説 も"観 察 し て 見 抜 く"で 済 ま して も よ さそ うだ が,"観

察"

もこ の レ ベ ル と な る と簡 単 に"見 抜 くこ とが で き る"で は 抵 抗 を感 じ る と思 う. そ もそ も,"証 明 は 必 要 な い"の ど うの こ うの 言 う以 前 に,正 しい ので は な い だ ろ うか?そ

れ で は,"観

議 論 が 進 め られ れ ば よ い の だ が,得 で は,ど

しい か ど うか も怪

察"に 頼 らず 計 算 な ど の 論 証 だ け で

て して この 問題 の よ うな 立 体 が らみ の 問 題

う して も,図 形 に対 す る直 感 的 理 解 に頼 らな い とや って い られ な い 場

合 が 多 い.お

そ ら く,上

の(１),(２)な

ど は,実

根 拠 を う ま く表 現 す る の は 難 し い で あ ろ う.し 最 も"… る.そ

…

質 的 に"見 か し,幸

と な る こ とが わ か りづ ら い"(６)は,計

の た め に は,ま

ず,Ｐ

は たらけば

ば 後 は 同 じ"と

学 で,よ

,"ど

上の

そ ら く

算 で 済 ま す こ と も可 能 で あ れ も

れ か １つ の 線 分 に つ い て 検 討 す れ

く 「一 般 性 を 失 う こ と な し に 点 Ｐ はBF

上 に あ る と 仮 定 し て よ い 」 と い う 表 現 を す る)を"見 れ に 頼 ら な い 場 合 で も,せ

い な こ と に,お

が ど の 線 分 上 に あ る か で 場 合 分 け を す る.こ

"対 称 性 に つ い て の 直 感"が い う こ と(数

れ ば わ か る"以

抜 く"こ

め て,「EF,FB,BCに

と も で き る.こ

つ い て 調 べ れ ば,残

りは Ｐ

と Ｑ の 役 割 を入 れ 替 え て 考 え れ ば 同 じな の で 省 略 し て よい 」 とい うこ とだ け は 使 う こ と に し よ う.し がEF上

た が っ て,３ つ の 場 合 に つ い て 検 討 す る.そ

に あ る 場 合 に つ い て,(６)が

  まず,頂

点 Ｅ を 原 点(0,0,0)と

座 標 系 を 用 い る.最

成 り立 つ こ と を 確 認 し よ う.

し,F(1,0,0),H(0,1,0), 

も 簡 単 な の は,直

れ で は,Ｐ

A(0,0,1)と

なる

線 と直線の距離 の公式

  点ａ を 通 るベ ク トル ｕ の 方 向 の 直 線 と,点

ｂ を通 る ベ ク トルｖ の 方

向の直線 間の距離は

を,a=(0,0,1),b=(1,0,0),u=(1,1,-1),v=(0,0,1)と

し て用 い る方 法

で あ り,こ れ か ら２ 直 線 の 距 離1/√2が 求 め ら れ る.こ と 直 線 、4Gの

距 離1/√2に 等 し い こ と か ら,線

分BFの

の 値 が,線

中 点 がAGと

最 小 値 を 与 え る こ と が わ か る(結

果 的 に は,(６)を

Ｐ がBFに

答 え が 得 ら れ た こ と に な る),同

て,Ｐ

あ る と し て の(４)の

がEFやBCに

の 線 分 の 中 で の)最 分 の 中 点 が(４)の

あ る ケ ー ス に つ い て も,そ

中点 の距離の

経 由 す る こ と な く い き な り, 様 に計 算 し

れ ぞ れ の 線 分 の 中 点 が(そ

小 値1/√2を 与 え る こ と が 示 さ れ る.よ 解 を 与 え る こ と が 確 認 さ れ た.

分BFの

っ て,そ

れ ぞ れ の線

― 問 題24.―

日 本 数 学 オ リ ン ピ ッ ク 予 選2000[５]

図 の よ うな 一 辺 の 長 さ １の 立 方 体ABCD-EFGHが の 中 点 を Ｋ,辺DHの

中 点 をL,辺EFの

中 点 を Ｎ と す る.八 面 体A-KLMN-Gの

[解 答]

辺EHの

中 点 を Ｐ,辺BCの

中 点 を Ｍ,辺FBの 体 積 を求 め よ,

中 点 を Ｑ とす れ ば,KLPMNQは

正 六 角 形 で あ り,立 方 体 の 超 対 角 線AGと は 長 方 形 で あ り,線 分AGと

あ り,辺CD

直 交 す る.よ

っ て 四 辺 形KLMN

直 交 す る.KL=1/√2,LM=√3/√2,AG=√3な

の で,求 め る体 積 はV=1/3KL・LM・AG=1/2.   ベ ク トル を用 い て計 算 す る こ と もで きる.  対 称 性 に よ り,KLMNは

平 行 四 辺 形 で あ り,

とな る よ うに正 規 直 交 座 標 系 を と る と,

な の で,内 積 を計 算 す る こ と に よ り,こ れ ら ３つ の ベ ク トル が 互 い に直 交 す る こ とが わ か る.よ っ て 求 め る体 積 は

と な る.  

Ans.1/2

コ メン ト

体 積Ｖ

は 公 式 に よ り求 め たが,ベ

と計 算 す る こ と もで き る.

ク トル の 外 積 を利 用 し て,

あ とが き

  こ の 本 で は と にか く,な りふ りか ま わず に,問

題 を ど の よ うに考 え て 解 答 を

得 るか とい うア イデ ア の 実 例 を述 べ ま し た.   こ う した 問 題 へ の挑 戦 は 山 登 りに 喩 え る こ とが で きるで し ょ う.頂 上 へ の 道 は い くつ もあ るで し ょ う し,山 に よ って そ の 登 り方 も さ まざ まで し ょ う.問 題 へ の 挑 戦 も,一 般 的 な 問 題 は 特 殊 化 して 観 察 す る,た

と えば 三 角 形 の 問 題 は 二

等 辺 三 角 形 とか 正 三 角 形 で は ど うか と観 察 し て み て ア イデ ア を掴 む とか,ま 2003個

の もの に 対 す る 問 題 な ど 特 殊 な もの は,逆

み て 背 理 法 を使 って み る とか,ま た,さ

れ ます.こ れ らの ア イデ ア(発 想 力)は

に 一 般 化 し て ｎ個 の 問 題 と

ら に特 殊 化 してn=1,2,3の

べ て,こ れ か ら帰 納 法 で 証 明 す る とか 等 々,ほ

た

場 合 を調

とん ど 無 限 の ア イデ ア が 用 い ら

問 題 を 実 際 に 自分 で 解 くこ と を通 じて

身 に つ く もの で す.   そ して 山登 りの 要 は 十 分 な脚 力,体 力 を つ くる こ とで し ょ う.同 様 に 問 題 挑 戦 に は ア イデ ア(発 見 力=考

え る力)を

身 に つ け る こ とで す.手 足 の 筋 肉 な ら

目に み え ますが,こ

の 考 え る 力 は 目 に み え ませ ん.素 晴 ら し い 考 え る力 を も っ

て い る ど ん なIMOの

金 メダ リス トも,見 か け は 普 通 の 生 徒 に す ぎ ませ ん.し

か し,こ の 本 で 述 べ た よ うな方 法 で 常 に 自分 で 問 題 に挑 戦 して ゆ くと,い つ も 歩 い て い る足 に 自然 に筋 肉が つ くよ うに,考 え る力 が 頭 脳 につ い て くる の で す. しか も私 の観 察 か ら,中 学 ・高 校 生 時 代 に 自分 で 問 題 に 挑 戦 す る と,体 の 成 長 に 合 わせ る よ うに ド ン ドン と考 え る力 は 大 き く成 長 して ゆ く もの な の で す.で す か ら,こ の好 時期 にJMOやIMOの ま し い,そ

数学 オ リ ン ピ ッ ク問題 に挑 戦 し て,た

して 永 続 性 の あ る考 え る力 を我 が もの と して 下 さい.そ

来 の 大 きな発 見,発 明 な ど(何

く

うすれ ば 将

も数 学 や 自然 科 学 に 限 る必 要 は あ りませ ん)に

つ なが る と私 は 信 じ て い ます.そ

し て こ の 宝 物 を,世 界 の,日 本 の,そ

して貴

方 の 幸 せ の た め に 大 い に 役 立 て て 下 さい.   そ れ で は,こ の 本 に続 い て,さ 読 者 の 方 の た め に,い

らに 数 学 オ リ ン ピ ック に 向 け た 勉 強 を し た い

くつ か の 本 を 思 い つ くま ま に あげ て お き ま し ょ う.

  まず,「幾何 」 につ い て は,こ

の本 の 内 容 は ほ ん の 入 り口 を 紹 介 し た だ け の も

の で す.「幾何 」 は 高 校 の教 科 書 「数 学 Ａ」 に も書 か れ て は い るの で すが,や りち ょっ と物 足 りな い 印 象 で す.「幾 何 」 の勉 強 は,あ 腰 を 入 れ て 勉 強 す るの が,結

は

る程 度 ま と ま っ た本 を本

局 は一 番 の 早 道 で す.幸 い,本 書 の シ リー ズ で

 鈴 木 晋 一 ：『幾何 の 世 界 』,朝 倉 書 店(2001) が あ ります の で,ぜ

ひ この 本 で 「幾 何 」 を マ ス ター して 下 さい.

  ま た,「数 論 」 は 高 校 の数 学 との ギ ャップが,や か も しれ ませ ん.も

や 大 き く取 っつ きづ らか っ た

う少 し て い ね い に 書 か れ た本 と して は

 戸 川 美郎 ：『ゼ ロか らわか る数 学― 数論 とそ の応 用― 』,朝倉 書店(2001) が あ ります.こ

の本 は,「数 論 」 に 限 らず,集 合 と写 像 とい う枠 組 み で 数 学 を展

開 す る ス タ イル の 入 門書 と して 最 適 だ と思 い ます,   さて,数 学 オ リ ン ピ ッ クに 向 け て の本 格 的 な 勉 強 をす る な らば,  (財)数 学 オ リン ピ ック財 団編:『数学 オ リンピ ック事 典― 問 題 と解 法― 』, 朝 倉 書 店(2001) が 決 定 版 で し ょ う.こ の 本 に は,IMO,JMO本

選 ・予 選 の 過 去 全 問 題 だけ で な

く,各 国 の 国 内 数 学 オ リン ピ ック 出題 問題 か ら良 問 を選 ん で,解 説 と 解 答 が 載 せ られ て い ます.ま た,IMOで

必 要 な 予 備 知 識 も系 統 的 に 解 説 され て い ます.

  以 上,「 数 学 オ リ ン ピ ッ ク」 を キ ー ワ ー ド と して 文 献 を 紹 介 して み ま し たが, 数 学 オ リン ピ ッ クの そ もそ もの 目的 は,「数 学 の 若 い 才 能 を 見 い だ し励 ます こ と」 で す.み な さん の 数学 の 能 力 を伸 ば し,数 学 に対 す る 関心 を育 て る た め に は,数 学 オ リン ピ ッ クだ け に 限定 して 勉 強 す る必 要 は あ りませ ん.ト

ポ ロ ジ ー で も微

分 幾何 学 で もガ ロア 理 論 で も,関 心 の あ る テ ー マ な ら何 で も よ い で す か ら,本 格 的 な 数 学 書 に 挑 戦 し て み る の も よい と思 い ます.も しか した ら,結 果 的 に は,

そ れ が 数 学 オ リ ン ピ ッ クへ 向 け て の 勉 強 と して も最 適 な の か も しれ ませ ん.   終 わ りに な り ま した が,本 書 は材 料 の 下 ご し らえ は 私 が し ま した が,そ

の調

理 と味 付 け は 名 シ ェ フ,東 京 理 科 大 学 教 授 の 戸 川 美 郎 氏 に よ る もの で あ り,こ こ に 氏 の 労 苦 に対 して 感 謝 の 意 を表 し ます.  2001年

９月

 野 口  廣

索

■ ア行

引

原始 ｎ

根   52

アポ ロ ニ ウ スの 円  108 アポ ロ ニ ウ スの 定理   107

格 子 点  3,41 合 同式  65

１の ｎ 乗 根   50

■ サ行 円順 列  86

彩 色 グ ラ フ  100 三角 法   106

オ イ ラ ー 線  108 オ イ ラ ー の 公 式   51

軸定 理   108

オ イ ラ ー の 一 筆 書 き 定 理   102

次 数   100

■ 力行

実部  48

外 延 的 記法   26

シ ム ソン線  108

外 積   116

写像  31

解 析 幾何   106

周期  35

ガ ウス 記号   41

集合   19

ガ ウス 平 面  50

重複 組 合せ   88

数の 表 記  79

重複 順 列  86

自然 数22

関数  37

主軸   110 種 数   119

逆 写 像  34

数珠 順列  86

共通 部 分  28

順 序 対  23

極  109

準 線   110

極 座 標 表 示  51 極 線   109

順列   85 焦点   110

虚部  48 数 論   64

組合 せ  87

ス カ ラ ー   58

グ ラ フ  99

ス カ ラ ー 三 重 積   117 ス チ ュ ア ー トの 定 理   107

正弦 定 理   108

２項 係 数  88

整数   22

２次 曲線   109

整数 部 分  41 整数 論  64

■ ハ行

正 多 面体   118

場 合 分 け  85

絶 対 値  115

鳩 の 巣原 理  91 パ ラ メー タ表示  45

漸 近 線  110 線 形 従属   60 線 形 性  58

一 筆 書 き  101

線 形独 立   60 全 射  33

複 素 数  22,48

全 体 集合   29

複 素数 平 面  50

全 単射   33

不 動 点   35 部 分 集 合  22

双 曲線   110 ペ ア  22

■ タ行

閉 曲 面   119

代 数 学 の基 本 定 理  49

ベ ク トル   58

楕 円  109

ベ ク ト ル 積  116

多 面 体   117

辺   99

短 軸  110

偏 角   50

単 射  33 短 半 径  110

包 除定 理  90 補 集合   29

値 域 として の 記法  44 チ ェバ の 定 理   107

■マ 行

中 国式 剰 余 定 理  74

無 限集 合  22

長軸   110 頂点   99

メネ ラウ スの 定 理   107

長半 径   110 直積 集 合  23

モ ー リ ー の 定 理   107

直和   85 ■ ヤ行 対   22

有 限 集 合  22 有 向 グ ラ フ  102

ト リ プ ル   24

有 理数  22

ト レ ミ ー 定 理   108

有理 点  82 ユ ー ク リ ッ ド幾何106

■ナ 行 内積   115 内包 的記 法  27

要素   20 ―の個 数  24 余弦 定 理  108

■ ラ行

連結  101

離 心 率   110 稜  118

■ ワ行 和 集 合  28

ル ー プ  102

著者略歴 野

口 

廣(の ぐち ・ひろし)

1925年  千 葉県 に生 まれ る 1948年  東北 大学 理学 部数学科 卒業 現 在 早稲 田大 学名 誉教授 ・理学博 士  (財)数 学 オリン ピ ック財 団前理事 長 主 著  『不 動点 定理 』(共 立出版)   『カ タス トロフ ィー』(サ イエ ンス社)   『図説数 学の事 典』(朝 倉 書店,共 訳)

シ リー ズ[数

学 の世 界]７

数 学 オ リ ンピ ック 教 室 2001年10月25日 2005年

１ 月30日

定価 は カバ ーに 表示

  初 版 第 １刷   第 ３刷

著 者 野

口

発行者 朝

倉

株式 発行所 会社 

朝

廣 邦

倉

造

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町 ６-29 郵 便 番 号 電

FAX 

〈検 印省略〉

4-254-11567-9

03(3260)018O

http://www.asakura.co.jp

〓2001〈 無断複 写 ・転載 を禁ず〉

ISBN

  162‐8707

話  03(3260)0141

C3341Printed

三美 印刷 ・渡辺 製本

in Japan

０

シ リー ズ 〈数 学 の 世 界 〉 野 口廣監修／ 数学の 面 白 さ と魅 力 をや さ し く解 説 理科大  戸 川 美 郎  著 シ リー ズ 〈 数 学 の 世 界 〉1

ゼ 回 か ら わ か る 数 学 − 数 論 と その 応 用 − 11561-X  C3341 

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早大  沢 田 賢 ・早大  渡 邊 展 也 ・学芸大  安原 シ リー ズ 〈数 学 の 世 界 〉３

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晃  著

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分 で あ り,学 生 も高校 で あ ま り数 学 を 学 習 して い な い。 この こ と を十 分 考 慮 して,数 学 に お け る文 字 の使 い 方 な どか ら始 め て,線 形 代 数 と微 積 分 の 基 礎 概 念 が 納 得 で き るよ うに 工 夫 をこ ら し た 社会 科 学 系 の 学 生 を対 象 に,線

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大 公 約 数 や 素 数 の 見 つ け 方,方 程 式 の 解 き 方,さ らに名前 の デー タの並べ 替 えや文字列 の探 索 ま で,コ ン ピュ ー タで 問 題 を 解 く手 順 「ア ル ゴ リズ ム」を 中心 に 情 報 処 理 の 仕 組 み を解 き明 か す 社 会 科 学 系 の 学 部 で は 数 学 を履 修 す る時 間 が 不 十

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早大  沢 田 賢 ・早大  渡 邊 展 也 ・学芸大  安原 シ リー ズ 〈数 学 の世 界 〉４

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コ ン ピ ュ一 タ 内 部 で の 数 の 扱 い 方 か ら始 め て,最

慎  著

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,１,２,３,… と四 則 演 算 だ け を予備 知 識 と して 数 学 に お け る感 性 を 会 得 させ る数 学 入 門 書 。 集 合・ 写 像 な どは 丁 寧 に説 明 して使 え る道 具 と して し ま う。 最 終 目的 地 は イ ン ター ネ ッ ト向 きの 暗 号

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形 代 数 と微 積 分 の

基礎 が確 実 に 身 に付 くよ うに 工 夫 され た 演 習 書 。 各章 の 冒 頭 で 要 点 を解 説 し,定 義,定 理,例,例 題 と解 答 に よ り理 解 を深 め,そ の 上 で演 習 問 題 を 与え て実 力 を養 う。 問題 の解 答 を巻 末 に 付 す 微 分 方 程 式 は 経 済 や 金 融 の 分 野 で も広 く使 わ れ る よ うに な った 。 本 書 で は微 分 積 分 の 知識 をい っ さ い 前 提 とせ ず に,日 常 的 な感 覚 か ら自然 に微 分 方

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学 的 に 扱 う楽 しさ を読 者 に 伝 え る。 多数 の 図 と例 題,練 習 問題 を 添 え,談 話 室 で興 味 深 い話 題 を提 供 す る。 〔内 容 〕幾 何 学 の 歴 史／ 基 礎 的 な 事 項／3

幾

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概 念 や 記号 は て い ね い に繰 り返 し説 明す る

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角 形／ 円 周 と 円盤／ 比 例 と相 似／ 多辺 形 と 円 周

数学オ リンピック財団  野 口 廣  監修 数 学 オ リン ピ ッ ク財 団  編

国 際 数 学 オ リン ピ ッ クの 全 問 題 の 他 に,日 本 数 学 オ リ ン ピ ッ クの 予 選 ・本 戦 の 問 題 全 米 数 学 オ リ ン ピ ッ クの 本 戦 ・予 選 の 問 題 を網 羅 し,さ ら に ロ

数 学 オ リン ぜ ッ ク事 典

詳 しい解 説 を加 え た。 各 問題 は 分 野 別 に 分 類 し, 易 しい 問 題 を基 礎 編 に,難 易 度 の 高 い問 題 を 演 習

シ ア(ソ 連)・ ヨー ロ ッパ 諸 国 の 問 題 を精 選 して,

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編 に お さめ た。 基 本 的 な 記 号,公 式,概 念 な ど数 学 の 基 礎 を中 学 生 に もわ か る よ うに 説 明 した 章 を 設け,ま た 各 分 野 ご とに体 系 的 な知 識 が 得 ら れ る

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よ う な解 説 を付 け た。 世 界 で初 め て の 集 大 成 J.−P.ド ゥ ラ エ  著   京大 畑

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政 義  訳

惑

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208頁  本 体4600円

数

「πの 探 求,そ れ は 宇 宙 の 探 検 だ 」古 代 か ら現 代 ま で,人 々 を魅 了 し て き た神 秘 の 数 の 世 界 を探 る。 〔内 容 〕πとの 出 会 い／ πマ ニ ア／ 幾 何 の 時 代/解 析 の 時 代／ 手 計 算 か ら コン ピ ュー タへ ／ πを 計 算 し よ う／ πは超 越 的 か／ πは乱 数 列 か ／ 付 録/他  上 記 価 格(税 別)は2004年12月

現在