数学基礎論入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松醇郎 福原満洲雄 編集

基 礎 数 学 シリーズ

編 集 の ことば   近 年 に お け る科 学 技 術 の発 展 は,極 め て め ざ ま し い も のが あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 学 の知 識 の応 川 も さ る こ とな が ら,数 学 的思 考 方 法,数 学 的 精 神 の 浸 透 が 大 きい.理 工学 は じ め医 学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基 礎 的 な考 え方 の素 養 が 必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の理 念 に接 しな けれ ば,知 識 の 活 用 も多 きを望 め な いで あ ろ う.   編 者 らは,こ の よ う な事 実 を考 慮 し,数 学 の 各 分野 に お け る基 本 的 知 識 を 確 実 に伝 え る こ とを 目的 と して 本 シ リー ズ の 刊 行 を企 画 した ので あ る.   上 の 主 旨 に したが って 本 シ リー ズ で は,重 要 な 基 礎 概 念 を と くに詳 し く説 明 し 近 代数 学 の 考 え 方 を平 易 に理 解 で き る よ う解説 して あ る.高 等 学 校 の 数 学 に 直 結 して,数 学 の基 本 を悟 り,更 に進 ん で 高 等 数 学 の 理 解 へ の大 道 に容 易 に はい れ る よ う書 か れ て あ る.   これ に よ っ て,高 校 の 数 学 教 育 に 携 わ る人 た ちや 技 術 関係 の人 々の 参 考 書 と し て,ま た 学 生 の 入 門書 と して,ひ

ろ く利 用 され る こ と を念 願 と して い る.

  この シ リー ズ は,読 者 を数 学 とい う花 壇 へ 招 待 し,そ れ の観 覚 に 資す る と と も に,つ

ぎの段 階 にす す む た め の 力 を養 う に役 立 つ こ と を意 図 し た もの で あ る.

は

し

が

き

  本 書 は,不 完 全 性 定 理 に 関 す る ゲ ーデ ル の 理 論 に つ い て の 入 門 書 で あ る.ゲ ー デ ル の 証 明 を て い ね い に 追 っ て 行 くこ とは ,じ つ は,論 理 計 算 の実 際 を 知 る 上 で も,ま た,記 号 論 理 の 実 質 的 な 意 味 を理 解 す る た め に も,ま

こ とに 良 い 機

会 を 初 学 者 に 与 え る も の で あ り,そ れ ゆ え に,本 書 は ま た,数 学 基 礎 論 全 般 に 対 す る入 門 書 た り得 る も の と信 じて い る.   記 号 論 理 に 関 す る 著 作 が 数 多 く存 在 す る現 在,不 完 全 性 定 理 を,ど

の よ うな

形 式 的 体 系 に つ い て述 ぶ べ きか は,本 書 の作 製 に あ た っ て の1つ の 問 題 で あ っ た.そ

して,種

々 の観 点 か ら の 考 慮 を 集 約 し,結 局 は,ゲ

ー デル の 原 論 文 に 採

用 さ れ て い る体 系 を そ の ま ま用 い る こ とに した.し た が っ て,悪 書 は,ゲ

く言 え ば,本

ー デ ル の 論 文 の 非 常 に 間 伸 び した 解 説 に 過 ぎ な い,と 言え な い こ と も

な い.   第1章

は,本 書 で用 い る形 式 的 体 系 の 内 容 的 な らび に 形 式 的 な 解 説 で あ る.

  前 に も述 ベ た よ うに,ど

の よ うな形 式 的 体 系 を 本 書 で 用 い るか は,1つ

題 で あ った.た

の 自然 数 論 に 限 っ て も,専 門 家 達 に と っ て は,不 完

と え ば1階

の問

全 性 定 理 と の関 連 に お い て 取 り上 ぐベ き簡 単 な 体 系 は い くら で も あ り得 る.し か し,そ れ らは す べ て,そ

の 内 容 が 通 常 の 数 学 に 比 して あ ま りに も貧 弱 で あ り

過 ぎ る.そ の点 に お い て,そ れ らは,数 学 的 理 論 の形 式 化 の 実 際 を 初 学 者 に 知 ら せ るに は,あ ま り適 切 な 体 系 とは 言 え な い.と 同 時 に,不 完 全 性 定 理 が 成 り 立 つ の は,そ の 体 系 の 貧 弱 さ の ゆ え で あ る,と い う誤 解 を も ま ね き か ね な い. ゲ ー デル 自身 が 言 っ て い る よ うに(第8章

の 前 文 を 参 照),不

完 全性 定理 を示 す

の に は,そ の体 系 が 十 分 に 包 括 的 で あ る こ とが 望 ま し い.   と は言 う もの の,公 理 的 集 合 論 を わ れ わ れ の形 式 的 体 系 と して 採 用 す る の も ま た 適 当 と は 言 え な い.あ は,話

とで 話 題 の 中 心 とな る 自然 数 の概 念 を 形 式 化 す る に

の筋 道 が 遠 回 り とな り,道 具 だ て が 大 げ さ に 過 ぎ るか ら で あ る.わ れ わ

れ は,ゲ ー デ ル の 原 論 文 と同 じ く,自 然 数 を 基 盤 に お い た'型 の 理 論'を 採 用 す

る こ とに した.   型 の理 論 を 採 用 した 第1の 理 由 は 以 上 の通 りで あ るが,第2の

理 由 と し て,

型 の 理 論 の入 門 的 解 説 書 を 殆 ん ど見 る こ とが な い とい う こ とが あ っ た.型

の理

論 の 入 門 的 解 説 が 絶 無 とい うわ け で は な い が,つ ね に そ れ は,付 加 物 的 な 処 遇 し か 受 け て お らず,概 念 的 な 解 説 に 終 始 して い る.こ れ を 機 会 に,型

の理論 を

中 心 に す え た 入 門 書 を 作 り,そ れ に よ っ て,数 学 基 礎 論 の 重 要 な 研 究 対 象 た る 型 の理 論 を,読 者 が 少 し で も身 近 か な も の と して 感 じ られ る よ うに な れ ば,と も考 え た の で あ る.   第3に,わ

た くし は,ゲ

ー デ ル の原 論 文 を 読 む た め の直 接 の 予 習 書 た り得 る

性 格 を も 本 書 に 与 え よ う と した.明 快 な 記 述 に よ る ゲ ー デ ル の論 文 も,型 の理 論 に不 慣 れ な 読 者 に は,や や 近 づ きに くい 点 が な い で もな い.そ 理 論 を 避 け た 不 完 全 性 定 理 の― こな わ れ,ゲ

しか も,や や 不 明 確 な―

の た め,型 の

証 明 が 世 に 広 くお

ー デ ル の 精 密 な 証 明 に よ っ て 不 完 全 性 定 理 を 理 解 す る人 は,い ま

や 少 数 派 に な っ て し ま っ た 観 が あ る.こ の風 潮 に対 す るわ た く し の不 満 が,本 書 の 中 心 に お くべ き形 式 的 体 系 と して,単 に 型 の理 論 とい うに と ど ま らず,ゲ ー デル の 原 論 文 に あ る体 系 を そ の ま ま の 形 で 採 用 した 理 由 の1つ に な っ て い る こ と は,間 違 い の な い こ とで あ る.本 書 の 第7章 て,ゲ

ー デ ル の論 文 は,も

  第2章

ま で を理 解 され た 読 者 に と っ

はや 明快 そ の も の で あ る に 違 い な い.

・第3章 は,命 題 論 理 ・述 語 論 理 の 古 典 的 解 説 で あ る.

  命 題 論 理 の 基 本 記 号 は ゲ ー デ ル の ま ま に は しな か った.そ れ に 深 い 意 味 は な く,教 科 書 風 の記 述 の 都 合 とい う,非 本 質 的 な 理 由 に よる.第2章 成 は,本

質 的 に は,昭

の 全 体 の構

和 初 期 の岩 波 講 座'数 学'に 故黒 田成 勝 先 生 の 書 か れ た

『数 学 基 礎 論 』 に お け る 命 題 論 理 の 部 分 に 従 っ てお り,わ が 国 の 数 学 基 礎 論 の 大 先 輩 で あ る黒 田 先 生 の お 仕 事 の 形 骸 を こ こに 残 す こ とに な った.   述 語 論 理 の記 述 に は,な ん の 特 色 も な い.し い て 言 え ば,自

由 変 数 と束 縛 変

数 に 記 号 上 の区 別 を し な か っ た,と い う程 に 古 典 的 方 法 に 徹 した,と

い うこ と

ぐ らい で あ る.自 由 変 数 と束 縛 変 数 に 記 号 上 の 区 別 を し な か っ た こ とか ら,本 書 に お い て は,い ろ い ろ と面 倒 な こ と が起 こっ て い る.そ れ は,は

じ め か らわ

か っ て い た こ とで は あ る が,こ

の 方 法 の こ の よ うな 欠 点 を 浮 き 彫 りに す る こ と

こそ,現 代 の 記 号 論 理 の方 法 の 長 所 を 明 確 に す る 最 も よ い手 段 だ と考 え た の で あ る.と 同時 に,通 にsyntacticalな

常 の数 学 に お い て 暗 黙 の うち に 了 解 さ れ て い る事 項 の1つ

光 を 当 て,事 態 を 明 確 に し て お く こ と も,意 味 の あ る こ と と

考 え た.   第4章

で は,日 本 語 の 書 物 で は あ ま り見 受 け な いι‐記 号 の 説 明 を お こな っ

て み た.こ れ を 種 々 に変 形 して み る こ と は,読 者 の 練 習 問 題 で あ る.   第5章

・第6章

は,型

の理 論 の 基 本 的 な部 分 と,そ れ を 基 礎 に した 自然 数 論

の 展 開 の しか た の 解 説 で あ る.   第7章 か ら,形 式 的 体 系 に対 す る実 質 的 な 超 数 学 的 考 察 が 始 ま る.第6章 で の 内 容 が,ゲ

ま

ー デ ル の 論 文 に 全 然 記 載 され て い な い 部 分 の解 説 で あ っ た のに

反 し,こ れ か ら先 は,ゲ

ー デ ル の 論 文 に 実 際 に 書 か れ て い る 内 容 ば か りで あ る

か ら,ゲ ー デ ル の精 神 の み を 重 ん じ,ゲ ー デ ル の 記 述 に は 拘 泥 し な か った.し か し,ゲ ー デ ル を そ の ま ま踏 襲 した と こ ろ は 多 々あ る.   ゲ ー デ ル の 証 明 の 本 質 はprimitive

recursive

functionの

使用 にあ るので

は な く,形 式 的 体 系 に つ い て の 超 数 学 的 概 念 の 或 る も の が 再 び 形 式 的 体 系 の 中 でnumeralwiseに 上general

recursiveと

関 係 が な い.こ   第8章

表 現 され る と い う と こ ろ に あ る,と 考 え た.そ い う こ と と一 致 は す るが,こ

の よ うな 観 点 か ら生 れ た も の が 第7章

れ も また 問 題 の 本 質 と は で あ る.

と 第9章 は,記 述 の順 序 を無 視 す れ ば,本 質 的 に は,ゲ

か らの そ の ま ま の 引 用 で あ る.参 考 書 的 に,冗 長 な 解 説 や,い な 事 項 が つ け 加 え られ て い る の は 当然 の こ と と し て,第7章 足 場 に 終 始 一 貫 して 立 ち 続 け た と い うこ とが,な 論 文 と の 最 大 の 違 い と言 え よ う.と ころ が,こ

ー デ ル の論 文 くつ か の補 足 的

で 準 備 して お い た

ん と 言 っ て も,ゲ ー デ ル の 原 の よ うな 態 度 は,第10章

い て 思 わ ぬ 結 果 を 生 む こ とに な っ た.そ れ は,第2不 件 を,な

れ は,事 実

にお

完 全 性 定 理 の成 立 す る条

ん と し て も 明示 せ ざ る を 得 な くな っ た,と い う こ と で あ る.し か るに

こ の条 件 は,第1不

完 全 性 定 理 の 証 明 を 吟 味 す る こ とに よっ て,じ つ は 不 要 に

な る,と い う事 実 を,立

教 大 学 大 学 院 学 生 の 林 晋 君 か ら教 え られ,著 者 は 本 書

第7章

以 後 の構 成 に つ い て の 再 検 討 を 迫 ら れ る こ とに な った.単 純 な 証 明 と単

純 な 定 理 の いず れ を 選 ぶ か,裏 を 返 して 言 え ば,粗 雑 な 定 理 と精 密 な 証 明 の い ず れ を選 ぶ か が,著 者 に 与 え られ た 課 題 で あ った.最 者 を 選 び,そ

れ ぞ れ の 関 連 箇 所 にcommentを

の 最 後 で 一 言 注 意 を 述 べ るに と どめ た.そ

終 的 に は,わ た く し は前

付 す る こ とさ え 一切 や め,本 書 れ が,入

門 書 と して の 自然 な 形 態 で

あ る と も 思 うし,読 者 の 研 究 心 を刺 激 す る 方 法 で さ え あ る と考 えた こ と も事 実 で あ るが,そ

こに は,わ た く し 自身 が 未 だ 解 決 す る こ との で き な い1つ

問 題 が あ った か ら,と い うの が,そ

の根 本

の最 も大 き な 理 由 で あ る.と に か く,こ れ

に よっ て,こ の よ うな 古 い 著 名 な 定 理 の 中 に も,い

ま だ 内 在 す る 問 題 が あ り得

る とい う こ とを 指 摘 し 得 た の は,著 者 の 予 期 せ ぬ 収 穫 で あ っ た.   第11章

・第12章

は,recursive

り,ゲ ー デ ル の 方 法 とrecursive の 説 明 で あ る.と

functionに functionの

つ い ての基 礎知識 の解説 であ 理 論 と の か か わ り合 い に つ い て

くに 第11章 で は,い わ ゆ る'チ ャー チ のThesis'に

も一 言 触

れ る こ とに し,そ の 応 用 と し て,本 書 で 採 用 した 形 式 的 体 系 に お け る 証 明可 能 性 に つ い て,そ

の 決 定 問 題 が 解 け な い とい う こ と の 証 明 を 述 べ て お い た.

  以 上 が 本 書 の 概 観 で あ る が,原 稿 を書 き お え た 現 在,曲 と し て の一 応 の 筋 を 通 し得 た こ とに,さ

が りな りに も入 門 書

さ や か な 満 足 感 を 味 わ っ て は い る.た

だ,知 識 不 足 の 割 に 見 識 ば か りが 先 行 しが ち な 著 者 ゆ え の,不 穏 当 な 表 現 が 多 々あ るや も しれ ぬ こ とが 心 配 で あ る.こ の 点 を も 含 め,読

者 諸 賢 の御 教 示 ・御

叱 正 を 得 た い と願 っ て い る.

  本 書 の 執 筆 を 直 接 に お す す め 下 さ った の は,京

都大学 名誉 教授小 堀憲先 生 で

あ る.先 生 に 心 よ り感 謝 の意 を表 す る と と も に,原 稿 完 成 に 長 年 月 を 要 した こ とに つ き,お 詫 び の 言 葉 も 申 し上 げ ね ば な らな い.   京 都 大 学 数 理 解 析 研 究 所 の 談 話 会 で お こ な っ た チ ャー チ のThesisに わ た くし の話 の 誤 り に つ い て 高 橋 元 男 君 か ら 寄 せ られ た 指 摘 は,チ Thesisに

関す る ャー チ の

対 す る わ た くし の現 在 の見 解 を 育 成 す る 直 接 の 原 因 とな り,そ の 問

題 を 本 書 の 流 れ の 中 に と り入 れ る遠 因 と も な っ た.広 瀬 健 ・福 山克 ・本 橋 信 義

の3君 は,recursive

functionや

第2不 完 全 性 定 理 の成 立 条 件 な ど に つ い て の

著 者 の質 問 に 対 し,そ の 豊 富 な 知 識 を 提 供 し て 下 さ った し,本 書 の 内 容 に直 接 関 係 す る形 で の1つ の解 答 を 与 え て 下 さ った の は,前 述 の通 り,林 晋 君 で あ っ た.そ

の ほ か,原 稿 作 製 の段 階 か ら本 書 の 完 成 に 到 る ま で終 始 お 世 話 に な っ た

朝 倉 書 店 編 集 部 の 方 々や,組 版 に つ い て の著 者 の面 倒 な 希 望 を極 力 か な え て 下 さ っ た新 日本 印刷 の方 々 を も含 め,上 記 の諸 氏 に あ つ くお 礼 を 申 し述 べ る次 第 で あ る. 1977年2月6日

著

者

目

次

1.  数 学 的 理 論 の 形 式 化 

1

  1.0  形 式 化 され る数 学 的 理 論 の 概 要 

1

  1.1  記

号 

2

  1.2  対

象

式 

4

  1.3  論

理

式 

4

  1.4  自 由変 数 へ の対 象 式 の 代 入 

7

  1.5  公

理 

9

  1.6  推 論 の 規 則 

11

2.  命 題 論 理 

13

  2.1  → に つ い て 

13

  2.2  仮 定 を も つ 推 論(仮 定 が1つ の 論 理 式 で あ る 場 合) 

15

  2.3  仮 定 を もつ 推 論(一 般 の 場 合) 

16

  2.4 ￢

20

に つ い て 

  2.5  論 理 式 の 同 値 

23

  2.6 ∨

に つ い て 

28

  2.7 ∧

に つ い て 

31

  2.8 〓

に つ い て 

34

3.  述 語 論 理 

38

  3.1 ∀ に つ い て 

38

  3.2 ∃ に つ い て 

41

  3.3  限 定 作 用 素 の 順 序 の交 換 

44

  3.4  束 縛 変 数 の 書 き か え 

45

  3.5  仮 定 を もつ 推 論 

50

4.  等 号 を も つ 述 語 論 理 

54

  4.1  等 号 の 基 本 性 質 

54

  4.2 ∃!に つ い て 

57

  4.3 ι‐記

59

号 

  4.4 ι‐記 号 の 使 用 法 に つ い て の諸 定 理 

61

  4.5  対 象 式 の 概 念 の 拡 張 

68

5.  型 の 理 論 

72

  5.1  型 の 理 論 の 公 理 

72

  5.2  簡 単 な 集 合 論 的 記 法 

73

6. 

論 

79

自 然 数 の 公 理 

79

自 然 数

 

6.1 

 

6.2  関 数 の 帰 納 的 定 義 

80

 

6.3  加 法 の 性 質 

86

 

6.4  乗 法 の 性 質 

88

 

6.5  大 小 関 係 

91

 

6.6  ε‐記

96

号 

7.  自 然 数 の 関 係 お よ び 関 数 に つ い て の 形 式 的 な 表 現 の 可 能 性 

98

  7.0  用 語 ・記 号 に つ い て の 規 約 

99

  7.1  関 係 の形 式 的 な 表 現 可 能 性 

101

  7.2  関 数 の形 式 的 な 表 現 可 能 性 

106

  7.3  表 現 可 能 な 関 係 ・関 数 の例 

114

8. 

117

 

ゲ ー デ ル の 不 完 全 性 定 理  8.1 

ゲ ー デ ル 数 

118

  8.2  証 明 の 形 式 化 

121

  8.3  BewK(x)の

125

性 質Ⅰ 

  8.4  ω‐無 矛 盾 性BewK(x)の

性 質Ⅱ 

127

  8.5 

ゲ ー デ ル の 対 角 化 定 理 

130

  8.6 

ゲ ー デ ル の 不 完 全 性 定 理 

133

  8.7 '嘘   8.8 

つ き'の パ ラ ド ッ ク ス

タ ル ス キ ー の 定 理 

ロ ッ サ ー の 不 完 全 性 定 理 

137 139

9.  補 助 定 理 の 証 明 

143

  9.1  補 助 定 理Ⅲ

の 証 明 

143

  9.2  補 助 定 理Ⅱ

の 証 明 

144

  9.3  補 助 定 理Ⅰ

の 証 明 

149

10. 

ゲ ー デ ル の 第2不

完 全 性 定 理 

153

  10.1 

関 係 お よ び 関 数 の 強 い 意 味 で の 表 現 可 能 性 

153

  10.2 

ゲ ー デ ル の 第2不

155

  10.3 

公 式10.1の

証 明 の 方 針 

157

  10.4 

公 式10.7の

証 明 の 概 要 

159

  10.5 

ク ラ イ ゼ ル の 注 意 

完 全 性 定 理 

162

11.  帰 納 的 関 数 

164

  11.1 

一般 帰 納 的 関 数 

164

  11.2  帰 納 的 関 数 の基 本 的 な 性 質 

168

  11.3  表 現 可 能 性 と の一 致 

173

  11.4  チ ャー チ の 提 唱 

177

  11.5  証 明 可 能 性 に つ い て の 決 定 問 題 

181

12.  帰 納 的 関 数 の 性 質 

184

  12.1  算 術 的 な 関 係 

184

  12.2  算 術 的 な 論 理 式 

188

 12.3  帰 納 的 関 係 ・帰 納 的 関 数 の標 準 形 

190

  12.4  Bν,Tν,Uが 原 始 帰 納 的 で あ る こ との 証 明 

193

 12.5  原 始 帰 納 的 関 数 の 強 い 意 味 で の 表 現 可 能 性 

195

記

表 

198

引 

199

索

号

1.  数 学 的理 論 の形 式 化

  数 学 基 礎 論 に お い て は,種

々 の 数 学 的 理 論 の 構 成 と限 界 とを 明確 に す るた め

に,そ れ ぞ れ の 理 論 を'形 式 化'し て 取 り扱 うこ とが 多 い.数 学 的 理 論 を 形 式 化 (formalize)す る とは,そ の理 論 に 現 わ れ る 命 題 の 範 囲 を 確 定 し,そ の 理 論 に 特 有 な'公 理'な

らび に'推 論 の 規 則'を 指 定 す る こ とを い う.

  命 題 の範 囲 を 確 定 し,公 理 な らび に 推 論 の 規 則 を 指 定 した と き,1つ

の形式

的 体 系(formal

system)が 与 え られ た とい う.形 式 的 体 系 を 与 え る とい うこ と

は,い わ ば,あ

る数 学 的 理 論 を形 式 的 に 記 述 す るた め の1つ

の'わ く組 み'を

設 定 す る こ と に ほ か な らな い.   数 学 的 理 論 の 形 式 化 の 一 例 と して,以 下(1.1―1.6)に1つ え る.そ

の形式 的体 系を与

し て,そ れ に 先 だ ち,い か な る数 学 的 理 論 を 形 式 化 し よ うと して い る

か とい う,そ の 数 学 的 理 論 の 概 略 を ま ず 説 明 して お くこ とに す る.

  1.0  形 式 化 さ れ る 数 学 的 理 論 の 概 要   こ こで 考 え よ う と して い る数 学 的 理 論 は,古 典 的 な 意 味 に お け る解 析 学 の 全 体 を 含 む.抽

象 空 間 を利 用 す る関 数 解 析 的 方 法 を 拒 否 す るわ け で は な い が,最

終 的 な 結 論 は 具 体 的 な 数 な り関 数 な りに よ っ て 構 成 さ れ た 空 間 に 関 す る もの で な け れ ば な らず,抽

象 空 間 論 そ れ 自身 は 除 外 さ れ る.そ

'古典 的'な もの で あ る

の意 味 で,こ

の理 論 は

.

  古 典 的 な 解 析 学 の 基 本 は'数'に あ り,数 の基 本 は'自 然 数'に あ る.そ こで, わ れ わ れ も,最 も基 本 的 な 対 象 と して 自然 数1) 0,1,2,…

を 考 え,各

自然 数 を1階

の 対 象(object of type 1)と よぶ.

  自然 数 を も とに して,そ

れ 以 外 の'数'や

種々 の'関 数'な ど の概 念 を 次 々 に

導 入 し て い く と き に 用 い る最 も普 通 の方 法 は,い わ ゆ る集 合 論 的 な 方 法 で あ る 1)本

書 で は 便 宜 上,0も

自然 数 の 仲 間 に 入 れ て お く こ とに す る.

の で,そ

れ に 応 じて,わ

れわ れ の 理 論 で も種 々 の 集 合 を 考 え る こ とに す る.

  わ れ わ れ は,ま ず 自然 数 の み を 元 とす る 集 合 を す べ て 考 え,そ 2階 の 対 象 と よぶ.次

に,2階

の対 象 の み を 元 とす る 集 合 を す べ て 考 え,そ の

お の お の を3階 の 対 象 と よ び,一 般 に は,n階 n+1階

のお のお のを

の 対 象 の み を 元 とす る各 集 合 を

の 対 象 と よぶ の で あ る.

  あ る集 合 がn階

の対 象 で あ る とき,nを

び,自 然 数 の 階 数(=型)は1で

そ の 集 合 の 階 数 ま た は 型(type)と よ

あ る とい う.わ れ わ れ の 理 論 に お い て は,そ

の

研 究 対 象 を 自然 数 な らび に 上 の よ うに して 型 の 定 ま る集 合 だ け に 限 定 す る.1) した が っ て,こ

の理 論 の研 究 対 象 は そ の 型 に よ っ て種々 の 階 級 に 分 類 され て い

る.そ の意 味 に お い て,以 下 に 与 え る形 式 的 体 系 は 型 の 理 論(theory

of types)

とい う名 で よば れ て い る も の の1種 で あ る.   自然 数 を 基 礎 に お け ば,'一 般 の集 合'を 用 いず と も,'型

の指 定 され た 集 合'

の み を 用 い る こ とに よ っ て,古 典 的 な 解 析 学 は す べ て 展 開 す る こ とが で き る. た とえ ば デ デ キ ン ト(R. Dedekind)や し た が え ば,適

カ ン トル(G. Cantor)の 無 理 数 論 の方 法 に

当 な 型 を もつ 対 象 の なか で'実 数'を 定 義 す る こ と もで き る し,

通 常 の方 法 で 複 素 数 を 導 入 す る こ と もで き る.或 い は,数 列,関

数,関 数 族,

等 々,解 析 学 に 必 要 な 諸 概 念 は す べ て,わ れ わ れ の選 ん だ 対 象 に よ っ て 表 現 す る こ とが で き る.要

す る に,以 下 に 与え る'型 の 論 理'の 体 系 は,古 典 的 解 析

学 を記 述 す るに 十 分 な1つ   しか し,あ は な い.た

の'わ く組 み'を 提 供 す る も の な の で あ る.

ら ゆ る数 学 的 理 論 が こ の'型 の理 論'の な か で 記 述 で き るわ け で

とえ ば'集 合 一 般'を 研 究 対 象 とす る カ ン トル の 集 合 論 に は,型

指 定 さ れ た 集 合 の み で は 代 用 の で き な い 集 合 も現 わ れ る の で,そ

の

れ は 当然 に 型

の理 論 の 範 囲 を 超 え る もの と思 わ な け れ ば な らな い.

  1.1 

記

 まず,わ

号

れ わ れ の 形 式 的 体 系 で 用 い る記 号 を 列 記 す る:

  1) '空集合'は 型 ごとに区別 して考え る.2階 な る もの とす る のであ る.

の空集合,3階

の空集合,…

はすべ て互いに相異

 対 象 記 号: 

0.

 こ れ は 自然 数0を 表 わ す 記 号 で あ る.  関 数 記 号: ′.   aを

自 然 数 と す る と き,a′

自 然 数0,1,2,3,…

はaの

次 の 自 然a+1を

意 味 す る.し

た が って

は 0,0′,0″,0″′,…

と 表 わ さ れ る わ け で あ る.   関 係 記 号:    a∈bは,対

∈. 象aが

集 合bの

元 で あ る と い う こ と を 意 味 す る.

  論 理 記 号: ￢,→,∀.   Aを

命 題 と す る と き,￢Aは'Aで

な い'と い う命 題 を 意 味 し,AとBを

命 題 と す る と き,A→Bは'Aな が 命 題 で あ る と き,∀xAと 立 つ'と  括

い う命 題 を 意 味 す る.ま

い う表 現 に よ っ て'す べ て のxに

つ い てAが

た,A 成 り

い う命 題 を 表 わ す の で あ る. 弧(か

  こ れ は,普  変

ら ばB'と

っ こ): 

(,).

通 に 用 い る カ ッ コ で あ る.

数  お の お の の 型 ご と に,そ

れ ぞ れ 可 算 個1)ず つ の 変 数(variable)を

用意

す る:

 1階 の 変 数:   2階 の 変 数:   3階 の 変 数:

……  1階 の 変 数 とは 自然 数(=1階 自然 数 の 集 合(=2階

の 対 象)を 表 わ す 変 数 で あ り,2階

の対 象)を 表 わ す 変 数 で,一 般 に,n階

の変数 とは

の 変 数 とはn階

の

  1) す ぐあ とでわか る よ うに,わ れわ れは命題 を記号の有限 列で表現す る.し たが って,1つ1つ の命題を表現 す るのに必要 とな る変数の個数は有 限個に過 ぎないのであ るが,そ の個数に制限が あ っ ては 困 るし,命 題 の各表現につ いて,そ こに使われ ていない 変数が型 ごとに残 されてい るこ とが 必要 に なるので あ る.そ のためには,各 型 ごとに可算 個ずつ の変 数を用意 してお くことが必要 にして十分 であ る.

対象を表わす変数である.

 1.2  対

象

式

  対 象 を 表 わ す 式 を 対 象 式(term)と

い う.

  わ れ わ れ の 体 系 に お い て は,特 定 な 自然 数0,1,2,…

を表 わ す

0,0′,0″,…,

な らび に,不 特 定 な 自然 数 を 表 わ す

を総 称 し て1階 の 対 象 式 と よぶ.   n>1の

と き のn階

  1.3  論

理

の 対 象 式 とは,n階

式

  命 題 を 表 わ す 式 を 論 理 式(formula)と れ を 次 の1)―5)の   1)  5がn階

の 変 数 そ の も の の こ と とす る.

い う.わ れ わ れ の 体 系 に お い て は,そ

よ うな もの と定 め る:

の対 象 式 でtがn+1階

の対 象 式 で あ れ ば, s∈t

 

は 論 理 式 で あ る とす る.

  こ の よ うな 論 理 式 を 基 本 論 理 式(prime   例1    2)  Aが

atomic

formula)と

よぶ.

ξ3∈η4や ξ1″∈ξ2は 基 本 論 理 式 で あ る. 論 理 式 な らば￢(A)は

  3)  AとBが   4)  Aが

formula,

論 理 式 で あ る.

論 理 式 な らば(A)→(B)は

論 理 式 でxが 変 数 な らば ∀x(A)は

  xがn階

の 変 数 で あ る とき に は,論

対 し てAが

成 り立 つ'と い う命 題 を 意 味 す る.

  5)  上 の1)に

論 理 式 で あ る. 論 理 式 で あ る.

理 式 ∀x(A)は'n階

の任 意 の対 象xに

述べ た よ うな 基 本 論 理 式 を も とに して,2)―4)に

挙 げた操

 

作 を 任 意 の 順 序 で 繰 り返 し適 用 して 得 られ る も の は す べ て論 理 式 で あ り,   わ れ わ れ の体 系 で は,そ

の よ うな 論 理 式 だ け を 考 え る も の とす る.

  自 由変 数 ・束 縛 変 数   論 理 式 ∀x(A)に 論 理 式Bの

お い て は,変

数xは

一 部 分 と し て ∀x(A)と

束 縛(bind)さ れ て い る と い う.別

い う論 理 式 が 現 わ れ る場 合 に も,∀x(A)

と い う部 分 に お い て 変 数xは

や は り'束 縛 さ れ て い る'と い うの で あ る.し

が って,1つ

中 に お い て も,同

の 論 理 式Bの

は 束 縛 され,あ   例2 

の

じ変 数xが,あ

る場 所 に お い て は 束 縛 さ れ て い な い,と

た

る場 所 に お い て

い う こ と は あ り得 る.

論理 式

 に 変 数 ξ1は3回

現 わ れ て い る が,左

番 右 側 の ξ1は 束 縛 さ れ て い な い.ま

の2つ

の ξ1は 束 縛 さ れ て お り,一

た,ξ2と

η2は い ず れ も束 縛 さ れ て

い な い.

  束 縛 され て い な い 変 数 は 自 由(free)で (free variable),束

あ る とい う.自

縛 され て い る 変 数 を 束 縛 変 数(bound

由な変 数 を 自由変数 variable)と い う.自

由変 数 とか 束 縛 変 数 とい う の は,変 数 そ の も の に つ け られ た 名 称 で は な い.上 の 例 か ら もわ か る よ うに,1つ に は,あ

の論 理 式 の 中 に 同 じ変 数 が 何 回 も現 わ れ る と き

る場 所 で は 自由 変 数 で あ り,他 の場 所 で は束 縛 変 数 で あ る,と い うこ

とが あ り得 る ので,自

由 変 数 とか 束 縛 変 数 とか は,論 理 式 中 の 各 場 所 に お け る

各 変 数 の 用 い られ 方 に つ い て の 名 称 と考 え な け れ ば な らな い.   カ ッコの省略  論理 記号 の結合 力   論 理 式￢(A),(A)→(B),∀x(A)な の な い 場 合 に は,カ が 多 い.ま

ッ コを 省 略 し,単 に￢A,A→B,∀xAな

な ど も(￢A)→Bお

結 合 力 が'強

解 のおそ れ ど とす る こ と

た ￢A→Bとか

∀x(A→B)の

どを 書 き表 わ す と き,誤

よ び(∀xA)→Bの こ と で は な い と す る.す

い'と

す る の で あ る.

∀xA→B こ と で あ っ て,￢(A→B)或 な わ ち,￢

と ∀xの

ほ うが →

いは よ りも

  カ ッ コを 省略 す る の は,カ

ッ コ が 多 い と式 が 読 み に く くな るの で,そ

み や す くす るた め の 便 法 で あ る.同 と か{}と

じ精 神 に した が い,()の

れ を読

代 わ りに[]

い う カッ コを も適 宜 使 用 す る.

 補 助 的論理 記号  

につ いて

  論 理 式￢A→BをA∨Bと

略 記 す る.内 容 的 に は,こ

れ は'Aま

た はB'

とい う命 題 を 意 味 す る.  論 理式  

[く わ し くは

す る.内 容 的 に は,こ れ は'Aか  論 理式  

 

つB'と

]をA∧Bと

略記

い う命 題 を 意 味 す る.

を  

と略 記 す る.こ れ は'AとBは

同値

(equivalent)で あ る'と い う命 題 を 意 味 す る.   論 理 式￢∀x￢Aを∃xAと

略 記 す る.xがn階

れ は'Aを

成 り立 た せ るn階 の対 象xが

  sとtと

がn階

をs=tと

略 記 す る.こ れ は'n階

の 変 数 で あ る場 合 に は,こ

存 在 す る'と い う命 題 を 意 味 す る.

の対 象 式 で あ る と き,論 理 式

の対 象sとtは

等 しい'と い う命 題 を 意 味

す る.  

の結 合力

  本 来 の 論 理 記 号￢,→,∀ ∧,〓,∃

に 加え て,省 略 記 法 と し て 新 し く導 入 さ れ た ∨,

を 併 用 す る場 合 の,カ

ッ コを 省 略 す るた め の 結 合 力 に つ い て,一 般

に 通 用 して い る原 則 は 最 も結 合 力 の強 い もの: 次 に 結 合 力 の強 い も の: 最 も結 合 力 の 弱 い も の: と い う も の で あ る.

例3 と書 か れ てい る の は

の 意 味 で あ る.

  1.4  自 由 変 数 へ の 対 象 式 の 代 入   論 理 式 の 中 の 自由 変 数 を,そ れ と 同 じ階 数 を もつ 対 象 式 で 置 きか え れ ば,再 び 論 理 式 が 得 られ る.   論 理 式Aと き,Aの

変 数x,な

ら び にxと

同 じ階 数 を も つ 対 象 式tが 与 え られ た と

中 に 自 由 変 数 と して 現 わ れ て い る すべ て のxをtで

置 きか え て 得 ら

れ る論 理 式 を

と表 わ し,Aか stitute)す

 例1 

ら 

を 作 る こ と を,Aの

中 のxにtを

代 入(sub

る と い う.

Aが

であ る とき は  論 理 式Aが

変 数xを

はA

自 由 変 数 と して 含 まぬ 場 合に は, 

そ の も の で あ る.

 代 入 に つい ての略 記法

論理式Aか

ら 

を 作 る場 合,Aに

す る と い う 意 味 で,AをF(x)と

F(t)と

現 わ れ る 自 由変 数xに 着 目

を

い う よ う な 記 法 で 表 わ し, 

略 記 す る こ とが あ る.こ の 略 記 法 は 必 ず し も合 理 的 な 記 法 で は な い が,

誤 解 の 生 じる お そ れ の 少 な い 場 合 に は,し ば しば 用 い られ る方 法 で あ る.   F(t)は,論

理 式F(x)の

そ れ は,F(x)の

中 の す べ て のxをtで

置 き か え た も ので は ない.

中 に 自由 変 数 と して 表 わ れ て い るxの

み を すべ てtに 置 き か

え た も の で あ る.   F(x)と

表 わ した か ら とい っ て,論 理 式F(x)は

と し て 含 ん で い る とは 限 らな い.F(x)がxを き は,F(t)はF(x)そ

必 ず し も変 数xを

自由 変 数

自由 変 数 と し て 含 ん で い な い と

の も の で あ る.ま た,F(x)の

中 の 自 由 変 数 はxの み で

は な い.一

般 に は,x以

外 の 変 数 を も 自由 変 数 と して 含 ん で い る.

 例2  論理式

をF(ξ1)と

表 わ し た と き,F(0′)は

を 意 味 して い る.   代 入 に つ い て の 付 帯 条 件:論 て は,新

理 式Aか

ら 

を 作 る代 入 に お い

た に 束 縛 変 数 の 個 数 が 増 加 す る こ とが あ っ て は な らな い.

  こ の 付 帯 条 件 の 内 容 を くわ し く説 明す る と次 の よ うに な る:   ま ず,2階

以 上 の対 象 式 と は 変 数 そ の も の の こ とで あ っ た こ と を思 い 起 こ し

て お く.ま た,1階 …

の 対 象 式 とい う も の も,特 定 の 自然 数 を 表 わ す0,0′,0″,

を 除 け ば ,そ れ 自身 が 変 数 で あ るか,ま た は,変 数 に い くつ か の ダッ シ ュ

を つ け た も の で あ った.こ

の よ うに,対 象 式tと

もの と考 え て お か ね ば な らな い.そ xにtを

し て,tに

代 入 し た と き, 

は,一 般 に 変 数 を 含 ん で い る

含 まれ て い る変 数 が,Aの

中の

に お け る新 し い 束 縛 変 数 と な る こ とは

あ り得 る.

 例3  F(ξ1)を 論 理 式

すなわち と す る と き,F(η1′)は

すなわち   と な る.こ の と き,F(ξ1)の

中 の ξ1に 代 入 さ れ た η1′に お け る η1は,

そ の 場 所 に お い て新 た な 束 縛 変 数 と し て現 わ れ る.   上 に 述 べ た'付 帯 条 件'は,こ

の 例3に 述 べ た よ うな 代 入 を し て は な らな い,

と い うこ と を 言 って い るの で あ る.   例3でF(ξ1)と

表 わ した 論 理 式  

は,ξ1を

ど の よ うな 自然 数 と

考 え て も,つ ね に 正 しい 命 題 を 表 わ し て い る.に も か か わ らず,自 す 対 象 式 η1′を ξ1に 代 入 し て 得 られ るF(η1′)す な わ ち  っ た 命 題 を 表 わ して い る.そ

然数 を表わ

は間違

れ は,上 記 の'付 帯 条 件'を 無 視 した 代 入 を お こ

な っ た 結 果 に ほ か な らな い. とい う表 現,な

以 後, 

場 合 に は,と

らび に,そ れ に 相 応 す る略 記 法 を 用 い る

くに 断 わ らな くて も,上 記 の 付 帯 条 件 は 自動 的 に 満 た され て い る

も の とす る.

  1.5  公

理

  わ れ わ れ は,1.3で

定 義 した 論 理 式 の な か か らい くつ か の 論 理 式 を取 り出 し,

そ れ を 公 理(axiom)と

し て指 定 す る.

1.  自 然 数 の 公 理   1. ￢(ξ1′=0)  

2.

 

3.

  こ れ ら は,い

わ ゆ る ペ ア ノ(G.Peano)の

帰 納 法(mathematical

induction)の

公 理1)で あ り,と

く に3.は

数学的

原 理 を 表 わ し て い る.

 Ⅱ. 命 題 論 理 の 公 理  1.  A→(B→A) 2.  [A→(B→C)]→[(A→B)→(A→C)] 3.  (￢B→￢A)→(A→B)

 Ⅲ. 述 語 論 理 の 公 理   1.  ∀xF(x)→F(t)   2. 

∀x(A→F(x))→(A→

∀xF(x))

  た だ し2.に お い て は,論 理 式Aは

変 数xを

自由 変 数 と して 含 ま な い もの

と す る.   な お,1.に

お い て は,tが

び に,論 理 式F(x)の

変 数xと

同 じ階 数 を もつ 対 象 式 で あ る こ と,な ら

中 の 自 由 変 数xにtを

  1)  ペ ア ノの 公 理 と よば れ る もの は,通

常,こ

代 入 し てF(t)を

れ 以 外 に'0は

な らばt′ も 自然 数 であ る'と い う2つ の公 理 を 含 ん で い る.し つ の 公 理 は,1階

の 対 象 式 の定 義 に 吸 収 され て し ま って い る.

作 る ときに満

自然 数 で あ る'お よび'tが

自然 数

か し,わ れ わ れ の場 合 に は,こ

の2

た す べ き'付 帯 条 件'(1.4)が   Ⅳ. 内 包 の 公 理(axiom

  た だ し,変

数yは

な お,xがn階

満 た さ れ て い る とす る こ と は 言 う ま で も な い. of comprehension):

論 理 式F(x)に

自 由 変 数 と して 含 ま れ て い な い と す る.

の 変 数 で あ る と き,yがn+1階

の 変 数 で あ る こ とは 言 うま で

も な い.   公 理 の 内 容 的 意 味   n階 の 対 象xに xが 条 件F(x)を

満 た す こ と とxがyの

n+1階

存 在 す る,と

の 対 象yが

つ い て の 条 件F(x)が

与 え ら れ た と き,

元 と な る こ と と が 同 値 に な る よ うな

い う こ と.

  公 理 の 名 称 に つ い て   あ る 条 件 を 満 た す 個 々 の 対 象 で は な く,そ た す 対 象 一 般 を 考え た 場 合,そ れ た と い い,概 prehension)と n+1階

の 条 件 に よ っ て1つ

念 を 規 定 す る 条 件 の こ と を,そ い う.上

述 の 公 理Ⅳ.は,n階

の 対 象 で 代 表 さ れ 得 る,と

  Ⅴ.  外 延 性 の 公 理(axiom

  公 理 の 内 容 的 意 味   n+1階

の条 件 を満

の 概 念(concept)が

規定 さ

の 概 念 の 内 包(intension,

com

の対 象 に つ い て の 概 念 の 内 包 が

い う こ と を 主 張 し て い る.

of extensionality):

の 対 象 は,そ

の 元 とな るn階

の対 象 の全体 に よ

っ て 確 定 す る,と い う こ と.   公 理 の 名 称 に つ い て  あ る 概 念 を 規 定 す る条 件 を 満 た す 個 々 の対 象 の 全 体 か ら な る集 合 を,そ

の 概 念 の 外 延(extension)と

い うの で あ る が,n+1階

の対 象

はn階 の 対 象 の み を 元 とす る集 合 で あ る とす る,と い うの が 公 理Ⅴ.の 内 容 で あ る.

  以 上 のⅠ.―Ⅴ.が 公 理Ⅰ.と   ま ず,自

わ れ わ れ の 体 系 に お け る 公 理 の す べ て で あ る が,自

そ れ 以 外 の 公 理 Ⅱ.―Ⅴ.と 然 数 の 公 理Ⅰ.の1.―3.の

理 を 表 わ し て い る.そ

れ に 反 し て,命

の1つ

の 相 違 点 に 着 目 し て お こ う:

お の お の は,そ 題 論理 の公理

す べ て 任 意 の 論 理 式 を 表 わ し,Ⅱ.の1.―3.の

然数 の

れ ぞ れ に,1つ

ず つ の公

Ⅱ.に お け るA,B,Cは,

い ず れ も が,そ

れ ぞれ に 無 限

に 多 く の 公 理 を 代 表 し て い る の で あ る.Ⅱ.の1.‐3.と 理 そ の も の で は な く,公 .‐Ⅴ.と

理 の 型(シ

し て 述 べ た も の も,す

  述 語 論 理 の 公 理Ⅲ.に で よ い.Ⅲ.の1.に

ェ ー マ,schema)を べ て'公

お け るF(x)は

意 の 対 象 式 で よ く,Ⅲ.の2.に

示 し た も の に 過 ぎ な い.Ⅲ

理 の シ ェ ー マ'で

あ っ た.

任 意 の 論 理 式 で よ く,xも

お け るtは,xにtを

き に 満 た す べ き 付 帯 条 件(1.4)を

して挙げ た ものは 公

代 入 し てF(x)か

満 た す 限 りに お い て,xと お け るAは,xを

任 意 の変 数

らF(t)を

作ると

同 じ階 数 を も つ 任

自由変数 として含 まない任

意 の 論 理 式 を 表 わ す.   内 包 の 公 理Ⅳ.に よ い,yはxよ

お い て もF(x)は

り も1つ

任 意 の 論 理 式 で よ く,xも

上 の 階 数 を も ち,し

か もF(x)に

任 意 の変 数 で

自由変数 として含 ま

れ な い 任 意 の 変 数 で あ る.   外 延 性 の 公 理Ⅴ.に に1つ

お け るnは

任 意 の 階 数 を 示 す.階

数nを1つ

定 め るご と

ず つ の 公 理 が 定 ま る.

  1.6 

推論 の規則

  前 提(premise)と る1つ

よ ば れ る い くつ か の 論 理 式 か ら結 論(conclusion)と

と しBを

の 論 理 式 を 導 く こ と を 推 論(inference)と

よば れ

い う.A1,A2,…,Anを

前提

結 論 とす る推 論 を

と い う図 式 で 表 わ す.わ て 次 に 挙 げ る2種

れ わ れ の 体 系 で は,推

論 規 則(rule

類 の 型 の 推 論 の み が 許 さ れ る:

 推論規則1  こ こで,AとBは

任 意 の 論 理 式 で あ る.

 推論規則2  こ こで,Aは

任 意 の論 理 式,xは

任 意 の 変 数 で あ る.

of inference)と

し

  あ る論 理 式 が 証 明 で き る(provable)と

い うの は,そ

論 と し て 導 か れ る こ とを い うの で あ るが,そ

の 論 理 式 が あ る推 論 の 結

の 推 論 の前 提 は,公 理 で あ るか,

す で に 証 明 で き て い る論 理 式 で な け れ ば な らな い.特 別 な場 合 と して,公 理 自 身 も'証 明 で き る 論理 式'の 仲 間 に入 れ て お く.要 す るに:   1)  個 々 の公 理 は す べ て 証 明 で き る論 理 式 で あ り;   2)  AとA→Bの

両 方 が 証 明 で き る論 理 式 な らば,Bも

証 明 で き る論 理 式

で あ り;   3)  Aが

証 明 で き る論 理 式 な らば,任 意 の変 数xに 対 して,∀xAも

証 明で

き る 論 理 式 で あ る. そ し て,'証 明 で き る論 理 式'と は,こ

の よ うな もの に 限 る.

  以 上 に よ っ て,'論 理 式 が 証 明 で き る'と い うこ と の 意 味 が 確定 し,こ れ に よ っ て1つ

の形 式 的 体 系 が 完 全 に 与 え られ た こ とに な る.

2.  命

  2.1  →

題

論

理

につ い て

  こ こ で は,1.5のⅡ.に

命 題 論 理(propositional

logic)の 公 理 と し て 挙 げ た

もの の うち の

  公 理Ⅱ.1 

A→(B→A)

  公 理Ⅱ.2 と い う2種

類 の 公 理 と,1.6に

述 べた

 推論規則1 を 用 い る.こ こ で,A,B,Cは   い ま,A→Bと

任 意 の 論 理 式 で あ る.

い う論 理 式 が 証 明 で き る こ とが す で に わ か っ て い る も の とす

る と,推 論 規 則1に  (*) 

より Aが

とい う こ とが わ か る.わ

証 明 で き れ ばBも れ わ れ は,(*)の

証 明で き る よ うな 内 容 を示 す の に も,推 論 の

図 式 的 表 現 を 借 りて

と 表 わ す.た

と え ば,公

理Ⅱ.1お

よ び 公 理Ⅱ.2か

ら

  推 論 法 則2.1

  推 論 法 則2.2 が 任 意 の 論 理 式A,Bお

よ び 任 意 の 論 理 式A,B,Cに

対 して 成 り立 つ こ と が

わ か る.   一般 に,論 理 式A1,A2,…,Anの き る,と い う事 実 を

す べ て が 証 明 で きれ ば 論 理 式Bも

証明で

と表 わ す.た

とえ ば 推 論 法 則2.1 推 論 法 則2.2

推論規則1 とす る こ とに よ っ て  推 論 法 則2.3 が 任 意 の 論 理 式A,B,Cに   上 に'推 論 法 則'と

対 し て 成 り立 つ こ と が わ か る. し て述 べ た 型 を もつ 推 論 は,そ

2つ の 推 論 規 則 の いず れ に も従 っ て い な い.い れ て い る本 来 の 意 味 で の 推 論 で は な い.し

の ま ま の 形 では,1.6に

わ ば,わ

挙 げた

れ わ れ の 形 式 的 体 系 で許 さ

か し,そ れ らは つ ね に,推 論 規 則 に 従 う

本 来 の 意 味 にお け る推 論 と公 理 と の組 み 合 わ せ で表 わ す こ とが で き る.こ ん ご,わ れ わ れ は,こ

の よ うな 推 論 法 則 を 順 次 導 入 して い っ て,証

明の見かけ上 の短縮 をは

か る の であ る.   公 理Ⅱ.1のBと

し てAを

用 いた

A→(A→A) は 公 理 で あ り,ま た,Rと

してA→Aを

用 いた

も 公 理 で あ る.し た が っ て 推 論 法 則2.2

推論規則1 とす る こ とに よ っ て,任 意 の 論 理 式Aに  公 式2.1 

対 して,A→Aは

つ ね に証 明 で き る:

A→A.

 推 論 法 則2.4

 証明 公 式2.1

推 論 法 則2.2

推 論規則1

 推 論 法 則2.5

 証明 公 理Ⅱ.1

推 論 法 則2.2 推 論 法 則2.3

  2.2  仮 定 を も つ 推 論(仮 定 が1つ  論 理 式C→Aが

の 論 理 式 で あ る 場 合)

証 明で き る こ とを 仮 定Cの

も とで 論 理 式Aが

証 明で きる

と も い う.   定 理2.1任

意 の 論 理 式Cに

対 して

  1° 仮 定Cの

も とでCは

証 明 で き る.

  2° 仮 定Cの

も とで 公 理 は す べ て 証 明 で き る.

  3° 仮 定Cの

も とで も推 論 規 則1(1.6ま

仮 定Cの

も とでAが

証 明 で き,ま た 仮 定Cの

仮 定Cの

も とでBが 証 明 で き る:

た は2.1)が

成 立 す る.す なわ ち,

も とでA→Bが

証 明 で き れ ば,

 証明   1° 証 明 す べ き こ とはC→Cが 式2.1よ   2°Eを

証 明 で き る とい うこ とで あ るが,そ

れは 公

り明 らか. 任 意 の 公 理 と し て,証 明 す べ き こ と はC→Eが

こ とで あ る.E自 は 推 論 法 則2.1よ

証 明 で き る とい う

身 は 証 明 で き る論 理 式 で あ るか ら,C→Eが

証 明で き る こと

り明 らか.

  3° 推 論 法 則2.2

推論規則1 (証 明 終 わ り)  定 理2.1の2°

と3° に よ れ ば,公 理 と 推 論 規 則1の

み を 使 用 し て得 ら れ た

結 果 は,任 意 の 仮 定Cの

も とで も成 立 す る.た

2.1‐2.5や

そ の よ うな もの で あ る.の み な らず,仮

定Cの

公 式2.1が

とえ ば,2.1に

述べ た推論 法 則 定C自 身 は 仮

も とで 証 明 で き る,と い う事 実 が そ れ につ け 加 わ る(定 理2.1の1°).

  た とえ ば,仮

定A→(B→C)の

定 の も とで 推 論 法 則2.5が

も とでA→(B→C)は

証 明 で き,同

じ仮

成 り立 つ こ とを 利 用 す れ ば,仮 定A→(B→C)の

も とで B→(A→C) が 証 明 で き る こ とが わ か る:  公 式2.2

 2.3  仮 定 を もつ推 論(一 般 の場 合) 論理式

が 証 明 で き る こ と を 仮 定C1,C2,…,Cnの

も と で 論 理 式Aが

証 明 で きる と も

い う.   2つ

の 仮 定C1,C2の

も と で 論 理 式Aが

証 明で き るとは

C1→(C2→A) が 証 明 で き る と い う こ と で あ り,3つ

の 仮 定C1,C2,C3の

も と でAが

証 明で

き る とは

が 証 明 で き る とい うこ とで あ る.n=0の の 集 合 が'空'で

あ る場 合 に は,そ

場 合,す な わ ち 仮 定C1,C2,…,Cn

れ はA自

身 が[な ん の 仮 定 もな しに]証 明

で き る こ とを 意 味 す る もの とす る.   定 理2.2 

仮 定C1,C2,…,Cnの

も とで 論 理 式Aが

任 意 に 入 れ 換 え て で き る仮 定Ci1,Ci2,…,Cinの

証 明 で きれ ば,順 序 を

も とで も論 理 式Aは

証明で

き る.   証 明   隣 り合 った 仮 定 を 入 れ 換 え る とい う操 作 を 繰 り返 しお こ な え ば,仮 定 を 任 意 の順 序 に 並 べ か え る こ とが で き る か ら,隣

り合 っ た 仮 定Ci−1とCiの

順 序 の み を 入 れ 換 え た 場 合 だ け を証 明 す れ ば 十 分 で あ る.そ れ に は,

とい う論 理 式[i=nの

場 合 に はA自

身]をDと

表 わ し,

が 証 明 で き る こ とを 示 せ ば よ い(推 論 規 則1).こ

こ で,C1か

らCi−2ま

での

仮 定 の 順 序 に 変 更 は な い もの と し て い る.   ま ず,公

式2.2に

よ っ て,論 理 式

が 証 明 で き る こ とが わ か り,つ 両 辺 にCi−2,…,C1を

い で 推 論 法 則2.1,

順 次 つ け 加 え て い け ば,所

2.2を 繰 り返 え し用 い て, 要の 結 果 が 得 られ る(証 明 終

わ り).   あ る論 理 式 が 証 明 で き る か ど うか,と い う こ とだ け に 話 題 の焦 点 が しぼ られ て い る と き に は,仮 定 の 順 序 を 問 題 に す る 必 要 は な い.こ れ が 定 理2.2の

内容

で あ る.   定 理2.3 

あ る仮 定1)の も とで 論 理 式Aが

し た 場 合2)に も論 理 式Aは

証 明 で き る.

  証 明   任 意 の1つ の 論 理 式Cを る.ま た,定 理2.2に

証 明 で きれ ば,仮 定 を任 意 に 追 加

仮 定 に 追 加 した 場 合 を 証 明 す れ ば十 分 で あ

よ り,仮 定 の 順 序 は 問 題 に な ら な い か ら,新 しい 仮 定C

を 仮 定 の 先 頭 に 追 加 した 場 合 の み を 考 え れ ば よ い.   仮 定C1,…,Cn(n≧0)の

が 証 明 で き る こ と で あ る.こ

も証 明 で き,新

しい 仮 定Cが

も とで 論 理 式Aが

の と き,推

証 明 で き る とは

論 法 則2.1に

よれ ば

追 加 され た 仮 定C,C1,…,Cnの

  1)  こん ご'仮 定'と い う言 葉 を 使 う と きに は,つ ね に'仮 定 が1つ

も とで もAが

もな い 場 合'(す な わ ち,'空 な

仮 定')を 含 め て考 え て い る も の とす る.   2) '仮 定'と は有 限 個 の 論 理 式 か らな る も ので あ る か ら,'仮 定 を 任 意 に 追 加 す る'と い って も,そ れ は,有

限 個 の 論 理 式 を 仮 定 と し て追 加す る,と

い う意 味 であ る.

証 明 で き る こ とが わ か る(証 明 終 わ り).   定 理2.4 

仮 定C1,C2,…,Cnの

論 理 式Dが2度 く と も1つ

以 上C1,C2,…,Cnの

のDを

も,論 理 式Aは

残 して 他 のDを

証 明 で き る場 合,同

じ

中 に 仮 定 と し て 含 まれ て い れ ば,少

な

仮 定 か ら除 き去 った 残 りの 仮 定 の も とで

証 明 で き る.

  証 明   仮 定C1,C2,…,Cnの の うち の1つ

も とで 論 理 式Aが

のDを

中 に2つ 以 上 のDが

含 まれ て い る と して,そ

除 き去 る場 合 に つ い て だ け 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.し か

も,仮 定 の 順 序 は 問 題 に な らな い か ら(定 理2.2),C1とC2がDで そ の1つ

あ っ て,

を 除 き 去 る場 合 の み を 考 え れ ば よ い.す な わ ち,

が 証 明 で き る とい う こ とか ら

が 証 明 で き る こ とを 導 け ば よ い の で あ るが,そ

れ は 推 論 法 則2.4に

よって明 ら

定 と し て用 い られ て い る論 理 式 は,そ

の順序 のみ

か で あ る(証 明 終 わ り).   この 定 理2.4に な らず,同

よれ ば,仮

じ論 理 式 が 仮 定 と し て何 回 使 わ れ て い る か とい う,そ の 回 数 も問 題

に な ら な い.要 す るに  

'仮定'と は,仮 定 と し て 用 い る論 理 式 の'集 合'を 指 定 す れ ば,そ

れ で十

分 な の で あ る. も ち ろ ん,こ

の こ とは,論 理 式 が 証 明 で き る か ど うか とい う こ との み を 問 題 に

し て い る と きだ け の 話 で あ る.   定 理2.5 

い か な る仮 定 の も とで も公 理 は 証 明 で き る.

  証 明   な ん の仮 定 もな しに 公 理 は 証 明 で き る.こ れ に 定 理2.3を

適用 すれ ば

よ い(証 明 終 わ り).   定 理2.6 

仮 定C1,C2,…,Cnの

も とで,各 仮 定Ci(i=1,2,…,n)は

証 明 で き る.   証 明   仮 定Ciの

も と でCiは

用 す れ ば よい(証 明 終 わ り).

証 明 で き る(公 式2.1).こ

れ に 定 理2.3を

適

  定 理2.7 

仮 定C1,C2,…,Cn,Aの

C1,C2,…,Cnの

も と で 論 理 式Bが

も と でA→Bが

証 明 で き れ ば,仮

定

証 明 で き る.

  証 明   定 義 に よ り明 らか(証 明 終 わ り).   定 理2.8 

任 意 の 仮 定 の も と で 推 論 規 則1は

の も と で 論 理 式AとA→Bが 論 理 式Bも

成 立 す る.す

な わ ち,あ

と も に 証 明 で き る な ら ば,同

る仮定

じ仮 定 の も と で

証 明 で き る.

  証 明   仮 定 と し て 使 わ れ て い る 論 理 式 の 個 数 に つ い て の 数 学 的 帰 納 法.   仮 定 が1つ

も な い 場 合 に は,こ

あ る か ら,定

理 は 明 ら か に 成 立 す る.

  そ こ で,仮

定C1,…,Cnの

C1,…,Cn,Cn+1の

も と で 推 論 規 則1が

公 理 と推 論 規 則1の

か ら,仮

も とで 推 論 規 則1が

も と で も 推 論 規 則1が

  仮 定C1,…,Cnの

も成 立 す る.と

く に,定

理2.1の3°

定

成 り立 つ とす れ ば,定

理2.5に

べ て 仮 定C1,…,Cnの

も 仮 定C1,…,Cnの

よ り, も とで

も と で成 立 す る

義 を 思 い 出 し て み れ ば]仮 定C1,…,Cn,Cn+1の

成 立 す る と い う こ と に ほ か な らな い(証 明 終 わ り).

  系   仮 定C1,C2,…,Cnの C1,C2,…,Cn,Aの

成 り立 つ も の と し て,仮

も とで

の こ と は,[定

も と で 推 論 規 則1が

の もの で

成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い:

み か ら 導 か れ る 結 果 は,す

定C1,…,Cnの

が 成 立 す る.こ

の 定 理 の 主 張 は 推 論 規 則1(1.6)そ

も と で 論 理 式Aが

証 明 で き る 場 合 に は,仮

定

も と で 証 明 で き る 論 理 式 は す べ て 仮 定C1,C2,…,Cnの

も と で 証 明 で き る.   証 明   定 理2.8の

言 い か え に 過 ぎ な い(証 明 終 わ り).

  あ る 仮 定 の も と で 証 明 で き た 結 果(=論 質 的 に は,な

理 式)を そ の 仮 定 に つ け 加 え て も,実

ん ら 新 し い 仮 定 を つ け 加 え た こ と に は な ら な い と い う の が,こ

の

系 の 内 容 的 な 意 味 で あ る.

  以 上 で 用 い て き た'仮

定C1,C2,…,Cnの

も と で 論 理 式Aが

と い う 言 葉 の 内 容 を,数

学 で 普 通 に 用 い て い る'仮

定C1,C2,…,Cnの

証 明 で き る' も とで

命 題Aが

証 明 で き る'と い う の と 同 じ 意 味 に 読 み か え て み れ ば,上

き た 定 理2.2‐2.8の て,以

内 容 は,す

べ て 常 識 的 な も の ば か りで あ る.し

後 こ れ ら の 定 理 を 利 用 す る と き に は,い

と な く,無

断 で そ れ を 用 い る で あ ろ う.

  ま た,こ

れ ら の 定 理 は,あ

る 意 味 に お い て,→

と え ば,'仮

と い う の をn+1個

の 論 理 式C1,C2,…,Cn,A(n≧0)に

て 認 め さ え す れ ば,公 る,と

の性 質 を 完全 に 規定 してい

定C1,C2,…,Cnの

も と でAが

い う こ と も わ か る し,推

証 明 で き る'

つ いて の無定 義 な

れ に つ い て 定 理2.2‐2.8と

理Ⅱ.1,Ⅱ.2(2.1)は

たが っ

ちい ち定理 の番 号を 引用 す るこ

る も の で も あ る.た

関 係 と 考 え た と き に も,そ

に 証 明 して

して 述 べ た 性 質 を す べ

と もに 空 な 仮 定 の も とで 証 明 で き

論 規 則1も

定 理2.8に

特 別 な場 合 として含 まれ

て し ま っ て い る.   さ ら に,定

理2.5と

定 理2.8か

ら結 論 さ れ る 次 の 事 実 は,一

応 の 注 目に 値

す る:   2.1に

述 べ た 推 論 法 則2.1‐2.5も,任

  問   定 理2.2‐2.8を

用 い て,公

意 の 仮 定 の も とで 成 立 す る.

理Ⅱ.1と

公 理Ⅱ.2が

空 な仮定 の もとで証 明で きる

こ とを 示 せ.

  2.4  ￢ に つ い て  こ こで,わ れ わ れ は,前 節 ま で に1度

も用 い る こ との な か っ た

 公 理Ⅱ.3

を 考 慮 に 入 れ て,考 察 を す す め て い く. をA→Bの

が,対

偶￢B→￢Aか

公 理Ⅱ.3の

対 偶(converse

ら,も

by

と の 命 題A→Bが

contraposition)と

導 か れ る,と

い うの で あ る

い う の が,こ

の

内 容 的 な 意 味 で あ る.

 公 式2.3

 証 明   仮 定￢Aの

も と でA→Bを

証 明 す れ ば よ い:

公 理Ⅱ.3 

(証 明 終 わ り)

 公 式2.4

  証 明  仮 定￢￢Aの

も とでAを

意 の 論 理 式 の1つ をBと

証 明 す れ ば よ い.そ

れ に は,証 明 で き る任

し,次 の よ うに す れ ば よい: 公 式2.3 公 理Ⅱ.3

(証 明 終 わ り)  公 式2.5

 証 明   公 式2.4のAに￢Aを

と な り,こ

れ はA→￢￢Aの

代 入す れば

対 偶 で あ る か ら,公

理Ⅱ.3に

よ り,公 式2.5が

得 られ る(証 明 終 わ り).  公 式2.6

 証 明   仮 定A→Bの

も と で ￢B→￢Aを

証 明 す れ ば よい:

公 式2.4 公 式2.5

公理Ⅱ.3

(証 明 終 わ り)  公 式2.7

 証 明   証 明 で き る任 意 の論 理 式 の1つ をBと

し, 公 式2.3

公 式2.4

公 理Ⅱ.3

とす れ ば よい(証 明 終 わ り).

  矛 盾(contradiction) 

仮 定C1,C2,…,Cnの

否 定￢Aが

と も に 証 明 で き る と き,仮

dictory)ま

た は 矛 盾 を 含 む な ど と い う.と

も と で,あ 定C1,C2,…,Cnは

る 論 理 式Aと

くに'空

わ れ わ れ の 形 式 的 体 系 そ の も の が 矛 盾 す る,と

その

矛 盾 す る(contra

な 仮 定'が

矛 盾 す る こ とを,

い う[実 際に は,そ

の よ うな こ

と は な い と考 え ら れ て い る].   定 理2.9 

矛 盾 す る 仮 定 の も と で は 任 意 の 論 理 式 が 証 明 で き る.

  証 明   あ る 仮 定 が 矛 盾 す る と い う の は,そ そ の 否 定￢Bが

の 仮 定 の も と で,あ

証 明 で き る こ と を い う の で あ る が,そ

を 用 い る こ と に よ り,そ

る 論 理 式Bと

の と き に は,公

の 仮 定 の も と で 任 意 の 論 理 式Aが

式2.3

次 の よ うに し て 証

明 さ れ る: 公 式2.3

(証 明 終 わ り)   任 意 の 論 理 式 を 証 明 し 得 る 仮 定 の も と で は,ど ￢Aと

と も に 証 明 でき る か ら,そ

と 定 理2.9か

ら,あ

ん な 論 理 式Aも,そ

る 仮 定 が 矛 盾 す る と い う こ と は,そ

論 理 式 が 証 明 で き る と い う こ と に ほ か な ら な い,と   定 理2.10  にAを

(背 理 法,reductio

ad

も と で￢Aが

のこと

の 仮 定 の も とで 任 意 の

い う こ と が わ か る. 定C1,C2,…,Cnに

さら

矛 盾 す れ ば,も

との 仮 定

証 明 で き る.

  証 明   仮 定C1,C2,…,Cn,Aが ら￢Aが

absurdum)仮

追 加 し て 得 られ る 仮 定C1,C2,…,Cn,Aが

C1,C2,…,Cnの

の否定

の 仮 定 は も ち ろ ん 矛 盾 し て い る .こ

矛 盾 す れば,定

証 明 で き る こ と が わ か る.よ

っ て,仮

理2.9に

よ り,こ

定C1,C2,…,Cnの

の仮定 か も とで

A→￢A が 証 明 で き,公 式2.7に   系   あ る仮 定 に￢Aを の も と で 論 理 式Aは   証 明  定 理2.10に

よれ ば,￢Aも

証 明 で き る(証 明 終 わ り).

追 加 して 得 られ る仮 定 が 矛 盾 を 含 めば,も

との 仮 定

証 明 で き る. よ り,も と の 仮 定 の も と で￢￢Aが

証 明 で き る こ とが

わ か り,公 式2.4に

よ り,A自

身 が 証 明 で き る こ とが わ か る(証 明 終 わ り).

  直 観 主 義 の 論 理 とい うも の との 関 連 に お い て,厳 格 な 言 葉 づ か い を す る 必 要 の あ る場 合 に は,定

理2.10の

系 に 示 した 論 法 の み を'背 理 法'と い う こ とが

あ る.

  2.5  論 理 式 の 同 値   2つ の 論 理 式A→BとB→Aの

両 方 が 証 明 で き る こ とをAとBは

同値

で あ る とい い,そ れ を A≡B

と表 わ す.   A≡Bは,2つ

の 論 理 式A,Bに

よって真偽 の定 まる 内容的 な 命題 で あ っ

て,そ れ 自身 は論 理 式 で は な い.し た が って,論 理 式  た も の で あ る.し か し,命 題A≡Bと が あ る.そ の こ と に つ い て は,あ

論 理 式 

とで 述 べ る(2.8).

 例   1)   2)   3)   4)

 証明  1)  2.2の

公 式2.2に

よ れ ば,2つ

の論 理式

の い ず れ も が 証 明 で き る か ら.   2)  2.4の

公 式2.4と

  3)  公 理Ⅱ.3と   4)  公 式2.7と

公 式2.5に

公 式2.6に 公 理Ⅱ.1に

よ る.

よ る. よ る.(証

明 終 わ り)

とは 本 来 異 な っ との 間 に は 密 接 な 関 係

   

 定 理2.11 1°  A≡A.

  2°  A≡Bな

らばB≡A.

  3°  A≡B,B≡Cな

ら ばA≡C.

 証明 1°  2.1の

公 式2.1に

  2°  A≡Bの   3°  2.1の

よ る.

定 義 に よ り 明 ら か. 推 論 法 則2.3に

  こ の 定 理2.11は,任

あ る集合Mの

明 終 わ り)

意 の2つ の 論 理 式 の 間 に 定 義 さ れ た 関 係 ≡ が,い

ゆ る'同 値 関 係'の1つ  

よ る.(証

わ

に な っ て い る,と い う こ とを 意 味 して い る.

任 意の2元 の間 に定義 された関係 ∼ が

  反 射 律   a∼a   対 称 律   a∼bな

ら ばb∼a

  推 移 律   a∼b,b∼cな

  を 満 た す と き,∼

をMに

ら ばa∼c

お け る 同 値 関 係(equivalence

relation)と い うの で あ る.

  定 理2.12   1°  論 理 式Aお   2°  A≡Bで

よ びBが

と も に 証 明 で き れば,A≡Bで

あ る と き,Aが

証 明 で き れ ばBも

あ る.

証 明 で き る.

 証 明   1°  Bが

証 明 で き ればA→Bが

証 明 で き,Aが

明 で き る と い う こ と を 示 せ ば よ い が,こ

証 明 で き ればB→Aが

れ ら は と も に 推 論 法 則2.1に

か で あ る.   2°  A≡Bの

定 義 と 推 論 規 則1(1.6)に

よ る.(証

明 終 わ り)

  定 理2.13   1°  論 理 式￢Aお   2°  A≡Bで

よ び￢Bが

あ る と き,￢Aが

証 明 で き れ ば,A≡Bで 証 明 で き れ ば￢Bも

 証 明   1°  公 式2.3に   2°  公 式2.6に

よ る. よ る.(証

明 終 わ り)

あ る. 証 明 で き る.

証

よ り明 ら

 定 理2.14   1°  A≡Bな

ら ば￢A≡￢B.

  2°  A1≡A2,B1≡B2な

らばA1→B1≡A2→B2.

 証 明  1°  公 式2.6に

よ る.

  2°  任 意 の 論 理 式A1,A2,B1,B2に

が 成 り立 つ こ と を 示 せば 十 分.そ と でA2→B2を

対 し て,推

れ に は,仮

論法則

定A2→A1,B1→B2,A1→B1の

も

証 明 す れ ば よ い:

(証 明 終 わ り)   こ こ で,以 下 の 話 の 都 合 上,命 題 理 論 の 範 囲 を 超 え,述

語論理 に属 す る定理

を1つ 証 明 して お く:   定 理2.15 

A≡Bな

らば,任 意 の変 数xに 対 し て∀xA≡

∀xB.

 証 明 推 論法 則

が 成 り立 つ こ とを 示 せ ば 十 分 で あ る.   1.5にⅢ.と

して 挙 げ た'述 語 論 理 の 公 理'の1.に

数 を もち'代 入 に つ い て の付 帯 条 件(1.4)'を

は 公 理 で あ る.と

くに,tと

  (*)  も 公 理 で あ る.ま

し てx自

よれば,変

数xと

満 た す 任 意 の 対 象 式tに

身 を 採 用 した と きの

∀xA→A た,∀xAはxを

自由変数 として含 まないか ら

 (**)

も 公 理 で あ る(1.5のⅢ.の2.).あ

と は,こ

の2つ

の公理 を用 い て

同 じ階 対 して

公 理(*)

推 論 規 則2(1.6) 公 理(**)

と す れば よ い(証 明 終 わ り).

 論 理 式の 類別   任 意 の2つ

の 論 理 式 に 対 し て 定 義 され た 関 係 ≡ が 同 値 関 係 で あ る とい うこ

と(定 理2.11)か

ら,こ の 同 値 関 係 に よっ て 論 理 式 全 体 の 集 合 を 類 別 す る こ と

が で き る.す な わ ち,論 理 式 全 体 の集 合 を,互 い に 共 通 元 を もた な い,い くつ か の(一 般 に は,無 限 個 の)空 で な い 部 分 集 合― に わ け,そ

同 値 類(equivalence

class)―

れ らが 次 の 性 質 を もつ よ うに す る こ とが で き る:

  1°  同 値 な 論 理 式 は 同 じ同 値 類 に 属 す;   2°  同 値 で な い 論 理 式 は 異 な る 同 値 類 に 属 す. 要 す る に,同 値 な 論 理 式 を ひ と ま とめ に した もの が1つ

の 同 値 類 で あ る.

  この よ うに 論 理 式 の 全 体 を 同 値 類 に 類 別 し て 考 え た と き,定 理2.12は  証 明 で き る論 理 式 全 体 の 集 合 は1つ

の同値類 であ る

とい う こ と を 意 味 し,定 理2.13は  

否 定￢Aが

証 明 で き る論 理 式A全

体 の 集 合 は1つ

の 同値 類 で あ る

とい うこ と を 意 味 し て い る.   証 明 で き る 論 理 式 を 真(true)な 論 理 式,否 定 が 証 明 で き る論 理 式 を 偽(false) な 論 理 式 と よ ぶ こ と も あ る.真 な 論 理 式 の 任 意 の1つ い う記 号 で 表 わ し,偽 な 論 理 式 の 任 意 の1つ

を 固 定 し,そ れ を∨

を 固 定 し,そ れ を∧

と

とい う記 号

で 表 わ す. A≡〓 と い う の は,Aが

真 で あ る こ と,す

な わ ち,Aが

証 明 で き る こ と を 意 味 し,

A≡〓

とい うの は,Aが

偽 で あ る こ と,す な わ ち,￢Aが

証 明で きる こと を 意味 し

て い る.   あ る仮 定 が 矛 盾 を 含 ん で い れば,そ 理2.9),あ 理 式￢〓

の 仮 定 の も とで 論 理 式〓 は 証 明 で き(定

る仮 定 の も とで 論 理 式〓 が 証 明 で き れば,[〓

の 定 義 に よ り,論

は つ ね に 証 明 で き る の だ か ら]そ の 仮 定 は 矛 盾 す る.す な わ ち,あ

る

仮 定 が 矛 盾 を 含 む とは,そ の 仮 定 の も とで 論 理 式〓 が 証 明 で き る こ とで あ る, と言 う こ と も で き る.そ の 意 味 で,論 理 式〓 の こ と を矛 盾 と よぶ こ と もあ る.   次 に,定 理2.14と つ 或 い は2つ

定 理2.15は,￢,→,∀xと

い う も の を,そ れ ぞ れ,1

の任 意 の 同 値 類 に1つ ず つ の 同 値 類 を 対 応 させ る演 算 と考 え る こ

とが で き る,と い う こ とを 意 味 して い る:   た とえば,同 Aだ

値 類Aに

属 す 論 理 式Aの

け に よ っ て 定 ま り,Aに

の が 定 理2.14の1° 式AとBか

属 す 論 理 式Aの

で あ り,2つ

の み に よ っ て 定 ま り,AとBに

  定 理2.15に

属 す 同 値 類 は,同 値 類

選 び 方 に 無 関 係 で あ る,と い う

の 同 値 類AとBの

ら作 られ る論 理 式A→Bの

とい うの が 定 理2.14の2°

否 定 ￢Aが

そ れ ぞれ に 属 す 論 理

属 す 同 値 類 は,2つ

属 す 論 理 式A,Bの

の 同 値 類A,B

選 び 方 に 無 関 係 で あ る,

で あ る.

つ い て も,ま った く同 様 で あ るが,xと

い う変 数 を1つ 指 定 す

るご とに 異 な る演 算 ∀xが 定 ま る とい う こ と,言 い か え れ ば,定

理2.15が

無

限 に 多 くの 演 算 に つ い て の記 述 で あ る,と い う点 だ け に つ い て 異 な っ て い る.

  論 理 式 が 証 明 で き る か ど うか,と

い うこ とだ け を 問 題 に す る と きに は,論 理

式 そ の もの よ りは,同 値 な論 理 式 を ひ と ま とめ に した 同 値 類 を 研 究 の 対 象 とす るほ うが 適 し て い る.証 明 で き るか ど うか,と

い う性 質 は,個

々の 論 理 式 の 性

質 とい うよ りは,そ の 論 理 式 の 属 して い る 同 値 類 の性 質 と考 え た ほ うが 考 え や す い か らで あ る(定 理2.12).ま 成 す る と きに 用 い た ￢,→,∀xと

た,基

本 論 理 式(1.3)か

ら一 般 の論 理 式 を 構

い う論 理 演 算(logical operation)が,す

て 同 値 類 に つ い て の 演 算 と考 え られ る 以 上,わ

べ

れ わ れ は,論 理 式 が 証 明 で き る

か ど うか を 問 題 に す る限 りに お い て,同 値 な 論 理 式 は 同一 視 して さ しつ か え な い し,言 い か え れ ば,同 値 記 号 ≡ を 論 理 式 の 間 の'等 号'と み な す こ とが で き

る の で あ る.   次 の 同 値 式 は,種

々の 同値 式 が 証 明 で き る か ど うか を 判 定 す る に 際 して 有 用

で あ る:  1) 

2)

  3) 

4)

  5) 

6)

 証明  1)  公 式2.5に   2) 〓

と〓

よ る. の 定 義 に よ り 明 ら か.

  3)  公 理Ⅱ.1に

よ る.

  4)  仮 定A,A→〓

の も と で 矛 盾〓

が 証 明 で き る か ら,

は 仮 定 な しで 証 明 で き る(定 理2.10,定

理2.7).逆

は 公 式2.3.

  5)  [〓 は 証 明で き る論 理 式 で あ る の で]仮 定〓 →Aの

も とでAが

証 明で

き るか ら

は 仮 定 な し で 証 明 で き る.逆

は 公 理Ⅱ.1.

  6)  ￢〓 が 証 明 で き る こ と と 公 式2.3に

  2.6 ∨   A∨Bと

明 終 わ り)

につ いて い うの は 論 理 式 ￢A→Bの

ま た はB'と 推 論 法 則2.6に

略 記 法 で あ る.そ れ は,内 容 的 に は'A

い う命 題 を 表 わ し,そ の 論 理 的 性 格 は 次 の 公 式2.8,公

式2.9,

よ っ て 特 徴 づ け られ る.

  公 式2.8 

A→A∨B. で あ り,こ れ は 公 式2.3に

 証明 証明すべき式は  2.5を

よ る.(証

推 論法 則

適 用 す れ ば 得 ら れ る(証 明 終 わ り).

  公 式2.9 

 証明 証明すべ き式は 

B→A∨B. そ れ は 公 理Ⅱ.1(証

明 終 わ り).

 推 論 法 則2.6 

(場 合 わ け の 証 明 法;両

  証 明   2つ の 仮 定A→C,B→Cに し てCを

刀 論 法,dilemma)

仮 定A∨B[す

な わ ち￢A→B]を

追加

証 明す れ ば よい:

公 式2.5 公 式2.7 公 式2.4

(証明 終 わ り)  論 理 式A∨Bの

論 理 的 な性 格 が 公 式2.8,公

づ け られ る,と い うの は,次

式2.9,推

論 法 則2.6に

よ っ て特 徴

の よ うな 意味 で あ る:

 A∨Bは   1)  A→D,B→Dが

証 明で きる

  2)  A→C,B→Cが

証 明 で き る ど ん な 論 理 式Cに

と い う性 質 を も つ 論 理 式Dの1つ Dは

で あ り,し

対 し て もD→Cが

か も,こ

の 性 質1),2)を

証明 できる もつ 論 理 式

すべ て 互 い に 同 値 に な る.

 ま ず,論 法 則2.6そ   次 に,Dの

理 式A∨BがDの

性 質1),2)を

も つ こ と は 公 式2.8,公

式2.9,推

の も の. 性 質1),2)を

も つ 論 理 式 の2つ

をD1,D2と

す れ ば,D2が

性 質1)を

もつ こ とか ら A→D2, 

  が 証 明 で き,こ

れ と,D1が

B→D2

性 質2)を

も つ こ と とか ら

D1→D2   が 証 明 で き る こ と に な る.同

様 に,D2→D1が

証 明 で き る こ と も言 え る の で

D1≡D2

 と い う こ とが わ か る. 公 式2.10 

(排 中 律,law

of

excluded

A∨

証 明   証 明す べ き式 は ￢A→ ￢A(証

系

middle,

tertium

￢A.

明 終 わ り).

non

datur)

論

 証 明   推 論 法 則2.6と

公 式2.10に

よ る(証 明 終 わ り).

 1) ベ キ 等 律 A∨A≡A 

2)  交 換 律   A∨B≡B∨A

  3)  結 合 律   4)  吸 収 律   A→Bが

証 明 で き れば 

A∨B≡B

6)

  5)    7)

 証明   1)  A→Aを2つ 逆 は 公 式2.8に

並べ て 推 論 法 則2.6を

用 い れ ばA∨A→Aが

得 られ る.

よ る.

  2)  任 意 の 論 理 式A,Bに

対 して

を 証 明す れば 十 分 で あ る が,そ れ に は 推 論 法 則2.6のCをB∨Aと よ い.2つ

の前 提 が 証 明 で き る こ とは 公 式2.9と

公 式2.8に

すれ ば よ る.

 3)  (A∨B)∨CもA∨(B∨C)も が証 明で きる

  1. 

 

が 証 明 で き る ど ん な 論 理 式Dに

2. 

 

D0→Dが

対 して も

証 明で き る

と い う性 質 を もつD0の1つ

に な っ て い る.こ

の よ うな 論 理 式D0は

す べ て互

い に 同 値 で あ る.   4)  推 論 法 則2.6のCをBと A∨B→Bが   5),6) 

証 明 で き る.逆

す れば,A→Bと

い う前 提 の も とで 論 理 式

は 公 式2.9.

吸 収 律 に よ る.

  7) 

  結 合 律3)に き の よ うに,同

(証 明 終 わ り) よれ ば,論 理 式 が 証 明 で き る か ど うか だ け を 問 題 に して い る と 値 関 係 ≡ に よ る論 理 式 の 同 値 類 だ け を 問 題 に し て よ い 場 合 に

は,論 理 式(A∨B)∨CとA∨(B∨C)を

同 一 視 して,そ れ ら を 共 通 の 記 法

A∨B∨C

に よ っ て 表 わ す こ と が で き る.一

般 に,任

意 有 限 個 の 論 理 式A1,A2,…,An

に対 す る

(*) に つ い て も 同様 で,交 換 律2)や 序 を ど う変 え て も,同

ベ キ 等 律1)に

よれ ば,A1,A2,…,Anの

順

じ論 理 式 の 個 数 を ど う変 化 させ て も[た だ し,少

な くと

も1度 出 て くる論 理 式 に つ い て,少 な く と も1つ は 残 し てお く とい う条 件 つ き で],論

理 式(*)の

  2.7 ∧   A∧Bと

属 す 同 値 類 に 変 化 は な い.

に つい て い うの は 論 理 式 ￢(￢A∨￢B)の

は'Aか

つB'と

2.12,推

論 法 則2.7に

 公 式2.11 

 証明

略 記 号 で あ る.そ れ は,内 容 的 に

い う命 題 を 表 わ し,そ の 論 理 的 性 格 は 次 の 公 式2.11,公 よ っ て 特 徴 づ け られ る. A∧B→A.   公 式2.8 公 式2.6 公 式2.4

(証 明 終 わり)  公 式2.12   証 明   公 式2.9に

A∧B→B. よ る(証 明 終 わ り).

 推 論 法 則2.7

 証明

推 論 法 則2.6 公 式2.5

(証 明 終 わ り)

 系

式

証 明   推 論 法 則2.7のCを∨ こ の 系 と公 式2.11,公   2つ

式2.12と

の 論 理 式AとBの

て 論 理 式A∧Bは

とす る(証 明 終 わ り). か ら 次 の こ と が わ か る:

両 方 が 証 明 で き る と き,お

よ び,そ

の ときに限 っ

証 明 で き る.

1)  ベ キ 等 律   A∧A≡A 

2)  交 換 律   A∧B≡B∧A

3)  結 合 律 4)  吸 収 律   A→Bが

証 明 で き れ ば   A∧B≡A

6)

5)  7) 

ド ・ モ ル ガ ン(A.

de

Morgan)の

法 則

9)

8)  矛 盾 律 

10) 11)  分 配 律

証明 1) ∨ のベ キ等 律 を 用 い て

2) ∨

の 交 換 律 を 用 い る.

3) ∨

の 結 合 律 を 用 い る.

4)  公 式2.6と∨ 5),6) 

の 吸 収 律 を 用 い る.

吸 収 律 に よ る.

7)

8) 

ド ・モ ル ガ ン の 法 則 に よ っ て

と な る か ら,排

9)

中 律(公 式2.10)に

よ り￢(A∧￢A)は

証 明 で き る.

10)

をDと

11) 

お くと

A∧B→D は 証 明 で き,∧

の 交 換 律 と10)に

より B→(A→D)

が 証 明 で き る.ま た,A∧C→Dが

証 明 で き る こ とか ら C→(A→D)

が 証 明 で き る こ と も わ か り,推

が 証 明 で き,再 び10)と∧

論 法 則2.6に

よ り

の交換 律 に よ り

す なわ ち …… ①

が 証 明 で き る.ま た 公 式2.12 公 式2.11

公 式2.8

推 論 法 則2.7 と す る こ と に よ りA∧B→A∧(B∨C)が よ っ てA∧C→A∧(B∨C)も

証 明 で き,ま 証 明 で き る か ら,推

った く同 様 な 方 法 に

論 法 則2.6に

よ って ……

① と ② が と もに 証 明 で き る とい うの が,分   分 配 律 の 第2式 は,分 配 律 の 第1式 示 す こ とが で き る.(証

配 律 の 第1式

②

の意 味 で あ る.

と ド ・モ ル ガ ンの 法 則 を 用 い て,容 易 に

明 終 わ り)

  ∧ に つ い て も 結 合 律 が 成 り立 つ の で,同 値 な 論 理 式 を 同一 視 し て よい 場 合 に は,3個 てを

以 上 の 論 理 式A1,A2,…,Anを∧

で 結 ん で 作 られ る論 理 式 の す べ

と い う1つ

の 表 現 で 表 わ し て よ い.ド

・モ ル ガ ン の 法 則 や 分 配 律 は

とい う一 般 的 な 形 に お い て成 立 して い る.

上 で 証 明 した10)を

繰 り返 し用 い れ ば,

とい う論 理 式 は

(*) と 同 値 で あ る,と い う こ と が わ か る.だ C2,…,Cnの

も と で 論 理 式Aが

証 明 で き る'と

明 で き る と い うの と 同 じ こ と に な る.そ 2.2と

定 理2.4は,∧

か ら,2.3に

お い て 定 義 し た'仮 定C1, い う の は,論

理 式(*)が

う考 え て み れ ば,2.3で

証

証 明 した 定 理

の 結 合 律 ・交 換 律 ・ベ キ 等 律 か ら の 帰 結 で あ る,と

みな

す こ と も で き る.   ま た,上

の(*)か

る こ と と1個

ら わ か る よ うに,n個

の 論 理 式C1,C2,…,Cnを

仮 定す

の論 理 式

 (**)

を 仮 定 す る こ と とは 同 じこ とに な る ので,あ つ 場 合 に帰 着 さ れ る.n=0の そ れ はn=0の

  2.8 〓  

場 合 の(**)が

らゆ る場 合 が'1つ

の 仮 定'を

も

論 理 式∨ を 意 味 す る とす れ ば,

場 合 を も含 め て言 え る こ とに な る.

に つい て とい うの は 論 理 式(A→B)∧(B→A)の

の 定 義 と∧ の 性 質 とか ら,A→BとB→Aの そ の と き に 限 っ て 論 理 式 

略 記 法 で あ る. 

のこ

両 方 が 証 明 で き る と き,お よび

は 証 明 で き る,と い うこ とが わ か る:

  定 理2.16 

論 理 式 

つ の 論 理 式A,Bの

が 証 明 で き る と き,お

間 の 関 係A≡Bが

成 り立 つ.

  こ の よ うな 定 理 が 成 り立 つ に も か か わ ら ず,論 がA≡Bで

い う こ と で あ り,そ

れ は,2つ

証 明 で き る と い う こ と で あ っ た が,論 題AとBが

同 値 で あ る'と

らばBで

ら ぬ.'2つ

あ り

,か

理 式 

た は'論

両方が

命 題 と考 え た 上 で

と い っ た の は,論

い は論 理

の 論 理 式 が 同 値 で あ る'と い う の は 超 数 学 的

い っ た の は,論

内 容 的 に 解 釈 し た と き の,と

の命

あ る'と い う意 味 に と ら な け れ ば な

い は 超 論 理 的(metalogical)な 理 的'と

同値

の 内 容 的 解 釈 は'2つ

れ は,AとBを

ら ばAで

概 念 で あ る が,'2つ

(metamathematical)或

概 念 で あ る.こ

こ で,'数

理 式 を 命 題 の 表 現 と 考 え て,そ

い う意 味 で あ り,'超

理 式 の 内 容 を 考 え ず に,そ

れ る 単 な る 研 究 対 象 と 考 え た と き の,と  

の 論 理 式AとBが

の 論 理 式A→BとB→Aの

い う こ と で,そ

つ,Bな

の 内容的 な解釈

の 命 題 が 同 値 で あ る'と い うの は 数 学 的(mathematical)或

的(logical)な

学 的'ま

理 式 

あ る と 考 え て は な ら な い.A≡Bは'2つ

で あ る'と

'Aな

よ び そ の と き に 限 っ て,2

数 学 的'ま

た は'超

れを

論 理 的'

れ を わ れ わ れ の形 式 的 体 系 に 現 わ

い う意 味 で あ る.

'対 象 式'と い う用 語 に 使 わ れ て い る'対 象'と

い う言葉 は'数 学 的 な 対 象'を 意 味

す る.対 象 式 とは 数 学 的 対 象 を 表 わ す 式 の こ と で あ る.  公 式2.13

 証明 を 示 せば よ い(定 理2.16):

[分 配 律 を 使 っ て]

(証 明 終 わ り)

  → と〓 に つ い て の略 記 法  本 書 に お い て は,必 要 に 応 じて

とい う形 の 論 理 式 を A→B→C と略 記 す る こ と が あ る.1)そ

のほ か

な ど も,そ れ ぞれ

の こ と で あ る とす る.ま

た,4個

の 論 理 式A1,A2,A3,A4に

つ い ての

とい う表現は論理式

を 意 味 す る,な

ど とい う よ うに,1列

に 並 ん だ 有 限 個 の 論 理 式 を → と〓 と で

結 ん で で き る表 現 の 意 味 を一 般 的 に 定 め る こ とが で き る.   論 理 式A1,A2,…,Anを

この 順 に並 べ て → や〓

証 明 で きれ ば,最 初 の 論 理 式A1と

で 結 ん で で き る論 理 式 が

終 わ りの 論 理 式Anか

らで き る論 理 式

A1→An

は 必 ず 証 明 で き る し,論 理 式A1,A2,…,Anを〓

だ け を用い て結 んで で き

る 論 理 式 が 証 明 で きれ ば

が 証 明 で き る.そ の 系]と

の こ と は,∧

の 性 質[公

→ の 性 質[推 論 法 則2.3]お

よ び〓

式2.11,公

式2.12,推

の 定 義 に よ る.こ

論 法 則2.7 の こ とを 基 礎 に

  1)  この略記 法は,"記 号論理学"で 広 く用 い られてい る とい うものではない.む しろ,記 号論理 学 以外 での慣習 である.た とえば A→(B→C) の こ と な どを

A→B→C と表わ す記号 論理 の教科書 もある.読 者 は,他 の記号 論理 学書 を読む場合には注意 され たい.

し,定

理2.16の

とき 内 容 は,こ

主 張 を も 考 慮 し,た

と え ば 公 式2.13の

証 明 と し て述 べ た ご

ん ごは

の よ うに 書 き表 わ す こ とに す る.こ の よ うな 表 記 法 を 用 い れば,わ

れ わ れ は,

論 理 式 が 同 値 で あ る こ とを 示 す 記 号 ≡ を 用 い る機 会 は ほ とん ど な くな って し ま う.

3.  述

  3.1 

論

理

∀ に つい て

  論 理 記 号 ∀ と 変数xと ∀xAを

語

を 組 み 合 わ せ て で き る ∀xを,論

対 応 さ せ る 作 用 素(operator)と

考 え,全

理 式Aに

称 作 用 素(universal

論 理式 quantifier)

と よ ぶ.全

称 作 用 素 は,同

ぞ れ に1つ

ず つ の 同 値 類 を 対 応 さ せ る 作 用 素 と 考 え る こ と も で き る(2.5の

理2.15).ま

た,変

値 な 論 理 式 を ひ とま とめ に して で き る同 値 類 の そ れ

数xを1つ

定

指 定 す る ご と に 別 々 の 全 称 作 用 素 ∀xが 定 ま る

の で あ る.   全 称 作 用 素 の 一 般 的 な 性 質 を 調 べ る た め に,わ き た 命 題 論 理 の 知 識 に 加え,1.5のⅢ.に

れ わ れ は,こ

述 語 論 理(predicate

れ ま で に 述べ て logic)の 公 理 と

して 挙 げ た  公 理Ⅲ.1 

∀xF(x)→F(t)

 公 理Ⅲ.2   [た だ し,Aはxを お よ び,1.6に

自 由 変 数 と し て 含 ま な い]

述 べた

 推論規則2   [こ こ で は,Aは

任 意 の 論 理 式 で よ く,一 般 に はxを

自由変 数 と して含ん

で い る] を 用 い る.   じつ は,全 称 作 用 素 な る も の を 論 理 式 の 同 値 類 に 対 す る演 算 と考 え て も よい とい う こ とを 主 張 す る定 理2.15(2.5)の 推 論 規 則 が,た だ1つ

証 明 に お い て だ け,こ れ ら の公 理 と

の 例 外 と して,す で に 用 い られ て い る.そ

の定 理 は,本

来 は 述 語 論 理 の 範 囲 内 で 述 ぶ べ き も の で は あ った が,論 理 式 の 類 別 に つ い て の 記 述 を1ヵ 所 に 集 中 さ せ よ う とい う 目的 だ け を も って,命 題 論 理 の 中 間 に 挿 入 した の で あ る.

推 論 法 則3.1論

理 式Aが

変 数xを

自 由 変 数 と して 含 ま な い と きに は:

証明 推 論 規 則2 公 理Ⅲ.2 (証 明 終 わ り) 公 式3.1 

Aがxを

自 由 変 数 と して 含 ま な け れば:

 証 明   公 理Ⅲ.1のF(x)をAと

す れば,F(t)もAで

の 特 別 な 場 合 と し て ∀xA→Aが

得 られ る.ま

Aと

し,A→Aに

推 論 法 則3.1を

あ るか ら,公

た,推

適 用 す る とA→

理Ⅲ.1

論 法 則3.1のF(x)を ∀xAが

得 ら れ る(証 明 終

わり).   Aがxを

自 由 変 数 と して 含 む 場 合 に は, 

い.Aがxを

自由 変 数 と して 含 む 場 合 に は,推 論 法 則3.1が

らで あ る.し か し,Aがxを る こ と とAが   定 理3.1  お よ び,そ

は 一 般 には 証 明で きな

自由 変 数 と し て 含 む 場 合 に も,∀xAが

証 明で き

証 明 で き る こ と とは,つ ね に 同 じ こ とに な る: 論 理 式 ∀xAが

証 明 で き る の は,Aそ

の も のが 証 明 で き る とき,

の と き に 限 る.

  証 明   公 理Ⅲ.1に

お い てF(x)をAと

自 由 変 数 と して 含 む 場 合 に も,公 られ るか ら,∀xAが

し,tをx自

理Ⅲ.1の

身 とす れば,Aがxを

特 別 な 場 合 と して∀xA→Aが

証 明 で き る場 合 に はAも

証 明 で き る.逆 に,Aが

で き れば ∀xAが 証 明 で き る とい うの は,推 論 規 則2に

よ る(証 明 終 わり).

 公 式3.2

 証明 公 理Ⅲ.1 公 式2.11(2.7)

推 論 法 則3.1 と して

適 用 で きな い か

得 証明

が 証 明 で き,同 様 に して

も証 明 で き る の で

が 証 明 で き る.逆 の

を 証 明す る に は,

の そ れ ぞ れ と公 理Ⅲ.1と

か ら得 られ る

から

を 導 き,推

論 法 則3.1を

 公 式3.2の

用 い れば よ い(証 明 終 わ り).

∧ を∨ に 代 え た

と い う公 式 は 成 り立 た な い.成

り立 つ の は 次 の 公 式 だ け で あ る:

 公 式3.3  証 明 公 理Ⅲ.1

公 理Ⅲ.1 

公 式2.9

公 式2.8 

推 論 法 則2.6 推 論 法 則3.1

(証 明 終 わり)   公 式3.4

 た だ し,Aはxを

 証明 

自 由 変 数 と して 含 ま な い とす る. [公 式3.2] [公 式3.1] (証 明 終 わ り)

 公 式3.5

 た だ し,Aはxを

自 由 変 数 と して 含 ま な い とす る.

 証明 

[∨ の 定 義] [公 理Ⅲ.2] [∨ の 定 義] [公 式3.1] [公 式3.3] (証 明 終 わ り)

  3.2 ∃

につ い て

  ∃xF(x)と

い うの は 論 理 式￢∀x￢F(x)の

式∃xF(x)に

現 わ れ る 変数xは

るxは   ∃xも

略 記 法 で あ る.し

す べ て 束 縛 変 数 で あ り,自

た が っ て,論

理

由変 数 と し て 現 わ れ

な い. ま た 任 意 の 論 理 式F(x)[ま

る 同 値 類]に

論 理 式∃xF(x)[ま

と 考 え ら れ る の で,そ   公 式3.6(ド

た は,F(x)と た は,そ

同 値 な 論 理 式 の全 体 か らな

れ の 属 す 同 値 類]を

れ を 存 在 作 用 素(existential

対 応 させ る作 用 素

quantifier)と

よ ぶ.

・モ ル ガ ン の 法 則)

 証明

(証明 終 わり)  公 式3.7

 証明 

公 理Ⅲ.1

(証 明 終 わ り)

 系   証 明   公 理Ⅲ.1と

公 式3.7に

よ る(証 明 終 わ り).

 推 論 法 則3.2 

論 理 式Aが

変 数xを

自 由 変 数 と し て 含 ま な い と き に は:

 証明

推 論 法 則3.1

(証 明 終 わ り)   公 式3.7と 則3.1に

推 論 法 則3.2は,そ

対 応 し て い る.ま

れ ぞ れ,∀

た,以

に つ い て の 公 理Ⅲ.1と

下 の 公 式3.8‐3.12も

推論 法

公 式3.1‐3.5の

そ れ ぞ れ に 対 応 し て い る.   公 式3.8 

Aがxを

自 由 変 数 と し て 含 ま な け れ ば: 

  証 明  ∃ の 定 義 と公 式3.1を

用 いて

(証 明 終 わり)  公 式3.9   証 明 ∃ の 定 義,命

題 論 理 に お け る ド ・モ ル ガ ン の 法 則(2.7),公

ま た 命 題 論 理 に お け る ド ・モ ル ガ ン の 法 則,∃

式3.2,

の定義 を順 に用 いて

(証 明 終 わ り)  公 式3.10

 証 明   公 式3.3に

より

 こ の 式 の 対 偶 を 作 る と  (*)

 ド ・モ ル ガ ン の 法 則 を 用 い て  (*)の

左辺

 (*)の

右辺

(証 明 終 わ り)  公 式3.11   た だ し,Aはxを  証 明   公 式3.4に

自 由 変 数 と し て 含 ま な い とす る. よ る(証 明 終 わ り).

 公 式3.12

 た だ し,Aはxを   証 明   公 式3.5に

A→Bと ら,→

自由 変 数 と し て含 まな い とす る. よ る(証 明 終 わり).

い う形 の 部 分 を￢A∨Bに

置 き か え る こ とに よ り,上 の 諸 公 式 か

に つ い て の 種 々 の公 式 を 導 く こ とが で き る.

例 証明

(証 明 終 わり)   問   次 の 同 値 式 を 証 明 せ よ.た だ し,Aは す る.   1)   2)   3)

変 数xを

自 由変 数 と し て 含 まな い論 理 式 と

  4)   5)   6)

  3.3  限 定 作 用 素 の 順 序 の 交 換  全 称 作 用 素 と存 在 作 用 素 を 総 称 して 限 定 作 用 素(quantifier)と い う. 公 式3.13

証明 

公 理Ⅲ.1 公 理Ⅲ.1

推 論 法 則3.1 推 論 法 則3.1 お よ び,こ

れ と 同 様 に し て,こ

も 証 明 で き る か ら,第1式 代 わ りに 公 式3.7と

の逆

は 証 明 さ れ る.ま

推 論 法 則3.2を

た,公

理Ⅲ.1と

用 い れば,第2式

推 論 法 則3.1の

の 証 明 が 得 ら れ る(証

明 終 わ り).   注 意   上 の 公 式3.13に な い.F(x,y)は

お い てF(x,y)と

任 意 の論 理 式 で よ く,た

い う記 法 を 用 い た が,そ だ,そ

れ に特別 な意味 は

の 論 理 式 の 中 の2種 類 の 自 由 変 数xと

yに 着 目 して い る こ とを 強 調 して い る に過 ぎ な い.し

か も,こ の よ うな 表 現 法 を用 い た

場 合には

を を と表 わ し,さ

ら に は,F(x,y)に

もつ)対 象 式sで

置 き か え,同

自 由変 数 と し て 現 わ れ るすべ て のxを(xと 時 に,F(x,y)に

(yと 同 じ階 数 を もつ)対 象 式tで

同 じ階 数 を

自 由 変 数 と して 現 わ れ るす べ て のyを

置 きかえた結果 を F(s,t)

と表 わ す,と い う便 法 を用 い る こ とが で き る.[た だ し,か か る便 法 を 用 い る と きに も, '新た に 束 縛 変 数 が 増 加 す る こ とが あ って は な らな い'と い う,1.4で 述べ た 代 入 に つ い て の 付 帯 条 件 と同 様 な 条 件 が 満 た さ れ て い な け れば な ら な い とす る.]そ とい う表 現 を 用 い た と き に は,通

常,上

して,F(x,y)

記 の よ う な便 法 を予 想 して い る の で,xとyと

は(階 数 は 同 じで も よい が)異 な る変 数 で あ る,と す る の が 普 通 であ る.し た が って,公 式3.13の

証 明 に お い て も,じ つ は,xとyが

の 不 都 合 も生 じな い の であ るが,xとyを   公 式3.13は,隣

同一 の 変 数 で あ る と して も 証 明 に は な ん 異 な る変 数 と して 取 り扱 って い る.

り合 っ た 全 称 作 用 素 ど う し,或

素 ど う し を 交 換 し て も,同 る.し

か し,全

は,一

般 に は 許 さ れ な い.た

い は,隣

値 な 論 理 式 が 得 ら れ る,と

り合 っ た 存 在 作 用

い う こ とを 意 味 して い

称 作 用 素 と 存 在 作 用 素 の 位 置 を そ の ま ま の 形 で交 換 す る こ と だ,そ

れ に つ い て,次

の 公 式 を 証 明す る こ とは で

き る:  公 式3.14

 証明 

公 理Ⅲ.1 公 式3.7

推 論法 則3.1 推 論 法 則3.2 (証 明 終 わ り)  公 式3.14の

逆

が 成 り立 た な い と い うの は,'一 ち ろ ん,論

理 式F(x,y)の

般 に は'成

形 に よ っ て は,そ

り立 た な い とい う意 味 で あ っ て,も れ が 証 明 で き る場 合 も あ る.

  問   次 の 公 式 を証 明 せ よ:

た だ し,F(x)はyを

自 由変 数 と して 含 ま ず,G(y)はxを

自由 変 数 と して 含 ま な い もの

とす る.

  3.4  束 縛 変 数 の 書 き か え   論 理 式F(x)の

中 の 自 由変 数xに をF(y)と

る 

他 の変 数yを 代 入 して 得 られ る論 理 式 で あ

略 記 す る の で あ る が,F(x)の

由変 数 と し て 含 ま れ て い る場 合 に は,論 理 式F(y)の

中 にyが

すでに自

中 の 自 由 変 数yにxを

代

入 す る と き の 付帯 条 件(1.4)が

満 た さ れ て い る と し て も,そ の 代 入 に よ っ て 得

られる論理式 

はF(x)で

 例1 

xとyは

は な く 

に な る.

同 じ階 数 を もつ 相 異 な る変 数 で あ る と し,論 理 式x=yを

  F(x)と

表 わせば F(y)  は   論 理 式y=y

 で あ り,し

たが って

は   論 理 式x=x  で あ っ て,こ

れ は,F(x)す

な わ ちx=yで

は な く, 

で

あ る.

 例2 

例1と

同 じ く,xとyは

同 じ階 数 を も つ 相 異 な る 変 数 とす る.こ

は 論 理 式 ∀x(x=y)をF(x)と

表 わ す こ と に す る と,F(x)はxを

数 と し て 含 ま な い か ら,F(y)はF(x)自 き の 付 帯 条 件 も満 た さ れ て い る.し の 中 の 自 由 変 数yにxを 入 さ れ たxは

身 で あ り,xにyを か し,そ

代 入 す る と ∀x(x=x)と

ず,し F(y)[す

中 の 自 由 変 数xにyを

な わ ち 

満 た され,か

代入す る と

由 変 数yに

代

代入す る ときの付帯

を 作 る こ とは 許 され な い.

同 じ階 数 を もつ 変 数 で あ り,yが

か もF(x)の

自由変

な わ ち ∀x(x=y)

な り,自

束 縛 変 数 と な っ て し ま う の で,yにxを

条 件 は 満 た されず,    問   xとyが

のF(y)す

んど

論 理 式F(x)に

代 入 す る と きの 付 帯 条 件 が 満 た され て い れ ば,

]の 中 の 自由変数yにxを は も との 論 理 式F(x)に

つ 

自 由変 数 と して 現 わ れ

代入 す る ときの付 帯条件 も 一 致 す る,と い うこ とを 証 明

せ よ.

  定 理3.2 

xとyが

同 じ階 数 の 変 数 で,2つ

の 論 理 式F(x),F(y)の

はF(y), 

間に

はF(x)

とい う関 係 が あ れ ば,論 理 式

が 証 明 で き る.   証 明   yは

∀xF(x)に

自 由変 数 と して 含 ま れ な い か ら 公 理Ⅲ.1

推 論 法 則3.1 と して

∀xF(x)→

∀yF(y)が

証 明 で き,同

様 に し て ∀yF(y)→

∀xF(x)も

証 明

で き る(証 明 終 わり).   定 理3.3  て も―

変 数yが

論 理式

含 ま れ ず,し

か もxと

yを 代 入 し てF(y)を

∀xF(x)に―

自 由変 数 と し て も束 縛 変 数 と し

同 じ階 数 を もて ば,F(x)の

中 の 自 由 変 数xに

作 る と き の 付 帯 条 件 は 満 た され,論 理 式

は 証 明で き る.   証 明   F(x)の yがF(y)の F(y)を

中 に 変 数yが 全 然 含 ま れ て い な い の で,xに

中 で の 束 縛 変 数 に な る こ とは あ り得 ず,し

置 きか え られ た

た が っ て,F(x)か

作 る 代 入 に つ い て の 付 帯 条 件 は 満 た さ れ る.ま た,F(y)の

べ て 自由 変 数 で,そ

れ らのyが

占 め る位 置 は ,F(x)の

中 のxが

ら

中 のyは す 自 由変 数 と し

て 占 め る位 置 の 全 体 と完 全 に 一 致 して い るか ら

は と な り,定

理3.2の

前 提 が 満 た さ れ る(証 明 終 わり).

  こ の 定 理3.2は,次   あ る 論 理 式Aの

の よ うに 用 い る こ と が で き る: 一 部 分 に ∀xF(x)と

同 じ階 数 を も ち ∀xF(x)に 形 を し て い る 部 分 の1つ れ ば,A1はAと

含 ま れ な い 任 意 の 変 数yを を ∀yF(y)に

同 値 に な る.こ

ら れ る 論 理 式 をA2,A3,… え ば,Aの xを

一 部分

の と き,∀xG(x)の を ∀yF(y)に い る.し

部 分 で あ る ∀xG(x)に

い う す

の よ うな 置 き かえ を 繰 り返 し お こ なっ て 得

∀yF(y)で

い う論 理 式 がF(x)の 中 に はxは

れ ら も すべ てAと

同 値 で あ る.た

置 き か え ら れ る と き,同

と

じ束 縛 変 数

一 部 に 含 ま れ て い る こ と も あ る.そ

自 由 変 数 と し て 含 ま れ て い な い か ら,∀xF(x)

置 き か え た と き,∀xG(x)は

か も,yは

用 い,∀xF(x)と

置 き か え て 得 ら れ る 論 理 式 をA1と

と す れ ば,こ

∀xF(x)を

も つ ∀xG(x)と

い う 論 理 式 が 含 ま れ て い た と き,xと

∀xF(x)に

そ の ま ま の 形 でF(y)に

含 ま れ て お らず,し

も 含 ま れ て い な い の で,定

が 証 明 で き る こ と が わ か り,F(y)の

含 まれ て

た がっ て,∀xF(x)の

理3.3に

一 部 分 の ∀xG(x)を

よっ て

さ ら に ∀yG(y)で

一

置 きか え る こ とに よ っ てA1か

ら得 られ る論 理 式 も,も

との 論 理 式Aと

同値

で あ る とい う こ とに な る.   い ま,変 数xが

論 理 式Aに

数 を もち 論 理 式Aに れ るxは

束 縛 変 数 と し て 含 ま れ て い る と し,xと

現 わ れ な い 変 数yを1つ

そ の ま まに し て,Aに

数xが

論 理 式Aに

に 束 縛 変 数 と して 含 ま れ るxの い 変 数yで

の定 理3.4が

す べ て を,xと

任 意 の 論 理 式A,お

成 り立 つ こ とが わ か る:

同 じ階 数 を も ちAに す る.A*はAと

よび,変 数xと

現わ れな

同値 で あ る.

存 在 す る:

の違 い は,束 縛 変 数 と して 用 い られ て い る 変 数 の 違 い だ け で

あ っ て,1)し か もA*とAは   2° A*の

中

同 じ階 数 を もつ 任 意 の 対 象

式tが 与え ら れ た と き,次 の条 件 を 満 た す 論 理 式A*が   1° A*とAと

外側 のほ う

束 縛 変 数 と して 含 ま れ て い る と き,Aの

置 き か え て 得 られ る論 理 式 をA*と

  定 理3.5 

自由変数 として含 ま

束 縛 変 数 と して 含 ま れ て い るxを

か ら順 にyに 置 き か え て い け ば,次   定 理3.4変

選 び,Aに

同 じ階

同値 で あ る.

中 の 自由 変 数xに

対 象 式tを 代 入 す る とき の付 帯 条 件 は 満 た され

て い る.   証 明  Aの

中 の 自 由変 数xに

対 象 式tを 代 入す る と き の 付 帯 条 件 が 満 た さ

れ て い る とき に は,A自

身 をA*と

  Aの

対 象 式tを

中 の 自 由 変 数xに

と きに は,Aの

中 の 自 由 変数xの

い る変 数uがAの

こで,Aの

得 ら れ る論 理 式 をA*と 作 り方,な

 1)  論 理 式A*の

す べ て をtで 置 き か え た と き,tに

∀uが 論 理 式Aの

も 対 象 式tに

す れ ば,そ

らび に 定 理3.4に

もつ こ の性 質 は,こ

す べ て を,uと

も 含 まれ な い 変 数υ で 置 きか え て

のA*は

定 理 の 条 件2° を 満 た す.ま た,

よ っ て,こ のA*は

条 件1° も満 た し て い

ん ご殆 ん ど利 用 す る こ とは な い.た

か ら 得 られ る範 囲 に,以 下 の よ うな 性 質 を もつ 論 理 式A*が ので あ る.

含 まれ て

中 に い くつ か 現 わ れ て い な け れ ば な

中 に 束 縛 変 数 と し て含 まれ て い るuの

同 じ階 数 を もち,論 理 式Aに

A*の

代入す る ときの 付 帯条 件 が満 た されな い

中 の い くつ か の 場 所 で 束 縛 変 数 に な る.し た が っ て .そ の

変 数 に よ る全 称 作 用 素 ら な い.そ

す れば よ い.

だ,こ

の 程 度 の 変 形 でA

存 在 す る,と い う事 実 に 重 要 性 を 認 め る

る(証 明 終 わ り).   定 理3.5の

論 理 式AをF(x),A*をF*(x)と

の 中 のxにtを xにtを

代 入 し てF(t)を

代 入 し てF*(t)を

同 値 で あ る,と あ る.論

作 る こ と は 許 さ れ る.し

  い ま,1つ

い う の が 定 理3.5で

い う論 理 式 は 一 意 的 に は 定

証 明 に お け る 変 数 υ の 選 び 方 に よ っ て も,F*(x)は れ 以 外 に も,F*(x)の

の 論 理 式F(x)に

F1*(x),F2*(x)と

中の

か もF*(x)はF(x)と

存 在 す る,と

与 え ら れ て も,F*(x)と

理3.5の

な る で あ ろ う し,そ

あ る か ら,論

作 る こ と が 許 さ れ な く て も,F*(x)の

い う よ う な 論 理 式F*(x)が

理 式F(x)が1つ

ま ら な い.定

表 わ す こ と に す れ ば,F(x)

異

作 り方 は い ろ い ろ と 考 え ら れ る.

対 す る 論 理 式.F*(x)の

す る と,F1*(x)もF2*(x)も

うち の 任 意 の2つ

同 一 の 論 理 式F(x)に

を

同値 で

理式

は 証 明 で き,推 論 規 則2に

も 証 明 で き,公

理Ⅲ.1に

よって

よ って

が 証 明 で き る.す な わ ち,F1*(t)とF2*(t)は

同 値 に な る.

  自 由変 数 へ の 対 象 式 の 代 入 に つ い て の 省 略 表 現   変 数xと 対 象 式tが

同 じ階 数 を も っ て い て も,論 理 式F(x)の

代 入 す る こ と は 必 ず し も許 さ れ な い が,F(x)と 同 値 類 の 中 に は,xにtを す る.し か も,F*(x)の す 同 値 類 は,論 象 式tだ

同 値 な 論 理 式 の 全 体 か らな る

代 入 す る こ と の許 さ れ る 論 理 式F*(x)が 中 のxにtを

理 式F*(x)の

選 び 方 に は 関 係 な く,F(x)の

い う記 法 に よ っ て代 表 す る.F(x)の

こ とが 許 さ れ る場 合 に は,F(t)は の 代 入 が 許 さ れ な い 場 合 に は,F(x)の 得 られ るF*(x)のxにtを

必ず存 在

代 入 して 得 ら れ る論 理 式F*(t)の

け に よ っ て 定 ま る.わ れ わ れ は,論 理 式F*(t)の

式 を 単 にF(t)と

中 のxにtを

属

属 す 同値 類 と対 属 す 同値 類 の論 理

中 のxにtを

代 入す る

そ の 代 入 の 結 果 そ の もの を 意 味 す る が,そ 中 の い くつ か の束 縛 変 数 を 書 き かえ て

代 入 したF*(t)をF(t)と

略 記 す る も の とす る

の で あ る.こ

の よ うな 論 理 式F(t)は,論

的 に は 定 ま ら な い が,そ   こ ん ご,論 F(x)か

中 のxに

ら略 記 法 と し て のF(t)を

述 べ た'代

入'と

対 象 式tを

ら ば,ど

る の で あ る.た

対 して 一 意

代 入 す る,と

い う と き に は,

作 る こ と を も 含 め て 意 味 す る も の とす る.

い う言 葉 を 広 い 意 味 に 理 解 す る と き に は,も

入 に つ い て の 付 帯 条 件'を

つ 対 象 式tな

対 象 式tに

れ ら は す べ て 互 い に 同 値 に な る.

理 式F(x)の

こ の よ う に,'代

理 式F(x)と

考 慮 す る 必 要 は な い.xと

ん なtもF(x)の

と え ば,公

中 の 自 由 変 数xに

は や1.4に 同 じ階 数 を も

代 入 す る こ とが で き

理Ⅲ.1

(*) 

∀xF(x)→F(t)

に お け るtも,xと

同 じ階 数 を もつ 任 意 の 対 象 式 と考 え る こ とが で き る.本 来

の 意 味 で はF(x)の

中 のxにtを

代 入 す る こ とが 許 され な い 場 合,論 理 式(*)

そ の も の は 公 理 で は な い が,証 明 で き る 論 理 式 とな る.   定 理3.6 

論 理 式F(x)が

証 明 で き る と き は,F(x)の

xと 同 じ階 数 を もつ 任 意 の 対 象 式tを

中 の 自 由変 数xに,

代 入 して 得 られ る論 理 式F(t)も

証 明で

き る.  証 明

推論規則2

論 理 式(*)

(証 明 終 わ り)

  3.5  仮 定 を も つ 推 論  ま え の2.3で

説 明 した よ うに,論 理 式

が 証 明 で き る こ と を 仮 定C1,C2,…,Cnの

も と で 論 理 式Aが

証 明 で き る とい

が 証 明 で き る とい う の と 同 じ こ と で あ る と い う こ と も,2.7の

最 後に述べ た通

うの で あ っ た.そ

りで あ る.

し て,そ

れが

  定 理3.7  も 変 数xが ば,論

仮 定C1,C2,…,Cnの

も と で 論 理 式F(x)が

仮 定C1,C2,…,Cnの

理 式 ∀xF(x)も

証 明 で き て,し

か

い ず れ に も 自 由 変 数 と して 含 まれ て い な け れ

ま た 同 じ仮 定 の も と で 証 明 で き る.

をCと

 証明 論理式 

表 わ せ ば,証

明すべ き ことは

とい う推 論 法 則 が 成 り立 つ こ とで あ る.変 数xが 仮 定C1,C2,…,Cnの

いず れ

に も 自 由 変 数 と して 含 ま れ て い な い とい う こ とは,xがCに

自 由変 数 と し て

含 ま れ て い な い とい う こ とだ か ら,証

述 べた 推論 法則

3.1に

ほ か な らな い(証 明 終 わ り).

  定 理3.7の 合,自

内 容 的 意 味   論 理 式 を 内 容 的 に 解 釈 して 命 題 の表 現 とみ なす 場

由 変 数 は 任 意 の 対 象 を表 わ す 記 号 と考 え る―

はn階 合,論

明す べ き こ と は3.1に

の 任 意 の対 象 を 表 わ す の で あ る.た 理 式F(x)が

F(x)が

仮 定Cの

れ が,1.6に

も と でF(x)が

の変 数 で あ る 場

中 の 自 由 変 数xがn階

の どん な 対

また 正 しい 命 題 を 表 わ す も の と考 え

述 べ た 推 論 規 則2の

も と で 論 理 式F(x)が

  仮 定Cの

の変数

正 しい 命 題 を 表 わ す こ とに な る.し た が っ て,

証 明 で き る場 合 に は,∀xF(x)も

て よい.こ

とえ ば,xがn階

証 明 で きれ ば,F(x)の

象 を 表 わ す と して も,F(x)は

くわ し くは,n階

内 容 的 意 味 で あ る.し か し,あ る

証 明 で き た場 合 に は,情 況 は や や 異 な る:

証 明 で き る とは,論 理 式 C→F(x)

が 証 明 で き る こ と で あ る.一 般 に は,仮 定Cの

中 に もxが

自 由変 数 と し て含

ま れ て い る可 能 性 が あ る の で,こ れ を C(x)→F(x) と表 わ し て お こ う.そ して,こ

れ が 証 明 で き た 場 合 に は,xが

っ て も,こ れ は 正 し い 命 題 を 表 わ す の で あ るが,C(x)の F(x)の

中 の 自 由 変 数xと

っ て,仮 定C(x)が 定C(x)の

どん な 対 象 で あ

中 の 自 由 変 数xと

は 同 じ対 象 を 表 わ して い な け れ ば な ら な い.し

固 定 さ れ て い る場 合 に は,F(x)の

たが

中 の 自 由 変 数xは,仮

中 の 自 由 変 数 が 表 わ す 対 象 と 同 じ 対 象 を 表 わ す と い う意 味 に お い

て,1つ

の固 定 さ れ た 対 象 を 表 わ す も の と考 え な け れ ば な らな い.い わ ば 仮 定

C(x)の

中 に 自由 変 数 と して 含 ま れ て い るxは

え な け れ ば な らな い の で あ る.xが

結 論F(x)の

中 で は 定 数 と考

変 数 と考 え られ る の は,完 全 な る論 理 式 C(x)→F(x)

に お い て で あ っ て,仮 定C(x)か

ら切 り離 され たF(x)の

は い か な い.た だ,仮 定Cがxを Cと 切 り離 され たF(x)の 理3.7の

み に お い て は,そ

う

自由 変 数 と し て 含 ま な い 場 合 だ け は,仮 定

中 で もxを'変

内 容 的 意 味 で あ り,ま た,述

数'と 考 え る こ とが で き,そ

語 論 理 の 公 理Ⅲ.2の

れ が定

内容的 意味 で もあ

った.

  2.3で 述 べ た よ うに,い か な る仮 定 の も とで も公 理 は 証 明 で き る の で あ った し(定 理2.5),い 理2.8).定

か な る 仮 定 の も と で も 推 論 規 則1は 成 立 す る の で あ っ た(定

理3.7に

  変 数 条 件   変 数xは

よれば 仮 定 の 中 に 自 由 変 数 と して 現 わ れ な い

とい う条 件 つ き で,い か な る仮 定 の も とで も

 推論規則2 が 成 立 す る.[本

来 の推 論 規 則2は,仮

あ るか ら,上 記 の'変 数 条 件'は

定 が1つ

もない場 合 につ いて の規 則で

本 来 の 推 論 規 則2を な ん ら拘 束 す る も の で は

な い.]  公 式3.15

 証明 仮定 

の も と で,論

理 式 ∀xG(x)を

証 明す

れ ば よ い:

定 理3.7

(証 明 終 わ り)  公 式3.16

の も と で 

 証明 仮定 

を証 明すればよ

い:

公 式3.15

(証 明 終 わ り)  公 式3.17  公 式3.18   問   公 式3.17,公

式3.18を

証 明 せ よ.

  任 意 の 仮 定 の も とで す べ て の 公 理 が 証 明 で き,'変 数 条 件'の も とで の み 推 論 規 則2を 用 い る と い う条 件 つ き で,2つ

の 推 論 規 則 の い ず れ もが 任 意 の仮 定 の

も とで 成 立 す る と い う こ とか ら,こ れ ま で に 述 べ て きた 推 論 法 則 や,論 理 式 の 証 明 可 能 性 に つ い て の 諸 定 理 の す べ て が,束 縛 変 数 に つ い て の適 当 な 配 慮 の も とで は,任 意 の 仮 定 の も とで 成 立 す る,と 結 論 す る こ とが で き る.   束 縛 変 数 に つ い て の 適 当 な 配 慮 と は,た え ば,そ

と え ば2.5の

定 理2.15に

つ い て言

の定理 を

  A≡Bな

らば,仮

定 の 中 に 自由 変 数 と して 含 ま れ な い 任 意 の変 数xに 対 し

て ∀xA≡ ∀xB と読 み か え る こ と を 言 うの で あ る.こ の よ うな 読 み か え を 必 要 とす る もの は, これ 以 外 に,推 論 法 則3.1,3.2お い て も,そ

こにC1,C2,…,Cnと

よび 定 理3.1,3.6で

あ る[定 理3.7に

書 か れ て い る 仮 定 の ほ か に,さ

つ

らに 別 の仮

定 が あ る とす れ ば,や は り同 様 の読 み か え が 必 要 とな る].   あ る仮 定 の も とで の 推 論 を お こな うと き,そ の 仮 定 の な か に 自由 変 数 と して 含 まれ て い る 変 数 を 定 数(constant)と

よび,一

時 的 に で も変 数 か ら除 外 し て考

え て お くこ と に す れ ば,上 記 の よ うな 配 慮 は 自動 的 に お こな わ れ て し ま う こ と に な る.

4.  等 号 を もつ述 語 論理

  4.1  等 号 の 基 本 性 質   論 理 式s=tは,sとtと

が 同 じ階 数 を もつ 対 象 式 で あ る と き に のみ 定 義 さ

れ て い る.す な わ ち,sとtがn階

の対 象 式 で あ る 場 合 に は,s=tは

とい う論 理 式 の 略 記 法 で あ っ た.  公 式4.1 

x=x.

  証 明   xをn階

で あ る が,こ

の 変 数 と す れ ば,証

れ は 公 式2.1と

推 論 規 則2(1.6)に

  公 式4.2  こ こ でF(x)お

明すべ き論理式 は

x=y→(F(x)→F(y)), よ びF(y)は,或

る 論 理 式F(u)の

yを 代 入 し て 得 られ る 論 理 式 を 意 味 す る.言 の 中 の 自 由 変 数xの

い くつ か だ け をyに

の 中 に 新 し く現 わ れ たyは,す F(x)の

中 の 自 由 変 数xの

  証 明   変 数u,x,yの れ な いn+1階

す べ て にyを 階 数 がnで

の 変 数 の1つ

論 法 則3.2に

中 の 或 る 自 由 変 数uにxと

い か え ば,論

理 式F(y)は,F(x)

置 き か え た も の で よ く[た だ し,F(y)

べ て 自 由 変 数 に な っ て い な け れ ば な ら な い が], 代 入 し た も の で あ る 必 要 は な い.

あ る と き に は,F(u)に

を υ と し,x=yの

とす る こ とに よ り

が 証 明 で き,推

よ り 明 ら か(証 明 終 わ り).

よ り

自由 変 数 と して 含 ま

定義 を用 い て

が 証 明 で き る こ と が わ か る.こ 包 の 公 理'と

こ で 

が1.5のⅣ.に'内

し て 挙 げ た も の に な っ て い る こ と に 注 意 す れ ば,公

式4.2が

得ら

れ る(証 明 終 わ り).   等 号 を も つ 述 語 論 理(predicate 論 理 の 諸 性 質 に 加 え て,上 う の で あ る.等 ら び に,公

with

記 の 公 式4.1お

equality)と

は,命

よ び 公 式4.2の

題 論 理 ・述 語

成 り立 つ 範 囲 を い

号 に つ い て の 一 般 的 性 質 を 導 く限 りに お い て は,=の

式4.2の

  定 理3.6に

logic

証 明 に 用 い た'内

よ れ ば,任

包 の 公 理'を

意 の 対 象 式tに

  (1) 

定義

な

再 び 利 用 す る こ と は な い.

対 して

t=t

と い う形 の 論 理 式 が す べ て 証 明 で き る と い う こ と を,公 と が で き る.同

様 に,公

式4.2か

ら は,同

式4.1か

ら結 論 す る こ

じ 階 数 を も つ ど ん な 対 象 式sとtに

対 して も   (2) s=t→(F(s)→F(t)) と い う形 の 論 理 式 が 証 明 で き る こ と が わ か る.し の を 除 き,公 3.6を

用 い な が ら,そ

  ま た,公 理3.6に

式 は 主 と し て'変

式4.2に

数'に

た が っ て,今

後 は,特

つ い て 書 き 表 わ す こ と に し,適

殊なも

宜 に 定理

れ を 利 用 す る も の と す る. お け るxとyを

相 異 な る 変 数 と し て お い て も,そ

よ っ て 得 ら れ る 論 理 式(2)に

象 式 で あ る 必 要 は な い.し

お け るsとtは,必

た が っ て,今

れ か ら定

ず し も相 異 な る対

後は

x,y,z,u,υ,… 等,異

な る 文 字 で 表 わ さ れ て い る 変 数 は す べ て 互 い に 相 異 な る も の と し,そ

旨 は い ち い ち 断 わ ら な い.む 可 能 性 の あ る 場 合 に,そ

し ろ,相

異 な る文 字 が 同一 の変 数 を 表 わ し て い る

の 点 を 明 記 す る こ と に す る.

  公 式4.3 

x=y→y=x.

  証 明   u=xをF(u)と

し て 公 式4.2を x=y→(x=x→y=x).

し た が っ て[推

論 法 則2.5に

よ り]

の

用いると

x=x→(x=y→y=x).

公 式4.1に

よ り公 式4.3が

  公 式4.4 

得 ら れ る(証 明 終 わ り). x=y∧y=z→x=z.

  証 明   x=uをF(u)と

し て 公 式4.2を

用いると

y=z→(x=y→x=z). あ と は,こ

れを y=z∧x=y→x=z, x=y∧y=z→x=z

と 変 形 す れ ば よ い(証 明 終 わ り).   公 式4.2と

公 式4.3を

組み 合わ せ れば

  公 式4.5 が 得 ら れ る.   公 式4.5に

お け るF(x)とF(y)は,公

論 理 式F(u)の

式4.2に

中 の 自 由 変 数uにxお

っ て,F(y)の

中 にxが

よ びyを

お け る の と 同 様 に,或

代 入 し た 結 果 を 意 味 し,し

自 由 変 数 と し て 含 ま れ て い る こ と も,F(x)の

が 自 由 変 数 と し て 含 ま れ て い る こ と も あ り得 る.し

る たが

中 にy

か し,F(x)やF(y)に

す る こ の よ う な 意 味 づ け は 例 外 的 な も の で あ る と 考 え,今

後,変

対

数x,y,…

に 対 して F(x),F(y),… の よ う な 表 記 を 同 時 に 使 用 す る 場 合 に は,F(x)の にyを

代 入 す れ ばF(y)が

を 代 入 す れ ばF(x)が と し,そ

得 ら れ る,等

定 理3.6を

式4.2や

す べ て にx

々 の 条 件 は 自動 的 に 満 た され て い る も の

公 式4.5のF(x)とF(y)を

も この よ うに 考 え た と して も,

用 い て これ ら の公 式 を 実 際 に 運 用 す る場 合 に は,こ

た げ に も な らな い.と 式 を もxとyに

  公 式4.7

中 の 自 由 変 数yの

すべ て

の こ と は い ち い ち 断 わ ら な い.

  じつ は,公

  公 式4.6

得 ら れ,F(y)の

中 の 自 由 変 数xの

い うの は,xやyと

の制 限は なん のさ ま

同 じ階 数 を もち さ え す れ ば,ど

代 入 す る こ とが で き る か ら で あ る.

ん な対 象

  問   公 式4.6と

  4.2 ∃!に

公 式4.7を

証 明 せ よ.

つ いて

  論 理 式∃xF(x)の

内 容 的 解 釈 は'F(x)を

成 り立 た せ るxが 少 な く と も1つ

存 在 す る'と い うこ とで あ る.そ れ に 対 して'F(x)を も1つ

しか 存 在 し な い'と い う こ と は,た

成 り立 た せ るxが 多 く と

とえば

と い う論 理 式 で 表 わ され る.し た が っ て,こ れ らを 組 み 合 わ せ た 論 理 式  (*)

は'F(x)を

成 り立 た せ るxが た だ1つ 存 在 す る'と い うこ とを 意 味 す る こ とに

な る.こ の よ うに し て 作 られ た 論 理 式(*)を∃!xF(x)と   ∃!xF(x)の

定 義(*)を

略 記 す る.

見 れ ば わ か る よ うに,∃!xF(x)に

変 数 が 使 わ れ て い る.し た が っ て,く わ し くは,変 数yを1つ に∃!xF(x)と

はyと い う束 縛 指 定す る こと

表 わ さ れ る 論 理 式 が1つ ず つ 定 ま るわ け で あ る.し か し,こ

よ うに し て 定 ま る論 理 式 は す べ て 互 い に 同値 に な るか ら(定 理3.2),こ

の

れ らを

と くに 区 別 す る必 要 は な い.  公 式4.8  証 明  (1)  (2)

と い う2つ の論 理 式 を 証 明す れ ば十 分 で あ る.   (1)の

証明

す な わ ち,仮

定F(x),∀x(F(x)→A(x))の

も と で∃x(F(x)∧A(x))が

証明

で き る.言 い か え れ ば,論

が 証 明 で き,推  (2)の

理式

論 法 則3.2に

よ り(1)が

証 明   ま ず,3つ

の も と でA(z)を

得 ら れ る.

の仮定

証 明 す る:

公 式4.2

し た が って,論 理 式

が 証 明 で き,推

論 法 則3.1に

が 証 明 で き る.こ

が 得 ら れ,推

こで,束 縛 変 数 の 書 きか え と仮 定 の 書 き方 の 変 更 を す れ ば

論 法 則3.2に

が 証 明 で き る.そ

よ り

し て,こ

よ り

の 式 の 仮 定 の 順 序 を 入 れ か え た も の が(2)で

ある

(証 明 終 わ り).   問1 'F(x)を

成 り立 た せ るxが

多 くと も1つ

しか 存 在 し な い'と い う こ とは

と表 わ す こ と も で き る.1)こ の 論 理 式 が

と 同値 で あ る こ とを 示 せ.  1)  変 数yはF(x)に

に お け るyの よ うに,と い 場 合 に は,あ

自 由変 数 とし て 含 まれ て い ない もの とす る.今 後 は,こ

くに 着 目 され て い る 変 数 がF(x)に

らか じ めF(x)をF(x,y)の

の論 理 式

自 由 変数 と して 含 ま れ て い るか も しれ な

よ うに 表 わ し て お く もの とす る.

 問2 ∃!xF(x)が

お よび

と 同値 で あ る こ とを 示 せ.   問3 'F(x)を

と も,ま

成 り立 た せ るxが 多 く と も2つ

しか 存 在 しな い'と い う こ とは

た

と も表 わ す こ とが で き る.こ の2つ   問4 'F(x)を

の 論 理 式 が 同 値 で あ る こ とを 示 せ.

成 り立 た せ るxが

ち ょ う ど2つ だ け 存 在 す る'と い う こ との 論 理 式 に

よ る種 々の 表 現 を考 え てみ る こ と.

  4.3 ι‐

記

号

  論 理 式∃!xF(x)に 題F(x)を

よ っ て表 わ さ れ て い る命 題 が 正 しい と き,す

成 り立 た せ る 対 象xが

の よ うな 対 象xの

こ と を,ギ

存 在 し,し か もた だ1つ

な わ ち,命

に 確 定 す る と き,そ

リシ ャ文 字ι(イ オ タ)を 用 い て ιxF(x)

と 表 わ す.xがn階 る'n階

の変 数 で あ れ ば,ιxF(x)は

命 題F(x)か

ら一 意 的 に 定 ま

の 対 象'を 表 わ し て い る.

  こ の よ うな 表 現 法 に 用 い る記 号'ι'は,1.1に

述 べ た'わ れ わ れ の 形 式 的 体

系 に お け る 記 号'の な か に は 含 まれ て い な か っ た.そ

な ど の 場 合 と 同様 に,一

種 の略 記 法 と し て,ιxF(x)と

こで,わ れ わ れ は

い う形 の 表 現 を 一 部 に

含 む 論 理 式 を 用 い よ う と思 う.   内 容 的 な 解 釈 に お い てιxF(x)と

表 わ さ れ る対 象 は,命

題∃!xF(x)が

正し

い と きに の み 存 在 す る の で あ る.こ の こ とに 対 応 し て,わ れ わ れ の 形 式 的 体 系 に お い て も,ιxF(x)と

い う表 現 は 論 理 式∃!xF(x)が

み 用 い る も の とす る.し た が って,ιxF(x)と そ の と き は,論 で あ る.

理 式 ∃!xF(x)が

証 明 で き る とき に の

い う表 現 が 用 い られ て い れ ば,

証 明 で き る こ とが す で に 前 提 と さ れ て い る の

  次 に,そ

の 使 用 法 に つ い て 述 べ よ う.

  ιxF(x)と い う表 現 の 使 用 法 とは,xと

同 じ階 数 を もつ 自由 変 数uにιxF(x)

を 代 入 す る こ とに よ っ て 論 理 式A(u)か

ら得 られ る表 現

  (1)  が,わ

A(ιxF(x))

れ わ れ の形 式 的 体 系 に お け る ど の よ うな 論 理 式 を 意 味 す るか とい う,そ

の 意 味 づ け に ほ か な らな い.   わ れ わ れ は,(1)と の 対 象xが,命

い う表 現 に よ って"命 題F(x)を

題A(u)を

成 り立 た せ る対 象uの

成 り立 た せ る た だ1つ

うち の1つ に な って い る"と

い う命 題 を 表 わ そ うと して い る の で あ る.こ の 命 題 は   (2) と も,ま

た

  (3)

と も表 わ せ る.そ して,表

現(1)を

  1° 公 式4.8に (3)は

こで,わ れ わ れ は,論 理 式(2)あ

るい は(3)の

略記法と

用 い る こ とに す る. よれ ば,∃!xF(x)が

証 明 で き る 場 合 に は,論 理 式(2)と

同 値 に な るか ら,(1)が(2)を

意 味 す る か(3)を

意 味 す る か は,

そ の 時 に 都 合 の よい ほ うを 採 用 す れ ば よい.   2° 定 理3.2お (2)や(3)に ば,A(u)に

よび 定 理3.3に

よ れ ば,あ

お け る束 縛 変 数uと

る程 度 の条 件 が 満 た され る限 り,

し て ど ん な 変 数 を 用 い て も よい.た

お け る 自 由 変 数uとA(x)に

お け る 自 由変 数xが

とえ

同 じ場 所 を 指 示

して い る な らば,(2)や(3)を

と表 わ し て も よい.ま た,xとuが 数 と して 含 みA(u)がxを

異 な る変 数 で,し

か もF(x)がuを

自 由変

自 由 変 数 と し て 含 む 場 合 に は,F(x)とA(u)の

い

ず れ に も 自 由変 数 と し て 含 ま れ て い な い 変 数 υを 用 い て お よび と表 わ さ れ た も の を,そ れ ぞ れ(2)お て,こ

よび(3)と

の よ うな 束 縛 変 数 の変 更 は,略 記 法(1)に

考 え る こ とに す る.そ 何 の 変 化 を も与 え な い.

し

  3° 論 理 式(2)に F(x)に

し て も(3)に

し て も,そ

含 まれ るx以 外 の 自 由 変 数 とA(u)に

る.よ っ て,わ れ わ れ は,表 現ιxF(x)に に す る.く わ し くは,ιxF(x)に F(x)に

こに 含 ま れ る 自 由変 数 は,

含 まれ るu以 外 の 自 由変 数 で あ

お け る 変 数xを

お け る束 縛 変 数 とは,変

お け る束 縛 変 数 で あ り,ιxF(x)に

束縛 変数 とよぶ こと 数xな

らび に 論 理 式

お け る 自 由変 数 とは,F(x)に

含ま

れ るx以 外 の 自 由変 数 で あ る.こ の よ うな 言 葉 づ か い を す る こ とに す れ ば,論 理 式(2)や(3)に

現 わ れ る 自 由変 数 は,略 記 法(1)に

由 変 数 と して 示 され て い る こ と に な る.ま

た,ιxF(x)に

お い て も完 全 に 自 お け る束 縛 変 数xを

他 の 変 数 に 置 き か え て も,適 当 な条 件 を 満 た して い さ えす れ ば,略 記 法(1) の 意 味 に変 化 は な い.

  4.4 ι‐記 号 の 使 用 法 に つ い て の 諸 定 理   わ れ わ れ は,あ

る 条 件 の も と で,論 理 式A(u)の

入 し て 得 られ る表 現A(ιxF(x))を,論

自 由 変 数uにιxF(x)を

代

理式 また は

の略 記 法 と し て用 い る こ とに した.し か し,そ こ に は,い 性"が

くつ か の"あ い まい

ま だ 残 さ れ て い る.そ の 問 題 点 を 列 挙 して み れ ば,そ れ は,次

Ⅱ),Ⅲ)の3つ

の Ⅰ),

に 集 約 さ れ る.

  Ⅰ)  そ の 第1は'論

理 式 の 形'に 関 係 して い る.論 理 式A(u)が

論理 記 号を

含 む 場 合,A(u)は

と い う形 の い ず れ か を し て い る.た ιxF(x)を

と え ば￢B(ιxF(x))を,￢B(u)のuに

代 入 し た も の と 考 え れ ば,そ

れは

また は の こ と で あ る が,￢B(ιxF(x))をB(ιxF(x))の

否 定 と み な せ ば,そ

れは

また は の こ と に な る.   こ の よ うな 解 釈 の 多 義 性 を 問 題 に す る必 要 の な い こ とは,以

下 に 述 べ る定 理

4.2に

よ っ て わ か る.

  Ⅱ)  第2の

問 題 は,広

に 言 え ば,1.5に

く 言 え ば'公

述 べ た'述

変 数 へ の 対 象 式 の 代 入'に

理 と 推 論 規 則 の 運 用'に

語 論 理 の 公 理'の

関 連 し て い る.そ

第1の

関 連 し,具

体的

も の に 必 要 と な る'自

由

れ は:

A(ιxF(x,υ),υ) と 略 記 さ れ る 論 理 式 の 中 の 自 由 変 数υ に 対 象 式tを

代 入 した 結 果 を

A(ιxF(x,t),t) と 表 わ し て よ い だ ろ うか?こ ιxF(x,t)を

の 第2の

表 現 は,A(u,t)と

代 入 し た も の と も 思 え る,と

  こ れ に つ い て の 定 理 が 定 理4.3で

い う論 理 式 のuに

い う問 題 で あ る.

あ る.

  Ⅲ)  最 後 の 問 題 は,ι‐ 記 号 に よ る 略 記 法 を 採 用 す る 以 上,Ⅱ)に 象 式 の 代 入'に

述 べ た'対

つ い て の 問 題 と ま っ た く 同 様 な 問 題 が'ι‐表 現 の 代 入'に

も 起 こ り得 る,と

い う こ と に 関 連 し て い る.す

ついて

な わ ち:

A(ιxF(x,υ),υ) と 略 記 さ れ る 論 理 式 の 中 の 自 由 変 数υ にιyG(y)と

い う表 現 を 代 入 し た 結 果 を

A(ιxF(x,ιyG(y)),ιyG(y)) と 表 わ し て よ い だ ろ うか?こ

の 第2の

表 現 は,

A(u,ιyG(y)) のuにιxF(x,ιyG(y))を

代 入 し た も の と も 思 え る,と

  こ れ に つ い て の 定 理 が 定 理4.4で

  定 理4.1 ∃!uF(u)が

い う問 題 で あ る.

あ る.

証 明 で き,し

か も 論 理 式Aがuを

自 由 変 数 と して 含

んで いな ければ

 証 明  ∃!uF(u)が

証 明 で き れ ば,も

ち ろ ん ∃uF(u)も

証 明 で き るか ら

(証 明 終 わ り)   論 理 式A(u)がuを

自 由変 数 と して 含 ん で い な い と き は,表 現

A(ιxF(x)) と は 論 理 式A(u)そ

の も の で あ る が,こ

の よ うな 場 合 に も,こ

れを

∀u(F(u)→A(u))

の 略 記 表 現 と考 え て よい こ と の 妥 当 性 を 定 理4.1は

表 明 して い る.

  定 理4.2   1°   2°

  3°F(u)がυ

を 自由 変 数 と し て含 ん で い な け れ ば

 証 明  略(す

べ て 容 易 で あ る).

  定 理4.2の1°

の 意 味 は,す

  定 理4.2の2°

の 意 味:2つ

ぐ前 のⅠ)で

述 べ た.

の論 理式

B(ιxF(x)), 

C(ιxF(x))

か ら得 られ 論 理 式 B(ιxF(x))→C(ιxF(x)) は,論

理 式B(u)→C(u)のuに

ιxF(x)を 代 入 し て得 られ る論 理 式 と同 値 で

あ る.   定 理4.2の3°

の意 味:論

理式 B(ιxF(x),υ)

の 前 に 全 称 作 用 素 ∀υを つ け て 得 られ る論 理 式 ∀υB(ιxF(x),υ) は,論

理 式 ∀υB(u,υ)の 中 の 自 由 変 数uにιxF(x)を

式 と 同 値 で あ る.こ ιxF(x)に

こでuとυ

代 入 し て 得 られ る論 理

が 異 な る とす る の は 言 う まで もな い が,υ

が

自 由 変 数 と して 含 ま れ て い な い とい う条 件 が 必 要 で あ る.

  こ の 最 後 の'条 件'が 自動 的 に 満 た さ れ る よ うに す るた め に,ι‐ 表 現 の 代 入 に つ い て も,次 の'付 帯 条 件'を つ け る.   ι‐ 表 現 の 代 入 に つ い て の付 帯 条 件  υ を 自 由 変 数 と し て 含 む 表 現ιxF(x,υ)

 を 論 理 式A(u)の

中 の 自由 変 数uに

代 入 す る 場 合,A(u)の

全部 また は

一 部 分 と し て 現 わ れ る ∀υB(u,υ)と い う形 の 論 理 式 の 中 の 自 由 変 数uに ιxF(x,υ)が 代 入 さ れ る よ うな こ とが あ っ て は な ら ない. この 付 帯 条 件 の ゆ え に,自

由変 数υ を 含 むιxF(x,υ)に

対す る

∀υB(ιxF(x,υ),υ) と い う表 現 は,∀υB(u,υ)の と は で き な い.そ

中 のuに

ιxF(x,υ)を

代 入 し た もの と解 釈 す る こ

れ は, B(ιxF(x,υ),υ)

と 表 わ さ れ る 論 理 式,た

とえば ∀u(F(u,υ)→B(u,υ)),

の 前 に 全 称 記 号 ∀υ を つ け た

の よ うな も の と理 解 す る の で あ る.   この よ うに,論 こ とは,uとxが

理 式A(u)の

中 の 自 由変 数uに

ιxF(x)を 代 入 す る とい う

同 じ階 数 を もつ とい う条 件 の も と で も,ま った く 自 由に お こ

な え る もの で は な い.し か し,定 理3.4に ま った く同 様 に,A(u)の

よれ ば,定 理3.5を

証 明 した の と

中 の 束 縛 変 数 を 適 当 に 変 更 した 上 で,自

由変 数uの

す べ て に ιxF(x)を 代 入 し得 る よ うに す る こ と が で き る.そ し て,こ ん ごは, この よ うな 束 縛 変 数 の 書 きか え も 自動 的 に お こ な う もの と し,表 面 的 な 混 乱 が 生 じな い 限 り,上 記 の'付 帯 条 件'は 無 視 す る こ とに す る.   定 理4.3 

論 理 式A(ιxF(x,υ),υ)の

結 果 は,論 理 式A(u,t)の

中 の 自由 変 数υ に 対 象 式tを

中 の 自 由変 数uにιxF(x,t)を

代 入 した 結 果 と 同 じ

論 理 式 を 表 わ す と 考 え る こ とが で き る.た だ し,変 数uも 変数xも は 含 ま れ な い も の とす る.   証 明  ιxF(x,υ)と い う表 現 を 用 い る 以 上,論 理 式 ∃!xF(x,υ) が 証 明 で き る場 合 で あ る.し た が って,定 理3.6に ∃!xF(x,t)

より

代 入 した

対 象 式tに

も 証 明 で き,ιxF(x,t)と   uをυ

い う表 現 を 用 い る こ と も で き る.

と も 異 な る 変 数 と し,A(ιxF(x,υ),υ)は ∀u(F(u,υ)→A(u,υ))

を 意 味 す る も の と し よ う.そ

うす れ ば,こ

の 論 理 式 の 中 の 自 由 変 数υ にtを

代

入 した結果 は ∀u(F(u,t)→A(u,t)) と な り,そ

し て,こ

れ は,A(u,t)の

現A(ιxF(x,t),t)が

中 の 自 由 変 数uに

表 わ す 論 理 式 の1つ

  定 理4.3の

意 味 は,前

  定 理4.3の

証 明 の 中 で,∃!xF(x,υ)の

∃!xF(x,t)を

導 い た.∃!xF(x,υ)の

き に は,1.4に

の Ⅱ)に

述 べ た'代

代 入 した 表

に な っ て い る(証 明 終 わり).

述 べ た. 中 の 自 由 変 数υ

中 にυ

にtを

代 入 して

が 自由変数 として含 まれ てい る と

入 に つ い て の 付 帯 条 件'に

と い う条 件 が 必 要 に な る.こ

ιxF(x,t)を

の 条 件 を,ι‐表 現

よ り,tがxを

ιxF(x,υ)のυ

含 ま ない

にtを

代 入す る

と き の もの と し て 述 べ れ ば   ιxF(x,υ)の

中 の 自 由 変 数υ に 対 象 式tが

代 入 さ れ る と き,新

た に束 縛 変

数 の 個 数 が 増 加 す る こ とが あ っ て は な らな い と い う こ と に な る.こ

れ は,形

式 上,1.4に

の 対 象 式 の 代 入 に つ い て の 付 帯 条 件'と

お け る'論

理 式 の 中 の 自 由変 数 へ

同 じで あ り,ι‐ 表 現 を 含 む 論 理 式 の 略

記 表 現 の 中 の 自 由 変 数 へ の 対 象 式 の 代 入 に つ い て の 付 帯 条 件 で あ る.し こ の'付

帯 条 件'も

か し,

ま た,ι‐ 表 現 ιxF(x,υ)

に 使 わ れ て い る 束 縛 変 数xを の で,表

適 当 に 変 更 す る こ とに よ っ て 避 け る こ とが で き る

面 的 な 混 乱 の 生 じ な い 限 り,や

  定 理4.4 ∃!xF(x,υ)お

よ び ∃!yG(y)の

を 自 由 変 数 と し て 含 ま な け れ ば,次   1°   2°

は り無 視 す る こ と に す る. い ず れ も が 証 明 で き,ιyG(y)がx

の 形 に 表 わ さ れ る 論 理 式 は 証 明 で き る:

こ こ で,変

数υ は

ιyG(y)に

も ιxF(x,ιyG(y))に

自 由 変 数 と し て 含 ま れ ず,変

数uは

ιyG(y)に

も 自 由 変 数 と し て 含 ま れ て い な い も の と す る.

 証明   1°

∃!xF(x,υ)のυ

にιyG(y)を

代 入 し て 得 ら れ る ∃!xF(x,ιyG(y))は

論

理式

を 表 わ す も の と考 え て よ く(定 理4.2参

照),こ

の論 理 式 が 証 明 で き る こ と は,

∃!xF(x,υ)が 証 明 で き る こ とか ら,た だ ち に 結 論 さ れ る.   2°uとυ

が 異 な る変 数 で あ る と 仮 定 して も一 般 性 は 失 わ れ な い か ら

(証 明 終 わ り)   定 理4.4の1° し か もιyG(y)にxが

の 意 味:ιxF(x,υ)お

よび

ιyG(y)と

い う表 現 が 許 さ れ,

自 由 変 数 と し て 含 ま れ て い な け れ ば,ιxF(x,ιyG(y))と

い うの も 許 さ れ る 表 現 で あ る,と

い う こ と.

  こ こで もま た  

ιxF(x,υ)の xを

中 の 自 由 変 数υ

にιyG(y)が

代 入 さ れ る と き は,ιyG(y)は

自由変数 として含 ん でい ては な らない

と い う'代 入 に つ い て の 付 帯 条 件'が ιxF(x,υ)に

お け る 束 縛 変 数xを

課 せ られ る こ と に な る が,必

適 当 に 変 更 す る こ と に よ り,こ

る こ と が で き る.   定 理4.4の2°

の 意 味: A(ιxF(x,ιyG(y)),ιyG(y))

と い う表 現 を,

要 と あ らば, の条 件 を避 け

A(ιxF(x,υ),υ) のυ に ιyG(y)を

代 入 し た 結 果 と 解 釈 す れ ば,そ

を 意 味 す る と 考 え ら れ,ま

れは

た A(u,ιyG(y))

のuに

ιxF(x,ιyG(y))を

代 入 し た 結 果 と 解 釈 す れ ば,そ

を 意 味 す る と 考 え ら れ る.し る,と

い う の が,定

  定 理4.4の2°

か し,こ

理4.4の2°

の 二 様 の解釈 は 互い に同値 にな ってい

の 意 味 す る と こ ろ で あ る.

の 証 明 を,F(x,υ)がυ

別 な 場 合 に つ い て 見 て み れ ば,次

を 自 由 変 数 と し て 含 ま な い と い う特

の 定 理 が 得 られ る:

  定 理4.5 ιxF(x)とιyG(y)がuとυ

  定 理4.5の uを

れは

を 自 由変 数 と して 含 ん で い な け れ ば

意 味:ιxF(x)がυ

を 自 由 変 数 と し て 含 ま ず,ま

たιyG(y)が

自 由 変 数 と し て 含 ま な け れ ば, A(ιxF(x),υ)

のυ に ιyG(y)を

代 入 した 結 果 と A(u,ιyG(y))

のuにιxF(x)を

代 入 し た 結 果 と は 同 値 な 論 理 式 を 表 わ す.要

す る に,A(u,υ)

から A(ιxF(x),ιyG(y)) を 作 る と き,uへ

のιxF(x)の

代 入,υ

へ の ιyG(y)の

代 入,と

い う2種

類の

代 入 の 順 序 を 区 別 す る 必 要 は な い の で あ る.   定 理4.5の

特 別 な 場 合 と し て,ιxF(x)と

し て い る 場 合 を 考 え る と,A(u,υ)のuとυ

ιyG(y)と に ιxF(x)を

い う表 現 が 完 全 に 一 致 代 入 して

A(ιxF(x),ιxF(x)) を 作 る と き,uへ

の 代 入 とυ へ の 代 入 の,そ

の 代 入 の 順 序 は 問 題 に な ら な い.

そ れ で は,そ

れ は,A(u,υ)のυ

にuを

代 入 し た 結 果 のA(u,u)のuに

を 代 入 し た 結 果 と も 同 値 に な る で あ ろ うか?結 し て,そ

れ を 示 し て い る の が 次 の 定 理4.6で

  定 理4.6 

uとυ

が ιxF(x)に

果 的 に は,そ

ιxF(x)

れ は 正 し い.そ

あ る.

自 由 変 数 と し て 含 ま れ な い 相 異 な る変 数 で あ

れば

  証 明  ιxF(x)と い う表 現 を 用 い る 以 上,∃!xF(x)が

証 明 で き る こ とは 仮 定

さ れ て い る.ま た

で あ る か ら(4.2の

問2),新

し い 変 数aを

用 いた仮 定

の も とで 所 要 の 式 を 証 明 す れ ば よい(推 論 法 則3.2):

(証 明 終 わ り)

  4.5  対 象 式 の 概 念 の 拡 張   論 理 式∃!xF(x)が 内 容 的 に は,変

数xと

証 明 で き る と き に 用 い る略 記 法 の た め の 表 現 ιxF(x)は, 同 じ階 数 を もつ 或 る対 象 を 意 味 す る の で あ った.そ

こ

で,こ ん ご は,'対 象 式'と い う言 葉 に よ っ て ιxF(x)の よ うな 表 現 を も含 め て 意 味 す る こ とに し よ う.対

象 式 に 関 連 を もつ 公 理[1.5に

お け る述 語 論 理 の 公

理1.]   (1)  は,対

象 式tが

  公 式4.9 

∀uA(u)→A(t) ιxF(x)と い う表 現 で あ る場 合 に も成 り立 つ,す ∀uA(u)→A(ιxF(x)).

な わ ち:

  証 明   A(ιxF(x))を

論理式

∀u(F(u)→A(u))の

略 記 法 と 考 え れ ば,上

の

公 式 は 明 ら か で あ る(証 明 終 わ り).   と く にxが1階

の 変 数 で あ る 場 合 に は,ιxF(x)は

  (2)  は,そ

(ιxF(x))′, (ιxF(x))″,… れ ぞ れ,ιxF(x)の

し て い る.わ ぶ.そ

或 る 自然 数 を 表 わ し,

れ わ れ は,(2)に

し て,uが1階

合 に も,(1)の (ιxF(x))″

次 の 自然 数,ιxF(x)の

次 の 次 の 自 然 数,…

お け る よ う な 個 々 の 表 現 を も'対

の 変 数 で あ る 場 合 に は,tが

象 式'と

よ

こ の よ うな 対 象 式 で あ る 場

形 に 表 わ さ れ る 論 理 式 は す べ て 証 明 で き る.た の 場 合 に は,ま

を表 わ

と え ば,tが

ず

が 証 明 で き る こ とに 注 意 し,次 に 公 式4.9に

より

が 証 明 で き る とい うこ とが わ か り,そ れ に よ っ て

が 証 明 で き る こ と もわ か る.

  わ れ わ れ が 形 式 化 さ れ た 理 論 を 展 開 して い く と き の 基 礎 に 選 ん だ 公 理(1.5) と 推 論 法 則(1.6)の

な か で,対

論 理 の 公 理 の1.'と

し て述 べ た(1)と

て,そ

象 式 一 般 に 関 係 し て い る の は,じ

の 公 理 に お け る対 象 式tと

た 意 味 で の 対 象 式'の

い う形 を もつ 公 理 のみ で あ る.そ

し

し て'拡 張 さ れ た 意 味 で の 対 象 式'を 用 い て

よ い とい う こ とが わ か った 以上,そ 一 般 に 関 係 して い る も の は,そ

つ は'述 語

れ か ら得 られ る公 式 や 定 理 の うち,対 象 式

こに お け る'対 象 式'と い う 言 葉 を'拡 張 さ れ

意 味 に 理 解 し て も,そ の ま ま の形 で す べ て成 立 す る.1)

し た が っ て,わ れ わ れ は,そ れ らの 公 式 や 定 理 に まで さ か の ぼ っ て,'対 象 式' と い う言 葉 を'拡 張 され た'意 味 に 理 解 して 適 用 す る.

  1)  とは 言 って も,そ の よ うな 公 式 や 定 理 は,ほ 3.6の

み で あ る.し い て 言 え ば,定 理3.5と

で あ る.

ん のわ ず か で,公 式3.7お

定 理3.6の

よび 定 理3.5と

定理

間 で 述 べ た 事 項 な どが そ れ に含 まれ る程 度

  対 象 式f(υ)の 式 をf(t)と

中 の 自 由 変 数υ の す べ て に 対 象 式tを 代 入 し て 得 られ る対 象

表 わ す.

  本 来 の 意 味 に お け る対 象 式 で は,そ

こに 現 わ れ る変 数 を す べ て'自 由 変 数'

と よぶ.   ιxF(x,υ)と い う形 の対 象 式 の 中 の 自 由 変 数υ に 対 象 式tを

代 入 す る場 合 に

は,'代 入 に つ い て の 付 帯 条 件'1)が 満 た さ れ て い な け れ ば な らな い.   対 象 式 をf(υ)と

表 わ して も,f(υ)がυ

し,一 般 に は,f(υ)はυ

以 外 の 自 由変 数 を 含 ん で い る.f(υ)がυ

と し て 含 ん で い な い と き,f(t)はf(υ)そ   こ の よ うな 規 約 の も とに,次   公 式4.10 

公 式4.1のxにf(x)を ら 公 式4.10が

の もの で あ る.

の 公 式 が成 り立 つ:

し て 公 式4.2を

用い る と

代 入 す れ ばf(x)=f(x)が

得 ら れ,そ

れ と上 の 式 か

得 られ る(証 明 終 わ り).

公 式4.10のf(x)とf(y)は,或 入 した 結 果 を 意 味 す る.対 f(y)の

を 自由変数

x=y→f(x)=f(y).

  証 明   f(x)=f(υ)をF(υ)と

 

を 自 由 変 数 と して 含 む 必 要 は な い

る 対 象 式f(υ)の 象式f(υ)の

中 にxが

中 の 自 由変 数υ にxとyを

自由 変 数 と し て含 まれ て い れ ば,

中 に も 自 由変 数xは 現 わ れ る.f(y)はf(x)の

yを 代 入 した 結 果 で あ る必 要 は な く,f(x)の

代

中 の す べ て の 自 由 変 数xに

中 の 自 由変 数xの

い くつ か をyに

置

きか え た も の で よ い.

  以 上 の よ うな 対 象 式 の 使 用 法 に よ れ ば,ιxF(x)と 論 理 式 ∃!xF(x)が

い う形 の 対 象 式 の 性 格 は,

証 明 で き る と い う条 件 の も と で,次

の 公 式4.11に

よ って

特 徴 づ け ら れ る:   公 式4.11 

F(ιxF(x)).

  証 明   これ を ∀x(F(x)→F(x)) の 略 記 法 と 考 え れ ば 明 ら か(証 明 終 わ り).  1)  これ は,定

理4.3と

定 理4.4の

間,お

よび 定 理4.4と

定 理4.5の

間 に 述 べ られ て い る.

 公 式4.12   証 明   公 式4.2と

し て示 し た x=y→(F(x)→F(y))

のxにιxF(x)を

代入 すれ ば ιxF(x)=y→(F(ιxF(x))→F(y))

が 得 ら れ,公

式4.11に

よ り ιxF(x)=y→F(y).

  逆 を 証 明 す る に は,∃!xF(x)が

証 明 で き る こ と を 利 用 す る.す

理式 F(x)∧F(y)→x=y が 証 明 で き る か ら,こ

のxに

ιxF(x)を

代入 す る と

F(ιxF(x))∧F(y)→ιxF(x)=y. こ こ で 公 式4.11を

用いると F(y)→

が 得 られ る(証 明 終 わ り).

ιxF(x)=y

な わ ち,論

5.  型

の

理

論

  5.1  型 の 理 論 の 公 理   こ れ ま で に 展 開 し て き た'等 号 を もつ 述 語 論 理'を

基 礎 と し て,さ

らに'型

の 理 論'を 展 開 して い くた め に,わ れ わ れ は   公 理Ⅳ. (内 包 の 公 理)

公 理Ⅴ.  (外 延 性 の 公 理)

を 用 い る.[公

理Ⅳ は,す

で に1度,公

式4.2の

証 明 に 例 外 的 に 用 い られ て い

る.]   公 理Ⅳ

のF(x)は

変 数.公

任 意 の 論 理 式 で,yはF(x)に

理Ⅴ は,n=1,2,3,…

  定 理3.2と

定 理3.6に

が 成 り立 つ.も

と,す よ れ ば,公

ち ろ ん,yとzをxよ

自 由 変 数 と して 含 まれ な い

べ て の 階 数 に つ い て 用 い る.

理Ⅴ か ら,任

り階 数 が1つ

意 の 変 数x,y,zに

対 して

上 の 変 数 とす る こ と は 言 う

ま で も な い.  定 理5.1

は 公 理Ⅳ と して 述 べ られ て い るか ら,

 証明 

を 証 明す れ ば よい:

(証 明 終 わ り)   定 理5.1と F(x)に

し て 示 した 形 の 論 理 式 が 一 般 的 に 証 明 で き る 以 上,任 意 の 論 理 式

対 して

とい う対 象 式 を 用 い る こ とが 許 され る.こ の対 象 式 を

{x￨F(x)} と い う記 法 で 書 き 表 わ す.新 を,以

後,次

の'定

し い 記 法 を,こ

義5.1'の

の よ うに し て 導 入 す る とい う こ と

よ う に 略 記 す る こ と に す る:

 定 義5.1

  対 象 式{x￨F(x)}に

含 ま れ る 自由 変 数 は,論

自 由 変 数 で あ る.対 象 式{x￨F(x)}に こ とに す る.こ の 束 縛 変 数xは,適

理 式F(x)に

含 ま れ るx以 外 の

用 い ら れ て い る変 数xは 束 縛 変 数 と よぶ 当 な 条 件 の も とで,他

の変数 で置 きか え る

こ とが で き る.   xが'n階'の

変 数 で あ る とき,{x￨F(x)}は'n+1階'の

対 象 式 で あ る.

 公 式5.1

  証 明   式 を 見 や す くす る た め に,束 縛 変 数 と し て 用 い て あ る文 字 を 変 更 して, {x￨F(x)}を

の こ と と 考 え れ ば,定

義5.1と

公 式4.11に

よ り

(証 明 終 わ り)  公 式5.2  証 明   定 義5.1と

こ のyに{x￨G(x)}を

公 式4.12に

より

代入 して

(証 明 終 わ り)

  5.2 

簡 単 な 集合 論的 記 法

  {x￨F(x)}と

い う記 法 を 少 し く拡 張 し た {f(x)￨F(x)},{f(x,y)￨F(x,y)},…

な ど の 記 法 を 用 い る こ と も あ る.こ

の 場 合,f(x)やf(x,y)は

対 象 式,F(x)

やF(x,y)は

論 理 式 で,そ

定 義5.21 

れ は 次 の よ うに 定 義 さ れ る:

{f(x)￨F(x)}={u￨∃x[u=f(x)∧F(x)]};

定 義5.22

着 目す る変 数 の 個 数 が も っ と 多 い と き も同 様. 公 式5.3

  証 明   公 式5.1に

よ る(証 明 終 わ り).

  対 象 式{f(x)￨F(x)}や{f(x,y)￨F(x,y)}に

お け るxやx,yは'束

縛 変 数'

で あ る.   対 象aの

み を た だ1つ

の 元 と す る 集 合 を 表 わ す 記 法{a}は,次

の よ うに 定

義 さ れ る:   定 義5.31 

{a}={x￨x=a}.

ま た,同

じ階 数 を も つ 対 象a,b,c,…

{a,b},或

い はa,b,cだ

に 対 し て,aとbだ

け を 元 と す る 集 合{a,b,c}な

け を 元 とす る 集 合 ど は,次

の よ うに 定 義

さ れ る: 定 義5.32 

{a,b}={x￨x=a∨x=b};

定 義5.33 

{a,b,c}={x￨x=a∨x=b∨x=c}.

わ れ わ れ の 形 式 的 体 系 は'型 を 元 と す る 集 合{a,b}を れ た{a,b}に

の 論 理'で

あ る か ら,異

な る 階 数 を も つ 対 象a,b

表 わ す 記 法 を 導 入 す る こ と は で き な い.上

お け るaとb,お

よ び{a,b,c}に

お け るa,b,cは,そ

で定 義 さ れ ぞ れ,

同 じ 階 数 の 変 数 で あ る と す る.   対 象 式{a}に な ど は,す

お け るa,{a,b}に

べ て'自

tを 代 入 し た{t}と 入 し た{s,t}な

由 変 数'で

お け るaとb,{a,b,c}に

あ る.し

た が っ て,{a}の

か,{a,b}のaとbに

お け るa,b,c 自 由 変 数aに

対 象式

同 じ階 数 を も つ 対 象 式sとtを

ど の 記 法 も 用 い る こ と が で き る.た

と え ば,{s,t}と

代

は

{x￨x=s∨x=t} の こ と で あ る が,定

義5.32は

こ の よ うな こ とを も含 め て 表 現 し て い る と理 解

す る. 公 式5.4 

{a,b}={b,a}.

証明 で あ る こ と に 注 意 し て,公

式5.2を

用 い る(証 明 終 わ り).

  ま っ た く同 様 に し て {a,a}={a},{a,b,c}={b,a,c},…

な ど の 公 式 を 導 くの は 容 易 で あ る. 定 義5.4 〈a,b〉={{a},{a,b}}.

公 式5.5 証 明  

〈a,b〉=〈c,d〉

の み を 証 明 す る.逆   c=dと 

は,公 の2つ

  1°  c=dの

場 合:証

式4.10に

→a=c∧b=d

よ り明 ら か で あ る か ら.

の 場 合 に わ け て 証 明 す る(公 式2.10の

系).

明 す べ き こ とは 〈a,b〉=〈c,c〉 →a=c∧b=c

で あ る が,そ

2° 

れは

の 場 合:ま

ず, 

に 注 意 し,

(証 明 終 わ り)   公 式5.5が

成 り立 つ の で,定

義5.4に

よ っ て 定 義 さ れ た 〈a,b〉 を,aとb

の 順 序 づ け ら れ た 対(ordered

pair)ま た は 単 に 順 序 対 と い う.順

の は,定

式5.5で

義5.4で

  定 義5.4に

は な く,公

1) 

あ る.

よ って 定 義 され た 順 序 対

を もつ 変 数 で な け れ ば な ら ぬ.し は￢(c=d)の

こ と. 

序 対 で重 要 な

〈a,b〉 に お い て は,aとbが

か し,わ

とい う記 号 は,こ

れ わ れ は,aとbが

同 じ階 数

異 な る階 数 を も

ん ご,こ の 意味 で 無 断 で 使 用 す る.

つ 場 合 に も,同 がn階

じ順 序 対 の 記 法 を 用 い よ う と思 う.そ

でbがn+1階

と え ば,a

の場 合 に は

  定 義5.41  と し て,順

の た め に,た

〈a,b〉=〈{a},b〉

序 対〈a,b〉

対 し て も 公 式5.5は

を 定 義 す る.そ

成 立 す る.す

し て,こ

の よ うに 定 義 さ れ た 順 序 対 に

な わ ち,aとcがn階,bとdがn+1階

の

場 合に は

ま っ た く 同 じ考 え に よ っ て,aとbの

そ れ ぞ れ が ど ん な 階 数 を も つ 場 合 に も,

順 序 対 を 定 義 す る こ と が で き,そ   aとcお と い う条 件 つ き で,公

の よ う な 順 序 対 に 対 し て も,

よ びbとdの 式5.5が

  定 義5.5 

そ れ ぞ れ が 同 じ階 数 を も つ

成 立 す る.

〈a,b,c〉=〈〈a,b〉,c〉, 〈a,b,c,d〉=〈〈a,b,c〉,d〉,…

と し て 順 序 づ け ら れ た3重 の そ れ ぞ れ の 階 数 は,も

対,等

を 定 義 す る.こ

こ で は,a,b,c,d,…

は や 任 意 の も の と考 え て よ い.

  a1とb1,a2とb2,a3とb3の で,次

対,4重

そ れ ぞ れ が 同 じ階 数 を も つ と い う条 件 の も と

の 公 式 が 成 り立 つ:

 公 式5.6  証 明

(証 明 終 わ り) 4重 対 以 上 の 場 合 に も,公 式5.6と

同 じ公 式 が 成 り立 つ.

'関係'の 集 合 論 的 表 現 命 題F(x)の

中 の 自由 変 数xに 着 目す れ ば,命 題F(x)は

対 象xに

つい ての

1つ の 性 質(property)を 対 象xの

表 わ す も の と 考 え ら れ る.そ

し て,性

質F(x)を

もつ

全 体 か らな る 集 合 が {x￨F(x)}

で あ っ た.公

式5.1と

公 式5.2は,同

値 な 性 質 が1つ

の集合 に よって代表 さ

れ る と い う こ と を 示 し て い る.   命 題F(x,y)の 対 象x,yの

中 の2つ

の 自 由 変 数x,yに

間 の 関 係(relation),す

を 表 わ す も の と 考 え ら れ る.2項 に は,関

係F(x,y)を

着 目 す れ ば,F(x,y)は2つ

な わ ち1つ 関 係F(x,y)を

満 た す 対 象x,yの

の2項

関 係(binary

の relation)

集 合 に よ っ て 代 表 さ せ るた め

順 序 対〈x,y〉

の全 体 か らな る集 合

{〈x,y〉￨F(x,y)} を 用 い れ ば よ い.こ

の よ うな 集 合 に 対 し て も,公

式5.1お

よ び 公 式5.2と

様 な 公 式 が 成 り立 つ: 公 式5.7 た だ し,uとxお

よ び υ とyは

そ れ ぞ れ 同 じ階 数 を も つ も の と す る.

証明 [公 式5.3] [公 式5.5] [公 式4.7] (証 明 終 わ り) 公 式5.8

証 明   定 義5.22と

公 式5.2に

よれば

{〈x,y〉￨F(x,y)}={〈x,y〉￨G(x,y)}

とい う論 理 式 は

(*) と 同 値 で あ る.

は 明 ら か で あ る か ら,

同

の み を 示 せ ば よい:   υをxと 同 じ階 数 の 変 数,wをyと

階 数 の 同 じ変 数 と して

ゆえに

(証 明 終 わ り)   変 数 の 個 数 が3以 上 の場 合 に も,公 式5.7や

公 式5.8と

同 様 な 公 式 が成 立

す る.  空

集

合

  集 合 論 の 場 合 と異 な り,'空 集 合(empty

set)'は 各 階 の対 象 と して[1階

の対

象 を 除 き]1つ ず つ 存 在 す る: 定 義5.6

 φ2,φ3,…

の そ れ ぞ れ を,2階

の 空 集 合,3階

の 空 集 合,…

と よぶ.し か

し,階 数 を 明示 す る必 要 が な い とき,或 い は,文 脈 か ら階 数 が 明瞭 で あ る と き な ど は,階 数 を表 示 せ ず に,単 に φ と表 わ す. 公 式5.9   証 明 

で あ る か ら,x∈

φ と仮 定 す る と, 

と な り,矛

盾

す る(証 明 終 わ り). 公 式5.10 証明

 [公 式5.9] [外 延 性 の 公 理] (証 明 終 わ り)

1) は￢(s∈t)の

略 記.

6.  自

然

  自然 数 の 理 論 を 記 述 す る に 当 っ て は,い め,階 数1の

変 数―

数

論

ち い ち 階 数 を 指 示 す る 面 倒 を 省 くた

自然 数 を 表 わ す 変 数―

を示 す のに

a,b,…,x,y,… な どの ラ テ ン小 文 字 を 用 い,一

般 に は―

主 と して2階

以 上 の変 数 を 示 す に は

α,β,…,ξ,η,… な ど の ギ リシ ャ小 文 字 を 用 い る こ とに す る.

  6.1  自 然 数 の 公 理   上 に 述 べ た'変 数 の表 記'に つ い て の 規 約 に した が っ て'自 然 数 の 公 理(1.5)' を 書 い て み る と,次 の よ うに な る.   公 理Ⅰ.1   公 理Ⅰ.2 x′=y′

→x=y

 公 理Ⅰ.3   公 理Ⅰ.2と

公 式4.10を

組 み 合わ せ れば

 公 式6.1  ま た,公

理Ⅰ.3の

ξ に{x￨F(x)}を

す な わ ち,任 意 の 論 理 式F(x)に   推 論 法 則6.1 

代 入 し,公

式5.1を

用いると

対 し て,次 の 推 論 法 則 が 成 り立 つ:

(数 学 的 帰 納 法)

  公 式6.2   証 明   論 理 式  明 す る:   1° F(0)は

をF(x)と

お き,数 学 的 帰 納 法 に よ っ て 証

と な り, 

は 偽 で あ る か ら,F(0)は

証 明 で き る.

  2°  F(x′)は

と な り,x′=x′

よ り∃y(x′=y′)が

F(x)→F(x′)も

証 明 で き る.

  上 の1°,2°

に よ り ∀xF(x)が

得 ら れ,F(x′)は

証 明 で き,し

たが って

得 ら れ る(証 明 終 わ り).

  6.2  関 数 の 帰 納 的 定 義   n階 の 対 象t,な る 関 数f(x,η)が

と い う2条

らび に,自

然 数xとn階

与 え られ た とす る(n≧1).こ

件 に よ っ て 関 数 φ(x)を

の2条

のとき

定 義 す る こ と が で き る.こ

う 関 数 の 定 義 を 帰 納 的 定 義(recursive   内 容 的 に は,上

の 対 象 ηにn階 の 対 象 を対 応 させ

definition)と

の 形 式 に した が

い う.

件 か ら,φ(0),φ(1),φ(2),φ(3),…

の値 は

φ(0)=t, φ(1)=f(0,t), φ(2)=f(1,f(0,t)), φ(3)=f(2,f(1,f(0,t))),

と し て 順 に 求 め ら れ,tとfに

よ り関 数 φ は 一 意 的 に 定 ま る.し

に 考 え て,tとf(x,η)をn階

の 対 象 式,η

の2条 り,そ

件 を 満 た す よ うな 対 象 式 の こ と―

す な わ ち,次

φ(x)が

をn階

の 変 数 と し た と き に,上

存 在 す る か ど うか は,ま

の 定 理6.1―

か し,形

式的 記

た別 問題 で あ

を 証 明 す る こ と が,こ

の節 の 主

眼 で あ る.   定 理6.1  う なn階

tとf(x,η)をn階

の 対 象 式 φ(x)が

の 対 象 式,η

存 在 す る:

をn階

の 変 数 と す る と,次

のよ

  1° φ(0)=t;   2°  φ(x′)=f(x,φ(x));  3° φ(x)に

含 ま れ る'x以

び に,f(x,η)に

外 の 自 由 変 数'は,tに

含 ま れ る'x,η

  証 明 の 概 要   ま ず,R0(α)お

含 ま れ る 自 由 変 数,な

以 外 の 自 由 変 数'の よ びR(x,η)を

ら

み で あ る.

次 の 論 理 式 と す る:

R0(α) R(x,η)

この論理 式に つい て ∃!ηR(x,η)

を 証 明 し,対

象 式ι ηR(x,η)をφ(x)と

  こ のφ(x)が   以 下,こ

求 め る 対 象 式 で あ る.

の こ と を 証 明 す る.

  簡 単 で あ る か ら,ま   論 理 式R0(α)に

ず3°

を 証 明 す る:

含 ま れ る α 以 外 の 自 由 変 数 は,tに

f(u,η)に

含 ま れ るu,η

れ るx,η

以 外 の 自 由 変 数 は,そ

に 含 ま れ るx以   以 下,1°

す る.

以 外 の 自 由 変 数 の み で あ る.そ れ と 同 じ.ゆ

外 の 自 由 変 数 も ま た,そ

と2°

え に,φ(x)す

含ま

な わ ちιηR(x,η)

れ と 同 じで あ る.

R(0,t).

  証 明   R0(α)→〈0,t〉

∈α を 示 せ ば よ い が,こ

か(証 明 終 わ り).  (2)

こ れとR0(α)の

し て,R(x,η)に

の 証 明 を 順 次 お こ な っ て い く.

  (1) 

 証 明   R(x,η)を

含 ま れ る 自 由 変 数 と,

仮 定 す る.そ

定義 に よ り

うす る と

れ は,R0(α)の

定 義 か ら明 ら

こ れ はR(x′,f(x,η))で

あ る(証

  (3) 

明 終 わり).

R(0,η)→

  証 明   α={〈x,η〉￨x=0→

η=t}と

η=t. お く と

〈0,t〉 ∈ α

で あ り,さ

ら に,公

理Ⅰ.1に

よ り 〈u′,f(u,η)〉 ∈α

で あ る か ら,R0(α)は

証 明 で き る;

(証 明 終わり)  'α={〈x

,η〉￨…}と

{〈x,η〉￨…}を 式

お く'と

い う の は,'以

代 入 し た も の と し て 考え よ'と

α={〈x,η〉￨…}を

仮 定 す る'と

が 証 明 で き る の で,推 論 法 則3.2に

 証明 を仮定 し

と お く.

  つ ぎ に,仮

で あ り,こ

∈α

公 理Ⅰ.1に

よ り明 ら か.

定に より

れ と 公 理Ⅰ.2を

こ の式 と(2)か   b)

α の定義 に よ り

ら

用 い れば

い う こ と で あ る.或

い は,'論

理

い うの は,

よ る推 論 を 用 い る証 明 と考え る こ と も で き るか

 (4)

  a) 〈0,t〉

の 中 の 自 由変 数 α に

い う意 味 に 理 解 し て も よ い.と

らで あ る.

は,(1)と

下 の 式 は,そ

で あ る か ら,こ

れ とb)に

より

  c) ゆ え に,a)とc)に

よ り

  d) 

R0(α)

が わ か る.R(x,η)の

定 義 とd),お

よび α の 定 義 を 用 い る と

(証 明 終 わ り)  (5) ∃!ηR(x,η).

  証 明  xに つ い て の 数 学 的 帰 納 法.(1)と(3)か

ら

∃!ηR(0,η)

が 得 ら れ,(2)と(4)か

ら

が 得 られ る(証 明 終 わ り).   こ の(5)に

よ っ て,対

式 をφ(x)と

象 式ι ηR(x,η)を

用 い る こ と が 許 さ れ る.こ

の対 象

  φ(x)の

す る の で あ っ た. 定 義 と(1)に

よれ ば

  (6) φ(0)=t. ま た,(2)の

η にφ(x)を

が 得 ら れ る が,φ(x)の

代 入すれ ば

定 義 に よ り,R(x,φ(x))は

証 明 で き る論 理 式 で あ る

こ とが わ か る か ら R(x′,f(x,φ(x))). こ こ で 再 びφ(x)の

定 義 に注 意 す れ ば

  (7) φ(x′)=f(x,φ(x)) が 得 ら れ る.   (6)と(7)に れ で 定 理6.1の

よ り,定

理6.1の1°

証 明 は 完 全 に 終 了 し た.

と2°

が 証 明 さ れ た こ と に な り,こ

 定 理6.2 

与 え ら れ たn階

の 対 象 式t,f(x,η)に

が 証 明 で き る よ うなn階 の対 象 式 φ(x),ψ(x)が

  証 明  φ(0)=t,ψ(0)=tに

対 して

あれ ば

よ り φ(0)=ψ(0).

 に よ り

ま た,

(証明 終 わ り)

  定 理6.1と

定 理6.2を

合 わ せ て,そ

れ を 内 容 的 に 理 解 す れ ば,次

の よ うに

な る:  

n階

の 対 象t,な

ら び に,自

せ る 関数f(x,η)が

然 数xとn階

の 対 象 ηにn階

与 え ら れ れ ば,2条

の 対 象 を対 応 さ

件

(*)  

を 満 た す 関 数φ が 一 意 的 に 存 在 す る.

これ は,定 理6.1と

定 理6.2の

数 学 的 な解 釈 で あ る.

  しか し,超 数 学 的 な 立 場 か ら言 うと,(*)に き る よ うな対 象 式φ(x)は,け とψ(x)が

お け る2つ の 論 理 式 が 証 明 で

っ して 一意 的 に は 定 ま らな い.定 理6.2のφ(x)

異 な る対 象 式 で あ る こ とは,い

く らで もあ り得 る.定 理6.2は,

φ(x)=ψ(x) とい う形 の論 理 式 は 証 明 で き る,と い う こ と を 言 っ てい るに 過 ぎな い.   そ れ に もか か わ らず,も

し"論 理 式 が 証 明 で き るか ど うか"と い うこ とだ け

に 着 目 し,同 値 な 論 理 式 を 区 別 しな い 場 合 に は,わ れ わ れ は 上 記 の'数 学 的'な 立場 に 立 つ こ とが で き る.と い うの は,

が 証 明 で き る と き は,sやtと F(ξ)に

同 じ階 数 を も つ 自 由 変 数 ξを 含 む 任 意 の 論 理 式

対 し て,F(s)とF(t)は

同 値 な 論 理 式 と な り(公 式4.5),同

値 な論理

式F(s)とF(t)を

区 別 す る 必 要 が な い 以 上,対

象 式sとtを

い か ら で あ る.そ

し て,わ

の よ うな 立 場 で 話 を 続 け て い る

れ わ れ は,い

ま,こ

区 別 す る必 要 は な

途 中 な の で あ っ た.

  定 理6.1を

利 用 し て の'関

数 の 定 義'の 方 法 を,'自

然 数 の 加 法'の 定 義 を 例

に と っ て 説 明 し て み よ う:   定 理6.1のtと の ηは,1階

し て 自 由 変 数aを の 変 数].そ

うす る と,定

が 証 明 で き る よ うな 対 象 式φ(x)が 対 象 式φ(x)はaとxの

と り,f(x,η)と 理6.1に

し て η′を と る[こ こ で

よ っ て,

存 在 す る.定 理6.1の3°

に よれば,こ

み を 自 由 変 数 と し て含 む も の と し て よい.こ

の

の対 象 式

φ(x)を a+x

と表 わ す.   これ が,対 象 式a+xの

定 義 で あ るが,こ

の よ うな 定 義 を,わ れ わ れ は 次 の

よ うに略 記 す る:  定 義6.1

  ま っ た く同 様 な 考 え で,積ax,累 義 す る こ と が で き る.

 定 義6.2

 定 義6.3

乗ax,階

乗x!な

ど を 次 の よ うに し て 定

 定 義6.4

 定 義6.3と

定 義6.4に

用 い た'1'は,対

象 式0′ の 略 記 号 で あ る.同

様に

0″,0″′,0″″,… と い う対 象 式 を 2,3,4,… と略 記 す る.

  6.3 

加 法 の性質

  加 法a+xと

は,2条

件

 (1) 

a+0=a,

 (2) 

a+x′=(a+x)′

を 満 た す も の と し て 定 義 さ れ た(定 義6.1).こ

の う ち の 条 件(1)は

公式 と し

て 挙 げ て お こ う:   公 式6.3 a+0=a. ま た,(2)のxに0を

代 入 し,(1)に

注 意すれ ば

  公 式6.4 a′=a+1 が 得 ら れ る.   定 理6.2を

加法 につ いて述べ れば

 (3) 

と い う こ と に な る.た

な らばφ(x)=a+x

と え ば, φ(x)=x

とお け ば

と な り,1)(3)のaを0と

した 場 合 とな る か ら

  1)  r=s=tと い うのはr=s∧s=tの 略 記 法で あ り,こ の 式 か らr=tが 得 られ る.こ の 種 の 略 記 法 は,誤 解 の生 じ るお そ れ の少 な い 場 合 に は,こ ん ご 自由 に用 い る こ とに す る.

φ(x)=0+x, す なわ ち   (4) 0+x=x と い う こ と が わ か り,ま

た φ(x)=(a+x)′

とお け ば

と な り,(3)のaをa′

φ(0)=(a+0)′=a′, 

[(1)]

 

[(2)]

と した 場 合 に な る か ら φ(x)=a′+x,

す なわ ち   (5) 

a′+x=(a+x)′

と い う こ と が わ か る.   公 式6.5 a+b=b+a.  証 明  

φ(x)=x+a

とお くと φ(0)=0+a=a, 

[(4)]

[(5)]

と な り,(3)に

より φ(x)=a+x,

す なわ ち x+a=a+x.

(証 明 終 わり)   公 式6.6    証 明  φ(x)=a+(b+x) とお くと

(a+b)+c=a+(b+c).

φ(0)=a+(b+0)=a+b, 

[(1)]

 

[(2)] [(2)]

と な り,(3)に

より φ(x)=(a+b)+x.

(証 明 終 わ り)  公 式6.7 

a+x=a→x=0.

 証 明   aに つ い て の 数 学 的 帰 納 法.  1°  a=0の

と き は,(4)に

よ り明 ら か.

  2°  aに つ い て の 式 を 仮 定 す る と a′+x=a′

→(a+x)′=a′

 

[(5)]

→a+x=a  →x=0. 

[公 理Ⅰ.2] [帰 納 法 の 仮 定] (証 明 終 わ り)

  公 式6.8 

x+y=0→x=y=0.

   

 証 明

[公式6.2] [(2)] [公理Ⅰ.1]

  こ れ か らx+y=0→y=0が

得 ら れ,公

式6.5に

よ りx+y=0→x=0も

得

ら れ る(証 明 終 わ り).

  6.4 

乗 法 の性 質

  乗 法axと

は,2条

件

  (1) 

a0=0,

  (2) 

ax′=ax+a

を 満 た す も の と し て 定 義 さ れ た(定

義6.2),こ

の う ち の 条 件(1)は

公式 と し

て 挙 げ て お こ う:   公 式6.9 

a0=0.

ま た,(2)のxに0を

代 入 し,(1)な

ら び に 公 式6.3と

公 式6.5に

注意 す

れば   公 式6.10 

a1=a

が 得 ら れ る.   定 理6.2を

乗 法につ いて述 べれ ば

 (3) 

と い う こ と に な る.た

な らば

φ(x)=ax

とえ ば, φ(x)=0

と お け ば,

と な り,(3)のaを0と

した 場 合 とな るか ら φ(x)=0x,

す なわ ち   (4) 0x=0 と い う こ と が わ か り,ま

た φ(x)=ax+x

とおけば φ(0)=a0+0=a0=0, 

[(1)]

[(2)]

と な り,(3)のaをa′

と した 場 合 に な る か ら φ(x)=a′x,

す なわ ち   (5) 

a′x=ax+x

と い う こ と が わ か る.   公 式6.11 

(a+b)c=ac+bc.

 証明 

φ(x)=ax+bx

とお くと φ(0)=a0+b0=0+0=0, 

[(1)]

[(2)]

と な り,(3)に

よ り φ(x)=(a+b)x,

す なわ ち ax+bx=(a+b)x. (証 明 終 わ り)   公 式6.12 

ab=ba.

 証 明  

φ(x)=xa

と お く と φ(0)=0a=0, 

[(4)]

[(5)]

と な り,(3)に

より φ(x)=ax. (証 明 終 わり)

  公 式6.13 

(ab)c=a(bc).

 証 明  

φ(x)=a(bx)

とお くと

φ(0)=a(b0)=a0=0, 

[(1)]

φ(x′)=a(bx′)=a(bx+b) 

[(2)] [公 式6.11,6.12]

と な り,(3)に

よ り φ(x)=(ab)x. (証 明 終 わ り)

  問   次 の 各 式 を 証 明 せ よ.   1)  (ab)c=acbc 

[φ(x)=axbxと

お く.]

  2)  ab+c=abac 

[cに つ い て の 帰 納 法.]

  3)  (ab)c=abc 

[φ(x)=abxと

  6.5 

大

小

関

お く.]

係

  論 理 式∃x(a+x=b)をa≦bと

略 記 す る.こ

の よ うに し て 新 し い 記 法 を 導

入 す る こ とを  定 義6.5 の よ うに 略 記 す る.し

か も 定 義6.5は,任

∃x(s+x=t)をs≦tと

表 わ す,と

意 の1階

の 対 象 式s,tに

対 して も

い う こ とを 含 め て 意 味 して い る もの とす る

の で あ る.  定 義6.6 a≦bやa
かb>aと

も 表 わ す こ と は 普 通 の 通 り とす る.

  公 式6.14 a≦a.   証 明   公 式6.3よ

り明 ら か(証 明 終 わ り).

 公 式 6.15   証 明  a≦bとb≦aの a=bを

導 け ば よ い が,公

  仮 定a+x=b,b+y=aに

定 義 に よ り,a+x=bお 式6.3に

よ れ ば,x=0を

よ びb+y=aを

仮 定 し,

導 け ば 十 分 で あ る:

よ り

(a+x)+y=a; ∴ a+(x+y)=a; 

[公 式6.6]

∴ 

x+y=0; 

[公 式6.7]

∴ x=0. 

[公 式6.8] (証 明 終 わり)

 公 式6.16  証 明   仮 定a+x=b,b+y=cよ

り∃z(a+z=c)を

導 け ば よ い:

[公 式6.6]

(証 明 終 わ り)   公 式  6.161

  証 明   公 式6.16と

公 式6.15に

よ る(証 明 終 わり).

 公 式 6.17  証 明   定 義6.6と

公 式6.14に

 公 式6.18 

よ る(証 明 終 わり). 0≦a.

 証 明   公 式6.3と

公 式6.5に

よ る(証 明 終 わ り).

 公 式 6.19

 証明

(証 明 終 わり)   公 式6.18と の 対 象)が

公 式6.19を

用 い る と,"自 然 数 の み を 元 とす る集 合 α(=2階

空 で な け れば,α

の 最 小 元 で あ る とい う こ と は

は 最 小 元 を もつ"と

い うこ とが 示 され る.yが

α

と 書 け る か ら,上

記 の'自

然 数 の 整 列 性'は

次 の よ うに 表 わ さ れ る:

  公 式6.20    証 明   ∀x(x∈ α →a≦x)をF(a)と

お く.公

  1°)  ま た,公

式6.18に

よれ ば

F(0).

式6.19に

よれ ば

す なわ ち   2°) さ て,証

明 すべ き こ とは

で あ るが,そ

の対偶

を 証 明す る.そ の た め に は,  α=φ

を 仮 定 し,そ の 仮 定 の も とで

を 証 明す れ ば よい:

 仮定 

と2°)に よ り F(a)→F(a+1).

こ れ と1°)か

ら,数

学 的帰納 法 に よ り ∀yF(y).

仮定 

し た が っ て α=φ(証

を も う1度 用 い て

明 終 わ り).

  公 式6.21 a≦b∨b≦a.  証 明   公 式6.20に

お い て α={a,b}と

おけ ば

した が って

が 証 明 で き る.こ れ か ら公 式6.21を

導 くの は 容 易 で あ る(証 明 終 わり).

 公 式6.22 a≦a+x.  証 明   定 義6.5よ

り明 らか(証 明 終 わ り).

 公 式6.23   証 明   公 式6.22と

公 式6.7に

よ る(証 明 終 わり).

 公 式6.24  証 明   →

は 公 式6.3.←

は 公 式6.23(証

明 終 わり).

 公 式6.25 a
よ り,次

の 式 を 示 せ ば よ い:

(証 明 終 わ り)   公 式6.26 

a+c=b+c→a=b,

a+c
より ab

が 証 明 で き る こ と を 利 用 し, ab→a+c>b+c

に つ い て 転 換 法 を 用 い る(証 明 終 わり).   公 式6.27 a≦b→ac≦bc.  証 明  a+x=b→ac+xc=bc(証

明 終 わ り).

 公 式6.28

 証 明  さ ら にa
と仮 定 す れば,公

式6.2に

よ りc=y+1と

お く こ とが で き る.

仮定 すれ ば ac=a(y+1)=ay+a≦by+a
(証 明 終 わ り)  公 式6.29

 証 明   転 換 法 に よ る(証 明 終 わ り).  問 次 の各式 を証 明せ よ.   1)   2)   3)   4)

  5)   6)

 公 式6.30  証 明   同 値 式

を 証 明す れ ば十 分 で あ る.そ

して,そ れ に は a
[公 式6.19] [公 式6.26]

お よび

とす れ ば よい(証 明 終 わ り).  公 式6.31

  証 明   公 式6.18と

公 式6.15に

よれ ば a≦0→a=0.

ま た,公

式6.14に

よれば a=0→a≦0.

よ っ て,公

式 の 第1式 

よ る(証 明 終 わり).

が 得 られ る.第2式

以 後 は,公

式6.30に

 

 公 式6.32 

nが0,1,2,…

 証 明   n=2と

し て,第1式

のい ず れ か で あ る と き に は

の み を 示 す.

[公 式6.31]

(証 明 終 わ り)

  6.6  ε‐ 記   公 式6.20と ば,α

号 し て示 した よ うに,自 然 数 の み を 元 とす る 集 合 α が 空 で な け れ

に は 必 ず 最 小 元 が 存 在 す る.α の 最 小 元 は,集 合 α に 対 し て 一 意 的 に 定

ま る.空 集 合 に は 最 小 元 は な い が,か に す れ ば,任 意 の2階

りに'空 集 合 の 最 小 元 は0'と

の 対 象 α に対 し て,α

い うこと

の最 小 元 が 一 意 的 に 定 ま る.こ の

こ とを 論 理 式 と し て表 現 した も の が 次 の 公 式 で あ る:  公 式6.33

 証明 論理式

をA(y)と

表 わ す こ とに す れ ば,証

明す べ き式 は ∃!yA(y)で

あ る.こ

れを

示 す に は,   1°  ∃yA(y)  の2つ

2°  A(y)∧A(z)→y=z

を 示 せ ば よ い.

1° の 証 明.∃yA(y)は

と 同 値 で あ る か ら,公 式6.20に ら か で あ る.

よれ ば,こ れ が 証 明 で き る こ とは ほ とん ど 明

  2° の 証 明.A(y)とA(z)を の2つ

仮 定 し てy=zを

導 け ば よ い. 

と α=φ

の 場 合 に わ け て 証 明 す る.

 1) 

の 場 合.仮

定A(y),A(z)の

そ れ ぞれか ら お よび  

が 得 ら れ,こ

れ ら か らy≦zが

導 か れ る.同

z∈ α

様 に し てz≦yも

導 か れ,y=z

を 得 る.   2)  α=φ y=zを

の 場 合.仮

得 る.(証

  公 式6.33の

定A(y),A(z)の

そ れ ぞ れ か らy=0,z=0が

明 終 わり) α に{x￨F(x)}を

代入す れ ば

が 証 明 で き る こ とが す ぐに わ か る の で,任 意 の 論 理 式F(x)に εxF(x)を

対 して,対 象 式

次 の よ うに 定 義 す る こ とが で き る1):

  定 義6.7 

εxF(x)

  対 象 式 εxF(x)の 内 容 的 意 味 は,条 件F(x)を そ の よ うな 自然 数 の 最 小 の も の;条 件F(x)を ば εxF(x)は0,と   次 の2つ

得 ら れ,

み た す 自然 数xが 存 在 す れ ば, み た す 自然 数xが 存 在 しな け れ

い う こ とで あ る.

の 公 式 は定 義6.7と

公 式4.12よ

り明 らか で あ る:

 公 式6.34  公 式6.35

  1)  自 然 数 論 で な い 場 合 に も,εxF(x)と 『数理 論 理 学―

数 学 的 理 論 の論 理 的構 造―

い う記 法 を 用 い る こ とが あ る.そ 』(培 風 館,1973年)を

れ に つ い て は,拙

参 照 され た い.

著

7.  自然 数 の関 係 お よび関 数 に つ いて の 形 式 的 な表 現 の可 能 性

  こ れ ま で の とこ ろ,わ れ わ れ は,1.1−1.6で

与 え た 形 式 的 体 系 の 中 で,数

学 的 理 論 が い か に して 形 式 的 に 記 述 さ れ 得 るか を,論 理 の 一 般 法 則 と,自 然 数 論 の基 本 的 な ほ ん の 一 部 分 ま で に つ い て 述 べ て きた.こ け ば,1.0で

れ を この ま ま続 け て い

概 説 した よ うな 範 囲 で の 数 学 的 理 論 を 形 式 的 に 記 述 し得 る こ とを

確 認 す る こ とは,手 間 さえ い とわ な け れ ば,さ ほ ど困 難 な こ とで は な い.し

か

も ま た,そ れ を い く ら続 け て い っ て も,こ れ で 終 わ り とい うこ とに は な らな い か ら,そ れ は 一 応 こ こで 打 ち き る こ とに す る.   そ れ は そ れ と して,わ れ わ れ は,こ の よ うに 形 式 的 に 記 述 され た 数 学 的 理 論 以 前 に,そ

の 数 学 的 理 論 の直 観 的 あ る い は 内容 的 な 理 解 が 存 在 して い た こ とを

忘 れ て は な ら な い.た

と え ば,わ れ わ れ は,前 章 に 述 べ た 形 式 的 な 自然 数 論 以

前 か ら,自 然 数0,1,2,…

に 対 す る直 観 を も ち,そ の 直 観 的 自然 数 に つ い て

の 種 々 の 性 質 を 内 容 的 に 理 解 した り,ま た,内

容 的 に 証 明 し た りも し て きた.

の み な らず,形 式 的 体 系 を 形 式 的 に だ け 理 解 し よ うとす る場 合 に さ え,直 観 的 自然 数 に 対 す る直 観 が 必 要 とな る[た と え ば,記 号 の個 数 を か ぞ え る場 合 とか, 変 数 の 階 数 を 考 え た りす る 場 合.こ

の よ うな 例 は,い

き る.や や 別 種 の 例 と し て は,公 式6.32に

お け るnな

く らで も挙 げ る こ と が で どが あ る].こ

の よ うな

例 を ま つ ま で もな く,い ま の わ れ わ れ が,外 見 的 に は 類 似 し,し か も本 質 的 に は 異 な った2種

類 の理 論―

内 容 的 な 数 学 的 理 論 と形 式 的 な 数 学 的 理 論―

を

も って い る こ とは 事 実 で あ る.   そ こ で わ れ わ れ は,こ 的 理 論 を,ど

ん ど は,数 学 的 理 論 の 形 式 的 な 記 述 が,内 容 的 な 数 学

の 程 度 に 良 く,あ るい は,ど

の 程 度 正 確 に 反 映 し得 るか,と

問 題 に 目を 向 け る こ とに し よ う.も ち ろ ん,こ 不 可 能 で あ る け れ ど,こ

こで は,そ

お こな っ て み る こ とに す る.

いう

の 問 題 を 完 全 に 解 明 す る こ とは

の よ うな 考 察 の幾 分 か を 自然 数 論 の範 囲 で

  7.0  用 語 ・記 号 に つ い て の 規 約   以 下 の 考 察 に お い て は,形 式 的 体 系 に お け る論 理 式 と と もに,直

観 的 自然 数

に つ い て の 命 題 も現 わ れ て く る の で,概 念 上 の区 別 に 混 乱 を 起 こ さ な い よ うに す る た め に,い

くつ か の用 語 や 記 号 に つ い て の規 約 を も うけ て お く.

  1° 単 に'自 然 数'と い え ば,そ

れ は 直 観 的 な 自然 数 を 意 味 す る.

  2° 直 観 的 な 自然 数 を 表 わ す に は,普 通 の よ うに 0,1,2,… な ど の 数 字 を用 い る.   3°  自然 数0,1,2,…

に 対応 す る対象 式  0,0′,0″,…

を 表 わ す に は,太 文 字 0,1,2,… を 用 い る.   4° 自然 数 をm,n,kな

ど の文 字 を 用 い て 表 わ した と き に は,そ

ぞ れ に 対 応 す る対 象 式 を 太 文 字m,n,kな   た とえ ば,nが

自然 数3で

れ ら のそ れ

ど で 表 わ す.

あ る と きに は,nは

対 象 式3す

な わ ち0″′ を 意

味 す る.   5°  x=y,x≦y,x+y,xy,xyな

ど の 記 法 は,内

容 的 な 意 味 に お い て も,

形 式 的 体 系 に お け る略 記 法 と して も,な ん ら の外 見 上 の 区 別 をせ ず に 用 い る.   た と え ば,内 容 的 な意 味 に お け るx≦yは,2つ 或 る'関 係'を 表 わ して い る が,形 1つ の'論 理 式'を 意 味 し て い る.ま

の 自然 数x,yに

つ い ての

式 的 体 系 に お け る略 記 法 と し て のx≦yは た,内

容 的 な 意 味 で のx+yは,2つ

の

自然 数x,yの1つ

の'関 数'を 表 わ し て い る が,形 式 的 体 系 に お け る略 記 法 と

し て のx+yは1つ

の'対 象 式'を 意 味 し て い る.こ の よ うに,そ れ ぞ れ の表 現

の2種 類 の 解 釈 は ま っ た く異 な る の で あ る が,文 脈 上 か ら,そ の 区 別 は 明 らか とな る こ とが 多 い.   6° x≦yと S(x,y,z)な

かx+y=zな ど と表 わ す.こ

どの よ うな 自然 数 の 関 係 を,一 般 的 にR(x,y), れ に 対 して,x≦yと

かx+y=zが

論理 式 で あ る

場 合 に は,太 文 字 を 用 い て,こ れ をR(x,y),S(x,y,z)な

ど と表 わ し,内

容

的 な'関 係'と の 区 別 を 明 らか に す る.   7° x+yの

よ うな 自然 数 の 関 数 を 一 般 的 に 表 わ す 場 合 に は,f(x,y)の

うな記 法 を 用 い,x+yが

形 式 的 体 系 の 対 象 式 で あ る場 合 に は,f(x,y)の

な 太 文 字 に よる 表 現 を 用 い て,内

よ よう

容的 な'関 数'と 区 別 す る.

  8° 上 の5°,6°,7° に お け る よ うに,自

然 数 の 内 容 的 な 関 係 や 関 数 の独 立 変

数 を 示 す に は,形 式 的 体 系 に お け る'1階

の 変 数'を そ の ま ま流 用 す る.

  1階 の 変 数 を表 わ す に は,前 章 に 引 き続 き x,y,…;x1,y1,…;x2,y2,…;… な ど の文 字 を 用 い る.   9°  内 容 的 な命 題 を 表 わ す に も論 理 記 号 を 用 い る.形 式 的 体 系 に お け る

と区 別 す る た め に,こ れ ら の代 わ りに

な ど の記 法 を 用 い る.   た と え ば,   す べ て の 自然 数nに 対 し てR(n)が と い う命 題 を(∀n)R(n)と   命 題Aの

否 定 はAと

成立する

表 わ す の で あ る. 表 わ す の で あ る が,

R(x), 

(∀n)R(n), 

(∃n)R(n)

R(x), 

(∀n)R(n), 

(∃n)R(n)

の否定 は

な ど と略 記 す る.   10°  6.6の

定 義6.7と

し て 導 入 し た 記 法 εxに 相 当 す る も の と し て,内

的 な 自然 数 論 に お い て も(εn)R(n)な

る 記 法 を 用 い る.(εn)R(n)と

は,次

容 の

条 件 に よ っ て 一 意 的 に 確 定 す る 自 然 数 を 表 わ す:   R(n)を

み た す 自 然 数nが

の も の.も

しR(n)を

存 在 す る と きに は,そ

み た す 自 然数nが

の よ う な 自然数nの

存 在 し な け れ ば0.

最小

 11° 論 理 式Aが

証 明 で きる ことを

と表 わ す.   た とえ ば,1.6に

述 べ た2つ

の推 論 規 則 に よれ ば,

お よび

な ど が 成 立 す る.

  7.1 

関 係 の 形 式 的 な 表 現 可 能 性

  以 下 で 単 に 関 係(relation)と い う.R(x1,x2,…,xν)が

よ ぶ の は,い

くつ か の 自然 数 の 間 の 関 係 の み を

ν 項 関 係(ν −ary

の 自 然 数n1,n2,…,nν

relation)で

あ る と い う の は,ν

を 任 意 に 与 え る ご と に,R(n1,n2,…,nν)の

個

真 偽 が 一

意 的 に 確 定 す る も の を い う(ν=0,1,2,…).   R(x1,x2,…,xν)が x1,x2,…,xν)で

ν 変 数x1,x2,…,xν あ る と い う の は,x1,x2,…,xν

つR(x1,x2,…,xν)がx1,x2,…,xν と を い う.た

の 論 理 式(formula

of

ν variables

が 相 異 な る 変 数 で あ っ て,か

以 外 の 変 数 を 自 由変 数 と して 含 まな い こ

だ し,R(x1,x2,…,xν)が

変 数x1,x2,…,xν

の す べ てを 自 由 変

数 と し て 含 ん で い る 必 要 は な い.   以 下 に お い て は,2階 り扱 わ な い.し …,xν

は,す

  定 義7.1 

以 上 の 変 数 を 自 由変 数 と し て 含 む 論 理 式 は 一 般 に は取

た が っ て,ν べ て1階

変 数x1,x2,…,xν

の 変 数 で あ る.

関 係R(x1,x2,…,xν)が numeralwise

論 理 式R(x1,x2,…,xν)に

別 に 表 現 さ れ る(to

be

変 数x1,x2,…,xν

の 論 理 式 で あ っ て,し

対 して

の 論 理 式 と い う と き のx1,x2,

expressed)と か も,任

よ っ て 数 値

は,R(x1,x2,…,xν)が

ν

意 の 自 然 数n1,n2,…,nν

に

と な る こ と を い う[こ こ で,n1,n2,…,nν に 対 応 す る 対 象 式 で あ る(7.0の4°

は 自 然 数n1,n2,…,nν

  関 係Rが

論 理 式Rに

に'RはRで

参 照)].

よ っ て 数 値 別 に 表 現 さ れ る と い う こ と を,以

表 現 さ れ る'と

  定 理7.1 

のそれ ぞれ

関 係x=yは

い う.

論 理 式x=yで

 証明 

後 は,単

表 現 さ れ る.

1.

 

を 示 せ ば よ い.公

2.

式4.1に

よ り,1.は

明 ら か.ま

た [公 理 Ⅰ.1] [公 理 Ⅰ.2] [公 式4.3]

に よ り,2.も

明 ら か(証 明 終 わ り).

  定 理7.2 

関 係x≦yは

 証明 

論 理 式x≦yで

表 現 さ れ る.

1.

 

2.

を 示 せ ば よ い. [公 式6.18] [公 式6.25] に よ り,1.は

明 ら か.ま

た [公 式6.31,公

理 Ⅰ.1] [公 式6.26]

に よ り,2.も

明 ら か(証

明 終 わ り).

  ν 項 関 係R(x1,x2,…,xν)に ν−1項

お い て,2つ

関 係R(x1,x1,x3,…,xν)が

  定 理7.3 

式R(x1,x1,x3,…,xν)で   証 明   定 義7.1に

−1項

ν 変 数 の 論 理 式R(x1,x2,…,xν)

関 係R(x1,x1,x3,…,xν)は

表 現 さ れ る. よ り,明

同 じ に す れ ば,

得 ら れ る.

ν項 関 係R(x1,x2,…,xν)が

で 表 現 さ れ る と す れ ば,ν

の 変 数x1,x2を

ら か(証

明 終 わ り).

ν−1変

数 の論 理

  R(x1,…,xν)と

い う関 係 が あ れ ば R(x1,…,xν)

と い う 関 係 を 考 え る こ と が で き る.ま

た,R(x1,…,xν)とS(y1,…,yμ)と

い

う関 係 が あ れ ば R(x1,…,xν)

or

S(y1,…,yμ),

R(x1,…,xν)

&

S(y1,…,yμ),

R(x1,…,xν)⇒S(y1,…,yμ), R(x1,…,xν)⇔S(y1,…,yμ)

な ど の 関 係 を 考 え る こ と も で き る.   定 理7.4 

関 係Rが

論 理 式Rで

表 現 さ れ れ ば,関 係Rは

論 理 式 ￢Rで

表 現 され る.

 証明 

[公 式2.5]

とい う事 実 に 注 意 す れ ば,定   定 理7.5 

関 係R,Sが R or S, 

は,そ

義7.1よ

り明 らか(証 明 終 わ り).

そ れ ぞ れ 論 理 式R,Sで R & S, 

表 現 さ れ れ ば,関 係

R⇒S, 

R⇔S

れ ぞ れ,論 理 式

で 表 現 さ れ る.   証 明   定 理7.4に

よ れ ば,た

と え ば,関

係R

&

Sに

つい て だ け 証 明す れ

ば 十 分 で あ る.   関 係R(x1,…,xν)とS(y1,…,yμ)は,一

般 に は,い

に 用 い て い る と 思 わ な け れ ば な ら な い が,定 x1,…,xν,  y1,…,yμ

理7.3に

くつ か の 変 数 を 共 通

よ れ ば,ν+μ

の す べ て が 異 な る 場 合 だ け に つ い て,証

明すれ ば十 分で

あ る.   ν+μ

個 の 任 意 の 自然 数n1,…,nν, 

と 表 わ し,

m1,…,mμ

の ひ と 組 を 固 定 し,

R(n1,…,nν)をR0, 

S(m1,…,mμ)をS0,

R(n1,…,nν)をR0, 

S(m1,…,mμ)をS0

個 の変数

11. 

12.

21. 

22.

と い う仮 定 の も とで 1. 2.

を 証 明 す る.  (1.の 証 明) [仮 定11,12] [推 論 法 則2.7の

系]

 (2.の 証 明)

[仮 定21,22] [公 式2.8,2.9]

(証 明 終 わ り)

 例  関 係x
&

 と表 わ さ れ,論 理 式x
 で あ った か ら,関 係x
  上 と 同 じ よ うに,ν+1項

論 理 式x
Rが

ν+1変

あ れ ば,そ

数 の 論 理 式R(x1,…,xν,y)で

か し,も

し 最 初 の ν+1項

関係

表 現 さ れ て い た と し て も,上

の よ

の ν項 関 係 が 論 理 式

∀yR(x1,…,xν,y)お で 表 現 さ れ る と い う こ と は,一

れか ら

よ び(∃n)R(xl,…,xν,n)

の ν項 関 係 を 作 る こ と が で き る.し

う に し て 作 ら れ た2つ

表 現 さ れ る.

関 係R(x1,…,xν,y)が

(∀n)R(x1,…,xν,n)お

と い う2つ

[定 義6.6]

よび

∃yR(x1,…,xν,y)

般 に は 正 し く な い.

  こ の 事 実 は,次

の 章 で くわ し く述 べ る と こ ろ の ゲ ー デ ル(K.

性 定 理[く わ し くは,定

理8.8]か

ら の 帰 結 で あ る.要

Godel)の

す る に,内

不完 全

容的 な数 学的

理 論 は 形 式 的 体 系 の 中 で 完 全 に は 表 現 し 得 な い と い う こ と,言

い か え れ ば,形

式 的 体 系 に よ る 数 学 的 理 論 の 記 述 に は 或 る 種 の 限 界 が あ る,と

い う こ と で,こ

れ は,ゲ

ー デ ル の 不 完 全 性 定 理 か ら の 重 要 な 結 論 の1つ

  定 理8.8と

して 述 べ る事 実 は,ν=0の

場 合 で あ っ て,

  1)  論 理 式R(0),R(1),R(2),…   2)  論 理 式 ∀yR(y)は  

とい う性 質 を もつ1変

はす べ て 証 明 で き る

証 明 で きな い

数yの

 こ の よ うな 論 理 式R(y)が

論 理 式R(y)が

  定 理7.6  ば,関

い う こ とで あ る.

よ り,関 係y=yはR(y)で

真 で あ る に もか か わ らず,性

表現 質2)に

ーデル の不完 全性 定理 を証 明す るた

係 や 関 数 の 表 現 可 能 性 に つ い て の 研 究 を さ ら に 続 行 す る.

関 係R(x1,…,xν,y)が

論 理 式R(x1,…,xν,y)で

表現 されれ

係

は,論 理 式

で 表 現 さ れ,関 係

は,論 理 式

で 表 現 さ れ る.   証 明   前 半 の み を 証 明 す る.後

半 は,前

 ν個 の 任 意 の 自然 数m1,…,mν R(m1,…,mν,y)をR0(y), 

半 と定 理7.4か

の ひ と 組 を 固 定 し, R(m1,…,mν,y)をR0(y)

と表 わ し,任 意 の 自然 数nに 対 し て 10. 

よれ

証 明 で きな い.

こ の よ う な 限 界 が あ る に も か か わ らず,ゲ め の 必 要 性 か ら,関

存 在 す る,と

あ れ ば,性 質1)に

され る.し か し,命 題(∀n)(n=n)は ば,∀yR(y)は

で あ る.

20.

とな る,と い う仮 定 の も とで,任 意 の 自然 数kに 対 して

ら 明 ら か.

1. 2. を 証 明 す る.   (1.の 証 明) [仮 定10]

[公 式6.32]  (2.の

証 明)

[仮 定20]

[公 式6.32] (証 明 終 わ り)

  7.2 

関 数 の 形 式 的 な 表 現 可 能 性

  以 下 で 関 数(function)と 数 を も ち,関

よ ぶ の は,任

意 の 自然 数 を 表 わ す い くつ か の 独 立 変

数 値 も ま た 自 然 数 で あ る1価

が ν変 数 の 関 数 で あ る と い う と き は,ν=0の   f(xl,x2,…,xν)が x2,…,xν)で

ν 変 数x1,x2,…,xν

い う.た

場 合 を も 含 め て 言 う も の と す る. の 対 象 式(term

あ る と い う の は,x1,x2,…,xν

f(x1,x2,…,xν)がx1,x2,…,xν

関 数 の み を い う.f(x1,x2,…,xν)

of

ν variables

x1,

が 相 異 な る 変 数 で あ り,し

か も

以 外 の 変 数 を 自 由 変 数 と して 含 ま な い こ とを

だ し,f(x1,x2,…,xν)が

変 数x1,x2,…,xν

のす べ て を 自由 変 数 と

し て 含 ん で い る 必 要 は な い.   以 下 に お い て は,2階 り扱 わ な い.し …

,xν は,す

  定 義7.2 

以 上 の変 数 を 自 由変 数 と し て含 む 対 象 式 は一 般 に は 取

た が っ て,ν べ て1階

変 数x1,x2,…,xν

の 対 象 式 と い う と き のx1,x2,

の 変 数 で あ る.

関 数f(x1,x2,…,xν)が

対 象 式f(x1,x2,…,xν)に

よ って 数 値

別 に 表 現 さ れ る と は,f(x1,x2,…,xν)が っ て,し

か も,任

ν 変 数x1,x2,…,xν

意 の 自 然 数m1,m2,…,mν,nに

の対 象 式 で あ

対 し て

と な る こ とを い う.   関 数fが

対 象 式fに

よ って 数 値 別 に 表 現 され る こ とを,以 後 は 単 に'fは

fで 表 現 さ れ る'と い う.   定 理7.7   1° 関 数x+1は   2° 関 数x[恒

対 象 式x′ で 表 現 さ れ る. 等 写 像]は 対 象 式xで 表 現 さ れ る.

  3° 定 数kは

対 象 式 κ で 表 現 さ れ る.

  証 明   証 明 す べ き こ とは 1° 2° 3°

で あ る が,い

ず れ も 定 理7.1か

  ν 変 数x1,…,xν

ら 明 ら か(証

明 終 わ り).

の 関 数f(x1,…,xν)を,独

x1,…,xν,y1,…,yμ

立 変 数 を ふ や し て,ν+μ

の 関 数 と 考 え る こ と も で き る.ま

対 象 式f(x1,…,xν)も,ν+μ

変 数x1,…,xν, 

た,ν

y1,…,yμ

変 数x1

変 数

,…,xν

の

の 対 象 式 と考 え る

こ と が で き る.   定 理7.8関

数f(x1,…,xν)が

立 変 数 を ふ や し て,ν+μ f(x1,…,xν)も

対 象 式f(x1,…,xν)で

変 数x1,…,xν, 

同 じ 対 象 式f(x1,…,xν)で

  証 明   定 義7.2に   定 理7.9 

よ り,明

ら か(証

の 変 数x1とx2を

明 終 わ り). ν 変 数 の 対 象 式f(x1,…,xν)で 同 じに し て 得 ら れ る

f(x1,x1,x3,…,xν) は,ν

−1変

の 関 数 と考 え た と き の

表 現 さ れ る.

ν 変 数 関 数f(x1,…,xν)が

現 さ れ れ ば,2つ

y1,…,yμ

表 現 さ れ れ ば,独

数 の 対 象 式 f(x1,x1,x3,…,xν)

ν−1変

数 関 数

表

で 表 現 さ れ る.   証 明   定 義7.2に   定 理7.10 

よ り,明

ら か(証 明 終 わ り).

関 係R(y,z1,…,zμ)が

数f(x1,…,xν)が

論 理 式R(y,z1,…,zμ)で

対 象 式f(x1,…,xν)で

表 現 さ れ,関

表 現 さ れ れ ば,関

係

R(f(x1,…,xν),z1,…,zμ) は,論

理式 R(f(x1,…,xν),z1,…,zμ)

で 表 現 さ れ る.   証 明   一 般 に は,変

数x1,…,xν

も の も あ り得 る が,定

理7.3に

の な か に はz1,…,zμ よ り,x1,…,xν

の どれ か と一 致 す る

とz1,…,zμ

の間 には共 通 の

変 数 が な い も の と し て 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.   変 数 の 個 数 が い くつ で あ っ て も,証 ν=μ=1と

し て 証 明 す る.

  f(m)=nと き る.ゆ

明 の 方 法 は ま っ た く 同 じ で あ る か ら,

お く.そ

うす れ ば,f(m)=nし

た が っ てn=f(m)は

証 明で

えに

[公 式4.2]

[公 式4.2] (証 明 終 わ り)   定 理7.11 

関 数g(y,z1,…,zμ)が

数f(x1,…,xν)が

対 象 式g(y,z1,…,zμ)で

対 象 式f(x1,…,xν)で

表 現 さ れ れ ば,関

表 現 さ れ,関 数

g(f(x1,…,xν),z1,…,zμ) は,対

象 式 g(f(x1,…,xν),z1,…,zμ)

で 表 現 さ れ る.   証 明   ν=μ=1と   f(m)=nと

し,x1とz1が

お く.そ

異 な る 変 数 で あ る と し て 証 明 す る.

う す れ ば,f(m)=nは

証 明 で き る.ゆ

え に

(証 明 終 わ り)   定 理7.12 

関 係R(x1,…,xν,y)が

関 数f(z1,…,zμ)が

論 理 式R(x1,…,xν,y)で

対 象 式f(z1,…,zμ)で

表 現 さ れ,

表 現 さ れ れ ば,関

係

は,論 理 式

で 表 現 され,関

係

は,論 理 式

で 表 現 さ れ る.   証 明   定 理7.6と

定 理7.10よ

  系   関 係R(x1,…,xν,y)お R(x1,…,xν,y)お

り 明 ら か(証 明 終 わ り). よ び 関 数f(z1,…,zμ)の

よ び 対 象 式f(z1,…,zμ)で

そ れ ぞ れ が,論

表 現 さ れ れ ば,関

係

お よび

は,そ れ ぞ れ,論 理 式

お よび

で 表 現 さ れ る.   証 明   μ=ν=1と

し て,∀

に 関 係 し た も の の み を 証 明 す る.

y
係S(x,y,z)は

論 理 式S(x,y,z)で

表 現 さ れ る.ま

た,

理式

は

(∀n)S(x,n,z) 

と同 じ こ とで あ り,論 理 式 は

∀yS(x,y,z) 

と 同 値 で あ る.ゆ

え に,定

理7.12に

よ り,(∀n)S(x,n,z)は

∀yS(x,y,z)で

表 現 さ れ る(証 明 終 わ り).

  (εn)R(n)と 自 然 数nの ば,自

は,R(n)を

み た す 自然 数nが

最 小 の も の を 表 わ し,も

然 数0を

表 わ す の で あ っ た.し

しR(n)を

存 在 す る と き に は,そ み た す 自 然 数nが

た が っ て,ν+1項

の よ うな

存 在 しな けれ

関 係R(x1,…,xν,y)

が 与 え ら れ た と き, (εn)R(x1,…,xν,n) は ν変 数x1,…,xν

の1つ

の 関 数 を 表 わ し て い る.も

が 論 理 式R(x1,…,xν,y)で

し 関 係R(x1,…,xν,y)

表 現 さ れ て い た と し て も,関

係

(∃n)R(x1,…,xν,n) が論 理式 ∃yR(x1,…,xν,y) で 表 現 さ れ る とは 限 ら な い と い う の と 同 様 に,関

数

(εn)R(x1,…,xν,n) も ま た,一

般 に は,対

象式 εyR(x1,…,xν,y)

で 表 現 さ れ る と は 限 ら な い.   少 し考 え れ ば わ か る よ うに,命 題 (∃n)R(n)とR((εn)R(n))   と は,同

じ こ とを 表 わ して い る.そ れ に 対 応 して, ∃yR(y)とR(εyR(y))

  と い う論 理 式 が 同値 で あ る こ とを 証 明す る こ と もで き る.も 式R(y)で

表 現 され,さ

ば,命 題(∃n)R(n)も

論 理 式 ∃yR(y)で

  こ の こ と に 関 連 し て は,次   定 理7.13 

らに,自 然 数(εn)R(n)が

し,関 係R(y)が

対 象 式 εyR(y)で

論理

表 現 され れ

表 現 され る こ とに な る.

の 定 理 が あ る:

関 係R(x1,…,xν,y)が

論 理 式R(x1,…,xν,y)で

表 現 さ れ,

さ らに   関 係(∃n)R(x1,…,xν,n)が

論 理 式

∃yR(x1,…,xν,y)で

表 現 さ

 (*) れ る

と す る な ら ば,関

数 (εn)R(x1,…,xν,n)

は,対

象式 εyR(x1,…,xν,y)

で 表 現 さ れ る.   証 明   ν=1と

し て 証 明 す る.

  証 明 す べ き こ と は,任

と な る,と

意 の 自 然 数m,kに

い う こ と で あ る.こ

対 して

れ を 示 す に は,xとzに

つ い ての関係

(εn)R(x,n)=z が,論

理式 εyR(x,y)=z

で 表 現 さ れ る,と

い う こ とを 示 せ ば 十 分 で あ る.

  関 係(εn)R(x,n)=zは [(∀n)(n
と も 表 わ せ る.こ お よび

R(x,z)]or[(∃n)R(x,n) &

こ で,R(x,y)と(∃n)R(x,n)が

∃yR(x,y)で

表 現 さ れ る,と

z=0]

そ れ ぞ れ 論 理 式R(x,y)

い う こ と に 注 意 す れ ば,上

記 の 関 係 が,

論理式

した が って

で 表 現 さ れ る こ と が わ か る.こ

の 最 後 の 論 理 式 は,定

義6.7に

よれ ば,

εyR(x,y)=z と 同 値 で あ る か ら,関 る,と

係(εn)R(x,n)=zが

論理 式

い う こ と が 示 さ れ て い る(証 明 終 わ り).

εyR(x,y)=zで

表 現 され

  定 理7.14 

関 係R(x1,…,xν,y)が

関 数f(z1,…,zμ)が

論 理 式R(x1,…,xν,y)で

対 象 式f(z1,…,zμ)で

表 現 さ れ れ ば,関

(εn)[n≦f(z1,…,zμ) &

R{x1,…,xν,n)]

(εn)[n
R(x1,…,xν,n)]

表 現 さ れ, 数

お よび

は,そ

れ ぞ れ,対

象式 εy[y≦f(z1,…,zμ)∧R(x1,…,xν,y)]

お よび εy[y
で 表 現 さ れ る.   証 明   定 理7.12と   定 理7.15  か つ,命

そ の 系,お

よ び 定 理7.13に

関 係R(x1,…,xν,y)が

よ る(証 明 終 わ り).

論 理 式R(x1,…,xν,y)で

表 現 さ れ,

題 (∀m,…mν)(∃n)R(m1,…,mν,n)

が 成 り立 つ と き に は,1)関

数 (εn)R(x1,…,xν,n)

は,対

象式 εyR(x1,…,xν,y)

で 表 現 さ れ る.   証 明   定 理7.13に と し て,そ

お け る 条 件(*)が

み た さ れ る こ と を 言 え ば よい.ν=1

れ を 示 す.

  示 す べ き こ と は,任

意 の 自然 数mに

対 して

1. 2.

が 成 り立 つ とい うこ とで あ る.

 1)(∀m1…mν)は'ν

個 の任 意 の 自然 数m1,…,mν (∀m1)…(∀mν)

とい う列 の略 記 法 と思 え ば よい.

に つ い て'と い うこ とを 表わ す.そ

れは

と な り,1.は   ま た,仮 て,2.も

正 し い. 定(∀m)(∃n)R(m,n)か

正 し い(証

  定 理7.16 

ら,2.の

前 提 が 成

り立 つ こ と は な い.よ

っ

明 終 わ り).

2つ

の 関 数f(z1,…,zν),g(x,y,z1,…,zν)が

与 え ら れ れ ば,

 (1)

に よ っ て,関

数h(x,z1,…,zν)が

式f(z1,…,zν)と 定 理6.1に

ν+2変

一 意 的 に 定 義 さ れ る.ま 数 の 対 象 式g(x,y,z1,…,zν)が

た,ν

変 数 の 対 象

与 え ら れ れ ば,

よ る と

 (2)

の い ず れ も が 証 明 で き る よ う な ν+1変 る.こ 式hで

の と き,も

し 関 数f,gが

数 の 対 象 式h(x,z1,…,zν)が

対 象 式f,gで

表 現 さ れ れ ば,関

存在 す 数hも

対象

意 の 自 然 数m,k,nに

対

表 現 さ れ る(ν=0,1,2,…).

  証 明   ν=1と

し て 証 明 す る.証

明 す べ き こ と は,任

して  (3)

と な る,と い う こ とで あ り,証 明 に 用 い て よい 仮 定 は,任 意 の 自然 数k,nに

対

して  (4) と い う こ と,お

よ び,任

意 の 自 然 数m,n,k,lに

対 して

 (5)

と い う こ と で あ る.   自然 数mに

つ い て の 数 学 的 帰 納 法[内 容 的 な 意 味 で の数 学 的 帰 納 法]に よ っ

て 証 明 す る.   Ⅰ. m=0の

場 合. h(0,k)=n⇒f(k)=n 

[(1)]

[(4)] [(2)]  Ⅱ. (3)が

成 り立 つ と 仮 定 し て

を示 す.  (6) 

h(m,k)=n

と お く.帰

納 法 の 仮 定(3)に

よっ て

  (7) ゆえに [(1)] [(6)] [(5)] [(7)] [(2)] (証 明 終 わ り)   定 理7.16に xy,xy,x!の

よ れ ば,x+y,xy,xy,x!な

ど の 関 数 は,す

  7.3 

そ れ ぞ れ に よ っ て 表 現 さ れ る,と

表現 可能 な関係

  関 係x=y,x≦y,x
い う こ とが わ か る.

・関 数 の 例 関 数x+y,xy,xy,x!な

ど が,そ

よ び 対 象 式x+y,xy,xy,x!で

下 に お い て は,前

べ て 対 象 式x+y,

論 理 式 や 対 象 式 は 明 示 し な い が,そ

理式

表 現 され る こ とは す で に

記 の 諸 定 理 の 応 用 と し て,適

で 表 現 さ れ る 関 係 や 関 数 の 例 を 挙 げ る.た

れ ぞ れ,論

だ し,そ

当 な論理 式や対 象式

の 場 合,そ

れ らを 表 現 す る

こ で 用 い られ た 定 理 か ら 容 易 に 知 る こ と が

で き る.   関 係 や 関 数 が 適 当 な 論 理 式 や 対 象 式 で 表 現 さ れ る と き,そ 値 別 に 表 現 可 能(numeralwise あ る と い う.

expressible)で

あ る,ま

の関係 や関数 は数

た は,単

に 表 現可能 で

  1°  xがyの

約 数 で あ る と い う関 係x￨yは

  証 明   関 係x￨yと

は(∃n)(xn=y)と

い う こ と で あ る が,そ

(∃n)[n≦y & と 書 い て も 同 じ こ とだ か ら,定   2°  mが

表 現 可 能 で あ る.

xn=y]

理7.12を

用 い る こ とが で き る(証 明 終 わ り).

素 数 で あ る とい う命 題 をPrim

1項 関 係Prim  証 明   Prim

xは

mと

表 わ す こ と に す る.こ

xと

は

と い う こ と で あ る が,最

or n=x) &

初 の(∀n)(…)の

x>1

部分 を

(∀n)[n≦x⇒(n￨x⇒n=1

と 書 い て も 同 じ こ とだ か ら,定 目 の 素 数 をpiと p0=0, こ の と き,xの

の とき

表 現 可 能 で あ る.

(∀n)(n￨x⇒n=1

 3°  i番

れは

関 数pxは

or n=x)]

理7.12を

用 い る こ と が で き る(証 明 終 わ り).

表 わ し(i=1,2,…),p0=0と p1=2,

p2=3,

お く:

p3=5,….

表 現 可 能 で あ る.

  証 明   関 数pxは,次

の よ うに し て 定 義 さ れ る:

定 理7.16に

数pxが

よ れ ば,関

表 現 可 能 で あ る こ と を い うた め に は,上

の第

2式 に 使 わ れ て い る 関 数 (εn)(Prim

n &

が 表 現 可 能 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.ま

y
た,そ

れ を 示 す た め に は,定

理7.15

に よ れ ば, (∀m)(∃n)(Prim を 示 せ ば 十 分 で あ る が,素

n &

m
数 が 無 限 に あ る と い う事 実 か ら,こ

れ は 明 らか で あ

る(証 明 終 わ り).   4°  与 え ら れ た 自 然 数 

を素因数分解 して a=p1n1・p2n2・

と な っ た と す る.こ

&

の と き,各niは,aとiか

…

・pνnν ら 一 意 的 に 定 ま る[ν
と

き はni=0].こ (a)i=0と

のniの お く.こ

こ と を(a)iと

表 わ す.a=0と

の よ うに し て 定 ま る 関 数(x)yは

かi=0の

場 合 は,

表 現 可 能 で あ る.

 証 明   この関数 は (x)y=(εn)(pyn￨x & と し て 定 義 さ れ る が,こ

pyn+1￨x)

れは

(x)y=(εn)[n≦x & と し て も 同 じ こ とだ か ら,定

理7.14を

(pyn￨x & pyn+1￨x)] 用 い る こ と が で き る(証 明 終 わ り).

8.  ゲー デ ル の不 完全 性 定理

  厳 密 性 を さ らに 増 加 さ せ よ う とす る方 向 に お け る数 学 の発 達 は,よ て い る よ うに,広

く知 られ

範 囲 の 数 学 を 形 式 化 す る とい う事 態 を もた ら した.そ れ は,

い くつ か の 少 数 の機 械 的 な 規 則 に よ っ て,す べ て の 証 明 が 遂 行 さ れ る とい う こ とで あ る.最

も包 括 的 な 現 存 の 形 式 的 体 系 は,一 方 に お い て は プ リ ンキ ピ ア ・

マ テ マ テ ィ カ(PM)1)の

体 系 で あ り,他 方 に お い て は ツ ェ ル メ ロ(E. Zermelo)-

フ レ ンケ ル(A. Fraenkel)の[さ さ れ た]集

らに,ノ

合 論 の公 理 系2)で あ る.こ

イ マ ン(J. v. Neumann)に

の2つ の 体 系 は,こ ん に ち 数 学 に お い て

用 い られ て い る 証 明方 法 の す べ て が,こ い か え れ ば,い

よ って 整 備

の体 系 のな か で形 式 化 さ れ る程 の,言

くつ か の 少 数 の 公 理 と推 論 規 則 に 還 元 され て しま う,と い う程

の 広 さ を も っ て い る.そ れ ゆ え に,そ

の 公 理 と推 論 規 則 が,そ の 体 系 の な か で

形 式 的 に 書 き表 わ し 得 るす べ て の数 学 的 問 題 の 真 偽 を 決 定 す る た め に も十 分 な も の で あ る,と 予 想 す る の は も っ と も な こ と と言 え る.し か し,以 下 に 示 す よ うに,実

際 は そ うで は な くて,上 記 の 両 体 系 に は,普 通 の 整 数 に 関 す る理 論 に

お け る比 較 的 簡 単 な 問 題 の な か に さ え,そ 題 が 存 在 す る.3)こ の 情 況 は,既 1)  A. Whitehead, の 公 理 に,わ

B. Russell,

存 の 体 系 の特 殊 な 性 格 に は ま った く関 係 の な

Principia

Mathematica,

れ わ れ は と く に 次 の も の を 追 加 す る:無

う ど 可 算 個 あ る,と い う 形 で],還

の 公 理 か らは 真 偽 の決 定 で き な い 問

元 の 公 理(axiom

2版,

Cambridge

限 公 理(axiom

of

of reducibility)お

1925.こ

の 体 系PM

infinity)[1階

の対 象 が ち ょ

よ び 選 択 公 理(axiom

of

choice)

[各 階 に 対 し て]. 2)  A. Fraenkel, u. Hyp. 27,

Zehn

ⅩⅩ ⅩⅠ 巻.J.

1928.

Journ.

め に は,上

Vorlesungen

v. Neumann,

f. reine

uber Die

u. angew.

die

Grundlegung

Axiomatisierung

Math.

154(1925),

い う こ と に 注 意 し て お く.―

Math.

P. Bernays, Math. 3)  +(加

Ann.

Math.

Ann.

93を

これ を,さ 法),・(乗

で あ る.こ

88, Ann.

Abh. 90.

aus

以 下 の 考 察 は,近 Sem.

J. v. Neumann,

式 化 を 完 結 す るた

年 ヒル ベル トと彼 の協 力 者 達

存 の も の に 関 す る 限 り は]通

der

Math.

参 照.形

Zeitschr.

Univ.

Zeitschr.

Hamburg

Ⅰ(1922),

26(1927).

W.

用 す る.D. Ⅵ(1928).

Ackermann,

参 照. ら に 精 確 に 言 え ば,論

法)以

こ で,限

d. math.

Wissensch. Math.

ら に 論理 計 算 の公 理 と推 論 規 則 を つ け 加

に よ っ て 作 ら れ て い る い くつ か の 形 式 的 体 系 に 対 し て も[現 Hilbert,

Mengenlehre,

Mengenlehre,

160(1929)を

に 引 用 し た 文 献 で 与 え られ た 集 合 論 の 公 理 に,さ

え ね ば な ら な い,と

der der

理記号

￣, &

外 の 概 念 を 全 然 含 ま な い,そ

定 作 用 素(∀n)も

,(∀n),=の

ほ か に は,自

然 数 につ い て の

うい う決 定 不 能 な 命 題 が 存 在 す る,と

ま た 自 然 数 に つ い て の み 用 い て よ い こ と に し て い る.

い うこ と

い も の で,非

常 に 広 い 範 囲 の 種 々 の体 系 に 対 して 成 り立 つ.と

くに,前 記 の 両

体 系 に 有 限 個 の 公 理 を 追 加 して 得 られ る体 系 な ど は,追 加 さ れ た 公 理 か らは 前 頁 の 脚 註3)で

述 べ た 種 類 の偽 な 命 題 は1つ

も証 明 され な い,と

い う仮 定 の も

とで,す べ て こ の範 囲 に 属 し て い る.

  以 上 は[脚 註 を も 含 め て],不   Uber

formal

verwandter (1931),

完 全性 定理 に関 す る ゲーデル の有 名な論 文

unentscheidbare Systeme

Satze

Ⅰ, Monatshefte

der

Principia

fur

Mathematik

Mathematica und

and

Physik,

38

173-198

  [プ リ ン キ ピ ア ・マ テ マ テ ィ カ お よ び 同 種 の 諸 体 系 に お け る 形 式 的 に 決 定 不   能 な 命 題 に つ い て Ⅰ,数 の 冒 頭 の 一 節 で あ る.そ

学 物 理 学 月 報,38巻(1931年),173-198頁]

し て 彼 は,ペ

ア ノ の 公 理 に プ リ ン キ ピ ア ・マ テ マ テ ィ

カ の 論 理 を 適 用 し た 体 系 を 例 に と り,そ る こ と を 示 し た.本

書 の1.1-1.6で

質 的 に は,内

  '決 定 不 能 な 命 題'と

定 不 能 な 命 題'の

与 え た 形 式 的 体 系 は,じ

採 用 し た 体 系 そ の も の で あ っ て,と 公 理 は,実

の 体 系 に'決

くに 前 頁 の 脚 註1)で

存在 す

つは ゲーデ ルの

言 うところ の還元 の

包 の 公 理(公 理 Ⅳ)に 含 ま れ て し ま っ て い る. い う と き の'命

題'は,内

容 的 な 解 釈 に お い て,本

真 偽 の 定 ま っ て い る べ き 命 題 を 意 味 し て い な け れ ば な ら な い か ら,形

来は

式的 体 系

に お い て は 自 由 変 数 を 含 ま ぬ 論 理 式 に よ っ て 表 わ さ れ る.   以 下,ゲ

ー デ ル に 従 っ て,わ

れ わ れ の 形 式 的 体 系 に お け る決 定 不 能 命 題 の 存

在 を 示 す.

  8.1 

ゲー デル 数

  わ れ わ れ の 形 式 的 体 系 は,1.1で

述 べ た 記 号 の み で 構 成 さ れ て い る.そ

後,略 記 法 に 関 連 し て 種 々 の 記 号 を 導 入 し た け れ ど も,そ '用 い ら れ て い な い 記 号'な の で あ る .   わ れ わ れ の 形 式 的 体 系 で は,対 は,1.1で

れ ら は,原

理的には

象 式 と か 論 理 式 と い う も の を 用 い た.そ

述 べ た 記 号 の 特 種 な 有 限 列 に つ け ら れ た 名 称 で あ っ た.こ

の

れ ら

こで言 う

'対 象 式'と

は

,1.2で

定 義 し た 意 味 の も の で あ っ て,略

'拡 張 さ れ た 意 味 で の 対 象 式'(4 .5)は,い 味 で の 対 象 式 は,原

理 的 に は'用

  形 式 的 体 系 の 最 終 目標 は,'証

ま は 問 題 に し て い な い.拡

い ら れ て い な い'も

れ わ れ は,形

考 え よ う.す

な わ ち,形

式 化 され 式 化 され

号 の 有 限 列 の 有 限 列 で あ る.

  わ れ わ れ は,あ 有 限 列 の 有 限 列'に

る 規 則 に し た が っ て,個 自然 数 を1つ

々 の'記

号'・'記 号 の 有 限 列'・'記 号 の

ず つ 対 応 さ せ る.そ

れ た 自然 数 を ゲ ー デ ル 数(Godel   わ れ わ れ は,ゲ

張 され た 意

の だ か ら で あ る.

明'の 形 式 化 で あ る.わ

た 証 明 と は 論 理 式 の 特 殊 な 有 限 列 で あ る,と た 証 明 と は,記

記 法 に 関 連 して 用 い た

number)と

の よ うに して 対 応 さ せ ら

よ ぶ.

ー デ ル 数 を 対 応 さ せ る 規 則 を 次 の1°,2°

の よ う に 定 め る:

  1°  記 号 の ゲ ー デ ル 数   ま ず,記

号0,′,∈,￢,→,∀,(,)に

は

0 

′  ∈  ￢  → 

∀ 

( 

)

1 

3 

11 

13 

15

5 

7 

9 

の よ うに 自然 数 を 対 応 させ る.す な わ ち,上 に 書 い て あ る各 記 号 に,そ

の下に

書 い て あ る 自然 数 を 対 応 さ せ る の で あ る.   n階 の変 数 の そ れ ぞれ に は,15よ

り大 きい 素 数pを 用 い てpnと

自然 数 を 対 応 させ る.す な わ ち

に は,そ

1階

の 変 数: 

ξ1,η1,ζ1,…;

2階

の 変 数: 

ξ2,η2,ζ2,…;

3階

の 変 数: 

ξ3,η3,ζ3,…;

れ ぞ れ

を 対 応 さ せ る.

17,

19,

23,…;

172,

192,

232,…;

173,

193,

233,…;

表 わ され る

  2°  有 限 列 の ゲ ー デ ル 数   記 号X1,X2,…,Xν

か らな る有 限 列

  s: 

X1X2…Xi…Xν

を 考 え る.各

記 号Xiの

ゲ ー デ ル 数 がniで n=2n1・3n2・ …

と し て 定 ま る 自 然 数nを

列Sの

あ る と き,

・pini・… ・pνnν

ゲ ー デ ル 数 と す る.こ

こ で,piはi番

目の 素

数 を 表 わ す.   記 号 の 有 限 列 の 有 限 列 に つ い て も ま っ た く 同 様 で,ゲ 限 列Siか

ー デ ル 数niを

もつ 有

らな る有 限 列 S1,S2,…,Sν

の ゲーデル数 は n=2n1・3n2・ … と し て 定 ま る 自 然 数nで   例1 

対 象 式2す

あ る とす る.

な わ ち0〃

は,3つ

き る 有 限 列 で あ り,記

号0の

あ る か ら,対

ゲーデル数 は

象 式2の

・pνnν

の 記 号0,′,′

ゲ ー デ ル 数 は1,記

を,こ

の順 に並べ て で

号 ′の ゲ ー デ ル 数 は3で

21・33・53=6750.   例2 

対 象 式0と

0の

は,記

号0を

た だ1つ

並 べ て で き る 列 で あ る か ら,対

象式

ゲーデル 数は 21=2.

  記 号 の 有 限 列Sの

ゲーデ ル数 を

と 表 わ す.   例3    1.2で

は 明 瞭 に は 述 べ な か っ た が,1つ

の 記 号 そ の も の と,そ の 記 号1つ

列 とは,概 念 的 に は 異 な った も の で あ る.そ れ ゆ え,た 数 は1で

あ った が,対

っ て,ゲ

ーデル数 を表わす 記法

象 式0の

ゲ ーデ ル 数 は2と   は,記

と え ば,記

な る(例2).こ

号0の

か らな る ゲ ーデ ル

の よ うな事 情 も あ

号 の 有 限 列 に 対 して の み 用 い る こ と に

 限 定 して お い た の で あ る.

  以 上 の ゲ ー デ ル 数 の 定 義 に よれ ば,記 号 とか,記

号 の 有 限 列,ま た は,記 号

の 有 限 列 の 有 限 列 の1つ を 任 意 に 与 え た と き,そ の ゲ ー デ ル 数 は 一 意 的 に 定 ま る.逆

に,任 意 の 自然 数nを

な っ て い る か ど うか,ま

与 え た と き,nが

た,ゲ

な に か 或 る もの の ゲ ー デ ル 数 に

ー デ ル 数 に な って い る場 合 に は,nが

どん な も

の の ゲ ー デ ル 数 に な っ て い る か とい う,そ の も と の も の を 一 意 的 に 確 定 す る こ とが で き る.   上記 の ゲ ーデ ル数 の定義 に よれ ば,た とえば   1.

記 号の ゲーデ ル数 は奇数;

  2.

記 号の有限列 のゲーデ ル数 は,2と

  3.

い う因数を奇数個 もってい る偶数;

記 号の有限 列 の有 限列 のゲ ーデ ル数は,2と

い う因数 を偶数 個 もって

い る偶 数   とい うような性質 が ある.こ れ も,判 定 基準 の1つ と して利 用す る ことが で きる.  また,有 限 列の ゲーデ ル数 か らも との 有限列 が一 意 的に確定 す るこ とは,自 然 数 の 素 因数分解 の一意性 に よる.   以 上 に よ って,対

象 式 や 論 理 式,或

の の す べ て が,そ れ ぞ れ,ゲ さ れ る,と

い は,形 式 化 さ れ た 証 明 とい うよ うな も

ー デ ル 数 と よば れ る 自然 数 に よ っ て 一 意 的 に 代 表

い う こ とが わ か った.

  8.2  証 明 の 形 式 化   形 式 化 され た 証 明 とい う も の が,論 理 式 の ど の よ うな 有 限 列 で あ る か に つ い て は,前

に 述 べ る機 会 が な か った の で,こ

こ で,そ

の概 念 を一 応 は っ き りさせ

て お く.   直 接 の結 論   推 論 規 則1(1.6)に

よれ ば,2つ

導 く こ とが で き る.論 理 式Bの の 結 論(immediate

consequence)と

  推 論 規 則2(1.6)に き る[こ こ で,ξ

よれ ば,論

の 論 理 式AとA→Bか こ と を,2つ

ら 論 理 式Bを

の 論 理 式AとA→Bの

直接

い う. 理 式Aか

ら 論 理 式 ∀ξAを

は 任 意 の階 数 の 任 意 の変 数 で あ る].論

導 くこ とが で

理 式 ∀ξAの

ことを

論 理 式Aの

直 接 の 結 論 とい う.

  '直接 の 結 論'と い う言 葉 は,上 記 の2種 類 の 場 合 以 外 に は 用 い な い.   形式 化 され た証 明   論 理 式 の列   (*) 

A1,A2,…,Aν

が 証 明 で あ る とは,こ

の 列 に 現 わ れ るす べ て の 論 理 式Ak(k=1,2,…,ν)

の そ れ ぞ れ に つ い て,   1.  Akは

公 理(1.5)で

あ るか

或 いは   2.  Akは,Akよ

り前 に 現 わ れ る1つ の 論 理 式Ai(i
理 式Ai,Aj(i,j
た は2つ

の論

直 接 の結 論 であ るか

の い ず れ か が 必 ず 成 り立 って い る こ と を 言 う.   証 明(*)の

最 後 の 論 理 式Aν

が 論 理 式Bで

あ る と き,(*)を

論 理 式B

の 証 明 とい う.   与 え られ た 論 理 式Bに

対 して,Bの

証 明 は必 ず し も存 在 しな い が,も

し存

在 し た と し て も,そ れ は 一 意 的 に は 定 ま らな い.   論 理 式Bが

証 明 で き る(1.6)と

は,Bの

証 明 が 存 在 す る,と い うこ とに ほ

か な ら な い.

  論 理 式 の 集 合Kか

らの(形 式 的)証 明

  話 を 少 し一 般 化 し て お くた め に,わ れ わ れ の 形 式 的 体 系 に い くつ か の公 理 を 追 加 した 場 合 を も,あ らか じめ 考 慮 して お く.   論 理 式 の 集 合Kが き の 証 明 をKか

任 意 に 与 え られ た と し,Kの

元 を す べ て 公 理 と考 え た と

らの 証 明 また は 単 にK‐ 証 明 とい う.

  論 理式 の列 A1,A2,…,Aν がK‐ 証 明 で あ る と は,こ れ ぞ れ に つ い て,

の列 に 現 わ れ る 論 理 式Ak(k=1,2,…,ν)の

そ

  1.  Akは

公理 であ るか

  2.  AkはKの

元 で あ るか

  3.  Akは,Akよ

り前 に 現 わ れ る1つ

論 理 式Ai,Aj(i,j
の 論 理 式Ai(i
た は2つ

の

直 接 の 結 論 で あ るか

ね に 必 ず 成 り立 っ て い る こ と を 言 う.

  K‐ 証 明 の 最 後 の 論 理 式 がBで

あ る と き,そ

のK‐ 証 明 を 論 理 式BのK‐

証明

と い う.   論 理 式BのK‐

証 明 が 存 在 す る と き,BはKか

  論 理 式 の 集 合Kの

表現可 能性

  論 理 式 の 集 合Kが

与 え ら れ た と し,Kに

ら 証 明 で き る と い う.

属す論理式 の ゲーデル数全体 の集

合 を κ と お く: κ={｢A｣￨A∈K}. こ の と き,xに こ と を,κ   例1 

つ い て の1項

関 係x∈

κ が[数

は 表 現 可 能 で あ る と か,Kは 論 理 式 の 有 限 集 合Kは

  な ん と な れ ば,Kが

値 別 に]表

現 可 能 で あ る(7.3)

表 現 可 能 で あ る,と

い う.

表 現 可 能 で あ る.

有 限 集 合 な らば,Kの

元 の ゲ ー デ ル 数 の 集 合 κ も 自然

数 の 有 限 集 合 で あ り, κ={n1,n2,…,nν}   で あ る とす れ ば,関

係x∈

κは

x=n1orx=n2or…orx=nν

  と い う こ と で あ り,こ

れ は,論

理式

x=n1∨x=n2∨

…

∨x=nν

  で[数 値 別 に]表 現 さ れ る か ら(7.1).   例2 

Kが

空 集 合 な らば,Kは

  な ん と な れ ば,Kが 合 で あ り,κ

表 現 可 能 で あ る.

空 集 合 な ら ば,Kの

が 空 集 合 な ら ば,関

現 さ れ る か ら.

係x∈

元 の ゲ ー デ ル 数 の集 合 κも空 集 κ は,た

と え ば 論 理 式 

で表

  "xは

或 るK‐

数 がyで

証 明 の ゲ ー デ ル 数 で,そ

のK‐

証 明 の 最 後 の論 理 式 の ゲ ー デ ル

あ る"

と い う関 係 を xBKy と 表 わ す.論 x,yに

理 式 の 集 合Kを

つ い て の1つ

の2項

  2項 関 係xBKyの

任 意 に1つ

固 定 す れ ば,こ

の 通 り:

対 し て,

  1.  mがK‐

証 明 の ゲ ー デ ル 数 で な け れ ば,mBKnは

  2.  mがK‐

証 明 の ゲ ー デ ル 数 で あ っ て も,そ

ゲ ー デ ル 数 がnで   3.  mがK‐ 数 がnで

な け れ ば,mBKnは

あ れ ば,mBKnは

  Kが

証 明の最後 の論理 式 の

のK‐ 証 明 の 最 後 の 論 理 式 の ゲ ー デ ル

真.

ば し ば,'ゲ

を 短 絡 的 に"xはyのK‐

のK‐

偽.

偽.

証 明 の ゲ ー デ ル 数 で,そ

  わ れ わ れ は,し

の 自然 数

関 係 で あ る.

定 義 を く わ し く述 べ れ ば,次

  任 意 の 自 然 数m,nに

れ は,2つ

ー デ ル 数'と い う言 葉 を 省 略 し て,xBKyの

証 明 で あ る"な

こと

ど と読 む.

空 集 合 で あ る と き のxBKyを xBy

と 表 わ し,そ

れ を"xはyの

が[1.1−1.6で

証 明(独Beweis)で

い う こ と で あ る.し

証 明 の ゲ ー デ ル 数 で あ る とい う こ と は mB｢A｣

と 表 わ さ れ,Aが

証 明 で き る と い う こ と,す 〓A

と い うの は (∃m)(mB｢A｣) と 表 わ し て も 同 じ こ と で あ る.   xに

読 む.そ

の 意 味 は,x

与 え た 形 式 的 体 系 に お け る]証 明 の ゲ ー デ ル 数 で,そ

最 後 の 論 理 式 の ゲ ー デ ル 数 がyと 論 理 式Aの

あ る"と

つ い て の1項

関 係(∃m)(mBx)を

なわ ち

た が っ て,自

の証 明 の 然 数mが

Bew(x) と表 わ し,"xは

証 明 で き る(独beweisbar)"と

読 む.く

わ し くは,"xは

証明

で き る 論 理 式 の ゲー デ ル 数 で あ る"と い う こ とで あ る.ゆ え に,論 理 式Aに 対 して Bew(｢A｣) とい うの は〓Aと   同 様 に,関

い うこ とに ほ か な らな い.

係(∃m)(mBKx)を BewK(x)

と表 わ し,"xはKか

ら証 明 で き る"と 読 む.論 理 式Aに

対 して,

BewK(｢A｣) とい う こ とを K〓A と表 わ す.こ

れ は,AがKか

  8.3  BewK(x)の

ら証 明 で き る とい うこ と で あ る.

性 質Ⅰ

  補 助 定 理Ⅰ  論 理 式 の 集 合Kが

表 現 可 能 で あ れ ば,関

係xBKyは

表 現可 能

で あ る.   こ の 補 助 定 理 の 証 明 は9.3で

お こな う.こ の 章 で は,こ

の補助 定理 が証 明 さ

れ た も の と し て 話 を す す め る.   ま た,以

後 と くに 断 わ らな くて も,論 理 式 の 集 合Kは

表 現可 能で あ る とし

て お く.   関 係xBKyは x,yの

表 現 可 能 で あ る か ら,こ の 関 係 を[数 値 別 に]表 現 す る2変 数

論 理 式 が 存 在 す る.そ の 論 理 式 をxBKyと

自然 数m,nに  (1)  (2)

が 成 立 す る.  定 義8.1

対 して

す る.そ

うす れ ば,任 意 の

  こ の よ うに し て 定 義 さ れ た 論 理 式BewK(x)は る.し

か し,関

な い.事

実,不

係BewK(x)が

関 係BewK(x)に

論 理 式BewK(x)で

表 現 され て い る わ け で は

完 全 性 定 理 に よ れ ば,BewK(n)で

が 証 明 で き な い 自 然 数nの

対 応 してい

は あ る が 論 理 式￢BewK(n)

存 在 が 示 さ れ る の で あ る(定 理8.4の

系,あ

るい は

定 理10.3).   し か し,定

義8.1に

よ っ て 定 義 さ れ た 論 理 式BewK(x)に

対 し て,次

の定

理 は 成 立 す る:   定 理8.1 

Kが

表 現 可能 であ れば

  こ こ で 用 い られ て い る記 号 『』   任 意 の 記 号 の 有 限 列Sに を 『S』 と表 わ す.Sの 対 象 式nを

は,一 般 に,次

対 して,Sの

の 意 味 に お い て使 用 す る:

ゲ ー デル 数｢S｣に

ゲ ー デ ル 数｢S｣が

自然 数nで

対 応 す る対 象 式

あ る と きに は,『S』 は

意 味 す る の で あ る.

  定 理8.1の

証明

 [(1)]

す なわ ち [定 義8.1] (証 明 終 わ り)   Kが

空 で あ る と き のBewK(x)をBew(x)と

Bew(x)に

対 応 し て い る.Kが

 定 理8.1の

  定 理8.1は,実  定 理8.1の

表 わ す.こ

空 の と き の 定 理8.1は

系1

際 に は,次 の 形 で 用 い ら れ る: 系2Kが

 証 明   BewK(『A』)をBと

表 現可 能で あれ ば

お く.定

理8.1は

の 論 理 式 は,関

係

で あ り,証 明す べ き こ とは

で あ るか ら,系2を

を 示 せ ば よ い.し

証 明す るために は

か し,こ

  論 理 式BewK(x)が

れ は 明 らか(証 明 終 わ り).

関 係BewK(x)に

対 応 し て い る,と

論 理 式BewK(『A』)はBewK(｢A｣)す い る.し

か し,ゲ

に は,論

理 式BewK(x)は

く,と

な わ ちK〓Aと

ー デ ル の 不 完 全 性 定 理 に よ れ ば,前 関 係BewK(x)を

くに,BewX(｢A｣)[す

  し か し,論

に も触 れ た よ うに,一

般

い う事 実 が 成 り立 た な い か ら と

証 明 で き るわ け で は な い(定 理8.4の

理 式BewK(『A』)がK〓Aと

解 釈 に よ れ ば,せ

い う事 実 を 表 明 し て

数 値 別 に 表 現 して い る わ け で は な

な わ ち,K〓A]と

い っ て も 論 理 式￢BewK(『A』)が

い う 意 味 に お い て,

系).

い う事 実 を 表 明 し て い る と い う

めて (定 理8.1の

逆)

とか (系2の が 成 り立 つ 程 度 の こ とは 期 待 した い の で あ るが,そ れ に は,い

逆)

さ さか の条 件 が

必 要 に な る.   次 節 で は,そ の こ とに つ い て 調 べ る.

  8.4  ω‐ 無 矛 盾 性BewK(x)の  

性 質Ⅱ

Kを 論 理 式 の 集 合 とす る.  か つ

で あ る論 理 式Aが   1)  Kが

存 在 す る と き,Kは

有 限 集 合 で,K={C1,C2,…,Cν}で

し た,仮 定C1,C2,…,Cν

矛 盾 す る とい い,1)Kが あ る とき,Kが

矛 盾 しな い と

矛 盾 す る とい うこ と と,2.4で

定義

が 矛 盾 す る とい うこ と とは,必 ず し も一致 し な い.そ れ は,定 理3.7に

関 連 し て 述 べ た'変 数 条 件'な る も の に 関 係 し て い る(3.5).   変 数 条 件 は 仮 定 に 含 まれ て い る 自 由変 数 だ け を 問 題 に して い るか ら,自 由変 数 を 含 ま な い 仮 定 に つ

き,Kは

無 矛 盾(consistent)で あ る とい う.

  空 集 合Kが

矛 盾 す る とは,形 式 的 体 系 そ の も の が 矛 盾 す る こ と(2.4)を

味 し,空 集 合Kが  2.4の

無 矛 盾 で あ る こ と を,形 式 的 体 系 が 無 矛 盾 で あ る とい う.

公 式2.3に

き,逆 に,Kか だ か ら,Kが

意

よれ ば,矛

盾 す るKか

らは す べ て の 論 理 式Bが

ら す べ て の 論 理 式 が 証 明 で きれ ば,も 無 矛 盾 で あ る とい う こ と は,Kか

ち ろ んKは

証明で

矛 盾 す る.

ら証 明 で き な い 論 理 式 が 少 な く

と も1つ 存 在 す る,と い うこ と と も言 え る.   さ て,何 度 か 述 べ て きた よ うに,ゲ 多 数 のKに

ー デ ル の 不 完 全 性 定 理 に よれ ば,相

当に

対 して,

で はあ るが ∀xF(x)

はKか

ら証 明 で きな い,と い う よ うな,1変

(定理8.8).[た

数xの

論 理 式F(x)が

あ り得 る

だ し,形 式 的 体 系 そ の も の は 無 矛 盾 と し て の 話 で あ る.]こ

の よ うなF(x)が

存 在 す るKか

と い う集 合K1を

作 る と,

ら

かつ とな る.の み な らず,こ

のK1は

由 変 数 を 含 まな い の で,も

しK1が

無 矛 盾 で あ る.何

とな れ ば,∀xF(x)は

自

矛 盾 す る とす れ ば した が っ て

と な り,Kか

ら ∀xF(x)が

証 明 で き な い と い う こ とに 反 す る か ら で あ る.

  ω‐矛 盾  論 理 式 の 集 合Kが

ω‐矛 盾 す る(ω‐inconsistent)と

  [前頁 よ り] いては,そ れ を考慮す る必 要はない.た とえば,Kが まない論 理式 のい くつかをKか 論理式 の範囲 に変化は ない.

は

有限集合 であ る ときに限 らず,自 由変数 を含

ら取 り去 り,そ の取 り去 った論理式を 仮定 と考え て も,証 明で きる

かつ と な る論 理 式F(x)が   論 理 式 の 集 合Kが

存 在 す る こ とを い う. ω‐ 矛 盾 し な い こ とを,Kは

ω‐ 無 矛 盾(ω‐consistent)で

あ る とい う.   前 に 述 べ たK1の

よ うに,無 矛 盾 な 論 理 式 の 集 合 が ω‐ 矛 盾 す る こ と は,い

く らで も あ り得 る.し か し,1階 す るKは

の対 象 を 自然 数 と理 解 す る とす れ ば,ω‐矛 盾

内 容 的 な 矛 盾 を 含 ん で い る.た だ,そ

の 内 容 的 な 矛 盾 が,必 ず し も

形 式 的 な矛 盾 を 導 く とは 限 ら な い,と い うに 過 ぎ な い.も 理 式 の集 合Kは

必ず ω‐ 矛 盾 す る か ら,Kに

ち ろ ん,矛 盾 す る論

つ い て の 条 件 と して は,ω‐ 矛 盾

は,た だ の 矛 盾 よ り も弱 い 条 件 に な って い る.1)し た が っ て,ω‐ 無 矛 盾 とい う の は,た だ の 無 矛 盾 とい うの よ りは 強 い 条 件 で,ω‐ 無 矛 盾 なKは

必ず 無 矛盾

で あ る.   1階 の対象 とは 自然数 の こ とで ある,と い うのは,あ くまで も形式 的体系 の解釈 の しか たの1つ であ り,形 式的 体系か らそ の解 釈が必然 的 に導 かれ るもの ではない. 論理式 の集合Kが 矛盾す る とい うのは,形 式 的体系 の解 釈のいか んを問わず,Kか ら形式 的に矛 盾が導 かれ る,と い うことで あ る.ω‐矛盾 とい うのは,対 象式 0,1,2,3,…   で表 わ さ れ る対 象 以 外 に も1階 の 対 象 が 存 在 す る とい う こ とで あ る か ら,1階 象 の す べ て が0,1,2,…

の対

の どれ か で 必 ず 表 わ され る とい う通 常 の解 釈 に 固執 す れ

ば,ω‐ 矛 盾 は 内 容 的 な 矛 盾 の1つ で あ る.2)

  定 理8.2 

論 理 式 の 集 合Kが

表 現 可 能 か つ ω‐無 矛 盾 な らば

か つ 

 証明 

と 仮 定 し,Kが

ω‐ 矛 盾 す る こ とを

示 せ ば よ い.

  1)  ゲー デ ル も,の ち に'弱 い 意 味 の 矛 盾(contradiction

in a weaker

sense)'と

い う言 葉 を ω‐

矛 盾 の 意 味 に 用 い た こ とが あ る.   2)  集 合 論 な ど で は,自 然 数0,1,2,… い う と きの ω は,こ とい う意 味 で あ る.

の全 体 か らな る集 合 を ω と表 わ す 習 慣 が あ る.ω‐ 矛 盾 と

の 意 味 の も の で は あ るま い か と思 う.1階

の対 象 の 全 体 を ω と考 え る と矛 盾,

 [8.3の(2)]

BewK(『A』)と

をF(y)と

論理式 

の2つ

で あ る.こ

ら,Kが

の こ とだ か ら

す なわち 

は 

表 わ せ ば,上 に 示 し た こ とは

れ ら は, 

と 

とい う2つ

の 仮 定か

ω‐ 矛 盾 す る こ とが 導 か れ る,と い うこ と を示 して い る(証 明 終 わ り).

 系  定 理8.2と

同 じ仮 定 の も とで

 証 明   定 理8.1に

よれ ば,〓

とい うこ と と定 理8.2よ

だ け を 証 明 す れ ば よい.し

か し,そ れ は

り明 らか(証 明 終 わ り).

  8.5  ゲ ー デ ル の 対 角 化 定 理   定 理8.3 

1変 数xの 論 理 式F(x)が

任 意 に 与 え ら れ た と き,自 由変 数 を 含

〓ぬ 論 理 式Aで

が 証 明 で き る も の が 存 在 す る.   こ れ を ゲ ー デ ル の 対 角 化 定 理(diagonalization

 こ の 定 理 を 証 明す るた め に は,次 の よ うな2つ

theorem)と

い う.

の 関 数Z(x), 

と,

そ の 関 数 の 表 現 可 能 性 とを 利 用 す る.   Z(x)と

は,任 意 の 自然 数nに 対 し,

  (1) 

Z(n)=｢n｣

と し て 定 義 され る関 数 で あ る.  とは,次

の よ うに 定 義 さ れ る関 数 で あ る:

 1.  任 意 の 論 理 式A(ξ),任

意 の 階 数 の 任 意 の変 数 ξ,ξ と 同 じ階 数 の 任 意

の 対 象 式tに

対 して

 (2)

  こ こ で,mは

変 数 ξの ゲ ー デ ル 数 で,A(ξ)は

ξ以 外 の 変 数 を 自由 変 数 と

し て含 ん で い て も よい.   2.  nが 論 理 式 の ゲ ー デ ル 数 で な い 場 合 とか,mが 場 合,lが

対 象 式 の ゲ ー デ ル 数 で な い 場 合,ま

変 数 の ゲーデル 数 でない た は,mとlが

階 数 の異 な

る 変 数 と対 象 式 の ゲ ー デ ル 数 で あ る場 合 な ど,す べ て

は[数 値 別 に]表 現 可 能 で あ る.

 補 助 定 理Ⅱ   関 数Z(x),    証 明 は 後 に ゆ ず る(9.2).  こ の補 助 定 理 に よ れ ば,関 数Z(x)を よ び,関

数 

す る.と

く に, 

を 表 現 す る3変 と は,任

表 現 す る1変 数xの 数x,y,zの

対 象 式Z(x),お

が存在

対 象 式 

意 の 自 然 数n,m,l,kに

対 して

 (3) と な る 対 象 式 で あ る.い

ま,xを

論 理 式A(x)の

ゲ ー デ ル 数 をnと

さ ら に,(1)に

よれ ば

ゆ え に,(3)に

よ れ ば,論

ゲ ー デ ル 数 が17の1階 す れ ば,(2)に

の 変 数 と し(8.1),

よ り

理式

 (4) は 証 明 で き る[た だ し,n=「A(x)」   定 理8.3の

証 明   xを

で,17は

ゲ ー デ ル 数 が17の

変 数xの

ゲ ー デ ル 数].

変 数 と し,1変

数 の論 理 式

をA(x)と

お く.A(n)は

で あ る か ら,と

く にn=「A(x)」

が 証 明 で き る.こ   定 理8.3の

と す れ ば,論

の 論 理 式A(n)をAと 証 明 の 大 筋 は,い

理 式(4)が

お けば

よ い(証

証 明 で き,

明 終 わり).

わ ゆ る カ ン トル の 対 角 線 論 法(diagonal

method)に

し た が っ て い る.  

1変 数xの

論 理 式 は,全

体 と し て 可 算 個 で あ る か ら,そ

の全 体 に 番 号 を つ け て

A0(x),  A1(x),  A2(x),…

 とす る.こ の 変 数xに

と し,対

対 象 式0,1,2,…

角 線 上 に あ る要 素 A0(0),  A1(1), 

を 考 え る.い し,上

を 代 入 した もの を 縦 横 に 並 べ

ま,論

A2(2),…,Ak(k),…

理 式 に 論 理 式 を 対 応 さ せ る任 意 の 一 意 対 応

φ が 与 え られ た と

記 の 対 角 線 要 素 か ら φ に よ っ て 得 られ る 論 理 式 の 列 φ(Ak(k)) 

が,1変

数xの

(k=0,1,2,…)

論 理 式 の1つG(x)に

よって

φ(Ak(k))=G(k)  と 表 わ さ れ た と し よ う.1変

(k=0,1,2,…)

数 の 論 理 式G(x)はA0(x),A1(x),A2(x),…

れ か と 一 致 す る は ず で あ る か ら,そ

れ をAn(x)と

φ(Ak(k))=An(k)  と く にk=nと

の ど

す る と

(k=0,1,2,…).

すれば φ(An(n))=An(n)

と な り,論

理 式An(n)をAと

表 わせ ば φ(A)=A.

す な わ ち,φ(Ak(k))が1変

数 の 論 理 式G(x)を

φ に 対 して は,φ(A)=Aと

な る 論 理 式Aが

用 い てG(k)と 必 ず 存 在 す る.こ

表 わ せ る よ うな れ が 定 理8.3の

実

 質 的 な 内 容 で あ る.  こ の 内 容 が,ゲ

ーデ ル 数 とい うも の を 用 い て,い

さ れ て い るか とい う こ とを,読

かに 表 現 され,ま

た,い

か に証 明

者 は 十 分 に 吟 味 さ れ た い.

  8.6  ゲ ー デ ル の 不 完 全 性 定 理   論 理 式 の集 合Kが れ る(8.3の

表 現 可 能 で あ れ ば,1変

定 義8.1).1変

数xの 論 理 式BewK(x)が

数xの 論 理 式￢BewK(x)に

定義さ

対 し て 定 理8.3を

適

用 す れ ば,

が 証 明 で き る よ うな 論 理 式Aで,し こ の よ うな 論 理 式Aは,論 い が,Kの

か も 自由 変 数 を 含 ま な い もの が 存 在 す る.

理 式 の 集 合Kに

対 し て 一 意 的 に 定 ま るわ け で は な

選 び 方 に よ っ て 一 般 に 異 な り得 る の で,そ

れ をUKと

表 わす こ と

に す る:   1)  UK〓￢BewK(『UK』)が   2)  論 理 式UKは 表 現 可 能 なKが また,そ

証 明 で き る.

自 由 変 数 を 含 ま な い. さ らに ω‐ 無 矛 盾 で あ れ ば,こ

の 否 定￢UKもKか

のUKはKか

ら証 明 で き な い.す

ら証 明で きず,

なわ ち,こ

のUKは

いわ ゆ

る決 定 不 能 な 命 題(undecidable

proposition)の1つ

  定 理8.4 

表 現 可 能 か つ 無 矛 盾 な らば,上 記 の 条 件1)を

論 理 式 の 集 合Kが

み たす 論 理 式UKはKか   証 明   条 件1)を

に な っ て い る:

ら証 明 で き な い.

み た すUKがKか

ら証 明 で き る と仮 定 し,￢UKもKか

ら

証 明 で き る こ とを 示 せば よい: [定 理8.1の

系2]

[条 件1)] (証 明 終 わ り)

  系   論 理 式 の 集 合Kが 論 理 式￢BewK(n)はKか   証 明   n=「UK」   定 理8.5 

表 現 可 能 か つ 無 矛 盾 な らば,BewK(n)で ら証 明 で き な い よ うな 自然 数nが

とお き,定 理8.4と

論 理 式 の 集 合Kが

上 記 の条 件1)を

は あ るが,

存 在 す る.

用 い る(証 明 終 わ り).

表 現 可 能 か つ ω‐ 無 矛 盾 な らば,上

記 の条 件

1)を み た す 論 理 式UKの

否 定￢UKはKか

ら証 明 で きな い.

  証 明   Kが 表 現 可 能 か つ ω‐ 無 矛 盾 で あ る と仮 定 し て あ る か ら,定 理8.2を 用 い る こ とが で き る.Kが

ω‐ 無 矛 盾 で あ る とい う仮 定 に はKが

る とい う こ と も含 ま れ い てい るか ら,￢UKがKか を さ らに 仮 定 し,そ の 仮 定 か ら,UKもKか

無矛 盾 であ

ら証 明 で き る とい う こ と ら証 明 で き る とい う こ とを 導 け

ば,そ れ で十 分 で あ る: [条 件1)] [定 理8.2] (証 明 終 わ り)

  定 理8.6(不 ば,UKと

完 全 性 定 理)  論 理 式 の 集 合Kが

そ の 否 定￢UKの

数 を 含 ま な い 論 理 式UKが   証 明  Kが 理8.4と

い ず れ も がKか

ら証 明 で きな い よ うな,自 由変

存 在 す る.

ω‐ 無 矛 盾 な らばKは

定 理8.5に

表 現 可 能 か つ ω‐ 無 矛盾な ら

無 矛 盾 で あ る,と い う事 実 に 注 意 し,定

よ る.な お,定 理8.4の

前 に 書 い て あ る 条 件2)も

必要

(証 明 終 わり).

 決 定 不 能 命 題UKの

内 容 的 な 意 味   決 定 不 能 命題UKと

は

 (1)

が 証 明 で き る よ うな 論 理 式 で あ った.こ

の 同 値 式(1)の

の 内 容 を 意 味す る と考 え て よ い か ら,論 理 式UKの

両辺 の論理 式は 同 一

内 容 とは(1)の

右 辺 の内

容 と思 って よい.さ て,(1)の

右 辺の論理 式は 命題

  (2) 

BewK(「UK」),

す なわ ち"論 理 式UKはKか

ら証 明 で き ない"と い う命 題 に 対 応 し て い る.

そ し て,こ の 命 題 が 論 理 式UKの 内 容 的 な 意 味 で あ る.要 す る に,UKと "そ れ 自身 がKか ら証 明 で き な い"と い うこ とを 意 味 す る論 理 式 で あ る .   定 理8.4に

よれ ば,Kが

無 矛 盾 な らば 命 題(2)は

が 無 矛 盾 で あ る と きに は,UKの い 論 理 式 で あ る.

正 しい.す

内 容 は 正 し く,し か し,Kか

は

な わ ち,K

らは 証 明 で きな

  趣 旨を 鮮 明 に す るた め に,   (3) 

Kか

ら証 明 で き る論 理 式 の 内 容 は 正 しい

とい う 仮 定 を 置 い て 考 え て み よ う.こ の 仮 定(3)の らず と も,(1)を

み た すUKが

が 間 違 っ て い れ ば,UKの

上,そ

の 内 容(2)は

正 し い こ と は す ぐに わ か る.何

内 容(2)が

とに な っ て,仮 定(3)に

正 し く,UKはKか

ら証 明 で き る こ

正 しい こ とが わ か っ た 以 偽と

ら証 明 で き な い こ と もわ か る.

不 要 と な る.

  わ れ わ れ が 定 理8.6(不 の で は な か っ た.(3)の

完 全 性 定 理)を

証 明 し て きた 立 場 は,こ

の よ うな も

よ うな 仮 定 は い っ さ い 用 い な か った.Kを

論理式の

任 意 の 集 合 とす る と き,Kが

表 現 可 能 か つ 無 矛 盾(あ る い は,ω‐ 無 矛 盾)と い

う こ とか らだ け で は,仮 定(3)が

用 い て は い な い.要

よ

とな れ ば,UK

ら証 明 で き な い.ま た,￢UKは

よれ ば,￢UKがKか

す な わ ち,定 理8.5も

の み な らず,Kが

偽 とな り,UKがKか

反 す るか ら で あ る.UKが

な り,再 び 仮 定(3)に

も とで は,定 理8.4に

満 た さ れ る こ とは,一 般 に は 望 み 得 な い.

空 集 合 で あ る場 合 に お い て す ら,わ れ わ れ は,仮 定(3)を す る に,論 理 式 一 般 に 通 用 す る'論 理 式 の 内 容'と い う よ

うな 超 越 的 な 概 念 を,わ れ わ れ は,不 完 全 性 定 理 の証 明 の 根 拠 に は して い な か っ た の で あ る.

  不 完全 性 定理 の実 質的 な内容   定 理8.7  R(x)と   1°    2° 

定 理8.4に

お け るUKに

お け ば: は 証 明 で き る;

Kが 無矛盾ならば,論 理式 R(0), 

  は す べ て 証 明 で き る.  証 明   1°

対 し て定 ま る 論 理 式￢(xBK『UK』)を

R(1), 

R(2),…

  2° 証 明 す べ き こ とは,任

意 の 自然 数mに

対 し てR(m)が

証 明 で き る,

とい うこ と で あ る.   まず,補

助 定 理Ⅰ(8.3)に

より

ゆ えに

こ の 式 の 前 提(∀m)mBK「UK」

はBewK(「UK」)と

い う こ とに ほ か な らな

いか ら

Kが 無 矛 盾 な らば,定 理8.4に BewK(「UK」)で

よ り,UKはKか

ら証 明 で き な い.す

なわ ち

あ るか ら

(証明 終 わり)   定 理8.8  た す1変

論 理 式 の 集 合Kが

数xの

論 理 式R(x)が

と れ ば よ い.

に よ る.

理8.7の1°

と定 理8.4に

よ る(証 明 終 わ り).

完 全 性 定 理 の 実 質 は 定 理8.8に

理 式 ∀xR(x)をAと

す れ ば,Kが

し(定 理8.8の2°),Kが ￢Aす

は す べ て 証 明 で き る;

同 じR(x)を

  1° は 定 理8.7の2°

  じ つ は,不

な わ ち￢

をみ

ら 証 明 で き な い.

  証 明   定 理8.7と

  2° は,定

の1°,2°

存 在 す る:

  1°  R(0),  R(1),  R(2),…   2°  ∀xR(x)はKか

表 現 可 能 か つ 無 矛 盾 な ら ば,次

集 約 さ れ て い る.定

無 矛 盾 な ら ばAはKか

ω‐無 矛 盾 な ら ば,￢AもKか

∀xR(x)がKか

理8.8の

論

ら証 明 で き な い ら 証 明 で き な い.

ら証 明 で き れ ば,Kは

ω‐矛 盾 す る こ と に

な る か ら で あ る(定 理8.8の1°).   わ れ わ れ が,も る と きに,定

しモ チベ イ シ ョ ン よ り実 質 を 重 ん ず る とす れ ば,定 理8.4を

理8.8を

直 接 に 証 明 す べ き で あ った.た

道 を と ら な か った だ け で あ る.

だ,わ

れ わ れ は,そ

証 明す の よ うな

  表 現 可 能 なKが

無 矛 盾 な ら ば,定

(定 理8.8の1°),し はKか

た が っ て,￢

理8.8の

∀xR(x)の

∀xR(x)は

内容 は真 であ り

偽 で あ る.し

か し,∀xR(x)

ら 証 明 で き な い の で(定 理8.8の2°), K1=K〓{￢

と し て 得 ら れ るK1も

∀xR(x)}

無 矛 盾 で あ る.け

れ ど も,K1は

は,す

で に8.4で

  Kが

さ ら に ω‐無 矛 盾 で あ る と す れ ば,￢

ω‐矛 盾 す る[こ

の こと

述 べ た]. ∀xR(x)もKか

ら証 明 で き な い

か ら K′=K〓{∀xR(x)}

と し て 得 られ るK′

も無 矛 盾 で あ る.の み な らず,こ

のK′

は ω‐ 無矛 盾 であ

る[こ の 事 実 の 証 明 は,読 者 の 練 習 問 題 と して 残 し て お く(問2)].し て,定 理8.8に

よ り,K′

たが っ

に 対 す る決 定 不 能 命 題 ∀xR′(x)が 存 在 し, K″=K′〓{∀xR′(x)}

と し て 得 られ るK″ 盾 で あ れ ば,内

も ま た ω‐ 無 矛 盾 に な る.す なわ ち,も

容 的 に 真 な 決 定 不 能 命 題 ∀xR(x)を

と のKが

順 次Kに

ω‐ 無矛

追加 して行 っ

て も,次 か ら次 へ と新 しい 決 定 不 能 命 題 が 現 わ れ る の で あ る.   問1  論理 式 の集合Kが 表現 可能 であ る とき,Kに1つ K′=K〓{A} と して 得 られ るK′ も表 現 可 能 で あ る,と   問2 

論 理 式 の 集 合Kが

の論理 式Aを 追 加 し,

い うこ とを 示 せ.

表 現 可 能 か つ ω‐無 矛 盾 で あ る と き,定 理8.8に

す る決 定 不 能 命 題 ∀xR(x)をKに

よって存在

追 加 し, K′=K〓{∀xR(x)}

と し て 得 られ るK′ が ω‐ 無 矛 盾 で あ る こ とを 示 せ.[ヒ

ン ト:

かつ と 仮 定 し, 

をG(y)と

お き,

かつ と い う こ とを 示 す.]

  8.7 '嘘

つ き'の パ ラ ド ッ ク ス   タ ル ス キ ー の 定 理

 ゲ ー デ ル の 作 っ た 決 定 不 能 命 題UKは"UKはKか

ら証 明で き な い"と い

う 内 容 的 な 意 味 を も つ 論 理 式 で あ っ た.外 り有 名 な 嘘 つ き の パ ラ ドッ ク ス(liar が"い

ま 自 分 は 嘘 を 言 っ て い る"と

の 内 容 は"Aは

偽 で あ る"と

る と し て も,ま

paradox)に

トス(Titus)へ

 

と あ る.そ

して,こ

うす る と,命

る人

す れ ば,A

題Aが

真であ

ず れ に し て も 矛 盾 を 生 じ る.

の 書,第1章

の12に レテ 人 は つ ね に い つ わ りを 言 う者,あ

ま け 者 の大 喰 い で あ る の予 言 者 が エ ピ メ ニ デ ス(Epimenides)で

嘘 つ き の パ ラ ドッ ク ス の こ とをEpimenides

paradoxと

  エ ピ メ ニ デ ス 以 外 に も ク レ テ人 が い た とす れ ば,じ 証 言 そ の も の か らは 矛 盾 は 生 じな い.む (Paulo)が,こ

代 よ

と え ば,あ

の 命 題 をAと

い う こ と で あ る.そ

ク レ テ人 の 中 の或 る予 言 者 が 言 っ た:ク し きけ だ もの,な

現 わ れ る.た

言 っ た とす る.そ

た 偽 で あ る と し て も,い

  新 約 聖 書,テ  

見 上 こ れ に 類 似 し た 命 題 は,古

しろ,こ

あ る とい う話 か ら,

い う.

つ は,エ

ピ メ ニデ ス の 上 記 の

の 証 言 を テ トス に 伝 え た パ ウ ロ

れ に 続 け て 言 った 言 葉 こ の証 言 は 真 で あ る

  の ほ うが 問 題 で あ る.   嘘 つ き の パ ラ ドッ ク ス の起 源 は,ア

リス トテ レス(Aristoteles)以

前 に まで さ か の ぼ

る とい う.   こ の パ ラ ド ッ ク ス の 解 決 策 と し て,し に,次

ば し ば 有 力 視 さ れ て い る も の の1つ

の よ う な も の が あ る: 命 題 は,そ

ゲ ー デ ル は,"ホ

れ 自 身 に つ い て 語 る こ と は で き な い.

ワ イ トヘ ッ ド(A.N.

っ て 示 唆 さ れ た こ の 解 決 法 は,あ し て い る.た

Whitehead)と

身 に つ い て 語 っ て い る.す

て い る 命 題 は 現 実 に 存 在 し,わ

Russell)に

ま りに も 徹 底 し 過 ぎ て い る"と,こ

と え ば 決 定 不 能 命 題UKは,"そ

と い う形 で,UK自

ラ ッ セ ル(B.

れ 自 身 がKか

よ

れ を批 評

な わ ち,そ

ら 証 明 で き な い" れ 自身 に つ い て 語 っ

れ わ れ の 形 式 的 体 系 の 中 の 論 理 式 で 表 わ さ れ,

し か も そ れ は,矛

盾 を 導 く 原 因 に な ら な い,と

の 種 の 命 題 の1つ

を 取 り上 げ,決

い うの で あ る.ゲ

定 不 能 命 題 を 作 っ た が,形

接 に 嘘 つ き の パ ラ ド ッ ク ス を 再 現 さ せ て み る と,次

ー デ ル は,こ

式的 体 系 の中 で直

の タ ル ス キ ー(A.

Tarski)

の 定 理 が 得 ら れ る:   定 理8.9(タ

ル ス キ ー の 定 理)  論 理 式 の 集 合Kが

を 含 ま ぬ 任 意 の 論 理 式Aに

対 し,つ

ねに

無 矛 盾 な ら ば,自

由変 数

 (4)

がKか

ら証 明 で き る よ うな,1変

数xの

論 理 式T(x)は

  証 明   こ の よ うなT(x)が

存 在 した と仮 定 し,Kが

  1変 数 の 論 理 式￢T(x)に

定 理8.3を

式Bが

矛 盾 す る こ と を示 す.

適 用 す れ ば,自

由 変 数 を 含 まぬ 論 理

存在 し

が 証 明 で き る.と

はKか

存 在 し ない.

こ ろ が,(4)のAと

し てBを

ら 証 明 で きな け れ ば な ら な い か ら,Kは

  自 由 変 数 を 含 ま ぬ 論 理 式Aは,内 て い る.い

ま,自 然 数nが

用いた

矛 盾 す る(証 明 終 わり).

容 的 に は,真

偽 の定 ま った 命 題 を表 わ し

自由 変 数 を 含 ま ぬ 真 な 論 理 式 の ゲ ー デ ル 数 で あ る と

きに はT(n)は

真,そ

を 定 義 す る.そ

うす れ ば,論 理 式 の 真 偽 の概 念 は,ゲ

こ の1項 関 係T(x)で

れ 以 外 の と きに はT(n)は

表 わ され る こ とに な る.さ

xの 或 る 論 理 式T(x)で

表 わ そ う とす れ ば,そ

含 ま ぬ 任 意 の 論 理 式Aに

系 が 無 矛 盾 で あ る 限 り,そ

らに,こ

のT(x)を1変

の 論 理 式T(x)は,自

数

由変 数 を

存 在 し 得 な い,言

理 式 の 真 偽 の 定 義(truth

か し,形

式 的体

い か え れ ば,無

definition)'を

与える

い う の が タ ル ス キ ー の 定 理 の 内 容 で あ る.

  論 理 式T(x)を"xは

 と い う論 理 式Bは,"B自

真 な 論 理 式 の ゲ ー デ ル 数 で あ る"と 読 む とす れ ば,

身 が 偽 で あ る"と

パ ラ ド ッ ク ス が そ の ま ま 定 理8.9の

い う 内 容 を も つ.す

な わ ち,嘘

つ きの

証 明 に な っ て い る.

ロ ッサ ー の 不 完 全 性 定 理

  ゲ ー デ ル の 不 完 全 性 定 理(定 理8.6)に い る が,ロ

ー デ ル 数 を 仲 介 と し て,

い う こ と が 期 待 さ れ る.し

の よ うなT(x)は

矛 盾 な 形 式 的 体 系 の 中 で は'論

  8.8 

して1項 関 係T(x)

対 して

が 証 明 で き る よ う な も の で あ る,と

こ と は で き な い,と

偽,と

ッサ ー(J.B.

Rosser)は,単

は ω‐無 矛 盾 と い う 仮 定 が 用 い ら れ て に 無 矛 盾 と い う仮 定 の み で も 決 定 不 能

命 題 が 存 在 す る こ とを 示 した(定 理8.11).   ロ ッサ ー の 不 完 全 性 定 理 を 証 明す るた め に は  (5)

と い う性 質 を もつ 関 数Neg(x)と,そ

の 表 現 可 能 性 を 利 用 す る.Neg(x)の

定

義 を述 べ れ ば 次 の 通 り:  自然 数n(〓0)の

素因 数分解 が n=p1(n)1p2(n)2…pν(n)ν, 

(n)ν〓0

で あ る と き(7.3の3°,4°) Neg(n)=p17p213p3(n)1…pν+2(n)νpν+315 と す る.こ

こ で7,13,15は,そ

れ ぞれ

￢,(,)の

ゲ ー デ ル 数 で あ る.ま

た,

Neg(0)=p17p213p315 と す る[こ

のNeg(0)の

値 に 深 い 意 味 は な く,次

の 補 助 定 理Ⅲ

の 証 明(9.1)

の 都 合 に だ け 関 係 し て い る].   補 助 定 理Ⅲ

  関 数Neg(x)は[数

値 別 に]表

  こ の 補 助 定 理 の 証 明 は9.1で

お こ な う.

  関 数Neg(x)を

数xの

表 現 す る1変

  い ま,x,yに

をyBK*xで

つ い て の2項

表 わ す.も

し 論 理 式 の 集 合Kが

に よ り,2項

で 表 現 さ れ る(7.1の

定 理7.4,定

  Kが

対 象 式 をNeg(x)と

関 係yBK*xは,論

理7.5,定

意 の 自 然 数n,lに nBKl⇔nBK*l.

し か し,論

理式 yBKx〓yBK*x

はKか

表 現 可 能 な らば,補 助 定 理 Ⅰ

理7.6,定

表 わ す.

無 矛 盾 な ら ば,任

す る.

関係

(8.3)と 補 助 定 理Ⅲ

をyBK*xと

現 可 能 で あ る.

ら は 証 明 で き な い(定 理10.5).

対 して

理式

理7.10).こ

の論 理 式

 定 義8.2

 定 理8.10 

論 理 式 の 集 合Kが

表 現 可 能 か つ 無 矛 盾 な らば

  1°   2°

 証明   1°

[Kの 無矛盾性]

  2°  ま ず,

 (6)

に 注 意 す る.

[(5)]

[(6)] な らびに [Kの 無 矛 盾 性]

[(6)] と い う こ とか ら

ゆえに

(証 明 終 わ り)   定 理8.11(ロ 矛 盾 な らば,Aと

ッサ ー の 不 完 全 性 定 理)  論 理 式 の 集 合Kが そ の 否 定￢Aの

自 由 変 数 を 含 まぬ 論 理 式Aが

い ず れ もがKか

表現 可 能 かつ 無

ら証 明 で き な い よ うな,

存 在 す る.

  証 明  1変 数 の 論 理 式￢BewK*(x)に

ゲ ー デ ル の対 角 化 定 理(定 理8.3)を

適 用 す る と,自 由変 数 を 含 まぬ 論 理 式Aが

存 在 して

が 証 明 で き る.定

と な る か ら, (証 明 終 わ り).

理8.10に

よ る と,こ

のAに

対 して は

 に し て も,Kは

矛 盾 す る こ とに な る

9.  補 助 定理 の証 明

  前 の 章 で 証 明 を 保 留 し て き た3つ

の 補 助 定 理 の 証 明 を お こ な う.

  こ れ ら の 補 助 定 理 は,す

る 関 係 や 関 数 が 表 現 可 能 で あ る こ とを 主 張

し て い る.そ

べ て,あ

れ を 証 明 す る た め に,一

示 し て い く の で あ る が,そ よ び7.3に

  9.1 

連 の関 係 や 関 数 が 表 現 可 能 で あ る こ とを

の 基 礎 と す る の は,7.1と7.2に

述 べ た 諸 定 理,お

例 示 し た 関 係 と 関 数 の 表 現 可 能 性 で あ る.

補 助 定 理Ⅲ

の証明

  1° 

l(x)=(εn)[(x)n+1=0]

と し て 定 義 さ れ る 関 数l(x)は(7.3の4°),xが と き に は(8.1の2°),そ

有 限 列 の ゲ ー デ ル数 で あ る

の 有 限 列 の 長 さ を 表 わ す. (∀m)(∃n)[(m)n+1=0]

で あ る か ら,l(x)は

表 現 可 能(定 理7.15).

  2°

と し て 定 義 さ れ る 関 数x*yは,xとyが は,有

限 列xの

  定 理7.15に 理7.11,定

後 に 有 限 列yを よ り,x*yは

理7.12,定

続 け て で き る 有 限 列[の 表 現 可 能[も

理7.5な

  3°  は,xの   4°  は,xが

は,xが

ど も,す

ち ろ ん,定

ゲ ー デ ル 数]で あ る. 理7.1,定

理7.10,定

べ て 利 用 し て い る].

R(x)=2x み を た だ1つ

の 項 とす る 列(独Reihe)を

表 わ す.

E(x)=R(13)*x*R(15) 有 限 列 で あ る と き に は,そ

こ と に 対 応 す る[13は(,15は)の   5° 

有 限 列[の ゲ ー デ ル 数]で あ る と き に

の 有 限 列 を カ ッ コ で 囲 む(独einklammern) ゲ ー デ ル 数].

Neg(x)=R(7)*E(x) 論 理 式 で あ る と き は,xの

否 定(negation)[7は￢

の ゲ ー デ ル 数].

  こ のNeg(x)は8.8で

用 い たNeg(x)と

で あ る こ と は,1°−5° で 補 助 定 理Ⅲ(8.8)の

同 じ で,し

か も,そ

れが表 現 可能

を 順 に 見 て く る こ と に よ っ て 容 易 に わ か る か ら,こ

れ

証 明 は 終 わ っ た.

 つ い で の こ と で あ る か ら,xが

論 理 式Aで,yが

論 理 式Bで

あ る と き に,

A→B(implication),A∨B(disjunction),A∧B(conjunction),A〓B (独Aquivalenz)を

表 わ す 表 現 可 能 な 関 数 を 挙 げ て お く.

  6° 

xImpy=E(x)*R(9)*E(y).

  [9は

→

の ゲ ー デ ル 数.]

  7° 

xDisy=[Neg(x)]Impy.

  8° 

xCony=Neg{[Neg(x)]Dis[Neg(y)]}.

  9° 

xAeqy=(xImpy)Con(yImpx).

 9.2  補 助定 理Ⅱ

の証 明

  10°

と し て 帰 納 的 に 定 義 さ れ る 関 数xNyは,yが yの 後 に ダ ッ シ ュ をx個 理7.16(7.2)に

よ り,こ

つ け た も の を 表 わ す[3は

ダ ッ シ ュ の ゲ ー デ ル 数].定

Z(x)=xN[R(1)]

然 数xを

  Z(x)は

限列

の 関 数 は 表 現 可 能.

  11°  は,自

有 限 列 で あ る と き に は,有

表 わ す 対 象 式 の ゲ ー デ ル 数[1は

表 現 可 能 で あ る か ら,こ

記 号0の

ゲ ー デ ル 数].

れ で 補 助 定 理Ⅱ(8.5)の

証 明の半分 は終わ

っ た こ と に な る.

  12° 

xVary⇔(∃p)[15
と し て 定 義 さ れ る 関 係xVaryは"yはx階 い う こ と を 表 わ す(8.1の1°).こ

&

Primp

& y=px]

の 変 数[の の 関 係xVaryは

&

x〓0

ゲ ー デ ル 数]で あ る"と

(∃p){p≦y

&

[15
&

Primp

と表 わ し て も 同 じ こ と で あ る か ら,定 よ り,xVaryは

y=px]}

理7.6と

&

定 理7.3(い

x〓0

ず れ も7.1)に

表 現 可 能. Var(x)⇔(∃n)(nVarx)

  13° 

と い う関 係Var(x)は"xは

変 数 で あ る"と (∃n)(n≦x

と も 表 わ せ る か ら,表   14° 

&

い う こ と を 表 わ す.Var(x)は

&

nVarx)

or

1Varm]

現 可 能(定 理7.6).

Typ1′(x)⇔(∃m,n){[m=1

と い うTyp1′(x)は"xは1階

&

の 対 象 式 で あ る"と

x=nN[R(m)]}

い う こ と を 表 わ す(1.2).

Typ1′(x)は (∃m,n)(m,n≦x

と 表 わ す こ と も で き る か ら,定   15° 

&

Typx(y)⇔[x=1

理7.6に &

よ り,表

Typ1′(y)]

[x>1

と い うTypx(y)は"yはx階

{…})

&

現 可 能.

or

(∃n){xVarn

の 対 象 式 で あ る"と

&

y=R(n)}]

い う こ と を 表 わ す(1.2).

上の (∃n){xVarn

&

y=R(n)}

と い う部 分 は (∃n)(n≦y と 表 わ す こ と も で き る か ら,Typx(y)は   16° 

&

{…}) 表 現 可 能.

Elf(x)⇔(∃l,m,n)[Typn(l)

&

Typn+1(m)

& x=l*R(5)*m] と い うElf(x)は"xは を 表 わ す(1.3)[5は

基 本 論 理 式(独Elementarformel)で

あ る"と

い うこ と

∈の ゲ ー デ ル 数].Elf(x)は (∃l,m,n){l,m,n≦x

&

[…]}

と表 わ す こ と もで き るか ら,表 現 可 能.   17°  は,xが

xGeny=R(11)*R(x)*E(y) 変 数 ξでyが

論 理 式Aで

あ る と き に は,ξ

に つ い て のAのgenerali−

zation∀

ξAを

表 わ す[11は

∀ の ゲ ー デ ル 数].

  18°

は∃ ξAを

表 わ す[ξ

とAは17°

と 同 じ].

  19°

  or

  or

  こ れ は,論

&

理 式 を 作 っ て い く と き の 基 本 的 な 操 作(operation) ￢A,A→B,∀

の うち の1つ

に よ っ て,yま

味 し て い る.し

ξA

た はyとzか

らxが

得 ら れ る,と

い う こ とを 意

かも

  & とい う部 分 を   & と し て も 同 じ こ と で あ る か ら,Op(x,y,z)は

表 現 可 能.

  20°

  & 

or

  &   論 理 式 の 全 体 を ゲ ー デ ル 数 の 小 さい ほ うか ら順 に 並 べ,そ

の最初 の任 意有 限

個 の論 理 式 の列 をxと す る[次 の21° で は,こ の よ うな 場 合 に しか 関 数Sf(x) は 用 い な い].Sf(x)は,有   自然 数0が'空

限 列xに 現 わ れ な い 最 初 の論 理 式 で あ る.

な 列'を 意 味 す る とす れ ば,こ

きに も成 立 す る(1° と7.3の4°   Sf(x)は

の解 釈 は,有 限 列xが

空のと

を 参 照).

表 現 可 能(定 理7.12,定

理7.15).

  21°

  Φ(x)は,ゲ

ー デ ル 数 の 小 さ い 順 にx個

の 論 理 式 を 選 び,そ

べ て 得 ら れ る 論 理 式 の 有 限 列.1)   22°  1)  0*y=yと

  Fx=(Φ(x))x. い う事 実 も利 用 し て い る(2° を 参 照).

れ を そ の順 に 並

  Fxは,ゲ

ー デ ル 数 の 小 さ い ほ うか ら 数 え てx番

目 の 論 理 式.

&

  23° 

  Form(x)は"xは

論 理 式 で あ る"と

い う こ と.こ

れは

  &  と書 い て も 同 じ で あ る か ら,表 現 可 能.   & 

  24°

&  & 

&   論 理 式xの dene

左 か らy番

Variable)に

目 の 記 号 の あ る 場 所 は,変

な っ て い る 範 囲 に あ る,と

っ て い る 範 囲 と は,zを

数zが

束 縛 変 数(独gebun-

い う こ と.変

数zが

束 縛 変数 にな

ゲー デ ル 数 と す る 変 数 ξ を 用 い て 作 ら れ た ∀ξ(…)

と い う形 の論 理 式 の 左 端 の ∀ か ら右 端 の カ ッ コ まで の 範 囲 を い う. zGeby,xの

定 義 にお け る (∃p,q,r)[…]

の部分は   &  と し て も よ い か ら,zGeby,zは

 & 

  25°

  論 理 式xの able)で

表 現 可 能.

左 か らy番

あ る,と

目 の 記 号zは

&  変 数 で,そ

& れ は 自 由 変 数(独freie

Vari-

い う こ と.

& 

  26° 

& 

& 

& 

&   xが 論 理 式 で,xに がk階

お け る左 か らy番

目の 記 号 がk階

の対 象 式 で あ る と きに は, 

由 変 数 に[そ の場 所 に お い て のみ]対 象 式zを

の 自 由変 数 で あ り,z

は,左 か らy番 代 入 し てxか

目の 場 所 に あ る 自

ら 得 られ る論 理 式 で

あ る. (∀k,p,q){…}

と い う部 分 は

と し て も 同 じ で あ る か ら, 

は 表 現 可 能(定 理7.15も

利 用 す る).

  27°

  xが 論 理 式 でyが 変 数 で あ る と き,論 理 式xに け を 右 か ら数 え,u+1番

自 由変 数 と し て 含 まれ るyだ

目に あ るyの 場 所(独Stelle)が,記

号 の有 限列 とし

て のxの 第k項 に な って い れ ば k=uSty,x. ま た,論 理 式xに

変 数yが

自 由変 数 と し て ν個(ν ≧0)し

か 含 まれ て い な い

ときは νSty,x=0.

関 数uSty,xは

表 現 可 能(定 理7.12,定

  じつ は,関 数uSty,xの 不 等 式 は,定

理7.14).

帰 納 的 定 義 の 第1式

に お い て,l(x)に

義 と して は,不 要 で あ っ た.そ れ は,定 理7.12と

関 連 し て現 わ れ る 定 理7.14を

用い

て'表 現 可 能 性'を 結 論 しや す くす る 目的 だ け を も っ て 書 か れ た も の で あ る.以 後, こ の 種 の 不 等 式 は,無   28°  

  xが 論 理 式,yが 個 数(独Anzahl).

  29°

断 で 定 義 に 書 き入 れ て お く こ とに す る.

A(y,x)=(εn)[n≦l(x)

変 数 で あ る と き は,xに

&

nSty,x=0].

自 由 変 数 と し て 含 まれ る変 数yの

  xが 論 理 式,yが

変 数,zがyと

同 じ階 数 の対 象 式 で あ る と き に は ,論 理 式

xの 右 寄 りに あ るu個 の 自由 変 数yに

対 象 式zを

代入 した結果 が

  30°

  xが 論 理 式,yが の 

変 数,zがyと

は,論

理 式xに

し た 結 果 を 表 わ す.ま

た,xが

同 じ階 数 を も つ 対 象 式 で あ る と きに は ,こ

含 まれ る 自 由変 数yの

す べ て に 対 象 式zを

論 理 式 で な い 場 合,yが

代入

変 数 で な い 場 合,zが

yと 同 じ階 数 の対 象 式 で な い 場 合 な ど,す べ て

と な る こ と は,26° は8.5で

と29°

を 調 べ て み れ ば わ か る.ゆ

え に,こ

の 

述 べ た も の と 同 じ で あ る.

 ま た,30°

に 到 る定 義 の 系 列 を 見 て くれ ば, 

と もわ か るか ら,こ れ で 補 助 定 理Ⅱ(8.5)の

  つ い で の こ と で あ るか ら,"変 数yは

が表現可能であるこ

証 明 は 全 部 終 わ っ た こ とに な る.

論 理 式xに

自 由変 数 と して 含 まれ る"と

い う2項 関 係yFrxが   31° 

&

と表 わ され(25° 参 照),し

た が っ て,こ

の 関 係yFrxも

表 現 可 能 で あ る,と

い うこ とに 注 意 し て お こ う.

  9.3  補 助 定 理Ⅰ の 証 明   1.5のⅠ.に'自

然 数 の 公 理'と し て 挙 げ た3つ

の 論 理 式 の ゲ ーデ ル 数 を

a1,a2,a3

と し,   32°  

Z−Ax(x)⇔x=a1

と し て1項 関 係Z−Ax(x)を とい う こ とを 意 味 す る.

or

x=a2 or

定 義 す れ ば,こ

x=a3.

れ は"xは

自然 数 の公 理 で あ る"

 

  33°

& 

&

  & A1−Ax(x)は,xが

A→(B→A) とい う形 の 論 理 式(6°),言

い か えれ ば,命 題 論 理 の 公 理(1.5のⅡ.)の

第1の

型 の もの で あ る,と い うこ とを 意 味 す る.こ れ と 同様 に し て,命 題 論 理 の 公理 の 第2・ 第3の

も の に 相 当 す るA2−Axお

よ びA3−Axの

定 義 を 与 え ,そ の 表

現 可 能 性 を 確 認 す る こ とが で き る(5°,6°).  34° 

A−Ax(x)⇔A1−Ax(x)

こ れ は"xは   35° 

or

命 題 論 理 の 公 理 で あ る"と

Q(x,y,z)⇔(∃n)[n≦l(y)

  yが 論 理 式A,zが

&

変 数 ξ,xが

る と き に は,Q(x,y,z)は,代

A2−Ax(x)

or

A3−Ax(x).

い う こ と. (x)1

Gebn,y

&

zFrn,y].

ξ と 同 じ 階 数 の 対 象 式tの

ゲーデル数 であ

入

が 許 さ れ る た め の'代 入 に つ い て の 付 帯 条 件'(1.4)を

意 味 し て い る.く わ し く

言 え ば:   対 象 式tが ル 数 は(x)1で

或 る変 数 ηを 含 ん で お り[そ うい う変 数 ηが あ れ ば,η の ゲ ー デ あ る(1.2)],そ

れ と 同 時 に,論

な っ て い る範 囲 に[例え ば,Aの

左 か らn番

理 式Aの

中 で η が束縛 変数 に

目の記 号 が そ の 範 囲 に あ り(24°),

そ の場 所 に]ξ が 自 由 変 数 と し て 現 わ れ る(25°),と

い うこ とは な い.

  36° 

&

  & 

& 

&

  &   xが 述 語 論 理 の 公 理(1.5のⅢ.)の

第1の

型 の も の で あ る,と

い う こ と(23°,

12°,15°,35°,17°,6°,30°).   37° 

L2−Ax(x)⇔(∃p,q,r){p,q,r≦x &

Var(r)

x=[r

& &

rFrp

Form(p)

&

Gen(pImpq)]Imp[pImp(rGenq)]}.

&

Form(q)

  xが

述 語 論 理 の 公 理 の 第2の

型 の も の で あ る,と

い う こ と(23°,13°,31°,

17°,6°).   38°    

xが

L−Ax(x)⇔L1−Ax(x)

述 語 論 理 の 公 理 で あ る,と

  39°  

 

い う こ と.

n Var

x=r

2°,9°;5は

Ex[q

(n+1)Var

y Th

&

っ て 論 理 式xか

r Fr

p

& p}]}.

い う こ と(23°,12°,31°,18°,17°,3°,

(∀p,n){[p,

を 用 い てpnと Th

&

p>15

Th

xは,変

&

(x)k=pn

下,n階

&

Prim

p

& n〓0]⇒(m)k=pn+y}]).

数 の 階 数 をyだ

け 高 くす る こ と に よ

意 味 す る[変 数 以 外 の 記

の 変 数 の ゲ ー デ ル 数 は,15よ

り大 き い 素数p

表 わ され る(8.1の1°)]. xが

表 現 可 能 で あ る こ と を 示 す に は,定

理7.15を

M−Ax(x)⇔(∃n)[n≦x

Th

  41°  た だ しa4は,階 し た も の]の

n≦x

ら 得 られ る 結 果(独Typenerhohung)を

号 の ゲ ー デ ル 数 は15以

数 の1番

&

x=n

用 い る.

a4].

低 い 外 延 性 の 公 理[す な わ ち,1.5のV.でn=1と

ゲ ー デ ル 数 と す る.

  M−Ax(x)は,xが

外 延 性 の 公 理 で あ る,と

Ax(x)⇔Z−Ax(x)

or

A−Ax(x)

 

い う こ と で あ る. or L−Ax(x)

or R−Ax(x)

  xが 公 理 で あ る,と Fl(x,y,z)⇔z=y

or M−Ax(x).

い う こ と(32°,34°,38°,39°,41°). Imp

x or

(∃n)[n≦x

    x,y,zが

&

x=(εm)(∀k)(k≦l(x)⇒[{(x)k≦15⇒(m)k=(x)k}

  xが 論 理 式 で あ る と き のy

  43° 

r

Gen{[R(q)*R(5)*R(r)]Aeq あ る,と

 

  42° 

&

Form(p)

記 号 ∈ の ゲ ー デ ル 数).

 

  関 数y

& q

内 包 の 公 理(1.5のⅣ.)で

  40°  

L2−Ax(x).

R−Ax(x)⇔(∃p,q,r,n){p,q,r,n≦x  &

  xが

or

& &

論 理 式 で あ る と き のFl(x,y,z)は,xがyま

結 論(独unmittelbare 

Folge)'(8.2)で

あ る,と

Var(n) x=n

Gen

y].

た はyとzの'直 い う こ と(6°,13°,17°).

接の

  44° 

BwK(x)⇔(∀n)[0
 

(x)n∈ κ or

 

or (∃p,q)[0
&

Fl((x)n,(x)p,(x)q)]}]

こ こ で,Kは

&

任 意 に 与 え ら れ た 論 理 式 の 集 合 で,κ

はKに

l(x)>0. 属 す論 理式 の ゲー

デ ル 数 の 全 体 か ら な る 集 合.   BwK(x)は,xが'Kか

ら の 証 明(独Beweis)'(8.2)で

あ る,と

い うこ と

(42°,43°).   Kが

表 現 可 能,す

な わ ち,1項

関 係x∈

κ が 表 現 可 能 な ら ば,BwK(x)は

表 現 可 能.   45° 

x BK y⇔BwK(x)

  こ れ は,xがyのK‐   論 理 式 の 集 合Kが

証 明 で あ る,と

&

い う こ と(44°).

表 現 可 能 で あ れ ば,x

明 す べ き 補 助 定 理I(8.3)の

(x)l(x)=y.

主 張 で あ っ た.

BK

yは

表 現 可 能 で あ り,こ

れが 証

10.  ゲ ー デ ル の 第2不

  ゲ ー デ ル の第1不 能 性'(第7章)が は,あ

完 全 性 定 理(定 理8.6)の

完全性定理

証 明 で は,関 係 や 関 数 の'表 現 可

重 要 な 役 割 りを 演 じ て き た.ゲ

ー デ ル の 第2不 完 全 性 定 理 と

る形 式 的 体 系 の 無 矛 盾 性 の 証 明 は そ の 体 系 自身 の な か で お こな うこ と は

で き な い,と

い う重 要 か つ 有 名 な 結 果 で あ る が,ゲ

そ の 結 果 を 一 般 的 に 述 べ るた め に は,関 を さ らに 制 限 し て お く必 要 が あ る.も

ー デ ル の 証 明法 と と もに,

係や関数 につ い ての表現 可 能性 の概念

っ と も,証 明 法 そ の も の に,さ

らに 手 を

加 え る こ とに す れ ば,話 は 別 で あ る が … ….

  10.1  関 係 お よ び 関 数 の 強 い 意 味 で の 表 現 可 能 性   1°  2変 数 を 例 に と って 言 え ば,関 係R(x,y)が れ る とは,任 意 の 自然 数m,nに

論 理 式R(x,y)で

表現さ

対 して

 (1)

と な る,と し,か

い う こ と で あ っ た(定 義7.1).変

数x,yの

ゲ ー デ ル 数 を17,19と

つ

 (2)

と お け ば,上 記 の 関 係(1)は

 (3)

と 表 わ す こ と も で き る.こ

の 略 記 で あ る.

こ で 

と書 い た の は

  こ の こ と に 対 応 し,2変 る2つ

数x,yの

論 理 式R(x,y)に

対 し て,(3)に

相 当す

表 現 可 能 で あ る,と

言 うこと

の論理 式

 (4)

の い ず れ も が 証 明 で き る と き,論 に す る.(4)に

お け るrは,も

理 式R(x,y)は ち ろ ん,論

理 式R(x,y)の

ゲ ー デ ル 数(2)を

表 わ す 対 象 式 とす る.   定 義10.1 

関 係R(x1,…,xν)がν

変 数x1,…,xν

で 表 現 さ れ,か

つ,論

R(x1,…,xν)は

強 い 意 味 で 表 現 可 能 で あ る とい う.

  関 係Rが'強

理 式R(x1,…,xν)が'表

の 論 理 式R(x1,…,xν)

現 可 能'で

い 意 味'で 表 現 可 能 で あ る と い う の は,関

能 と い う の み な ら ず,言

わ ば,Rが

あ る と き,関

係Rが

表 現 可 能 で あ る こ と を,わ

的 体 系 の な か で 証 明 す る こ と が で き る[(4)の

証 明 可 能 性],と

係

単に 表現 可 れ われ の 形 式 い うこ と ま で

含 め て 言 っ て い る の で あ る.   2°  1変 数 の 場 合 を 例 に と っ て 言 え ば,関 れ る と は,任

と な る,と

意 の 自 然 数m,nに

数f(x)が

対 象 式f(x)で

表現 さ

対 して

い う こ と で あ る(定 義7.2).た

だ し,17と19は

変 数x,yの

ゲー

デル数 で

とす る.1変

数xの

が 証 明 で き る と き,対   定 義10.2  で 表 現 さ れ,か

対 象 式f(x)に

象 式f(x)は

関 数f(x1,…,xν)がν つ,対

対 し,論 理 式

表 現 可 能 で あ る と い う. 変 数x1,…,xν

象 式f(x1,…,xν)が'表

の 対 象 式f(x1,…,xν) 現 可 能'で

あ る と き,関

数

f(x1,…,xν)は

  10.2 

強 い 意 味 で 表 現 可 能 で あ る と い う.

ゲ ー デ ル の 第2不

 論 理 式 の 集 合Kに

を 考 え る.1変

完 全性定 理

対 し,Kに

属 す論 理 式 の ゲーデル数 の集 合

数xに つ い て の 関 係x∈ κ が 強 い 意 味 で 表 現 可 能 で あ る と き,

論 理 式 の 集 合Kは

強 い 意 味 で 表 現 可 能 で あ る とい う.

  証 明 ぬ き で,事 実 だ け を 述 べ て お け ば,Kが 集 合 で あ る場 合 に は,Kは

空 集 合 で あ った り,Kが

強 い 意 味 で 表 現 可 能 で あ る;或 い は,各 階 の 対 象

に つ い て の 選 択 公理 の 全 体 な ど も,強 い 意 味 で 表 現 可 能 なKで で き る(定 理12.9).論 らば,K1∪K2も   以 下,論

有限

理 式 の 集 合K1,K2の

表 わ す こ とが

い ず れ もが 強 い 意 味 で 表 現 可 能 な

強 い 意 味 で 表 現 可 能 に な る.

理 式 の 集 合Kは'強

い 意 味 で 表 現 可 能'と し て お く.

 定 義10.3   Consis(K)は"Kは

無 矛 盾(consistent)で

あ る"と

い う命 題 を 意 味 す る 論

理 式 で あ る.  公 式10.1  こ こ でUKと

は,第1不

完 全 性 定 理(定 理8.6)の

証 明 に 用 い た も の で,

 (1)

が 証 明 で き る よ うな論 理 式 で あ る[UKの

存 在 は,ゲ

ーデ ル の 対 角 化 定 理(定 理

8.3)が 保 証 し てい る].   公 式10.1の き な い,と

内 容 的 な 意 味 は,Kが

無 矛 盾 な らばUKはKか

い う こ と で,こ れ は 定 理8.4に

  公 式10.1は,Kが

らは 証 明 で

対 応 し て い る.

強 い 意 味 で 表 現 可 能 とい う条 件 の も とで 証 明 で き る.

こ の事 実 を 認 め さ え す れ ば,わ れ わ れ は,た だ ち に 次 の定 理 を 得 る:   定 理10.1(第2不

完 全 性 定 理)  論 理 式 の 集 合Kが

か つ 無 矛 盾 な らば,論 理 式Consis(K)はKか

強 い 意 味 で 表 現 可 能 で,

らは 証 明で きな い.

 証 明   公 式10.1と(1)に

よ り Consis(K)→UK

は 証 明 で き る.も

しConsis(K)がKか

ら 証 明 で き る こ と に な り,定

ら証 明 で き た と す れ ば,UKもKか

理8.4とKの

無 矛 盾 性 に 反 す る(証 明 終 わ り).

 公 式10.2

  証 明(概 要)  Kか

ら証 明 で きな い 論 理 式 が1つ

あ る.こ の こ とに対 応 して,nを

で も あ れ ば,Kは

無矛 盾 で

論 理 式 の ゲ ー デ ル 数 とす れ ば,論 理 式

 (2)

とお け ば

が 証 明 で き る(証 明 省 略). 

が 得 られ,公 式10.1と

こ こ で,(1)に

注 意 す れ ば よ い(証 明 終 わ り).

  定 理10.2 

論 理 式 の 集 合Kが

論 理 式Consis(K)も

その否定

  証 明   公 式10.2と   論 理 式(2)の も と で,nが

合 わ せれば

定 理8.6に

強 い 意 味 で 表 現 可 能 か つ ω‐無 矛 盾 な ら ば, ￢Consis(K)もKか

ら は 証 明 で き な い.

よ る(証 明 終 わ り).

証 明 可 能 性 と定 理10.1に

よ れ ば,Kが

無 矛 盾 と い う仮 定 の

論 理 式 の ゲ ー デ ル 数 で あ る 限 り に お い て, ￢BewK(n)

と い う形 の 論 理 式 は す べ てKか 命 題BewK(n)は"nが

ら 証 明 で き な い,と

論 理 式 の ゲ ー デ ル 数 で あ る"と

っ て い る[9.3の43°,44°,45°].こ 数 で な い 場 合 に は,論

い う こ と が わ か る.一

方,

い うこ と まで 含 め て 言

の こ と に 対 応 し て,nが

論 理式 の ゲーデル

理式

  (3) ￢BewK(n) は 証 明 で き る(証 明 省 略).こ れ ば,Kが

ω‐無 矛 盾 と い う仮 定 の も と で,BewK(n)お

い う形 の 論 理 式 のKか   定 理10.3 

れ ら の こ と と 定 理8.1お

ら の 証 明 可 能 性 を,次

論 理 式 の 集 合Kが

よ び 定 理8.2を

合 わせ

よ び￢BewK(n)と

の よ うに 分 類 す る こ と が で き る:

強 い 意 味 で 表 現 可 能 か つ ω‐無 矛 盾 で あ れ ば,

  1°  nが 証 明 で き る 論 理 式 の ゲ ー デ ル 数 の と き は   BewK(n)は

証 明 で き,￢BewK(n)は

証 明 で き な い.

  2°  nが 証 明 で き な い 論 理 式 の ゲ ー デ ル 数 の と き は  BewK(n)も   3° nが

￢BewK(n)も

論理 式 の ゲーデル 数で ない ときは  BewK(n)は

以 上 に お い て'証

証 明 で き ず,￢BewK(n)は

明 で き る'と か'証

証 明 で き る'お よ び'Kか

よ び 論 理 式(2),(3)の

ら

証 明 は 省 略 され て い

証 明 は さほ ど困 難 で は な い.そ

式 の 意 味 す る事 実 の証 明が,比

れ は,そ

の論理

較 的 に 容 易 で あ る こ とに 由来 す る.こ れ に 反 し

証 明 は 困 難 で あ る.困 難 とい うよ りは,忍 耐 力 を 要 す る 証 明

と言 うべ き で あ って,そ れ は 定 理8.4に 10.3と10.4に

べ て'Kか

ら は 証 明 で き な い'と い う意 味 で あ る.

の うち,(2)と(3)の

て,公 式10.1の

証 明 で き る.

明 で き な い'と 言 っ た の は,す

  以 上 に お い て は,公 式10.1お た.こ

証 明 で き な い.

お い て,公 式10.1の

到 る 全 証 明 の 長 さに 起 因 す る.以 下,

証 明 の方 針 と概 要 を 述 べ る が,以 上 の 記

述 で 満 足 さ れ る読 者 は,そ れ を 読 まれ る必 要 は な い.

  10.3  公 式10.1の

証 明 の方針

  前 節 と 同 じ く,論 理 式 の 集 合Kは   公 式10.1を

強 い 意 味 で 表 現 可 能 と して お く.

証 明す るた め に は,次

の 公 式10.3‐

公 式10.7を

証 明 す れ ば,

そ れ で十 分 で あ る:  公 式10.3  公 式10.4 こ こ で,x

Imp

yは

表 現 可 能 な 関 数x

  公 式10.5 

Bew(x)→BewK(x).

  公 式10.6 

Bew(x

Imp

Imp

y[9.1の6°]に

対 応 す る 対 象 式.

y)→[Bew(x)→Bew(y)].

 公 式10.7  公 式10.1は,内

容 的 に は,定

理8.4に

対 応 す る も の で あ っ た.同

じよ う

に,公

式10.7は

式10.1の

定 理8.1に

証 明 は,定

  論 理 式UKと

対 応 す る.公

理8.1を

式10.3‐

用 い た 定 理8.4の

公 式10.7を

証 明 に 対 応 し て い る:

は

が 証 明 で き る よ うな もの で あ っ た か ら,

は 証 明 で き る.ゆ

公 式10.4,公

が 証 明 で き,公

え に,定

式10.3に

理8.1に

よれ ば

よれば

式10.6に

よれ ば

 (1) が 証 明 で き る.一

方,公

が 証 明 で き る か ら,こ

公 式10.5に

式10.7に

れ と(1)に

よ り

よ り

よ り

が 得 られ る.ゆ え に

が 証 明 さ れ,対

 公 式10.3の

関 数Neg(x)は

偶 を とれ ば,公

式10.1が

証 明   任 意 の 論 理 式Aに

対 象 式Neg(x)で

は 証 明 で き る(証 明 終 わ り).

用 い て の公

得 られ る.

対 して

表 現 され るか ら

  公 式10.4の

証 明   公 式10.3の

  公 式10.5の

証 明   表 現 可 能 な 関 係BwK(x)[9.3の44°]に

式 をBwK(x),Kが

空 の と き のBwK(x)をBw(x)と

  (2) 

対 応 す る論 理 表 わ せ ば,

Bw(y)→BwK(y)

が 証 明 で き る こ と は,す 理 式x

証 明 と 同 様.

BK

yのKを

ぐ に わ か る.関

空 と し た も の をx

係x B yと

y B x→y

BK

BK

y[9.3の45°]に

対 応 す る論

表 わ せ ば,(2)に

より

x,

した が って

が 証 明 で き る が,こ   公 式10.6の

れ はBew(x)→BewK(x)で

あ る(証 明 終 わ り).

証 明(概 要)  表 現 可 能 な 関 数x*y,R(x)[9.1の2°,3°]に

対 応 す る 対 象 式 をx*y,R(x)と

表 わ す こ と に す れ ば,論

理式

を 証 明 す る こ とが で き る.ゆ え に Bew(x

Imp

y)∧Bew(x)→Bew(y)

も 証 明 で き る(証 明 終 わ り).   残 る は,公

  10.4 

式10.7の

公 式10.7の

証 明 の み で あ る.

証 明 の概要

  1°  関 係 や 関 数 の'表

現 可 能 性'(7.1,7.2)に

対 応 し て,10.1に

に 論 理 式 や 対 象 式 の'表 現 可 能 性'を 定 義 す る と,定 応 し て,次

の1)‐16)を

理7.1‐

表 現 可 能.

  2)  論 理 式x≦yは

表 現 可 能.

  3)  論 理 式R(x1,x2,…,xν)が

表 現 可 能 な ら ば,R(x1,x1,x8,…,xν)も

現 可 能.

  5)  論 理 式R,Sが

定 理7.16に

対

証 明 す る こ と が で き る:

  1)  論 理 式x=yは

  4)  論 理 式Rが

おけ るよ う

表 現 可 能 な ら ば,￢Rも 表 現 可 能 な ら ば,

表 現 可 能.

表

  も表 現 可 能.   6)  論 理 式Rが

表 現 可 能 な らば,

  も 表 現 可 能.   7)    8) ν

対 象 式x′,x,k[kは

変 数 の 対 象 式f(x1,…,xν)が

xν,y1,…,yμ   9) 

任 意 の 自 然 数]は

表 現 可 能.

表 現 可 能 な ら ば,ν+μ

変 数x1,…,

の 対 象 式 と 考 え た と き のf(x1,…,xν)も

対 象 式f(x1,x2,…,xν)が

表 現 可 能.

表 現 可 能 な ら ば,f(x1,x1,x3,…,xν)も

表

現 可 能.   10) 

論 理 式R(y,z1,…,zμ)と

対 象 式f(x1,…,xν)が

表 現 可 能 な ら ば,

R(f(x1,…,xν),z1,…,zμ)   も 表 現 可 能.   11) 

対 象 式g(y,z1,…,zμ),f(x1,…,xν)が

表 現 可 能 な ら ば,

g(f(x1,…,xν),z1,…,zμ)  も 表 現 可 能.   12) 

論 理 式R(y),対

象 式fが

表 現 可 能 な ら ば,

  も表 現 可能.  13)  論 理 式R,∃yRが  14)  論 理 式R(y),対

と もに 表 現 可 能 な らば,対 象 式 εyRも 表 現 可 能. 象 式fが

表 現 可 能 な らば,対 象 式

  も 表 現 可 能.  15)  論 理 式Rが

表 現 可 能 で∃yRが

証 明 で き れ ば,対

可 能.  16)  対 象 式f,g(x,y)が

表 現 可 能 な ら ば, h(0)=f,h(x′)=g(x,h(x))

象式

εyRも

表現

  と し て 定 義 さ れ る 対 象 式h(x)[定   証 明 は 定 理7.1‐

定 理7.16の

の 証 明 に は 定 理8.1を   2°  定 理7.1‐ 章)の

理6.1]も

証 明 と並 行 し て お こ な わ れ る.と

定 理7.16を

も と に し て8.3の

の1)‐16)を

補 助 定 理Iを

も と に し て,論

で あ る こ と を 証 明 す る こ と が で き る.こ

能'で

く に,15)

用 い る と 簡 単 で あ る.

と 同 様 に し て,1°

式BwK(x)が

表 現 可 能.

証 明 し た(第9

理 式xBKyが

の と き,9.3の44°

表 現 可 能 で あ る こ と を 証 明 す る 際 に,Kが'強

表 現可 能

に 対 応 し て,論

理

い意 味 で表現 可

あ る こ と を 用 い る の で あ る.

  3°

と い う形 の 論 理 式 が 証 明で き る こ とに 対 応 して,こ

の事 実 を 形 式 化 し て 得 られ

る論 理 式

は 証 明 で き る.こ 式 で あ る.こ

こ で,xExyは

れ と 公 式10.6を

関 数xExy[9.2の18°]を

表 現 す る対 象

用 いれ ば

 公 式10.8

が 得 られ る.   4° 任 意 の 論理 式Aを1つ

固 定 し,変数yの

ゲ ーデ ル 数 を19と

した 上 で

 (1)

と お き,論 理 式  (2) が 証 明 で き る こ と に 注 意 す る[証 明 は,公   論 理 式xBKyの

式10.3の

表 現 可 能 性 と1° の7),10)と

能 で あ るか ら

が 証 明 で き,BewK(x)の

定 義(定 義8.1)に

よ り

証 明 と 同 様(定 義8.1)]. に よ り,yBK『A』

も表 現 可

[公 式10.8] [(2)]  こ の よ う に し て,公

  10.5 

式10.7は

得 ら れ る.

ク ライ ゼルの 注意

  ロ ッサ ー の 不 完 全 性 定 理(定 理8.11)の い て,ク

ラ イ ゼ ル(G.Kreisel)は,次

  定 理10.4 

証 明 に 用 い た 論 理 式BewK*(x)に

つ

の 定 理 が 成 り立 つ こ とを 指 摘 し た:

論 理 式 の 集 合Kが

表 現 可 能 な ら ば,論

理式

 (1) は 証 明 で き る.   証 明  ￢(1=0)は

証 明 で き る か ら,論

理 式1=0をAと

お き,定

理8.10

の2° に よ れ ば よ い(証 明 終 わ り).   8.8で

も 注 意 し て お い た よ うに,Kが

とyBK*xは

一 致 す る.し

無 矛 盾 で あ れば,2つ

の 関 係yBKx

た が っ て, (∃n)(nBK*x)

をBewK*(x)と し,"xは

表 わ せば,Kが

無 矛 盾 で あ る 限 り,そ

証 明 で き る 論 理 式 の ゲ ー デ ル 数 で あ る"と

れ はBewK(x)と

一致

い う こ と に な る か ら,

 (2) は'Kの

無 矛 盾 性'の1つ

る 論 理 式(1)は な わ ち,無

の 表 現 に な っ て い る.と

証 明 で き る[も

ち ろ ん,Kか

  た し か に,BewK(x)とBewK*(x)は,い 関 係BewK(x)を 題(2)に

題(2)に

ら 証 明 で き る,と

矛 盾 性 を 意 味 す る 論 理 式 を 適 当 に と れ ば,そ

の な か で 証 明 で き る こ と も あ る,と

は,命

こ ろ が,命

言 う.こ

対応す

も 言 え る].す

の論理 式 が形式 的体 系

れ が ク ラ イ ゼ ル の 注 意 で あ る. ず れ も,第7章

の 意 味 に お い て は,

数 値 別 に 正 確 に 表 現 し て い る わ け で は な い か ら,そ 対 応 す る 論 理 式 と し て,(1)を

の意味 で

と るか

 (3) を と る か は,ま (1)は

っ た く 自 由 の よ うに 思 わ れ る.そ

つ ね に 証 明 で き,定

理10.3に

よ れ ば,Kが

し て,定

理10.4に

ω‐無 矛 盾[し

よ れ ば, か も,強

い

意 味 で 表 現 可 能]で あ る 限 り,(3)は

証 明 で き な い.

  わ た くし は,局 所 的 な 意 味 に お い て は,ク な い.け

ラ イ ゼ ル に よ る この 注 意 を 評 価 し

れ ど も,論 理 式 に よ る 命 題 の 表 現 法 が 明 々 白 々に 確 定 して い るわ け で

は な い,と

い う一 般 的 視 野 に 立 て ば,こ れ は,や

は り重 要 か つ 適 切 な 注 意 で あ

る,と 思 っ て い る.

  最 後 に,蛇

足 な が ら,次 の 定 理 を 述 べ て お く:

  定 理10.5 

論 理 式 の 集 合Kが

2つ の論 理 式 は,い ず れ もKか

  証 明   定 理10.4と の 証 明 に は,Kの

強 い 意 味 で 表 現 可 能 かつ 無 矛 盾 な らば,次

の

らは 証 明 で きな い:

定 理10.3の2°

に よ る.と

く に,定

理10.3の2°

ω‐無 矛 盾 性 は 不 必 要 で あ る(証 明 終 わ り).

の 後半

11.  帰 納

  第7章

で 導 入 し た,関

的 関 数

係 や 関 数 に つ い て の 表 現 可 能 性 の 概 念 は,わ

使 用 し て い る 形 式 的 体 系 に 依 存 し て 定 ま る 概 念 で あ っ た.た む 体 系 を 使 用 し た とす れ ば,す し か し,も

べ て の 関 係,す

と えば,矛

relation)お

よ び 一 般 帰 納 的 関 数(general

も の と 一 致 す る(11.3).こ

盾 を含

べ て の 関 数 が 表 現 可 能 と な る.

し わ れ わ れ の 使 用 し て い る 体 系 が 無 矛 盾 で あ る な ら ば,表

関 係 お よ び 表 現 可 能 な 関 数 と い う も の は,一

現可能 な

般 帰 納 的 関 係(general

recursive

の こ と を 示 す の が,こ

function)と の 章 の 第1の

  つ い で,一

般 帰 納 的 関 係 と い う も の が,い

を 意 味 し,一

般 帰 納 的 関 数 と い う も の が 計 算 可 能(calculable)な

る,と

れわ れ の

recursive

よば れ て い る 目標 で あ る.

わ ゆ る 決 定 可 能(decidable)な

い う主 張(チ ャ ー チ の 提 唱)に も 触 れ よ う と 思 う.こ

関係

関 数 を意 味す

れ を,こ

の 章 の 第2

の 目 標 と す る.

  11.1 

一 般 帰納 的 関数

  '一 般 帰 納 的 関 数'の そ の うち の1つ

  定 義11.1(帰

い う の を 単 に'帰

書 も,そ

下 に 述 べ る の は,

納 的(recursive)'と

言 うの が 現 在 の慣 例 に

の 慣 例 に 従 う.

納 的 関 数 の 定 義)

  1)  自 然 数0は0変

数 関 数 と し て 帰 納 的 で あ る.

  2)  f(x)=x+1と   3) 

ろ い ろ な も の が あ る.以

で あ る.

  '一 般 帰 納 的'と な っ て い る.本

定 義 に は,い

し て 定 義 さ れ る1変

ν変 数 関 数fが

数 関 数fは

帰 納 的 で あ る.

帰 納 的 で あ れ ば,

g(x1,…,xν,y1,…,yμ)=f(x1,…,xν)   と し て 定 義 さ れ るν+μ

変 数 関 数gも

帰 納 的 で あ る(ν ≧0,μ>0).

  4)  帰 納 的 関 数 の 独 立 変 数 の 順 序 を 入 れ か え て 得 ら れ る 関 数 も ま た 帰 納 的 で あ る.

  5) 

μ 変 数 関数gお

よ び μ 個 のν 変 数 関 数f1,…,fμ

がす べ て帰納 的 であ

れば h(x1,…,xν)=g(f1(x1,…,xν),…,fμ(x1,…,xν))   と し て 定 義 さ れ るν 変 数 関数hも   6) ν

変 数 関数fとν+2変

  と し て 定 義 さ れ るν+1変   7) ν+1変

数 関 数fが

帰 納 的 で あ る(ν ≧0,μ>0).

数 関 数gが

帰 納 的 な ら ば,

数 関数hも

帰 納 的 で あ る(ν ≧0).

帰 納 的,か

つ

(∀m1…mν)(∃n)[f(m1,…,mν,n)=0]   と い う条 件 を 満 た し て い れ ば, g(x1,…,xν)=(εn)[f(x1,…,xν,n)=0]  と し て 定 義 さ れ るν 変 数 関数gも   8)  上 の1)‐7)に

よ っ て'帰

帰 納 的 で あ る(ν>0).

納 的'と

結 論 され る関 数 の み を 帰 納 的 関 数 と

い う.   定 義11.2定

義11.1の1)‐6)に

を 原 始 帰 納 的 関 数(primitive   原 始 帰 納 的 関 数 と は,要

よ っ て'帰 納 的'と 結 論 さ れ る 関 数 の こ と

recursive す る に,自

function)と 然 数0と

関 数x+1を

独 立 変 数 の 追 加 や 順 序 変 更 を 認 め た 上 で[3),4)],代 義[6)]を

入[5)]と

と も に し[1),2)], 関数 の 帰納的 定

繰 り返 し 適 用 す る こ と に よ っ て 得 ら れ る 関 数 の こ と で あ る.

  本 来,'帰 ば,不

い う.

納 的 関 数'と

は,原

始 帰 納 的 関 数 を 意 味 す る 言 葉 で あ っ た.た

完 全 性 定 理 に 関 す る ゲ ー デ ル の 原 論 文 で 用 い ら れ て い る'帰

kursiv)'と

い う 言 葉 は,す

べ て,こ

とえ

納 的(独re

んに ち で 言 う'原 始 帰 納 的'の 意 味 に 理 解

し な け れ ば な ら な い.   0とx+1か

ら 出 発 し て 順 次'帰

あ ら た に7)を 的 関 数'な

加 え,帰

納 的 関 数'を

作 っ て い く操 作3)‐6)に,

納 的 関 数 の 範 囲 を 拡 大 し て 得 られ た も の が'一

の で あ る.

  注 意   (∀m1…mν)(∃n)R(m1,…,mν,n)と

い う条 件 つ きで の

般帰 納

(εn)R(x1,…,xν,n) の こ とを μyR(x1,…,xν,y) と表 わ す 習 慣 が あ る.た

と えば,定

義11.1の7)に

お け る関 数gの

定 義 な どを

g(x1,…,xν)=μy[f(x1,…,xν,y)=0] と書 く.μyR(x1,…,xν,y)と

い う表 現 を 使 うだ け で (∀m1…mν)(∃n)R(m1,…,mν,n)

とい う条 件 が 満 た され て い る こ と ま で を 意 味 し て し ま うの で 便 利 な 点 も あ るが,本 は,有

書で

り合 わ せ の 記 法 で 押 し通 し て し ま う こ と に す る

  例1 

自 然 数 は す べ て0変

を も と に し て,5)を   例2 

数 の 原 始 帰 納 的 関 数 で あ る.定

義11.1の1),2)

繰 り返 し 適 用 す れば よ い.

恒 等 写 像f(x)=xは

原 始 帰 納 的 で あ る.な

ん と な れ ば,自

然 数 につ

い て の 恒 等 写 像fは,

 と し て,帰 納 的 に 定 義 す る こ とが で き る か ら.く わ し くは:

f0(x)=x+1, f1(x,y)=f0(x)[=x+1], f2(x,y)=f1(y,x)[=y+1],

  と し て 順 次 定 義 さ れ て い く 関 数f0,f1,f2,fは,定 お よ び1)と6)に

よ っ て[7)を

用 い ず に]帰

義11.1の2),3),4) 納 的 で あ る こ とが わ か るか ら

で あ る.  例3 

x+y,xy,xy,x!は

す べ て 原 始 帰 納 的 で あ る.

 例4  と し て 定 義 され るx−yは

原 始 帰 納 的 で あ る.な ん とな れば:

と し て定 義 さ れ る関 数 δは,こ の 定 義 自身 を 帰 納 的 定 義 とみ な す こ とが で き るか ら[定 義11.1の3)の

助 け を 借 りる],原 始 帰 納 的 で あ り;こ の δを

用 い れ ば,x−yは

 の よ うに 帰 納 的 に 定 義 す る こ と もで き る か らで あ る.   例5 ￨x−y￨は

原 始 帰 納 的 で あ る.な ん とな れば, ｜x−y￨=(x−y)+(y−x)

  で あ る か ら.   以 上 は,す べ て 原 始 帰 納 的 関 数 の 例ば か りで あ った.原 始 帰 納 的 で な い 帰 納 的 関 数 の 例 を,証

明 つ き で 述べ る の は 長 くな るの で,こ

と し て 定 義 さ れ る 関 数f(x,y)― は,原

こで は 省 略 す る.

ア ッ ケ ル マ ン(W.Ackermann)の

始 帰 納 的 で な い 帰 納 的 関 数 の1つ

関数 ―

で あ る.1)

 帰 納 的 関 係   定 義11.3 ν

変 数 の 帰 納 的 関 数fを

用 いて

R(x1,…,xν)⇔f(x1,…,xν)=0 と 表 わ さ れ るν 項 関 係Rは   定 義11.4 ν

帰 納 的 と い わ れ る.

変 数 の 原 始 帰 納 的 関 数fを

用いて

R(x1,…,xν)⇔f(x1,…,xν)=0 と表 わ さ れ るν 項 関 係Rは

原 始 帰 納 的 と い わ れ る.

  1)  ア ッケル マン の 関 数 が 原 始 帰 納 的 で な い こ との 証 明 は,た 界 』(日 本 評 論,1972年)の68-73頁 直 接 法 に よ って も よい が,も

に あ る.ア

とえ ば,竹

内 外 史 『数学 基 礎 論 の 世

ッ ケル マン の 関 数 が 帰 納 的 で あ る こ との 証 明 は,

し後 述 の チ ャ ー チ の提 唱(11.4)を 信 用す る とす れ ば,こ の 関 数 の 計 算 可

能 性 を確 認 す るだ け で 十 分 で あ る.

  11.2 

帰 納 的 関 数 の基 本 的 な 性 質

  表 現 可 能 な 関 係 と 関 数 に つ い て の 定 理7.1‐ 定 理11.1‐

定 理11.16が

成 立 す る.と

定 理7.16に

くに 定 理11.0は,表

対 応 し て,次

の

現 可能 な関係 に

つ い て は 自 明 の こ と と し て 述 べ な か っ た 性 質 に 対 応 し て い る.   定 理11.0 ν

項 関 係R(x1,…,xν)が

変 数x1,…,xν,y1,…,yμ ま た,帰

帰 納 的 で あ れ ば,そ

に つ い て のν+μ

れ をν+μ

個の

項 関 係 と 考 え て も 帰 納 的 で あ る.

納 的 関 係 の 変 数 の 順 序 を 入 れ かえ て 得 ら れ る 関 係 も 帰 納 的 で あ る.

  証 明   定 義11.1の3)と4)に   定 理11.1 

関 係x=yは

よ る(証 明 終 わ り). 帰 納 的 で あ る.

  証明 x=y⇔￨x−y￨=0 で あ り,￨x−y￨は   定 理11.2 

帰 納 的 で あ る か ら[11.1の 関 係x≦yは

例5](証

明 終 わ り).

帰 納 的 で あ る.

  証明 x≦y⇔x−y=0 で あ り,x−yは

帰 納 的 で あ る か ら[11.1の

  定 理11.3 ν

例4](証

項 関 係R(x1,x2,…,xν)が

明 終 わ り).

帰 納 的 な ら ば,ν−1項

関係

R(x1,x1,x3,…,xν) は 帰 納 的 で あ る.   証 明   後 出 の 定 理11.9に   定 理11.4 

関 係Rが

よ る(証 明 終 わ り). 帰 納 的 な ら ば,関

係Rも

帰 納 的 で あ る.

 証明 R(x1,…,xν)⇔f(x1,…,xν)=0, g(x1,…,xν)=1−f(x1,…,xν) とおけば R(x1,…,xν)⇔g(x1,…,xν)=0. 関 数fを

帰 納 的 関 数 とす れ ば,関数gも

る(証 明 終 わ り).

帰 納 的 で あ る か ら,Rは

帰納 的 であ

 定 理11.5 

関 係R,Sが

と も に 帰 納 的 な らば,関 係

RorS, 

R&S, 

R⇒S, 

R⇔S

は す べ て 帰 納 的 で あ る.   証 明   定 理11.4に

よ れば,RorSが

帰 納 的 で あ る こ とだ け を 証 明す れ ば 十

分 で あ る. R(x1,…,xν)⇔f(x1,…,xν)=0, S(x1,…,xν)⇔g(x1,…,xν)=0 とお け ば R(x1,…,xν)orS(x1,…,xν)⇔f(x1,…,xν)・g(x1,…,xν)=0. fとgが

帰 納 的 な ら ばf・gも

  定 理11.6 ν+1項 に つ い て の2つ

帰 納 的.ゆ

え にRorSは

関 係R(x1,…,xν,y)が

のν+1項

帰 納 的(証 明 終 わ り).

帰 納 的 な ら ば,変数x1,…,xν,z

関係

(∀n)[n≦z⇒R(x1,…,xν,n)], (∃n)[n≦z&R(x1,…,xν,n)] は,い

ず れ も 帰 納 的 で あ る.

  証 明  ν=1と   定 理11.4に

し て 証 明 す る.

が帰納的であることだけを証

よ れば, 

明 す れ ば 十 分. R(x,y)⇔f(x,y)=0,

と お け ば,

ゆ え に,fが

帰 納 的 な らばgも

帰 納 的,と

い う こ と を示 せ ば よ い.し か し,

そ の こ とは,関 数gが

と し て 帰 納 的 に 定 義 され る こ とか ら 明 らか(証 明 終 わ り).

  定 理11.7 

関 数x+1,関

数x,定

数k(k=0,1,2,…)は

す べ て 帰 納 的

で あ る.   証 明   定 義11.1の2)と11.1の   定 理11.8 ν

例2,例1(証

変 数 関 数f(x1,…,xν)が

x1,…,xν,y1,…,yμ

明 終 わ り). 帰 納 的 な ら ば,そ

れ をν+μ

変 数

の 関 数 と 考 え て も 帰 納 的 で あ る.

  証 明   定 義11.1の3)そ   定 理11.9 ν

の も の(証

明 終 わ り).

変 数 関 数f(x1,x2,…,xν)が

帰 納 的 な ら ば,ν−1変

数 関 数

f(x1,x1,x3,…,xν) も 帰 納 的 で あ る.   証 明   証 明 す べ き こ と は,fが

帰 納 的 な ら ば

g(x1,x3,…,xν)=f(x1,x1,x3,…,xν) と い う 関 数gも

帰 納 的,と

い う こ と で あ る. hi(x1,x3,…,xν)=xi

と い う 関 数hi(i=1,3,4,…,ν)は

す べ て 帰 納 的 で あ る[11.1の

例2,定

義11.1の3),4)]. g=f(h1,h1,h3,…,hν) で あ る か ら,gも   定 理11.10 

帰 納 的[定

義11.1の5)](証

関 係R(y,z1,…,zμ)と

明 終 わ り). 関 数f(x1,…,xν)が

帰 納 的 な ら ば,

R(f(x1,…,xν),z1,…,zμ) も 帰 納 的 で あ る.   証 明   次 の 定 理11.11に   定 理11.11 

よ る(証

明 終 わ り).

関 数g(y,z1,…,zμ),f(x1,…,xν)が

帰 納 的 な ら ば,

g(f(x1,…,xν),z1,…,zμ) も 帰 納 的 で あ る.   証 明   定 理11.9に み を 証 明 す れば

数x1,…,xν,z1,…,zμ

十 分.g(y,z1,…,zμ)のy,z1,…,zμ

数x1,…,xν,z1,…,zμ よ い(証

よ り,変

明 終 わ り).

が すべ

て異 な る場 合 の

の そ れ ぞ れ に,ν+μ

の 関 数 と 考 え たf(x1,…,xν),z1,…,zμ

変

を 代 入 す れ ば

  定 理11.12 

は,い

関 係R(x1,…,xν,y)と

関 数f(z1,…,zμ)が

帰 納 的 な らば

ず れ も 帰 納 的 で あ る.

  証 明   定 理11.6,定

理11.10に

  系  関 係R(x1,…,xν,y)と

よ る(証 明 終 わ り). 関 数f(z1,…,zμ)が

帰 納 的 な らば

は 帰 納 的 で あ る.   証 明   μ=ν=1と

し て,前 者 に つ い て の み 証 明 す る.

とお け ば

と な る か ら,定

理11.5と

  定 理11.13 

関 係R(x1,…xν,y)と(∃n)R(x1,…,xν,n)が

な ら ば,関

定 理11.12に

よ る(証 明 終 わ り). ともに帰納的

数 (εn)R(x1,…,xν,n)

も 帰 納 的 で あ る.   証 明   定 理11.15を

証 明 に 用 い る.ν=1と

し て 証 明 す る.

とお くと

R(x,y)と(∃n)R(x,n)が (∀m)(∃n)S(m,n)は 帰 納 的(証

帰 納 的 で あ る か ら,S(x,y)も 成 立 す る.ゆ

え に,定

理11.15に

帰 納 的.し

か も,

よ っ て,(εn)S(x,n)は

明 終 わ り).

  定 理11.14 

関 係R(x1,…,xν,y)と

関 数f(z1,…,zμ)が

帰 納 的 な らば

は,と

も に 帰 納 的 で あ る.

  証 明   定 理11.12と に よ り,以

定 理11.13を

用 い て 証 明 す る の が 簡 単 で あ る が,都

下 の 証 明 に は 定 理11.13を

  ν=μ=1と

合

用 い な い.

し て 証 明 す る.

  (1) 

g(x,y)=(εn)[n
と お く と,

と な る か ら,(1)の

よ う なgが

帰 納 的 で あ る こ と を 言 え ば よ い.

  ま ず,

と い う 関 数sg,

sgは,

と し て 定 義 さ れ る か ら,と   関 数gの

定 義(1)に

も に 帰 納 的 で あ る,と よ り,明

 (2)   ま た,定

い う こ と に 注 意 し て お く.

らか に g(x,0)=0.

義(1)に

より

で あ る か ら,

と な る帰 納 的 関 数hを

用 い る と[関 係Rが

帰 納 的 で あ れ ば,こ

関 数hは 存 在 す る],

ゆ え に  (3) 

g(x,y+1)=y・sg[h(x,y,g(x,y))]+g(x,y)・sg[h(x,y,g(x,y))].

の よ うな 帰 納 的

 sg, sg, hが

帰 納 的 で あ る こ と と,(2)と(3)に

よ り,gが

帰納的 であ る

こ と が わ か る(証 明 終 わ り).   定 理11.15 

関 係R(x1,…,xν,y)が

が 成 り立 て ば,関

帰 納 的,か

つ

数

も 帰 納 的 で あ る.  証 明  帰 納 的 関 係 の 定 義(定 義11.3)に

よ れ ば,こ

れ は,定

義11.1の7)そ

の も の で あ る(証 明 終 わ り).  定 理11.16 

関 数f(z1,…,zν),g(x,y,z1,…,zν)が

と し て 定 義 され る関 数h(x,z1,…,zν)も

と も に 帰 納 的 な ら ば,

帰 納 的 で あ る.

 証 明  これ は,定 義11.1の6)そ

の もの(証 明 終 わ り).

 以 上 の定 理11.0一

お け る"帰 納 的"と

的"に

定 理11.16に

置 きか え て 得 られ る定 理 も,定 理11.13と

す べ て 成 立 す る[定 理11.14に っ た].定 で,与

理11.13と

い う言 葉 を"原 始 帰 納

定 理11.15を

面 倒 な証 明 を 与 え た の は,こ

定 理11.15だ

け は,定 義11.1の7)に

例 外 と して,

の 目的 の た め で あ 関 連 して い る の

え られ た 関 係 が 原 始 帰 納 的 で あ って も,結 果 と し て 得 ら れ る 関 数 が 原 始

帰 納 的 に な る とは 限 らな い.

 11.3  表 現 可 能 性 と の 一 致   わ れ わ れ の 形 式 的 体 系 が 無 矛 盾 で あ る とい う仮 定 の も とで,関 数 や 関 係 に つ い て,そ れ が 表 現 可 能 で あ る こ と と帰 納 的 で あ る こ と とが 一 致 す る,と い う こ と を 示 す.   1° 帰 納 的 関 数 が 表 現 可 能 で あ る こ と の 証 明  帰 納 的 関 数 の 定 義(定 義11.1)の1)―7)の

順 に 証 明 して い け ば よい:

  1)  自 然 数0は

表 現 可 能(定

  2)  関 数x+1は

理7.7の3°).

表 現 可 能(定

  3)  帰 納 的 関 数fが

理7.7の1°).

表 現 可 能 な らば,

  g(x1,…,xν,y1,…,yμ)=f(x1,…,xν)  と し て 定 義 さ れ る 帰 納 的 関 数gも   4)  帰 納 的 関 数fが

対 象 式fで

表 現 可 能(定

理7.8).

表 現 さ れ れ ぼ,fの

か え て 得 ら れ る 帰 納 的 関 数 は,同

じ 対 象 式fで

独 立 変 数 の順 序 を 入 れ 表 現 さ れ る(定

義7.2か

ら の 直 接 の 帰 結).   5),6)  に 対 応 し て は,定   7) に 対 応 し て は,次   補 助 定 理11.1  ば,関

理7.10,定

理7.16を

用 い れ ば よ い.

の 補 助 定 理 と定 理7.15を

関 数f(x1,…xν)が

係f(x1,…,xν)=0は

用 い れ ば よ い.

対 象 式.f(x1,…,xν)で

論 理 式f(x1,…,xν)=0で

表 現 されれ

表 現 さ れ る.

  証 明   証 明す べ き こ とは

で あ る が,前 者 は,fの

表 現 可 能 性(定 義7.2)か

ら 明 らか.後 者 を示 す に は,

定 義7.2と

に よれ ば よい(証 明 終 わ り).   定 義11.1の8)に

よれ ば,以 上 に よ って,す

べ ての帰 納的関 数が表 現 可能

で あ る こ とが わ か る.   2° 帰 納 的 関 係 が 表 現 可 能 で あ る こ と の 証 明   帰 納 的 関 数 の 表 現 可 能 性[1° の 結 論]と 補 助 定 理11.1に

よ る.

  3° 表 現 可 能 な 関 係 が 帰 納 的 で あ る こ と の 証 明   こ の 証 明 に は わ れ わ れ の 形 式 的 体 系 が 無 矛 盾 で あ る こ と が 必 要 で あ る.   補 助 定 理11.2  で あ る.ま

た,44°

得 ら れ るBW(x),

第9章

の1°−43° で定 義 し た 関 数 や 関 係 は,す べ て 帰 納 的

と45° で 定 義 し たBWK(x), xByも

帰 納 的 で あ る.

xBKyのKを

空 集 合 と して

 証 明  定 理7.1―

定 理7.16を

基 礎 に し て,そ れ らが 表 現 可 能 で あ る こ とを

確 認 した の と ま った く同 じ手 順 に よ り,定 理11.0― して い け ば よい.と

くにBWK(x)とxBKyに

る こ とを 利 用 し て い る が,こ

定 理11.16を

対 し て は,Kが

こで は,Kを

用 い て証 明 表 現 可能 で あ

空 集 合 と して い るの で 問 題 は な い

(証 明 終 わ り).   補 助 定 理11.3  帰 納 的 な ν+1項

形 式 的 体 系 が 無 矛 盾 で あれ ば,表 現 可 能 な ν項 関 係Rは, 関 係Qを

用 いて

と表 わ さ れ る.  証 明   ν=1と

し て 証 明す る.

  Rは 表 現 可 能 で あ るか ら,任 意 の 自然 数mに

とな る論 理 式R(x)が 否 定￢R(m)が

変 数xの

mは

存 在 す る.形 式 的 体 系 が 無 矛 盾 で あ れ ば,R(m)と

その

同 時 に 証 明 で き る こ とは あ り得 な い か ら

ゲ ー デ ル 数 を17,

R(x)のゲー

デ ル 数 をrと

すれ ば

任 意 の 自然 数 で あ っ た か ら

補 助 定 理11.2に Q(x,y)と

  Rを

対 して

は 帰 納 的 関 係 だ か ら,こ

よ り 

の関 係を

お け ば よ い(証 明 終 わ り).

表 現 可 能 な ν項 関 係 とす れ ば,そ

補 助 定 理11.3に

の否 定Rも

表 現 可 能 な 関 係 で あ る.

よ れ ば,

 (1)  (2) と い う帰 納 的 関 係Q,

Q1が

存 在 す る.こ

の(1),

(2)に

よ り

R(x1,…,xν)

or

R(x1,…,xν) or or

とな る か ら,帰 納 的 関 係 Q(x1,…,xν,y) が,条

or Q1(x1,…,xν,y)

件 or

を 満 た し て い る こ と が わ か る.ゆ

え に,定

理11.15に

より

or

とい う関 数 は 帰 納 的 で あ る.こ の 関 数fの

Qとfが

定 義 と(1),

と もに 帰 納 的 で あ る こ とに 注 意 す れ ば,Rも

(2)に

よれ ば

帰 納 的 で あ る こ とが わ

か る.   以 上 に よ っ て,形 式 的 体 系 が 無 矛 盾 で あ る と い う仮 定 の も とで,表 現 可 能 な 関 係 が す べ て 帰 納 的 で あ る とい う こ とが 示 され た.   4° 表 現 可 能 な 関 数 が 帰 納 的 で あ る こ と の 証 明   表 現 可 能 な ν変 数 関 数fか

ら得 られ る ν+1項

関係

f(x1,…,xν)=y は 表 現 可 能 で あ り(定理7.1,定

理7.10),上

記 の3° の 結 果 に よれ ば,帰 納 的

で あ る.ま た

は 正 し い か ら,定 理11.15に

よ り,関 数 (εn)[f(x1,…,xν)=n]

は 帰 納 的 で あ る.こ の 最 後 に 得 られ た 関 数 はfと 一 致 す る.ゆ え に,形

式的 体

系 が 無 矛 盾 で あ る とい う仮 定 の も とで[こ の 仮 定 は,3° の結 果 を 用 い る と ころ で,間 接 的 に 使 わ れ て い る],表

現 可 能 な 関 数 は す べ て 帰 納 的 で あ る.

  11.4 

チ ャー チ の 提 唱

  ν変 数 関 数fが m1,…,mν

計 算 可 能(effectively

に 対 し て,関

calculable)で

あ る と は,任

意 の 自然 数

数値 f(m1,…,mν)

を 求 め る 一 般 的 な 計 算 法(calculation ν項 関 係Rが

決 定 可 能(effectively

数m1,…,mν

に 対 し て,命

procedure)が decidable)で

存 在 す る こ と を 言 う.ま あ る と い う の は,任

た

意 の 自然

題 R(m1,…,mν)

の 真 偽 を 決 定 す る 一 般 的 な 決 定 法(decision   こ こ で 用 い た'計 算 法'と か'決 定 法'と

procedure)が い う言 葉,あ

存 在 す る こ と を 言 う. る い は,よ

り一 般 的 に,

ア ル ゴ リ ズ ム(algorithm)の

概 念 の 正 確 な 定 義 は 存 在 し て い な い.む

下 で 述 ベ よ う と し て い る'チ

ャ ー チ の 提 唱'と い う も の が,こ

味 づ け を し よ う と す る1つ

の 提 言 な の で あ る.に

個 々 の ア ル ゴ リズ ム[例 え ば,ユ

の概念 に精密 な意

も か か わ ら ず,わ

れ わ れ は,

ー ク リ ッ ド の 互 除 法 な ど]を 見 せ ら れ れ ば,そ

れ を ア ル ゴ リ ズ ム と理 解 す る こ と が で き る.計 ど と い う 言 葉 の 通 常 の 使 用 法 は,こ お い て も,こ

し ろ,以

算 法 ・決 定 法 ・ア ル ゴ リ ズ ム な

の よ うな も の で あ る.わ

れ わ れ は,以

下に

の 通 常 の 言 葉 の 使 用 法 に 従 う こ と に す る.

  1°  帰 納 的 関 数 は 計 算 可 能 で あ る と い う こ と   これ は,帰

納 的 関 数 の 定 義(定

 定 義11.1の1),2)に

義11.1)に

相 当 す る,自

よ れ ば,ほ

然 数0と

あ ま りに も 明 ら か で あ る.3)―7)は,1個

計 算 可 能 性 は,

与 え られ た 関 数 の 計 算 法 が

の ま ま 新 し い 関 数 の 計 算 法 に な る 場 合 で あ り,5)で

れ た 関 数 の 計 算 法 を 組 み 合 わ せ れ ば よ い.6)で h(0,m1,…,mν), の 値 を,左

関 数x+1の

以 上 の 与 え られ た 帰 納 的 関 数 か ら

新 し い 帰 納 的 関 数 を 作 る 方 法 で あ る が,3)と4)は [ほ と ん ど]そ

と ん ど 明 ら か で あ る:

h(1,m1,…,mν),

は,fとgの

h(2,m1,…,mν),…

法 に した が っ て f(m1,…,mν,1),

え ら

計 算法を 用い て

の も の か ら 順 に 計 算 し て 行 く こ と が で き る し,7)で

f(m1,…,mν,0),

は,与

f(m1,…,mν,2),…

は,fの

計算

の 値 を 順 に 計 算 して 行 け ば,

とい う保 証 が あ る の だ か ら,い つ か は 必 ず

の 値 を 見 つ け る こ と が で き る.   2°  帰 納 的 関 係 は 決 定 可 能 で あ る と い う こ と   ν変 数 関 数fが

帰 納 的 で あ れ ば,ν

項関係

f(x1,…,xν)=0 は 決 定 可 能 で あ る.fの てf(m1,…,mν)の

計 算 可 能 性 に よ り,任

意 の 自然 数m1,…,mν

値 を 計 算 す る こ と が で き る の で,そ

に対 し

れ に よって

f(m1,…,mν)=0 の 真 偽 を 決 定 す る こ と が で き る か ら で あ る.ゆ

え に,定

義11.3に

よ り,帰

納

的 関 係 は 決 定 可 能 で あ る.   3°  決 定 可 能 な 関 係 は 帰 納 的 で あ る と い う こ と   ν項 関 係Rが

決 定 可 能 で あ る と す れ ば,任

てR(m1,…,mν)の

こ と が 証 明 さ れ,R(m1,…,mν)が 明 さ れ ね ば な ら な い.も

が,そ

し,そ

ル ゴ リ ズ ム と し て の 資 格 を も た な い.少

項 関 係Rか

と い う こ と は,関

係Rを

の真 であ る

の 偽 で あ る こ とが 証

の よ う な 証 明 が で き な い とす れ ば,そ な く と も,ア

の アル ゴ ル ゴ リズ ム

い う こ と に な る.

ら派 生 す る 個 々 の 命 題R(m1,…,mν)の

れ ぞ れ の 場 合 に つ き,わ

数m1,…,mν

真 と 決 定 さ れ れ ば,そ

偽 と 決 定 さ れ れ ば,そ

で あ る こ と の 保 証 が ど こ に も な い,と   ま ず,ν

に対 し

真 偽 を 決 定 す る こ と の で き る ア ル ゴ リ ズ ム が 存 在 す る.そ

の ア ル ゴ リ ズ ム に よ っ てR(m1,…,mν)が

リズ ム は,ア

意 の 自 然 数m1,…,mν

真偽 の証 明

れ わ れ の 形 式 的 体 系 の な か で で き た と し よ う.

適 当 な 論 理 式R(x1,…,xν)で

表 わ し,任

意 の 自然

に 対 して

と な る と い う こ と が 示 さ れ る,と

い う こ と で あ る.す

な わ ち,こ

の よ うな 場 合

に は,関

係Rは

表 現 可 能 と な り,形

式 的 体 系 の 無 矛 盾 性 を 仮 定 し た 上 で は,

帰 納 的 で あ る.   し か し,す

べ て の 証 明 が'わ

で は な い.だ

か ら,証

れ わ れ の 形 式 的 体 系'の

なか で 実 行で きるわ け

明 つ き の ア ル ゴ リ ズ ム が 現 実 に 与 え ら れ た と し て も,個

々 のR(m1,…,mν)の

証 明 の な か に'わ

れ わ れ の 形 式 的 体 系'に

おい て実 行 で

き な い も の が あ る 可 能 性 は 十 分 に あ り得 る.   け れ ど も,そ

の ア ル ゴ リ ズ ム が 砂 上 の 楼 閣 で な い とす る な ら ば,わ

体 系 に 適 当 な 公 理 系Kを ど,無

つ け 加 え た り,あ

るいは 公理 的集 合論 を採用 す るな

矛 盾 で あ る こ と が 十 分 信 頼 で き る 適 当 な 形 式 的 体 系1)を 選 び,上

よ うに,そ

の 体 系 に お い て 関 係Rが

で あ ろ う.も

し,そ

の 関 係Rは

の 体 系 に つ い て11.3に

帰 納 的 で あ る,と

実 際 に ア ル ゴ リズ ムが 与 え られ た 場 合,多

くは,選

合 論 は 十 分 に 強 力 で あ る.の み な らず,そ

信 ず る こ と が で き る.

の 目的 の た め に は,公

の よ うな 体 系 は,な

の体系 で ある必

の よ うな 体 系 の存 在 し な い ア ル ゴ リズ ムが あ る とす れ ば,そ

ゴ リズ ムで あ る こ との 証 明 とは,い

っ た い,ど

 あ らゆ る決 定 可 能 な 関 係 に つ い て,こ 1つ の 信 念 で あ る.そ

の 信 念 と は,数

理的 集

に も既 成 の形 式 的 体

系 で あ る必 要 もな く,あ らゆ る 決 定 可 能 な 関 係 す べ て に共 通 な1つ

て も,あ

おけ る の

択 公 理 が 加え られ た わ れ わ れ の

形 式 的 体 系 で 間 に 合 うで あ ろ う し,現 在 の と ころ,こ

要 もな い.そ

と同 じ

表 現 可 能 と な る よ うに す る こ とが で き る

の こ と が 可 能 な ら ば,そ

と 同 じ 証 明 を お こ な い,そ  

れ われ の

れが アル

の よ うな もの で あ ろ うか?

の よ うな 形 式 的 体 系 の 存 在 を 認 め る こ とは, 学 の 証 明 法 な る も の が,将 来 の 各 時 点 に お い

る種 の条 件2)を満 た す 形 式 的 体 系 と して 必 ず 記 述 し得 るで あ ろ う,と い う

信 念 で あ る.そ

し て また,そ

ず る に 違 い な い.な

の 各 時 点 に お け る数 学 者 は,そ

ん とな れ ば,そ

か な らな い か らで あ る.も

れ は,数 学 の 証 明法 そ の も のを 信ず る こ とに ほ

し,わ れ わ れ が,帰

納 的 で な い 或 る関 係 の 真 偽 決 定 の た

め の ア ル ゴ リズ ム を 具 体 的 に示 そ う とす れ ば,あ

る種 の 条 件2)を満 た す 無 矛 盾 な 形

式 的 体 系 の な か で は け っ して 記 述 す る こ との で きな い'新 要 に な る.少 な く と も,わ た く し に は,そ  こ の よ うな 情 況 の も と で,わ

の体系 の無矛 盾性を 信

れ は不 可 能 な こ との よ うに 思 わ れ る.

れ わ れ は,チ

  1)  そ の 形 式 的 体 系 は,無 矛 盾 性 の み な らず,11.3で

しい 証 明 法'の 発 見 が 必

ャ ー チ(A.

Church)に

よ っ て提 案

述 べ た の と同 じ 証 明 が で き る よ うな 体 系 で

な け れ ば な らな い.そ れ は,簡 単 に言 え ば,帰 納 的 関 数 を 表 現 す る こ とが で き,ま た,帰 納 的 関 数 で 表 現 され る よ うな 体 系,と   2)  脚 註1)で

い うこ とで あ る.

述 べ た 条 件.

さ れ た 次 の 仮 定 を お く:   チ ャ ー チ の 提 唱(Church's   こ の 仮 定 の も と で は,関 同 じ こ と に な り,次

thesis):決 係 の'決

定 可 能 な 関 係 は 帰 納 的 で あ る.

定 可 能'と

に 示 す よ う に,関

い う 性 質 は'帰

数 の'計

算 可 能'と

納 的'と

い うの と

い う性 質 も'帰 納 的'

と い う の と 同 じ こ と に な る.   4°  計 算 可 能 な 関 数 は 帰 納 的 で あ る と い う こ と   ν変 数 関 数fが

計 算 可 能 な ら ば,ν+1項

関係

f(x1,…,xν)=y は 決 定 可 能 で あ る.命

題 f(m1,…,mν)=n

の 真 偽 を 決 定 す る に は,関

数 値f(m1,…,mν)の

値 を 計 算 し て み れ ば よい か

ら で あ る.   関 係f(x1,…,xν)=yが 帰 納 的 で あ る.し

か も,条

決 定 可 能 な ら ば,チ

ャ ー チ の 提 唱 に よ り,そ

れは

件

も満 た さ れ てい る か ら,定 理11.15に

よ り,関 数

(εn)[f(x1,…,xν)=n] も 帰 納 的.こ

の 関 数 はfそ

の もの で あ るか ら,結 局,関 数fは

帰納 的 であ る

と い う こ とに な る.

  帰 納 的 関 数 は 計 算 可 能 で あ る,と 言 っ て も,関 数fが 証 明 した だ け で は,fの

帰 納的 で あ る ことを

関 数 値 を 計 算 す るた め の ア ル ゴ リズ ム が 与 え ら れ る

わ け で は な い[そ うで は な く,ア ル ゴ リズ ム の 存 在 が 保 証 され た だ け で あ る]. 帰 納 的 関 数fが 11.1)の1)―7)に

計 算 可 能 で あ る とい う言 葉 の 意 味 は,帰 納 的 関 数 の 定 義(定 義 従 っ て次 々 に 得 られ る帰 納 的 関 数 の 列 f0,f1,f2,…,fν

の うち,fν=fと

な る もの が 具 体 的 に 与 え られ れ ば,そ れ に よ っ て,fの

値 を計 算 す るア ル ゴ リズ ム も 与 え られ る,と い う こ とで あ る.

関数

  同 じ こ とを,表 現 可 能 な 関 係 に つ い て言 え ば,次 の よ うに な る[た だ し,形 式 的 体 系 が 無 矛 盾 で あ る と仮 定 し て の 話 で あ る]:   関 係Rが

表 現 可 能 で あ る こ と を 証 明 した だ け で は,関

係 か ら派 生 す る命 題

の 真 偽 を 決 定 す る ア ル ゴ リズ ムが 与 え られ るわ け で は な い.表 現 可 能 な 関 係 Rが

決 定 可 能 で あ る とい う言 葉 の 意 味 は,関 係Rを

に 与 えれ ば,関 係Rか

表 現 す る論理 式を 具体的

ら派 生 す る 命 題 の 真 偽 を 決 定 す る ア ル ゴ リズ ム も与 え

ら れ る,と い うこ とで あ る.   こ の よ うに,帰 納 的 とい う概 念 は,そ の ま まで は,具 体 的 な ア ル ゴ リズ ム と 直 結 して は い な い.し か し,チ 関 係 に は,け

っ して,関

ャ ー チ の 提 唱 に よれ ば,'帰 納 的 で な い'関 数 や

数 値 を 計 算 す る ア ル ゴ リズ ム も,関 係 か ら派 生 す る命

題 の 真 偽 を 決 定 す る ア ル ゴ リズ ム も,存 在 し得 な い.チ

ャ ー チ の提 唱 は,計 算

可 能 性 や 決 定 可 能 性 に つ い て の 否 定 的 な 結 論 を 得 る場 合 に 有 効 に 用 い られ る.   作 図不能 問題,方 程式 の代数 的解法 の不可能性,あ るい はゲ ーデ ルの不完 全性定理 におけ る よ うな証 明不能 性な ど,'不 可能'で あ る ことの証 明は数多 くあ るが,そ の すべ てに共通 の1つ の性 質は,作 図法,方 程式 の代数的 解法,形 式 的体系 にお ける 証 明法,な どのすべ てに,は っき りとした制限 がつ け られ てい る,と い うことで あ る.そ れに反 して,ア ルゴ リズ ムが ない,と い うことを主張 す る場 合に は,ア ルゴ リズ ムに対す る制限 が 明示 され てい ない こ とが 多い.し か し,実 際 には,チ ャーチ の提 唱に よって,ア ル ゴ リズ ムの概念 に も1つ の制限 が与 え られ てい る.そ れが ど の よ うな制限 で あったか,読 者 は,も う1度 よく吟味 してみ て頂 きたい.  さて,こ の よ うな観 点に立 てば,チ ャーチ の提 唱は仮定 では な く,ア ル ゴ リズ ムの 概 念 の間接的定 義で あ る とみなす こ ともで き る.事 実,チ ャー チ自身は,計 算可能 とか 決定可能 とい う'あい まい 性'を 含む概念 を,'帰 納 的'と い う正確 な概念 に よ って定 義す るのが よい,と 主 張 した のであ った.

  11.5  証 明 可 能 性 に つ い て の 決 定 問 題   チ ャ ー チ の提 唱 の1つ

の応 用 例 と して,任

意 に 与 え られ た 論 理 式 が 証 明 で き

る か 否 か を 決 定 す る ア ル ゴ リズ ム は存 在 しな い,と

い う こ と の証 明 を し て み よ

う[形 式 的 体 系 が 矛 盾 して い れ ば,す べ て の 論 理 式 が 証 明 で き る の だ か ら,こ れ は,も

ち ろ ん 無 矛 盾 性 を 仮 定 し て の 話 で あ る].

  話 を一 般 的 に す る た め に,論 理 式 の 集 合Kを

任 意 に 与 え,Kか

ら の証 明 可

能 性 を 問 題 に す る[今 回 は,Kが

表 現 可 能 とい う条 件 は 不 要 で あ る].

  任 意 の 論 理 式 に つ い て,そ れ が 証 明 で き るか 否 か を 決 定 す る こ と の で き るア ル ゴ リズ ムが あ っ た とす れ ば,"xは

証 明 で き る論 理 式 の ゲ ー デ ル 数 で あ る"と

い うこ とを 意 味 す る1項 関 係BewK(x)は

決 定 可 能 で あ る.な ん とな れ ば,任

意 に 与 え られ た 自然 数 が 論 理 式 の ゲ ー デ ル 数 で あ る か 否 か を 決 定 す る ア ル ゴ リ ズ ム の存 在 は,ゲ

ー デ ル 数 の 定 義(8.1)に よ っ て 明 らか だ か らで あ る.よ

って,

チ ャ ー チ の 提 唱 に よれ ば,わ れ わ れ の 目的 の た め に は,次 の 定 理 を 証 明 す れ ば 十 分 で あ る:   定 理11.17 

論 理 式 の 集 合Kが

無 矛 盾 な らば,1項

関 係BewK(x)は

帰納

的 で は な い.   証 明  Kが

無 矛 盾 な らば,任

意 の 帰 納 的 な1項 関 係R(x)に

対 し,適 当 な 自

然 数rが 存 在 し  (1)

とな る,と い うこ とに 注 意 して お く.な ん とな れ ば,Rが 表 現 可 能 だ か ら],適 当 な 論 理 式R(x)が

し た が っ て,も

ゆ え に,Kが

xを

帰 納 的 な らば[Rは

存 在 し,任 意 の 自 然 数nに 対 し

ち ろん

無矛盾 で あれ ば

ゲ ー デ ル 数17の

変 数 と し た 上 で,r=「R(x)」

と お け ば,任

に 対 して

と な る か ら で あ る.   BewK(x)が

帰 納 的 で あ る と 仮 定 し て,矛

  BewK(x)が

帰 納的 で あれ ば

盾 を 導 く.

意 の 自 然 数n

 (2)

と し て定 義 さ れ る 関 係Rも

帰 納 的 で あ る.こ のRに

よ うな 自然 数rが 存 在 す るか ら,そ の よ うなrを

こ の 式 のxにrを

と な り,矛

つ い て,(1)が

とれ ば,(1)と(2)に

成 り立 つ より

代 入すれ ば

盾 を 生 じ る(証 明 終 わ り).

  定 理11.17 

そ の も の は,チ

 問   論 理 式 の 集 合Kが

を 示 せ[ヒ

ン ト:

と お き,あ

と は 定 理11.17の

ャ ー チ の 提 唱 と は 関 係 な く成 立 す る 定 理 で あ る.

無 矛 盾,か

つ1項

証 明 と 同 様].

関 係F(x)が

帰 納 的 で あ ると し て

12.  帰 納 的 関数 の性 質

  12.1 

算 術 的 な関係

  自然 数 お よ び[自

然 数 を 表 わ す]変

乗 法 ・,等 号=,な

  以 下,帰

然 数 に つ い て の 加 法+,

ら び に,―,or,&,⇒,⇔,(∀n),(∃n)を

せ る 関 係 を 算 術 的 関 係(arithmetical

で あ る か ら,2項

数 を も と に,自

関 係x
relation)と

用 い て表わ

い う.た

関 係x≡y(mod.

とえ ば

z)は

算 術 的 で あ る.

納 的 関 係 は す べ て 算 術 的 で あ る こ と を 示 す.

  定 義12.1(算

術 的 関 係 の 定 義)

  1)  f(x1,…,xν),g(x1,…,xν)が,変

数x1,…,xν

法 ・乗 法 の み を 用 い て 表 わ さ れ る 関 数 な ら ば,ν

以 外 に は,自

然 数 と加

項関係

f(x1,…,xν)=g(x1,…,xν) は 算 術 的 で あ る.   2)  関 係R,Sが R,

算 術 的 な ら ば,関 R

or S,

R

&

係 S,

R⇒S,

R⇔S

は 算 術 的 で あ る.  3) ν+1項

関 係R(x1,…,xν,y)が

算 術 的 な ら ば,ν

項関係

は 算 術 的 で あ る.   4)  上 の1)−3)に

よ って'算 術 的'と 結 論 され る関 係 の み を算 術 的 関 係 と

い う.   定 理12.1 

帰 納 的 関 係 は 算 術 的 で あ る.

  証 明   任 意 の 帰 納 的 関 数f(x1,…,xν)に

対 し て,関 係

f(x1,…xν)=y が 算 術 的 で あ る こ とを示 せ ば よい[算 術 的 関 係 の 変 数 の1つ に 定 数 を 代 入 し て

得 ら れ る 関 係 が 算 術 的 で あ る と い う事 実 と,帰

納 的 関 係 の 定 義(定

義11.3)に

よ る].   定 義11.1の1)−7)の 7)の

順 に 従 っ て 証 明 し て 行 け ば よ い[都 合 に よ り,6)と

順 序 を 逆 に す る].

  1)  0=yは

算 術 的 で あ る.

  2)  x+1=yは

算 術 的 で あ る.

  3)  算 術 的 関 係 に 独 立 変 数 を 追 加 し て 考 え て も 算 術 的 で あ る.   4)  算 術 的 関 係 の 独 立 変 数 の 題 序 を 入 れ か え て も 算 術 的 で あ る.   5)  fi(x1,…xν)=y(i=1,…,μ),g(y1,…,yμ)=zが

算 術 的 な ら ば,

g(f1(x1,…,xν),…,fμ(x1,…,xν))=z も 算 術 的 で あ る.な

ん と な れ ば,こ

(∃n1…nν)[f1(x1,…,xν)=n1

の関 係は &

…

& fμ(x1,…,xν)=nμ &

g(n1,…,nμ)=z]

と 表 わ す こ と が で き る か ら で あ る.   7) 

の と き,

と い う関 係 は

と 表 わ さ れ る.関   6) 

係f(x1,…,xν,y)=zが

最 後 に,f(y1,…,yν)=zとg(x,y,y1,…,yν)=zが

と し て 定 義 さ れ る 関 数hを

用 い て 表 わ され る 関 係 h(x,y1,…,yν)=z

も 算 術 的 で あ る,と   こ の 関 係 は,ま  (1)

算 術 的 な ら ば,こ

ず

い う こ と を 示 す.

れ も 算 術 的. 算 術 的 な ら ば,

と 表 わ さ れ る.た の 個 数xは

だ し,こ

こ で 用 い られ て い る 存 在 作 用 素 の 列(∃n0n1…nx)

変 数 で あ る か ら,こ

の ま ま で は,(1)が

算 術 的 関 係 で あ る こ とは

わ か ら な い.   関 係(1)が は,補

算 術 的 で あ る こ と を 示 せ ば,定

助 定 理12.3の

  補 助 定 理12.1 

理12.1の

証 明 は 終 わ る が,そ

れ

あ と で 述 べ る. q0,q1が

互 い に 素 な ら ば,連

立 合 同式

は 解 を も つ.   証 明   整 数 解 を も つ こ と さ え 示 せ ば,自   q0,q1が

然 数 の 解 を も つ こ と は 明 ら か.

互 い に 素 で あ れ ばa0q0+a1q1=1と

い う整数a0,a1が

存 在 し,し

が って b0q0+b1q1=n0−n1 と い う整 数b0,b1も

存 在 す る. x=n0−b0q0=n1+b1q1

と お け ば よ い(証 明 終 わ り).   補 助 定 理12.2 

(Chinese

も 互 い に 素 な ら ば,連

remainder

theorem)

立 合 同式

は 解 を も つ.   証 明  ν に つ い て の 数 学 的 帰 納 法.   1. ν=0の

と き.x=n0が

  2. ν>0の

と き.帰

解.

納 法 の仮定 に よ り

q0,q1,…,qν

の ど の2つ

た

と い うmが

存 在 す る.積q0q1…qν

理12.1に

より

は 解 を も つ が,そ

−1とqν

と は 互 い に 素 で あ る か ら,補

れ は 求 め る 解 で あ る(証 明 終 わ り).

  補 助 定 理12.3 

次 の よ うな3変

数 関 数 β が 存 在 す る: 

1°  (∀ν)(∀n0n1…nν)(∃l,m)(∀k)[k≦ν   2°  4項 関 係 β(u,υ,x)=yは

⇒

β(l,m,k)=nk].

算 術 的 で あ る.

  証 明  β(u,υ,x)=(εn)[u≡n(mod.1+(x+1)υ)]と  (2) 

助定

お け ば よ い.ま

ず

β(u,υ,x)=y

に 注 意 す る.こ

の こ と か ら,2°

  1° を 示 す た め に,ν

は 明 ら か.

お よ びn0,n1,…,nν

を 任 意 に 与 え,そ

の最大 値を

と お く. q0=1+s!, は 互 い に 素 で あ る.な れ ば,そ

q1=1+2・s!, ん と な れ ば,相

…, qν=1+(ν+1)・s! 異 な るqi,qjに

共 通 の素 因 数 が あ る とす

れは qi−qj=(i−j)・s!

の 素 因 数 で あ り,￨i−j￨≦ν 方,2か

らsま

≦sで

あ る の で,そ

で の 自 然 数 はqi=1+(i+1)・s!の

の 素 因 数 はs以

下 で あ る が,一

約 数 に は な れ ず,矛

ず る か ら で あ る.   q0,q1,…,qν

とい う 自然 数lが

が 互 い に 素 で あ る こ と か ら,補

あ る.く わ し く書 け ば

助 定 理12.2に

よ り,

盾 を生

と い う こ と で あ り,sの

定義 よ り

は 明 ら か で あ る か ら,(2)に

こ れ は,k=0,1,2,…,ν

より

の す べ て の 場 合 に つ い て 成 り立 つ か ら,こ

れ で1° が

示 さ れ た(証 明 終 わ り).   定 理12.1の

証 明 の 続 き   残 る と こ ろ は,関

す こ と だ け で あ っ た.し

か し,補

助 定 理12.3の

と 表 わ さ れ[補 助 定 理12.3の1°],補 が 算 術 的 で あ る こ と も,す

係(1)が

算 術 的 で あ る こ とを 示

関 数 β を 用 い れ ば,(1)は

助 定 理12.3の2°

に よれ ば,こ

ぐに わ か る(証 明 終 わ り).

  上 で 示 し た よ う に,帰

納 的 関 係 は す べ て 算 術 的 で あ る が,算

し も 帰 納 的 で は な い.た

と え ば,(∃n)(nBx)と

は 算 術 的 で は あ る が[定 理12.1,補 無 矛 盾 で あ る 限 り,そ

  12.2 

術的 関 係は必ず

し て 定 義 さ れ る 関 係Bew(x)

助 定 理Ⅰ(8.3)],わ

れ わ れ の形 式 的 体 系 が

れ は 帰 納 的 で は な い[定 理11.17].

算 術的 な論 理式

  算 術 的 論 理 式(arithmetical 12.1)と

の関係

formula)と

い う も の を,算

術 的 関 係 の 定 義(定 義

ま っ た く 同 様 な 方 法 で 定 義 す る こ と は 容 易 で あ る.

  定 理12.2 

帰 納 的 関 係 は す べ て[7.1に

お け る 意 味 に お い て]算 術 的 論 理 式

で 表 現 さ れ る.   証 明   定 理12.1の 現 さ れ る"と

証 明 に お け る'算 術 的'と

読 み か え て,ま

  1),2),3),4),7)に

い う 言 葉 を"算

っ た く同 様 にお こ な え ば よ い.

は 問 題 は な い.

術的 論理式 で表

  5)に 相 当 す る部 分 で は,

とい う関 係 が

と も 表 わ せ る こ と,お

よ び,6)に

相 当 す る 部 分 で は,

とい う関 係 が

と も 表 わ せ る,と

をx≡y(mod.

い う こ と を 利 用 す る.な

z)と

お,論

表 わ す こ と に し,β(u,υ,x)=yと

理式

い う関 係 が 論 理 式

で 表 現 さ れ る とい う事 実 も用 い る(証 明 終 わ り).   定 理12.3  Ukと

ゲ ー デ ル の 第1不 完 全 性 定 理(定 理8.6)に

おけ る決定 不能 命題

同 値 な 算 術 的 論 理 式 が 存 在 す る.

  証 明  論 理 式 の 集 合Kは が っ て,定 理12.2に

帰 納 的1)で あ る か ら,関 係xBKyは

よ り,論 理 式xBKyは

こ とに す れ ば,∀x￢(xBK『UK』)はUKと 8.7の1°](証

帰 納 的.し た

算 術 的 と考 え て よ い.そ

うい う

同 値 な 算 術的 論 理 式 で あ る[定 理

明 終 わ り).

  1)  こ の場 合,Kは 同 義 語 と し て 用 い た.

無 矛 盾 と考 え られ て い るか ら,'帰 納 的'と い う言 葉 は'表 現 可 能'と い うの と

  12.3  帰 納 的 関 係 ・帰 納 的 関 数 の 標 準 形   こ こで は,わ れ わ れ の形 式 的 体 系 は 無 矛 盾 で あ る と仮 定 す る.し た が っ て, 関 係 とか 関 数 が 帰 納 的 で あ る とい うの は,そ れ が 表 現 可 能 で あ る と い うの と同 じ こ とに な る.  定 義12.2 こ こ で,xByはKを i番

空 集 合 と し た と き のxBKy[9.3の45°]で

目 の 素 数 を 表 わ す[7.3の3°].と

あ り,piは

くに,p7(=17),p8,p9,…

が1階

の

変 数 の ゲ ー デ ル 数 で あ っ た[8.1の1°].   こ の よ うに し て 定 義 さ れ るBν し か も,次

の12.4で

は,ν

示 す よ うに,こ

の 値 だ け で 定 ま るν+2項 のBν

関 係 で あ る.

は 原 始 帰 納 的 で あ る.い

ま は,Bν

が 原 始 帰 納 的 で あ る こ と が わ か っ て い る も の と し て 話 を 進 め る.   定 理12.4 

帰 納 的 関 係R(x1,…,xν)を

ゲ ー デ ル 数 をrと

た だ し,論

すれ ば

理 式R(x1,…,xν)に

p7,…,pν+6の

お け る 自 由 変 数x1,…,xν

は,ゲ

ーデル 数が

も の を 用 い る も の と し て お く.

  証 明  ν=1と

し て 証 明 す る.

で あ る か ら,(∃m)B1(r,m,n)は"論 に な り,形

表 現 す る 論 理 式R(x1,…,xν)の

理 式R(m)が

式 的 体 系 が 無 矛 盾 で あ れ ば,任

証 明 で き る"と

意 の 自然 数mに

い うこ と

対 して

す な わ ち,

これ が 定 理 の 前 半 で あ る.後 表 現 され る こ とを 用 い て

半 を 示 す に は,関 係R(x)が

論 理 式￢R(x)で

と し,こ の 両 辺 を 否 定 す れ ば よい(証 明 終 わ り).  定 義12.3 こ こ で,(y)iと

は,yを

素 因 数 分 解 し た と き の,素

数piの

肩 に 乗 っ て い る指

数 を 示 す[7.3の4°].   じ つ は,(y)iもyの

原 始 帰 納 的 関 数 で[証 明 は12.4],こ

のν+2項

関 係Sν

も 原 始 帰 納 的 で あ る.  定 義12.4

  Sν が 原 始 帰 納 的 な ら ば,こ 定 理11.12の 例2に

系 が'原

のTν

も 原 始 帰 納 的 で あ る[定 理11.4,定

始 帰 納 的'に

つ い て も 成 り立 つ こ と,お

理11.5,

よ び,11.1の

よ る].

  定 義12.4か

ら,次

の(1),(2)は

明 ら か で あ る:

 (1)  (2)   Tν とSν

と は,そ

Tν(r,m1,…,mν,n)と に 対 し て'一

の 効 用 に お い て,さ な る 自 然 数nが

意 的'に

定 ま る,と

ほ ど の 違 い は な い.た

存 在 し た と き,そ

だ,Tν

に は,

のnがr,m1,…,mν

い う性 質 が あ る と い う程 度 の 差 が あ る だ け で

あ る.   定 義12.5 

U(x)=(x)1.

  U(x)は,xの

素 因 数 分 解 に お け る2の

累 乗 の 指 数 で,xの

関 数 として原始

帰 納 的 で あ る[証 明 は12.4].   定 理12.5  し,論

帰 納 的 関 数f(x1,…,xν)を

理 式f(x1,…,xν)=xν+1の

表 現 す る 対 象 式 をf(x1,…,xν)と

ゲ ー デ ル 数 をsと

す れ ば,

が 成 り立 ち,か つ

た だ し,論

理 式f(x1,…,xν)=xν+1に

デ ル 数 がp7,…,pν+7の

お け る 自 由 変 数x1,…,xν+1は,ゲ

も の を 用 い る こ と に し て お く.

ー

 証 明   ν=1と

し て 証 明 す る.ま

た,(1),(2)に

  (3) 

(∀m)(∃n)S1(s,m,n),

  (4) 

f(x)=U[(εn)S1(s,x,n)]

よれ ば

を 示 せ ば よ い の で あ る.   ま ず,定

理12.4に

より

  (5) 

f(x)=y⇔(∃n)B2(s,x,y,n)

と な る と い う こ と に 注 意 し て お く.mを ば,(5)に

任 意 の 自 然 数 と し,f(m)=kと

おけ

よ り (∃n)B2(s,m,k,n).

2k・3nを

改 め てnと

お くと (∃n)B2(s,m,(n)1,(n)2).

す な わ ち,定

義12.3に

  (6)  mは

よ り (∃n)S1(s,m,n).

任 意 の 自 然 数 で あ っ た か ら,こ

れ で(3)の

証 明 は 終 わ っ た.

  次 に n0=(εn)S1(s,m,n) と お く と,(6)に

よ り S1(s,m,n0).

す な わ ち,定

義12.3,定

義12.5に

よれ ば

B2(s,m,U(n0),(n0)2), した が っ て (∃n)B2(s,m,U(n0),n). こ れ と(5)に

よ り f(m)=U(n0).

n0の

定 義 に よれ ば f(m)=U[(εn)S1(s,m,n)].

こ こ で,mが 終 わ り).

任 意 の 自 然 数 で あ っ た こ と に 注 意 す れ ば,(4)が

得 ら れ る(証

明

 問1 

帰 納 的 な ν項 関 係Rに

対 し,適 当 な 自然 数sを 選 べ ば,

とな る こ とを 示 せ.   問2 

帰 納 的 関 係R(x1,…,xν,y)を

の ゲ ーデ ル 数 をrと

自由 変 数 を 適 当 に 選 び,R

すれ ば

と な る こ と を 示 せ[こ ヒ ン ト:前

表 現 す る論 理 式Rの

れ を ク リー ネ(S. C. Kleene)のEnumeration

半 を 証 明 す る に は,定

理12.4を

Theoremと

い う.

用 い,

とい う事 実 を 利 用 す る].   問3 

帰 納 的 関 係R(x1,…,xν)を

ゲ ー デ ル 数 をrと

表 現 す る 論 理 式Rの

自 由 変数 を 適 当 に 選 び,Rの

すれば

とな る こ とを 示 せ[ヒ ン ト:前 問 よ り直 接 に 得 られ る].

  12.4  Bν,Tν,Uが

原始 帰納 的 で あ る こ との証 明

  わ れ わ れ の 目的 の た め に は,7.3の1°−4°

お よ び 第9章

の1°−45° に 挙

げ た 関 係 や 関 数 の す べ てが 原 始 帰 納 的 で あ る こ とを 示 せ ば よい.と い うの は, Bν,Tν,Uを

定 義 す る際 に 使 用 した

は す べ て,そ   7.3の1°−4° ― 定 理7.16を ― 定 理11.16を

の な か に 含 ま れ て い る か ら で あ る. と9章

の1°−45°

用 い て'表

現 可 能'で あ る こ と が 示 さ れ た.つ

用 い れ ば ,そ

で あ る こ と も 示 さ れ る,と 定 理11.0―

に 挙 げ た 関 係 や 関 数 は,は

れ と ま っ た く 同 様 に,そ

い う の で あ っ た[11.3の

定 理11.16は,定

理11.13と

か ら,そ

の 定 理11.13と

定 理11.15に

い で,定

理7.1 理11.0

れ らす べ て が'帰

補 助 定 理11.2].と

定 理11.15を

う 言 葉 を'原 始 帰 納 的'と 読 み か え て も,す

じ め,定

除 き,'帰

納 的'

こ ろ が, 納 的'と

べ て 成 立 す る の で あ っ た(11.2).だ 相 当 す る 定 理7.13と

定 理7.15が,

い

7.3の1°−4°

と9章

の1°−45°

の 何 処 と 何 処 と に 用 い ら れ て い る か,そ

場 所 だ け に 着 目 す れ ば よい.そ

れ は,7.3の3°,9章

の み で,そ

使 わ れ て い る[じ

こ で は 定 理7.15が

と 定 理7.15の

証 明 に だ け 用 い た].だ

か ら,こ

の

の1°,2°,20°,26°,40° つ は,定 の6個

理7.13は

定 理7 .14

の 場 合 に つ き,そ

の 関 係 や 関 数 が す べ て 原 始 帰 納 的 で あ る と 仮 定 し て,そ

れ 以前

の関 数が原 始帰 納的 で

あ る と い う こ と を 順 に 確 認 し て 行 け ば よ い.   7.3の3°

  yの 関 数 (εn)(Prim

n

&

y
が 原 始 帰 納 的 で あ る こ とを 言 え ば よ い.   素 数 が 無 限 に あ る こ と の ユ ー ク リ ッ ドの 証 明 を分 析 し て み れ ば 容 易 に わ か る よ うに,yよ

り大 きい 素 数nが 必 ずn≦y!+1と

い う範 囲 に あ る こ と もわ か る

か ら

ゆ え に,原

始 帰 納 的 関 数 に つ い て の 定 理 に 読 み か え た 定 理11.14に

関 数 は 原 始 帰 納 的 で あ る.   9章

の1° 

で あ る か ら,こ

l(x)≦x のl(x)は l(x)=(εn)[n≦x

と 定 義 し て も 同 じ こ と.ゆ   9章

の2°

え に,l(x)は

&

(x)n+1=0]

原 始 帰 納 的 で あ る.

前 と同 様 な 理 由 で

を 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.   x*y=0の

とお くと

と き は 明 ら か で あ る か ら,x*y≠0と

して

よ り,こ

の

で あ るか ら,

ゆ え に,pk≦pl(0
注 意す れ ば

 こ れ が 証 明 す べ き式 で あ った.  9章

の20°

を 証 明す れ ば 十 分.こ

こで,R(x)は9章

  証 明す べ き不 等 式 の右 辺 は,あ つ,xよ

り大 きい.よ

って,そ

の3° で定 義 した 原 始 帰 納 的 関 数.

る 基 本 論 理 式 の ゲ ー デ ル 数 で あ り(8.1),か

れ は,有 限 列xに

現 わ れ ない 論 理 式 の1つ

で

あ る.  9章

の26°

を 証 明 す る.   左 辺 が表 わ す 列 の 長 さがl(x)+l(z)よ 総 和 がx+zよ  9章

り小 さ く,各

項 に 相 当 す る 自然 数 の

り小 さい こ とに 注 意 す れ ば よい.

の40°

を 証 明 す る.   xか

らyThxを

か をpn+zに

項 の うち のpnと

い う形 の い くつ

変 え る こ と で あ っ た が,

で あ る か ら,列xの yThxよ

作 る と い う の は,列xの

各 項 に す べ てxyを

掛 け て 得 られ る列[=xxy]の

ほ うが

り大 きい.

  以 上 に よ っ て,わ れ わ れ の 目的 は 達 せ られ た.

  12.5  原 始 帰 納 的 関 数 の 強 い 意 味 で の 表 現 可 能 性   第2不 完 全 定 理 の 証 明 に 関 連 し,10.1に 能 性'な る概 念 を 導 入 した.同 し て,'帰

お い て,論 理 式 や 対 象 式 の'表 現 可

様 な 考 え か ら,定 義11.1や

定 義11.2に

並行

納 的'な 対 象 式 とか'原 始 帰 納 的'な 対 象 式 とい う も の を 定 義 す る こ

と もで き る:

 定 義12.6  1)  対 象 式0,x′

は 帰 納 的 で あ る.

  2)  対 象 式f1,…,fμ,g(y1,…,yμ)が

帰 納 的 な ら ば,g(f1,…,fμ)と

い

う対 象 式 も 帰 納 的 で あ る.   3)  対 象 式f,g(x,y)が

帰 納 的 な らば, h(0)=f, 

h(x′)=g(x,h(x))

と し て 定 義 さ れ る 対 象 式h(x)[定   4)  対 象 式fが

帰 納 的 で,論

理6.1]も

理 式∃y(f=0)が

帰 納 的 で あ る. 証 明 で き れ ば,εy(f=0)と

い う対 象 式 も 帰 納 的 で あ る.   5)  上 の1)-4)に

よ っ て'帰

納 的'と 結 論 さ れ る 対 象 式 の み を 帰 納 的 な 対

象 式 と よ ぶ.   定 義12.7 

定 義12.6の1)-3)に

よ っ て'帰 納 的'と 結 論 さ れ る 対 象 式 を

原 始 帰 納 的 な 対 象 式 と よ ぶ.   こ の よ うな 定 義 を 与 え て も,一

般 帰 納 的 関 数 は,[7.2の

帰 納 的 な 対 象 式 で 表 現 さ れ る わ け で は な い.と f(x1,…,xν,y)が の7)に

帰 納 的 な 対 象 式fで

意 味 で は]必

い う の は,例

え ば,帰

表 現 さ れ て い て,し

か も,定

ずしも

納 的関数 義11.1

お け る条 件

が 満 た され て い た と し て も,そ れ に 対 応 す る論 理 式

は 必 ず し も証 明 さ れ ず,し た が っ て,対 象 式 εy(f=0)が

帰 納 的 に な る とは

限 ら ない か らで あ る.   これ に 反 して,原 始 帰 納 的 関 数 に つ い て は,次 の 定 理12.6が   定 理12.6 

成 り立 つ:

原 始 帰 納 的 関 数 は,原 始 帰 納 的 な 対 象 式 で表 現 され る.

  証 明  定 義11.1の1)-6)に

した が っ て,順 に 証 明 し て 行 け ば よい(証 明

終 わ り).   定 理12.7  理 式f=0で

原 始 帰 納 的 関 係 は,適 当 な 原 始 帰 納 的 対 象 式fか 表 現 され る.

ら作 られ る論

  証 明  定 理12.6,定   定 理12.8 

理7.1,定

理7.10(証

明 終 わ り).

原 始 帰 納 的 な 対 象 式 は,表 現 可 能 で あ る.

  証 明   10.4の7),11),16)に   定 理12.9 

理7.7の3°,定

よ る(証 明 終 わ り).

原 始 帰 納 的 な 関 数 や 関 係 は す べ て,強 い 意 味 で表 現 可 能 で あ る.

  証 明   定 理12.6―

定 理12.8,お

よ び,10.4の1),7),10)に

よ る(証 明 終

わ り).

  第2不 完 全 性 定 理 に つ い て   論 理 式 の 集 合Kが

原 始 帰 納 的 とい うの は,xに

つ い て の1項 関 係

x∈{「A」￨A∈K} が 原 始 帰 納 的 とい う こ と,と す る.そ 的 なKは

うす れ ば,定 理12.9に

強 い 意 味 で表 現 可 能 で あ るか ら,定 理10.1に

よ り,原 始 帰 納

よ り,ゲ ー デ ル の 示 し

た 本 来 の 形 に お け る 第2不 完 全 性 定 理 が 得 ら れ る:   定 理12.10 

論 理 式 の 集 合Kが

原 始 帰 納 的 で あ り,か つ 無 矛 盾 な らば,論

理 式Consis

(K)はKか

  じ つ は,補

助 定 理Iの 証 明(第9章)を

吟 味 して み る と,そ

らは 証 明 で きな い. も考 慮 し な が ら定 理8.1の

こで は,論 理 式 の 集 合Kに

つ い て,そ の'表 現 可 能'と い

う性 質 の一 部 の み が 用 い られ てい るに 過 ぎ な い,と う.す な わ ち,定 理8.1で

は'表 現 可 能'と い うKに

とが 可 能 な の で あ る.こ の こ とに 対 応 し,10.4の4° xBKyの

表 現 可 能 性'も ま た,そ

に 着 目す れ ば,第2不

証 明を よ く

い うこ とに 気 が 付 くで あ ろ つい ての条件 を弱 め る こ に お い て用 い た'論 理 式

の 性 質 の 一 部 しか 用 い られ て い な い.こ の 点

完 全 性 定 理(定 理10.1)に

お け るKの'強

現 可 能 性'を 単 な る'表 現 可 能 性'に 置 きか え る こ と も,さ

い 意味 での表

らに は,も

っ と弱 い

条 件 で 置 きか え る こ と も,あ る意 味 で は 可 能 とな る.と 同 時 に,こ の 種 の 問 題 の 考 察 を 始 め る と,帰 納 的 な 関 数 や 関 係 に い か な る対 象 式 や 論 理 式 を対 応 させ る の が 妥 当 で あ るか,と

い う一 般 的 な 問題 が 表 面 に 現 わ れ て くる.し か し,そ

の 辺 の 情 況 に つ い て の詳 論 は,数 学 基 礎 論 の 入 門 書 た る本 書 の 範 囲 を超 え る も の と し て,こ

こで は,こ れ 以 上 に 深 入 りは しな い.

記

号

表

索

ア

行

引 対 象 式 が 原 始―

  196

帰 納 的 関 係   167 一 般 帰 納 的 関 係   164

帰 納 的 関 数  164

一 般 帰 納 的 関 数   164

帰 納 的 対 象 式   196

嘘 つ き の パ ラ ド ッ クス   138

帰 納 的 定 義   80

ι-記号   59

偽(論 理 式 が)  26

ε-記号   96

吸 収律

ω-矛 盾   128

∨ の―

  30

ω-無 矛 盾   129

∧ の―

  32

カ

行

空 集 合   78 ク ラ イ ゼ ル の 注 意   162

仮 定 を もつ 推 論   15, 16

計 算 可 能(関 数 が)  177

階数

形 式化

集 合 の―

 2

対 象 式 の―

 4

証 明 の―

  121

理 論 の―

 1

外 延 性 の 公 理   10, 72

形 式 化 され た 証 明   112

型(集 合 の)  2

形 式的体 系 1

型 の 理 論  2, 72

結合 律

関係 記号  3

∨ の―

  30

関 数記 号 3

∧ の―

  32

帰 納 的   164 一 般― 関 係   164 一 般―

関 数   164

関 係 が―

  167

関 係 が原 始― 関 数 が―

  167

  164

関 数 が原 始―

  165

原 始―

関 係   167

原 始―

関 数   165

原 始―

対 象 式   196

対 象 式 が―

 196

結 合 力(論 理 記 号 の)  5, 6 結 論(推 論 の)  11 直 接 の―

  121

決 定 可 能(関 係 が)  177 決 定 不 能 命 題   133 ― の 内 容 的 な 意 味   134 決 定 問 題(証 明 可 能 性 に つ い て の)  181 ゲーデ ル ― の 対 角 化定 理   130 ―

の 第2不

完 全 性 定 理   155

―

の 不 完 全 性 定 理   134

ゲ ーデ ル 数   118 記 号 の―

数 値 別 に 表 現 可能   114

  119

有 限 列 の―

数 値別 に表現 され る

 120

限 定 作 用 素   44

関 係 が―

  101

関 数 が―

 107

全 称 作 用 素   38

交 換律 ∨ の―

  30

前 提(推 論 の)  11

∧ の―

  32

束縛変数  5 ι-表現 に お け る―

公 理   9, 10 外 延 性 の― 自然 数 の―

お け る― 

73

存 在 作 用 素   41

  9, 79

述 語 論 理 の― 内 包 の―

{x￨…}に

  10, 72

  61

  9, 25, 38

タ

行

  10, 55, 72

ペ ア ノの―

対 角 化 定 理   130

 9

命 題 論 理 の―

対 偶  20

  9, 13

対 象   1, 2 サ

行

対 象記 号 3 対 象式  4

算 術 的 関 係   184 算 術 的 論 理 式   188

拡 張 され た 意 味 で の―

自 然 数 の 公 理   9, 79

ν変 数 の―

自由変 数 5

  68

  106

対 称 律   24

対 象 式 に お け る―

  70

ι-表現 に お け る―

  61

{x￨…}に

お け る―

第1不

完 全 性 定 理   134

[=(ゲ   73

第2不

ー デ ル の)不 完 全 性 定 理]

完 全 性 定 理   155

本 来 の形 に お け る―

述 語 論 理   38 等 号 を もつ―

 55

  197

代 入 7

述 語 論 理 の 公 理   9, 25, 38

代 入 に つ い て の 省 略 表 現   49

順 序 対   75

代 入 に つ い て の付 帯 条 件   8, 50, 63, 65, 66

証 明 で き る  12, 122 Kか

ら―

  123

代 入 に つ い て の略 記 法  7 タル ス キ ー の定 理   138

証 明 の 形 式 化  121

チ ャー チ の 提 唱   180

真(論 理 式 が)  26

直 接 の 結 論   121

推 移 律  24

強 い 意 味 で表 現 可 能

推 論   11 仮 定 を もつ―

  15, 16

関 係 が―

  154

関 数 が―

  155

推 論 規 則   11

定 数   53

数 学 的 帰 納 法   9, 79

同値

論 理 式 の― 

23

論 理 式 の 内 容 と して の― 

6

∨ の―

  30

∧ の―

  32

変 数   3,53

同 値 関 係  24 同値 類  26

自由―

 5

ド ・モ ル ガ ンの法 則

束 縛―

  5,61,73

述 語 論 理 の―  命 題 論 理 の―

変 数 条 件   52

41   32 ナ

マ 行

矛盾 仮 定 の―

内 包 の 公 理   10,55,72 ハ

行

  22

形 式 的 体 系 の―

行

  22

論 理 式 の 集 合 の―

  127

場 合 わ け の 証 明 法   29

論 理 式 の 名 称 と し て の― 

排 中 律  29

ω−―

背 理 法  22

矛 盾 律  32

反 射 律  24

無 矛 盾(論 理 式 の集 合 の)  128 ω−―

 128

表現 可能

 129

関 係 が―

  114

命 題 論 理   13

関 数 が―

 114

命 題 論 理 の 公 理   9,13

対 象 式 が―

  154

強 い 意 味 で― 論 理 式 が―

ラ   154,155   154

論 理 式 の 集 合 が―

両 刀 論 法   29 理 論 の形 式 化   1

  123

類 別   26

表 現 され る 関 係 が―

  101

関 数が―

 107

ロ ッサ ー の 不 完 全 性 定 理   142 論 理 演 算  27

不 完 全 性 定 理   134

論 理記号  3

[=ゲー

デ ル の 第1―]

内 容 的―

  100

第2―

  155

補 助 的―

 6

本 来 の 形 に お け る第2― ロ ッサ ー の―

 142

  197

論 理 記 号 の 結 合 力  5,6 論 理式 4

付 帯 条 件(代 入 に つ い て の) 

偽 な―

  26

 

基 本―

 4

分 配 律(命 題 論 理 の)  32

真 な―

  26

ペ ア ノの 公 理   9

ν変 数 の―

8,50,63,65,66

ベ キ等 律

行

  101

論 理 式 の 同 値  23

27

著者 略歴 前 原 昭 二 1927年  東京に生れ る 1951年  東京大学理学部卒業 元東京工 業大学教授 ・理学博士

基礎数学シリーズ23 定 価は カバー に表示

数 学基 礎 論 入 門 1977年6月1日

  初 版 第1刷

2006年3月30日

 復 刊 第1刷

2008年3月10日

 

第3刷

著 者 前

原

昭

二

発行者 朝

倉

邦

造

発行所 株式会社  朝 倉

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6−29 郵 電

便

番

号  162−8707

話  03(3260)0141

FAX 03(3260)0180

〈検 印 省 略 〉

http://www. 

C 1977  〈無断複 写 ・転 載 を禁 ず〉 ISBN

978−4−254−11723−3

C 3341

asakura.  co. jp

中 央 印刷 ・渡 辺 製 本 Printed

in

Japan