Аналитическая геометрия

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Author: Троицкий Е

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(ª®±¯¥ª² «¥ª¶¨© . . °®¨¶ª®£®, 1-© ª³°±, ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, ®±¥¨© ±¥¬¥±²° 1999/2000 ³·.£®¤ )

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1. 2. 3. 4. 5.

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2 7 8 9 15

5.1. °¿¬ ¿ ¯«®±ª®±²¨ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼»µ ª®®°¤¨ ² µ : : : : : : : : : : : 19 5.2. £®« ¬¥¦¤³ ¯°¿¬»¬¨ ¯«®±ª®±²¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20

6. «®±ª®±²¨ ¨ ¯°¿¬»¥ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

«®±ª®±²¨ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : «®±ª®±²¼ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² : : : : : : °¿¬ ¿ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ¥ª®²®°»¥ ´®°¬³«» ¢ ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ²

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21 21 25 26 28

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32 34

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9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6.

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1

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34 35 38 40 45 46

48 48 52 55 58

10.5. ¥®°¥¬» ¥¤¨±²¢¥®±²¨ ¤«¿ ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª : : : : : : : : : : 59 10.6. ¥®°¥¬ ±ª «¿. \®±²°®¥¨¥" ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ¯® ¯¿²¨ § ¤ »¬ ²®·ª ¬. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61

11.¥°¥±¥·¥¨¥ ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ± ¯°¿¬®© 11.1. µ®¦¤¥¨¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ¯° ¢«¥¨© : 11.2. ¨ ¬¥²°» ¨ ¶¥²°» ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª 11.3. ®¯°¿¦¥»¥ ¤¨ ¬¥²°» ¨ ¯° ¢«¥¨¿ : : : : 11.4. « ¢»¥ ¤¨ ¬¥²°» ¨ ®±¨ ±¨¬¬¥²°¨¨ : : : : :

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63 65 67 70 72

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74 77

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89 91

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17.«¥¬¥²» ¯°®¥ª²¨¢®© £¥®¬¥²°¨¨

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109 109 110 113 114 114 117

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2

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®ª § ²¥«¼±²¢®. ·¥¢¨¤®. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.10.

2

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b = a

a

¯® ¯° ¢¨«³: 1) b ª®««¨¥ °¥ a; 2) jbj = jj jaj; 3) b ±® ¯° ¢«¥ ± a, ¥±«¨ > 0, ¨ ¯°®²¨¢® ¯° ¢«¥, ¥±«¨ < 0. ²¨ ®¯¥° ¶¨¨ ª®°°¥ª²® ®¯°¥¤¥«¥» ¬®¦¥±²¢¥ (±¢®¡®¤»µ) ¢¥ª²®°®¢.

¢®©±²¢ «¨¥©»µ ®¯¥° ¶¨© ¤ ¢¥ª²®° ¬¨ :

1. a + b = b + a (ª®¬¬³² ²¨¢®±²¼ ±«®¦¥¨¿ = ¯° ¢¨«® ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ ); 2. a + (b + c) = (a + b) + c ( ±±®¶¨ ²¨¢®±²¼ ±«®¦¥¨¿ = ¯° ¢¨«® ·¥²»°¥µ³£®«¼¨ª ); 3. a + 0 = a (±³¹¥±²¢®¢ ¨¥ ³«¥¢®£® ¢¥ª²®° = [0A]); 4. a + (?1) a = 0 (±³¹¥±²¢®¢ ¨¥ ®¡° ²®£®); 5. ( )a = ( a) ( ±±®¶¨ ²¨¢®±²¼); ) 6: ( + )a = a + a (¤¨±²°¨¡³²¨¢®±²¼); 7: (a + b) = a + b 8. 1 a = a (¥¤¨¨¶ ). ¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.12. ®¦¥±²¢® ± ®¯¥° ¶¨¥© ±«®¦¥¨¿ ¨ ®¯¥° ¶¨¥© ³¬®¦¥¨¿ ·¨±« , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¬¨ ½²¨¬ ª±¨®¬ ¬, §»¢ ¥²±¿ «¨¥©»¬ ¯°®±²° ±²¢®¬. ¬¥²¨¬, ·²® ¢±¥ ®±®¢»¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¿ ¯°® ®¯¥° ¶¨¨ ¤ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¬¨ ¢¥ª²®° ¬¨ ¬®£³² ¡»²¼ ¢»¢¥¤¥» ¨§ ½²¨µ ª±¨®¬, ¡¥§ ¯°¨¢«¥·¥¨¿ ª®ª°¥²®£® ®¯¨± ¨¿ ®¯¥° ¶¨© (®, ¯°¨¬¥°, ½²® ¥ ®²®±¨²±¿ ª ¤«¨ ¬ ¨ ². ¯.). ½²®¬ ±¬»±«¥ ª±¨®¬» ®¡° §³¾² ¯®«³¾ ±¨±²¥¬³. ®«¥¥ ²®£®, ® ¨§«¨¸¥ ¯®« (·²® ¬®¦® ¢»¡°®±¨²¼ ?). ¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.13. ¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¥© ¢¥ª²®°®¢ a ; : : :; an ± ª®½´´¨¶¨¥² ¬¨ ; : : :; n 2 R §»¢ ¥²±¿ ¢¥ª²®° ¢¨¤ a + : : : + n an. ±«¨ ¢±¥ i ° ¢» ³«¾, ²® «¨¥© ¿ ª®¬¡¨ ¶¨¿ §»¢ ¥²±¿ ²°¨¢¨ «¼®©, ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥ | ¥²°¨1

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¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.14. ¥ª²®°» a ; : : :; an

¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¨µ ¥²°¨¢¨ «¼ ¿ «¨¥© ¿ ª®¬¡¨ ¶¨¿, ° ¢ ¿ ³«¾, ². ¥. ©¤³²±¿ ² ª¨¥ ·¨±« ; : : :; n , ¥ ¢±¥ ° ¢»¥ ³«¾, ·²® a + : : : + n an = 0. ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥ ¢¥ª²®°» «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬», ². ¥. ¨§ ° ¢¥±²¢ a + : : : + nan = 0 ¢±¥£¤ ±«¥¤³¥² = = : : : = n = 0. 1

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®¤¨ ¨§ ¨µ ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¥© ®±² «¼»µ.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ ¨¬¥¥²±¿ ¥²°¨¢¨ «¼ ¿ «¨¥© ¿ ª®¬¡¨ ¶¨¿ ¢¥ª²®°®¢, ° ¢ ¿ ³«¾: a + : : : + n an = 0. ¤¨ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥²®¢, ±ª ¦¥¬, i, ¥ ° ¢¥ ³«¾. ®£¤ i? i n ai = ? a + : : : + ? ai? + ? ai + : : : + ? an: i i i i ®±² ²®·®±²¼. ³±²¼ ai = a + : : : + i? ai? + i ai + : : : nan. ®£¤ (?1)ai + a + : : : + i? ai? + i ai + : : : nan = 0 | ¥²°¨¢¨ «¼ ¿ (¯¥°¢»© ª®½´´¨¶¨¥² | ¥³«¥¢®©) «¨¥© ¿ ª®¬¡¨ ¶¨¿, ° ¢ ¿ ³«¾. 2 ¥¬¬ 1.16. ³±²¼ a ; : : :; ak | «¨¥©® § ¢¨±¨¬ ¿ ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢. ®£¤ a ; : : : ; ak ; ak ; : : : ; an | «¨¥©® § ¢¨±¨¬ ¿ ±¨±²¥¬ , ª ª®¢» ¡» ¥ ¡»«¨ ¢¥ª²®°» ak ; : : :; an. ®ª § ²¥«¼±²¢®. ±«¨ a + : : :k ak = 0 | ¥²°¨¢¨ «¼ ¿ ª®¬¡¨ ¶¨¿, ²® a + : : : k ak + 0 ak + : : : + 0 an = 0 ² ª¦¥ ¥²°¨¢¨ «¼ ¿ ª®¬¡¨ ¶¨¿. 2 1 1

1

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¥¬¬ 1.17.

1) ¢ ¢¥ª²®° «¨¥©® § ¢¨±¨¬» ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤

®¨ ª®««¨¥ °». 2) °¨ ¢¥ª²®° «¨¥©® § ¢¨±¨¬» ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®¨ ª®¬¯« °». 3) ¥²»°¥ ¢¥ª²®° ¢±¥£¤ «¨¥©® § ¢¨±¨¬».

®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. ® ®¯°¥¤¥«¥¨¾ ®¯¥° ¶¨¨ ³¬®¦¥¨¿ ·¨±«®.

2. ® «¥¬¬¥ 1.15 ¨§ «¨¥©®© § ¢¨±¨¬®±²¨ ±«¥¤³¥², ·²® c = a + b, ². ¥. c ª®¬¯« °¥ a ¨ b. ¡° ²®, ¯³±²¼ a ¨ b ª®««¨¥ °», ²®£¤ ®¨ «¨¥©® § ¢¨±¨¬» ¨ ¯® «¥¬¬¥ 1.16 a; b; c «¨¥©® § ¢¨±¨¬». ±«¨ ¦¥ a ¨ b ¥ª®««¨¥ °», ²® c ¬®¦® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ c = a + b, \¤®±²°®¨¢ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬". 3. ±«¨ ª ª¨¥-«¨¡® 3 ¢¥ª²®° ª®¬¯« °», ²® ®¨ «¨¥©® § ¢¨±¨¬» ¯® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³ ¯³ª²³, ¯® «¥¬¬¥ 1.16 § ¢¨±¨¬» ¢±¥ 4. ±«¨ ¦¥ ² ª¨µ 3 ¢¥ª²®°®¢ ±°¥¤¨ a; b; c; d ¥², ²® ¯ °» a ¨ b, c ¨ d ¥ª®««¨¥ °», ±«¥¤®¢ ²¥«¼® ®¯°¥¤¥«¿¾² (± ²®·®±²¼¾ ¤® ¯ ° ««¥«¼®£® ¯¥°¥®± ) ¤¢¥ ¯«®±ª®±²¨, ª®²®°»¥ ¥ ¯ ° ««¥«¼» (¨ ·¥ ¢±¥ 4 ¡»«¨ ¡» ª®¬¯« °»). ®£¤ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° f ¯°¿¬®© ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ° ±ª« ¤»¢ ¥²±¿, ± ®¤®© ±²®°®», ¢ «¨¥©³¾ ª®¬¡¨ ¶¨¾ a ¨ b, ± ¤°³£®© | c ¨ d (±°. ± ¤®ª § ²¥«¼±²¢®¬ ¯. 2): a + b = f = c + d: 5

±«¨ ¯°¨ ½²®¬ ®¤¨ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥²®¢, ±ª ¦¥¬, , ° ¢¥ 0, ²® b; c; d ª®¬¯« °», ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¾. ª¨¬ ®¡° §®¬,

a + b ? c ? d = 0

2

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¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.18. ¯°¿¬®© (±®®²¢., ¯«®±ª®±²¨, ¢ ¯°®±²° ±²¢¥) §»¢ ¥²±¿ ³¯®°¿¤®·¥»© ¡®° ¨§ 1 (±®®²¢., 2, 3) «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬»µ ¢¥ª²®°®¢. ¬¥· ¨¥ 1.19. «¿ ¯°¿¬®© ½²® ®§ · ¥², ·²® ¢¥ª²®° ¥³«¥¢®©. ¥®°¥¬ 1.20. §¨±®¬

±¿ª¨© ¢¥ª²®° ¯°®±²° ±²¢ (±®®²¢., ¯«®±ª®±²¨, ¯°¿¬®©) ®¤®-

§ ·® ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ «¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¨ ¢¥ª²®°®¢ ¤ ®£® ¡ §¨± .

®ª § ²¥«¼±²¢®. ®ª ¦¥¬ ±³¹¥±²¢®¢ ¨¥ ª®¬¡¨ ¶¨¨. ³±²¼ e ; e ; e | ¤ »© 1

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3

a= e + e + e = e + e + e : 1 1

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3 3

®£¤ 0 = ( ? )e + ( ? )e + ( ? )e | ¥²°¨¢¨ «¼ ¿ ª®¬¡¨ ¶¨¿, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² «¨¥©®© ¥§ ¢¨±¨¬®±²¨ ¡ §¨± . «®£¨·® ¤«¿ ¯°¿¬®© ¨ ¯«®±ª®±²¨. 2 ¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.21. ®®°¤¨ ² ¬¨ (¨«¨ ª®¬¯®¥² ¬¨ ) ¢¥ª²®° a ®²®±¨²¥«¼® ¡ §¨± e ; e ; e §»¢ ¾²±¿ ² ª¨¥ (®¤®§ ·® ®¯°¥¤¥«¥»¥) ·¨±« ; ; , ·²® a = e + e + e . ³¤¥¬ § ¯¨±»¢ ²¼ ² ª¦¥ a( ; ; ). 1

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a ° ¢» ; ; (¢ ®¡®§ ·¥¨¿µ ®¯°¥¤¥«¥¨¿). 1

2

3

®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ a = e + e + e , b = e + e + e . ® ±¢®©±²¢ ¬ 1 1

1, 2, 5, 6, 7:

2 2

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3 3

a + b = ( e + e + e ) + ( e + e + e ) = = e + e + e + e + e + e = ( + )e + ( + )e + ( + )e ; a = ( e + e + e ) = ( e ) + ( e ) + ( e ) = ( )e + ( )e + ( )e : 2 1 1

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¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.23.

´´¨ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ § ¤ ¥²±¿ ¢»¡®°®¬ °¥¯¥° | ¯°®¨§¢®«¼®© ²®·ª¨ O ¨ ¡ §¨± e ; e ; e . ®®°¤¨ ²» ²®·ª¨ X ®²®±¨²¥«¼® °¥¯¥° Oe e e ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ª ª ª®®°¤¨?! ¢ ¡ §¨±¥ e ; e ; e : ²» ¢¥ª²®° ? OX ?OX ?! = x e + x e + x e (¨µ ¬» ¡³¤¥¬ ®¡®§ · ²¼ « ²¨±ª¨¬¨ ¡³ª¢ ¬¨). ¯¨±»¢ ¥¬ X (x ; x ; x ). ¥¬¬ 1.24. ³±²¼ X (x ; x ; x ) ¨ Y (y ; y ; y ) | ª®®°¤¨ ²» ¤¢³µ ²®·¥ª. ®£¤ ??! ª®®°¤¨ ²» ¢¥ª²®° XY ®²®±¨²¥«¼® ¡ §¨± , ¢µ®¤¿¹¥£® ¢ ¤ ³¾ ´´¨³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ², ° ¢» (y ? x ; y ? x ; y ? x ). 1

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¯°¥¤¥«¥¨¥ 1.25. §¨± §»¢ ¥²±¿

®°²®£® «¼»¬, ¥±«¨ ¢¥ª²®°» e ; e ; e ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°». ±«¨ ®¨ ª ²®¬³ ¦¥ ¥¤¨¨·®© ¤«¨», ²® ¡ §¨± §»¢ ¥²±¿ ®°²®®°¬¨°®¢ »¬. ´´¨ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² §»¢ ¥²±¿ ¯°¿¬®³£®«¼®©, ¥±«¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ¡ §¨± ®°²®®°¬¨°®¢ . 1

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2. ¥«¥¨¥ ®²°¥§ª ¢ ¤ ®¬ ®²®¸¥¨¨

³±²¼ § ¤ » ¤¢¥ ²®·ª¨ A ¨ B ±¢®¨¬¨ ´´¨»¬¨ ª®®°¤¨ ² ¬¨ (a ; a ; a ) ¨ (b ; b ; b ) (¢ ¥ª®²®°®¬ °¥¯¥°¥) ¨ ®²®¸¥¨¥ . ©¤¥¬ ´´¨»¥ ª®®°¤¨ ²» AX j = , ². ¥. ¤¥«¿¹¥© ®²°¥§®ª ¢ ¤ ®¬ (x ; x ; x ) ² ª®© ²®·ª¨ X ®²°¥§ª AB , ·²® jjXB j ®²®¸¥¨¨. ?! ¢ ¤ ®¬ ¡ §¨±¥ ¯® «¥¬¬¥ 1.24 ° ¢», ±®®²¢¥²®®°¤¨ ²» ¢¥ª²®°®¢ ?! AX ¨ ? XB ±²¢¥®, (x ? a ; x ? a ; x ? a ) ¨ (b ? x ; b ? x ; b ? x ). ® «¥¬¬¥ 1.22 ³±«®¢¨¥ ®²®¸¥¨¿ (¯®±ª®«¼ª³ ¢¥ª²®°» ±® ¯° ¢«¥») ¯¥°¥©¤¥² ¢ ±®¢®ª³¯®±²¼ ³±«®¢¨©: (x ? a ) = (b ? x ); (x ? a ) = (b ? x ); (x ? a ) = (b ? x ); ¨¬¥¾¹¨µ ¥¤¨±²¢¥®¥ °¥¸¥¨¥ + bi ; i = 1; 2; 3: xi = ai + ¬¥²¨¬, ·²® ¬®¦® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¨ ®²°¨¶ ²¥«¼»¥ ¨«¨ , ² ª ·²® ³±«®¢¨¥ ¤¥«¥¨¿ ¢ ½²®© ®¡¹¥© ´®°¬¥ ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¢¨¤ ?! ?! AX = ? XB: ®°¬³«» ®²¢¥² ¡³¤³², ª®¥·®, ²¥¬¨ ¦¥, ·²® ¨ ¢»¸¥. 1

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3. ª «¿°®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥

¯°¥¤¥«¥¨¥ 3.1.

¤¢³µ (¥³«¥¢»µ) ¢¥ª²®°®¢ §»¢ ¥²±¿ ·¨±«®, ° ¢®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¾ ¤«¨ ½²¨µ ¢¥ª²®°®¢ ª®±¨³± ³£« ¬¥¦¤³ ¨¬¨: ha; bi := jaj jbj cos a;db: ±«¨ ®¤¨ ¨§ ¢¥ª²®°®¢ ³«¥¢®©, ²® ¯®«®¦¨¬ ha; bi := 0. ¥¬¬ 3.2. ³±²¼ ¢ ¥ª®²®°®¬ ®°²®®°¬¨°®¢ ®¬ ¡ §¨±¥ e ; e ; e ¢¥ª²®° a ¨¬¥¥² ª®®°¤¨ ²» a ; a ; a . ®£¤ ai = ha; eii; i = 1; 2; 3: ®ª § ²¥«¼±²¢®. ®®°¤¨ ²» ¢¥ª²®° ¬®£³² ¡»²¼ ©¤¥» ¯³²¥¬ ¯°®¥ª¶¨© ¢ ¯°¿¬®³£®«¼®¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤¥ (². ª. ¥¤¨±²¢¥®±²¼ ¤®ª § ). ª¨¬ ®¡° §®¬, ai = jaj cos a;dei = jaj jeij cos a;dei = ha; eii: 2 ª «¿°»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥¬

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¥®°¥¬ 3.3.

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3

ª «¿°®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨, ®¯°¥¤¥-

«¿¾¹¨¬¨ ¥£® ®¤®§ ·®: 1) 2) 3) 4)

ha; bi = hb; ai ha + b; ci = ha; ci + hb; ci ha; bi = ha; bi ha; ai = jaj 0

(±¨¬¬¥²°¨·®±²¼); ;

(2)+3) = «¨¥©®±²¼ ¯® ¯¥°¢®¬³ °£³¬¥²³);

2

, ¢ · ±²®±²¨,

ha; ai = 0 , a = 0

(¯®«®¦¨²¥«¼®±²¼ ¨

±¢¿§¼ ± ¤«¨®©).

®ª § ²¥«¼±²¢®. ³ª²» 1, 3 ¨ 4 ®·¥¢¨¤». ±«¨ c = 0, ²® ¯. 2 ¢»¯®«¿¥²±¿. ±«¨ ¦¥ c = 6 0, ²® ¬®¦® ¯³²¥¬ ¤¥«¥¨¿ jcj ² ¯°¨¬¥¥¨¿ ¯¯. 1 ¨ 3 ±¢¥±²¨ ª ±«³· ¾ jcj = 1. ½²®© ±¨²³ ¶¨¨ ° ±±¬®²°¨¬ ®°²®®°¬¨°®¢ »© ¡ §¨± e = c; e ; e . ®£¤ 1

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±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ±ª «¿°»¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¿ ±®¢¯ ¤ ¾² ± ¯¥°¢»¬¨ ª®®°¤¨ ² ¬¨: ha; ci = ha; e i = a ; hb; ci = hb; e i = b : ®±ª®«¼ª³ ª®®°¤¨ ²» ±³¬¬» ° ¢» ±³¬¬¥ ª®®°¤¨ ², ²® ha + b; ci = a + b = ha; ci + hb; ci: ®ª ¦¥¬, ·²® ±¢®©±²¢ 1-4 ®¤®§ ·® ®¯°¥¤¥«¿¾² § ·¥¨¿ ±ª «¿°®£® ¯°®¨§¢¥¤¥¨¿. ¢®©±²¢® 4 ®¯°¥¤¥«¿¥² ha; ai. ±¨«³ ¯¯. 1 ¨ 4 ¨¬¥¥¬ ha + b; a + bi = ha; ai + ha; bi + hb; ai + hb; bi = 2ha; bi + ha; ai + hb; bi; ha; bi = 21 fha; ai + hb; bi ? ha + b; a + big : 2 1

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¯°®¨§¢®«¼®¬ ®°²®®°¬¨°®¢ ®¬ ¡ §¨±¥

¨§¢¥¤¥¨¥ ¨¬¥¥² ¢¨¤

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ha; bi = ha e + a e + a e ; bi = haiei; bi = 2)

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aihb e + b e + b e ; eii = =

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X 3

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X 3

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i=1

aihb; eii =

aibj hei; ej i = a b + a b + a b : 1 1

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¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ³£®« ¬¥¦¤³ ¢¥ª²®° ¬¨ ®¯°¥-

¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³«®©

ha; bi = jaha;j bjbij = q a b + a bq+ a b : a +a +a b +b +b 1 1

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4. «®¹ ¤¼, ®¡º¥¬ ¨ ®°¨¥² ¶¨¿

»·¨±«¨¬ ¯«®¹ ¤¼ S ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ (a; b), ²¿³²®£® ¢¥ª²®° a ¨ b ¯«®±ª®±²¨. ³±²¼ § ¤ ®°²®®°¬¨°®¢ »© ¡ §¨± e ; e ¯«®±ª®±²¨, ² ª ·²® a = (a ; a ), b = (b ; b ). ®£¤ (¥±«¨ ³£®« ¬¥¦¤³ a ¨ b ° ¢¥ ') v u q u a b +a b ) = S = jaj jbj sin ' = jaj jbj 1 ? cos ' = jaj jbj t1 ? (a (+ a ) (b + b ) q q = (a + a ) (b + b ) ? (a b + a b ) = (a b ) + (a b ) ? 2a b a b = ja b ? a b j: ¯®¬¨¬, ! ·²® ¢»° ¦¥¨¥ a b ? a b §»¢ ¥²±¿ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¥¬ det ¬ ²°¨¶» a a . b b ¯°¥¤¥«¥¨¥ 4.1. °¨¥²¨°®¢ ®© ¯«®¹ ¤¼¾ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ ! (a; b) ®²®±¨²¥«¼® ¡ §¨± e ; e §»¢ ¥²±¿ ¢¥«¨·¨ Sor (a; b) = det ab ab . ¥ ¡±®«¾² ¿ ¢¥«¨·¨ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¯«®¹ ¤¼¾ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ , § ª (¢ ±«³· ¥ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬»µ a ¨ b) §»¢ ¥²±¿ ®°¨¥² ¶¨¥© ¯ °» a; b ®²®±¨²¥«¼® ¡ §¨± e ; e . 1

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1) 2)

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2

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Sor (a; b) = ?Sor(b; a) (ª®±®±¨¬¬¥²°¨·®±²¼); Sor (a + b; c) = Sor (a; c) + Sor (b; c), 9

2 1

3) 4)

Sor (a; b) = Sor (a; b) Sor (a; a) = 0.

(2+3=«¨¥©®±²¼ ¯® ¯¥°¢®¬³ °£³¬¥²³);

®ª § ²¥«¼±²¢®. ±¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¿ ±«¥¤³¾² ¥¬¥¤«¥® ¨§ ´®°¬³«». ¥¬¬ 4.3. a; b e ;e °¨¥² ¶¨¿ ¯ °»

ª° ²· ©¸¨© ¯®¢®°®² ®²

e.

®²®±¨²¥«¼® ¡ §¨±

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a ª b ¯°®¨±µ®¤¨² ¢ ²®¬ ¦¥ ¯° ¢«¥¨¨, ·²® ¨ ®² e

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2

®ª § ²¥«¼±²¢®. ³¤¥² ¯°®¢¥¤¥® ±° §³ ¤«¿ ²°¥µ¬¥°®£® ±«³· ¿. 2 (a; b; c), ¯®±²°®¯°¥¤¥«¥¨¥ 4.4. °¨¥²¨°®¢ »¬ ®¡º¥¬®¬ ¯ ° ««¥¯¨¯¥¤

¥®£® ¢¥ª²®° µ a, b ¨ c ¯°®±²° ±²¢ , ®²®±¨²¥«¼® ®°²®®°¬¨°®¢ ®£® ¡ §¨± " := (e ; e ; e ) §»¢ ¥²±¿ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ 1 0 a a a Vor" (a; b; c) = det B @b b b C A =a b c +b c a +c a b ?b a c ?a c b ?c b a : c c c 1

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±«³· ¥ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬»µ ¢¥ª²®°®¢ a; b; c ¥£® § ª §»¢ ¥²±¿ ®°¨¥² ¶¨¥© a; b; c ®²®±¨²¥«¼® ®°²®®°¬¨°®¢ ®£® ¡ §¨± e ; e ; e . ®±«¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¥ª®²®°»µ ±¢®©±²¢ ¬» ¤®ª ¦¥¬ ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥, ®¯° ¢¤»¢ ¾¹¥¥ ½²® §¢ ¨¥.

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° ¢ ®¡º¥¬³ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ .

¥¬¬ 4.6.

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3 ¨ ¥ª®²®°»© ¢¥ª²®° ¢° ¹ ¥²±¿ ¢

¯«®±ª®±²¨ ¨«¨ ¢®ª°³£ ®±¨ ± ¯®±²®¿®© ±ª®°®±²¼¾. ®£¤ ¥£® ª®½´´¨¶¨¥²» ¿¢«¿¾²±¿ ¥¯°¥°»¢»¬¨ ´³ª¶¨¿¬¨ ¢°¥¬¥¨. «®£¨·® ¤«¿ ° ±²¿¦¥¨¿ ¨«¨ ±¦ ²¨¿ ¢¥ª²®° .

®ª § ²¥«¼±²¢®. ®±®ª«¼ª³ ª®¬¯®¥²» ¢¥ª²®° ®²®±¨²¥«¼® ®¤®£® ´¨ª±¨°®-

¢ ®£® ¡ §¨± ¿¢«¿¾²±¿ «¨¥©»¬¨ ´³ª¶¨¿¬¨ ª®½´´¨¶¨¥²®¢ ®²®±¨²¥«¼® ¤°³£®£® ¡ §¨± , ²® ¤«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ²¥®°¥¬» ¤®±² ²®·® ° ±±¬®²°¥²¼ ³¤®¡»© ¡ §¨±. «¿ ¢° ¹¥¨¿ ² ª®¢»¬ ¡³¤¥² e =®±¼ ¢° ¹¥¨¿ ¯°¨·¥¬ ¯° ¢«¥¨¥ ¢° ¹¥¨¿ ¢¨¤® ± ª®¶ e ¯°®²¢ · ·®¢®© ±²°¥«ª¨, e = ¯° ¢«¥¨¥ ¯°®¥ª¶¨¨ · «¼®£® ¯®«®¦¥¨¿ ¢¥ª²®° . ®£¤ (± ²®·®±²¼¾ ¤® ¢»¡®° ±ª®°®±²¨ ¢° ¹¥¨¿) ¢° ¹ ¾¹¨©±¿ ¢¥ª²®° ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ª®®°¤¨ ²» ( cos t; sin t; ). «¿ ° ±²¿¦¥¨¿ ¦¥ | (t; t; t), £¤¥ t ¯°®¡¥£ ¥² ¥ª®²®°»© ®²°¥§®ª. ²¨ ´®°¬³«» ¯®ª §»¢ ¾² ¨±ª®¬³¾ ¥¯°¥°»¢³¾ § ¢¨±¨¬®±²¼. 2 3

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£¤ , ª®£¤ ®¤ ¨§ ¥£® ±²°®ª ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¥© ¤°³£¨µ.

10

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°¨¥²¨°®¢ »© ®¡º¥¬ ° ¢¥ ³«¾ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¢¥ª-

²®°» ª®¬¯« °».

®ª § ²¥«¼±²¢®. ° §³ ±«¥¤³¥² ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬». ¥®°¥¬ 4.9. a; b; c §¨±

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2

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3 ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¥¯°¥°»¢®© ¤¥´®°¬ ¶¨¥© ¢ ¯°®±²° -

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e ; e ; e (¯®¤ ¥¯°¥°»¢®© ¤¥´®°¬ ¶¨¥© ¯®¨1

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3

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¿¢«¿¥²±¿ ¥¯°¥°»¢®© ´³ª¶¨¥© ¯ ° ¬¥²° .

®ª § ²¥«¼±²¢®. ®¯³±²¨¬, ² ª ¿ ¤¥´®°¬ ¶¨¿ ±³¹¥±²¢³¥². ®£¤ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼

Vor" (a(t); b(t); c(t)) ¿¢«¿¥²±¿ ¥¯°¥°»¢®© ´³ª¶¨¥© ¯ ° ¬¥²° t ¨ ¯°¨¨¬ ¥² ¢±¥ ¯°®¬¥¦³²®·»¥ § ·¥¨¿. · ±²®±²¨, ¥±«¨ § ·¥¨¥ Vor" (a; b; c) < 0, ²® ¢ ª ª®©-²® ¬®¬¥² ¤®«¦¥ ¯®«³·¨²¼±¿ 0, ² ª ª ª Vor" (e ; e ; e ) = 1. ²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬¥. ¡° ²®, ¯®±²°®¨¬ ¯® «¥¬¬¥ 4.6 ¥¯°¥°»¢³¾ ¤¥´®°¬ ¶¨¾: ± · « ±®¢¬¥±²¨¬ a ± e ² ª, ·²®¡» b «¥¦ « ¢ ¯«®±ª®±²¨ e ; e ± ²®© ¦¥ ±²®°®», ·²® ¨ e . ²¥¬ ±®¢¬¥±²¨¬ b ± e . § § ª +, ²® e ¨ c «¥¦ ² ± ®¤®© ±²®°®» ®² ¯«®±ª®±²¨ ¨ ¨µ ¬®¦® ±®¢¬¥±²¨²¼. 2 1

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¢ ¡ §¨± ¨¬¥¾² ®¤¨ ª®¢³¾ ®°¨¥² -

¶¨¾ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ± ª®¶ ²°¥²¼¥£® ¢¥ª²®° ª° ²· ©¸¥¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ®² ¯¥°¢®£® ª® ¢²®°®¬³ ®±³¹¥±²¢«¿¥²±¿ ¢ ®¤³ ±²®°®³

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(«¨¡® ¯°®²¨¢, «¨¡® ¯® · -

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«¥¤±²¢¨¥ 4.11.

±¥ ¡ §¨±» ° ±¯ ¤ ¾²±¿ ¤¢ ª« ±± , ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¥© ª ¦-

¤®£® ¨§ ª®²®°»µ ¬®¦® ±¢¿§ ²¼ ¥¯°¥°»¢®© ¤¥´®°¬ ¶¨¥©.

¯°¥¤¥«¥¨¥ 4.12.

§»¢ ¥²±¿ ¢»¡®° ®¤®£® ¨§ ½²¨µ ª« ±±®¢. ¡»·® ¯°¨ ¤¢¨¦¥¨¨ \¯°®²¨¢" (±¬. ±«¥¤±²¢¨¥ 4.10) ®°¨¥² ¶¨¿ §»¢ ¥²±¿ ¯° ¢®©, ¢ ¤°³£®¬ ±«³· ¥ | «¥¢®©. °®±²° ±²¢® ± ¢»¡° ®© ®°¨¥² ¶¨¥© ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ ®°¨¥²¨°®¢ »¬ ¯°®±²° ±²¢®¬ (®. ¯.). ¬¥· ¨¥ 4.13. ®¦® ¯®ª § ²¼, ·²® ¬ ²°¨¶ ¨§ ª®®°¤¨ ² ²°¥²¼¥£® ¡ §¨± ¢ ¯¥°¢®¬ ° ¢ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¾ ¬ ²°¨¶ ²°¥²¼¥£® ¢® ¢²®°®¬ ¨ ¢²®°®£® ¢ ¯¥°¢®¬. ¯°¥¤¥«¨²¥«¨ ¯°¨ ½²®¬ ¯¥°¥¬®¦ ¾²±¿. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥ ¡ §¨±» ¢³²°¨ ®¤®£® ª« ±± ¨¬¥¾² ¯®«®¦¨²¥«¼»© ®¡º¥¬ ¤°³£ ®²®±¨²¥«¼® ¤°³£ . ¤ ¨¥¬ ®°¨¥² ¶¨¨

¥¬¬ 4.14. b; a; c a; b; c ®ª § ²¥«¼±²¢®. ®¢¥°¥¬ ²°®©ª³ b; a; c ª ª ²¢¥°¤®¥ ²¥«® ² ª, ·²®¡» b ±®¢¯ «® ± °¨¥² ¶¨¿

¯°®²¨¢®¯®«®¦ ®°¨¥² ¶¨¨

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a, a | ± b. ®£¤ c ¨ ®¡° § c ®ª ¦³²±¿ ± ° §»µ ±²®°® ®² ¯«®±ª®±²¨ a; b. 2 ¯°¥¤¥«¥¨¥ 4.15. °¨¥²¨°®¢ »¬ ®¡º¥¬®¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¯®±²°®¥®£® ¢¥ª²®° µ a; b; c ®°¨¥²¨°®¢ ®£® ¯°®±²° ±²¢ §»¢ ¥²±¿ ·¨±«® Vor (a; b; c), 11

° ¢®¥ ¯® ¡±®«¾²®© ¢¥«¨·¨¥ ®¡º¥¬³ ½²®£® ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¨ ¨¬¥¾¹¥¥ § ª \+", ¥±«¨ ²°®©ª a; b; c ¯®«®¦¨²¥«¼® ®°¨¥²¨°®¢ , ¨ § ª \-" ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥. ¬¥²¨¬ (ª ª ¢¨¤® ¨§ ®¡®§ ·¥¨¿), ·²® ®¢®¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¥ ±¢¿§ ® ± ª®ª°¥²»¬ ¡ §¨±®¬. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 4.16. ¥ª²®°»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¤¢³µ ¢¥ª²®°®¢ a ¨ b ¢ ®°¨¥²¨°®¢ ®¬ ¯°®±²° ±²¢¥ §»¢ ¥²±¿ ¢¥ª²®° c, ®¡®§ · ¥¬»© [a; b], ¨ ®¯°¥¤¥«¿¥¬»© ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ±«¨ ¢¥ª²®°» a ¨ b ¥ª®««¨¥ °», ²® c ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨: 1) ¤«¨ c ° ¢ ¯«®¹ ¤¨ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ (a; b); 2) ¢¥ª²®° c ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°¥ a ¨ b; 3) ²°®©ª a; b; c ¨¬¥¥² ¯®«®¦¨²¥«¼³¾ ®°¨¥² ¶¨¾. ® ®¯°¥¤¥«¥¨¾ ®°¨¥² ¶¨¨ ² ª®© ¢¥ª²®° c ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ®¤®§ ·® ®¯°¥¤¥«¥. ±«¨ ¢¥ª²®°» a ¨ b ª®««¨¥ °», ²® c := 0. ¥¬¬ 4.17. ³±²¼ e ; e ; e | ¯®«®¦¨²¥«¼® ®°¨¥²¨°®¢ »© ®°²®®°¬¨°®¢ 1

2

3

»© ¡ §¨±. ®£¤

[e ; e ] = e ; [e ; e ] = ?e ; [e ; e ] = e : ®ª § ²¥«¼±²¢®. ·¥¢¨¤®. 2 ¯°¥¤¥«¥¨¥ 4.18. ¨±«® ha; b; ci := h[a; b]; ci §»¢ ¥²±¿ ±¬¥¸ »¬ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ²°®©ª¨ a; b; c. ¥®°¥¬ 4.19. ha; b; ci := Vor (a; b; c). ®ª § ²¥«¼±²¢®. ®, ·²® § ª¨ ±®¢¯ ¤ ¾², ±° §³ ±«¥¤³¥² ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ®°¨¥² ¶¨¨. °®¢¥°¨¬ ±®¢¯ ¤¥¨¥ ¡±®«¾²»µ ¢¥«¨·¨, ². ¥. ·²® ¬®¤³«¼ ±¬¥¸ ®£® ¯°®¨§¢¥¤¥¨¿ ° ¢¥ ®¡º¥¬³ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ . jha; b; cij = j [a; b] j jcj j cos (c; d [a; b])j = S h = jVor (a; b; c)j; 1

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¯®±ª®«¼ª³ c ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°® ¯«®±ª®±²¨, ²¿³²®© a ¨ b. ¤¥±¼ ·¥°¥§ S ®¡®§ ·¥ ¯«®¹ ¤¼ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ , ¯®±²°®¥®£® ¢¥ª²®° µ a ¨ b, h | ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¢»±®² ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ . 2

¥®°¥¬ 4.20.

¬¥¸ ®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ª®±®±¨¬¬¥²°¨·® ¯® «¾¡®© ¯ °¥ °£³¬¥-

²®¢ ¨ «¨¥©® ¯® ª ¦¤®¬³ ¨§ ¨µ: 1) 2)

ha; b; ci = ?hb; a; ci = hb; c; ai = ?hc; b; ai = hc; a; bi = ?ha; c; bi ha + b; c; di = ha; c; di + hb; c; di ha; b; ci = ha; b; ci ha; b + c; di = ha; b; di + ha; c; di ha; b; ci = ha; b; ci ha; b; c + di = ha; b; ci + ha; b; di ha; b; ci = ha; b; ci

;

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.

12

®ª § ²¥«¼±²¢®. 1) ® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³ ³²¢¥°¦¤¥¨¾ ¡±®«¾² ¿ ¢¥«¨·¨ (². ¥.

®¡º¥¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ ) ¥ ¬¥¿¥²±¿. ²¢¥°¦¤¥¨¥ ¯°® § ª¨ ±«¥¤³¥² ¨§ «¥¬¬» 4.14. 2) ¨¥©®±²¼ ¯® ²°¥²¼¥¬³ °£³¬¥²³ ®·¥¢¨¤ . § ½²®£® ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ¯. 1 ±«¥¤³¥² «¨¥©®±²¼ ¯® ®±² «¼»¬ °£³¬¥² ¬. 2

¥®°¥¬ 4.21. [a; b] = ?[b; a]

¥ª²®°®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨:

1)

2) 3)

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[a; b] = [a; b]; [a + b; c] = [a; c] + [b; c].

®ª § ²¥«¼±²¢®. ¯. 1 ¨ 2 ±° §³ ¢»²¥ª ¾² ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿. «¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¯. 3 ° ±±¬®²°¨¬ ¢¥ª²®° d = [a + b; c] ? [a; c] ? [b; c]. ®£¤ hd; di = h[a + b; c] ? [a; c] ? [b; c]; di = ha + b; c; di ? ha; c; di ? hb; c; di = 0: 2

·¨², d = 0, ½²® ¨ ¥±²¼ ¯. 3.

¥®°¥¬ 4.22.

e ;e ;e

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1

2

¥² ¶¨¨. ®£¤

[a; b] = det ab ab

! ! a a a a e + det b b e + det b b e 1 0 a a a ha; b; ci = det B@ b b b CA : c c c

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3 | ®°²®®°¬¨°®¢ »© ¡ §¨± ¯®«®¦¨²¥«¼®© ®°¨-

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¥°¢®¥ ° ¢¥±²¢® ±¨¬¢®«¨·¥±ª¨ § ¯¨±»¢ ¾² ¢ ¢¨¤¥

1 0 e e e [a; b] = det B @ a a a CA b b b ®ª § ²¥«¼±²¢®. ®±¯®«¼§³¥¬±¿ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬®© ¨ «¥¬¬®© 4.17: [a; b] = [a e + a e + a e ; b e + b e + b e ] = a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] + 1 1

2 2

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+a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] = 2 1

2

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= (a b ? a b )e + (a b ? a b )e + (a b ? a b )e = ! ! ! a a a a a a = det b b e + det b b e + det b b e : 2 3

3 2

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«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¢²®°®£® ±®®²®¸¥¨¿ ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ®¯°¥¤¥«¥¨¥¬ ±¬¥¸ ®£® ¯°®¨§¢¥¤¥¨¿, ¯¥°¢»¬ ±®®²®¸¥¨¥¬ ¨ § ¯¨±¼¾ ±ª «¿°®£® ¯°®¨§¢¥¤¥¨¿ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼»µ ª®®°¤¨ ² µ: ! ! ! a a a a a a ha; b; ci = h[a; b]; ci = det b b c + det b b c + det b b c = 1 0 a a a = det B @ b b b CA : 2 c c c

«¥¤±²¢¨¥ 4.23.

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³±²¼ ¢ ®°¨¥²¨°®¢ ®¬ ¯°®±²° ±²¢¥ ¢»¡° ®°²®®°¬¨°®-

" = (e ; e ; e ) ¯®«®¦¨²¥«¼®© ®°¨¥² ¶¨¨. ®£¤ ha; b; ci = Vor (a; b; c) = Vor" (a; b; c) ¤«¿ «¾¡»µ ¢¥ª²®°®¢ a; b; c. · ±²®±²¨, ¬» ¤®ª § «¨ ²¥®°¥¬³ 4.5, ±´®°¬³«¨°®" ¢ ³¾ ¢ · «¥ ¯ ° £° ´ : jVor (a; b; c)j ° ¢¿¥²±¿ ®¡º¥¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ¯ ¢ »© ¡ §¨±

1

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3

° ««¥«¥¯¨¯¥¤ .

³¤¥¬ ®¡®§ · ²¼ det (A) ·¥°¥§ jAj.

«¥¤±²¢¨¥ 4.24.

a ¨ b ¯°®±²° ±²¢ § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼»µ ª®®°¤¨ ² µ («¾¡®© ®°¨¥² ¶¨¨ !) ª ª v u u a a a a a a t S ((a; b)) = b b + b b + b b : «®¹ ¤¼ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ , ¯®±²°®¥®£® ¢¥ª²®° µ

2

¥®°¥¬ 4.25.

2

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3

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[a; [b; c]] = bha; ci ? cha; bi

1)

2

2

(´®°¬³« ¤¢®©®£® ¢¥ª²®°®£® ¯°®¨§¢¥¤¥¨¿

¨«¨ \¡ ¶ ¬¨³± ¶ ¡");

[a; [b; c]] + [b; [c; a]] + [c; [a; b]] = 0

2)

(²®¦¤¥±²¢® ª®¡¨).

®ª § ²¥«¼±²¢®. 1). »¡¥°¥¬ ®°²®®°¬¨°®¢ »© ¡ §¨± e ; e ; e ¯®«®¦¨²¥«¼®© 1

2

3

®°¨¥² ¶¨¨ ² ª, ·²® a = (a ; a ; a ); b = (b ; b ; 0); c = (c ; 0; 0); ². ¥. e ±® ¯° ¢«¥ ± c, e «¥¦¨² ¢ ¯«®±ª®±²¨ b; c. ®£¤ ! b 0 0 b b b [b; c] = 0 0 ; 0 c ; c 0 = (0; 0; ?b c ); ! a a a a a a [a; [b; c]] = 0 ?b c ; ?b c 0 ; 0 0 = (?a b c ; a b c ; 0): 1

1

2

3

1

2

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1

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14

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2

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1 2 1

¤°³£®© ±²®°®»,

ha; ci = a c ;

bha; ci = (a c b ; a c b ; 0);

1 1

ha; bi = a b + a b ; 1 1

®²ª³¤

1 1 1

1 1 2

cha; bi = (a b c + a b c ; 0; 0);

2 2

1 1 1

2 2 1

bha; ci ? cha; bi = (?a b c ; a c b ; 0) = [a; [b; c]]: 2 2 1

2). ® ¯. 1) : +

2

1 1 2

[a; [b; c]] [b; [c; a]] [c; [a; b]] [a; [b; c]] + [b; [c; a]] + [c; [a; b]]

= = = =

bha; ci ? cha; bi cha; bi ? ahb; ci ahb; ci ? bha; ci 0

5. °¿¬»¥ ¯«®±ª®±²¨

¯°¥¤¥«¥¨¥ 5.1.

«£¥¡° ¨·¥±ª ¿ «¨¨¿ (ª°¨¢ ¿) ¯«®±ª®±²¨ | ¬®¦¥±²¢®, § ¤ ¢ ¥¬®¥ ¢ ¥ª®²®°®© ´´¨®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ³° ¢¥¨¥¬ ¢¨¤ F (x; y) = 0, £¤¥ F | ¬®£®·«¥: X ij aij x y ; i; j = 0; 1; 2; : : : F (x; y) =

i;j n

¨±«® n §»¢ ¥²±¿ ±²¥¯¥¼¾ ¬®£®·«¥ F ¨ ¯®°¿¤ª®¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ª°¨¢®©, ¥±«¨ µ®²¿ ¡» ®¤¨ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥²®¢ aij ± i + j = n ®²«¨·¥ ®² 0. ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ³° ¢¥¨¥¬ ª°¨¢®© §»¢ ¥²±¿ ( x = f (t); ¨«¨ ~r = ~r (t); y = g(t): £¤¥ t | ¯ ° ¬¥²°. °¨¬¥° 5.2. ª°³¦®±²¼ x + y = 1 ¬®¦¥² ¡»²¼ § ¤ ¢ ¢¨¤¥ ( x = cos t; y = sin t: 2

2

° ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ³° ¢¥¨¥ ¯°¿¬®© ¯«®±ª®±²¨: ( x = x + t; ~r = ~r + ~at; ¨«¨ y = y + t: 0

0

0

15

6 : ? ? ? ? 0 ? -

~a

~r

¤¥±¼ ~r = (x ; y ) | ¥ª®²®° ¿ ²®·ª ¯°¿¬®© ( · «¼ ¿), ~a = (; ) | ¥ª®²®°»© ¥³«¥¢®© ¢¥ª²®° ( ¯° ¢«¿¾¹¨©). »° ¦ ¿ t, ¯®«³· ¥¬ ª ®¨·¥±ª®¥ ³° ¢¥¨¥ ¯°¿¬®© x?x = y ?y : ¬¥· ¨¥ 5.3. ª ®¨·¥±ª®¬ ³° ¢¥¨¨ ¤®¯³±ª ¥²±¿ ° ¢¥±²¢® ³«¾ ¥ª®²®°»µ (¥ ¢±¥µ) § ¬¥ ²¥«¥©. °¨ ½²®¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ·¨±«¨²¥«¼ ¯°¨° ¢¨¢ ¥²±¿ ª 0. °¨¬¥° 5.4. x?x = y ?y , x=x : 0 ¥°¥©¤¥¬ ª ®¡¹¥¬³ ³° ¢¥¨¾ : (x ? x ) ? (y ? y ) = 0; Ax + By + C = 0; 0

0

0

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0

£¤¥

A = ; B = ?; C = y ? x : ² ª, ¢±¿ª ¿ ¯°¿¬ ¿ § ¤ ¥²±¿ ³° ¢¥¨¥¬ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª . ¡° ²®, ¢±¿ª®¥ ³° ¢¥¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª § ¤ ¥² ¯°¿¬³¾. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ° ±±±¬®²°¨¬ ³° ¢¥¨¥ Ax + By + C = 0. ³±²¼, ¯°¨¬¥°, A 6= 0. ®§¼¬¥¬ ¢ ª ·¥±²¢¥ · «¼®© ²®·ª¨ (x ; 0), £¤¥ x ®¯°¥¤¥«¨¬ ¨§ ³° ¢¥¨¿ Ax + C = 0; x = ? CA : ª ·¥±²¢¥ ¯° ¢«¿¾¹¥£® ¢¥ª²®° ¢»¡¥°¥¬ (?B; A). ®£¤ ¨±µ®¤®¥ ³° ¢¥¨¥ ° ¢®±¨«¼® ª ®¨·¥±ª®¬³ x + CA = y ? 0 : ?B A 0

0

0

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0

¥®°¥¬ 5.5.

0

°¿¬»¥ ¯«®±ª®±²¨ ¥±²¼ ¢ ²®·®±²¨ «£¥¡° ¨·¥±ª¨¥ «¨¨¨ ¯¥°-

¢®£® ¯®°¿¤ª . °¨ ½²®¬ ¤¢ ³° ¢¥¨¿

F (x; y) := A x + B y + C = 0 1

1

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16

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F (x; y) := A x + B y + C = 0 2

2

2

2

§ ¤ ¾² ®¤³ ¨ ²³ ¦¥ ¯°¿¬³¾ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®¨ ¯°®¯®°¶¨® «¼» (±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ´¨ª±¨°®¢ !), ². ¥. ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥

6= 0, ·²® F = F , 1

2

A = A , B = B , C = C . ®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ³¦¥ ¤®ª § ®. ®±² ²®·®±²¼ ¢® ¢²®°®¬ ®·¥¢¨¤ . ®ª ¦¥¬ ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ ³° ¢¥¨¿ § ¤ ¾² ®¤³ ¨ ²³ ¦¥ ¯°¿¬³¾. ª ¬» ¯®ª § «¨, ¥¥ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° (?B ; A ) ¨«¨ (?B ; A ). ¨ ª®««¨¥ °», ² ª ·²® ©¤¥²±¿ ² ª®¥ 6= 0, ·²®

² ª ·²®

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1

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2

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0

A x + B y + C ? (A x + B y + C ) = 0; 1

0

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2

C ? C = 0; C = C : 2 ¥¬¬ 5.6. ¥ª²®°» (; ), ¯ ° ««¥«¼»¥ ¯°¿¬®© Ax + By + C = 0, ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ®¤®°®¤»¬ ³° ¢¥¨¥¬ A + B = 0. ®ª § ²¥«¼±²¢®. ª« ±±¥ «¾¡®£® ¢¥ª²®° (; ), ¯ ° ««¥«¼®£® ¯°¿¬®©, ¨¬¥¥²±¿ ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¼ ?! PQ, £¤¥ P , ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¨ Q, «¥¦¨² ¯°¿¬®©. ®£¤ , ¥±«¨ P (xP ; yP ), Q(xQ; yQ), ²® 1

2

1

AxP + ByP + C = 0;

2

AxQ + ByQ + C = 0;

² ª ·²®

A(xQ ? xP ) + B (yQ ? yP ) = 0; A + B = 0: ¡° ²®, ¥±«¨ A + B = 0, ²® ®²«®¦¨¬ ¥£® ®² ²®·ª¨ (xP ; yP ) ¯°¿¬®©. ®£¤ ¤°³£®© ª®¥¶ (xQ; yQ) = (xP + ; yP + ) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³° ¢¥¨¾ AxQ+ByQ+C = A(xP +)+B (yP + )+C = (AxP +ByP +C )+(A+B ) = 0+0 = 0: 2

¥®°¥¬ 5.7.

A x + B y + C = 0 ¨ A x + B y + C = 0 A B = ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ (¢ ®¤®© ²®·ª¥), ¥±«¨ A B 6 0, ¨ ¯ ° ««¥«¼» (¢ ². ·. ¬®£³² A B = 0. ±®¢¯ ¤ ²¼), ¥±«¨ A B ¢¥ ¯°¿¬»¥ ± ³° ¢¥¨¿¬¨

1

1

2

2

1

1

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1

1

2

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®ª § ²¥«¼±²¢®. °¿¬»¥ ¯ ° ««¥«¼» ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¨µ ¯° ¢«¿¾¹¨¥ ¢¥ª²®°» ª®««¨¥ °», ². ¥. (?B ; A ) ª®««¨¥ °¥ (?B ; A ), ·²® ®§ · ¥² 1

17

1

2

2

A B ? B A ° ¢¥±²¢® ³«¾ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¿ ?B A = A B . ¥²®¤®¬ ¨±ª«¾·¥¨¿ ¯®«³· ¥¬ ¨ ¯¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥. 2 ¯°¥¤¥«¥¨¥ 5.8. ³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ® (!) ³° ¢¥¨¥ ¥ª®²®°®© ¯°¿¬®© F (x; y) = Ax + By + C = 0. ®«®¦¨²¥«¼ ¿ ¯®«³¯«®±ª®±²¼ ¤«¿ F ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª ª ¬®¦¥±²¢® F ²®·¥ª (x; y), ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ ¥° ¢¥±²¢³ F (x; y) > 0. «®£¨·® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ®²°¨¶ ²¥«¼ ¿ ¯®«³¯«®±ª®±²¼ F? ª ª F (x; y ) < 0. ¬¥· ¨¥ 5.9. ®ª ¬» ¥ ¤®ª § «¨, ·²® ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ¯®«³¯«®±ª®±²¨. 1

1

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¥®°¥¬ 5.10.

P ¨ Q «¥¦ ² ¢ ®¤®© ¯®«³¯«®±ª®±²¨, ²® ¨ ¢¥±¼ ®²°¥P ¨ Q «¥¦ ² ¢ ° §»µ ¯®«³¯«®±ª®±²¿µ, ²® ®²°¥§®ª PQ ¯¥°¥±¥ª ¥² ¤ ³¾ ¯°¿¬³¾. · ±²®±²¨, F ¨ F? ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ¯®«³¯«®±ª®±²¨ §®ª

±«¨ ²®·ª¨

PQ «¥¦¨² ¢ ¥©.

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± £° ¨¶¥©, ° ¢®© ¤ ®© ¯°¿¬®©.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ P (xP ; yP ), Q(xQ; yQ). ®®°¤¨ ²» ²®·¥ª ®²°¥§ª PQ ¨¬¥¾² ¢¨¤

8 <x = :y =

®£¤

xP +xQ + yP +yQ +

;

; > 0:

+ xQ +B yP + yQ +C + = 1 [F (P )+F (Q)]; F (X ) = Ax+By +C = A xP + + + + ¯°¨·¥¬ ¬®¦¨²¥«¼ ±²°®£® ¯®«®¦¨²¥«¥. ·¨², ¥±«¨ P ¨ Q ¯°¨ ¤«¥¦ ² F ¨«¨ F?, ². ¥. F (P ) ¨ F (Q) ®¤®£® § ª , ²® F (X ) ²®£® ¦¥ § ª . ±«¨ ¦¥ F (P ) ¨ F (Q) ° §»µ § ª®¢, ²® ¯°¨ = jF P j ¨ = jF Q j ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ F (X ) ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ 0. 2 ¬¥· ¨¥ 5.11. ¥ª²®° (A; B ) ¯°¨ ½²®¬ \³ª §»¢ ¥²" ¯®«®¦¨²¥«¼³¾ ¯®«³¯«®±ª®±²¼ ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ±¬»±«¥. ±«¨ ®²«®¦¨²¼ ¥£® ®² ¥ª®²®°®© ²®·ª¨ (x ; y ) ¯°¿¬®©, ²® ¥£® ª®¥¶ ®ª ¦¥²±¿ ¢ F . ¥©±²¢¨²¥«¼®, +

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+

A(x + A) + B (y + B ) + C = (Ax + By + C ) + A + B = A + B > 0: 0

0

0

2

0

2

2

2

¯°¥¤¥«¥¨¥ 5.12. ®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°¿¬»µ ¯«®±ª®±²¨, ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ´¨ª±¨°®¢ ³¾ ²®·ª³, §»¢ ¥²±¿ ±®¡±²¢¥»¬ ¯³·ª®¬, ± ¬ ´¨ª±¨°®¢ ¿ ²®·ª | ¶¥²°®¬ ¯³·ª . ®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°¿¬»µ ¯«®±ª®±²¨, ¯ ° ««¥«¼»µ ¤ ®© ¯°¿¬®©, §»¢ ¥²±¿ ¥±®¡±²¢¥»¬ ¯³·ª®¬. (¥°¬¨®«®£¨¿ ±¢¿§ ± ¯°®¥ª²¨¢®© £¥®¬¥²°¨¥©.) ¥®°¥¬ 5.13.

°¿¬ ¿

l ± ³° ¢¥¨¥¬ F = Ax + By + C = 0 ¯°¨ ¤«¥¦¨² (±®¡-

±²¢¥®¬³ ¨«¨ ¥±®¡±²¢¥®¬³) ¯³·ª³, § ¤ ¢ ¥¬®¬³ ¯ °®© ¥±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ

l

1 ¨

l

2 ± ³° ¢¥¨¿¬¨

F = A x + B y + C = 0, F = A x + B y + C = 0, ²®£¤ ¨ 1

1

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²®«¼ª® ²®£¤ ª®£¤ ¥¥ ³° ¢¥¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¥²°¨¢¨ «¼®© «¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¥© ³° ¢¥¨©

l

1 ¨

l : F = F + F . 2

1

2

18

®ª § ²¥«¼±²¢®. ±±¬®²°¨¬ ±«³· © ¯³·ª : l \ l = P (x ; y ). °¿¬ ¿ l ¯°¨ ¤«¥¦¨² ½²®¬³ ¯³·ª³ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ P 2 l. ³±²¼ P = 6 P | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®·ª l. ±±¬®²°¨¬ ³° ¢¥¨¥ Fe := F (P ) F ? F (P ) F = 0: ±®¡±²¢¥®£®

1

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¥®¡µ®¤¨¬®±²¼.

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²® ³° ¢¥¨¥ ¥ ±² °¸¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥¨. °¨ ½²®¬ F (P ) ¨ F (P ) ¥ ¬®£³² ®¡ e Be ) 6= 0. ° ¢¿²¼±¿ 0. ª ª ª (A ; B ) ¨ (A ; B ) ¥ª®««¨¥ °», ²® ¯®«³· ¥¬, ·²® (A; ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ³° ¢¥¨¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥¨ ¨ § ¤ ¥² ¯°¿¬³¾. ®¤±² ¢«¿¿ P ¨ P ¢ Fe , ³¡¥¦¤ ¥¬±¿, ·²® ½² ¯°¿¬ ¿ ·¥°¥§ ¨µ ¯°®µ®¤¨², ². ¥. ¿¢«¿¥²±¿ l. ® ²¥®°¥¬¥ 5.5 ¤ ®¥ ¢»° ¦¥¨¥ F F = Fe = (F (P )) F + (?F (P )) F = 0; 6= 0: ®±² ²®·®±²¼. F (P ) = F (P ) + F (P ) = 0, P 2 l . ±±¬®²°¨¬ ±«³· © ¥±®¡±²¢¥®£® ¯³·ª : l kl , l 6= l . ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ P | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®·ª l . ±±¬®²°¨¬ ³° ¢¥¨¥ Fe := F (P ) F ? F (P ) F = 0: ²® ³° ¢¥¨¥ ¥ ±² °¸¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥¨. °¨ ½²®¬ F (P ) ¨ F (P ) ¥ ° ¢¿¾²±¿ e Be ) = 0, «¨¡® 0. ª ª ª (A ; B ) ¨ (A ; B ) ª®««¨¥ °», ²® ¯®«³· ¥¬, ·²® «¨¡® (A; ½²®² ¢¥ª²®° ¥³«¥¢®© ¨ ª®««¨¥ °¥ (A ; B ) ¨ (A ; B ). ®±ª®«¼ª³ Fe = 0 ¨¬¥¥² e Be ) = 0 ¤®«¦® ±«¥¤®¢ ²¼ Ce = 0, ². ¥. F ¨ F °¥¸¥¨¿, ¯°¨¬¥°, P , ²® ¨§ (A; ¯°®¯®°¶¨® «¼», § ·¨², ¯® ²¥®°¥¬¥ 5.5 l = l , ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ³±«®¢¨¿¬. ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ³° ¢¥¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª , § ¤ ¾¹¥¥ ¯°¿¬³¾, ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§ P ¨ ¯ ° ««¥«¼³¾ l ¨ l , ². ¥. l. ®ª § ²¥«¼±²¢® ¥®¡µ®¤¨¬®±²¨ § ¢¥°¸ ¥²±¿ ² ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ±®¡±²¢¥®¬ ±«³· ¥. ®±² ²®·®±²¼. F = F + F , § ·¨², (A; B ) ª®««¨¥ °¥ (A ; B ) ¨ (A ; B ). § ½²® ³° ¢¥¨¥ ¯°¿¬®©, ²® (A; B ) 6= 0. «¥¤®¢ ²¥«¼®, lkl kl . 2 «¥¤±²¢¨¥ 5.14. °¨ ¯°¿¬»¥ Aix + Biy + Ci = 0, i = 1; 2; 3, ¯°¨ ¤«¥¦ ² ®¤®¬³ 1

1

1

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¯³·ª³ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤

A B C A B C = 0: A B C 1

1

1

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2

2

3

3

3

5.1. °¿¬ ¿ ¯«®±ª®±²¨ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼»µ ª®®°¤¨ ² µ ¥¬¬ 5.15. ¥ª²®° n := (A; B ) ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°¥ ¯°¿¬®© Ax + By + C = 0. ®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥ª²®°», ¯ ° ««¥«¼»¥ ¯°¿¬®©, § ¤ ¾²±¿ ³° ¢¥¨¥¬ (±¬. «¥¬¬³ 5.6) A + B = 0 ¨«¨ (². ª. ª®®°¤¨ ²» ¯°¿¬®³£®«¼»¥) hn; (; )i = 0. 2 ¯°¥¤¥«¥¨¥ 5.16. ¥ª²®° n = (A; B ) §»¢ ¥²±¿ ®°¬ «¼¾ ª ¯°¿¬®© Ax + By + C = 0. (°¿¬®³£®«¼ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ¨ ³° ¢¥¨¥ ´¨ª±¨°®¢ ».) 19

°¥¤«®¦¥¨¥ 5.17. ¥¨¥¬

±±²®¿¨¥ ®² ²®·ª¨

Ax + By + C = 0 ° ¢®

P (x ; y ) ¤® ¯°¿¬®© l, § ¤ ®© 0

0

³° ¢-

(P; l) = jAxp+ By + C j : A +B ®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ P (x ; y ) | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®·ª ¯°¿¬®©. ®£¤ ! ??! d ? ? ! nij = jA(x ?px ) + B (y ? y )j = (P; l) = jPP j cos P P; n = jhP jP; nj A +B = j(Ax + By +pC ) ? (Ax + By + C )j = jAxp+ By + C j : 2 A +B A +B ¯°¥¤¥«¥¨¥ 5.18. ° ¢¥¨¥ ¯°¿¬®© Ax + By + C = 0 §»¢ ¥²±¿ ®°¬ «¼»¬, ¥±«¨ A + B = 1, ². ¥. ¢¥ª²®° ®°¬ «¨ n = (A; B ) ¨¬¥¥² ¥¤¨¨·³¾ ¤«¨³. ¬¥· ¨¥ 5.19. ¦¤ ¿ ¯°¿¬ ¿ ¨¬¥¥² ¤¢ ®°¬ «¼»µ ³° ¢¥¨¿. ¨ ¯®«³· ¾²±¿ ¨§ ¯°®¨§¢®«¼®£® ³° ¢¥¨¿ Ax + By + C = 0 ª ª ! B C A pA + B x + pA + B y + pA + B = 0: ¯°¥¤¥«¥¨¥ 5.20. «¿ ®°¬ «¼®£® ³° ¢¥¨¿ F (x; y) = Ax + By + C = 0 ¢¥«¨·¨ F (x; y) §»¢ ¥²±¿ ®²ª«®¥¨¥¬ ²®·ª¨ (x; y) ®² ¯°¿¬®©. ¬¥¥¬ (¤«¿ ®°¬ «¼®£® ³° ¢¥¨¿) ( +1; ¥±«¨ (x; y) 2 F : F (x; y) = " ((x; y); l); " = ? 1; ¥±«¨ (x; y) 2 F? 2

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5.2. £®« ¬¥¦¤³ ¯°¿¬»¬¨ ¯«®±ª®±²¨ ³±²¼ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ¤¢¥ ¯°¿¬»¥ ¨¬¥¾² ³° ¢¥¨¿ A x + B y + C = 0 ¨ A x + B y + C = 0. ®£¤ h n ; n i cos ' = jn j jn j = q jA A +qB B j : A +B A +B 1

1

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2

2

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20

2

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1

2

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2 2

A

A A S A S A S A S A (1) S A S + A (1) S > 1 ? S AK A 2 S A S (2) A S + A S S S (2) S ? S S (2) S + S S (2) ? S S

(1)

F

F

n

n

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(2)

F

F

F

F

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cos = q A A +qB B A +B A +B § ¤ ¥² ¢¥«¨·¨³ ³£« ¬¥¦¤³ ¯°¿¬»¬¨, ° ¢®£® ¯¥°¥±¥·¥¨¾ F \ F? (¨«¨ F? \ F ). 1

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(1) +

(2) +

(2)

(1)

6. «®±ª®±²¨ ¨ ¯°¿¬»¥ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥

6.1. «®±ª®±²¨ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ ®ª ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ´´¨ ¿. ³±²¼ ~a ¨ ~b | ¤¢ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬»µ ¢¥ª²®° , ¯ ° ««¥«¼»µ ¯«®±ª®±²¨. ²® ¡ §¨± ¯«®±ª®±²¨. ®½²®¬³ «¾¡®© ¢¥ª²®° ®¤®§ ·® ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ¨µ «¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¨. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¢§¿¢ ¯°®¨§¢®«¼³¾ ²®·ª³ ¯«®±ª®±²¨ ± ° ¤¨³±¢¥ª²®°®¬ ~r , ¯®«³·¨¬ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ³° ¢¥¨¿ ¯«®±ª®±²¨ ~r = ~r + t~a + s~b; 0

0

£¤¥ s ¨ t | ¯ ° ¬¥²°». § ½²¨µ ³° ¢¥¨© (¨«¨ ¨§ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨µ ±®®¡° ¦¥¨©) ¿±®, ·²® ²®·ª ± ° ¤¨³±-¢¥ª²®°®¬ ~r «¥¦¨² ¢ ¯«®±ª®±²¨ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ~r ? ~r , ~a ¨ ~b 0

21

ª®¬¯« °», ². ¥. «¨¥©® § ¢¨±¨¬». ¥°¥µ®¤¿ ª ´´¨»¬ ª®®°¤¨ ² ¬ ¨ ¢±¯®¬¨ ¿ ²¥®°¥¬³ ¨§ «£¥¡°», ¯®«³· ¥¬ ³° ¢¥¨¥ x ? x y ? y z ? z a a a = 0: b b b 0

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a a A := b b ;

a a B := b b ; C := ab ?x ?y ?z D := ?(Ax + By + Cz ) = a a a b b b ¯°¥®¡° §³¥¬ ³° ¢¥¨¥ ª ¢¨¤³ 2

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2

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A(x ? x ) + B (y ? y ) + C (z ? z ) = 0; 0

0

0

Ax + By + Cz + D = 0: ®±ª®«¼ª³ ~a ¨ ~b ¥ª®««¨¥ °», ²® (A; B; C ) 6= 0. ¢¨¤¥²¼ ½²® ¬®¦®, ¯°¨¬¥°, ¨§ ±«¥¤³¾¹¥£® ° ±±³¦¤¥¨¿. ®¯³±²¨¬, ai ¨ bj | ª®®°¤¨ ²» ¥ª®²®°»µ ¢¥ª²®°®¢ ~a0 ¨ ~b0 ®²®±¨²¥«¼® ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ² "0 = (e0 ; e0 ; e0 ) ¯®«®¦¨²¥«¼®© ®°¨¥² ¶¨¨. ²¨ ²°®©ª¨ ·¨±¥« ¥³«¥¢»¥ ¥¯°®¯®°¶¨® «¼»¥, ² ª ·²® ~a0 ¨ ~b0 ¥ª®««¨¥ °». ·¨², [~a0; ~b0] 6= 0. ® ª®¬¯®¥²» ½²®£® ¢¥ª²®° (¢ "0) ¢ ²®·®±²¨ ° ¢» (A; B; C ). ² ª, Ax + By + Cz + D = 0 | ³° ¢¥¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª . ® §»¢ ¥²±¿ 1

2

3

®¡¹¨¬ ³° ¢¥¨¥¬ ¯«®±ª®±²¨.

¡° ²®, ° ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢®«¼®¥ ³° ¢¥¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª Ax + By + Cz + D = 0. ®£¤ ®¤¨ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥²®¢ ¯°¨ ¯¥°¥¬¥»µ, ¯°¨¬¥°, A, ¥ ° ¢¥ 0. ±±¬®²°¨¬ ²®·ª³ M (? DA ; 0; 0) ¨ ¢¥ª²®°» ~a = (?B; A; 0) ¨ ~b = (?C; 0; A). ¥ª²®°» ¥ª®««¨¥ °», ¯®½²®¬³ ³° ¢¥¨¥ x + DA y z ?B A 0 = 0 ?C 0 A § ¤ ¥² ¯«®±ª®±²¼, ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§ ²®·ª³ M ¯ ° ««¥«¼® ~a ¨ ~b. ® ¥±«¨ ¬» ° ±¯¨¸¥¬ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼, ²® ¯®«³·¨¬ ¢ ²®·®±²¨ ¨±µ®¤®¥ ³° ¢¥¨¥. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯«®±ª®±²¨ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ ¨ «£¥¡° ¨·¥±ª¨¥ ³° ¢¥¨¿ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª ®² ²°¥µ ¯¥°¥¬¥»µ | ½²® ®¤® ¨ ²® ¦¥ (¨ª ª®© ®¤®§ ·®±²¨ ±®®²¢¥²±²¢¨¿ ¤ ¦¥ ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ®© ´´¨®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ¥ ³²¢¥°¦¤ ¥²±¿). 22

¬¥· ¨¥ 6.1. ¯®«®© «®£¨¨ ±® ±«³· ¥¬ ¯°¿¬®© ¯«®±ª®±²¨, ¯«®±ª®±²¼ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥, § ¤ ¿ ³° ¢¥¨¥¬ F (x; y; z) = Ax + By + Cz + D = 0, ° §¡¨¢ ¥² ¯°®±²° ±²¢® ¤¢ ¯®«³¯°®±²° ±²¢ F = f(x; y; z) j F (x; y; z) > 0g;

F? = f(x; y; z) j F (x; y; z) < 0g:

+

¥ª²®° (A; B; C ) ®¯¿²¼ ³ª §»¢ ¥² F . +

¥¬¬ 6.2.

(; ; ) ¯ ° ««¥«¥ ¯«®±ª®±²¨ Ax + By + Cz + D = 0 ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ A + B + C = 0. ¥ª²®°

®ª § ²¥«¼±²¢®. «®£¨·® ¯°¿¬®© ¯«®±ª®±²¨. ¥®°¥¬ 6.3. «®±ª®±²¨

1 ¨

2

2 , § ¤ »¥ ³° ¢¥¨¿¬¨

A x+B y+C z+D = 0 1

1

1

1

A x + B y + C z + D = 0 ¯ ° ««¥«¼» ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¢¥ª²®°» (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) ª®««¨¥ °», ². ¥. AA21 = BB12 = CC12 . ²¨ ¯«®±ª®±²¨ ±®¢¯ A1 = B1 = C1 = D1 . ¤ ¾² ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ A2 B2 C2 D2 ¨

2

2

1

1

2

1

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2

2

®ª § ²¥«¼±²¢®.

2

§ ³±«®¢¨¿ ¯°®¯®°¶¨® «¼®±²¨ ±«¥¤³¥², ·²® ¬®¦¥±²¢ °¥¸¥¨© ³° ¢¥¨© A + B + C = 0 ¨ A + B + C = 0 ±®¢¯ ¤ ¾², ². ¥. ¯«®±ª®±²¿¬ ¯ ° ««¥«¼» ®¤¨ ¨ ²¥ ¦¥ ¬®¦¥±²¢ ¢¥ª²®°®¢, § ·¨², ¯«®±ª®±²¨ ¯ ° ««¥«¼». ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. (®¦® ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬®© ¨ ´ ª²®¬ ¨§ ²¥®°¨¨ «¨¥©»µ ±¨±²¥¬, ®¤ ª® ¯°¨¢¥¤¥¬ ¯®«®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®). ¤¨ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥²®¢ ¯¥°¢®£® ³° ¢¥¨¿ ¤®«¦¥ ¡»²¼ ®²«¨·¥ ®² ³«¿. ¥§ ®£° ¨·¥¨¿ ®¡¹®±²¨, ½²® A . ®£¤ ¯® «¥¬¬¥, ¥ª®««¨¥ °»¥ ¢¥ª²®°» (?B ; A ; 0) ¨ (?C ; 0; A ) ¯ ° ««¥«¼» ¯«®±ª®±²¨ ¨, ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ®¡° §³¾² ¡ §¨±. ®±ª®«¼ª³ k , ²® ®±² ²®·®±²¼. 1

1

1

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2

1

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1

1

1

1

A (?B ) + B A + C 0 = 0; 2

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2

A (?C ) + B 0 + C A = 0;

2

2

1

2

2

1

®²ª³¤

A =C: A =B; A B A C ¥°¥©¤¥¬ ª® ¢²®°®© ½ª¢¨¢ «¥²®±²¨. ®±² ²®·®±²¼ ®·¥¢¨¤ . ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ® ¯¥°¢®© · ±²¨ A = A , B = B ¨ C = C . ³±²¼ (x ; y ; z ) | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®·ª ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯«®±ª®±²¥©, ² ª ·²® 1

1

1

1

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2

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0 = (A x + B y + C z + D ) ? (A x + B y + C z + D ) = D ? D : 1

0

1 0

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°®¯®°¶¨® «¼®±²¼ ·¥²¢¥°®ª ³±² ®¢«¥ .

«¥¤±²¢¨¥ 6.4.

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(¢ ®¡®§ ·¥¨¿µ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬») ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ (¯® ¯°¿¬®©) ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¢¥ª²®°» (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) «®±ª®±²¨

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2

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¥ª®««¨¥ °».

23

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¯°¥¤¥«¥¨¥ 6.5. ®¡±²¢¥»¬ ¯³·ª®¬ ¯«®±ª®±²¥© §»¢ ¥²±¿ ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯«®±ª®±²¥©, ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ´¨ª±¨°®¢ ³¾ ¯°¿¬³¾. ¥±®¡±²¢¥»¬ ¯³·ª®¬ ¯«®±ª®±²¥© §»¢ ¥²±¿ ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯«®±ª®±²¥©, ¯ ° ««¥«¼»µ ¤ ®© ¯«®±ª®±²¨. ¥®°¥¬ 6.6.

F = Ax + By + Cz + D = 0 ¯°¨ ¤«¥¦¨² ¯³·ª³ ¯«®±ª®±²¥©, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¬³ ¤¢³¬¿ ¥±®¢¯ ¤ ¾¹¨¬¨ ¯«®±ª®±²¿¬¨ F = A x + B y + C z + D = 0 ¨ F = A x+B y +C z +D = 0 ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ F = F + F , £¤¥ ¨ ¥ ° ¢» ®¤®¢°¥¬¥® ³«¾. «®±ª®±²¼

1

1

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1

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2

®ª § ²¥«¼±²¢®. ®«®±²¼¾ «®£¨·® ±«³· ¾ ¯°¿¬»µ. ¯®¬¨¬ ®±®¢»¥ ½² ¯». ±±¬®²°¨¬ ±«³· © ¯³·ª : \ = l. «®±ª®±²¼ ¯°¨ ¤«¥¦¨² ½²®¬³ ¯³·ª³ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ l . ³±²¼ P 62 l | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®·ª . ±±¬®²°¨¬ ³° ¢¥¨¥ Fe := F (P ) F ? F (P ) F = 0: ±®¡±²¢¥®£®

¥®¡µ®¤¨¬®±²¼.

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²® ³° ¢¥¨¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥¨ ² ª ª ª (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) ¥ª®««¨¥ °» (¨ ·¥ ¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ±®¡±²¢¥»¬ ¯³·ª®¬). ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ³° ¢¥¨¥ § ¤ ¥² ¯«®±ª®±²¼. °¨ ½²®¬ l ¨ P ¢ ¥© ±®¤¥°¦ ²±¿. ·¨², ½²® . «¼¸¥ ³¬®¦ ¥¬ ª®±² ²³. ®±² ²®·®±²¼ ®·¥¢¨¤ . ±±¬®²°¨¬ ±«³· © ¥±®¡±²¢¥®£® ¯³·ª : k , 6= . ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ P | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®·ª , ¯ ° ««¥«¼®© ¨ . ±±¬®²°¨¬ ³° ¢¥¨¥ Fe := F (P ) F ? F (P ) F = 0: 1

1

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2

²® ³° ¢¥¨¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥¨. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ² ª ª ª (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) e B; e Ce ) = 0, «¨¡® ½²®² ¢¥ª²®° ¥³«¥¢®© ¨ ª®««¨¥ °¥ ª®««¨¥ °», ²® «¨¡® (A; (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ). ®±ª®«¼ª³ Fe = 0 ¨¬¥¥² °¥¸¥¨¿, ¯°¨¬¥°, P , ²® ¨§ e B; e Ce ) = 0 ¤®«¦® ±«¥¤®¢ ²¼ D f = 0, ². ¥. F ¨ F ¯°®¯®°¶¨® «¼», § ·¨², (A; = , ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ³±«®¢¨¿¬. ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ³° ¢¥¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª , § ¤ ¾¹¥¥ ¯«®±ª®±²¼, ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§ P ¨ ¯ ° ««¥«¼³¾ ¨ , ². ¥. . ®ª § ²¥«¼±²¢® ¥®¡µ®¤¨¬®±²¨ § ¢¥°¸ ¥²±¿ ² ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ±®¡±²¢¥®¬ ±«³· ¥. ®±² ²®·®±²¼ ®·¥¢¨¤ . 2 ¯°¥¤¥«¥¨¥ 6.7. ®¡±²¢¥®© ±¢¿§ª®© ¯«®±ª®±²¥© §»¢ ¥²±¿ ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯«®±ª®±²¥©, ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ´¨ª±¨°®¢ ³¾ ²®·ª³. ¥±®¡±²¢¥®© ±¢¿§ª®© ¯«®±ª®±²¥© §»¢ ¥²±¿ ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯«®±ª®±²¥©, ¯ ° ««¥«¼»µ ¤ ®© ¯°¿¬®©. ¬¥· ¨¥ 6.8. °¨ «¾¡»¥ ¯«®±ª®±²¨, ¥ ¯°¨ ¤«¥¦ ¹¨¥ ®¤®¬³ ¯³·ª³, ®¤®§ ·® ®¯°¥¤¥«¿¾² ±¢¿§ª³. (±¬. § ¤ ·³ ¨§ § ¤ ·¨ª ® ¢§ ¨¬®¬ ° ±¯®«®¦¥¨¨ ²°¥µ ¯«®±ª®±²¥©) 1

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24

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2

¥®°¥¬ 6.9.

F = Ax + By + Cz + D = 0 ¯°¨ ¤«¥¦¨² ±¢¿§ª¥ ¯«®±ª®F i = Ai x + B i y + C i z + Di = 0, (i = 1; 2; 3) ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ F = F + F + F (¢ ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¨, ·²® ¢ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³·¨« ±¼ ¯«®±ª®±²¼, ². ¥. ³° ¢¥¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª ), ¨«¨, ½ª¢¨¢ «¥²®, A B C D A B C D = 0: A B C D A B C D «®±ª®±²¼

±²¥©, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¬³ ²°¥¬¿ ¥±®¢¯ ¤ ¾¹¨¬¨ ¯«®±ª®±²¿¬¨ 1

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®ª § ²¥«¼±²¢®. °¥¦¤¥ ¢±¥£® ¯®ª ¦¥¬ ½ª¢¨¢ «¥²®±²¼ ¯®±«¥¤¨µ ¤¢³µ ³±«®¢¨©.

®¤³ ±²®°®³ ®·¥¢¨¤®. ¤°³£³¾: ¤®¯³±²¨¬, ·²® ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ° ¢¥ ³«¾ (¯°¨ ³±«®¢¨¨ ±¢¿§ª¨). ®£¤ ±²°®ª¨ «¨¥©® § ¢¨±¨¬». ®¯³±²¨¬, ·²® ª®½´´¨¶¨¥² ¯°¨ F ° ¢¥ ³«¾, ². ¥. § ¢¨±¨¬» ³° ¢¥¨¿ Fi = 0, (i = 1; 2; 3). ®±ª®«¼ª³ ¨¬¥¥¬ ±¢¿§ª³, ²® ² ª®£® ¡»²¼ ¥ ¬®¦¥² (¯®«³· ¥¬, ° §®¡° ¢ ±«³· ¨). ®¡±²¢¥»© ±«³· ©. ³±²¼ (x ; y ; z ) | ¥¤¨±²¢¥ ¿ ²®·ª ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ²°¥µ ¯«®±ª®±²¥©. ®±² ²®·®±²¼. ±«¨ ¨¬¥¥¬ «¨¥©³¾ ª®¬¡¨ ¶¨¾, ²® ¨§ Fi(x ; y ; z ) = 0, (i = 1; 2; 3), ±«¥¤³¥², ·²® ¨ F (x ; y ; z ) = F (x ; y ; z ) + F (x ; y ; z ) + F (x ; y ; z ) = 0. ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ (x ; y ; z ) | ¥¤¨±²¢¥ ¿ ²®·ª ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ¢±¥µ ·¥²»°¥µ ¯«®±ª®±²¥©. ®£¤ ¢ ³ª § ®© ¬ ²°¨¶¥ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥²®¢ «¨¥© ¿ ª®¬¡¨ ¶¨¿ ±²®«¡¶®¢ ± ª®½´´¨¶¨¥² ¬¨ (x ; y ; z ; 1) ¥²°¨¢¨ «¼ ¨ ° ¢ ³«¾. ·¨², ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ° ¢¥ ³«¾. ¥±®¡±²¢¥»© ±«³· ©. ³±²¼ (; ; ) | ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° ¯°¿¬®©, ª®²®°®© ¯ ° ««¥«¼» ¯«®±ª®±²¨ ±¢¿§ª¨. ®±² ²®·®±²¼. ±«¨ ¨¬¥¥¬ «¨¥©³¾ ª®¬¡¨ ¶¨¾, ²® ¨§ Ai + Bi + Ci = 0, (i = 1; 2; 3), ±«¥¤³¥², ·²® «¨¥© ¿ ª®¬¡¨ ¶¨¿ ( A + A + A )+: : : ² ª¦¥ ° ¢ ³«¾. ±² «®±¼ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ª°¨²¥°¨¥¬ ¯ ° ««¥«¼®±²¨ ¢¥ª²®° ¨ ¯«®±ª®±²¨. ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ¨¥© ¿ ª®¬¡¨ ¶¨¿ ±²®«¡¶®¢ ± ª®½´´¨¶¨¥² ¬¨ (; ; ; 1) ° ¢ 0, ·²® ¢«¥·¥² ° ¢¥±²¢® ³«¾ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¿. 2 0

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6.2. «®±ª®±²¼ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² °¥¤«®¦¥¨¥ 6.10. ±±¬®²°¨¬ ¯«®±ª®±²¼ Ax + By + Cz + D = 0. ®£¤ ¢¥ª²®° n := (A < B; C ) ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°¥ ¯«®±ª®±²¨.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥ª²®° (; ; ) ¯ ° ««¥«¥ ¯«®±ª®±²¨ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ 0 = A + B + C = hn; (; ; )i; ². ¥. ¢¥ª²®° n ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°¥ «¾¡®¬³ ¢¥ª²®°³ ¯«®±ª®±²¨ . 2 ¯°¥¤¥«¥¨¥ 6.11. ²®² ¢¥ª²®° n, § ¢¨±¿¹¨© ®² ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ² ¨ ³° ¢¥¨¿, §»¢ ¥²±¿ ®°¬ «¼¾ ª ¯«®±ª®±²¨. 25

¥®°¥¬ 6.12.

³±²¼ ¯«®±ª®±²¼ ¨¬¥¥² ³° ¢¥¨¥ Ax + By + Cz + D = 0, P ± (x ; y ; z ) | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®·ª . ®£¤ (P; ) = jAxp+ By + Cz + Dj : A +B +C ®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ P (x ; y ; z ) | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®·ª . ®£¤ ?!P; nij jA(x ? x ) + B (y ? y ) + C (z ? z )j d ! jh? ? ? ! P p = (P; ) = jPP j cos P P; n = jnj = A +B +C = j(Ax + By + Czp+ D) ? (Ax + By + Cz + D)j = jAxp+ By + Cz + Dj : 2 A +B +C A +B +C £«» ¬¥¦¤³ ¯«®±ª®±²¿¬¨, ®°¬ «¼®¥ ³° ¢¥¨¥ ¨ ². ¤. ² ª¦¥ ®¯°¥¤¥«¿¾²¿ ¨ ¢»·¨±«¿¾²±¿ ¯®«®±²¼¾ «®£¨·® ±«³· ¾ ¯°¿¬»µ ¯«®±ª®±²¨. ª®®°¤¨ ² ¬¨

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6.3. °¿¬ ¿ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ ¥ª³¹¨© ¢¥ª²®° ²®·ª¨ ¯°¿¬®© § ¯¨¸¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ~r = ~r + ~a t, £¤¥ ~r | ° ¤¨³±-¢¥ª²®° · «¼®© ²®·ª¨, ~a | ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° ¯°¿¬®© (±¬. °¨±. 1). 0

: 3 ? ? ? 0 ? ?

~a

~r

~r

¨±. 1. ±«¨ ¢ ª®®°¤¨ ² µ ~a = (; ; ), ²® ¯®«³· ¥¬ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ³° ¢¥¨¿ 8 > < x = x + t y = y + t > : z = z + t 0

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¥§ ¯ ° ¬¥²° ®¨ ¬®£³² ¡»²¼ § ¯¨± » ª ª ª ®¨·¥±ª¨¥ ³° ¢¥¨¿ x?x = y ?y = z ?z :

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26

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¬¥²¨¬, ·²® ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ ¯°¿¬ ¿ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ³¦¥ ¤¢³¬¿ «¨¥©»¬¨ ³° ¢¥¨¿¬¨, ¨»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ª ª ¯¥°¥±¥·¥¨¥ ¤¢³µ ¯«®±ª®±²¥©. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ~a 6= 0, ¤®¯³±²¨¬, ·²® 6= 0 ¨ ¢®§¨ª ¾² ¤¢¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¯«®±ª®±²¨

(x ? x ) ? (y ? y ) = 0

(x ? x ) ? (z ? z ) = 0 ¡° ²®, ¯³±²¼ ¨¬¥¥¬ ¯¥°¥±¥·¥¨¥ ¤¢³µ ¯«®±ª®±²¥©, ². ¥. ±¨±²¥¬³ ( A x+B y +C z +D = 0 A x+B y +C z +D = 0 0

0

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¯°¨·¥¬ (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) ¥ª®««¨¥ °». 1

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°¥¤«®¦¥¨¥ 6.13.

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½²®¬ ±«³· ¥ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° ¯°¿¬®© ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ° -

! B C C A A B (; ; ) := B C ; C A ; A B :

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®ª § ²¥«¼±²¢®. ¬¥²¨¬, ·²® ³ª § »© ¢¥ª²®° ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥ª²®°»¬ ¯°®¨§-

¢¥¤¥¨¥¬, ² ª ª ª ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ¥ ®¡¿§ ¡»²¼ ¯°¿¬®³£®«¼®©. ¤® ¤®ª § ²¼, ·²® (1) ³ª § »© ¢¥ª²®° ¿¢«¿¥²±¿ ¥³«¥¢»¬ ¨ (2) ® ¯ ° ««¥«¥ ¯«®±ª®±²¿¬, ². ¥. ( A +B +C = 0 A +B +C = 0 ·¥¬ ± (2): A B C B C + B C A + C A B = A B C = 0: A B A B A B C C A C 1

1

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«®£¨·®, ¤«¿ ¢²®°®£® ³° ¢¥¨¿. (1). ®¯³±²¨¬, ·²® ¢¥ª²®° ³«¥¢®©. ®£¤ B =C; C =A; A =B B C C A A B ¨ ¢¥ª²®°» (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) ª®««¨¥ °». °®²¨¢®°¥·¨¥. (®¦® ² ª¦¥ ¤®ª §»¢ ²¼, ° ±±³¦¤ ¿ ± ¢¥ª²®°»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¢ ¤°³£®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ².) 1

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2

27

6.4. ¥ª®²®°»¥ ´®°¬³«» ¢ ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² 1. £®« ¬¥¦¤³ ¯°¿¬»¬¨ ± ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¬¨ ³° ¢¥¨¿¬¨ ~r = ~r + ~a t ¨ ~r = ~r + ~a t: a ij = q j + q + j cos ' = jjh~a~a j ;~ j~a j + + + + : 2. £®« ¬¥¦¤³ ¯°¿¬®© ~r = ~r + ~a t ¨ ¯«®±ª®±²¼¾ Ax + By + Cz + D = 0: jA + B p+ C j : sin ' = p A +B +C + + 3. ±±²®¿¨¥ ¬¥¦¤³ ±ª°¥¹¨¢ ¾¹¨¬¨±¿ ¯°¿¬»¬¨ ± ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¬¨ ³° ¢¥¨¿¬¨ ~r = ~r + ~a t ¨ ~r = ~r + ~a t. ®±²°®¨¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ ±® ±²®°® ¬¨ ~r ? ~r , ~a ¨ ~a . ®£¤ ¨±ª®¬®¥ ° ±±²®¿¨¥ | ¢»±®² ½²®£® ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ : 0 1 B x ? x y ? y z ? z C

A det @

jh ~ a ;~ a ;~ r ? ~ r ij V v = = S = : u j[~a ;~a ]j u t + + 4. ±±²®¿¨¥ ®² ²®·ª¨ ± ° ¤¨³±-¢¥ª²®°®¬ ~r ¤® ¯°¿¬®© ± ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ³° ¢¥¨¥¬ ~r = ~r + ~a t. ®±²°®¨¬ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ ±® ±²®°® ¬¨ ~r ? ~r ¨ ~a . ®£¤ ¨±ª®¬®¥ ° ±±²®¿¨¥ | ¢»±®² ½²®£® ¯ ° ««¥«¥«®£° ¬¬ : = j~aS j = j[~r ?j~a~rj ;~a ]j = v u u t y ? y z ? z + z ? z x ? x + x ? x y ? y

p + + : = 1

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7. ¬¥» ª®®°¤¨ ²

¯®¬¨¬, ·²® ´´¨ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ § ¤ ¥²±¿ °¥¯¥°®¬ ?! = x~e + y~e + z~e . Oe e e , ²®·ª M ¯°¨®¡°¥² ¥² ª®®°¤¨ ²» (x; y; z), ¥±«¨ ? OM ±±¬®²°¨¬ ² ª¦¥ ¤°³£®© °¥¯¥° O0e0 e0 e0 ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ². §«®¦¨¬ ®¢»¥ ¢¥ª²®°» ¯® ±² °®¬³ ¡ §¨±³: 8 0 > < ~e 0 = c ~e + c ~e + c ~e ~e = c ~e + c ~e + c ~e > : ~e 0 = c ~e + c ~e + c ~e 1 2 3

1

1 2 3

1

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2

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28

2

3

¯°¥¤¥«¥¨¥ 7.1.

²°¨¶¥© ¯¥°¥µ®¤

®² Oe e e ª O0e0 e0 e0 §»¢ ¥²±¿ ¬ ²°¨¶ 1 c c c c C A; c c 1 2 3

1 2 3

0 c B C=@ c c ². ¥. ² ª ¿ ¬ ²°¨¶ , ¯® ±²®«¡¶ ¬ ª®²®°®© ±²®¿² ª®®°¤¨ ²» ®¢»µ ¡ §¨±»µ ¢¥ª²®°®¢ ¢ ±² °®¬ ¡ §¨±¥. ¬¥· ¨¥ 7.2. ª ¡»«® ¯®ª § ®, ¯°¬¥°, ¯°¨ ®¯°¥¤¥«¥¨¨ ®°¨¥² ¶¨¨, e0 e0 e0 ¿¢«¿¥²±¿ ¡ §¨±®¬ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ C ¥¢»°®¦¤¥ , ². ¥. det C 6= 0. ¯®¬¨¬ ¥ª®²®°»¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¨ ±¢®©±²¢ ®¯¥° ¶¨© ¤ ¬ ²°¨¶ ¬¨. ³±²¼ A = kaij k | ¬ ²°¨¶ m n, ² ª ·²® ¢ ¥© m ±²°®ª ¨ n ±²®«¡¶®¢, i = 1; : : : ; m, j = 1; : : :; n. ³±²¼ B = kbklk | ¬ ²°¨¶ n p. °®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¬ ²°¨¶ A ¨ B (·¨±«® ±²®«¡¶®¢ A ¤®«¦® ±®¢¯ ¤ ²¼ ± ·¨±«®¬ ±²°®ª B ) §»¢ ¥²±¿ ¬ ²°¨¶ C ° §¬¥° m p, ¬ ²°¨·»¥ ½«¥¬¥²» ª®²®°®© ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ´®°°¬³«®© n X cij := aik bkj ; 11

21

31

12

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1 2 3

k=1

(\³¬®¦¥¨¥ i-© ±²°®ª¨ A j -© ±²®«¡¥¶ B "). T T ° ±¯®¨°®¢ ®© ¬ ²°¨¶¥© ª ¬ ²°¨¶¥ A §»¢ ¥²±¿ ² ª ¿ ¬ ²°¨¶ A = kaij k T ° §¬¥° n m, ·²® aij = aji. »¯®«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¥ ±¢®©±²¢ (¢® ¢±¥ ¯³ª² µ, ª°®¬¥ ¯¥°¢®£®, ¬ ²°¨¶» ª¢ ¤° ²»¥): 1) (AB )T = B T AT , 2) det AT = det A, 3) det (AB ) = det A det B , 4) (AT )? = (A? )T (¥±«¨ ®¡° ² ¿ ¬ ²°¨¶ ±³¹¥±²¢³¥²). 1

¥®°¥¬ 7.3.

1

®®°¤¨ ²» ²®·ª¨ ¢ ±² °®© ¨ ®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ±¢¿§ »

±®®²®¸¥¨¿¬¨

0 01 0 1 0 1 x x B@ y CA = C B@ xy0 CA + B@ y CA ; z z0 z 0

(1)

0 0

£¤¥ C | ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ®² ±² °®£® ¡ §¨± ª ®¢®¬³, (x ; y ; z ) | ª®®°¤¨ ²» O0 (®¢®£® · « ª®®°¤¨ ²) ¢ ±² °®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ², (x; y; z) ¨ (x0; y0; z0) 0

0

0

| ª®®°¤¨ ²» ¤ ®© ²®·ª¨ ¢ ±² °®© ¨ ®¢®© ±¨±²¥¬ µ ª®®°¤¨ ², ±®®²¢¥²±²¢¥®.

29

®ª § ²¥«¼±²¢®. ¡®§ ·¨¬ ¤ ³¾ ²®·ª³ ·¥°¥§ M . ®£¤ ?!0 + ??! ??! ??! = ?OO OM O0M; OO0 = x ~e + y ~e + z ~e ; ??! O0 M = x0~e 0 + y0~e 0 + z0~e 0 = 0

1

1

2

0

2

0

3

3

= x0(c ~e + c ~e + c ~e ) + y0(c ~e + c ~e + c ~e ) + z0(c ~e + c ~e + c ~e ) = = (x0c + y0c + z0c ) ~e + (x0c + y0c + z0c ) ~e + (x0c + y0c + z0c ) ~e ; 11

1

21

11

+(y

2

31

12

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13

+ x0 c

21

«¥¤±²¢¨¥ 7.4.

3

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2

?OM ?! = (x + x0c + y0c + z0c ) ~e +

+ y 0c

22

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23

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) ~e + (z 2

12

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+ x0c

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+ y0c

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+ z0c ) ~e : 33

3

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®®°¤¨ ²» ¢¥ª²®°®¢ ¢ ±² °®© ¨ ®¢®© ±¨±²¥¬ µ ±¢¿§ » ±®®²-

0 0 0 1 B@ CA = C B@ 0

0

®¸¥¨¿¬¨:

1 CA :

¬¥· ¨¥ 7.5. ±¿ª®¥ ±®®²®¸¥¨¥ ¢¨¤ (1) ± ¥¢»°®¦¤¥®© ¬ ²°¨¶¥© C ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯°®¨²¥°¯°¥²¨°®¢ ® ª ª ¯¥°¥µ®¤ ª ¥ª®²®°®© ®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ². · ±²®±²¨, ¯°¨¬¥¿¿ ª ª®®°¤¨ ² ¬ ¡ §¨±»µ ¢¥ª²®°®¢, ¯®«³· ¥¬ ®¤®§ ·®±²¼.

¥®°¥¬ 7.6.

C | ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ®² Oe e e ª Oe0 e0 e0 , D | ¬ 0 0 0 00 00 00 ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ®² Oe e e ª Oe e e . ®£¤ CD | ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ®² Oe e e 00 00 00 ª Oe e e . ³±²¼

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

®ª § ²¥«¼±²¢®. ( ª²¨·¥±ª¨ ½²® ¯¥°¢®¥ ±¢®©±²¢® ²° ±¯®¨°®¢ ¨¿.) 0 00 1 0 01 0 1 x x x B@ y CA = C B@ y0 CA = CD B@ y00 CA : z00 z0 z

2

7.1. °¿¬®³£®«¼»¥ ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ² ¨ ®°²®£® «¼»¥ ¬ ²°¨¶» ¯°¥¤¥«¥¨¥ 7.7. ¢ ¤° ² ¿ ¬ ²°¨¶ C §»¢ ¥²±¿ ®°²®£® «¼®©, ¥±«¨ C T = T ? T C , ². ¥. C C = E ¨ CC = E . 1

¥®°¥¬ 7.8.

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C

¿¢«¿¥²±¿ ®°²®£® «¼®© ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤

® ¿¢«¿¥²±¿ ¬ ²°¨¶¥© ¯¥°¥µ®¤ ®² ®°²®®°¬¨°®¢ ®£® ¡ §¨± ª ®°²®®°¬¨°®¢ ®¬³.

30

®ª § ²¥«¼±²¢®. ±±¬®²°¨¬ ±®®²®¸¥¨¥ C T C = E . ¬ ²°¨¶¥ C T ¢ i-© ±²°®ª¥ 0

§ ¯¨± » ª®®°¤¨ ²» ~e i ¢ ¡ §¨±¥ ~e j (² ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ i-¬ ±²®«¡¶¥ C ). ®½²®¬³, ¥±«¨ ~e j | ¯°®¨§¢®«¼»© ®°²®®°¬¨°®¢ »© ¡ §¨±, ²® ¯° ¢¨«® ³¬®¦¥¨¿ ¬ ²°¨¶ \±²°®ª ±²®«¡¥¶" § ¯¨¸¥²±¿ ª ª

h~e 0i;~e 0j i = Eij = ij ; ½²® ¨ ¥±²¼ ³±«®¢¨¥ ®°²®®°¬¨°®¢ ®±²¨ ¡ §¨± ~e 0j .

²¢¥°¦¤¥¨¥ 7.9.

2

2 2 ¨¬¥¾² ®¤¨ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨! ! cos ' ? sin ' cos ' sin ' C = sin ' cos ' ; C = sin ' ? cos ' : £®« ' ¬®¦® ±·¨² ²¼ ¯°¨ ¤«¥¦ ¹¨¬ [0; 2 ). °²®£® «¼»¥ ¬ ²°¨¶»

¤®¢:

®ª § ²¥«¼±²¢®. ±±¬®²°¨¬ ®°²®£® «¼³¾ ¬ ²°¨¶³ ª ª ¬ ²°¨¶³ ¯¥°¥µ®¤ ®² 0 0

®°²®®°¬¨°®¢ ®£® ¡ §¨± ~e ;~e ª ®°²®®°¬¨°®¢ ®¬³ ¡ §¨± ³ ~e ;~e . ®£¤ ¢¥ª²®° ~e 0 ¨¬¥¥² ª®®°¤¨ ²» (cos '; sin ') ¤«¿ ¥ª®²®°®£® '. ¥°¯¥¤¨ª³«¿°»© ¥¬³ ¢¥ª²®° ¥¤¨¨·®© ¤«¨» (¤¢ ) ° ¢¥ ( sin '; cos '). 2 ¬¥· ¨¥ 7.10. ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ det 1, £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« | ¯®¢®°®² ³£®« '. ® ¢²®°®¬ ±«³· ¥ det C = ?1, £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« | ª®¬¯®§¨¶¨¿ ¯®¢®°®² ³£®« ' ¨ ±¨¬¬¥²°¨¨ ®²®±¨²¥«¼® ~e , ¯®¢¥°³²®£® ³£®« '. 1

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7.2. £«» ©«¥° ±±¬®²°¨¬ ¯¥°¥µ®¤ ®² ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬» Oe e e ª ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬¥ 0 Oe e0 e0 . ·¨² ¥¬, ·²® ®¨ ®¤¨ ª®¢®© ¯®«®¦¨²¥«¼®© ®°¨¥² ¶¨¨. ±«¨ ~e 0 = ~e , ²® ¢±¥ ±¢®¤¨²±¿ ª § ¬¥¥ ª®®°¤¨ ² ¯«®±ª®±²¨ ± det = +1. ±«¨ ~e 0 = ?~e , ²® ¢±¥ ±¢®¤¨²±¿ ª § ¬¥¥ ª®®°¤¨ ² ¯«®±ª®±²¨ ± det = ?1. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬®¦¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¢¥ª²®°» ~e ¨ ~e 0 ¥ª®««¨¥ °». ²® ®°¬ «¼»¥ ¢¥ª²®°» ª ¯«®±ª®±²¿¬ = Oe e ¨ 0 = 0e0 e0 . ®£¤ f~ := k ~~ee 33 ;~;~ee 33 k ¿¢«¿¥²±¿ ¯° ¢«¿¾¹¨¬ ¢¥ª²®°®¬ ¯°¿¬®© d ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ½²¨µ ¯«®±ª®±²¥©. °®¨§¢¥¤¥¬ ¯¥°¥µ®¤ ®² °¥¯¥° 1 2 3

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Oe e e ª Ofge , ±®µ° ¿¿ ®°¨¥² ¶¨¾. ²® ¢° ¹¥¨¥ ¢®ª°³£ ~e ¥ª®²®°»© ³£®« ' (³£®« ®² ~e ª f~, ' 2 [0; 2)). ª¨¬ ®¡° §®¬, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ 1 0 cos ' ? sin ' 0 C=B @ sin ' cos ' 0 CA : 0 0 1 ¥¯¥°¼ ¯°®¢¥¤¥¬ ¢° ¹¥¨¥ ¢®ª°³£ f~ ² ª, ·²®¡» ~e ±®¢¬¥±²¨«±¿ ± ~e 0 . ±¨«³ ¢»¡®° ¯° ¢«¥¨¿ f~ ½²® ¢° ¹¥¨¥ ³£®« 2 [0; ]. ®«³· ¥¬ ¯¥°¥µ®¤ ª ¥ª®²®°®¬³ °¥¯¥°³ Ofhe0 , ¯°¨·¥¬ ¯«®±ª®±²¼ Ofh ±®¢¯ ¤ ¥² ± Oe0 e0 , ¬ ²°¨¶ ¥£® ° ¢ 1 0 1 0 0 D=B @ 0 cos ? sin CA : 0 sin cos ±² «®±¼ ®±³¹¥±²¢¨²¼ ¢° ¹¥¨¥ ¢®ª°³£ ~e 0 (². ¥. ¢ ¯«®±ª®±²¨ Ofh = Oe0 e0 ), ·²®¡» ±®¢¬¥±²¨²¼ f~ ± ~e 0 . °¨ ½²®¬, ¢ ±¨«³ ±®£« ±®¢ ®±²¨ ®°¨¥² ¶¨©, ®¡° § ~e ¯¥°¥©¤¥² ¢ ~e 0 . ®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ 1 0 cos ? sin 0 2 [0:2): F =B @ sin cos 0 CA ; 0 0 1 ±¨«³ ²¥®°¥¬» 7.6, °¥§³«¼²¨°³¾¹ ¿ ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ®² Oe e e ª Oe0 e0 e0 ° ¢ 1 10 10 0 cos ? sin 0 0 cos ' ? sin ' 0 B 1 0 CDF = B @ sin ' cos ' 0 CA @ 0 cos ? sin CA B@ sin cos 0 CA = 0 0 1 0 sin cos 0 0 1 1 10 0 cos ? sin 0 cos ' ? sin ' cos sin ' sin =B @ sin ' cos ' cos ? cos ' sin CA B@ sin cos 0 CA = 0 0 1 0 sin cos 0 1 cos ' cos ? sin ' cos sin ? cos ' sin ? sin ' cos cos sin ' sin =B @ sin ' cos + cos ' cos sin ? sin ' sin + cos ' cos cos ? cos ' sin CA ; sin sin sin cos cos £¤¥ ' 2 [0; 2) | ³£®« ®² ~e ª f~, 2 [0; 2) | ³£®« ®² f~ ª ~e 0 , 2 [0; ] | ³£®« ¬¥¦¤³ ~e ¨ ~e 0 . 1 2 3

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8. ®«¿°»¥, ±´¥°¨·¥±ª¨¥ ¨ ¶¨«¨¤°¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨ ²»

¯°¥¤¥«¥¨¥ 8.1.

®°¨¥²¨°®¢ ®© ¯«®±ª®±²¨ § ¤ ¥²±¿ ¢»¡®°®¬ ²®·ª¨ O, §»¢ ¥¬®© · «®¬ ¨«¨ ¯®«¾±®¬, ¨ «³· , ¢»µ®¤¿¹¥£® ¨§ ²®·ª¨ O, §»¢ ¥¬®£® ¯®«¿°®© ®±¼¾. ®«¿° ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ²

32

®«¿°»¥ ª®®°¤¨ ²» ²®·ª¨ M | ½²® ° ¤¨³±, ° ¢»© ° ±±²®¿¨¾ ®² M ¤® ¯®«¾± : r = jOM j, ¨ ³£®« ', ° ¢»© ³£«³ ¬¥¦¤³ ¯®«¿°®© ®±¼¾ ¨ «³·®¬ OM , ¯°¨·¥¬ ³£®« ¨§¬¥°¿¥²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ®°¨¥² ¶¨¥© (² ª¨¬ ®¡° §®¬ ' ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥¹¥±²¢¥»¬ ·¨±«®¬, ®¯°¥¤¥«¥»¬ ± ²®·®±²¼¾ ¤® 2k, k 2 Z). «¿ ²®·ª¨ O ³£®« ' ¥ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿, ² ª ·²® ¯®«¿°»¥ ª®®°¤¨ ²» ¢ ½²®© ²®·ª¥ ¥ ®¯°¥¤¥«¥». ±«¨ ³ ± ¨¬¥¥²±¿ ¯®«®¦¨²¥«¼»© ¯°¿¬®³£®«¼»© °¥¯¥°, · «® ª®®°¤¨ ² ª®²®°®£® ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¯®«¾±®¬, ¢¥ª²®° ~e ¯° ¢«¥ ¯® ¯®«¿°®© ®±¨, ²® £®¢®°¿², ·²® ¤ »¥ ¯°¿¬®³£®«¼ ¿ ¨ ¯®«¿° ¿ ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ² ¥±²¥±²¢¥® ±¢¿§ ». ¥¯®±°¥¤±²¢¥® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¯®«³· ¥¬ ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥. 1

²¢¥°¦¤¥¨¥ 8.2.

«¿ ¥±²¥±²¢¥® ±¢¿§ »µ ¯°¿¬®³£®«¼®© ¨ ¤¥ª °²®¢®© ±¨-

±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ¨¬¥¾² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«», ¢»° ¦ ¾¹¨¥ ®¤¨ ·¥°¥§ ¤°³-

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p

r = x +y

x = r cos ' y = r sin ':

' (± ²®·®±²¼¾ ¤® ³£« 2k ) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³« ¬¨ sin ' = p y ; cos ' = p x ; x +y x +y ¨«¨ y 8 > ¯°¨ x > 0; arctg x ; > < + arctg y ; ¯°¨ x < 0; x '=> 2; ¯°¨ x = 0; y > 0; > : = ?=2; ¯°¨ x = 0; y < 0: ¯°®±²° ±²¢¥ ¨¬¥¾²±¿ ¤¢ ¥±²¥±²¢¥»µ ®¡®¡¹¥¨¿ ¯®«¿°®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ². »¡¥°¥¬ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ 1) ®°¨¥²¨°®¢ ³¾ ¯«®±ª®±²¼ (½ª¢ ²®°¨ «¼ ¿ ¯«®±ª®±²¼ ), 2) ²®·ª³ O ¥© (¯®«¾± ), 3) «³· Ox ¯«®±ª®±²¨ (¯®«¿° ¿ ®±¼ ), 4) ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°³¾ ª ®±¼ Oz (§¥¨² ¿ ®±¼ ). «¿ ¯°®¨§¢®«¼®© ²®·ª¨ M ¯°®±²° ±²¢ ®¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ M 0 ¥¥ ®°²®£® «¼³¾ ¯°®¥ª¶¨¾ , ·¥°¥§ M 00 | ¥¥ ®°²®£® «¼³¾ ¯°®¥ª¶¨¾ Oz. ¨«¨¤°¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨ ²» (; '; z ) ²®·ª¨ M ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ; ' | ¯®«¿°»¥ ª®®°¤¨ ²» M 0 ¯«®±ª®±²¨ (². ¥. = jOM 0 I , ' | ³£®« ®² Ox ª OM 0), z | ª®®°¤¨ ² M 00 ®±¨ Oz. «¿ ²®·¥ª §¥¨²®© ®±¨ = 0, ª®®°¤¨ ² ' ¥ ®¯°¥¤¥«¥ . ´¥°¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨ ²» (r; '; ) ²®·ª¨ M ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: r = jOM j (° ¤¨³± ), ¡° ²®,

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33

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' | ³£®« ®² Ox ª OM 0 ( ), | ³£®« ®² OM 0 ª OM (±® § ª®¬ ±®®²¢¥²±²¢¨¿ ¯° ¢«¥¨¾ Oz) ( ), 2 [?=2; =2]. «¿ ²®·¥ª §¥¨²®© ®±¨ = =2, ª®®°¤¨ ² ' ¥ ®¯°¥¤¥«¥ . «¿ ²®·ª¨ O: ¤®«£®²

¸¨°®²

r = 0, ' ¨ ¥ ®¯°¥¤¥«¥». ±±¬®²°¨¬ ¯°¿¬®³£®«¼³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ² Oe e e , £¤¥ ~e ¨¬¥¥² ¯° ¢«¥¨¥ Ox, ~e 2 , ¯°¨·¥¬ ®°¨¥² ¶¨¿ ~e ;~e ¯®«®¦¨²¥«¼ ¤«¿ ¯«®±ª®±²¨ , ~e ¨¬¥¥² ¯° ¢«¥¨¥ ®±¨ Oz. ®¢®°¿², ·²® ¤ ¿ ¯°¿¬®³£®«¼ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ¥±²¥±²¢¥® ±¢¿§ ± ³ª § »¬¨ ¢»¸¥ ±´¥°¨·¥±ª®© ¨ ¶¨«¨¤°¨·¥±ª®©. ®£¤ ¯°¿¬®³£®«¼»¥ ¨ ¶¨«¨¤°¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨ ²» ±¢¿§ » ´®°¬³« ¬¨: 8 z = z; > 8 p > > > < x = cos '; < = x +y ; y = sin '; cos ' = pxx2 y2 ; > > : z = z; > > : sin ' = pxy2 y2 ; 1 2 3

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(ª®¥·®, ¬®¦® ¯®«³·¨²¼ ¡®«¥¥ ª®ª°¥²»¥ ¢»° ¦¥¨¿, ª ª ¤«¿ ¯®«¿°»µ ª®®°¤¨ ²). °¿¬®³£®«¼»¥ ¨ ±´¥°¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨ ²» ±¢¿§ » ´®°¬³« ¬¨: px + y ; 8 r = > > 8 > > < = arcsin px2 zy2 z2 ; < x = cos cos '; y = cos sin '; cos ' = px2x y2 ; > > : z = sin ; > > : sin ' = pxy2 y2 ; 2

2

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+

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p

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(¯®±ª®«¼ª³ r cos = x + y ). 2

2

9. ««¨¯±, £¨¯¥°¡®« ¨ ¯ ° ¡®« ()

9.1. ¥®¬¥²°¨·¥±ª®¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¯°¥¤¥«¥¨¥ 9.1. ««¨¯±®¬ §»¢ ¥²±¿ £¥®¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¬¥±²® ²®·¥ª () X ¯«®±ª®±²¨, ±³¬¬ ° ±±²®¿¨© ª®²®°»µ ¤® ¤¢³µ ¤ »µ ²®·¥ª F ¨ F ° ¢ § ¤ ®¬³ ·¨±«³ (±¬. °¨±. 2): jF X j + jF X j = 2a: ®·ª¨ F ¨ F §»¢ ¾²±¿ ´®ª³± ¬¨. °¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® a > c 0, £¤¥ 2c = jF F j. ±«³· ¥ a = c ¯®«³· ¥¬ ®²°¥§®ª, ¢ ±«³· ¥ c = 0 | ®ª°³¦®±²¼. 1

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¯°¥¤¥«¥¨¥ 9.2.

§»¢ ¥²±¿ X ¯«®±ª®±²¨, ¬®¤³«¼ ° §®±²¨ ° ±±²®¿¨© ª®²®°»µ ¤® ¤¢³µ ¤ »µ ²®·¥ª F ¨ F ° ¢¥ § ¤ ®¬³ ·¨±«³ (±¬. °¨±. 3): jF X j ? jF X j = 2a: ®·ª¨ F ¨ F §»¢ ¾²±¿ ´®ª³± ¬¨. ¨¯¥°¡®«®©

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¨±. 3. °¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® c > a > 0, £¤¥ 2c = jF F . ±«³· ¥ a = c ¯®«³· ¥¬ ¤¢ ¯°®²¨¢® ¯° ¢«¥»µ «³· , ¢»µ®¤¿¹¨µ ¨§ ´®ª³±®¢. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 9.3. ° ¡®«®© §»¢ ¥²±¿ X ¯«®±ª®±²¨, ° ¢®³¤ «¥»µ ®² ¤ ®© ²®·ª¨ F , §»¢ ¥¬®© ´®ª³±®¬, ¨ ¯°¿¬®© d, §»¢ ¥¬®© ¤¨°¥ª²°¨±®© (±¬. °¨±. 4). °¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® F 62 d. 1

2

9.2. ª ª ª®¨·¥±ª¨¥ ±¥·¥¨¿ ¥®°¥¬ 9.4. ¥·¥¨¥ ¯°¿¬®£® ª°³£®¢®£® (¡¥±ª®¥·®£® 35

)

¢ ®¡¥ ±²®°®»

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¨±. 4. ¯«®±ª®±²¼¾, ¥ ¯°®µ®¤¿¹¥© ·¥°¥§ ¢¥°¸¨³, ¿¢«¿¥²±¿ «¨¡® ½««¨¯±®¬, «¨¡® £¨¯¥°¡®«®©, «¨¡® ¯ ° ¡®«®©.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ª § ¿ ¯«®±ª®±²¼ ¬®¦¥² ° ±¯®« £ ²¼±¿ ²°¥¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨: 1) ¯¥°¥±¥ª ²¼ ®¤³ ¯®«®¢¨ª³ ª®³± ; 2) ¯¥°¥±¥ª ²¼ ®¡¥ ¯®«®¢¨ª¨ ª®³± ; 3) ¡»²¼ ¯ ° ««¥«¼®© ®¡° §³¾¹¥© ª®³± . °¨±³ª¥ ¨§®¡° ¦¥® ±¥·¥¨¥ ¯«®±ª®±²¼¾, ¯°®µ®¤¿¹¥© ·¥°¥§ ¢¥°¸¨³, ¨ ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°®© ¤ ®© (² ª ·²® ¤ ¿ ¯«®±ª®±²¼ ¨§®¡° ¦ ¥²±¿ ¯°¿¬®©):

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HH HH

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jXF j = jXX j; jXF j = jXX j; jXF j + jXF j = jXX j + jXX j = jX X j = const: 1

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37

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®£¤ (° ¢» ª ± ²¥«¼»¥, ¯°®¢¥¤¥»¥ ª ¸ °³ ¨§ ®¤®© ²®·ª¨)

jXF j = jXX j; jXF j = jXX j; jXF j ? jXF j = jXX j ? jXX j = jX X j = const: 1

1

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9.3. ¯²¨·¥±ª¨¥ (´®ª «¼»¥) ±¢®©±²¢ ª®¨ª ¬¥· ¨¥ 9.7. ¥¸¨¬ ¢±¯®¬ £ ²¥«¼³¾ § ¤ ·³: ¤«¿ ¤ ®© ¯°¿¬®© l ¨ ¤¢³µ ²®·¥ª A ¨ B , «¥¦ ¹¨µ ¯® ®¤³ ±²®°®³ ®² ¥¥, ©²¨ ² ª³¾ ²®·ª³ X 2 l, ·²® ±³¬¬ ° ±±²®¿¨© jXAj + jXB j ¬¨¨¬ «¼ . ®±²°®¨¬ ²®·ª³ B 0, ±¨¬¬¥²°¨·³¾ B ®²®±¨²¥«¼® l. 38

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¥®°¥¬ 9.10.

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X ½««¨¯± , ¥ ¯®¯ « ¢ ¤°³£®© ´®ª³± B . ·¨², ¥±«¨ l | ª ± ²¥«¼ ¿ ¢ ²®·ª¥ X , ²® ³£®« ¯ ¤¥¨¿ l ¥ ° ¢¥ ³£«³ ®²° ¦¥¨¿ ¯® § ¬¥· ¨¾ 9.9. ·¨², ¯® § ¬¥· ¨¾ 9.7, jAX j + jBX j ¥ ¬¨¨¬ «¼® ¯°¨ ¯°®¡¥£ ¨¨ X ¯® l. ® ½²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² £¥®¬¥²°¨·¥±ª®¬³ ®¯°¥¤¥«¥¨¾ ½««¨¯± , ² ª ª ª ®±² «¼»¥ ²®·ª¨ ª ± ²¥«¼®© «¥¦ ² ¢¥ ¥£® (¯® § ¬¥· ¨¾ 9.8). 39

¨¯¥°¡®« . «®£¨·® ½««¨¯±³. ° ¡®« . ±±¬®²°¨¬ ¯ ° ¡®«³ ± ´®ª³±®¬ F ¨ ¤¨°¥ª²°¨±®© d. ³±²¼ l |

±¥°¥¤¨»© ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿° ª Y F . ® ®¯°¥¤¥«¥¨¾ ¯ ° ¡®«», ²°¥³£®«¼¨ª ° ¢®¡¥¤°¥»© ¨ l ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ X . ®ª ¦¥¬, ·²® l ¿¢«¿¥²±¿ ª ± ²¥«¼®© ª ¯ ° ¡®«¥ ¢ ²®·ª¥ X . °¥¤¯®«®¦¨¬ ¯°®²¨¢®¥, ²®£¤ (¯® § ¬¥· ¨¾ 9.8) ¨¬¥¥²±¿ ¥¹¥ ®¤ ²®·ª ¯¥°¥±¥·¥¨¿ l ± ¯ ° ¡®«®© | X 0 6= X , Y 0 | ¥¥ ¯°®¥ª¶¨¿ ¤¨°¥ª²°¨±³ d. ®£¤ (¯® ±¢®©±²¢³ ±¥°¥¤¨®£® ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿° ) jY X 0j = jX 0F , ² ª ª ª X 0 | ²®·ª ¯ ° ¡®«», ²® jY 0X 0j = jX 0F j. ·¨², jX 0Y 0j = jX 0Y j, ® ¤«¨ ª«®®© ¤®«¦ ¡»²¼ ¡®«¼¸¥ ¤«¨» ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿° . ª¨¬ ®¡° §®¬, l ¿¢«¿¥²±¿ ª ± ²¥«¼®©. °¨ ½²®¬ ³£«» ¬¥¦¤³ Y X ¨ l ¨ ¬¥¦¤³ FX ¨ l ° ¢», ² ª ·²® ®²° ¦¥»© «³· «¥¦¨² ¯°®¤®«¦¥¨¨ Y X ?d. 2

«¥¤±²¢¨¥ 9.11.

««¨¯± ¨ ¯ ° ¡®« ± ®¡¹¨¬¨ ´®ª³± ¬¨ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ ¯®¤ ¯°¿¬»¬

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®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ le ¨ lh | ª ± ²¥«¼»¥ ¢ ²®·ª¥ ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ª ½««¨¯±³ ¨

£¨¯¥°¡®«¥, ±®®²¢¥²±²¢¥®. ® ¤®ª § ®© ²¥®°¥¬¥, ³£«» ¡³¤³² ² ª¨¬¨, ª ª ®¡®§ ·¥® °¨±³ª¥: C

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9.4. «¨²¨·¥±ª¨¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ª®¨ª

¯°¥¤¥«¥¨¥ 9.12. ( «¨²¨·¥±®¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ )

««¨¯±®¬ §»¢ ¥²±¿ ª°¨¢ ¿ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª , § ¤ ¢ ¥¬ ¿ ¢ ¥ª®²®°®© ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ³° ¢¥¨¥¬ x + y = 1; (a b); (2) a b 2

2

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40

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x ? y = 1; a b

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2

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¥®°¥¬ 9.13. ®ª § ²¥«¼±²¢®. ««¨¯±. ¢¥¤¥¬ ¯°¿¬®³£®«¼³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ², ª ª ¯®ª -

«¨²¨·¥±ª¨¥ ¨ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ½ª¢¨¢ «¥²».

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r

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y = b ? ab x : ®£¤ s q r := (x + c) + y = x + 2cx + c + b ? ab x = s s a ? b c x + 2cx + c + b = x + 2 cx + c + b = = a a c = a x + a = a + ac x; £¤¥ ¢»° ¦¥¨¥ ¯®¤ § ª®¬ ¬®¤³«¿ ¯®«®¦¨²¥«¼®, ² ª ª ª jxj < a, ac x < c. «®£¨·®, r = a ? ac x: ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ «¾¡®© ²®·ª¨, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥© ³° ¢¥¨¾ (5) ¢»¯®«¿¥²±¿ r + r = 2a, ². ¥. ® ¯°¨ ¤«¥¦¨² £¥®¬¥²°¨·¥±ª®¬³ ½««¨¯±³. °¥¦¤¥, ·¥¬ ¯¥°¥©²¨ ª ±«³· ¾ £¨¯¥°¡®«», ¤ ¤¨¬ ±«¥¤³¾¹¥¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 9.14. ²®¸¥¨¥ 2

2

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e := ac = a a? b §»¢ ¥²±¿ ½ª±¶¥²°¨±¨²¥²®¬ ½««¨¯± . ¨¯¥°¡®« . ¢¥¤¥¬ ¯°¿¬®³£®«¼³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ², ª ª ¯®ª § ® °¨±³ª¥ 42

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«®£¨·® ½««¨¯±³, ³¯°®¹ ¿ ±®®²®¸¥¨¥ jr ? r j = 2a ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ £¨¯¥°¡®«», ¯°¨µ®¤¨¬ ª ³° ¢¥¨¾ x ? y = 1; b := c ? a : (6) a b «¿ £¨¯¥°¡®«» ¯®«®¦¨¬ ½ª±¶¥²°¨±¨²¥² ° ¢»¬ 1

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e := ac = a a+ b : ª¨¬ ®¡° §®¬ ¤«¿ ½««¨¯± e > 1, ¤«¿ £¨¯¥°¡®«» e < 1. ¡° ²»¥ ¢»·¨±«¥¨¿ ¯°®¢®¤¨¬ ² ª ¦¥, ª ª ¨ ¤«¿ ½««¨¯± , ¨ ¯®«³· ¥¬ r = ja + exj;

2

2

r = ja ? exj;

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2

¯°¨·¥¬ ¤«¿ ¯° ¢®© ¢¥²¢¨ £¨¯¥°¡®«» (². ¥. ¯°¨ x > 0)

r = ?a + ex;

r = a + ex; 1

2

¤«¿ «¥¢®© ¢¥²¢¨ £¨¯¥°¡®«» (². ¥. ¯°¨ x < 0)

r = ?a ? ex;

r = a ? ex;

1

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·²® ¨ § ¢¥°¸ ¥² ®¡° ²®¥ ° ±±³¦¤¥¨¥. ±®¢®© ¯°¿¬®³£®«¼¨ª ±® ±²®°® ¬¨ 2a ¨ 2b ¤«¿ £¨¯¥°¡®«» ¨¬¥¥² ¢¨¤

43

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Q Q Q Q Q

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Q Q

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Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q Q

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¨ ¿¢«¿¾²±¿ ±¨¬¯²®² ¬¨ £¨¯¥°¡®«». ®ª ¦¥¬ ½²®, ¯°¨¬¥°, ¤«¿ y = ab x. ¬¥¥¬ (±¬. °¨±.) s b (x) = a x ? b xa ? 1; 2

2

b (x ? px ? a ) = 0: lim ( x ) = lim x!1 x!1 a ° ¡®« . «¿ ¯ ° ¡®«» ¯®«®¦¨¬ ½ª±¶¥²°¨±¨²¥² ° ¢»¬ ¥¤¨¨¶¥: e = 1. ¬¥²¨¬, ·²® ¢ ¸ª®«¥ ®¡»·® ° ±±¬ ²°¨¢ ¾² ¯ ° ¡®«³ y = a x . ³² ¬» ¬¥¿¥¬ ®±¨ ¨ ¯¥°¥®¡®§ · ¥¬ ¯ ° ¬¥²°: a = 1=2p. ®«³· ¥¬ y = 2px. ¨±«® p §»¢ ¥²±¿ 2

2

2

2

´®ª «¼»¬ ¯ ° ¬¥²°®¬.

»¡¥°¥¬ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ², ª ª ¯®ª § ® °¨±³ª¥, ¯®«®¦¨¢ p ° ¢»¬ ° ±±²®¿¨¾ ¬¥¦¤³ ¤¨°¥ª²°¨±®© ¨ ´®ª³±®¬.

44

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®£¤ ±®®²®¸¥¨¥ ¨§ £¥®¬¥²°¨·¥±ª®£® ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¯ ° ¡®«» ¯°¨¬¥² ¢¨¤: s p x ? 2 + y = x + 2p ; x ? px + p4 + y = x + px + p4 ; y = 2px: ¡° ²®, ¤«¿ ª°¨¢®©, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®© ³° ¢¥¨¥¬ y = 2px, ®¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ d ¯°¿¬³¾ y = ?p=2, ·¥°¥§ F | ²®·ª³ (p=2; 0). ¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ ²®·¥ª ½²®© ª°¨¢®© ¢±¥£¤ x 0, ² ª ·²® ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼®© ¥¥ ²®·ª¨ X (x; y) ¨¬¥¥¬ (X; d) = p=2 + x, s s p p p (X; F ) = x ? 2 + y = x ? 2 + 2px = x + 2 = x + p2 ; ¨ £¥®¬¥²°¨·¥±ª®¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¯ ° ¡®«» ¨¬¥¥² ¬¥±²®. 2

2

2

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2

2

9.5. ¨°¥ª²®°¨ «¼»¥ ±¢®©±²¢ ª®¨ª ®±² ¢¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ² ¡«¨¶³ (£¤¥ ®¢»¬ ¡³¤¥² ²®«¼ª® ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¤¨°¥ª²°¨± ½««¨¯± ¨ £¨¯¥°¡®«»). ³° ¢¥¨¥ c ´®ª³±(») ½ª±¶¥²- ¤¨°¥ª²°¨± °¨±¨²¥² p 2 2 y c a a2 x ½««¨¯± a22 + b22 = 1 c = pa ? b F ; = (c; 0) e = a < 1 x = e = c2 £¨¯¥°¡®« xa2 ? yb2 = 1 c = a + b F ; = (c; 0) e = ac > 1 x = ae = ac ¯ ° ¡®« y = 2px | F = ( p ; 0) e=1 x = ae ¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ ®ª°³¦®±²¨ (². ¥. ½««¨¯± ± a = b ¨ e = 0) ¤¨°¥ª²°¨±» ¥ ®¯°¥¤¥«¥». 2

2

2

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12 12

2

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45

¥®°¥¬ 9.15.

²®¸¥¨¥

° ±±²®¿¨¿

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(®²«¨·®© ®² ®ª²³¦®±²¨) ¤® ´®ª³± ª ° ±±²®¿¨¾ ¤® ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© (¡«¨¦ ©¸¥©) ¤¨°¥ª²°¨±» ¯®±²®¿® ¨ ° ¢® ½ª±¶¥²°¨±¨²¥²³. ª®¨ª¨

®ª § ²¥«¼±²¢®. «¿ ¯ ° ¡®«» ½²® ®¯°¥¤¥«¥¨¥.

±±¬®²°¨¬ ±«³· © ½««¨¯± . ®£¤ (¤«¿ «¥¢®£® ¢ ®¡®§ ·¥¨¿µ ¯°¥¤»¤³ ´®ª³± , a ¹¥© ²¥®°¥¬») jF X j = r = a + ex, (X; d ) = x + e = x + ae , ² ª ·²® 1

1

1

jF X j = e: (X; d) 1

«¿ £¨¯¥°¡®«» ¤® «¨¸¼ ¢ ¤¢³µ ¬¥±² µ ¯®¬¥¿²¼ § ª¨. 2 ¤ · 1. ®ª § ²¼ ®¡° ²®¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥. ¬¥®, ¯³±²¼ ¤ ¯°¿¬ ¿ d ¨ ²®·ª j = e > 0, ¿¢«¿¥²±¿ ½««¨¯±®¬ F 62 d. ®ª § ²¼, ·²® X , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ j(FX X; d) (¯°¨ e < 1), £¨¯¥°¡®«®© (¯°¨ e > 1) ¨«¨ ¯ ° ¡®«®© (¯°¨ e = 1). ¤ · 2. ²¼ £¥®¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¤¨°¥ª²®°¨ «¼®£® ±¢®©±²¢ , ¨±¯®«¼§³¿ ¸ °» ¤¥«¥ .

9.6. ®ª «¼»© ¯ ° ¬¥²°. ®«¿°»¥ ³° ¢¥¨¿ ª®¨ª ¯°¥¤¥«¥¨¥ 9.16. ®ª «¼»© ¯ ° ¬¥²° p ª®¨ª¨, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ³° ¢¥¨¾ (2), (3) ¨«¨ (4), ½²® ·¨±«® p ¨§ ³° ¢¥¨¿ ¢ ±«³· ¥ ¯ ° ¡®«», ¨ ·¨±«® p := ba ¢ ¤¢³µ ¤°³£¨µ ±«³· ¿µ. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯¥°¢»© ¢§£«¿¤, p § ¢¨±¨² ®² ³° ¢¥¨¿. ¤ ª®, ´®ª «¼»© ¯ ° ¬¥²° ¨¬¥¥² ¯°®±²®© £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« (±¬. ²¥®°¥¬³ 9.18) ¯°¥¤¥«¥¨¥ 9.17. ®ª «¼®© µ®°¤®© §»¢ ¥²±¿ µ®°¤ (². ¥. ®²°¥§®ª, ±®¥¤¨¿¾¹¨© ¤¢¥ ²®·ª¨ ª°¨¢®©), ¯°®µ®¤¿¹¨© ·¥°¥§ ´®ª³± ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°® ´®ª «¼®© ®±¨ | ®±¨ ±¨¬¬¥²°¨¨, ±®¤¥°¦ ¸¥© ®¤¨ ´®ª³± ( § ·¨², ¨ ¢²®°®©, ¥±«¨ ¨µ ¤¢ ). 2

¥®°¥¬ 9.18. p ®ª § ²¥«¼±²¢®. ®«®¢¨ ¤«¨» ´®ª «¼®© µ®°¤» ° ¢ ¤«¿ ±®®²¢¥²®ª «¼»© ¯ ° ¬¥²°

±²¢¥®:

° ¢¥ ¯®«®¢¨¥ ¤«¨» ´®ª «¼®© µ®°¤».

v ! s u u c b =b; tb 1 ? = b a a a v s ! u u tb c ? 1 = b b = b ; a a a 2

2

2

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46

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2

r p 2p 2 = p: 2 ¢¥¤¥¬ ¯®«¿°³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ², ¯®¬¥±²¨¢ ¯®«¾± ¢ ±«³· ¥ ½««¨¯± ¢ ®¤¨ ¨§ ´®ª³±®¢ ¨ ¯° ¢¨¢ ¯®«¿°³¾ ®±¼ ¢ ±²®°®³ ¤°³£®£®, ¯®¬¥±²¨¢ ¯®«¾± ¢ ±«³· ¥ £¨¯¥°¡®«» ¢ ®¤¨ ¨§ ´®ª³±®¢ ¨ ¯° ¢¨¢ ¯®«¿°³¾ ®±¼ ¢ ±²®°®³ ¤°³£®£®, ¢ ±«³· ¥ ¯ ° ¡®«» ¯®¬¥±²¨¢ ¯®«¾± ¢ ´®ª³± ¨ ¯° ¢¨¢ ¯®«¿°³¾ ®±¼ ®² ¤¨°¥ª²°¨±»: O

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°¨¥² ¶¨¿ §¤¥±¼ ¥ ¢ ¦ , ² ª ª ª ¨²¥°¥±³¾¹¨¥ ± ª®¨ª¨ ±¨¬¬¥²°¨·» ®²®±¨²¥«¼® ³ª § ®© ¯®«¿°®© ®±¨. ¢¥¤¥ ¿ ¯®«¿° ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¥±²¥±²¢¥® ±¢¿§ ®© ± ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬®©, ¢ ª®²®°®© ¬» ¢»¯¨±»¢ «¨ ³° ¢¥¨¿. ®½²®¬³ ¬» ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ ¥¥ ´®ª «¼®© ¯®«¿°®© ±¨±²¥¬®© ª®®°¤¨ ².

¥®°¥¬ 9.19.

´®ª «¼®© ¯®«¿°®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ³° ¢¥¨¿ ½««¨¯± , ¯ -

° ¡®«» ¨ ¢¥²¢¨ £¨¯¥°¡®«», ¡«¨¦ ©¸¥© ª ¯®«¾±³, ¡³¤³² § ¯¨±»¢ ²¼±¿ ®¤®© ´®°-

r = 1 ? epcos ' ;

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r = ? 1 ? epcos ' :

®ª § ²¥«¼±²¢®. °®¢¥¤¥¬ ¤«¿ ½««¨¯± . ³±²¼ X | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®·ª ½««¨-

¯± , OR | ¯®«®¢¨ ´®ª «¼®© µ®°¤», Q | ²®·ª ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ¥¥ ¯°®¤®«¦¥¨¿ ± ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°®¬ ª ¤¨°¥ª²°¨±¥, ¯°®¢¥¤¥»¬ ·¥°¥§ ²®·ª³ X : d Q X 6 Rr O ' F F 1

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2

47

³±²¼ (r; ') | ¯®«¿°»¥ ª®®°¤¨ ²» ²®·ª¨ X . ®±¯®«¼§³¥¬±¿ ¤¨°¥ª²®°¨ «¼»¬ ±¢®©±²¢®¬. ¬¥¥¬: ORj = e; jORj = p; jQX j = r cos '; (jR; d) j = p; (Q; d ) = (R; d ) = jOR e e r r r e = (X; d ) = jXQj + (Q; d ) = jXQj + p = r cos r' + p ; e e p r = er cos ' + p; r = 1 ? e cos ' : (7) ²®¡» ¯®ª § ²¼, ·²® ¬» ¥ ¯°¨®¡°¥«¨ «¨¸¨µ ²®·¥ª, § ¬¥²¨¬, ·²® ½²® ³° ¢¥¨¥ ¤ ¥² ¤«¿ ª ¦¤®£® ' 2 [0; 2) °®¢® ®¤® ¯®«®¦¨²¥«¼®¥ § ·¥¨¥ r. ª¨¬ ®¡° §®¬, «¾¡ ¿ ¯°¿¬ ¿, ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ ´®ª³±, ¯¥°¥±¥·¥² ¬®¦¥±²¢® °¥¸¥¨© ³° ¢¥¨¿ (7) °®¢® ¢ ¤¢³µ ²®·ª µ. ±² «®±¼ ¯®ª § ²¼, ·²® ²¥¬ ¦¥ ±¢®©±²¢®¬ ®¡« ¤ ¥² ¨ ½««¨¯±. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¯³±²¼ ¯°¿¬ ¿ ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ ´®ª³± (?c; 0), ² ª ·²® ¥¥ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ³° ¢¥¨¿ x = ?c + t; y = t: ®·ª¨ ¥¥ ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ± ½««¨¯±®¬ µ®¤¿²±¿ ¨§ ª¢ ¤° ²®£® ³° ¢¥¨¿ ®² t: (?c + t) + ( t) = 1; a b (b + a )t ? 2cb t + (c ? a )b = 0: «¿ ¤¨±ª°¨¬¨ ² D ¨¬¥¥¬ (² ª ª ª c = a ? b ): 1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

D=4 = c b ? (c ? a )b (b + a ) = 2

2 4

2

2

2

2

2

2

2

= c b ?c b ?c b a +a b +a b = = ?a b + b a + a b + a b = b a ( + ) > 0: ª¨¬ ®¡° §®¬, °¥¸¥¨© ¤¢ . 2 ¤ · 3. °®¢¥±²¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¢ ®±² «¼»µ ±«³· ¿µ. 2

4 2

2 4

2

2 4

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2

2 2

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2

2

2

2 4

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2

2

4 2

4 2 2

2

2

10. ¡¹ ¿ ²¥®°¨¿ ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª

10.1. ®¨·¥±ª¨¥ ³° ¢¥¨¿ ®£« ±® ®¡¹¥¬³ ®¯°¥¤¥«¥¨¾ ª°¨¢»¥ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª § ¤ ¾²±¿ ¢ ¥ª®²®°®© ´´¨®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ¯«®±ª®±²¨ ³° ¢¥¨¥¬ ¢²®°®© ±²¥¯¥¨ F (x; y) = 0, £¤¥ F (x; y) = a x + 2a xy + a y + 2a x + 2a y + a = (8) 11

2

12

22

48

2

1

2

0

! ! x + 2(a ; a ) x + a = X T QX + 2LX + a = (9) y y 0 1 0 10 1 x a a a x (10) = (x; y; 1) B @ a a a CA B@ y CA = (x; y; 1) A B@ y CA 1 1 a a a ¨ µ®²¿ ¡» ®¤¨ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥²®¢ aij ®²«¨·¥ ®² ³«¿. ²°¨¶ Q ° §¬¥° 2 2 §»¢ ¥²±¿ ¬ ²°¨¶¥© ª¢ ¤° ²¨·®© · ±²¨, ¬ ²°¨¶ L ° §¬¥° 1 2 §»¢ ¥²±¿ ¬ ²°¨¶¥© «¨¥©®© · ±²¨, ¬¥· ¨¥ 10.1. ¬¥²¨¬, ·²® ³ª § »¥ ¬ ²°¨¶» ®¤®§ ·® ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ³° ¢¥¨¥¬, ². ¥. ¥±«¨ ¯°¨¬¥°, 0 1 0 1 x x F (x; y) = (x; y; 1) A B @ y CA = (x; y; 1) B B@ y CA ; 1 1 ²® A = B . °¥¤«®¦¥¨¥ 10.2. °¨ § ¬¥¥ ª®®°¨ ² (x; y) ! (x0; y0) ³° ¢¥¨¥ ¢²®°®© ±²¥¯¥¨ F (x; y ) = 0 ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ ³° ¢¥¨¥ ¢²®°®© ±²¥¯¥¨ = (x; y) aa

11

12

a a

12

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1

22

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2

1

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0

0

F 0(x0; y0) := F (x(x0; y0); y(x0; y0)) = 0:

®ª § ²¥«¼±²¢®. ¬¥ ª®®°¤¨ ² ®±³¹¥±²¢«¿¥²±¿ ¯® ´®°¬³«¥ ! x = c c y

11 21

c c

12

!

! ! x0 + x : y y0 0

0

22

«¥¤®¢ ²¥«¼®, deg F 0 2. ±«¨ deg F 0 1, ²® ¯°®¤¥« ¢ ®¡° ²³¾ § ¬¥³ ª®®°¤¨ ², ¯®«³·¨¬, ·²® deg F 1. °¨¸«¨ ª ¯°®²¨¢®°¥·¨¾. 2 ¬¥· ¨¥ 10.3. «¿ ª°¨¢»µ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª , ². ¥. ¯°¿¬»µ, ¡»«® ¯®«³·¥®, ·²® ¤¢ ³° ¢¥¨¿ F = 0 ¨ G = 0 § ¤ ¾² ®¤³ ¨ ²³ ¦¥ ª°¨¢³¾ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ F = G ¤«¿ ¥ª®²®°®£® ¥³«¥¢®£® ¬®¦¨²¥«¿ . «¿ ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ½²® ¥ ² ª. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 10.4. ¢ ¤°¨ª®© ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ ª« ±± ½ª¢¨¢ «¥²®±²¨ ³° ¢¥¨© 2-®© ±²¥¯¥¨ ®²®±¨²¥«¼® ³¬®¦¥¨¿ ¥ª®²®°»© ¥³«¥¢®© ¬®¦¨²¥«¼: (F = 0) (G = 0)

,

F = G; 6= 0:

°¨ § ¬¥¥ ª®®°¤¨ ² (x; y) ! (x0; y0) ª¢ ¤°¨ª F (x; y) = 0 ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ ª¢ ¤°¨ª³ F 0(x0; y0) := F (x(x0; y0); y(x0; y0)) = 0: «¥¥ ¡³¤¥² ¤®ª § ®, ·²® ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£® § ¬¥· ¨¿ ¡³¤¥² ¢¥°»¬ ¤«¿ ²¥µ ª¢ ¤°¨ª, ª®²®°»¥ ±®±²®¿² ¡®«¥¥, ·¥¬ ¨§ ®¤®© ²®·ª¨ ( ¥±«¨ ±·¨² ²¼ ¯¥°¥¬¥»¥ ª®¬¯«¥ª±»¬¨, ²® ¢±¥£¤ ). 49

°¨¬¥° 10.5.

| ª¢ ¤°¨ª , § ¤ ¢ ¥¬ ¿ ¢ ¥ª®²®°®© ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ³° ¢¥¨¥¬ ¢¨¤ x + y = ?1. ¨¬»¥ ¯ ° ««¥«¼»¥ ¯°¿a b ¬»¥ | ³° ¢¥¨¥¬ y + a = 0, a 6= 0. ¡ ³° ¢¥¨¿ § ¤ ¾² ¢¥¹¥±²¢¥®© ¯«®±ª®±²¨ ¯³±²®¥ ¬®¦¥±²¢® ²®·¥ª, ® ª®¬¯«¥ª±»µ °¥¸¥¨© ³ ¨µ ° §»¥ ¬®¦¥±²¢ . ¨¬»© ½««¨¯±

2

2

2

2

2

2

¥®°¥¬ 10.6. ³° ¢¥¨¿¬¨ ¤ ®© ª¢ ¤°¨ª¨ )

«¿ «¾¡®© ª¢ ¤°¨ª¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¯°¿¬®³£®«¼ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨-

², ¢ ª®²®°®© ® ¨¬¥¥² ®¤¨ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨¤®¢

( §»¢ ¥¬»µ ª ®¨·¥±ª¨¬¨

:

x a x a x a x a x a y y y y

2

1)

2 2

2)

2 2

3)

2 2

4)

2 2

5)

6) 7) 8) 9)

2

2 2 2 2

+ yb = 1, (a b > 0), ½««¨¯±; 2

2

+ yb = ?1, (a b > 0), ¬¨¬»© ½««¨¯±; 2

2

+ yb = 0, (a b > 0), ¯ ° ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¬¨¬»µ ¯°¿¬»µ; 2

2

? yb = 1 (a > 0; b > 0) 2

2

,

, £¨¯¥°¡®« ;

? yb = 0 (a b > 0) 2

, ¯ ° ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ;

2

= 2px, (p > 0), ¯ ° ¡®« ; ? a = 0, (a > 0), ¯ ° ¯ ° ««¥«¼»µ ¯°¿¬»µ; + a = 0, (a > 0), ¯ ° ¬¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼»µ ¯°¿¬»µ; = 0, ¯ ° ±®¢¯¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ. 2

2

®ª § ²¥«¼±²¢®. ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢®«¼³¾ ¯°¿¬®³£®«¼³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ².

¥© ª¢ ¤°¨ª ¨¬¥¥² ¢¨¤ (8) { (9). ±®¢ ¿ · ±²¼ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ±®±²®¨² ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¤¢³µ «¥¬¬, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¤¢³¬ § ¬¥ ¬ ª®®°¤¨ ², ¨«¨ ¤¢³¬ ¸ £ ¬ ² ª §»¢ ¥¬®£® ¯°¨¢¥¤¥¨¿ ª°¨¢®© ª ª ®¨·¥±ª®¬³ ¢¨¤³.

¥¬¬ 10.7.

®¤µ®¤¿¹¨¬ ¯®¢®°®²®¬ ®±¥© ª®®°¤¨ ² ¬®¦® ¤®¡¨²¼±¿ ²®£®, ·²®

a0 = 0, £¤¥ ¸²°¨µ ®§ · ¥² ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ª®½´´¨¶¨¥² ³° ¢¥¨¿ ª¢ ¤°¨ª¨ 12

¢ ®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ².

®ª § ²¥«¼±²¢®. («¥¬¬») ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢®«¼»© ¯®¢®°®²: ! ! 0! x : x = cos ' ? sin ' y

sin ' cos ' 50

y0

®£¤

F 0(x0; y0) := F (x(x0; y0); y(x0; y0)) = a (cos ' x0 ? sin ' y0) + +2a (cos ' x0 ? sin ' y0) (sin ' x0 + cos ' y0) + a (sin ' x0 + cos ' y0) + «¨¥© ¿ · ±²¼ : ®½´´¨¶¨¥² ¯°¨ 2x0y0, ². ¥. a0 , ° ¢¥ 2

11

12

2

22

12

?a cos ' sin ' + a (cos ' ? sin ') + a cos ' sin ' = 11

2

12

2

22

= (a ? a ) sin22' + a cos 2': » µ®²¨¬ ©²¨ ² ª®¥ ', ·²®¡» a0 = 0, ². ¥. 2' = a ? a : ctg 2' = cos sin 2' 2a ¤ · ° §°¥¸¨¬ , ² ª ª ª ¥±«¨ ¡» a = 0, ²® ¥ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¡» ¨ª ª®£® ¯®¢®°®² . ¯®¢¥°³²®© (¸²°¨µ®¢ ®©) ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ¬®£®·«¥ F ¯°¨¬¥² ¢¨¤ 22

12

11

12

11

22

12

12

F 0(x0; y0) = x0 + y0 + 2b x0 + 2b y0 + b = 0: 2

1

¥¬¬ 10.8.

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2

2

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2

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(11)

¯¥°¥®±®¬ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ®¤®¬³

¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨¤®¢: 1) 2) 3)

F 00 = (x00) + (y00) + ( ; 6= 0); F 00 = (y00) + 2b x00 ( ; b 6= 0); F 00 = (y00) + ( 6= 0). 1

2

2

2

2

2

2

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2

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2

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®ª § ²¥«¼±²¢®. 1: ; 6= 0: ®£¤ ¢»¤¥«¿¥¬ ¯®«»¥ ª¢ ¤° ²»: 1

2

F 0(x0; y0) = x0 + y0 + 2b x0 + 2b y0 + b = ! ! ! b b b b 0 0 = x + + y + + b ? ? = 1

1

1

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2

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2 1

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x00 := x0 + b ; y00 := y0 + b ; | ´®°¬³«» § ¬¥» ª®®°¤¨ ², ®¡° ²®© ª ¨±ª®¬®©. 2: = 0; 6= 0 (¥±«¨ = 0; 6= 0, ²® ¯®¬¥¿¥¬ ª®®°¤¨ ²» ¬¥±² ¬¨). ®§¬®¦» ¤¢ ±«³· ¿. ) ±«¨ b 6= 0, ²® F 0(x0; y0) = y0 + 2b x0 + 2b y0 + b = 1

2

2

1

2

1

2

1

1

2

2

1

51

2

0

! ! b b 0 = + 2b x + b ? = = (y00) + 2b x00; £¤¥ ! 1 b 00 0 x := x + 2 b b ? ; y00 := y0 + b ; | ´®°¬³«» § ¬¥» ª®®°¤¨ ², ®¡° ²®© ª ¨±ª®¬®©. ¡) ±«¨ b = 0, ²® F 0(x0; y0) = y0 + 2b y0 + b = ! ! b b 0 = y + + b ? = (y00) + ; £¤¥ x00 := x0; y00 := y0 + b ; | ´®°¬³«» § ¬¥» ª®®°¤¨ ², ®¡° ²®© ª ¨±ª®¬®©. ¥¬¬ ¤®ª § . 2 ¥°¥¬±¿ ª ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ²¥®°¥¬» ¨ ° §¡¥°¥¬ ° §«¨·»¥ ±«³· ¨ ³° ¢¥¨© ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬». » ¥ ¡³¤¥¬ ®£®¢ °¨¢ ²¼ ®·¥¢¨¤»¥ ®¯¥° ¶¨¨, ª®£¤ ³¬®¦ ¥¬ ³° ¢¥¨¥ ¥³«¥¢®© ±ª «¿° ¨«¨ ¬¥¿¥¬ §¢ ¨¿ ª®®°¤¨ ². 1). 1. ¨ | ®¤®£® § ª , | ¯°®²¨¢®¯®«®¦®£®. ®«³· ¥¬ ³° ¢¥¨¥ ½««¨¯± . 2. ; ; | ®¤®£® § ª . ®«³· ¥¬ ³° ¢¥¨¥ ¬¨¬®£® ½««¨¯± . 3. ¨ | ®¤®£® § ª , = 0. ° ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¬¨¬»µ ¯°¿¬»µ. 4. ¨ | ° §»µ § ª®¢, 6= 0. ¨¯¥°¡®« . 5. ¨ | ° §»µ § ª®¢, = 0. ° ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ. 2). 6. °¡®« . 3). 7. < 0. ° ¯ ° ««¥«¼»µ ¯°¿¬»µ. 8. > 0. ° ¬¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼»µ ¯°¿¬»µ. 9. = 0. ° ±®¢¯¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ. 2 2

y0 +

2

2

1

2

2

2

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2

2

2

2

1

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2

2

2

2

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2 2

0

2

0

2 2

2

2

2

2

2

1

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2

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2

1

2

1

2

«¥¤±²¢¨¥ 10.9.

° ¢¥¨¥ ¢²®°®© ±²¥¯¥¨ ¯«®±ª®±²¨ § ¤ ¥² ®¤³ ¨§ ±«¥¤³-

¾¹¨µ ª°¨¢» (ª ª ¬®¦¥±²¢® ²®·¥ª):

½««¨¯±; £¨¯¥°¡®« ; ¯ ° ¡®« ; ¯ ° ¯¥°¥±¥-

ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ; ¯ ° ¯ ° ««¥«¼»µ ¯°¿¬»µ; ¯ ° ±®¢¯¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ; ²®·ª ; ¯³±²®¥ ¬®¦¥±²¢®.

10.2. ¢ °¨ ²» ¬®£®·«¥ ¢²®°®© ±²¥¯¥¨ ¯°¥¤¥«¥¨¥ 10.10. ³ª¶¨¿ J ®² ª®½´´¨¶¨¥²®¢ ¬®£®·«¥ F §»¢ ¥²±¿ ®°²®£® «¼»¬ ¨¢ °¨ ²®¬, ¥±«¨ ® ¥ ¬¥¿¥²±¿ ¯°¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ®² ®²®© ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ² ª ¤°³£®©, ². ¥. J (a ; a ; a ; a ; a ; a ) = J (a0 ; a0 ; a0 ; a0 ; a0 ; a0 ): 11

12

22

1

2

0

11

52

12

22

1

2

0

¯°¥¤¥«¥¨¥ 10.11. ³¬¬ ¤¨ £® «¼»µ ½«¥¬¥²®¢ ¬ ²°¨¶» A §»¢ ¥²±¿ ¤®¬ ¬ ²°¨¶»

A:

Tr A := a + a + : : : + ann: 11

¥®°¥¬ 10.12.

±«¥-

22

«¥¤³¾¹¨¥ ²°¨ ´³ª¶¨¨:

S := Tr Q;

:= det Q;

:= det A

¿¢«¿¾²±¿ ®°²®£® «¼»¬¨ ¨¢ °¨ ² ¬¨.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ±±¬®²°¨¬ ¯¥°¥µ®¤ ®² (x; y) ª ¤°³£®© ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬¥ 0 0 ª®®°¤¨ ² (x ; y ):

!

! x = c c y

11 21

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12

! ! x0 + x ; y y0

!

0

0

22

| ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ®°²®£® «¼ ¿ ¬ ²°¨¶ . °¿¤³ ± C ° ±±¬®£¤¥ C := cc cc ²°¨¬ ¥¹¥ 3 3-¬ ²°¨¶³ 0 1 c c x D := B @ c c y CA : 0 0 1 ®£¤ ¢»¯®«¿¥²±¿ ±®®²®¸¥¨¥ 10 0 1 0 01 0 0 1 x c c x x x B@ y CA = D B @ y0 CA = B@ c c y CA B@ y0 CA : 1 0 0 1 1 1 ®ª ¦¥¬ ¢±¯®¬®£ ²¥«¼³¾ «¥¬¬³. 11

12

21

22

¥¬¬ 10.13.

11

12

0

21

22

0

11

12

0

21

22

0

A0 ¨ Q0, ®²¢¥· ¾¹¨¥ ¬®£®·«¥³ F 0(x0; y0) := F (x(x0; y0); y(x0; y0)); ±¢¿§ » ± ¬ ²°¨¶ ¬¨ A ¨ Q ±®®²®¸¥¨¿¬¨ A0 = DT AD; Q0 = C T QC: ²°¨¶»

®ª § ²¥«¼±²¢®.

0 1 0 1T 0 1 x x x F 0(x0; y0) = (x; y; 1) A B @ y CA = B@ y CA A B@ y CA = 1 1 1 0 01 0 0 0 1 1T 0 0 1 x C x x C C C B B B B 0 0 T 0 0 = @D @ y AA AD @ y A = (x ; y ; 1)D AD @ y0 A : 1 1 1 53

±¨«³ § ¬¥· ¨¿ 10.1 ½²® ®§ · ¥², ·²® A0 = DT AD. «®£¨·® ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ¨ ¢²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥. 2 °®¤®«¦¨¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬». § «¥¬¬», ®°²®£® «¼®±²¨ C ¨ ¿¢®£® ¢¨¤ D ¯®«³· ¥¬ det Q0 = det (C T QC ) = det C T det Qdet C = (det C ) det Q = det Q; det A0 = det (DT QD) = det DT det Adet D = (det D) det A = det A; ² ª ª ª det C = 1, det A = det C . ¢ °¨ ²®±²¼ ¨ ³±² ®¢«¥ . ® «¥¬¬¥ ! ! ! 0 a0 ! c c a a a c c 0 T Q = C QC; a0 a0 = c c a a c c = ! ! c c c a + c a c a + c a = c a +c a c a +c a c c ; a0 = c a + c c a + c c a + c a ; a0 = c a + c c a + c c a + c a ; a0 + a0 = a (c + c ) + 2a (c c + c c ) + a (c + c ): ±¯®¬¨¬ ¿¢»© ¢¨¤ ¤¢³¬¥°»µ ®°²®£® «¼»µ ¬ ²°¨¶: ! ! cos ' ? sin ' cos ' sin ' ¨«¨ sin ' cos ' sin ' ? cos ' : ª ·²® c + c = cos ' + sin ' = 1; c c + c c = cos '( sin ') sin ' cos ' = 0; c + c = sin ' + cos ' = 1: ·¨², a0 + a0 = a + a . 2 ¬¥· ¨¥ 10.14. ª § »¥ ¨¢ °¨ ²» ¥ ¿¢«¿¾²±¿ ¨¢ °¨ ² ¬¨ ®²®±¨²¥«¼® ³¬®¦¥¨¿ ³° ¢¥¨¿ ¥³«¥¢®¥ . ² ®¯¥° ¶¨¿ ¥ ¿¢«¿¥²±¿ § ¬¥®© ¯°¿¬®³£®«¼»µ ª®®°¤¨ ². ¤ · 4. ®¦® «¨ ©²¨ ¡®«¥¥ ¸¨°®ª¨© ª« ±± § ¬¥, ·²®¡» ±®µ° ¿«¨±¼ ³ª § »¥ ¨¢ °¨ ²» ? ¬¥· ¨¥ 10.15. ¢ °¨ ²®±²¼ S ¨ ¬®¦® ¯®«³·¨²¼ ¨§ ¥ª®²®°®© ¡®«¥¥ ®¡¹¥© ²¥®°¥¬», ª®²®°³¾ ¬» ±¥©· ± ¤®ª ¦¥¬. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 10.16. ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨¬ ¬®£®·«¥®¬ ¬ ²°¨¶» Q §»¢ ¥²±¿ Q := det (Q ? E ), £¤¥ E | ¥¤¨¨· ¿ ¬ ²°¨¶ . ¥®°¥¬ 10.17. ®½´´¨¶¨¥²» µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬®£®·«¥ ¬ ²°¨¶» Q 2

2

11

12

11

21

11

12

11

12

12

22

12

22

12

22

21

22

11 11

12 11

11

22

11

11

22

2 11 2 12 2 11

2 12

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11 21

22

11

11

12

21 22

11

12

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12

12

22 22

21

22

11

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21 11 12

11 21 12

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2 21 22 2 22 22

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11

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22

¿¢«¿¾²±¿ ®°²®£® «¼»¬¨ ¨¢ °¨ ² ¬¨.

®ª § ²¥«¼±²¢®.

Q () = det (Q0 ? E ) = det (C T QC ? E ) = det (C T QC ? C T C ) = = det (C T (Q ? E )C ) = (det C ) det (Q ? E ) = Q(): 2 0

2

54

10.3. ¯°¥¤¥«¥¨¥ ª ®¨·¥±ª®£® ³° ¢¥¨¿ ¯® ¨¢ °¨ ² ¬ ª ¡»«® ¯®ª § ® ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ²¥®°¥¬» ® ¯°¨¢¥¤¥¨¨ ª ª ®¨·¥±ª®¬³ ¢¨¤³, «¾¡®¥ ³° ¢¥¨¥ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª § ¬¥®© ¯°¿¬®³£®«¼»µ ª®®°¤¨ ² ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ®¤®¬³ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨¤®¢ 1) F = (x) + (y) + ( ; 6= 0); 2) F = (y) + 2b x ( ; b 6= 0); 3) F = (y) + ( 6= 0). ½²®¬ ½² ¯¥ ¡»«¨ ¯°®¢¥¤¥» ²®«¼ª® § ¬¥» ¯°¿¬®³£®«¼»µ ª®®°¤¨ ² (¨ª ª ¨µ ³¬®¦¥¨© ¥³«¥¢»¥ ¬®¦¨²¥«¨ ¥¹¥ ¥ ¯°®¨§¢®¤¨«®±¼), ¯®½²®¬³ ¢±¥ ¨¢ °¨ ²» ±®µ° ¨«¨±¼. ·¨², ¥±«¨ ¬» ±¬®¦¥¬ ¯® ¨¢ °¨ ² ¬ ¢ ½²®¬ ¢¨¤¥ ©²¨ ³° ¢¥¨¥, ²® ¨ ¢ ¨±µ®¤®¬ ²®¦¥. ³· © 0 A 1 S B@ 0 0 00 CA + 1 0 0 0 1 ®±² ¢¨¬ ² ¡«¨¶³ B@ 00 0 b0 CA 2 0 ? b 0b 0 0 1 B@ 00 0 00 CA 3 0 0 0 0 ·¥¢¨¤® ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥. °¥¤«®¦¥¨¥ 10.18. ¨¯» ª¢ ¤°¨ª 1 ? 3 ®¤®§ ·® ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ § ·¥¨¿¬¨ 1

2

2

2

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2

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2

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2 2 1

1

¨¢ °¨ ²®¢

6= 0; 2) = 0, 6= 0; 3) = 0, = 0, S 6= 0. ±±¬®²°¨¬ ª ¦¤»© ±«³· © ®²¤¥«¼®. 1. F = (x) + (y) + ( ; 6= 0). °¥¤«®¦¥¨¥ 10.19. ®½´´¨¶¨¥²» ¨ ¿¢«¿¾²±¿ ª®°¿¬¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬®£®·«¥ ¬ ²°¨¶» Q. ! ? 0 ®ª § ²¥«¼±²¢®. Q = det 0 ? = ( ? )( ? ). 2 ² ª, ¢ ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ ®²¢¥² ±«¥¤³¾¹¨©: ¨ µ®¤¿²±¿ ª ª ª®°¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬®£®·«¥ ? S + = 0, = =. 1)

1

2

2

2

1

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1

2

1

1

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1

2

55

2

2

«¥¤±²¢¨¥ 10.20. 2. F = (y) + 2b x

° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬®£®·«¥ ¨¬¥¥² ¢¥¹¥±²¢¥»¥ ª®°¨.

( ; b 6=s0). ½²®¬ ±«³· ¥ = S , b = ? . ²® ¯ ° ¡®« ± ´®ª «¼»¬ ¯ ° ¬¥²°®¬ S s p = ?S . 3. F = (y) + ( 6= 0). ³² = S , ® ¢»·¨±«¨²¼ ·¥°¥§ S , ¨ ¥¢®§¬®¦®. ¥®¡µ®¤¨¬ ¥¹¥ \¯®·²¨ ¨¢ °¨ ²". ¯°¥¤¥«¨¬ ´³ª¶¨¾ K ´®°¬³«®© a a a a K := a a + a a : 2

2

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¥¬¬ 10.21.

11

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®°¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬®£®·«¥ ¬ ²°¨¶»

A ¥

¬¥¿¾²±¿

¯°¨ § ¬¥ µ ¯°¿¬®³£®«¼»µ ª®®°¤¨ ² ± ®¡¹¨¬ · «®¬.

1 0 c c 0 ®ª § ²¥«¼±²¢®. ½²®¬ ±«³· ¥ ¬ ²°¨¶ D = B@ c c 0 CA ®°²®£® «¼ . 0 0 1 «¼¸¥ ¤®±«®¢® ª ª ¢ ²¥®°¥¬¥ 10.17. 2

¥®°¥¬ 10.22.

±«¨

= = 0, ²® ´³ª¶¨¿ K

11

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¿¢«¿¥²±¿ ®°²®£® «¼»¬ ¨¢ °¨-

²®¬.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ¬¥²¨¬, ·²® µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬®£®·«¥ A ¨¬¥¥² ¢¨¤ a a ? a a ? a = a a a a ? 11

12

12

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! a a a a a a = ? + (a + a + a ) ? a a + a a + a a + = = ? + (a + S ) ? (K + ) + : ±¨«³ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬» k ¨¢ °¨ ²¥ ¯°¨ ¯°¿¬®³£®«¼»µ § ¬¥ µ, ±®µ° ¿¾¹¨µ · «®. ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ²°¥¡³¥¬ = = 0. ®±ª®«¼ª³ ¤®¡¨²¼±¿ a = 0 ¬®¦® ®¤¨¬ ¨ ²¥¬ ¦¥ ¯®¢®°®²®¬ ¤«¿ ±¨±²¥¬, ®²«¨· ¾¹¨µ±¿ ±¤¢¨£, ²® ¬®¦® ±·¨² ²¼, ·²® ³¦¥ a = 0 ³ ¨±µ®¤®£® ³° ¢¥¨¿. ®±ª®«¼ª³ ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ = a a = 0, ²® ¡¥§ ®£° ¨·¥¨¿ ®¡¹®±²¨ ¬®¦® ±·¨² ²¼, ·²® a = 0, a 6= 0. § = ?a a = 0 ¯®«³· ¥¬ a = 0. ®£¤ F ¯°¨¨¬ ¥² ¢¨¤ F = a y + 2a y + a . ±±¬®²°¨¬ ±¤¢¨£ 3

0

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x = x0 + x ;

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y = y0 + y :

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56

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2 1 22

®£¤ F 0 = a (y0 + y ) + 2a (y0 + y ) + a = a (y0) + 2(a y + a )y0 + (a y + 2a y + a ); a0 = a ; a0 = a y + a ; a0 = a y + 2a y + a : °¨ ½²®¬ 1 1 0 0 0 0 0 C 0 0 0 C A=B @ 0 a a A ; A0 = B@ 0 a0 a0 A : 0 a0 a0 0 a a ®£¤ K = a a ? a , K 0 = a (a y + 2a y + a ) ? (a y + a ) = a a ? a = K: 2 ¥°¥¬±¿ ª ²°¥²¼¥¬³ ±«³· ¾: F = y + , 1 0 0 0 0 A=B @ 0 0 CA ; S = ; = = 0; 0 0 K = ; = KS : 22

0

2

22

22 0

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¥®°¥¬ 10.23.

«¥¤³¾¹ ¿ ² ¡«¨¶ ¤ ¥² ¥®¡µ®¤¨¬»¥ ¨ ¤®±² ²®·»¥ ³±«®¢¨¿

¯°¨ ¤«¥¦®±²¨ ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ª ®¤®¬³ ¨§ ¤¥¢¿²¨ ¢¨¤®¢ ¢ ²¥°¬¨ µ ¨¢ °¨ ²®¢:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

««¨¯± ¨¬»© ½««¨¯± ° ¬¨¬»µ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ ¨¯¥°¡®« ° ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ ° ¡®« ° ¯ ° ««¥«¼»µ ¯°¿¬»µ ° ¬¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼»µ ¯°¿¬»µ ° ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ ®ª § ²¥«¼±²¢®. °®¢¥¤¥¬ ¤«¿ ½««¨¯± .

>0 >0 >0 <0 <0 =0 ==0 ==0 ==0

S < 0 S > 0 =0 6= 0 =0 6= 0 K<0 K>0 K=0

1 0 0 0 2 a A=B @ 0 b2 0 CA ; 0 0 ?1 = a1 b1 > 0; S = a1 + b1 > 0; = ? a1 b1 < 0: °¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ª ¤°³£®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ¨¢ °¨ ²» ¥ ¨§¬¥¿²±¿. ±«¨ ³¬®¦¨¬ F ¯®«®¦¨²¥«¼³¾ ª®±² ²³, ²® § ª¨ ¨¢ °¨ ²®¢ ®±² ³²±¿ ¯°¥¦¨¬¨, ¥±«¨ 1

F = xa + yb ? 1 = 0; 2

2

2

2

2

2

1

2

2

57

2

2

³¬®¦¨¬ F ®²°¨¶ ²¥«¼³¾ ª®±² ²³, ²® § ª ¥ ¨§¬¥¨²±¿, § ª¨ S ¨ ¨§¬¥¿²±¿, § ·¨², § ª S ®±² ¥²±¿ ¯°¥¦¨¬. ¡° ²®, ° ±±¬®²°¨¬ ª¢ ¤°¨ª³ ± > 0 ¨ S < 0. ª ª ª 6= 0, ²® ® ¯°¨¢¥¤¥²±¿ ª ¯¥°¢®¬³ ²¨¯³:

F = (x) + (y) + ( ; 6= 0); 1 0 0 0 A=B @ 0 0 CA ; S = + ; = = : 0 0 ª ª ª > 0, ²® ¨ ®¤®£® § ª , § ·¨², ¨ S ²®£® ¦¥ § ª . ª ª ª S < 0, ²® ¤°³£®£® § ª , ¨ = = ²®¦¥. ®½²®¬³ ¯®±«¥ ¤¥«¥¨¿ ? ¯°¨µ®¤¨¬ ª ³° ¢¥¨¾ ½««¨¯± . 2 2

1

2

2

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2

1

«¥¤±²¢¨¥ 10.24.

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2

1

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1

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®±ª®«¼ª³

ª®½´´¨¶¨¥²»

ª ®¨·¥±ª®£®

³° ¢¥¨¿

¢»° ¦ -

¾²±¿ ·¥°¥§ ¨¢ °¨ ²» ¨ ±¥¬¨¨¢ °¨ ², ²® ³° ¢¥¨¿ ®¯°¥¤¥«¥» ®¤®§ ·®.

°¨¬¥° 10.25. ¯°¥¤¥«¨²¼ ²¨¯ ª°¨¢®© x ? 5xy + 4y + x + 2y ? 2 = 0. 1 0 1 ?5=2 1=2 1 C A=B A; @ ?5=2 4 1=2 1 ?2 2

2

S = 5; = 4 ? 254 = ? 94 ; = ?8 ? 45 ? 45 ? 1 ? 1 + 25 2 = 0; ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ¯ ° ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ. °¨¬¥° 10.26. ¯°¥¤¥«¨²¼ ²¨¯ ª°¨¢®© 5x + 12xy ? 22x ? 12y ? 19 = 0. 1 0 5 6 ?11 A=B @ 6 0 ?6 CA ; ?11 ?6 ?19 S = 5; = ?36; = 2 36 11 + 36 19 ? 36 5 = 792 + 504 = 1296; ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® £¨¯¥°¡®« . ¤ · 5. ©²¨ (± ¯®¬®¹¼¾ ¨¢ °¨ ²®¢) ª ®¨·¥±ª¨¥ ³° ¢¥¨¿ ½²¨µ ª°¨¢»µ. 2

10.4. ±¯ ¤ ¾¹¨¥±¿ ª°¨¢»¥ ¯°¥¤¥«¥¨¥ 10.27. «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ª°¨¢ ¿ F (x; y) = 0 §»¢ ¥²±¿ ¹¥©±¿, ¥±«¨ F = F F , £¤¥ F ¨ F | ¬®£®·«¥» ¥³«¥¢®© ±²¥¯¥¨. 1

2

°¥¤«®¦¥¨¥ 10.28. ±®¤¥°¦¨² ¯°¿¬³¾

f

1

° ±¯ ¤ ¾-

2

±«¨ «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ª°¨¢ ¿ ¯°®¨§¢®«¼®£® ¯®°¿¤ª

Ax + By + C = 0, ²® F = f F , ². ¥. 1

¼¥§ ®±² ²ª .

58

¬®£®·«¥

F

F =0

¤¥«¨²±¿

®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ A 6= 0 (¤«¿ B 6= 0 «®£¨·®). §¤¥«¨¬ ¬®£®·«¥ F f ª ª ¬®£®·«¥» ®² x ± ®±² ²ª®¬ r(y). °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® r = 6 0, ². ¥. ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª y , ·²® r(y ) = 6 0. »¡¥°¥¬ x ² ª, ·²®¡» 0

0

0

f (x ; y ) = Ax + By + C = 0; 0

0

0

x = ? A1 (By + C ):

²:¥:

0

0

®£¤ (x ; y ) 2 ff = 0g fF = 0g ¨ 0

0

0

0 = F (x ; y ) = f (x ; y ) F (x ; y ) + r(y ) = 0 F (x ; y ) + r(y ) = r(y ): 0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

2

°®²¨¢®°¥·¨¥.

«¥¤±²¢¨¥ 10.29.

F (x; y) = 0 ±®¤¥°¦¨² ¯°¿¬³¾ Ax + By + C = 0, ²® F = (Ax + By + C ) (A x + B y + C ). ²® ¢®§¬®¦® ±¤¥« ²¼ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ = 0. ±«¨ ª°¨¢ ¿ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª

1

1

1

®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ¯®«³· ¥²±¿ ±° §³ ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£® ¯°¥¤«®¦¥¨¿, ¢²®°®¥ | ¨§ ¯¥°¢®£® ¨ ²¥®°¥¬» ®¡ ®¯°¥¤¥«¥¨¨ ¢¨¤ ª°¨¢®© ¯® ¨¢ °¨ ² ¬. 2

°¨¬¥° 10.30.

F (x; y) = x ? 5xy + 4y + x + 2y ? 2 = x ? (5y ? 1)x + (4y + 2y ? 2); x ; = 5y ? 1 2(3y ? 3) ; x = 4y ? 2; x = y + 1; F (x; y) = (x ? x ) (x ? x ) = (x ? 4y + 2) (x ? y ? 1): ¤ · 6. ®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ a 6= 0, ²® ª¢ ¤° ²®¥ ³° ¢¥¨¥ F (x; y) = 0 ®²®±¨²¥«¼® x ¨¬¥¥² ±®¨¬ ¤¨±ª°¨¬¨ ²®¬ ª¢ ¤° ²»© ²°¥µ·«¥ ®²®±¨²¥«¼® y, ¤¨±ª°¨¬¨ ² ª®²®°®£® ¢ ±¢®¾ ®·¥°¥¤¼ ° ¢¥ a 1. · ±²®±²¨, ª®°¥¼ ¨§¢«¥ª ¥²±¿ ²®·® ¯°¨ = 0. 2

2

2

2

1

12

1

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2

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¥®°¥¬ 10.31.

°®¨§¢®«¼»© ®°²®£® «¼»© ¨¢ °¨ ²

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¬®£®·«¥ ¢²®°®©

±²¥¯¥¨, ¯®«¨®¬¨ «¼® § ¢¨±¿¹¨© ®² ¥£® ª®½´´¨¶¨¥²®¢, ¿¢«¿¥²±¿ ¬®£®·«¥®¬ ®²

S , ¨ .

10.5. ¥®°¥¬» ¥¤¨±²¢¥®±²¨ ¤«¿ ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ¯®¬¨¬, ·²® ª¢ ¤°¨ª | ½²® «£¥¡° ¨·¥±ª®¥ ³° ¢¥¨¥ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ± ²®·®±²¼¾ ¤® ³¬®¦¥¨¿ ¥³«¥¢®© ¬®¦¨²¥«¼.

¥®°¥¬ 10.32.

³¹¥±²³¥² ¨ ¥¤¨±²¢¥ ª¢ ¤°¨ª , ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ ¤ »¥ ° §-

«¨·»¥ ¯¿²¼ ²®·¥ª, ¨ª ª¨¥ ·¥²»°¥ ¨§ ª®²®°»µ ¥ «¥¦ ² ®¤®© ¯°¿¬®©.

59

®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ Pi(xi; yi), i = 1; : : : ; 5, | ½²¨ ²®·ª¨ ¢ ¥ª®²®°®© ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ². «¿ µ®¦¤¥¨¿ ª®½´´¨¶¨¥²®¢ ³° ¢¥¨¿ ¨±ª®¬®© ª¢ ¤°¨ª¨ ¢®§¨ª ¥² ±¨±²¥¬ ¨§ 5 «¨¥©»µ ³° ¢¥¨©: a xi + 2a xiyi + a yi + 2a xi + 2a yi + a = 0; 11

2

12

2

22

1

2

i = 1; : : : 2;

0

®² 6 ¥¨§¢¥±²»µ ± ²®·®±²¼¾ ¤® ³¬®¦¥¨¿ ¥³«¥¢®© ¬®¦¨²¥«¼. ª ¿ ±¨±²¥¬ ¢±¥£¤ ¨¬¥¥² °¥¸¥¨¥. ® ®¤®§ ·® ± ²®·®±²¼¾ ¤® ³¬®¦¥¨¿ ¥³«¥¢®© ¬®¦¨²¥«¼, ¥±«¨ ³° ¢¥¨¿ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬». ®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢®¥. ³±²¼, ¯°¨¬¥°, ¯¿²®¥ ³° ¢¥¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©®© ª®¬¡¨ ©¨¥© ¯¥°¢»µ ·¥²»°¥µ, ² ª ·²® «¾¡ ¿ ª¢ ¤°¨ª , ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ P ; : : :; P , ¯°®µ®¤¨² ¨ ·¥°¥§ P . ±±¬®²°¨¬ ¤¢ ±«³· ¿. 1: ²°¨ ²®·ª¨ ¨§ P ; : : :; P , ¯°¨¬¥°, P ; P ; P «¥¦ ² ®¤®© ¯°¿¬®©, ª®²®°³¾ ®¡®§ ·¨¬ l. 1

1

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°®¢¥¤¥¬ ¯°¿¬³¾ m, ±®¤¥°¦ ¹³¾ P ¨ ¥ ±®¤¥°¦ ¹³¾ P . ª ª ª 4 ²®·ª¨ ¥ «¥¦ ² ®¤®© ¯°¿¬®©, ²® m 6= l ¨ m [ l | ª¢ ¤°¨ª , ¥ ±®¤¥°¦ ¹ ¿ P . °®²¨¢®°¥·¨¥. 2: ¨ª ª¨¥ ²°¨ ²®·ª¨ ¨§ P ; : : :; P ¥ «¥¦ ² ®¤®© ¯°¿¬®©. ®£¤ ®¯°¥¤¥«¥» ¤¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨: q := (P P ) [ (P P ) ¨ q := (P P ) [ (P P ). PP PP## PP # PP P P # PP # P PPP # hhhP P # hhhh # hhh P 4

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hhh r hhh h

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® ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¾, P 2 q , P 2 q . ® q \ q = fP ; P ; P ; P g. °®²¨¢®°¥·¨¥.

2

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1

5

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1

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¥®°¥¬ 10.33.

±«¨ ¤¢ ³° ¢¥¨¿ ¢²®°®© ±²¥¯¥¨

F = 0 ¨ G = 0 § ¤ ¾² ®¤³

¨ ²³ ¦¥ ª°¨¢³¾, ². ¥. ®¤® ¨ ²® ¦¥ ¬®¦¥±²¢® ²®·¥ª, ¯°¨·¥¬ ±®¤¥°¦ ¹³¾ ¡®«¥¥

F = G, 6= 0. ®ª § ²¥«¼±²¢®. , ¯®¤¯ ¤ ¾¹¨¥ ¯®¤ ´®°¬³«¨°®¢ª³ ²¥®°¥¬», §®¢¥¬ ±®¤¥°¦ ²¥«¼»¬¨ ( ¨ ¯ °» ¯°¿¬»µ, ¡»²¼ ¬®¦¥² ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ), ¯°®·¨¥ | ¥±®¤¥°¦ ²¥«¼»¬¨ (²®·ª ¨ ¯³±²®¥ ¬®¦¥±²¢®). «¿ ¢±¥µ ±®¤¥°¦ ²¥«¼»µ ª°¨¢»µ, ª°®¬¥ ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ, ±³¹¥±²¢³¾² ¯°¨ ¤«¥¦ ¹¨¥ ¨¬ 4 ²®·ª¨, ¥ «¥¦ ¹¨¥ ®¤®© ¯°¿¬®©. ®½²®¬³ ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ²¥®°¥¬» ¤«¿ ¨µ ±«¥¤³¥² ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬». ±² «±¿ ±«³· © ¤¢³µ ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ. ³±²¼ F = 0 ¨ G = 0 ±®¤¥°¦ ² Ax + Bx + C = 0. ®£¤ ¯® ¯°¥¤«®¦¥¨¾ ® ° ±¯ ¤ ¾¹¨µ±¿ ª°¨¢»µ, F = (Ax + By + C ) (A x + B y + C ); G = (Ax + By + C ) (A x + B y + C ): ®£¤ °¥·¼ ¨¤¥² ® ±®¢¯ ¢¸¨µ ¯°¿¬»µ, ²® ¢²®°»¥ ±®¬®¦¨²¥«¨ ¤®«¦» ®¯°¥¤¥«¿²¼ ²³ ¦¥ ¯°¿¬³¾ Ax + Bx + C = 0, § ·¨², ¯® ²¥®°¥¬¥ ®¡ ³° ¢¥¨¿µ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª , § ¤ ¾¹¨µ ®¤³ ¨ ²³ ¦¥ ª°¨¢³¾, A x + B y + C = (Ax + Bx + C ); A x + B y + C = (Ax + Bx + C ); ² ª ·²® G = F . 2 ®¤®© ²®·ª¨, ²®

1

1

1

1

1

2

1

2

2

2

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10.6. ¥®°¥¬ ±ª «¿. \®±²°®¥¨¥" ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ¯® ¯¿²¨ § ¤ »¬ ²®·ª ¬. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 10.34. ¥±²¨¢¥°¸¨¨ª®¬ §»¢ ¥²±¿ ³¯®°¿¤®·¥»© ¡®° A ; : : : ; A ¸¥±²¨ ²®·¥ª ¯«®±ª®±²¨, µ®¤¿¹¨µ±¿ ¢ ®¡¹¥¬ ¯®«®¦¥¨¨, ². ¥. ¨ª ª¨¥ 3 ²®·ª¨ ¥ «¥¦ ² ®¤®© ¯°¿¬®©. £® ±²®°®» : A A , A A , ... A A . °®²¨¢®¯®«®¦»¥ ±²®°®» : A A ¨ A A , A A ¨ A A , A A ¨ A A . X T A XXXXX T A A A T A A ZZZ AD A T SS C@ Z D T A C S @ D T C @ S A D A A TT C @ S D A C D S A @ A A AA CC S A @ A @ A S A 1

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¥®°¥¬ 10.36 ( ±ª «¿).

®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ¯°®²¨¢®¯®«®¦»µ ±²®°® ¸¥±²¨-

¢¥°¸¨¨ª , ¢¯¨± ®£® ¢ , «¥¦ ² ®¤®© ¯°¿¬®©.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ P = (A A ) \ (A A ), P = (A A ) \ (A A ), P = (A A ) \ (A A ). ®ª ¦¥¬, ·²® P 2 (P P ). 1

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P (x; y) = a x +a x y+a y +a y +a x +a xy+a y +a x+a y+a = 0; ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ 8 ²®·¥ª: A ; : : :; A ; P ; P . ®§¨ª ¥² ®¤®°®¤ ¿ ±¨±²¥¬ ¨§ 8 ³° ¢¥¨© 10 ª®½´´¨¶¨¥²®¢ aijk . ®ª ¦¥¬, ·²® ½²¨ 8 ³° ¢¥¨© «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬». °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ½²® ¥ ² ª, ². ¥. ®¤® ¨§ ³° ¢¥¨© «¨¥©® ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ ®±² «¼»¥. ²® ®§ · ¥², ·²® «¾¡ ¿ ª³¡¨·¥±ª ¿ ª°¨¢ ¿, ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ 7 ²®·¥ª, ¯°®µ®¤¨² ¨ ·¥°¥§ ¢®±¼¬³¾. ®¯³±²¨¬, ³° ¢¥¨¥, ®²¢¥· ¾¹¥¥ P , ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ ®±² «¼»¥. ±±¬®²°¨¬ ª³¡¨·¥±ª®¥ ³° ¢¥¨¥, ° ¢®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¾ ³° ¢¥¨¿ ¸¥© ª¢ ¤°¨ª¨ ³° ¢¥¨¥ ¯°¿¬®©, ¯°®µ®¤¿¹¥© ·¥°¥§ P , ® ¥ ·¥°¥§ P . °®²¨¢®°¥·¨¥. «®£¨·® ¤«¿ P . ³±²¼ ²¥¯¥°¼ \§ ¢¨±¨¬ ¿" ²®·ª | A . ®£¤ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ª³¡¨ª¨ (A A ) [ (A A ) [ (A A ). «®£¨·® ¤«¿ ®±² «¼»µ Ai. ² ª 8 ³° ¢¥¨© «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬» ¨ «¾¡®¥ °¥¸¥¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ «¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¥© ¤¢³µ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬»µ °¥¸¥¨©. ¢ °¥¸¥¨¿, ®¯°¥¤¥«¿¾¹¨¥ ° §«¨·»¥ ¡³¤³² «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬» (®² ¯°®²¨¢®£®). · ±²®±²¨, ª³¡¨·¥±ª¨¥ ³° ¢¥¨¿ (A A ) [ (A A ) [ (A A ) ¨ (A A ) [ (A A ) [ (A A ) «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬». ·¨², ³° ¢¥¨¥ Q [ (P P ), £¤¥ Q | ¨±µ®¤ ¿ ª®¨ª , ¢»° ¦ ¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ¨µ «¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¨. ·¨², P 2 (A A ) [ (A A ) [ (A A ) \ (A A ) [ (A A ) [ (A A ) Q [ (P P ): 111

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¥®°¥¬ ±ª «¿ ¢¥° ¨ ¢ ±«³· ¥ ¤¢³µ ¥±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ

¯°¿¬»µ, ¥±«¨ ¯®²°¥¡®¢ ²¼, ·²®¡» ¢¥°¸¨» ¢¯¨± ®£® ¸¥±²¨¢¥°¸¨¨ª «¥¦ «¨ ·¥°¥§ ®¤³ ª ¦¤®© ¨§ ¯°¿¬»µ, ². ¥.

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¨¬ ²¥«¼® ¯°® «¨§¨°®¢ ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» ±ª «¿, ¬®¦® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ¢¥° ² ª¦¥

¥®°¥¬ 10.38 (®¡° ² ¿ ²¥®°¥¬ ±ª «¿).

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²¨¢®¯®«®¦»µ ±²®°® ¸¥±²¨¢¥°¸¨¨ª «¥¦ ² ®¤®© ¯°¿¬®©, ²® ¢®ª°³£ ¥£® ¬®¦® ®¯¨± ²¼ ª®¨ª³.

¤ · 7. °®¢¥±²¨ ¯®¤°®¡®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» ¯¯ . ¤ · 8. °®¢¥±²¨ ¯®¤°®¡®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ®¡° ²®© ²¥®°¥¬» ±ª «¿. 11. ¥°¥±¥·¥¨¥ ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ± ¯°¿¬®©

±±¬®²°¨¬ ª°¨¢³¾ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ?, § ¤ ³¾ ¢ ¥ª®²®°®© ´´¨®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ³° ¢¥¨¥¬ F (x; y) = a x + 2a xy + a y + 2a x + 2a y + a = 0; ¨ ¯°¿¬³¾ l, § ¤ ³¾ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ ( x = x + t : y = y + t «¿ µ®¦¤¥¨¿ ²®·¥ª ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ? ¨ l ¯®¤±² ¢¨¬ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ³° ¢¥¨¿ ¢ F = 0: a (x + t) +2a (x + t)(y + t)+ a (y + t) +2a (x + t)+2a (y + t)+ a = 0; ¨«¨ F t + 2F t + F = 0; £¤¥ F = a + 2a + a = q(; ); F = (a x + a y + a ) + (a x + a y + a ); F = F (x ; y ): ¯°¥¤¥«¥¨¥ 11.1. ¥³«¥¢®© ¢¥ª²®° (; ) ¨¬¥¥² ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥¨¥ ¯® ®²®¸¥¨¾ ª ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ?, ¥±«¨ F = q(; ) = a + 2a + a = 0. ¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ½²® ±¢®©±²¢® ¥ ¬¥¿¥²±¿ ¯°¨ ³¬®¦¥¨¨ ³° ¢¥¨¿ ¥³«¥¢®© ¬®¦¨²¥«¼, ². ¥. ¿¢«¿¥²±¿ ±¢®©±²¢®¬ ª¢ ¤°¨ª¨, ¥ ª°¨¢®©. 2

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l ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ¯° ¢«¥¨¿ ¯® ®²®¸¥¨¾ ª ª°¨? «¨¡® ¨¬¥¥² ± ¥© 2 ®¡¹¨¥ ²®·ª¨ (° §«¨·»¥ ¨«¨ ±®¢¯ ¢¸¨¥) «¨¡® ¥ ¯¥°¥±¥ª ¥²±¿ ± ¥©. °¿¬ ¿ l ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ¯° ¢«¥¨¿ ¯® ®²®¸¥¨¾ ª ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ? «¨¡® ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ?, «¨¡® ¨¬¥¥² ± ¥© ®¤³ °¿¬ ¿

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¨¬¥¥² ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥¨¥ ¨ ¶¥«¨ª®¬ ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ª°¨¢®©. ·¨², ª°¨¢ ¿ ° ±¯ ¤ ¥²±¿ ¤¢¥ ¯°¿¬»¥ ¨ ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ª®¨ª®©. 2

11.1. µ®¦¤¥¨¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ¯° ¢«¥¨© ° ¢¥¨¥ ¤«¿ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ¯° ¢«¥¨©: a + 2a + a = 0: ±«¨ a 6= 0, ²® 6= 0, ² ª ª ª ¨ ·¥ ¨ = 0. ¥«¨¬ : ! ! a + 2a + a = 0; ¨«¨ a k + 2a k + a = 0, £¤¥ k = . ®£¤ q p ? a a ?a a ? : ? a = k= a a ¯°¥¤¥«¥¨¥ 11.6. ¢ ¤°¨ª F = 0 ¨¬¥¥² ½««¨¯²¨·¥±ª¨©, £¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¨«¨ ¯ ° ¡®«¨·¥±ª¨© ²¨¯, ¥±«¨, ±®®²¢¥±²¢¥®, > 0, < 0 ¨«¨ = 0. ¥¬¬ 11.7. ²® ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ª®°°¥ª²®, ². ¥. § ª ¥ § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®° ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ² ¨ ³¬®¦¥¨¿ ³° ¢¥¨¿ ¥³«¥¢®¥ . ®ª § ²¥«¼±²¢®. ¬¥²¨¬, ·²® | ¨¢ °¨ ² ²®«¼ª® ®°²®£® «¼»µ § ¬¥, ® ¯°¨ ¯°®¨§¢®«¼®© § ¬¥¥ sgn 0 = sgn det Q0 = sgn det (C T QC ) = sgn (det C ) det Q = sgn : °¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ®² F ª F , ±µ®¤»¬ ®¡° §®¬, ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ . 2 11

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p? ? a ®ª § ²¥«¼±²¢®. ±«¨ a =6 0, ²® ¡»« ¯®«³·¥ ´®°¬³« k = , ¨§ a ª®²®°®© ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ±«¥¤³¥² ®·¥¢¨¤»¬ ®¡° §®¬. «®£¨·® ¤«¿ ±«³· ¿ a = 6 0. ±«¨ ¦¥ a = a = 0, ²® = ?a < 0 ¨ ³° ¢¥¨¥ ¤«¿ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ 12

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22

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q(; ) = 2a = 0; ®²ª³¤ ¯®«³· ¥¬ ¤¢ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ¯° ¢«¥¨¿: (0; 1) ¨ (1; 0). 2 °¨¬¥° 11.9. ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¥ ¯° ¢«¥¨¿ £¨¯¥°¡®«» x ?y =1 a b ¤®«¦» ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ ? = 0; k = = a : a b b . ¥. ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¥ ¯° ¢«¥¨¿ £¨¯¥°¡®«» | ¯° ¢«¥¨¿ ¥¥ ±¨¬¯²®². °¨¬¥° 11.10. ½««¨¯± x +y =1 a b ¥² ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ¯° ¢«¥¨©: + = 0; , = = 0: a b °¨¬¥° 11.11. ° ¡®« ¨¬¥¥² ®¤® ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥¨¥ ( ¯° ¢«¥¨¥ ¥¥ ®±¨): y ? 2px = 0 ¤ ¥² q(; ) = = 0 ¨ ¯° ¢«¥¨¥ (1; 0). ¤ · 9. ±² ®¢¨²¼, ·²® ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¥ ¯° ¢«¥¨¿ ¯ °» ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ | ¯° ¢«¥¨¿ ½²¨µ ¯°¿¬»µ ( «¨²¨·¥±ª¨ ¨ ·¥°¥§ ²¥®°¥¬³ ® ·¨±«¥ ²®·¥ª ¯¥°¥±¥·¥¨¿). ±² ®¢¨²¼, ·²® ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¥ ¯° ¢«¥¨¿ ¯ °» ¯ ° ««¥«¼»µ ¨«¨ ±®¢¯ ¢¸¨µ ¯°¿¬»µ | ¯° ¢«¥¨¿ ½²¨µ ¯°¿¬»µ. 12

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«¥¤±²¢¨¥ 11.12 (¨§ ²¥®°¥¬» 11.3, ¯°¨¬¥°®¢ ¨ § ¤ ·¨).

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±®¤¥°¦ ²¥«¼-

»µ ª°¨¢»µ, § ¨±ª«¾·¥¨¥¬ ±®¢¯ ¢¸¨µ ¯°¿¬»µ, ¬®¦® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥¨¥ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨: ¯°¿¬ ¿

l ¨¬¥¥² ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥-

¨¥ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ©¤¥²±¿ ¯ ° ««¥«¼ ¿ ¥© ¯°¿¬ ¿, ¯¥°¥±¥ª ¾¹ ¿ ª°¨¢³¾ °®¢® ¢ ¤¢³µ ²®·ª µ.

66

11.2. ¨ ¬¥²°» ¨ ¶¥²°» ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ±±¬®²°¨¬ ¥¯³±²³¾ ª°¨¢³¾ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ?, § ¤ ³¾ ¢ ¥ª®²®°®© ´´¨®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ³° ¢¥¨¥¬ F (x; y) = a x + 2a xy + a y + 2a x + 2a y + a = 0; ¨ ¯°¿¬³¾ l ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ¯° ¢«¥¨¿, § ¤ ³¾ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ ( x = x + t : y = y + t 2

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³±²¼ l ¯¥°¥±¥ª ¥² ? ¢ ¤¢³µ (¢®§¬®¦® ±®¢¯ ¢¸¨µ) ²®·ª µ, ¨ (x ; y ) | ±¥°¥¤¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ®²°¥§ª (µ®°¤»). ®±ª®«¼ª³ ¤«¿ µ®¦¤¥¨¿ t ¨ t , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ²®·ª ¬ ¯¥°¥±¥·¥¨¿, ¬» ¨¬¥«¨ ³° ¢¥¨¥ 0

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F t + 2F t + F = 0; 2

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F = a + 2a + a = q(; ); F = (a x + a y + a ) + (a x + a y + a ); F = F (x ; y ); 2

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¯°¨·¥¬ ¢ ¸¥¬ ±«³· ¥ F 6= 0. ® ²¥®°¥¬¥ ¨¥² ¤«¿ t = 0, ®²¢¥· ¾¹¥£® (x ; y ), ³±«®¢¨¥ ±¥°¥¤¨» µ®°¤» ¯°¨¬¥² ¢¨¤ F = 0: 0 = t = t +2 t = ? FF ; ¥®°¥¬ 11.13. ¥°¥¤¨» µ®°¤ ª°¨¢®© ? ¤ ®£® ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ¯° ¢«¥¨¿ (; ) «¥¦ ² ¯°¿¬®© 2

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¤ ®¥ ³° ¢¥¨¥ § ¤ ¥² ¯°¿¬³¾, ². ¥. ½²® ³° ¢¥¨¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥¨, ¥ ³«¥¢®©. ¥°¥¯¨¸¥¬: (a + a )x + (a + a )y + (a + a ) = 0 ±«¨ ¡» ( ( a + a = 0; a + a = 0; + a + a = 0; a + a = 0; 11

12

12

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11

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22

12

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12

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¨ a + 2a + a = 0, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¥ ±¨¬¯²®²¨·®±²¨ ¯° ¢«¥¨¿.

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12

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67

¯°¥¤¥«¥¨¥ 11.14. °¿¬ ¿ (a x + a y + a )+ (a x + a y + a ) = 0 §»¢ ¥²±¿ 11

12

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ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª F = a x + : : : = 0, ±®¯°¿¦¥»¬ ¤ ®¬³ ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¬³ ¯° ¢«¥¨¾ (; ). ¯°¥¤¥«¥¨¥ 11.15. ¥²° ª°¨¢®© ? | ² ª ¿ ²®·ª M (x ; y ), ·²® ¢¬¥±²¥ ± «¾¡®© ²®·ª®© P ±®¤¥°¦¨² ¨ ²®·ª³ P 0, ±¨¬¬¥²°¨·³¾ P ®²®±¨²¥«¼® M . ª¨¬ ®¡° §®¬, M | ¶¥²° ±¨¬¬¥²°¨¨ ?. ¤¨ ¬¥²°®¬

11

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¥¬¬ 11.16.

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M (x ; y ) 0

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¯°¿¬»µ ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ¯° ¢«¥¨©, ¯°®µ®¤¿¹¨¥ ·¥°¥§

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®ª § ²¥«¼±²¢®. «¿ ²®·ª¨ ¨ ¯°¿¬»µ ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ®·¥¢¨¤®. «¿ ° ±±¬®²°¨¬ ¤¢¥ ²®·ª¨ P ¨ Q, ®²«¨·»¥ ®² M , ¥±¨¬¬¥²°¨·»¥ ®²®±¨²¥«¼® M ¨ «¥¦ ¹¨¥ ?. ®£¤ (PM ) \ ? fP; P 0g, (QM ) \ ? fQ; Q0g, £¤¥ P 0 ¨ Q0 | ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ±¨¬¬¥²°¨·»¥ ²®·ª¨. ®«¥¥ ²®£®, ²°¥²¼¨µ ²®·¥ª ¢ ¯¥°¥±¥·¥¨¿µ ¥², ² ª ª ª ½²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ±«¥¤±²¢¨¾ 11.5. ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ³¦»¥ ¯°¿¬»¥. 2

¥®°¥¬ 11.17. °¿¤ª

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M (x ; y ) ¿¢«¿¥²±¿ ¶¥²°®¬ ¥¯³±²®© ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®0

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F (x; y) = a x + 2a xy + a y + 2a x + 2a y + a = 0 11

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a x +a y +a = 0 a x +a y +a = 0 11

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²¥°¬¨ µ · ±²»µ ¯°®¨§¢®¤»µ ³° ¢¥¨¿ § ¯¨¸³²±¿ ¢ ¢¨¤¥

1 @F (x ; y ) = 0; 1 @F (x ; y ) = 0: 2 @x 2 @y ®ª § ²¥«¼±²¢®. ) ³±²¼ (i; i), i = 1; 2, | ¯° ¢«¿¾¹¨¥ ¢¥ª²®°» ¯°¿¬»µ, ®¯°¥¤¥«¥»µ ¯® ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬¥. ®£¤ (x ; y ), ª ª ±¥°¥¤¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ µ®°¤, ¯°¨ ¤«¥¦¨² ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ¤¨ ¬¥²° ¬, ². ¥. ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³° ¢¥¨¿¬ 0

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0

0

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i(a x + a y + a ) + i(a x + a y + a ) = 0; 11

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i = 1; 2:

¡®§ ·¨¢ ¢»° ¦¥¨¿ ¢ ±ª®¡ª µ ·¥°¥§ u ¨ v ±®®²¢¥²±¢¥®, ¯®«³·¨¬, ·²® u ¨ v ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ±¨±²¥¬¥ «¨¥©»µ ³° ¢¥¨© ( u+ v = 0 u+ v = 0 1

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2

°¨ ½²®¬ ³° ¢¥¨¿ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬», ² ª ª ª ¢¥ª²®° (i; i) ¥ª®««¨¥ °». ·¨², ¥¤¨±²¢¥ ¿ ¢®§¬®¦®±²¼: u = v = 0. 68

( ³±²¼ ²®·ª M (x ; y ) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² \³° ¢¥¨¿¬ ¶¥²° ". ¥°¥©¤¥¬ ª ®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² (x0; y0): 0

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x0 = x ? x ;

y0 = y ? y ;

x = x0 + x ;

y = y0 + y :

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F 0(x0; y0) = a (x0+x ) +2a (x0+x )(y0+y )+a (y0+y ) +2a (x0+x )+2a (y0+y )+a = 11

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= a (x0) +2a x0y0 + a (y0) +2(a x + a y + a )x0 +2(a x + a y + a )y0 + F (x ; y ) = = a (x0) + 2a x0y0 + a (y0) + a0 = 0: ·¥¢¨¤®, ·²® ¥±«¨ ²®·ª (x0; y0) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ½²®¬³ ³° ¢¥¨¾, ²® ¨ (?x0; ?y0) | ²®¦¥, ª®®°¤¨ ²» M ¢ ®¢®© ±¨±²¥¬¥: (0; 0). 2 11

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, =0 , = 0; =6 0 ? , ==0

1) ¨¬¥¥² ¥¤¨±²¢¥»© ¶¥²°

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F (x; y) = a x + : : : = 0 11

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®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ³° ¢¥¨¿ ¶¥²° (

a x +a y +a = 0 a x +a y +a = 0 11

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a a ¨¬¥¾² ¥¤¨±²¢¥®¥ °¥¸¥¨¥ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ a a = 6= 0. ±«¨ ¬» ®¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ r ° £ ¬ ²°¨¶» ! a a a B= a a a ²® ¯°¨ = 0 ±¨±²¥¬ ¥ ¨¬¥¥² °¥¸¥¨© ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ r = 2, ¨ ¨¬¥¥² ¡¥±ª®¥·® ¬®£® °¥¸¥¨© ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ r = 1 (³«¥¢»¬ ° £ ¡»²¼ ¥ ¬®¦¥²). ·¥¢¨¤®, ·²® 6= 0 ¢«¥·¥² r = 2, r = 1 ¢«¥·¥² = 0. ®ª ¦¥¬ ®¡° ²»¥ ¨¬¯«¨ª ¶¨¨. ² ª, ¯³±²¼ = = 0 ¨ ¯°¥¤¯®«®¦¨¬ ¯°®²¨¢®¥ ²°¥¡³¥¬®¬³, ². ¥. r = 2. ·¨², ²°¥²¼¿ ±²°®ª ¬ ²°¨¶» 1 0 a a a A=B @ a a a CA a a a 11

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69

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12

22

(®¯°¥¤¥«¨²¥«¥¬ ª®²®°®© ¿¢«¿¥²±¿ ) ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ ¯¥°¢»¥. · ±²®±²¨, a = a + a , a = a + a ¯°¨ ¥ª®²®°»µ ¨ . ²® ®§ · ¥², ·²® ¯®±«¥¤¨© ±²®«¡¥¶ ¬ ²°¨¶» B ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ ¤¢ ¯¥°¢»µ, ª®²®°»¥, ¢ ±¢®¾ ®·¥°¥¤¼, «¨¥©® § ¢¨±¨¬» (² ª ª ª = 0). ·¨², r = 1. °®²¨¢®°¥·¨¥. ¥²®¤®¬ «®£¨·¥±ª®£® ¨±ª«¾·¥¨¿ ¯®«³· ¥¬ ¢²®°³¾ ®¡° ²³¾ ¨¬¯«¨ª ¶¨¾. 2 1

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12

22

«¥¤±²¢¨¥ 11.19. ®ª § ²¥«¼±²¢®. °¥¤¨ ¯°¿¬»µ ²®£® ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ¯° ¢«¥¨¿, ª®²®°®¬³ ¾¡®© ¤¨ ¬¥²° ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ ¢±¥ ¶¥²°» ª°¨¢®©.

±®¯°¿¦¥ ¤ »© ¤¨ ¬¥²°, ¤® ¢»¡° ²¼ ²³, ª®²®° ¿ ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ ¤ »© ¶¥²°. ¨¡® ½²® ²®·ª , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ µ®°¤¥, «¨¡® ¯°®¤®«¦¥¨¾ ¬®¦¥±²¢ ±¥°¥¤¨ µ®°¤. «¾¡®¬ ±«³· ¥ ½²® ²®·ª ¤¨ ¬¥²° . 2

11.3. ®¯°¿¦¥»¥ ¤¨ ¬¥²°» ¨ ¯° ¢«¥¨¿

¥®°¥¬ 11.20. ¶¥²°, ². ¥. ¨¾

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²® ¤¨ ¬¥²°, ±®¯°¿¦¥»© ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¬³ ¯° ¢«¥-

¨¬¥¥² ¯° ¢«¥¨¥

(; ),

² ª¦¥ ¿¢«¿¾¹¥¥±¿ ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¬.

(; ), ¨¬¥¥² ¯° ¢«¥¨¥ (; ). ®ª § ²¥«¼±²¢®. ®¯°¿¦¥»© ª (; ) ¤¨ ¬¥²° ¨¬¥¥² ³° ¢¥¨¥ (a x + a y + a ) + (a x + a y + a ) = 0: ¯° ¢«¥¨¥ (u; v) ¯°¿¬®© ax+by+c = 0, ª ª ¬» § ¥¬, ¤®«¦® ®¡³«¿²¼ ®¤®°®¤³¾ · ±²¼: au + bv = 0. ¸¥¬ ±«³· ¥: ! (12) (a + a ) + (a + a ) = (; )A = 0: °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® (; ) | ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥¨¥. ®£¤ (|a {z + a )} + (|a + {z a )} = 0:

°¨ ½²®¬ ¤¨ ¬¥²°, ±®¯°¿¦¥»© ¯° ¢«¥¨¾

11

11

12

1

12

12

12

11

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22

12

12

V

22

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¬¥±²¥ ± (12) ¯®«³· ¥¬ ±¨±²¥¬³ (

V + W = 0; V + W = 0: ±«¨ V ¨ W ¥ ®¡° ¹ ¾²±¿ ®¤®¢°¥¬¥® ¢ ®«¼, ²® (; ) ¨ (; ) ª®««¨¥ °», ¢ · ±²®±²¨, (; ) ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¨«¨ (; ) ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ | ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ (¥ £®¢®°¿ ® ²®¬, ·²® ¯® £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ±®®¡° ¦¥¨¿¬ ®® ¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ª®««¨¥ °»¬). ·¨², V = W = 0, ². ¥. a + a = 0 a + a = 0: 11

12

12

22

70

® 6= 0, ¨ ½² ±¨±²¥¬ ¨¬¥¥² ²®«¼ª® ²°¨¢¨ «¼®¥ °¥¸¥¨¥ = = 0, ·²® ¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯° ¢«¿¾¹¨¬ ¢¥ª²®°®¬ ¤¨ ¬¥²° . ²®° ¿ · ±²¼ ²¥®°¥¬» ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ¿¢®£® ¢¨¤ ³° ¢¥¨¿ (12) ( ¤® ²° ±¯®¨°®¢ ²¼). 2

«¥¤±²¢¨¥ 11.21.

«¿ ª°¨¢®© ± ¥¤¨±²¢¥»¬ ¶¥²°®¬ «¾¡ ¿ ¯°¿¬ ¿ ¥ ±¨¬¯²®-

²¨·¥±ª®£® ¯° ¢«¥¨¿, ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ ¶¥²°, ¿¢«¿¥²±¿ ¤¨ ¬¥²°®¬.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ² ¯°¿¬ ¿ | ¤¨ ¬¥²°, ±®¯°¿¦¥»© ª ¯° ¢«¥¨¾ ±®¯°¿¦¥®£® ¤¨ ¬¥²° . 2 ¯°¥¤¥«¥¨¥ 11.22. ¢ ¤¨ ¬¥²° ª°¨¢®© ± ¥¤¨±²¢¥»¬ ¶¥²°®¬, ¤¥«¿¹¨¥ ¯®¯®« ¬ µ®°¤», ¯ ° ««¥«¼»¥ ¤°³£®¬³ ¤¨ ¬¥²°³, §»¢ ¾²±¿ ±®¯°¿¦¥»¬¨

¤¨ ¬¥-

²° ¬¨.

¯°¥¤¥«¥¨¥ 11.23. ¢ ¯° ¢«¥¨¿ (; ) ¨ (; ) §»¢ ¾²±¿ ¯° ¢«¥¨¿¬¨

(12).

±®¯°¿¦¥»¬¨

(®²®±¨²¥«¼® ¤ ®© ª°¨¢®©), ¥±«¨ ®¨ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ³° ¢¥¨¾

¬¥· ¨¥ 11.24. § ¤®ª § ®£® ¿±®, ·²® ±®¯°¿¦¥»¥ ¤¨ ¬¥²°» ¢±¥£¤ ¨¬¥¾² ±®¯°¿¦¥»¥ ¯° ¢«¥¨¿. ¡° ²®¥, ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ¥¢¥°®.

¥®°¥¬ 11.25.

±«¨ ª°¨¢ ¿ ¿¢«¿¥²±¿ ¯ ° ¡®«®©, ². ¥.

= 0, 6= 0, ²® ¢±¥ ¥¥

¤¨ ¬¥²°» ¨¬¥¾² ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥¨¥.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ±±¬®²°¨¬ ¯° ¢«¥¨¥ (; ). ®£¤ ±®¯°¿¦¥»© ¤¨ ¬¥²°

¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¯° ¢«¥¨¥ (; ), ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥¥ (a + a ) + (a + a ) = 0; ®²ª³¤ , ± ²®·®±²¼¾ ¤® ¬®¦¨²¥«¿, = ?(a + a ); = a + a : ¬¥¥¬ (¯®±ª®«¼ª³ = 0): ( a + a = ? = 0; + a + a = = 0; 11

12

12

12

22

22

11

12

12

22

11

12

a () + 2a + a ( ) = 0; ². ¥. ¯° ¢«¥¨¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥. 2 ¤ · 10. ®ª § ²¼, ·²® «¾¡ ¿ ¯°¿¬ ¿ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ¯° ¢«¥¨¿ ¯® ®²®¸¥¨¾ ª ¯ ° ¡®«¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¤¨ ¬¥²°®¬. ¤ · 11. ¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ¯°¥¤»¤³¹ ¿ ²¥®°¥¬ ¢¥° ¤«¿ ±³¹¥±²¢¥»µ ª°¨¢»µ ¯ ° ¡®«¨·¥±ª®£® ²¨¯ , ¥ ²®«¼ª® ¤«¿ ¯ ° ¡®«». ¤ · 12. ¯¨± ²¼ ³° ¢¥¨¥ ½««¨¯± ¢ ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ², ®±¿¬¨ ª®²®°®© ±«³¦ ² ¤¢ ±®¯°¿¦¥»µ ¤¨ ¬¥²° , ¡ §¨±»¬¨ ¢¥ª²®° ¬¨ | ¯®«®¢¨» µ®°¤ ½²¨µ ¤¨ ¬¥²°®¢. 11

2

12

22

71

2

11.4. « ¢»¥ ¤¨ ¬¥²°» ¨ ®±¨ ±¨¬¬¥²°¨¨ ½²®¬ ¯ ° £° ´¥ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿ ¯°¿¬®³£®«¼®©. ³±²¼ l | ®±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨ ±®¤¥°¦ ²¥«¼®© ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ?, ². ¥. ? ¢¬¥±²¥ ± «¾¡®© ²®·ª®© P ±®¤¥°¦¨² ¨ P 0, ±¨¬¬¥²°¨·³¾ P ®²®±¨²¥«¼® l. ° ¢¥¨¥ ?: F (x; y) = a x + : : : = 0. ®§¬®¦» ¤¢ ±«³· ¿: ¥°¢»© ±«³· ©: ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°®¥ ª l ¯° ¢«¥¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¬. ±«¨ ³ ? ¥² ²®·¥ª ¢¥ l, ²® ? = l. ±«¨ ¦¥ ² ª ¿ ²®·ª P ¨¬¥¥²±¿, ²® ±¨¬¬¥²°¨· ¿ ??! ¥© ®²®±¨²¥«¼® l ²®·ª P 0 ² ª¦¥ ¯°¨ ¤«¥¦¨² ?. ®±ª®«¼ª³ ¯° ¢«¥¨¥ PP 0 | ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥, ²® ¨ ¢±¿ ¯°¿¬ ¿ (PP 0) ¤®«¦ ±®¤¥°¦ ²¼±¿ ¢ ?. ² ª, ? ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ° ±¯ « ±¼ (PP 0) ¨ ¥ª®²®°³¾ ¯°¿¬³¾ m, ª®²®° ¿ ² ª¦¥ ¤®«¦ ¡»²¼ ±¨¬¬¥²°¨·®© ®²®±¨²¥«¼® l. ®§¬®¦» ²°¨ ±«³· ¿: m = (PP 0), mk(PP 0) ¨ m = l. ² ª, ¥±«¨ ®¤ ¨§ ®±¥© ±¨¬¬¥²°¨¨ ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿° ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¬³ ¯° ¢«¥¨¾, ²® ¢®§¬®¦» ±«¥¤³¾¹¨¥ ¢ °¨ ²»: 1) ? | ±®¢¯ ¢¸¨¥ ¯°¿¬»¥. ±¼¾ ±¨¬¬¥²°¨¨ ¬®¦¥² ¡»²¼ ± ¬ ½² ¯°¿¬ ¿ ¨ «¾¡ ¿ ¯°¿¬ ¿, ¥© ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿° ¿. 2) ? | ¯ ° ««¥«¼»¥ ¯°¿¬»¥. ±¼¾ ±¨¬¬¥²°¨¨ ¬®¦¥² ¡»²¼ ° ¢®³¤ «¥ ¿ ®² ¨µ ¯°¿¬ ¿ ¨ «¾¡ ¿ ¯°¿¬ ¿, ¥© ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿° ¿. 3) ? | ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°»¥ ¯°¿¬»¥. ¬¥¥²±¿ ·¥²»°¥ ®±¨ ±¨¬¬¥²°¨¨ (¯°¿¬»¥ ¨ ¡¨±±¥ª²°¨±» ³£«®¢). ²®°®© ±«³· ©: ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°®¥ ª l ¯° ¢«¥¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¬. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 11.26. ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥¨¥, ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°®¥ ±®¯°¿¦¥®¬³ ¥¬³ ¤¨ ¬¥²°³ §»¢ ¥²±¿ £« ¢»¬ ¯° ¢«¥¨¥¬ ª°¨¢®© ?, ¤¨ ¬¥²° §»¢ ¥²±¿ £¤ ¢»¬ ¤¨ ¬¥²°®¬. 11

2

¥®°¥¬ 11.27.

« ¢»© ¤¨ ¬¥²° ¿¢«¿¥²±¿ ®±¼¾ ±¨¬¬¥²°¨¨ ª°¨¢®©

?.

¡° ²®,

¤«¿ ±®¤¥°¦ ²¥«¼»µ ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª , ®²«¨·»µ ®² ¯ °» ¯ ° ««¥«¼»µ, ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¨«¨ ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°»µ ¯°¿¬»µ

(². ¥.

)

¯®«³·¨¢¸¨µ±¿ ¢ ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ ,

®±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨ ¿¢«¿¥²±¿ £« ¢»¬ ¤¨ ¬¥²°®¬.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ½²®¬ ±«³· ¥ ¤¨ ¬¥²° ±®±²®¨² ¨§ ±¥°¥¤¨ ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°»µ

µ®°¤, ². ¥. ¿¢«¿¥²±¿ ®±¼¾ ±¨¬¬¥²°¨¨. ¡° ²®, ¯® ° ±±³¦¤¥¨¾ ¯°® ¯¥°¢»© ±«³· ©, ¬» ¨±ª«¾·¨«¨ ²¥ ±«³· ¨, ª®£¤ ®±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿° ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¬³ ¯° ¢«¥¨¾. ®½²®¬³ ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°®¥ ®±¨ ¯° ¢«¥¨¥ | ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥. ª ®±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨, ® ¤¥«¨² µ®°¤» ½²®£® ¯° ¢«¥¨¿ ¯®¯ « ¬, ¨ ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ¿¢«¿¥²±¿ ¤¨ ¬¥²°®¬. ®±ª®«¼ª³ ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°», ²® £« ¢»¬. 2 72

¥®°¥¬ 11.28.

¥ª²®°

(; ) § ¤ ¥² £« ¢®¥ ¯° ¢«¥¨¥ ª°¨¢®© F = a x +: : : = 11

0, ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ® ¿¢«¿¥²±¿ °¥¸¥¨¥¬ ³° ¢¥¨¿ ! ! ! a a Q = ; £¤¥ Q = a a ;

11

12

12

22

2

| ¥³«¥¢®© ª®°¥¼ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ³° ¢¥¨¿ det (Q ? E ) = ? S + = 0: 2

ª®© ¢¥ª²®° §»¢ ¥²±¿ ±®¡±²¢¥»¬ ¢¥ª²®°®¬ ¬ ²°¨¶»

±®¡±²¢¥®¬³ § ·¥¨¾

.

Q,

®²¢¥· ¾¹¨¬

®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ (; ) | £« ¢®¥ ¯° ¢«¥¨¥. ®£¤ ³° ¢¥¨¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ±®¯°¿¦¥®£® ¤¨ ¬¥²°

(a x + a y + a ) + (a x + a y + a ) = 0; 11

12

1

12

22

2

¯°¨·¥¬ ¥£® ®°¬ «¼ n ¯® ³±«®¢¨¾ ª®««¨¥ ° (; ), ². ¥. ! ! a + a n= a +a = ; ¨«¨ ! ! Q = : ¥°¥¯¨¸¥¬: ! ! 0 (Q ? E ) = 0 : ² ±¨±²¥¬ ¨¬¥¥² ¥³«¥¢®¥ °¥¸¥¨¥ (; ). «¿ ½²®£® ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ¥¥ ¤®«¦¥ ° ¢¿²¼±¿ ³«¾: det (Q ? E ) = Q() = ? S + = 0. ±±¬®²°¨¬ ¥£® ª®°¥¼ . ±«¨ = 0, ²® ±¨±²¥¬ ¯¥°¥¯¨¸¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥: ( a +a = 0 + a +a = 0 11

12

12

22

2

11

12

12

22

a + 2a + a = 0; ². ¥. (; ) | ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥¨¥. ¡° ²®, ¥±«¨ 6= 0, ²® ( a + a = + a + a = 2

11

12

11

12

12

22

22

2

a + 2a + a = ( + ) 6= 0: 11

2

12

22

73

2

2

2

ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯° ¢«¥¨¥, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¥ ±®¡±²¢¥»¬ ¢¥ª²®°®¬ Q, ®²¢¥· ¾¹¨¬ 6= 0, ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, £« ¢®¥, ² ª ª ª ³±«®¢¨¥ ª®««¨¥ °®±²¨ (; ) ¨ ®°¬ «¨ ª ±®¯°¿¦¥®¬³ ¤¨ ¬¥²°³, ª ª ¬» ¯®ª § «¨, ½ª¢¨¢ «¥²» ³±«®¢¨¾ ! ! 0 (Q ? E ) = 0 : 2 ¥¬¬ 11.29. ³±²¼ 6= | ª®°¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ³° ¢¥¨¿. ®£¤ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ±®¡±²¢¥»¥ ¢¥ª²®°» ( ; ) ¨ ( ; ) ¥ª®««¨¥ °». ®ª § ²¥«¼±²¢®. ®£¤ ®¤¨ ¨§ ª®°¥© ®²«¨·¥ ®² 0, ¯³±²¼ ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥®±²¨ | . °®¬¥ ²®£®, ®·¥¢¨¤®, ¬®¦® ±·¨² ²¼ ¢¥ª²®°» ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¬¨, ®¡®§ ·¨¬ ¥£® ·¥°¥§ (; ). ®£¤ ! ! ! =Q = ; ·²® ¢®§¬®¦® ²®«¼ª® ¯°¨ ³«¥¢®¬ ¢¥ª²®°¥ (; ). 2 «¥¤±²¢¨¥ 11.30. ««¨¯± ± ° §«¨·»¬¨ ¯®«³®±¿¬¨ (². ¥. ®²«¨·»© ®² ®ª°³¦®±²¨) ¨ £¨¯¥°¡®« ¨¬¥¾² °®¢® ¤¢¥ ®±¨ ±¨¬¬¥²°¨¨, ª®²®°»¥ ²¥¬ ± ¬»¬ 1

2

1

1

2

2

1

2

1

±®¢¯ ¤ ¾² ± ®±¿¬¨ ª ®¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ². ° ¡®« ¨¬¥¥² °®¢® ®¤³

Ox ª ®¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ². ®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¨ | ª®°¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬®£®·«¥ . ±«¨ ®¨ ° §«¨·»¥ ¨ ¥³«¥¢»¥, ²® ¨¬¥¥¬ ¯® «¥¬¬¥ ¤¢ ° §»µ £« ¢»µ ¯° ¢«¥¨¿. 2 ¬¥· ¨¥ 11.31. «¿ ®ª°³¦®±²¨, ª®£¤ = , «¾¡®¥ ¯° ¢«¥¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ £« ¢»¬. ®±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨, ±®¢¯ ¤ ¾¹³¾ ± ®±¼¾ 1

2

1

2

12. ¨¤ ¨ ° ±¯®«®¦¥¨¥ ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª

¨¤ ª ®¨·¥±ª®£® ³° ¢¥¨¿ ¬» ³¬¥¥¬ ¢»·¨±«¿²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ¨¢ °¨ ²®¢. °®¬¥ ²®£®, ¬» ³¬¥¥¬ ¯°¨¢®¤¨²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ¯®¤¡®° ³£« ', ¨ ². ¤. ¥©· ± ¬» ®¡±³¤¨¬ ¤°³£®© «£®°¨²¬, ¡®«¥¥ ³¨¢¥°± «¼®£® µ ° ª²¥° ( ¯°¨¬¥°, «®£¨·»© «£®°¨²¬ ¡³¤¥² ° ¡®² ²¼ ¤«¿ ¯®¢¥°µ®±²¥©). 1. ¥¸ ¥¬ ³° ¢¥¨¿ ¶¥²° : ( @F @x = a x + a y + a = 0; @F@y = a x + a y + a = 0; 1 2 1 2

11

12

1

12

22

2

³±²¼ (x ; y ) | °¥¸¥¨¥ (¢®§¬®¦® ¥ ¥¤¨±²¢¥®¥). «³· © ¯ ° ¡®«» ° ±±¬®²°¨¬ ®²¤¥«¼®. 2. °®¨§¢®¤¨¬ ±¤¢¨£: ( 0 x = x?x ; y0 = y ? y ; 0

0

0

0

74

F 0(x0; y0) = a (x0) + 2a x0y0 + a (y0) + = 0; = F (x ; y ) (ª®½´´¨¶¨¥²» ª¢ ¤° ²¨·®© · ±²¨ ®±² «¨±¼ ¯°¥¦¨¬¨). 3. ¹¥¬ ª®°¨ ; µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬®£®·«¥ a ? a = 0 ? S + = 0; ¨«¨ a a ? 11

1

2

12

2

22

0

0

2

11

2

12

12

22

¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¨¬ ±®¡±²¢¥»¥ ¢¥ª²®° ( ; ), ( ; ). ±«¨ ¨ ° §«¨·»¥ ¥³«¥¢»¥, ²® ¯®«®¦¨¬ e00i := q 1 (i; i); i = 1; 2: i + i 1

2

1

2

2

1

2

2

±«¨ ®¨ ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¥ (¥³«¥¢»¥), ²® ¬ ²°¨¶ ª¢ ¤° ²¨·®© · ±²¨ ³¦¥ ¤¨ £® «¼ (a = 0). ®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² 12

F 00(x00; y00) = (x00) + (y00) + = 0: 2

1

2

2

ª¨¬ ®¡° §®¬ ¤¥©±²¢³¥¬ ¢ ±«³· ¥ ±«¨ ¢ F 0 ¨¬¥¥¬ = 0 ¨«¨ ®ª § «®±¼ = 0, ²® ª°¨¢ ¿ ¨ ¤® ° ±ª« ¤»¢ ²¼ ¬®¦¨²¥«¨. ±² «±¿ ±«³· © ½²®¬ ±«³· ¥ ± · « µ®¤¨¬ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥¨¥ (; ) ¨§ a + 2a + a = 0: ¨ ¬¥²°, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°®¬³ ¯° ¢«¥¨¾, @F = 0 ? @F + @x @y ¿¢«¿¥²±¿ ®±¼¾. ¬¥²¨¬, ·²® ³° ¢¥¨¥ ¯ ° ¡®«» ²¥¯¥°¼ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¥¯¨± ® ¢ ¢¨¤¥ ( x ? y) + Ax + By + C = 0: (13) ¥°¸¨ (x ; y ) µ®¤¨²±¿ ¨§ ±¨±²¥¬» ½««¨¯± ¨«¨ £¨¯¥°¡®«».

° ±¯ ¤ ¾¹ ¿±¿

1

¯ ° ¡®«».

11

2

12

22

2

2

0

0

? @F@x + @F@y = 0; F (x; y) = 0:

®¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬ :

e = " p 1+ (; );

e = p 1+ (? ; ); " = 1. ª ³ e ¢»¡¨° ¥²±¿ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ±®®¡° ¦¥¨©. ° ¢¥¨¥ (13) ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¯ ° ¡®« «¥¦¨² ¢ ®²°¨¶ ²¥«¼®© ¯®«³¯«®±ª®±²¨ ¯°¿¬®© Ax + By + C = 0. 1

2

2

2

1

75

2

2

·¨², ¯° ¢«¥¨¥ ¥¥ ¢¥²¢¥©, ²®·¥¥, ¯° ¢¨«¼®¥ ¯° ¢«¥¨¥ e , ®¡° §³¥² ²³¯®© ³£®« ± (A; B ). ª¨¬ ®¡° §®¬, § ª ¢»¡¨° ¥²±¿ ¨§ ³±«®¢¨¿ "(A + B ) < 0. ®¨·¥±ª®¥ ³° ¢¥¨¥ ¯°®¹¥ ¢±¥£® ©²¨, ¥¯®±°¥¤±²¢¥® ®±³¹¥±²¢¨¢ ¯¥°¥µ®¤ ª ª ®¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ². °¨¬¥° 12.1. ¯°¥¤¥«¨²¼ ¢¨¤ ¨ ° ±¯®«®¦¥¨¥ ª°¨¢®© 5x +12xy ? 22x ? 12y ? 19 = 0. 1. ¥²°: ( ( 10x + 12y ? 22 = 0; x = 1; ) 12x ? 12 = 0; y = 1: 2. ¬¥ : ( x = x0 + 1 y = y0 + 1 °®¬¥¦³²®·®¥ ³° ¢¥¨¥: F 0(x0; y0) = 5(x0) + 12x0y0 + F (1; 1) = 5(x0) + 12x0y0 ? 36 = 0: ! ! 5 6 5 ? 6 3. Q = 6 0 , Q ? E = 6 ? , Q() = ? 5 ? 36 = 0, = 9, = ?4. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ª ®¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ (x00; y00): 1

2

0

0

2

2

2

1

2

F 00(x00; y00) = 9(x00) ? 4(y00) ? 36 = 0; 2

2

(x00) ? (y00) = 1 4 9 2

2

| ª ®¨·¥±ª¨© ¢¨¤. 4. «¿ µ®¦¤¥¨¿ e00: ! ! ! ? 4 6 (Q ? E ) = 6 ?9 = 00 ; · ±²®¥ °¥¸¥¨¥: = 3; = 2; § ¥£® e00 ¯®«³· ¥²±¿ ®°¬¨°®¢ ¨¥¬, e00 ¥¬³ ®°²®£® «¥: e00 = p1 (3; 2); e00 = p1 (?2; 3): 13 13 ª®· ²¥«¼® ¯®«³· ¥¬: ª°¨¢ ¿ ¿¢«¿¥²±¿ £¨¯¥°¡®«®© ± ³ª § »¬ ª ®¨·¥±ª¨¬ ¢¨¤®¬ ¨ ª ®¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬®© ± · «®¬ (1; 1) ¨ ¡ §¨±»¬¨ ¢¥ª²®° ¬¨ e00 ¨ e00 ©¤¥»¬¨ ¢ ¯.4. °¨¬¥° 12.2. ¯°¥¤¥«¨²¼ ¢¨¤ ¨ ° ±¯®«®¦¥¨¥ ª°¨¢®© x ?4xy+4y +4x?3y?7 = 0. 1. ¥²°: ( 2x ? 4y + 4 = 0; ?4x + 8y ? 3 = 0; ±¨±²¥¬ ¥±®¢¬¥±² ) ¯ ° ¡®« . 2. ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥¨¥: ? 4 + 4 = 0; ( ? 2 ) ; · ±²®¥ °¥¸¥¨¥: = 2; = 1: 1

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

76

2

2

3. ±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨: @F = (?1) (2x ? 4y + 4) + 2 (?4x + 8y ? 3) = 0; ? @F + @x @y ?10x + 20y ? 10 = 0; x ? 2y + 1 = 0 | ®±¼. 4. ¥°¸¨ : ( ( x ? 2y = ?1 x ? 2y = ?1 (x ? 2y) + 4x ? 3y ? 7 = 0 4x ? 3y = 6 ; 2

®²ª³¤ ¢¥°¸¨ : (3; 2). 5. ®¨·¥±ª¨© ¡ §¨±:

e0 = " p1 (2; 1); e0 = p1 (?1; 2); 5 5 ¯°¨·¥¬ " = 1 µ®¤¨²±¿ ¨§ ³±«®¢¨¿ "(4 2 ? 3 1) < 0, ² ª ·²® " = ?1. ª¨¬ ®¡° §®¬, § ¬¥ ª®®°¤¨ ²: ! ! ! x = p1 ?2 ?1 x0 + 3 : 2 y y0 5 ?1 2 6. ®¨·¥±ª¨© ¢¨¤: p (x ? 2y) + 4x ? 3y ? 7 = (? 5y0 ? 1) ? p4 (2x0 + y0) + 12 + p3 (x0 ? 2y0) ? 6 ? 7 = 5 5 p p p = 5(y0) + 2 5y0 + 1 ? p5 x0 ? 10 5y0 ? 1 = 5(y0) ? 5x0 = 0; 5 (y0) = 2 p1 x0: 2 5 1

2

2

2

2

2

2

13. ± ²¥«¼»¥ ª ª°¨¢»¬ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª

¯°¥¤¥«¥¨¥ 13.1.

ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª §»¢ ¥²±¿ ¶¥²°, ¯°¨ ¤«¥¦ ¹¨© ª°¨¢®© (²®·ª ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ, ¢±¥ ²®·ª¨ ¯ °» ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ ¨ ¥¤¨±²¢¥ ¿ ²®·ª ¯ °» ¬¨¬»µ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ). @F ²¨ ²®·ª¨ µ ° ª²¥°¨§³¾²±¿ ³±«®¢¨¥¬ @F @x (x ; y ) = @y (x ; y ) = 0. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 13.2. ± ²¥«¼®© ª ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ? ¢ ¥®±®¡®© ²®·ª¥ (x ; y ) §»¢ ¥²±¿ ¯°¿¬ ¿, ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ ½²³ ²®·ª³ ¨ ¯¥°¥±¥ª ¾¹ ¿ ? ¢ ¤¢³µ ±®¢¯ ¢¸¨µ ²®·ª µ, «¨¡® ±®¤¥°¦ ¹ ¿±¿ ¢ ?. ±®¡®© ²®·ª®©

0

0

0

77

0

0

0

¥®°¥¬ 13.3.

± ²¥«¼ ¿ ª ª°¨¢®©

F (x; y) = a x + 2a xy + a y + 2a x + 2a y + a = 0 ¢ ¥®±®¡®© ²®·ª¥ (x ; y ) ¨¬¥¥² ³° ¢¥¨¥ @F (x ; y )(x ? x ) + @F (x ; y )(y ? y ) = 0 @x @y 2

11

0

22

2

1

2

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0

0

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12

0

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0

0

0

(a x + a y + a )x + (a x + a y + a )y + (a x + a y + a ) = 0: 11

0

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1

12

®ª § ²¥«¼±²¢®. °¿¬ ¿

0

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2

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(14)

0

x = x + t y = y + t ¯¥°¥±¥ª ¥² ª°¨¢³¾ ¢ ²®·ª µ, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ °¥¸¥¨¿¬ ³° ¢¥¨¿ F t + 2F t + F = 0; £¤¥ F = a + 2a + a = q(; ); @F (x ; y ); F = (a x + a y + a ) + (a x + a y + a ) = @F ( x ; y ) + @x @y F = F (x ; y ) = 0; ¯®±ª®«¼ª³ ²®·ª «¥¦¨² ª°¨¢®©. ±«®¢¨¥ ª ± ¨¿: F = 0, ². ¥. @F (x ; y ) = 0; ( x ; y ) + @F @x @y ² ª ·²® · ±²®¥ °¥¸¥¨¥ ( ¯° ¢«¥¨¥) @F (x ; y ): = ? @F ( x ; y ) ; = @y @x ®±ª®«¼ª³ ²®·ª ¥®±®¡ ¿, ²® ½²® ¥³«¥¢®© ¢¥ª²®°. ®±ª®«¼ª³ ¯°¨ ±ª®«¼ ³£®¤® ¬ «®¬ ¢®§¬³¹¥¨¨ (¯®¢®°®²¥) ¢¥ª²®° ¡³¤¥² ³¦¥ F 6= 0, ². ¥. ±¥ª³¹ ¿, ²® ½²® ¤¢¥ ±®¢¯ ¢¸¨¥ ²®·ª¨. ®«³· ¥¬ @F (x ; y )(x ? x ) + @F (x ; y )(y ? y ) = 0 @x @y ¨«¨ (a x + a y + a )(x ? x ) + (a x + a y + a )(y ? y ) = 0: ³·¥²®¬ F (x ; y ) ½²® ¤ ¥² (a x + a y + a )x + (a x + a y + a )y + (a x + a y + a ) = 0: 2 0

0

2

2

11

2

1

11

0

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0

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11

0

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0

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1

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0

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12

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0

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79

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! X i vi = i f (vi): i

±¿ª®¥ ´´¨®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥

1) ¯¥°¥¢®¤¨² ¯°¿¬»¥ ¢ ¯°¿¬»¥, ¯«®±ª®±²¨ | ¢ ¯«®±ª®±²¨, ±®µ° ¿¿ ±¢®©±²¢®

¯ ° ««¥«¼®±²¨,

2) ±®µ° ¿¥² ®²®¸¥¨¥ ¤«¨ ®²°¥§ª®¢ ¯ ° ««¥«¼»µ ¯°¿¬»µ. ®ª § ²¥«¼±²¢®. ° ¢¥¨¿ ¯°¿¬»µ ¨ ¯«®±ª®±²¥© ¢ ¯¥°¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ±®¢¯ ¤ ¾² ± ³° ¢¥¨¿¬¨ ¨µ ®¡° §®¢ ®²®±¨²¥«¼® ¢²®°®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ². ²® ¤®ª §»¢ ¥² ¯³ª² 1). ³ª² 2) ±«¥¤³¥² ¨§ ±«¥¤±²¢¨¿ ¯°® ®²®¡° ¦¥¨¥ ¢¥ª²®°®¢. 2 ¤ · 14. ®ª § ²¼ ®¡° ²®¥: ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ ¯«®±ª®±²¨ ¨«¨ ¯°®±²° ±²¢ ± ³±«®¢¨¿¬¨ 1) ¨ 2) ¿¢«¿¥²±¿ ´´¨»¬.

14.1. §®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¿ ¯°¥¤¥«¥¨¥ 14.10. ´´¨®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ §»¢ ¥²±¿ ¨§®¬¥²°¨·¥±ª¨¬ (¨«¨ ¨§®¬¥²°¨¥© ), ¥±«¨ ®® ±®µ° ¿¥² ° ±±²®¿¨¿ ¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨: (f (P ); f (Q)) = (P; Q): 84

¤ · 15. ®ª § ²¼, ·²® ´´¨®±²¨ ¬®¦® ¥ ²°¥¡®¢ ²¼, ². ¥. ¨§ ±®µ° ¥¨¿ ° ±±²®¿¨¿ ´´¨®±²¼ ±«¥¤³¥² ¢±¥£¤ .

°¥¤«®¦¥¨¥ 14.11. ®ª § ²¥«¼±²¢®. ¢¥±²¢® ²°¥³£®«¼¨ª®¢, ¢ · ±²®±²¨ ³£«®¢, ¯® ²°¥¬ ±²®°® ¬. §®¬¥²°¨¿ ±®µ° ¿¥² ³£«» ¬¥¦¤³ ¯°¿¬»¬¨.

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1) f | ¨§®¬¥²°¨¿; 2) ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© °¥¯¥° O0 e0 e0 e0 = f (O)f (e )f (e )f (e ) ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¿¬®³£®«¼1

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®ª § ²¥«¼±²¢®. ²®°®© ¨ ²°¥²¨© ¯³ª² ½ª¢¨¢ «¥²» ¯® ²¥®°¥¬¥ 7.8.

§ 1) ±«¥¤³¥² 2) ² ª ª ª ¨§®¬¥²°¨¿ ±®µ° ¿¥² ¤«¨», ¯® ¯°¥¤«®¦¥¨¾, ¨ ³£«». ¡° ²®, ¯³±²¼ ¯°®¨§¢®«¼»¥ ²®·ª¨ P ¨ Q ¨¬¥¾² ª®®°¤¨ ²» (x ; y ; z ) ¨ (x ; y ; z ) ±®®²¢¥²±²¢¥®, ®²®±¨²¥«¼® ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬» Oe e e . ®£¤ ¨µ ®¡° §» Pe ¨ Qe ¨¬¥¾² ²¥ ¦¥ ª®®°¤¨ ²» ¢ ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬¥ O0e0 e0 e0 . ® ´®°¬³«¥ ¤«¿ µ®¦¤¥¨¿ ° ±±²®¿¨¿ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ¨¬¥¥¬ ¢ ¯¥°¢®© ¨ ¢²®°®© ±¨±²¥¬ µ ±®®²¢¥²±²¢¥®: q (P; Q) = (x ? x ) + (y ? y ) + (z ? z ) ; q e Qe ) = (x ? x ) + (y ? y ) + (z ? z ) : 2 (P; ¯°¥¤¥«¥¨¥ 14.13. °¥®¡° §®¢ ¨¥, § ¤ ®¥ ¢ ¥ª®²®°®© ¯°¿¬®³£®«¼®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ´®°¬³« ¬¨ 1

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1 2 3

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ye = ?y;

xe = x + a;

§»¢ ¥²±¿ ±ª®«¼§¿¹¥© ±¨¬¬¥²°¨¥©. ²® ª®¬¯®§¨¶¨¿ ±¨¬¬¥²°¨¨ ®²®±¨²¥«¼® ¥ª®²®°®© ¯°¿¬®© ¨ ±¤¢¨£ ¢¤®«¼ ¥¥.

¥®°¥¬ 14.14 ( «¿).

±¿ª ¿ ¨§®¬¥²°¨¿ ¯«®±ª®±²¨ ¿¢«¿¥²±¿ «¨¡® ¯ ° ««¥«¼-

»¬ ¯¥°¥®±®¬, «¨¡® ¯®¢®°®²®¬ ®²®±¨²¥«¼® ¥ª®²®°®© ²®·ª¨, «¨¡® ±ª®«¼§¿¹¥© ±¨¬¬¥²°¨¥© ®²®±¨²¥«¼® ¥ª®²®°®© ¯°¿¬®©.

85

®ª § ²¥«¼±²¢®. ¯®¬¨¬, ·²® ®°²®£® «¼»¥ ¬ ²°¨¶» 2 2 ¨¬¥¾² ®¤¨ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨¤®¢:

! cos ' ? sin ' C = sin ' cos ' ;

! cos ' sin ' C = sin ' ? cos ' :

±±¬®²°¨¬ ± · « ¨§®¬¥²°¨¨ ± det C = 1 (¨§®¬¥²°¨¨ ¯¥°¢®£® °®¤ ). ±«¨ ' = 0, ²® C = E ¨ f ¿¢«¿¥²±¿ ¯ ° ««¥«¼»¬ ¯¥°¥®±®¬: ! ! ! xe = x + x : ye y y 0

0

±«¨ ' 6= 0 (± ²®·®±²¼¾ ¤® 2k), ²® ©¤¥¬ ¥¯®¤¢¨¦»¥ ²®·ª¨ ®²®¡° ¦¥¨¿ f , ². ¥. ² ª¨¥ P , ·²® f (P) = P. ¬¥¥¬ ¤«¿ ª®®°¤¨ ² (x; y) ²®·ª¨ P ³° ¢¥¨¿ ( xe = x cos ' ? y sin ' + x = x ; ye = x sin ' + y cos ' + y = y ( x(cos ' ? 1) ? y sin ' = ?x : x sin ' + y(cos ' ? 1) = ?y ®±ª®«¼ª³ ' 6= 0, ²® cos ' 6= 1 ¨ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ±¨±²¥¬» cos ' ? 1 ? sin ' = (cos ' ? 1) + sin ' 6= 0: sin ' cos ' ? 1 0

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2

«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¥¯®¤¢¨¦ ¿ ²®·ª P(x; y) ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ¥¤¨±²¢¥ . ±±¬®²°¨¬ ®¢³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ² (x0; y0), § ¤ ³¾ ±®®²®¸¥¨¿¬¨ x0 = x ? x; y0 = y ? y (². ¥. ±¤¢¨¥¬ · «® ª®®°¤¨ ² ¢ ²®·ª³ P). ®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ´®°¬³«» ¯°¥®¡° §®¢ ¨¿ f ¡³¤³² ¨¬¥²¼ ¢¨¤ xe0 = x0 cos ' ? y0 sin '; ye0 = x0 sin ' + y0 cos '; ². ¥. ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¢®°®²®¬ ³£®« '. ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ¨§®¬¥²°¨¾ ¢²®°®£® °®¤ : det C = ?1. ®ª ¦¥¬, ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¥¯®¤¢¨¦»© (±¢®¡®¤»©) ¢¥ª²®°. ¬¥¥¬ ¤«¿ ¥£® ª®®°¤¨ ² (; ) ±¨±²¥¬³ ³° ¢¥¨© ( cos ' + sin ' = ; sin ' ? cos ' = ! ! ! cos ' ? 1 sin ' = 0 : sin ' ?(cos ' + 1) 0 86

°¨ ½²®¬

sin ' = 1 ? cos ' ? sin ' = 0 cos ' ? 1 sin ' ?(cos ' + 1) ¤«¿ «¾¡®£® ³£« '. ®½²®¬³ ±³¹¥±²¢³¥² ¥³«¥¢®¥ °¥¸¥¨¥ (; ). ±±¬®²°¨¬ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ² ± ²¥¬ ¦¥ · «®¬, ·²® ¨ ¨±µ®¤ ¿, ¨ ¡ §¨±»¬¨ ¢¥ª²®° ¬¨ e0 := p 1+ (; ); e0 := p 1+ (? ; ): ! 1 ? 0 0 0 ®±ª®«¼ª³ f (e ) = e , ²® C = 0 ? . ª ª ª C 0 ®°²®£® «¼ ¨ det C 0 = ?1, ²® ! 1 0 C 0 = 0 ?1 . ·¨², ¢ ¸²°¨µ®¢ ®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² f ¨¬¥¥² ´®°¬³«» xe0 = x0 + a; ye0 = ?y0 + b; £¤¥ a ¨ b | ¥ª®²®°»¥ ª®±² ²». ¥°¥©¤¥¬ ª ®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² (x00; y00), ¯®«®¦¨¢ x00 = x0; y00 = y0 ? 2b : ®£¤ ¤«¿ ®¡° § (xf00; yf00) ²®·ª¨ (x00; y00) ¨¬¥¥¬ xf00 = x00 + a; yf00 = ye0 ? 2b = ?y0 + b ? 2b = ?y00 ? 2b + b ? 2b = ?y00; ². ¥. ±ª®«¼§¿¹³¾ ±¨¬¬¥²°¨¾ ®²®±¨²¥«¼® ®±¨ O00x00. 2 ¯°®±²° ±²¢¥ ¢¢¥¤¥¬ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¯®¿²¨¿: ¯°¥¤¥«¥¨¥ 14.15. ¨²®¢®¥ ¢° ¹¥¨¥ | ª®¬¯®§¨¶¨¿ ¯®¢®°®² ®²®±¨²¥«¼® ¥ª®²®°®© ¯°¿¬®© ¨ ±¤¢¨£ ¢¤®«¼ ¥¥; ±ª®«¼§¿¹ ¿ ±¨¬¬¥²°¨¿ | ª®¬¯®§¨¶¨¿ ±¨¬¬¥²°¨¨ ®²®±¨²¥«¼® ¥ª®²®°®© ¯«®±ª®±²¨ ¨ ±¤¢¨£ ¯ ° ««¥«¼® ¥©; §¥°ª «¼®¥ ¢° ¹¥¨¥ | ª®¬¯®§¨¶¨¿ ¯®¢®°®² ®²®±¨²¥«¼® ¥ª®²®°®© ¯°¿¬®© ¨ ±¨¬¬¥²°¨¨ ®²®±¨²¥«¼® ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿°®© ¥© ¯«®±ª®±²¨. °¥¦¤¥, ·¥¬ ¯¥°¥©²¨ ª ¯°®±²° ±²¢¥®¬³ «®£³ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬», ¤®ª ¦¥¬ ¢±¯®¬®£ ²¥«¼³¾ «¥¬¬³. 2

1

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®ª § ²¥«¼±²¢®. ®±ª®«¼ª³ ¬» ¨¬¥¥¬ ¤¥«® ± ¨§®¬¥²°¨¿¬¨, ²® ±®¡±²¢¥»© ¢¥ª²®°, ¥±«¨ ² ª®¢®© ±³¹¥±²¢³¥², ¥ ¬®¦¥² ¨§¬¥¨²¼ ¤«¨³. ®½²®¬³ ±®¡±²¢¥®¥ § ·¥¨¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ° ¢»¬ ²®«¼ª® 1.

¤°³£®© ±²®°®», µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬®£®·«¥ ¨¬¥¥² ¢ ±«³· ¥ ¯°®±²° ±²¢ ±²¥¯¥¼ 3, ¥£® ª®°¨ ¢¥¹¥±²¢¥» ¨«¨ ¯®¯ °® ª®¬¯«¥ª±® ±®¯°¿¦¥». ·¨², µ®²¿ ¡» ®¤¨ ¨§ ¨µ ¢¥¹¥±²¢¥¥, ¨ ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ° ¢¥ 1. 2 87

¥®°¥¬ 14.17.

±¿ª ¿ ¨§®¬¥²°¨¿ ¯°®±²° ±²¢ ¿¢«¿¥²±¿ ®¤¨¬ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ

¯°¥®¡° §®¢ ¨©:

1) ( ) 2) 3) ®ª § ²¥«¼±²¢®. »¡¥°¥¬ ®°²®®°¬¨°®¢ »© ¡ §¨±, ¢§¿¢ ¢ ª ·¥±²¢¥ e ±®¡±²¢¥¢¨²®¢®¥ ¢° ¹¥¨¥

¢ · ±²®±²¨, ¯ ° ««¥«¼»© ¯¥°¥®± ;

±ª®«¼§¿¹ ¿ ±¨¬¬¥²°¨¿; §¥°ª «¼®¥ ¢° ¹¥¨¥.

1

»© ¢¥ª²®° ¨§ «¥¬¬». ®£¤ ¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥ ¬ ²°¨¶ f ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¢¨¤: 0 1 0 0 1 C = @ 0 G A; 0 £¤¥ G | ®°²®£® «¼ ¿ 2 2-¬ ²°¨¶ . ³±²¼ det G = ?1, ²®£¤ ¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ²¥®°¥¬» 14.14 ±«¥¤³¥², ·²® e ¨ e ! ¬®¦® ¢»¡° ²¼ ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ·²® G = 10 ?01 , ¤«¿ ¬ ²°¨¶» f ¬» ¨¬¥¥¬ ¤¢¥ ¢®§¬®¦®±²¨: 1 1 0 0 ? 1 0 0 1 0 0 C=B @ 0 1 0 CA ; C = B@ 0 1 0 CA : 0 0 ?1 0 0 ?1 ® ²¥¬ ª®®°¤¨ ² ¬, £¤¥ (?1), ¯°®¨§¢¥¤¥¬ ±¤¢¨£, ª ª ¢ ²¥®°¥¬¥ 14.14. °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³·¨¬ ¢ ®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ¤¢ ¢ °¨ ² ´®°¬³« f : xe0 = ?x0 xe0 = x0 + a ye0 = y0 + b : ye0 = y0 + b ; e(z0) = ?z0 e(z0) = ?z0 ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ ¨¬¥¥¬ ±ª®«¼§¿¹³¾ ±¨¬¬¥²°¨¾, ¢® ¢²®°®¬ | ¢¨²®¢®¥ ¢° ¹¥¨¥ ³£®« . ! cos ' ? sin ' ³±²¼ ²¥¯¥°¼ det G = 1. ®£¤ G = sin ' cos ' . ±«¨ ' = 0, ²® ¯®«³· ¥¬ «¨¡® ¯ ° ««¥«¼»© ¯¥°¥®± (· ±²»© ±«³· © ¢¨²®¢®£® ¢° ¹¥¨¿), «¨¡®, ¥±«¨ ¢ «¥¢®¬ ¢¥°µ¥¬ ³£«³ ±²®¨² (?1), ±¤¥« ¢ ®¯¿²¼ ±¤¢¨£ \ ¯®«®¢¨³ ±¢®¡®¤®£® ·«¥ ", ®²®¡° ¦¥¨¥ ± ´®°¬³« ¬¨ xe0 = ?x0 ye0 = y0 + b ; ze0 = z0 + c ². ¥. ±ª®«¼§¿¹³¾ ±¨¬¬¥²°¨¾. ±«¨ ' 6= 0, ²® ² ª ¦¥ ª ª ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© · ±²¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ²¥®°¥¬» 14.14, ©¤¥¬ ²®·ª³ (y; z) ¨ ¯°®¨§¢¥¤¥¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ±¤¢¨£ ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ·²® ¢ ®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² (x0; y0; z0) ´®°¬³«» f ¡³¤³² xe0 = x0 + a ye0 = y0 cos ' ? z0 sin ' ze0 = y0 sin ' + z0 cos ': 2

88

3

±«³· ¥ (+) ¯®«³·¨«¨ ¢¨²®¢®¥ ¢° ¹¥¨¥. ±«³· ¥ (?), ±¤¥« ¢ ®¯¿²¼ ±¤¢¨£ \ ¯®«®¢¨³ ±¢®¡®¤®£® ·«¥ ", ¯®«³·¨¬ ®²®¡° ¦¥¨¥ ± ´®°¬³« ¬¨ xe0 = ?x0 ye0 = y0 cos ' ? z0 sin ' ze0 = y0 sin ' + z0 cos '; ². ¥. §¥°ª «¼®¥ ¢° ¹¥¨¥. 2 15. ´´¨ ¿ ¨ ¬¥²°¨·¥±ª ¿ ª« ±±¨´¨ª ¶¨¿ ª¢ ¤°¨ª

¯°¥¤¥«¥¨¥ 15.1. ¢¥ ±³¹¥±²¢¥»¥ ª¢ ¤°¨ª¨

(±®®²¢., ¬¥²°¨·¥±ª¨ ) ½ª¢¨¢ «¥²», ¥±«¨ ®¤ ¨§ ¨µ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¥¢¥¤¥ ¢ ¤°³£³¾ ´´¨»¬ (±®®²¢., ¨§®¬¥²°¨·¥±ª¨¬) ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥¬ ª ª ¬®¦¥±²¢® ²®·¥ª. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 15.2. ¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ±¨«¼® ´´¨® (±®®²¢., ¬¥²°¨·¥±ª¨ ) ½ª¢¨¢ «¥²», ¥±«¨ ®¤ ¨§ ¨µ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¥¢¥¤¥ ¢ ¤°³£³¾ ´´¨»¬ (±®®²¢., ¨§®¬¥²°¨·¥±ª¨¬) ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥¬ ª ª ¬®¦¥±²¢® ²®·¥ª ¨ ³° ¢¥¨¥ ¯¥°¢®© ª°¨¢®© ¢ «¾¡®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ±®¢¯ ¤ ¥² (± ²®·®±²¼¾ ¤® ¥³«¥¢®£® ¬®¦¨²¥«¿) ± ³° ¢¥¨¥¬ ¢²®°®© ª°¨¢®© ¢ ®²®¡° ¦¥®© ±¨±²¥¬¥. ¬¥²¨¬, ·²® ®¡° § ±³¹¥±²¢¥®© ª¢ ¤°¨ª¨ ¯°¨ ´´¨®¬ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¨ | ª¢ ¤°¨ª , ¨¬¥¾¹ ¿ ¢ ®²®¡° ¦¥®¬ °¥¯¥°¥ ²® ¦¥ ³° ¢¥¨¥, ·²® ¨±µ®¤ ¿ ª¢ ¤°¨ª ¢ ¨±µ®¤®¬ °¥¯¥°¥. ª¨¬ ®¡° §®¬ ¤«¿ ±³¹¥±²¢¥»µ ª¢ ¤°¨ª ¯®¿²¨¿ ½ª¢¨¢ «¥²®±²¨ ¨ ±¨«¼®© ½ª¢¨¢ «¥²®±²¨ ±®¢¯ ¤ ¾².

¥®°¥¬ 15.3.

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¢¥ ±³¹¥±²¢¥»¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ¬¥²°¨·¥±ª¨ ½ª¢¨¢ «¥²» ²®£¤ ¨

²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®¨ ¨¬¥¾² ®¤¨ ª®¢»© ª ®¨·¥±ª¨© ¢¨¤. «¿ ¥±³¹¥±²¢¥»µ ®¤¨ ª®¢»© ª ®¨·¥±ª¨© ¢¨¤ ¿¢«¿¥²±¿ ¤®±² ²®·»¬ ³±«®¢¨¥¬ ¬¥²°¨·¥±ª®© ½ª¢¨¢ «¥²®±²¨. ¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ±¨«¼® ¬¥²°¨·¥±ª¨ ½ª¢¨¢ «¥²» ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®¨ ¨¬¥¾² ®¤¨ ª®¢»© ª ®¨·¥±ª¨© ¢¨¤.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ®±² ²®·®±²¼. ¾¡ ¿ ª¢ ¤°¨ª ¨¬¥¥² ¢ ¥ª®²®°®© ¯°¿¬®³£®«¼-

®© (ª ®¨·¥±ª®©) ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ª ®¨·¥±ª®¥ ³° ¢¥¨¥ ®¤®£® ¨§ ¤¥¢¿²¨ ²¨¯®¢, ¯°¨·¥¬ ®¤®§ ·® ®¯°¥¤¥«¥®¥ (¢ ®²«¨·¨¥ ®² ª ®¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬»), ª ª ¯®ª §»¢ ¥² ²¥®°¨¿ ¨¢ °¨ ²®¢ ¨ ±¥¬¨¨¢ °¨ ² . ³±²¼ ¤¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ¨¬¥¾² ®¤¨ ª®¢»¥ ª ®¨·¥±ª¨¥ ³° ¢¥¨¿ ¢ ±¨±²¥¬ µ Oe e ¨ O0e0 e0 ±®®²¢¥²±²¢¥®. ®£¤ ¨§®¬¥²°¨¿, ¯¥°¥¢®¤¿¹ ¿ ¯¥°¢»© °¥¯¥° ¢® ¢²®°®©, ¯¥°¥¢®¤¨² ¯¥°¢³¾ ª¢ ¤°¨ª³ ¢® ¢²®°³¾. ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ±±¬®²°¨¬ ¤¢¥ ¬¥²°¨·¥±ª¨ ½ª¢¨¢ «¥²»¥ ±³¹¥±²¢¥»¥ ª¢ ¤°¨ª¨. ±±¬®²°¨¬ ª ®¨·¥±ª³¾ ±¨±²¥¬³ Oxy ¤«¿ ¯¥°¢®© ¨§ ¨µ ¨ ¥¥ ®¡° § O0x0y0 ¯°¨ ¤ ®© ¨§®¬¥²°¨¨. ¯¥°¢®© ±¨±²¥¬¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ¨¬¥¾² ³° ¢¥¨¿ F (x; y) = 0 ¨ F (x; y) = 0, ¯°¨·¥¬ F | ª ®¨·¥±ª®¥. ®£¤ ¢²®° ¿ ª¢ ¤°¨ª ¨¬¥¥² ¤¢ 1 2

1 2

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1

89

³° ¢¥¨¿ ¢ ®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ²: ²® ¦¥, ·²® ¯¥°¢ ¿ ª°¨¢ ¿ ¨¬¥« ¢ ¨±µ®¤®© ±¨±²¥¬¥, ². ¥. F (x0; y0) = 0 ¨ ²®, ·²® ¯®«³· ¥²±¿ § ¬¥®© ª®®°¤¨ ², ². ¥. F 0(x0; y0) = F (x(x0; y0); y(x0; y0)) = 0. ® ¯®±ª®«¼ª³ ª¢ ¤°¨ª ±³¹¥±²¢¥ ¿, ²® ®¨ ®²«¨· ¾²±¿ «¨¸¼ ¥³«¥¢®© ¬®¦¨²¥«¼. ª¨¬ ®¡° §®¬, F (x0; y0) = 0 | ª ®¨·¥±ª®¥ ³° ¢¥¨¥ ¨ ¤«¿ ¢²®°®© ª¢ ¤°¨ª¨. ·¥¢¨¤®, ·²® ¥±«¨ ¤®¡ ¢¨²¼ ³±«®¢¨¥ ±¨«¼®© ½ª¢¨¢ «¥²®±²¨, ²® ®² ±³¹¥±²¢¥®±²¨ ¢ ¯®±«¥¤¥¬ ° ±±³¦¤¥¨¨ ¬®¦® ®²ª § ²¼±¿. 2 1

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«¿ «¾¡®© ª¢ ¤°¨ª¨ ±³¹¥±²¢³¥² ´´¨ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ², ¢

ª®²®°®© ® ¨¬¥¥² ®¤® ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ³° ¢¥¨©: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

x x x x x y y y y

2 2 2 2 2

2 2 2

2

+ y = 1, ½««¨¯±; + y = ?1, ¬¨¬»© ½««¨¯±; + y = 0, ¯ ° ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¬¨¬»µ ¯°¿¬»µ; ? y = 1, £¨¯¥°¡®« ; ? y = 0, ¯ ° ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ; ? 2x = 0, ¯ ° ¡®« ; ? 1 = 0, ¯ ° ¯ ° ««¥«¼»µ ¯°¿¬»µ; + 1 = 0, ¯ ° ¬¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼»µ ¯°¿¬»µ; = 0, ¯ ° ±®¢¯¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ. 2

2

2

2

2

®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥°¥¬ ª ®¨·¥±ª®¥ ³° ¢¥¨¥ ¨ ° ±²¿£¨¢ ¥¬ ®±¨. ¥®°¥¬ 15.5.

2

¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ±¨«¼® ´´¨® ½ª¢¨¢ «¥²» ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®-

£¤ , ª®£¤ ®¨ ¨¬¥¾² ®¤¨ ª®¢»¥ §¢ ¨¿.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ® «¥¬¬¥, «®£¨·® ²¥®°¥¬¥ ® ¬¥²°¨·¥±ª®© ª« ±±¨´¨ª ¶¨¨,

¯®«³· ¥¬, ·²® ª¢ ¤°¨ª¨ ®¤®£® §¢ ¨¿ ´´¨® ½ª¢¨¢ «¥²». ¡° ²®, ¤®ª ¦¥¬, ·²® ª¢ ¤°¨ª¨ ± ° §«¨·»¬¨ §¢ ¨¿¬¨ ´´¨® ¥½ª¢¨¢ «¥²». ¨ª ª¨¥ ²°¨ ²®·ª¨ ¥ «¥¦ ² ®¤®© ¯°¿¬®©, ¢ ®²«¨·¨¥ ®² ®±² «¼»µ ª¢ ¤°¨ª. ®±ª®«¼ª³ ¯°¨ ´´¨»µ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¿µ ±®µ° ¿¥²±¿ ³±«®¢¨¥ ·¨±« ²®·¥ª ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ¨ ¤¥«¥¨¿ ¢ ¤ ®¬ ®²®¸¥¨¨, ²® ¶¥²° ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ ¶¥²°, ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥¨¥ | ¢ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥. ª ª ª ³ ¯ ° ¡®«» ¥² ¶¥²° , ³ ½««¨¯± ¨ £¨¯¥°¡®«» | ¥±²¼, ¯°¨·¥¬ ³ ½««¨¯± ¥² ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ¯° ¢«¥¨©, ³ £¨¯¥°¡®«» | ¥±²¼, ²® ½««¨¯±, £¨¯¥°¡®« ¨ ¯ ° ¡®« ´´¨® ¥½ª¢¨¢ «¥²». 90

³¹¥±²¢¥»¥ ° ±¯ ¤ ¾¹¬¥±¿ ª°¨¢»¥ ° §«¨· ¾²±¿ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨ (² ª ª ª ²³² ±¨«¼ ¿ ½ª¢¨¢ «¥²®±²¼ ° ¢®±¨«¼ ½ª¢¨¢ «¥²®±²¨). ª®¥¶, ³ ¬¨¬®£® ½««¨¯± ¥² ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ¯° ¢«¥¨©, ³ ¯ °» ¬¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼»µ ¯°¿¬»µ | ¥±²¼. 2

«¥¤±²¢¨¥ 15.6.

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²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®¨ ¨¬¥¾² ®¤¨ ª®¢»¥ §¢ ¨¿.

«¿ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ §¢ ¨¿ (²¨¯ ) ª¢ ¤°¨ª¨ ¯°¨¬¥¿¾² ¬¥²®¤ £° ¦ ¢»¤¥«¥¨¿ ¯®«»µ ª¢ ¤° ²®¢. ¯°¨¬¥°, ° ±±¬®²°¨¬ ª°¨¢³¾

x ? 4xy + 6y + 2x + 4y ? 10 = 0; (x ? 2y + 1) ? 4y + 4y ? 1 + 6y + 4y ? 10 = 0; (x ? 2y + 1) + 2y + 8y ? 11 = 0; p p (x ? 2y + 1) + ( 2y + 2 2) ? 8 ? 11 = 0; p! p ! x ?p2y + 1 + 2yp+ 2 2 ? 1 = 0; 19 19 (x0) + (y0) ? 1 = 0; ½««¨¯±. ¬¥²¨¬, ·²® ¢±¥£¤ ¨¬¥¥¬ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ ± ²°¥³£®«¼®© ¬ ²°¨¶¥©, ². ¥. ¥¢»°®¦¤¥®¥. 2

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16. ®¢¥°µ®±²¨ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª

®¢¥°µ®±²¨ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª § ¤ ¾²±¿ ¢ ¥ª®²®°®© ´´¨®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ³° ¢¥¨¥¬

F (x; y; z) = a| x + a y + a z + {z 2a xy + 2a xz + 2a yz} + q(x; y; z) ª¢ ¤° ²¨· ¿ · ±²¼ + 2| a x + 2a{z y + 2a z} +a = 0: (19) l(x; y; z) ®¤®°®¤ ¿ «¨¥© ¿ · ±²¼ °¨ ½²®¬ ²°¥¡³¥²±¿, ·²®¡» ª¢ ¤° ²¨· ¿ · ±²¼ ¡»« ®²«¨· ®² ³«¿. ±«¨ ¢¢¥±²¨ ®¡®§ · ¥¨¿ 0a a a a 1 0 1 0 1 a a a x B C a a a a B CA ; C B C B Q := @ a a a A ; A := B y C ; L := ( a ; a ; a ) ; X := @ @a a a a A z a a a a a a a 11

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²® ³° ¢¥¨¥ ¯°¨¬¥² ¢¨¤

0x1 B y CC (20) X T QX + LX + a = (x; y; z; 1)A B B@ z CA = 0: 1 ª ¨ ° ¼¸¥ ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ ª¢ ¤°¨ª®© ¬®£®·«¥ ¢²®°®© ±²¥¯¥¨ ± ²®·®±²¼¾ ¤® ³¬®¦¥¨¿ ¥³«¥¢®© ¬®¦¨²¥«¼. ®ª ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ² ¯°¿¬®³£®«¼®©. 0

¥®°¥¬ 16.1 (¨§ ª³°± «¨¥©®© «£¥¡°»).

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q0(x0; y0; z0) = (x0) + (y0) + (z0) ; 2

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Q() = det (Q ? E ) = 0; e0 ; e0 ; e0 ¿¢«¿¾²±¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬¨

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¢¥ª²®° ¬¨. · ±²®±²¨, ¢±¥ ±®¡±²¢¥»¥ § ·¥¨¿ ¢¥¹¥±²¢¥», ±®¡±²¢¥»¥ ¢¥ª²®° , ®²¢¥· ¾¹¨¥ ° §«¨·»¬ ±®¡±²¢¥»¬ § ·¥¨¿¬, ®°²®£® «¼».

¥¬¬ 16.2.

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±²¢³¥² ¯°¿¬®³£®«¼ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ², ¢ ª®²®°®© ® ¯°¨¨¬ ¥² ®¤¨ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¯¿²¨ ¢¨¤®¢:

(i) (ii) (iii) (iv) (v)

F = x F = x F = x F = x F = x 1

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+ y + z + ( 6= 0); + y + 2b z ( b 6= 0); + y + ( 6= 0); + 2c y ( c 6= 0); + ( 6= 0): 2

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®ª § ²¥«¼±²¢®. ±¨«³ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬» ¬®¦¥¬ ©²¨ ² ª³¾ ¯°¿¬®³£®«¼³¾ ±¨±²¥¬³, ¢ ª®²®°®© ª¢ ¤° ²¨· ¿ · ±²¼ ¤¨ £® «¼ , ². ¥. F = x + y + z + 2b x + 2b y + 2b z + b = 0: 1

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(i) °¨ = 6 0 ¨¬¥¥¬ ! ! ! ! b b b ( b ) ( b ) ( b ) F = x+ + y + + x+ + b ? ? ? = 1

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= (x0) + (y0) + (z0) + : (ii) °¨ = 0 ¨ 6= 0 ¨¬¥¥¬ ! ! ! b ( b ) ( b ) b F = x + + y + + 2b z + b ? ? = 0 0 = (x ) + (y ) + 2b z + = x + y + 2b z + 2b = x + y + 2b z0: (iii) °¨ = = 0 ¨ 6= 0 ¨¬¥¥¬ ! ! ! b ( b ) ( b ) b F = x+ + y+ + b ? ? = 2

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= (x0) + (y0) + : (iv) ³±²¼ = = 0 , 6= 0 ¨ µ®²¿ ¡» ®¤¨ ¨§ b ¨ b ¥ ° ¢¥ ³«¾. ®£¤ ¨¬¥¥¬ ! ! b ( b ) F = x + + 2b y + 2b z + b ? = (x0) + 2c y0; £¤¥ q c = (b ) + (b ) x0 = x + b ; !! 1 ( b ) 1 0 b y+b z+ 2 b ? y = q (b ) + (b ) (?b y + b z) : z0 = q 1 (b ) + (b ) 2

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ª ¿ \®°¬¨°®¢ª " ´³ª¶¨© ¯¥°¥µ®¤ £ ° ²¨°³¥² ®°²®£® «¼®±²¼ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¬ ²°¨¶» ¨, ²¥¬ ± ¬»¬, ®°²®£® «¼®±²¼ § ¬¥». ±«¨ ¦¥ b = b = 0, ²® ¬» ±° §³ ¨¬¥¥¬ ¢»° ¦¥¨¥ ª®¥·®£® ¢¨¤ . (v) ³±²¼ = = b = b = 0 ¨ 6= 0. ®£¤ ¨¬¥¥¬ ! ! b ( b ) F = x + + b ? = (x0) + : 2

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¥®°¥¬ 16.3.

«¿ «¾¡®© ª¢ ¤°¨ª¨ ±³¹±²¢³¥² ¯°¿¬®³£®«¼ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨-

², ¢ ª®²®°®© ® ¨¬¥¥² ®¤¨ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ 17 ¢¨¤®¢:

1) xa + yb + zc = 1 (a b c > 0) (½««¨¯±®¨¤); 2) xa + yb + zc = ?1 (a b c > 0) (¬¨¬»© ½««¨¯±®¨¤); 3) xa + yb ? zc = 1 (a b > 0) (®¤®¯®«®±²»© £¨¯¥°¡®«®¨¤); 4) ? xa ? yb + zc = 1 (a b > 0) (¤¢³¯®«®±²»© £¨¯¥°¡®«®¨¤); 5) xa + yb ? zc = 0 (a b > 0) (ª®³± (¢²®°®£® ¯®°¿¤ª )); 6) xa + yb + zc = 0 (a b > 0) (¬¨¬»© ª®³± (¢²®°®£® ¯®°¿¤ª )); 7) xp + yq = 2z (p q > 0) (½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤); 8) xp ? yq = 2z (p q > 0) (£¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤); 9) xa + yb = 1 (a b > 0) (½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¶¨«¨¤°); 10) xa + yb = ?1 (a b > 0) (¬¨¬»© ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¶¨«¨¤°); 11) xa + yb = 0 (a b > 0) (¤¢¥ ¬¨¬»¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¯«®±ª®±²¨); 12) xa ? yb = 1 (a b > 0) (£¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¶¨«¨¤°); 13) xa ? yb = 0 (a b > 0) (¤¢¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¯«®±ª®±²¨); 14) y = 2px (p > 0) (¯ ° ¡®«¨·¥±ª¨© ¶¨«¨¤°); 15) y = a (a > 0) (¤¢¥ ¯ ° ««¥«¼»µ ¯«®±ª®±²¨); 16) y = ?a (a > 0) (¤¢¥ ¬¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼»µ ¯«®±ª®±²¨); 17) y = 0 (¤¢¥ ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯«®±ª®±²¨): ®ª § ²¥«¼±²¢®. · « ¯°¨¬¥¿¥¬ «¥¬¬³, ¯®²®¬ ¤«¿ ª ¦¤®£® ¨§ ²¨¯®¢ (i){(v) ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¢±¥ ±«³· ¨. ¯°¨¬¥°, ¢®§¼¬¥¬ (i). ®§¬®¦» ±«³· ¨: ±«¨ ¢±¥ i ®¤®£® § ª , | ¯°®²¨¢®¯®«®¦®£®, ²® ¤¥«¥¨¥¬ ?t ¨ ¯¥°¥¬¥®© ®±¥© ³° ¢¥¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 1) (½««¨¯±®¨¤). ±«¨ ¢±¥ i ¨ ®¤®£® § ª , ²® ¤¥«¥¨¥¬ t ¨ ¯¥°¥¬¥®© ®±¥© ³° ¢¥¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 2) (¬¨¬»© ½««¨¯±®¨¤). ±«¨ ¢±¥ i ®¤®£® § ª , = 0, ²® ¯¥°¥¬¥®© ®±¥© ³° ¢¥¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 6) (¬¨¬»© ª®³±). ±«¨ i ° §»µ § ª®¢, = 0, ²® ¯¥°¥¬¥®© ®±¥© ³° ¢¥¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 5) (ª®³±). ±«¨ i ° §»µ § ª®¢, ¯°¨·¥¬ ³ ®¤®£® ²®² ¦¥ § ª, ·²® ¨ ³ , ²® ¯¥°¥¬¥®© ®±¥© ¨ ¤¥«¥¨¥¬ ?t ³° ¢¥¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 3) (®¤®¯®«®±²»© £¨¯¥°¡®«®¨¤). 2

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94

±«¨ i ° §»µ § ª®¢, ¯°¨·¥¬ ³ ¤¢³µ ²®² ¦¥ § ª, ·²® ¨ ³ , ²® ¯¥°¥¬¥®© ®±¥© ¨ ¤¥«¥¨¥¬ ?t ³° ¢¥¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 4) (®¤®¯®«®±²»© £¨¯¥°¡®«®¨¤). ª¨¬ ®¡° §®¬, ±«³· © (i) ¤ ¥² 1){6). «®£¨·® ± ¤°³£¨¬¨: (i) 1, 2, 3, 4, 5, 6 (ii) 7, 8 (iii) 9, 10, 11, 12, 13 (iv) 14 (v) 15, 16, 17

2

¥®°¥¬ 16.4. ª®®°¤¨ ²,

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2

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2 32

31

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31

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16.1. ±®¢»¥ ¢¨¤» ¯®¢¥°µ®±²¥© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ¨ ¨µ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ±¢®©±²¢ 1) ½««¨¯±®¨¤. xa + yb + zc = 1 2

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¥®°¥¬ 16.5.

«®±ª®¥ ±¥·¥¨¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ¥±²¼ ª°¨¢ ¿ ¯®-

°¿¤ª ¥ ¢»¸¥ ¤¢³µ.

®ª § ²¥«¼±²¢®. »¡¥°¥¬ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ², ¢ ª®²®°®© ³° ¢¥¨¥ ¯«®±ª®±²¨: 2

z = 0. ®£¤ ³° ¢¥¨¥ ±¥·¥¨¿ G(x; y) := F (x; y; 0) = 0.

«¥¤±²¢¨¥ 16.6. ®ª § ²¥«¼±²¢®. ²® ¥¤¨±²¢¥»¥ ¥¯³±²»¥ ®£° ¨·¥»¥ ª°¨¢»¥ 0, 1 ¨«¨ 2-£® ¥¯³±²®¥ ¯«®±ª®¥ ±¥·¥¨¥ ½««¨¯±®¨¤ | ½««¨¯± ¨«¨ ²®·ª .

¯®°¿¤ª .

2

3) ®¤®¯®«®±²»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ (°¨±. 5 a) xa + yb ? zc = 1 2

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2

2 2

2 2

2

2

2

±¥·¥¨¨ ¯«®±ª®±²¼¾ z = 0 ¯®«³· ¥²±¿ ½««¨¯± xb + yb = 1, §»¢ ¥¬»© £®°«®¢»¬. ¤®¯®«®±²»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬ § ¬¥· ²¥«¼»¬ ±¢®©±²¢®¬. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 16.7. §®¢¥¬ ¯°¿¬®«¨¥©®© ®¡° §³¾¹¥© ¯®¢¥°µ®±²¨ ¯°¿¬³¾, ¶¥«¨ª®¬ ¢ ¥© ±®¤¥°¦ ¹³¾±¿. ª ¯° ¢¨«®, ½²® ¯®¿²¨¥ ¥ ¯°¨¬¥¿¥²±¿ ª ° ±¯ ¤ ¾¹¨¬±¿ ¯®¢¥°µ®±²¿¬.

¥®°¥¬ 16.8. ®¡° §³¾¹¨µ.

¤®¯®«®±²»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ ¨¬¥¥² ¤¢ ±¥¬¥©±²¢ ¯°¿¬®«¨¥©»µ

¥°¥§ ª ¦¤³¾ ²®·ª³ ¯°®µ®¤¨² °®¢® ®¤ ¯°¿¬ ¿ ª ¦¤®£® ±¥¬¥©-

±²¢ , ¨ ½²¨ ¤¢¥ ¯°¿¬»¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ °®¢® ¯® ½²®© ²®·ª¥. ¢¥ ° §«¨·»¥ ¯°¿¬»¥ ¨§ ®¤®£® ±¥¬¥©±²¢ ±ª°¥¹¨¢ ¾²±¿, ¨§ ° §»µ | ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ ¨«¨ ¯ ° ««¥«¼».

96

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®ª § ²¥«¼±²¢®. ¬¥²¨¬, ·²® ³ª § »¥ ±¢®©±²¢ ¿¢«¿¾²±¿ ´´¨»¬¨, ¥ ¬¥²°¨·¥±ª¨¬¨, ¯®½²®¬³ ¤®±² ²®·® ¤®ª § ²¼ ²¥®°¥¬³ ¤«¿ £¨¯¥°¡®«®¨¤ x +y ?z = 2

2

2

1. ¥°¥¯¨¸¥¬ ½²® ³° ¢¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥

x ?z = 1?y ; 2

2

(x ? z)(x + z) = (1 ? y)(1 + y):

2

²±¾¤ ±° §³ ¢¨¤¨¬ ¤¢ ±¥¬¥©±²¢ ¯°¿¬®«¨¥©»µ ®¡° §³¾¹¨µ: ( ( ( x ? z ) = (1 ? y ) (x ? z) = (1 + y) ; I: II: (x + z) = (1 + y) (x + z) = (1 ? y) £¤¥ ¨ | ¯°®¨§¢®«¼»¥ ¢¥¹¥±²¢¥»¥ ·¨±« , ¥ ®¡° ¹ ¾¹¨¥±¿ ¢ ³«¼ ®¤®¢°¥¬¥®. ®£¤ = ? ? < 0; ? = + > 0; ? 2

2

2

2

² ª ·²® ¯ °» ¯«®±ª®±²¥© ¢ ¯¥°¥±¥·¥¨¨ ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ¤ ¾² ¯°¿¬³¾. ³±²¼ ²®·ª (x ; y ; z ) ¯°¨ ¤«¥¦¨² £¨¯¥°¡®«®¨¤³. ®£¤ , ¢§¿¢ ¤«¿ I = x + z ¨ = 1 + y , ¤«¿ II | = x + z ¨ = 1 ? y , ¯®«³·¨¬ ¯°¿¬»¥, ¯°®µ®¤¿¹¨¥ ·¥°¥§ ¤ ³¾ ²®·ª³. ®±ª®«¼ª³ ®¤® ¨§ ·¨±¥« 1 ? y ¨«¨ 1 + y ®²«¨·® ®² 0, ²® ¯ ° (; ) ®¯°¥¤¥«¥ ¯® ²®·ª¥ (x ; y ; z ) ®¤®§ ·® (± ²®·®±²¼¾ ¤® ¬®¦¨²¥«¿) ¤«¿ ª ¦¤®£® ±¥¬¥©±²¢ . ² ª, ·¥°¥§ ª ¦¤³¾ ²®·ª³ ¯°®µ®¤¨² °®¢® ®¤ ¯°¿¬ ¿ ª ¦¤®£® ±¥¬¥©±²¢ . ®ª ¦¥¬, ·²® ¤°³£¨µ ®¡° §³¾¹¨µ ¥². ®¯³±²¨¬, ·²® ®¡° §³¾¹ ¿ ¯ ° ««¥«¼ ¯«®±ª®±²¨ z = 0, ². ¥. ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ¯«®±ª®±²¨ z = z . ®£¤ ® ¤®«¦ ±®¤¥°¦ ²¼±¿ ¢ ®ª°³¦®±²¨ x + y = 1 + z , ·²® ¥¢®§¬®¦®. ² ª, ¢±¿ª ¿ ®¡° §³¾¹ ¿ ¯¥°¥±¥ª ¥² z = 0, § ·¨², ¨ £®°«®¢®© ½««¨¯± (®ª°³¦®±²¼). ±¨«³ ¢° ¹ ²¥«¼®© 0

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97

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2

·²® ¢ ¤ ®© ±¨²³ ¶¨¨ ¢®§¬®¦® ²®«¼ª® ¥±«¨ = 0 ¨ ¯°¿¬»¥ ±®¢¯ ¤ ¾². ² ª, ¤¢¥ ¯°¿¬»¥ ®¤®£® ±¥¬¥©±²¢ ±ª°¥¹¨¢ ¾²±¿. ¥¬¥©±²¢ ¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿, ² ª ª ª ®²®¡° ¦¥¨¥ (x; y; z) 7! (?x; ?y; ?z) ¯¥°¥¢®¤¨² ¯°¿¬»¥ ®¤®£® ±¥¬¥©±²¢ ¢ ¯°¿¬»¥ ¤°³£®£®, ¯ ° ««¥«¼»¥ ±¢®¨¬ ¯°®®¡° § ¬. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¥±«¨ ¡» ¯°¿¬ ¿ ¯°¨ ¤«¥¦ « ®¡®¨¬ ±¥¬¥©²¢ ¬, ²® ¥¥ ®¡° § | ² ª¦¥, ¨ ²¥¬ ± ¬»¬, ¬» ¨¬¥«¨ ¡» ¤¢¥ ¯ ° ««¥«¼»¥ ¯°¿¬»¥ ¨§ ®¤®£® ±¥¬¥©±²¢ . ¥¯¥°¼ ° ±±¬®²°¨¬ ¤¢¥ ¯°¿¬»¥ l ¨ l ¨§ ° §»µ ±¥¬¥©±²¢. ³±²¼ | ¯«®±ª®±²¼, ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ l ¨ ¥ª®²®°³¾ ²®·ª³ P 2 l , P 62 l . ®½²®¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ 1

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98

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¯«®±ª®¥ ±¥·¥¨¥ £¨¯¥°¡®«®¨¤ , ¿¢«¿¿±¼ ¯® ²¥®°¥¬¥ 16.5 ª°¨¢®© ¯®°¿¤ª ¥ ±² °¸¥ 2, ¤®«¦® ¡»²¼ ¯ °®© ¯ ° ««¥«¼»µ ¨«¨ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ. ¤ ¨§ ¨µ | l , ¤°³£ ¿ | ¥ª®²®° ¿ ¯°¿¬®«¨¥© ¿ ®¡° §³¾¹ ¿ l 3 P . ¥ ±®¢¯ ¤ ¥² ¨ ¥ ±ª°¥¹¨¢ ¥²±¿ ± l , ¯®½²®¬³, ¯® ¤®ª § ®¬³, ¥ ¬®¦¥² ¯°¨ ¤«¥¦ ²¼ ¯¥°¢®¬³ ±¥¬¥©±²¢³, § ·¨², ¯°¨ ¤«¥¦¨² ¢²®°®¬³, ¨ ¢ ±¨«³ ¥¤¨±²¢¥®±²¨ ¯°¿¬®© ¢²®°®£® ±¥¬¥©±²¢ , ¯°®µ®¤¿¹¥© ·¥°¥§ P , ±®¢¯ ¤ ¥² ± l . 2 x 4) ¤¢³¯®«®±²»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ (°¨±. 5 ¡) ? a ? yb + zc = 1 «®±ª®±²¼ z = 0 ¥ ¯¥°¥±¥ª ¥² £¨¯¥°¡®«®¨¤ ¨ ° §¤¥«¿¥² ¥£® ¤¢¥ · ±²¨, §»¢ ¥¬»¥ ¯®«®±²¿¬¨ . 1

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¥®°¥¬ 16.9. ®ª § ²¥«¼±²¢®. °¿¬®«¨¥© ¿ ®¡° §³¾¹ ¿ ¥ ¬®¦¥² ¯¥°¥±¥ª ²¼ ¯«®±ª®±²¼ z = ¢³¯®«®±²»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ ¥ ¨¬¥¥² ¯°¿¬®«¨¥©»µ ®¡° §³¾¹¨µ.

0. ·¨², ® «¥¦¨² ¢ ¯«®±ª®±²¨ z = z . ® ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ¯«®±ª®¥ ±¥·¥¨¥ x + y = z ?1 a b c ®£° ¨·¥® (½««¨¯±, ²®·ª ¨«¨ ;) ¨ ¥ ¬®¦¥² ±®¤¥°¦ ²¼ ¯°¿¬³¾. 2 y z x 5) ª®³± ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª (°¨±. 6 )) a + b ? c = 0 z 6 0

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¨±. 6. ¬¥²¨¬, ·²® ³° ¢¥¨¥ ®¤®°®¤® (¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ): F (x; y; z) = ; 2 F (x; y; z), ¨ ² ª¨¬ ®¡° §®¬, «¾¡ ¿ ¯°¿¬ ¿, ±®¤¥°¦ ¹ ¿ O ¨ ¥ª®²®°³¾ ¤°³£³¾ ²®·ª³ ª®³± , ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¿¬®«¨¥©®© ®¡° §³¾¹¥©. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 16.10. ³±²¼ ? | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ª°¨¢ ¿, «¥¦ ¹ ¿ ¢ ¯«®±ª®±²¨ , ²®·ª O ¥ ¯°¨ ¤«¥¦¨² . ®¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ®±²¼¾ ¤ ? ± ¶¥²°®¬ ¢ O §»¢ ¥²±¿ ®¡º¥¤¨¥¨¥ ¢±¥µ ¯°¿¬»µ ¢¨¤ OX , X 2 ? (°¨±. 6 ¡)). °¿¬»¥ OX §»¢ ¾²±¿ ®¡° §³¾¹¨¬¨, ª°¨¢ ¿ ? | ¯° ¢«¿¾¹¥© ª®¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ®±²¨. 99

¥®°¥¬ 16.11.

®¨·¥±ª ¿ ¯®¢¥°µ®±²¼ ¤ ½««¨¯±®¬ ¿¢«¿¥²±¿ ª®³±®¬ ¢²®°®£®

¯®°¿¤ª .

®ª § ²¥«¼±²¢®. »¡¥°¥¬ ² ª³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ² ± ¶¥²°®¬ ¢ O, ·²® ¯«®±ª®±²¼ § ¤ ¥²±¿ ³° ¢¥¨¥¬ z = h 6= 0 (°¨±. 6 ¢)). ±«¨ ¬» ¢»¡¥°¥¬ ¯° ¢«¥¨¿ ®±¥© Ox ¨ Oy ¯ ° ««¥«¼® £« ¢»¬ ®±¿¬ ½««¨¯± ?, ²® ³° ¢¥¨¥ ½««¨¯± ¢ ¯«®±ª®±²¨ ¯°¨¬¥² ¢¨¤: F (x; y) = a (x ? x ) + a (y ? y ) ? 1 = 0; £¤¥ 0 < a a . ®£¤ ³° ¢¥¨¥ ª®¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ®±²¨ ¤ ¨¬: x y (x; y; z) = z F z h; z h = 0: ¥©±²¢¨²¥«¼®, ²®·ª x ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²® x (yx; y; z), z 6= 0, ¯°¨ ¤«¥¦¨² ¯®¢¥°µ®±²¨ y £¤ , ª®£¤ ²®·ª z h; z h; h ¯°¨ ¤«¥¦¨² ª°¨¢®©, ². ¥. F z h; z h = 0. ® ¯°¨ ±¤¥« ®¬ ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¨ z 6= 0 ¤ ®¥ ³° ¢¥¨¥ ° ¢®±¨«¼® ¢»¢®¤¨¬®¬³. ±² «®±¼ ¤®ª § ²¼, ·²® ¯°¨ z = 0 ¢»¢®¤¨¬®¥ ³° ¢¥¨¥ ®¯°¥¤¥«¥® ¨ ¥£® ¬®¦¥±²¢® °¥¸¥¨© ±®¢¯ ¤ ¥² ± O. ¯°¥¤¥«¥®±²¼ ±«¥¤³¥² ¨§ ²®£®, ·²® ¢® ¢²®°®¬ ±®¬®¦¨²¥«¥ ±²¥¯¥¼ 1=z ° ¢ 2 ¨ ¯°¨ ³¬®¦¥¨¨ ¯°®¯ ¤ ¥². ®±«¥ ³¬®¦¥¨¿ ³° ¢¥¨¥ ¯°¥¢° ¹ ¥²±¿ (¯°¨ z = 0) ¢ h q(x; y) = 0. ®±ª®«¼ª³ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ¯° ¢«¥¨© ³ ½««¨¯± ¥², ²® x = y = 0. ² ª, x ? x y ? y ! (x; y; z) = z a z h +a z h ? 1 = 0: ®±«¥ § ¬¥» x0 = x ? x , y0 = y ? y , z0 = z ¯®«³· ¥¬ (x0; y0; z0) = a h (x0) + a h (y0) ? (z0) = 0; ². ¥. ª®³±. 2 ¤ · 16. ²® ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ±®¡®© ª®¨·¥±ª¨¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ ¤ £¨¯¥°¡®«®© ¨ ¯ ° ¡®«®© ? ²¢¥²: ®¡»·»© ª®³± ¡¥§ ¤¢³µ ¨«¨ ®¤®© ¯°¿¬®©. 7) ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤ (°¨±. 7 )) xp + yq = 2z 11

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¥®°¥¬ 16.12. ®ª § ²¥«¼±²¢®. ®±«®¢® ª ª ± ¤¢³¯®«®±²»¬ £¨¯¥°¡®«®¨¤®¬. 8) £¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤ (°¨±. 7 ¡)) xp ? yq = 2z ¯°¥¤¥«¥¨¥ 16.13. ¥³«¥¢®© ¢¥ª²®° (; ; ) § ¤ ¥²

««¨¯²¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤ ¥ ¨¬¥¥² ¯°¿¬®«¨¥©»µ ®¡° §³¾¹¨µ.

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F = 0, ¥±«¨ ® ®¡³«¿¥² ª¢ ¤° ²¨·³¾ ´®°¬³ ³° ¢¥¨¿ q(; ; ) = a + a + a + 2a + 2a + 2a = 0:

¢«¥¨¥ ¤«¿ ¯®¢¥°µ®±²¨

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ª®®°¤¨ ².

®ª § ²¥«¼±²¢®. ®±«®¢®, ª ª ¤«¿ ª°¨¢»µ. ¥®°¥¬ 16.15.

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²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥¨¥.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼

8 > < x = x + t y = y + t > : z = z + t | ¯°¿¬®«¨¥© ¿ ®¡° §³¾¹ ¿. ®¤±² ¢¨¢ ¢ ³° ¢¥¨¥ F = 0, ¯®«³·¨¬ F t +2F t + F = 0 ¤«¿ «¾¡®£® t. ·¨², F = q(; ; ) = 0. 2 0

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¥®°¥¬ 16.16.

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¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ª ¦¤³¾ ²®·ª³. ¡° §³¾¹¨¥ ®¤®£® ±¥¬¥©±²¢ ¯®¯ °® ±ª°¥¹¨¢ ¾²±¿ ¨ ¯ ° ««¥«¼» ®¤®© ¯«®±ª®±²¨, ° §»µ | ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¥ ¯° ¢«¥¨¿ (; ; ) £¨¯¥°¡®«¨·¥±ª®£® ¯ ° ¡®«®¨¤ µ®¤¿²±¿ ¨§ ³° ¢¥¨¿ p ? q = 0, ². ¥. «¥¦ ² ¢ ¯«®±®ª±²¿µ 2

2

: pp ? p q = 0; : pp + p q = 0: ³·¥²®¬ ³° ¢¥¨¿ ¯ ° ¡®«®¨¤ ! ! x + y = 2z x ? y pp pq pp pq 1

1

101

½²® ®§ · ¥², ·²® ¨¬¥¾²±¿ ¤¢ ±¥¬¥©±²¢ ¯°¿¬®«¨¥©»µ ®¡° §³¾¹¨µ 8 8 < pxp ? pyq = k < pxp + pyq = k I : : k px + py = 2 z ; II : : k px ? py = 2 z : p q p q ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¥±«¨ ¬» ¨¬¥¥¬ ®¡° §³¾¹³¾, ¯ ° ««¥«¼³¾, ±ª ¦¥¬, , ²® ° ±±²®¿¨¥ (±® § ª®¬) ®² «¾¡®© ¥¥ ²®·ª¨ ¤® ¯®±²®¿®, ². ¥. ± ¥ª®²®°®© ª®±² ²®© k ¬» ¨¬¥¥¬ pxp ? pyq = k, ®²ª³¤ ¨§ ³° ¢¥¨¿ ¯®¢¥°µ®±²¨ ¯®«³· ¥¬ ¢²®°®¥ ³° ¢¥¨¥ (I). ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤°³£¨µ ®¡° §³¾¹¨µ ¥². ¥°¥§ ª ¦¤³¾ ²®·ª³ ¯ ° ¡®«®¨¤ ¯°®µ®¤¨² °®¢® ¯® ®¤®© ®¡° §³¾¹¥© ª ¦¤®£® ±¥¬¥©±²¢ , ² ª ª ª k ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ®¤®§ ·®. ¬¥²¨¬, ·²® ¨ª ª ¿ ¢¥°²¨ª «¼ ¿ ¯°¿¬ ¿ ¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯°¿¬®«¨¥©®© ®¡° §³¾¹¥©. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ x = const, y = const, ®²ª³¤ ¨ z = const. ¢ ±¥¬¥©±²¢ ¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ®¡¹ ¿ ¯°¿¬ ¿ ¨¬¥¥² ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° (; ; ). ®£¤ ® ¤®«¦¥ ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ ®¤®°®¤®© · ±²¨ ¯¥°¢»µ ³° ¢¥¨© ®¡¥¨µ ±¨±²¥¬: 8 < pp ? pq = 0; : pp + p q = 0; ®²ª³¤ = = 0 ¨ ¯°¿¬ ¿ ¢¥°²¨ª «¼ , ·²® ¥¢®§¬®¦®. ¡° §³¾¹¨¥ ¨§ ®¤®£® ±¥¬¥©±²¢ ¥ ¬®£³² ¯¥°¥±¥ª ²¼±¿, ² ª ª ª ½²® ¯°®²¨¢®°¥·¨«® ¡» ¥¤¨±²¢¥®±²¨. ¨ ¥ ¬®£³² ¡»²¼ ¯ ° ««¥«¼», ² ª ª ª ¨µ ¯° ¢«¿¾¹¨¥ ¢¥ª²®° | (pp; pq; k) ± ° §«¨·»¬¨ k. ·¨², ®¨ ±ª°¥¹¨¢ ¾²±¿, ¯°¨·¥¬ (¯® ®¯°¥¤¥«¥¨¾) ¯ ° ««¥«¼» ´¨ª±¨°®¢ ®© ¯«®±ª®±²¨. ³±²¼ ²¥¯¥°¼ l ¨ l | ®¡° §³¾¹¨¥ ¨§ ° §»µ ±¥¬¥©±²¢. ®ª ¦¥¬, ·²® ®¨ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿. ±±¬®²°¨¬ ¯«®±ª®¥ ±¥·¥¨¥ ¯ ° ¡®«®¨¤ , ¯°®µ®¤¿¹¥¥ ·¥°¥§ l ¨ P 2 l , P 62 l . ²® ª°¨¢ ¿, ¯®°¿¤ª ¥ ¢»¸¥ 2, § ·¨² ±®±²®¿¹ ¿ ¨§ ¤¢³µ ¯°¿¬»µ l ¨ l. °¥¤¯®«®¦¨¬ l 6= l , ¯°¨·¥¬ ®¨ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ (¢ ²®·ª¥ P ). ·¨², l ¥ ¯°¨ ¤«¥¦¨² ¢²®°®¬³ ±¥¬¥©±²¢³, ². ¥. ¯°¨ ¤«¥¦¨² ¯¥°¢®¬³. ® ²®£¤ ® ¤®«¦ ±ª°¥¹¨¢ ²¼±¿ ± l ¨ ¥ ¬®¦¥² «¥¦ ²¼ ± ¥© ¢ ®¤®© ¯«®±ª®±²¨. ·¨², l = l . ®¯³±²¨¬, l kl . ®£¤ ª®®°¤¨ ²» (; ; ) ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ³° ¢¥¨¿¬ pp ? p q = 0; pp + p q = 0; ®²ª³¤ = = 0 ¨ ®¡° §³¾¹ ¿ ¢¥°²¨ª «¼ , ·²® ¥¢®§¬®¦®. 2 ¥°¥¬±¿ ª £¨¯¥°¡®«®¨¤ ¬. µ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨© ª®³± ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ³° ¢¥¨¥¬ x + y ? z = 0: (21) a b c § ³° ¢¥¨¿ ®¤®¯®«®±²®£® £¨¯¥°¡®«®¨¤ ¨¬¥¥¬ ¤«¿ ¯®«®¦¨²¥«¼»µ z: s z = c xa + yb ? 1; 1

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2

102

¨§ ³° ¢¥¨¿ (21) |

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z = c xa + yb ; ®²ª³¤ c ?! 0 z ? z = q x2 y2 q x2 + y2 ? 1 + + 2 2 2 2 a b a b «®£¨·® ¤«¿ ¤¢³¯®«®±²®£®. 2

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¯¥°¡®«®¨¤ ±®¢¯ ¤ ¾² ± ¯° ¢«¥¨¿¬¨ ®¡° §³¾¹¨µ ¥£® ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ª®³± ¨ ¿¢«¿¾²±¿ °¥¸¥¨¿¬¨

(21).

®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ®¯°¥¤¥«¥¨¾ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ¯° ¢«¥¨©. ¥®°¥¬ 16.18.

2

¨ª ª¨¥ ²°¨ ° §«¨·»µ ¯°¿¬®«¨¥©»µ ®¡° §³¾¹¨µ ®¤®¯®«®±²-

®£® £¨¯¥°¡®«®¨¤ ¨§ ®¤®£® ±¥¬¥©±²¢ ¥ ¯ ° ««¥«¼» ®¤®© ¯«®±ª®±²¨.

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²°¨ ¯®¯ °® ±ª°¥¹¨¢ ¾¹¨¥±¿ ¯°¿¬»¥, ¥ ¯ ° ««¥«¼»¥ ®¤®© ¯«®±ª®±²¨, ¿¢«¿¾²±¿ ¯°¿¬®«¨¥©»¬¨ ®¡° §³¾¹¨¬¨ ¥ª®²®°®£® ®¤®¯®«®±²®£® £¨¯¥°¡®«®¨¤ .

®ª § ²¥«¼±²¢®. ±±¬®²°¨¬ ²°¨ ¯°¿¬®«¨¥©»µ ®¡° §³¾¹¨µ ¨§ ®¤®£® ±¥¬¥©±²¢ . ®¯³±²¨¬, ®¨ ¯ ° ««¥«¼» ®¤®© ¯«®±ª®±²¨. ª ª ª ¶¥²° «¼®¥ ¯«®±ª®¥ ±¥·¥¨¥ ( ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£®) ª®³± ±®±²®¨² ¨§ ¤¢³µ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¨«¨ ®¤®© ¯°¿¨®©, ²® ¤¢¥ ¨§ ²°¥µ ¯°¿¬»µ ¤®«¦» ¡»²¼ ¯ ° ««¥«¼». °®²¨¢®°¥·¨¥. ±±¬®²°¨¬ ²°¨ ¯®¯ °® ±ª°¥¹¨¢ ¾¹¨¥±¿ ¯°¿¬»¥ ¨ ¥ª®²®°³¾ ´´¨³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ², ¢ ª®²®°®© ®¨ ¨¬¥¾² ¢¨¤: ( ( ( x = x x = x y = y l : l : l : y = y z = z z = z 1

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²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ª¢ ¤°¨ª , ² ª ª ª ª®½´´¨¶¨¥² ¯°¨ x ° ¢¥ ³«¾, , ±ª ¦¥¬ ¯°¨ xy ° ¢¥ ?z +z 6= 0, ² ª ª ª ¯°¿¬»¥ ±ª°¥¹¨¢ ¾²±¿. § ª« ±±¨´¨ª ¶¨¨ ª¢ ¤°¨ª ¨ ¤®ª § »µ ±¢®©±²¢ ±«¥¤³¥², ·²® ½²® | ®¤®¯®«®±²»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ (³ ¶¨«¨¤°®¢ ² ª¨µ ®¡° §³¾¹¨µ ¥ ¬®¦¥² ¡»²¼, ½²® ¬» ¤®ª ¦¥¬ ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯°¥¤«®¦¥¨¨ 16.19). 3

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2

2

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2

2

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103

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±¥ ¯°¿¬®«¨¥©»¥ ®¡° §³¾¹¨¥ ¥° ±¯ ¤ ¾¹¨µ±¿ ¶¨«¨¤°®¢

¿¢«¿¾²±¿ ¨µ ®¡° §³¾¹¨¬¨

(®¡° §³¾¹¨¥ ¶¨«¨¤°®¢ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ¯® «®£¨¨ ± ª®-

) ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¯ ° ««¥«¼» ¬¥¦¤³ ±®¡®©. ®ª § ²¥«¼±²¢®. ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢®«¼³¾ ¯°¿¬®«¨¥©³¾ ®¡° §³¾¹³¾ ¨ ±¯°®¥ª²¨°³¥¬ ¥¥ ¯«®±ª®±²¼ z = 0. ®£¤ °¥§³«¼² ² ¯°®¥ª¶¨¨ ¤®«¦¥ ¶¥«¨ª®¬ ¯°¨ ¤«¥¦ ²¼ ¯° ¢«¿¾¹¥© (ª®¨ª¥), ·²® ¢®§¬®¦® ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¯°®¥ª¶¨¿ | ²®·ª , ². ¥. ¯°¿¬®«¨¥© ¿ ®¡° §³¾¹ ¿ ¯ ° ««¥«¼ ®±¨ Oz, ². ¥. ®¡° §³¾¹¨¬. ¨·¥±ª¨¬¨ ¯®¢¥°µ®±²¿¬¨

2

16.2. ¡¹ ¿ ²¥®°¨¿ ¯®¢¥°µ®±²¥© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ±±¬®²°¥¢ ³° ¢¥¨¥ (19), ¢¢¥¤¥¬ ®¡®§ ·¥¨¿ (· ±²»¥ ¯°®¨§¢®¤»¥): Fx = 2(a x + a y + a z + a ); Fy = 2(a x + a y + a z + a ); Fz = 2(a x + a y + a z + a ): ¥°¥±¥·¥¨¥ ¯°¿¬®© 8 > < x = x + t y = y + t > : z = z + t ± ¤ ®© ¯«®±ª®±²¼¾ ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ³° ¢¥¨¥¬ F t + 2F t + F = 0; £¤¥ F = q(; ; ); 2F = (Fx + Fy + Fz )j x0;y0 ;z0 ; F = F (x ; y ; z ): 11

12

13

1

12

22

23

2

13

23

33

3

0

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(22)

0

2

2

1

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(23)

2

1

0

¥®°¥¬ 16.20.

0

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)

0

°¿¬ ¿ ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ¯° ¢«¥¨¿ ¨¬¥¥² ± ¯®¢¥°µ®±²¼¾

«¨¡® ¤¢¥ ®¡¹¨¥ ²®·ª¨ °¿¬ ¿

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(¢®§¬®¦®, ±®¢¯ ¢¸¨¥), «¨¡® ¥ ¯¥°¥±¥ª ¥² ¯®¢¥°µ®±²¨.

±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£®

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¨¬¥¥² ± ¥© ¥¤¨±²¢¥³¾ ®¡¹³¾ ²®·ª³, «¨¡® ¥ ¯¥°¥±¥ª ¥² ¥¥.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ±±¬®²°¨¬ ³° ¢¥¨¥ F t + F t + F = 0, £¤¥ F = q(; ; ), (; ; ) | ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° l. ±«¨ ¯° ¢«¥¨¥ ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥, ²® F = q(; ; ) = 6 0 ¨ ª¢ ¤° ²®¥ ³° ¢2

2

1

0

2

2

¥¨¥ ¥¢»°®¦¤¥®. ® ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ 2, 1 ¨«¨ 0 °¥¸¥¨©. °¨ ½²®¬ 1 °¥¸¥¨¥, ª®£¤ ¯®«»© ª¢ ¤° ². » ¬®¦¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® · «¼ ¿ ²®·ª (x ; y ; z ) «¥¦¨² ª°¨¢®©. ®£¤ F = 0 ¨ ¢²®° ¿ ²®·ª ±®¢¯ ¤ ¥² ± · «¼®©, ¥±«¨ F = 0. ®±ª®«¼ª³ ¯°¨ ±ª®«¼ ³£®¤® ¬ «®¬ ¢®§¬³¹¥¨¨ (¯®¢®°®²¥) ¢¥ª²®° (; ; ) ¡³¤¥² ³¦¥ F 6= 0, ². ¥. ±¥ª³¹ ¿, ²® ½²® ¤¢¥ ±®¢¯ ¢¸¨¥ ²®·ª¨. 0

0

0

0

1

1

104

±«¨ ¦¥ ¯° ¢«¥¨¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥, ²® F = 0 ¨ ³° ¢¥¨¥ ¯°¨¨¬ ¥² ¢¨¤ 2F t + F = 0. ±«¨ F 6= 0, ²® ¨¬¥¥²±¿ ¥¤¨±²¢¥ ¿ ²®·ª ¯¥°¥±¥·¥¨¿. ±«¨ F = 0, F 6= 0, ²® ¯¥°¥±¥·¥¨¥ ¯³±²®. ±«¨ F = F = 0, ²® ¯¥°¥±¥·¥¨¥ l ¨ ? ±®¢¯ ¤ ¥² ± l. 2 2

1

0

1

1

0

1

¥®°¥¬ 16.21.

0

¥°¥¤¨» µ®°¤ ¤ ®£® ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ¯° ¢«¥¨¿

«¥¦ ² ¢ ®¤®© ¯«®±ª®±²¨

(; ; )

Fx + Fy + Fz = 0;

(24)

§»¢ ¥¬®© ¤¨ ¬¥²° «¼®© ¯«®±ª®±²¼¾, ±®¯°¿¦¥®© ¤ ®¬³ ¥ ±¨¬-

¯²®²¨·¥±ª®¬³ ¯° ¢«¥¨¾.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ l, § ¤ ¿ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ (22), ¯¥°¥±¥ª ¥² ¯®¢¥°µ®±²¼

¢ ¤¢³µ (¢®§¬®¦® ±®¢¯ ¢¸¨µ) ²®·ª µ, ¨ (x ; y ; z ) | ±¥°¥¤¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ®²°¥§ª (µ®°¤»). «¿ µ®¦¤¥¨¿ t ¨ t , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ²®·ª ¬ ¯¥°¥±¥·¥¨¿, ¬» ¨¬¥«¨ ³° ¢¥¨¥ (23), ¯°¨·¥¬ ¢ ¸¥¬ ±«³· ¥ F 6= 0. ® ²¥®°¥¬¥ ¨¥² ¤«¿ t = 0, ®²¢¥· ¾¹¥£® (x ; y ), ³±«®¢¨¥ ±¥°¥¤¨» µ®°¤» ¯°¨¬¥² ¢¨¤ 0 = t = t +2 t = ? FF ; F = 0: ®ª ¦¥¬, ·²® ¤ ®¥ ³° ¢¥¨¥ § ¤ ¥² ¯«®±ª®±²¼, ². ¥. ½²® ³° ¢¥¨¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥¨, ¥ ³«¥¢®©. ¥°¥¯¨¸¥¬: (a + a + a )x +(a + a + a )y +(a + a + a )z +(a + a + a ) = 0 ±«¨ 8 8 > > < a + a + a = 0; < a + a + a = 0; a + a + a = 0; a + a + a = 0; + > > : a + a + a = 0; : a + a + a = 0; 0

1

0

0

2

2

0

0

0

11

12

0

13

12

22

1

2

1

1

2

23

13

23

2

33

11

12

13

11

12

12

22

23

12

22

13

23

33

13

23

1

2

2

13

23

33

2

¨ q(; ; ) = 0, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¥ ±¨¬¯²®²¨·®±²¨ ¯° ¢«¥¨¿.

¥¬¬ 16.22.

3

2

«¿ ¢±¿ª®© ¯®¢¥°µ®±²¨ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ±³¹¥±²¢³¾² ²°¨ ¥ª®¬-

¯« °»µ ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ¯° ¢«¥¨¿.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ° ¢¥¨¥ ¤«¿ µ®¦¤¥¨¿ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ¯° ¢«¥¨© q(; ; ) = 0 ®¯°¥¤¥«¿¥², ª ª ¢¨¤® ¯®±«¥ ¤¨ £® «¨§ ¶¨¨, ª®³±, ¬¨¬»© ª®³± ¨«¨ ¯ °³ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ (¡»²¼ ¬®¦¥², ¬¨¬»µ) ¯«®±ª®±²¥©. ±¥£¤ ¤«¿ ¨µ ¬®¦® ©²¨ ²°¨ ¨±ª®¬»µ ¯° ¢«¥¨¿. 2 ¥®°¥¬ 16.23. ¥²°» (±¨¬¬¥²°¨¨) ¥¯³±²®© ¯®¢¥°µ®±²¨ µ®¤¿²±¿ ¨§ ±¨±²¥¬» 8 > < Fx = 0 F = 0 (25) > : Fyz = 0: 105

®ª § ²¥«¼±²¢®. ) ³±²¼ (x ; y ; z ) | ¶¥²°. ³±²¼ (i ; i; i), i = 1; 2; 3, | 0

0

0

0

0

¯° ¢«¿¾¹¨¥ ¢¥ª²®°» ¯°¿¬»µ, ®¯°¥¤¥«¥»µ ¯® ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬¥, ¯°¨·¥¬ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ ¯®¢¥°µ®±²¼. ®£¤ (x ; y ; z ), ª ª ±¥°¥¤¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ µ®°¤, ¯°¨ ¤«¥¦¨² ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ¤¨ ¬¥²° «¼»¬ ¯«®±ª®±²¿¬, ². ¥. ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³° ¢¥¨¿¬ 0

i(a x + a y + a z + a ) + i(a x + a y + a z + a )+ 11

0

12 0

13 0

1

12

0

22 0

23 0

2

+ i (a x + a y + a z + a ) = 0; i = 1; 2; 3: ¡®§ ·¨¢ ¢»° ¦¥¨¿ ¢ ±ª®¡ª µ ·¥°¥§ u, v ¨ w ±®®²¢¥²±¢¥®, ¯®«³·¨¬, ·²® u, v ¨ w ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ±¨±²¥¬¥ «¨¥©»µ ³° ¢¥¨© 8 > < u+ v+ w = 0 u+ v+ w = 0 > : u+ v+ w = 0 13

0

23 0

33 0

1

1

3

1

2

2

2

3

3

3

°¨ ½²®¬ ³° ¢¥¨¿ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬», ² ª ª ª ¢¥ª²®° (i; i; i) ¥ª®««¨¥ °». ·¨², ¥¤¨±²¢¥ ¿ ¢®§¬®¦®±²¼: u = v = w = 0. ( ³±²¼ ²®·ª M (x ; y ; z ) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² \³° ¢¥¨¿¬ ¶¥²° ". ¥°¥©¤¥¬ ª ®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² (x0; y0; z0): 0

0

0

x0 = x ? x ;

y0 = y ? y ;

z0 = z ? z ;

x = x0 + x ;

y = y0 + y ;

z = z0 + z :

0

² ª ·²®

0

0

®£¤

0

0

0

F 0(x0; y0; z0) = a (x0 + x ) + 2a (x0 + x )(y0 + y ) + a (y0 + y ) + a (z0 + z ) + 11

0

2

12

0

0

22

2

0

33

0

2

+2a (x0 + x )(z0 + z )+2a (y0 + y )(z0 + z )+2a (x0 + x )+2a (y0 + y )+2a (z0 + z )+ a = = a (x0) + 2a x0y0 + a (y0) + 2a x0z0 + 2a y0z0 + a (z0) + +2(a x + a y + a z + a )x0 + 2(a x + a y + a z + a )y0+ +2(a x + a y + a z + a )z0 + F (x ; y ; z ) = = a (x0) + 2a x0y0 + a (y0) + 2a x0z0 + 2a y0z0 + a (z0) = 0: ·¥¢¨¤®, ·²® ¥±«¨ ²®·ª (x0; y0; z0) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ½²®¬³ ³° ¢¥¨¾, ²® ¨ (?x0; ?y0; ?z0) | ²®¦¥, ª®®°¤¨ ²» M ¢ ®¢®© ±¨±²¥¬¥: (0; 0; 0). 2 13

0

0

11

11

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2

0

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¥®°¥¬ 16.24.

2

0

12

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3

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0

0

0

2

2

0

33

2

®¢¥°µ®±²¼ ¿¢«¿¥²±¿ ¶¥²° «¼®©, ². ¥. ¨¬¥¥² ¥¤¨±²¢¥»©

¶¥²°, ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤

= det Q 6= 0. 106

®ª § ²¥«¼±²¢®. ²°¨¶ ±¨±²¥¬» ³° ¢¥¨© ¶¥²° ±®¢¯ ¤ ¥² ± Q. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 16.25. ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥¨¥ §»¢ ¥²±¿

2

£« ¢»¬,

¥±«¨

±®¯°¿¦¥ ¿ ¥¬³ ¤¨ ¬¥²° «¼ ¿ ¯«®±ª®±²¼ ¯¥°¯¥¤¨ª³«¿° ¥¬³. «¥¤³¾¹¨¥ ¤¢ ³²¢¥°¦¤¥¨¿ ¬» ¯°¨¢®¤¨¬ ¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ , «®£¨·®£® ±«³· ¾ ª°¨¢»µ.

¥®°¥¬ 16.26 (*). ¬ ²°¨¶»

« ¢»¥ ¯° ¢«¥¨¿ ±®¢¯ ¤ ¾² ± ±®¡±²¢¥»¬¨ ¢¥ª²®° ¬¨

Q ª¢ ¤° ²¨·®© · ±²¨.

¥®°¥¬ 16.27 (*).

«®±ª®±²¼,

±®¯°¿¦¥ ¿

£« ¢®¬³

¯° ¢«¥¨¾,

¿¢«¿¥²±¿

¯«®±ª®±²¼¾ ±¨¬¬¥²°¨¨ ¯®¢¥°µ®±²¨.

¯°¥¤¥«¥¨¥ 16.28. ®·ª P (x ; y ; z ) ¯®¢¥°µ®±²¨ F = 0 §»¢¥²±¿

¥±«¨ Fx(x ; y ; z ) = Fy (x ; y ; z ) = Fz (x ; y ; z ) = 0. ª¨¬ ®¡° §®¬, ®±®¡»¥ ²®·ª¨ | ½²® ¶¥²°», ¯°¨ ¤«¥¦ ¹¨¥ ¯®¢¥°µ®±²¨. ®¢¥°µ®±²¼ §»¢ ¥²±¿ ¥®±®¡®©, ¥±«¨ ® ¥ ¨¬¥¥² ®±®¡»µ ²®·¥ª. ¥®±®¡»¥ ¯®¢¥°µ®±²¨: ½««¨¯±®¨¤», £¨¯¥°¡®«®¨¤», ¯ ° ¡®«®¨¤», ¶¨«¨¤°», ¯ ° ¯ ° ««¥«¼»µ ¯«®±ª®±²¥©. ±®¡»¥ ¯®¢¥°µ®±²¨: ª®³±», ¯ ° ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯«®±ª®±²¥©, ¯ ° ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯«®±ª®±²¥©. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 16.29. ®¢¥°µ®±²¼ §»¢ ¥²±¿ ¥¢»°®¦¤¥®©, ¥±«¨ det A 6= 0. ¥¢»°®¦¤¥»¥ ¯®¢¥°µ®±²¨: ½««¨¯±®¨¤», £¨¯¥°¡®«®¨¤», ¯ ° ¡®«®¨¤». ¯°¥¤¥«¥¨¥ 16.30. ± ²¥«¼ ¿ ¯°¿¬ ¿ ª ¯®¢¥°µ®±²¨ F = 0 ¢ ¥®±®¡®© ²®·ª¥ P | ¯°¿¬ ¿, ¨¬¥¾¹ ¿ ± ¯®¢¥°µ®±²¼¾ ¤¢¥ ®¡¹¨¥ ²®·ª¨, ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¥ ± P , «¨¡® ¯°¨ ¤«¥¦ ¹ ¿ ¯®¢¥°µ®±²¨. 0

0

0

0

¥®°¥¬ 16.31. P

0

0

0

0

0

0

0

0

®±®¡®©,

®¦¥±²¢® ª ± ²¥«¼»µ ¯°¿¬»µ ª ¯®¢¥°µ®±²¨ ¢ ¥®±®¡®© ²®·ª¥

±®¢¯ ¤ ¥² ± ¯«®±ª®±²¼¾

Fx(x ; y ; z )(x ? x ) + Fy (x ; y ; z )(y ? y ) + Fz (x ; y ; z )(z ? z ) = 0

(26)

(a x + a y + a z + a )x + (a x + a y + a z + a )y+ + (a x + a y + a z + a )z + (a x + a y + a z + a ) = 0;

(27)

0

¨«¨

0

11

0

0

0

13

12 0

0

23 0

0

13 0

0

0

1

33 0

0

12

3

1

0

0

0

22 0

2 0

0

0

23 0 3 0

0

2

0

§»¢ ¥¬®© ª ± ²¥«¼®© ¯«®±ª®±²¼¾ ª ¯®¢¥°µ®±²¨ ¢ ¥®±®¡®© ²®·ª¥.

®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ P = (x ; y ; z ), ²®£¤ ¤«¿ ¯°¿¬®© (22) F = F (P ) = 0 0

0 2

0

0

¨ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥¨¿ µ®¤¿²±¿ ¨§ F t + 2F t = 0, ² ª ·²® ª ± ¨¥ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¢ ±«³· ¥ F = 0, ². ¥. Fx(P ) + Fy (P ) + Fz (P ) = 0: ²® ³±«®¢¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¥®¡µ®¤¨¬»¬ ¨ ¤®±² ²®·»¬. «®£¨·® ²¥®°¨¨ ª°¨¢»µ ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ±®¢¯ ¢¸¨¥ ²®·ª¨ ¯°¨ F 6= 0 ¨ ¯°¿¬®«¨¥© ¿ ®¡° §³¾¹ ¿, ¥±«¨ F = 0. 2 2

1

1

2

2

107

¥®°¥¬ 16.32.

°¿¬®«¨¥©»¥ ®¡° §³¾¹¨¥ ®¤®¯®«®±²®£® £¨¯¥°¡®«®¨¤ ¨ £¨-

¯¥°¡®«¨·¥±ª®£® ¯ ° ¡®«®¨¤ , ¯°®µ®¤¿¹¨¥ ·¥°¥§ ¤ ³¾ ²®·ª³ ®¡° §³¾² ±¥·¥¨¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ ª ± ²¥«¼®© ¯«®±ª®±²¼¾ ¢ ¤ ®© ²®·ª¥.

®ª § ²¥«¼±²¢®. °¿¬®«¨¥©»¥ ®¡° §³¾¹¨¥ ¿¢«¿¾²±¿ ª ± ²¥«¼»¬¨ ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, «¥¦ ² ¢ ª ± ²¥«¼®© ¯«®±ª®±²¨. °³£¨µ ²®·¥ª ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ¥², ² ª ª ª ¯«®±ª®¥ ±¥·¥¨¥ | ª°¨¢ ¿ ¯®°¿¤ª ¥ ¢»¸¥ ¤¢³µ. 2 16.3. ´´¨ ¿ ¨ ¬¥²°¨·¥±ª ¿ ª« ±±¨´¨ª ¶¨¿ ¯®¢¥°µ®±²¥© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ®±ª®«¼ª³ ¬» ¥ ¤®ª § «¨ ²¥®°¥¬» ¥¤¨±²¢¥®±²¨ ¤«¿ ±³¹¥±²¢¥»µ ¯®¢¥°µ®±²¥©, ²®«¼ª® ²¥®°¥¬³ ¥¤¨±²¢¥®±²¨ ª ®¨·¥±ª®£® ³° ¢¥¨¿, ²® ¬» ¤®ª ¦¥¬ ª« ±±¨´¨ª ¶¨®»¥ ²¥®°¥¬» ¤«¿ ±¨«¼»µ ½ª¢¨¢ «¥²®±²¥©.

¥®°¥¬ 16.33.

¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ ±¨«¼® ¬¥²°¨·¥±ª¨ ½ª¢¨¢ «¥²»

²®£¤ ¨ ²®«ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®¨ ¨¬¥¾² ®¤¨ ª®¢»© ª ®¨·¥±ª¨© ¢¨¤.

¥®°¥¬ 16.34.

¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥ ±¨«¼® ´´¨® ½ª¢¨¢ «¥²» ²®-

£¤ ¨ ²®«ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®¨ ¨¬¥¾² ®¤¨ ª®¢»¥ §¢ ¨¿.

®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬ ¤®±«®¢® ¯®¢²®°¿¥² ±«³· © ª°¨¢»µ, § ¨±ª«¾·¥¨¥¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ´´¨®© ¥½ª¢¨¢ «¥²®±²¨ ¯®¢¥°µ®±²¥© ± ° §»¬¨ §¢ ¨¿¬¨. °®¢¥¤¥¬ ¥£®. °¥¦¤¥ ¢±¥£® § ¬¥²¨¬, ·²® ° £¨ r ¨ R ¿¢«¿¾²±¿ ´´¨»¬¨, ¥ ²®«¼ª® ®°²®£® «¼»¬¨ ¨¢ °¨ ² ¬¨. ®½²®¬³ ¤® ¤®ª § ²¼ ¥½ª¢¨¢ «¥²®±²¼ «¨¸¼ ¢ ¯°¥¤¥« µ ª ¦¤®£® ¨§ ª« ±±®¢ (i){(v). ®·ª (¬¨¬»© ª®³±), ¯°¿¬ ¿ (¯ ° ¬¨¬»µ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯«®±ª®±²¥©), ¯ ° ¯ ° ««¥«¼»µ, ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¨«¨ ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯«®±ª®±²¥©, ®·¥¢¨¤®, ´´¨® ¥½ª¢¨¢ «¥²» ¨ ¤°³£ ¤°³£³, ¨ ¤°³£¨¬ ¯®¢¥°µ®±²¿¬. «¿ ¯³±²»µ ¬®¦¥±²¢: ¬¨¬»© ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¶¨«¨¤° ¨¬¥¥² 1 ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¯° ¢«¥¨¥, ¬¨¬»© ½««¨¯±®¨¤ ¥ ¨¬¥¥² ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ¯° ¢«¥¨©, ¯ ° ¬¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼»µ ¯«®±ª®±²¥© ¨¬¥¥² ¶¥«³¾ ¯«®±ª®±²¼ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ¯° ¢«¥¨©. °®¬¥ ²®£®, ½««¨¯±®¨¤ ®£° ¨·¥ ¢ ®²«¨·¨¥ ®² ¤°³£¨µ ¥° ±±¬®²°¥»µ ¯®¢¥°µ®±²¥©. ²¨¯¥ (ii) ®±² «±¿ ®¤¨ ª®³±. «¿ ®±² ¢¸¨µ±¿ ¨¬¥¥¬ ¨¯ §¢ ¨¥ (i) ®¤®¯®«®±²»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ ¤¢³¯®«®±²»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤ £¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤

«¨·¨¥ ¶¥²°®¢ 1 1 ¥² ¥² 108

°¿¬®«¨. ®¡° §³¾¹¨¥ ¥±²¼ ¥² ¥² ¥±²¼

¨¯ §¢ ¨¥ (iii) ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¶¨«¨¤° £¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¶¨«¨¤° ¯ ° ¡®«¨·¥±ª¨© ¶¨«¨¤° ¥®°¥¬ ¤®ª § .

«¨·¨¥ ¶¥²°®¢ ±¨¬¯²®². ¯° ¢«¥¨¿ ¯°¿¬ ¿ ®¤® ¯°¿¬ ¿ ¤¢¥ ¯«®±ª®±²¨ ¥²

2

17. «¥¬¥²» ¯°®¥ª²¨¢®© £¥®¬¥²°¨¨

17.1. ®¯®«¥¨¥ ¯«®±ª®±²¨ ®¯®«¥ ¿ ¯«®±ª®±²¼ | ½²® ¯«®±ª®±²¼, ª ª®²®°®© ¯°¨±®¥¤¨¥» ¥ª®²®°»¥ \¡¥±ª®¥·® ³¤ «¥»¥" ½«¥¬¥²» (²®·ª¨). ¬¥®, ª ¦¤®¬³ ¥±®¡±²¢¥®¬³ ¯³·ª³ ±² ¢¨²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¥±®¡±²¢¥ ¿ ²®·ª . °¨ ½²®¬ ±·¨² ¥²±¿, ·²® ±®¡±²¢¥»© ¯³·®ª ¯¥°¥±¥ª ¥²±¿ ¢ ±®¡±²¢¥®© ²®·ª¥, ¥±®¡±²¢¥»© | ¢ ¥±®¡±²¢¥®©. ¡º¥¤¨¥¨¥ ¢±¥µ ¥±®¡±²¢¥»µ ²®·¥ª §»¢ ¥²±¿ ¥±®¡±²¢¥®© ¯°¿¬®©. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢»¯®«¥» ±«¥¤³¾¹¨¥ ª±¨®¬»: AI. ¥°¥§ ¤¢¥ «¾¡»¥ ° §«¨·»¥ ²®·ª¨ ¯°®µ®¤¨² ¥¤¨±²¢¥ ¿ ¯°¿¬ ¿. AII. ¢¥ «¾¡»¥ ° §«¨·»¥ ¯°¿¬»¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ ¢ ¥¤¨±²¢¥®© ²®·ª¥. ±«¨ ¬» § ¡»¢ ¥¬ ¯°® ²®, ·²® ¥ª®²®°»¥ ²®·ª¨ ¡»«¨ ¥±®¡±²¢¥»¬¨, ². ¥. ¯°¨±®¥¤¨¥»¬¨, ²® ¯°¨µ®¤¨¬ ª ¯®¿²¨¾ ¯°®¥ª²¨¢®© ¯«®±ª®±²¨. «¿ ²®£®, ·²®¡» ½²¨ ª±¨®¬» § ¯¨± ²¼ ¢ ¡®«¥¥ ±¨¬¬¥²°¨·®¬ ¢¨¤¥, ¢¢®¤¨²±¿ ±«¥¤³¾¹¥¥ ¯®¿²¨¥ ¨¶¨¤¥²®±²¨. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 17.1. ®·ª §»¢¥²±¿ ¨¶¨¤¥²®© ¯°¿¬®©, ¥±«¨ ²®·ª «¥¦¨² ½²®© ¯°¿¬®©. °¿¬ ¿ §»¢ ¥²±¿ ¨¶¨¤¥²®© ²®·ª¥, ¥±«¨ ¯°¿¬ ¿ ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ ½²³ ²®·ª³. ª±¨®¬» ¯°¨¬² ¢¨¤: AI. «¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ° §«¨·»µ ²®·¥ª ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨±²¢¥ ¿ ¯°¿¬ ¿, ¨¶¨¤¥² ¿ ¨¬. AII. «¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ° §«¨·»µ ¯°¿¬»µ ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨±²¢¥ ¿ ²®·ª , ¨¶¨¤¥² ¿ ¨¬. ´®°¬³«¨°³¥¬ ±«¥¤³¾¹¨© °¨¶¨¯ ¤¢®©±²¢¥®±²¨: ±«¨ ¢¥°® ¥ª®²®°®¥ ®¡¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ® ²®·ª µ, ¯°¿¬»µ ¨ ¨¶¨¤¥²®±²¨ ¬¥¦¤³ ¨¬¨ ¯°®¥ª²¨¢®© ¯«®±ª®±²¨, ²® ¢¥°® ¨ ¤¢®©±²¢¥®¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥, ¢ ª®²®°®¬ ²®·ª¨ ¨ ¯°¿¬»¥ ¬¥¿¾²±¿ ¬¥±² ¬¨. » ¥ ¡³¤¥¬ ®¡±³¦¤ ²¼ ¯®«»© ¡®° ª±¨®¬, ² ª¦¥ ¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®±²¼ ¨ ² ª ¤ «¥¥. » ¯°®±²® ¯®±²°®¨¬ ¥±²¥±²¢¥³¾ ¬®¤¥«¼ ¯°®¥ª²¨¢®© ¯«®±ª®±²¨, ¤«¿ ª®²®°®© ¡³¤³² ¢»¯®«¥» ³ª § »¥ ª±¨®¬» ¨ ¯°¨¶¨¯ ¤¢®©±²¢¥®±²¨.

109

17.2. ¢¿§ª ª ª ¬®¤¥«¼ ¯°®¥ª²¨¢®© ¯«®±ª®±²¨ ¯°¥¤¥«¥¨¥ 17.2. ¢¿§ª®© ¯°¿¬»µ ¨ ¯«®±ª®±²¥© ± ¶¥²°®¬ O ¢ ²°¥µ¬¥°®¬ ¯°®±² ±²¢¥ §»¢ ¥²±¿ ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°¿¬»µ ¨ ¯«®±ª®±²¥©, ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ¤ ³¾ ²®·ª³ O. ¡®§ · ²¼±¿ ±¢¿§ª ¡³¤¥² ²®© ¦¥ ¡³ª¢®© O. °¿¬ ¿ ±¢¿§ª¨ ¨¶¨¤¥² ¯«®±ª®±²¨, ¥±«¨ ® ¢ ¥© ±®¤¥°¦¨²±¿, ¯«®±ª®±²¼ ±¢¿§ª¨ ¨¶¨¤¥² ¯°¿¬®©, ¥±«¨ ® ·¥°¥§ ¥¥ ¯°®µ®¤¨². ¯°¥¤¥«¥¨¥ 17.3. ¥°±¯¥ª²¨¢®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ®±³¹¥±²¢«¿¥² ¢§ ¨¬® ®¤®§ ·®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥ ¯®¯®«¥®© ¯«®±ª®±²¨ ±¢¿§ª³, ². ¥. ®²®¡° ¦¥¨¥ ²®·¥ª ¯®¯®«¥®© ¯«®±ª®±²¨ ¬®¦¥±²¢® ¯°¿¬»µ ±¢¿§ª¨, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¥ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ±±¬®²°¨¬ ¯®¯®«¿¥¬³¾ ¯«®±ª®±²¼ ª ª «¥¦ ¹³¾ ¢ ²°¥µ¬¥°®¬ ¯°®±²° ±²¢¥. ³±²¼ ²®·ª O ¥ ¯°¨ ¤«¥¦¨² ¨ ®¯°¥¤¥«¿¥² ±¢¿§ª³. ¦¤®© ±®¡±²¢¥®© ²®·ª¥ ¯®±² ¢¨¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¥¤¨±²¢¥³¾ ¯°¿¬³¾ ±¢¿§ª¨, ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§ ¥¥. ¦¤®© ¥±®¡±²¢¥®© ²®·ª¥ , ². ¥. ¯° ¢«¥¨¾ ¨«¨ ¥±®¡±²¢¥®¬³ ¯³·ª³ , ¯®±² ¢¨¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¥¤¨±²¢¥³¾ ¯°¿¬³¾ ±¢¿§ª¨, ¨¬¥¾¹³¾ ²® ¦¥ ¯° ¢«¥¨¥. ·¥¢¨¤®, ·²® ¢»¯®«¥» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³±«®¢¨¿.

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ª®±²¨ ¨ ±®µ° ¿¥²±¿ ®²®¸¥¨¥ ¨¶¨¤¥²®±²¨.

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¬¥· ¨¥ 17.5. °¨ ¯¥°±¯¥ª²¨¢®¬ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ¥±®¡±²¢¥ ¿ ¯°¿¬ ¿ ¯¥°¥-

µ®¤¨² ¢ ¯«®±ª®±²¼ ±¢¿§ª¨, ¯ ° ««¥«¼³¾ . ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯®¯®«¥ ¿ ¯«®±ª®±²¼ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ±¢¿§ª¥ ± ¢»¤¥«¥®© ¯«®±ª®±²¼¾, ¯°®¥ª²¨¢ ¿ ¯«®±ª®±²¼ | ¯°®±²® ±¢¿§ª¥. ³±²¼ ²¥¯¥°¼ Oe e e | ¯°®¨§¢®«¼»© °¥¯¥° ± ¶¥²°®¬ ¢ O. ±±¬®²°¨¬ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° ¯°¿¬®© l ¨§ ±¢¿§ª¨ O. ®¯³±²¨¬, ·²® ® ¨¬¥¥² ª®®°¤¨ ²» (x ; x ; x ). ®®°¤¨ ²» ¤°³£®£® ¯° ¢«¿¾¹¥£® ¢¥ª²®° l ¡³¤³² ®²«¨· ²¼±¿ ®² ¨µ ¥³«¥¢»¬ ¬®¦¨²¥«¥¬. °®©ª ·¨±¥« (x : x : x ), ®¯°¥¤¥«¥ ¿ ± ²®·®±²¼¾ ¤® ¥³«¥¢®£® ¬®¦¨²¥«¿ §»¢ ¥²±¿ ®¤®°®¤»¬¨ ª®®°¤¨ ² ¬¨ l ®²®±¨²¥«¼® ³ª § ®£® °¥¯¥° . ¬¥²¨¬, ·²® ¢±¥ ²°¨ ·¨±« x ; x ; x ¥ ¬®£³² ¡»²¼ ³«¥¢»¬¨ ®¤®¢°¥¬¥®. ±±¬®²°¨¬ ¯«®±ª®±²¼ : x = 1 ¨ °¥¯¥° Ee e ¢ ¥©, £¤¥ E ¨¬¥¥² ¢ Oe e e ª®®°¤¨ ²» (0; 0; 1) (±¬ °¨±. 8). °¨ ±®®²¢¥²±²¢¨¨, ®¡° ²®¬ ª ¯¥°±¯¥ª²¨¢®¬³, ²®·ª¥ (x : x : x ) ± x 6= 0 ®²¢¥· ¥² ²®·ª ¯«®±ª®±²¨ ± ª®®°¤¨ ² ¬¨ x = xx ; y = xx : 1 2 3

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17.3. °®¥ª²¨¢»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¿ ¯°¥¤¥«¥¨¥ 17.9. ±¿ª®¥ ´´¨®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ ¯°®±²° ±²¢ , ®±² ¢«¿¾¹¥¥ ¶¥²° ±¢¿§ª¨ O ¬¥±²¥, ®²®¡° ¦ ¥² ¯°¿¬»¥, ¯°®µ®¤¿¹¨¥ ·¥°¥§ O ¢ ¥ª®²®°»¥ ¤°³£¨¥ ¯°¿¬»¥, ¯°®µ®¤¿¹¨¥ ·¥°¥§ O. ®§¨ª ¾¹¥¥ ² ª¨¬ ®¡° §®¬ ®²®¡° ¦¥¨¥ ±¢¿§ª¨ ¢ ±¥¡¿ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¥ª²¨¢»¬. ¥¯®±°¥¤±²¢¥® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ±«¥¤³¥², ·²® ¯°®¥ª²¨¢®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ ¯¥°¥¢®¤¨² ¯°¿¬»¥ ¯°®¥ª²¨¢®© ¯«®±ª®±²¨ ¢ ¯°¿¬»¥, ±®µ° ¿¿ ®²®¸¥¨¥ ¨¶¨¤¥²®±²¨. ±«¨ C | ¬ ²°¨¶ ´´¨®£® ¯°¥®¡° §®¢ ¨¿ ¢ °¥¯¥°¥ Oe e e , ²® ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ®¤®°®¤»µ ª®®°¤¨ ² µ ¯°®¥ª²¨¢®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ § ¯¨¸¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ 0f1 0 1 x x B @ xf CA = C B@ x CA ; x xf £¤¥ | ¯°®¨§¢®«¼»© ¥³«¥¢®© ¬®¦¨²¥«¼. ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ´´¨»µ ª®®°¤¨ ² µ ¯«®±ª®±²¨: f c x +c x = c x+c y+c ; xe = xxf = cc xx + (28) +c x +c x c x+c y+c f c x +c x = c x+c y+c : (29) ye = xxf = cc xx + +c x +c x c x+c y+c ¯°¥¤¥«¥¨¥ 17.10. ³¤ ¬¥² «¼®© ·¥²¢¥°ª®© §»¢ ¥²±¿ ·¥²¢¥°ª ²®·¥ª X X X E ²®·¥ª ¯°®¥ª²¨¢®© ¯«®±ª®±²¨, ¨ª ª¨¥ ²°¨ ¨§ ª®²®°»µ ¥ «¥¦ ² ®¤®© ¯°¿¬®©. ¬®¤¥«¨ ±¢¿§ª¨ ½²® ·¥²»°¥ ¯°¿¬»¥, ¨ª ª¨¥ ²°¨ ¨§ ª®²®°»µ ¥ «¥¦ ² ®¤®© ¯«®±ª®±²¨. ±¿ª ¿ ±¨±²¥¬ ®¤®°®¤»µ ª®®°¤¨ ² ®¯°¥¤¥«¿¥² ´³¤ ¬¥² «¼³¾ ·¥²¢¥°ª³ X = (1 : 0 : 0), X = (0 : 1 : 0), X = (0 : 0 : 1), E = (1 : 1 : 1). ¡° ²®, ª ¦¤ ¿ ·¥²¢¥°ª ²¥¬ ¦¥ ±¯®±®¡®¬ ®¯°¥¤¥«¿¥² ± ²®·®±²¼¾ ¤® ª®½´´¨¶¨¥² ¯°®¯®°¶¨® «¼®±²¨ ®¤®§ ·® ²°®©ª³ ¢¥ª²®°®¢ e ; e ; e . ® ¯°®¯®°¶¨® «¼®±²¼ ¥ ¢«¨¿¥² ²°®©ª³ ®¤®°®¤»µ ª®®°¤¨ ², ª®²®° ¿ ®¯°¥¤¥«¥ ± ²®·®±²¼¾ ¤® ª®½´´¨¶¨¥² . ª¨¬ ®¡° §®¬, ´³¤ ¬¥² «¼ ¿ ·¥²¢¥°ª ®¯°¥¤¥«¿¥² ±¨±²¥¬³ ®¤®°®¤»µ ª®®°¤¨ ². ¤ · 17. ³±²¼ X X X E ¨ X 0 X 0 X 0 E 0 | ¤¢¥ ´³¤ ¬¥² «¼»¥ ·¥²¢¥°ª¨. ®£¤ ±³¹¥±²¢³¥² °®¢® ®¤® ¯°®¥ª²¨¢®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥, ¯¥°¥¢®¤¿¹¥¥ ®¤³ ¢ ¤°³£³¾. ¤ · 18. ª ±«¥¤±²¢¨¥, ¤«¿ «¾¡®© ¯°¿¬®© ±³¹¥±²¢³¥² ¯°®¥ª²¨¢®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥, ¯¥°¥¢®¤¿¹¥¥ ¥¥ ¢ ¥±®¡±²¢¥³¾. ¤ · 19. ¥²° «¼ ¿ ¯°®¥ª¶¨¿ ¯«®±ª®±²¨ ¯«®±ª®±²¼ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¥ª²¨¢»¬ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥¬. 1 2 3

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17.4. °®¥ª²¨¢®- ´´¨»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¿ ¯°¥¤¥«¥¨¥ 17.11. °®¥ª²¨¢®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ ' ¯®¯®«¥®© ¯«®±ª®±²¨ (². ¥. ¯°®¥ª²¨¢®© ¯«®±ª®±²¨, ³ ª®²®°®© ¢»¤¥«¥ ¥±®¡±²¢¥ ¿ ¯°¿¬ ¿), ¯¥°¥¢®¤¿¹¥¥ ½²³ ¢»¤¥«¥³¾ ¯°¿¬³¾ ¢ ±¥¡¿, §»¢ ¥²±¿ ¯°®¥ª²¨¢®- ´´¨»¬. ·¥¢¨¤®, ·²® ¤«¿ ½²®£® ¥®¡µ®¤¨¬® ¨ ¤®±² ²®·®, ·²®¡» ¤¢¥ ° §«¨·»¥ ¥±®¡±²¢¥»¥ ²®·ª¨ ¯¥°¥¸«¨ ¢ ¥±®¡±²¢¥»¥. ®±ª®«¼ª³ ¯°¿¬ ¿ ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ ¯°¿¬³¾, ¢ · ±²®±²¨, ¥±®¡±²¢¥ ¿, ²® ¨ª ª ¿ ±®¡±²¢¥ ¿ ²®·ª ¥ ¬®¦¥² ®²®¡° §¨²¼±¿ ¢ ¥±®¡±²¢¥³¾. ®½²®¬³ ¬®¦® ¤ ²¼ ±«¥¤³¾¹¥¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥. ¯°¥¤¥«¥¨¥ 17.12. ¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ f ®£° ¨·¥¨¥ f ±®¡±²¢¥»¥ ²®·ª¨, ². ¥. ¥¯®¯®«¥³¾ ¯«®±ª®±²¼. ®£¤ f ®²®¡° ¦ ¥² ¥¯®¯®«¥³¾ ¯«®±ª®±²¼ ±¥¡¿. 0

0

°¥¤«®¦¥¨¥ 17.13. f ®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¢¢¥¤¥» ®¤®°®¤»¥ ª®®°¤¨ ²» ¨ x = 0 | ¥±®¡±²¢¥²®¡° ¦¥¨¥

0 ¿¢«¿¥²±¿ ´´¨»¬.

¿ ¯°¿¬ ¿. ³±²¼ f ¨¬¥¥² ¬ ²°¨·³¾ § ¯¨±¼ xf = c x + c x + c x xf = c x + c x + c x xf = c x + c x + c x

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xe = cc x + cc y + cc ; ye = cc x + cc y + cc : 11

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17.5. °®¥ª²¨¢ ¿ ¯°¿¬ ¿ °®¥ª²¨¢ ¿ ¯°¿¬ ¿ (¯°¿¬ ¿, ¯®¯®«¥ ¿ ®¤®© ²®·ª®©) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ «®£¨·»¬ ®¡° §®¬. ®«¼ ¬®¤¥«¨ ±¢¿§ª¨ ²¥¯¥°¼ ¨£° ¥² ±®¡±²¢¥»© ¯³·®ª ¯°¿¬»µ ¯«®±ª®±²¨, ² ª ·²® ¥£® ¯°¿¬ ¿, ¯ ° ««¥«¼ ¿ ¯®¯®«¿¥¬®© ¯°¿¬®©, ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¡¥±ª®¥·® ³¤ «¥®© ²®·ª¥. °®¥ª²¨¢®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ ¢ ®¤®°®¤»µ ª®®°¤¨ ² µ § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ´®°¬³« ¬¨ ( xf = c x + c x ; det C = det kc k 6= 0: ij xf = c x + c x °®±²®¥ ®²®¸¥¨¥ ²°¥µ ° §«¨·»µ ²®·¥ª A , A ¨ A ¯°¿¬®© | ½²® ² ª®¥ AA. ·¨±«® , ·²® ? A??A! = ? A??A!. ¡®§ ·¥¨¥: = A A 1

11

1

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2

12

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3

114

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3

(¨«¨ ±«®¦®¥) ®²®¸¥¨¥ ·¥²»°¥µ ° §«¨·»µ ²®·¥ª A , A , A | ½²® AA :AA: (A A A A ) := A A AA

¢®©®¥ ¯°¿¬®©

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´´¨»µ ª®®°¤¨ ² µ

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?x : x (A A A A ) = xx ? x x ·¥¢¨¤» ±¢®©±²¢ ¤¢®©®£® ®²®¸¥¨¿: 1) (A A A A ) = (A A A A ), 2) (A A A A ) = (A A 1A A ) . ®®¯°¥¤¥«¨¬ ¤¢®©®¥ ®²®¸¥¨¥ (A A A 1) := A A = x AA x 1

1

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¥¬¬ 17.14.

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x y x y

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?x : ?x 1

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?x : ?x 1

2

±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ®¤®°®¤»µ ª®®°¤¨ ² µ

x y (A A A A ) = x y

2

x : y x y

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x y x y

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4 4

4

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(x : y):

®ª § ²¥«¼±²¢®. ° ¢ ¿ · ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥ ª®°°¥ª²®, ². ¥. ¥ ¬¥¿¥²±¿ ¯°¨ § ¬¥ µ (xi; yi) ! (xi; yi) ¨ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ´®°¬³«®© ¢ ´´¨»µ ª®®°¤¨ ² µ ¯°¨ yi = 1, ¯°¨·¥¬, ¥±«¨ y = 0, ²® ¨¬¥¥¬ ´®°¬³«³ ¤«¿ (A A A 1). 2 ¥®°¥¬ 17.15. 4

1

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¢®©®¥ ®²®¸¥¨¥ ·¥²»°¥µ ²®·¥ª ¯°®¥ª²¨¢®© ¯°¿¬®© ¥

§ ¢¨±¨² ®² ¢»¡®° ®¤®°®¤»µ ª®®°¤¨ ².

! 0 ! x x ®ª § ²¥«¼±²¢®. °¨ § ¬¥¥ ¢¨¤ y = C y0 ¨¬¥¥¬ ! 0 x0 ! x x x i j i j y y = C y0i y0j ; i j i j 0 0 ij xyi xyj = det C xy0i xy0j : i j i j ®¤±² ¢«¿¿, ¢¨¤¨¬, ·²® i ¨ det C ±®ª° ¹ ¾²±¿. 2

«¥¤±²¢¨¥ 17.16.

¢®©®¥ ®²®¸¥¨¥ ¥ ¬¥¿¥²±¿ ¯°¨ ¯°®¥ª²¨¢»µ ¯°¥®¡° §®-

¢ ¨¿µ ¯°¿¬®©.

115

°®±²®¥ ®²®¸¥¨¥ ¥ ±®µ° ¿¥²±¿ ¯°¨ ¯°®¥ª²¨¢»µ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¿µ (¢ ®²«¨·¨¥ ®² ´´¨»µ). ®«¥¥ ¯®«»© ®²¢¥² ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ .

¥®°¥¬ 17.17.

«¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ²°®¥ª ° §«¨·»µ ²®·¥ª

¯°¿¬®© ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ¥¤¨±²¢¥® ² ª®¥ ¯°®¥ª²¨¢®¥

f (Ai) = A0i, i = 1; 2; 3.

A 0 ; A0 ; A 0 ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ f , ·²® A ;A ;A 1

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®ª § ²¥«¼±²¢®. ¬®¤¥«¨ ¯³·ª ¯°¿¬»µ ¢»¡¥°¥¬ ¯°¿¬»µ ¢¥ª²®° ² ª, ·²® e = e + e , e0 = e0 + e0 (±¬. °¨±. 9). °®¥ª²¨¢®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ ®²¢¥· ¥² ¯ °¥ 2

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¨±. 9. °¥¯¥°®¢ Oe e ¨ O0 e0 e0 . ®ª ¦¥¬ ¥¤¨±²¢¥®±²¼. ³±²¼ ¨¬¥¥²±¿ °¿¤³ ± ¯®±²°®¥»¬ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥¬ ' ¨ ¤°³£®¥ | . ®£¤ ¨¬¥¥²±¿ ²®·ª A , ² ª ¿, ·²® '(A ) 6= (A ). ® ¯®«®¦¥¨¥ ®¡° § ²®·ª¨ A ¯®«®±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¤¢®©»¬ ®²®¸¥¨¥¬ A ± A ; A ; A , ² ª ª ª ¤¢®©®¥ ®²®¸¥¨¥ ¨¢ °¨ ²® ¯°¨ § ¬¥¥ ª®®°¤¨ ², ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¨ ¯°¨ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¨. 2 1 3

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¥¬¬ 17.18.

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¥ª²¨¢®© ¯«®±ª®±²¨, ¯°¿¬ ¿

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¯°®¥ª²¨¢®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ (¶¥²° «¼ ¿ ¯°®¥ª¶¨¿), ¯¥°¥¢®¤¿¹¥¥ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ± l ¢ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ± ¤°³£®© ¯°¿¬®©. ® ²¥®°¥¬¥ 17.15 ¤¢®©®¥ ®²®¸¥¨¥ ±®µ° ¿¥²±¿. 2

116

17.6. °¨¢»¥ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ¯°®¥ª²¨¢®© ¯«®±ª®±²¨ °¨¢ ¿ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ¯°®¥ª²¨¢®© ¯«®±ª®±²¨ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª ª ®¤®°®¤®¥ ³° ¢¥¨¥ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ¢ ¥ª®²®°®© ®¤®°®¤®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ²: q(x) = a (x ) + 2a x x + a (x ) + 2a x x + 2a x x + a (x ) = 0: ·¥¢¨¤®, ·²® ¯°¨ ¯°®¥ª²¨¢®¬ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¨ ® ¯¥°¥©¤¥² ¢ ª°¨¢³¾ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª , ¨ ·²® ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ª®°°¥ª²®, ². ¥. ¥ § ¢¨±¨² ®² ³¬®¦¥¨¿ ²°®©ª¨ ®¤®°®¤»µ ª®®°¤¨ ² ¥³«¥¢®© ¬®¦¨²¥«¼. ® ²®© ¦¥ ²¥®°¥¬¥ ¨§ «¨¥©®© «£¥¡°», ª®²®°®© ¬» ¯®«¼§®¢ «¨±¼, ª®£¤ £®¢®°¨«¨ ® ¯®¢¥°µ®±²¿µ, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¯°®¥ª²¨¢ ¿ § ¬¥ ª®®°¤¨ ², ·²® ¢ ®¢®© ±¨±²¥¬¥ ³° ¢¥¨¥ ¯°¨¬¥² ¢¨¤ q0(x0) = (x0 ) + (x0 ) + (x0 ) = 0: § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² § ª®¢ i ¢®§¬®¦» ¯¿²¼ ±«³· ¥¢: 1 ¨ ®¤®£® § ª , | ¯°®²¨¢®¯®«®¦®£®, § ¬¥®© ¡ §¨± ³° ¢¥¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ (x00) + (x00) ? (x00) = 0: 2 ¢±¥ i ®¤®£® § ª , ³° ¢¥¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ (x00) + (x00) + (x00) = 0: 3 = 0, ¨ ° §»µ § ª®¢, ²®£¤ (x00) ? (x00) = 0: 4 = 0, ¨ ®¤®£® § ª , ²®£¤ (x00) + (x00) = 0: 5 = = 0, ²®£¤ (x00) = 0: » ¤®ª § «¨ ±«¥¤³¾¹³¾ ²¥®°¥¬³. 11

1

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1

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1

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2

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³¹¥±²¢³¥² ±¨±²¥¬ ®¤®°®¤»µ ª®®°¤¨ ², ¢ ª®²®°®© ¤ ¿

ª°¨¢ ¿ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ¨¬¥¥² ®¤¨ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨¤®¢:

1 2 3 4 5

(x ) (x ) (x ) (x ) (x ) 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

+ (x ) + (x ) ? (x ) + (x ) =0

¥®°¥¬ 17.20.

2 2

2

2

2 2 2

2

? (x ) = 0 (®¢ «) 3

2

+ (x ) = 0 (¬¨¬»© ®¢ «) =0 (¯ ° ° §«¨·»µ ¯°¿¬»µ) =0 (¯ ° ¬¨¬»µ ¯°¿¬»µ) (¯ ° ±®¢¯ ¢¸¨µ ¯°¿¬»µ) 3

2

³¹¥±²¢³¥²

°®¢®

¯¿²¼

³ª § »µ

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½ª¢¨¢ «¥²®±²¨

ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ®²®±¨²¥«¼® ¯°®¥ª²¨¢»µ ¯°¥®¡° §®¢ ¨©.

117

®ª § ²¥«¼±²¢®. ±¨«³ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬» ³¦® ²®«¼ª® ¯®ª § ²¼, ·²® ª°¨-

¢»¥ ¨§ ° §»µ ª« ±±®¢ ¥½ª¢¨¢ «¥²». ²® ±«¥¤³¥² ±° §³ ¨§ ²®£®, ·²® ¯°¿¬»¥ ¯¥°¥µ®¤¿² ¢ ¯°¿¬»¥ ¨ ·²® ° £ ¬ ²°¨¶» ±®µ° ¿¥²±¿. 2 ¬¥· ¨¥ 17.21. ª ¬» ³¦¥ ¢¨¤¥«¨, ´´¨®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ | ½²® ¯°®¥ª²¨¢®¥, ¯¥°¥¢®¤¿¹¥¥ ¥±®¡±²¢¥³¾ ¯°¿¬³¾ ¢ ¥±®¡±²¢¥³¾, ¨ ®£° ¨·¥®¥ ±®¡±²¢¥»¥ ²®·ª¨. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°®¥ª²¨¢»¥ ª« ±±» ¬®£³² ±®¤¥°¦ ²¼ ¥±ª®«¼ª® ´´¨»µ. ¬¥®, ®¢ « | ½²® ½««¨¯±, £¨¯¥°¡®« ¨ ¯ ° ¡®« , ¬¨¬»© ®¢ « | ¬¨¬»© ½««¨¯±, ° §«¨·»¥ ¯°¿¬»¥ | ¯ ° ««¥«¼»¥ ¨«¨ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¯°¿¬»¥, «®£¨·® ¤«¿ ¬¨¬»µ. °¨ ½²®¬ ½««¨¯± | ®¢ «, ¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨© ¥±®¡±²¢¥³¾ ¯°¿¬³¾, £¨¯¥°¡®« | ®¢ «, ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨© ¥±®¡±²¢¥³¾ ¯°¿¬³¾, ¯ ° ¡®« | ®¢ «, ª ± ¾¹¨©±¿ ¥±®¡±²¢¥®© ¯°¿¬®©.

118

Аналитическая геометрия

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