Автоматизированные системы управления технологическими процессами: Методические указания к практическим занятиям

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

* МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ________________ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ _________________________________________________________________

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

* Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности 220301

Санкт-Петербург 2008

1

Рассмотрены и рекомендованы к изданию методической комиссией факультета механической технологии древесины Санкт-Петербургской государственной лесотехнической академии ___ ______________ 200___ г.

Составители Кандидат технических наук, проф. В.А. Втюрин магистрант Д.А. Родионов

Рецензенты: кандидат технических наук, доцент И.В. Пашковский (СПбГЛТА) кандидат технических наук, доцент В.П. Мартынов (завкафедрой академии ЛИИМТУ С-Петербургского университета информационных технологий механики и оптики)

В указаниях изложены методы алгоритмического описания типовых задач управления технологическими процессами, а также задачи математического моделирования систем автоматического регулирования объектами лесного комплекса.

Темплан ____ г. Изд. № __

2

ВВЕДЕНИЕ Для объектов автоматизации (ТОУ) лесного комплекса можно определить состав наиболее важных и часто встречающихся задач. Эти задачи встречаются в следующих функциональных подсистемах АСУТП: - подсистема централизованного контроля; - управляющая подсистема. В подсистеме централизованного контроля решаются задачи: • линеаризация и коррекция сигналов датчиков; • фильтрация и сглаживание; • интерполяция и экстраполяция; • контроль достоверности информации; • статистическая обработка информации; • оценка состояния объекта. Выявление аварийных ситуаций; • расчет технико-экономических показателей. В подсистеме управления решаются задачи: • идентификация; • декомпозиция; • управление; • устойчивость; • синтез. Рассмотрим алгоритмическое обеспечение некоторых задач контроля и управления. Алгоритмы централизованного контроля предназначены для сбора и передачи измерительной информации от датчиков, установленных на технологическом процессе, а также для первичной обработки этой информации с целью: • определения текущих и прогнозируемых значений измеряемых величин и оценки неизмеряемых искомых величин по косвенным параметрам; • вычисления учетных и технико-экономических величин по косвенным параметрам; • обнаружения нарушений и неисправностей на производстве, требующих немедленного управления. Результаты первичной обработки являются теми исходными данными, по которым рассчитываются все выходные параметры алгоритмов управления. Большинство результатов первичной обработки используется для оперативного формирования управляющих воздействий, поэтому соответствующие задачи первичной обработки должны решаться в реальном масштабе времени. Однако некоторые показатели, например, технико-экономические (за час, смену и т.п.), являются исходной информацией не в системе АСУТП, а

3

передаются на более высокий уровень. Такая информация обычно обрабатывается в уменьшенном масштабе времени. Задача разработки алгоритмов контроля формируется следующим образом. Заданы все исходные величины (в том числе показатели и события), которые должна определять подсистема контроля, и указаны требуемые параметры каждой выходной величины (точность ее определения, частота выдачи оператору или в другие подсистемы, форма выдачи и т.д.). Имеется совокупность измерительных средств, которая может быть использована в качестве источников исходной информации для определения заданных выходных величин. Требуется определить рациональный комплекс алгоритмов, перерабатывающий сигнал датчиков в искомые выходные величины и удовлетворяющий заданным требованиям на параметры выходных величин. После определения комплекса выходных величин, выданных подсистемой контроля, и установления совокупности измерительных средств, они могут быть использованы в качестве источников исходной информации на автоматизируемом объекте для разработки блок-схем переработки сигналов датчиков в искомые выходные величины подсистемы централизованного контроля. Для этого следует воспользоваться разделением всего процесса переработки измерительной информации на ряд последовательно выполняемых типовых операций. Последовательность выполнения операций следующая: • аналитическая градуировка датчиков; • экстра – и интерполяция дискретно измеряемых величин; • контроль достоверности информации о процессе; • определение суммарных и средних значений величин за заданные интервалы времени; • коррекция динамической связи между измеряемой и искомой величиной и т.д. Необходимо по каждой заданной выходной величине произвести набор операций, осуществляющих ее формирование из имеющихся измерительных сигналов, и указать последовательность выполнения этих операций. Рассмотрим алгоритмы некоторых из перечисленных вычислительных задач.

4

Практическая работа №1 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ в системе Matlab Цель работы ─ получить аналитическое выражение функциональной зависимости от аргумента, заданного аналитически или графиком. Основные положения Интерполяция ─ построение приближенного или точного аналитического выражения функциональной зависимости, когда о ней известны только соотношения между аргументом и соответствующими значениями функции в конечном ряде точек. Интерполяция имеет следующие применения в АСУТП: • линеаризация и интерполяция сигналов датчиков; • формирование непрерывно изменяющегося сигнала по коэффициенту временного полинома или числовой программе в системах программного регулирования; • получение аналитического выражения статической (обычно в виде квадратичной формы от входных воздействий) или динамической (обычно в виде дробно-рациональной передаточной функции) характеристик по экспериментально полученным точкам в задачах идентификации и характеризации; • получение аналитического выражения корреляционных функций или спектральных плотностей при статистической обработке данных; • переход от одной формы математического описания к другой в задачах характеризации; • интерполяция таблиц, номограмм, диаграмм, хранящихся в памяти ЭВМ, для определения каких-либо параметров, например, параметров ПИДрегулятора по номограммам. Интерполирование функций будем вести с помощью компьютерных технологий. Компьютерная технология интерполяции ─ есть последовательность выполнения функций и команд компьютера для решения задач интерполяции. Она состоит из следующих действий: • выбор вида функции интерполяции с помощью компьютера; • использование функций и команд универсального программного средства для получения математической модели; • способы построения графиков функций, заданных в табличном и формульном видах; • соответствие графика, построенного по данным таблицы аналитической функции; • способы вычисления значений функции и ее табулирование;

5

• • • •

операции с векторами и матрицами; решение систем линейных и нелинейных уравнений; способы вычисления табличных разностей; оценка адекватности модели. Компьютерные технологии решения задач интерполяции в системе Matlab. Начальные сведения о системе Matlab.

Технология решения задач интерполяции состоит в выполнении на компьютере следующих действий: • ввод исходных данных; • визуализация исходных данных; • выбор функции интерполяции; • образование системы уравнений; • решение системы уравнений; • проверка правильности решения задачи; • определение погрешности интерполяции. В настоящем разделе приводятся сведения о системе Matlab лишь с позиции решения задач интерполяции и умения выполнять перечисленные выше действия. Ввод исходных данных Диалог с системой Matlab происходит посредством командного окна, которое становится доступным пользователю сразу же после запуска программы. Окно имеет меню, панель инструментов, полосы прокрутки, а также зону редактирования и просмотра (рис. 1.1).

Рис. 1. 1. Главное окно системы

6

Здесь же можно увидеть и строку ввода со знаком приглашения ». Попробуем выполнить простейшие действия. Введем в строку ввода выражение. » х = 2 + 3 Для выполнения действия нажмем клавишу <Enter>. Результат виден на рис. 2.1. Невозможность редактирования ранее введенной команды простой установкой курсора в нужную строку является одной из особенностей системы Matlab. Для того чтобы повторить ранее введенную команду, необходимо установить курсор в строку ввода и воспользоваться клавишами <↑> (стрелка вверх) и <↓> (стрелка вниз). Эти клавиши позволяют пролистать стек введенных ранее команд и оставить в строке именно ту команду, которая необходима. Команду можно выполнить сразу (нажав клавишу <Enter>) или после редактирования. Методический пример Пусть функция задана в виде таблицы (табл. 1.1). Это зависимость плотности перегретого пара от температуры при давлении Р = 0,470 МПа. Таблица 1.1 Зависимость плотности перегретого пара от температуры при P=0,470 МПа

t, ˚ C ρ, кг/м3

170 2.382

180 2.321

190 2.265

Значения переменных 200 210 220 230 2.211 2.161 2.113 2.067

240 2.024

250 1.982

260 1.943

Поскольку MATLAB читает только латинские буквы, присвоим t=x, ρ=y. Создадим и введем два вектора-строки х и у: x = [170 180 190 200 210 220 230 240 250 260]; y = [2.382 2.321 2.265 2.211 2.161 2.113 2.067 2.024 1.982 1.943]; На рис. 1. 2 показаны векторы и отклики, полученные при нажатии клавиши <Enter>.

7

Рис. 1. 2. Векторы и отклики зависимости плотности перегретого пара от температуры

Итак, мы имеем две вектор-строки (x и y), которые содержат интересующие нас данные. Визуализация исходных данных Система Matlab имеет большие возможности графического представления информации. Познакомимся только с теми из них, которые нам необходимы. Основной является функция plot, которая имеет вид-. plot(x1, y1, x2, y2, ..., xn, yn, sn). Здесь: • xi — i-тый массив аргументов, заданный в виде вектора; • уi — массив значений функции для заданного массива аргументов; • si — стиль графика для i-той функции. Стиль можно не задавать. В этом случае проблему выбора стиля система MATLAB решает самостоятельно. Построим график функции, заданной табл. 2. 1. Последовательность команд будет иметь вид: x = [170 180 190 200 210 220 230 240 250 260]; y = [2.382 2.321 2.265 2.211 2.161 2.113 2.067 2.024 1.982 1.943]; plot(x,y). После нажатия кнопки <Enter> получим график функции рис. 1. 3.

8

Выбор вида функции интерполяции В АСУТП наиболее часто встречается интерполяция таблиц, графиков, номограмм, диаграмм, хранящихся в памяти ЭВМ, для определения каких-либо параметров. Поэтому необходимо иметь точное аналитическое описание функций. Такой выбор может обеспечить интерполяция точная в узлах.

Рис. 1. 3. График зависимости плотности пара от температуры

Интерполяция точная в узлах ─ такая интерполяция, при которой значения функции интерполяции совпадают с ее действительными значениями во всех узлах. Выбор вида функции интерполяции будем искать в виде полинома. Полиномиальная интерполяция. Интерполяция полиномами в среде Matlab осуществляется с помощью функции polyfit, которая имеет вид: polyfit (x,y,n). Здесь: • x ─ вектор узлов интерполяции; • y ─ вектор значений функции в узлах интерполяции; • n ─ степень полинома. Откликом при реализации функции polyfit является вектор коэффициентов: a, b, c, d... полинома axn + bxn-1 +cxn-2 +.... Пусть функция задана в виде табл. 1. 1. Будем искать функцию интерполяции, представляющую собой многочлен третьей степени. Процедуры интерполяции в Matlab имеют вид:

9

>> x=[170 180 190 200 210 220 230 240 250 260]; >> y=[2.382 2.321 2.265 2.211 2.161 2.113 2.067 2.024 1.982 1.943]; >> p=polyfit (x, y, 3) После нажатия кнопки <Enter> получим ответ в следующем виде: p= -0.0000 0.0000 -0.0161 4.1757 Тогда функцией интерполяции будет следующий полином третьей степени: φ(x) = -0.0161 x + 4.1757, или φ(t) = -0.0161 t + 4.1757. По этой формуле можно определять значение плотности пара в зависимости от температуры. В системе Matlab имеется функция вычисления математического выражения при заданных значениях аргументов. Функция имеет вид: polyval (p, x). Здесь: p ─ вычисляемая функция; x ─ вектор аргументов функции. Воспользуемся этой функцией для проверки достоверности результатов интерполяции. Введем функцию f=polyval (p,x) и нажмем кнопку <Enter>. Откликом будет следующее решение: f= 2.3817 2.3215 2.2648 2.2113 2.1607 2.1127 2.0672 2.0239 1.9825 1.9427 Сравнивая это решение с вектором у исходных данных, видим, что они отличаются несущественно, а значит интерполяционный полином f(x) третьей степени хорошо отображает исходную функцию. Вычислим теперь абсолютную среднеквадратическую погрешность аппроксимации по формуле: n

ε=

∑∆ i =1

n

2 i

.

(1.1)

В нашем случае:

10

• ∆i = yi – f(x) = yi - fi; • n = 10 Тогда вычислительные процедуры в системе Matlab будут иметь вид: z = у - f; w = z.* z; Здесь точка перед знаком умножения означает что операция умножения выполняется поэлементно, т.е. с каждым элементом массива чисел (вектора строки). R = sum (w); Е = sqrt(R)/10 После нажатия клавиши <Enter> получим ответ: E= 1.0186e-004. Полученная ошибка очень мала, что подтверждает хорошее совпадение. Система Matlab позволяет обоснованно выбрать степень полинома при полиномиальной интерполяции путем вычисления табличных разностей. Для этой цели служит функция diff. Эта функция имеет вид: diff (v, n). Здесь: • v — вектор функции у(х); • n — порядок конечных разностей. Полиномиальная аппроксимация имеет смысл лишь тогда, когда n -ая конечная разность функции у(х) при постоянном шаге изменения аргумента х является постоянной. При этом значение n является степенью полинома. Если это условие не выполняется, то многочлен степени п либо не может быть функцией интерполяции, либо является основным источником погрешностей. Найдем полиномиальную зависимость ρ (плотность перегретого пара) от давления p при постоянной температуре t. Результаты приведены в табл. 1. 2. Таблица 1. 2. Зависимость плотности перегретого пара от давления при постоянной температуре p, МПа ρ, кг/м3

11

0.392 1.973

0.412 2.074

0.431 2.177

Значения переменных 0.450 0.470 0.490 0.539 0.588 0.637 0.686 2.279 2.382 2.485 2.744 3.007 3.271 3.537

Заменим p = x, ρ = y. >> x=[0.392 0.412 0.431 0.450 0.470 0.490 0.539 0.588 0.637 0.686]; >> y=[1.973 2.074 2.177 2.279 2.382 2.485 2.744 3.007 3.271 3.537]; >> diff(y, 1) ans = 0.1010 0.1030 0.1020 0.1030 0.1030 0.2590 0.2630 0.2640 0.2660 >> dif f(y, 2) ans = 0.0020 -0.0010 0.0010 -0.0000 0.1560 0.0040 0.0010 0.0020 >> diff(y, 3) ans = -0.0030 0.0020 -0.0010 0.1560 -0.1520 -0.0030 0.0010 Табличные разности третьего порядка близки между собой, поэтому интерполяционный полином будет иметь вид: φ(x) = ax3 + bx2 + cx + d, или

φ(t) = at3 + bt2 + ct+ d.

Определим теперь значения коэффициентов a, b, c, d, воспользовавшись функцией polyfit. Так как векторы аргумента x и функции y уже введены, то достаточно ввести функцию polyfit и нажать клавишу <Enter>: >> p=polyfit(x,y,3) p= 0.9531 -1.1096 5.6690 -0.1370

12

Подставляя полученные значения в функцию y(x), получим φ(x) =

0.9531 x3 - 1.1096 x2 + 5.6690 x - 0.1370,

или φ(p) =

0.9531 p 3 - 1.1096 p 2 + 5.6690 p - 0.1370.

По этой формуле можно определять значение плотности пара в зависимости от давления. Проверим правильность решения задачи, воспользовавшись функцией polyval: >> f=polyval(p, x) f= 1.9721 2.0769 2.1765 2.2762 2.3812 2.4865 2.7454 3.0065 3.2702 3.5374 >> z=y-f; z.*z; R=sum(w); E=sqrt(R)/10 E= 1.0186e-004. Результат получен с высокой точностью. Порядок выполнения работы Из приложений выбрать табличные значения или получить из графиков и решить задачу интерполяции одним из методов. Получить результат и составить отчет. Содержание отчета 1. Выбрать табличные значения или из графика в приложении. 2. Получить аналитическое выражение одним из методов интерполяции в Matlabe. 3. Построить графики.

13

Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4.

Что такое интерполяция? Какое применение может иметь интерполяция в АСУТП? Из каких действий состоит компьютерная технология интерполяции? Когда можно применять полиномиальную интерполяцию? Практическая работа № 2 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В СРЕДЕ EXCEL ЛИНИЯ ТРЕНДА ЗАДАЧА №1

Цель работы ─ получить аналитическую зависимость функции от аргумента (задано таблично) в среде EXCEL. Последовательность выполнения В Excel есть ряд встроенных утилит, которые можно использовать как для решения задач по интерполяции, так и по аппроксимации зависимостей. Анализ возможностей Excel в данной области начнем с графических утилит. В частности, исследуем вопрос о добавлении линии тренда, которая строится на основе экспериментальных данных, и, по большому счету является аппроксимирующей или интерполяционной зависимостью, в зависимости от выбора типа кривой. Последовательность выполнения: 1. Отображение анализируемых данных в графическом виде. 2. Построение кривой для рассматриваемой зависимости. 3. Анализ полученной кривой для рассматриваемой зависимости. 4. Выводы о проделанной работе. Методический пример В данной задаче анализируемые данные представлены таблично. 1. Для решения поставленной задачи (имеется в виду интерполяция или аппроксимация) прежде всего, следует отобразить анализируемые данные в графическом виде таблицы (табл. 2.1). 2. Из этих данных строим график: «Мастер диаграмм – Точечная – Готово. Выбираем значения «Y» и «X», соответственно «ρ, кг/м3» и «p, МПа ». 3. Данные представленные на диаграмме в виде отдельных точек, т.е. кривая для рассматриваемой зависимости не проведена. Эти данные в области диаграммы нужно выделить и затем щелкнуть правой кнопкой мыши. В

14

раскрывшемся контекстом меню выбрать команду «Добавить линию тренда» (рис. 2.1.). Таблица 2.1. Зависимость плотности пара (ρ,кг/м3) от давления (Р, МПа) Р, МПа

ρ, кг/м3

0,392

0,412

0,431

0,45

0,47

0,49

0,539

0,588

0,637

0,686

0,735

0,784

1,973

2,074

2,177

2,279

2,382

2,485

2,744

3,007

3,271

3,537

3,807

4,078

Рис 2.1. Добавить линию тренда

4. В открывшемся диалоговом окне, можно задать тип линии. Выбираем «Полиномиальную», и задаем «Порядок» равный от 2 до шести. Затем переходим в кладку «Параметры», и необходимо поставить флажки «Отображать уравнение», а так же «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)» (рис.2.2., рис. 2.3.).

15

Рис. 2.2. Тип линии полиномиальная

Рис. 2.3. Величина достоверности интерполяции и вид уравнения

16

Рис. 2.4. Кривая интерполяции

5. После нажатия кнопки ОК получаем результат (рис. 2.4.). В данном примере не видно выпадающих экспериментальных точек на линии тренда и величина достоверности R2 вполне удовлетворяет. Для построения интерполяционного полинома, проходящего через все экспериментальные точки, необходимо чтобы степень полинома была на единицу меньше количества точек. Очевидно, что чем выше степень полинома, тем больше аппроксимирующая кривая приближается к интерполяционному полиному. Однако положительный результат может быть получен и при меньшем количестве точек, что видно из (рис 2.4.). В данном случае степень полинома равна шести, а количество точек двенадцати. Содержание отчета 1. Записать выбранные табличные значения. 2. Получить аналитическое выражение с помощью линии тренда. 3. Построить график лини тренда. Контрольные вопросы 1. Из каких процедур складывается последовательность выполнения интерполяции?

17

2. Как определяется величина достоверности интерполяции? 3. От чего зависит величина достоверности интерполяции? Практическая работа № 3 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В СРЕДЕ EXCEL ЛИНИЯ ТРЕНДА ЗАДАЧА №2 Цель работы ─ получить аналитическую зависимость функции от аргумента (задано графически) в среде EXCEL. Последовательность выполнения В Excel есть ряд встроенных утилит, которые можно использовать как для решения задач по интерполяции, так и по аппроксимации зависимостей. Анализ возможностей Excel в данной области начнем с графических утилит. В частности, исследуем вопрос о добавлении линии тренда, которая строится на основе экспериментальных данных, и, по большому счету является аппроксимирующей или интерполяционной зависимостью, в зависимости от выбора типа кривой. Последовательность выполнения: 1. Отображение анализируемых данных в графическом виде. 2. Построение кривой для рассматриваемой зависимости. 3. Анализ полученной кривой для рассматриваемой зависимости. 4. Выводы о проделанной работе. Методический пример В данной задаче анализируемые данные представлены в виде графика (рис 3.1). Для решения поставленной задачи (имеется в виду интерполяции или аппроксимация) прежде всего, следует отобразить анализируемые данные в компьютерном графическом виде таблицы (табл. 3.1.). Таблица 3.1 Данные полученные с графика t, мин T,˚C

0

0,97

1,8

2,63

25,5

29,2

36,4

46,4

3,29 54,5

3,65 66,5

4

4,48

5,27

6,42

…

16,21

75,6

80

88,2

91,5

…

103,7

18

120 100 80 60 40 20 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Рис. 3.1 График зависимости температуры внутреннего слоя от времени протекания процесса

1. Из этих данных строим график: «Мастер диаграмм – Точечная – Выбираем значения «Y» и «X», Данные представлены на диаграмме в виде отдельных точек т.е. кривая для рассматриваемой зависимости не проведена. Эти данные в области диаграммы нужно выделить и затем щелкнуть правой кнопкой мыши. В раскрывшемся контекстом меню выбрать команду «Добавить линию тренда» (рис. 3.2.).

Рис. 3.2. Добавить линию тренда

19

2. В открывшемся диалоговом окне, можно задать тип линии. Выбираем «Полиномиальную», и задаем «Порядок» равный шести. Затем переходим в кладку «Параметры», и необходимо поставить флажки «Отображать уравнение», а так же «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)» ( 3. Рис. 3.3., рис.3.4.).

Рис. 3.3. Тип линии полиномиальная

Рис. 3.4. Величина достоверности аппроксимации

20

Рис. 3.5. Кривая интерполяции

4. После нажатия кнопки ОК получаем результат (рис. 3.5.). В данном примере не видно выпадающих экспериментальных точек на линии тренда и высока степень достоверности. Для построения интерполяционного полинома, проходящего через все экспериментальные точки, необходимо чтобы степень полинома была на единицу меньше количества точек. Очевидно, что чем выше степень полинома, тем больше аппроксимирующая кривая приближается к интерполяционному полиному. Однако положительный результат может быть получен и при меньшем количестве точек, что видно из (рис 3.5.). В данном случае степень полинома равна шести, а количество точек восемнадцати. Достоверность аппроксимации R2 = 0.9987 (величина достоверности вполне удовлетворяет). Содержание отчета 1. Записать выбранные графические значения из приложения. 2. Получить аналитическое выражение с помощью линии Тренда. 3. Построить график лини Тренда. Контрольные вопросы 1. В чем отличие задачи 3 от задачи 2?

21

2. От чего зависит точность построения линии Тренда? Практическая работа № 4 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ в среде EXCEL ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПО ФОРМУЛЕ ЛАГРАНЖА Цель работы ─ получить аналитическое выражение функциональной зависимости от аргумента, заданного аналитически или графиком. Интерполяционной формулой Лагранжа пользуются, как более общей формулой, для произвольно заданных узлов интерполирования. Постановка задачи Формула Лагранжа имеет вид:

( x − x1 )( x − x2 )K ( x − xn ) + y ( x1 − x0 )( x1 − x2 )K ( x1 − xn ) + K ( x0 − x1 )( x0 − x2 )K ( x0 − xn ) 1 ( x1 − x1 )( x1 − x2 )K ( x1 − xn ) ( x − x0 )( x − x1 )K ( x − xn −1 ) + yn ( xn − x0 )( xn − x2 )K ( xn − xn −1 ) (4.1) y n ( x ) = y0

Здесь: x0 , xk - узлы интерполяции; yi - значения функций в этих узлах. Покажем, что формула (4.1) является интерполяционным полиномом. Пусть x = x0 , тогда все члены, кроме первого, обращаются в ноль. А числитель и знаменатель в первом члене сокращаются, в результате чего x = xi второй член выражения (4.1) равен

ноль и т.д. Таким

yn ( x0 ) = y0 . yn ( x1 ) = y

. При

yi , а все остальные обращаются в

образом,

справедливыми являются следующие равенства: yn ( x0 ) = y0 , yn ( x1 ) = y1 , yn ( xn ) = yn . Равенства означают, что формула (4.1.) является интерполяционной. Из этой формулы также очевидно, что многочлен, полученный по формуле Лагранжа, будет выше степени n. n Формулу (4.1.) можно записать: L( x ) = ∑ yi ⋅ ϕ i ( x ) , где базисная функция i =1

22

n

ϕ i ( x) =

∏(x − x

k =1,k ≠1 n

∏(x

k

)

(4.2) i

− xk )

k =1,k ≠1

Записанный в таком виде интерполяционный полном так же называется полиномом Лагранжа. С практической точки зрения главная проблема заключается в вычислении значения базисных функций (в произвольной точке). Последовательность выполнения 1. Отображение анализируемой прямой в графическом виде. 2. Построение кривой для рассматриваемой зависимости. 3. Анализ полученной кривой для рассматриваемой зависимости. 4. Построений графика по полученной зависимости. 5. Выводы о проделанной работе. Методический пример

Рис. 4.1. График

1. График (рис. 4.1.) следует представить в компьютерном графическом виде. 2. С исходного графика снимаются точки и заносятся в таблицу (табл. 4.1.).

23

Таблица 4.1.

Данные полученные с графика (рис. 4.1.). t,˚C (Узловая точка Х) Kt Значение У

25

50

100

150

200

250

300

1

1,0004

1,0011

1,0018

1,0027

1,0037

1,0047

Из этих данных строим график: «Мастер диаграмм – Точечная – Выбираем значения «Y» и «X», соответственно «x» и «y». 1,005 1,004

Kt

1,003 1,002 1,001 1 0,999 0

50

100

150

200

250

300

350

t,˚C

Рис. 4.2. График эксперимента

3. Данные (табл. 4.1.) заносятся в Excel (рис. 4.3.). 4. В ячейку В11 вводится точка, в которой необходимо вычислить значение интерполяционного полинома. 5. В ячейку С2=ПРОИЗВЕД(B11-A3:A8)/ПРОИЗВЕД(A2-A3:A8) (рис. 4.3.). Сразу следует отметить, что и эта формула, и все прочие формулы из диапазона С2:С8 вводятся как формулы для диапазонов, т.е. с помощью нажатия комбинаций клавиш «Ctrl+Shift+Enter». Причина состоит в том, что аргументами функции «ПРОИЗВЕД()» указываются результаты арифметических операций с диапазонами. 6. В ячейки С3:С7=ПРОИЗВЕД($B$11-$A$2:A2;$B$11A4:$A$8)/ПРОИЗВЕД(A3-$A$2:A2;A3-A4:$A$8), один раз вводится формула в С3, а остальные маркером заполнения.

24

Рис. 4.3. Исходные данные

7. В ячейку С8 =ПРОИЗВЕД(B11-A2:A7)/ПРОИЗВЕД(A8-A2:A7). 8. После этого осталось только вычислить интерполяционный полином. Для этого в ячейку С11 =СУММПРОИЗВ(B2:B8;C2:C8) (рис. 4.4.). 9. Теперь построим график по данным значениям и точку аргумента «Х»: «Мастер диаграмм – Точечная - Вкладка «Ряд» - Создать два ряда (рис. 4.5., рис.4.6.) – Готово». Теперь при изменении значения в ячейке В11, будем видеть как передвигается точка по мнимой кривой. При желании можно построить график по найденным значениям. (рис. 4.7.)

Рис. 4.4. Интерполяционный полином

Содержание отчета 1. Записать выбранные графические значения из приложения. 2. Получить функцию Лагранжа. 3. Построить график по расчетным данным и сравнить его с исходным. Контрольные вопросы 1. Когда следует использовать интерполяционный полином Лагранжа? 2. Как определяется погрешность интерполяции?

25

Рис. 4.5. График по данным

Рис. 4.6. График по данным

1,006 3

2

y = -6E-06x + 0,0001x + 0,0001x + 0,9998

1,005

2

R = 0,9998

1,004

Kt

1,003 1,002 1,001 1 0,999 0,998 0,997 25

50

100

150

200

250

300

t,˚C

Рис. 4.7 Экспериментальный и аналитический графики.

26

Практическая работа № 5 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В ПРОГРАММЕ MATHCAD. Цель работы ─ получить аналитическое выражение функциональной зависимости от аргумента, заданного аналитически или графиком. Последовательность выполнения 1. 2. 3. 4.

Отображение анализируемых данных в графическом виде. Построение кривой для рассматриваемой зависимости. Анализ полученной кривой для рассматриваемой зависимости. Выводы о проделанной работе. Методический пример

Задача 1 1. Из заданного графика (рис.5.1) была получена таблица с данными (табл. 5.1).

Рис. 5.1. Зависимость пропорционального множителя от температуры Таблица 5.1.

Анализируемые данные

T K

0 1.0000

50 1.0007

100 1.0015

150 1.0024

200 1.0033

250 1.0041

300 1.0049

2. В программе Mathcad, был построен график по табличным данным из пункта 1. Были созданы две матрицы с одним столбцом и шестью строками.

27

Из пункта Вставка – Графики – График X-Y. Среднее поле по оси абсцисс заполняем «t», а по оси ординат «К», щелкаем мышкой вне графика. На экране появится график.  1.0007    1.0015    1.0024  K :=   1.0033    1.0041     1.0049 

 50   100  150 t :=   200  250   300

        

3. Полученную зависимость теперь нужно описать, т.е. выбрать функцию. В данном конкретном случае это обычная линейная функция вида: Y = ax + b , где значения x, y получены из матриц. Составив и решив систему уравнений, находим вид функции.

Ниже представлен алгоритм решения этой системы.

 1.0007  V :=    1.0049 

 1 50  M :=   1 300   −5

y( x) := 1 + 1.68 ⋅ 10

M

−1

1   ⋅V =  −5  1.68 × 10 

⋅x

4. В полученную функцию подставляем значения «х:=0…300», получаем таблицу результатов для «у(х)», и строем график для этой функции аналогично пункту 2. 5. Для того, что бы определить погрешность интерполяции необходимо: • Создать векторы «y(x)» и «К». • Вычислить разность векторов D=K-y(x). • Находим скалярное произведение разности векторов z=D·D. • Вычисляем абсолютную среднеквадратическую погрешность E в режиме калькулятора.

28

−5

y ( x) := 1 + 1.68 ⋅ 10

 1.0007  1.0015   1.0024  K :=  1.003   1.0041    1.0049

⋅x

x := 50 y ( x) = 1.00084 x := 100

 1.0008   1.0016    1.0025   y( x) :=  1.00336  1.0042     1.0050 

y ( x) = 1.00168 x := 150

D := K − y ( x)

y ( x) = 1.00252

z := D ⋅ D

x := 200 y ( x) = 1.00336

E :=

x := 250

z 6 −5

E = 7.06321× 10

y ( x) = 1.0042 x := 300 y ( x) = 1.00504

1.006

1.004 K y ( x)

1.002

1

0.998

0

100

200

300

t,x Рис. 5.2. Аналитические и теоретические графики

6. Делаем вывод, что построенный аналитический и теоретические графики схожи т.к. E=7.06321*10-5 .

29

Задача 2 1. Был проанализирован график и получены табличные значения. Таблица 5.2.

Анализируемые данные

T K

0 1.0000

50 1.0004

100 1.0009

150 1.0014

200 1.0021

250 1.0026

300 1.0041

Из графика видно, что функция достаточно гладкая, однако в области t=200-300 имеется локальный максимум. Вполне возможно, что его появление обусловлено недостоверностью исходных данных. Полученная зависимость, не описывается какой - либо известной функцией. Предположим, что такой функцией является полином n-ой степени. Выберем в качестве интерполяционного полином второй степени: Y = a + bx + bx 2 .

Рис.5.3. Зависимость пропорционального множителя от температуры

2. Выберем в качестве аппроксимирующих функции у(х) : [ 50;1.0004 ], [ 100;1.0014 ], [ 300;1.0041 ] Тогда система уравнений имеет вид:

следующие

координаты

30

Решим эту систему, воспользовавшись матричными процедурами. В Mathcad решение будет иметь вид:  1 50 502     2 M := 1 150 150     2  1 300 300 

 1.0004  B :=  1.0014   1.0041   

1     −1 −6 M ⋅ B =  3.6 × 10   −8  3.2 × 10 

Из решения получаем следующую функцию интерполяции: y( x) := 1 + 3.6 ⋅ 10

−6

x + 3.2 ⋅ 10

−8

2

⋅x

3. В полученную функцию подставляем значения «х:=0…300», получаем таблицу результатов для «у(х)», и строем график для этой функции аналогично пункту 2. из первой задачи. 4. Приведены графики исходной функции, представленной графически, и функции интерполяции. Внешне они схоже друг другу (рис.5.4.). 5. Для того, что бы определить погрешность интерполяции необходимо: • Создать векторы «y(x)» и «К». • Вычислить разность векторов D=K-y(x). • Находим скалярное произведение разности векторов z=D·D. Вычисляем абсолютную среднеквадратическую погрешность E в режиме калькулятора. 1.005 1.004 1.003 K y ( x)

1.002 1.001 1 0.999

0

100

200

300

t,x

Рис. 5.4. Аналитические и теоретические графики

31

y( x) := 1 + 3.6 ⋅ 10 x := 50 y( x) = 1.00026 x := 100

−6

x + 3.2 ⋅ 10

−8

2

⋅x

 1.0004     1.0009   1.0014  K :=    1.0021   1.0026     1.0041 

 1.0026     1.00068   1.00126  y( x) :=    1.002   1.0029     1.00396 

y( x) = 1.00068 x := 150 y( x) = 1.00126

D := K − y( x) z := D ⋅ D

x := 200 y( x) = 1.002 x := 250

E :=

z 6

E = 3.737052 × 10

−4

y( x) = 1.0029 x := 300 y( x) = 1.00396

Содержание отчета 1. Выбрать табличные значения или из графика. 2. Получить аналитическое выражение одним из методов интерполяции в Mathcad. Контрольные вопросы 1. Из каких процедур складывается последовательность выполнения интерполяции? 2. Как определяется погрешность интерполяции?

Практическая работа № 6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ. Цель работы – определить динамические характеристики объекта управления.

32

Постановка задачи Динамические характеристики снимались по каналу давления на линии, которое регулировалось путём изменения хода регулирующего органа. Измерения производили путём перемещения РО в процентном соотношении. В результате эксперимента была получена кривая разгона, представленная на (рис. 6.1.).

Последовательность выполнения 1. 2. 3. 4.

Отображение анализируемых данных в графическом виде. Построение кривой для рассматриваемой зависимости. Анализ полученной кривой для рассматриваемой зависимости. Выводы о проделанной работе. t=2,5 0,16

0,14

0,12

0,1

0,08

0,06

0,04

0,02

0 0

10

20

30

40

50

60

Рис. 6.1. Экспериментальная кривая

Методический пример По полученной кривой разгона методом площадей определяем передаточную функцию линии прессования ДCтП. Определяем передаточную функцию объекта, как произведение двух передаточных функций Wз(p)= e-τp , соответствующей запаздыванию и Wy(p), соответствующей функции ∆x1 = ∆xвых(t-τ), для которой за начало отсчёта принято время t=τ.

33

1. Разбиваем отрезок времени от момента нанесения возмущения до момента выхода величины φ(xвых) на установившееся значение на отрезки времени ∆t=2,5 сек., так чтобы на каждом участке кривая разгона мало отличалась от прямой. 2. В конце каждого интервала времени ∆t находим ∆xвых и заносим их в графу 2 таблицы 6.1. Значение ∆xвых в конце каждого интервала делим на ∆xвых(∞) и получившееся значение записываем в графу 3 С4=B4/$B$24. 3. Вычисляем 1- φ (i∆t) и заносим их в графу 4 D4=1-C4. n

4. Подсчитываем сумму чисел графы 4, т. е. величину

∑ [1 − ϕ(i∆t ] i =1

D26=СУММА(D4:D24). 5. Определяем площадь F1 по формуле:

( ∑[ n

F1 = ∆t ⋅

1 − ϕ ( i ∆t ] − 0.5 ⋅ [1 − ϕ (0) ]

i =1

) , минут

(6.1)

А27=$A$5*($D$26-1*0.5). (i ∆t ) и заносим эти значения в 6. Изменяем масштаб времени Q(i ∆t ) = F1 графу 5 E4=A4/$A$27. 7. В графу 6, записываем значения 1 − Q(i ∆t ) , F4=1-E4. 8. В графу 7, записываем значения (1 − ϕ ) ⋅ (1 − Q ) G4=D4*F4. 9. Подсчитываем сумму чисел графы 7, т.е. величину: n

∑ [1 − ϕ(i∆t ] ⋅ 1 − Q ( i ∆t )

(6.2)

i =1

G26=СУММ(G4:G24). 10. Определяем площадь F2 по формуле:  n  F2 = F12 ∆Q  ∑ 1 − ϕ ( i∆t )  ⋅ 1 − Q ( i∆t ) )  − ∆t ⋅ [1 − ϕ(0)]  , мин  i =1 

(6.3)

B27=($A$27^2)*($G$26-2,5)*E5. Все операции будут везде одинаковы, то можно воспользоваться маркером заполнения. 11. После всех вычислений (табл. 6.2) примет вид. 12. Определяем вид передаточной функции. Если ∆xвых(0)=0, а xвых не равно 0, то передаточная функция объекта в безразмерной форме имеет вид:

34

W ( p) =

b1 + 1 a2 p + a1 p1 + 1 2

(6.4)

a1 = F1 = 11,443 a2 = F2 = -71,36

В нашем случае F1 во много раз больше F2, следовательно, коэффициентом F2 можно пренебречь и тогда передаточная функция будет иметь следующий вид: W ( p) =

1 , a1 p1 + 1

(6.5)

где a1=F1=13,318 мин Значит, передаточная функция имеет вид: W ( p) =

1 13,318 ⋅ p + 1

(6.6)

Таким образом, передаточная функция в безразмерном виде исследуемого объекта записывается в виде: W(p) = Wз(p)* W(p) W ( p) =

0.139 e− pt 13,318 ⋅ p + 1

(6.7) (6.8)

Передаточную функцию в размерном виде можно представить так: W ( p) =

∆Χ ( ∞ ) ∆Υ ( ∞ ) ⋅ Wç ( p ) ⋅ Wó ( p )

W ( p) =

°C 0.139 e− pt , % . 13,318 ⋅ p + 1

Для проверки построим теоретическую кривую разгона.

35

(6.9)

(6.10)

ϕ = K î á ⋅ (1 − e−t 13,318 ) ϕ = 0.139 ⋅ (1 − e−t 13,318 )

(6.11) Таблица 6.2.

Определение передаточной функции.

Таблица 6.3.

Проверка теоретической кривой разгона.

36

Рис. 6.2. Конечный график

Содержание отчета 1. Записать выбранные графические значения, взятые из приложения. 2. Получить передаточную функцию.

Контрольные вопросы 1.Что такое динамические характеристики объекта управления? 2. Как определяется правильность получения динамических характеристик?

Практическая работа № 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

Корреляция ─ статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.

37

Постановка задачи Пусть дана таблица наблюдений некоторых значений (табл. 7.1.). Таблица 7.1.

Значения наблюдений

Параметры Q

1 Q1

2 Q2

3 Q3

№ Опыта 4 5 6 Q4 Q5 Q5

ξ1

ξ 11

ξ 12

ξ 13

ξ 14

ξ 16

ξ 15

…

n-1 Qn-1

n Qn

ξ

ξ

n-1

n

Перенесем данные таблицы 7.1 на координатную плоскость с осями Q и ξ 1. Получим поле корреляции (рис.7.1,а). Каждому наблюдению из таблицы будет соответствовать определенная точка на поле корреляции. Далее проследим изменение статистических рядов распределения значений Q по значению ξ 1. Для этого весь диапазон изменения ξ 1 разобьем на ряд равных интервалов ∆ ξ 1. Все точки, попавшие в данный интервал ∆ξ1i, отнесем к его середине ξ1i. Получим трансформированное поле корреляции (рис. 7.1, б). Определим частные средние Q i для каждого значения ξ i: ni

∑Q

i

Qi =

i =1

mi

ni

ξ1 =

∑ξ

i

i =1

mi

(7.1)

где mi - число точек, оказавшихся в интервале.

Рис. 7.1. Построение линии регрессии

38

Затем последовательно соединим точки Qi отрезками прямой. Полученная ломаная линия называется эмпирической линией регрессии Q по ξ1. Она показывает, как с увеличением ξ1 в среднем изменяется Q. Большим доверием будут пользоваться те точки линии, которые принадлежат интервалам с большим количеством наблюдений. С ростом числа наблюдений эмпирическая линия регрессии будет освобождаться от случайных зигзагов, принимая все более правильный, закономерный вид. Предельное положение эмпирической линий регрессии, к которому она стремится при неограниченном увеличении числа наблюдений, называется предельной теоретической линией регрессии (рис. 7.1, в). Процесс нахождения линии регрессии заключается в выборе и обосновании типа кривой и расчете параметров ее уравнения Q = f (ξ1). Для выбора и обоснования типа кривой регрессии существуют различные пути: эмпирический, теоретический (опыт предыдущих исследований логический анализ). В данной работе поступим следующим образом, мысленно устраним те зигзаги, которые предполагаем случайными на эмпирическом графике, и определим порядок кривой регрессии. В зависимости от сложности исследуемого объекта в качестве аппроксимирующих уравнений могут быть выбраны различные классы функций одного и многих переменных: степенные многочлены, экспоненциальные и тригонометрические многочлены. В дальнейшем будем рассматривать тип уравнения только для прямолинейной регрессии. Если характер уравнения отличается от прямолинейного, необходимо подобрать его тип.

Последовательность выполнения 1. 2. 3. 4.

Отображение анализируемых данных в графическом виде. Построение кривой для рассматриваемой зависимости. Анализ полученной кривой для рассматриваемой зависимости. Выводы о проделанной работе.

Методический пример 1. Создается таблица с данными от ячейки В2 до I2 последовательно в строчку вводятся все точки попавшие в интервал ∆ ξ = 8 (рис. 7.2.). 2. Определим частные средние значение Q i : В ячейку В12 вводится функция для расчета среднего значения, она имеет вид: =СРЗНАЧ (B2:I2), на рисунке (рис. 7.3.) показан пример ввода. Эту операцию нужно выполнять – вводя последовательно в каждый столбик

39

необходимые нам формулы, рабочий лист в Excel примет вид, приведенный на (рис. 7.3.). Теперь построим по полученным средним значениям график.

Рис. 7.2. Транспонированное поле корреляции

Рис. 7.3. Ввод текстовых констант

Последовательно выполняем операции: «Мастер диаграмм – Графики – График с маркерами, помечающими точки с данных – Далее – Диапазон, указываем =Лист1!$B$12:$I$12 (рис. 7.3.) – Далее – Поместить на отдельном листе - Готово. В мастере диаграмм можно настраивать вид графика, переключением по вкладкам, выбирая различные параметры.

40

Рис. 7.4. Эмпирическая регрессия

На отдельном листе получится график (его нужно предоставить преподавателю), он показывает, как с увеличением ξ 1 в среднем изменяется Q. Большим доверием будут пользоваться те точки линии, которые принадлежат интервалам с большим количеством наблюдений. С ростом количества наблюдений эмпирическая линия регрессии будет освобождаться от случайных зигзагов, принимая все более правильный, закономерный вид (рис.7.4.). 3. В зависимости от сложности исследуемого объекта в качестве аппроксимирующих уравнений могут быть выбраны различные классы функций оного и многих переменных: степенные многочлены, экспоненциальные и тригонометрические многочлены. В данной конкретной задаче рассмотрим прямолинейную регрессию. Если характер уравнения отличается от прямолинейного, необходимо подобрать его тип. Q = a0 + a1ξ1 , где Q – аппроксимируемая величина; a – коэффициенты многочлена; ξ1 – переменный параметр. Среди наиболее точных методов отыскания коэффициентов многочлена, является метод наименьших квадратов. Сущность метода заключается в следующем. Если для каждого фиксированного значения ξ величина Q нормально распределена, то сумма квадратов отклонений табличных значений Q от вычисленных по формуле приведенной выше, должна быть наименьшей. Как известно, минимум функции можно найти, приравняв нулю частные производные по каждому аргументу. Запишем решение в готовом виде:

41

Q = Q 0 + RQξ

DQ Dξ

⋅ (ξ1i − ξ1 )

(7.2)

4. Для расчета значений создадим еще одну таблицу (табл. 7.3). Она будет иметь вид: Таблица 7.3.

Расчет значений

5. Q i взяты из предыдущих расчетов. 6. В ячейки В16 рассчитано среднее значение Q i , по формуле =СРЗНАЧ($A$16:$A$23). Воспользовавшись маркером заполнения до ячейки В23 получен столбец с данными. Q0 =

ΣQ i ; m − ÷èëî ò î ÷åê î êàçàâø èõñÿ â èí ò åðâàëå m

(7.3)

7. В ячейки С16 пишем =A16-B16. Воспользовавшись маркером заполнения до ячейки С23 получен столбец с данными. 8. В ячейки D16 – занесены данные измеряемого диапазона т.е ξ i. Воспользовавшись маркером заполнения до ячейки D23 получен столбец с данными. 9. В ячейки E16 рассчитано среднее значение. ξ1 =

Σξ i ; m − ÷èëî ò î ÷åê î êàçàâø èõñÿ â èí ò åðâàëå m

(7.4)

10. В ячейки F16 пишем =D16-E16. Воспользовавшись маркером заполнения до ячейки F23, получен столбец с данными. 11. В ячейки G16 пишем =C16*F16. Воспользовавшись маркером заполнения до ячейки G23, получен столбец с данными. 12. В ячейки G24 пишем =СУММ(G16:G23).

42

13. Произведем расчет дисперсий. Для этого в ячейке В27 напишем формулу для расчетов =СУММКВРАЗН(A16:A23;B16:B23)/7, основываясь на: 14. DQ =

(

Σ Qi − Q 0

)

2

m −1

;

(7.5)

,

(7.6)

Расчет для : m

∑ (ξ ι − ξ )

Dξ 1 =

2

1

1

i =1

m −1

произвести самостоятельно и занести в ячейку D27 15. Взять корни квадратные из значений в ячейках B27 и D27. Занеся соответственно формулы в ячейки В29,D29: =КОРЕНЬ(B27), =КОРЕНЬ(D27) 16. В ячейки В34 самостоятельно рассчитать значение коэффициента корреляции по формуле: m

RQξ1 =

∑ (Q i =1

i

− Qo ) ⋅ (ξ1ι − ξ1 )

( m − 1) ⋅

(7.7)

DQ Dξ1

Поскольку в нашем случае исследуемая корреляционная зависимость носит линейный характер, в качестве измерителя тесноты связи рассмотрим коэффициент корреляции RQξ , определяемый по формуле (7.7). Случай линейной корреляционной зависимости является наиболее распространенным в практических исследованиях. Это объясняется двумя причинами: вычисление всех параметров линейной связи значительно проще, а получаемые результаты допускают надежную интерпретацию; согласно технологическим ограничениям, параметры объекта могут изменяться в сравнительно узких пределах, и на этих участках криволинейные зависимости могут быть с достаточной точностью аппроксимированы прямолинейными зависимостями. Теснота связи определяет силу, с которой найденная зависимость проявляется среди многообразных нарушающих ее воздействий. Чем теснее связь, тем точнее по данным значениям аргументов можно предсказать значение функции. Значения RQξ лежат в пределах 0 ≤ RQξ ≤ 1 . Если RQξ = 1, то связь является функциональной, то есть учтены все параметры, от которых в той или иной RQξ = 0 , то корреляционная зависимость между мере зависит Q. Если 1

1

1

1

исследуемыми параметрами отсутствует. Если же 0 ≤ RQξ ≤ 1 , то говорят о наличии более или менее тесной корреляционной зависимости. Физический 1

43

смысл коэффициента корреляции таков: он показывает, какая часть полной обусловлена изменением аргументов, колеблемости параметров RQξ охваченных данным уравнением. Коэффициент корреляции RQξ практически является измерителем тесноты полученной связи. 17. В результате всех проведенных вычислений получим вид (табл. 7.4). 18. Самостоятельно составить формулу корреляции: 1

1

Q = Q 0 + RQξ

DQ Dξ

⋅ (ξ1i − ξ1 )

(7.8)

В таблице она записана в ячейке А36. 19. По полученной формуле построить график (рис. 7.4.). Определить погрешность интерполяции необходимо: 1. Вычислить разность векторов D = Qср-Q. В ячейку B42=B12-B39, Воспользовавшись маркером заполнения до ячейки I42, получен столбец с данными. 2. Находим скалярное произведение разности векторов z =D·D. В ячейку B45 напишем формулу для расчетов =СУММСУММКВ(B42:I42;B43:I43). В ячейках B43:I43 записаны нули для того что бы правильно использовать формулу =СУММСУММКВ (массив x; массив y) в Excel. 3. Вычисляем абсолютную среднеквадратическую погрешность: E=

Z , где n − колличество измерений n

Для этого в ячейку =КОРЕНЬ(B45)/СЧЁТ(B42:I42). E= 0,095239. (табл. 7.5).

B48

напишем

формулу

(7.9) для

расчетов

Таблица 7.5

Погрешность интерполяции

Содержание отчета 1. Записать выбранные графические значения. 2. Получить передаточную функцию.

44

Контрольные вопросы 3. Что определяет корреляция случайных величин? 4. В каком диапазоне изменяется коэффициент корреляции? Таблица 7.4

Окончательный вид

45

Практическая работа № 8 АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.

Качество работы любой системы управления, в конечном счете, определяется величиной ошибки, равной разности между требуемым и действительным значениями управляемой величины: x(t) = g(t) – y(t). Знание мгновенного значения ошибки в течение всего времени работы управляемого объекта позволяет наиболее полно судить о свойствах системы управления. Однако в действительности вследствие случайности задающего и возмущающего воздействий такой подход не может быть реализован. Поэтому приходится оценивать качество системы по некоторым ее свойствам, проявляющимся при различных типовых воздействиях. Для определения качественных показателей системы в этом случае используются так называемые критерии качества. Все их можно разбить на четыре группы. К первой группе относятся критерии, в той или иной степени, использующие для оценки качества величину ошибки в различных типовых режимах. Эту группу назовем критериями точности систем управления. Ко второй группе относятся критерии, определяющие величину запаса устойчивости, т. е. критерии, устанавливающие, насколько далеко от границы устойчивости находится система. Почти всегда опасной для системы является колебательная граница устойчивости. Это определяется тем, что стремление повысить коэффициент передачи разомкнутой системы, как правило, приводит к приближению замкнутой системы именно к колебательной границе устойчивости и затем — к возникновению незатухающих колебаний. Третья группа критериев качества определяет так называемое быстродействие систем управления. Под быстродействием понимается быстрота реагирования системы на появление задающих и возмущающих воздействий. Наиболее просто быстродействие может оцениваться по времени затухания переходного процесса системы. К четвертой группе критериев качества относятся комплексные критерии, дающие оценку некоторых обобщенных свойств, которые могут учитывать точность, запас устойчивости и быстродействие. При рассмотрении понятий запаса устойчивости и быстродействия можно исходить из двух существующих в настоящее время точек зрения. Во-первых, можно основываться на характере протекания процессов во времени и использовать для формирования критериев качества переходную или весовую функцию, расположение полюсов и нулей передаточной функции замкнутой системы и т. п. Во-вторых, можно основываться на некоторых частотных свойствах рассматриваемой системы, характеризующих ее поведение в установившемся

46

режиме при действии на входе гармонического сигнала. К ним относятся полоса пропускания, относительная высота резонансного пика и др. Оба эти подхода имеют в настоящее время большое распространение и используются параллельно. И тот и другой подход требует изучения условий эксплуатации уже построенных систем автоматического управления, так как только на основании такого изучения можно правильно сформулировать количественные оценки, которые могут быть использованы в практике проектирования и расчета новых систем.

Функции Matlab для создания передаточных функций и звеньев. Функция имеет вид: tf(n,m) где: n – вектор коэффициентов числителя передаточной функции. m– вектор коэффициентов знаменателя передаточной функции. Она служит для образования передаточной функцией звеньев и системы в целом.

Пример Необходимо образовать передаточную функцию G (s) =

2s + 5 s + 2s + 1 3

(8.1)

В нашем случае векторы коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции имеют вид: n = [2, 5] , m = [1, 0, 2, 1]. Ноль в векторе m ставиться потому, что в знаменателе передаточной функции член s 2 отсутствует. Процедуры образования передаточной функции G(s) имеют вид: >> n = [2, 5]; >> m = [1, 0, 2, 1]; >> gs = tf (n, m) После нажатия клавиши <Enter> на экране появиться передаточная функция в виде:

47

Transfer function: 2s+5 ------------s^3 + 2 s + 1 Функцию gs = tf (n, m) можно также представить в следующем виде: >> gs = tf ([2 5], [1 0 2 1]) Числа в векторах n и m отделяются друг от друга либо запятыми, либо пробелами ( как в нашем примере), а сами векторы заканчиваются символом (;). Символ точка с запятой подавляет вывод на экран векторов при нажатии клавиши <Enter>. Функция вида eτ в Matlabe записывается через ряд Паде т.е s2 − W ( s) = s + 2

6

τ 6

τ

s+ s+

12

τ2 12

(8.2)

τ2

Пример >>τ =2, заменим τ = x. >>n2 = [1 (-6/x) 12/x^2]; m2 = [1 (6/x) 12/x^2]; WZ = tf (n2, m2) Transfer function: s^2 - 3 s + 3 ------------s^2 + 3 s + 3

Постановка задачи В качестве объекта исследования выступают линейные (линеаризованные) динамические стационарные системы управления с одним входом и одним выходом. При этом модель одномерной САУ задана в виде комплексной передаточной функции, записанной как отношение полиномов W ( s) =

bm s m + K + b1s + b0 an s n + K + a1s + a0

(8.3)

Необходимо: 1. Получить передаточную функцию разомкнутой системы. 2. Получить передаточную функцию замкнутой системы. 3. Определить полюса и нули передаточных функции.

48

4. Построить графики переходной функции. 5. Построить логарифмические частотные характеристики. 6. Построить частотный годограф Найквиста.

Методический пример Пусть необходимо исследовать разомкнутой системы (рис. 8.1.): Wî ó =

САУ

с

передаточной

Kî ó

(8.4)

Tî ó s + 1

Wð = K p +

1 Ti s

функция

+ Td s

(8.5)

X(s)

Y(s) Wp

Wоу

Рис. 8.1. Структурная схема разомкнутой САР

Образовать передаточную функцию системы W ( s) = том случае. Если определены ее переменные. >> Kp = 0.4; >> Ti = 140; >> Td= 0.8; >> Kоу = 0.5; >> Tоу = 420. Формируем передаточную функцию Wp=W1: >> n1= [0.4]; m1= [1]; q1=tf (n1, m1) Transfer function: 0.4 >> n2= [1]; m2= [140, 0]; q2=tf (n2, m2) Transfer function:

49

Y ( s) можно лишь в X ( s)

1 ----140 s >> n3= [120, 0]; m3=1; q3=tf (n3, m3) Transfer function: 120 s >> W1=q1+q2+q3 Transfer function: 16800 s^2 + 56 s + 1 -------------------140 s Формируем передаточную функцию Wоу=W2: >> n4= [0.5]; m4= [420, 1]; W2=tf (n4, m4) Transfer function: 0.5 --------420 s + 1 >> WR = W1*W2 Transfer function: 8400 s^2 + 28 s + 0.5 --------------------58800 s^2 + 140 s Обратите внимание на то, что в ответе имени функции W(s) нет. Ее имя совпадает с именем произведения W1*W2.

Определение нулей и полюсов передаточной функции W(S). Нули и полюса определяются с помощью функций: pole(W) и zero(W). Нулями передаточной функции являются корни числителя , а полюсами – корни знаменателя. Программа имеет вид: >> p=pole(W)

50

p= 0 -0.0024 >> z=zero(W) z= -0.0017 + 0.0075i -0.0017 - 0.0075i

Расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости. Функция pzmap показывает расположение нулей и полюсов передаточной функции на комплексной плоскости S. >>pzmap(W) На рисунке (рис. 8.2.) показано расположение нулей (кружки) и полюсов (крестики) на плоскости S. Условием устойчивости разомкнутой системы автоматического управления будет расположение всех корней характеристического уравнения в плоскости корней слева от мнимой оси. Исследуемая система неустойчива, так как один из полюсов равен нулю.

Рис. 8.2 Расположение нулей и полюсов

Исследование качества переходного процесса. Определим реакцию системы автоматического управления на единичную функцию с помощью функции steр ( ). На этом этапе получаем только график реакции системы. >> step (W) Переходный процесс разомкнутой системы автоматического регулирования – расходящийся. Следовательно, система неустойчива. (рис. 8.3.).

51

Рис. 8.3. Качество переходного процесса

Частотная характеристика. Амплитудно – частотная и фазочастотная характеристики строятся с помощью функции bode ( ), полученные функции называются функциями Боде, (рис. 8.4.). >> bode(W)

Рис. 8.4. Частотная характеристика

Амплитудно-фазовая характеристика. Амплитудно-фазовую характеристику называют диаграммой Найквиста. Она применяется для анализа устойчивости по критерию Найквиста (рис. 8.5.). >> nyquist(W) Если амплитудно-фазовая характеристика не охватывает точку с координатами (-1; j0), то система является устойчивой. На рисунке амплитуднофазовая характеристика не охватывает эту точку.

52

Рис. 8.5. Амплитудно – фазовая характеристика

Диаграмма Никольса. Сетка кривых линий на логарифмической амплитудно-фазовой диаграмме называется диаграммой Никольса. Линиями постоянных значений амплитуды М (показатель колебательности) соответствует децибелы, а линиям постоянных значений N = tg ϕ - градусы. >> nichols(W); >> ngrid По этой диаграмме можно определить показатель колебательности.

Рис. 8.6. Диаграмма Никольса

Получение передаточной функции замкнутой системы. Исследуем влияние обратной связи на динамику САР. Передаточная функция замкнутой системы gos определяется через передаточную функцию

53

разомкнутой системы W(S) при отрицательной обратной связи в соответствии с выражением: gos =

W (s) 1 + W ( s)

(8.6)

В Matlab это выражение реализуется с помощью функции feedback(W), которая в нашем случае имеет вид: >> gos=feedback (W, [1])

Transfer function: 8400 s^2 + 28 s + 0.5 ----------------------67200 s^2 + 168 s + 0.5

Определение нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы и расположение их на комплексной плоскости. >> po=pole(gos) po = -0.0012 + 0.0024i -0.0012 - 0.0024i >> zo=zero(gos) zo = -0.0017 + 0.0075i -0.0017 - 0.0075i >> pzmap(gos) Из (рис. 8.7.) видно, что корни (нули и полюса) характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости. Следовательно, замкнутая система автоматического регулирования является устойчивой.

54

Рис. 8.7. Нули и полюса замкнутой системы

Переходный процесс замкнутой САР с жесткой отрицательной обратной связью. График переходного процесса получаем после реализации функции >> step (gos) Из графика (рис. 8.8.) видим, что длительность переходного процесса 3500 сек. величина перерегулирования 1,2.

Рис. 8.7. Качество переходного процесса

55

Амплитудно – фазовая частотная характеристика замкнутой САР. Амплитудно – фазовую характеристику называют диаграммой Найквиста. Она применяется для анализа устойчивости по критерию Найквиста (рис. 8.9.). >> nyquist (gos)

Рис. 8.9. АФХ замкнутой САР

Частотная характеристика. Амплитудно – частотная и фазочастотная характеристики строятся с помощью функции bode( ), полученные функции называются функциями Боде. (рис. 8.10.). >> bode(gos)

Рис. 8.10. Частотная характеристика замкнутой системы

56

Исследование влияние запаздывания на устойчивость и качество переходных процессов. Введем величину запаздывания в разомкнутую САР τ = x = 2 c. Передаточная функция разомкнутой системы с запаздыванием WRZ будет иметь вид: Transfer function: 8400 s^4 - 25172 s^3 + 2.512e004 s^2 + 82.5 s + 1.5 --------------------------------------------------58800 s^4 + 176540 s^3 + 176820 s^2 + 420 s Полученную передаточную функцию замкнем единичной отрицательной обратной связью gosWRZ = feedback (WRZ, [1]): Transfer function: 8400 s^4 - 25172 s^3 + 2.512e004 s^2 + 82.5 s + 1.5 -----------------------------------------------------67200 s^4 + 151368 s^3 + 2.019e005 s^2 + 502.5 s + 1.5 Построим переходный процесс замкнутой САР с запаздыванием:

Рис. 8.11. График переходного процесса замкнутой САР с запаздыванием

57

Содержание отчета 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Получить передаточную функцию разомкнутой системы Получить передаточную функцию замкнутой системы. Определить полюса и нули передаточных функций. Построить графики переходных функций. Построить логарифмические частотные характеристики. Построить частотный годограф Найквиста для функций.

Практическая работа № 9 АНАЛИЗ И СИНТЕЗ САУ МЕТОДОМ КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА. Ознакомление с методикой построения корневых годографов для анализа и синтеза линейных (линеаризованных) систем автоматического управления.

Постановка задачи Дана модель разомкнутой системы, записанная в виде отношения произведений типовых звеньев: K ⋅s



W ( s) =

η1

β1




∏ (Ti s + 1)∏ (Ti 2 s 2 + 2Ti ζs + 1) 

i =1

s

α2

η1

β2

i =1

∏ (T s + 1)∏ (T i

i =1

i

(9.1)

s + 2Ti ζs + 1)

2 2

i =1

Необходимо: 1. Построить корневой годограф. 2. Получить коэффициент усиления Kкр, при котором система находится на границе устойчивости. 3. Вычислить частоту wкр, при которой в системе возникают незатухающие колебания. 4. Нанести на ветви корневого годографа значения полюсов замкнутой системы, соответствующие 0.5.Kкр и 0.25.Kкр. 5. Привести выражение для Wз(s) в виде произведения типовых звеньев. Указать значения параметров типовых звеньев. В ряде случаев, имеющих практическое значение, модель линейной системы автоматического управления (САУ) задается в виде структурной схемы, состоящей из типовых звеньев, математическое описание которых задано в операторной форме. Связь между входом и выходом системы задается

58

в виде передаточной функции W(s). B общем виде передаточную функцию W(s) можно представить в виде: W ( s) =

B( s) A( s )

(9.2)

где s – комплексная переменная, B(s) – полином степени m; A(s) – полином степени n. Применение метода корневого годографа (КГ) обусловлено фундаментальной зависимостью поведения линейной САУ от полюсов и нулей ее передаточной функции. Под полюсами подразумеваются корни полинома ─ знаменателя A(s), а под нулями ─ корни полинома числителя B(s). Полином A(s) называется также характеристическим многочленом передаточной функции W(s). Положение полюсов W(s) на комплексной плоскости определяет устойчивость САУ, а в совокупности с нулями вид импульсной переходной функции w(t) и переходной функции h(t). Метод корневого годографа позволяет находить полюса и нули передаточной функции замкнутой системы, располагая полюсами и нулями разомкнутой системы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы k. Метод корневого годографа является также методом проектирования пропорционального устойчивого регулятора. Передаточную функцию разомкнутой системы Wp(s) представим в виде: m

W ( s) =

K ⋅ C ∏ ( s − s 0j ) j =1

n

∏ (s − s ) * i

(9.3)

i =1

где s 0j – нули передаточной функции Wp(s); si* – полюса передаточной функции Wp(s), n и m – порядки знаменателя и числителя; K - коэффициент усиления разомкнутой системы; C - коэффициент представления. Передаточная функция разомкнутой системы, как правило, задается в виде отношения произведений передаточных функций стандартных (типовых) звеньев, при описании которых используются выражения трех видов: Ts , Ts +1, 2 2 T s + 2T z s + 1,

59

(9.4) (9.5) (9.6)

Здесь Т постоянная времени [с]. Если выражения (9.4, 9,5.9,6) стоят в знаменателе передаточных функций звеньев (а, в числителе 1), то звенья называются соответственно интегрирующим, апериодическим, колебательным. Для колебательного звена z - безразмерный коэффициент затухания (0 < z < 1). Если выражения стоят в числителе передаточных функций звеньев, то звенья называются соответственно дифференцирующим, форсирующим первого порядка, форсирующим второго порядка. Для перехода от стандартной формы записи необходимо вычислить полюса и нули соответствующих типовых звеньев. Для передаточных функций, использующих выражение (9.4) –

s*(0) = 0 ,

(9.7)

s*(0) = − 1 , T

(9.8)

использующих выражение (9.5) –

использующих выражение (9.6) –

s*(0) = − ζ ± 1,2 T

ζ   T 

2

− 1 , T2

(9.9)

или

s*(0) = − 1 ( ζ ± i cos ϕ ) 1,2 T

(9.10)

где j = arcsin z . Коэффициент представления C вычисляется по формуле m

W ( s) =

∏ (T

0 j

)

*

)

j =1 n

∏ (T

i

,

(9.11)

i =1

Замечание. Для звеньев, использующих выражение (9.6), соответствующая постоянная времени входит в выражение (9.11) в квадрате. При замыкании системы с передаточной функцией Wp(s) единичной обратной связью передаточная функция замкнутой системы Wз(s) принимает вид:

60

W ( s) =

Wp ( s ) 1 ± Wp ( s )

,

(9.12)

где знак “+” соответствует отрицательной обратной связи; знак “–” соответствует положительной обратной связи. Структурная схема системы с обратной связью приведена на (рис. 9.1.).

Рис. 9.1 Структурная схема САУ

Из (9.1) следует, что нули передаточной функции замкнутой системы равны нулям передаточной функции разомкнутой системы. Задачу можно представить следующим эквивалентным образом. Есть объект управления, определяемый передаточной функцией m

W ( s ) = C ∏ ( s − s 0j ) j =1

n

∏ (s − s ) * i

i =1

(9.13)

Необходимо найти значение параметра пропорционального регулятора (рис. 9.2.).

Рис. 9.2. Эквивалентная схема САУ

Для определения полюсов замкнутой системы необходимо решить уравнение: (9.14) Wp(s) = – 1 Так как Wp(s) является функцией комплексного переменного s, то уравнение (14) распадается на два уравнения:

61

– уравнение модулей: |W(s)|=1

(9.15)

– уравнение аргументов: argW(s) = ± (2u +1)p , u =0, 1, 2, …

(9.15 а)

для отрицательной обратной связи и argW(s) = ± 2p , u =0, 1, 2, …

(9.15 б)

для положительной обратной связи. Уравнения (9.15) имеют наглядный геометрический смысл. Если точка s является полюсом замкнутой системы, то, проведя в точку s вектора из всех нулей Wp(s) (обозначим аргументы этих векторов) и вектора из всех полюсов Wp(s) (обозначим аргументы этих векторов), уравнение (9.15 а) можно записать в следующем виде: n

n

j =1

i =1

∑ θ0j − ∑ θ*i = ± ( 2ν + 1) π , u = 0, 1, 2, …

(9.16 a)

а уравнение (9.16 б) в виде: n

n

j =1

i =1

∑ θ0j − ∑ θ*i = ±2νπ , u = 0, 1, 2, …

(9.16, б)

Углы q отсчитываются от положительного направления действительной оси. Знак угла “+” соответствует повороту против часовой стрелки, знак угла “– ” соответствует повороту по часовой стрелке. Геометрическое место точек на комплексной плоскости “s”, удовлетворяющее выражениям (9.16 а) и (9.16 б) называется корневым годографом. Как следует из (9.16), конфигурация корневого годографа не зависит от коэффициента усиления K, но каждому конкретному значению K однозначно соответствуют точки на корневом годографе. Приведем свойства корневых годографов (случай отрицательной обратной связи): 1. Ветви корневого годографа непрерывны и расположены на комплексной плоскости симметрично относительно действительной оси.

62

2. Число ветвей КГ равно порядку системы n. Ветви начинаются в n полюсах разомкнутой системы при K = 0. При возрастании K от 0 до бесконечности полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ. 3. Отрезки действительной оси, по которым перемещаются действительные полюса замкнутой системы, являются действительными ветвями корневого годографа. Эти ветви находятся в тех частях действительной оси, справа от которых расположено нечетное общее число действительных полюсов и нулей разомкнутой системы. 4. m ветвей КГ при возрастании K от 0 до бесконечности заканчиваются в m нулях Wp(s), a (n – m) ветвей при K, стремящемся к бесконечности, удаляются от полюсов вдоль асимптот. 5. Асимптоты в виде звезды из (n – m) полупрямых выходят из точки с координатой σa =

m

m

j =1

i =1

∑ s0j −∑ si* (9.17)

n−m

на действительной оси под углами θa =

2ν + 1 π, ν = 0, n − m − 1 n−m

(

)

(9.18)

к действительной оси. 6. Угол выхода θ* ветви КГ из полюса si* определяется из уравнения (9.16,

i

а), примененного к данному полюсу. Аналогично определяется угол входа ветви КГ в нуль s 0j . 7. При расположении ветвей корневого годографа в левой полуплоскости s САУ устойчива. При пересечении ветвей КГ мнимой оси слева направо САУ становится неустойчивой. Пусть при K = Kкр пересечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iwкр. Назовем это значение коэффициента усиления критическим Kкр, а величину wкр критической угловой частотой, на которой система становится неустойчивой. Метод КГ позволяет выбрать коэффициент усиления САУ, подобрать расположение полюсов и нулей передаточной функции, корректирующих звеньев, определить параметры доминирующих полюсов САУ (ближайших к началу координат плоскости s). В качестве примеров, приведем КГ для двух систем автоматического управления. На рисунке рис. 9.3. приведен корневой годограф САУ, передаточная функция разомкнутой системы, которой равна: W ( s) =

63

K ⋅ ( s + 0.1) s2

(9.19)

Рисунок 9.4. иллюстрирует КГ САУ с передаточной функцией разомкнутой системы вида: W ( s) =

K s ( s + 10 )

(9.20)

Последовательность выполнения Для выполнения работы используется GUI-интерфейс “SISO-Design Tool” из пакета прикладных программ Control System Toolbox. Графический интерфейс предназначен для анализа и синтеза одномерных линейных (линеаризованных) систем автоматического управления (SISO Single Input/Single Output). В Control System Toolbox имеется тип данных, определяющих динамическую систему в виде набора полюсов, нулей и коэффициента усиления передаточной функции. Синтаксис команды, создающий LTI (Linear Time Invariant) ─ систему в виде объекта ZPK (zero-pole-gain) c одним входом и одним выходом

(

ZPK  s10 ,...sm0  ,  s1* ,...sm*  , K

)

(9.21)

 s10 ,...sm0  – значения нулей системы,  s1* ,...sm*  – значения полюсов системы,

K – коэффициент усиления.

Рис. 9.3. Корневой годограф

64

Рис. 9.4. Корневой годограф

Более естественным является вариант, при котором с помощью функции ZPK создается символьная переменная 's', которая затем используется для определения передаточной функции. Например, после выполнения команд s = zpk ('s'); W1 = (s+0.1)/(s^2)

(9.22)

произойдет создание переменной W1 типа ZPK, определяющей передаточную функцию вида W1 =

( s + 0.1) s2

(9.23)

Запуск графического интерфейса SISO-Design Tool осуществляется командой Sisotool или выбором соответствующего пункта в окне “Launch Pad”. Для выполнения лабораторной работы необходимо выбрать в меню View пункт Root Locus (корневой годограф), для отображения редактора Root Locus Editor. В правом верхнем углу SISO-Design Tool можно менять тип обратной связи (кнопка “+/–”) и структурную схему САУ. Для загрузки данных из рабочего пространства MATLAB необходимо использовать меню “File/Import”, в результате которой появляется диалог Import System Data. Необходимо, чтобы в результате импортирования данных получилась рассматриваемая схема САУ (рис. 9.1). Используя Root Locus Editor и значение коэффициента усиления (здесь C – Current Compensator), выполнить задания лабораторной работы. Изменение динамических и частотных характеристик замкнутой системы при изменении K можно проследить используя меню “Tools/Loop Responses”. Таким образом, последовательность выполнения практической работы следующая:

65

1. Ознакомиться с основными элементами теории метода корневого годографа. 2. В соответствии с заданным вариантом нарисовать структурную схему САУ. 3. Запустить систему MATLAB. 4. Создать zpk-объект, в соответствии с заданным вариантом. 5. Определить значения полюсов и нулей разомкнутой системы Wp(s). 6. Запустить SISO-Design Tool и построить КГ. 7. В соответствии с теорией проанализировать расположение ветвей корневого годографа. 8. Определить условия неустойчивости замкнутой САУ. Определить Kкр и wкр. 9. Проанализировать влияние удаленных полюсов и нулей на величины Kкр и wкр. 10. Оформить отчет.

Методический пример Пусть необходимо исследовать САУ с передаточной функция разомкнутой системы:

τp W ( p) = k ⋅ e T ⋅ p +1

(9.24)

1. Создадим ZPK-объект, найдем полюса и нули разомкнутой системы: s= zpk('s'); W= (8400 *s^2 + 28 *s + 0.5)/(58800 *s^2 + 140*s ) Ноль/Полюс/Увеличение: 0.14286 (s^2 + 0.003333s + 5.952e-005) --------------------------------------s (s+0.002381) >> pole(W) ans = 0 -0.0024 >> zero(W)

66

ans =

-0.0017 + 0.0075i -0.0017 - 0.0075i 2. Запустим SISO-Design Tool, настроим параметры и импортируем ZPKобъект из рабочего пространства MATLAB (рис. 9.5.). >> sisotool

Рис. 9.5. Окно siso-tools

Далее экспортируем данные. Нажмем «Файл – Импорт – Добавим нашу передаточную функцию – ОК » (рис 9.6.).

67

Рис. 9.6. Окно данные системы импорта

3. Захватив “мышью”, передвигать красным курсором по корневому годографу до пересечения ветвей с мнимой осью, определить значение Kкр. Передвижение курсора происходит также при вводе значения коэффициента усиления C в соответствующее поле ввода в верхней части GUI-интерфейса. Для рассматриваемого случая Kкр, значение wкр соответствует координате (0, - j0). 4. Для построения переходного процесса выбрать «Анализ-Другие ответы и петли – нажать кнопку ОК».

Содержание отчета 1. Построить корневой годограф. 2. Получить коэффициент усиления Kкр, при котором система находится на границе устойчивости (если такой границы нет, то Kкр принять равным 1). 3. Нанести на ветви корневого годографа значения полюсов замкнутой системы, соответствующие 0.5Kкр, 0.25Kкр,Kкр,25Kкр,50Kкр. 4. Построить для каждого значения Kкр графики переходного процесса, частотной характеристики, амплитудно – фазовой характеристики, диаграммы Никольса. 5. Сделать выводы о зависимости. 6. Привести выражение для Wз(s) в виде произведения типовых звеньев. Указать значения параметров типовых звеньев, написать название типовых звеньев.

68

Рис. 9.7. Окно siso-tools

Рис. 9.8. Переходный процесс

Контрольные вопросы 1. Как влияют полюса, нули на корневой годограф? 2. Как влияет отрицательная обратная связь на устойчивость?

69

Практическая работа № 10 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ РЕГРЕССИИ (АППРОКСИМАЦИИ) СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Цель работы ─ определить функции регрессии (аппроксимации) и оценить значение непрерывной выходной переменной по значениям входных переменных. Регрессия ─ зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин. В отличие от чисто функциональной зависимости у = f(х), когда каждому значению независимой переменной х соответствует одно определённое значение величины у, при регрессионной связи одному и тому же значению х могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины у. Если при каждом значении х = xi наблюдается ni, значений yi1, ...,yin величины у, то зависимость средних арифметических от xi и является регрессией в статистическом понимании этого термина. yi =

( yi1 + ... yin ) . ni

(10.1)

Обработка данных в графическом окне Matlab В позиции Tools графического окна имеется две команды для обработки данных графиков прямо в графическом окне: • Basic Fiting ─ основные виды аппроксимации (регрессии); • Data Statistics ─ статистические параметры данных. Команда Basic Fiting открывает окно, дающее доступ к ряду видов аппроксимации и регрессии: сплайновой, эрмитовой и полиномиальной со степенями от 1 (линейная аппроксимация) до 10. В том числе со степенью 2 (квадратичная аппроксимация) и 3 (кубическая аппроксимация). Команда Data Statistics открывает окно с результатами простейшей статистической обработкой данных. Данные для получения регрессии можно взять из работы № 7 или получить другим путем.

Методический пример полиномиальной регрессии Пусть некая зависимость y(x) задана векторами координат ее точек (точки получены в соответствии с формулой (10.1)):

70

>> X=[45 55 65 75 85 95 105 115]; >> Y=[38.6 39.9 41.2 42.5 43.8 45.1 46.4 47.7]; >> plot(X,Y,'o'); Рис. 10.1 показывает пример выполнения регрессии (аппроксимации).

Рис. 10.1. График регрессии (аппроксимации)

Чтобы выбрать вид регрессии, необходимо исполнить команду Tools ► Basic Fitting и получить окно регрессии (на рис.10.2 справа).

Рис. 10.2. Пример обработки табличных данных в графическом окне

71

В этом окне птичкой отмечены три вида полиномиальной регрессии (линейная, квадратичная, кубическая). Установка птички у параметра Show equations выводит в графическом окне записи уравнений регрессии. По команде Tools Statistics выводится окно с рядом статистических параметров для данных, представленных векторами X и Y. Отметив птичкой тот или иной параметр в этом окне (оно показано на рис. 10.3. справа окна графики), можно видеть соответствующие построения на графике, например вертикалей с минимальным, средним, срединным и максимальным значением y и горизонталей с минимальным, средним, срединным и максимальным значением x. Оценка погрешности регрессии (аппроксимации) Из рис. 10.2. можно видеть идеальное совпадение линий регрессии для всех трех случаев. Но есть средства обработки данных из графического окна, которые позволяют строить столбиковый или линейчатый график погрешностей в узловых точках и наносить на эти графики норму погрешности и чем она меньше, тем точнее аппроксимация

Рис. 10.3. Пример получения статистических данных о графике

.

72

Рис. 10.4. Пример вывода данных обработки со столбцовым графиком погрешности

Для вывода графика погрешности надо установить птичку в окне Show equations, а потом Plot residuals и в меню ниже этой опции выбрать тип графика ─ см. рис. 10.4.

Рис.10.5. Пример обработки данных с выводом графиков погрешностей в отдельном окне

На рис. 10. 5. приведены данные по полиномиальной аппроксимации степени 1, 2, 3 и 7. Последний случай предельный, поскольку максимальная степень полинома должна быть на 1 меньше числа точек (их 8). Рис. 10. 5 демонстрирует построение графика погрешности отрезками линий. Кроме того, опцией Separate figure (Разделить фигуры) задано построение графика погрешности в отдельном окне ─ оно расположено под графиком узловых точек и функций аппроксимации.

73

Таким образом, интерфейс графического окна позволяет выполнить эффективную обработку данных наиболее распространенными способами.

Расширенные возможности окна приближения кривых На рис. 10.5 окно приближения кривых Basic Fitting представлено в упрощенном виде. В левом нижнем углу есть кнопка с жирной стрелкой →, которая указывает на возможность расширения окна до двух и даже трех панелей. На рис. 10. 6 показано расширенное до трех панелей окно Basic Fitting. Первая панель для задания приближения и вывода данных о погрешности уже была описана. Вторая панель Numerical Results (Численные результаты) содержит список приближений, в котором можно задать выбранное приближение, кубическое, если задана позиция списка cubic. После выбора типа приближения для него выводятся выражения для приближения, значения коэффициентов и значение нормы. В третьей панели Find Y=f(X) для выбранного приближения кривой можно найти Y по заданным значениям X. Соответствующие точки Y(X) помечаются на графике жирными ромбами ─ см. рис. 10.7. Пример для задания вектора X = 40:10:120.

Рис.10.6. Окно Basic Fitting с тремя панелями

74

Рис. 10.7. Результаты приближения с указанием заданных точек графика кубического приближения и выводом данных о погрешности

Содержание отчета 1. Построить линию регрессии. 2. Получить основной вид регрессии и ее статистические параметры. 3. Оценить погрешность регрессии. 4. Рассмотреть расширенные возможности приближения кривых.

Контрольные вопросы 1. Что такое регрессия? 2. Как определяются уравнения регрессии? 3. Как определяется оценка погрешности регрессии? 4. Чем определяется максимальная степень полинома?

75

Приложения Приложение 1

Плотность перегретого пара, кг/м Р, МПа 0,392 0,412 0,431 0,450 0,470 0,490 0,539 0,588 0,637 0,686 0,735 0,784

3

t °С 170 1,973 2,074 2,177 2,279 2,382 2,485 2,744 3,007 3,271 3,537 3,807 4,078

180 1,925 2,024 2,123 2,222 2,321 2,421 2,673 2,926 3,182 3,440 3,700 3,962

190 1,878 1,974 2,071 2,168 2,265 2,362 2,606 2,852 3,100 3,349 3,601 3,855

200 1,835 1,929 2,023 2,117 2,211 2,306 2,544 2,783 3,022 3,266 3,510 3,756

210 1,793 1,885 1,977 2,069 2,161 2,253 2,484 2,717 2,951 3,187 3,425 3,663

220 1,754 l,844 1,933 2,023 2,113 2,203 2,428 2,655 2,883 3,113 3,344 3,575

230 1,7:17 1,804 1,892 1,979 2,067 2,155 2,375 2,597 2,820 3,044 3,268 3,493

240 1,682 1,767 1,852 1,938 2,024 2,110 2,325 2,541 2,759 2,978 3,196 3,415

250 1,647 1,731 1,815 1,898 1,982 2,066 2,277 2,488 2,701 2,914 3,128 3,343

260 1,615 1,697 1,779 1,861 1,943 2,025 2,231 2,438 2,646 2,855 3,064 3,274

Приложение 2

Динамическая вязкость пара µ•10-5 Па•с Температура, °С 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270

0,098 1,46 1,50 1,54 1,58 1,63 1,66 1,71 1,75 1,79 1,82 1,86 1,90

Давление, МПа 0,49 1,44 1,48 1,52 1,56 1,61 1,65 1,70 1,73 1,78 1,81 1,85 1,90

0,98 16,95 15,85 1,51 1,54 1,60 1,63 1,67 1,70 1,77 1,80 1,84 1,89

1,96 16,97 16,87 14,95 14,10 13,40 12,75 1,68 1,67 1,75 1,78 1,83 1,88

76

Приложение 3

Модуль т и коэффициент расхода для стандартной диафрагмы

т 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70

D = 50 мм α та 0,6126 0,03063 0,6162 0,06162 0,6219 0,09328 0,6293 0,1259 0,6385 0,1596 0,6492 0,1948 0,6517 0,2316 0,6764 0,2706 0,6938 0,3122 0,7134 0,3567 0,7355 0,4045 0,7608 0,4565 0,7909 0,5141 0,8270 0,5769

D =100 мм а та 0,6090 0,03045 0,6118 0,06118 0,6169 0,09253 0,6238 0,1248 0,6325 0,1581 0,6428 0,1928 0,6550 0,2292 0,6695 0,2678 0,6863 0,3088 0,7056 0,3528 0,7272 0,4000 0,7521 0,4513 0,7815 0,5080 0,8169 0,5718

D = 200 мм а та 0,6041 0,03021 0,6069 0,06069 0,6117 0,09176 0,6183 0,123 0,6267 0,1567 0,6368 0,1910 0,6488 0,2271 0,6631 0,2652 0,6798 0,3059 0,6987 0,3493 0,7201 0,3960 0,7445 0,4467 0,7733 0,5026 0,8079 0,5655

D = 300 мм а та 0,6008 0,03004 0,6034 0,06034 0,6084 0,09126 0,6150 0,1230 0,6238 0,1560 0,6340 0,1902 0,36459 0,2261 0,6600 0,2640 0,6764 0,3044 0,6950 0,3475 0,7160 0,3938 0,7398 0,4439 0,7679 0,4992 0,80I9 0,56l4 Приложение 4

Удельный объем пара v Температура t °C

р, кПа

170

180

190

200

210

220

230

240

250

260

196 245 294 343 392 441 490 539 588 637 686 735 784

1,0085 0,8038 0,6674 0,5704 0,4967 0,4490 0,3942 0,3569 0,3258 0,2994 0,2768 0,2572 0,2411

1,0326 0,8233 0,6838 0,5817 0,5094 0,4514 0,4046 0,3665 0,3347 0,3078 0,2847 0,2646 0,2471

1,0570 0,8427 0,7002 0,5988 0,5219 0,4626 0,4148 0,3759 0,3434 0,3160 0,2924 0,2719 0,2540

1,0800 0,8620 0,7164 0,6128 0,5343 0,4738 0,4250 0,3852 0,3521 0,3240 0,2999 0,2791 0,2608

1,104 0,8812 0,7325 0,6268 0,5466 0,4849 0,4350 0,3944 0,3606 0,3320 0,3074 0,2861 0,2675

1,128 0,9004 0,7486 0,6407 0,5588 0,4959 0,4450 0,4036 0,3690 0,3398 0,3147 0,2930 0,2740

1,152 0,9194 0,7646 0,6545 0,5710 0,5067 0,4548 0,4126 0,3774 0,3476 0,322 0,2998 0,2805

1,175 0,9384 0,7805 0,6683 0,5831 0,5176 0,4646 0,4216 0,3857 0,3553 0,3292 0,3066 0,2869

1,199 0,9574 0,7964 0,6820 0,5952 0,5283 0,4744 0,4305 0,3939 0,3629 0,3363 0,3133 0,2932

1,222 0,9763 0,8123 0,6956 0,6072 0,5570 0,4841 0,4394 0,4021 0,3705 0,3434 0,3200 0,2995

77

Приложение 5

Градуировочные характеристики термоэлектрических термометров Градуировка ХК ХА ПП-1

0 0 0 0

20 1,31 0,80 0,112

Температура, ° С 50 60 80 3,35 4,05 5,48 2,02 2,43 3,26 0,299 0,364 0,50

40 2,66 1,61 0,234

100 6,95 4,10 0,643

200 14,66 8,13 1,436

300 22,91 12,21 2,314

Приложение 6

Градуировочные характеристики термометров сопротивления Градуировка 50П гр. 21 гр. 22, 100П 50М гр. 23 гр. 24,100М

- 50 39,99 36,80 80,00 39,24 41,71 78,70

0 50,0 46,0 100,0 50,0 53,0 100,0

20 53,96 49,64 107,91 54,28 57,52 108,52

Температура, ° С 40 50 57,90 59,85 53,26 55,06 115,78 119,70 58,56 60,70 62,03 64,29 117,04 121,3

60 61,81 56,86 123,60 62,84 66,55 125,56

80 65,69 60,43 131,37 67,12 71,06 134,08

100 69,56 63,99 139,18 71,40 75,58 142,62

Приложение 7

Градуировочные таблицы основных промышленных термопар при температуре холодных спаев 0º С

ТПП Температура Т, Сº

термоЭДС, мВ

0

0

100

0,640

200

1,421

kпоправочный коэффициент 1,0 0,82 0,72

300

2,311 0,69

400

3,244 0,66

500

4,211 0,63

600

5,214

Градуировка ТХА kтермопоправочный ЭДС, коэффимВ циент 0 1,0 4,10 1,0 8,13 1,0 12,21 0,98 16,40 0,98 20,65 1,0 24,91

ТХК термоЭДС, мВ

kпоправочный коэффициент

0 1,0 6,95 0,9 14,66 0,83 22,91 0,81 31,49 0,83 40,16 0,79 49,02

78

0,62 700

6,251

800

7,323

900

8,429

0,96 29,15

0,60

1,0 33,32

0,59

9,569

1,0

41,32

10,745

13,158

-

1,11 48,87

0,51 1300

-

45,16

11,954

-

1,07

0,53 1200

0,80 -

1,0

0,55 1100

0,80 66,42

37,37 0,56

1000

0,78 57,77

-

1,16 52,43

-

Приложение 8

Градуировочные таблицы проволочных терморезисторов платиновых

79

Температура Т, Сº

ТСП 50П

ТСП 100П

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 700 750 800 850 900 950 1000

50 59,855 69,745 79,11 88,515 97,775 106,89 115,855 124,68 133,355 141,88 150,255 158,48 174,465 182,235 189,86 197,335 204,665 211,85 218,89

100 119,71 139,1 158,22 177,03 195,55 213,78 231,71 249,36 267,71 283,76 300,51 333,10 348,93 364,47 379,72 394,67 409,33 423,70 437,78

Приложение 9

Зависимость объема бревен м3 от длины и диаметра Диаметр бревен, см 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70

Объем бревна, м3, при его длине, м 4

4,5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

0,073 0,095 0,120 0,147 0,178 0,21 0,25 0,29 0,33 0,38 0,43 0,48 0,53 0,58 0,64 0,70 0,77 0,84 0,91 0,99 1,07 1,16 1,25 1,33 1,43 1,52 1,61 1,70 1,80

0,084 0,110 0,138 0,170 0,20 0,24 0,28 0,33 0,38 0,43 0,49 0,54 0,60 0,66 0,73 0,80 0,87 0,95 1,03 1,12 1,21 1,31 1,41 1,51 1,62 1,72 1,82 1,92 2,02

0,097 0,124 0,156 0,190 0,23 0,27 0,32 0,37 0,42 0,48 0,54 0,60 0,67 0,74 0,81 0,89 0,98 1,06 1,15 1,25 1,35 1,46 1,57 1,68 1,80 1,91 2,02 2,13 2,25

0,110 0,140 0,175 0,21 0,25 0,30 0,35 0,41 0,47 0,53 0,60 0,67 0,74 0,82 0,90 0,99 1,08 1,18 1,28 1,39 1,50 1,62 1,74 1,86 1,99 2,11 2,23 2,35 2,48

0,123 0,155 0,194 0,23 0,28 0,33 0,39 0,45 0,52 0,59 0,66 0,74 0,82 0,90 1,00 1,09 1,19 1,30 1,41 1,53 1,65 1,78 1,91 2,05 2,18 2,32 2,44 2,57 —

0,135 0,172 0,21 0,26 0,31 0,36 0,43 0,49 0,56 0,64 0,72 0,80 0,90 0,99 1,08 1,20 1.30 1.41 1,54 1,67 1,80 1,95 2,08 2,23 2,37 2,52 2,66 — —

0,150 0,189 0,23 0,28 0,34 0,40 0,46 0,53 0,61 0,70 0,78 0,88 0,97 1,07 1,18 1,30 1,41 1,54 1,67 1,81 1,96 2,11 2,27 2,42 2,57 2,73 2,88 — —

0,164 0,20 0,25 0,30 0,37 0,43 0,50 0,58 0,66 0,76 0,85 0,95 1,05 1,16 1,28 1,40 1,53 1,67 1,81 1,97 2,12 2,28 2,45 2,62 2,78 2,95 3.11 — —

Приложение 10

Плотность перегретого пара, кг/м³ p, МПа

170

0.392 1.973 0.412 2.074 0.431 2.177

180

190

200

1.925 2.024 2.123

1.878 1.974 2.071

1.835 1.929 2.023

Температура t, °C 210 220 230 1.793 1.885 1.977

1.754 1.844 1.933

1.717 1.804 1.892

240

250

260

1.682 1.767 1.852

1.647 1.731 1.815

1.615 1.697 1.779

80

0.450 0.470 0.490 0.539 0.588 0.637 0.686 0.735 0.784

2.279 2.382 2.485 2.744 3.007 3.271 3.537 3.807 4.078

2.222 2.321 2.421 2.673 2.926 3.182 3.440 3.700 3.962

2.168 2.265 2.362 2.606 2.852 3.100 3.349 3.601 3.855

2.117 2.211 2.306 2.544 2.783 3.022 3.266 3.510 3.756

2.069 2.161 2.253 2.484 2.717 2.951 3.187 3.425 3.663

2.023 2.113 2.203 2.428 2.655 2.883 3.113 3.344 3.575

1.979 2.067 2.155 2.375 2.597 2.820 3.044 3.268 3.493

1.938 2.024 2.110 2.325 2.541 2.759 2.978 3.196 3.415

Динамическая вязкость пара µ·10 -5 Па с

Температура, °C 160 170 180 190 200 210 220 240 250 260 270

1.898 1.982 2.066 2.277 2.488 2.701 2.914 3.128 3.343

Приложение 11

0,098

Давление, МПа 0,49 0,98

1,96

1,46 1,50 1,54 1,58 1,63 1,66 1,71 1,79 1,82 1,86 1,90

1,44 1,48 1,52 1,56 1,61 1,65 1,70 1,78 1,81 1,85 1,90

16,97 16,87 14,95 14,10 13,40 12,75 1,68 1,75 1,78 1,83 1,88

16,95 15,85 1,51 1,54 1,60 1,63 1,67 1,77 1,80 1,84 1,89

1.861 1.943 2.025 2.231 2.438 2.646 2.855 3.064 3.274

Приложение 12

Графики изменения параметров процесса: 1 – температура наружного слоя; 2- температура внутреннего слоя; 3 - влажность пакета; 4 объемный вес; 5 - отвержденное связующее

81

Приложение 13

Поправочный множитель на расширение материала: 1 – 12МХ, сталь 20.12Х1МФ; 220Х23Н10Т; 3- 12Х18Н10Т; 4- бронза; 5- 15Х5М Приложение 14

Приложение 15

82

Приложение 16

Приложение 17

83

Приложение 18

Приложение 19

Кривые разгона

84

Приложение 20 Для упрощения вычислений в Mathcad существуют готовые расчетные функции, только они не позволяют изображать график, они сразу дают результат. Пример для первой задачи:

cspline(Mxy,Mz) - Возвращают вектор коэффициентов, используемый функцией interp для построения кубического сплайна, который интерполирует значения, представленные в массивах Mxy и Mz. При этом на поведение сплайна на границе области никаких ограничений не накладывается. pspline(Mxy,Mz) - То же, что и cspline, но создаваемый сплайн на границе области имеет равную нулю третью производную. lspline(Mxy,Mz ) - То же, что и cspline, но создаваемый сплайн на границе области имеет равные нулю вторую и третью производную. interp(vs,Mxy,Mz,v) - Возвращает интерполируемое значение в точке с координатами x и y, определяемыми в векторе v. Вектор vs есть результат, возвращаемый одной из функций cspline, pspline или lspline. Эти функции позволяют при имеющихся таблицах данных, получать необходимые значения функции без ее написания. Приложение 21

Вариант 1 Ts Ts + 1 а ) Т = 0.5

W ( s) =

Вариант 3 W (s) =

T1s + 1 T2 s + 1

а ) Т1 = 0.2, Т 2 = 1

а ) Т1 = 0.3, Т 2 = 1.5

б ) Т = 5.

б ) Т1 = 1, Т 2 = 0.2.

б ) Т1 = 1.5, Т 2 = 0.3.

Вариант 4

Вариант 6

K Ts + 1 а ) K = 10, Т = 0.2

Вариант 5 1 W ( s) = Ts + 1 а ) Т = 0.5

W (s) =

б ) K = 50, Т = 1.

б ) Т = 4.

б ) K = 20, Т = 1.

W ( s) =

85

Вариант 2 Ts W ( s) = 2 T1s + 1

K s (Ts + 1)

а ) K = 10, Т = 0.2

Оглавление Введение………………………………………………………………………..3 Практическая работа № 1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ в системе Matlab……….. 5 Практическая работа № 2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В СРЕДЕ EXCEL. ЛИНИЯ ТРЕНДА ЗАДАЧА №1………………………………………………………….…14 Практическая работа № 3. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В СРЕДЕ EXCEL ЛИНИЯ ТРЕНДА ЗАДАЧА №2………………………………………………….18 Практическая работа № 4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ в среде EXCEL ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПО ФОРМУЛЕ ЛАГРАНЖА…………………………….22 Практическая работа № 5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В ПРОГРАММЕ MATHCAD…………………………………………………………………………..27 Практическая работа № 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ………………………………32 Практическая работа № 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ………………………………………………………………………….37 Практическая работа № 8. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ……………………………………….45 Практическая работа № 9. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ САУ МЕТОДОМ КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА……………………………………………………..56 Практическая работа № 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ РЕГРЕССИИ (АППРОКСИМАЦИИ) СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ ……………………………………………………………………...68 Приложение 1…………………………………………………………………74 Приложение 2…………………………………………………………………74 Приложение 3…………………………………………………………………75 Приложение 4…………………………………………………………………75 Приложение 5…………………………………………………………………76 Приложение 6…………………………………………………………………76 Приложение 7…………………………………………………………………76 Приложение 8…………………………………………………………………77 Приложение 9…………………………………………………………………78 Приложение 10……………………………………………………………….78 Приложение 11……………………………………………………………….79 Приложение 12……………………………………………………………….79 Приложение 13……………………………………………………………….80 Приложение 14……………………………………………………………….80 Приложение 15……………………………………………………………….80 Приложение 16……………………………………………………………….81 Приложение 17……………………………………………………………….81 Приложение 18……………………………………………………………….82

86

Приложение 19……………………………………………………………….82 Приложение 20……………………………………………………………….83 Приложение 21……………………………………………………………….83 Оглавление…………………………………………………………………….84 Библиографический список…………………………………………………85

Библиографический список 1.Дьяконов В.П., Круглов В.В. MATLAB 6.5 SP1/7/7 SP1/7 SP2, SIMULINK 5/6. Инструменты искусственного интеллекта и биоинформатики. Серия «Библиотека профессионала». Москва. САЛОН-ПРЕСС. 2006 2. Половко А.М., Бутусов П.Н. MATLAB для студента. СанктПетербург. «БХВ-Петербург». 2005 3. Лурье Б.Я., Энрайт П.Дж. Классические методы автоматического управления. Учебное пособие. Санкт-Петербург. «БХВ-Петербург». 2004 4. Черных И.В. SIMULINK среда создания инженерных приложений/ Под общей редакцией ктн В.Г. Потемкина. Москва. «ДИАЛОГМИФИ. 2004 5. Половко А.М., Бутусов П.Н. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. Методы и компьютерные технологии их реализации. Санкт-Петербург. «БХВПетербург». 2004 6. Никульчев Е.В. Практикум по теории управления в среде MATLAB.http://www.exponenta.ru/educat/systemat/nikulchev/pract/pz2.

87