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x3. ª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢... .. .. .. .. . .. .. .. .. .24 1. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ ᢮©á⢠᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï (24). 2. ëç¨á«¥¨¥ ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢ ª®®à¤¨ â å (26). 3. Ǒਫ®¥¨ï (27).
x4. ¥ªâ®à®¥ ¨ á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢.. .. .. .28 1. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ ᢮©á⢠¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï (28). 2. ëç¨á«¥¨¥ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢ ª®®à¤¨ â å (31). 3. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ ᢮©áâ¢ á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï (32). 4. ëç¨á«¥¨¥ á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢ ª®®à¤¨ â å (36). 5. Ǒਫ®¥¨ï (37).
x5. ¨á⥬ ª®®à¤¨ â. ®®à¤¨ âë â®çª¨ .. .. .. .. .. . .. .. 38 1. Ǒ®ï⨥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â (38). 2. ¥«¥¨¥ ®â१ª ¢ ¤ ®¬ ®â®è¥¨¨ (40). 3. ¬¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â (42).
x6. ¤ ç¨ ... . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 45 1. á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç (45). 2. ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï (50). 3. ⢥âë (54). 4. ¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò1 (55).
4 Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®á⨠... .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . 57 x7. Ǒàï¬ ï ¯«®áª®áâ¨.. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. ..57
« ¢ 2.
1.
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(57). 2. ¨¤ë ãà ¢¥¨© ¯àאַ© (60). 3. § ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ ¤¢ãå ¯àï¬ëå (67). 4. Ǒ®«ã¯«®áª®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¯àאַ© (69). 5. ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ ¤® ¯àאַ© (71). 6. £®« ¬¥¤ã ¯àï¬ë¬¨ (72).
x8. Ǒ«®áª®áâì ¢ ¯à®áâà á⢥ ... .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. 74 1. ®®à¤¨ ⮥ ¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯®¢¥àå®á⨠(74). 2. ¨¤ë ãà ¢¥¨© ¯«®áª®á⨠(76). 3. § ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ ¤¢ãå ¯«®áª®á⥩ (83). 4. Ǒ®«ã¯à®áâà á⢠, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¯«®áª®áâìî (85). 5. ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ ¤® ¯«®áª®á⨠(87). 6. £®« ¬¥¤ã ¯«®áª®áâﬨ (87).
x9. Ǒàï¬ ï ¢ ¯à®áâà á⢥... .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .88 1. ®®à¤¨ âë¥ ¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï «¨¨¨ (88). 2. ¨¤ë ãà ¢¥¨© ¯àאַ© (91). 3. § ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ ¯àאַ© ¨ ¯«®áª®á⨠(97). 4. § ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ ¤¢ãå ¯àï¬ëå (98). 5. ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ ¤® ¯àאַ© (100). 6. £®« ¬¥¤ã ¯àï¬ë¬¨. £®« ¬¥¤ã ¯àאַ© ¨ ¯«®áª®áâìî (101).
x10. ¤ ç¨.. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ..103 1. á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç (104). 2. ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï (116). 3. ⢥âë (122). 4. ¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò2 (123).
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« ¢ 3.
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(140).
6. âà¨ç ï ¢¥àá¨ï ¬¥â®¤ ãáá {®à¤ (145).
x13. ¯à¥¤¥«¨â¥«¨ .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. 146 x14. à ¬¥à®¢áª¨¥ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© . .. .. .. 158
5 x15. ¤ ç¨.. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ..164 1. á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç (164). 2. ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï (164). 3. ⢥âë (168). 4. ¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò3 (170).
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« ¢ 4.
1. á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç (187). 2. ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï (188). 3. ⢥âë (189). 4. ¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò4 (190).
¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà á⢠.. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .192 x21. Ǒà®áâà á⢮ R , «¨¥© ï § ¢¨á¨¬®áâì ... . .. .. .. . 192 x22. §¨áë ¢ ¯à®áâà á⢥ R . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. 199
« ¢ 5.
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1. Ǒ®ï⨥ ¡ §¨á (199). 2. ®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à (201). 3. §¬¥¥¨¥ ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à ¯à¨ § ¬¥¥ ¡ §¨á (205).
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x24. Ǒ®¤¯à®áâà á⢠.. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. 217 x25. 㬬 , ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¨ ¯àï¬ ï á㬬
¯®¤¯à®áâà á⢠.. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. 223
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x26. ¨¥©ë¥ ¬®£®®¡à §¨ï... .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .230 x27. ¤ ç¨.. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ..234 1. á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç (234). 2. ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï (234). 3. ⢥âë (236). 4. ¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò5 (237).
« ¢ 6.
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x31. ¡à â ï ¬ âà¨æ . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. ..264 1. à¨â¥à¨© áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ᢮©á⢠®¡à ⮩ ¬ âà¨æë (264). 2. 室¥¨¥ ®¡à ⮩ ¬ âà¨æë á ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© (267). 3. ¡à â ï ¬ âà¨æ ¨ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© (269).
x32. ¤ ç¨.. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ..271 1. á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç (271). 2. ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï (271). 3. ⢥âë (274). 4. ¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò6 (276).
¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. 278 x33. ¨¥©ë© ®¯¥à â®à, ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à ... .. . .. .. .. 278
« ¢ 7.
1. Ǒ®ï⨥ «¨¥©®£® ®¯¥à â®à (278). 2. âà¨æ ®¯¥à â®à ¢ ¡ §¨á¥ (281). 3. §¬¥¥¨¥ ¬ âà¨æë ®¯¥à â®à
x34. x35. x36. x37.
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1. á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç (303). 2. ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï (303). 3. ⢥âë (306). 4. ¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò7 (308).
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà á⢠... .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. 309 x38. ª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥ . . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. 309 x39. à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . 315 x40. à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥ . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .323
« ¢ 8.
7 x41. ¨¬¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®¯¥à â®àë .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. 330 x42. ¤ ç¨.. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ..336 1. á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç (336). 2. ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï (337). 3. ⢥âë (339). 4. ¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò8 (340).
¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. ..342 x43. ««¨¯á . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 342 x44. ¨¯¥à¡®« .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . 346 x45. Ǒ à ¡®« .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . 351 x46. Ǒ®ï⨥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®á⨠... .. . .. .. .. .. .. .. .. 353
« ¢ 9.
1. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®á⨠(353). 2. ¯à®é¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ª¢ ¤à¨ª¨ (356).
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¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 371 x49. ¨«¨¤à¨ç¥áª¨¥ ¨ ª®¨ç¥áª¨¥ ¯®¢¥àå®áâ¨... .. .. . .371
« ¢ 10.
1. ¨«¨¤à¨ç¥áª¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠(371). 2. ®¨ç¥áª¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠(377).
x50. ««¨¯á®¨¤ë, £¨¯¥à¡®«®¨¤ë, ¯ à ¡®«®¨¤ë .. .. .. .. . . 380 1. ««¨¯á®¨¤ (380). 2. ¤®¯®«®áâë© ¨ ¤¢ã¯®«®áâë© £¨¯¥à¡®«®¨¤ë (382). 3. ««¨¯â¨ç¥áª¨© ¨ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© ¯ à ¡®«®¨¤ë (384).
x51. Ǒ®ï⨥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ .. .. .. . .. .. .. .. .. . 387 1. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ (387). 2. ¯à®é¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ª¢ ¤à¨ª¨ (389).
x52. « áá¨ä¨ª æ¨ï ª¢ ¤à¨ª ¢ ¯à®áâà á⢥... .. . .. .. ..392 x53. Ǒàאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥.. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .397 x54. ¤ ç¨.. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ..400 1. á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç (400). 2. ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï (405). 3. ⢥âë (407). 4. ¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò10 (408).
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« ¢ 11.
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« ¢ 12.
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x62. ¤ ç¨.. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ..445 1. á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç (445). 2. ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï (445). 3. ⢥âë (446). 4. ¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò12 (446).
Ǒਫ®¥¨¥. ¥â®¤ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¨¤ãªæ¨¨ . .. . .. .. .. .. .. 447 ¯¨á®ª «¨â¥à âãàë. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .449 Ǒ।¬¥âë© ãª § ⥫ì .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. 450 ¯¨á®ª ®¡®§ 票© .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. 456
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10 ᯨ᮪ «¨â¥à âãàë § ¢¥¤®¬® ¥ ¯à¥â¥¤ã¥â ¯®«®âã. « ¢ë ¤¥«ïâáï ¯ à £à äë, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ᪢®§ãî 㬥à æ¨î. ª ¤®© ¨§ £« ¢ ¢á¥ ¯ à £à äë, ªà®¬¥ ¯®á«¥¤¥£®, ᮤ¥à â ¨§«®¥¨¥ ⥮à¥â¨ç¥áª®£® ¬ â¥à¨ « , ᮯ஢®¤ ¥¬®¥ à¥è¥¨¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § ¤ ç. Ǒ®á«¥¤¨© ¯ à £à ä ª ¤®© £« ¢ë 楫¨ª®¬ ¯®á¢ïé¥ § ¤ ç ¬. ᮤ¥à¨â ¯¥à¥ç¥ì ®á®¢ëå ⨯®¢ § ¤ ç ¯® ⥬¥ £« ¢ë á ¯à¨¬¥à ¬¨ à¥è¥¨ï § ¤ ç ¢á¥å ⨯®¢ (§ ¨áª«î票¥¬ â¥å, ¤«ï ª®â®àëå â ª¨¥ ¯à¨¬¥àë ¡ë«¨ ¯à¨¢¥¤¥ë à ¥¥), ¡®à § ¤ ç ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï, ®â¢¥âë ª ¨¬ ¨ á ¬®áâ®ï⥫ìãî à ¡®âã ¯® ⥬¥ £« ¢ë. §ã¬¥¥âáï, ¯à¨¢®¤¨¬ ï ¢ í⮬ ¯ à £à ä¥ ª« áá¨ä¨ª æ¨ï § ¤ ç ¤®áâ â®ç® ãá«®¢ .
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« ¢ 1
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¢â®à®£® ¨ âà¥â쥣® ¯®à浪
â®â ¯ à £à ä ¨£à ¥â ¢á¯®¬®£ ⥫ìãî à®«ì ¨ ¯®á¢ïé¥ ®¯à¥¤¥«¥¨î ¨ ¥ª®â®à®¬ã ®¡á㤥¨î ¯®ï⨩, 㪠§ ëå ¢ § £« ¢¨¨. 1.
Ǒ®ï⨥ ¬ âà¨æë
ë 祬 á ¯®ïâ¨ï ¬ âà¨æë. âà¨æ¥© §ë¢ ¥âáï ¯àאַ㣮«ì ï â ¡«¨æ , á®áâ ¢«¥ ï ¨§ ç¨á¥«.
᫨ ¬ âà¨æ ᮤ¥à¨â m áâப ¨ n á⮫¡æ®¢, â® ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ® ¨¬¥¥â ¯®à冷ª (¨«¨ à §¬¥à ) m n. ¨¥ ¯à¨¢¥¤¥ ¯à¨¬¥à ¬ âà¨æë ¯®à浪 2 3: p A = 20 0;55 2 : ⬥⨬, çâ® ¢ § ¯¨á¨ ¬ âà¨æë ¬ë ¥ ¯à®¢®¤¨¬ «¨¨¨, ®â¤¥«ïî騥 ®¤ã áâப㠮⠤à㣮© ¨ ®¤¨ á⮫¡¥æ ®â ¤à㣮£®. ¨á« , ¨§ ª®â®àëå á®áâ ¢«¥ ¬ âà¨æ , §ë¢ îâáï ¥¥ í«¥¬¥â ¬¨. ¯à¨¢¥¤¥®¬ ¯à¨¬¥à¥ í«¥¬¥âë ¬ âà¨æë A | íâ® ç¨á« 2, 5, p2, 0, 0;5 ¨ .
12
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
᫨ ç¨á«® áâப ¬ âà¨æë à ¢® ç¨á«ã ¥¥ á⮫¡æ®¢, â® ¬ âà¨æ §ë¢ ¥âáï ª¢ ¤à ⮩. í⮬ á«ãç ¥ ¢¬¥áâ® â¥à¬¨ \¬ âà¨æ ¯®à浪 nn", ª ª ¯à ¢¨«®, 㯮âॡ«ï¥âáï â¥à¬¨ ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n. âà¨æ , á®áâ®ïé ï ¨§ ®¤®© áâப¨, §ë¢ ¥âáï áâப®©, ¬ âà¨æ , á®áâ®ïé ï ¨§ ®¤®£® á⮫¡æ , | á⮫¡æ®¬. âபã, á®áâ®ïéãî ¨§ n á⮫¡æ®¢ (â.¥. ¬ âà¨æã ¯®à浪 1 n), §ë¢ îâ áâப®© ¤«¨ë n, á⮫¡¥æ, á®áâ®ï騩 ¨§ n áâப (â.¥. ¬ âà¨æã ¯®à浪 n 1), | á⮫¡æ®¬ ¤«¨ë n. «ï ®¡®§ 票ï í«¥¬¥â®¢ ¬ âà¨æ ¯à¨¬¥ï¥âáï ¤¢®© ï ¨¤¥ªá æ¨ï. ª, ¯à®¨§¢®«ì ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 2 3 ®¡®§ ç ¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: A = aa11 aa12 aa13 : 21 22 23 Ǒ¥à¢ë© ¨¤¥ªá í«¥¬¥â ®§ ç ¥â ®¬¥à áâப¨ (®¨ áç¨â îâáï ᢥàåã ¢¨§), ¢â®à®© | ®¬¥à á⮫¡æ (á⮫¡æë áç¨â îâáï á«¥¢ ¯à ¢®). ¯à¨¬¥à, a12 | í«¥¬¥â, áâ®ï騩 ¢ ¯¥à¢®© áâப¥ ¨ ¢â®à®¬ á⮫¡æ¥. ¯¨áì A = (a ) ®§ ç ¥â, çâ® A | ¬ âà¨æ , ¢ ª®â®à®© í«¥¬¥â, áâ®ï騩 ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ i-© áâப¨ ¨ j -£® á⮫¡æ , ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ a . ¢¥ ¬ âà¨æë §ë¢ îâáï à ¢ë¬¨, ¥á«¨ ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ¯®à冷ª ¨ ®¤¨ ª®¢ëå ¬¥áâ å ¢ ¨å áâ®ïâ ®¤¨ ¨ ⥠¥ í«¥¬¥âë. ij
ij
2.
¯à¥¤¥«¨â¥«¨ ¢â®à®£® ¯®à浪
áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî ª¢ ¤à âãî ¬ âà¨æã ¢â®à®£® ¯®à浪
A = aa11 aa12 : 21 22 ¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ í⮩ ¬ âà¨æë
§ë¢ ¥âáï ç¨á«®, à ¢®¥
(¨«¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ ¢â®à®£® ¯®à浪 )
a11 a22 a12 a21 :
â® ç¨á«® ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ ¯à¨¬¥à,
a11 a21
a12 ; a22
¨«¨ jAj; ¨«¨ det A:
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13
x
1. ¯à¥¤¥«¨â¥«¨ ¢â®à®£® ¨ âà¥â쥣® ¯®à浪
«¥¬¥âë a11 ; a22 ®¡à §ãîâ £« ¢ãî ¤¨ £® «ì ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë ¢â®à®£® ¯®à浪 , í«¥¬¥âë a12; a21 | ¥¥ ¯®¡®çãî ¤¨ £® «ì. ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¢â®à®£® ¯®à浪 à ¢¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨î í«¥¬¥â®¢ £« ¢®© ¤¨ £® «¨ ¬¨ãá ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ í«¥¬¥â®¢ ¯®¡®ç®© ¤¨ £® «¨.
¯à¥¤¥«¨â¥«¨ ¢®§¨ª«¨ ¢ ⥮ਨ á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. Ǒ®ª ¥¬, ª ª ¯à¨¬¥ï¥âáï ¯®ï⨥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¢â®à®£® ¯®à浪 ª à¥è¥¨î á¨á⥬ ¤¢ãå «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á ¤¢ã¬ï ¥¨§¢¥áâ묨. ª ï á¨á⥬ ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ¬®¥â ¡ëâì § ¯¨á á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: a11 x1 + a12 x2 = b1 ; (1) a21 x1 + a22 x2 = b2 : ¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騥 ®¡®§ 票ï: =
a11 a21
a12 ; a22
1 =
b1 b2
a12 ; a22
2 =
a11 a21
b1 : b2
¯à¥¤¥«¨â¥«ì §ë¢ ¥âáï ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ á¨á⥬ë (1). «¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ç áâë© á«ãç © ⥮६ë, ª®â®àãî ®¡ëç® §ë¢ îâ ¯à ¢¨«®¬ à ¬¥à ¨«¨ ⥮६®© à ¬¥à (á¬. ⥮६ã 1 ¢ x14). ¥®à¥¬ 1.
᫨ 6= 0, â® á¨á⥬ (1) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ 1 , x2 = 2 . à¥è¥¨¥, ª®â®à®¥ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã« ¬ x1 = ª 㥠®â¬¥ç «®áì, ¢ x14 ¡ã¤¥â ¤®ª § ® ¡®«¥¥ ®¡é¥¥ ã⢥थ¨¥, ¥¥«¨ ⥮६ 1. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ¬ë ¯à¨¢¥¤¥¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ ⥮६ë, çâ®¡ë ®¡à â¨âì ¢¨¬ ¨¥ «®£¨ªã ¯à®¢¥¤¥¨ï ¤®ª § ⥫ìá⢠⠪®£® த ã⢥थ¨©. ®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¥¬ ¢ ç «¥ áãé¥á⢮¢ ¨¥ à¥è¥¨ï á¨- 1 á⥬ë. «ï í⮣® ¤®áâ â®ç® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¯ à ç¨á¥« ; 2 ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (1). Ǒ®¤áâ ¢¨¬ í⨠ç¨á« ¢ ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ á¨á⥬ë. ë ¯®«ã稬 a (b a b a ) + a12(a11b2 a21b1) = a11 1 + a12 2 = 11 1 22 2 12 a11 b1 a22 a11 b2a12 + a12 a11 b2 a12 a21 b1 = = = b1(a11 a22 a12a21) = b1 = b1:
14
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
â ª, ¯ à ç¨á¥« 1 ; 2 ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ¯¥à¢®£® ãà ¢¥¨ï á¨á⥬ë (1). «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï ¨ â®, çâ® ® ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï í⮩ á¨á⥬ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, áãé¥á⢮¢ ¨¥ à¥è¥¨ï ¤®ª § ®. ®ª ¥¬ ⥯¥àì ¥¤¨á⢥®áâì à¥è¥¨ï. Ǒãáâì (x01 ; x02) | à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (1), â.¥. a11 x01 + a12 x02 = b1 ; a21 x01 + a22 x02 = b2 : ¬®¨¬ ¯¥à¢®¥ à ¢¥á⢮ a22 , ¢â®à®¥ a12 ¨ à áᬮâਬ á㬬㠯®«ãç¥ëå à ¢¥áâ¢: a11 a22 x01 + a12 a22 x02 a21 a12 x01 a22 a12 x02 = b1 a22 b2 a12 : â® à ¢¥á⢮ ¬®® § ¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: x01 = 1. Ǒ®áª®«ìªã 6= 0, ¨¬¥¥¬ x01 = 1 . «®£¨ç® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® x02 = 2 . ë ¢§ï«¨ ¯à®¨§¢®«ì®¥ à¥è¥¨¥ (x01 ; x02 ) á¨á⥬ë (1) ¨ ¤® 1 2 ª § «¨, çâ® ®® ᮢ¯ ¤ ¥â á à¥è¥¨¥¬ ; . â® ®§ ç ¥â, çâ® à¥è¥¨¥ ¥¤¨á⢥®. ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § .
3.
¯à¥¤¥«¨â¥«¨ âà¥â쥣® ¯®à浪
áᬮâਬ ⥯¥àì ª¢ ¤à âãî ¬ âà¨æã âà¥â쥣® ¯®à浪 0
1
a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 A : a31 a32 a33
(¨«¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ âà¥â쥣® ¯®àï¤) §ë¢ ¥âáï ç¨á«®, à ¢®¥ a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32 : â® ç¨á«® ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§
¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ í⮩ ¬ âà¨æë ª
a11 a21 a31
a12 a13 a22 a23 ; a32 a33
¨«¨ jAj; ¨«¨ det A:
15
x
1. ¯à¥¤¥«¨â¥«¨ ¢â®à®£® ¨ âà¥â쥣® ¯®à浪
¯à¨¬¥à,
1 1 2 0 3 5 = 1 3 1 + ( 1) 5 1 + 2 0 ( 2) 1 2 1 2 3 1 ( 1) 0 1 1 5 ( 2) = 2: ®à¬ã« ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï âà¥â쥣® ¯®à浪 ¢ë£«ï¤¨â ¢¥áì¬ £à®¬®§¤ª®. ãé¥áâ¢ã¥â ¥áª®«ìª® ¯à¨¥¬®¢ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë § ¯®¬¨âì íâã ä®à¬ã«ã. ¯¨è¥¬ ®¤¨ ¨§ ¨å, §ë¢ ¥¬ë© . Ǒ।¥ ¢á¥£® ®â¬¥â¨¬, çâ® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© «£¥¡à ¨ç¥áªãî á㬬ã è¥á⨠᫠£ ¥¬ëå, ¨§ ª®â®àëå âਠ¡¥àãâáï á® § ª®¬ ¯«îá, âਠ| á® § ª®¬ ¬¨ãá. ¤®¥ á« £ ¥¬®¥ | íâ® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ âà¥å í«¥¬¥â®¢ ¬ âà¨æë, á।¨ ª®â®àëå ¥áâì ஢® ¯® ®¤®¬ã í«¥¬¥âã ¨§ ª ¤®© áâப¨ ¨ ஢® ¯® ®¤®¬ã í«¥¬¥âã ¨§ ª ¤®£® á⮫¡æ . «¥¬¥âë a11; a22; a33 ®¡à §ãîâ £« ¢ãî ¤¨ £® «ì ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë âà¥â쥣® ¯®à浪 , í«¥¬¥âë a13 ; a22; a31 | ¥¥ ¯®¡®çãî ¤¨ £® «ì. Ǒà ¢¨«® âà¥ã£®«ì¨ª®¢ á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬:
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᫨ ®â१®ª AB ¢¥ªâ®à ~a, â® ¢¥ªâ®à, ¨§®!, §ë¢ ¥âáï ¡à ¥¨¥¬ ª®â®à®£® ï¥âáï ®â१®ª BA ¯à®â¨¢®¯®«®ë¬ ¢¥ªâ®àã ~a ¨ ®¡®§ ç ¥âáï ~a. ¥ªâ®à, ¨§®¡à ¥¨¥¬ ª®â®à®£® ï¥âáï ã«¥¢®© ¯à ¢«¥ë© ®â१®ª, §ë¢ ¥âáï ã«ì-¢¥ªâ®à®¬ (¨«¨ ã«¥¢ë¬ ¢¥ªâ®à®¬) ¨ ®¡®§ ç ¥âáï ~0. § ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¥ªâ®à ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¤«ï ¢á类£® ! ¥¯®á।á⢥® ¯à ¢«¥®£® ®â१ª AB áãé¥áâ¢ã¥â, ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨á⢥ë©, ¢¥ªâ®à, ᮤ¥à 騩 íâ®â ¯à ¢«¥ë© ®â१®ª. ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ë ¤«ï !", ¨¬¥ï ªà ⪮á⨠ç áâ® ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì \¢¥ªâ®à AB ¢ ¢¨¤ã \¢¥ªâ®à, á®!". ¤¥à 騩 ¯à ¢«¥ë© ®â१®ª AB ¯à¥¤¥«¥¨¥.
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᫨ ~a ¨ ~b | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¢¥ªâ®àë, t ¨ s | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ç¨á« , â®: 1) t(~a + ~b) = t~a + t~b (㬮¥¨¥ ¢¥ªâ®à ç¨á«® ); 2) (t + s)~a = t~a + s~a (㬮¥¨¥ ¢¥ªâ®à ç¨á«® ); 3) t(s~a) = (ts)~a. ®ª § ⥫ìá⢠íâ¨å ᢮©á⢠¤ ë ¢ 誮«ì®¬ ªãàᥠ¬ ⥬ ⨪¨, ¯®í⮬㠧¤¥áì ¬ë ¨å ¥ ¤®ª §ë¢ ¥¬. ¯®¬¨¬ ¨§¢¥áâë© ¨§ 誮«ì®£® ªãàá : ¤¨áâਡã⨢®
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¥®à¥¬ 1. á直© ¢¥ªâ®à ~ a, «¥ 騩 ¢ ¯«®áª®áâ¨, ¬®®, ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬, à §«®¨âì ¯® ¡ §¨áã ~b1 ; ~b2 í⮩ ¯«®áª®áâ¨, â.¥. ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
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~a = t1~b1 + t2~b2 ; £¤¥ t1 ; t2 | ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« .
)
(1)
®íää¨æ¨¥âë t1; t2 à §«®¥¨ï (1) §ë¢ îâáï ¢¥ªâ®à ~a ¢ ¡ §¨á¥ (~b1 ; ~b2), ¯à¨ç¥¬ t1 | ¯¥à¢ ï ª®®à¤¨, | . ®â ä ªâ, çâ® ¢¥ªâ®à ~a ¨¬¥¥â ¢ ¡ §¨á¥ (~b1; ~b2) ª®®à¤¨ âë t1; t2 , § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ~a = (t1; t2). ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ¢ ª ç¥á⢥ ¡ §¨á !¨ ¯«®áª®áâ¨, ¢ ª®â®à®© «¥¨â âà¥ã£®«ì¨ª OCD, ¢§ïâì ¢¥ªâ®àë OC ! OD (¨¬¥® ¢ í⮬ ¯®à浪¥), â®çª A | á¥à¥¤¨ ®â१ª OD, â® ¢ 1 ! ! = OC ! + 1 OD ! 㪠§ ®¬ ¡ §¨á¥ CA = 1; 2 , ¯®áª®«ìªã CA 2 (à¨á. 6). Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª ¯®ïâ¨î ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà á⢥. ¤¥áì ¬ ¯® ¤®¡¨âáï á«¥¤ãî饥 ¯®ï⨥, ª®â®à®¥ ¡ã¤¥â ¨£à âì ¢ ãî à®«ì ¢ ¤ «ì¥©è¥¬. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¥ªâ®àë ~a1 ;~ a2 ; : : : ;~a §ë¢ îâáï ª®¬¯« à묨, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ ¨§®¡à ¥¨ï íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢, «¥ 騥 ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨. ¯à¥¤¥«¥¨¥.
ª®®à¤¨ â ¬¨ â t2 ¢â®à ï
k
23
x
2. ¨¥©ë¥ ®¯¥à 樨 ¤ ¢¥ªâ®à ¬¨
¤ «ì¥©è¥¬ ¬ ¡ã¤¥â 㤮¡® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯®ï⨥ ª®««¨¥ à®á⨠®â१ª (¨«¨ ¯àאַ©) ¨ ¯«®áª®áâ¨. â१®ª (¨«¨ ¯àï¬ ï) ª®««¨¥ ॠ¯«®áª®áâ¨, ¥á«¨ ® ¯ à ««¥«¥ í⮩ ¯«®áª®á⨠¨«¨ «¥¨â ¢ ¥©. ᯮ«ì§ãï íâ® ¯®ï⨥, ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®¬¯« à®á⨠¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì â ª: ¢¥ªâ®àë ~a1;~a2; : : : ;~a ª®¬¯« àë, ¥á«¨ ¨å ¨§®¡à ¥¨ï ª®««¨¥ àë ¥ª®â®à®© ¯«®áª®áâ¨. ¯à¥¤¥«¥¨¥. §¨á®¬ ¯à®áâà á⢠§ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢®«ì ï 㯮àï¤®ç¥ ï âனª ¥ª®¬¯« àëå ¢¥ªâ®à®¢. §¨á, á®áâ®ï騩 ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ ~b1, ~b2 ¨ ~b3, ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ç¥à¥§ ~ (b1; ~b2; ~b3). k
q A qH YH H-Hq D
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¨á. 6
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«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥ ï¥âáï ä ªâ¨ç¥áª¨ ⥮६®© ® à §«®¥¨¨ ¯® â६ ¥ª®¬¯« àë¬ ¢¥ªâ®à ¬ ¨§ 誮«ì®£® ªãàá ¬ ⥬ ⨪¨. ¥®à¥¬ 2. á直© ¢¥ªâ®à ~a ¯à®áâà á⢠¬®®, ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬, à §«®¨âì ¯® ¡ §¨áã ~b1 ; ~b2 ; ~b3 ¯à®áâà á⢠, â.¥. ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
(
~a = t1~b1 + t2~b2 + t3~b3;
)
(2)
£¤¥ t1 ; t2 ; t3 | ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« . ¯à¥¤¥«¥¨¥. ®íää¨æ¨¥âë t1 ; t2 ; t3 à §«®¥¨ï (2) §ë¢ îâáï ª®®à¤¨ â ¬¨ ¢¥ªâ®à ~a ¢ ¡ §¨á¥ (~b1 ; ~b2; ~b3), ¯à¨ç¥¬ t1 | ¯¥à¢ ï ª®®à¤¨ â , t2 | ¢â®à ï, t3 | âà¥âìï. ®â ä ªâ, çâ® ¢¥ªâ®à ~a ¨¬¥¥â ¢ ¡ §¨á¥ (~b1 ; ~b2; ~b3) ª®®à¤¨ âë t1 , t2 , t3 , § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ~a = (t1 ; t2 ; t3 ). ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ª®®à¤¨ âë áã¬¬ë ¢¥ªâ®à®¢ ¥áâì á㬬 ®¤®¨¬¥ëå ª®®à¤¨ â á« £ ¥¬ëå, ª®®à¤¨ âë ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢¥ªâ®à ç¨á«® ¥áâì ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à íâ® ç¨á«®. 묨 á«®¢ ¬¨,
24
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
¥á«¨ ¢¥ªâ®àë ~x ¨ ~y ¨¬¥îâ ¢ ®¤®¬ ¨ ⮬ ¥ ¡ §¨á¥ ª®®à¤¨ âë x1 ; x2 ; x3 ¨ y1 ; y3 ; y3 ᮮ⢥âá⢥®, t | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç¨á«®, â® ¢¥ªâ®à ~x ~y ¨¬¥¥â ¢ ⮬ ¥ ¡ §¨á¥ ª®®à¤¨ âë x1 y1 ; x2 y2 ; x3 y3 , ¢¥ªâ®à t~x | ª®®à¤¨ âë tx1 ; tx2 ; tx3 . «®£¨çë© ä ªâ á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ ¯«®áª®áâ¨.
(
(
x3. 1.
) ( ) + ( + + + ) )
ª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢
¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ ᢮©á⢠᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï
Ǒãáâì ~a ¨ ~b | ¥ã«¥¢ë¥ ¢¥ªâ®àë. â«®¨¬ ¨å ®â ®¤®© ¨ ⮩ ¥ â®çª¨ O ¨ à áᬮâਬ «ãç¨ OA ¨ OB, ¢ë室ï騥 ¨§ í⮩ â®çª¨ ¨ ¯à ¢«¥ë¥ ¢¤®«ì ~a ¨ ~b. £«®¬ ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a ¨ ~b §ë¢ ¥âáï 㣮« ¬¥¤ã «ãç ¬¨ OA ¨ OB (à¨á. 7). ¥ªâ®àë ~a ¨ ~b §ë¢ îâáï ®à⮣® «ì묨, ¥á«¨ 㣮« ¬¥¤ã ¨¬¨ à ¢¥ 2 . ¯à¥¤¥«¥¨¥.
B ~b
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¨á. 7
A
£®« ¬¥¤ã ã«ì-¢¥ªâ®à®¬ ¨ «î¡ë¬ ¤à㣨¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¥ ®¯à¥¤¥«¥. £®« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a ¨ ~b ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ (~a ; ~b). à⮣® «ì®áâì ¢¥ªâ®à®¢ ~a ¨ ~b ¡ã¤¥â ®¡®§ ç âìáï ç¥à¥§ ~a ? ~b. ¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ®á®¢®¥ ¯®ï⨥ ¤ ®£® ¯ à £à ä . ¯à¥¤¥«¥¨¥. ª «ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢ ~ a¨ ~b §ë¢ ¥âáï ç¨á«® ~a~b = j~aj j~bj os(~a ; ~b): ª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à «î¡®© ¢¥ªâ®à ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î à ¢® 0.
25
x
3. ª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢
ª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ ~a ¨ ~b ®¡®§ ç ¥âáï â ª¥ ç¥à¥§ § ®¯à¥¤¥«¥¨ï ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãîé ï ä®à¬ã« ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ª®á¨ãá 㣫 ¬¥¤ã ¥ã«¥¢ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨, ª®â®à®© ¬ë ç áâ® ¡ã¤¥¬ ¯®«ì§®¢ âìáï ¢ ¤ «ì¥©è¥¬: (~a; ~b).
os(~a ; ~b) =
~a~b
j~aj j~bj
(1)
:
⬥⨬ àï¤ á¢®©á⢠᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï.
᫨ ~a; ~b ¨ ~ | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¢¥ªâ®àë, t | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç¨á«®, â®: 1) (~a; ~b) = (~b;~a) (᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ); 2) (~a + ~b;~ ) = (~a;~ ) + (~b~ ) (᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ); 3) (t~a; ~b) = t (~a; ~b) (᪠«ïàë© ¬®¨â¥«ì ¬®® ¢ë®á¨âì § § ª ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï); 4) (~a;~a) > 0, ¯à¨ç¥¬ (~a;~a) = 0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ~a = ~0; 5) ~a ? ~b ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ (~a; ~b) = 0. ª®¬¬ãâ ⨢®
¤¨áâਡã⨢®
®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢
¢®©á⢮ 5 §ë¢ îâ . ᥠ᢮©á⢠¤®ª §ë¢ îâáï ¢ 誮«ì®¬ ªãàᥠ¬ ⥬ ⨪¨, ¯®í⮬㠧¤¥áì ¬ë ¨å ¤®ª §ë¢ âì ¥ ¡ã¤¥¬. ⬥⨬ ⮫쪮 ¤¢ ¯à®áâëå á«¥¤áâ¢¨ï ¨§ ᢮©á⢠1{3. ®-¯¥à¢ëå, (~a; ~b + ~ ) = (~a; ~b) + (~a;~ ): á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨á¯®«ì§ãï ᢮©á⢠1 ¨ 2, ¨¬¥¥¬ (~a; ~b + ~ ) = (~b + ~ ;~a) = (~b;~a) + (~ ;~a) = (~a; ~b) + (~a;~ ): ®-¢â®àëå, (~a; t~b) = t (~a; ~b): ¥©á⢨⥫ì®, ¨§ ᢮©á⢠1 ¨ 3 ¢ë⥪ ¥â, çâ® (~a; t~b) = (t~b;~a) = t (~b;~a) = t (~a; ~b): ª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à ~a á¥¡ï §ë¢ ¥âáï ᪠«ïàë¬ ª¢ ¤à ⮬ ~a. Ǒ®áª®«ìªã (~ad ;~a) = 0, os0 = 1, ¨¬¥¥¬ ~a~a = j~aj2 , â.¥. ªà¨â¥à¨¥¬
®à⮣® «ì®á⨠¢¥ªâ®à®¢
᪠«ïàë© ª¢ ¤à â ¢¥ªâ®à à ¢¥ ª¢ ¤à âã ¥£® ¤«¨ë.
26
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
áᬮâਬ ¥é¥ ®¤® ᢮©á⢮ ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ª®â®à®¥ ¯® ¤®¡¨âáï ¬ ¢ x4 ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠᢮©á⢠¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï. 祬 á ¢®¯à®á ® ⮬, ¬®® «¨ ᮪à é âì ¢ ᪠«ï஬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨? ä®à¬ã«¨à㥬 ¥£® ¡®«¥¥ â®ç®. Ǒãáâì ¤ ë ¥ª®â®àë¥ ¢¥ªâ®àë ~a; ~b ¨ ~ , ¤«ï ª®â®àëå ¢ë¯®«ï¥âáï à ¢¥á⢮ (~a;~ ) = (~b;~ ). «¥¤ã¥â «¨ ®âáî¤ à ¢¥á⢮ ~a = ~b? Ǒà®á⮩ ¯à¨¬¥à ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®â¢¥â ®âà¨æ ⥫¥. ¥©á⢨⥫ì®, ¢®§ì¬¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ ~a ¨ ~b ¤¢ à §«¨çëå ¢¥ªâ®à , «¥ é¨å ¢ ¥ª®â®à®© ¯«®áª®áâ¨, ¢ ª ç¥á⢥ ~ | ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à, ®à⮣® «ìë© í⮩ ¯«®áª®áâ¨. ®£¤ (~a;~ ) = (~b;~ ) = 0, ® ~a 6= ~b. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ᮪à é âì ¢ ᪠«ï஬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨ ¥«ì§ï. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥: 6) ¥á«¨ ¢¥ªâ®àë ~a ¨ ~b â ª®¢ë, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à ~x ¢ë¯®«ï¥âáï à ¢¥á⢮ (~a; ~x) = (~b; ~x), â® ~a = ~b. ®ª ¥¬ í⮠᢮©á⢮. Ǒãáâì ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à ~x ¢ë¯®«ï¥âáï à ¢¥á⢮ (~a; ~x) = (~b; ~x). ®£¤ (~a ~b; ~x) = 0. Ǒ®áª®«ìªã ¢¥ªâ®à ~x ¬®¥â ¡ëâì «î¡ë¬, ¢®§ì¬¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ ~x ¢¥ªâ®à ~a ~b. Ǒ®«ã稬 à ¢¥á⢮ (~a ~b;~a ~b) = 0. Ǒ® ᢮©áâ¢ã 4 ®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ~a ~b = ~0, â.¥. ~a = ~b. 2.
ëç¨á«¥¨¥ ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢ ª®®à¤¨ â å
Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¢¥ªâ®àë ~a ¨ ~b ¨¬¥îâ ¢ ¡ §¨á¥ (~ 1;~ 2;~ 3 ) ª®®à¤¨ âë (t1; t2; t3) ¨ (s1 ; s2; s3) ᮮ⢥âá⢥®. ®® «¨, § ï í⨠ª®®à¤¨ âë, ¢ëç¨á«¨âì ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥? ᯮ«ì§ãï ¤¨áâਡã⨢®áâì ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï ¨ ¢ë¥á¥¨¥ ᪠«ïண® ¬®¨â¥«ï, ¯®«ãç ¥¬, çâ® (~a; ~b) = (t1~ 1 + t2~ 2 + t3~ 3; s1~ 1 + s2~ 2 + s3~ 3 ) = = t1 s1(~ 1;~ 1) + t1s2(~ 1 ;~ 2) + t1s3(~ 1 ;~ 3) + + t2 s1(~ 2;~ 1) + t2s2(~ 2 ;~ 2) + t2s3(~ 2 ;~ 3) + + t3 s1(~ 3;~ 1) + t3s2(~ 3 ;~ 2) + t3s3(~ 3 ;~ 3): ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ©â¨ áª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ ~a ¨ ~b, ¤® § âì ¤®¯®«¨â¥«ì® (ªà®¬¥ ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à®¢) ¥é¥ ¨ ¯®¯ àë¥ áª «ïàë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¡ §¨áëå ¢¥ªâ®à®¢. ãç¥â®¬ ª®¬¬ãâ ⨢®á⨠íâ® è¥áâì ç¨á¥«. Ǒ®í⮬㠤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ¡ §¨á § ¤ çã ® 室¥¨¨ ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ë à¥è âì ¥ ¡ã¤¥¬. áᬮâਬ ¥¥ ¢ ç á⮬ á«ãç ¥ | ¤«ï ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á . ¢¥¤¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯®ïâ¨ï.
x
3. ª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢
27
¯à¥¤¥«¥¨¥. §¨á §ë¢ ¥âáï ®à⮣® «ìë¬, ¥á«¨ ¥£® ¢¥ªâ®àë ¯®¯ à® ®à⮣® «ìë. à⮣® «ìë© ¡ §¨á §ë¢ ¥âáï ®à⮮ନ஢ ë¬, ¥á«¨ ¤«¨ë ¢á¥å ¡ §¨áëå ¢¥ªâ®à®¢ à ¢ë ¥¤¨¨æ¥. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® (~ 1 ;~ 2;~ 3) | ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á. ®£¤ ~ 1~ 2 = ~ 2~ 1 = ~ 1~ 3 = ~ 3~ 1 = ~ 2~ 3 = ~ 3~ 2 = 0 ¨ ~ 1~ 1 = ~ 2~ 2 = ~ 3~ 3 = 1: ᨫã í⮣® ~a~b = t1 s1 + t2 s2 + t3 s3 : (2) ª¨¬ ®¡à §®¬,
¢ á«ãç ¥ ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ à ¢® á㬬¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨© ¨å ®¤®¨¬¥ëå ª®®à¤¨ â.
ç áâ®áâ¨,
(3) «®£¨ íâ¨å ä®à¬ã« ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ ¯«®áª®á⨠®ç¥¢¨¤ë.
᫨ ¢¥ªâ®àë ¯«®áª®á⨠~a ¨ ~b ¨¬¥îâ ¢ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥ (~ 1 ;~ 2) í⮩ ¯«®áª®á⨠ª®®à¤¨ âë (t1; t2 ) ¨ (s1 ; s2) ᮮ⢥âá⢥®, â® ~a~b = t1 s1 + t2 s2 ¨ ~a2 = j~aj2 = t21 + t22 : 3.
~a2 = j~aj2 = t21 + t22 + t23 :
Ǒਫ®¥¨ï
¤¥áì ᮡà ë ä®à¬ã«ë, ®á®¢ ë¥ ¬ â¥à¨ «¥ ¤ ®£® ¯ à £à ä , ª®â®àë¥ ¨¡®«¥¥ ç á⮠㯮âॡ«ïîâáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ § ¤ ç. ᥠä®à¬ã«ë ¯à¨¢®¤ïâáï ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ¯à®áâà á⢥. á«ãç ¥ ¢¥ªâ®à®¢ ¯«®áª®á⨠á¯à ¢¥¤«¨¢ë «®£¨çë¥ ä®à¬ã«ë, ¤® ⮫쪮 ¢ëç¥àªãâì ¨§ ¯à¨¢®¤¨¬ëå ¨¥ ä®à¬ã« âà¥âì¨ ª®®à¤¨ âë. «¥¥ ¢ ¯®á®¡¨¨ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¡¥§ á¯¥æ¨ «ìëå ®£®¢®à®ª ááë« âìáï ª ª á ¬¨ ¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¨¥ ä®à¬ã«ë, â ª ¨ ¨å ¢ ਠâë ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ ¯«®áª®áâ¨. Ǒãáâì (t1 ; t2; t3) ¨ (s1; s2; s3) | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ ~a ¨ ~b ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¥ª®â®à®¬ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥. Ǒ®«ì§ãïáì ᪠«ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬, ¬®® ¢ëç¨á«¨âì 1) ¤«¨ã ¢¥ªâ®à : q j~aj = t21 + t22 + t23 (4) ¢ ᨫã ä®à¬ã«ë (3);
28
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
2) ª®á¨ãá 㣫 ¬¥¤ã ¥ã«¥¢ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨:
os(~a ; ~b) = p 2 t1s2 1 + 2t2sp2 +2t3 s32 2 (5) t1 + t2 + t3 s1 + s2 + s3 ¢ ᨫã ä®à¬ã« (1), (3) ¨ (4). Ǒ®áª®«ìªã ¢ ¯®á«¥¤¥¬ à ¢¥á⢥ ¢ § ¬¥ ⥫¥ ¢á¥£¤ á⮨⠯®«®¨â¥«ì®¥ ç¨á«® (¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¢¥ªâ®àë ~a ¨ ~b | ¥ã«¥¢ë¥), § ª ª®á¨ãá 㣫 ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á® § ª®¬ ¨å ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï. «¥¤®¢ ⥫ì®, á ¯®¬®éìî ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬®® ®¯à¥¤¥«¨âì, ¡ã¤¥â «¨ 㣮« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a ¨ ~b ®áâàë©, ¯àאַ© ¨«¨ â㯮©: 㣮« (~a ; ~b) ï¥âáï ®áâàë¬ â®£¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ t1 s1 + t2 s2 + t3 s3 > 0; ¯àï¬ë¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ t1 s1 + t2 s2 + t3 s3 = 0; âã¯ë¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ t1 s1 + t2 s2 + t3 s3 < 0. x4.
¥ªâ®à®¥ ¨ á¬¥è ®¥
¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢
í⮬ ¯ à £à ä¥ ¡ã¤ãâ ¨§ãç¥ë ¤¢¥ ®¢ë¥ ¯® áà ¢¥¨î ᮠ誮«ìë¬ ªãàᮬ ®¯¥à 樨 ¤ ¢¥ªâ®à ¬¨, 㪠§ ë¥ ¢ §¢ ¨¨. 1.
¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ ᢮©á⢠¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï
祬 á ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®à¨¥â 樨 âனª¨ ¢¥ªâ®à®¢. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¯®àï¤®ç¥ ï âனª ¥ª®¬¯« àëå ¢¥ªâ®à®¢ (~u, ~v, w~ ) §ë¢ ¥âáï ¯à ¢®©, ¥á«¨ á ª®æ ¢¥ªâ®à w~ ¯®¢®à®â ®â ~u ª ~v ¨¬¥ì訩 㣮« ¢ë£«ï¤¨â ¯à®¨á室ï騬 ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨, ¨ «¥¢®© | ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥. Ǒà ¢ãî âனªã ¢¥ªâ®à®¢ §ë¢ îâ â ª¥ ¯®«®¨â¥«ì® ®à¨¥â¨à®¢ ®©, «¥¢ãî | ®âà¨æ â¥«ì® ®à¨¥â¨à®¢ ®©. ¥á«®® ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® ¯¥à¥áâ ®¢ª ¤¢ãå á®á¥¤¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¬¥ï¥â ®à¨¥â æ¨î âனª¨, 横«¨ç¥áª ï ¯¥à¥áâ ®¢ª ¥ ¬¥ï¥â. (¨ª«¨ç¥áª ï ¯¥à¥áâ ®¢ª | íâ® ¯¥à¥å®¤ ®â âனª¨ (~u; ~v; w~ ) ª âனª¥ (~v; w~ ; ~u) ¨«¨ ª âனª¥ (w; ~ ~u; ~v).) ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¥ªâ®àë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¥ª®««¨¥ àëå ¢¥ªâ®à®¢ ~a ¨ ~b §ë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à ~ , â ª®©, çâ®:
29
x
4. ¥ªâ®à®¥ ¨ á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢
1) j~ j = j~aj j~bj sin(~a ; ~b); 2) ¢¥ªâ®à ~ ®à⮣® «¥ ª ¢¥ªâ®à ¬ ~a ¨ ~b; 3) âனª ¢¥ªâ®à®¢ (~a; ~b;~ ) | ¯à ¢ ï. ¥ªâ®à®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ª®««¨¥ àëå ¢¥ªâ®à®¢ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î à ¢® ã«ì-¢¥ªâ®àã. ¥ªâ®à®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ ~a ¨ ~b ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ ~a ~b ¨«¨ ~ [~a; b℄. áᬮâਬ ¤«ï ¯à¨¬¥à ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ~e1; ~e2; ~e3, ¨§®¡à ¥ë© à¨á. 8. Ǒ।áâ ¢¨¬ ᥡ¥, çâ® ¢¥ªâ®àë ~e2 ¨ ~e3 à ᯮ«®¥ë ¢ ¯«®áª®á⨠«¨áâ , ¢¥ªâ®à ~e1 ¯à ¢«¥ \ª ¬". ®£¤ ~e1 ~e2 = ~e3 ; ~e1 ~e3 = ~e2 ¨ ~e2 ~e3 = ~e1 : Ǒ¥à¢®¥ à ¢¥á⢮ ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⮣®, çâ® j~e3j = j~e1j j~e2j sin(~e[ 1 ; ~e2 ), ~e3 ? ~e1 , ~e3 ? ~e2 ¨ âனª (~e1 ; ~e2 ; ~e3 ) | ¯à ¢ ï. ¢ ¤à㣨å à ¢¥á⢠¯à®¢¥àïîâáï «®£¨ç®.
6~e3 ~e1
-~e 2
¨á. 8
ä®à¬ã«¨à㥬 ®á®¢ë¥ ᢮©á⢠¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï.
᫨
~a; ~b ¨ ~ | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¢¥ªâ®àë, t | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç¨á«®, â®: 1) ~a k ~b ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ [~a; ~b℄ = ~0;
2)
¥á«¨ ¢¥ªâ®àë ~a ¨ ~b ¥ª®««¨¥ àë, â® ¬®¤ã«ì ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢ à ¢¥ ¯«®é ¤¨ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , ¯®áâ஥®£® íâ¨å ¢¥ªâ®à å ª ª áâ®à® å
;
3) [~a; ~b℄ = [~b;~a℄ (¢¥ªâ®à®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ); 4) [t~a; ~b℄ = [~a; t~b℄ = t[~a; ~b℄ (᪠«ïàë© ¬®¨â¥«ì ¬®® ¢ë®á¨âì § § ª ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï); ⨪®¬¬ãâ ⨢®
30
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
5) [~a + ~b;~ ℄ = [~a;~ ℄ + [~b;~ ℄ (¢¥ªâ®à®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥
¤¨áâਡã⨢®
®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¯® ¯¥à¢®¬ã à£ã¬¥âã
6) [~a; ~b + ~ ℄ = [~a; ~b℄ + [~a;~ ℄ (¢¥ªâ®à®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥
);
¤¨áâਡã⨢®
®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¯® ¢â®à®¬ã à£ã¬¥âã
).
¢®©á⢮ 1 ¤ ¥â ¥é¥ ®¤¨ ( àï¤ã á 㪠§ ë¬ á. 21) . ® «¥£ª® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ ~a k ~b, â® ~a ~b = ~0 ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î. ¡à â®, ¥á«¨ ~a ~b = ~0, â® j~a ~bj = 0, â.¥. «¨¡® j~aj = 0, «¨¡® j~bj = 0, «¨¡® sin(~a ; ~b) = 0. á®, çâ® ¢ ª ¤®¬ ¨§ íâ¨å âà¥å á«ãç ¥¢ ~a k ~b. ªà¨â¥à¨©
ª®««¨¥ à®á⨠¢¥ªâ®à®¢
D s ~
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-sB
¨á. 9 ¢®©á⢮ 2 ç áâ® §ë¢ îâ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ á¬ëá«®¬ ¢¥ªâ®à®£® . ® â ª¥ «¥£ª® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì ABCD | ¯ à ««¥«®£à ¬¬, ¯®áâ஥ë©! ¥ª®««¨¥ àëå ¢¥ªâ®à å ~a ¨ ~b ª ª áâ®à® å (¯à¨ í⮬ ! ~ ~a = AB , b = AD), S | ¯«®é ¤ì í⮣® ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , h | ¤«¨ ¥£® ¢ëá®âë, ®¯ã饮© ¨§ â®çª¨ D, | 㣮« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a ¨ ~b (à¨á. 9). ®£¤ S = j~aj h = j~aj j~bj sin = j~a ~bj: ®ª ¥¬ ᢮©á⢮ 3.
᫨ ~a k ~b, â®, ¢ ᨫã ᢮©á⢠1, [~a; ~b℄ = ~ [b;~a℄ = ~0. Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® ~a , ~b. ¡¥¤¨¬áï á ç « , çâ® ¬®¤ã«¨ ¢¥ªâ®à®¢, 㪠§ ëå ¢ «¥¢®© ¨ ¯à ¢®© ç áâïå ¤®ª §ë¢ ¥¬®£®
à ¢¥á⢠, à ¢ë ¬¥¤ã ᮡ®©. á ¬®¬ ¤¥«¥, sin(~a ; ~b) = sin(~b;~ a), ¨ ¯®â®¬ã ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï
j[~a; ~b℄j = j~aj j~bj sin(~a ; ~b) = j~bj j~aj sin(~b;~ a) = j[~b;~a℄j = j [~b;~a℄j:
x
4. ¥ªâ®à®¥ ¨ á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢
31
ª «¥¢ ï, â ª ¨ ¯à ¢ ï ç á⨠¤®ª §ë¢ ¥¬®£® à ¢¥á⢠®à⮣® «ìë ¢¥ªâ®à ¬ ~a ¨ ~b. Ǒ®áª®«ìªã âனª ¢¥ªâ®à®¢ (~a; ~b; [~a; ~b℄) ï¥âáï ¯à ¢®© (¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï), ¤«ï § ¢¥àè¥¨ï ¤®ª § ⥫ìáâ¢ à ¢¥á⢠®áâ «®áì ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® âனª (~a; ~b; [~b;~a℄) â ª¥ ï¥âáï ¯à ¢®©. ¬¥â¨¬, çâ® ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï âனª (~b;~a; [~b;~a℄) | ¯à ¢ ï.
᫨ ã ¯®á«¥¤¥£® ¢¥ªâ®à ᬥ¨âì § ª, ¬ë ¯®«ã稬 «¥¢ãî âனªã (~b;~a; [~b;~a℄). Ǒ®áª®«ìªã ¯¥à¥áâ ®¢ª á®á¥¤¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¬¥ï¥â ®à¨¥â æ¨î âனª¨, ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® âனª (~a; ~b; [~b;~a℄) | ¯à ¢ ï. ¢®©á⢮ 3 ¤®ª § ®. ¢®©á⢠4 ¨ 5 ¡ã¤ãâ ¤®ª § ë ¨¥ ¢ ¤ ®¬ ¯ à £à ä¥ (á¬. á. 35). ª®¥æ, ᢮©á⢮ 6 á«¥¤ã¥â ¨§ ᢮©á⢠3 ¨ 5. ¥©á⢨⥫ì®, [~a; ~b + ~ ℄= [~b + ~ ;~a℄= ([~b;~a℄ + [~ ;~a℄)= [~b;~a℄ [~ ;~a℄=[~a; ~b℄ + [~a;~ ℄: 2.
ëç¨á«¥¨¥ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢ ª®®à¤¨ â å
Ǒãáâì (~b1; ~b2; ~b3) | ¥ª®â®àë© ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠, (x1 ; x2; x3 ) ¨ (y1, y2, y3) | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ ~x ¨ ~y ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ᮮ⢥âá⢥®. Ǒ®ª ¥¬, ª ª ¯® ª®®à¤¨ â ¬ ¢¥ªâ®à®¢ ~x ¨ ~y ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~x ~y ¢ ⮬ ¥ ¡ §¨á¥. Ǒਬ¥ïï ¤¨áâਡã⨢®áâì ¨ ¢ë¥á¥¨¥ ᪠«ïண® ¬®¨â¥«ï, ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥á⢠~x ~y = [x1~b1 + x2~b2 + x3~b3 ; y1~b1 + y2~b2 + y3~b3℄ = = x1 y1[~b1; ~b1℄ + x1 y2[~b1; ~b2℄ + x1 y3[~b1; ~b3℄ + + x2 y1[~b2; ~b1℄ + x2 y2[~b2; ~b2℄ + x2 y3[~b2; ~b3℄ + + x3 y1[~b3; ~b1℄ + x3 y2[~b3; ~b2℄ + x3 y3[~b3; ~b3℄: ᯮ«ì§ãï ᢮©á⢠1 ¨ 3 ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï (á¬. á. 29), ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì íâ® à ¢¥á⢮ ¢ ¢¨¤¥ ~x ~y = (x1 y2 x2 y1 ) [~b1 ; ~b2 ℄+(x1 y3 x3 y1 ) [~b1 ; ~b3 ℄+(x2 y3 x3 y2 ) [~b2 ; ~b3 ℄: ® ¨ ¯®á«¥ í⮣® ¢ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ®áâ ¥âáï ¤®¢®«ì® á«®®¥ ¢ëà ¥¨¥. Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® (~b1; ~b2; ~b3) | ¯à ¢ë© ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á, â.¥. ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á, ïî騩áï ¯à ¢®© âனª®© ¢¥ªâ®à®¢. ®£¤ [~b1; ~b2℄ = ~b3, [~b1; ~b3℄ = ~b2 ¨ [~b2; ~b3℄ = ~b1, ®âªã¤ ~x ~y = (x2 y3 x3 y2 )~b1 (x1 y3 x3 y1 )~b2 + (x1 y2 x2 y1 )~b3 : (1)
32
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
â ª, ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ ~x ¨ ~y ¨¬¥¥â ¢ ¯à ¢®¬ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥ ª®®à¤¨ âë (x2 y3 x3 y2; x1y3 + x3 y1; x1 y2 x2 y1): å ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ x2 y2
x3 ; y3
x1 y1
x3 ; x1 y3 y1
x2 y2
(2)
¨ 㤮¡® ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᥡ¥ ª ª १ã«ìâ â à §«®¥¨ï ¯® ¯¥à¢®© áâப¥ ᨬ¢®«¨ç¥áª®£® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ~b1 x1 y1
~b2 x2 y2
~b3 x3 : y3
~b1 x1 y1
~b2 x2 y2
ãç¥â®¬ í⮣® ä®à¬ã«ã (1) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ~x ~y = 3.
~b3 x3 : y3
(3)
¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ ᢮©áâ¢ á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï
®â«¨ç¨¥ ®â ¯à¥¤ë¤ãé¨å ®¯¥à 権 á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¨¬¥¥â âਠà£ã¬¥â . ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¬¥è ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¢¥ªâ®à®¢ ~ a; ~b;~ §ë¢ ¥âáï ç¨á«®, à ¢®¥ ᪠«ï஬㠯ந§¢¥¤¥¨î ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ~a ¨ ~b ¢¥ªâ®à ~ . ¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ ~a; ~b;~ ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ ~a~b~ ¨«¨ (~a; ~b;~ ). ª¨¬ ®¡à §®¬, ~a~b~ = (~a ~b;~ ): ª ¥¬ àï¤ á¢®©áâ¢ á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ¨§ ª®â®àëå ¯¥à¢®¥, ¨¡®«¥¥ ¢ ®¥, §®¢¥¬ ⥮६®©. ¥®à¥¬ . ¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢
~a; ~b ¨ ~ à ¢® ã«î
⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ í⨠¢¥ªâ®àë ª®¬¯« àë. ¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¥ª®¬¯« àëå ¢¥ªâ®à®¢ à ¢® ®¡ê¥¬ã ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¯®áâ஥®£® íâ¨å ¢¥ªâ®à å, ¢§ï⮬ã á® § ª®¬ ¯«îá, ¥á«¨ âனª ~a; ~b;~ ¯à ¢ ï, ¨ á® § ª®¬ ¬¨ãá, ¥á«¨ íâ âனª «¥¢ ï.
(
)
x
4. ¥ªâ®à®¥ ¨ á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢
33
®ª ¥¬ á ç « ¯¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ ⥮६ë. a; ~b ¨ ~ ¥®¡å®¤¨¬®áâì.
᫨ ~a k ~b, â® ª®¬¯« à®áâì ¢¥ªâ®à®¢ ~ ~ ~ ®ç¥¢¨¤ . Ǒãáâì ⥯¥àì ~a , b. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¢¥ªâ®àë ~a; b;~ ®â«®¥ë ®â ®¤®© ¨ ⮩ ¥ â®çª¨. Ǒãáâì ~a~b~ = 0. â® ®§ ç ¥â, çâ® (~a ~b;~ ) = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢¥ªâ®à ~a ~b ®à⮣® «¥ ¢¥ªâ®àã ~ . ® ¢¥ªâ®à ~a ~b ®à⮣® «¥ ¯«®áª®á⨠, ®¡à §®¢ ®© ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a ¨ ~b. Ǒ®áª®«ìªã ~ ®à⮣® «¥ í⮬㠢¥ªâ®àã, â® ® «¥¨â ¢ . íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¢¥ªâ®àë ~a, ~b ¨ ~ ª®¬¯« àë. ®ª § ⥫ìá⢮.
C ~ Æ
s
~ ~a ~b 6 b
s s X D O XXXX
X~aXXz
¨á. 10 ®áâ â®ç®áâì.
᫨ ~ a k ~b, â® ~a~b = ~0, ¨ ¯®â®¬ã ~a~b~ = (~a~b;~ ) = 0. Ǒãáâì ⥯¥àì ~a , ~b. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¢¥ªâ®àë ~a, ~b ¨ ~ ª®¬¯« àë. â«®¨¬ ¨å ®â ®¤®© â®çª¨. ®£¤ ®¨ ¡ã¤ãâ «¥ âì ¢ ¥ª®â®à®© ¯«®áª®áâ¨. ¥ªâ®à ~a ~b ®à⮣® «¥ í⮩ ¯«®áª®áâ¨, § ç¨â, ¨ ¢¥ªâ®àã ~ . «¥¤®¢ ⥫ì®, ~a~b~ = (~a ~b;~ ) = 0. Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ â¥®à¥¬ë ¯®«®áâìî ¤®ª § ®. ®ª ¥¬ ¢â®à®¥ ã⢥थ¨¥ ⥮६ë. Ǒ।¯®«®¨¬ á ç « , çâ® âனª (~a; ~b;~ ) | ¯à ¢ ï. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ 㣮« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à®¬ ~ ¨ ¯«®áª®áâìî ¢¥ªâ®à®¢ ~a ¨ ~b, ç¥à¥§ | 㣮« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a ~b ¨ ~ (à¨á. 10). ç¨âë¢ ï, çâ® + = 2 , ¨ ¯®â®¬ã sin = os , ¨ ¨á¯®«ì§ãï ᢮©á⢮ 2 ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï (á¬. á. 29), ¨¬¥¥¬ à ¢¥á⢠V = S®á h = j~a ~bj jCDj = j~a ~bj j~ j sin = = j~a ~bj j~ j os = (~a ~b;~ ) = ~a~b~ :
34
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® âனª (~a; ~b;~ ) | «¥¢ ï. ®£¤ âனª (~b;~a;~ ) | ¯à ¢ ï. ® í⨠¤¢¥ âனª¨ ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤¨ ¨ â®â ¥ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤. ᨫ㠤®ª § ®£® ¢ëè¥ ®¡ê¥¬ í⮣® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¢§ïâë© á® § ª®¬ ¯«îá, à ¢¥ ~b~a~ . Ǒ®«ì§ãïáì ⨪®¬¬ãâ ⨢®áâìî ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ¯®«ãç ¥¬ ~a~b~ = ([~a; ~b℄;~ ) = ( [~b;~a℄;~ ) = ~b~a~ . «¥¤®¢ ⥫ì®, ~a~b~ à ¢® ®¡ê¥¬ã ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¯®áâ஥®£® íâ¨å âà¥å ¢¥ªâ®à å, ¢§ï⮬ã á® § ª®¬ ¬¨ãá. ¥®à¥¬ ¯®«®áâìî ¤®ª § . Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ â¥®à¥¬ë §ë¢ îâ ªà¨â¥à¨¥¬ ª®¬¯« à®á⨠¢¥ªâ®à®¢, ¢â®à®¥ | £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ á¬ëá«®¬ á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï. Ǒਠà¥è¥¨¨ ¥ª®â®àëå § ¤ ç ¡ë¢ ¥â 㤮¡ á«¥¤ãîé ï ¡®«¥¥ ª®¬¯ ªâ ï ä®à¬ã«¨à®¢ª ¯®á«¥¤¥£® ᢮©á⢠: ®¡ê¥¬ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¯®áâ஥®£® âà¥å ¥ª®¬¯« àëå ¢¥ªâ®à å, à ¢¥ ¬®¤ã«î ¨å á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï.
⬥⨬, çâ® ¨§ â¥®à¥¬ë ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî騩 ä ªâ: âனª ¢¥ªâ®à®¢ ï¥âáï ¯à ¢®© («¥¢®© ) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¨å á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¡®«ìè¥ ã«ï (ᮮ⢥âá⢥® ¬¥ìè¥ ã«ï ). Ǒਠà¥è¥¨¨ ¥ª®â®àëå § ¤ ç ¡ë¢ ¥â ¯®«¥§® á«¥¤ãî饥 ¡«î¤¥¨¥, ¢ë⥪ î饥 ¨§ ¯¥à¢®£® ã⢥थ¨ï ⥮६ë (®â¬¥â¨¬, ¢¯à®ç¥¬, çâ® ¥£® «¥£ª® ¢ë¢¥á⨠¨ ¥¯®á।á⢥® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï): ¥á«¨ ¤¢ ¨§ âà¥å ¢¥ªâ®à®¢ ª®««¨¥ àë (¢ ç áâ®áâ¨, à ¢ë ), â® ¨å á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ à ¢® 0. ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ ¯® ¤®¡¨âáï ¥é¥ ®¤® á«¥¤á⢨¥ ¨§ ⥮६ë: ¥á«¨ (~b1 ; ~b2 ; ~b3 ) | ¯à ¢ë© ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á, â® ~b1~b2~b3 = 1. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤, ¯®áâà®¥ë© ¢¥ªâ®à å ~b1 ; ~b2 ; ~b3, | íâ® ªã¡, ¤«¨ à¥¡à ª®â®à®£® à ¢ 1.
£® ®¡ê¥¬, ®ç¥¢¨¤®, à ¢¥ 1. áâ ¥âáï ãç¥áâì, çâ® âனª ¢¥ªâ®à®¢ (~b1 ; ~b2; ~b3) | ¯à ¢ ï. ä®à¬ã«¨à㥬 «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ᢮©áâ¢ á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï.
᫨ ~a; ~b;~ ¨ d~ | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¢¥ªâ®àë, t | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç¨á«®, â®: 1) (~a; ~b;~ ) = (~b;~ ;~a) = (~ ;~a; ~b) = (~a;~ ; ~b) = (~ ; ~b;~a) = (~b;~a;~ );
35
x
4. ¥ªâ®à®¥ ¨ á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢
2) (t~a; ~b;~ ) = (~a; t~b;~ ) = (~a; ~b; t~ ) = t (~a; ~b;~ ) (᪠«ïàë© ¬®¨â¥«ì ¬®® ¢ë®á¨âì § § ª á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï); 3) (~a +~b;~ ; d~) = (~a;~ ; d~)+(~b;~ ; d~) (á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ); 4) (~a; ~b +~ ; d~) = (~a; ~b; d~)+(~a;~ ; d~) (á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ); 5) (~a; ~b;~ + d~) = (~a; ~b;~ )+(~a; ~b; d~) (á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ). ¢¥á⢠¨§ ᢮©á⢠1 «¥£ª® á«¥¤ãîâ ¨§ ⥮६ë. ¥©á⢨⥫ì®, 㯮à冷ç¥ë¥ âனª¨ (~a; ~b;~ ) ¨ (~b;~ ;~a) ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¥ ®à¨¥â æ¨î ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤¨ ¨ â®â ¥ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤. «¥¤®¢ ⥫ì®, ᬥè ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ~a~b~ ¨ ~b~ ~a «¨¡® ®¡ à ¢ë ®¡ê¥¬ã í⮣® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¢§ï⮬ã á® § ª®¬ ¯«îá, «¨¡® ®¡ à ¢ë ®¡ê¥¬ã í⮣® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¢§ï⮬ã á® § ª®¬ ¬¨ãá, ¨ ¯®â®¬ã ~a~b~ = ~b~ ~a. ⬥⨬ ¥é¥, çâ® à ¢¥á⢮ ~a~b~ = ~b~a~ ¯à®¢¥à¥® ¢ ¯à®æ¥áᥠ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë. áâ «ìë¥ à ¢¥á⢠¤®ª §ë¢ îâáï «®£¨ç® ®¤®¬ã ¨§ íâ¨å ¤¢ãå. ®ª ¥¬ ᢮©á⢮ 2. ᯮ«ì§ãï ᢮©á⢮ 1 ¨ ¢ë¥á¥¨¥ ᪠«ïண® ¬®¨â¥«ï § ᪮¡ª¨ ¢ ᪠«ï஬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨ (á¬. ᢮©á⢮ 3 á. 25), ¯®«ãç ¥¬ (t~a; ~b;~ ) = (~b;~ ; t~a) = (~b ~ ; t~a) = t (~b ~ ;~a) = t (~b;~ ;~a) = t (~a; ~b;~ ): «®£¨ç® ¤®ª §ë¢ ¥âáï à ¢¥á⢮ (~a; t~b;~ ) = t (~a; ~b;~ ). ª®¥æ, (~a; ~b; t~ ) = (~a ~b; t~ ) = t (~a ~b;~ ) = t (~a; ~b;~ ): § «®£¨çëå ¤à㣠¤àã£ã ᢮©á⢠3, 4 ¨ 5 ¤®ª ¥¬ ⮫쪮 ᢮©á⢮ 3. ᯮ«ì§ãï ᢮©á⢮ 1 á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¨ ¤¨áâਡã⨢®áâì ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï (á¬. ᢮©á⢮ 2 á. 25), ¯®«ãç ¥¬ ~ a + ~b) = (~ d;~ ~ a + ~b) = (~a + ~b;~ ; d~) = (~ ; d;~ ~ a) + (~ d; ~ ~b) = (~ ; d;~ ~ a) + (~ ; d; ~ ~b) = (~a;~ ; d~) + (~b;~ ; d~): = (~ d;~ ᯮ«ì§ãï ᢮©áâ¢ á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¨ ᢮©á⢠᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ¤®ª ¥¬ ᢮©á⢠4 ¨ 5 ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï (á¬. á. 29). ᨫã ᢮©á⢠6 ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï (á¬. á. 26) ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à ~x ¢ë¯®«ïîâáï à ¢¥áâ¢
¤¨áâਡã-
⨢® ®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¯® ¯¥à¢®¬ã à£ã¬¥âã
¤¨áâਡã-
⨢® ®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¯® ¢â®à®¬ã à£ã¬¥âã
¤¨áâਡã-
⨢® ®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¯® âà¥â쥬ã à£ã¬¥âã
36
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
([t~a; ~b℄; ~x) = (t [~a; ~b℄; ~x) ¨ ([~a + ~b;~ ℄; ~x) = ([~a;~ ℄ + [~b;~ ℄; ~x). ¬¥¥¬ ([t~a; ~b℄; ~x) = (t~a; ~b; ~x) = t(~a; ~b; ~x) = t ([~a; ~b℄; ~x) = (t [~a; ~b℄; ~x); ([~a + ~b;~ ℄; ~x) = (~a + ~b;~ ; ~x) = (~a;~ ; ~x) + (~b;~ ; ~x) = = ([~a;~ ℄; ~x) + ([~b;~ ℄; ~x) = ([~a;~ ℄ + [~b;~ ℄; ~x): 4.
ëç¨á«¥¨¥ á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢ ª®®à¤¨ â å
Ǒãáâì ¢¥ªâ®àë ~b1; ~b2; ~b3 ®¡à §ãîâ ¥ª®â®àë© ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠, (x1 ; x2 ; x3), (y1, y2, y3) ¨ (z1; z2; z3) | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ ~x, ~y ¨ ~z ᮮ⢥âá⢥® ¢ í⮬ ¡ §¨á¥. Ǒ®ª ¥¬, ª ª ¯® ª®®à¤¨ â ¬ ¢¥ªâ®à®¢ ~x; ~y ¨ ~z ©â¨ ¨å á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥. ª ®â¬¥ç «®áì ¯®á«¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë, ¥á«¨ ¤¢ ¨§ âà¥å ¢¥ªâ®à®¢ à ¢ë, â® á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ íâ¨å âà¥å ¢¥ªâ®à®¢ à ¢® ã«î. ᯮ«ì§ãï íâ®â ä ªâ, ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥á⢠(~x; ~y; ~z) = (x1~b1 + x2~b2 + x3~b3; y1~b1 + y2~b2 + y3~b3; z1~b1 + z2~b2 + z3~b3) = = x1 y2z3 (~b1 ; ~b2; ~b3) + x1 y3z2 (~b1 ; ~b3; ~b2) + x2 y1z3 (~b2; ~b1; ~b3) + + x2 y3z1 (~b2 ; ~b3; ~b1) + x3 y1z2 (~b3 ; ~b1; ~b2) + x3 y2z1 (~b3; ~b2; ~b1): ᯮ«ì§ãï ᢮©á⢮ 1 á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¥¨¥ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ (x1 y2z3 + x2y3z1 + x3y1z2 x1y3z2 x2y1z3 x3y2z1) (~b1 ; ~b2; ~b3): ëà ¥¨¥, áâ®ï饥 ¢ ᪮¡ª å, ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë âà¥â쥣® ¯®à浪 , ¢ ª®â®à®© ¯® áâப ¬ § ¯¨á ë ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ ~x, ~y ¨ ~z. «¥¤®¢ ⥫ì®, x1 y1 z1
x2 x3 (~x; ~y; ~z) = y2 y3 (~b1; ~b2; ~b3): (4) z2 z3
᫨ ¡ §¨á, á®áâ®ï騩 ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ ~b1; ~b2; ~b3, ïë«ï¥âáï ¯à ¢ë¬ ®à⮮ନ஢ ë¬, â®, ª ª ®â¬¥ç «®áì á. 34, (~b1; ~b2; ~b3) = 1 ¨ ¯®â®¬ã
ä®à¬ã« (4) ¯à¨¨¬ ¥â ᮢᥬ ¯à®á⮩ ¢¨¤: (~x; ~y; ~z) =
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 : z3
⬥⨬, ®¤ ª®, çâ® §¤¥áì, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ᪠«ïண® ¨ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨©, ä®à¬ã« ¨¬¥¥â ¤®áâ â®ç® ¯à®á⮩ ¢¨¤ ¨ ¢ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì®£® ¡ §¨á .
x
4. ¥ªâ®à®¥ ¨ á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢
5.
37
Ǒਫ®¥¨ï
¤¥áì ¯à¨¢®¤ïâáï ä®à¬ã«ë, ®á®¢ ë¥ ¬ â¥à¨ «¥ ¤ ®£® ¯ à £à ä , ª®â®àë¥ ¨¡®«¥¥ ç á⮠㯮âॡ«ïîâáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ § ¤ ç. Ǒãáâì (~b1; ~b2; ~b3) | ¯à ¢ë© ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á, (x1 ; x2; x3 ), (y1; y2; y3) ¨ (z1 ; z2; z3) | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ ~x, ~y ¨ ~z ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ᮮ⢥âá⢥®. ᯮ«ì§ãï ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥, ¬®®: 1) ¢ëç¨á«¨âì ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , ¯®áâ஥®£® ¢¥ªâ®à å ~x ¨ ~y: s x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3 2 S = y y + y y + y y ; (5) 1 2 1 3 2 3 ¯®áª®«ìªã íâ ¯«®é ¤ì à ¢ ¤«¨¥ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ®¯à¥¤¥«¨â¥«¨, áâ®ï騥 ¯®¤ ª®à¥¬, áãâì, á â®ç®áâìî ¤® § ª , ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï; ä®à¬ã«ã ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¯«®é ¤¨ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ ~x ¨ ~y | ¢¥ªâ®àë ¯«®áª®áâ¨, á¬. ¢ § ¤ ç¥ 53 á. 54; 2) ¢ëç¨á«¨âì á¨ãá 㣫 ¬¥¤ã ¥ã«¥¢ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ ~x ¨ ~y: s x1 y1 p
x2 2 + x1 x3 2 + x2 x3 2 y2 y1 y3 y2 y3 p ; x21 + x22 + x23 y12 + y22 + y32
sin(~xd ; ~y) = ¯®áª®«ìªã, ¢ ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, á¨ãá 㣫 ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ à ¢¥ ¬®¤ã«î ¨å ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ¤¥«¥®¬ã ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¨å ¤«¨; 3) ¢ëïá¨âì, ¡ã¤ãâ «¨ ¢¥ªâ®àë ~x ¨ ~y ª®««¨¥ àë: ~x k ~y ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ x1 y1
x2 = x1 y2 y1
x3 = x2 y3 y2
x3 =0; y3
¯®áª®«ìªã ¢¥ªâ®àë ª®««¨¥ àë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¨å ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ à ¢® ã«ì-¢¥ªâ®àã. ᯮ«ì§ãï á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥, ¬®®: 1) ¢ëç¨á«¨âì ®¡ê¥¬ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¯®áâ஥®£® ¢¥ªâ®à å ~x, ~y ¨ ~z: x1 x2 x3 V = mod y1 y2 y3 ; (6)
z1 z2 z3
38
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
¯®áª®«ìªã ®¡ê¥¬ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ à ¢¥ ¬®¤ã«î á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï; ¢ ¯à¨¢¥¤¥®© ⮫쪮 çâ® ä®à¬ã«¥ ᨬ¢®«®¬ mod ®¡®§ ç¥ ¬®¤ã«ì ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï, ¯®áª®«ìªã áâ ¤ à⮥ ®¡®§ 票¥ | ¤¢¥ ¢¥à⨪ «ìë¥ ç¥àâë | ¡ë«® ¡ë §¤¥áì ¥ã¤®¡®ç¨â ¥¬ë¬; 2) ¢ëïá¨âì, ¡ã¤ãâ «¨ ¢¥ªâ®àë ~x, ~y ¨ ~z ª®¬¯« àë: ~x; ~y; ~z ª®¬¯« àë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 = 0; z3
x2 y2 z2
x3 y3 > 0; z3
¯®áª®«ìªã âਠ¢¥ªâ®à ª®¬¯« àë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¨å á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ à ¢® ã«î; ®â¬¥â¨¬, çâ® íâ®â ªà¨â¥à¨© á¯à ¢¥¤«¨¢ ¨ ¢ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â | íâ® «¥£ª® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ä®à¬ã«ë (4); 3) ®¯à¥¤¥«¨âì ®à¨¥â æ¨î âனª¨ ¢¥ªâ®à®¢ (~x; ~y; ~z): âனª ¢¥ªâ®à®¢ (~x; ~y; ~z) ï¥âáï ¯à ¢®© ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤
x1 y1 z1
¨ «¥¢®© ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ x1 y1 z1
x2 x3 y2 y3 < 0; z2 z3
¯®áª®«ìªã âனª ¢¥ªâ®à®¢ ï¥âáï ¯à ¢®© («¥¢®©) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¨å á¬¥è ®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¡®«ìè¥ 0 (ᮮ⢥âá⢥® ¬¥ìè¥ 0). x5.
¨á⥬ ª®®à¤¨ â.
®®à¤¨ âë â®çª¨ 1.
Ǒ®ï⨥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â
¨á⥬®© ª®®à¤¨ â ¢ ¯à®áâà á⢥ ( ¯«®á) §ë¢ ¥âáï ᮢ®ªã¯®áâì ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠(ᮮ⢥âá⢥®
¯à¥¤¥«¥¨¥.
ª®áâ¨
x
5. ¨á⥬ ª®®à¤¨ â. ®®à¤¨ âë â®çª¨
39
¡ §¨á ¯«®áª®áâ¨) ¨ â®çª¨ (¯à¨ ¤«¥ 饩 í⮩ ¯«®áª®áâ¨). ¨á⥬㠪®®à¤¨ â ¨®£¤ §ë¢ îâ â ª¥ ९¥à®¬. ®çª , ¢å®¤ïé ï ¢ ९¥à, §ë¢ ¥âáï ç «®¬ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â. ¨á⥬㠪®®à¤¨ â, á®áâ®ïéãî ¨§ ¡ §¨á (~b1; ~b2; ~b3) ¨ ç « ª®®à¤¨ â O, ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ç¥à¥§ (O; ~b1; ~b2; ~b3) (¢ á«ãç ¥ ¯«®áª®á⨠¨á¯®«ì§ã¥âáï ®¡®§ 票¥ (O; ~b1; ~b2)). Ǒàï¬ë¥, ¯à®å®¤ï騥 ç¥à¥§ â®çªã O ¯ à ««¥«ì® ®¤®¬ã ¨§ ¡ §¨áëå ¢¥ªâ®à®¢, §ë¢ îâáï ®áﬨ ª®®à¤¨ â. ¤ ï ¨§ ®á¥© ª®®à¤¨ â ¨¬¥¥â ᢮¥ §¢ ¨¥. Ǒàï¬ãî, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ â®çªã O ¨ ¯ à ««¥«ìãî ¢¥ªâ®àã ~b1, ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ®áìî ¡áæ¨áá, ¯àï¬ãî, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ â®çªã O ¨ ¯ à ««¥«ìãî ¢¥ªâ®àã ~b2, | ®áìî ®à¤¨ â, ¯àï¬ãî, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ â®çªã O ¨ ¯ à ««¥«ìãî ¢¥ªâ®àã ~b3, | ®áìî ¯¯«¨ª â. Ǒ«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï騥 ç¥à¥§ â®çªã O ¨ ¤¢¥ ¨§ âà¥å ®á¥© ª®®à¤¨ â, §ë¢ îâáï ª®®à¤¨ â묨 ¯«®áª®áâﬨ. 䨪á¨à㥬 ¢ ¯à®áâà á⢥ ¥ª®â®àãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â (O; ~b1, ~b2 , ~b3). ! ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¥ªâ®à OM §ë¢ ¥âáï à ¤¨ãᮬ-¢¥ªâ®à®¬ â®çª¨ M . ®®à¤¨ â ¬¨ â®çª¨ M ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (O; ~b1 ; ~b2 ; ~b3) §ë¢ îâáï ª®®à¤¨ âë ¥¥ à ¤¨ãá -¢¥ªâ®à ¢ ¡ §¨á¥ (~b1; ~b2; ~b3). «®£¨ç® ®¯à¥¤¥«ïîâáï ª®®à¤¨ âë â®çª¨ ¯«®áª®áâ¨. Ǒãáâì â®çª¨ A ¨ B ¨¬¥îâ!ª®®à¤¨ âë (a1 ; a2; a3) ¨ (b1; b2; b3) á®®â! ! ¢¥âá⢥®. ç¨âë¢ ï, çâ® AB = OB !OA, ! ª®®à¤¨ âë â®ç¥ª A ¨ B ᮢ¯ ¤ îâ á ª®®à¤¨ â ¬¨ ¢¥ªâ®à®¢ OA ¨ OB ᮮ⢥âá⢥®, ¯®«ãç ! ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë ¥¬, çâ® ¢¥ªâ®à AB (b1 a1 ; b2 a2 ; b3 a3 ). 묨 á«®¢ ¬¨, çâ®¡ë ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à , ¤® ¨§ ª®®à¤¨ â ¥£® ª®æ ¢ëç¥áâì ª®®à¤¨ âë ¥£® ç « .
¨á⥬ ª®®à¤¨ â ¢ ¯à®áâà á⢥ (O; ~b1; ~b2; ~b3) §ë¢ ¥âáï ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®©, ¥á«¨ ¡ §¨á (~b1; ~b2; ~b3) | ¯à ¢ë© ®à⮮ନ஢ ë©. ¨á⥬ ª®®à¤¨ â ¯«®áª®á⨠(O; ~b1; ~b2) §ë¢ ¥âáï ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®©, ¥á«¨ ¡ §¨á (~b1 ; ~b2) | ®à⮮ନ஢ ë©. ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ ⠮ᨠ¡áæ¨áá, ®à¤¨ â ¨ ¯¯«¨ª â ¯à¨ïâ® ®¡®§ ç âì ç¥à¥§ Ox, Oy ¨ Oz ᮮ⢥âá⢥®. í⮬ á«ãç ¥ ¢ ¯®ï⮬ á¬ëá«¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï â ª¥ ®¡®§ 票ï Oxy, Oxz ¨ Oyz ¤«ï ª®®à¤¨ âëå ¯«®áª®á⥩, ¢áï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ Oxyz (¢ á«ãç ¥ ¯à®áâà á⢠) ¨«¨ Oxy (¢ á«ãç ¥ ¯«®áª®áâ¨). ¯à¥¤¥«¥¨¥.
40
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
Ǒãáâì â®çª¨ A ¨ B ¢ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¨¬¥îâ ª®®à¤¨ âë (a1; a2; a3) ¨ (b1; b2; b3) ᮮ⢥âá⢥®. ç¨âë¢ ï, çâ® ¬®¤ã«ì ¢¥ªâ®à à ¢¥ ª®àî ª¢ ¤à ⮬㠨§ ¥£® ᪠«ïண® ª¢ ¤à â , ᪠«ïàë© ª¢ ¤à â ¢¥ªâ®à ¢ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥ à ¢¥ á㬬¥ ª¢ ¤à ⮢ ¥£® ª®®à¤¨ â, ¯®«ãç ¥¬, çâ® à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã â®çª ¬¨ A ¨ B ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ p
jAB j = (b1 a1 )2 + (b2 a2 )2 + (b3 a3 )2 :
(1)
®â ä ªâ, çâ® â®çª A ¢ ¥ª®â®à®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë (a1; a2; a3), ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì â ª: A(a1; a2; a3). 2.
¥«¥¨¥ ®â१ª ¢ ¤ ®¬ ®â®è¥¨¨
¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¤ ë à §«¨çë¥ â®çª¨ A ¨ B ¨ ç¨á«® t. 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® â®çª C ¤¥«¨â ®â१®ª AB ¢ ®â®è¥¨¨ t, ¥á«¨ ! = t CB: ! AC (2)
¯à¨¬¥à, ¥á«¨ C | á¥à¥¤¨ ®â१ª ® ¤¥«¨â ¥£® ¢ ®â! = 1 AB !, ),â®â®çª ®è¥¨¨ 1 (â ª ª ª ¢ í⮬ á«ãç ¥ AC CB A ¤¥«¨â ¥£® ¢ ! = ~0 = 0 AB !), â®çª B ¥ ¤¥«¨â ®â®è¥¨¨ 0 (â ª ª ª AA ¥£® ¨ ¢ ! ~ ª ª®¬ ®â®è¥¨¨ (â ª ª ª BB = 0 ¨ ¥ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®£® ç¨á« t, çâ® ! = t BB !). à¨á. 11 â®çª C1 ¤¥«¨â ®â१®ª AB ¢ ®â®è¥¨¨ 1 , AB 2 â®çª C2 | ¢ ®â®è¥¨¨ 4. ! = AC ! + CB ! = ~0, Ǒãáâì t = 1 ¨ ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ (2). ®£¤ AB çâ® ¥¢®§¬®®, â ª ª ª â®çª¨ A ¨ B à §«¨çë. Ǒãáâì ⥯¥àì t 6= 1. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® â®çª C , ¤¥«ïé ï ®â१®ª AB ¢ ®â®è¥¨¨ t, áãé¥áâ¢ã¥â. 뢥¤¥¬ ä®à¬ã«ë ¤«ï 室¥¨ï ª®®à¤¨ â â®çª¨ C , ¥á«¨ ¨§¢¥áâë ª®®à¤¨ âë â®ç¥ª A(a1; a2; a3) ¨ B(b1; b2; b3) ¨ ç¨á«® t. ¡®§ 稬 â®çª¨ C ç¥à¥§ ( 1 ; 2; 3). ᯨáë¢ ï à ¢¥á⢮ ! = t CB !ª®®à¤¨ âë AC ¢ ª®®à¤¨ â å, ¨¬¥¥¬ 8 < 1
2 :
3
a1 a2 a3
= t(b1 = t(b2 = t(b3
1 );
2 );
3 ):
(3)
x
5. ¨á⥬ ª®®à¤¨ â. ®®à¤¨ âë â®çª¨
41
§ íâ¨å à ¢¥á⢠¯®«ãç ¥¬, çâ®
= a11++tbt 1 ; a + tb2 (4)
2 = 2 > 1+t ; > > > a + tb3 > : 3 = 3 1+t : â® ®§ ç ¥â, çâ® ¥á«¨ â®çª C áãé¥áâ¢ã¥â, â® ® ¥¤¨á⢥ . ãé¥á⢮¢ ¨¥ â®çª¨ C â ª¥ ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï «¥£ª®. á ¬®¬ ¤¥«¥, à áᬮâਬ â®çªã C , ª®®à¤¨ âë ª®â®à®© § ¤ îâáï à ¢¥á⢠¬¨ (4). ®£¤ ¡ã¤ã⠢믮«ïâìáï à ¢¥á⢠(3). ® ¯®á«¥¤¨¥ ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª à ¢¥á⢮ (2), à á¯¨á ®¥ ¢ ª®®à¤¨ â å. 8 > >
1 > > > <
rA rC1
rB rC2
¨á. 11 â ª, â®çª C , ¤¥«ïé ï ®â१®ª AB ¢ ®â®è¥¨¨ t, áãé¥áâ¢ã¥â ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ t 6= 1, ¯à¨ç¥¬ ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ í⮣® ãá«®¢¨ï ® ¥¤¨á⢥ . Ǒ®á¬®âਬ, £¤¥ íâ â®çª ¬®¥â !à ᯮ« £ âìáï. ! ª®««¨§ à ¢¥á⢠(2) ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¯à ¢«¥ë¥ ®â१ª¨ AC ¨ CB ¥ àë. â® ®§ ç ¥â, çâ® â®çª C ¤®« «¥ âì ¯àאַ© AB. ª ®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥, ® ¥ ¬®¥â ᮢ¯ ¤ âì á â®çª®© B. Ǒãáâì ⥯¥àì C!| ¯à®¨§¢®«ì ï â®çª ¯àאַ© , ®â«¨ç ï ®â B. ®£¤ ¢¥ªâ®àë ! ª®««¨¥ àë ! 6= ~0AB AC ¨ CB ¨ CB . ᨫ㠪à¨â¥à¨ï ª®««¨¥ à®á⨠¢¥ªâ®à®¢ (á¬. á. 21) áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ç¨á«® t, çâ® ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ (2). â ª, â®çª C ¤¥«¨â ®â१®ª AB ¢ ¥ª®â®à®¬ ®â®è¥¨¨ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¯à¨ ¤«¥¨â ¯àאַ© AB ¨ ®â«¨ç ®â â®çª¨ B . ¥£ª® ¯®ïâì â ª¥, çâ® ¥á«¨ C ¯à¨ ¤«¥¨â ®â१ªã AB , â® t > 0, ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ t < 0. ⬥⨬ ®¤¨ ¢ ë© ç áâë© á«ãç ©. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® C | á¥à¥¤¨ ®â१ª AB. ª 㥠®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥, íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ® ¤¥«¨â íâ®â ®â१®ª ¢ ®â®è¥¨¨ 1. ᨫã (4) ¯®«ãç ¥¬, çâ® â®çªa C ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3 ; ; (5) 2 2 2 :
42
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
묨 á«®¢ ¬¨,
(á।¥¥ ) ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ä®à¬ã« (4) à¥è¨¬ á«¥¤ãîéãî § ¤ çã: ©â¨ ª®®à¤¨ âë â®çª¨ T , ïî饩áï â®çª®© ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¬¥¤¨ âà¥ã£®«ì¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ P (p1; p2; p3), Q(q1; q2 ; q3) ¨ R(r1, r2, r3 ). ª®®à¤¨ âë á¥à¥¤¨ë ®â१ª ¥áâì ¯®«ãá㬬 à¨ä¬¥â¨ç¥áª®¥ ª®®à¤¨ â ¥£® ç « ¨ ª®æ .
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¨á. 12 ¡®§ 稬 ç¥à¥§ S â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¬¥¤¨ ë P T ¨ áâ®à®ë QR (à¨á. 12), ç¥à¥§ (s1; s2; s3) | ª®®à¤¨ âë í⮩ â®çª¨. ᨫã ᪠§ ®£® ¢ëè¥ s1 = q1 +2 r1 , s2 = q2 +2 r2 , s3 = q3 +2 r3 . §¢¥áâ®, çâ® â®çª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¬¥¤¨ ®âᥪ ¥â ®â ¬¥¤¨ ë 23 ¥¥ ¤«¨ë (¥á«¨ áç¨â âì ®â ¢¥àè¨ë âà¥ã£®«ì¨ª ). â® ®§ ç ¥â, çâ® â®çª T ¤¥«¨â ®â१®ª P S ¢ ®â®è¥¨¨ 2. «¥¤®¢ ⥫ì®, 8 p + 2s1 p1 + q1 + r1 > > t1 = 1 > > 1+2 = 3 ; > < p + 2s2 p2 + q2 + r2 t2 = 2 = ; > 1 + 2 3 > > > p + 2s3 p3 + q3 + r3 > : t3 = 3 1+2 = 3 : 3.
¬¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â
áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî § ¤ çã. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ § 䨪á¨à®¢ ë ¤¢¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¨ ¨§¢¥áâë ª®®à¤¨ âë ¥ª®â®à®© â®çª¨ ¢ ®¤®© ¨§ ¨å. ª ©â¨ ª®®à¤¨ âë ⮩ ¥ â®çª¨ ¢ ¤à㣮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â?
43
x
5. ¨á⥬ ª®®à¤¨ â. ®®à¤¨ âë â®çª¨
â ª, ¯ãáâì (O; ~b1; ~b2; ~b3) ¨ (P ; ~ 1;~ 2;~ 3) | ¤¢¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â (à¨á. 13). «ï ªà ⪮á⨠¡ã¤¥¬ §ë¢ âì á¨á⥬㠪®®à¤¨ â (O; ~b1; ~b2; ~b3) áâ ன, á¨á⥬㠪®®à¤¨ â (P ; ~ 1;~ 2;~ 3) | ®¢®©. Ǒãáâì (x1 ; x2 ; x3) | ª®®à¤¨ âë â®çª¨ M ¢ áâ ன á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â. ॡã¥âáï0 ©â¨ ¥¥ ª®®à¤¨ âë ¢ ®¢®© á¨á⥬¥. ¡®§ 稬 ¨å ç¥à¥§ (x01 ; x2 ; x03).
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P ~b2 1r6C -~ 1 C ~b3 Æ CCW~ 2 rOX XXXz r M ~b 1
¨á. 13 ¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騥 ®¡®§ 票ï. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ (p1; p2; p3) ª®®à¤¨ âë â®çª¨ P ¢ áâ ன á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â, ç¥à¥§ (t11; t21 ; t31) | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~ 1 ¢ ¡ §¨á¥ (~b1; ~b2; ~b3), ç¥à¥§ (t12; t22 ; t32) | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~ 2 ¢ ¡ §¨á¥ (~b1; ~b2; ~b3), ª®¥æ, ç¥à¥§ (t13 ; t23; t33) | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~ 3 ¢ ¡ §¨á¥ (~b1; ~b2; ~b3). âà¨æã 0
1
t11 t12 t13 T = t21 t22 t23 A t31 t32 t33
§®¢¥¬ ¬ âà¨æ¥© ¯¥à¥å®¤ ®â áâ ண® ¡ §¨á ª ®¢®¬ã. 묨 á«®¢ ¬¨, ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á (~b1; ~b2; ~b3) ª ¡ §¨áã (~ 1;~ 2;~ 3) | íâ® ¬ âà¨æ , ¢ ª®â®à®© ¯® á⮫¡æ ¬ áâ®ïâ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ ®¢®£® ¡ §¨á ¢ áâ ஬ ¡ §¨á¥. !. ®¤®© áâ®à®ë, OM != ëç¨á«¨¬ ¤¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨ ¢¥ªâ®à OM x1~b1 + x2~b2 + x3~b3 . ¤à㣮©, ! = OP ! + PM ! = (p1~b1 + p2~b2 + p3~b3 ) + (x0 ~ 1 + x0 ~ 2 + x0 ~ 3 ) = OM 1 2 3 = p1~b1 + p2~b2 + p3~b3 + x01 (t11~b1 + t21~b2 + t31~b3) + + x02(t12~b1 + t22~b2 + t32~b3) + x03 (t13~b1 + t23~b2 + t33~b3) = = (p1 + t11 x01 + t12x02 + t13 x03)~b1 + (p2 + t21x01 + t22 x02 + t23x03 )~b2 + + (p3 + t31 x01 + t32x02 + t33 x03)~b3 :
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« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
ᨫã ⥮६ë 2 ¨§ x2 8 < x1 = p1 + t11 x01 + t12 x02 + t13 x03 ; x2 = p2 + t21 x01 + t22 x02 + t23 x03 ; (6) : x3 = p3 + t31 x01 + t32 x02 + t33 x03 : â¨ à ¢¥á⢠§ë¢ îâáï ä®à¬ã« ¬¨ ¯¥à¥å®¤ ®â áâ ன á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ª ®¢®© ¨«¨ ä®à¬ã« ¬¨ § ¬¥ë á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â. ï ®¢ë¥ ª®®à¤¨ âë â®çª¨ M , ¯® í⨬ ä®à¬ã« ¬ ¬®® ©â¨ áâ àë¥ ª®®à¤¨ âë. ®® à¥è¨âì ¨ ®¡à âãî § ¤ çã. «ï í⮣® ã® ¯®á¬®âà¥âì ä®à¬ã«ë0 (6)0 ª ª0 á¨á⥬ã âà¥å «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á âà¥¬ï ¥¨§¢¥áâ묨 x1 , x2, x3 : 8 p1 ; < t11 x01 + t12 x02 + t13 x03 = x1 t21 x01 + t22 x02 + t23 x03 = x2 p2 ; (7) : t31 x01 + t32 x02 + t33 x03 = x3 p3 : ᮮ⢥âá⢨¥ á ä®à¬ã«®© (4) ¨§ x4 ~ 1~ 2~ 3 =
t11 t12 t13
t21 t22 t23
t31 t32 ~b1~b2~b3 : t33
¯à¥¤¥«¨â¥«ì, ¢å®¤ï騩 ¢ íâ® à ¢¥á⢮, ®â«¨ç¥ ®â ã«ï, â ª ª ª ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¢¥ªâ®àë ~ 1;~ 2;~ 3 ¡ë«¨ ¡ë ª®¬¯« à묨 (á¬. ⥮६㠨§ x4) ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥ ®¡à §®¢ë¢ «¨ ¡ë ¡ §¨á . ¥¯®á।áâ¢¥ë¥ ¢ëç¨á«¥¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® íâ®â ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì à ¢¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«î á¨á⥬ë (7) (®â¬¥â¨¬, çâ® íâ® ¥¬¥¤«¥® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ᢮©á⢠9 ¢ x13), ¨ ¯®â®¬ã ¯®á«¥¤¨© ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì â ª¥ ®â«¨ç¥ ®â ã«ï. ®£« ᮠ⥮६¥ 2 ¨§ x1, ®âáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® á¨á⥬ (7) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. ©¤ï íâ® à¥è¥¨¥, ¬ë ©¤¥¬ ¢ëà ¥¨¥ ª®®à¤¨ â â®çª¨ M ¢ ®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ç¥à¥§ ¥¥ ª®®à¤¨ âë ¢ áâ ன á¨á⥬¥. ë ¥ ¡ã¤¥¬ ¯à¨¢®¤¨âì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ä®à¬ã«ë ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥, â ª ª ª ®¨ ¢ë£«ï¤ïâ ¤®¢®«ì® £à®¬®§¤ª®. ë à áᬮâ५¨ § ¤ çã § ¬¥ë á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¢ ¯à®áâà á⢥. «®£¨çë¥ à áá㤥¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¯«®áª®á⨠ä®à¬ã«ë ¯¥à¥å®¤ ¨¬¥îâ ¢¨¤ x1 = p1 + t11 x01 + t12 x02 ; (8) x2 = p2 + t21 x01 + t22 x02 : £« ¢ å 9 ¨ 10 ¬ ¯® ¤®¡¨âáï ®¤¨ ç áâë© á«ãç © íâ¨å ä®à¬ã«. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® áâ à ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â | ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ , ®¢ ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â ¯®«ãç ¥âáï ¨§ áâ ன ¯®¢®à®â®¬
45
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¯«®áª®á⨠¢®ªàã£ ç « ª®®à¤¨ â áâ ன á¨áâ¥¬ë ¥ª®â®àë© ã£®« (à¨á. 14).
AK ~ 2 A
6~b2
AA ~ 1 * A As O ~b1
¨á. 14 ç áâ®áâ¨, ç «® ®¢®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ᮢ¯ ¤ ¥â á ç «®¬ áâ ன á¨á⥬ë, ¨ ¯®â®¬ã p1 = p2 = 0. ¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â áâ ண® ¡ §¨á ª ®¢®¬ã ¨¬¥¥â ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¢¨¤ sin T = os sin os (® §ë¢ ¥âáï ¬ âà¨æ¥© ¯®¢®à®â á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â 㣮« ). «¥¤®¢ ⥫ì®, ä®à¬ã«ë ¯¥à¥å®¤ ¯à¨¨¬ îâ ¢¨¤ x1 = x01 os x02 sin ; (9) x2 = x01 sin + x02 os : ⨠ä®à¬ã«ë §ë¢ îâáï ä®à¬ã« ¬¨ ¯®¢®à®â á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â 㣮« . x6.
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® ¢á¥å § ¤ ç å í⮣® ¯ à £à ä , ¢ ª®â®àëå  ¥ ®£®¢®à¥® ¯à®â¨¢®¥, ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ ¤ ë ¢ ¯à ¢®¬ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥, ª®®à¤¨ âë â®ç¥ª | ¢ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â
1.
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á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç
ᮢ묨 ⨯ ¬¨ § ¤ ç ¯® ⥬¥ ¤ ®© £« ¢ë ïîâáï: 1) § ¤ ç¨, à¥è¥¨¥ ª®â®àëå á¢ï§ ® á à §«®¥¨¥¬ ¢¥ªâ®à ¯® ¡ §¨áã;
46
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
2) § ¤ ç¨, á¢ï§ ë¥ á 室¥¨¥¬ ¯à®¥ªæ¨© ¢¥ªâ®à ¯«®áª®áâì ¨«¨ ¯àï¬ãî; 3) § ¤ ç¨, à¥è¥¨¥ ª®â®àëå ᢮¤¨âáï ª à¥è¥¨î á¨á⥬ ãà ¢¥¨©; 4) § ¤ ç¨, á¢ï§ ë¥ á ¢ëç¨á«¥¨¥¬ ¯«®é ¤¥© ¨ ®¡ê¥¬®¢ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å 䨣ãà; 5) § ¤ ç¨, á¢ï§ ë¥ á ä®à¬ã«®© ¤¥«¥¨ï ®â१ª ¢ ¤ ®¬ ®â®è¥¨¨. Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¯¥à¢®£® ⨯ . ¤ ç 1. ®ª § âì, çâ® ¥á«¨ H | â®çª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¬¥¤¨ ! + BH ! + CH ! = ~0. âà¥ã£®«ì¨ª ABC , â® AH ¥è¥¨¥. ¡®§ 稬 á¥à¥¤¨ë áâ®à® AB , AC ¨ BC ç¥à¥§ D, E ¨ F ᮮ⢥âá⢥® (à¨á. 15). ¯«®áª®á⨠âà¥ã£®«ì¨ª ! AC !) ¨ ©¤¥¬ !, BE !ABC !¢ë¡¥à¥¬ ¡ §¨á (AB; ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ AF ¨ CD ¢ í⮬ ¡ §¨á¥. § ®ç¥¢¨¤ëå à ¢¥á⢠! = AB ! + 1 (AC ! AB !)= 1 AB ! + 1 AC; ! ! = AB ! + BF ! = AB ! + 1 BC AF 2 2 2 2 ! = BA ! + AE ! = AB ! + 1 AC; ! BE 2 ! = CA ! + AD ! = 1 AB ! AC ! CD 2 ! = 1 ; 1 , BE ! = 1; 1 ¨ CD ! = 1 ; 1 . ᯮ«ì¢ë⥪ ¥â, çâ® AF 2 2 2 2 §ãï ¨§¢¥á⮥ ¨§ 誮«ì®£® ªãàá ᢮©á⢮ â®çª¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¬¥¤¨ , ¯®«ãç ¥¬, çâ®
1 1 2 2 1 2 1 2 2 ! ! ! ! ! ! AH = AF = ; ; BH = BE = 3 3 3 3 3 ; 3 ; CH = 3 CD = 3 ; 3 : ! + BH ! + CH ! = (0; 0) = ~0. «¥¤®¢ ⥫ì®, AH
47
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~b 6
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¨á. 15 ¨á. 16 ¥è¨¬ ⥯¥àì § ¤ çã ¢â®à®£® ⨯ . ¤ ç 2. ©â¨ ®à⮣® «ìãî ¯à®¥ªæ¨î ¢¥ªâ®à ~ a = (5; 3; 1) ¯«®áª®áâì , ®à⮣® «ìãî ¢¥ªâ®àã ~b = (2; 1; 1). ¥è¥¨¥. 롥६ ¢ ¯«®áª®á⨠¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã O ¨ ®â«®¨¬ ®â ¥¥ ¢¥ªâ®àë ~a ¨ ~b. ®¥æ ¢¥ªâ®à ~a ®¡®§ 稬 ¡ãª¢®© A. Ǒãáâì C | ®à⮣® «ì ï ¯à®¥ªæ¨ï â®çª¨ A ¯«®áª®áâì .!¥®¡å®¤¨¬® ! (à¨á. ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à !~ = OC 16).! ¥ªâ®àë AC ¨ ~b ª®««¨¥ àë. «¥¤®¢ ⥫ì®, AC = t~b ¨ ~ = ~a + AC = ~a + t~b ¤«ï ¥ª®â®à®£® t. Ǒ®áª®«ìªã ~b ? ~ , â® ~b~ = 0. ® ~b~ = (~b;~a + t~b) = ~b~a + t~b~b = 12 + 6t: ª¨¬ ®¡à §®¬, 12 + 6t = 0, ®âªã¤ t = 2 ¨ ~ = ~a 2~b = (1; 1; 3). ⢥â: (1,1,3). Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª § ¤ ç ¬ âà¥â쥣® ⨯ . ¤ ç 3. ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~ x = (11; 2; 11) ¢ ¡ §¨á¥ ~a = (1; 2; 1), ~b = (3; 0; 5), ~ = (0; 2; 2). ¥è¥¨¥. ¡®§ 稬 ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~ x ¢ ¡ §¨á¥ ~a; ~b;~ ç¥à¥§ (x1 ; x2 ; x3). â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢ë¯®«¥® ¢¥ªâ®à®¥ à ¢¥á⢮ ~x = x1~a + x2~b + x3~ : Ǒà¨à ¢¨¢ ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯¥à¢ë¥, ¢â®àë¥ ¨ âà¥âì¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢, áâ®ïé¨å ¢ «¥¢®© ¨ ¯à ¢®© ç áâïå í⮣® à ¢¥á⢠, ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© 8 x1 + 3x2 = 11; < 2 x1 2 x3 = 2; : x1 + 5x2 + 2x3 = 11:
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« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
¥è¨¬ íâã á¨á⥬㠯® ¯à ¢¨«ã à ¬¥à (á¬. ⥮६ã 2 ¢ x1). ¬¥¥¬ 1 3 0 11 3 0 = 2 0 2 = 28; 1 = 2 0 2 = 56; 1 5 2 11 5 2 1 11 0 1 3 11 2 = 2 2 2 = 84; 3 = 2 0 2 = 28: 1 11 2 1 5 11 «¥¤®¢ ⥫ì®, x1 = 1 = 2, x2 = 2 = 3, x3 = 3 = 1. ⢥â: (2; 3; 1). ¤ ç 4. ë ¢¥ªâ®àë ~ p a = (1; 2; 1), ~b = (1; 1; 2) ¨ ~ = (1; 1; 0). ~ ©â¨ ¢¥ªâ®à d ¤«¨ë 2, ®à⮣® «ìë© ¢¥ªâ®àã ~a, ª®¬¯« àë© ¢¥ªâ®à ¬ ~b ¨ ~ ¨ ®¡à §ãî騩 ®áâàë© ã£®« á ¯®«®¨â¥«ìë¬ ¯à ¢«¥¨¥¬ ®á¨ Oz. ¥è¥¨¥. ¡®§ 稬 ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à d~ ç¥à¥§ (x1 ; x2 ; x3 ). § ãá«®¢¨© jd~j = p2 ¨ d~ ? ~a ¢ë⥪ îâ à ¢¥á⢠x21 + x22 + x23 = 2 ¨ x1 + 2x2 x3 = 0 ᮮ⢥âá⢥®, ¨§ ª®¬¯« à®á⨠¢¥ªâ®à®¢ d~, ~b ¨ ~ | à ¢¥á⢮ x1 x2 x3 1 1 2 = 0: 1 1 0 áªàë¢ ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¨§ «¥¢®© ç á⨠¯®á«¥¤¥£® à ¢¥á⢠¯® ¯¥à¢®© áâப¥, ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© 8 < x21 + x22 + x23 = 2; x1 + 2x2 x3 = 0; : 2x1 + 2x2 2x3 = 0: ëç¨â ï ¨§ âà¥â쥣® ãà ¢¥¨ï ¢â®à®¥, ¯®«ãç ¥¬ x1 x3 = 0, â.¥. x1 = x3 . § ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï ¢ë⥪ ¥â ⥯¥àì, çâ® x2 = 0. ç¨âë¢ ï ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥, ¯®«ãç ¥¬, çâ® x1 = 1. â ª, è á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¤¢ à¥è¥¨ï: d~1 = (1; 0; 1) ¨ d~2 = ( 1; 0; 1). ® á¨å ¯®à ¬ë ¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ãá«®¢¨¥ ® ⮬, çâ® ¢¥ªâ®à d~ ®¡à §ã¥â ®áâàë© ã£®« á ¯®«®¨â¥«ìë¬ ¯à ¢«¥¨¥¬ ®á¨ Oz. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¥á«¨ ~z | ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à, ¯à ¢«¥¨¥ ª®â®à®£® ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®«®¨â¥«ìë¬ ~ ~z) | ®áâàë©, â.¥. d~ ~z > 0. á®, çâ® ¯à ¢«¥¨¥¬ ®á¨ Oz, ⮠㣮« (d;d ¢ ª ç¥á⢥ ~z ¬®® ¢§ïâì ¢¥ªâ®à ~z0 = (0; 0; 1). Ǒ®áª®«ìªã d~1~z0 = 1, d~2~z0 = 1, ¯®«ãç ¥¬, çâ® d~ = (1; 0; 1).
49
x
6. ¤ ç¨
⢥â:
d~ = (1; 0; 1).
¥è¨¬ § ¤ çã ç¥â¢¥à⮣® ⨯ . ¤ ç 5. â¥âà í¤à ABCD á ¢¥àè¨ ¬¨ A(3; 2; 1), B (4; 3; 0), C (5; 1; 1) ¨ D(4; 4; 2). ©â¨ ¤«¨ã ¥£® ¢ëá®âë, ®¯ã饮© ¨§ ¢¥àè¨ë D. ! = AC ! ¨ d~ = AD !. á®, çâ® ¥è¥¨¥. Ǒ®«®¨¬ ~b = AB , ~ ~b = (1; 1; 1), ~ = (2; 1; 0) ¨ d~ = (1; 2; 1). ¡®§ 稬 ç¥à¥§ h ¤«¨ã ¢ëá®âë â¥âà í¤à , ®¯ã饮© ¨§ ¢¥àè¨ë D, ç¥à¥§ V | ®¡ê¥¬ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¯®áâ஥®£® ¢¥ªâ®à å ~a, ~b ¨ ~ , ç¥à¥§ S | ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , ¯®áâ஥®£® ¢¥ªâ®à å ~a ¨ ~b. á®, çâ® V = S h. ᨫã â¥®à¥¬ë ¨§ x4, V = j~a~b~ j. ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (6) ¨§ x4, ¨¬¥¥¬ 1 1 1 V = mod 2 1 0 = 8 1 2 1 (ᨬ¢®« mod ¨¬¥¥â §¤¥áì â®â ¥ á¬ëá«, çâ® ¨ ¢ ä®à¬ã«¥ (6) ¨§ x4). «¥¥, ¢ ᨫã ᢮©á⢠1 á. 29, S = j~a ~bj. ©¤¥¬ á ç « ¢¥ªâ®à ~a ~b, ®¡®§ 稢 ç¥à¥§ (~e1 ; ~e2 ; ~e3 ) â®â ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á, ¢ ª®â®à®¬ ¤ ë ª®®à¤¨ âë ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢. ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (3) ¨§ x4, ¨¬¥¥¬ ~a ~b =
~ e1
~e2 ~e3
1 1 1 = ~e1 2~e2 + 3~e3 = (1; 2; 3): 2 1 0
«¥¤®¢ ⥫ì®, S = j~a ~bj = p1 + 4 + 9 = p14 ¨ h = VS = p814 . 8 ⢥â: p . 14 Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¯ï⮣® ⨯ . ¤ ç 6. ë ¢¥àè¨ë âà¥ã£®«ì¨ª A(1; 1), B (4; 5) ¨ C ( 2; 3). ©â¨ â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¡¨áᥪâà¨áë ¢ãâ॥£® 㣫 ¯à¨ ¢¥à訥 B á® áâ®à®®© AC . ¥è¥¨¥. ¡®§ 稬 ¨áª®¬ãî â®çªã ç¥à¥§ D. ᯮ«ì§ãï ᢮©á⢮ ¡¨áᥪâà¨áë 㣫 âà¥ã£®«ì¨ª , ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥á⢠p jADj = jBAj = p (1 4)2 + (1 5)2 = 5 = 1 : jDC j jBC j ( 2 4)2 + ( 3 5)2 10 2
50
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
«¥¤®¢ ⥫ì®, â®çª D ¤¥«¨â ®â१®ª AC ¢ ®â®è¥¨¨ 12 . ¡®§ 稬 ª®®à¤¨ âë í⮩ â®çª¨ ç¥à¥§ (x; y). Ǒ® ä®à¬ã« ¬ (4) ¨§ x5 ¯®«ãç ¥¬, çâ® x = 13=21 = 0 ¨ y = 1 3=32=2 = 13 . ⢥â: 0; 13 . 2.
¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï
ëç¨á«¨âì ¢â®à®£® ®¯à¥¤¥«¨â¥«¨ ¯®à浪 : 2 1 1 1 os sin os sin 1 2 ) 3 4 ; ¡) 4 2 ; ¢) 1 2 ; £) sin os ; ¤) sin os ; sin os os sin tg 1 sin sin ¥) os os ; ) 1 tg ; §) sin os ; ¨) sin os ; x 1 + b a b 1 ª) ; «) 3 2 b a+b x x + x + 1 . 2. ëç¨á«¨âì ®¯à¥¤¥«¨â¥«¨ âà¥â쥣® ¯®à浪 , ¨áå®¤ï ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï: 1 2 1 0 1 1 1 1 3 a a a 1 2 3 ) 4 5 6 ; ¡) 2 1 0 ; ¢) 1 0 1 ; £) 2 1 4 ; ¤) a a x . 7 8 9 1 3 2 1 1 0 4 1 10 a a x 3. ëç¨á«¨âì ®¯à¥¤¥«¨â¥«¨ âà¥â쥣® ¯®à浪 à §«®¥¨¥¬ ¯® ¯¥à¢®© áâப¥: 1 1 1 1 2 3 1 1 0 a a a ) 1 0 1 ; ¡) 2 1 4 ; ¢) 2 3 1 ; £) a b b . 1 1 0 1 2 5 4 1 1 a a b 4. ®ª § âì á«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠®¯à¥¤¥«¨â¥«ï âà¥â쥣® ¯®à浪 : ) ¥á«¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ᮤ¥à¨â ã«¥¢ãî áâபã (á⮫¡¥æ) ¨«¨ ¤¢¥ ®¤¨ ª®¢ë¥ áâப¨ (á⮫¡æ ), â® ® à ¢¥ ã«î; ¡) ¥á«¨ 㬮¨âì áâபã (á⮫¡¥æ) ç¨á«® t, â® ¢¥áì ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì 㬮¨âáï ç¨á«® t; ¢) ¥á«¨ ª ¥ª®â®à®© áâப¥ (á⮫¡æã) ¯à¨¡ ¢¨âì ¤àã£ãî áâபã (á⮫¡¥æ), 㬮¥ãî ¥ª®â®à®¥ ç¨á«®, â® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¥ ¨§¬¥¨âáï; a11 a12 a13 a12 a13 a11 a13 a11 a12 £) a21 a22 a23 = a21 a32 a33 + a22 a31 a33 a23 a31 a32 1. a a
a31 a32 a33
(à §«®¥¨¥ ¯® ¢â®à®© áâப¥ );
51
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a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
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(à §«®¥¨¥ ¯® âà¥â쥩 áâப¥ ); ¥) § ¯¨á âì à §«®¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï âà¥â쥣® ¯®à浪 ¯® ¯¥à¢®¬ã, ¢â®à®¬ã ¨ âà¥â쥬ã á⮫¡æ ¬ ¨ ¤®ª § âì íâ¨ à ¢¥á⢠. 5. ëç¨á«¨âì ®¯à¥¤¥«¨â¥«¨, ¨á¯®«ì§ãï ᢮©á⢠, 㪠§ ë¥ ¢ § ¤ ç¥ 4: 1 2 3 2 10 100 sin os 1 a+b 1 ) 4 5 6 ; ¡) 0;1 2 10 ; ¢) sin os 1 ; £) b + a 1 . 7 8 9 0;01 0;1 2 sin os 1 +a b 1 6*. âà¥ã£®«ì¨ª¥ ABC ¯à®¢¥¤¥ë ¬¥¤¨ ë AD, BE ¨ CF . ®ª ! + BE ! + CF ! = ~0. § âì, çâ® AD 7*. Ǒãáâì A1 A2 : : : A | ¯à ¢¨«ìë© n-㣮«ì¨ª, O | ¥£® æ¥âà. ®ª § âì, çâ® OA!1 + OA!2 + + OA! = ~0. 8. ª®¬ã ãá«®¢¨î ¤®«ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ¢¥ªâ®àë ~ a ¨ ~b, ç⮡ë ~ ¢¥ªâ®à ~a + b ¤¥«¨« ¯®¯®« ¬ 㣮« ¬¥¤ã ¨¬¨? 9. Ǒ஢¥à¨âì, çâ® â®çª¨ A(3; 1; 2), B (1; 2; 1), C ( 1; 1; 3) ¨ D(3; 5; 3) á«ã â ¢¥àè¨ ¬¨ âà ¯¥æ¨¨. 10. âà¥ã£®«ì¨ª¥ ABC ¯à®¢¥¤¥ë ¬¥¤¨ ë AD, BE ¨ CF . §! = (2; 6; 4), AC ! = (4; 2; 2). ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®¢¥áâ®,! çâ®!AB !. ஢ AD, BE ¨ CF 11. ¯«®áª®á⨠¤ ë ¢¥ªâ®àë p ~ ¨ ~q. ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~s ¢ ¡ §¨á¥ (p~; ~q): ) p~ = (1; 2), ~q = ( 3; 1), ~s = ( 7; 7); ¡) p~ = (3; 2), ~q = (2; 2), ~s = (1; 6); ¢) p~ = (1; 1), ~q = (7; 5), ~s = (5; 7). 12. ¯à®áâà á⢥ ¤ ë ¢¥ªâ®àë ~ p, ~q, ~r. ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~s ¢ ¡ §¨á¥ (p~; ~q; ~r): ) p~ = (3; 2; 1), ~q = ( 1; 1; 2), ~r = (2; 1; 3), ~s = (11; 6; 5); ¡) p~ = (2; 1; 0), ~q = (1; 1; 2), ~r = (2; 2; 1), ~s = (3; 7; 7); ¢) p~ = (1; 1; 2), ~q = (2; 1; 0), ~r = ( 3; 1; 2), ~s = (8; 2; 4). 13. ¯à¥¤¥«¨âì á¥à¥¤¨ë áâ®à® âà¥ã£®«ì¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ â®çª å A(1; 3), B(3; 5) ¨ C ( 5; 7). 14. ®çª¨ (2; 1), ( 1; 4) ¨ ( 2; 2) ïîâáï á¥à¥¤¨ ¬¨ áâ®à® âà¥ã£®«ì¨ª . ¯à¥¤¥«¨âì ¥£® ¢¥àè¨ë. 15. ë â®çª¨ A(3; 1) ¨ B (2; 1). ¯à¥¤¥«¨âì ª®®à¤¨ âë: ) â®çª¨ M , ᨬ¬¥âà¨ç®© â®çª¥ A ®â®á¨â¥«ì® â®çª¨ B; ¡) â®çª¨ N , ᨬ¬¥âà¨ç®© â®çª¥ B ®â®á¨â¥«ì® â®çª¨ A. 16. ë âਠ¢¥àè¨ë ¯ à ««¥«®£à ¬¬ A(3; 5), B (5; 3) ¨ C ( 1; 3). ¯à¥¤¥«¨âì ç¥â¢¥àâãî ¢¥àè¨ã D, ¯à®â¨¢®¯®«®ãî ¢¥àn
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52
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
訥 B. 17. ë ¢¥àè¨ë âà¥ã£®«ì¨ª A(2; 5), B (1; 2), C (4; 7). ©â¨ â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¡¨áᥪâà¨áë ¢ãâ॥£® 㣫 ¯à¨ ¢¥à訥 B á® áâ®à®®© AC . 18. ë ¢¥àè¨ë âà¥ã£®«ì¨ª A(3; 5), B ( 3; 3), C ( 1; 2). ¯à¥¤¥«¨âì ¤«¨ã ¡¨áᥪâà¨áë ¢ãâ॥£® 㣫 ¯à¨ ¢¥à訥 A. 19. §¢¥áâë ª®®à¤¨ âë âà¥å ¢¥àè¨ âà ¯¥æ¨¨ A( 4; 5; 6), B (2, 1,3) ¨ C (0; 0; 0). ©â¨ ç¥â¢¥àâãî ¢¥àè¨ã D ¨ â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¤¨ £® «¥©, ¥á«¨ ¤«¨ ®á®¢ ¨ï CD à ¢ 18. 20*. ¥¤¨ ¨ ¡¨áᥪâà¨á âà¥ã£®«ì¨ª ABC , ¯à®¢¥¤¥ë¥ ¨§ ¢¥àè¨ë A, ¯¥à¥á¥ª îâ! áâ®à®ã ¢ â®çª å M ¨ L ᮮ⢥âá⢥®. ! ¯®BC §«®¨âì ¢¥ªâ®àë AM ¨ AL ¡ §¨áã, á®áâ®ï饬㠨§ ¢¥ªâ®à®¢ ~a = ! ¨ ~b = AC !. AB 21*. ®çª M ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¬¥¤¨ âà¥ã£®«ì¨ª «¥¨â ®á¨ ¡áæ¨áá, ¤¢¥ ¥£® ¢¥àè¨ë | â®çª¨ A(2; 3) ¨ B( 5; 1), âà¥âìï ¢¥àè¨ C «¥¨â ®á¨ ®à¤¨ â. ¯à¥¤¥«¨âì ª®®à¤¨ âë â®ç¥ª M ¨ C . 2 , j~aj = 3, j~bj = 4. ëç¨á«¨âì: 22. ¥ªâ®àë ~a ¨ ~b ®¡à §ãîâ 㣮« 3 ) ~a~b; ¡) ~a~a; ¢) (~a +~b;~a +~b); £) (3~a 2~b;~a +2~b); ¤) (3~a +2~b; 3~a +2~b). 23. ¥ªâ®àë ~ a ¨ ~b ®à⮣® «ìë, ¢¥ªâ®à ~ ®¡à §ã¥â á ¨¬¨ 㣫ë, à ¢ë¥ 3 . ï, çâ® j~aj = 3, j~bj = 5, j~ j = 8, ¢ëç¨á«¨âì: ) (3~a 2~b; ~b +3~ ); ¡) (~a +~b + ~ ;~a +~b + ~ ); ¢) (~a +2~b 3~ ;~a +2~b 3~ ). 24. ®, çâ® j~ aj = 3, j~bj = 5. ¯à¥¤¥«¨âì, ¯à¨ ª ª®¬ § 票¨ ¯ à ¬¥âà t ¢¥ªâ®àë ~a + t~b ¨ ~a t~b ¡ã¤ãâ ®à⮣® «ìë. p ~ 25. ¥ªâ®àë ~a ¨ b ®¡à §ãîâ 㣮« , j~ aj = 3, j~bj = 1. ©â¨ 㣮« 6 ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ p~ = ~a + ~b ¨ ~q = ~a ~b. 26. ë ¢¥ªâ®àëp ~a = (4; 2; 4) ¨ ~b = (6; 3; 2). ëç¨á«¨âì: p ) ~a~b; ¡) ~a~a; ¢) ~b~b; £) (2~a 3~b;~a + 2~b); ¤) (~a + ~b;~a + ~b). 27. ë ¢¥àè¨ë âà¥ã£®«ì¨ª A( 1; 2; 4), B ( 4; 2; 0) ¨ C (3, 2; 1). ¯à¥¤¥«¨âì ¥£® ¢ãâ२© 㣮« ¯à¨ ¢¥à訥 B. 28*. ëç¨á«¨âì â㯮© 㣮«, ®¡à §®¢ ë© ¬¥¤¨ ¬¨, ¯à®¢¥¤¥ë¬¨ ¨§ ¢¥àè¨ ®áâàëå 㣫®¢ à ¢®¡¥¤à¥®£® ¯àאַ㣮«ì®£® âà¥ã£®«ì¨ª . 29. ¥ªâ®à ~ x ®à⮣® «¥ ¢¥ªâ®à ¬ ~a = (3; 2; 2) ¨ ~b = (18; 22; 5) ¨ ®¡à §ã¥â á ®áìî Oy â㯮© 㣮«. ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~x, § ï, çâ® j~xj = 14. 30. ë ¢¥ªâ®àë ~ a = (2; 3; 1), ~b = (1; 2; 3), ~ = (2; 1; 1). ©â¨ ¢¥ªâ®à ~x, ®à⮣® «ìë© ¢¥ªâ®à ¬ ~a ¨ ~b ¨ â ª®©, çâ® ~x~ = 6. 31*. 㬬 ¢¥ªâ®à®¢ ¥¤¨¨ç®© ¤«¨ë ~ a, ~b ¨ ~ à ¢ ~0. ëç¨á«¨âì ~ ~ ~ab + b~ + ~ ~a.
x
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53
®: j~aj = 10, j~bj = 2 ¨ ~a~b = 12. ëç¨á«¨âì j~a ~bj. 33. ®: j~aj = 3, j~bj = 26 ¨ j~a ~bj = 72. ëç¨á«¨âì ~ a~b. ~ ~ 34. ¥ªâ®àë ~a ¨ b ®à⮣® «ìë, j~ aj = 3, jbj = 4. ëç¨á«¨âì: ) j[~a + ~b;~a ~b℄j; ¡) j[3~a ~b;~a 2~b℄j. 35. ®ª § âì, çâ® (~a ~b;~ a ~b) + (~a; ~b)2 = (~a;~a) (~b; ~b). 36*. ®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ~a + ~b + ~
= ~0, â® ~a ~b = ~b ~ = ~ ~a. 37*. ®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ~a ~b = ~b ~ = ~
~a ¨ ª ª¨¥-â® ¤¢ ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ ~a, ~b ¨ ~ ¥ ª®««¨¥ àë, â® ~a + ~b + ~ = ~0. 38*. ¥ªâ®àë ~ a, ~b ¨ ~ 㤮¢«¥â¢®àïîâ à ¢¥á⢠¬ ~a ~b = ~ , ~b ~ = ~a, ~ ~a = ~b. ©â¨ ¤«¨ë íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ã£«ë ¬¥¤ã ¨¬¨. 39. ë ¢¥ªâ®àë ~a = (3; 1; 2), ~b = (1; 2; 1). ëç¨á«¨âì: ) [~a; ~b℄; ¡) [2~a + ~b; ~b℄; ¢) [2~a ~b; 2~a + ~b℄. 40. ë â®çª¨ A(1; 2; 0), B (3; 0; 3) ¨ C (5; 2; 6). ëç¨á«¨âì ¯«®é ¤ì âà¥ã£®«ì¨ª ABC . 41. ë ¢¥àè¨ë âà¥ã£®«ì¨ª A(1; 1; 2), B (5; 6; 2) ¨ C (1; 3, 1). ëç¨á«¨âì ¤«¨ã ¢ëá®âë, ®¯ã饮© ¨§ â®çª¨ B áâ®à®ã AC . 42. ¥ªâ®à ~
®à⮣® «¥ ¢¥ªâ®à ¬ ~a ¨ ~b, 㣮« ¬¥¤ã ~a ¨ ~b à ¢¥ 30Æ. ï, çâ® j~aj = 6, j~bj = 3, j~ j = 3, ¢ëç¨á«¨âì ~a~b~ . 43. ë ¢¥ªâ®àë ~ a = (2; 3; 1), ~b = ( 3; 1; 2) ¨ ~ = (1; 2; 3). ëç¨á«¨âì: ) [[~a; ~b℄;~ ℄; ¡) [~a; [~b;~ ℄℄. 44. ®ª § âì, çâ® j~ a~b~ j 6 j~aj j~bj j~ j. 45*. ®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ~a ~b + ~b ~
+ ~ ~a = ~0, â® ¢¥ªâ®àë ~a, ~b ¨ ~ ª®¬¯« àë. 46*. § ®¤®© â®çª¨ ®â«®¥ë âਠ¥ª®¬¯« àëå ¢¥ªâ®à ~a, ~b, ~ . ®ª § âì, çâ® ¯«®áª®áâì, ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ ª®æë íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ¢¥ªâ®àã ~a ~b + ~b ~ + ~ ~a. 47. ë ¢¥ªâ®àë ~a = (1; 1; 3), ~b = ( 2; 2; 1), ~
= (3; 2; 5). ëç¨á«¨âì ~a~b~ . 48. ©â¨ ®¡ê¥¬ â¥âà í¤à , ¢¥àè¨ë ª®â®à®£® 室ïâáï ¢ â®çª å A(2; 1; 1), B (5; 5; 4), C (3; 2; 1) ¨ D(4; 1; 3). 49. ë ¢¥àè¨ë â¥âà í¤à A(2; 3; 1), B (4; 1; 2), C (6; 3; 7) ¨ D( 5; 4; 8). ©â¨ ¤«¨ã ¥£® ¢ëá®âë, ®¯ã饮© ¨§ ¢¥àè¨ë D. 50. ë ¢¥ªâ®àë ~ a = (11; 10; 2) ¨ ~b = (4; 0; 3). ©â¨ ¢¥ªâ®à ~ ¤«¨ë 1, ®à⮣® «ìë© ¢¥ªâ®à ¬ ~a ¨ ~b ¨ ¯à ¢«¥ë© â ª, ç⮡ë âனª (~a; ~b;~ ) ¨¬¥« ¯®«®¨â¥«ìãî ®à¨¥â æ¨î. 51. ë ¢¥ªâ®àë ~a = (1; 1; 1) ¨ ~b = (1; 0; 0). ©â¨ ¢¥ªâ®à ~
¤«¨ë 1, ®à⮣® «ìë© ¢¥ªâ®àã ~a, ®¡à §ãî騩 á ¢¥ªâ®à®¬ ~b 㣮« 3 ¨ ¯à ¢«¥ë© â ª, ç⮡ë âனª (~a; ~b;~ ) ¡ë« ¯à ¢®©. 32.
54
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
ë ¢¥ªâ®àë ~a = (0; 1; 1) ¨ ~b = (1; 1; 0). ©â¨ ¢¥ªâ®à ~ ¤«¨ë 1, ®à⮣® «ìë© ¢¥ªâ®àã ~a, ®¡à §ãî騩 á ¢¥ªâ®à®¬ ~b 㣮« 4 ¨ ¯à ¢«¥ë© â ª, ç⮡ë âனª (~a; ~b;~ ) ¨¬¥« ¯®«®¨â¥«ìãî ®à¨¥â æ¨î. 53. Ǒãáâì S | ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , ¯®áâ஥®£® ¢¥ªâ®à å ~a = (a1; a2) ¨ ~b = (b1; b2) ª ª áâ®à® å. ®ª § âì, çâ® 52.
S = mod ab1 ab2 1 2
(ᨬ¢®« mod ¨¬¥¥â §¤¥áì â®â ¥ á¬ëá«, çâ® ¨ ¢ ä®à¬ã«¥ (6) ¨§ x4). 54*. ë â®çª¨ A(2; 1; 7) ¨ B (4; 5; 2). ª ª®¬ ®â®è¥¨¨ ¤¥«¨â ®â१®ª AB â®çª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯àאַ© AB á ¯«®áª®áâìî Oyz? 55. â१®ª, ®£à ¨ç¥ë© â®çª ¬¨ A( 1; 8; 3) ¨ B (9; 7; 2), à §¤¥«¥ â®çª ¬¨ C , D, E , F ¯ïâì à ¢ëå ç á⥩. ©â¨ ª®®à¤¨ âë íâ¨å â®ç¥ª. 56. ¯à¥¤¥«¨âì ª®®à¤¨ âë ª®æ®¢ ®â१ª , ª®â®àë© â®çª ¬¨ (2,2) ¨ (1,5) à §¤¥«¥ âà¨ à ¢ë¥ ç áâ¨. 3.
⢥âë
1. )
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1.
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2. ) 0; ¡) 13; ¢) 2; £) 0; ¤) 2 4.
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a(b a)2 .
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a12 a22 a32
a13 a22 a23 a12 a13 a12 a13 a23 = a11 a a a21 a a + a31 a a ; 32 33 32 33 22 23 a33 à §«®¥¨¥ ¯® ¢â®à®¬ã á⮫¡æã :
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a21 a23 a11 a13 a11 a13 a23 = a12 a a + a22 a a a32 a a ; 31 33 31 33 21 23 a33
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a21 a22 a11 a12 a11 a12 a23 = a13 a a a23 a a + a33 a a . 31 32 31 32 21 22 a33 ¡) 4; ¢) sin(
) + sin( ) + sin( ); £) 0.
5.
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ª®««¨¥ àë.
3 1 0).
55
x
6. ¤ ç¨
11.
) (2,3);
12.
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22.
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¡) (2
3), (3,1), (
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6;
¡) 9;
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¢) (
2 1).
; ; 1). 13. (2; 4), ( 2; 2), ( 1; 1). M (1; 3); ¡) N (4; 3). 16. D ( 3; 1). 5 14 2 8 17. ; 2 . 18. .19. D ( 12; 12; 6), ; 10 ; 4 . 2 3 3 3 ~ ~ ~ ! ~a + b , AL ! = jbj ~a + j~aj b . 21. M ( 1; 0), C (0; 2). 20. AM = 2 j~aj + j~bj
14. (1
;
p;
;
3 1);
5 7). 15.
¢) 13;
£)
¢) (1 2
)
61;
t = 0;6. 25. ar
os p2 . 26. 7 27. . 28. ar
os( 0;8). 29. ( 4;
¤) 73. 23.
24.
34. 36. ª § ¨¥
) 22;
30.
) 24;
62;
¡) 162;
¢) 7;
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¢) 373.
200;
; ;
6 12). 30. (
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33.
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¡) 6;
3 3 3). 31.
¤) 129. 2 3
. 32. 16.
¡) 60.
: 㬮¨âì ¢¥ªâ®à® ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠~ a + ~b + ~ = ~0 ~a ¨ ~b. 38. ¨¡® ~ a, ~b ¨ ~ | ¯®¯ à® ®à⮣® «ìë¥ ¢¥ªâ®àë ¥¤¨¨ç®© ¤«¨ë, «¨¡® ~ a = ~b = ~ = ~0. ¢¥ªâ®àë
39.
) (5,1,7);
43.
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7 14
45.
ª § ¨¥
46.
ª § ¨¥
~a = ~0 ~ .
~a ~ ¨ ~b ~ . 47.
¡) (10,2,14); 7);
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p
50.
~ =
p
~ = 1 ; 1 + 2 ; 1 2 4 4 55. C (1; 5; 2), D (3; 2; 1), E (5;
51.
4.
~a ~b + ~b ~ + ~
: 㬮¨âì ᪠«ïà® ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥áâ¢
7. 48. 3. 49. 11.
40. 14. 41. 5. 42. 27.
¢) (20,4,28).
¡) (10,13,19).
p ; p ; 6
5
~a ~b + ~b ~ + ~ ~a ¢¥ªâ®àë
5
5
8
5
~ = 1 ; 2 ; 3 3 1; 0), F (7; 4; 1).
5
. 52.
p
1
. 5 2 3
. 54.
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56. (3
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.
1), (0,8).
¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò1
) ë p ¢¥ªâ®àë ~a = (1; ~1; 0) ¨ ~b = (1; 2; 1). ©â¨ ¢¥ªâ®à ~ ¤«¨ë 2 3, ®à⮣® «ìë© ~a ¨ b ¨ ¯à ¢«¥ë© â ª, çâ® âனª (~a; ~b;~ ) | «¥¢ ï. ~ ¤«¨ë p ¡) ë ¢¥ªâ®àë ~a = (1; 1; 0) ~¨ ~b = (1; 2; 1). ©â¨ ¢¥ªâ®à 14, ª®¬¯« àë© ¢¥ªâ®à ¬ ~a ¨ b, ®à⮣® «ìë© ¢¥ªâ®àã d~ = (2; 1; 1) ~ ) | «¥¢ ï. ¨ ¯à ¢«¥ë© â ª, çâ® âனª (~a; d;~ ~ p ¢) ë ¢¥ªâ®àë ~a =~(2; 1; 1) ¨ b = (0; 1; 1). ©â¨ ¢¥ªâ®à ~ ~¤«¨ë 3, ®à⮣® «ìë© ~a ¨ b ¨ ¯à ¢«¥ë© â ª, çâ® âனª (~a; b;~ ) | ¯à ¢ ï. £) ë p ¢¥ªâ®àë ~a = (2; 1; 1) ¨ ~b = ~(1; 0; 1). ©â¨ ¢¥ªâ®à ~ ¤«¨ë 21, ª®¬¯« àë© ¢¥ªâ®à ¬ ~a ¨ b, ®à⮣® «ìë© ¢¥ªâ®àã ~ ) | «¥¢ ï. d~ = (0; 2; 1) ¨ ¯à ¢«¥ë© â ª, çâ® âனª (~a; d;~ 1.
56
« ¢ 1. ¥ªâ®à ï «£¥¡à
2. ) ©â¨ ¤«¨ã ¡¨áᥪâà¨áë AD âà¥ã£®«ì¨ª ABC á ¢¥àè¨ ¬¨ A(4; 1), B(7; 5) ¨ C ( 4; 7). ¡) ©â¨ ¤«¨ã ¢ëá®âë AE âà¥ã£®«ì¨ª ABC á ¢¥àè¨ ¬¨ A( 1; 1), B (1; 4) ¨ C (5; 7). ¢) ©â¨ ¤«¨ã ¡¨áᥪâà¨áë AD âà¥ã£®«ì¨ª ABC á ¢¥àè¨ ¬¨ A(0; 0), B (3; 4) ¨ C (6; 8). £) ©â¨ ¤«¨ã ¢ëá®âë AE âà¥ã£®«ì¨ª ABC á ¢¥àè¨ ¬¨ A(2; 3), B (3; 4) ¨ C (3; 1). 3. ë ¢¥ªâ®àë ~a, ~b ¨ ~
. ©â¨ ¢¥ªâ®à [~a; [~b;~ ℄℄ (~a;~ )~b: ~ ) ~a = (1; 2; 1), b = (2; 0; 1), ~ = ( 1; 1; 2); ¡) ~a = (1; 0; 2), ~b = (2; 1; 1), ~ = (3; 1; 1); ¢) ~a = ( 1; 2; 1), ~b = (1; 3; 2), ~ = (2; 2; 0); £) ~a = (1; 1; 1), ~b = (1; 2; 1), ~ = (0; 1; 2). 4. ®ª § âì, çâ® ç¥âëॠâ®çª¨ «¥ â ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨: ) A(4; 2; 3), B(1; 1; 4), C (2; 1; 3), D(1; 0; 2); ¡) A(1; 4; 1), B(1; 1; 2), C ( 1; 2; 3), D(0; 2; 1); ¢) A(1; 1; 1), B(2; 1; 0), C ( 1; 1; 3), D(0; 1; 2); £) A(2; 1; 1), B( 1; 4; 1), C (1; 1; 0), D(2; 4; 2). 5. ©â¨ ¯à®¥ªæ¨î ¢¥ªâ®à ~ ¯«®áª®áâì, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàãî ¢¥ªâ®àã ~a: ) ~a = (1; 1; 0), ~ = (0; 4; 3); ¡) ~a = (1; 2; 1), ~ = (4; 2; 4); ¢) ~a = (1; 2; 3), ~ = ( 1; 4; 7); £) ~a = (1; 1; 2), ~ = (4; 0; 7).
« ¢ 2
Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®á⨠¤ ®© £« ¢¥ ¨§ãç îâáï ¯àï¬ë¥ ¯«®áª®á⨠¨ ¯«®áª®á⨠¨ ¯àï¬ë¥ ¢ ¯à®áâà á⢥. áᬠâਢ îâáï à §«¨çë¥ ¢¨¤ë ãà ¢¥¨© ¯àï¬ëå ¨ ¯«®áª®á⥩ (¯à¨ í⮬ ®á®¢®¥ ¢¨¬ ¨¥ 㤥«ï¥âáï ª®®à¤¨ âë¬ ¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨ï¬), â ª¥ ¢®¯à®áë ® ¢§ ¨¬®¬ à ᯮ«®¥¨¨ ¯àï¬ëå ¨ ¯«®áª®á⥩, ®¡ 㣫 å ¬¥¤ã ¨¬¨ ¨ ® à ááâ®ï¨¨ ®â â®çª¨ ¤® ¯àאַ© ¨«¨ ¯«®áª®áâ¨. x7.
Ǒàï¬ ï ¯«®áª®áâ¨
§ã票¥ ¯àאַ© ¯«®áª®á⨠®á®¢ ® ¯®ïâ¨ïå ª®®à¤¨ ⮣® ¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯àאַ©. Ǒ।¢ à¨â¥«ì® ¬ë ®§ ª®¬¨¬áï á í⨬¨ ¯®ïâ¨ï¬¨ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© «¨¨¨. 1.
®®à¤¨ ⮥ ¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï «¨¨¨
¡®§ 稬 ç¥à¥§ F (x; y) ¢ëà ¥¨¥, ᮤ¥à 饥 ¯¥à¥¬¥ë¥ x ¨ y, ª®áâ âë, § ª¨ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¤¥©á⢨© ¨ í«¥¬¥â àëå äãªæ¨©. 2 ¯à¨¬¥à, p ¢ ª ç¥á⢥ F (x; y) ¬®® ¢§ïâì ¢ëà ¥¨ï x + 2y 1, x + y2 2 x y, sin(x + ), ln x + y ¨ â.¤. Ǒãáâì ¯«®áª®á⨠§ 䨪á¨à®¢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. ¯à¥¤¥«¥¨¥. à ¢¥¨¥ F (x; y ) = 0 §ë¢ ¥âáï ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬ «¨¨¨ `, ¥á«¨ â®çª ¯«®áª®á⨠«¥¨â ` ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥¥ ª®®à¤¨ âë 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î F (x; y) = 0. ®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯«®áª®áâ¨, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå 㤮¢«¥â¢®-
58
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
àïîâ ãà ¢¥¨î F (x; y) = 0, §ë¢ ¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ í⮣® ãà ¢¥¨ï. Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à. Ǒãáâì ¯«®áª®á⨠§ ¤ ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. ª ç¥á⢥ «¨¨¨ ` à áᬮâਬ ®ªàã®áâì à ¤¨ãá r á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ C (a; b). Ǒãáâì M (x; y) | ¯à®¨§¢®«ì ï â®çª ¯«®áª®áâ¨. á®, çâ® M 2 ` ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ jCM j = r, â.¥. p (x a)2 + (y b)2 = r: (1) «¥¤®¢ ⥫ì®, (1) | ãà ¢¥¨¥ ®ªàã®á⨠`. Ǒà ¢¤ , ®¡ëç® ¯®¤ ãà ¢¥¨¥¬ ®ªàã®á⨠¯®¨¬ îâ ¤à㣮¥ ãà ¢¥¨¥, à ¢®á¨«ì®¥ (1), | ¨¬¥® ãà ¢¥¨¥ (x a)2 + (y b)2 = r2 . ¯à¨¢¥¤¥®¬ ¯à¨¬¥à¥ ¯® ¤ ®© «¨¨¨ ©¤¥® ¥¥ ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥. áᬮâਬ ¯à¨¬¥à ®¡à ⮩ § ¤ ç¨, ª®£¤ ¯® ãà ¢¥¨î ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© ®¡à §. áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ x2 + y2 2x + 4y = 0. Ǒ८¡à §ã¥¬ ¥£® «¥¢ãî ç áâì, ¨á¯®«ì§ãï ¬¥â®¤ ¢ë¤¥«¥¨ï ¯®«®£® ª¢ ¤à â . ¬¥¥¬ (x2 2x + 1) 1 + (y2 4y + 4) 4 = 0 ¨«¨ (x 1)2 +(y 2)2 = 5. p«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ®ªàã®áâì à ¤¨ãá 5 á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ (1,2). Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª ¯®ïâ¨î ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© «¨¨¨. Ǒ।¯®«®¨¬ ¯®-¯à¥¥¬ã, çâ® ¢ ¯«®áª®á⨠§ 䨪á¨à®¢ ¥ª®â®à ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. áᬮâਬ ¥ª®â®àãî «¨¨î `. Ǒ।áâ ¢¨¬ ¥¥ ᥡ¥ ª ª âà ¥ªâ®à¨î ¤¢¨¥¨ï â®çª¨ M (x; y). Ǒ®áª®«ìªã íâ â®çª ¤¢¨¥âáï, ¥¥ ª®®à¤¨ âë á â¥ç¥¨¥¬ ¢à¥¬¥¨ ¬¥ïîâáï, â.¥. ïîâáï äãªæ¨ï¬¨ ¢à¥¬¥¨. Ǒãáâì ª®®à¤¨ â x ¥áâì äãªæ¨ï f (t), ª®®à¤¨ â y | äãªæ¨ï g(t). ®£¤ á¨á⥬ ãà ¢¥¨© x = f (t); (2) y = g(t) §ë¢ ¥âáï á¨á⥬®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© (¨«¨ ¯à®áâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ) «¨¨¨ `. Ǒਠí⮬ ¥áãé¥á⢥®, ¯®¨¬ ¥âáï «¨ t ª ª ¢à¥¬ï ¨«¨ ª ª ¯à®¨§¢®«ìë© ¯ à ¬¥âà, ¯à¨¨¬ î騩 ¢ ª ç¥á⢥ § 票© ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« (¬ë ç «¨ á ¨â¥à¯à¥â 樨 t ª ª ¢à¥¬¥¨ ¨áª«îç¨â¥«ì® ¤«ï ¡®«ì襩 £«ï¤®áâ¨). Ǒ¥à¥¬¥ ï t §ë¢ ¥âáï ¯ à ¬¥â஬. ¡« áâì ¨§¬¥¥¨ï t ¬®¥â ¥ ᮢ¯ ¤ âì á ¬®¥á⢮¬ ¢á¥å ¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥« R , ®£à ¨ç¨¢ âìáï ¥ª®â®àë¬ ¥£® ¯à®¬¥ã⪮¬. Ǒ®¤ç¥àª¥¬, çâ® ¥á«¨ á¨á⥬ (2) ï¥âáï á¨á⥬®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¥ª®â®à®© «¨¨¨ `, â® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ M (x; y) ` áãé¥áâ¢ã¥â § 票¥ t, ¯à¨ ¤«¥ 饥
59
x
7. Ǒàï¬ ï ¯«®áª®áâ¨
®¡« á⨠¨§¬¥¥¨ï ¯ à ¬¥âà , â ª®¥, çâ® ¢ë¯®«¥ë à ¢¥á⢠(2). ®¡à â®, ¥á«¨ t ¯à¨ ¤«¥¨â ®¡« á⨠¨§¬¥¥¨ï ¯ à ¬¥âà , â® â®çª , ª®®à¤¨ âë ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«¥ë à ¢¥á⢠¬¨ (2), «¥¨â `. ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à á®áâ ¢¨¬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ®ªàã®áâ¨ à ¤¨ãá r á æ¥â஬ ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â (¢ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â). ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥âà ¢®§ì¬¥¬ 㣮«, ®¡à §ã¥¬ë© à ¤¨ãᮬ-¢¥ªâ®à®¬ ⥪ã饩 â®çª¨ M (x; y) ®ªàã®á⨠¨ ¯®«®¨â¥«ìë¬ ¯à ¢«¥¨¥¬ ®á¨ ¡áæ¨áá, ®âáç¨âë¢ ¥¬ë© ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨ (à¨á. 1). ®£¤ x = r os t; (3) y = r sin t: ë ¯®ª § «¨, çâ® ¥á«¨ â®çª «¥¨â ®ªàã®áâ¨, â® ¥¥ ª®®à¤¨ âë 㤮¢«¥â¢®àïîâ á¨á⥬¥ ãà ¢¥¨© (3). ¡à â®, ¥á«¨ ª®®à¤¨ âë (x; y) ¥ª®â®à®© â®çª¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ í⮩ á¨á⥬¥ ãà ¢¥¨©, â®, ®ç¥¢¨¤®, x2 + y2 = r2 ¨ ¯®â®¬ã â®çª «¥¨â ®ªàã®áâ¨ à ¤¨ãá r á æ¥â஬ ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â. «¥¤®¢ ⥫ì®, (3) | ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï 襩 ®ªàã®áâ¨. â ª, ¯® § ¤ ®© «¨¨¨ ` ¬ë á®áâ ¢¨«¨ ¥¥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï. y
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6 > r t
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sM (x; y) -x
¨á. 1 Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à à¥è¥¨ï ®¡à ⮩ § ¤ ç¨. áᬮâਬ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© x = 1 t; (4) y = 2 + t: ¡¥¤¨¬áï ¢ ⮬, çâ® ®¨ ®¯à¥¤¥«ïîâ ¯àï¬ãî. Ǒãáâì â®çª M0 á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x0 ; y0) ¯à¨ ¤«¥¨â £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¬ã ®¡à §ã á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (4). â® § ç¨â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® t0 â ª®¥, çâ® x0 = 1 t0 ¨ y0 = 2+ t0. ª« ¤ë¢ ï ¤¢ ¯®á«¥¤¨å à ¢¥á⢠, ¨¬¥¥¬ x0 + y0 = 3 ¨«¨
60
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
y0 = x0 + 3. â ª, ª®®à¤¨ âë â®çª¨ M0 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î y = x + 3, ª®â®à®¥, ª ª ¨§¢¥áâ® ¨§ 誮«ì®£® ªãàá , § ¤ ¥â ¯àï¬ãî
(á¬. â ª¥ ⥮६ã 1 ¨¥). ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡ ï â®çª , ª®®à¤¨ âë ª®â®à®© 㤮¢«¥â¢®àïîâ á¨á⥬¥ (4), «¥¨â ¯àאַ© y = x + 3. ¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ®¡à ⮥. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ (x0 ; y0) | à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï y = x + 3, â®, ¢§ï¢ t0 = x0 + 1, ¬ë ¯®«ã稬, çâ® x0 = 1 + t0 ¨ y0 = 2 + t0. â ª, £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (4) ï¥âáï ¯àï¬ ï y = x + 3. áᬮâà¥ë© ¢ëè¥ á¯®á®¡ ¯¥à¥å®¤ ®â ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ª ª®®à¤¨ â®¬ã §ë¢ ¥âáï . â ª®®à¤¨ ⮣® ãà ¢¥¨ï ¬®® ¯¥à¥©â¨ ª ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ á ¯®¬®éìî . Ǒਢ¥¤¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¯à¨¬¥à. à ¢¥¨¥ x2 + y2 = r2 ®¯à¥¤¥«ï¥â, ª ª ¬ë § ¥¬, ®ªàã®áâì à ¤¨ãá r á æ¥â஬ ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â. ¢¥¤¥¬ ¯ à ¬¥âà t á ¯®¬®éìî à ¢¥á⢠x = r os t. ®£¤ r2 os2 t + y2 = r2 . «¥¤®¢ ⥫ì®, y = r sin t. Ǒ®áª®«ìªã sin( t) = sin t, os( t) = os t, ¢ á«ãç ¥ y = r sin t ¬ë ¬®¥¬ § ¬¥¨âì ¯ à ¬¥âà t t. Ǒ®«ãç ¥¬ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© (3). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢á类¥ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ª®®à¤¨ ⮣® ãà ¢¥¨ï ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ¨ á¨áâ¥¬ë ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï ¨ ¢ ®¡à ⮬. ¨áª«î票¥¬ ¯ à ¬¥âà
¢¢¥¤¥¨ï ¯ à ¬¥âà
2.
¨¤ë ãà ¢¥¨© ¯àאַ©
¯à¥¤¥«¥¨¥.
à ¢¥¨¥ Ax + By + C = 0
(5) §ë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á ¤¢ã¬ï ¥¨§¢¥áâ묨, ¥á«¨ A2 + B 2 6= 0. Ǒ®á«¥¤¥¥ ¥à ¢¥á⢮ ®§ ç ¥â, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë A ¨ B ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ®¤®¢à¥¬¥® à ¢ë ã«î. ¥®à¥¬ 1. Ǒãáâì ¯«®áª®á⨠§ ¤ ¯à®¨§¢®«ì ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. ®£¤ ¢áïª ï ¯àï¬ ï ¯«®áª®á⨠¬®¥â ¡ëâì § ¤ ãà ¢¥¨¥¬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á ¤¢ã¬ï ¥¨§¢¥áâ묨, ¨, ®¡à â®, ¢á类¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á ¤¢ã¬ï ¥¨§¢¥áâ묨 ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯àï¬ãî. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì ¯«®áª®á⨠§ ¤ ë ¯àï¬ ï ` ¨ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â (O; ~b1; ~b2). 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¬ë § ¥¬ ª®®à¤¨ âë (¢ í⮩ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â) ¥ª®â®à®© â®çª¨ M0, «¥ 饩 ¯àאַ©, ¨ ¥ª®â®à®£® ¥ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à ~a, ª®««¨¥ ண® ¯àאַ©: M0(x0 ; y0), ~a = (r; s) (à¨á. 2).
61
x
7. Ǒàï¬ ï ¯«®áª®áâ¨
áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã ¯«®áª®á⨠(x; y). 祢¨¤®, çâ® ! k ~aM. Ǒਬ¥¨¬ 2 ` ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ M0 M ªà¨â¥à¨© ª®««¨¥ à®á⨠¢¥ªâ®à®¢, ¨§¢¥áâë© ¨§ 誮«ì®£® ªãàá (á¬. á. 21). ! = t~a ¤«ï ¥ª®â®à®£® t.
᫨ íâ® ¢¥ªâ®à®¥ à ¢¥á⢮ ¬¥¥¬ M0M § ¯¨á âì ¢ ª®®à¤¨ â å, â® ¯®«ã稬 x x0 = tr, y y0 = ts ¨«¨ M
x x0 r
=y
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y0 :
(6)
ª¨¬ ®¡à §®¬, â®çª M ¯à¨ ¤«¥¨â ¯àאַ© ` ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥¥ ª®®à¤¨ âë 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î (6). â® ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯àאַ© ¯«®áª®áâ¨. Ǒ८¡à §ãï ãà ¢¥¨¥ (6), ¯®«ãç ¥¬ sx ry + ( sx0 + ry0 ) = 0. â® ¨ ¥áâì ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 (ª®íää¨æ¨¥âë s ¨ r ®¤®¢à¥¬¥® ¢ ã«ì ¥ ®¡à é îâáï, ¯®áª®«ìªã ¢¥ªâ®à ~a = (r; s) | ¥ã«¥¢®©). Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ â¥®à¥¬ë ¤®ª § ®.
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r M0(x0 ; y0) R ~a = (r; s) Rr M (x; y) -
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¨á. 2
`
®ª ¥¬ ¢â®à®¥ ã⢥थ¨¥. áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ (5), £¤¥ A 6= 0 ¨«¨ B 6= 0. ®§ì¬¥¬ ª ª®¥-¨¡ã¤ì à¥è¥¨¥ (x0 ; y0) í⮣® ãà ¢¥¨ï. ®£¤ , à §ã¬¥¥âáï, Ax0 + By0 + C = 0. ëç⥬ ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¨§ ãà ¢¥¨ï (5). Ǒ®«ã稬 A(x x0 ) + B (y y0 ) = 0: (7) á®, çâ® ãà ¢¥¨ï (5) ¨ (7) ¨¬¥îâ ®¤® ¨ â® ¥ ¬®¥á⢮ à¥è¥¨©. áᬮâਬ ⥯¥àì ¯àï¬ãî `, ª®â®à ï ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ â®çªã M0(x0 ; y0) ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢¥ªâ®à ~a = ( B; A). ¯¨è¥¬ ¤«ï í⮩ ¯àאַ© ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ (6): x x0 y y0 = A : B
62
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
Ǒ८¡à §®¢ ¢ íâ® à ¢¥á⢮, ¬ë ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ (7). «¥¤®¢ ⥫ì®, ãà ¢¥¨¥ (7), ª ª ¨ ãà ¢¥¨¥ (5), ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯àï¬ãî `. ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . à ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , § ¤ î饥 ¯àï¬ãî, §ë¢ ¥âáï ¥¥ ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬. àï¤ã á í⨬ â¥à¬¨®¬ ¢ ⮬ ¥ á¬ëá«¥ ç á⮠㯮âॡ«ïîâ â¥à¬¨ ®¡é¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ©. ¤¥« ¥¬ ¥áª®«ìª® § ¬¥ç ¨© ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ⥮६ë 1. ®-¯¥à¢ëå, ®â¬¥â¨¬, çâ® ¢ ¯à®æ¥áᥠ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 1 ãáâ ®¢«¥ á«¥¤ãî騩 ¯®«¥§ë© ä ªâ: ¥á«¨ ¯àï¬ ï ` § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ Ax + By + C = 0, â® ¢¥ªâ®à ( B; A) ª®««¨¥ ॠ`. á«ãç ¥ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ (A; B) ¨ ( B; A) à ¢® AB + BA = 0, â.¥. í⨠¢¥ªâ®àë ®à⮣® «ìë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ¯àï¬ ï § ¤ ¢ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ãà ¢¥¨¥¬ Ax By C , â® ¢¥ªâ®à A; B ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïॠª í⮩ ¯àאַ©.
+
+ =0
(
)
«¥¤ãî騥 ¤¢ § ¬¥ç ¨ï ®â®áïâáï ª à ¢¥áâ¢ã (6). ¤¨ ¨§ § ¬¥ ⥫¥© ¢ í⮬ à ¢¥á⢥ (® ¥ ®¡ !) ¬®¥â ¡ëâì à ¢¥ ã«î. í⮬ á«ãç ¥ à ¢¥á⢮ (6) ¯®¨¬ ¥âáï ª ª ¯à®¯®àæ¨ï. ª, ãà ¢¥¨¥ x 1 y 2 1 = 0 ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¤à㣮© ᯮᮡ § ¯¨á¨ ãà ¢¥¨ï (x 1) 0 = (y 2) 1; ¨ ¯®â®¬ã § ¤ ¥â ¯àï¬ãî y 2 = 0. á®, çâ® ãà ¢¥¨¥ (6) à ¢®á¨«ì® ãà ¢¥¨î (x x0)s (y y0)r = 0: «¥¤®¢ ⥫ì®, ãà ¢¥¨¥ (6) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ x
x0 y y0 = 0; r s
(8)
ª®â®à®¥ â ª¥ §ë¢ îâ ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯àאַ© ¯«®áª®áâ¨.
x
7. Ǒàï¬ ï ¯«®áª®áâ¨
63
¥á«®® ¯®ïâì, çâ® ¯àï¬ ï á ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬ Ax + By + C = 0 ¯ à ««¥«ì ®á¨ Oy ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ B = 0.
᫨ B 6= 0, â® ãà ¢¥¨¥ Ax + By + C = 0 ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ A C y= x : B B Ǒ®«®¨¬ k = BA , b = BC . ®£¤ ¯®á«¥¤¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤ y = kx + b: (9) â® ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¯àאַ© á 㣫®¢ë¬ ª®íää¨æ¨¥â®¬. ¬¥® íâ® ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© à áᬠâਢ ¥âáï ¢ 誮«ì®¬ ªãàᥠ¬ ⥬ ⨪¨, ¨§ ª®â®à®£® ¨§¢¥áâ® â ª¥, çâ® ¥á«¨ ¯àï¬ ï ` § ¤ (¢ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â) ãà ¢¥¨¥¬ (9), â® k = tg ', £¤¥ ' | 㣮« ¬¥¤ã ¯®«®¨â¥«ìë¬ ¯à ¢«¥¨¥¬ ®á¨ Ox ¨ `. Ǒ®¤ç¥àª¥¬, çâ® ãà ¢¥¨¥ á 㣫®¢ë¬ ª®íää¨æ¨¥â®¬ áãé¥áâ¢ã¥â ¥ ¤«ï ¢á¥å ¯àï¬ëå, ⮫쪮 ¤«ï ¯àï¬ëå, ¥ ¯ à ««¥«ìëå ®á¨ ®à¤¨ â.
᫨ ¯àï¬ ï § ¤ ãà ¢¥¨¥¬ (9) ¨ ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ â®çªã á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x0 ; y0), â® y0 = kx0 + b, ®âªã¤ b = y0 kx0. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¯à ¢ãî ç áâì ¯®á«¥¤¥£® à ¢¥á⢠¢¬¥áâ® b ¢ ãà ¢¥¨¥ (9), ¯®á«¥ ®ç¥¢¨¤ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯®«ãç ¥¬ ¥é¥ ®¤ã à §®¢¨¤®áâì ãà ¢¥¨ï ¯àאַ©: y y0 = k(x x0 ): (10) Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨ï¬ ¯àאַ©. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¨á⥬ ãà ¢¥¨© x = x0 + rt; (11) y = y0 + st §ë¢ ¥âáï á¨á⥬®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® ⨯ (¨«¨ ¯à®áâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ¯¥à¢®£® ⨯ ), ¥á«¨ r2 + s2 6= 0. á«®¢¨¥ r2 + s2 6= 0 ®§ ç ¥â, çâ® ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® ¨§ ç¨á¥« r ¨ s ®â«¨ç® ®â 0. ¥®à¥¬ 2. Ǒãáâì ¯«®áª®á⨠§ ¤ ¯à®¨§¢®«ì ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. ®£¤ ¢áïª ï ¯àï¬ ï ¯«®áª®á⨠¬®¥â ¡ëâì § ¤ á¨á⥬®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® ⨯ , ¨, ®¡à â®, «î¡ ï
64
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
á¨á⥬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® ⨯ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯àï¬ãî.
®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì ¯«®áª®á⨠§ ¤ ë ¯àï¬ ï ` ¨ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â (O; ~b1; ~b2). 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¬ë § ¥¬ ª®®à¤¨ âë (¢ í⮩ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â) ¥ª®â®à®© â®çª¨ M0, «¥ 饩 ¯àאַ©, ¨ ¥ª®â®à®£® ¥ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à ~a, ª®««¨¥ ண® ¯àאַ©: M0(x0 ; y0), ~a = (r; s) (à¨á. 2). áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã ¯«®áª®á⨠M (x; y). ! k ~a. ®á¯®«ì祢¨¤®, çâ® M 2 ` ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ M0M §ã¥¬áï, ª ª ¨ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 1, ªà¨â¥à¨¥¬ ! kª®««¨¥ à®á⨠¢¥ªâ®à®¢ (á¬. á. 21): ¯®áª®«ìªã ~a 6= ~0, ãá«®¢¨¥ M0 M ~a à ¢®á¨«ì® ! = t~a. ᯨ襬 áãé¥á⢮¢ ¨î â ª®£® ç¨á« t, çâ® M0M ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¢ ª®®à¤¨ â å. Ǒ®«ã稬 x x0 = rt; y y0 = st; çâ® íª¢¨¢ «¥â® á¨á⥬¥ à ¢¥á⢠(11). Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ ⥮६ë 2 ¤®ª § ®. ®ª ¥¬ ¢â®à®¥ ã⢥थ¨¥. Ǒãáâì ¤ á¨á⥬ (11). áᬮâਬ ¯àï¬ãî `, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ â®çªã M0(x0 ; y0) ¯ à ««¥«ì® ¢¥ªâ®àã ~a = (r; s).
᫨ ¤«ï í⮩ ¯àאַ© ¯¨á âì á¨á⥬㠯 à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© â ª, ª ª íâ® ¡ë«® ᤥ« ® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¡§ æ¥, â® ¬ë ¯®«ã稬 á¨á⥬ã (11). «¥¤®¢ ⥫ì®, (11) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯àï¬ãî `. ¥®à¥¬ 2 ¤®ª § . ¨á⥬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® ⨯ , § ¤ îé ï ¯àï¬ãî, §ë¢ ¥âáï á¨á⥬®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© (¨«¨ ¯à®áâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ) í⮩ ¯àאַ©. Ǒ।¥ 祬 ¯¥à¥å®¤¨âì ª ¯à¨¬¥à ¬, 㪠¥¬ ¥é¥ ¤¢ ¢¨¤ ãà ¢¥¨© ¯àאַ©. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ë § ¥¬ ¤¢¥ à §«¨çë¥ â®çª¨, ! ¯à¨ ¤«¥ 騥 ¯àאַ©: M0(x0 ; y0) ¨ M1(x1 ; y1). ®£¤ ¢¥ªâ®à M0 M1 = (x1 x0 ; y1 y0 ) ª®««¨¥ ॠ¯àאַ© ¨ ®â«¨ç¥ ®â ã«ì¢¥ªâ®à . Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¥£® ª®®à¤¨ âë ¢ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ©, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ãà ¢¥¨¥, ª®â®à®¥ §ë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¯àאַ© ¯® ¤¢ã¬ â®çª ¬: x x0 y y0 = : (12) x1 x0 y1 y0 ª ¨ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ©, íâ® ãà ¢¥¨¥ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¢â®à®£® ¯®à浪 , ¨¬¥® | ¢ ¢¨¤¥ x x0 y y0 (13) x1 x0 y1 y0 = 0:
65
x
7. Ǒàï¬ ï ¯«®áª®áâ¨
Ǒãáâì ⥯¥àì ` | ¯àï¬ ï ¯«®áª®áâ¨, ¥ ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â ¨ ¥ ¯ à ««¥«ì ï ¨ ®¤®© ¨§ ®á¥© ª®®à¤¨ â. ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ¥ã«¥¢ë¥ ç¨á« a ¨ b, çâ® ¯àï¬ ï ` ¯¥à¥á¥ª ¥â ®áì Ox ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (a; 0), ®áì Oy | ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (0; b) (à¨á. 3). ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© ` ¯® í⨬ ¤¢ã¬ â®çª ¬: x a y 0 0 a = b 0; ¨«¨ b(x a) = ay. Ǒ®á«¥ ®ç¥¢¨¤ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨¬¥¥¬ bx + ay = ab. §¤¥«¨¬ ®¡¥ ç á⨠¯®á«¥¤¥£® à ¢¥á⢠ab (¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ⥬, çâ® ç¨á« a ¨ b ®â«¨çë ®â ã«ï). Ǒ®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ x y + = 1; (14) a b ª®â®à®¥ §ë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¯àאַ© ¢ ®â१ª å. â®â â¥à¬¨ ®¡êïáï¥âáï ⥬, çâ® ¯ à ¬¥âàë a ¨ b, 䨣ãà¨àãî騥 ¢ ãà ¢¥¨¨ (14), áãâì, á â®ç®áâìî ¤® § ª , ¤«¨ë ®â१ª®¢, ®âᥪ ¥¬ëå ¯àאַ© ®áïå ª®®à¤¨ â. à ¢¥¨¥ ¯àאַ© ¢ ®â१ª å ®á®¡¥® ¯®«¥§® ¯à¨ à¥è¥¨¨ § ¤ ç, ¢ ª®â®àëå 䨣ãà¨àã¥â ¯«®é ¤ì âà¥ã£®«ì¨ª , ®âᥪ ¥¬®£® ¯àאַ© ®â ®á¥© ª®®à¤¨ â: ïá®, çâ® ¥á«¨ ¯àï¬ ï § ¤ ãà ¢¥¨¥¬ (14), â® íâ ¯«®é ¤ì à ¢ jab2 j (á¬. § ¤ çã 5 á. 110). y6
s
(a; 0)
`
s(0; b) sO x-
¨á. 3 ¯à¥¤¥«¥¨¥. î¡®© ¥ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à, ª®««¨¥ àë© ¤ ®© ¯àאַ©, §ë¢ ¥âáï ¥¥ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬. î¡®© ¥ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë© ¯àאַ©, §ë¢ ¥âáï ¥¥ ®à¬ «ìë¬ ¢¥ªâ®à®¬. § í⮣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¨¤®, çâ® ª ª ¯à ¢«ïî騩, â ª ¨ ®à¬ «ìë© ¢¥ªâ®à ¤«ï ¤ ®© ¯àאַ© ®¯à¥¤¥«¥ë ¥®¤®§ ç®. Ǒàï-
66
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
¬ ï ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® (ª®««¨¥ àëå ¤à㣠¤àã£ã) ¯à ¢«ïîé¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ¡¥áª®¥ç® ¬®£® (ª®««¨¥ àëå ¤à㣠¤àã£ã) ®à¬ «ìëå ¢¥ªâ®à®¢. § ᪠§ ®£® ¢ëè¥ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¥á«¨ ¯àï¬ ï § ¤ «î¡ë¬ ¨§ ãà ¢¥¨© (5) ¨ (7), â® ¢¥ªâ®à á ª®®à¤¨ â ¬¨ ( B; A) ï¥âáï ¥¥ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬, ¢ á«ãç ¥ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à á ª®®à¤¨ â ¬¨ (A; B ) ï¥âáï ¥¥ ®à¬ «ìë¬ ¢¥ªâ®à®¬; ¥á«¨ ¯àï¬ ï § ¤ «î¡ë¬ ¨§ ãà ¢¥¨© (6), (8) ¨ (11), â® ¢¥ªâ®à á ª®®à¤¨ â ¬¨ (r; s) ï¥âáï ¥¥ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬; ¥á«¨ ¯àï¬ ï § ¤ «î¡ë¬ ¨§ ãà ¢¥¨© (6), (7), (8), (10), (11), (12) ¨ (13), â® â®çª á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x0 ; y0) ¯à¨ ¤«¥¨â ¯àאַ© (ï¥âáï ¥¥ ç «ì®© â®çª®© ). Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥àë ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤®£® ¢¨¤ ãà ¢¥¨ï ¯àאַ© ª ¤à㣮¬ã. Ǒãáâì ¯àï¬ ï ` § ¤ ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬ 2x y + 3 = 0. ©¤¥¬ ¥¥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï. «ï í⮣® ¥®¡å®¤¨¬® § âì ª®®à¤¨ âë å®âï ¡ë ®¤®© â®çª¨ ¯àאַ© ¨ ª®®à¤¨ âë ¥¥ ¯à ¢«ïî饣® ¢¥ªâ®à . ®®à¤¨ âë «î¡®© â®çª¨, ¯à¨ ¤«¥ 饩 ¯àאַ©, ïîâáï à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï 2x y +3 = 0. Ǒà¨à ¢¨¢ ï, ¯à¨¬¥à, x ª 1, ¯®«ãç ¥¬ y = 5. ª¨¬ ®¡à §®¬, £®¤¨âáï â®çª M0 (1; 5). ᨫã ᤥ« ®£® ¢ëè¥ § ¬¥ç ¨ï ¢ ª ç¥á⢥ ¯à ¢«ïî饣® ¢¥ªâ®à ¬®® ¢§ïâì ¢¥ªâ®à (1,2). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤ ®© ¯àאַ© ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ x = 1 + t; y = 5 + 2t: ⬥⨬, çâ® ¬ë ¬®£«¨ ¡ë ©â¨ ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ¯àאַ© ` ¨ ¯®-¤à㣮¬ã. ¨¬¥®, ©¤¥¬ ¥é¥ ®¤ã â®çªã í⮩ ¯àאַ©. Ǒ®« £ ï ¢ ãà ¢¥¨¨ 2x y + 3 = 0, ¯à¨¬¥à, y = 1, ¯®«ãç ¥¬ x = 1. «¥¤®¢ ⥫ì®, â®çª M1( 1; 1) ¯à¨ ¤«¥¨â ¯àאַ©. á®, çâ® ¢¥ª! â®à M0M1 = ( 2; 4) ¡ã¤¥â ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ 襩 ¯àאַ©. Ǒ®í⮬ã á¨á⥬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© x = 1 2t; y = 1 4t â ª¥ § ¤ ¥â ¯àï¬ãî `. ã ¥ § ¤ çã ¬®® à¥è¨âì ¨ ä®à¬ «ì®, ¥ ¯à¨¡¥£ ï ª £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à § ¬ (â.¥. ¥ 㯮¬¨ ï ® â®çª¥, ¯à¨ ¤«¥ 饩 ¯àאַ©, ¨ ® ¥¥ ¯à ¢«ïî饬 ¢¥ªâ®à¥). ¨¬¥®, ¯®«®¨¬
67
x
7. Ǒàï¬ ï ¯«®áª®áâ¨
x = t. ®£¤ ¨§ ãà ¢¥¨ï 2x y + 3 = 0 ¨¬¥¥¬ 2t y + 3 = 0, â.¥. y = 2t + 3. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯àאַ© ` ¬®-
® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
= t; = 2 + 3t: â®â ä®à¬ «ìë© á¯®á®¡ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ §ë¢ ¥âáï . ⬥⨬, çâ® ¬ë ¯®«ã稫¨ âà¨ à §ëå ®â¢¥â , ® ¢á¥ ®¨ ¯à ¢¨«ìë¥ | ¬ë 諨 âà¨ à §«¨çëå ¢¨¤ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ®¤®© ¨ ⮩ ¥ ¯àאַ©. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯àאַ© ®¯à¥¤¥«¥ë ¥®¤®§ ç® (ª ª, ¢¯à®ç¥¬, ¨ ¥¥ ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥). áᬮâਬ ®¡à âãî § ¤ çã. Ǒãáâì ¯àï¬ ï ` § ¤ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ x = 1 2t; y = 2 + 3t: ©¤¥¬ ¥¥ ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥. á®, çâ® â®çª (1,2) ¯à¨ ¤«¥¨â ¯àאַ©, ¢¥ªâ®à ( 2; 3) ï¥âáï ¥¥ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬. Ǒ®í⮬㠬®® áà §ã ¯¨á âì ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© `: x 1 y 2 2 = 3 : Ǒ®á«¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨¬¥¥¬ 3(x 1)+2(y 2) = 0 ¨«¨ 3x +2y 7 = 0. âã § ¤ çã â ª¥ ¬®® à¥è¨âì ä®à¬ «ì®, ¥ ¯à¨¡¥£ ï ª £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à § ¬. ¬®¨¬ ãà ¢¥¨¥ x = 1 2t 3, ãà ¢¥¨¥ y = 2 + 3t 2 ¨ á«®¨¬ ¯®«ãç¥ë¥ ãà ¢¥¨ï. Ǒ®«ã稬 3x + 2y = 7 ¨«¨ 3x + 2y 7 = 0. ª®© ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï §ë¢ ¥âáï . x y
¬¥â®¤®¬ ¢¢¥¤¥-
¨ï ¯ à ¬¥âà
¬¥â®¤®¬ ¨áª«î-
ç¥¨ï ¯ à ¬¥âà
3.
§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ ¤¢ãå ¯àï¬ëå
áᬮâਬ á«¥¤ãî騩 ¢®¯à®á: ª ª ¯® ãà ¢¥¨ï¬ ¤¢ãå ¯àï¬ëå ®¯à¥¤¥«¨âì ¢§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ íâ¨å ¯àï¬ëå, â.¥. ¢ëïá¨âì, ¯ à ««¥«ìë ®¨, ¯¥à¥á¥ª îâáï ¨«¨ ᮢ¯ ¤ îâ? ⢥⠥£® ¤ ¥â ¥®à¥¬ 3. Ǒãáâì ¯àï¬ ï `1 ¨¬¥¥â ãà ¢¥¨¥ A1 x + B1 y + C1 = 0, ¯àï¬ ï `2 | ãà ¢¥¨¥ A2 x + B2 y + C2 = 0. 1)
`1 ¨ `2 ¯¥à¥á¥ª îâáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤
2)
A `1 ¨ `2 ¯ à ««¥«ìë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ 1 A2
A1 A2
6= BB1 ; 2
= BB1 6= CC1 ; 2
2
68
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
3)
`1 ¨ `2 ᮢ¯ ¤ îâ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤
A1 A2
= BB12 = CC21 .
áᬮâਬ á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© A1 x + B1 y + C1 = 0; (15) A2 x + B2 y + C2 = 0: á®, çâ® ¯àï¬ë¥ `1 ¨ `2 ¯¥à¥á¥ª îâáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ íâ á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥; ¯ à ««¥«ìë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨©; ᮢ¯ ¤ îâ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©. áᬮâਬ âਠá«ãç ï. A1 B1 «ãç © 1: 6= . â® ¥à ¢¥á⢮ à ¢®á¨«ì® ⮬ã, çâ® A2 B2 ®ª § ⥫ìá⢮.
A1 A2
B1 6= 0: B2
ᨫã ⥮६ë 1 ¨§ x1 á¨á⥬ (15) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, â.¥. ¯àï¬ë¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï. A1 B1 C1 «ãç © 2: = 6= . ⨠ᮮâ®è¥¨ï à ¢®á¨«ìë ⮬ã, A2 B2 C2 çâ® A1 B1 = 0; C1 B1 6= 0: A2 B2 C2 B2 ¡¥¤¨¬áï, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯àï¬ë¥ ¯ à ««¥«ìë. Ǒ®«®¨¬ AA21 = B1 = t. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® á¨á⥬ (15) ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥ (x0 ; y0), â.¥. B2
+ tB2y0 + C1 = 0; + B2y0 + C2 = 0: ¬®¨¬ ¢â®à®¥ à ¢¥á⢮ t ¨ á«®¨¬ ¥£® á ¯¥à¢ë¬. Ǒ®«ã稬, çâ® B C C1 C2 t = 0, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¥à ¢¥áâ¢ã 1 6= 1 . ë ¤®ª § «¨, B2 C2 çâ® ¯àï¬ë¥ ¯ à ««¥«ìë. A1 B1 C1 «ãç © 3: = = . ⨠ᮮâ®è¥¨ï à ¢®á¨«ìë ⮬ã, A2 B2 C2 çâ® A1 B1 C1 B1 = A2 B2 C2 B2 = 0: tA2 x0 A2 x0
69
x
7. Ǒàï¬ ï ¯«®áª®áâ¨
Ǒ®«®¨¬ AA21 = t. ®£¤ A1 = tA2 , B1 = tB2, C1 = tC2 ¨ ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ á¨á⥬ë (15) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ t(A2 x + B2y + C2) = 0, ¯à¨ç¥¬ t 6= 0 (â ª ª ª ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ A1 = B1 = 0). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ á¨á⥬ë (15) à ¢®á¨«ì® ¢â®à®¬ã. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®¨ ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤ã ¨ âã ¥ ¯àï¬ãî. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ª ¤®¬ ¨§ âà¥å á«ãç ¥¢ ¢§ ¨¬®£® à ᯮ«®¥¨ï ¯àï¬ëå ¬ë ¯®«ã稬 ¤®áâ â®ç®¥ ãá«®¢¨¥. ¡¥¤¨¬áï ¯à¨¬¥à¥ á«ãç ï ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯àï¬ëå, çâ® í⨠¥ ãá«®¢¨ï ïîâáï ¨ ¥®¡å®¤¨¬ë¬¨. Ǒãáâì ¯àï¬ë¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï. ®£¤ ãá«®¢¨ï á«ãç ¥¢ 2 ¨ 3 ¥ ¢ë¯®«ïîâáï, ¯®áª®«ìªã ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¯àï¬ë¥ ¡ë«¨ ¡ë ¯ à ««¥«ìë «¨¡® ᮢ¯ ¤ «¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ á«ãç ï 1, â.¥. BA11 6= AB22 . «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¢ á«ãç ïå ¯ à ««¥«ì®á⨠¨ ᮢ¯ ¤¥¨ï ¯àï¬ëå. ¥®à¥¬ 3 ¤®ª § . 4.
Ǒ®«ã¯«®áª®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¯àאַ©
Ǒ®ª ¥¬, ª ª ¯® ãà ¢¥¨î ¯àאַ© ¨ ª®®à¤¨ â ¬ ¤¢ãå â®ç¥ª, ¥ «¥ é¨å í⮩ ¯àאַ©, ¢ëïá¨âì, «¥ â «¨ ®¨ ¯® ®¤ã áâ®à®ã ¨«¨ ¯® à §ë¥ áâ®à®ë ®â ¯àאַ©. ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì ¯àï¬ ï ` § ¤ ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬ Ax+By+C = 0. ®£¤ ¢¥ªâ®à ~n = (A; B ) §ë¢ ¥âáï £« ¢ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¯àאַ© `. à ¢¨¢ ï íâ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ᮠ᪠§ ë¬ á. 62, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¥á«¨ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â | ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ , â® £« ¢ë© ¢¥ªâ®à ¯àאַ© ï¥âáï ¥¥ ®à¬ «ìë¬ ¢¥ªâ®à®¬. ⬥⨬, çâ® £« ¢ë© ¢¥ªâ®à ¯àאַ© ®¯à¥¤¥«¥ ¥®¤®§ ç®. á ¬®¬ ¤¥«¥, ïá®, çâ® ¥á«¨ t | ¥ã«¥¢®¥ ç¨á«®, â® ãà ¢¥¨ï Ax + By + C = 0 ¨ tAx + tBy + tC = 0 ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤ã ¨ âã ¥ ¯àï¬ãî, £« ¢ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ ª®â®à®© ¡ã¤ãâ ª ª (A; B), â ª ¨ (tA; tB). â® ¥ ¢à¥¬ï ¨§ ªà¨â¥à¨ï ᮢ¯ ¤¥¨ï ¤¢ãå ¯àï¬ëå, ¤®ª § ®£® ¢ëè¥ ¢ ¤ ®¬ ¯ à £à ä¥, ¢ë⥪ ¥â, çâ® «î¡ë¥ ¤¢ £« ¢ëå ¢¥ªâ®à ¯àאַ© ª®««¨¥ àë. ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ ~n | £« ¢ë© ¢¥ªâ®à ¯àאַ© `, â® ¢¥ªâ®à ¥ ॠ`.
~n ¥ ª®««¨-
¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì M0(x0 ; y0) 2 `, â.¥. Ax0 + By0 + C = 0. â«®¨¬ ¢¥ªâ®à ~n ®â â®çª¨ M0. Ǒ®«ã稬 â®çªã M1(x0 + A; y0 + B). Ǒ®¤áâ ¢¨¢ ª®®à¤¨ âë í⮩ â®çª¨ ¢ «¥¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï ¯àאַ©, ¯®«ã稬 A(x0 + A) + B (y0 + B ) + C = Ax0 + By0 + C + A2 + B 2 = A2 + B 2 6= 0:
70
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
ª¨¬ ®¡à §®¬, M1 2= `. Ǒ®áª®«ìªã M0 2 `, M0M!1 = ~n, íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¢¥ªâ®à ~n ¥ ª®««¨¥ ॠ`. áï ¯«®áª®áâì ¤¥«¨âáï ¯àאַ© ` âਠ¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ç áâ¨: ¯àï¬ãî ` ¨ ¤¢¥ ¯®«ã¯«®áª®á⨠(¢ ª ¤ãî ¨§ íâ¨å ¯®«ã¯«®áª®á⥩ ¢å®¤ïâ ⥠¨ ⮫쪮 ⥠â®çª¨, ª®â®àë¥ à ᯮ«®¥ë ¯® ª ªãî-«¨¡® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯àאַ©). ¡®§ 稬 âã ¯®«ã¯«®áª®áâì, ¢ ª®â®à®© «¥¨â â®çª M1, ç¥à¥§ , ¤àã£ãî | ç¥à¥§ (à¨á. 4). M (x0 ; y0 )
r
M1
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r N (x00; y00`)
¨á. 4 M (x0 ; y0 ) | â®çª ¯«®áª®áâ¨.
᫨ M 0 0 â® Ax + By + C > 0, ¥á«¨ M 2 , â® Ax0 + By 0 + C < 0. ¥®à¥¬ 4. Ǒãáâì
2 ,
®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì M 2 . ¥à¥§ â®çªã M ¯à®¢¥¤¥¬ ¯àï¬ãî, ª®««¨¥ àãî ¢¥ªâ®àã ~n, ¤® ¥¥ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï á ¯àאַ© `. ®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ N , ¥¥ ª®®à¤¨ âë | ç¥à¥§ (x00 ; y00) (à¨á. 4). á®, çâ® Ax00 +!By00 + C = 0. ! = t~n ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¥ªâ®àë NM ¨ ~n á® ¯à ¢«¥ë, â.¥. NM t > 0. ¯¨á ¢ íâ® ¢¥ªâ®à®¥ à ¢¥á⢮ ¢ ª®®à¤¨ â å, ¯®«ã稬, çâ® x0 x00 = tA ¨ y0 y00 = tB , ®âªã¤ x0 = x00 + tA ¨ y0 = y00 + tB . «¥¤®¢ ⥫ì®, Ax0 + By0 + C = A(x00 + tA) + B (y00 + tB ) + C = = Ax00 + By00 + C + t(A2 + B2) = t(A2 + B2) > 0: Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ â¥®à¥¬ë ¤®ª § ®. â®à®¥ ã⢥थ¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï «®£¨ç®. ⮫쪮 ãç¥áâì, çâ® ¥á«¨ M 2 , â® ! "# ¢¯®«¥ ! = t~n ¤® NM ~n ¨ ¯®â®¬ã NM ¤«ï ¥ª®â®à®£® t < 0. ¥®à¥¬ 4 ¤®ª § . § ⥮६ë 4 ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî騩 ä ªâ:
71
x
7. Ǒàï¬ ï ¯«®áª®áâ¨
(
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( )
)
â®çª¨ P x1 ; y1 ¨ Q x2 ; y2 à ᯮ«®¥ë ¯® ®¤ã áâ®à®ã ¯® à §ë¥ áâ®à®ë ®â ¯àאַ© Ax By C ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ç¨á« Ax1 By1 C ¨ Ax2 By2 C ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© § ª ᮮ⢥âá⢥® | à §ë¥ § ª¨
(
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5.
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ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ ¤® ¯àאַ©
㤥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® á¨á⥬ ª®®à¤¨ â, § ¤ ï ¯«®áª®áâ¨, | ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ . è 楫ì | ¢ë¢¥á⨠ä®à¬ã«ã ¤«ï à ááâ®ï¨ï ®â â®çª¨ ¤® ¯àאַ© ¯«®áª®áâ¨. Ǒãáâì ¯àï¬ ï ` § ¤ ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬ Ax + By + C = 0, M (x0 ; y0) | ¥ª®â®à ï â®çª ¯«®áª®áâ¨. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ M0(x0 ; y0) ®à⮣® «ìãî ¯à®¥ªæ¨î â®çª¨ M ` (à¨á. 5).
rAK M (x0; y0) AA
KAA~n A
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M0 (x0 ; y0 )
¨á. 5 Ǒ®áª®«ìªã á¨á⥬ ª®®à¤¨ â | ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ , â®, ª ª ®â¬¥ç «®áì! á. 62, ¢¥ªâ®à ~n = (A; B) ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïॠª `. Ǒ®áª®«ìªã ! k ~n. ¢¥ªâ®à M0M â ª¥ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïॠª `, ¯®«ãç ¥¬, çâ® M0M ! ! ! «¥¤®¢ ⥫ì®, os(M\ 0 M; ~n) = 1 ¨ ¯®â®¬ã (M0 M; ~n) = jM0 M j j~nj. ¡®§ 稬 à ááâ®ï¨¥ ®â M ¤® ` ç¥à¥§ d(M; `). ᨫã ᪠§ ®£® ¢ëè¥ ! ~n)j j ( M0 M; ! d(M; `) = jM0 M j = j~nj : ç¨âë¢ ï, çâ® M0 2 `, ¯®«ãç ¥¬, çâ® Ax0 + By0 + C = 0. ᯮ«ì§ãï «®£ ä®à¬ã«ë (2) ¨§ x3 ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ ¯«®áª®áâ¨, ¨¬¥¥¬ ! ~n) = A(x0 x0 ) + B (y0 y0 ) = Ax0 + By0 (Ax0 + By0 ) = (M0M; = Ax0 + By0 + C:
72
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
«¥¤®¢ ⥫ì®,
d(M; `) =
jAxp0 + By0 + C j : A2 + B 2
(16)
â® ¨ ¥áâì ¨áª®¬ ï ä®à¬ã« à ááâ®ï¨ï ®â â®çª¨ ¤® ¯àאַ©. 6.
£®« ¬¥¤ã ¯àï¬ë¬¨
Ǒ®-¯à¥¥¬ã ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® á¨á⥬ ª®®à¤¨ â, § ¤ ï ¯«®áª®áâ¨, ï¥âáï ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®©. è 楫ì | ãç¨âìáï 室¨âì 㣮« ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¯àï¬ë¬¨ ¯«®áª®áâ¨. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¯«®áª®á⨠¥áâì ¤¢¥ ¯àï¬ë¥, § ¤ ë¥ ª ®¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨, | ¯àï¬ë¥ x x1 y y1 `1 : = r1 ¨ `2 : x q2x2 = y r2y2 : q1
㤥¬ áç¨â âì, ç⮠㣮« ¬¥¤ã ¯àï¬ë¬¨ à ¢¥ 㣫㠬¥¤ã ¨å ¯à ¢«ïî騬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨. ᯮ«ì§ãï «®£ ä®à¬ã«ë (5) ¨§ x3 ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ ¯«®áª®áâ¨, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¥á«¨ | 㣮« ¬¥¤ã ¯àï¬ë¬¨ `1 ¨ `2 , â®
os = p 2 q1 q22+pr1 r22 2 : (17) q1 + r1 q2 + r2 ¡á®«îâ® «®£¨ç® 室¨âáï 㣮« ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¯àï¬ë¬¨ ¢ á«ãç ïå, ª®£¤ ®¡¥ ®¨ § ¤ ë ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ¨«¨ ®¤ § ¤ ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬, ¤àã£ ï ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨. Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¯àï¬ë¥ `1 ¨ `2 § ¤ ë ª®®à¤¨ â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ A1 x + B1y + C1 = 0 ¨ A2x + B2y + C2 = 0 ᮮ⢥âá⢥®. ª ®â¬¥ç «®áì á. 62, ¢¥ªâ®àë ~n1 = (A1 ; B1) ¨ ~n2 = (A2 ; B2) ïîâáï ®à¬ «ì묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ ¯àï¬ëå `1 ¨ `2 ᮮ⢥âá⢥®. ¥£ª® ¯®ïâì (à¨á. 6), çâ® ã ¯àï¬ëå `1 ¨ `2 ¬®® ¢ë¡à âì ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë â ª, ç⮠㣮« ¬¥¤ã ¨¬¨ à ¢¥ 㣫㠬¥¤ã ~n1 ¨ ~n2. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ª ç¥á⢥ 㣫 ¬¥¤ã `1 ¨ `2 ¬®® ¢§ïâì 㣮« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ~n1 ¨ ~n2. ᯮ«ì§ãï, ª ª ¨ ¢ëè¥, «®£ ä®à¬ã«ë (5) ¨§ x3 ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ ¯«®áª®áâ¨, ¯®«ãç ¥¬, ç⮠㣮« ¬¥¤ã ¯àï¬ë¬¨ `1 ¨ `2 ¬®® ©â¨ ¯® ä®à¬ã«¥
os = p 2A1A22+pB1B2 2 2 : (18) A1 + B1 A2 + B2 ª®¥æ, ¢ á«ãç ¥, ¥á«¨ ®¤ ¨§ ¯àï¬ëå § ¤ ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ (¨«¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨), ¤à㣠ï | ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬, â® ã® á ç « ¯à¨¢¥á⨠ãà ¢¥¨ï ®¡¥¨å ¯àï¬ëå
73
x
7. Ǒàï¬ ï ¯«®áª®áâ¨
ª ®¤®¬ã (¢á¥ à ¢®, ª ª ª®¬ã ¨¬¥®) ¢¨¤ã, â.¥. ©â¨ «¨¡® ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®© ¯àאַ©, «¨¡® ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®© ¯àאַ©, § ⥬ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⮩ ¨§ ä®à¬ã« (17) ¨ (18), ª®â®à ï ¯®¤å®¤¨â ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥. ⬥⨬, çâ® ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¯àï¬ë¬¨ ¯«®áª®á⨠¢á¥£¤ ¨¬¥îâáï ¤¢ 㣫 , ®¤¨ ¨§ ª®â®àëå ®áâàë©, ¤à㣮© | â㯮© (§ ¨áª«î票¥¬ á«ãç ï ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàëå ¯àï¬ëå, ª®£¤ 㣫®¢ ⮥ ¤¢ , ® ®¡ ®¨ à ¢ë 2 ). ë ¥ § ¥¬, ª ª à ᯮ«®¥ë ¤à㣠®â®á¨â¥«ì® ¤à㣠⥠¯à ¢«ïî騥 ¨«¨ ®à¬ «ìë¥ ¢¥ªâ®àë ¤¢ãå ¯àï¬ëå, á ¯®¬®éìî ª®â®àëå ¬ë ã稫¨áì ¢ëè¥ å®¤¨âì 㣮« ¬¥¤ã ¯àï¬ë¬¨. Ǒ®í⮬ã á ¯®¬®éìî ä®à¬ã« (17) ¨ (18) ¬ë ¬®¥¬ ¯®«ãç¨âì ª ª ®áâàë©, â ª ¨ â㯮© 㣮«, ¯à¨ç¥¬ § à ¥¥ ¥ ¨§¢¥áâ®, ª ª®© ¨¬¥® (à¨á. 7). `2 ~n1
}ZZ 67 ~s2 Z ~n2
~s1
~s2 * ~s1
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᫨ ¨ | ¤¢ à §«¨çëå 㣫 ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï 䨪á¨à®¢ 묨 ¯àï¬ë¬¨, â® = . ç¨âë¢ ï, çâ® os = os( ), ª®á¨ãá ®áâண® 㣫 ¯®«®¨â¥«¥, ª®á¨ãá â㯮£® 㣫 ®âà¨æ ⥫¥, ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® ®áâàë© ã£®« ¬®® ©â¨ ¯® ®¤®© ¨§ ä®à¬ã«
os = p 2jq1q22+pr1 r22 j 2 ¨«¨ os = p j2A1 A22+pB1B2 2j 2 ; q1 + r1 q2 + r2 A1 + B1 A2 + B2 â㯮© 㣮« | ¯® ®¤®© ¨§ ä®à¬ã«
os = p 2jq1q22+pr1 r22 j 2 ¨«¨ os = p j2A1A22+pB1B2 2 j 2 : q1 + r1 q2 + r2 A1 + B1 A2 + B2 Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à. Ǒãáâì ¤ ë ¯àï¬ë¥ x + 6 y 17 `1 : 3x 4y = 7 ¨ `2 : 1 = 1 ¨ âॡã¥âáï ©â¨ â㯮© 㣮« ¬¥¤ã ¨¬¨. ®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© `2 ¨¬¥¥â ¢¨¤ x y + 23 = 0. ¬¥¥¬
os = j35p+24j = 5p72 :
74
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
x8.
Ǒ«®áª®áâì ¢ ¯à®áâà á⢥
§ã票¥ ¯«®áª®á⨠®á®¢ ® ¯®ïâ¨ïå ª®®à¤¨ ⮣® ¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯«®áª®áâ¨. Ǒ।¢ à¨â¥«ì® ¬ë ®§ ª®¬¨¬áï á ¯®ïâ¨ï¬¨ ª®®à¤¨ ⮣® ¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¯®¢¥àå®áâ¨. 1.
®®à¤¨ ⮥ ¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯®¢¥àå®áâ¨
®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠¢¢®¤¨âáï «®£¨ç® ª®®¤¨ ⮬ã ãà ¢¥¨î ¯àאַ© ¯«®áª®áâ¨. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ F (x; y; z) ¢ëà ¥¨¥, ᮤ¥à 饥 ¯¥à¥¬¥ë¥ x; y ¨ z , ª®áâ âë, § ª¨ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¤¥©á⢨© ¨ í«¥¬¥â àëå äãªæ¨©. ¯à¨¬¥à, ¢pª ç¥á⢥ F (x; y; z) ¬®®2 ¢§ïâì2 ¢ëà ¥¨ï x + 2y 5z 1, x2 + y2 2 xyz, sin(xyz ), ln x + y, x 2z , y4 1 ¨ â.¤. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ § 䨪á¨à®¢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. ¯à¥¤¥«¥¨¥. à ¢¥¨¥ F (x; y; z ) = 0 §ë¢ ¥âáï ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯®¢¥àå®á⨠, ¥á«¨ â®çª «¥¨â ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥¥ ª®®à¤¨ âë 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î F (x; y; z) = 0. ®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯à®áâà á⢠, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î F (x; y; z) = 0, §ë¢ ¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ í⮣® ãà ¢¥¨ï. Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ § ¤ ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. ª ç¥á⢥ ¯®¢¥àå®á⨠à áᬮâਬ áä¥àã à ¤¨ãá r á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ C (a; b; ). Ǒãáâì M (x; y; z) | ¯à®¨§¢®«ì ï â®çª ¯à®áâà á⢠. á®, çâ® M 2 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ jCM j = r, â.¥. p (x a)2 + (y b)2 + (z )2 = r: (1) «¥¤®¢ ⥫ì®, (1) | ãà ¢¥¨¥ áä¥àë . Ǒà ¢¤ , ®¡ëç® ¯®¤ ãà ¢¥¨¥¬ áä¥àë ¯®¨¬ îâ ¤à㣮¥ ãà ¢¥¨¥, à ¢®á¨«ì®¥ (1), | ¨¬¥® ãà ¢¥¨¥ (x a)2 + (y b)2 + (z )2 = r2 : (2) ¯à¨¢¥¤¥®¬ ¯à¨¬¥à¥ ¯® ¤ ®© ¯®¢¥àå®á⨠©¤¥® ¥¥ ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥. áᬮâਬ ¯à¨¬¥à ®¡à ⮩ § ¤ ç¨, ª®£¤ ¯® ãà ¢¥¨î ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© ®¡à §. áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ x2 + y2 + z2 2x + 4y 6z 2 = 0. Ǒ८¡à §ã¥¬ ¥£® «¥¢ãî ç áâì, ¨á¯®«ì§ãï ¬¥â®¤ ¢ë¤¥«¥¨ï ¯®«®£® ª¢ ¤à â . ¬¥¥¬ (x2 2x + 1) 1 + (y2 + 4y + 4) 4 + (z2 6z + 9) 9 2 = 0
75
x
8. Ǒ«®áª®áâì ¢ ¯à®áâà á⢥
¨«¨ (x 1)2 +(y +2)2 +(z 3)2 = 16. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â áä¥àã à ¤¨ãá 4 á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ (1; 2; 3). ¨á⥬®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯®¢¥àå®á⨠¨«¨ ¯à®áâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ¯®¢¥àå®á⨠§ë¢ îâ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© ¢¨¤ 8 < x = f (u; v ); y = g(u; v); : z = h(u; v); £¤¥ f (u; v), g(u; v) ¨ h(u; v) | ¥ª®â®àë¥ äãªæ¨¨ ®â ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå u ¨ v. ¬¥¥âáï ¢ ¢¨¤ã, çâ® â®çª M0(x0 ; y0; z0) ¯à¨ ¤«¥¨â ¯®¢¥àå®á⨠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ § ç¥¨ï ¯ à ¬¥â஢ u0, v0 â ª¨¥, çâ® x0 = f (u0; v0 ), y0 = g(u0; v0 ) ¨ z0 = h(u0; v0). ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ¢ë¢¥¤¥¬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï áä¥àë à ¤¨ãá r á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ C (a; b; ). Ǒãáâì M (x; y; z) | ¯à®¨§¢®«ì ï â®çª í⮩ áä¥à¥. «ì¥©è¨¥ à áá㤥¨ï ¨««îáâà¨àã¥â à¨á. 8.
R
s
sM
Q N s sC sP s
z
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6 sO - x
¨á. 8 ¡®§ 稬 ç¥à¥§ N ¯à®¥ªæ¨î â®çª¨ M ¯«®áª®áâì, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ â®çªã C ¯ à ««¥«ì® ¯«®áª®á⨠xOy, ç¥à¥§ R | ¯à®¥ªæ¨î M
76
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
¯àï¬ãî, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ C ¯ à ««¥«ì® ®á¨ Oz, ç¥à¥§ P ¨ Q | ¯à®¥ªæ¨î â®çª¨ N ¯àï¬ë¥, ¯à®å®¤ï騥 ç¥à¥§ C ¯ à ««¥«ì® ®áï¬ Oy ¨ Oz ᮮ⢥âá⢥®. ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥â஢ ¢ë¡¥à¥¬ ! ¨ CN ! ¨ã£®« ! ¨ 㣮« !. ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ CP ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ CM CR ®£¤ CN = RM = r sin , ¨ ¯®â®¬ã x a = CP = CN os = r sin os ; y b = CQ = CN sin = r sin sin ; z = CR = r os : «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï áä¥àë ¨¬¥îâ ¢¨¤ 8 < x = a + r sin os ; y = b + r sin sin ; : z = + r os : 2.
¨¤ë ãà ¢¥¨© ¯«®áª®áâ¨
¯à¥¤¥«¥¨¥.
à ¢¥¨¥ Ax + By + Cz + D = 0
(3) §ë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á âà¥¬ï ¥¨§¢¥áâ묨, ¥á«¨ A2 + B 2 + C 2 6= 0. Ǒ®á«¥¤¥¥ ¥à ¢¥á⢮ ®§ ç ¥â, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë A; B ¨ C ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ®¤®¢à¥¬¥® à ¢ë ã«î. ¥®à¥¬ 1. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ § ¤ ¯à®¨§¢®«ì ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. ®£¤ ¢áïª ï ¯«®áª®áâì ¬®¥â ¡ëâì § ¤ ãà ¢¥¨¥¬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á âà¥¬ï ¥¨§¢¥áâ묨, ¨, ®¡à â®, ¢á类¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á âà¥¬ï ¥¨§¢¥áâ묨 ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯«®áª®áâì.
®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ § ¤ ë ¯«®áª®áâì ¨ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â (O; ~b1; ~b2; ~b3). 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¬ë § ¥¬ ª®®à¤¨ âë (¢ í⮩ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â) ¥ª®â®à®© â®çª¨ M0, «¥ 饩 ¢ ¯«®áª®áâ¨, ¨ ¥ª®â®àëå ¤¢ãå ¥ª®««¨¥ àëå ¬¥¤ã ᮡ®© ¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2, ª®««¨¥ àëå ¯«®áª®áâ¨: M0(x0 ; y0; z0), ~a1 = (q1 ; r1 ; s1), ~a2 = (q2 ; r2 ; s2) (à¨á. 9). áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã ¯à®áâà á⢠M (x; y; z!). 祢¨¤®, çâ® M 2 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢¥ªâ®àë M0M , ~a1 ¨ ~a2 ª®¬¯« àë. Ǒਬ¥¨¬ ªà¨â¥à¨© ª®¬¯« à®á⨠¢¥ªâ®à®¢, áä®à¬ã«¨à®¢ ë© ¢ ⥮६¥ ¨§ x4. ¬¥¥¬
x
x0 y y0 z z0 q1 r1 s1 = 0: q2 r2 s2
(4)
77
x
8. Ǒ«®áª®áâì ¢ ¯à®áâà á⢥
ª¨¬ ®¡à §®¬, â®çª M ¯à¨ ¤«¥¨â ¯«®áª®á⨠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥¥ ª®®à¤¨ âë 㤮¢«¥â¢®àïîâ ⮫쪮 çâ® ¯à¨¢¥¤¥®¬ã ãà ¢¥¨î. §«®¨¢ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¯® ¯¥à¢®© áâப¥, ¨¬¥¥¬ r1 r2
q1 q2
s1 (x x ) 0 s2
¢¥¤¥¬ ®¡®§ 票ï: r1 r2
s1 (y y ) + q1 0 q2 s2
s1 ; B = q1 q2 s2 Ax0 By0 Cz0 :
r1 (z z ) = 0: 0 r2
s1 ; C = q1 q2 s2
(5)
r1 ; r2
= D= ®£¤ à ¢¥á⢮ (5) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥q Ax +rBy +sCz + D = 0. ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® ¥á«¨ A = B = C = 0, â® q12 = r12 = s21 , ¨ ¯®â®¬ã ¢¥ªâ®àë ~a1 ¨ ~a2 ª®««¨¥ àë ¢®¯à¥ª¨ ¨å ¢ë¡®àã. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ã稫¨ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ â¥®à¥¬ë ¤®ª § ®. A
~b3AK
AA ~b2 AA As O
sPA PP = A PPPqMs(x; y; z) ~a2 AAU ~a1 ~
M0 (x0 ; y0 ; z0)
b1
¨á. 9 ®ª ¥¬ ¢â®à®¥ ã⢥थ¨¥. áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ (3), £¤¥ A 6= 0, ¨«¨ B 6= 0, ¨«¨ C 6= 0. «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® A 6= 0. ®§ì¬¥¬ ª ª®¥-¨¡ã¤ì à¥è¥¨¥ (x0 ; y0; z0) í⮣® ãà ¢¥¨ï. ®£¤ ,
78
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
à §ã¬¥¥âáï, Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. ëç⥬ ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¨§ ãà ¢¥¨ï (3). Ǒ®«ã稬 A(x x0 ) + B (y y0 ) + C (z z0 ) = 0: (6) á®, çâ® ãà ¢¥¨ï (3) ¨ (6) ¨¬¥îâ ®¤® ¨ â® ¥ ¬®¥á⢮ à¥è¥¨©. áᬮâਬ ⥯¥àì ¯«®áª®áâì , ª®â®à ï ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ â®çªã M0 (x0 ; y0 ; z0) ¯ à ««¥«ì® ¢¥ªâ®à ¬ ~a1 = ( B; A; 0) ¨ ~a2 = ( C; 0; A) (®â¬¥â¨¬, çâ® í⨠¤¢ ¢¥ªâ®à ¥ ª®««¨¥ àë, ¯®áª®«ìªã A 6= 0). ¯¨è¥¬ ¤«ï í⮩ ¯«®áª®á⨠ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ (5): A 0 (x x0 ) B 0 (y y0 ) + B A (z z0 ) = 0: 0 A C A C 0 áªàë¢ ï ¢ í⮬ à ¢¥á⢥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«¨ ¨ ᮪à é ï A, ¬ë ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ (6). «¥¤®¢ ⥫ì®, ãà ¢¥¨¥ (6), ª ª ¨ ãà ¢¥¨¥ (3), ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯«®áª®áâì . ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . à ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , § ¤aî饥 ¯«®áª®áâì, §ë¢ ¥âáï ¥¥ ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬. àï¤ã á í⨬ â¥à¬¨®¬ ¢ ⮬ ¥ á¬ëá«¥ ç á⮠㯮âॡ«ïîâ â¥à¬¨ ®¡é¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨. ¤¥« ¥¬ ¥áª®«ìª® § ¬¥ç ¨© ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ⥮६ë 1. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¯«®áª®áâì § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ Ax + By + Cz + D = 0. áᬮâਬ ¢¥ªâ®àë ~s1 = ( B; A; 0), ~s2 = ( C; 0; A) ¨ ~s3 = (0; C; B). ¯à®æ¥áᥠ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 1 ãáâ ®¢«¥®, çâ® ¢¥ªâ®àë ~s1 ¨ ~s2 ª®««¨¥ àë . «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® ¢¥ªâ®à ~s3 â ª¥ ª®««¨¥ ॠ. ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® á।¨ ¢¥ªâ®à®¢ ~s1, ~s2 ¨ ~s3 ¢á¥£¤ ©¤¥âáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢ ¥ª®««¨¥ àëå. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ A 6= 0, â® ~s1 , ~s2 ; ¥á«¨ A = 0, ® B 6= 0, â® ~s1 , ~s3 ; ª®¥æ, ¥á«¨ A = B = 0, â® C 6= 0 ¨ ¯®â®¬ã ~s2 , ~s3 . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ¯«®áª®áâì § ¤ ãà ¢¥¨¥¬ Ax + By + Cz + D = 0, â® ¢¥ªâ®àë ( B; A; 0), ( C; 0; A) ¨ (0; C; B ) ª®««¨¥ àë í⮩ ¯«®áª®á⨠¨ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢ ¨§ íâ¨å âà¥å ¢¥ªâ®à®¢ ¥ ª®««¨¥ àë ¬¥¤ã ᮡ®©.
áᬮâਬ ⥯¥àì ¢¥ªâ®à ~n = (A; B; C ). á«ãç ¥ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ í⮣® ¢¥ªâ®à ª ¤ë© ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ ~s1 , ~s2 ¨ ~s3 à ¢® 0 (¢ á ¬®¬ ¤¥«¥, ~n~s1 = AB + BA + 0 = 0, ~n~s2 = AC + 0 + CA = 0 ¨ ~n~s3 = 0 BC + CB = 0), â.¥. ¢¥ªâ®à ~n ®à⮣® «¥ ª ¤®¬ã ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ ~s1, ~s2 ¨ ~s3. ᨫã ᪠§ ®£® ¢ëè¥ ~n ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïॠª . ª¨¬ ®¡à §®¬,
x
8. Ǒ«®áª®áâì ¢ ¯à®áâà á⢥
79
¥á«¨ ¯«®áª®áâì § ¤ ¢ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ãà ¢¥¨¥¬ Ax By Cz D , â® ¢¥ªâ®à A; B; C ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïॠª í⮩ ¯«®áª®áâ¨.
+ + + =0 ( ) «¥¤ãî饥 § ¬¥ç ¨¥ ®â®á¨âáï ª à ¢¥áâ¢ã (4). ë ¤®ª § «¨, çâ® â®çª M (x; y; z) ¯à¨ ¤«¥¨â ¯«®áª®á⨠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥¥ ª®®à¤¨ âë 㤮¢«¥â¢®àïîâ í⮬ã ãà ¢¥¨î. «¥¤®¢ ⥫ì®, (4) | ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨.
£® §ë¢ îâ ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯«®áª®áâ¨. Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨ï¬ ¯«®áª®áâ¨. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¨á⥬ ãà ¢¥¨© 8 < x = x0 + q1 u + q2 v; y = y0 + r1 u + r2 v; (7) : z = z0 + s1 u + s2 v §ë¢ ¥âáï á¨á⥬®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® ⨯ (¨«¨ ¯à®áâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ¢â®à®£® ⨯ ), ¥á«¨ ¢¥ªâ®àë ~a1 = (q1 ; r1 ; s1 ) ¨ ~a2 = (q2 ; r2 ; s2 ) ¥ ª®««¨¥ àë ¬¥¤ã ᮡ®©. ¥®à¥¬ 2. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ § ¤ ¯à®¨§¢®«ì ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. ®£¤ ¢áïª ï ¯«®áª®áâì ¬®¥â ¡ëâì § ¤ á¨á⥬®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® ⨯ , ¨, ®¡à â®, «î¡ ï á¨á⥬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® ⨯ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯«®áª®áâì. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ § ¤ ë ¯«®áª®áâì ¨ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â (O; ~b1; ~b2; ~b3). 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¬ë § ¥¬ ª®®à¤¨ âë (¢ í⮩ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â) ¥ª®â®à®© â®çª¨ M0, «¥ 饩 ¢ ¯«®áª®áâ¨, ¨ ¥ª®â®àëå ¤¢ãå ¥ª®««¨¥ àëå ¬¥¤ã ᮡ®© ¢¥ªâ®à®¢ ~a1 ;~a2 , ª®««¨¥ àëå ¯«®áª®áâ¨: M0 (x0 ; y0 ; z0 ), ~a1 = (q1 ; r1 ; s1 ), ~a2 = (q2 ; r2; s2). áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã ¯à®áâà á⢠M (x;!y; z). 祢¨¤®, çâ® M 2 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢¥ªâ®àë M0M , ~a1 ¨ ~a2 ª®¬¯« àë. ® á¨å ¯®à ¬ë ¯®¢â®à﫨 ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 1. ¥¯¥àì ¢¬¥áâ® ªà¨â¥à¨ï ª®¬¯« à®á⨠¢¥ªâ®à®¢ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬!í⮣® ¯®ïâ¨ï. â ª, M 2 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢¥ªâ®àë M0M , ~a1 ¨ ~a2 «¥ â ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨. Ǒ®áª®«ìªã ¤¢ ¯®á«¥¤¨å ¨§ ¨å ¥ ª®««¨¥ àë, ®¨ ®¡à §ãîâ ¡ §¨á í⮩ ¯«®áª®áâ¨, ¨ ! ¯® ¬ë ¬®¥¬ à §«®¨âì ¢¥ªâ®à M0M í⮬㠡 §¨áã. 묨 á«®¢ ¬¨, M 2 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« u ¨ v â ª¨¥, çâ® 8 x0 = uq1 + vq2 ; <x y y0 = ur1 + vr2 ; : z z0 = us1 + vs2 ;
80 ®âªã¤
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
8 <x
= x0 + uq1 + vq2; = y0 + ur1 + vr2; = z0 + us1 + vs2: Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ ⥮६ë 2 ¤®ª § ®. ®ª ¥¬ ¢â®à®¥ ã⢥थ¨¥. Ǒãáâì ¤ á¨á⥬ (7). áᬮâਬ ¯«®áª®áâì , ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ â®çªã M0(x0 ; y0; z0) ¯ à ««¥«ì® ¢¥ªâ®à ¬ ~a1 = (q1 ; r1; s1) ¨ ~a2 = (q2; r2 ; s2).
᫨ ¤«ï í⮩ ¯«®áª®á⨠¯¨á âì ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï â ª, ª ª íâ® ¡ë«® ᤥ« ® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¡§ æ¥, â® ¬ë ¯®«ã稬 á¨á⥬ã (7). «¥¤®¢ ⥫ì®, (7) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯«®áª®áâì . ¥®à¥¬ 2 ¤®ª § . ¨á⥬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® ⨯ , § ¤ îé ï ¯«®áª®áâì, §ë¢ ¥âáï á¨á⥬®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© (¨«¨ ¯à®áâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ) í⮩ ¯«®áª®áâ¨. Ǒ।¥ 祬 ¯¥à¥å®¤¨âì ª ¯à¨¬¥à ¬, 㪠¥¬ ¥é¥ ¤¢ ¢¨¤ ãà ¢¥¨ï ¯«®áª®áâ¨. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ë § ¥¬ âਠâ®çª¨ M0(x0 ; y0; z0), M1 (x1 ; y1 ; z1) ¨ M2 (x2 ; y2; z2 ), ¯à¨ ¤«¥ 騥 ¯«®áª®á⨠¨ ¥ «¥ 騥 ®¤®© ¯àאַ©. ®£¤ ¢¥ªâ®àë M0 M!1 = (x1 x0 ; y1 y0 ; z1 z0 ) ¨ M0 M!2 = (x2 x0 ; y2 y0; z2 z0) ª®««¨¥ àë ¯«®áª®á⨠¨ ¥ ª®««¨¥ àë ¬¥¤ã ᮡ®© (¯®á«¥¤¥¥ £ à â¨à®¢ ® ⥬ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮¬, çâ® â®çª¨ M0; M1 ¨ M2 ¥ «¥ â ®¤®© ¯àאַ©). Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¨å ª®®à¤¨ âë ¢ 㪠§ ®¥ ¢ëè¥ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ãà ¢¥¨¥, ª®â®à®¥ §ë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¯«®áª®á⨠¯® â६ â®çª ¬: y : z
x x1 x2
x0 x0 x0
y y0 z z0 y1 y0 z1 z0 = 0: y2 y0 z2 z0
(8)
Ǒãáâì ⥯¥àì | ¯«®áª®áâì, ¥ ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â ¨ ¥ ¯ à ««¥«ì ï ¨ ®¤®© ¨§ ®á¥© ª®®à¤¨ â. ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ¥ã«¥¢ë¥ ç¨á« a; b ¨ , çâ® ¯«®áª®áâì ¯¥à¥á¥ª ¥â ®áì Ox ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (a; 0; 0), ®áì Oy | ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (0; b; 0), ®áì Oz | ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (0; 0; ). ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®á⨠¯® í⨬ â६ â®çª ¬: x
a y z a b 0 = 0: a 0
§«®¨¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¨§ «¥¢®© ç á⨠í⮣® à ¢¥á⢠¯® ¯¥à¢®© áâப¥. Ǒ®á«¥ ®ç¥¢¨¤ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯®«ã稬 b x+a y +abz = ab .
81
x
8. Ǒ«®áª®áâì ¢ ¯à®áâà á⢥
§¤¥«¨¬ ®¡¥ ç á⨠¯®á«¥¤¥£® à ¢¥á⢠ab (¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ⥬, çâ® ç¨á« a, b ¨ ®â«¨çë ®â ã«ï). Ǒ®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ x y z + + a b
= 1;
(9)
ª®â®à®¥ §ë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¯«®áª®á⨠¢ ®â१ª å. â®â â¥à¬¨ ®¡êïáï¥âáï ⥬, çâ® ¯ à ¬¥âàë a, b ¨ , 䨣ãà¨àãî騥 ¢ ãà ¢¥¨¨ (9), áãâì, á â®ç®áâìî ¤® § ª , ¤«¨ë ®â१ª®¢, ®âᥪ ¥¬ëå ¯«®áª®áâìî ®áïå ª®®à¤¨ â. ¯à¥¤¥«¥¨¥. î¡®© ¥ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à, ª®««¨¥ àë© ¤ ®© ¯«®áª®áâ¨, §ë¢ ¥âáï ¥¥ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬. î¡®© ¥ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë© ¯«®áª®áâ¨, §ë¢ ¥âáï ¥¥ ®à¬ «ìë¬ ¢¥ªâ®à®¬. § í⮣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¨¤®, çâ® ª ª ¯à ¢«ïî騩, â ª ¨ ®à¬ «ìë© ¢¥ªâ®à ¤«ï ¤ ®© ¯«®áª®á⨠®¯à¥¤¥«¥ ¥®¤®§ ç®. Ǒ«®áª®áâì ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® ¯à ¢«ïîé¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ¡¥áª®¥ç® ¬®£® (ª®««¨¥ àëå ¤à㣠¤àã£ã) ®à¬ «ìëå ¢¥ªâ®à®¢. § ᪠§ ®£® ¢ëè¥ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¥á«¨ ¯«®áª®áâì § ¤ «î¡ë¬ ¨§ ãà ¢¥¨© (3) ¨ (6), â® ¢¥ªâ®àë á ª®®à¤¨ â ¬¨ ( B; A; 0), ( C; 0; A) ¨ (0; C; B ) ïîâáï ¥¥ ¯à ¢«ïî騬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨, ¢ á«ãç ¥ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à á ª®®à¤¨ â ¬¨ A; B; C ï¥âáï ¥¥ ®à¬ «ìë¬ ¢¥ªâ®à®¬; ¥á«¨ ¯«®áª®áâì § ¤ «î¡ë¬ ¨§ ãà ¢¥¨© ¨ , â® ¢¥ªâ®àë á ª®®à¤¨ â ¬¨ q1 ; r1 ; s1 ¨ q2 ; r2 ; s2 ïîâáï ¥¥ ¯à ¢«ïî騬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨; ¥á«¨ ¯«®áª®áâì § ¤ «î¡ë¬ ¨§ ãà ¢¥¨© ¨ , â® â®çª á ª®®à¤¨ â ¬¨ x0 ; y0 ; z0 ¯à¨ ¤«¥¨â ¯«®áª®á⨠ï¥âáï ¥¥ ç «ì®© â®çª®©
(
)
(
) (
(4) (7) )
(4), (6), (7) ) ( ). Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥àë ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤®£® ¢¨¤ ãà ¢¥¨ï ¯«®áª®á⨠ª ¤à㣮¬ã. Ǒãáâì ¯«®áª®áâì § ¤ ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬ 2x y + z + 3 = 0. ©¤¥¬ ¥¥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï. «ï í⮣® ¥®¡å®¤¨¬® § âì ª®®à¤¨ âë å®âï ¡ë ®¤®© â®çª¨ ¯«®áª®á⨠¨ ª®®à¤¨ âë ¤¢ãå ¥¥ ¯à ¢«ïîé¨å ¢¥ªâ®à®¢, ¥ ª®««¨¥ àëå ¬¥¤ã ᮡ®©. ®®à¤¨ âë «î¡®© â®çª¨, ¯à¨ ¤«¥ 饩 ¯«®áª®áâ¨, ïîâáï à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï 2x y + z +3 = 0. Ǒà¨à ¢¨¢ ï, ¯à¨¬¥à, x ¨ y ª 0, ¯®«ãç ¥¬ z = 3. ª¨¬ ®¡à §®¬, £®¤¨âáï â®çª M0(0; 0; 3). ᨫã ᤥ« ®£® ¢ëè¥ § ¬¥ç ¨ï ¢ ª ç¥á⢥ ¯à ¢«ïîé¨å ¢¥ªâ®à®¢ (8)
(
82
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
¬®® ¢§ïâì ¢¥ªâ®àë (1,2,0) ¨ ( 1; 0; 2). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¤ ®© ¯«®áª®á⨠¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ 8 u v; <x = y= 2 u ; : z = 3 + 2v: ⬥⨬, çâ® ¬ë ¬®£«¨ ¡ë ©â¨ ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¯«®áª®á⨠¨ ¯®-¤à㣮¬ã. ¨¬¥®, ©¤¥¬ ¥é¥ ¤¢¥ â®çª¨ í⮩ ¯«®áª®áâ¨. Ǒ®« £ ï ¢ ãà ¢¥¨¨ 2x y + z +3 = 0, ¯à¨¬¥à, x = z = 1, ¯®«ãç ¥¬ y = 6, ¯®« £ ï x = z = 0, ¯®«ãç ¥¬ y = 3. «¥¤®¢ ⥫ì®, â®çª¨ M1(1; 6; 1) ¨ M2(0; 3; 0) ¯à¨ ¤«¥ â ¯«®áª®áâ¨. á®, çâ® ¢¥ªâ®àë M0 M!1 = (1; 6; 4) ¨ M0 M!2 = (0; 3; 3) ¡ã¤ãâ ¯à ¢«ïî騬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ 襩 ¯«®áª®áâ¨. ஬¥ ⮣®, ®ç¥¢¨¤®, çâ® ®¨ ¥ ª®««¨¥ àë. Ǒ®í⮬㠯 à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï 8 u ; <x = y= 6 u + 3v; : z = 3 + 4u + 3v â ª¥ § ¤ îâ ¯«®áª®áâì . ã ¥ § ¤ çã ¬®® à¥è¨âì ¨ ä®à¬ «ì®, ¥ ¯à¨¡¥£ ï ª £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à § ¬ (â.¥. ¥ 㯮¬¨ ï ® â®çª¥, ¯à¨ ¤«¥ 饩 ¯«®áª®áâ¨, ¨ ® ¥¥ ¯à ¢«ïîé¨å ¢¥ªâ®à å). ¨¬¥®, ¯®«®¨¬ x = u ¨ y = v. ®£¤ ¨§ ãà ¢¥¨ï 2x y + z + 3 = 0 ¨¬¥¥¬ 2u v + z +3 = 0, â.¥. z = 2u + v 3. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯«®áª®á⨠¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ 8 u ; <x = y= v; : z = 3 2u + v: â®â ä®à¬ «ìë© á¯®á®¡ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ §ë¢ ¥âáï . ⬥⨬, çâ® ¬ë ¯®«ã稫¨ âà¨ à §ëå ®â¢¥â , ® ¢á¥ ®¨ ¯à ¢¨«ìë¥ | ¬ë 諨 âà¨ à §«¨çë¥ á¨áâ¥¬ë ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ®¤®© ¨ ⮩ ¥ ¯«®áª®áâ¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯«®áª®á⨠®¯à¥¤¥«¥ë ¥®¤®§ ç® (ª ª, ¢¯à®ç¥¬, ¨ ¥¥ ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥). áᬮâਬ ®¡à âãî § ¤ çã. Ǒãáâì ¯«®áª®áâì § ¤ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ 8 v; <x = 1 + u y = 2 + 2u + 3v; : z = 1 + u + v: ¬¥â®¤®¬ ¢¢¥¤¥-
¨ï ¯ à ¬¥â஢
83
x
8. Ǒ«®áª®áâì ¢ ¯à®áâà á⢥
©¤¥¬ ¥¥ ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥. á®, çâ® â®çª (1; 2; 1) ¯à¨ ¤«¥¨â ¯«®áª®áâ¨, ¢¥ªâ®àë (1,2,1) ¨ ( 1; 3; 1) ïîâáï ¥¥ ¯à ¢«ïî騬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨, ¥ ª®««¨¥ à묨 ¬¥¤ã ᮡ®©. Ǒ®í⮬㠬®® áà §ã ¯¨á âì ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®á⨠: x 1 y 2 z +1 1 2 1 = 0: 1 3 1 áªàë¢ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì, ¨¬¥¥¬ (x 1) 2(y 2) + 5(z + 1) = 0 ¨«¨ x 2y + 5z + 10 = 0. âã § ¤ çã â ª¥ ¬®® à¥è¨âì ä®à¬ «ì®, ¥ ¯à¨¡¥£ ï ª £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à § ¬. «ï í⮣® § ¯¨è¥¬ ¯¥à¢ë¥ ¤¢ ãà ¢¥¨ï ¢ á¨á⥬¥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© 襩 ¯«®áª®á⨠¢ ¢¨¤¥ u v = x 1, 2u + 3v = y 2. 㤥¬ ᬮâà¥âì ¨å ª ª á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® u ¨ v. ¥è ï íâã á¨á⥬ã, ¯®«ã稬 u = 3x +5y 5 , v = 2x5+ y . Ǒ®¤áâ ¢¨¢ íâ¨ à ¢¥á⢠¢ ãà ¢¥¨¥ z = 1 + u + v ¨ ¯à®¨§¢¥¤ï ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ã¯à®é¥¨ï, ¯®«ã稬 x + 2y 10 z= 5 , ®âªã¤ x + 2y 5z 10 = 0. ë ¯®«ã稫¨ ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥ 襩 ¯«®áª®á⨠(®â¬¥â¨¬, çâ® ®® ®â«¨ç ¥âáï ®â ª®®à¤¨ ⮣® ãà ¢¥¨ï, ¯®«ã祮£® ¯¥à¢ë¬ ᯮᮡ®¬). ª®© ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï §ë¢ ¥âáï ¬¥â®¤®¬ . ¨áª«îç¥¨ï ¯ à ¬¥â஢
3.
§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ ¤¢ãå ¯«®áª®á⥩
áᬮâਬ á«¥¤ãî騩 ¢®¯à®á: ª ª ¯® ãà ¢¥¨ï¬ ¤¢ãå ¯«®áª®á⥩ ®¯à¥¤¥«¨âì ¢§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ íâ¨å ¯«®áª®á⥩, â.¥. ¢ëïá¨âì, ¡ã¤ãâ «¨ ®¨ ¯ à ««¥«ìë, ¯¥à¥á¥ª âìáï ¨«¨ ᮢ¯ ¤ âì? ⢥⠥£® ¤ ¥â ¥®à¥¬ 3. Ǒãáâì ¯«®áª®áâì 1 ¨¬¥¥â ãà ¢¥¨¥ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, ¯«®áª®áâì 2 | ãà ¢¥¨¥ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. 1) 1 ¨ 2 ¯¥à¥á¥ª îâáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ A1 A2
2)
6= BB1 2
¨«¨
B1 B2
6= CC1 ; 2
1 ¨ 2 ¯ à ««¥«ìë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ A1 A2
= BB12 = CC21 6= DD12 ;
84
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
3)
1 ¨ 2 ᮢ¯ ¤ îâ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ A1 B1 C1 D1 = = = : A2 B2 C2 D2
áᬮâਬ á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0; (10) A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0: á®, çâ® ¯«®áª®á⨠1 ¨ 2 ¯¥à¥á¥ª îâáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ íâ á¨á⥬ ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥, ® ãà ¢¥¨ï á¨áâ¥¬ë ¥ à ¢®á¨«ìë; ¯ à ««¥«ìë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ á¨á⥬ ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨©; ᮢ¯ ¤ îâ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ãà ¢¥¨ï á¨á⥬ë à ¢®á¨«ìë. Ǒ।¯®«®¨¬ á ç « , çâ® ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå ¥ ¯à®¯®à樮 «ìë, â.¥. AA12 6= BB12 ¨«¨ BB12 6= CC21 . «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® AA1 6= BB1 . ¡¥¤¨¬áï, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯«®áª®á⨠¯¥à¥á¥2 2 ª îâáï. Ǒਤ ¤¨¬ z ¯à®¨§¢®«ì®¥ § 票¥ z = z0 ¨ § ¯¨è¥¬ á¨á⥬ã (10) ¢ ¢¨¤¥ A1 x + B1 y = C1 z0 D1 ; (11) A2 x + B2 y = C2 z0 D2 : á«®¢¨¥ AA1 6= BB1 à ¢®á¨«ì® ⮬ã, çâ® 2 2 ®ª § ⥫ìá⢮.
A1 A2
B1 6= 0: B2
Ǒ®í⮬㠯® ⥮६¥ 1 ¨§ x1 á¨á⥬ (11) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. ¡®§ 稬 ¥£® ç¥à¥§ (x0 ; y0). ®£¤ âனª ç¨á¥« (x0 ; y0; z0) ¡ã¤¥â à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (10). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯«®áª®á⨠1 ¨ 2 ¨¬¥îâ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤ã ®¡éãî â®çªã, â.¥. ®¨ «¨¡® ¯¥à¥á¥ª îâáï, «¨¡® ᮢ¯ ¤ îâ. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¯«®áª®á⨠ᮢ¯ ¤ îâ. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ 3 ¯«®áª®áâì á ãà ¢¥¨¥¬ z = z0. Ǒ¥à¥á¥ç¥¨¥ (ᮢ¯ ¤ îé¨å) ¯«®áª®á⥩ 1 ¨ 2 á 3 ᮤ¥à¨â â®çªã M0(x0 ; y0; z0), § ç¨â, ®® ᮤ¥à¨â ¨ ¥ª®â®àãî ¯àï¬ãî. ¢á¥å â®ç¥ª í⮩ ¯àאַ© âà¥âìï ª®®à¤¨ â à ¢ z0 (â ª ª ª ®¨ «¥ â ¢ ¯«®áª®á⨠3). Ǒãáâì M1(x1 ; y1; z0) | â®çª í⮩ ¯àאַ©, ®â«¨ç ï ®â M0. ®£¤ ¯ à ç¨á¥« (x1 ; y1) ®â«¨ç ®â (x0 ; y0) ¨ ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (11). ® íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ®, ª ª ®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥, íâ á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯«®áª®á⨠1 ¨ 2 ¯¥à¥á¥ª îâáï.
x
8. Ǒ«®áª®áâì ¢ ¯à®áâà á⢥
85
ë ¤®ª § «¨, çâ® ¥á«¨ AA12 6= BB21 ¨«¨ BB12 6= CC12 , â® ¯«®áª®á⨠¯¥à¥á¥ª îâáï. ¥à® ¨ ®¡à ⮥ ã⢥थ¨¥. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¥¤¯®«®¨¬, çâ® ¯«®áª®á⨠1 ¨ 2 ¯¥à¥á¥ª îâáï, ® AA1 = BB1 = CC1 . Ǒ®«®¨¬ 2 2 2 A1 = t. ®£¤ á¨á⥬ã (10) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ A 2
tA2 x A2 x
+ tB2y + tC2z + D1 = 0; + B2y + C2z + D2 = 0:
᫨ DD12 = t, â® ãà ¢¥¨ï ¯®á«¥¤¥© á¨á⥬ë à ¢®á¨«ìë, ¥á«¨ D1 6= t, â® íâ á¨á⥬ ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨©. ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ¯«®áª®á⨠D2 1 ¨ 2 ᮢ¯ ¤ îâ, ¢® ¢â®à®¬ ®¨ ¯ à ««¥«ìë. ¨ â® ¨ ¤à㣮¥ ¥¢®§¬®®, â ª ª ª ¬ë ¯à¥¤¯®«®¨«¨, çâ® í⨠¯«®áª®á⨠¯¥à¥á¥ª îâáï. Ǒ®«ã祮¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ § ¢¥àè ¥â ¤®ª § ⥫ìá⢮ ã⢥थ¨ï 1. ⢥थ¨ï 2 ¨ 3 ¤®ª §ë¢ îâáï «®£¨ç® ã⢥थ¨ï¬ 2 ¨ 3 ¢ ⥮६¥ 3 ¨§ x7. ¥®à¥¬ 3 ¤®ª § .
4.
Ǒ®«ã¯à®áâà á⢠, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¯«®áª®áâìî
Ǒ®ª ¥¬, ª ª ¯® ãà ¢¥¨î ¯«®áª®á⨠¨ ª®®à¤¨ â ¬ ¤¢ãå â®ç¥ª, ¥ «¥ é¨å ¢ í⮩ ¯«®áª®áâ¨, ¢ëïá¨âì, «¥ â «¨ ®¨ ¯® ®¤ã áâ®à®ã ¨«¨ ¯® à §ë¥ áâ®à®ë ®â ¯«®áª®áâ¨. ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì ¯«®áª®áâì § ¤ ãà ¢¥¨¥¬ Ax + By + Cz + D = 0. ®£¤ ¢¥ªâ®à ~n = (A; B; C ) §ë¢ ¥âáï £« ¢ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¯«®áª®á⨠.
à ¢¨¢ ï íâ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ᮠ᪠§ ë¬ á. 79, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¥á«¨ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â | ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ , â® £« ¢ë© ¢¥ªâ®à ¯«®áª®á⨠ï¥âáï ¥¥ ®à¬ «ìë¬ ¢¥ªâ®à®¬.
86
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
M1
rBM
BB~n B BB Br M0
¨á. 10 ⬥⨬, çâ® £« ¢ë© ¢¥ªâ®à ¯«®áª®á⨠®¯à¥¤¥«¥ ¥®¤®§ ç®. á ¬®¬ ¤¥«¥, ïá®, çâ® ¥á«¨ t | ¥ã«¥¢®¥ ç¨á«®, â® ãà ¢¥¨ï Ax + By + Cz + D = 0 ¨ tAx + tBy + tCz + tD = 0 ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤ã ¨ âã ¥ ¯«®áª®áâì, £« ¢ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ ª®â®à®© ¡ã¤ãâ ª ª (A; B; C ), â ª ¨ (tA; tB; tC ). â® ¥ ¢à¥¬ï ¨§ 㪠§ ®£® ¢ ⥮६¥ 3 ªà¨â¥à¨ï ᮢ¯ ¤¥¨ï ¯«®áª®á⥩ ¢ë⥪ ¥â, çâ® «î¡ë¥ ¤¢ £« ¢ëå ¢¥ªâ®à ¯«®áª®á⨠ª®««¨¥ àë. ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ ~n | £« ¢ë© ¢¥ªâ®à ¯«®áª®á⨠, â® ¢¥ªâ®à ~n ¥ ª®««¨¥ ॠ. ®ª § ⥫ìá⢮ í⮣® ä ªâ ¢¯®«¥ «®£¨ç® ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã «®£¨ç®£® ä ªâ ® £« ¢®¬ ¢¥ªâ®à¥ ¯àאַ©, ¯à¨¢¥¤¥®¬ã ¢ x7 (á¬. á. 69). Oâ«®¨¬ ¢¥ªâ®à ~n ®â â®çª¨ M0 2 . ®¥æ ¢¥ªâ®à ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ M1. ®çª M1 ¥ «¥¨â ¢ , ¯®áª®«ìªã ¢¥ªâ®à ~n ¥ ª®««¨¥ ॠ. ᥠ¯à®áâà á⢮ ¤¥«¨âáï ¯«®áª®áâìî âਠ¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ç áâ¨: ¯«®áª®áâì ¨ ¤¢ ¯®«ã¯à®áâà á⢠(¢ ª ¤®¥ ¨§ íâ¨å ¯®«ã¯à®áâà á⢠¢å®¤ïâ ⥠¨ ⮫쪮 ⥠â®çª¨, ª®â®àë¥ à ᯮ«®¥ë ¯® ª ªãî-«¨¡® ®¤ã áâ®à®ã ®â ¯«®áª®áâ¨). ¡®§ 稬 â® ¯®«ã¯à®áâà á⢮, ¢ ª®â®à®© «¥¨â â®çª M1, ç¥à¥§ , ¤à㣮¥ | ç¥à¥§ (à¨á. 10). ¥®à¥¬ 4. Ǒãáâì M (x0 ; y 0 ; z 0 ) | ¯à®¨§¢®«ì ï â®çª ¯à®áâà á⢠.
᫨ M 2 , â® Ax0 + By 0 + Cz 0 + D > 0, ¥á«¨ M 2 , â® Ax0 + By0 + Cz 0 + D < 0. ®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ â¥®à¥¬ë ¬ë ¥ ¯à¨¢®¤¨¬, ¯®áª®«ìªã ®® ¢¯®«¥ «®£¨ç® ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ⥮६ë 4 ¨§ x7. § ⥮६ë 4 ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî騩 ä ªâ: â®çª¨ P (x1 ; y1 ; z1 ) ¨ Q(x2 ; y2 ; z2 ) à ᯮ«®¥ë ¯® ®¤ã áâ®à®ã (¯® à §ë¥ áâ®à®ë ) ®â ¯«®áª®á⨠Ax + By + Cz + D = 0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ç¨á« Ax1 +By1 +Cz1 +D = 0
87
x
8. Ǒ«®áª®áâì ¢ ¯à®áâà á⢥
+
+
+ =0
(
¨ Ax2 By2 Cz2 D ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© § ª ᮮ⢥âá⢥® | à §ë¥ § ª¨ 5.
).
ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ ¤® ¯«®áª®áâ¨
㤥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® á¨á⥬ ª®®à¤¨ â, § ¤ ï ¢ ¯à®áâà á⢥, | ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ . è 楫ì | 㪠§ âì ä®à¬ã«ã ¤«ï à ááâ®ï¨ï ®â â®çª¨ ¤® ¯«®áª®áâ¨. Ǒãáâì ¯«®áª®áâì § ¤ ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬ Ax + By + Cz + D = 0, M (x0 ; y0 ; z 0) | ¥ª®â®à ï â®çª ¯à®áâà á⢠. Ǒ®áª®«ìªã á¨á⥬ ª®®à¤¨ â | ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ , â®, ª ª ®â¬¥ç «®áì á. 79, ¢¥ªâ®à ~n = (A; B; C ) ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïॠª . ¡®§ 稬 ç¥à¥§ d(M; ) à ááâ®ï¨¥ ®â M ¤® . ®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãîé ï ä®à¬ã« : jAx0 + By0 + Cz 0 + Dj : (12) d(M; ) = p 2 A + B2 + C 2 ë ®¯ã᪠¥¬ ¢ë¢®¤ í⮩ ä®à¬ã«ë, ¯®áª®«ìªã ® «®£¨ç¥ ¢ë¢®¤ã ä®à¬ã«ë (16) ¨§ x7. 6.
£®« ¬¥¤ã ¯«®áª®áâﬨ
㤥¬ ¯®-¯à¥¥¬ã ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® á¨á⥬ ª®®à¤¨ â, § ¤ ï ¢ ¯à®áâà á⢥, ï¥âáï ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®©. è 楫ì | ãç¨âìáï 室¨âì 㣮« ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¯«®áª®áâﬨ. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¨¬¥îâáï ¤¢¥ ¯«®áª®áâ¨, § ¤ ë¥ ª®®à¤¨ â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨, | ¯«®áª®á⨠1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ¨ 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0: 㤥¬ áç¨â âì, ç⮠㣮« ¬¥¤ã ¯«®áª®áâﬨ à ¢¥ 㣫㠬¥¤ã ¨å ®à¬ «ì묨 ¢¥ªâ®à ¬¨. ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (5) ¨§ x3, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¥á«¨ | 㣮« ¬¥¤ã ¯«®áª®áâﬨ 1 ¨ 2 , â®
os = p 2 A1 A22 + B21Bp2 +2C1C22 2 : A1 + B1 + C1 A2 + B2 + C2
᫨ ®¤ ¨§ ¯«®áª®á⥩ § ¤ ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¨«¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨, â® ã® á ç « ©â¨ ¥¥ ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥ ( ¥á«¨ ®¡¥ ¯«®áª®á⨠§ ¤ ë \¥¯®¤å®¤ï騬¨" ãà ¢¥¨ï¬¨, â® ©â¨ ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥ ª ¤®© ¨§ ¨å), § ⥬ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ëè¥ ä®à¬ã«®©. ⬥⨬, çâ® ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¯«®áª®áâﬨ ¢á¥£¤ ¨¬¥îâáï ¤¢ 㣫 , ®¤¨ ¨§ ª®â®àëå ®áâàë©, ¤à㣮© | â㯮© (§ ¨áª«î票¥¬ á«ãç ï
88
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàëå ¯«®áª®á⥩, ª®£¤ 㣫®¢ ⮥ ¤¢ , ® ®¡ ®¨ à ¢ë ). ë ¥ § ¥¬, ª ª ¤à㣠®â®á¨â¥«ì® ¤à㣠⥠®à2¬ «ìë¥ ¢¥ªâ®àë ¤¢ãå à ᯮ«®¥ë ¯«®áª®á⥩, á ¯®¬®éìî ª®â®àëå ¬ë ã稫¨áì 室¨âì 㣮« ¬¥¤ã ¯«®áª®áâﬨ. Ǒ®í⮬ã á ¯®¬®éìî ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ëè¥ ä®à¬ã«ë ¬ë ¬®¥¬ ¯®«ãç¨âì ª ª ®áâàë©, â ª ¨ â㯮© 㣮«, ¯à¨ç¥¬ § à ¥¥ ¥¨§¢¥áâ®, ª ª®© ¨¬¥®.
᫨ âॡã¥âáï ©â¨ ª ª®©-â® ª®ªà¥âë© ã£®«, â® á«¥¤ã¥â ¤¥©á⢮¢ âì â ª, ª ª ®¯¨á ® ¢ ª®æ¥ x7. x9.
Ǒàï¬ ï ¢ ¯à®áâà á⢥
ª ¨ ¢ \¯«®áª®¬" á«ãç ¥, ¨§ã票¥ ¯àאַ© ¢ ¯à®áâà á⢥ ®á®¢ ® ¯®ïâ¨ïå ª®®à¤¨ âëå ¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯àאַ© ¢ ¯à®áâà á⢥. Ǒ।¢ à¨â¥«ì® ¬ë ®§ ª®¬¨¬áï á í⨬¨ ¯®ïâ¨ï¬¨ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© «¨¨¨. 1.
®®à¤¨ âë¥ ¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï «¨¨¨
ª ¨ ¢ ç «¥ x8, ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ F (x; y; z) ¢ëà ¥¨¥, ᮤ¥à 饥 ¯¥à¥¬¥ë¥ x; y ¨ z, ª®áâ âë, § ª¨ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¤¥©á⢨© ¨ í«¥¬¥â àëå äãªæ¨©. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ § 䨪á¨à®¢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. î¡ãî ªà¨¢ãî ¢ ¯à®áâà á⢥ ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì (à §ã¬¥¥âáï, ¬®£¨¬¨ à §«¨ç묨 ᯮᮡ ¬¨) ª ª ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¤¢ãå ¯®¢¥àå®á⥩. Ǒ®í⮬㠥áâ¥áâ¢¥ë¬ ï¢«ï¥âáï á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì «¨¨ï ` ï¥âáï ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ ¯®¢¥àå®á⥩ 1 ¨ 2 , ¯®¢¥àå®áâì 1 § ¤ ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬ F1(x; y; z ) = 0, ¯®¢¥àå®áâì 2 | ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬ F2(x; y; z) = 0. ®£¤ á¨á⥬ F1 (x; y; z ) = 0; F2 (x; y; z ) = 0 §ë¢ ¥âáï á¨á⥬®© ª®®à¤¨ âëå ãà ¢¥¨© (¨«¨ ¯à®áâ® ª®®à¤¨ â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ ) «¨¨¨ `. ®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯à®áâà á⢠, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ïîâáï à¥è¥¨ï¬¨ í⮩ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨©, §ë¢ ¥âáï ¥¥ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬. ⬥⨬, çâ® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®®à¤¨ ⮣® ãà ¢¥¨ï ¯®¢¥àå®á⨠(á¬. ç «® x8) ¨ ⮣® ä ªâ , çâ® «¨¨ï ` ¥âáï ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ ¯®¢¥àå®á⥩ 1 ¨ 2, ¢ë⥪ ¥â, çâ® ª®®à¤¨ âë ¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¨ ¯à®áâà á⢠㤮¢«¥â¢®àïîâ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ âëå ãà ¢¥¨© «¨¨¨ ` ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ íâ â®çª «¥¨â `.
x
9. Ǒàï¬ ï ¢ ¯à®áâà á⢥
89
Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥àë. Ǒãáâì 1 ¨ 2 | ¯«®áª®áâ¨, § ¤ ë¥ ª®®à¤¨ â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ 2x y + z 1 = 0 ¨ x +3y z = 0 ᮮ⢥âá⢥®. ®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå ¢ ãà ¢¥¨ïå ¯«®áª®á⥩ ¥ ¯à®¯®à樮 «ìë. âáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¯«®áª®á⨠1 ¨ 2 ¯¥à¥á¥ª îâáï (á¬. ⥮६ã 3 ¢ x8). «¥¤®¢ ⥫ì®, á¨á⥬ ãà ¢¥¨© 2x y + z 1 = 0; x + 3y z =0 ï¥âáï á¨á⥬®© ª®®à¤¨ âëå ãà ¢¥¨© ¥ª®â®à®© ¯àאַ© (⮩, ¯® ª®â®à®© ¯¥à¥á¥ª îâáï ¯«®áª®á⨠1 ¨ 2 ). ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ®¡à ⮩ § ¤ ç¨ à áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî: ¤®ª § âì, çâ® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© 2 x + y2 + z 2 2x 4y + 4z + 5 = 0; x y+ z =0 ï¥âáï ®ªàã®áâì, ¨ ©â¨ ¥¥ à ¤¨ãá. ¥â®¤®¬ ¢ë¤¥«¥¨ï ¯®«®£® ª¢ ¤à â «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ 㪠§ ®© á¨á⥬ë à ¢®á¨«ì® ãà ¢¥¨î (x 1)2 + (y 2)2 + (z + 2)2 = 4. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®® § ¤ ¥â áä¥àã 1 à ¤¨ãá 2 á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ (1; 2; 2). â®à®¥ ãà ¢¥¨¥ § ¤ ¥â ¯«®áª®áâì 2 . ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (12) ¨§ x8, ¯®«ãç ¥¬, çâ® à ááâ®ï¨¥ ®â æ¥âà áä¥àë 1 ¤® ¯«®áª®á⨠2 à ¢® p 3. ® ¬¥ìè¥ à ¤¨ãá áä¥àë. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯«®áª®áâì ¨ áä¥à ¯¥à¥á¥ª îâáï ¯® ®ªàã®áâ¨. ¡®§ 稬 à ¤¨ãá í⮩ ®ªàã®á⨠ç¥à¥§ r, à ¤¨ãá áä¥àë | ç¥à¥§ R, æ¥âà ®ªàã®á⨠ç¥à¥§ A, æ¥âà áä¥àë | ç¥à¥§ C . á®, çâ® jCAj2 + r2 = R2. Ǒ®áª®«ìªã jCAj = p3, R = 2, ¨¬¥¥¬ r = 1. Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª ¯®ïâ¨î ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© «¨¨¨ ¢ ¯à®áâà á⢥. ¨ ¢¢®¤ïâáï «®£¨ç® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨ï¬ «¨¨¨ ¯«®áª®á⨠(á¬. ç «® x7). Ǒ।¯®«®¨¬ ¯®-¯à¥¥¬ã, çâ® ¢ ¯à®áâà á⢥ § 䨪á¨à®¢ ¥ª®â®à ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. áᬮâਬ ¥ª®â®àãî «¨¨î `. Ǒ।áâ ¢¨¬ ¥¥ ᥡ¥ ª ª âà ¥ªâ®à¨î ¤¢¨¥¨ï â®çª¨ M (x; y; z). Ǒ®áª®«ìªã íâ â®çª ¤¢¨¥âáï, ¥¥ ª®®à¤¨ âë á â¥ç¥¨¥¬ ¢à¥¬¥¨ ¬¥ïîâáï, â.¥. ïîâáï äãªæ¨ï¬¨ ¢à¥¬¥¨. Ǒãáâì ª®®à¤¨ â x ¥áâì äãªæ¨ï f (t), ª®®à¤¨ â y | äãªæ¨ï g(t), ª®®à¤¨ â z | äãªæ¨ï h(t). ®£¤ á¨á⥬ ãà ¢¥¨© 8 < x = f (t); y = g(t); (1) : z = h(t) §ë¢ ¥âáï á¨á⥬®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© (¨«¨ ¯à®áâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ) «¨¨¨ `. Ǒਠí⮬ ¥áãé¥á⢥®, ¯®¨¬ ¥âáï «¨ t ª ª ¢à¥¬ï ¨«¨ ª ª ¯à®¨§¢®«ìë© ¯ à ¬¥âà, ¯à¨¨¬ î騩
90
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
¢ ª ç¥á⢥ § 票© ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« (¬ë ç «¨ á ¨â¥à¯à¥â 樨 t ª ª ¢à¥¬¥¨ ¨áª«îç¨â¥«ì® ¤«ï ¡®«ì襩 £«ï¤®áâ¨). Ǒ¥à¥¬¥ ï t §ë¢ ¥âáï ¯ à ¬¥â஬. ¡« áâì ¨§¬¥¥¨ï t ¬®¥â ¥ ᮢ¯ ¤ âì á ¬®¥á⢮¬ ¢á¥å ¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥« R , ®£à ¨ç¨¢ âìáï ¥ª®â®àë¬ ¥£® ¯à®¬¥ã⪮¬. Ǒ®¤ç¥àª¥¬, çâ® ¥á«¨ á¨á⥬ (1) ï¥âáï á¨á⥬®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¥ª®â®à®© «¨¨¨ `, â® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ M (x; y; z) ` áãé¥áâ¢ã¥â § 票¥ t, ¯à¨ ¤«¥ 饥 ®¡« á⨠¨§¬¥¥¨ï ¯ à ¬¥âà , â ª®¥, çâ® ¢ë¯®«¥ë à ¢¥á⢠(1). , ®¡à â®, ¥á«¨ t ¯à¨ ¤«¥¨â ®¡« á⨠¨§¬¥¥¨ï ¯ à ¬¥âà , â® â®çª , ª®®à¤¨ âë ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«¥ë à ¢¥á⢠¬¨ (1), «¥¨â `. ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à á®áâ ¢¨¬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ®ªàã®áâ¨ à ¤¨ãá 2 á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ C (0; 0; 1) ¨ à ᯮ«®¥®© ¢ ¯«®áª®áâ¨, ¯ à ««¥«ì®© ¯«®áª®á⨠Oxy (¢ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â). «ì¥©è¨¥ à áá㤥¨ï ¨««îáâà¨àã¥â à¨á. 11. Ǒãáâì M (x; y; z) | ¯à®¨§¢®«ì ï â®çª ®ªàã®áâ¨. Ǒ®áª®«ìªã ¯«®áª®áâì, ¢ ª®â®à®© à ᯮ«®¥ ®ªàã®áâì, ¯ à ««¥«ì ¯«®áª®á⨠Oxy, ¯¯«¨ª âë (âà¥âì¨ ª®®à¤¨ âë) â®ç¥ª M ¨ C ᮢ¯ ¤ îâ, â.¥. z = 1. â â®çª¨ C ®â«®¨¬ ¥ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ~a, á® ¯à ¢«¥ë© á ¯®«®¨â¥«ìë¬ ¯à ¢«¥¨¥¬!®á¨ Ox, ¨ ¢®§ì¬¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥âà 㣮« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ CM ¨ ~a (®âáç¨âë¢ ¥¬ë© ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨). ç¨âë¢ ï, çâ® à ¤¨ãá ®ªàã®áâ¨ à ¢¥ 2, ¨¬¥¥¬ 8 <x
y : z
= 2 os t; = 2 sin t; =1 :
(2)
¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® ¨ ®¡à â®, ¥á«¨ ª®®à¤¨ âë (x; y; z) ¥ª®â®à®© â®çª¨ M 㤮¢«¥â¢®àïîâ í⮩ á¨á⥬¥ ãà ¢¥¨©, â® â®çª M «¥¨â 襩 ®ªàã®áâ¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, (2) | ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï í⮩ ®ªàã®áâ¨. â ª, ¯® § ¤ ®© «¨¨¨ ` ¬ë á®áâ ¢¨«¨ ¥¥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï.
91
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¨á. 11 ¡à âãî § ¤ çã ¬ë §¤¥áì à áᬠâਢ âì ¥ ¡ã¤¥¬. 2.
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¥®à¥¬ 1. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ § ¤ ¯à®¨§¢®«ì ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. ®£¤ ¢áïª ï ¯àï¬ ï ¢ ¯à®áâà á⢥ ¬®¥â ¡ëâì § ¤ á¨á⥬®© ãà ¢¥¨© ¢¨¤
A1 x A2 x
+ B1y + C1z + D1 = 0; + B2y + C2z + D2 = 0;
(3)
¢ ãà ¢¥¨ïå ª®â®à®© ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå ¥ ¯à®¯®à樮 «ìë. ¡à â®, ¢áïª ï á¨á⥬ ãà ¢¥¨© ¢¨¤ , ¢ ãà ¢¥¨ïå ª®â®à®© ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå ¥ ¯à®¯®à樮 «ìë, ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯àï¬ãî.
(3)
®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ § ¤ ¯àï¬ ï `. Ǒ।áâ ¢¨¬ ` ª ª ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¤¢ãå ¯«®áª®á⥩ 1 ¨ 2 . Ǒãáâì A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ¨ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 | ª®®à¤¨ âë¥ ãà ¢¥¨ï ¯«®áª®á⥩ 1 ¨ 2 ᮮ⢥âá⢥®. Ǒ®áª®«ìªã ¯«®áª®á⨠¯¥à¥á¥ª îâáï, ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå ¢ ¨å ãà ¢¥¨ïå ¥ ¯à®¯®à樮 «ìë (á¬. ⥮६ã 3 ¢ x8). á®, çâ® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (3) ¡ã¤¥â ¢ â®ç®á⨠¯àï¬ ï `. Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ â¥®à¥¬ë ¤®ª § ®. ®ª ¥¬ ¢â®à®¥ ã⢥थ¨¥. áᬮâਬ á¨á⥬ã (3). ¤®¥ ¨§ ¤¢ãå ãà ¢¥¨©, ¢å®¤ïé¨å ¢ íâã á¨á⥬ã, § ¤ ¥â ¥ª®â®àãî ¯«®áª®áâì.
92
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
⨠¤¢¥ ¯«®áª®á⨠¯¥à¥á¥ª îâáï, ¯®áª®«ìªã ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå ¢ ãà ¢¥¨ïå á¨á⥬ë (3) ¥ ¯à®¯®à樮 «ìë (¢®¢ì á¬. ⥮६ã 3 ¢ x8). á®, çâ® ¯àï¬ ï, ¯® ª®â®à®© ¯¥à¥á¥ª îâáï í⨠¯«®áª®áâ¨, § ¤ ¥âáï á¨á⥬®© (3). ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . ¨á⥬ ãà ¢¥¨© ¢¨¤ (3), ¢ ãà ¢¥¨ïå ª®â®à®© ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå ¥ ¯à®¯®à樮 «ìë, §ë¢ ¥âáï á¨á⥬®© ª®®à¤¨ âëå ãà ¢¥¨© (¨«¨ ¯à®áâ® ª®®à¤¨ â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ ) ¯àאַ© ¢ ¯à®áâà á⢥. àï¤ã á í⨬ â¥à¬¨®¬ ¢ ⮬ ¥ á¬ëá«¥ ç á⮠㯮âॡ«ïîâ â¥à¬¨ á¨á⥬ ®¡é¨å ãà ¢¥¨© (¨«¨ ®¡é¨¥ ãà ¢¥¨ï ) ¯àאַ© ¢ ¯à®áâà á⢥. Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨ï¬ ¯àאַ©. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¨á⥬ ãà ¢¥¨© ¢¨¤ 8 < x = x0 + qt; y = y0 + rt; (4) : z = z0 + st §ë¢ ¥âáï á¨á⥬®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© âà¥â쥣® ⨯ (¨«¨ ¯à®áâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ âà¥â쥣® ⨯ ), ¥á«¨ q2 + r2 + s2 6= 0. ª ®¡ëç®, ãá«®¢¨¥ q2 + r2 + s2 6= 0 ®§ ç ¥â, çâ® ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® ¨§ ç¨á¥« q; r ¨ s ®â«¨ç® ®â ã«ï. ¥®à¥¬ 2. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ § ¤ ¯à®¨§¢®«ì ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. ®£¤ ¢áïª ï ¯àï¬ ï ¢ ¯à®áâà á⢥ ¬®¥â ¡ëâì § ¤ á¨á⥬®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© âà¥â쥣® ⨯ , ¨, ®¡à â®, «î¡ ï á¨á⥬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© âà¥â쥣® ⨯ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯àï¬ãî.
®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ â¥®à¥¬ë ¯®«®áâìî «®£¨ç® ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ⥮६ë 2 ¨§ x7, ¨ ¯®â®¬ã ¬ë ¥£® ®¯ã᪠¥¬. ⬥⨬ ⮫쪮, çâ® ¥á«¨ ¯àï¬ ï § ¤ ãà ¢¥¨ï¬¨ (4), â® â®çª M0(x0 ; y0; z0) ¯à¨ ¤«¥¨â í⮩ ¯àאַ©, ¢¥ªâ®à á ª®®à¤¨ â ¬¨ (q; r; s) ª®««¨¥ ॠ¥©. ¨á⥬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© âà¥â쥣® ⨯ , § ¤ îé ï ¯àï¬ãî, §ë¢ ¥âáï á¨á⥬®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© (¨«¨ ¯à®áâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ) í⮩ ¯àאַ©. ª ¥¬ ¥é¥ ¤¢ ¢¨¤ ãà ¢¥¨© ¯àאַ© ¢ ¯à®áâà á⢥. Ǒãáâì ¯àï¬ ï § ¤ á¨á⥬®© ãà ¢¥¨© (4) (¢ ª®â®à®© ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® ¨§ ç¨á¥« q; r ¨ s ®â«¨ç® ®â ã«ï). ëà ï ¯ à ¬¥âà t ¨§ ª ¤®£® ¨§ ãà ¢¥¨© í⮩ á¨áâ¥¬ë ¨ ¯à¨à ¢¨¢ ï ¯®«ãç¥ë¥ ¢ëà ¥¨ï, ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥á⢠x x0 y y0 z z0 = r = s ; (5) q
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x
9. Ǒàï¬ ï ¢ ¯à®áâà á⢥
ª®â®àë¥ §ë¢ îâáï ª ®¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ¯àאַ© ¢ ¯à®áâà á⢥. ⬥⨬, çâ® ®¤¨ ¨«¨ ¤¢ ¨§ § ¬¥ ⥫¥© ¢ (5) (® ¥ ¢á¥ âà¨!) ¬®£ãâ ¡ëâì à ¢ë ã«î. í⮬ á«ãç ¥ à ¢¥á⢠(5) ¯®¨¬ îâáï ª ª ᮢ®ªã¯®áâì ¤¢ãå ¯à®¯®à権. ª, ãà ¢¥¨¥ x 1 y 2 z + 18 1 = 0 = 0 ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¤à㣮© ᯮᮡ § ¯¨á¨ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (x 1) 0 = (y 2) 1; (x 1) 0 = (z + 18) 1; ¨ ¯®â®¬ã § ¤ ¥â ¯àï¬ãî y 2 = 0; z + 18 = 0: ¯à¥¤¥«¥¨¥. î¡®© ¥ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à, ª®««¨¥ àë© ¤ ®© ¯àאַ©, §ë¢ ¥âáï ¥¥ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬. § í⮣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¨¤®, çâ® ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ¯àאַ© ®¯à¥¤¥«¥ ¥®¤®§ ç®. Ǒàï¬ ï ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® (ª®««¨¥ àëå ¤à㣠¤àã£ã) ¯à ¢«ïîé¨å ¢¥ªâ®à®¢. ⬥⨬ ¥é¥, çâ®
¤«ï ¯àאַ© ¢ ¯à®áâà á⢥ ¯®ï⨥ ®à¬ «ì®£® ¢¥ªâ®à ¥ ®¯à¥¤¥«¥®.
Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¬ë § ¥¬ ¤¢¥ à §«¨çë¥ â®çª¨, ¯à¨ ¤«¥ 騥 ¯àאַ©: M0(x0 ; y0; z0) ¨ M1(x1 ; y1; z1). ®£¤ ¢¥ªâ®à M0M!1 = (x1 x0; y1 y0; z1 z0) ª®««¨¥ ॠ¯àאַ© ¨ ®â«¨ç¥ ®â ã«ì-¢¥ªâ®à . Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¥£® ª®®à¤¨ âë ¢ ª ®¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯àאַ©, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî騥 à ¢¥á⢠, ª®â®àë¥ §ë¢ îâáï ãà ¢¥¨ï¬¨ ¯àאַ© ¯® ¤¢ã¬ â®çª ¬: x x0 x1 x0
= yy1
y0 y0
§ ᪠§ ®£® ¢ëè¥ ¢ë⥪ ¥â, çâ®:
= zz1
z0 : z0
(6)
(4) (5)
¥á«¨ ¯àï¬ ï § ¤ «î¡ë¬ ¨§ ãà ¢¥¨© ¨ , â® ¢¥ªâ®à á ª®®à¤¨ â ¬¨ q; r; s ï¥âáï ¥¥ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬; ¥á«¨ ¯àï¬ ï § ¤ «î¡ë¬ ¨§ ãà ¢¥¨© ¨ , â® â®çª á ª®®à¤¨ â ¬¨ x0 ; y0 ; z0 ¯à¨ ¤«¥¨â ¯àאַ© ï¥âáï ¥¥ ç «ì®© â®çª®©
(
(
)
(
).
)
(4), (5)
(6)
94
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
áᬮâਬ ¢®¯à®á ® ¯¥à¥å®¤¥ ®â ®¤®£® ¢¨¤ ãà ¢¥¨ï ¯àאַ© ª ¤à㣮¬ã. Ǒ¥à¥å®¤ ®â ª®®à¤¨ âëå ãà ¢¥¨© ª ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à®¢¥¤¥¬ ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥. Ǒãáâì ¯àï¬ ï ` § ¤ ª®®à¤¨ â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ (3). ©¤¥¬ ¥¥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï. «ï í⮣® ¥®¡å®¤¨¬® § âì ª®®à¤¨ âë å®âï ¡ë ®¤®© â®çª¨ ¯àאַ© ¨ ª®®à¤¨ âë ¥¥ ¯à ¢«ïî饣® ¢¥ªâ®à . ®®à¤¨ âë «î¡®© â®çª¨, ¯à¨ ¤«¥ 饩 ¯àאַ©, ïîâáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (3). Ǒ®áª®«ìªã ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå ¢ ãà ¢¥¨ïå í⮩ á¨áâ¥¬ë ¥ ¯à®¯®à樮 «ìë, ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® AA12 6= BB21 . â® ¥à ¢¥á⢮ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ A1 B1 A2 B2 6= 0:
«¥¥, á¨á⥬ã (3) ¬ ¡ã¤¥â 㤮¡® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ A1 x + B1 y = C1 z D1 ; (7) A2 x + B2 y = C2 z D2 : Ǒਤ ¤¨¬ z ¥ª®â®à®¥ § 票¥ z0. ¨á⥬ (7) ¯à¥¢à â¨âáï ¢ á¨á⥬ã á ¤¢ã¬ï ¥¨§¢¥áâ묨: A1 x + B1 y = C1 z0 D1 ; (8) A2 x + B2 y = C2 z0 D2 : ᨫã ᪠§ ®£® ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì á¨á⥬ë (8) ®â«¨ç¥ ®â 0. Ǒ® ⥮६¥ 1 ¨§ x1 ® ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ (x0 ; y0): A1 x0 + B1 y0 = C1 z0 D1 ; (9) A2 x0 + B2 y0 = C2 z0 D2 : ª¨¬ ®¡à §®¬, âனª ç¨á¥« (x0 ; y0; z0) ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (3). ë 諨 ç «ìãî â®çªã ¯àאַ©. áâ «®áì ©â¨ ¥¥ ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à. § ¯¥à¢®£® ãà ¢¥¨ï á¨á⥬ë (8) ¢ëç⥬ ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ á¨á⥬ë (9), ¨§ ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï á¨á⥬ë (8) | ¢â®à®¥ ãà ¢¥¨¥ á¨á⥬ë (9). Ǒ®«ã稬 á¨á⥬ã A1 (x x0 ) + B1 (y y0) = C1 (z z0 ); A2 (x x0 ) + B2 (y y0) = C2 (z z0 ): 㤥¬ ᬮâà¥âì íâã á¨á⥬㠪 ª á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® x x0 ¨ y y0 . ¯à¥¤¥«¨â¥«ì í⮩ á¨áâ¥¬ë ®â«¨ç¥ ®â ã«ï. «¥¤®¢ -
95
x
9. Ǒàï¬ ï ¢ ¯à®áâà á⢥
⥫ì®, ¥¥ à¥è¥¨¥ ¬®® ©â¨ ¯® ⥮६¥ 1 ¨§ x1: C1 (z z0 ) B1 A1 C1 (z C2 (z z0 ) B2 A2 C2 (z x x0 = ; y y = 0 A B A B 1 A2
¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ®
1 B2
1 A2
C1 (z z0 ) B1 = (z z ) B1 0 B2 C2 (z z0 ) B2
A1 A2
C1 (z z0 ) = C2 (z z0 )
z0 ) z0 )
1 B2
:
(10)
C1 ; C2
1 C1 z0 ) A A2 C2 :
(z
«¥¤®¢ ⥫ì®, à ¢¥á⢠(10) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ x x0 z z0 = A B ; yA yC0 = Az Bz0 B C ¨«¨ ¢ ¢¨¤¥
1 B2
1 C2
1 A2
x x0 C1 C2
B1 B2
1 B2
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1 A2
1 C2
y y0 C1 C2
= Az
A1 A2
A1 A2
Ǒ®á«¥¤¨¥ à ¢¥á⢠®§ ç îâ, çâ® ¢¥ªâ®à B1 B2
C1 ; C2
1 A2
1 B2
z0 : 1 B1 A2 B2
C1 ; A1 B1 ~a = C2 A2 B2 ï¥âáï ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ ¯àאַ© `.
(11)
â ª, ¨áå®¤ï ¨§ ª®®à¤¨ âëå ãà ¢¥¨© ¯àאַ©, ¬ë 諨 ¥¥ ç «ìãî â®çªã ¨ ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à, § ç¨â, ¬®¥¬ ¯¨á âì ¨ ¥¥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï: 8 > > x > > > > > > <
y
> > > > > > > > :z
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A1 A2
= y0 =
z0
B1 B2
+
A1 A2
C1 t; C2
C1 t; C2
B1 t: B2
¥à¥¬áï ª à ¢¥áâ¢ã (11), ª®â®à®¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, ª ª ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¯à ¢«ïî饣® ¢¥ªâ®à ¯àאַ© `, § ¤ ®© ª®®à¤¨ â묨
96
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
ãà ¢¥¨ï¬¨ (3). ë ¢ë¢¥«¨ ¥£® ¢ ¯à¥¤¯®«®¥¨¨, çâ® á¨á⥬ ª®®à¤¨ â | ¯à®¨§¢®«ì ï. ®à¬ã«ë ¯®«ã稫¨áì ¤®áâ â®ç® £à®¬®§¤ª¨¬¨ ¨ âàã¤ë¬¨ ¤«ï § ¯®¬¨ ¨ï. ¤ ª® ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â | ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ , ®¨ ¨¬¥îâ ®ç¥ì ¯à®áâãî ¨â¥à¯à¥â æ¨î (¨ ¬®£® ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ ¢ë¢®¤). â ª, ¯à¥¤¯®«®¨¬, çâ® ¯àï¬ ï ` § ¤ á¨á⥬®© ãà ¢¥¨© (3) ¢ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â. ¡®§ 稬 ¯«®áª®áâì, § ¤ ¢ ¥¬ãî ¯¥à¢ë¬ ãà ¢¥¨¥¬ í⮩ á¨á⥬ë, ç¥à¥§ 1 , ¯«®áª®áâì, § ¤ ¢ ¥¬ãî ¢â®àë¬ ãà ¢¥¨¥¬ á¨á⥬ë, | ç¥à¥§ 2. Ǒ®áª®«ìªã ⥯¥àì ¢á¥ ¯à®¨á室¨â ¢ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â, ¢¥ªâ®àë ~n1 = (A1 ; B1; C1) ¨ ~n2 = (A2 ; B2; C2 ) ïîâáï ®à¬ «ì묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ ¯«®áª®á⥩ 1 ¨ 2 ᮮ⢥âá⢥®. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ ~b ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢. ®£¤ ~b ? ~n1. Ǒ®áª®«ìªã ¢¥ªâ®à ~n1 ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïॠª ¯«®áª®á⨠1 , ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢¥ªâ®à ~b ª®««¨¥ ॠ¯«®áª®á⨠1 . «®£¨ç® ¨§ ⮣®, çâ® ~b ? ~n2, ¢¥ªâ®à ~n2 ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïॠª ¯«®áª®á⨠2 , ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¢¥ªâ®à ~b ª®««¨¥ ॠ¯«®áª®á⨠2. ® ⮣¤ ~b ª®««¨¥ ॠ¯àאַ©, ¯® ª®â®à®© ¯¥à¥á¥ª îâáï ¯«®áª®á⨠1 ¨ 2, â.¥. ¯àאַ© `. «¥¥, ¨§ ⮣®, çâ® 1 , 2 , ¢ë⥪ ¥â, çâ® ~n1 , ~n2 . «¥¤®¢ ⥫ì®, ~b = [~n1 ; ~n2 ℄ 6= ~0 (á¬. ᢮©á⢮ 1 á. 29). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¥ªâ®à ~b ï¥âáï ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ ¯àאַ© `. áâ «®áì § ¬¥â¨âì, çâ® ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ ~n1 ¨ ~n2 ¨¬¥¥â ¢ â®ç®á⨠⥠ª®®à¤¨ âë, ª®â®àë¥ ãª § ë ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨ à ¢¥á⢠(11) | á¬. ä®à¬ã«ã (2) ¢ x4. â ª, ¥á«¨ ¢ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¯àï¬ ï § ¤ ª ª ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¤¢ãå ¯«®áª®á⥩, â® ¢ ª ç¥á⢥ ¥¥ ¯à ¢«ïî饣® ¢¥ªâ®à ¬®® ¢§ïâì ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ®à¬ «ìëå ¢¥ªâ®à®¢ íâ¨å ¯«®áª®á⥩.
ë ¯®¤à®¡® à §®¡à «¨ ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ § ¤ çã ¯¥à¥å®¤ ®â ª®®à¤¨ âëå ãà ¢¥¨© ¯àאַ© ª ¥¥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨ï¬. ¡à âãî § ¤ çã à áᬮâਬ ¯à¨¬¥à¥. Ǒãáâì ¯àï¬ ï ` § ¤ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ 8 2t; <x = 1 y = 3 + t; (12) : z = 1 3t: ©¤¥¬ ¥¥ ª®®à¤¨ âë¥ ãà ¢¥¨ï. ®çª (1; 3; 1) ¯à¨ ¤«¥¨â ¯àאַ©, ¢¥ªâ®à ( 2; 1; 3) ï¥âáï ¥¥ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬. Ǒ®í⮬㠬®® áà §ã ¯¨á âì ª ®¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯àאַ© `: x 1 y 3 z+1 2 = 1 = 3:
97
x
9. Ǒàï¬ ï ¢ ¯à®áâà á⢥
§ à ¢¥á⢠¯¥à¢ëå ¤¢ãå ¤à®¡¥© ¯®á«¥ í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯®«ãç ¥¬ x + 2y 7 = 0, ¨§ à ¢¥á⢠¢â®à®© ¨ âà¥â쥩 ¤à®¡¥© ¢ë¢®¤¨âáï, çâ® 3y + z 8 = 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, á¨á⥬ ãà ¢¥¨© x + 2y 7 = 0; (13) 3y + z 8 = 0 ï¥âáï á¨á⥬®© ª®®à¤¨ âëå ãà ¢¥¨© ¯àאַ© `. ã ¥ § ¤ çã ¬®® à¥è¨âì ¨ ¯®-¤à㣮¬ã | . «®¨¢ ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ á¨á⥬ë (12) á ¥¥ ¢â®àë¬ ãà ¢¥¨¥¬, 㬮¥ë¬ 2, ¯®«ã稬 x + 2y 7 = 0. ¬®¨¢ ¢â®à®¥ ãà ¢¥¨¥ á¨á⥬ë 3 ¨ ¯à¨¡ ¢¨¢ ¯®«ã祮¥ à ¢¥á⢮ ª âà¥â쥬ã ãà ¢¥¨î, ¨¬¥¥¬ 3y + z 8 = 0. ë ¯®«ã稫¨ ãà ¢¥¨ï ¤¢ãå ¥¯ à ««¥«ìëå ¯«®áª®á⥩, ª ¤ ï ¨§ ª®â®àëå ᮤ¥à¨â ¯àï¬ãî `. «¥¤®¢ ⥫ì®, á¨á⥬ , á®áâ ¢«¥ ï ¨§ ãà ¢¥¨© íâ¨å ¯«®áª®á⥩, ¡ã¤¥â á¨á⥬®© ª®®à¤¨ âëå ãà ¢¥¨¥© ¯àאַ© `. ⬥⨬, çâ® ¬ë ¢®¢ì ¯®«ã稫¨ á¨á⥬ã (13). ® í⮠ᮢ¯ ¤¥¨¥ á«ãç ©®. ®®à¤¨ âë¥ (ª ª ¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥) ãà ¢¥¨ï ¯àאַ© ¢ ¯à®áâà á⢥ ®¯à¥¤¥«¥ë ¥®¤®§ ç®, ¨ à §ë¥ á¯®á®¡ë à¥è¥¨ï ¬®£ã⠯ਢ®¤¨âì ª à §«¨çë¬ ãà ¢¥¨ï¬ ®¤®© ¨ ⮩ ¥ ¯àאַ©. ¬¥â®¤®¬ ¨áª«îç¥¨ï ¯ à ¬¥âà
3.
§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ ¯àאַ© ¨ ¯«®áª®áâ¨
áᬮâਬ á«¥¤ãî騩 ¢®¯à®á: ª ª ¯® ãà ¢¥¨ï¬ ¯àאַ© ¨ ¯«®áª®á⨠®¯à¥¤¥«¨âì ¨å ¢§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥, â.¥. ¢ëïá¨âì, ¯ à ««¥«ì ¯àï¬ ï ¯«®áª®áâ¨, ¯¥à¥á¥ª ¥â ¥¥ ¨«¨ ᮤ¥à¨âáï ¢ ¥©? ⢥⠥£® ¤ ¥â ¥®à¥¬ 3. Ǒãáâì ¯àï¬ ï
8 <x
` ¨¬¥¥â ãà ¢¥¨¥
= x0 + qt; = y0 + rt; (14) = z0 + st; ¯«®áª®áâì | ãà ¢¥¨¥ Ax + By + Cz + D = 0. 1) ` ¨ ¯¥à¥á¥ª îâáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Aq +Br +Cs 6= 0; 2) ` ¨ ¯ à ««¥«ìë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Aq + Br + Cs = 0 ¨ Ax0 + By0 + Cz0 6= 0; 3) ` «¥¨â ¢ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Aq + Br + Cs = 0 ¨ Ax0 + By0 + Cz0 = 0. y : z
98
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
®ª § ⥫ìá⢮.
Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¯à ¢ë¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠(14) ¢¬¥áâ®
x, y ¨ z ¢ ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨. Ǒ®«ã稬 ãà ¢¥¨¥
A(x0 + qt) + B (y0 + rt) + C (z0 + st) + D = 0:
(15)
᫨ â®çª M (x; y; z) ¯à¨ ¤«¥¨â ®¤®¢à¥¬¥® ¨ ` ¨ , â®, á ®¤®© áâ®à®ë, áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ § 票¥ ¯ à ¬¥âà t, ¯à¨ ª®â®à®¬ x, y ¨ z 㤮¢«¥â¢®àïîâ à ¢¥á⢠¬ (14), á ¤à㣮©, x, y ¨ z 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î ¯«®áª®áâ¨. ® ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ § 票¥ ¯ à ¬¥âà t, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 â®çª¥ M , ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï (15). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯àï¬ ï ` ¨ ¯«®áª®áâì ¯¥à¥á¥ª îâáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ íâ® ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥; ` ¨ ¯ à ««¥«ìë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®® ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨©; ª®¥æ, ` «¥¨â ¢ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ íâ® ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©. à ¢¥¨¥ (15) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ (Aq + Br + Cs)t + (Ax0 + By0 + Cz0 + D) = 0: á®, çâ® ®® ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Aq + Br + Cs 6= 0 (çâ® ¤®ª §ë¢ ¥â ã⢥थ¨¥ 1); ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨© ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Aq + Br + Cs = 0 ¨ Ax0 + By0 + Cz0 6= 0 (çâ® ¤®ª §ë¢ ¥â ã⢥थ¨¥ 2); ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨© ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Aq + Br + Cs = 0 ¨ Ax0 + By0 + Cz0 = 0 (çâ® ¤®ª §ë¢ ¥â ã⢥थ¨¥ 3). ¥®à¥¬ 3 ¤®ª § . 4.
§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ ¤¢ãå ¯àï¬ëå
áᬮâਬ ⥯¥àì á«¥¤ãî騩 ¢®¯à®á: ª ª ¯® ãà ¢¥¨ï¬ ¤¢ãå ¯àï¬ëå ®¯à¥¤¥«¨âì ¢§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ íâ¨å ¯àï¬ëå, â.¥. ¢ëïá¨âì, áªà¥é¨¢ îâáï ®¨, ¯¥à¥á¥ª îâáï, ¯ à ««¥«ìë ¨«¨ ᮢ¯ ¤ îâ? ⢥⠥£® ¤ ¥â ¥®à¥¬ 4. Ǒãáâì ¯àï¬ë¥ 8 x1 q1 t; <x
= + y = y1 + r1 t; : z = z1 + s1 t
`1 ¨ `2 ¨¬¥îâ ãà ¢¥¨ï ¨
8 <x
y : z
= x2 + q2 t; = y2 + r2 t; = z2 + s2t
ᮮ⢥âá⢥®.
1)
`1 ¨ `2 áªà¥é¨¢ îâáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ x2 x1 q1 q2
y2
y1 z2 z1 r1 s1 6= 0; r2 s2
99
x
9. Ǒàï¬ ï ¢ ¯à®áâà á⢥
2)
`1 ¨ `2 ¯¥à¥á¥ª îâáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ x2 x1 q1 q2
¨ «¨¡®
q1 q2
y2 y1 z2 z1 r1 s1 = 0 r2 s2
(16)
6= rr1 , «¨¡® rr1 = 6 ss1 ; 2 2 2
3)
`1 ¨ `2 ¯ à ««¥«ìë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢ë¯®«¥® à q1 r1 s1 x2 x1 y2 y1 = = ¨ «¨¡® = 6 , «¨¡® ¢¥á⢮ (16), q2 r2 s2 q1 r1 y2 y1 z2 z1 6= s ; r1 1
4)
`1 ¨ `2 ᮢ¯ ¤ îâ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢ë¯®«¥® à ¢¥q1 r1 s1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 á⢮ (16), = = ¨ q1 = r1 = s1 . q2 r2 s2
®ª § ⥫ìá⢮. ¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騥 ®¡®§ 票ï: ~ a1 = (q1 ; r1 ; s1 ) | ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ¯àאַ© `1; ~a2 = (q2 ; r2; s2) | ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ¯àאַ© `2; M1(x1 ; y1; z1)!| ç «ì ï â®çª `1; M2(x2 ; y2; z2) | ç «ì ï â®çª `2; ~ = M1M2 = (x2 x1 ; y2 y1; z2 z1) (à¨á. 12). á®, çâ® ¯àï¬ë¥ `1 ¨ `2 «¥ â ¢ ®¤®© ¯«®áª®á⨠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢¥ªâ®àë ~ , a~1 ¨ ~a2 ª®¬¯« àë. ᯮ¬¨ ï ªà¨â¥à¨© ª®¬¯« à®á⨠¢¥ªâ®à®¢, 㪠§ ë© á. 38, ¯®«ãç ¥¬ ã⢥थ¨¥ 1 ¤®ª §ë¢ ¥¬®© ⥮६ë. Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¯àï¬ë¥ «¥ â ¢ ®¤®© ¯«®áª®á⨠¨«¨, çâ® íª¢¨¢ «¥â®, ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ (16). á®, çâ® ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ í⮣® ãá«®¢¨ï ¯àï¬ë¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ~a1 , ~a2 . ç¨âë¢ ï ªà¨â¥à¨© ª®««¨¥ à®á⨠¢¥ªâ®à®¢ (á¬. á. 21), ¯®«ãç ¥¬ ã⢥थ¨¥ 2. Ǒãáâì, ª®¥æ, ~a1 k ~a2. á®, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯àï¬ë¥ «¨¡® ¯ à ««¥«ìë, «¨¡® ᮢ¯ ¤ îâ. ⮡ë à §¤¥«¨âì í⨠¤¢ á«ãç ï, ¤®áâ â®ç® ¯à®¢¥à¨âì, «¥¨â «¨ â®çª M2 ¯àאַ© `1.
᫨ ®â¢¥â ¯®«®¨â¥«¥, â® ¯àï¬ë¥ ᮢ¯ ¤ îâ, ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ | ¯ à ««¥«ìë. ç¨âë¢ ï, çâ® ª ®¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯àאַ© `1 ¨¬¥îâ ¢¨¤ x x1 y y1 z z1 = r1 = s1 , ¯®«ãç ¥¬ ã⢥थ¨ï 3 ¨ 4. q1
100
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
`2
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¨á. 12 ¥®à¥¬ 4 ¤®ª § . 5.
ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ ¤® ¯àאַ©
㤥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® á¨á⥬ ª®®à¤¨ â, § ¤ ï ¢ ¯à®áâà á⢥, | ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ . è 楫ì | ¢ë¢¥á⨠ä®à¬ã«ã ¤«ï à ááâ®ï¨ï ®â â®çª¨ ¤® ¯àאַ© ¢ ¯à®áâà á⢥. Ǒãáâì ¯àï¬ ï ` § ¤ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ 8 < x = x0 + qt; y = y0 + rt; : z = z0 + st; M1(x1 ; y1; z1) | ¯à®¨§¢®«ì ï â®çª ¯à®áâà á⢠. ®çªã á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x0; y0; z0), ¯à¨ ¤«¥ éãî ¯àאַ© `, ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ M0, ¢¥ªâ®à á ª®®à¤¨ â ¬¨ (q; r; s), ïî騩áï ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ ¯àאַ© `, | ç¥à¥§ ~a. ஬¥ ⮣®, ¯®«®¨¬ ~ = M0M!1 = (x1 x0 ; y1 y0 ; z1 z0 ). ¡®§ 稬 à ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ M1 ¤® ¯àאַ© ` ç¥à¥§ d(M1; `). á®, çâ® d(M1 ; `) | ¢ëá®â ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , ¯®áâ஥®£® ¢¥ªâ®à å S ~a ¨ ~ (à¨á. 13). ¡®§ 稬 ¥£® ¯«®é ¤ì ç¥à¥§ S . ®£¤ d(M1 ; `) = . j~aj ç¨âë¢ ï ᢮©á⢮ 2 á. 29, ¯®«ãç ¥¬, çâ® d(M1 ; `) =
j~a ~ j : j~aj
101
x
9. Ǒàï¬ ï ¢ ¯à®áâà á⢥
Ǒ® áãé¥áâ¢ã íâ® ¨ ¥áâì ä®à¬ã« à ááâ®ï¨ï ®â â®çª¨ ¤® ¯àאַ© ¢ ¯à®áâà á⢥.
r d(M1 ; `) 1 ~ r ~a M1
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¨á. 13 ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (5) ¨§ x4 ¨ ä®à¬ã«ã (4) ¨§ x3, ¬®® ¢ ¬ ¢¨¤¥ ¢ëà §¨âì d(M1 ; `) ç¥à¥§ ª®®à¤¨ âë â®çª¨ M1 ¨ ¯ à ¬¥âàë, ¢å®¤ï騥 ¢ ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© `1: d(M1 ;`)= 6.
s x1 x0 y1 y0 2 q r
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x1 x0 z1 z0 2 q s p
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y1 y0 z1 z0 2 r s
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㤥¬ ¯®-¯à¥¥¬ã ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® á¨á⥬ ª®®à¤¨ â ï¥âáï ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®©. è 楫ì | ãç¨âìáï 室¨âì 㣮« ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¯àï¬ë¬¨ ¢ ¯à®áâà á⢥, â ª¥ 㣮« ¬¥¤ã ¯àאַ© ¨ ¯«®áª®áâìî. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¢ ¯à®áâà á⢥ ¥áâì ¤¢¥ ¯àï¬ë¥, § ¤ ë¥ ª ®¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨, | ¯àï¬ë¥ x x1 y y1 z z1 `1 : = r1 = s1 ¨ `2 : x q2x2 = y r2y2 = z s2z2 : q1 㤥¬ áç¨â âì, ç⮠㣮« ¬¥¤ã ¯àï¬ë¬¨ à ¢¥ 㣫㠬¥¤ã ¨å ¯à ¢«ïî騬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨. ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (5) ¨§ x3, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¥á«¨ | 㣮« ¬¥¤ã ¯àï¬ë¬¨ `1 ¨ `2, â® 2 + s1 s2
os = p 2 q1 q22 + r21 rp : q1 + r1 + s1 q22 + r22 + s22
102
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
¡á®«îâ® «®£¨ç® 室¨âáï 㣮« ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¯àï¬ë¬¨ ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ ®¡¥ ®¨ § ¤ ë ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ¨«¨ ®¤ ¯àï¬ ï § ¤ ª ®¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨, ¤àã£ ï ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨.
᫨ ®¤ ¨§ ¯àï¬ëå § ¤ ª®®à¤¨ â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨, â® ã® á ç « ©â¨ ¥¥ ª ®¨ç¥áª¨¥ ¨«¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ( ¥á«¨ ®¡¥ ¯àï¬ë¥ § ¤ ë ª®®à¤¨ â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨, â® ©â¨ ª ®¨ç¥áª¨¥ ¨«¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ª ¤®© ¨§ ¨å), § ⥬ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ëè¥ ä®à¬ã«®©. ⬥⨬, çâ®, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ¯àï¬ëå ¯«®áª®áâ¨, ¬¥¤ã ¤¢ã¬ï ¯àï¬ë¬¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ ¢á¥£¤ ¨¬¥îâáï ¤¢ 㣫 , ®¤¨ ¨§ ª®â®àëå ®áâàë©, ¤à㣮© | â㯮© (§ ¨áª«î票¥¬ á«ãç ï ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàëå ¯àï¬ëå, ª®£¤ 㣫®¢ ⮥ ¤¢ , ® ®¡ ®¨ à ¢ë 2 ). ë ¥ § ¥¬, ª ª à ᯮ«®¥ë ¤à㣠®â®á¨â¥«ì® ¤à㣠⥠¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¤¢ãå ¯àï¬ëå, á ¯®¬®éìî ª®â®àëå ¬ë ã稫¨áì 室¨âì 㣮« ¬¥¤ã ¯àï¬ë¬¨. Ǒ®í⮬ã á ¯®¬®éìî ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ëè¥ ä®à¬ã«ë ¬ë ¬®¥¬ ¯®«ãç¨âì ª ª ®áâàë©, â ª ¨ â㯮© 㣮«, ¯à¨ç¥¬ § à ¥¥ ¥¨§¢¥áâ®, ª ª®© ¨¬¥®.
᫨ âॡã¥âáï ©â¨ ª ª®©-â® ª®ªà¥âë© ã£®«, â® á«¥¤ã¥â ¤¥©á⢮¢ âì â ª, ª ª ®¯¨á ® ¢ ª®æ¥ x7. Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª ¢®¯à®áã ®¡ 㣫¥ ¬¥¤ã ¯àאַ© ¨ ¯«®áª®áâìî. Ǒãáâì ¨¬¥îâáï ¯àï¬ ï `, § ¤ ï ª ®¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ x x0 q
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¨ ¯«®áª®áâì , § ¤ ï ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬ Ax + By + Cz + D = 0. ë ¬®¥¬ áç¨â âì, çâ® ¯àï¬ ï ` ¯¥à¥á¥ª ¥â ¯«®áª®áâì , ¯®áª®«ìªã ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥, ®ç¥¢¨¤®, 㣮« ¬¥¤ã ¨¬¨ à ¢¥ 0. £®« ¬¥¤ã ` ¨ à ¢¥ 㣫㠬¥¤ã ¯àאַ© ` ¨ ¥¥ ¯à®¥ªæ¨¥© . ¡®§ 稬 ç¥à¥§ `1 ¯à®¥ªæ¨î ` , ç¥à¥§ `2 | ¯àï¬ãî, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàãî ª ¨ ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ` ¨ . «¥¥, ¯ãáâì | ¨áª®¬ë© 㣮« ¬¥¤ã ` ¨ (â.¥. 㣮« ¬¥¤ã ` ¨ `1), | 㣮« ¬¥¤ã ` ¨ `2 (à¨á. 14). á®, çâ® + = . ¤à㣮© áâ®à®ë, 㣮« ¬®® 2 ©â¨ ª ª 㣮« ¬¥¤ã ¯à ¢«ïî騬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ ¯àï¬ëå ` ¨ `2. ¯¥à¢®© ¨§ ¨å ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë (p; q; r), ã ¢â®à®© ® ᮢ¯ ¤ ¥â á ®à¬ «ìë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¯«®áª®á⨠¨ ¯®â®¬ã ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë (A; B; C ). ç¨âë¢ ï, çâ® sin = sin 2 = os , ¨ ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã (5) ¨§ x3, ¨¬¥¥¬ sin = p 2 2qA +2 rBp+2sC 2 2 : q +r +s A +B +C
103
x
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¡á®«îâ® «®£¨ç® 室¨âáï 㣮« ¬¥¤ã ¯àאַ© ¨ ¯«®áª®áâìî ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ ¯àï¬ ï § ¤ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨. `2
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᫨ ¥ ¯àï¬ ï § ¤ ª®®à¤¨ â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ ¨/¨«¨ ¯«®áª®áâì § ¤ ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¨«¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨, â® ã® á ç « ©â¨ ª ®¨ç¥áª¨¥ (¨«¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥) ãà ¢¥¨ï ¯àאַ© ¨ ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨, § ⥬ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ëè¥ ä®à¬ã«®©. ⬥⨬, çâ® ¬¥¤ã ¯àאַ© ¨ ¯«®áª®áâìî (â ª ¥, ª ª ¬¥¤ã ¯àï¬ë¬¨ ¯«®áª®á⨠¨«¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ ¨ ¬¥¤ã ¯«®áª®áâﬨ) ¢á¥£¤ ¨¬¥îâáï ¤¢ 㣫 , ®¤¨ ¨§ ª®â®àëå ®áâàë©, ¤à㣮© | â㯮© (§ ¨áª«î票¥¬ á«ãç ï, ª®£¤ ¯àï¬ ï ¨ ¯«®áª®áâì ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë, ¢ ª®â®à®¬ 㣫®¢ ⮥ ¤¢ , ® ®¡ ®¨ à ¢ë 2 ). ª ¨ ¢® ¢á¥å ¯à¥¤è¥á⢮¢ ¢è¨å á«ãç ïå, ¬ë ¥ § ¥¬, ª ª®© ¨¬¥® 㣮« ¡ã¤¥â ©¤¥ á ¯®¬®éìî ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ëè¥ ä®à¬ã«ë. ¥©á⢮¢ âìâ ª, ª ª ®¯¨á ® ¢ ª®æ¥ x7, íâ®â à § ¥«ì§ï, â ª ª ª sin = sin 2 . Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¯® ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ëè¥ ä®à¬ã«¥ ¬ëp 諨, çâ® sin = a. ®£¤ ª®á¨ãá ®áâண® 㣫 ¬¥¤ã p ` ¨2 à ¢¥ 1 a2 , ª®á¨ãá â㯮£® 㣫 ¬¥¤ã ¨¬¨ à ¢¥ 1 a . x10.
¤ ç¨
® ¢á¥å § ¤ ç å í⮣® ¯ à £à ä á¨á⥬ ª®®à¤¨ ⠯।¯®« £ ¥âáï
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¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®©
104 1.
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç
ᮢ묨 ⨯ ¬¨ § ¤ ç ¯® ⥬¥ ¤ ®© £« ¢ë ïîâáï: 1) § ¤ ç¨ ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤®£® ¢¨¤ ãà ¢¥¨© ¯àאַ© ¨«¨ ¯«®áª®á⨠ª ¤à㣮¬ã; 2) § ¤ ç¨, á¢ï§ ë¥ á® ¢§ ¨¬ë¬ à ᯮ«®¥¨¥¬ ¯àï¬ëå ¨ ¯«®áª®á⥩; 3) § ¤ ç¨ å®¤¥¨¥ ¯à®¥ªæ¨© ¨ ᨬ¬¥âà¨çëå â®ç¥ª; 4) § ¤ ç¨ ® âà¥ã£®«ì¨ª¥; 5) § ¤ ç¨, á¢ï§ ë¥ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ä®à¬ã« à ááâ®ï¨ï ®â â®çª¨ ¤® ¯àאַ© ¨«¨ ¤® ¯«®áª®á⨠¨ ¢ëç¨á«¥¨¥¬ 㣫®¢ ¬¥¤ã ¯àï¬ë¬¨ ¨ ¯«®áª®áâﬨ. Ǒਬ¥àë à¥è¥¨ï § ¤ ç ¯¥à¢®£® ⨯ ¯à¨¢®¤¨«¨áì ¢ x7{9, ¯®í⮬㠧¤¥áì ¬ë ¨å à¥è âì ¥ ¡ã¤¥¬. ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à § ¤ ç¨ ¢â®à®£® ⨯ à áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî § ¤ çã. ¤ ç 1. ®ª § âì, çâ® ¯àï¬ë¥ x + y 3z + 1 = 0; ¨ 2x + y + 2z + 5 = 0; 2x y 9z 16 = 0 2x 2y z 13 = 0 ¯¥à¥á¥ª îâáï, ¨ ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨, ᮤ¥à 饩 í⨠¯àï¬ë¥. ¥è¥¨¥. ¡®§ 稬 ¯¥à¢ãî ¯àï¬ãî ç¥à¥§ `1 , ¢â®àãî | ç¥à¥§ `2 . ®áâ ¢¨¬ á¨á⥬㠨§ ãà ¢¥¨©, § ¤ îé¨å í⨠¯àï¬ë¥: 8 x + y 3z + 1 = 0; > > < 2x y 9z 16 = 0; 2x + y + 2z + 5 = 0; > > : 2x 2y z 13 = 0: § ¯¥à¢®£® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥¬ x = y + 3z 1. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¯à ¢ãî ç áâì í⮣® à ¢¥á⢠¢¬¥áâ® x ¢ âਠ¤à㣨å ãà ¢¥¨ï, ¯®«ã稬 8 3z 18 = 0; < 3y y + 8z + 3 = 0; : 4y + 5z 15 = 0: § ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï y = 8z + 3. Ǒ®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢ ¯¥à¢®¥ ¨ âà¥âì¥ ãà ¢¥¨ï ¯®«ã稬
105
x
10. ¤ ç¨
27z 27 = 0; 27z 27 = 0: «¥¤®¢ ⥫ì®, z = 1. § ᪠§ ®£® à ¥¥ ¢ë⥪ ¥â, çâ® y = 5, x = 1. â ª, è á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. ¥¬ á ¬ë¬ ¬ë ¤®ª § «¨, çâ® è¨ ¯àï¬ë¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï. ¤®¢à¥¬¥® ¬ë 諨 ç «ìãî â®çªã ¯«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ èã ¯àï¬ãî, ¢ ª ç¥á⢥ â ª®¢®© ¬®® ¢§ïâì â®çªã M0(1; 5; 1). «ï ⮣® çâ®¡ë ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ í⮩ ¯«®áª®áâ¨, ®áâ «®áì ©â¨ ¤¢ ¥¥ ¥ª®««¨¥ àëå ¯à ¢«ïîé¨å ¢¥ªâ®à . ª ç¥á⢥ íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¥áâ¥á⢥® ¢§ïâì ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¯àï¬ëå `1 ¨ `2. Ǒãáâì ~b1; ~b2; ~b3 | ¢¥ªâ®àë ¯à ¢®£® ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á , ª®â®àë© ¢å®¤¨â ¢ ¨á室ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â. ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¯¥à¢®© ¨ ¢â®à®© ¯àאַ© ®¡®§ 稬 ᮮ⢥âá⢥® ç¥à¥§ ~s1 ¨ ~s2. ç¨âë¢ ï § ¬¥ç ¨¥, ᤥ« ®¥ á. 96, ¨ ä®à¬ã«ã (3) ¨§ x4, ¨¬¥¥¬ ~b1
~b2 ~b3
~b1
~b2 ~b3
1 1 3 = ( 12; 3; 3); ~s2 = 2 1 2 = (3; 6; 6): 2 2 1 2 1 9 «¥¤®¢ ⥫ì®, ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨áª®¬®© ¯«®áª®á⨠¨¬¥¥â ¢¨¤ x 1 y +5 z +1 12 3 3 = 0: 3 6 6 Ǒ®á«¥ ®ç¥¢¨¤ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯®«ãç ¥¬ y + z + 6 = 0. ⢥â: y + z + 6 = 0. ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à § ¤ ç¨ âà¥â쥣® ⨯ à¥è¨¬ á«¥¤ãîéãî § ¤ çã. ¤ ç 2. ë â®çª A(1; 2; 3) ¨ ¯àï¬ ï `, § ¤ ï ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ 8 < x = 4 + t; y = 1 t; : z = 3 + t: ©â¨ â®çªã B, ïîéãîáï ¯à®¥ªæ¨¥© â®çª¨ A ¯àï¬ãî `, ¨ â®çªã C , ᨬ¬¥âà¨çãî â®çª¥ A ®â®á¨â¥«ì® ¯àאַ© `. ¥è¥¨¥. áᬮâਬ ¯«®áª®áâì , ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ â®çªã A ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª ¯àאַ© `. á®, çâ® â®çª B ï¥âáï â®çª®© ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ` ¨ (à¨á. 15). ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ¯àאַ© ~s = (1; 1; 1) ~s1 =
106
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
¯¥à¯¥¤¨ªã«ïॠ¯«®áª®á⨠, ¨ ¯®â®¬ã ¥£® ¬®® ¢§ïâì ¢ ª ç¥á⢥ ®à¬ «ì®£® ¢¥ªâ®à í⮩ ¯«®áª®áâ¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®á⨠¨¬¥¥â ¢¨¤ x y + z + D = 0. â®¡ë ©â¨ ç¨á«® D, ¤® ãç¥áâì, çâ® A 2 , ¨ ¯®â®¬ã ª®®à¤¨ âë â®çª¨ A ¤®«ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ãà ¢¥¨î ¯«®áª®áâ¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, 1 2 3+ D = 0, â.¥. D = 4. â ª, ¯«®áª®áâì ¨¬¥¥â ãà ¢¥¨¥ x y + z + 4 = 0. ®®à¤¨ âë â®çª¨ B ïîâáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© 8 > > <
x = 4 + t; y = 1 t; z = 3 + t; > > : x y + z + 4 = 0:
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¯à ¢ë¥ ç á⨠¯¥à¢ëå âà¥å ãà ¢¥¨© ¢ ¯®á«¥¤¥¥ ãà ¢¥¨¥, ¨¬¥¥¬ 4 + t + 1 + t + 3 + t + 4 = 0, ®âªã¤ t = 4. «¥¤®¢ ⥫ì®, x = 0, y = 3 ¨ z = 1. â ª, â®çª B ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë (0; 3; 1). ¡®§ 稬 ª®®à¤¨ âë â®çª¨ C ç¥à¥§ (x0 ; y0; z0). Ǒ®áª®«ìªã B | á¥à¥¤¨ ®â१ª AC , ¢ ᨫã ä®à¬ã«ë (5) ¨§ x5 ¨¬¥¥¬: 0 = 1 +2 x0 ; 3 = 2 +2 y0 ;
1 = 3 2+ z0 ;
®âªã¤ x0 = 1, y0 = 4, z0 = 1. â ª, â®çª C ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë ( 1; 4; 1). 1), C ( 1; 4; 1). ª ¥¬ ¯« à¥è¥¨ï âà¥å ¤àã£¨å § ¤ ç, ®â®áïé¨åáï ª âà¥â쥬ã ⨯ã. 1) ë â®çª A ¨ ¯àï¬ ï ` ¯«®áª®áâ¨. ॡã¥âáï ©â¨ â®çªã B , ïîéãîáï ¯à®¥ªæ¨¥© â®çª¨ A `, ¨ â®çªã C , ᨬ¬¥âà¨çãî A ®â®á¨â¥«ì® `. ®çª B ¥áâì â®çª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯àאַ© ` ¨ ¯àאַ© `0 , ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ A ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª ` (à¨á. 16). â®¡ë ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ `0, ¤® ¨á¯®«ì§®¢ âì â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮, çâ® ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ¯àאַ© ` ï¥âáï ®à¬ «ìë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¯àאַ© `0, ®à¬ «ìë© ¢¥ªâ®à ¯àאַ© ` ï¥âáï ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ ¯àאַ© `0. Ǒ®á«¥ ⮣® ª ª â®çª B ¡ã¤¥â ©¤¥ , â®çª C 室¨âáï â ª ¥, ª ª ¢ ª®æ¥ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ 2. ⢥â:
B (0; 3;
107
x
10. ¤ ç¨
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A
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2) ë â®çª A ¨ ¯«®áª®áâì . ॡã¥âáï ©â¨ â®çªã B, ïîéãîáï ¯à®¥ªæ¨¥© â®çª¨ A , ¨ â®çªã C , ᨬ¬¥âà¨çãî A ®â®á¨â¥«ì® . ®çª B ¥áâì â®çª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯«®áª®á⨠¨ ¯àאַ© `, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ A ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª (à¨á. 17). â®¡ë ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ `, ¤® ¨á¯®«ì§®¢ âì â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮, çâ® ®à¬ «ìë© ¢¥ªâ®à ¯«®áª®á⨠ï¥âáï ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ ¯àאַ© `. Ǒ®á«¥ ⮣® ª ª â®çª B ¡ã¤¥â ©¤¥ , â®çª C 室¨âáï â ª ¥, ª ª ¢ ª®æ¥ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ 2. 3) ë ¯àï¬ ï ` ¨ ¯«®áª®áâì (¯à¨ç¥¬ ` ¨ ¯¥à¥á¥ª îâáï). ॡã¥âáï ©â¨ ¯à®¥ªæ¨î ¯àאַ© ` ¨ ¯àï¬ãî, ᨬ¬¥âà¨çãî ` ®â®á¨â¥«ì® . â § ¤ ç à¥è ¥âáï ¢ âਠ¤¥©á⢨ï. ç « ¤® ©â¨ â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯àאַ© ` ¨ ¯«®áª®á⨠(®¡®§ 稬 ¥¥ ç¥à¥§ M ). ⥬ ¤® ¢§ïâì ` ª ªãî-¨¡ã¤ì â®çªã A, ®â«¨çãî ®â M , ¨ ©â¨ á ç « â®çªã B, ïîéãîáï ¯à®¥ªæ¨¥© â®çª¨ A , § ⥬ â®çªã C , ᨬ¬¥âà¨çãî A ®â®á¨â¥«ì® (á¬. ¯à¥¤ë¤ã騩 ¡§ æ). Ǒ஥ªæ¨¥© ` ï¥âáï ¯àï¬ ï MB, ¯àאַ©, ᨬ¬¥âà¨ç®© ` ®â®á¨â¥«ì® , | ¯àï¬ ï MC (à¨á. 18). «ï ª ¤®© ¨§ ¨å ⥯¥àì
108
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
¬®® ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© ¯® ¤¢ã¬ â®çª ¬ | á¬. ä®à¬ã«ã (6) ¢ x9. Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª § ¤ ç ¬ ç¥â¢¥à⮣® ⨯ . Ǒ®¤ § ¤ ç ¬¨ ® âà¥ã£®«ì¨ª¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯®¨¬ âì § ¤ ç¨, ¢ ª®â®àëå ¤ ë ª ª¨¥-â® í«¥¬¥âë âà¥ã£®«ì¨ª , ¤® ©â¨ ¤à㣨¥ ¥£® í«¥¬¥âë (í«¥¬¥âë âà¥ã£®«ì¨ª | íâ® ª®®à¤¨ âë ¥£® ¢¥àè¨, ãà ¢¥¨ï áâ®à®, ¢ëá®â, ¬¥¤¨ , ¡¨áᥪâà¨á, ¢¥«¨ç¨ë 㣫®¢ ¨ â.¯.). ¤ ç¨ í⮣® ⨯ ¬ë ¡ã¤¥¬ à¥è âì ⮫쪮 ¯«®áª®áâ¨.
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¨á. 19 ¤ ç 3. ë ¤¢¥ ¢¥àè¨ë âà¥ã£®«ì¨ª A(1; 0), B (4; 3) ¨ â®çª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¥£® ¢ëá®â H (3; 1). ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¥£® âà¥â쥩 ¢¥àè¨ë C. ¥è¥¨¥. ®áâ ¢¨¬ ª®®à¤¨ âë¥ ãà ¢¥¨ï ¯àï¬ëå AC ¨ BC ¨ ©¤¥¬ â®çªã C ª ª â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï íâ¨å ¯àï¬ëå. «ì¥©è¨¥ à áá㤥¨ï!¨««îáâà¨àã¥â à¨á. 19. ¥ªâ®à BH ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë ( 1; 2). ®à⮣® «¥ ¯àאַ© AC . «¥¤®¢ ⥫ì®, ãà ¢¥¨¥ í⮩ ¯àאַ© ¨¬¥¥â ¢¨¤ x 2y + D = 0. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ íâ® ãà ¢¥¨¥ ª®®à¤¨ âë â®çª¨ A, ¯à¨ ¤«¥ 饩 ¯àאַ© AC , 室¨¬ D: 1 + D = 0, ®âªã¤ D = 1. â ª, ¯àï¬ ï AC ¨¬¥¥â ãà ¢¥¨¥ x 2y + 1 = 0. ááã¤ ï «®£¨ç®, 室¨¬ ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© BC : 2x + y 11 = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ª®®à¤¨ âë â®çª¨ C ïîâáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© x 2y + 1 = 0; 2x + y 11 = 0:
x
10. ¤ ç¨
109
¬® ï ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ 2 ¨ ᪫ ¤ë¢ ï á® ¢â®àë¬, ¨¬¥¥¬ 3y 9 = 0, ®âªã¤ y = 3. § ¯¥à¢®£® ãà ¢¥¨ï 室¨¬ ⥯¥àì, çâ® x = 7. â ª, â®çª C ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë (7; 3). ⢥â: C (7; 3). ¤ ç 4. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï áâ®à® âà¥ã£®«ì¨ª , § ï ®¤ã ¥£® ¢¥àè¨ã P (0; 0), â ª¥ ãà ¢¥¨ï ¢ëá®âë x 3y +8 = 0 ¨ ¬¥¤¨ ë 3x + y + 8 = 0, ¯à®¢¥¤¥ëå ¨§ ®¤®© ¨ ⮩ ¥ ¢¥àè¨ë. ¥è¥¨¥. ⬥⨬, çâ® â®çª P ¥ ¯à¨ ¤«¥¨â 㪠§ ë¬ ¢ ãá«®¢¨¨ ¢ëá®â¥ ¨ ¬¥¤¨ ¥, â ª ª ª ¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¨å ãà ¢¥¨ï¬. ¥àè¨ã âà¥ã£®«ì¨ª , ç¥à¥§ ª®â®àãî ¯à®å®¤ïâ í⨠¯àï¬ë¥, ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ Q, âà¥âìî ¢¥àè¨ã âà¥ã£®«ì¨ª | ç¥à¥§ R. ®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¤ ®© ¢ëá®âë ¨ áâ®à®ë P R ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ S , â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¤ ®© ¬¥¤¨ ë ¨ áâ®à®ë P R | ç¥à¥§ T (à¨á. 20). ¥è¨¢ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© x 3y + 8 = 0; 3x + y + 8 = 0; ¯®«ã稬, çâ® â®çª Q ¨¬¥¥âxª®®à¤¨ âë (4,4). ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ y ¯àאַ© P Q ¯® ¤¢ã¬ â®çª ¬: 4 = 4 , â.¥. x y = 0. ©¤¥¬ ⥯¥àì ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© P R. ¥ªâ®à ~n = (1; 3) ï¥âáï ®à¬ «ìë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¯àאַ© QS . Ǒ®áª®«ìªã ¯àï¬ë¥ QS ¨ P R ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë, íâ®â ¢¥ªâ®à ¡ã¤¥â ¯à ¢«ïî騬 ¤«ï ¯àאַ© P R. ª ª ª â®çª P ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë (0,0), ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯àאַ© P R ¨¬¥îâ ¢¨¤ x = t; y = 3t: Ǒ¥à¥å®¤ï ª ª®®à¤¨ ⮬ã ãà ¢¥¨î, ¨¬¥¥¬ 3x + y = 0. áâ ¥âáï ©â¨ ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© QR. ®¡ ¢¨¢ ª á¨á⥬¥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯àאַ© P R ãà ¢¥¨¥ ¬¥¤¨ ë QT , ¯®«ã稬 á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© 8 x = t; < y = 3t; : 3x + y + 8 = 0; ª®â®à®© 㤮¢«¥â¢®àïîâ ª®®à¤¨ âë â®çª¨ T . ¥è ï íâã á¨á⥬ã, 室¨¬, çâ® t = 43 , x = 43 ¨ y = 4. â ª, â®çª T ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë
110
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
4 ; 4. â â®çª ï¥âáï á¥à¥¤¨®© ®â१ª P R. ᯮ«ì§ãï ä®à3 ¬ã«ë (5) ¨§ x5, 室¨¬, çâ® â®çª R ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë 83 ; 8 . áâ ¥âáï ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© QR ¯® ¤¢ã¬ â®çª ¬: x 4=43 = y 124 . Ǒ®á«¥ ®ç¥¢¨¤ëå ã¯à®é¥¨© ®® ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ 9x y 32 = 0. ⢥â: x y = 0, 3x + y = 0, 9x y 32 = 0.
uQ
P
u
S
uu
T
uR
¨á. 20 ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï ¯àï¬ëå, ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ â®çªã 8 3; 5 ¨ ®âᥪ îé¨å ®â ®á¥© ª®®à¤¨ â âà¥ã£®«ì¨ª ¯«®é ¤ìî 10. ¥è¥¨¥. á®, çâ® ¨áª®¬ë¥ ¯àï¬ë¥ ¥ ¯à®å®¤ïâ ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â ¨ ¥ ¯ à ««¥«ìë ¨ ®¤®© ¨§ ®á¥© ª®®à¤¨ â (¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ®¨ ¥ ®âᥪ «¨ ¡ë ¨ª ª®£® âà¥ã£®«ì¨ª ®â ®á¥© ª®®à¤¨ â). Ǒ®í⮬㠤«ï íâ¨å ¯àï¬ëå ¬®® ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ ¢ ®â१ª å, â.¥. ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ x y + = 1: a b ¯®¬¨¬, çâ® ¯àï¬ ï á â ª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯¥à¥á¥ª ¥â ®áì ¡áæ¨áá ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (a; 0), ®áì ®à¤¨ â | ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (0; b) (á¬. á. 65). á®, çâ® ¯«®é ¤ì âà¥ã£®«ì¨ª , ®âᥪ ¥¬®£® í⮩ jabj . ç¨âë¢ ï, çâ® íâ ¯«®é ¤ì à ¢¯àאַ© ®â ®á¥©ª®®à¤¨ â, à ¢ 2 8 10, â®çª 3; 5 ¯à¨ ¤«¥¨â 襩 ¯àאַ©, ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬ã 5. ¤ ç
111
x
10. ¤ ç¨
ãà ¢¥¨©
8 <
jabj = 20;
(1) 3 + 8 = 1: a 5b § ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï í⮩ á¨áâ¥¬ë ¯®á«¥ ®ç¥¢¨¤ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯®«ãç ¥¬, çâ® 8a b= (2) 5a 15 : Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¯à ¢ãî ç áâì í⮣® à ¢¥á⢠¢¬¥áâ® b ¢ ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ á¨á⥬ë (1). Ǒ®«ã稬 8a2 5a 15 = 20; ®âªã¤ 2a2 = 25 ja 3j: (3) Ǒ®áª®«ìªã ¬®¤ã«ì ¢ ¯à ¢®© ç á⨠í⮣® à ¢¥á⢠¬®® à áªàëâì ¤¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨, ¤ «ì¥©è¨¥ ¢ëª« ¤ª¨ à §¡¨¢ îâáï ¤¢ á«ãç ï. «ãç © 1: a > 3. í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (3) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ 2a2 = 25a 75. ¥è ï ¥£®, 室¨¬ ¤¢ ª®àï: a1 = 5 ¨ a2 = 152 . ¡ ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î a > 3. ᯮ«ì§ãï (2), ¨¬¥¥¬ b1 = 4, b2 = 38 . ®®â¢¥âá⢥® ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨ï ¤¢ãå ¯àï¬ëå: 2x 3y x y 5 + 4 = 1 ¨ 15 + 8 = 1: :
< 3. í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (3) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ 2a2 = 25a + 75. ¥è ï ¥£®, 室¨¬ ¤¢ ª®àï: a3 = 15 ¨ a4 = 52 . ¡ ®¨ «ãç © 2: a
㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î a < 3. ᯮ«ì§ãï (2), ¨¬¥¥¬ b3 = 34 , b4 = 8. ®®â¢¥âá⢥® ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨ï ¥é¥ ¤¢ãå ¯àï¬ëå: x 3y 2x y 15 + 4 = 1 ¨ 5 8 = 1:
y 2x + 3y = 1, x + 3y = 1, 2x y = 1. + = 1, 5 4 15 8 15 4 5 8 Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª ¯à¨¬¥à ¬ à¥è¥¨ï § ¤ ç ¯ï⮣® ⨯ . ¤ ç 6. ®çª A(5; 1) ï¥âáï ¢¥à訮© ª¢ ¤à â , ®¤ ¨§ áâ®à® ª®â®à®£® ¨¬¥¥â ãà ¢¥¨¥ 4x 3y 7 = 0. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï ®áâ «ìëå áâ®à® ª¢ ¤à â . ⢥â:
x
112
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
¥è¥¨¥. ¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® § ¤ ç ¨¬¥¥â ¤¢ à¥è¥¨ï (à¨á. 21). à ¢¥¨¥ ¯àאַ© D1D2 ¤ ® ¢ ãá«®¢¨¨ § ¤ ç¨. ®áâ ¢¨¬ ãà ¢¥¨¥ áâ®à®ë AB. ¥ªâ®à (4; 3) ï¥âáï ®à¬ «ìë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¯àאַ© D1D2, § ç¨â, ¨ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ ¯àאַ© AB. Ǒ®áª®«ìªã â®çª A ¯à¨ ¤«¥¨â í⮩ ¯àאַ©, ¥¥ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ x 4 5 = y +31 . Ǒ¥à¥å®¤ï ª ª®®à¤¨ ⮬ã ãà ¢¥¨î, ¨¬¥¥¬ 3x +4y 11 = 0. «¥¥, ¯®áª®«ìªã ¯àï¬ë¥ D1D2 ¨ C1C2 ¯ à ««¥«ìë, ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¥ ®à¬ «ìë© ¢¥ªâ®à. «¥¤®¢ ⥫ì®, ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© C1C2 ¨¬¥¥â ¢¨¤ 4x 3y + d = 0. â®¡ë ©â¨ d, ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ íâ® ãà ¢¥¨¥ ª®®à¤¨ âë â®çª¨ A, ª®â®à ï ¯à¨ ¤«¥¨â ¯àאַ© C1 C2 . Ǒ®«ã稬 20 + 3 + d = 0, ®âªã¤ d = 23. â ª, ¯àï¬ ï C1 C2 ¨¬¥¥â ãà ¢¥¨¥ 4x 3y 23 = 0.
C1
D1
t t
A
t
tC2
t
tD
B
2
¨á. 21 áâ «®áì ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ ¯®á«¥¤¥© áâ®à®ë (C1 D1 ¨«¨ C2D2). «ï ⮣® ç⮡ë ᤥ« âì íâ®, á ç « ©¤¥¬ ¤«¨ã áâ®à®ë ª¢ ¤à â ª ª à ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ A ¤® ¯àאַ© D1D2. ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (16) ¨§ x7, ¨¬¥¥¬ j4 5 p3 ( 1) 7j = 16 : d(A; D1 D2 ) = 5 16 + 9 ᪮¬ ï ¯àï¬ ï ¯ à ««¥«ì ¯àאַ© AB ¨ ¯®â®¬ã ¨¬¥¥â ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ 3x +4y + d = 0. ஬¥ ⮣®, à ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ A ¤® í⮩ ¯àאַ© à ¢® ¤«¨¥ áâ®à®ë ª¢ ¤à â , ª®â®àãî ¬ë ⮫쪮 ç⮠諨. ®¢ì ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã (16) ¨§ x7, ¨¬¥¥¬ j3 5 +p4 ( 1) + dj = 16 ; 5 16 + 9 ®âªã¤ j11 + dj = 16. áªàë¢ ï ¬®¤ã«ì á ç « á® § ª®¬ ¯«îá, § ⥬ á® § ª®¬ ¬¨ãá, ¯®«ãç ¥¬, çâ® d à ¢® «¨¡® 5, «¨¡® 27. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®á«¥¤ïï áâ®à® ¨¬¥¥â «¨¡® ãà ¢¥¨¥ 3x + 4y + 5 = 0, «¨¡® ãà ¢¥¨¥ 3x + 4y 27 = 0.
113
x
10. ¤ ç¨
⢥â: 3x + 4y 11 = 0, 4x 3y 23 = 0 ¨ «¨¡® 3x + 4y + 5 = 0, «¨¡® 3x + 4y 27 = 0. ¤ ç 7. ®áâ ¢¨âì ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥ ¡¨áᥪâà¨áë â㯮£® 㣫 , ®¡à §®¢ ®£® ¯àï¬ë¬¨ x 3y + 5 = 0 ¨ 3x y + 15 = 0.
` `2
`1
Pi P~s11 ~s2PP P~sPq 2
¨á. 22 ¥è¥¨¥. ¡®§ 稬 ¯àï¬ãî x 3y +5 = 0 ç¥à¥§ `1 , ¯àï¬ãî 3x y +15 = 0 | ç¥à¥§ `2. ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë íâ¨å ¯àï¬ëå ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ ~s1 ¨ ~s2 ᮮ⢥âá⢥®, â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯àï¬ëå | ç¥à¥§ M . ᪮¬ãî ¡¨áᥪâà¨áã ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ `. «ì¥©è¨¥ à áᬮâà¥¨ï ¨««îáâà¨àã¥â à¨á. 22. Ǒ।¥ ¢á¥£® ©¤¥¬ â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï 㪠§ ëå ¯àï¬ëå. ¥è¨¢ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© x 3y + 5 = 0; 3x y + 15 = 0; ¯®«ã稬, çâ® â®çª M ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë ( 5; 0). ª ç¥á⢥ ~s1 ¬®® ¢§ïâì ¢¥ªâ®à (3,1), ¢ ª ç¥á⢥ ~s2 | ¢¥ªâ®à (1,3) (á¬. § ¬¥ç ¨¥ á. 62). ª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢ à ¢® 6. Ǒ®áª®«ìªã ®® ¡®«ìè¥ ã«ï, 㣮« ¬¥¤ã 㪠§ 묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ | ®áâàë© (á¬. ª®¥æ x3). «¥¤®¢ ⥫ì®, â㯮© 㣮« ¬¥¤ã ¯àï¬ë¬¨ `1 ¨ `2 | í⮠㣮« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ~s1 = (3; 1) ¨ ~s2 = ( 1; 3). 㬬 íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢, â.¥. ¢¥ªâ®à ~s1 ~s2 = (2; 2), ¯à ¢«¥ ¢¤®«ì ¤¨ £® «¨ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , ¯®áâ஥®£® ¢¥ªâ®à å ~s1 ¨ ~s2. ⨠¢¥ªâ®àë ¨¬¥îâ, ª ª «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, ®¤¨ ª®¢ãî ¤«¨ã, ¨ ¯®â®¬ã 㪠§ ë© ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ï¥âáï ஬¡®¬. ª ¨§¢¥áâ® ¨§ 誮«ì®£® ªãàá , ¤¨ £® «ì ஬¡ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¡¨áᥪâà¨á®© 㣫 ¬¥¤ã ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ áâ®à® ¬¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ª ç¥á⢥ ¯à ¢«ïî饣® ¢¥ªâ®à ¡¨áᥪâà¨áë ` ¬®® ¢§ïâì ¢¥ªâ®à (2; 2). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯àאַ© ` ¨¬¥îâ ¢¨¤ x = 5 + 2t; y= 2t:
114
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
᪫îç ï ¯ à ¬¥âà, ¯®«ãç ¥¬ ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥ x + y + 5 = 0. ⢥â: x + y + 5 = 0. ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ ¡ë ¢¥ªâ®àë ~s1 ¨ ~s2 ¢ § ¤ ç¥ 7 ¨¬¥«¨ à §«¨çãî ¤«¨ã, ¢ ª ç¥á⢥ ¯à ¢«ïî饣® ¢¥ªâ®à ¡¨áᥪâà¨áë ¬®® ¡ë«® ¡ë ¢§ïâì ¢¥ªâ®à j~~ss1j + j ~s~s2 j . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¤«¨ë ¢¥ªâ®à®¢ j~~ss1j ¨ j ~s~s2 j 1 2 1 2 à ¢ë 1 (á¬. § ¬¥ç ¨¥ á. 21) ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, à ¢ë ¬¥¤ã ᮡ®©.
q
M ~n1 ~n2
MBB
2 1
¨á. 23 ¤ ç 8. ©â¨ á¨ãá ⮣® 㣫 ¬¥¤ã ¯«®áª®áâﬨ 3x y +2z 3 = 0 ¨ x 2y + 3z 1 = 0, ¢ ª®â®à®¬ «¥¨â â®çª M (1; 1; 2). ¥è¥¨¥. Ǒãáâì ¯¥à¢®¥ ¨§ ãà ¢¥¨© ¢ ãá«®¢¨¨ § ¤ ¥â ¯«®áª®áâì 1 , ¢â®à®¥ | ¯«®áª®áâì 2 . ®à¬ «ìë¥ ¢¥ªâ®àë íâ¨å ¯«®áª®á⥩ ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ ~n1 ¨ ~n2 ᮮ⢥âá⢥®, 㣮« ¬¥¤ã ¯«®áª®áâﬨ | ç¥à¥§ (à¨á. 23). ®çª M ¥ ¯à¨ ¤«¥¨â ¨ ®¤®© ¨§ ¯«®áª®á⥩, ¯®áª®«ìªã ¥¥ ª®®à¤¨ âë ¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¨å ãà ¢¥¨ï¬. Ǒ«®áª®á⨠¯¥à¥á¥ª îâáï, â ª ª ª ¨å ®à¬ «ìë¥ ¢¥ªâ®àë ~n1 = (3; 1; 2) ¨ ~n2 = (1; 2; 3) ¥ ¯à®¯®à樮 «ìë (á¬. ⥮६ã 3 ¢ x8). Ǒ®«®¨¬ = (~n\ 1 ; ~n2 ). Ǒ®áª®«ìªã 3 1 1 1 + 2 2 3 > 0 ¨ 1 1 2 1 + 3 2 1 > 0; ¢¥ªâ®à ~n1 ¯à ¢«¥ ®â ¯«®áª®á⨠1 ª â®çª¥ M , ¢¥ªâ®à ~n2 | ®â ¯«®áª®á⨠2 ª M (á¬. ⥮६ã 4 ¢ x8). «¥¤®¢ ⥫ì®, = 2 , ¨ ¯®â®¬ã ~n1~n2 11 sin = os(~n\ 1 ; ~n2 ) = j~n j j~n j = 14 : 1 2
115
x
10. ¤ ç¨
sin = 11 14 . Ǒਠà¥è¥¨¨ ¬®£¨å § ¤ ç ¯ï⮣® (¨ ¥ ⮫쪮 ¯ï⮣®) ⨯ ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®«¥§ë¬ á«¥¤ãî饥 ¡«î¤¥¨¥: ⢥â:
«î¡ ï ¯àï¬ ï ¯«®áª®áâ¨, ª ª ¨ «î¡ ï ¯«®áª®áâì, ¬®¥â ¡ëâì § ¤ ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬, ¢ ª®â®à®¬ ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ x à ¢¥ «¨¡® , «¨¡® ; â® ¥ ¢¥à® ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ y , ¢ á«ãç ¥ ¯«®áª®á⨠| ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ «î¡®© ¨§ ¥¨§¢¥áâëå y ¨ z .
0
1
á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì ¯àï¬ ï § ¤ ª®®à¤¨ âë¬ ãà ¢¥¨¥¬ Ax + = 0 ¨ A 6= 0. §¤¥«¨¢ íâ® ãà ¢¥¨¥ A, ¬ë ¯®«ã稬 ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥ ⮩ ¥ ¯àאַ©, ¢ ª®â®à®¬ ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ x à ¢¥ 1. «®£¨çë¥ á®®¡à ¥¨ï ¯à¨¬¥¨¬ë ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ y ¨ ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ «î¡®¬ ¨§ ¥¨§¢¥áâëå ¢ ª®®à¤¨ ⮬ ãà ¢¥¨¨ ¯«®áª®áâ¨. Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à § ¤ ç¨, ¢ à¥è¥¨¨ ª®â®à®© ¨á¯®«ì§ã¥âáï íâ® ¡«î¤¥¨¥. ¤ ç 9. ᮢ ¨¥¬ à ¢®¡¥¤à¥®£® âà¥ã£®«ì¨ª á«ã¨â ¯àï¬ ï x 2y +5 = 0, ®¤®© ¨§ ¡®ª®¢ëå áâ®à® | ¯àï¬ ï 3x +4y 1 = 0. ©â¨ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®© ¡®ª®¢®© áâ®à®ë ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ® ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ â®çªã ( 3; 5). ¥è¥¨¥. à ¢¥¨¥ ¨áª®¬®© ¯àאַ© ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ Ax + By + C = 0. ©¤¥¬ 㣮« ¯à¨ ®á®¢ ¨¨ 襣® à ¢®¡¥¤à¥®£® âà¥ã£®«ì¨ª ª ª 㣮« ¬¥¤ã ®à¬ «ì묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ ¯àï¬ëå, 㪠§ ëå ¢ ãá«®¢¨¨ § ¤ ç¨. Ǒ®áª®«ìªã 㣮« | ®áâàë©, â® os > 0 (á¬. § ¬¥ç ¨¥ ¢ ª®æ¥ x3). ᯮ«ì§ãï «®£ ä®à¬ã«ë (5) ¨§ x3 ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ ¯«®áª®áâ¨, ¨¬¥¥¬
os = pj39+1 +164 p(1 +2)j4 = 5p5 5 = p15 : Ǒà¨à ¢¨¢ ï ª ¯®«ã祮© ¢¥«¨ç¨¥ ª®á¨ãá 㣫 ¬¥¤ã ¨áª®¬®© ¯àאַ© ¨ ®á®¢ ¨¥¬ âà¥ã£®«ì¨ª , ¨¬¥¥¬ p jAp 22 B j 2 = p1 : 5 5 A +B ®§¢®¤ï íâ® ãà ¢¥¨¥ ¢ ª¢ ¤à â, ¯®á«¥ ®ç¥¢¨¤ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯®«ãç ¥¬, çâ® 4AB 3B2 = 0: (4) By + C
116
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
ᨫ㠡«î¤¥¨ï, ᤥ« ®£® ¯¥à¥¤ ä®à¬ã«¨à®¢ª®© § ¤ ç¨, ¬®® áç¨â âì, çâ® A = 0 ¨«¨ A = 1. áᬮâਬ ®â¤¥«ì® ª ¤ë© ¨§ íâ¨å á«ãç ¥¢. 1) A = 0. í⮬ á«ãç ¥ ¨§ (4) ¢ë⥪ ¥â, çâ® B = 0. ® íâ® ¥¢®§¬®®, â ª ª ª ®à¬ «ìë© ¢¥ªâ®à ¨áª®¬®© ¯àאַ© ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë (A; B) ¨ ¥ à ¢¥ ã«ì-¢¥ªâ®àã.
s(
3; 5)
¨á. 24 2) A = 1. à ¢¥¨¥ (4) ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ 4B 3B2 = 0, ®âªã¤ B = 0 ¨«¨ B = 43 . ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© ¨¬¥¥â ¢¨¤ x + C = 0, ¢® ¢â®à®¬ | x + 43 y + C = 0 ¨«¨ 3x + 4y + C = 0. á®, çâ® ¢â®à ï ¯àï¬ ï ¯ à ««¥«ì ⮩ ¡®ª®¢®© áâ®à®¥ âà¥ã£®«ì¨ª , ª®â®à ï 㪠§ ¢ ãá«®¢¨¨ § ¤ ç¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, íâ® ¥ ¨áª®¬ ï ¢â®à ï ¡®ª®¢ ï áâ®à® , ¯àï¬ ï, ª®â®à ï ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ â®çªã ( 3; 5) ¯ à ««¥«ì® ¤ ®© ¡®ª®¢®© áâ®à®¥ (à¨á. 24). ª¨¬ ®¡à §®¬, ãà ¢¥¨¥ ¨áª®¬®© ¯àאַ© ¨¬¥¥â ¢¨¤ x + C = 0. ç¨âë¢ ï, çâ® ® ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ â®çªã ( 3; 5), ¯®«ãç ¥¬, çâ® C = 3. ⢥â: x + 3 = 0. 2.
¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï
1. Ǒ®áâநâì ç¥à⥥ ¯àï¬ë¥ «¨¨¨ ¨ ©â¨ ¨å ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï: ) 2x 3y 6 = 0; ¡) 2x + 3y 6 = 0; ¢) x 2 = 0; £) 2x 3y = 0. 2. Ǒ®áâநâì ç¥à⥥ ¯àï¬ë¥ «¨¨¨ ¨ ©â¨ ¨å ª®®à¤¨ âë¥ ãà ¢¥¨ï: t; ¡) x = 2 2t; ¢) x =2 t; £) x = 3 ; ) xy =1 =2 t; y= 3 ; y= t; y = 1 t: 3. â®à®ë AB , BC ¨ AC âà¥ã£®«ì¨ª ABC § ¤ ë ᮮ⢥âá⢥® ãà ¢¥¨ï¬¨ 4x +3y 5 = 0, x 3y +10 = 0 ¨ x 2 = 0. ¯à¥¤¥«¨âì ª®®à¤¨ âë ¥£® ¢¥àè¨ ¨ ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ ¡¨áᥪâà¨áë 㣫 A.
x
10. ¤ ç¨
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4. ¯à¥¤¥«¨âì ¢§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ á«¥¤ãîé¨å ¯ à ¯àï¬ëå ¨ ¢ëïá¨âì, ª ª¨¥ ¨§ íâ¨å ¯ à ᮤ¥à â ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë¥ ¯àï¬ë¥: ) x 2y + 3 = 0, 2x 4y + 1 = 0; ¡) 2x y 8 = 0, x 2 3 = y +12 ; ¢) x y 2 = 0, xy == 31 ++ t;t; £) xy == 11 + 2t;t; x 23 = y 23 . 5. ë ãà ¢¥¨ï ¤¢ãå áâ®à® ¯ à ««¥«®£à ¬¬ 8x + 3y + 1 = 0, 2x + y 1 = 0 ¨ ®¤®© ¨§ ¥£® ¤¨ £® «¥© 3x + 2y + 3 = 0. ¯à¥¤¥«¨âì ª®®à¤¨ âë ¢¥àè¨ í⮣® ¯ à ««¥«®£à ¬¬ . 6. ë ãà ¢¥¨ï ¤¢ãå áâ®à® ¯àאַ㣮«ì¨ª 2x 3y + 5 = 0, 3x + 2y 7 = 0 ¨ ®¤ ¨§ ¥£® ¢¥àè¨ A(2; 3). ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï ¤¢ãå ¤à㣨å áâ®à® ¯àאַ㣮«ì¨ª . 7. ë ãà ¢¥¨ï ¤¢ãå áâ®à® ¯àאַ㣮«ì¨ª x 2y + 15 = 0, x 2y = 0 ¨ ãà ¢¥¨¥ ®¤®© ¨§ ¥£® ¤¨ £® «¥© 7x + y 15 = 0. ©â¨ ¢¥àè¨ë ¯àאַ㣮«ì¨ª . 8. ©â¨ ¯à®¥ªæ¨î â®çª¨ P ¯àï¬ãî `: ) P ( 1; 2), `: x y + 3 = 0; ¡) P (5; 1), `: 2x + y 1 = 0. 9. ©â¨ â®çªã, ᨬ¬¥âà¨çãî â®çª¥ P ®â®á¨â¥«ì® ¯àאַ© `: ) P (4; 4), `: x + y 4 = 0; ¡) P ( 4; 3), `: 2x + y 1 = 0. 10. ©â¨ à ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ P ¤® ¯àאַ© `: ) P (2; 1), `: 3x 4y + 5 = 0; ¡) P (1; 2), `: 2x + y 7 = 0. 11. ë ¤¢¥ ¢¥àè¨ë âà¥ã£®«ì¨ª A( 10; 2), B (6; 4) ¨ â®çª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¥£® ¢ëá®â H (5; 2). ©â¨ ª®®à¤¨ âë âà¥â쥩 ¢¥àè¨ë. 12. ë ¤¢¥ ¢¥àè¨ë âà¥ã£®«ì¨ª A(3; 1), B (5; 7) ¨ â®çª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¥£® ¢ëá®â H (4; 1). ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï áâ®à®. 13. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï áâ®à® âà¥ã£®«ì¨ª , ¥á«¨ ¤ ë ®¤ ¨§ ¥£® ¢¥àè¨ A(1; 3) ¨ ãà ¢¥¨ï ¤¢ãå ¬¥¤¨ x 2y + 1 = 0 ¨ y 1 = 0. 14. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï áâ®à® âà¥ã£®«ì¨ª , ¥á«¨ ¤ ë ®¤ ¨§ ¥£® ¢¥àè¨ A( 4; 5) ¨ ãà ¢¥¨ï ¤¢ãå ¢ëá®â 5x + 3y 4 = 0 ¨ 3x + 8y + 13 = 0. 15*. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï áâ®à® âà¥ã£®«ì¨ª , ¥á«¨ ¤ ë ®¤ ¨§ ¥£® ¢¥àè¨ A(4; 1) ¨ ãà ¢¥¨ï ¤¢ãå ¡¨áᥪâà¨á x 1 = 0 ¨ x y 1 = 0. 16. ë ¢¥àè¨ë âà¥ã£®«ì¨ª A(2; 2), B (3; 5) ¨ C (5; 7). ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà , ®¯ã饮£® ¨§ ¢¥àè¨ë C ¡¨áᥪâà¨áã 㣫 A. 17*. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã ( 5; 4), ®â१®ª ª®â®à®©, § ª«îç¥ë© ¬¥¤ã ¯àï¬ë¬¨ x + 2y + 1 = 0 ¨ x + 2y 1 = 0, ¨¬¥¥â ¤«¨ã 5. 18. Ǒàï¬ë¥ x + y 1 = 0, 2x y + 3 = 0 ¯à¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ ®¡à §ãîâ ç¥âëॠ㣫 . £®«, ¢ ª®â®à®¬ «¥¨â â®çª A(1; 1), ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ .
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« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
áâ ®¢¨âì, ¢ ª ª®¬ 㣫¥ ®â®á¨â¥«ì® (¢ ⮬ ¥ á ¬®¬, ᬥ®¬, ¢¥à⨪ «ì®¬) «¥ â â®çª¨ B( 3; 0), C (0; 0), D(1; 7) ¨ E (2; 1). 19. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã (2,1) ¯®¤ 㣫®¬ 45Æ ª ¯àאַ© 2x + 3y + 4 = 0. 20. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï ¯àï¬ëå, ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ â®çªã (8,6) ¨ ®âᥪ îé¨å ®â ®á¥© ª®®à¤¨ â âà¥ã£®«ì¨ª ¯«®é ¤ìî 12. 21. Ǒ¥à¥©â¨ ®â ª®®à¤¨ âëå ãà ¢¥¨© ¯«®áª®á⥩ ª ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬: ) x y + z 1 = 0; ¡) x + y 3z + 4 = 0; ¢) x + y 1 = 0. 22. Ǒ¥à¥©â¨ ®â ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯«®áª®á⥩ ª ª®®à¤¨ âë¬: 8 8 8 < x = 1 + u v; < x = 1 + u v; < x = 1 + u v; ) : y = 2 u + v; ¡) : y = 2 + u ; ¢) : y = 2 + u + v; z = 3 + 2u v ; z= 3 + v; z= 3 : 23. ®áâ ¢¨âì ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã A(3; 4; 5) ¯ à ««¥«ì® ¢¥ªâ®à ¬ ~a1 = (3; 1; 1) ¨ ~a2 = (1, 2; 1). 24. ®áâ ¢¨âì ª®®à¤¨ ⮥ ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çª¨ A(2; 1; 3) ¨ B(3; 1; 2) ¯ à ««¥«ì® ¢¥ªâ®àã ~a = (3; 1; 4). 25. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çª¨ A(3, 1; 2), B(4; 1; 1) ¨ C (2; 0; 2). 26. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨, ª®â®à ï ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ â®çªã A(2; 1; 1) ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ¢¥ªâ®àã ~n = (1; 2; 3). 27. ®çª A(2; 1; 1) á«ã¨â ®á®¢ ¨¥¬ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà , ®¯ã饮£® ¨§ ç « ª®®à¤¨ â ¯«®áª®áâì. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ í⮩ ¯«®áª®áâ¨. 28. ¯à¥¤¥«¨âì ¢§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ á«¥¤ãîé¨å ¯ à ¯«®áª®á⥩ ¨ ¢ëïá¨âì, ª ª¨¥ ¨§ íâ¨å ¯ à ᮤ¥à â ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë¥ ¯«®áª®áâ¨: ) x + y z + 4 = 0, 8 2x y + z = 0; < x = 1 + 3u + v; ¡) x + y z + 4 = 0, : y = 1 + 2u + 2v; z = 4 + 5u + 3v; ¢) 8x y + 2z 5 = 0, 2x 2y + 4z 10 = 0; u + 4v; <x = 1 £) : y = 2 + u 4v; x + y + z 1 = 0. z = 4 + u 3v; 29. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®á⨠, ª®â®à ï ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ â®çªã A ¯ à ««¥«ì® ¯«®áª®á⨠: ) A(1; 2; 3), : x y + z = 0; ¡) A(1; 0; 2), : x y + 1 = 0. 30. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨, ª®â®à ï ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â ¨ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ¯«®áª®áâï¬ 2x y +3z 1 = 0 ¨ x +2y + z = 0.
x
10. ¤ ç¨
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31. ©â¨ ¯à®¥ªæ¨î â®çª¨ P ¯«®áª®áâì : ) P (3; 1; 2), : x y + z = 0; ¡) P (2; 2; 5), : x + y + 4z 6 = 0. 32. ©â¨ â®çªã, ᨬ¬¥âà¨çãî â®çª¥ P (8; 2; 3) ®â®á¨â¥«ì® ¯«®áª®á⨠x y + 6 = 0. 33. ©â¨ à ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ P ¤® ¯«®áª®á⨠: ) P (1; 4; 1), : 2x y + 2z 3 = 0; ¡) P (2; 1; 1), : 5x 3y + z + 4 = 0; ¢) P (3; 6; 5), : 4x 3z 1 = 0. 34*. §¢¥áâ®, çâ® ¯«®áª®á⨠3x 2y + z 3 = 0, x 2z = 0 ¨ ¯¥à¥á¥ª îâáï, ¯«®áª®áâì x 2y + z + 5 = 0 ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà . ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®á⨠. 35. Ǒ¥à¥©â¨ ®â ª®®à¤¨ âëå ãà ¢¥¨© ¯àאַ© ª ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¬: ) 2xx + yy ++ zz 14 == 00;; ¡) xx yy + z + 5 == 00:; 36. Ǒ¥à¥©â¨ ®â ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯àאַ© ª ª®®à¤¨ âë¬: 8 8 8 < x = 1 + t; < x = 1 + t; < x = 1 + t; ) : y = 2 t; ¡) : y = 2 t; ¢) : y = 2 ; z = 3 + t; z=3 ; z=3 : 37. ®áâ ¢¨âì ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯àאַ©, ®¡à §®¢ ®© ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ ¯«®áª®á⨠3x y 7z + 9 = 0 á ¯«®áª®áâìî, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ®áì Ox ¨ â®çªã A(3; 2; 5). 38.8 ©â¨ à ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ P (2; 3; 1) ¤® á«¥¤ãî饩 ¯àאַ©: < x = 1 + t; ) : y = 2 + t; ¡) x 3 5 = y2 = z +225 ; ¢) 23xx ++ 2yy zz ++ 78 == 00;: z = 13 + 4t; 39. Ǒ஢¥à¨âì, çâ® ¯àï¬ë¥ 2x + 2y z 10 = 0; ¨ x + 7 = y 5 = z 9 x y z 22 = 0 3 1 4 ¯ à ««¥«ìë ¨ ©â¨ à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã ¨¬¨. 40.8¯à¥¤¥«¨âì ¢§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ á«¥¤ãîé¨å ¯àï¬ëå: < x = 7 + 3t; ) : y = 4 2t; ¨ x 1 1 = y +2 8 = z +112 ; z = 4 + 3t 8 8 < x = 3 + 2t; < x = 5 + t; ¡) : y = 2 + 3t; ¨ : y = 1 4t; z = 6 4t z = 4 + t; x 1 y+5 z+2 ¢) 2 = 3 = 1 ¨ x 23 = y +3 8 = z +11 ;
120
« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
8 <x
= 2 + 3t; £) : y = 1 2t; ¨ xx + yy 5zz 8 == 00:; z= t 41. ®ª § âì ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà®áâì ¯àï¬ëå 8 < x = 1 + 2t; 2x + y 4z + 2 = 0; y = 2 + 3t; ¨ 4 x y 5z + 4 = 0: : z = 1 6t 42. ©â¨ ¯à®¥ªæ¨î8â®çª¨ M ¯àï¬ãî `: < x = 1 + t; ) M (1; 2; 4), `: : y = 3 2t; z= 2 t; 2 x + 2 y z ¡) M (8; 1; 1), `: x y z + 21 == 00:; 43. ©â¨ â®çªã,ᨬ¬¥âà¨çãî â®çª¥ P ®â®á¨â¥«ì® ¯àאַ© `: ) P (4; 1; 6), `: 2xx + yy 24zz ++ 123 == 00;; ¡) P (2; 1; 3), `: 5x 2yy 55zz ++ 243 == 00:; 44. ë ¢¥àè¨ë âà¥ã£®«ì¨ª A(3; 6; 7), B ( 5; 2; 3) ¨ C (4; 7, 2). ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ¬¥¤¨ ë, ¯à®¢¥¤¥®© ¨§ ¢¥àè¨ë A. 45. ë ¢¥àè¨ë âà¥ã£®«ì¨ª A(1; 2; 4), B (3; 1; 3) ¨ C (5; 1, 7). ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ¢ëá®âë, ¯à®¢¥¤¥®© ¨§ ¢¥àè¨ë B. 46. ë ¢¥àè¨ë âà¥ã£®«ì¨ª A(3; 1; 1), B (1; 2; 7) ¨ C ( 5, 14; 3). ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ¡¨áᥪâà¨áë 㣫 B. 47*. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ©, ª®â®à ï ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ â®çªã á ª®®à¤¨ â ¬¨ ( 4; 5; 3) ¨ ¯¥à¥á¥ª ¥â ¯àï¬ë¥ 8 8 < x = 1 + 3t; < x = 2 + 2t; y = 3 2t; ¨ y = 1 + 3t; : : z= 2 t z = 1 5t: 48*. Ǒ«®áª®áâì 9x + 12y + 20z 60 = 0 ¯¥à¥á¥ª ¥â ®á¨ Ox, Oy ¨ Oz ¢ â®çª å A, B ¨ C ᮮ⢥âá⢥®. ©â¨ ¤«¨ã ¢ëá®âë âà¥ã£®«ì¨ª ABC , ¯à®¢¥¤¥®© ¨§ ¢¥àè¨ë C , ¨ ¯¨á âì ¥¥ ãà ¢¥¨ï. 49. ©â¨ ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨, ª®â®à ï ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ¯àï¬ãî 8 < x = 1 + 2t; y= 1 t; : z = 2 + 3t
121
x
10. ¤ ç¨
¨ ¯ à ««¥«ì ¯àאַ©
8 <x
= t; = 2 2t; = 3 3t: 50. ©â¨ ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨, ª®â®à ï ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ¯«®áª®á⨠3x + y z + 2 = 0 ¨ ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ¯àï¬ãî 8 < x = 1 + 3t; y= 2 t; : z= 4t: 51. ¯à¥¤¥«¨âì ¢§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¥¨¥ ¯àאַ© ` ¨ ¯«®áª®á⨠: 8 < x = 2 + 3t; ) `: : y = 2 t; : x + y z 6 = 0; z = 2 + 4t; 8 < x = 5 + 3u + 2v; x+1 y 1 z ¡) `: 5 = 3 = 2 , : : y = 4 + 9u 8v; z = 1 + 2u v; 3 x + y 10 = 0 ; ¢) `: 2x z 6 = 0; : 3x + y 10 = 0. 52. Ǒਠª ª®¬ § 票¨ m ¯«®áª®áâì x 3y +6z +7 = 0 ¯ à ««¥«ì á«¥¤ãî饩 ¯àאַ©: ) x +3 1 = y m 2 = z +23 ; ¡) x 9 5 = y +19 = mz + 41 ? 53. Ǒਠª ª¨å § 票ïå A ¨ B ¯«®áª®áâì Ax + By + 3z 5=0 x 3 y 5 z+2 ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ¯àאַ© 2 = 3 = 2 ? 54. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï ¯à®¥ªæ¨¨ ¯àאַ© 5x 4y 2z 5 = 0; x + 2z 2 = 0 ¯«®áª®áâì 2x y + z 1 = 0. 55. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï ¯àאַ©, ª®â®à ï ᨬ¬¥âà¨ç ¯àאַ© x 2 y+1 z+1 2 = 0 = 1 ®â®á¨â¥«ì® ¯«®áª®á⨠x z = 0. 56*. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ¯«®áª®áâ¨, ª®â®à ï ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ¯àï¬ãî x + 2y z + 3 = 0; x+ y+z 4=0 ¯®¤ 㣫®¬ 3 ª ¯àאַ© x y + z + 1 = 0; x y + 2z + 1 = 0: y : z
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« ¢ 2. Ǒàï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨
3.
⢥âë
x y
t; ¡) x = 3 + 3t; ¢) x = = 2t; y= 2t; y= 2. ) x + y = 3; ¡) y = 3; ¢) x + y = 2; £) x = 3. 3. A(2; 1); B ( 1; 3); C (2; 4); 3x + y = 5.
1. )
= 3 + 3
2
; t;
£)
x y
t; t:
= 3 = 2
4. ) Ǒ à ««¥«ìë; ¡) ¯¥à¥á¥ª îâáï (¨ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë); ¢) ᮢ¯ ¤ îâ;
£) ¯¥à¥á¥ª îâáï (® ¥ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë).
;
13 = 0, 3x + 2y = 0. ; 1). 3 9. ) (0,0); ¡) (4; 1). 10. ) 3; ¡) p . 11. (6; 6). 5 12. AB : 4x y 13 = 0, AC : x + 8y + 5 = 0, BC : x 5 = 0. 13. AB : x y + 2 = 0, AC : x + 2y 7 = 0, BC : x 4y 1 = 0. 14. 3x 5y 13 = 0, 8x 3y + 17 = 0, 5x + 2y 1 = 0. 15. 2x y + 3 = 0, 2x + y 7 = 0, x 2y 6 = 0. 16. x 5 = 0. 17. 3x + 4y 1 = 0, 7x + 24y 61 = 0. 18. B | ¢ ¢¥à⨪ «ì®¬, C | ¢ ᬥ®¬, D | ¢® ¢â®à®¬ ᬥ®¬, E
5. (
;
;
2 5), (1
3), (5
7. (1,8), (4,2), (2,1), (
;
9), (8
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x
17). 6. 2
1 7). 8.
) (
;
y
3
3 0);
¡) (1
| ¢ ⮬ ¥ á ¬®¬.
y + 3 = 0, 5x + y 11 = 0. 20. 3x 2y 12 = 0, 3x 8y + 24 = 0. 8 8 x=1+u ; 4 + u + 3v; <x = <x = 1 + u ; u ; ¢) : y = u ; y= u + v; ¡) : y = 21. ) : z= v; z= v; z= v: 22. ) x + y 3 = 0; ¡) x y + z = 0; ¢) z 3 = 0. 23. x + 4y + 7z + 16 = 0. 24. x y z = 0. 25. 3x + 3y + z 8 = 0. 26. x 2y + 3z + 3 = 0. 27. 2x y z 6 = 0. 19.
x
28. ¤ îâ;
5
8 <
) Ǒ¥à¥á¥ª îâáï (¨ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë);
¡) ¯ à ««¥«ìë;
£) ¯¥à¥á¥ª îâáï (® ¥ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë).
29.
)
x y+z
2 = 0;
¡)
x y
x
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1 = 0. 30. 7
2
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¢) ᮢ¯ -
z = 0.
4 ; ; ) 1; ¡) p ; ¢) p . 35 26 8 8 2t; t; <x = 1 <x = y = 1 + t; y = 5 + t; 34. 11x 2y 15z 3 = 0. 35. ) ¡) : : z = 1 + 3t; z=5 : x +y 3 = 0; x +y 3 = 0; y 2 = 0; 36. ) ¡) ¢) y +z 5 = 0; z 3 = 0; z 3 = 0: 8 3 + 37t; <x = y= 6t; 37. 38. ) 6; ¡) 21; ¢) 6. 39. 3. : z= 15t:
31.
) (1,1,0);
¡) (1,1,1). 32. (
16
8 14 3). 33.
40. ) ªà¥é¨¢ îâáï; ¡) ¯¥à¥á¥ª îâáï; ¢) ᮢ¯ ¤ îâ; £) ¯ à ««¥«ìë. 41.
ª § ¨¥
«ìë.
42.
;
) (0
8 <
x 44. y : z
: ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¯àï¬ëå ®à⮣®-
;
5 1);
=
3
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¡) (0,1,1). 43.
t; 17t; 19t: 7
8 <
x 45. y : z
;
) (2
=
3 +
=
1 +
=
3 +
;
3 2);
t; 15t; 19t: 3
;
¡) (4
8 <
x 46. y : z
;
3 5).
t; t; 8t:
=
1
=
2 + 3
=
7 +
123
x
10. ¤ ç¨
8 <
x = 4 + 3t; 9x y = 5 + 2t; 48. 5, 4x : z= 3 t: 49. x y z + 4 = 0. 50. x 5y 47.
y y
+ 12 3
z
+ 20
60 = 0 = 0
; :
z + 11 = 0. ¢) ` «¥¨â ¢ . 9 52. ) m = 3; ¡) m = 1. 53. A = 3, B = . 2 x y+1 z 2x 4y 8z + 1 = 0; 54. 2x y + z 1 = 0: 55. 1 = 1 = 2 . 56. x + 2y z + 3 = 0, 13x + 14y + 11z 45 = 0. 2
51.
) Ǒ à ««¥«ìë;
4.
¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò2
¡) ¯¥à¥á¥ª îâáï;
®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï áâ®à® âà¥ã£®«ì¨ª , ¥á«¨ ¤ ë: ) ®¤ ¨§ ¥£® ¢¥àè¨ B( 4; 5) ¨ ãà ¢¥¨ï ¤¢ãå ¢ëá®â 5x + 3y 4 = 0 ¨ 3x + 8y + 13 = 0; ¡) ®¤ ¨§ ¥£® ¢¥àè¨ C (4; 1) ¨ ãà ¢¥¨ï ¢ëá®âë 2x 3y +12 = 0 ¨ ¬¥¤¨ ë 2x + 3y = 0, ¯à®¢¥¤¥ëå ¨§ ®¤®© ¢¥àè¨ë; ¢) ®¤ ¨§ ¥£® ¢¥àè¨ B(2; 2) ¨ ãà ¢¥¨ï ¤¢ãå ¢ëá®â x 4y = 0 ¨ x + y 1 = 0; £) ®¤ ¨§ ¥£® ¢¥àè¨ B(3; 3) ¨ ãà ¢¥¨ï ¢ëá®âë x 4y + 3 = 0 ¨ ¬¥¤¨ ë y 1 = 0, ¯à®¢¥¤¥ëå ¨§ ®¤®© ¢¥àè¨ë. 2. ©â¨ ¯à®¥ªæ¨î â®çª¨ P ¯àï¬ãî, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ â®çª¨ A ¨ B: ) P ( 8; 12), A(2; 3), B( 5; 1); ¡) P (8; 9), A(3; 4), B( 1; 2); ¢) P (1; 3), A(3; 0), B(1; 2); £) P (3; 5), A(1; 1), B(4; 2). 3. âà¥ã£®«ì¨ª ABC . ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ ¢ëá®âë, ¯à®¢¥¤¥®© ¨§ â®çª¨ A áâ®à®ã BC : ) A(1; 1; 3), B( 1; 2; 0), C (0; 1; 1); ¡) A(1; 0; 1), B( 1; 2; 3), C (0; 1; 3); ¢) A(2; 1; 1), B(1; 3; 0), C (4; 1; 7); £) A(0; 1; 1), B(1; 4; 5), C (2; 3; 5). 4. Ǒ«®áª®áâì ) 2x + y + z 4 = 0; ¡) 3x y + 2z 6 = 0; ¢) x 2y + 3z 6 = 0; £) x 2y 2z + 4 = 0 ¯¥à¥á¥ª ¥â ®á¨ Ox, Oy ¨ Oz ¢ â®çª å A, B ¨ C ᮮ⢥âá⢥®. í⮩ ¯«®áª®á⨠¢ë¡à !á¨á⥬ á ç «®¬ ¢ â®çª¥ C ¨ ¡ §¨á!. ª®®à¤¨ â 묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ CA ¨ CB Ǒàï¬ ï ` ¨¬¥¥â ¢ ¯«®áª®á⮩ á¨á⥬¥ ãà ¢¥¨¥ 2u v +1 = 0. ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ í⮩ ¯àאַ© ¢ ¯à®áâà á⢥®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â. 1.
« ¢ 3
¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¤¢ãå ¯à¥¤ë¤ãé¨å £« ¢ å ã á 㥠¥®¤®ªà â® ¢®§¨ª «¨ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. ¤¥áì ¬ë ç¨ ¥¬ ¨å á¨á⥬ â¨ç¥áª®¥ ¨§ã票¥. ç « ¢¢®¤ïâáï ®á®¢ë¥ ¯®ïâ¨ï, á¢ï§ ë¥ á â ª¨¬¨ á¨á⥬ ¬¨, ¨ ¤®ª §ë¢ îâáï â¥®à¥¬ë ® ¬®¥á⢥ ¢á¥å à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© ¨ ¥®¤®à®¤®© á¨á⥬ë. ⥬ ¯®¤à®¡® ¨§« £ ¥âáï ¬¥â®¤ ãáá à¥è¥¨ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ª®â®àë© ¡ã¤¥â ¯®áâ®ï® ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ª®ªà¥âëå § ¤ ç. Ǒ®á«¥ í⮣® ¢¢®¤ïâáï ®¯à¥¤¥«¨â¥«¨ ¯à®¨§¢®«ì®£® ¯®à浪 , ¨§ãç îâáï ¨å ᢮©á⢠¨ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¯à ¢¨«® à ¬¥à . §ã票¥ á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¡ã¤¥â ¯à®¤®«¥® ¢ £« ¢¥ 6. x11.
¤®à®¤ë¥ ¨ ¥®¤®à®¤ë¥
á¨á⥬ë
¯®¬¨¬, çâ® «¨¥©ë¬ ãà ¢¥¨¥¬ (¨«¨ ãà ¢¥¨¥¬ ¯¥à¢®£® ¯®) á n ¥¨§¢¥áâ묨 x1 , x2 , . . ., x §ë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤
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a1 x1 + a2 x2 + + a x n
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(1)
¥«¨ç¨ë a1; a2; : : : ; a §ë¢ îâáï ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå, b | ᢮¡®¤ë¬ ç«¥®¬ ãà ¢¥¨ï (1). ®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå ¨ ᢮¡®¤ë© ç«¥ ¯à¥¤¯®« £ îâáï ¨§¢¥áâ묨. n
125
x
11. ¤®à®¤ë¥ ¨ ¥®¤®à®¤ë¥ á¨á⥬ë
áᬮâਬ á¨á⥬㠨§ m «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á n ¥¨§¢¥áâ묨: 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = b1 ; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = b2 ; (2) .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = b : m
m
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n
n
mn
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¯à¥¤¥«¥¨¥. ¥è¥¨¥¬ (¨«¨ ç áâë¬ à¥è¥¨¥¬) á¨á⥬ë (2) §ë¢ ¥âáï 㯮à冷ç¥ë© ¡®à ç¨á¥« (x01 ; x02; : : : ; x0 ) â ª®©, çâ® ¯à¨ ¯®¤áâ ®¢ª¥ ¢ (2) x01 ¢¬¥áâ® x1, x02 ¢¬¥áâ® x2 , .. . , x0 ¢¬¥áâ® x ¢á¥ ãà ¢¥¨ï á¨á⥬ë (2) ¯à¥¢à é îâáï ¢ ¢¥àë¥ à ¢¥á⢠. ¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© (2) §ë¢ ¥âáï ᮢ¬¥á⮩, ¥á«¨ ® ¨¬¥¥â å®âï ¡ë ®¤® à¥è¥¨¥, ¨ ¥á®¢¬¥á⮩ ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥. ¯à¨¬¥à, 㯮à冷ç¥ë© ¡®à ç¨á¥« (1; 2; 1; 3) ¡ã¤¥â à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë x1 + 2x2 + x3 x4 = 1; 2x1 x2 + x3 + 3x4 = 8 ¤¢ãå «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á ç¥âëàì¬ï ¥¨§¢¥áâ묨. «¥¤®¢ ⥫ì®, íâ á¨á⥬ ᮢ¬¥áâ . ¤à㣮© áâ®à®ë, á¨á⥬ 8 x4 = 1; < x1 + 2x2 + x3 2 x1 x2 + x3 + 3x4 = 8; : x1 + 2x2 + x3 x4 = 5 ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬ ¥á®¢¬¥áâ , â ª ª ª ¨ª ª®© ¡®à ç¨á¥« ¥ ¬®¥â ®¤®¢à¥¬¥® 㤮¢«¥â¢®àïâì ¨ ¯¥à¢®¬ã, ¨ âà¥â쥬㠥¥ ãà ¢¥¨ï¬. ¯à¥¤¥«¥¨¥.
᫨ ¢á¥ ᢮¡®¤ë¥ ç«¥ë á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© à ¢ë 0, â® á¨á⥬ §ë¢ ¥âáï ®¤®à®¤®©, ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ | ¥®¤®à®¤®©.
᫨ ¢ á¨á⥬¥ (2) ¢á¥ ᢮¡®¤ë¥ ç«¥ë § ¬¥¨âì ã«ï¬¨, â® ¬ë ¯®«ã稬 ®¤®à®¤ãî á¨á⥬ã 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = 0; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = 0; (3) . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = 0; ª®â®àãî ¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ®¤®à®¤®© á¨á⥬®©, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 á¨á⥬¥ (2). ⬥⨬, çâ® n
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m
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n
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«î¡ ï ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ᮢ¬¥áâ ,
126
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
â ª ª ª ® ¨¬¥¥â ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥, â.¥. à¥è¥¨¥ x1 = 0, x2 = 0, . .. , = 0. ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì (x1 ; x2 ; : : : ; x ) ¨ (y1 ; y2 ; : : : ; y ) | ¤¢ 㯮à冷ç¥ëå ¡®à ç¨á¥«, t | ¥ª®â®à®¥ ç¨á«®. ®£¤ 㯮à冷ç¥ë© ¡®à ç¨á¥« (x1 + y1; x2 + y2; : : : ; x + y ) §ë¢ ¥âáï á㬬®© ¡®à®¢ (x1 ; x2 ; : : : ; x ) ¨ (y1; y2; : : : ; y ), 㯮à冷ç¥ë© ¡®à (tx1 , tx2 , . . . , tx ) | ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¡®à (x1 ; x2 ; : : : ; x ) ç¨á«® t. «¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥ ¡ã¤¥â ç áâ® ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¢ ¤ «ì¥©è¥¬.
x
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¥®à¥¬ 1. 㬬 ¤¢ãå à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë | à¥è¥¨¥ í⮩ á¨á⥬ë. Ǒந§¢¥¤¥¨¥ à¥è¥¨ï ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë ç¨á«® | à¥è¥¨¥ í⮩ á¨á⥬ë. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì (y1 ; y2 ; : : : ; y ) ¨ (z1 ; z2 ; : : : ; z ) | à¥è¥¨ï á¨á⥬ë (3). Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¡®à (y1 +z1; y2 +z2; : : : ; y +z ) ¢ i-¥ ãà ¢¥¨¥ í⮩ á¨á⥬ë (1 6 i 6 m). Ǒ®«ã稬 a 1 (y1 + z1 ) + a 2 (y2 + z2 ) + + a (y + z ) = = (a 1 y1 + a 2 y2 + + a y ) + (a 1 z1 + a 2 z2 + + a z ) = = 0 + 0 = 0: ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¡®à (y1 + z1; y2 + z2; : : : ; y + z ) ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (3). Ǒ®¤áâ ¢¨¢ ¢ â® ¥ ãà ¢¥¨¥ ¡®à (ty1; ty2; : : : ; ty ), ¯®«ã稬 a 1 (ty1 ) + a 2 (ty2 ) + + a (ty ) = = t(a 1 y1 + a 2 y2 + + a y ) = t 0 = 0: «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ¡®à (ty1 ; ty2; : : : ; ty ) ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (3). ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . ¥®à¥¬ 1 ¯®§¢®«ï¥â ®â¢¥â¨âì ¢®¯à®á, ᪮«ìª® à¥è¥¨© ¬®¥â ¡ëâì ã ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. n
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«¥¤á⢨¥ 1. Ǒந§¢®«ì ï ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¨«¨ ¨¬¥¥â ஢® ®¤® à¥è¥¨¥ ¯à¨ç¥¬ íâ® à¥è¥¨¥ | ã«¥¢®¥ , ¨«¨ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©.
)
(
®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢ à §«¨çëå à¥è¥¨ï, â® ® ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©. Ǒ।¯®«®¨¬ ¯®í⮬ã, çâ® á¨á⥬ (3) ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢ à §«¨çëå à¥è¥¨ï. «¥¤®¢ ⥫ì®, íâ
127
x
11. ¤®à®¤ë¥ ¨ ¥®¤®à®¤ë¥ á¨á⥬ë
á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥, â.¥. â ª®¥ à¥è¥¨¥ (x01 ; x02; : : : ; x0 ), çâ® x0 6= 0 ¤«ï ¥ª®â®à®£® 1 6 i 6 n. ᨫã 0⥮६ë 1 ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ¤¥©á⢨⥫쮣® ç¨á« t ¡®à ç¨á¥« (tx1 ; tx02 ; : : : ; tx0 ) â ª¥ ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (3). 祢¨¤®, çâ® ¥á«¨ t1 6= t2, â® à¥è¥¨ï (t1 x01 ; t1x02; : : : ; t1x0 ) ¨ (t2 x01; t2x02 ; : : : ; t2x0 ) á¨á⥬ë (3) à §«¨çë (â ª ª ª t1x0 6= t2x0 ). Ǒ®áª®«ìªã ¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥« ¡¥áª®¥ç® ¬®£®, ¯®«ãç ¥¬, çâ® á¨á⥬ (3) ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©. «¥¤á⢨¥ 1 ¤®ª § ®. ®ª ¥¬ ⥯¥àì ¯®«¥§®¥ ã⢥थ¨¥ ® á¢ï§¨ à¥è¥¨© á¨á⥬ (2) ¨ (3). ¥®à¥¬ 2. Ǒãáâì á¨á⥬ (2) ᮢ¬¥áâ . 롥६ ¯à®¨§¢®«ìë¬ ®¡à §®¬ ¨ § 䨪á¨à㥬 ¥ª®â®à®¥ ¥¥ à¥è¥¨¥ (x01 ; x02 ; : : : ; x0 ).
᫨ (y1 ; y2 ; : : : ; y ) | à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (3), â® á㬬 (x01 +y1 , x02 +y2 , . . . , x0 + y ) | à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (2). ®¡à â®, ª ¤®¥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (2) ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë à¥è¥¨ï (x01 , x02 , . . . , x0 ) í⮩ á¨áâ¥¬ë ¨ ¥ª®â®à®£® à¥è¥¨ï á¨á⥬ë (3). ®ª § ⥫ìá⢮. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¯¥à¢®£® ã⢥थ¨ï â¥®à¥¬ë ¯®¤áâ ¢¨¬ ¡®à (x01 + y1; x02 + y2; : : : ; x0 + y ) ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¥ i-¥ ãà ¢¥¨¥ á¨á⥬ë (2) (1 6 i 6 m). Ǒ®«ã稬 a 1 (x01 + y1 ) + a 2 (x02 + y2 ) + + a (x0 + y ) = = (a 1 x01 + a 2 x02 + + a x0 ) + (a 1 y1 + a 2 y2 + + a y ) = = b +0=b : ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¡®à (x01 + y1; x02 + y2; : : : ; x0 + y ) ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (2). ®ª ¥¬ ¢â®à®¥ ã⢥थ¨¥. Ǒãáâì (z1; z2; : : : ; z ) | à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (2). Ǒ®«®¨¬ y1 = z1 x01 ; y2 = z2 x02 ; : : : ; y = z x0 : Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¯®«ãç¥ë© ¡®à (y1; y2; : : : ; y ) ¢ i-¥ ãà ¢¥¨¥ á¨á⥬ë (3) (1 6 i 6 m). Ǒ®«ã稬 a 1 y1 + a 2 y2 + + a y = = a 1 (z1 x01 ) + a 2(z2 x02 ) + + a (z x0 ) = = (a 1 z1 + a 2 z2 + + a z ) (a 1 x01 + a 2x02 + + a x0 ) = = b b = 0: â® ®§ ç ¥â, çâ®0(y1; y2; : : : ; y 0) | à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (3). ¤à㣮© áâ®à®ë, z1 = y1 + x1, z2 = y2 + x2 , . .. , z = y + x0 . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë n
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128
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
¯à¥¤áâ ¢¨«¨ ¯à®¨§¢®«ì®¥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (2) ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë 䨪á¨à®¢ ®£® à¥è¥¨ï (x01 ; x02; : : : ; x0 ) í⮩ á¨áâ¥¬ë ¨ ¥ª®â®à®£® à¥è¥¨ï (y1; y2; : : : ; y ) á¨á⥬ë (3). ¥®à¥¬ 2 ¤®ª § . ¥¯¥àì ¬ë ¬®¥¬ ®â¢¥â¨âì ¢®¯à®á, ᪮«ìª® à¥è¥¨© ¬®¥â ¡ëâì 㠯ந§¢®«ì®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. n
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«¥¤á⢨¥ 2. Ǒந§¢®«ì ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¨«¨ ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨©, ¨«¨ ¨¬¥¥â ஢® ®¤® à¥è¥¨¥, ¨«¨ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©. ®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ® ¥á«¨ á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢ à §«¨çëå à¥è¥¨ï, â® ® ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©. Ǒ।¯®«®¨¬ ¯®í⮬ã, çâ® á¨á⥬ (2) ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢ à §«¨çëå à¥è¥¨ï. § ⥮६ë 2 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥© ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ (3) ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢ à §«¨çëå à¥è¥¨ï. ᨫã á«¥¤á⢨ï 1 íâ á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©. ® ⮣¤ ¨§ ⥮६ë 2 ¢ë⥪ ¥â, çâ® á¨á⥬ (2) â ª¥ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©. «¥¤á⢨¥ 2 ¤®ª § ®. ¢¥¤¥¬ ¯®ï⨥, ª®â®à®¥ ¡ã¤¥â ¨£à âì ¢ ãî à®«ì ¢ ¤ «ì¥©è¥¬. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ®¥á⢮ ¢á¥å à¥è¥¨© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© §ë¢ ¥âáï ®¡é¨¬ à¥è¥¨¥¬ í⮩ á¨á⥬ë. ¥®à¥¬ 2 £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® ¡®à ç¨á¥« ¯à¨ ¤«¥¨â ®¡é¥¬ã à¥è¥¨î á¨á⥬ë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¥ª®â®à®£® ¥¥ 䨪á¨à®¢ ®£® ç á⮣® à¥è¥¨ï ¨ ¡®à ç¨á¥«, ¯à¨ ¤«¥ 饣® ®¡é¥¬ã à¥è¥¨î ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë. á¢ï§¨ á í⨬ ⥮६ã 2 ç áâ® ªà ⪮ ä®à¬ã«¨àãîâ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ᮢ¬¥á⮩ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© à ¢® á㬬¥ ¥¥ ç á⮣® à¥è¥¨ï ¨ ®¡é¥£® à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë.
x12.
¥â®¤ ãáá
¤ ®¬ ¯ à £à ä¥ ¡ã¤¥â ¨§«®¥ ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ª®â®àë© ®¡ëç® á¢ï§ë¢ îâ á ¨¬¥¥¬ ¢¥«¨ª®£® ¥¬¥æª®£® ¬ ⥬ ⨪ XIX ¢¥ª ૠਤà¨å ãáá . â®â ¬¥â®¤ §ë¢ îâ â ª¥ . ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¡®«ìè¨á⢠§ ¤ ç, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ à áᬠâਢ âìáï ¢ £« ¢ å 5{8 ¨ 12. ¬¥â®¤®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮣® ¨áª«îç¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå
129
x
12. ¥â®¤ ãáá
1.
«¥¬¥â àë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. ¥áâ¨çë¥ á¨á⥬ë
ªà âæ¥ ¬¥â®¤ ãáá ¬®® ®å à ªâ¥à¨§®¢ âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ç « ¨á室 ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á ¯®¬®éìî ¥ª®â®àëå ¤¥©á⢨© ( §ë¢ ¥¬ëå í«¥¬¥â à묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ ) ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¤à㣮© á¨á⥬¥, ¨¬¥î饩 ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ ¢¨¤ (â ª §ë¢ ¥¬®© «¥áâ¨ç®© á¨á⥬¥ ). Ǒਠí⮬ ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¯®«ãç¥ ï á¨á⥬ ¨¬¥¥â â® ¥ á ¬®¥ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ (â.¥. â® ¥ á ¬®¥ ¬®¥á⢮ à¥è¥¨©), çâ® ¨ ¨á室 ï á¨á⥬ . ⥬ ¨é¥âáï ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¯®«ã祮© á¨á⥬ë (ª ª ¬ë 㢨¤¨¬, í⮠ᤥ« âì ¥á«®®). ᨫã ᪠§ ®£® ®® ï¥âáï ¨ ®¡é¨¬ à¥è¥¨¥¬ ¨á室®© á¨á⥬ë. ®«¥¥ ¯®¤à®¡®¥ ¨§«®¥¨¥ ¬¥â®¤ ãáá ¬ë 祬 á ¯®ïâ¨ï í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. ¯à¥¤¥«¥¨¥. «¥¤ãî騥 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© §ë¢ îâáï í«¥¬¥â à묨 : 1) 㬮¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¥ã«¥¢®¥ ç¨á«®; 2) ¯à¨¡ ¢«¥¨¥ ®¤®£® ãà ¢¥¨ï ª ¤à㣮¬ã; 3) ¯¥à¥áâ ®¢ª ¤¢ãå ãà ¢¥¨©; 4) ¯¥à¥áâ ®¢ª ¤¢ãå á⮫¡æ®¢ á ¥¨§¢¥áâ묨; 5) ¢ëç¥àª¨¢ ¨¥ ãà ¢¥¨© ¢¨¤ 0 x1 + 0 x2 + + 0 x = 0. «¥¤ãîé ï ¯à®áâ ï «¥¬¬ ¨£à ¥â ª«î祢ãî à®«ì ¢ ®¡®á®¢ ¨¨ ¬¥â®¤ ãáá . n
¥¬¬ . «¥¬¥â àë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á®åà ïîâ ¬®¥á⢮ ¥¥ à¥è¥¨©. ®ª § ⥫ìá⢮. ®â ä ªâ, çâ® ¬®¥á⢮ à¥è¥¨© á¨á⥬ë á®åà ï¥âáï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ âà¥â쥣®, ç¥â¢¥à⮣® ¨ ¯ï⮣® ⨯ , ®ç¥¢¨¤¥. 祢¨¤® â ª¥, çâ® ¥á«¨ ¢¥à®¥ à ¢¥á⢮ 㬮¨âì «î¡®¥ ç¨á«®, â® ®® ®áâ ¥âáï ¢¥àë¬. Ǒ®í⮬ã à¥è¥¨¥ ¤ ®© á¨á⥬ë ï¥âáï ¨ à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë, ¯®«ã祮© ¨§ ¥¥ 㬮¥¨¥¬ ®¤®£® ¨§ ãà ¢¥¨© ¥ã«¥¢®¥ ç¨á«® t. Ǒ®áª®«ìªã ¨á室 ï á¨á⥬ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ®¢®© ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ â ª®£® ¥ ⨯ (㬮¥¨¥¬ ⮣® ¥ ãà ¢¥¨ï ç¨á«® 1t ), ¢á类¥ à¥è¥¨¥ ®¢®© á¨á⥬ë ï¥âáï ¨ à¥è¥¨¥¬ ¨á室®© á¨á⥬ë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯¥à¢®£®
130
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
⨯ â ª¥ ¥ ¬¥ï¥â ¬®¥á⢠à¥è¥¨© á¨á⥬ë. Ǒãáâì ⥯¥àì ®¢ ï á¨á⥬ ¯®«ãç¥ ¨§ áâ ன ¯à¨¡ ¢«¥¨¥¬ j -£® ãà ¢¥¨ï ª i-¬ã. Ǒ®áª®«ìªã á㬬 ¤¢ãå ¢¥àëå à ¢¥á⢠| ᮢ ¢¥à®¥ à ¢¥á⢮, ¢á类¥ à¥è¥¨¥ áâ ன á¨á⥬ë ï¥âáï ¨ à¥è¥¨¥¬ ®¢®©. «¥¥, áâ àãî á¨á⥬㠬®® ¯®«ãç¨âì ¨§ ®¢®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¬ ¢ë¯®«¥¨¥¬ âà¥å ¯à¥®¡à §®¢ ¨© | á ç « 㬮 ¥¬ j -¥ ãà ¢¥¨¥ ®¢®© á¨á⥬ë (ᮢ¯ ¤ î饥 á j -¬ ãà ¢¥¨¥¬ áâ ன á¨á⥬ë!) 1, § ⥬ ¯à¨¡ ¢«ï¥¬ ¯®«ã祮¥ ãà ¢¥¨¥ ª i-¬ã ãà ¢¥¨î ®¢®© á¨áâ¥¬ë ¨, ª®¥æ, ¥é¥ à § 㬮 ¥¬ j -¥ ãà ¢¥¨¥ ®¢®© á¨á⥬ë 1. ᨫã ᪠§ ®£® ¢ëè¥ ¢á类¥ à¥è¥¨¥ ®¢®© á¨á⥬ë ï¥âáï ¨ à¥è¥¨¥¬ áâ ன. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¢â®à®£® ⨯ ¥ ¬¥ï¥â ¬®¥á⢠à¥è¥¨© á¨á⥬ë. ¥¬¬ ¤®ª § . ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¢¥ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© §ë¢ îâáï íª¢¨¢ «¥â묨, ¥á«¨ ®¨ ¨¬¥îâ ®¤® ¨ â® ¥ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ (¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ ¢á类¥ à¥è¥¨¥ ¯¥à¢®© á¨á⥬ë ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ¢â®à®© ¨ ®¡®à®â). ᯮ«ì§ãï ¯®ï⨥ íª¢¨¢ «¥âëå á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ¤®ª § ãî ¢ëè¥ «¥¬¬ã ¬®® ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¥á«¨ ®¤ á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¯®«ãç¥ ¨§ ¤à㣮© á ¯®¬®éìî ª®¥ç®£® ç¨á« í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©, â® í⨠á¨á⥬ë íª¢¨¢ «¥âë.
ª 㪠§ë¢ «®áì ¢ ç «¥ ¯ à £à ä , í«¥¬¥â àë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï á¨á⥬ë ãë ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯à¨¢¥á⨠¥¥ ª â ª §ë¢ ¥¬®© «¥áâ¨ç®© á¨á⥬¥. ¤¨¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®¯à¥¤¥«¥¨¥. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤ 8
11 x1 + 12 x2 + + 1 x + + 1 x = d1 ; > > <
22 x2 + + 2 x + + 2 x = d2 ; (1) . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. > > :
x ++ x = d ; £¤¥ 11 6= 0, 22 6= 0, . . . , 6= 0, §ë¢ ¥âáï «¥áâ¨ç®©. ë ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì íâ®â â¥à¬¨ â ª¥ ¤«ï ®¡®§ 票ï á¨á⥬ ¢¨¤ (1), ¢ ãà ¢¥¨ïå ª®â®àëå ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ᮤ¥à¨â ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¥¨§¢¥á⮥ x1 , ¢â®à®¥ | ¥ ®¡ï§ â¥«ì® x2 ¨ â.¤. ¯à¨¬¥à, á¨á⥬ 8 x3 + 2x4 + x2 = 1; < x1 2 x3 + x4 x2 = 0; : x4 + x2 = 2 ï¥âáï «¥áâ¨ç®©. rr
r
r
n
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131
x
12. ¥â®¤ ãáá
ª 㥠®â¬¥ç «®áì, ¬¥â®¤ ãáá á®á⮨⠢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª á¨á⥬¥ í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© á 楫ìî ¯®«ãç¥¨ï «¥áâ¨ç®© á¨á⥬ë. ᨫ㠫¥¬¬ë íâ «¥áâ¨ç ï á¨á⥬ ¡ã¤¥â íª¢¨¢ «¥â®© ¨á室®© á¨á⥬¥. ¥ ¨áª«î祮, çâ® ®¤®¬ ¨§ íâ ¯®¢ ¢®§¨ª¥â á¨á⥬ , ¢ ª®â®àãî ¡ã¤¥â ¢å®¤¨âì ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ 0 x1 + 0 x2 + + 0 x = b, £¤¥ b 6= 0. á®, çâ® íâ® ãà ¢¥¨¥ ( § ç¨â, ¨ «î¡ ï á¨á⥬ ãà ¢¥¨©, ¢ª«îç îé ï ¥£®) à¥è¥¨© ¥ ¨¬¥¥â. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¨ ¨á室 ï á¨á⥬ ¥á®¢¬¥áâ . â ª, ¥á«¨ ¢ 室¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨á室®© á¨áâ¥¬ë ¢®§¨ª¥â ãà ¢¥¨¥ 㪠§ ®£® ¢¨¤ , â® ¯à®æ¥áá ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯à¥ªà é ¥âáï ¨ ª®áâ â¨àã¥âáï, çâ® § ¤ ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¥á®¢¬¥áâ .
᫨ ¥ â ª¨å ãà ¢¥¨© ¥ ¢®§¨ª¥â, â®, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¨¥, á¨á⥬ ¢á¥£¤ ¬®¥â ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥ ª «¥áâ¨ç®¬ã ¢¨¤ã ¨ § ⥬ à¥è¥ . ¯®á®¡ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¯à®¨§¢®«ì®© á¨áâ¥¬ë ª «¥áâ¨ç®¬ã ¢¨¤ã ¬ë ®¯¨è¥¬ ¤¢ãå ª®ªà¥âëå ¯à¨¬¥à å, ¨§ ª®â®àëå § ⥬ ᤥ« ¥¬ § ª«î票¥ ¤«ï ®¡é¥£® á«ãç ï. ª ç¥á⢥ ¯¥à¢®£® ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ á¨á⥬ã 8 2x2 x3 + 2x4 x5 = 2; > > < x1 + x2 x3 + 2x4 + x5 = 4; (2) x + 3 x 2 x3 + 4x4 = 6; > 1 2 > : 2x1 + x2 + x3 x5 = 3: Ǒ®áª®«ìªã ¢ «¥áâ¨ç®© á¨á⥬¥ ¢ ¯¥à¢®¬ ãà ¢¥¨¨ ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ¯¥à¢®¬ ¨§ ¥¨§¢¥áâëå ¤®«¥ ¡ëâì ®â«¨ç¥ ®â ã«ï, ¢ ¯¥à¢®¬ ãà ¢¥¨¨ 襩 á¨áâ¥¬ë ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ x1 à ¢¥ ã«î, ¢ë¡¥à¥¬ ãà ¢¥¨¥, ¢ ª®â®à®¬ ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ x1 ®â«¨ç¥ ®â ã«ï, ¯à¨¬¥à ¢â®à®¥, ¨ ¯®¬¥ï¥¬ ¥£® ¬¥áâ ¬¨ á ¯¥à¢ë¬ ãà ¢¥¨¥¬. Ǒ®«ã稬 á¨á⥬ã 8 x1 + x2 x3 + 2x4 + x5 = 4; > > < 2x2 x3 + 2x4 x5 = 2; x1 + 3x2 2x3 + 4x4 = 6; > > : 2x1 + x2 + x3 x5 = 3: «¥áâ¨ç®© á¨á⥬¥ ¢® ¢á¥å ãà ¢¥¨ïå, ªà®¬¥ ¯¥à¢®£®, ¯¥à¢®¥ ¨§ ¥¨§¢¥áâëå ¤®«® ¢å®¤¨âì á ª®íää¨æ¨¥â®¬ 0. â®¡ë ¤®¡¨âìáï í⮣®, ¯à¨¡ ¢¨¬ ª âà¥â쥬ã ãà ¢¥¨î á¨áâ¥¬ë ¯¥à¢®¥, 㬮¥®¥ 1, ª ç¥â¢¥à⮬ã | ¯¥à¢®¥, 㬮¥®¥ 2. Ǒ®«ã稬 á¨á⥬ã 8 x1 + x2 x3 + 2x4 + x5 = 4; > > < 2x2 x3 + 2x4 x5 = 2; 2x2 x3 + 2x4 x5 = 2; > > : x2 + 3x3 4x4 3x5 = 5: n
132
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
«ì¥©è¨¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯à¨¬¥ïîâáï ª á¨á⥬¥, á®áâ®ï饩 ¨§ âà¥å ¯®á«¥¤¨å ãà ¢¥¨© (§ ¨áª«î票¥¬ ¢®§¬®®© ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ á⮫¡æ®¢ á ¥¨§¢¥áâ묨). Ǒ®áª®«ìªã ¢ «¥áâ¨ç®© á¨á⥬¥ ¢® ¢á¥å ãà ¢¥¨ïå, ªà®¬¥ ¯¥à¢ëå ¤¢ãå, ¢â®à®¥ ¨§ ¥¨§¢¥áâëå ¤®«® ¢å®¤¨âì á ª®íää¨æ¨¥â®¬ 0, ¯à¨¡ ¢¨¬ ª âà¥â쥬ã ãà ¢¥¨î ¯®á«¥¤¥© á¨áâ¥¬ë ¢â®à®¥ ãà ¢¥¨¥, 㬮¥®¥ 1, § ⥬ 㬮¨¬ ç¥â¢¥à⮥ ãà ¢¥¨¥ 2 ¨ ª १ã«ìâ â㠯ਡ ¢¨¬ ¢â®à®¥ ãà ¢¥¨¥. Ǒ®«ãç ¥âáï á¨á⥬ 8 x1 + x2 x3 + 2x4 + x5 = 4; > > < 2x2 x3 + 2x4 x5 = 2; 0 x + 0 x + 0 x > 3 4 5 = 0; > : 5x3 6x4 7x5 = 8: ëç¥àª¨¢ ï ¨§ ¯®«ã祮© á¨á⥬ë âà¥âì¥ ãà ¢¥¨¥, ¯®«ãç ¥¬ «¥áâ¨çãî á¨á⥬ã 8 x3 + 2x4 + x5 = 4; < x1 + x2 2 x2 x3 + 2x4 x5 = 2; (3) : 5x3 6x4 7x5 = 8; ª®â®à ï, ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë, íª¢¨¢ «¥â ¨á室®© á¨á⥬¥ (2). ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® á¨á⥬ (3) ᮢ¬¥áâ . ¯à¨¬¥à, ¥¥ à¥è¥¨¥¬ ï¥âáï ¡®à ç¨á¥« (1; 1; 2; 3; 0). «ì¥©è¨© «¨§ í⮩ á¨á⥬ë á¬. á. 133. ª ç¥á⢥ ¢â®à®£® ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî á¨á⥬ã: 8 x1 + x2 x3 + x4 = 2; > > < 2x1 + 2x2 + x3 2x4 = 3; (4) 6x3 + x4 = 7; > > : 3x3 x4 = 3: Ǒਡ ¢«ïï ª® ¢â®à®¬ã ãà ¢¥¨î í⮩ á¨áâ¥¬ë ¯¥à¢®¥, 㬮¥®¥ 2, ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬ã 8 x1 + x2 x3 + x4 = 2; > > < 3x3 4x4 = 1; 6x3 + x4 = 7; > > : 3x3 x4 = 3: ⮫¡¥æ á ¥¨§¢¥áâë¬ x2 ¯®áâ ¢¨¬ ¯®á«¥¤¥¥ ¬¥áâ® (íâ® à ¢®á¨«ì® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮬㠢믮«¥¨î ¤¢ãå í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©: á ç « ¯®¬¥ï¥¬ ¬¥áâ ¬¨ á⮫¡æë á ¥¨§¢¥áâ묨 x2 ¨ x4,
133
x
12. ¥â®¤ ãáá
§ ⥬ | á⮫¡æë á ¥¨§¢¥áâ묨 x4 ¨ x3). Ǒ®«ã稬 8 x1 x3 + x4 + x2 = 2; > > < 3x3 4x4 = 1; 6 x + x = 7; > 3 4 > : 3x3 x4 = 3: Ǒਡ ¢¨¢ ª âà¥â쥬ã ãà ¢¥¨î ¢â®à®¥, 㬮¥®¥ 2, ª ç¥â¢¥à⮬ã | ¢â®à®¥ (¨ çâ® ¥ 㬮¥®¥), ¯®«ãç ¥¬ 8 x1 x3 + x4 + x2 = 2; > > < 3x3 4x4 = 1; 9 x4 = 9; > > : 5x4 = 4:
᫨ ⥯¥àì ª ç¥â¢¥à⮬ã ãà ¢¥¨î ¯à¨¡ ¢¨âì âà¥âì¥, 㬮¥®¥ 59 , â® ¬ë ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ 0 x4 = 1. «¥¤®¢ ⥫ì®, á¨á⥬ (4) ¥á®¢¬¥áâ . Ǒ஢¥¤¥®¥ ¬ à áᬮâ२¥ á¨á⥬ (2) ¨ (4) ¯®¤áª §ë¢ ¥â, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥ (áâண®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ª®â®à®£® ¬ë ¯à¨¢®¤¨âì ¥ ¡ã¤¥¬). ¥®à¥¬ 1. ¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ᮢ¬¥áâ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥¥ ¬®® á ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯à¨¢¥á⨠ª «¥áâ¨ç®© á¨á⥬¥. 2.
室¥¨¥ ®¡é¥£® à¥è¥¨ï «¥áâ¨ç®© á¨á⥬ë
áâ ¥âáï ¢®¯à®á ® ⮬, ª ª ¨áª âì ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ «¥áâ¨ç®© á¨á⥬ë. áᬮâਬ ¥£® ¯à¨¬¥à¥ «¥áâ¨ç®© á¨á⥬ë (3). ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® ¥á«¨ § 䨪á¨à®¢ âì ( ) § ç¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå x4 ¨ x5 , â® ¬®® ¯®¤®¡à âì (¯à¨ç¥¬ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬) § ç¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå x1 ; x2 ¨ x3 â ª, çâ® ¡®à (x1 ; x2 ; x3 ; x4; x5 ) ¡ã¤¥â à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (3). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯®« £ ï, ¯à¨¬¥à, x4 = 0 ¨ x5 = 1, ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® å®¤¨¬: ¨§ âà¥â쥣® ãà ¢¥¨ï á¨á⥬ë (3) | çâ® x3 = 3; ¨§ ¥¥ ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï | çâ® x2 = 1; ¨§ ¯¥à¢®£® ãà ¢¥¨ï | çâ® x1 = 3. ª¨¬ ®¡à §®¬, (3; 1; 3; 0; 1) | à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (3). Ǒ®« £ ï x4 = 3, x5 = 5, ¯®á«¥ ®ç¥¢¨¤ëå ¢ëç¨á«¥¨© ¯®«ãç ¥¬, çâ® x1 = 5, x2 = 7 ¨ x3 = 5, ®âªã¤ (5; 7; 5; 3; 5) | ¥é¥ ®¤® ¥¥ à¥è¥¨¥. á®, çâ® «î¡®¥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (3) ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 â ª¨¬ ®¡à §®¬ (¢¥¤ì ®® ¢ª«îç ¥â ¢ á¥¡ï ª ª¨¥-â® § ç¥¨ï ¤«ï x4 ¨ x5 ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ ãà ¢¥¨ï¬ í⮩ á¨á⥬ë). ¯à®¨§¢®«ìë¬ ®¡à §®¬
134
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
§ ᪠§ ®£® à ¥¥ ¢ë⥪ ¥â ᯮᮡ 室¥¨ï ¨ § ¯¨á¨ ®¡é¥£® à¥è¥¨ï á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. Ǒ®ïᨬ ¥£® ¯à¨¬¥à¥ á¨á⥬ë (2). ᨫ㠫¥¬¬ë ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ í⮩ á¨á⥬ë ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¡é¨¬ à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (3). ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¡§ æ¥, ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç á⮥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (3) ¬®® ©â¨ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: á ç « ¯à¨¤ âì ¯à®¨§¢®«ìë¥ § ç¥¨ï ¥¨§¢¥áâë¬ x4 ¨ x5, § ⥬ ®¤®§ çë¬ ®¡à §®¬ ¢ëç¨á«¨âì § ç¥¨ï ®áâ «ìëå ¥¨§¢¥áâëå. Ǒ®í⮬㠥¨§¢¥áâë¥ x4 ¨ x5 ¥áâ¥á⢥® §¢ âì ᢮¡®¤ë¬¨, ¥¨§¢¥áâë¥ x1, x2 ¨ x3 | á¢ï§ 묨 ¨«¨ ®á®¢ë¬¨. Ǒ¥à¥®áï ¢ á¨á⥬¥ (3) ᢮¡®¤ë¥ ¥¨§¢¥áâë¥ ¢ ¯à ¢ãî ç áâì, ¯®«ã稬 á¨á⥬ã 8 x3 = 4 2x4 x5 ; < x1 + x2 2 x2 x3 = 2 2x4 + x5 ; (5) : 5x3 = 8 + 6x4 + 7x5 : ¢®¡®¤ë¬ ¥¨§¢¥áâë¬ ¯à¨¤ ¤¨¬ § 票ï x4 = 1 ¨ x5 = 2, ®á®¢ë¥ ¥¨§¢¥áâë¥ ¢ëà §¨¬ ç¥à¥§ 1 ¨ 2 á ¯®¬®éìî à ¢¥á⢠á¨á⥬ë (5). Ǒ®á«¥ ®ç¥¢¨¤ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯®«ã稬, çâ® 8 4 + 11 ; 2 > x1 = 1 > > 5 52 5 > > > > 2 6 1 > > < x2 = 5 1 + 5 2 + 5 ; (6) > 6 7 8 > > x3 = > > 5 1 + 5 2 5 ; > > > x =
1 ; > : 4 x5 =
2 : â ª, ¬®¥á⢮ ¢á¥å à¥è¥¨© á¨á⥬ë (2), à ¢® ª ª ¨ á¨á⥬ë (3), ¥áâì ¢ â®ç®á⨠¬®¥á⢮ ¢á¥å ¡®à®¢ (x1 ; x2; x3 ; x4 ; x5), 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å à ¢¥á⢠¬ (6). Ǒ®í⮬ã íâ¨ à ¢¥á⢠¬ë â ª¥ ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ®¡é¨¬ à¥è¥¨¥¬ ª ¤®© ¨§ á¨á⥬ (2) ¨ (3). ¢¥á⢠⠪®£® ⨯ §ë¢ îâ â ª¥ ª®®à¤¨ ⮩ § ¯¨áìî ®¡é¥£® à¥è¥¨ï á¨á⥬ë. à㣠ï ä®à¬ § ¯¨á¨ ®¡é¥£® à¥è¥¨ï á¨áâ¥¬ë ¡ã¤¥â 㪠§ ¢ x29. Ǒ®áª®«ìªã ᢮¡®¤ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ ¬®® ¯à¨¤ ¢ âì ¯à®¨§¢®«ìë¥ § 票ï, ïá®, çâ® ¥á«¨ ¯à¨ à¥è¥¨¨ á¨áâ¥¬ë ¢®§¨ª ¥â å®âï ¡ë ®¤ ᢮¡®¤ ï ¯¥à¥¬¥ ï, â® á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©. ¤à㣮© áâ®à®ë, ¨§ ¯à¨¢¥¤¥®£® ¢ëè¥ à áᬮâ२ï á¨á⥬ë (2) ïá®, ç⮠᢮¡®¤ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¯®ï¢«ïîâáï ⮣¤ , ª®£¤ ¯®á«¥ ¯à¨¢¥¤¥¨ï á¨áâ¥¬ë ª «¥áâ¨ç®¬ã ¢¨¤ã ¯®«ãç ¥âáï á¨á⥬ , ᮤ¥à é ï ¬¥ìè¥ ãà ¢¥¨©, 祬 ¥¨§¢¥áâëå. ®«¥¥ ⮣®, ¨§ í⮣® à áᬮâà¥¨ï ¢¨¤®, çâ®
x
12. ¥â®¤ ãáá
135
ç¨á«® ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå, ¢®§¨ª îé¨å ¯à¨ à¥è¥¨¨ «¥áâ¨ç®© á¨á⥬ë, à ¢® à §®á⨠¬¥¤ã ç¨á«®¬ ¥¨§¢¥áâëå ¨ ç¨á«®¬ ãà ¢¥¨© ¢ í⮩ á¨á⥬¥.
ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ ¢ «¥áâ¨ç®© á¨á⥬¥ ç¨á«® ãà ¢¥¨© à ¢® ç¨á«ã ¥¨§¢¥áâëå, ⮠᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå ¯à¨ ¥¥ à¥è¥¨¨ ¥ ¢®§¨ª ¥â. ª ï á¨á⥬ ( § ç¨â, ¨ «î¡ ï á¨á⥬ , ª®â®à ï ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¥© í«¥¬¥â à묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. Ǒத¥¬®áâà¨à㥬 íâ® ¯à¨¬¥à¥ á«¥¤ãî饩 á¨á⥬ë: 8 x3 = 2; < x1 + x2 2 x1 + x2 + 3x3 = 3; (7) : x1 2x2 + x3 = 1: Ǒ®á«¥ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¥¥ í«¥¬¥â à묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ ª «¥áâ¨ç®© á¨á⥬¥ ¯®«ã稬 á«¥¤ãîéãî á¨á⥬ã (¢ëª« ¤ª¨ ¬ë ¯à®¯ã᪠¥¬): 8 x3 = 2; < x1 + x2 x2 + 5x3 = 1; (8) : x3 = 0: § âà¥â쥣® ãà ¢¥¨ï á¨á⥬ë (8) ¨¬¥¥¬ x3 = 0, ¨§ ¢â®à®£® | x2 = 1 ¨ ¨§ ¯¥à¢®£® | x1 = 1. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥¤¨áâ¢¥ë¬ à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (8), § ç¨â, ¨ á¨á⥬ë (7), ï¥âáï ¡®à (1,1,0). ä®à¬ã«¨à㥬 ᤥ« ë¥ ¡«î¤¥¨ï ¢ ¢¨¤¥ ⥮६ë. ¥®à¥¬ 2. ¥áâ¨ç ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ¢ ª®â®à®© ç¨á«® ãà ¢¥¨© ¬¥ìè¥ ç¨á« ¥¨§¢¥áâëå, ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©. ¥áâ¨ç ï á¨á⥬ , ¢ ª®â®à®© ç¨á«® ãà ¢¥¨© à ¢® ç¨á«ã ¥¨§¢¥áâëå, ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥.
¤ «ì¥©è¥¬ ¬ ¯® ¤®¡¨âáï á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥.
¥®à¥¬ 3.
᫨ ç¨á«® ãà ¢¥¨© ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¬¥ìè¥ ç¨á« ¥¨§¢¥áâëå, â® á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥. ®ª § ⥫ìá⢮. ª 㥠®â¬¥ç «®áì á. 125, ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ ¢á¥£¤ ᮢ¬¥áâ . Ǒ® ⥮६¥ 1 ¥¥ ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª «¥áâ¨ç®© á¨á⥬¥. Ǒ®áª®«ìªã ¯à¨ í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïå ç¨á«® ãà ¢¥¨© ¢ á¨á⥬¥ ¥ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï, ¢ ¨á室®© á¨á⥬¥ ç¨á«® ãà ¢¥¨© ¬¥ìè¥ ç¨á« ¥¨§¢¥áâëå, ¢ ¯®«ã祮© «¥áâ¨ç®© á¨á⥬¥ ç¨á«® ãà ¢¥¨© â ª¥ ¡ã¤¥â ¬¥ìè¥ ç¨á« ¥¨§¢¥áâëå. Ǒ® ⥮६¥ 2 íâ «¥áâ¨ç ï á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©. «¥¤®¢ ⥫ì®, á।¨ ¨å ¥áâì ¨ ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥. ᨫ㠫¥¬¬ë ®® ¡ã¤¥â à¥è¥¨¥¬ ¨ ¨á室®© á¨á⥬ë. ¥®à¥¬ 3 ¤®ª § .
136 3.
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
¥â®¤ ãáá {®à¤
â®¡ë ®¡«¥£ç¨âì ¯®«ã票¥ ®¡é¥£® à¥è¥¨ï, ¯à®æ¥áá ¨áª«îç¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå ¬®® ¯à®¢®¤¨âì ¡®«¥¥ ¯®«®. Ǒ®ïᨬ, çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤ã, ¯à¨¬¥à¥ á¨á⥬ë (2). ¥¥ ¬ë ¯à¥à¢ «¨ ¯à®æ¥áá ¯à¥®¡à §®¢ ¨© í⮩ á¨á⥬ë, ¯®«ã稢 ¨§ ¥¥ á¨á⥬ã (3). Ǒத®«¨¬ ⥯¥àì íâ®â ¯à®æ¥áá. ᪫î稬 ¨§ ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® ãà ¢¥¨© á¨á⥬ë (3) ¥¨§¢¥á⮥ x3. «ï í⮣® ª ¤®¥ ¨§ 㪠§ ëå ãà ¢¥¨© 㬮¨¬ 5 ¨ ª १ã«ìâ â㠯ਡ ¢¨¬ âà¥âì¥ ãà ¢¥¨¥. Ǒ®«ã稬 á¨á⥬ã 8 + 4x4 2x5 = 12; < 5x1 + 5x2 10 x2 + 4x4 12x5 = 2; : 5x3 6x4 7x5 = 8: ¥¯¥àì ¨áª«î稬 x2 ¨§ ¯¥à¢®£® ãà ¢¥¨ï, ¤«ï 祣® ª ¯¥à¢®¬ã ãà ¢¥¨î, 㬮¥®¬ã 2, ¯à¨¡ ¢¨¬ ¢â®à®¥, 㬮¥®¥ 1. Ǒ®«ã稬 á¨á⥬ã 8 + 4x4 + 8x5 = 22; < 10x1 10 x2 + 4x4 12x5 = 2; (9) : 5x3 6x4 7x5 = 8; ª®â®à ï ¯®-¯à¥¥¬ã ¡ã¤¥â à ¢®á¨«ì ¨á室®©. Ǒ¥à¥å®¤ ®â ¯®«ã祮© ⥯¥àì á¨áâ¥¬ë ª ®¡é¥¬ã à¥è¥¨î âਢ¨ «¥: ¯®« £ ï x4 = 1 ¨ x5 = 2, ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¯®«ãç ¥¬ (6). ¥â®¤ ãáá , ¤®¯®«¥ë© ¨áª«î票¥¬ ¥¨§¢¥áâëå ¢ \¢¥àå¨å" ¨«¨ ãà ¢¥¨ïå, §ë¢ ¥âáï . ¬¥â®¤®¬ ãáá {®à¤
¬¥â®¤®¬ ¯®á«¥-
¤®¢ ⥫쮣® ¯®«®£® ¨áª«îç¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå
4.
«¥¬¥â àë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¬ âà¨æ. Ǒਢ¥¤¥¨¥ ¬ âà¨æë ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã
¥è¥¨¥ á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¬¥â®¤®¬ ãáá ¬®® ¨ 㤮¡® ¯à®¢®¤¨âì ï§ëª¥ ¬ âà¨æ. Ǒ।¥ 祬 £®¢®à¨âì ® ⮬, ª ª íâ® ¤¥« ¥âáï, ¯à®¢¥¤¥¬ ¥ª®â®àãî ¯®¤£®â®¢¨â¥«ìãî à ¡®âã.
᫨ áâப ¬ âà¨æë 楫¨ª®¬ á®á⮨⠨§ ã«¥©, ¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì íâã áâபã ã«¥¢®©. ¯à¥¤¥«¥¨¥. «¥¤ãî騥 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¬ âà¨æë §ë¢ îâáï í«¥¬¥â à묨 : 1) 㬮¥¨¥ áâப¨ ¥ã«¥¢®¥ ç¨á«®; 2) ¯à¨¡ ¢«¥¨¥ ®¤®© áâப¨ ª ¤à㣮©; 3) ¯¥à¥áâ ®¢ª ¤¢ãå áâப;
x
12. ¥â®¤ ãáá
137
4) ¯¥à¥áâ ®¢ª ¤¢ãå á⮫¡æ®¢; 5) ¢ëç¥àª¨¢ ¨¥ ã«¥¢®© áâப¨. ⬥⨬ ®ç¥¢¨¤ãî «®£¨î í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¬ âà¨æ á í«¥¬¥â à묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. ãî à®«ì ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥â ¨£à âì á«¥¤ãî饥 ¯®ï⨥. ¯à¥¤¥«¥¨¥. âà¨æ §ë¢ ¥âáï áâ㯥ç ⮩, ¥á«¨ ¢ë¯®«¥ë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï: 1) ¥á«¨ ¥ª®â®à ï áâப ¬ âà¨æë, ®â«¨ç ï ®â ¯¥à¢®©, ¥ ï¥âáï ã«¥¢®©, â® ¢ ç «¥ í⮩ áâப¨ á⮨⠡®«ìè¥ ã«¥©, 祬 ¢ ç «¥ ¯à¥¤ë¤ã饩 áâப¨; 2) ¥á«¨ ¥ª®â®à ï áâப ¬ âà¨æë ï¥âáï ã«¥¢®©, â® ¨ ¢á¥ ¥¥ ¯®á«¥¤ãî騥 áâப¨ | ã«¥¢ë¥. Ǒਢ¥¤¥¬ ¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢ áâ㯥ç âëå ¬ âà¨æ: 1 0 0 1 0 1 0 1 2 5 4 4 3 10 1 13 579 B C 0 2 3A; 0 2 1 3 0A; B0 0 0 3 2 1 5C: 0 0 0 0 0 0 1A 00 1 00 102 0 00000 0 ⬥⨬, çâ® áâ㯥ç ⮩ ¡ã¤¥â ¨ ¬ âà¨æ ¯à®¨§¢®«ì®£® ¯®à浪 , ¢á¥ í«¥¬¥âë ª®â®à®© à ¢ë 0. ª¨¥ ¬ âà¨æë §ë¢ îâáï ã«¥¢ë¬¨. ¡é¨© ¢¨¤ áâ㯥ç ⮩ ¬ âà¨æë ¨§®¡à ¥ ¨¥: 0 1 0 ::: 0 B 0 . .. .. .. . 0 C B C B C . B . .. .. . .. .. .. .. .. .. . . . C B C B 0 . . .. .. .. .. .. .. .. 0 C B C: B 0 . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. 0 C B C B 0 .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . 0 C B C .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . A 0 .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . 0 ¢¥§¤®çª ¬¨ ®¡®§ ç¥ë í«¥¬¥âë, ª®â®àë¥ ¥ ¤®«ë ¡ëâì à ¢ë 0. ¯à®â¨¢, ¢á¥ í«¥¬¥âë, áâ®ï騥 ¨¥ «®¬ ®© «¨¨¨, ®¡ï§ ë ¡ëâì à ¢ë 0. ¬¥â¨¬, çâ® íâ «®¬ ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ áâ㯥¥ª, 祬 ¨ ®¡êïáï¥âáï â¥à¬¨ \áâ㯥ç â ï ¬ âà¨æ ". §ã¬¥¥âáï, ã«¥¢ëå á⮫¡æ®¢ ¢ «¥¢®© ç á⨠¬ âà¨æë, ª ª ¨ ã«¥¢ëå áâப ¢ ¥¥ ¨¥© ç áâ¨, ¬®¥â ¥ ¡ëâì, à §«¨çë¥ \áâ㯥쪨" ¬®£ãâ ¨¬¥âì à §ãî ¤«¨ã (â.¥. ®å¢ âë¢ âì à §®¥ ç¨á«® á⮫¡æ®¢).
138
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
¥®à¥¬ 4. Ǒந§¢®«ìãî ¬ âà¨æã á ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì A = (a ) | ¯à®¨§¢®«ì ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 m n. ®® áç¨â âì, çâ® ® ᮤ¥à¨â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¥ã«¥¢®© í«¥¬¥â, â ª ª ª ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ A 㥠¨¬¥¥â áâ㯥ç âë© ¢¨¤. 롥६ ¢ A á ¬ë© «¥¢ë© á⮫¡¥æ, ᮤ¥à 騩 ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¥ã«¥¢®© í«¥¬¥â. Ǒãáâì íâ®â á⮫¡¥æ ¨¬¥¥â ®¬¥à j . «¥¥, ¢ë¡¥à¥¬ á ¬ãî ¢¥àåîî áâபã, ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ ª®â®à®© á j -¬ á⮫¡æ®¬ á⮨⠥㫥¢®© í«¥¬¥â. Ǒãáâì íâ áâப ¨¬¥¥â ®¬¥à i.
᫨ i > 1, ¯®¬¥ï¥¬ ¬¥áâ ¬¨ ¯¥à¢ãî ¨ i-î áâப¨. ¡®§ 稬 ¯®«ãç¥ãî ¬ âà¨æã ç¥à¥§ B. ¯¥à¢®© áâப¥ ¨ j -¬ á⮫¡æ¥ ¬ âà¨æë B á⮨⠥㫥¢®© í«¥¬¥â. ¡®§ 稬 ¥£® ç¥à¥§ x. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¢ j -¬ á⮫¡æ¥ ¬ âà¨æë B ¥áâì ¥ã«¥¢®© í«¥¬¥â y, à ᯮ«®¥ë© ¨¥ ¯¥à¢®© áâப¨. Ǒãáâì ® á⮨⠢ k-© áâப¥. Ǒਡ ¢¨¬ ª k-© áâப¥, 㬮¥®© x, ¯¥à¢ãî áâபã, 㬮¥ãî y. १ã«ìâ ⥠¯¥à¥á¥ç¥¨¨ k-© áâப¨ ¨ j -£® á⮫¡æ ¡ã¤¥â áâ®ïâì í«¥¬¥â xy yx = 0. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬®® ¤®¡¨âìáï ⮣®, çâ® ¢ j -¬ á⮫¡æ¥ ¢á¥ í«¥¬¥âë, à ᯮ«®¥ë¥ ¨¥ ¯¥à¢®© áâப¨, ¡ã¤ãâ à ¢ë 0. Ǒ®«ãç¥ãî ¬ âà¨æã ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ C , ¥¥ ç áâì, à ᯮ«®¥ãî ¨¥ ¯¥à¢®© áâப¨ ¨ ¯à ¢¥¥ j -£® á⮫¡æ , | ç¥à¥§ C 0 : 0 0 : : : 0 x . .. .. .. .. .. .. 1 B 0 ::: 0 0 C C: C=B . .. . .. .. .. .. .. A C 0 ::: 0 0
᫨ C 0 | ã«¥¢ ï ¬ âà¨æ , â® ¬ âà¨æ C ï¥âáï áâ㯥ç ⮩. Ǒ।¯®«®¨¬ ¯®í⮬ã, çâ® ¢ C 0 ¥áâì ¥ã«¥¢®© í«¥¬¥â. Ǒத¥« ¥¬ ⥯¥àì á C 0 ⥠¥ ¤¥©á⢨ï, ª®â®àë¥ à ¥¥ ¬ë ¤¥« «¨ á ¬ âà¨æ¥© A. ¨¬¥®, ¢ë¡¥à¥¬ ¢ ¬ âà¨æ¥ C á ¬ë© «¥¢ë© á⮫¡¥æ, ¢ ª®â®à®¬ ¨¬¥¥âáï å®âï ¡ë ®¤¨ ¥ã«¥¢®© í«¥¬¥â, áâ®ï騩 ¨¥ ¯¥à¢®© áâப¨ (ïá®, çâ® íâ®â í«¥¬¥â à ᯮ«®¥ ¢ãâਠC 0). Ǒãáâì íâ®â á⮫¡¥æ ¨¬¥¥â ®¬¥à r. «¥¥, ¢ë¡¥à¥¬ ¢ C á ¬ãî ¢¥àåîî áâபã, ®â«¨çãî ®â ¯¥à¢®©, ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ ª®â®à®© á r-¬ á⮫¡æ®¬ á⮨⠥㫥¢®© í«¥¬¥â (®¯ïâì-â ª¨ ïá®, çâ® íâ®â í«¥¬¥â à ᯮ«®¥ ¢ãâਠC 0). Ǒãáâì íâ áâப ¨¬¥¥â ®¬¥à s.
᫨ s > 2, ¯®¬¥ï¥¬ ¬¥áâ ¬¨ ¢â®àãî ¨ s-î áâப¨ ¬ âà¨æë C . ¥¯¥àì ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ ¥¥ ¢â®à®© áâ®à®ª¨ ¨ r-£® á⮫¡æ á⮨⠥㫥¢®© í«¥¬¥â. ¡®§ 稬 ¥£® ç¥à¥§ z. ¡ã«¨¬ ¢á¥ í«¥¬¥âë r-£® á⮫¡æ ¯®«ã祮© ¬ âà¨æë, à ᯮ«®¥ë¥ ¨¥ ¥¥ ¢â®à®© áâப¨ (â ª ¥, ª ª ¬ë à ¥¥ ®¡ã«¨«¨ ¢á¥ í«¥¬¥âë j -£® á⮫¡æ ¬ âà¨æë B, à ᯮ«®¥ë¥ ¨¥ ¥¥ ¯¥à¢®© áâப¨). Ǒ®«ãç¥ãî ij
0
139
x
12. ¥â®¤ ãáá
¬ âà¨æã ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ D, ¥¥ ç áâì, à ᯮ«®¥ãî ¨¥ ¢â®à®© áâப¨ ¨ ¯à ¢¥¥ r-£® á⮫¡æ , | ç¥à¥§ D0: 0 0 : : : 0 x . . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . 1 B 0 ::: 0 0 ::: 0 z .. .. .. .. .. .. . C B C C: 0 : : : 0 0 : : : 0 0 D=B B C . . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. A D 0 ::: 0 0 ::: 0 0
᫨ D0 | ã«¥¢ ï ¬ âà¨æ , â® ¬ âà¨æ D ï¥âáï áâ㯥ç ⮩. Ǒ।¯®«®¨¬ ¯®í⮬ã, çâ® ¢ D0 ¥áâì ¥ã«¥¢®© í«¥¬¥â. Ǒத¥« ¥¬ ⥯¥àì á D0 ⥠¥ ¤¥©á⢨ï, ª ª à ¥¥ á A ¨ C 0 (¢ë¡¥à¥¬ ¢ ¬ âà¨æ¥ D á ¬ë© «¥¢ë© á⮫¡¥æ, ¢ ª®â®à®¬ ¨¬¥¥âáï å®âï ¡ë ®¤¨ ¥ã«¥¢®© í«¥¬¥â, áâ®ï騩 ¨¥ ¢â®à®© áâப¨; ¢ë¡¥à¥¬ ¢ D á ¬ãî ¢¥àåîî áâபã, ®â«¨çãî ®â ¯¥à¢®© ¨ ¢â®à®©, ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ ª®â®à®© á ¢ë¡à ë¬ á⮫¡æ®¬ á⮨⠥㫥¢®© í«¥¬¥â; ¯à¨ ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¯®¬¥ï¥¬ ¬¥áâ ¬¨ âà¥âìî ¨ ¢ë¡à ãî áâப¨ ¬ âà¨æë D; ®¡ã«¨¬ ¢á¥ í«¥¬¥âë, áâ®ï騥 ¢ ¯®«ã祮© ¬ âà¨æ¥ ¢ ¢ë¡à ®¬ ¬¨ á⮫¡æ¥ ¨¥ âà¥â쥩 áâப¨). Ǒத®« ï íâ®â ¯à®æ¥áá, ¬ë ç¥à¥§ ª ª®¥-â® ª®¥ç®¥ ç¨á«® è £®¢ ¯®«ã稬 áâ㯥ç âãî ¬ âà¨æã. ⬥⨬, çâ® íâ®â ¯à®æ¥áá ®¡ï§ â¥«ì® ®¡®à¢¥âáï ç¥à¥§ ª®¥ç®¥ ç¨á«® è £®¢, â ª ª ª ¬ë ª ¤®¬ è £¥ ᤢ¨£ ¥¬áï ®¤ã áâப㠢¨§ ¨ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ á⮫¡¥æ ¢¯à ¢®, ç¨á«® áâப ¨ á⮫¡æ®¢ ¢ ¬ âà¨æ¥ A ª®¥ç®. ¥®à¥¬ 4 ¤®ª § . ¬¥â¨¬, çâ® ª®£¤ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 4 ¬ë ¯à¨¢®¤¨«¨ ¬ âà¨æã ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã, ¬ë ¤¥« «¨ ¯®ç⨠⮠¥ á ¬®¥, çâ® ¢ ç «¥ ¤ ®£® ¯ à £à ä ¯à¨ ¯à¨¢¥¤¥¨¨ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ª «¥áâ¨ç®¬ã ¢¨¤ã.
¤¨á⢥®¥ ®â«¨ç¨¥ á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 4 ¬ë ¨ à §ã ¥ ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ç¥â¢¥à⮣® ⨯ (¯¥à¥áâ ®¢ª®© á⮫¡æ®¢). § ¤®ª § ⥫ìá⢠¢¨¤®, çâ® «î¡ãî ¬ âà¨æã ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã, ¥ ¨á¯®«ì§ãï í⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï. ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ ¯à¨¤¥âáï ¯à¨¢®¤¨âì ¬ âà¨æã ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã ¥ ⮫쪮 ¯à¨ à¥è¥¨¨ á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ® ¨ ¢ ¤àã£¨å § ¤ ç å (á¬. x21, 24, 28). íâ¨å § ¤ ç å ¯¥à¥áâ ®¢ª á⮫¡æ®¢ ¥®¡ï§ â¥«ì ¨ ¢ ¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥ ¤ ¥ ¥¥« ⥫ì . Ǒ®í⮬㠤®£®¢®à¨¬áï ® ⮬, çâ® 0
¢áî¤ã ¢ ¤ «ì¥©è¥¬, ¥á«¨ ®á®¡® ¥ ®£®¢®à¥® ¯à®â¨¢®¥, ¯à¨ ¯à¨¢¥¤¥¨¨ ¬ âà¨æë ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã ¯¥à¥áâ ®¢ª á⮫¡æ®¢ ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¥ ¡ã¤¥â.
Ǒந««îáâà¨à㥬 «£®à¨â¬ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æë ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã, ¨§«®¥ë© ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 4, á«¥¤ãî饬 ¯à¨¬¥à¥.
140
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
Ǒãáâì âॡã¥âáï ¯à¨¢¥á⨠ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã ¬ âà¨æã 0
000 B0 2 1 B A =0 1 1 031
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1 2 1 3
᫨ ¬ âà¨æ B ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ãç¥ ¨§ ¬ âà¨æë A á ¯®¬®éìî ª®¥ç®£® ç¨á« í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©, â® ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì A B. ¥©áâ¢ãï ¯® ¨§«®¥®¬ã ¢ëè¥ «£®à¨â¬ã, ¨¬¥¥¬ 0
0 0 0 0 1 11 00 2 1 B0 2 1 4 2 2C B0 0 0 B C B 0 1 1 0 1 1A 0 1 1 031 8 3 5 031 0 1 0 02 1 4 2 2 02 B0 0 0 0 1 1C B0 0 C B B 0 0 1 4 0 4A 0 0 00 1 4 0 4 00 0 1 021 4 2 2 B0 0 1 4 0 4C C B 0 0 0 0 1 1 A: 000 0 0 0
4 0 0 8 1 1 0 1
2 1 1 3 4 4 0 4
21 1C C 1A 5 2 21 0 4C C 1 1A 0 4
¯¥à¢®¬ è £¥ ¬ë ¯¥à¥áâ ¢¨«¨ ¯¥à¢ãî ¨ ¢â®àãî áâப¨. ¢â®à®¬ | ¨§ âà¥â쥩 áâப¨, 㬮¥®© 2, ¢ë竨 ¯¥à¢ãî áâபã, ¨§ ç¥â¢¥à⮩ áâப¨, 㬮¥®© 2, ¢ë竨 ¯¥à¢ãî áâபã, 㬮¥ãî 3. âà¥â쥬 è £¥ ¬ë ¯¥à¥áâ ¢¨«¨ ¢â®àãî ¨ âà¥âìî áâப¨, ç¥â¢¥à⮬ | ¯à¨¡ ¢¨«¨ ª ç¥â¢¥à⮩ áâப¥ ¢â®àãî. 5.
¥ «¨§ æ¨ï ¬¥â®¤ ãáá ï§ëª¥ ¬ âà¨æ
Ǒãáâì ¤ á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© 8 > > <
+ a12 x2 + + a1 x = b1; + a22 x2 + + a2 x = b2; .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = b : a11 x1 a21 x1 m
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141
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a11 a12 : : : a1 a21 a22 : : : a2
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a11 a12 : : : a1 a21 a22 : : : a2
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A=B
a11 a12 : : : a1 a21 a22 : : : a2
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ᮤ¥à 饩 ¡®«¥¥ ®¤®£® á⮫¡æ , ¬®® ¯®áâ ¢¨âì ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = a1 +1 ; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = a2 +1 ; .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . . > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = a +1 : m
m
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142
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® íâ á¨á⥬ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬ âà¨æ¥ A. ¥£ª® § ¬¥â¨âì, çâ® ¢ ¯à®¢®¤¨¢è¨åáï ¢ëè¥ ¢ ¤ ®¬ ¯ à £à ä¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïå á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¬¥ï«¨áì «¨èì ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå, á ¬¨ ¥¨§¢¥áâë¥ ¯à®áâ® ¯¥à¥¯¨áë¢ «¨áì. 묨 á«®¢ ¬¨, ä ªâ¨ç¥áª¨ ¬ë ¯à¥®¡à §®¢ë¢ «¨ à áè¨à¥ãî ¬ âà¨æã á¨á⥬ë. ¡ëç® ¤«ï íª®®¬¨¨ ¬¥áâ ¨ ¢à¥¬¥¨ à¥è¥¨¥ á¨áâ¥¬ë ¬¥â®¤®¬ ãáá áà §ã ®ä®à¬«ïîâ ¢ ¢¨¤¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨© à áè¨à¥®© ¬ âà¨æë á¨á⥬ë. ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ í⮬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ¯ï⮣® ⨯ (¢ëç¥àª¨¢ ¨¥ ã«¥¢®© áâப¨) ¯®«ì§ãîâáï ।ª®, â ª ª ª ¢ à拉 á«ãç ¥¢ ¡ë¢ ¥â 㤮¡® ¥ ¢ëç¥àª¨¢ âì ã«¥¢ë¥ áâப¨, ª ¯«¨¢ âì ¨å ¢¨§ã. ஬¥ ⮣®, ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ç¥â¢¥à⮣® ⨯ (¯¥à¥áâ ®¢ª á⮫¡æ®¢) á«¥¤ã¥â ¯®¬¨âì ® ⮬, çâ® ¥«ì§ï ¯¥à¥áâ ¢«ïâì ¬¥áâ ¬¨ á⮫¡¥æ á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå ¨ á⮫¡¥æ ᢮¡®¤ëå ç«¥®¢. ç¥ £®¢®àï, á।¨ ¯¥à¥áâ ¢«ï¥¬ëå á⮫¡æ®¢ ¥ ¤®«® ¡ëâì ¯®á«¥¤¥£® á⮫¡æ ¬ âà¨æë. 祢¨¤®, çâ® à áè¨à¥ ï ¬ âà¨æ ¢á类© «¥áâ¨ç®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ï¥âáï áâ㯥ç ⮩. ¡à ⮥ ¥¢¥à®. ª, ¯à¨¬¥à, á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï áâ㯥ç ⮩ ¬ âà¨æ¥ 1 2 3 4 5 A= 0 0 0 3 9 ; ¥ ï¥âáï «¥áâ¨ç®©. â®¡ë ¯®«ãç¨âì ¬ âà¨æã, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî «¥áâ¨ç®© á¨á⥬¥, ¤® ¯¥à¥áâ ¢¨âì ¢ A ¢â®à®© ¨ ç¥â¢¥àâë© á⮫¡æë. ¢®â áâ㯥ç â ï ¬ âà¨æ B = 10 20 30 40 59 ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥ í«¥¬¥â à묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ ª ¬ âà¨æ¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 «¥áâ¨ç®© á¨á⥬¥. á ¬®¬ ¤¥«¥, á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¬ âà¨æ¥ B, ¥á®¢¬¥áâ , â ª ª ª ᮤ¥à¨â ãà ¢¥¨¥ 0 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 = 9. áâ ¥âáï ãç¥áâì ⥮६ã 1. ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥.
᫨ A | áâ㯥ç â ï ¬ âà¨æ , ᮤ¥à é ï ¡®«¥¥ ®¤®£® á⮫¡æ , â® «¨¡® ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥© á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ï¥âáï «¥áâ¨ç®©, «¨¡® íâ á¨á⥬ ¯à¨¢®¤¨âáï ª «¥áâ¨ç®© á ¯®¬®éìî ⮫쪮 ¯¥à¥áâ ®¢®ª á⮫¡æ®¢ á ¥¨§¢¥áâ묨, «¨¡® A ᮤ¥à¨â áâபã, ¢ ª®â®à®© ¢á¥ í«¥¬¥âë, ªà®¬¥ ¯®á«¥¤¥£®, à ¢ë ã«î, ¯®á«¥¤¨© í«¥¬¥â ®â«¨ç¥ ®â ã«ï.
143
x
12. ¥â®¤ ãáá
Ǒ®¤¢®¤ï ¨â®£ ᪠§ ®¬ã ¢ëè¥, ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì á«¥¤ãî騩 «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© (\¬ âà¨çãî ¢¥àá¨î" ¬¥â®¤ ãáá ). Ǒãáâì ¤ á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© (10). ¯¨è¥¬ ¥¥ à áè¨à¥ãî ¬ âà¨æã ¨ 祬 ¯à¨¢®¤¨âì íâã ¬ âà¨æã ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã.
᫨ ª ª®¬-â® è £¥ ¢ ¬ âà¨æ¥ ¢®§¨ª¥â áâப , ¢ ª®â®à®© ¢á¥ í«¥¬¥âë, ªà®¬¥ ¯®á«¥¤¥£®, à ¢ë , ¯®á«¥¤¨© í«¥¬¥â ®â«¨ç¥ ®â , â® ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ⮣®, ï¥âáï «¨ ¯®«ãç¥ ï ª í⮬㠬®¬¥âã ¬ âà¨æ áâ㯥ç ⮩ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯à¥ªà é îâáï ¨ ª®áâ â¨àã¥âáï, çâ® á¨á⥬ ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨©. Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, ç⮠㪠§ ï á¨âã æ¨ï ¥ ¢®§¨ª¥â ¨ ¬ë ¯à¨¢¥¤¥¬ èã ¬ âà¨æã ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã. 믨襬 á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¯®«ã祮© ¬ âà¨æ¥.
᫨ íâ á¨á⥬ ¥ ï¥âáï «¥áâ¨ç®©, â®, ¯¥à¥áâ ¢¨¢ á⮫¡æë á ¥¨§¢¥áâ묨, ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ ª «¥áâ¨ç®¬ã ¢¨¤ã. áâ ¥âáï à¥è¨âì íâã «¥áâ¨çãî á¨á⥬ã â ª, ª ª íâ® ®¯¨á ® ¢ëè¥.
0
0
(
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Ǒந««îáâà¨à㥬 ᪠§ ®¥ ¤¢ãå ¯à¨¬¥à å. ª ç¥á⢥ ¯¥à¢®£® ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ á¨á⥬ã 8 x1 + x2 2x3 x4 = 5; > > > > 3x2 3x3 + 2x4 = 8; < 2x1 3x1 2x2 5x3 + x4 = 6; (11) > > x1 + 4x2 + 2x3 + 3x4 = 1; > > : x1 + x2 x3 + 3x4 = 3: ¯¨è¥¬ à áè¨à¥ãî ¬ âà¨æã í⮩ á¨áâ¥¬ë ¨ 祬 ¯à¨¢®¤¨âì ¥¥ ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã: 0 1 1 2 1 51 01 1 2 1 51 01 1 2 1 51 B 2 3 3 2 8C B0 5 1 4 2C B0 5 1 4 2C C B C B C B B 3 2 5 1 6C B0 5 1 4 9C B0 0 0 0 7C: C B C B C B 1 4 2 3 1A 0 5 0 2 6A 0 0 1 6 4A 1 1 1 33 0 0 1 4 2 0 0 1 4 2 Ǒ®á«¥¤ïï ¬ âà¨æ ¥é¥ ¥ ï¥âáï áâ㯥ç ⮩, ® ¯à®¤®« âì ¯à¨¢®¤¨âì ¥¥ ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã á¬ëá« ¥â: âà¥âìï áâப ¯®«ã祮© ¬ âà¨æë ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® á¨á⥬ (11) à¥è¥¨© ¥ ¨¬¥¥â. ª ç¥á⢥ ¢â®à®£® ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ á¨á⥬ã (2). ¯¨è¥¬ à á-
144
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
è¨à¥ãî ¬ âà¨æã í⮩ á¨áâ¥¬ë ¨ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã: 0
0 2 1 2 1 21 01 1 1 2 B1 1 1 2 1 4C B0 2 1 2 B C B 1 3 2 4 0 6A 1 3 2 4 21 10 13 21 10 0 1 0 1 1 1 2 1 4 11 B0 2 1 2 1 2C B0 2 C B B 0 2 1 2 1 2A 0 0 0 1 3 4 3 5 00 0 1 1 1 2 1 41 B0 2 1 2 1 2C C B 0 0 5 6 7 8A: 00 0 0 0 0
1 41 1 2C A 0 6C 13 1 2 1 1 2 1 0 0 0 5 6 7
41 2C A 0C 8
¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¯®á«¥¤¥© ¬ âà¨æ¥, â.¥. á¨á⥬ (3), ï¥âáï «¥áâ¨ç®©. ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ í⮩ á¨áâ¥¬ë ©¤¥® ¢ëè¥ | á¬. à ¢¥á⢠(6). ⬥⨬ ®¤ã ®á®¡¥®áâì, ¢®§¨ª îéãî, ª®£¤ ï§ëª¥ ¬ âà¨æ à¥è ¥âáï ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ . ⮫¡¥æ, á®áâ®ï騩 ¨§ ®¤¨å ã«¥©, ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ã«¥¢ë¬. á®, çâ® ¯®á«¥¤¨© á⮫¡¥æ à áè¨à¥®© ¬ âà¨æë ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë ï¥âáï ã«¥¢ë¬, ¨ ¯à¨ «î¡ëå í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïå í⮩ ¬ âà¨æë ® ¡ã¤¥â ®áâ ¢ âìáï ã«¥¢ë¬. ¥â ¨ª ª®£® á¬ëá« ¢á¥ ¢à¥¬ï ¯¥à¥¯¨áë¢ âì íâ®â á⮫¡¥æ. Ǒ®í⮬㠯ਠà¥è¥¨¨ ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë, ª ª ¯à ¢¨«®, ¯à®¢®¤ïâ í«¥¬¥â àë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ®á®¢®© ¬ âà¨æë á¨á⥬ë, ¯®á«¥ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¥¥ ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã, ¯à¨ 室¥¨¨ ®¡é¥£® à¥è¥¨ï, \¢á¯®¬¨ îâ" ® ¯®á«¥¤¥¬ ã«¥¢®¬ á⮫¡æ¥. Ǒ®¤ç¥àª¥¬, çâ® ¢ ¯®á«¥¤¥¬ á⮫¡æ¥ ¯à¥®¡à §®¢ë¢ ¥¬®© ¬ âà¨æë ⥯¥àì áâ®ïâ ¥ ᢮¡®¤ë¥ ç«¥ë ãà ¢¥¨©, ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¯®á«¥¤¥¬ ¥¨§¢¥á⮬. ç áâ®á⨠íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¢ ¯à®æ¥áá¥ í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯®á«¥¤¨© á⮫¡¥æ ¬ âà¨æë ¬®® ¬¥ïâì ¬¥áâ ¬¨ á ¥ª®â®àë¬ ¤à㣨¬ ¥¥ á⮫¡æ®¬. Ǒ® ⮩ ¥ ¯à¨ç¨¥ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ ¢®§¨ª®¢¥¨¥ áâப¨, ¢ ª®â®à®© ¢á¥ í«¥¬¥âë, ªà®¬¥ ¯®á«¥¤¥£®, à ¢ë 0, ¯®á«¥¤¨© í«¥¬¥â ®â«¨ç¥ ®â 0, ¥ ®§ ç ¥â, çâ® á¨á⥬ ¥á®¢¬¥áâ . Ǒਬ¥àë à¥è¥¨ï ®¤®à®¤ëå á¨á⥬ 㪠§ ë¬ á¯®á®¡®¬ ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥ë ¯®§¤¥¥ (á¬. x29 ¨ 36).
x
12. ¥â®¤ ãáá
6.
145
âà¨ç ï ¢¥àá¨ï ¬¥â®¤ ãáá {®à¤
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1 1 1 2 1 4 1 0 5 5 0 4 2 12 1 B 0 2 1 2 1 2 C B 0 10 0 4 12 2 C B C B 0 0 5 6 7 8A 0 0 5 6 A 7 8C 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 4 8 22 1 B 0 10 0 4 12 2 C B A: 0 0 5 6 7 8C 0 00 0 0 0 § ¯®á«¥¤¥© ¬ âà¨æë, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 á¨á⥬¥ (9), á ®ç¥¢¨¤®áâìî ¢ë⥪ îâ à ¢¥á⢠(6). ᮡ¥® ¯®«¥§®© \¬ âà¨ç ï ¢¥àá¨ï" ¬¥â®¤ ãáá {®à¤ ®ª §ë¢ ¥âáï ¤«ï á¨á⥬, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. Ǒத¥¬®áâà¨à㥬 íâ® á ç « ¯à¨¬¥à¥ á¨á⥬ë (7), § ⥬ ᤥ« ¥¬ ®¡é¨¥ ¢ë¢®¤ë. ¯¨è¥¬ à áè¨à¥ãî ¬ âà¨æã á¨á⥬ë (7) ¨ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã: 0 1 1 1 21 01 1 1 21 01 1 1 21 2 1 3 3 A 0 1 5 1 A 0 1 5 1 A: 1 2 1 1 0 3 2 3 0 0 13 0 Ǒத®«¨¬ í«¥¬¥â àë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï í⮩ ¬ âà¨æë ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¬¥â®¤®¬ ãáá {®à¤ : 0 1 1 1 2 1 0 13 13 0 26 1 0 13 0 0 13 1 0 1 5 1 A 0 13 0 13 A 0 13 0 13 A : 0 0 13 0 0 0 13 0 0 0 13 0 ®à¬ «ì® \à ¡®â " ¬¥â®¤ ãáá {®à¤ § ¢¥àè¥ . ® ¬ë ᤥ« ¥¬ ¥é¥ ®¤¨ ¤®¯®«¨â¥«ìë© è £: à §¤¥«¨¬ ª ¤ãî áâப㠯®á«¥¤¥© ¬ âà¨æë í«¥¬¥â, áâ®ï騩 ¢ ®á®¢®© ç á⨠í⮩ ¬ âà¨æë £« ¢®© ¤¨ £® «¨ (â.¥. à §¤¥«¨¬ ¯¥à¢ãî áâபã 13, ¢â®àãî ¨ âà¥âìî áâப¨ | 13): 0 13 0 0 13 1 0 1 0 0 1 1 0 13 0 13 A 0 1 0 1 A : 0 0 13 0 0 0 1 0
146
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¯®á«¥¤¥© ¬ âà¨æ¥, ¨¬¥¥â ¢¨¤ 8 < x1 = 1; x2 = 1; : x3 = 0: á®, çâ® ¯® áãé¥áâ¢ã íâ® ¥ á¨á⥬ ãà ¢¥¨©, (¥¤¨á⢥®¥) à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (7). Ǒ¥à¥¥á¥¬ ¯®«ãç¥ãî ¨ä®à¬ æ¨î ®¡é¨© á«ãç ©. ¬ ¯® ¤®¡¨âáï á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì A = (a ) | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n. «¥¬¥âë a11 ; a22 ; : : : ; a ®¡à §ãîâ £« ¢ãî ¤¨ £® «ì ¬ âà¨æë A. âà¨æ A §ë¢ ¥âáï ¤¨ £® «ì®©, ¥á«¨ ¢á¥ ¥¥ í«¥¬¥âë, ¥ áâ®ï騥 £« ¢®© ¤¨ £® «¨, à ¢ë ã«î. ¨ £® «ì ï ¬ âà¨æ , ¢ ª®â®à®© ¢á¥ í«¥¬¥âë £« ¢®© ¤¨ £® «¨ à ¢ë 1, â.¥. ¬ âà¨æ ¢¨¤ 0 1 0 0 ::: 0 1 B 0 1 0 ::: 0 C B C B 0 0 1 ::: 0 C; B C .. .. .. . .. .. .. . A 0 0 0 ::: 1 §ë¢ ¥âáï ¥¤¨¨ç®© ¬ âà¨æ¥© ¨ ®¡®§ ç ¥âáï ¡ãª¢®© E . á®¢ë¢ ïáì ¯®á«¥¤¥¬ ¨§ ¯à¨¢¥¤¥ëå ¢ëè¥ ¯à¨¬¥à®¢, áä®à¬ã«¨à㥬 (¡¥§ ¯®¤à®¡®£® ®¡®á®¢ ¨ï) \¬ âà¨çãî ¢¥àá¨î" ¬¥â®¤ ãáá {®à¤ ¤«ï á¨á⥬, ¨¬¥îé¨å ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. ij
nn
Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¨§ ª ª¨å-â® á®®¡à ¥¨© ¬ ¨§¢¥áâ®, çâ® á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. â®¡ë ©â¨ ¥£®, ¤® á ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© à áè¨à¥®© ¬ âà¨æë ¯à¨¢¥á⨠¥¥ ®á®¢ãî ç áâì ª ¥¤¨¨ç®¬ã ¢¨¤ã ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ íâ® ¢á¥£¤ ¬®® ᤥ« âì . Ǒ®á«¥¤¨© á⮫¡¥æ ¯®«ã祮© ¬ âà¨æë ¡ã¤¥â ïâìáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ à¥è¥¨¥¬ ¨á室®© á¨á⥬ë.
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í⮬ ¯ à £à ä¥ ¡ã¤¥â ¢¢¥¤¥® ¨ ¨§ã祮 ¯®ï⨥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë ¯à®¨§¢®«ì®£® ¯®à浪 , ¨£à î饥 ¢ ãî ஫ì
147
x
13. ¯à¥¤¥«¨â¥«¨
¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¨§«®¥¨¨. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¡ã¤¥â ¤ ® ¨¤ãªâ¨¢® (¯® ¯®à浪㠬 âà¨æë). â® ®§ ç ¥â, çâ® á ç « ¡ã¤¥â ᪠§ ®, çâ® â ª®¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë ¯®à浪 1 ( ), § ⥬, ¢ ¯à¥¤¯®«®¥¨¨, ç⮠㥠¨§¢¥áâ® ¯®ï⨥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¬ âà¨æë ¯®à浪 n 1, ¡ã¤¥â ¤ ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¬ âà¨æë n-£® ¯®à浪 ( ). ¯à¥¤¥«¥¨¥. 1) . ¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë A = (a11 ) ¯¥à¢®£® ¯®à浪 (¨«¨ ¯à®áâ® ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ) §ë¢ ¥âáï ç¨á«® a11 . 2) ¬ ¯® ¤®¡¨âáï ®¤® ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ¯®ï⨥. Ǒãáâì n | âãà «ì®¥ ç¨á«®, ¡®«ì襥 1. 㤥¬ áç¨â âì, ç⮠㥠¢¢¥¤¥® ¯®ï⨥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë ¯®à浪 n 1. Ǒãáâì A = (a ) | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n. 䨪á¨à㥬 ¢ í⮩ ¬ âà¨æ¥ í«¥¬¥â a ¨ ¢ëç¥àª¥¬ ¢ ¥© i-î áâப㠨 j -© á⮫¡¥æ. ¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¯®«ã祮© ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë (n 1)-£® ¯®à浪 ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ M . «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ¤®¯®«¥¨¥¬ í«¥¬¥â a §®¢¥¬ ç¨á«® A = ( 1) + M : . ¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë A ¯®à浪 3) n (¨«¨ ¯à®áâ® ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ n-£® ¯®à浪 ) §ë¢ ¥âáï ç¨á«® a11 A11 + a12 A12 + + a1 A1 : ¡ § ¨¤ãªâ¨¢®£® ®¯à¥-
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¢¥á⢮
a11 a12 : : : a1 a21 a22 : : : a2
n
. .. .. . .. .. .. .. .. ..
a 1 a 2 ::: a n
n
n
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¨«¨ jAj; ¨«¨ det A:
jAj = a11 A11 + a12 A12 + + a1 A1 n
n
§ë¢ îâ à §«®¥¨¥¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¯® ¯¥à¢®© áâப¥. Ǒਢ¥¤¥®¥ ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¯®§¢®«ï¥â ¢ëç¨á«¨âì ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¯à®¨§¢®«ì®© ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì A | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n. §«®¨¢ ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¯® ¯¥à¢®© áâப¥, ¬ë ᢥ¤¥¬ ¢ëç¨á«¥¨¥ jAj ª ¢ëç¨á«¥¨î n ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© (n 1)-£® ¯®à浪 M11; M12; : : : ; M1 . ¤ë© ¨§ íâ¨å ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© n
148
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
â ª¥ ¬®® à §«®¨âì ¯® ¯¥à¢®© áâப¥, ᢥ¤ï ¥£® ¢ëç¨á«¥¨¥ ª ¢ëç¨á«¥¨î (n 1)-£® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï (n 2)-£® ¯®à浪 . ¤ë© ¨§ ¯®á«¥¤¨å ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© ¢®¢ì à §«®¨¬ ¯® ¯¥à¢®© áâப¥ ¨ â.¤. ª®æ¥ ª®æ®¢ ¬ë ¤®©¤¥¬ ¤® ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ª®â®àë¥ ¢ëç¨á«ïîâáï «¥£ª® (á¬. ¯.1 ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï). á®, çâ® íâ®â ᯮᮡ ¢ëç¨á«¥¨ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¢¥áì¬ âà㤮¥¬®ª, ¯à¨ç¥¬ ®¡ê¥¬ ¢ëç¨á«¥¨© १ª® ¢®§à áâ ¥â á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ¯®à浪 ¬ âà¨æë. ª®æ¥ ¤ ®£® ¯ à £à ä ¡ã¤¥â 㪠§ ¬¥¥¥ âà㤮¥¬ª¨© ᯮᮡ ¢ëç¨á«¥¨ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© ¯à®¨§¢®«ì®£® ¯®à浪 . x1 ¡ë«¨ ¢¢¥¤¥ë ¯®ïâ¨ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© ¢â®à®£® ¨ âà¥â쥣® ¯®à浪 .
áâ¥á⢥® ¯®áâ ¢¨âì ¢®¯à®á ® ⮬, ª ª á®®â®áïâáï ¢¢¥¤¥ë¥ â ¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«¨ á ⮫쪮 çâ® ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨. ª §ë¢ ¥âáï, ®¨ ᮢ¯ ¤ îâ. ¥©á⢨⥫ì®, ¢ ᨫã áä®à¬ã«¨à®¢ ®£® ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ¨¬¥¥¬ à ¢¥á⢠a11 a21
a12 a22
= a11A11 + a12A12 = = a11 ( 1)1+1 M11 + a12 ( 1)1+2 M12 = = a11a22 a12 a21: â® ®§ ç ¥â, çâ® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë ¢â®à®£® ¯®à浪 , ¢¢¥¤¥ë© ¢ x1, ᮢ¯ ¤ ¥â á ⥬ ¥ ¯®ï⨥¬, ®¯à¥¤¥«¥ë¬ ¢ ¤ ®¬ ¯ à £à ä¥. Ǒ஢¥à¨¬, çâ® â® ¥ ¢¥à® ¨ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© âà¥â쥣® ¯®à浪 . ᯮ«ì§ãï ¯à¨¢¥¤¥®¥ ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥, ¨¬¥¥¬ à ¢¥á⢠a11 a21 a31
a12 a13 a22 a23 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = a32 a33 a11 ( 1)1+1 M11 + a12 ( 1)1+2 M12 + a13 ( 1)1+3 M13 = a11 aa22 aa23 a12 aa21 aa23 + a13 aa21 aa22 : 32 33 31 33 31 32
= = ® ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¥¨¥ ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª à §«®¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï âà¥â쥣® ¯®à浪 ¯® ¯¥à¢®© áâப¥, ãáâ ®¢«¥®¥ ¢ x1 | á¬. â ¬ ä®à¬ã«ã (3). ¢¥¤¥¬ ®¤® ¢ ®¥ ¤«ï ¤ «ì¥©è¥£® ¯®ï⨥. ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì A | ¯à®¨§¢®«ì ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 m n, k | âãà «ì®¥ ç¨á«® â ª®¥, çâ® k 6 m ¨ k 6 n. 롥६ ¢ ¬ âà¨æ¥ A ¯à®¨§¢®«ìë¥ k áâப ¨ k á⮫¡æ®¢. ¯à¥¤¥«¨â¥«ì ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë, áâ®ï饩 ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ íâ¨å áâப ¨ á⮫¡æ®¢, §ë¢ ¥âáï ¬¨®à®¬ ¬ âà¨æë A. Ǒ®à浪®¬ ¬¨®à §ë¢ ¥âáï ¯®à冷ª ⮩ ¬ âà¨æë, ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ ª®â®à®© ® ï¥âáï.
149
x
13. ¯à¥¤¥«¨â¥«¨
ªâ¨ç¥áª¨ ¬ë 㥠¨¬¥«¨ ¤¥«® á ¬¨®à ¬¨ ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï. á ¬®¬ ¤¥«¥, ïá®, ç⮠㯮¬¨ ¥¬ë© â ¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì M ï¥âáï ¬¨®à®¬ (n 1)-£® ¯®à浪 ¬ âà¨æë A. §ë¢ ¥âáï ¬¨®à®¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 í«¥¬¥âã a . ⬥⨬ ¥é¥, çâ® ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ A ¯®à浪 n ¨¬¥¥â ⮫쪮 ®¤¨ ¬¨®à ¯®à浪 n, ¨¬¥® jAj. ® ¥á«¨ k < n, â® ¬ âà¨æ ¬®¥â ¨¬¥âì ¬®£® ¬¨®à®¢ ¯®à浪 k. áâ ®¢¨¬ àï¤ á¢®©á⢠®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© n-£® ¯®à浪 . ij
ij
¢®©á⢮ 1. Ǒਠ㬮¥¨¨ ¢á¥å í«¥¬¥â®¢ ¥ª®â®à®© áâப¨ ¬ âà¨æë ç¨á«® t ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì 㬮 ¥âáï t. ®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¥¬ í⮠᢮©á⢮ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ¯®à浪㠬 âà¨æë. ¡®§ 稬 ¬ âà¨æã ç¥à¥§ A, ¥¥ ¯®à冷ª ç¥à¥§ n. Ǒਠn = 1 ¤®ª §ë¢ ¥¬®¥ ã⢥थ¨¥ âਢ¨ «ì® (á¬. ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ). Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ®® ¢ë¯®«ï¥âáï ¯à¨ n = k 1 ¨ ¤®ª ¥¬ ¥£® ¯à¨ n = k. âà¨æã, ¯®«ãç ¥¬ãî ¯à¨ ã¬®¥¨¨ áâப¨ ¬ âà¨æë A ç¨á«® t, ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ A0 , ¥¥ ¬¨®à, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 í«¥¬¥âã, áâ®ï饬㠢 i-© áâப¥ ¨ j -¬ á⮫¡æ¥, | ç¥à¥§ M 0 . Ǒ।¯®«®¨¬ á ç « , çâ® t 㬮 ¥âáï ¯¥à¢ ï áâப ¬ âà¨æë A. ®£¤ ij
ta11 a21 ak1
ta12 : : : ta1 a22 : : : a2
k
jA0 j = . .. . .. .. .. .. .. .. . = ta11 A11 + ta12 A12 + + ta1 A1 = k
a 2 ::: a k
kk
k
k
= t(a11A11 + a12A12 + + a1 A1 ) = t jAj:
᫨ ¥ 㬮 « áì ¥ ¯¥à¢ ï áâப , â® ¯® ¯à¥¤¯®«®¥¨î ¨¤ãªæ¨¨ A01 = 1+tA1 ¤«ï ¢á类£® 2 6 i 6 k (¯®áª®«ìªã A01 = ( 1)1+ M10 , 0 A1 = ( 1) M1 , M1 ¨ M1 | ®¯à¥¤¥«¨â¥«¨ (k 1)-£® ¯®à浪 ) ¨ jA0 j = a11 A011 + a12 A012 + + a1 A01 = = a11tA11 + a12tA12 + + a1 tA1 = = t(a11A11 + a12A12 + + a1 A1 ) = t jAj: ¢®©á⢮ 1 ¤®ª § ®. k
i
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¢®©á⢮ 2.
᫨ ¬ âà¨æ ᮤ¥à¨â ã«¥¢ãî áâபã, â® ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì à ¢¥ ã«î. ®ª § ⥫ìá⢮. ⮠᢮©á⢮ «¥£ª® á«¥¤ã¥â ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣®. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¬ âà¨æ ᮤ¥à¨â ã«¥¢ãî áâபã, â® ¬®® áç¨â âì, çâ® íâ áâப ¯®«ãç¥ ã¬®¥¨¥¬ ¥ª®â®à®© áâப¨ 0. Ǒ®
150
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
᢮©áâ¢ã 1 ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¡ã¤¥â à ¢¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨î ã«ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¥ª®â®à®© ¤à㣮© ¬ âà¨æë, â.¥. ã«î. ¢®©á⢮ 2 ¤®ª § ®. ¢®©á⢮ 3. Ǒਠ¯¥à¥áâ ®¢ª¥ ¬¥áâ ¬¨ ¤¢ãå à §«¨çëå áâப ¬ âà¨æë ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì 㬮 ¥âáï .
1 ®ª § ⥫ìá⢮. ⮠᢮©á⢮, ª ª ¨ ᢮©á⢮ 1, ¬ë ¤®ª ¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ¯®à浪㠬 âà¨æë. § ¨¤ãªæ¨¨ §¤¥áì âਢ¨ «ì , â ª ª ª ¬ âà¨æ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¥ ᮤ¥à¨â à §«¨çëå áâப. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¤®ª §ë¢ ¥¬®¥ ᢮©á⢮ ¢ë¯®«ï¥âáï ¤«ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n = k 1, ¨ ¤®ª ¥¬ ¥£® ¤«ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n = k. âà¨æã, ¯®«ãç¥ãî ¨§ A ¯¥à¥áâ ®¢ª®© áâப, ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ A0 . Ǒ® ¯à¥¤¯®«®¥¨î ¨¤ãªæ¨¨ A01 = ( 1)1+ M 0 = ( 1)1+ ( M ) = A1 ¤«ï ¢á类£® 2 6 i 6 k.
᫨ á।¨ ¯¥à¥áâ ¢«ï¥¬ëå áâப ¥ ¡ë«® ¯¥à¢®©, â® jA0 j = a11 A011+a12 A012+ +a1 A01 = a11 A11 a12 A12 a1 A1 = jAj: Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® á।¨ ¯¥à¥áâ ¢«ï¥¬ëå áâப ¡ë« ¯¥à¢ ï. «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¯¥à¥áâ ¢«ï«¨áì ¯¥à¢ ï ¨ ¢â®à ï áâப¨ (¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¡á®«îâ® «®£¨ç®).
᫨ k = 2, â® ¤®ª §ë¢ ¥¬®¥ ᢮©á⢮ ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¢â®à®£® ¯®à浪 . á ¬®¬ ¤¥«¥, i
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(a11a22
a11 a21
a12 a21 ) =
k
a12 : a22
Ǒ®í⮬㠤 «¥¥ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® k > 2. Ǒãáâì i; j; `; m 2 f1; 2; : : : ; kg, ¯à¨ç¥¬ i 6= ` ¨ j 6= m. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ M ¬¨®à ¬ âà¨æë A, ¯®«ãç¥ë© ¢ëç¥àª¨¢ ¨¥¬ ¨§ ¥¥ i-© ¨ `-© áâப ¨ j -£® ¨ m-£® á⮫¡æ®¢. §« £ ï á ç « ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë `m ij
0 B
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. .. .. .. .. .. .. .. ..
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a 1 a 2 ::: a k
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¯® ¯¥à¢®© áâப¥, § ⥬ ª ¤ë© ¨§ ¬¨®à®¢ ¢¨¤ M1 ¯® ¥£® ¯¥à¢®© áâப¥, ¨¬¥¥¬ jAj = a11 A11 + a12 A12 + + a1 A1 = j
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k
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13. ¯à¥¤¥«¨â¥«¨
= a11M11 a12M12 + + ( 1)1+ a1 M1 = = a11 a22M2211 a23M2311 + + ( 1) a2 M211 12 a23 M 12 + + ( 1) a2 M 12 + + a12 a21 M21 23 2 +1 1 1 + ( 1) a1 a21M21 a22 M22 + + ( 1) a2 1 M21 1 :
᫨ ¯à®¤¥« âì «®£¨çë¥ ¤¥©á⢨ï á ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ ¬ âà¨æë A0 , â® ¬ë ¯®«ã稬 «£¥¡à ¨ç¥áªãî á㬬ã â¥å ¥ á ¬ëå ¬¨®à®¢ á ⥬¨ ¥ á ¬ë¬¨ ¬®¨â¥«ï¬¨. áâ «®áì «¨èì ¯à®¢¥à¨âì, çâ® § ª¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å á« £ ¥¬ëå ¢ à §«®¥¨ïå ¤«ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© ¬ âà¨æ A ¨ A0 ¡ã¤ãâ ¯à®â¨¢®¯®«®ë¬¨. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯®áª®«ìªã k
k
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0 B
A0 = B
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. .. .. .. .. .. . .. .. .
k
a 1 a 2 ::: a k
k k
k
1
a21 a22 : : : a2 a11 a12 : : : a1 k
¨¬¥¥¬
k
C C; A
kk
jA0 j = a21 A011 + a22 A012 + + a2 A01 = = a21M110 a22M120 + + ( 1) +1a2 M10 : «¥¥, (M20 )1 = M12 ¤«ï ¢á¥å j; m = 1; 2; : : : ; k, j =6 m, ¨ ¯®â®¬ã jA0 j = a21 a12 M1221 a13 M1321 + + ( 1) a1 M121 22 a13 M 22 + + ( 1) a1 M 22 + + a22 a11 M11 1 13 + ( 1) +1a2 a11M112 a12M122 + + ( 1) a1 1 M12 1 : á®, çâ® a11 a22M2211 = a22a11M1122. ® ¢ à §«®¥¨¥ ¤«ï jAj íâ® á« £ ¥¬®¥ ¢å®¤¨â á® § ª®¬ ¯«îá, ¢ à §«®¥¨¥ ¤«ï jA0j | á® § ª®¬ ¬¨ãá. «®£¨ç® a12a21M2112 = a21a12M1221. ® ¢ à §«®¥¨¥ 0¤«ï jAj íâ® á« £ ¥¬®¥ ¢å®¤¨â á® § ª®¬ ¬¨ãá, ¢ à §«®¥¨¥ ¤«ï jA j | á® k
k
k
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m
k k
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k k
§ ª®¬ ¯«îá. «®£¨ç® âà¥¡ã¥¬ë© ä ªâ ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï ¤«ï ¢á¥å ®áâ «ìëå á« £ ¥¬ëå. ¢®©á⢮ 3 ¤®ª § ®.
¢®©á⢮ 4.
᫨ ¬ âà¨æ ¨¬¥¥â ¤¢¥ ®¤¨ ª®¢ë¥ áâப¨, â® ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì à ¢¥ ã«î.
®ª § ⥫ìá⢮. ⮠᢮©á⢮ «¥£ª® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣®. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ ¤¢¥ ®¤¨ ª®¢ë¥ áâப¨ ¯®¬¥ïâì ¬¥áâ ¬¨, â® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì, á ®¤®© áâ®à®ë, ᬥ¨â § ª ¯à®â¨¢®¯®«®ë© (¢ ᨫã ᢮©á⢠3), á ¤à㣮© | ¥ ¨§¬¥¨âáï, â ª ª ª ¬ âà¨æ ®áâ ¥âáï ¯à¥¥©. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì à ¢¥ ã«î. Ǒਠà¥è¥¨¨ § ¤ ç ç áâ® ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®«¥§ë¬ á«¥¤ãî騩 ä ªâ, «¥£ª® ¢ë⥪ î騩 ¨§ ᢮©á⢠1 ¨ 4:
152
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
¥á«¨ ¬ âà¨æ ¨¬¥¥â ¤¢¥ ¯à®¯®à樮 «ìë¥ áâப¨, â® ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì à ¢¥ ã«î.
á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì i-ï áâப ¬ âà¨æë à ¢ ¥¥ j -© áâப¥, 㬮¥®© t. Ǒ® ᢮©áâ¢ã 1 ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì í⮩ ¬ âà¨æë à ¢¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨î ç¨á« t ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë, ¢ ª®â®à®© i-ï ¨ j -ï áâப¨ ᮢ¯ ¤ îâ. Ǒ® ᢮©áâ¢ã 4 ¯®á«¥¤¨© ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì à ¢¥ 0. ¢®©á⢮ 5.
᫨ ª ¤ë© í«¥¬¥â ¥ª®â®à®© áâப¨ ¬ âà¨æë ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ ¤¢ãå á« £ ¥¬ëå, â® ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì à ¢¥ á㬬¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© ¤¢ãå ¬ âà¨æ, ¢ ¯¥à¢®© ¨§ ª®â®àëå í«¥¬¥âë í⮩ áâப¨ à ¢ë ¯¥à¢ë¬ á« £ ¥¬ë¬, ¢® ¢â®à®© | ¢â®àë¬ á« £ ¥¬ë¬, ¢á¥ ®áâ «ìë¥ áâப¨ ¢ ®¡¥¨å ¬ âà¨æ å | ⥠¥, çâ® ¨ ¢ ¨á室®© ¬ âà¨æ¥.
â á«® ï ä®à¬ã«¨à®¢ª ᨬ¢®«¨ç¥áª¨ ¢ë£«ï¤¨â ¯à®é¥: a11 00 a0 i1 ai1 an1
a12
:::
0 00 ain ain ann
a1
. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . + a02 + a002 : : : + = . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .
=
a11 a0 i1 an1
i
i
a2
:::
n
0 ain ann
a12 : : : a1
a11 a00 i1 an1
n
a12 : : : a1 .. .. .. .. .. .. .. . a002 : : : a00 :
.. .. .. .. .. .. .. . a0 2 : : : + .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . n
i
a 2 ::: n
n
i
in
a 2 ::: a n
nn
®ª § ⥫ìá⢮. ®¢ì ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ¯®à浪㠬 âà¨æë.
᫨ n = 1, â® ¤®ª §ë¢ ¥¬®¥ ã⢥थ¨¥ ®ç¥¢¨¤®. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ®® ¤®ª § ® ¤«ï n = k 1, ¨ ¤®ª ¥¬ ¥£® ¤«ï n = k. âà¨æë, ¢å®¤ï騥 ¢ à ¢¥á⢮, ¯à¨¢¥¤¥®¥ ¯¥à¥¤ ç «®¬ ¤®ª § ⥫ìá⢠, ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ A, B ¨ C (¢ ⮬ ¯®à浪¥, ¢ ª®â®à®¬ ®¨ ¯®ï¢«ïîâáï ¢ í⮬ à ¢¥á⢥). áᬮâਬ á ç « á«ãç ©, ª®£¤ i = 1. ®£¤ A1 = B1 = C1 ¤«ï ¢á类£® 1 6 j 6 k (¯®áª®«ìªã ¢á¥ áâப¨ á® ¢â®à®© ¯® k-î ¢ ¬ âà¨æ å A; B ¨ C ᮢ¯ ¤ îâ). ¬¥¥¬ jAj = (a011 + a0011)A11 +(a012 + a0012 )A12 + +(a01 + a001 )A1 = = (a011A11 + a012A12 + + a01 A1 )+(a0011A11 + a0012A12 + + a001 A1 ) = = (a011B11 + a012B12 + + a01 B1 )+(a0011C11 + a0012C12 + + a001 C1 ) = = jBj + jC j: j
j
j
k
k
k
k
k
k
k
n
k
k
k
153
x
13. ¯à¥¤¥«¨â¥«¨
Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® i > 1. ¨®àë ¬ âà¨æ B ¨ C , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 í«¥¬¥âã a1 , ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ M10 ¨ M100 ᮮ⢥âá⢥®. ®£¤ , ¢ ᨫ㠯।¯®«®¥¨ï ¨¤ãªæ¨¨, A1 = ( 1)1+ M1 = ( 1)1+ (M10 + M100 ) = = ( 1)1+ M10 + ( 1)1+ M100 = B1 + C1 ¤«ï ¢á类£® 1 6 j 6 k. «¥¤®¢ ⥫ì®, jAj = a11 A11 + a12A12 + + a1 A1 = = a11(B11 + C11)+ a12(B12 + C12)+ + a1 (B1 + C1 ) = = (a11 B11 + a12B12 + + a1 B1 )+(a11C11 + a12C12 + + a1 C1 ) = = jBj + jC j: ¢®©á⢮ 5 ¤®ª § ®. j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
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j
j
j
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k
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¢®©á⢮ 6.
᫨ ª ¥ª®â®à®© áâப¥ ¬ âà¨æë ¯à¨¡ ¢¨âì ¤àã£ãî ¥¥ áâபã, 㬮¥ãî ¥ª®â®à®¥ ç¨á«®, â® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë ¥ ¨§¬¥¨âáï. ®ª § ⥫ìá⢮. ⮠᢮©á⢮ «¥£ª® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ᢮©á⢠1, 4 ¨ 5. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¥¤¯®«®¨¬, çâ® ¬ë ¯à¨¡ ¢¨«¨ ª i-© áâப¥ ¬ âà¨æë ¥¥ j -î áâபã, 㬮¥ãî t. ᯮ«ì§ãï á ç « ᢮©á⢠5 ¨ 1, § ⥬ ᢮©á⢮ 4, ¨¬¥¥¬ .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. a1 a 2 ::: a .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. = a 1 + ta 1 a 2 + ta 2 : : : a + ta .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. .. .. .. a 1 a 2 ::: a a 1 a 2 ::: a = . .. .. .. .. .. .. . + t . .. .. . .. .. .. .. = a 1 a 2 ::: a a 1 a 2 ::: a . .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. a 1 a 2 ::: a a 1 a 2 ::: a = . .. .. .. .. .. .. . + t 0 = .. .. .. .. .. .. .. : a 1 a 2 ::: a a 1 a 2 ::: a . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. ¢®©á⢮ 6 ¤®ª § ®. i
i
j
i
j
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i
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j
j
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i
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j
j
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j
j
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154
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
¢®©á⢮ 7. 㬬 ¯à®¨§¢¥¤¥¨© í«¥¬¥â®¢ ¥ª®â®à®© áâப¨ ¬ âà¨æë ᢮¨ «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ¤®¯®«¥¨ï à ¢ ®¯à¥¤¥«¨â¥«î ¬ âà¨æë.
묨 á«®¢ ¬¨,
jAj = a 1 A 1 + a 2 A 2 + + a A i
i
i
i
in
in
¤«ï ¢á类£® 1 6 i 6 n. â® à ¢¥á⢮ §ë¢ ¥âáï à §«®¥¨¥¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¯® i-© áâப¥. ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ i = 1, â® ¤®ª §ë¢ ¥¬®¥ ᢮©á⢮ ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï n-£® ¯®à浪 . Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® i > 1. Ǒ¥à¥áâ ¢«ïï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® i-î áâபã á (i 1)-©, (i 2)-©, . .. , ª®¥æ, á ¯¥à¢®© ¨ ¨á¯®«ì§ãï ᢮©á⢮ 3, ¨¬¥¥¬ a11 ai1 an1
a12 : : :
a1n ain ann
ai1 a11 ai 1 1 ai+1 1 an1
a2 a12
n ai 1 n ai+1 n ann
::: a : : : a1
i
in
.. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. . . a 12 ::: = a 2 ::: = ( 1) 1 a +1 2 : : : . .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . a 2 ::: i
n
i
i i
a2
:::
n
= ( 1) 1 (a 1 ( 1)1+1M 1 + a 2( 1)1+2M 2 + + a ( 1)1+ M ) = = a 1 ( 1) +1M 1 + a 2 ( 1) +2M 2 + + a ( 1) + M = = a 1A 1 + a 2A 2 + + a A : ¢®©á⢮ 7 ¤®ª § ®. i
i
i
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n
in
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i
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in
in
¢®©á⢮ 8. 㬬 ¯à®¨§¢¥¤¥¨© í«¥¬¥â®¢ ¥ª®â®à®© áâப¨ ¬ âà¨æë «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ¤®¯®«¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å í«¥¬¥â®¢ ¤à㣮© áâப¨ à ¢ ã«î.
묨 á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ 1 6 i; j 6 n ¨ i 6= j , â® a 1 A 1 + a 2 A 2 + + a A = 0: ®ª § ⥫ìá⢮. «ï ¯à®áâ®âë ®¡®§ 票© ¯à®¢¥¤¥¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤«ï i = 1 ¨ j = 2. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ £®¤ïâáï ⥠¥ á ¬ë¥ à áá㤥¨ï. Ǒãáâì i
j
i
0
a11 a12 : : : a1 B a21 a22 : : : a2 B A=B B a31 a32 : : : a3
n n
.. .. .. .. . .. .. .. .
n
a 1 a 2 ::: a n
n
nn
j
in
1 C C C C A
jn
0
a11 a12 : : : a1 B a11 a12 : : : a1 B A0 = B B a31 a32 : : : a3
n
¨
n
.. .. .. . .. .. .. .. .
n
a 1 a 2 ::: a n
n
nn
1
C C C: C A
155
x
13. ¯à¥¤¥«¨â¥«¨
묨 á«®¢ ¬¨, ¬ âà¨æ A0 ¯®«ãç¥ ¨§ ¬ âà¨æë A § ¬¥®© ¥¥ ¢â®à®© áâப¨ ¯¥à¢ãî. ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® ¬¨®àë ¬ âà¨æë A0 , ¯®«ãç ¥¬ë¥ ¯à¨ à §«®¥¨¨ ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¯® ¯¥à¢®© áâப¥, ᮢ¯ ¤ îâ á ¬¨®à ¬¨ ¬ âà¨æë A, ¯®«ãç ¥¬ë¬¨ ¯à¨ à §«®¥¨¨ ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¯® ¢â®à®© áâப¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ¤®¯®«¥¨ï à ¢ë ¯®0 ¡á®«î⮩ 0¢¥«¨ç¨¥ ¨ ¨¬¥îâ à §«¨çë¥ § ª¨. 묨 á«®¢ ¬¨, M1 = M2 ¨ A1 = A2 ¤«ï ¢á¥å i = 1; 2; : : : ; n. Ǒ®áª®«ìªã ¢ ¬ âà¨æ¥ A0 ¨¬¥îâáï ¤¢¥ ®¤¨ ª®¢ë¥ áâப¨, ¯® ᢮©áâ¢ã 4 ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì à ¢¥ ã«î. «¥¤®¢ ⥫ì®, 0 = a11 A011 + a12A012 + + a1 A01 = = a11 ( A21) + a12( A22) + + a1 ( A2 ) = = (a11A21 + a12A22 + + a1 A2 ); ®âªã¤ a11A21 + a12A22 + + a1 A2 = 0. ¢®©á⢮ 8 ¤®ª § ®. ¢¥¤¥¬ ¯®ï⨥, ª®â®à®¥ ç áâ® ¡ã¤¥â ¢áâà¥ç âìáï ¢ ¤ «ì¥©è¥¬. ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì i
i
i
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n
n
n
n
n
0 B
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n
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. . .. .. .. .. .. .. .. .. .
n
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a 1 a 2 ::: a | ¯à®¨§¢®«ì ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 m n. ®£¤ ¬ âà¨æ m
0 B B
m
mn
a11 a21 : : : a 1 a12 a22 : : : a 2 m
. .. .. .. .. . .. .. .. .. m
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n
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1 C C A
mn
¯®à浪 n m §ë¢ ¥âáï âà ᯮ¨à®¢ ®© ª ¬ âà¨æ¥ A ¨ ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ A> . 묨 á«®¢ ¬¨, ¯à¨ âà ᯮ¨à®¢ ¨¨ ¬ âà¨æë ¥¥ áâப¨ áâ ®¢ïâáï á⮫¡æ ¬¨ (¯à¨ç¥¬> i-ï áâப áâ ®¢¨âáï i-¬ á⮫¡æ®¬) ¨ ®¡®à®â. 祢¨¤®, çâ® (A )> = A ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¬ âà¨æë A. á® â ª¥, çâ® ¥á«¨ A | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ , â® ¬ âà¨æ A> | ⮥ ª¢ ¤à â ï. ¢®©á⢮ 9. ¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë, âà ᯮ¨à®¢ ®© ª ¤ ®©, à ¢¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«î ¨á室®© ¬ âà¨æë. ®ª § ⥫ìá⢮. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ í⮣® ᢮©á⢠¤®¢®«ì® á«®®¥. Ǒ®íâ®¬ã ¬ë ¤®ª ¥¬ ¥£® «¨èì ¤«ï ¬ âà¨æ ¢â®à®£®
156
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
¨ âà¥â쥣® ¯®à浪 . Ǒãáâì A = (a ) | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¢â®à®£® ¯®à浪 . ®£¤ ij
jA> j = aa11 12
a21 = a a a22 11 22
a21 a12 = jAj:
Ǒãáâì ⥯¥àì A = (a ) | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ âà¥â쥣® ¯®à浪 . ®£¤ ij
jA> j =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11 a22a33 + a21 a32a13 + a31a12a23 a31 a22 a13 a21 a12 a33
a11 a32 a23 = jAj:
¢®©á⢮ 9 ¤®ª § ®. § ᢮©á⢠9 ¨ ⮣® ä ªâ , çâ® ¯à¨ âà ᯮ¨à®¢ ¨¨ ¬ âà¨æë ¥¥ áâப¨ áâ ®¢ïâáï á⮫¡æ ¬¨, ¢ë⥪ ¥â ¢®©á⢮ 10.
᫨ ¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª å ᢮©á⢠1{8 § ¬¥¨âì á«®¢® \áâப " á«®¢®¬ \á⮫¡¥æ", â® í⨠᢮©á⢠®áâ ãâáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬¨.
ç áâ®áâ¨, ¨§ ᢮©á⢠7 ¨ 10 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¤«ï ¢á类£® 1 6 j 6 n á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥á⢮ jAj = a1 A1 + a2 A2 + + a A ; ª®â®à®¥ §ë¢ ¥âáï à §«®¥¨¥¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¯® j -¬ã á⮫¡æã. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ A §ë¢ ¥âáï ¢¥àå¥âà¥ã£®«ì®© (ᮮ⢥âá⢥® ¨¥âà¥ã£®«ì®© ), ¥á«¨ ¢á¥ ¥¥ í«¥¬¥âë, áâ®ï騥 ¨¥ (ᮮ⢥âá⢥® ¢ëè¥) £« ¢®© ¤¨ £® «¨, à ¢ë ã«î, â.¥. ¥á«¨ a = 0 ¯à¨ i > j (ᮮ⢥âá⢥® i < j ). ¯à¨¬¥à, ¬ âà¨æë 0 1 2 3 41 0 2 3 11 00 0 11 B0 1 1 1C B C 0 0 0A; 0 0 0A 0 0 1 2A; 000 001 00 03 ïîâáï ¢¥àå¥âà¥ã£®«ì묨, ¬ âà¨æë 0 1 0 0 01 0 1 0 01 01 0 01 B 2 1 0 0C B C 0 1 0A; 0 1 0 A 1 3 2 0A; 110 0 03 5 6 7 11 j
ij
j
j
j
nj
nj
157
x
13. ¯à¥¤¥«¨â¥«¨
| ¨¥âà¥ã£®«ì묨 (®â¬¥â¨¬, çâ® ¯®á«¥¤ïï ¬ âà¨æ ®¤®¢à¥¬¥® ï¥âáï ¨ ¢¥àå¥âà¥ã£®«ì®©). âà¨æ §ë¢ ¥âáï âà¥ã£®«ì®©, ¥á«¨ ® ï¥âáï ¢¥àå¥âà¥ã£®«ì®© ¨«¨ ¨¥âà¥ã£®«ì®©. ¢®©á⢮ 11. ¯à¥¤¥«¨â¥«ì âà¥ã£®«ì®© ¬ âà¨æë à ¢¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨î ¥¥ í«¥¬¥â®¢, áâ®ïé¨å £« ¢®© ¤¨ £® «¨. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒ।¯®«®¨¬ á ç « , çâ® ¬ âà¨æ A = (a ) ¢¥àå¥âà¥ã£®«ì . ¡®§ 稬 ¯®à冷ª ¬ âà¨æë ç¥à¥§ n ¨ ¡ã¤¥¬ ¤®ª §ë¢ âì âॡ㥬®¥ ã⢥थ¨¥ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® n. § ¨¤ãªæ¨¨ ®ç¥¢¨¤ : ¥á«¨ n = 1, â® jAj = a11 ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® ã⢥थ¨¥ ¢¥à® ¯à¨ n = k 1 ¨ ¤®ª ¥¬ ¥£® ¤«ï n = k. §«®¨¢ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì A ¯® ¯¥à¢®¬ã á⮫¡æã ¨ ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¯à¥¤¯®«®¥¨¥¬ ¨¤ãªæ¨¨, ¨¬¥¥¬ ij
a11
a12 a22
a13 : : : a1 a23 : : : a2 a33 : : : a3
a22 a23 : : : a2 0 = a11 .0.. .a..33..:..: :..a..3 = a11a22a33 a ; jAj = 0 0 .. .. .. .. .. .. .. .. . . 0 0 ::: a 0 0 0 ::: a çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. á«ãç ¥ ¨¥âà¥ã£®«ì®© ¬ âà¨æë ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®¢®¤¨âáï «®£¨ç®, ¤® ⮫쪮 ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï à §«®¥¨¥¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¯® ¯¥à¢®© áâப¥. ¢®©á⢮ ¤®ª § ®. § ᢮©á⢠11 ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ ¥â, çâ® k
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®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¥¤¨¨ç®© ¬ âà¨æë à ¢¥ ¥¤¨¨æ¥.
¢®©á⢮ 11 ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¬ âà¨æë. § ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 4 ¨§ x12 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¯à®¨§¢®«ìãî ª¢ ¤à âãî ¬ âà¨æã A ¬®® á ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¬ âà¨æ ¯¥à¢®£®, ¢â®à®£®, âà¥â쥣® ¨ ç¥â¢¥à⮣® ⨯ (á¬. á. 136) ¯à¨¢¥á⨠ª ¢¥àå¥âà¥ã£®«ì®© ¬ âà¨æ¥ B. ¢®©á⢠1, 3, 6 ¨ 10 ¯®ª §ë¢ îâ, ª ª á¢ï§ ë jAj ¨ jBj. ëç¨á«¨¢ jBj ¯® ᢮©áâ¢ã 11, ¬®® ©â¨ ¨ jAj. Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à. 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 2 3 0 4 5 4 1 1 0 4 5 4 = 2 5 5 2 = 0 1 1 0 = 4 2 0 4 4 0 3 4 3 2 0 2 6 5 0 4 12 10
158
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
1 1 = 8 00 0
2 4 0 0
1 1 = 8 9 7 00 0
3 5 9 7
1 2 1 3 1 4 = 1 1 1 0 4 5 4 = 4 8 9 7 0 0 63 28 0 0 63 54 6 2 3 1 4 5 4 = 1 ( 4) ( 63) 26 = 13: 0 63 28 897 0 0 26
¯¥à¢®¬ è £¥ ¬ë, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ᢮©á⢮¬ 6, ¯à¨¡ ¢¨«¨ ª® ¢â®à®© áâப¥ ¯¥à¢ãî, 㬮¥ãî 1, ª âà¥â쥩 | ¯¥à¢ãî, 㬮¥ãî 2, ª ç¥â¢¥à⮩ | ¯¥à¢ãî, 㬮¥ãî 3. ¢â®à®¬ è £¥ 㬮¨«¨ âà¥âìî ¨ ç¥â¢¥àâãî áâப¨ 4 ¨ 2 ᮮ⢥âá⢥® ¨ ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ᢮©á⢮¬ 1. âà¥â쥬 è £¥ ¬ë, ¢®¢ì ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ᢮©á⢮¬ 6, ¯à¨¡ ¢¨«¨ ª âà¥â쥩 áâப¥ ¢â®àãî, 㬮¥ãî 1, ª ç¥â¢¥à⮩ | ¢â®àãî, 㬮¥ãî 1. ç¥â¢¥à⮬ è £¥ 㬮¨«¨ âà¥âìî ¨ ç¥â¢¥àâãî áâப¨ 7 ¨ 9 ᮮ⢥âá⢥® ¨ ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ᢮©á⢮¬ 1. ¯ï⮬ | ¯à¨¡ ¢¨«¨ ª ç¥â¢¥à⮩ áâப¥ âà¥âìî, 㬮¥ãî 1, ¥é¥ à § ¨á¯®«ì§®¢ ¢ ᢮©á⢮ 6, è¥á⮬ | ¯à¨¬¥¨«¨ ᢮©á⢮ 11. x14.
à ¬¥à®¢áª¨¥ á¨á⥬ë
«¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
í⮬ ¯ à £à ä¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ¢ ª®â®àëå ç¨á«® ãà ¢¥¨© à ¢® ç¨á«ã ¥¨§¢¥áâëå. ª¨¥ á¨áâ¥¬ë §ë¢ îâáï ªà ¬¥à®¢áª¨¬¨ ¢ ç¥áâì 袥©æ à᪮£® ¬ ⥬ ⨪ à ¬¥à , ¨§ãç ¢è¥£® ¨å. áᬮâਬ á¨á⥬㠨§ n «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á n ¥¨§¢¥áâ묨: 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = b1 ; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = b2 ; (1) . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = b : n
n
n
n
n
n
nn
n
n
¯à¥¤¥«¨â¥«ì ®á®¢®© ¬ âà¨æë á¨á⥬ë (1) ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ ¨ ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ á¨á⥬ë (1). «¥¥, ¤«ï ¢á类£® i = 1; 2; : : : ; n ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë, ¯®«ã祮© § ¬¥®© i-£® á⮫¡æ ®á®¢®© ¬ âà¨æë á¨á⥬ë (1) á⮫¡¥æ i
159
x
14. à ¬¥à®¢áª¨¥ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
᢮¡®¤ëå ç«¥®¢ í⮩ á¨á⥬ë. 묨 á«®¢ ¬¨, a11 a21 an1
n ; ann
b1 b2 bn
a12 : : : a1 a22 : : : a2
n
n ; ann
a12 : : : a1 a22 : : : a2
n
= .. .. .. .. .. .. .. . 1 = . .. .. . .. .. .. .. a11 a21 an1
b1 b2
a 2 ::: n
a13 : : : a23 : : :
n ; ann
a1 a2
n
2 = .. .. .. .. .. .. .. . .. . b a 3 ::: n
n
:::;
n
=
a 2 ::: n
a11 a21 an1
::: :::
a1 1 b1 a2 1 b2 .. . .. .. .. .. .. .. .. : ::: a 1 b n
n
nn
n
¥¯¥àì ¬ë ¬®¥¬ áä®à¬ã«¨à®¢ âì ®á®¢®© १ã«ìâ â ¤ ®£® ¯ à £à ä , ¨§¢¥áâë© ª ª . Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ í⮣® १ã«ìâ â , ª®â®à®¥ ®¡®¡é ¥â ⥮६ë 1 ¨ 2 ¨§ x1, ç áâ® §ë¢ îâ .. ⥮६ à ¬¥à
¯à ¢¨«®¬ à ¬¥à
¥®à¥¬ 1.
¥¨© á¬ëá«.
1)
Ǒãáâì ¤ ªà ¬¥à®¢áª ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢n ¨¬¥îâ 㪠§ ë© ¢ëè¥
(1), ®¯à¥¤¥«¨â¥«¨ ; 1; 2 ; : : : ; =0
(1)
᫨ 6 , â® á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, ª®â®à®¥ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã« ¬
x1 = 1 ; x2 = 2 ; : : : ; x
2)
n
= : n
=0
0 (1) 3)
᫨ = 1 = 2 = = = 0, â® á¨á⥬ (1) «¨¡® ¥á®
᫨ , ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¨§ ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© 1 ; 2 ; : : :, , â® á¨á⥬ ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨©. n ®â«¨ç¥ ®â
n
¢¬¥áâ , «¨¡® ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©.
®ª § ⥫ìá⢮. 1) Ǒãáâì 6= 0. ®ª ¥¬ á ç « áãé¥á⢮¢ ¨¥ à¥è¥¨ï á¨á⥬ë (1). «ï í⮣® ¤®áâ â®ç® ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® ¡®à ç¨á¥« 1 ; 2 ; : : : ; (2) n
ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë, â.¥. ®¡à é ¥â ¢á¥ ¥¥ ãà ¢¥¨ï ¢ ¢¥àë¥ à ¢¥á⢠. Ǒ®¤áâ ¢¨¬ íâ®â ¡®à ¢ ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ á¨áâ¥¬ë ¨ à §«®¨¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì 1 ¯® ¯¥à¢®¬ã á⮫¡æã, ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì 2 | ¯®
160
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
¢â®à®¬ã á⮫¡æã, . . . , ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì | ¯® n-¬ã á⮫¡æã. Ǒ®«ã稬 = a11 1 + a12 2 + + a1 1 = ( a111 + a122 + + a1 ) = = 1 [ a11(b1A11 + b2A21 + + b A 1 )+ +a12(b1A12 + b2A22 + + b A 2 )+ .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . +a1 (b1A1 + b2A2 + + b A )℄: áªàë¢ ªàã£«ë¥ áª®¡ª¨ ¨ á£à㯯¨à®¢ ¢ á« £ ¥¬ë¥, ᮤ¥à 騥 b1 ; b2 ; . . . , b , ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¯®«ã祮¥ ¢ëà ¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ 1 [ b1(a11 A11 + a12A12 + + a1 A1 )+ + b2(a11 A21 + a12A22 + + a1 A2 )+ .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. + b (a11 A 1 + a12A 2 + + a1 A )℄: ëà ¥¨¥ ¢ ¯¥à¢ëå ªà㣫ëå ᪮¡ª å ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª à §«®¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¯® ¯¥à¢®© áâப¥, ¢ëà ¥¨ï ¢ ®áâ «ìëå ªà㣫ëå ᪮¡ª å à ¢ë ã«î ¢ ᨫã ᢮©á⢠8 ¨§ x13. Ǒ®í⮬㠮ª®ç â¥«ì® ¯®«ãç ¥¬, çâ® = 1 b1 = b1; a11 1 + a12 2 + + a1 â.¥. ¡®à ç¨á¥« (2) ®¡à é ¥â ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ á¨á⥬ë (1) ¢ ¢¥à®¥ à ¢¥á⢮. «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® ® ®¡à é ¥â ¢ ¢¥àë¥ à ¢¥á⢠¨ ¢á¥ ®áâ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï í⮩ á¨á⥬ë. ®ª ¥¬ ⥯¥àì ¥¤¨á⢥®áâì à¥è¥¨ï. Ǒãáâì (x01 ; x02 ; : : : ; x0 ) | ¯à®¨§¢®«ì®¥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (1). 묨 á«®¢ ¬¨, íâ®â ¡®à ç¨á¥« ®¡à é ¥â ¢á¥ ãà ¢¥¨ï á¨áâ¥¬ë ¢ ¢¥àë¥ à ¢¥á⢠: 8 a11 x01 + a12 x02 + + a1 x0 = b1 ; > > < a21 x01 + a22 x02 + + a2 x0 = b2 ; . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . > > : a 1 x01 + a 2 x02 + + a x0 = b : ¬®¨¬ ¯¥à¢®¥ ¨§ íâ¨å à ¢¥á⢠A11 , ¢â®à®¥ | A21, . . . , ¯®á«¥¤¥¥ | A 1 ¨ á«®¨¬ ¯®«ãç¥ë¥ à ¢¥á⢠. £à㯯¨à®¢ ¢ ¢ n
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161
x
14. à ¬¥à®¢áª¨¥ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
«¥¢®© ç á⨠á㬬ë á« £ ¥¬ë¥, ᮤ¥à 騥 x01; x02 ; : : : ; x0 , ¯®«ã稬 (a11 A11 + a21A21 + + a 1A 1)x01 + + (a12 A11 + a22A21 + + a 2A 1)x02 + . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. + (a1 A11 + a2 A21 + + a A 1)x0 = = b1A11 + b2A21 + + b A 1 : «¥¢®© ç á⨠í⮣® à ¢¥á⢠¢ëà ¥¨¥ ¢ ¯¥à¢ëå ªà㣫ëå ᪮¡ª å ¥áâì ¢ â®ç®áâ¨ à §«®¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¯® ¯¥à¢®¬ã á⮫¡æã, ¢ëà ¥¨ï ¢® ¢á¥å ®áâ «ìëå ªà㣫ëå ᪮¡ª å à ¢ë ã«î ¢ ᨫã ᢮©á⢠8 ¨ 10 ¨§ x13. ¢ ¯à ¢®© ç á⨠á⮨â à §«®¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï 1 ¯® ¯¥à¢®¬ã á⮫¡æã. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ x01 = 1 . «®£¨ç® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® x02 = 2; : : : ; x0 = . â ª, ¥á«¨ (x01 ; x02; : : : ; x0 ) | à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (1), â® (3) x01 = 1 ; x02 = 2; : : : ; x0 = : Ǒ®áª®«ìªã 6= 0, ¯®«ãç ¥¬, çâ® x01 = 1 ; x02 = 2 ; : : : ; x0 = : â ª, ¬ë ¢§ï«¨ ¯à®¨§¢®«ì®¥ à¥è¥¨¥ ¨ ¤®ª § «¨, çâ® ®® ᮢ¯ ¤ ¥â á à¥è¥¨¥¬ (2). «¥¤®¢ ⥫ì®, à¥è¥¨¥ ¥¤¨á⢥®. Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ ⥮६ë 1 ¤®ª § ®. 2) â®à®¥ ã⢥थ¨¥ â¥®à¥¬ë ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ¤®ª § ëå ¢ëè¥ à ¢¥á⢠(3). 3) Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® = 1 = 2 = = = 0 ¨ á¨á⥬ (1) ᮢ¬¥áâ . ®áâ â®ç® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ á¨á⥬ (1) ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©. ᨫã ⥮६ë 2 ¨§ x11 ¤«ï í⮣® ¤®áâ â®ç® ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = 0; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = 0; (4) .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = 0; ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï á¨á⥬¥ (1), ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©. á®, çâ® ®¯à¥¤¥«¨â¥«¨ á¨á⥬ (1) ¨ (4) ᮢ¯ ¤ îâ. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì á¨á⥬ë (4) à ¢¥ 0. Ǒਬ¥¨¬ ª á¨á⥬¥ (4) ¬¥â®¤ ãáá , ᮡ«î¤ ï á«¥¤ãî饥 ¯à ¢¨«®: ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ 0 x1 + 0 x2 + + 0 x = 0 (5) n
n
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162
« ¢ 3. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
(¥á«¨ ®¨ ¡ã¤ãâ ¢®§¨ª âì) ¢ëç¥àª¨¢ âì ¥ ¡ã¤¥¬, ¡ã¤¥¬ § ¯¨áë¢ âì ¨å ¯®á«¥¤¨¬¨. 묨 á«®¢ ¬¨, ãá«®¢¨¬áï ¯à¨¬¥ïâì «¨èì í«¥¬¥â àë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯¥à¢®£®, ¢â®à®£®, âà¥â쥣® ¨ ç¥â¢¥à⮣® ⨯ (á¬. á. 129). Ǒ®áª®«ìªã á¨á⥬ (4) ï¥âáï ®¤®à®¤®©, ® ᮢ¬¥áâ (á¬. § ¬¥ç ¨¥ á. 125). ᨫã ⥮६ë 1 ¨§ x12 ¬ë ᬮ¥¬ ¯à¨¢¥á⨠íâã á¨á⥬㠪 «¥áâ¨ç®¬ã ¢¨¤ã. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ A ¬ âà¨æã ¯®«ã祮© «¥áâ¨ç®© á¨á⥬ë. á®, çâ® A | ª¢ ¤à â ï áâ㯥ç â ï ¬ âà¨æ . § ᢮©á⢠1, 3, 6 ¨ 10 ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© (á¬. x13) ¢ë⥪ ¥â, çâ® jAj à ¢¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«î á¨á⥬ë (4), 㬮¥®¬ã ¥ª®â®à®¥ ¥ã«¥¢®¥ ç¨á«®. «¥¤®¢ ⥫ì®, jAj = 0. âà¨æ A ï¥âáï ¢¥àå¥âà¥ã£®«ì®© (ª ª ¨ «î¡ ï ª¢ ¤à â ï áâ㯥ç â ï ¬ âà¨æ ). ᨫã ᢮©á⢠11 ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© (á¬. x13) ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¨§ í«¥¬¥â®¢ £« ¢®© ¤¨ £® «¨ ¬ âà¨æë A à ¢¥ 0. § í⮣® ä ªâ ¨ ®¯à¥¤¥«¥¨ï áâ㯥ç ⮩ ¬ âà¨æë ¢ë⥪ ¥â, çâ® A ᮤ¥à¨â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤ã ã«¥¢ãî áâபã. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨ ¯à¨¬¥¥¨¨ ¬¥â®¤ ãáá ª ¨á室®© ªà ¬¥à®¢áª®© á¨á⥬¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¢®§¨ª¥â å®âï ¡ë ®¤® ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ (5), ¨ ¯®á«¥ ®â¡à áë¢ ¨ï â ª¨å ãà ¢¥¨© ¯®«ãç¥ ï «¥áâ¨ç ï á¨á⥬ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¬¥ìè¥ ãà ¢¥¨©, 祬 ¥¨§¢¥áâëå. Ǒ® ⥮६¥ 3 ¨§ x12 íâ «¥áâ¨ç ï á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥. ᨫ㠫¥¬¬ë ¨§ x12 (á¬. á. 129) á¨á⥬ (4) â ª¥ ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥. «¥¤®¢ ⥫ì®, ® ¨¬¥¥â ¡®«¥¥ ®¤®£® à¥è¥¨ï. ᨫã á«¥¤á⢨ï 1 ¨§ x11 ® ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨©. ⬥⨬, çâ® ¤«ï á¨á⥬ ¤¢ãå ãà ¢¥¨© á ¤¢ã¬ï ¥¨§¢¥áâ묨 (¨ ⮫쪮 ¤«ï ¨å!) âà¥âì¥ ã⢥थ¨¥ ⥮६ë à ¬¥à ¬®® ãâ®ç¨âì: ¥á«¨ ¢ â ª®© á¨á⥬¥ = 1 = 2 = 0, â® á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨© («¥£ª® ¯®ïâì, çâ® ¢ â ª®© á¨á⥬¥ ®¤® ¨§ ãà ¢¥¨© ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¤à㣮£® 㬮¥¨¥¬ ¥ª®â®à®¥ ç¨á«®). § ⥮६ë à ¬¥à ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ ¥â «¥¤á⢨¥. à ¬¥à®¢áª ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¥ à ¢¥
0. § í⮣® á«¥¤á⢨ï, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, «¥£ª® ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥, ª®â®à®¥, ¢ ᨫ㠥£® ¢ ®áâ¨, ¬ë §®¢¥¬ ⥮६®©.
¥®à¥¬ 2. à ¬¥à®¢áª ï ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì à ¢¥ ã«î. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒ®áª®«ìªã ¢áïª ï ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¨¬¥¥â ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥, ïá®, çâ® ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¥ ¨¬¥-
x
14. à ¬¥à®¢áª¨¥ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
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165
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170
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x1 = 2, x2 = 1; ¡) x = 1;5, y = 0;5; ¢) x = 3, y = 2; £) x1 = 2, x2 = 1, x3 = 1; ¤) x = 81 , y = 38 , z = 7 ; ¥) x = 1, y = 1, z = 0; ) x = a + b, 17 17 17 y = a b. 23.
24.
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26.
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x
15. ¤ ç¨
8 > > <
+ 3x2 x3 x4 + 2x5 = 4; + x2 + x3 x4 + 2x5 = 4; + 4x2 2x3 x4 + 2x5 = 4; + 6x2 x3 + x4 5x5 = 3: 3. ©â¨ à¥è¥¨¥ á¨áâ¥¬ë ¯® ¯à ¢¨«ã à ¬¥à : 8 8 x3 = 2; < x1 + 2x2 < x1 + x2 + x3 = 6; ) : x1 x2 + 2x3 = 5; ¡) : x1 2x2 + 3x3 = 6; x2 + 2x3 = 6; 2x1 + x2 x3 = 1; 8 2x1 8 x + 2 x x = 1 ; + 2x3 = 5; < < x1 1 2 3 + x3 = 0; £) : x1 + 2x2 + 3x3 = 10; ¢) : 2x1 x1 + 2x2 + 3x3 = 7; 2x1 + 2x2 + x3 = 1: 4. 8 áá«¥¤®¢ âì á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨©: y+ z= 2; < x ) : x + (a2 1)y + (a + 2)z = 5; 2 x ( a + 2) y + (1 a ) z = 2 a + 3; 8 2y + z= 4; < x 4; ¡) : x + (a2 2)y + (a + 1)z = 2 x ( a + 4) y + (2 a + 2) z = a + 10; 8 y z= 1; < x + ¢) : x + (a + 1)y + 2 (2a 1)z = z; 8 2x + (a + 2)y + (2a + 2a + 3)z = a 4; 2y + z= 1; < x £) : x + (a 2)y + 2 (a + 1)z = a + 1; 2x + (a 4)y + (a + a 6)z = 2a: x1 x £) > x11 > : 2x1
171
« ¢ 4
®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« ¨ ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï 誮«ì®¬ ªãàᥠ¬ ⥬ ⨪¨ ¯®ï⨥ ç¨á« ¯®á⥯¥® à áè¨àï¥âáï. ç « à¥çì ¨¤¥â ⮫쪮 ® âãà «ìëå ç¨á« å, § ⥬ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯®ï¢«ïîâáï 楫ë¥, à 樮 «ìë¥ ¨, ª®¥æ, ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« . í⮩ £« ¢¥ ¯®ï⨥ ç¨á« ¡ã¤¥â ¥é¥ à § à áè¨à¥®: ¡ã¤ãâ ¢¢¥¤¥ë â ª §ë¢ ¥¬ë¥ ª®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« . £« ¢¥ à áᬠâਢ îâáï ®¯¥à 樨 ¤ ª®¬¯«¥ªá묨 ç¨á« ¬¨ ¢ «£¥¡à ¨ç¥áª®© ¨ âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬¥. ®«¥¥ £«ã¡®ª®¥ ¨§ã票¥ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ¢ë室¨â § à ¬ª¨ 襣® ªãàá . ஬¥ ⮣®, ¢ £« ¢¥ ä®à¬ã«¨àã¥âáï ®á®¢ ï ⥮६ ¢ëá襩 «£¥¡àë ¨ ¯à¨¢®¤ïâáï ¥ª®â®àë¥ á¢¥¤¥¨ï ¨§ ⥮ਨ ¬®£®ç«¥®¢, ª®â®àë¥ ¯® ¤®¡ïâáï ¬ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¤«ï 室¥¨ï ᮡá⢥ëå § 票© «¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢. x16.
®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á«
¢ «£¥¡à ¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ¯à¥¤¥«¥¨¥. ®¬¯«¥ªáë¬ ç¨á«®¬ §ë¢ ¥âáï 㯮àï¤®ç¥ ï ¯ à (a; b) ¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥« a ¨ b. ¨á« (a; b) ¨ ( ; d) §ë¢ îâáï à ¢ë¬¨, ¥á«¨ a = ¨ b = d. ¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«® a §ë¢ ¥âáï ¤¥©á⢨⥫쮩 ç áâìî ç¨á« (a; b), ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«® b | ¬¨¬®© ç áâìî ç¨á« (a; b). 㬬®© ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« (a; b) ¨ ( ; d) §ë¢ ¥âáï ç¨á«® (a + ; b + d), ¨å ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ | ç¨á«® (a bd; ad + b ).
x
16. ®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« ¢ «£¥¡à ¨ç¥áª®© ä®à¬¥
173
§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¯¥à 権 á«®¥¨ï ¨ 㬮¥¨ï ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« á ®ç¥¢¨¤®áâìî ¢ë⥪ ¥â, çâ® (a; 0) + ( ; 0) = (a + ; 0) ¨ (a; 0) ( ; 0) = (a ; 0): ⮤¥á⢨¬ ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® (a; 0) á ¤¥©á⢨⥫ìë¬ ç¨á«®¬ a. § ᪠§ ®£® ⮫쪮 çâ® ¢¨¤®, çâ® á㬬 ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ç¨á¥« a ¨
¥ § ¢¨áïâ ®â ⮣®, à áᬠâਢ âì «¨ í⨠ç¨á« ª ª ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ¨«¨ ª ª ª®¬¯«¥ªáë¥. â® ¯®§¢®«ï¥â áç¨â âì ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥« R ¯®¤¬®¥á⢮¬ ¬®¥á⢠¢á¥å ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥«, ª®â®à®¥ ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ C . ¨¬¥® R = f(a; 0) j a 2 R g: ⬥⨬ ¥é¥, çâ® ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« a ( ; d) = (a; 0) ( ; d) = (a ; ad): «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® (a; b) = (a ; b ). 묨 á«®¢ ¬¨, ¯à¨ 㬮¥¨¨ ¤¥©á⢨⥫쮣® ç¨á« ª®¬¯«¥ªá®¥ (á «î¡®© áâ®à®ë) ¤¥©á⢨⥫ì ï ¨ ¬¨¬ ï ç á⨠ª®¬¯«¥ªá®£® ᮬ®¨â¥«ï 㬮 îâáï ¤¥©á⢨⥫ìë© á®¬®¨â¥«ì.
¢¥¤¥¬ ¢ à áᬮâ२¥ ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«®, ª®â®à®¥ ¨£à ¥â ®á®¡ãî à®«ì ¢ ⥮ਨ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥«. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® (0,1) §ë¢ ¥âáï ¬¨¬®© ¥¤¨¨æ¥© ¨ ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ i. Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î 㬮¥¨ï ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« i2 = (0; 1) (0; 1) = ( 1; 0): ª ¬ë 㥠¤®£®¢®à¨«¨áì, ¬ë ¥ à §«¨ç ¥¬ ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® ( 1; 0) ¨ ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«® 1. ª¨¬ ®¡à §®¬, i2 = 1. ¬¥â¨¬, çâ® (a; b) = (a; 0) + (0; b) = (a; 0) + (b; 0) (0; 1) = a + bi: ¯à¥¤¥«¥¨¥. ëà ¥¨¥ a + bi §ë¢ ¥âáï «£¥¡à ¨ç¥áª®© ä®à¬®© ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« (a; b). ¬¥® «£¥¡à ¨ç¥áª ï ä®à¬ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ¨¡®«¥¥ 㯮âॡ¨â¥«ì . ¬¥â¨¬, çâ® (a + bi) + ( + di) = (a; b) + ( ; d) = (a + ; b + d) = = (a + ) + (b + d)i; (a + bi)( + di) = (a; b) ( ; d) = (a bd; ad + b ) = = (a bd) + (ad + b )i:
174
« ¢ 4. ®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« ¨ ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï
묨 á«®¢ ¬¨, á«®¥¨¥ ¨ 㬮¥¨¥ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ¢ «£¥¡à ¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ª ª á«®¥¨¥ ¨ 㬮¥¨¥ ®¡ëçëå ¬®£®ç«¥®¢ á \¥¨§¢¥áâë¬" i, ¯à¨ 㬮¥¨¨ ¤®¯®«¨â¥«ì® ãç¨âë¢ ¥âáï, çâ® i2 .
= 1 áᬮâਬ ᢮©á⢠¢¢¥¤¥ëå ®¯¥à 権.
᫨ x; y ¨ z | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ª®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« , â®: 1) x + y = y + x (á«®¥¨¥ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ); 2) (x + y) + z = x + (y + z) (á«®¥¨¥ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ); 3) áãé¥áâ¢ã¥â, ¨ ¯à¨â®¬ ⮫쪮 ®¤®, ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® 0 â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« u ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ u + 0 = u; 4) ¤«ï «î¡®£® ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« v áãé¥áâ¢ã¥â, ¨ ¯à¨â®¬ ⮫쪮 ®¤®, ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® w â ª®¥, çâ® v + w = 0; 5) xy = yx (㬮¥¨¥ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ); 6) (xy)z = x(yz) (㬮¥¨¥ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ); 7) x(y + z) = xy + xz (㬮¥¨¥ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ); 8) áãé¥áâ¢ã¥â, ¨ ¯à¨â®¬ ⮫쪮 ®¤®, ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® e â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« u ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ ue = u; 9) ¤«ï «î¡®£® ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« v, ®â«¨ç®£® ®â 0, áãé¥áâ¢ã¥â, ¨ ¯à¨â®¬ ⮫쪮 ®¤®, ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® w â ª®¥, çâ® vw = e. ¢®©á⢠1 ¨ 2 ¯à®¢¥àïîâáï ¯à®áâë¬ ¯à¨¬¥¥¨¥¬ ®¯à¥¤¥«¥¨ï áã¬¬ë ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥«, ¨ ¯®â®¬ã ¬ë ®¯ã᪠¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢ëª« ¤ª¨. ®ª ¥¬ ᢮©á⢮ 3. á®, çâ® ¢ ª ç¥á⢥ ª®¬¯«¥ªá®£® ã«ï ¬®® ¢§ïâì ç¨á«® 0 + 0 i. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì u = a + bi. ®£¤ u + (0 + 0 i) = (a + bi) + (0 + 0 i) = (a + 0) + (b + 0) i = a + bi = u:
¤¨á⢥®áâì ã«ï ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï â ª¥ ¤®áâ â®ç® ¯à®áâ®. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¥¤¯®«®¨¬, çâ® àï¤ã á í«¥¬¥â®¬ 0 = 0+0 i áãé¥áâ¢ã¥â ª®¬¬ãâ ⨢®
áá®æ¨ -
⨢®
ª®¬¬ãâ ⨢®
áá®æ¨ ⨢®
¤¨áâਡã⨢®
®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï
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16. ®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« ¢ «£¥¡à ¨ç¥áª®© ä®à¬¥
175
í«¥¬¥â 01 â ª®©, çâ® ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« u ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ u + 01 = u. §ï¢ ¢ ¯®á«¥¤¥¬ à ¢¥á⢥ ¢ ª ç¥á⢥ u ç¨á«® 0, ¯®«ãç ¥¬, çâ® 0 + 01 = 0. ¤à㣮© áâ®à®ë, ¨§ ª®¬¬ãâ ⨢®á⨠᫮¥¨ï ¨ à ¢¥á⢠u +0 = u á«¥¤ã¥â, çâ® 0+01 = 01 +0 = 01. «¥¤®¢ ⥫ì®, 01 = 0. ¢®©á⢮ 3 ¤®ª § ®. ®ª ¥¬ ᢮©á⢮ 4. Ǒãáâì v = a + bi. Ǒ®«®¨¬ w = a + ( b)i. ®£¤ v + w = (a + bi) + ( a + ( b)i) = (a a) + (b b)i = 0 + 0 i = 0: â ª, ç¨á«® w á âà¥¡ã¥¬ë¬ á¢®©á⢮¬ áãé¥áâ¢ã¥â. ®ª ¥¬ ¥£® ¥¤¨á⢥®áâì. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¥é¥ ®¤® ç¨á«® w1 â ª®¥, çâ® v + w1 = 0. ®£¤ ¢ë¯®«ïîâáï à ¢¥á⢠( w + v ) + w1 = w + (v + w 1 ) = w + 0 = w ¨ (w + v) + w1 = (v + w) + w1 = 0 + w1 = w1 + 0 = w1 : «¥¤®¢ ⥫ì®, w = w1. ¢®©á⢮ 4 ¤®ª § ®. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¨á«® w, áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì ª®â®à®£® ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï ¢ ᢮©á⢥ 4, §ë¢ ¥âáï ¯à®â¨¢®¯®«®ë¬ ª v ¨ ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ v. ᯮ«ì§ãï ¯à®â¨¢®¯®«®®¥ ç¨á«®, ¬®® ®¯à¥¤¥«¨âì à §®áâì ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« x ¨ y, ¯®« £ ï x y = x + ( y). ¢®©á⢠5{7 ¯à®¢¥àïîâáï ¯àï¬ë¬ ¯à¨¬¥¥¨¥¬ ®¯à¥¤¥«¥¨©. Ǒ®ª ¥¬ íâ® ¯à¨¬¥à¥ ᢮©á⢠7. Ǒãáâì x = a+bi, y = +di ¨ z = f +gi. ®£¤ x(y + z ) = (a + bi)[( + di) + (f + gi)℄ = = (a + bi)[( + f ) + (d + g)i℄ = = (a( + f ) b(d + g)) + (a(d + g) + b( + f ))i = = (a + af bd bg) + (ad + ag + b + bf )i: â® ¥ ¢à¥¬ï xy + xz = (a + bi)( + di) + (a + bi)(f + gi) = = [(a bd) + (ad + b )i℄ + [(af bg) + (ag + bf )i℄ = = (a + af bd bg) + (ad + ag + b + bf )i: ª¨¬ ®¡à §®¬, x(y + z) = xy + xz. ¢®©á⢮ 7 ¤®ª § ®. ®ª ¥¬ ᢮©á⢮ 8. ª ç¥á⢥ ç¨á« e ¬®® ¢§ïâì ç¨á«® 1+0 i. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì u = a + bi. ®£¤ u (1 + 0 i) = (a + bi)(1 + 0 i) = (a 1 b 0) + (a 0 + b 1)i = a + bi = u:
176
« ¢ 4. ®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« ¨ ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï
Ǒ஢¥à¨¬ ¥¤¨á⢥®áâì ç¨á« e. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® àï¤ã á ç¨á«®¬ e = 1 + 0 i áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® e1 â ª®¥, çâ® ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« u ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ ue1 = u. §ï¢ ¢ ¯®á«¥¤¥¬ à ¢¥á⢥ ¢ ª ç¥á⢥ u ç¨á«® e, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ee1 = e. ¤à㣮© áâ®à®ë, ¨§ ª®¬¬ãâ ⨢®á⨠㬮¥¨ï ¨ à ¢¥á⢠ue = u á«¥¤ã¥â, çâ® ee1 = e1 e = e1. «¥¤®¢ ⥫ì®, e1 = e. ¢®©á⢮ 8 ¤®ª § ®. ®ª ¥¬, ª®¥æ, ᢮©á⢮ 9. Ǒãáâì v = a + bi ¨ v 6= 0. Ǒ®«®¨¬ a b w = + di, £¤¥ = 2 2 ¨ d = 2 2 . (⬥⨬, çâ® a2 + b2 6= 0, a +b a +b ¯®áª®«ìªã ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ a = b = 0 ¨ v = 0 ¢®¯à¥ª¨ ãá«®¢¨î.) ®£¤ a b vw = (a + bi) 2 2 + 2 2 i = a +b a +b =
a
b
b
a
a 2 2 b 2 2 + a 2 2 +b 2 2 i= a +b a +b a +b a +b 2 2 = aa2 ++ bb2 + aab2 ++bab 2 i = 1 + 0 i = e: áâ «®áì ¯à®¢¥à¨âì ¥¤¨á⢥®áâì ç¨á« w. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¥é¥ ®¤® ç¨á«® w1 â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ç¨á« x ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ vw1 = e. ®£¤ w = we = w(vw1 ) = (wv)w1 = (vw)w1 = ew1 = w1 e = w1 :
¢®©á⢮ 9 ¤®ª § ®. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¨á«® w, áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì ª®â®à®£® ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï ¢ ᢮©á⢥ 9, §ë¢ ¥âáï ®¡à âë¬ ª v ¨ ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ v 1 . ᯮ«ì§ãï ®¡à âë© í«¥¬¥â, ¬®® ¢¢¥á⨠®¯¥à æ¨î ¤¥«¥¨ï ª®¬x ¯«¥ªáëå ç¨á¥«, ¯®« £ ï y = xy 1 (¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® y 6= 0). ¯à¥¤¥«¥¨¥.
᫨ x = a + bi | ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«®, â® ç¨á«® a bi §ë¢ ¥âáï ª®¬¯«¥ªá® ᮯàï¥ë¬ ª x ¨ ®¡®§ ç ¥âáï x. ª ¥¬ ¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠®¯¥à 樨 ª®¬¯«¥ªá®£® ᮯà泌ï.
᫨ x ¨ y | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ª®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« , â®: 1) ¥á«¨ x | ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«®, â® x = x; 2) x + x | ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«®; 3) x x | ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«®; ¡®«¥¥ ⮣®, x x > 0, ¯à¨ç¥¬ x x = 0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ x = 0;
x
17. ਣ®®¬¥âà¨ç¥áª ï ä®à¬ ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á«
177
4) x + y = x + y; 5) xy = x y. ¢®©á⢮ 1 ®ç¥¢¨¤®. ¢®©á⢠2 ¨ 3 â ª¥ ®ç¥¢¨¤ë, ¯®áª®«ìªã ¥á«¨ x = a + bi, â® x + x = (a + bi)+(a bi) = 2a, x x = (a + bi) (a bi) = a2 b2 i2 = a2 + b2. ¢®©á⢠4 ¨ 5 ¯à®¢¥àïîâáï ¯à®áâ묨 ¢ëç¨á«¥¨ï¬¨. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ x = a + bi, y = + di, â® x + y = (a bi) + ( di) = (a + ) (b + d)i = = (a + ) + (b + d)i = x + y; x y = (a bi)( di) = (a bd) (ad + b )i = = (a bd) + (ad + b )i = xy: ¢®©á⢮ 3 ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ©â¨ «£¥¡à ¨ç¥áªãî ä®à¬ã ç¨á« ¢¨¤ a ++ dibi . á ¬®¬ ¤¥«¥, 㬮¨¢ ç¨á«¨â¥«ì ¨ § ¬¥ ⥫ì í⮩ ¤à®¡¨ ç¨á«®, ª®¬¯«¥ªá® ᮯà葉¥ ª § ¬¥ ⥫î, ¨¬¥¥¬ a + bi (a + bi)( di) a + bd + (b ad)i a + bd b ad = = = 2 + d2 + 2 + d2 i:
+ di ( + di)( di)
2 + d2 § ᢮©á⢠4 ¨ 5 ¢ë⥪ ¥â
«¥¤á⢨¥.
᫨ ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® z ï¥âáï ª®à¥¬ ¬®£®ç«¥ f x á ª®¬¯«¥ªá묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, â® ç¨á«® z â ª¥ ï¥âáï ª®à¥¬ í⮣® ¬®£®ç«¥ .
()
Ǒãáâì f (x) = a x + a 1x 1 + + a1x + a0, z + bi. Ǒ® ãá«®¢¨î f (z) = 0, â. ¥. a z + a 1z 1 + + a1z + a0 = 0. ᯮ«ì§ãï ᢮©á⢠1, 4 ¨ 5, ¨¬¥¥¬ f (z ) = a z + a 1 z 1 + + a1 z + a0 = = a z + a 1z 1 + + a1z + a0 = 0 = 0; çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ®ª § ⥫ìá⢮.
n
n n
x17.
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ਣ®®¬¥âà¨ç¥áª ï ä®à¬
ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á«
ª ¨§¢¥áâ®, ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« ¬®® ¨§®¡à âì ç¨á«®¢®© ¯àאַ© (¯à¨ í⮬ ª ¤®¬ã ç¨á«ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ஢® ®¤ â®çª
178
« ¢ 4. ®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« ¨ ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï
¯àאַ©, ª ¤®© â®çª¥ | ஢® ®¤® ç¨á«®). «®£¨ç ï áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¤«ï ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥«. ® ¤«ï í⮣® âॡã¥âáï 㥠¥ ¯àï¬ ï, ¯«®áª®áâì. 䨪á¨à㥬 ¯«®áª®á⨠¯àאַ㣮«ìãî ¤¥ª à⮢ã á¨á⥬㠪®®à¤¨ â. ®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® a + bi ¡ã¤¥¬ ¨§®¡à âì â®çª®© ¯«®áª®áâ¨ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (a; b). ®£¤ ª ¤®¬ã ª®¬¯«¥ªá®¬ã ç¨á«ã ¡ã¤¥â ᮮ⢥âá⢮¢ âì â®çª ¯«®áª®á⨠(¯à¨ç¥¬ ⮫쪮 ®¤ ) ¨, ®¡®à®â, ª ¤®© â®çª¥ ¯«®áª®á⨠¡ã¤¥â ᮮ⢥âá⢮¢ âì ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® (¯à¨ç¥¬ ⮫쪮 ®¤®). ®çª¨ ®á¨ ¡áæ¨áá ¨ ⮫쪮 ®¨ ¡ã¤ãâ ¨§®¡à âì ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« , â®çª¨ ®á¨ ®à¤¨ â ¨ ⮫쪮 ®¨ | ç¨á« ¢¨¤ bi, ª®â®àë¥ §ë¢ îâáï ç¨áâ® ¬¨¬ë¬¨. ç «® ª®®à¤¨ â ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ç¨á«ã 0. £¥®-
¬¥âà¨ç¥áª ï ¨â¥à¯à¥â æ¨ï
y b
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6
r r
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M (a; b)
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¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® z = a + bi ¨§®¡à ¥âáï ¯«®áª®á⨠â®çª®© M (á¬. à¨á㮪). ®£¤ ¤«¨ ®â१ª OM §ë¢ ¥âáï ¬®¤ã«¥¬ ç¨á« z.
᫨ z 6= 0, ⮠㣮« ¬¥¤ã ¯®«®¨â¥«ìë¬ ¯à ¢«¥¨¥¬ ®á¨ Ox ¨ ®â१ª®¬ OM §ë¢ ¥âáï à£ã¬¥â®¬ ç¨á« z . ç¨á« 0 à£ã¬¥â ¥ ®¯à¥¤¥«¥. ⬥⨬, çâ® ¤«ï ¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥«, à áᬠâਢ ¥¬ëå ª ª ª®¬¯«¥ªáë¥, ¢¢¥¤¥®¥ ⮫쪮 çâ® ¯®ï⨥ ¬®¤ã«ï ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®ï⨥¬ ¬®¤ã«ï ( ¡á®«î⮩ ¢¥«¨ç¨ë), ¨§¢¥áâë¬ ¨§ 誮«ì®£® ªãàá . ®¤ã«ì ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« z ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ jzj, à£ã¬¥â | ç¥à¥§ arg(z). à¨á㪥 ja + bij = r, arg(a + bi) = '. à£ã¬¥â ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« ®¯à¥¤¥«¥ ¥®¤®§ ç®, â ª ª ª ¥á«¨ ' | à£ã¬¥â ç¨á« a + bi, â® ' + 2k | â ª¥ ¥£® à£ã¬¥â ¯à¨ «î¡®¬ 楫®¬ k. ®£®§ ç®á⨠à£ã¬¥â ¬®® ¡ë«® ¡ë ¨§¡¥ âì, «®¨¢ ®£à ¨ç¥¨¥ ', ¯à¨¬¥à, 0 6 ' < 2 ¨«¨ < ' 6 . ® ¯®¤®¡ë¥ ®£à ¨ç¥¨ï ç áâ® ®ª §ë¢ îâáï ¥ã¤®¡ë¬¨, ¢ 祬 ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¢®§¬®®áâì ã¡¥¤¨âìáï çãâì ¨¥.
x
17. ਣ®®¬¥âà¨ç¥áª ï ä®à¬ ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á«
179
Ǒãáâì r | ¬®¤ã«ì, ' | à£ã¬¥â ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« a + bi. á®, çâ® p a b r = a2 + b2 ; os ' = p 2 2 ¨ sin ' = p 2 2 : a +b a +b «¥¤®¢ ⥫ì®, a + bi =
p
a2 + b2
p 2a a
p b + b2 + a2 + b2 i = r( os ' + i sin '):
¯à¥¤¥«¥¨¥.
᫨ r | ¬®¤ã«ì, ' | à£ã¬¥â ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« a + bi, â® ¢ëà ¥¨¥ r( os ' + i sin ') §ë¢ ¥âáï âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬®© í⮣® ç¨á« . Ǒãáâì, ¯à¨¬¥à, u = 1 + i, r = juj ¨ ' = arg(u). ®£¤ , ®ç¥¢¨¤®, r = p2, os ' = p12 ¨ sin ' = p12 . § ¤¢ãå ¯®á«¥¤¨å à ¢¥á⢠¢ë⥪ ¥â, çâ® ' = 4. «¥¤®¢ ⥫ì®, âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à p ¬®© ç¨á« 1 + i ¡ã¤¥â 2 os 4 + i sin 4 . Ǒਢ¥¤¥¬ ¥é¥ ®¤¨ ¯à¨¬¥à. Ǒãáâì v = 1 + pp3i, = jvj ¨ = arg(v). ®£¤ = 2,
os = 12 ¨ sin = 23 . § ¤¢ãå ¯®á«¥¤¨å à ¢¥á⢠¢ë⥪ ¥â, çâ® = 23 . «¥¤®¢ ⥫ì®, âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬®© ç¨ á« v ¡ã¤¥â 2 os 23 + i sin 23 . ⬥⨬, çâ® âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª ï ä®à¬ ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« ®¯à¥¤¥«¥ ¥®¤®§ ç® | íâ® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ¥®¤®§ ç®á⨠à£ã¬¥â ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« . p ª, ¯à¨¬¥à, âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬®© ç¨á« v = 1 + 3i ¡ã¤¥â â ª¥ 8 8 4 4 2 os 3 + i sin 3 ¨«¨ 2 os 3 + i sin 3 . ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ r1( os '1 +i sin '1) = r2 ( os '2 +i sin '2 ), â® r1 = r2 ¨ '1 = '2 + 2k ¤«ï ¥ª®â®à®£® 楫®£® k. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¢¥à® ¨ ®¡à ⮥ ã⢥थ¨¥. ¯®¬®éìî âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬ë «¥£ª® 室ïâáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¨ ç á⮥ ®â ¤¥«¥¨ï ¤¢ãå ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥«. ¡¥¤¨¬áï ¢ í⮬. Ǒãáâì z1 = r1 ( os '1 + i sin '1 ) ¨ z2 = r2 ( os '2 + i sin '2 ). ®£¤ z1 z2 =r1 r2 ( os '1 + i sin '1 )( os '2 + i sin '2 )= =r1 r2 [( os '1 os '2 sin '1 sin '2)+ i( os '1 sin '2 +sin '1 os '2 )℄= =r1 r2 ( os('1 + '2)+ i sin('1 + '2)): 묨 á«®¢ ¬¨,
180
« ¢ 4. ®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« ¨ ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï
¬®¤ã«ì ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¤¢ãå ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« à ¢¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨î ¨å ¬®¤ã«¥©, à£ã¬¥â ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï à ¢¥ á㬬¥ à£ã¬¥â®¢.
p p ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ z1 = 1 + i = 2 os + i sin , z2 = 1 + 3i = p 4 11 4 11 2 2 2 os 3 + i sin 3 , â® z1z2 = 2 2 os 12 + i sin 12 . ¤¥áì, ªáâ â¨, ¬®® ¯®ïá¨âì ¥ã¤®¡á⢮ 㯮¬¨ ¢è¨åáï ¢ëè¥ ¢®§¬®ëå ®£à ¨ç¥¨© à£ã¬¥â. ®¯ãá⨬, çâ® ¬ë ®£à ¨ç¨«¨ à£ã¬¥â ®¤¨¬ ¨§ ¥à ¢¥á⢠0 6 ' < 2 ¨«¨ < ' 6 . ®£¤ ¬®® ¯®¤®¡à âì ª®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« z1 ¨ z2 â ª, çâ® á㬬 ¨å à£ã¬¥â®¢ ¢ë©¤¥â § £à ¨æë íâ¨å ¥à ¢¥áâ¢. â® ®§ ç ¥â, çâ® ®â¬¥ç¥ë© ¢ëè¥ à¥§ã«ìâ â ®¡ à£ã¬¥â¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¯à¨è«®áì ¡ë ä®à¬ã«¨à®¢ âì ¡®«¥¥ á«®ë¬ ®¡à §®¬. áᬮâਬ ¤¥«¥¨¥ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ¢ âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬¥. ëç¨á«¨¬ ç á⮥ ®â ¤¥«¥¨ï ç¨á« z1 = r1 ( os '1 + i sin '1) z2 = r2 ( os '2 + i sin '2 ): z1 r1 ( os '1 + i sin '1 ) r1 ( os '1 + i sin '1 )( os '2 i sin '2 ) = = = z2 r2 ( os '2 + i sin '2 ) r2 ( os '2 + i sin '2 )( os '2 i sin '2 ) sin '2) + i(sin '1 os '2 os '1 sin '2 )) = = r1 (( os '1 os '2 + sin 'r 1( os 2 2 '2 + sin2 '2 ) r1 = r2 ( os('1 '2) + i sin('1 '2)):
«¥¤®¢ ⥫ì®,
¬®¤ã«ì ç á⮣® ®â ¤¥«¥¨ï z1 z2 à ¢¥ ç á⮬㠮⠤¥«¥¨ï ¬®¤ã«ï z1 ¬®¤ã«ì z2 , à£ã¬¥â ç á⮣® | à §®á⨠à£ã¬¥â®¢ z1 ¨ z2 .
§ १ã«ìâ â ® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ¢ âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ¢ë⥪ ¥â, çâ® (r( os ' + i sin ')) = r ( os n' + i sin n') (1) ¤«ï «î¡®£® âãà «ì®£® n. ®«¥¥ ⮣®, ¥á«®® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® íâ® à ¢¥á⢮ ¢ë¯®«¥® ¯à¨ «î¡®¬ 楫®¬ n. Ǒਠr = 1 ¯®«ãç ¥âáï à ¢¥á⢮, ¨§¢¥á⮥ ª ª : ( os ' + i sin ') = os n' + i sin n': â ä®à¬ã« ®ª §ë¢ ¥âáï 㤮¡ë¬ á।á⢮¬ ¤«ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¢ëà ¥¨©. Ǒத¥¬®áâà¨à㥬 íâ® á«¥¤ãîn
n
ä®à¬ã« ã ¢à n
x
18. §¢«¥ç¥¨¥ ª®à¥© ¨§ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥«
181
饬 ¯à¨¬¥à¥: ¢ëà §¨âì os5' ¨ sin5' ç¥à¥§ os ' ¨ sin '. 㤥¬ ¨á室¨âì ¨§ à ¢¥áâ¢
os5' + i sin5' = ( os ' + i sin ')5 ; ª®â®à®¥ ¯®«ã祮 ¨§ ä®à¬ã«ë ã ¢à ¯à¨ k = 5. Ǒà ¢ãî ¥£® ç áâì ¯à¥®¡à §ã¥¬ ¯® ä®à¬ã«¥ ¡¨®¬ ìîâ® : ( os ' + i sin ')5 = os5 ' + 5i os4 ' sin ' 10 os3 ' sin2 ' 10i os2 ' sin3 ' + 5 os ' sin4 ' + i sin5 ' = = ( os5 ' 10 os3 ' sin2 ' + 5 os ' sin4 ') + + (5 os4 ' sin ' 10 os2 ' sin3 ' + sin5 ')i: «¥¤®¢ ⥫ì®,
os5' = os5 ' 10 os3 ' sin2 ' + 5 os ' sin4 ' ¨ sin 5' = 5 os4 ' sin ' 10 os2 ' sin3 ' + sin5 ': x18.
§¢«¥ç¥¨¥ ª®à¥©
¨§ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ¯à¥¤¥«¥¨¥.
Ǒãáâì n | âãà «ì®¥ ç¨á«®. ®à¥¬ á⥯¥¨ n z §ë¢ ¥âáï ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® w â ª®¥, çâ®
¨§ ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á«
= z. ¯à¨¬¥à, ç¨á«® 1 i ï¥âáï ª®à¥¬ âà¥â쥩 á⥯¥¨ ¨§ ç¨á« 2 2i, ¯®áª®«ìªã (1 i)3 = (1 i)(1 i)(1 i) = 2i(1 i) = 2 2i:
áâ¥á⢥® ¢®§¨ª ¥â ¢®¯à®á: ¢á¥£¤ «¨ ª®à¥ì n-© á⥯¥¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ᪮«ìª® áãé¥áâ¢ã¥â â ª¨å ª®à¥©?
᫨ z = 0, â®, ®ç¥¢¨¤®, ¤«ï «î¡®£® âãà «ì®£® n áãé¥áâ¢ã¥â ஢® ®¤¨ ª®à¥ì n-© á⥯¥¨ ¨§ z, à ¢ë© ã«î. á«ãç ¥ z 6= 0 ®â¢¥â íâ®â ¢®¯à®á ¥ áâ®«ì ®ç¥¢¨¤¥. Ǒãáâì z = r( os ' + i sin ') ¨ z 6= 0. ®à¥ì á⥯¥¨ n ¨§ z ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ⮥ ¢ âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬¥. Ǒãáâì w = q( os + i sin ) ¨ w = z. ®£¤ , ¢ ᨫã ä®à¬ã«ë (1) ¨§ x17, q ( os n + i sin n ) = r( os ' + i sin '): Ǒ®«ãç ¥¬ à ¢¥á⢠q = r ¨ n = ' + 2k, £¤¥ k | ¥ª®â®à®¥ 楫®¥ ç¨á«®. Ǒ®áª®«ìªã q ¨ r | ¯®«®¨â¥«ìë¥ ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« , íâ® w
n
n
n
n
182
« ¢ 4. ®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« ¨ ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï
®§ ç ¥â, çâ® q | à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨© ª®à¥ì á⥯¥¨ n ¨§ ç¨á« r. «ï à£ã¬¥â ç¨á« w á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥á⢮ = ' +n2k . ç áâ®áâ¨, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ª®à¥ì n-© á⥯¥¨ ¨§ ç¨á« z ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ã¥â. ¤¨¬ ®â¢¥â ¢®¯à®á ® ç¨á«¥ ª®à¥©. ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, ¢á¥ ª®à¨ n-© á⥯¥¨ ¨§ ç¨á« z § ¤ îâáï ä®à¬ã«®© p ' + 2k + i sin ' + 2k ; (1) w = r os n
k
n
n
£¤¥ k | 楫®¥ ç¨á«®. á®, çâ® w = w ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ' + 2k ' + 2` = + 2m ¯à¨ ¥ª®â®à®¬ 楫®¬ m. Ǒ®á«¥¤¥¥ à ¢¥k
n
`
n
á⢮ à ¢®á¨«ì® à ¢¥áâ¢ã k n ` = m. 묨 á«®¢ ¬¨, ç¨á« w ¨ w ᮢ¯ ¤ îâ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ à §®áâì k ` 楫® ¤¥«¨âáï n. ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ¢á¥ à §«¨çë¥ § ç¥¨ï ª®àï, ¤®áâ â®ç® ¢ ä®à¬ã«¥ (1) ¢§ïâì n ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå § 票© k, ¯à¨¬¥à, ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯à¨à ¢¨¢ âì k ª 0; 1; : : : ; n 1. ë ¤®ª § «¨, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ஢® n à §«¨çëå § 票© ª®àï á⥯¥¨ n ¨§ ¯à®¨§¢®«ì®£® ¥ã«¥¢®£® ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« z, ª®â®àë¥ ¢ëç¨á«ïîâáï ¯® ä®à¬ã«¥ pz = pr os ' + 2k + i sin ' + 2k ; £¤¥ k = 0; 1; : : : ; n 1: (2) k
n
n
n
n
`
áᬮâਬ ¯à¨¬¥à: ©â¨ ¨§ ç¨á« 1 + i. p ª®à¨ ç¥â¢¥à⮩ á⥯¥¨ ®¤ã«ì í⮣® ç¨á« à ¢¥ 2, à£ã¬¥â à ¢¥ 4 . ®£« á® ä®à¬ã«¥ (2) ¨¬¥¥¬ 0 1 + 2 k p 4 + 2k p 1 + i = 2 os 4 + i sin 4 4 A ; 4
8
£¤¥ k = 0; 1; 2; 3. Ǒ®«ãç ¥¬ ç¥âëॠ§ ç¥¨ï ª®àï: p ¯à¨ k = 0 w0 = 2 os 16 + i sin 16 ; p ¯à¨ k = 1 w1 = 2 os 916 + i sin 916 ; p ¯à¨ k = 2 w2 = 2 os 1716 + i sin 1716 ; p ¯à¨ k = 3 w3 = 2 os 2516 + i sin 2516 : 8
8
8
8
183
x
19. ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï
áâ® ¢®§¨ª ¥â ¥®¡å®¤¨¬®áâì ©â¨ ª¢ ¤à âë© ª®à¥ì ¨§ ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« , ¥ ®¡à é ïáì ª âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬¥. Ǒ®ª ¥¬ ¬®® ᤥ« âì. Ǒãáâì p ¯à¨¬¥à¥ ç¨á« z = 3 4i, ª ª íâ® 3 4i = x + yi. ®£¤ 3 4i = (x + yi)2 = x2 y2 + 2xyi. ¬¥¥¬ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© 2 x y2 = 3; (3) 2xy = 4: Ǒ®¤ç¥àª¥¬, çâ® ¬ ¥®¡å®¤¨¬® ©â¨ ¤¥©á⢨⥫ìë¥ à¥è¥¨ï í⮩ á¨á⥬ë. ®§¢¥¤¥¬ ®¡¥ ç á⨠ª ¤®£® ¨§ íâ¨å ãà ¢¥¨© ¢ ª¢ ¤à â ¨ à áᬮâਬ á㬬㠯®«ãç¥ëå à ¢¥áâ¢: x4 2x2 y2 + y4 + 4x2 y2 = 25 ¨«¨ (x2 + y2 )2 = 25: Ǒ®«ãç ¥¬, çâ® x2 + y2 = 5 (ïá®, çâ® á«ãç © x2 + y2 = 5 ¥¢®§¬®¥, ¯®áª®«ìªã x ¨ y | ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« ). âáî¤ ¨ ¨§ ¯¥à¢®£® ãà ¢¥¨ï á¨á⥬ë (3) ¨¬¥¥¬ x2 = 4, y2 = 1, ®âªã¤ x = 2 ¨ y = 1. § ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï á¨á⥬ë (3) ¢¨¤®, çâ® xy < 0. Ǒ®íâ®¬ã ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¤¢ à¥è¥¨ï: x1 = 2, y1 = 1 ¨ x2 = 2, y2 = 1. â ª, ¬ë 諨 ¤¢ § 票ï p3 4i | íâ® 2 i ¨ 2 + i. x19.
¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï
¤¨¬ ¨§ ¬®â¨¢®¢ à áè¨à¥¨ï ¬®¥á⢠¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥« ¤® ¬®¥á⢠ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ï¥âáï â®, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ¬®£®ç«¥ë á ¤¥©á⢨⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, ª®â®àë¥ ¥ ¨¬¥îâ ¤¥©á⢨⥫ìëå ª®à¥©. ª®¢, ¯à¨¬¥à, ¬®£®ç«¥ x2 + 1. ¥¤ã ⥬, ª ª «¥£ª® ¯à®¢¥àï¥âáï á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë (2) ¨§ x19, íâ®â ¬®£®ç«¥ ¨¬¥¥â ¤¢ ª®¬¯«¥ªáëå ª®àï: i ¨ i. ®§¨ª ¥â ¢®¯à®á: ¢á直© «¨ ¬®£®ç«¥ á ª®¬¯«¥ªá묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨¬¥¥â ª®¬¯«¥ªáë© ª®à¥ì? Ǒਠí⮬, à §ã¬¥¥âáï, á«¥¤ã¥â ¨áª«îç¨âì ¨§ à áᬮâà¥¨ï ¬®£®ç«¥ë á⥯¥¨ 0 (â.¥. ª®áâ âë). ⢥⠯®áâ ¢«¥ë© ¢®¯à®á ¤ ¥â á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥, ª®â®à®¥ §ë¢ îâ ¨«¨ . ⥮६®© ãáá
®á®¢®© ⥮६®© ¢ëá襩 «£¥¡àë
¥®à¥¬ . Ǒந§¢®«ìë© ¬®£®ç«¥ á ª®¬¯«¥ªá묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, á⥯¥ì ª®â®à®£® ¡®«ìè¥ ¨«¨ à ¢ , ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ª®¬¯«¥ªáë© ª®à¥ì.
1
§¢¥áâ® ¥áª®«ìª® ¤®ª § ⥫ìá⢠í⮩ ⥮६ë, ® ¢á¥ ®¨ ¢¥áì¬ á«®ë¥, ¨ ¬ë ¨å à áᬠâਢ âì ¥ ¡ã¤¥¬. ⬥⨬ ⮫쪮 ¥ª®â®àë¥ á«¥¤áâ¢¨ï ¨§ ⥮६ë. §¢¥áâ®, çâ® ¥á«¨ ç¨á«® t ï¥âáï ª®à¥¬ ¬®£®ç«¥ f (x), â® íâ®â ¬®£®ç«¥ ¤¥«¨âáï ¡¥§ ®áâ âª
184
« ¢ 4. ®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« ¨ ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï
x t, â.¥. ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ (x t)g(x) ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¬®£®ç«¥ g(x). â® ã⢥थ¨¥ ®áâ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ¨ ¤«ï ª®¬¯«¥ªáëå ª®à¥© ¬®£®ç«¥®¢ á ª®¬¯«¥ªá묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. Ǒãáâì ⥯¥àì f (x) | ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ n > 1 á ª®¬¯«¥ªá묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. Ǒ® ⥮६¥ ãáá ® ¨¬¥¥â ¥ª®â®àë© ª®à¥ì t1 . «¥¤®¢ ⥫ì®, f (x) = (x t1 )g(x) ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¬®£®ç«¥ g(x) á⥯¥¨ n 1.
᫨ n 1 > 1, â® ¯® ⥮६¥ ãáá ¬®£®ç«¥ g(x) ¨¬¥¥â ¥ª®â®àë© ª®à¥ì t2 , ¨ ¯®â®¬ã f (x) = (x t1 )g(x) = (x t1 )(x t2 )h(x) ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¬®£®ç«¥ h(x) á⥯¥¨ n 2. Ǒத®« ï íâ®â ¯à®æ¥áá, ¬ë ¢ ª®¥ç®¬ áç¥â¥ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ f (x) ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï n «¨¥©ëå ¬®¨â¥«¥© ¨ ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ 0, â.¥. ª®áâ âë. 묨 á«®¢ ¬¨, f (x) = (x t1 )(x t2 ) (x t ): (1) Ǒà ¢ãî ç áâì í⮣® à ¢¥á⢠¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ( x t1)(x t2 ) (x t ). ª¨¬ ®¡à §®¬, á¯à ¢¥¤«¨¢® «¥¤á⢨¥ 1.
᫨ n > 1, â® ¯à®¨§¢®«ìë© ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ n n
n
á ª®¬¯«¥ªá묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ à §«®¨¬ ¢ ª®¬¯«¥ªá®© ®¡« á⨠¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ n «¨¥©ëå ¬®¨â¥«¥©.
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«ï ¬®£®ç«¥®¢ á ¤¥©á⢨⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ á¯à ¢¥¤«¨>1
«¥¤á⢨¥ 2. Ǒந§¢®«ìë© ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ á ¤¥©á⢨⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ à §«®¨¬ ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¬®£®ç«¥®¢ á ¤¥©á⢨⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, ª ¤ë© ¨§ ª®â®àëå ï¥âáï «¨¡® ¬®£®ç«¥®¬ ¯¥à¢®© á⥯¥¨, «¨¡® ª¢ ¤à âë¬ âà¥åç«¥®¬ á ®âà¨æ ⥫ìë¬ ¤¨áªà¨¬¨ ⮬. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì f (x) | ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ n > 1 á ¤¥©á⢨⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. ᨫã (1) f (x) = (x t1)(x t2 ) (x t ), £¤¥ t1 ; t2 ; : : : ; t | ª®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« . á®, çâ® | ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ x ¢ ¬®£®ç«¥¥ f (x), ¨ ¯®â®¬ã | ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«®. ᯮ«®¨¢, ¯à¨ ¥®¡å®¤¨¬®áâ¨, ç¨á« t1; t2; : : : ; t ¢ ¤à㣮¬ ¯®à浪¥, ¬ë ¬®¥¬ áç¨â âì, çâ® t1; t2 ; : : : ; t | ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« , t +1 ; : : : ; t | ª®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« , ¥ ïî騥áï ¤¥©á⢨⥫ì묨 (¤«ï ¥ª®â®à®£® 0 6 m 6 n).
᫨ m = n, â® ¢á¥ ¤®ª § ®. Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® m < n. Ǒ®«®¨¬ g(x) = (x t +1) (x t ). ®£¤ f (x) = ( x t1 )(x t2) (x t )g(x). áâ «®áì ¯®ª § âì, çâ® ¬®£®ç«¥ g(x) à §«®¨¬ ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ª¢ ¤à âëå âà¥åç«¥®¢ á ¤¥©á⢨⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, ¤¨áªà¨¬¨ âë ª®â®àëå ®âà¨æ ⥫ìë. ᨫã á«¥¤á⢨ï, ¤®ª § ®£® ¢ ª®æ¥ x16, ç¨á« x +1 ; : : : ; x à ᯠ¤ îâáï ¯ àë ª®¬¯«¥ªá® ᮯàï¥ëå ¤à㣠ª ¤àã£ã ç¨á¥«. n
n
n
n
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185
x
19. ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï
Ǒ®í⮬㠤®áâ â®ç® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¥á«¨ z = a + bi | ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«®, ¥ ïî饥áï ¤¥©á⢨⥫ìë¬, â® (x z)(x z) | ª¢ ¤à âë© âà¥åç«¥ á ¤¥©á⢨⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨ ®âà¨æ ⥫ìë¬ ¤¨áªà¨¬¨ ⮬. á ¬®¬ ¤¥«¥, (x z)(x z) = (x a bi)(x a + bi) = (x a)2 (bi)2 = = x2 2ax + a2 b2i2 = x2 2ax + a2 + b2: 祢¨¤®, çâ® ¯®«ã稢訩áï ª¢ ¤à âë© âà¥åç«¥ ¨¬¥¥â ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ª®íää¨æ¨¥âë.
£® ¤¨áªà¨¬¨ â à ¢¥ 4a2 4(a2 + b2) = 4b2. ç¨âë¢ ï, çâ® b 6= 0 (¯®áª®«ìªã ç¨á«® a + bi ¥ ï¥âáï ¤¥©á⢨⥫ìë¬), ¯®«ãç ¥¬, çâ® íâ®â ¤¨áªà¨¬¨ â ®âà¨æ ⥫¥. «¥¤á⢨¥ ¤®ª § ®. á®, çâ® ¥á«¨ ¬®£®ç«¥ f (x) ¨¬¥¥â ¢¨¤ (1), â® t1; t2; : : : ; t | ¥£® ª®à¨. §ã¬¥¥âáï, ¥ª®â®àë¥ ¨§ ª®à¥© ¬®£ãâ ᮢ¯ ¤ âì. ®à¥ì t ¬®£®ç«¥ f (x) §ë¢ ¥âáï ª®à¥¬ ªà â®á⨠k, ¥á«¨ f (x) ¤¥«¨âáï (x t) , ® ¥ ¤¥«¨âáï (x t) +1 . ãç¥â®¬ ᪠§ ®£® ¢ëè¥ ¯®«ãç ¥¬ n
k
k
«¥¤á⢨¥ 3. ®£®ç«¥ á ª®¬¯«¥ªá묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ á⥯¥¨ n ¨¬¥¥â ஢® n ª®¬¯«¥ªáëå ª®à¥©, ¥á«¨ ª ¤ë© ª®à¥ì áç¨â âì á⮫쪮 à §, ª ª®¢ ¥£® ªà â®áâì.
>1
ᥠ¨§¢¥áâë¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë ãáá ¥ª®áâàãªâ¨¢ë ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ®¨ ãáâ ¢«¨¢ îâ «¨èì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ª®àï, ® ¥ 㪠§ë¢ îâ ᯮᮡ ¥£® 室¥¨ï.
áâ¥á⢥® ¢®§¨ª ¥â ¢®¯à®á ® ⮬, ª ª ©â¨ ª®à¥ì ⮣® ¨«¨ ¨®£® ª®ªà¥â®£® ¬®£®ç«¥ . «ï ¬®£®ç«¥®¢ ¯¥à¢®© á⥯¥¨ ®â¢¥â íâ®â ¢®¯à®á å®à®è® ¨§¢¥á⥠¨§ 誮«ì®£® ªãàá ¬ ⥬ ⨪¨. «ï ¬®£®ç«¥®¢ ¢â®à®© á⥯¥¨ ®â¢¥â ¤ ¥âáï ¨§¢¥á⮩ ä®à¬ã«®© ª®à¥© ª¢ ¤à ⮣® ãà ¢¥¨ï. ¥©á⢨⥫ì®, ¯à® «¨§¨à®¢ ¢ ¢ë¢®¤ í⮩ ä®à¬ã«ë ¤«ï á«ãç ï ¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥«, ¨§ãç ¥¬ë© ¢ 誮«ì®¬ ªãàá¥, ¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® ® ¯®¤å®¤¨â ¨ ¤«ï ãà ¢¥¨© á ª®¬¯«¥ªá묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. Ǒ®¢â®àïâì íâ®â ¢ë¢®¤ §¤¥áì ¬ë ¥ ¡ã¤¥¬. ⬥⨬ «¨èì, çâ® ¢ ª®¬¯«¥ªá®¬ á«ãç ¥ ä®à¬ã« ¥áª®«ìª® ã¯à®é ¥âáï.
᫨ ax2 + bx + = 0 | ãà ¢¥¨¥ á ª®¬¯«¥ªá묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨ a 6= 0, â® ¥£® ª®à¨ ¢ëç¨á«ïîâáï ¯® ä®à¬ã«¥ p b + b2 4a x1 2 = : (2) 2a ª ¬¨ãá ¯¥à¥¤ ª®à¥¬ ¨§ ¤¨áªà¨¬¨ â ¬®® ¥ áâ ¢¨âì, â ª ª ª §¤¥áì ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï ª®¬¯«¥ªáë© ª®à¥ì, ¨¬¥î騩 ¤¢ § 票ï, ¥ à¨ä¬¥â¨ç¥áª®¥ § 票¥ ¤¥©á⢨⥫쮣® ª®àï. ;
186
« ¢ 4. ®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« ¨ ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï
¬ ⥬ ⨪¥ ¨§¢¥áâë ä®à¬ã«ë ¤«ï 室¥¨ï ª®¬¯«¥ªáëå ª®à¥© ãà ¢¥¨© âà¥â쥩 ¨ ç¥â¢¥à⮩ á⥯¥¨, ® ®¨ £à®¬®§¤ª¨ ¨ ¥ã¤®¡ë ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª®£® ¯à¨¬¥¥¨ï, ¨ ¯®â®¬ã ¬ë ¥ ¡ã¤¥¬ ¨å ¯à¨¢®¤¨âì. ⬥⨬ â ª¥, çâ® ¤®ª § ®, çâ® ¯à¨ n > 5 ¥¤¨®© ä®à¬ã«ë ¤«ï 室¥¨ï ª®à¥© ¯à®¨§¢®«ì®£® ãà ¢¥¨ï á⥯¥¨ n ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ¯à ªâ¨ª¥ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨© á⥯¥¨, ¡®«ì襩 2, ¨á¯®«ì§ãîâáï ¯à¨¡«¨¥ë¥ ¬¥â®¤ë, ® ¨å ¨§«®¥¨¥ ¢ë室¨â § à ¬ª¨ 襣® ªãàá . ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ( ç¨ ï á £« ¢ë 7) ã á ¢®§¨ª¥â àï¤ § ¤ ç, ¢ ª®â®àëå ¤® ¡ã¤¥â à¥è âì ãà ¢¥¨ï, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, «î¡®© á⥯¥¨. Ǒਠí⮬ ¬®¥â ®ª § âìáï ¯®«¥§ë¬ á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥. Ǒ।«®¥¨¥.
᫨ f (x) | ¬®£®ç«¥ á 楫묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨ áãé¥áâ¢ã¥â æ¥«ë© ª®à¥ì t í⮣® ¬®£®ç«¥ , â® t ï¥âáï ¤¥«¨â¥«¥¬ ᢮¡®¤®£® ç«¥ ¬®£®ç«¥ f (x). ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì f (x) = a0 x + a1 x 1 + + a 1 x + a . ®£¤ a0t + a1t 1 + + a 1t + a = 0, ®âªã¤ ( a0t 1 a1t 2 a 1)t = a : Ǒ®áª®«ìªã ¯® ãá«®¢¨î ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ t ¢ «¥¢®© ç á⨠í⮣® à ¢¥á⢠| 楫®¥ ç¨á«®, ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥ ã⢥थ¨¥. ¥ª®â®àëå á«ãç ïå íâ® ¯à¥¤«®¥¨¥ ¯®§¢®«ï¥â 室¨âì ¢á¥ (¥ ⮫쪮 楫ë¥, ¨ ¤ ¥ ¥ ⮫쪮 ¤¥©á⢨⥫ìë¥) ª®à¨ ¬®£®ç«¥®¢ ¢ë᮪¨å á⥯¥¥©. Ǒத¥¬®áâà¨à㥬 íâ® á«¥¤ãî饬 ¯à¨¬¥à¥: ©â¨ ª®à¨ ¬®£®ç«¥ f (x) = x4 2x3 19x2 24x 36. ᨫ㠯।«®¥¨ï ¥á«¨ íâ®â ¬®£®ç«¥ ¨¬¥¥â æ¥«ë¥ ª®à¨, â® ®¨ 室ïâáï á।¨ ¤¥«¨â¥«¥© ç¨á« 36. â® ç¨á«® ¨¬¥¥â 18 ¤¥«¨â¥«¥©: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 9, 9, 12, 12, 18, 18, 36 ¨ 36. 㤥¬ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¢ëç¨á«ïâì § 票¥ f (x) ®â ª ¤®£® ¨§ íâ¨å ç¨á¥«, ¯®ª ®¤® ¨§ § 票© ¥ ®ª ¥âáï à ¢ë¬ 0 (¥á«¨ í⮣® ¥ ¯à®¨§®©¤¥â, â® f (x) ¥ ¨¬¥¥â 楫ëå ª®à¥© ¨ ¬ë ¥ ¬®¥¬ à¥è¨âì ¤ ãî § ¤ çã). ¬¥¥¬ f (1) = 1 2 19 24 36 = 80 6= 0; f ( 1) = 1 + 2 19 + 24 36 = 28 6= 0; f (2) = 16 16 76 48 36 = 160 6= 0; f ( 2) = 16 + 16 76 + 48 36 = 32 6= 0; f (3) = 81 54 171 72 36 = 252 6= 0; f ( 3) = 81 + 54 171 + 72 36 = 0: â ª, ¬ë 諨 ¯¥à¢ë© ª®à¥ì ¬®£®ç«¥ f (x): x1 = 3. §¤¥«¨¢ á⮫¡¨ª®¬ f (x) x +3, ¯®«ãç ¥¬, çâ® f (x) = (x +3)(x3 5x2 4x 12). n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
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187
x
20. ¤ ç¨
áâ «®áì ©â¨ ª®à¨ ¬®£®ç«¥ g(x) = x3 5x2 4x 12. ¨á«® 12 ¨¬¥¥â 12 ¤¥«¨â¥«¥©: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 12 ¨ 12. á®, çâ® ¥á«¨ g(x0 ) = 0 ¤«ï ¥ª®â®à®£® ç¨á« x0, â® ¨ f (x0 ) = 0. Ǒ®áª®«ìªã, ª ª ¯à®¢¥à¥® ¢ëè¥, f (x) 6= 0 ¯à¨ x = 1; 1; 2; 2; 3, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¨ g(x) 6= 0 ¯à¨ 㪠§ ëå § 票ïå x. Ǒ®í⮬㠢ëç¨á«ïâì § ç¥¨ï ¬®£®ç«¥ g(x) ¨¬¥¥â á¬ëá« ç¨ ï á x = 3. ¬¥¥¬ g( 3) = 27 45 + 12 12 = 72 6= 0; g(4) = 64 80 16 12 = 44 6= 0; g( 4) = 64 80 + 16 12 = 140 6= 0; g(6) = 216 180 24 12 = 0: ë 諨 ¢â®à®© ª®à¥ì ¬®£®ç«¥ f (x): x2 = 6. §¤¥«¨¢ á⮫¡¨ª®¬ g(x) x 6, ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® g(x) = (x 6)(x2 + x + 2). áâ «®áì ©â¨ ª®à¨ ¬®£®ç«¥ h(x) = x2 + x + 2, â.¥. ãà ¢¥¨¥ p à¥è¨âì 7 1 + x2 + x +2 = 0. Ǒ® ä®à¬ã«¥ (2) ¨¬¥¥¬ x3 4 = 2 ( ¯®¬¨¬, çâ® p ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ 7 | ª®¬¯«¥ªáë© ª®à¥ì, ¯à¨¨¬ î騩 ¤¢ § 票ï). Ǒ® ä®à¬ã«¥ (2) ¨§ x18 室¨¬, çâ® p 7 = p7i. ª¨¬ ®¡à p §®¬, ¬ë 諨 ¤¢ ¯®á«¥¤¨å ª®àï ¬®£®ç«¥ f (x): x3 = 12 + 27 i p ¨ x4 = 12 27 i. ;
x20. 1.
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á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç
ᮢ묨 ⨯ ¬¨ § ¤ ç ¯® ⥬¥ ¤ ®© £« ¢ë ïîâáï: 1) ¯¥à¥å®¤ ®â «£¥¡à ¨ç¥áª®© ä®à¬ë ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« ª âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®©; 2) ¨§¢«¥ç¥¨¥ ª®à¥© ¨§ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥«; 3) ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ os ' ¨ sin ' ¢ ¢¨¤¥ ¬®£®ç«¥ ®â os ' ¨ sin '; 4) 室¥¨¥ 楫ëå ª®à¥© ¬®£®ç«¥®¢ á 楫묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. Ǒਬ¥àë à¥è¥¨ï § ¤ ç ¢á¥å íâ¨å ⨯®¢ ¨¬¥îâáï ¢ x17{19, ¨ ¯®â®¬ã §¤¥áì ¬ë ¨å à¥è âì ¥ ¡ã¤¥¬. n
n
188 2.
« ¢ 4. ®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« ¨ ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï
¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï
ëç¨á«¨âì: 2 3 ) (1 + 2i)6; ¡) (2 + i)7 + (2 i)7; ¢) (1(1+ 2ii))2 + (2(2+ ii))2 ; (1 i)5 1 . £) (1 + i)5 + 1 2. ¥è¨âì á¨á⥬ë ãà ¢¥¨©: (3 i ) x + (4 + 2 i ) y = 2 + 6 i; ) (4 + 2i)x (2 + 3i)y = 5 + 4i; ¡) (3(2++2ii))xx ++ (3(2 2ii))yy == 68;: 3. ¥è¨âì ãà ¢¥¨ï: ) z2 (2 + i)x + ( 1 + 7i) = 0; ¡) z2 (3 2i)z + (5 5i) = 0; ¢) (2 + i)z2 (5 i)z + 2 2i = 0. 4. ¥è¨âì ãà ¢¥¨ï ¨ ¨å «¥¢ë¥ ç áâ¨ à §«®¨âì ¬®¨â¥«¨ á ¤¥©á⢨⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨: ) z4 + 6z3 + 9z2 + 100 = 0; ¡) z4 + 2z2 24z + 72 = 0. 5. ¥è¨âì ãà ¢¥¨ï: ) z4 3z2 + 4 = 0; ¡) z4 30z2 + 289 = 0. 6. ¯¨á âì ¬®¥á⢮ â®ç¥ª, ¨§®¡à îé¨å ª®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« : ) ¬®¤ã«ì ª®â®àëå à ¢¥ 1; ¡) à£ã¬¥â ª®â®àëå à ¢¥ 6 . 7. ¯¨á âì ¬®¥á⢮ â®ç¥ª, ¨§®¡à îé¨å ç¨á« , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ¥à ¢¥á⢠¬: ) jzj > 2; ¡) jz ij 6 1; ¢) jz 1 ij < 1. 8*. ¥è¨âì ãà ¢¥¨¥ jz j z = a + bi ¨ ¢ëïá¨âì ãá«®¢¨¥ ¥£® à §à¥è¨¬®áâ¨. 9. ®ª § âì ⮤¥á⢮ jx + y j2 + jx yj2 = 2(jxj2 + jyj2 ). ª®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© á¬ëá« ¨¬¥¥â í⮠⮤¥á⢮? 10. 믮«¨âì ¤¥©á⢨ï:
os ' + i sin ' ; ) (1 + ip3)(1 + i)( os ' + i sin '); ¡) os i sin p (1 i 3)( os ' + i sin ') ¢) 2(1 i)( os ' i sin ') . 11*. ®ª § âì, çâ® ¥á«¨ z1 , z2 ¨ z3 | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ª®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« , x1, x2 ¨ x3 | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« , â® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì 1.
z1 z2 z3
z1 z2 z3
x1 x2 x3
ï¥âáï ç¨áâ® ¬¨¬ë¬ ç¨á«®¬ (¥ ¢ëç¨á«ïï ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï). 12. ëç¨á«¨âì:
189
x
20. ¤ ç¨
p 20 p 24 ¡) 1 1+ i i 3 ; ¢) 1 32 i ; p p ( 1 + i 3)15 ( 1 i 3)15 £) (1 i)20 + (1 + i)20 . 13. §¢«¥çì ª®à¨: ) pi; ¡) p2 2i; ¢) p 4; £) p1; ¤) p 27. 14.r ëç¨á«¨âì: r r ) p13 +i i ; ¡) p13+ i i ; ¢) 1 1+ ipi 3 . 15. ëà §¨âì ç¥à¥§ os x ¨ sin x: ) os6x; ¡) os8x. 16. ëà §¨âì tg 6x ç¥à¥§ tg x. 17. Ǒ।áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¬®£®ç«¥ ¯¥à¢®© á⥯¥¨ ®â âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨å3 äãªæ¨© 㣫®¢, ªà âëå x: ) sin x; ¡) os5 x; ¢) sin3 x os5 x. 18*. ®ª § âì à ¢¥á⢠: sin (n +2 1)x sin nx 2; ) sin x + sin2x + + sin nx = sin x2 sin (2n +2 1)x 1 ¡) 2 + os x + os2x + + os nx = . 2 sin x2 19. ©â¨ æ¥«ë¥ ª®à¨ ¬®£®ç«¥®¢: ) x5 x4 4x3 x2 13x 6; ¡) 2x5 8x4 + 3x3 + 8x2 + x + 6. !
) (1 + i)25;
3
3
6
4
6
3.
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¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà á⢠í⮩ £« ¢¥ ¢¢®¤¨âáï ¨ ¨§ãç ¥âáï æ¥âà «ì®¥ ¯®ï⨥ «¨¥©®© «£¥¡àë | ¯®ï⨥ ¢¥ªâ®à®£® («¨¥©®£®) ¯à®áâà á⢠. ë 祬 ¨§«®¥¨¥ á à áᬮâà¥¨ï ®¤®£® ª®ªà¥â®£® (® ®ç¥ì ¢ ®£®) ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠| ¯à®áâà á⢠áâப R . ¥£® ¯à¨¬¥à¥ ¡ã¤ãâ ¨§ãç¥ë â ª¨¥ ¢ ¥©è¨¥ ¤«ï ¤ «ì¥©è¥£® ¯®ïâ¨ï, ª ª «¨¥© ï § ¢¨á¨¬®áâì ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ¡ §¨á. ⥬ ¢¢®¤ïâáï ¡áâà ªâë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà á⢠, ¤®ª §ë¢ ¥âáï ⥮६ ®¡ ¨§®¬®à䨧¬¥ ª®¥ç®¬¥àëå ¯à®áâà á⢠¨ ¨§ãç îâáï ¯®¤¯à®áâà á⢠¨ ®¯¥à 樨 ¤ ¨¬¨, â ª¥ «¨¥©ë¥ ¬®£®®¡à §¨ï. n
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᫨ ¢ ¥¬ § 䨪á¨à®¢ ¡ §¨á, â®, ª ª ¬ë § ¥¬, ª ¤ë© ¢¥ªâ®à ~x ¬®® ®â®¤¥á⢨âì á ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© 㯮à冷祮© âனª®© ç¨á¥« (x1 ; x2; x3 ), ïîé¨åáï ª®®à¤¨ â ¬¨ í⮣® ¢¥ªâ®à ¢ ¤ ®¬ ¡ §¨á¥. â® ®§ ç ¥â, ç⮠ᮢ®ªã¯®áâì ®¡ëçëå ¢¥ªâ®à®¢ ¢ âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¬®® ᬮâà¥âì ª ª R 3 . «®£¨ç® ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ ¯«®áª®á⨠¬®¥â ¡ëâì ®â®¤¥á⢫¥® á R 2 . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¢¥¤¥®¥ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¡§ æ¥ ¯®ï⨥ ¢¥ªâ®à ¬®® áç¨â âì ®¡®¡é¥¨¥¬ ¯®ïâ¨ï ¢¥ªâ®à ¢ ®¡ë箬 âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨«¨ ¯«®áª®áâ¨. § ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¯¥à 権 á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¨ 㬮¥¨ï ¢¥ªâ®à ç¨á«® ¨ ᢮©á⢠᫮¥¨ï ¨ 㬮¥¨ï ¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥« ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ îâ á«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠¢¢¥¤¥ëå ®¯¥à 権 ¤ ¢¥ªâ®à ¬¨ (§¤¥áì ~x; ~y; ~z | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¢¥ªâ®àë ¨§ R , t; s | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« ): 1) ~x + ~y = ~y + ~x (á«®¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ ); 2) (~x + ~y) + ~z = ~x + (~y + ~z) (á«®¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ ); 3) ~x + ~0 = ~x; 4) ~x + ( ~x) = ~0; 5) t(~x + ~y) = t~x + t~y (㬮¥¨¥ ¢¥ªâ®à ç¨á«® ); 6) (t + s)~x = t~x + s~x (㬮¥¨¥ ¢¥ªâ®à ç¨á«® ); 7) t(s~x) = (ts)~x; 8) 1 ~x = ~x. ¥£ª® ¯®ïâì, ç⮠᢮©á⢠5 ¨ 6 ¢ë¯®«¥ë ¤«ï «î¡®£® ç¨á« á« £ ¥¬ëå. ª ¨ ¢ ®¡ë箬 ¯à®áâà á⢥, ¢ ¯à®áâà á⢥ R ¬®® ®¯à¥¤¥«¨âì à §®áâì ¢¥ªâ®à®¢ ~a ¨ ~b, ¯®« £ ï ~a ~b = ~a + ( ~b). Rn
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§ã票¥ ¯à®áâà á⢠R 祬 á ¯®ïâ¨ï «¨¥©®© § ¢¨á¨¬®áâ¨. ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì ~ a1 ;~a2 ; : : : ;~a | á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ R , t1 ; t2 ; : : : ; t | ç¨á« . ëà ¥¨¥ ¢¨¤ t1~a1 + t2~a2 + + t ~a §ë¢ ¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ ~a1 ;~a2; : : : ;~a . ¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï t1~a1 + t2~a2 + + t ~a §ë¢ ¥âáï âਢ¨ «ì®©, ¥á«¨ t1 = t2 = = t = 0, ¨ ¥âਢ¨ «ì®© ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥. ¥ªâ®àë ~a1 ;~a2; : : : ;~a §ë¢ îâáï «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë¬¨, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥âਢ¨ «ì ï «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢, à ¢ ï ã«ì-¢¥ªâ®àã.
᫨ ¢¥ªâ®àë ~a1 ;~a2; : : : ;~a ¥ ïîâáï «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë¬¨, â® ®¨ §ë¢ îâáï «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨. 묨 á«®¢ ¬¨, ¢¥ªâ®àë ~a1 ;~a2; : : : ;~a «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë, ¥á«¨ ¨§ à ¢¥á⢠t1~a1 + t2~a2 + + t ~a = ~0 ¢ë⥪ ¥â, çâ® t1 = t2 = = t = 0.
᫨ ¢¥ªâ®à ~b ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ ~a1, ~a2, . . . , ~a , â® £®¢®àïâ, çâ® ~b «¨¥©® ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¢¥ªâ®àë ~a1, ~a2, . . . , ~a . ëïᨬ, çâ® ®§ ç ¥â «¨¥© ï § ¢¨á¨¬®áâì ¤¢ãå ¢¥ªâ®à®¢ ~a1 ¨ ~a2 ¢ ®¡ë箬 âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥. Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î «¨¥©®© § ¢¨á¨¬®á⨠áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« t1 ¨ t2 , ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® ¨§ ª®â®àëå ¥ à ¢® 0, â ª¨¥, çâ® t1~a1 + t2~a2 = ~0. Ǒ।¯®«®¨¬ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥®áâ¨, çâ® t1 6= 0. ®£¤ ~a1 = tt2 ~a2. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢¥ªâ®àë ~a1 ¨ ~a2 ª®««¨¥ àë. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ®1 á¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ®¡à ⮥, â.¥. ¥á«¨ ¤¢ ¢¥ªâ®à ª®««¨¥ àë, â® ®¨ «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì ¢¥ªâ®àë ~a1 ¨ ~a2 ª®««¨¥ àë.
᫨ ~a1 = ~0, â® 1 ~a1 +0 ~a2 = ~0, â.¥. áãé¥áâ¢ã¥â ¥âਢ¨ «ì ï «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï è¨å ¢¥ªâ®à®¢, à ¢ ï ã«ì-¢¥ªâ®àã, ¨ ¯®â®¬ã ®¨ «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë. Ǒãáâì ⥯¥àì ~a1 6= ~0. ®£¤ ¨§ ª®««¨¥ à®á⨠¢¥ªâ®à®¢ ~a1 ¨ ~a2 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ~a2 = t~a1 ¤«ï ¥ª®â®à®£® ç¨á« t (á¬. á. 21). «¥¤®¢ ⥫ì®, t~a1 +1 ~a2 = ~0, ¨ ¯®â®¬ã è¨ ¢¥ªâ®àë ¢®¢ì «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë. ¨¥© ï § ¢¨á¨¬®áâì âà¥å ¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2;~a3 ®§ ç ¥â, çâ® ©¤ãâáï ç¨á« t1 ; t2; t3, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® ¨§ ª®â®àëå ¥ à ¢® ã«î, ¤«ï ª®â®àëå ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ t1~a1 + t2~a2 + t3~a3 = ~0. ¯ïâì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¯à¥¤¯®«®¨¬, çâ® t1 6= 0. ®£¤ ~a1 = tt2 ~a2 tt3 ~a3. ®¡ë箬 1 1 âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¢¥ªâ®àë ~a1 ;~a2 ;~a3 ª®¬¯« àë. ¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ®¡à ⮥, â.¥. ¥á«¨ âਠ¢¥ªâ®à ¢ ®¡ë箬 ¯à®áâà á⢥ ª®¬¯« àë, â® ®¨ «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë. ⬥⨬ ¥áª®«ìª® ¯à®áâëå ᢮©á⢠«¨¥©® § ¢¨á¨¬ëå ¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢. n
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᫨ ¢¥ªâ®àë ~ a1 ;~a2 ; : : : ;~ak «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë, ¢¥ªâ®àë ~a1 ;~a2 ; : : : ;~ak ; ~b «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë, â® ¢¥ªâ®à ~b ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ ~a1 ;~a2 ; : : : ;~ak . ®ª § ⥫ìá⢮.
Ǒ® ãá«®¢¨î áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ç¨á« t1 , t2 , . . . ,
t , s, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® ¨§ ª®â®àëå ¥ à ¢® ã«î, çâ® t1~a1 + t2~a2 + + t ~a + s~b = ~0: k
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᫨ s = 0, â® t1~a1 + t2~a2 + + t ~a = ~0 ¨ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® ¨§ ç¨á¥« t1; t2; : : : ; t ®â«¨ç® ®â ã«ï. â®, ®¤ ª®, ¯à®â¨¢®à¥ç¨â «¨¥©®© ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2; : : : ;~a . «¥¤®¢ ⥫ì®, s 6= 0, ¨ ¯®â®¬ã ~b = t1 ~a1 t2 ~a2 t ~a : s s s ¥¬¬ 3 ¤®ª § . k
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¥¬¬ 4. ¥ªâ®àë ~ a1 ;~a2 ; : : : ;~ak «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®¤¨ ¨§ ¨å ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ®áâ ¢è¨åáï. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒ।¯®«®¨¬ á ç « , çâ® ¢¥ªâ®àë ~a1 , ~ a2 , . . . , «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë, â.¥. çâ® t1~a1 + t2~a2 + + t ~a = ~0 ¤«ï ¥ª®â®àëå ç¨á¥« t1; t2; : : : ; t , ¥ ¢á¥ ¨§ ª®â®àëå à ¢ë ã«î. Ǒãáâì t 6= 0. ®£¤ t t t 1 t +1 t ~a = 1 ~a1 2 ~a2 ~a 1 ~a +1 ~a ; t t t t t â.¥. ¢¥ªâ®à ~a ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ®áâ ¢è¨åáï. ¡à â®, ¥á«¨ ¢¥ªâ®à ~a ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ®áâ ¢è¨åáï, â.¥. ¥á«¨ ~a = r1~a1 + r2~a2 + + r 1~a 1 + r +1~a +1 + + r ~a ¤«ï ¥ª®â®àëå ç¨á¥« r1 ; r2; : : : ; r 1 ; r +1 ; : : : ; r , â® r1~a1 + r2~a2 + + r 1~a 1 1 ~a + r +1~a +1 + + r ~a = ~0: ¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï, áâ®ïé ï ¢ «¥¢®© ç á⨠í⮣® à ¢¥á⢠, ¥âਢ¨ «ì , â ª ª ª ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ~a ®â«¨ç¥ ®â ã«ï. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢¥ªâ®àë ~a1;~a2; : : : ;~a «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë. ¥¬¬ 4 ¤®ª § . «¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥ ï¥âáï ®á®¢ë¬ à¥§ã«ìâ ⮬ ¤ ®£® ¯ à £à ä .
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21. Ǒà®áâà á⢮
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197
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®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìë¥ k ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ¯à®áâà á⢥ R (£¤¥ k > n): ~a1 =(a11 ; a12 ; : : : ; a1 );~a2 =(a21 ; a22 ; : : : ; a2 ); : : : ;~a =(a 1 ; a 2 ; : : : ; a ): Ǒãáâì t1; t2 ; : : : ; t | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« â ª¨¥, çâ® t1~a1 + t2~a2 + + t ~a = ~0. ᯨ襬 íâ® ¢¥ªâ®à®¥ à ¢¥á⢮ ¯® ª®¬¯®¥â ¬. Ǒ®«ã稬 á¨á⥬㠨§ n «¨¥©ëå ®¤®à®¤ëå ãà ¢¥¨© á k ¥¨§¢¥áâ묨 t1; t2; : : : ; t : 8 a11 t1 + a21 t2 + + a 1 t = 0; > > < a12 t1 + a22 t2 + + a 2 t = 0; . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. > > : a1 t1 + a2 t2 + + a t = 0: ¨á«® ãà ¢¥¨© ¢ í⮩ á¨á⥬¥ ¬¥ìè¥ ç¨á« ¥¨§¢¥áâëå. Ǒ® ⥮६¥ 3 ¨§ x12 ® ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥. 묨 á«®¢ ¬¨, áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« t1 ; t2; : : : ; t , ¥ ¢á¥ à ¢ë¥ ã«î, â ª¨¥, çâ® t1~a1 + t2~a2 + + t ~a = ~0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢¥ªâ®àë ~a1 ;~a2 ; : : : ;~a «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë. ¥®à¥¬ ¤®ª § . Ǒ®ª ¥¬ ¯à¨¬¥à¥, ª ª ¯à ªâ¨ª¥ ¢ëïá¨âì, ï¥âáï «¨ ¤ ï á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ «¨¥©® § ¢¨á¨¬®©. áᬮâਬ á¨á⥬㠢¥ªâ®à®¢ ~a1 = (1; 2; 1; 0), ~a2 = ( 2; 3; 1; 1) ¨ ~a3 = (1; 3; 2; 1). ¯¨è¥¬ ª®¬¯®¥âë íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ¬ âà¨æã ¯® áâப ¬ ¨ ¯à¨¢¥¤¥¬ íâã ¬ âà¨æã ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã á ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©. ¬¥¥¬ 0 1 2 1 01 01 2 1 01 01 2 1 01 2 3 1 1A 0 1 1 1A 0 1 1 1A: 0 0 00 1 3 21 0 1 11 १ã«ìâ â¥ í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¢®§¨ª« ã«¥¢ ï áâப . § ®¯à¥¤¥«¥¨ï í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¢¨¤®, çâ® íâ® ¢®§¬®® ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ®¤ ¨§ áâப ¨á室®© ¬ âà¨æë ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ®áâ «ìëå. ᨫ㠫¥¬¬ë 4 íâ® ®§ ç ¥â, çâ® á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ ~a1, ~a2, ~a3 «¨¥©® § ¢¨á¨¬ . ä®à¬ã«¨à㥬 «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï à áᬮâ८© § ¤ ç¨ ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥. n
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Ǒãáâì A | ¬ âà¨æ , á®áâ®ïé ï ¨§ n á⮫¡æ®¢. ®£¤ ª ¤ãî ¥¥ áâப㠬®® à áᬠâਢ âì ª ª ¢¥ªâ®à ¨§ R . ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ ¯® ¤®¡¨âáï á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥. n
¥¬¬ 5.
᫨ A | áâ㯥ç â ï ¬ âà¨æ , â® ¡®à ¥¥ ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢-áâப «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì A = (a ) | áâ㯥ç â ï ¬ âà¨æ , ᮤ¥à é ï m ¥ã«¥¢ëå áâப. Ǒãáâì ¢ ¯¥à¢®© áâப¥ ¬ âà¨æë A ¯¥à¢ë© á«¥¢ ¥ã«¥¢®© í«¥¬¥â á⮨⠢ á⮫¡æ¥ á ®¬¥à®¬ r1 , ¢® ¢â®à®© áâப¥ | ¢ á⮫¡æ¥ á ®¬¥à®¬ r2 , . . ., ª®¥æ, ¢ m-© áâப¥ | ¢ á⮫¡æ¥ á ®¬¥à®¬ r (à §ã¬¥¥âáï, r1 < r2 < : : : < r ). ¥ã«¥¢ë¥ ¢¥ªâ®àëáâப¨ ¬ âà¨æë A ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ ~a1;~a2; : : : ;~a . Ǒãáâì t1~a1 + t2~a2 + + t ~a = ~0: (1) ®¬¯®¥â á ®¬¥à®¬ r1 ¢¥ªâ®à t1~a1 + t2~a2 + + t ~a à ¢ t1a1 . Ǒ®áª®«ìªã a1 6= 0, ¨§ (1) ¢ë⥪ ¥â, çâ® t1 = 0, ¨ ¯®â®¬ã t2~a2 + + t ~a = ~0: (2) ®¬¯®¥â á ®¬¥à®¬ r2 ¢¥ªâ®à t2~a2 + + t ~a à ¢ t2a2 . Ǒ®áª®«ìªã a2 6= 0, ¨§ (2) ¢ë⥪ ¥â, çâ® t2 = 0, ¨ ¯®â®¬ã t3~a3 + + t ~a = ~0: «®£¨çë¥ á®®¡à ¥¨ï ¯®§¢®«ïîâ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ãáâ ®¢¨âì, çâ® t3 = 0, . . . , t = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2; : : : ;~a «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬. ¥¬¬ 5 ¤®ª § . § ª«î票¥ ¯ à £à ä ®â¬¥â¨¬, çâ® ã⢥थ¨¥ ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ à¥è¥¨ï á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¢ ¢¥ªâ®àëå â¥à¬¨ å. áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = b1 ; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = b2 ; .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = b : Ǒ®«®¨¬ ~a1 = (a11; a21; : : : ; a 1);~a2 = (a12; a22; : : : ; a 2); : : : ;~a = (a1 ; a2 ; : : : ; a ) ¨ ~b = (b1; b2; : : : ; b ). ®£¤ è á¨á⥬ íª¢¨¢ «¥â ¢¥ªâ®à®¬ã à ¢¥áâ¢ã x1~a1 + x2~a2 + + x ~a = ~b (ç⮡ë ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬, ¤®áâ â®ç® à ᯨá âì íâ® ¢¥ªâ®à®¥ à ¢¥á⢮ ¯® ª®¬¯®¥â ¬). ª¨¬ ®¡à §®¬, ij
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199
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22. §¨áë ¢ ¯à®áâà á⢥
á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ᮢ¬¥áâ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢¥ªâ®à, á®áâ ¢«¥ë© ¨§ ᢮¡®¤ëå ç«¥®¢ á¨á⥬ë, ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢, á®áâ ¢«¥ëå ¨§ á⮫¡æ®¢ ®á®¢®© ¬ âà¨æë á¨á⥬ë.
x22. 1.
§¨áë ¢ ¯à®áâà á⢥
Rn
Ǒ®ï⨥ ¡ §¨á
¯®à冷ç¥ãî á¨á⥬㠢¥ªâ®à®¢ ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¡®à®¬ ¢¥ªâ®. ¯à¥¤¥«¥¨¥. §¨á®¬ ¯à®áâà á⢠R §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢®«ìë© ¬ ªá¨¬ «ìë© «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢, â.¥. â ª®©, çâ® ) ® «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬; ¡) ¯à¨ ¤®¡ ¢«¥¨¨ ª ¥¬ã «î¡®£® ¢¥ªâ®à ¯®«ãç ¥âáï «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢. ®£¤ ¬ ¡ã¤¥â 㤮¡® ¯®«ì§®¢ âìáï ¤à㣨¬ (à §ã¬¥¥âáï, íª¢¨¢ «¥âë¬) ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¡ §¨á . 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ~a1 ;~a2 ; : : : ;~a ï¥âáï á¨á⥬®© ®¡à §ãîé¨å ¯à®áâà á⢠R , ¥á«¨ «î¡®© ¢¥ªâ®à ¨§ R «¨¥©® ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¢¥ªâ®àë ~a1;~a2; : : : ;~a . ¯®¬ïã⮥ «ìâ¥à ⨢®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¡ §¨á ¤ ¥â á«¥¤ãîé ï ஢
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¥¬¬ . ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ~a1 ;~ a2 ; : : : ;~ak ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¯à®áâà á⢠R n ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ï¥âáï «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬®© á¨á⥬®© ®¡à §ãîé¨å í⮣® ¯à®áâà á⢠.
®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì ~a1 ;~a2 ; : : : ;~ a | ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠R . Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¡ §¨á ¢¥ªâ®àë ~a1;~a2; : : : ;~a «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. Ǒãáâì ~b | ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à ¨§ R . § ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¡ §¨á ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2; : : : ;~a ; ~b «¨¥©® § ¢¨á¨¬. ᨫ㠫¥¬¬ë 3 ¨§ x21 ¢¥ªâ®à ~b ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2; : : : ;~a . «¥¤®¢ ⥫ì®, ~a1;~a2; : : : ;~a | á¨á⥬ ®¡à §ãîé¨å ¯à®áâà á⢠R . ®¡®à®â, ¯ãáâì ~a1 ;~a2; : : : ;~a | «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ ï á¨á⥬ ®¡à §ãîé¨å ¯à®áâà á⢠R , ~b | ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à ¨§ í⮣® ¯à®áâà á⢠. Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î á¨áâ¥¬ë ®¡à §ãîé¨å ~b à ¢¥ ¥ª®â®à®© «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2; : : : ;~a . ᨫ㠫¥¬¬ë 4 ¨§ x21 ®âáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2; : : : ;~a ; ~b «¨¥©® § ¢¨á¨¬. «¥¤®¢ ⥫ì®, ~a1 ;~a2; : : : ;~a | ¬ ªá¨¬ «ìë© «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢, â.¥. ¡ §¨á. ¥¬¬ ¤®ª § . k
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⬥⨬, çâ®, ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë 1 ¨§ x21, ã«ì-¢¥ªâ®à ¥ ¬®¥â ¢å®¤¨âì ¢ ¡ §¨á.
x21 ¬ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¢ ¯à®áâà á⢥ R 3 ¡®à ¨§ âà¥å ¢¥ªâ®à®¢ «¨¥©® § ¢¨á¨¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ í⨠¢¥ªâ®àë ª®¬¯« àë (á¬. á. 194). ¤à㣮© áâ®à®ë, ¯® ⥮६¥ ¨§ x21 «î¡ë¥ ç¥âëॠ¢¥ªâ®à ¢ R 3 «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë. ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡®© ¡®à ¨§ âà¥å ¥ª®¬¯« àëå ¢¥ªâ®à®¢ ¢ R 3 ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì®© «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬®© á¨á⥬®© ¢¥ªâ®à®¢, â.¥. ¡ §¨á®¬ í⮣® ¯à®áâà á⢠. «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® ¯à®¨§¢®«ìë© ¡®à ¨§ ¤¢ãå ¥ª®««¨¥ àëå ¢¥ªâ®à®¢ ¯«®áª®á⨠ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¯à®áâà á⢠R 2 . ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà á⢥ R ᮣ« áã¥âáï á ¤ 묨 ¢ x2 ®¯à¥¤¥«¥¨ï¬¨ ¡ §¨á ¯«®áª®á⨠¨ ®¡ë箣® âà¥å¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠. Ǒਢ¥¤¥¬ ¢ ë© ¤«ï ¤ «ì¥©è¥£® ¯à¨¬¥à ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠R . áᬮâਬ á«¥¤ãî騩 ¡®à ¢¥ªâ®à®¢: ~e1 = (1; 0; 0; : : : ; 0; 0); ~e2 = (0; 1; 0; : : : ; 0; 0); : : : ; ~e = (0; 0; 0; : : : ; 0; 1): 祢¨¤®, çâ® ¥á«¨ t1; t2 ; : : : ; t | ¯à®¨§¢®«ìë© ¡®à ç¨á¥«, â® t1~e1 + t2~e2 + + t ~e = (t1 ; t2 ; : : : ; t ): (1) Ǒ®í⮬㠥᫨ t1~e1 + t2~e2 + + t ~e = ~0, â® t1 = t2 = = t = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢¥ªâ®àë ~e1; ~e2; : : : ; ~e «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. ¤à㣮© áâ®à®ë, ¨§ à ¢¥á⢠(1) ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à ~a = (t1 ; t2; : : : ; t ) ¨§ R «¨¥©® ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¢¥ªâ®àë ~e1; ~e2; : : : ; ~e . ª¨¬ ®¡à §®¬, í⨠¢¥ªâ®àë ïîâáï á¨á⥬®© ®¡à §ãîé¨å ¯à®áâà á⢠R . ᨫ㠫¥¬¬ë ~e1; ~e2; : : : ; ~e | ¡ §¨á ¢ R . â®â ¡ §¨á ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¢ à拉 á«ãç ¥¢ ¡ã¤¥â ¨£à âì ®á®¡ãî ஫ì. §ë¢ ¥âáï áâ ¤ àâë¬ ¡ §¨á®¬ ¯à®áâà á⢠R . ⬥⨬, çâ® ¡ §¨á®¢ ¢ R ¡¥áª®¥ç® ¬®£®. á ¬®¬ ¤¥«¥, ª ª ¬ë ⮫쪮 çâ® ã¡¥¤¨«¨áì, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¡ §¨á ¢ R áãé¥áâ¢ã¥â. Ǒãáâì ⥯¥àì ~a1;~a2; : : : ;~a | ¯à®¨§¢®«ìë© ¡ §¨á ¢ R , t1; t2; : : : ; t | ¯à®¨§¢®«ìë© ¡®à ¥ã«¥¢ëå ç¨á¥«. ®£¤ , ª ª «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ t1~a1; t2~a2; : : : ; t ~a â ª¥ ¡ã¤¥â ¡ §¨á®¬ ¢ R . § x2 ¬ë § ¥¬, çâ® «î¡®© ¡ §¨á ¯«®áª®á⨠á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ¢¥ªâ®à®¢, ¢ ®¡ë箬 ¯à®áâà á⢥ | ¨§ âà¥å ¢¥ªâ®à®¢. ç¥ £®¢®àï, ¥á«¨ n = 2; 3, â® ¢ «î¡®¬ ¡ §¨á¥ ¯à®áâà á⢠R ¨¬¥¥âáï ஢® n ¢¥ªâ®à®¢.
áâ¥á⢥® ¯®áâ ¢¨âì ¢®¯à®á, á®åà ï¥âáï «¨ í⮠᢮©á⢮ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® n? ⢥⠥£® ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®«®¨â¥«ìë¬. n
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201
Rn
®ª § ⥫ìá⢮. ᨫã â¥®à¥¬ë ¨§ x21 ¡ §¨á ¢ R ᮤ¥à¨â ¥ ¡®«¥¥ n ¢¥ªâ®à®¢. áâ ¥âáï ¤®ª § âì, çâ® ¢ ¥¬ ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¬¥ìè¥ n ¢¥ªâ®à®¢. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¢ R ¨¬¥¥âáï ¡ §¨á ¨§ k ¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2; : : : ;~a , £¤¥ k < n. Ǒãáâì ~a = (a 1 ; a 2; : : : ; a ) ¤«ï ¢á类£® i = 1; 2; : : : ; k. áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨©: 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = 0; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = 0; (2) .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = 0: ¨á«® ãà ¢¥¨© ¢ í⮩ á¨á⥬¥ ¬¥ìè¥ ç¨á« ¥¨§¢¥áâëå. Ǒ® ⥮६¥ 2 ¨§ x12 ® ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ ~x = (x1 ; x2 ; : : : ; x ). ᨫ㠫¥¬¬ë ~x = t1~a1 + t2~a2 + + t ~a ¤«ï ¥ª®â®àëå ç¨á¥« t1; t2; : : : ; t . á¯¨á ¢ íâ® à ¢¥á⢮ ¢ ª®¬¯®¥â å, ¯®«ã稬 á«¥¤ãî騥 n à ¢¥áâ¢: 8 x1 = t1 a11 + t2 a21 + + t a 1 ; > > < x2 = t1 a12 + t2 a22 + + t a 2 ; (3) .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. > > : x = t1 a1 + t2 a2 + + t a : ¬®¨¬ ¯¥à¢®¥ ¨§ ãà ¢¥¨© á¨á⥬ë (2) t1, ¢â®à®¥ | t2 , . . . , ¯®á«¥¤¥¥ | t ¨ á«®¨¬ ¯®«ãç¥ë¥ à ¢¥á⢠. ᯮ«ì§ãï à ¢¥á⢠(3), ¨¬¥¥¬ 0 = (a11 x1 + a12x2 + + a1 x )t1 + + (a21 x1 + a22x2 + + a2 x )t2 + .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . + (a 1 x1 + a 2x2 + + a x )t = = (t1 a11 + t2a21 + + t a 1)x1 + + (t1 a12 + t2a22 + + t a 2)x2 + .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . + (t1 a1 + t2 a2 + + t a )x = = x21 + x22 + + x2 : «¥¤®¢ ⥫ì®, x1 = x2 = = x = 0. â®, ®¤ ª®, ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ® ~x | ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (2). Ǒ®«ã祮¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ § ¢¥àè ¥â ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë. n
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2.
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ᨫã ⥮६ë 1 ¨§ x2, ¥á«¨ ¯«®áª®áâ¨, â.¥. ¢ ¯à®áâà á⢥ R 2 , § ¤ ¯à®¨§¢®«ìë© ¡ §¨á, â® «î¡®© ¢¥ªâ®à ¨§ í⮩ ¯«®áª®á⨠¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¢¥ªâ®à®¢
202
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
¡ §¨á . «®£¨çë© ä ªâ ¢¥à¥ ¨ ¤«ï ®¡ë箣® ¯à®áâà á⢠, â.¥. ¯à®áâà á⢠R 3 (á¬. ⥮६ã 2 ¢ x2). Ǒ®ª ¥¬, çâ® íâ® ¢ ¥©è¥¥ ᢮©á⢮ ¡ §¨á á®åà ï¥âáï ¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ R ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®¬ n. n
¥®à¥¬ 2.
᫨ ~ a1 ;~a2 ; : : : ;~an | ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠R n , â® ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à ~b ¨§ R n ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ à §«®¨¬ ¯® í⮬㠡 §¨áã, â.¥. ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¢¥ªâ®à®¢ ~a1 , ~a2 , . . . , ~an . ®ª § ⥫ìá⢮. ᨫ㠫¥¬¬ë ¢¥ªâ®à ~b ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2; : : : ;~a . áâ ¥âáï ¯à®¢¥à¨âì, çâ® íâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¥¤¨á⢥®. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢®§ì¬¥¬ ¤¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¢¥ªâ®à ~b ¢ ¢¨¤¥ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2; : : : ;~a : ~b = t1~a1 + t2~a2 + + t ~a ¨ ~b = s1~a1 + s2~a2 + + s ~a : ëç¨â ï ¢â®à®¥ à ¢¥á⢮ ¨§ ¯¥à¢®£®, ¨¬¥¥¬ ~0 = (t1 s1 )~a1 + (t2 s2 )~a2 + + (t s )~a : Ǒ®áª®«ìªã ¢¥ªâ®àë ~a1;~a2; : : : ;~a «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë, ¤«ï ¢á类£® i = 1; 2; : : : ; n ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ t s = 0, â.¥. t = s . ë ¢¨¤¨¬, çâ® à §«®¥¨¥ ¢¥ªâ®à ~b ¯® ¡ §¨áã ~a1;~a2; : : : ;~a ¥¤¨á⢥®. ¥®à¥¬ 2 ¤®ª § . ¯à¥¤¥«¥¨¥.
᫨ ~ a1 ;~a2 ; : : : ;~a | ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠R , ~b | ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à ¨§ í⮣® ¯à®áâà á⢠, ~b = t1~a1 +t2~a2 + +t ~a | ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ~b ¢ ¢¨¤¥ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2; : : : ;~a (áãé¥áâ¢ãî饥 ¨ ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«¥®¥ ¢ ᨫã ⥮६ë 2), â® ç¨á« t1; t2; : : : ; t §ë¢ îâáï ª®®à¤¨ â ¬¨ ¢¥ªâ®à ~b ¢ ¡ §¨á¥ ~a1 ;~a2 ; : : : ;~a . § ᢮©á⢠®¯¥à 権 á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¨ 㬮¥¨ï ¢¥ªâ®à ç¨á«® «¥£ª® ¢ë⥪ ¥â, çâ® n
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¥á«¨ ¢¥ªâ®àë ~x ¨ ~y ¨¬¥îâ ¢ ®¤®¬ ¨ ⮬ ¥ ¡ §¨á¥ ª®®à¤¨ âë x1 ; x2 ; : : : ; xn ¨ y1 ; y2 ; : : : ; yn ᮮ⢥âá⢥®, t | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç¨á«®, â® ¢¥ªâ®à ~x ~y ¨¬¥¥â ¢ ⮬ ¥ ¡ §¨á¥ ª®®à¤¨ âë x1 y1 ; x2 y2 ; : : : ; xn yn , ¢¥ªâ®à t~x | ª®®à¤¨ âë tx1 ; tx2 ; : : : ; txn .
(
) ( ( +
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+ + ) ( ) ¤ «ì¥©è¥¬ ¢ à拉 á«ãç ¥¢ ¬ ¡ã¤¥â ¯®«¥§¥ á«¥¤ãî騩 ä ªâ, ¥¬¥¤«¥® ¢ë⥪ î騩 ¨§ à ¢¥á⢠(1):
x
22. §¨áë ¢ ¯à®áâà á⢥
Rn
ª®¬¯®¥âë ¯à®¨§¢®«ì®£® ¢¥ªâ®à ¨§ R n ïîâáï ¥£® ª®®à¤¨ â ¬¨ ¢ áâ ¤ à⮬ ¡ §¨á¥.
203
¥è¨¬ § ¤ çã ® 室¥¨¨ ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à ¢ ¤ ®¬ ¡ §¨á¥. ⬥⨬, çâ® ¢ á«ãç ¥ ¯à®áâà á⢠R 3 â ª ï § ¤ ç ã¥ à §¡¨à « áì ¢ëè¥ (á¬. § ¤ çã 3 á. 47). ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¨ª ª¨å ¯à¨æ¨¯¨ «ìëå ®â«¨ç¨© ¥ ¢®§¨ª ¥â. Ǒãáâì ~a1 = (1; 2; 1; 0), ~a2 = ( 2; 3; 1; 1), ~a3 = (0; 2; 1; 0), ~a4 = (1; 3; 2; 0) ¨ ~b = (3; 1; 0; 1). ॡã¥âáï ¤®ª § âì, çâ® ¢¥ªâ®àë ~a1, ~a2 , ~a3 ¨ ~a4 ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠R 4 , ¨ ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~b ¢ í⮬ ¡ §¨á¥. Ǒ஢¥à¨¬ á ç « , çâ® á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ ~a1, ~a2, ~a3, ~a4 «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ . «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï í⮩ § ¤ ç¨ ãª § á. 197. ¥©áâ¢ãï ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¨¬, ¨¬¥¥¬ 0 1 2 1 01 01 2 1 01 01 2 1 01 B 2 3 1 1C B0 1 1 1C B0 1 1 1C B C B C B C 0 2 1 0A 0 2 1 0A 0 0 1 2A: 1 3 20 0 1 10 0 0 0 1 Ǒ®áª®«ìªã ¢ ¯®«ã祮© áâ㯥ç ⮩ ¬ âà¨æ¥ ã«¥¢ëå áâப ¥â, á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ ~a1, ~a2, ~a3, ~a4 «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ . ᨫã â¥®à¥¬ë ¨§ x21 ® ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì®© «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬®© á¨á⥬®© ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ¯à®áâà á⢥ R 4 , â.¥. ¡ §¨á®¬ í⮣® ¯à®áâà á⢠. ¡®§ 稬 ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~b ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ç¥à¥§ (x1 ; x2; x3 ; x4). ®£¤ ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ ~b = x1~a1 + x2~a2 + x3~a4 + x4~a4. á¯¨á ¢ íâ® ¢¥ªâ®à®¥ à ¢¥á⢮ ¯® ª®¬¯®¥â ¬, ¬ë ¯®«ã稬 á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© 8 x1 2x2 + x4 = 3; > > < 2x1 + 3x2 + 2x3 3x4 = 1; x1 + x2 + x3 2x4 = 0; > > : x2 = 1: ᨫã ⥮६ë 2 íâ á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. ¥è¨¬ ¥¥ ¬¥â®¤®¬ ãáá {®à¤ ( ï§ëª¥ ¬ âà¨æ). ᯮ«ì§ãï «£®à¨â¬, 㪠§ ë© á. 146, ¨¬¥¥¬ 0 1 2 0 1 31 01 2 0 1 31 B 2 3 2 3 1C B0 1 2 1 5C B C B C 1 1 1 2 0A 0 1 1 1 3A 0 10 0 1 0 10 0 1 0 1 2 0 1 31 01 2 0 1 31 B0 1 2 1 5C B0 1 2 1 5C C B C B 0 0 1 0 2A 0 0 1 0 2A 0 0 2 1 4 0 0 0 1 0
204
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
0
1 2 0 0 31 01 2 0 0 31 B0 1 2 0 5C B0 1 0 0 1C C B C B 0 0 1 0 2A 0 0 1 0 2A 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 11 1 0 0 0 1 B0 1 0 0 1C B0 1 0 0 1C C B C B 0 0 1 0 2A 0 0 1 0 2A: 0 0 0 1 0 0001 0 «¥¤®¢ ⥫ì®, x1 = 1; x2 = 1; x3 = 2; x4 = 0. â ª, ¢¥ªâ®à ~b ¨¬¥¥â ¢ ¡ §¨á¥ ~a1, ~a2 , ~a3, ~a4 ª®®à¤¨ âë (1; 1; 2; 0). ä®à¬ã«¨à㥬 «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï à áᬮâ८© § ¤ ç¨ ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥. â®¡ë ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~x ¢ ¡ §¨á¥ ~a1 ;~a2 ; : : : ;~an , ¤® à¥è¨âì á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, à áè¨à¥ ï ¬ âà¨æ ª®â®à®© ¨¬¥¥â á«¥¤ãî騩 ¢¨¤: ¢ ¥¥ ®á®¢®© ç á⨠§ ¯¨á ë ¯® á⮫¡æ ¬ ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à®¢ ~a1 , ~a2 , . . . , ~an , ¢ ¥¥ ¯®á«¥¤¥¬ á⮫¡æ¥ | ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à ~x. â á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, ª®â®à®¥ ¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¨áª®¬ë¬¨ ª®®à¤¨ â ¬¨. ¥®à¥¬ 3. Ǒந§¢®«ìë© «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¯à®áâà á⢠R n ¬®¥â ¡ëâì ¤®¯®«¥ ¤® ¡ §¨á í⮣® ¯à®áâà á⢠. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì ~ a1 ;~a2 ; : : : ;~a | «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¯à®áâà á⢠R . ᨫã â¥®à¥¬ë ¨§ x21 k 6 n ¨ «î¡®© «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¡®à ¨§ n ¢¥ªâ®à®¢ ¯à®áâà á⢠R ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ìë¬ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¡®à®¬ ¢¥ªâ®à®¢, â.¥. ¡ §¨á®¬ ¯à®áâà á⢠R . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ k = n, â® ¤®ª §ë¢ âì ¥ç¥£®. Ǒãáâì ⥯¥àì k < n. ¤® ©â¨ â ª¨¥ ¢¥ªâ®àë ~a +1 ; : : : ;~a , çâ®¡ë ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2; : : : ;~a ¡ë« «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬. ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ~a1 ;~a2 ; : : : ;~a «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬, ®, ¢ ᨫã ⥮६ë 1, ® ¥ ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ìë¬ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¡®à®¬ ¢¥ªâ®à®¢. «¥¤®¢ ⥫ì®, áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à ~a +1 â ª®©, çâ® ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2; : : : ;~a +1 «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬.
᫨ k + 1 = n, â® ¢á¥ ¤®ª § ®. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¬ë ¬®¥¬ ¢®¢ì à áè¨à¨âì íâ®â ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ § áç¥â ª ª®£®-â® ¢¥ªâ®à ~a +2 â ª, ç⮡ë á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ ~a1;~a2; : : : ;~a +2 ®áâ « áì «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬®©. Ǒத®« ï íâ®â ¯à®æ¥áá, ¬ë ¯®á«¥ n k è £®¢ ¯®«ã稬 âà¥¡ã¥¬ë© «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ~a1 ;~a2; : : : ;~a . ¥®à¥¬ 3 ¤®ª § . k
n
n
n
k
n
n
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k
k
k
k
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x
22. §¨áë ¢ ¯à®áâà á⢥
3.
205
Rn
§¬¥¥¨¥ ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à ¯à¨ § ¬¥¥ ¡ §¨á
Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ R § ¤ ë ¤¢ ¡ §¨á : ¡ §¨á F , á®áâ®ï騩 ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ f~1; f~2; : : : ; f~ , ¨ ¡ §¨á G, á®áâ®ï騩 ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ ~g1;~g2; : : : ;~g . Ǒãáâì ~x | ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à ¨§ R . áᬮâਬ ¢®¯à®á ® ⮬, ª ª á¢ï§ ë ¬¥¤ã ᮡ®© ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~x ¢ ¡ §¨á å F ¨ G. ¡®§ 稬 ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~x ¢ ¡ §¨á¥ F ç¥à¥§ (x1 ; x2; : : : ; x ), ¥£® ª®®à¤¨ âë ¢ ¡ §¨á¥ G | ç¥à¥§ (x01 ; x02 ; : : : ; x0 ). 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ª®®à¤¨ âë (x1 ; x2 ; : : : ; x ) ¨§¢¥áâë ¨ âॡã¥âáï ©â¨ ª®®à¤¨ âë (x01 ; x02 ; : : : ; x0 ). Ǒ® í⮩ ¯à¨ç¨¥ ¡ §¨á F ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì áâ àë¬, ¡ §¨á G | ®¢ë¬. «ï ¢á类£® j = 1; 2; : : : ; n ®¡®§ 稬 ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~g ¢ ¡ §¨á¥ F ç¥à¥§ (t1 ; t2 ; : : : ; t ). âà¨æ (t ) (£¤¥ 1 6 i; j 6 n) §ë¢ ¥âáï ¬ âà¨æ¥© ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á F ª ¡ §¨áã G ¨ ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ T (¨«¨ ¯à®áâ® T ). 묨 á«®¢ ¬¨, ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â áâ ண® ¡ §¨á ª ®¢®¬ã | íâ® ¬ âà¨æ , ¢ ª®â®à®© ¯® á⮫¡æ ¬ áâ®ïâ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ ®¢®£® ¡ §¨á ¢ áâ ஬ ¡ §¨á¥. ⬥⨬, çâ® ¤«ï á«ãç ï n = 3 íâ® ¯®ï⨥ 㥠à áᬠâਢ «®áì ¢ x5 (á¬. á. 43). âà¨æã T ¬®® áç¨â âì ¨§¢¥á⮩, ¯®áª®«ìªã ¥¥ 室¥¨¥ ᢮¤¨âáï ª à áᬮâ८© à ¥¥ § ¤ ç¥ à §«®¥¨ï ¢¥ªâ®à ¯® ¡ §¨áã (á¬. á. 203). ëç¨á«¨¬ ¤¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨ ¢¥ªâ®à ~x. ®¤®© áâ®à®ë, ~x = x1f~1 + x2f~2 + + x f~ . ¤à㣮©, ~x = x01~g1 + x02~g2 + + x0 ~g = = x01(t11 f~1 + t21 f~2 + + t 1 f~ ) + + x02(t12 f~1 + t22 f~2 + + t 2 f~ ) + .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . + x0 (t1 f~1 + t2 f~2 + + t f~ ) = = (t11 x01 + t12x02 + + t1 x0 )f~1 + + (t21 x01 + t22x02 + + t2 x0 )f~2 + .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . + (t 1x01 + t 2 x02 + + t x0 )f~ : ᨫã ⥮६ë 2 ¨¬¥¥¬ 8 x1 = t11 x01 + t12 x02 + + t1 x0 ; > > < x2 = t21 x01 + t22 x02 + + t2 x0 ; (4) .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . > > : x = t 1 x01 + t 2 x02 + + t x0 : â¨ à ¢¥á⢠§ë¢ îâáï ä®à¬ã« ¬¨ ¨§¬¥¥¨ï ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à ¯à¨ § ¬¥¥ ¡ §¨á ¨«¨ ä®à¬ã« ¬¨ ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤®£® ¡ §¨á n
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206
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
. ®«¥¥ ª®¬¯ ªâë© á¯®á®¡ § ¯¨á¨ íâ¨å ä®à¬ã« ( ï§ëª¥ ¬ âà¨æ) ¡ã¤¥â 㪠§ ¢ x30. ®à¬ã«ë ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤®£® ¡ §¨á ª ¤à㣮¬ã ¢ëà îâ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~x ¢ áâ ஬ ¡ §¨á¥ ç¥à¥§ ¥£® ª®®à¤¨ âë ¢ ®¢®¬ ¡ §¨á¥. à ¢¥á⢠(4) ¬®® ᬮâà¥âì ª ª á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á ¥¨§¢¥áâ묨 x01; x02 ; : : : ; x0 ( ¯®¬¨¬, çâ® ç¨á« x1; x2 ; : : : ; x ¬ë áç¨â ¥¬ ¨§¢¥áâ묨). ᮢ ï ¬ âà¨æ í⮩ á¨áâ¥¬ë ¥áâì ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ T . ®® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì í⮩ ¬ âà¨æë ¢á¥£¤ ®â«¨ç¥ ®â ã«ï (á¬. «¥¬¬ã 2 ¢ x28). Ǒ® ¯à ¢¨«ã à ¬¥à (á¬. ⥮६ã 1 ¢ x28) á¨á⥬ (4) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. ©¤ï ¥£®, ¬ë ©¤¥¬ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~x ¢ ®¢®¬ ¡ §¨á¥. Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ R 2 § ¤ ë ¤¢ ¡ §¨á : ¡ §¨á F , á®áâ®ï騩 ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ ~a1 = ( 1; 1), ~a2 = ( 2; 3), ¨ ¡ §¨á G, á®áâ®ï騩 ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ ~b1 = ( 3; 2), ~b2 = (4; 1). ॡã¥âáï ©â¨ ä®à¬ã«ë ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á F ª ¡ §¨áã G. § (4) ¢¨¤®, çâ® § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª à §«®¥¨î ª ¤®£® ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ ~b1 = ( 3; 2) ¨ ~b2 = (4; 1) ¯® ¡ §¨áã F . Ǒਬ¥à à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ® à §«®¥¨¨ ¢¥ªâ®à ¯® ¡ §¨áã ¡ë« ¯à¨¢¥¤¥ ¢ëè¥ (á¬. á. 203). Ǒ®í⮬ã ᥩç á ¬ë ¥ ¡ã¤¥¬ ¯à¨¢®¤¨âì ¯®¤à®¡ëå ª®¬¬¥â ਥ¢. ¬ ¤® à¥è¨âì ¤¢¥ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©: t11 2t21 = 3; ¨ t12 2t22 = 4; t11 + 3t21 = 2 t12 + 3t22 = 1: ¥è¨¬ ¯¥à¢ãî á¨á⥬ã: 1 2 3 1 2 3 1 0 5 1 0 5: 1 3 2 0 1 1 01 1 01 1 «¥¤®¢ ⥫ì®, t11 = 5, t21 = 1. ¥¯¥àì à¥è¨¬ ¢â®àãî á¨á⥬ã: 1 2 4 1 2 4 1 0 14 1 0 14 : 1 31 0 15 01 5 01 5 «¥¤®¢ ⥫ì®, t12 = 14, t22 = 5. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á F ª ¡ §¨áã G ¨¬¥¥â ¢¨¤ 5 14 T = 1 5 ; ä®à¬ã«ë (4) ¢ë£«ï¤ïâ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: x1 = 5x01 14x02; x2 = x01 + 5x02 : § ¯à¨¢¥¤¥®£® ¯à¨¬¥à ¢¨¤®, çâ® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¤«ï ⮣® çâ®¡ë ©â¨ ¬ âà¨æã ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤®£® ¡ §¨á ª ¤à㣮¬ã, ¤® à¥è¨âì n á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, £¤¥ n | à §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠. ®«¥¥ 㤮¡ë© ᯮᮡ 室¥¨ï í⮩ ¬ âà¨æë ¡ã¤¥â 㪠§ ¢ x30. ª ¤à㣮¬ã
n
n
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207
x
23. ¡áâà ªâë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
x23.
¡áâà ªâë¥ ¢¥ªâ®àë¥
¯à®áâà á⢠1.
¯à¥¤¥«¥¨¥, ¯à¨¬¥àë ¨ ¯à®á⥩訥 ᢮©á⢠¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà áâ¢
áᬠâਢ ¢è¥¥áï ¢ x21 ¨ 22 ¯à®áâà á⢮ R ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠ï¥âáï ¢¥áì¬ ç áâë¬ (å®âï ¨ ®ç¥ì ¢ ë¬) ¯à¨¬¥à®¬ ¯®ïâ¨ï ¢¥ªâ®à®£® (¨«¨ «¨¥©®£®) ¯à®áâà á⢠, ¨§ãç ¥¬®£® ¢ «¨¥©®© «£¥¡à¥. ¥¯¥àì ¬ë ¯¥à¥å®¤¨¬ ª ¨§«®¥¨î ®¡é¥© ⥮ਨ ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà áâ¢. Ǒãáâì V | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ¥¯ãá⮥ ¬®¥á⢮. 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ®: | V § ¤ ®¯¥à æ¨ï á«®¥¨ï, ¥á«¨ «î¡ë¬ ¤¢ã¬ í«¥¬¥â ¬ x; y 2 V ¯®áâ ¢«¥ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¥ª®â®àë© ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© í«¥¬¥â z 2 V , §ë¢ ¥¬ë© á㬬®© x ¨ y ¨ ®¡®§ ç ¥¬ë© x + y; | V § ¤ ®¯¥à æ¨ï 㬮¥¨ï í«¥¬¥â®¢ V ç¨á«®, ¥á«¨ «î¡®¬ã í«¥¬¥âã x 2 V ¨ «î¡®¬ã ç¨á«ã t ¯®áâ ¢«¥ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¥ª®â®àë© ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© í«¥¬¥â y 2 V , §ë¢ ¥¬ë© ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ x t ¨ ®¡®§ ç ¥¬ë© tx. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¥ªâ®àë¬ (¨«¨ «¨¥©ë¬) ¯à®áâà á⢮¬ §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢®«ì®¥ ¥¯ãá⮥ ¬®¥á⢮ V (í«¥¬¥âë ª®â®à®£® §ë¢ îâáï ¢¥ªâ®à ¬¨ ), ª®â®à®¬ § ¤ ë ®¯¥à 樨 á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¨ 㬮¥¨ï ¢¥ªâ®à ç¨á«®, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬ (§¤¥áì x, y, z | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¢¥ªâ®àë ¨§ V , t; s | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« ): 1) x + y = y + x (á«®¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ ); ); 2) (x + y) + z = x + (y + z) (á«®¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ 3) áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à 0 2 V ( §ë¢ ¥¬ë© ã«¥¢ë¬ ¢¥ªâ®à®¬) â ª®©, çâ® u + 0 = u ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à u 2 V ; 4) ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à u 2 V áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à v 2 V (ª®â®àë© §ë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à®¬, ¯à®â¨¢®¯®«®ë¬ ª u, ¨ ®¡®§ ç ¥âáï u) â ª®©, çâ® u + v = 0; 5) t(x + y) = tx + ty (㬮¥¨¥ ¢¥ªâ®à ç¨á«® ); 6) (t + s)x = tx + sx (㬮¥¨¥ ¢¥ªâ®à ç¨á«® ); 7) t(sx) = (ts)x; n
ª®¬¬ãâ ⨢®
áá®æ¨ ⨢®
¤¨áâਡã⨢®
®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢
¤¨áâਡã⨢®
®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï ç¨á¥«
208
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
8) 1 x = x. ¢®©á⢠1{8 §ë¢ îâáï ªá¨®¬ ¬¨ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠. ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ¯à®áâà á⢠R , ®¯¥à 樨 á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¨ 㬮¥¨ï ¢¥ªâ®à ç¨á«® ç áâ® ®¡ê¥¤¨ïîâ â¥à¬¨®¬ «¨¥©ë¥ ®¯¥à 樨 ¤ ¢¥ªâ®à ¬¨. áî¤ã ¢ ¤ «ì¥©è¥¬, ª ª ¨ ¢ ¯à¨¢¥¤¥®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨, í«¥¬¥âë ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠¡ã¤ã⠢뤥«ïâìáï ¨àë¬ èà¨ä⮬. â® ¯®§¢®«¨â, ¢ ç áâ®áâ¨, ®â«¨ç âì ç¨á«® 0 ®â ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à 0. ⬥⨬, çâ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠㤮¢«¥â¢®àï¥â à áᬠâਢ ¢è¥¥áï ¢ £« ¢¥ 1 ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ ®¡ë箣® ¯à®áâà á⢠(à ¢® ª ª ¨ ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢, ª®««¨¥ àëå ¤ ®© ¯«®áª®á⨠¨«¨ ¤ ®© ¯àאַ©) á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ¢ x2 ®¯¥à æ¨ï¬¨ á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¨ 㬮¥¨ï ¢¥ªâ®à ç¨á«®. ¬¥® «®£¨ï á ¢¥ªâ®à ¬¨ ¢ ®¡ë箬 ¯à®áâà á⢥, ªáâ â¨, ®¡êïáï¥â â¥à¬¨ \¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮". ᥠªá¨®¬ë ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠¢ë¯®«¥ë ¨ ¤«ï ¢¢¥¤¥®£® ¢ x21 ¬®¥á⢠R á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ â ¬ ®¯¥à æ¨ï¬¨. Ǒਢ¥¤¥¬ ¤à㣨¥ ¯à¨¬¥àë ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà áâ¢. Ǒਬ¥à 1. Ǒãáâì n | ¯à®¨§¢®«ì®¥ âãà «ì®¥ ç¨á«®. ¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¬®£®ç«¥®¢ á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ n ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© á ®¡ëç묨 ®¯¥à æ¨ï¬¨ á«®¥¨ï ¬®£®ç«¥®¢ ¨ 㬮¥¨ï ¬®£®ç«¥ ç¨á«® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬ ¬ 1{8 ¨ ¯®â®¬ã ®¡à §ã¥â ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ (¯à®áâà á⢮ ¬®£®ç«¥®¢ á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ n), ª®â®à®¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ç¥à¥§ Pol . ¢®â ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¬®£®ç«¥®¢ á⥯¥¨ n á ®¡ëç묨 ®¯¥à æ¨ï¬¨ ¢¥ªâ®àë¬ ¯à®áâà á⢮¬ ¥ ï¥âáï, â ª ª ª á㬬 ¤¢ãå ¬®£®ç«¥®¢ á⥯¥¨ n ¬®¥â ¡ëâì ¬®£®ç«¥®¬ á⥯¥¨ ¬¥ìè¥ n. Ǒਬ¥à 2. ¥ªâ®àë¬ ¯à®áâà á⢮¬ ï¥âáï ¨ ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¬®£®ç«¥®¢ («î¡®© á⥯¥¨) ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© á ®¡ëç묨 ®¯¥à æ¨ï¬¨ á«®¥¨ï ¬®£®ç«¥®¢ ¨ 㬮¥¨ï ¬®£®ç«¥ ç¨á«®. ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¥£® ¯à®áâà á⢮¬ ¬®£®ç«¥®¢ ¨ ®¡®§ ç âì ç¥à¥§ Pol. Ǒਬ¥à 3. áᬮâਬ ¬®¥á⢮ ¢á¥å äãªæ¨© ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©, ®¡« áâì ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®â®àëå ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬®¥á⢮¬ ¢á¥å ¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥«. ¢¥¤¥¬ ®¯¥à 樨 á«®¥¨ï äãªæ¨© ¨ 㬮¥¨ï äãªæ¨¨ ç¨á«® áâ ¤ àâë¬ ®¡à §®¬: ¥á«¨ f ¨ g | ¤¢¥ äãªæ¨¨, t | ç¨á«®, â® äãªæ¨¨ f + g ¨ tf ®¯à¥¤¥«ïîâáï ᮮ⢥âá⢥® ¯à ¢¨« ¬¨ (f + g)(x) = f (x)+ g(x) ¨ (tf )(x) = t f (x) ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® x. á®, çâ® ¢á¥ ªá¨®¬ë ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠¢ë¯®«¥ë. â® ¯à®áâà á⢮ §ë¢ ¥âáï ¯à®áâà á⢮¬ äãªæ¨©. n
n
n
209
x
23. ¡áâà ªâë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
Ǒ।¥ 祬 ¯à¨¢®¤¨âì á«¥¤ãî騩 ¯à¨¬¥à, ¢¢¥¤¥¬ ®¯¥à 樨 á«®¥¨ï ¬ âà¨æ ¨ 㬮¥¨ï ¬ âà¨æë ç¨á«®. å ç áâ® ®¡ê¥¤¨ïîâ â¥à¬¨®¬ «¨¥©ë¥ ®¯¥à 樨 ¤ ¬ âà¨æ ¬¨.
᫨ ¬ âà¨æë A = (a ) ¨ B = (b ) ¨¬¥îâ à §«¨çë© ¯®à冷ª, â® ¨å á㬬 ¥ ®¯à¥¤¥«¥ .
᫨ ¥ ¯®à浪¨ íâ¨å ¬ âà¨æ ᮢ¯ ¤ îâ, â® ¨å á㬬 A + B | íâ® ¬ âà¨æ ⮣® ¥ ¯®à浪 ¨ A + B = (a + b ). 묨 á«®¢ ¬¨, ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ i-© áâப¨ ¨ j -£® á⮫¡æ ¬ âà¨æë A + B á⮨â á㬬 í«¥¬¥â®¢, à ᯮ«®¥ëå â¥å ¥ ¬¥áâ å ¢ ¬ âà¨æ å A ¨ B. «¥¥, ¥á«¨ t | ç¨á«®, â® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ t A, ®¡®§ ç ¥¬®¥ ç¥à¥§ tA, | íâ® ¬ âà¨æ ⮣® ¥ ¯®à浪 , çâ® ¨ A, ¨ tA = (ta ). ª¨¬ ®¡à §®¬, ç⮡ë 㬮¨âì ¬ âà¨æã ç¨á«®, ¤® ª ¤ë© ¥¥ í«¥¬¥â 㬮¨âì íâ® ç¨á«®. Ǒਢ¥¤¥¬ ᢮©á⢠¢¢¥¤¥ëå ®¯¥à 権. ¥à¥§ O ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ã«¥¢ãî ¬ âà¨æã, â.¥. ¬ âà¨æã, ¢á¥ í«¥¬¥âë ª®â®à®© à ¢ë 0.
᫨ A, B ¨ C | ¬ âà¨æë, t ¨ s | ç¨á« , â®: 1) A + B = B + A (á«®¥¨¥ ¬ âà¨æ ); 2) (A + B) + C = A + (B + C ) (á«®¥¨¥ ¬ âà¨æ ); 3) A + O = A; 4) ¤«ï «î¡®© ¬ âà¨æë A áãé¥áâ¢ã¥â ¬ âà¨æ B â ª ï, çâ® A + B = O; 5) t(A + B) = tA + tB (㬮¥¨¥ ¬ âà¨æë ç¨á«® ); 6) (t + s)A = tA + sA (㬮¥¨¥ ¬ âà¨æë ç¨á«® ); 7) t(sA) = (ts)A; 8) 1 A = A; 9) (A + B)> = A> + B>; 10) (tA)> = tA>; 11) ¥á«¨ A | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n, â® jtAj = t jAj (¢ ª ¤®¬ ¨§ ᢮©á⢠1{5 ¨ 9 ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ¢á¥ 䨣ãà¨àãî騥 ¢ ¥¬ ¬ âà¨æë ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ¯®à冷ª). ¢®©á⢠1{10 ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ îâ ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¯¥à 権. ⬥⨬ ⮫쪮, çâ® ¥á«¨ A = (a ), â® ¬ âà¨æ B , 㯮¬¨ ¥¬ ï ¢ ᢮©á⢥ 4, §ë¢ ¥âáï ¯à®â¨¢®¯®«®®© ª A, ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ A ¨ à ¢ ( a ). ¯®¬®éìî ¬ âà¨æë A ¬®® ®¯à¥¤¥«¨âì à §®áâì ¬ âà¨æ A ¨ B: ¥á«¨ A ¨ B ij
ij
ij
ij
ij
ª®¬¬ãâ ⨢®
áá®æ¨ ⨢®
¤¨áâਡã⨢®
®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï ¬ âà¨æ
¤¨áâਡã⨢®
®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï ç¨á¥«
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« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
| ¬ âà¨æë ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ ¯®à浪 , â® A B = A + ( B). ¢®©á⢮ 11 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ᢮©á⢠1 ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© (á¬. x13). ¥à¥¬áï ª ¯à¨¬¥à ¬ ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà áâ¢. Ǒਬ¥à 4. 䨪á¨à㥬 ¤¢ âãà «ìëå ç¨á« m ¨ n ¨ à áᬮâਬ ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¬ âà¨æ ¯®à浪 m n á ¢¢¥¤¥ë¬¨ ¢ëè¥ ®¯¥à æ¨ï¬¨ á«®¥¨ï ¬ âà¨æ ¨ 㬮¥¨ï ¬ âà¨æë ç¨á«®. ¢®©á⢠1{8 íâ¨å ®¯¥à 権 ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¢á¥ ªá¨®¬ë ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠¡ã¤ã⠢믮«¥ë. ç áâ®áâ¨, ஫ì ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à ¨£à ¥â ã«¥¢ ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 m n. Ǒ®«ã祮¥ ¯à®áâà á⢮, ª®â®à®¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ç¥à¥§ Mat , §ë¢ îâ ¯à®áâà á⢮¬ ¬ âà¨æ ¯®à浪 m n.
£® ¢ 묨 ç áâ묨 á«ãç ﬨ ïîâáï ¯à®áâà á⢮ ª¢ ¤à âëå ¬ âà¨æ ¯®à浪 n (¢®§¨ª î饥 ¯à¨ m = n) ¨ 㥠å®à®è® § ª®¬®¥ ¬ ¯à®áâà á⢮ R (¢®§¨ª î饥 ¯à¨ m = 1). Ǒਬ¥à 5. áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî ®¤®à®¤ãî á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. ¬®¥á⢥ ¢á¥å à¥è¥¨© í⮩ á¨áâ¥¬ë ¬®® ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¢¢¥á⨠®¯¥à 樨 á«®¥¨ï ¨ 㬮¥¨ï ç¨á«® (á¬. ⥮६ã 1 ¢ x11). 祢¨¤®, çâ® í⨠®¯¥à 樨 㤮¢«¥â¢®àïî⠢ᥬ ªá¨®¬ ¬ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠. 묨 á«®¢ ¬¨, ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ï¥âáï ¢¥ªâ®àë¬ ¯à®áâà á⢮¬. ® §ë¢ ¥âáï ¯à®áâà á⢮¬ à¥è¥¨© í⮩ á¨á⥬ë. Ǒਬ¥à 6. ®¥á⢮ ¢á¥å ¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥« R ï¥âáï ¢¥ªâ®àë¬ ¯à®áâà á⢮¬ ®â®á¨â¥«ì® ®¡ëçëå ®¯¥à 権 á«®¥¨ï ¨ 㬮¥¨ï ç¨á¥« (®â¬¥â¨¬, çâ® ¥£® ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ¯à®áâà á⢮ R ¯à¨ n = 1). Ǒਬ¥à 7. Ǒãáâì V | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮, 0 | ¥£® ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à. Ǒ®«®¨¬ W = f0g ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¬®¥á⢥ W ®¯¥à 樨 á«®¥¨ï ¨ 㬮¥¨ï ç¨á«® á«¥¤ãî騬 (¥¤¨á⢥® ¢®§¬®ë¬) ᯮᮡ®¬: 0 + 0 = 0 ¨ t 0 = 0 ¤«ï ¢á类£® ç¨á« t. «ï ¬®¥á⢠W ¡ã¤ã⠢믮«¥ë ¢á¥ ªá¨®¬ë ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠. ¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ W §ë¢ ¥âáï ã«¥¢ë¬ ¯à®áâà á⢮¬. ¯¨á®ª ¯à¨¬¥à®¢ ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà á⢠«¥£ª® ¯à®¤®«¨âì. ª, ¯à¨¬¥à, ¢¥ªâ®à묨 ¯à®áâà á⢠¬¨ ïîâáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¥¯à¥àë¢ëå (¢á¥å ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå, ¢á¥å ¨â¥£à¨à㥬ëå) äãªæ¨©, ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¢¥àå¥âà¥ã£®«ìëå ¨«¨ ¢á¥å ¤¨ £® «ìëå ª¢ ¤à âëå ¬ âà¨æ ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ ¯®à浪 ¨ â.¯. ª ¥¬ àï¤ ¯à®áâëå á«¥¤á⢨© ¨§ ªá¨®¬ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠. m;n
n
n
x
23. ¡áâà ªâë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
211
Ǒ।¥ ¢á¥£® ®â¬¥â¨¬, çâ® ¢ ¯à®áâà á⢥ áãé¥áâ¢ã¥â ⮫쪮 ®¤¨ ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ( ªá¨®¬ 3 ã⢥ठ¥â áãé¥á⢮¢ ¨¥ ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à , ® ¥ ¥£® ¥¤¨á⢥®áâì). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì 0 ¨ 00 | ¤¢ ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠V . ®£¤ ¨§ ªá¨®¬ë 3 ¢ë⥪ ¥â, çâ® 00 + 0 = 00, ¨§ ªá¨®¬ 3 ¨ 1, | çâ® 00 + 0 = 0 + 00 = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, 00 = 0. ®ª ¥¬ ⥯¥àì, çâ® ¤«ï ¢á类£® ¢¥ªâ®à x áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®â¨¢®¯®«®ë© ª ¥¬ã ¢¥ªâ®à ( ªá¨®¬ 4 ã⢥ठ¥â «¨èì áãé¥á⢮¢ ¨¥ â ª®£® ¢¥ªâ®à ). á ¬®¬0 ¤¥«¥, ¯ãáâì ¢¥ªâ®àë y ¨ y0 ¯à®â¨¢®¯®«®ë ª x, â.¥. x + y = x + y = 0. ®£¤ , á ®¤®© áâ®à®ë, y0 + (x + y) = y0 + 0 = y0 . ¤à㣮© áâ®à®ë, ¨á¯®«ì§ãï ªá¨®¬ã 2, ¨¬¥¥¬ y0 + (x + y) = (y0 + x) + y = (x + y0 ) + y = 0 + y = y + 0 = y: «¥¤®¢ ⥫ì®, y0 = y. ⬥⨬, çâ® à áá㤥¨ï, ¯®¤®¡ë¥ ¯à®¢¥¤¥ë¬ ¢ ¤¢ãå ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¡§ æ å, ã á 㥠¢áâà¥ç «¨áì à ¥¥ (á¬. ¤®ª § ⥫ìá⢮ ᢮©á⢠3 ¨ 4 á«®¥¨ï ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« ¢ x16). ¯à¥¤¥«¨¬ à §®áâì ¢¥ªâ®à®¢ x ¨ y, ¯®« £ ï x y = x + ( y). § ªá¨®¬ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠«¥£ª® ¢ë¢®¤ïâáï á«¥¤ãî騥 à ¢¥á⢠(£¤¥ x ¨ y | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¢¥ªâ®àë, t ¨ s | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ç¨á« ): t( x) = tx; t(x y) = tx ty ¨ (t s)x = tx sx: ª ¥¬ ¥é¥ ¤¢ ᢮©á⢠®¯¥à 権 ¢ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥ (§¤¥áì x | ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à, t | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç¨á«®): 0 x = 0 ¨ t 0 = 0: á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢ ᨫ㠪ᨮ¬ 6 ¨ 8 x = (1+0)x = 1x+0x = x+0x ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x. ç¨âë¢ ï ¤®ª § ãî ¢ëè¥ ¥¤¨á⢥®áâì ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à , ¨¬¥¥¬ 0 x = 0. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¢â®à®¥ à ¢¥á⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® tx = t(x + 0) = tx + t 0. ¥âà㤮 ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¤¢ã¬ï ¤®ª § 묨 ⮫쪮 çâ® à ¢¥á⢠¬¨ ¨áç¥à¯ë¢ îâáï á«ãç ¨, ª®£¤ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ç¨á« ¢¥ªâ®à à ¢® ã«¥¢®¬ã ¢¥ªâ®àã. 묨 á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ tx = 0, â® «¨¡® t = 0, «¨¡® x = 0. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì tx = 0 ¨ t 6= 0. ®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï ªá¨®¬ë 7 ¨ 8 ¨ ¢â®à®¥ ¨§ ¤®ª § ëå ¢ëè¥ à ¢¥áâ¢, ¨¬¥¥¬ 1 t x = 1 (tx) = 1 0 = 0: x =1x= t t t ¥¤¨á⢥-
ë©
212
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
2.
§®¬®à䨧¬ ª®¥ç®¬¥àëå ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà áâ¢
«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠V ⥬¨ ¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï¬¨, çâ® ¨ ¤«ï ¯à®áâà á⢠R , ¢¢®¤ïâáï ¯®ïâ¨ï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¢¥ªâ®à®¢, «¨¥©®© § ¢¨á¨¬®á⨠¨ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, ¡ §¨á (®â¬¥â¨¬, çâ® ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ í⨠¯®ïâ¨ï ⮫쪮 ¤«ï ª®¥çëå ¡®à®¢ ¢¥ªâ®à®¢). ¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ §ë¢ ¥âáï ª®¥ç®¬¥àë¬, ¥á«¨ ¢ ¥¬ áãé¥áâ¢ã¥â å®âï ¡ë ®¤¨ ¡ §¨á (á®áâ®ï騩 ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ¢¥ªâ®à®¢). ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ x22 (á¬. á. 200), ¢ ¯à®áâà á⢥ R áãé¥áâ¢ã¥â ¡ §¨á, á®áâ®ï騩 ¨§ n ¢¥ªâ®à®¢. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®® ª®¥ç®¬¥à®. Ǒà®áâà á⢮ ¢á¥å ¬®£®ç«¥®¢ á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ n â ª¥ ª®¥ç®¬¥à®, â ª ª ª ®® ᮤ¥à¨â ¡ §¨á, á®áâ®ï騩 ¨§ n+1 ¢¥ªâ®à . á ¬®¬ ¤¥«¥, à áᬮâਬ ¢ í⮬ ¯à®áâà á⢥ á«¥¤ãî騩 ¡®à ¨§ (n + 1)-£® ¢¥ªâ®à (â.¥. ¬®£®ç«¥ ): 1; x; x2; : : : ; x . Ǒ®áª®«ìªã ¢á直© ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ n ¨¬¥¥â ¢¨¤ a0 1 + a1x + a2 x2 + + a x , ®ç¥¢¨¤®, çâ® íâ®â ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ï¥âáï á¨á⥬®© ®¡à §ãîé¨å ¯à®áâà á⢠Pol . ¥ ¬¥¥¥ ®ç¥¢¨¤® ¨ â®, çâ® íâ®â ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬, â ª ª ª ¥á«¨ ¬®£®ç«¥ a0 1 + a1 x + a2x2 + + a x | ã«¥¢®©, â.¥. a0 1 + a1x + a2x2 + + a x = 0 ¤«ï ¢á¥å x, â®, à §ã¬¥¥âáï, a0 = a1 = = a = 0. ᨫ㠫¥¬¬ë ¨§ x22 íâ®â ¡®à ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¯à®áâà á⢠Pol . ¢®â ¯à®áâà á⢮ ¢á¥å ¬®£®ç«¥®¢ Pol ¥ ï¥âáï ª®¥ç®¬¥àë¬. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¥¤¯®«®¨¬, çâ® íâ® ¯à®áâà á⢮ ¨¬¥¥â ¥ª®â®àë© ª®¥çë© ¡ §¨á p1; p2; : : : ; p . ¡®§ 稬 ç¥à¥§ s ¬ ªá¨¬ «ìãî ¨§ á⥯¥¥© íâ¨å ¬®£®ç«¥®¢. 祢¨¤®, çâ® «î¡ ï «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï ¬®£®ç«¥®¢ p1; p2; : : : ; p ¥áâì ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ s. ç áâ®áâ¨, ¬®£®ç«¥ x +1 ¥ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 íâ¨å ¬®£®ç«¥®¢. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¡®à p1; p2; : : : ; p ¥ ï¥âáï á¨á⥬®© ®¡à §ãîé¨å ¯à®áâà á⢠Pol. ᨫ㠫¥¬¬ë ¨§ x22 ® ⥬ ¡®«¥¥ ¥ ï¥âáï ¡ §¨á®¬ í⮣® ¯à®áâà á⢠. Ǒà®áâà á⢮ äãªæ¨© ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© â ª¥ ¥ ï¥âáï ª®¥ç®¬¥àë¬ (íâ®â ä ªâ ¬ë ¯à¨¬¥¬ ¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠). Ǒà®áâà á⢮ Mat ¢á¥å ¬ âà¨æ ¯®à浪 m n ᮤ¥à¨â ¡ §¨á ¨§ mn ¢¥ªâ®à®¢ (â.¥. ¬ âà¨æ) ¨ ¯®â®¬ã ï¥âáï ª®¥ç®¬¥àë¬. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¤«ï ¢á类£® i = 1; 2; : : : ; m ¨ j = 1; 2; : : : ; n ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ " ¬ âà¨æã, ¢ ª®â®à®© ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ i-© áâப¨ ¨ j -£® á⮫¡æ á⮨â 1, ¢á¥ ®áâ «ìë¥ í«¥¬¥âë à ¢ë 0 (â ª¨¥ ¬ âà¨æë §ë¢ îâáï ¬ âà¨ç묨 ¥¤¨¨æ ¬¨ ). 祢¨¤®, çâ® ¢á¥£® ¨¬¥¥âáï mn â ª¨å ¬ âà¨æ. «¥¥, ¥á«¨ A = (a ) | ¯à®¨§¢®«ì ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 m n, n
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213
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23. ¡áâà ªâë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
â®, ª ª «¥£ª® ¯®ïâì, A = a11 "11 + a12 "12 + + a " (£¤¥ á㬬 ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ i = 1; 2; : : : ; m ¨ ¢á¥¬ j = 1; 2; : : : ; n). âáî¤ «¥£ª® ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¡®à ¬ âà¨æ f" j 1 6 i 6 m; 1 6 j 6 ng ï¥âáï «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬®© á¨á⥬®© ®¡à §ãîé¨å ¯à®áâà á⢠Mat , â.¥. ¡ §¨á®¬ í⮣® ¯à®áâà á⢠. ⬥⨬, çâ® ¯à¨ m = 1 (â.¥. ¢ ¯à®áâà á⢥ Mat1 = R ) 㪠§ ë© ¡ §¨á ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¯®áâà®¥ë© á. 200 áâ ¤ àâë© ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠R . ⬥⨬ ¥é¥, çâ® ¥á«¨ à áᬠâਢ âì ¬®¥á⢮ R ª ª ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢠, â® ®¨ ª®¥ç®¬¥à®, â ª ª ª ¨¬¥¥â ¡ §¨á, á®áâ®ï騩 ¨§ ®¤®£® ¢¥ªâ®à (â.¥. ç¨á« ) 1. 襬 ªãàᥠ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨§ãç âì ⮫쪮 ª®¥ç®¬¥àë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà á⢠. è ¡«¨ ©è ï 楫ì | ãáâ ®¢¨âì, çâ® á â®çª¨ §à¥¨ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠®¯¥à 権 á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¨ 㬮¥¨ï ¢¥ªâ®à ç¨á«® ¢á类¥ ª®¥ç®¬¥à®¥ ¯à®áâà á⢮ ¢ ¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥ á«®¢ \¥®â«¨ç¨¬®" ®â ¯à®áâà á⢠R ¤«ï ¥ª®â®à®£® n. â®¡ë ¯à¨¤ âì ¯®á«¥¤¥© äà §¥ áâண¨© ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨© á¬ëá«, ¢¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî饥 ®¯à¥¤¥«¥¨¥. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà á⢠V ¨ V 0 §ë¢ îâáï ¨§®¬®àä묨, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â äãªæ¨ï f : V 7 ! V 0 â ª ï, çâ® ¢ë¯®«¥ë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï: 1) f ¢§ ¨¬® ®¤®§ ç®, â.¥. ¤«ï «î¡ëå x1 ; x2 2 V , ¥á«¨ f (x1) = f (x2 ), â® x1 = x2 ; 2) f ®â®¡à ¥â V V 0, â.¥. ¤«ï «î¡®£® y 2 V 0 áãé¥áâ¢ã¥â x 2 V â ª®©, çâ® f (x) = y; 3) f (x1 + x2) = f (x1 ) + f (x2 ) ¤«ï «î¡ëå x1 ; x2 2 V ; 4) f (tx) = tf (x) ¤«ï «î¡®£® x 2 V ¨ «î¡®£® ç¨á« t 2 R . ãªæ¨ï f ¯à¨ í⮬ §ë¢ ¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¨§ V V 0. ¡ ãá«®¢¨ïå 3 ¨ 4 £®¢®àïâ ᮮ⢥âá⢥®, çâ® äãªæ¨ï f . ¥£ª® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ V V 0, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ V 0 V .
᫨ f | ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ V V 0, â® ¬®® áç¨â âì, çâ® ¬ë ¯à®áâ® \¯¥à¥¨¬¥®¢ «¨" ¢á直© ¢¥ªâ®à x ¨§ V ¢ ¢¥ªâ®à f (x), ¯®á«¥ 祣® ¢¥ªâ®àë ᪫ ¤ë¢ îâáï ¨ 㬮 îâáï ç¨á« â ª ¥, ª ª ¨ à ¥¥ (⮫쪮 ¯®¤ ®¢ë¬¨ \¨¬¥ ¬¨"). ¬¥® ¢ í⮬ á¬ëá«¥ ¬®® áç¨â âì, çâ® mn
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á㬬㠢¥ªâ®à®¢ ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à ç¨á«®
214
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
¯® «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ᢮©á⢠¬ ®¯¥à 権 ¨§®¬®àäë¥ ¯à®áâà á⢠¥®â«¨ç¨¬ë ¤à㣠®â ¤à㣠. 襩 楫ìî ï¥âáï ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⮣® ä ªâ , çâ® ¥á«¨ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ ¨¬¥¥â ¡ §¨á ¨§ n ¢¥ªâ®à®¢, â® ®® ¨§®¬®àä® ¯à®áâà áâ¢ã R . Ǒ।¥ 祬 ¯à¨áâ㯠âì ª í⮬㠤®ª § ⥫ìáâ¢ã, ¯à®¤¥¬®áâà¨à㥬 ¥£® á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ®¤®¬ ¯à¨¬¥à¥ (¨ § ®¤® ¯à¨¢¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à ¨§®¬®àäëå ¯à®áâà áâ¢). ᨫã ᪠§ ®£® ¢ëè¥ ¯à®áâà á⢮ Pol2 ¨¬¥¥â ¡ §¨á ¨§ âà¥å ¢¥ªâ®à®¢: 1 ¨ x ¨ x2 . ¯à¥¤¥«¨¬ ®â®¡à ¥¨¥ f ¨§ Pol2 ¢ R 3 ¯à ¢¨«®¬: ¥á«¨ x = a0 + a1x + a2x2 , â® f (x) = (a0; a1; a2). Ǒ஢¥à¨¬, çâ® ®â®¡à ¥¨¥ f 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ ç¥âë६ ãá«®¢¨ï¬ ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨§®¬®àäëå ¯à®áâà áâ¢. Ǒãáâì x1 = a0 + a1x + a2 x2 ¨ x2 = b0 + b1x + b2x2 .
᫨ f (x1 ) = f (x2 ), â.¥. (a0 ; a1 ; a2 ) = (b0 ; b1 ; b2), â®, ®ç¥¢¨¤®, x1 = x2 . ª¨¬ ®¡à §®¬, ãá«®¢¨¥ 1 ¢ë¯®«¥®. «¥¥, ¥á«¨ y = ( 0 ; 1; 2) 2 R 3 , â® y = f (x), £¤¥ x = 0 + 1 x + 2 x2 . â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ 2. «¥¥, f (x1 + x2 ) = f ((a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 ) = = (a0 + b0; a1 + b1; a2 + b2) = (a0 ; a1; a2) + (b0 ; b1; b2) = = f (x1) + f (x2 ): «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ë¯®«¥® ¨ ãá«®¢¨¥ 3. ª®¥æ, ¥á«¨ t 2 R ¨ x 2 R 3 , â® f (tx) = f (t(a0 + a1 x + a2 x2 )) = f (ta0 + ta1 x + ta2 x2 ) = = (ta0 ; ta1; ta2) = t(a0; a1; a2) = tf (x): á«®¢¨¥ 4 â ª¥ ¢ë¯®«¥®. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®áâà á⢠Pol2 ¨ R 3 ¨§®¬®àäë. áâ ®¢¨¬ àï¤ á¢®©á⢠¨§®¬®à䨧¬ . Ǒ।«®¥¨¥ 1.
᫨ f | ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ V V 0 , â® f (0) = 00 , 0 0 n
£¤¥ 0 | ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ¯à®áâà áâ¢
V.
Ǒãáâì y 2 V 0. ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à x 2 V â ª®©, çâ® f (x) = y. ª ª ª x + 0 = x, â® y = f (x) = f (x + 0) = f (x) + f (0) = y + f (0): «¥¤®¢ ⥫ì®, f (0) | ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ¯à®áâà á⢠V 0. Ǒ।«®¥¨¥ 1 ¤®ª § ®. ®ª § ⥫ìá⢮.
f | ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ V V 0 , a1 , a2 , . . . , a | «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¢¥ªâ®àë ¨§ V , â® f (a1 ); f (a2 ); : : : ; f (a ) | «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¢¥ªâ®àë ¨§ V 0 . Ǒ।«®¥¨¥ 2.
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215
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23. ¡áâà ªâë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¢¥ªâ®àë f (a1), f (a2), . . ., ) «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë, â.¥. áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« t1; t2; : : : ; t , ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® ¨§ ª®â®àëå ®â«¨ç® ®â ã«ï, â ª¨¥, çâ® t1f (a1 )+t2f (a2 )+ + t f (a ) = 00 , £¤¥ 00 | ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ¯à®áâà á⢠V 0 . ᯮ«ì§ãï ãá«®¢¨ï 3 ¨ 4 ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨§®¬®à䨧¬ , «¥¢ãî ç áâì í⮣® à ¢¥á⢠¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ f (t1a1 + t2a2 + + t a ), ¥£® ¯à ¢ ï ç áâì ¯® ¯à¥¤«®¥¨î 1 à ¢ f (0). «¥¤®¢ ⥫ì®, f (t1 a1 + t2 a2 + + t a ) = f (0). ® ⮣¤ , ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï 1 ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨§®¬®à䨧¬ , t1a1 + t2a2 + + t a = 0. ® íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â «¨¥©®© ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2 ; : : : ; a . Ǒ।«®¥¨¥ 2 ¤®ª § ®. ®ª § ⥫ìá⢮.
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f | ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ V V 0 , a1 , a2 , . . . , a | ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠V , â® f (a1 ); f (a2 ); : : : ; f (a ) | ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠V 0 . Ǒ।«®¥¨¥ 3.
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¨¥© ï ¥§ ¢¨á¨¬®áâì ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ f (a1 ), . . . , f (a ) á«¥¤ã¥â ¨§ ¯à¥¤«®¥¨ï 2. ᨫ㠫¥¬¬ë ¨§ x22 ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ® ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ f (a1 ); f (a2 ); : : : ; f (a ) ï¥âáï á¨á⥬®© ®¡à §ãîé¨å ¯à®áâà á⢠V 0. áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à b 2 V 0. Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¨§®¬®à䨧¬ áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à a 2 V â ª®©, çâ® f (a) = b. Ǒ®áª®«ìªã a1 ; a2 ; : : : ; a | ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠V , áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« t1; t2; : : : ; t â ª¨¥, çâ® a = t1 a1 + t2a2 + + t a . ᯮ«ì§ãï ãá«®¢¨ï 3 ¨ 4 ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨§®¬®à䨧¬ , ¨¬¥¥¬ b = f (a) = f (t1 a1 + t2 a2 + + t a ) = t1 f (a1 ) + t2 f (a2 ) + + t f (a ): â ª, ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à b 2 V 0 ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ f (a1 ); f (a2 ); : : : ; f (a ), ¨ ¯®â®¬ã í⨠¢¥ªâ®àë ïîâáï á¨á⥬®© ®¡à §ãîé¨å ¯à®áâà á⢠V 0. Ǒ।«®¥¨¥ 3 ¤®ª § ®. Ǒãáâì a1; a2 ; : : : ; a | ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠V . ®£¤ ¤«ï V á¯à ¢¥¤«¨¢ ⥮६ ® à §«®¥¨¨ ¯® ¡ §¨áã ( «®£ ⥮६ë 2 ¨§ x22). ⮡ë ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬, ¤®áâ â®ç® ¯à®á¬®âà¥âì ¤®ª § ⥫ìá⢮ 㪠§ ®© ⥮६ë | ¢ ¥¬ ¨£¤¥ ¥ ¨á¯®«ì§®¢ « áì ᯥæ¨ä¨ª ¯à®áâà á⢠R . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ b 2 V , â® áãé¥áâ¢ã¥â (¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨á⢥ë©) ¡®à ç¨á¥« x1; x2 ; : : : ; x â ª¨å, çâ® b = x1 a1 + x2a2 + + x a . ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ¯à®áâà á⢠R , í⨠ç¨á« §ë¢ îâáï ª®®à¤¨ â ¬¨ ¢¥ªâ®à b ¢ ¡ §¨á¥ a1 ; a2 ; : : : ; a . § ªá¨®¬ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠«¥£ª® ¢ë¢¥áâ¨, çâ®, ª ª ¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ R , ®ª § ⥫ìá⢮.
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¥á«¨ ¢¥ªâ®àë x ¨ y ¨¬¥îâ ¢ ®¤®¬ ¨ ⮬ ¥ ¡ §¨á¥ ª®®à¤¨ âë x1 ; x2 ; : : : ; xn ¨ y1 ; y2 ; : : : ; yn ᮮ⢥âá⢥®, t | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç¨á«®, â® ¢¥ªâ®à x y ¨¬¥¥â ¢ ⮬ ¥
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216
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
¡ §¨á¥ ª®®à¤¨ âë (x1 + y1 ; x2 + y2 ; : : : ; x tx | ª®®à¤¨ âë (tx1 ; tx2 ; : : : ; tx ).
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«¥¤ãîé ï ⥮६ ï¥âáï ®á®¢ë¬ à¥§ã«ìâ ⮬ ¤ ®£® ¯ à £à ä . §ë¢ ¥âáï .
⥮६®© ®¡ ¨§®¬®à䨧¬¥ ª®¥ç®¬¥àëå
¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà áâ¢
¥®à¥¬ 1.
᫨ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ V ᮤ¥à¨â ¡ §¨á ¨§ n ¢¥ªâ®à®¢, â® ®® ¨§®¬®àä® ¯à®áâà áâ¢ã R . n
®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì a1 ; a2 ; : : : ; an | ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠V , b 2 V , t1 ; t2 ; : : : ; tn | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à b ¢ ¡ §¨á¥ a1 , a2 , . . . , an . ¯à¥¤¥«¨¬ äãªæ¨î f ¨§ V ¢ R n ¯à ¢¨«®¬: ¥á«¨ b 2 V , â® f (b) = (t1 ; t2 ; : : : ; tn ). ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® ¢ë¯®«¥ë ¢á¥
ãá«®¢¨ï 1{4 ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨§®¬®à䨧¬ . á ¬®¬ ¤¥«¥, ãá«®¢¨¥ 1 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ¥¤¨á⢥®áâ¨ à §«®¥¨ï ¢¥ªâ®à ¯® ¡ §¨áã. 믮«¥¨¥ ãá«®¢¨ï 2 ®ç¥¢¨¤®: ¥á«¨ y = (s1; s2; : : : ; s ) 2 R , â® y = f (x), £¤¥ x = s1a1 + s2a2 + + s a . ª®¥æ, ¢ë¯®«¥¨¥ ãá«®¢¨© 3 ¨ 4 ¢ë⥪ ¥â ¨§ 㪠§ ëå ¯¥à¥¤ ä®à¬ã«¨à®¢ª®© ⥮६ë ᢮©á⢠ª®®à¤¨ â áã¬¬ë ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢¥ªâ®à ç¨á«®. â ª, f | ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ V R . ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . n
n
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3.
§¬¥à®áâì ¯à®áâà áâ¢
§ ⥮६ë 1 ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî饥 ¨§
«¥¤á⢨¥ 1.
᫨ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ V ᮤ¥à¨â ¡ §¨á n ¢¥ªâ®à®¢, â® ¢á¥ ¥£® ¡ §¨áë ᮤ¥à â n ¢¥ªâ®à®¢.
®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì a1 ; a2 ; : : : ; a | ª ª®©-â® ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠V . ᨫã ⥮६ë 1 ¯à®áâà á⢮ V ¨§®¬®àä® R . Ǒãáâì f | ª ª®©-â® ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ V R . ᨫ㠯।«®¥¨ï 3 ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ f (a1 ); f (a2); : : : ; f (a ) ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¯à®áâà á⢠R . ® ¢ ᨫã ⥮६ë 1 ¨§ x22 «î¡®© ¡ §¨á ¢ R á®á⮨⠨§ n ¢¥ªâ®à®¢. «¥¤®¢ ⥫ì®, k = n. «¥¤á⢨¥ 1 ¤®ª § ®. «¥¤á⢨¥ 1 £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® ¥á«¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ V ¥áâì ¡ §¨á, á®áâ®ï騩 ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ¢¥ªâ®à®¢, â® ç¨á«® ¢¥ªâ®à®¢ ¢® ¢á¥å ¥£® ¡ §¨á å ®¤¨ ª®¢®. â® ç¨á«® §ë¢ ¥âáï à §¬¥à®áâìî ¯à®áâà á⢠V ¨ ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ dim V .
᫨ dim V = n, â® £®¢®àïâ, çâ® ¯à®áâà á⢮ V n-¬¥à®. ⬥⨬, çâ® k
n
n
k
n
n
ã«¥¢®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ ¥ ¨¬¥¥â ¡ §¨á .
217
x
24. Ǒ®¤¯à®áâà áâ¢
á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë 1 ¨§ x21 ¡ §¨á ¥ ¬®¥â ᮤ¥à âì ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à , ¢ ã«¥¢®¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨ª ª¨å ¤àã£¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¥â. Ǒ®í⮬㠯ਢ¥¤¥®¥ ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ à §¬¥à®á⨠¤«ï ã«¥¢®£® ¯à®áâà á⢠¥ ¯®¤å®¤¨â.
áâ¥á⢥®, ®¤ ª®, à á¯à®áâà ¨âì ¯®ï⨥ à §¬¥à®á⨠¨ ã«¥¢®¥ ¯à®áâà á⢮, ¯®« £ ï ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î, çâ® à §¬¥à®áâì ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà áâ¢ à ¢ 0. «ï ª®¥ç®¬¥à®£® ¯à®áâà áâ¢ à §¬¥à®áâì ï¥âáï ¢ ¥©è¥© å à ªâ¥à¨á⨪®©, ¯® áãé¥áâ¢ã, ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ïî饩 ¥£® «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠. â® ¢¨¤® ¨§ á«¥¤ãî饣® ã⢥थ¨ï, «¥£ª® ¢ë⥪ î饣® ¨§ ⥮६ë 1. «¥¤á⢨¥ 2.
áâà á⢠¨
᫨
V1 ¨ V2 | ª®¥ç®¬¥àë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¯à®-
dim V1 = dim V2, â® ¯à®áâà á⢠V1 ¨ V2 ¨§®¬®àäë.
®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì dim V1 = dim V2 = n. ᨫã ⥮६ë 1 áãé¥áâ¢ãîâ ¨§®¬®à䨧¬ f1 ¨§ V1 R ¨ ¨§®¬®à䨧¬ f2 ¨§ R V2 . ¯à¥¤¥«¨¬ ®â®¡à ¥¨¥ f ¨§ V1 ¢ V2 ¯à ¢¨«®¬ f (x) = f2(f1(x)) ¤«ï ¢á类£® x 2 V1 . ¥§ âà㤠¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® f | ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ V1 V2 . «¥¤á⢨¥ 2 ¤®ª § ®. ⬥⨬ ¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠, çâ® ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® n-¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠á¯à ¢¥¤«¨¢ë «®£¨ â¥®à¥¬ë ¨§ x21 ¨ ⥮६ë 3 ¨§ x22. 묨 á«®¢ ¬¨, á¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãîé ï n
n
¥®à¥¬ 2. Ǒãáâì V | n-¬¥à®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮. ®£¤ «î¡®© ¡®à ¨§ k ¢¥ªâ®à®¢ ¯à®áâà á⢠V , £¤¥ k > n, «¨¥©® § ¢¨á¨¬. î¡®© ¡®à ¨§ n «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¯à®áâà á⢠V ï¥âáï ¡ §¨á®¬ í⮣® ¯à®áâà á⢠. î¡®© «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¯à®áâà á⢠V ¬®¥â ¡ëâì ¤®¯®«¥ ¤® ¥£® ¡ §¨á .
x24.
Ǒ®¤¯à®áâà áâ¢
¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì V | ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮. ¥¯ãá⮥ ¬®¥á⢮ M ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ V §ë¢ ¥âáï ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ ¢ V , ¥á«¨ ¢ë¯®«¥ë á«¥¤ãî騥 ¤¢ ãá«®¢¨ï: 1) ¥á«¨ x; y 2 M , â® x + y 2 M ; 2) ¥á«¨ x 2 M ¨ t | ç¨á«®, â® tx 2 M .
218
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
¡ ãá«®¢¨ïå 1 ¨ 2 £®¢®àïâ ᮮ⢥âá⢥®, çâ® ¯®¤¯à®áâà á⢮ . Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥àë ¯®¤¯à®áâà áâ¢. Ǒਬ¥à 1. 祢¨¤®, çâ® ¢á¥ ¯à®áâà á⢮ V ï¥âáï ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ á ¬®£® ᥡï. Ǒਬ¥à 2. ®¥á⢮, á®áâ®ï饥 ¨§ ®¤®£® ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à ¯à®áâà á⢠V , â ª¥ ï¥âáï ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ ¢ V . Ǒਬ¥à 3. á®, çâ® ¯à®áâà á⢮ ¢á¥å ¬®£®ç«¥®¢ á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ n ï¥âáï ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ ¯à®áâà á⢠¢á¥å ¬®£®ç«¥®¢, ¯®á«¥¤¥¥ | ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ ¯à®áâà á⢠¢á¥å äãªæ¨© ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ¨§ R ¢ R . Ǒਬ¥à 4. Ǒà®áâà á⢮ ¢á¥å ¤¨ £® «ìëå ª¢ ¤à âëå ¬ âà¨æ ¯®à浪 n ï¥âáï ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ ¢ ¯à®áâà á⢥ ¢á¥å ¢¥àå¥âà¥ã£®«ìëå ¬ âà¨æ ⮣® ¥ ¯®à浪 , ¯®á«¥¤¥¥ | ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ ¯à®áâà á⢠¢á¥å ª¢ ¤à âëå ¬ âà¨æ ¯®à浪 n. Ǒਬ¥à 5. ª ®â¬¥ç «®áì ¢ ¯à¨¬¥à¥ 5 ¨§ x23, ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¯à®¨§¢®«ì®© ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ï¥âáï ¢¥ªâ®àë¬ ¯à®áâà á⢮¬. 祢¨¤®, çâ® ®® ¡ã¤¥â ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ ¯à®áâà á⢠R , £¤¥ n | ç¨á«® ¥¨§¢¥áâëå ¢ 襩 á¨á⥬¥. (⬥⨬ ¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠, çâ® ¢¥à® ¨ ®¡à ⮥: ¢á类¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ R ï¥âáï ¯à®áâà á⢮¬ à¥è¥¨© ¥ª®â®à®© ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë á n ¥¨§¢¥áâ묨.) ¢®â ¬®¥á⢮ ¢á¥å à¥è¥¨© ¥®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ª ª ¥á«®® ¯à®¢¥à¨âì, ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ ¥ ï¥âáï. ¡ ¡áâà ªâ®¬ «®£¥ ¬®¥á⢠¢á¥å à¥è¥¨© ¥®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¡ã¤¥â ¨¤â¨ à¥çì ¢ x26. Ǒਢ¥¤¥¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî ¨««îáâà æ¨î ¯®ïâ¨ï ¯®¤¯à®áâà á⢠. Ǒਬ¥à 6. Ǒãáâì ¯«®áª®á⨠§ ¤ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â. 㤥¬ ®â®¤¥á⢫ïâì ¯àï¬ãî ¯«®áª®áâ¨ á ¬®¥á⢮¬ ¯à ¢«¥ëå ®â१ª®¢, ã ª®â®àëå ç «® ᮢ¯ ¤ ¥â á ç «®¬ ª®®à¤¨ â, ª®¥æ | á ¥ª®â®à®© â®çª®© ¯àאַ©. 祢¨¤®, çâ® ¢áïª ï ¯àï¬ ï, ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â, ï¥âáï ¯®¤¯à®áâà á⢮¬. ¢®â ¯àï¬ ï, ¥ ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â, ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ ¥ ï¥âáï, â ª ª ª ¢ í⮬ á«ãç ¥ á㬬 ¤¢ãå ¯à ¢«¥ëå ®â१ª®¢, ¨¤ãé¨å ¨§ ç « ª®®à¤¨ â ¢ à §«¨çë¥ â®çª¨ ¯àאַ©, § ª 稢 ¥âáï ¥ í⮩ ¯àאַ© (à¨á. 1). ᥠ᪠§ ®¥ ¬®® ¯®¢â®à¨âì § -
¬ªãâ® ®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ®â®á¨â¥«ì® 㬮¥¨ï ¢¥ªâ®à ç¨á«®
n
n
219
x
24. Ǒ®¤¯à®áâà áâ¢
¨ ® ¯àï¬ëå ¢ ¯à®áâà á⢥. «®£¨ç® ¯«®áª®áâì ï¥âáï ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ ®¡ë箣® âà¥å¬¥à®£®¯à®áâà á⢠, ¥á«¨ ® ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â, ¨ ¥ ï¥âáï | ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ (§¤¥áì ¬ë ®â®¤¥á⢫塞 ¯«®áª®áâì á ¬®¥á⢮¬ ¢á¥å ¯à ¢«¥ëå ®â१ª®¢, ã ª®â®àëå ç «® ᮢ¯ ¤ ¥â á ç «®¬ ª®®à¤¨ â, ª®¥æ | á ¥ª®â®à®© â®çª®© ¯«®áª®áâ¨). ¡áâà ªâë© «®£ ¯àï¬ëå ¨ ¯«®áª®á⥩, ¥ ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â, ¡ã¤¥â ¢¢¥¤¥ ¢ x26. y ` x2
6
KAA AA Æ x1 + x2 Aq O PPPP qx1
x
¨á. 1 § ¢¥à襨¥ ᯨ᪠¯à¨¬¥à®¢ ¯®¤¯à®áâà á⢠¯à¨¢¥¤¥¬ ¢ ë© ¤«ï ¤ «ì¥©è¥£® ¯à¨¬¥à ¯®¤¯à®áâà á⢠¯à®¨§¢®«ì®£® ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠. Ǒਬ¥à 7. 䨪á¨à㥬 ¢ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥ V ¯à®¨§¢®«ìë© ¡®à ¨§ k ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2 ; : : : ; a . áᬮâਬ ¬®¥á⢮ ¢á¥¢®§¬®ëå «¨¥©ëå ª®¬¡¨ 権 íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢. ® ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ ha1 ; a2 ; : : : ; a i. 묨 á«®¢ ¬¨, ha1 ; a2 ; : : : ; a i = ft1a1 + t2 a2 + + t a j t1 ; t2 ; : : : ; t 2 R g: 祢¨¤®, çâ® á㬬 ¤¢ãå «¨¥©ëå ª®¬¡¨ 権 ¢¥ªâ®à®¢ a1, a2 , . . . , a ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢ ç¨á«® á ¬¨ ïîâáï «¨¥©ë¬¨ ª®¬¡¨ æ¨ï¬¨ ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2; : : : ; a . â® ®§ ç ¥â, çâ® ha1 ; a2 ; : : : ; a i | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ V . ® §ë¢ ¥âáï ¯®¤¯à®áâà á⢮¬, ¯®à®¤¥ë¬ ¢¥ªâ®à ¬¨ a1 ; a2 ; : : : ; a (ᨮ¨¬ë: ¯®¤¯à®áâà á⢮, § ¤ ®¥ ¢¥ªâ®à ¬¨ a1; a2 ; : : : ; a , ¯®¤¯à®áâà á⢮, âïã⮥ ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2 ; : : : ; a , «¨¥© ï ®¡®«®çª ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2 ; : : : ; a ). ⬥⨬, çâ® k
k
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ha1 ; a2 ; : : : ; a i | ¨¬¥ì襥 ¨§ â¥å ¯®¤¯à®áâà á⢠¯à®áâà áâ¢
k
V , ª®â®àë¥ á®¤¥à â ¢¥ªâ®àë a1 ; a2 ; : : : ; a . k
220
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¯®¤¯à®áâà á⢮ M ¯à®áâà á⢠V ᮤ¥à¨â ¢¥ªâ®àë a1 ; a2; : : : ; a , â® (¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¯®¤¯à®áâà á⢠) M ᮤ¥à¨â ¢á¥¢®§¬®ë¥ «¨¥©ë¥ ª®¬¡¨ 樨 íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢. «¥¤®¢ ⥫ì®, ha1 ; a2 ; : : : ; a i M . ¤ «ì¥©è¥¬ ã á ¡ã¤ãâ ¯®ï¢«ïâìáï ®¢ë¥ ¯à¨¬¥àë ¯®¤¯à®áâà á⢠(á¬. x34, 36 ¨ 40, â ª¥ § ¤ çã 13 á. 236).
᫨ M | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ V ¨ x 2 M , â® 0 = 0 x 2 M . ª¨¬ ®¡à §®¬, k
k
«î¡®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠ᮤ¥à¨â ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à.
Ǒ®¤¯à®áâà á⢮ M ¯à®áâà á⢠V á ¬® ï¥âáï ¢¥ªâ®àë¬ ¯à®áâà á⢮¬ (¢ á¬ëá«¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨§ x23) ®â®á¨â¥«ì® ®¯¥à 権 á«®¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¨ 㬮¥¨ï ¢¥ªâ®à ç¨á«®, ¨¬¥îé¨åáï ¢ V , ® à áᬠâਢ ¥¬ëå ⮫쪮 ¯à¨¬¥¨â¥«ì® ª ¢¥ªâ®à ¬ ¨§ M . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤«ï M ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯®ïâ¨ï «¨¥©®© § ¢¨á¨¬®á⨠(¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨), ¡ §¨á ¨ à §¬¥à®áâ¨. Ǒਠí⮬, à §ã¬¥¥âáï, ®áâ îâáï ¢ ᨫ¥ ¢á¥ ¨§«®¥ë¥ ¢ x23 १ã«ìâ âë, ª á î騥áï íâ¨å ¯®ï⨩. ⬥⨬ ®¤® ®¢®¥ ᢮©á⢮. ¥¬¬ .
᫨
M | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà áâ¢
dim M 6 dim V . Ǒਠí⮬ ¥á«¨ dim M = dim V , â® M = V . ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ «¥¬¬ë á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® ¥á«¨ ¢¥ªâ®àë a1; a2 ; : : : ; a «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë ¢ M , â® ®¨ ®áâ ãâáï «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ¨ ¢ V . ®ª ¥¬ ¢â®à®¥ ã⢥थ¨¥.
᫨ dim M = dim V = n ¨ a1 ; a2; : : : ; a | ¡ §¨á M , â®, ¢ ᨫã ⥮६ë 2 ¨§ x23, a1 ; a2; : : : ; a ¡ã¤¥â ¨ ¡ §¨á®¬ V . ® ⮣¤ «î¡®© ¢¥ªâ®à ¨§ V , ¡ã¤ãç¨ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2; : : : ; a , «¥¨â ¢ M , â.¥. V M . ¡à ⮥ ¢ª«î票¥ ¢ë¯®«¥® ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¯®¤¯à®áâà á⢠, ¨ ¯®â®¬ã V = M . ¥¬¬ ¤®ª § . ¥à¥¬áï ª ¯®¤¯à®áâà áâ¢ã, ¯®à®¤¥®¬ã ¤ ë¬ ¡®à®¬ ¢¥ªâ®à®¢. Ǒãáâì a1 ; a2 ; : : : ; a 2 V ¨ M = ha1 ; a2 ; : : : ; a i. ®ª ¥¬, çâ® ¯à®¨§¢®«ìë© ¬ ªá¨¬ «ìë© «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ ¬®¥á⢠¢¥ªâ®à®¢ fa1; a2 ; : : : ; a g ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¢ M . ¥§ ®£à ¨ç¥¨ï ®¡é®á⨠¬®® áç¨â âì, çâ® ®¤¨¬ ¨§ ¬ ªá¨¬ «ìëå «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¡®à®¢ ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ ¬®¥á⢠fa1; a2; : : : ; a g ï¥âáï ¡®à a1 ; a2; : : : ; a ¤«ï ¥ª®â®à®£® r 6 k (¥á«¨ íâ® ¥ â ª, ¬ë ¢á¥£¤ ¬®¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ ¯¥à¥ã¬¥à®¢ âì ¢¥ªâ®àë). Ǒ®áª®«ìªã ¢¥ªâ®àë a1; a2 ; : : : ; a «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë, ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë ¨§ x22, á«¥¤ã¥â ⮫쪮 ¯à®¢¥à¨âì, çâ® íâ®â ¡®à ï¥âáï á¨á⥬®© ®¡à §ãîé¨å ¤«ï M , â.¥. çâ® «î¡®© ¢¥ªâ®à ¨§ M ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2 ; : : : ; a . á ¬®¬ ¤¥«¥, «î¡®© ¢¥ªâ®à ¨§ M V , â®
k
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221
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24. Ǒ®¤¯à®áâà áâ¢
ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2; : : : ; a (¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î M ). Ǒ®áª®«ìªã a1; a2 ; : : : ; a | ¬ ªá¨¬ «ìë© «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢, ¤®¡ ¢«¥¨¥ ª ¥¬ã «î¡®£® ¢¥ªâ®à a ¯à¨ r + 1 6 j 6 k àãè ¥â «¨¥©ãî ¥§ ¢¨á¨¬®áâì. ᨫ㠫¥¬¬ë 3 ¨§ x21 ª ¤ë© ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ a +1; : : : ; a ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2; : : : ; a . âáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® «î¡®© ¢¥ªâ®à ¨§ M ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2; : : : ; a . § ¤®ª § ®£® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¡§ æ¥ ¢ë⥪ ¥â, ¢ ç áâ®áâ¨, çâ® «î¡ë¥ ¤¢ ¬ ªá¨¬ «ìëå «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ M ᮤ¥à â ®¤¨ ª®¢®¥ ç¨á«® ¢¥ªâ®à®¢. â® ç¨á«® §ë¢ ¥âáï à £®¬ ¬®¥á⢠¢¥ªâ®à®¢ fa1; a2 ; : : : ; a g. 묨 á«®¢ ¬¨, à £ (ª®¥ç®£®) ¬®¥á⢠¢¥ªâ®à®¢ | íâ® à §¬¥à®áâì ¯®¤¯à®áâà á⢠, ¯®à®¤¥®£® í⨬ ¬®¥á⢮¬ ¢¥ªâ®à®¢. ª ¥¬ «£®à¨â¬ 室¥¨ï ¡ §¨á ¨ à §¬¥à®á⨠¯®¤¯à®áâà á⢠ha1 ; a2; : : : ; a i. ᨫã ᪠§ ®£® ¢ëè¥ ¤®áâ â®ç® ©â¨ ¬ ªá¨¬ «ìë© «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ ¬®¥á⢠¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2 ; : : : ; a . Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ ¨§¢¥áâë ª®®à¤¨ âë íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ¥ª®â®à®¬ ¡ §¨á¥. Ǒãáâì dim V = n. ®áâ ¢¨¬ ¬ âà¨æã ¯®à浪 k n, § ¯¨á ¢ ¢ ¥¥ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ a1; a2 ; : : : ; a . Ǒਢ¥¤¥¬ íâã ¬ âà¨æã ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã. Ǒ®«ãç¥ãî ¬ âà¨æã ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ A0 . ¥ªâ®àë-áâப¨ ¬ âà¨æë A0 | íâ® «¨¥©ë¥ ª®¬¡¨ 樨 ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2; : : : ; a . ç¨â, ®¨ «¥ â ¢ ha1; a2 ; : : : ; a i. ᨫ㠫¥¬¬ë 5 ¨§ x21 ¡®à ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢-áâப ¬ âà¨æë A0 «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬. § «£®à¨â¬ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æë ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã (á¬. ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 4 ¢ x12) ¢¨¤®, çâ® ¥á«¨ ¢ ¬ âà¨æ¥ A0 ª ª ï-â® áâப á®á⮨⠨§ ã«¥©, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥© áâப ¬ âà¨æë A ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¥ã«¥¢ëå áâப ¬ âà¨æë A0 . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¡®à ¢á¥å ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢-áâப ¬ âà¨æë A0 ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ìë¬ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¡®à®¬ ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ ha1 ; a2 ; : : : ; a i, â.¥. ¡ §¨á®¬ í⮣® ¯®¤¯à®áâà á⢠. â ª, k
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Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à. ©¤¥¬ ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠M , ¯®à®¤¥®£® ¢¥ªâ®à ¬¨ ( 1; 2; 1; 1; 0), (1; 3; 0; 1; 1), (0,0,0,1,0) ¨ ( 1; 3; 0; 2; 1).
222
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
¥©áâ¢ãï ¯® 㪠§ ®¬ã ¢ëè¥ «£®à¨â¬ã, ¨¬¥¥¬ 0 1 2 1 1 01 0 1 2 1 1 01 B 1 3 0 1 1C B 0 5 1 0 1C B C B C 0 0 0 1 0A 0 0 0 1 0A 1 30 2 1 0 5 11 1 0 1 0 12110 1 2 1 1 01 B 0 5 1 0 1C B 0 5 1 0 1C C B C B 0 0 0 1 0A 0 0 0 1 0 A: 00010 00000 «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ª ç¥á⢥ ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠M ¬®® ¢§ïâì ¢¥ªâ®àë ( 1; 2; 1; 1; 0), (0,5,1,0,1) ¨ (0,0,0,1,0). § ª«î票¥ ¯ à £à ä à¥è¨¬ ¥é¥ ®¤ã § ¤ çã. ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ® ä®à¬ã«¨àã¥âáï â ª: ¢ëïá¨âì, ¯à¨ ¤«¥¨â «¨ ¤ ë© ¢¥ªâ®à x ¨§ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠V ¥£® ¯®¤¯à®áâà áâ¢ã M , ¯®à®¤¥®¬ã ¢¥ªâ®à ¬¨ a1 ; a2; : : : ; a . á®, çâ® x 2 M ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« t1; t2; : : : ; t â ª¨¥, çâ® x = t1 a1 + t2 a2 + + t a : (1) 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¬ ¨§¢¥áâë ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ a1; a2 ; : : : ; a ¨ x ¢ ¥ª®â®à®¬ ¡ §¨á¥.
᫨ ¢¥ªâ®à®¥ à ¢¥á⢮ (1) à ᯨá âì ¢ ª®®à¤¨ â å, ¬ë ¯®«ã稬 á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á ¥¨§¢¥áâ묨 t1 ; t2 ; : : : ; t . á®, çâ® x 2 M ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ íâ á¨á⥬ ᮢ¬¥áâ . áè¨à¥ ï ¬ âà¨æ á¨á⥬ë (1) ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¯®à冷ª n (k + 1) (£¤¥ n | à §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠) ¨ ¡ã¤¥â ¢ë£«ï¤¥âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¢ ¥¥ ¯¥à¢ëå k á⮫¡æ å áâ®ïâ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ a1; a2 ; : : : ; a , ¢ ¯®á«¥¤¥¬ á⮫¡æ¥ | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à x. ç¨âë¢ ï ᪠§ ®¥ ¢ x12 (á¬. á. 143), ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî騩 «£®à¨â¬. ¯¨è¥¬ ¬ âà¨æã ¯®à浪 n (k + 1), à ᯮ«®¨¢ ¢ ¥¥ k
k
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¯¥à¢ëå k á⮫¡æ å ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2 ; : : : ; ak , ¢ ¯®á«¥¤¥¬ á⮫¡æ¥ | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à x. 祬 ¯à¨¢®¤¨âì ¥¥ ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã.
᫨ ª ª®¬-â® è £¥ ¢ ¬ âà¨æ¥ ¢®§¨ª¥â áâப , ¢ ª®â®à®© ¢á¥ í«¥¬¥âë, ªà®¬¥ ¯®á«¥¤¥£®, à ¢ë , ¯®á«¥¤¨© í«¥¬¥â ®â«¨ç¥ ®â , â® x 2 = M . ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ x 2 M .
0 0 Ǒãáâì, ¯à¨¬¥à, V = R 5 , ~x = (1; 0; 3; 1; 2), ¯®¤¯à®áâà á⢮ M ¯®à®¤¥® ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a1 = ( 1; 2; 1; 1; 0), ~a2 = (1; 3; 1; 0; 1) ¨ ~a3 = (0; 0; 1; 1; 0). ¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï à ¢¥áâ¢ã
x
25. 㬬 , ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¨ ¯àï¬ ï á㬬 ¯®¤¯à®áâà áâ¢
223
(1), ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ 8 > > > > <
= 1; = 0; t1 t2 + t3 = 3; > > t1 + t3 = 1; > > : t2 = 2: 믨襬 à áè¨à¥ãî ¬ âà¨æã í⮩ á¨áâ¥¬ë ¨ 祬 ¯à¨¢®¤¨âì ¥¥ ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã: 0 1 1 0 11 0 1 1 0 11 0 1 1 0 11 B C B B 2 3 0 0C 2C C B 0 5 0 2 C B 0 5 0 C B CB 0 0 1 4 CB 0 0 1 B 1 1 1 3 4C C B C B C: B 1 0 1 1A 0 1 1 0A 0 0 5 2A 0 1 0 2 0 1 0 2 0 0 0 8 Ǒ®á«¥¤ïï áâப ¢ ¯®á«¥¤¥© ¬ âà¨æ¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ~x 2= M . x25.
t1 + t2 2t1 + 3t2
㬬 , ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¨ ¯àï¬ ï á㬬
¯®¤¯à®áâà á⢠1.
㬬 ¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥
¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì V | ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮, M1 ¨ M2 | ¥£® ¯®¤¯à®áâà á⢠. 㬬®© ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2 §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ V , ïîé¨åáï á㬬®© ¥ª®â®à®£® ¢¥ªâ®à ¨§ M1 ¨ ¥ª®â®à®£® ¢¥ªâ®à ¨§ M2. Ǒ¥à¥á¥ç¥¨¥¬ ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2 §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ V , ¯à¨ ¤«¥ é¨å ®¤®¢à¥¬¥® ª ª M1, â ª ¨ M2. 㬬 ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2 ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ M1 + M2, ¨å ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ | ç¥à¥§ M1 \ M2. Ǒ஢¥à¨¬, çâ® M1 + M2 ¨ M1 \ M2 | ¯®¤¯à®áâà á⢠¢ V . Ǒ।¥ ¢á¥£® ®â¬¥â¨¬, çâ® ¬®¥á⢠M1 + M2 ¨ M1 \ M2 | ¥¯ãáâë¥. á ¬®¬ ¤¥«¥, ª ª ®â¬¥ç «®áì á. 220, «î¡®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ V ᮤ¥à¨â ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à. ç áâ®áâ¨, 0 2 M1 ¨ 0 2 M2 . «¥¤®¢ ⥫ì®, 0 = 0 + 0 2 M1 + M2 ¨ 0 2 M1 \ M2 . «¥¥, ¯ãáâì x; y 2 M1 + M2. ®£¤ x = x1 + x2 ¨ y = y1 + y2 , £¤¥ x1; y1 2 M1 ¨ x2 ; y2 2 M2. ç¨âë¢ ï, çâ® M1 ¨ M2 | ¯®¤¯à®áâà á⢠, ¯®«ãç ¥¬, çâ® x + y = (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) 2 M1 + M2. «¥¥, ¥á«¨ t 2 R , â® tx = tx1 + tx2 . Ǒ®áª®«ìªã tx1 2 M1 ¨ tx2 2 M2, ¯®«ãç ¥¬, çâ® tx 2 M1 + M2. «¥¤®¢ ⥫ì®, M1 + M2 | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ V . «¥¥,
224
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
¯ãáâì x; y 2 M1 \ M2. ®£¤ x; y 2 M1 ¨ x; y 2 M2. Ǒ®áª®«ìªã M1 ¨ M2 | ¯®¤¯à®áâà á⢠, ¨¬¥¥¬ x + y 2 M1 ¨ x + y 2 M2. «¥¤®¢ ⥫ì®, x + y 2 M1 \ M2 . ª®¥æ, ¥á«¨ t 2 R , â® tx 2 M1 ¨ tx 2 M2 , ®âªã¤ tx 2 M1 \ M2 . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ M1 \ M2 | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ V . 祢¨¤®, çâ® ¯à®áâà á⢮ M1 + M2 ᮤ¥à¨â ª ª M1, â ª ¨ M2. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ x 2 M1, â® x = x + 0. Ǒ®áª®«ìªã 0 2 M2, ¨¬¥¥¬ x 2 M1 + M2 . «¥¤®¢ ⥫ì®, M1 M1 + M2 . «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® M2 M1 + M2. ⬥⨬, çâ® M1 + M2 | ¨¬¥ì襥 ¨§ â¥å ¯®¤¯à®áâà á⢠¤ ®£® ¯à®áâà á⢠, ª®â®àë¥ á®¤¥à â ª ª
M1 , â ª ¨ M2 .
¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì M | ¯®¤¯à®áâà á⢮, ᮤ¥à 饥 ª ª M1, â ª ¨ M2. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® x 2 M1 +M2. ®£¤ x = x1 +x2 ¤«ï ¥ª®â®àëå ¢¥ªâ®à®¢ x1 2 M1 ¨ x2 2 M2. «¥¤®¢ ⥫ì®, x1 2 M ¨ x2 2 M , ®âªã¤ x = x1 + x2 2 M . ª¨¬ ®¡à §®¬, M1 + M2 M . «¥¥, ®ç¥¢¨¤®, çâ® M1 \ M2 ᮤ¥à¨âáï ª ª ¢ M1 , â ª ¨ ¢ M2 . ¥£ª® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® M1 \M2 | ¨¡®«ì襥 ¨§ â¥å ¯®¤¯à®áâà á⢠¤ ®£® ¯à®áâà á⢠, ª®â®àë¥ á®¤¥à âáï ª ª ¢ M1 , â ª ¨ ¢ M2 .
⬥⨬ á«¥¤ãî騥 ®ç¥¢¨¤ë¥ ᢮©á⢠áã¬¬ë ¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯®¤¯à®áâà áâ¢.
᫨ M1; M2 ¨ M3 | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®¤¯à®áâà á⢠®¤®£® ¨ ⮣® ¥ ¯à®áâà á⢠, â®: 1) M1 + M2 = M2 + M1; 2) (M1 + M2) + M3 = M1 + (M2 + M3); 3) ¥á«¨ M1 M2, â® M1 + M2 = M2; 4) M1 \ M2 = M2 \ M1; 5) (M1 \ M2) \ M3 = M1 \ (M2 \ M3); 6) ¥á«¨ M1 M2, â® M1 \ M2 = M1. ¥®à¥¬ 1. Ǒãáâì V | ª®¥ç®¬¥à®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮, M1 ¨ M2 | ¥£® ¯®¤¯à®áâà á⢠. ®£¤ à §¬¥à®áâì áã¬¬ë ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2 à ¢ á㬬¥ à §¬¥à®á⥩ íâ¨å ¯®¤¯à®áâà á⢠¬¨ãá à §¬¥à®áâì ¨å ¯¥à¥á¥ç¥¨ï. ®ª § ⥫ìá⢮. á®, çâ® M1 \ M2 | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¨ ¢ M1 , ¨ ¢ M2. ᨫ㠫¥¬¬ë ¨§ x24 dim(M1 \ M2 ) 6 dim M1 ¨ dim(M1 \ M2) 6 dim M2. Ǒ®«®¨¬ dim(M1 \ M2) = k, dim M1 = k + ` ¨ dim M2 = k + m.
225
x
25. 㬬 , ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¨ ¯àï¬ ï á㬬 ¯®¤¯à®áâà áâ¢
᫨ M1 = f0g, â®, ®ç¥¢¨¤®, M1 \ M2 = f0g, dim M1 = dim(M1 \ M2) = 0, M1 + M2 = M2, ¨ ¯®â®¬ã dim(M1 + M2) = dim M2 = dim M1 + dim M2 dim(M1 \ M2): «®£¨ç® à §¡¨à ¥âáï á«ãç ©, ª®£¤ M2 = f0g. â ª, ¤ «¥¥ ¬®® áç¨â âì, çâ® ¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2 | ¥ã«¥¢ë¥, ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ª ¤®¥ ¨§ ¨å ¨¬¥¥â ¡ §¨á. «ï ¯à®áâ®âë ¡ã¤¥¬ â ª¥ áç¨â âì, çâ® M1 \ M2 6= f0g (¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ á«¥¤ã¥â ¢® ¢á¥å ¤ «ì¥©è¨å à áá㤥¨ïå § ¬¥¨âì ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠M1 \ M2 ¯ãá⮩ ¡®à ¢¥ªâ®à®¢; á ¬¨ à áá㤥¨ï ¯à¨ í⮬ ⮫쪮 ã¯à®áâïâáï). Ǒãáâì a1 ; a2 ; : : : ; a | ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠M1 \ M2 . ᨫã ⥮६ë 2 ¨§ x23 íâ®â ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¬®® ¤®¯®«¨âì ª ª ¤® ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠M1, â ª ¨ ¤® ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠M2. Ǒãáâì a1 , a2 ,. . . , a , b1, b2, . . ., b | ¡ §¨á M1, a1 , a2 , . . . , a , 1 , 2 , . . . , | ¡ §¨á M2. ®ª ¥¬, çâ® ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ a1 , a2 , .. . , a , b1 , b2, . . . , b , 1, 2, . . . , | ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠M1 + M2. ⮣® ¤®áâ â®ç® ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë, â ª ª ª ç¨á«® ¢¥ªâ®à®¢ ¢ í⮬ ¡®à¥ à ¢® k + ` + m = (k + `) + (k + m) k = dim M1 + dim M2 dim(M1 \ M2 ): Ǒãáâì x 2 M1 + M2. ®£¤ x = x1 + x2 , £¤¥ x1 2 M1 ¨ x2 2 M2. á®, çâ® ¢¥ªâ®à x1 ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ a1, a2 , . . . , a , b1, b2 , . . . , b , ¢¥ªâ®à x2 | «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ a1 , a2 , . . . , a , 1 , 2 , . . . , . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢¥ªâ®à x1 + x2 ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ a1, a2, . . ., a , b1, b2 , . . . , b , 1, 2, . . . , . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ a1, a2, . . . , a , b1, b2, . . . , b ,
1 , 2 , . . . , ï¥âáï á¨á⥬®© ®¡à §ãîé¨å ¯à®áâà á⢠M1 + M2 . ᨫ㠫¥¬¬ë ¨§ x22 ®áâ ¥âáï ¤®ª § âì, çâ® íâ®â ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¥¤¯®«®¨¬, çâ® t1 a1+t2 a2+ +t a +s1 b1+s2 b2+ +s b +r1 1+r2 2+ +r = 0 (1) ¤«ï ¥ª®â®àëå ç¨á¥« t1 ; t2; : : : ; t ; s1; s2; : : : ; s ; r1; r2 ; : : : ; r . ॡã¥âáï ¤®ª § âì, çâ® ¢á¥ í⨠ç¨á« à ¢ë 0. Ǒ®«®¨¬ y = s1b1 + s2b2 + + s b . 祢¨¤®, çâ® y 2 M1. ¤à㣮© áâ®à®ë, ¨§ (1) ¢ë⥪ ¥â, çâ® y = t1 a1 t2 a2 t a r1 1 r2 2 r 2 M2 : «¥¤®¢ ⥫ì®, y 2 M1 \ M2. ® ⮣¤ ¢¥ªâ®à y ¥áâì «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2; : : : ; a . ª¨¬ ®¡à §®¬, áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« q1 ; q2 ; : : : ; q â ª¨¥, çâ® y = s1 b1 + s2 b2 + + s b = q1 a1 + q2 a2 + + q a : k
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226
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
«¥¤®¢ ⥫ì®, q1 a1 + q2 a2 + + q a s1 b1 s2 b2 s b = 0: (2) Ǒ®áª®«ìªã ¢¥ªâ®àë a1, a2 , . . . , a , b1, b2, . . . , b ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠M1, ®¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. Ǒ®í⮬㠫¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï, áâ®ïé ï ¢ «¥¢®© ç áâ¨ à ¢¥á⢠(2), âਢ¨ «ì . ç áâ®áâ¨, s1 = s2 = = s = 0: «¥¤®¢ ⥫ì®, à ¢¥á⢮ (1) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ t1 a1 + t2 a2 + + t a + r1 1 + r2 2 + + r = 0: ç¨âë¢ ï, çâ® ¢¥ªâ®àë a1 , a2 , .. . , a , 1 , 2 , . . . , ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠M2 (¨, ¢ ç áâ®áâ¨, «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë), ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® t1 = t2 = = t = r1 = r2 = = r = 0: â ª, ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥âë ¢ «¥¢®© ç áâ¨ à ¢¥á⢠(1) à ¢ë 0, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ ¨§¢¥áâë ¡ §¨áë ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2. áᬮâਬ ¢®¯à®á ® ⮬, ª ª ©â¨ ¡ §¨á ¨ à §¬¥à®áâì á㬬ë íâ¨å ¯®¤¯à®áâà áâ¢. Ǒãáâì M1 ¨¬¥¥â ¡ §¨á a1 ; a2; : : : ; a , M2 | ¡ §¨á b1 ; b2 ; : : : ; b . Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® x 2 M1 + M2 . ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®àë x1 2 M1 ¨ x2 2 M2 â ª¨¥, çâ® x = x1 + x2 . á¨«ã ¢ë¡®à ¢¥ªâ®à®¢ x1 ¨ x2 ¨¬¥¥¬ x1 = t1 a1 + t2 a2 + + t a ¨ x2 = s1 b1 + s2 b2 + + s b ¤«ï ¥ª®â®àëå ç¨á¥« t1; t2; : : : ; t ¨ s1; s2; : : : ; s . «¥¤®¢ ⥫ì®, x = t1 a1 + t2 a2 + + t a + s1 b1 + s2 b2 + + s b : â® ®§ ç ¥â, çâ® ¯à®áâà á⢮ M1 + M2 ¯®à®¤ ¥âáï ¡®à®¬ ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2; : : : ; a ; b1; b2; : : : ; b . â®¡ë ©â¨ ¡ §¨á ¨ à §¬¥à®áâì í⮣® ¯à®áâà á⢠, ®áâ «®áì ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¨¢¥¤¥ë¬ á. 221 «£®à¨â¬®¬ 室¥¨ï ¡ §¨á ¨ à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠, ¯®à®¤¥®£® ¤ ë¬ ¡®à®¬ ¢¥ªâ®à®¢. ª¨¬ ®¡à §®¬, k
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çâ®¡ë ©â¨ ¡ §¨á ¨ à §¬¥à®áâì áã¬¬ë ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2 , ¤® § ¯¨á âì ¢ ¬ âà¨æã ¯® áâப ¬ ª®®à¤¨ âë ¡ §¨áëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¡®¨å ¯à®áâà á⢠¨ ¯à¨¢¥á⨠íâã ¬ âà¨æã ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã. ¥ã«¥¢ë¥ áâப¨ ¯®«ã祮© ¬ âà¨æë ¨ ¡ã¤ãâ ¡ §¨á®¬ á㬬ë M1 ¨ M2 , ç¨á«® íâ¨å áâப | à §¬¥à®áâìî á㬬ë.
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x
25. 㬬 , ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¨ ¯àï¬ ï á㬬 ¯®¤¯à®áâà áâ¢
227
®ªà¥âë© ¯à¨¬¥à ¡ã¤¥â ¯à¨¢¥¤¥ ¢ ª®æ¥ ¤ ®£® ¯ à £à ä . ⬥⨬, çâ®, ©¤ï à §¬¥à®áâì áã¬¬ë ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2, ¬ë ᬮ¥¬ ©â¨ ¨ à §¬¥à®áâì ¨å ¯¥à¥á¥ç¥¨ï, â ª ª ª, ¢ ᨫã ⥮६ë 1, dim(M1 \ M2) = dim M1 + dim M2 dim(M1 + M2): (3) §¨á ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¨é¥âáï ¥áª®«ìª® á«®¥¥. ¢ à §«¨çëå «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï í⮩ § ¤ ç¨ ¬ë 㪠¥¬ ¢ x29 ¨ 40 ¯®á«¥ ⮣®, ª ª ¡ã¤ãâ ¢¢¥¤¥ë ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¤«ï í⮣® ¯®ïâ¨ï. 2.
Ǒàï¬ ï á㬬
¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì V | ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮, M1 ¨ M2 | ¥£® ¯®¤¯à®áâà á⢠. ®¢®àïâ, çâ® á㬬 ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2 ï¥âáï ¨å ¯àאַ© á㬬®©, ¥á«¨ M1 \ M2 = f0g. Ǒàï¬ ï á㬬 ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2 ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ M1 M2 ¨«¨ M1 u M2.
V | ª®¥ç®¬¥à®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮, M2 | ¥£® ¯®¤¯à®áâà á⢠. «¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥â-
¥®à¥¬ 2. Ǒãáâì
M1 ¨ ë:
1) M1 + M2 ï¥âáï ¯àאַ© á㬬®© ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2; 2) dim(M1 + M2) = dim M1 + dim M2; 3) «î¡®© ¢¥ªâ®à ¨§ M1 + M2 ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢
M1 ¨ ¢¥ªâ®à ¨§ M2; ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ¯à®áâà á⢠V ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¢¥ªâ®à ¨§ M1 ¨ ¢¥ªâ®à ¨§ M2 . ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¢¥ªâ®à ¨§
4)
®ª § ⥫ìá⢮. ª¢¨¢ «¥â®áâì ãá«®¢¨© 1 ¨ 2 ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⥮६ë 1 ¨ ⮣® ä ªâ , çâ® à §¬¥à®áâì ã«¥¢®£® ¯à®áâà áâ¢ à ¢ 0. ¬¯«¨ª æ¨ï 3 =) 4 ®ç¥¢¨¤ . áâ ¥âáï ¤®ª § âì ¨¬¯«¨ª 樨 1 =) 3 ¨ 4 =) 1. 1 =) 3. Ǒãáâì x 2 M1 + M2. Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î áã¬¬ë ¯®¤¯à®áâà á⢠x = x1 + x2 , £¤¥ x1 2 M1 ¨ x2 2 M2 . ¤® «¨èì ¤®ª § âì, çâ® â ª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¢¥ªâ®à x ¥¤¨á⢥®. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® x = y1 + y2 , £¤¥ y1 2 M1 ¨ y2 2 M2. ॡã¥âáï ãáâ ®¢¨âì, çâ® x1 = y1 ¨ x2 = y2 . ç¨âë¢ ï, çâ® x = x1 + x2 = y1 + y2, ¨¬¥¥¬ x1 y1 = y2 x2. á®, çâ® x1 y1 2 M1 , y2 x2 2 M2 . «¥¤®¢ ⥫ì®, x1 y1 = y2 x2 2 M1 \M2 .
228
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
® M1 \ M2 = f0g. Ǒ®í⮬ã x1 y1 = y2 x2 = 0, ®âªã¤ x1 = y1 ¨ x2 = y2 . 4 =) 1. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® M1\M2 6= f0g, â.¥. áãé¥áâ¢ã¥â ¥ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à x 2 M1 \ M2. ®£¤ ¢¥ªâ®à 0 ¬®¥â ¡ëâì ¤¢ã¬ï à §«¨ç묨 ᯮᮡ ¬¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¢¥ªâ®à ¨§ M1 ¨ ¢¥ªâ®à ¨§ M2: 0 = x + ( x) ¨ 0 = ( x) + x. ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ á ãá«®¢¨¥¬ 4. ¥®à¥¬ 2 ¤®ª § . ⬥⨬ ¥é¥, çâ® ¨§ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 1 ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî騩 ä ªâ: ¥á«¨ M = M1 M2 , b1 , b2 , . . . , b | ¡ §¨á M1 , 1 , 2 , `
. . . , m | ¡ §¨á M2 , â® ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ b1 , b2 , . . . , b` , 1 ,
2 , . . . , m ¡ã¤¥â ¡ §¨á®¬ M .
Ǒ®ª ¥¬ ¯à¨¬¥à¥, ª ª ¬®® ¯à®¢¥à¨âì, ï¥âáï «¨ ¢á¥ ¯à®áâà á⢮ ¯àאַ© á㬬®© ᢮¨å ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ R 4 ¯®¤¯à®áâà á⢮ M1 ¯®à®¤¥® ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a1 = (1; 0; 2; 1) ¨ ~a2 = (2; 1; 2; 3), ¯®¤¯à®áâà á⢮ M2 | ¢¥ªâ®à ¬¨ ~b1 = (2; 2; 1; 0) ¨ ~b2 = (1; 1; 0; 1). ॡã¥âáï ¤®ª § âì, çâ® R 4 = M1 M2. Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¯àאַ© áã¬¬ë ¤«ï í⮣® ¤® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® R 4 = M1 + M2 ¨ M1 \ M2 = f~0g. Ǒ।¥ ¢á¥£® ®â¬¥â¨¬, çâ® ¢¥ªâ®àë ~a1 ¨ ~a2 ¥¯à®¯®à樮 «ìë ¨ ¯®â®¬ã «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®¨ ®¡à §ãîâ ¡ §¨á M1. «®£¨ç® ¢¥ªâ®àë ~b1 ¨ ~b2 ®¡à §ãîâ ¡ §¨á M2. ©¤¥¬ à §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠M1 + M2 ¯® «£®à¨â¬ã, ¨§«®¥®¬ã á. 226. ¬¥¥¬ 0 1 0 2 11 01 0 2 11 01 0 2 11 B2 1 2 3C B0 1 2 1C B0 1 2 1C B C B C B C 2 2 1 0A 0 2 5 2A 0 0 9 0A: 1 1 0 1 0 1 2 2 00 0 3 ¯®«ã祮© áâ㯥ç ⮩ ¬ âà¨æ¥ | ç¥âëॠ¥ã«¥¢ëå áâப¨. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¯à®áâà á⢮ M1 + M2 ç¥âëà¥å¬¥à®. Ǒ®áª®«ìªã ¯à®áâà á⢮ R 4 â ª¥ ç¥âëà¥å¬¥à®, ¨§ «¥¬¬ë ¨§ x24 ¢ë⥪ ¥â, çâ® M1 + M2 = R 4 . «¥¥, ¢ ᨫã (3), ¨¬¥¥¬ dim(M1 \ M2) = dim M1 + dim M2 dim(M1 + M2) = 2 + 2 4 = 0: «¥¤®¢ ⥫ì®, M1 \ M2 = f~0g. ë ¤®ª § «¨, çâ® R 4 = M1 M2. ¡®¡é¨¬ íâ®â ¯à¨¬¥à ®¡é¨© á«ãç ©. Ǒãáâì ¨§¢¥áâë ¡ §¨áë ( § ç¨â, ¨ à §¬¥à®á⨠) ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2 ¯à®áâà á⢠V . ¤® ¢ëïá¨âì, ¢¥à® «¨, çâ® V = M1 M2 . ©¤¥¬ dim(M1 + M2 ) ¯®
229
x
25. 㬬 , ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¨ ¯àï¬ ï á㬬 ¯®¤¯à®áâà áâ¢
«£®à¨â¬ã, 㪠§ ®¬ã á. ¬ã«¥ . ¢¥á⢮ V M1 ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ M1 M1 \ M2 .
(3)
= dim(
226 ¨ dim(M1 \ M2) ¯® ä®à M2 ¨¬¥¥â ¬¥á⮠⮣¤ ¨ + M2) = dim M1 + dim M2 ¨
dim( )=0 Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¯à®áâà á⢮ V ï¥âáï ¯àאַ© á㬬®© ᢮¨å ¯®¤¯à®áâà á⢠P ¨ Q ¨ x 2 V . ᨫ㠯.3 ⥮६ë 2 áãé¥áâ¢ãîâ ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ¢¥ªâ®àë x1 2 P ¨ x2 2 Q â ª¨¥, çâ® x = x1 + x2 . ¥ªâ®à x1 §ë¢ ¥âáï ¯à®¥ªæ¨¥© x P ¯ à ««¥«ì® Q, ¢¥ªâ®à x2 | ¯à®¥ªæ¨¥© x Q ¯ à ««¥«ì® P . Ǒãáâì M1 ¨ M2 | ⥠¥ ¯®¤¯à®áâà á⢠, çâ® ¨ ¢ ⮫쪮 çâ® à¥è¥®¬ ¯à¨¬¥à¥, ~x = (5; 1; 1; 0). ©¤¥¬ ¯à®¥ªæ¨î ~x M1 ¯ à ««¥«ì® M2 ¨ ¯à®¥ªæ¨î ~x M2 ¯ à ««¥«ì® M1 . Ǒ®áª®«ìªã R 4 = M1 M2 , (~a1;~a2) | ¡ §¨á M1, (~b1; ~b2) | ¡ §¨á M2, ¢ ᨫ㠧 ¬¥ç ¨ï, ᤥ« ®£® ¯®á«¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 2, ¯®«ãç ¥¬, çâ® (~a1 ;~a2; ~b1; ~b2) | ¡ §¨á R 4 . §«®¨¬ ~x ¯® í⮬㠡 §¨áã. ¤® ©â¨ â ª¨¥ ç¨á« t1, t2, s1 ¨ s2 , çâ® ~x = t1~a1 + t2~a2 + s1~b1 + s2~b2 . «®£¨ç ï § ¤ ç 㥠¡ë« à¥è¥ ¢ x22 (á¬. á. 203). Ǒ®í⮬㠧¤¥áì ¬ë ¥ ¯à¨¢®¤¨¬ ¯®¤à®¡ëå ª®¬¬¥â ਥ¢. ¬¥¥¬ 0 1 2 2 1 51 01 2 2 1 51 B0 1 2 1 1C B0 1 2 1 1C B C B C 2 2 1 0 1 A 0 2 5 2 11 A 13 0 1 0 0 1 2 2 5 0 1 2 2 1 51 03 6 6 0 91 B0 1 2 1 1C B0 3 6 0 3C C B C B 0 0 9 0 9A 0 0 9 0 9A 00 0 3 6 00 0 3 6 1 0 0 1 2 0 0 11 01 0 0 0 11 12 20 3 B0 1 2 0 1C B0 1 0 0 1C B0 1 0 0 1C C B C B C B 0 0 1 0 1A 0 0 1 0 1A 0 0 1 0 1A: 00 01 2 00012 0001 2 â ª, è á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥: t1 = 1, t2 = 1, s1 = 1, s2 = 2. Ǒ®«®¨¬ ~x1 = ~a1 + ~a2 = (1; 1; 0; 2) ¨ ~x2 = ~b1 + 2~b2 = (4; 0; 1; 2). Ǒ®áª®«ìªã, ®ç¥¢¨¤®, ~x1 2 M1, ~x2 2 M2 ¨ ~x = ~x1 + ~x2 , ¯®«ãç ¥¬, çâ® ~x1 | ¯à®¥ªæ¨ï ~x M1 ¯ à ««¥«ì® M2 , ~x2 | ¯à®¥ªæ¨ï ~x M2 ¯ à ««¥«ì® M1. ä®à¬ã«¨à㥬 «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï í⮩ § ¤ ç¨ ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥. Ǒãáâì V = M1 M2 . ॡã¥âáï ©â¨ ¯à®¥ªæ¨î ¢¥ªâ®à x
M1 ¯ à ««¥«ì® M2 ¨ ¯à®¥ªæ¨î ¢¥ªâ®à
x
230
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
M2 ¯ à ««¥«ì® M1 . Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ ¨§¢¥áâë ¡ §¨á a1 ; a2 ; : : : ; a ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ ¡ §¨á b1 ; b2 ; : : : ; b ¯®¤¯à®áâà á⢠M2 . ©¤¥¬ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à x ¢ ¡ §¨á¥ a1 ; a2 ; : : : ; a ; b1 ; b2 ; : : : ; b ¯à®áâà á⢠V (¯® «£®à¨â¬ã, 㪠§ ®¬ã á. 204). Ǒãáâì ®¨ ¨¬¥îâ ¢¨¤ (t1 , t2 , . . . , t , s1 , s2 , . . . , s ). ®£¤ t1 a1 + t2 a2 + + t a | ¯à®¥ªæ¨ï x M1 ¯ à ««¥«ì® M2 , s1 b1 + s2 b2 + + s b | ¯à®¥ªæ¨ï x M2 ¯ à ««¥«ì® M1 . k
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§ ª«î票¥ ¯ à £à ä ¤®ª ¥¬ á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥, ª®â®à®¥ ¯à¨£®¤¨âáï ¬ ¢ x33.
Ǒ।«®¥¨¥.
᫨ V | ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮, M | ¥£® ¯®¤¯à®áâà á⢮, â® áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ M 0 ¢ V , çâ® V M M 0.
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祢¨¤®, çâ® ¥á«¨ V = f0g, â® ¬®® ¢§ïâì = V , ¥á«¨ M = V , â® ¬®® ¢§ïâì M 0 = f0g. Ǒ®í⮬㠤 «¥¥ ¬®® áç¨â âì, çâ® M 6= f0g ¨ M 6= V . Ǒ¥à¢®¥ ®§ ç ¥â, çâ® dim M > 0, ¢â®à®¥ (¢ ᨫ㠫¥¬¬ë ¨§ x24) | çâ® dim M < dim V . Ǒ®«®¨¬ dim M = m ¨ dim V = n. Ǒãáâì a1 ; a2; : : : ; a | ¡ §¨á M . ᨫã ⥮६ë 2 ¨§ x23 ¢ V áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ¢¥ªâ®àë a +1 ; a +2; : : : ; a , çâ® a1 ; a0 2 ; : : : ; a ; a +1; a +2; : : : ; a | ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠0 V . Ǒ®«®¨¬ M = ha +1 ; a +2; : : : ; a i ¨ ¤®ª ¥¬, çâ® V = M M . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì x 2 V . §«®¨¬ ¢¥ªâ®à x ¯® ¡ §¨áã a1; a2 ; : : : ; a ¯à®áâà á⢠V : x = t1 a1 + t2 a2 + + t a + t +1 a +1 + t +2 a +2 + + t a : Ǒãáâì y = t1 a1 + t2 a2 + + t a ; z = t +1 a +1 + t +2 a +2 + + t a : á®, çâ® x 0= y + z, y 2 M ¨ z 2 M 0. ë ¤®ª § «¨ ⥬ á ¬ë¬, çâ® V = M + M . ஬¥ ⮣®, ®ç¥¢¨¤®, çâ® dim V = dim M + dim M 0 . ᨫã ⥮६ë 2, V = M M 0. Ǒ।«®¥¨¥ ¤®ª § ®. M0
®ª § ⥫ìá⢮.
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M ¯à®áâà á⢠V . ¥ªâ®à x0 §ë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à®¬ ᤢ¨£ «¨¥©®£® ¬®£®®¡à §¨ï, ¯®¤¯à®áâà á⢮ M | ¥£® ¯à ¢«ïî騬 ¯®¤¯à®áâà á⢮¬. ¨¥©®¥ ¬®£®®¡à §¨¥ á ¢¥ªâ®à®¬ ᤢ¨£ x0 ¨ ¯à ¢«ïî騬 ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ M ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ x0 + M . 묨 á«®¢ ¬¨, x0 + M = fx0 + y j y 2 M g: Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥àë «¨¥©ëå ¬®£®®¡à §¨©. Ǒਬ¥à 1.
᫨ x0 = 0, â® x0 + M = M . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢á类¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¯à®áâà á⢠V ï¥âáï «¨¥©ë¬ ¬®£®®¡à §¨¥¬ ¢ V. Ǒਬ¥à 2.
᫨ M = f0g, â® x0 + M = fx0 g. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢á直© ¢¥ªâ®à ¨§ V â ª¥ ï¥âáï «¨¥©ë¬ ¬®£®®¡à §¨¥¬ ¢ V . Ǒਬ¥à 3. Ǒãáâì 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = b1 ; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = b2 ; (1) . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = b | ᮢ¬¥áâ ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á n ¥¨§¢¥áâ묨. 롥६ ¯à®¨§¢®«ìë¬ ®¡à §®¬ ¨ § 䨪á¨à㥬 ¥ª®â®à®¥ ¥¥ à¥è¥¨¥ ~x0 . ®£« ᮠ⥮६¥ 2 ¨§ x11 ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ 襩 á¨á⥬ë ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬®¥á⢮¬ ¢¥ªâ®à®¢ ¢¨¤ ~x0 + ~y, £¤¥ ~y ¯à®¡¥£ ¥â ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = 0; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = 0; (2) . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = 0: ª ®â¬¥ç¥® ¢ ¯à¨¬¥à¥ 5 ¨§ x24, ¬®¥á⢮ ¢á¥å à¥è¥¨© ¯®á«¥¤¥© á¨áâ¥¬ë ¥áâì ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ R . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®¥á⢮ ¢á¥å à¥è¥¨© á¨á⥬ë (1) ï¥âáï «¨¥©ë¬ ¬®£®®¡à §¨¥¬ ¢ R . ® §ë¢ ¥âáï «¨¥©ë¬ ¬®£®®¡à §¨¥¬, § ¤ ë¬ á¨á⥬®© «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© (1). ¥ªâ®à®¬ ᤢ¨£ í⮣® ¬®£®®¡à §¨ï ï¥âáï ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç á⮥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (1), ¯à ¢«ïî騬 ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ | ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (2). ⬥⨬ ¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠, çâ® ¢¥à® ¨ ®¡à ⮥: ¢á类¥ «¨¥©®¥ ¬®£®®¡à §¨¥ ¢ R ï¥âáï ¬®¥á⢮¬ ¢á¥å à¥è¥¨© ¥ª®â®à®© ᮢ¬¥á⮩ á¨á⥬ë á n ¥¨§¢¥áâ묨. m
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232
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
Ǒਢ¥¤¥¬ ⥯¥àì £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî ¨««îáâà æ¨î ¯®ïâ¨ï «¨¥©®£® ¬®£®®¡à §¨ï. Ǒਬ¥à 4. Ǒãáâì ` | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯àï¬ ï ( ¯«®áª®á⨠¨«¨ ¢ ¯à®áâà á⢥). ª ¨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 6 ¨§ x24, ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ §¤¥áì ¯àï¬ãî ¥ ª ª ¬®¥á⢮ â®ç¥ª, ª ª ¬®¥á⢮ ¯à ¢«¥ëå ®â१ª®¢, ¢ë室ïé¨å ¨§ ç « ª®®à¤¨ â ¨ § ª 稢 îé¨åáï ¢ â®çª å ¯àאַ©. Ǒà® â ª¨¥ ¯à ¢«¥ë¥ ®â१ª¨ ¬ë ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ®¨ \¯à¨ ¤«¥ â ¯àאַ©".
᫨ ` ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â, â® ® ï¥âáï ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ (á¬. ¯à¨¬¥à 6 ¢ x24), § ç¨â, ¨ «¨¥©ë¬ ¬®£®®¡à §¨¥¬. Ǒãáâì ⥯¥àì ` ¥ ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â. 롥६ ¯à®¨§¢®«ìë¬ ®¡à §®¬ ¨ § 䨪á¨à㥬 ¯à ¢«¥ë© ®â१®ª ~x0 , ¯à¨ ¤«¥ 騩 `. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ `1 ¯àï¬ãî, ¯ à ««¥«ìãî ` ¨ ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â. ®£¤ ¢á直© ¯à ¢«¥ë© ®â१®ª ~x, ¯à¨ ¤«¥ 騩 `, ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ª ª á㬬 ¯à ¢«¥®£® ®â१ª ~x0 ¨ ¥ª®â®à®£® ¯à ¢«¥®£® ®â१ª ~y, ¯à¨ ¤«¥ 饣® `1 (à¨á. 2). ¡à â®, ¢á直© ¯à ¢«¥ë© ®â१®ª ¢¨¤ ~x0 + ~y, £¤¥ ~y 2 `1, ¯à¨ ¤«¥¨â `. Ǒ®áª®«ìªã `1 | ¯®¤¯à®áâà á⢮, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ` | «¨¥©®¥ ¬®£®®¡à §¨¥ á ¢¥ªâ®à®¬ ᤢ¨£ ~x0 ¨ ¯à ¢«ïî騬 ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ `1. «®£¨ç® ¬®® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® «î¡ ï ¯«®áª®áâì (à áᬠâਢ ¥¬ ï ª ª ¬®¥á⢮ ¯à ¢«¥ëå ®â१ª®¢, ¨¤ãé¨å ¨§ ç « ª®®à¤¨ â ¢ â®çª¨ ¯«®áª®áâ¨) ï¥âáï «¨¥©ë¬ ¬®£®®¡à §¨¥¬ ¢ R 3 . y
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26. ¨¥©ë¥ ¬®£®®¡à §¨ï
233
1 ¨ 2. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® íâ® ¥ á«ãç ©®: íâ®â ä ªâ á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï «î¡®£® «¨¥©®£® ¬®£®®¡à §¨ï. ë ¯®«ã稬 íâ® ã⢥थ¨¥ ª ª á«¥¤á⢨¥ ¨§ á«¥¤ãî饣® १ã«ìâ â . ¥®à¥¬ . Ǒãáâì P = x0 + M ¨ Q = y0 + N | «¨¥©ë¥ ¬®£®®¡à §¨ï ¢ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥ V . ¢¥á⢮ P = Q ¨¬¥¥â ¬¥á⮠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ M = N ¨ x0 y0 2 M . ®ª § ⥫ìá⢮. ¥®¡å®¤¨¬®áâì. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® P = Q. ®ª ¥¬ á ç « , çâ® M = N . Ǒãáâì a 2 M . Ǒ®áª®«ìªã x0 + a 2 P ¨ P = Q, ¯®«ãç ¥¬, çâ® x0 + a 2 y0 + N . «¥¤®¢ ⥫ì®, áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à b 2 N â ª®©, çâ® x0 + a = y0 + b. «¥¥, x0 2 y0 + N; (3) â ª ª ª x0 = x0 + 0 2 P ¨ P = Q. «¥¤®¢ ⥫ì®, áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à
2 N â ª®©, çâ® x0 = y0 + . ¬¥¥¬ y0 + b = x0 + a = y0 + + a; ®âªã¤ a = b 2 N . â ª, ¥á«¨ a 2 M , â® a 2 N . «¥¤®¢ ⥫ì®, M N . «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® N M ¨ ¯®â®¬ã M = N . áâ ¥âáï ¯à®¢¥à¨âì, çâ® x0 y0 2 M . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§ (3) ¨ ¤®ª § ®£® ⮫쪮 çâ® à ¢¥á⢠M = N ¢ë⥪ ¥â, çâ® x0 2 y0 + M . «¥¤®¢ ⥫ì®, x0 = y0 + a ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¢¥ªâ®à a 2 M ¨ ¯®â®¬ã x0 y0 = a 2 M . ®áâ â®ç®áâì. Ǒãáâì ⥯¥àì M = N ¨ x0 y0 2 M . ॡã¥âáï ¤®ª § âì, çâ® P = Q. Ǒãáâì a 2 P . ®£¤ a = x0 + b ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¢¥ªâ®à b 2 M . Ǒ® ãá«®¢¨î x0 y0 = ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¢¥ªâ®à 2 M . «¥¤®¢ ⥫ì®, x0 = y0 + ¨ a = x0 + b = y0 + ( + b). Ǒ®áª®«ìªã
+ b 2 M ¨ M = N , ¨¬¥¥¬ a 2 Q. «¥¤®¢ ⥫ì®, P Q. ááã¤ ï «®£¨çë¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç ¥¬, çâ® Q P ¨ ¯®â®¬ã P = Q. ¥®à¥¬ ¤®ª § . ç áâ®áâ¨, ⥮६ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¥á«¨ x0 + M = y0 + N , â® M = N . 묨 á«®¢ ¬¨, ¯à ¢«ïî饥 ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¤ ®£® «¨¥©®£® ¬®£®®¡à §¨ï ®¯à¥¤¥«¥® ®¤®§ ç®.
â® ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì à §¬¥à®áâì «¨¥©®£® ¬®£®®¡à §¨ï x0 + M ª ª à §¬¥à®áâì ¯®¤¯à®áâà á⢠M . ®ª ¥¬ ⥯¥àì ®¡¥é ®¥ ¢ëè¥ á«¥¤á⢨¥. «¥¤á⢨¥. Ǒãáâì P = x0 + M | «¨¥©®¥ ¬®£®®¡à §¨¥ ¢ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥ V ¨ x1 2 P . ®£¤ P = x1 + M .
234
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
®ª § ⥫ìá⢮. Ǒ® ãá«®¢¨î x1 2 P , â.¥. x1 2 x0 + M . «¥¤®¢ ⥫ì®, áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à y 2 M â ª®©, çâ® x1 = x0 + y. ® ⮣¤ x1 x0 = y 2 M . § ¤®ª § ®© ¢ëè¥ â¥®à¥¬ë ¢ë⥪ ¥â, çâ® P = x1 + M . «¥¤á⢨¥ ¤®ª § ®. ª¨¬ ®¡à §®¬,
¢ ª ç¥á⢥ ¢¥ªâ®à ᤢ¨£ ¤ ®£® «¨¥©®£® ¬®£®®¡à §¨ï ¬®® ¢§ïâì ¯à®¨§¢®«ìë© ¯à¨ ¤«¥ 騩 ¥¬ã ¢¥ªâ®à.
x27. 1.
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á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç
ᮢ묨 ⨯ ¬¨ § ¤ ç ¯® ⥬¥ ¤ ®© £« ¢ë ïîâáï: 1) à ᯮ§ ¢ ¨¥ «¨¥©®© § ¢¨á¨¬®á⨠¨«¨ ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¤ ®© á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢; 2) § ¤ ç¨, á¢ï§ ë¥ á à §«®¥¨¥¬ ¢¥ªâ®à ¯® ¡ §¨áã: 室¥¨¥ ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à ¢ ¡ §¨á¥, ä®à¬ã« ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤®£® ¡ §¨á ª ¤à㣮¬ã; 3) 室¥¨¥ ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠, ¯®à®¤¥®£® ¤ ®© á¨á⥬®© ¢¥ªâ®à®¢, ¡ §¨á áã¬¬ë ¯®¤¯à®áâà áâ¢; 4) § ¤ ç¨, á¢ï§ ë¥ á ¯®ï⨥¬ ¯àאַ© áã¬¬ë ¯®¤¯à®áâà áâ¢: ¢ëïᥨ¥ à §«®¨¬®á⨠¯à®áâà á⢠¢ ¯àï¬ãî á㬬㠤 ëå ¯®¤¯à®áâà áâ¢, 室¥¨¥ ¯à®¥ªæ¨© ¢¥ªâ®à ¯®¤¯à®áâà á⢮. Ǒਬ¥àë à¥è¥¨ï § ¤ ç ¢á¥å íâ¨å ⨯®¢ ¨¬¥îâáï ¢ x21{25, ¨ ¯®â®¬ã §¤¥áì ¬ë ¨å à¥è âì ¥ ¡ã¤¥¬. 2.
¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï
㤥⠫¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ á«¥¤ãî騩 ¡®à ¢¥ªâ®à®¢: ) ~a1 = (1; 2; 1; 1), ~a2 = (2; 0; 3; 1), ~a3 = (1; 6; 9; 5); ¡) ~a1 = (1; 2; 1; 1), ~a2 = (2; 0; 3; 1), ~a3 = (1; 2; 1; 3); ¢) ~a1 = (1; 4; 9; 16), ~a2 = (4; 9; 16; 25), ~a3 = (9; 16; 25; 36)? 2. ®ª § âì, çâ® á«¥¤ãî騩 ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ «¨¥©® § ¢¨á¨¬, ¨ ©â¨ å®âï ¡ë ®¤¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¯®¤ ¡®à í⮣® ¡®à , á®áâ®ï騩 ¨§ âà¥å ¢¥ªâ®à®¢: ) ~a1 = (1; 1; 2; 0), ~a2 = (3; 1; 2; 4), ~a3 = (3; 5; 10; 8), ~a4 = (1; 2; 0; 3); 1.
x
27. ¤ ç¨
235
¡) ~a1 = (1; 1; 2; 1), ~a2 = (2; 3; 0; 1), ~a3 = (0; 1; 4; 1), ~a4 = (1; 1; 0; 2); ¢) ~a1 = ( 6; 0; 3; 9), ~a2 = (4; 0; 2; 6), ~a3 = (1; 1; 1; 2), ~a4 = ( 3; 1; 1; 1). 3. ©â¨ ¢á¥ § ç¥¨ï ¯ à ¬¥âà t, ¯à¨ ª®â®àëå ¢¥ªâ®à ~b «¨¥©® ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¢¥ªâ®àë ~a1;~a2;~a3: ) ~a1 = (3; 2; 5), ~a2 = (2; 4; 7), ~a3 = (5; 6; t), ~b = (1; 3; 5); ¡) ~a1 = (2; 3; 5), ~a2 = (3; 7; 8), ~a3 = (1; 6; 1), ~b = (7; 2; t); ¢) ~a1 = (1; t; 0), ~a2 = (2; 1; 1), ~a3 = (t; 0; 1), ~b = ( 1; 1; 2); £) ~a1 = (t; 2; 1), ~a2 = (2; t; 0), ~a3 = (3; 3; 1), ~b = (7; 7; 2). 4. Ǒ®ª § âì, çâ® ¢¥ªâ®àë ~a1 ;~a2 ;~ a3 ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¢ R 3 , ¨ ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~b ¢ í⮬ ¡ §¨á¥: ) ~a1 = (2; 1; 1), ~a2 = ( 1; 1; 0), ~a3 = (2; 2; 3), ~b = ( 1; 4; 5); ¡) ~a1 = (2; 1; 0), ~a2 = (1; 1; 1), ~a3 = (3; 1; 0), ~b = (1; 2; 2); ¢) ~a1 = (2; 3; 1), ~a2 = (3; 1; 5), ~a3 = (1; 4; 3), ~b = (3; 5; 6). 5. Ǒ®ª § âì, çâ® ¢¥ªâ®àë ~ a1 = ( 1; 2; 0; 0), ~a2 = (1; 2; 4; 0), ~a3 = (2; 3; 3; 0), ~a4 = (0; 0; 0; 1) ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¢ R 4 , ¨ ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~b = (1; 0; 3; 2) ¢ í⮬ ¡ §¨á¥. 6. 㤥⠫¨ ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ ¯à®áâà á⢠R 4 ¬®¥á⢮ ¢¥ªâ®à®¢ ~x = (x1 ; x2 ; x3 ; x4), ª®¬¯®¥âë ª®â®àëå 㤮¢«¥â¢®àïîâ á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬: ) x1 + x2 + x3 + x4 = 0; ¡) xx11 + 2xx22 ++ xx33 + xx44 == 00;; ¢) x1 + x2 + x3 + x4 = 1; £) x21 + x22 + x23 + x24 = 0? 7. ©â¨ ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠, ¯®à®¤¥®£® á«¥¤ãî騬 ¡®à®¬ ¢¥ªâ®à®¢: ) ~a1 = (1; 1; 1; 1), ~a2 = (1; 0; 1; 2), ~a3 = (1; 1; 1; 5); ¡) ~a1 = (1; 1; 1; 1), ~a2 = (1; 0; 1; 2), ~a3 = (1; 2; 3; 4); ¢) ~a1 = (1; 2; 1; 2), ~a2 = (2; 0; 1; 3), ~a3 = (4; 4; 1; 7), ~a4 = (3; 2; 3; 3). 8. Ǒਠª ª¨å § 票ïå ¯ à ¬¥âà t ¯®¤¯à®áâà á⢮, ¯®à®¤¥®¥ ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a1;~a2;~a3, ¨¬¥¥â ¨¡®«ìèãî à §¬¥à®áâì, ¯à¨ ª ª¨å | ¨¬¥ìèãî: ) ~a1 = (1; 1; 1; 3), ~a2 = ( t; t; 2; 6), ~a3 = (3; 3; 1 t; 9); ¡) ~a1 = (1; t; 1; 1), ~a2 = (2; 4; t; 2), ~a3 = (1; t; t 1; 1 t); ¢) ~a1 = (1; t; 1; 2), ~a2 = (2; 1; t; 5), ~a3 = (1; 10; 6; 1)? 9. ëïá¨âì, ¯à¨ ¤«¥¨â «¨ ¢¥ªâ®à ~ x ¯®¤¯à®áâà áâ¢ã, ¯®à®¤¥®¬ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a1;~a2;~a3 ¨ ~a4: ) ~a1 = (8; 3; 4; 3), ~a2 = (6; 3; 2; 5), ~a3 = (5; 2; 3; 1), ~a4 = (2; 1; 1; 1), ~x = (21; 10; 8; 15); ¡) ~a1 = (2; 4; 4; 2), ~a2 = (3; 2; 10; 5), ~a3 = (1; 1; 3; 1), ~a4 = (2; 1; 7; 1), ~x = (4; 5; 2; 1)?
236
« ¢ 5. ¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà áâ¢
10. ©â¨ ¡ §¨á áã¬¬ë ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2 ¯à®áâà á⢠R 4 , £¤¥ M1 ¯®à®¤ ¥âáï ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a1 = (2; 1; 3; 1), ~a2 = (1; 1; 0; 1) ¨ ~a3 = (1; 5; 6; 1), M2 | ¢¥ªâ®à ¬¨ ~b1 = ( 1; 0; 2; 3) ¨ ~b2 = (0; 1; 2; 4). 11. 㤥⠫¨ ¯à®áâà á⢮ R 4 ¯àאַ© á㬬®© ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 , ¯®à®¤¥®£® ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a1 = (2; 0; 1; 5), ~a2 = ( 1; 1; 3; 1), ¨ ¯®¤¯à®áâà á⢠M2, ¯®à®¤¥®£® ¢¥ªâ®à ¬¨ ~b1 = (1; 1; 4; 6), ~b2 = (3; 1; 2; 4)? 12. ®ª § âì, çâ® ¯à®áâà á⢮ R 4 ï¥âáï ¯àאַ© á㬬®© ¯®¤¯à®áâà á⢠M1, ¯®à®¤¥®£® ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a1 = (0; 1; 2; 1), ~a2 = ( 2; 1; 1; 0), ¨ ¯®¤¯à®áâà á⢠M2, ¯®à®¤¥®£® ¢¥ªâ®à ¬¨ ~b1 = (4; 2; 1; 2), ~b2 = (2; 3; 3; 3). ©â¨ ¯à®¥ªæ¨î ¢¥ªâ®à ~x = (4; 8; 11; 9) M2 ¯ à ««¥«ì® M1 . 13*. ¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ A = (a ) ¯®à浪 n §ë¢ ¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®© (ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç¥áª®© ), ¥á«¨ a = a (ᮮ⢥âá⢥® a = a ) ¤«ï ¢á¥å i; j = 1; 2; : : : ; n. ®¥á⢮ ¢á¥å ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨å (ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç¥áª¨å) ¬ âà¨æ ¯®à浪 n ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ M1 (ᮮ⢥âá⢥® ç¥à¥§ M2). ) ®ª § âì, çâ® M1 ¨ M2 | ¯®¤¯à®áâà á⢠¯à®áâà á⢠Mat , ¨ ©â¨ à §¬¥à®á⨠íâ¨å ¯®¤¯à®áâà áâ¢. ¡) ®ª § âì, çâ® Mat = M1 M2. ¢) Ǒãáâì A = (a ) | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n, í«¥¬¥âë ª®â®à®© § ¤ îâáï ¯à ¢¨«®¬: a = 1 ¯à¨ i 6 j ¨ a = 0 ¯à¨ i > j . ©â¨ ¯à®¥ªæ¨î A1 ¬ âà¨æë A M1 ¯ à ««¥«ì® M2 ¨ ¯à®¥ªæ¨î A2 ¬ âà¨æë A M2 ¯ à ««¥«ì® M1. 14*. ®ª § âì, çâ® ¥á«¨ à §¬¥à®áâì áã¬¬ë ¤¢ãå ¯®¤¯à®áâà á⢠¥¤¨¨æã ¡®«ìè¥ à §¬¥à®á⨠¨å ¯¥à¥á¥ç¥¨ï, â® ®¤® ¨§ ¯®¤¯à®áâà á⢠ᮤ¥à¨âáï ¢ ¤à㣮¬. ij
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4.
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âà¨æë âà¨æë ¥®¤®ªà â® ¢®§¨ª «¨ ¨ ¨á¯®«ì§®¢ «¨áì ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å £« ¢ å. ¥¯¥àì ¬ë ¯à¨áâ㯠¥¬ ª ¨å á¨á⥬ â¨ç¥áª®¬ã ¨§ã票î. Ǒ®«ãç¥ë¥ ¯à¨ í⮬ १ã«ìâ âë, à ¢® ª ª ¨ १ã«ìâ âë ¯à¥¤ë¤ã饩 £« ¢ë, ¬ë ¯à¨¬¥¨¬ ¤«ï ¡®«¥¥ £«ã¡®ª®£® ¨§ã票ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. ç «¥ £« ¢ë ¢¢®¤¨âáï ¯®ï⨥ à £ ¬ âà¨æë ¨ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ⥮६ ® à £¥. «¥¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ªà¨â¥à¨© ᮢ¬¥áâ®á⨠á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. ⥬ à áᬠâਢ ¥âáï ¢ ®¥ ¤«ï ¤ «ì¥©è¥£® ¯®ï⨥ ä㤠¬¥â «ì®£® ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¨ 㪠§ë¢ ¥âáï «£®à¨â¬ 室¥¨ï í⮣® ¡®à . «¥¥ ¨§ãç ¥âáï ®¯¥à æ¨ï 㬮¥¨ï ¬ âà¨æ. áᬠâਢ îâáï ¬ âà¨çë¥ ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ AX = B ¨ 㪠§ë¢ ¥âáï «£®à¨â¬ 室¥¨ï ¬ âà¨æë ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤®£® ¡ §¨á ª ¤à㣮¬ã á ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©. Ǒ®á«¥ í⮣® ¨§ãç ¥âáï ®¯¥à æ¨ï ®¡à é¥¨ï ¬ âà¨æë. ®ª §ë¢ ¥âáï ªà¨â¥à¨© ®¡à ⨬®á⨠¬ âà¨æë ¨ ¯à¨¢®¤¨âáï «£®à¨â¬ 室¥¨ï ®¡à ⮩ ¬ âà¨æë á ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©. x28.
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᫨ ¬¨®à M ¬ âà¨æë A, ïî騩áï ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ ¬ âà¨æë, à ᯮ«®¥®© ¢ áâப å á ®¬¥à ¬¨ i1 ; i2 ; : : : ; ik ¨ á⮫¡æ å á ®¬¥à ¬¨ j1 ; j2 ; : : : ; jk , ®â«¨ç¥ ®â ã«ï, â® ¡®à j j ¢¥ªâ®à®¢-áâப ~ai1 ;~ai2 ; : : : ;~aik ¨ ¡®à ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ ~a 1 , ~a 2 , j . . . , ~a k «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. ®ª § ⥫ìá⢮. «ï ¯à®áâ®âë ®¡®§ 票© ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¬ âà¨æ B, ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ ª®â®à®© ï¥âáï ¬¨®à M , à ᯮ«®¥ ¢ ¯¥à¢ëå k áâப å ¨ ¯¥à¢ëå k á⮫¡æ å ¬ âà¨æë A. â® ¥ ®£à ¨ç¨¢ ¥â ®¡é®áâ¨, â ª ª ª ¯à¨ ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¢á¥£¤ ¬®® ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ ¯¥à¥áâ ¢¨âì áâப¨ ¨ á⮫¡æë ¬ âà¨æë A. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¢¥ªâ®àë ~a1 ;~a2; : : : ;~a «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë. ᨫ㠫¥¬¬ë 4 ¨§ x21 ®¤¨ ¨§ ¨å, ᪠¥¬ ¯®á«¥¤¨©, ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ®áâ «ìëå, â.¥. ~a = t1~a1 + t2~a2 + + t 1~a 1 ¤«ï ¥ª®â®àëå ç¨á¥« t1 ; t2 ; : : : ; t 1 . âப¨ ¬ âà¨æë B ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© 㪮à®ç¥ë¥ áâப¨ ¬ âà¨æë A. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¢ë¯®«¥® ¨ k
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( ) ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ ¬ âà¨æ ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®© ¬¨®à ¯®à浪 r, ¢á¥ ¥¥ ¬¨®àë ¯®à浪 r + 1 à ¢ë 0, â® ¥¥ à £ à ¢¥ r. á ¬®¬ ¤¥«¥, «î¡®© ¬¨®à ¯®à浪 , ¡®«ì襣® r + 1, ¯ã⥬ ¥áª®«ìª¨å ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå à §«®¥¨© ¯® áâப ¬ ¬®® § ¯¨á âì ª ª «¨¥©ãî ª®¬¡¨ æ¨î ¬¨®à®¢ ¯®à浪 r + 1, ¨ ¯®â®¬ã ¢á¥ ¬¨®àë ¯®à浪 , ¡®«ì襣® r + 1, ¢ ¤ ®© ¬ âà¨æ¥ à ¢ë 0. â® ¡«î¤¥¨¥ ã¯à®é ¥â 室¥¨¥ à £ ¬ âà¨æë ¯à ªâ¨ª¥. ¯®¬®éìî ¯®ïâ¨ï à £ ¬ âà¨æë «¥£ª® ¤®ª § âì á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥, ª®â®à®¥ 㥠㯮¬¨ «®áì ¢ x22 ¨ ¯à¨£®¤¨âáï ¬ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬. ¥¬¬ 2. Ǒãáâì
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243
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29. 㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë
¡ §¨á ¯à®áâà á⢠R 4 . ç áâ®áâ¨, ®¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, r(T ) = n. Ǒ®áª®«ìªã ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¬¨®à®¬ ¯®à浪 n ¬ âà¨æë T ï¥âáï ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì, ¯®«ãç ¥¬, çâ® jT j 6= 0. ¥¬¬ 2 ¤®ª § . Ǒ®ï⨥ à £ ¬ âà¨æë ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ à áᬮâ२¨ á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. ç áâ®áâ¨, á ¥£® ¯®¬®éìî ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì , ¨§¢¥áâë© ª ª . FG
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ªà¨â¥à¨© ᮢ¬¥áâ®á⨠á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ⥮६ ஥ª¥à { ¯¥««¨
¥®à¥¬ 3. ¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ᮢ¬¥áâ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ à £ ¥¥ ®á®¢®© ¬ âà¨æë à ¢¥ à £ã ¥¥ à áè¨à¥®© ¬ âà¨æë. ®ª § ⥫ìá⢮. 䨪á¨à㥬 ¥ª®â®àãî á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. Ǒãáâì A | ¥¥ ®á®¢ ï ¬ âà¨æ , B | ¥¥ à áè¨à¥ ï ¬ âà¨æ . ª ®â¬¥ç¥® ¢ ª®æ¥ x21, ᮢ¬¥áâ®áâì 襩 á¨á⥬ë íª¢¨¢ «¥â ⮬ã, çâ® ¢¥ªâ®à-á⮫¡¥æ ¥¥ ᢮¡®¤ëå ç«¥®¢ ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë A. Ǒ®á«¥¤¥¥ ®§ ç ¥â, çâ® ¯à®áâà á⢮, ¯®à®¤¥®¥ ¢¥ªâ®à ¬¨-á⮫¡æ ¬¨ ¬ âà¨æë A, ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à®áâà á⢮¬, ¯®à®¤¥ë¬ ¢¥ªâ®à ¬¨-á⮫¡æ ¬¨ ¬ âà¨æë B. ç áâ®áâ¨, ᮢ¯ ¤ îâ à §¬¥à®á⨠íâ¨å ¯à®áâà áâ¢. ® à §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠, ¯®à®¤¥®£® ¢¥ªâ®à ¬¨-á⮫¡æ ¬¨ ¥ª®â®à®© ¬ âà¨æë, ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª à £ í⮩ ¬ âà¨æë ¯® á⮫¡æ ¬. «¥¤®¢ ⥫ì®, à £ ¯® á⮫¡æ ¬ ¬ âà¨æë A à ¢¥ à £ã ¯® á⮫¡æ ¬ ¬ âà¨æë B. ¥®à¥¬ 3 ¤®ª § .
x29.
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í⮬ ¯ à £à ä¥ ¡ã¤¥â 㪠§ ® ¥é¥ ®¤® ¯à¨¬¥¥¨¥ ¯®ïâ¨ï à £ ¬ âà¨æë ª ¨áá«¥¤®¢ ¨î á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. ª ®â¬¥ç «®áì ¢ ¯à¨¬¥à¥ 5 ¨§ x24, ¬®¥á⢮ ¢á¥å à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á n ¥¨§¢¥áâ묨 ®¡à §ã¥â ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ R . §¨á í⮣® ¯®¤¯à®áâà á⢠§ë¢ ¥âáï ä㤠¬¥â «ìë¬ ¡®à®¬ à¥è¥¨© ¤ ®© ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë. ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, â® ¯à®áâà á⢮ ¥¥ à¥è¥¨© | ã«¥¢®¥. Ǒ®áª®«ìªã ã«¥¢®¥ ¯à®áâà á⢮ ¡ §¨á ¥ ¨¬¥¥â, n
244
« ¢ 6. âà¨æë
¤«ï ®¤®à®¤ëå á¨á⥬, ¨¬¥îé¨å ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, ä㤠¬¥â «ì®£® ¡®à à¥è¥¨© ¥ áãé¥áâ¢ã¥â.
ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥¨ï ¡ §¨á «î¡®¥ ç á⮥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë ¯à¥¤áâ ¢¨¬®, ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬, ª ª «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ ä㤠¬¥â «ì®£® ¡®à à¥è¥¨©. ª¨¬ ®¡à §®¬, ©¤ï ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨©, ¬ë, ¯® áãé¥áâ¢ã, ©¤¥¬ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë. «¥¤ãîé ï ⥮६ £®¢®à¨â ® ⮬, ᪮«ìª® ¢¥ªâ®à®¢ ᮤ¥à¨âáï ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¡®à¥ à¥è¥¨©, ¢ ¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ᮤ¥à¨âáï ᯮᮡ ¯®áâ஥¨ï íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢. ¥®à¥¬ . §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© à ¢ n r, £¤¥ n | ç¨á«® ¥¨§¢¥áâëå, r | à £ ®á®¢®© ¬ âà¨æë á¨á⥬ë.
áᬮâਬ ®¤®à®¤ãî á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = 0; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = 0; (1) . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = 0: ¡®§ 稬 ¥¥ ®á®¢ãî ¬ âà¨æã ç¥à¥§ A. ª ª ª r | à £ ¬ âà¨æë A, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¥¥ ¬¨®à M ¯®à浪 r, ®â«¨çë© ®â ã«ï. 㤥¬ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠áç¨â âì, çâ® ¬ âà¨æ , ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ ª®â®à®© ï¥âáï ¬¨®à M , à ᯮ«®¥ ¢ «¥¢®¬ ¢¥à奬 㣫㠬 âà¨æë A, â.¥. á®á⮨⠨§ ¥¥ ¯¥à¢ëå r áâப ¨ ¯¥à¢ëå r á⮫¡æ®¢. ᨫ㠫¥¬¬ë 1 ¨§ x28 ¯¥à¢ë¥ r áâப ¬ âà¨æë A «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. Ǒ®áª®«ìªã à £ ¬ âà¨æë A ¯® áâப ¬ à ¢¥ r, í⨠áâப¨ ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠, ¯®à®¤¥®£® ¢¥ªâ®à ¬¨-áâப ¬¨ ¬ âà¨æë A. «¥¤®¢ ⥫ì®, áâப¨ á ®¬¥à ¬¨ r +1; r +2; : : : ; m ïîâáï «¨¥©ë¬¨ ª®¬¡¨ æ¨ï¬¨ áâப á ®¬¥à ¬¨ 1; 2; : : : ; r. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¯®á«¥¤¨¥ m r ãà ¢¥¨© á¨á⥬ë (1) ïîâáï á«¥¤á⢨ﬨ ¥¥ ¯¥à¢ëå r ãà ¢¥¨©, â.¥. á¨á⥬ (1) íª¢¨¢ «¥â á¨á⥬¥ 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = 0; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = 0; (2) .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. > > : a 1x1 + a 2x2 + + a x = 0: Ǒந§¢®«ìë¬ ®¡à §®¬ ¯à¨¤ ¤¨¬ ¥¨§¢¥áâë¬ x +1 ; x +2; : : : ; x § 票ï x0+1 ; x0+2; : : : ; x0 ᮮ⢥âá⢥®. Ǒ®«ãç¥ãî á¨á⥬㠬®® ®ª § ⥫ìá⢮.
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245
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29. 㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë
¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ 8 a11 x1 +a12 x2 + +a1 x = a1 +1 x0+1 a1 +2 x0+2 a1 x0 ; > > < a21 x1 +a22 x2 + +a2 x = a2 +1 x0+1 a2 +2 x0+2 a2 x0 ; (3) .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. > > : a 1 x1 +a 2 x2 + +a x = a +1 x0+1 a +2 x0+2 a x0 : ë ¯®«ã稫¨ ªà ¬¥à®¢áªãî á¨á⥬ã á ¥¨§¢¥áâ묨 x1 ; x2; : : : ; x . ¯à¥¤¥«¨â¥«ì í⮩ á¨á⥬ë à ¢¥ ¬¨®àã M , ª®â®àë© ®â«¨ç¥ ®â ã«ï. Ǒ® ¯à ¢¨«ã à ¬¥à (á¬. ⥮६ã 1 ¢ x14) á¨á⥬ (3) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ (x01 ; x02 ; : : : ; x0 ). á®, çâ® (x01 , x02, . . . , x0 , x0+1, . . . , x0 ) | à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (2), § ç¨â, ¨ á¨á⥬ë (1). â ª, ¥¨§¢¥áâë¥ x +1; x +2 ; : : : ; x ¬®£ã⠯ਨ¬ âì ¯à®¨§¢®«ìë¥ § 票ï, ¨ ¯® ª ¤®¬ã ¡®àã § 票© íâ¨å ¥¨§¢¥áâëå ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ 室ïâáï § ç¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå x1 ; x2 ; : : : ; x â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ¯®«ãç¥ë© ¡®à § 票© ¢á¥å ¥¨§¢¥áâëå x1 ; x2 ; : : : ; x ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (1). ¥¨§¢¥áâë¥ x +1 , x +2 , . . . , x §ë¢ îâáï ᢮¡®¤ë¬¨, ¥¨§¢¥áâë¥ x1 ; x2; : : : ; x | á¢ï§ 묨 ¨«¨ ®á®¢ë¬¨. Ǒਤ ¤¨¬ ᢮¡®¤ë¬ ¥¨§¢¥áâë¬ á«¥¤ãî騥 § 票ï: x +1 = 1; x +2 = = x = 0: ¨á⥬ (3) ¯à¨¬¥â ¢¨¤ 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = a1 +1 ; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = a2 +1 ; . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = a +1 : Ǒ® ¯à ¢¨«ã à ¬¥à íâ á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. ¡®§ 稬 ¥£® ç¥à¥§ (f11; f12; : : : ; f1 ). áè¨à¨¢ íâ®â ¢¥ªâ®à § 票ﬨ ᢮¡®¤ëå ¥¨§¢¥áâëå, ¯®«ã稬 ¢¥ªâ®à f~1 = (f11; f12; : : : ; f1 ; 1; 0, . . . , 0), ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (2). «¥¥, ¯à¨¤ ¤¨¬ ᢮¡®¤ë¬ ¥¨§¢¥áâë¬ § 票ï x +1 = 0; x +2 = 1; x +3 = = x = 0: íâ®â à § á¨á⥬ (3) ¯à¨¬¥â ¢¨¤ 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = a1 +2 ; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = a2 +2 ; . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = a +2 : r
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« ¢ 6. âà¨æë
â á¨á⥬ â ª¥ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, ª®â®à®¥ ¬ë ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ (f21; f22; : : : ; f2 ). áè¨à¨¢ ¥£®, ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ f~2 = (f21; f22; : : : ; f2 ; 0; 1; 0; : : : ; 0) á¨á⥬ë (2). Ǒத®«¨¬ íâ®â ¯à®æ¥áá, ª ¤ë© à § ¯à¨à ¢¨¢ ï ®¤ã ¨§ ᢮¡®¤ëå ¥¨§¢¥áâëå ª 1, ¢á¥ ®áâ «ìë¥ | ª 0. ª®æ¥ ª®æ®¢ ¬ë ¯®«ã稬 n r à¥è¥¨© á¨á⥬ë (2): f~1 = (f11 ; f12 ; : : : ; f1 ; 1; 0; 0; : : : ; 0); f~2 = (f21 ; f22 ; : : : ; f2 ; 0; 1; 0; : : : ; 0); . . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . f~ = (f 1 ; f 2 ; : : : ; f ; 0; 0; 0; : : : ; 1): ®ª ¥¬, çâ® í⨠¢¥ªâ®àë ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠à¥è¥¨© á¨á⥬ë (2). áᬮâਬ ¬ âà¨æã, ¢ ª®â®à®© ¯® áâப ¬ § ¯¨á ë ª®¬¯®¥âë íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢: r
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1 0 0 ::: 01 0 1 0 ::: 0C C . . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . A : f 1 f 2 ::: f 0 0 0 ::: 1
f11 B f21 B=B n
f12 f22
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¨®à í⮩ ¬ âà¨æë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¥¥ ¯®á«¥¤¨¬ n r á⮫¡æ ¬ ¨ ¢á¥¬ n r áâப ¬, à ¢¥ 1. ᨫ㠫¥¬¬ë 1 ¨§ x28 ¢¥ªâ®àë-áâப¨ ¬ âà¨æë B, â.¥. ¢¥ªâ®àë f~1; f~2; : : : ; f~ , «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. ᨫ㠫¥¬¬ë ¨§ x22 ®áâ «®áì ¯®ª § âì, çâ® í⨠¢¥ªâ®àë ïîâáï á¨á⥬®© ®¡à §ãîé¨å ¯à®áâà á⢠à¥è¥¨© á¨á⥬ë (2), â.¥. çâ® «î¡®¥ à¥è¥¨¥ í⮩ á¨á⥬ë ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ f~1; f~2; : : : ; f~ . Ǒãáâì ~x0 = (t1; t2; : : : ; t ) | ¯à®¨§¢®«ì®¥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (2). áᬮâਬ ¢¥ªâ®à n
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y~0 = ~x0 t +1 f~1 t +2 f~2 r
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t f~ : n
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¡®§ 稬 ¥£® ª®¬¯®¥âë ç¥à¥§ s1; s2; : : : ; s . § ¯®áâ஥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ f~1 ; f~2 ; : : : ; f~ ¢ë⥪ ¥â, çâ® s +1 = s +2 = = s = 0. «¥¥, ¢ ᨫã ⥮६ë 1 ¨§ x11, ¢¥ªâ®à ~y0 ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (2). Ǒ®¤áâ ¢¨¢ ¥£® ª®¬¯®¥âë ¢ (2), ¯®«ã稬 à ¢¥á⢠n
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8 > > a11 s1 <
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+ a12s2 + + a1 s = 0; + a22s2 + + a2 s = 0; . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. > > : a 1 s1 + a 2 s2 + + a s = 0: a21 s1 r
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29. 㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë
247
ë ¢¨¤¨¬, çâ® s1; s2; : : : ; s | à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = 0; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = 0; .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . > > : a 1 x1 + a 2 x2 + +a x = 0: ® íâ® ªà ¬¥à®¢áª ï á¨á⥬ á ®â«¨çë¬ ®â ã«ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ (á¬. ¯¥à¢ë© ¡§ æ ¤®ª § ⥫ìá⢠). Ǒ® ⥮६¥ 2 ¨§ x14 ® ¥ ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢ëå à¥è¥¨©. «¥¤®¢ ⥫ì®, (s1; s2 ; : : : ; s ) | ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ í⮩ á¨á⥬ë, â.¥. s1 = s2 = = s = 0. ë ¤®ª § «¨, çâ® ~y0 = ~0. â® ®§ ç ¥â, çâ® ~x0 = t +1 f~1 + t +2 f~2 + + t f~ : â ª, f~1; f~2; : : : ; f~ | ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠à¥è¥¨© á¨á⥬ë (2). Ǒ®áª®«ìªã á¨á⥬ (2) íª¢¨¢ «¥â ¨á室®© á¨á⥬¥ (1), ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯à®áâà á⢮ à¥è¥¨© á¨á⥬ë (1) ¨¬¥¥â ¡ §¨á ¨§ n r ¢¥ªâ®à®¢. «¥¤®¢ ⥫ì®, à §¬¥à®áâì í⮣® ¯à®áâà áâ¢ à ¢ n r. ¥®à¥¬ ¤®ª § . ⬥⨬, ç⮠᢮¡®¤ë¬ ¥¨§¢¥áâë¬ á®¢á¥¬ ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¯à¨á¢ ¨¢ âì § ç¥¨ï ¨¬¥® â ª, ª ª í⮠ᤥ« ® ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë (£¤¥ ¢á¥£¤ ®¤® ¨§ ᢮¡®¤ëå ¥¨§¢¥áâëå ¯à¨à ¢¨¢ «®áì ª 1, ®áâ «ìë¥ | ª 0). ®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¢ë¯®«ï«®áì á«¥¤ãî饥 ãá«®¢¨¥: r
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ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ , ¢ ª®â®à®© ¯® áâப ¬ § ¯¨á ë § 票ï ᢮¡®¤ëå ¥¨§¢¥áâëå ¢ ¢¥ªâ®à å ä㤠¬¥â «ì®£® ¡®à à¥è¥¨©, ¥¢ëத¥ .
á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§ ¤®ª § ⥫ìáâ¢ â¥®à¥¬ë ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¯à¨ â ª®¬ ¢ë¡®à¥ ᢮¡®¤ëå ¥¨§¢¥áâëå ¬ë ¯®«ã稬 n r «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ ¯à®áâà á⢠à¥è¥¨© ¨á室®© á¨á⥬ë. Ǒ®áª®«ìªã, ¢ ᨫã ⥮६ë, à §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠à¥è¥¨© à ¢ n r, ®áâ ¥âáï á®á« âìáï ⥮६ã 2 ¨§ x23. ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ⮬ ¢ë¡®à¥ § 票© ᢮¡®¤ëå ¥¨§¢¥áâëå, ª®â®àë© ãª § ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë, 㪠§ ï ¢ëè¥ ¬ âà¨æ ï¥âáï ¥¤¨¨ç®©, ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì à ¢¥ 1. Ǒ।¥ 祬 ¯à¨¢®¤¨âì ¯à¨¬¥à 室¥¨ï ä㤠¬¥â «ì®£® ¡®à à¥è¥¨©, 㪠¥¬ ®¡¥é ë© ¢ x25 «£®à¨â¬ 室¥¨ï ¡ §¨á ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯®¤¯à®áâà áâ¢. Ǒãáâì M1 ¨ M2 | ¯®¤¯à®áâà á⢠¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠V , ¢¥ªâ®àë a1 ; a2; : : : ; a ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠M1, ¢¥ªâ®àë b1; b2; : : : ; b | ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠M2. k
m
248
« ¢ 6. âà¨æë
Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® x 2 M1 \ M2. ®£¤ ©¤ãâáï ç¨á« t1 ; t2; : : : ; t ¨ s1 ; s2 ; : : : ; s â ª¨¥, çâ® x = t1 a1 + t2 a2 + + t a = s1 b1 + s2 b2 + + s b : «¥¤®¢ ⥫ì®, t1 a1 + t2 a2 + + t a s1 b1 s2 b2 s b = 0: (4)
᫨ à ᯨá âì íâ® ¢¥ªâ®à®¥ à ¢¥á⢮ ¢ ª®®à¤¨ â å, ¬ë ¯®«ã稬 ®¤®à®¤ãî á¨á⥬ã n «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© (£¤¥ n | à §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠) á r + s ¥¨§¢¥áâ묨 t1; t2; : : : ; t ; s1; s2; : : : ; s . ᮢ ï ¬ âà¨æ í⮩ á¨áâ¥¬ë ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¯®à冷ª n (k + m) ¨ ¡ã¤¥â ¢ë£«ï¤¥âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¢ ¥¥ ¯¥à¢ëå k á⮫¡æ å áâ®ïâ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2; : : : ; a , ¢ ¯®á«¥¤¨å m á⮫¡æ å | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ b1; b2 ; : : : ; b , .
᫨ (t01 ; t02; : : : ; t0 ; s01; s02; : : : ; s0 ) | ç á⮥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (4), â® ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ (5) t01 a1 + t02 a2 + + t0 a = s01 b1 + s02 b2 + + s0 b ¨ ¢¥ªâ®à, áâ®ï騩 ¢ ª ¤®© ¨§ ç á⥩ í⮣® à ¢¥á⢠, «¥¨â ¢ M1 \ M2 . Ǒਠí⮬ ¢¥ªâ®à ¬ ¨§ ä㤠¬¥â «ì®£® ¡®à à¥è¥¨© á¨á⥬ë (4) ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¢¥ªâ®àë ¨§ ¡ §¨á M1\M2 . ª¨¬ ®¡à §®¬, «£®à¨â¬ 室¥¨ï ¡ §¨á M1 \ M2 ¨¬¥¥â á«¥¤ãî騩 ¢¨¤. ©¤¥¬ ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© á¨á⥬ë (4).
᫨ ®ª ¥âáï, çâ® ¥£® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â.¥. çâ® á¨á⥬ (4) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ (á¬. ¯à¨¬¥ç ¨¥ á. 243), â® M1 \ M2 = f0g. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¤«ï ª ¤®£® ¢¥ªâ®à ¨§ ä㤠¬¥â «ì®£® ¡®à à¥è¥¨© ¢ëç¨á«¨¬ ¢¥ªâ®à, áâ®ï騩 ¢ «¥¢®© (¨«¨, çâ® ¤ áâ â®â ¥ १ã«ìâ â, ¢ ¯à ¢®© ) ç áâ¨ à ¢¥á⢠(5). Ǒ®«ãç¥ë¥ ¢¥ªâ®àë k
m
k
k
k
m
k
m
m
m
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k
m
¢§ïâë¥ á ®¡à âë¬ § ª®¬
m
k
k
k
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m
M1 \ M2 . Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à. Ǒãáâì M1 | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ R 4 , ¯®à®¤¥®¥ ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a1 = (1; 1; 0; 0), ~a2 = (0; 1; 1; 0) ¨ ~a3 = (0; 0; 1; 1), M2 | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ R 4 , ¯®à®¤¥®¥ ¢¥ªâ®à ¬¨ ~b1 = (1; 1; 1; 1), ~b2 = (1; 0; 1; 1) ¨ ~b3 = (1; 0; 2; 0). ᯮ«ì§ãï «£®à¨â¬, 㪠§ ë© á. 221, «¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® (~a1;~a2;~a3) | ¡ §¨á M1, (~b1; ~b2; ~b3) | ¡ §¨á M2. ¨ ®¡à §ãîâ ¡ §¨á
¨á⥬ (4) ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ 8 > > t1 < > > :
t1
+ t2 t2
+ t3 t3
s1 s1 s1 s1
s2
+
s2 s2
= 0; = 0; 2s3 = 0; = 0: s3
(6)
x
29. 㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë
249
믨襬 ®á®¢ãî ¬ âà¨æã í⮩ á¨áâ¥¬ë ¨ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã: 0 1 0 0 1 1 11 01 0 0 1 1 11 B1 1 0 1 0 0C B0 1 0 0 1 1C B C B C 0 1 1 1 1 2A 0 1 1 1 1 2A 001 1 1 0 001 1 1 0 0 1 0 100 1 1 1 1 0 0 1 1 11 B0 1 0 0 1 1C B0 1 0 0 1 1C C B C B 0 0 1 1 2 3A 0 0 1 1 2 3A 001 1 1 0 000 0 3 3 0 1 100 1 1 1 B0 1 0 1 0 1C C B 0 0 1 2 1 3A: 000 3 0 3 ⬥⨬, ç⮠㥠¯à¥¤¯®á«¥¤¥¬ è £¥ ¬ë ¯®«ã稫¨ áâ㯥ç âãî ¬ âà¨æã. ® á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï í⮩ ¬ âà¨æ¥, ¥ ï¥âáï «¥áâ¨ç®©. â®¡ë ¯®«ãç¨âì ¬ âà¨æã «¥áâ¨ç®© á¨á⥬ë, ¬ë ¯®á«¥¤¥¬ è £¥ ¯¥à¥áâ ¢¨«¨ ç¥â¢¥àâë© ¨ ¯ïâë© á⮫¡æë. Ǒ®í⮬ã ⥯¥àì ¢ ç¥â¢¥à⮬ á⮫¡æ¥ áâ®ïâ ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ s2, ¢ ¯ï⮬ | ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ s1. 믨襬 á¨á⥬ã, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¯®á«¥¤¥© ¬ âà¨æ¥: 8 t1 s2 s1 s3 = 0; > > < t2 + s2 + s3 = 0; t3 2s2 s1 3s3 = 0; > > : 3s2 + 3s3 = 0: ©¤¥¬ ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© í⮩ á¨á⥬ë. á®, çâ® ® ¨¬¥¥â ¤¢¥ ᢮¡®¤ë¥ ¥¨§¢¥áâë¥ | s1 ¨ s3. Ǒ®«®¨¬ á ç « s1 = 1 ¨ s3 = 0. § ç¥â¢¥à⮣® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥¬ s2 = 0, ¨§ âà¥â쥣® | t3 = 1, ¨§ ¢â®à®£® | t2 = 0, ¨§ ¯¥à¢®£® | t1 = 1. Ǒ®«®¨¬ ⥯¥àì s1 = 0 ¨ s3 = 1. ®£¤ ¨§ ãà ¢¥¨© 襩 á¨áâ¥¬ë ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¢ë⥪ ¥â, çâ® s2 = 1, t3 = 1, t2 = 0, t1 = 0. â ª, ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© á¨á⥬ë (6) á®á⮨⠨§ ¢¥ªâ®à®¢ (1,0,1,1,0,0) ¨ (0; 0; 1; 0; 1; 1). ¤®¬ã ¨§ íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à ¨§ M1 \ M2. ¥ªâ®àã (1,0,1,1,0,0) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à 1~a1 +0~a2 +1~a3 = 1~b1 +0~b2 +0~b3 = (1; 1; 1; 1), ¢¥ªâ®àã (0; 0; 1; 0; 1; 1) | ¢¥ªâ®à 0 ~a1 + 0 ~a2 + 1 ~a3 = 0 ~b1 + ( 1) ~b2 + 1 ~b3 = (0; 0; 1; 1). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ª ç¥á⢥ ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠M1 \ M2 ¬®® ¢§ïâì ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ (1,1,1,1), (0,0,1,1).
250
« ¢ 6. âà¨æë
à㣮© ᯮᮡ 室¥¨ï ¡ §¨á ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯®¤¯à®áâà á⢠¡ã¤¥â 㪠§ ¢ ª®æ¥ x40. 㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë ¯à¨å®¤¨âáï ¨áª âì ¨ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¥®¤®à®¤ëå á¨á⥬. á ¬®¬ ¤¥«¥, ⥮६ 2 ¨§ x11 ¨ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ä㤠¬¥â «ì®£® ¡®à à¥è¥¨© ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¥á«¨ á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¨¬¥¥â ¡®«¥¥ ®¤®£® ç á⮣® à¥è¥¨ï, â® ¥¥ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¬®¥â ¡ëâì § ¯¨á ® ¢ ¢¨¤¥ f~0 + 1 f~1 + 2 f~2 + + f~ ; £¤¥ f~0 | ç á⮥ à¥è¥¨¥ í⮩ á¨á⥬ë, f~1; f~2; : : : ; f~ | ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¥© ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë, 1, 2, . . . , | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« . ëà ¥¨ï 㪠§ ®£® ¢¨¤ §ë¢ îâ ¢¥ªâ®à®© § ¯¨áìî ®¡é¥£® à¥è¥¨ï á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. Ǒத¥¬®áâà¨à㥬, ª ª ©â¨ ¢¥ªâ®àãî § ¯¨áì ®¡é¥£® à¥è¥¨ï, ¯à¨¬¥à¥ ¯¥à¢®© ¨§ á¨á⥬, à áᬮâà¥ëå ¢ x12. á室 ï á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¢¨¤ 8 2x2 x3 + 2x4 x5 = 2; > > < x1 + x2 x3 + 2x4 + x5 = 4; x + 3 x 2 x3 + 4x4 = 6; > 1 2 > : 2x1 + x2 + x3 x5 = 3: ¯¨á ¢ ¥¥ à áè¨à¥ãî ¬ âà¨æã ¨ ¯à¨¢¥¤ï ¥¥ ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã, ¯®«ã稬 ¬ âà¨æã 0 1 1 1 2 1 41 0 2 1 2 1 2A 0 0 5 6 7 8 (á¬. á. 144). ¢®¡®¤ë¬¨ ¥¨§¢¥áâ묨 ïîâáï x4 ¨ x5 . ©¤¥¬ á ç « ®¤® ç á⮥ à¥è¥¨¥ 襩 á¨á⥬ë. «ï í⮣® ¤® ®¡à §®¬ § 䨪á¨à®¢ âì § 票ï ᢮¡®¤ëå ¥¨§¢¥áâëå. Ǒãáâì, ¯à¨¬¥à, x4 = 1, x5 = 2. § âà¥â쥣® ãà ¢¥¨ï (5x3 6x4 7x5 = 8) ¨¬¥¥¬ x3 = 0, ¨§ ¢â®à®£® (2x2 x3 + 2x4 x5 = 2) | x2 = 3, ¨§ ¯¥à¢®£® (x1 + x2 x3 + 2x4 + x5 = 4) | x1 = 1. ©¤¥¬ ⥯¥àì ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë. Ǒ®áª®«ìªã ᢮¡®¤ëå ¥¨§¢¥áâëå ¤¢¥, íâ®â ¡®à á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ¢¥ªâ®à®¢. ¯®á«¥¤ãîé¨å ¢ëç¨á«¥¨ïå á«¥¤ã¥â ¯®¬¨âì, çâ® §¤¥áì ¬ë à¥è ¥¬ á¨á⥬ã. Ǒ®í⮬ã í«¥¬¥âë ¯®á«¥¤¥£® á⮫¡æ à áè¨à¥®© ¬ âà¨æë á¨á⥬ë | ᢮¡®¤ë¥ ç«¥ë á¨á⥬ë | á«¥¤ã¥â § ¬¥ïâì ã«ï¬¨. ©¤¥¬ ¯¥à¢ë© ¢¥ªâ®à ¨§ ä㤠¬¥â «ì®£® ¡®à à¥è¥¨©. Ǒ®«®¨¬ x4 = 5, x5 = 0 (¬ë ¯à¨à ¢ï«¨ x4 ª 5, ¥ ª 1 k
k
k
k
¯à®¨§¢®«ì-
ë¬
®¤®à®¤ãî
x
29. 㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë
251
¤«ï ⮣®, çâ®¡ë § ç¥¨ï ®áâ «ìëå ¥¨§¢¥áâëå ¯®«ã稫¨áì 楫묨 ç¨á« ¬¨). § âà¥â쥣® ãà ¢¥¨ï (5x3 6x4 7x5 = 0) 室¨¬, çâ® x3 = 6, ¨§ ¢â®à®£® (2x2 x3 + 2x4 x5 = 0) | çâ® x2 = 2, ¨§ ¯¥à¢®£® (x1 + x2 x3 + 2x4 + x5 = 0) | çâ® x1 = 2. ©¤¥¬ ¢â®à®© ¢¥ªâ®à ¨§ ä㤠¬¥â «ì®£® ¡®à à¥è¥¨©. Ǒ®«®¨¬ x4 = 0, x5 = 5. § âà¥â쥣® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥¬ x3 = 7, ¨§ ¢â®à®£® | x2 = 6, ¨§ ¯¥à¢®£® | x1 = 4. ⬥⨬, çâ® ¬ âà¨æ , á®áâ ¢«¥ ï ¨§ § 票© ᢮¡®¤ëå ¥¨§¢¥áâëå ¢ ¢¥ªâ®à å ä㤠¬¥â «ì®£® ¡®à à¥è¥¨©, ¨¬¥¥â ¢¨¤ 5 0: 05 â ¬ âà¨æ ¥¢ëத¥ . «¥¤®¢ ⥫ì®, è ¢ë¡®à § 票© ᢮¡®¤ëå ¥¨§¢¥áâëå ª®à४â¥. «ï £«ï¤®á⨠१ã«ìâ âë ¯à®¤¥« ëå ¢ëè¥ ¢ëª« ¤®ª 㤮¡® ®ä®à¬¨âì ¢ ¢¨¤¥ á«¥¤ãî饩 â ¡«¨æë. x1
x2
x3
k xk5
x4
1 3 0 1 2 ¥®¤®à®¤ ï á¨á⥬ 2 2 6 5 0 ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ 4 6 7 0 5 ¯¥à¢®© áâப¥ â ¡«¨æë ¥¨§¢¥áâë¥ x4 ¨ x5 ®¡¢¥¤¥ë ªà㪮¬, çâ®¡ë ¢ ¬ ¢¨¤¥ ¢ë¤¥«¨âì ᢮¡®¤ë¥ ¥¨§¢¥áâë¥. â®à ï áâப ®â¤¥«¥ ®â âà¥â쥩 ¤¢ã¬ï ç¥àâ ¬¨, ç⮡ë à §¤¥«¨âì ç áâë¥ à¥è¥¨ï ®¤®à®¤®© ¨ ¥®¤®à®¤®© á¨á⥬. «ï ¡®«ì襩 £«ï¤®á⨠á¯à ¢ ®â â ¡«¨æë 㪠§ ®, à¥è¥¨¥ ª ª®© á¨á⥬ë (®¤®à®¤®© ¨«¨ ¥®¤®à®¤®©) § ¯¨á ® ¢ ⮩ ¨«¨ ¨®© áâப¥. ¥ªâ®à ï § ¯¨áì ®¡é¥£® à¥è¥¨ï 襩 á¨áâ¥¬ë ¨¬¥¥â, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢¨¤ (1; 3; 0; 1; 2) + ( 2; 2; 6; 5; 0) 1 + ( 4; 6; 7; 0; 5) 2; £¤¥ 1 ¨ 2 | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« . ë¯¨á ¢ ª ¤ãî ¨§ ª®®à¤¨ â ¯®«ã祮£® ¢¥ªâ®à , ¬ë ¯®«ã稬 ª®®à¤¨ âãî § ¯¨áì ®¡é¥£® à¥è¥¨ï: 8 x1 = 1 2 1 4 2 ; > > > > 2 1 + 6 2; < x2 = 3 x3 = 6 1 + 7 2; > > x = 1 + 5 1 ; > 4 > : x5 = 2 + 5 2: ⬥⨬, çâ® ª®®à¤¨ â ï § ¯¨áì ®¡é¥£® à¥è¥¨ï ⮩ ¥ á¨á⥬ë, ©¤¥ ï ¢ x12, ¢ë£«ï¤¨â ¯®-¤à㣮¬ã | á¬. â ¬ à ¢¥á⢠(6). â®
252
« ¢ 6. âà¨æë
¥ã¤¨¢¨â¥«ì®: ç á⮥ à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë ¨ ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë ®¯à¥¤¥«¥ë ¥®¤®§ ç®. x30.
¬®¥¨¥ ¬ âà¨æ
¥¥ ã á 㥠¢®§¨ª «¨ ®¯¥à 樨 ¤ ¬ âà¨æ ¬¨. x13 ¡ë«® ¢¢¥¤¥® âà ᯮ¨à®¢ ¨¥ ¬ âà¨æë, ¢ x23 | «¨¥©ë¥ ®¯¥à 樨 ¤ ¬ âà¨æ ¬¨ (á«®¥¨¥ ¬ âà¨æ ¨ 㬮¥¨¥ ¬ âà¨æë ç¨á«®). â®â ¨ á«¥¤ãî騩 ¯ à £à äë ¯®á¢ïé¥ë ¤¢ã¬ ¡®«¥¥ á«®ë¬ ®¯¥à æ¨ï¬ | 㬮¥¨î ¬ âà¨æ ¨ ®¡à é¥¨î ¬ âà¨æë (â.¥. ¢§ïâ¨î ®¡à ⮩ ¬ âà¨æë). ¤ ®¬ ¯ à £à ä¥ ¨§ãç ¥âáï ¯¥à¢ ï ¨§ ¨å. 1.
¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ ᢮©á⢠¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ
Ǒந§¢¥¤¥¨¥ ¤¢ãå ¬ âà¨æ ®¯à¥¤¥«¥® «¨èì ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ ç¨á«® á⮫¡æ®¢ ¯¥à¢®£® ᮬ®¨â¥«ï à ¢® ç¨á«ã áâப ¢â®à®£®. 묨 á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â ¯®à冷ª k `, ¬ âà¨æ B | ¯®à冷ª r m, â® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¬ âà¨æë A ¬ âà¨æã B áãé¥áâ¢ã¥â ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ` = r. ⬥⨬, çâ® £®¢®àï \¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¬ âà¨æë A ¬ âà¨æã B", ¬ë ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤ã, çâ® A | ¯¥à¢ë© («¥¢ë©) ᮬ®¨â¥«ì, B | ¢â®à®© (¯à ¢ë©). Ǒãáâì 0
1
a11 a12 : : : a1 B a21 a22 : : : a2 A=B
`
.. .. .. .. .. .. .. . .
`
a 1 a 2 ::: a k
k
0
C C; A
1
b11 b12 : : : b1 B b21 b22 : : : b2 B=B
m
k`
. .. .. .. .. . .. .. ..
m
b 1 b 2 ::: b `
`
C C: A
`m
Ǒ®¤ç¥àª¥¬, çâ® ¯®à浪¨ ¬ âà¨æ A ¨ B à ¢ë ᮮ⢥âá⢥® k ` ¨ ` m. Ǒந§¢¥¤¥¨¥¬ ¬ âà¨æ A ¨ B §ë¢ ¥âáï ¬ âà¨æ C = ( ) ¯®à浪 k m â ª ï, çâ® ij
ij
=
` X
=1
s
a b is
sj
= a 1b1 + a 2b2 + + a i
j
i
j
i`
b : `j
묨 á«®¢ ¬¨, ¥áâì á㬬 ¯à®¨§¢¥¤¥¨© í«¥¬¥â®¢ i-© áâப¨ ¯¥à¢®£® ᮬ®¨â¥«ï (¬ âà¨æë A) ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 í«¥¬¥âë j -£® á⮫¡æ ¢â®à®£® ᮬ®¨â¥«ï (¬ âà¨æë B). âà¨æ C ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ AB. Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à. Ǒãáâì A = 23 14 ; B = 35 10 24 : ij
253
x
30. ¬®¥¨¥ ¬ âà¨æ
Ǒந§¢¥¤¥¨¥ AB ®¯à¥¤¥«¥®, ¯®áª®«ìªã ¯®à冷ª ¬ âà¨æë A à ¢¥ 2 2, ¯®à冷ª B à ¢¥ 2 3. âà¨æ AB ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¯®à冷ª 2 3. Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ ¨¬¥¥¬ 2 3 + ( 1) 5 2 1 + ( 1) 0 2 ( 2) + ( 1) 4 AB = 3 3 + 4 5 31+40 3 ( 2) + 4 4 = = 291 23 108 : ⬥⨬ ᢮©á⢠¢¢¥¤¥®© ®¯¥à 樨. Ǒãáâì A; B ¨ C | ¬ âà¨æë, t | ç¨á«®. ®£¤ : 1) (AB)C = A(BC ) (㬮¥¨¥ ¬ âà¨æ ); 2) A(B + C ) = AB + AC ¨ (A + B)C = AC + BC (㬮¥¨¥ ¬ âà¨æ ); 3) (tA)B = A(tB) = t(AB); 4) AE = A ¨ EA = A; 5) AO = O ¨ OA = O; 6) (AB)> = B>A> ; 7) ¥á«¨ A ¨ B | ª¢ ¤à âë¥ ¬ âà¨æë ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ ¯®à浪 , â® jAB j = jAj jB j (᢮©á⢠1{6 á«¥¤ã¥â ¯®¨¬ âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¥á«¨ ¬ âà¨æ , áâ®ïé ï ¢ «¥¢®© ç áâ¨ à ¢¥á⢠, ®¯à¥¤¥«¥ , â® ®¯à¥¤¥«¥ ¨ ¬ âà¨æ , áâ®ïé ï ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨ à ¢¥á⢠, ¨ í⨠¬ âà¨æë à ¢ë). ¢®©á⢠1{6 ¤®ª §ë¢ îâáï ¥¯®á।áâ¢¥ë¬ ¯à¨¬¥¥¨¥¬ ®¯à¥¤¥«¥¨©. Ǒத¥¬®áâà¨à㥬 íâ® ¯à¨¬¥à¥ ¯¥à¢®£® à ¢¥á⢠¨§ ᢮©á⢠2. Ǒãáâì ¬ âà¨æ A = (a ) ¨¬¥¥â ¯®à冷ª k `, ¬ âà¨æë B = (b ) ¨ C = ( ) | ¯®à冷ª ` m. ®£¤ í«¥¬¥â «¥¢®© ç á⨠¤®ª §ë¢ ¥¬®£® à ¢¥á⢠, áâ®ï騩 ¢ i-© áâப¥ ¨ j -¬ á⮫¡æ¥, ¥áâì a 1 (b1 + 1 ) + a 2 (b2 + 2 ) + + a (b + ): í«¥¬¥â ¨§ ¯à ¢®© ç áâ¨ à ¢¥á⢠, áâ®ï騩 ⮬ ¥ ¬¥áâ¥, ¥áâì (a 1 b1 + a 2 b2 + + a b ) + (a 1 1 + a 2 2 + + a ): á®, çâ® íâ¨ í«¥¬¥âë à ¢ë. áá®æ¨ ⨢®
¤¨áâਡã⨢® ®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï
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254
« ¢ 6. âà¨æë
¢®©á⢮ 7 ¬ë ¯à®¢¥à¨¬ ⮫쪮 ¤«ï ª¢ ¤à âëå ¬ âà¨æ ¯®à浪 2. Ǒãáâì A = aa11 aa12 ¨ B = bb11 bb12 : 21 22 21 22 ®£¤ a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 jAB j = a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22 = = a11a21b11b12 + a11a22b11b22 + a12 a21b12b21 + a12a22 b21b22 a11 a21 b11 b12 a11 a22 b12 b21 a12 a21 b11 b22 a12 a22 b21 b22 = = a11a22(b11b22 b12b21) a12a21(b11b22 b12b21) = = (a11a22 a12a21)(b11 b22 b12b21) = jAj jBj:
áâ¥á⢥® ¯®áâ ¢¨âì ¢®¯à®á, ¡ã¤¥â «¨ 㬮¥¨¥ ¬ âà¨æ ª®¬¬ãâ â¨¢ë¬ (â.¥. ¢¥à® «¨, çâ® ¥á«¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ AB áãé¥áâ¢ã¥â, â® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ BA ⮥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ AB = BA)? ¢ ï \¥á¨¬¬¥âà¨ç®áâì" ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ ¯®§¢®«ï¥â ¯à¥¤¯®«®¨âì, çâ® ®â¢¥â ¡ã¤¥â ®âà¨æ ⥫ìë¬. â® ¨ ¢ á ¬®¬ ¤¥«¥ â ª. ®-¯¥à¢ëå, ¢®§¬® á¨âã æ¨ï, ª®£¤ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¬ âà¨æ ¢ ®¤®¬ ¯®à浪¥ áãé¥áâ¢ã¥â, ¢ ¤à㣮¬ | ¥â. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ A ¨¬¥¥â ¯®à冷ª 5 3, B | ¯®à冷ª 3 4, â® AB | ¬ âà¨æ ¯®à浪 5 4, ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ BA ¥ ®¯à¥¤¥«¥®. «¥¥, ¬ âà¨æë AB ¨ BA ¬®£ãâ áãé¥á⢮¢ âì, ® ¨¬¥âì à §ë¥ ¯®à浪¨. ª, ¥á«¨ A ¨ B | ¬ âà¨æë ¯®à浪 4 1 ¨ 1 4 ᮮ⢥âá⢥®, â® AB ¨¬¥¥â ¯®à冷ª 4 4, BA | ¯®à冷ª 1 1. ¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® ¬ âà¨æë AB ¨ BA áãé¥áâ¢ãîâ ¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ¯®à冷ª ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ A ¨ B | ª¢ ¤à âë¥ ¬ âà¨æë ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ ¯®à浪 (¯à¨ í⮬ ¬ âà¨æë AB ¨ BA ¡ã¤ãâ ª¢ ¤à â묨 ¬ âà¨æ ¬¨ ⮣® ¥ á ¬®£® ¯®à浪 ). ® ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ à ¢¥á⢮ AB = BA ¬®¥â ¥ ¢ë¯®«ïâìáï. Ǒਬ¥à ¯à¨¢¥á⨠¥á«®®: 1 2 2 0 = 10 2 ; ® 2 0 1 2 = 2 4 : 13 4 1 10 3 4 1 13 55 ¯¥à 樨 㬮¥¨ï ¨ á«®¥¨ï ¬ âà¨æ ¨ 㬮¥¨ï ¬ âà¨æë ç¨á«® ¯®§¢®«ïîâ ¢ëç¨á«ïâì § ç¥¨ï ¬®£®ç«¥®¢ ®â ª¢ ¤à âëå ¬ âà¨æ. Ǒ।¥ ¢á¥£® ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á⥯¥ì ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë A: A =A : : : A} : | A {z k
k à §
ᨫã áá®æ¨ ⨢®á⨠㬮¥¨ï ¬ âà¨æ ¢®§¢¥¤¥¨¥ ¬ âà¨æ ¢ á⥯¥ì ®¡« ¤ ¥â ⥬¨ ¥ ᢮©á⢠¬¨, çâ® ¨ ¢®§¢¥¤¥¨¥ ç¨á¥« ¢ á⥯¥ì.
255
x
30. ¬®¥¨¥ ¬ âà¨æ
¨¬¥®, ¤«ï «î¡®© ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë A ¨ «î¡ëå âãà «ìëå ç¨á¥« m ¨ n á¯à ¢¥¤«¨¢ë á«¥¤ãî騥 à ¢¥á⢠: A A = A + ; (A ) = A : «¥¥, ¥á«¨ f (x) = a x + a 1 x 1 + + a1x + a0 | ¬®£®ç«¥, A | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ , â® § 票¥¬ ¬®£®ç«¥ f (x) ®â ¬ âà¨æë A §ë¢ ¥âáï ¬ âà¨æ f (A) = a A + a 1 A 1 + + a1 A + a0 E; £¤¥ E | ¥¤¨¨ç ï ¬ âà¨æ ⮣® ¥ ¯®à浪 , çâ® ¨ A. Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à. ©¤¥¬ § 票¥ ¬®£®ç«¥ f (x) = 2x3 + x2 +3x 4 ®â ¬ âà¨æë 0 1 2 0 31 B 2 1 1 1C C A=B 0 1 2 0A: 1 2 0 1 Ǒ।¥ ¢á¥£® ©¤¥¬ ¬ âà¨æë A2 ¨ A3: 0 1 2 0 31 0 1 2 0 31 0 8 6 2 21 B 2 1 1 1C B 2 1 1 1C B 1 6 3 8C C B C B C A2 = B 0 1 2 0A 0 1 2 0A = 2 3 3 1A ; 1 2 0 11 0 1 2 0 11 0 4 6 2 6 1 0 8 6 2 2 1 2 0 3 6 24 10 32 B 1 6 3 8 C B 2 1 1 1 C B 19 21 12 17 C 3 C B C B C A =B 2 3 3 1A 0 1 2 0A = 5 12 3 10 A : 4 6 2 6 1 2 0 1 14 24 10 24 ¥¯¥àì ¬ë ¬®¥¬ ©â¨ f (A): f (A) = 2A3 + A2 + 3A 4E = 0 12 48 20 64 1 0 8 6 2 2 1 B 38 42 24 34 C B 1 6 3 8 C C B C =B 10 24 6 20 A + 2 3 3 1 A + 28 48 20 48 4 6 2 6 0 3 6 0 91 0 4 0 0 01 B 6 3 3 3C B 0 4 0 0C C B C +B 0 3 6 0A+ 0 0 4 0A = 3 6 0 3 0 0 0 4 m
n
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m n
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256
« ¢ 6. âà¨æë
0
11 36 18 53 1 B 31 37 18 23 C C =B 8 18 1 19 A : 21 36 18 43 ᯮ«ì§ãï ®¯¥à æ¨î 㬮¥¨ï ¬ âà¨æ, ¬®® ¯®«ãç¨âì ¤àã£ãî § ¯¨áì á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. ¥©á⢨⥫ì®, á¨á⥬ 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = b1 ; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = b2 ; .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = b ¬®¥â ¡ëâì § ¯¨á ¢ ¬ âà¨ç®¬ ¢¨¤¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: m
0 B B
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.. .. .. .. .. . .. .. .. . n
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a11 a12 : : : a1 a21 a22 : : : a2 a 1 a 2 ::: a
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ª®â®à®¥ §ë¢ ¥âáï ªà ⪮© ¬ âà¨ç®© § ¯¨áìî á¨á⥬ë. Ǒ®«®¨¬ ) ¨ ~b = (b1; b2; : : : ; b ). ¥ªâ®àë ~x ¨ ~b ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ¬ âà¨æë, á®áâ®ï騥 ¨§ ®¤®© áâப¨. ®£¤ X = ~x> ¨ B = ~b>. Ǒ®í⮬㠯®¤ ªà ⪮© ¬ âà¨ç®© § ¯¨áìî á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯®¨¬ âì â ª¥ à ¢¥á⢮ A~x> = ~b> : ⬥⨬, çâ® ¬ âà¨ç ï § ¯¨áì á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¯®§¢®«ï¥â ª®¬¯ ªâ® § ¯¨áë¢ âì ¥ ⮫쪮 á ¬¨ í⨠á¨á⥬ë, ® ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢠¬®£¨å ã⢥थ¨©. ª, ¯à¨¬¥à, ¤®ª § ⥫ìá⢮
~x = (x1 ; x2 ; : : : ; x
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257
x
30. ¬®¥¨¥ ¬ âà¨æ
⥮६ë 1 ¨§ x11 ¬®® § ¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¥á«¨ X1 ¨ X2 | à¥è¥¨ï ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë AX = O, t | ç¨á«®, â® A(X1 + X2 ) = AX1 + AX2 = O + O = O ¨ A(tX1 ) = t(AX1 ) = t O = O; á«¥¤®¢ ⥫ì®, X1 + X2 ¨ tX1 | à¥è¥¨ï á¨á⥬ë AX = O. x22 ¬ë ¢ë¢¥«¨ ä®à¬ã«ë ¨§¬¥¥¨ï ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à ¯à¨ § ¬¥¥ ¡ §¨á . ¥¯¥àì ¬ë ¬®¥¬ 㪠§ âì ¨å ¬ âà¨çãî § ¯¨áì. Ǒãáâì V | ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮, x 2 V , F ¨ G | ¡ §¨áë ¢ V . Ǒãáâì X ¨ X | á⮫¡æë ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à x ¢ ¡ §¨á å F ¨ G ᮮ⢥âá⢥®, T | ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á F ª ¡ §¨áã G. ᯮ«ì§ãï ®¡®§ 票ï, ¢¢¥¤¥ë¥ ¢ x22, ¨¬¥¥¬ F
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2.
FG
G
£ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ
¤ «ì¥©è¥¬ ¬ ¯® ¤®¡¨âáï á«¥¤ãî饥 ᢮©á⢮ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ. ¥®à¥¬ . £ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ ¥ ¯à¥¢®á室¨â à £ ª ¤®£® ¨§ ᮬ®¨â¥«¥©. ®ª § ⥫ìá⢮.
0
a11 B a21 A=B
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a12 : : : a22 : : :
1
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C
C . .. .. .. . .. .. .. .. A ¨ `
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k
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b11 B b21 B=B
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b12 : : : b22 : : :
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. . .. .. .. .. .. .. .. A : m
b 1 b 2 ::: b `
`
`m
áᬮâਬ ¬ âà¨æã C = AB, à á¯¨á ¢ ¥¥ ¯¥à¢ë© á⮫¡¥æ ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ: 0 1 a11 b11 + a12 b21 + + a1 b 1 12 : : : 1 B a21 b11 + a22 b21 + + a2 b 1 22 : : : 2 C C C =B .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . A : a 1 b11 + a 2 b21 + + a b 1 2 : : : k
k
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` `
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`
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258
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ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¯¥à¢ë© á⮫¡¥æ ¬®® § ¯¨á âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: 0
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a11 B a21 C B C
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C A
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+ +b 1 B . .. `
k
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`
1
C C C: A
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â® ®§ ç ¥â, çâ® ¯¥à¢ë© á⮫¡¥æ ¬ âà¨æë C ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë A. «®£¨ç®¥ ã⢥थ¨¥ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¨ ¤«ï «î¡®£® ¤à㣮£® á⮫¡æ ¬ âà¨æë C , â.¥. ¢á¥ á⮫¡æë ¬ âà¨æë C ïîâáï «¨¥©ë¬¨ ª®¬¡¨ æ¨ï¬¨ á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë A. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®¤¯à®áâà á⢮, ¯®à®¤¥®¥ ¢¥ªâ®à ¬¨-á⮫¡æ ¬¨ ¬ âà¨æë C , ᮤ¥à¨âáï ¢ ¯®¤¯à®áâà á⢥, ¯®à®¤¥®¬ ¢¥ªâ®à ¬¨á⮫¡æ ¬¨ ¬ âà¨æë A. §¬¥à®áâì ¯¥à¢®£® ¯®¤¯à®áâà á⢠¥ ¯à¥¢®á室¨â ¯®í⮬ã à §¬¥à®á⨠¢â®à®£®. íâ® ¨ ®§ ç ¥â, çâ® à £ ¯® á⮫¡æ ¬ ¬ âà¨æë C ¥ ¯à¥¢®á室¨â à £ ¯® á⮫¡æ ¬ ¬ âà¨æë A, â.¥. r(C ) 6 r(A). «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¥à ¢¥á⢠r(C ) 6 r(B) ¤® ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® áâப¨ ¬ âà¨æë C ïîâáï «¨¥©ë¬¨ ª®¬¡¨ æ¨ï¬¨ áâப ¬ âà¨æë B, çâ® «¥£ª® ᤥ« âì. ¥®à¥¬ ¤®ª § . 3.
âà¨ç®¥ ãà ¢¥¨¥
AX = B
âà¨çë¬ ãà ¢¥¨¥¬ §ë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥, ¢ ª®â®à®¬ ¥¨§¢¥áâë¬ ï¢«ï¥âáï ¬ âà¨æ . 襬 ªãàᥠ¬ë ¯®¤à®¡® à áᬮâਬ ⮫쪮 ®¤® ¬ âà¨ç®¥ ãà ¢¥¨¥, ¨¬¥® ãà ¢¥¨¥ AX = B; (1) £¤¥ A ¨ B | ¨§¢¥áâë¥ ¬ âà¨æë, X | ¥¨§¢¥áâ ï (¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï ® ¬ âà¨çëå ãà ¢¥¨ïå ¤¢ãå ¤à㣨å ⨯®¢ á¬. ¨¥ ¢ ¤ ®¬ ¯ à £à ä¥ á. 262 ¨ ¢ ª®æ¥ x31). § ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ ¢¨¤®, çâ® ç¨á«® áâப ¢ ¬ âà¨æ¥ AX à ¢® ç¨á«ã áâப ¢ ¬ âà¨æ¥ A. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ ç¨á«® áâப ¢ ¬ âà¨æ å A ¨ B à §«¨ç®, â® ãà ¢¥¨¥ (1) à¥è¥¨© ¥ ¨¬¥¥â. Ǒ®í⮬㠢áî¤ã ¢ ¤ «ì¥©è¥¬, £®¢®àï ®¡ í⮬ ãà ¢¥¨¨, ¬ë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¬ âà¨æë A ¨ B ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ ç¨á«® áâப. § ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ ¢¨¤® â ª¥, çâ® ç¨á«® á⮫¡æ®¢ ¢ ¬ âà¨æ¥ AX à ¢® ç¨á«ã á⮫¡æ®¢ ¢ ¬ âà¨æ¥ X . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ X | à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1), â® ¬ âà¨æë X ¨ B ᮤ¥à â ®¤¨ ª®¢®¥ ç¨á«® á⮫¡æ®¢. à ¢¥¨¥ ¢¨¤ (1) 㥠¢®§¨ª «® à ¥¥ ¢ ¤ ®¬ ¯ à £à ä¥ ¢ ⮬ ç á⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ X ¨ B ᮤ¥à â ®¤¨
259
x
30. ¬®¥¨¥ ¬ âà¨æ
á⮫¡¥æ (á¬. á. 256). ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (1) ¥áâì ¯à®áâ® ¤à㣮© ᯮᮡ § ¯¨á¨ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. ª ¡ã¤¥â ¯®ª § ® ¨¥, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ®® à ¢®á¨«ì® ᮢ®ªã¯®á⨠k á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, £¤¥ k | ç¨á«® á⮫¡æ®¢ ¢ ¬ âà¨æ å X ¨ B. 祬 á ª®ªà¥â®£® ¯à¨¬¥à . ¥è¨¬ ãà ¢¥¨¥ (1), £¤¥ A = 22 12 02 ; B = 12 01 13 20 : § ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¬ âà¨æ X ¤®« ¨¬¥âì ¯®à冷ª 3 4. ¡®§ 稬 ¥¥ í«¥¬¥âë á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: 0
1
x1 y1 z1 t1 X = x2 y2 z2 t2 A : x3 y3 z3 t3
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2 x + x 2 y + y 2 z + z 2 t + t 1 2 1 2 1 2 1 2 AX = 2x +2x +2x 2y +2y +2y 2z +2z +2z 2t +2t +2t : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 à ¢¨¢ ï ¯à ¢ãî ç áâì í⮣® à ¢¥áâ¢ á ¬ âà¨æ¥© B, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ãà ¢¥¨¥ (1) íª¢¨¢ «¥â® ᮢ®ªã¯®á⨠᫥¤ãîé¨å ç¥âëà¥å á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© (ª ¤ ï ¨§ ª®â®àëå ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¤®¬ã ¨§ á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æ AX ¨ B): 2x1 + x2 = 1; 2y1 + y2 = 0; 2 x1 + 2x2 + 2x3 = 2; 2 y1 + 2y2 + 2y3 = 1; 2z1 + z2 = 1; 2t1 + t2 = 2; 2z1 + 2z2 + 2z3 = 3; 2t1 + 2t2 + 2t3 = 0: ᥠç¥âëॠá¨á⥬ë, ª ª®â®àë¬ á¢¥«®áì è¥ ¬ âà¨ç®¥ ãà ¢¥¨¥, ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¥ ®á®¢ãî ¬ âà¨æã | ¬ âà¨æã A. ஬¥ ⮣®, ¢ ª ¤®© ¨§ íâ¨å á¨á⥬ á⮫¡æ®¬ ¥¨§¢¥áâëå ï¥âáï ®¤¨ ¨§ á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë X , á⮫¡æ®¬ ᢮¡®¤ëå ç«¥®¢ | ®¤¨ ¨§ á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë B. «ï ⮣® ç⮡ë à¥è¨âì ª ¤ãî ¨§ íâ¨å á¨á⥬ ¬¥â®¤®¬ ãáá , ¤® § ¯¨á âì à áè¨à¥ãî ¬ âà¨æã á¨áâ¥¬ë ¨ á ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¢á¥© í⮩ ¬ âà¨æë ¯à¨¢¥á⨠¥¥ ®á®¢ãî ç áâì ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã.
᫨ ¯à¨ í⮬ ®ª ¥âáï, çâ® å®âï ¡ë ®¤ ¨§ á¨á⥬ ¥á®¢¬¥áâ , â® ¨ ¨á室®¥ ¬ âà¨ç®¥ ãà ¢¥¨¥ ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨©.
᫨ ¥ ¢á¥ á¨á⥬ë ᮢ¬¥áâë, â®, à¥è¨¢ ª ¤ãî ¨§ ¨å, ¬ë ©¤¥¬ ¢á¥ á⮫¡æë ¬ âà¨æë X , § ç¨â, ¨ á ¬ã íâã ¬ âà¨æã.
260
« ¢ 6. âà¨æë
® ã ¢á¥å à¥è ¥¬ëå á¨á⥬ ®á®¢ ï ¬ âà¨æ | ®¤ ¨ â ¥. â® ¯®§¢®«ï¥â à¥è âì ¢á¥ á¨áâ¥¬ë ®¤®¢à¥¬¥®. «ï í⮣® ¤® á®áâ ¢¨âì ¬ âà¨æã ¯®à浪 2 7, § ¯¨á ¢ ¢ ¯¥à¢ë¥ 3 á⮫¡æ ¬ âà¨æã A, ¢ ¯®á«¥¤¨¥ 4 á⮫¡æ | ¬ âà¨æã B, ¨ § ⥬ í«¥¬¥â à묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ ¢á¥© í⮩ ¬ âà¨æë ¯à¨¢¥á⨠¥¥ «¥¢ãî ç áâì ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã. Ǒ®áª®«ìªã ¯à¨ í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïå á⮫¡æë ¥ \¯¥à¥¬¥è¨¢ îâáï", ª ¤ë© ¨§ á⮫¡æ®¢ ¯à ¢®© ç á⨠¬ âà¨æë ¡ã¤¥â ¬¥ïâìáï ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¤à㣨å | â ª ¥, ª ª ¬¥ï«áï ¡ë ¯®á«¥¤¨© á⮫¡¥æ à áè¨à¥®© ¬ âà¨æë, ¥á«¨ ¡ë ¬ë à¥è «¨ ®â¤¥«ì® á¨á⥬ã, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî í⮬ã á⮫¡æã. ¥ «¨§ã¥¬ íâ®â ¯« . «ï £«ï¤®á⨠¡ã¤¥¬ ®â¤¥«ïâì ®¤ã ç áâì ¬ âà¨æë ®â ¤à㣮© ¢¥à⨪ «ì®© ç¥à⮩. ¬¥¥¬ 2 1 0 1 0 1 2 2 1 0 1 0 1 2 : 2 2 2 2 1 3 0 0 1 2 1 1 2 2 믨襬 áâ㯥ç âë¥ ¬ âà¨æë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ç¥âë६ à¥è ¥¬ë¬ á¨á⥬ ¬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©: 2 1 0 1; 2 1 0 0; 2 1 0 1 ¨ 2 1 0 2: 0121 0121 012 2 012 2 ® ¢á¥å íâ¨å á¨á⥬ å ¨¬¥¥âáï ®¤ ᢮¡®¤ ï ¥¨§¢¥áâ ï | âà¥âìï. 믨襬 ®¡é¨¥ à¥è¥¨ï íâ¨å á¨á⥬: 8 8 8 8 ; < y1 = 2 0;5; < z1 = 3 +0;5; < t1 = 4 +2; < x1 = 1 x2 = 2 1 +1; y2 = 2 2 + 1; z2 = 2 3 2; t2 = 2 4 2; : x3 = 1 ; : y3 = 2 ; :z3 = 3 ; :t3 = 4 : «¥¤®¢ ⥫ì®, à¥è¥¨ï¬¨ 襣® ãà ¢¥¨ï ïîâáï ¢á¥¢®§¬®ë¥ ¬ âà¨æë ¢¨¤ 0 1
1
2 0;5 3 + 0;5 4 + 2 X = 2 1 + 1 2 2 + 1 2 3 2 2 4 2 A ;
1
2
3
4
£¤¥ 1; 2; 3 ¨ 4 | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« , ¨ ⮫쪮 ®¨. Ǒ¥à¥å®¤ ®â à áᬮâ८£® ¯à¨¬¥à ª ®¡é¥¬ã á«ãç î ®ç¥¢¨¤¥. âà¨ç®¥ ãà ¢¥¨¥ (1) à ¢®á¨«ì® ᮢ®ªã¯®á⨠k á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© (£¤¥ k | ç¨á«® á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë B ), ¨¬¥îé¨å ®¤ã ¨ âã ¥ ®á®¢ãî ¬ âà¨æã | ¬ âà¨æã A; ¢ i-© ¨§ íâ¨å á¨á⥬ á⮫¡æ®¬ ¥¨§¢¥áâëå ï¥âáï i-© á⮫¡¥æ ¬ âà¨æë X , á⮫¡æ®¬ ᢮¡®¤ëå ç«¥®¢ | i-© á⮫¡¥æ ¬ âà¨æë B i ; ;:::;k
( =1 2
).
261
x
30. ¬®¥¨¥ ¬ âà¨æ
ªà ⪮© ¬ âà¨ç®© § ¯¨á¨ 㯮¬ïãâë¥ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¨¬¥îâ ¢¨¤ AX1 = B1 ; AX2 = B2 ; : : : ; AX = B ; (2) £¤¥ X | i-© á⮫¡¥æ ¬ âà¨æë X , B | i-© á⮫¡¥æ ¬ âà¨æë B (i = 1; 2; : : : ; k). á®¡ë© ¨â¥à¥á ¤«ï ¤ «ì¥©è¥£® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â á«ãç ©, ª®£¤ A | ¥¢ëத¥ ï ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ . í⮬ á«ãç ¥ ª ¤ ï ¨§ á¨á⥬ (2) ï¥âáï ªà ¬¥à®¢áª®© ¨, ¢ ᨫã ⥮६ë 1 ¨§ x14, ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ãà ¢¥¨¥ (1) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. ¯®¬¨¬ 㪠§ ë© á. 146 ᯮᮡ à¥è¥¨ï á¨á⥬ë, ¨¬¥î饩 ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥.
¥ à áè¨à¥ãî ¬ âà¨æã ¬®® í«¥¬¥â à묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ ¯à¨¢¥á⨠ª ¬ âà¨æ¥, ®á®¢ ï ç áâì ª®â®à®© (â.¥. ¢áï ¬ âà¨æ , ªà®¬¥ ¯®á«¥¤¥£® á⮫¡æ ) ¡ã¤¥â ¥¤¨¨ç®© ¬ âà¨æ¥©. ¯®á«¥¤¥¬ á⮫¡æ¥ ¯®«ã祮© ¬ âà¨æë ¡ã¤¥â áâ®ïâì à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë. ¡ê¥¤¨¨¢ í⨠ᮮ¡à ¥¨ï ᮠ᪠§ ë¬ ¢ëè¥, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ¯à ¢¨«®. Ǒãáâì ¤ ® ãà ¢¥¨¥ (1), ¢ ª®â®à®¬ A | ¥¢ëத¥ ï ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n, B | ¬ âà¨æ ¯®à浪 n k. ¯¨è¥¬ ¬ âà¨æã ¯®à浪 n (n + k), ¢ ª®â®à®© k
i
k
i
¢ ¯¥à¢ëå n á⮫¡æ å á⮨⠬ âà¨æ A, ¢ ¯®á«¥¤¨å k á⮫¡æ å | ¬ âà¨æ B . ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¢á¥© í⮩ ¬ âà¨æë ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ «¥¢ãî ç áâì â.¥. ¯¥à¢ë¥ n á⮫¡æ®¢ ª ¥¤¨¨ç®¬ã ¢¨¤ã. ¯à ¢®© ç á⨠â.¥. ¢ ¯®á«¥¤¨å k á⮫¡æ å ¯®«ã祮© ¬ âà¨æë ¡ã¤¥â § ¯¨á ¬ âà¨æ X , ïîé ïáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï
(
(
)
)
(1). à㣮© ᯮᮡ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (1) ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ A | ¥¢ëத¥ ï ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ , ¡ã¤¥â 㪠§ ¢ ª®æ¥ x31. ¢¥¤¥¬ ®¤® ®¡®§ 票¥. Ǒãáâì P ¨ Q | ¬ âà¨æë, ᮤ¥à 騥 ®¤¨ ª®¢®¥ ç¨á«® áâப. ®£¤ ç¥à¥§ (P jQ) ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ¬ âà¨æã, ¯®«ãç¥ãî ¯à¨¯¨áë¢ ¨¥¬ ¬ âà¨æë Q ª ¬ âà¨æ¥ P á¯à ¢ . 묨 á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ P ¨¬¥¥â ¯®à冷ª m n, Q | ¯®à冷ª m k, â® (P jQ) | ¬ âà¨æ ¯®à浪 m (n + k), ¢ ª®â®à®© ¢ ¯¥à¢ëå n á⮫¡æ å § ¯¨á ¬ âà¨æ P , ¢ ¯®á«¥¤¨å k á⮫¡æ å | ¬ âà¨æ Q. ª § ë© ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¡§ æ¥ «£®à¨â¬ ¬®® ᨬ¢®«¨ç¥áª¨ ¨§®¡à §¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: (AjB) (E jX ):
262
« ¢ 6. âà¨æë
Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à. ¥è¨¬ ãà ¢¥¨¥ 2 1 X = 8 6 4 2: 10 5432 ¥©áâ¢ãï ¯® ®¯¨á ®¬ã ¢ëè¥ ¯« ã, ¨¬¥¥¬ 2 1 8 6 4 2 2 1 8 6 4 2 2 0 10 8 6 4 105432 0 12222 0 1 2222 10 01 52 42 32 22 : ª¨¬ ®¡à §®¬, è¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ | ¬ âà¨æã 5 4 3 2 X= 2 2 2 2 : ª § ®¥ ¢ëè¥ ¬®® ¯à¨¬¥¨âì ª à¥è¥¨î ¬ âà¨çëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤ XA = B, £¤¥ A ¨ B | ¨§¢¥áâë¥ ¬ âà¨æë, X | ¥¨§¢¥áâ ï. á ¬®¬ ¤¥«¥, âà ᯮ¨àãï ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠XA = B ¨ ¨á¯®«ì§ãï ᢮©á⢮ 6 ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ (á¬. á. 253), ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ A>X>> = B> . ¥è¨¢ ¥£® ®¯¨á ë¬ ¢ëè¥ á¯®á®¡®¬, ¬ë ©¤¥¬ ¬ âà¨æã X . à ᯮ¨à®¢ ¢ ¥¥, ¯®«ã稬 ¬ âà¨æã X . 4.
室¥¨¥ ¬ âà¨æë ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤®£® ¡ §¨á ª ¤à㣮¬ã á ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©
áᬮâà¥ë¥ ¢ëè¥ ¬ âà¨çë¥ ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ AX = B ¥áâ¥á⢥® ¢®§¨ª î⠯ਠà¥è¥¨¨ à §«¨çëå § ¤ ç. ¤®© ¨§ ¨å ï¥âáï § ¤ ç ® ¢ëç¨á«¥¨¨ ¬ âà¨æë ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤®£® ¡ §¨á ª ¤à㣮¬ã. ë 㥠áâ «ª¨¢ «¨áì á ¥®¡å®¤¨¬®áâìî 室¥¨ï í⮩ ¬ âà¨æë ¢ x22. ¤ «ì¥©è¥¬ â ª ï ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¢®§¨ª¥â ã á ¥é¥ à § (á¬. x33). áᬮâ२ï, ¯à®¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥, ¯®§¢®«ïîâ 㪠§ âì ¯à®á⮩ ᯮᮡ 室¥¨ï 㪠§ ®© ¬ âà¨æë. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ V § ¤ ë ¡ §¨á F , á®áâ®ï騩 ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ f1; f2; : : : ; f , ¨ ¡ §¨á G, á®áâ®ï騩 ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ g1; g2; : : : ; g . 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¬ ¨§¢¥áâë ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ f1; f2; : : : ; f ¨ g1 ; g2 ; : : : ; g ¢ ¥ª®â®à®¬ (®¤®¬ ¨ ⮬ ¥) ¡ §¨á¥ ¯à®áâà á⢠V : f = (f 1 ; f 2 ; : : : ; f ) ¨ g = (g 1 ; g 2 ; : : : ; g ) ¤«ï ¢á¥å i = 1; 2; : : : ; n. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ F ¬ âà¨æã, ¢ ª®â®à®© ¯® á⮫¡æ ¬ § ¯¨á ë ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ ¡ §¨á F , ç¥à¥§ G | ¬ âà¨æã, ¢ ª®â®à®© ¯® á⮫¡æ ¬ n
n
n
n
i
i
i
in
i
i
i
in
263
x
30. ¬®¥¨¥ ¬ âà¨æ
§ ¯¨á ë ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ ¡ §¨á G: 0
f11 f21 : : : f 1 B f12 f22 : : : f 2 F=B n
. .. . .. .. .. .. .. .. n
f1 f2 : : : f n
n
nn
1
0
g11 g21 : : : g 1 C B g12 g22 : : : g 2 C; G = B A .. .. .. .. .. .. .. .. g1 g2 : : : g n n
n
n
1 C C: A
nn
¯®¬¨¬, çâ® ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á F ª ¡ §¨áã G ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ T . Ǒ®«®¨¬ T = (t ). Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¬ âà¨æë ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤®£® ¡ §¨á ª ¤à㣮¬ã ¢ë¯®«¥ë à ¢¥á⢠8 t11 f1 + t21 f2 + + t 1 f = g1 ; > > < t12 f1 + t22 f2 + + t 2 f = g2 ; (3) . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. > > : t1 f1 + t2 f2 + + t f = g : ᯨ襬 ¯¥à¢®¥ ¨§ íâ¨å ¢¥ªâ®àëå à ¢¥á⢠¯® ª®®à¤¨ â ¬. Ǒ®«ã稬 8 f11 t11 + f21 t21 + + f 1 t 1 = g11 ; > > < f12 t11 + f22 t21 + + f 2 t 1 = g12 ; .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. > > : f1 t11 + f2 t21 + + f t 1 = g1 : à âª ï ¬ âà¨ç ï § ¯¨áì í⮩ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¨¬¥¥â ¢¨¤ FT1 = G1, £¤¥ T1 | ¯¥à¢ë© á⮫¡¥æ ¬ âà¨æë T , G1 | ¯¥à¢ë© á⮫¡¥æ ¬ âà¨æë G. ááã¤ ï «®£¨ç®, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¡®à ¢¥ªâ®àëå à ¢¥á⢠(3) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ¡®à ¬ âà¨çëå à ¢¥á⢠FT1 = G1, FT2 = G2 , .. . , FT = G , £¤¥ T ¨ G | i-¥ á⮫¡æë ¬ âà¨æ T ¨ G ᮮ⢥âá⢥® (i = 1; 2; : : : ; n). ® íâ®â ¡®à ¬ âà¨çëå à ¢¥áâ¢ íª¢¨¢ «¥â¥ ®¤®¬ã ¬ âà¨ç®¬ã ãà ¢¥¨î FT = G. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ âà¨æ T ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï FX = G: á®, çâ® F | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n. Ǒ®áª®«ìªã ¢¥ªâ®àë f1 , f2 , .. . , f ®¡à §ãîâ ¡ §¨á, ®¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, à £ ¬ âà¨æë F à ¢¥ n, ¨ ¯®â®¬ã ® ¥¢ëத¥ . ᨫã ᪠§ ®£® ¢ëè¥ (á¬. á. 261) ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ¯à ¢¨«®. FG
FG
n
n
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n
n
n
n
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n
n
n
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n
â®¡ë ©â¨ ¬ âà¨æã ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á F ª ¡ §¨áã G, ¤® á®áâ ¢¨âì ¬ âà¨æã ¯®à浪 n n, ¢ ª®â®à®© ¢ ¯¥à¢ëå n á⮫¡æ å § ¯¨á âì ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ f1 ; f2 ; : : : ; fn , ¢ ¯®á«¥¤¨å n á⮫¡æ å | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ g1 ; g2 ; : : : ; gn , ¨ á ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯à¨¢¥á⨠¥¥ «¥¢ãî ¯®«®¢¨ã ª ¥¤¨¨ç®¬ã ¢¨¤ã.
2
264
« ¢ 6. âà¨æë
¯®«ã祮© ¬ âà¨æ¥ ¢ ¯®á«¥¤¨å «®¥ ¬ âà¨æ TF G .
n á⮫¡æ å ¡ã¤¥â à ᯮ-
â®â «£®à¨â¬ ¬®® ᨬ¢®«¨ç¥áª¨ ¨§®¡à §¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: (FjG) (E jT ): Ǒத¥¬®áâà¨à㥬 ᪠§ ®¥ á«¥¤ãî饬 ¯à¨¬¥à¥. Ǒãáâì ¡ §¨á F á®á⮨⠨§ ¢¥ªâ®à®¢ f1 = (1; 2) ¨ f2 = (2; 1), ¡ §¨á G | ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ g1 = (3; 1) ¨ g2 = (4; 2). ¤® ©â¨ ¬ âà¨æã ¯¥à¥å®¤ ®â F ª G. í⮬ á«ãç ¥ 1 2 3 4 F= 2 1 ; G= 1 2 : ¬¥¥¬ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 1 0: 21 12 0 5 5 10 0112 0112 «¥¤®¢ ⥫ì®, 1 0 T = 12 : FG
FG
x31.
¡à â ï ¬ âà¨æ
Ǒ à £à ä ¯®á¢ïé¥ ¢®¯à®áã ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¬ âà¨æë, ®¡à ⮩ ª ¤ ®©, ¨ ᯮᮡ ¬ ¢ëç¨á«¥¨ï â ª®© ¬ âà¨æë. 1.
à¨â¥à¨© áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ᢮©á⢠®¡à ⮩ ¬ âà¨æë
¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì A | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n. ®£¤ ¬ âà¨æ B §ë¢ ¥âáï ®¡à ⮩ ª A, ¥á«¨ AB = BA = E; £¤¥ E | ¥¤¨¨ç ï ¬ âà¨æ . ¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ §ë¢ ¥âáï ®¡à ⨬®©, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ®¡à â ï ª ¥© ¬ âà¨æ . ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® ¥á«¨ ¬ âà¨æ , ®¡à â ï ª A, áãé¥áâ¢ã¥â, â® ® ï¥âáï ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æ¥© ⮣® ¥ ¯®à浪 , çâ® ¨ A. âà¨æ E , ª®¥ç®, ⮥ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì â®â ¥ ¯®à冷ª.
265
x
31. ¡à â ï ¬ âà¨æ
jAj = 0, â® ®¡à ⮩ ª A ¬ âà¨æë ¥ áãé¥áâ¢ãjAj 6= 0, â® ®¡à â ï ¬ âà¨æ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨á⢥ .
¥®à¥¬ .
᫨
¥â.
᫨
®ª § ⥫ìá⢮. ¡®§ 稬 ¯®à冷ª ¬ âà¨æë ç¥à¥§ n. Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¥á«®®. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ jAj = 0, â® r(A) < n, ¯®áª®«ìªã ¥¤¨áâ¢¥ë© ¬¨®à ¯®à浪 n ¬ âà¨æë A (â.¥. jAj) à ¢¥ ã«î. ® r(E ) = n (â ª ª ª jE j 6= 0), ¨ ¯®â®¬ã à ¢¥á⢮ AB = E ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⥮६¥ ¨§ x30. Ǒãáâì jAj 6= 0.
¤¨á⢥®áâì ®¡à ⮩ ¬ âà¨æë ãáâ ®¢¨âì ¥á«®®. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¥áâì ¬ âà¨æë B1 ¨ B2 â ª¨¥, çâ® AB1 = B1 A = E ¨ AB2 = B2 A = E: áᬮâਬ ¬ âà¨æã B2(AB1 ). ®¤®© áâ®à®ë, B2 (AB1 ) = B2 E = B2 : ¤à㣮© áâ®à®ë, B2 (AB1 ) = (B2 A)B1 = EB1 = B1 : «¥¤®¢ ⥫ì®, B1 = B2 . ®ª ¥¬ áãé¥á⢮¢ ¨¥ ®¡à ⮩ ¬ âà¨æë. Ǒ®«®¨¬ d = jAj. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ A ¬ âà¨æã, á®áâ ¢«¥ãî ¨§ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ¤®¯®«¥¨© í«¥¬¥â®¢ ¬ âà¨æë A. («£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ¤®¯®«¥¨ï à ᯮ«®¥ë â¥å ¥ ¬¥áâ å, çâ® ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 í«¥¬¥âë.) à ᯮ¨à㥬 ¬ âà¨æã A ¨ ¯®«ãç¥ãî ¬ âà¨æã à §¤¥«¨¬ d. ¡¥¤¨¬áï ¢ ⮬, çâ® ¯®«ãç¥ ï ¬ âà¨æ ¨ ¥áâì ®¡à â ï ª A. ¥©á⢨⥫ì®, à áᬮâਬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥
0 B B
1
a11 a12 : : : a1 a21 a22 : : : a2
0
A11 A21 : : : A 1 A12 A22 : : : A 2
1 B A d . .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . . C n
C
n
a 1 a 2 ::: a n
n
B
n
n
A1
nn
A2
n
n
::: A
nn
1
C C: A
᫨ í«¥¬¥â ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï á⮨⠤¨ £® «¨, ᪠¥¬ ¢ i-© áâப¥ ¨ i-¬ á⮫¡æ¥, â® ® à ¢¥ 1 (a A + a 2A 2 + + a A ) = 1 d = 1; d 1 1 d ¯®áª®«ìªã ¢ ᪮¡ª å § ¯¨á ® à §«®¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï jAj ¯® i-© áâப¥.
᫨ ¥ íâ®â í«¥¬¥â á⮨⠢ i-© áâப¥ ¨ j -¬ á⮫¡æ¥ ¨ i 6= j , â® ® à ¢¥ 1 (a 1A 1 + a 2 A 2 + + a A ) = 1 0 = 0 d d i
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266
« ¢ 6. âà¨æë
(á¬. ᢮©á⢮ 8 ¢ x13). ë ¯à®¢¥à¨«¨, çâ® AB = E . ¢¥á⢮ BA = E ¯à®¢¥àï¥âáï «®£¨ç®. ¥®à¥¬ ¤®ª § . ç áâ®áâ¨, ¨§ ¤®ª § ®© â¥®à¥¬ë ¢ë⥪ ¥â «¥¤á⢨¥ 1. ¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ®¡à ⨬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¥¢ëத¥ .
âà¨æã, ®¡à âãî ª ¬ âà¨æ¥ A = (a ), ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ç¥à¥§ A 1 . Ǒ®«®¨¬ A = (A ), £¤¥ A | «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤®¯®«¥¨¥ ª í«¥¬¥âã a . ¯à®æ¥áᥠ¤®ª § ⥫ìáâ¢ â¥®à¥¬ë ¬ë ¢ë¢¥«¨ á«¥¤ãîéãî ä®à¬ã«ã ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¬ âà¨æë, ®¡à ⮩ ª A (¢ ¯à¥¤¯®«®¥¨¨, çâ® jAj 6= 0): 1 > A 1= (1) jAj (A ) : ij
ij
ij
ij
ëç¨á«¨¬, ¯®«ì§ãïáì í⮩ ä®à¬ã«®©, ¬ âà¨æã, ®¡à âãî ª ¬ âà¨æ¥ 0 1 2 11 A = 0 2 3A: 21 1
¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì à ¢¥ 3, ¯®í⮬ã A 1 áãé¥áâ¢ã¥â (¨ ¥¤¨á⢥ ). ®áâ ¢¨¬ ¬ âà¨æã A: 0 1 5 6 4 A = 3 3 3 A : 4 3 2 à ᯮ¨à㥬 A ¨ ¢á¥ í«¥¬¥âë âà ᯮ¨à®¢ ®© ¬ âà¨æë à §¤¥«¨¬ jAj. Ǒ®«ã稬 0 1 5 =3 1 4=3 1 1 A: A 1= 2 4=3 1 2=3 âà¨æ , ®¡à â ï ª A, ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì ¤¢ã¬ à ¢¥á⢠¬: AB = E ¨ BA = E . ¤ ª®, ¨á¯®«ì§ãï ¤®ª § ãî ¢ëè¥ â¥®à¥¬ã, «¥£ª® ¯®ª § âì, çâ® ¯à ªâ¨ª¥ ¤®áâ â®ç® ¯à®¢¥àïâì ®¤® ¨§ ¨å. ®«¥¥ â®ç®, á¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥. «¥¤á⢨¥ 2. Ǒãáâì
â ª®¢ , çâ® A 1.
AB
A | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ , ¬ âà¨æ B BA = E , ¬ âà¨æ A ®¡à ⨬ ¨ B =
= E . ®£¤
267
x
31. ¡à â ï ¬ âà¨æ
®ª § ⥫ìá⢮. § ᢮©á⢠7 ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ (á¬. á. 253) ¢ë⥪ ¥â, çâ® jAj jBj = jABj = jE j = 1. ç áâ®áâ¨, ®âáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® jAj 6= 0. ᨫ㠤®ª § ®© ¢ëè¥ â¥®à¥¬ë ¬ âà¨æ A ®¡à ⨬ . ¬® ï ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠AB = E á«¥¢ A 1 , ¯®«ã稬 A 1 AB = A 1 E . ® A 1 AB = EB = B , A 1 E = A 1 . ª¨¬ ®¡à §®¬, B = A 1. ¬® ï ®¡¥ ç á⨠¯®á«¥¤¥£® à ¢¥á⢠á¯à ¢ A, ¯®«ã稬 BA = A 1A = E . «¥¤á⢨¥ 2 ¤®ª § ®. ª ¥¬ ⥯¥àì ᢮©á⢠®¯¥à 樨 ®¡à é¥¨ï ¬ âà¨æë.
᫨ A ¨ B | ¥¢ëத¥ë¥ ª¢ ¤à âë¥ ¬ âà¨æë ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ ¯®à浪 , t | ¥ã«¥¢®¥ ç¨á«®, â®: 1) (A 1) 1 = A; 2) (AB) 1 = B 1 A 1; 3) (tA) 1 = 1t A 1; 4) (A>) 1 = (A 1 )>; 5) jA 1j = jA1 j . ¢®©á⢮ 1 ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¡à ⮩ ¬ âà¨æë, ᢮©á⢮ 2 | ¨§ á«¥¤á⢨ï 2 ¨ à ¢¥á⢠(AB)(B 1 A 1) = A(BB 1 )A 1 = AEA 1 = AA 1 = E; ᢮©á⢮ 3 | ¨§ á«¥¤á⢨ï 2 ¨ à ¢¥á⢠(tA) 1 A 1 = t 1 (AA 1 ) = 1 E = E:
t
t
¢®©á⢮ 4 «¥£ª® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ä®à¬ã«ë (1) ¨ ⮣® ä ªâ , çâ® ¯à¨ âà ᯮ¨à®¢ ¨¨ ¬ âà¨æë ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¥ ¬¥ï¥âáï (á¬. ᢮©á⢮ 9 ¢ x13). ª®¥æ, ᢮©á⢮ 5 á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® jAj jA 1 j = jAA 1 j = jE j = 1 (¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ §¤¥áì ᢮©á⢮ 7 ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ | á¬. á. 253). 2.
室¥¨¥ ®¡à ⮩ ¬ âà¨æë á ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©
¯®á®¡ ¢ëç¨á«¥¨ï ®¡à ⮩ ¬ âà¨æë, 㪠§ ë© ¢ëè¥, âॡã¥â ¢ë¯®«¥¨ï ¡®«ì讣® ®¡ê¥¬ ¢ëç¨á«¥¨©, ª®â®àë© ª ⮬㠥 ¡ëáâà®
268
« ¢ 6. âà¨æë
à áâ¥â á à®á⮬ ¯®à浪 ¬ âà¨æë: ¥á«¨ ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â ¯®à冷ª n, â® ¥®¡å®¤¨¬® á®áç¨â âì ®¤¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì n-£® ¯®à浪 ¨ n2 ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© (n 1)-£® ¯®à浪 . ãé¥áâ¢ã¥â ᯮᮡ 室¥¨ï ®¡à ⮩ ¬ âà¨æë, ª®â®àë© ¥ âॡã¥â ¢ëç¨á«¥¨ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© ¨ á«®®áâì ª®â®à®£® ®ç¥ì ¬¥¤«¥® à áâ¥â á à®á⮬ ¯®à浪 ¬ âà¨æë. á®, çâ® ¥á«¨ A | ¥¢ëத¥ ï ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n, â® ®¡à â ï ª ¥© ¬ âà¨æ (ª®â®à ï áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨á⢥ ¢ ᨫã ⥮६ë) ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ¬ âà¨ç®£® ãà ¢¥¨ï AX = E , £¤¥ E | ¥¤¨¨ç ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n. ç¨âë¢ ï ᪠§ ®¥ ¢ x30 (á¬. á. 261), ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ¯à ¢¨«®. Ǒãáâì ¤ ¥¢ëத¥ ï ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ A ¯®à浪 n. ¯¨è¥¬ ¬ âà¨æã ¯®à浪 n n, ¢ ª®â®à®© ¢ ¯¥à¢ëå n á⮫¡æ å á⮨⠬ âà¨æ A, ¢ ¯®á«¥¤¨å n á⮫¡æ å | ¥¤¨¨ç ï ¬ âà¨æ . ¯®¬®éìî í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¢á¥© í⮩ ¬ âà¨æë ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ «¥¢ãî ç áâì â.¥. ¯¥à¢ë¥ n á⮫¡æ®¢ ª ¥¤¨¨ç®¬ã ¢¨¤ã. ¯à ¢®© ç á⨠â.¥. ¢ ¯®á«¥¤¨å n á⮫¡æ å ¯®«ã祮© ¬ âà¨æë ¡ã¤¥â § ¯¨á ¬ âà¨æ A 1 .
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â®â «£®à¨â¬ ¬®® ᨬ¢®«¨ç¥áª¨ ¨§®¡à §¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: (AjE ) (E jA 1 ): ¯¨á ë¬ «£®à¨â¬®¬ ¬®® ¯®«ì§®¢ âìáï ¨ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¢ëïá¨âì, áãé¥áâ¢ã¥â «¨ ¬ âà¨æ A 1. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢ ¯à®æ¥áᥠ¯à¨¢¥¤¥¨ï «¥¢®© ç á⨠¬ âà¨æë (AjE ) ª ¥¤¨¨ç®¬ã ¢¨¤ã ¬ë á ç « ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã. âà¨æ A 1 áãé¥áâ¢ã¥â ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áâ㯥ç â ï ¬ âà¨æ , ª®â®à ï ¢®§¨ª¥â ¢ íâ®â ¬®¬¥â ¢ «¥¢®© ç á⨠¯à¥®¡à §®¢ë¢ ¥¬®© ¬ âà¨æë, ¥ ᮤ¥à¨â ã«¥¢ëå áâப. á ¬®¬ ¤¥«¥, ®¡®§ 稬 íâã áâ㯥ç âãî ¬ âà¨æã ç¥à¥§ B, ¯®à冷ª ¬ âà¨æë A | ç¥à¥§ n. ᨫ㠫£®à¨â¬ 室¥¨ï à £ ¬ âà¨æë, ¨§«®¥®£® á. 242, ®âáãâá⢨¥ ã«¥¢ëå áâப ¢ ¬ âà¨æ¥ B à ¢®á¨«ì® ⮬ã, çâ® à £ ¬ âà¨æë A à ¢¥ n. â®, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, íª¢¨¢ «¥â® ⮬ã, çâ® ¥¤¨áâ¢¥ë© ¬¨®à ¯®à浪 n ¬ âà¨æë A, ¨¬¥® ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì, ®â«¨ç¥ ®â 0. áâ ¥âáï á®á« âìáï á«¥¤á⢨¥ 1. Ǒந««îáâà¨à㥬 ᪠§ ®¥ ¯à¨¬¥à¥ à áᬮâ८© ¢ëè¥ ¬ âà¨æë 0 1 2 11 A = 0 2 3A: 21 1
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¬¥¥¬
269
1 2 1 1 0 01 01 2 1 1 0 01 0 2 3 0 1 0A 0 2 3 0 1 0A 21 1001 0 3 3 201 0 1 0 121 100 3 6 0 7 3 21 0 2 3 0 1 0A 0 2 0 4 2 2A 003 432 003 4 3 2 0 3 0 0 5 3 4 1 0 1 0 0 5=3 1 4=3 1 0 2 0 4 2 2A 0 1 0 2 1 1 A: 003 4 3 2 0 0 1 4=3 1 2=3 «¥¤®¢ ⥫ì®, 0 1 5 =3 1 4=3 1 1A: A 1= 2 4=3 1 2=3 ⢥â, à §ã¬¥¥âáï, ᮢ¯ « á ⥬, çâ® ¬ë 諨 à ìè¥ ¤à㣨¬ ᯮᮡ®¬. 3.
0
¡à â ï ¬ âà¨æ ¨ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
¯®¬®éìî ®¡à âëå ¬ âà¨æ ¬®® à¥è âì ªà ¬¥à®¢áª¨¥ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ®á®¢ ï ¬ âà¨æ ª®â®àëå ¥¢ëத¥ . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì AX = B | â ª ï á¨á⥬ . ᨫ㠥¢ëத¥®á⨠¬ âà¨æë A áãé¥áâ¢ã¥â ¬ âà¨æ A 1 . ¬® ï ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠AX = B á«¥¢ A 1 ¨ ãç¨âë¢ ï, çâ® A 1 (AX ) = (A 1 A)X = EX = X , ¯®«ãç ¥¬, çâ® è á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, ª®â®à®¥ ¢ëà ¥âáï ä®à¬ã«®© X = A 1 B: (2) ¥è¨¬ 㪠§ ë¬ á¯®á®¡®¬ á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© 8 < x1 + 2x2 + x3 = 2; 2x2 + 3x3 = 5 (3) : 2x1 + x2 x3 = 7: ¤¥áì 0 0 1 2 11 21 A = 0 2 3A; B = 5A: 21 1 7
270
« ¢ 6. âà¨æë
âà¨æ A 1 ¡ë« ¤¢ ¤ë ¢ëç¨á«¥ ¢ëè¥. ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (2), ¨¬¥¥¬ 0 1 0 1 0 1 5 =3 1 4=3 2 1 1 1 A 5A = 2A: X = A 1B = 2 4=3 1 2=3 7 3 «¥¤®¢ ⥫ì®, á¨á⥬ (3) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3. ª ®â¬¥ç «®áì ¢ x30, á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ïîâáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ¬ âà¨çëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤ AX = B. ª § ®¥ ¢ëè¥ ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨ ¢ í⮬, ¡®«¥¥ ®¡é¥¬, á«ãç ¥. Ǒãáâì A | ¥¢ëத¥ ï ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ , B | ¯à®¨§¢®«ì ï ¬ âà¨æ . ª ®â¬¥ç «®áì ¢ x30, ¥á«¨ ç¨á«® áâப ¢ ¬ âà¨æ å A ¨ B à §«¨ç®, â® ãà ¢¥¨¥ AX = B à¥è¥¨© ¥ ¨¬¥¥â. Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® çâ® ¬ âà¨æë A ¨ B ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ ç¨á«® áâப. áá㤠ï â ª¥, ª ª ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ä®à¬ã«ë (2), ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ AX = B ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, ª®â®à®¥ ¢ëà ¥âáï 㪠§ ®© ä®à¬ã«®©. ¥è¨¬ á ¯®¬®éìî í⮩ ä®à¬ã«ë à áᬮâ८¥ ¢ëè¥ ãà ¢¥¨¥ 2 1 X = 8 6 4 2: 10 5432 ¤¥áì A = 21 10 ; B = 85 64 43 22 : ©¤¥¬ ¬ âà¨æã A 1 ¯® ä®à¬ã«¥ (1). ¬¥¥¬ 0 1 0 1 1 jAj = 1; A = 1 2 ; ¨ ¯®â®¬ã A = 1 2 : ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (2), ¨¬¥¥¬ 0 1 8 6 4 2 5 4 3 2 1 X =A B= 1 2 5 4 3 2 = 2 2 2 2 : ⢥â ᮢ¯ « á ©¤¥ë¬ ¢ëè¥ ¤à㣨¬ ᯮᮡ®¬. ¯®¬®éìî ®¡à âëå ¬ âà¨æ ¬®® à¥è âì ¥ ⮫쪮 ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ AX = B, ® ¨ ¤à㣨¥ ¬ âà¨çë¥ ãà ¢¥¨ï. ª ¥¬ ¤¢ ¨§ ¨å: ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ XA = B, £¤¥ A | ¥¢ëத¥ ï ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ , ¨ ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ AXB = C , £¤¥ A ¨ B | ¥¢ëத¥ë¥ ª¢ ¤à âë¥ ¬ âà¨æë. ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® ¯¥à¢®¥ ¨§ íâ¨å ãà ¢¥¨© ¨¬¥¥â
x
32. ¤ ç¨
271
¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ X = BA 1 ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¬ âà¨æë A ¨ B ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ ç¨á«® á⮫¡æ®¢, ¨ ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨© ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥, ¢â®à®¥ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ X = A 1 CB 1 ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¬ âà¨æë A ¨ C ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ ç¨á«® áâப, ¬ âà¨æë B ¨ C | ®¤¨ ª®¢®¥ ç¨á«® á⮫¡æ®¢, ¨ ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨© ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥. x32. 1.
¤ ç¨
á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç
ᮢ묨 ⨯ ¬¨ § ¤ ç ¯® ⥬¥ ¤ ®© £« ¢ë ïîâáï: 1) 室¥¨¥ à £ ¬ âà¨æë ¯® áâப ¬, ¯® á⮫¡æ ¬ ¨ ¯® ¬¨®à ¬; 2) 室¥¨¥ ä㤠¬¥â «ì®£® ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¨ § ¤ ç¨, ª®â®àë¥ ª í⮬ã ᢮¤ïâáï ( ¯à¨¬¥à, 室¥¨¥ ®¡é¥£® à¥è¥¨ï ¥®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë ¨ ¡ §¨á ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯®¤¯à®áâà áâ¢); 3) ¢ëç¨á«¥¨¥ १ã«ìâ ⮢ «¨¥©ëå ®¯¥à 権 ¤ ¬ âà¨æ ¬¨ ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ; 4) ¢ëç¨á«¥¨¥ ®¡à ⮩ ¬ âà¨æë, à¥è¥¨¥ ¬ âà¨çëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤ AX = B, 室¥¨¥ ¬ âà¨æë ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤®£® ¡ §¨á ª ¤à㣮¬ã. Ǒਬ¥àë à¥è¥¨ï § ¤ ç ¢á¥å íâ¨å ⨯®¢ ¨¬¥îâáï ¢ x28{31, ¨ ¯®â®¬ã §¤¥áì ¬ë ¨å à¥è âì ¥ ¡ã¤¥¬. 2.
¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï
©â¨ à £ 1¬ âà¨æë ¥¥ ¥ã«¥¢®© ¬¨®à: 0 ¨ 㪠§ âì ª ª®©-¨¡ã¤ì 0 123 1 1 1 11 0 1 1 1 11 ) 1 1 4 3 A; ¡) 2 2 2 2 A; ¢) 1 2 3 4 A; 1 1 8 9 1 01 1 5 5 1 1 1 1 1 0 21111 6 4 4 6 B2 1 1 2 3C B 9 6 6 9C C B C £) B 4 2 2 3 4 A; ¤) 9 6 6 9 A. 21111 6 4 4 6 2. ¯à¥¤¥«¨âì à £ ¬ âà¨æë ¯à¨ à §«¨çëå § 票ïå ¯ à ¬¥âà 1. 0
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0
1 1 2 0 1 0 t 1 2 3 1 1 0 1 t t2 t3 1 B2 3 5 1C B 1 t 3 2 1C B 2 1 t t2 C C B C B C ) B 4 9 13 t A; ¡) 2 3 t 1 1 A; ¢) 2 2 1 t A. 12 31 3 2 1 t1 222 1 3*. ¢ ¤à âë¥ ¬ âà¨æë A ¨ B ¯®à浪 n ¨¬¥îâ à £¨ r ¨ s ᮮ⢥âá⢥®. § íâ¨å ¬ âà¨æ, â ª¥ ã«¥¢®© ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë O ¯®à浪 n ¨ ¬ âà¨æë B á®áâ ¢¨«¨ á«¥¤ãî騥 ª¢ ¤à âë¥ ¬ âà¨æë ¯®à浪 2n: A O A A A B ) O B ; ¡) O B ; ¢) A B . ¯à¥¤¥«¨âì ¨å à £¨. 4. ¯à¥¤¥«¨âì, ᮢ¬¥áâë «¨ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ¨á¯®«ì§ãï ⥮६ã ஥ª¥à { ¯¥««¨:8 8 x2 + x3 = 2; x3 = 6; < x1 < x1 + 2x2 ) : 2x1 + x2 x3 = 1; ¡) : 2x1 + x2 + x3 = 3; x2 + x3 = 1; x2 + x3 = 1; 8 8 x3 = 1; x2 + x3 = 2; < x1 + x 2 < 2x1 ¢) : x1 x2 + x3 = 2; £) : x1 + 2x2 + 3x3 = 1; 2x1 3x2 + 4x3 = 8; x1 3x2 2x3 = 3: 5. ©â¨ ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©: 8 x2 + 2x3 + 3x4 = 0; < x1 x + 3 y + 2 z = 0 ; ) 2x + 4y + 3z = 0; ¡) : 2x1 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0; x1 x2 + x3 + x4 = 0: 6. ©â¨ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©: 8 8 3x1 + x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 0; > 8y + 3z = 0; > < 5x < ) : 2x 3y + z = 0; ¡) > 69xx11 ++ 35xx22 ++ 79xx33 ++ 46xx44 ++ 57xx55 == 00;; > x 2y + z = 0; : 3x1 + 8x3 + 2x4 + 4x5 = 0; x + 2 x + x = 2 ; 2 x + 2 x 1 2 3 1 ¢) 2x1 + 3x2 + x4 = 0; £) x1 + x22 + 3xx33 ++ 24xx44 == 5;3; 8 8 x3 + x4 = 1; < x1 + x2 < 2x1 + x2 x3 + x4 = 1; + x4 = 1; ¥) : x1 x2 + x3 x4 = 1; ¤) : 2x1 x2 4x1 5x2 + 2x3 + x4 = 5; 3x1 + x2 x3 + 3x4 = 3: 7. ©â¨ ¢¥ªâ®à ᤢ¨£ ¨ ¯à ¢«ïî饥 ¯®¤¯à®áâà á⢮ «¨¥©®£® ¬®£®®¡à §¨ï, § ¤ ®£® á¨á⥬®© «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© 8 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1; > > < 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 3; 3x1 + 2x2 2x3 + x4 = 7; > > : 9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2: 8. ©â¨ ¡ §¨á ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2 ¯à®áâà áâ¢
273
x
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279
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áâ¥á⢥®, A2 (~x) = ~x A1 (~x). Ǒਬ¥à 3. áᬮâਬ ⥯¥àì ¯®¯ã«ïæ¨î ᥪ®¬ëå, ª®â®àë¥ ¨¢ãâ ¥ ¡®«¥¥ âà¥å «¥â ¨ à §¬® îâáï ¢ â¥ç¥¨¥ âà¥â쥣® £®¤ . Ǒ¥à¢ ï ¢®§à áâ ï £à㯯 ¢ë¨¢ ¥â á ¢¥à®ïâ®áâìî 12 , ¢â®à ï á ¢¥à®ïâ®áâìî 13 , âà¥âìï ¤ ¥â 6 ®á®¡¥© ª ¤ãî ®á®¡ì í⮩ £àã¯¯ë ¨ ã¬¨à ¥â. Ǒãáâì ç «® £®¤ ¨¬¥«®áì x1 ®á®¡¥© ¯¥à¢®© ¢®§à á⮩ £à㯯ë, x2 | ¢â®à®©, x3 | âà¥â쥩. Ǒ।áâ ¢¨¬ ¯®¯ã«ïæ¨î ç «® £®¤ ¢¥ªâ®à®¬ ~x = (x1 ; x2; x3 ) ¯à®áâà á⢠R 3 . ¥à¥§ ~y = (y1; y2; y3) ®¡®§ 稬 ¯®¯ã«ïæ¨î ᥪ®¬ëå ª®¥æ £®¤ . ¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® ~y ï¥âáï äãªæ¨¥© ®â ~x, â.¥. çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ®¯¥à â®à ~y = A3 (~x). ¢¨á¨¬®áâì ~y ®â ~x ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢ëà ¥âáï à ¢¥á⢠¬¨ 8 y1 = 6x3 ; > > > < x y2 = 1 ; 2 > > > : y3 = x2 : 3
280
« ¢ 7. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë
â ª, ¬ë ã¡¥¤¨«¨áì, çâ® ®¯¥à â®àë ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¢®§¨ª îâ ¢ à §«¨çëå ¯à¨«®¥¨ïå. 襬 ªãàᥠ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨§ãç âì ¥ ¯à®¨§¢®«ìë¥ ®¯¥à â®àë, § ¤ ë¥ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥ V , ⮫쪮 «¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë. ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì V | ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮. ãªæ¨ï A: V 7 ! V §ë¢ ¥âáï «¨¥©ë¬ ®¯¥à â®à®¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ x1 ; x2 , x 2 V ¨ ¯à®¨§¢®«ì®£® t 2 R ¢ë¯®«ïîâáï à ¢¥á⢠A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ) ¨ A(tx) = tA(x): â®á¨â¥«ì® ¯¥à¢®£® à ¢¥á⢠£®¢®àïâ, çâ® A , ®â®á¨â¥«ì® ¢â®à®£® | çâ® A . ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ A | «¨¥©ë© ®¯¥à â®à ¢ ¯à®áâà á⢥ V ¨ x 2 V , â® A(0) = A(0 x) = 0 A(x) = 0. 묨 á«®¢ ¬¨, á®åà ï¥â á㬬ã
¢¥ªâ®à®¢
á®åà ï¥â ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ª-
â®à ç¨á«®
«î¡®© «¨¥©ë© ®¯¥à â®à ®â®¡à ¥â ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ¢ ᥡï.
Ǒਢ¥¤¥ë¥ ¢ ¯à¨¬¥à å 1{3 ®¯¥à â®àë A1, A2 ¨ A3 ïîâáï «¨¥©ë¬¨. â®â ä ªâ «¥£ª® ãáâ ®¢¨âì ¥¯®á।á⢥®, ® ¬ë ¢ë¢¥¤¥¬ ¥£® ¨¥ ¨§ ¥ª®â®à®£® ¡®«¥¥ ®¡é¥£® ã⢥थ¨ï (á¬. á. 285). ¯¨á®ª ¯à¨¬¥à®¢ «¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢ «¥£ª® à áè¨à¨âì. Ǒਬ¥à 4. Ǒ।áâ ¢¨¬ ¯à®áâà á⢮ R 2 ª ª ¬®¥á⢮ ¢¥ªâ®à®¢ ¯«®áª®áâ¨, ¢ë室ïé¨å ¨§ ç « ª®®à¤¨ â O. ®£¤ ¯®¢®à®â ¢¥ªâ®à®¢ 㣮« , à áâ泌¥ ¢ t à §, ᨬ¬¥âà¨ï ®â®á¨â¥«ì® ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã O, ¯à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à ®áì Ox (¨«¨ Oy) | ¯à¨¬¥àë «¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ ¯à®áâà á⢥ R 2 .
᫨ ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì R 3 ª ª ¬®¥á⢮ ¢¥ªâ®à®¢ âà¥å¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠, ¢ë室ïé¨å ¨§ ç « ª®®à¤¨ â O, â® ¯®¢®à®â 㣮« ®â®á¨â¥«ì® ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ O, ᨬ¬¥âà¨ï ®â®á¨â¥«ì® ¯«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ íâã â®çªã, | ¯à¨¬¥àë «¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ ¯à®áâà á⢥ R 3 . ª ¥¬ ¥é¥ ¤¢ «¨¥©ëå ®¯¥à â®à , ª®â®àë¥ ¬®® ®¯à¥¤¥«¨âì ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥ V . Ǒਬ¥à 5. 䨪á¨à㥬 ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç¨á«® t ¨ § ¤ ¤¨¬ ®¯¥à â®à A á«¥¤ãî騬 ¯à ¢¨«®¬: A(x) = tx ¤«ï ¢á类£® ¢¥ªâ®à x 2 V . â®â ®¯¥à â®à §ë¢ ¥âáï ®¯¥à â®à®¬ à áâï¥¨ï ¢ t à §. ¨¥©®áâì ®¯¥à â®à à áâ泌ï á ®ç¥¢¨¤®áâìî ¢ë⥪ ¥â ¨§ ªá¨®¬ 5 ¨ 7 ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠(á¬. á. 207). ᮡ® ®â¬¥â¨¬ ¤¢ ç áâëå á«ãç ï ®¯¥à â®à à áâ泌ï. Ǒ¥à¢ë© ¨§ ¨å | íâ® ®¯¥à â®à à áâï¥¨ï ¯à¨ t = 0. ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 ®¯¥à â®à ®¡®§ ç ¥âáï ¡ãª¢®© O ¨
281
x
33. ¨¥©ë© ®¯¥à â®à, ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à
§ë¢ ¥âáï ã«¥¢ë¬. á®, çâ® ã«¥¢®© ®¯¥à â®à ¯¥à¥¢®¤¨â ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à ¨§ V ¢ ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à. â®à®© ç áâë© á«ãç © ®¯¥à â®à à áâï¥¨ï ¢®§¨ª ¥â ¯à¨ t = 1. ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 ®¯¥à â®à ®¡®§ ç ¥âáï ¡ãª¢®© E ¨ §ë¢ ¥âáï ⮤¥áâ¢¥ë¬ ¨«¨ ¥¤¨¨çë¬. â®â ®¯¥à â®à ¯¥à¥¢®¤¨â ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à ¨§ V ¢ ᥡï. Ǒਬ¥à 6. â®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ¥é¥ ®¤¨ ®¯¥à â®à, § 䨪á¨à㥬 ¢ ¯à®áâà á⢥ V ¥ª®â®à®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ M . ᨫ㠯।«®¥¨ï ¨§ x25 áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ M 0 ¢ V , çâ® V = M M 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à x 2 V ¬®®, ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬, ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ x = x1 + x2, £¤¥ x1 2 M ¨ x2 2 M 0 . áᬮâਬ ®¯¥à â®à P ¢ ¯à®áâà á⢥ V , § ¤ ¢ ¥¬ë© ¯à ¢¨«®¬ P (x) = x1 . ¥£ª® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® íâ®â ®¯¥à â®à | «¨¥©ë©. §ë¢ ¥âáï 0®¯¥à â®à®¬ ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï ¯®¤¯à®áâà á⢮ M ¯ à ««¥«ì® M . ⬥⨬, ç⮠⮤¥áâ¢¥ë© ®¯¥à â®à ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ®¯¥à â®à ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï V ¯ à ««¥«ì® ã«¥¢®¬ã ¯®¤¯à®áâà áâ¢ã, ã«¥¢®© ®¯¥à â®à | ª ª ®¯¥à â®à ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï ã«¥¢®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¯ à ««¥«ì® V . â® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⮣®, çâ® V = V f0g ¨ x = x + 0 ¤«ï ¢á类£® ¢¥ªâ®à x 2 V . ë© ç áâë© á«ãç © ®¯¥à â®à ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï (®¯¥à â®à ®à⮣® «ì®£® ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï) ¡ã¤¥â ¢¢¥¤¥ ¢ x40. à㣨¥ ¯à¨¬¥àë «¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢ á¬. ¢ § ¤ ç å 6{8 á. 304. 2.
âà¨æ ®¯¥à â®à ¢ ¡ §¨á¥
Ǒãáâì y = A(x) | «¨¥©ë© ®¯¥à â®à ¢ ¯à®áâà á⢥ V , b1, . . . , b | ¡ §¨á V . Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ë § ¥¬ ®¡à §ë ¡ §¨áëå ¢¥ªâ®à®¢, â.¥. ¢¥ªâ®àë A(b1 ), A(b2 ), . . . , A(b ). í⮬ á«ãç ¥ ¬ë ᬮ¥¬ ©â¨ ®¡à § ¯à®¨§¢®«ì®£® ¢¥ªâ®à x 2 V . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ (t1 ; t2; : : : ; t ) | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à x ¢ ¡ §¨á¥ b1 , b2 , . . . , b , â® A(x) = A(t1 b1 + t2 b2 + + t b ) = t1 A(b1 ) + t2 A(b2 ) + + t A(b ): â ª, ç⮡ë 㧠âì, ª ª ®¯¥à â®à ¤¥©áâ¢ã¥â ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à, ¤®áâ â®ç® § âì, ª ª ® ¤¥©áâ¢ã¥â ¡ §¨áë¥ ¢¥ªâ®àë. â® ¤¥« ¥â ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì y = A(x) | «¨¥©ë© ®¯¥à â®à ¯à®áâà á⢠V , b1; b2 ; : : : ; b | ¡ §¨á í⮣® ¯à®áâà á⢠. ¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n, i-© á⮫¡¥æ ª®â®à®© á®á⮨⠨§ ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à A(b ) ¢ ¡ §¨á¥ b1; b2; : : : ; b (¤«ï ¢á¥å i = 1; 2; : : : ; n), §ë¢ ¥âáï ¬ âà¨æ¥© ®¯¥à â®à y = A(x) ¢ ¡ §¨á¥ b1 ; b2 ; : : : ; b .
b2 ,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
i
n
n
282
« ¢ 7. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë
áᬮâਬ ¯à¨¬¥à. Ǒãáâì ¯«®áª®á⨠§ ¤ ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â; ®¯¥à â®à ~y = A(~x) ª ¤ë© ¢¥ªâ®à ~x, ¢ë室ï騩 ¨§ ç « ª®®à¤¨ â, ®â®¡à ¥â ¢ ¢¥ªâ®à ~y, ᨬ¬¥âà¨çë© ¢¥ªâ®àã ~x ®â®á¨â¥«ì® ¯àאַ© ` á ãà ¢¥¨¥¬ x1 2x2 = 0 (á¬. à¨á㮪). ॡã¥âáï ©â¨ ¬ âà¨æã í⮣® ®¯¥à â®à ¢ ¡ §¨á¥ ~e1; ~e2. x2 ~e2 6 A(~e
q 7
1) F
q
O
`
q G AU ~n = (1; -~eqE x1 1
2)
©¤¥¬ á ç « ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à A(~e1 ) ¢ ¡ §¨á¥ ~e1, ~e2. ⨠ª®®à¤¨ âë ᮢ¯ ¤ãâ á ª®®à¤¨ â ¬¨ â®çª¨ F , ª®â®à ï ᨬ¬¥âà¨ç â®çª¥ E (1; 0) ®â®á¨â¥«ì® ¯àאַ© `. ¯¨è¥¬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯àאַ© EF ¨ ¤®¡ ¢¨¬ ª ¨¬ ãà ¢¥¨¥ ¯àאַ© `. Ǒ®«ã稬 á¨á⥬ã 8 < x1 = 1 + t; x2 = 2t; : x1 2x2 = 0: (ë ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì, à §ã¬¥¥âáï, ⥬, çâ® ®à¬ «ìë© ¢¥ªâ®à ~n = (1; 2) ¯àאַ© ` ¡ã¤¥â ¯à ¢«ïî騬 ¤«ï ¯àאַ© EF .) ¥è¥¨¥ á¨áâ¥¬ë ¤ ¥â ª®®à¤¨ âë â®çª¨ G (¯à®¥ªæ¨¨ â®çª¨ E ¯àï¬ãî `): 4 2 x1 = , x2 = . Ǒ®áª®«ìªã G | á¥à¥¤¨ ®â१ª EF , â® F ¨¬¥¥â 5 5 ª®®à¤¨ âë 53 ; 45 . â ª, ¢¥ªâ®à A(~e1) ¨¬¥¥â ¢ ¡ §¨á¥ ~e1, ~e2 ª®®à¤¨ âë 35 ; 45 . «®£¨ç® ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï, çâ® ¢¥ªâ®à A(~e2) ¨¬¥¥â ¢ 4 3 ¡ §¨á¥ ~e1, ~e2 ª®®à¤¨ âë 5 ; 5 . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à ~y = A(~x) ¢ ¡ §¨á¥ ~e1 , ~e2 ¨¬¥¥â ¢¨¤ 3=5 4=5 : 4=5 3=5 ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® ®¯¥à â®à à áâï¥¨ï ¢ t à § ¨¬¥¥â ¢ «î¡®¬ ¡ -
283
x
33. ¨¥©ë© ®¯¥à â®à, ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à
§¨á¥ ¬ âà¨æã
0
0 0 ::: 01 B0 t 0 ::: 0C B C C tE = B B0 0 t ::: 0C .. .. .. .. .. A 0 0 0 ::: t (¯à¨ «î¡®¬ t). ç áâ®áâ¨, ã«¥¢®© ®¯¥à â®à ¨¬¥¥â ã«¥¢ãî ¬ âà¨æã, ⮤¥áâ¢¥ë© ®¯¥à â®à | ¥¤¨¨çãî ¬ âà¨æã. ©¤¥¬ ¬ âà¨æã ®¯¥à â®à ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï P ¯®¤¯à®áâà á⢮0M ¯ à ««¥«ì® M 0 ¢ ¡ §¨á¥, ¯®«ã祮¬ ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬ ¡ §¨á®¢ M ¨ M . Ǒãáâì a1 ; a2; : : : ; a | ¡ §¨á M , a +1 ; a +2; : : : ; a | ¡ §¨á M 0. ®£¤ P (a ) = a ¤«ï ¢á类£® i = 1; 2; : : : ; m ¨ P (a ) = 0 ¤«ï ¢á类£® j = m + 1; m + 2; : : : ; n. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à P ¢ ¡ §¨á¥ a1 ; a2; : : : ; a ¨¬¥¥â ¢¨¤ 0 1 0 0 ::: 0 0 ::: 0 1 B 0 1 0 ::: 0 0 ::: 0 C C B B 0 0 1 ::: 0 0 ::: 0 C C B B . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. C C B B 0 0 0 ::: 1 0 ::: 0 C; C B B 0 0 0 ::: 0 0 ::: 0 C C B . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. A 0 0 0 ::: 0 0 ::: 0 £¤¥ ç¨á«® ¥¤¨¨æ £« ¢®© ¤¨ £® «¨ à ¢® m (â.¥. à §¬¥à®á⨠¯®¤¯à®áâà á⢠M ). Ǒãáâì «¨¥©ë© ®¯¥à â®à y = A(x) ¯à®áâà á⢠V ¢ ¡ §¨á¥ b1, b2 , . . . , b ¨¬¥¥â ¬ âà¨æã t
m
m
m
n
i
i
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0
n
B
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1
a11 a12 : : : a1 a21 a22 : : : a2
. .. .. .. . .. .. .. .. ..
n
a 1 a 2 ::: a n
n
C C: A
nn
( âà¨æã ®¯¥à â®à ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ⮩ ¥ ¡ãª¢®©, çâ® ¨ ®¯¥à â®à, ® ¥ \¯¨á쬥®©", \¯¥ç ⮩".) ¡®§ 稬 ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à x ¢ ¡ §¨á¥ b1; b2; : : : ; b ç¥à¥§ (x1 ; x2; : : : ; x ). ª ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à y = A(x) ¢ ⮬ ¥ ¡ §¨á¥? Ǒãáâì y = y1b1 + y2b2 + + y b . ®£¤ y1 b1 + y2 b2 + + y b = y = A(x) = = A(x1 b1 + x2 b2 + + x b ) = x1 A(b1 ) + x2A(b2 ) + + x A(b ): n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
284
« ¢ 7. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë
Ǒ®áª®«ìªã á⮫¡æë ¬ âà¨æë A | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ A(b1 ), A(b2), . . . , A(b ), â® ¯à¥®¡à §ã¥¬ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¥¨¥ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ á à ¢¥á⢠¬¨ A(b1 ) = a11 b1 + a21 b2 + + a 1 b ; A(b2 ) = a12 b1 + a22 b2 + + a 2 b ; . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. A(b ) = a1 b1 + a2 b2 + + a b : Ǒ®á«¥ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¯®¤®¡ëå ç«¥®¢ ¬ë ¯®«ã稬 à ¢¥á⢮ y1 b1 + y2 b2 + + y b = (a11 x1 + a12 x2 + + a1 x ) b1 + + (a21 x1 + a22x2 + + a2 x ) b2+ .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. + (a 1 x1 + a 2x2 + + a x ) b : ᨫ㠥¤¨á⢥®áâ¨ à §«®¥¨ï ¯® ¡ §¨áã íâ® ®§ ç ¥â, çâ® 8 y1 = a11 x1 + a12 x2 + + a1 x ; > > < y2 = a21 x1 + a22 x2 + + a2 x ; (1) . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. > > : y = a 1 x1 + a 2 x2 + + a x : Ǒ®«ãç¥ãî á¨á⥬ã à ¢¥á⢠¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ª®®à¤¨ ⮩ § ¯¨áìî ®¯¥à â®à ¢ ¡ §¨á¥ b1 ; b2 : : : ; b . ¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® à ¢¥á⢠(1) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¬ âà¨ç®¬ ¢¨¤¥: n
n
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a 1 a 2 ::: a n
n
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x
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n
¯¨áì ®¯¥à â®à ¢ í⮬ ¢¨¤¥ ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯®«®© ¬ âà¨ç®© § ¯¨áìî. «¥¥, ¥á«¨, ª ª ®¡ëç®, ®¡®§ ç¨âì ç¥à¥§ X ¨ Y á⮫¡æë, á®áâ ¢«¥ë¥ ¨§ ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à®¢ x ¨ y ᮮ⢥âá⢥®, â® ¨§ (2) ¯®«ã稬 ªà âªãî ¬ âà¨çãî § ¯¨áì ®¯¥à â®à : Y = AX: (3) ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ⮣® çâ®¡ë ©â¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à A(x), ¤®áâ â®ç® ¬ âà¨æã ®¯¥à â®à A 㬮¨âì ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à x, § ¯¨á ë¥ ¢ ¢¨¤¥ á⮫¡æ .
285
x
33. ¨¥©ë© ®¯¥à â®à, ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à
Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¬ë § 䨪á¨à®¢ «¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ V ¡ §¨á b1; b2; : : : ; b ¨ ®¡ã¬ ¯¨á «¨ à ¢¥á⢠¢¨¤ (1), âà ªâãï (x1 , x2 , . . . , x ) ¨ (y1 ; y2 ; : : : ; y ) ª ª ª®®à¤¨ âë ¯à®®¡à § x ¨ ®¡à § y ᮮ⢥âá⢥® ¯à¨ ¤¥©á⢨¨ ¥ª®â®à®£® ®¯¥à â®à y = A(x). ®£¤ íâ®â ®¯¥à â®à ¡ã¤¥â «¨¥©ë¬. â® áâ ®¢¨âáï ®ç¥¢¨¤ë¬, ¥á«¨ ¯¥à¥©â¨ ª à ¢¥á⢠¬ (3). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì x1 ¨ x2 | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¢¥ªâ®àë ¨§ V , y1 = A(x1 ), y2 = A(x2 ), t | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç¨á«®. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ A ¬ âà¨æã ®¯¥à â®à A ¢ ¡ §¨á¥ b1; b2; : : : ; b , ç¥à¥§ X1, X2, Y1 ¨ Y2 | á⮫¡æë ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à®¢ x1, x2 , y1 ¨ y2 ᮮ⢥âá⢥® ¢ ⮬ ¥ ¡ §¨á¥. ®£¤ , ¢ ᨫã (3), Y1 = AX1 ¨ Y2 = AX2 . Ǒ®áª®«ìªã A(X1 + X2 ) = AX1 + AX2 ¨ A(tX1 ) = t(AX1 ), ¨¬¥¥¬ A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ) ¨ A(tx1 ) = tA(x1 ). ¨¥©®áâì ®¯¥à â®à A ¤®ª § . âáî¤ , ¢ ç áâ®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® ®¯¥à â®àë A1 , A2 ¨ A3 , ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ ç «¥ ¯ à £à ä , ïîâáï «¨¥©ë¬¨. n
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3.
§¬¥¥¨¥ ¬ âà¨æë ®¯¥à â®à ¯à¨ § ¬¥¥ ¡ §¨á
¤¥áì ¬ë ®â¢¥â¨¬ á«¥¤ãî騩 ¢®¯à®á. ª á¢ï§ ë ¬ âà¨æë ®¤®£® ¨ ⮣® ¥ ®¯¥à â®à ¢ à §ëå ¡ §¨á å? Ǒãáâì ®¯¥à â®à y = A(x) ¢ ¡ §¨á¥ F , á®áâ®ï饬 ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ f1; f2 ; : : : ; f , ¨¬¥¥â ¬ âà¨æã A , ¢ ¡ §¨á¥ G, á®áâ®ï饬 ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ g1; g2; : : : ; g , | ¬ âà¨æã A . ®£¤ A =T A T ; (4) £¤¥ T ¨ T | ¬ âà¨æë ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á F ª ¡ §¨áã G ¨ ®â ¡ §¨á G ª ¡ §¨áã F ᮮ⢥âá⢥® (á¬. á. 205). ®ª §ë¢ âì ä®à¬ã«ã (4) ¬ë ¥ ¡ã¤¥¬. ⬥⨬ ⮫쪮, çâ®, ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë 2 ¨§ x28 ¨ â¥®à¥¬ë ¨§ x31, ¬ âà¨æë T ¨ T ®¡à ⨬ë. «ï ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ä®à¬ã«ë (4) ¯à¨ à¥è¥¨¨ § ¤ ç áãé¥áâ¢¥ë¬ ï¢«ï¥âáï á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥. n
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®¡à âë ¤à㣠ª ¤àã£ã.
Ǒ®«®¨¬ T = (t ) ¨ T = (t0 ). «¥¥, ¯ãáâì T T = X ¨ X = (x ). ॡã¥âáï ¤®ª § âì, çâ® X = E , â.¥. çâ® x = 1 ¯à¨ i = j ¨ x = 0 ¯à¨ i 6= j (¤«ï ¢á¥å i; j = 1; 2; : : : ; n). ë ¤®ª ¥¬ íâ®â ä ªâ ¯à¨ j = 1. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¡á®«îâ® «®£¨ç®. ᯮ«ì§ãï ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¬ âà¨æë ¯¥à¥å®¤ ®â ®¤®£® ¡ §¨á ª ¤à㣮¬ã, ¨¬¥¥¬ f1 = t011 g1 + t021 g2 + + t0 1 g = = t0011 (t11f1 + t21f2 + + t 1 f )+ + t21 (t12f1 + t22f2 + + t 2 f )+ . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . + t0 1 (t1 f1 + t2 f2 + + t f ): ®ª § ⥫ìá⢮. FG
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286
« ¢ 7. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë
áªàë¢ ï ᪮¡ª¨, ¯¥à¥£à㯯¨à®¢ë¢ ï á« £ ¥¬ë¥ ¨ ãç¨âë¢ ï ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬ âà¨æ, ¨¬¥¥¬ f1 = (t11 t011 + t12 t021 + + t1 t0 1 )f1 + + (t21 t011 + t22t021 + + t2 t0 1)f2 + .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. + (t 1 t011 + t 2t021 + + t t0 1)f = = x11 f1 + x21 f2 + + x 1f : ¤à㣮© áâ®à®ë, f1 = 1 f1 + 0 f2 + + 0 f . ᨫ㠥¤¨á⢥®áâ¨ à §«®¥¨ï ¢¥ªâ®à ¯® ¡ §¨áã (á¬. ⥮६ã 2 ¢ x22) ¨¬¥¥¬ x11 = 1, x21 = 0, . . ., x 1 = 0. ¥¬¬ ¤®ª § . âà¨æã T ç áâ® ®¡®§ ç îâ ¯à®áâ® ç¥à¥§ T . ®£¤ , ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë, T = T 1, çâ® ¯®§¢®«ï¥â § ¯¨á âì à ¢¥á⢮ (4) ¢ ¢¨¤¥ A = T 1A T: (5) Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à ¯à¨¬¥¥¨ï ä®à¬ã«ë (4). Ǒãáâì ¢ ¡ §¨á¥ F , á®áâ®ï饬 ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ f1 = (1; 2) ¨ f2 = (2; 1), «¨¥©ë© ®¯¥à â®à § ¤ ¥âáï ¬ âà¨æ¥© 0 2 A= 13 : ¤® ©â¨ ¬ âà¨æã í⮣® ®¯¥à â®à ¢ ¡ §¨á¥ G, ª®â®àë© á®á⮨⠨§ ¢¥ªâ®à®¢ g1 = (3; 1) ¨ g2 = (4; 2). âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á F ª ¡ §¨áã G ©¤¥ ¢ ª®æ¥ x30: T = 11 02 : Ǒத¥« ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢ëç¨á«¥¨ï, ¯®«ãç ¥¬, çâ® 1 0 1 T = (T ) = 0;5 0;5 : «¥¤®¢ ⥫ì®, 1 0 0 2 1 0 2 4 A = 0;5 0;5 1 3 1 2 = 0 1 : § ª«î票¥ ¯ à £à ä à áᬮâਬ á«ãç ©, ª®£¤ ®¤¨ ¨§ ¡ §¨á®¢ F ¨ G | áâ ¤ àâë©. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ ¨§¢¥áâ ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à ¢ áâ ¤ à⮬ ¡ §¨á¥ E ¨ âॡã¥âáï ©â¨ ¥£® ¬ âà¨æã ¢ ¡ §¨á¥ F . ª ®â¬¥ç «®áì á. 203, ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à ¨§ R ïîâáï ¥£® ª®®à¤¨ â ¬¨ ¢ áâ ¤ à⮬ ¡ §¨á¥. âáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® n n
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287
¬ âà¨æ T ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬ âà¨æ¥©, ¢ ª®â®à®© ¯® á⮫¡æ ¬ § ¯¨á ë ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ ¡ §¨á F ¢ áâ ¤ à⮬ ¡ §¨á¥. Ǒ®áª®«ìªã ¢¥ªâ®àë ¡ §¨á F ¨§¢¥áâë, íâã ¬ âà¨æã ⮥ ¬®® áç¨â âì ¨§¢¥á⮩. â®¡ë ©â¨ ¬ âà¨æã A , ®áâ ¥âáï ©â¨ ¬ âà¨æã, ®¡à âãî ª T , ¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ä®à¬ã«®© A = (T ) 1A T . «®£¨ç® ®¡á⮨⠤¥«® ¨ ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ ¨§¢¥áâ ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à ¢ ¡ §¨á¥ F ¨ âॡã¥âáï ©â¨ ¥£® ¬ âà¨æã ¢ áâ ¤ à⮬ ¡ §¨á¥ E . í⮬ á«ãç ¥ ã ï ä®à¬ã« ¯à¨®¡à¥â ¥â ¢¨¤ A = T A (T ) 1. EF
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x34.
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áᬮâਬ ¤¢ ¯à¨¬¥à «¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢. Ǒਬ¥à 1. Ǒãáâì «¨¥©ë© ®¯¥à â®à ¢ ¯à®áâà á⢥ R 2 § ¤ à ¢¥á⢠¬¨ y1 = 2x1 ; y2 = 3x2 : Ǒãáâì ~b1, ~b2 | ¥ª®â®àë© ¡ §¨á ¢ R 2 . Ǒ®áª®«ìªã ¢¥ªâ®à ~b1 ¨¬¥¥â ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ª®®à¤¨ âë (1,0), ¢¥ªâ®à ~b2 | ª®®à¤¨ âë (0,1), ¯®«ãç ¥¬, çâ® è ®¯¥à â®à à áâ¢ ¥â ¢¥ªâ®à ~b1 ¢ 2 à § , ~b2 | ¢ 3 à § . â ª®¬ á«ãç ¥ ¬ë ¬®¥¬ ¯®ïâì, ª ª ¤¥©áâ¢ã¥â ®¯¥à â®à ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à ~x. «ï í⮣® ¤® ¢¥ªâ®à ~x ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë ~x1 + ~x2 , £¤¥ ~x1 k ~b1, ~x2 k ~b2, à áâïãâì ~x1 ¢ ¤¢ à § , ~x2 | ¢ âà¨ à § , § ⥬ á«®¨âì ¯®«ãç¥ë¥ ¢¥ªâ®àë. ¯à®ç¥¬, â®, çâ® ®¯¥à â®à ¤¥©áâ¢ã¥â ¤®áâ â®ç® ïáë¬ á¯®á®¡®¬, ¢¨¤® ¨ ¨§ ¥£® ª®®à¤¨ ⮩ § ¯¨á¨. Ǒਬ¥à 2. áᬮâਬ ⥯¥àì ®¯¥à â®à ¢ R 2 , § ¤ ë© à ¢¥á⢠¬¨ y1 = x1 + 2x2 ; y2 = 2x1 + x2 : â®â ®¯¥à â®à ¢¥ªâ®à ~ 1 = (1; 1) ¯¥à¥¢®¤¨â ¢ ¢¥ªâ®à d~1 = (3; 3), â.¥. à áâ¢ ¥â ¢ 3 à § , ¢¥ªâ®à ~ 2 = (1; 1) ¯¥à¥¢®¤¨â ¢ ¢¥ªâ®à d~2 = ( 1; 1), â.¥. \à áâ¢ ¥â" ¢ 1 à §. Ǒ®áª®«ìªã ¢¥ªâ®àë ~ 1 ¨ ~ 2 ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠R 2 , â® íâ®â ä ªâ ¤ ¥â, ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯à¨¬¥à¥, ¯®«ãî £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî ª àâ¨ã ¤¥©áâ¢¨ï ®¯¥à â®à . § ¯à¨¢¥¤¥ëå ¯à¨¬¥à®¢ ¢¨¤ à®«ì ¢¥ªâ®à®¢, ª®â®àë¥ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ®¯¥à â®à à áâ¢ îâáï ¢ ¥ª®â®à®¥ ç¨á«® à §, â.¥. ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ª®««¨¥ àë¥ á ¬¨¬ ᥡ¥.
288
« ¢ 7. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë
¥ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à §ë¢ ¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ ¢¥ª®¯¥à â®à A(x), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«® t â ª®¥, çâ® A( ) = t : (1) ¨á«® t §ë¢ ¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ § 票¥¬ (¨«¨ ᮡáâ¢¥ë¬ ç¨á«®¬) ®¯¥à â®à A, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à â ª®©, çâ® ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ (1). ®£¤ ¤® á®®â®á¨âì ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à ¨ ᮡá⢥®¥ § 票¥, ¯®í⮬㠯ਠ«¨ç¨¨ à ¢¥á⢠(1) ¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ᮡáâ¢¥ë¬ ¢¥ªâ®à®¬, ®â®áï騬áï ª ᮡá⢥®¬ã § 票î t, t | ᮡáâ¢¥ë¬ § 票¥¬, ®â®áï騬áï ª ᮡá⢥®¬ã ¢¥ªâ®àã . ¯à¨¬¥à¥ 2 ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à ~ 1 = (1; 1) ®â®á¨âáï ª ᮡá⢥®¬ã § 票î 3, ᮡá⢥®¥ § 票¥ 1 ®â®á¨âáï ª ᮡá⢥®¬ã ¢¥ªâ®àã ~ 2 = (1; 1). ⬥⨬ ¤¢ ᢮©á⢠¢¢¥¤¥ëå ¯®ï⨩. ¯à¥¤¥«¥¨¥.
â®à®¬
¥®à¥¬ . ®¢®ªã¯®áâì ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢, ®â®áïé¨åáï ª ®¤®¬ã ¨ ⮬㠥 ᮡá⢥®¬ã § 票î, ¢¬¥á⥠á ã«¥¢ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ®¡à §ã¥â ¯®¤¯à®áâà á⢮. ®¡áâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë, ®â®áï騥áï ª à §ë¬ á®¡áâ¢¥ë¬ § 票ï¬, «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¯à®áâ®. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ M0 ¬®¥á⢮ ¢á¥å ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢, ®â®áïé¨åáï ª ᮡá⢥®¬ã § 票î t0 , ç¥à¥§ M | ¬®¥á⢮ ¢¥ªâ®à®¢, á®áâ®ï饥 ¨§ M0 ¨ ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à . Ǒãáâì 1 ; 2 2 M .
᫨
1 + 2 = 0, â® 1 + 2 2 M . Ǒãáâì ⥯¥àì 1 + 2 6= 0. Ǒ®áª®«ìªã A( 1 + 2 ) = A( 1 )+A( 2 ) = t0 1 +t0 2 = t0 ( 1 + 2 ), â® 1 + 2 2 M0 M . «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï § ¬ªãâ®áâì M ®â®á¨â¥«ì® 㬮¥¨ï ¢¥ªâ®à ç¨á«®. â®à®¥ ã⢥थ¨¥ ¤®ª ¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ¢¥ªâ®à®¢. Ǒãáâì ¢¥ªâ®àë 1, 2 , . . . , ïîâáï ᮡá⢥묨 ¨ ®â®áïâáï ª ¯®¯ à® à §«¨çë¬ á®¡áâ¢¥ë¬ § ç¥¨ï¬ t1, t2, .. . , t ᮮ⢥âá⢥®. 祢¨¤®, ¬®® áç¨â âì, çâ® k > 1. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¡ §ë ¨¤ãªæ¨¨ ¤® à áᬮâà¥âì á«ãç ©, ª®£¤ k = 2. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¢¥ªâ®àë 1; 2 «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë. ®£¤ 2 = s 1 ¤«ï ¥ª®â®à®£® s. Ǒਠí⮬ s 6= 0, â ª ª ª ¨ ç¥ 2 = 0 ¢®¯à¥ª¨ ®¯à¥¤¥«¥¨î ᮡá⢥®£® ¢¥ªâ®à . «¥¥, (t2s) 1 = t2(s 1)= t2 2 = A( 2 )= A(s 1 )= s A( 1 )= s(t1 1)=(t1 s) 1 : Ǒ®áª®«ìªã 1 6= 0 (¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ᮡá⢥®£® ¢¥ªâ®à ), â® t2s = t1 s ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, t2 = t1 , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î. â ª, ¯à¨ k
k
289
x
34. ®¡áâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï
= 2 á¨á⥬ ¨§ k ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢, ®â®áïé¨åáï ª à §«¨çë¬ á®¡áâ¢¥ë¬ § 票ï¬, «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ . Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® íâ® ã⢥थ¨¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï k = `, ¨ ¤®ª ¥¬ ¥£® ¤«ï k = ` +1. áᬮâਬ á¨á⥬ã 1 ; 2 ; : : : ; ; +1 ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à A(x), ®â®áïé¨åáï ª ¯®¯ à® à §«¨çë¬ á®¡áâ¢¥ë¬ § ç¥¨ï¬ t1; t2; : : : ; t ; t +1. Ǒãáâì á¨á⥬ 1 ; 2 ; : : : ; ; +1 «¨¥©® § ¢¨á¨¬ . â® ¥ ¢à¥¬ï, ¯® 襬㠯।¯®«®¥¨î, á¨á⥬ 1 ; 2; : : : ; ï¥âáï «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬®©. ᨫ㠫¥¬¬ë 3 ¨§ x21
+1 = s1 1 +s2 2 + +s ¤«ï ¥ª®â®àëå ç¨á¥« s1 ; s2 ; : : : ; s . á®, çâ® å®âï ¡ë ®¤® ¨§ ç¨á¥« s1, s2, . . . , s ®â«¨ç® ®â ã«ï (¨ ç¥ +1 = 0, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ®¯à¥¤¥«¥¨î ᮡá⢥®£® ¢¥ªâ®à ). «¥¥, (t +1s1) 1 + (t +1s2) 2 + + (t +1s ) = = t +1(s1 1 + s2 2 + + s ) = t +1 +1 = A( +1 ) = = A(s1 1 + s2 2 + + s ) = s1A( 1 ) + s2A( 2 ) + + s A( ) = = (t1s1 ) 1 + (t2 s2) 2 + + (t s ) : ë ¨¬¥¥¬ à ¢¥á⢮ (t +1s1) 1 +(t +1s2 ) 2 +: : :+(t +1s ) = (t1s1) 1 +(t2 s2) 2 + +(t s ) ; ª®â®à®¥ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ (t +1 s1 t1s1 ) 1 + (t +1s2 t2s2) 2 + : : : + (t +1s t s ) = 0: Ǒ®áª®«ìªã á¨á⥬ 1; 2 ; : : : ; «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ , ®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® t +1s1 = t1s1 , t +1s2 = t2s2, . . . , t +1s = t s . ª ®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥, ®¤® ¨§ ç¨á¥« s1; s2 ; : : : ; s ®â«¨ç® ®â ã«ï. «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¯ãáâì s1 6= 0. ®£¤ , ᮪à ⨢ s1 ¢ ¯¥à¢®¬ ¨§ ¯®«ãç¥ëå à ¢¥áâ¢, ¨¬¥¥¬ t +1 = t1. â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, ç⮠ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï t1; t2; : : : ; t ; t +1 ¯®¯ à® à §«¨çë. «¥¤®¢ ⥫ì®, á¨á⥬
1 ; 2 ; : : : ; ; +1 «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ . ¥®à¥¬ ¤®ª § . áᬮâਬ ¢®¯à®á ® ⮬, ª ª ©â¨ ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï. áᬮâਬ ¢ ç «¥ ª®ªà¥âë© ®¯¥à â®à ¢ R 2 : y1 = 3x1 + 4x2 ; (2) y2 = 5x1 + 2x2 : Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® t | ᮡá⢥®¥ § 票¥, (x1 ; x2) | ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à, ®â®áï騩áï ª t. ®£¤ 3x1 + 4x2 = tx1 ; 5x1 + 2x2 = tx2 : k
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« ¢ 7. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë
Ǒ¥à¥¯¨è¥¬ á¨á⥬㠢 á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: (3 t)x1 + 4x2 = 0; (3) 5x1 + (2 t)x2 = 0: â ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥, ¯®í⮬㠮¯à¥¤¥«¨â¥«ì á¨á⥬ë à ¢¥ ã«î (á¬. ⥮६ã 2 ¢ x14): 3 t 4 5 2 t = 0:
᫨ à áªàëâì ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì, â® ¯®á«¥ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¯®¤®¡ëå ç«¥®¢ ¯®«ãç¨âáï ¬®£®ç«¥ ¢â®à®£® ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® t: 3 t 4 2 5t 14: 5 2 t =t â®â ¬®£®ç«¥ §ë¢ ¥âáï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ¬®£®ç«¥®¬ ¬ -
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3 4 A= 5 2 ; à ¢¥á⢮ t2 5t 14 = 0 | ¥¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬. ⬥⨬, çâ® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì 3 t 4 5 2 t ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ jA tE j, £¤¥ A = 35 42 ; E | ¥¤¨¨ç ï ¬ âà¨æ ¢â®à®£® ¯®à浪 . â ª, ¥á«¨ t | ᮡá⢥®¥ § 票¥ ®¯¥à â®à (2), â® t | ª®à¥ì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï. ¡à ⮥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥¢¥à®, â ª ª ª ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ïîâáï ¤¥©á⢨⥫ì묨 ç¨á« ¬¨, å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¬®¥â ¨¬¥âì ª®¬¯«¥ªáë¥ ª®à¨, ¥ ïî騥áï ¤¥©á⢨⥫ì묨. ® ¢á直© ª®à¥ì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï jA tE j = 0, ïî騩áï ¤¥©á⢨⥫ìë¬ ç¨á«®¬, ¡ã¤¥â ᮡáâ¢¥ë¬ § 票¥¬ ®¯¥à â®à A(x). ¥©á⢨⥫ì®, á¨á⥬ (3) ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥. â® à¥è¥¨¥ ¨ ¡ã¤¥â ᮡáâ¢¥ë¬ ¢¥ªâ®à®¬.
291
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34. ®¡áâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï
襬 á«ãç ¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ¤¢ ª®àï: = 7. ¥à¥¬ ¯¥à¢ë© ¨ ¢®§¢à é ¥¬áï ª á¨á⥬¥ (3) (¯à¨
t1 = 2, t2 t = 2):
5x1 + 4x2 = 0; (4) 5x1 + 4x2 = 0: ë ¨¬¥¥¬ ®¤®à®¤ãî á¨á⥬ã ãà ¢¥¨©, à £ ®á®¢®© ¬ âà¨æë ª®â®à®© à ¢¥ 1 ¨ ¬¥ìè¥ ç¨á« ¥¨§¢¥áâëå. ᨫã í⮣® á¨á⥬ (4) ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢ë¥ à¥è¥¨ï. ᥠ®¨ ¡ã¤ãâ ᮡá⢥묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ ®¯¥à â®à . ®¢®ªã¯®áâì ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¢¬¥á⥠á ã«ì-¢¥ªâ®à®¬ ®¡à §ã¥â ¯®¤¯à®áâà á⢮. ® ®¡ëç® å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ᢮¨¬ ¡ §¨á®¬, â.¥. ä㤠¬¥â «ìë¬ ¡®à®¬ à¥è¥¨© á¨á⥬ë (4). 㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë (4) á®á⮨⠨§ ®¤®£® ¢¥ªâ®à . ª ç¥á⢥ â ª®¢®£® ¬®® ¢§ïâì «î¡®¥ ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥, ¯à¨¬¥à ~ 1 = ( 4; 5). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®¥á⢮ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢, ®â®áïé¨åáï ª ᮡá⢥®¬ã § 票î t1 = 2, ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬®¥á⢮¬ ¢¥ªâ®à®¢ ¢¨¤ s~ 1, £¤¥ s 2 R ¨ s 6= 0. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¬®¥á⢮ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢, ®â®áïé¨åáï ª t2 = 7, ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬®¥á⢮¬ ¢¥ªâ®à®¢ ¢¨¤ s~ 2, £¤¥ ~ 2 = (1; 1), s 2 R ¨ s 6= 0. ¡®¡é¨¬ ᯮᮡ 室¥¨ï ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ᮡá⢥ëå § 票© ®¡é¨© á«ãç ©. áᬮâਬ ®¯¥à â®à A, § ¤ ë© à ¢¥á⢠¬¨ 8 y1 = a11 x1 + a12 x2 + + a1 x ; > > < y2 = a21 x1 + a22 x2 + + a2 x ; . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . > > : y = a 1 x1 + a 2 x2 + + a x ¨«¨ ¢ ªà ⪮© ¬ âà¨ç®© § ¯¨á¨ Y = AX (£¤¥ A = (a ) | ¬ âà¨æ 襣® ®¯¥à â®à ¢ ¥ª®â®à®¬ ¡ §¨á¥).
᫨ ¢¥ªâ®à x ï¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ ¢¥ªâ®à®¬, ®â®áï騬áï ª ᮡá⢥®¬ã ç¨á«ã t0, â® 8 t0 x1 = a11 x1 + a12 x2 + + a1 x ; > > < t0 x2 = a21 x1 + a22 x2 + + a2 x ; .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. > > : t0 x = a 1 x1 + a 2 x2 + + a x : ¯¨è¥¬ íâã á¨á⥬㠢 á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: 8 (a11 t0 )x1 + a12 x2 + + a1 x = 0; > > < a21 x1 + (a22 t0 )x2 + + a2 x = 0; (5) .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + (a t0 )x = 0: n
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292
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¥ªâ®à x ï¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ ¢¥ªâ®à®¬, ®â®áï騬áï ª ᮡá⢥®¬ã § 票î t0 , ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ï¥âáï ¥ã«¥¢ë¬ à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (5). â á¨á⥬ ï¥âáï ªà ¬¥à®¢áª®©, ¯®í⮬㠮 ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ ⮫쪮 ¢ á«ãç ¥, ª®£¤
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a11 t a12 : : : a21 a22 t : : :
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᫨ à áªàëâì ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¨§ «¥¢®© ç áâ¨ à ¢¥á⢠(6), â® ¯®«ãç¨âáï ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ n ®â®á¨â¥«ì® t. ª ¨ ¢ à áᬮâ८¬ ¢ëè¥ ¯à¨¬¥à¥, ® §ë¢ ¥âáï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ¬®£®ç«¥®¬ ¬ âà¨æë A, ãà ¢¥¨¥ (6) | ¥¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬. ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ¢á类¥ ᮡá⢥®¥ § 票¥ ®¯¥à â®à A ï¥âáï ª®à¥¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¬ âà¨æë A. ª ¨ ¢ à áᬮâ८¬ ¢ëè¥ ¯à¨¬¥à¥, á¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ®¡à ⮥: ¢á直© ¤¥©á⢨⥫ìë© ª®à¥ì í⮣® ãà ¢¥¨ï ï¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ § 票¥¬ ®¯¥à â®à A. â ª, ᮡá⢥묨 § 票ﬨ ¬ âà¨æë ïîâáï ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ª®à¨ ¥¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¨ ⮫쪮 ®¨.
¤ ç 室¥¨ï ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ᮡá⢥ëå § 票© à¥è ¥âáï, á«¥¤®¢ ⥫ì®, á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. 室¨¬ á ç « ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ª®à¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï , ¯ãáâì íâ® ¡ã¤ãâ ç¨á« t1 ; t2 ; : : : ; tk . Ǒ®¤áâ ¢«ï¥¬ ¨å ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¢¬¥áâ® t0 ¢ á¨á⥬㠨 ª ¤ë© à § 室¨¬ ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨©. ¯à¨¬¥à, ¯ãáâì ¤«ï t1 ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© á®á⮨⠨§ ¢¥ªâ®à®¢ 1 ; 2 ; : : : ; m . ®£¤ ¬®¥á⢮ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢, ®â®áïé¨åáï ª t1 , ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬®¥á⢮¬ ¢¥ªâ®à®¢ ¢¨¤ s1 1 s2 2 sm m , £¤¥ s1 ; s2 ; : : : ; sm 2 R ¨ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® ¨§ ç¨á¥« s1 ; s2 ; : : : ; sm ®â«¨ç® ®â
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â®à, ª®««¨¥ àë© ¨á室®¬ã. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë ¬®£ãâ ¨¬¥âì \à §®¥ ª®«¨ç¥á⢮" ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢. Ǒ।áâ ¢¨¬ ¯à®áâà á⢮ R 2 ¢ ¢¨¤¥ ¢¥ªâ®à®¢ ª®®à¤¨ ⮩ ¯«®áª®áâ¨, ¢ë室ïé¨å ¨§ ç « ª®®à¤¨ â. ¯¥à â®à ¯®¢®à®â ¢®ªàã£ ç « ª®®à¤¨ â 㣮« , ¥ ªà âë© , ¢®®¡é¥ ¥ ¨¬¥¥â ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢. ®¡áâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ®¯¥à â®à y1 = x1 + x2 ; y2 = x2
294
« ¢ 7. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë
¡ã¤ãâ ¨áç¥à¯ë¢ âìáï ¢¥ªâ®à ¬¨ ¢¨¤ ty1 , £¤¥ y1 | ¯¥à¢ë© ¡ §¨áë© ¢¥ªâ®à, t | ¥ã«¥¢®¥ ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«®, â.¥. á®áâ ¢«ïâì ¢¬¥á⥠á ã«ì-¢¥ªâ®à®¬ ®¤®¬¥à®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮. ¨§ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à y1 = x1 + 2x2 ; y2 = 2x1 + x2 ; ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ ç «¥ x34, ¬®® á®áâ ¢¨âì ¡ §¨á ¨á室®£® ¯à®áâà á⢠. ¨¬¥®, 㪠§ ë© ¡ §¨á á®á⮨⠨§ ¢¥ªâ®à®¢ ~ 1 = (1; 1) ¨ ~ 2 = (1; 1).
᫨ ¬ë § ¯¨è¥¬ ¬ âà¨æã í⮣® ®¯¥à â®à ¢ ¡ §¨á¥ ~ 1 ;~ 2 (á¬. ç «® x34), â® ® ¯à¨¬¥â ¢¨¤ 3 0; 0 1 â.¥. ¡ã¤¥â ¤¨ £® «ì®©. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¯¥à â®à y = A(x) §ë¢ ¥âáï ¯à¨¢®¤¨¬ë¬ ª ¤¨ £® «ì®¬ã ¢¨¤ã (¨«¨ ¤¨ £® «¨§¨à㥬ë¬), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¡ §¨á ¨á室®£® ¯à®áâà á⢠, ¢ ª®â®à®¬ ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à ï¥âáï ¤¨ £® «ì®©. ª¨¥ ®¯¥à â®àë §ë¢ îâáï â ª¥ ®¯¥à â®à ¬¨ ¯à®á⮩ áâàãªâãàë. ª¨¥ ®¯¥à â®àë ¨ ¡ã¤ãâ ®á®¢ë¬ ®¡ê¥ªâ®¬ ¢¨¬ ¨ï ¢ í⮬ ¯ à £à ä¥. ¥®à¥¬ . ¯¥à â®à y = A(x), § ¤ ë© ¢ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥ V , ¯à¨¢®¤¨¬ ª ¤¨ £® «ì®¬ã ¢¨¤ã ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢ V áãé¥áâ¢ã¥â ¡ §¨á, á®áâ ¢«¥ë© ¨§ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à y A x .
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y1 , y2 , . . ., yn
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A(y2 ) = s2 y2 , .. . , A(y ) = s
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296
« ¢ 7. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë
©¤¥¬ á ç « ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï í⮣® ®¯¥à â®à . à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬®£®ç«¥ ¬ âà¨æë A ¨¬¥¥â ¢¨¤ 4 t 5 6 3 2 jA tE j = 5 7 t 9 = t + t : 2 3 4 t ¬¥¥¬ ¤¢ à §«¨çëå ᮡá⢥ëå § 票ï: t1 = 0 ¨ t2 = 1. ©¤¥¬ ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë, ®â®áï騥áï ª t1. ¬¥¥¬ 0 4 5 61 04 5 61 04 5 61 A t1 E = 5 7 9 A 0 3 6 A 0 1 2 A : 0 1 2 0 0 0 2 3 4 ¤®à®¤ ï á¨á⥬ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¯®«ã祮© ¬ âà¨æ¥, ¨¬¥¥â ®¤ã ᢮¡®¤ãî ¥¨§¢¥áâãî | x3 . Ǒ®« £ ï x3 = 1, 室¨¬, çâ® x2 = 2, x1 = 1. â ª, ª ᮡá⢥®¬ã § 票î t1 ®â®á¨âáï ⮫쪮 ®¤¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à | ¢¥ªâ®à ~a1 = (1; 2; 1). «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® ª ᮡá⢥®¬ã § 票î t2 â ª¥ ®â®á¨âáï ⮫쪮 ®¤¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à | ¢¥ªâ®à ~a2 = (3; 3; 1). ᨫã â¥®à¥¬ë ¨§ x34 ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ~a1, ~a2 «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬. ® ® ¥ ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¢á¥£® ¯à®áâà á⢠, â ª ª ª ᮤ¥à¨â «¨èì ¤¢ ¢¥ªâ®à , ®¯¥à â®à ¤¥©áâ¢ã¥â ¢ âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤ ë© ®¯¥à â®à ¥ ¯à¨¢®¤¨¬ ª ¤¨ £® «ì®¬ã ¢¨¤ã. Ǒãáâì ⥯¥àì ®¯¥à â®à § ¤ ¬ âà¨æ¥© 0 7 10 12 1 A = 12 19 24 A : 6 10 13 Ǒ®á«¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢ëç¨á«¥¨© ¯®«ãç ¥¬, çâ® jA tE j = (t 1)2 (t + 1); ª ᮡá⢥®¬ã § 票î t1 = 1 ®â®áïâáï ¤¢ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à ~a1 = ( 5; 3; 0) ¨ ~a2 = ( 2; 0; 1), ª ᮡá⢥®¬ã § 票î t2 = 1 | ®¤¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à ~a3 = (1; 2; 1). ᨫã â¥®à¥¬ë ¨§ x34 ¢¥ªâ®àë ~a1 , ~a2 , ~a3 «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. Ǒ®áª®«ìªã ¯®à冷ª ¬ âà¨æë à ¢¥ 3, ®¯¥à â®à ¤¥©áâ¢ã¥â ¢ âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢¥ªâ®àë ~a1, ~a2, ~a3 ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠. âà¨æ ®¯¥à â®à ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ 0 1 0 01 A= 0 1 0 A 0 0 1
x
35. ¯¥à â®àë, ¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ª ¤¨ £® «ì®¬ã ¢¨¤ã
297
(ª ¤®¥ ᮡá⢥®¥ § 票¥ á⮨⠤¨ £® «¨ á⮫쪮 à §, ᪮«ìª® ¨¬¥¥âáï ®â®áïé¨åáï ª ¥¬ã «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢). Ǒਢ¥¤¥¬ ª« áá § ¤ ç, á¢ï§ ëå á «¨¥©ë¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨, à¥è¥¨¥ ª®â®àëå áãé¥á⢥® ã¯à®é ¥âáï, ¥á«¨ ®¯¥à â®àë ¯à¨¢®¤¨¬ë ª ¤¨ £® «ì®¬ã ¢¨¤ã. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ R ¢ ¡ §¨á¥ y1 ; y2; : : : ; y «¨¥©ë© ®¯¥à â®à y = A(x) § ¤ ¥âáï à ¢¥á⢮¬ Y = AX .
᫨ ¬ë ª 2¢¥ªâ®àã AX ᮢ ¯à¨¬¥¨¬ ®¯¥à â®à y = A(x), â® ¯®«ã稬 ¢¥ªâ®à A X , ¯®á«¥ k-ªà ⮣® ¯à¨¬¥¥¨ï | ¢¥ªâ®à A X . ®¢®«ì® ç áâ® ¤® § âì ¯®¢¥¤¥¨¥ ®¯¥à â®à Y = A X ¯à¨ k ! 1. ¥à¥¬áï ª ¯à¨¬¥àã á ᥪ®¬ë¬¨, à áᬮâ८¬ã ¢ x33 (á¬. ¯à¨¬¥à 3 á. 279).
᫨ ~x = (x1 ; x2; x3 ) | ª®«¨ç¥á⢮ ᥪ®¬ëå ¢ ç «¥ £®¤ , ~y> = (y1; y2>; y3) | ¢ ª®æ¥ £®¤ , â®, ª ª «¥£ª® ¯®ïâì, Y = AX , £¤¥ Y = ~y , X = ~x , 0 0 0 61 A = 1=2 0 0 A : 0 1=3 0 ®«¨ç¥á⢮ ᥪ®¬ëå ª ª®æã ¢â®à®£® £®¤ ®¯à¥¤¥«¨âáï ¢¥ªâ®à®¬ A2 X , ª ª®æã âà¥â쥣® | A3 X ¨ â.¤.
᫨ á ¨â¥à¥áã¥â, ª ª ¡ã¤¥â à §¢¨¢ âìáï ¯®¯ã«ïæ¨ï ᥪ®¬ëå ¯à¨ k ! 1, â® ¬ë ¤®«ë à áᬮâà¥âì ¬ âà¨æë A; A2 ; A3; : : : ; A ; : : :, â.¥. ãç¨âìáï ¢ëç¨á«ïâì ¬ âà¨æã A ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® k. ¤ ®¬ ¯à¨¬¥à¥ ¢á¥ ¯à®áâ®: 0 1 0 1 0 2 0 1 0 0 A2 = 0 0 3 A ; A3 = 0 1 0 A : 1=6 0 0 001 ç «ã ç¥â¢¥à⮣® £®¤ ª®«¨ç¥á⢮ ᥪ®¬ëå ª ¤®£® ¢®§à á⠡㤥â ᮢ¯ ¤ âì á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ç¨á«®¬ ç «® ¯¥à¢®£® £®¤ . «ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¬ âà¨æë A ¤ ¥ âà¥â쥣® ¯®à浪 ¢ëç¨á«¨âì A ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®¬ k ¤®¢®«ì® á«®®. ¤ ª® ¥á«¨ A | ¬ âà¨æ ¤¨ £® «¨§¨à㥬®£® ®¯¥à â®à y = A(x), â®, ª ª ¬ë ᥩç á 㢨¤¨¬, ¬®® 㪠§ âì ¯à®áâãî ä®à¬ã«ã ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï A . â ª, ¯ãáâì y = A(x) | ¤¨ £® «¨§¨àã¥¬ë© ®¯¥à â®à ¨ ¬ ¨§¢¥áâ ¥£® ¬ âà¨æ A ¢ ¥ª®â®à®¬ ¡ §¨á¥ F . Ǒãáâì, ¤ «¥¥, G | â®â ¡ §¨á, ¢ ª®â®à®¬ ¬ âà¨æ 襣® ®¯¥à â®à ¤¨ £® «ì , ¨¬¥® ¨¬¥¥â ¢¨¤ 0 1 t1 0 0 : : : 0 B 0 t2 0 : : : 0 C B C 0 C A =B B 0 0 t3 : : : 0 C : . .. .. .. .. .. . .. .. . A 0 0 0 ::: t n
n
k
k
k
k
k
k
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298
« ¢ 7. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë
«£®à¨â¬ 室¥¨ï ¡ §¨á G ¨ ¬ âà¨æë A0 㪠§ ¢ëè¥ ¢ ¤ ®¬ 0 ¯ à £à ä¥, ¯®í⮬ã G ¨ A ¬®® áç¨â âì ¨§¢¥áâ묨. ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® 0 1 t1 0 0 : : : 0 B 0 t 2 0 ::: 0 C B C (A0 ) = B 0 0 t3 : : : 0 C B C: .. .. . .. .. .. .. .. .. A 0 0 0 ::: t ¡®§ 稬 ç¥à¥§ T ¬ âà¨æã ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á F ª ¡ §¨áã G.
¥ â ª¥ ¬®® áç¨â âì ¨§¢¥á⮩ ( «£®à¨â¬ ¥¥ 室¥¨ï á¬. á. 263). ᨫã ä®à¬ã«ë (5) ¨§ x33, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥á⢮ A0 = T1 1AT . ¬® ï ®¡¥ ç áâ¨0 í⮣® à ¢¥á⢠᫥¢ T ¨ á¯à ¢ T , ¯®«ãç ¥¬, çâ® A = T A T 1. ® ⮣¤ A = (T A0 T 1) (T A0 T 1) : : : (T A0 T 1) = | {z } k
k
k
k
k n
k
k à §
= T A0(T 1T )A0(T 1T )A0 : : : (T 1T )A0T 1 = T (A0) T 1: â ª, A = T (A0) T 1. â® ¨ ¥áâì 㯮¬¨ ¢è ïáï ¢ëè¥ ä®à¬ã« ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï A . k
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x36.
¡à § ¨ ï¤à® «¨¥©®£® ®¯¥à â®à
«¨¥©ë¬ ®¯¥à â®à®¬ A ¢ ¯à®áâà á⢥ V á¢ï§ ë ¤¢ ¢ ëå ¯®¤¬®¥á⢠¨§ V . ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì A | «¨¥©ë© ®¯¥à â®à ¢ ¯à®áâà á⢥ V . ¡à §®¬ A §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ y 2 V â ª¨å, çâ® A(x) = y ¤«ï ¥ª®â®à®£® x 2 V . ¤à®¬ A §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ x 2 V â ª¨å, çâ® A(x) = 0. ¡à § ®¯¥à â®à A ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ Im A, ¥£® ï¤à® | ç¥à¥§ Ker A. ⬥⨬, çâ® ª ¤®¥ ¨§ ¬®¥á⢠Im A ¨ Ker A ¥¯ãáâ®. «ï ¯¥à¢®£® ¨§ ¨å íâ® ®ç¥¢¨¤®, ¤«ï ¢â®à®£® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®â¬¥ç¥®£® á. 280 ä ªâ , çâ® A(0) = 0. Ǒਢ¥¤¥¬ ¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢. Ǒãáâì A | ®¯¥à â®à ¢ ®¡ë箬 âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥, ª®â®àë© ¯à®¨§¢®«ìë© ¢¥ªâ®à ~x ¯¥à¥¢®¤¨â ¢ ¥£® ¯à®¥ªæ¨î ¯«®áª®áâì Oxy. ®£¤ , ª ª «¥£ª® ¯®ïâì, Im A | íâ® ¯«®áª®áâì Oxy, Ker A | ®áì Oz. x33 ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ¯à®áâà á⢥ V ¡ë«¨ ®¯à¥¤¥«¥ë ã«¥¢®© ®¯¥à â®à O ¨ ⮤¥áâ¢¥ë© ®¯¥à â®à E (á¬. á. 280). 祢¨¤®, çâ® Im O = f0g ¨ Ker O = V , ¯à¨ç¥¬
299
x
36. ¡à § ¨ ï¤à® «¨¥©®£® ®¯¥à â®à
ã«¥¢®© ®¯¥à â®à | ¥¤¨á⢥ë©, ã ª®â®à®£® ®¡à §®¬ ï¥âáï ã«¥¢®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮, ï¤à®¬ | ¢á¥ ¯à®áâà á⢮. «¥¥, ïá®, çâ® Im E = V ¨ Ker E = f0g. ãé¥áâ¢ãîâ ¨ ¤à㣨¥ ®¯¥à â®àë, ã ª®â®àëå ®¡à §®¬ ï¥âáï ¢á¥ ¯à®áâà á⢮, ï¤à®¬ | ã«¥¢®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮. ¨å ç¨á«ã ®â®áïâáï, ¯à¨¬¥à, ®¯¥à â®à à áâï¥¨ï ¢ t à § ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® t 6= 0, ®¯¥à â®à ¯®¢®à®â ¯«®áª®á⨠¢®ªàã£ ç « ª®®à¤¨ â 䨪á¨à®¢ ë© ã£®« , ®¯¥à â®à ᨬ¬¥âਨ ¯«®áª®á⨠®â®á¨â¥«ì® ®á¨ Ox (¨«¨ Oy).
᫨ P | ®¯¥à â®à ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï ¯®¤¯à®áâà á⢮ M ¯ à ««¥«ì® ¯®¤¯à®áâà áâ¢ã M 0 (á¬. á. 281), â®, 0 ª ª «¥£ª® ¯®ïâì, Im(P ) = M ¨ Ker(P ) = M . ®® § ¬¥â¨âì, çâ® ¢® ¢á¥å ¯à¨¢¥¤¥ëå ¢ëè¥ ¯à¨¬¥à å ®¡à § ¨ ï¤à® 﫨áì ¯®¤¯à®áâà á⢠¬¨. â® ¢¥à® ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® «¨¥©®£® ®¯¥à â®à ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ¯à®áâà á⢥. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì y1 ; y2 ; y 2 Im A, t | ç¨á«®. ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®àë x1 ; x2 ; x 2 V â ª¨¥, çâ® A(x1 ) = y1, A(x2 ) = y2 , A(x) = y. «¥¤®¢ ⥫ì®, y1 + y2 = A(x1 ) + A(x2 ) = A(x1 + x2 ) ¨ ty = tA(x) = A(tx): â® ®§ ç ¥â, çâ® x1 + x2; tx 2 Im A, ¨ ¯®â®¬ã Im A | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ V . «¥¥, ¯ãáâì x1 ; x2; x 2 Ker A, t | ç¨á«®. ®£¤ A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ) = 0 + 0 = 0 ¨ A(tx) = tA(x) = t 0 = 0: â® ®§ ç ¥â, çâ® x1 + x2 ; tx 2 Ker A, ¨ ¯®â®¬ã Ker A | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ V . ª § ®¥ ¯®§¢®«ï¥â £®¢®à¨âì ® à §¬¥à®á⨠¨ ¡ §¨á¥ ®¡à § ¨ ï¤à ®¯¥à â®à A. á«¥¤ãî饩 ⥮६¥ 㪠§ á¢ï§ì ¬¥¤ã à §¬¥à®áâﬨ íâ¨å ¯®¤¯à®áâà áâ¢, ¨§ ¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠«¥£ª® ¨§¢«¥ª ¥âáï ᯮᮡ 室¥¨ï ¨å ¡ §¨á®¢.
¥®à¥¬ . Ǒãáâì A | «¨¥©ë© ®¯¥à â®à ¢ ª®¥ç®¬¥à®¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥ V . ®£¤ á㬬 à §¬¥à®á⥩ ®¡à § ¨ ï¤à ®¯¥à â®à A à ¢ à §¬¥à®á⨠V .
®ª § ⥫ìá⢮. Ǒ®«®¨¬ dim V = n ¨ § 䨪á¨à㥬 ¯à®¨§¢®«ìë© ¡ §¨á f1; f2; : : : ; f ¯à®áâà á⢠V . ¡®§ 稬 ¬ âà¨æã ®¯¥à â®à A ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ç¥à¥§ A, ¥¥ à £ | ç¥à¥§ r. Ǒãáâì x 2 V , (t1 ; t2; : : : ; t ) | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à x ¢ ¡ §¨á¥ f1 ; f2; : : : ; f . ®£¤ A(x) = A(t1 f1 + t2 f2 + + t f ) = t1 A(f1 ) + t2 A(f2 ) + + t A(f ): Ǒ®áª®«ìªã ¯à®áâà á⢮ Im A á®á⮨⠨§ ¢¥ªâ®à®¢ ¢¨¤ A(x), ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ A(f1 ); A(f2 ); : : : ; A(f ) ï¥âáï á¨á⥬®© ®¡à §ãîé¨å í⮣® ¯à®áâà á⢠. «¥¤®¢ ⥫ì®, à §¬¥à®áâì Im A à ¢ n
n
n
n n
n
n
n
300
« ¢ 7. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë
à £ã 㪠§ ®£® ¡®à ¢¥ªâ®à®¢. ç¨âë¢ ï, çâ® á⮫¡æë ¬ âà¨æë A áãâì ¢ â®ç®á⨠á⮫¡æë ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à®¢ A(f1 ); A(f2 ); : : : ; A(f ) ¢ ¡ §¨á¥ f1, f2, . . . , f , ¯®«ãç ¥¬, çâ® dim Im A = r. «¥¥, ¯ãáâì x 2 V , X | á⮫¡¥æ ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à x ¢ ¡ §¨á¥ f1 ; f2 ; : : : ; f . á®, çâ® x 2 Ker A ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ AX = O, £¤¥ O | ã«¥¢®© á⮫¡¥æ. 묨 á«®¢ ¬¨, ¯à®áâà á⢮ Ker A ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¡é¨¬ à¥è¥¨¥¬ ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© AX = O. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¡ §¨á Ker A ¥áâì ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© í⮩ á¨á⥬ë, à §¬¥à®áâì Ker A à ¢ ç¨á«ã ¢¥ªâ®à®¢ ¢ í⮬ ¡®à¥. ᨫã â¥®à¥¬ë ¨§ x29 íâ® ç¨á«® ¢¥ªâ®à®¢ à ¢® n r. ª¨¬ ®¡à §®¬, dim Ker A = n r. «¥¤®¢ ⥫ì®, dim Im A + dim Ker A = r + (n r) = n: ¥®à¥¬ ¤®ª § . ä®à¬ã«¨à㥬 ¢ ¬ ¢¨¤¥ «£®à¨â¬ë 室¥¨ï ¡ §¨á®¢ ®¡à § ¨ ï¤à , ¢ë⥪ î騥 ¨§ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë. n
n
n
Ǒãáâì «¨¥©ë© ®¯¥à â®à A § ¤ ¢ ¥ª®â®à®¬ ¡ §¨á¥ ¬ âà¨æ¥© A. â®¡ë ©â¨ ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠A, ¤® ¯à¨¢¥á⨠ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã ¬ âà¨æã A> . ¥ã«¥¢ë¥ áâப¨ ¯®«ã祮© ¬ âà¨æë ¨ ¡ã¤ãâ ¡ §¨á®¬ A. â®¡ë ©â¨ ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠A, ¤® ©â¨ ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ®á®¢ ï ¬ âà¨æ ª®â®à®© ¥áâì A. ¨ ¡ã¤¥â ¨áª®¬ë¬ ¡ §¨á®¬.
Im
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Im
Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à. Ǒãáâì «¨¥©ë© ®¯¥à â®à A § ¤ ¢ ¥ª®â®à®¬ ¡ §¨á¥ ¬ âà¨æ¥© 0 2 0 1 31 B 1 0 3 4C C A=B 1 0 2 1A: 101 2 ॡã¥âáï ©â¨ ¡ §¨á ¨ à §¬¥à®áâì ¯®¤¯à®áâà á⢠Ker A ¨ Im A. 祬 á ®¡à § ®¯¥à â®à . ¥©áâ¢ãï ¯® 㪠§ ®¬ã ¢ëè¥ «£®à¨â¬ã, ¨¬¥¥¬ 0 2 1 1 11 02 1 1 11 02 1 1 11 B 0 0 0 0C B1 3 2 1C B0 5 5 1C C B C B C A> = B 1 3 2 1A 3 4 1 2A 0 5 5 1A 3 4 1 2 00 00 00 00
301
x
36. ¡à § ¨ ï¤à® «¨¥©®£® ®¯¥à â®à
0
2 1 1 11 B0 5 5 1C C B 0 0 0 0A: 00 00 «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢¥ªâ®àë (2; 1; 1; 1) ¨ (0,5,5,1) ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ®¡à § ®¯¥à â®à A. ç áâ®áâ¨, ®âáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® à §¬¥à®áâì ®¡à § à ¢ 2. Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª ï¤àã ®¯¥à â®à A. ¥©áâ¢ãï ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á 㪠§ ë¬ ¢ëè¥ «£®à¨â¬®¬, ¨¬¥¥¬ 0 2 0 1 31 02 0 1 31 02 0 1 31 02 0 1 31 B 1 0 3 4C B0 0 5 5C B0 0 1 1C B0 0 1 1C C B C B C B C A=B 1 0 2 1A 0 0 5 5A 0 0 1 1A 0 0 0 0A: 101 2 001 1 001 1 000 0 ¯¨è¥¬ á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¯®«ã祮© ¬¨ ¬ âà¨æ¥: 2x1 + 0 x2 + x3 3x4 = 0; x3 x4 = 0: â®¡ë ¯à¨¢¥á⨠¥¥ ª «¥áâ¨ç®¬ã ¢¨¤ã, ¤® ¯¥à¥áâ ¢¨âì á⮫¡æë á ¥¨§¢¥áâ묨 x2 ¨ x3 . á®, ç⮠᢮¡®¤ë¬¨ ¥¨§¢¥áâ묨 ¡ã¤ãâ x2 ¨ x4 . Ǒ®« £ ï x2 = 1, x4 = 0, ¨§ ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï ¯®«ãç ¥¬, çâ® x3 = 0, ¨ ¨§ ¯¥à¢®£® | çâ® x1 = 0. «¥¥, ¯®« £ ï x2 = 0, x4 = 1, ¨§ ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï ¯®«ãç ¥¬, çâ® x3 = 1, ¨ ¨§ ¯¥à¢®£® | çâ® x1 = 1. â ª, ¢ ª ç¥á⢥ ¡ §¨á ï¤à ¬®® ¢§ïâì ¢¥ªâ®àë (0,1,0,0) ¨ (1,0,1,1). ç áâ®áâ¨, à §¬¥à®áâì ï¤à à ¢ 2. § ª«î票¥ ¯ à £à ä ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥é¥ ®¤¨ «£®à¨â¬ 室¥¨ï ¡ §¨á®¢ ®¡à § ¨ ï¤à ®¯¥à â®à A.
£® ¯à¥¨¬ãé¥á⢮¬ ï¥âáï â®, çâ® ® ¯®§¢®«ï¥â ©â¨ ¡ §¨áë ®¡à § ¨ ï¤à . ®¤®¢à¥¬¥®
Ǒãáâì ®¯¥à â®à A ¨¬¥¥â ¢ ¡ §¨á¥ f1 ; f2 ; : : : ; f ¬ âà¨æã A. ®áâ ¢¨¬ ¬ âà¨æã B ¯®à浪 n 2n á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. «¥¢®© ¯®«®¢¨¥ (â.¥. ¢ ¯¥à¢ëå n á⮫¡æ å ) í⮩ ¬ âà¨æë § ¯¨è¥¬ ¬ âà¨æã A> , ¢ ¥¥ ¯à ¢®© ¯®«®¢¨¥ (¢ ¯®á«¥¤¨å n á⮫¡æ å ) | ¥¤¨¨çãî ¬ âà¨æã. «¥¬¥â à묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ ¢á¥© ¬ âà¨æë B ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ n
«¥¢ãî ¯®«®¢¨ã ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã. Ǒ®«ãç¥ãî ¬ âà¨æã ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ C , ¥¥ «¥¢ãî ¯®«®¢¨ã ª¢ ¤à âãî ¬ âà¨æã, á®áâ®ïéãî ¨§ ¯¥à¢ëå n á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë C | ç¥à¥§ C1 , ¥¥ ¯à ¢ãî ¯®«®¢¨ã ª¢ ¤à âãî ¬ âà¨æã, á®áâ®ïéãî ¨§ ¯®á«¥¤¨å n á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë C | ç¥à¥§ C2 . ®£¤
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302
« ¢ 7. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë
1) ¥ã«¥¢ë¥ áâப¨ ¬ âà¨æë C1 ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ®¡à § ®¯¥à â®à
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2) áâப¨ ¬ âà¨æë C2, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ¯à®¤®«¥¨ï¬¨ ã«¥¢ëå áâப ¬ âà¨æë ®¯¥à â®à A.
C1 , ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ï¤à
⢥थ¨¥ 1 ¥¬¥¤«¥® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®¯¨á ®£® à ¥¥ «£®à¨â¬ 室¥¨ï ¡ §¨á ®¡à § ¨ ⮣® ä ªâ , çâ® ¢ ¯à®æ¥áᥠ¯à¥®¡à §®¢ ¨© «¥¢ ï ¨ ¯à ¢ ï ç á⨠¬ âà¨æë ¥ \¯¥à¥¬¥è¨¢ îâáï". ¡®á㥬 ã⢥थ¨¥ 2. ¬¥â¨¬, çâ® ¢¥ªâ®à f ¨¬¥¥â ¢ ¡ §¨á¥ f1 , f2 , . . . , f ª®®à¤¨ âë (0,. . . ,0, 1,0,.. . ,0), £¤¥ 1 á⮨â i-¬ ¬¥áâ¥. Ǒ®í⮬㠬®® áç¨â âì, çâ® ¥¤¨¨ç ï ¬ âà¨æ , áâ®ïé ï ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¬ âà¨æë B, ¥áâì ¬ âà¨æ , ¢ ª®â®à®© ¯® áâப ¬ § ¯¨á ë ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ f1; f2 ; : : : ; f ¢ ¡ §¨á¥, á®áâ ¢«¥®¬ ¨§ íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢. ᯮ¬¨ ï ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¬ âà¨æë ®¯¥à â®à , ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ «¥¢®© ¯®«®¢¨¥ i-© áâப¨ ¬ âà¨æë B áâ®ïâ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à A(f ) ¢ ¡ §¨á¥ f1 ; f2; : : : ; f . â ª, ¬ âà¨æ B ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢮¬: ¥á«¨ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ª ª®©-â® áâப¨ í⮩ ¬ âà¨æë áâ®ïâ ª®®à¤¨ âë ¥ª®â®à®£® ¢¥ªâ®à x ¢ ¡ §¨á¥ f1; f2 ; : : : ; f , â® ¢ «¥¢®© ç á⨠í⮩ áâப¨ áâ®ïâ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à A(x) ¢ ⮬ ¥ ¡ §¨á¥. ¥âà㤮 ¯à®¢¥à¨âì, çâ® í⮠᢮©á⢮ á®åà ï¥âáï ¯à¨ í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïå ¬ âà¨æë. Ǒ®áª®«ìªã ¬ âà¨æ C ¯®«ãç¥ ¨§ B í«¥¬¥â à묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨, ® â ª¥ ®¡« ¤ ¥â 㪠§ ë¬ á¢®©á⢮¬. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ x1; x2 ; : : : ; x áâப¨ ¬ âà¨æë C2 , ïî騥áï ¯à®¤®«¥¨ï¬¨ ã«¥¢ëå áâப ¬ âà¨æë C1 . ᨫã ᪠§ ®£® ¢ëè¥ A(x ) = 0, â.¥. x 2 Ker A ¤«ï ¢á类£® i = 1; 2; : : : ; k. «¥¥, ¬®® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¢¥ªâ®àë x1 ; x2 ; : : : ; x «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. § ã⢥थ¨ï 1 ¢ë⥪ ¥â, çâ® k +dim Im A = n. Ǒ® ⥮६¥ k = dim Ker A. â ª, x1; x2 ; : : : ; x | «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ Ker A, ç¨á«® ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ª®â®à®¬ à ¢® à §¬¥à®á⨠í⮣® ¯®¤¯à®áâà á⢠. ᨫã ⥮६ë 2 ¨§ x23 í⨠¢¥ªâ®àë ®¡à §ãîâ ¡ §¨á Ker A. ⢥थ¨¥ 2 ¤®ª § ®. ¥è¨¬ 㪠§ ë¬ á¯®á®¡®¬ à áᬮâà¥ë© ¢ëè¥ ¯à¨¬¥à. ¬¥¥¬ 0 2 1 1 1 1 0 0 01 0 2 1 1 1 1 0 0 01 B 0 0 0 0 0 1 0 0C B 1 3 2 1 0 0 1 0C B C B C 1 3 2 1 0 0 1 0A 3 4 1 2 0 0 0 1A 3 4 1 20001 0 0 0 00100 0 2 1 1 1 1 0 0 01 02 1 1 1 1 0 0 01 B0 5 5 1 1 0 2 0C B0 5 5 1 1 0 2 0C C B C B 0 5 5 1 3 0 0 2A 0 0 0 0 2 0 2 2A: 0 0 0 0 0100 00 00 0100 i
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303
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ᮢ묨 ⨯ ¬¨ § ¤ ç ¯® ⥬¥ ¤ ®© £« ¢ë ïîâáï: 1) 室¥¨¥ ¬ âà¨æë «¨¥©®£® ®¯¥à â®à ¢ ®¤®¬ ¡ §¨á¥, ¥á«¨ ¨§¢¥áâ ¥£® ¬ âà¨æ ¢ ¤à㣮¬ ¡ §¨á¥; 2) 室¥¨¥ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ᮡá⢥ëå § 票© «¨¥©®£® ®¯¥à â®à ; 3) § ¤ ç¨ ® ¯à¨¢®¤¨¬®á⨠«¨¥©®£® ®¯¥à â®à ª ¤¨ £® «ì®¬ã ¢¨¤ã; 4) 室¥¨¥ ¡ §¨á ®¡à § ¨«¨ ï¤à «¨¥©®£® ®¯¥à â®à . Ǒਬ¥àë à¥è¥¨ï § ¤ ç ¢á¥å íâ¨å ⨯®¢ ¨¬¥îâáï ¢ x33{36 ¤ ®© £« ¢ë, ¨ ¯®â®¬ã §¤¥áì ¬ë ¨å à¥è âì ¥ ¡ã¤¥¬. 2.
¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï
¯à®áâà á⢥ R 3 § 䨪á¨à®¢ ¡ §¨á f~1; f~2; f~3. Ǒãáâì ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ ~x ¨ ~y ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ¥áâì (x1 ; x2; x3 ) ¨ (y1; y2; y3) ᮮ⢥âá⢥®. ¢«ïîâáï «¨ ®â®¡à ¥¨ï ~y = A(~x), § ¤ ¢ ¥¬ë¥ á«¥¤ãî騬¨ ä®à¬ã« ¬¨, «¨¥©ë¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨: 8 8 ; ; < y1 = x1 < y1 = x1 ; ¡) y2 = x2 ; ) : y2 = x1 + x2 : y = x + x + x ; y = x + 1; 3 1 2 3 3 3 8 8 ; 2x2 ; < y1 = x1 < y1 = 2x1 ¢) : y2 = x1 + x2 2; £) : y2 = 2x1 + 2x2 ; y3 = x1 + x2 + x3 ; y3 = x3 ? 2. ®¡ë箬 âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ § 䨪á¨à㥬 ¯àאַ㣮«ìãî ¤¥ª à⮢ã á¨á⥬㠪®®à¤¨ â (O; ~e1; ~e2; ~e3). Ǒ।áâ ¢¨¬ ¯à®áâà á⢮ R 3 ª ª ¬®¥á⢮ ¢¥ªâ®à®¢, ¢ë室ïé¨å ¨§ â®çª¨ O. ®ª § âì, çâ® á«¥¤ãî騥 ®â®¡à ¥¨ï ïîâáï «¨¥©ë¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨: 1.
304
« ¢ 7. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë
) ᨬ¬¥âà¨ï ®â®á¨â¥«ì® ¯«®áª®á⨠2x1 + x2 x3 = 0; ¡) ᨬ¬¥âà¨ï ®â®á¨â¥«ì® ¯àאַ© 8 t; <x = 1 + y = 2 + 2t; : z = 3 + 3t; ¢) ¯®¢®à®â 㣮« ®â®á¨â¥«ì® ¯àאַ© x1 = y2 = z1 . 3. ãá«®¢¨ïå § ¤ ç¨ 2 ¢ëïá¨âì, ïîâáï «¨ á«¥¤ãî騥 ®â®¡à ¥¨ï «¨¥©ë¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨: ) ¢ëç¨â ¨¥ ¨§ ¢¥ªâ®à ¥£® ¯à®¥ªæ¨¨ ¯«®áª®áâì x1 2x3 = 0; ¡) 㬮¥¨¥ ¢¥ªâ®à ¥£® ¤«¨ã; ¢) ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨¥ ¢¥ªâ®à ¯«®áª®áâì 4x1 3x2 + 5x3 1 = 0; £) ᮯ®áâ ¢«¥¨¥ ¯à®¨§¢®«ì®¬ã ¢¥ªâ®àã ¥ª®â®à®£® 䨪á¨à®¢ ®£® ¢¥ªâ®à ~a? 4. ¯«®áª®á⨠§ 䨪á¨à®¢ ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â (O; ~e1; ~e2). ¯¥à â®à ~y = A(~x) ï¥âáï ᨬ¬¥âਥ© ®â®á¨â¥«ì® ¯àאַ© `. ©â¨ ¥£® ¬ âà¨æã ¢ ¡ §¨á¥ ~e1; ~e2: ) `: x1 + x2 = 0; ¡) `: x1 3x2 = 0; ¢)* `: ax1 + bx2 = 0. 5. ¨¥©ë© ®¯¥à â®à ¢ ¡ §¨á¥ ~ a1 ;~a2 ¨¬¥¥â ¬ âà¨æã A. ©â¨ ¥£® ¬ âà¨æã ¢ ¡ §¨á¥ ~b1; ~b2, ¥á«¨: ) ~a1 = (1; 1); ~a2 = (2; 3); A = 2 1 ; ~b1 = (4; 1); ~b2 = (1; 9); 43 ¡) ~a1 = (2; 1); ~a2 = ( 2; 3); A = 0 2 ; ~b1 = (2; 5); ~b2 = ( 10; 3); 17 ¢) ~a1 = (2; 1); ~a2 = (0; 1); A = 1 1 ; ~b1 = (6; 1); ~b2 = ( 2; 1); 2 0 £) ~a1 = (1; 1); ~a2 = (2; 3); A = 1 2 : ~b1 = (0; 5); ~b2 = (3; 2); 24 6*. ®¡ë箬 âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ § 䨪á¨à®¢ ¢¥ªâ®à ~a. ®ª § âì, çâ® ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯à®áâà á⢠, § ¤ ®¥ ¯à ¢¨«®¬ A(~x) = (~a; ~x) ~a, ï¥âáï «¨¥©ë¬ ®¯¥à â®à®¬, ¨ ©â¨ ¬ âà¨æã í⮣® ®¯¥à â®à ) ¢ áâ ¤ à⮬ ¡ §¨á¥ ¯à¨ ~a = (2; 3; 5); ¡) ¢ áâ ¤ à⮬ ¡ §¨á¥ ¯à¨ ~a = (a1; a2; a3); ¢) ¢ ¡ §¨á¥ ~b1 =(1; 1; 1), ~b2 =(1; 1; 0), ~b3 = (1; 0; 0) ¯à¨ ~a =(1; 2; 3). 7*. Ǒãáâì A = (a ) | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ 2-£® ¯®à浪 . ®ª § âì, çâ® á«¥¤ãî騥 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯à®áâà á⢠Mat2 2 ïîâáï «¨¥©ë¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨, ¨ ©â¨ ¨å ¬ âà¨æë ¢ ¡ §¨á¥, á®áâ®ï饬 ¨§ ¬ âà¨çëå ¥¤¨¨æ: ) A(X ) = AX ; ¡) A(X ) = XA. ij
;
305
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8*. ¯à®áâà á⢥ Pol ¢á¥å ¬®£®ç«¥®¢ á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ n ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© à áᬮâਬ ®¯¥à â®à ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï D, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ¯à ¢¨«®¬: D(p) = p0, £¤¥ p0 | ¯à®¨§¢®¤ ï ¬®£®ç«¥ p. ®ª § âì, çâ® íâ®â ®¯¥à â®à | «¨¥©ë©, ¨ ©â¨ ¥£® ¬ âà¨æã ¢ ¡ §¨á¥ 1; x; x2 ; : : : ; x . 9. Ǒ®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ¢¥ªâ®àë a1 ; a2 ; : : : ; a ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠V «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë, A | «¨¥©ë© ®¯¥à â®à í⮣® ¯à®áâà á⢠, â® ¢¥ªâ®àë A(a1 ); A(a2 ); : : : ; A(a ) ⮥ «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë. 10*. Ǒãáâì a1 ; a2 ; : : : ; a | ¡ §¨á ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠V , b1 ; b2 ; : : : ; b | ¯à®¨§¢®«ìë© ¡®à ¨§ n ¢¥ªâ®à®¢ í⮣® ¯à®áâà á⢠. ®ª § âì, çâ® ¢ V áãé¥áâ¢ã¥â, ¨ ¯à¨â®¬ ⮫쪮 ®¤¨, «¨¥©ë© ®¯¥à â®à A â ª®©, çâ® A(a1 ) = b1, A(a2 ) = b2, . . . , A(a ) = b . 11. ¯à®áâà á⢥ R 3 ¤ ë ¢¥ªâ®àë ~ a1 = (2; 3; 5), ~a2 = (0; 1; 2), ~ ~ ~a3 = (1; 0; 0), b1 = (1; 1; 1), b2 = (1; 1; 1) ¨ ~b3 = (2; 1; 2). ®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â, ¨ ¯à¨â®¬ ⮫쪮 ®¤¨, «¨¥©ë© ®¯¥à â®à A ¢ R 3 â ª®©, çâ® A(~a1) = ~b1, A(~a2) = ~b2, A(~a3 ) = ~b3, ¨ ©â¨ ¥£® ¬ âà¨æã ¢ áâ ¤ à⮬ ¡ §¨á¥. 12. ©â¨ ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï á«¥¤ãîé¨å «¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢: ) yy21 == 2xx11 ++ 2xx22;; ¡) yy21 == 53xx11 ++ 24xx22;; ¢) yy12 == 4xx11 ++ 23xx22;; 8 8 x2 + 2x3 ; < y1 = x3 ; < y1 = 2x1 £) yy21 == 22xx11 + 3xx22;; ¤) : y2 = x2 ; ¥) : y2 = 5x1 3x2 + 3x3; y3 = 8 x1 ; y3 = x1 2x3; 8 y1 = x1 + x2 + x3 + x4 ; y1 = x2 ; > > > > < < y = x + x + x + x ; 2 1 2 3 4 ) > y3 = x1 + x2 + x3 + x4 ; §) > yy23 == xx34 ;; > > : : y4 = x1 + x2 + x3 + x4 ; y4 = x1 : 13*. ©â¨ ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï «¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢ ¨§ § ¤ ç¨ 2. 14*. ©â¨ ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ®¯¥à â®à ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¢ ¯à®áâà á⢥ Pol (®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®¯¥à â®à ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï á¬. ¢ § ¤ ç¥ 8). 15. Ǒਢ®¤¨¬ë «¨ á«¥¤ãî騥 «¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë ª ¤¨ £® «ì®¬ã ¢¨¤ã: 8 8 3x3; < y1 = 2x1 + 8x2 + 6x3; < y1 = 5x1 + 6x2 + x3 ; ¡) : y2 = 4x1 + 10x2 + 6x3; ) : y2 = x1 y = x + 2 x x3 ; y = 4x1 8x2 4x3; 1 2 8 3 8 3 + 8x3; < y1 = 4x1 + 2x2 + 10x3; < y1 = 3x1 ¢) : y2 = 3x1 x2 + 6x3; £) : y2 = 4x1 + 3x2 + 7x3; y3 = 2x1 5x3; y3 = 3x1 + x2 + 7x3 ? n
n
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k
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306
« ¢ 7. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë
16. ©â¨ ¡ §¨á, ¢ ª®â®à®¬ ¬ âà¨æ á«¥¤ãî饣® «¨¥©®£® ®¯¥à â®à ¤¨ £® «ì , ¨ ¬ âà¨æã í⮣® ®¯¥à â®à ¢ í⮬ ¡ §¨á¥: 8 8 x1 + 2x2 ; ; < y1 = < y1 = 4x1 + 6x2 2x2 ; ¡) y2 = 3x1 5x2 ; ) : y2 = : y3 = 2x1 2x2 x3 ; y3 = 3x1 6x2 + x3 : 17. Ǒãáâì y = A(x) | «¨¥©ë© ®¯¥à â®à ¢ ¯à®áâà á⢥ V . ¨¥©ë© ®¯¥à â®à y = A2(x) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ¢¥á⢮¬ A2 (x) = A(A(x)) ¤«ï ¢á类£® ¢¥ªâ®à x 2 V . ®ª § âì, çâ® ¢á¥ ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ®¯¥à â®à y = A(x) ïîâáï ᮡá⢥묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ ®¯¥à â®à y = A2 (x). ª á¢ï§ ë ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï íâ¨å ®¯¥à â®à®¢? 18*. ¨¥©ë© ®¯¥à â®à á ¥¤¨áâ¢¥ë¬ á®¡áâ¢¥ë¬ § 票¥¬ ¨¬¥¥â ¢ ¥ª®â®à®¬ ¡ §¨á¥ ¬ âà¨æã A. ®ª § âì, çâ® íâ®â ®¯¥à â®à ¯à¨¢®¤¨¬ ª ¤¨ £® «ì®¬ã ¢¨¤ã ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¬ âà¨æ A ¤¨ £® «ì . 19*. ®ª § âì, çâ® «î¡®© ¥ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ¯à®áâà á⢠V ï¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ «¨¥©®£® ®¯¥à â®à A ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ A | ®¯¥à â®à à áâ泌ï. 20.0 ©â¨ ¡ §¨á ®¡à § «¨¥©®£® ®¯¥à â®à , § ¤ ®£® ¬ âà¨æ¥©: 1 2 21 0 2 6 11 0 1 2 21 ) 3 1 1 A; ¡) 1 3 1 A; ¢) 1 3 5 A. 2 13 2 62 1 8 12 21.0 ©â¨ ¡ §¨á ï¤à «¨¥©®£® ®¯¥à â®à , § ¤ ®£® ¬ âà¨æ¥©: 1 2 2 11 0 2 4 1 01 0 0 1 2 21 B0 3 1 1C B 1 3 1 2C B 0 1 3 5C C B C B C ) B 1 1 1 0 A; ¡) 3 7 0 2 A; ¢) 1 3 1 2 A. 2 442 1 11 1 1 369 22.8 ©â¨ ®¡à § ¨ ï¤à® «¨¥©®£® 8 ®¯¥à â®à , § ¤ ®£® ¬ âà¨æ¥©: y1 = x1 +2x2 x3 + x4 ; y1 = 2x2 + x3 +5x4; > > > > < < y = 2 x +3 x 3 x ; y = x +3 ) >y23 = 3x11 +6x22 3x33 +3x4; ¡) >y23 = 1 xx22 + 2xx33 + xx44 ;; > > : y4 = 2x1 +6x3 +6x4; :y4 = x1 +4x3 + x4 : 3.
⢥âë
1. ) ; 3. ) ;
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12. ) ®¡áâ¢¥ë¥ § 票ï: 1, 3; ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë: (1; 1) ( 6= 0), ; ( 6= 0); ¡) ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï: 7, 2; ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë: (1; 1) ( 6= 0), ( 4; 5) ( 6= 0); ¢) ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï: 1, 5; ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë: (1; 1) ( 6= 0), (1; 1) ( 6= 0); £) ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï: 1, 4; ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë: (1; 1) ( 6= 0), (1; 1) ( 6= 0); ¤) ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï: 2 2 1, 1; ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë: (1; 0; 1) 1 + (0; 1; 0) 2 ( 1 + 2 6= 0), (1; 0; 1) ( 6= 0); ¥) ᮡá⢥®¥ § 票¥: 1, ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë: (1; 1; 1) ( 6= 0); ) ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï: 4, 0; ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë: (1; 1; 1; 1) ( 6= 0), 2 2 2 (1; 1; 0; 0) 1 + (0; 1; 1; 0) 2 + (0; 0; 1; 1) 3 ( 1 + 2 + 3 6= 0); §) ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï: 1, 1; ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë: (1; 1; 1; 1) ( 6= 0); (1; 1; 1; 1) ( 6= 0). 13. ) ®¡áâ¢¥ë¥ § 票ï: 1, 1; ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë: (1; 2; 0) 1 + 2 2 (0; 1; 1) 2 ( 1 + 2 6= 0), (2; 1; 1) ( 6= 0); ¡) ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï: 1, 1; 2 2 ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë: (1; 2; 3) ( 6= 0), (2; 1; 0) 1 + (0; 3; 2) 2 ( 1 + 2 6= 0); ¢) ¥á«¨ 6= n , ⮠ᮡá⢥®¥ § 票¥: 1, ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë: (1; 2; 1) ( 6= 0); ¥á«¨ = 2k , ⮠ᮡá⢥®¥ § 票¥: 1, ¢á¥ ¥ã«¥¢ë¥ ¢¥ªâ®àë ïîâáï ᮡá⢥묨; ¥á«¨ = (2k + 1) , ⮠ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï: 1, 1; 2 2 ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë: (1; 2; 1) ( 6= 0), (2; 1; 0) 1 + (0; 1; 2) 2 ( 1 + 2 6= 0). (1 1)
14.
¤¨á⢥®¥ ᮡá⢥®¥ § 票¥ | 0, ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë | ¢á¥ ¥ã«¥¢ë¥ ª®áâ âë ¨ ⮫쪮 ®¨.
15. 16.
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17. ®¡áâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ®¯¥à â®à ëå § 票© ®¯¥à â®à
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ïîâáï ª¢ ¤à â ¬¨ ᮡá⢥-
1 2), (1,1, 2);
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308
« ¢ 7. ¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë
1; 1; 0; 3); ¡) (13; 5; 6; 2); ¢) (15; 4; 7; 5). ; ; ; 2) 1+(1; 1; 3; 2) 2 , ï¤à®: (3; 1; 1; 0) 1+(3; 2; 0; 1) 2 ; ¡) ®¡à §: (2; 3; 1; 0) 1 + (0; 1; 0; 1) 2 + (0; 0; 1; 5) 3 , ï¤à®: (3; 2; 1; 1) .
21.
) (
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4 1 3 0), (
22. ) ¡à §: (1 2 3
4.
¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò7
1. ¯«®áª®á⨠§ 䨪á¨à®¢ ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â (O; ~e1; ~e2). ¯¥à â®à ~y = A(~x) ï¥âáï ᨬ¬¥âਥ© ®â®á¨â¥«ì® ¯àאַ© `. ©â¨ ¥£® ¬ âà¨æã ¢ ¡ §¨á¥ ~e1; ~e2. ) `: 2x y = 0; ¡) `: 2x + y = 0; ¢) `: 3x + y = 0; £) `: 3x y = 0. 2. ¨¥©ë© ®¯¥à â®à ¢ ¡ §¨á¥ (~ a1 ;~a2 ) ¨¬¥¥â ¬ âà¨æã A. ©â¨ ¥£® ¬ âà¨æã ¢ ¡ §¨á¥ (~b1; ~b2), ¥á«¨: ) ~a1 = (1; 1); ~a2 = (2; 3); A = 2 1 ; ~b1 = (4; 1); ~b2 = (1; 9); 4 3 ¡) ~a1 = (2; 1); ~a2 = ( 2; 3); A = 0 2 ; ~b1 = (2; 5); ~b2 = ( 10; 3); 1 7 ¢) ~a1 = (1; 1); ~a2 = (0; 2); A = 0 3 ; ~b1 = (1; 3); ~b2 = (2; 0); 1 2 £) ~a1 = ( 2; 3); ~a2 = (3; 1); A = 1 2 : ~b1 = (1; 4); ~b2 = (5; 9); 14 3. ©â¨ ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ®¯¥à â®à , § ¤ ¢ ¥¬®£® ¢ ¥ª®â®à®¬ ¡ §¨á¥ ¬ âà¨æ¥©: 0 4 5 21 01 3 41 0 3 0 81 ) 5 7 3 A; ¡) 4 7 8 A; ¢) 3 1 6 A; 2 0 5 6 94 1 6 77 0 7 12 2 £) 3 4 0 A. 2 0 2 4. ®® «¨ ®¯¥à â®à, § ¤ ¢ ¥¬ë© ¢ ¥ª®â®à®¬ ¡ §¨á¥ á«¥¤ãî饩 ¬ âà¨æ¥©, ¢¨¤ã: 0 ¯à¨¢¥áâ¨1ª ¤¨ £® «ì®¬ã 0 1 2 0 4 6 01 0 2 4 31 ) 0 2 0 A; ¡) 3 5 0 A; ¢) 2 1 2 A; 2 2 1 3 6 1 4 4 5 0 17 11 18 1 £) 6 4 6 A? 12 8 13 5. ©â¨ ®¡à § ¨ ï¤à® «¨¥©®£® ®¯¥à â®à , § ¤ ¢ ¥¬®£® ¬ âà¨æ¥©: 0 1 2 21 02 6 11 0 1 2 21 01 1 01 ) 3 1 1 A; ¡) 1 3 1 A; ¢) 1 3 5 A; £) 2 3 2 A. 71 7 26 4 179 0 52
« ¢ 8
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà á⢠í⮩ £« ¢¥ ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà á⢠¡ã¤¥â à á¯à®áâà ¥® ¯®ï⨥ ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢. â® ¯®§¢®«¨â ¢¢¥á⨠¢ ¡áâà ªâëå ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà áâ¢ å «®£¨ â ª¨å £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¯®ï⨩, ª ª ¤«¨ ¢¥ªâ®à , à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã â®çª ¬¨, 㣮« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨, ¯à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à ¯«®áª®áâì ¨ ¤à. ஬¥ ⮣®, ¥áâ¥á⢥® ¢¢®¤ïâáï ¨ ®ª §ë¢ îâáï ®ç¥ì ¯®«¥§ë¬¨ ¯®ïâ¨ï, á¢ï§ ë¥ á ®à⮣® «ì®áâìî ¢¥ªâ®à®¢, | ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á, ®à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥ ¨ ¤à. Ǒ®á«¥ í⮣® à áᬠâਢ îâáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®¯¥à â®àë ¢ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà á⢠å, ᢥ¤¥¨ï ® ª®â®àëå ¯à¨£®¤ïâáï ¬ ¢ £« ¢¥ 10. x38.
ª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥
¢ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥
¯à¥¤ë¤ã饩 £« ¢¥ ¡ë«¨ à áᬮâà¥ë ¯à¨¬¥àë ¯à¨¬¥¥¨ï ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà á⢠¯à¨ à¥è¥¨¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç. ¤ ª® ¤®¢®«ì® ç áâ® ¢ â ª¨å § ¤ ç å ¢®§¨ª ¥â ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¨¬¥âì ç¨á«®¢ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¢¥ªâ®à®¢ (â ª¨¥, ª ª ¤«¨ ) ¨ ¨å ¢§ ¨¬®£® à ᯮ«®¥¨ï (㣮« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨). â® ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¢¢¥¤¥¨¥¬ ¢ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¤®¯®«¨â¥«ì®© ®¯¥à 樨, §ë¢ ¥¬®© ᪠«ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬. ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì V | ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ ¤ R . ®¢®àïâ, çâ® V § ¤ ® ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥, ¥á«¨ «î¡ë¬ ¤¢ã¬ ¢¥ªâ®à ¬ x; y 2 V ¯®áâ ¢«¥® ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«®, §ë¢ ¥¬®¥ ᪠«ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ®¡®§ ç ¥¬®¥ ç¥à¥§ xy ¨«¨
310
« ¢ 8.
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà áâ¢
(x,y), â ª, çâ® ¢ë¯®«¥ë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï (§¤¥áì x, y, z | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¢¥ªâ®àë ¨§ V , t | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«®): 1) (x; y) = (y; x) (᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ); 2) (tx; y) = t (x; y) (᪠«ïàë© ¬®¨â¥«ì ¬®® ¢ë®á¨âì § § ª ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï); 3) (x + y; z) = (x; z)+(y; z) (᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ); 4) (x; x) > 0, ¯à¨ç¥¬ (x; x) = 0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ x = 0. ¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮, ª®â®à®¬ ®¯à¥¤¥«¥® ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥, §ë¢ ¥âáï ¥¢ª«¨¤®¢ë¬. ¢®©á⢠1{4 §ë¢ îâáï ªá¨®¬ ¬¨ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠. Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥àë ¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà áâ¢. Ǒਬ¥à 1. Ǒ।¥ ¢á¥£® ®â¬¥â¨¬, çâ® ¬®¥á⢮ ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ ®¡ë箣® âà¥å¬¥à®£® ¯à®áâà áâ¢ á ®¡ëçë¬ áª «ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ï¥âáï ¥¢ª«¨¤®¢ë¬ ¯à®áâà á⢮¬, â ª ª ª ¢á¥ ªá¨®¬ë 1{4 ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢ë¯®«¥ë (á¬. á. 25). ® ¥ á ¬®¥ ¬®® ᪠§ âì ¨ ® ¬®¥á⢥ ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ ¯«®áª®áâ¨ á ®¡ëçë¬ áª «ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬. Ǒਬ¥à 2. áᬮâਬ ⥯¥àì ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ Pol ¢á¥å ¬®£®ç«¥®¢ ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©. «ï ¯à®¨§¢®«ìëå ¬®£®ç«¥®¢ f; g 2 Pol ¯®«®¨¬ Z1 (f; g) = f (t)g(t)dt: ª®¬¬ãâ ⨢®
¤¨áâਡã⨢®
®â®á¨â¥«ì® á«®¥¨ï
0
¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® íâ ®¯¥à æ¨ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬ ¬ 1{4. â® ®§ ç ¥â, çâ® Pol ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà á⢮. ®ç® â ª¨¬ ¥ ®¡à §®¬ ¬®® ¢¢¥á⨠᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢ ¯à®áâà á⢥ Pol ¢á¥å ¬®£®ç«¥®¢ ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ n. n
á®, çâ® ã«¥¢®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ á⠥⠥¢ª«¨¤®¢ë¬, ¥á«¨ ¬ë ®¯à¥¤¥«¨¬ ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¯à ¢¨«®¬ (0; 0) = 0. «¥¤ãî騩 ¯à¨¬¥à ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®¯¥à æ¨î ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬®® ¢¢¥á⨠¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ª®¥ç®¬¥à®¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥. Ǒਬ¥à 3. Ǒãáâì V | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ¥ã«¥¢®¥ ª®¥ç®¬¥à®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮, b1, b2 , . . . , b | ¥£® ¡ §¨á. Ǒãáâì x; y 2 V . n
311
x
38. ª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥
¡®§ 稬 ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ x ¨ y ¢ ¡ §¨á¥ b1, b2, . . . , b ç¥à¥§ (x1 ; x2 : : : ; x ) ¨ (y1 ; y2; : : : ; y ) ᮮ⢥âá⢥®. Ǒ®«®¨¬ xy = x1 y1 + x2 y2 + + x y : Ǒàï¬ ï ¯à®¢¥àª ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ªá¨®¬ë 1{4 ¢ í⮬ á«ãç ¥ â ª¥ ¢ë¯®«ïîâáï. «¥¤®¢ ⥫ì®, V á ¢¢¥¤¥®© ®¯¥à 樥© | ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà á⢮. ⬥⨬, çâ® ¢ ®¤®¬ ¨ ⮬ ¥ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥ ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¬®® ®¯à¥¤¥«ïâì à §«¨ç묨 ᯮᮡ ¬¨. ª, ¯à¨¬¥à, ¢ § ¤ ç¥ 2 á. 337 㪠§ ® ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢ ¯à®áâà á⢥ R 2 , ®â«¨ç®¥ ®â ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ¢¢¥¤¥®£® ⮫쪮 çâ® ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3. ª ¥¬ ¥áª®«ìª® ¯à®áâëå á«¥¤á⢨© ¨§ ªá¨®¬ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠. ªá¨®¬ 2 ã⢥ठ¥â, ç⮠᪠«ïàë© ¬®¨â¥«ì ¬®® ¢ë®á¨âì ®â ¯¥à¢®£® ᮬ®¨â¥«ï ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï. ᯮ«ì§ãï ªá¨®¬ã 1, ¥á«®® ¯®ª § âì, ç⮠᪠«ïàë© ¬®¨â¥«ì ¬®® ¢ë®á¨âì ¨ ®â ¢â®à®£® ᮬ®¨â¥«ï. á ¬®¬ ¤¥«¥, (x; ty) = (ty; x) = t (y; x) = t (x; y): «®£¨ç®¥ § ¬¥ç ¨¥ ¬®® ᤥ« âì ®¡ ªá¨®¬¥ 3, ¢ ª®â®à®© ã⢥ठ¥âáï ¤¨áâਡã⨢®áâì ¯® ¯¥à¢®¬ã à£ã¬¥âã, | ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¤¨áâਡã⨢®áâì ¯® ¢â®à®¬ã à£ã¬¥âã: (x; y + z) = (y + z; x) = (y; x) + (z; x) = (x; y) + (x; z): ¥á«®® ¤®ª § âì ¤¨áâਡã⨢®áâì ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ®â®á¨â¥«ì® ¢ëç¨â ¨ï: (x y; z) = (x + ( 1) y; z) = (x; z) + (( 1) y; z) = = (x; z) + ( 1) (y; z) = xz yz: á® â ª¥, çâ® ªá¨®¬ 3 á¯à ¢¥¤«¨¢ ¥ ⮫쪮 ¤«ï ¤¢ãå á« £ ¥¬ëå, ® ¨ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ¨å ç¨á« . ⬥⨬ ¥é¥, çâ® (0; x) = 0 (1) ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x. ¥©á⢨⥫ì®, (0; x) = (0 x; x) = 0 (x; x) = 0: ª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à x á¥¡ï §ë¢ ¥âáï ᪠«ïàë¬ ª¢ ¤à ⮬ ¢¥ªâ®à x. ªá¨®¬ 4 ¯®§¢®«ï¥â ¤ âì á«¥¤ãî饥 ®¯à¥¤¥«¥¨¥. n
n
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312
« ¢ 8.
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1 x 1 1 jxj = 1: = x = jxj = jxj jxj jxj jxj
Ǒ¥à¥å®¤ ®â ¥ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à x ª ¢¥ªâ®àã jxxj §ë¢ î⠮ନ஢ ¨¥¬ ¢¥ªâ®à x. ¥ªâ®à ¥¤¨¨ç®© ¤«¨ë §ë¢ îâ ¥¤¨¨çë¬ ¨«¨ ®à¬¨à®¢ ë¬. «ï ⮣® çâ®¡ë ¢¢¥á⨠¯®ï⨥ 㣫 ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, ¬ ¯® ¤®¡¨âáï á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥. ¥®à¥¬ . «ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ x ¨ y ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠¢ë¯®«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮
jxyj 6 jxj jyj;
(3)
=
¯à¨ç¥¬ jxyj jxj jyj ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢¥ªâ®àë x ¨ y «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë. ®ª § ⥫ìá⢮. § (1) ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¥á«¨ y = 0, â® ®¡¥ ç á⨠¥à ¢¥á⢠(3) à ¢ë ã«î ¨ ¯®â®¬ã ¥à ¢¥á⢮ ¢ë¯®«ï¥âáï. Ǒ®í⮬㠤 «¥¥ ¬®® áç¨â âì, çâ® y 6= 0, ¨, ¢ ᨫ㠪ᨮ¬ë 4, yy > 0. áᬮâਬ ¢¥ªâ®à x ty, £¤¥ t | ¥ª®â®à®¥ ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«®. Ǒ® ªá¨®¬¥ 4 ¢ë¯®«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮ (x ty; x ty) > 0. áªàë¢ áª®¡ª¨, ¯®«ã稬 ¥à ¢¥á⢮ xx 2txy + t2 yy > 0: (4) ( §ã¬¥¥âáï, ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¥é¥ ¨ ªá¨®¬ 1, â.¥. ª®¬¬ãâ ⨢®áâì ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï.) Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¢ íâ® ¥à ¢¥á⢮ ¢¬¥áâ® t ç¨á«®
x
38. ª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®áâà á⢥
313
xy yy
¨ 㬮¨¬ ®¡¥ ç á⨠¥à ¢¥á⢠¯®«®¨â¥«ì®¥ ç¨á«® yy. Ǒ®«ã稬 xx yy 2(xy)2 + (xy)2 > 0, ®âªã¤ (xy)2 6 xx yy. ¬¥ïï ¢ ¯®á«¥¤¥¬ ¥à ¢¥á⢥ xx jxj2 ¨ yy jyj2 ¨ ¨§¢«¥ª ï ª®à¥ì ¨§ ®¡¥¨å ç á⥩ ¥à ¢¥á⢠, ¯®«ãç ¥¬ (3).
᫨ ¢¥ªâ®àë x ¨ y «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë, â® x ty 6= 0 ¤«ï ¢á类£® t ¨ ¢¬¥áâ® ¥à ¢¥á⢠(4) ¬®® ¢§ïâì ¥à ¢¥á⢮ xx 2txy + t2 yy > 0: Ǒ®á«¥ í⮣® ¢® ¢á¥å ¯®á«¥¤ãîé¨å ¥à ¢¥áâ¢ å ¬®® § ¬¥¨âì ¥áâண®¥ ¥à ¢¥á⢮ áâண®¥ ¨ ¢¬¥áâ® (3) ¯®«ãç¨âì ¥à ¢¥á⢮ jxyj < jxj jyj. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ¢ (3) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥á⢮, â® x ¨ y «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë. ®ª ¥¬ ®¡à ⮥ ã⢥थ¨¥. Ǒãáâì x ¨ y «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë.
᫨ y = 0, â®, ¢ ᨫã (1), ®¡¥ ç á⨠¥à ¢¥á⢠(3) à ¢ë ã«î. ç áâ®áâ¨, íâ® ¥à ¢¥á⢮ ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ à ¢¥á⢮. Ǒãáâì ⥯¥àì y 6= 0. ®£¤ ¨§ «¨¥©®© § ¢¨á¨¬®á⨠x ¨ y ¢ë⥪ ¥â, çâ® x = ty ¤«ï ¥ª®â®à®£® ç¨á« t. ® ⮣¤ j(x; y)j = j(ty; y)j = jt (y; y)j = jtj j(y; y)j = = jtj jyj jyj = jtyj jyj = jxj jyj: ¥®à¥¬ ¤®ª § . ¥à ¢¥á⢮ (3) §ë¢ ¥âáï .
᫨ x; y 6= 0, â® íâ® ¥à ¢¥á⢮ à ¢®á¨«ì® ⮬ã, çâ® 1 6 jxjxy jyj 6 1: ¥à ¢¥á⢮¬ ®è¨{ã类¢áª®£®
â® ¤¥« ¥â ª®à४âë¬ á«¥¤ãî饥 ®¯à¥¤¥«¥¨¥.
¯à¥¤¥«¥¨¥. £«®¬ ¬¥¤ã ¥ã«¥¢ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ x ¨ y ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠§ë¢ ¥âáï ¨¬¥ì訩 㣮« ' â ª®©, çâ®
os ' = jxjxy jyj :
£®« ¬¥¤ã ã«¥¢ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¨ «î¡ë¬ ¤à㣨¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¥ ®¯à¥¤¥«¥. £®« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ x ¨ y ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ (xd ; y). ⬥⨬, çâ® ä®à¬ã« ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ª®á¨ãá 㣫 ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¯®«®áâìî «®£¨ç ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ä®à¬ã«¥ ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ®¡ë箬 ¯à®áâà á⢥ | á¬. ä®à¬ã«ã (1) ¢ x3.
314
« ¢ 8.
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà áâ¢
ᯮ«ì§ãï ⥮६ã, ¬®® ¤®ª § âì á«¥¤ãî饥 á®®â®è¥¨¥, §ë¢ ¥¬®¥ ¥à ¢¥á⢮¬ âà¥ã£®«ì¨ª : jx + yj 6 jxj + jyj: (5) â® ¥à ¢¥á⢮ ®¡®¡é ¥â ¨§¢¥áâë© ä ªâ ¨§ í«¥¬¥â ன £¥®¬¥âਨ, â ª¥ §ë¢ ¥¬ë© ¥à ¢¥á⢮¬ âà¥ã£®«ì¨ª : á㬬 ¤«¨ ¤¢ãå áâ®à® âà¥ã£®«ì¨ª ¡®«ìè¥ ¤«¨ë âà¥â쥩 áâ®à®ë, ®âáî¤ ¨ §¢ ¨¥ ¥à ¢¥á⢠(5). ®ª §ë¢ ¥âáï ¥à ¢¥á⢮ âà¥ã£®«ì¨ª ¯à®áâ®. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨á¯®«ì§ãï ⥮६㠨 â®â ä ªâ, çâ® xy 6 jxyj (¯®áª®«ìªã t 6 jtj ¤«ï «î¡®£® ¤¥©á⢨⥫쮣® ç¨á« t), ¨¬¥¥¬ jx + yj2 = (x + y; x + y) = xx + xy + yx + yy = jxj2 + 2xy + jyj2 6 6 jxj2 + 2jxyj + jyj2 6 jxj2 + 2jxj jyj + jyj2 = (jxj + jyj)2 : ë ¢¨¤¨¬, çâ® jx + yj2 6 (jxj + jyj)2 . §¢«¥ª ï ¨§ ®¡¥¨å ç á⥩ í⮣® ¥à ¢¥á⢠ª¢ ¤à âë© ª®à¥ì, ¯®«ãç ¥¬, çâ® jx + yj 6 jxj + jyj. z6
A
Æ
~y
jAB j = j~x ~yj = (~x; ~y)
1B O ~x x y ¨á. 1
¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¬®® ¢¢¥á⨠¯®ï⨥ à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨. ¨¬¥®, à ááâ®ï¨¥¬ ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ x ¨ y §ë¢ ¥âáï ¤«¨ ¢¥ªâ®à x y. ® ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ (x; y). ⬥⨬, çâ® ¯à¨¢¥¤¥®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¥áâ¥á⢥®. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¥¤¯®«®¨¬, çâ® ¢ ª ç¥á⢥ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠¢ëáâ㯠¥â ®¡ë箥 ¯à®áâà á⢮ á ®¡ëçë¬ áª «ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¢¥ªâ®à®¢. Ǒ।áâ ¢¨¬ ᥡ¥, çâ® ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ®âª« ¤ë¢ îâáï ®â ç « ª®®à¤¨ â, ¨ ®â®¤¥á⢨¬ ¢¥ªâ®à á â®çª®©, ïî饩áï ¥£® ª®æ®¬. ®£¤ à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã
315
x
39. à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á
¤¢ã¬ï â®çª ¬¨ ¥áâì ¤«¨ ¢¥ªâ®à , ᮥ¤¨ïî饣® ¨å ª®æë, â.¥. ¤«¨ à §®á⨠¢¥ªâ®à®¢, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å í⨬ ¤¢ã¬ â®çª ¬ (à¨á. 1).
᫨ x, y, z | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¢¥ªâ®àë, â® (x; y) + (y; z) > (x; z): (6) á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨á¯®«ì§ãï ¥à ¢¥á⢮ âà¥ã£®«ì¨ª , ¨¬¥¥¬ (x; z) = jx zj = j(x y)+(y z)j 6 jx yj + jy zj = (x; y)+ (y; z): ¥à ¢¥á⢮ (6) ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ¥é¥ ®¤® ®¡®¡é¥¨¥ 㯮¬¨ ¢è¥£®áï ¢ëè¥ ¥à ¢¥á⢠âà¥ã£®«ì¨ª ¨§ í«¥¬¥â ன £¥®¬¥âਨ. ®¡ë箬 ¯à®áâà á⢥ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à , ®â«®¥®£® ®â ç « ª®®à¤¨ â, ᮢ¯ ¤ îâ á ª®®à¤¨ â ¬¨ â®çª¨, ¢ ª®â®à®© íâ®â ¢¥ªâ®à § ª 稢 ¥âáï (á¬. á. 39). Ǒ® «®£¨¨ ¯à¨ à áᬮâ२¨ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà á⢠¥à¥¤ª® ¢¬¥áâ® \¢¥ªâ®à á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x1 , x2 , . . . , x )" £®¢®àïâ ® â®çª¥ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x1 ; x2; : : : ; x ). ç áâ®áâ¨, íâ® ¯®§¢®«ï¥â £®¢®à¨âì ¥ ® à ááâ®ï¨¨ ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨, ® à ááâ®ï¨¨ ¬¥¤ã â®çª ¬¨ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥. ஬¥ ⮣®, áâ ®¢¨âáï ¢®§¬®ë¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà á⢠⠪¨¥ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ â¥à¬¨ë, ª ª ¤«¨ë áâ®à® ¨«¨ ¢¥«¨ç¨ë 㣫®¢ âà¥ã£®«ì¨ª ¨ â.¯. Ǒãáâì A, B ¨ C | â®çª¨ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢¥ªâ®à ¬ a, b ¨ ᮮ⢥âá⢥®. ®£¤ ¤«¨ áâ®à®ë AB ¢ 4ABC | íâ®, ¥áâ¥á⢥®, à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã â®çª ¬¨ A ¨ B , â.¥. ¤«¨ ¢¥ªâ®à a b. áå®¤ï ¨§ «®£¨¨ á ®¡ëçë¬ ¯à®áâà á⢮¬, § ¢ãâ२© 㣮« ¯à¨ ¢¥à訥 A ¢ 4ABC ¯à¨¨¬ îâ 㣮« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ b a ¨ a. «¨ë ¤à㣨å áâ®à® ¨ ¢¥«¨ç¨ë ¤à㣨å 㣫®¢ ¢ 4ABC ®¯à¥¤¥«ïîâáï «®£¨ç®. n
n
x39.
à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á
§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï 㣫 ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ¢ë⥪ ¥â, ¢ ç áâ®áâ¨, çâ® (xd ; y) = ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ xy = 0 (â®çë© «®£ ªà¨â¥à¨ï 2 ®à⮣® «ì®á⨠¢¥ªâ®à®¢ ¢ ®¡ë箬 ¯à®áâà á⢥ | á¬. ᢮©á⢮ 5 á. 25). â® ¤¥« ¥â ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¥ªâ®àë x ¨ y §ë¢ îâáï ®à⮣® «ì묨, ¥á«¨ xy = 0. ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ §ë¢ ¥âáï ®à⮣® «ìë¬, ¥á«¨ «î¡ë¥ ¤¢ à §«¨çëå ¢¥ªâ®à ¨§ í⮣® ¡®à ®à⮣® «ìë. à⮣® «ìë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ §ë¢ ¥âáï ®à⮮ନ஢ ë¬, ¥á«¨ ¤«¨ë ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ í⮣® ¡®à à ¢ë 1. ⬥⨬, çâ®, ¢ ᨫã à ¢¥á⢠(1) ¨§ x38,
316
« ¢ 8.
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà áâ¢
ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ®à⮣® «¥ «î¡®¬ã ¢¥ªâ®àã.
ª ¥¬ ®¤® ¢ ®¥ ᢮©á⢮ ®à⮣® «ìëå ¡®à®¢ ¢¥ªâ®à®¢. ¥®à¥¬ 1. î¡®© ®à⮣® «ìë© ¡®à ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬.
®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì a1 ; a2 ; : : : ; a | ®à⮣® «ìë© ¡®à ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢. áᬮâਬ «¨¥©ãî ª®¬¡¨ æ¨î íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢, à ¢ãî ã«¥¢®¬ã ¢¥ªâ®àã: t1 a1 + t2 a2 + + t a = 0: (1) ¬® ï ᪠«ïà® ®¡¥ ç á⨠í⮣® à ¢¥á⢠a (£¤¥ 1 6 i 6 k) ¨ ¨á¯®«ì§ãï â®â ä ªâ, çâ® (0; a ) = 0 ¢ ᨫã à ¢¥á⢠(1) ¨§ x38, ¬ë ¯®«ã稬, çâ® t1 (a1 ; a ) + t2 (a2 ; a ) + + t (a ; a ) + + t (a ; a ) = 0: «¥¢®© ç á⨠¯®á«¥¤¥£® à ¢¥á⢠¢á¥ ᪠«ïàë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ªà®¬¥ a a , à ¢ë ã«î. «¥¤®¢ ⥫ì®, t (a ; a ) = 0. Ǒ®áª®«ìªã a 6= 0, ¯® ªá¨®¬¥ 4 ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠(á¬. á. 310) ¨¬¥¥¬ (a ; a ) 6= 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, t = 0. â ª, ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥âë ¢ «¥¢®© ç áâ¨ à ¢¥á⢠(1) à ¢ë 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2 ; : : : ; a «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬. ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . à⮣® «ìë© (®à⮮ନ஢ ë©) ¡®à ¢¥ªâ®à®¢, ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ¡ §¨á®¬, §ë¢ ¥âáï ®à⮣® «ìë¬ (ᮮ⢥âá⢥® ®à⮮ନ஢ ë¬) ¡ §¨á®¬. Ǒਬ¥à®¬ ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á ï¥âáï áâ ¤ àâë© ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠R , ¢¢¥¤¥ë© ¢ x22 (¥á«¨ ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢ R ®¯à¥¤¥«¨âì ª ª á㬬㠯ந§¢¥¤¥¨© ®¤®¨¬¥ëå ª®¬¯®¥â). k
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n
¥®à¥¬ 2. Ǒãáâì b1 ; b2 ; : : : ; bn | ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E , ¢¥ªâ®àë x ¨ y ¨¬¥îâ ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ª®®à¤¨ âë x1 ; x2 ; : : : ; xn ¨ y1 ; y2 ; : : : ; yn ᮮ⢥âá⢥®. ®£¤
(
) ( ) xy = x1 y1 + x2 y2 + + x
n
(2)
y : n
®ª § ⥫ìá⢮. § ãá«®¢¨ï ⥮६ë á«¥¤ã¥â, çâ® x = x1 b1 + x2 b2 + + x b ¨ y = y1b1 + y2 b2 + + y b . «¥¤®¢ ⥫ì®, xy = x1 y1 (b1 ; b1 ) + x1 y2 (b1 ; b2 ) + + x1 y (b1 ; b )+ + x2y1(b2 ; b1) + x2 y2(b2 ; b2) + + x2 y (b2; b )+ n
n
n
n
n
n
. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. + x y1(b ; b1) + x y2(b ; b2) + + x y (b ; b ): n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
317
x
39. à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á
Ǒ®áª®«ìªã b b = 0 ¯à¨ i 6= j ¨ b b = 1 (¤«ï ¢á¥å i; j = 1; 2; : : : ; n), â® ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ à ¢®á¨«ì® à ¢¥áâ¢ã (2). ¥®à¥¬ 2 ¤®ª § . § ⥮६ë 2 ¨ ®¯à¥¤¥«¥¨© ¤«¨ë ¢¥ªâ®à , 㣫 ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ¨ à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ¥¬¥¤«¥® ¢ë⥪ ¥â i
j
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«¥¤á⢨¥ 1. Ǒãáâì b1 ; b2 ; : : : ; bn | ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E , ¢¥ªâ®àë x ¨ y ¨¬¥îâ ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ª®®à¤¨ âë x1 ; x2 ; : : : ; xn ¨ y1 ; y2 ; : : : ; yn ᮮ⢥âá⢥®. ®£¤
(
) ( ) 1) jxj = x21 + x22 + + x2 ; x y +x y ++x y ; 2) os(xd ; y) = p 2 2 1 1 2 22 p 2 2 x1 + x2 + + x y1 + y2 + + y2 p 3) (x; y) = (x1 y1)2 + (x2 y2)2 + + (x y )2 . ⬥⨬, çâ® ¢á¥ ä®à¬ã«ë ¨§ ⥮६ë 2 ¨ á«¥¤á⢨ï 1 ïîâáï â®ç묨 «®£ ¬¨ ä®à¬ã« ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢¥«¨ç¨ ¢ ®¡ë箬 ¯à®áâà á⢥ á ®¡ëçë¬ áª «ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ (¢ á«ãç ¥ ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á ) | á¬. ä®à¬ã«ë (2), (4), (5) ¢ x3 ¨ (1) ¢ x5. ç áâ®áâ¨, ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á 㤮¡¥ ⥬, çâ® ¢ ¥¬ ¯à®áâ® ¢ëç¨á«ï¥âáï ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢.
áâ¥á⢥® ¯®í⮬㠯®áâ ¢¨âì ¢®¯à®á ® ⮬, ¢á¥£¤ «¨ áãé¥áâ¢ã¥â ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á. ⢥⠥£® ᮤ¥à¨âáï ¢ á«¥¤ãî饬 ã⢥थ¨¨. p
n
n
n
n
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¥®à¥¬ 3. î¡®¥ ¥ã«¥¢®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮
âà áâ¢
E ¨¬¥¥â ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á.
n
S ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®á-
®ª § ⥫ìá⢮. ¡®§ 稬 à §¬¥à®áâì ¯®¤¯à®áâà á⢠S ç¥à¥§ k. Ǒãáâì a1 ; a2; : : : ; a | ¡ §¨á í⮣® ¯®¤¯à®áâà á⢠. Ǒ®áâந¬ ®à⮣® «ìë© ¡ §¨á b1; b2; : : : ; b ¯®¤¯à®áâà á⢠S . ¥ªâ®àë b1 ; b2 ; : : : ; b ¡ã¤¥¬ 室¨âì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® | á ç « b1 , § ⥬ b2 ¨ â.¤. Ǒ®«®¨¬ b1 = a1 . Ǒãáâì b2 = pb1 + a2 , £¤¥ p | ¥ª®â®à®¥ ç¨á«®. Ǒ®¤¡¥à¥¬ íâ® ç¨á«® â ª, çâ®¡ë ¢¥ªâ®àë b1 ¨ b2 ®ª § «¨áì ®à⮣® «ì묨. á®, çâ® (b1 ; b2) = (b1; pb1 + a2) = p(b1 ; b1) + (b1; a2 ): ç¨âë¢ ï, çâ® b1 6= 0 (â ª ª ª ¢¥ªâ®à b1 = a1 ¢å®¤¨â ¢ ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠S ), ¨ ¯®« £ ï p = ((bb1;; ba2)) , ¨¬¥¥¬ (b1 ; b2) = 0. ⬥⨬, 1 1 çâ® ¯®«ãç¥ë© â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢¥ªâ®à b2 «¥¨â ¢ ¯®¤¯à®áâà á⢥ S k
k
k
318
« ¢ 8.
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà áâ¢
¨ ®â«¨ç¥ ®â ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à . Ǒ¥à¢®¥ ¨§ íâ¨å ã⢥थ¨© ®ç¥¢¨¤®. Ǒ஢¥à¨¬ ¢â®à®¥. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ b2 = 0, â® 0 = b2 = pb1 + a2 = pa1 + a2 ; çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â «¨¥©®© ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¢¥ªâ®à®¢ a1 , a2 , . . . , a . Ǒ®«®¨¬ b3 = qb1 + rb2 + a3, £¤¥ q ¨ r | ¥ª®â®àë¥ ç¨á« . Ǒ®¤¡¥à¥¬ ç¨á«® q â ª, çâ®¡ë ¢¥ªâ®àë b1 ¨ b3 ®ª § «¨áì ®à⮣® «ì묨. Ǒ®áª®«ìªã (b1; b2 ) = 0, ¨¬¥¥¬ (b1 ; b3) = (b1 ; qb1 + rb2 + a3) = q(b1; b1 ) + r(b1 ; b2) + (b1; a3 ) = = q(b1; b1 ) + (b1 ; a3): ç¨âë¢ ï, çâ® b1 6= 0, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¤®áâ â®ç® ¢§ïâì q = ((bb11;; ba31)) . «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ®, ¢§ï¢ r = ((bb2;; ba3 )) , ¬ë ®¡¥á¯¥ç¨¬ ®àâ®2 2 £® «ì®áâì ¢¥ªâ®à®¢ b2 ¨ b3. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ 㪠§ ëå § 票ïå ç¨á¥« q ¨ r ¢¥ªâ®àë b1, b2 ¨ b3 ¡ã¤ãâ ¯®¯ à® ®à⮣® «ì묨. Ǒਠí⮬ ¢¥ªâ®à b3 «¥¨â ¢ ¯®¤¯à®áâà á⢥ S (çâ® ®ç¥¢¨¤®) ¨ ¥ à ¢¥ ã«¥¢®¬ã ¢¥ªâ®àã, â ª ª ª ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ 0 = b3 = q b1 + rb2 + a3 = q a1 + r(pa1 + a2 ) + a3 = (q + rp)a1 + ra2 + a3 ; çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â «¨¥©®© ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¢¥ªâ®à®¢ a1 , a2, . . ., a . ⬥⨬, çâ® ª ¤ë© ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ b1, b2 ¨ b3 ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ a1 , a2 ¨ a3 . Ǒத®«¨¬ ®¯¨á ë© ¯à®æ¥áá. Ǒãáâì 2 6 i 6 k. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ë 㥠¯®áâந«¨ ®à⮣® «ìë© ¡®à ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢ b1, b2 , . . . , b 1 , ª ¤ë© ¨§ ª®â®àëå ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ a1, a2 , . .. , a 1 (¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ¯à¨ ¤«¥¨â S ). Ǒ®«®¨¬ (b1; a ) (b2 ; a ) (b 1 ; a ) b = (b1; b1) b1 (b2 ; b2) b2 (b 1 ; b 1 ) b 1 + a : (3) ¬® ï ᪠«ïà® ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠(3) b1 á«¥¢ ¨ ãç¨âë¢ ï, çâ® ¢¥ªâ®à b1 ®à⮣® «¥ ª ¢¥ªâ®à ¬ b2; : : : ; b 1, ¯®«ãç ¥¬, çâ® (b1; b ) = ((bb1;; ba )) (b1 ; b1) + (b1; a ) = (b1 ; a ) + (b1 ; a ) = 0: 1 1 «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® (b2 ; b ) = = (b 1 ; b ) = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ b1, b2, . . . , b ®à⮣® «¥. ¯®¬¨¬, çâ® ª ¤ë© ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ b1, b2, . . . , b 1 ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© k
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39. à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á
¢¥ªâ®à®¢ a1, a2, . . . , a 1 . âáî¤ ¨ ¨§ à ¢¥á⢠(3) ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¢¥ªâ®à b ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ a1 , a2 , .. . , a (¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ¯à¨ ¤«¥¨â S ). «¥¥, ¨§ 㪠§ ®£® ᢮©á⢠¢¥ªâ®à®¢ b1, b2, . . . , b 1 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¯à ¢ãî ç áâì à ¢¥á⢠(3) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ t1a1 + t2 a2 + + t 1 a 1 + a , £¤¥ t1 ; t2 ; : : : ; t 1 | ¥ª®â®àë¥ ç¨á« . 묨 á«®¢ ¬¨, ¢¥ªâ®à b à ¢¥ ¥ª®â®à®© ¥âਢ¨ «ì®© «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¢¥ªâ®à®¢ a1 , a2 , . . . , a . Ǒ®áª®«ìªã í⨠¢¥ªâ®àë ¢å®¤ïâ ¢ ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠S , ®¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, b 6= 0. â ª, ¬ë ¯®«ã稫¨ ®à⮣® «ìë© ¡®à ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢ b1, b2, .. . , b , ª ¤ë© ¨§ ª®â®àëå ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ a1 , a2 , . . . , a (¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ¯à¨ ¤«¥¨â S ). Ǒ®¢â®à¨¢ 㪠§ ë¥ ¢ëè¥ ¯®áâ஥¨ï 㮥 ç¨á«® à §, ¬ë ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢ ¯®«ã稬 ®à⮣® «ìë© ¡®à ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢ b1 , b2, . . . , b , ¯à¨ ¤«¥ é¨å S . Ǒ® ⥮६¥ 1 íâ®â ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬. Ǒ®áª®«ìªã ç¨á«® ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ¥¬ ᮢ¯ ¤ ¥â á à §¬¥à®áâìî S , ® ï¥âáï ¡ §¨á®¬ í⮣® ¯®¤¯à®áâà á⢠. â®¡ë ¯®«ãç¨âì ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á S , ¤®áâ â®ç® ⥯¥àì à §¤¥«¨âì ª ¤ë© ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ b1 , b2 , . . . , b ¥£® ¤«¨ã. ¥®à¥¬ 3 ¤®ª § . Ǒà®æ¥áá ¯®áâ஥¨ï ®à⮣® «ì®£® ¡ §¨á , ®¯¨á ë© ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 3, ç áâ® §ë¢ îâ . ®ªà¥âë¥ ¯à¨¬¥àë ¯à¨¬¥¥¨ï í⮣® ¯à®æ¥áá ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥ë ¢ ª®æ¥ ¤ ®£® ¯ à £à ä ¨ ¢ ª®æ¥ x41. ⬥⨬ ¥é¥, çâ®, ¢ ᨫã ⥮६ë 3, «î¡®¥ ¥ã«¥¢®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà á⢮ á ¬® ¨¬¥¥â ®à⮮ନ஢ ë© ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ®à⮣® «ìë© ¡ §¨á. i
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¯à®æ¥áᮬ ®à⮣® «¨§ 樨 à -
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¥®à¥¬ 4. î¡ãî ®à⮣® «ìãî á¨á⥬㠥㫥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E ¬®® ¤®¯®«¨âì ¤® ®à⮣® «ì®£® ¡ §¨á í⮣® ¯à®áâà á⢠. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì a1 ; a2 ; : : : ; a | ®à⮣® «ìë© ¡®à ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¯à®áâà á⢠E . ¡®§ 稬 à §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠E ç¥à¥§ n. ¬ ¤®áâ â®ç® ©â¨ ®à⮣® «ìë© ¡®à ¨§ n ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¯à®áâà á⢠E , ᮤ¥à 騩 ¢¥ªâ®àë a1 ; a2; : : : ; a . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢ ᨫã ⥮६ë 1 â ª®© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¡ã¤¥â «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¬, ¨ ¯®â®¬ã, ¢ ᨫã ⥮६ë 2 ¨§ x23, ® ¡ã¤¥â ¡ §¨á®¬ E .
᫨ k = n, â®, ¢ ᨫã ᪠§ ®£® ¢ëè¥, ã¥ á ¬ ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2 ; : : : ; a ï¥âáï ®à⮣® «ìë¬ ¡ §¨á®¬ ¯à®áâà á⢠E . Ǒ®í⮬㠤 «¥¥ ¬®® áç¨â âì, çâ® k < n. Ǒãáâì b1; b2 ; : : : ; b | ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠E , áãé¥áâ¢ãî騩 ¢ ᨫã ⥮६ë 3. Ǒãáâì ¢¥ªâ®à a ¨¬¥¥â ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ª®®à¤¨ âë (a 1 ; a 2 ; : : : ; a ) (¤«ï ¢á类£® i = 1; 2; : : : ; k). áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî ®¤®à®¤ãî á¨á⥬ã k
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320
« ¢ 8.
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà áâ¢
«¨¥©ëå ãà ¢¥¨©:
8 a11 x1 > > <
+ a12x2 + + a1 x = 0; + a22x2 + + a2 x = 0; .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = 0: ᨫã ⥮६ë 3 ¨§ x12 íâ á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥. ¡®§ 稬 ¥£® ç¥à¥§ ( 1; 2; : : : ; ) ¨ ¯®«®¨¬ a +1 = 1 b1 + 2 b2 + + b . ᨫã ⥮६ë 2, a1 a +1 = 1 a11 + 2 a12 + + a1 = 0 ¨ «®£¨ç® a2 a +1 = = a a +1 = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, a1 ; a2 ; : : : ; a ; a +1 | ®à⮣® «ìë© ¡®à ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢.
᫨ k + 1 = n, â® ® ï¥âáï ®à⮣® «ìë¬ ¡ §¨á®¬ ¯à®áâà á⢠E . ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥, à áá㤠ï â ª ¥, ª ª ¢ëè¥, ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ¢¥ªâ®à a +1 , ¬ë ¤®¯®«¨¬ ¡®à a1; a2 ; : : : ; a +1 ¥é¥ ®¤¨¬ ¢¥ªâ®à®¬ a +2 â ª, çâ® ¡®à a1 ; a2 ; : : : ; a +2 ¡ã¤¥â ®à⮣® «ìë¬ ¡®à®¬ ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢. Ǒத®« ï íâ®â ¯à®æ¥áá, ¬ë ç¥à¥§ ª®¥ç®¥ ç¨á«® è £®¢ ¯®áâந¬ ®à⮣® «ìë© ¡ §¨á a1; a2 ; : : : ; a ; a +1 ; : : : ; a ¯à®áâà á⢠E , ïî騩áï à áè¨à¥¨¥¬ ¨á室®£® ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2 ; : : : ; a . ¥®à¥¬ 4 ¤®ª § . § ⥮६ë 4 ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî饥 a21 x1 k
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«¥¤á⢨¥ 2. î¡ãî ®à⮮ନ஢ ãî á¨á⥬㠢¥ªâ®à®¢ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠¬®® ¤®¯®«¨âì ¤® ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á í⮣® ¯à®áâà á⢠. ®ª § ⥫ìá⢮. ⬥⨬, çâ® ¢á¥ ¢¥ªâ®àë ®à⮮ନ஢ ®© á¨á⥬ë | ¥ã«¥¢ë¥ (¯®áª®«ìªã ¨å ¤«¨ë à ¢ë 1). ᨫã ⥮६ë 4 èã ®à⮮ନ஢ ãî á¨á⥬㠬®® ¤®¯®«¨âì ¤® ®à⮣® «ì®£® ¡ §¨á . §¤¥«¨¢ ª ¤ë© ¨§ ©¤¥ëå ¯à¨ í⮬ ®¢ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¥£® ¤«¨ã, ¬ë ¯®«ã稬 ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á. ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 4, ¯® áãé¥áâ¢ã, ᮤ¥à¨âáï «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ® ¤®¯®«¥¨¨ ¤ ®© ®à⮣® «ì®© á¨áâ¥¬ë ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¤® ®à⮣® «ì®£® ¡ §¨á . ä®à¬ã«¨à㥬 ¥£® ¢ ¬ ¢¨¤¥.
Ǒãáâì ¤ ®à⮣® «ì ï á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ ¨§¢¥áâë ª®®à¤¨ âë ¢á¥å íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ¥ª®â®à®¬ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥. ¯¨è¥¬ í⨠ª®®à¤¨ âë ¯® áâப ¬ ¢ ¬ âà¨æã. ©¤¥¬ ®¤® ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ¬ âà¨æ ª®â®à®© ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®«ã祮© ¬ âà¨æ¥©. ®¯¨è¥¬ ª ¨¬¥¢è¥©áï ¬ âà¨æ¥ áâப㠪®®à¤¨ â ¯®«ã祮£® ¢¥ªâ®à ¨ ©¤¥¬ ®¤® ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë
x
39. à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á
321
«¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ¬ âà¨æ ª®â®à®© ᮢ¯ ¤ ¥â á à áè¨à¥®© ¬ âà¨æ¥©. Ǒத®«¨¬ ®¯¨á ë© ¯à®æ¥áá ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ®¡é¥¥ ç¨á«® ©¤¥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ ¨á室®© á¨áâ¥¬ë ¥ áâ ¥â à ¢ë¬ à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠.
Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à. ॡã¥âáï ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ~a1 = (2; 3; 1; 1), ~a2 = ( 2; 2; 1; 1) ¨§ R 4 ®à⮣® «¥, ¨ ¤®¯®«¨âì ¥£® ¤® ®à⮣® «ì®£® ¡ §¨á ¢á¥£® ¯à®áâà á⢠. à⮣® «ì®áâì ¢¥ªâ®à®¢ ¯à®¢¥àï¥âáï «¥£ª®: ~a1~a2 = 2 ( 2) + 3 2 + ( 1) 1 + 1 ( 1) = 4 + 6 1 1 = 0: Ǒà¨áâ㯨¬ ª ¤®¯®«¥¨î ¤ ®£® ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¤® ®à⮣® «ì®£® ¡ §¨á . Ǒ®áª®«ìªã ¤ ë¥ ¢¥ªâ®àë ¯à¨ ¤«¥ â R 4 , âॡã¥âáï ©â¨ ¥é¥ ¤¢ ¢¥ªâ®à . ᮮ⢥âá⢨¨ á ¨§«®¥ë¬ ¢ëè¥ «£®à¨â¬®¬ á ç « ¤® ©â¨ ª ª®¥-¨¡ã¤ì ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë, ®á®¢ ï ¬ âà¨æ ª®â®à®© | íâ® ¬ âà¨æ , ¢ ª®â®à®© ¯® áâப ¬ § ¯¨á ë ª®®à¤¨ âë ¤ ëå ¢¥ªâ®à®¢. ¯¨è¥¬ íâã ¬ âà¨æã ¨ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã: 2 3 1 1 2 3 1 1: 22 1 1 05 00 ¨á⥬ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¯®«ã祮© ¬ âà¨æ¥, ¨¬¥¥â ¤¢ ᢮¡®¤ëå ¥¨§¢¥áâëå: x3 ¨ x4 . Ǒ®áª®«ìªã ¬ ¤® ©â¨ ª ª®¥-â® ®¤® ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥, ¨å ¬®® § 䨪á¨à®¢ âì ¯à®¨§¢®«ìë¬ ®¡à §®¬ (ªà®¬¥ x3 = x4 = 0). Ǒ®«®¨¬ x3 = 2; x4 = 0. § ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï 襩 á¨áâ¥¬ë ¢ë⥪ ¥â, çâ® x2 = 0, ¨§ ¯¥à¢®£® | çâ® x1 = 1. â ª, ¢ ª ç¥á⢥ âà¥â쥣® ¢¥ªâ®à ¬®® ¢§ïâì ~a3 = (1; 0; 2; 0). ¥¯¥àì ¤® ©â¨ ª ª®¥-¨¡ã¤ì ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë, ®á®¢ ï ¬ âà¨æ ª®â®à®© ¥áâì ¬ âà¨æ à¥è ¢è¥©áï à ìè¥ á¨á⥬ë, ª ª®â®à®© ¤®¡ ¢«¥ áâப ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à ~a3 . ¬¥¥¬ 0 2 3 1 11 02 3 1 11 02 3 1 11 2 2 1 1A 0 5 0 0A 0 1 0 0A 10 20 0 3 5 1 0 3 5 1 0 1 23 1 1 0 1 0 0 A: 00 5 1 ¥¯¥àì ¥áâì ⮫쪮 ®¤® ᢮¡®¤®¥ ¥¨§¢¥á⮥ | x4 . Ǒ®« £ ï x4 = 5, ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® å®¤¨¬, çâ® x3 = 1, x2 = 0 ¨ x1 = 2. ë 諨
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« ¢ 8.
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà áâ¢
ç¥â¢¥àâë© ¢¥ªâ®à: ~a4 = ( 2; 0; 1; 5). ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ (~a1 ;~a2;~a3;~a4) ï¥âáï ¨áª®¬ë¬ ®à⮣® «ìë¬ ¡ §¨á®¬ ¢á¥£® ¯à®áâà á⢠. ª ¥¬ ¥é¥ ®¤¨ «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨. Ǒãáâì ¤ ®à⮣® «ì ï á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ ¨§¢¥áâë ª®®à¤¨ âë ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ í⮩ á¨áâ¥¬ë ¢ ¥ª®â®à®¬ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥. ¯¨è¥¬ í⨠ª®®à¤¨ âë ¯® áâப ¬ ¢ ¬ âà¨æã. ©¤¥¬ ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ¬ âà¨æ ª®â®à®© ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®«ã祮© ¬ âà¨æ¥©. Ǒਬ¥¨¬ ª ¯®«ã祮¬ã ¡®àã ¢¥ªâ®à®¢ ¯à®æ¥áá ®à⮣® «¨§ 樨 à ¬ {¬¨¤â . ¡ê¥¤¨¨¢ ¯®«ãç¥ë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ á ⥬, ª®â®àë© ¡ë« § ¤ , ¯®«ã稬 ®à⮣® «ìë© ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠.
á ¬®¬ ¤¥«¥, ãç¨âë¢ ï ⥮६ã 1 ¤ ®£® ¯ à £à ä ¨ ⥮६㠨§ x29, «¥£ª® ¯®ïâì, çâ®, ®¡ê¥¤¨¨¢ § ¤ ë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ á ⥬, ª®â®àë© ¡ã¤¥â ¯®«ãç¥ ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ ®¯¨á ®£® «£®à¨â¬ , ¬ë ¯®«ã稬 ®à⮣® «ìë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢, ç¨á«® ª®â®àëå à ¢® à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠. áâ ¥âáï ãç¥áâì ⥮६ã 1 ¤ ®£® ¯ à £à ä ¨ ⥮६ã 2 ¨§ x23. Ǒத¥¬®áâà¨à㥬 ¢â®à®© ¨§ ®¯¨á ëå «£®à¨â¬®¢ ¯à¨¬¥à¥. Ǒãáâì ¤ ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ~a1 = ( 1; 2; 0; 1), ~a2 = (2; 1; 1; 4) ¨§ R 4 . ¥§ âà㤠¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® ® ®à⮣® «¥. ॡã¥âáï ¤®¯®«¨âì ¥£® ¤® ®à⮣® «ì®£® ¡ §¨á ¢á¥£® ¯à®áâà á⢠. ¥©áâ¢ãï ¯® 㪠§ ®¬ã «£®à¨â¬ã, ¨¬¥¥¬ 1 2 0 1 1 2 0 1 : 2 1 1 4 0 3 1 6 㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á®á⮨⠨§ ¢¥ªâ®à®¢ ~a3 = ( 2; 1; 3; 0), ~a4 = ( 3; 2; 0; 1). Ǒਬ¥ïï ª ¯®«ã祮© á¨á⥬¥ ¯à®æ¥áá ®à⮣® «¨§ 樨 à ¬ {¬¨¤â , ¨¬¥¥¬ ~b3 = ~a3 = ( 2; 1; 3; 0); ~ ~b4 = (b3 ;~a4 ) ~b3 + ~a4 = 4 ( 2; 1; 3; 0) + ( 3; 2; 0; 1) = 7 (~b3; ~b3) = 137 ; 107 ; 127 ; 1 : ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ (~a1;~a2; ~b3; ~b4) ï¥âáï ¨áª®¬ë¬ ®à⮣® «ìë¬ ¡ §¨á®¬ ¢á¥£® ¯à®áâà á⢠.
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à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥
Ǒ®ï⨥ ®à⮣® «ì®á⨠¢¥ªâ®à®¢ «¥£ª® à á¯à®áâà ï¥âáï ®à⮣® «ì®áâì ¯®¤¯à®áâà áâ¢. ¢ ¯®¤¯à®áâà á⢠S1 ¨ S2 ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E §ë¢ îâáï ®à⮣® «ì묨, ¥á«¨ «î¡®© ¢¥ªâ®à ¨§ S1 ®à⮣® «¥ «î¡®¬ã ¢¥ªâ®àã ¨§ S2. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® á।¨ ¢á¥å ¯®¤¯à®áâà á⢠¯à®áâà á⢠E , ®à⮣® «ìëå ª ¤ ®¬ã ¯®¤¯à®áâà áâ¢ã S , áãé¥áâ¢ã¥â ¨¡®«ì襥 (á¬. ¨¥ ¯.3 ⥮६ë 1). ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì S | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E . ®¥á⢮ ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢, ®à⮣® «ìëå ª ¯à®¨§¢®«ì®¬ã ¢¥ªâ®àã ¨§ S , §ë¢ ¥âáï ®à⮣® «ìë¬ ¤®¯®«¥¨¥¬ ¯®¤¯à®áâà á⢠S . à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥ ¯®¤¯à®áâà á⢠S ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ S ? . 묨 á«®¢ ¬¨, S ? = fx 2 E j ax = 0 ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à a 2 S g: ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ R 3 á ®¡ëçë¬ áª «ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¯®¤¯à®áâà á⢮ S | íâ® ¯«®áª®áâì , ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â O, â® S ? | ¯àï¬ ï, ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ O ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª . Ǒãáâì S | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà E , S ? | ®à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥ S . ®£¤ : S ? | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¯à®áâà á⢠E ;
¥®à¥¬ 1.
áâ¢
1) 2) 3)
¥á«¨ a1 ; a2 ; : : : ; ak | ¡ §¨á S , â® x 2 S ? ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ a1 x a2 x ak x ;
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®ª § ⥫ìá⢮. Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ â¥®à¥¬ë ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ªá¨®¬? 2 ¨ 3 ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠(á¬. á. 310). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ x; y 2 S , a 2 S , t | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç¨á«®, â® (x + y; a) = xa + ya = 0 + 0 = 0 ¨ (tx; a) = t(x; a) = t 0 = 0: ®ª ¥¬ ¢â®à®¥ ã⢥थ¨¥.
᫨ a1 ; a2 ; : : : ; a | ¡ §¨á S , x 2 S ? , â® ¢¥ªâ®à x ®à⮣® «¥ ª ¢¥ªâ®à ¬ a1 ; a2 ; : : : ; a , ¯®áª®«ìªã ® ®à⮣® «¥ ª® ¢á¥¬ ¢¥ªâ®à ¬ ¨§ S . Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® x ®à⮣® «¥ ª ¢¥ªâ®à ¬ a1 ; a2; : : : ; a . Ǒãáâì a 2 S . Ǒ®áª®«ìªã a1; a2 ; : : : ; a | ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠S , ¢¥ªâ®à a ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© k
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« ¢ 8.
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà áâ¢
¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2; : : : ; a , â.¥. a = t1a1 + t2a2 + + t a ¤«ï ¥ª®â®àëå ç¨á¥« t1; t2; : : : ; t . ® ⮣¤ xa = (x; t1 a1 + t2 a2 + + t a ) = = t1(x; a1 ) + t2 (x; a2 ) + + t (x; a ) = = t1 0 + t2 0 + + t 0 = 0: 묨 á«®¢ ¬¨, ¢¥ªâ®à x ®à⮣® «¥ ª a, â.¥. x 2 S ?. â®à®¥ ã⢥थ¨¥ ¤®ª § ®. Ǒãáâì ⥯¥àì ¯®¤¯à®áâà á⢮ S 0 ®à⮣® «ì® ª S . â® ®§ ç ¥â, çâ® ¥á«¨ x 2 S 0, â® x ®à⮣® «¥ ª® ¢á¥¬ ¢¥ªâ®à ¬ ¨§ S . Ǒ®? ®¯à¥¤¥«¥¨î ®à⮣® «ì®£® ¤®¯®«¥¨ï ®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® x 2 S . ª¨¬ ®¡à §®¬, S 0 S ?. ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . k
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¥®à¥¬ 2. 㬬 à §¬¥à®á⥩ ¯®¤¯à®áâà á⢠¨ ¥£® ®à⮣® «ì®£® ¤®¯®«¥¨ï à ¢ à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì S | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E , S ? | ®à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥ S . ¡®§ 稬 à §¬¥à®áâì E ¡ãª¢®© n, à §¬¥à®áâì S | ¡ãª¢®© k. 䨪á¨à㥬 ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á b1; b2; : : : ; b ¯à®áâà á⢠E ¨ ¯à®¨§¢®«ìë© ¡ §¨á a1; a2 ; : : : ; a ¯®¤¯à®áâà á⢠S . Ǒãáâì ¢¥ªâ®à a1 ¨¬¥¥â ¢ ¡ §¨á¥ b1; b2; : : : ; b ª®®à¤¨ âë (a11 ; a12; : : : ; a1 ), ¢¥ªâ®à a2 | ª®®à¤¨ âë (a21 ; a22; : : : ; a2 ), . . . , ª®¥æ, ¢¥ªâ®à a | ª®®à¤¨ âë (a 1 , a 2 , . . . , a ). Ǒ® ⥮६¥ 1 x 2 S ? ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ a1 x = a2 x = = a x = 0.
᫨ (x1 ; x2 ; : : : ; x ) | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à x ¢ ¡ §¨á¥ b1 ; b2; : : : ; b , â®, ¢ ᨫã ⥮६ë 2 ¨§ x39, ¯®á«¥¤¨¥ à ¢¥áâ¢ à ¢®á¨«ìë á«¥¤ãî騬: 8 a11 x1 + a12 x2 + + a1 x = 0; > > < a21 x1 + a22 x2 + + a2 x = 0; (1) .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. > > : a 1 x1 + a 2 x2 + + a x = 0: â ª, ¢¥ªâ®à x «¥¨â ¢ S ? ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥£® ª®®à¤¨ âë ¢ ¡ §¨á¥ b1 ; b2 ; : : : ; b ïîâáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (1). 묨 á«®¢ ¬¨, S ? ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à®áâà á⢮¬ à¥è¥¨© í⮩ á¨á⥬ë. ᨫã â¥®à¥¬ë ¨§ x29 à §¬¥à®áâì ¯®á«¥¤¥£® à ¢ n r, £¤¥ r | à £ ¬ âà¨æë á¨á⥬ë (1). âப¨ í⮩ ¬ âà¨æë | ª®®à¤¨ âë ¡ §¨áëå ¢¥ªâ®à®¢ ¯à®áâà á⢠S . «¥¤®¢ ⥫ì®, r = k. ë ¤®ª § «¨, çâ® à §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠S ? à ¢ n k, £¤¥ k | à §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠S . ¥®à¥¬ 2 ¤®ª § . n
k
n
n
n
k
k
kn
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n
k
325
x
40. à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥
§ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 2 ¢ë⥪ ¥â «£®à¨â¬ 室¥¨ï ¡ §¨á ®à⮣® «ì®£® ¤®¯®«¥¨ï ¯®¤¯à®áâà á⢠S ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠: ¥á«¨ ¨§¢¥á⥠¡ §¨á a1 , a2 , . . . , ak ¯®¤¯à®áâà á⢠S , â® ¤® á®áâ ¢¨âì ¬ âà¨æã A, § ¯¨á ¢ ¢ ¥¥ ¯® áâப ¬ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2 ; : : : ; ak , ¨ ©â¨ ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ®á®¢ ï ¬ âà¨æ ª®â®à®© ¥áâì A. ¨ ¡ã¤¥â ¡ §¨á®¬ ®à⮣® «ì®£® ¤®¯®«¥¨ï ¯®¤¯à®áâà á⢠S .
Ǒ®áª®«ìªã à ¥¥ ¬ë 㥠¯à¨¢®¤¨«¨ ¯à¨¬¥àë 室¥¨ï ä㤠¬¥â «ì®£® ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë (á¬. x29 ¨ 36), §¤¥áì ¬ë ¥ ¡ã¤¥¬ à¥è âì ª®ªà¥âãî § ¤ çã. ¥®à¥¬ 3. Ǒãáâì S | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E , S ? | ¥£® ®à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥. ®£¤ E S S ? . ç áâ®áâ¨, ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x 2 E áãé¥áâ¢ãîâ, ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨á⢥ë¥, ¢¥ªâ®àë y ¨ z â ª¨¥, çâ® y 2 S , z 2 S ? ¨ x y z.
=
= +
¬¥â¨¬, çâ® S \ S ? = f0g. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì x 2 ®£¤ xx = 0 ¨, ¢ ᨫã ç¥â¢¥à⮩ ªá¨®¬ë ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠, x = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, dim(?S \ S ?) = 0. âáî¤ ¨ ¨§ ⥮६ë 1 ¨§ x25 ¢ë⥪ ¥â, çâ® dim(S + S ) = dim S + dim S ?. ᨫã ⥮६ë 2 dim(S + S ?) = dim E . ¥¬¬ ¨§ x24 ¯®ª §ë¢ ¥â ⥯¥àì, çâ® E = S + S ?. ç¨âë¢ ï ⥮६ã 2 ¨§ x25, ¯®«ãç ¥¬ ¢á¥ âà¥¡ã¥¬ë¥ ã⢥थ¨ï. ¥®à¥¬ 3 ¤®ª § . ¥ªâ®àë y ¨ z, áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì ª®â®àëå ¤®ª § ë ¢ ⥮६¥ 3, §ë¢ îâáï ᮮ⢥âá⢥® ®à⮣® «ì®© ¯à®¥ªæ¨¥© ¢¥ªâ®à x ¯®¤¯à®áâà á⢮ S ¨ ®à⮣® «ì®© á®áâ ¢«ïî饩 x ®â®á¨â¥«ì® S . ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ S = f0g, â® ®à⮣® «ì ï ¯à®¥ªæ¨ï x S à ¢ 0, ®à⮣® «ì ï á®áâ ¢«ïîé ï x ®â®á¨â¥«ì® S ᮢ¯ ¤ ¥â á x. â®?¢ë⥪ ¥â ¨§ ⮣®, çâ® x = 0 + x ¨ ¢ 㪠§ ®¬ á«ãç ¥ 0 2 S , x 2 S . «¨ ®à⮣® «ì®© á®áâ ¢«ïî饩 ¢¥ªâ®à x ®â®á¨â¥«ì® S §ë¢ ¥âáï à ááâ®ï¨¥¬ ®â x ¤® S . ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ S = f0g, â®, ¢ ᨫã ᪠§ ®£® ¢ëè¥, à ááâ®ï¨¥ ®â x ¤® S à ¢® jxj. ¥áª®«ìª® á«®¥¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï 㣮« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à®¬ ¨ ¯®¤¯à®áâà á⢮¬.
᫨ ¯®¤¯à®áâà á⢮ S ¥ã«¥¢®¥ ¨ y 6= 0, ⮠㣫®¬ ¬¥¤ã x ¨ S §ë¢ ¥âáï 㣮« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ x ¨ y.
᫨ S 6= f0g ¨ y = 0, ⮠㣮« ¬¥¤ã x ¨ S ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î áç¨â ¥âáï à ¢ë¬ 2 (íâ® ¥áâ¥á⢥®, â ª ª ª ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ x = z 2 S ?). ª®¥æ, ¥á«¨ S = f0g, ®ª § ⥫ìá⢮.
S \ S ?.
326
« ¢ 8.
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà áâ¢
⮠㣮« ¬¥¤ã x ¨ S ¥ ®¯à¥¤¥«¥. ááâ®ï¨¥ ®â x ¤® S ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ (x; S ), 㣮« ¬¥¤ã x ¨ S | ç¥à¥§ (xd ; S ). ⬥⨬, çâ® ¢á¥ ¯®ïâ¨ï, ¢¢¥¤¥ë¥ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¡§ æ¥, ¯®«®áâìî «®£¨çë ®¤®¨¬¥ë¬ ¯®ïâ¨ï¬ ¢ ®¡ë箬 ¯à®áâà á⢥ á ®¡ëçë¬ áª «ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢®§ì¬¥¬ ¢ í⮬ ¯à®áâà á⢥ ¢ ª ç¥á⢥ ¯®¤¯à®áâà á⢠S ¯«®áª®áâì Oxy. á®, çâ® ®à⮣® «ìë¬ ¤®¯®«¥¨¥¬ S ? ¡ã¤¥â ®áì Oz. â«®¨¬ ¢¥ªâ®à ~x ®â ç « ª®®à¤¨ â. ®£¤ ®à⮣® «ì ï ¯à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à ~x S | íâ® ¥£® ¯à®¥ªæ¨ï ¯«®áª®áâì Oxy ¢ ®¡ë箬 á¬ëá«¥, à ááâ®ï¨¥ ®â ~x ¤® S | ®¡ë箥 à ááâ®ï¨¥ ®â ª®æ ¢¥ªâ®à ~x ¤® ¯«®áª®á⨠Oxy, 㣮« ¬¥¤ã ~x ¨ S | ®¡ëçë© ã£®« ¬¥¤ã í⨬ ¢¥ªâ®à®¬ ¨ Oxy (à¨á. 2). z6 S?
Æ6A~z
~x
d(A; Oxy) = j~zj O ' Q~yQs x
y
S
¨á. 2 ¤ ç¨ å®¤¥¨ï ®à⮣® «ì®© ¯à®¥ªæ¨¨ x S , ®à⮣® «ì®© á®áâ ¢«ïî饩 x ®â®á¨â¥«ì® S , à ááâ®ï¨ï ®â x ¤® S ¨ 㣫 ¬¥¤ã x ¨ S ᢮¤ïâáï ª § ¤ ç ¬, «£®à¨â¬ë à¥è¥¨ï ª®â®àëå à áᬠâਢ «¨áì à ¥¥. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢ ᨫã ⥮६ë 3 E = S S ?, ¨ ¯®â®¬ã ®à⮣® «ì ï ¯à®¥ªæ¨ï x S | íâ® ¯à®¥ªæ¨ï x S ¯ à ««¥«ì® S ?, ®à⮣® «ì ï á®áâ ¢«ïîé ï x ®â®á¨â¥«ì® S | íâ® ¯à®¥ªæ¨ï x S ? ¯ à ««¥«ì® S . ª § ®¥ ¯®§¢®«ï¥â áä®à¬ã«¨à®¢ âì á«¥¤ãî騩 «£®à¨â¬.
᫨ ¯®¤¯à®áâà á⢮ S ã«¥¢®¥, â®, ᮣ« ᮠ᪠§ ®¬ã ¢ëè¥, ®à⮣® «ì ï ¯à®¥ªæ¨ï x S à ¢ 0, ®à⮣® «ì ï á®áâ ¢«ïîé ï x ®â®á¨â¥«ì® S ᮢ¯ ¤ ¥â á x, à ááâ®ï¨¥ ®â x ¤® S à ¢® jxj, 㣮« ¬¥¤ã x ¨ S ¥ ®¯à¥¤¥«¥. Ǒãáâì ⥯¥àì S 6 f0g. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ ¨§¢¥á⥠¡ §¨á S . ®£¤ ¬ë ¬®¥¬ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ©â¨:
=
327
x
40. à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥
1) ¡ §¨á
S ? (¯® «£®à¨â¬ã, 㪠§ ®¬ã ¯®á«¥ ¤®ª § -
⥫ìá⢠⥮६ë
2);
2) ®à⮣® «ìãî ¯à®¥ªæ¨î y?¢¥ªâ®à x S ª ª ¯à®¥ª-
æ¨î x S ¯ à ««¥«ì® S ¨ ®à⮣® «ìãî á®áâ ¢«ïîéãî z ¢¥ªâ®à x ®â®á¨â¥«ì® S ª ª ¯à®¥ªæ¨î x S ? ¯ à ««¥«ì® S ¯® «£®à¨â¬ã, 㪠§ ®¬ã á. ;
(
229)
3) à ááâ®ï¨¥ ®â x ¤® S ¯® ä®à¬ã«¥ (x; S ) = pzz ¨ 㣮« ¬¥¤ã x ¨
S ¯® ä®à¬ã«¥ 8 > <
xy
; ¥á«¨ y 6= 0;
os(xd ; S ) = jxj jyj > : 2 ; ¥á«¨ y = 0: ¯¥æ¨ «ì®© § ¤ ç¨ íâã ⥬㠬ë à¥è âì ¥ ¡ã¤¥¬. ª ¡ë«® ®â¬¥ç¥® ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1 ¨§ x26, ¯®ï⨥ ¯®¤¯à®áâà á⢠ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ¯®ïâ¨ï «¨¥©®£® ¬®£®®¡à §¨ï. Ǒãáâì P = x0 + M | «¨¥©®¥ ¬®£®®¡à §¨¥ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ E ¨ x 2 E . ®£¤ à ááâ®ï¨¥¬ ®â x ¤® «¨¥©®£® ¬®£®®¡à §¨ï P §ë¢ ¥âáï à ááâ®ï¨¥ ®â ¢¥ªâ®à x x0 ¤® ¯à ¢«ïî饣® ¯®¤¯à®áâà á⢠M .
᫨ ¯®¤¯à®áâà á⢮ M ¥ã«¥¢®¥, ⮠㣫®¬ ¬¥¤ã x ¨ P §ë¢ ¥âáï 㣮« ¬¥¤ã x ¨ M .
᫨ ¥ M = f0g, ⮠㣮« ¬¥¤ã x ¨ P ¥ ®¯à¥¤¥«¥. § ¯à¨¢¥¤¥ëå ®¯à¥¤¥«¥¨© ¢¨¤®, çâ® § ¤ ç¨ å®¤¥¨ï à ááâ®ï¨ï ®â ¢¥ªâ®à ¤® «¨¥©®£® ¬®£®®¡à §¨ï ¨ 㣫 ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à®¬ ¨ «¨¥©ë¬ ¬®£®®¡à §¨¥¬ ¥¬¥¤«¥® ᢮¤ïâáï ª «®£¨çë¬ § ¤ ç ¬ ® ¢¥ªâ®à¥ ¨ ¯®¤¯à®áâà á⢥, «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï ª®â®àëå ¨§«®¥ ¢ëè¥. ááâ®ï¨¥ ®â x ¤® ¬®£®®¡à §¨ï P ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ (x; P ), 㣮« ¬¥¤ã x ¨ P | ç¥à¥§ (xd ; P ). ª ¥¬ ¥é¥ ¥áª®«ìª® ᢮©á⢠®à⮣® «ì®£® ¤®¯®«¥¨ï. Ǒãáâì E | ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà á⢮, S , S1 ¨ S2 | ¥£® ¯®¤¯à®áâà á⢠. ®£¤ : 1) f0g? = E , E ? = f0g; 2) (S ?)? = S ; 3) ¥á«¨ S1 S2, â® S2? S1?; 4) (S1 + S2 )? = S1? \ S2?, (S1 \ S2)? = S1? + S2?; 5) ¥á«¨ E = S1 S2, â® E = S1? S2?.
328
« ¢ 8.
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà áâ¢
Ǒ¥à¢®¥ à ¢¥á⢮ ¢ ᢮©á⢥ 1 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®â¬¥ç¥®£® á. 316 ä ªâ : ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ®à⮣® «¥ ª «î¡®¬ã ¢¥ªâ®àã ¨§ E . â®à®¥ à ¢¥á⢮ ¢ í⮬ ᢮©á⢥ «¥£ª® ¢ë¢®¤¨âáï ¨§ ªá¨®¬ë 4 ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠(á¬. á. 310). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ x 2 E ?, â® xy = 0 ¤«ï «î¡®£® y 2 E . ç áâ®áâ¨, xx = 0, ¨, ¢ ᨫ㠪ᨮ¬ë 4, x = 0. ®ª ¥¬ ᢮©á⢮ 2. § ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®à⮣® «ì®£® ¤®¯®«¥¨ï ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¥á«¨ x 2 S , â® x ®à⮣® «¥ ª «î¡®¬ã ¢¥ªâ®àã ¨§ S ?. «¥¤®¢ ⥫ì®, S (S ?)?. Ǒãáâì dim S = n ¨ dim E = k. ᨫã ⥮६ë 2 dim(S ?)? = n dim S ? = n (n k) = k = dim S: â ª, S | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ (S ?)? ¨ dim S = dim(S ?)? . ᨫ㠫¥¬¬ë ¨§ x24, S = (S ?)?. ®ª ¥¬ ⥯¥àì ᢮©á⢮ 3. Ǒãáâì S1 S2 ¨ x 2 S2?. ®£¤ x ®à⮣® «¥ ª «î¡®¬ã ¢¥ªâ®àã ¨§ S2, § ç¨â, ¢ ç áâ®áâ¨, ¨ ª «î¡®¬ã ¢¥ªâ®àã ¨§ S1. «¥¤®¢ ⥫ì®, x 2 S1?, ¨ ¯®â®¬ã S2? S1?. Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª ᢮©áâ¢ã 4. ®ª ¥¬ á ç « ¯¥à¢®¥ à ¢¥á⢮ ¨§ í⮣® ᢮©á⢠. Ǒãáâì x 2 S1? \ S2? ¨ y 2 S1 + S2. ®£¤ y = y1 + y2 ¤«ï ¥ª®â®àëå ¢¥ªâ®à®¢ y1 2 S1 ¨ y2 2 S2 . ᨫ㠢롮à x ¨¬¥¥¬ xy1 = xy2 = 0, ®âªã¤ (x; y) = (x; y1 + y2) = (x; y1 ) + (x; y2 ) = 0 + 0 = 0: «¥¤®¢ ⥫ì®, x 2 (S1 + S2)?, ¨ ¯®â®¬ã S1? \ S2? (S1 + S2)?. ®ª ¥¬ ®¡à ⮥ ¢ª«î票¥. Ǒãáâì x 2 (S1 + S2)?. Ǒ®áª®«ìªã S1 S1 + S2 ¨ S2 S1 + S2 , ¨§ ᢮©á⢠3 ¢ë⥪ ¥â, çâ® x 2 S1? ¨ x 2 S2?. «¥¤®¢ ⥫ì®, x 2 S1? \ S2?, ¨ ¯®â®¬ã (S1 + S2)? S1? \ S2?. Ǒ¥à¢®¥ à ¢¥á⢮ ¨§ ᢮©á⢠4 ¤®ª § ®. â®à®¥ à ¢¥á⢮ ¨§ í⮣® ᢮©á⢠«¥£ª® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ¯¥à¢®£® à ¢¥á⢠¨ ᢮©á⢠2. á ¬®¬ ¤¥«¥, S1? + S2? = ((S1? + S2? )? )? = ((S1? )? \ (S2? )? )? = (S1 \ S2 )? : ᨫã ⥮६ë 2 ¨§ x25, çâ®¡ë ¤®ª § âì ᢮©á⢮ 5, ¤®áâ â®ç® ãáâ ®¢¨âì, çâ® S1? + S2? = E ¨ dim S1? + dim S2? = dim E . Ǒ¥à¢®¥ à ¢¥á⢮ ¢ë⥪ ¥â ¨§ ᢮©á⢠4 ¨ 1. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯® ãá«®¢¨î, S1 \ S2 = f0g, ¨ ¯®â®¬ã S1? + S2? = (S1 \ S2 )? = f0g? = E: â®¡ë ¤®ª § âì ¢â®à®¥ ¨§ ãëå à ¢¥áâ¢, ¯®«®¨¬ dim E = n, dim S1 = k1 ¨ dim S2 = k2 . ᨫã ⥮६ë 2 ¨§ x25, n = k1 + k2 . ᯮ«ì§ãï ⥮६ã 2, ¨¬¥¥¬ dim S1? +dim S2? = (n k1)+(n k2) = 2n (k1 +k2) = 2n n = n = dim E: ¢®©á⢮ 5 ¤®ª § ®.
329
x
40. à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥
x29 ¡ë« ¯à¨¢¥¤¥ «£®à¨â¬ 室¥¨ï ¡ §¨á ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯®¤¯à®áâà áâ¢. ¢®©á⢠2 ¨ 4 ¯®§¢®«ïîâ 㪠§ âì ¥é¥ ®¤¨ ᯮᮡ à¥è¥¨ï í⮩ § ¤ ç¨. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§ íâ¨å ᢮©á⢠¢ë⥪ ¥â, çâ® S1 \ S2 = (S1? )? \ (S2? )? = (S1? + S2?)? : Ǒ®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî騩 «£®à¨â¬. â®¡ë ©â¨ ¡ §¨á ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯®¤¯à®áâà á⢠S1 ¨ S2 , ¤® ©â¨ á ç « ¡ §¨áë ¯®¤¯à®áâà á⢠S1? ¨ S2? ¯® «£®à¨â¬ã, 㪠§ ®¬ã ¯®á«¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë , § ⥬ ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠S1? S2? ¯® «£®à¨â¬ã, 㪠§ ®¬ã á. ¨, ª®¥æ, ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠S1 \ S2 S1? S2? ? ¢®¢ì ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì «£®à¨â¬®¬, 㪠§ ë¬ ¯®á«¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë
226) =( + ) (
+
(
( 2)
2). ¥è¨¬ á ¯®¬®éìî í⮣® «£®à¨â¬ § ¤ çã, 㥠à áᬮâà¥ãî ¢ x29: ©¤¥¬ ¡ §¨á ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 , ¯®à®¤¥®£® ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a1 = (1; 1; 0; 0), ~a2 = (0; 1; 1; 0) ¨ ~a3 = (0; 0; 1; 1), ¨ ¯®¤¯à®áâà á⢠M2, ¯®à®¤¥®£® ¢¥ªâ®à ¬¨ ~b1 = (1; 1; 1; 1), ~b2 = (1; 0; 1; 1) ¨ ~b3 = (1; 0; 2; 0). ç « ©¤¥¬ ¡ §¨á M1?. ¥©áâ¢ãï ¯® «£®à¨â¬ã, 㪠§ ®¬ã ¯®á«¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 2, § ¯¨è¥¬ ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à®¢ ~a1, ~a2 ¨ ~a3 ¢ ¬ âà¨æã ¯® áâப ¬: 0 1 1 0 01 0 1 1 0A: 0011 â ¬ âà¨æ 㥠ï¥âáï áâ㯥ç ⮩. 㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á®á⮨⠨§ ®¤®£® ¢¥ªâ®à : ~ 1 = ( 1; 1; 1; 1). â®â ¢¥ªâ®à ¨ ®¡à §ã¥â ¡ §¨á M1?. ¥©áâ¢ãï «®£¨ç®, ©¤¥¬ ¡ §¨á M2?: 0 1 1 1 11 01 1 1 11 01 1 1 11 1 0 1 1A 0 1 0 2A 0 1 0 2A: 102 0 0 11 1 0 01 1 §¨á M2? (â.¥. ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯®«ã祮© ¬ âà¨æ¥) á®á⮨⠨§ ¢¥ªâ®à ~ 2 = (2; 2; 1; 1). â®¡ë ©â¨ ¡ §¨á M1? + M2?, § ¯¨è¥¬ ¢ ¬ âà¨æã ¯® áâப ¬ ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à®¢ ~ 1 ¨ ~ 2 ¨ ¯à¨¢¥¤¥¬ íâã ¬ âà¨æã ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã: 1 1 1 1 1 1 1 1: 2 2 11 00 33
330
« ¢ 8.
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà áâ¢
ã«¥¢ëå áâப ¥ ¢®§¨ª«®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢¥ªâ®àë ~ 1, ~ 2 ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠M1? + M2?. â®¡ë ©â¨ ¡ §¨á M1 \ M2 = (M1? + M2? )? , ®áâ «®áì ©â¨ ä㤠¬¥â «ìë© ¡®à à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯®á«¥¤¥© ¨§ ¢ë¯¨á ëå ¬ âà¨æ. â á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¤¢ ᢮¡®¤ëå ¥¨§¢¥áâëå | x2 ¨ x4 . Ǒ®« £ ï á ç « x2 = 1, x4 = 0, § ⥬ x2 = 0, x4 = 1, 室¨¬, çâ® ¡ §¨á M1 \ M2 á®á⮨⠨§ ¢¥ªâ®à®¢ (1,1,0,0) ¨ (0,0,1,1). ⬥⨬, çâ® íâ®â ¡ §¨á ®â«¨ç ¥âáï ®â ¡ §¨á ⮣® ¥ ¯à®áâà á⢠, ©¤¥®£® ¢ x29 (á¬. á. 249). x41.
¨¬¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®¯¥à â®àë
¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë, ¤¥©áâ¢ãî騥 ¢ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà á⢠å, ®¡« ¤ îâ ¤®¯®«¨â¥«ì묨 ᢮©á⢠¬¨ ¯® áà ¢¥¨î á «¨¥©ë¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨ ¢ ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà áâ¢ å ¡¥§ ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï. 襬 ªãàᥠ¬ë ®£à ¨ç¨¬áï à áᬮâ२¥¬ ⮫쪮 ®¤®£® ⨯ «¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢ëå ¯à®áâà á⢠å | â ª §ë¢ ¥¬ëå ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨å ®¯¥à â®à®¢. ¨¥©ë© ®¯¥à â®à y = A(x) ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E §ë¢ ¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ (¨«¨ á ¬®á®¯àï¥ë¬), ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ x; z 2 E ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ (A(x); z) = (x; A(z)): 祢¨¤ë¬¨ ¯à¨¬¥à ¬¨ ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨å ®¯¥à â®à®¢ ïîâáï ⮤¥áâ¢¥ë© ®¯¥à â®à E ¨ ã«¥¢®© ®¯¥à â®à O. á ¬®¬ ¤¥«¥, (E (x); z) = (x; z) = (x; E (z)) ¨ (O(x); z) = (0; z) = 0 = (x; 0) = (x; O(z)): Ǒਢ¥¤¥¬ ¡®«¥¥ ᮤ¥à ⥫ìë© ¯à¨¬¥à ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯¥à â®à . Ǒãáâì S | ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E . ᨫã ⥮६ë 3 ¨§ x40 E = S S ?. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ë ¬®¥¬ à áᬮâà¥âì ®¯¥à â®à ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï S ¯ à ««¥«ì® S ? (á¬. á. 281). §ë¢ ¥âáï ®¯¥à â®à®¬ ®à⮣® «ì®£® ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï ¯®¤¯à®áâà á⢮ S ¨ ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ P . ⬥⨬, ç⮠⮤¥áâ¢¥ë© ®¯¥à â®à ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ®¯¥à â®à ®à⮣® «ì®£® ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï E , ã«¥¢®© ®¯¥à â®à | ª ª ®¯¥à â®à ®à⮣® «ì®£® ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï ã«¥¢®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮. ®® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® P | ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à. ®ª § ⥫ìá⢮ í⮣® ¥á«®®£® ä ªâ ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î. Ǒ®«®¨¬ dim E = n ¨ dim S = m. Ǒãáâì a1; a2 ; : : : ; a | ¡ §¨á ¢ S , a +1 ; a +2; : : : ; a | ¡ §¨á ¢ S ?. Ǒ®áª®«ìªã E = S S ?, ¯®«ãç ¥¬, çâ® a1 ; a2 ; : : : ; a | ¡ §¨á ¢á¥£® ¯à®áâà á⢠E (á¬. § ¬¥ç ¨¥ á. 228). âà¨æ ®¯¥à â®à P ¢ ¡ §¨á¥ a1; a2 ; : : : ; a ¨¬¥¥â S
S
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m
m
n
n
S
n
331
x
41. ¨¬¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®¯¥à â®àë
¢¨¤, ¨§®¡à ¥ë© á. 283 (£¤¥ ç¨á«® ¥¤¨¨æ £« ¢®© ¤¨ £® «¨ à ¢® m). ç áâ®áâ¨, íâ ¬ âà¨æ ¤¨ £® «ì . ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ A = (a ) ¯®à浪 n §ë¢ ¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®©, ¥á«¨ a = a ¤«ï ¢á¥å i; j = 1; 2; : : : ; n. 묨 á«®¢ ¬¨, ¬ âà¨æ A ᨬ¬¥âà¨ç , ¥á«¨ A> = A. ⬥⨬, çâ® ¢áïª ï ¤¨ £® «ì ï ¬ âà¨æ ᨬ¬¥âà¨ç . ç áâ®áâ¨, ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à P ¢ ¡ §¨á¥, ¯®«ã祮¬ ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬ ¡ §¨á®¢ S ¨ S ?, ᨬ¬¥âà¨ç . â®â ä ªâ ¥ á«ãç ¥. ¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥, ª®â®à®¥, ªáâ â¨, ®¡êïáï¥â â¥à¬¨ \ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à". ¥®à¥¬ 1. ¨¥©ë© ®¯¥à â®à y = A(x) ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà ij
ij
ji
S
á⢠E ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥£® ¬ âà¨æ ¢ «î¡®¬ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥ ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®©.
®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì y = A(x) | ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à, = (a ) | ¥£® ¬ âà¨æ ¢ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥ b1; b2; : : : ; b . ®£¤ ¤«ï ¢á类£® j = 1; 2; : : : ; n ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à A(b ) ¢ ¡ §¨á¥ b1 ; b2; : : : ; b á®áâ ¢«ïîâ j -© á⮫¡¥æ ¬ âà¨æë A, â.¥. à ¢ë (a1 ; a2 ,. . . ,a ). ®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à b ¢ ¡ §¨á¥ b1; b2; : : : ; b ¨¬¥îâ ¢¨¤ (0,. . . ,0,1,0,.. . ,0), £¤¥ 1 á⮨â i-¬ ¬¥áâ¥. Ǒ®áª®«ìªã ¡ §¨á b1 ; b2 ; : : : ; b ï¥âáï ®à⮮ନ஢ ë¬, ¨§ ⥮६ë 2 ¢ x39 ¢ë⥪ ¥â, çâ® (A(b ); b ) = a . «®£¨çë¥ á®®¡à ¥¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® (b ; A(b )) = a . Ǒ®áª®«ìªã ®¯¥à â®à A ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¬, ¯®«ãç ¥¬, çâ® a = a . ë ¤®ª § «¨, çâ® ¬ âà¨æ ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯¥à â®à ¢ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥ ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®©. Ǒãáâì ⥯¥àì y = A(x) | ¯à®¨§¢®«ìë© «¨¥©ë© ®¯¥à â®à, ¨¬¥î騩 ¢ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥ b1; b2; : : : ; b ᨬ¬¥âà¨ç¥áªãî ¬ âà¨æã A = (a ). ®ª ¥¬, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ®¯¥à â®à A ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¬. Ǒãáâì (x1 ; x2; : : : ; x ) ¨ (z1; z2; : : : ; z ) | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ x ¨ z ¢ ¡ §¨á¥ b1; b2; : : : ; b ᮮ⢥âá⢥®. ®£¤ , ª ª ¥âà㤮 ¯®ïâì, ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ (A(x); z) ¬®® ¢ëà §¨âì á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¬ âà¨ç®£® 㬮¥¨ï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
A
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n
2 6
x1 > B x2 C7 B C7 0
(Ax> )>z> = 664A B . .. x
n
13
0
1
C7 A5
B . .
z1 B z2 C B C
.
z
n
0
1
z1 B z2 C > B C C = (x1 x2 : : : x ) A B . C A . A n
.
z
n
(¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¢ë⥪ ¥â ¨§ ᢮©á⢠6 á. 253). â® ¥ ¢à¥¬ï
332
« ¢ 8.
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà áâ¢
¤«ï (x; A(z)) «®£¨ç®¥ à ¢¥á⢮ ¨¬¥¥â ¢¨¤
0
1
z1 B z2 C B C
x A z> = (x1 x2 : : : xn ) A B
...
z
C: A
n
Ǒ®áª®«ìªã A> = A (¢ ᨫã ᨬ¬¥âà¨ç®á⨠¬ âà¨æë A), ¯®«ãç ¥¬, çâ® (A(x); z) = (x; A(z)). ª¨¬ ®¡à §®¬, A | ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à. ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . ¬¥â¨¬, çâ® (ª ª ¢ë⥪ ¥â ¨§ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 1) ¤«ï ¯à®¢¥àª¨ á ¬®á®¯à葉á⨠®¯¥à â®à ¥â ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¢ëç¨á«ïâì ¥£® ¬ âà¨æë ¢® ¢á¥å ®à⮮ନ஢ ëå ¡ §¨á å: ¤®áâ â®ç® ©â¨ ¥£® ¬ âà¨æã ⮫쪮 ¢ ®¤®¬ â ª®¬ ¡ §¨á¥. ⬥⨬ ®¤® ¢ ®¥ ᢮©á⢮ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯¥à â®à . ¥®à¥¬ 2.
®¡áâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯¥à â®à
A, ®â®áï騥áï ª à §«¨çë¬ á®¡áâ¢¥ë¬ § 票ï¬, ®à⮣® «ìë. ®ª § ⥫ìá⢮.
Ǒãáâì x ¨ y | ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ®¯¥à â®à
A, ®â®áï騥áï ª ᮡáâ¢¥ë¬ § ç¥¨ï¬ s ¨ t ᮮ⢥âá⢥®, ¯à¨ç¥¬ s= 6 t. ᯮ«ì§ãï ᨬ¬¥âà¨ç®áâì ®¯¥à â®à A, ¨¬¥¥¬ s(x; y) = (sx; y) = (A(x); y) = (x; A(y)) = (x; ty) = t(x; y): «¥¤®¢ ⥫ì®, (s t)xy = 0. Ǒ®áª®«ìªã s t =6 0, ¯®«ãç ¥¬, çâ®
xy = 0. ¥®à¥¬ 2 ¤®ª § .
ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ëè¥, ¤«ï ®¯¥à â®à ®à⮣® «ì®£® ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï áãé¥áâ¢ã¥â ¡ §¨á, ¢ ª®â®à®¬ ¬ âà¨æ í⮣® ®¯¥à â®à ¤¨ £® «ì . «®£¨çë© ä ªâ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯¥à â®à . ¨¬¥®, á¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãîé ï
¥®à¥¬ 3. «ï «î¡®£® ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯¥à â®à A ¢ ¯à®áâà á⢥ E ©¤¥âáï ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á í⮣® ¯à®áâà á⢠, ¢ ª®â®à®¬ ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à A ¤¨ £® «ì . ®ª § ⥫ìá⢮. ᨫã â¥®à¥¬ë ¨§ x35 ¤®áâ â®ç® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ E ©¤¥âáï ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á, á®áâ®ï騩 ¨§ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ 襣® ®¯¥à â®à . ®ª ¥¬ íâ® ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ à §¬¥à®áâì ¯à®áâà á⢠E à ¢ ¤¢ã¬. Ǒãáâì b1; b2 | ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠E ¨ A = (a ) | ¬ âà¨æ ij
x
41. ¨¬¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®¯¥à â®àë
333
®¯¥à â®à A ¢ í⮬ ¡ §¨á¥. âà¨æ A ᨬ¬¥âà¨ç¥áª ï (¢ ᨫã ⥮६ë 1), ¨ ¯®â®¬ã a12 = a21. ¡®§ 稬 íâ®â í«¥¬¥â ¯à®áâ® ç¥à¥§ a. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬®£®ç«¥ ¬ âà¨æë A ¨¬¥¥â ¢¨¤ g(t) = jA tE j = (a11 t)(a22 t) a2 = t2 (a11 + a22 )t + a11 a22 a2 : áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ g(t) = 0.
£® ¤¨áªà¨¬¨ â D à ¢¥ (a11 + a22)2 4(a11a22 a2) = (a11 a22)2 + 4a2: ¥®âà¨æ ⥫¥, ¨ ¯®â®¬ã ãà ¢¥¨¥ g(t) = 0 ¢á¥£¤ ¨¬¥¥â ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ª®à¨. Ǒ।¯®«®¨¬ á ç « , çâ® ª®à¨ ᮢ¯ ¤ îâ, â.¥. D = 0. â® ®§ ç ¥â, çâ® a11 = a22 ¨ a = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ âà¨æ A ¤¨ £® «ì ¨, ¢ ᨫã â¥®à¥¬ë ¨§ x35, ¢¥ªâ®àë b1 ¨ b2 ïîâáï ᮡá⢥묨 (¨ á®áâ ¢«ïîâ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á). Ǒãáâì ⥯¥àì D > 0. ®£¤ ®¯¥à â®à A ¨¬¥¥â ¤¢ à §«¨çëå ᮡá⢥ëå § 票ï t1 ¨ t2. Ǒãáâì 1 ¨ 2 | ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ®¯¥à â®à y = A(x), ®â®áï騥áï ᮮ⢥âá⢥® ª t1 ¨ t2 . ᨫã ⥮६ë 2 ¢¥ªâ®àë 1 ¨ 2 ®à⮣® «ìë. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ª ç¥á⢥ ¨áª®¬®£® ¡ §¨á ¬®® ¢§ïâì ¢¥ªâ®àë j
11 j , j
22 j . ¥®à¥¬ 3 ¤®ª § . ᨫã â¥®à¥¬ë ¨§ x35 ¤®ª § ãî ⮫쪮 ç⮠⥮६㠬®® ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. «ï «î¡®£® ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯¥à â®à A ¢ ¯à®áâà á⢥ E ©¤¥âáï ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á í⮣® ¯à®áâà á⢠, á®áâ®ï騩 ¨§ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à A.
ª ¥¬ ⥯¥àì ®¤® ᢮©á⢮ ª®à¥© å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯¥à â®à . ⬥⨬, çâ® ¢ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì®£® «¨¥©®£® ®¯¥à â®à í⨠ª®à¨ ïîâáï, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ª®¬¯«¥ªá묨 ç¨á« ¬¨. ¥®à¥¬ 4. ᥠª®à¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯¥à â®à ïîâáï ¤¥©á⢨⥫ì묨 ç¨á« ¬¨.
á«ãç ¥, ª®£¤ ®¯¥à â®à ¤¥©áâ¢ã¥â ¢ ¯à®áâà á⢥ à §¬¥à®á⨠2, íâ ⥮६ ä ªâ¨ç¥áª¨ ¤®ª § ¢ ¯à®æ¥áᥠ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 3. á ¬®¬ ¤¥«¥, â ¬ ¯à®¢¥à¥®, çâ® ¢ 㪠§ ®¬ á«ãç ¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬®£®ç«¥ ®¯¥à â®à (ïî騩áï ª¢ ¤à âë¬ âà¥åç«¥®¬) ¨¬¥¥â ¥®âà¨æ ⥫ìë© ¤¨áªà¨¬¨ â ¨ ¯®â®¬ã íâ®â ¬®£®ç«¥ ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ª®à¨. ®ª §ë¢ âì ⥮६ã 4 ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬ë ¥ ¡ã¤¥¬.
334
« ¢ 8.
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà áâ¢
ª ¥¬ ᯮᮡ 室¥¨ï ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á , ¢ ª®â®à®¬ ¬ âà¨æ ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯¥à â®à A ¤¨ £® «ì . â § ¤ ç à¥è ¥âáï ¢ âà¨ è £ , ª ¤ë© ¨§ ª®â®àëå ¬ë 㥠㬥¥¬ ¤¥« âì. ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠, ¯¥à¢®¬ è £¥ ¤® ©â¨ ¢ ª®â®à®¬ ¬ âà¨æ 襣® ®¯¥à â®à ¤¨ £® «ì (íâ® ¢á¥£¤ ¬®® ᤥ« âì ¢ ᨫã ⥮६ë 2). ¯®á®¡ ¥£® 室¥¨ï 㪠§ ¢ x35. ¯®¬¨¬, ¢ 祬 ® á®á⮨â. ¤® á ç « ©â¨ ¢á¥ ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ®¯¥à â®à , § ⥬ ¤«ï ª ¤®£® ¨§ ¨å ®âë᪠âì ¬ ªá¨¬ «ìë© «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¡®à ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢, ®â®áïé¨åáï ª í⮬ã ᮡá⢥®¬ã § 票î. ¡ê¥¤¨¨¢ í⨠¡®àë, ¬ë ¯®«ã稬 ¨áª®¬ë© ¡ §¨á. Ǒãáâì t1; t2; : : : ; t | ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥å ¯®¯ à® à §«¨çëå ᮡá⢥ëå § 票© ®¯¥à â®à A. Ǒãáâì ¬ ªá¨¬ «ìë© «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¡®à ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢, ®â®áïé¨åáï ª t1, ¥áâì fa11 ; a12 ; : : : ; a1 g, ®â®áïé¨åáï ª t2 | fa21 ; a22 ; : : : ; a2 g, . . . , ª®¥æ, ®â®áïé¨åáï ª t | fa 1; a 2 ; : : : ; a g. Ǒ®áª®«ìªã ¢á¥ í⨠¢¥ªâ®àë ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠, á㬬 ஥ ç¨á«® ¢¥ªâ®à®¢ ¢® ¢á¥å ¡®à å à ¢® à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠. ¢â®à®¬ è £¥ ¨é¥âáï ¡ §¨á, ¢ ª®â®à®¬ ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à A ¤¨ £® «ì . «ï í⮣® á ç « ¯à¨¬¥¨¬ ¯à®æ¥áá ®à⮣® «¨§ 樨 à ¬ {¬¨¤â , ®¯¨á ë© ¢ x39 (á¬. ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 3 ¢ í⮬ ¯ à £à ä¥), ª ¡®àã ¢¥ªâ®à®¢ fa11; a12 ; : : : ; a1 g. Ǒ®«ãç¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ b11 , b12 , . . . , b1 . ¤ë© ¨§ ¨å ®â«¨ç¥ ®â ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à ¨ ï¥âáï «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¢¥ªâ®à®¢ a11 ; a12 ; : : : ; a1 . ç¨âë¢ ï ¯¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ â¥®à¥¬ë ¨§ x34, ¯®«ãç ¥¬, çâ® b11; b12; : : : ; b1 | ®à⮣® «ìë© ¡®à ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à A, ®â®áïé¨åáï ª t1. Ǒਬ¥¨¬ ⥯¥àì ¯à®æ¥áá ®à⮣® «¨§ 樨 ª ª ¤®¬ã ¨§ ¡®à®¢ fa21; a22 ; : : : ; a2 g, .. . , fa 1; a 2; : : : ; a g. ¤ë© à § ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯®«ãç âì ®à⮣® «ìë© ¡®à ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à A, ®â®áïé¨åáï ª ⮬㠥 ᮡá⢥®¬ã § 票î, çâ® ¨ ¤® ®à⮣® «¨§ 樨. ¥ªâ®àë ¨§ à §ëå ¡®à®¢ ¡ã¤ãâ ®à⮣® «ìë ¢ ᨫã ⥮६ë 3. Ǒ®í⮬ã, ®¡ê¥¤¨¨¢ ¢á¥ ¯®«ãç¥ë¥ ¡®àë, ¬ë ¯®«ã稬 ®à⮣® «ìë© ¡®à ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢. ᨫã ⥮६ë 1 ¨§ x39 íâ®â ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬. ¨á«® ¢¥ªâ®à®¢ ¢ í⮬ ¡®à¥ ¡ã¤¥â à ¢® ç¨á«ã ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ¡ §¨á¥, ¯®áâ஥®¬ ¯¥à¢®¬ è £¥, â.¥. à §¬¥à®á⨠¯à®áâà á⢠. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ë ¯®áâந«¨ ®à⮣® «ìë© ¡ §¨á, á®áâ®ï騩 ¨§ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à A. ᨫ㠧 ¬¥ç ¨ï, ᤥ« ®£® á. 295, ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ¤¨ £® «ì . à¥â¨© è £ | á ¬ë© ¯à®á⮩. §¤¥«¨¢ ª ¤ë© ¨§ ¢¥ªâ®à®¢ ®à⮣® «ì®£® ¡ §¨á , ¯®áâ஥®£® ¢â®à®¬ è £¥, ¥£® ¤«¨ã, ¬ë ¯®«ã稬 ¨áª®¬ë© ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á. Ǒத¥¬®áâà¨à㥬 ᪠§ ®¥ ¯à¨¬¥à¥. Ǒãáâì ®¯¥à â®à A ¢ ¥ª ª®©-¨¡ã¤ì
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335
ª®â®à®¬ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥ ¨¬¥¥â ¬ âà¨æã 0 1 1 1 11 B1 1 1 1C C A=B 1 1 1 1A: 1 1 1 1 ᨫã ⥮६ë 1 ®¯¥à â®à A ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¬. ©¤¥¬ ¥£® ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï. Ǒ®á«¥ ¢ëç¨á«¥¨© ¨¬¥¥¬ jA tE j = (t 2)3(t+2). â ª, è ®¯¥à â®à ¨¬¥¥â ¢á¥£® ¤¢ à §«¨çëå ᮡá⢥ëå § 票ï: t1 = 2 ¨ t2 = 2. ©¤¥¬ ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë, ®â®áï騥áï ª t1 . ¬¥¥¬ 0 1 1 1 11 0 1 1 1 11 B 1 1 1 1C B 0 0 0 0C C B C A 2E = B 1 1 1 1A 0 0 0 0A: 1 1 1 1 0000 ᮮ⢥âá⢨¨ á «£®à¨â¬®¬, ¨§«®¥ë¬ á. 292, ¯®«ãç ¥¬, ç⮠ᮡá⢥묨 ¢¥ªâ®à ¬¨, ®â®áï騬¨áï ª t1, ¡ã¤ãâ ¢¥ªâ®àë ~a1 = (1; 1; 0; 0); ~a2 = (1; 0; 1; 0); ~a3 = (1; 0; 0; 1) (¨ ¨å ¥âਢ¨ «ìë¥ «¨¥©ë¥ ª®¬¡¨ 樨). ©¤¥¬ ⥯¥àì ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë, ®â®áï騥áï ª t2: 0 3 1 1 11 03 1 1 11 B1 3 1 1C B0 8 4 4C C B C A + 2E = B 1 1 3 1A 0 4 8 4A 1 1 1 3 0 4 4 8 0 1 0 31 1 1 3 1 1 11 B0 2 1 1C B0 2 1 1C C B C B 0 0 1 1A 0 0 1 1A: 00 1 1 00 0 0 § ¯®á«¥¤¥© ¬ âà¨æë ¯®«ãç ¥¬, ç⮠ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë, ®â®áï騥áï ª t2 , ¯à®¯®à樮 «ìë ¢¥ªâ®àã ~a4 = ( 1; 1; 1; 1). Ǒਬ¥¨¬ ª ¢¥ªâ®à ¬ ~a1, ~a2 ¨ ~a3 ¯à®æ¥áá ®à⮣® «¨§ 樨 à ¬ {¬¨¤â . ¬¥¥¬ ~b1 = ~a1 = (1; 1; 0; 0); ~ ~ ~b2 = b1~a2 ~b1 + ~a2 = b1 + ~a2 = 1 ; 1 ; 1; 0 ; ~b1~b1 2 2 2 ~ ~ ~ ~ ~b3 = b1~a3 ~b1 b2~a3 ~b2 + ~a3 = b1 b2 + ~a3 = 1 ; 1 ; 1 ; 1 : ~b1~b1 ~b2~b2 2 3 3 3 3
336
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Ǒ®áª®«ìªã ª ᮡá⢥®¬ã § 票î t2 ®â®á¨âáï «¨èì ®¤¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à, ¯à®æ¥áá ®à⮣® «¨§ 樨 ¢ í⮬ á«ãç ¥ âਢ¨ «¥: ~b4 = ~a4 = ( 1; 1; 1; 1). §¤¥«¨¢ ª ¤ë© ¨§ ¯®«ãç¥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¥£® ¤«¨ã, ¯®«ãç ¥¬ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á, ¢ ª®â®à®¬ ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à A ¤¨ £® «ì : ~b1 1 1 p p p ~ 1 = 2 = 2 ; 2 ; 0; 0 ; ~b 1 1 2 ~ 2 = p 2 = p ; p ; p ; 0 ; 6 6 6 3=2 p! ~b3 1 1 1 3 ~ 3 = p = p ; p ; p ; 2= 3 2 3 2 3 2 3 2 ; ~b 1; 1; 1; 1 : ~ 4 = 4 = 2 2 2 2 2 x42. 1.
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ᮢ묨 ⨯ ¬¨ § ¤ ç ¯® ⥬¥ ¤ ®© £« ¢ë ïîâáï: 1) 室¥¨¥ ®à⮣® «ì®£® ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠, ¯®à®¤¥®£® ¤ ®© á¨á⥬®© ¢¥ªâ®à®¢; 2) ¤®¯®«¥¨¥ ®à⮣® «ì®© á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢ ¤® ®à⮣® «ì®£® ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠; 3) § ¤ ç¨, á¢ï§ ë¥ á ¯®ï⨥¬ ®à⮣® «ì®£® ¤®¯®«¥¨ï ¯®¤¯à®áâà á⢠: 室¥¨¥ ¡ §¨á ®à⮣® «ì®£® ¤®¯®«¥¨ï, ®à⮣® «ì®© ¯à®¥ªæ¨¨ ¢¥ªâ®à ¯®¤¯à®áâà á⢮, ®à⮣® «ì®© á®áâ ¢«ïî饩 ¢¥ªâ®à ®â®á¨â¥«ì® ¯®¤¯à®áâà á⢠; 4) 室¥¨¥ ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠, á®áâ®ï饣® ¨§ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¤ ®£® ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯¥à â®à . x39 ¨ 41 ¯à¨¢¥¤¥ë ¯à¨¬¥àë à¥è¥¨ï § ¤ ç ¯¥à¢®£®, ¢â®à®£® ¨ ç¥â¢¥à⮣® ⨯ , ¢ x40 ¯®¤à®¡® ¨§«®¥ë «£®à¨â¬ë à¥è¥¨ï § ¤ ç âà¥â쥣® ⨯ ¨ ¯®ª § ®, çâ® ®¨ ᢮¤ïâáï ª à¥è¥¨î ¥ª®â®àëå § ¤ ç, ª ¤ ï ¨§ ª®â®àëå 㥠¡ë« à §®¡à à ¥¥. ç¨âë¢ ï íâ®, ¬ë ¥ ¡ã¤¥¬ ¯à¨¢®¤¨âì §¤¥áì ®¢ë¥ ¯à¨¬¥àë.
337
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42. ¤ ç¨
2.
¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï
1. ©â¨ ¤«¨ë áâ®à® ¨ ¢¥«¨ç¨ë 㣫®¢ âà¥ã£®«ì¨ª ¢ ¯ï⨬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ á ¢¥àè¨ ¬¨ A(2; 4; 2; 4; 2), B(6; 4; 4; 4; 6), C (5; 7; 5; 7; 2). 2*. áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî ®¯¥à æ¨î ¤ ¢¥ªâ®à ¬¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ R2 : ¥á«¨ ~x = (x1 ; x2 ), ~y = (y1 ; y2), â® ~x~y = x1 y1 x1y2 x2y1 +2x2y2. Ǒ஢¥à¨âì, çâ® íâ ®¯¥à æ¨ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ ªá¨®¬ ¬ ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¨ ©â¨ ¡ §¨á ¢ R 2 , ®à⮮ନ஢ ë© ®â®á¨â¥«ì® í⮣® ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï. 3*. Ǒãáâì b1 ; b2 ; : : : ; b | ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E , ¢¥ªâ®à x 2 E ¨¬¥¥â ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ª®®à¤¨ âë (x1 ; x2 ; : : : ; x ). ®ª § âì, çâ® x1 = xb1, x2 = xb2, . . ., x = xb . 4. ©â¨ ®à⮣® «ìë© ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠, ¯®à®¤¥®£® ¤ ®© á¨á⥬®© ¢¥ªâ®à®¢: ) ~a1 = (1; 2; 0; 2), ~a2 = (7; 2; 4; 1), ~a3 = (4; 1; 2; 1); ¡) ~a1 = (1; 2; 1; 3), ~a2 = (4; 1; 1; 1), ~a3 = (3; 1; 1; 0); ¢) ~a1 = (1; 2; 2; 1), ~a2 = (1; 1; 5; 3), ~a3 = (3; 2; 8; 7); £) ~a1 =(1; 1; 0; 2), ~a2 =(4; 0; 1; 1), ~a3 =(5; 1; 0; 3), ~a4 =(1; 2; 3; 1). 5. ©â¨ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠, ¯®à®¤¥®£® ¤ ®© á¨á⥬®© ¢¥ªâ®à®¢: ) ~a1 = (1; 1; 0; 1), ~a2 = (3; 1; 1; 1), ~a3 = (3; 1; 1; 4); ¡) ~a1 =(1; 2; 0; 1), ~a2 =(0; 5; 2; 2), ~a3 =( 1; 3; 2; 1), ~a4 =( 2; 4; 5; 0); ¢) ~a1 = (1; 1; 0; 1; 2), ~a2 = (2; 0; 1; 1; 3), ~a3 = (4; 2; 3; 0; 4). 6. ©â¨ ®à⮣® «ìë© ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©: ) 8 x1 x2 + x3 = 0; ¡) x1 + x2 82x3 = 0; < x1 + x2 x3 + x4 = 0; < 2x1 + x2 x3 + x4 = 0; ¢) : 2x1 x2 + x3 x4 = 0; £) : x1 + x2 x3 + 2x4 = 0; x2 x3 + x4 = 0; 3x1 x2 + x3 = 0: 7. Ǒ஢¥à¨âì ®à⮣® «ì®áâì á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ¤®¯®«¨âì ¥¥ ¤® ®à⮣® «ì®£® ¡ §¨á ¢á¥£® ¯à®áâà á⢠: ) ~a1 = ( 1; 1; 0; 1), ~a2 = (3; 1; 2; 2); ¡) ~a1 = (1; 0; 1; 2), ~a2 = ( 2; 1; 2; 2); ¢) ~a1 = (1; 0; 2; 1; 3), ~a2 = (1; 1; 2; 0; 1). 8. Ǒ஢¥à¨âì ®à⮮ନ஢ ®áâì á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ¤®¯®«¨âì ¥¥ ¤® ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á ¢á¥£® ¯à®áâà á⢠: 1 1 1 1 1 1 1 1 ~a1 = ; ; ; ; ~a2 = 2 2 2 2 2; 2; 2; 2 : 9. Ǒà®áâà á⢮ M ¯®à®¤ ¥âáï ¢¥ªâ®à ¬¨ ~ a1 ;~a2 ;~a3 . ©â¨ ¡ §¨á ®à⮣® «ì®£® ¤®¯®«¥¨ï ¯®¤¯à®áâà á⢠M : n
n
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338
« ¢ 8.
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà áâ¢
) ~a1 = (1; 2; 1; 0), ~a2 = (2; 4; 1; 1), ~a3 = (4; 8; 1; 1); ¡) ~a1 = (1; 1; 2; 0), ~a2 = (1; 1; 1; 3), ~a3 = (3; 1; 5; 3); ¢) ~a1 = (1; 1; 1; 1), ~a2 = (1; 1; 1; 1), ~a3 = (1; 1; 1; 1; £) ~a1 = (2; 0; 1; 3), ~a2 = ( 1; 2; 1; 4), ~a3 = (5; 1; 2; 0). 10. Ǒà®áâà á⢮ M ï¥âáï ¯à®áâà á⢮¬ à¥è¥¨© á«¥¤ãî饩 ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. ©â¨ ¡ §¨á ®à⮣® «ì®£® ¤®¯®«¥¨ï ¯®¤¯à®áâà á⢠M : 8 8 x2 + x3 x4 = 0; < x1 < 2x1 + x2 x3 + x4 = 0; ) : 2x1 + x2 x3 x4 = 0; ¡) : 2x1 x2 x3 + x4 = 0; x1 + 2x2 2x3 = 0; x1 x2 + x3 x4 = 0: 11. Ǒà®áâà á⢮ M ¯®à®¤ ¥âáï ¢¥ªâ®à ¬¨ ~ a1 ;~a2 ;~a3 . ©â¨ ®à⮣® «ìãî ¯à®¥ªæ¨î ~ ¢¥ªâ®à ~b M ¨ ®à⮣® «ìãî á®áâ ¢«ïîéãî d~ ¢¥ªâ®à ~b ®â®á¨â¥«ì® M : ) ~a1 = (2; 2; 1; 0), ~a2 = (3; 1; 1; 1), ~a3 = (7; 5; 3; 1), ~b = ( 5; 1; 1; 3); ¡) ~a1 = ( 2; 1; 2; 0), ~a2 = ( 1; 3; 2; 1), ~a3 = ( 3; 1; 2; 1), ~b = (1; 0, 1; 1); ¢) ~a1 = (1; 1; 1; 1), ~a2 = (1; 2; 2; 1), ~a3 = (1; 0; 0; 3), ~b = (4; 1; 3; 4); £) ~a1 = (2; 1; 1; 1), ~a2 = (1; 1; 3; 0), ~a3 = (1; 2; 8; 1), ~b = (5; 2; 2; 2). 12. ©â¨ à ááâ®ï¨¥ ®â ¢¥ªâ®à ~ x = (7; 4; 1; 2) ¤® ¯®¤¯à®áâà á⢠, ïî饣®áï ¯à®áâà á⢮¬ à¥è¥¨© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© 8 < 2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 0; 3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0; : x1 + 2x2 + 2x3 9x4 = 0: 13. ©â¨ à ááâ®ï¨¥ ®â ¢¥ªâ®à ~ x = (4; 2; 5; 1) ¤® «¨¥©®£® ¬®£®®¡à §¨ï, § ¤ ®£® á¨á⥬®© «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© 2x1 2x2 + x3 + 2x4 = 9; 2x1 4x2 + 2x3 + 3x4 = 12: 14. ©â¨ 㣮« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à®¬ ~ x = (1; 0; 3; 0) ¨ ¯®¤¯à®áâà á⢮¬, ¯®à®¤¥ë¬ ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a1 = (5; 3; 4; 3), ~a2 = (1; 1; 4; 5) ¨ ~a3 = (2; 1; 1; 2). 15. ©â¨ 㣮« ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à®¬ ~ x = (2; 2; 1; 1) ¨ «¨¥©ë¬ ¬®£®®¡à §¨¥¬ ~x0 + M , £¤¥ ~x0 = (1; 5; 3; 7), ¯®¤¯à®áâà á⢮ M ¯®à®¤¥® ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a1 = (3; 4; 4; 1), ~a2 = (0; 1; 1; 2) ¨ ~a3 = (2; 3; 3; 0). 16. ©â¨ ¡ §¨á ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯®¤¯à®áâà á⢠M1 ¨ M2 , £¤¥ M1 ¯®à®¤ ¥âáï ¢¥ªâ®à ¬¨ ~a1 = (1; 2; 0; 1; 3), ~a2 = (2; 0; 1; 1; 1), ~a3 = (1; 2; 1; 0; 4), M2 | ¢¥ªâ®à ¬¨ ~b1 = (1; 1; 1; 2; 3), ~b2 = (3; 2; 2; 1; 5), ~b3 = (0; 4; 1; 1; 7). 17*. ®ª § âì, çâ® ®¯¥à â®à ®à⮣® «ì®£® ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¬.
339
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18. ©â¨ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á, á®áâ®ï騩 ¨§ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à : 8 8x3; < y1 = 11x1 + 2x2 ) yy12 == 2xx11 ++ 2xx22;; ¡) : y2 = 2x1 + 2x2 + 10x3; y3 = 8x1 + 10x2 + 5x3 ; 8 x2 ; < y1 = x1 ¢) : y2 = x1 + 2x2 x3; y3 = x2 + x3 : 19*. Ǒãáâì a1 ; a2 ; : : : ; a | ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E . Ǒ®«®¨¬ a = a a ¤«ï ¢á¥å i; j = 1; 2; : : : ; k. ¯à¥¤¥«¨â¥«ì ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë A = (a ) ¯®à浪 k §ë¢ ¥âáï ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ âãଠ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2 ; : : : ; a . ®ª § âì, çâ® ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ a1 ; a2 ; : : : ; a «¨¥©® § ¢¨á¨¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì âãଠí⮣® ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ à ¢¥ 0. k
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39.
~b1 = (1; 2; 0; 2), ~b2 = (6; 0; 4; 3), ~b3 = (34; 61; 18; 44); ¡) ~b1 = ~b2 = (10; 1; 1; 3), ~b3 = ( 19; 87; 61; 72); ¢) ~b1 = (1; 2; 2; 1), ~b2 = (2; 3; 3; 2), ~b3 = (2; 1; 1; 2); £) ~b1 = (1; 1; 0; 2), ~b2 = (3; 1; 1; 1), ~b3 = (3; 1; 11; 1). 5. ) ~ b1 = p1 ; p1 ; 0; p1 , ~b2 = 2 ; 2 ; 1 ; 0 , ~b3 = p1 ; p1 ; 0; p2 ; 4.
; ; ;
)
(1 2 1 3),
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.
6
; ; 1), (0,1,1); ¡) (5; 1; 2), (0,2,1); ¢) (0; 2; 1; 1), (0,0,1,1); ; ; 7. ) ~ a3 = ( 1; 1; 2; 0), ~a4 = (0; 2; 1; 2); ¡) ~a3 = ( 1; 0; 1; 0), ~a4 = ( 1; 6, 1; 1); ¢) ~ a3 = (1; 1; 0; 1; 0),~a4 = (0 ; 2; 1; 2; 0), ~a5 = ( 12; 5; 4; 7; 9). 1 1 1 1 8. ~ a3 = 0; p ; p ; 0 , ~a4 = p ; 0; 0; p . 2 2 2 2 9. ) (41; 20; 1; 3), (0,1,2,6); ¡) (9; 1; 4; 2), (0; 2; 1; 1); ¢) (1; 0; 0; 1); £) (13; 17; 41; 5). 10. ) ~ a1 = ( 1; 2; 2; 0), ~a2 = ( 3; 0; 0; 2); ¡) ~a1 = (1; 0; 0; 0), ~a2 = (0; 1; 0; 0), ~ a3 = (0; 0; 1; 1). 6.
;
£) (2
) (2 1
3 3 2), (0,1,1, 0).
340
« ¢ 8.
¢ª«¨¤®¢ë ¯à®áâà áâ¢
~ = ~0; ¡) ~ = ~0, d~ = (1; 0; 1; 1); 5; 1; 1; 3), d ~ ~ (1; 1; p1; 5), d = (3; 0; 2; 1); £) ~ = (3; 1; 1; 2), d = (2; 1; 1; 4). 15. 13. 5. 14. 12. . 15. . 16. (7,2,3,4,0), ( 1; 2; 1; 0; 4). 11.
~
)
18.
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) 2 3
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6
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1. ©â¨ ®à⮣® «ìë© ¡ §¨á ¯®¤¯à®áâà á⢠, ¯®à®¤¥®£® ¤ ®© á¨á⥬®© ¢¥ªâ®à®¢: ) ~a1 = (1; 1; 1; 0), ~a2 = (4; 2; 0; 3), ~a3 = (5; 3; 2; 1); ¡) ~a1 = (1; 2; 3; 0), ~a2 = (4; 7; 8; 1), ~a3 = (4; 5; 0; 5); ¢) ~a1 = (1; 1; 2; 0), ~a2 = (4; 2; 3; 1), ~a3 = ( 4; 0; 5; 1); £) ~a1 = (2; 1; 0; 1), ~a2 = (4; 0; 1; 4), ~a3 = ( 3; 6; 3; 0). 2. Ǒà®áâà á⢮ L ¯®à®¤ ¥âáï ¢¥ªâ®à ¬¨ ~ a1 ;~a2 ;~a3 . ©â¨ ¡ §¨á ¥£® ®à⮣® «ì®£® ¤®¯®«¥¨ï: ) ~a1 = (1; 2; 1; 0), ~a2 = (2; 4; 1; 1), ~a3 = (4; 8; 1; 1); ¡) ~a1 = (1; 1; 2; 0), ~a2 = (1; 1; 1; 3), ~a3 = (3; 1; 5; 3); ¢) ~a1 = (1; 1; 1; 1), ~a2 = (2; 0; 1; 3), ~a3 = (0; 2; 3; 1); £) ~a1 = (1; 0; 2; 1), ~a2 = (1; 1; 3; 4), ~a3 = ( 1; 3; 5; 10). 3. Ǒà®áâà á⢮ L ï¥âáï ¯à®áâà á⢮¬ à¥è¥¨© á«¥¤ãî饩 ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. ©â¨ ¡ §¨á ¥£® ®à⮣® «ì®£® ¤®¯®«¥¨ï: 8 8 x4 = 0; x3 + 3x4 = 0; < x1 2x2 + x3 < 2x1 + x2 ) : 2x1 4x2 + 2x3 + x4 = 0; ¡) : x1 x2 + 2x3 x4 = 0; x1 + 2x2 x3 5x4 = 0; 8 4x1 x2 + 3x3 + x4 = 0; 8 x4 = 0; = 0; < 3x1 + x2 < x1 2x2 + x3 ¢) : x1 x2 + x3 + x4 = 0; £) : 4x1 x2 + x3 x4 = 0; 3x1 + 5x2 3x3 5x4 = 0; 2x1 + 3x2 x3 x4 = 0: 4. Ǒà®áâà á⢮ L ¯®à®¤ ¥âáï ¢¥ªâ®à ¬¨ ~ a1 ;~a2 . ©â¨ ®à⮣® «ìãî ¯à®¥ªæ¨î ¢¥ªâ®à ~b L ¨ ®à⮣® «ìãî á®áâ ¢«ïîéãî ~b ®â®á¨â¥«ì® L: ) ~a1 = (2; 1; 3; 4), ~a2 = (5; 3; 5; 8), ~b = ( 2; 0; 2; 8); ¡) ~a1 = (1; 2; 0; 1), ~a2 = (4; 3; 1; 2), ~b = (3; 1; 1; 2); ¢) ~a1 = (1; 1; 1; 3), ~a2 = ( 1; 1; 4; 6), ~b = (2; 1; 0; 1); £) ~a1 = (0; 2; 1; 0), ~a2 = (1; 1; 2; 1), ~b = (6; 2; 1; 1).
x
42. ¤ ç¨
341
5. ©â¨ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á, á®áâ®ï騩 ¨§ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à , § ¤ ¢ ¥¬®£® ¢ ¥ª®â®à®¬ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨á¥ á«¥¤ãî饩 ¬ âà¨æ¥©: 0 2 2 01 0 1 2 01 03 2 01 ) 2 1 2 A; ¡) 2 2 2 A; ¢) 2 4 2 A; 0 2 0 0 2 3 0 2 5 0 5 2 21 £) 2 6 0 A. 2 0 4
« ¢ 9
¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®á⨠£« ¢¥ 2 ¬ë ¨§ã稫¨ ¯àï¬ë¥ ¨ ¯«®áª®áâ¨, â.¥. ªà¨¢ë¥ ¨ ¯®¢¥àå®áâ¨, § ¤ ¢ ¥¬ë¥ ãà ¢¥¨ï¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . ¥©ç á ¬ë ¯à¨áâ㯠¥¬ ª à áᬮâà¥¨î ªà¨¢ëå ¨ ¯®¢¥àå®á⥩, § ¤ ¢ ¥¬ëå ãà ¢¥¨ï¬¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 . å ¯à¨ïâ® §ë¢ âì ª¢ ¤à¨ª ¬¨. ¤ ®© £« ¢¥ à áᬠâਢ îâáï ª¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®á⨠(â.¥. ªà¨¢ë¥ ¢â®à®£® ¯®à浪 ). ¢ ¤à¨ª ¬ ¢ ¯à®áâà á⢥ (¯®¢¥àå®áâï¬ ¢â®à®£® ¯®à浪 ) ¡ã¤¥â ¯®á¢ïé¥ á«¥¤ãîé ï £« ¢ . ë 祬 íâã £« ¢ã á à áᬮâ२ï âà¥å ª®ªà¥âëå ª¢ ¤à¨ª ¯«®áª®áâ¨, § ⥬ ¤ ¤¨¬ ®¡é¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¨ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¨å ¯®«ãî ª« áá¨ä¨ª æ¨î. ¯à®â泌¨ ¢á¥© í⮩ £« ¢ë á¨á⥬ ª®®à¤¨ ⠯।¯®« £ ¥âáï
.
¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®©
x43.
««¨¯á
¯à¥¤¥«¥¨¥. ««¨¯á®¬ §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯«®áª®áâ¨, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î ¢¨¤
x2 a2
2
+ yb2 = 1;
(1)
£¤¥ a; b > 0 ¨ a > b. â® ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ í««¨¯á . á®, çâ® ¢ á«ãç ¥ a = b í««¨¯á ï¥âáï ®ªàã®áâìî á æ¥â஬ ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â à ¤¨ãá a.
343
x
43. ««¨¯á
⬥⨬ ¢ ç «¥ àï¤ ¯à®áâëå ᢮©áâ¢ í««¨¯á . ¬¥â¨¬ ¯à¥¤¥ ¢á¥£®, çâ® ¥á«¨ â®çª M (x; y) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î â® jxj 6 a (1),2 y ¨ jyj 6 b. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§ (1) ¢ë⥪ ¥â, çâ® x2 = a2 1 b2 , ®âªã¤ r
2
jxj = a 1 yb2 6 a. ¥à ¢¥á⢮ jyj 6 b ¯à®¢¥àï¥âáï «®£¨ç®. â®
®§ ç ¥â, çâ® í««¨¯á à ᯮ«®¥ ¢ãâਠ¯àאַ㣮«ì¨ª a 6 x 6 a, b 6 y 6 b ª®®à¤¨ ⮩ ¯«®áª®áâ¨. «¥¥, ¥á«¨ â®çª M2 (x02; y0) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î (1), â.¥. ¢ë¯®«ï¥âáï à ¢¥á⢮ xa20 + yb20 = 1, â® ¨ â®çª¨ M 0( x0; y0) ¨ M 00(x0 ; y0) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î (1). â® ®§ ç ¥â, çâ® í««¨¯á ᨬ¬¥âà¨ç¥ ª ª ®â®á¨â¥«ì® ®á¨ ¡áæ¨áá, â ª ¨ ®â®á¨â¥«ì® ®á¨ ®à¤¨ â. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤®áâ â®ç® ¨§ãç¨âì ä®à¬ã í««¨¯á ¢ ¯¥à¢®© ç¥â¢¥àâ¨, § ⥬ ᨬ¬¥âà¨ç® ®âà §¨âì ¯®«ãç¥ãî ªà¨¢ãî á ç « ¢ ç¥â¢¥àâãî ç¥â¢¥àâì, ¯®â®¬ | ¢ «¥¢ãî ¯®«ã¯«®áª®áâì. y b
rr a
F2 ( ; 0)
x=
a e
r2 O b
6
r r r
r
M
r1
rr
F1 ( ; 0) a
-x x=
a e
¨á. 1 â ª,p¯ãáâì x > 0 ¨ y > 0. ®£¤ ¨§ ãà ¢¥¨ï (1) ¢ë⥪ ¥â, çâ® b y = a2 x2 . á®, çâ® ¥á«¨ x = 0, â® y = b. ⥬ á à®á⮬ x a § 票¥ y 㬥ìè ¥âáï ¨ ¯à¨ x = a áâ ®¢¨âáï à ¢ë¬ 0. â®à ï . âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® y00 < 0 ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ ï y00 à ¢ (a2 ab x2 )3 2 x 2 [0; a). â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢ ¯¥à¢®© ç¥â¢¥àâ¨ í««¨¯á ï¥âáï ¢®£ãâë¬ (â.¥. ¢ë¯ãª«ë¬ ¢¢¥àå). âà §¨¢ ¯®«ãç¥ãî ªà¨¢ãî ᨬ¬¥âà¨ç® á ç « ¢ ç¥â¢¥àâãî ç¥â¢¥àâì, § ⥬ ¢ «¥¢ãî ¯®«ã¯«®áª®áâì, ¯®«ã稬 ªà¨¢ãî, ¨§®¡à ¥ãî à¨á. 1. =
344
« ¢ 9. ¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
®çª¨ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (a; 0), ( a; 0), (b; 0) ¨ ( b; 0) §ë¢ îâáï ¢¥àí««¨¯á , ¢¥«¨ç¨ a | ¡®«ì让 ¯®«ã®áìî í««¨¯á , ¢¥«¨ç¨ b | ¥£®p¬ «®© ¯®«ã®áìî. ¢¥¤¥¬ ®¢ãî ¢¥«¨ç¨ã á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: = a2 b2. á®, çâ® 0 6 < a. ®çª¨ F1 ( ; 0) ¨ F2 ( ; 0) §ë¢ îâáï 䮪ãá ¬¨ í««¨¯á . ®ªãá F1 ¬ë ¨®£¤ ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯à ¢ë¬, 䮪ãá F2 | «¥¢ë¬. ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ a = b (â.¥. ¥á«¨ í««¨¯á ï¥âáï ®ªàã®áâìî), â® ®¡¥ ¯®«ã®á¨ à ¢ë à ¤¨ãáã ®ªàã®áâ¨, = 0 ¨ F1 = F2 | æ¥âà ®ªàã®á⨠(ᮢ¯ ¤ î騩 á ç «®¬ ª®®à¤¨ â).
᫨ â®çª M ¯à¨ ¤«¥¨â í««¨¯áã, â® à ááâ®ï¨ï jF1 M j ¨ jF2M j §ë¢ îâáï 䮪 «ì묨 à ¤¨ãá ¬¨ ¨ ®¡®§ ç îâáï ᮮ⢥âá⢥® ç¥à¥§ r1 ¨ r2 (¥á«¨ a = b, â® r1 = r2 = a | à ¤¨ãá ®ªàã®áâ¨). ¥«¨ç¨ e = a §ë¢ ¥âáï íªáæ¥âà¨á¨â¥â®¬ í««¨¯á . ª ª ª 0 6 < a, â® 0 6 e < 1. ªáæ¥âà¨á¨â¥â ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ¬¥àã ¢ëâïãâ®áâ¨ í««¨¯á , ¥£® \㤠«¥®áâ¨" ®â ®ªàã®áâ¨. á®, çâ® e = 0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ í««¨¯á ï¥âáï ®ªàã®áâìî. ¥¬ íªáæ¥âà¨á¨â¥â ¡«¨¥ ª ã«î, ⥬ í««¨¯á ¡®«ìè¥ ¯®å® ®ªàã®áâì, 祬 íªáæ¥âà¨á¨â¥â ¡«¨¥ ª ¥¤¨¨æ¥, ⥬ ¡®«¥¥ í««¨¯á ¢ëâïãâ ¢¤®«ì ®á¨ ¡áæ¨áá. ¥¬¬ .
᫨ â®çª M (x; y ) ¯à¨ ¤«¥¨â í««¨¯áã, â® r1 = a ex ¨ r2 = a + ex. ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ â®çª M (x; y ) ¯à¨ ¤«¥¨â í««¨¯áã, â® b2 y2 = b2 2 x2 . «¥¤®¢ ⥫ì®, a è¨ ¬¨
r1 = jF1 M j =
p
(x
Ǒ®áª®«ìªã 2 + b2 = a2, 1 r1 =
p
)2 + y2 = b2 a2
2
=a
r
x2
a2
b2
p
2x + 2 + b2
b2 2 x: a2
2
= a 2 = e2 ¨ ea = , ¨¬¥¥¬
2eax + a2 = (ex a)2 = jex aj: ª ª ª 0 6 e < 1 ¨ x 6 a, â® ex a 6 0. â® ®§ ç ¥â, çâ® r1 = a ex. «®£¨ç® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® r2 = a + ex. ¥¬¬ ¤®ª § . «¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥ ç áâ® §ë¢ îâ í««¨¯á . ® ¤ ¥â ¥®¡å®¤¨¬®¥ ¨ ¤®áâ â®ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ªà¨¢ ï ¡ë« í««¨¯á®¬. â® ãá«®¢¨¥ ¥à¥¤ª® ¯à¨¨¬ îâ § ®¯à¥¤¥«¥¨¥ í««¨¯á . e2 x2
䮪 «ìë¬ á¢®©á⢮¬
¥®à¥¬ 1. ®çª M ¯à¨ ¤«¥¨â í««¨¯áã ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ á㬬 à ááâ®ï¨© ®â M ¤® 䮪ãᮢ à ¢ a.
2
345
x
43. ««¨¯á
®ª § ⥫ìá⢮. ¥®¡å®¤¨¬®áâì.
᫨ â®çª M (x; y ) ¯à¨ ¤«¥¨â í««¨¯áã, â®, ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë, jF1 M j + jF2 M j = r1 + r2 = (a ex) + (a + ex) = 2a: ®áâ â®ç®áâì. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® M (x; y ) | â®çª ¯«®áª®áâ¨, ¤«ï ª®â®à®© jF1 M j + jF2M j = 2a. ®£¤ p p (x )2 + y2 + (x + )2 + y2 = 2a: Ǒ¥à¥¯¨è¥¬ ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¢ ¢¨¤¥ p p (x )2 + y2 = 2a (x + )2 + y2 ¨ ¢®§¢¥¤¥¬ ®¡¥ ç á⨠¯®«ã祮£® à ¢¥á⢠¢ ª¢ ¤à â. Ǒ®«ã稬 p x2 2 x + 2 + y2 = 4a2 4a (x + )2 + y2 + x2 + 2 x + 2 + y2; çâ® ¯®á«¥ ®ç¥¢¨¤ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¤ ¥â p a (x + )2 + y2 = a2 + x:
é¥ à § ¢®§¢¥¤¥¬ ¯®«ã祮¥ à ¢¥á⢮ ¢ ª¢ ¤à â. Ǒ®«ã稬 a2 (x2 + 2 x + 2 + y2 ) = a4 + 2a2 x + 2 x2 ¨«¨ (a2 2)x2 + a2y2 = a2 (a2 2 ): Ǒ®áª®«ìªã a2 2 = b2, ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ b2 x2 + a2 y2 = a2 b2. §¤¥«¨¢ íâ® à ¢¥á⢮ a2 b2 , ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ (1). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ á㬬 à ááâ®ï¨© ®â â®çª¨ M ¤® 䮪ãᮢ à ¢ 2a, â® M ¯à¨ ¤«¥¨â í««¨¯áã. ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . Ǒàï¬ë¥ á ãà ¢¥¨ï¬¨ x = ae ¨ x = ae §ë¢ îâáï ¤¨à¥ªâà¨á ¬¨ í««¨¯á (¥á«¨ í««¨¯á ï¥âáï ®ªàã®áâìî, â.¥. ¥á«¨ e = 0, â® ® ¥ ¨¬¥¥â ¤¨à¥ªâà¨á). Ǒ®áª®«ìªã ¡áæ¨áá «î¡®© â®çª¨ í««¨¯á ¯® ¬®¤ã«î ¥ ¯à¥¢®á室¨â a ¨ ae < 1, â® ¤¨à¥ªâà¨áë ¥ ¯¥à¥á¥ª îâ í««¨¯á (à¨á. 1). ¨à¥ªâà¨áã x = e ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯à ¢®© ¨«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîa 饩 䮪ãáã F1 , ¤¨à¥ªâà¨áã x = | «¥¢®© ¨«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 e 䮪ãáã F2 . «¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥ §ë¢ îâ í««¨¯á . ¥®à¥¬ 2. ®çª M ¯à¨ ¤«¥¨â í««¨¯áã (¥ ïî饬ãáï ®ªàã®áâìî) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®â®è¥¨¥ à ááâ®ï¨ï ¤¨à¥ªâ®à¨ «ìë¬
᢮©á⢮¬
346
« ¢ 9. ¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
®â â®çª¨ M ¤® 䮪ãá ª à ááâ®ï¨î ®â M ¤® ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 í⮬ã 䮪ãáã ¤¨à¥ªâà¨áë à ¢® íªáæ¥âà¨á¨â¥âã í««¨¯á . ®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¥¬ áä®à¬ã«¨à®¢ ®¥ ã⢥थ¨¥ ¤«ï ¯à ¢®£® 䮪ãá ¨ ¯à ¢®© ¤¨à¥ªâà¨áë. «ï «¥¢®£® 䮪ãá ¨ «¥¢®© ¤¨à¥ªâà¨áë ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¡á®«îâ® «®£¨ç®. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ ` ¤¨à¥ªâà¨áã á ãà ¢¥¨¥¬ x = ae .
᫨ â®çª M (x; y) ¯à¨ ¤«¥¨â í««¨¯áã, â®
jF1 M j d(M; `)
=
a e
r1
x
= aa
ex e = e: ex
Ǒãáâì ⥯¥àì M (x; y) | ¯à®¨§¢®«ì ï â®çª ¯«®áª®áâ¨, ¤«ï ª®â®1 M j = e ¨«¨ jF M j = e d(M; `). á®, ç⮠ன ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ djF(M; 1 `) p jF1 M j = (x )2 + y2 . ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (16) ¨§ x7, ¯®«ãç ¥¬, çâ® a d(M; `) = x . «¥¤®¢ ⥫ì®, e
(x )2 + y2 = e x ae :
᫨ ¢®§¢¥á⨠íâ® à ¢¥á⢮ ¢ ª¢ ¤à â, â® ¯®á«¥ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¯®¤®¡ëå2 ¬ë ¯®«ã稬 (1 e2)x2 + y2 = a2 2. ç¨âë¢ ï, çâ® 1 e2 = ab2 2 2 ¨ a2 2 = b2, ¨¬¥¥¬ bax2 + y2 = b2. §¤¥«¨¢ íâ® à ¢¥á⢮ b2, ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢¥¨î (1). ¥®à¥¬ 2 ¤®ª § . p
x44.
¨¯¥à¡®«
¯à¥¤¥«¥¨¥. ¨¯¥à¡®«®© §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯«®áª®áâ¨, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î x2 y2 = 1; (1) a2 b2 £¤¥ a; b > 0. â® ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ £¨¯¥à¡®«ë. §ã稬 ä®à¬ã £¨¯¥à¡®«ë. ª ¨ ¢ á«ãç ¥ í««¨¯á , «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® £¨¯¥à¡®« ᨬ¬¥âà¨ç ®â®á¨â¥«ì® ®¡¥¨å ®á¥© ª®®à¤¨ â. ᨫã í⮣® ¤®áâ â®ç® ¨§ãç¨âì ä®à¬ã £¨¯¥à¡®«ë «¨èì ¢ ¯¥à¢®©
347
x
44. ¨¯¥à¡®«
ç¥â¢¥àâ¨. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® â®çª M (x; y) ¯à¨ ¤«¥¨â £¨¯¥à¡®«¥, b p 2 2 ¯à¨ç¥¬ x > 0; y > 0. ®£¤ , ¢ ᨫã (1), y = a x a . áᬮâਬ ¯àï¬ãî á ãà ¢¥¨¥¬ y = ab x, â®ç¥¥, «ãç í⮩ ¯àאַ©, à ᯮ«®¥p ë© ¢ ¯¥à¢®© ç¥â¢¥àâ¨. á®, çâ® ab x > ab x2 a2. â® ®§ ç ¥â, çâ® £¨¯¥à¡®« à ᯮ«®¥ ¨¥ ¯àאַ©. «¥¥,
b b b p 2 2 x x a = !lim +1 a x a a p 2 2 p x a x + x2 a2 b x p = !lim +1 a x + x2 a2 pab !lim +1 x + x2 a2 = 0: !lim +1
x
=
x
x2 a2
x
x
=
p
=
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨ x ! +1 £¨¯¥à¡®« ¥®£à ¨ç¥® ¯à¨¡«¨ ¥âáï ª ¯àאַ© y = ab x, ª®â®à ï, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ï¥âáï ᨬ¯â®â®© £¨¯¥à¡®«ë. ¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® ¢ ¯¥à¢®© ç¥â¢¥à⨠£¨¯¥à ¥â 2â®ç¥ª y 2 2 ¡®«ë, ¤«ï ª®â®àëå x < a. ( á ¬®¬ ¤¥«¥, x = a 1 + b2 , ¨ ¯®â®¬ã r
2
¥á«¨ x > 0, â® x = a 1 + yb2 > a.) ª ã¥p®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥, ¨§ ⮣®, çâ® x > 0 ¨ y > 0, ¢ë⥪ ¥â, çâ® y = ab x2 a2.
᫨ x = a, â® y = 0. «¥¥, á à®á⮬ x § 票¥ ab y ¢®§à áâ ¥â. â®à ï ¯à®¨§¢®¤ ï y00 à ¢ 2 2 3 2 . ç áâ®áâ¨, ( x a) y00 < 0 ¯à¨ x 2 [a; +1). â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢ ¯¥à¢®© ç¥â¢¥à⨠£¨¯¥à¡®« ¢®£ãâ (â.¥. ¢ë¯ãª« ¢¢¥àå). ãç¥â®¬ ᨬ¬¥âਨ ®â®á¨â¥«ì® ®á¥© ª®®à¤¨ â ¨ ⮣®, çâ® ¯àï¬ ï y = ab x ï¥âáï ᨬ¯â®â®©, ¯®«ãç ¥¬ ªà¨¢ãî, ¨§®¡à ¥ãî à¨á. 2. ë ¢¨¤¨¬, çâ® £¨¯¥à¡®« à ᯠ¤ ¥âáï ¤¢¥ ç áâ¨, ®¤ ¨§ ª®â®àëå «¥¨â ¢ ¯à ¢®© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, ¤à㣠ï | ¢ «¥¢®© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨. ⨠ç á⨠§ë¢ îâáï ᮮ⢥âá⢥® ¯à ¢®© ¢¥â¢ìî ¨ «¥¢®© ¢¥â¢ìî £¨¯¥à¡®«ë. ⬥⨬ ¥é¥, çâ®, ¢ ᨫã ᨬ¬¥âਨ ®â®á¨â¥«ì® ®á¥© ª®®à¤¨ â, ᨬ¯â®â®© £¨¯¥à¡®«ë ï¥âáï ¥ ⮫쪮 ¯àï¬ ï y = ab x, ® â ª¥ ¨ ¯àï¬ ï y = ab x. ®çª¨ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (a; 0) ¨ ( a; 0) §ë¢ îâáï ¢¥àè¨ ¬¨ £¨¯¥à¡®«ë, ¢¥«¨ç¨ a | ¤¥©á⢨⥫쮩 ¯®«ã®áìî £¨¯¥à¡®«ë, ¢¥«¨ç¨ pb | ¥¥ ¬¨¬®© ¯®«ã®áìî. ¢¥¤¥¬ ®¢ãî ¢¥«¨ç¨ã ¯à ¢¨«®¬:
= a2 + b2 . á®, çâ® > a (¢ ®â«¨ç¨¥ ®â í««¨¯á ). ®çª¨ F1 ( ; 0) ¨ =
348
« ¢ 9. ¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
F2 ( ; 0) §ë¢ îâáï 䮪ãá ¬¨ £¨¯¥à¡®«ë; 䮪ãá F1 §ë¢ ¥âáï ¯à ¢ë¬, 䮪ãá F2 | «¥¢ë¬. ª ¨ ¢ á«ãç ¥ í««¨¯á , ¥á«¨ â®çª M ¯à¨ ¤«¥¨â £¨¯¥à¡®«¥, â® à ááâ®ï¨ï jF1M j ¨ jF2 M j §ë¢ îâáï ä®-
. ® ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â í««¨¯á §¤¥áì ã® à §«¨ç âì á«ãç ¨, ª®£¤ â®çª M ¯à¨ ¤«¥¨â ¯à ¢®© ¢¥â¢¨ £¨¯¥à¡®«ë ¨ ª®£¤ M ¯à¨ ¤«¥¨â «¥¢®© ¢¥â¢¨. ®ª «ìë¥ à ¤¨ãáë â®ç¥ª, à ᯮ«®¥ëå ¯à ¢®© ¢¥â¢¨ £¨¯¥à¡®«ë, ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ç¥à¥§ r1¯à ¨ r2¯à, 䮪 «ìë¥ à ¤¨ãáë â®ç¥ª, à ᯮ«®¥ëå «¥¢®© ¢¥â¢¨ £¨¯¥à¡®«ë, | ç¥à¥§ r1«¥¢ ¨ r2«¥¢ (æ¨äàë 1 ¨ 2 ¢ ¨¤¥ªá å ᮮ⢥âáâ¢ãîâ 䮪ãá ¬ F1 ¨ F2 ). ¥«¨ç¨ e = a , ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ í««¨¯á , §ë¢ ¥âáï íªáæ¥âà¨á¨â¥â®¬ £¨¯¥à¡®«ë. ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® ¤«ï £¨¯¥à¡®«ë ¢á¥£¤ ¢ë¯®«¥® ¥à ¢¥á⢮ e > 1 (çâ® ®â«¨ç ¥âáï ®â á«ãç ï í««¨¯á ). ª «ì묨 à ¤¨ãá ¬¨
y
6 r2¯à
b
rr
F2 ( ; 0) a
O
r
rr
rM r1¯à
a F ( ; 0) 1
-x
b
x=
¥¬¬ .
᫨ â®çª
a e
¨á. 2
x=
a e
M (x; y) ¯à¨ ¤«¥¨â £¨¯¥à¡®«¥, â®
r1¯à = ex a; r2¯à = ex + a; r1«¥¢ = ex + a; r2«¥¢ = ex a:
y2
᫨ â®çª M (x; y) ¯à¨ ¤«¥¨â £¨¯¥à¡®«¥, â® b2 . Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® â®çª M «¥¨â ¯à ¢®© ¢¥â¢¨
®ª § ⥫ìá⢮.
=
b2 2 x a2
349
x
44. ¨¯¥à¡®«
£¨¯¥à¡®«ë. ®£¤ r1¯à = jF1 M j =
p
(x
)2 + y2 =
r
x2
2
2 x + 2 + ab2 x2
b2 :
b2 a2 + b2 2 = a2 = e2 ¨ ea = , â® b2 = a2 , 1 + 2 = a a2 p p r1¯à = e2 x2 2eax + a2 = (ex a)2 = jex aj:
ª ª ª 2
Ǒ®áª®«ìªã x > a; e > 1, â® jex aj = ex a ¨ ¯®â®¬ã r1¯à = ex a. áâ «ìë¥ à ¢¥á⢠¨§ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ «¥¬¬ë ¯à®¢¥àïîâáï ¢¯®«¥
«®£¨ç®. ¥¬¬ ¤®ª § . «¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥ ç áâ® §ë¢ îâ £¨¯¥à¡®«ë. ® ¤ ¥â ¥®¡å®¤¨¬®¥ ¨ ¤®áâ â®ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ªà¨¢ ï ¡ë« £¨¯¥à¡®«®©. â® ãá«®¢¨¥ ¥à¥¤ª® ¯à¨¨¬ îâ § ®¯à¥¤¥«¥¨¥ £¨¯¥à¡®«ë. 䮪 «ìë¬ á¢®©á⢮¬
¥®à¥¬ 1. ®çª M ¯à¨ ¤«¥¨â £¨¯¥à¡®«¥ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¬®¤ã«ì à §®á⨠à ááâ®ï¨© ®â M ¤® 䮪ãᮢ à ¢¥ a.
2
®ª § ⥫ìá⢮. ¥®¡å®¤¨¬®áâì.
r2¯à j = jr1«¥¢
r2«¥¢ j = 2a.
ᨫ㠫¥¬¬ë ¨¬¥¥¬ jr1¯à
®áâ â®ç®áâì. Ǒãáâì M (x; y) | â®çª ¯«®áª®áâ¨, ¤«ï ª®â®à®© ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ jF1M j jF2 M j = 2a. «¥¤®¢ ⥫ì®, p p (x + )2 + y2 = 2a: (x )2 + y 2 Ǒ¥à¥¯¨è¥¬ ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¢ ¢¨¤¥ p p (x )2 + y2 = 2a + (x + )2 + y2: Ǒ®á«¥ ¢®§¢¥¤¥¨ï ®¡¥¨å ç á⥩ í⮣® à ¢¥á⢠¢ ª¢ ¤à â ¨ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¯®¤®¡ëå ¯®«ã稬 p a (x + )2 + y2 = a2 + x:
é¥ à § ¢®§¢¥¤¥¬ ¯®«ã祮¥ à ¢¥á⢮ ¢ ª¢ ¤à â. Ǒ®«ã稬 a2 (x2 +2 x+ 2 +y2 ) = a4 +2a2 x+ 2 x2 ¨«¨ (a2 2 )x2 +a2 y2 = a2 (a2 2 ): Ǒ®áª®«ìªã a2 2 = b2, ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ b2x2 + a2 y2 = a2 b2. §¤¥«¨¢ íâ® à ¢¥á⢮ a2 b2 , ¬ë ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ (1). ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § .
350
« ¢ 9. ¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
ª ¨ ¢ á«ãç ¥ í««¨¯á , ¯àï¬ë¥ x = ae §ë¢ îâáï ¤¨à¥ªâà¨á ¬¨ £¨¯¥à¡®«ë. ¨ ¥ ¯¥à¥á¥ª îâ £¨¯¥à¡®«ë, ¯®áª®«ìªã ae < a (à¨á. 2). ¨à¥ªâà¨áã x = ae ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯à ¢®© ¨«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ä®a ªãáã F1 , ¤¨à¥ªâà¨áã x = | «¥¢®© ¨«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 䮪ãáã e F2 . ¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥, ª®â®à®¥ §ë¢ îâ £¨¯¥à¡®«ë ¨ ª®â®à®¥ «®£¨ç® ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã ᢮©áâ¢ã í««¨¯á (á¬. ⥮६ã 2 ¢ x43). ¤¨à¥ªâ®-
ਠ«ìë¬ á¢®©á⢮¬
¥®à¥¬ 2. ®çª M ¯à¨ ¤«¥¨â £¨¯¥à¡®«¥ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®â®è¥¨¥ à ááâ®ï¨ï ®â â®çª¨ M ¤® 䮪ãá ª à ááâ®ï¨î ®â M ¤® ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 í⮬ã 䮪ãáã ¤¨à¥ªâà¨áë à ¢® íªáæ¥âà¨á¨â¥âã £¨¯¥à¡®«ë.
ë ¥ ¡ã¤¥¬ ¯à¨¢®¤¨âì ¤®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ ⥮६ë, ¯®áª®«ìªã ®® ¯®«®áâìî «®£¨ç® ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ⥮६ë 2 ¨§ x43. y0
I
y
O
6
x0
s
-x
¨á. 3 誮«ì®¬ ªãàᥠ¬ ⥬ ⨪¨ £¨¯¥à¡®«®© §ë¢ «áï £à 䨪 äãªæ¨¨ y = xk , £¤¥ k 6= 0.
áâ¥á⢥® ¢®§¨ª ¥â ¢®¯à®á, ª ª á®®â®á¨âáï \誮«ì ï" £¨¯¥à¡®« á £¨¯¥à¡®«®©, ¢¢¥¤¥®© ¢ í⮬ ¯ à £à ä¥.
x
45. Ǒ à ¡®«
351
®® ®£à ¨ç¨âìáï á«ãç ¥¬ k > 0 (¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¬®® ᤥ« âì § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå x0 = x, y0 = y). áᬮâਬ ®¢ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â Ox0 y0, ¯®«ãç¥ãî ¨§ áâ ன ¯®¢®à®â®¬ 45Æ (à¨á. 3). ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ë (9) ¨§ x5, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ä®à¬ã«ë ¯®¢®à®â á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â 㣮« 45Æ ¨¬¥îâ á«¥¤ãî騩 ¢¨¤: p 8 2 (x0 y0); > > <x = (2) p2 > > : y = 2 (x0 + y 0 ): 2
᫨ x 6= 0, â® à ¢¥á⢮ y = xk íª¢¨¢ «¥â® à ¢¥áâ¢ã xy = k.
᫨ ¢ ¯®á«¥¤¥¥ ¯®¤áâ ¢¨âì x ¨ y ¨§ ä®à¬ã« (2), ¬ë ¯®«ã稬 p p 2 2 1 0 0 k = xy = (x y ) (x0 + y0 ) = ((x0 )2 (y0 )2 ): 2 2 2 0 0 â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢ á¨á⥬¥0 ª®®à¤¨ â Ox y \誮«ì ï" £¨¯¥à¡®« ( x )2 (y0 )2 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ 2k 2k = 1. Ǒ®áª®«ìªã k > 0, â® 2k = 2 a ¤«ï ¥ª®â®à®£® a > 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®á«¥¤¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ (x0 )2 (y0)2 = 1: a2 a2 ¨¯¥à¡®« , § ¤ ï ãà ¢¥¨¥¬ ¢¨¤ (1) ¯à¨ a = b, §ë¢ ¥âáï à ¢®áâ®à®¥©. ª¨¬ ®¡à §®¬, \誮«ì ï" £¨¯¥à¡®« ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ £¨¯¥à¡®«ë, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ãà ¢¥¨¥¬ (1), ¨¬¥® à ¢®áâ®à®¥© £¨¯¥à¡®«®©. x45.
Ǒ à ¡®«
¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒ à ¡®«®© §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯«®áª®áâ¨, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î y2 = 2px; £¤¥ p > 0. â® ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯ à ¡®«ë. ⬥⨬ ¥áª®«ìª® ¯à®áâëå ᢮©á⢠¯ à ¡®«ë. Ǒ®áª®«ìªã y ¢å®¤¨â ¢ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯ à ¡®«ë ⮫쪮 ¢® ¢â®à®© á⥯¥¨, â® £à 䨪 ¯ à ¡®«ë ᨬ¬¥âà¨ç¥ ®â®á¨â¥«ì® ®á¨ Ox. «¥¥, ïá®, çâ®
352
« ¢ 9. ¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
2
= 2yp > 0, â.¥. ¢áï ¯ à ¡®« à ᯮ«®¥ ¢ ¯à ¢®© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨.
᫨ ®£à ¨ç¨âìáï ⮫쪮 ¯¥à¢®© ç¥â¢¥àâìî, â® y ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì äãªæ¨¥© ®â x, ¨¬¥® y = p2px.
᫨ x = 0, â® y = 0. p à®á⮬ 2p x ¢®§à á⠥⠨ y, ¯à¨ç¥¬ ¥®£à ¨ç¥®. Ǒ®áª®«ìªã y00 = 3 2 < 0 4x ¯à¨ x > 0, â® ¯ à ¡®« ¢®£ãâ (â.¥. ¢ë¯ãª« ¢¢¥àå). ç¨âë¢ ï ¢á¥ áª § ®¥, ¯®«ãç ¥¬ «¨¨î, ¨§®¡à ¥ãî à¨á. 4. x
=
Q
s
y
6
P
s
s
s
O
x=
M (x; y)
s
F
p
-
x
2; 0
p
2
¨á. 4 ®çª O (0; 0) ( ç «® ª®®à¤¨ â) §ë¢ ¥âáï ¢¥à訮© ¯ à ¡®«ë, â®çª F p2 ; 0 | ¥¥ 䮪ãᮬ. Ǒàï¬ ï á ãà ¢¥¨¥¬ x = 2p §ë¢ ¥âáï ¤¨à¥ªâà¨á®© ¯ à ¡®«ë, ç¨á«® p (à ¢®¥ à ááâ®ï¨î ®â 䮪ãá ¤® ¤¨à¥ªâà¨áë) | ¥¥ ¯ à ¬¥â஬. «¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥ ¤ ¥â ¥®¡å®¤¨¬®¥ ¨ ¤®áâ â®ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ªà¨¢ ï ¡ë« ¯ à ¡®«®©. â® ãá«®¢¨¥ ¥à¥¤ª® ¯à¨¨¬ îâ § ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯ à ¡®«ë.
¥®à¥¬ . ®çª M ¯à¨ ¤«¥¨â ¯ à ¡®«¥ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® à ¢®ã¤ «¥ ®â 䮪ãá ¯ à ¡®«ë ¨ ®â ¥¥ ¤¨à¥ªâà¨áë.
®ª § ⥫ìá⢮. ¥®¡å®¤¨¬®áâì. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ` | ¤¨à¥ªâà¨á ¯ à ¡®«ë, â®çª M (x; y) ¯à¨ ¤«¥¨â ¯ à ¡®«¥. ®£¤
jF M j =
=
r
r
x
x+
p 2
2
p 2
+ y2 =
r
p 2 =x+ 2
x2
px +
p2
4 + 2px =
x
46. Ǒ®ï⨥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
353
(¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⮣®, çâ® x > 0, p > 0). Ǒ஢¥¤¥¬ ç¥à¥§ â®çªã M ¯àï¬ãî, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàãî ®á¨ ®à¤¨ â. ®çª¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï í⮩ ¯àאַ© á ®áìî ®à¤¨ â ¨ á ¤¨à¥ªâà¨á®© ¯ à ¡®«ë ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ P p¨ Q ᮮ⢥âá⢥® (à¨á. 4). á®, çâ® d(M; `) = jMP j + jP Qj = x + ; ®â¬¥â¨¬, çâ® d(M; `) «¥£ª® ©â¨ â ª¥ 2 á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë (16) ¨§ x7. «¥¤®¢ ⥫ì®, jF M j = d(M; `). ®áâ â®ç®áâì. Ǒãáâì M (x; y ) | ¯à®¨§¢®«ì ï â®çª ¯«®áª®á⨠r ¨ jFM j = d( M; `). ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (16) ¨§ x7, ¯®«ã稬 p 2 2 p x ¯®á«¥¤¥2 + y = x + 2 . Ǒ®á«¥ ¢®§¢¥¤¥¨ï ®¡¥¨å ç á⥩ £® à ¢¥á⢠¢ ª¢ ¤à â ¨ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¯®¤®¡ëå ¨¬¥¥¬ y2 = 2px. â® ®§ ç ¥â, çâ® â®çª M ¯à¨ ¤«¥¨â ¯ à ¡®«¥. ¥®à¥¬ ¤®ª § . 誮«ì®¬ ªãàᥠ¬ ⥬ ⨪¨ ¯ à ¡®«®© §ë¢ ¥âáï £à 䨪 äãªæ¨¨ y = ax2 + bx + , £¤¥ a 6= 0. ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® \誮«ì ï" ¯ à ¡®« ï¥âáï ¨ ¯ à ¡®«®© ¢ á¬ëá«¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ¢¢¥¤¥®£® ¢ ç «¥ ¤ ®£® ¯ à £à ä . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢ë¤¥«¨¢ ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨ à ¢¥á⢠y = ax2 + bx + ¯®«ë© ª¢ ¤à â ¯® x, ¯®«ã稬 b 2 b2 y =a x+ 2a 4a + : ¤¥« ¢ § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå 8 b > < x0 = x + 2a2 ; > : y0 = y + b 4a ; 0 0 2 ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ y = a(x ) . Ǒਬ¥ïï ⥯¥àì § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå x00 = y0, y00 = x0 ¨ ¯®« £ ï p = 21a ( ¯®¬¨¬, çâ® a 6= 0), ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢¥¨î (y00 )2 = 2px00.
᫨ p > 0, ¬ë ¯®«ã稫¨ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯ à ¡®«ë. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥, çâ®¡ë ¯à¨©â¨ ª ⮬㠥00 १ã«ìâ âã, ¤® ¥é¥ ᤥ« âì § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå x000 = x00 , 000 y =y . x46. 1.
¬
Ǒ®ï⨥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
¯à¥¤¥«¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
¯à¥¤¥«¥¨¥. à ¢¥¨¥¬ ¢â®à®£® ¯®à浪 á ¤¢ã¬ï ¥¨§¢¥áâë-
§ë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ a11 x2 + 2a12 xy + a22 y2 + 2a1x + 2a2 y + a0 = 0; 2 £¤¥ a11 + a212 + a222 6= 0.
(1)
354
« ¢ 9. ¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
Ǒ®á«¥¤¥¥ ãá«®¢¨¥ ®§ ç ¥â, çâ® ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¨§ ª®íää¨æ¨¥â®¢ a11 ; a12 ¨ a22 ®â«¨ç¥ ®â ã«ï. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¢ ¤à¨ª®© ¯«®áª®á⨠(¨«¨ ªà¨¢®© ¢â®à®£® ¯®à浪 ) §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯«®áª®áâ¨, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¥ª®â®à®¬ã ãà ¢¥¨î ¢â®à®£® ¯®à浪 á ¤¢ã¬ï ¥¨§¢¥áâ묨. Ǒਬ¥à ¬¨ ª¢ ¤à¨ª ¯«®áª®á⨠ïîâáï ªà¨¢ë¥, à áᬮâà¥ë¥ ¢ x43{45, | í««¨¯á, £¨¯¥à¡®« ¨ ¯ à ¡®« . ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¢ x47, ªà®¬¥ íâ¨å âà¥å ªà¨¢ëå áãé¥áâ¢ãîâ «¨èì ¥áª®«ìª® \¢ëத¥ëå" ª¢ ¤à¨ª ¯«®áª®áâ¨. Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ª¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨, ® § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¢â®à®£® ¯®à浪 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â. ª §ë¢ ¥âáï, á¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ¡®«¥¥ ᨫ쮥 ã⢥थ¨¥. ¢ ¥ª®â®à®©
¥®à¥¬ 1. Ǒந§¢®«ì ï ª¢ ¤à¨ª ¯«®áª®á⨠¢ «î¡®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¬®¥â ¡ëâì § ¤ ãà ¢¥¨¥¬ ¢â®à®£® ¯®à浪 á ¤¢ã¬ï ¥¨§¢¥áâ묨. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì «¨¨ï ` ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â Oxy ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (1), ¢ ª®â®à®¬ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¨§ ª®íää¨æ¨¥â®¢ a0110; a012 ¨ a22 ®â«¨ç¥ ®â ã«ï. áᬮâਬ ®¢ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â O x y ¨ ¤®ª ¥¬, çâ® ãà ¢¥¨¥ «¨¨¨ ` ¢ ¥© â ª¥ ï¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¢â®à®£® ¯®à浪 . ª 㪠§ ® ¢ x5 á. 44, ä®à¬ã«ë ¯¥à¥å®¤ ®â Oxy ª O0 x0 y0 ¨¬¥îâ á«¥¤ãî騩 ¢¨¤: x = p1 + t11 x0 + t12 y0 ; (2) x = p2 + t21 x0 + t22 y0 ; £¤¥ (x; y) ¨ (x0 ; y0) | ᮮ⢥âá⢥® áâ àë¥ ¨ ®¢ë¥ ª®®à¤¨ âë ¯à®-0 ¨§¢®«ì®© â®çª¨ ¯«®áª®áâ¨, (p1 ; p2) | áâ àë¥ ª®®à¤¨ âë â®çª¨ O , t t 11 12 T= t t 21 22 | ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â áâ ண® ¡ §¨á ª ®¢®¬ã. Ǒਠí⮬, ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë 2 ¨§ x28, t11 t12 = t21 t22 6= 0:
Ǒ®¤áâ ¢¨¢ x ¨ y, ¢ëà ¥ë¥ ç¥à¥§ x0 ¨ y0 á ¯®¬®éìî à ¢¥á⢠(2), ¢ (1) ¨ ¯à®¨§¢¥¤ï ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ a011 (x0 )2 + 2a012 x0 y0 + a022 (y0 )2 + 2a01x0 + 2a02y0 + a00 = 0;
x
46. Ǒ®ï⨥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
355
£¤¥, ¢ ç áâ®áâ¨, a011 = a11 t211 + 2a12 t11 t21 + a22 t221 ; a022 = a11 t212 + 2a12 t12 t22 + a22 t222 ; a012 = a11 t11 t12 + a12 (t11 t22 + t12 t21 ) + a22 t21 t22 : (3) Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® a011 = a012 = a022 = 0. 묨 á«®¢ ¬¨, (4) a11 t211 + 2a12t11 t21 + a22 t221 = 0; a11 t11 t12 + a12 (t11 t22 + t12 t21 ) + a22 t21 t22 = 0; (5) a11 t212 + 2a12t12 t22 + a22 t222 = 0: (6) Ǒ®ª ¥¬, çâ® ¢á¥ í«¥¬¥âë ¬ âà¨æë T ®â«¨çë ®â 0. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¥¤¯®«®¨¬, çâ® t11 = 0. á®, ç⮠⮣¤ t12 6= 0 ¨ t21 6= 0, â ª ª ª ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ = 0. § (4) ¨ ⮣®, çâ® t11 = 0, ¢ë⥪ ¥â, çâ® a22t221 = 0. Ǒ®áª®«ìªã t21 6= 0 ¯®«ãç ¥¬, çâ® a22 = 0. § (5) ¨ ⮣®, çâ® t11 = 0, ¢ë⥪ ¥â ⥯¥àì, çâ® a12t12 t21 = 0. ç¨âë¢ ï, çâ® t12 6= 0 ¨ t21 6= 0, ¨¬¥¥¬ a12 = 0. ® ⮣¤ ¨§ (6) ¨ ⮣®, çâ® t12 6= 0, ¢ë⥪ ¥â, çâ® a11 = 0. ® íâ® ¥¢®§¬®®, ¯®áª®«ìªã ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¨§ ª®íää¨æ¨¥â®¢ a11, a12 ¨ a22 ¤®«¥ ¡ëâì ®â«¨ç¥ ®â 0. â ª, t11 6= 0. «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® ¢á¥ ®áâ «ìë¥ í«¥¬¥âë ¬ âà¨æë T ®â«¨çë ®â 0. §¤¥«¨¬ ⥯¥àì à ¢¥á⢮ (4) t221, à ¢¥á⢮ (5) | t21t22 , à ¢¥á⢮ (6) | t222. Ǒ®«ã稬 à ¢¥á⢠a11 u2 + 2a12u + a22 = 0; (7) a11 uv + a12 (u + v) + a22 = 0; (8) 2 a11 v + 2a12 v + a22 = 0; (9) £¤¥ u = tt1121 ¨ v = tt2212 . Ǒਠí⮬ u 6= v, ¯®áª®«ìªã à ¢¥á⢮ u = v ¢«¥ç¥â = 0. «®¨¬ ãà ¢¥¨ï (7) ¨ (9) ¨ ¢ëç⥬ ¨§ १ã«ìâ â ãà ¢¥¨¥ (8), 㬮¥®¥ 2. Ǒ®«ã稬 a11 (u v)22= 0. Ǒ®áª®«ìªã u 6= v, â® a11 = 0. §¤¥«¨¢ à ¢¥á⢠(4), (5) ¨ (6) t11 , t11 t12 ¨ t212 ᮮ⢥âá⢥® ¨ à áá㤠ï â ª ¥, ª ª ¢ëè¥, ¯®«ã稬, çâ® a22 = 0. § à ¢¥á⢠(4) ¢ë⥪ ¥â ⥯¥àì, çâ® a12t11 t21 = 0. ç¨âë¢ ï, çâ® t11 6= 0 ¨ t21 6= 0, ¯®«ãç ¥¬, çâ® a12 = 0. ë ¢®¢ì ¯à¨è«¨ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î á ⥬ ä ªâ®¬, çâ® ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¨§ ª®íää¨æ¨¥â®¢ a11, a12 ¨ a22 ¤®«¥ ¡ëâì ®â«¨ç¥ ®â 0. â ª, à ¢¥á⢠a011 = a012 = a022 = 0 ¢¥¤ãâ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î, ¨ ¯®â®¬ã ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¨§ ª®íää¨æ¨¥â®¢ a011; a012 ¨ a022 ®â«¨ç¥ ®â ã«ï. ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § .
356 2.
« ¢ 9. ¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
¯à®é¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ª¢ ¤à¨ª¨
à ¢¥¨¥ (1) ᮤ¥à¨â è¥áâì ª®íää¨æ¨¥â®¢. Ǒ®í⮬㠫¨§¨à®¢ âì íâ® ãà ¢¥¨¥ ¨ ®¯à¥¤¥«ïâì ¢¨¤ § ¤ ®© ¨¬ ªà¨¢®© ªà ©¥ § âà㤨⥫ì®. ª §ë¢ ¥âáï, ®¤ ª®, çâ® ¬®® ¯®¤®¡à âì á¨á⥬㠪®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© ãà ¢¥¨¥ ⮩ ¥ ªà¨¢®© ¡ã¤¥â ¢ë£«ï¤¥âì ¬®£® ¯à®é¥. ¥¬¬ 1. Ǒãáâì ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â Oxy ª¢ ¤à¨ª ` § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ . ®£¤ á¨á⥬ã Oxy ¬®® ¯®¢¥àãâì ¢®ªà㣠â®çª¨ O ¥ª®â®àë© ã£®« â ª, çâ® ¢ ®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ãà ¢¥¨¥ ⮩ ¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ` ¥ ¡ã¤¥â ᮤ¥à âì á« £ ¥¬®£® á ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¥¨§¢¥áâëå.
(1)
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ a12 = 0, ⮠㥠¢ ¨á室®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ` ¥ ᮤ¥à¨â á« £ ¥¬®£® á ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¥¨§¢¥áâëå ¨ ¢ ª ç¥á⢥ ¨áª®¬®£® ¬®® ¢§ïâì 㣮« 0Æ. Ǒ®í⮬㠤 «¥¥ ¬®® áç¨â âì, çâ® a12 6= 0. ª ¯®ª § ® ¢ x5 á. 45, ä®à¬ã«ë ¯®¢®à®â á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â 㣮« ¨¬¥îâ ¢¨¤ ( x = x0 os y0 sin ; y = x0 sin + y0 os : â¨ à ¢¥á⢠ïîâáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ä®à¬ã« (2) ¯à¨ p1 = p2 = 0, t11 = os , t12 = sin , t21 = sin ¨ t22 = os . ç¨âë¢ ï ä®à¬ã«ã (3), ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â Ox0 y0 ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨ x0 y0 ¢ ãà ¢¥¨¨ ª¢ ¤à¨ª¨ ` ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤ 2a012 = 2a11t11t12 + 2a12(t11 t22 + t12 t21) + 2a22t21 t22 = = 2a11 sin os + 2a12( os2 sin2 ) + 2a22 sin os = = (a11 a22) sin 2 + 2a12 os2 : «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠«¥¬¬ë ¥®¡å®¤¨¬® ©â¨ 㣮« â ª, çâ®¡ë ¢ë¯®«ï«®áì à ¢¥á⢮ a012 = 0, ¨«¨ 2a12 os2 = (a11 a22) sin 2 : (10) á®, çâ® 6= 0 (¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥, â.¥. ¯à¨ \¯®¢®à®â¥" á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â 0Æ, ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ xy ®áâ ¥âáï ¡¥§ ¨§¬¥¥¨ï ¨ ¯®â®¬ã ¡ã¤¥â ®â«¨ç¥ ®â 0). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ 2 6= 0. ¥§ ®£à ¨ç¥¨ï ®¡é®á⨠¬®® áç¨â âì, çâ® 0 < < 2 , ¨ ¯®â®¬ã 0 < 2 < . Ǒ®í⮬㠨§ ⮣®, çâ® 2 6= 0, ¢ë⥪ ¥â, çâ® sin 2 6= 0. ஬¥ ⮣®, ¯®¬¨¬,
x
46. Ǒ®ï⨥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
357
çâ® a12 6= 0. §¤¥«¨¢ ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠(10) 2a12 sin 2 , ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ (11)
tg 2 = a112a12a22 ; ª®â®à®¥ ¢á¥£¤ ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥. ¥¬¬ 1 ¤®ª § . 㤥¬ ⥯¥àì áç¨â âì, ç⮠㥠¢ ¨á室®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ` ¥ ᮤ¥à¨â ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå, â.¥. ¨¬¥¥â ¢¨¤ a11 x2 + a22 y2 + 2a1x + 2a2 y + a0 = 0: (12) ᨫã ⥮६ë 1 ¬®® áç¨â âì, çâ® ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¨§ ª®íää¨æ¨¥â®¢ a11 ¨ a22 ®â«¨ç¥ ®â 0. ¥¬¬ 2. Ǒãáâì ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â Oxy ª¢ ¤à¨ª ` § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ .
᫨ a11 6 , ⮠ᤢ¨£®¬ ç « á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¢¤®«ì ®á¨ Ox ¬®® ¯®«ãç¨âì ®¢ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ` ¥ ᮤ¥à¨â «¨¥©®£® á« £ ¥¬®£® ¯® x.
᫨ a22 6 , ⮠ᤢ¨£®¬ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¢¤®«ì ®á¨ Oy ¬®® ¯®«ãç¨âì ®¢ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ` ¥ ᮤ¥à¨â «¨¥©®£® á« £ ¥¬®£® ¯® y .
(12)
=0
=0
®ª § ⥫ìá⢮. ¡ ã⢥थ¨ï «¥¬¬ë ¤®ª §ë¢ îâáï ¡á®«îâ® «®£¨ç®. Ǒ®íâ®¬ã ¬ë ®£à ¨ç¨¬áï ¯à®¢¥àª®© ⮫쪮 ¯¥à¢®£® ¨§ ¨å. â ª, ¯ãáâì a11 6= 0. ãà ¢¥¨¨ (12) ¢ë¤¥«¨¬ ¯®«ë© ª¢ ¤à â ¯® x:
a11
£¤¥ a00 = a0
a1 2 x+ + a22y2 + 2a2y + a00 = 0; a11
a21 . Ǒ஢¥¤¥¬ § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå a11 ( a x0 = x + 1 ; a 11 y0 = y :
¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ í⮩ § ¬¥¥ ¥¨§¢¥áâëå ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯ à ««¥«ìë© ¯¥à¥®á á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â, ¯à¨ ª®â®à®¬ ç «® á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â a1 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ â®çªã á ª®®à¤¨ â ¬¨ a11 ; 0 . ®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ª¢ ¤à¨ª ` ¨¬¥¥â ãà ¢¥¨¥ a11(x0 )2 + a22(y0 )2 + 2a2y0 + a00 = 0. ¥¬¬ 2 ¤®ª § .
358
« ¢ 9. ¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
¥®à¥¬ 2. «ï ¢á类© ª¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®á⨠áãé¥áâ¢ã¥â á¨á⥬ ª®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© ãà ¢¥¨¥ í⮩ ª¢ ¤à¨ª¨ ¨¬¥¥â ®¤¨ ¨§ á«¥¤ãîé¨å ¢¨¤®¢:
Ax2 + By2 + C = 0; £¤¥ A 6= 0; B 6= 0; Dy2 + 2Ex + F = 0; £¤¥ D 6= 0:
(13) (14)
®ª § ⥫ìá⢮. ᨫ㠫¥¬¬ë 1 ¨ ⥮६ë 1 ¬®® áç¨â âì, çâ® ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ` ¨¬¥¥â ¢¨¤ (12) ¨ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¨§ ª®íää¨æ¨¥â®¢ a11 ¨ a22 ®â«¨ç¥ ®â ã«ï. Ǒ।¯®«®¨¬ á ç « , çâ® a11 6= 0 ¨ a22 6= 0. ®£¤ ¯® «¥¬¬¥ 2 ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¬®® ¨§¡ ¢¨âìáï ®â «¨¥©®£® á« £ ¥¬®£® ¯® ¥¨§¢¥á⮩ x. § ¤®ª § ⥫ìá⢠«¥¬¬ë 2 ¢¨¤®, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ x2 ¨ y2 ¯à¨ í⮬ ¥ ¨§¬¥ïâáï, â.¥. ¯®-¯à¥¥¬ã ¡ã¤ã⠮⫨çë ®â 0. ®¢ì ¯à¨¬¥ïï «¥¬¬ã 2, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¬®® ¨§¡ ¢¨âìáï ¨ ®â «¨¥©®£® á« £ ¥¬®£® ¯® ¥¨§¢¥á⮩ y. Ǒ®áª®«ìªã ¯à¨ í⮬, ª ª ¨ à ¥¥, ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ x2 ¨ y2 ®áâ ãâáï ¥ã«¥¢ë¬¨, ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¯à¨¬¥â ¢¨¤ (13). Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® a11 = 0 ¨ a22 6= 0. ᨫ㠫¥¬¬ë 2 ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¬®® ¨§¡ ¢¨âìáï ®â «¨¥©®£® á« £ ¥¬®£® ¯® ¥¨§¢¥á⮩ y. Ǒਠí⮬ ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ y2 ¡ã¤¥â ¥ã«¥¢ë¬, ¨ ¯®â®¬ã ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤ (14). ª®¥æ, ¥á«¨ a11 6= 0 ¨ a22 = 0, ¢®¢ì ¯à¨¬¥ïï «¥¬¬ã 2, ¬®® ¯®«ãç¨âì á¨á⥬㠪®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤ Dx2 + 2Ey + F = 0, £¤¥ D 6= 0. Ǒ¥à¥¨¬¥®¢ ¢ x ¢ y ¨ ®¡®à®â (â.¥. ᤥ« ¢ § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå x0 = y; y0 = x), ¬ë ¢®¢ì ¯à¨¤¥¬ ª ãà ¢¥¨î (14). ¥®à¥¬ 2 ¤®ª § .
x47.
« áá¨ä¨ª æ¨ï ª¢ ¤à¨ª
¯«®áª®áâ¨
¥«ìî í⮣® ¯ à £à ä ï¥âáï ¤®ª § ⥫ìá⢮ á«¥¤ãî饩 ⥮६ë. ¥®à¥¬ . áïª ï ª¢ ¤à¨ª ¯«®áª®á⨠ï¥âáï ¨«¨ í««¨¯á®¬, ¨«¨ £¨¯¥à¡®«®©, ¨«¨ ¯ à ¡®«®©, ¨«¨ ¯ ன ¯àï¬ëå ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï, ¯ à ««¥«ìëå ¨«¨ ᮢ¯ ¢è¨å , ¨«¨ â®çª®©, ¨«¨ ¯ãáâë¬ ¬®¥á⢮¬.
)
(
x
47. « áá¨ä¨ª æ¨ï ª¢ ¤à¨ª ¯«®áª®áâ¨
359
®ª § ⥫ìá⢮. ᨫã ⥮६ë 2 ¨§ x46 ¬®® áç¨â âì, çâ® ª¢ ¤à¨ª § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¢¨¤ Ax2 + By2 + C = 0; £¤¥ A 6= 0; B 6= 0; (1) ¨«¨ ãà ¢¥¨¥¬ ¢¨¤ Dy2 + 2Ex + F = 0; £¤¥ D 6= 0: (2) Ǒ®í⮬㠤 «ì¥©è¨¥ à áᬮâà¥¨ï ¥áâ¥á⢥® à ᯠ¤ îâáï ¤¢ á«ãç ï. «ãç © 1: (1). ¤¥áì ¢®§¬®ë ¤¢ ¯®¤á«ãç ï. Ǒ®¤á«ãç © 1.1: 6= 0. á®, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (1) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ª¢ ¤à¨ª § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¢¨¤
x2 y2 + = 1: (3) C=A C=B Ǒ।¯®«®¨¬ á ç « , çâ® ç¨á« CA ¨ BC ¯®«®¨â¥«ìë. ¢¥¤ï r r C ®¡®§ 票ï a = A ¨ b = BC , ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ x2 y 2 + = 1: a2 b2
᫨ a > b, ®® ï¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ í««¨¯á . ¯à®â¨¢-
®¬ á«ãç ¥ ¬ë ¯®«ã稬 â®â ¥ १ã«ìâ â, ᤥ« ¢ § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå x0 = y, y0 = x. Ǒãáâì ⥯¥àì ç¨á« CA ¨ BC ¨¬¥îâ à §ë¥ § ª¨. ¥§ ®£à ¨ç¥¨ï ®¡é®á⨠¬®® áç¨â âì, çâ® CA > 0 ¨ BC < 0 (¢ ¯à®â¨¢®¬ 0 0 á«ãç ¥ á«¥¤ã¥â ᤥ« âì § ¬¥ã r r ¥¨§¢¥áâëå x = y , y = x). ¢¥¤ï ®¡®§ 票ï a = CA , b = BC , ¬ë ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ x2 a2
y2 b2
= 1; â.¥. ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ £¨¯¥à¡®«ë. ª®¥æ, ¥á«¨ ç¨á« CA ¨ BC ®âà¨æ ⥫ìë, â® ãà ¢¥¨¥ (3) ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨©, ¨ ¯®â®¬ã ¥£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ï¥âáï ¯ãá⮥ ¬®¥á⢮.
360
« ¢ 9. ¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
Ǒ®¤á«ãç © 1.2:
¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
= 0. í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (1) ¬®® ¯¥à¥x2 y2 + 1=A 1=B
= 0:
(4)
᫨ ç¨á« A1 ¨ B1 ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¥ § ª, â® ãà ¢¥¨¥ (4) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥: x = 0, y = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ï¥âáï â®çª ( ç «® ª®®à¤¨ â). Ǒãáâì ⥯¥àì ç¨á« A1 ¨ B1 ¨¬¥îâ à §ë¥ § ª¨. ¬®¨¢, ¥á«¨ ¯®âॡã¥âáï, è¥ ãà ¢¥¨¥ 1, ¬®® ¤®¡¨âìáï ⮣®, ç⮡ër¢ë¯®«ï«¨áì ¥à ¢¥á⢠A1 > 0 ¨ B1 < 0. ¢¥¤ï ®¡®§ 票ï a = A1 , r 1 , ¬ë ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ b= B
x2 a2
y2 b2
= 0;
ª®â®à®¥ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ x y x y + = 0: a b a b ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®á«¥¤¥£® ãà ¢¥¨ï ï¥âáï ᮢ®ªã¯®áâì x y x y ¯àï¬ëå a + b = 0 ¨ a b = 0. ®à¬ «ì묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ íâ¨å ¯àï¬ëå ïîâáï ¢¥ªâ®àë ~n1 = a1 ; 1b ¨ ~n2 = a1 ; 1b . 祢¨¤®, çâ® í⨠¢¥ªâ®àë ¥ ª®««¨¥ àë. «¥¤®¢ ⥫ì®, è¨ ¯àï¬ë¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï (á¬. ⥮६ã 3 ¢ x7). â ª, ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ ª¢ ¤à¨ª ¥áâì ¯ à ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯àï¬ëå. «ãç © 2: (2). ¤¥áì â ª¥ ¢®§¬®ë ¤¢ ¯®¤á«ãç ï. Ǒ®¤á«ãç © 2.1: E 6= 0. í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¬®® ã¯à®áâ¨âì, ¨§¡ ¢¨¢è¨áì ®â ᢮¡®¤®£® ç«¥ . «ï í⮣® ¯¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (2) ¢ ¢¨¤¥ 2E x F = 2E x + F : y2 = D D D 2E ¤¥« ¥¬ § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå ( F x0 = x + 2E ; 0 y =y ; ª¢ ¤à¨ª § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¢¨¤
361
x
48. ¤ ç¨
ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯ à ««¥«ì®¬ã ¯¥à¥®áã á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â, ¯à¨ ª®â®à®¬ ç «® á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¯¥à¥å®¤¨â ¢ â®çªã á ª®®à¤¨ â F ¬¨ 2E ; 0 . ®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ª¢ ¤à¨ª ¨¬¥¥â ãà ¢¥¨¥ (y0)2 = 2DE x0 . Ǒ®« £ ï p = DE , ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ (y0)2 = 2px0.
᫨ p > 0, â® ®® ï¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯ à ¡®«ë.
᫨ ¥ p < 0, â® ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª ⮬㠥 १ã«ìâ âã ¯®á«¥ § ¬¥ë ¥¨§¢¥áâëå x00 = x0, y00 = y0. Ǒ®¤á«ãç © 2.2: E = 0. í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (2) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ F : (5) y2 = D r
᫨ DF > 0, â®, ¯®« £ ï a = DF , ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ y2 = a2 , £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ª®â®à®£® ï¥âáï ¯ à ¯ à ««¥«ìëå ¯àï¬ëå y = a ¨ y = a.
᫨ DF = 0, â® ãà ¢¥¨¥ (5) íª¢¨¢ «¥â® ãà ¢¥¨î y = 0, ª®â®à®¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯àï¬ãî (®áì ¡áæ¨áá). í⮬ á«ãç ¥ ¯à¨ïâ® £®¢®à¨âì, çâ® ª¢ ¤à¨ª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯ àã ᮢ¯ ¢è¨å ¯àï¬ëå. ª®¥æ, ¥á«¨ DF < 0, â® ãà ¢¥¨¥ (5) ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨© ¨ ¯®â®¬ã ¥£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ï¥âáï ¯ãá⮥ ¬®¥á⢮. ¥®à¥¬ ¤®ª § . x48. 1.
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ᮢ묨 ⨯ ¬¨ § ¤ ç ¯® ⥬¥ ¤ ®© £« ¢ë ïîâáï: 1) § ¤ ç¨ å®¤¥¨¥ í«¥¬¥â®¢ ª¢ ¤à¨ª¨; 2) § ¤ ç¨ ® à ᯮ§ ¢ ¨¨ ª¢ ¤à¨ª¨ ¨«¨ ® ¯à¨¢¥¤¥¨¨ ª¢ ¤à¨ª¨ ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã; 3) § ¤ ç¨ ® ª á ⥫ìëå ª ª¢ ¤à¨ª¥. Ǒ®¤ í«¥¬¥â ¬¨ ª¢ ¤à¨ª¨ ¯®¨¬ îâáï â ª¨¥ ¢¥«¨ç¨ë, ª ª ¤«¨ë ¯®«ã®á¥© (¤«ï í««¨¯á ¨ £¨¯¥à¡®«ë), à ááâ®ï¨¥ ®â æ¥âà ª¢ ¤à¨ª¨ ¤® 䮪ãᮢ (â ª¥ ¤«ï í««¨¯á ¨ £¨¯¥à¡®«ë), íªáæ¥âà¨á¨â¥â (¤«ï â¥å ¥ ªà¨¢ëå), ª®®à¤¨ âë 䮪ãᮢ, ãà ¢¥¨ï ¤¨à¥ªâà¨á, ãà ¢¥¨ï
362
« ¢ 9. ¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
ᨬ¯â®â (¤«ï £¨¯¥à¡®«ë) ¨ â.¯. ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à § ¤ ç¨ ¯¥à¢®£® ⨯ à áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî § ¤ çã. ¤ ç 1. ©â¨ ¤«¨ë ¯®«ã®á¥© £¨¯¥à¡®«ë, ¥á«¨ 㣮« ¬¥¤ã ᨬ¯â®â ¬¨ à ¢¥ 60Æ, à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã 䮪ãá ¬¨ à ¢® 4p3. ¥è¥¨¥. Ǒãáâì | 㣮« ¬¥¤ã ®¤®© ¨§ ᨬ¯â®â ¨ ¯®«®¨â¥«ìë¬ ¯à ¢«¥¨¥¬ ®á¨ ¡áæ¨áá. ®£¤ tg = ab . ¤à㣮© áâ®à®ë, | ¯®«®¢¨ 㣫 p ¬¥¤ã ᨬ¯â®â ¬¨, â.¥. = 30Æ. ᯮ«ì§ãï, ªà®¬¥ ⮣®, ä®à¬ã«ã = a2 + b2 ¨ â®â ä ªâ, çâ® à ¢® ¯®«®¢¨¥ à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã 䮪ãá ¬¨, ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© 8 b 1; < p = a p3 :p 2 a + b2 = 2 3: «¥¤®¢ ⥫ì®, a = p3b ¨ a2 + b2 = 12. âáî¤ a = 3 ¨ b = p3. p ⢥â: a = 3, b = 3. Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª § ¤ ç ¬ ¢â®à®£® ⨯ . «£®à¨â¬ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ª¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®á⨠ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã ¨§«®¥ ¢ ¤®ª § ⥫ìáâ¢ å «¥¬¬ 1 ¨ 2 ¨ ⥮६ë 2 ¢ x46 ¨ â¥®à¥¬ë ¢ x47. Ǒந««îáâà¨à㥬 ¥£® ª®ªà¥â®¬ ¯à¨¬¥à¥. ¤ ç 2. ¯à¥¤¥«¨âì ⨯ ª¢ ¤à¨ª¨ 2x2 8xy + 8y2 + 10x 5y 4 = 0; ©â¨ ¥¥ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨ ¨§®¡à §¨âì íâã ª¢ ¤à¨ªã ç¥à⥥ ¢ ¨á室®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â. ¥è¥¨¥. ¡®§ 稬 á¨á⥬㠪®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© ª¢ ¤à¨ª ¨¬¥¥â § ¤ ®¥ ãà ¢¥¨¥, ç¥à¥§ Oxy. ©¤¥¬ á ç « 㣮« , ¯à¨ ¯®¢®à®â¥ ª®â®àë© í⮩ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¢ ãà ¢¥¨¨ ª¢ ¤à¨ª¨ ¨á祧 ¥â ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¥¨§¢¥áâëå. ᨫã ä®à¬ã«ë (11) ¨§ x46
tg 2 = a112a12a22 = 34 : ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã 2
tg 2 = 1 2 tgtg ; ¯®«ãç ¥¬, çâ® tg = 21 ¨«¨ tg = 2. «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® tg = 12 (¬ë ¨¬¥¥¬ ¯à ¢® ¢ë¡¨à âì §¤¥áì «î¡®¥ ¨§ ¤¢ãå
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48. ¤ ç¨
§ 票© â £¥á , â ª ª ª ¬ ¤®áâ â®ç® ©â¨ 㣮« á 㪠§ ë¬ ¢ ç «¥ à¥è¥¨ï ᢮©á⢮¬). Ǒ®áª®«ìªã 1 + tg2 = os12 ; ¯®«ãç ¥¬, çâ® os = p25 . ë ¬®¥¬ ¢ë¡à âì «î¡®¥ ¨§ ¤¢ãå ¢®§¬®ëå § 票© ª®á¨ãá (¯® ⮩ ¥ ¯à¨ç¨¥, ¯® ª®â®à®© à ¥¥ ¬®® ¡ë«® ¢ë¡à âì «î¡®¥ ¨§ ¤¢ãå ¢®§¬®ëå § 票© â £¥á ). 㤥¬ áç¨â âì, çâ® os = p25 . á®, çâ® sin = p15 . Ǒ®áª®«ìªã tg > 0 ¨
os > 0, ¯®«ãç ¥¬, çâ® sin > 0, ¨ ¯®â®¬ã sin = p15 . ᨫã ä®à¬ã«ë (9) ¨§ x5, ä®à¬ã«ë ¯®¢®à®â á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¨¬¥îâ á«¥¤ãî騩 ¢¨¤: 8 2 0 p1 y0 = p1 (2x0 y0); > > <x = p x 5 5 5 1 2 1 > 0 0 > : y = p x + p y = p (x0 + 2y 0 ): 5 5 5 ª ª®©-¨¡ã¤ì
¬¥ïï x ¨ y ¯® í⨬ ä®à¬ã« ¬ ¢ ¨á室®¬ ãà ¢¥¨¨ ª¢ ¤à¨ª¨, à áªàë¢ ï ᪮¡ª¨ ¨ ¯à¨¢®¤ï ¯®¤®¡ë¥, ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â Ox0 y0: p p 10(y0)2 + 3 5x0 4 5y0 4 = 0: 뤥«¨¢ ¯®«ë© ª¢ ¤à â ¯® y0 ¢ «¥¢®© ç á⨠í⮣® ãà ¢¥¨ï, ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ p 1 1 0 2 0 p 10 (y ) 2 5 y + 5 2 + 3 5x0 4 = 0; ª®â®à®¥ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ p 2 1 3 5 2 0 0 y p 5 = 10 x p5 : ¤¥« ¥¬ § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå 8 > p2 ; < x00 = x0 5 > : y 00 = y 0 p1 : 5
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« ¢ 9. ¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¥© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯ à ««¥«ìë© ¯¥à¥®á ç « á¨áâ¥0 y0 ¨¬¥¥â ª®¬ë ª®®à¤¨ â ¢ â®çªã P , ª®â®à ï ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â Ox ®à¤¨ âë p25 ; p15 . à ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â P x00 y00 p 3 00 2 ¨¬¥¥â ¢¨¤ (y ) = 105 x00 . á®, çâ® íâ® ¯ à ¡®« . â®¡ë ¯®«ãç¨âì ¥¥ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥, ®áâ «®áì ᤥ« âì § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå 000 x = x00 ; y000 = y00 ; p 3 000 2 ¯®á«¥ 祣® ãà ¢¥¨¥ ¯ à ¡®«ë ¯à¨¬¥â ¢¨¤ (y ) = 105 x000 . â ª, p 3 è ª¢ ¤à¨ª ï¥âáï ¯ à ¡®«®© á ¯ à ¬¥â஬ p = 205 .
¥ à ᯮ«®¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® ¨á室®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â Oxy ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì® ¨§®¡à ¥® à¨á. 5. p 3 5 2 ⢥â: ¯ à ¡®« , y = 10 x. 00 y0 BMB y 6BMBy
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Ǒ।¥ 祬 ¯¥à¥å®¤¨âì ª § ¤ ç ¬ âà¥â쥣® ⨯ , ãâ®ç¨¬ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª á ⥫ìëå ª í««¨¯áã, £¨¯¥à¡®«¥ ¨ ¯ à ¡®«¥. Ǒ®¤ ª á ⥫쮩 ª í««¨¯áã ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯®¨¬ âì ¯à®¨§¢®«ìãî ¯àï¬ãî, ¨¬¥îéãî á í««¨¯á®¬ ஢® ®¤ã ®¡éãî â®çªã. á ⥫ì ï ª £¨¯¥à¡®«¥ | íâ® ¯àï¬ ï, ¨¬¥îé ï á £¨¯¥à¡®«®© ஢® ®¤ã ®¡éãî â®çªã ¨ ¥ ¯ à ««¥«ì ï ¨ ®¤®© ¨§ ᨬ¯â®â £¨¯¥à¡®«ë. ª®¥æ, ª á ⥫ì ï ª ¯ à ¡®«¥ | íâ® ¯àï¬ ï, ¨¬¥îé ï á ¯ à ¡®«®© ஢® ®¤ã ®¡éãî â®çªã ¨ ¥ ¯ à ««¥«ì ï ®á¨ á¨¬¬¥âਨ ¯ à ¡®«ë. ¬ëá« ®£®¢®à®ª ¢ ¤¢ãå
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¯®á«¥¤¨å ®¯à¥¤¥«¥¨ïå ïᥠ¨§ à¨á. 6 ¨ 7: ª ¤®¬ ¨§ ¨å ¯àï¬ ï â âì íâã ¯àï¬ãî ª á ⥫쮩. ⬥⨬, çâ® ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª á ⥫ìëå ª í««¨¯áã, £¨¯¥à¡®«¥ ¨ ¯ à ¡®«¥ ᮣ« áãîâáï á ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ª á ⥫쮩 ª ¯à®¨§¢®«ì®© ªà¨¢®©, ª®â®à®¥ ¤ ¥âáï ¢ ªãàᥠ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® «¨§ .
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¯¨á âì ãà ¢¥¨ï ª á ⥫ìëå ª £¨¯¥à¡®«¥ 4x2 y2 4 = 0; ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ â®çªã M (1; 4). ¥è¥¨¥. áᬮâਬ ¬®¥á⢮ S ¢á¥å ¯àï¬ëå, ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ â®çªã M . à ¢¥¨ï íâ¨å ¯àï¬ëå ¨¬¥îâ ¢¨¤ x = 1 + kt; y = 4 + `t; £¤¥ k2 + `2 6= 0. ®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ìãî ¯àï¬ãî ¨§ ¬®¥á⢠S ¨ ©¤¥¬ â®çª¨ ¥¥ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï á ¤ ®© £¨¯¥à¡®«®©. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ ãà ¢¥¨¥ £¨¯¥à¡®«ë 1 + kt ¢¬¥áâ® x ¨ 4 + `t ¢¬¥áâ® y, ¯®á«¥ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¯®¤®¡ëå ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ãà ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® t: (4k2 `2)t2 + 8(k `)t 16 = 0: (1) Ǒ®áª®«ìªã ª á ⥫ì ï ¨¬¥¥â á £¨¯¥à¡®«®© ஢® ®¤ã ®¡éãî â®çªã, íâ® ãà ¢¥¨¥ ¤®«® ¨¬¥âì ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. â® ¢®§¬®® ¢ ¤¢ãå á«ãç ïå: «¨¡® ãà ¢¥¨¥ (1) «¨¥©® ¨ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, â.¥. 4k2 `2 = 0 ¨ 8(k `) 6= 0, «¨¡® íâ® ãà ¢¥¨¥ ï¥âáï ª¢ ¤à âë¬ ¨ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, â.¥. 4k2 `2 6= 0 ¨ 2 2 2 D = 64(k `) + 64(4k ` ) = 0. ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥, ª ª «¥£ª® ¯®ïâì, ¤ ç 3.
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« ¢ 9. ¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
¯àï¬ ï ¯ à ««¥«ì ®¤®© ¨§ ᨬ¯â®â £¨¯¥à¡®«ë ¨ ¯®â®¬ã ¥ ï¥âáï ª á ⥫쮩. áâ «áï ¢â®à®© á«ãç ©. í⮬ á«ãç ¥ 5k2 2k` = 0. â® ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® à¥è¥¨© (çâ® ¨ ¥ 㤨¢¨â¥«ì®, â ª ª ª (k; `) | ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ¨áª®¬®© ¯àאַ©, ã ¯àאַ© ¡¥áª®¥ç® ¬®£® ¯à ¢«ïîé¨å ¢¥ªâ®à®¢). ® «î¡®¥ ¨§ à¥è¥¨© í⮣® ãà ¢¥¨ï ¯à®¯®à樮 «ì® ®¤®¬ã ¨§ à¥è¥¨© (0,1) ¨«¨ (2,5). â® ®§ ç ¥â, çâ® ¥áâì ¤¢¥ ª á ⥫ìë¥ ª 襩 £¨¯¥à¡®«¥, ¯à®å®¤ï騥 ç¥à¥§ â®çªã M : x=1 ; ¨ x = 1 + 2t; y=4+t y = 4 + 5t: ®®à¤¨ âë¥ ãà ¢¥¨ï íâ¨å ¯àï¬ëå ¨¬¥îâ ¢¨¤ x = 1 ¨ 5x 2y + 3 = 0. ⢥â: x = 1, 5x 2y + 3 = 0. 2.
¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï
1. ©â¨ ¯®«ã®á¨, ª®®à¤¨ âë ¢¥àè¨ ¨ 䮪ãᮢ, íªáæ¥âà¨á¨â¥â ¨ ãà ¢¥¨ï ¤¨à¥ªâà¨á í««¨¯á , § ¤ ®£® ãà ¢¥¨¥¬: ) 4x2 + 9y2 = 36; ¡) 25x2 + 9y2 = 225. 1 2. ªáæ¥âà¨á¨â¥â í««¨¯á e = , æ¥âà ᮢ¯ ¤ ¥â á ç «®¬ ª®®à3 ¤¨ â, ®¤¨ ¨§ 䮪ãᮢ ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë ( 2; 0). ëç¨á«¨âì à ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ í««¨¯á á ¡áæ¨áᮩ, à ¢®© 2, ¤® ¤¨à¥ªâà¨áë, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¤ ®¬ã 䮪ãáã. 1 3. ªáæ¥âà¨á¨â¥â í««¨¯á e = , æ¥âà ᮢ¯ ¤ ¥â á ç «®¬ ª®®à2 ãà ¢¥¨¥¬ x 16 = 0. ë稤¨ â, ®¤ ¨§ ¤¨à¥ªâà¨á ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᫨âì à ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ í««¨¯á á ¡áæ¨áᮩ, à ¢®© 4, ¤® 䮪ãá , ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¤ ®© ¤¨à¥ªâà¨á¥. 4. ©â¨ íªáæ¥âà¨á¨â¥â í««¨¯á , ¥á«¨: ) ¬ « ï ®áì í««¨¯á ¢¨¤ ¨§ 䮪ãá ¯®¤ 㣫®¬ 90Æ; ¡) ®â१®ª ¬¥¤ã 䮪ãá ¬¨ ¢¨¤¥ ¨§ ¢¥àè¨ í««¨¯á , à ᯮ«®¥ëå ®á¨ ®à¤¨ â, ¯®¤ 㣫®¬ 120Æ; ¢) à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã ¤¨à¥ªâà¨á ¬¨ ¢ 3 à § ¡®«ìè¥ à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã 䮪ãá ¬¨; £) ®â१®ª ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà , ®¯ã饮£® ¨§ æ¥âà í««¨¯á ¤¨à¥ªâà¨áã, ¤¥«¨âáï ¢¥à訮© ¯®¯®« ¬; ¤) à ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã 䮪ãá ¬¨ ¥áâì á।¥¥ à¨ä¬¥â¨ç¥áª®¥ ¤«¨ ®á¥©. 5. ¯à¥¤¥«¨âì, ª ª à ᯮ«®¥ ¯àï¬ ï ®â®á¨â¥«ì® í««¨¯á 9x2 +4y2 = 36 (¯¥à¥á¥ª ¥â í««¨¯á, ª á ¥âáï ¥£®, ¯à®å®¤¨â ¢¥ í««¨¯á ):
x
48. ¤ ç¨
p
367
) 2x + 3y 6 = 0; ¡) x y + 13 = 0; ¢) x + y 4 = 0. 6. ¯à¥¤¥«¨âì, ¯à¨ ª ª¨å § 票ïå ¯ à ¬¥âà m ¯àï¬ ï x + y + m = 0 ¯¥à¥á¥ª ¥â í««¨¯á x2 + 4y2 = 20, ª á ¥âáï ¥£®, ¯à®å®¤¨â ¢¥ í««¨¯á . 7. ¯¨á âì ãà ¢¥¨ï ª á ⥫ìëå ª í««¨¯áã x2 + 4y 2 = 20: ) ¯ à ««¥«ìëå ¯àאַ© x y + 10 = 0; ¡) ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàëå ¯àאַ© 2x 2y 13 = 0; ¢) ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ â®çªã M (4; 1). 8. ©â¨ ¯®«ã®á¨, ª®®à¤¨ âë ¢¥àè¨ ¨ 䮪ãᮢ, íªáæ¥âà¨á¨â¥â ¨ ãà ¢¥¨ï ᨬ¯â®â ¨ ¤¨à¥ªâà¨á £¨¯¥à¡®«ë, § ¤ ®© ãà ¢¥¨¥¬: ) x2 4y2 = 20; ¡) 16x2 9y2 = 144. 9. ®áâ ¢¨âì ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ £¨¯¥à¡®«ë, ¥á«¨ ¤ ë: p ) â®çª¨ M1(6; 2) ¨ M2( 8; 11), ¯à¨ ¤«¥ 騥 £¨¯¥à¡®«¥; ¡) p â®çª M ( 5; 3), ¯à¨ ¤«¥ é ï £¨¯¥à¡®«¥, ¨ íªáæ¥âà¨á¨â¥â e = 2; ¢) â®çª M (6; 2), ¯à¨ ¤«¥ é ï £¨¯¥à¡®«¥, ¨ ãà ¢¥¨ï ᨬ¯â®â 1 y = x; 2 £) â®çª M (4; 0), ¯à¨ ¤«¥ é ï £¨¯¥à¡®«¥, ¨ ãà ¢¥¨ï ¤¨à¥ªâà¨á x = 165 ; ¤) ãà ¢¥¨ï ᨬ¯â®â y = 2x ¨ ãà ¢¥¨ï ¤¨à¥ªâà¨á x = p15 . x2 y2 10. ¨¯¥à¡®« § ¤ ãà ¢¥¨¥¬ 2 = 1. ©â¨: a b2 ) à ááâ®ï¨¥ ®â 䮪ãá £¨¯¥à¡®«ë ¤® ¥¥ ᨬ¯â®âë; ¡) ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ à ááâ®ï¨© ®â «î¡®© â®çª¨ £¨¯¥à¡®«ë ¤® ¤¢ãå ᨬ¯â®â. 11. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ £¨¯¥à¡®«ë, ¥á«¨ ¨§¢¥áâë: ) íªáæ¥âà¨á¨â¥â e = 54 , 䮪ãá F (5; 0) ¨ ãà ¢¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¥¬ã ¤¨à¥ªâà¨áë x = 165 ; ¡) íªáæ¥âà¨á¨â¥â e = p5, 䮪ãá F (2; 3) ¨ ãà ¢¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¥¬ã ¤¨à¥ªâà¨áë 3x y + 3 = 0. 12. ¯à¥¤¥«¨âì, ª ª à ᯮ«®¥ ¯àï¬ ï ®â®á¨â¥«ì® £¨¯¥à¡®«ë x2 4y2 = 12 (¯¥à¥á¥ª ¥â ¥¥, ª á ¥âáï, ¯à®å®¤¨â ¢¥ £¨¯¥à¡®«ë): ) x 2y 4 = 0; ¡) 2x y = 0; ¢) x y 3 = 0; £) x 3y 4 = 0. 13. ¯à¥¤¥«¨âì, ¯à¨ ª ª¨å § 票ïå ¯ à ¬¥âà m ¯àï¬ ï y = 5 x + m ª á ¥âáï £¨¯¥à¡®«ë 4x2 y2 = 36. 2 14. ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ ª á ⥫ìëå ª £¨¯¥à¡®«¥ x2 y 2 = 16: ) ¯ à ««¥«ìëå ¯àאַ© 2x y = 0;
368
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¡) ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàëå ¯àאַ© x + 3y + 2 = 0; ¢) ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ â®çªã M ( 1; 7). 15. Ǒ®ª § âì, çâ® ãà ¢¥¨¥ 4xy + 3y 2 + 16x + 12y 36 = 0 ®¯à¥¤¥«ï¥â £¨¯¥à¡®«ã, ©â¨ ª®®à¤¨ âë 䮪ãᮢ, ãà ¢¥¨ï ¤¨à¥ªâà¨á ¨ ᨬ¯â®â ¢ ¨á室®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â. ¤¥« âì ç¥àâ¥. 16. ©â¨ ¯ à ¬¥âà, ª®®à¤¨ âë ¢¥àè¨ë ¨ 䮪ãá ¨ ãà ¢¥¨¥ ¤¨à¥ªâà¨áë ¯ à ¡®«ë, § ¤ ®© ãà ¢¥¨¥¬: ) y2 = 4x 8; ¡) y2 = 4 6x; ¢) x2 = 6y + 2; £) x2 = 2 y. 17. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ¯ à ¡®«ë, ¥á«¨ ¨§¢¥áâë: ) 䮪ãá F ( 7; 0) ¨ ãà ¢¥¨¥ ¤¨à¥ªâà¨áë x 7 = 0; ¡) 䮪ãá F (4; 3) ¨ ãà ¢¥¨¥ ¤¨à¥ªâà¨áë y + 1 = 0; ¢) 䮪ãá F (2; 1) ¨ ãà ¢¥¨¥ ¤¨à¥ªâà¨áë x y 1 = 0. 18. ¯à¥¤¥«¨âì, ª ª à ᯮ«®¥ ¯àï¬ ï ®â®á¨â¥«ì® ¯ à ¡®«ë y2 = 8x (¯¥à¥á¥ª ¥â ¥¥, ª á ¥âáï, ¯à®å®¤¨â ¢¥ ¯ à ¡®«ë): ) x y 4 = 0; ¡) 2x y + 2 = 0; ¢) x y + 2 = 0; £) 3y 5 = 0. 19. ¯à¥¤¥«¨âì, ¯à¨ ª ª¨å § 票ïå ¯ à ¬¥âà k ¯àï¬ ï y = kx + 2 ª á ¥âáï ¯ à ¡®«ë y2 = 4x. 20. ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ ª á ⥫ìëå ª ¯ à ¡®«¥ y 2 = 4x: ) ¯ à ««¥«ìëå ¯àאַ© x y + 5 = 0; ¡) ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàëå ¯àאַ© 2x + y 3 = 0; ¢) ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ â®çªã M (9; 6). 21. ¯à¥¤¥«¨âì ¢¨¤ ª¢ ¤à¨ª¨, ©â¨ ¥¥ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨ ¨§®¡à §¨âì ç¥à⥥ à ᯮ«®¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ (®â®á¨â¥«ì® ¨á室®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â): ) 4x2 + 9y2 40x + 36y + 100 = 0; ¡) 9x2 16y2 54x 64y 127 = 0; ¢) y2 2x + 6y + 17 = 0; £) 9x2 + 4y2 + 18x 8y + 49 = 0. 22. ¯à¥¤¥«¨âì ¢¨¤ ª¢ ¤à¨ª¨, ©â¨ ¥¥ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨ ¨§®¡à §¨âì ç¥à⥥ à ᯮ«®¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ (®â®á¨â¥«ì® ¨á室®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â): ) 25x2 14xy + 25y2 + 64x 64y 224 = 0; ¡) 3x2 + 10xy + 3y2 2x 14y 13 = 0; ¢) 7x2 + 6xy y2 + 28x + 12y + 28 = 0; £) 5x2 2xy + 5y2 4x + 20y + 20 = 0; ¤) 9x2 + 24xy + 16y2 18x + 226y + 209 = 0; ¥) x2 2xy + y2 12x + 12y 14 = 0; ) 4x2 + 12xy + 9y2 4x 6y + 1 = 0.
369
x
48. ¤ ç¨
3.
⢥âë
1.
a = 3, b
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x
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a
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p
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y = x, ¤¨à¥ªâà¨áë x = 4; 1 2
,
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p
2
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;
5, ¯à®å®¤¨â
x y
;
e
5 0), 䮪ãáë (
¢)
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p
5 = 0. 5
=
2
,
a = 4, b = 3, ¢¥àè¨ë (0; 4),
¡)
; 5), e = , ᨬ¯â®âë y = x, ¤¨à¥ªâà¨áë y = 16 . 4 3 5 2 y2 2 y2 2 y2 2 x x x x 9. ) = 1; ¡) = 1; ¢) = 1; £) 20 5 16 16 20 5 16 x2 y 2 = 1. ¤) 1
3
4
5
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¢) ¯à®å®¤¨â ¢¥ í««¨¯á .
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3 0), (0
p
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11.
22 b; ¡) 2a b 2 . a +b 2 16y 2 = 144; ) 9x
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)
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¢) ª á -
£) ¯¥à¥á¥ª ¥â ¢ ¤¢ãå â®çª å.
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p
y = 3x 8
2; ¢) 5x 3y 16 = 0 ¨ 13x +5y +48 = 0. ; 10); ¤¨à¥ªâà¨áë x + 2y + 2 = 0, x + 2y + 8 = 0; ᨬ¯â®âë 4x + 3y = 0, y + 4 = 0. 16. ) p = 2, ¢¥àè¨ (2,0), 䮪ãá (3,0), ¤¨à¥ªâà¨á x 1 = 0; ¡) p = 3, 2 5 ¢¥àè¨ ; 0 , 䮪ãá ; 0 , ¤¨à¥ªâà¨á 6x 13 = 0; ¢) p = 3, ¢¥àè¨ ¡)
15. ®ªãáë (6,2), (0
0
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1 3
䮪ãá
3
, 䮪ãá
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0
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0
3
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y
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28
¡)
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£)
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, ¢¥àè¨ (0,2),
5 = 0.
y = 1 x2 x + 3; 8
¢)
x2 + 2xy + y 2
x + 2y + 9 = 0.
6
18. ) Ǒ¥à¥á¥ª ¥â ¢ ¤¢ãå â®çª å; ¡) ¯à®å®¤¨â ¢¥ ¯ à ¡®«ë; ¢) ª á ¥âáï; £) ¯¥à¥á¥ª ¥â ¢ ®¤®© â®çª¥.
19.
k=
1 2
. 20.
)
x y + 1 = 0;
¡)
x
2
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¢)
x
y + 9 = 0.
3
370 21.
« ¢ 9. ¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâ¨
y 2 = 2x;
) ««¨¯á,
22.
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) ««¨¯á,
x;
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16
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1;
x2
y2
16
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¡) £¨¯¥à¡®« ,
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x
¥) ¯ à ¯ à ««¥«ìëå ¯àï¬ëå,
ᮢ¯ ¢è¨å ¯àï¬ëå,
4.
¡) £¨¯¥à¡®« ,
£) ¯ãá⮥ ¬®¥á⢮.
¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯àï¬ëå,
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4
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y = 0.
y = 0; y+5 =
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x2
y2
1
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£) â®çª ; 0,
y
¢) ¯ à ¡®« ,
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¢) ¯ à
¤) ¯ à ¡®« ,
5 = 0;
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¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò9
1. ) ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã ¤¨à¥ªâà¨á ¬¨ í««¨¯á ¢ 2 à § ¡®«ìè¥ à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã 䮪ãá ¬¨. ©â¨ ¥£® íªáæ¥âà¨á¨â¥â. ¡) ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã 䮪ãá ¬¨ £¨¯¥à¡®«ë ¢ 2 à § ¡®«ìè¥ à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã ¤¨à¥ªâà¨á ¬¨. ©â¨ 㣮« ¬¥¤ã ¥¥ ᨬ¯â®â ¬¨. ¢) ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã ¤¨à¥ªâà¨á ¬¨ í««¨¯á ¢ 4 à § ¡®«ìè¥ à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã 䮪ãá ¬¨. ©â¨ ¥£® íªáæ¥âà¨á¨â¥â. £) ááâ®ï¨¥ ¬¥¤ã 䮪ãá ¬¨ £¨¯¥à¡®«ë ¢ 3 à § ¡®«ìè¥ à ááâ®ï¨ï ¬¥¤ã ¤¨à¥ªâà¨á ¬¨. ©â¨ ãà ¢¥¨ï ¥¥ ᨬ¯â®â. 2. ©â¨ ¢¨¤ ¨ à ᯮ«®¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨. ¤¥« âì ç¥àâ¥. ) 12xy +5y2 12x 22y 19 = 0; ¡) 4x2 4xy + y2 3x +4y 7 = 0; ¢) 9x2 4xy +6y2 +16x 8y 2 = 0; £) x2 4xy +4y2 +4x 3y 7 = 0. 3. ®ª § âì, çâ® ª¢ ¤à¨ª ï¥âáï ¯ ன ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯àï¬ëå ¨ ©â¨ 2¨å ãà ¢¥¨ï ¢ ¨á室®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â: ) 2x xy y2 + 3y 2 = 0; ¡) 2x2 + 3xy 2y2 5x + 5y 3 = 0; ¢) 2x2 xy 3y2 2x + 3y = 0; £) 2x2 2y2 + 7x + 5y + 3 = 0. 4. ©â¨ ª á ⥫ìë¥ ª ª¢ ¤à¨ª¥ , ¯à®¢¥¤¥ë¥ ç¥à¥§ â®çªã A, ᤥ« âì ç¥àâ¥: ) : x22 + 4y22 4 = 0, A(2; 2); ¡) : y2 =24x, A( 1; 1); ¢) : x + 4y 4 = 0, A( 2; 3); £) : y = 4x, A(1; 3).
« ¢ 10
¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ « ¢ ¯®á¢ïé¥ ¨§ãç¥¨î ¯®¢¥àå®á⥩, § ¤ ¢ ¥¬ëå ãà ¢¥¨ï¬¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 (ª¢ ¤à¨ª ¢ ¯à®áâà á⢥). ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 £« ¢¥, ¢ ç «¥ à áᬠâਢ îâáï ¥ª®â®àë¥ ª®ªà¥âë¥ ¢¨¤ë ª¢ ¤à¨ª, § ⥬ ¯à¨¢®¤¨âáï ¨å ¯®« ï ª« áá¨ä¨ª æ¨ï. Ǒ®á«¥ í⮣® à áᬠâਢ îâáï ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 ª¢ ¤à¨ª ¢ ¯à®áâà á⢥. ¯à®â泌¨ ¢á¥© í⮩ £« ¢ë á¨á⥬ ª®®à¤¨ ⠯।¯®« £ ¥âáï
.
¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®©
x49.
¨«¨¤à¨ç¥áª¨¥ ¨ ª®¨ç¥áª¨¥
¯®¢¥àå®á⨠1.
¨«¨¤à¨ç¥áª¨¥ ¯®¢¥àå®áâ¨
¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ § ¤ ë «¨¨ï ` ¨ ¥ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ~a. Ǒ®¢¥àå®áâì, ®¡à §®¢ ï ¯àï¬ë¬¨, ¯à®å®¤ï騬¨ ç¥à¥§ ¢á¥¢®§¬®ë¥ â®çª¨ «¨¨¨ ` ¨ ª®««¨¥ à묨 ¢¥ªâ®àã ~a, §ë¢ ¥âáï 樫¨¤à¨ç¥áª®©. ¨¨ï ` §ë¢ ¥âáï ¯à ¢«ïî饩 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨, 㯮¬ïãâë¥ ¢ëè¥ ¯àï¬ë¥ | ¥¥ ®¡à §ãî騬¨. Ǒਬ¥à 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®á⨠¨§®¡à ¥ à¨á. 1. Ǒ®ª ¥¬, ª ª ¬®® ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ¥á«¨ ¤ ë ãà ¢¥¨ï ¯à ¢«ïî饩 ` ¨ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à ~a. Ǒãáâì «¨¨ï ` § ¤ ª®®à¤¨ â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨, â.¥. ¢ ¢¨¤¥ ¯¥à¥á¥-
372
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
ç¥¨ï ¤¢ãå ¯®¢¥àå®á⥩ (á¬. ç «® x9): 2 x + y2 + z 2 = 4; (1) x y + z = 1: Ǒ¥à¢ ï ¯®¢¥àå®áâì ï¥âáï áä¥à®© à ¤¨ãá 2 á æ¥â஬ ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â, ¢â®à ï | ¯«®áª®áâìî. ¡®§ 稬 áä¥àã ç¥à¥§ S , ¯«®áª®áâì | ç¥à¥§ . ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (12) ¨§ x8, «¥£ª® á®áç¨â âì, çâ® à ááâ®ï¨¥ ®â æ¥âà áä¥àë S ¤® ¯«®áª®áâ¨ à ¢® p13 . ç áâ®áâ¨, ®® ¬¥ìè¥ à ¤¨ãá áä¥àë. «¥¤®¢ ⥫ì®, «¨¨ï ` ï¥âáï ®ªàã®áâìî. Ǒãáâì ~a = (1; 2; 2). ¨«¨¤à¨ç¥áªãî ¯®¢¥àå®áâì á ¯à ¢«ïî饩 ` ¨ ®¡à §ãî騬¨, ª®««¨¥ à묨 ~a, ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ . ` ~a
¨á. 1 Ǒãáâì M (x0 ; y0; z0) | ¯à®¨§¢®«ì ï â®çª , ¯à¨ ¤«¥ é ï . Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®á⨠ç¥à¥§ ª ¤ãî ¥¥ â®çªã ¯à®å®¤¨â ®¡à §ãîé ï. ¡®§ 稬 ®¡à §ãîéãî ¯®¢¥àå®á⨠, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ â®çªã M , ç¥à¥§ m. â ª, m | ¯àï¬ ï, ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ â®çªã M , ª®««¨¥ à ï ¢¥ªâ®àã ~a ¨ ¯¥à¥á¥ª îé ï ªà¨¢ãî ` ( ¯à ¢«ïîéãî ¯®¢¥àå®á⨠) ¢ ¥ª®â®à®© â®çª¥. Ǒ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯àאַ© m ¨¬¥îâ ¢¨¤ 8 < x = x0 + t; y = y0 + 2t; : z = z0 + 2t:
x
49. ¨«¨¤à¨ç¥áª¨¥ ¨ ª®¨ç¥áª¨¥ ¯®¢¥àå®áâ¨
373
©¤¥¬ â®çªã M 0 ¯¥à¥á¥ç¥¨ï m ¨ ¯«®áª®á⨠: (x0 + t) (y0 + 2t) + (z0 + 2t) 1 = 0; ®âªã¤ t = x0 + y0 z0 + 1: «¥¤®¢ ⥫ì®, â®çª M 0 ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë: x = x0 + t = y0 z0 + 1; y = y0 + 2t = 2x0 + 3y0 2z0 + 2; z = z0 + 2t = 2x0 + 2y0 z0 + 2: ® íâ ¥ â®çª M 0 ¯à¨ ¤«¥¨â ¨ áä¥à¥ S ¨ ¯®â®¬ã 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¥¥ ãà ¢¥¨î. ¬¥¥¬ (y0 z0 + 1)2 + ( 2x0 + 3y0 2z0 + 2)2 + ( 2x0 + 2y0 z0 + 2)2 = 4: â ª, ª®®à¤¨ âë «î¡®© â®çª¨ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®á⨠㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î (y z + 1)2 + ( 2x + 3y 2z + 2)2 + ( 2x + 2y z + 2)2 = 4: (2) ¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® ¥á«¨ â®çª M ¥ ¯à¨ ¤«¥¨â , â® â®çª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï m ¨ ¥ «¥¨â áä¥à¥ S ¨ ¯®â®¬ã ¥¥ ª®®à¤¨ âë ¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î (2). â® ®§ ç ¥â, çâ® (2) | ãà ¢¥¨¥ ¯®¢¥àå®á⨠.
᫨ à áªàëâì ᪮¡ª¨ ¨ ¯à¨¢¥á⨠¯®¤®¡ë¥, â® ãà ¢¥¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤ 8x2 + 14y2 + 6z2 20xy + 12xz 18yz 16x + 22y 14z + 5 = 0: Ǒãáâì | 樫¨¤à¨ç¥áª ï ¯®¢¥àå®áâì á ¯à ¢«ïî饩 `, ®¡à §ãî騥 ª®â®à®© ¯ à ««¥«ìë ¢¥ªâ®àã ~a, | ¯«®áª®áâì, ¥ª®««¨¥ à ï ~a ¨ ¯¥à¥á¥ª îé ï ¯® ¥ª®â®à®© ªà¨¢®© s. 祢¨¤®, ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâìî, ¯à ¢«ïî饩 ª®â®à®© ï¥âáï s, ®¡à §ãî騥 ¯ à ««¥«ìë ~a (à¨á. 2). ¨¨ï s, ®ç¥¢¨¤®, ï¥âáï ¯«®áª®©. ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡ ï 樫¨¤à¨ç¥áª ï ¯®¢¥àå®áâì ¨¬¥¥â ¯à ¢«ïîéãî, ïîéãîáï ¯«®áª®© «¨¨¥©.
Ǒãáâì ⥯¥àì | 樫¨¤à¨ç¥áª ï ¯®¢¥àå®áâì, ` | ¯«®áª ï «¨¨ï, ïîé ïáï ¯à ¢«ïî饩 . Ǒ®¤®¡à ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ á¨á⥬㠪®®à¤¨ â, ¬ë ¬®¥¬ ¤®¡¨âìáï ⮣®, ç⮡ë íâ «¨¨ï «¥ « ¢ ¯«®áª®á⨠Oxy. ®£¤ ` § ¤ ¥âáï ª®®à¤¨ â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ ¢¨¤ F (x; y) = 0; (3) z = 0:
374
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
á®, çâ® ¢ ¯«®áª®á⮩ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ãà ¢¥¨¥ «¨¨¨ ` ¨¬¥¥â ¢¨¤ F (x; y) = 0. áᬮâਬ á«ãç ©, ª®£¤ ®¡à §ãî騥 ¯®¢¥àå®á⨠ª®««¨¥ àë ¢¥ªâ®àã ~a = (0; 0; 1) (â.¥. ®á¨ Oz). Ǒãáâì M 2 . ¡®§ 稬 ª®®à¤¨ âë â®çª¨ M0 ç¥à¥§ (x0 ; y0; z0). ãé¥áâ¢ã¥â â®çª 0 M 0 2 ` â ª ï, çâ® ¯àï¬ ï MM ª®««¨¥ à ~a. á®, çâ® â®çª M ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë (x0 ; y0; 0). Ǒ®áª®«ìªã M 0 2 `, ¯®«ãç ¥¬, çâ® F (x0 ; y0) = 0. â ª, ª®®à¤¨ âë «î¡®© â®çª¨, «¥ 饩 ¯®¢¥àå®á⨠, 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î F (x; y) = 0. Ǒãáâì ⥯¥àì â®çª M á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x0 ; y0; z0) ¥ «¥¨â 0. Ǒ஢¥¤¥¬ ç¥à¥§ M ¯àï¬ãî, ª®««¨¥ àãî ~a, ¨ ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ M â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï í⮩ ¯àאַ© á ¯«®áª®áâìî Oxy. á®, çâ® â®çª M 0 ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë (x0 ; y0; 0). Ǒ®áª®«ìªã 0 M 2= , â® M 2= `. «¥¤®¢ ⥫ì®, F (x0 ; y0 ) 6= 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, â®çª ¯à®áâà á⢠¯à¨ ¤«¥¨â ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥¥ ª®®à¤¨ âë 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î F (x; y) = 0. ë ¤®ª § «¨ á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥. ¥¬¬ .
᫨ ¯à ¢«ïîé ï 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®á⨠§ ¤ ª®®à¤¨ â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ , ®¡à §ãî騥 í⮩ ¯®¢¥àå®á⨠ª®««¨¥ àë ¢¥ªâ®àã ~a ; ; , â® íâ ¯®¢¥àå®áâì § ¤ ¥âáï ¢ ¯à®áâà á⢥ ãà ¢¥¨¥¬ F x; y .
(3) = (0 0 1) ( )=0
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375
x
49. ¨«¨¤à¨ç¥áª¨¥ ¨ ª®¨ç¥áª¨¥ ¯®¢¥àå®áâ¨
¯à¥¤¥«¥¨¥. ««¨¯â¨ç¥áª¨¬ 樫¨¤à®¬ §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯à®áâà á⢠, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î ¢¨¤
x2 a2
2
+ yb2 = 1; £¤¥ a; b > 0 ¨ a > b. â® ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨¤à . ᨫ㠫¥¬¬ë í««¨¯â¨ç¥áª¨© 樫¨¤à ï¥âáï 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâìî, ¯à ¢«ïî饩 ª®â®à®© á«ã¨â í««¨¯á, § ¤ ¢ ¥¬ë© ãà ¢¥¨ï¬¨ 8 2 y2 <x + = 1; a2 b2 : z = 0; ®¡à §ãî騥 ª®««¨¥ àë ¢¥ªâ®àã ~a = (0; 0; 1), â.¥. ®á¨ Oz (à¨á. 3). z
6 -y
p
x
¨á. 3 ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¬ 樫¨¤à®¬ §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯à®áâà á⢠, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î ¢¨¤
x2 a2
y2 b2
= 1;
£¤¥ a; b > 0. â® ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à .
376
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
ᨫ㠫¥¬¬ë £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© 樫¨¤à ï¥âáï 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâìî. ª ç¥á⢥ ¥¥ ¯à ¢«ïî饩 ¬®® ¢§ïâì £¨¯¥à¡®«ã, § ¤ ¢ ¥¬ãî ãà ¢¥¨ï¬¨ 8 <
x2 a2
y2 b2 z
= 1; = 0; ¥¥ ®¡à §ãî騥 ª®««¨¥ àë ¢¥ªâ®àã ~a = (0; 0; 1), â.¥. ®á¨ Oz (à¨á. 4). :
z
x
6 O
y ¨á. 4
z
6 -y
x
¨á. 5 ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ 樫¨¤à®¬ §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯à®áâà á⢠, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î ¢¨¤
377
x
49. ¨«¨¤à¨ç¥áª¨¥ ¨ ª®¨ç¥áª¨¥ ¯®¢¥àå®áâ¨
y2 = 2px;
£¤¥ p > 0. â® ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à . ᨫ㠫¥¬¬ë ¯aàa¡®«¨ç¥áª¨© 樫¨¤à ï¥âáï 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâìî. ª ç¥á⢥ ¥¥ ¯à ¢«ïî饩 ¬®® ¢§ïâì ¯aàa¡®«ã, § ¤ ¢ ¥¬ãî ãà ¢¥¨ï¬¨ 2 y = 2px; z = 0; ¥¥ ®¡à §ãî騥 ª®««¨¥ àë ¢¥ªâ®àã ~a = (0; 0; 1), â.¥. ®á¨ Oz (à¨á. 5). 2.
®¨ç¥áª¨¥ ¯®¢¥àå®áâ¨
¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì ¢ ¯à®áâà á⢥ § ¤ ë «¨¨ï ` ¨ â®çª P . Ǒ®¢¥àå®áâì, ®¡à §®¢ ï ¯àï¬ë¬¨, ¯à®å®¤ï騬¨ ç¥à¥§ â®çªã P ¨ ¢á¥¢®§¬®ë¥ â®çª¨ «¨¨¨ `, §ë¢ ¥âáï ª®¨ç¥áª®©. ¨¨ï ` §ë¢ ¥âáï ¯à ¢«ïî饩 ª®¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨, 㯮¬ïãâë¥ ¢ëè¥ ¯àï¬ë¥ | ¥¥ ®¡à §ãî騬¨, â®çª P | ¥¥ ¢¥à訮©. Ǒਬ¥à ª®¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®á⨠¨§®¡à ¥ à¨á. 6.
` P
p ¨á. 6
ª ¨ ¢ á«ãç ¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ¯®ª ¥¬, ª ª ¯¨á âì ãà ¢¥¨¥ ª®¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨. Ǒãáâì ¯à ¢«ïî饩 á«ã¨â ®ªàã®áâì (1), ¢¥àè¨ P ᮢ¯ ¤ ¥â á ç «®¬ ª®®à¤¨ â. Ǒãáâì M (x0 ; y0; z0 ) | ¯à®¨§¢®«ì ï â®çª ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ª®¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨. áᬮâਬ ¯àï¬ãî m, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ â®çª¨ P ¨ M . ¯¨è¥¬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï í⮩ ¯àאַ©, ¢§ï¢ â®çªã
378
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
! = (x0 ; y0; z0 ) ¢ ª ç¥á⢥ ¢ ª ç¥á⢥ ç «ì®© ¨ ¢¥ªâ®à P M ¯à ¢«ïî饣®. Ǒ®«ã稬 ãà ¢¥¨ï 8 < x = x0 t; y = y0 t; (4) : z = z0 t: ©¤¥¬ â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï m ¨ ¯«®áª®á⨠. «ï í⮣® ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ ãà ¢¥¨¥ í⮩ ¯«®áª®á⨠x0 t ¢¬¥áâ® x, y0t ¢¬¥áâ® y ¨ z0t ¢¬¥áâ® z. Ǒ®«ã稬 x0t y0t + z0t 1 = 0, ®âªã¤ t = x0 y10 + z0 . â® ®§ ç ¥â, çâ® â®çª M 0 ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯àאַ© m ¨ ¯«®áª®á⨠¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë P (0; 0; 0)
x0 y0 z0 ; ; : x0 y0 + z0 x0 y0 + z0 x0 y0 + z0 Ǒ®áª®«ìªã â®çª M 0 «¥¨â ¨ áä¥à¥ S , ¥¥ ª®®à¤¨ âë ¤®«ë 㤮-
¢«¥â¢®àïâì ãà ¢¥¨î áä¥àë. ¬¥¥¬ x20 y0 + z0 )2
+ (x0
y02 y0 + z0)2
z02 y0 + z0 )2
= 1: (x0 ᨫã ᪠§ ®£® ¢ëè¥ í⮬ã à ¢¥áâ¢ã 㤮¢«¥â¢®àïîâ ª®®à¤¨ âë ¢á¥å â®ç¥ª 襩 ¯®¢¥àå®áâ¨, ªà®¬¥ ¢¥àè¨ë P . 祢¨¤®, çâ® ãà ¢¥¨î x2 + y2 + z 2 = (x y + z )2 (5) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ª®®à¤¨ âë 㥠¢á¥å â®ç¥ª ¯®¢¥àå®áâ¨, ¢ª«îç ï P . ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® ¨ ®¡à â®, ¥á«¨ (x0 ; y0; z0) | à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (5), â® â®çª M (x0 ; y0; z0) «¥¨â 襩 ¯®¢¥àå®áâ¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, (5) | ¨áª®¬®¥ ãà ¢¥¨¥ í⮩ ¯®¢¥àå®áâ¨.
᫨ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠í⮣® ãà ¢¥¨ï à áªàëâì ᪮¡ª¨ ¨ ¯à¨¢¥á⨠¯®¤®¡ë¥, ¯®«ã稬 ¡®«¥¥ ¯à®á⮥ ãà ¢¥¨¥ xy xz + yz = 0; à ¢®á¨«ì®¥ (5). Ǒਢ¥¤¥¬ ¢ ë© ¤«ï ¤ «ì¥©è¥£® ¯à¨¬¥à ª®¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ®ãᮬ §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯à®áâà á⢠, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î ¢¨¤ x2 a2
2
+ yb2
z2
2
+ (x0
= 0;
(6)
x
49. ¨«¨¤à¨ç¥áª¨¥ ¨ ª®¨ç¥áª¨¥ ¯®¢¥àå®áâ¨
379
£¤¥ a; b; > 0. â® ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ª®ãá . ¡¥¤¨¬áï ¢ ⮬, çâ® ª®ãá ï¥âáï ª®¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâìî. Ǒãáâì ` | «¨¨ï, § ¤ ¢ ¥¬ ï ª®®à¤¨ â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ 8 < :
x2 a2
2
+ yb2 = 1; z = ;
(7)
£¤¥ 6= 0. Ǒãáâì | ª®¨ç¥áª ï ¯®¢¥àå®áâì á ¢¥à訮© ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â ¨ ¯à ¢«ïî饩 (7). ª ¨ à ¥¥, ¢¥àè¨ã ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ¡ãª¢®© P . á®, çâ® ª®®à¤¨ âë ¢¥àè¨ë ¯®¢¥àå®á⨠㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î (6).
᫨ M (x0; y0; z0) | â®çª í⮩ ª®¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ®â«¨ç ï ®â ¢¥àè¨ë, â® ®¡à §ãîé ï P M ¨¬¥¥â ãà ¢¥¨ï (4). ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® â®çª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ®¡à §ãî饩 P M ¨ ¯«®áª®á⨠z = ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë xz 0 ; yz 0 ; . Ǒ®¤áâ ¢¨¢ ¨å ¢ ãà ¢¥¨¥ 0 0 x2 a2
2
2 2
2 2
0
0
+ yb2 = 1, ¯®«ã稬 à ¢¥á⢮ z 2xa02 + z2yb02 = 1, ®âªã¤ x20 a2
2
2
+ yb20 = z 02 :
(8)
ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®®à¤¨ âë â®çª¨ M 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î (6). ë ¯®ª § «¨, çâ® ¥á«¨ â®çª ¯à¨ ¤«¥¨â , â® ¥¥ ª®®à¤¨ âë 㤮¢«¥â¢®àïîâ (6). Ǒ஢¥à¨¬ ®¡à ⮥ ã⢥थ¨¥. Ǒãáâì M (x0; y0; z0) | â®çª , ª®®à¤¨ âë ª®â®à®© 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î (6). ®£¤ ¢ë¯®«¥® à x20 y2 ¢¥á⢮ (8).
᫨ z0 = 0, â® a2 + b2 = 0, ®âªã¤ x0 = y0 = 0. ® ⮣¤ M | ç «® ª®®à¤¨ â, ¨ ¯®â®¬ã M 2 . Ǒãáâì ⥯¥àì z0 6= 0. áᬮ x
y
0 0 âਬ â®çªã M 0 z0 ; z0 ; . ®çª M 0 ¯à¨ ¤«¥¨â ¯à ¢«ïî饩 (7). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥¥ âà¥âìï ª®®à¤¨ â à ¢ , ¨§ à ¢¥á⢠(8) ¢ë⥪ ¥â, çâ® 2 2 x20 2 y02 2 x0 y02 2 x0 y02 1 = 1: + = + = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z0 a z0 b a b z0 a b x0 y02 + a2 b2 Ǒ®í⮬㠮áâ «®áì ¯à®¢¥à¨âì, çâ® â®çª M ¯à¨ ¤«¥¨â ¯àאַ© OM 0.
380
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
á ¬®¬ ¤¥«¥, íâ ¯àï¬ ï ¨¬¥¥â ãà ¢¥¨ï 8 x > x = 0 t; > > < z0 y0 y= t; > > z0 > : z=
t: Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ í⨠ãà ¢¥¨ï z 0 ¢¬¥áâ® t, ¨¬¥¥¬ x = x0 , y = y0 ¨ z = z0. «¥¤®¢ ⥫ì®, M 2 OM 0 . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ª®®à¤¨ âë â®çª¨ M 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î (6), â® M 2 . ¡ê¥¤¨ïï íâ® á ¤®ª § ë¬ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¡§ æ¥, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ª®ãá ᮢ¯ ¤ ¥â á ª®¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâìî . z
6 -y
x O
¨á. 7 §®¡à ¥¨¥ ª®ãá á¬. à¨á. 7. x50.
««¨¯á®¨¤ë, £¨¯¥à¡®«®¨¤ë,
¯ à ¡®«®¨¤ë
¯ à £à ä¥ à áᬠâਢ îâáï ¯ïâì ª®ªà¥âëå ¯®¢¥àå®á⥩, § ¤ ¢ ¥¬ëå ãà ¢¥¨ï¬¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 . 1.
««¨¯á®¨¤
¯à¥¤¥«¥¨¥. ««¨¯á®¨¤®¬ §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯à®áâà á⢠, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î ¢¨¤
x2 a2
2
2
+ yb2 + z 2 = 1;
x
50. ««¨¯á®¨¤ë, £¨¯¥à¡®«®¨¤ë, ¯ à ¡®«®¨¤ë
381
£¤¥ a; b; > 0. â® ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ í««¨¯á®¨¤ . ⬥⨬, çâ® ¯à¨ a = b = ¯à¨¢¥¤¥®¥ ⮫쪮 çâ® ãà ¢¥¨¥ à ¢®á¨«ì® ãà ¢¥¨î x2 + y2 + z2 = a2, ª®â®à®¥, ª ª ¨§¢¥áâ® ¨§ 誮«ì®£® ªãàá , § ¤ ¥â áä¥àã à ¤¨ãá a á æ¥â஬ ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â. ª¨¬ ®¡à §®¬, áä¥à ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ í««¨¯á®¨¤ (¯®¤®¡® ⮬㠪 ª ®ªàã®áâì ¥áâì ç áâë© á«ãç © í««¨¯á ). áá«¥¤ã¥¬ ä®à¬ã í««¨¯á®¨¤ , ¯à¨¬¥¨¢ â ª §ë¢ ¥¬ë© . ãâì í⮣® ¬¥â®¤ á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬. ë à áᥪ ¥¬ ¯®¢¥àå®áâì ¯«®áª®áâﬨ, ¯ à ««¥«ì묨 ª®®à¤¨ âë¬ ¯«®áª®áâï¬. á¥ç¥¨ïå ¯®«ãç îâáï «¨¨¨, ¢¨¤ ª®â®àëå ¬ë à ᯮ§ ¥¬. Ǒ஢¥¤ï ¤®áâ â®ç® ¬®£® â ª¨å á¥ç¥¨©, ¬ë ¢ ¨â®£¥ ¯®«ã稬 ¨â¥£à¨à®¢ ë© ®¡à § ¯®¢¥àå®áâ¨. áᬮâਬ á¥ç¥¨¥ í««¨¯á®¨¤ ¯«®áª®áâﬨ, ¯ à ««¥«ì묨 ¯«®áª®á⨠Oxy. à ¢¥¨¥ ¢á类© â ª®© ¯«®áª®á⨠¨¬¥¥â ¢¨¤ z = h, £¤¥ h | ¥ª®â®à®¥ ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«®. ¬¥¥¬ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© ¬¥â®¤ á¥-
票©
8 > < > :
x2 a2
ª®â®à ï à ¢®á¨«ì á¨á⥬¥ 8 <
2
2
+ yb2 + z 2 = 1;
x2 a2
z 2
= h; 2
+ yb2 = 1 h 2 ; : z=h : Ǒ®á«¥¤ïï á¨á⥬ ¯à¨ jhj > à¥è¥¨© ¥ ¨¬¥¥â (â.¥. ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯ãá⮥ ¬®¥á⢮), ¯à¨ jhj = ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ (®¯à¥¤¥«ï¥â â®çªã), ¯à¨ jhj < £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ¬®¥á⢠à¥è¥¨© í⮩ á¨á⥬ë ï¥âáï í««¨¯á, § ¤ ¢ ¥¬ë© ãà ¢¥¨ï¬¨ 8 <
x2 h2 = 2 )2
(a 1
+ (bp1
y2 h2 = 2)2 z
= 1; = h:
᫨ h = 0, â® ¯®«ã®á¨ í««¨¯á ¨¬¥îâ ¨¡®«ì襥 § 票¥, á à®á⮬ jhj ®¨ 㬥ìè îâáï, ¨ ¯à¨ jhj = í««¨¯á \ᨬ ¥âáï" ¢ â®çªã. â®¡ë ¨¬¥âì ¡®«¥¥ ¯®«®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ® ä®à¬¥ í««¨¯á , ¤® à áᬮâà¥âì á¥ç¥¨ï ¯«®áª®áâﬨ, ¯ à ««¥«ì묨 ¯«®áª®á⨠Oxz (â.¥. § ¤ ¢ ¥¬ë¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ¢¨¤ y = h) ¨ ¯ à ««¥«ì묨 ¯«®áª®á⨠Oyz (â.¥. § ¤ ¢ ¥¬ë¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ¢¨¤ x = h). «ï ¯à®áâ®âë à áᬮâਬ ⮫쪮 á¥ç¥¨ï ¯«®áª®áâﬨ y = 0 ¨ x = 0. ®¡®¨å á«ãç ïå :
p
382
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
¢ á¥ç¥¨¨ ¯®«ãç îâáï í««¨¯áë: 8 <
x2 a2 :
2
+ z 2 = 1; ¨ y=0 z
8 <
y2 b2 :
2
+ z 2 = 1; x = 0:
6 -y
x
¨á. 8 ª®ç â¥«ì® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ® ä®à¬¥ í««¨¯á®¨¤ ¤ ¥â à¨á. 8. 2.
¤®¯®«®áâë© ¨ ¤¢ã¯®«®áâë© £¨¯¥à¡®«®¨¤ë
¯à¥¤¥«¥¨¥. ¤®¯®«®áâë¬ £¨¯¥à¡®«®¨¤®¬ §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯à®áâà á⢠, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î ¢¨¤
x2 a2
2
2
+ yb2 z 2 = 1; £¤¥ a; b; > 0. â® ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ®¤®¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ . á¥ç¥¨¨ £®à¨§®â «ì®©rª®®à¤¨ ⮩ r ¯«®áª®áâìî z = h ¯®«ã2 h2 ç ¥âáï í««¨¯á á ¯®«ã®áﬨ a 1 + 2 ¨ b 1 + h 2 . ç¥¨ï ¯®«ã®á¥© ¬¨¨¬ «ìë ¯à¨ h = 0 ¨ ¢®§à áâ îâ á à®á⮬ jhj. á¥ç¥¨¨ ª®®à¤¨ â묨 ¯«®áª®áâﬨ x = 0 ¨ y = 0 ¯®«ãç îâáï ᮮ⢥âá⢥® 2 2 y2 z 2 £¨¯¥à¡®«ë b2 2 = 1 ¨ xa2 z 2 = 1. 楫®¬ ®¤®¯®«®áâë© £¨¯¥à¡®«®¨¤ ¢ë£«ï¤¨â â ª, ª ª ¯®ª § ® à¨á. 9. ⬥⨬ ¥é¥, çâ® ¯«®áª®á⨠x = a ¨ y = b ¯¥à¥á¥ª îâ ¯®¢¥àå®áâì ¯® ¯ ॠ¯àï¬ëå.
383
x
50. ««¨¯á®¨¤ë, £¨¯¥à¡®«®¨¤ë, ¯ à ¡®«®¨¤ë
z
6 -y
= x ¨á. 9
¯à¥¤¥«¥¨¥. ¢ã¯®«®áâë¬ £¨¯¥à¡®«®¨¤®¬ §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯à®áâà á⢠, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î ¢¨¤
x2 a2
2
x2 a2 :
2
2
+ yb2 z 2 = 1; £¤¥ a; b; > 0. â® ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¤¢ã¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ . áᬮâਬ á¥ç¥¨ï ¤¢ã¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ £®à¨§®â «ì®© ª®®à¤¨ ⮩ ¯«®áª®áâìî z = h. Ǒ®«ãç¨âáï ªà¨¢ ï 8 <
2
+ yb2 = 1 + h 2 ; z=h :
᫨ jhj < , â® íâ á¨á⥬ à¥è¥¨© ¥ ¨¬¥¥â; ¥á«¨ jhj = , â® á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥; ¥á«¨ ¥ jhj > , â® á¥ç¥¨¥ ¥áâì í««¨¯á, ¯®«ã®á¨ ª®â®à®£® à áâãâ á à®á⮬ jhj. å à®áâ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï £¨¯¥à¡®« ¬¨ 8 <
x2 a2 :
z2
2 y
= 1; ¨ =h
8 <
y2 b2 :
z2
2 x
= 1; = h:
384
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
z
6
-y
O
x ¨á. 10 १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥âáï ¯®¢¥àå®áâì, ¨§®¡à ¥ ï à¨á. 10. ⬥⨬ ¥é¥, çâ® íâ ¯®¢¥àå®áâì á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ç á⥩, çâ® ®âà ¥âáï ¢ §¢ ¨¨ \¤¢ã¯®«®áâë©". 3.
««¨¯â¨ç¥áª¨© ¨ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© ¯ à ¡®«®¨¤ë
¯à¥¤¥«¥¨¥. ««¨¯â¨ç¥áª¨¬ ¯ à ¡®«®¨¤®¬ §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯à®áâà á⢠, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î ¢¨¤
x2 a2
2
+ yb2 = 2z;
£¤¥ a; b > 0 ¨ a > b. â® ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ í««¨¯â¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ .
385
x
50. ««¨¯á®¨¤ë, £¨¯¥à¡®«®¨¤ë, ¯ à ¡®«®¨¤ë
᫨ â®çª M ¯à¨ ¤«¥¨â í««¨¯â¨ç¥áª®¬ã ¯ à ¡®«®¨¤ã, â®, ®ç¥¢¨¤®, z > 0. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¯®¢¥àå®áâì à ᯮ«®¥ ¤ ª®®à¤¨ ⮩ ¯«®áª®áâìî Oxy, ¨¬¥ï á ¥© ⮫쪮 ®¤ã ®¡éãî â®çªã | ç «® ª®®à¤¨ â. á¥ç¥¨¨ ¯«®áª®áâìî z = h ¯à¨ h > 0 ¯®ï¢«ï¥âáï í««¨¯á, ¯®«ã®á¨ ª®â®à®£® à áâãâ á à®á⮬ h. ¥ç¥¨¥ ¯«®áª®áâﬨ y = h ¨ x = h ¤ ¥â ¯ à ¡®«ë (à¨á. 11). z
6
-y
O x
¨á. 11
¯à¥¤¥«¥¨¥. ¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¬ ¯ à ¡®«®¨¤®¬ §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯à®áâà á⢠, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î ¢¨¤
x2 a2
y2 b2
= 2z;
x2 a2 :
y2 b2 z
= 2h; = h:
£¤¥ a; b > 0. â® ãà ¢¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ . â ¯®¢¥àå®áâì ¨¡®«¥¥ á«® ï ¨§ à áᬮâà¥ëå ¢ ¤ ®¬ ¯ à £à ä¥. Ǒ®í⮬㠮áâ ®¢¨¬áï ¥© ¥áª®«ìª® ¯®¤à®¡¥¥. áᬮâਬ á¥ç¥¨¥ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ ¯«®áª®áâﬨ, ¯ à ««¥«ì묨 Oxy. Ǒ®«ã稬 ªà¨¢ãî 8 <
386
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
᫨ h = 0, ¢ á¥ç¥¨¨ ¯®«ãç ¥âáï ¯ à ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯àï¬ëå, ª®â®àë¥ ¢ ¯«®áª®á⨠Oxy § ¤ îâáï ãà ¢¥¨ï¬¨ xa yb = 0 ¨ xa + yb = 0. Ǒਠh > 0 è¥ á¥ç¥¨¥ ï¥âáï £¨¯¥à¡®«®©, ã ª®â®à®© ®áì Ox ï¥âáï ¤¥©á⢨⥫쮩, ®áì Oy | ¬¨¬®©; ¯à¨ h < 0 ¢®§¨ª ¥â £¨¯¥à¡®« , ã ª®â®à®© ®áì Ox ï¥âáï ¬¨¬®©, ®áì Oy | ¤¥©á⢨⥫쮩 (â®ç¥¥, ¢ ®¡®¨å á«ãç ïå á«¥¤ã¥â £®¢®à¨âì ¥ ® á ¬¨å ®áïå Ox ¨ Oy, ® ¨å ®à⮣® «ìëå ¯à®¥ªæ¨ïå ¯«®áª®áâì z = h). z
6 y -x
¨á. 12 Ǒ஢¥¤¥¬ ⥯¥àì á¥ç¥¨ï ¯«®áª®áâﬨ, ¯ à ««¥«ì묨 Oxz. Ǒ®«ã稬 ªà¨¢ãî 8 <
x2 a2 : y
2
= 2z + hb2 ; =h :
᫨ h = 0, â® ¢ á¥ç¥¨¨ ¯®«ãç ¥âáï ¯ à ¡®« ¢¥â¢ï¬¨ ¢¢¥àå, â.¥. ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ®á¨ Oz. à®á⮬ jhj ¯ à ¡®« ¥ ¨§¬¥ï¥âáï \¢ à §¬¥à å", ® ¥¥ ¢¥àè¨ ¯®¤¨¬ ¥âáï ¢¤®«ì ®á¨ Oz. «®£¨ç ï ª à⨠¯®«ãç ¥âáï ¯à¨ á¥ç¥¨¨ ¯«®áª®áâﬨ ¢¨¤ x = h. á¥ç¥¨¨ ⮥ ¯®«ãç îâáï ¯ à ¡®«ë, ⮫쪮 ¨å ¢¥â¢¨ ¯à ¢«¥ë ¢¨§. 楫®¬ ¯®«ãç ¥âáï ¯®¢¥àå®áâì, ¨§®¡à ¥ ï à¨á. 12.
387
x
51. Ǒ®ï⨥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
x51. 1.
Ǒ®ï⨥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
¯à¥¤¥«¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
¯à¥¤¥«¥¨¥. à ¢¥¨¥¬ ¢â®à®£® ¯®à浪 á âà¥¬ï ¥¨§¢¥áâë-
§ë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ a11 x2 + a22 y2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + (1) + 2a1x + 2a2y + 2a3z + a0 = 0; £¤¥ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¨§ ª®íää¨æ¨¥â®¢ a11; a22; a33; a12; a13 ¨ a23 ®â«¨ç¥ ®â ã«ï. 㬬 a11 x2 + a22 y2 + a33 z 2 + 2a12xy + 2a13 xz + 2a23 yz §ë¢ ¥âáï ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬®© áâ àè¨å ç«¥®¢ ãà ¢¥¨ï (1), á㬬 2a1x +2a2y +2a3z | «¨¥©®© ä®à¬®© ¬« ¤è¨å ç«¥®¢ í⮣® ãà ¢¥¨ï, a0 | ¥£® ᢮¡®¤ë¬ ç«¥®¬. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¢ ¤à¨ª®© ¢ ¯à®áâà á⢥ (¨«¨ ¯®¢¥àå®áâìî ¢â®à®£® ¯®à浪 ) §ë¢ ¥âáï ¬®¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯à®áâà á⢠, ª®®à¤¨ âë ª®â®àëå ¢ ¯®¤å®¤ï饩 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î ¢â®à®£® ¯®à浪 á âà¥¬ï ¥¨§¢¥áâ묨. Ǒਬ¥à ¬¨ ª¢ ¤à¨ª ¢ ¯à®áâà á⢥ ïîâáï ¯®¢¥àå®áâ¨, à áᬮâà¥ë¥ ¢ x49 ¨ 50, | í««¨¯â¨ç¥áª¨©, £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© ¨ ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨© 樫¨¤àë, ª®ãá, í««¨¯á®¨¤, ®¤®¯®«®áâë© ¨ ¤¢ã¯®«®áâë© £¨¯¥à¡®«®¨¤ë, í««¨¯â¨ç¥áª¨© ¨ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© ¯ à ¡®«®¨¤ë. ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¢ x52, ªà®¬¥ íâ¨å ¤¥¢ï⨠¯®¢¥àå®á⥩ áãé¥áâ¢ãîâ «¨èì ¥áª®«ìª® ¢ëத¥ëå ª¢ ¤à¨ª ¢ ¯à®áâà á⢥. à ¢¥¨¥ (1) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
¬
0
a11 (x; y; z) a21 a31
a12 a22 a32
1 0
1
0
1
a13 x x a23 A y A + 2(a1 ; a2 ; a3 ) y A + a0 = 0; a33 z z
(2)
£¤¥ a21 = a12, a31 = a13 ¨ a32 = a23. ªãî § ¯¨áì ãà ¢¥¨ï ª¢ ¤à¨ª¨ ¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯®«®© ¬ âà¨ç®© ä®à¬®© § ¯¨á¨. ¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騥 ®¡®§ 票ï: 0
1
a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 A ; ~x = (x; y; z ); ~a = (a1 ; a2 ; a3 ): a31 a32 a33
388
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
âà¨æ A §ë¢ ¥âáï ¬ âà¨æ¥© ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë áâ àè¨å ç«¥®¢. ᯮ«ì§ãï ¢¢¥¤¥ë¥ ®¡®§ 票ï, à ¢¥á⢮ (2) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ~xA~x> + 2~a~x> + a0 = 0: (3) ªãî § ¯¨áì ¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ªà ⪮© ¬ âà¨ç®© ä®à¬®© § ¯¨á¨ ãà ¢¥¨ï ª¢ ¤à¨ª¨. ëïᨬ, ª ª ¬¥ï¥âáï ¬ âà¨æ ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë áâ àè¨å ç«¥®¢ ¯à¨ § ¬¥¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â. «ï í⮣® ¬ ¯® ¤®¡¨âáï ¬ âà¨ç ï § ¯¨áì ä®à¬ã« ¯¥à¥å®¤ ®â áâ ன á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ª ®¢®©. Ǒãáâì ~x = (x; y; z) ¨ ~x0 = (x0 ; y0; z0) | ª®®à¤¨ âë ¤ ®© â®çª¨ ¢ áâ ன ¨ ®¢®© á¨á⥬ å ª®®à¤¨ â ᮮ⢥âá⢥®, p~ = (p1 ; p2; p3) | ª®®à¤¨ âë ®¢®£® ç « ª®®à¤¨ â ¢ áâ ன á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â, T | ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â áâ ண® ¡ §¨á ª ®¢®¬ã. ®£¤ ä®à¬ã«ë § ¬¥ë á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â, â.¥. ä®à¬ã«ë (6) ¨§ x5, ¬®£ãâ ¡ëâì § ¯¨á ë ¢ ¢¨¤¥ ~x> = T (~x0 )> + p~> : (4)
᫨ ¢ áâ ன á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ª¢ ¤à¨ª § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (3), â® ¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¢ ®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¯®«ãç¨âáï, ¥á«¨ ¢ (3) § ¬¥¨âì ~x ¯® ä®à¬ã«¥ (4). ç¨âë¢ ï, çâ® ~x =(~x> )> =(T (~x0 )>+~p>)> =(T (~x0 )> )>+(p~>)> =((~x0 )> )> T >+~p = ~x0 T >+~p; ¨¬¥¥¬ (~x0 T > + ~p)A(T (~x0 )> + p~>) + 2~a(T (~x0)> + p~>) + a0 = 0: (5) § ãà ¢¥¨ï (5) ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¢ ®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ áâ àè¨å ç«¥®¢ ¨¬¥¥â ¬ âà¨æã T >AT . Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ ® § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¢â®à®£® ¯®à浪 á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â. ª §ë¢ ¥âáï, á¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ¡®«¥¥ ᨫ쮥 ã⢥थ¨¥. ¢ ¥ª®â®à®©
¥®à¥¬ 1. Ǒந§¢®«ì ï ª¢ ¤à¨ª ¢ ¯à®áâà á⢥ ¢ «î¡®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¬®¥â ¡ëâì § ¤ ãà ¢¥¨¥¬ ¢â®à®£® ¯®à浪 á âà¥¬ï ¥¨§¢¥áâ묨. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬®¥á⢮ â®ç¥ª ¢ ¯à®áâà á⢥ ¢ ¨á室®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (3). ®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â íâ® ¬®¥á⢮ â®ç¥ª ¡ã¤¥â £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ãà ¢¥¨ï (5), ¬ âà¨æ ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë ª®â®à®£® à ¢ T >AT . § ä®à¬ã« § ¬¥ë á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â á ®ç¥¢¨¤®áâìî ¢ë⥪ ¥â, çâ® ®¨ ¥ ¬®£ãâ ¯®¢ëá¨âì á⥯¥ì ãà ¢¥¨ï, ¨ ¯®â®¬ã ¢ ®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â è¥ ¬®¥á⢮ â®ç¥ª § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¯¥à¢®£® ¨«¨
x
51. Ǒ®ï⨥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
389
¢â®à®£® ¯®à浪 . Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ®® § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . â® ®§ ç ¥â, çâ® ¬ âà¨æ ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë ¢ ®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â | ã«¥¢ ï. â ª, T >AT = O. ç¨âë¢ ï «¥¬¬ã 2 ¨§> x28, ᢮©á⢮ 9 ¨§ x13 ¨ ⥮६㠨§ x31, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¬ âà¨æë T ¨ T ®¡à ⨬ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, A = (T > ) 1 (T >AT )T 1 = (T >) 1 O T 1 = O: ® à ¢¥á⢮ A = O ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ®¯à¥¤¥«¥¨î ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪 . «¥¤®¢ ⥫ì®, T >AT 6= O. ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . 2.
¯à®é¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ª¢ ¤à¨ª¨
à ¢¥¨¥ (1) ᮤ¥à¨â ¤¥áïâì ª®íää¨æ¨¥â®¢. Ǒ®í⮬㠫¨§¨à®¢ âì íâ® ãà ¢¥¨¥ ¨ ®¯à¥¤¥«ïâì ¢¨¤ § ¤ ®© ¨¬ ¯®¢¥àå®á⨠ªà ©¥ § âà㤨⥫ì®. ª §ë¢ ¥âáï, ®¤ ª®, çâ® ¬®® ¯®¤®¡à âì á¨á⥬㠪®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© ãà ¢¥¨¥ ⮩ ¥ ¯®¢¥àå®á⨠¡ã¤¥â ¢ë£«ï¤¥âì ¬®£® ¯à®é¥. ¥®à¥¬ 2. «ï ¢á类© ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© ãà ¢¥¨¥ í⮩ ª¢ ¤à¨ª¨ ¥ ᮤ¥à¨â á« £ ¥¬ëå á ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ à §«¨çëå ¥¨§¢¥áâëå. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì (O; ~b1 ; ~b2 ; ~b3 ) | ¨á室 ï ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ (3). ç áâ®áâ¨, A | ¬ âà¨æ ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë áâ àè¨å ç«¥®¢ í⮣® ãà ¢¥¨ï. Ǒãáâì A = (a ). á®, çâ® ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¥ ᮤ¥à¨â á« £ ¥¬ëå á ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ à §«¨çëå ¥¨§¢¥áâëå ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¬ âà¨æ A ¤¨ £® «ì . ¤® ©â¨ ®¢ãî ¯àאַ㣮«ìãî ¤¥ª à⮢ã á¨á⥬㠪®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© ¬ âà¨æ T >AT ¡ë« ¡ë ¤¨ £® «ì®© (§¤¥áì, ª ª ®¡ëç®, T | ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â áâ ண® ¡ §¨á ª ®¢®¬ã). áᬮâਬ «¨¥©ë© ®¯¥à â®à ~y = A(~x), § ¤ ¢ ¥¬ë© ¢ ¡ §¨á¥ ~ (b1; ~b2; ~b3) ¬ âà¨æ¥© A = (a ). Ǒ®áª®«ìªã íâ ¬ âà¨æ ᨬ¬¥âà¨ç , ®¯¥à â®à ~y = A(~x) â ª¥ ¡ã¤¥â ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ (á¬. ⥮६ã 1 ¢ x41). «¥¤®¢ ⥫ì®, áãé¥áâ¢ã¥â ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á (~ 1;~ 2;~ 3), á®áâ ¢«¥ë© ¨§ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à ~y = A(~x) (á¬. § ¬¥ç ¨¥ á. 333). ¡¥¤¨¬áï, çâ® ¢ ª ç¥á⢥ ¨áª®¬®© ®¢®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¬®® ¢§ïâì á¨á⥬ã (O; ~ 1;~ 2;~ 3). Ǒãáâì ¢¥ªâ®àë ~ 1;~ 2 ¨ ~ 3 ¨¬¥îâ ¢ áâ ஬ ¡ §¨á¥ ª®®à¤¨ âë ( 11; 12 ; 13), ( 21 ; 22; 23) ¨ ( 31 ; 32; 33) á®®âij
ij
390
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
¢¥âá⢥®. ®£¤
0
1
11 21 31 T = 12 22 32 A :
13 23 33
Ǒ®áª®«ìªã ~ 1;~ 2 ¨ ~ 3 | ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë ®¯¥à â®à ~y = A(~x), áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« t1; t2 ¨ t3 â ª¨¥, çâ® A(~ 1 ) = t1~ 1, A(~ 2 ) = t2~ 2 ¨ A(~ 3 ) = t3~ 3 . ¯¥à â®à ~y = A(~x) ¢ ¡ §¨á¥ (~b1 ; ~b2; ~b3) § ¤ ¥âáï à ¢¥á⢠¬¨ 8 < y1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ; y2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ; : y3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 :
᫨ ¢ íâ¨ à ¢¥á⢠¢¬¥áâ® x1; x2 ; x3 ¯®¤áâ ¢¨âì, ¯à¨¬¥à, 11, 12 ,
13 , â® ¯®«ã稬 y1 = t1 11 , y2 = t1 12 , y3 = t1 13 , ¯®áª®«ìªã ~ 1 | ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à 襣® ®¯¥à â®à , ®â®áï騩áï ª ᮡá⢥®¬ã ç¨á«ã t1 . «®£¨çë¥ à¥§ã«ìâ âë ¯®«ãç âáï ¯à¨ ¯®áâ ®¢ª¥ ¢ 㪠§ ë¥ à ¢¥á⢠ª®®à¤¨ â ¢¥ªâ®à®¢ ~ 2 ¨ ~ 3. ãç¥â®¬ í⮣® ¨¬¥¥¬ 0
1 0
1
0
1
a11 a12 a13
11 21 31 t1 11 t2 21 t3 31 AT = a21 a22 a23 A 12 22 32 A = t1 12 t2 22 t3 32 A : a31 a32 a33
13 23 33 t1 13 t2 23 t3 33 ç¨âë¢ ï, çâ® ¢¥ªâ®àë ~ 1;~ 2 ¨ ~ 3 ¯®¯ à® ®à⮣® «ìë ¨ ¨¬¥îâ ¥¤¨-
¨çãî ¤«¨ã, ¨¬¥¥¬ 0
1 0
1
0
1
11 12 13 t1 11 t2 21 t3 31 t1 0 0 T >AT = 21 22 23 A t1 12 t2 22 t3 32 A = 0 t2 0 A :
31 32 33 t1 13 t2 23 t3 33 0 0 t3
¥®à¥¬ 2 ¤®ª § .
¥®à¥¬ 3. «ï ¢á类© ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯àאַ㣮«ì ï ¤¥ª à⮢ á¨á⥬ ª®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© ãà ¢¥¨¥ í⮩ ª¢ ¤à¨ª¨ ¨¬¥¥â ®¤¨ ¨§ á«¥¤ãîé¨å âà¥å ¢¨¤®¢:
Ax2 + By2 + Cz 2 + D = 0; £¤¥ A 6= 0; B 6= 0; C 6= 0; Ex2 + F y2 + 2Gz + H = 0; £¤¥ E 6= 0; F 6= 0; Ky2 + 2Lx + M = 0; £¤¥ K 6= 0:
(6) (7) (8)
®ª § ⥫ìá⢮. ᨫã ⥮६ 1 ¨ 2 ¬®® áç¨â âì, çâ® ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ a11 x2 + a22 y2 + a33 z 2 + 2a1 x + 2a2y + 2a3 z + a0 = 0; (9)
x
51. Ǒ®ï⨥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
391
£¤¥ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¨§ ª®íää¨æ¨¥â®¢ a11 ; a22 ¨ a33 ®â«¨ç¥ ®â ã«ï. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® a11 6= 0. 뤥«¨¬ ¯®«ë© ª¢ ¤à â ¯® x. Ǒ®«ã稬 à ¢¥á⢮ a11
£¤¥ a00 = a0
a1 2 + a22y2 + a33z2 + 2a2y + 2a3z + a00 = 0; x+ a11 a21 . ¤¥« ¢ § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå a11 8 a1 0 > ; <x = x + a 11 y0 = y ; > : 0 z =z
(£¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¥© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᤢ¨£ ¢¤®«ì ®á¨ Ox), ¬ë ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ a11 (x0 )2 + a22 (y0 )2 + a33 (z 0 )2 + 2a2 y0 + 2a3 z 0 + a00 = 0; ¥ ᮤ¥à 饥 «¨¥©®£® á« £ ¥¬®£® ¯® x. «®£¨ç®, ¥á«¨ a22 6= 0, ⮠ᤢ¨£®¬ ¢¤®«ì ®á¨ Oy ¬®® ¨§¡ ¢¨âìáï ®â «¨¥©®£® á« £ ¥¬®£® ¯® y, ¥á«¨ a33 6= 0, ⮠ᤢ¨£®¬ ¢¤®«ì ®á¨ Oz ¬®® ¨§¡ ¢¨âìáï ®â «¨¥©®£® á« £ ¥¬®£® ¯® z. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®® áç¨â âì, çâ® ¥á«¨ ¢ ãà ¢¥¨¨ (9) ®â«¨ç¥ ®â ã«ï ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ª¢ ¤à ⥠¥ª®â®à®© ¥¨§¢¥á⮩, â® ¢ ¥¬ ¥â «¨¥©®£® á« £ ¥¬®£® ¯® ⮩ ¥ ¥¨§¢¥á⮩.
᫨ ¢ (9) ¢á¥ âਠª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ª¢ ¤à â å ¥¨§¢¥áâëå ®â«¨çë ®â 0, â® ¬ë ¯à¨è«¨ ª ãà ¢¥¨î ¢¨¤ (6).
᫨ ¢ (9) ®â«¨çë ®â 0 ஢® ¤¢ ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ª¢ ¤à â å ¥¨§¢¥áâëå, â®, ᤥ« ¢ ¯à¨ ¥®¡å®¤¨¬®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå, ¬ë ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ (7). Ǒ।¯®«®¨¬, ª®¥æ, çâ® ¢ (9) ®â«¨ç¥ ®â 0 ஢® ®¤¨ ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ª¢ ¤à ⥠¥¨§¢¥á⮩. ®® áç¨â âì, çâ® í⨬ ª®íää¨æ¨¥â®¬ ï¥âáï a22 (¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¬®® ᤥ« âì ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå). ª¨¬ ®¡à §®¬, ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ a22 y2 + 2a1 x + 2a3z + a0 = 0; (10) £¤¥ a22 6= 0.
᫨ a3 = 0, ¬ë ¯à¨è«¨ ª ãà ¢¥¨î ¢¨¤ (8).
᫨ a1 = 0, â® ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª ⮬㠥 १ã«ìâ âã, \¯¥à¥¨¬¥®¢ ¢" x ¢ z , z ¢ x. Ǒãáâì, ª®¥æ, a1 6= 0 ¨ a3 6= 0. ¤¥« ¥¬ á«¥¤ãîéãî § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå: 8 z 0 sin ; < x = x0 os 0 y= y ; (11) : z = x0 sin + z 0 os :
392
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
ª ¯®ª §ë¢ îâ ä®à¬ã«ë (9) ¨§ x5, íâ § ¬¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®¢®à®âã 㣮« ¢®ªà㣠®á¨ Oy. Ǒ®¤áâ ¢¨¢ ¯à ¢ë¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠(11) ¢¬¥áâ® x, y ¨ z ¢ (10) ¨ ¯à®¢¥¤ï ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ a22 (y0 )2 + 2(a1 os + a3 sin )y0 + 2( a1 sin + a3 os )z 0 + a0 = 0; £¤¥ ¯®-¯à¥¥¬ã a22 6= 0. ë¡à ¢ ¢ ª ç¥á⢥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï a1 a1 sin +a3 os = 0 (¨«¨, çâ® íª¢¨¢ «¥â®, tg = ), ¬ë ¯®«ã稬 a3 ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ (8). ¥®à¥¬ 3 ¤®ª § . x52.
« áá¨ä¨ª æ¨ï ª¢ ¤à¨ª
¢ ¯à®áâà á⢥
¥«ìî í⮣® ¯ à £à ä ï¥âáï ¤®ª § ⥫ìá⢮ á«¥¤ãî饩 ⥮६ë. ¥®à¥¬ . áïª ï ª¢ ¤à¨ª ¢ ¯à®áâà á⢥ ï¥âáï ¨«¨ 樫¨¤à®¬ í««¨¯â¨ç¥áª¨¬, £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¬ ¨«¨ ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨¬ , ¨«¨ ª®ãᮬ, ¨«¨ í««¨¯á®¨¤®¬, ¨«¨ £¨¯¥à¡®«®¨¤®¬ ®¤®¯®«®áâë¬ ¨«¨ ¤¢ã¯®«®áâë¬ , ¨«¨ ¯ à ¡®«®¨¤®¬ í««¨¯â¨ç¥áª¨¬ ¨«¨ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¬ , ¨«¨ ¯ ன ¯«®áª®á⥩ ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï, ¯ à ««¥«ìëå ¨«¨ ᮢ¯ ¢è¨å , ¨«¨ ¯àאַ©, ¨«¨ â®çª®©, ¨«¨ ¯ãáâë¬ ¬®¥á⢮¬.
(
)
)
)
(
(
(
)
®ª § ⥫ìá⢮. ᨫã ⥮६ë 3 ¨§ x51 ¬®® áç¨â âì, çâ® ª¢ ¤à¨ª § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ®¤®£® ¨§ ¢¨¤®¢: Ax2 + By2 + Cz 2 + D = 0; £¤¥ A 6= 0; B 6= 0; C 6= 0; (1) 2 2 Ex + F y + 2Gz + H = 0; £¤¥ E 6= 0; F 6= 0; (2) 2 Ky + 2Lx + M = 0; £¤¥ K 6= 0: (3) Ǒ®í⮬㠤 «ì¥©è¨¥ à áᬮâà¥¨ï ¥áâ¥á⢥® à ᯠ¤ îâáï âਠá«ãç ï. «ãç © 1: (1). ¤¥áì ¢®§¬®ë ¤¢ ¯®¤á«ãç ï. Ǒ®¤á«ãç © 1.1: D 6= 0. á®, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (1) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ª¢ ¤à¨ª § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¢¨¤
y2 x2 + D=A D=B
+
z2 D=C
= 1:
(4)
x
52. « áá¨ä¨ª æ¨ï ª¢ ¤à¨ª ¢ ¯à®áâà á⢥
393
᫨ ç¨á« DA , DB ¨ DC ¯®«®¨â¥«ìë, â®, ¢¢¥¤ï ®¡®§ 票ï r r r D D D a= , b= ,
= , ¬ë ¯®«ã稬 ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ A B C í««¨¯á®¨¤ . Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® á।¨ ç¨á¥« DA , DB ¨ DC ¥áâì ¤¢ ¯®«®¨â¥«ìëå ¨ ®¤® ®âà¨æ ⥫쮥. ¥§ ®£à ¨ç¥¨ï ®¡é®á⨠¬®® áç¨â âì, çâ® DA > 0, DB > 0 ¨ DC < 0 (¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ á«¥¤ã¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬r ¯¥à¥¨¬¥®¢ âì r ¥¨§¢¥áâë¥). ¢¥¤ï ®¡®§ r D D 票ï a = A , b = B , = DC , ¬ë ¯®«ã稬 ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ®¤®¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ . Ǒãáâì ⥯¥àì á।¨ ç¨á¥« DA , DB ¨ DC ¥áâì ®¤® ¯®«®¨â¥«ì®¥ ¨ ¤¢ ®âà¨æ ⥫ìëå. ®® áç¨â âì, çâ® DA < 0, DB < 0 ¨ DC > 0 (¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥, ª ª ¨ à ¥¥, á«¥¤ã¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ r r D ¯¥à¥¨¬¥®¢ âì ¥¨§¢¥áâë¥). ¢¥¤ï ®¡®§ 票ï a = A , b = DB ,
=
r
D , ¬ë ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ C x2 y2 a2 b2
2
+ z 2 = 1: ¬®¨¢ ¥£® 1, ¯®«ã稬 ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤¢ã¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ . ª®¥æ, ¥á«¨ ç¨á« DA , DB ¨ DC ®âà¨æ ⥫ìë, â® ãà ¢¥¨¥ (4) ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨©, ¨ ¯®â®¬ã ¥£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ï¥âáï ¯ãá⮥ ¬®¥á⢮. Ǒ®¤á«ãç © 1.2: D = 0. á®, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (1) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ x2 y2 + 1=A 1=B
2
+ 1z=C = 0:
(5)
᫨ ç¨á« A1 , B1 ¨ C1 ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¥ § ª, â® ãà ¢¥¨¥ (5) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ x = 0, y = 0, z = 0, ¨ ¯®â®¬ã ¥£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ï¥âáï â®çª ( ¨¬¥® ç «® ª®®à¤¨ â). Ǒãáâì ⥯¥àì á।¨ ç¨á¥« A1 , B1 ¨ C1 ¥áâì å®âï ¡ë ®¤® ¯®«®¨â¥«ì®¥ ¨ å®âï ¡ë ®¤® ®âà¨æ ⥫쮥. ¬®¨¢, ¥á«¨ ¯®âॡã¥âáï,
394
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
ãà ¢¥¨¥ (5) 1, ¬®® ¤®¡¨âìáï ⮣®, ç⮡ë á।¨ íâ¨å ç¨á¥« ¡ë«® ¤¢ ¯®«®¨â¥«ìëå ¨ ®¤® ®âà¨æ ⥫쮥. ®«¥¥ ⮣®, ¬®® áç¨â âì, çâ® A1 > 0, B1 > 0 ¨ C1 < 0 (¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥, ª ª ®¡ëç®, á«¥¤ã¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ ¯¥à¥¨¬¥®¢ âì ¥¨§¢¥áâë¥). ¢¥¤ï r r r 1 1 1 ®¡®§ 票ï a = A , b = B , = C , ¬ë ¯®«ã稬 ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ª®ãá . «ãç © 2: (2). ¤¥áì ¢®§¬®ë âਠ¯®¤á«ãç ï. Ǒ®¤á«ãç © 2.1: G 6= 0. í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¬®® ã¯à®áâ¨âì, ¨§¡ ¢¨¢è¨áì ®â ᢮¡®¤®£® ç«¥ . «ï í⮣® ¯¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (2) ¢ ¢¨¤¥ ª¢ ¤à¨ª § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¢¨¤
Ex2 + F y2 =
2Gz
H=
¤¥« ¥¬ § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå
2G z + 2HG
:
8 0 x > > 0 <
=x ; =y ; > > : z0 = z + H ; 2G ª®â®à®© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᤢ¨£ ¢¤®«ì ®á¨ Oz. à ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ ⠡㤥⠨¬¥âì ¢¨¤ E (x0 )2 + F (y0)2 = 2Gz0 ¨«¨ (x0 )2 + (y0)2 = 2z0: (6) y
G=E
G=F
Ǒ।¯®«®¨¬ á ç « , çâ® ç¨á« GE ¨ GF ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© § ª.
᫨ ®¡ íâ¨å ç¨á« ®âà¨æ ⥫ìë, â®, 㬮¨¢ ãà ¢¥¨¥ (6) 1, § ⥬ ᤥ« ¢ § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå x00 = x0, y00 = y0, z00 = z0, ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª ãà ¢¥¨î ⮣® ¥ ¢¨¤ , ¢ ª®â®à®¬ GE > 0 ¨ FG > 0. Ǒ®í⮬㠬®® áà §ã áç¨â âì, çâ® ¢ë¯®«¥ë ¤¢ ¯®á«¥¤¨å ¥à ¢¥á⢠. ®® áç¨â âì â ª¥, çâ® EG > FG (¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ r 0 0 0 0 ¬®® ¯¥à¥¨¬¥®¢ âì x ¢ y , y ¢ x ). ¢¥¤ï ®¡®§ 票ï a = GE , b=
r
G , ¬ë ¯®«ã稬 ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ í««¨¯â¨ç¥áª®£® ¯ à F
¡®«®¨¤ .
x
52. « áá¨ä¨ª æ¨ï ª¢ ¤à¨ª ¢ ¯à®áâà á⢥
395
Ǒãáâì ⥯¥àì ç¨á« EG ¨ GF ¨¬¥îâ à §ë¥ § ª¨. ®® áç¨â âì, çâ® GE > 0 ¨ GF < 0 (¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¤® ᤥ« âì § ¬¥ã r 00 0 00 0 00 0 ¥¨§¢¥áâëå x = y , y = x , z = z ). ¢¥¤ï ®¡®§ 票ï a = GE , r
= GF , ¬ë ¯®«ã稬 ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ . Ǒ®¤á«ãç © 2.2: G = 0, H 6= 0. í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (2) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ y2 x2 + = 1: (7) H=E H=F
b
Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ç¨á« HE ¨ HF ¯®«®¨â¥«ìë. ®® áç¨â âì, çâ® HE > HF (¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¤® ᤥ« âì § ¬¥ã ¥r ¨§¢¥áâëå x0 = y, y0 = x, z0 = z). ¢¥¤ï ®¡®§ 票ï a = HE , r
= HF , ¬ë ¯®«ã稬 ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ í««¨¯â¨ç¥áª®£® 樫¨¤à . Ǒãáâì ⥯¥àì ç¨á« HE ¨ HF ¨¬¥îâ à §ë¥ § ª¨. ®® áç¨â âì, çâ® HE > 0 ¨ HF < 0 (¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¤® ᤥ« âì § ¬¥ã r 0 0 0 ¥¨§¢¥áâëå x = y, y = x, z = z). ¢¥¤ï ®¡®§ 票ï a = HE , b
b=
r
H , F
¬ë ¯®«ã稬 ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à . ª®¥æ, ¥á«¨ ç¨á« HE ¨ HF ®âà¨æ ⥫ìë, â® ãà ¢¥¨¥ (7) ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨©, ¨ ¯®â®¬ã ¥£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ï¥âáï ¯ãá⮥ ¬®¥á⢮. Ǒ®¤á«ãç © 2.3: G = H = 0. í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (2) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ x2 y2 + (8) 1=E 1=F = 0: Ǒ।¯®«®¨¬ á ç « , çâ® ç¨á« E1 ¨ F1 ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë¥ § ª¨. á®, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ à¥è¥¨ï¬¨ ãà ¢¥¨ï (8) ïîâáï âனª¨
396
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
ç¨á¥« ¢¨¤ (0; 0; z) (£¤¥ z | «î¡®¥ ç¨á«®) ¨ ⮫쪮 ®¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ í⮣® ãà ¢¥¨ï ï¥âáï ¯àï¬ ï ( ¨¬¥® ®áì Oz). Ǒãáâì ⥯¥àì ç¨á« E1 ¨ F1 ¨¬¥îâ à §ë¥ § ª¨. ¬®¨¢, ¥á«¨ ¯®âॡã¥âáï, è¥ ãà ¢¥¨¥ 1, ¬®® r ¯à¨©â¨rª á¨âã 樨, ª®£¤ 1 > 0 ¨ 1 < 0. ¢¥¤ï ®¡®§ 票ï a = 1 , b = 1 , ¬ë ¯®«ã稬 E F E F x2 y2 ãà ¢¥¨¥ a2 b2 = 0 ¨«¨ x
+ y x y = 0: a b a b ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®á«¥¤¥£® ãà ¢¥¨ï ï¥âáï ᮢ®ªã¯®áâì x y x y ¯«®áª®á⥩ a + b = 0 ¨ a b = 0. 祢¨¤®, çâ® ®à¬ «ìë¥ ¢¥ª 1 1 1 1 â®àë íâ¨å ¯«®áª®á⥩, â.¥. ¢¥ªâ®àë ~n1 = a ; b ; 0 ¨ ~n2 = a ; b ; 0 , ¥ ª®««¨¥ àë. «¥¤®¢ ⥫ì®, í⨠¯«®áª®á⨠¯¥à¥á¥ª îâáï (á¬. ⥮६ã 3 ¢ x8). â ª, ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ ª¢ ¤à¨ª ¥áâì ¯ à ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯«®áª®á⥩. «ãç © 3: (3). ¤¥áì ¢®§¬®ë ¤¢ ¯®¤á«ãç ï. Ǒ®¤á«ãç © 3.1: L 6= 0. í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¬®® ã¯à®áâ¨âì, ¨§¡ ¢¨¢è¨áì ®â ᢮¡®¤®£® ç«¥ . «ï í⮣® ¯¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (3) ¢ ¢¨¤¥ 2L x M = 2L x + M : y2 = K K K 2L ¤¥« ¥¬ § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå 8 M > < x0 = x + ; 2 L 0 y =y ; > : 0 z =z ; ª®â®à®© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᤢ¨£ ¢¤®«ì ®á¨ Ox. à ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ ⠡㤥⠨¬¥âì ¢¨¤ (y0)2 = 2KL x0. Ǒ®« £ ï L p= , ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ (y0)2 = 2px0.
᫨ p > 0, ®® ï¥âáï ª K ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à .
᫨ ¥ p < 0, â® ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª ⮬㠥 १ã«ìâ âã ¯®á«¥ § ¬¥ë ¥¨§¢¥áâëå x00 = x0 , 00 0 00 0 y =y,z =z. ª¢ ¤à¨ª § ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ¢¨¤
397
x
53. Ǒàאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥
Ǒ®¤á«ãç © 3.2:
¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
L = 0. à ¢¥¨¥ (3) ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¬®® ¯¥à¥y2 =
M : K
(9)
r
M > K
᫨ 0, â®, ¯®« £ ï a = M , ¬ë ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ K 2 2 y = a , £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ª®â®à®£® ï¥âáï ¯ à ¯ à ««¥«ìëå ¯«®áª®á⥩ y = a ¨ y = a. = 0, â® ãà ¢¥¨¥ (9), ®ç¥¢¨¤®, íª¢¨¢ «¥â® ãà ¢¥
᫨ M K ¨î y = 0, ª®â®à®¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯«®áª®áâì Oxz. í⮬ á«ãç ¥ ¯à¨ïâ® £®¢®à¨âì, çâ® ª¢ ¤à¨ª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯ àã ᮢ¯ ¢è¨å ¯«®áª®á⥩. ª®¥æ, ¥á«¨ M < 0, â® ãà ¢¥¨¥ (9) ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨© ¨ ¯®â®K ¬ã ¥£® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬ ï¥âáï ¯ãá⮥ ¬®¥á⢮. ¥®à¥¬ ¤®ª § . x53.
Ǒàאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥
Ǒàï¬ ï, «¥ é ï ¯®¢¥àå®áâ¨, §ë¢ ¥âáï ¯àïí⮩ ¯®¢¥àå®áâ¨. Ǒàאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¨¬¥îâ 樫¨¤à¨ç¥áª¨¥ ¨ ª®¨ç¥áª¨¥ ¯®¢¥àå®áâ¨. x50 ®â¬¥ç «®áì, çâ® ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 ¥áâì ã ®¤®¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ ¨ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ . ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® ¤à㣨¥ \¥¢ëத¥ë¥" ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ (â.¥. í««¨¯á®¨¤, ¤¢ã¯®«®áâë© £¨¯¥à¡®«®¨¤ ¨ í««¨¯â¨ç¥áª¨© ¯ à ¡®«®¨¤) ¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å ¥ ¨¬¥îâ. í⮬ ¯ à £à ä¥ ¬ë 㪠¥¬ ¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å ®¤®¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ ¨ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ , â ª¥ á¯®á®¡ë ¨å 室¥¨ï. ¤¨ ¨§ ᯮᮡ®¢ á¢ï§ á ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ª ®¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ª¢ ¤à¨ª. áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ®¤®¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ : ¯à¥¤¥«¥¨¥.
¬®«¨¥©®© ®¡à §ãî饩
x2 a2
2
2
y2 b2
¨«¨
+ yb2 z 2 = 1: â® ãà ¢¥¨¥ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ x2 a2
z2
2
=1
398
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
x
a
z x z + = 1
a
y y 1+ b : b
(1)
®áâ ¢¨¬ ¤¢¥ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©: 8 x 8 x z y z y > > = s 1 ; = s 1+ ; ax z yb (2) x z y > :s : + =t 1+ b s + =t 1 ; a a b £¤¥ t ¨ s | ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« , ¥ à ¢ë¥ ã«î.
᫨ ¯®ç«¥® ¯¥à¥¬®¨âì ãà ¢¥¨ï ¢ ª ¤®© ¨§ á¨á⥬ (2), â® ¯®á«¥ ᮪à 饨ï ts ¨ ¤«ï ¯¥à¢®©, ¨ ¤«ï ¢â®à®© á¨áâ¥¬ë ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ (1). â® ®§ ç ¥â, çâ® £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®¡à §ë á¨á⥬ (2) «¥ â ®¤®¯®«®á⮬ £¨¯¥à¡®«®¨¤¥. áᬮâਬ ¡®«¥¥ ¢¨¬ â¥«ì® ¯¥à¢ãî á¨á⥬ã. à ¢¥¨ï í⮩ á¨á⥬ë ïîâáï ãà ¢¥¨ï¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¨ ¯®â®¬ã ®¯à¥¤¥«ïîâ ¯«®áª®áâ¨. ®à¬ «ìë¥ ¢¥ªâ®àë íâ¨å ¯«®áª®á⥩ à ¢ë ᮮ⢥â t s t s t s á⢥® a ; b ; ¨ a ; b ; . ª ¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, í⨠¢¥ªâ®àë ¥ ª®««¨¥ àë, § ç¨â, ¯«®áª®á⨠¯¥à¥á¥ª îâáï (á¬. ⥮६ã 3 ¢ x8). «¥¤®¢ ⥫ì®, £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© ®¡à § á¨á⥬ë | ¯àï¬ ï, 楫¨ª®¬ «¥ é ï £¨¯¥à¡®«®¨¤¥, â.¥. ¯àאַ«¨¥© ï ®¡à §ãîé ï. ¥¬ ¥ ᯮᮡ®¬ ¬®® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¨ ¢â®à ï ¨§ á¨á⥬ (2) § ¤ ¥â ¯àאַ«¨¥©ãî ®¡à §ãîéãî. ¥ïï ¯ à ¬¥âàë t ¨ s, ¬®® ¯®«ãç âì à §«¨çë¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥. ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¤ ï ¨§ á¨á⥬ (2) § ¤ ¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ᥬ¥©á⢮ ¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å. ⬥⨬ ¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠¥áª®«ìª® ᢮©á⢠¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å ®¤®¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ . ¥®à¥¬ 1. ¥à¥§ ª ¤ãî â®çªã ®¤®¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ ¯à®å®¤¨â ஢® ¤¢¥ ¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å ¯® ®¤®© ¨§ ª ¤®£® ᥬ¥©á⢠. î¡ë¥ ¤¢¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 ¨§ ®¤®£® ᥬ¥©á⢠«¨¡® áªà¥é¨¢ îâáï, «¨¡® ¯ à ««¥«ìë. î¡ë¥ ¤¢¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 ¨§ à §ëå ᥬ¥©á⢠¯¥à¥á¥ª îâáï.
)
(
áᬮâਬ ¯à¨¬¥à. Ǒãáâì £¨¯¥à¡®«®¨¤ § ¤ ãà ¢¥¨¥¬ x2 + y2 z 2 = 1: ©¤¥¬ ¥£® ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥, ¯à®å®¤ï騥 ç¥à¥§ â®çªã M0 á ª®®à¤¨ â ¬¨ (5,5,7). ¨á⥬ë (2) ¤«ï í⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ ¨¬¥îâ ¢¨¤ t1 (x + z ) = s1 (1 + y); ¨ t2 (x + z ) = s2 (1 y); s1 (x z ) = t1 (1 y) s2 (x z ) = t2 (1 + y):
x
53. Ǒàאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥
399
Ǒ®áª®«ìªã ®¡¥ í⨠¯àï¬ë¥ ¯à®å®¤ïâ ç¥à¥§ â®çªã M0, ¯ à ¬¥âàë t1, s1, t2 , s2 ¬®® ©â¨, ¯®¤áâ ¢¨¢ ª®®à¤¨ âë M0 ¢ ãà ¢¥¨ï. ¬¥¥¬ 12t1 = 6s1; ¨ 12t2 = 4s2; 2s1 = 4t1 2s2 = 6t2: âáî¤ s1 = 2t1 ¨ s2 = 3t2, â ª ª ª ¬ ¯®¤®©¤ãâ «î¡ë¥ § ç¥¨ï ¯ à ¬¥â஢, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 í⨬ à ¢¥á⢠¬, ¬ë ¬®¥¬ ¯®«®¨âì t1 = t2 = 1, s1 = 2, s2 = 3. â ª, ¨áª®¬ë¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 § ¤ îâáï ª®®à¤¨ â묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ x 2y + z = 2; ¨ x 3y + z = 3; (3) 2x + y 2z = 1 3x + y 3z = 1: ⮬ ¥ ¯à¨¬¥à¥ à áᬮâਬ ¥é¥ ®¤¨ ᯮᮡ 室¥¨ï ¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å. Ǒ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã M0(5; 5; 7), ¨¬¥îâ ¢¨¤ 8 < x = 5 + kt; y = 5 + `t; (4) : z = 7 + mt; £¤¥ ~a = (k; `; m) | ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à í⮩ ¯àאַ©. Ǒà ¢ë¥ ç á⨠íâ¨å ãà ¢¥¨© ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ ãà ¢¥¨¥ £¨¯¥à¡®«®¨¤ . Ǒ®á«¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯®«ã稬 (k2 + `2 m2)t2 + (10k + 10` 14m)t = 0: Ǒ®áª®«ìªã íâ® à ¢¥á⢮ ¤®«® ¢ë¯®«ïâìáï ¯à¨ ª ¤®¬ § 票¨ t (¯à¨ «î¡®¬ t ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï â®çª ¯àאַ© «¥¨â £¨¯¥à¡®«®¨¤¥), â® 2 k + `2 m2 = 0; 10k + 10` 14m = 0:
᫨ m = 0, â® k = ` = 0, çâ® ¥¢®§¬®®, â ª ª ª ~a 6= ~0. «¥¤®¢ ⥫ì®, m 6= 0. Ǒ®áª®«ìªã ¤«¨ ¯à ¢«ïî饣® ¢¥ªâ®à ¥áãé¥á⢥ , m ¬®® ¯à¨¤ âì «î¡®¥ (¥ã«¥¢®¥) § 票¥. Ǒ®« £ ï m = 5, ¯®«ã稬 á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® k ¨ `: 2 k + `2 = 25; k + ` = 7: ¨¬¥¥â ¤¢ à¥è¥¨ï: (3,4) ¨ (4,3). â® ®§ ç ¥â, çâ® ¨¬¥îâáï ¤¢¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥, ¯à®å®¤ï騥 ç¥à¥§ â®çªã M0(5; 5; 7). â¨
400
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
®¡à §ãî騥 ¨¬¥îâ ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ~a1 = (3; 4; 5) ¨ ~a2 = (4; 3; 5) ¨ § ¤ îâáï ᮮ⢥âá⢥® ¯¥à¢®© ¨ ¢â®à®© á¨á⥬ ¬¨ (3). Ǒàאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ ¬®£ãâ ¡ëâì ©¤¥ë áå®¤ë¬ ®¡à §®¬. Ǒãáâì ¯ à ¡®«®¨¤ § ¤ ãà ¢¥¨¥¬ x2 a2
y2 b2
= 2z: ®£¤ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 ¬®£ãâ ¡ëâì § ¤ ë á¨á⥬ ¬¨ ãà ¢¥¨© 8 x 8 x y y > > = sz; = 2s; t t < < a b a b ¨ > > : s x + y = 2t : s x + y = tz: a b a b ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢®¢ì ¨¬¥¥¬ ¤¢ ᥬ¥©á⢠®¡à §ãîé¨å. «ï ¨å á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢á¥ ᢮©á⢠, ¢ë¯®«ïî騥áï ¤«ï ¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å ®¤®¯®«®á⮣® £¨¯¥à¡®«®¨¤ . ç áâ®áâ¨, á¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãî騩 «®£ ⥮६ë 1. ¥®à¥¬ 2. ¥à¥§ ª ¤ãî â®çªã £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ ¯à®å®¤¨â ஢® ¤¢¥ ¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å ¯® ®¤®© ¨§ ª ¤®£® ᥬ¥©á⢠. î¡ë¥ ¤¢¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 ¨§ ®¤®£® ᥬ¥©á⢠«¨¡® áªà¥é¨¢ îâáï, «¨¡® ¯ à ««¥«ìë. î¡ë¥ ¤¢¥ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 ¨§ à §ëå ᥬ¥©á⢠¯¥à¥á¥ª îâáï.
)
x54. 1.
(
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á®¢ë¥ â¨¯ë § ¤ ç
ᮢ묨 ⨯ ¬¨ § ¤ ç ¯® ⥬¥ ¤ ®© £« ¢ë ïîâáï: 1) § ¤ ç¨ ® à ᯮ§ ¢ ¨¨ ª¢ ¤à¨ª¨ ¨«¨ ® ¯à¨¢¥¤¥¨¨ ª¢ ¤à¨ª¨ ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã; 2) § ¤ ç¨ ® á¥ç¥¨ïå ª¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®áâìî; 3) § ¤ ç¨ ® 室¥¨¨ ãà ¢¥¨© ¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å. Ǒਬ¥àë à¥è¥¨ï § ¤ ç âà¥â쥣® ⨯ à áᬮâà¥ë ¢ x53. Ǒ®í⮬㠧¤¥áì ¬ë ®£à ¨ç¨¬áï § ¤ ç ¬¨ ¯¥à¢ëå ¤¢ãå ⨯®¢. 祬 á § ¤ ç¨ ¯¥à¢®£® ⨯ . «£®à¨â¬ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã ¨§«®¥ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢠å ⥮६ 2 ¨ 3 ¢ x51 ¨ â¥®à¥¬ë ¢ x52. Ǒந««îáâà¨à㥬 ¥£® ª®ªà¥â®¬ ¯à¨¬¥à¥.
401
x
54. ¤ ç¨
¯à¥¤¥«¨âì ¢¨¤ ª¢ ¤à¨ª¨ 4x2 + 4y2 8z2 10xy + 4xz + 4yz 16x 16y + 10z 2 = 0 (1) ¨ ©â¨ ¥¥ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥. ¥è¥¨¥. ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ à ᯠ¤ ¥âáï âਠíâ ¯ . Ǒ¥à¢ë© á®á⮨⠢ 室¥¨¨ ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥ª à⮢®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© ãà ¢¥¨¥ ¨á室®© ª¢ ¤à¨ª¨ ¥ ᮤ¥à¨â á« £ ¥¬ëå á ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ à §«¨çëå ¥¨§¢¥áâëå. ª ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â áãé¥áâ¢ã¥â ¢ ᨫã ⥮६ë 2 ¨§ x51, «£®à¨â¬ ¥¥ 室¥¨ï ᮤ¥à¨âáï ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⮩ ¥ ⥮६ë. âà¨æ ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë áâ àè¨å ç«¥®¢ ãà ¢¥¨ï (1) ¨¬¥¥â ¢¨¤ 0 4 5 21 A = 5 4 2A: 2 2 8 ¡®§ 稬 ç¥à¥§ (O; ~b1; ~b2; ~b3) ¨á室ãî ¯àאַ㣮«ìãî ¤¥ª à⮢ã á¨á⥬㠪®®à¤¨ â, ¢ ª®â®à®© ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ (1), ç¥à¥§ A | «¨¥©ë© ®¯¥à â®à, § ¤ ë© ¢ ¡ §¨á¥ (~b1 ; ~b2 ; ~b3) ¬ âà¨æ¥© A. ᮮ⢥âá⢨¨ á ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ ⥮६ë 2 ¨§ x51 ¨áª®¬ ï á¨á⥬ ª®®à¤¨ â ¨¬¥¥â ¢¨¤ (O; d~1; d~2; d~3 ), £¤¥ (d~1 ; d~2; d~3 ) | ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á, á®áâ®ï騩 ¨§ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à A. â®â ¡ §¨á ¨ ¤® ©â¨. ᨫã ⥮६ë 1 ¨§ x41 ®¯¥à â®à A ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨¬. «£®à¨â¬ 室¥¨ï ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á , á®áâ®ï饣® ¨§ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯¥à â®à , ¨§«®¥ ¢ ª®æ¥ x41. ªà âæ¥ ¯®¬¨¬, ¢ 祬 ® á®á⮨â: á ç « ¨é¥âáï ¡ §¨á, á®áâ®ï騩 ¨§ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à , § ⥬ ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¯¥à¥å®¤ ®â ¥£® ª ¡ §¨áã á ⥬ ¥ ᢮©á⢮¬, ¯®á«¥ 祣® ¢¥ªâ®àë ¯®á«¥¤¥£® ¡ §¨á ®à¬¨àãîâáï. ¥ «¨§ã¥¬ íâ®â ¯« ¢ 襩 ª®ªà¥â®© á¨âã 樨. ç « ©¤¥¬ ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ®¯¥à â®à A, â.¥. ª®à¨ ãà ¢¥¨ï 4 t 5 2 5 4 t 2 = 0: 2 2 8 t ëç¨á«ïï ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì, áâ®ï騩 ¢ «¥¢®© ç á⨠í⮣® à ¢¥á⢠, ¯®«ãç ¥¬, çâ® t3 + 81t = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, è ®¯¥à â®à ¨¬¥¥â âà¨ à §«¨çëå ᮡá⢥ëå § 票ï: t1 = 0, t2 = 9 ¨ t3 = 9. ¥©áâ¢ãï ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á «£®à¨â¬®¬, ¨§«®¥ë¬ ¢ x34, 室¨¬, çâ® ª ª ¤®¬ã ¨§ ᮡá⢥ëå § 票© t1, t2 ¨ t3 ®â®á¨âáï ⮫쪮 ®¤¨ «¨¥©® ¤ ç 1.
ª ª®©-¨¡ã¤ì
®à⮣® «ì®¬ã
402
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
¥§ ¢¨á¨¬ë© ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à, ¨¬¥®: ª t1 | ¢¥ªâ®à ~ 1 = (2; 2; 1), ª t2 | ¢¥ªâ®à ~ 2 = (1; 1; 0), ª t3 | ¢¥ªâ®à ~ 3 = (1; 1; 4). ᨫã â¥®à¥¬ë ¨§ x34 ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ~ 1;~ 2;~ 3 «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬. Ǒ®áª®«ìªã ¢ í⮬ ¡®à¥ âਠ¢¥ªâ®à , ® ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¯à®áâà á⢠. ®«¥¥ ⮣®, ⥮६ 2 ¨§ x41 ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® íâ®â ¡ §¨á ï¥âáï ®à⮣® «ìë¬ (¢ í⮬, ¢¯à®ç¥¬, «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï ¨ ¥¯®á।á⢥®). ®à¬¨àãï ¢¥ªâ®àë ~ 1 , ~ 2 ¨ ~ 3, 室¨¬ ¨áª®¬ë© ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á. á®á⮨⠨§ ¢¥ªâ®à®¢ 2 2 1 1 1 1 1 4 d~1 = ; ; ; d~2 = p ; p ; 0 ¨ d~3 = p ; p ; p : 3 3 3 2 2 3 2 3 2 3 2 â ª, ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (O; d~1; d~2; d~3 ) ãà ¢¥¨¥ ¨á室®© ª¢ ¤à¨ª¨ ¥ ᮤ¥à¨â á« £ ¥¬ëå á ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ à §«¨çëå ¥¨§¢¥áâëå. â®à®© íâ ¯ à¥è¥¨ï á®á⮨⠢ 室¥¨¨ í⮣® ãà ¢¥¨ï. ᨫã ä®à¬ã« (6) ¨§ x5 ä®à¬ã«ë ¯¥à¥å®¤ ®â á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â (O; ~b1; ~b2; ~b3) ª á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (O; d~1 ; d~2; d~3) ¨¬¥îâ ¢¨¤ 8 1 1 2 > > x = x0 + p y0 + p z 0; > > 3 2 3 2 > > < 2 1 1 y = x0 p y0 + p z 0; 3 > 2 3 2 > > > 1 4 z 0; > 0 > p :z = x 3 3 2
£¤¥ (x; y; z) ¨ (x0 ; y0; z0) | áâ àë¥ ¨ ®¢ë¥ ª®®à¤¨ âë ®¤®© ¨ ⮩ ¥ â®çª¨ ¯à®áâà á⢠ᮮ⢥âá⢥®. â®¡ë ¯®«ãç¨âì ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ ®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â, ¤® ¯®¤áâ ¢¨âì ¯à ¢ë¥ ç á⨠¯®á«¥¤¨å à ¢¥á⢠¢¬¥áâ® x; y ¨ z ¢ ãà ¢¥¨¥ (1) ¨ ¯à®¨§¢¥á⨠¥®¡å®¤¨¬ë¥ ã¯à®é¥¨ï. âã à ¡®âã ¬®® ᮪à â¨âì. á ¬®¬ ¤¥«¥, ª ª ¢¨¤® ¨§ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 2 ¨§ x51, ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ áâ àè¨å ç«¥®¢ ¯®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¤®« ¨¬¥âì ¢¨¤ t1(x0 )2 + t2(y0)2 + t3 (z0)2 . â® ®§ ç ¥â, çâ® ¯®¤áâ ®¢ªã ¬®® ¤¥« âì ⮫쪮 ¢ «¨¥©ãî ä®à¬ã ¬« ¤è¨å ç«¥®¢ ãà ¢¥¨ï (1). १ã«ìâ ⥠¯®«ãç¨âáï ãà ¢¥¨¥ 襩 ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (O; d~1 ; d~2; d~3): 9(y0)2 9(z0)2 18x0 p242 z0 2 = 0: (2) à¥â¨© ¨ ¯®á«¥¤¨© íâ ¯ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ á®á⮨⠢ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ¯®«ã祮£® ãà ¢¥¨ï ¤«ï ¯à®¢¥¤¥¨ï ¯®á«¥¤ãî饩 § ¬¥ë ¥¨§¢¥áâëå, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯ à ««¥«ì®¬ã ¯¥à¥®áã á¨áâ¥¬ë ª®®à-
x
54. ¤ ç¨
403
¤¨ â. Ǒ।¥ ¢á¥£® ¢ë¤¥«¨¬ ¢ «¥¢®© ç áâ¨ à ¢¥á⢠(2) ¯®«ë© ª¢ ¤à â ¯® ¥¨§¢¥á⮩ z0. Ǒ®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ 2 4 0 2 0 9(y ) 9 z + 3p2 18x + 6 = 0; ª®â®à®¥ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ 2 4 1 0 2 0 p (y ) z + 3 2 = 2 x 3 : ¤¥« ¥¬ § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå 8 1; > > x00 = x0 > < 3 y00 = y0 ; > 4 > 00 0 > :z = z + p : 3 2 ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ í⮩ § ¬¥¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯ à ««¥«ìë© ¯¥à¥®á á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¢ â®çªã P , ª®â®à ï ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (O; d~1; d~2; d~3 ) 1 4 ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë 3 ; 0; 3p2 . à ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨ ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (P ; d~1; d~2000; d~3 ) ¨¬¥¥â ¢¨¤ 00(y00000)2 (z0000)2 = 2x00. ¤¥« ¢ § ¬¥00 000 ã ¥¨§¢¥áâëå x = y , y = z , z = x , ¬ë ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ (x000 )2 (y000 )2 = 2z000, ª®â®à®¥ ï¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¯ à ¡®«®¨¤ . ⢥â: £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© ¯ à ¡®«®¨¤, x2 y 2 = 2z . ¯¥à¢®¬ íâ ¯¥ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¯¥à¢®£® ⨯ ¢®§¬® á¨âã æ¨ï, ª®£¤ «¨¥©ë© ®¯¥à â®à ¨¬¥¥â «¨èì ¤¢ à §«¨çëå ᮡá⢥ëå § 票ï, ª ®¤®¬ã ¨§ ª®â®àëå ®â®áïâáï ¤¢ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à . í⮬ á«ãç ¥ ª í⨬ ¤¢ã¬ ¢¥ªâ®à ¬ á«¥¤ã¥â ¯à¨¬¥¨âì ¯à®æ¥áá ®à⮣® «¨§ 樨 à ¬ {¬¨¤â .
é¥ ®¤ ®á®¡¥®áâì ¬®¥â ¢®§¨ªãâì âà¥â쥬 íâ ¯¥ à¥è¥¨ï: ¢ ãà ¢¥¨¨, ©¤¥®¬ ¢â®à®¬ íâ ¯¥, ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ áâ àè¨å ç«¥®¢ ¬®¥â ᮤ¥à âì ⮫쪮 ®¤® á« £ ¥¬®¥ á ª¢ ¤à ⮬ ª ª®©-¨¡ã¤ì ¥¨§¢¥á⮩, «¨¥© ï ä®à¬ ¬« ¤è¨å ç«¥®¢ | á« £ ¥¬ë¥ á ¯¥à¢ë¬¨ á⥯¥ï¬¨ ¤¢ãå ¤àã£¨å ¥¨§¢¥áâëå. ¥©á⢨ï, ª®â®àë¥ ã® ¯à¥¤¯à¨ïâì ¢ í⮬ á«ãç ¥, 㪠§ ë ¢ ª®æ¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 3 ¢ x51. Ǒਢ¥¤¥¬ ⥯¥àì ¯à¨¬¥à à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¢â®à®£® ⨯ . p ¤ ç 2. ®ª § âì, çâ® ª¢ ¤à¨ª x2 y 2 2z + 4 3 = 0 ¨ ¯«®áª®áâì x y + z = 0 ¯¥à¥á¥ª îâáï ¯® £¨¯¥à¡®«¥, ¨ ©â¨ ¯®«ã®á¨ í⮩ £¨¯¥à¡®«ë.
404
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
¥è¥¨¥. ¢¥¤¥¬ ¢ ¯«®áª®á⨠x y + z = 0 ¯àאַ㣮«ìãî ¤¥ª à⮢ã á¨á⥬㠪®®à¤¨ â. ª ç¥á⢥ ç « á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¢®§ì¬¥¬ â®çªã O(0; 0; 0), ª®â®à ï, ®ç¥¢¨¤®, ¯à¨ ¤«¥¨â 襩 ¯«®áª®áâ¨. ª ç¥á⢥ ¡ §¨áëå ¢¥ªâ®à®¢ ¤® ¢§ïâì ¤¢ ¥ª®««¨¥ àëå ¢¥ªâ®à , «¥ é¨å ¢ ¯«®áª®áâ¨. ª®¢ë¬¨ ïîâáï, ¯à¨¬¥à, ¢¥ªâ®àë ~a1 = (1; 1; 0) ¨ ~a2 = ( 1; 0; 1) (á¬. § ¬¥ç ¨¥ ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ⥮६ë 1 ¢ x8). ⨠¢¥ªâ®àë ¥ ®à⮣® «ìë ¨ ¨å ¤«¨ë ¥ à ¢ë 1. â®¡ë ¯®«ãç¨âì ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á 襩 ¯«®áª®áâ¨, ¯à¨¬¥¨¬ ª ¢¥ªâ®à ¬ ~a1, ~a2 ¯à®æ¥áá ®à⮣® «¨§ 樨 à ¬ {¬¨¤â (á¬. ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 3 ¢ x39). Ǒ®«ã稬 ¢¥ª 1 1 â®àë (1,1,0) ¨ 2 ; 2 ; 1 . ®à¬¨àãï í⨠¢¥ªâ®àë, ¯®«ã稬 ¢¥ªâ®àë ~b1 = p1 ; p1 ; 0 ¨ ~b2 = p1 ; p1 ; p2 . ë ¯®«ã稫¨ ¯àאַ㣮«ì2 2 6 6 6 ãî ¤¥ª à⮢ã á¨á⥬㠪®®à¤¨ â (O; ~b1; ~b2) ¢ 襩 ¯«®áª®áâ¨. ¯¨è¥¬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¯«®áª®á⨠x y + z = 0, ¢§ï¢ ¢ ª ç¥á⢥ ç «ì®© â®çª¨ â®çªã O, ¢ ª ç¥á⢥ ¯à ¢«ïîé¨å ¢¥ªâ®à®¢ | ¢¥ªâ®àë ~b1 ¨ ~b2: 8 1 > >x = p u p1 v; > > 2 6 > > < 1 1 y = p u + p v; > 2 6 > > > 2 > > :z = p v: 6 Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¯à ¢ë¥ ç á⨠íâ¨å ãà ¢¥¨© ¢¬¥áâ® x, y ¨ z ¢ ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨, ¯®á«¥ ®ç¥¢¨¤ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ «¨¨¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ª¢ ¤à¨ª¨ ¨ ¯«®áª®á⨠¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (O; ~b1; ~b2): p uv + 2v 6 = 0: â «¨¨ï ï¥âáï ª¢ ¤à¨ª®© ¯«®áª®áâ¨. ©¤¥¬ ¥¥ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥. ᮮ⢥âá⢨¨ á ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ «¥¬¬ë 1 ¨§ x46 ¤«ï í⮣® ¤® ¯®¢¥àãâì á¨á⥬㠪®®à¤¨ â 㣮« , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© à ¢¥á⢮¬ (11) ¨§ x46. 襬 á«ãç ¥ íâ® à ¢¥á⢮ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤
tg 2 = 0, ®âªã¤ 2 = 90Æ, â.¥. = 45Æ. ᨫã ä®à¬ã«ë (9) ¨§ x5, ä®à¬ã«ë ¯®¢®à®â íâ®â 㣮« ¨¬¥îâ á«¥¤ãî騩 ¢¨¤: 8 1 > > u = p (u0 v0 ); < 2 1 > > : v = p (u0 + v 0 ): 2
x
54. ¤ ç¨
405
¨á⥬㠪®®à¤¨ â, ¯®«ãç¥ãî ¯®¢®à®â®¬ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â (O; ~b1, ~b2 ) 㣮« 45Æ , ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ (O; ~ 1 ;~ 2 ). à ¢¥¨¥ «¨¨¨ ¢ í⮩ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¯®á«¥ ®ç¥¢¨¤ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ (u0)2 (v0 )2 + 2u0 + 2v0 12 = 0: 뤥«¨¬ ¢ í⮬ ãà ¢¥¨¨ ¯®«ë© ª¢ ¤à â ¯® u0 ¨ v0 : (u0 + 1)2 (v0 1)2 = 12: ¤¥« ¥¬ § ¬¥ã ¥¨§¢¥áâëå 00 u = u0 + 1; v00 = v0 1: ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ í⮩ § ¬¥¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯ à ««¥«ìë© ¯¥à¥®á á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â, ¯à¨ ª®â®à®¬ ç «® á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¯¥à¥å®¤¨â ¢ â®çªã P ( 1; 1). à ¢¥¨¥ «¨¨¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ª¢ ¤à¨ª¨ ¨ ¯«®áª®á⨠¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (P ; ~ 1;~ 2) ¨¬¥¥â ¢¨¤ (u00)2 (v00 )2 = 1: 12 12 ë ¯®«ã稫¨ ª ®¨ç¥áª®¥pãà ¢¥¨¥ £¨¯¥à¡®«ë.
¥ ¯®«ã®á¨ ᮢ¯ ¤ îâ ¬¥¤ã ᮡ®© ¨ à ¢ë 12 = 2p3. p ⢥â: a = b = 2 3. 2.
¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï
®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ áä¥àë, ¥á«¨: ) â®çª¨ K (4; 1; 3) ¨ L(2; 3; 5) ïîâáï ª®æ ¬¨ ¥¥ ¤¨ ¬¥âà ; ¡) æ¥âà áä¥àë 室¨âáï ¢ â®çª¥ C (3; 5; 2) ¨ ® ª á ¥âáï ¯«®áª®á⨠2x y 3z + 11 = 0; ¢) à ¤¨ãá áä¥àë à ¢¥ 3 ¨ ® ª á ¥âáï ¯«®áª®á⨠x +2y +2z +3 = 0 ¢ â®çª¥ A(1; 1; 3). 2. ¯à¥¤¥«¨âì ª®®à¤¨ âë æ¥âà C ¨ à ¤¨ãá r áä¥àë, § ¤ ®© ãà ¢¥¨¥¬: ) x2 + y2 + z2 2x 4y + 6z = 0; ¡) x2 + y2 + z2 3x 10 = 0; ¢) x2 + y2 + z2 + 8x = 0. 3. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ®¡à §ãî騥 ª®â®à®© ¯ à ««¥«ìë ¢¥ªâ®àã ~a = (2; 3; 4), ¯à ¢«ïîé ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ 2 x + y2 = 9; z = 1: 1.
406
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
4. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ®¡à §ãî騥 ª®â®à®© ¯ à ««¥«ìë ¢¥ªâ®àã ~a = (1; 1; 1), ¯à ¢«ïîé ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ x2 y2 = z; x + y + z = 1: 5. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ª®¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¢¥à訮© ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â, ¯à ¢«ïîé ï ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ 2 x 2z + 1 = 0; y z + 1 = 0: 6. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ª®¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ¢¥à訮© ¢ â®çª¥ C (3; 1; 2), ¯à ¢«ïîé ï ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ 2 x + y2 z 2 = 1; x y + z = 0: 7. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ¥á«¨ ¨§¢¥áâ®, çâ® ® ®¯¨á ®ª®«® áä¥àë x2 + y2 + z2 = 1, ¥¥ ®¡à §ãî騥 ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë ¯«®áª®á⨠x + y 2z 5 = 0. 8. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ¥á«¨ ¨§¢¥áâ®, çâ® ® ®¯¨á ®ª®«® áä¥àë x2 + y2 + z2 2x + 4y + 2z 3 = 0, ¥¥ ®¡à §ãî騥 ¯ à ««¥«ìë ¯àאַ© 8 < x = 3 + 2t; y= 7 t; : z = 5 2t: 9. ¯à¥¤¥«¨âì ¢¨¤ ¨ ©â¨ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨, ¯®«ì§ãïáì ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â: ) x2 2+ 4y22 + 4z2 2 2x + 8y 8z = 0; ¡) 4x y z + 32x 12z + 44 = 0; ¢) x2 + 2y2 3z2 + 2x + 8y 6z + 6 = 0; £) x2 + 2z2 2x + 4z = 0. 10. ¯à¥¤¥«¨âì ¢¨¤ ¨ ©â¨ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨, ¯®«ì§ãïáì ¯®¢®à®â®¬ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¢®ªà㣠®¤®© ¨§ ®á¥©: ) 2xy z2 = 0; ¡) z2 3x 4y = 0; ¢) x2 + y2 + 2xy z + 1 = 0. 11. ¯à¥¤¥«¨âì ¢¨¤ ¨ ©â¨ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨: ) 7x2 2 + 6y2 2 + 52 z2 4xy 4yz 6x 24y + 18z + 30 = 0; ¡) x + 5y + z + 2xy + 6xz + 2yz 2x + 6y + 2z = 0; ¢) x2 2y2 + z2 + 4xy 10xz + 4yz + 2x + 4y 10z 1 = 0; £) 2x22 + y2 2+ 2z2 2 2xy + 2yz + 4x + 4z = 0; ¤) 2x + 5y + 2z 2xy 4xz + 2yz + 2x 10y 2z 1 = 0;
407
x
54. ¤ ç¨
¥) y2 +2 2xy2+ 4xz + 2yz 4x 2y = 0; ) 4x + y 4xy 36 = 0; §) 9x22 + y2 2+ 4z2 2 6xy + 12xz 4yz 12x + 4y 8z + 4 = 0; ¨) 2x2 + 5y2 + 10 z 6xy + 8xz 10yz 2x 10z + 5 = 0; ª) x + 4y + z2 4xy + 2x 4y + 4 = 0. 12. ¯à¥¤¥«¨âì ¢¨¤ «¨¨¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ª¢ ¤à¨ª¨ ¨ ¯«®áª®á⨠: ) : x2 + y2 z2 = 1, : 3x + 4y 5z = 0; ¡) : x2 + y2 z2 = 0, : x z + 1 =p0; 2 2 ¢) : x9 + y4 + z2 = 1, : x + z + 4 3 5 = 0. 13. ®ª § âì, çâ® ¯«®áª®áâì ¯¥à¥á¥ª ¥â ª¢ ¤à¨ªã ¯® ¯àאַ«¨¥©ë¬ ®¡à §ãî騬 ¨ á®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï íâ¨å ¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å: ) : 2x 12y z + 16 = 0, : x2 2 4y22= 2z;2 y z ¡) : 4x 5y 10z 20 = 0, : x25 + 16 = 1. 4 14. ®áâ ¢¨âì ãà ¢¥¨ï ¯àאַ«¨¥©ëå ®¡à §ãîé¨å ®¤®¯®«®áâ2 z2 2 ®£® £¨¯¥à¡®«®¨¤ x4 + y9 16 = 1, ¯ à ««¥«ìëå ¯«®áª®á⨠6x + 4y + 3z 17 = 0. 15. ©â¨ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 ª¢ ¤à¨ª¨ , ¯à®å®¤ï騥 ç¥à¥§ â®çªã M : ) : x2 + y2 z2 = 1, M (1; 1; 1); ¡) : 4x2 z2 = y, M (1; 3; 1); ¢) : x2 + y2 + z2 +2xy 2xz yz +4x +3y 5z +4 = 0, M ( 1; 1; 1). 16. ©â¨ ®áâàë© ã£®« ¬¥¤ã ¯àאַ«¨¥©ë¬¨ ®¡à §ãî騬¨ ª¢ ¤à¨ª¨ , ¯à®å®¤ï騬¨ ç¥à¥§ â®çªã M : ) : 9x2 4y2 36z = 0, M ( 2; 0; 1); ¡) : 4x2 + 4y2 z2 4 = 0, M (1; 4; 8). 3.
⢥âë
x 3)2 + (y + 1)2 + (z 1)2 = 21; ¡) (x 3)2 + (y + 5)2 + (z + 2)2 = 56; 2 + (y 3)2 + (z + 1)2 = 9 ¨ x2 + (y + 1)2 + (z + 5)2 = 9.
1. ) (
x
¢) (
2)
p
C (1; 2; 3), r = 14; ¡) C 3 ; 0; 0 , r = 7 ; ¢) C ( 4; 0; 0), r = 4. 2 2 2 2 2 16xz + 24yz + 16x 24y 26z 131 = 0. 3. 16x + 16y + 13z 2 y 2 2xz + 2yz + x + y 2z = 0. 5. x2 + y 2 z 2 = 0. 4. x 2 5y 2 + 7z 2 6xy + 10xz 2yz 4x + 4y 4z + 4 = 0. 6. 3x 2 2 2 2xy + 4xz + 4yz 6 = 0. 7. 5x + 5y + 2z 2 2 2 8. 5x + 8y + 5z + 4xy + 8xz 4yz + 6x + 24y 6z 63 = 0. 2 y2 2 x z 9. ) ««¨¯á®¨¤, + + = 1; ¡) ®¤®¯®«®áâë© £¨¯¥à¡®«®¨¤, 9 9=4 9=4 2 2 2 2 2 x + y z = 1; ¢) ª®ãá, x + y z 2 = 0; £) í««¨¯â¨ç¥áª¨© 樫¨¤à, 16 16 4 1 1=2 1=3 2. )
408 x2 3
« ¢ 10. ¢ ¤à¨ª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥
y2 3=2
+
10.
= 1.
) ®ãá,
x2
+
1
y2
z2
1
1
= 0;
¢) £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© ¯ à ¡®«®¨¤,
11.
¨¤,
) ««¨¯á®¨¤,
x2 1=3
+
y2 1=6
z2 1=2
x2
+
2
= 1;
£) í««¨¯â¨ç¥áª¨© 樫¨¤à,
x2
y2
2
1
z
y2 1
¡) ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨© 樫¨¤à,
x2 1
+
y2
2
+
y2
= 1;
4
= 5
x;
z
= 2 .
1 z2 = 2=3
1;
¡) ®¤®¯®«®áâë© £¨¯¥à¡®«®-
¢) £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© 樫¨¤à,
x2
y2
x2 1=3
y2 1=3
= 1;
¤) £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨© ¯ à ¡®«®¨¤,
x + y = 0, y + 2z 2 = 0; x y + 6 = 0, 2x y 6 = 0; §) ¯ à á®z + 1 = 0; ¢¯ ¢è¨å ¯«®áª®á⥩, 3x y + 2z 2 = 0; ¨) ¯àï¬ ï, xx 2yy + + 3z 2 = 0; = 2 ;
¥) ¯ à ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯«®áª®á⥩, 2
) ¯ à ¯ à ««¥«ìëå ¯«®áª®á⥩, 2
ª) ¯ãá⮥ ¬®¥á⢮.
12.
) ¢¥ ¯ à ««¥«ìë¥ ¯àï¬ë¥;
13.
)
¡)
2
x 8
y
x x
+ 2
y 2y
12
z
z
;
;
+
= 0 5 = 0
¡) ¯ à ¡®« ;
+ 16 = 0
¨
4 = 0
¨
x
2
8
y
z
17
4.
¢) í««¨¯á.
y y 0; 0:
12 +
5
; x= t; <x = 2 ¨ y = 3t; 14. y = 3 ; : : z8= 2t z= 4t: 8 ; < x = 1 + t; <x = 1 y = 1 + t; y = 1 ; ¨ 15. ) : : z = 1 + t; z=1+t 8 8 1 + t; 1 + t; <x = <x = y = 3 + 12t; ¨ y = 3 + 4t; ¡) : : z = 1 + 2t z = 1 2t; 8 8 t; 1 + t; <x = <x = y = 2 t; y = 1 t; ¢) ¨ : : z= 1 z = 1 + t: 1 83 16. ) os = ; ¡) os = . <
x x
2
2 =
+ 4 =
z
+ 16 = 0
;
8 = 0;
85
¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò10
1. ¯à¥¤¥«¨âì ¢¨¤ ¨ ©â¨ ª ®¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ª¢ ¤à¨ª¨: ) x2 2y2 + z2 + 4xy 8xz 4yz 14x 4y + 14z + 18 = 0; ¡) 5x2 + 8y2 + 5z2 4xy + 8xz + 4yz 6x + 6y + 6z + 10 = 0; ¢) 2xy + 2xz + 2yz + 2x + 2y + 2z + 1 = 0; £) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 2xy 2xz 2yz 2x 2y 2z 1 = 0.
409
x
54. ¤ ç¨
¯à¥¤¥«¨âì «¨¨î ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ª¢ ¤à¨ª¨ ¨ ¯«®áª®á⨠: x2 y2 ) : 3 + 6 = 2z, : 3x y + 6z 14 = 0; 2 2 ¡) : x4 y3 = 2z, : x 2y + 2 = 0; 2.
2
2
2
z ¢) : x4 + y9 36 = 1, : 9x 6y + 2z 28 = 0; 2 2 £) : x9 y4 = 2z, : 2x + 3y 6 = 0. 3. ©â¨ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®¡à §ãî騥 ª¢ ¤à¨ª¨ , ¯à®å®¤ï騥 ç¥à¥§ â®çªã A: ) : 4x2 y2 16z = 0, A(1; 2; 0); ¡) : x2 + y2 2z2 2 = 0, A(1; 1; 0); ¢) : 4x2 y2 16z = 0, A(2; 0; 1); £) : x2 + y2 2z2 2 = 0, A(0; 2; 1).
« ¢ 11
¢ ¤à â¨çë¥ ä®à¬ë £« ¢ å 9 ¨ 10 ¡ë«¨ à áᬮâà¥ë £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®¡à §ë ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® ¯®à浪 ®â ¤¢ãå ¨ âà¥å ¯¥à¥¬¥ëå (ᮮ⢥âá⢥® ª¢ ¤à¨ª¨ ¯«®áª®á⨠¨ ¢ ¯à®áâà á⢥). ë ¢¨¤¥«¨, çâ® ®¯à¥¤¥«ïîéãî à®«ì ¯à¨ à ᯮ§ ¢ ¨¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¡à § (â.¥. ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ⨯ ªà¨¢®© ¨«¨ ¯®¢¥àå®áâ¨) ¨£à ¥â \ª¢ ¤à â¨ç ï ç áâì" ãà ¢¥¨ï | á㬬 ®¤®ç«¥®¢ ¢â®à®© á⥯¥¨. ï £« ¢ ¯®á¢ïé¥ à áᬮâ२î \ª¢ ¤à â¨çëå ç á⥩" ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® ¯®à浪 ®â ¯à®¨§¢®«ì®£® ç¨á« ¥¨§¢¥áâëå | â ª §ë¢ ¥¬ëå ª¢ ¤à â¨çëå ä®à¬. ç «¥ £« ¢ë ¢¢®¤ïâáï ®á®¢ë¥ ¯®ïâ¨ï ⥮ਨ ª¢ ¤à â¨çëå ä®à¬ ¨ ¨§« £ ¥âáï ¬¥â®¤ £à ¯à¨¢¥¤¥¨ï ä®à¬ë ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã. ⥬ ¤®ª §ë¢ ¥âáï § ª® ¨¥à樨 ª¢ ¤à â¨çëå ä®à¬ ¨ ¨§ãç îâáï ¯®«®¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ä®à¬ë (¢ ç áâ®áâ¨, ¤®ª §ë¢ ¥âáï ªà¨â¥à¨© ¨«ì¢¥áâà ¯®«®¨â¥«ì®© ®¯à¥¤¥«¥®áâ¨). x55.
¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ ,
ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤ ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬®© ®â ¯¥à¥¬¥ëå x1 , x2 , . . . , §ë¢ ¥âáï á㬬 ®¤®ç«¥®¢ ¢¨¤ x x , £¤¥ | ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« ¤«ï ¢á¥å i; j = 1; 2; : : : ; n, i 6 j . ¢ ¤à â¨çãî ä®à¬ã ¬®® ®¯à¥¤¥«¨âì ª ª ¬®£®ç«¥ ®â ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå, ¢á¥ ®¤®ç«¥ë ª®â®à®£® ¨¬¥îâ á⥯¥ì 2. ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ª¢ ¤à â¨çãî ä®à¬ã ®â ¯¥à¥¬¥ëå x1 ; x2 ; : : : ; x ¬®®
x
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411
x
55. ¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ , ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤
§ ¯¨á âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: f (x1 ; x2 ; : : : ; x ) = 11 x21 + 12 x1 x2 + + 1 x1 x + + 22x22 + + 2 x2 x + . .. .. . .. .. .. .. .. + x2 : ®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå ®¡à §ãîâ ¢¥àå¥âà¥ã£®«ìãî ¬ âà¨æã 0 1
11 12 : : : 1 B 0
22 : : : 2 C C C =B . .. .. .. .. .. .. .. . . A : 0 0 ::: ᨫã í⮣® ¯à¨¢¥¤¥ãî ä®à¬ã § ¯¨á¨ ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë §ë¢ îâ âà¥ã£®«ì®©. ª ï § ¯¨áì ¥ ¢á¥£¤ 㤮¡ , ¨ ¬ë ¡ã¤¥¬, ª ª ¯à ¢¨«®, § ¯¨áë¢ âì ª¢ ¤à â¨çãî ä®à¬ã ¢ ¡®«¥¥ ᨬ¬¥âà¨ç®¬ ¢¨¤¥: f (x1 ; x2 ; : : : ; x ) = a11 x21 + a12 x1 x2 + + a1 x1 x + + a21 x2x1 + a22x22 + + a2 x2 x + . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . + a 1x x1 + a 2x x2 + + a x2 ; £¤¥ a = a . ªãî § ¯¨áì ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯àאַ㣮«ì®©. Ǒ¥à¥å®¤ ®â âà¥ã£®«ì®© § ¯¨á¨ ª ¯àאַ㣮«ì®© ¤¥« ¥âáï ¯à®áâ®: ¤®áâ â®ç® ¯®«®¨âì a = ¨ a = a = 2 ¯à¨ i < j . âà¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¨ ¯¥à¥¬¥ëå ¢ ¯àאַ㣮«ì®© § ¯¨á¨ ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®© ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æ¥© ¯®à浪 n: 0 1 n
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âà¨æ A §ë¢ ¥âáï ¬ âà¨æ¥© ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë f (x1, x2, . .. , x ), í«¥¬¥âë ¬ âà¨æë A | ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ä®à¬ë f . Ǒ®¤ç¥àª¥¬, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë | íâ® ¥ â® ¥ á ¬®¥, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë ¬®£®ç«¥ ®â ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå, ᮢ¯ ¤ î饣® ¯® ¢¥è¥¬ã ¢¨¤ã á í⮩ ä®à¬®©. ¯à¨¬¥à, ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¬®£®ç«¥ x21 + 3x22 + 8x1x2 ïîâáï ç¨á« 1, 3 ¨ 8, ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë f (x1; x2 ; x3) = x21 +3x22 +8x1x2 | ç¨á« 1, 3 ¨ 4 (â ª ª ª a12 = a21 = 28 = 4). n
412
« ¢ 11. ¢ ¤à â¨çë¥ ä®à¬ë
¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® a11 a12 : : : a1 B a21 a22 : : : a2 f (x1 ; x2 ; : : : ; x )=(x1 x2 : : : x ) B . .. . .. .. .. .. .. . a 1 a 2 ::: a
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f (x1 ; x2 ; : : : ; x
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1
x1 B x2 C B C
) = X >AX; £¤¥ X = B . .. x
C: A
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ᮢ ï æ¥«ì ¤ ®£® ¯ à £à ä | ¯®ª § âì, çâ® á ¯®¬®éìî § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå ¯à®¨§¢®«ìãî ª¢ ¤à â¨çãî ä®à¬ã ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª ¡®«¥¥ ¯à®á⮬㠢¨¤ã (â ª®¬ã, ¢ ª®â®à®¬ ¡ã¤ãâ ¯à¨áãâá⢮¢ âì ⮫쪮 ª¢ ¤à âë ¯¥à¥¬¥ëå). Ǒਠí⮬ ¤®¯ã᪠îâáï ¥ ¯à®¨§¢®«ìë¥, ⮫쪮 â ª §ë¢ ¥¬ë¥ ¥¢ëத¥ë¥ «¨¥©ë¥ § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå. ¢¥¤¥¬ ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¯®ïâ¨ï. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¨á⥬ à ¢¥á⢠¢¨¤ 8 x1 = b11 y1 + b12 y2 + + b1 y ; > > < x2 = b21 y1 + b22 y2 + + b2 y ; (1) .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . > > : x = b 1 y1 + b 2 y2 + + b y ; £¤¥ x1 ; x2; : : : ; x ¨ y1; y2; : : : ; y | ¡®àë ¯¥à¥¬¥ëå, b | ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ç¨á« , §ë¢ ¥âáï «¨¥©®© § ¬¥®© ¯¥à¥¬¥ëå. ¨¥© ï § ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëå §ë¢ ¥âáï ¥¢ëத¥®©, ¥á«¨ ¬ âà¨æ n
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413
x
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§ ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå ¬®® § ¤ âì ¢ ¯®«®© ¬ âà¨ç®© § ¯¨á¨ 0
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C: A
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Ǒãáâì X = BY | ¥¢ëத¥ ï «¨¥© ï § ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëå. Ǒ®«®¨¬ B 1 = ( ). ®£¤ § ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëå Y = B 1X ¨«¨, ¢ ª®®à¤¨ ⮩ § ¯¨á¨, 8 y1 = 11 x1 + 12 x2 + + 1 x ; > > < y2 = 21 x1 + 22 x2 + + 2 x ; .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . > > : y = 1 x1 + 2 x2 + + x §ë¢ ¥âáï ®¡à ⮩ ª § ¬¥¥ X = BY . ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¥á«¨ ª ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬¥ ¯à¨¬¥ï¥âáï ¥¢ëத¥ ï «¨¥© ï § ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëå, â® ¢ १ã«ìâ ⥠ᮢ ¯®«ãç ¥âáï ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ . ¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãîé ï ij
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n
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᫨ ª ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬¥
f (x1 ; x2 ; : : : ; x
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) = X >AX
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¯à¨¬¥¨âì ¥¢ëத¥ãî «¨¥©ãî § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå X BY , â® ¯®«ãç¥ ï ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ g y1 ; y2 ; : : : ; yn ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¬ âà¨æã B > AB .
(
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ᯮ«ì§ãï ᢮©á⢮ 6 á. 253, ¨¬¥¥¬ g(y1 ; y2 ; : : : ; y ) = (BY )> A(BY ) = (Y > B > )A(BY ) = Y > (B > AB )Y: â® ®§ ç ¥â, çâ® ¬ âà¨æ ä®à¬ë g à ¢ B>AB. ®¢®àïâ, çâ® ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ ¨¬¥¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤, ¥á«¨ ¬ âà¨æ í⮩ ä®à¬ë ¤¨ £® «ì . 묨 á«®¢ ¬¨, ä®à¬ ¨¬¥¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤, ¥á«¨ ¢ ¥© ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ïå à §«¨çëå ¯¥à¥¬¥ëå à ¢ë 0, â.¥. ¥á«¨ ® ¢ë£«ï¤¨â á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: t1 x21 + t2 x22 + + t x2 : ®ª § ⥫ìá⢮. n
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414
« ¢ 11. ¢ ¤à â¨çë¥ ä®à¬ë
¥®à¥¬ . § «î¡®© ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë ¬®® á ¯®¬®éìî ¥¢ëத¥®© «¨¥©®© § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå ¯®«ãç¨âì ª¢ ¤à â¨çãî ä®à¬ã, ¨¬¥îéãî ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤. ®ª § ⥫ìá⢮. 㤥¬ ¤®ª §ë¢ âì ⥮६㠨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ¯¥à¥¬¥ëå ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë. Ǒãáâì ¤ ä®à¬ f (x1 ; x2 ; : : : ; x ) = X >AX; £¤¥ A = (a ): n
ij
®ç¥¢¨¤ : ¯à¨ n = 1 ä®à¬ f (x1 ) = a11x21 á ¬ ¨¬¥¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤. £ ¨¤ãªæ¨¨. Ǒ।¯®«®¨¬, ç⮠⥮६ ¢¥à ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë ®â (n 1)-© ¯¥à¥¬¥®©.
᫨ ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥âë ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë f à ¢ë 0, â® íâ ä®à¬ á ¬ ¨¬¥¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤. Ǒ।¯®«®¨¬ ¯®í⮬ã, çâ® å®âï ¡ë ®¤¨ ¨§ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ®â«¨ç¥ ®â ã«ï. § ¨¤ãªæ¨¨
«ãç © 1:
®â«¨ç¥ ®â ã«ï å®âï ¡ë ®¤¨ ¨§ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¨
. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® a11 6= 0 (¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ £®¤ïâáï ¯®«®áâìî «®£¨çë¥ à áá㤥¨ï). ®¡¥à¥¬ ¢¬¥á⥠¢á¥ á« £ ¥¬ë¥, ᮤ¥à 騥 ¯¥à¥¬¥ãî x1 , á㬬㠢á¥å ®áâ «ìëå á« £ ¥¬ëå ä®à¬ë f ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ f1: f (x1 ; x2 ; : : : ; x ) = a11 x21 + 2a12 x1 x2 + + 2a1 x1 x + f1 (x2 ; : : : ; x ): ë ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì §¤¥áì à ¢¥á⢮¬ a1 = a 1 ¨ ¢¬¥áâ® áã¬¬ë ®¤®ç«¥®¢ a1 x1 x + a 1 x x1 § ¯¨á «¨ ®¤¨ ®¤®ç«¥ | 2a1 x1 x . 㬬ã á« £ ¥¬ëå, ᮤ¥à é¨å x1 , ¤®¯®«¨¬ ¤® ¯®«®£® ª¢ ¤à â . Ǒ®«ã稬 h 1 (a12x2 + + a1 x )+ f (x1 ; x2 ; : : : ; x ) = a11 x2 + 2x1 ª¢ ¤à â å ¯¥à¥¬¥ëå
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a11 i 1 + a2 (a12 x2 + + a1 x )2 1 (a12 x2 +11 + a1 x )2 + f1(x2 ; : : : ; x a11 h 1 (a12 x2 + + a1 x )i2+ a11 x1 + a11 +f2(x2 ; : : : ; x ); n
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£¤¥ f2(x2 ; : : : ; x ) = f1(x2 ; : : : ; x ) a111 (a12 x2 + + a1 x )2 . ¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ f2(x2 ; : : : ; x ) § ¢¨á¨â ®â (n 1)-© ¯¥à¥¬¥®©. Ǒ® n
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415
x
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¯à¥¤¯®«®¥¨î ¨¤ãªæ¨¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¢ëத¥ ï «¨¥© ï § ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëå 8 x2 = b22 y2 + b23 y3 + + b2 y ; > > < x3 = b32 y2 + b33 y3 + + b3 y ; (2) .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . > > : x = b 2 y2 + b 3 y3 + + b y ; ª®â®à ï ¯à¨¢®¤¨â ä®à¬ã f2(x2 ; : : : ; x ) ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã
2 y22 + 3 y32 + : : : + y2 : Ǒ®«®¨¬ a a a y1 = x1 + 12 x2 + 13 x3 + + 1 x : a11 a11 a11 ᯮ«ì§ãï § ¬¥ã (2), ¯®«ãç ¥¬, çâ® a12 x1 = y1 x aa1 x = a11 2 11 = y1 aa1211 (b22y2 + b23y3 + + b2 y ) . ..a.. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. 1 (b y + b y + + b y ) = 2 2 3 3 a11 = y1 + d2y2 + + d y ¤«ï ¥ª®â®àëå ç¨á¥« d2 ; : : : ; d . áᬮâਬ «¨¥©ãî § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå 8 x1 = y1 + d2 y2 + + d y ; > > < x2 = b22 y2 + + b2 y ; (3) . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . > > : x = b 2 y2 + + b y : âà¨æ § ¬¥ë (3) ¥¢ëத¥ . á ¬®¬ ¤¥«¥, à §« £ ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì í⮩ ¬ âà¨æë ¯® ¯¥à¢®¬ã á⮫¡æã ¨ ãç¨âë¢ ï, çâ® § ¬¥ (2) ¥¢ëத¥ , ¨¬¥¥¬ 1 d2 d3 : : : d 0 b22 b23 : : : b2 b22 b23 : : : b2 b32 b33 : : : b3 0 b32 b33 : : : b3 = 6= 0: .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . b 2 b 3 ::: b 0 b 2 b 3 ::: b Ǒਬ¥ïï § ¬¥ã (3) ª ä®à¬¥ f , ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã a11 y12 + 2 y22 + + y2 ; n
n
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416
« ¢ 11. ¢ ¤à â¨çë¥ ä®à¬ë
ª®â®à ï ¨¬¥¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤.
0 . 㤥¬ áç¨â âì, çâ® a12 6= 0 (¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ £®¤ïâáï ¯®«®áâìî «®£¨çë¥ à áá㤥¨ï). áᬮâਬ «¨¥©ãî § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå 8 x1 = y1 + y2 ; > > > > y2 ; < x2 = y1 x3 = y3 ; (4) > > .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . > > : x = y : §« £ ï ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë í⮩ § ¬¥ë á ç « ¯® n-© áâப¥, § ⥬ ¯® ¯® (n 1)-© áâப¥, . . . , ª®¥æ, ¯® âà¥â쥩 áâப¥, ¯®«ã稬 1 1 0 : : : 0 1 1 0 : : : 0 1 1 0 0 1 : : : 0 = 1 1 = 2 6= 0: .. .. .. .. .. .. .. .. 0 0 0 : : : 1 ª¨¬ ®¡à §®¬, è § ¬¥ ¥¢ëத¥ . Ǒਬ¥ïï ¥¥ ª ¨á室®© ä®à¬¥ f = X >2AX , ¯®«ã稬 ä®à¬ã g(y1; y2; : : : ; y ), ¢ ª®â®à®© ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ y1 à ¢¥ 2a12. Ǒ®áª®«ìªã íâ®â ª®íää¨æ¨¥â ®â«¨ç¥ ®â 0, ¬ë ¯®¯ ¤ ¥¬ ¢ ãá«®¢¨ï ¯¥à¢®£® á«ãç ï. ¥®à¥¬ ¤®ª § . «£®à¨â¬ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã, ¨§«®¥ë© ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë, §ë¢ ¥âáï ¬¥â®¤®¬ ¢ë¤¥«¥¨ï ¯®«ëå ª¢ ¤à ⮢ ¨«¨ ¬¥â®¤®¬ £à . à ⪮ ¥£® ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. «ãç © 2:
¢á¥ ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ª¢ ¤à â å ¢ ä®à¬¥
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® ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¨§ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨ à §«¨çëå ¯¥à¥¬¥ëå ®â«¨ç¥ ®â ã«ï
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᫨ ä®à¬ ᮤ¥à¨â ª¢ ¤à â ª ª®©-â® ¯¥à¥¬¥®© xi ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ í⮩ ¯¥à¥¬¥®© ¤àã£ãî ¯¥à¥¬¥ãî, ¢ë¤¥«ï¥¬ ¯®«ë© ª¢ ¤à â ¯® xi .
᫨ ä®à¬ ᮤ¥à¨â ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ à §«¨çëå ¯¥à¥¬¥ëå xi ¨ xj , ® ¥ ᮤ¥à¨â ª¢ ¤à ⮢ íâ¨å ¯¥à¥¬¥ëå, ¯à¨¬¥ï¥¬ ª í⨬ ¯¥à¥¬¥ë¬ § ¬¥ã ¢¨¤ , â.¥. § ¬¥ï¥¬ xi xi xj , xj xi xj . Ǒத®« ¥¬ íâ®â ¯à®æ¥áá ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ä®à¬ ¥ ¯à¨¬¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤.
(4)
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Ǒந««îáâà¨à㥬 ᪠§ ®¥ ¯à¨¬¥à¥. Ǒਢ¥¤¥¬ ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã ä®à¬ã f (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) = 2x21 + 2x22 + 2x23 + 4x1 x2 4x1 x3 + x2 x4 + x3 x4
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55. ¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ , ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤
417
¨ ©¤¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî «¨¥©ãî § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå. Ǒ®áª®«ìªã ä®à¬ f ᮤ¥à¨â ª ª x21 , â ª ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï x1 ¤à㣨¥ ¯¥à¥¬¥ë¥, ¢ë¤¥«¨¬ ¯®«ë© ª¢ ¤à â ¯® x1 : f (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) = 2(x21 + 2x1 (x2 x3 ) + (x2 x3 )2 ) 2(x2 x3 )2 + 2x22 + 2x23 + x2 x4 + x3 x4 = = 2(x1 + x2 x3 )2 + 4x2x3 + x2x4 + x3 x4 : áᬮâਬ «¨¥©ãî § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå 8 y1 = x1 + x2 x3 ; > > < y2 = x2 ; (5) y = x ; > 3 3 > : y4 = x4 : á®, çâ® ¬ âà¨æ í⮩ § ¬¥ë | ¢¥àå¥âà¥ã£®«ì ï, ¯à¨ç¥¬ ¢á¥ í«¥¬¥âë ¥¥ £« ¢®© ¤¨ £® «¨ à ¢ë 1. «¥¤®¢ ⥫ì®, § ¬¥ (5) ¥¢ëத¥ . Ǒਬ¥ïï ¥¥ ª ä®à¬¥ f , ¯®«ã稬 ä®à¬ã g(y1 ; y2 ; y3 ; y4 ) = 2y12 + 4y2y3 + y2 y4 + y3 y4 : ⬥⨬, çâ® ¬ë ¥áª®«ìª® ®âª«®¨«¨áì ®â «£®à¨â¬ , ¨§«®¥®£® ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë. á ¬®¬ ¤¥«¥, § ¬¥ (5) ¢ëà ¥â ®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ y1; y2; y3; y4 ç¥à¥§ áâ àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ x1 ; x2; x3 ; x4 , ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ à¥çì è« ® § ¬¥¥, ¢ëà î饩 áâ àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ç¥à¥§ ®¢ë¥. ©â¨ â ªãî § ¬¥ã ¥á«®® | ¤® ¢§ïâì § ¬¥ã, ®¡à âãî ª (5). âà¨æ § ¬¥ë (5) ¨¬¥¥â ¢¨¤ 0 1 1 1 01 B0 1 0 0C C A=B 0 0 1 0A: 00 01 ëç¨á«¨¢ ®¡à âãî ¬ âà¨æã, ¯®«ã稬 0 1 1 1 01 B0 1 0 0C C A 1=B 0 0 1 0A: 0 001 «¥¤®¢ ⥫ì®, ®¡à ⮩ ª § ¬¥¥ (5) ï¥âáï § ¬¥ 8 x1 = y1 y2 + y3 ; > > < x2 = y2 ; (6) x = y ; > 3 3 > : x4 = y4 :
418
« ¢ 11. ¢ ¤à â¨çë¥ ä®à¬ë
Ǒத®«¨¬ ¯à¨¢¥¤¥¨¥ ä®à¬ë f ª 2ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã. ®à¬ã g(y1, y2 , y3 , y4) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ 2y1 + g1 (y2 ; y3; y4 ), £¤¥ g1 (y2 ; y3 ; y4) = 4y2y3 + y2y4 + y3y4. ®à¬ g1 ¥ ᮤ¥à¨â ª¢ ¤à ⮢ ¯¥à¥¬¥ëå. Ǒਬ¥¨¬ ¯®í⮬㠧 ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå ⮣® ⨯ , ª®â®à ï ®¯¨á ¢ á«ãç ¥ 2 ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë, ¨¬¥® § ¬¥ã 8 y1 = z1 ; > > < y2 = z2 + z3 ; (7) y3 = z2 z3 ; > > : y4 = z4 : Ǒ®«ã稬 ä®à¬ã h(z1; z2 ; z3 ; z4 ) = 2z12 + 4z22 4z32 + 2z2 z4: 뤥«¨¬ ¯®«ë© ª¢ ¤à â ¯® ¯¥à¥¬¥®© z2: 1 1 1 z2 4z2 = h(z1 ; z2; z3 ; z4 ) = 2z12 + 4 z22 + 2z2 z4 + z42 4 16 44 3 2 = 2z12 + 4 z2 + 14 z4 4z32 14 z42: ¤¥« ¥¬ § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå 8 u1 > > > > > > >
= z1
;
= z2 + 14 z4; > > > u3 = z3 ; > > > > : u4 = z4: ©¤¥¬ áà §ã ®¡à âãî § ¬¥ã. âà¨æ § ¬¥ë (8) ¨¬¥¥â ¢¨¤ 0 100 0 1 B 0 1 0 1=4 C C B=B 0 0 1 0 A: 000 1 ¡à â ï ª ¥© ¬ âà¨æ ¥áâì 0 100 0 1 B 0 1 0 1=4 C C B 1=B 0 0 1 0 A; 000 1 2
(8)
419
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55. ¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ , ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤
¨ ¯®â®¬ã § ¬¥ , ®¡à â ï ª (8), ¥áâì 8 z = u1 > > 1 > > > <
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1 u4; = u2 (9) 4 > > > > z = u3 ; > : 3 z4 = u4 : Ǒਬ¥¨¬ ⥯¥àì § ¬¥ã (8) ª ä®à¬¥ h. Ǒ®«ã稬 ä®à¬ã 1 u2: e(u1 ; u2; u3 ; u4 ) = 2u21 + 4u22 4u23 4 4 â ä®à¬ 㥠¨¬¥¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤. ©¤¥¬ ⥯¥àì § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå, ¯¥à¥¢®¤ïéãî ä®à¬ã f ¢ ä®à¬ã e. ®¬¡¨¨àãï à ¢¥á⢠(6), (7) ¨ (9), ¨¬¥¥¬ 8 x1 = y1 y2 + y3 = z1 2z3 = u1 2u3 ; > > > > > > > > < x2 = y2 = z2 + z3 = u2 + u3 14 u4; > 1 u4; > > x3 = y3 = z2 z3 = u2 u3 > > > 4 > > : x4 = y4 = z4 = u4: â ª, ä®à¬ f ¯¥à¥¢®¤¨âáï ¢ ä®à¬ã e ¥¢ëத¥®© «¨¥©®© § ¬¥®© ¯¥à¥¬¥ëå 8 x1 = u1 2u3 ; > > > > > > > 1 u4; > < x2 = u2 + u3 4 > 1 u4; > > x3 = u2 u3 > > > 4 > > : x4 = u4 :
᫨ ¨§ ä®à¬ë f á ¯®¬®éìî ¥¢ëத¥®© «¨¥©®© § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå ¯®«ãç¥ ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ g, ¨¬¥îé ï ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤, â® ä®à¬ g §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª¨¬ ¢¨¤®¬ ä®à¬ë f . ⬥⨬, çâ® ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤ ¤ ®© ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë ®¯à¥¤¥«¥ ¥®¤®§ ç®, â ª ª ª áãé¥áâ¢ã¥â ¬®£® ¥¢ëத¥ëå «¨¥©ëå § ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëå, ¯à¨¢®¤ïé¨å ¤ ãî ä®à¬ã ª (¢®®¡é¥ £®¢®àï) à §«¨çë¬ ä®à¬ ¬, ¨¬¥î騬 ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤. ¯à¨¬¥à, ä®à¬ f (x1 ; x2 ; x3 ) = 3x21 + 3x22 + 9x23 2x1 x2 + 6x1 x3 10x2 x3 z2
420
« ¢ 11. ¢ ¤à â¨çë¥ ä®à¬ë
¥¢ëத¥®© «¨¥©®© § ¬¥®© ¯¥à¥¬¥ëå 8 1 y1 + 1 y2 1 y3; > x = > 1 > > 2 4 2 < 1 1 3 y2 + y3 ; x2 = y1 > > 2 4 2 > > : x3 = y3
¯à¨¢®¤¨âáï ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã g(y1; y2; y3) = y12 + 12 y22, ¤à㣮© ¥¢ëத¥®© «¨¥©®© § ¬¥®© ¯¥à¥¬¥ëå 8 1 1 z3; > x1 = z1 + z2 > > > 3 2 < 3 x2 = z2 + z3; > > 2 > > : x3 = z3 | ª ¢¨¤ã h(z1; z2; z3) = 3z12 + 83 z22. x56.
ª® ¨¥à樨 ª¢ ¤à â¨çëå ä®à¬
ª ®â¬¥ç¥® ¢ ª®æ¥ x55, áãé¥áâ¢ã¥â ¬®£® à §«¨çëå ª¢ ¤à â¨çëå ä®à¬ ª ®¨ç¥áª®£® ¢¨¤ , ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥ë ¥¢ëத¥ë¬¨ «¨¥©ë¬¨ § ¬¥ ¬¨ ¯¥à¥¬¥ëå ¨§ ®¤®© ¨ ⮩ ¥ ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë. á¢ï§¨ á í⨬ ¢®§¨ª ¥â ¢®¯à®á ® ⮬, áãé¥áâ¢ã¥â «¨ çâ®-â® ®¡é¥¥ ¬¥¤ã à §«¨ç묨 ª ®¨ç¥áª¨¬¨ ¢¨¤ ¬¨ ¤ ®© ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë. ⢥⠥£® ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®«®¨â¥«ìë¬ (á¬. ⥮६ã 2 ¨¥). ¯à¥¤¥«¥¨¥. £®¬ ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë f = X > AX §ë¢ ¥âáï à £ ¬ âà¨æë A. 祢¨¤®, çâ® à £ ¤¨ £® «ì®© ¬ âà¨æë à ¢¥ ç¨á«ã ¥ã«¥¢ëå í«¥¬¥â®¢ ¥¥ £« ¢®© ¤¨ £® «¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ ¨¬¥¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤, â® ¥¥ à £ à ¢¥ ç¨á«ã ¥ã«¥¢ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¨ ª¢ ¤à â å ¯¥à¥¬¥ëå. ¥®à¥¬ 1.
᫨ ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬
f
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®© «¨¥©®© § ¬¥®© ¯¥à¥¬¥ëå ¯à¨¢¥¤¥ ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã g , â® ç¨á«® ¥ã«¥¢ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¨ ª¢ ¤à â å ¢ ä®à¬¥ g à ¢® à £ã ¬ âà¨æë A.
421
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®ª § ⥫ìá⢮. ¡®§ 稬 ¬ âà¨æã ¥¢ëத¥®© «¨¥©®© § ¬¥ë, ª®â®à ï ¯¥à¥¢®¤¨â ä®à¬ã f ¢ ä®à¬ã g, ç¥à¥§ B, ¬ âà¨æã ä®à¬ë g | ç¥à¥§ C . ᨫ㠧 ¬¥ç ¨ï, ᤥ« ®£® ¯¥à¥¤ ä®à¬ã«¨à®¢ª®© ⥮६ë, ç¨á«® ¥ã«¥¢ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¨ ª¢ ¤à â å ¢ ä®à¬¥ g à ¢® à £ã ¬ âà¨æë C . Ǒ®í⮬㠤®áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ® r(A) = r(C ). ᨫ㠫¥¬¬ë ¨§ x55 ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ C = B > AB . ᨫã â¥®à¥¬ë ¨§ x30 r(C ) 6 r(A). § ¥¢ëத¥®á⨠¬ âà¨æë B ¨ ᢮©á⢠9 ¨§ x13 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¬ âà¨æ B> â ª¥ ¥¢ëத¥ . ¬® ï à ¢¥á⢮>C =1 B>AB á«¥¢ (B>) 1 ¨ á¯à ¢ B 1, ¯®1 «ãç ¥¬, çâ® A = (B ) CB . ®¢ì ¨á¯®«ì§ãï ⥮६㠨§ x30 ¨¬¥¥¬ r(A) 6 r(C ). «¥¤®¢ ⥫ì®, r(A) = r(C ). ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . § ⥮६ë 1 ¥¬¥¤«¥® ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãî饥 «¥¤á⢨¥.
᫨ ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ ¤¢ã¬ï à §«¨ç묨 ¥¢ëத¥ë¬¨ «¨¥©ë¬¨ § ¬¥ ¬¨ ¯¥à¥¬¥ëå ¯à¨¢¥¤¥ ª ¤¢ã¬ à §«¨çë¬ ä®à¬ ¬, ¨¬¥î騬 ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤, â® ¯®«ãç¥ë¥ ä®à¬ë ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ ç¨á«® ¥ã«¥¢ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¨ ª¢ ¤à â å ¯¥à¥¬¥ëå.
ª §ë¢ ¥âáï, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ¡®«¥¥ ᨫ쮥 ã⢥थ¨¥, ª®â®à®¥ §ë¢ ¥âáï . § ª®®¬ ¨¥à樨 ª¢ ¤à â¨çëå ä®à¬
¥®à¥¬ 2.
᫨ ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ ¤¢ã¬ï à §«¨ç묨 ¥¢ëத¥ë¬¨ «¨¥©ë¬¨ § ¬¥ ¬¨ ¯¥à¥¬¥ëå ¯à¨¢¥¤¥ ª ¤¢ã¬ à §«¨çë¬ ä®à¬ ¬, ¨¬¥î騬 ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤, â® ¯®«ãç¥ë¥ ä®à¬ë ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ ç¨á«® ¯®«®¨â¥«ìëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¨ ª¢ ¤à â å ¯¥à¥¬¥ëå ¨ ®¤¨ ª®¢®¥ ç¨á«® ®âà¨æ ⥫ìëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¨ ª¢ ¤à â å ¯¥à¥¬¥ëå. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì ä®à¬ f = f (x1 ; x2 ; : : : ; x ) ¥¢ëத¥®© «¨¥©®© § ¬¥®© ¯¥à¥¬¥ëå 8 x1 = b11 y1 + b12 y2 + + b1 y ; > > < x2 = b21 y1 + b22 y2 + + b2 y ; (1) .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . > > : x = b 1 y1 + b 2 y2 + + b y ¯à¨¢®¤¨âáï ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã f (x1 ; x2 ; : : : ; x ) = t1 y12 + t2 y22 + + t y2 (2) 2 2 2 n
n
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t +1 y +1 t +2 y +2 k
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422
« ¢ 11. ¢ ¤à â¨çë¥ ä®à¬ë
¯¥à¥¬¥ëå
8 > > <
= 11z1 + 12z2 + + 1 z ; = 21z1 + 22z2 + + 2 z ; .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . > > : x = 1 z1 + 2 z2 + + z | ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã f (x1 ; x2 ; : : : ; x ) = s1 z12 + s2 z22 + + x1 x2 n
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s +1 z 2+1 s +2 z 2+2 p
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(£¤¥ s1; s2; : : : ; s + > 0). «¥¤á⢨¥ ¨§ ⥮६ë 1 ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® k + ` = p + q. ॡã¥âáï ¤®ª § âì, çâ® k = p ¨ ` = q. á®, çâ® ®¤® ¨§ íâ¨å à ¢¥á⢠᫥¤ã¥â ¨§ ¤à㣮£®, ¨ ¯®â®¬ã ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì ª ª®¥¨¡ã¤ì ®¤® ¨§ ¨å. ®ª ¥¬, çâ® k = p. Ǒ।¯®«®¨¬ ¯à®â¨¢®¥: ¯ãáâì k 6= p. «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® k < p. ª ª ª § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå (1) ¨ (3) ïîâáï ¥¢ëத¥ë¬¨, â® áãé¥áâ¢ãîâ ®¡à âë¥ ª ¨¬ § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå. Ǒãáâì § ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëå 8 y1 = d11 x1 + d12 x2 + + d1 x ; > > < y2 = d21 x1 + d22 x2 + + d2 x ; (5) . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . > > : y = d 1 x1 + d 2 x2 + + d x ï¥âáï ®¡à ⮩ ª (1), § ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëå 8 z1 = f11 x1 + f12 x2 + + f1 x ; > > < z2 = f21 x1 + f22 x2 + + f2 x ; (6) . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . > > : z = f 1 x1 + f 2 x2 + + f x | ®¡à ⮩ ª (3). ¬¥ë (5) ¨ (6) â ª¥ ¥¢ëத¥ë. Ǒ®«®¨¬ y1 = y2 = = y = z +1 = z +2 = = z = 0: ®£¤ ¢ë¯®«ïîâáï à ¢¥á⢠8 d11 x1 + d12 x2 + + d1 x = 0; > > > > d21 x1 + d22 x2 + + d2 x = 0; > > > > .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . . > > < d 1 x1 + d 2 x2 + + d x = 0; (7) f +1 1 x1 + f +1 2 x2 + + f +1 x = 0; > > > > f +2 1 x1 + f +2 2 x2 + + f +2 x = 0; > > > > .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . . > > : f 1 x1 + f 2 x2 + + f x = 0: p
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423
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ë ¯®«ã稫¨ ®¤®à®¤ãî á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ç¨á«® ãà ¢¥¨© ¢ ª®â®à®© à ¢® k + n p. Ǒ®áª®«ìªã k < p, ¯®«ãç ¥¬, çâ® k + n p < n. Ǒ® ⥮६¥ 3 ¨§ x12 á¨á⥬ (7) ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ (x01 ; x02 ; : : : ; x0 ). Ǒ®¤áâ ¢¨¢ í⨠§ ç¥¨ï ¢¬¥áâ® ¯¥à¥¬¥ëå x1 ; x2 ; : : : ; x ¢ ¯à ¢ë¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠(5) ¨ (6), ¯®«ã稬 § ç¥¨ï «¥¢ëå ç á⥩ íâ¨å à ¢¥áâ¢: y1 = y10 ; y2 = y20 ; : : : ; y = y0 ; z1 = z10 ; z2 = z20 ; : : : ; z = z 0 : ⬥⨬, çâ® y10 = y20 = = y0 = z 0 +1 = z 0 +2 = = z 0 = 0: â® ¥ ¢à¥¬ï á।¨ ç¨á¥« z10 ; z20 ; : : : ; z0 ¥áâì ¥ã«¥¢ë¥, â ª ª ª á।¨ ç¨á¥« x01 ; x02; : : : ; x0 ¥áâì ¥ã«¥¢ë¥ ¨ § ¬¥ (6) ¥¢ëத¥ . ¢¥á⢮ (2) ®§ ç ¥â, çâ® ¥á«¨ ¢ ¥£® «¥¢®© ç á⨠¯à®¨§¢¥á⨠§ ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå x1 ; x2 ; : : : ; x y1; y2; : : : ; y , â® ¯®«ã稬 ¯à ¢ãî ç áâì í⮣® à ¢¥á⢠. âáî¤ ¨ ¨§ ⮣®, çâ® y10 = y20 = = y0 = 0, á«¥¤ã¥â, çâ® f (x01 ; x02 ; : : : ; x0 ) = t1 (y10 )2 + t2 (y20 )2 + + t (y0 )2 t +1 (y0 +1 )2 t +2 (y0 +2 )2 t + (y0 + )2 = = t +1 (y0 +1 )2 t +2 (z0 +2 )2 t + (y0 + )2 6 0: «®£¨ç® ¨§ à ¢¥á⢠(4) ¨ ⮣®, çâ® z0 +1 = z0 +2 = = z0 = 0, á।¨ ç¨á¥« z1; z2; : : : ; z ¥áâì ®â«¨çë¥ ®â ã«ï, á«¥¤ã¥â, çâ® f (x01 ; x02 ; : : : ; x0 ) = s1 (z10 )2 + s2 (z20 )2 + + s (z 0 )2 s +1 (z 0 +1 )2 s +2 (z 0 +2 )2 s + (z 0 + )2 = = s1 (z10 )2 + s2(z20 )2 + + s (z0 )2 > 0: â ª, f (x01; x02 ; : : : ; x0 ) 6 0 ¨ f (x01 ; x02 ; : : : ; x0 ) > 0. Ǒà®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯à¥¤¯®«®¥¨¥ ® ⮬, çâ® k 6= p, «®®. «¥¤®¢ ⥫ì®, k = p. ¥®à¥¬ 2 ¤®ª § . n
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f (x1 , x2 , . . . , x ), ®¡« ¤ î騥 á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢮¬: ¥á«¨ x01 , x02 , . . . , x0 | ¯à®¨§¢®«ìë© ¥ã«¥¢®© ¡®à § 票© ¯¥à¥¬¥ëå ä®à¬ë f n
n
424
« ¢ 11. ¢ ¤à â¨çë¥ ä®à¬ë
(â.¥. ¥á«¨ ¯®0 ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® ¨§ ç¨á¥« x01 ; x02 ; : : : ; x0 ®â«¨ç® ®â ã0 0 «ï), â® f (x1; x2 ; : : : ; x ) > 0. ¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ , ®¡« ¤ îé ï í⨬ ᢮©á⢮¬, §ë¢ ¥âáï ¯®«®¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥®©. ë© ¯ à £à ä ¯®á¢ïé¥ ¨§«®¥¨î ¤¢ãå ªà¨â¥à¨¥¢ ¯®«®¨â¥«ì®© ®¯à¥¤¥«¥®á⨠ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë. ¥®à¥¬ 1. Ǒãáâì ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ f = f (x1 ; x2 ; : : : ; x ) ¨¬¥¥â ª ®¨ç¥áª¨© ¢¨¤ t1 y12 + t2 y22 + + t y 2 . ®à¬ f ¯®«®¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ t1 ; t2 ; : : : ; t > 0. ®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì ä®à¬ f ¯à¨¢®¤¨âáï ª 㪠§ ®¬ã ¢ ⥮६¥ ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã ¥¢ëத¥®© «¨¥©®© § ¬¥®© ¯¥à¥¬¥ëå 8 x1 = b11 y1 + b12 y2 + + b1 y ; > > < x2 = b21 y1 + b22 y2 + + b2 y ; (1) .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . > > : x = b 1 y1 + b 2 y2 + + b y : ¬ ¯® ¤®¡¨âáï â ª¥ ®¡à â ï § ¬¥ : 8 y1 = 11 x1 + 12 x2 + + 1 x ; > > < y2 = 21 x1 + 22 x2 + + 2 x ; (2) .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . > > : y = 1 x1 + 2 x2 + + x : ⮥ ¥¢ëத¥ . ®ª ¥¬ ¥®¡å®¤¨¬®áâì. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® t 6 0 ¤«ï ¥ª®â®à®£® i. Ǒ®«®¨¬ y0 = 1 ¨ y0 = 00 ¤«ï ¢á¥å j =0 1; 2; : : : ; n, j 6= i.0 Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¢ «¥¢ë¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠(2) y1 ¢¬¥áâ® y1, y2 ¢¬¥áâ® y2, . .. , y ¢¬¥áâ® y . Ǒ®«ã稬 ¥®¤®à®¤ãî ªà ¬¥à®¢áªãî á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© 8
11 x1 + 12 x2 + + 1 x = 0; > > > >
21 x1 + 22 x2 + + 2 x = 0; > > > > . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . > > <
1 1 x1 + 1 2 x2 + + 1 x = 0; (3)
1 x1 + 2 x2 + + x = 1; > > > >
+1 1 x1 + +1 2 x2 + + +1 x = 0; > > > > . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . > > :
1 x1 + 2 x2 + + x = 0: âà¨æ í⮩ ªà ¬¥à®¢áª®© á¨á⥬ë ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬ âà¨æ¥© § ¬¥ë (2). Ǒ®áª®«ìªã íâ § ¬¥ ¥¢ëத¥ , ¯®«ãç ¥¬, çâ® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì á¨á⥬ë (3) ®â«¨ç¥ ®â ã«ï. Ǒ® ¯à ¢¨«ã à ¬¥à (á¬. ⥮६ã 1 ¢ x14) á¨á⥬ (3) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ (x01 ; x02 ; : : : ; x0 ). â® n
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᫨ y10 = y20 = = y0 = 0, â®, ¯®¤áâ ¢¨¢ í⨠§ ç¥¨ï ¢ ¯à ¢ë¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠(1), ¯®«ã稬, çâ® x01 = x02 = = x0 = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¡®à y10 ; y20 ; : : : ; y0 | ¥ã«¥¢®©. ¬¥¥¬ f (x01 ; x02 ; : : : ; x0 ) = t1 (y10 )2 + t2 (y20 )2 + + t (y0 )2 > 0: ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ t1 ; t2; : : : ; t > 0, â® ä®à¬ f ¯®«®¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ . ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ ¤ ª®ªà¥â ï ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ ¨ âॡã¥âáï 㧠âì, ï¥âáï «¨ ® ¯®«®¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥®©. â®¡ë ¯à¨¬¥¨âì ªà¨â¥à¨© ¯®«®¨â¥«ì®© ®¯à¥¤¥«¥®áâ¨, ¤ ¢ ¥¬ë© ⥮६®© 1, âॡã¥âáï ¯à¨¢¥á⨠¤ ãî ä®à¬ã ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã. ãé¥áâ¢ã¥â ªà¨â¥à¨© ¯®«®¨â¥«ì®© ®¯à¥¤¥«¥®áâ¨, ª®â®àë© ¯®§¢®«ï¥â ¡ëáâ॥ ®â¢¥â¨âì 㪠§ ë© ¢®¯à®á. ⮡ë áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¥£®, ¬ ¯® ¤®¡¨âáï á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤¥«¥¨¥. Ǒãáâì A = (a ) | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n. ¨®àë í⮩ ¬ âà¨æë, à ᯮ«®¥ë¥ ¢ ¥¥ ¯¥à¢ëå k áâப å ¨ ¯¥à¢ëå k á⮫¡æ å (¤«ï ¢á¥å k = 1; 2; : : : ; n), â.¥. ®¯à¥¤¥«¨â¥«¨ n
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®ª ¥¬ ⥯¥àì ¤®áâ â®ç®áâì. Ǒãáâì 1; 2 > 0 ¨ (x01 ; x02 ) | ¥ã«¥¢®© ¡®à ¯¥à¥¬¥ëå. ᯮ«ì§ãï â®â ä ªâ, çâ® a11 = 1 6= 0, ¨¬¥¥¬ f (x01 ; x02 ) = a11 (x01 )2 + 2a12 x01 x02 + a22 (x02 )2 = 2 2 = a11 x01 + aa12 x02 + a22 aa12 (x02 )2 = 11 11
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432
« ¢ 12. ¥®âà¨æ ⥫ìë¥ ¬ âà¨æë
® ⮣¤ g(t) = (t a11)2, ¨ ¯®â®¬ã A ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ ᮡá⢥®¥ § 票¥, à ¢®¥ a11. «¥¤®¢ ⥫ì®, t = a11. ¯®¬¨¬, çâ® ¯® ãá«®¢¨î ¬ âà¨æ A ¥®âà¨æ ⥫ì . ç áâ®áâ¨, a11 > 0. Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ â¥®à¥¬ë ¤®ª § ®. ¥£ª® ¯®ïâì, çâ® ¥®âà¨æ ⥫ìë© ¢¥ªâ®à ~x = (0; 1) ¡ã¤¥â ᮡáâ¢¥ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¬ âà¨æë A, ®â®áï騬áï ª t = a11 . á«ãç ¥ D = 0 ⥮६ ¤®ª § . Ǒãáâì ⥯¥àì D > 0. ®£¤ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬®£®ç«¥ ¨¬¥¥â ¤¢ à §«¨çëå ª®àï: p p a11 + a22 D a11 + a22 + D t1 = ¨ t2 = : 2 2 á®, çâ® t2 > 0 ¨ p p D a11 + a22 D a11 + a22 jt1 j = 6 2 2 + 2 = p a11 + a22 + D = = t2 = jt2j: 2 «¥¤®¢ ⥫ì®, t = t2. Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ â¥®à¥¬ë ¤®ª § ®. «¥¥, ¯ãáâì ~x = (x1 ; x2 ) | ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à ¬ âà¨æë A, ®â®áï騩áï ª t2 .
᫨ x1 ; x2 > 0, â® ¢á¥ ¤®ª § ®.
᫨ x1 ; x2 6 0, â® ¤«ï § ¢¥àè¥¨ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¤® § ¬¥â¨âì, çâ® ¢¥ªâ®à ~x â ª¥ ï¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¬ âà¨æë A, ®â®áï騬áï ª t2 (á¬. ⥮६㠢 x34). áâ «®áì à áᬮâà¥âì á«ãç ©, ª®£¤ x1 ¨ x2 | ¥ã«¥¢ë¥ ç¨á« á à §ë¬¨ § ª ¬¨. «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® x1 > 0, x2 < 0. Ǒ®áª®«ìªã t2 | ᮡá⢥®¥ § 票¥ ¬ âà¨æë A, ¨¬¥¥¬ (a11 t2)x1 + a12 x2 = 0; a21 x1 + (a22 t2 )x2 = 0: Ǒ®áª®«ìªã a12 > 0, ¨§ ¯¥à¢®£® à ¢¥á⢠᫥¤ã¥â, çâ® a11 t2 > 0. «®£¨ç® ¨§ ¢â®à®£® à ¢¥á⢠᫥¤ã¥â, çâ® a22 t2 > 0. â ª®¬ á«ãç ¥ p a11 + a22 a11 + a22 + D t2 6 a11 , t2 6 a22 ¨ ¯®â®¬ã t2 6 . ¤ ª® t2 = 2 x ¨ D > 0. Ǒ®«ã祮¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥2¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® á«ãç ©, ª®£¤ 1 ¨ x2 | ¥ã«¥¢ë¥ ç¨á« á à §ë¬¨ § ª ¬¨, ¥¢®§¬®¥. ¥®à¥¬ ¤®ª § . § ¤®ª § ⥫ìáâ¢ â¥®à¥¬ë ¥¬¥¤«¥® ¢ë⥪ ¥â A
A
A
«¥¤á⢨¥. Ǒãáâì A | ¥®âà¨æ ⥫ì ï ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¢â®à®£® ¯®à浪 . ®£¤ ãà ¢¥¨¥ jA tE j ¨¬¥¥â ¤¢ ¤¥©á⢨⥫ìëå ª®àï ¢®§¬®®, ᮢ¯ ¤ îé¨å
(
).
=0
433
x
60. Ǒதãªâ¨¢ë¥ ¬ âà¨æë
Ǒந««îáâà¨à㥬 ⥮६ã ஡¥¨ãá {Ǒ¥àà® ¯à¨¬¥à¥. Ǒ®«®¨¬ 0 7 9 31 A = 0 2 0A: 28 41 12 ©¤¥¬ ¨¡®«ì襥 ¯® ¬®¤ã«î ᮡá⢥®¥ § 票¥ í⮩ ¬ âà¨æë ¨ ®â®áï騩áï ª ¥¬ã ¥®âà¨æ ⥫ìë© á®¡áâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à. ç « ©¤¥¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬®£®ç«¥ ¬ âà¨æë A, à §«®¨¢ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë A tE ¯® ¢â®à®© áâப¥: 7 t 9 3 jA tE j = 0 2 t 0 = 28 41 12 t = (2 t)(t2 19t) = t(2 t)(t 19): «¥¤®¢ ⥫ì®, ᮡá⢥묨 § 票ﬨ ¬ âà¨æë A ïîâáï ç¨á« 0, 2 ¨ 19, ¨ ¯®â®¬ã t = 19. ¯¨è¥¬ ⥯¥àì ¬ âà¨æã A 19E ¨ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã: 0 12 9 3 1 0 4 3 1 1 A 19E = 0 17 0 A 0 1 0 A 28 411 7 0 28141 7 0 4 31 431 0 1 0A 0 1 0A: 0 62 0 000 Ǒ®« £ ï x3 = 4, ¨§ ¢â®à®© áâப¨ ¯®«ã祮© ¬ âà¨æë 室¨¬, çâ® x2 = 0, ¨§ ¥¥ ¯¥à¢®© áâப¨ | çâ® x1 = 1. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ª ç¥á⢥ ¨áª®¬®£® ᮡá⢥®£® ¢¥ªâ®à ¬®® ¢§ïâì ¢¥ªâ®à (1,0,4). A
x60. 1.
Ǒதãªâ¨¢ë¥ ¬ âà¨æë
Ǒà®áâ ï «¨¥© ï ¬®¤¥«ì ¯à®¨§¢®¤áâ¢
áᬮâਬ n â¥å®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ (¨«¨ n ¯à¥¤¯à¨ï⨩) , ª®â®àë¥ ¯à®¨§¢®¤ïâ n ¯à®¤ãªâ®¢ G1 ; G2; : : : ; G ¯à¨ á«¥¤ãîé¨å ®£à ¨ç¥¨ïå: 1) ª ¤ë© â¥å®«®£¨ç¥áª¨© ¯à®æ¥áá ¯à®¨§¢®¤¨â ®¤¨ ¨ ⮫쪮 ®¤¨ ¯à®¤ãªâ; 2) ¬®¤¥«ì § ¬ªãâ , â.¥. ¥â ¯à¨â®ª ¯à®¤ãªâ®¢ ¨§¢¥ ¨ ¯®â®ª ¯à®¤ãªâ®¢ ¨§ ¬®¤¥«¨. p1 ; p2 , . . . , p
n
n
434
« ¢ 12. ¥®âà¨æ ⥫ìë¥ ¬ âà¨æë
«ï 㤮¡á⢠®¡®§ 票© ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® â¥å®«®£¨ç¥áª¨© ¯à®æ¥áá p ¯à®¨§¢®¤¨â ¯à®¤ãªâ G , i = 1; 2; : : : ; n. «ï ¯à®¨§¢®¤á⢠¯à®¤ãªâ G ¢ â¥å®«®£¨ç¥áª®¬ ¯à®æ¥áᥠp ¬®£ãâ ¯® ¤®¡¨âìáï ¯à®¤ãªâë G1 ; G2 ; : : : ; G . Ǒãáâì a | ª®«¨ç¥á⢮ ¥¤¨¨æ ¯à®¤ãªâ G , ¥®¡å®¤¨¬®¥ ¤«ï ¯à®¨§¢®¤á⢠®¤®© ¥¤¨¨æë ¯à®¤ãªâ G . ¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ A = (a ) ¯®à浪 n §ë¢ ¥âáï ¬ âà¨æ¥© ¯®âॡ«¥¨ï. á®, çâ® A | ¥®âà¨æ ⥫ì ï ¬ âà¨æ . 䨪á¨à㥬 ¥ª®â®àë© ¢à¥¬¥®© ¨â¥à¢ «, ᪠¥¬, £®¤. Ǒãáâì ¢ â¥ç¥¨¥ í⮣® ¢à¥¬¥¨ ¯à®¨§¢¥¤¥® x1 ¥¤¨¨æ ¯à®¤ãªâ G1 , x2 ¥¤¨¨æ ¯à®¤ãªâ G2 , . . . , x ¥¤¨¨æ ¯à®¤ãªâ G . ¥ªâ®à ~x = (x1 ; x2; : : : ; x ) §ë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à®¬ ¢ «®¢®£® ¢ë¯ã᪠. ⬥⨬, çâ® ~x | ¥®âà¨æ ⥫ìë© ¢¥ªâ®à. áâì ¯à®¨§¢¥¤¥®© ¯à®¤ãªæ¨¨ à á室ã¥âáï ¢ ¯à®æ¥áᥠ¯à®¨§¢®¤á⢠. â ç áâì ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à®¬ i
i
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n
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~y = (a11 x1 + a12 x2 + + a1 x ; a21 x1 + a22 x2 + + a2 x ; : : : ; a 1 x1 + a 2 x2 + + a x ): n
n
n
nn
n
n
n
n
Ǒ¥à¥å®¤ï ª ¬ âà¨çë¬ ®¡®§ 票ï¬, ¨¬¥¥¬ ~y> = A~x> . ¥ªâ®à ~y §ë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à®¬ ¯à®¨§¢®¤á⢥ëå § âà â. ⬥⨬, çâ® ~y = (A~x> )> = ~xA> (á¬. ᢮©á⢮ 6 á. 253). áâ ⮪ ~ = ~x ~y = ~x ~xA> ¯à¥¤ § ç¥ ¤«ï ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¢ ¥¯à®¨§¢®¤á⢥®© áä¥à¥ ¨ ª®¯«¥¨ï. §ë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à®¬ ª®¥ç®£® ¯®âॡ«¥¨ï. ᮢ ï § ¤ ç , ¢®§¨ª îé ï ¢ ¯« ¨à®¢ ¨¨ ¯à®¨§¢®¤áâ¢ è ¢à¥¬¥®© ¨â¥à¢ «, ä®à¬ã«¨àã¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¯à¨ § ¤ ®¬ ¢¥ªâ®à¥ ª®¥ç®£® ¯®âॡ«¥¨ï ~ ©â¨ ¥®¡å®¤¨¬ë© ¢¥ªâ®à ¢ «®¢®£® ¢ë¯ã᪠~x. à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¥®¡å®¤¨¬® ¯à¨ § ¤ ëå ¢¥ªâ®à¥ ~ ¨ ¬ âà¨æ¥ A ©â¨ å®âï ¡ë >®¤¨ ¥®âà¨æ ⥫ìë© ¢¥ªâ®à ~x, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 à ¢¥áâ¢ã ~x ~xA = ~ ¨«¨ ~x(E A>) = ~ . ç¨âë¢ ï, çâ® E = E >, ¯®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ~x(E A)> = ~ . à ᯮ¨à®¢ ¢ ®¡¥ ç á⨠í⮣® à ¢¥á⢠, ¯®«ã稬 á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© (E
A)~x> = ~ > :
(1)
¨á⥬ ãà ¢¥¨© (1) á 㪠§ ®© ¨â¥à¯à¥â 樥© ¬ âà¨æë A ¨ ¢¥ªâ®à®¢ ~x ¨ ~ §ë¢ ¥âáï ¯à®á⮩ «¨¥©®© ¬®¤¥«ìî ¯à®¨§¢®¤á⢠, â ª¥ ¬®¤¥«ìî ¥®â쥢 ¨«¨ ¬®¤¥«ìî ¬¥®âà á«¥¢®£® ¡ « á . ¯à¥¤¥«¥¨¥. ¥®âà¨æ ⥫ì ï ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ A §ë¢ ¥âáï ¯à®¤ãªâ¨¢®©, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¥®âà¨æ ⥫쮣® ¢¥ªâ®à ~ áãé¥áâ¢ã¥â ¥®âà¨æ ⥫쮥 à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (1).
x
60. Ǒதãªâ¨¢ë¥ ¬ âà¨æë
435
㤥⠫¨ ¯à®¤ãªâ¨¢®© ¬ âà¨æ A = 02 20 ? ®§ì¬¥¬ ~ = (1; 1). ®£¤ á¨á⥬ (1) § ¯¨è¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: x1 2x2 = 1; 2x1 + x2 = 1: â á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥: ~x = ( 1; 1). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ âà¨æ A ¥ ï¥âáï ¯à®¤ãªâ¨¢®©. ¯à®ç¥¬, íâ® ¨ â ª ïá®: ¥á«¨ ¤«ï ¯à®¨§¢®¤á⢠¥¤¨¨æë ¯¥à¢®£® ¯à®¤ãªâ âॡãîâáï ¤¢¥ ¥¤¨¨æë ¢â®à®£®, ¤«ï ¯à®¨§¢®¤á⢠¥¤¨¨æë ¢â®à®£® ¯à®¤ãªâ âॡãîâáï ¤¢¥ ¥¤¨¨æë ¯¥à¢®£®, â® â ª®¥ ¯à®¨§¢®¤á⢮ ¨ç¥£® ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥â (¯à¨ ãá«®¢¨¨ § ¬ªãâ®áâ¨). Ǒਬ¥à 2. áᬮâਬ ¡®«¥¥ á«®ãî ¬ âà¨æã 0 0 0;4 1 1 A = 1;2 0 0;3 A : 0;2 0;2 0 â ª¥ ¥¯à®¤ãªâ¨¢ . ® ¯à®¢¥à¨âì íâ® ¯à®áâ묨 à áá㤥¨ï¬¨ ¤®¢®«ì® âà㤮. ¥®¡å®¤¨¬ë ¤®áâ â®ç® ¯à®áâë¥ ¤«ï ¯à¨¬¥¥¨ï ªà¨â¥à¨¨ ¯à®¤ãªâ¨¢®áâ¨. ¢ â ª¨å ªà¨â¥à¨ï ¡ã¤ãâ ¯®«ãç¥ë ¨¥ (á¬. ⥮६ë 1 ¨ 2). ¬ ¥ ¡ã¤¥â ¤®ª § ¥¯à®¤ãªâ¨¢®áâì ¬ âà¨æë A. Ǒਬ¥à 1.
2.
à¨â¥à¨¨ ¯à®¤ãªâ¨¢®á⨠¬ âà¨æë
§ ¢¨¤ á¨á⥬ë (1) ïá®, çâ® ¯à®¤ãªâ¨¢®áâì ¨«¨ ¥¯à®¤ãªâ¨¢®áâì ¬ âà¨æë A ¤®«ë ¢«¨ïâì ᢮©á⢠¬ âà¨æë E A. â® ¯®¤â¢¥à¤ ¥â á«¥¤ãîé ï ⥮६ . ¥®à¥¬ 1. ¥®âà¨æ ⥫ì ï ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ A ¯à®¤ãªâ¨¢ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¬ âà¨æ E A ®¡à ⨬ ¨ ¬ âà¨æ , ®¡à â ï ª E A, ¥®âà¨æ ⥫ì . ®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ â®ç®áâì ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï ¯à®áâ®. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¬ âà¨æ (E A) 1 áãé¥áâ¢ã¥â, â® ¨§ (1) á«¥¤ã¥â, çâ® ~x> = (E A) 1~ > . ¥á«¨ ¬ âà¨æ (E A) 1 ¨ ¢¥ªâ®à ~ ¥®âà¨æ ⥫ìë, â® ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ (E A) 1~ > ¥®âà¨æ ⥫ì®.
436
« ¢ 12. ¥®âà¨æ ⥫ìë¥ ¬ âà¨æë
¥®¡å®¤¨¬®áâì. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ âà¨æ A ¯à®¤ãªâ¨¢ . ¡®§ 稬 ¯®à冷ª ¬ âà¨æë A ç¥à¥§ n. Ǒãáâì ~e1; ~e2; : : : ; ~e | áâ ¤ àâë© ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠R . 祢¨¤®, çâ® ¢¥ªâ®àë ~e1; ~e2; : : : ; ~e ¥®âà¨æ ⥫ìë. Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¯à®¤ãªâ¨¢®© ¬ âà¨æë ¤«ï ¢á类£® i = 1; 2; : : : ; n áãé¥áâ¢ã¥â ¥®âà¨æ ⥫쮥 à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (E A)~x> = ~e>. ¡®§ 稬 íâ® à¥è¥¨¥ ç¥à¥§ ~b . 묨 á«®¢ ¬¨, ¢¥ªâ®àë ~b1, ~b2, .. . , ~b ¥®âà¨æ ⥫ìë ¨ ¢ë¯®«¥ë à ¢¥á⢠(E A)~b>1 = ~e>1 ; (E A)~b>2 = ~e>2 ; : : : ; (E A)~b> = ~e>: (2) Ǒãáâì, ¤ «¥¥, B | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n, i-© á⮫¡¥æ ª®â®à®© ᮢ¯ ¤ ¥â á® á⮫¡æ®¬ ~b> (¤«ï ¢á类£® i = 1; 2; : : : ; n). >祢¨¤®, çâ® ¬ âà¨æ , ¢ ª®â®à®© i-© á⮫¡¥æ ᮢ¯ ¤ ¥â á® á⮫¡æ®¬ ~e (¤«ï ¢á类£® i = 1; 2; : : : ; n), ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¥¤¨¨ç ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n. § à ¢¥á⢠(2) ¢ë⥪ ¥â, çâ® (E A)B = E . ᨫã á«¥¤á⢨ï 2 ¨§ x31 ¬ âà¨æ E A ®¡à ⨬ ¨ (E A) 1 = B. áâ ¥âáï ãç¥áâì, çâ® ¬ âà¨æ B ¥®âà¨æ ⥫ì , ¯®áª®«ìªã ª ¤ë© ¥¥ á⮫¡¥æ ¥®âà¨æ ⥫¥. ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . ®ª ¥¬ á ¯®¬®éìî ⥮६ë 1 ¥¯à®¤ãªâ¨¢®áâì ¬ âà¨æë A ¨§ ¯à¨¬¥à 2, ¯à¨¢¥¤¥®£® á. 435. í⮬ á«ãç ¥ 0 1 0;4 1 1 0;3 A : E A = 1;2 1 0;2 0;2 1 ©¤¥¬ ¬ âà¨æã (E A) 1 á ¯®¬®éìî «£®à¨â¬ , 㪠§ ®£® á. 268 (¥á«¨ ¬ âà¨æ E A ¥®¡à ⨬ , íâ®, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¨¥, ¢ëïá¨âáï ¢ ¯à®æ¥áᥠᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©). ¬¥¥¬ 0 1 0;4 1 1 0 0 1 0 5 2 5 5 0 0 1 1;2 1 0;3 0 1 0 A 12 10 3 0 10 0 A 0;2 0;2 1 0 0 1 1 1 50 05 0 1 1 5 0 0 51 0 1 1 5 0 0 51 12 10 3 0 10 0 A 0 22 63 0 10 60 A 5 2 55 00 0 7 20 5 0 25 0 1 0 1 1 5 0 0 5 1 1 5 0 0 5 1 0 1 3 15 10 15 A 0 1 3 15 10 15 A : 0 7 20 5 0 25 0 0 1 110 70 130 Ǒà¥à¢¥¬ §¤¥áì ¯à®æ¥áá í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©, çâ®¡ë ®â¬¥â¨âì á«¥¤ãî饥. ë ¯à¨¢¥«¨ «¥¢ãî ç áâì 襩 ¬ âà¨æë (â.¥. ¬ âà¨æã n
n
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x
60. Ǒதãªâ¨¢ë¥ ¬ âà¨æë
437
A) ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã. ã«¥¢ëå áâப ¯à¨ í⮬ ¥ ¢®§¨ª«®. ᨫ㠧 ¬¥ç ¨ï, ᤥ« ®£® á. 268, íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¬ âà¨æ E A ®¡à ⨬ .
᫨ ¡ë ¢ «¥¢®© ç á⨠¬ âà¨æë ¢®§¨ª« ã«¥¢ ï áâப , â®, ¢1 ᨫã ⮣® ¥ § ¬¥ç ¨ï, íâ® ®§ ç «® ¡ë, çâ® ¬ âà¨æë (E A) ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ® ⮣¤ ¨§ ⥮६ë 1 ¢ë⥪ «® ¡ë, çâ® ¬ âà¨æ A ¥¯à®¤ãªâ¨¢ . ⬥⨬ ¥é¥, çâ® ç¥â¢¥à⮬ è £¥ ¯à®¤¥« ëå ¢ëè¥ í«¥¬¥â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¬ë ¤«ï ã¯à®é¥¨ï ¢ëç¨á«¥¨© ¯à¨¡ ¢¨«¨ ª® ¢â®à®© áâப¥ âà¥âìî, 㬮¥ãî 3. Ǒத®«¨¬ í«¥¬¥â àë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï: 0 1 1 5 0 0 5 1 0 1 1 0 550 350 655 1 0 1 3 15 10 15 A 0 1 0 315 200 375 A 0 0 1 110 70 130 0 0 1 110 70 130 0 1 0 0 235 150 280 1 0 1 0 0 235 150 280 1 0 1 0 315 200 375 A 0 1 0 315 200 375 A : 0 0 1 110 70 130 0 0 1 110 70 130 â ª, 0 1 235 150 280 (E A) 1 = 315 200 375 A : 110 70 130 祢¨¤®, íâ ¬ âà¨æ ¥ ï¥âáï ¥®âà¨æ ⥫쮩, ¨, ¢ ᨫã ⥮६ë 1, ¬ âà¨æ A ¥¯à®¤ãªâ¨¢ . à áᬮâ८¬ ¯à¨¬¥à¥ ¢á¥ í«¥¬¥âë ¬ âà¨æë E A ®ª § «¨áì ®âà¨æ ⥫ì묨. ® ¤«ï ⮣® çâ®¡ë ¬ âà¨æ ¥ ï¢«ï« áì ¥®âà¨æ ⥫쮩, ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ª ª®©-â® ®¤¨ ¥¥ í«¥¬¥â ¡ë« ®âà¨æ ⥫ìë¬. à拉 á«ãç ¥¢ íâ® ¯®§¢®«ï¥â ¤®ª § âì ¥¯à®¤ãªâ¨¢®áâì ¬ âà¨æë A ¥ å®¤ï ¯®«®áâìî ¬ âà¨æã (E A) 1 . Ǒ®ª ¥¬, ª ª í⮠ᤥ« âì ¤«ï à áᬮâ८© ¢ëè¥ ¬ âà¨æë A. Ǒ।¥ ¢á¥£® ¯à®¢¥à¨¬, áãé¥áâ¢ã¥â «¨ ¬ âà¨æ (E A) 1. ᨫã â¥®à¥¬ë ¨§ x31 ¤® ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ 0 ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë E A. ¬¥¥¬: 1 0;4 1 jE Aj = 1;2 1 0;3 = 1 0;94 ( 0;4) ( 1;26) + ( 1) 0;44 = 0;2 0;2 1 = 0;94 0;504 0;44 = 0;004 < 0: ç áâ®áâ¨, jE Aj 6= 0 ¨ ¯®â®¬ã ¬ âà¨æ (E A) 1 áãé¥áâ¢ã¥â. áâ «®áì ¯à®¢¥à¨âì, ¡ã¤¥â «¨ ® ¥®âà¨æ ⥫쮩. ᨫã ä®à¬ã«ë (1) ¨§ x31 ¬ âà¨æ ¥®âà¨æ ⥫ì ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ¤®¯®«¥¨ï ¢á¥å ¥¥ í«¥¬¥â®¢ «¨¡® à ¢ë 0, «¨¡® ¨¬¥îâ â®â E
438
« ¢ 12. ¥®âà¨æ ⥫ìë¥ ¬ âà¨æë
¥ § ª, çâ® ¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì í⮩ ¬ âà¨æë. ª ¬ë ã¡¥¤¨«¨áì ¢ëè¥, jE Aj < 0. ® 1 0 ; 3 1+1 (E A)11 = ( 1) 0;2 1 = 0;94 > 0: «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ âà¨æ (E A) 1 ¥ ï¥âáï ¥®âà¨æ ⥫쮩 ¨ ¯®â®¬ã ¬ âà¨æ A ¥¯à®¤ãªâ¨¢ . «¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯à®¤ãªâ¨¢®áâì ¨«¨ ¥¯à®¤ãªâ¨¢®áâì ¬ âà¨æ ¢â®à®£® ¯®à浪 ¬®® ¯à®¢¥àïâì ¥ å®¤ï ®¡à ⮩ ¬ âà¨æë. Ǒ।«®¥¨¥. ¥®âà¨æ ⥫ì ï ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ A = (a ) ¢â®à®£® ¯®à浪 ¯à®¤ãªâ¨¢ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ a11 < 1, a22 < 1 ¨ jE Aj > 0. ®ª § ⥫ìá⢮. ¥®¡å®¤¨¬®áâì. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ âà¨æ A ¯à®¤ãªâ¨¢ . Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¯à®¤ãªâ¨¢®© ¬ âà¨æë ¤«ï «î¡®£® ¥®âà¨æ ⥫쮣® ¢¥ªâ®à ~ = ( 1 ; 2) ©¤¥âáï ¥®âà¨æ ⥫쮥 à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (1 a11)x1 a12 x2 = 1 ; (3) a21x1 + (1 a22 )x2 = 2 : ë¡à ¢ ¢ ª ç¥á⢥ ~ ¢¥ªâ®à (1,1), ¯®«ã稬 á¨á⥬ã (1 a11)x1 a12 x2 = 1; (4) a21 x1 + (1 a22 )x2 = 1: Ǒãáâì ~x = (x1 ; x2 ) | ¥®âà¨æ ⥫쮥 à¥è¥¨¥ í⮩ á¨á⥬ë. § ¥®¤®à®¤®á⨠á¨á⥬ë (4) ¢ë⥪ ¥â, çâ® ~x 6= ~0, â.¥. «¨¡® x1 6= 0, «¨¡® x2 6= 0. «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® x1 6= 0 ¨ ¯®â®¬ã x1 > 0.
᫨ x2 = 0, â® a21x1 +(1 a22)x2 = a21x1 6 0 ( ¯®¬¨¬, çâ® ¬ âà¨æ A ¥®âà¨æ ⥫ì , x1 > 0), çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢â®à®¬ã ãà ¢¥¨î á¨á⥬ë (4). â ª, x2 6= 0 ¨ ¯®â®¬ã x2 > 0. § (4) ¨ ¥®âà¨æ ⥫ì®á⨠¬ âà¨æë A ¢ë⥪ ¥â ⥯¥àì, çâ® 1 a11 = 1 + a12 x2 > 0 ¨ 1 a22 = 1 + a21 x1 > 0: ij
x1
x2
«¥¤®¢ ⥫ì®, a11 < 1 ¨ a22 < 1. áâ «®áì ¯®ª § âì, çâ® jE Aj > 0. «ï ⮣® ç⮡ë ᤥ« âì íâ®, ª ¯¥à¢®¬ã ãà ¢¥¨î á¨á⥬ë (4), 㬮¥®¬ã 1 a22, ¯à¨¡ ¢¨¬ ¢â®à®¥, 㬮¥®¥ a12. Ǒ®«ã稬, çâ® [(1 a11)(1 a22) a12 a21℄x1 = 1 a22 + a12. â® à ¢¥á⢮ ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ jE Aj x1 = 1 a22 + a12. Ǒ®áª®«ìªã 0 6 a22 < 1, a12 > 0 ¨ x1 > 0, ¯®«ãç ¥¬, çâ® jE Aj > 0.
439
x
60. Ǒதãªâ¨¢ë¥ ¬ âà¨æë
Ǒ।¯®«®¨¬ ⥯¥àì, çâ® a11 < 1, a22 < 1 ¨ ~ = ( 1 ; 2 ) | ¯à®¨§¢®«ìë© ¥®âà¨æ ⥫ìë© ¢¥ªâ®à. ¤® ¤®ª § âì, çâ® á¨á⥬ ãà ¢¥¨© (3) ¨¬¥¥â ¥®âà¨æ ⥫쮥 à¥è¥¨¥. â á¨á⥬ ï¥âáï ªà ¬¥à®¢áª®©, ¥¥ ®á®¢®© ¬ âà¨æ¥© ï¥âáï ¬ âà¨æ E A. Ǒ® ãá«®¢¨î E A 6= 0. Ǒ® ¯à ¢¨«ã à ¬¥à (á¬. ⥮६ã 1 ¢ x14) á¨á⥬ (3) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, ª®â®à®¥ ¬®® ©â¨ ¯® ä®à¬ã« ¬ ®áâ â®ç®áâì.
jE Aj > 0. ॡã¥âáï ¤®ª § âì, çâ® ¬ âà¨æ A ¯à®¤ãªâ¨¢ . Ǒãáâì
x1
=
1 2
a12 1 a22 jE Aj 1 a11 1 a21 2 jE Aj
= 1(1 jEa22 )A+j 2a12 ;
= 2(1 jEa11 )A+j 1a21 : Ǒ®áª®«ìªã jE Aj > 0, 1 a11; 1 a22; a12; a21; 1; 2 > 0, ¯®«ãç ¥¬, çâ® x1 > 0 ¨ x2 > 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ âà¨æ A ¯à®¤ãªâ¨¢ . Ǒ।«®¥¨¥ ¤®ª § ®. ⬥⨬, çâ® ¨§ ¤®ª § ®£® ¯à¥¤«®¥¨ï ¥¬¥¤«¥® ¢ë⥪ ¥â ¥¯à®¤ãªâ¨¢®áâì ¬ âà¨æë ¨§ ¯à¨¬¥à 1, ¯à¨¢¥¤¥®£® á. 435. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢ í⮬ á«ãç ¥ 1 2 jE Aj = 2 1 = 3 < 0: Ǒ।¥ 祬 áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¥é¥ ®¤¨ ªà¨â¥à¨© ¯à®¤ãªâ¨¢®á⨠(¤«ï ¬ âà¨æ ¯à®¨§¢®«ì®£® ¯®à浪 ), ãá«®¢¨¬áï ® á«¥¤ãî饬. ᨫã ᢮©á⢠11 á. 209 jtE Aj = ( 1) jA tE j, £¤¥ n | ¯®à冷ª ¬ âà¨æë A. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®£®ç«¥ë jtE Aj ¨ jA tE j ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ ⥠¥ ª®à¨. ãç¥â®¬ í⮣® ãá«®¢¨¬áï §ë¢ âì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ¬®£®ç«¥®¬ ¬ âà¨æë A â ª¥ ¬®£®ç«¥ jtE Aj. x2
=
n
¥®à¥¬ 2. ¥®âà¨æ ⥫ì ï ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ A ¯à®¤ãªâ¨¢ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢á¥ ª®à¨ ¥¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¯® ¬®¤ã«î ¬¥ìè¥ ¥¤¨¨æë. ®ª § ⥫ìá⢮. ë ¤®ª ¥¬ íâã ⥮६㠫¨èì ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ ¯®à冷ª ¬ âà¨æë à ¢¥ 2. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬®£®ç«¥ ¬ âà¨æë A ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ g(t). ª¨¬ ®¡à §®¬,
g(t) = jtE
Aj = t aa11 t aa12 = (t a11 )(t a22 ) a12 a21 : 21 22
440
« ¢ 12. ¥®âà¨æ ⥫ìë¥ ¬ âà¨æë
⬥⨬, çâ® g(a11) = g(a22) = a12a21. ¥®¡å®¤¨¬®áâì. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ âà¨æ A ¯à®¤ãªâ¨¢ (¢ ç áâ®áâ¨, ¥®âà¨æ ⥫ì ). ᨫã á«¥¤áâ¢¨ï ¨§ x59 ¬®£®ç«¥ g(t) ¨¬¥¥â ¤¢ ¤¥©á⢨⥫ìëå ª®àï (¢®§¬®®, ᮢ¯ ¤ îé¨å). «¥¥, ¢ ᨫ㠯।«®¥¨ï a11 < 1, a22 < 1 ¨ jE Aj > 0. Ǒ®á«¥¤¥¥ ¥à ¢¥á⢮ ®§ ç ¥â, çâ® g(1) > 0. Ǒãáâì t | ¨¡®«ì襥 ¯® ¬®¤ã«î ᮡá⢥®¥ § 票¥ ¬ âà¨æë A. Ǒ® ⥮६¥ ஡¥¨ãá {Ǒ¥àà® (á¬. x59) t > 0. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® t > 1. ®£¤ g(t ) = (t a11)(t a22 ) a12a21 > (1 a11)(1 a22) a12a21 = g(1) > 0: â ª, g(t ) 6= 0 ¢®¯à¥ª¨ ⮬ã, çâ® t | ᮡá⢥®¥ § 票¥ ¬ âà¨æë A. Ǒ®«ã祮¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® t < 1. ᨫ㠢롮à t ®âáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¢á¥ ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ¬ âà¨æë A ¯® ¬®¤ã«î ¬¥ìè¥ ¥¤¨¨æë. ®áâ â®ç®áâì. ª ¨ ¢ëè¥, ¢ ᨫã á«¥¤áâ¢¨ï ¨§ x59, ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â ¤¢ ¤¥©á⢨⥫ìëå ᮡá⢥ëå § 票ï (¢®§¬®®, ᮢ¯ ¤ îé¨å). Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ®¡ íâ¨å ᮡá⢥ëå § 票ï, â.¥. ®¡ ª®àï ¬®£®ç«¥ g(t), ¯® ¬®¤ã«î ¬¥ìè¥ 1. à 䨪®¬ í⮣® ¬®£®ç«¥ ï¥âáï ¯ à ¡®« , ¯à ¢«¥ ï ¢¢¥àå. â® ®§ ç ¥â, çâ® g(1) > 0, â.¥. jE Aj > 0. «¥¥, g(a11) = a12a21 6 0. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® a11 > 1. ®£¤ a11 ¥ ï¥âáï ª®à¥¬ ¬®£®ç«¥ g(t) ¨ ¯®â®¬ã g(a11) < 0. Ǒ®áª®«ìªã ¯ à ¡®« y = g(t) ¯à ¢«¥ ¢¢¥àå, g(t0) = 0 ¤«ï ¥ª®â®à®£® t0 > a11 . ¯®¬¨¬, çâ® a11 > 1. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®£®ç«¥ g(t) ¨¬¥¥â ª®à¥ì, ª®â®àë© ¡®«ìè¥ 1. Ǒ®«ã祮¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® a11 < 1. «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® a22 < 1. â ª, a11 < 1, a22 < 1 ¨ jE Aj > 0. ᨫ㠯।«®¥¨ï ¬ âà¨æ A ¯à®¤ãªâ¨¢ . ¥®à¥¬ 2 ¤®ª § . Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ⥮६ë 2. Ǒãáâì 0 0;2 0;3 0 1 A = 0;3 0;4 0 A : 0;3 0;1 0;4 ॡã¥âáï ¯à®¢¥à¨âì, ¡ã¤¥â «¨ ¬ âà¨æ A ¯à®¤ãªâ¨¢®©. ©¤¥¬ ¥¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬®£®ç«¥: 0;2 t 0;3 0 jA tE j = 0;3 0;4 t 0 = 0;3 0;4 t 0;1 0;2 t = (0;4 t) 0;3 0;40;3 t = (0;4 t)(t2 0;6t 0;01): A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
441
x
61. âà¨æë ®¡¬¥
á®, çâ® ®¤¨¬ ¨§ ᮡá⢥ëå § 票© ¬ âà¨æë A ï¥âáï ç¨á«® t1 = 0;4. â®¡ë ©â¨ ¤¢ ¤à㣨å ᮡá⢥ëå § 票ï, ¤® à¥è¨âì ãà ¢¥¨¥ t2 0;6t 0;01 = 0. ¬¥¥¬
p p 0 ;6 0;36 + 0;04 t2 3 = = 0 ;3 0;1: 2 祢¨¤®, çâ® ç¨á« t1, t2 ¨ t3 ¯® ¬®¤ã«î ¬¥ìè¥ 1. Ǒ® ⥮६¥ 2 ¬ âà¨æ A ¯à®¤ãªâ¨¢ . ;
x61. 1.
âà¨æë ®¡¬¥
Ǒà®áâ ï «¨¥© ï ¬®¤¥«ì ®¡¬¥
ë 祬 íâ®â ¯ à £à ä á à áᬮâ२ï (¨«¨ ). Ǒãáâì n áâà C1 ; C2 ; : : : ; C â®à£ãîâ ¤àã£ á ¤à㣮¬. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¢¥áì ¤®å®¤ x áâà ë C ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¨§ ¯à®¤ ¨ ᢮¨å ⮢ ஢ «¨¡® ¢ãâਠáâà ë, «¨¡® ¤à㣨¬ áâà ¬. Ǒ।¯®«®¨¬ â ª¥, çâ® áâàãªâãà â®à£®¢«¨ ãáâ ®¢¨« áì: ç áâì ¤®å®¤ áâà ë C , ª®â®à ï âà â¨âáï ¯®ªã¯ªã ⮢ ஢ ã áâà ë C , ¯®áâ®ï ¨ à ¢ a . Ǒ®«®¨¬ A = (a ). á®, çâ® A | ¥®âà¨æ ⥫ì ï ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¯®à浪 n ¨ á㬬 í«¥¬¥â®¢ ª ¤®£® ¥¥ á⮫¡æ à ¢ 1. ª¨¥ ¬ âà¨æë §ë¢ îâáï ¬ âà¨æ ¬¨ ®¡¬¥ ¨«¨ áâ®å áâ¨ç¥áª¨¬¨ ¬ âà¨æ ¬¨. Ǒãáâì ~x = (x1 ; x2 ; : : : ; x ) | ¢¥ªâ®à ¤®å®¤®¢ (â.¥. x | ¤®å®¤ i-© áâà ë, £¤¥ i = 1; 2; : : : ; n). ®£¤ , ç¨ ï â®à£®¢ âì ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¬ âà¨æ¥© ®¡¬¥ A, ¯®á«¥ ®¤®£® âãà â®à£®¢«¨ áâà ë ¡ã¤ãâ ®¡« ¤ âì ¤®å®¤ ¬¨, ¢¥«¨ç¨ ª®â®àëå ®¯¨áë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à®¬-á⮫¡æ®¬ A~x> . ¥©á⢨⥫ì®, áâà C âà â¨â a x ¤¥¥ëå ¥¤¨¨æ ¨¬¯®àâ ¨§ áâà ë C , ¤«ï áâà ë C ¢¥«¨ç¨ a x | á« £ ¥¬®¥ ¤®å®¤ . «¥¤®¢ ⥫ì®, á㬬 àë© ¤®å®¤ áâà ë C 㤮¢«¥â¢®àï¥â à ¢¥áâ¢ã x = a 1 x1 + a 2 x2 + + a x : ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¥ªâ®à ¤®å®¤®¢ ~x 㤮¢«¥â¢®àï¥â á®®â®è¥¨î ~x> = > A~x , ª®â®à®¥ ¬®® § ¯¨á âì ª ª ®¤®à®¤ãî á¨á⥬㠫¨¥©ëå ãà ¢¥¨© (E A)~x> = ~0>: (1) â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢¥ªâ®à ~x ï¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¬ âà¨æë A, ®â®áï騬áï ª ᮡá⢥®¬ã § 票î 1. ஬¥ ⮣®, ®ç¥¢¨¤®, çâ® íâ®â ¢¥ªâ®à ¥®âà¨æ ⥫¥. ®§¨ª ¥â ¢®¯à®á: ¢á¥£¤ «¨ ¬ âà¨æ ¯à®á⮩ «¨¥©®© ¬®-
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¬®¤¥«¨ ¬¥¤ã த®© â®à£®¢«¨
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442
« ¢ 12. ¥®âà¨æ ⥫ìë¥ ¬ âà¨æë
®¡¬¥ ¨¬¥¥â ᮡá⢥®¥ § 票¥ 1 ¨ ®â®áï騩áï ª ¥¬ã ¥®âà¨æ ⥫ìë© á®¡áâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à? áᬮâਬ ¥é¥ ®¤ã á¨âã æ¨î, ª®â®à ï â ª¥ ¯à¨¢®¤¨â ª á¨á⥬¥ ãà ¢¥¨© (1), £¤¥ A | ¬ âà¨æ ®¡¬¥ . Ǒãáâì, ª ª ¨ ¢ ¯à®á⮩ «¨¥©®© ¬®¤¥«¨ ¯à®¨§¢®¤á⢠, ¨¬¥¥âáï n ¯à¥¤¯à¨ï⨩ (¨«¨ â¥å®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ) p1; p2; : : : ; p ¨ n ¯à®¤ãªâ®¢ G1 ; G2; : : : ; G ¨ ¢ë¯®«ïîâáï ⥠¥ ®£à ¨ç¥¨ï: 1) ª ¤®¥ ¯à¥¤¯à¨ï⨥ ¯à®¨§¢®¤¨â ®¤¨ ¨ ⮫쪮 ®¤¨ ¯à®¤ãªâ ( ¨¬¥®, ¯à¥¤¯à¨ï⨥ p ¯à®¨§¢®¤¨â ¯à®¤ãªâ G , i = 1; 2; : : : ; n); 2) ¬®¤¥«ì § ¬ªãâ . 䨪á¨à㥬 ¥ª®â®àë© ¢à¥¬¥®© ¨â¥à¢ «, ᪠¥¬, £®¤. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¢áï ¯à®¨§¢¥¤¥ ï § íâ®â ¯¥à¨®¤ ¯à®¤ãªæ¨ï ¯®âॡ«¥ ¢ ¯à®æ¥áᥠ¯à®¨§¢®¤á⢠. Ǒãáâì ¢ â¥ç¥¨¥ í⮣® ¢à¥¬¥¨ ¯à¥¤¯à¨ï⨥ p ¯®âॡ«ï¥â ç áâì ¯à®¤ãªâ , ¯à®¨§¢¥¤¥®£® ¯à¥¤¯à¨ï⨥¬ p , à ¢ãî a . âà¨æ A = (a ) ¡ã¤¥â ¬ âà¨æ¥© ®¡¬¥ , â ª ª ª ® ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬ ¥®âà¨æ ⥫ì , ¢ ᨫ㠧 ¬ªãâ®á⨠¬®¤¥«¨ á㬬 í«¥¬¥â®¢ ¢ ª ¤®¬ ¥¥ á⮫¡æ¥ à ¢ 1. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ x ª®«¨ç¥á⢮ ¥¤¨¨æ ¯à®¤ãªâ G , ¯à®¨§¢¥¤¥®£® ¯à¥¤¯à¨ï⨥¬ p , ç¥à¥§ | æ¥ã ¥¤¨¨æë ¯à®¤ãªâ G (i = 1; 2; : : : ; n). ®¤®¢®© ¤®å®¤ ¯à¥¤¯à¨ïâ¨ï p à ¢¥ x , ¥£® ¥¥£®¤ë¥ à áå®¤ë ®¯à¥¤¥«ïîâáï á㬬®© 1 x1a 1 + 2x2 a 2 + + x a . ë ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® æ¥ë ~ = ( 1 ; 2; : : : ; ) ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ à ¢®¢¥á¨¥ â®à£®¢«¨, ¥á«¨
1 x1 a 1 + 2 x2 a 2 + + x a 6 x (2) ¤«ï ¢á¥å i = 1; 2; : : : ; n. ãâì í⮣® ¥à ¢¥á⢠¯à¥¤¥«ì® ¯à®áâ : ®® ®§ ç ¥â «¨èì, çâ® ¨ ®¤¨ ¯à®¨§¢®¤¨â¥«ì ¥ âà â¨â ¡®«ìè¥, 祬 ® § à ¡ âë¢ ¥â. ®§¨ª ¥â ¢®¯à®á: ¢á¥£¤ «¨ ¤«ï ¬ âà¨æë ®¡¬¥ A ¨ ¥®âà¨æ ⥫쮣® ¢¥ªâ®à ~x áãé¥áâ¢ãîâ æ¥ë ~ , ®¡¥á¯¥ç¨¢ î騥 à ¢®¢¥á¨¥ â®à£®¢«¨, â.¥. 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ¥à ¢¥áâ¢ã (2)? Ǒ®«®¨¬ y = x ¤«ï ¢á¥å i = 1; 2; : : : ; n ¨ ~y = (y1; y2; : : : ; y ). ®£¤ ᮢ®ªã¯®áâì ¥à ¢¥á⢠(2) ¬®® § ¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: A~y> 6 ~y> (3) (íâ® ¢¥ªâ®à®¥ ¥à ¢¥á⢮, à §ã¬¥¥âáï, ®§ ç ¥â, çâ® ª ¤ ï ª®¬¯®¥â ¢¥ªâ®à , áâ®ï饣® ¢ ¥£® «¥¢®© ç áâ¨, ¥ ¯à¥¢®á室¨â ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à , áâ®ï饣® ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨). ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¯à¨ ᤥ« ëå ¯à¥¤¯®«®¥¨ïå ¨§ ¥à ¢¥á⢠(3) á«¥¤ã¥â à ¢¥á⢮ A~y> = ~y> : (4) n
n
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443
x
61. âà¨æë ®¡¬¥
®ª ¥¬ íâ®â ä ªâ ¯à¨ n = 2. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ®¤® ¨§ ¤¢ãå ¥à ¢¥áâ¢, ª®â®àë¥ ¯®«ãç âáï, ¥á«¨ à ᯨá âì ¢¥ªâ®à®¥ ¥à ¢¥á⢮ (3) ¢ ª®¬¯®¥â å (᪠¥¬, ¯¥à¢®¥), ï¥âáï áâண¨¬: a11 y1 + a12 y2 < y1 ; a21 y1 + a22 y2 6 y2 : áᬮâਬ á㬬ã íâ¨å ¥à ¢¥áâ¢. 㬬 ¨å «¥¢ëå ç á⥩ à ¢ a11 y1 + a12 y2 + a21 y1 + a22 y2 = (a11 + a21 )y1 + (a12 + a22 )y2 = y1 + y2 ( ¯®¬¨¬, çâ® A | ¬ âà¨æ ®¡¬¥ ). «¥¤®¢ ⥫ì®, á㬬 ¥à ¢¥á⢠¨¬¥¥â ¢¨¤ y1 + y2 < y1 + y2. Ǒ®«ã祮¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® á ¬®¬ ¤¥«¥ ¢ë¯®«¥® à ¢¥á⢮ (4), ª®â®à®¥, á â®ç®áâìî ¤® ®¡®§ 票©, à ¢®á¨«ì® á¨á⥬¥ (1). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢®¯à®á, áä®à¬ã«¨à®¢ ë© ¢ ª®æ¥ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¡§ æ , ᢮¤¨âáï ª ¢®§¨ªè¥¬ã à ¥¥ ¢®¯à®áã: ¢á¥£¤ «¨ ¬ âà¨æ ®¡¬¥ ¨¬¥¥â ᮡá⢥®¥ § 票¥ 1 ¨ ®â®áï騩áï ª ¥¬ã ¥®âà¨æ ⥫ìë© á®¡áâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à? ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¨¥, ®â¢¥â ¥£® ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®«®¨â¥«ìë¬. 2.
¢®©á⢠¬ âà¨æ ®¡¬¥
¥®à¥¬ . Ǒãáâì
A | ¬ âà¨æ ®¡¬¥ . ®£¤ :
1) 1 ï¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ § 票¥¬ ¬ âà¨æë A; 2) áãé¥áâ¢ã¥â ®â®áï騩áï ª 1 ¥®âà¨æ ⥫ìë© á®¡áâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à ¬ âà¨æë
A.
®ª § ⥫ìá⢮. Ǒ¥à¢®¥ ã⢥थ¨¥ ¯à®¢¥àï¥âáï ¥á«®®. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì A | ¬ âà¨æ ®¡¬¥ . Ǒਡ ¢¨¬ ª ¯¥à¢®© áâப¥ ¬ âà¨æë A tE ¢á¥ ®áâ «ìë¥ ¥¥ áâப¨ ¨ ®¡®§ 稬 ¯®«ãç¥ãî ¬ âà¨æã ç¥à¥§ B(t). Ǒ®áª®«ìªã á㬬 í«¥¬¥â®¢ ª ¤®£® á⮫¡æ ¬ âà¨æë A à ¢ 1, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ ¬ âà¨æ¥ B (t) ¢á¥ í«¥¬¥âë ¯¥à¢®© áâப¨ à ¢ë 1 t. Ǒ® ᢮©á⢠¬ 1 ¨ 6 ¨§ x13 jA tE j = jB(t)j = (1 t) jB0 (t)j, £¤¥ B0(t) | ¬ âà¨æ , ¯®«ãç¥ ï ¨§ B(t) § ¬¥®© ¢ ¯®á«¥¤¥© ¬ âà¨æ¥ ¢á¥å í«¥¬¥â®¢ ¯¥à¢®© áâப¨ 1. ª¨¬ ®¡à §®¬, å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬®£®ç«¥ ¬ âà¨æë A ¤¥«¨âáï 1 t ¨ ¯®â®¬ã 1 ï¥âáï ª®à¥¬ í⮣® ¬®£®ç«¥ , â.¥. ᮡáâ¢¥ë¬ § 票¥¬ í⮩ ¬ âà¨æë. áâ «®áì ¯à®¢¥à¨âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ®â®áï騩áï ª 1 ¥®âà¨æ ⥫ìë© á®¡áâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à ¬ âà¨æë A, â.¥. çâ® á¨á⥬ (1) ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®¥ ¥®âà¨æ ⥫쮥 à¥è¥¨¥. ë ¤®ª ¥¬ í⮠⮫쪮 ¢ á«ãç ¥, ª®£¤
444
« ¢ 12. ¥®âà¨æ ⥫ìë¥ ¬ âà¨æë
A | ¬ âà¨æ ¢â®à®£® ¯®à浪 . í⮬ á«ãç ¥ á¨á⥬ (1) ¨¬¥¥â ¢¨¤ (1 a11)x1 a12 x2 = 0; (5) a21 x1 + (1 a22 )x2 = 0: ¯à¥¤¥«¨â¥«ì í⮩ á¨á⥬ë à ¢¥ 0. á ¬®¬ ¤¥«¥, ãç¨âë¢ ï, çâ® A
| ¬ âà¨æ ®¡¬¥ , ¨¬¥¥¬ 1 a11 a12 = a21 a12 = 0: a21 1 a22 a21 a12 «¥¤®¢ ⥫ì®, á¨á⥬ (5) ¨¬¥¥â ¥ª®â®à®¥ ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ (x1 , x2 ) (á¬. ⥮६ã 2 ¢ x14).
᫨ x1 > 0 ¨ x2 > 0, ⮠⥮६ ¤®ª § .
᫨ x1 6 0 ¨ x2 6 0, â® ¢ ª ç¥á⢥ ¥ã«¥¢®£® ¥®âà¨æ ⥫쮣® à¥è¥¨ï á¨á⥬ë (1) ¬®® ¢§ïâì ¢¥ªâ®à ( x1 ; x2). áâ «®áì à áᬮâà¥âì á«ãç ©, ª®£¤ x1 ¨ x2 | ¥ã«¥¢ë¥ ç¨á« à §ëå § ª®¢. «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® x1 > 0 ¨ x2 < 0. § ⮣®, çâ® A | ¬ âà¨æ ®¡¬¥ , ¢ë⥪ ¥â, çâ® 0 6 a11 6 1 ¨ 0 6 a22 6 1. «¨§¨àãï § ª¨ á« £ ¥¬ëå ¢ ãà ¢¥¨ïå á¨á⥬ë (1), «¥£ª® ¯®ïâì, çâ® ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ a11 = a22 = 1 ¨ a12 = a21 = 0. ® ⮣¤ E A = O ¨ ¯®â®¬ã «î¡®© ¥ã«¥¢®© ¥®âà¨æ ⥫ìë© ¢¥ªâ®à ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë (1). ¥®à¥¬ ¤®ª § . Ǒਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à. Ǒãáâì 0 0;2 0;3 0;7 1 A = 0;6 0;3 0;1 A : 0;2 0;4 0;2 á®, çâ® A | ¬ âà¨æ ®¡¬¥ . ᨫã â¥®à¥¬ë ¥¤¨¨æ ï¥âáï ¥¥ ᮡáâ¢¥ë¬ § 票¥¬. ॡã¥âáï ©â¨ ®â®áï騩áï ª 1 ¥®âà¨æ ⥫ìë© á®¡áâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à, â.¥. ¥®âà¨æ ⥫쮥 ¨ ¥ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á ¬ âà¨æ¥© A E . 믨襬 íâã ¬ âà¨æã ¨ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ ª áâ㯥ç ⮬㠢¨¤ã: 0 0;8 0;3 0;7 1 0 8 3 7 1 A E = 0;6 0;7 0;1 A 6 7 1 A 0;2 0;4 0;8 2 4 8 0 1 0 8 3 7 8 3 71 0 19 25 A 0 19 25 A : 0 19 25 0 0 0 Ǒ®« £ ï x3 = 19, ¨§ ¢â®à®© áâப¨ ¯®«ã祮© ¬ âà¨æë ¯®«ãç ¥¬ x2 = 25, ¨§ ¯¥à¢®© | x1 = 26. â ª, ®¤¨¬ ¨§ ¥®âà¨æ ⥫ìëå ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¬ âà¨æë A, ®â®áïé¨åáï ª ᮡá⢥®¬ã § 票î 1, ï¥âáï ¢¥ªâ®à (26,25,19).
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445
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ᮢ묨 ⨯ ¬¨ § ¤ ç ¯® ⥬¥ ¤ ®© £« ¢ë ïîâáï: 1) 室¥¨¥ ¨¡®«ì襣® ¯® ¬®¤ã«î ᮡá⢥®£® § ç¥¨ï ¨ ®â®áï饣®áï ª ¥¬ã ¥®âà¨æ ⥫쮣® ᮡá⢥®£® ¢¥ªâ®à ¥®âà¨æ ⥫쮩 ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æë; 2) ¢ëïᥨ¥ ⮣®, ï¥âáï «¨ ¬ âà¨æ ¯à®¤ãªâ¨¢®©. Ǒਬ¥àë à¥è¥¨ï § ¤ ç ®¡®¨å ⨯®¢ ¤ ë ¢ x59 ¨ 60, ¨ ¯®â®¬ã §¤¥áì ¬ë ¨å à¥è âì ¥ ¡ã¤¥¬. 2.
¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮣® à¥è¥¨ï
1. ©â¨ ¨¡®«ì襥 ¯® ¬®¤ã«î ᮡá⢥®¥ § 票¥ ¨ ®â®áï騩áï ª ¥¬ã ¥®âà¨æ ⥫ìë© 0 ᮡáâ¢¥ë© 1 0¢¥ªâ®à1¬ âà¨æë: 1 0 1 121 ) 22 25 ; ¡) 12 43 ; ¢) 0 2 0 A; £) 0 1 0 A. 454 672 2. «ï ¤ ®© ¬ âà¨æë ¯®âॡ«¥¨ï 0 0;3 0;4 0;1 1 A = 0;2 0 0;3 A 0;3 0 0;4 ©â¨ ¢¥ªâ®à ¢ «®¢®£® ¢ë¯ã᪠, ¥á«¨ ¢¥ªâ®à ª®¥ç®£® ¯®âॡ«¥¨ï à ¢¥: ) (0;8; 0;5; 0;7); ¡) (1;3; 1;3; 1;8). 3. «ï ¬ âà¨æë ¯®âॡ«¥¨ï ¨§ § ¤ ç¨ 2 ©â¨ ¢¥ªâ®à ª®¥ç®£® ¯®âॡ«¥¨ï, ¥á«¨ ¢¥ªâ®à ¢ «®¢®£® ¢ë¯ãáª à ¢¥: ) (1,2,3); ¡) (2,1,1). 4. Ǒãáâì ¯à®¨§¢®¤á⢮ ®¢®© ¥¤¨¨æë áâ «¨ âॡã¥â 0;4 ¥¤¨¨æë áâ «¨ ¨ 0;5 ¥¤¨¨æë âà㤠; ¯à®¨§¢®¤á⢮ ®¢®© ¥¤¨¨æë ¯à®¤ãªâ®¢ ¯¨â ¨ï âॡã¥â 0;1 ¥¤¨¨æë ¯à®¤ãªâ®¢ ¯¨â ¨ï ¨ 0;7 ¥¤¨¨æë âà㤠; ¯à®¨§¢®¤á⢮ ®¢®© ¥¤¨¨æë âà㤠| 0;8 ¥¤¨¨æë ¯à®¤ãªâ®¢ ¯¨â ¨ï ¨ 0;1 ¥¤¨¨æë âà㤠. 㤥⠫¨ â ª®¥ ¯à®¨§¢®¤á⢮ ¯à®¤ãªâ¨¢ë¬? 5. ã¤ãâ «¨ á«¥¤ãî騥 ¬ âà¨æë ¯à®¤ãªâ¨¢ë¬¨: 0 0 0;4 1 1 0 0;3 0;5 0;2 1 0 0;4 0;7 0;5 1 ) 1;2 0 0;2 A; ¡) 0;5 0;3 0;2 A; ¢) 0;6 0;4 0;6 A; 0;2 0;2 0 0;2 0;2 0;3 0;5 0;7 0;6
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« ¢ 12. ¥®âà¨æ ⥫ìë¥ ¬ âà¨æë
0
0;3 0;3 0;5 1 0 0 0;4 0;5 1 £) 0;2 0;3 0;1 A; ¤) 0;4 0 0;3 A? 0;5 0;2 0;3 0;5 0;3 0 6. «ï á«¥¤ãîé¨å ¬ âà¨æ ®¡¬¥ ©â¨ ¥®âà¨æ ⥫ìë© á®¡áâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à, ®â®áï騩áï ª ᮡá⢥®¬ã § 票î 1: 0 1=2 1=3 1=4 1 0 1=4 2=3 1=2 1 ) 0 1=3 1=2 A; ¡) 3=4 1=6 0 A. 1=2 1=3 1=4 0 1=6 1=2 3.
⢥âë
1. ) 6, (1,2); 2. ) (1,1,1); 5. ) ;
4.
¡) 5, (1,1);
¢) 5, (1,0,4);
¡) (2,1,3). 3.
¡) ¥â;
¢) ¥â;
;
;
£) 4, (1,0,3).
;
) (1 4; 1 1; 1 5);
£) ¤ ;
¤) ¤ . 6.
;
;
¡) (1 1; 0 7; 1). 4. . ) (4,3,4);
¡) (10,9, 3).
¬®áâ®ï⥫ì ï à ¡®â ò12
1. ©â¨ ¨¡®«ì襥 ¯® ¬®¤ã«î ᮡá⢥®¥ § 票¥ ¨ ®â®áï騩áï0ª ¥¬ã1¥®âà¨æ ⥫ìë© á®¡áâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à ¬ âà¨æë: 0 221 1 1 21 03 0 21 04 1 11 ) 0 2 1 A; ¡) 1 3 1 A; ¢) 0 3 1 A; £) 1 2 0 A. 133 235 115 313 2. ®ª § âì ¯à®¤ãªâ¨¢®áâì ¬ âà¨æë, ¨á¯®«ì§ãï ªà¨â¥à¨© ¯à®¤ãªâ¨¢®áâ¨, ¢ ⥮६¥ 1 ¨§ x60: 㪠§ ë© 0 ; 2 0 ; 3 ) 0;5 0;4 ; ¡) 00;;53 00;;36 ; ¢) 00;;35 00;;44 ; £) 00;;53 00;;14 . 3. ®ª § âì ¯à®¤ãªâ¨¢®áâì ¬ âà¨æë, ¨á¯®«ì§ãï ªà¨â¥à¨© ¯à®¤ãªâ¨¢®áâ¨, ¢ ⥮६¥ 2 ¨§ x60: 0 㪠§ ë© 0;3 0;1 0;2 1 0 0;2 0;3 0;1 1 0 0;3 0 0;2 1 ) 0;4 0;3 0 A; ¡) 0 0;2 0;5 A; ¢) 0;2 0;3 0;1 A; 0 0;2 0;3 1 0;1 0 0;2 0 0;1 0;3 0 0;4 0 0;1 £) 0;1 0;4 0;2 A. 0 0;1 0;4 4. ®ª § âì ¥¯à®¤ãªâ¨¢®áâì ¬ âà¨æë: 0 0;3 0;2 0;6 1 0 0;4 0;6 0 1 0 0;3 0;4 0;5 1 ) 0;1 0;3 0;5 A; ¡) 0;3 0;4 0;3 A; ¢) 0;1 0;3 0;3 A; 0;4 0;4 0;3 1 0;5 0;2 0;4 0;5 0;4 0;3 0 0;4 0;5 0;1 £) 0 0;4 0;6 A. 0;3 0;5 0;4
Ǒਫ®¥¨¥ ¥â®¤ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¨¤ãªæ¨¨
á ¬ëå à §«¨çëå à §¤¥« å ¬ ⥬ ⨪¨ ¬®£¨¥ ã⢥थ¨ï ¤®ª §ë¢ îâáï á ¯®¬®éìî â ª §ë¢ ¥¬®£® ¬¥â®¤ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¨¤ãªæ¨¨. ®á®¢®© ç á⨠¯®á®¡¨ï â ª¨¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠¢áâà¥ç «¨áì ¢ x13, 34 ¨ 55. ¤¥áì ¯à¨¢®¤¨âáï ªà ⪮¥ ¨§«®¥¨¥ í⮣® ¬¥â®¤ . Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¬ ¤® ¤®ª § âì ¥ª®â®à®¥ ã⢥थ¨¥ S (n), § ¢¨áï饥 ®â âãà «ì®£® ¯ à ¬¥âà n. ªâ¨ç¥áª¨ à¥çì ¨¤¥â ® ¡¥áª®¥ç®© á¥à¨¨ ã⢥थ¨© S (1), S (2), S (3), . . . , S (n), . . . . ¥â®¤ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¨¤ãªæ¨¨ á®á⮨⠢ ¯à®¢¥àª¥ ⮣®, çâ®: 1) ¢ë¯®«¥® ã⢥थ¨¥ S (1) (â.¥. ¤®ª §ë¢ ¥¬®¥ ã⢥थ¨¥ ¢¥à® ¯à¨ n = 1); 2) ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® âãà «ì®£® ç¨á« k, ¡®«ì襣® 1, ¨§ ã⢥थ¨© S (1), S (2), . . . , S (k 1) ¢ë⥪ ¥â ã⢥थ¨¥ S (k) (â.¥. ¥á«¨ ¤®ª §ë¢ ¥¬®¥ ã⢥थ¨¥ ¢ë¯®«¥® ¯à¨ ¢á¥å n = 1; 2; : : : ; k 1, â® ®® ¢ë¯®«¥® ¨ ¯à¨ n = k). ⢥थ¨¥ 1 §ë¢ ¥âáï ¡ §®© ¨¤ãªæ¨¨, ã⢥थ¨¥ 2 | è £®¬ ¨¤ãªæ¨¨. ¤®ª § ⥫ìá⢥ ã⢥थ¨ï 2 ¯à¥¤¯®«®¥¨¥ ® ⮬, çâ® ã⢥थ¨¥ S (n) ¢¥à® ¯à¨ ¢á¥å n = 1; 2; : : : ; k 1, §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¯®«®¥¨¥¬ ¨¤ãªæ¨¨.
᫨ ã⢥थ¨ï 1 ¨ 2 ¡ã¤ãâ ¤®ª § ë, ⮠⥬ á ¬ë¬ ¡ã¤¥â ¤®ª § ®, çâ® ã⢥थ¨¥ S (n) ¢ë¯®«¥® ¯à¨ «î¡®¬ âãà «ì®¬ n. á ¬®¬ ¤¥«¥, ᮣ« á® ¡ §¥ ¨¤ãªæ¨¨ ã⢥थ¨¥ S (n) ¢ë¯®«¥® ¯à¨ n = 1. Ǒਬ¥ïï è £ ¨¤ãªæ¨¨ ¯à¨ k = 2, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ®® ¢ë¯®«¥® ¯à¨ n = 2. ®¢ì ¯à¨¬¥ïï è £ ¨¤ãªæ¨¨, íâ®â à § ¯à¨ k = 3, § ª«îç ¥¬, çâ® è¥ ã⢥थ¨¥ ¢ë¯®«¥® ¨ ¯à¨ n = 3. Ǒத®« ï íâ®â ¯à®æ¥áá, ¬ë à ® ¨«¨ ¯®§¤® ã¡¥¤¨¬áï ¢ á¯à ¢¥¤«¨¢®á⨠襣® ã⢥थ¨ï ¯à¨ «î¡®¬ ¯¥à¥¤ § ¤ ®¬ § 票¨ n.
448
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