Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля в пространствах с индефинитной метрикой

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет печати

В. В. Старинец

СИНГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ В ПРОСТРАНСТВАХ С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ Часть 1

Москва 2010

УДК 517.9 ББК 22.16 C77 Рецензенты: В.Н. Самохин, доктор физико-математических наук; А.П. Черняев, доктор физико-математических наук. Старинец В.В. C77 Сингулярные операторы Штурма—Лиувилля в пространствах с индефинитной метрикой. Часть 1 : монография / В.В. Старинец; Моск. гос. ун-т печати. — М. : МГУП, 2010. — 504 с. ISBN 978-5-8122-1076-2 В монографии исследуются сингулярные операторы Штурма—Лиувилля, действующие в функциональных гильбертовых пространствах с индефинитной метрикой. Исследование опирается на материал монографии автора «Обобщенно-классические ортогональные многочлены». Для научных работников, аспирантов, студентов, специализирующихся в области функционального анализа, математической физики. Печатается в авторской редакции.

УДК 517.9 ББК 22.16 ISBN 978-5-8122-1076-2 c ° c °

В.В. Старинец, 2010 Московский государственный университет печати, 2010

Светлой памяти моих родителей Василия Николаевича и Полины Артемьевны посвящается

Предисловие Результаты, изложенные в настоящей монографии, представляют собой непосредственное обобщение классической теории сингулярных дифференциальных операторов Штурма— Лиувилля [2], [7], [10] . . . [13] на случай, когда действие операторов осуществляется в гильбертовых пространствах с индефинитной метрикой [1], [9]. Данная монография является продолжением исследований автора по методам гильбертова пространства с индефинитной метрикой, начало которым было положено в монографии «Обобщенно-классические ортогональные многочлены» [15], и на результаты которой опирается настоящее исследование. В монографии [15] приведен метод построения функциональных π-пространств Π как результат обобщения понятия квадратичной интегрируемости, а именно, распространения его на множество функций с, вообще говоря, неинтегрируемыми в обычном смысле особенностями (критическими точками), а также некоторые их свойства. Происхождение термина «критическая точка» x = c связано с тем, что π-спектральная функция оператора умножения на независимую переменную, представляющего собой каноническую форму самосопряженного оператора, действующего в некотором пространстве Понтрягина, имеет (сингулярную) критическую точку [1] x = c. При этом коэффициенты Фурье разложений произвольного элемента из π-пространства по собственным элементам оператора умножения и π-самосопряженного оператора Штурма—Лиувилля, действующего в этом же пространстве, связаны между собой π-унитарным преобразованием.

4

Предисловие

Rb Индефинитная метрика [f, g] = Reg a f g dx в π-пространстве Π определяется как регуляризуемый интеграл с помощью регуляризующего критические точки множителя τα (x) : Rb Rb Reg a f g dx = lim a f g τα dx, либо эквивалентным способом α→0 Rb с помощью так называемого point-интеграла: Reg a f g dx = Rb = qa f g dx. Так, например, в случае, когда подынтегральная функция имеет особенность в нуле вида x2σ+1 (σ ∈ R \ Z), ре(σ) гуляризующий множитель имеет вид τα (x) = Rσ (x/α), выражающийся через специальную функцию-регуляризатор ³ ´ cos (2σ + 1) arctg x Rσ (x) = (σ < −1 , σ ∈ / Z) . − sin πσ · (1 + x−2 )−σ−1/2 В частности, для полуцелых значений параметра σ регуляризатор принимает вид рациональных дробей: x2 (x2 − 1) , (x2 + 1)2 √ ¢¡ √ ¢ ¡ x4 x2 − (3 − 2 2 ) x2 − (3 + 2 2 ) R−5/2 (x) = , (x2 + 1)4 √ ¢ √ ¢¡ ¡ x6 (x2 − 1) x2 − (7 − 4 3 ) x2 − (7 + 4 3 ) , R−7/2 (x) = (x2 + 1)6 q ³ √ √ ¡ ¢2 ´ x8 2 R−9/2 (x) = 2 x − 4+2 2− 2−1 × (x + 1)8 q q ³ √ √ √ √ ¢2 ´³ 2 ¡ ¢2 ´ ¡ 2 4+2 2+ 2+1 x − 4−2 2− 2+1 × × x − q ³ √ √ ¡ ¢2 ´ 2 × x − 4−2 2+ 2−1 и т. д. R−3/2 (x) =

Связь между регуляризатором и point-интегралом дается соотношением [15] Z l Z l 1 r ϕ(x) ψ(x) x2σ+1 dx = lim ϕ(x) ψ(x)|x|2σ+1 Rσ (x/α) dx , α→0 −l sin2 πσ −l

5

Предисловие

³R R l+i0 ´ Rl l−i0 где q−l ( · ) dx = 2−1 −l−i0 + −l+i0 ( · ) dx, ϕ, ψ ∈ Lin{x2k }∞ k=0 . Общая теория, развитая в монографии, демонстрируется на многочисленных примерах конкретных операторов Штурма—Лиувилля, сопровождающихся графическим изображением на рисунках эволюции спектра их самосопряженных расширений, как функции характерных параметров, определяющих пространства, в которых они действуют, либо параметров, фиксирующих эти самосопряженные расширения. Как хорошо известно, в классической теории сингулярных операторов важную роль играют классические ортогональные многочлены [34], непосредственно связанные с собственными функциями соответствующих конкретных модельных самосопряженных сингулярных дифференциальных операторов Штурма—Лиувилля [2], [12], [13], действующих в пространствах Гильберта (с позитивной метрикой) и составляющих ортогональные базисы в этих пространствах. При определенных значениях параметров расширения такую же роль играют обобщенно-классические ортогональные многочлены [15], аналогичным образом связанные с собственными функциями соответствующих модельных сингулярных π-самосопряженных дифференциальных операторов Штурма—Лиувилля, действующих в пространствах Понтрягина и также образующие π-ортогональные базисы в этих π-пространствах. В теории сингулярных операторов Штурма—Лиувилля, порождаемых в гильбертовом пространстве некоторым самосопряженным дифференциальным выражением l(y), не всегда оба линейно независимых решения уравнения l(y) − λ y = 0 принадлежат этому пространству. Например, для дифференциального выражения ¡

l(y) = x y

¢

0 0

ν2 y + 4x

(ν ∈ R+ )

в L2 (0, 1) оба линейно независимых решения u±ν (x) уравнения l(y) − λ y = 0, ввиду их асимптотического при x → 0 поведения u±ν (x) ∼ x±ν/2 , принадлежат этому пространству для ν ∈ [0, 1)

6

Предисловие

и только uν (x) принадлежит ему для ν ≥ 1. Это приводит к различию в формализме построения самосопряженных расширений минимального симметрического оператора L0 в L2 (0, 1) в зависимости от значения параметра ν (варианты предельной окружности и предельной точки соответственно [2], [12]). Рассмотрение операторов, порождаемых теми же дифференциальными выражениями l(y) в соответствующим образом построенном гильбертовом пространстве с индефинитной метрикой, позволяет исследовать операторы с единых более общих позиций, когда сингулярная точка x = c всегда квазирегулярна, т. е. краевое условие в этой точке определяется подобно регулярному случаю независящим от дифференциального выражения l(y) образом. Это исследование в процессе предельного перехода к дефинитной метрике проясняет природу возникновения упомянутого различия в формализме, имеющегося в классической теории. Единство рассмотрения заключается в том, что наблюдая при изменении некоторого параметра t, фиксирующего π-самосопряженное расширение Λ π-симметрического оператора L0 , за эволюцией π-ортонормального базиса π-пространства Π, составленного из собственных (и присоединенных) элементов этого расширения Λ, замечаем, что линеал, натянутый на эллиптические и гиперболические элементы базиса по мере роста абсолютного значения параметра t постепенно вытесняется на периферию π-пространства (собственные значения оператора Λ, отвечающие собственным элементам из этого линеала, по абсолютной величине неограниченно растут при t → ±∞) и в формальном пределе при t = ±∞ выталкиваются из π-пространства Π, в результате чего оно превращается в гильбертово пространство H (с позитивной метрикой), а πсамосопряженный оператор Λ становится самосопряженным в пространстве H. Так, в приведенном выше примере в то время, как при изменении параметра t в границах (−∞, ∞), включая предельные значения, оператор Λ для ν ∈ (0, 1) совершает цикл эволюционных изменений, оставаясь все время (вариант предель-

Предисловие

7

ной окружности) в пространстве H = L2 (0, 1), то для ν > 1 (ν ∈ / Z) π-самосопряженный оператор Λ, действует в некотором π-пространстве Π для всех t ∈ (−∞, ∞), а предельные значения t = ±∞ формально отвечают «тому же» оператору Λ, но теперь уже действующему в гильбертовом пространстве H (что в классической теории соответствует варианту предельной точки). Явление выталкивания при ν > 1 (ν ∈ / Z) из π-пространства Π линеала с рангом индефинитности, равным рангу индефинитности π-пространства, аналогично наблюдаемому в классической теории явлению выталкивания при ν ∈ ∈ (0, 1) из пространства H линеала (позитивного, одномерного), отвечающего отрицательному собственному значению λ оператора Λ, при удалении λ вдоль вещественной оси на −∞ (правда, в этом случае само пространство H остается прежним в то время, как в первом случае имеем в пределе переход скачком Π ⇒ H). Заметим, что в монографии исследование ограничивается дифференциальными операторами с конечными критическими точками и не рассматриваются дифференциальные операторы с бесконечно удаленной критической точкой [15]. Настоящая монография представлена в двух частях. В первой части в главе 1 детализируется начатое в монографии [15] исследование функциональныx пространств Π с индефинитной метрикой соответственно классификации, отвечающей характеру так называемых критических точек весовых функций, порождающих эти пространства. В частности, показано, что π-пространство Π, кроме множества L квадратично интегрируемых (в смысле регуляризованного интеграла) функций, содержит r-мерный нейтральный линеал ∆ специальных функционалов (обобщенных функций с носителем в критиче˙ ∆ (L = Π; r = rank Π). ских точках): Π = L + В главе 2 исследуются вещественные самосопряженные дифференциальные выражения l(y), порождающие в соответствующих π-пространствах максимальные сингулярные опера˙ ∆1 торы Штурма—Лиувилля L с областью определения D = L1+

8

Предисловие

(L1 = {y ∈ L : l(y) ∈ Π}, ∆1 = {y ∈ ∆ : l(y) ∈ ∆}). В главе 3 изучаются π-симметрические сужения L0 соответствующих максимальных операторов L, определяемых специальными краевыми условиями в сингулярных (точнее, квазирегулярных) точках. В главе 4 исследуются π-самосопряженные расширения Λ операторов L0 так называемого (в соответствии с классификацией π-пространств) первого класса (т. е. когда регуляризация критических точек осуществляется с помощью несимметричных регуляризующих множителей). Во второй части в главе 5 исследуются π-самосопряженные расширения Λ операторов L0 так называемого второго класса А (т. е. когда регуляризация критических точек осуществляется с помощью регуляризующих множителей, симметричных относительно внешней к рассматриваемому интервалу точки). В главе 6 исследуются π-самосопряженные расширения Λ операторов L0 так называемого второго класса B (т. е. когда регуляризация критических точек осуществляется с помощью регуляризующих множителей, симметричных относительно внутренней точки рассматриваемого интервала). В главе 7 в качестве дополнения к основному материалу приводится вспомогательный материал, касающийся расширения абстрактных π-изометрических и связанных с ними преобразованием Кэли π-симметрических операторов. В главе 8 рассматриваются оснащения [6] нескольких модельных функциональных π-пространств и некоторые важные свойства обобщенных функций [5], [8] оснащений [15], используемые в изложении основного материала монографии. Монография предназначена для научных работников, аспирантов, студентов, специализирующихся в области функционального анализа и математической физики. В монографии используются следующие обозначения для множеств целых чисел: Z+ = {0} ∪ N, Z− = Z \ Z+ , Zn, m = = {n, n + 1, . . . , m} для n ≤ m, Zn, m = Ø для n > m.

Глава 1. Функциональные пространства В этой главе исследуем основные типы функциональных гильбертовых пространств с индефинитной метрикой, в которых будем рассматривать соответствующие дифференциальные операторы Штурма—Лиувилля. При этом будем классифицировать π-пространства в соответствии с наличием и характером критических точек на границах интервала и (или) внутри у весовых функций, порождающих эти пространства, их симметрией и видом регуляризации [15]. Предполагается, что весовые функции являются аналитическими в проколотых окрестностях характерных точек, некоторые из которых могут оказаться критическими. Чтобы подчеркнуть, что данная точка x = c относится именно к такому типу точек, будем в обозначениях для пространств использовать символ c. ˙ Замечательной особенностью изучаемых π-пространств является то, что элементы этих пространств в общем случае представлены не только функциями в обычном понимании, но и характерными для этих пространств специальными функционалами, в известном смысле являющимися непосредственными аналогами обобщенных функций с точечным носителем, сосре-

10

1.1. Пространства первого класса

доточенным в критических точках. Однако, в отличие от обобщенных функций в общепринятом представлении, они принадлежат самому гильбертову пространству (с индефинитной метрикой), а не всего лишь его оснащению. Размерность линеала, натянутого на множество линейно независимых функционалов этого вида совпадает с рангом индефинитности π-пространства и образует в нем нейтральное подпространство. Являющееся предметом исследования функциональное π-пространство может быть представлено прямой суммой незамкнутого множества всех функций из π-пространства, замыкание которого совпадает с этим π-пространством, и упомянутого выше нейтрального линеала специальных функционалов с точечным носителем, сосредоточенным в критических точках.

1.1. Пространства первого класса В π-пространствах первого класса критические точки располагаются на границах рассматриваемого интервала. Весовые функции, порождающие π-пространства, взятые по абсолютной величине, в принципе могут в проколотых окрестностях критических точек оказаться симметричными относительно одной из точек вещественной оси. Однако функциональные пространства первого класса порождаются весовыми функциями в общем случае не обладающими этим свойством симметрии. Как следствие, регуляризация критических точек осуществляется с помощью несимметричных регуляризующих множителей.

1.1.1. Пространство с критической точкой на границе конечного интервала Не теряя общности положим, что критической точкой является левая граница интервала. Пусть ρhσi (x) = (x − c)σ ρ(x) (σ ∈ R \ Z− ; ρ(x) > 0, x ∈ [c, b) ; −∞ < c < b < ∞) — весовая функция на интервале (c, b) с критической точкой x = c

1.1.1. Критическая точка на границе конечного интервала

11

в случае σ < −1. Обозначим L2 ((c, ˙ b); ρhσi ) — π-пространство функций ϕ(x), в котором π-метрика определяется соотношением (см. [15]) Z b [ϕ, ψ]hσi = Reg ϕ(x) ψ(x) ρhσi (x) dx , c

Z что означает [ϕ, ψ]hσi = Z [ϕ, ψ]hσi = lim

α→+0

b c

b

ϕ(x) ψ(x) ρhσi (x) dx для σ > −1 ,

c hσi

ϕ(x) ψ(x) ρα (x) dx для σ < −1 , (1.1.1) hσi

hσi

ρα (x) = ρhσi (x) τα (x) , (1.1.2) q ³ ´ µr ¶ cos (2σ + 1) arctg x−c α x−c hσi а τα (x) = Rσ ≡ (1.1.3) α −σ−1/2 α − sin πσ · (1 + x−c )

где

— регуляризующий множитель. На рис. 1.1.1 приводится качественное поведение регуляhσi ризующего множителя τα (x) в окрестности критической точки x = c для σ ∈ (−5, −4). На рис. 1.1.2 приводится также качественное поведение регуляризующего множителя q ³ ´ µr ¶ cos (2κ + 1) arctg b−x α b−x hκi τα (x) = Rκ ≡ (1.1.4) α −κ−1/2 α − sin πκ · (1 + b−x ) в окрестности точки x = b для κ ∈ (−4, −5) в случае критической точки на правой границе интервала (c, b). Нетрудно видеть, что характер зависимости регуляризующего множитеhλi ля τα (x) (λ < −1, λ ∈ / Z− ) от x и α таков, что его график при α → + 0, оставаясь по форме неизменным, сжимается вдоль оси Ox к критической точке пропорционально удаленности абсцисс точек графика от нее (на рисунках, в частности, указана зависимость нулей xn графика от α).

12

1.1. Пространства первого класса

Обозначим через Πhσi ≡ L2hσi (c, ˙ b) π-пространство, свяhσi занное с пространством L2 ((c, ˙ b); ρ ) π-унитарным преобразованием ³ ´ p ˙ b); ρhσi ), f ∈ L2hσi (c, ˙ b) . f (x) = (x − c)σ/2 ρ(x) ϕ(x) ϕ ∈ L2 ((c, Метрика в L2hσi (c, ˙ b) дается соотношением Z [f, g]hσi = Reg Z что означает [f, g]hσi = Z [f, g]hσi = lim

α→+0

f (x) g(x) dx ,

f (x) g(x) dx для σ > −1 , (1.1.6) c hσi

f (x) g(x) τα (x) dx для σ < −1 .

y

6

1q

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qq q qqq Нули: qq x = c q 0 (2n−1)π q qq qqqqq qq x = c+α tg2 2(2σ+1) qqq qqqq qqq nn∈ Z 1, 4 qq qqq qq qq qqqqq qqqq q q qqqqq qqq qqqq qq x 0 c qqqqqqqqq qqqqq qqqq qqq qqq qqq qqq q hσi qqq qqq y = τα (x) qqq q q qqq qq qqq qq σ ∈ (−5, −4) qqqq

Рис. 1.1.1

(1.1.5)

c

b

b c

b

(1.1.7)

y 1qqqqq6 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqq qqqq qqq qqq Нули: qqq x0 = b q (2n−1)π qqqq 2 xn = b−α tg 2(2κ+1) qqq qqq qqqqq n ∈ Z1, 3 qqq qq qqq qqq qq qqq qqq qq qqq q qqq qq qqqq qqq qq b x 0 qqq qqq qqq q qqq qq hκi qqq qqq y = τα (x) qqq qq qqqqq κ ∈ (−4, −3) q

Рис. 1.1.2

Ранг индефинитности метрики равен r = rσ ≡ [ |σ|−σ ] − [ |σ|−σ ]. 2 4

1.1.1. Критическая точка на границе конечного интервала

13

Теорема 1.1.1. Для σ < −1 (σ ∈ / Z) имеет место разложение π-пространства L2hσi (c, ˙ b) в прямую сумму ˙ ∆hσi (c, L2hσi (c, ˙ b) = L2hσi (c, ˙ b) + ˙ b) ,

(1.1.8)

где L2hσi (c, ˙ b) — незамкнутый линеал всех функций из пространства L2hσi (c, ˙ b), при этом L2hσi (c, ˙ b) = L2hσi (c, ˙ b) , а ∆hσi (c, ˙ b) ≡ ∆c hσi (c, ˙ b) — нейтральный линеал функционалов с носителем в точке (см. § 8.2.3) x = c : hσi

r −1

σ ∆hσi (c, ˙ b) = Lin{∆c (m) (x)}m=0 , hσi

hσi

[∆c (m) , ∆c (k) ]hσi = 0

(m, k ∈ Z0, rσ −1 ) ,

обладающих свойством : для f (x) ∈ L2hσi (c, ˙ b) hσi

[f, ∆c (m) ]hσi = lim (m!)−1 ∂xm Φn (x)|x=c , n→∞

f (x) = s-lim ϕn (x), ϕn (x) = (x − c)σ/2 Φn (x) ∈ Πhσif (c, ˙ b). n→∞

Доказательство. Пространство L2hσi (c, ˙ b) с рангом индефинитности rσ согласно § 10.5 [15] содержит максимальный нейтральrσ −1 hσi ный линеал функционалов ∆hσi (c, ˙ b) = Lin{∆c (m) (x)}m=0 с точечным носителем, сосредоточенным в критической точке. Линеал всех квазиполиномов Πhσif (c, ˙ b) = Lin{(x − c)σ/2+k }∞ k=0 содержится в множестве L2hσi (c, ˙ b) всех функций из L2hσi (c, ˙ b) : Πhσif (c, ˙ b) ⊂ L2hσi (c, ˙ b). А т. к. Πhσif ≡ CLin{(x − c)σ/2+k }∞ k=0 = = L2hσi (c, ˙ b) , то, очевидно, L2hσi (c, ˙ b) = L2hσi (c, ˙ b). Поскольку пространство L2hσi (c, ˙ b) не содержит линейно независимых с ∆hσi (c, ˙ b) по модулю L2hσi (c, ˙ b) функционалов, то отсюда следует (1.1.8). ¤

14

1.1. Пространства первого класса

Теорема 1.1.2. (1) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z. Тогда ˙ Uhσi (c, L2hσi (c, ˙ b) = Ahσi (c, ˙ b) + ˙ b) ,

т. е.

˙ Uhσi (c, ˙ ∆hσi (c, L2hσi (c, ˙ b) = Ahσi (c, ˙ b) + ˙ b) + ˙ b) , Ahσi (c, ˙ b) = Lin{(x − c)σ/2+k }n−1 k=0 ,

где

(1.1.9)

n = [−σ] ,

Uhσi (c, ˙ b) = L1 ((c, b); (x − c)σ/2 ) ∩ L2 (c, b) . (2) Пусть σ > −1. Тогда L2hσi (c, ˙ b) = L2 (c, b) . Доказательство. Предварительно докажем следующую лемму. (±)

Лемма 1.1.3. Пусть f ∈ L2hσi (c, ˙ b). Тогда fi (+) fi

где = max{fi ; 0}, f2= =f (σ < −1, σ ∈ / Z).

(−) fi =

∈ L2hσi (c, ˙ b),

− min{fi ; 0} (i = 1, 2), f1 =
Доказательство. Из kf1 k2hσi + kf2 k2hσi = kf k2hσi < ∞ следует, что fi ∈ L2hσi (D) (D = (c, b), i = 0, 1). Зафиксируем индекс i = m. (0)

(−)

(+)

Пусть Gm = {x ∈ D : fm > 0}, Gm = {x ∈ D : fm < 0}, Gm = = {x ∈ D : fm = 0}. Обозначим замыкание этих областей через (j) (j) Dm = Gm (j = ±, 0). Критическая точка x = c принадлежит (k) одной из областей Dm (j = k). Обозначим через k1 и k2 другие два индекса j. Очевидно, π-пространство L2hσi (D) может быть представлено разложением в прямую π-ортогональную сумму (k) (k1 ) (k2 ) ˙ L02 (Dm ˙ L02 (Dm L2hσi (D) = L02hσi (Dm ) [+] ) [+] ), (k)

(1.1.10) (k )

(k)

где L02hσi (Dm ) — есть π-пространство (c ∈ Dm ), а L02 (Dm 1 ) и (k )

(+)

(−)

L02 (Dm 2 ) — гильбертовы пространства. Так как fm и fm принадлежат двум разным слагаемым правой части (1.1.10), то (±) (±) fm ∈ L2hσi (c, ˙ b). Следовательно, fm ∈ L2hσi (c, ˙ b). 4

15

1.1.1. Критическая точка на границе конечного интервала

(1) Для σ < −1, σ ∈ / Z произвольная функция f (x) из линеала L2hσi (c, ˙ b) может быть представлена фундаментальной последовательностью аналитическихPна C \ {c} функций n−1 s σ/2+s fk (x) = af,k (x) + uf,k (x), где af,k (x) = , s=0 ξf,k (x − c) P∞ s σ/2+n+s uf,k (x) = s=0 ηf,k (x − c) , ηf,k ∈ f (f — пространство финитных последовательностей, k ∈ N). При этом индефинитная Rb hσi метрика [f, g]hσi = lim c f g τα dx в L2hσi (c, ˙ b) может быть α→+0

записана для n = [−σ] в виде Z

³ [f, g]hσi = lim [fk , gk ]hσi = lim k→∞

Z

k→∞

c

Z (af,k ug,k + uf,k ag,k ) dx +

В пределе при k → ∞ имеем где

α→+0

b

+

b

lim

c b

c

hσi

af,k ag,k τα dx +

´ uf,k ug,k dx .

f (x) = af (x) + uf (x) ,

af (x) = s-lim af,k (x) ∈ Ahσi (c, ˙ b) ⊂ L2hσi (c, ˙ b) , k→∞

uf (x) = s-lim uf,k (x) ∈ L2hσi (c, ˙ b) , k→∞

и

Z

[f, g]hσi = lim

α→+0

b c

Z hσi af ag τα dx

Z

b

+ c

(af ug + uf ag ) dx +

b c

uf ug dx .

(1.1.11) Топология в L2hσi (c, ˙ b) может быть определена положительно дефинитным скалярным произведением (f, g)hσi = [f, g]hσi + 2

r−1 X

[f, es ]hσi [es , g]hσi

(r = rσ ) , (1.1.12)

s=0

где негативные π-ортонормальные элементы ek (x) (k ∈ Z0, r−1 ) могут быть выбраны из Ahσi (c, ˙ b) = Lin{(x − c)σ/2+k }n−1 k=0 . Очевидно, что n = [−σ] — наименьшее целое число, для которого (ввиду σ + n + 1 > 0) справедливы соотношения (1.1.11) и (1.1.12).

16

1.1. Пространства первого класса

(а) Пусть uf (x) ∈ Uhσi (c, ˙ b) = L1 ((c, b); (x−c)σ/2 )∩L2 (c, b). Тогда из (1.1.11) и (1.1.12) следует, что f (x) = af (x) + uf (x) ∈ ˙ Uhσi (c, ∈ L2hσi (c, ˙ b), то есть Ahσi (c, ˙ b) + ˙ b) ⊂ L2hσi (c, ˙ b). (б) Пусть f (x) = af (x) + uf (x) ∈ L2hσi (c, ˙ b). Тогда ввиду Rb |uf |2 dx = [uf , uf ]hσi < ∞ имеем uf (x) ∈ L2 (c, b). Согласно c (±)

лемме 1.1.3 имеем uf,i ∈ L2hσi (c, ˙ b). Поэтому Z b (±) (±) 0≤ uf,i (x − c)σ/2 dx = [uf,i , (x − c)σ/2 ]hσi < ∞. c

То есть Z

1 0

(±) uf,i

∈ L1 ((c, b); (x − c)σ/2 ). Тогда из σ/2

|uf | (x − c)

dx ≤

1 XZ X i=0 j=±

b c

(±)

uf,i (x − c)σ/2 dx < ∞

находим uf ∈ L1 ((c, b); (x−c)σ/2 ). Следовательно, uf ∈ Uhσi (c, ˙ b), ˙ Uhσi (c, и L2hσi (c, ˙ b) ⊂ Ahσi (c, ˙ b) + ˙ b). ˙ Uhσi (c, Тогда из (а) и (б) следует L2hσi (c, ˙ b) = Ahσi (c, ˙ b) + ˙ b). Отметим, что uf (x) из Uhσi (c, ˙ b) можно представить в виде uf (x) = (x−c)−σ/2 ϕf (x) , ϕf (x) ∈ L1 (c, b)∩L2 ((c, b); (x−c)−σ ) . (1.1.13) Понятно, что ϕf (x) должна удовлетворять соотношению lim (x − c) ϕf (x) = 0 .

x→c+0

(1.1.14)

Rb (2) В случае σ > −1 ввиду (f, g)hσi = [f, g]hσi = c f g dx утверждение теоремы очевидно. Отметим, что для σ > −1 тривиально справедливы записи вида (1.1.14) lim (x−c) ϕ˜f (x) = 0 x→c+0 и f (x) = (x − c)−σ/2 ϕ˜f (x) , ϕ˜f (x) ∈ L2 ((c, b); (x − c)−σ ) . ¤ (1.1.15) В качестве непосредственной иллюстрации утверждения теоремы приведем следующую теорему.

17

1.1.1. Критическая точка на границе конечного интервала

Теорема 1.1.4. Для σ ∈ (−∞, −1) \ Z− из множества всех функций вида f (x) = xσ/2+λ lnm x, λ ∈ (−∞, ∞), m ∈ Z+ только функции xσ/2+k и xσ/2+λ lnm x, k ∈ Z0, n−1 , n = [−σ], λ ∈ ˙ 1). ∈ (−σ−1, ∞), m ∈ Z+ принадлежат пространству L2hσi (0, Доказательство. 1. Для λ ∈ (−∞, −1/2] : f (x) = xσ/2+λ lnm x ∈ / σ/2 ˙ ˙ ∈ / L (0, 1), так как для g(x) = x (∈ L2hσi (0, 1)) интеграл R 1 2hσi hσi f (x) g(x) τα (x) dx расходится на нижнем пределе для всех 0 m ∈ Z+ . 2. При λ ∈ (−σ − 1, ∞) для f (x) = xσ/2+λ lnm x и gk (x) = σ/2+k =x имеем |[f (x), f (x)]hσi | < ∞ и |[gk (x), f (x)]hσi | < ∞ (k ∈ ∈ Z+ ). Отсюда ввиду конечности ранга индефинитности про˙ 1) следует f (x) ∈ L (0, ˙ 1). странства L2hσi (0, 2hσi 3. Рассмотрим выражение Z

1

lim

α→+0

0

hσi

xσ+λ τα (x) dx = lim N −σ−λ−1 JN (xλ ) , N →+∞

Z где

JN (ϕ(x)) =

N

ϕ(x) x−1/2

0

³ √ ´ cos (2σ + 1) arctg x − sin πσ (1 + x)−σ−1/2

(1.1.16)

dx .

Очевидно, для λ ∈ (−1/2, −σ − 1) выполняется |J∞ (xλ )| < ∞. ˙ 1) (k ∈ Z0, n−1 ) имеем Для g(x) = xσ/2 , fk (x) = xσ/2+k ∈ L2hσi (0, Z [g(x), fk (x)]hσi = lim

α→+0

1 0

hσi

xσ+k τα (x) dx =

Z 1 1 1 r x2σ+2k+1 dx = = . 2 σ+k+1 sin πσ −1 Следовательно, ввиду N −σ−k−1 → +∞ (k ∈ Z0, n−1 ) при N → → +∞, из (1.1.16) получаем J∞ (xk ) = 0 для k ∈ Z0, n−1 .

18

1.1. Пространства первого класса

Поэтому для произвольного не превышающего степень n − 1 P k многочлена Pn−1 (x) = n−1 a k=0 k x имеем J∞ (Pn−1 (x)) = 0 . (1.1.17) ´ √ Функция cos (2σ + 1) arctg x на интервале (0, ∞) имеет n простых нулей µ ¶ 2 π(2k + 1) xk = tg , k ∈ Z0, n−1 . (1.1.18) 2(2σ + 1) ³

Ввиду того, что ° ° 1 x0 x20 ° ° 1 x1 x21 ° ∆ = det ° x2 x22 ° 1 ° ... ... ... ° ° 1 xn−1 x2n−1

... ... ... ... ...

xn−1 0 x1n−1 x2n−1 ... xn−1 n−1

° ° ° ° n−1 j−1 ° YY °= (xj − xi ) 6= 0 , ° ° j=1 i=0 ° °

система уравнений  a0 + a1 x0 + a2 x20 + · · · + an−1 x0n−1 =    n−1 2  =  a0 + a1 x1 + a2 x1 + · · · + an−1 x1 n−1 a0 + a1 x2 + a2 x22 + · · · + an−1 x2 =    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..   n−1 2 a0 + a1 xn−1 + a2 xn−1 + · · · + an−1 xn−1 =

xλ0 xλ1 xλ2 ... xλn−1

имеет единственное решение ak =

∆k , k ∈ Z0, n−1 , ∆

° ° 1 x x20 0 ° ° x21 ° 1 x1 ° ∆k = det ° 1 x x22 2 ° ° ... ... ... ° ° 1 xn−1 x2n−1

. . . xk−1 xλ0 0 . . . xk−1 xλ1 0 . . . xk−1 xλ2 0 ... ... ... k−1 . . . xn−1 xλn−1

где

(1.1.19) xk+1 0 xk+1 1 k+1 x2 ... xk+1 n−1

. . . xn−1 0 . . . x1n−1 . . . x2n−1 ... ... n−1 . . . xn−1

° ° ° ° ° ° °. ° ° ° °

1.1.1. Критическая точка на границе конечного интервала

19

Для λ ∈ (−1/2, −σ − 1) функция Qn (x) = Pn−1 (x) − xλ имеет не более n нулей, так как на интервале (0, ∞) ее n-ая про(n) изводная Qn (x) = −Γ(λ + 1)Γ−1 (λ − n + 1)xλ−n не обращается в нуль. Тогда, если в качестве коэффициентов многочлена Pn−1 (x) выбраны величины (1.1.19), то Qn (x) имеет те же простые нули (1.1.18). Следовательно, не равная тождественно ну³ √ ´ лю функция Qn (x) cos (2σ + 1) arctg x нигде на интервале (0, ∞) не меняет свой знак. Поэтому ³ ´ 0 < |J∞ (Qn (x))| < ∞ λ ∈ (−1/2, −σ − 1) \ Z0, n−1 . Отсюда, ввиду (1.1.17), имеем ³ ´ 0 < |J∞ (xλ )| < ∞ λ ∈ (−1/2, −σ − 1) \ Z0, n−1 . Следовательно, так как N −σ−λ−1 → +∞ при N → +∞, из ˙ 1) и fλ (x) = xσ/2+λ (1.1.16) получаем для g(x) = xσ/2 ∈ L2hσi (0, ³ ´ |[g(x), fλ (x)]hσi | = ∞ λ ∈ (−1/2, −σ − 1) \ Z0, n−1 . 4. Кроме того, так как для λ = −σ−1 имеем |J∞ (x−σ−1 )| = = ∞ , то из (1.1.16) находим |[g(x), f−σ−1 (x)]hσi | = ∞ . Таким образом, для λ ∈ (−1/2, −σ−1]\Z0, n−1 функции fλ (x) = ˙ 1). = xσ/2+λ не являются элементами пространства L2hσi (0, 5. Покажем, что для λ ∈ (−1/2, −σ − 1] \ Z0, n−1 функция ˙ 1). Действительно. f (x) = xσ/2+λ ln x ∈ / L2hσi (0, Z 1 hσi σ/2 σ/2+λ [x , x ln x]hσi = lim xσ+λ ln x τα (x) dx = α→+0 0 ³ √ ´ Z N cos (2σ + 1) arctg x dx = = lim N −σ−λ−1 ln (x/N ) xλ−1/2 N →+∞ − sin πσ (1 + x)−σ−1/2 0

20

1.1. Пространства первого класса

³ = lim

N →+∞

´ N −σ−λ−1 J∞ (xλ ln x) − N −σ−λ−1 ln N J∞ (xλ ) =

= lim

N →+∞

³ ´ c1 N −σ−λ−1 − c2 N −σ−λ−1 ln N = ±∞ , |c1 | = |J∞ (xλ ln x)| < ∞ ;

так как

и 0 < |c2 | = |J∞ (xλ )| < ∞ для λ 6= −σ−1 , c2 = ∞ для λ = −σ−1 . 6. Аналогично для λ ∈ (−1/2, −σ − 1] \ Z0, n−1 и m ∈ N ˙ 1). получаем f (x) = xσ/2+λ lnm x ∈ / L2hσi (0, 7. Так как (xk ln x)(n) для k ∈ Z0, n−1 не имеет нулей, то функция Qn (x) = Pn−1 (x) − xk ln x имеет не более n нулей. Подчиним коэффициенты ak (k ∈ Z0, n−1 ) условиям Qn (xk ) = 0 (k ∈ Z0, n−1 ). Следовательно, 0 < |c1 | = |J∞ (xk ln x)| < ∞. Тогда имеем Z 1 hσi σ/2 σ/2+k [x , x ln x]hσi = lim xσ+k ln x τα (x) dx = α→+0

Z

N

= lim N −σ−k−1

ln(x/N ) xk−1/2

0

³ √ ´ cos (2σ + 1) arctg x

dx = − sin πσ (1 + x)−σ−1/2 ³ ´ = lim N −σ−k−1 J∞ (xk ln x) − N −σ−k−1 ln N JN (xk ) =

N →+∞

0

N →+∞

= lim

N →+∞

³

´ c1 N −σ−k−1 − c2 ln N = c1 ∞ = ±∞

( lim N −σ−k−1 JN (xk ) = (σ + k + 1)−1 = c2 ) . Следовательно, N →+∞

функции xσ/2+k ln x для k ∈ Z0, n−1 не принадлежат простран˙ 1). ству L2hσi (0, 8. В общем случае f (x) = xσ/2+k lnm x (k ∈ Z0, n−1 , m ∈ N) имеем: Z 1 hσi m σ/2 σ/2+k [x , x ln x]hσi = lim xσ+k lnm x τα (x) dx = α→+0

0

1.1.2. Критическая точка на границе полубесконечного интервала

Z

N

= lim N −σ−k−1 N →+∞

0

= lim

N →+∞

lnm(x/N ) xk−1/2

m X

³ √ ´ cos (2σ + 1) arctg x − sin πσ (1 + x)−σ−1/2

21

dx =

s Cm N −σ−k−1 lnsN JN (xk lnm−s x) =

s=0

½m−2 X s N −σ−k−1 lnsN J∞ (xk lnm−s x) + = lim (−1)s Cm N →+∞

s=0

m−1 −σ−k−1 Cm N lnm−1N J∞ (xk ln x) + ¾ m m m −σ−k−1 k JN (x )} = + (−1) Cm ln N {N m−1

+ (−1)

½m−2 X s = lim N −σ−k−1 lnsN cs + (−1)s Cm N →+∞

s=0

m−1 −σ−k−1 + (−1)m−1 Cm N lnm−1N cm−1 + ¾ m + (−1)m Cm lnmN cm = (−1)m−1 mcm−1 ∞ = ±∞

(cm−1 = J∞ (xk ln x) 6= 0 , N −σ−k−1 JN (xk ) → cm ) , следовательно, функции xσ/2+k lnm x для k ∈ Z0, n−1 и m ∈ N не принадле˙ 1). ¤ жат пространству L2hσi (0,

1.1.2. Пространство с критической точкой на границе полубесконечного интервала Не теряя общности положим, что критической точкой является левая граница интервала. Пусть ρhσi (x) = (x − c)σ ρ(x) (σ ∈ R \ Z− ; ρ(x) > 0, x ∈ [c, ∞) ; −∞ < c < ∞) — весовая функция на интервале (c, ∞) с критической точкой x = c в случае σ < −1. Обозначим L2 ((c, ˙ ∞); ρhσi ) — π-пространство функций ϕ(x), в котором π-метрика определяется соотношением Z ∞ [ϕ, ψ]hσi = Reg ϕ(x) ψ(x) ρhσi (x) dx , c

22

1.1. Пространства первого класса

Z что означает [ϕ, ψ]hσi = Z [ϕ, ψ]hσi = lim

α→+0

∞

ϕ(x) ψ(x) ρhσi (x) dx для σ > −1 ,

c

∞ c

hσi

ϕ(x) ψ(x) ρα (x) dx для σ < −1 ,

hσi

где ρα (x) определяется формулами (1.1.2), (1.1.3) на (c, ∞). Обозначим через L2hσi (c, ˙ ∞) π-пространство, связанное с hσi пространством L2 ((c, ˙ ∞); ρ ) π-унитарным преобразованием ³ ´ p σ/2 hσi f (x) = (x − c) ρ(x) ϕ(x) ϕ ∈ L2 ((c, ˙ ∞); ρ ), f ∈ L2hσi (c, ˙ ∞) . Метрика в L2hσi (c, ˙ ∞) дается соотношением Z ∞ f (x) g(x) dx , [f, g]hσi = Reg c

Z что означает

[f, g]hσi = Z

[f, g]hσi = lim

α→+0

∞ c

∞

f (x) g(x) dx

для σ > −1 ,

c hσi

f (x) g(x) τα (x) dx

для σ < −1 .

] − [ |σ|−σ ]. Ранг индефинитности метрики равен r = rσ = [ |σ|−σ 2 4 Теорема 1.1.5. Имеет место разложение π-пространства L2hσi (c, ˙ ∞) в прямую сумму ˙ ∆hσi (c, L2hσi (c, ˙ ∞) = L2hσi (c, ˙ ∞) + ˙ ∞) , где L2hσi (c, ˙ ∞) — незамкнутый линеал всех функций из пространства L2hσi (c, ˙ ∞), при этом L2hσi (c, ˙ ∞) = L2hσi (c, ˙ ∞) , а ∆hσi (c, ˙ ∞) ≡ ∆c hσi (c, ˙ ∞) — нейтральный линеал функционалов с носителем в точке x = c (см. § 8.2.3) : hσi

r −1

σ ∆hσi (c, ˙ ∞) = Lin{∆c (m) (x)}m=0 ,

1.1.2. Критическая точка на границе полубесконечного интервала

hσi

hσi

[∆c (m) , ∆c (k) ]hσi = 0

23

(m, k ∈ Z0, rσ −1 ) ,

обладающих свойством : для f (x) ∈ L2hσi (c, ˙ ∞) hσi

[f, ∆c (m) ]hσi = lim (m!)−1 ∂xm Φn (x)|x=c , n→∞

f (x) = s-lim ϕn (x), ϕn (x) = (x − c)σ/2 e−x/2 Φn (x) ∈ Πhσif (c, ˙ ∞). n→∞

Доказательство. С учетом результатов § 8.7 [15] доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1.1.1. Разложение π-пространства L2hσi (c, ˙ ∞) в прямую π-ортогональную сумму ˙ L02 (c, ˙ ∞) , ˙ ∞) [+] L2hσi (c, ˙ ∞) = L02hσi (c, n o где L02hσi (c, ˙ ∞) = L2hσi (c, ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, ∞) , n o 0 L2 (c, ˙ ∞) = {0} для x ∈ (c, l); L2 (l, ∞) для x ∈ (l, ∞) , с использованием теоремы 1.1.1 также делает утверждение данной теоремы очевидным. ¤ Теорема 1.1.6. (1) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z. Тогда ³ ´ 0 ˙ Uhσi ˙ L02 (c, L2hσi (c, ˙ ∞) = A0hσi (c, ˙ ∞) + (c, ˙ ∞) [+] ˙ ∞) , (1.1.20) n o где A0hσi (c, ˙ ∞) = Ahσi (c, ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, ∞) , n o 0 Uhσi (c, ˙ ∞) = Uhσi (c, ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, ∞) , n o L02 (c, ˙ ∞) = {0} для x ∈ (c, l); L2 (l, ∞) для x ∈ (l, ∞) , n−1 Ahσi (c, ˙ l) = Lin{(x − c)σ/2+k }k=0 ,

n = [−σ] ,

Uhσi (c, ˙ l) = L1 ((c, l); (x − c)σ/2 ) ∩ L2 (c, l) . (2) Пусть σ > −1. Тогда L2hσi (c, ˙ ∞) = L2 (c, ∞) .

24

1.1. Пространства первого класса

Доказательство. (1) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z. Очевидно, линеал L2hσi (c, ˙ ∞) может быть представлен разложением ˙ L02 (c, L2hσi (c, ˙ ∞) = L02hσi (c, ˙ ∞) [+] ˙ ∞) , n o ˙ ∞) = L2hσi (c, ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, ∞) . где L02hσi (c, ˙ Uhσi (c, Согласно теореме 1.1.2 L2hσi (c, ˙ l) = Ahσi (c, ˙ l) + ˙ l). Следовательно, имеет место соотношение (1.1.20). R∞ (2) В случае σ > −1 ввиду (f, g)hσi = [f, g]hσi = c f g dx утверждение теоремы очевидно. ¤

1.1.3. Пространство с двумя критическими точками на границах конечного интервала Пусть ρhσ, κi (x) = (x − c)σ (b − x)κ ρ(x) (σ, κ ∈ R \ Z− ; ρ(x) > 0, x ∈ [c, b] ; −∞ < c < b < ∞) — весовая функция на интервале (c, b) с критической точкой x = c и (или) x = b соответственно в случае σ < −1 и (или) κ < −1. Обозначим че˙ ρhσ, κi ) — π-пространство функций ϕ(x), в котором рез L2 ((c, ˙ b); π-метрика определяется соотношением Z b [ϕ, ψ]hσ, κi = Reg ϕ(x) ψ(x) ρhσ, κi (x) dx , что означает

c

Z

[ϕ, ψ]hσ, κi =

b

ϕ(x) ψ(x) ρhσ, κi (x) dx

Z [ϕ, ψ]hσ, κi = lim

α→+0

[ϕ, ψ]hσ, κi = lim

α→+0

b

b

α→+0

b c

(x) dx для σ < −1, κ > −1 ,

00hσ, κi

ϕ(x) ψ(x) ρα

c

Z

0hσ, κi

ϕ(x) ψ(x) ρα

c

Z

[ϕ, ψ]hσ, κi = lim

для σ > −1, κ > −1,

c

hσ, κi

ϕ(x) ψ(x) ρα

(x) dx для σ > −1, κ < −1 ,

(x) dx для σ < −1, κ < −1 .

25

1.1.3. Две критические точки на границах конечного интервала

0hσ, κi

Здесь ρα hσ, κi

ρα

hσi

00hσ, κi

(x) = ρhσ, κi (x) τα (x) , ρα hσ, κi

(x) = ρhσ, κi (x) τα

hσ, κi

(x) , τα

hσi

hκi

(x) = ρ(σ,κ) (x) τα (x) , hσi

hκi

(x) = τα (x) τα (x) , hκi

где регуляризующие множители τα (x) и τα (x) даются формулами (1.1.3) и (1.1.4) соответственно. ˙ π-пространство, связанное с Обозначим через L2hσ, κi (c, ˙ b) ˙ ρhσ, κi ) π-унитарным преобразованием пространством L2 ((c, ˙ b); p f (x) = (x − c)σ/2 (b − x)κ/2 ρ(x) ϕ(x) , где

˙ ρhσ, κi ) , f (x) ∈ L ˙ . ϕ(x) ∈ L2 ((c, ˙ b); ˙ b) 2hσ, κi (c, ˙ дается соотношением Метрика в L2hσ, κi (c, ˙ b) Z b [f, g]hσ, κi = Reg f (x) g(x) dx , c

что означает

Z

[f, g]hσ, κi =

b

f (x) g(x) dx Z

[f, g]hσ, κi = lim

α→+0

Z [f, g]hσ, κi = lim

α→+0

α→+0

b

b

b c

hσi

f (x) g(x) τα (x) dx для σ < −1, κ > −1 ,

c

c

Z [f, g]hσ, κi = lim

для σ > −1, κ > −1 ,

c

hκi

f (x) g(x) τα (x) dx для σ > −1, κ < −1 , hσ, κi

f (x) g(x) τα

(x) dx для σ < −1, κ < −1 .

Ранг индефинитности π-метрики равен r = rσ+ rκ , где парциальный ранг индефинитности rτ = [ |τ |−τ ] − [ |τ |−τ ]. 2 4 Теорема 1.1.7. Имеет место разложение π-пространства ˙ в прямую сумму L2hσ, κi (c, ˙ b) ˙ =L ˙ + ˙ , ˙ ∆hσ, κi (c, L2hσ, κi (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) 2hσ, κi (c,

26

1.1. Пространства первого класса

˙ — незамкнутый линеал всех функций из прогде L2hσ, κi (c, ˙ b) ˙ при этом странства L2hσ, κi (c, ˙ b), ˙ =L ˙ , L2hσ, κi (c, ˙ b) ˙ b) 2hσ, κi (c, ˙ — нейтральный линеал функционалов с носитеа ∆hσ, κi (c, ˙ b) лями в точках x = c и x = b (см. § 8.1.3) : ˙ =∆ ˙ [+] ˙ , ˙ ∆b hσ, κi (c, ∆hσ, κi (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) c hσ, κi (c, ˙ = Lin{∆hσ, κi (x)}rσ −1 , ∆c hσ, κi (c, ˙ b) m=0 c (m) ˙ = Lin{∆hσ, κi (x)}rκ −1 , ∆b hσ, κi (c, ˙ b) m=0 b (m) hσ, κi

hσ, κi

(m, k ∈ Z0, rσ −1 ) ,

hσ, κi

hσ, κi

(m, k ∈ Z0, rκ −1 ) ,

[∆c (m) , ∆c (k) ]hσ, κi = 0 [∆b (m) , ∆b (k) ]hσ, κi = 0

˙ обладающих свойством : для f (x) ∈ L2hσ, κi (c, ˙ b) hσ, κi

[f, ∆c (m) ]hσ, κi = lim (m!)−1 ∂xm Φn (x)|x=c , n→∞

hσ, κi

[f, ∆b (m) ]hσ, κi = lim (m!)−1 ∂xm Φn (x)|x=b , n→∞

˙ ˙ b). f (x) = s-lim ϕn (x), ϕn (x) = (x−c)σ/2 (b−x)κ/2 Φn (x) ∈ Πhσ, κif (c, n→∞

Доказательство. С учетом результатов § 10.5 [15] доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1.1.1. Утверждение теоремы следует также из теоремы 1.1.1, ес˙ разложением ли представить π-пространство L2hσ, κi (c, ˙ b) ˙ = L0 (c, ˙ ˙ 0 ˙ , L2hσ, κi (c, ˙ b) ˙ b) 2hσi ˙ b) [+] L2hκi (c, n o ˙ = L (c, где L02hσi (c, ˙ b) ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, b) , 2hσi n o ˙ = {0} для x ∈ (c, 0); L (l, b) ˙ для x ∈ (l, b) , ˙ b) L02hκi (c, 2hκi

27

1.1.3. Две критические точки на границах конечного интервала

L2hσi (c, ˙ l) порождается весовой функцией ρhσi (x) = (x−c)σ ρ1 (x), ˙ — весовой функцией ρhκi (x) = ρ1 (x) = (b − x)κ ρ(x), а L2hκi (l, b) = (b − x)κ ρ2 (x), ρ2 (x) = (x − c)σ ρ(x). ¤ Теорема 1.1.8. (1) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z и κ < −1, κ ∈ / Z. ˙ = Тогда L2hσ, κi (c, ˙ b) (1.1.21) ¶ ´ ³ ³ 0 0 0 0 ˙ , ˙ + ˙ [+] ˙ + ˙ Vhκi (c, ˙ Bhκi (c, ˙ Uhσi (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) ˙ b) = Ahσi (c, n o ˙ = A (c, где A0hσi (c, ˙ b) ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, b) , hσi ˙ = Lin{(x − c)σ/2+k }n−1 , n = [−σ] , Ahσi (c, ˙ b) k=0 n o 0 ˙ = U (c, Uhσi (c, ˙ b) ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, b) , hσi Uhσi (c, ˙ l) = L1 ((c, l); (x − c)σ/2 ) ∩ L2 (c, l) , n o 0 ˙ ˙ Bhκi (c, ˙ b) = {0} для x ∈ (c, l); Bhκi (l, b) для x ∈ (l, b) , ˙ = Lin{(b − x)κ/2+k }m−1 , m = [−κ] , Bhκi (l, b) k=0 n o 0 ˙ = {0} для x ∈ (c, l); V (l, b) ˙ для x ∈ (l, b) , Vhκi (c, ˙ b) hκi ˙ = L ((l, b); (b − x)κ/2 ) ∩ L (l, b) . Vhκi (l, b) 1 2 (2) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z и κ > −1. Тогда ˙ = A (c, ˙ ˙ ˙ . L2hσ, κi (c, ˙ b) ˙ b) hσi ˙ b) + Uhσi (c,

(1.1.22)

(3) Пусть σ > −1 и κ < −1, κ ∈ / Z. Тогда ˙ = B (c, ˙ ˙ ˙ . L2hσ, κi (c, ˙ b) ˙ b) hκi ˙ b) + Vhκi (c, (4) Пусть σ > −1 и κ > −1. Тогда ˙ = L (c, b) . L2hσ, κi (c, ˙ b) 2

(1.1.23)

28

1.1. Пространства первого класса

Доказательство. (1) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z и κ < −1, κ ∈ / Z. ˙ может быть представлен разложением Линеал L2hσ, κi (c, ˙ b) ˙ = L0 (c, ˙ ˙ 0 ˙ , L2hσ, κi (c, ˙ b) ˙ b) (1.1.24) 2hσi ˙ b) [+] L2hκi (c, n o ˙ = L (c, ˙ b) ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, b) , где L02hσi (c, 2hσi n o ˙ = {0} для x ∈ (c, 0); L (l, b) ˙ для x ∈ (l, b) , ˙ b) L02hκi (c, 2hκi L2hσi (c, ˙ l) порождается весовой функцией ρhσi (x) = (x−c)σ ρ1 (x), ˙ порождается весовой функцией ρ1 (x) = (b − x)κ ρ(x), L2hκi (l, b) ρhκi (x) = (b − x)κ ρ2 (x), ρ2 (x) = (x − c)σ ρ(x). Согласно теореме 1.1.2 имеем ˙ Uhσi (c, L2hσi (c, ˙ l) = Ahσi (c, ˙ l) + ˙ l) , ˙ = B (l, b) ˙ + ˙ . ˙ Vhκi (l, b) L2hκi (l, b) hκi Следовательно, соотношение (1.1.24) переходит в (1.1.21). (2) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z и κ > −1. Очевидно, n o ˙ = L (c, L2hσ, κi (c, ˙ b) ˙ l) для x ∈ (c, l) ; L (l, b) для x ∈ (l, b) . 2hσi 2 В этом случае к линеалу L2hσi (c, ˙ l) применима теорема 1.1.2. Очевидно также, что можно положить l = b. (3) Пусть σ > −1 и κ < −1, κ ∈ / Z. Очевидно, n o ˙ ˙ L2hσ, κi (c, ˙ b) = L2 (c, l) для x ∈ (c, l) , L2hκi (l, b)для x ∈ (l, b) . ˙ применима теорема 1.1.2. В этом случае к линеалу L2hκi (l, b) Очевидно также, что можно положить l = c. (4) В случае σ > −1 и κ > −1 ввиду (f, g)hσi = [f, g]hσi = Rb = c f g dx утверждение теоремы очевидно. ¤

29

1.2. Пространства второго класса A

1.2. Пространства второго класса A В π-пространствах второго класса A, как и в случае πпространств первого класса, критические точки располагаются на границах рассматриваемого интервала. Однако в настоящем случае функциональные пространства порождаются весовыми функциями, всегда обладающими упомянутым в начале § 1.1 свойством симметрии относительно некоторой точки x0 вещественной оси, лежащей вне или на границе рассматриваемого интервала. В связи с этим регуляризация критических точек осуществляется с помощью симметричных относительно x0 регуляризующих множителей. Ради определенности, при этом не теряя общности, будем считать, что точка x0 расположена слева от рассматриваемого интервала. Заметим, что последовательность преобразований независимой переменной x → x1 = x − c → x2 =

√

x1 → x3 = x2 + c 3

(1.2.1)

порождает преобразование элементов √ y(x) → y1 (x1 ) = y(x − c) → y2 (x2 ) = 4 x1 y1 (x1 ) → y3 (x3 ) = y2 (x2 ) из соответствующих функциональных π-пространств. Например, в случае одной критической точки на левой границе конечного интервала (c, b) имеем π-унитарные преобразования пространств ˙ b1 ) → L2{σ} (0, ˙ b2 ) → L2{σ} (c˙3 , b3 ) . (1.2.2) L2hσi (c, ˙ b) → L2hσi (0, Поэтому, в принципе, все результаты, полученные для π-пространств первого класса Πhσi = L2hσi (c, ˙ b), можно соответствующим образом трансформировать в аналогичные результаты для пространств Π{σ} = L2{σ} (c˙3 , b3 ) второго класса A. Аналогичные π-унитарные соответствия имеют место и для других пар π-пространств первого класса Πhσi и второго класса A Π{σ} .

30

1.2. Пространства второго класса A

1.2.1. Пространство с критической точкой на левой границе конечного интервала Пусть ρ{σ} (x) = (x − c)2σ+1 ρ(x) (σ ∈ R \ Z− ; ρ(x) ≡ ≡ a((x − c)2 ) > 0, x ∈ [c, b) ; −∞ < c < b < ∞) — весовая функция на интервале (c, b) с критической точкой x = c в случае σ < −1. Обозначим L2 ((c, ˙ b); ρ{σ} ) — π-пространство функций ϕ(x), π-метрика в котором определяется соотношением Z b [ϕ, ψ]{σ} = Reg ϕ(x) ψ(x) ρ{σ} (x) dx , c

что означает

Z

[ϕ, ψ]{σ} =

b c

[ϕ, ψ]{σ} = lim

α→+0

ϕ(x) ψ(x) ρ{σ} (x) dx

Z

b c

{σ}

ϕ(x) ψ(x) ρα (x) dx

{σ}

для σ > −1 , для σ < −1 ,

{σ}

ρα (x) = ρ{σ} (x) τα (x) , ³ ´ x−c µ ¶ cos (2σ + 1) arctg α x−c {σ} τα (x) = Rσ ≡ ´ ³ −σ−1/2 α α2 − sin πσ · 1 + (x−c) 2

где

(1.2.3) (1.2.4)

— регуляризующий множитель. На рис. 1.2.1 приводится каhσi чественное поведение регуляризующего множителя τα (x) в окрестности критической точки x = c для σ ∈ (−3, −2) и для σ ∈ (−4, −3). Обозначим через L2{σ} (c, ˙ b) π-пространство, связанное с {σ} пространством L2 ((c, ˙ b); ρ ) π-унитарным преобразованием ³ ´ p f (x) = (x − c)σ+1/2 ρ(x) ϕ(x) ϕ ∈ L2 ((c, ˙ b); ρ{σ} ), f ∈ L2{σ} (c, ˙ b) . ˙ b) дается соотношением Метрика в L2{σ} (c, Z b [f, g]{σ} = Reg f (x) g(x) dx , c

31

1.2.1. Критическая точка на левой границе конечного интервала

Z где

[f, g]{σ} =

b

f (x) g(x) dx Z

[f, g]{σ} = lim

α→+0

для σ > −1 ,

b c

{σ}

f (x) g(x) τα (x) dx

для σ < −1 . (1.2.6)

Ранг индефинитности метрики равен r = rσ = (σ)

y = τ (x) 1p p r6 p p p p p p p p p αp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqq qqq q q q qqq qqq qqq qqq qqqqq qqq qqq qqq qq qqq qqq qqq qqqqq qqqq qqqq qqqq q qqq q q q qq qqq qqqqq qqqqqqqqq qqqqq qqqq r r qqq qq q q 0 qqq qqq c qqqqq qqqq x qqq qq qqq qqqq qqq qqq qqq qq qqq qqq qqq qqq qqq qq qqq qqq q qqq qq qqq qq qqq qqq qqq qqq Нули: qq qq σ ∈ (−3, −2)

(±)

xn

(1.2.5)

c

x0 = c (2n−1)π = c∓α tg 2(2σ+1) n ∈ Z1, 2

] [ |σ|−σ 2

−

[ |σ|−σ ]. 4

(σ)

y = τ (x) 1p p p6 rp p p p p p p p αp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

qqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqq q q q q q q qqq q qq q qqq qq qqq qqq qqq qqq qqq qq q qqq qqqq qqq qqqq q q q qq qqq q qq qq qqqqq qqq qqq qqq qqqqq q q q q q q q q qqq qq q q qqq qq qqq qqq qq qqq qqq qqqq qqqqq qrqqc qqqq qqqqq qqqq r qqq qqq qqq qqq qqq qq qqq qqq 0 x qqq qq qqq qq qqq qqq qq qq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qq qqq qq qqq qqq qqq qqq Нули: qqq qqq qqqqqq qqqq x =c σ ∈ (−4, −3)

(±)

xn

0

(2n−1)π

= c∓α tg 2(2σ+1) n ∈ Z1, 3

Рис. 1.2.1

Теорема 1.2.1. Имеет место разложение π-пространства L2{σ} (c, ˙ b) в прямую сумму ˙ ∆{σ} (c, L2{σ} (c, ˙ b) = L2{σ} (c, ˙ b) + ˙ b) , где L2{σ} (c, ˙ b) — незамкнутый линеал всех функций из пространства L2{σ} (c, ˙ b), при этом L2{σ} (c, ˙ b) = L2{σ} (c, ˙ b) , а ∆{σ} (c, ˙ b) ≡ ∆c{σ} (c, ˙ b) — нейтральный линеал функционалов с носителем в точке x = c : {σ}

r −1

σ ∆{σ} (c, ˙ b) = Lin{∆c (m) (x)}m=0 ,

32

1.2. Пространства второго класса A

{σ}

{σ}

[∆c (m) , ∆c (k) ]{σ} = 0

(m, k ∈ Z0, rσ −1 ) ,

обладающих свойством : для f (x) ∈ L2{σ} (c, ˙ b) (m)

m [f, ∆c{σ} ]{σ} = lim (m!)−1 ∂(x−c) 2 Φ(x)|x=c , n→∞

f (x) = s-lim ϕn (x) , ϕn (x) = (x − c)σ+1/2 Φn (x) ∈ Π{σ}f (c, ˙ b) . n→∞

Доказательство. Из § 9.7 [15] следует, что L2{σ} (c, ˙ b) содержит максимальный нейтральный линеал функционалов ∆{σ} (c, ˙ b) = {σ}

r −1

σ = Lin{∆c (m) (x)}m=0 с точечным носителем, сосредоточенным в критической точке. Так как Π{σ}f (c, ˙ b) ≡ Lin{(x−c)σ+2k+1/2 }∞ k=0 ⊂ ⊂ L2{σ} (c, ˙ b), где L2{σ} (c, ˙ b) — множество всех функций из пространства L2{σ} (c, ˙ b), и Π{σ}f (c, ˙ b) ≡ CLin{(x − c)σ+2k+1/2 }∞ k=0 = = L2{σ} (c, ˙ b) , то L2{σ} (c, ˙ b) = L2{σ} (c, ˙ b). Так как пространство L2{σ} (c, ˙ b) не содержит линейно независимых с ∆{σ} (c, ˙ b) по модулю L2{σ} (c, ˙ b) функционалов, то отсюда следует утверждение теоремы. ¤

Теорема 1.2.2. (1) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z. Тогда ˙ U{σ} (c, L2{σ} (c, ˙ b) = A{σ} (c, ˙ b) + ˙ b) , где

n−1 A{σ} (c, ˙ b) = Lin{(x − c)σ+2k+1/2 }k=0 ,

(1.2.7)

n = [−σ] ,

U{σ} (c, ˙ b) = L1 ((c, b); (x − c)σ+1/2 ) ∩ L2 (c, b) . (2) Пусть σ > −1. Тогда L2{σ} (c, b) = L2 (c, b) .

(1.2.8)

Доказательство. (1) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z. Доказательство осуществляется аналогично доказательству теоремы 1.1.2, в которой следует произвести замену L2hσi (c, ˙ b) =⇒ L2{σ} (c, ˙ b) ,

[f, g]hσi =⇒ [f, g]{σ} .

1.2.1. Критическая точка на левой границе конечного интервала

33

Ahσi (c, ˙ b) =⇒ A{σ} (c, ˙ b) , Uhσi (c, ˙ b) =⇒ U{σ} (c, ˙ b) , Pn−1 s af,k (x) =⇒ af,k (x) = s=0 ξf,k (x − c)σ+2s+1/2 , uf,k (x) =⇒ uf,k (x) =

Pn−1 s=0

s ηf,k (x − c)σ+2n+2s+1/2 .

Отметим, что uf (x) ∈ U{σ} (c, ˙ b) можно представить в виде uf (x) = x−σ+1/2 ϕf (x) , где ϕf (x) ∈ L1 (c, b) ∩ L2 ((c, b); x−2σ+1 ) . (2) Для σ > −1 соотношение (1.2.8) ввиду (1.2.5) очевидно. ¤ Теорема 1.2.3. Пространства L2hσ0 i (c, ˙ b) и L2{σ} (c, ˙ b) связаны следующим соотношением : ˙ Aσ (c, ˙ ∆σ (c, L2hσ0 i (c, ˙ b) = L2{σ} (c, ˙ b) + ˙ b) + ˙ b) где

(b < ∞) , (1.2.9)

Aσ (c, ˙ b) = Lin{(x − c)σ+2k+3/2 }p−1 k=0 , h2σ+1i

∆σ (c, ˙ b) = Lin{∆c (2k+1) (x)}q−1 k=0 , p = [nσ0 /2], q = [rσ0 /2], σ 0 = 2σ + 1, nσ0 = [(|σ 0 | − σ 0 )/2], σ 0 ∈ R \ Z− . Доказательство. Согласно теоремам 1.1.2 и 1.2.2 выполняются соотношения ˙ Uhσ0 i (c, ˙ ∆hσ0 i (c, L2hσ0 i (c, ˙ b) = Ahσ0 i (c, ˙ b) + ˙ b) + ˙ b) , ˙ U{σ} (c, ˙ ∆{σ} (c, L2{σ} (c, ˙ b) = A{σ} (c, ˙ b) + ˙ b) + ˙ b) . Для σ 0 = 2σ + 1, очевидно, Uhσ0 i (c, ˙ b) = U{σ} (c, ˙ b). Нетрудно убедиться также в том, что ˙ Aσ (c, Ahσ0 i (c, ˙ b) = A{σ} (c, ˙ b) + ˙ b) , ˙ ∆σ (c, ∆hσ0 i (c, ˙ b) = ∆{σ} (c, ˙ b) + ˙ b) . Следовательно, выполняется (1.2.9). ¤

34

1.2. Пространства второго класса A

1.2.2. Пространство с критической точкой на границе полубесконечного интервала Пусть ρ{σ} (x) = (x − c)2σ+1 ρ(x) (σ ∈ R \ Z− ; ρ(x) ≡ ≡ a((x − c)2 ) > 0, x ∈ [c, ∞) ; −∞ < c < ∞) — весовая функция на интервале (c, ∞) с критической точкой x = c в случае σ < −1. Обозначим L2 ((c, ˙ ∞); ρ{σ} ) — π-пространство функций ϕ(x), π-метрика в котором определяется соотношением Z ∞ [ϕ, ψ]{σ} = Reg ϕ(x) ψ(x) ρ{σ} (x) dx , c

что означает

Z

[ϕ, ψ]{σ} =

∞ c

ϕ(x) ψ(x) ρ{σ} (x) dx

Z

[ϕ, ψ]{σ} = lim

α→+0

∞

для σ > −1,

{σ}

ϕ(x) ψ(x) ρα (x) dx

c

для σ < −1 ,

{σ}

где ρα (x) определяется формулами (1.2.3), (1.2.4) на (c, ∞). Обозначим через L2{σ} (c, ˙ ∞) π-пространство, связанное с {σ} пространством L2 ((c, ˙ ∞); ρ ) π-унитарным преобразованием p f (x) = (x − c)σ+1/2 ρ(x) ϕ(x) , где

ϕ(x) ∈ L2 ((c, ˙ ∞); ρ{σ} ) , f (x) ∈ L2{σ} (c, ˙ ∞) . Метрика в L2{σ} (c, ˙ ∞) дается соотношением Z ∞ [f, g]{σ} = Reg f (x) g(x) dx , c

Z где

[f, g]{σ} =

∞

f (x) g(x) dx для σ > −1 , Z

[f, g]{σ} = lim

α→+0

(1.2.10)

c ∞ c

{σ}

f (x) g(x) τα (x) dx для σ < −1 .

Ранг индефинитности метрики равен r = rσ =

[ |σ|−σ ] 2

(1.2.11) − [ |σ|−σ ]. 4

35

1.2.2. Критическая точка на левой границе конечного интервала

Теорема 1.2.4. Имеет место разложение π-пространства L2{σ} (c, ˙ ∞) в прямую сумму ˙ ∆{σ} (c, L2{σ} (c, ˙ ∞) = L2{σ} (c, ˙ ∞) + ˙ ∞) , где L2{σ} (c, ˙ ∞) — незамкнутый линеал всех функций из пространства L2{σ} (c, ˙ ∞), при этом L2{σ} (c, ˙ ∞) = L2{σ} (c, ˙ ∞) , а ∆{σ} (c, ˙ ∞) ≡ ∆c{σ} (c, ˙ ∞) — нейтральный линеал функционалов с носителем в точке x = c : {σ}

r −1

σ ˙ ∞) = Lin{∆c (m) (x)}m=0 ∆{σ} (c, , {σ}

{σ}

[∆c (m) , ∆c (k) ]{σ} = 0

(m, k ∈ Z0, rσ −1 ) ,

обладающих свойством : для f (x) ∈ L2{σ} (c, ˙ ∞) {σ}

m [f, ∆c (m) ]{σ} = lim (m!)−1 ∂(x−c) 2 Φn (x)|x=c , f (x) = s-lim ϕn (x) , n→∞

n→∞

2

ϕn (x) = (x − c)σ+1/2 e−(x−c) Φn (x) ∈ Π{σ}f (c, ˙ ∞) . Доказательство. Из § 7.8 [15] можно заключить, что L2{σ} (c, ˙ ∞) содержит максимальный нейтральный линеал ∆{σ} (c, ˙ ∞) = {σ}

r −1

σ = Lin{∆c (m) (x)}m=0 функционалов, носитель которых сосредоточен в критической точке. Так как, очевидно, Π{σ}f (c, ˙ ∞) ≡ σ+2k+1/2 −(x−c)2 /2 ∞ ≡ Lin{(x − c) e }k=0 ⊂ L2{σ} (c, ˙ ∞), где L2{σ} (c, ˙ ∞) — множество всех функций из L2{σ} (c, ˙ ∞), и т. к. Π{σ}f (c, ˙ ∞) = = L2{σ} (c, ˙ ∞) , то L2{σ} (c, ˙ ∞) = L2{σ} (c, ˙ ∞). Поскольку пространство L2{σ} (c, ˙ ∞) не содержит линейно независимых с линеалом ∆{σ} (c, ˙ ∞) по модулю L2{σ} (c, ˙ ∞) функционалов, то отсюда следует утверждение теоремы.

36

1.2. Пространства второго класса A

Утверждение теоремы следует также из теоремы 1.2.1, если представить пространство L2{σ} (c, ˙ ∞) разложением ˙ L02 (c, L2{σ} (c, ˙ ∞) = L02{σ} (c, ˙ ∞) [+] ˙ ∞) , n o 0 ˙ ∞) = L2{σ} (c, ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, ∞) , где L2{σ} (c, n o ˙ ∞) = {0} для x ∈ (0, l); L2 (l, ∞) для x ∈ (l, ∞) . ¤ L02 (c, Теорема 1.2.5. (1) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z. Тогда ¶ µ 0 0 ˙ U{σ} (c, ˙ L02 (c, ˙ ∞) , (1.2.12) ˙ ∞) [+] L2{σ} (c, ˙ ∞) = A{σ} (c, ˙ ∞) + o ∞) = A{σ} (c, ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, ∞) , где n o 0 U{σ} (c, ˙ ∞) = U{σ} (c, ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, ∞) , n o 0 L2 (c, ˙ ∞) = {0} для x ∈ (0, l); L2 (l, ∞) для x ∈ (l, ∞) , ˙ A0{σ} (c,

n

n−1 A{σ} (c, ˙ l) = Lin{(x − c)σ+2k+1/2 }k=0 ,

n = [−σ] ,

U{σ} (c, ˙ l) = L1 ((c, l); (x − c)σ+1/2 ) ∩ L2 (c, l) . (2) Пусть σ > −1. Тогда L2{σ} (c, ∞) = L2 (c, ∞) .

(1.2.13)

Доказательство. (1) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z. Очевидно, линеал L2{σ} (c, ˙ ∞) может быть представлен разложением ˙ L02 (c, L2{σ} (c, ˙ ∞) = L02{σ} (c, ˙ ∞) [+] ˙ ∞) , n o где L02{σ} (c, ˙ ∞) = L2{σ} (c, ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, ∞) . Тогда, учитывая в отношении линеала L2{σ} (c, ˙ l) теорему 1.2.2, приходим к (1.2.12). (2) Для σ > −1 ввиду (1.2.10) соотношение (1.2.13) очевидно. ¤

37

1.2.3. Критическая точка на правой границе конечного интервала

Теорема 1.2.6. Пространства L2hσ0 i (c, ˙ ∞) и L2{σ} (c, ˙ ∞) связаны следующим соотношением : ˙ A0σ (c, ˙ ∆σ (c, L2hσ0 i (c, ˙ ∞) = L2{σ} (c, ˙ ∞) + ˙ ∞) + ˙ ∞) ,

(1.2.14)

n o ˙ ∞) = Aσ (c, ˙ l); для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, ∞) , где A0σ (c, Aσ (c, ˙ l) = Lin{(x − c)σ+2k+3/2 }p−1 k=0 , h2σ+1i

∆σ (c, ˙ ∞) = Lin{∆c (2k+1) (x)}q−1 k=0 , p = [nσ0 /2], q = [rσ0 /2], σ 0 = 2σ + 1, nσ0 = [(|σ 0 | − σ 0 )/2], σ 0 ∈ R \ Z− . Доказательство. Согласно теоремам 1.1.6 и 1.2.2 выполняются соотношения 0 ˙ Uhσ ˙ L02 (c, ˙ ∆hσ0 i (c, L2hσ0 i (c, ˙ ∞) = A0hσ0 i (c, ˙ ∞) + ˙ ∞) + ˙ ∞) + ˙ ∞) , 0 i (c, 0 ˙ U{σ} ˙ L02 (c, ˙ ∆{σ} (c, L2{σ} (c, ˙ ∞) = A0{σ} (c, ˙ ∞) + (c, ˙ ∞) + ˙ ∞) + ˙ ∞) .

Тогда ввиду того, что для σ 0 = 2σ + 1 имеем 0 0 ˙ A0σ (c, Uhσ ˙ ∞) = U{σ} (c, ˙ ∞) и A0hσ0 i (c, ˙ ∞) = A0{σ} (c, ˙ ∞) + ˙ ∞) , 0 i (c,

˙ ∆σ (c, ∆hσ0 i (c, ˙ ∞) = ∆{σ} (c, ˙ ∞) + ˙ ∞) , получаем (1.2.14). ¤

1.2.3. Пространство с критической точкой на правой границе конечного интервала Пусть ρ{κ} (x) = (x − a)κ (b − x)κ ρ(x) (κ ∈ R \ Z− ; ρ(x) ≡ ≡ a((x − c)2 ) > 0, x ∈ (l, b] ; 2c = a+b, −∞ < c ≤ l < b < ∞) — весовая функция на интервале (l, b) с критической точкой x = b ˙ ρ{κ} ) — π-пространство в случае κ < −1. Обозначим L2 ((l, b);

38

1.2. Пространства второго класса A

функций ϕ(x), π-метрика в котором определяется соотношением Z b

[ϕ, ψ]{κ} = Reg ϕ(x) ψ(x) ρ{κ} (x) dx , l что означает Z b [ϕ, ψ]{κ} = ϕ(x) ψ(x) ρ{κ} (x) dx для κ > −1, l

Z [ϕ, ψ]{κ} = lim

α→+0

Здесь где

т. е.

b l

{κ}

ϕ(x) ψ(x) ρα (x) dx для κ < −1 .

{κ} ρα (x)

{κ}

= ρ{κ} (x) τα (x) , µ p ¶ 2 (x − a)(b − x) {κ} , τα (x) = Rκ (b − a)α √ ³ ´ 2 (x−a)(b−x) cos (2κ + 1) arctg (b−a)α {κ} τα (x) = ³ ´−κ−1/2 , (b−a)2 α2 − sin πκ · 1 + 4(x−a)(b−x)

(1.2.15)

— регуляризующий множитель. На рис. 1.2.2 приводится ка{κ} чественное поведение регуляризующего множителя τκ (x) в окрестностях точек x = a+0, x = c и x = b−0 для σ ∈ (−4, −3). ˙ π-пространство, связанное с Обозначим через L2{κ} (l, b) ˙ ρ{κ} ) π-унитарным преобразованием пространством L2 ((l, b); p f (x) = (x − a)κ/2 (b − x)κ/2 ρ(x) ϕ(x) , где

˙ ρ{κ} ) , f (x) ∈ L ˙ ϕ(x) ∈ L2 ((l, b); 2{κ} (l, b) . ˙ дается соотношением Метрика в L2{κ} (l, b) Z b f (x) g(x) dx , [f, g]{κ} = Reg

что означает [f, g]{κ} =

l

Z

b

f (x) g(x) dx l

для κ > −1 ,

(1.2.16)

39

1.2.3. Критическая точка на правой границе конечного интервала

Z [f, g]{κ} = lim

α→+0

b l

{κ}

f (x) g(x) τα (x) dx для κ < −1 .

Ранг индефинитности π-метрики равен r = rκ = [ |κ|−κ ]−[ |κ|−κ ]. 2 4 y=τ

(κ)

(x)

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pqqqpqqp p p p p p p p p p p p p p 6 rp p p p p p p p p αp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pqqpqqpq p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p qqqqqqqqqqq qqqq qq qq qq q 1 q qqqq qqq q qqq q qq qqqqq q qqq qqqq qqq qqqqqqqq qqqqq q q q qq qqq q qq qq qqq qqq qqq qq qqq qqq qqq qqqq qqqq qqqqq qqqq qqqqq qqq q q qqq qq qqq qqq qqq qqq qq qqqqq b q a qqq qqq c q 0 q q q qqq qq qq qqsr ppp r ppp sqqq qq qqq qqq qqq qq qqq qqq x qqq qqq qqq qq qqq qqq qqq qq qqqqq qqq qqq q qq qq qqq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qqq qqq qqq Нули : qqq qqq qqq qqq (±) qqq qqq qqq qq x0 = b, a r qqq qq κ ∈ (−4, −3) qqq qqq (±) (2n−1)π qqqq c = (a + b)/2 qq 2 2 xn = c ± ∆ 1 − α tg 2(2κ+1) ∆ = (b − a)/2

n ∈ Z1, 3

(α ¿ 1)

Рис. 1.2.2 ˙ и L (l, b) ˙ связаТеорема 1.2.7. Пространства L2{κ} (l, b) 2hκi ны следующим соотношением : ˙ = L (l, b) ˙ . L2{κ} (l, b) 2hκi

(1.2.17)

Доказательство. Утверждение теоремы следует непосредствен˙ но из того факта, что порождающая пространство L2{κ} (l, b) весовая функция ρ{κ} (x) = (x − a)κ (b − x)κ ρ(x), может быть представлена в виде весовой функции ρhκi (x) = (b − x)κ ρ1 (x) ˙ ¤ (ρ1 (x) = (x − a)κ ρ(x)), порождающей пространство L2hκi (l, b). Теорема 1.2.8. Имеет место разложение π-пространства ˙ в прямую сумму L2{κ} (l, b) ˙ =L ˙ ˙ ˙ L2{κ} (l, b) 2{κ} (l, b) + ∆{κ} (l, b) ,

40

1.2. Пространства второго класса A

˙ — незамкнутый линеал всех функций из прогде L2{κ} (l, b) ˙ при этом странства L2{κ} (l, b), ˙ =L ˙ L2{κ} (l, b) 2{κ} (l, b) , ˙ ≡∆ ˙ а ∆{κ} (l, b) b{κ} (c, b) — нейтральный линеал функционалов с носителем в точке x = b : ˙ = Lin{∆{κ} (x)}rκ −1 , ∆{κ} (l, b) m=0 b (m) {κ}

{κ}

[∆b (m) , ∆b (k) ]{κ} = 0

(1.2.18)

(m, k ∈ Z0, rκ −1 ) ,

˙ обладающих свойством : для f (x) ∈ L2{κ} (l, b) {κ}

m [f, ∆b (m) ]{κ} = lim (m!)−1 ∂(x−c) 2 Φn (x)|x=b , f (x) = s-lim ϕn (x) , n→∞

n→∞

˙ . ϕn (x) = (x − a)κ/2 (b − x)κ/2 Φn (x) ∈ Π{κ}f (l, b) ˙ (= L (l, b)) ˙ содерДоказательство. Пространство L2{κ} (l, b) 2hκi жит максимальный нейтральный линеал (1.2.18). Так как π˙ не содержит каких-либо элементов с пространство L2{κ} (l, b) ˙ то, очеточечным носителем, линейно независимых с ∆{κ} (l, b), ˙ = ∆ (l, b) ˙ = Lin{∆hκi }rκ −1 , видно, ∆ (l, b) {κ}

b (m) m=0

hκi

hκi

[f, ∆b (m) ]{κ} = lim (m!)−1 ∂xm Ψn (x)|x=b , n→∞

˙ . f (x) = s-lim ψn (x) , ψn (x) = (b − x)κ/2 Ψn (x) ∈ Πhκif (l, b) n→∞

При этом понятно, что (для m ∈ Z0, rκ −1 ) {κ} ∆b (m) (x)

=

m X k=0

hκi ξk ∆b (k) (x) ,

hκi ∆b (m) (x)

=

m X k=0

˙ = L (l, b). ˙ ¤ Следовательно, L2{κ} (l, b) 2hκi

{κ}

ηk ∆b (k) (x) .

41

1.2.3. Критическая точка на правой границе конечного интервала

Теорема 1.2.9. (1) Пусть κ < −1, κ ∈ / Z. Тогда ˙ = B (l, b) ˙ + ˙ V{κ} (l, b) , L2{κ} (l, b) {κ} ˙ = Lin{(a − x)κ/2+k (b − x)κ/2+k }m−1 , где B{κ} (l, b) k=0

(1.2.19) m = [−κ] ,

˙ = L ((l, b); (x − a)κ/2 (b − x)κ/2 ) ∩ L (l, b) . V{κ} (l, b) 1 2 (2) Пусть κ > −1. Тогда L2{κ} (l, b) = L2 (l, b) .

(1.2.20)

Доказательство. (1) Пусть κ < −1, κ ∈ / Z. Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1.1.2, в которой следует произвести замену ˙ , L2hσi (c, ˙ b) =⇒ L2{κ} (l, b)

[f, g]hσi =⇒ [f, g]{κ} ,

˙ , U (c, ˙ Ahσi (c, ˙ b) =⇒ B{κ} (l, b) hσi ˙ b) =⇒ V{κ} (l, b) , P s κ/2+s af,k (x) =⇒ bf,k (x) = n−1 (b − x)κ/2+s , s=0 ξf,k (x − a) P s κ/2+n+s uf,k (x) =⇒ vf,k (x) = n−1 (b − x)κ/2+n+s . s=0 ηf,k (x − a) К утверждению (1) можно прийти также следующим образом. Нетрудно убедиться в том, что L1 ((l, b); (b − x)κ/2 ) = L1 ((l, b); (x − a)κ/2 (b − x)κ/2 ) . ˙ = V (l, b). ˙ Каждая функция b(x) ∈ Следовательно, Vhκi (l, b) {κ} ˙ может быть записана в виде b(x) = b (x) + v (x), где ∈ Bhκi (l, b) 1 1 ˙ ˙ b1 (x) ∈ B{κ} (l, b), v1 (x) ∈ V{κ} (l, b). Также каждая функция ˙ может быть записана в виде b (x) = b(x)+v(x), b1 (x) ∈ B{κ} (l, b) 1 ˙ ˙ где b(x) ∈ Bhκi (l, b), v(x) ∈ Vhκi (l, b). Заметим, что каждая ˙ может быть представлена в виде функция v(x) ∈ V{κ} (l, b) −κ/2 −κ/2 v(x) = (x − a) (b − x) ψ(x) c lim (x − a)(b − x)ψ(x) = 0. x→b−0

(2) В случае κ > −1 ввиду (1.2.16) имеем (1.2.20). ¤

42

1.2. Пространства второго класса A

1.2.4. Пространство с двумя критическими точками на границах конечного интервала Пусть ρ{σ, κ} (x) = (x−c)2σ+1 (x−a)κ (b−x)κ ρ(x) (σ ∈ R\ Z− , κ ∈ R\Z− , a = 2c−b; ρ(x) ≡ a((x−c)2 ) > 0, x ∈ [c, b]) — весовая функция на интервале (c, b) с критическими точками x = c и (или) x = b соответственно в случае σ < −1 и (или) κ < −1. ˙ ρ{σ, κ} ) — π-пространство функций ϕ(x), Обозначим L2 ((c, ˙ b); π-метрика в котором определяется соотношением Z b [ϕ, ψ]{σ, κ} = Reg ϕ(x) ψ(x) ρ{σ, κ} (x) dx , (1.2.21) c

что означает Z b [ϕ, ψ]{σ, κ} = ϕ(x) ψ(x) ρ{σ, κ} (x) dx для σ > −1, κ > −1, c

Z [ϕ, ψ]{σ, κ} = lim

α→+0

b c

Z [ϕ, ψ]{σ, κ} = lim

α→+0

b c

Z [ϕ, ψ]{σ, κ} = lim

α→+0

0{σ, κ}

Здесь ρα {σ, κ}

ρα

0{σ, κ}

ϕ(x) ψ(x) ρα

00{σ, κ}

ϕ(x) ψ(x) ρα b

c

(x) dx для σ < −1, κ > −1 ,

{σ, κ}

ϕ(x) ψ(x) ρα {σ}

(x) dx для σ > −1, κ < −1 ,

(x) dx для σ < −1, κ < −1 . 00{σ, κ}

(x) = ρ{σ, κ} (x) τα (x), ρα {σ, κ}

(x) = ρ{σ, κ} (x) τα

(x),

{σ, κ}

τα

{σ}

{κ}

(x) = ρ{σ, κ} (x) τα (x), {σ}

{κ}

(x) = τα (x) τα (x) , {κ}

где регуляризующие множители τα (x) и τα (x) определяются формулами (1.2.4) и (1.2.15) соответственно (см. графики {σ} функции τα (x) в правой полуокрестности критической точки {κ} x = c на рис. 1.2.1 и функции τα (x) в левой полуокрестности критической точки x = b на рис. 1.2.2. Таким образом, график {σ, κ} регуляризующего множителя τα (x) на интервале (a, b) выглядит подобно графику, представленному на рис. 1.2.2 с разным числом «осцилляций» в окрестностях критических точек,

1.2.4. Две критические точки на границах конечного интервала

43

если σ и κ не принадлежат одному интервалу (−n − 1, −n), n ∈ N). ˙ π-пространство, связанное с Обозначим через L2{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ ρ{σ, κ} ) π-унитарным преобразованием пространством L2 ((c, ˙ b); p f (x) = (x − c)σ+1/2 (x − a)κ/2 (b − x)κ/2 ρ(x) ϕ(x) ; ˙ ρ{σ, κ} ) , f (x) ∈ L ˙ . ϕ(x) ∈ L2 ((c, ˙ b); ˙ b) 2{σ, κ} (c, ˙ дается соотношением Метрика в L2{σ, κ} (c, ˙ b) Z b [f, g]{σ, κ} = Reg f (x) g(x) dx , c

что означает

Z

b

f (x) g(x) dx

[f, g]{σ, κ} =

Z [f, g]{σ, κ} = lim

α→+0

Z [f, g]{σ, κ} = lim

α→+0

Z [f, g]{σ, κ} = lim

α→+0

для σ > −1, κ > −1 ,

c b a b a b a

{σ}

f (x) g(x) τα (x) dx для σ < −1, κ > −1 , {κ}

f (x) g(x) τα (x) dx для σ > −1, κ > −1 , {σ, κ}

f (x) g(x) τα

(x) dx для σ < −1, κ < −1 .

Ранг индефинитности π-метрики равен r = rσ + rκ , где парциальный ранг индефинитности rτ = [ |τ |−τ ] − [ |τ |−τ ]. 2 4 Теорема 1.2.10. Имеет место разложение π-пространства ˙ в прямую сумму L2{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ =L ˙ + ˙ , ˙ ∆{σ, κ} (c, L2{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) 2{σ, κ} (c, ˙ — незамкнутый линеал всех функций из прогде L2{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ при этом странства L2{σ, κ} (c, ˙ b), ˙ =L ˙ , L2{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) 2{σ, κ} (c,

44

1.2. Пространства второго класса A

˙ — нейтральный линеал функционалов с носителя∆{σ, κ} (c, ˙ b) ми в критических точках x = c и x = b : ˙ =∆ ˙ [+] ˙ , ˙ ∆b{σ, κ} (c, ∆{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) c{σ, κ} (c, ˙ = Lin{∆{σ, κ} (x)}rσ −1 , ∆c{σ, κ} (c, ˙ b) m=0 c (m) ˙ = Lin{∆{σ, κ} (x)}rκ −1 , ∆b{σ, κ} (c, ˙ b) m=0 b (m) {σ, κ}

{σ, κ}

(m, k ∈ Z0, rσ −1 ) ,

{σ, κ}

{σ, κ}

(m, k ∈ Z0, rκ −1 ) ,

[∆c (m) , ∆c (k) ]{σ, κ} = 0 [∆b (m) , ∆b (k) ]{σ, κ} = 0

˙ обладающих свойством : для f (x) ∈ L2{σ, κ} (c, ˙ b) {σ, κ}

m [f, ∆c (m) ]{σ, κ} = lim (m!)−1 ∂(c−x) 2 Φn (x)|x=c , n→∞

{σ, κ}

m [f, ∆b (m) ]{σ, κ} = lim (m!)−1 ∂(c−x) 2 Φn (x)|x=b , n→∞

˙ где ϕn (x) = (x − c)σ+1/2 (x − a)κ/2 (b − x)κ/2 Φn (x) ∈ Π{σ, κ}f (c, ˙ b), f (x) = s-lim ϕn (x). n→∞

Доказательство. Утверждение теоремы следует из теорем 1.2.1 ˙ представить разложении 1.2.8, если пространство L2{σ, κ} (c, ˙ b) ем (c < l < b) ˙ = L0 (c, ˙ ˙ 0 ˙ , L2{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) 2{σ} ˙ b) [+] L2{κ} (c, n o 0 ˙ где L2{σ} (c, ˙ b) = L2{σ} (c, ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, b) , n o ˙ = {0} для x ∈ (c, l); L ˙ для x ∈ (l, b) , L02{κ} (c, ˙ b) (l, b) 2{κ} π-пространство L2{σ} (c, ˙ l) порождается (§ 1.2.1) весовой функ{σ} цией ρ (x) = (x − c)2σ+1ρ1 (x), ρ1 (x) = (x − a)κ (b − x)κ ρ(x), ˙ порождается (§ 1.2.3) весовой функπ-пространство L2{κ} (l, b) цией ρ{κ} (x) = (a − x)κ (b − x)κ ρ2 (x), ρ2 (x) = (x − c)2σ+1 ρ(x). ¤

45

1.2.4. Две критические точки на границах конечного интервала

Теорема 1.2.11. (1) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z− и κ < −1, κ ∈ / Z− . ˙ = Тогда L2{σ, κ} (c, ˙ b) (1.2.22) ³ ´ ³ ´ 0 0 0 ˙ + ˙ [+] ˙ + ˙ , ˙ U{σ} ˙ B{κ} ˙ V{κ} = A0{σ} (c, ˙ b) (c, ˙ b) (c, ˙ b) (c, ˙ b) n o ˙ = A (c, ˙ b) ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, b) , где A0{σ} (c, {σ} n−1 A{σ} (c, ˙ l) = Lin{(x − c)σ+2k+1/2 }k=0 ,

n = [−σ] ,

n o 0 ˙ = U (c, U{σ} (c, ˙ b) ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, b) , {σ} U{σ} (c, ˙ l) = L1 ((c, l); (x − c)σ+1/2 ) ∩ L2 (c, l) , n o 0 ˙ = {0} для x ∈ (c, l); B (l, b) ˙ для x ∈ (l, b) , B{κ} (c, ˙ b) {κ} ˙ = Lin{(a − x)κ/2+k (b − x)κ/2+k }m−1 , m = [−κ] , B{κ} (l, b) k=0 n o 0 ˙ ˙ V{κ} (c, ˙ b) = {0} для x ∈ (c, l); V{κ} (l, b) для x ∈ (l, b) , ˙ = L ((l, b); (a − x)κ/2 (b − x)κ/2 ) ∩ L (l, b) . V{κ} (l, b) 1 2 (2) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z и κ > −1. Тогда ˙ = A (c, ˙ ˙ ˙ . L2{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) {σ} ˙ b) + U{σ} (c,

(1.2.23)

(3) Пусть σ > −1 и κ < −1, κ ∈ / Z. Тогда ˙ = B (c, ˙ ˙ ˙ . L2{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) {κ} ˙ b) + V{κ} (c, (4) Пусть σ > −1 и κ > −1. Тогда ˙ = L (c, b) . L2{σ, κ} (c, ˙ b) 2

(1.2.24)

46

1.2. Пространства второго класса A

Доказательство. (1) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z и κ < −1, κ ∈ / Z. ˙ может быть представлен разложением Линеал L2{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ = L0 (c, ˙ ˙ 0 ˙ , L2{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) (1.2.25) 2{σ} ˙ b) [+] L2{κ} (c, n o ˙ = L ˙ b) ( c, ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, b) , где L02{σ} (c, 2{σ} n o ˙ = {0} для x ∈ (c, l); L ˙ для x ∈ (l, b) , L02{κ} (c, ˙ b) (l, b) 2{κ} линеал L2{σ} (c, ˙ l) порождается весовой функцией ρ{σ} (x) = = (x − c)2σ+1 ρ1 (x), ρ1 (x) = (x − a)κ (b − x)κ ρ(x) (§ 1.2.1), линеал ˙ — весовой функцией ρ{κ} (x) = (a − x)κ (b − x)κ ρ (x), L2{κ} (l, b) 2 ρ2 (x) = (x − c)2σ+1 ρ(x) (§ 1.2.3). Согласно теореме 1.2.2 имеем ˙ U{σ} (c, L2{σ} (c, ˙ l) = A{σ} (c, ˙ l) + ˙ l) , ˙ = B (l, b) ˙ + ˙ . ˙ V{κ} (l, b) L2{κ} (l, b) {κ} Следовательно, соотношение (1.2.25) переходит в (1.2.22). (2) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z и κ > −1. Очевидно, n o L2{σ, κ} (c, ˙ b) = L2{σ} (c, ˙ l) для x ∈ (c, l) ; L2 (l, b) для x ∈ (l, b) . К линеалу L2{σ} (c, ˙ l) может быть применена теорема 1.2.2. Очевидно также, что можно положить l = b. (3) Пусть σ > −1 и κ < −1, κ ∈ / Z. Очевидно, n o ˙ = L (c, l) для x ∈ (c, l) , L ˙ L2{σ, κ} (c, b) (l, b)для x ∈ (l, b) . 2 2{κ} ˙ может быть применена теорема 1.2.9. ОчеК линеалу L2{κ} (l, b) видно также, что можно положить l = c. (4) В случае σ > −1 и κ > −1 ввиду (f, g){σ} = [f, g]{σ} = Rb = c f g dx утверждение теоремы очевидно. ¤

47

1.2.4. Две критические точки на границах конечного интервала

˙ и L ˙ Теорема 1.2.12. Пространства L2hσ0 , κi (c, ˙ b) ˙ b) 2{σ, κ} (c, связаны соотношением : ˙ =L ˙ + ˙ + ˙ , (1.2.26) ˙ Aσ (c, ˙ ∆c, σ (c, L2hσ0 , κi (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) ˙ b) 2{σ, κ} (c, где

˙ = Lin{(x − c)σ+2k+3/2 }p−1 , Aσ (c, ˙ b) k=0 ˙ = Lin{∆h2σ+1, κi (x)}q−1 , ˙ b) ∆c, σ (c, k=0 c (2k+1) p = [[−σ 0 ]+ /2] , q = [rσ0 /2] , σ 0 = 2σ + 1 , σ 0 ∈ R \ Z− .

˙ и L ˙ Доказательство. Для пространств L2hσ0 , κi (c, ˙ b) ˙ b) 2{σ, κ} (c, имеем разложения ˙ = L 0 (c, ˙ ˙ ˙ , L2hσ0 , κi (c, ˙ b) ˙ b) 2hσ , κi ˙ b) + ∆hσ 0 , κi (c,

(1.2.27)

˙ =L ˙ + ˙ , ˙ ∆{σ, κ} (c, L2{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) 2{σ, κ} (c,

(1.2.28)

˙ = ∆ 0 (c, ˙ ˙ ˙ , ∆hσ0 , κi (c, ˙ b) ˙ b) c hσ , κi ˙ b) + ∆b hσ 0 , κi (c,

где

˙ =∆ ˙ + ˙ , ˙ ∆b{σ, κ} (c, ∆{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) c{σ, κ} (c, ˙ иL ˙ могут быть представлены а линеалы L2hσ0 , κi (c, ˙ b) ˙ b) 2{σ, κ} (c, разложениями

где

˙ = L0 0 (c, ˙ ˙ 0 ˙ , L2hσ0 , κi (c, ˙ b) ˙ b) 2hσ i ˙ b) [+] L2hκi (c,

(1.2.29)

˙ = L0 (c, ˙ ˙ 0 ˙ , L2{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) 2{σ} ˙ b) [+] L2{κ} (c,

(1.2.30)

n o ˙ = L 0 (c, L02hσ0 i (c, ˙ b) ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, b) , 2hσ i n o ˙b) = L ˙ l) для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, b) , 2{σ} (c, n o ˙ = {0} для x ∈ (c, 0); L (l, b) ˙ для x ∈ (l, b) , ˙ b) L02hκi (c, 2hκi L02{σ} (c, ˙

48

1.2. Пространства второго класса A

n o ˙ = {0} для x ∈ (c, 0); L ˙ для x ∈ (l, b) . L02{κ} (c, ˙ b) (l, b) 2{κ} ˙ Aσ (c, Согласно теореме 1.2.3 L2hσ0 i (c, ˙ l) = L2{σ} (c, ˙ l) + ˙ l), а ˙ =L ˙ согласно теореме 1.2.7 L2hκi (l, b) 2{κ} (l, b). Следовательно, ˙ = L0 (c, ˙ ˙ 0 ˙ b) ˙ , L02hσ0 i (c, ˙ b) 2{σ} ˙ b) + Aσ (c,

˙ = L0 (c, ˙ L02hκi (c, ˙ b) 2{κ} ˙ b) ,

n o ˙ = A (c, ˙ для x ∈ (c, l); {0} для x ∈ (l, b) , ˙ b) ˙ b) A0σ (c, σ а так как

˙ =∆ ˙ + ˙ ˙ ∆c, σ (c, ∆c hσ0, κi (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) c{σ, κ} (c,

и

˙ =∆ ˙ , ∆b hσ0, κi (c, ˙ b) ˙ b) b{σ, κ} (c, ˙ =∆ ˙ + ˙ . ˙ ∆c, σ (c, то ∆hσ0, κi (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) {σ, κ} (c, Подставляя эти соотношения в (1.2.27) и (1.2.28), учитывая, 00 ˙ = A0 (c, ˙ ˙ ˙ и что Aσ (c, ˙ b) ˙ b) σ ˙ b) [+] Aσ (c, n o 00 ˙ ˙ Aσ (c, ˙ b) = {0} для x ∈ (c, l); Aσ (c, ˙ b) для x ∈ (l, b) ∈ ˙ , получаем (1.2.26). ¤ ∈ L02{κ} (c, ˙ b)

1.3. Пространства второго класса B

49

1.3. Пространства второго класса B Функциональные пространства второго класса B порождаются весовыми функциями, обладающими упомянутым в начале § 1.2 свойством симметрии относительно некоторой точки x0 вещественной оси, лежащей, однако, всегда внутри заданного интервала. При этом одна из критических точек может располагаться внутри интервала, совпадая с x0 . Соответственно регуляризация критических точек осуществляется с помощью симметричных относительно нее регуляризующих множителей. В случае, когда критическая точка располагается в центре заданного интервала, рассматриваются также π-пространства, в которых вместо регуляризующего множителя регуляризация критической точки осуществляется эквивалентным способом с Rb помощью так называемого point-интеграла qa (. . . ) dx [15]. Отметим, что в случае расположения критической точки x = c внутри интервала (a, b) будем обозначать соответствующее π-пространство, например, через L2[σ] (a, b) вместо более ¡ ¢ последовательного обозначения L2[σ] (a, c) ˙ ∪ (c, ˙ b) . Это же касается обозначений всех подмножеств такого π-пространства.

1.3.1. Пространство с критической точкой в центре конечного интервала 1. Пусть задан интервал (a, b) и c = (a + b)/2. Рассмотрим определенные в § 1.2.1 π-пространства L2{σ } (c, ˙ b) и L2{σ } (c, ˙ b), 1 −1 где σ1 = +ν или −ν и независимо σ−1 = +ν или −ν (ν ∈ R+\ Z+ ). Обозначим через Θ1 (x) и Θ−1 (x) функции Θ1 (x) = 1 (x ∈ R) ,

Θ−1 (x) = {x |x|−1 (x ∈ R\{0}); 1 (x = 0)} .

Определим π-пространства четных (i = 1) и нечетных (i = −1) относительно точки x = c элементов n o (i) L2(σ ) (a, b) = fi (x) = Wi f˜i (x) : f˜i (x) ∈ L2{σi } (c, ˙ b) , (1.3.1) i

50

1.3. Пространства второго класса B

связанных π-унитарными преобразованиями Wi с элементами f˜i (x) π-пространств L2{σ } (c, ˙ b) (i = ±1) соотношениями i

Wi f˜(x) = 2−1/2 Θi (x − c) f˜(c + |x − c|) .

(1.3.2)

Наконец, определим π-пространство (1)

(−1)

˙ L2(σ L2[ν] (a, b) = L2(σ ) (a, b) [+]

−1 )

1

(a, b) .

(1.3.3)

Индефинитная метрика в L2[ν] (a, b) дается формулой Z [f, g][ν] = lim

α→0

b a

(−ν)

f (x) g(x) τα

(x) dx ,

f (x), g(x) ∈ L2[ν] (a, b) ,

(−ν)

где регуляризующий множитель τα (x) определяется на множестве (a, b) той же формулой (1.2.4) с σ = −ν (качественно поведение регуляризующего множителя в окрестности критической точки x = c для некоторых значений σ приведено на рис. 1.2.1). При этом для элементов f (x) = f1 (x) + f−1 (x) и (i) g(x) = g1 (x) + g−1 (x), где fi , gi ∈ L2(σ ) (a, b), очевидно, имеем i

[f, g][ν] = [f1 , g1 ][ν] + [f−1 , g−1 ][ν] , причем

[fi , gi ][ν] = [f˜i , g˜i ]{σ } , i

где [f˜i , g˜i ]{σ } даются соотношениями (1.2.5) и (1.2.6). Ранг инi дефинитности пространства L2[ν] (a, b) равен rank L2[ν] = rσ1 + rσ−1 , где rσ = rank L2{σ} (c, ˙ b) .

(1.3.4)

(i)

Для каждого из двух пространств L2(σ ) (a, b), входящих в i π-ортогональную сумму (1.3.3) в случае σ < −1 имеем разложение в прямую сумму (i)

(i)

(i)

i

i

(i)

˙ U(σ ) (a, b) + ˙ ∆c (σ ) (a, b) , L2(σ ) (a, b) = A(σ ) (a, b) + i

i

(1.3.5)

51

1.3.1. Критическая точка в центре конечного интервала

где

n o (i) A(σ ) (a, b) = fi (x) = Wi f˜i (x) : f˜i (x) ∈ A{σ } (c, ˙ b) , i

i

(i) U(σ ) (a, i (i) ∆c (σ ) (a, i

n

o ˜ ˜ b) = fi (x) = Wi fi (x) : fi (x) ∈ U{σi } (c, ˙ b) , n o ˜ ˜ b) = fi (x) = Wi fi (x) : fi (x) ∈ ∆c{σi } (c, ˙ b) , rσ −1

(i)(σ )

(i)

i ∆c (σ ) (a, b) = Lin{∆c (m)i (x)}m=0

т. е.

i

— нейтральный линеал функционалов с носителем в точке x = (i) = c, обладающих свойством: для f (x) ∈ L2(σ ) (a, b) i

(i)(σ )

−1 m [f, ∆c (m)i ][ν] = (m!)−1 ∂(x−c) (x) af (x))x=c+0 , 2 (βi (i)

где βi (x) = Wi xσi +1/2 , af (x) = f (x)|A(σ ) (a, b). i 10 . Иначе можно представить то же π-пространство менее интересным для последующих построений разложением ˙ L02{σ } (a, b) , L2[ν] (a, b) = L02{σ1 } (a, b) [+] −1 n o L02{σ1 } (a, b) = L2{σ1 } (a, c) ˙ для x ∈ (a, c); {0} для x ∈ (c, b) , n o L02{σ−1 } (a, b) = {0} для x ∈ (a, c); L2{σ−1 } (c, ˙ b) для x ∈ (c, b) , т. е. n o L2[ν] (a, b) = L2{σ1 } (a, c) ˙ для x ∈ (a, c); L2{σ−1 } (c, ˙ b) для x ∈ (c, b) , где

L2{σ

1

n o ˜ ˜ ˙ = f (x) = f (2c − x) : f (x) ∈ L2{σ } (c, ˙ b) . } (a, c) 1

2. Рассмотрим другую реализацию π-пространства. Определим на (−∞, 0) ∪ (0, +∞) обобщенную функцию Хевисайда формулой Θ(σ) (x) = xσ+1/2 |x|−σ−1/2 ,

52

1.3. Пространства второго класса B

смысл которой раскрывается соотношением n o ±iπσ Θ(σ) (x) = ±ie для x ∈ (−∞±i0, 0±i0); 1 для x ∈ (0, +∞) . Исходя из пространств L2{σ} (c, ˙ b) (σ = ±ν), ν ∈ R+ \ Z+ определим пространства L2(σ) (a, b), σ = ±ν преобразованием n o L2(σ) (a, b) = fσ (x) = Wσ f˜σ (x) : f˜σ (x) ∈ L2{σ} (c, ˙ b) , (1.3.6) Wσ f˜σ (x) = Aσ Θ(σ) (x − c) f˜σ (c + |x − c|) , Aσ = 2−1/2 sin−1 πσ . (1.3.7) В соответствии с тем, что всякая функция f˜σ (x) из L2{σ} (c, ˙ b) идентифицируется со всевозможными эквивалентными фундаментальными последовательностями элементов ϕn (x) из множества квазиполиномов Π{σ}f (c, ˙ b) = Lin{(x − c)σ+2k+1/2 }∞ k=0 ⊂ ⊂ L2{σ} (c, ˙ b), для функции fσ (x) можно говорить о ее значениях на интервале (c, b) и берегах (a − i0, c − i0) и (a + i0, c + i0) интервала (a, c): ) ( ± ie±iπσ f˜σ (2c − x) для x ∈ (a ± i0, c ± i0) ; . fσ (x) = f˜σ (x) для x ∈ (c, b) В этом смысле функции fσ (x) определены на (a, c) ∪ (c, b). Определим пространство L2[ν] (a, b) как π-ортогональную относительно метрики Z b [f, g][ν] = r f (x) g(x) dx (1.3.8) a

сумму пространств L2(−ν) (a, b) и L2(ν) (a, b) ˙ L2(ν) (a, b) . L2[ν] (a, b) = L2(−ν) (a, b) [+] Здесь g(x) = g(x) и (подробнее см. [15]) µZ b−iα Z Z b r (. . . ) dx = lim 2−1/2 + a

α→+0

a−iα

b+iα ¶

(. . . ) dx . a+iα

(1.3.9)

53

1.3.2. Критическая точка внутри конечного интервала

Напомним, что соотношение (1.3.8) следует понимать в смысле ˙ Π(ν)f (a, b) относипродолжения с Π[ν]f (a, b) = Π(−ν)f (a, b) [+] тельно положительно определенного скалярного произведения (где Π(σ)f (a, b) = W(σ) Π{σ}f (c, ˙ b)) Z

b

(f, g)[ν] = r f (x) g J (x) dx

(g J (x) = Jg(x)) .

a

При этом, очевидно, для f (x), g(x) ∈ L2[ν] (a, b) [f, g][ν] = [f−ν , g−ν ][ν] + [fν , gν ][ν] ,

[fσ , gσ ][ν] = [f˜σ , g˜σ ]{σ} ,

f (x) = fν (x) + f−ν (x), g(x) = gν (x) + g−ν (x), fσ (x), gσ (x) ∈ ∈ L2(σ) (a, b). Для подпространства L2(−ν) (a, b) имеет место разложение ˙ U(−ν) (a, b) + ˙ ∆c (−ν) (a, b) , L2(−ν) (a, b) = A(−ν) (a, b) + n o где A(−ν) (a, b) = f−ν (x) = W−ν f˜−ν (x) : f˜−ν (x) ∈ A{−ν} (c, ˙ b) , o ˜ ˜ ˙ b) , U(−ν) (a, b) = f−ν (x) = W−ν f−ν (x) : f−ν (x) ∈ U{−ν} (c, n

o n ˙ b) . ∆c (−ν) (a, b) = f−ν (x) = W−ν f˜−ν (x) : f˜−ν (x) ∈ ∆c{−ν} (c,

1.3.2. Пространство с критической точкой внутри конечного интервала (не совпадающей с его центром) Пусть задан интервал (a, b) и (ради определенности) точка x = c ∈ (a, (a + b)/2). Пространство L2[ν] (a, b), ν ∈ R+ \ Z+ определим прямой π-ортогональной суммой ˙ L02 (a, b) , L2[ν] (a, b) = L02[ν] (a, b) [+]

(1.3.10)

54

1.3. Пространства второго класса B

n o где L02[ν] (a, b) = L2[ν] (a, l) для x ∈ (a, l); {0} для x ∈ (l, b) , L02 (a,

n o b) = {0} для x ∈ (a, l); L2 (l, b) для x ∈ (l, b)

(l = 2c − a), и пространство L2[ν] (a, l) определенo в § 1.3.1 для симметричного относительно точки x = c интервала (a, l) выражением (1.3.3) (с заменой b → l). Иначе это же пространство L2[ν, µ] (l, b) можно определить следующим образом:  y(x) = y1 (x) + y−1 (x) :   L2[ν] (l, b) = yi (x) = 2−1/2 Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) ,   y˜ (x) ∈ L ˙ b) , i = ±1 i 2{σ } (c,

    

.

i

(1.3.11) Индефинитная метрика в π-пространстве L2[ν] (a, b) (ранг индефинитности равен r = rσ1 + rσ−1 , см. (1.3.4)) дается формулой Z b (−ν) [y, z][ν] = lim y(x) z(x) τα (x) dx , y(x), z(x) ∈ L2[ν] (a, b) , α→0

где множитель

a

(−ν) τα (x)

(1.3.12) определен формулой (1.2.4) с σ = −ν.

1.3.3. Пространство с критической точкой внутри полубесконечного интервала Пусть задан интервал (a, ∞) и точка x = c > a. Пространство L2[ν] (a, ∞), ν ∈ R+\Z+ определим прямой π-ортогональной и прямой суммой ˙ L02 (a, ∞) , L2[ν] (a, ∞) = L02[ν] (a, ∞) [+]

(1.3.13)

n o где L02[ν] (a, ∞) = L2[ν] (a, l) для x ∈ (a, l); {0} для x ∈ (l, ∞) , n o L02 (a, ∞) = {0} для x ∈ (a, l); L2 (l, ∞) для x ∈ (l, ∞)

55

1.3.4. Критическая точка внутри бесконечного интервала

(l = 2c − a), и пространство L2[ν] (a, l) определенo в § 1.3.1 для симметричного относительно точки x = c интервала (a, l) выражением (1.3.3) (с заменой b → l). Иначе это же пространство L2[ν, µ] (a, ∞) можно определить следующим образом:  y(x) = y1 (x) + y−1 (x) :    yi (x) = 2−1/2 Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) , L2[ν] (a, ∞) =    y˜ (x) ∈ L (c, ˙ ∞) , i = ±1 i

      

2{σi }

.

(1.3.14) Индефинитная метрика в π-пространстве L2[ν] (a, ∞) (ранг индефинитности равен r = = rσ1 + rσ−1 , см. (1.3.4)) дается формулой Z ∞ (−ν) y(x) z(x) τα (x) dx , y(x), z(x) ∈ L2[ν] (a, ∞) , [y, z][ν] = lim α→0

a

(1.3.15) где множитель определен формулой (1.2.4) с σ = −ν (−ν) (в отношении графика функции τα (x) в окрестности критической точки см. рис. 1.2.1). (−ν) τα (x)

1.3.4. Пространство с критической точкой внутри бесконечного интервала I. Пусть задан интервал (−∞, ∞). Пространство Π[ν] = = L2[ν] (−∞, ∞), ν ∈ R+\Z+ определим прямой π-ортогональной суммой ˙ L02 (−∞, ∞) , L2[ν] (−∞, ∞) = L02[ν] (−∞, ∞) [+]

(1.3.16)

где ( L02[ν] (−∞, ∞) =

L2[ν] (a, b) для x ∈ (a, b), a + b = 2c ; {0} для x ∈ (−∞, a) ∪ (b, ∞)

) ,

56

1.3. Пространства второго класса B

( L02 (−∞, ∞) =

{0} для x ∈ (a, b) ; L2 ((−∞, a) ∪ (b, ∞)) для x ∈ (−∞, a) ∪ (b, ∞)

) ,

и пространствo L2[ν] (a, b) определено в § 1.3.1 для симметричного относительно точки x = c интервала выражениями (1.3.1) и (1.3.2). Очевидно, что π-пространство L2[ν] (−∞, ∞) может быть также определено следующим образом: ( ) y(x) = y1 (x) + y−1 (x) : yi (x) = Wi y˜i (x) , L2[ν] (−∞, ∞) = , y˜i (x) ∈ L2{σ } (c, ˙ ∞) , i = ±1 i

где Wi y˜i (x) = 2−1/2 Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) — π-унитарное преобразование. Индефинитная метрика в π-пространстве L2[ν] (a, b) (ранг индефинитности равен r = rσ1 + rσ−1 , см. (1.3.4)) дается формулой Z ∞ (−ν) (1.3.17) [y, z][ν] = lim y(x) z(x) τα (x) dx , α→0

−∞

(−ν)

y(x), z(x) ∈ L2[ν] (−∞, ∞), где множитель τα (x) определен формулой (1.2.4) с σ = −ν (см. рис. 1.2.1). II. Рассмотрим другую реализацию пространства. Исходя из пространств L2{σ} (c, ˙ ∞) (σ = ±ν), ν ∈ R+ \ Z+ определим пространства L2(σ) (−∞, ∞), σ = ±ν преобразованием n o L2(σ) (−∞, ∞) = fσ (x) = Wσ f˜σ (x) : f˜σ (x) ∈ L2{σ} (c, ˙ ∞) , Wσ f˜σ (x) = Aσ Θ(σ) (x − c) f˜σ (c + |x − c|) ,

Aσ = 2−1/2 sin−1 πσ .

Ввиду того, что всякая функция f˜σ (x) из L2{σ} (c, ˙ ∞) идентифицируется со всевозможными эквивалентными фундаментальными последовательностями элементов ϕn (x) из множества 2 квазиполиномов Π{σ}f (c, ˙ b) = Lin{(x − c)σ+2k+1/2 e−(x−c) /2 }∞ k=0 ⊂

57

1.3.4. Критическая точка внутри бесконечного интервала

⊂ L2{σ} (c, ˙ b), для fσ (x) можно говорить о ее значениях на интервале (c, ∞) и берегах (−∞ − i0, c − i0) и (−∞ + i0, c + i0) интервала (−∞, c): ( ) ± ie±iπσ f˜(2c − x) для x ∈ (−∞ ± i0, c ± i0) ; fσ (x) = . f˜σ (x) для x ∈ (c, ∞) Определим пространство L2[ν] (−∞, ∞) как π-ортогональную относительно метрики Z ∞ [f, g]ν = r f (x) g(x) dx (1.3.18) −∞

сумму пространств L2(−ν) (−∞, ∞) и L2(ν) (−∞, ∞) ˙ L2(ν) (−∞, ∞) . L2[ν] (−∞, ∞) = L2(−ν) (−∞, ∞) [+] Здесь g(x) = g(x) и (см. [15]) µZ Z ∞ −1/2 r (. . . ) dx = lim 2 −∞

α→+0

Z

∞−iα

∞+iα ¶

+ −∞−iα

(1.3.19)

(. . . ) dx . −∞+iα

Отметим, что соотношение (1.3.18) следует понимать в смысле ˙ Π(ν)f (−∞, ∞) продолжения с Π[ν]f (−∞, ∞) = Π(−ν)f (−∞, ∞) [+] относительно положительно определенного скалярного произведения (где Π(σ)f (−∞, ∞) = W(σ) Π{σ}f (c, ˙ ∞)) Z ∞ (f, g)[ν] = r f (x) g J (x) dx (g J (x) = Jg(x)) . −∞

При этом, очевидно, для f (x), g(x) ∈ L2[ν] (−∞, +∞) [f, g][ν] = [f−ν , g−ν ] + [fν , gν ] ,

[fσ , gσ ][ν] = [f˜σ , g˜σ ]{σ} ,

f (x) = fν (x) + f−ν (x), g(x) = gν (x) + g−ν (x), fσ (x), gσ (x) ∈ ∈ L2(σ) (−∞, ∞).

58

1.3. Пространства второго класса B

1.3.5. Пространство с двумя критическими точками на границах конечного интервала ˙ µ∈ Пусть задан интервал (a, b). Пространство L2[µ] (a, ˙ b), ∈ R+ \ Z+ определим прямой π-ортогональной суммой: ˙ ˙ (−1) ˙ b) ˙ ˙ = L(1) (a, L2[µ] (a, ˙ b) 2(κ ) ˙ b) [+] L2(κ ) (a, 1

−1

(1.3.20)

(±1) ˙ связаны (κ−1 = ±κ1 , κ1 = ±µ), где подпространства L2(κ ) (a, ˙ b) i π-унитарными преобразованиями с соответствующими прост˙ ранствами L2{κ } (c, b): i

n o (i) ˙ , (1.3.21) ˙ = fi (x) = Wi y˜i (x) : f˜i (x) ∈ L (c, b) L2(κ ) (a, ˙ b) 2{κi} i

Wi f˜i (x) = 2−1/2 Θi (x − c) f˜i (c + |x − c|). Индефинитная метрика (r = rκ1 + rκ−1 ) в π-пространстве ˙ дается формулой L2[ν] (a, ˙ b) Z b (−µ) (1.3.22) [f, g][µ] = lim f (x) g(x) τα (x) dx , α→0

a

˙ где регуляризующий множитель τ (−µ)(x) f (x), g(x) ∈ L2[ν] (a, ˙ b), α определен формулой (1.2.15) c κ = −µ (качественно поведение (−µ) функции τα (x) в окрестностях критических точек и середины интервала для µ ∈ (3, 4) приведено на рис. 1.2.2).

1.3.6. Пространство с критическими точками внутри и на границе конечного интервала Пусть задан интервал (l, b), l < c < l1 < b, 2c = l + l1 . Пространство L2[ν, µ] (l, b), ν, µ ∈ R+ \ Z+ можно определить прямой π-ортогональной суммой ˙ = L(0) (l, b) ˙ [+] ˙ L(0) L2[ν, µ] (l, b) 2{σ } 2{σ 1

−1 , κ}

˙ , (l, b)

(1.3.23)

59

1.3.6. Критические точки внутри и на границе конечного интервала

n o (0) ˙ = L где L2{σ } (l, b) (l, c) ˙ для x ∈ (l, c); {0} для x ∈ (c, b) , 2{σ } 1

1

(0)

L2{σ

−1

n o ˙ = {0} для x ∈ (l, c); L ˙ для x ∈ (c, b) , ( c, ˙ b) ( c, ˙ b) 2{σ−1 , κ} , κ}

n o где L2{σ1 } (l, c) ˙ = f1 (x) = f˜1 (2c − x) : f˜1 (x) ∈ L2{σ1 } (c, ˙ l1 ) (σi ∈ {±ν}, κ ∈ {±µ}). Однако для дальнейших построений более интересным яв˙ π-ортогональной суммой ляется представление L2[ν, µ] (l, b) ˙ = L0 (l, b) ˙ [+] ˙ , ˙ L02{κ} (l, b) L2[ν, µ] (l, b) 2[ν]

(1.3.24)

n o ˙ = L (l, l ) для x ∈ (l, l ); {0} для x ∈ (l , b) , L02[ν] (l, b) 2[ν] 1 1 1 n o ˙ = {0} для x ∈ (l, l ); L ˙ для x ∈ (l , b) , L02{κ} (l, b) (l , b) 1 2{κ} 1 1 где пространство L2[ν] (l, l1 ) определено в § 1.3.1 соотношением (1.3.3) с a = l и b = l1 , а пространство L2{κ} (l1 , b) — в § 1.2.3 с l = l1 . ˙ даИндефинитная метрика в π-пространстве L2[ν, µ] (l, b) ется формулой Z [f, g][ν, µ] = lim

α→0

b l

(−ν, −µ)

f (x) g(x) τα

(x) dx ,

(1.3.25)

˙ где регуляризующий множитель опреf (x), g(x) ∈ L2[ν, µ] (a, ˙ b), (−ν,−µ)

(−ν)

(−µ)

делен формулами τα (z) = τα (x) τα (x), (1.2.4), (1.2.15) в случае обеих критических точек x = c и x = b (см. рис. 1.2.1 и 1.2.2). Если точка x = c и (или) x = b не является критиче(−ν) ской, то можно положить соответственно τα (x) = 1 и (или) (−µ) τα (x) = 1 соответственно. Ранг индефинитности π-простран˙ равен r = r + r + r , где r = [ |τ |−τ ] − [ |τ |−τ ]. ства L2[ν, µ] (l, b) σ1 σ−1 κ τ 2 4

60

1.3. Пространства второго класса B

1.3.7. Пространство с критической точкой в центре и двумя на границах конечного интервала Пусть задан интервал (a, b) и точка x = c = (a + b)/2. ˙ I. Пространство L2[ν, µ] (a, ˙ b), ν, µ ∈ R+ \ Z+ определим π-ортогональной суммой (σi = ±ν, и независимо κi = ±µ) ˙ = L(1) L2[ν, µ] (a, ˙ b) 2(σ где

(a, ˙ 1 , κ1 )

˙ [+] ˙ L(−1) b) 2(σ

−1 , κ−1 )

˙ , (a, ˙ b)

(1.3.26)

n o (i) ˙ = f (x) = W f˜ (x) , f˜ (x) ∈ L L2(σ , κ ) (a, ˙ b) . i i i i 2{σ , κ } i

i

i

i

˙ дается формулой Индефинитная метрика в L2[ν, µ] (a, ˙ b) Z [f, g][ν, µ] = lim

α→0

b a

(−ν, −µ)

f (x) g(x) τα

(x) dx ,

(1.3.27)

˙ где регуляризующий множитель опреf (x), g(x) ∈ L2[ν, µ] (a, ˙ b), (−ν, −µ)

(−ν)

(−µ)

делен формулами τα (x) = τα (x) τα (x), (1.2.4), (1.2.15) в случае обеих критических точек x = c и x = b (понятно, что (−ν, −µ) графиком функции τα (x) является «произведение» гра(−ν) (−µ) фиков функций τα (x) и τα (x), таким образом, в окрестностях критической точки x = c и критических точек x = {a, b} (−ν, −µ) множитель τα (x) ведет себя подобно тому, как это представлено на рисунках, соответственно, 1.2.1 и 1.2.2). Если точка x = c и (или) x = {a, b} не являются критическими, то мож(−ν) (−µ) но положить соответственно τα (x) = 1 и (или) τα (x) = 1. ˙ равен r = Ранг индефинитности π-пространства L2[ν, µ] (a, ˙ b) = rσ1+ rσ−1+ rκ1 + rκ−1 , где rτ = [ |τ |−τ ] − [ |τ |−τ ]. 2 4 ˙ Для f (x), g(x) ∈ L (a, ˙ b) имеем 2[ν, µ]

[f, g][ν, µ] =

X i=±1

[fi , gi ][ν, µ] , [fi , gi ][ν, µ] = [f˜i , g˜i ]{σi , κi } ,

61

1.3.7. Критическая точка в центре и две точки на границах интервала

f (x) = f−1 (x) + f1 (x) ,

g(x) = g−1 (x) + g1 (x) ,

˙ . fi (x), gi (x) ∈ L2(σi , κi ) (a, ˙ b) (i) ˙ имеет место разложеДля подпространства L2(σ , κ ) (a, ˙ b) i

ние

i

(i) ˙ = L(i) ˙ + ˙ , ˙ ∆(i) L2(σ , κ ) (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b) 2(σ , κ ) (a, (σ , κ ) (a, i

i

i

˙ = b)

(i) ∆(σ , κ ) (a, ˙ i i

где

(i) ˙ = ∆c (σ , κ ) (a, ˙ b) i i (i) ˙ = ˙ b) ∆b (σ , κ ) (a, i i

n

n

i

i

(i) ∆c (σ , κ ) (a, ˙ i i

˙ [+] ˙ b)

i

(i) ∆b (σ , κ ) (a, ˙ i i

˙ , b)

o ˙ Wi ∆c{σi , κi } (c, ˙ b) для σi < −1; {0} для σi > −1 ,

o ˙ Wi ∆b{σi , κi } (c, ˙ b) для κi < −1; {0} для κi > −1 ,

(i) ˙ =W L ˙ , L2(σ , κ ) (a, ˙ b) ˙ b) i 2{σi , κi } (c, i

i

˙ определено соотношениями (1.2.22). . . (1.2.24). где L2{σ, κ} (c, ˙ b) I0 . Другое (менее интересное для дальнейших построений) представление пространства L2[ν, µ] можно записать в виде ˙ = L(0) L2[ν, µ] (a, ˙ b) 2{σ

1 , κ1 }

˙ [+] ˙ L(00) (a, ˙ b) 2{σ

−1 , κ−1 }

˙ , (a, ˙ b)

(1.3.28)

где ( (0)

L2{σ

1 , κ1 }

˙ = (a, ˙ b)

(00) L2{σ , κ } (a, ˙ −1 −1

˙ = b)

f (x) = f˜(2c − x) : f˜(x) ∈ L2{σ

1 , κ1

˙ ˙ b) } (c,

для x ∈ (a, c) ; {0} для x ∈ (c, b) ( {0} для x ∈ (a, c) ; f (x) = f˜(x) : f˜(x) ∈ L2{σ

(c, ˙ −1 , κ−1 }

˙ для x ∈ (c, b) b)

) , ) .

II. Рассмотрим другую реализацию π-пространства. Ис˙ σ = −iν, κ ∈ {±µ} (i = ±1, ходя из пространств L2{σ , κ } (c, ˙ b), i i i i ˙ преобраν, µ ∈ R+ \ Z+ ) определим пространства L2(σ , κ ) (a, ˙ b) i i зованием n o ˙ = f (x) = W f˜(x) : f˜(x) ∈ L ˙ , L2(σi , κi ) (a, ˙ b) ( c, ˙ b) (σi ) 2{σi , κi }

62

1.3. Пространства второго класса B

W(σ) f˜(x) = Aσ Θ(σ) (x − c) f˜(c + |x − c|) ,

Aσ = 2−1/2 sin−1 πσ .

˙ идентифиВвиду того, что всякая функция f˜(x) из L2{σ, κ} (c, ˙ b) цируется со всевозможными эквивалентными фундаментальными последовательностями квазиполиномов ϕn (x) из множе˙ = {(x − c)σ+2k+1/2 (x − a)κ/2 (b − x)κ/2 }∞ ⊂ ства Π{σ, κ}f (c, ˙ b) k=0 ⊂ L2{σ} (c, ˙ b), для f (x) можно говорить о ее значениях на интервале (c, b) и берегах (a−i0, c−i0) и (a+i0, c+i0) интервала (a, c): n o f (x) = ±ie±iπσf˜(2c−x) для x ∈ (a±i0, c±i0); f˜(x) для x ∈ (c, b) . ˙ как π-ортогональную отОпределим пространство L2[ν, µ] (a, ˙ b) носительно метрики Z b (−µ) [f, g][ν, µ] = lim r f (x) g(x) τα (x) dx (1.3.29) α→+0

a

˙ иL сумму пространств L2(−ν, κ ) (a, ˙ b) 2(ν, κ 1

−1 )

˙ (a, ˙ b)

˙ =L ˙ [+] ˙ , ˙ L2(ν, κ ) (a, L2[ν, µ] (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b) (1.3.30) 2(−ν, κ1 ) (a, −1 ³R Rb R b+iα ´ b−iα где g(x) = g(x), qa (. . . ) dx = lim 2−1/2 a−iα + a+iα (. . . ) dx [15]. α→+0

Отметим, что соотношение (1.3.29) следует понимать в смы˙ =Π ˙ [+] ˙ ˙ Π(ν, κ )f (a, сле продолжения с Π[ν, µ]f (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b) h−ν, κ1 if (a, −1 относительно положительно определенного скалярного произ˙ =W Π ˙ ведения (Πhσ, κif (a, ˙ b) ˙ b)) (σ) {σ, κ}f (a, Z (f, g)[ν, µ] = lim

α→+0

r

b

f (x) g J (x) dx

(g J (x) = Jg(x)) .

a

˙ ˙ b) При этом, очевидно, для f (x), g(x) ∈ L2[ν, µ] (a, X [f, g][ν, µ] = [fσi , gσi ][ν, µ] , [fσi , gσi ][ν, µ] = [f˜σi , g˜σi ]{σi , κi } , i=±1

1.3.7. Критическая точка в центре и две точки на границах интервала

f (x) = fν (x) + f−ν (x) ,

63

g(x) = gν (x) + g−ν (x) ,

˙ . fσi (x), gσi (x) ∈ L2(σi , κi ) (a, ˙ b) ние где

˙ имеет место разложеДля подпространства L2(σ, κ) (a, ˙ b) ˙ =L ˙ + ˙ , ˙ ∆(σ, κ) (a, L2(σ, κ) (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b) 2(σ, κ) (a, ˙ =∆ ˙ [+] ˙ , ˙ ∆b (σ, κ) (a, ∆(σ, κ) (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b) c (σ, κ) (a,

n o ˙ = W ∆ ˙ для σ < −1 ; {0} для σ > −1 , ∆c (σ, κ) (a, ˙ b) ( c, ˙ b) (σ) c{σ, κ} n o ˙ ˙ ∆b (σ, κ) (a, ˙ b) = W(σ) ∆b{σ, κ} (c, ˙ b) для κ < −1 ; {0} для κ > −1 , ˙ =W L ˙ , L2(σ, κ) (a, ˙ b) ˙ b) (σ) 2{σ, κ} (c, ˙ определено соотношениями (1.2.22). . . (1.2.24). где L2{σ, κ} (c, ˙ b)

Глава 2. Линейные дифференциальные выражения В приведенных в главе 1 π-пространствах Π рассмотрим линейные дифференциальные выражения второго порядка l(y) = p0 y 00 + p1 y 0 + p2 y , где pi (i = 0, 1, 2) — голоморфные в некоторых, быть может, проколотых окрестностях характерных точек заданного отрезка и непрерывно дифференцируемые (2−i) раз на этом отрезке вне окрестностей голоморфности функции. В дальнейшем будут приведены более детальные ограничения, накладываемые на эти функции с тем, чтобы дифференциальное выражение l(y) порождало некоторый дифференциальный оператор в соответствующем π-пространстве Π. Каждое дифференциальное выражение l(y) определено на некотором множестве D ⊂ Π, которое далее также уточним. Выражение lc (y) = (p0 y)00 − (p1 y 0 ) + p2 y

2. Линейные дифференциальные выражения

65

— есть π-сопряженное к l(y) дифференциальное выражение. Очевидно, что (1) всякое π-самосопряженное дифференциальное выражение может быть представлено в виде ´ 1 ³ l(y) = (p0 y 0 )0 + i (p1 y)0 + p1 y 0 + p2 y , 2 где функции pi (i = 0, 1, 2) вещественны; (2) всякое π-самосопряженное дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами имеет вид l(y) = −(p y 0 )0 + qy .

(2.0.31)

Далее будем рассматривать только π-самосопряженные дифференциальные выражения (2.0.31) с вещественными коэффициентами. Как отмечено в главе 1, π-пространство Π может быть представлено прямой суммой ˙ ∆, Π=L+ где L — плотное в Π множество всех функций из Π (L = Π), а ∆ — конечномерное нейтральное подпространство специальных функционалов с точечным носителем, сосредоточенным в критических точках. При этом множество L в свою очередь может быть представлено прямой суммой ˙ U, L=A+ где A — некоторое множество кусочно заданных на рассматриваемом интервале аналитических функций с характерными особенностями в критических точках интервала, а U — соответствующее множество функций из L, не имеющих особенностей в этих точках. Таким образом, произвольный элемент y из Π может быть представлен разложением y = ay + uy + ωy ,

66

2. Линейные дифференциальные выражения

где ay ∈ A, uy ∈ U, ωy ∈ ∆. Дифференциальное выражение l(y) порождает в Π некоторый дифференциальный оператор L, определенный на множестве элементов y ∈ D ⊂ Π таких, что l(y) ∈ Π. Теорема 2.0.1. Оператор L является вещественным. Доказательство. Область определения D оператора L, очевидно, симметрична относительно операции комплексного сопряжения, то есть, если y ∈ D, то y ∈ D. Кроме того, ввиду вещественности функций p(x) и q(x) всякие два взаимно комплексно сопряженных элемента y, y из D переводятся оператором L во взаимно комплексно сопряженные. ¤ В данной главе исследуем основные типы сингулярных на интервале (a, b) ⊆ (−∞, ∞) вещественных линейных πсамосопряженных дифференциальных выражений второго порядка (2.0.31), порождающих в соответствующих функциональных гильбертовых пространствах с индефинитной метрикой Z

b

f g dx

[f, g] = Reg a

операторы Штурма—Лиувилля L, и установим структуру областей D определения этих операторов, а также структуру определенных в D билинейных форм Reg{y, z}ba = [Ly, z] − [y, Lz] . Отметим, что для {y, z} в регулярной точке имеем ↔

{y, z} = p(y ∂x z) ,

↔

где y ∂x z = yz 0 − y 0 z .

Классификация дифференциальных выражений l(y) осуществляется в соответствии с классификацией π-пространств, в которых определяется дифференциальное выражение. Параллельно укажем те дополнительные ограничения на функции p(x) и

2.1. Дифференциальные выражения первого класса

67

q(x), которые обеспечивают существование в Π дифференциального оператора L, порождаемого выражением (2.0.31). Будем говорить, что все точки рассматриваемого отрезка регулярны, если отрезок конечен и функции p−1 (x) и q(x) ограничены на нем. Точки, в которых нарушается по крайней мере одно из этих условий, будем называть сингулярными. При этом сингулярные точки, в проколотых окрестностях которых функции p(x) и q(x) голоморфны, а определение π-эрмитового оператора L0 с помощью граничного условия в такой точке осуществляется независимым от дифференциального выражения l(y) способом подобно тому, как это делается в случае регулярной точки, будем называть квазирегулярными. Сингулярные точки, не являющиеся квазирегулярными, будем называть существенно сингулярными. Эти же термины будем употреблять и в отношении самих дифференциальных выражений (2.0.31) и порождаемых ими операторов.

2.1. Дифференциальные выражения первого класса Дифференциальные выражения, порождающие операторы L, действующие в π-пространствах первого класса (§ 1.1), будем называть соответственно дифференциальными выражениями первого класса. В этом случае функции p(x) и q(x) дифференциального выражения l(y) (2.0.31) в проколотых окрестностях характерных точек, как и весовая функция, порождающая рассматриваемое π-пространство, вообще говоря, не обладают свойством симметрии относительно какой-либо точки x0 вещественной оси.

68

2.1. Дифференциальные выражения первого класса

2.1.1. Выражение с сингулярной точкой на границе конечного интервала Пусть Π = Πhσi ≡ L2hσi (c, ˙ b) (σ ∈ R \ Z− ) из § 1.1.1. Для функций p(x) точки P∞и q(x) в окрестности P∞x = c имеем разs ложения p(x) = s=−∞ p(s) (x − c) и q(x) = s=−∞ q(s) (x − c)s . Для любой функции y(x) ∈ D ≡ Dhσi (c, ˙ b), имеющей в окрестP∞ ности точки x = c вид y(x) = k=0 ξk (x − P c)k+σ/2 , должно вы∞ hσi k+σ/2 полняться соотношение z(x) = l (y) = . k=0 ηk (x − c) Отсюда находим: −p(s+2) (σ/2+k)(σ/2+k+s+1)+q(s) = 0

(k+s ∈ Z− , k ∈ Z+ ) .

Из этих соотношений следует, что q(−1) = p(1) σ/4 , q(s) = 0 (s ∈ Z−∞, −2 ), p(s) = 0 (s ∈ Z−∞, 0 ). Тогда, очевидно, p(x) = p (c) σ 2

0 = (x − c)p0 (x) и q(x) = 4(x−c) + q0 (x). Таким образом, дифференциальное выражение (2.0.31) в Πhσi = L2hσi (c, ˙ b) имеет вид

l

hσi

¶ ³ ´ µ p (c) σ 2 0 0 0 +q (x) y(x) , (2.1.1) (y) = − (x−c)p0 (x) y (x) + 4(x − c) 0

где p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [c, b]. Это дифференциальное выражение, очевидно, сингулярно на левом конце. Кроме того, при σ < −1 оно имеет критическую точку x = c. Теорема 2.1.1. (1) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z. Тогда для Dhσi (c, ˙ b) имеем 1 ˙ Uhσi ˙ ∆1hσi (c, Dhσi (c, ˙ b) = A1hσi (c, ˙ b) + (c, ˙ b) + ˙ b) ,

где

A1hσi (c, ˙ b) = Lin{(x − c)σ/2+k }nk=0

(2.1.2)

(n = [−σ]) ,

n o 1 ˙ ∆hσi (c, (c, ˙ b) = u ∈ Uhσi (c, ˙ b) : lhσi (u) ∈ Uhσi (c, ˙ b) + ˙ b) , Uhσi

69

2.1.1. Сингулярная точка на границе конечного интервала

Uhσi (c, ˙ b) = L1 ((c, b); (x − c)σ/2 ) ∩ L2 (c, b) , при этом u(x) = (x − c)−σ/2 ϕ(x) , |ϕ(c)| < ∞ , lim(x − c)ϕ0 (x) = 0 , x→c

∆1hσi (c, ˙

b) ≡

∆1c hσi (c, ˙

b) =

hσi rσ −2 Lin{∆c (m) (x)}m=0

(2.1.3) (= Ø для σ > −3) .

(2) Пусть σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1). Тогда для Dhσi (c, ˙ b) имеем 1 ˙ Uhσi Dhσi (c, ˙ b) = A1hσi (c, ˙ b) + (c, ˙ b) ,

где

(2.1.4)

A1hσi (c, ˙ b) = Lin{(x − c)−ν/2 } (ν = |σ|) , n o 1 Uhσi (c, ˙ b) = (x − c)ν/2 ϕy (x) ∈ L1hσi (c, ˙ b) : |ϕy (c)| < ∞ , n o L1hσi (c, ˙ b) = y ∈ L2hσi (c, ˙ b) : lhσi (y) ∈ L2hσi (c, ˙ b) . (3) Пусть σ > 1. Тогда для Dhσi (c, ˙ b) имеем n o hσi Dhσi (c, ˙ b) = y ∈ L2 (c, b) : l (y) ∈ L2 (c, b) .

(2.1.5)

Доказательство. (1) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z. Очевидно,

где

˙ ∆1hσi (c, Dhσi (c, ˙ b) = L1hσi (c, ˙ b) + ˙ b) , n o L1hσi (c, ˙ b) = y ∈ L2hσi (c, ˙ b) : lhσi (y) ∈ L2hσi (c, ˙ b) , n o 1 hσi ∆hσi (c, ˙ b) = y ∈ ∆hσi (c, ˙ b) : l (y) ∈ ∆hσi (c, ˙ b) .

Обозначим 1 Uhσi (c, ˙

n

b) = y ∈ Uhσi (c, ˙ b) : l

hσi

o ˙ (y) ∈ Uhσi (c, ˙ b) + ∆hσi (c, ˙ b) .

1 Функция uy (x) из Uhσi (c, ˙ b) ⊂ Uhσi (c, ˙ b) может быть представ−σ/2 лена в виде (1.1.13) uy (x) = (x − c) ϕy (x). Ввиду (x − c)σ/2 ∈ ∈ Dhσi (c, ˙ b) из ограниченности выражения

[lhσi (uy ), (x − c)σ/2 ]hσi − [uy , lhσi ((x − c)σ/2 )]hσi =

70

2.1. Дифференциальные выражения первого класса

Z

b

= c

³ ´ ∂ p0 (x)h(x) dx = p0 (b)hy (b) − p0 (c)hy (c)

следует |hy (c)| < ∞, где hy (x) = σ ϕy (x) − (x − c)ϕ0y (x) .

(2.1.6)

Из этого уравнения находим Z x σ ϕy (x) = −(x − c) (x − c)−σ−1 hy (x) dx , где l ∈ [c, b] . l

Ввиду ϕy (x) ∈ L1 (c, b) ∩ L2 ((c, b); (x − c)−σ ) следует положить l = c. Тогда ϕy (c) = lim ϕy (x) = hy (c)/σ x→c

lim(x − c)ϕ0y (x) = 0 .

и

x→c

Таким образом, приходим к (2.1.3). Из соотношений (глава 8) ³ ´ m+1 X (m; σ) hσi (m; σ) hσi αk ∆c (k) (x) (αm+1 6= 0, m ∈ Z0, rσ −1 ) lhσi ∆c (m) (x) = k=0 hσi

hσi

ввиду ∆c (rσ ) (x) ∈ / Πhσi следует Lin{∆c (rσ −1) (x)} ∈ / ∆1hσi (c, ˙ b) и hσi

r −2

σ (= Ø для σ > −3). ∆1hσi (c, ˙ b) = Lin{∆c (m) (x)}m=0 1 Далее, очевидно, имеем dim L1hσi (c, ˙ b)| mod Uhσi (c, ˙ b) = n+1, 1 1 1 ˙ Uhσi (c, где n = [−σ] , и Lhσi (c, ˙ b) = Ahσi (c, ˙ b) + ˙ b), где A1hσi (c, ˙ b) = σ/2+k n = Lin{(x − c) }k=0 . (2) Пусть σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1). Очевидно,

Dhσi (c, ˙ b) = L1hσi (c, ˙ b) , где

L1hσi (c, ˙

n b) =

ставляя y(x) из

y ∈ L2hσi (c, ˙ b) : l L1hσi (c, ˙

hσi

o (y) ∈ L2hσi (c, ˙ b) . Пред-

b) ⊂ L2hσi (c, ˙ b) в виде (1.1.15)

y(x) = (x − c)ν/2 ϕ˜y (x) (ν = |σ|) ,

(2.1.7)

2.1.1. Сингулярная точка на границе конечного интервала

71

и повторяя выкладки пункта (1) доказательства с заменой σ → → −ν, получаем ввиду (x − c)−ν/2 ∈ Dhσi (c, ˙ b): Z

x

−ν

ϕ˜y (x) = −(x−c)

l

(x−c)ν−1 hy (x) dx , где l ∈ [c, b] , |hy (c)| < ∞ .

В отличие от пункта (1) здесь на l не накладывается ограничение l = c. Полагая hy (x) = hy (c) + Hy (x), где Hy (c) = 0, получаем Z x (x−c)ν−1 Hy (x) dx = −(x−c)ν Φy (x)−Cy , Φy (c) = 0 , Cy = const , l

ϕ˜y (x) = −hy (c)/ν + (l − c)ν (x − c)−ν hy (c) + Cy (x − c)−ν + Φy (x) , т. е.

ϕ˜y (x) = ξy0 (x − c)−ν + ϕy (x) ,

ϕy (c) = −hy (c)/ν ,

где ξy0 = Cy + (l − c)ν hy (c) , ϕy (x) = −hy (c)/ν + Φy (x) . Таким образом, y(x) = ξy0 (x − c)−ν/2 + (x − c)ν/2 ϕy (x) ,

A1hσi (c, ˙ b) = Lin{(x − c)−ν/2 } ,

Положим 1 Uhσi (c, ˙

ξy0 , ϕy (c) ∈ R . (2.1.8)

n

ν/2

b) = (x − c)

ϕy (x) ∈

L1hσi (c, ˙

o b) : |ϕy (c)| < ∞ .

Таким образом, для Dhσi (c, ˙ b) ≡ Dh−σi (c, ˙ b) имеем (2.1.4). (3) В случае σ > 1 ввиду L2hσi (c, ˙ b) = L2 (c, b) соотношение (2.1.5) очевидно. ¤ Очевидно, имеет место следующее ˙ b), и ∆1hσi (c, ˙ b) не завиЗамечание 2.1.2. Множества A1hσi (c, сят от конкретного выбора функций p0 (x) и q0 (x). Такое же замечание для аналогичных множеств следует отнести и ко всем последующим разделам § 2.1.

72

2.1. Дифференциальные выражения первого класса

Теорема 2.1.3. Для y, z ∈ Dhσi (c, ˙ b) имеем : (1) в случае σ < 1, σ ∈ / Z (ν = |σ|) [lhσi (y), z]hσi − [y, lhσi (z)]hσi = {y, z}b − Reg{y, z}c = ´ ³ (2.1.9) = {y, z}b − ν p0 (c) ξy0 ϕz (c) − ξ z0 ϕy (c) , где y(x) = ay (x) + uy (x) + ωy (x) , z(x) = az (x) + uz (x) + ωz (x) , aj (x) =

n X

˙ b) , n = [−σ] , ξjk (x − c)−ν/2+k ∈ A1hσi (c,

k=0 1 uj (x) = (x − c)ν/2 ϕj (x) ∈ Uhσi (c, ˙ b) , rσ −2

ωj (x) =

X

(k)

ηjk ∆chσi (x) ∈ ∆1hσi (c, ˙ b) (j = y, z) ;

k=0

(2) в случае σ > 1 [lhσi (y), z]hσi − [y, lhσi (z)]hσi = {y, z}b − {y, z}c .

(2.1.10)

Доказательство. (1) Для σ < 1 ввиду того, что [lhσi (ωy ), ωz ]hσi = [ωy , lhσi (ωz )]hσi = 0 ¡

ωj , lhσi (ωj ) ∈ ∆hσi (c, ˙ b), а [y, z]hσi = 0 для y, z ∈ ∆hσi (c, ˙ b) , при этом для σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) имеем n = 0 и ∆hσi (c, ˙ b) = Ø, а ¢ 1 для σ ∈ (−3, −2) ∪ (−2, −1) имеем n = 1 и ∆hσi (c, ˙ b) = Ø , [l(uy ), ωz ]hσi = [uy , l(ωz )]hσi = 0 ,

[l(ay ), ωz ]hσi = [ay , l(ωz )]hσi

(т. к. ay (x) ∈ Π◦hσi , ωz (x) ∈ Π0hσi ), находим [l(y), z]hσi − [y, l(z)]hσi = [l(y1 ), z1 ]hσi − [y1 , l(z1 )]hσi , где y1 (x) = ay (x) + uy (x) , z1 (x) = az (x) + uz (x). Далее, [l(y1 ), z1 ]hσi − [y1 , l(z1 )]hσi =

73

2.1.1. Сингулярная точка на границе конечного интервала

Z

Z

b

hσi l(y1 ) z 1 τα

= lim

α→+0

Z = lim

α→+0

c

³

b

∂x

c

Z + c

α→+0

c

hσi

y1 l(z 1 ) τα dx =

Z b ³ ´ ´ ↔ ↔ hσi p (ay ∂x az ) τα dx + ∂x p (ay ∂x uz ) dx + c

³

b

b

dx − lim

∂x

Z b ³ ´ ´ ↔ p (uy ∂x az ) dx + ∂x p (uy ∂x uz ) dx .

(2.1.11)

↔

2

√

c

Обозначим x − c = t , b − c = l, ay (x) = `ay (t) t−1/2 , az (x) = = `az (t) t−1/2 , p(x) = `p0 (t) t2 . Тогда Z b ³ Z ´ ´ ↔ ↔ 1/4 r l ³ hσi lim ∂x p (ay ∂x az ) τα dx = ∂ `p (`a ∂ `a ) dt = α→+0 c sin2 πσ −l t 0 y t z ↔ ↔ 1 = `p0 (`ay ∂t `az )l = p (ay ∂x az )b = {ay , az }b . 2 Кроме того, Z b ³ ´ ↔ ∂x p (ay ∂x uz ) dx = {ay , uz }bc = {ay , uz }b − νξy0 p0 (c) ϕz (c) , c

Z

b c

³ ´ ↔ ∂x p (uy ∂x az ) dx = {uy , az }bc = {uy , az }b + νξ 0z p0 (c) ϕy (c) , Z

b c

³ ´ ↔ ∂x p (uy ∂x uz ) dx = {uy , uz }b ,

где ξj0 = lim (x−c)ν/2 j(x), ϕj (c) = lim (x−c)−ν/2 uj (x) (j = y, z) . x→c+0

x→c+0

Подставляя эти соотношения в (2.1.11), получаем (2.1.9), учитывая, что ωj (x)|x=b = p(x) ∂ωj (x)|x=b = 0 (j = y, z). При этом в выражении ³ ´ Reg{y, z}c = ν p0 (c) ξy0 ϕz (c) − ξ z0 ϕy (c) (2.1.12)

74

2.1. Дифференциальные выражения первого класса

1 ˙ ∆1hσi (c, имеем ξy0 = 0, если y(x) ∈ Uhσi (c, ˙ b) + ˙ b) и ϕy (c) = 0, 1 1 ˙ если y(x) ∈ Ahσi (c, ˙ b) + ∆hσi (c, ˙ b). (2) В случае σ > 1 соотношение (2.1.10) следует из Z b hσi hσi [l (y), z]hσi − [y, l (z)]hσi = 0 lim ∂x {y, z} dx . ¤ c →c+0

c0

2.1.2. Выражение с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала Пусть Π = Πhσi = L2hσi (c, ˙ ∞) из § 1.1.2. Для функций p(x) и q(x) в окрестности точки xP= c имеем разложения p(x) = P∞ s s = s=−∞ p(s) (x − c) и q(x) = ∞ s=−∞ q(s) (x − c) . Повторяя все рассуждения § 2.1.1, приходим к дифференциальному выражению (2.1.1), определенному на множестве Dhσi (c, ˙ ∞) = hσi = {y(x) ∈ L2hσi (c, ˙ ∞) : l (y) ∈ L2hσi (c, ˙ ∞)}. При этом p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [c, ∞). Дифференциальное выражение, очевидно, сингулярно на обоих концах. Причем оно существенно сингулярно на правом конце, а на левом конце квазирегулярно при σ < 1, имеет критическую точку x = c при σ < −1, и существенно сингулярно при σ > 1. / Z. Тогда для Dhσi (c, ˙ ∞) Теорема 2.1.4. (1) Пусть σ < 1, σ ∈ имеем  y(x) ∈ Dhσi (c, ˙ l) для x ∈ (c, l] , l ∈ (c, ∞) ,     y(x) ∈ D(l, ∞) для x ∈ [l, ∞) : Dhσi (c, ˙ ∞) =  y(l − 0) = y(l) = y(l + 0) ,    0 y (l − 0) = y 0 (l) = y 0 (l + 0) , (2.1.13) 1 1 1 ˙ ˙ где Dhσi (c, ˙ l) = Ahσi (c, ˙ l) + Uhσi (c, ˙ l) + ∆hσi (c, ˙ l) , 1 A1hσi (c, ˙ l) , Uhσi (c, ˙ l) , ∆1hσi (c, ˙ l) определены в теореме 2.1.1 ,

n o D(l, ∞) = w ∈ L2 (l, ∞) : lhσi (w) ∈ L2 (l, ∞) .

75

2.1.2. Сингулярная точка на границе полубесконечного интервала

(2) Пусть σ > 1. Тогда для Dhσi (c, ˙ ∞) имеем n Dhσi (c, ˙ ∞) = w ∈ L2 (c, ∞) : l

hσi

o (w) ∈ L2 (c, ∞) .

(2.1.14)

Доказательство. (1) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z и l ∈ (c, ∞). Пространство L2hσi (c, ˙ ∞) можно разложить в сумму ˙ L02 (c, ∞) , ˙ ∞) [+] L2hσi (c, ˙ ∞) = L02hσi (c, n o ˙ ∞) = L2hσi (c, ˙ l) для x ∈ (c, l]; {0} для x ∈ [l, ∞) , где L02hσi (c, n o L02 (c, ∞) = {0} для x ∈ (c, l]; L2 (l, ∞) для x ∈ [l, ∞) . Следовательно, для y ∈ Dhσi (c, ˙ ∞) имеем y ∈ L2hσi (c, ˙ l) и lhσi (y) ∈ L2hσi (c, ˙ l) для x ∈ (c, l] ,

(2.1.15)

y ∈ L2 (l, ∞) и lhσi (y) ∈ L2 (l, ∞) для x ∈ [l, ∞) и, очевидно, y(l − 0) = y(l + 0) = y(l), y 0 (l − 0) = y 0 (l + 0) = y 0 (l) ввиду y ∈ M. Тогда из (2.1.15) и теоремы 2.1.1 следует, что 1 ˙ Uhσi ˙ ∆1hσi (c, y(x) ∈ Dhσi (c, ˙ l) = A1hσi (c, ˙ l) + (c, ˙ l) + ˙ l) для x ∈ (c, l]

и y(x) ∈ D(l, ∞) для x ∈ [l, ∞). (2) В случае σ > 1 ввиду L2hσi (c, ˙ ∞) = L2 (c, ∞) соотношение (2.1.14) очевидно. ¤ Теорема 2.1.5. Для y, z ∈ Dhσi (c, ˙ b) имеем : (1) в случае σ < 1, σ ∈ /Z [lhσi (y), z]hσi − [y, lhσi (z)]hσi = {y, z}+∞ − Reg{y, z}c = ´ ³ = {y, z}+∞ − ν p0 (c) ξy0 ϕz (c) − ξ z0 ϕy (c) ,

(2.1.16)

76

2.1. Дифференциальные выражения первого класса

где y(x) = ay (x) + uy (x) + ωy (x) , z(x) = az (x) + uz (x) + ωz (x) ¡ ¢ для x ∈ (c, l] для σ ∈ (−1, 0)∪(0, 1) имеем n = 0 и ∆hσi (c, ˙ l) = Ø , aj (x) =

n X

˙ l) , ξjk (x − c)σ/2+k ∈ A1hσi (c,

k=0 1 uj (x) = (x − c)−σ/2 ϕj (x) ∈ Uhσi (c, ˙ l) , rσ −2

ωj (x) =

X

hσi

˙ l) ηjk ∆c (k) (x) ∈ ∆1hσi (c,

(j = y, z) ;

k=0

(2) в случае σ > 1 [lhσi (y), z]hσi − [y, lhσi (z)]hσi = {y, z}+∞ − {y, z}c .

(2.1.17)

Доказательство. (1) Для σ < 1 в выражении Z b0 hσi hσi hσi [l (y), z]hσi − [y, l (z)]hσi = 0 lim lim ∂x {y, z} τα (x) dx b →+∞ α→+0

c

интеграл представляется суммой интегралов по (c, l] и [l, ∞) : Z l ³ ´ hσi ∂x {y, z} τα (x) dx = {y, z}l − νp0 (c) ξy0 ϕz (c) − ξ z0 ϕy (c) , lim

α→+0

c

Z

b0

lim

b0 →+∞

где

l

∂x {y, z} dx = {y, z}+∞ − {y, z}l ,

ξj0 = lim (x−c)ν/2 j(x), ϕj (c) = lim (x−c)−ν/2 uj (x) (j = y, z) . x→c+0

x→c+0

В результате имеем [lhσi (y), z]hσi − [y, lhσi (z)]hσi = {y, z}+∞ − −Reg{y, z}c , где Reg{y, z}|c дается формулой (2.1.12). (2) В случае σ > 1 соотношение (2.1.17) следует из Z b0 hσi hσi [l (y), z]hσi − [y, l (z)]hσi = 0 lim 0 lim ∂x {y, z} dx . ¤ b →+∞ c →c+0

c0

2.1.3. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

77

2.1.3. Выражение с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала ˙ из § 1.1.3. Рассматривая, как это Пусть Π = L2hσ, κi (c, ˙ b) было сделано в предыдущих пунктах, функции p, q и y в окрестности т. x = c, получаем: ¶ ³ ´ µ p (c) σ 2 01 hσ, κi 0 0 l (y) = − (x − c)p01 (x) y (x) + + q01 (x) y(x) . 4(x − c) Аналогично для точки x = b находим ¶ ³ ´ µ p (b) κ 2 02 hσ, κi 0 0 l (y) = − (b − x)p02 (x) y (x) + + q02 (x) y(x) . 4(b − x) Отсюда следует, что дифференциальное выражение (2.0.31) имеет следующий вид : ³ ´ l(y) = − (x − c)(b − x)p0 (x)y 0 (x) 0 + (2.1.18) µ ¶ (b−c) ³ p0 (c) σ 2 p0 (b) κ 2 ´ + + + q0 (x) y(x) , 4 x−c b−x где p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [c, b]. Это дифференциальное выражение сингулярно на обоих концах интервала. Причем квазирегулярно на левом конце при σ < 1 и на правом — при κ < 1; имеет критические точки x = c при σ < −1 и x = b при κ < −1; существенно сингулярно на левом конце при σ > 1 и на правом — при κ > 1. Очевидно, имеет место Теорема 2.1.6. Область определения оператора Lhσ, κi может быть представлена в виде  y(x) ∈ Dhσi (c, ˙ l) для x ∈ (c, l] , l ∈ (c, b) ,     y(x) ∈ D (l, b) ˙ для x ∈ [l, b) : hκi ˙ = Dhσ, κi (c, ˙ b)  y(l − 0) = y(l) = y(l + 0) ,    0 y (l − 0) = y 0 (l) = y 0 (l + 0) . (2.1.19)

78

2.1. Дифференциальные выражения первого класса

(1) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z и κ < 1, κ ∈ / Z. Тогда 1 ˙ Uhσi ˙ ∆1hσi (c, Dhσi (c, ˙ l) = A1hσi (c, ˙ l) + (c, ˙ l) + ˙ l) , 1 ˙ = B 1 (l, b) ˙ + ˙ + ˙ . ˙ Vhκi ˙ ∆1hκi (l, b) Dhκi (l, b) (l, b) hκi

(2) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z и κ > 1. Тогда 1 ˙ Uhσi ˙ ∆1hσi (c, Dhσi (c, ˙ l) = A1hσi (c, ˙ l) + (c, ˙ l) + ˙ l) ,

(2.1.20)

˙ = D(l, b) ≡ {w ∈ L (l, b) : lhσ, κi (w) ∈ L (l, b)} . Dhκi (l, b) 2 2 (3) Пусть σ > 1 и κ < 1, κ ∈ / Z. Тогда Dhσi (c, ˙ l) = D(a, l) ≡ {w ∈ L2 (c, l) : lhσ, κi (w) ∈ L2 (c, l)} , 1 ˙ = B 1 (l, b) ˙ + ˙ + ˙ . ˙ Vhκi ˙ ∆1hκi (l, b) Dhκi (l, b) (l, b) hκi

(2.1.21)

˙ имеем (4) Пусть σ > 1 и κ > 1. Тогда для Dhσ, κi (c, ˙ b) ˙ = D(a, b) ≡ {w ∈ L (c, b) : lhσ, κi (w) ∈ L (c, b)} . Dhσ, κi (c, ˙ b) 2 2 (2.1.22) ˙ можно представить Доказательство. Пространство L2hσ, κi (c, ˙ b) разложением ˙ = L0 (c, ˙ ˙ 0 ˙ , L2hσ, κi (c, ˙ b) ˙ b) 2hσi ˙ b) [+] L2hκi (c,

(2.1.23)

n o ˙ = L (c, L02hσi (c, ˙ b) ˙ l) для x ∈ (c, l]; {0} для x ∈ [l, b) , 2hσi (2.1.24) n o 0 ˙ ˙ L2hκi (c, ˙ b) = {0} для x ∈ (c, l]; L2hκi (l, b) для x ∈ [l, b) . (2.1.25) ˙ Следовательно, для y ∈ Dhσ, µi (c, ˙ b) имеем где

y(x) ∈ L2hσi (c, ˙ l) и lhσ, κi (y) ∈ L2hσi (c, ˙ l) для x ∈ (c, l] ,

2.1.3. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

79

˙ и lhσ, κi (y) ∈ L (l, b) ˙ для x ∈ [l, b) y ∈ L2hκi (l, b) 2hκi и, кроме того, y(l−0) = y(l+0) = y(l), y 0 (l−0) = y 0 (l+0) = y 0 (l) ввиду y ∈ M. (1) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z, κ < 1, κ ∈ / Z и l ∈ (c, b). Тогда из (2.1.24), (2.1.25) и теоремы 2.1.1 следует, что 1 ˙ Uhσi ˙ ∆1hσi (c, y(x) ∈ Dhσi (c, ˙ l) = A1hσi (c, ˙ l) + (c, ˙ l) + ˙ l) для x ∈ (c, l] , 1 ˙ + ˙ для x ∈ [l, b) , ˙ + ˙ = B 1 (l, b) ˙ Vhκi ˙ ∆1hκi (l, b) (l, b) y(x) ∈ Dhκi (l, b) hκi 1 (c, ˙ l), ∆1hσi (c, ˙ l) определены в теореме 2.1.1 , а ˙ l), Uhσi где A1hσi (c, 1 1 1 ˙ ˙ ˙ Bhκi (l, b), Vhκi (l, b), ∆hκi (l, b) определяются аналогично: 1 ˙ = Lin{(b − x)−µ/2+k }m Bhκi (l, b) k=0

(m = [−κ] , µ = |κ|) ,

˙ = Lin{∆hκi (x)}rκ −2 , ∆1hκi (l, b) m=0 b (m) n o 1 ˙ = v ∈ V (l, b) ˙ ∩ M : lhσ, κi (v) ∈ V (l, b) ˙ + ˙ , ˙ Vhκi (l, b) ∆ (l, b) hκi hκi hκi ˙ = L ((l, b); (b − x)−µ/2 ) ∩ L (l, b) , Vhκi (l, b) 1 2 и

1 ˙ = {(b − x)µ/2 ψ (x) : |ψ (b)| < ∞}. Vhκi (l, b) y y

(2) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z и κ > 1. Тогда утверждение тео˙ = L (l, b). Очеремы следует из теоремы 2.1.1 ввиду L2hκi (l, b) 2 видно, что в (2.1.20) можно положить l = b, и т. о., имеем ˙ = A1 (c, ˙ 1 ˙ b) + ˙ ∆1hσi (c, Dhσ, κi (c, ˙ b) ˙ b) . hσi ˙ b) + Uhσi (c, (3) Пусть σ > 1 и κ < 1, κ ∈ / Z. Тогда утверждение теоремы следует из теоремы 2.1.1 ввиду L2hκi (a, ˙ l) = L2 (a, l). Очевидно, что в (2.1.21) можно положить l = c, и т. о., имеем 1 ˙ . ˙ + ˙ + ˙ = A1 (c, b) ˙ ∆1hκi (c, b) ˙ Uhκi (c, b) Dhσ, κi (c, ˙ b) hκi

80

2.1. Дифференциальные выражения первого класса

˙ = L (c, b) (4) Пусть σ > 1 и κ > 1. Тогда ввиду L2hσ, κi (c, ˙ b) 2 соотношение (2.1.22) очевидно. ¤ ˙ =Ø Заметим, что ∆1hσi (c, ˙ l) = Ø при σ > −3 и ∆1hκi (l, b) при κ > −3. Отметим также, что в пункте (1) элементы мно˙ можно доопределить нулем на оста˙ l) и ∆1hκi (l, b) жеств ∆1hσi (c, льную часть интервала (c, b). Соответствующие множества ∆˙ = Lin{∆hσ, κi (x)}rσ −2 ˙ b) элементов будем обозначать ∆1c hσ, κi (c, m=0 c (m) hσ, κi r −2 1 κ ˙ = Lin{∆ (a, ˙ b) (x)} . и∆ b hσ, κi

b (m)

m=0

˙ имеем : Теорема 2.1.7. Для y, z ∈ Dhσ, κi (a, ˙ b) (1) для σ < 1, σ ∈ / Z и κ < 1, κ ∈ /Z [lhσ, κi (y), z]hσ, κi − [y, lhσ, κi (z)]hσ, κi = Reg{y, z}b − Reg{y, z}c = (2.1.26) ´ ³ ´ νp0 (c) ³ 0 µp (b) 0 0 0 0 =− ξ ϕ (c) − ξ ϕ (c) − η ψ (b) − η ψ (b) , z y z y (b−c)−1 y z (b−c)−1 y z где

j(x) = aj (x) + uj (x) + ωja (x) для x ∈ (c, l] , j(x) = bj (x) + vj (x) + ωjb (x) для x ∈ [l, b) (j = y, z) , 1 aj (x) ∈ A1hσi (c, ˙ l) , uj (x) ∈ Uhσi (c, ˙ l) , ωja (x) ∈ ∆1hσi (c, ˙ l) , 1 ˙ , v (x) ∈ V 1 (l, b) ˙ , ω b (x) ∈ ∆1 (l, b) ˙ ; bj (x) ∈ Bhκi (l, b) j hκi j hκi

(2) для σ < 1, σ ∈ /Zиκ>1 [lhσ, κi (y), z]hσ, κi − [y, lhσ, κi (z)]hσ, κi = {y, z}b − Reg{y, z}c = = {y, z}b − где

´ νp0 (c) ³ 0 0 ξ ϕ (c) − ξ ϕ (c) , z y (b − c)−1 y z

j(x) = aj (x) + uj (x) + ωja (x)

(2.1.27)

(j = y, z) ,

1 ˙ l) ; (c, ˙ l) , ωja (x) ∈ ∆1hσi (c, ˙ l) , uj (x) ∈ Uhσi aj (x) ∈ A1hσi (c,

81

2.1.3. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

(3) для σ > 1 и κ < 1, κ ∈ /Z [lhσ, κi (y), z]hσ, κi − [y, lhσ, κi (z)]hσ, κi = Reg{y, z}b − {y, z}c = ´ µp0 (b) ³ 0 0 =− η ψ (b) − η z ψy (b) − {y, z}c , (b−c)−1 y z j(x) = bj (x) + vj (x) + ωjb (x)

где

(2.1.28)

(j = y, z) ,

1 ˙ , v (x) ∈ V 1 (l, b) ˙ , ω b (x) ∈ ∆1 (l, b) ˙ ; bj (x) ∈ Bhκi (l, b) j hκi j hκi

(4) для σ > 1 и κ > 1 [lhσ, κi (y), z]hσ, κi − [y, lhσ, κi (z)]hσ, κi = {y, z}b − {y, z}c . (2.1.29) Доказательство. (1) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z и κ < 1, κ ∈ / Z, ˙ и l ∈ (c, b). На интервале (c, l] функция y(x) y(x) ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b) может быть представлена в виде y(x) = ay (x) + uy (x) + ωya (x), 1 где ay (x) ∈ A1hσi (c, ˙ l), uy (x) ∈ Uhσi (c, ˙ l) и ωya (x) ∈ ∆1hσi (c, ˙ l). На интервале [l, b) она может быть представлена в виде y(x) = 1 ˙ v (x) ∈ V 1 (l, b) ˙ и = by (x) + vy (x) + ωyb (x), где by (x) ∈ Bhκi (l, b), y hκi ˙ В выражении ωyb (x) ∈ ∆1hκi (l, b). Z [l

hσ, κi

(y), z]hσ, κi −[y, l

hσ, κi

(z)]hσ, κi = lim

α→+0

b c

hσ, κi

∂x {y, z} τα

(x) dx

(2.1.30) интеграл представим суммой интегралов по (c, l] и [l, b) : Z

´ νp0 (c) ³ 0 0 ξ ϕ (c) − ξ ϕ (c) , z y α→+0 c (b − c)−1 y z (2.1.31) Z b ³ ´ µp0 (b) hκi 0 0 lim ∂x {y, z} τα dx = −{y, z}l − η ψ (b)−η ψ (b) , z y α→+0 l (b − c)−1 y z (2.1.32) lim

l

hσi

∂x {y, z} τα dx = {y, z}l −

82

2.1. Дифференциальные выражения первого класса

где ξj0 = lim (x − c)ν/2 j(x), ϕj (c) = lim (x − c)−ν/2 uj (x) , x→c+0

x→c+0

ηj0 = lim (b − x)µ/2 j(x), ψj (b) = lim (b − x)−µ/2 vj (x) x→b−0

x→b−0

(j = y, z). В результате приходим к (2.1.26). ˙ Соот(2) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z, κ > 1 и y ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b). ношение (2.1.27) находим из (2.1.30), (2.1.31) c учетом теоремы 2.1.7(2) и Z lim

α→+0

Z

b l

∂x {y,

hκi z} τα

b

dx =

∂x {y, z} dx = −{y, z}l + {y, z}b .

l

˙ Соот(3) Пусть σ > 1, κ < 1, κ ∈ / Z и y ∈ Dhσ, κi (c, b). ношение (2.1.28) находим из (2.1.30), (2.1.32) c учетом теоремы 2.1.7(3) и Z

l

lim

α→+0

c

∂x {y,

Z hσi z} τα

l

dx = c

∂x {y, z} dx = {y, z}l − {y, z}c .

1 ˙ Очевидно, в (1), (2) ξy0 = 0, если y(x)|x∈(c, l) ∈ Uhσi (c, ˙ l) + 1 1 1 ˙ ∆hσi (c, ˙ ∆hσi (c, + ˙ l); ϕy (c) = 0, если y(x)|x∈(c, l) ∈ Ahσi (c, ˙ l) + ˙ l); в 1 ˙ + ˙ ψ (b) = 0, ˙ ∆1hκi (l, b); (1), (3) ηy0 = 0, если y(x)|x∈(l, b) ∈ Vhκi (l, b) y ˙ + ˙ ˙ ∆1 (l, b). если y(x)| ∈ B 1 (l, b) x∈(l, b)

hκi

hκi

(4) Пусть σ > 1, κ > 1 и y, z ∈ Dhσ, κi (c, b). Соотношение (2.1.29) находим из Z [l

hσ, κi

(y), z]hσ, κi − [y, l

hσ, κi

(z)]hσ, κi =

b c

∂x {y, z} dx . ¤

83

2.2. Дифференциальные выражения второго класса A

2.2. Дифференциальные выражения второго класса A Дифференциальные выражения, порождающие операторы L, действующие в π-пространствах второго класса A (§ 1.2), будем называть соответственно дифференциальными выражениями второго класса A. В этом случае функции p(x) и q(x) дифференциального выражения l(y) (2.0.31) в проколотых окрестностях характерных точек обладают свойством соответствующей симметрии, присущей весовой функции, порождающей рассматриваемое πпространство. Заметим, что, например, последовательность преобразований независимой переменной (1.2.1), вызывающая преобразование (1.2.2) π-пространств, приводит к соответствующим преобразованиям дифференциальных выражений ´ ³ ´ ³ p (c) σ 2 0 + q0 (x) y(x) → l(y) = − (x − c)p0 (x)y 0 (x) 0 + 4(x − c) ³ → l(y1 ) = −

´

(1) xp0 (x1 )y10 (x1 ) 0

+

³ p(1) (0) σ 2 0

4 x1

´

+

(1) q0 (x1 )

y(x1 ) →

³ ´ ³ p(2) (0) σ 2 ´ (2) (2) 0 → l(y2 ) = − p0 (x2 )y2 (x2 ) 0 + 0 2 + q0 (x2 ) y(x2 ) → x2 ´ ³ ´ ³ p(3) (c ) (σ 2 −1/4) (3) (3) +q (x ) y(x3 ) , → l(y3 ) = − p0 (x3 )y30 (x3 ) 0 + 0 3 0 3 (x3 − c3 )2 порождающих максимальные операторы Штурма—Лиувилля в этих пространствах. Аналогичные цепочки преобразований дифференциальных выражений можно было бы получить и для других цепочек преобразований π-пространств. Однако, как и в случае π-пространств второго класса A, представляется более удобным независимое исследование дифференциальных выражений и отвечающих им операторов в этих пространствах.

84

2.2. Дифференциальные выражения второго класса A

2.2.1. Выражение с сингулярной точкой на левой границе конечного интервала Рассмотрим пространство Π{σ} = L2{σ} (c, ˙ b) из § 1.2.1. Представляя p(x) и q(x) в окрестности точки x = c интерваP∞ s ла (c, b) разложениями p(x) = p s=−∞ (s) (x − c) и q(x) = P∞ = s=−∞ q(s) (x − c)s , для любой функции y ∈ Dhσi (c, ˙ b), имеющей в окрестности точки x = c вид ∞ X y(x) = fk (x − c)2k+σ+1/2 , k=0

должно выполняться соотношение g=l

{σ}

(y) =

∞ X

gk (x − c)2k+σ+1/2 .

k=0

Отсюда находим

−(2k + σ + 1/2) (2k + 2s + σ + 5/2) p(2s+3) + q(2s+1) = 0 (k ∈ Z+ , s ∈ Z) , −(2k + σ + 1/2) (2k + 2s + σ + 3/2) p(2s+2) + q(2s) = 0 (k + s ∈ Z− , s ∈ Z+ ) . Первое соотношение дает q(2s+1) = 0, p(2s+1) = 0 (s ∈ Z), а из второго получаем q(−2) = p(0) · (σ 2 − 1/4), q(2s−2) = 0, p(2s) = 0 (s ∈ Z− ). Не теряя общности можно положить p(0) = 1. Тогда, P∞ 2 −1/4 2s очевидно, p(x) = p0 (x) = и q(x) = σ(x−c) 2 + s=0 p(s) (x − c) P∞ 2s + q0 (x), где q0 (x) = s=0 q(s) (x − c) (σ ∈ R \ Z− ). Таким образом, дифференциальное выражение l(y) = l{σ} (y) ≡ l{ν} (y) (ν = |σ|) (2.0.31) в L2{σ} (c, ˙ b) имеет вид ¶ ´ µ p (c) (ν 2 − 1/4) 0 0 + q0 (x) y(x) , (2.2.1) l(y) = − p0 (x)y (x) + (x − c)2 ³

0

85

2.2.1. Сингулярная точка на левой границе конечного интервала

где p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [c, b], причем эти функции симметричны на вещественной оси относительно левой границы интервала. Это дифференциальное выражение на левом конце является сингулярным (если ν 6= 1/2), в Π{σ} для σ < 1 квазирегулярно, для σ < −1 имеет критическую точку (x = c), для σ > 1 — существенно сингулярно; на правом конце дифференциальное выражение регулярно. / Z. Тогда для D{σ} (c, ˙ b) Теорема 2.2.1. (1) Путь σ < −1, σ ∈ имеем 1 ˙ U{σ} ˙ ∆1{σ} (c, D{σ} (c, ˙ b) = A1{σ} (c, ˙ b) + (c, ˙ b) + ˙ b) ,

где

˙ b) = Lin{(x − c)σ+2k+1/2 }nk=0 A1{σ} (c,

(2.2.2)

(n = [−σ]) ,

{σ}

r −2

σ ∆1{σ} (c, ˙ b) ≡ ∆1c {σ} (c, ˙ b) = Lin{∆c (m) (x)}m=0 , n o 1 ˙ ∆{σ} (c, U{σ} (c, ˙ b) = u ∈ U{σ} (c, ˙ b) : l(u) ∈ U{σ} (c, ˙ b) + ˙ b) ,

U{σ} (c, ˙ b) = L1 ((c, b); (x − c)σ+1/2 ) ∩ L2 (c, b) при этом , u(x) = (x − c)−σ+1/2 ϕ(x) , |ϕ(c)| < ∞ , lim(x − c)ϕ0 (x) = 0 . x→c

(2.2.3) (2) Пусть σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1). Тогда для D{σ} (c, ˙ b) имеем 1 ˙ U{σ} D{σ} (c, ˙ b) = A1{σ} (c, ˙ b) + (c, ˙ b) ,

(2.2.4)

A1{σ} (c, ˙ b) = Lin{(x − c)−ν+1/2 } (ν = |σ|) , n o 1 ν+1/2 1 U{σ} (c, ˙ b) = (x − c) ϕy (x) ∈ L{σ} (c, ˙ b) : |ϕy (c)| < ∞ , n o (2.2.5) 1 L{σ} (c, ˙ b) = y ∈ L2{σ} (c, ˙ b) : l(y) ∈ L2{σ} (c, ˙ b) .

где

(3) Пусть σ > 1. Тогда для D{σ} (c, ˙ b) имеем n o 1 (c, ˙ b) ≡ y ∈ L2 (c, b) : l(y) ∈ L2 (c, b) . D{σ} (c, ˙ b) = U{σ} (2.2.6)

86

2.2. Дифференциальные выражения второго класса A

Доказательство. (1) Пусть σ < −1, σ ∈ / Z. Очевидно, ˙ ∆1{σ} (c, D{σ} (c, ˙ b) = L1{σ} (c, ˙ b) + ˙ b) , n o L1{σ} (c, ˙ b) = y ∈ L2{σ} (c, ˙ b) : l(y) ∈ L2{σ} (c, ˙ b) ,

где

n o ∆1{σ} (c, ˙ b) = y ∈ ∆{σ} (c, ˙ b) : l(y) ∈ ∆{σ} (c, ˙ b) . Обозначим n o 1 ˙ ∆{σ} (c, U{σ} (c, ˙ b) = y ∈ U{σ} (c, ˙ b) : l(y) ∈ U{σ} (c, ˙ b) + ˙ b) . 1 Функция uy (x) из U{σ} (c, ˙ b) ⊂ U{σ} (c, ˙ b) может быть представ−σ+1/2 лена в виде uy (x) = (x − c) ϕy (x). Далее, как в доказательстве теоремы 2.1.1, из

[l(uy ), (x − c)σ+1/2 ]{σ} − [uy , l((x − c)σ+1/2 )]{σ} = = p0 (b)hy (b) − p0 (c)hy (c) следует |hy (c)| < ∞, где

hy (x) = 2σ ϕy (x) − (x − c)ϕ0y (x) .

Из этого уравнения находим Z x 2σ+1 ϕy (x) = −(x − c) (x − c)−2σ−2 hy (x) dx , где l ∈ [c, b] . l

Ввиду ϕy (x) ∈ L1 (c, b) ∩ L2 ((c, b); (x − c)−2σ+1 ) следует l = c. Тогда

ϕf (c) = lim ϕf (x) = x→c

hf (c) 2σ

и

lim(x − c)ϕ0f (x) = 0 .

x→c

Из соотношений (глава 8) l

{σ}

³

´

(m) ∆c{σ} (x)

=

m+1 X k=0

(m; σ)

αk

{σ}

(m; σ)

∆c (k) (x) (αm+1 6= 0, m ∈ Z0, rσ −1 )

2.2.1. Сингулярная точка на левой границе конечного интервала

(r )

87

(r −1)

σ σ ввиду ∆c{σ} (x) ∈ / Π{σ} следует Lin{∆c{σ} (x)} ∈ / ∆1{σ} (c, ˙ b) и

(m)

r −2

σ ∆1{σ} (c, ˙ b) = Lin{∆c{σ} (x)}m=0 . 1 1 Далее, имеем dim L{σ} | mod U{σ} = n+1 , где n = [−σ] и 1 1 1 1 ˙ U{σ} (c, L{σ} = A{σ} (c, ˙ b) + ˙ b), A{σ} (c, ˙ b) = Lin{(x − c)σ+2k+1/2 }nk=0 . Заметим, что иначе получить соотношение (2.2.2) можно следующим образом. Не теряя общности положим c = 0 и b = 1. Преобразование √ ˙ 1) , g(x) ∈ L2hσi (0, ˙ 1) f (x) = 2 x1/2 g(x2 ) , f (x) ∈ L2{σ} (0,

˙ 1) является π-унитарным отображением пространств L2{σ} (0, ˙ 1) друг на друга. Очевидно, при этом отображении и L2hσi (0, ˙ 1) ⇐⇒ A1 (0, ˙ 1) и U 1 (0, ˙ 1) ⇐⇒ U 1 (0, ˙ 1). Таким обA1 (0, {σ}

hσi

{σ}

hσi

разом, каждой функции uz (x) = x−σ/2 ϕz (x) (|ϕz (0)| < ∞) из 1 ˙ 1) взаимно однозначно соответствует функмножества Uhσi (0, −σ+1/2 1 ˙ 1) ция uy (x) = x ϕy (x) (|ϕy (0)| < ∞) из множества U{σ} (0, ³ ´ √ ϕy (x) = 2 ϕz (x2 ) . При этом из lim xϕ0z (x) = 0, очевидно, следует lim xϕ0y (x) = 0.

x→+0

x→+0

(2) Для σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) также нетрудно повторить выкладки, аналогичные приведенным при доказательстве пункта (2) теоремы 2.1.1, либо прибегая к замечанию, подобному приведенному в конце предыдущего пункта. (3) В случае σ > 1 ввиду L2{σ} (c, ˙ b) = L2 (c, b) соотношение (2.2.6) очевидно. ¤ Очевидно, имеет место следующее Замечание 2.2.2. Множества A1{σ} (c, ˙ b) и ∆1{σ} (c, ˙ b) не зависят от конкретного выбора функций p0 (x) и q0 (x). Такое же замечание для аналогичных множеств следует отнести и ко всем последующим разделам § 2.2. Теорема 2.2.3. Для y, z ∈ D{σ} (c, ˙ b) имеем :

88

2.2. Дифференциальные выражения второго класса A

(1) в случае σ < 1, σ ∈ /Z [l(y), z]{σ} − [y, l(z)]{σ} = {y, z}b − Reg{y, z}c = ³ ´ = {y, z}b − 2ν p0 (c) ξy0 ϕz (c) − ξ z0 ϕy (c) , где

j(x) = aj (x) + uj (x) + ωj (x)

(2.2.7)

(j = y, z) ,

1 aj (x) ∈ A1{σ} (c, ˙ b) , uj (x) ∈ U{σ} (c, ˙ b) , ωj (x) ∈ ∆1{σ} (c, ˙ b) ;

(2) в случае σ > 1 [l(y), z]{σ} − [y, l(z)]{σ} = {y, z}b − {y, z}c .

(2.2.8)

Доказательство. (1) Для σ < 1 ввиду того, что [l(ωy ), ωz ]{σ} = [ωy , l(ωz )]{σ} = 0 ,

[l(y), ωz ]{σ} = [y, l(ωz )]{σ} ,

имеем Z lim

l(y) z

α→+0

c

Z c

{σ} τα (x) dx

∂x {ay , Z

α→+0

{σ} az } τα (x) dx

c

c

∂x {uy , az } dx +

{σ}

y l(z) τα (x) dx =

b

+ c

Z

b

+

b

− lim

Z

b

= lim

α→+0

Z

b

∂x {ay , uz } dx +

(2.2.9)

b c

∂x {uy , uz } dx .

Обозначим x − c = t, b − c = l, ay (x) = `ay (t) , az (x) = `az (t) . Тогда Z

b

lim

α→+0

c

∂x {ay ,

{σ} az } τα (x) dx

Z 1/2 r l = ∂ {`a , `a } dt = sin2 πσ −l t y z

= {`ay , `az }l = {ay , az }b .

2.2.2. Сингулярная точка на границе полубесконечного интервала

89

Кроме того, Z b ∂x {ay , uz } dx = {ay , uz }bc = {ay , uz }b − 2ν p0 (c) ξy0 ϕz (c) , c

Z

b c

∂x {uy , az } dx = {uy , az }bc = {uy , az }b + 2ν p0 (c) ξ z0 ϕy (c) , Z

b c

∂x {uy , uz } dx = {uy , uz }b ,

где ξj0 = lim (x − c)ν−1/2 j(x) , ϕj (c) = lim (x − c)−ν−1/2 uj (x) x→c+0

x→c+0

(j = y, z). Подставляя полученные соотношения в (2.2.9) и учитывая, что ωj (x)|x=b = p(x) ∂ωj (x)|x=b = 0 (j = y, z), получаем (2.2.7). При этом в выражении ³ ´ 0 0 Reg{y, z}c = 2ν p0 (c) ξy ϕz (c) − ξ z ϕy (c) (2.2.10) 1 ˙ ∆1{σ} (c, имеем ξy0 = 0, если y(x) ∈ U{σ} (c, ˙ b) + ˙ b) и ϕy (c) = 0, 1 1 ˙ если y(x) ∈ A{σ} (c, ˙ b) + ∆{σ} (c, ˙ b). (2) В случае σ > 1 соотношение (2.2.8) следует из Z b {σ} {σ} [l (y), z]{σ} − [y, l (z)]{σ} = ∂x {y, z} dx . ¤ c

2.2.2. Выражение с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала Рассмотрим пространство Π{σ} = L2{σ} (c, ˙ ∞) из § 1.2.2. Очевидно, тем же рассуждением, что и в § 2.2.1, получаем дифференциальное выражение l(y) ≡ l{ν} (y) (ν = |σ|) ¶ ³ ´ µ p (c) (ν 2 − 1/4) 0 0 0 +q0 (x) y(x) , (2.2.11) l(y) = − p0 (x)y (x) + (x − c)2

90

2.2. Дифференциальные выражения второго класса A

аналогичное (2.2.1), но действующее в L2{σ} (c, ˙ ∞). При этом p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [c, ∞), и эти функции симметричны на вещественной оси относительно левой границы интервала. Как и (2.2.1), это дифференциальное выражение в Π{σ} на левом конце является сингулярным (если ν 6= 1/2), для σ < 1 квазирегулярно, для σ < −1 имеет критическую точку (x = c), для σ > 1 — существенно сингулярно; на правом конце дифференциальное выражение (существенно) сингулярно. Теорема 2.2.4. (1) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z. Тогда для D{σ} (c, ˙ ∞) имеем :   y(x) ∈ D{σ} (c, ˙ l) для x ∈ (c, l] , l ∈ (c, ∞) ,         y(x) ∈ D(l, ∞) для x ∈ [l, ∞) : , D{σ} (c, ˙ ∞) =   y(l − 0) = y(l) = y(l + 0) ,       0 y (l − 0) = y 0 (l) = y 0 (l + 0) (2.2.12) 1 ˙ U{σ} ˙ ∆1{σ} (c, где D{σ} (c, ˙ l) = A1{σ} (c, ˙ l) + (c, ˙ l) + ˙ l) , 1 и A1{σ} (c, ˙ l) , U{σ} (c, ˙ l) , U{σ} (c, ˙ l) определены в теореме 2.2.1, n o D(l, ∞) = w ∈ L2 (l, ∞) : l(w) ∈ L2 (l, ∞) .

(2) Пусть σ > 1. Тогда для D{σ} (c, ˙ ∞) имеем : n o D{σ} (c, ∞) = y ∈ L2 (c, ∞) : l(y) ∈ L2 (c, ∞) .

(2.2.13)

Доказательство. (1) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z и l ∈ (c, ∞). Пространство Π{σ} = L2{σ} (c, ˙ ∞) разлагается в сумму ˙ L02 (c, L2{σ} (c, ˙ ∞) = L02{σ} (c, ˙ ∞) [+] ˙ ∞) , n o где L02{σ} (c, ˙ ∞) = L2{σ} (c, ˙ l) для x ∈ (c, l]; {0} для x ∈ [l, ∞) , n o ˙ ∞) = {0} для x ∈ (c, l]; L2 (l, ∞) для x ∈ [l, ∞) . L02 (c,

91

2.2.2. Сингулярная точка на границе полубесконечного интервала

Следовательно, для y(x) ∈ D{σ} (c, ˙ ∞) имеем y(x) ∈ L2{σ} (c, ˙ l) и l(y) ∈ L2{σ} (c, ˙ l) для x ∈ (c, l] ,

(2.2.14)

y(x) ∈ L2 (l, ∞) и l(y) ∈ L2 (l, ∞) для x ∈ [l, ∞) , и ввиду y(x) ∈ M, очевидно, y(l −0) = y(l +0) = y(l), y 0 (l −0) = = y 0 (l + 0) = y 0 (l). Тогда из (2.2.14) и теоремы 2.2.1 следует, что 1 ˙ U{σ} ˙ ∆1{σ} (c, y(x) ∈ D{σ} (c, ˙ l) = A1{σ} (c, ˙ l) + (c, ˙ l) + ˙ l) для x ∈ (c, l]

и y(x) ∈ D(l, ∞) для x ∈ [l, ∞). (2) В случае σ > 1 ввиду L2{σ} (c, ˙ ∞) = L2 (c, ∞) соотношение (2.2.13) очевидно. ¤ Теорема 2.2.5. Для y, z ∈ D{σ} (c, ˙ ∞) имеем : (1) в случае σ < 1, σ ∈ /Z [l(y), z]{σ} − [y, l(z)]{σ} = {y, z}+∞ − Reg{y, z}c = ³ ´ = {y, z}+∞ − 2ν p0 (c) ξy0 ϕz (c) − ξ z0 ϕy (c) , (2.2.15) где для x ∈ (c, l] : j(x) = aj (x) + uj (x) + ωj (x)

(j = y, z) ,

1 aj (x) ∈ A1{σ} (c, ˙ l) , uj (x) ∈ U{σ} (c, ˙ l) , ωj (x) ∈ ∆1{σ} (c, ˙ l) ;

(2) в случае σ > 1 [l(y), z]{σ} − [y, l(z)]{σ} = {y, z}+∞ − {y, z}c .

(2.2.16)

Доказательство. (1) Для σ < 1 имеем в выражении Z ∞ {σ} [l(y), z]{σ} − [y, l(z)]{σ} = lim ∂x {y, z} τα (x) dx α→+0

c

интеграл представим суммой интегралов по (c, l] и [l, ∞) Z l {σ} lim ∂x {y, z} τα (x) dx = α→+0

c

92

2.2. Дифференциальные выражения второго класса A

³ ´ = {y, z}l − 2ν p0 (c) ξy0 ϕz (c) − ξ z0 ϕy (c) , Z ∞ ∂x {y, z} dx = {y, z}+∞ − {y, z}l , l

где ξj0 = lim (x − c)ν−1/2 j(x) , ϕj (c) = lim (x − c)−ν−1/2 uj (x) x→c+0

x→c+0

(j = y, z). В результате приходим к (2.2.15). При этом ξy0 = 1 ˙ ∆1{σ} (c, ˙ l) и ϕy (c) = 0, если = 0, если y(x)|x∈(c, l) ∈ U{σ} (c, ˙ l) + 1 1 ˙ ∆{σ} (c, y(x)|x∈(c, l) ∈ A{σ} (c, ˙ l) + ˙ l). (2) В случае σ > 1 соотношение (2.2.16) следует из Z ∞ [l(y), z]{σ} − [y, l(z)]{σ} = ∂x {y, z} dx . ¤ c

2.2.3. Выражение с сингулярной точкой на правой границе конечного интервала ˙ из § 1.2.3. Следует помнить (теоПусть Π{κ} = L2{κ} (l, b) ˙ ≡ L (l, b). ˙ Индекс {κ} (не hκi) рема 2.2.6), что L2{κ} (l, b) 2hκi ˙ в § 1.2.3, репишем, помня построение пространства L2{σ} (l, b) гуляризацию с помощью симметричного относительно точки {κ} c = (a + b)/2 (−∞ < a < c ≤ l < b < +∞) множителя τα (x), а также имея ввиду получение общего вида дифференциального выражения (2.0.31) с симметричными относительно x = c функциями p(x) и q(x). Рассматривая функции p и q в окрестности точки x = b p(x) =

∞ X

s

p(s) (b − x) ,

q(x) =

s=−∞

∞ X

q(s) (b − x)s ,

s=−∞

P∞

для функции y вида y(x) = k=0 yk (b − x)κ/2+k находим, что дифференциальное выражение l(y) ≡ l{κ} (x) ≡ l{µ} (x) (µ = |κ|)

93

2.2.3. Сингулярная точка на правой границе конечного интервала

должно иметь вид ¶ ´ µ p (b) κ 2 01 0 l(y) = − (b − x)p01 (x) y (x) + + q01 (x) y(x) . 4(b − x) (2.2.17) Учет симметрии p(x) и q(x) относительно точки x = c дает ³

0

p01 (x) = (x − a)p0 (x) ,

q01 (x) =

b − a p0 (b) κ 2 + q0 (x) . 4 x−a

В результате дифференциальное выражение принимает следующий вид ³ ´ l(y) = − (x − a)(b − x)p0 (x)y 0 (x) 0 + (2.2.18) µ +

¶ (b−a)2 p0 (b) µ2 + q0 (x) y(x) , 4 (x − a)(b − x)

где p0 (x) и q0 (x) — симметричные относительно x = c функции. При этом p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [l, b]. Дифференциальное выражение (2.2.18) сингулярно на правой границе интервала, квазирегулярно в Π{κ} для κ < 1, имеет для κ < −1 критическую точку x = b, существенно сингулярно для κ > 1; на левой границе дифференциальное выражение регулярно. ˙ Теорема 2.2.6. (1) Пусть κ < −1, κ ∈ / Z. Тогда для D{κ} (l, b) имеем 1 ˙ = B 1 (l, b) ˙ + ˙ + ˙ , ˙ V{κ} ˙ ∆1{κ} (l, b) D{κ} (l, b) (l, b) {κ} 1 ˙ = Lin{(x−a)κ/2 (b−x)κ/2 (x−c)2k }m где B{κ} (l, b) k=0

(2.2.19) (m = [−κ]) ,

n o 1 ˙ = v ∈ V (l, b) ˙ : l(v) ∈ V (l, b) ˙ + ˙ , ˙ V{κ} (l, b) ∆ (l, b) {κ} {κ} {κ} ˙ = Lin{∆{κ} (x)}rκ −2 , ˙ ≡ ∆1 (l, b) ∆1{κ} (l, b) m=0 b {κ} b (m)

94

2.2. Дифференциальные выражения второго класса A

˙ = L ((l, b); (x − a)κ/2 (b − x)κ/2 ) ∩ L (l, b) , причем V{κ} (l, b) 1 2 v(x) = (x − a)−κ/2 (b − x)−κ/2 ψ(x) , |ψ(b)| < ∞ ,

lim (x − a)(b − x)ψ 0 (x) = 0 .

x→b−0

˙ имеем (2) Пусть κ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1). Тогда для D{κ} (l, b) 1 ˙ = B 1 (l, b) ˙ + ˙ , ˙ V{κ} D{κ} (l, b) (l, b) {κ}

где

1 ˙ = Lin{(x − a)−µ/2 (b − x)−µ/2 } (l, b) B{κ}

(2.2.20) (µ = |κ|) ,

n o 1 ˙ = (x−a)µ/2 (b−x)µ/2 ψ (x) ∈ L1 (l, b) ˙ : |ψ (c)| < ∞ , V{κ} (l, b) y {κ} y n o (2.2.21) ˙ = y∈L ˙ : l(y) ∈ L ˙ . L1 (l, b) (l, b) (l, b) {κ}

2{κ}

2{κ}

˙ имеем (3) Пусть κ > 1. Тогда для D{κ} (l, b) n

o D{κ} (l, b) = u ∈ L2 (l, b) : l(u) ∈ L2 (l, b) .

(2.2.22)

Доказательство. (1) Пусть κ < −1, κ ∈ / Z. Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.1.1. Имеем ˙ = L1 (l, b) ˙ + ˙ , ˙ ∆1{κ} (l, b) D{κ} (l, b) {κ} где

˙ = L1{κ} (l, b) ˙ = ∆1{κ} (l, b)

n

n

o ˙ : l(y) ∈ L ˙ , y ∈ L2{κ} (l, b) (l, b) 2{κ}

o ˙ : l(y) ∈ ∆ (l, b) ˙ . y ∈ ∆{κ} (l, b) {κ}

Обозначим n o 1 ˙ = y ∈ V (l, b) ˙ : l(y) ∈ V (l, b) ˙ + ˙ . ˙ (l, b) ∆ (l, b) V{κ} {κ} {κ} {κ}

2.2.3. Сингулярная точка на правой границе конечного интервала

95

1 ˙ ⊂ V (l, b) ˙ может быть представФункция vy (x) из V{κ} (l, b) {κ} лена в виде vy (x) = (x − a)−κ/2 (b − x)−κ/2 ψy (x). Тогда из ограниченности выражения ¡ ¢ [l(vy ), (x − a)κ/2 (b − x)−κ/2 ]{κ} − [vy , l (x − a)κ/2 (b − x)κ/2 ]{κ} =

= p0 (b)hy (b) − p0 (l)hy (l) следует |hy (b)| < ∞, где hy (x) = κ (a + b − 2x) ψy (x) − (x − a)(b − x) ψy0 (x) . Из этого уравнения находим Z x κ κ (x − a)−κ−1 (b − x)−κ−1 hy (x) dx , ψy (x) = −(x − a) (b − x) t

где t ∈ [l, b]. Ввиду ψy (x) ∈ L1 (l, b)∩L2 ((l, b); (x−a)−κ (b−x)−κ ) следует положить t = b. Тогда ψy (b) = lim ψy (x) = x→b−0

hy (b) и κ (b − a)

lim (x−a)(b−x)ψy0 (x) = 0 .

x→b−0

Так как (глава 8) ³ ´ m+1 X (m; κ) {κ} (m; κ) {κ} αk ∆b (k) (x) (αm+1 6= 0, m ∈ Z0, rκ −1 ) l{κ} ∆b (m) (x) = k=0 {κ} ˙ = Lin{∆{κ} (x)}rκ −2 . Далее, и ∆b (rκ ) (x) ∈ / Π{κ} , то ∆1{κ} (l, b) m=0 b (m) 1 1 1 1 1 ˙ ˙ где ˙ V{κ} dim L{κ} | mod V{κ} = n + 1 и L{κ} = B{κ} (l, b) + (l, b), n³ ´κ/2 on 1 ˙ = Lin (x − a) (b − x) B{κ} (l, b) (x − c)2k и n = [−κ]. k=0

(2) Пусть κ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1). Очевидно, ˙ , ˙ = L1 (l, b) D{κ} (l, b) {κ}

96

2.2. Дифференциальные выражения второго класса A

n o ˙ = y∈L ˙ : l(y) ∈ L ˙ . Представгде L1{κ} (l, b) (l, b) (l, b) 2{κ} 2{κ} 1 ˙ ˙ ляя y(x) из L (l, b) ⊂ L (l, b) в виде {κ}

2{κ}

y(x) = (x − a)µ/2 (b − x)µ/2 ψ˜y (x)

(2.2.23)

и повторяя выкладки пункта (1) доказательства с заменой κ → ˙ → −µ, получаем ввиду (x − a)−µ/2 (b − x)−µ/2 ∈ D{κ} (l, b): Z x −µ −µ ˜ ψy (x) = −(x − a) (b − x) (x − a)µ−1 (b − x)µ−1 hy (x) dx , t

где t ∈ [l, b] , |hy (b)| < ∞ . Здесь на t не накладывается ограничение t = b. Полагая hy (x) = hy (b) + Hy (x), где Hy (b) = 0, получаем Z x hy (b) (x − a)µ (b − x)µ (x − a)µ−1 (b − x)µ−1 hy (b) dx = − − Cy1 , µ (b − a) t Z x (x − a)µ−1 (b − x)µ−1 Hy (x) dx = −(x − a)µ (b − x)µ Ψy (x) − Cy , t

Ψy (b) = 0 , Cy1 = const, Cy = const , ψ˜y (x) = (b − a)−1 hy (b)/µ + (Cy1 + Cy )(x − a)−µ (b − x)−µ + Φy (x) , т. е. ψ˜y (x) = ηy0 (x−a)−µ (b−x)−µ +ψy (x) , ψy (b) = −(b−a)−1 hy (b)/µ , где ηy0 = Cy1 + Cy , ψy (x) = −(b − a)−1 hy (b)/µ + Ψy (x) . Следовательно (ηy0 , ψy (b) ∈ R), y(x) = ηy0 (x−a)−µ/2 (b−x)−µ/2 +(x−a)µ/2 (b−x)µ/2 ψy (x) . (2.2.24) 1 ˙ = Lin{(x − a)−µ/2 (b − x)−µ/2 }, V 1 (l, b) ˙ = Положим B{κ} (l, b) {κ} ˙ : |ψ (b)| < ∞}. Таким = {(x − a)µ/2 (b − x)µ/2 ψy (x) ∈ L1{κ} (l, b) y образом, имеем (2.2.20). ˙ = L (l, b) соотношение (3) В случае κ > 1 ввиду L2{κ} (l, b) 2 (2.2.22) очевидно. ¤

97

2.2.3. Сингулярная точка на правой границе конечного интервала

˙ имеем : Теорема 2.2.7. Для y, z ∈ D{κ} (l, b) (1) в случае κ < 1, κ ∈ /Z ´ 2µ p0 (b) ³ 0 0 η ψ (b)−η ψ (b) −{y, z}l , z y (b − c)−1 y z (2.2.25) j(x) = bj (x) + vj (x) + ωj (x) (j = y, z) ,

[l(y), z]{κ} −[y, l(z)]{κ} = − где

n X

bj (x) =

1 ˙ , (l, b) ηjk (x − a)κ/2 (b − x)κ/2 (x − c)2k ∈ B{κ}

k=0 1 ˙ , vj (x) = (x − a)−κ/2 (b − x)−κ/2 ψj (x) ∈ V{κ} (l, b) rκ −2

ωj (x) =

X

{κ} ˙ ; ηj0k ∆b (k) (x) ∈ ∆1{κ} (l, b)

k=0

(2) в случае κ > 1 [l(y), z]{κ} − [y, l(z)]{κ} = {y, z}b − {y, z}l .

(2.2.26)

Доказательство. (1) Для κ < 1 ввиду того, что (ωj (x) = 0 для κ > −1) [l(ωy ), ωz ]{κ} = [ωy , l(ωz )]{κ} = 0 , Z

l(y) z

α→+0

Z

l

l

+ l b l

α→+0

Z ∂x {vy , bz } dx +

l

{κ}

y l(z) τα (x) dx =

b

{κ}

b

b

− lim

∂x {by , bz } τα (x) dx + Z

Z

{κ} τα (x) dx

Z

b

= lim

α→+0

Z

b

имеем lim

[l(y), ωz ]{κ} = [y, l(ωz )]{κ} ,

l

∂x {by , vz }(x) dx + (2.2.27)

b l

∂x {by , v z } dx = {by , vz }bl = −

∂x {vy , vz } dx .

Здесь

2µ p0 (b) 0 η ψ (b) − {by , vz }l , (b − c)−1 y z

98

2.2. Дифференциальные выражения второго класса A

Z

b l

∂x {vy , bz } dx = {vy , bz }bl = Z

2µ p0 (b) 0 η ψ (b) − {vy , bz }l , (b − c)−1 z y

b l

∂x {vy , vz } dx = −{vy , vz }l ,

ηj0 = lim (x − a)µ/2 (b − x)µ/2 j(x) ,

где

x→b−0

ψj (b) = lim (x − a)−µ/2 (b − x)−µ/2 uj (x) (j = y, z) . x→b−0

Найдем первое слагаемое в правой части (2.2.27). Не теряя p общностиpположим a = −1, b = 1 (c = 0). Обозначим t = 1 − x2 , l1 = 1 − l2 , by (x) = t−1/2`by (t), bz (x) = t−1/2`bz (t). Тогда Z 1 Z l1 {κ} {κ} ∂x {by , bz } τα (x) dx = lim ∂t {`by , `bz }`τα (t) dt = lim α→+0

α→+0

l

0

Z

1/2 r l1 ∂ {`b , `b } dt = {`by , `bz }l1 = −{by , bz }l . sin2 πκ −l1 t y z ³ ´ ↔ (κ) (κ) где `τα (t) = τα (x) и {`by , `bz }(t) = `p(t) `bz (t) ∂t `by (t) , `p(t) = = xp0 (x). Суммируя результаты с учетом того, что ωj (x)|x=l = = p(x)∂ωj (x)|x=l = 0 (j = y, z), получаем (2.2.25). При этом в 1 ˙ + ˙ и ˙ ∆1{κ} (l, b) выражении (2.2.25) ηy0 = 0, если y(x) ∈ V{κ} (l, b) 1 ˙ + ˙ ˙ ∆1{κ} (l, b). ψy (b) = 0, если y(x) ∈ B{κ} (l, b) (2) В случае κ > 1 соотношение (2.2.26) следует из Z b [l(y), z]{κ} − [y, l(z)]{κ} = ∂x {y, z} dx . ¤ =

l

2.2.4. Выражение с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала ˙ из § 1.2.4. Вновь расПусть Π = Π{σ, κ} ≡ L2{σ, κ} (c, ˙ b) сматривая функции p(x) и q(x) в окрестности точки x = c

99

2.2.4. Две сингулярные точки на границах интервала конечного интервала

P s интервала (c, b) в виде разложений p = ∞ s=0 p(s) (x − c) , q = P∞ = s=0 q(s) (x−c)s , находим, что в окрестности этой точки дифференциальное выражение l(y) ≡ l{σ, κ} (y) имеет вид (ν = |σ|): ¶ ³ ´ µ p (c)(ν 2 − 1/4) 01 0 0 l(y) = − p01 (x)y + + q01 (x) y , (x − c)2 где функции p01 (x) и q01 (x) являются симметричными относительно точки x = c. Представляя затем функции p(x), q(x) разложениями в окрестностях точки x = b, с учетом симметрии относительно точки x = c находим, что дифференциальное выражение l(y) имеет вид (µ = |κ|): l(y) = ¶ ³ ´ µ (b − a)2 p (a) µ2 02 0 0 = − (x−a)(b−x)p02 (x) y + +q (x) y . 4 (x − a)(b − x) 02 Следовательно, окончательно дифференциальное выражение l(y) принимает вид ³ l(y) = − (x − a)(b − x) p0 (x)y

´

0 0

+

(2.2.28)

¶ µ ´ (b − a)2 ³ p0 (c) (ν 2 − 1/4) p0 (b) µ2 + q0 (x) y , + + 4 (x − c)2 (x − a)(b − x) где p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [c, b], причем эти функции симметричны на вещественной оси относительно левой границы интервала. Дифференциальное выражение (2.2.28) является сингулярным (сингулярные точки x = c при σ 6= ±1/2 и x = b), кроме того при σ < −1 оно имеет критическую точку x = c, а при κ < −1 — критическую точку x = b. В случае σ < 1 (µ < 1) точка x = c (x = b) является квазирегулярной, а при σ > 1 (κ > 1) точка x = c (x = b) существенно сингулярна. Имеет место

100

2.2. Дифференциальные выражения второго класса A

Теорема 2.2.8. Область определения оператора L2{σ, κ} может быть представлена в виде   y(x) ∈ D{σ} (c, ˙ l) для x ∈ (c, l] , l ∈ (c, b) ,        y(x) ∈ D (l, b)  ˙ для x ∈ [l, b) : {κ} ˙ = D{σ, κ} (c, ˙ b) .   y(l − 0) = y(l) = y(l + 0) ,      0  y (l − 0) = y 0 (l) = y 0 (l + 0) (2.2.29) (1) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z и κ < 1, κ ∈ / Z. Тогда 1 ˙ U{σ} ˙ ∆1{σ} (c, ˙ l) , (c, ˙ l) + D{σ} (c, ˙ l) = A1{σ} (c, ˙ l) + 1 ˙ = B 1 (l, b) ˙ + ˙ + ˙ . ˙ V{κ} ˙ ∆1{κ} (l, b) D{κ} (l, b) (l, b) {κ}

(2) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z и κ > 1. Тогда 1 ˙ U{σ} ˙ ∆1{σ} (c, D{σ} (c, ˙ l) = A1{σ} (c, ˙ l) + (c, ˙ l) + ˙ l) ,

(2.2.30)

n o ˙ D{κ} (l, b) = w ∈ L2 (l, b) : l(w) ∈ L2 (l, b) . (3) Пусть σ > 1 и κ < 1, κ ∈ / Z. Тогда n o D{σ} (c, ˙ l) = w ∈ L2 (c, l) : l(w) ∈ L2 (c, l) , n o ˙ D{κ} (l, b) = w ∈ L2 (l, b) : l(w) ∈ L2 (l, b) .

(2.2.31)

˙ имеем (4) Пусть σ > 1 и κ > 1. Тогда для D{σ, κ} (c, ˙ b) n o ˙ = w ∈ L (c, b) : l(w) ∈ L (c, b) . D{σ, κ} (c, ˙ b) 2 2

(2.2.32)

˙ можно представить ˙ b) Доказательство. Пространство L2{σ, κ} (c, разложением ˙ , ˙ ˙ 0 ˙ = L0 (c, ˙ b) L2{σ, κ} (c, ˙ b) 2{σ} ˙ b) [+] L2{κ} (c,

101

2.2.4. Две сингулярные точки на границах интервала конечного интервала

где

n o ˙ = L L02{σ} (c, ˙ b) ( c, ˙ l) для x ∈ (c, l]; {0} для x ∈ [l, b) , 2{σ} (2.2.33) n o 0 ˙ ˙ (c, ˙ b) = {0} для x ∈ (c, l]; L (l, b) для x ∈ [l, b) . L 2{κ}

2{κ}

˙ имеем Следовательно, для y ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b)

(2.2.34)

y ∈ L2{σ} (c, ˙ l) и l(y) ∈ L2{σ} (c, ˙ l) для x ∈ (c, l] , ˙ и l(y) ∈ L ˙ y ∈ L2{κ} (l, b) 2{κ} (l, b) для x ∈ [l, b) и, кроме того, y(l−0) = y(l+0) = y(l), y 0 (l−0) = y 0 (l+0) = y 0 (l) ввиду y ∈ M. (1) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z, κ < 1, κ ∈ / Z и l ∈ (c, b). Тогда из (2.2.33), (2.2.34) и теорем 2.2.1 и 2.2.6 следует, что 1 ˙ U{σ} ˙ ∆1{σ} (c, y(x) ∈ D{σ} (c, ˙ l) = A1{σ} (c, ˙ l) + (c, ˙ l) + ˙ l) для x ∈ (c, l], 1 ˙ = B 1 (l, b) ˙ + ˙ + ˙ для x ∈ [l, b). ˙ V{κ} ˙ ∆1{κ} (l, b) y(x) ∈ D{κ} (l, b) (l, b) {κ}

(2) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z и κ > 1. Тогда утверждение тео˙ = L (l, b). Очеремы следует из теоремы 2.2.1 ввиду L2{κ} (l, b) 2 видно, что в (2.2.30) можно положить l = b, и т. о., имеем ˙ = A1 (c, ˙ 1 ˙ b) + ˙ ∆1{σ} (c, D{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) . {σ} ˙ b) + U{σ} (c, (3) Пусть σ > 1 и κ < 1, σ ∈ / Z. Тогда утверждение теоремы следует из теоремы 2.2.6 ввиду L2{σ} (c, ˙ l) = L2 (c, ˙ l). Очевидно, что в (2.2.31) можно положить l = c, и т. о., имеем 1 ˙ = A1 (c, b) ˙ + ˙ + ˙ . ˙ U{κ} ˙ ∆1{κ} (c, b) D{σ, κ} (c, ˙ b) (c, b) {κ}

˙ = L (c, b) (4) Пусть σ > 1 и κ > 1. Тогда ввиду L2{σ, κ} (c, ˙ b) 2 соотношение (2.2.32) очевидно. ¤

102

2.2. Дифференциальные выражения второго класса A

˙ =Ø Заметим, что ∆1{σ} (c, ˙ l) = Ø при σ > −3 и ∆1{κ} (l, b) при κ > −3. Отметим также, что в пункте (1) элементы мно˙ можно доопределить нулем на остажеств ∆1{σ} (c, ˙ l) и ∆1{κ} (l, b) льную часть интервала (c, b). Соответствующие множества ∆˙ = Lin{∆{σ, κ} (x)}rσ −2 ˙ b) элементов будем обозначать ∆1c {σ, κ} (c, m=0 c (m) {σ, κ} rκ −2 1 ˙ (a, ˙ b) = Lin{∆ (x)} . и∆ b {σ, κ}

b (m)

m=0

˙ имеем : Теорема 2.2.9. Для y, z ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b) (1) для σ < 1, σ ∈ / Z и κ < 1, κ ∈ /Z ´ 2ν p0 (c) ³ 0 0 [l(y), z]{σ, κ} − [y, l(z)]{σ, κ} = − ξ ϕ (c) − ξ ϕ (c) − z y (b−c)−2 y z ´ 2µ p0 (b) ³ 0 0 − η ψ (b) − η z ψy (b) , (2.2.35) (b−c)−1 y z где

j(x) = aj (x) + uj (x) + ωjc (x) для x ∈ (c, l] , j(x) = bj (x) + vj (x) + ωjb (x) для x ∈ [l, b) (j = y, z) , 1 aj (x) ∈ A1{σ} (c, ˙ l) , uj (x) ∈ U{σ} (c, ˙ l) , ωjc (x) ∈ ∆1{σ} (c, ˙ l) , 1 ˙ , v (x) ∈ V 1 (l, b) ˙ , ω b (x) ∈ ∆1 (l, b) ˙ ; bj (x) ∈ B{κ} (l, b) j {κ} j {κ}

(2) для σ < 1, σ ∈ /Zиκ>1 ´ 2ν p0 (c) ³ 0 0 [l(y), z]{σ, κ} −[y, l(z)]{σ, κ} = {y, z}b − ξ ϕ (c)−ξ z ϕy (c) , (b − c)−2 y z (2.2.36) где j(x) = aj (x) + uj (x) + ωjc (x) (j = y, z) , 1 aj (x) ∈ A1{σ} (c, ˙ b) , uj (x) ∈ U{σ} (c, ˙ b) , ωjc (x) ∈ ∆1{σ} (c, ˙ b) ;

(3) для σ > 1 и κ < 1, κ ∈ /Z [l(y), z]{σ, κ}−[y, l(z)]{σ, κ}= −

´ 2µ p0 (b) ³ 0 0 η ψ (b)−η ψ (b) −{f, g}c , g f (b−c)−1 f g (2.2.37)

103

2.2.4. Две сингулярные точки на границах интервала конечного интервала

j(x) = bj (x) + vj (x) + ωjb (x) (j = y, z) ,

где

1 ˙ , v (x) ∈ V 1 (c, b) ˙ , ω b (x) ∈ ∆1 (c, b) ˙ ; bj (x) ∈ B{κ} (c, b) j {κ} j {κ}

(4) для σ > 1 и κ > 1 [l(y), z]{σ, κ} − [y, l(z)]{σ, κ} = {y, z}b − {y, z}c .

(2.2.38)

Доказательство. (1) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z, κ < 1, κ ∈ / Z, y(x) ∈ ˙ ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b) и l ∈ (c, b). На интервале (c, l] функция y(x) может быть представлена в виде y(x) = ay (x) + uy (x) + ωyc (x), 1 ˙ l). На где ay (x) ∈ A1{σ} (c, ˙ l) и uy (x) ∈ U{σ} (c, ˙ l), ωyc (x) ∈ ∆1{σ} (c, интервале [l, b) она может быть представлена в виде y(x) = 1 ˙ и v (x) ∈ V 1 (l, b), ˙ = by (x) + vy (x) + ωyb (x), где by (x) ∈ B{κ} (c, b) y {κ} ˙ ωyb (x) ∈ ∆1{κ} (l, b). Интеграл в правой части выражения Z b {σ, κ} [l(y), z]{σ, κ} − [y, l(z)]{σ, κ} = lim ∂x {y, z} τα (x) dx α→+0

c

можно представить суммой интегралов по (c, l] и [l, b) Z

l

lim

α→+0

c

Z

b

lim

α→+0

l

´ 2ν p0 (c) ³ 0 0 ξ ϕ (c) − ξ ϕ (c) , z y (b − c)−2 y z

{σ}

dx = {y, z}l −

{κ}

dx = −{y, z}l −

∂x {y, z} τα

∂x {y, z} τα

´ 2µ p0 (b) ³ 0 0 ψ (b)−η ψ (b) , η z y (b−c)−1 y z

где ξj0 = lim (x − c)ν−1/2 j(x) , ϕj (c) = lim (x − c)−ν−1/2 uj (x) , x→c+0

x→c+0

ηj0 = lim (x − a)µ/2 (b − x)µ/2 j(x) , x→b−0

ψj (b) = lim (x − a)−µ/2 (b − x)−µ/2 uj (x) (j = y, z) . x→b−0

104

2.2. Дифференциальные выражения второго класса A

В результате приходим к (2.2.35). ˙ (2) Пусть σ < 1, σ ∈ / Z, κ > 1 и y(x) ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b). Соотношение (2.2.36) c учетом теоремы 2.2.8(2) и Z lim

α→+0

Z

b

∂x {y,

l

{κ} z} τα (x) dx

b

= l

∂x {y, z} dx = −{y, z}l +{y, z}b .

˙ (3) Пусть σ > 1, κ < 1, κ ∈ / Z и y(x) ∈ D{σ, κ} (a, ˙ b). Соотношение (2.2.37) c учетом теоремы 2.2.8(3) и Z lim

α→+0

Z

l c

∂x {y,

{σ} z} τα (x) dx

l

= c

∂x {y, z} dx = {y, z}l − {y, z}c .

1 ˙ ∆1{σ} (c, В (1)–(3): ξy0 = 0, если y(x)|x∈(c, l) ∈ U{σ} (c, ˙ l) + ˙ l); 1 1 0 ˙ ∆{σ} (c, ϕy (c) = 0, если y(x)|x∈(c, l) ∈ A{σ} (c, ˙ l) + ˙ l); ηy = 0, если 1 ˙ + ˙ ψ (b) = 0, если y(x)| ˙ ∆1{κ} (l, b); y(x)|x∈(l, b) ∈ V{κ} (l, b) y x∈(l, b) ∈ 1 1 ˙ ˙ ˙ ∆{κ} (l, b). ∈ B{κ} (l, b) + ˙ Соотношение (4) Пусть σ > 1, κ > 1 и y(x) ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b). (2.2.38) находим из

Z [l(y), z]{σ, κ} − [y, l(z)]{σ, κ} =

b c

∂x {y, z} dx . ¤

105

2.3. Дифференциальные выражения второго класса B

2.3. Дифференциальные выражения второго класса B Дифференциальные выражения, порождающие операторы L, действующие в π-пространствах второго класса B (§ 1.3), будем называть соответственно дифференциальными выражениями второго класса B. В этом случае функции p(x) и q(x) дифференциального выражения l(y) (2.0.31) в проколотых окрестностях характерных точек обладают свойством соответствующей симметрии, присущей весовой функции, порождающей рассматриваемое πпространство.

2.3.1. Выражение с сингулярной точкой в центре конечного интервала (i)

(i)

1. Рассмотрим пространство Π(σ ) = L2(σ ) (a, b) (1.3.5) из i i § 1.3.1 (п. 1). Как и в § 2.1.1 найдем, что дифференциальное вы(i) ражение l(y) ≡ l(ν) (y) (2.0.31) в L2(σ ) (a, b) имеет совпадающий i с (2.2.1) вид (ν = |σi |) : ¶ ³ ´ µ p (c) (ν 2 − 1/4) 0 0 0 l(y) = − p0 (x)y (x) + + q0 (x) y(x) , (2.3.1) (x − c)2 где p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на отрезке [a, b], причем эти функции симметричны на вещественной оси относительно центра x = c интервала. Это дифференциальное выражение является сингулярным в середине интервала (если ν 6= 1/2), причем при σi < −1 оно имеет критическую точку x = c, при σi < 1 точка x = c квазирегулярна, а при σi > 1 — существенно сингулярна. (i) (i) Обозначим через L(σ ) оператор в Π(σ ) с областью опредеi i ления n o (i) (i) (i) D(σ ) (a, b) = yi (x) ∈ L2(σ ) (a, b) : l(yi ) ∈ L2(σ ) (a, b) , i

i

i

106 т. е.

2.3. Дифференциальные выражения второго класса B

n o (i) D(σ ) (a, b) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D{σ } (c, ˙ b) . i

i

Очевидно, для

(i) D(σ ) (a, i

b) имеет место представление в виде

(i) 1 (i) 1 (i) ˙ U(σ ˙ 1 (i) D(σ ) (a, b) = A(σ ) (a, b) + ) (a, b) + ∆c (σ ) (a, b) , i

где

i

i

i

o n 1(i) ˙ b) , A(σ ) (a, b) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ A1{σ } (c, i

i

1(i) U(σ ) (a, i

n b) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈

1 U{σ (c, ˙ i}

o b) ,

o n 1(i) ∆c (σ ) (a, b) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ ∆1c {σi } (c, ˙ b) , i

1 A1{σ } (c, ˙ b), U{σ (c, ˙ b), ∆1c {σ } (c, ˙ b) определены в теореме 2.2.1, а πi i} i унитарное преобразование Wi определено соотношением (1.3.2). (i) Ввиду того, что для элементов y, z ∈ L2(σ ) (a, b) имеем

[y, z](σ ) = [˜ y , z˜]{σ } , для y, z ∈ i i шения (см. (2.2.7), (2.2.8))

i

(i) D(σ ) (a, i

b) выполняются соотно-

[l(y), z](σi ) − [y, l(z)](σi ) = {˜ yi , z˜i }b − Reg{˜ yi , z˜i }c ,

где

(2.3.2)   ³ ´  2ν p (c) ξ 0 ϕ (c) − ξ 0 ϕ (c)  0 y˜i z˜i z˜i y˜i Reg{˜ yi , z˜i }c = .  для σ < 1; {˜  y , z˜ } для σ > 1 i

i

i c

i

Тогда для действующего в (1) ˙ L(−1) L2[ν] (a, b) = L2(σ ) (a, b) [+] 2(σ ) (a, b) 1

−1

(i)

(2.3.3)

(σ1 , σ−1 = ±ν, ν ∈ R+ \ Z+ ), где L2(σ ) (a, b) — π-ортогональные i подпространства четных (i = 1) и нечетных (i = −1) элементов, оператора (1) ˙ L(−1) L[ν] = L(σ ) [+] (σ ) , 1

−1

107

2.3.1. Cингулярная точка в центре конечного интервала

с областью определения n o D[ν] (a, b) = y ∈ L2[ν] (a, b) : l(y) ∈ L2[ν] (a, b) , (1)

(−1) (a, −1 )

˙ D(σ D[ν] (a, b) = D(σ ) (a, b) [+]

т. е.

1

имеет место соотношениe: [l(y), z][ν] − [y, l(z)][ν] =

X

{˜ yi , z˜i }b −

i=±1 (i)

X

b) ,

(2.3.4)

Reg{˜ yi , z˜i }c ,

i=±1 (i)

(i)

˙ b) ∈ D{σ } (c, ˙ b), где ji (x) ∈ D(σ ) (a, b), ˜ji (x) = ji (x)|L2{σ } (a, i i i j(x) = j1 (x) + j−1 (x) (j = y, z). 2. Рассмотрим пространство Π[ν] = L2[ν] (a, b) (1.3.9) из § 1.3.1 (п. 2). Определим в L2[ν] (a, b) оператор ˙ L(ν) , L[ν] = L(−ν) [+]

(2.3.5)

порождаемый дифференциальным выражением (2.3.1) с областью определения n o D[ν] (a, b) = y ∈ L2[ν] (a, b) : l(y) ∈ L2[ν] (a, b) , ˙ D(ν) (a, b) , D[ν] (a, b) = D(−ν) (a, b) [+]

т. е.

(2.3.6)

где L(σ) — оператор с соответствующей областью определения n o D(σ) (a, b) = yσ ∈ L2(σ) (a, b) : l(yσ ) ∈ L2(σ) (a, b) , n o т. е. D(σ) (a, b) = yσ (x) = Wσ y˜σ (x) : y˜σ (x) ∈ D{σ} (c, ˙ b) . Для D(σ) (a, b) имеет место представление 1 ˙ U(σ) ˙ ∆1c (σ) (a, b) , D(σ) (a, b) = A1(σ) (a, b) + (a, b) + n o где A1(σ ) (a, b) = yσ (x) = Wσ y˜σ (x) : y˜σ (x) ∈ A1{σ} (c, ˙ b) , i

o n 1 1 (c, ˙ b) , (a, b) = yσ (x) = Wσ y˜σ (x) : y˜σ (x) ∈ U{σ} U(σ)

108

2.3. Дифференциальные выражения второго класса B

n o ∆1c (σ) (a, b) = yσ (x) = Wσ y˜σ (x) : y˜σ (x) ∈ ∆1c {σ} (c, ˙ b) , 1 A1{σ} (c, ˙ b), U{σ} (c, ˙ b), ∆1c {σ} (c, ˙ b) определены в теореме 2.2.1, а πунитарное преобразование Wσ определено соотношением (1.3.7). Легко убедиться, что для j(x) = j−ν (x)+jν (x) ∈ D[ν] (a, b), jσ (x) ∈ D(σ) (a, b), ˜jσ (x) = jσ (x)|L2{σ} (c, ˙ b) ∈ D{σ} (c, ˙ b), j = y, z имеем

[l(y), z][ν] − [y, l(z)][ν] =

X

{˜ yσ , z˜σ }b −

σ=±ν

где

X

Reg{˜ yσ , z˜σ }c ,

σ=±ν

 ³ ´  2ν p (c) ξ 0 ϕ (c) − ξ 0 ϕ (c) y˜σ z˜σ 0 z˜σ y˜σ Reg{˜ yσ , z˜σ }c =  для σ < 1; {˜ y , z˜ } для σ > 1 σ

σ c

(2.3.7)   . 

2.3.2. Выражение с сингулярной точкой внутри конечного интервала (не совпадающей с его центром) Очевидно, дифференциальное выражение l(y), порождающее соответствующий оператор L[ν] в Π[ν] = L2[ν] (l, b) (6.2.1), должно иметь вид (2.3.1). Область определения оператора L[ν] можно записать в виде D[ν] (l, b) = (2.3.8)   y(x) ∈ L (l, b) : y(x) ∈ D (l, l ) для x ∈ (l, l ) ;   1 1 2[ν] [ν]   , = y(x) ∈ D(l1 , b) для x ∈ (l1 , b) ; l1 = 2c − l ,   y(l −0) = y(l ) = y(l +0) , y 0 (l −0) = y 0 (l ) = y 0 (l +0)   1 1 1 1 1 1 где множество D[ν] (l, l1 ) на симметричном относительно x = c интервале (l, l1 ) определяется соотношением (2.3.4) (a, b ⇒ l, l1 ). Иначе то же самое множество D[ν, µ] (l, b) можно записать

109

2.3.3. Cингулярная точка внутри полубесконечного интервала

следующим образом:  y(x) = y1 (x) + y−1 (x) :   D[ν] (l, b) = yi (x) = 2−1/2 Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) ,   y˜ (x) ∈ D (c, i {σ } ˙ b) , i = ±1

    

. (2.3.9)

i

Нетрудно убедиться в том, что для y, z ∈ D[ν] (a, b) справедлива формула Лагранжа X [l(y), z][ν] − [y, l(z)][ν] = {y, z}b − {y, z}a + Reg{˜ yi , z˜i }c , i=±1

(2.3.10) где Reg{yi , zi }c определяется формулой (2.3.2).

2.3.3. Выражение с сингулярной точкой внутри полубесконечного интервала Очевидно, дифференциальное выражение l(y), порождающее соответствующий оператор L[ν] в Π[ν] = L2[ν] (a, ∞) (1.3.13), должно иметь вид (2.3.1). Область определения оператора L[ν] можно записать в виде D[ν] (a, ∞) = (2.3.11)   y(x) ∈ L (a, ∞) : y(x) ∈ D (a, l) для x ∈ (a, l);   2[ν] [ν]   , = y(x) ∈ D(l, ∞) для x ∈ (l, ∞);    y(l − 0) = y(l) = y(l + 0) , y 0 (l − 0) = y 0 (l) = y 0 (l + 0)  где множество D[ν] (a, l) на симметричном относительно x = c интервале (a, l) определяется соотношением (2.3.4) (b ⇒ l). Иначе то же самое множество D[ν, µ] (a, ∞) можно записать следующим образом:   y(x) = y1 (x) + y−1 (x) :     −1/2 D[ν] (a, ∞) = . yi (x) = 2 Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) ,    y˜ (x) ∈ D (c,  i {σi } ˙ ∞) , i = ±1 (2.3.12)

110

2.3. Дифференциальные выражения второго класса B

Для y, z ∈ D[ν] (a, ∞) справедлива формула Лагранжа, следующая из (2.3.10) в пределе b → +∞, X [l(y), z][ν] − [y, l(z)][ν] = {y, z}+∞ − {y, z}a + Reg{˜ yi , z˜i }c , i=±1

где Reg{yi , zi }c определяется формулой (2.3.2).

(2.3.13)

2.3.4. Выражение с сингулярной точкой внутри бесконечного интервала I. В пространстве Π[ν] = L2[ν] (−∞, ∞) (1.3.16) дифференциальное выражение l(y) совпадает с (2.3.1) на всем интервале (−∞, ∞). Таким образом, дифференциальное выражение l(y) сингулярно на концах интервала x = ±∞ и во внутренней точке x = c, которая для σi < 1 является квазирегулярной, для σi < −1 является критической, а для σi > 1 является, как и точки x = ±∞, существенно сингулярной. Область определения D[ν] (−∞, ∞) = {y ∈ L2[ν] (−∞, ∞) : l(y) ∈ L2[ν] (−∞, ∞)} оператора L[ν] может быть представлена в виде ( ) y(x) = y1 (x) + y−1 (x) : yi (x) = Wi y˜i (x) D[ν] (−∞, ∞) = , y˜i (x) ∈ D{σ } (c, ˙ ∞) , i = ±1 i

где множество D{σ } (c, ˙ ∞) определено соотношением (2.2.12). i Формула Лагранжа для y, z ∈ D[ν] (−∞, ∞) имеет вид [l(y), z][ν] − [y, l(z)][ν] =

X

{˜ yi , z˜i }+∞ +

i=±1

X

Reg{˜ yi , z˜i }c ,

i=±1

где Reg{yi , zi }c определяется формулой (2.3.2). II. В пространстве Π[ν] = L2[ν] (−∞, ∞) (1.3.19), очевидно, тем же дифференциальным выражением (2.3.1) определя˙ L(ν) , область ется дифференциальный оператор L[ν] = L(−ν) [+]

111

2.3.5. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

определения которого дается соотношениями ˙ D(ν) (−∞, ∞) , D[ν] (−∞, ∞) = D(−ν) (−∞, ∞) [+]

(2.3.14)

n

o D(σ) (−∞, ∞) = yσ (x) = Wσ y˜σ (x) : y˜σ (x) ∈ D{σ} (c, ˙ ∞) , где множество D{σ} (c, ˙ ∞) определено соотношением (2.2.12). Формула Лагранжа имеет вид для y, z ∈ D[ν] (−∞, ∞) [l(y), z][ν] − [y, l(z)][ν] =

X

{˜ yσ , z˜σ }+∞ +

σ=±ν

X

Reg{˜ yσ , z˜σ }c ,

σ=±ν

где Reg{˜ yσ , z˜σ }c дается формулой (2.3.7).

2.3.5. Выражение с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала ˙ (1.3.20), опреРассмотрим пространство Π[µ] = L2[µ] (a, ˙ b) деленное в § 1.3.5. Повторив рассуждения § 2.2.3 находим, что дифференциальное выражение (2.0.31) должно на интервале (a, b) иметь вид (2.2.18), где p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [a, b], причем эти функции симметричны на вещественной оси относительно точки x = c интервала. Это дифференциальное выражение сингулярно на обоих концах интервала. Кроме того, для κi < 1 точки x = a и x = b квазирегулярны, для κi < −1 обе точки — критические, для κi > 1 — обе существенно сингулярные. ˙ = {y ∈ L (a, ˙ Область определения D[µ] (a, ˙ b) 2[µ] ˙ b) : l(y) ∈ ˙ оператора L может быть задана соотношениями ∈ L2[µ] (a, ˙ b)} [µ] (−1) ˙ = D(1) (a, ˙ ˙ ˙ , D[µ] (a, ˙ b) ˙ b) (κ ) ˙ b) [+] D(κ ) (a, 1

(2.3.15)

−1

n o (i) ˙ = y (x) = W y˜ (x); y˜ (x) ∈ D(i) (c, b) ˙ , D(κ ) (a, ˙ b) i i i i {κ } i

i

112

2.3. Дифференциальные выражения второго класса B

˙ где ввиду требования непрерывности y 0 (x) для y ∈ D[µ] (a, ˙ b) n o (i) ˙ = y ∈ D (c, b) ˙ : y 0 (c) = 0 (i = 0); y(c) = 0 (i = −1) , D{κ } (c, b) i {κi } i

˙ определено в § 1.2.2 формулами (2.2.19), (2.2.20), а D{κi } (c, b) (2.2.22) с l = c (очевидно, что в силу симметрии при этом y−1 (c) = 0, y10 (c) = 0). ˙ для y, z ∈ D (a, ˙ Формула Лагранжа в L2[µ] (a, ˙ b) [µ] ˙ b) принимает вид : X [l(y), z][µ] − [y, l(z)][µ] = Reg{˜ yi , z˜i }b , i=±1

где (см. § 2.2.3 или § 2.2.4) ´ ) ³ ( −2µ(b − c) p0 (b) ηy0˜i ψ z˜i (b) − η z0˜i ψy˜i (b) . Reg{˜ yi , z˜i }b = для κi < 1 ; {˜ yi , z˜i }b для κi > 1

2.3.6. Выражение с сингулярной точкой внутри и на границе конечного интервала ˙ из § 1.3.6. Рассуждения, аналоПусть Π[ν, µ] = L2[ν, µ] (l, b) гичные приведенным в § 2.2.4, приводят к тому, что дифференциальное выражение l(y), порождающее дифференциальный ˙ должно иметь вид оператор L[ν, µ] в пространстве L2[ν, µ] (l, b), (2.2.28), где p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [l, b], причем эти функции симметричны относительно точки x = c. Дифференциальное выражение l(y) является сингулярным в точке x = c (если ν 6= 1/2) и в точке x = b, причем при σi < 1 точка x = c и при κ < 1 точка x = b — квазирегулярны, при σi < −1 точка x = c и при κ < −1 точка x = b — критические, при σi > 1 и при κ > 1 эти точки существенно сингулярны.

2.3.6. Сингулярная точка внутри и на границе конечного интервала

113

I. Если исходить из разложения (1.3.23), то область опре˙ оператора L деления D[ν, µ] (l, b) [ν, µ] представляется в виде (0) ˙ = D(0) (l, b) ˙ [+] ˙ , ˙ D{σ D[ν, µ] (l, b) (l, b) (2.3.16) {σ1 } −1 , κ} n o (0) ˙ где D{σ } (l, b) = D{σ } (l, c) ˙ для x ∈ (l, c); {0} для x ∈ (c, b) , 1 1 n o (0) ˙ = {0} для x ∈ (l, c); D ˙ для x ∈ (c, b) , D{σ , κ} (c, ˙ b) ( c, ˙ b) {σ−1 , κ} −1 n o где D{σ1 } (l, c) ˙ = y1 (x) = y˜1 (2c − x) : y˜1 (x) ∈ D{σ1 } (c, ˙ l1 ) .

В этом случае

[l(y), z][ν, µ] − [y, l(z)][ν, µ] =

= {˜ y1 , z˜1 }l1 − Reg{˜ y1 , z˜1 }c + Reg{y−1 , z−1 }b − Reg{y−1 , z−1 }c , ˙ (j = y, z) и где j(x) = j1 (x) + j−1 (x), j−1 (x) ∈ D{σ , κ} (c, ˙ b) −1 ³ ´ 2 0 0 Reg{˜ y1 , z˜1 }c = 2(b − c) ν p0 (c) ξy˜1 ϕz˜1 (c) − ξ z˜1 ϕy˜1 (c) для σ1 < 1 , Reg{˜ y1 , z˜1 }c = {˜ y1 , z˜1 }c для σ1 > 1; ³ ´ 2 0 0 Reg{y−1 , z−1 }c = 2(b − c) ν p0 (c) ξy−1 ϕz−1 (c) − ξ z−1 ϕy−1 (c) для σ−1 < 1 , Reg{y−1 , z−1 }c = {y−1 , z−1 }c для σ−1 > 1; ³ ´ Reg{y−1 , z−1 }b = −2(b − c)µ p0 (b) ηy0−1 ψ z−1 (b) − η 0z−1 ψy−1 (b) для κ < 1 , Reg{y−1 , z−1 }b = {y−1 , z−1 }b для κ > 1. II. Если же исходить из разложения (1.3.24), то область ˙ оператора L определения D[ν, µ] (l, b) [ν, µ] может быть задана соотношением   y(x) ∈ D[ν] (l, l1 ) для x ∈ (l, l1 ] ,        y(x) ∈ D (l , b)  ˙ для x ∈ [l, b) : {κ} 1 ˙ D[ν, µ] (l, b) = ,   y(l − 0) = y(l ) = y(l + 0) ,   1 1 1    0  y (l1 − 0) = y 0 (l1 ) = y 0 (l1 + 0) (l1 = 2c − l) (2.3.17)

114

2.3. Дифференциальные выражения второго класса B

где множество D[ν] (l, l1 ) на симметричном относительно x = c интервале (l, l1 ) определяется соотношением (2.3.4) с a = l ˙ определено соотношением и b = l1 , а множество D{κ} (l1 , b) (2.2.19) с l = l1 . ˙ можно записать Иначе то же самое множество D[ν, µ] (l, b) следующим образом:  y(x) = y1 (x) + y−1 (x) :   ˙ = yi (x) = 2−1/2 Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) , D[ν, µ] (l, b)   ˙ , i = ±1 y˜ (x) ∈ D (c, ˙ b) i

    

.

{σi , κ}

(2.3.18) ˙ форНетрудно убедиться в том, что для y, z ∈ D[ν, µ] (l, b) мула Лагранжа имеет вид : [L[ν, µ] y, z][ν, µ] − [y, L[ν, µ] z][ν, µ] = = −{y, z}l + Reg{y, z}b − 2

X

(2.3.19)

Reg{yi , zi }c =

i=±1

= −{y, z}l + Reg{y, z}b −

X

Reg{˜ yi , z˜i }c ,

i=±1

где

 ³ ´  − 2µ p0 (b) η 0 ψ (b) − η 0 ψ (b)  z y (b − c)−1 y z , Reg{y, z}b =   для κ < 1 ; {y, z}b для κ > 1  ´  ³  2ν p0 (b) ξ 0 ϕ (c) − ξ 0 ϕ (c)  zi yi (b − c)−2 yi zi Reg{yi , zi }c =   для σi < 1 ; {yi , zi }c для σi > 1

¡

¢ ξy0i = 2−1/2 ξy0˜i , ϕyi (c) = 2−1/2 ϕy˜i (c) .

115

2.3.7. Сингулярная точка в центре и две на границах интервала

2.3.7. Выражение с сингулярной точкой в центре и двумя на границах интервала ˙ определено формулой (1.3.26) I. Пусть Π[ν, µ] = L2[ν, µ] (a, ˙ b) из § 1.3.7. Очевидно, как и в § 2.3.6, дифференциальное выражение l(y), порождающее максимальный оператор L[ν, µ] в ˙ имеет на (a, b) вид (2.2.28), где p (x) не имеет нуL2[ν, µ] (a, ˙ b) 0 лей, а q0 (x) не имеет особенностей на [a, b], причем эти функции симметричны на вещественной оси относительно центра x = c интервала. Дифференциальное выражение l(y) сингулярно в точках x = c (при ν 6= 1/2) и x = b, кроме того при σ < −1 оно имеет критическую точку x = c, а при κ < −1 — критическую точку x = b. В случае σ < 1 (κ < 1) точка x = c (x = b) является квазирегулярной, а при σ > 1 (κ > 1) точка x = c (x = b) существенно сингулярна. ˙ = {y ∈ L ˙ : l(y) ∈ L ˙ Область D[ν, µ] (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b)} 2[ν, µ] (a, 2[ν, µ] (a, определения максимального оператора (1)

L[ν, µ] = L(σ

1 , κ1 )

(−1) −1 , κ−1 )

˙ L(σ [+]

(2.3.20)

может быть представлена в виде (−1) ˙ = D(1) ˙ [+] ˙ , ˙ D(σ D[ν, µ] (a, ˙ b) ˙ b) (a, ˙ b) (2.3.21) (σ1 , κ1 ) (a, −1 , κ−1 ) n o (i) ˙ = y (x) = W y˜ (x) , y˜ (x) ∈ D ˙ , где D(σ , κ ) (a, ˙ b) ( c, ˙ b) i i i i {σ , κ } i

i

i

i

˙ определено в теореме 2.2.8 § 2.2.4. а множество D{σ , κ } (c, ˙ b) i i ˙ принимает вид Формула Лагранжа для y, z ∈ D[ν, µ] (a, ˙ b) ´ X³ [l(y), z][ν, µ] − [y, l(z)][ν, µ] = Reg{˜ yi , z˜i }b − Reg{˜ yi , z˜i }c , i=±1

(2.3.22) где j(x) = j1 (x) + j−1 (x) (j = y, z) и  ³ ´   − 2µ p0 (b) η 0 ψ (b) − η 0 ψ (b)  z˜i y˜i (b − c)−1 y˜i z˜i Reg{˜ yi , z˜i }b = ,   для κi < 1 ; {˜ yi , z˜i }b для κi > 1

116

2.3. Дифференциальные выражения второго класса B

 ³ ´   2ν p0 (b) ξ 0 ϕ (c) − ξ 0 ϕ (c)  z˜i y˜i (b − c)−2 y˜i z˜i Reg{˜ yi , z˜i }c = .   для σi < 1 ; {˜ yi , z˜i }c для σi > 1 I0 . Если исходить из разложения (1.3.28) пространства ˙ то можно определить максимальный оператор L2[ν, µ] (a, ˙ b), ˙ L00{σ , κ } , L[ν, µ] = L0{σ1 , κ1 } [+] −1 −1 задав его область определения соотношениями 00 ˙ [+] ˙ , ˙ = D0 ˙ D{σ D[ν, µ] (a, ˙ b) ˙ b) (a, ˙ b) {σ1 , κ1 } (a, −1 , κ−1 }

( 0 ˙ = D{σ (a, ˙ b) 1 , κ1 }

00 ˙ = D{σ (a, ˙ b) −1 , κ−1 }

y(x) = y˜(2c − x) : y˜(x) ∈ D{σ

1 , κ1

(2.3.23) ˙ ˙ b) } (c,

для x ∈ (a, c) ; {0} для x ∈ (c, b) ( {0} для x ∈ (a, c) ; y(x) = y˜(x) : y˜(x) ∈ D{σ

(c, ˙ −1 , κ−1 }

) , )

˙ для x ∈ (c, b) b)

.

˙ принимает анаФормула Лагранжа для y, z ∈ D[ν, µ] (a, ˙ b) логичный вид (2.3.26). ˙ определено формулой (1.3.30) II. Пусть Π[ν, µ] = L2[ν, µ] (a, ˙ b) из § 1.3.7. То же по форме дифференциальное выражение l(y) ˙ определяет максимальный оператор L[ν, µ] в L2[ν, µ] (a, ˙ b) ˙ L(ν, κ ) , L[ν, µ] = L(−ν, κ1 ) [+] −1

(2.3.24)

˙ которого может быть представобласть определения D[ν, µ] (a, ˙ b) лена в виде ˙ =D ˙ [+] ˙ , ˙ D(ν, κ ) (a, D[ν, µ] (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b) (−ν, κ1 ) (a, −1

(2.3.25)

n o ˙ = y (x) = W y˜ (x), y˜ (x) ∈ D ˙ , где D(σ , κ ) (a, ˙ b) ( c, ˙ b) σi σi (σ ) σi {σ , κ } i

i

i

i

i

˙ определено в теореме 2.2.8 § 2.2.4. а множество D{σ, κ} (c, ˙ b)

2.3.7. Сингулярная точка в центре и две на границах интервала

117

˙ принимает вид Формула Лагранжа для y, z ∈ D[ν, µ] (a, ˙ b) [l(y), z][ν, µ] −[y, l(z)][ν, µ] =

X³

´ Reg{˜ yσi , z˜σi }b −Reg{˜ yσi , z˜σi }c ,

i=±1

(2.3.26) где j(x) = jσ1 (x) + jσ−1 (x) (j = y, z) и  ³ ´   − 2µ p0 (b) η 0 ψ (b) − η 0 ψ (b)  z˜σ y˜σ i i (b − c)−1 y˜σi z˜σi Reg{˜ yσi , z˜σi }b = ,   для κi < 1 ; {˜ yσi , z˜σi }b для κi > 1  ³ ´   2ν p0 (b) ξ 0 ϕ (c) − ξ 0 ϕ (c)  z˜σ y˜σ i i (b − c)−2 y˜σi z˜σi . Reg{˜ yσi , z˜σi }c =   для σi < 1 ; {˜ yσi , z˜σi }c для σi > 1

Глава 3. Симметрические дифференциальные операторы 3.1. Дифференциальные операторы первого класса Операторы порождаемые дифференциальными выражениями первого класса, будем называть соответственно дифференциальными операторами первого класса.

3.1.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала Рассмотрим в пространстве Πhσi ≡ L2hσi (c, ˙ b) (σ ∈ / Z) (§ 1.1.1) дифференциальный оператор Lhσi , определенный на множестве n o Dhσi (c, ˙ b) = y ∈ L2hσi (c, ˙ b) : l(y) ∈ L2hσi (c, ˙ b) (3.1.1)

119

3.1.1. Cингулярная точка на границе конечного интервала

дифференциальным выражением l ≡ lhσi (§ 2.1.1) ¶ ³ ´ µ p (c) σ 2 0 0 0 l(y) = − (x − c)p0 (x)y (x) + + q0 (x) y(x) , (3.1.2) 4(x − c) где p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [c, b]. 1. Пусть σ < −1. В этом случае сингулярная точка x = c является критической и пространство Πhσi является пространством Понтрягина с рангом индефинитности rσ = [−σ]−[−σ/2]. Сингулярный оператор Lhσi является квазирегулярным. Согласно теореме 2.1.1 для области Dhσi (c, ˙ b) имеем 1 ˙ ∆1hσi (c, ˙ Uhσi ˙ b) , (c, ˙ b) + Dhσi (c, ˙ b) = A1hσi (c, ˙ b) +

т. е. произвольная функция y ∈ Dhσi (c, ˙ b) может быть представлена в виде σ/2

y(x) = (x−c)

nσ X

rσ −2

ξyk (x−c)k +(x−c)−σ/2 ϕy (x)+

X

hσi

ηym ∆c (m) (x)

m=0

k=0

(nσ = [−σ]), причем |ϕy (c)| < ∞. Теорема 3.1.1. Все решения уравнения l(y) − λ y = 0 (λ ∈ C) принадлежат множеству Dhσi (c, ˙ b). Доказательство. Пусть Kc, ε = {x ∈ C : |x − c| < ε} — круг, в котором аналитичны функции p0 (x) и q0 (x). В области (c, c + ε) уравнение l(y) − λy = 0 может быть переписано в виде ³ ´ 0 − (x−c)y (x) 0 −(x−c) α(x) y 0 (x)+ где

∞

σ2 y(x)+β(x) y(x) = 0 , 4(x − c) (3.1.3)

p0 (x) X = α (x − c)k ∈ Ac, ε , α(x) = 0 p0 (x) k=0 k

120

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

β(x) =

∞ ³ p (c) ´ q (x) − λ X σ2 0 −1 + 0 = βk (x − c)k ∈ Ac, ε 4(x − c) p0 (x) p0 (x) k=0

(Ac, ε — аналитические в круге Kc, ε функции). P τ /2+k Полагая y = ∞ (τ = ±σ), из уравнения k=0 ηk (x − c) (3.1.3) находим ´ X³ 1 = −(τ /2 + k) αm−k + βm−k ηk (m + 1)(τ + m + 1) k=0 m

ηm+1

(η0 6= 0, m ∈ Z+ ) . Так как функции α(x) и β(x) ∈ Ac, ε , то существует такое C > 0, что |αk | < C ε−k , |βk | < C ε−k . Следовательно, для m > −(τ + 1) имеем ³ ´ m C |τ /2 + k| + 1 εk−m X (m) (m) γk |ηk | , где γk = |ηm+1 | ≤ . (m + 1)(τ + m + 1) k=0 Для m ≤ r, где r = rank Πhσi , обозначим |ηm | = Bm . Для m ≥ r запишем рекуррентное соотношение Bm+1 =

m X

(m)

γk

Bk .

k=0

Очевидно при этом, что |ηm | ≤ Bm (m ∈ Z+ ). Это рекуррентное соотношение эквивалентно соотношению Bm+1 =

m(τ + m) + εC(τ /2 + m + 1) Bm ε(m + 1)(τ + m + 1)

(m ≥ r) .

Отсюда ввиду lim (Bm /Bm+1 ) = ε следует сходимость ряда m→∞ P∞ P k k B (x−c) в круге Kc, ε . Поэтому ряд ∞ k=0 k k=0 ηk (x−c) также сходится в этом круге. Таким образом, произвольное решение уравнения l(y)−λy = 0 может быть представлено в виде y = {y0 для x ∈ (c, c + ε); z для x ∈ (c + ε, b); y0 (c + ε − 0) = z(c + ε + 0),

121

3.1.1. Cингулярная точка на границе конечного интервала

y00 (c+ε−0) = z 0 (c+ε+0)}, где y0 ∈ L2hσi (c, ˙ c+ε) и z ∈ L2 (c+ε, b). Следовательно, y ∈ L2hσi (c, ˙ b), то есть y ∈ Dhσi (c, ˙ b). ¤ Итак, однородное уравнение l(z) − λz = 0 (λ ∈ C) имеет два линейно независимых решения z1 = uσ, λ (x) и z2 = u−σ, λ (x) из Dhσi (c, ˙ b), которые в окрестности точки x = c можно выбрать в виде (ξ10 = ξ20 = 0) uσ, λ (x) = (x − c)σ/2 a1 (x) ,

a1 (x) =

∞ X

ξ1k (x − c)k ,

(3.1.4)

k=0

−σ/2

u−σ, λ (x) = (x − c)

a2 (x) ,

a2 (x) =

∞ X

ξ2k (x − c)k . (3.1.5)

k=0

Очевидно, ξz01 = 1 ,

ϕz1 (c) = 0 ,

(3.1.6)

ξz02 = 0 ,

ϕz2 (c) = 1 .

(3.1.7)

Множество всех решений однородного уравнения l(z) − λz = 0 p обозначим через Nλhσi = Lin{uσ, λ , u−σ, λ }. Теорема 3.1.2. Пусть f ∈ Πhσi . Решение y(x) неоднородного уравнения l(y) − λ y = f принадлежит множеству Dhσi (c, ˙ b). Доказательство. 1. Пусть f ∈ L2hσi (c, ˙ b). Методом вариации произвольных постоянных находим решение уравнения l(y)−λ y = = f в виде y(x) = c1 z1 (x) + c2 z2 (x) + (3.1.8) Z x Z x −1 + z1 (x) w (t)z2 (t)f (t) dt − z2 (x) w−1 (t)z1 (t)f (t) dt , x0

x0

где w(x) = −{z1 (x), z2 (x)} — вронскиан фундаментальной системы решений однородного уравнения. Первые два слагаемых принадлежат множеству Dhσi (c, ˙ b).

122

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

Представив f в виде nσ −1

f (x) =

X

ξfk (x − c)σ/2+k + (x − c)−σ/2 ϕf (x) ,

k=0

где nσ = [−σ] и ϕf ∈ L1 (c, b) ∩ L2 ((c, b), (x − c)−σ ), перепишем третье слагаемое в (3.1.8) следующим образом σ/2

−(x−c)

Z x0 σ −1 ´ ³nX −1 k k −σ a1 (x) w (t) a2 (t) ξf (t−c) +(t−c) ϕf (t) dt+ c

k=0

(3.1.9) Z x σ −1 ´ ³nX + (x−c)σ/2 a1 (x) w−1(t) a2 (t) ξfk (t−c)k +(t−c)−σ ϕf (t) dt . c

k=0

Rx При этом первое слагаемое в (3.1.9) ввиду того, что c 0 (. . . ) dt = = const, очевидно, принадлежит Dhσi (c, ˙ b), а второе представим двумя слагаемыми Z

nσ −1 σ/2

(x − c)

a1 (x)

X k=0

Z σ/2

+ (x − c)

a1 (x)

x c

ξfk

x c

w−1 (t) a2 (t)(t − c)k dt +

w−1 (t) a2 (t)(t − c)−σ ϕf (t) dt .

(3.1.10)

Pnσ −1 k R x Первое слагаемое в (3.1.10) ввиду того, что k=0 ξf c (. . . ) dt — аналитическая в окрестности точки x = c функция, вновь принадлежит Dhσi (c, ˙ b), а второе слагаемое можно представить −σ/2 в виде (x − c) ψf (x), где ψf (c) = 0. Действительно, Rx a1 (x) c w−1 (t) a2 (t) (t − c)−σ ϕf (t) dt lim ψf (x) = lim = x→c+0 x→c+0 (x − c)−σ Rx (n +1) a1 σ (x) c w−1 (t) a2 (t) (t − c)−σ ϕf (t) dt = lim = 0. x→c+0 Γ−1 (−σ − nσ ) Γ(−σ + 1) (x − c)−σ−nσ −1

123

3.1.1. Cингулярная точка на границе конечного интервала

Таким образом, третье слагаемое в (3.1.8) также принадлежит множеству Dhσi (c, ˙ b). Четвертое слагаемое в (3.1.8) можно переписать в виде Z x −σ/2 w−1 (t) a1 (t)ϕf (t) dt − (3.1.11) −(x − c) a2 (x) x0

Z −σ/2

− (x − c)

a2 (x)

σ −1 x nX

x0 k=0

ξfk w−1 (t) a1 (t)(t − c)σ+k dt .

Первое слагаемое в (3.1.11) принадлежит Dhσi (c, ˙ b) ввиду того, R x −1 что a2 (x) x w (t) a1 (t) ϕf (t) dt ∈ L1 (c, b) ∩ L2 ((c, b), (x − c)−σ ). 0 Второе слагаемое в (3.1.11) может быть представлено выражением Z x1 Z x −σ/2 −σ/2 (x − c) a2 (x) (. . . ) dt + (x − c) a2 (x) (. . . ) dt = x0

³

x1

= C(x − c)−σ/2 a2 (x) + (x − c)σ/2 a(x)

где x1 из (c, b) принадлежит окрестности точки x = c, в ко´ Rx торой аналитичны функции a1 (x) и a2 (x) , т. к. x 1 (. . . ) dt = 0 Rx = const и x (. . . ) dt = (x − c)σ a3 (x) + const, где a3 (x) — есть 1 аналитическая в упомянутой окрестности точки x = c функция, а a(x) = a2 (x) a3 (x). Следовательно, это слагаемое также принадлежит множеству Dhσi (c, ˙ b). Таким образом, четвертое слагаемое в (3.1.8) принадлежит Dhσi (c, ˙ b). Итак, если в неоднородном уравнении l(y)−λ y = f правая часть f ∈ L2hσi (c, ˙ b), то его решение y ∈ Dhσi (c, ˙ b). 2. Пусть теперь f ∈ ∆hσi (c, ˙ b). Покажем, что в этом случае также y ∈ Dhσi (c, ˙ b). Предварительно, обратившись к § 8.1.4 (п. 5), рассмотрим дифференциальное выражение lhσ, 0i lhσ, 0i = −∂x(1 − x)∂ +

σ2 4x

124

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

˙ 1) = L (0, ˙ l) [+] ˙ L2 (l, 1) и докажем вторую часть в L2hσ, 0i (0, 2hσi утверждения теоремы для уравнения ³ ´ hσ, 0i ˙ l (y) − λ y = f f ∈ ∆hσ, 0i (0, 1) , (3.1.12) ˙ 1) = {z ∈ D (0, ˙ l) для x ∈ (0, l); z ∈ D(l, 1) для x ∈ y ∈ Dhσ, 0i (0, hσi ∈ [l, 1); z(l − 0) = z(l) = z(l + 0)}. Лемма 3.1.3. Для решения y(x) уравнения (3.1.12) имеем 1 ˙ ˙ 1), причем y(x) ∈ A1 (0, ˙ 1) + ˙ Uhσ, y(x) ∈ Dhσ, 0i (0, hσ, 0i 0i (0, 1), если hσ, 0i

f (x) = ∆0 (0) (x). Доказательство. Очевидно, hσ, 0i Gt, λ (x)

=

∞ hσ, 0iJ hσ, 0i X µ (t) µ (x) k

k=0 hσ, 0i

(lhσ, 0i µn

где

k

hσ, 0i ρk

−λ

(3.1.13)

hσ, 0i hσ, 0i

(x) = ρn µn (x)) является решением уравнения ³ ´ hσ, 0i hσ, 0i hσ, 0i hσ, 0i lt Gt, λ (x) − λ Gt, λ (x) = δt (x) , hσ, 0i

δt

(x) =

P∞ k=0

(σ, 0)J

µk

hσ, 0i

(σ, 0)

(t) µk

(x)

hσ, 0i

— δ-функция, а Mk (x) = x−σ/2 µk (x) — обобщенно-классические ортогональные многочлены ³ очевид´ ³ Якоби [15]. ´ Так как, hσ, 0i hσ, 0i hσ, 0i hσ, 0i hσ, 0i hσ, 0i Gt, λ (x) . Gt, λ (x) = lx но, Gt, λ (x) = Gx, λ (t), то lt Следовательно, имеем ³ ´ hσ, 0i hσ, 0i hσ, 0i lxhσ, 0i Gt, λ (x) − λ Gt, λ (x) = δt (x) . (3.1.14) Общее решение уравнения (3.1.14), симметричное по переменным t и x, очевидно, имеет вид hσ, 0i Gt, λ (x)

=

∞ hσ, 0i hσ, 0iJ X (x) (t) µ µ k

k

k=0

hσ, 0i ρk

−λ

+

125

3.1.1. Cингулярная точка на границе конечного интервала

³ ´³ ´ + c1 uσ, λ (t) + c2 u−σ, λ (t) c1 uσ, λ (x) + c2 u−σ, λ (x) ,

(3.1.15)

где uσ, λ (x) и u−σ, λ (x) — линейно независимые решения соответhσ, 0i ствующего однородного уравнения. Очевидно, что Gt, λ (x) — есть функция Грина для уравнения hσ, 0i

lhσ, 0i (y) − λ y = f :

y(x) = [Gx, λ , f ]hσ, 0i .

Домножив обе части уравнения (3.1.14) на t−σ/2 и подействовав операцией (m!)−1 ∂tm , получаем ³ ´ hσ, 0i hσ, 0i hσ, 0i lxhσ, 0i Ωt (m);λ (x) − λ Ωt (m);λ (x) = ∆t (m) (x) (m ∈ Z0, rσ −1 ) , где hσ, 0i Ωt (m);λ (x)|c1 =c2 =0

∞ ³ ´−1 X hσ, 0i hσ, 0iJ hσ, 0i m! (ρk − λ) Mk (m) (t) µk (x). = k=0

Полагая t = 0, находим ³ ´ hσ, 0i hσ, 0i hσ, 0i lhσ, 0i Ω0 (m);λ (x) − λ Ω0 (m);λ (x) = ∆0 (m) (x) hσ, 0i

где Ω0 (m);λ (x)|c1 =c2 =0 видно, hσ, 0i

(m ∈ Z0, rσ −1 ) , (3.1.16) P∞ hσ, 0i hσ, 0iJ hσ, 0i −1 = k=0 (ρk − λ) Mm, k µk (x). Оче-

hσ, 0i

hσ, 0i

Ω0 (m);λ (x) = [Gx, λ (t), ∆0 (m) (t)]hσ, 0i hσ, 0i

hσ, 0i

Ввиду того, что Mm, k ∼ k σ+2m+1/2 и ρk

(m ∈ Z0, rσ −1 ) . ∼ k 2 (§ 10.5 [15]), име-

hσ, 0i

ем Ω0 (m);λ (x)|c1 =c2 =0 ∈ Πnσ −2m+1 ⊂ Πhσi (= Πhσ, 0i ) (nσ = [−σ]). hσ, 0i ˙ 1). В частности, для m = Следовательно, Ω0 (m);λ (x) ⊂ Dhσ, 0i (0, hσ, 0i ˙ 1). А так как = 0 имеем Ω (x)| c =c =0 ∈ Πn +1 ⊂ D (0, hσ, 0i σ hσ, 0i hσ, 0i ∈ Πnσ −2m−1 и ∆0 (m) (x) ∈ / Πnσ −2m , то Ω0 (0);λ (x) 1 ˙ 1)| mod ∆1 (0, ˙ 1) = A1 (0, ˙ 1) + ˙ ˙ Uhσ, Dhσ, 0i (0, hσ, 0i hσ, 0i 0i (0, 1). 4 0 (0);λ

hσ, 0i ∆0 (m) (x)

∈

1

2

∈

126

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

Вернемся теперь к доказательству собственно теоремы. Не теряя общности, положим для l ≡ lhσi в (3.1.2) c = 0, b ∈ ∈ (0, 1), p0 (0) = 1. Рассмотрим на (0, b) уравнение ³ ´ σ2 hσ, 0i hσi −∂x(1 − x)∂ + − λ Ω0 (0);λ (x) = ∆0 (0) (x) 4x

(3.1.17)

hσ, 0i hσi hσ, 0i 1 ˙ (∆0 (0) (x) ≡ ∆0 (0) (x)), где Ω0 (0);λ (x) ∈ Dhσ, 0i (0, 1)|(0, b) имеет структуру hσ, 0i Ω0 (0);λ (x)

=x

σ/2

nσ X

ξΩk xk + x−σ/2 ϕΩ (x) ,

k=0

где

x

σ/2

nσ X

˙ b) = A1hσ, 0i (0, ˙ 1)|(0, b) , ξΩk xk ∈ A1hσi (0,

k=0 1 1 ˙ b) = Uhσ, ˙ x−σ/2 ϕΩ (x) ∈ Uhσi (0, 0i (0, 1)|(0, b) .

˙ b), в Левая часть (3.1.17) не содержит элементов из L2hσi (0, ˙ b). Это значит, что коэффициенты ξΩk удочастности, из Ahσi (0, влетворяют рекуррентным соотношениям ξΩk+1 =

(σ + 2k)(σ + 2k + 2) − 4λ k ξΩ 4(k + 1)(σ + k + 1)

(k ∈ Z0, nσ −1 ) .

Таким образом, имеем hσi

∆0 (0) (x) = x−σ/2 ϕ1 (x) + x−σ/2 Φ1 (x) , ˙ b) , x−σ/2 ϕ1 (x) ∈ Uhσi (0, ³ ´ nσ ϕ1 (x) = ξΩ (nσ + σ/2)(nσ + σ/2 + 1) − λ xσ+nσ +

где

³ ´ + (σ/2)(σ/2 − 1) − λ ϕΩ (x) + (2 − σ) xϕ0Ω (x)

(3.1.18)

127

3.1.1. Cингулярная точка на границе конечного интервала

³

´ |ϕΩ (0)| < ∞, xϕ0Ω (x) → 0 при x → 0 (теорема 2.1.1, § 2.1.1) , Φ1 (x) = (σ − 1) ϕ0Ω (x) − xϕ00Ω (x) + x2 ϕ00Ω (x) . hσi

Ввиду того, что x∆0 (0) (x) = 0, имеем: x−σ/2 ϕ2 (x) + x−σ/2 Φ2 (x) = 0 , ˙ b) , x−σ/2 ϕ2 (x) ∈ Uhσi (0,

где

ϕ2 (x) = xϕ1 (x) + (σ − 1) xϕ0Ω (x) , Φ2 (x) = x2 (x − 1)ϕ00Ω (x) . Следовательно, ˙ b). x−σ/2 · x2 ϕ00Ω (x) ∈ Uhσi (0,

(3.1.19)

³ ´ hσ, 0i Очевидно, для h(x) = (l(σ) − l(σ, 0) ) Ω0 (0);λ (x) имеем ³

´ hσ, 0i h(x) = −∂x p1 (x)∂ + q0 (x) Ω0 (0);λ (x) , 2

где для p1 (x) = (p0 (x)−1+x)/x иPq0 (x) в окрестностиPнуля име∞ k k ют место представления p1 (x) = ∞ k=0 p1k x , q0 (x) = k=0 q0k x . Очевидно, ³

nσ ´ X σ/2 ˙ b) . ξΩk xk ∈ L2hσi (0, −∂x p1 (x)∂ + q0 (x) x 2

k=0

Далее, ввиду (3.1.18) и (3.1.19) получаем ³ ´ σ ³σ ´ −∂x2 p1 (x)∂+q0 (x) x−σ/2 ϕΩ (x) = − −1 p1 (x) x−σ/2 ϕΩ (x)+ 2 2 + q0 (x)x−σ/2 ϕΩ (x) +

σ 0 p (x)x−σ/2 xϕΩ (x) − p01 (x) x−σ/2 x2 ϕ0Ω (x) + 2 1

128

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

˙ b) . + (σ − 2)p1 (x) x−σ/2 xϕ0Ω (x) − p1 (x) x−σ/2 x2 ϕ00Ω (x) ∈ Uhσi (0, ˙ b). Следовательно, согласно пунТаким образом, h(x) ∈ L2hσi (0, кту 1 доказательства данной теоремы имеем ³ ´ 1 ˙ b) . ˙ b)) + ˙ Uhσi (0, h(x) = −lhσi g(x) + λ g(x) , где g(x) ∈ A1hσi (0, ´ ³ ´ ³ ´ ³ hσ, 0i hσ, 0i Тогда lhσi Ω0 (0);λ (x) = lhσ, 0i Ω0 (0);λ (x) − lhσi g(x) + λ g(x) или ввиду (3.1.16) ³ ´ hσi hσi hσi hσi l Ω0 (0);λ (x) − λ Ω0 (0);λ (x) = ∆0 (0) (x) , где hσi hσ, 0i 1 ˙ b) + ˙ b) ⊂ Dhσi (0, ˙ b) . ˙ Uhσi Ω0 (0);λ (x) = Ω0 (0);λ (x)+g(x) ∈ A1hσi (0, (0,

Принимая в расчет, наконец, уравнения (глава 8) l

hσi

³

hσi ∆0 (m) (x)

´ =

m+1 X

(m; σ)

ξk

hσi

(m; σ)

∆0 (k) (x) (m ∈ Z0, rσ −2 , ξm+1 6= 0) ,

k=0

находим ³ ´ hσi hσi hσi hσi l Ω0 (m);λ (x) − λ Ω0 (m);λ (x) = ∆0 (m) (x) (m ∈ Z1, rσ −2 ) , где hσi Ω0 (m);λ (x)

=η

(m; σ)

hσi Ω0 (0);λ (x)

+

m−1 X

(m; σ)

ζk

hσi ˙ b) , ∆0 (k) (x) ∈ Dhσi (0,

k=0 (m, σ)

а коэффициенты η (m, σ) и ζk (k ∈ Z0, m−1 ) без труда выража(n, σ) (s ∈ Z0, n+1 , n ∈ Z0, m−1 ) и λ. ¤ ются через величины ξs Теорема 3.1.4. Для f ∈ L2hσi (c, ˙ b) существует единственное решение неоднородного уравнения l(y) − λ y = f, удовлетворяющее условиям ξy0 = 0, ϕy (c) = 0.

3.1.1. Cингулярная точка на границе конечного интервала

129

Доказательство. Пусть y = y1 + c1 z1 + c2 z2 — общее решение уравнения l(y) − λ y = f, где y1 (x) — некоторое частное решение этого уравнения, а z1 (x) и z2 (x) линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющие условиям (3.1.6) и (3.1.7). Тогда при c1 = −ξy01 /ξz01 и c2 = −ϕy1 (c)/ϕz2 (c) решение y(x) удовлетворяет условиям ξy0 = 0, ϕy (c) = 0. Далее, пусть y(x) и y∗ (x) — два решения неоднородного уравнения, удовлетворяющие условиям ξy0 = 0 и ϕy (c) = 0. Тогда z = y − y∗ = α1 z1 + α2 z2 есть решение однородного уравнения, удовлетворяющее условиям ξz0 = 0 и ϕz (c) = 0 : α1 ξz01 + α2 ξz02 = 0 ,

α1 ϕz1 (c) + α2 ϕz2 (c) = 0 .

Отсюда ввиду соотношений (3.1.6) и (3.1.7) получаем α1 = α2 = = 0. Следовательно, z = 0, т. е. y = y∗ . ¤ Обозначим n o Dhσi0 (c, ˙ b) = y ∈ Dhσi (c, ˙ b) : ξy0 = 0, ϕy (c) = 0, y(b) = 0, y 0 (b) = 0 . (3.1.20) ˙ b) может Следовательно, произвольный элемент y ∈ Dhσi0 (c, быть представлен суммой y(x) = ay (x) + uy (x) + ωyc (x) , где

ay (x) ∈ A1hσi (c, ˙ b) и ξy0 = 0 , 1 uy (x) ∈ Uhσi (c, ˙ b) и ϕy (c) = 0 ,

ωyc (x) ∈ ∆1hσi (c, ˙ b) , причем ay (b) + uy (b) = 0,

a0y (b) + u0y (b) = 0 .

Пусть Lhσi0 — сужение оператора Lhσi c Dhσi (c, ˙ b) на множество Dhσi0 (c, ˙ b) : Lhσi0 = Lhσi |Dhσi0 (c, ˙ b). Таким образом, Lhσi0 ⊂ Lhσi .

(3.1.21)

130

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

Тогда ввиду (2.1.9) имеем для y ∈ Dhσi0 (c, ˙ b) и z ∈ Dhσi (c, ˙ b) [Lhσi0 y, z]hσi = [y, Lhσi z]hσi .

(3.1.22)

Теорема 3.1.5. Оператор Lhσi0 является π-эрмитовым. Доказательство. Согласно (3.1.21) и (3.1.22) имеем для элементов y, z ∈ Dhσi0 (c, ˙ b) [Lhσi0 y, z]hσi = [y, Lhσi0 z]hσi . ¤ hσi

Обозначим через Qλhσi ≡ Qλhσi (c, ˙ b) линеал Lin{Ωc (0);λ (x)}, hσi

˙ b) линеал Lin{∆c (0) (x)}. а через ∆0hσi ≡ ∆0hσi (c, Теорема 3.1.6. Если f (x) ∈ L2hσi (c, ˙ b), то неоднородное уравнение l(y) − λy = f имеет решение y(x) ∈ Dhσi0 (c, ˙ b) тогда и только тогда, когда f (x) π-ортогональна ко всем решениям p ˙ Qλhσi неоднородного уравнения l(z) − λz = g, z(x) ∈ Nλhσi + 0 g ∈ ∆hσi . Доказательство. Согласно теореме существования и единственности [13] уравнение l(y) − λy = f имеет единственное решение y(x), удовлетворяющее условиям y(b) = 0, y 0 (b) = 0. Поскольку f ∈ Πhσi , то y ∈ Dhσi (c, ˙ b). Тогда для z ∈ Dhσi (c, ˙ b) имеем ³ ´ [f, z]hσi = [y, l(z)−λ z]hσi +σ p0 (c) ξy0 ϕz (c)−ξ z0 ϕy (c) . (3.1.23) p ˙ Qλhσi , то l(z) − λ z = (1) Если y ∈ Dhσi0 (c, ˙ b) и z ∈ Nλhσi + 0 0 = g ∈ ∆hσi , ξy = 0, ϕy (c) = 0, следовательно, правая часть в (3.1.23) равна нулю, т. е. f [⊥] z. p ˙ Qλhσi , то левая часть в (2) Если f [⊥] z и z ∈ Nλhσi + (3.1.23) равна нулю и (a) при z = uσ, λ имеем l(z) − λ z = 0, ϕz (c) = 0, ξz0 = 1, следовательно, ϕy (c) = 0, (b) при z = u−σ, λ

3.1.1. Cингулярная точка на границе конечного интервала

131

имеем l(z) − λ z = 0, ϕz (c) = 1, ξz0 = 0, следовательно, ξy0 = 0. Таким образом, y ∈ Dhσi0 (c, ˙ b). ¤ p Очевидно, элемент z2 = u−σ, λ (∈ Nλhσi ) является позитивным элементом ([z2 , z2 ]hσi > 0) пространства Πhσi . Элемент p z1 = uσ, λ (∈ Nλhσi ) в общем случае может оказаться позитивным, негативным, либо нейтральным. Теорема 3.1.7. Для произвольных чисел α1 , α2 , β1 , β2 существует функция y ∈ Dhσi (c, ˙ b), удовлетворяющая условиям 0 ξy = α1 , σp0 (c) ϕy (c) = α2 , y(b) = β1 , p(b) y 0 (b) = β2 . Доказательство. (1) Построим функцию u ∈ Dhσi (c, ˙ b), удовлетворяющую условиям ξu0 = α1 , σp0 (c) ϕu (c) = α2 ,

u(b) = 0, u0 (b) = 0 .

Если решение z1 = uσ, 0 (x) однородного уравнения l(z) = 0 не p является изотропным в N0hσi (z2 = u−σ, 0 (x) — позитивен), то рассмотрим функцию f (x) = c1 z1 (x) + c2 z2 (x) ∈ Dhσi (c, ˙ b) , в которой константы c1 и c2 найдем из системы уравнений −ξ z01 α2 = [f, z1 ]hσi = c1 [z1 , z1 ]hσi + c2 [z2 , z1 ]hσi , σ p0 (c)ϕz2 (c) α1 = [f, z2 ]hσi = c1 [z1 , z2 ]hσi + c2 [z2 , z2 ]hσi , определитель которой, очевидно, не равен нулю. p Если z1 изотропен в N0hσi , то выберем в Dhσi0 (c, ˙ b) эле∗ мент z1 не π-ортогональный к z1 . Такой элемент в Dhσi0 (c, ˙ b) существует. Действительно, если [z1 , y]hσi = 0 для всех y ∈ p ∈ Dhσi0 (c, ˙ b), то приходим к противоречию z1 ∈ ∆0hσi 6⊂ N0hσi .В этом случае рассмотрим функцию ˙ b) , f (x) = c1 z1∗ (x) + c2 z2 (x) ∈ Dhσi (c,

132

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

в которой константы c1 и c2 найдем из системы уравнений −ξ z01 α2 = [f, z1 ]hσi = c1 [z1∗ , z1 ]hσi + c2 [z2 , z1 ]hσi , σ p0 (c)ϕz2 (c) α1 = [f, z2 ]hσi = c1 [z1∗ , z2 ]hσi + c2 [z2 , z2 ]hσi , определитель которой, очевидно, не равен нулю ([z2 , z1 ]hσi = 0). Так как f ∈ Dhσi (c, ˙ b) ⊂ L2hσi (c, ˙ b), то решение u уравнения l(u) = f принадлежит Dhσi (c, ˙ b), причем оно единственным образом определяется условиями u(b) = 0 и u0 (b) = 0. Тогда из соотношений [f, z1 ]hσi = [l(u), z1 ]hσi − [u, l(z1 )]hσi = −Reg{u, z1 }c , [f, z2 ]hσi = [l(u), z2 ]hσi − [u, l(z2 )]hσi = −Reg{u, z2 }c находим ξu0 = α1 , σp0 (c) ϕu (c) = α2 . (2) Построим теперь функцию v ∈ Dhσi (c, ˙ b), удовлетворяющую условиям ξv0 = 0 , ϕv (c) = 0 ,

v(b) = β1 , p(b) v 0 (b) = β2 .

Как и в пункте (1) рассмотрим функцию g ∈ Dhσi (c, ˙ b) вида g(x) = c1 z1 (x) + c2 z2 (x) ∈ Dhσi (c, ˙ b) , p если z1 не изотропен в N0hσi , либо

g(x) = c1 z1∗ (x) + c2 z2 (x) ∈ Dhσi (c, ˙ b) , p если z1 изотропен в N0hσi . Из соотношений

³ ´ − β1 p(b) z 10 (b) − β2 z 1 (b) = [g, z1 ]hσi , ³

´ β1 p(b) z 20 (b) − β2 z 2 (b) = [g, z2 ]hσi

определим константы c1 и c2 .

3.1.1. Cингулярная точка на границе конечного интервала

133

Решение v уравнения l(v) = g ввиду g ∈ Dhσi (c, ˙ b) ⊂ Πhσi принадлежит множеству Dhσi (c, ˙ b). Функция v определяется с точностью до решения v0 = λ1 z1 + λ2 z2 однородного уравнения l(v0 ) = 0. Учитывая соотношения (3.1.6) и (3.1.7), подберем константы λ1 и λ2 так, чтобы выполнялись условия ξv0 = 0 и ϕv (c) = 0. Тогда из соотношений [g, z1 ]hσi = [l(v), z1 ]hσi − [v, l(z1 )]hσi = {v, z1 }b , [g, z2 ]hσi = [l(v), z2 ]hσi − [v, l(z2 )]hσi = {v, z2 }b находим v(b) = β1 , p(b) u0 (b) = β2 . В результате функция y(x) = u(x) + v(x), очевидно, является функцией из Dhσi (c, ˙ b), удовлетворяющей условиям теоремы. ¤ Теорема 3.1.8. Область определения Dhσi0 (c, ˙ b) оператора Lhσi0 не является плотной в Πhσi . Доказательство. В пространстве Πhσi имеется (единственный hσi

линейно независимый) элемент f = ∆c (0) (x) такой, что для всех y0 ∈ Dhσi0 (c, ˙ b) выполняется соотношение hσi

[y0 , ∆c (0) ]hσi = ξy00 = 0 hσi

в то время, как ∆c (0) (x) 6= 0. ¤ Рассмотрим евклидово пространство E = Lin{ei }3i=0 , где e0 = (1, 0, 0, 0) ,

e1 = (0, 0, 1, 0) ,

e2 = (0, 0, 0, i) ,

e3 = (0, i, 0, 0) , P3 со скалярным произведением (ξ, η)E = i=0 ξi η i . Очевидно, элементы ei (i ∈ Z0, 3 ) образуют ортонормальный базис в E : (ei , ej )E = δi, j (i, j ∈ Z0, 3 ). Определим в E индефинитную метрику соотношением [ξ, η]E = (Gξ, η)E ,

134

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

где G — самосопряженный метрический оператор, задаваемый эрмитовой матрицей µ ¶ µ ¶ µ ¶ σ ˆ2 oˆ 0 −i 0 0 ˆ G= , σ ˆ2 = , oˆ = . oˆ σ ˆ2 i 0 0 0 Очевидно, ei = Ge3−i (i ∈ Z0, 3 ). Так как спектр оператора G состоит из собственных значений λi = (−1)i (i ∈ Z0, 3 ), то сигнатура метрики [ξ, η]E равна {+1, +1, −1, −1}. Взаимно ортогональные дополнения E0 = Lin{e0 , e1 } и E0⊥ = Lin{e2 , e3 } ˙ E0⊥ ) являются нейтральными подпространствами в (E = E0 (+) E. При этом [ei , ej ]E = δi, 3−j (i, j ∈ Z0, 3 ), т. е. элементы e0 , e3 и соответственно e1 , e2 являются кососвязанными относительно индефинитной метрики. Пусть теперь ³ ´ α ∈ (−π/2, π/2) , γ0 = cos α · e0 + sin α · e3 ³ ´ γ1 = cos β · e1 + sin β · e2 β ∈ (−π/2, π/2] ³ — два ортонормальных элемента в E (γi , γj )E = δi, j , i, j ∈ ´ ∈ Z0, 1 , порождающих нейтральный линеал E = Lin{γ0 , γ1 } ³ ´ [γi , γj ]E = 0, i, j ∈ Z0, 1 . При этом на элемент γ0 наложено дополнительное условие (γ0 , e0 )E 6= 0 . Если ввести еще два элемента γ2 и γ3 , определяемых выражениями γi = Gγ3−i (i ∈ Z2, 3 ), то, очевидно, выполняются соотношения (γi , γj )E = δi, j ,

[γi , γj ]E = δi, 3−j

(i, j ∈ Z0, 3 ) .

Следовательно, линеал E ⊥ = Lin{γ2 , γ3 } является ортогональ˙ E ⊥ ), причем нейтральным в E дополнением к E (E = E (+) ным относительно индефинитной метрики, а элементы γ0 , γ3 и соответственно γ1 , γ2 являются кососвязанными.

135

3.1.1. Cингулярная точка на границе конечного интервала

Обозначим через Γ0 нейтральный линеал Γ0 = Lin{γ0 }. Через Γ обозначим вырожденный линеал Γ = Lin{γ0 , γ1 , γ2 }. При этом Γ0 является изотропным линеалом в Γ. Очевидно, n o Γ = γ ∈ E : [γ, γ0 ]E = 0 , (3.1.24) n o Γ0 = γ ∈ E : [γ, γi ]E = 0 (i ∈ Z0, 2 ) .

(3.1.25)

В согласии с теоремой 3.1.7 установим соотношениями γz0 = ξz(0) , γz1 = σ p0 (c) ϕz (c) , γz2 = z(b) , γz3 = p(b) z 0 (b) отображение Dhσi (c, ˙ b) → E элементов z ∈ Dhσi (c, ˙ b) на элементы γz ∈ E Тогда для y, z ∈ Dhσi (c, ˙ b) имеем Reg{y, z}bc = i[γy , γz ]E . Обозначим n o D˙ hσi (c, ˙ b) = z ∈ Dhσi (c, ˙ b) : γz ∈ Γ ,

(3.1.26)

n o D˙ hσi0 (c, ˙ b) = y ∈ Dhσi (c, ˙ b) : γy ∈ Γ0 .

(3.1.27)

Таким образом, ( ) y ∈ Dhσi (c, ˙ b) : α ∈ (−π/2, π/2) , D˙ hσi (c, ˙ b) = , (3.1.28) ξy0 sin α + σp0 (c)ϕy (c) cos α = 0 n o 0 ˙ ˙ Dhσi0 (c, ˙ b) = y ∈ Dhσi (c, ˙ b) : y(b) = 0 , y (b) = 0 . В частности, при α = 0 n o D˙ hσi (c, ˙ b) = y ∈ Dhσi (c, ˙ b) : ϕy (c) = 0 ,

(3.1.29)

(3.1.30)

136

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

n o D˙ hσi0 (c, ˙ b) = y ∈ D˙ hσi (c, ˙ b) : y(b) = 0 , y 0 (b) = 0 .

(3.1.31)

˙ Пусть L ˙ b) на мноhσi — сужение оператора Lhσi с Dhσi (c, ˙ ˙ ˙ жество D˙ hσi (c, ˙ b) и L ˙ b) hσi0 — сужение оператора Lhσi с D hσi (c, на множество D˙ (c, ˙ b). Таким образом, имеем hσi0

˙ hσi0 ⊂ L ˙ hσi ⊂ Lhσi . Lhσi0 ⊂ L Тогда, очевидно, для всех y ∈ D˙ hσi0 (c, ˙ b) и z ∈ D˙ hσi (c, ˙ b) имеем ˙ hσi0 y, z]hσi = [y, L ˙ hσi z]hσi . [L

(3.1.32)

Так как для y, z ∈ D˙ hσi0 (c, ˙ b) выполняется соотношение ˙ hσi0 y, z]hσi = [y, L ˙ hσi0 z]hσi , [L то имеет место ˙ Теорема 3.1.9. Оператор L hσi0 является π-эрмитовым. Из двух линейно независимых решений u˙ λ (x) = σp0 (c) uσ, λ (x) cos α − u−σ, λ (x) sin α ,

(3.1.33)

uλ (x) = σp0 (c) uσ, λ (x) sin α + u−σ, λ (x) cos α однородного уравнения l(z)−λ z = 0 ввиду (3.1.6) и (3.1.7) только первое решение u˙ λ принадлежит D˙ hσi (c, ˙ b). Таким образом, p ˙ z − λz = 0 для множества N˙ λhσi всех решений уравнения L hσi p ˙ имеем N = Lin{u˙ }. λhσi

λ

Теорема 3.1.10. Неоднородное уравнение l(z) − λ z = f для f ∈ L2hσi (c, ˙ b) имеет решение из D˙ hσi (c, ˙ b).

3.1.1. Cингулярная точка на границе конечного интервала

137

Доказательство. Согласно теореме 3.1.2 решение y(x) неоднородного уравнения с f ∈ Πhσi принадлежит Dhσi (c, ˙ b). Пусть 0 ξy sin α + σp0 (c)ϕy (c) cos α = θy σp0 (c). Тогда ввиду ξu0λ sin α + σp0 (c)ϕuλ (c) cos α = σp0 (c) элемент z = y − θy uλ , очевидно, принадлежит D˙ hσi (c, ˙ b). ¤ Теорема 3.1.11. Если f (x) ∈ Πhσi , то неоднородное уравнение l(y) − λ y = f имеет решение y(x) ∈ D˙ hσi0 (c, ˙ b) тогда и только тогда, когда элемент f (x) π-ортогонален ко всем решениям z(x) ∈ N˙ pλhσi однородного уравнения l(z) − λ z = 0. Доказательство. Уравнение l(y) − λ y = f имеет единственное решение y(x), удовлетворяющее условиям y(b) = 0, y 0 (b) = 0. Поскольку f ∈ Πhσi , то y ∈ Dhσi (c, ˙ b). Пусть z ∈ N˙ pλhσi . Тогда имеем ввиду ξz0 6= 0 [f, z]hσi = [l(y), z]hσi − [y, l(z)]hσi = i[γy , γz ]E = ³ ´ = −ξ z0 cos−1 α ξy0 sin α + σp0 (c)ϕy (c) cos α . Отсюда следует утверждение теоремы. ¤ ˙ Обозначим R˙ λhσi область изменения оператора L hσi0 −λI . Из теоремы следует, что пространство Πhσi разлагается в прямую π-ортогональную сумму ˙ N˙ pλhσi Πhσi = R˙ λhσi [+]

(N˙ qλhσi = N˙ pλhσi ) ,

если u˙ λ не является нейтральным элементом. Если u˙ λ — нейтрален, то R˙ λhσi вырождается (N˙ pλhσi ⊂ R˙ λhσi ) и ˙ N˙ qλhσi , Πhσi = R˙ λhσi + где N˙ qλhσi = Lin{v˙ λ }, v˙ λ — нейтральный элемент в Πhσi , не содержащийся в R˙ λhσi и кососвязанный с u˙ λ : [u˙ λ , v˙ λ ]hσi = 1.

138

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

Теорема 3.1.12. Область определения D˙ hσi0 (c, ˙ b) оператора ˙L hσi0 плотна в Πhσi . Доказательство. Пусть f ∈ Πhσi и f [⊥] D˙ hσi0 (c, ˙ b), то есть для всех y ∈ D˙ hσi0 (c, ˙ b) имеем [f, y]hσi = 0. Пусть z — решение ˙ b). Тогда уравнения l(z) − λz = f из D˙ hσi (c, [z, l(y) − λ y]hσi = [l(z) − λ z, y]hσi = [f, y]hσi = 0 , то есть z [⊥] R˙ λhσi . Следовательно, имеем z ∈ N˙ pλhσi и поэтому f = l(z) − λ z = 0. ¤ Отсюда имеем согласно (3.1.32) ˙ hσi ⊂ L ˙ chσi0 , L

(3.1.34)

а также ˙ Следствие 3.1.13. Оператор L hσi0 , определенный на области ˙ Dhσi0 (c, ˙ b) , является π-симметрическим оператором. Теорема 3.1.14. Для произвольных чисел A, B, C существует функция y ∈ D˙ hσi (c, ˙ b), удовлетворяющая условиям ξy0 = A cos α , σp0 (c)ϕy (c) = −A sin α , y(b) = B , p(b) y 0 (b) = C . Доказательство. Утверждение теоремы следует непосредственно из теоремы 3.1.7 при α1 = A cos α, α2 = −A sin α, β1 = B, β2 = C. ¤ ˙ Теорема 3.1.15. Оператор L hσi является π-сопряженным к ˙ оператору L hσi0 : ˙ ˙c L (3.1.35) hσi = Lhσi0 .

3.1.1. Cингулярная точка на границе конечного интервала

139

Доказательство. Ввиду (3.1.34) достаточно доказать соотноше˙ ˙c ˙c ние L ˙ b), hσi ⊃ Lhσi0 . Для произвольного элемента g ∈ D hσi0 (c, ˙ c , положим где D˙ chσi0 (c, ˙ b) — область определения оператора L hσi0 ˙ c g = h (∈ Π ). Согласно теореме 3.1.10 существует решеL hσi0 hσi ние z ∈ D˙ hσi (c, ˙ b) уравнения l(z) = h. Для любого элемента y ∈ D˙ hσi0 (c, ˙ b), с одной стороны, имеем ˙ z, y] = [z, L ˙ [h, y]hσi = [ L hσi hσi hσi0 y]hσi . С другой стороны, согласно определению π-сопряженного оператора ˙ c g, y] = [g, L ˙ [h, y]hσi = [ L hσi0 hσi0 y]hσi . Следовательно,

˙ [z − g, L hσi0 y]hσi = 0 ,

(3.1.36)

то есть z − g [⊥] R˙ 0hσi . Значит z − g ∈ N˙ p0hσi ⊂ D˙ hσi (c, ˙ b). Тогда ввиду z ∈ D˙ hσi (c, ˙ b) имеем g ∈ D˙ hσi (c, ˙ b) и согласно (3.1.36) ˙ (z − g) = 0. Отсюда L ˙ g = L ˙ z = h = L ˙ c g. имеем L hσi hσi hσi hσi0 ˙ ˙c .¤ Таким образом, доказано включение L ⊃ L hσi hσi0 ˙ Теорема 3.1.16. Оператор L hσi0 является π-сопряженным к ˙ оператору Lhσi , то есть ˙ hσi0 = L ˙ chσi . L Доказательство. Достаточно доказать соотношение ˙ chσi ⊂ L ˙ hσi0 , L

(3.1.37)

так как из (3.1.35) следует ˙ ˙ cc ˙ chσi = L L hσi0 ⊃ Lhσi0 .

(3.1.38)

140

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

˙ ˙ ˙c ˙c Из L hσi0 ⊂ Lhσi имеем Lhσi0 ⊃ Lhσi или с учетом (3.1.35) ˙ hσi ⊃ L ˙ chσi . L

(3.1.39)

˙ b) — область опре˙ b), где множество D˙ chσi (c, Пусть z ∈ D˙ chσi (c, c ˙ деления оператора Lhσi . Тогда ввиду соотношения (3.1.39) име˙ z. Cогласно определению π˙c z = L ем z ∈ Dhσi (c, ˙ b) и L hσi hσi c ˙ ˙ b) сопряженного оператора Lhσi для любого элемента y ∈ D˙ hσi (c, c ˙ ˙ ˙ ˙ имеем [ Lhσi z, y]hσi = [z, Lhσi y]hσi , т. е. [ Lhσi z, y]hσi = [z, Lhσi y]hσi или [l(z), y]hσi = [z, l(y)]hσi . Тогда из i[γz , γy ]E = Reg{z, y}bc = [l(z), y]hσi − [z, l(y)]hσi для z ∈ D˙ chσi (c, ˙ b) и любого y ∈ D˙ hσi (c, ˙ b) следует [γz , γy ]E = 0, т. е. ³ ´ ³ ´ 0 0 0 0 p(b) z(b) y (b) − z (b) y(b) + σ p0 (c) ξz ϕy (c) − ξ y ϕz (c) = 0 . (3.1.40) ˙ Так как согласно теореме 3.1.14 функцию y ∈ Dhσi (c, ˙ b) можно 0 выбрать со значениями ξy = A cos α, σp0 (c) ϕy (c) = −A sin α, y(b) = B, p(b) y 0 (b) = C, то из (3.1.40) ввиду произвольности величин A, B, C вытекает ξz0 sin α+σp0 (c) ϕz (c) cos α = 0, z(b) = = 0, z 0 (b) = 0, то есть z ∈ D˙ hσi0 (c, ˙ b). Следовательно, имеем ˙c ⊂ L ˙ D˙ chσi (c, ˙ b) ⊂ D˙ hσi0 (c, ˙ b) или L hσi hσi0 . ¤ ˙ Следствие 3.1.17. Оператор L hσi0 является замкнутым πсимметрическим оператором. ˙ Теорема 3.1.18. Оператор L hσi0 не имеет собственных векторов. Доказательство. Произвольное решение y однородного уравнения l(y) − λy = 0 можно записать в виде y = c1 z1 + c2 z2 ,

3.1.1. Cингулярная точка на границе конечного интервала

141

где z1 и z2 — линейно независимые решения этого уравнения. Уже наложение лишь условий y(b) = 0, y 0 (b) = 0 дают c1 = 0, c2 = 0. ¤ ˙ Теорема 3.1.19. L hσi0 является вещественным оператором. Доказательство. Ввиду инвариантности краевых условий в выражениях (3.1.26) и (3.1.27), выделяющих в Dhσi (c, ˙ b) области ˙ ˙ ˙ определения Dhσi (c, ˙ b) оператора Lhσi и Dhσi0 (c, ˙ b) оператора ˙ L hσi0 , относительно операции комплексного сопряжения области D˙ hσi (c, ˙ b) и D˙ hσi0 (c, ˙ b) (как и Dhσi (c, ˙ b)) симметричны относи˙ ˙ тельно этой операции. Тогда, учитывая, что L hσi0 ⊂ Lhσi ⊂ Lhσi , приходим к утверждению теоремы. ¤ Теорема 3.1.20. Индекс дефекта π-симметрического опера˙ тора L hσi0 равен (1, 1). ˙ c z − λ z = 0, то есть L ˙ z− Доказательство. Уравнение L hσi0 hσi −λ z = 0 (=λ > 0), имеет одно линейно независимое решение u˙ λ ∈ D˙ hσi (c, ˙ b). Следовательно, первое дефектное число равно mσ, λ = 1. Аналогично после замены λ → λ находим для второ˙ го дефектного числа mσ, λ = 1. Так как оператор L hσi0 не имеет нетривиальных собственных векторов, то требование, чтобы λ ˙ и λ не являлись собственными значениями оператора L hσi0 , излишне. ¤ Из теоремы следует, что псевдо- и квазидефектные под˙ ˙p пространства оператора L hσi0 одномерны. При этом, если N λhσi не вырождается, то оба подпространства совпадают: N˙ pλhσi = = N˙ qλhσi = Lin{u˙ λ }. Если N˙ pλhσi вырождается, то есть u˙ λ является нейтральным, то N˙ λhσi = {0} и N˙ qλhσi = Lin{v˙ λ }, где v˙ λ — нейтральный элемент, удовлетворяющий условию кососвязанности с элементом u˙ λ : [v˙ λ , u˙ λ ]hσi = 1. Так как u˙ λ ∈ R˙ λhσi , то V˙ hσi0 u˙ λ = −ησ u˙ λ , где V˙ hσi0 — преобразование Кэли оператора

142

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

˙ ˙ ˙ ˙ L hσi0 , а |ησ | = 1, поскольку из Vhσi0 y = z (y ∈ Rλhσi , z ∈ Rλhσi ) следует V˙ hσi0 z = y (y ∈ R˙ λhσi , z ∈ R˙ λhσi ). Оператор V˙ S определяется соотношением V˙ S v˙ λ = −ησ v˙ λ . В соответствии с теоремой 7.2.9 имеет место следующая Теорема 3.1.21. Область определения D˙ hσi ≡ D˙ hσi (c, ˙ b) опе˙ ратора Lhσi дается соотношением ˙ N˙ τp hσi + ˙ N˙ τ hσi + ˙ N˙ hσi D˙ hσi = D˙ hσi0 +

(τ = λ или λ) ,

либо эквивалентным ему (τ ) ˙ N˙ pτ hσi + ˙ N˙ pτ hσi + ˙ N˙ hσi D˙ hσi = D˙ hσi0 +

(τ = λ или λ) ,

где (τ ) ˙ hσi0 − τ I)−1 R˙ τ hσi , N˙ τ hσi = N˙ p , N˙ hσi = {0} , D˙ hσi0 = D˙ hσi0 = ( L τ hσi

если N˙ pτ hσi не вырождается, и (τ ) ˙ hσi0 − τ I)−1 R˙ 0τ hσi D˙ hσi0 = ( L

˙ Lin{u˙ τ } = R˙ τ hσi ) , (R˙ 0τ hσi +

N˙ τ hσi = {0} , Lin{v˙ λ + ησ v˙ λ } , если N˙ pτ hσi — вырождается (то есть u˙ τ — изотропен). При этом ˙ (v˙ + η v˙ ) = λ v˙ + λ η v˙ . L hσi λ σ λ σ λ λ 2. Пусть σ > −1. В этом случае сингулярная точка x = c не является критической и пространство Πhσi является обычным пространством Гильберта (с позитивной метрикой), а оператор Lhσi , порождаемый дифференциальный выражением (3.1.2) попадает в классическую область с одним сингулярным и одним регулярным концом (см. [11], [12], [13]).

143

3.1.2. Cингулярная точка на границе полубесконечного интервала

2.1. Для σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) уравнение l(y) − λ y = 0 (λ 6= λ) имеет два линейно независимых решения z1 = u−ν, λ (x) и z2 = uν, λ (x) из Dhσi (c, ˙ b) ≡ Dh−σi (c, ˙ b) (ξz01 = 1, ϕz1 (c) = 0, ξz01 = 0, ϕz1 (c) = 1, ν = |σ|). Следовательно, индекс дефекта симметрического оператора Lhσi0 = Lchσi (≡ L∗hσi ) с областью определения (3.1.20) Dhσi0 (c, ˙ b) ≡ Dh−σi0 (c, ˙ b) равен (2, 2). 2.2. Для σ > 1 (σ ∈ / Z) из двух решений z1 = u−ν, λ (x) и z2 = uν, λ (x) уравнения l(y)−λ y = 0 только второе принадлежит области Dhσi (c, ˙ b). Поэтому индекс дефекта симметрического оператора Lhσi0 = Lchσi (≡ L∗hσi ) с областью определения n

0

o

Dhσi0 (c, ˙ b) = y ∈ Dhσi (c, ˙ b) : y(b) = 0, y (b) = 0

(3.1.41)

³ ´ равен (1, 1) {y, z}c = 0 ∀y, z ∈ Dhσi (c, ˙ b) [13] .

3.1.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала Рассмотрим в пространстве Πhσi ≡ L2hσi (c, ˙ ∞) (σ ∈ / Z) дифференциальный оператор Lhσi , определенный на множестве o n Dhσi (c, ˙ ∞) = y ∈ Πhσi : l(y) ∈ Πhσi дифференциальным выражением (3.1.2) с соответствующими p0 (x) и q0 (x), заданными на интервале [0, ∞) (§ 2.1.2). 1. Пусть σ < −1. В этом случае сингулярная точка x = c является критической и пространство Πhσi является пространством Понтрягина с рангом индефинитности rσ = [−σ]−[−σ/2]. Оператор Lhσi является сингулярным (b = +∞) с квазирегулярным левым концом x = c. Согласно теореме 2.1.4 для области

144

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

Dhσi (c, ˙ ∞) имеем  y(x) ∈ Dhσi (c, ˙ l) для x ∈ (c, l] ,     y(x) ∈ D(l, ∞) для x ∈ [l, ∞) : Dhσi (c, ˙ ∞) =  y(l − 0) = y(l) = y(l + 0) ,    0 y (l − 0) = y 0 (l) = y 0 (l + 0) , l ∈ (c, ∞)

        

,

где 1 ˙ Uhσi ˙ ∆1hσi (c, Dhσi (c, ˙ l) = A1hσi (c, ˙ l) + (c, ˙ l) + ˙ l) , (3.1.42) n o D(l, ∞) = w ∈ L2 (l, ∞) : l(w) ∈ L2 (l, ∞) ,

т. е. произвольная функция y ∈ Dhσi (c, ˙ ∞) может быть представлена на интервале (c, l] в виде

где

y(x) = ay (x) + uy (x) + ωyc (x) , Pnσ k ay (x) = (x − c)σ/2 k=0 ξy (x − c)k , uy (x) = (x − c)−σ/2 ϕy (x) , P σ −2 m hσi ωyc (x) = rm=0 ηy ∆c (m) (x) ,

причем ay (l) + uy (l) = y(l + 0) , a0y (l) + u0y (l) = y 0 (l + 0) (nσ = [−σ]) и |ϕy (c)| < ∞. Обозначим ( ) y ∈ Dhσi (c, ˙ ∞) : ξy0 = 0, ϕy (c) = 0 , 0 Dhσi0 (c, ˙ ∞) = , y(x) = 0 для x ∈ (βy , ∞) где число βy ∈ (c, ∞) свое для каждой функции y (очевидно, при этом y(βy ) = y 0 (βy ) = 0). Пусть L0hσi0 — сужение оператора 0 0 Lhσi c Dhσi на Dhσi0 : L0hσi0 = Lhσi |Dhσi0 (c, ˙ ∞). Таким образом, L0hσi0 ⊂ Lhσi .

(3.1.43)

145

3.1.2. Cингулярная точка на границе полубесконечного интервала

0 Тогда, очевидно, имеем для y ∈ Dhσi0 (c, ˙ ∞) и z ∈ Dhσi (c, ˙ ∞)

[L0hσi0 y, z]hσi = [y, Lhσi z]hσi .

(3.1.44)

Теорема 3.1.22. Оператор L0hσi0 является π-эрмитовым. Доказательство. Согласно соотношениям (3.1.43) и (3.1.44) име0 (c, ˙ ∞) ем для y, z ∈ Dhσi0 [L0hσi0 y, z]hσi = [y, L0hσi0 z]hσi . ¤ 0 Теорема 3.1.23. Область определения Dhσi0 (c, ˙ ∞) оператора 0 Lhσi0 не плотна в Πhσi . 0 (c, ˙ ∞) и Доказательство. Действительно, для всех y(x) ∈ Dhσi0 hσi

hσi

f (x) = ∆c (0) (x) ∈ ∆1hσi (c, ˙ ∞), где можно полагать, что ∆c (0) (x) hσi

— то же, что и ∆c (0) (x) из ∆1hσi (c, ˙ l) в (3.1.42), но продолженное нулем на интервал [l, ∞), имеем hσi

[y, ∆c (0) ]hσi = ξy0 = 0 , hσi

в то время, как ∆c (0) (x) 6= 0. ¤ Тогда рассмотрим множества ( ) z ∈ Dhσi (c, ˙ ∞) : α ∈ (−π/2, π/2) , D˙ hσi (c, ˙ ∞) = , ξz0 sin α + σp0 (c)ϕz (c) cos α = 0 (3.1.45) n o 0 ˙ ˙ Dhσi0 (c, ˙ ∞) = y ∈ Dhσi (c, ˙ ∞) : y(x) = 0 для x ∈ (βy , ∞) (3.1.46) 0 ˙ (при этом y(βy ) = y (βy ) = 0). Пусть Lhσi — сужение оператора ˙0 Lhσi с Dhσi (c, ˙ ∞) на D˙ hσi (c, ˙ ∞) и L hσi0 — сужение оператора 0 ˙ ˙ L ˙ ∞) на D˙ hσi0 (c, ˙ ∞). Таким образом, имеем hσi с D hσi (c, ˙ hσi ⊂ Lhσi . ˙ 0hσi0 ⊂ L L0hσi0 ⊂ L

146

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

Тогда, очевидно, для всех y ∈ D˙ 0hσi0 (c, ˙ ∞) и z ∈ D˙ hσi (c, ˙ ∞) имеем ˙ 0 y, z] = [y, L ˙ z] . [L (3.1.47) hσi0 hσi hσi hσi Так как для y, z ∈ D˙ hσi0 (c, ˙ ∞) выполняется соотношение ˙ 0hσi0 y, z]hσi = [y, L ˙ 0hσi0 z]hσi , [L то имеет место ˙0 Теорема 3.1.24. Оператор L hσi0 является π-эрмитовым. Теорема 3.1.25. Область определения D˙ 0hσi0 (c, ˙ ∞) оператора ˙L0 hσi0 плотна в Πhσi . Доказательство. Пусть для f ∈ Πhσi ≡ L2hσi (c, ˙ ∞) и всех эле0 0 0 ментов y ∈ D˙ hσi0 (c, ˙ ∞) имеем [f, y ]hσi = 0. Для фиксированного α ∈ (c, ∞) определим множество n o ◦ ˙ ˙ Dhσi0 (c, ˙ ∞) = y◦ ∈ Dhσi (c, ˙ ∞) : y◦ (x) = 0 для x ∈ (α, ∞) . Очевидно, y◦ (α) = y◦0 (α) = 0 и D˙ ◦hσi0 (c, ˙ ∞) ⊂ D˙ 0hσi0 (c, ˙ ∞). Сле◦ ˙ довательно, [f, y◦ ]hσi = 0 для всех y◦ ∈ Dhσi0 (c, ˙ ∞). Но со◦ гласно теореме 3.1.12 множество D˙ hσi0 (c, ˙ ∞) плотно в Π◦hσi ≡ ≡ L2hσi (c, ˙ α) ⊂ Πhσi . Поэтому f = 0 в Π◦hσi . Тогда ввиду произвольности α из (c, ∞) имеем f = 0 в Πhσi . ¤ Поэтому, согласно (3.1.47) имеем c ˙ hσi ⊂ L ˙ 0hσi0 L .

(3.1.48)

Также отсюда вытекает ˙ 0 , определенный на области Следствие 3.1.26. Оператор L hσi0 D˙ 0hσi0 (c, ˙ ∞), является π-симметрическим оператором в Πhσi .

3.1.2. Cингулярная точка на границе полубесконечного интервала

147

˙0 Тогда оператор L hσi0 допускает замыкание [1], которое ˙ ˙0 ˙ ˙ обозначим через L hσi0 : Lhσi0 = Lhσi0 . Таким образом, Lhσi0 — замкнутый π-симметрический в Πhσi оператор. ˙ Теорема 3.1.27. Оператор L hσi является π-сопряженным к ˙ оператору L hσi0 : ˙ hσi = L ˙ chσi0 . L (3.1.49) ˙0 = L ˙ ˙ 0c ˙c Доказательство. Так как L hσi0 , то Lhσi0 = Lhσi0 . Поэтоhσi0 ˙ . Ввиду соотно˙ 0c = L му достаточно доказать равенство L hσi0 hσi ˙ шения (3.1.48) остается доказать обратное включение L hσi ⊃ 0c 0 0c ˙ ˙ ˙ ∞) (об⊃ L hσi0 . Пусть z — произвольный элемент из D hσi0 (c, ˙ 0c ) и (c, α] — фиксированная ласти определения оператора L hσi0 область. Тогда для y◦ ∈ D˙ ◦hσi0 (c, ˙ ∞) ⊂ D˙ hσi0 (c, ˙ ∞), очевидно, 0c 0 0 0 ◦ ˙ ˙ ˙ 0c 0 имеем [ L hσi0 z , y◦ ]hσi = [z , Lhσi0 y◦ ]hσi или [( Lhσi0 z )◦ , y◦ ]hσi = ˙ 0◦ y ]◦ , где [·, ·]◦ — π-метрика в Π◦ , индуцируе= [(z 0 )◦ , L hσi0 ◦ hσi hσi hσi ˙ 0c z 0 )◦ и (z 0 )◦ — есть функции L ˙ 0c z 0 мая π-метрикой в Πhσi , а ( L hσi0 hσi0 и z 0 , рассматриваемые только в (c, α]. Так как это соотношение справедливо для всех y◦ ∈ D˙ ◦hσi0 (c, ˙ ∞), то z◦ ∈ D˙ ◦c ˙ ∞) = hσi0 (c, ◦ 0c ◦ ˙ ˙ ˙ = Dhσi (c, ˙ ∞) и ( Lhσi0 z)◦ = Lhσi z◦ = (l(z))◦ . Поскольку область (c, α] произвольна, то отсюда следует, что z ∈ D˙ hσi (c, ˙ ∞) и ˙L0c z = l(z) = L ˙ z. Таким образом, D˙ 0c (c, ˙ ˙ ∞) hσi0 hσi hσi0 ˙ ∞) ⊂ D hσi (c, 0c ˙ ˙ или L hσi0 ⊂ Lhσi . ¤ ˙ Следствие 3.1.28. L hσi является замкнутым в Πhσi оператором. ˙ Теорема 3.1.29. L hσi0 является π-сопряженным в Πhσi к опе˙ ратору L hσi : ˙ ˙c L (3.1.50) hσi0 = Lhσi .

148

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

˙ Доказательство. Так как L hσi0 — замкнутый оператор, то из ˙Lc = L ˙ ˙ ˙ cc ˙c hσi0 hσi следует Lhσi0 = Lhσi0 = Lhσi . ¤ Теорема 3.1.30. Для произвольных y, z ∈ D˙ hσi (c, ˙ ∞) существует предел {y, z}+∞ = lim {y, z}t . t→+∞

Доказательство. Так как для всех y, z ∈ D˙ hσi (c, ˙ ∞) имеем ³ ´ Reg{y, z}c = −σ p0 (c) ξy0 ϕz (c) − ξ z0 ϕy (c) = 0 , то

Z {y, z}t =

Z

t

y c

hσi l(z) τα

t

dx − c

hσi

l(y) z τα dx ,

а так как интегралы имеют пределы при t → +∞, то существует и предел lim {y, z}t . ¤ t→+∞

Теорема 3.1.31. Область определения D˙ hσi0 (c, ˙ ∞) оператора ˙ ˙ L ˙ ∞), hσi0 состоит из тех и только тех элементов y ∈ D hσi (c, которые удовлетворяют условию {y, z}+∞ = 0

(3.1.51)

для всех z ∈ D˙ hσi (c, ˙ ∞). Доказательство. Пусть z(x) ∈ D˙ hσi (c, ˙ ∞) и y(x) ∈ D˙ hσi0 (c, ˙ ∞) ⊂ ⊂ D˙ hσi (c, ˙ ∞), то есть ввиду (3.1.50) y(x) ∈ D˙ chσi (c, ˙ ∞). Тогда ˙ y, z] = [ L ˙ ˙c ˙ [L hσi hσi hσi0 y, z]hσi = [ Lhσi y, z]hσi = [y, Lhσi z]hσi . Следовательно, Reg{y, z}+∞ = 0 и ввиду Reg{y, z}c = 0 полуc чаем {y, z}+∞ = 0. Обратно, пусть y из D˙ hσi (c, ˙ ∞) для всех z ∈ D˙ hσi (c, ˙ ∞) ˙ ˙ удовлетворяет условию (3.1.51). Тогда [ Lhσi y, z]hσi= [y, Lhσi z]hσi . Следовательно, y ∈ D˙ chσi (c, ˙ ∞) = D˙ hσi0 (c, ˙ ∞). ¤

3.1.2. Cингулярная точка на границе полубесконечного интервала

149

˙ Теорема 3.1.32. Оператор L hσi0 является вещественным. ˙ Доказательство. Так как оператор L hσi является вещественным и условие (3.1.51), выделяющее из D˙ hσi (c, ˙ ∞) область опреде˙ ˙ ления D˙ hσi0 (c, ˙ ∞) оператора L hσi0 ⊂ Lhσi , инвариантно относительно комплексного сопряжения, то отсюда следует утверждение теоремы. ¤ ˙ Теорема 3.1.33. Индекс дефекта оператора L hσi0 имеет вид (m, m), где m ∈ {0, 1}. Доказательство. Пусть λ — произвольное невещественное чис˙ ло, не являющееся собственным значением оператора L hσi0 . Дефектное число mσ, λ есть число линейно независимых решений уравнения l(z)−λz = 0, принадлежащих множеству D˙ hσi (c, ˙ ∞). Тогда mσ, λ = m ≤ 1, т. к. максимум одно линейно независимое решение u˙ λ = σp0 (c) uσ, λ cos α − u−σ, λ sin α этого уравнения, где линейно независимые решения uσ, λ и u−σ, λ удовлетворяют соотношениям (3.1.6) и (3.1.7), может принадлежать D˙ hσi (c, ˙ ∞). ˙ Ввиду вещественности оператора L hσi имеем mσ, λ = mσ, λ . ¤ Таким образом, D˙ hσi (c, ˙ ∞) = D˙ hσi0 (c, ˙ ∞) при m = 0, а при m = 1 в соответствии с теоремой 7.2.9 имеет место следующая Теорема 3.1.34. Область определения D˙ hσi ≡ D˙ hσi (c, ˙ ∞) опе˙ ратора L hσi дается соотношением ˙ N˙ τp hσi + ˙ N˙ τ hσi + ˙ N˙ hσi D˙ hσi = D˙ hσi0 +

(τ = λ или λ) ,

либо эквивалентным ему (τ ) ˙ N˙ pτ hσi + ˙ N˙ pτ hσi + ˙ N˙ hσi D˙ hσi = D˙ hσi0 +

(τ = λ или λ) , (3.1.52)

где (τ ) ˙ hσi0 − τ I)−1 R˙ τ hσi , N˙ τ hσi = N˙ p , Nhσi = {0} , D˙ hσi0 = D˙ hσi0 = ( L τ hσi

150

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

если N˙ pτ hσi не вырождается, и (τ ) ˙ hσi0 − τ I)−1 R˙ 0τ hσi D˙ hσi0 = ( L

˙ Lin{u˙ τ } = R˙ τ hσi ) , (R˙ 0τ hσi +

N˙ τ hσi = {0} , Nhσi = Lin{v˙ λ + ησ v˙ λ } , если N˙ pτ hσi — вырождается (то есть u˙ τ — нейтрален). При этом ˙ hσi (v˙ + ησ v˙ λ ) = λ v˙ + λ ησ v˙ λ . L λ λ 2. В случае σ > −1 сингулярная точка x = c не является критической, пространство Πhσi является пространством Гильберта и дифференциальный оператор, порождаемый выражением (3.1.2) рассматривается в классической теории операторов с двумя сингулярными концами. Дефектное число симметрического оператора с двумя сингулярными концами может принимать значения m = 0, 1, 2. Отметим, что дефектное число m симметрического оператора Lhσi0 может быть найдено из + соотношения (см. [13]) def Lhσi0 = def L− hσi0 + def L0 − 2 , где сингулярные на одном конце (x = c и x = +∞) и регулярные + на другом конце (x = l) операторы L− hσi0 и L0 являются со+ ˙ ставляющими прямой суммы L− hσi0 (+) L0 , возникающей как сужение оператора Lhσi0 c области Dhσi0 (c, ˙ ∞) на множество 0 D = {y ∈ Dhσi0 (c, ˙ ∞) : y(l) = y (l) = 0, l ∈ (c, ∞)}. 2.1. Для σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) имеем def L− hσi0 = 2 (см. § 3.1.1 + п. 2.1) и def L0 = 1 или 2. Следовательно, def Lhσi0 = 1 или 2, где Dhσi0 (c, ˙ ∞) = {y ∈ Dhσi (c, ˙ ∞) : ξy0 = ϕy (c) = 0, {y, z}+∞ = 0 ∀z ∈ Dhσi (c, ˙ ∞)}. 2.2. Для σ > 1 (σ ∈ / Z) имеем def L− hσi0 = 1 (см. § 3.1.1 + п. 2.2) и def L0 = 1 или 2. Следовательно, def Lhσi0 = 0 или 1, где Dhσi0 (c, ˙ ∞) = {y ∈ Dhσi (c, ˙ ∞) : {y, z}+∞ = 0, {y, z}c = 0 ∀z ∈ Dhσi (c, ˙ ∞)}.

151

3.1.3. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

3.1.3. Оператор с двумя критическими точками на границах конечного интервала ˙ (σ, κ ∈ Рассмотрим в пространстве Πhσ, κi ≡ L2hσ, κi (c, ˙ b) / Z) дифференциальный оператор Lhσ, κi , определенный на множестве ˙ Dhσ, κi (c, ˙ (b)) = {y ∈ Πhσ, κi : l(y) ∈ Πhσ, κi } дифференциальным выражением l ≡ lhσ, κi (§ 2.1.3) ³ ´ l(y) = − (x − c)(b − x)p0 (x)y 0 0 + µ +

(3.1.53)

¶ (b−c) ³ p0 (c) σ 2 p0 (b) κ 2 ´ + + q0 (x) y , 4 x−c b−x

где p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [c, b]. 1. Пусть σ < −1 и κ < −1. В этом случае сингулярные точки x = c и x = b являются критическими, пространство Πhσ, κi является пространством Понтрягина с рангом индефинитности r = rσ +rκ , где rτ = [−τ ]−[−τ /2], а сингулярный дифференциальный оператор Lhσ, κi является квазирегулярным. Согласно теореме 2.2.8 § 2.2.4 для области Dhσ, µi имеем   y(x) ∈ Dhσi (c, ˙ l) для x ∈ (c, l] ,         y(x) ∈ D (l, b) ˙ для x ∈ [l, b) : hκi ˙ = , Dhσ, µi (c, ˙ b)   y(l − 0) = y(l) = y(l + 0) ,       0 y (l − 0) = y 0 (l) = y 0 (l + 0) , l ∈ (c, b) (3.1.54) где 1 ˙ Uhσi ˙ ∆1hσi (c, Dhσi (c, ˙ l) = A1hσi (c, ˙ l) + (c, ˙ l) + ˙ l) ,

(3.1.55)

1 ˙ , ˙ + ˙ + ˙ = B 1 (l, b) ˙ ∆1hκi (l, b) ˙ Vhκi (l, b) Dhκi (l, b) hκi

(3.1.56)

152

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

˙ может быть предт. е. произвольная функция y ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b) ставлена на интервале (c, l] в виде y(x) = ay (x) + uy (x) + ωyc (x) , где

ay (x) = (x − c)σ/2

P nσ

k k=0 ξy

(3.1.57)

(x − c)k ,

uy (x) = (x − c)−σ/2 ϕy (x) , ωyc (x) =

Prσ −2 m=0

hσi

ξy0m ∆c (m) (x) ,

а на интервале [l, b) в виде y(x) = by (x) + vy (x) + ωyb (x) , где

by (x) = (b − x)κ/2

P nκ

k=0

(3.1.58)

ηyk (b − x)k ,

vy (x) = (b − x)−κ/2 ψy (x) , ωyb (x) =

Prκ −2 m=0

hκi

ηy0m ∆b (m) (x) ,

причем ay (l) + uy (l) = by (l) + vy (l) , a0y (l) + u0y (l) = b0y (l) + vy0 (l) (nσ = [−σ], nκ = [−κ]) и |ϕy (c)| < ∞, |ψy (b)| < ∞. Теорема 3.1.35. Все решения y(x) однородного уравнения ˙ l(y) − λ y = 0 (λ ∈ C) принадлежат множеству Dhσ, κi (c, ˙ b). Доказательство. Согласно теореме 3.1.1 уравнение l(y)−λ y = 0 (λ ∈ C), с одной стороны, имеет два линейно независимых решения uσ, λ и u−σ, λ из Dhσi (c, ˙ l), удовлетворяющие условиям (3.1.6) и (3.1.7), а с другой стороны, имеет два линейно неза˙ удовлетворяющие висимых решения uκ, λ и u−κ, λ из Dhκi (l, b), условиям ηu0κ,λ = 1 , ψuκ,λ (b) = 0 , (3.1.59) ηu0−κ,λ = 0 ,

ψu−κ,λ (b) = 1 .

(3.1.60)

3.1.3. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

153

При этом ввиду линейной независимости решений выполняют³ ´ ся условия сшивания решений в точке x = l ∀ l ∈ (c, b) : uκ, λ (l) = cλκ, σ uσ, λ (l) + cλκ, −σ u−σ, λ (l) , u0κ, λ (l) = cλκ, σ u0σ, λ (l) + cλκ, −σ u0−σ, λ (l) , u−κ, λ (l) = cλ−κ, σ uσ, λ (l) + cλ−κ, −σ u−σ, λ (l) , u0−κ, λ (l) = cλ−κ, σ u0σ, λ (l) + cλ−κ, −σ u0−σ, λ (l) . Ввиду единственности решения однородного уравнения с указанными условиями для всех x ∈ (c, b) имеют место соотношения uκ, λ (x) = cλκ, σ uσ, λ (x) + cλκ, −σ u−σ, λ (x) , u−κ, λ (x) = cλ−κ, σ uσ, λ (x) + cλ−κ, −σ u−σ, λ (x) . p Таким образом, множество Nλhσ, всех решений однородκi ˙ ного уравнения l(y) − λ y = 0 (λ ∈ C) содержится в Dhσ, κi (c, ˙ b) и имеет вид p = Lin{uσ, λ (x), u−σ, λ (x)} = Lin{uκ, λ (x), u−κ, λ (x)} . ¤ Nλhσ, κi

Теорема 3.1.36. Решение неоднородного уравнения l(y)−λ y = ˙ = f (λ ∈ C, f ∈ Πhσ, κi ) принадлежит множеству Dhσ, κi (c, ˙ b). Доказательство. Согласно теореме 3.1.2 уравнение l(y)−λ y = f ˙ решение имеет на (c, l] решение y1 (x) ∈ Dhσi (c, ˙ l) и на [l, b) ˙ каждое из которых может быть выбрано y2 (x) ∈ Dhκi (l, b), с точностью до линейной комбинации решений однородного уравнения. Ввиду наличия двух линейно независимых решений однородного уравнения всегда можно добиться того, чтобы удовлетворялись условия сшивания решений y1 (x) и y2 (x) в произвольной точке x = l ∈ (c, b) : y1 (l) = y2 (l) ,

y10 (l) = y20 (l) . ¤

Аналогично доказательству теоремы 3.1.4 доказывается

154

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

Теорема 3.1.37. Для f (x) ∈ Πhσ, κi существует единственное решение неоднородного уравнения l(y) − λ y = f (λ ∈ C, f (x) ∈ ∈ Πhσ, κi ), удовлетворяющее условиям ξy0 = 0, ϕy (c) = 0, либо условиям ηy0 = 0, ψy (b) = 0. Теорема 3.1.38. Для произвольных чисел α1 , α2 , β1 , β2 суще˙ удовлетворяющая условиям ствует функция y ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b), ξy0 = α1 ,

σ(b − c)p0 (c) ϕy (c) = α2 ,

ηy0 = β1 ,

µ(b − c)p0 (b) ψy (b) = β2 .

Доказательство. Согласно теореме 3.1.7 для произвольных α1 , α2 , γ1 , γ2 существует функция y1 ∈ Dhσi (c, ˙ l), удовлетворяющая условиям ξy01 = α1 , σ(b − c)p0 (c) ϕy1 (c) = α2 , y1 (l) = γ1 , p(l) y10 (l) = γ2 . Аналогично, для произвольных γ1 , γ2 , β1 , β2 существует функ˙ удовлетворяющая условиям ция y2 ∈ Dhκi (l, b), y2 (l) = γ1 , p(l) y20 (l) = γ2 , ηy02 = β1 , µ(b − c)p0 (b) ψy2 (b) = β2 . ˙ Таким образом, функция из Dhσ, κi (c, ˙ b) y(x) = {y1 (x) для x ∈ (c, l]; y2 (x) для x ∈ [l, b)} удовлетворяет условиям теоремы. ¤ Обозначим ( ) ˙ : ξ 0 = 0 , ϕ (c) = 0 , y ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b) y y ˙ = Dhσ, κi0 (c, ˙ b) . ηy0 = 0 , ψy (b) = 0 ˙ может быть представПроизвольный элемент y ∈ Dhσ, κi0 (c, ˙ b) лен в виде y(x) = {y1 (x) для x ∈ (c, l]; y2 (x) для x ∈ [l, b)} ,

155

3.1.3. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

где y1 (x) = ay (x)+uy (x)+ωyc (x) , ay (x) ∈ A1hσi (c, ˙ l) и ξy0 = 0 , 1 (c, ˙ l) и ϕy (c) = 0 , uy (x) ∈ Uhσi

ωyc (x) ∈ ∆1hσi (c, ˙ l) ,

y2 (x) = by (x)+vy (x)+ωyb (x) ,

1 ˙ и η0 = 0 , by (x) ∈ Bhκi (l, b) y 1 ˙ и ψ (b) = 0 , (l, b) vy (x) ∈ Uhκi y

˙ , ωyb (x) ∈ ∆1hκi (l, b)

причем ay (l) + uy (l) = by (l) + vy (l) ,

a0y (l) + u0y (l) = b0y (l) + vy0 (l) .

˙ на Пусть Lhσ, κi0 — сужение оператора Lhσ, κi с Dhσ, κi (c, ˙ b) ˙ : L ˙ Таким образом, Dhσ, κi0 (c, ˙ b) ˙ b). hσ, κi0 = Lhσ, κi |Dhσ, κi0 (c, Lhσ, κi0 ⊂ Lhσ, κi ,

(3.1.61)

˙ иz∈D ˙ ввиду (3.1.20) и, очевидно, для y ∈ Dhσ, κi0 (c, ˙ b) ˙ b) hσ, κi (c, имеем [Lhσ, κi0 y, z]hσ, κi = [y, Lhσ, κi z]hσ, κi . (3.1.62) ˙ следует Из (3.1.62) ввиду (3.1.61) для y, z ∈ Dhσ, κi0 (c, ˙ b) [Lhσ, κi0 y, z]hσ, κi = [y, Lhσ, κi0 z]hσ, κi , т. е. имеет место Теорема 3.1.39. Оператор Lhσ, κi0 является π-эрмитовым. hσi

hκi

Обозначим через Qλhσ, κi линеал Lin{Ωc (0);λ (x), Ωb (0);λ (x)}, hσi

hκi

hσi

а через ∆0hσ, κi линеал Lin{∆c (0) (x), ∆b (0) (x)}, где ∆c (0) (x) — фуhκi

нкционал из Dhσi (c, ˙ l) продолженный нулем на [l, b) и ∆b (0) (x) ˙ продолженный нулем на (c, l], а — функционал из Dhκi (l, b) hσi

hσi

Ωc (0);λ (x) — решение из Dhσi (c, ˙ l) уравнения l(y) − λ y = ∆c (0) , ˙ уравнения l(y) − λ y = 0 и сшитое с решением из Dhκi (l, b) hκi ˙ уравнения l(y) − λ y = ∆hκi , Ω (x) — решение из D (l, b) b (0);λ

hκi

сшитое с решением из Dhσi (c, ˙ l) уравнения l(y) − λ y = 0.

b (0)

156

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

Теорема 3.1.40. Если f ∈ Πhσ, κi , то неоднородное уравнение ˙ тогда и только l(y)−λ y = f имеет решение y(x) ∈ Dhσ, κi0 (c, ˙ b) тогда, когда f (x) π-ортогональна ко всем решениям z(x) ∈ p ˙ ∈ Nλhσ, κi + Qλhσ, κi неоднородного уравнения l(z) − λ z = g, 0 g(x) ∈ ∆hσ, κi . Доказательство. Согласно теореме 3.1.37 уравнение l(y) − λ y = = f имеет единственное решение y(x), удовлетворяющее усло˙ виям ξy0 = 0, ϕy (c) = 0. Поскольку f ∈ Πhσ, κi , то y ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b). ˙ имеем Тогда для z ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b) ´ κ p0 (b) ³ 0 0 [f, z]hσ, κi = [y, l(z) − λ z]hσ, κi + η ψ (b) − η z ψy (b) . (b − c)−1 y z (3.1.63) p ˙ ˙ (1) Если y ∈ Dhσ, κi0 (c, ˙ b) и z ∈ Nλhσ, κi + Qλhσ, κi , то l(z)− 0 0 −λ z = g ∈ ∆hσ, κi , ηy = 0, ψy (b) = 0, следовательно, правая часть в (3.1.63) равна нулю, т. е. f [⊥] z. p ˙ (2) Если f [⊥] z и z ∈ Nλhσ, µi + Qλhσ, κi , то левая часть в (3.1.63) равна нулю и (a) при z = uκ, λ имеем l(z) − λ z = 0, ψz (b) = 0, ηz0 = 1, следовательно, ψy (b) = 0, (b) при z = u−κ, λ имеем l(z) − λ z = 0, ψz (b) = 1, ηz0 = 0, следовательно, ηy0 = 0. ˙ ¤ Таким образом, y ∈ Dhσ, κi0 (c, ˙ b). Так как в пространстве Πhσ, µi имеются π-ортогональные ³ ´ ˙ элементы ∆hσi (x) и ∆hκi (x) ∈ ∆1 (c, ˙ , т. е. кD (c, ˙ b) ˙ b) hσ, µi0

c (0)

b (0)

hσ, κi

˙ выполняются соотношения такие, что для всех y0 ∈ Dhσ, κi0 (c, ˙ b) hσi

[y0 , ∆c (0) ]hσ, κi = ξy00 = 0 ,

hκi

[y0 , ∆b (0) ]hσ, κi = ηy00 = 0 ,

то имеет место ˙ оператора Теорема 3.1.41. Область определения Dhσ, κi0 (c, ˙ b) Lhσ, κi0 не является плотной в Πhσ, κi .

157

3.1.3. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

Как и в § 3.1.1 рассмотрим в E два ортонормальных элемента γ0 = cos α · e0 + sin α · e3 ,

γ1 = cos β · e1 + sin β · e2 ,

порождающих нейтральный линеал E = Lin{γ0 , γ1 }, но при этом дополнительно к условию (γ0 , e0 )E 6= 0 добавим условие (γ1 , e1 )E 6= 0. Таким образом, имеем условия α ∈ (−π/2, π/2) ,

β ∈ (−π/2, π/2) .

В согласии с теоремой 3.1.38 установим отображение Dhσ, µi → ˙ на элементы γ ∈ E соотноше→ E элементов z ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b) z ниями γz0 = ξz(0) , γz1 =

σ p0 (c) κ p0 (b) ϕz (c), γz2 = ηz(0) , γz3 = ψ (b) . −1 (b − c) (b − c)−1 z

˙ имеем Следовательно, для y, z ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b) Reg{y, z}bc = i [γy , γz ]E . Обозначим ˙ = {z ∈ D ˙ : γ ∈ E} . D˙ hσ, κi (c, ˙ b) ˙ b) hσ, κi (c, z Таким образом,  ˙ : α, β ∈ (−π/2, π/2) , ˙ b)   y ∈ Dhσ, κi (c, ˙ = ξy0 sin α + σ(b − c)p0 (c) ϕy (c) cos α = 0 , D˙ hσ, κi (c, ˙ b)   η 0 sin β + κ(b − c)p (b) ψ (b) cos β = 0 y 0 y

    

.

В частности, при α = 0 и β = 0 n o ˙ : ϕ (c) = 0 , ψ (b) = 0 . ˙ = y∈D ( c, ˙ b) D˙ hσ, κi (c, ˙ b) y y hσ, κi

158

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

˙ на ˙ Пусть L ˙ b) hσ, κi — сужение оператора Lhσ, κi с Dhσ, κi (c, ˙ Таким образом, имеем D˙ hσ, κi (c, ˙ b). ˙ hσ, κi ⊂ Lhσ, κi . Lhσ, κi0 ⊂ L ˙ имеем [γ , γ ] = 0, слеОчевидно, для всех y, z ∈ D˙ hσ, κi (c, ˙ b) y z E довательно, ˙ hσ, κi y, z]hσ, κi = [y, L ˙ hσ, κi z]hσ, κi , [L ˙ т. е. оператор L hσ, κi — π-эрмитов. Более того, имеет место ˙ Теорема 3.1.42. Оператор L hσ, κi является π-самосопряженным в Πhσ, κi . ˙ т. е. γ ∈ Доказательство. Действительно, пусть z ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b), z ˙ ˙c ∈ E. Сопряженный к L оператор L однозначно опреhσ, κi hσ, κi деляется соотношением [l(y), z]hσ, κi − [y, l(z)]hσ, κi = i [γy , γz ]E , ˙ (т. е. элементов, для которых γ ∈ E) если для всех y ∈ D˙ hσ, κi (c, ˙ b) y c ˙ ˙ однозначно определяется множество Dhσ, κi (c, ˙ b) элементов z, для которых [γy , γz ]E = 0. Последнее соотношение, очевидно, выполняется тогда и только тогда, когда γz ∈ E. Следовательно, ˙ ≡ D˙ ˙ т. е. L ˙c ˙ D˙ chσ, κi (c, ˙ b) ˙ b), hσ, κi (c, hσ, κi = Lhσ, κi . ¤ 2. Пусть σ < −1 и κ > −1. В этом случае сингулярная точка x = c является критической, и пространство Πhσ, κi является пространством Понтрягина с рангом индефинитности rσ = [−σ] − [−σ/2]. Таким образом, сингулярный дифференциальный оператор Lhσ, κi имеет квазирегулярную левую граничную точку x = c и при κ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) квазирегулярную, а при κ > 1 существенно сингулярную правую граничную точку x = b.

159

3.1.3. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

˙ имеем Согласно теореме 2.1.6 для области Dhσ, κi (c, ˙ b) ˙ = A1 (c, ˙ ˙ 1 ˙ b) ˙ + ˙ ˙ ∆1hσi (c, Dhσ, κi (c, ˙ b) ˙ b) hσi ˙ b) + Uhσi (c, ˙ может (см. (2.1.20)), т. е. произвольная функция y ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b) быть представлена в виде σ/2

y(x) = (x−c)

nσ X

rσ −2

ξyk

k

−σ/2

(x−c) +(x−c)

ϕy (x)+

X

(m)

ξy0m ∆chσi (x)

m=0

k=0

(nσ = [−σ]), причем |ϕy (c)| < ∞. Далее, аналогично тому, как это сделано в § 2.1.2, обозначим ( ) ˙ : ξ 0 = 0, ϕ (c) = 0 , y ∈ D ( c, ˙ b) y y hσ, κi 0 ˙ = Dhσ, ˙ b) , κi0 (c, y(x) = 0 для x ∈ (βy , b) (3.1.64) где число βy ∈ (c, b) свое для каждой функции y (очевидно, при этом y(βy ) = y 0 (βy ) = 0). Пусть L0hσ, κi0 — сужение оператора 0 ˙ на D0 ˙ : L0 Lhσ, κi c Dhσ, κi (c, ˙ b) ˙ b) hσ, κi0 (c, hσ, κi0 = Lhσi |Dhσ, κi0 . Таким образом, L0hσ, κi0 ⊂ Lhσ, κi . (3.1.65) 0 ˙ иz∈D ˙ имеем Тогда для y ∈ Dhσ, ˙ b) ˙ b) κi0 (c, hσ, κi (c,

[L0hσ, κi0 y, z]hσ, κi = [y, Lhσ, κi z]hσ, κi .

(3.1.66)

Из (3.1.66) ввиду L0hσ, κi0 ⊂ Lhσ, κi следует Теорема 3.1.43. Оператор L0hσ, κi0 является π-эрмитовым. 0 ˙ и f = ∆hσi (x) ∈ ∆1 (c, ˙ Так как для всех y ∈ Dhσ, ˙ b) κi0 (c, hσi ˙ b) c (0) hσi

[y, ∆c (0) ]hσ, κi = ξy0 = 0 , то имеет место

160

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

0 ˙ оператоТеорема 3.1.44. Область определения Dhσ, ˙ b) κi0 (c, 0 ра Lhσ, κi0 не плотна в Πhσ, κi .

Тогда рассмотрим множества ) ( ˙ : α ∈ (−π/2, π/2) , z ∈ D ( c, ˙ b) hσ, κi ˙ = , D˙ hσ, κi (c, ˙ b) 0 ξz sin α + σ(b − c)p0 (c)ϕz (c) cos α = 0 (3.1.67) n o 0 ˙ ˙ ˙ ˙ D (c, ˙ b) = y ∈ D (c, ˙ b) : y(x) = 0 для x ∈ (β , b) hσ, κi0

hσ, κi

y

(3.1.68) ˙ (при этом y(βy ) = y 0 (βy ) = 0). Пусть L — сужение опеhσ, κi ˙ на D˙ ˙ и L ˙0 ратора Lhσ, κi с Dhσ, κi (c, ˙ b) ˙ b) hσ, κi0 — сужение hσ, κi (c, 0 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ оператора Lhσ, κi с Dhσ, κi (c, ˙ b) на Dhσ, κi0 (c, ˙ b). Таким образом, имеем ˙0 ˙ L0 ⊂ L ⊂ L ⊂L . hσ, κi0

hσ, κi0

hσ, κi

hσ, κi

˙ и z ∈ D˙ ˙ Далее, т. к. для y ∈ D˙ 0hσ, κi0 (c, ˙ b) ˙ b) hσ, κi (c, ˙ 0hσ, κi0 y, z]hσ, κi = [y, L ˙ hσ, κi z]hσ, κi , [L

(3.1.69)

˙ ⊂ D˙ ˙ имеет место то ввиду D˙ 0hσ, κi0 (c, ˙ b) ˙ b) hσ, κi (c, ˙0 Теорема 3.1.45. Оператор L hσ, κi0 является π-эрмитовым. Определив для (произвольного) фиксированного α ∈ (c, b) множество n o ˙ = y ∈ D˙ ˙ : y (x) = 0 для x ∈ (α, b) , D˙ ◦hσ, κi0 (c, ˙ b) ( c, ˙ b) ◦ hσ, κi ◦ аналогично теореме 3.1.25 доказывается ˙ оператора Теорема 3.1.46. Область определения D˙ 0hσ, κi0 (c, ˙ b) ˙ ˙0 L ˙ b). hσ, κi0 плотна в Πhσ, κi = L2hσ, κi (c,

3.1.3. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

161

˙ ˙ 0c Следовательно, из (3.1.69) следует L hσ, κi ⊂ Lhσ, κi0 , и также, ˙ , — π-симме˙0 ˙0 что оператор L ˙ b) hσ, κi0 , определенный на D hσ, κi0 (c, ˙ ˙0 трический, а L = L — замкнутый π-симметрический hσ, κi0

hσ, κi0

оператор в Πhσ, κi . Далее, аналогично тому, как это сделано в § 3.1.2, доказываются следующие утверждения. ˙ Теорема 3.1.47. Оператор L hσ, κi является π-сопряженным ˙ к оператору L hσ, κi0 : ˙ hσ, κi = L ˙ chσ, κi0 . L

(3.1.70)

˙ Следствие 3.1.48. L hσ, κi является замкнутым в Πhσ, κi оператором. ˙ Теорема 3.1.49. L hσ, κi0 является π-сопряженным в Πhσ, κi к ˙ оператору Lhσ, κi : ˙ hσ, κi0 = L ˙ chσ, κi . L (3.1.71) ˙ суще˙ b) Теорема 3.1.50. Для произвольных y, z ∈ D˙ hσ, κi (c, ствует предел {y, z}b = lim {y, z}t . (3.1.72) t→b−0

˙ для операТеорема 3.1.51. Область определения D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b) ˙ тора L hσ, κi0 состоит из тех и только тех элементов y ∈ ˙ которые удовлетворяют для всех z ∈ D˙ ˙ D˙ hσ, κi (c, ˙ b), ˙ b) hσ, κi (c, условию {y, z}b = 0 . (3.1.73) ˙ Теорема 3.1.52. Оператор L hσ, κi0 является вещественным. ˙ Теорема 3.1.53. Индекс дефекта оператора L hσ, κi0 имеет вид (m, m), где m ∈ {0, 1}.

162

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

2.1. При κ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) согласно теореме 2.1.6 для ˙ имеем соотношения (3.1.54). . . (3.1.58), где Dhσ, κi (c, ˙ b) by (x) = (b − x)−µ/2 ηy0 , ωyb (x) = 0

vy (x) = (b − x)µ/2 ψy (x) ,

˙ = Ø, r = 0, n = 0) . (∆1hκi (l, b) κ κ

(3.1.74)

˙ и z ∈ D˙ ˙ Соотношение (3.1.73) для y ∈ D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b) ˙ b) hσ, κi (c, очевидно ввиду (ηy = ψy (b) = 0) ³ ´ {y, z}b = −µ(b − c) p0 (b) ηy0 ψ z (b) − η 0z ψy (b) . Оба решения v−µ, λ (x) и vµ, λ (x) (µ = |κ|) однородного уравне˙ ния l(y) − λ y = 0 (λ 6= λ) принадлежат множеству Dhκi (l, b), l ∈ (c, b). Тогда решение u˙ λ (x) = c˙−µ, λ v−µ, λ (x) + c˙µ, λ vµ, λ (x), u˙ λ (x) = σ(b − c) p0 (c) uσ, λ (x) cos α − uσ, λ (x) sin α , где коэффициенты c˙±µ, λ однозначно определяются из условий сшивания для произвольного l ∈ (c, b) u˙ λ (l) = c˙−µ, λ v−µ, λ (l) + c˙µ, λ vµ, λ (l) , 0 0 u˙ 0λ (l) = c˙−µ, λ v−µ, λ (l) + c˙ µ, λ vµ, λ (l) ,

˙ Следовательно, индекс принадлежит множеству Dhσ, κi (c, ˙ b). ˙ имеет ˙ дефекта оператора L ˙ b) hσ, κi0 равен m = 1. Для Dhσ, κi (c, место теорема, аналогичная теореме 3.1.34. 2.2. При κ > 1 (κ ∈ / Z), согласно теореме 2.1.6, для обла˙ сти Dhσ, κi (c, ˙ b) имеем

где

y(x) = ay (x) + uy (x) + ωyc (x) , P nσ k ay (x) = (x − c)σ/2 k=0 ξy (x − c)k , uy (x) = (x − c)−σ/2 ϕy (x) ,

ωyc (x) =

Prσ −2 m=0

hσi

ξy0m ∆c (m) (x)

163

3.1.3. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

(nσ = [−σ]), причем |ϕy (c)| < ∞. Ввиду асимптотик v±µ, λ (x) ∼ (b − x)±µ/2 при x → b − 0 только решение vµ, λ (x) уравнения l(y) − λ y = 0 принадлежит ˙ l ∈ (c, b). Так как соотношение u˙ (x) = множеству Dhκi (l, b), λ = c˙µ, λ vµ, λ (x) (т. е. c˙−µ, λ = 0) не может выполняться для про˙ извольных λ ∈ C, то m = def L hσ, κi0 = 0. Таким образом, опе˙ и ˙ ˙ ратор L ˙ b) hσ, κi0 = Lhσ, κi — π- самосопряженный в L2hσ, κi (c, ˙ {y, z}b = 0 для всех y, z ∈ D˙ hσ, κi (c, ˙ b). 3. Пусть σ > −1 и κ < −1. В этом случае сингулярная точка x = b является критической, пространство Πhσ, κi является пространством Понтрягина с рангом индефинитности rκ = = [−κ] − [−κ/2], сингулярный дифференциальный оператор Lhσ, κi имеет квазирегулярную правую граничную точку x = b и при σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) квазирегулярную, а при σ > 1 существенно сингулярную левую граничную точку x = c. 0 ˙ где Для оператора L0hσ, κi0 = Lhσ, κi |Dhσ, ˙ b), κi0 (c, ( 0 ˙ = Dhσ, ˙ b) κi0 (c,

˙ : η 0 = 0, ψ (b) = 0 , y ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b) y y y(x) = 0 для x ∈ (c, αy )

) ,

(3.1.75) где число αy ∈ (c, b) свое для каждой функции y (очевидно, при этом y(αy ) = y 0 (αy ) = 0), справедливы теоремы 3.1.43 и 3.1.44 В связи с этим рассмотрим множества ( ) ˙ : β ∈ (−π/2, π/2) , z ∈ D ( c, ˙ b) hσ, κi ˙ = D˙ hσ, κi (c, ˙ b) , 0 ηz sin β + κp0 (b)(b − c)ψz (b) cos β = 0 n o ˙ = y ∈ D˙ ˙ : y(x) = 0 для x ∈ (c, α ) D˙ 0hσ, κi0 (c, ˙ b) ( c, ˙ b) hσ, κi y ˙ (при этом y(αy ) = y 0 (αy ) = 0). Тогда для операторов L hσ, κi = 0 0 ˙ L ˙ и L ˙ ˙ ˙ = Lhσ, κi |D˙ hσ, κi (c, ˙ b), ˙ b) hσ, κi0 = Lhσ, κi |D hσ, κi0 (c, hσ, κi0 =

164

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

˙0 = L hσ, κi0 справедливы теоремы 3.1.45. . . 3.1.53, где вместо соотношений (3.1.72) и (3.1.73) имеем соответственно {y, z}c = = lim {y, z}t и {y, z}c = 0 . t→c+0

Таким образом, этот вариант отличается от рассмотренного в пункте 2 лишь обменом свойствами граничных сингулярных точек x = c и x = b. 3.1. В случае σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), согласно теореме 2.1.6, ˙ имеем соотношения (3.1.54). . . (3.1.58), где для Dhσ, κi (c, ˙ b) ay (x) = (x − c)−ν/2 ξy0 , ωyc (x) = 0

uy (x) = (x − c)ν/2 ϕy (c) ,

(∆1hσi (c, ˙ l) = Ø , rσ = 0 , nσ = 0) .

(3.1.76)

˙ и z ∈ D˙ ˙ Соотношение {y, z}c = 0 для y ∈ D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b) ˙ b) hσ, κi (c, очевидно ввиду (ξy0 = ϕy (c) = 0) ³ ´ 0 0 {y, z}c = ν(b − c) p0 (c) ξy ϕz (c) − ξ z ϕy (c) . Оба решения u−ν, λ (x) и uν, λ (x) (ν = |σ|) однородного уравне˙ l), ния l(y) − λ y = 0 (λ 6= λ) принадлежат множеству Dhσi (c, l ∈ (c, b). Тогда решение v˙ λ (x) = c˙−ν, λ u−ν, λ (x) + c˙ν, λ uν, λ (x), v˙ λ (x) = κ(b − c)p0 (b) vκ (c) cos β − v−κ (x) sin β , где коэффициенты c˙±ν, λ однозначно определяются из условий сшивания для произвольного l ∈ (c, b) v˙ λ (l) = c˙−ν, λ u−ν, λ (l) + c˙ν, λ uν, λ (l) , v˙ λ0 (l) = c˙−ν, λ u0−ν, λ (l) + c˙ν, λ u0ν, λ (l) , ˙ Следовательно, индекс принадлежит множеству Dhσ, κi (c, ˙ b). ˙ имеет ˙ дефекта оператора L ˙ b) hσ, κi0 равен m = 1. Для Dhσ, κi (c, место теорема, аналогичная теореме 3.1.34.

165

3.1.3. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

3.2. В случае σ > 1 (σ ∈ / Z), согласно теореме 2.1.6, для ˙ имеем области Dhσ, κi (c, ˙ b) ˙ = B 1 (c, ˙ ˙ 1 ˙ b) ˙ + ˙ , ˙ ∆1hκi (c, Dhσ, κi (c, ˙ b) ˙ b) hκi ˙ b) + Vhκi (c,

(3.1.77)

˙ может быть предт. е. произвольная функция y ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b) ставлена в виде y(x) = by (x) + vy (x) + ωyb (x) , Pnκ k где by (x) = (b − x)κ/2 k=0 ηy (b − x)k , Prκ −2 0m hκi vy (x) = (b − x)−κ/2 ψy (x) , ωyb (x) = m=0 ξy ∆b (m) (x) (nκ = [−κ]), причем |ψy (c)| < ∞. Ввиду асимптотик u±ν, λ (x) ∼ (x − c)±ν/2 при x → c + 0 только решение uν, λ (x) уравнения l(y) − λ y = 0 принадлежит множеству Dhσi (c, ˙ l), l ∈ (c, b). Так как соотношение v˙ λ (x) = = c˙ν, λ uν, λ (x) (т. е. c˙−ν, λ = 0) не может выполняться для про˙ извольных λ ∈ C, то m = def L hσ, κi0 = 0. Таким образом, опе˙ и ˙ ˙ ратор L ˙ b) hσ, κi0 = Lhσ, κi — π- самосопряженный в L2hσ, κi (c, ˙ {y, z}c = 0 для всех y, z ∈ D˙ hσ, κi (c, ˙ b). 4. Пусть σ > −1 и κ > −1. В этом случае обе сингулярные точки x = c и x = b не являются критическими, пространство Πhσ, κi является пространством Гильберта и дифференциальный оператор, порождаемый выражением (3.1.53) рассматривается в классической теории сингулярных операторов (см. [11], [12], [13]). Дефектное число симметрического оператора Lhσ, κi0 может быть найдено по формуле [13] def Lhσ, κi0 = def Lhσi0 + def Lhκi0 − 2 ,

(3.1.78)

где Lhσi0 и Lhκi0 — симметрические операторы с одним сингулярным концом, порождаемые дифференциальным выражением lhσ, κi (y) в пространствах соответственно Πhσi = L2 (c, l) и Πhκi = L2 (l, b) с l ∈ (c, b).

166

3.1. Дифференциальные операторы первого класса

4.1. При σ, κ ∈ (−1, 0)∪(0, 1) обе граничные точки квази˙ имеет место представление (3.1.54), регулярны. Для Dhσ, κi (c, ˙ b) (3.1.55), (3.1.56), (3.1.57), (3.1.58), (3.1.74), (3.1.76). Оба линейно независимые решения (∀ λ ∈ C) u±ν, λ (x) = cλ±ν, −µ v−µ, λ (x) + cλ±ν, µ vµ, λ (x) (ν = |σ|, µ = |κ|) ˙ Следовательно, для инпринадлежат множеству Dhσ, κi (c, ˙ b). декса дефекта симметрического оператора Lhσ, κi0 имеем m = = def Lhσ, κi0 = 2, что следует также из формулы (3.1.78), если учесть, что def Lhσi0 = def Lhκi0 = 2. 4.2. При σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) и κ > 1 левая граничная точка квазирегулярная, а правая — существенно сингулярная. Только одно линейно независимое решение c˜λµ, −ν uν, λ (x) + c˜λµ, ν uν, λ (x) = vµ, λ (x) (ν = |σ|, µ = |κ|) ˙ = A (c, ˙ ˙ ˙ принадлежат множеству Dhσ, κi (c, ˙ b) ˙ b). hσi ˙ b) + Uhσi (c, Поэтому для симметрического оператора Lhσ, κi0 = L0hσ, κi0 с ˙ где множе˙ = D0 ˙ b), областью определения Dhσ, κi0 (c, ˙ b) hσ, κi0 (c, ˙ определяется формулой, аналогичной (3.1.64), ство D0 (c, ˙ b) hσ, κi0

имеем m = def Lhσ, κi0 = 1, что следует также из формулы (3.1.78), если учесть, что def Lhσi0 = 2, def Lhκi0 = 1. 4.3. При σ > 1 и κ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) правая граничная точка квазирегулярная, а левая — существенно сингулярная. Лишь одно линейно независимое решение uν, λ (x) = cλν, −µ v−µ, λ (x) + cλν, µ vµ, λ (x) (ν = |σ|, µ = |κ|) ˙ = B (c, ˙ ˙ ˙ принадлежат множеству Dhσ, κi (c, ˙ b) ˙ b. hκi ˙ b) + Vhκi (c, Поэтому для симметрического оператора Lhσ, κi0 = L0hσ, κi0 с ˙ = D0 ˙ где множеобластью определения Dhσ, κi0 (c, ˙ b) ˙ b), hσ, κi0 (c, ˙ определяется формулой, аналогичной (3.1.75), ство D0 (c, ˙ b) hσ, κi0

3.1.3. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

167

имеем m = def Lhσ, κi0 = 1, что следует также из формулы (3.1.78), если учесть, что def Lhσi0 = 1, def Lhκi0 = 2. 4.4. При σ, κ > 1 обе граничные точки существенно сингулярны. Ни одно из линейно независимых решений u±ν, λ (x) ˙ ˙ b). (или v±µ, λ (x)) с λ 6= λ не принадлежит множеству Dhσ, κi (c, Т. о., m = def Lhσ, κi0 = 0, что следует также из формулы (3.1.78), если учесть, что def Lhσi0 = 1, def Lhκi0 = 1. Таким образом, ˙ и оператор Lhσ, κi0 = Lhσ, κi — самосопряженный в L2hσ, κi (c, ˙ b) ˙ {y, z}c = {y, z}b = 0 для всех y, z ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b).

168

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A Операторы порождаемые дифференциальными выражениями второго класса A в соответствующих π-пространствах Π, будем называть дифференциальными операторами второго класса A.

3.2.1. Оператор с сингулярной точкой на левой границе конечного интервала Рассмотрим в пространстве Π{σ} ≡ L2{σ} (c, ˙ b) (σ ∈ / Z) дифференциальный оператор L{σ} , определенный на множестве n o D{σ} (c, ˙ b) = y ∈ Π{σ} : l(y) ∈ Π{σ} (3.2.1) дифференциальным выражением l ≡ l{σ} ((2.2.1) из § 2.2.1) ¶ ³ ´ µ p (c) (σ 2 − 1/4) 0 0 0 l(y) = − p0 (x)y + + q0 (x) y . (3.2.2) (x − c)2 1. Пусть σ < −1. В этом случае сингулярная точка x = c является критической и пространство Π{σ} является пространством Понтрягина с рангом индефинитности rσ = [−σ]−[−σ/2]. Сингулярный дифференциальный оператор L{σ} является квазирегулярным на левом конце. Согласно теореме 2.2.1 для области D{σ} (c, ˙ b) имеем 1 ˙ U{σ} ˙ ∆1{σ} (c, D{σ} (c, ˙ b) = A1{σ} (c, ˙ b) + (c, ˙ b) + ˙ b) ,

т. е. произвольный элемент y ∈ D{σ} (c, ˙ b) может быть представлен в виде y(x) = σ+1/2

= (x−c)

nσ X

rσ −2

ξyk (x−c)2k +(x−c)−σ+1/2 ϕy (x)+

k=0

(nσ = [−σ]), причем |ϕy (c)| < ∞.

X

m=0

{σ}

ηym ∆c (m) (x)

3.2.1. Сингулярная точка на левой границе конечного интервала

169

Теорема 3.2.1. Все решения уравнения l(y) − λy = 0 (λ ∈ C) принадлежат множеству D{σ} (c, ˙ b). Доказательство. Пусть Kc, ε = {x ∈ C : |x − c| < ε} — круг, в котором аналитичны функции p0 (x) и q0 (x). В области (c, c + ε) уравнение l(y) − λy = 0 может быть переписано в виде −y 00 (x)−(x−c) α(x) y 0 (x)+

σ 2 − 1/4 y(x)+β(x) y(x) = 0 , (3.2.3) (x − c)2 ∞

где

X p00 (x) α(x) = = α (x − c)2k ∈ Ac, ε , (x − c) p0 (x) k=0 k

∞ ´ q (x) − λ X σ 2 − 1/4 ³ p0 (c) 0 β(x) = −1 + = βk (x − c)2k ∈ Ac, ε . (x − c)2 p0 (x) p0 (x) k=0

Полагая y = (3.2.3) находим ηm+1

P∞ k=0

ηk (x−c)τ +2k+1/2 (τ = ±σ), из уравнения

m ³ ´ X 1 = −(τ + 2k + 1/2) αm−k + βm−k ηk 4(m + 1)(τ + m + 1) k=0

(η0 6= 0, m ∈ Z+ ) . Тогда ввиду |αk | < C ε−2k и |βk | < C ε−2k находим для m > −(τ + 1) ³ ´ m C |τ + 2k + 1/2| + 1 X (m) (m) |ηm+1 | ≤ γk |ηk | , где γk = . 2m−2k 4(m + 1)(τ + m + 1) ε k=0 При этом |ηm | ≤ Bm (m ∈ Z+ ), где величины Bm удовлетворяют рекуррентному соотношению Bm = |ηm | для m ∈ Z0, rσ , Bm+1 =

m X k=0

(m)

γk Bk для m ∈ Zrσ , ∞ ,

170

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

из которого следует Bm+1 =

4m(τ + m) + ε2 C(τ + 2m + 3/2) Bm 4ε2 (m + 1)(τ + m + 1)

(m ≥ r) .

Отсюда ввиду lim (Bm /Bm+1 ) = ε2 следует сходимость в круPm→∞ P∞ 2k 2k ге Kc, ε ряда ∞ k=0 Bk (x − c) , значит и ряда k=0 ηk (x − c) . Таким образом, произвольное решение уравнения l(y) − λy = 0 может быть представлено в виде y = {y0 для x ∈ (c, c+ε); z для x ∈ (c+ε, b); y0 (c+ε−0) = z(c+ε+0), y00 (c+ε−0) = z 0 (c+ε+0)}, где y0 ∈ L2{σ} (c, ˙ c + ε) и z ∈ L2 (c + ε, b). Следовательно, y ∈ ∈ L2{σ} (c, ˙ b), то есть y ∈ D{σ} (c, ˙ b). ¤ Два линейно независимых решения z1 = uσ, λ и z2 = u−σ, λ однородного уравнения l(z) − λz = 0 (λ ∈ C) можно выбрать таким образом, чтобы в окрестности точки x = c имели вид σ+1/2

uσ, λ (x) = (x − c)

a1 (x) , a1 (x) =

∞ X

ξ1k (x − c)2k

(ξ10 = 1) ,

k=0

u−σ, λ (x) = (x−c)−σ+1/2 a2 (x) , a2 (x) =

∞ X

(3.2.4) ξ2k (x−c)2k

(ξ20 = 1) .

k=0

Таким образом,

(3.2.5)

ξz01 = 1 ,

ϕz1 (c) = 0 ,

(3.2.6)

ξz02 = 0 ,

ϕz2 (c) = 1 .

(3.2.7)

p Через Nλ{σ} = Lin{uσ, λ , u−σ, λ } обозначим линейную оболочку решений однородного уравнения l(z) − λ z = 0.

Теорема 3.2.2. Пусть f ∈ Π{σ} . Решение y(x) неоднородного уравнения l(y) − λy = f принадлежит множеству D{σ} (c, ˙ b). Доказательство. 1. Представив f ∈ L2{σ} (c, ˙ b) в виде nσ −1

f (x) =

X k=0

ξfk (x − c)σ+2k+1/2 + (x − c)−σ+1/2 ϕf (x) ,

3.2.1. Сингулярная точка на левой границе конечного интервала

171

где nσ = [−σ] и ϕf ∈ L1 (c, b) ∩ L2 ((c, b), (x − c)−2σ+1 ), и повторяя все процедуры, аналогичные процедурам, проведенным в пункте 1 теоремы 3.1.2, находим, что решение уравнения l(y) − λy = f принадлежит множеству D{σ} (c, ˙ b). 2. Если f ∈ ∆{σ} (c, ˙ b), то также y ∈ D{σ} (c, ˙ b). Приведем сначала доказательство утверждения теоремы для уравнения ³ ´ ˙ 1) l{σ, 0} (y) − λ y = f f ∈ ∆{σ, 0} (0, (3.2.8) с дифференциальным выражением из § 8.3.4 (п. 5) l{σ, 0} = −∂(1 − x2 )∂ +

σ 2 − 1/4 . x2

(3.2.9)

Лемма 3.2.3. Для решения y(x) уравнения (3.2.8) имеем y ∈ 1 ˙ 1), причем y(x) ∈ A1 (0, ˙ 1) + ˙ ˙ U{σ, ∈ D{σ, 0} (0, {σ, 0} 0} (0, 1), если {σ, 0}

f (x) = ∆0 (0) (x). Доказательство. Общее решение (функция Грина) уравнения {σ, 0} l{σ, 0} (y) − λ y = δt (x), симметричное по переменным t и x, имеет вид {σ, 0} Gt, λ (x)

=

∞ {σ, 0}J {σ, 0} X β (t) β (x) k

k=0

k

{σ, 0} ρk

−λ

+

³ ´³ ´ + c1 uσ, λ (t) + c2 u−σ, λ (t) c1 uσ, λ (x) + c2 u−σ, λ (x) ,

(3.2.10)

где uσ, λ (x) и u−σ, λ (x) — линейно независимые решения одно{σ, κ} родного уравнения, а Bk (x) = x−σ−1/2 (1 − x2 )−κ/2 β {σ, κ} (x) — четные обобщенно-классические ортогональные многочлены Гегенбауэра [15]. Домножая обе части этого уравнения на ³ ´ t−σ−1/2 , действуя операцией (m!)−1 dm dt = (2t)−1 ∂t и полагая t t = 0, получаем ³ ´ {σ, 0} {σ, 0} {σ, 0} (m ∈ Z0, rσ −1 ) , lx{σ, 0} Ω0 (m);λ (x) − λ Ω0 (m);λ (x) = ∆0 (m) (x) (3.2.11)

172

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

{σ, 0}

P∞

{σ, 0} −1 {σ, 0}(m)J {σ, 0} ) Bm, k βk (x) ∈ k=0 (m! ρk {σ, 0} ∈ Πnσ −2m+1 ⊂ Π{σ} (nσ = [−σ]), так как Bm, k ∼ k σ+2m+1/2 и {σ, 0} {σ, 0} ˙ 1). ρk ∼ k 2 (§ 9.7 [15]). Следовательно, Ω0 (m);λ ⊂ D{σ, 0} (0, {σ, 0} ˙ 1). В частности, имеем Ω0 (0);λ (x)|c1 =c2 =0 ∈ Πnσ +1 ⊂ D{σ, 0} (0, {σ, 0} {σ, 0} А поскольку ∆0 (m) (x) ∈ Πnσ −2m−1 и ∆0 (m) (x) ∈ / Πnσ −2m , то {σ, 0} ˙ 1), то есть Ω{σ, 0} (x) ∈ ˙ 1)| mod ∆1 (0, Ω0 (0);λ (x) ∈ D{σ} (0, {σ} 0 (0);λ 1 ˙ 1). 4 ˙ 1) + ˙ U{σ} (0, ∈ A1{σ} (0,

где Ω0 (m);λ (x)|c1 =c2 =0 =

В доказательстве второй части утверждения теоремы для дифференциального выражения l{σ} в (3.2.2) без потери общности положим c = 0, b ∈ (0, 1), p0 (0) = 1. Рассмотрим на (0, b) уравнение ³

−∂(1 − x2 )∂ +

{σ, 0}

´ σ 2 − 1/4 {σ, 0} {σ, 0} − λ Ω0 (0);λ (x) = ∆0 (0) (x) x2

{σ}

(3.2.12)

{σ, 0}

(∆0 (0) (x) = ∆0 (0) (x)), где Ω0 (0);λ (x) имеет структуру {σ, 0} Ω0 (0);λ (x)

=x

σ+1/2

nσ X

ξΩk x2k + x−σ+1/2 ϕΩ (x) ,

k=0

где

x

σ+1/2

nσ X

˙ b) , ξΩk x2k ∈ A1{σ} (0,

1 ˙ b) . x−σ+1/2 ϕΩ (x) ∈ U{σ} (0,

k=0

Так как левая часть уравнения (3.2.12) не содержит элементов ˙ b), в частности, из A (0, ˙ b). Следовательно, коэфиз L2{σ} (0, {σ} k фициенты ξΩ удовлетворяют рекуррентным соотношениям ξΩk+1 =

(σ + 2k + 1/2)(σ + 2k + 3/2) − λ k ξΩ 4(k + 1)(σ + k + 1)

(k ∈ Z0, nσ −1 )

{σ}

и из (3.2.12) для ∆0 (0) (x) имеем: {σ}

∆0 (0) (x) = x−σ+1/2 ϕ1 (x) + x−σ+1/2 Φ1 (x) ,

173

3.2.1. Сингулярная точка на левой границе конечного интервала

˙ b) , x−σ+1/2 ϕ1 (x) ∈ U{σ} (0,

³ ´ n ϕ1 (x) = ξΩσ (2nσ + σ + 1/2)(2nσ + σ + 3/2) − λ x2σ+2nσ + ³ ´ + (σ − 1/2)(σ − 3/2) − λ ϕΩ (x) + (3 − 2σ) xϕ0Ω (x) (3.2.13) ³ ´ т. к. |ϕΩ (0)| < ∞ , xϕ0Ω (x) → 0 при x → +0 (теорема 2.2.1) , Φ1 (x) = (2σ − 1) x−1 ϕ0Ω (x) − ϕ00Ω (x) + x2 ϕ00Ω (x) . {σ}

Так как x2 ∆0 (0) (x) = 0, получаем x−σ+1/2 ϕ2 (x) + x−σ+1/2 Φ2 (x) = 0 , ˙ b) , x−σ+1/2 ϕ2 (x) ∈ U{σ} (0,

где

ϕ2 (x) = x2 ϕ1 (x) + (2σ − 1) xϕ0Ω (x) , Φ2 (x) = x2 (x2 − 1) ϕ00Ω (x) . Отсюда следует, что ˙ b) . x−σ+1/2 · x2 ϕ00Ω (x) ∈ U{σ} (0, ³ ´ {σ, 0} Далее, для (l{σ} − l{σ, 0} ) Ω0 (0);λ (x) ≡ h(x) получаем ³

´ {σ, 0} h(x) = −∂x p1 (x)∂ + q0 (x) Ω0 (0);λ (x) , 2

(3.2.14)

где для p1 (x) = (p0 (x) − 1 + x2 )/x2 и q0 (x) — вPокрестности 2k точки xP = 0 имеют место представления p1 (x) = ∞ и k=0 p1k x ∞ 2k q0 (x) = k=0 q0k x . Очевидно, что nσ ³ ´ X 2 σ+1/2 ˙ b) . −∂x p1 (x)∂ + q0 (x) x ξΩk x2k ∈ L2{σ} (0, k=0

174

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

Тогда, учитывая (3.2.13) и (3.2.14), получаем ³ ´ 2 −∂x p1 (x)∂ + q0 (x) x−σ+1/2 ϕΩ (x) = x−σ+1/2 × h³ ´ × q0 (x) + (σ − 1/2) xp0 (x) − (σ − 1/2)(σ − 3/2) p1 (x) ϕΩ (x)+ i ´ ³ ˙ b) . + (2σ − 3) p1 (x) − xp01 (x) xϕ0Ω (x) + p1 (x) x2 ϕ00 (x) ∈ U{σ} (0, ˙ b). Следовательно, согласно Таким образом, h(x) ∈ L2{σ} (0, пункту 1 доказательства теоремы имеем ³ ´ 1 ˙ b)) + ˙ b) . ˙ U{σ} (0, h(x) = −l{σ} g(x) + λ g(x) , где g(x) ∈ A1{σ} (0, ´ ´ ´ ³ ³ ³ {σ, 0} {σ, 0} Тогда l{σ} Ω0 (0);λ (x) = l{σ, 0} Ω0 (0);λ (x) − l{σ} g(x) + λ g(x) или ввиду (3.2.11) ³ ´ {σ} {σ} {σ} l{σ} Ω0 (0);λ (x) − λ Ω0 (0);λ (x) = ∆0 (0) (x) , где

{σ} {σ, 0} ˙ b) . Ω0 (0);λ (x) = Ω0 (0);λ (x) + g(x) ∈ D{σ} (0,

Учитывая, наконец, уравнения (глава 8) l

{σ}

³

{σ} ∆0 (m) (x)

´ =

m+1 X

(m; σ)

ξk

{σ}

∆0 (k) (x)

k=0 (m; σ)

(m ∈ Z0, rσ −2 , ξm+1 6= 0), находим ³ ´ {σ} {σ} {σ} l{σ} Ω0 (m);λ (x) − λ Ω0 (m);λ (x) = ∆0 (m) (x) (m ∈ Z1, rσ −2 ) , где {σ} Ω0 (m);λ (x)

=η

(m; σ)

{σ} Ω0 (0);λ (x)

+

m−1 X k=0

(m; σ)

ζk

{σ} ˙ b) , ∆0 (k) (x) ∈ Dhσi (0,

175

3.2.1. Сингулярная точка на левой границе конечного интервала

(m; σ)

а коэффициенты η (m; σ) и ζk (k ∈ Z0, m−1 ) однозначно выра(n, σ) жаются через величины ξs (s ∈ Z0, n+1 , n ∈ Z0, m−1 ) и λ. ¤ Доказательство следующей теоремы повторяет дословно доказательство теоремы 3.1.4. Теорема 3.2.4. Для f ∈ Π{σ} существует единственное решение неоднородного уравнения l(y)−λy = f, удовлетворяющее условиям ξy0 = 0, ϕy (c) = 0. Обозначим ( D{σ}0 (c, ˙ b) =

y ∈ D{σ} (c, ˙ b) : ξy0 = 0, ϕy (c) = 0 , y(b) = 0, y 0 (b) = 0

) . (3.2.15)

Произвольный элемент y ∈ D{σ}0 (c, ˙ b) может быть представлен суммой y(x) = ay (x) + uy (x) + ωyc (x) , 1 где ay (x) ∈ A1{σ} (c, ˙ b) (ξy0 = 0) , uy (x) ∈ U{σ} (c, ˙ b) (ϕy (c) = 0) , c 1 ωy (x) ∈ ∆{σ} (c, ˙ b) , причем

ay (b) + uy (b) = 0,

a0y (b) + u0y (b) = 0 .

Если L{σ}0 — сужение оператора L{σ} c области D{σ} (c, ˙ b) на D{σ}0 (c, ˙ b), то есть L{σ}0 = L{σ} |D{σ}0 (c, ˙ b), то L{σ}0 ⊂ L{σ} ,

(3.2.16)

и для y ∈ D{σ}0 (c, ˙ b) и z ∈ D{σ} (c, ˙ b) ввиду (2.2.7) имеем [L{σ}0 y, z]{σ} = [y, L{σ} z]{σ} ,

(3.2.17)

и справедлива Теорема 3.2.5. Оператор L{σ}0 является π-эрмитовым. {σ}

Обозначим через Qλ{σ}≡ Qλ{σ} (c, ˙ b) линеал Lin{Ωc (0);λ (x)}, {σ}

0 а через ∆0{σ} ≡ ∆{σ} (c, ˙ b) линеал Lin{∆c (0) (x)}.

176

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

Теорема 3.2.6. Если f (x) ∈ Π{σ} , то неоднородное уравнение l(y) − λy = f имеет решение y ∈ D{σ}0 (c, ˙ b) тогда и только тогда, когда f (x) π-ортогональна ко всем решениям z(x) ∈ p ˙ Qλ{σ} неоднородного уравнения l(z)−λz = g, g ∈ ∆0{σ} . ∈ Nλ{σ} + Доказательство. Если соотношение (3.1.23) заменить на ´ ³ [f, z]{σ} = [y, l(z) − λ z]{σ} + 2σ p0 (c) ξy0 ϕz (c) − ξ z0 ϕy (c) , (3.2.18) то в остальном доказательство теоремы идентично доказательству теоремы 3.1.6. ¤ Доказательства следующих двух теорем с несущественными изменениями повторяют доказательства теорем 3.1.7 и 3.1.8. Теорема 3.2.7. Для произвольных чисел α1 , α2 , β1 , β2 существует функция y ∈ D{σ} (c, ˙ b), удовлетворяющая условиям ξy0 = α1 , 2σp0 (c) ϕy (c) = α2 , y(b) = β1 , p(b) y 0 (b) = β2 . ˙ b) оператора Теорема 3.2.8. Область определения D{σ}0 (c, L{σ}0 не является плотной в Π{σ} . Пусть множества Γ и Γ0 определяются соотношениями (3.1.24) и (3.1.25). В согласии с теоремой 3.2.7 установим отображение элементов z ∈ D{σ} (c, ˙ b) на элементы γz ∈ E (D{σ} → E) соотношениями γz0 = ξz(0) , γz1 = 2σ p0 (c) ϕz (c) , γz2 = z(b) , γz3 = p(b) z 0 (b) . Тогда для y, z ∈ D{σ} (c, ˙ b) имеем Reg{y, z}bc = i[γy , γz ]E . Обозначим

n o D˙ {σ} (c, ˙ b) = z ∈ D{σ} (c, ˙ b) : γz ∈ Γ ,

(3.2.19)

3.2.1. Сингулярная точка на левой границе конечного интервала

177

n o D˙ {σ}0 (c, ˙ b) = y ∈ D{σ} (c, ˙ b) : γy ∈ Γ0 .

(3.2.20)

Таким образом, ( ) y ∈ D{σ} (c, ˙ b) : α ∈ (−π/2, π/2) , D˙ {σ} (c, ˙ b) = , (3.2.21) ξy0 sin α + 2σp0 (c) ϕy (c) cos α = 0 n o D˙ {σ}0 (c, ˙ b) = y ∈ D˙ {σ} (c, ˙ b) : y(b) = 0 , y 0 (b) = 0 . (3.2.22) В частности, при α = 0 n o D˙ {σ} (c, ˙ b) = y ∈ D{σ} (c, ˙ b) : ϕy (c) = 0 ,

(3.2.23)

n o D˙ {σ}0 (c, ˙ b) = y ∈ D˙ {σ} (c, ˙ b) : y(b) = 0 , y 0 (b) = 0 . (3.2.24) ˙ ˙ Если L ˙ b) на D˙ {σ} (c, ˙ b) а L {σ} — сужение L{σ} с D{σ} (c, {σ}0 ˙ ˙ (c, ˙ — сужение L с D ˙ b) на D ( c, ˙ b), то {σ} {σ} {σ}0 ˙ {σ}0 ⊂ L ˙ {σ} ⊂ L{σ} , L{σ}0 ⊂ L и для всех y ∈ D˙ {σ}0 (c, ˙ b) и z ∈ D˙ {σ} (c, ˙ b) имеем ˙ ˙ [L {σ}0 y, z]{σ} = [y, L{σ} z]{σ} .

(3.2.25)

Следовательно, для y, z ∈ D˙ {σ}0 (c, ˙ b) выполняется соотношение ˙ ˙ [L {σ}0 y, z]{σ} = [y, L{σ}0 z]{σ} , т. е. имеет место ˙ Теорема 3.2.9. Оператор L {σ}0 является π-эрмитовым. Ввиду (3.2.6) и (3.2.7) из двух линейно независимых решений u˙ λ = 2σ p0 (c)uσ, λ cos α − u−σ, λ sin α ,

178

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

uλ = 2σ p0 (c)uσ, λ sin α + u−σ, λ cos α однородного уравнения l(z) − λ z = 0 только первое решение u˙ λ p принадлежит D˙ {σ} (c, ˙ b). Таким образом, для множества N˙ λ{σ} ˙ z −λ z = 0 имеем N˙ p всех решений уравнения L = Lin{u˙ }. {σ}

λ{σ}

λ

Теорема 3.2.10. Неоднородное уравнение l(z) − λ z = f для f ∈ Π{σ} имеет решение из D˙ {σ} (c, ˙ b). Доказательство. Согласно теореме 3.2.2 решение y неоднородного уравнения с f (x) ∈ Π{σ} принадлежит D{σ} (c, ˙ b). Пусть 0 2 ξy sin α + 2σp0 (c) (b − a) ϕy (c) cos α = 2σθy p0 (c). Тогда ввиду ξu0λ sin α + 2σp0 (c) ϕuλ (c) cos α = 2σp0 (c) элемент z = y − θy uλ принадлежит множеству D˙ {σ} (c, ˙ b). ¤ Теорема 3.2.11. Если f ∈ Π{σ} , то неоднородное уравнение l(y) − λy = f имеет решение y ∈ D˙ {σ}0 (c, ˙ b) тогда и только тогда, когда f (x) π-ортогональна ко всем решениям z(x) ∈ ∈ N˙ pλ{σ} однородного уравнения l(z) − λz = 0. Доказательство. Утверждение теоремы следует из соотношения [f, z]{σ} = i[γy , γz ]E = =

−ξ z0

³ ´ 0 cos α ξy sin α + 2σp0 (c) ϕy (c) cos α , −1

полученного после рассуждений, аналогичных приведенным в доказательстве теоремы 3.1.11. ¤ Доказательства следующих теорем дословно повторяет доказательства соответствующих теорем в § 3.1.1. Теорема 3.2.12. Область определения D˙ {σ}0 (c, ˙ b) оператора ˙ L {σ}0 плотна в Π{σ} .

3.2.1. Сингулярная точка на левой границе конечного интервала

179

Поэтому из (3.2.25) вытекает ˙ ˙c L {σ} ⊂ L{σ}0 ,

(3.2.26)

а также ˙ Следствие 3.2.13. Оператор L {σ}0 , определенный на области D˙ {σ}0 (c, ˙ b) , является π-симметрическим оператором. Теорема 3.2.14. Для произвольных чисел A, B, C существует функция y ∈ D˙ {σ} (c, ˙ b), удовлетворяющая условиям ξy0 = A cos α ,

2σp0 (c) ϕy (c) = −A sin α ,

y(b) = B ,

p(b) y 0 (b) = C .

˙ Теорема 3.2.15. Оператор L {σ} является π-сопряженным к ˙ оператору L{σ}0 : ˙ {σ} = L ˙ c{σ}0 . L (3.2.27) ˙ Теорема 3.2.16. Оператор L {σ}0 является π-сопряженным ˙ к оператору L{σ} , то есть ˙ {σ}0 = L ˙ c{σ} . L Доказательство. Здесь вместо соотношения (3.1.40) имеем ³ ´ ³ ´ p(b) z(b) y 0 (b) − z 0 (b) y(b) + 2σ p0 (c) ξz0 ϕy (c) − ξ y0 ϕz (c) = 0 . (3.2.28) ˙ Следствие 3.2.17. Оператор L {σ}0 является замкнутым πсимметрическим оператором. ˙ Теорема 3.2.18. Оператор L {σ}0 не имеет собственных векторов.

180

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

˙ Теорема 3.2.19. L {σ}0 является вещественным оператором. Теорема 3.2.20. Индекс дефекта π-симметрического опера˙ тора L {σ}0 равен (1, 1). Далее, имеет место также теорема, аналогичная теореме 3.1.21. 2. Пусть σ > −1. В этом случае сингулярная точка x = c не является критической, пространство Π{σ} является обычным пространством Гильберта, и дифференциальный оператор, порождаемый выражением (3.2.2) рассматривается в классической теории (см. [11], [12], [13]). 2.1. При σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) оба решения z1 = u−ν, λ (x) и z2 = uν, λ (x) (ξz01 = 1, ϕz1 (c) = 0, ξz02 = 0, ϕz2 (c) = 1, ν = |σ|) уравнения l(y) − λ y = 0 (λ 6= λ) принадлежат области D{σ} (c, ˙ b), поэтому индекс дефекта симметрического оператора L{σ}0 = = Lc{σ} (≡ L∗{σ} ) равен (2, 2). 2.2. При σ > 1 из двух линейно независимых решений z1 = u−ν, λ (x) и z2 = uν, λ (x) уравнения l(y) − λ y = 0 (λ 6= λ) только первое принадлежит области определения D{σ} (c, ˙ b) оператора L{σ} , поэтому индекс дефекта симметрического опе³ ратора L{σ}0 = Lc{σ} (≡ L∗{σ} ) равен (1, 1) {y, z}c = 0 ∀y, z ∈ ´ ∈ D{σ} (c, ˙ b) [13] .

3.2.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала Рассмотрим в пространстве Π{σ} ≡ L2{σ} (c, ˙ ∞) (σ ∈ / Z) дифференциальный оператор L{σ} , определенный на множестве n o D{σ} (c, ˙ ∞) = y ∈ L2{σ} (c, ˙ b) : l(y) ∈ L2{σ} (c, ˙ b) дифференциальным выражением (3.2.2) с соответствующими p0 (x) и q0 (x), заданными на интервале [0, ∞) (см. § 2.2.2).

3.2.2. Сингулярная точка на границе полубесконечного интервала

181

1. Пусть σ < −1. В этом случае сингулярная точка x = c является критической, пространство Π{σ} является пространством Понтрягина с рангом индефинитности rσ = [−σ]−[−σ/2]. Таким образом, сингулярный обеих границах оператор L{σ} имеет квазирегулярную левую граничную точку x = c. Согласно теореме 2.2.4 для области D{σ} (c, ˙ ∞) имеем   y(x) ∈ D{σ} (c, ˙ l) для x ∈ (c, l] ,        y(x) ∈ D(l, ∞) для x ∈ [l, ∞) :  D{σ} (c, ˙ ∞) = ,   y(l − 0) = y(l) = y(l + 0) ,      0  y (l − 0) = y 0 (l) = y 0 (l + 0) , l ∈ (c, ∞) где

1 ˙ ∆1{σ} (c, ˙ U{σ} ˙ l) , (3.2.29) (c, ˙ l) + D{σ} (c, ˙ l) = A1{σ} (c, ˙ l) + n o D(l, ∞) = w ∈ L2 (l, ∞) : l(w) ∈ L2 (l, ∞) ,

т. е. произвольная функция y ∈ D{σ} (c, ˙ ∞) может быть представлена на интервале (c, l) в виде

где

y(x) = ay (x) + uy (x) + ωyc (x) , Pnσ k ay (x) = (x − c)σ+1/2 k=0 ξy (x − c)2k , uy (x) = (x − c)−σ+1/2 ϕy (x) , ωyc (x) =

Prσ −2 m=0

{σ}

ηym ∆c (m) (x) ,

причем ay (l) + uy (l) = y(l + 0) , a0y (l) + u0y (l) = y 0 (l + 0) (nσ = [−σ]) и |ϕy (c)| < ∞. Обозначим ) ( 0 = 0, ϕ (c) = 0 , y ∈ D ( c, ˙ ∞) : ξ y y {σ} 0 , D{σ}0 (c, ˙ ∞) = y(x) = 0 для x ∈ (βy , ∞)

182

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

где число βy ∈ (c, ∞) свое для каждой функции y(x) (очевидно, при этом y(βy ) = y 0 (βy ) = 0). Если L0{σ}0 — сужение оператора 0 0 L{σ} c D{σ} (c, ˙ ∞) на D{σ}0 (c, ˙ ∞) : L0{σ}0 = L{σ} |D{σ}0 (c, ˙ ∞), то L0{σ}0 ⊂ L{σ} .

(3.2.30)

0 (c, ˙ ∞) и z ∈ D{σ} (c, ˙ ∞) и для y ∈ D{σ}0

[L0{σ}0 y, z]{σ} = [y, L{σ} z]{σ} .

(3.2.31)

Следовательно, имеет место Теорема 3.2.21. Оператор L0{σ}0 является π-эрмитовым. Аналогично теореме 3.1.23 доказывается 0 Теорема 3.2.22. Область определения D{σ}0 (c, ˙ ∞) оператора 0 L{σ}0 не плотна в Π{σ} .

В связи с этим рассмотрим множества ( ) z ∈ D{σ} (c, ˙ ∞) : α ∈ (−π/2, π/2) , D˙ {σ} (c, ˙ ∞) = , (3.2.32) ξz0 sin α + 2σp0 (c) ϕz (c) cos α = 0 n o D˙ 0{σ}0 (c, ˙ ∞) = y ∈ D˙ {σ} (c, ˙ ∞) : y(x) = 0 для x ∈ (βy , ∞) (3.2.33) 0 ˙ (при этом y(βy ) = y (βy ) = 0). Пусть L{σ} — сужение оператора ˙0 L{σ} с D{σ} (c, ˙ ∞) на D˙ {σ} (c, ˙ ∞) и L {σ}0 — сужение оператора 0 ˙L ˙ ˙ ˙ ∞) на D{σ}0 (c, ˙ ∞). Тогда имеем {σ} с D {σ} (c, ˙0 ˙ L0{σ}0 ⊂ L {σ}0 ⊂ L{σ} ⊂ L{σ} . Очевидно, для всех y ∈ D˙ 0{σ}0 (c, ˙ ∞) и z ∈ D˙ {σ} (c, ˙ ∞) имеем ˙ {σ} z]{σ} . ˙ 0{σ}0 y, z]{σ} = [y, L [L

(3.2.34)

3.2.2. Сингулярная точка на границе полубесконечного интервала

183

Таким образом, для y, z ∈ D˙ hσi0 (c, ˙ ∞) выполняется соотношение ˙ 0{σ}0 y, z]{σ} = [y, L ˙ 0{σ}0 z]{σ} , [L т. е. имеет место ˙0 Теорема 3.2.23. Оператор L {σ}0 является π-эрмитовым. Имеют место также следующие ниже утверждения, доказательства которых аналогичны доказательствам соответствующих утверждений § 3.1.2. Теорема 3.2.24. Область определения D˙ 0{σ}0 (c, ˙ ∞) оператора ˙L0 {σ}0 плотна в Π{σ} . ˙ ˙ 0c Поэтому (согласно (3.2.34)) L {σ} ⊂ L{σ}0 , а также имеет место ˙0 Следствие 3.2.25. Оператор L {σ}0 , определенный на области 0 ˙ D{σ}0 (c, ˙ ∞) , является π-симметрическим оператором в Π{σ} . ˙0 L {σ}0 допускает замыкание, которое обо˙0 ˙ ˙ L {σ}0 {σ}0 = L{σ}0 . Таким образом, L{σ}0 — замкнутый π-симметрический в Π{σ} оператор.

Тогда оператор ˙ значим через L :

˙ Теорема 3.2.26. Оператор L {σ} является π-сопряженным к ˙ оператору L{σ}0 : ˙ ˙c L (3.2.35) {σ} = L{σ}0 . ˙ Следствие 3.2.27. L {σ} является замкнутым в Π{σ} оператором. ˙ Теорема 3.2.28. L {σ}0 является π-сопряженным в Π{σ} к опе˙ ратору L {σ} : ˙ ˙c L (3.2.36) {σ}0 = L{σ} .

184

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

Теорема 3.2.29. Для произвольных y, z ∈ D˙ {σ} (c, ˙ ∞) существует предел {y, z}+∞ = lim {y, z}t . t→+∞

Теорема 3.2.30. Область определения D˙ {σ}0 (c, ˙ ∞) оператора ˙L ˙ ˙ ∞), {σ}0 состоит из тех и только тех элементов y ∈ D {σ} (c, которые удовлетворяют условию {y, z}+∞ = 0

(3.2.37)

для всех z ∈ D˙ {σ} (c, ˙ ∞). ˙ Теорема 3.2.31. Оператор L {σ}0 является вещественным. ˙ Теорема 3.2.32. Индекс дефекта оператора L {σ}0 имеет вид (m, m), где m ∈ {0, 1}. Следовательно, D˙ {σ} (c, ˙ ∞) = D˙ {σ}0 (c, ˙ ∞) при m = 0, а при m = 1 имеет место теорема, аналогичная теореме 3.1.34. 2. В случае σ > −1 сингулярная точка x = c не является критической, пространство Π{σ} является пространством Гильберта и дифференциальный оператор, порождаемый выражением (3.2.2) рассматривается в классической теории сингулярных операторов (см. [11], [12], [13]). В отношении индекса дефекта симметрического оператора L{σ}0 с двумя сингулярными концами можно повторить сказанное в § 3.1.2 (п. 2).

3.2.3. Оператор с сингулярной точкой на правой границе конечного интервала ˙ (κ ∈ Рассмотрим в пространстве Π{κ} ≡ L2{κ} (l, b) / Z) дифференциальный оператор L{κ} , определенный на множестве n o ˙ = y∈Π D{κ} (l, b) : l(y) ∈ Π (3.2.38) {κ} {κ}

3.2.3. Сингулярная точка на правой границе конечного интервала

185

дифференциальным выражением l ≡ l{κ} (см. (2.2.18)) ³ ´ l(y) = − (x − a)(b − x)p0 (x)y 0 (x) 0 + (3.2.39) ¶ µ p0 (b) µ2 (b−a)2 + q0 (x) y(x) + 4 (x − a)(b − x)

(µ = |κ|) .

˙ ≡ L (l, b). ˙ В Как уже отмечалось в начале § 2.2.3, L2{κ} (l, b) 2hκi связи с этим оператор L{κ} можно рассматривать в простран˙ как оператор L стве L2hκi (l, b) hκi первого класса (см. § 3.1.1), порождаемый дифференциальным выражением (3.1.2) ¶ ³ ´ µ p (b) µ2 01 0 0 l(y) = − (b − x)p01 (x) y (x) + + q01 (x) y(x) 4(b − x) с p01 (x) и q01 (x), связанными с p0 (x) и q0 (x) соотношениями p01 (x) = (x − a)p0 (x) ,

q01 (x) =

b − a p0 (b) µ2 + q0 (x) . 4 x−a

Тем не менее, имея ввиду последующие рассмотрения, имеет смысл исследовать оператор L{κ} , порождаемый дифференциальным выражением (3.2.39), в котором непосредственно учтена соответствующая второму классу A симметрия. 1. Пусть κ < −1. В этом случае сингулярная точка x = b является критической и пространство Π{κ} является пространством Понтрягина с рангом индефинитности rκ = [−κ]−[−κ/2]. ˙ имеем Согласно теореме 2.2.6 для области D{κ} (l, b) 1 ˙ = B 1 (l, b) ˙ + ˙ + ˙ , ˙ V{κ} ˙ ∆1{κ} (l, b) D{κ} (l, b) (l, b) {κ}

˙ может быть предт. е. произвольная функция y ∈ D{κ} (l, b) ставлена в виде κ/2

y(x) = (x − a)

κ/2

(b − x)

nκ X k=0

ξyk (x − a)k (b − x)k +

186

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

rκ −2 −κ/2

+(x − a)

−κ/2

(b − x)

ψy (x) +

X

{κ}

ηym ∆b (m) (x)

m=0

(nκ = [−κ]), причем |ψy (b)| < ∞. Теорема 3.2.33. Все решения уравнения l(y) − λ y = 0 (λ ∈ ˙ ∈ C) принадлежат множеству D{κ} (l, b). Доказательство. После обозначений t=

(x − a)(b − x) , Y (t) = y(x) , p˜0 (t) = p0 (x) , q˜0 (t) = q0 (x) b−a

уравнение l(y) − λ y = 0 может быть переписано в виде −(t Yt0 )0t +

4 µ2 t(t Yt0 )0t − α(t) t Yt0 + Y + β(t) Y = 0 , (3.2.40) b−a 4t

где α(t) = − β(t) =

4t p˜00 (t) p˜00 (t) 2 + − , b − a p˜0 (t) p˜0 (t) b − a

µ2 ³ p˜0 (0) − p˜0 (t) 4 q˜0 (t) 4λ ´ + − . 4 p˜0 (t) t (b − a) (b − a)

Так как α(t), β(t) аналитичны в ε-окрестности точки t = 0, то для t ∈ K0, ε имеем α(t) =

∞ X k=0

k

αk t ,

β(x) =

∞ X

βk tk

(|αk |, |βk | < C ε−k ) .

k=0

P 0 ν/2+k Полагая Y (t) = ∞ (ν = ±κ) в ε-окрестности точки k=0 ηk t t = 0, из уравнения (3.2.40) находим ´ P ³ 0 0 β −(k+ν/2)α + m 4(b−a)−1 (m+ν/2)2 ηm m−k ηk m−k k=0 0 ηm+1 = (m + ν + 1)(m + 1)

187

3.2.3. Сингулярная точка на правой границе конечного интервала

(η00 6= 0, m ∈ Z+ ) . Следовательно, для m > −(ν + 1) имеем 0 |ηm+1 |≤

m X

(m)

γk

|ηk0 | ,

k=0

где (m) = γm

(m)

γk

4(b − a)−1 (m + ν/2)2 + C (|m + ν/2| + 1) , (m + ν + 1)(m + 1)

=

C(|k + ν/2| + 1)εk−m (m + ν + 1)(m + 1)

(k ∈ Z0, m−1 ) .

0 При этом |ηm | ≤ Bm (m ∈ Z+ ), где величины Bm удовлетворяют рекуррентному соотношению

Bm =

0 |ηm |

для m ∈ Z0, rκ , Bm+1 =

m X

(m)

γk Bk для m ∈ Zrκ , ∞ ,

k=0

из которого для m > rκ следует (m−1)

(m)

(m) (m) (m) γm−1 )Bm−1 , (3.2.41) Bm+1 = (γm + ωm )Bm + (γm−1 − ωm

где

¯ ¯ m(m + ν) = (m−1) ¯¯ = . (m + 1)(m + ν + 1) ε γk k∈Z0, m−2 (m)

(m) ωm

γk

Тогда ввиду (m) lim γm =

m→∞

для

4 , b−a

(m)

lim γm−1 = 0 ,

m→∞

(m) lim ωm =

m→∞

1 ε

τ = lim Bm /Bm+1 m→∞

из (3.2.41) находим 4 1 4 1 1 = + − τ, τ b−a ε b−a ε

τ1 = ε <

b−a , 4

τ2 =

b−a . 4

188

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

Выбирая меньшее τ = ε, заключаем, что в круге K0, ε сходитP∞ k ся ряд P∞ 0 k k=0 Bk t . Следовательно, в этом круге сходится ряд что в ε-окрестностях точек x = a k=0 ηk t . Отсюда следует, P k k 0 k и x = b сходится ряд ∞ η k=0 k (x − a) (b − x) (ηk = (b − a) ηk ). Таким образом, произвольное решение уравнения l(y) − λ y = 0 может быть представлено в виде y = {z для x ∈ (l, b−ε); y0 для x ∈ (b−ε, b); z(b−ε−0) = y0 (b−ε+0), z 0 (b−ε−0) = y00 (b−ε+0)}, где z ∈ L2 (l, b − ε) и y0 =

∞ X

˙ . ηk (x − a)ν/2+k (b − x)ν/2+k ∈ L2{µ} (b − ε, b)

k=0

˙ то есть y ∈ D (l, b). ˙ ¤ Следовательно, y ∈ L2{κ} (l, b), {κ} Два линейно независимых решения z1 = uκ, λ и z2 = u−κ, λ однородного уравнения l(z) − λ z = 0 (λ ∈ C) можно выбрать таким образом, чтобы в окрестности точки x = b имели вид uκ, λ (x) = (x − a)κ/2 (b − x)κ/2 a1 (x) , a1 (x) =

∞ X

ξ1k (x − a)k (b − x)k

(3.2.42)

(ξ10 = 1) ,

k=0

u−κ, λ (x) = (x − a)−κ/2 (b − x)−κ/2 a2 (x) , a2 (x) =

∞ X

ξ2k (x − a)k (b − x)k

(3.2.43)

(ξ20 = 1) .

k=0

Таким образом,

ξz01 = 1 ,

ψz1 (b) = 0 ,

(3.2.44)

ξz02 = 0 ,

ψz2 (b) = 1 .

(3.2.45)

p Через Nλ{κ} = Lin{uκ, λ , u−κ, λ } обозначим линейную оболочку решений однородного уравнения l(z) − λ z = 0.

Теорема 3.2.34. Пусть f ∈ Π{κ} . Решение y(x) неоднородного ˙ уравнения l(y) − λ y = f принадлежит множеству D{κ} (l, b).

3.2.3. Сингулярная точка на правой границе конечного интервала

189

˙ в виде Доказательство. 1. Представив f ∈ L2{κ} (l, b) nκ −1

f (x) =

X

ηfk (x−a)κ/2+k (b−x)κ/2+k +(x−a)−κ/2 (b−x)κ/2 ψf (x) ,

k=0

где nκ = [−κ] и ψf ∈ L1 (l, b) ∩ L2 ((l, b), (x − a)−κ (b − x)−κ ), запишем третье слагаемое в решении (3.1.8) в виде ´ ³nP κ −1 k k −κ −κ k ξf (t−a) (b−t) +(t−a) (b−t) ψf (t) Z b a2 (t) k=0 z1 (x) dt− w(t) x0 ³nP ´ κ −1 ξfk (t−a)k (b−t)k +(t−a)−κ (b−t)−κ ψf (t) Z b a2 (t) k=0 −z1 (x) dt . w(t) x (3.2.46) Rb Первое слагаемое в (3.2.46), так как x (. . . ) dt = const, принад0 ˙ а второе представим двумя слагаемыми лежит D (l, b), {κ}

Z

nκ −1

−z1 (x)

X k=0

Z +z1 (x)

b x

ξfk

b x

w−1 (t)a2 (t)(t − a)k (b − t)k dt+

w−1 (t)a2 (t)(t − a)−κ (b − t)−κ ψf (t) dt .

(3.2.47)

˙ так как Первое слагаемое в (3.2.47) принадлежит D{κ} (l, b), Pnκ −1 k R b k=0 ξf x (. . . ) dt — симметричная относительно точки x = c и аналитическая в окрестности точки x = b функция, а второе слагаемое можно представить в виде (x−a)−κ/2 (b−x)−κ/2 ψ1 (x), где ψ1 (b) = 0. Действительно, Rb a1 (x) x w−1 (t)a2 (t)(t−a)−κ (b−t)−κ ψf (t) dt = lim ψ1 (x) = lim x→b−0 x→b−0 (x − a)−κ (b − x)−κ

190

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

Rb (x) x w−1 (x)a2 (t)(t−a)−κ (b−t)−κ ψf (t) dt = 0. (b−a)−κ Γ(κ) Γ−1 (κ+nκ +1)(b−x)−κ−nκ −1

(nκ +1)

= lim

a1

x→b−0

Таким образом, третье слагаемое в (3.1.8) принадлежит мно˙ жеству D{κ} (l, b). Четвертое слагаемое в (3.1.8) можно записать в виде Z x −κ/2 w−1 (t)a1 (t)ψf (t) dt− −(x − a) a2 (x) x0

Z −z2 (x)

κ −1 x nX

x0 k=0

ξfk w−1 (t)a1 (t)(t − a)κ+k (b − t)κ+k dt .

(3.2.48)

˙ ввиду того, Первое слагаемое в (3.2.48) принадлежит D{κ} (l, b) Rx что a2 (x) x (. . . ) dt ∈ L1 (l, b) ∩ L2 ((l, b), (x − a)−κ (b − x)−κ ). 0 Второе слагаемое в выражении (3.2.48) может быть представлено в виде µZ x ¶ Z x 1 −z2 (x) (. . . ) dt− (. . . ) dt = Cz2 (x)+(x−a)κ/2 (b−x)κ/2 a(x) x0

x1

(где x1 из (l, b) принадлежит ε-окрестности точки R x1 x = b, в которой аналитичны функции a1 (x) и a2 (x)), т. к. x (. . . ) dt = const 0 Rx и x (. . . ) dt = (x−a)µ (b−x)µ b(x)+const, где b(x) — симметрич1 ная относительно точки x = c аналитическая в ε-окрестности точки x = b функция, a(x) = a2 (x)b(x). Следовательно, это ˙ Таким обслагаемое также принадлежит множеству D{κ} (l, b). ˙ разом, четвертое слагаемое в (3.1.8) принадлежит D{κ} (l, b). Итак, если в неоднородном уравнении l(y)−λ y = f правая ˙ то его решение y ∈ D (l, b). ˙ часть f ∈ L2{κ} (l, b), {κ} ˙ Обратившись к § 8.3.4, 2. Пусть теперь f ∈ ∆{κ} (l, b). рассмотрим дифференциальное выражение l{−1/2, κ} (y) (8.3.25) l{−1/2, κ} (y) = −∂(1 − x2 )∂y +

µ2 y 1 − x2

(µ = |κ|)

191

3.2.3. Сингулярная точка на правой границе конечного интервала

и докажем вторую часть утверждения теоремы для уравнения ³ ´ {−1/2, κ} ˙ l (y) − λ y = f f ∈ ∆{−1/2, κ} (0, 1) . (3.2.49) Лемма 3.2.35. Для решения y(x) уравнения (3.2.49) имеем ˙ причем если f (x) = ∆{−1/2, κ} (x), то y(x) ∈ D{−1/2, κ} (0, 1), 1 (0) 1 1 ˙ ˙ ˙ y(x) ∈ B{−1/2, µ} (0, 1) + V{−1/2, µ} (0, 1). Доказательство. Очевидно, {−1/2, κ} Gτ, λ (x)

=

∞ {−1/2, κ}J {−1/2, κ} X β (τ ) β (x) k

k {−1/2, κ} ρk −

k=0

(3.2.50)

λ

является решением уравнения ³ ´ {−1/2, κ} {−1/2, κ} (x) − λ Gτ, λ (x) = δτ{−1/2, κ} (x) , lτ{−1/2, κ} Gτ, λ P {−1/2, κ}J {−1/2, κ} {−1/2, κ} {−1/2, κ} (x) = ∞ (τ ) βk (x) , βk (x) = где δτ k=0 βk {−1/2, κ} {−1/2, κ} = (1 − x2 )κ/2 Bk (x), Bk (x) — четные обобщенноклассические ортогональные полиномы Гегенбауэра [15]. Вви³ ´ {−1/2, κ} {−1/2, κ} {−1/2, κ} {−1/2, κ} Gτ, λ (x) = ду Gτ, λ (x) = Gx, λ (τ ) имеем lτ ³ ´ {−1/2, κ} {−1/2, κ} Gτ, λ (x) . Следовательно, = lx lx{−1/2, κ}

³

´

{−1/2, κ} Gτ, λ (x)

{−1/2, κ}

− λ Gτ, λ

(x) = δτ{−1/2, κ} (x) . (3.2.51)

Общее решение уравнения (3.2.51), симметричное по переменным τ и x, очевидно, имеет вид {−1/2, κ}

Gτ, λ

(x) =

∞ {−1/2, κ}J {−1/2, κ} X β (τ ) β (x) k

k=0

k {−1/2, κ} − ρk

λ

+

³ ´³ ´ + c1 uκ, λ (τ ) + c2 u−κ, λ (τ ) c1 uκ, λ (x) + c2 u−κ, λ (x) , (3.2.52)

192

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

где uκ, λ (x) и u−κ, λ (x) — линейно независимые решения соответ{−1/2, κ} ствующего однородного уравнения. Gτ, λ (x) — есть функция Грина для уравнения {−1/2, κ}

l{−1/2, κ} (y) − λ y = f :

y(x) = [Gx, λ

(t), f (t)]{−1/2, κ} .

Домножив обе части уравнения (3.2.51) на (1 − τ 2 )−κ/2 и подействовав операцией (m!)−1 dm τ , получаем ´ ³ {−1/2, κ} {τ {−1/2, κ} {−1/2, κ} {−1/2, κ} (x) = ∆τ (m) (x) lx Ωτ (m);λ (x) − λ Ωτ (m);λ (m ∈ Z0, rκ −1 ), где {−1/2, κ} Ωτ (m);λ (x)|c1 =c2 =0

=

∞ {−1/2, κ}(m)J {−1/2, κ} X B (τ ) β (x) k

k=0

k {−1/2, κ} m! (ρk −

λ)

.

Полагая τ = 1, находим ³ ´ {−1/2, κ} {−1/2, κ} {−1/2, κ} l{1/2, κ} Ω1 (m);λ (x) − λ Ω1 (m);λ (x) = ∆1 (m) (x) (3.2.53) (m ∈ Z0, rκ −1 ), где {−1/2, κ} Ω1 (m);λ (x)|c1 =c2 =0

=

{−1/2, κ}J {−1/2, κ} ∞ X Bm, k βk (x) {−1/2, κ}

k=0

ρk

−λ

.

Очевидно, {

{−1/2, κ}

Ω1}(m);λ −1/2, κ(x) = [Gx, λ {−1/2, κ}

(m ∈ Z0, rκ −1 ). Ввиду βm, k

{−1/2, κ}

(t), ∆1 (m)

(t)]{−1/2, κ}

{−1/2, κ}

∼ k κ+2m+1/2 и ρk

{−1/2, κ}

∼ k 2 [15]

имеем Ω1 (m);λ (x)|c1 =c2 =0 ∈ Πnκ −2m+1 ⊂ Π{κ} (nκ = [−κ]). Сле{−1/2, κ} ˙ В частности, имедовательно, Ω1 (m);λ (x) ⊂ D{−1/2, κ} (0, 1). {−1/2, κ} ˙ А так как ем Ω (x)|c =c =0 ∈ Πn +1 ⊂ D (0, 1). 1 (0);λ

1

2

κ

{−1/2, κ}

3.2.3. Сингулярная точка на правой границе конечного интервала

{−1/2, κ}

193

{−1/2, κ}

при этом ∆1 (m)

(x) ∈ Πnκ −2m−1 и ∆1 (m) (x) ∈ / Πnκ −2m , {−1/2, κ} 1 ˙ mod ∆ ˙ то Ω1 (0);λ (x) ∈ D{−1/2, κ} (0, 1)| {−1/2, κ} (0, 1), то есть {−1/2, κ} 1 ˙ ˙ 1 ˙ Ω1 (0);λ (x) ∈ B{−1/2, κ} (0, 1) + V{−1/2, κ} (0, 1). 4 Докажем теперь вторую часть утверждения самой теоремы. Не теряя общности, положим для l(y) ≡ l{κ} (y) в (3.2.39) a = −1, b = 1, l ∈ (0, 1), p0 (1) = 1. Рассмотрим на (l, 1) уравнение ³ ´ κ2 {−1/2, κ} {−1/2, κ} 2 −∂(1−x )∂ + −λ Ω1 (0);λ (x) = ∆1 (0) (x) , (3.2.54) 2 1−x {−1/2, κ}

где Ω1 (0);λ

(x) имеет структуру

{−1/2, κ} Ω1 (0);λ (x)

2 κ/2

= (1 − x )

nκ X

ηΩk (1 − x2 )k + (1 − x2 )−κ/2 ψΩ (x) ,

k=0

где

1 ˙ =V1 ˙ (1 − x2 )−κ/2 ψΩ (x) ∈ V{κ} (l, 1) {−1/2, κ} (0, 1)|(l, 1) , 2 κ/2

(1 − x )

nκ X

1 1 ˙ = B{−1/2, ˙ ηΩk (1 − x2 )k ∈ B{κ} (l, 1) κ} (0, 1)|(l, 1) .

k=0

˙ в Левая часть (3.2.54) не содержит элементов из L2{κ} (l, 1), ˙ Это означает, что коэффициенты ηΩk частности, из B{κ} (l, 1). удовлетворяют рекуррентным соотношениям ηΩk+1 =

(κ + 2k)(κ + 2k + 1) k η 4(k + 1)(κ + k + 1) Ω

{−1/2, κ}

Тогда для ∆1 (0) {−1/2, κ}

∆1 (0) где

(k ∈ Z0, nκ −1 ) .

(x) имеем представление

(x) = (1 − x2 )−κ/2 ψ1 (x) + (1 − x2 )−κ/2 Ψ1 (x) ,

˙ , (1 − x2 )−κ/2 ψ1 (x) ∈ V{κ} (l, 1) ³ ´ n ψ1 (x) = ηΩκ (κ + 2nκ )(κ + 2nκ + 1) − λ (1 − x2 )κ+nκ +

194

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

³ ´ + κ(κ − 1) − λ ψΩ (x)

(см. теорему 2.2.6) ,

Ψ1 (x) = −2(κ − 1) xψΩ0 (x) − (1 − x2 )ψΩ00 (x) . {−1/2, κ}

Так как (1 − x2 )∆1 (0)

(x) = 0, то, очевидно,

(1 − x2 )−κ/2 ψ2 (x) + (1 − x2 )−κ/2 Ψ2 (x) = 0 , ˙ , (1 − x2 )−κ/2 ψ2 (x) ∈ V{κ} (l, 1)

где

ψ2 (x) = (1 − x2 ) ψ1 (x) − 2(κ − 1) x(1 − x2 ) ψΩ0 (x) , Ψ2 (x) = (1 − x2 )2 ψΩ00 (x) . Следовательно, ˙ . (1 − x2 )−κ/2 · (1 − x2 )2 ψΩ00 (x) ∈ V{κ} (l, 1) Для h(x) = (l

{κ}

−l

{−1/2, κ}

(3.2.55)

³ ´ {−1/2, κ} ) Ω1 (0);λ (x) имеем

³ ´ {−1/2, κ} h(x) = −∂(1 − x2 )2 p1 (x)∂ + q0 (x) Ω1 (0);λ (x) , где p1 (x) = (p0 (x) − 1)/(1 − x2 ) и q0 (x) — непрерывно дифференцируемые на [l, 1] функции, имеющие в окрестности тоP∞ чекPx = ±1 представления p1 (x) = k=0 p1k (1 − x2 )k , q0 (x) = 2 k = ∞ k=0 q0k (1 − x ) . Очевидно, выражение nκ ³ ´ X 2 2 2 κ/2 −∂(1 − x ) p1 (x)∂ + q0 (x) (1 − x ) ηΩk (1 − x2 )k k=0

˙ Далее, выражение принадлежит множеству L2{κ} (l, 1). ³

´ −∂(1 − x2 )2 p1 (x)∂ + q0 (x) (1 − x2 )−κ/2 ψΩ (x) = −(1 − x2 )−κ/2 ×

3.2.3. Сингулярная точка на правой границе конечного интервала

195

h ³ ´ ³ ´ × κ(1−x2 ) xp0 (x)+p1 (x) ψΩ (x)+ κ(κ−2)x2 p1 (x)+q0 (x) ψΩ (x)+ ³ ´ i 0 2 2 0 2 2 00 + 2(κ−2)xp1 (x)+(1−x )p1 (x) (1−x )ψΩ (x)+p1 (x) (1−x ) ψΩ (x) ˙ Таким образом, функция ввиду (3.2.55) принадлежит V{κ} (l, 1). ˙ h(x) ∈ L2{κ} (l, 1). Следовательно, согласно пункту 1 доказательства данной теоремы имеем ³ ´ 1 1 ˙ + ˙ . ˙ V{κ} (l, 1)) (l, 1) h(x) = −l{κ} g(x) + λ g(x) , где g(x) ∈ B{κ} ´ ³ {−1/2, κ} l{κ} Ω1 (0);λ (x) =

Тогда

³ ´ ³ ´ {−1/2, κ} = l{−1/2, κ} Ω1 (0);λ (x) − l{κ} g(x) + λ g(x) или ввиду (3.2.53) ³ ´ {κ} {κ} {κ} l{κ} Ω1 (0);λ (x) − λ Ω1 (0);λ (x) = ∆1 (0) (x) , {κ}

где

Ω1 (0);λ (x) = {−1/2, κ}

= Ω1 (0);λ

1 1 ˙ + ˙ ⊂ D{κ} (l, 1) ˙ . ˙ V{κ} (x) + g(x) ∈ B{κ} (l, 1) (l, 1)

Учитывая уравнения (глава 8) для σ = −1/2 l

{κ}

³ ´ m+1 X (m; κ) {κ} {κ} ηk ∆1 (k) (x) ∆1 (m) (x) = k=0

(m; κ)

(m ∈ Z0, rκ −2 , ηm+1 6= 0), находим ³ ´ {κ} {κ} {κ} l{κ} Ω1 (m);λ (x) − λ Ω1 (m);λ (x) = ∆1 (m) (x) (m ∈ Z1, rκ −2 ) ,

196

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

где {κ} Ω1 (m);λ (x)

=ξ

(m; κ)

{κ} Ω1 (0);λ (x)

+

m−1 X

(m; κ)

ζk

{κ} ˙ . ∆1 (k) (x) ∈ D{κ} (l, 1)

k=0 (m; κ)

При этом коэффициенты ξ (m; κ) и ζk (k ∈ Z0, m−1 ) выража(n, κ) ются непосредственно через величины ηs (s ∈ Z0, n+1 , n ∈ ∈ Z0, m−1 ) и λ. ¤ Очевидно, имеет место следующая теорема (см. доказательство теоремы 3.1.4). ˙ существует Теорема 3.2.36. Для f (x) ∈ Π{κ} ≡ L2{κ} (l, b) единственное решение неоднородного уравнения l(y) − λy = f, удовлетворяющее условиям ηy0 = 0, ψy (b) = 0. Обозначим ( ) ˙ : η 0 = 0, ψ (b) = 0 , y ∈ D{κ} (l, b) y y ˙ = D{κ}0 (l, b) . (3.2.56) y(l) = 0, y 0 (l) = 0 ˙ может быть представлен Произвольный элемент y ∈ D{κ}0 (l, b) суммой y(x) = by (x) + vy (x) + ωyb (x) , 1 ˙ (η 0 = 0) , v (x) ∈ V 1 (l, b) ˙ (ψ (b) = 0) , где by (x) ∈ B{κ} (l, b) y y v {κ} ˙ , причем ωyb (x) ∈ ∆1{κ} (l, b)

by (l) + vy (l) = 0,

b0y (l) + vy0 (l) = 0 .

˙ то Если L{κ}0 — сужение L{κ}0 = L{κ} | D{κ}0 (l, b), L{κ}0 ⊂ L{κ} ,

(3.2.57)

˙ и z ∈ D (l, b) ˙ ввиду (2.2.25) имеем и для y ∈ D{κ}0 (l, b) {κ} [L{κ}0 y, z]{κ} = [y, L{κ} z]{κ} . Следовательно, имеет место

(3.2.58)

3.2.3. Сингулярная точка на правой границе конечного интервала

197

Теорема 3.2.37. Оператор L{κ}0 является π-эрмитовым. ˙ линеал Lin{Ω{κ} (x)}, Обозначим через Qλ{κ}≡ Qλ{κ} (l, b) b (0);λ {κ} 0 0 ˙ а через ∆{κ} ≡ ∆{κ} (l, b) линеал Lin{∆b (0) (x)}. Теорема 3.2.38. Если f (x) ∈ Π{κ} , то неоднородное уравнение ˙ тогда и только l(y) − λ y = f имеет решение y(x) ∈ D{κ}0 (l, b) тогда, когда f (x) π-ортогональна ко всем решениям z(x) ∈ p ˙ Qλ{κ} неоднородного уравнения l(z) − λ z = g, где ∈ Nλ{κ} + ˙ g(x) ∈ ∆0{κ} (l, b). Доказательство. Если соотношение (3.1.23) заменить на ´ 2κ p0 (b) ³ 0 0 [f, z]{κ} = [y, l(z) − λ z]{κ} + η ψ (b) − η z ψy (b) , (b − c)−1 y z (3.2.59) то в остальном доказательство теоремы идентично доказательству теоремы 3.1.6. ¤ Доказательства следующих двух теорем с несущественными изменениями повторяют доказательства теорем 3.1.7 и 3.1.8. Теорема 3.2.39. Для произвольных чисел α1 , α2 , β1 , β2 суще˙ удовлетворяющая условиям ствует функция y(x) ∈ D{κ} (l, b), y(l) = α1 , p(l) y 0 (l) = α2 , ηy0 = β1 , 2κp0 (b) (b − c)ψy (b) = β2 . ˙ оператора Теорема 3.2.40. Область определения D{κ}0 (l, b) L{κ}0 не является плотной в Π{κ} . Определим множества Γ и Γ0 соотношениями (3.1.24) и (3.1.25). В соответствии с теоремой 3.2.39 установим отображение ˙ → E элементов z ∈ D (l, b) ˙ на элементы γ ∈ E D{κ} (l, b) z {κ} соотношениями γz0 = z(l) , γz1 = p(l) z 0 (l) , γz2 = ηz(0) , γz3 = 2κ p0 (b) (b − c)ψz (b) .

198

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

˙ имеем Тогда для y, z ∈ D{κ} (l, b)

Обозначим

Reg{y, z}bl = i[γy , γz ]E . n o ˙ = z ∈ D (l, b) ˙ : γ ∈Γ , D˙ {κ} (l, b) z {κ}

n o ˙ ˙ ˙ D{κ}0 (l, b) = y ∈ D{κ} (l, b) : γy ∈ Γ0 .

(3.2.60) (3.2.61)

Таким образом, ) ( ˙ : α ∈ (−π/2, π/2) , y ∈ D (l, b) {κ} ˙ = D˙ {κ} (l, b) , 0 ηy sin α + 2κp0 (b)(b − c)ψy (b) cos α = 0 n o (3.2.62) 0 ˙ ˙ ˙ ˙ D{κ}0 (l, b) = y ∈ D{κ} (l, b) : y(l) = 0 , y (l) = 0 . (3.2.63) В частности, при α = 0 n o ˙ = y ∈ D (l, b) ˙ : ψ (b) = 0 , D˙ {κ} (l, b) {κ} y n o ˙ = y ∈ D˙ (l, b) ˙ : y(l) = 0 , y 0 (l) = 0 . D˙ {κ}0 (l, b) {κ}

(3.2.64) (3.2.65)

˙ ˙ Если L {κ} — сужение оператора L{κ} с D{κ} (l, b) на мно˙ аL ˙ ˙ ˙ ˙ жество D˙ {κ} (l, b), {κ}0 — сужение оператора L{κ} с D {κ} (l, b) ˙ то на множество D˙ {κ}0 (l, b), ˙ {κ}0 ⊂ L ˙ {κ} ⊂ L{κ} , L{κ}0 ⊂ L ˙ и z ∈ D˙ (l, b) ˙ имеем и для всех y ∈ D˙ {κ}0 (l, b) {κ} ˙ ˙ [L {κ}0 y, z]{κ} = [y, L{κ} z]{κ} .

(3.2.66)

˙ выполняется соотношеСледовательно, для y, z ∈ D˙ {κ}0 (l, b) ние ˙ {κ}0 y, z]{κ} = [y, L ˙ {κ}0 z]{κ} , [L т. е. имеет место

3.2.3. Сингулярная точка на правой границе конечного интервала

199

˙ Теорема 3.2.41. Оператор L {κ}0 является π-эрмитовым. Ввиду (3.2.44) и (3.2.45) из двух линейно независимых решений u˙ λ = 2κ(b − c) p0 (b) uκ, λ cos α − u−κ, λ sin α , uλ = 2κ(b − c) p0 (b) uκ, λ sin α + u−κ, λ cos α однородного уравнения l(z) − λ z = 0 только первое решение u˙ λ ˙ Таким образом, для множества N˙ p принадлежит D˙ {κ} (l, b). λ{κ} p ˙ ˙ всех решений уравнения L z−λ z = 0 имеем N = Lin{u˙ }. {κ}

λ{κ}

λ

Теорема 3.2.42. Неоднородное уравнение l(z) − λ z = f для ˙ f ∈ Π{κ} имеет решение из D˙ {κ} (l, b). Доказательство. Согласно теореме 3.2.34 решение y(x) неодно˙ Пусть родного уравнения с f (x) ∈ Π{κ} принадлежит D{κ} (l, b). ηy0 sin α+2κ(b−c)p0 (b) ψy (b) cos α = 2κ(b−c)θy p0 (b). Тогда, ввиду ηu0λ sin α + 2κ(b − c)p0 (b) ψuλ (b) cos α = 2κ(b − c)p0 (b) , ˙ ¤ z(x) = y(x) − θy uλ (x) принадлежит множеству D˙ {κ} (l, b). Теорема 3.2.43. Если f (x) ∈ Π{κ} , то неоднородное уравнение ˙ тогда и только l(y) − λ y = f имеет решение y(x) ∈ D˙ {κ}0 (l, b) тогда, когда f (x) π-ортогональна ко всем решениям z(x) ∈ ∈ N˙ pλ{κ} однородного уравнения l(z) − λ z = 0. Доказательство. Утверждение теоремы следует из соотношения [f, z]{κ} = i[γy , γz ]E = ³ ´ 0 −1 0 = −η z cos α ηy sin α + 2κp0 (b) (b − c)ψy (b) cos α , полученного после рассуждений, аналогичных приведенным в доказательстве теоремы 3.1.11. ¤ Доказательства следующих теорем дословно повторяют доказательства соответствующих теорем в § 3.1.1.

200

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

˙ оператора Теорема 3.2.44. Область определения D˙ {κ}0 (l, b) ˙ L {κ}0 плотна в Π{κ} . Следовательно, из (3.2.66) имеем ˙ {µ} ⊂ L ˙ c{µ}0 , L

(3.2.67)

а также ˙ Следствие 3.2.45. Оператор L {κ}0 , определенный на области ˙ D˙ {κ}0 (l, b) , является π-симметрическим оператором. Теорема 3.2.46. Для произвольных чисел A, B, C сущест˙ удовлетворяющая условиям вует функция y ∈ D˙ {κ} (l, b), y(l) = A , ηy0 = C cos α ,

p(l) y 0 (l) = B ,

2κp0 (b) (b − c)ψy (b) = −C sin α .

˙ Теорема 3.2.47. Оператор L {κ} является π-сопряженным к ˙ оператору L{κ}0 : ˙ ˙c L (3.2.68) {κ} = L{κ}0 . ˙ Теорема 3.2.48. Оператор L {κ}0 является π-сопряженным к ˙ оператору L {κ} , то есть ˙ ˙c L {κ}0 = L{κ} . Доказательство. Здесь вместо соотношения (3.1.40) имеем ´ ³ ´ 2κ p0 (b) ³ 0 0 0 0 η ψ (b) − η ψ (b) − p(l) z(l) y (l) − z (l) y(l) = 0. y z (b − c)−1 z y (3.2.69) ˙ Следствие 3.2.49. Оператор L {κ}0 является замкнутым πсимметрическим оператором.

3.2.4. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

201

˙ Теорема 3.2.50. Оператор L {κ}0 не имеет собственных векторов. ˙ Теорема 3.2.51. L {µ}0 является вещественным оператором. Теорема 3.2.52. Индекс дефекта π-симметрического опера˙ тора L {κ}0 равен (1, 1). Далее, имеет место также теорема, аналогичная теореме 3.1.21. 2. Пусть κ > −1. В этом случае сингулярная точка x = b не является критической, пространство Π{κ} является обычным пространством Гильберта, и дифференциальный оператор, порождаемый выражением (3.2.39) рассматривается в классической теории (см. [11], [12], [13]). 2.1. Для κ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) уравнение l(y) − λ y = 0 (λ 6= λ) имеет два линейно независимых решения z1 = u−µ, λ (x) ˙ (η 0 = 1, ψ (b) = 0, η 0 = 0, ψ (b) = 1, и z2 = uµ, λ (x) из D{κ} (l, b) z1 z1 z2 z2 µ = |κ|). Следовательно, индекс дефекта симметрического оператора L{κ}0 = Lc{κ} (≡ L∗{κ} ) равен (2, 2). 2.2. Для κ > 1 (κ ∈ / Z) из двух решений z1 = u−κ, λ (x) и z2 = uκ, λ (x) уравнения l(y)−λ y = 0 только второе принадлежит ˙ Поэтому индекс дефекта симметрического области D{κ} (l, b). ³ c ∗ оператора L{κ}0 = L{κ} (≡ L{κ} ) равен (1, 1) {y, z}b = 0 ∀y, z ∈ ´ ˙ [13] . ∈ D{σ} (l, b)

3.2.4. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала ˙ диффеРассмотрим в пространстве Π{σ, κ} ≡ L2{σ, κ} (c, ˙ b) ренциальный оператор L{σ, κ} (σ, κ ∈ / Z), определенный на множестве n o ˙ = y∈Π D{σ, κ} (c, ˙ b) : l(y) ∈ Π (3.2.70) {σ, κ} {σ, κ}

202

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

дифференциальным выражением l(y) ≡ l{σ,κ}(y) ((2.2.28) § 2.2.4) ³ ´ l(y) = − (x − a)(b − x)p0 (x)y 0 0 + (3.2.71) µ ¶ (b−a)2 ³ p0 (c) (σ 2 − 1/4) p0 (b) κ 2 ´ + + + q0 (x) y , 4 (x − c)2 (x − a)(b − x) где p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [c, b]. 1. Пусть σ < −1 и κ < −1. В этом случае сингулярные точки x = c и x = b являются критическими, пространство Π{σ, κ} является пространством Понтрягина с рангом индефинитности r = rσ +rκ , где rτ = [−τ ]−[−τ /2], а сингулярный дифференциальный оператор L{σ, κ} является квазирегулярным. ˙ имеем Согласно теореме 2.2.8 для области D{σ, κ} (c, ˙ b)   y(x) ∈ D{σ} (c, ˙ l) для x ∈ (c, l] ,         y(x) ∈ D (l, b) ˙ для x ∈ [l, b) : {κ} ˙ , D{σ, κ} (c, ˙ b) =   y(l − 0) = y(l) = y(l + 0) ,       0 y (l − 0) = y 0 (l) = y 0 (l + 0) , l ∈ (c, b) (3.2.72) где 1 ˙ U{σ} ˙ ∆1{σ} (c, D{σ} (c, ˙ l) = A1{σ} (c, ˙ l) + (c, ˙ l) + ˙ l) ,

(3.2.73)

1 ˙ = B 1 (l, b) ˙ + ˙ + ˙ , ˙ V{κ} ˙ ∆1{κ} (l, b) D{κ} (l, b) (l, b) {κ}

(3.2.74)

˙ может быть предт. е. произвольная функция y ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b) ставлена на интервале (c, l] в виде y(x) = ay (x) + uy (x) + ωyc (x) , где

ay (x) = (x − c)σ+1/2

P nσ

k k=0 ξy

(x − c)2k ,

uy (x) = (x − c)−σ+1/2 ϕy (x) ,

(3.2.75)

3.2.4. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

ωyc (x) =

Prσ −2 m=0

203

{σ}

ξy0m ∆c (m) (x),

а на интервале [l, b) в виде y(x) = by (x) + vy (x) + ωyb (x) , где

by (x) = (x − a)κ/2 (b − x)κ/2

Pnκ

k=0

(3.2.76)

ηyk (x − a)k (b − x)k ,

vy (x) = (x − a)−κ/2 (b − x)−κ/2 ψy (x) , ωyb (x) =

Prκ −2 m=0

{κ}

ηy0m ∆b (m) (x) ,

причем ay (l) + uy (l) = by (l) + vy (l) , a0y (l) + u0y (l) = b0y (l) + vy0 (l) (nσ = [−σ], nκ = [−κ]) и |ϕy (c)| < ∞, |ψy (b)| < ∞. Аналогично теореме 3.1.35 доказывается, что p ˙ , Nλ{σ, = Lin{uσ, λ , u−σ, λ } = Lin{uκ, λ , u−κ, λ } ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b) κ}

т. е. имеет место Теорема 3.2.53. Все решения y(x) однородного уравнения ˙ l(y) − λ y = 0 (λ ∈ C) принадлежат множеству D{σ, κ} (c, ˙ b). Теорема 3.2.54. Решение y(x) неоднородного уравнения l(y)− −λ y = f (λ ∈ C, f ∈ Π{σ, κ} ) принадлежит множеству D{σ, κ} . Доказательство. Теорема доказывается, основываясь на теоремах 3.2.2 и 3.2.34, аналогично теореме 3.1.35. ¤ Аналогично доказательству теоремы 3.1.4 доказывается Теорема 3.2.55. Для f (x) ∈ Π{σ, κ} существует единственное решение неоднородного уравнения l(y) − λ y = f (λ ∈ C), удовлетворяющее условиям ξy0 = 0, ϕy (c) = 0, либо условиям ηy0 = 0, ψy (b) = 0.

204

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

Теорема 3.2.56. Для произвольных чисел α1 , α2 , β1 , β2 суще˙ удовлетворяющая условиям ствует функция y ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b), ξy0 = α1 ,

2σ(b − c)2 p0 (c) ϕy (c) = α2 ,

ηy0 = β1 ,

2κ(b − c)p0 (b) ψy (b) = β2 .

Доказательство. Согласно теореме 3.2.7 для произвольных α1 , α2 , γ1 , γ2 существует функция y1 ∈ D{σ} (c, ˙ l), удовлетворяющая условиям ξy01 = α1 , 2σ(b−c)2 p0 (c) ϕy1 (c) = α2 , y1 (l) = γ1 , p(l) y10 (l) = γ2 . Аналогично, согласно теореме 3.2.39 для произвольных γ1 , γ2 , ˙ удовлетворяющая β1 , β2 существует функция y2 ∈ D{κ} (l, b), условиям y2 (l) = γ1 , p(l) y20 (l) = γ2 , ηy02 = β1 , 2κ(b−c)p0 (b) ψy2 (b) = β2 . ˙ Таким образом, функция из D{σ, κ} (c, ˙ b) y(x) = {y1 (x) для x ∈ (c, l]; y2 (x) для x ∈ [l, b)} удовлетворяет условиям теоремы. ¤ Обозначим (3.2.77) ( ) 0 ˙ y ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b) : ξy = 0 , ϕy (c) = 0 , ˙ = D{σ, κ}0 (c, ˙ b) . ηy0 = 0 , ψy (b) = 0 ˙ может быть представПроизвольный элемент y ∈ D{σ, κ}0 (c, ˙ b) лен в виде y(x) = {y1 (x) для x ∈ (c, l]; y2 (x) для x ∈ [l, b)} , где y1 (x) = ay (x)+uy (x)+ωyc (x) , ˙ l) и ξy0 = 0 , ay (x) ∈ A1{σ} (c,

y2 (x) = by (x)+vy (x)+ωyb (x) ,

1 ˙ и η0 = 0 , (l, b) by (x) ∈ B{κ} y

205

3.2.4. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

1 1 ˙ и ψ (b) = 0 , uy (x) ∈ U{σ} (c, ˙ l) и ϕy (c) = 0 , vy (x) ∈ U{κ} (l, b) y

ωyc (x) ∈ ∆1{σ} (c, ˙ l) ,

˙ , ωyb (x) ∈ ∆1{κ} (l, b)

причем ay (l) + uy (l) = by (l) + vy (l) ,

a0y (l) + u0y (l) = b0y (l) + vy0 (l) .

Пусть L{σ, κ}0 — сужение оператора L{σ, κ} с множества ˙ на D ˙ : L ˙ ТаD{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b). {σ, κ}0 (c, {σ, κ}0 = L{σ, κ} |D{σ, κ}0 (c, ким образом, L{σ, κ}0 ⊂ L{σ, κ} , (3.2.78) ˙ и z ∈ D ˙ ввиду и, очевидно, для y ∈ D{σ, κ}0 (c, ˙ b) ˙ b) {σ, κ} (c, (3.2.28) имеем [L{σ, κ}0 y, z]{σ, κ} = [y, L{σ, κ} z]{σ, κ} .

(3.2.79)

˙ Из соотношения (3.2.79) ввиду (3.2.78) для y, z ∈ D{σ, κ}0 (c, ˙ b) следует [L{σ, κ}0 y, z]{σ, κ} = [y, L{σ, κ}0 z]{σ, κ} , т. е. имеет место Теорема 3.2.57. Оператор L{σ, κ}0 является π-эрмитовым. ˙ двумерный линеОбозначим через Qλ{σ, κ} ≡ Qλ{σ, κ} (c, ˙ b) {σ} {κ} ˙ линеал Lin{Ωc (0);λ (x), Ωb (0);λ (x)}, а через ∆0{σ, κ} ≡ ∆0{σ, κ} (c, ˙ b) {σ}

{κ}

{σ}

ал Lin{∆c (0) (x), ∆b (0) (x)}, где ∆c (0) (x) — есть функционал из {κ}

D{σ} (c, ˙ l), продолженный нулем на [l, b), и ∆b (0) (x) — функци˙ продолженный нулем на (c, l], а Ω{σ} (x) — онал из D (l, b) {κ}

c (0);λ

{σ} ∆c (0) ,

решение из D{σ} (c, ˙ l) уравнения l(y) − λ y = сшитое с {κ} ˙ уравнения l(y) − λ y = 0 и Ω решением из D{κ} (l, b) b (0);λ (x) — ˙ уравнения l(y) − λ y = ∆(0) , сшитое с решение из D (l, b) {κ}

решением из D{σ} (c, ˙ l) уравнения l(y) − λ y = 0.

b{κ}

206

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

Теорема 3.2.58. Если f (x) ∈ Π{σ, κ} , то неоднородное уравне˙ тогда ние l(y) − λy = f имеет решение y(x) ∈ D{σ, κ}0 (c, ˙ b) и только тогда, когда f (x) π-ортогональна ко всем решениям p ˙ z(x) ∈ Nλ{σ, κ} + Qλ{σ, κ} неоднородного уравнения l(z) − λz = g, 0 g(x) ∈ ∆{σ, κ} . Доказательство. Согласно теореме 3.2.55 уравнение l(y) − λy = = f имеет единственное решение y(x), удовлетворяющее усло˙ виям ξy0 = 0, ϕy (c) = 0. Поскольку f ∈ Π{σ, κ} , то y ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b). ˙ имеем Тогда для z ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b) ´ 2κ p0 (b) ³ 0 0 [f, z]{σ, κ} = [y, l(z) − λ z]{σ, κ} + η ψ (b) − η z ψy (b) . (b − c)−1 y z (3.2.80) p ˙ ˙ (1) Если y(x) ∈ D{σ, κ}0 (c, ˙ b) и z(x) ∈ Nλ{σ, κ} + Qλ{σ, κ} , то 0 0 l(z) − λ z = g ∈ ∆{σ, κ} , ηy = 0, ψy (b) = 0, следовательно, правая часть в (3.2.80) равна нулю, т. е. f [⊥] z. p ˙ (2) Если f [⊥] z и z ∈ Nλ{σ, κ} + Qλ{σ, κ} , то левая часть в (3.2.80) равна нулю и (a) при z = uκ, λ имеем l(z) − λ z = 0, ψz (b) = 0, ηz0 = 1, следовательно, ψy (b) = 0, (b) при z = u−κ, λ имеем l(z) − λ z = 0, ψz (b) = 1, ηz0 = 0, следовательно, ηy0 = 0. ˙ ¤ Таким образом, y ∈ D{σ, κ}0 (c, ˙ b). Так как в пространстве Π{σ, κ} имеются π-ортогональные ³ ´ ˙ элементы ∆{σ} (x) и ∆{κ} (x) ∈ ∆1 ˙ , т. е. кD (c, ˙ b) (c, ˙ b) {σ, κ}0

c (0)

b (0)

{σ, κ}

˙ выполняются соотношетакие, что для всех y0 ∈ D{σ, κ}0 (c, ˙ b) ния {σ}

[y0 , ∆c (0) ]{σ, κ} = ξy00 = 0 ,

{κ}

[y0 , ∆b (0) ]{σ, κ} = ηy00 = 0 ,

то имеет место ˙ оператоТеорема 3.2.59. Область определения D{σ, κ}0 (c, ˙ b) ра L{σ, κ}0 не является плотной в Π{σ, κ} .

207

3.2.4. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

Как и в § 3.1.1 рассмотрим в E два ортонормальных элемента γ0 = cos α · e0 + sin α · e3 ,

γ1 = cos β · e1 + sin β · e2 ,

порождающих нейтральный линеал E = Lin{γ0 , γ1 }, но при этом дополнительно к условию (γ0 , e0 )E 6= 0 добавим условие (γ1 , e1 )E 6= 0. Таким образом, имеем условия α ∈ (−π/2, π/2) ,

β ∈ (−π/2, π/2) .

В соответствии с теоремой 3.2.56 установим отображение ˙ → E элементов z ∈ D ˙ на элементы γ ∈ E D{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) z {σ, κ} (c, соотношениями γz0 = ξz(0) , γz1 =

2σ p0 (c) 2κ p0 (b) ϕz (c), γz2 = ηz(0) , γz3 = ψ (b) . −2 (b − c) (b − c)−1 z

˙ имеем Следовательно, для y, z ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b) Reg{y, z}bc = i [γy , γz ]E . Обозначим n o ˙ = z∈D ˙ : γ ∈E . D˙ {σ, κ} (c, ˙ b) ( c, ˙ b) {σ, κ} z Таким образом,  ˙ : α, β ∈ (−π/2, π/2) , ˙ b)   y ∈ D{σ, κ} (c, ˙ = ξy0 sin α + 2σ(b − c)2 p0 (c) ϕy (c) cos α = 0 , D˙ {σ, κ} (c, ˙ b)   η 0 sin β + 2κ(b − c)p (b) ψ (b) cos β = 0 y 0 y

    

.

(3.2.81) В частности, при α = 0 и β = 0 n o ˙ : ϕ (c) = 0 , ψ (b) = 0 . ˙ = y∈D ( c, ˙ b) D˙ {σ, κ} (c, ˙ b) y y {σ, κ}

208

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

˙ на ˙ Пусть L ˙ b) {σ, κ} — сужение оператора L{σ, κ} с D{σ, κ} (c, ˙ Таким образом, имеем D˙ {σ, κ} (c, ˙ b). ˙ L{σ, κ}0 ⊂ L {σ, κ} ⊂ L{σ, κ} . ˙ имеем [γ , γ ] = 0, слеОчевидно, для всех y, z ∈ D˙ {σ, κ} (c, ˙ b) y z E довательно, ˙ {σ, κ} y, z]{σ, κ} = [y, L ˙ {σ, κ} z]{σ, κ} , [L ˙ т. е. оператор L {σ, κ} — π-эрмитов. Более того, имеет место ˙ Теорема 3.2.60. Оператор L {σ, κ} является π-самосопряженным в Π{σ, κ} . ˙ т. е. γ ∈ Доказательство. Действительно, пусть z ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b), z ˙ ˙c ∈ E. Сопряженный к L оператор L однозначно опре{σ, κ} {σ, κ} деляется соотношением [l(y), z]{σ, κ} − [y, l(z)]{σ, κ} = i [γy , γz ]E , ˙ (т. е. элементов, для которых если для всех y ∈ D˙ {σ, κ} (c, ˙ b) γy ∈ E) однозначно определяется множество D˙ c{σ, κ} элементов z, для которых [γy , γz ]E = 0. Последнее соотношение, очевидно, выполняется тогда и только тогда, когда γz ∈ E. Следователь˙c ˙ но, D˙ c{σ, κ} ≡ D˙ {σ, κ} , т. е. L {σ, κ} = L{σ, κ} . ¤ 2. Пусть σ < −1 и κ > −1. В этом случае сингулярная точка x = c является критической, и пространство Π{σ, κ} является пространством Понтрягина с рангом индефинитности rσ = [−σ] − [−σ/2]. Таким образом, сингулярный дифференциальный оператор L{σ, κ} имеет квазирегулярную левую граничную точку x = c и при κ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) квазирегулярную (не критическую), а при κ > 1 существенно сингулярную правую граничную точку x = b.

209

3.2.4. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

Aналогично тому, как это сделано в § 3.1.3 (п. 2), обозначим

(

0 ˙ = D{σ, ˙ b) κ}0 (c,

˙ : ξ 0 = 0, ϕ (c) = 0 , y ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b) y y y(x) = 0 для x ∈ (βy , b)

) ,

(3.2.82) где число βy ∈ (c, b) свое для каждой функции y (очевидно, при этом y(βy ) = y 0 (βy ) = 0). Пусть L0{σ, κ}0 — сужение оператора 0 ˙ : L0 ˙ ˙ на D0 ˙ b). L{σ, κ} c D{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) {σ, κ}0 = L{σ, κ} |D{σ, κ}0 (c, {σ, κ}0 (c, Таким образом, L0{σ, κ}0 ⊂ L{σ, κ} . (3.2.83) 0 ˙ иz∈D ˙ имеем ˙ b) ˙ b) Тогда для y ∈ D{σ, κ}0 (c, {σ, κ} (c,

[L0{σ, κ}0 y, z]{σ, κ} = [y, L{σ, κ} z]{σ, κ} .

(3.2.84)

Из (3.2.84) ввиду L0{σ, κ}0 ⊂ L{σ, κ} следует Теорема 3.2.61. Оператор L0{σ, κ}0 является π-эрмитовым. 0 ˙ и f = ∆{σ} (x) ∈ ∆1 (c, ˙ Так как для всех y ∈ D{σ, ˙ b) κ}0 (c, {σ} ˙ b) c (0) {σ}

[y, ∆c (0) ]{σ, κ} = ξy0 = 0 , то имеет место 0 ˙ оператора Теорема 3.2.62. Область определения D{σ, ˙ b) κ}0 (c, L0{σ, κ}0 не плотна в Π{σ, κ} .

Тогда рассмотрим множества ( ) ˙ : α ∈ (−π/2, π/2) , z ∈ D ( c, ˙ b) {σ, κ} ˙ = D˙ {σ, κ} (c, ˙ b) , 0 ξz sin α + 2σp0 (c)(b − c)2 ϕz (c) cos α = 0 (3.2.85) n o 0 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ b) = y ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b) : y(x) = 0 для x ∈ (βy , b) D{σ, κ}0 (c, (3.2.86)

210

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

˙ (при этом y(βy ) = y 0 (βy ) = 0). Пусть L {σ, κ} — сужение опе˙ ˙ ˙ ˙0 ратора L{σ, κ} с D{σ, κ} (c, ˙ b) на D{σ, κ} (c, ˙ b) и L {σ, κ}0 — сужение 0 ˙ на D˙ ˙ Таким образом, ˙ ˙ оператора L ˙ b) ˙ b). {σ, κ} с D {σ, κ} (c, {σ, κ}0 (c, имеем ˙0 ˙ L0{σ, κ}0 ⊂ L {σ, κ}0 ⊂ L{σ, κ} ⊂ L{σ, κ} . Далее, аналогично доказывается ˙0 Теорема 3.2.63. Оператор L

{σ,κ}0

является π-эрмитовым.

Определив для (произвольного) фиксированного α ∈ (c, b) множество ˙ = {y ∈ D˙ ˙ : y (x) = 0 для x ∈ (α, b)} , D˙ ◦{σ, κ}0 (c, ˙ b) ˙ b) ◦ {σ, κ} (c, ◦ аналогично теореме 3.1.25 доказывается ˙ оператора ˙ b) Теорема 3.2.64. Область определения D˙ 0{σ, κ}0 (c, ˙ ˙0 L ˙ b). {σ, κ}0 плотна в Π{σ, κ} = L2{σ, κ} (c, ˙ ˙ 0c ˙0 Следовательно, L {σ, κ} ⊂ L{σ, κ}0 , и оператор L{σ, κ}0 , определен˙ , — π-симметрический, а L ˙ ˙0 ный на D˙ 0 (c, ˙ b) = L {σ, κ}0

{σ, κ}0

{σ, κ}0

— замкнутый π-симметрический оператор в Π{σ, κ} . Далее, аналогично тому, как это сделано в § 3.1.2, доказываются следующие утверждения. ˙ Теорема 3.2.65. Оператор L {σ, κ} является π-сопряженным ˙ к оператору L : {σ, κ}0

˙ ˙c L {σ, κ} = L{σ, κ}0 .

(3.2.87)

˙ Следствие 3.2.66. L {σ, κ} является замкнутым в Π{σ, κ} оператором. ˙ Теорема 3.2.67. L {σ, κ}0 является π-сопряженным в Π{σ, κ} к ˙ оператору L {σ, κ} : ˙ ˙c L (3.2.88) {σ, κ}0 = L{σ, κ} .

211

3.2.4. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

˙ сущеТеорема 3.2.68. Для произвольных y, z ∈ D˙ {σ, κ} (c, ˙ b) ствует предел {y, z}b = lim{y, z}t . (3.2.89) t→b

˙ для опера˙ b) Теорема 3.2.69. Область определения D˙ {σ, κ}0 (c, ˙ тора L {σ, κ}0 состоит из тех и только тех элементов y ∈ ˙ которые удовлетворяют для всех z ∈ D˙ ˙ ∈ D˙ (c, ˙ b), (c, ˙ b) {σ, κ}

{σ, κ}

условию ( ˙ = D˙ {σ, κ}0 (c, ˙ b)

{y, z}b = 0 : ˙ : y ∈ D˙ {σ, κ} (c, ˙ b)

(3.2.90) )

˙ {y, z}b = 0 ∀z ∈ D˙ {σ, κ} (c, ˙ b)

.

(3.2.91)

˙ Теорема 3.2.70. Оператор L {σ, κ}0 является вещественным. ˙ Теорема 3.2.71. Индекс дефекта оператора L {σ, κ}0 имеет вид (m, m), где 0 ≤ m ≤ 1. 2.1. В случае κ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), согласно теореме 2.2.8, ˙ имеем соотношения (3.2.72). . . (3.2.76), где для D{σ, κ} (c, ˙ b) by (x) = (x−a)−µ/2 (b−x)−µ/2 ηy0 , vy (x) = (x−a)µ/2 (b−x)µ/2 ψy (x) , ωyb (x) = 0

˙ = Ø , r = 0 , n = 0) . (∆1{κ} (l, b) κ κ

(3.2.92)

˙ и z ∈ D˙ ˙ Соотношение (3.2.90) для y ∈ D˙ {σ, κ}0 (c, ˙ b) ˙ b) {σ, κ} (c, очевидно ввиду (ηy0 = ψy (b) = 0) ³ ´ {y, z}b = −2µ(b − c) p0 (b) ηy0 ψ z (b) − η 0z ψy (b) . Оба решения v−µ, λ (x) и vµ, λ (x) (µ = |κ|) однородного уравне˙ ния l(y) − λ y = 0 (λ 6= λ) принадлежат множеству D{κ} (l, b), l ∈ (c, b). Тогда решение u˙ λ (x) = c˙−µ, λ v−µ, λ (x) + c˙µ, λ vµ, λ (x), u˙ λ (x) = 2σ(b − c)2 p0 (c) uσ, λ (x) cos α − uσ, λ (x) sin α ,

212

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

где коэффициенты c˙±µ, λ однозначно определяются из условий сшивания для произвольного l ∈ (c, b) u˙ λ (l) = c˙−µ, λ v−µ, λ (l) + c˙µ, λ vµ, λ (l) , 0 0 u˙ 0λ (l) = c˙−µ, λ v−µ, λ (l) + c˙ µ, λ vµ, λ (l) ,

˙ Следовательно, индекс принадлежит множеству Dhσ, κi (c, ˙ b). ˙ имеет ˙ дефекта оператора L ˙ b) hσ, κi0 равен m = 1. Для D{σ, κ} (c, место теорема, аналогичная теореме 3.1.34. 2.2. В случае κ > 1 (κ ∈ / Z), согласно теореме 2.2.8, для ˙ области D{σ, κ} (c, ˙ b) имеем ˙ = A1 (c, ˙ ˙ 1 ˙ b) ˙ + ˙ , ˙ ∆1{σ} (c, D{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) {σ} ˙ b) + U{σ} (c,

(3.2.93)

˙ может быть предт. е. произвольная функция y ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b) ставлена в виде y(x) = ay (x) + uy (x) + ωyc (x) , где

ay (x) = (x − c)σ+1/2 uy (x) = (x − c)−σ+1/2 ϕy (x) ,

Pnσ

k k=0 ξy

ωyc (x) =

(x − c)2k ,

Prσ −2 m=0

{σ}

ξy0m ∆c (m) (x)

(nσ = [−σ]), причем |ϕy (c)| < ∞. Ввиду асимптотик v±µ, λ (x) ∼ (b − x)±µ/2 при x → b − 0 только решение vµ, λ (x) уравнения l(y) − λ y = 0 принадлежит ˙ l ∈ (c, b). Так как соотношение u˙ (x) = множеству D{κ} (l, b), λ = c˙µ, λ vµ, λ (x) (т. е. c˙−µ, λ = 0) не может выполняться для про˙ извольных λ ∈ C, то m = def L hσ, κi0 = 0. Таким образом, опе˙ и ˙ ˙ ратор L ˙ b) {σ, κ}0 = L{σ, κ} — π- самосопряженный в L2{σ, κ} (c, ˙ {y, z}b = 0 для всех y, z ∈ D˙ {σ, κ} (c, ˙ b). 3. Пусть σ > −1 и κ < −1. В этом случае сингулярная точка x = b является критической, пространство Π{σ, κ}

3.2.4. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

213

является пространством Понтрягина с рангом индефинитности rκ = [−κ]−[−κ/2], сингулярный дифференциальный оператор L{σ, µ} имеет квазирегулярную правую граничную точку x = b и для σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) квазирегулярную (не критическую), а при σ > 1 существенно сингулярную левую граничную точку x = c. 0 ˙ где ˙ b), Для оператора L0{σ, κ}0 = L{σ, κ} |D{σ, κ}0 (c, ) ( ˙ : η 0 = 0, ψ (b) = 0 , y ∈ D ( c, ˙ b) y y {σ, κ} 0 ˙ = D{σ, ˙ b) , κ}0 (c, y(x) = 0 для x ∈ (c, αy ) (3.2.94) где число αy ∈ (c, b) свое для каждой функции y (очевидно, при этом y(αy ) = y 0 (αy ) = 0), справедливы теоремы 3.2.61 и 3.2.62 В связи с этим рассмотрим множества ( ) ˙ : β ∈ (−π/2, π/2) , z ∈ D ( c, ˙ b) {σ, κ} ˙ = D˙ {σ, κ} (c, ˙ b) , ηz0 sin β + 2κp0 (b)(b − c)ψz (b) cos β = 0 (3.2.95) n o 0 ˙ ˙ ˙ ˙ D{σ, κ}0 (c, ˙ b) = y ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b) : y(x) = 0 для x ∈ (c, αy ) ˙ (при этом y(αy ) = y 0 (αy ) = 0). Тогда для операторов L {σ, κ} = 0 0 ˙ L ˙ и L ˙ ˙ ˙ = L{σ, κ} |D˙ {σ, κ} (c, ˙ b), ˙ b) {σ, κ}0 = L{σ, κ} |D {σ, κ}0 (c, {σ, κ}0 = ˙0 = L справедливы теоремы 3.2.63. . . 3.2.71, где вместо со{σ, κ}0

отношений (3.2.89) и (3.2.90) имеем соответственно {y, z}c = = lim {y, z}t и {y, z}c = 0 . t→c+0

Таким образом, этот вариант отличается от рассмотренного в пункте 2 лишь обменом свойствами граничных сингулярных точек x = c и x = b. 3.1. В случае σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), согласно теореме 2.2.8, ˙ имеем соотношения (3.2.72). . . (3.2.76), где для D{σ, κ} (c, ˙ b) ay (x) = (x − c)−ν+1/2 ξy0 ,

uy (x) = (x − c)ν+1/2 ϕy (c) ,

214

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

ωyc (x) = 0

(∆1{σ} (c, ˙ l) = Ø , rσ = 0 , nσ = 0) .

(3.2.96)

˙ и z ∈ D˙ ˙ Соотношение {y, z}c = 0 для y ∈ D˙ {σ, κ}0 (c, ˙ b) ˙ b) {σ, κ} (c, очевидно ввиду (ξy0 = ϕy (c) = 0) ´ ³ 0 2 0 {y, z}c = 2ν(b − c) p0 (c) ξy ϕz (c) − ξ z ϕy (c) . Оба решения u−ν, λ (x) и uν, λ (x) (ν = |σ|) однородного уравнения l(y) − λ y = 0 (λ 6= λ) принадлежат множеству D{σ} (c, ˙ l), l ∈ (c, b). Тогда решение v˙ λ (x) = c˙−ν, λ u−ν, λ (x) + c˙ν, λ uν, λ (x), v˙ λ (x) = 2κ(b − c)p0 (b) vκ (c) cos β − v−κ (x) sin β , где коэффициенты c˙±ν, λ однозначно определяются из условий сшивания для произвольного l ∈ (c, b) v˙ λ (l) = c˙−ν, λ u−ν, λ (l) + c˙ν, λ uν, λ (l) , v˙ λ0 (l) = c˙−ν, λ u0−ν, λ (l) + c˙ν, λ u0ν, λ (l) , ˙ Следовательно, индекс принадлежит множеству D{σ, κ} (c, ˙ b). ˙ имеет ˙ дефекта оператора L ˙ b) hσ, κi0 равен m = 1. Для Dhσ, κi (c, место теорема, аналогичная теореме 3.1.34. 3.2. В случае σ > 1 (σ ∈ / Z), согласно теореме 2.2.8, для ˙ области D{σ, κ} (c, ˙ b) имеем ˙ = B 1 (c, ˙ ˙ 1 ˙ b) ˙ + ˙ , ˙ ∆1{κ} (c, D{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b) {κ} ˙ b) + V{κ} (c,

(3.2.97)

˙ может быть предт. е. произвольная функция y ∈ D{σ, κ} (c, ˙ b) ставлена в виде

где

y(x) = by (x) + vy (x) + ωyb (x) , Pnκ k by (x) = (x − a)κ/2 (b − x)κ/2 k=0 ηy (x − a)k (b − x)k ,

vy (x) = (x−a)−κ/2 (b−x)−κ/2 ψy (x) , ωyb (x) =

Prκ −2 m=0

{κ}

ξy0m ∆b (m) (x)

215

3.2.4. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

(nκ = [−κ]), причем |ψy (c)| < ∞. Ввиду асимптотик u±ν, λ (x) ∼ (x − c)±ν+1/2 при x → c + 0 только решение uν, λ (x) уравнения l(y) − λ y = 0 принадлежит множеству D{σ} (c, ˙ l), l ∈ (c, b). Так как соотношение v˙ λ (x) = = c˙ν, λ uν, λ (x) (т. е. c˙−ν, λ = 0) не может выполняться для произ˙ вольных λ ∈ C, то m = def L hσ, κi0 = 0. 4. Пусть σ > −1 и κ > −1. В этом случае обе сингулярные точки x = c и x = b не являются критическими, пространство Π{σ, κ} является пространством Гильберта и дифференциальный оператор, порождаемый выражением (3.2.71) рассматривается в классической теории сингулярных операторов (см. [11], [12], [13]). Дефектное число симметрического оператора L{σ, κ}0 может быть найдено из соотношения def L{σ, κ}0 = def L{σ}0 + def L{κ}0 − 2 ,

(3.2.98)

где L{σ}0 и L{κ}0 — симметрические операторы с одним сингулярным концом, порождаемые дифференциальным выражением l{σ, κ} (y) в пространствах соответственно Π{σ} = L2 (c, l) и Π{κ} = L2 (l, b) с l ∈ (c, b). 4.1. Для σ, κ ∈ (−1, 0)∪(0, 1) обе граничные точки квази˙ имеет место представление (3.2.72), регулярны. Для D{σ, κ} (c, ˙ b) (3.2.73), (3.2.74), (3.2.75), (3.2.76), (3.2.92), (3.2.96). Оба линейно независимые решения (∀ λ ∈ C) u±ν, λ (x) = cλ±ν, −µ v−µ, λ (x) + cλ±ν, µ vµ, λ (x) (ν = |σ|, µ = |κ|) ˙ Следовательно, для инпринадлежат множеству D{σ, κ} (c, ˙ b). декса дефекта симметрического оператора L{σ, κ}0 имеем m = = def L{σ, κ}0 = 2, что следует также из формулы (3.2.98), если учесть, что def L{σ}0 = def L{κ}0 = 2. 4.2. Для σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), κ > 1 левая граничная точка квазирегулярная, а правая — существенно сингулярная. Только одно линейно независимое решение c˜λµ, −ν uν, λ (x) + c˜λµ, ν uν, λ (x) = vµ, λ (x) (ν = |σ|, µ = |κ|)

216

3.2. Дифференциальные операторы второго класса A

˙ = A (c, ˙ ˙ ˙ принадлежат множеству D{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b). {σ} ˙ b) + U{σ} (c, Поэтому для симметрического оператора L{σ, κ}0 = L0{σ, κ}0 с ˙ = D0 ˙ где множеобластью определения D{σ, κ}0 (c, ˙ b) ˙ b), {σ, κ}0 (c, ˙ определяется формулой, аналогичной (3.2.82), (c, ˙ b) ство D0 {σ, κ}0

имеем m = def L{σ, κ}0 = 1, что следует также из формулы (3.2.98), если учесть, что def L{σ}0 = 2, def L{κ}0 = 1. 4.3. Для σ > 1, κ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) левая граничная точка существенно сингулярная, а правая — квазирегулярная. Только одно линейно независимое решение uν, λ (x) = cλν, −µ v−µ, λ (x) + cλν, µ vµ, λ (x) (ν = |σ|, µ = |κ|) ˙ = B (c, ˙ ˙ ˙ принадлежат множеству D{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ b). {κ} ˙ b) + V{κ} (c, Поэтому для симметрического оператора L{σ, κ}0 = L0{σ, κ}0 с ˙ где множе˙ = D0 ˙ b), областью определения D{σ, κ}0 (c, ˙ b) {σ, κ}0 (c, ˙ определяется формулой, аналогичной (3.2.94), ство D0 (c, ˙ b) {σ, κ}0

имеем m = def L{σ, κ}0 = 1, что следует также из формулы (3.2.98), если учесть, что def L{σ}0 = 1, def L{κ}0 = 2. 4.4. При σ, κ > 1 обе граничные точки существенно сингулярны. Ни одно из линейно независимых решений u±ν, λ (x) ˙ ˙ b). (или v±µ, λ (x)) с λ 6= λ не принадлежит множеству D{σ, κ} (c, Т. о., def L{σ, κ}0 = 0, что следует также из формулы (3.2.98), если учесть, что def L{σ}0 = 1, def L{κ}0 = 1. Таким образом, ˙ и оператор L{σ, κ}0 = L{σ, κ} — самосопряженный в L2{σ, κ} (c, ˙ b) ˙ {y, z} = {y, z} = 0 для всех y, z ∈ D (c, ˙ b). c

b

{σ, κ}

217

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B Операторы порождаемые дифференциальными выражениями второго класса B, будем называть соответственно дифференциальными операторами второго класса B.

3.3.1. Оператор с сингулярной точкой в центре конечного интервала I. Рассмотрим в пространстве Π[ν] = L2[ν] (a, b), ν > 0, ν∈ / N (см. (1.3.3) § 1.3.1) (1)

(−1)

˙ L2(σ L2[ν] (a, b) = L2(σ ) (a, b) [+]

−1 )

1

(a, b) ,

(3.3.1)

(1)

где пространства L2(σ ) (a, b) определены выражениями (1.3.1) i n o (i) L2(σ ) (a, b) = fi (x) = Wi f˜i (x) : f˜i (x) ∈ L2{σi } (c, ˙ b) , (3.3.2) i

порождаемый дифференциальным выражением l[ν] (см. (2.3.1)) ¶ ³ ´ µ p (c) (ν 2 − 1/4) 0 0 0 l(y) = − p0 (x)y (x) + + q0 (x) y(x) , (3.3.3) (x − c)2 (1)

(−1) −1 )

˙ L(σ L[ν] = L(σ ) [+]

оператор

1

,

с областью определения (2.3.4) (1) (−1) ˙ D(σ D[ν] (a, b) = D(σ ) (a, b) [+] (a, b) , 1 −1 ) n o (i) где D(σ ) (a, b) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D{σ } (c, ˙ b) . i i 1. Пусть ν > 1, ν ∈ / Z. 1.1. σ1 = σ−1 = −ν. Оператор (1)

(−1)

˙ L(−ν)0 L[ν]0 = L(−ν)0 [+]

(rank Π[ν] = 2r−ν )

218

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

— π-эрмитов с неплотной в Π[ν] областью определения (1)

D[ν]0 (a, b) = D(σ где

(i) D(σ )0 (a, i

1 )0

(−1) (a, −1 )0

˙ D(σ (a, b) [+]

b) ,

n o b) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D{σ }0 (c, ˙ b) : i

для y ∈ D[ν]0 (a, b) и z ∈ D[ν] (a, b) имеем [L[ν]0 y, z][ν] = [y, L[ν] z][ν] . Операторы ˙ [ν] = L ˙ (1) [+] ˙ (−1) и L ˙ [ν]0 = L ˙ (1) [+] ˙ (−1) ˙ L ˙ L L (−ν) (−ν) (−ν)0 (−ν)0 с плотными в Π[ν] областями определения (1) ˙ D˙ (−1) D˙ [ν] (a, b) = D˙ (σ ) (a, b) [+] (σ ) (a, b) , 1

где

−1

(1) ˙ D˙ (−1) D˙ [ν]0 (a, b) = D˙ (σ )0 (a, b) [+] (σ−1 )0 (a, b) , 1 n o (i) D˙ (σ ) (a, b) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D˙ {σ }0 (c, ˙ b) , i

i

n o (i) D˙ (σ )0 (a, b) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D˙ {σi }0 (c, ˙ b) , i

( D˙ {σi } (c, ˙ b) =

y ∈ D{σ } (c, ˙ b) : α ∈ (−π/2, π/2) , i

ξy0 sin αi + 2σi p0 (c) ϕy (c) cos αi = 0

) ,

n o 0 ˙ ˙ D{σi }0 (c, ˙ b) = y ∈ D{σi } (c, ˙ b) : y(b) = 0 , y (b) = 0 , являются взаимно π-сопряженными: ˙c = L ˙ ˙c ˙ L [ν] [ν]0 , L[ν]0 = L[ν]

˙ ˙ (L[ν]0 ⊂ L [ν]0 ⊂ L[ν] ⊂ L[ν] ) ;

˙ [ν]0 y, z][ν] = [y, L ˙ [ν] z][ν] [L

219

3.3.1. Сингулярная точка в центре конечного интервала

для y ∈ D˙ [ν]0 (a, b) и z ∈ D˙ [ν] (a, b). Очевидно, индекс дефек˙ та π-симметрического оператора L [ν]0 равен (2, 2) (см. теорему 3.2.20, § 3.2.1, п. 1). (Квази)дефектным подпространством (1) (−1) ˙ ˙p оператора L ˙ λ , u˙ λ }, где [ν]0 является N λ[ν] = Lin{u (i)

(i)

(i)

u˙ λ (x) = 2ν p0 (c) u−ν, λ (x) cos αi + uν, λ (x) sin αi , ³

(i)

αi ∈ (−π/2, π/2) , u±ν, λ (x) = Wi u˜±ν, λ (x)

u˜±ν, λ (x) — линей-

но независимые решения уравнения l(y) − λ y = 0 (λ 6= λ) из ´ D{−ν} (c, ˙ b) . 1.2. σi = −ν, σ−ν = ν (i = 1 или i = −1). Оператор (i)

(−i)

˙ L(ν)0 L[ν]0 = L(−ν)0 [+]

(rank Π[ν] = r−ν )

— π-эрмитов с неплотной в Π[ν] областью определения (i) (−i) ˙ D(ν)0 D[ν]0 (a, b) = D(−ν)0 (a, b) [+] (a, b) ,

где

n o (i) D(σ )0 (a, b) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D{σ }0 (c, ˙ b) i

i

(i)

(i)

(D(−ν)0 (a, b) не плотнo в L2(−ν) (a, b)): для y ∈ D[ν]0 (a, b) и z ∈ ∈ D[ν] (a, b) имеем [L[ν]0 y, z][ν] = [y, L[ν] z][ν] . Операторы ˙ [ν] = L ˙ (i) [+] ˙ ˙ (i) ˙ L(−i) ˙ (−i) L (−ν) (ν) , и L[ν]0 = L(−ν)0 [+] L(−ν)0 с плотными в Π[ν] областями определения (i) (−i) ˙ D(ν) D˙ [ν] (a, b) = D˙ (−ν) (a, b) [+] (a, b) ,

220

где

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

(i) (−i) ˙ D(ν)0 D˙ [ν]0 (a, b) = D˙ (−ν)0 (a, b) [+] (a, b) , n o (i) D˙ (−ν) (a, b) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D˙ {−ν}0 (c, ˙ b) ,

n o (i) D˙ (−ν)0 (a, b) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D˙ {−ν}0 (c, ˙ b) , являются взаимно π-сопряженными: ˙ c[ν] = L ˙ [ν]0 , L ˙ c[ν]0 = L ˙ [ν] L

˙ [ν]0 ⊂ L ˙ [ν] ⊂ L[ν] ) ; (L[ν]0 ⊂ L

˙ y, z] = [y, L ˙ z] [L [ν]0 [ν] [ν] [ν] для y ∈ D˙ [ν]0 (a, b) и z ∈ D˙ [ν] (a, b). Здесь, очевидно, имеем N˙ pλ[ν] = (i)

(−i)

= Lin{u˙ λ , uν, λ }, и индекс дефекта π-симметрического опера˙ тора L [ν]0 равен (2, 2) (см. теорему 3.2.20, § 3.2.1, п. 1, п. 2.2). 1.3. σ1 = σ−1 = ν. Оператор (1)

(−1)

˙ L(ν)0 L[ν]0 = L(ν)0 [+]

(rank Π[ν] = 0)

— симметрический с плотной в Π[ν] областью определения (1)

(−i)

˙ D(ν)0 (a, b) , D[ν]0 (a, b) = D(ν)0 (a, b) (+) ˙ y, z] = [y, L ˙ z] для при этом L∗[ν] = L[ν]0 , L∗[ν]0 = L[ν] , [ L [ν]0 [ν] [ν] [ν] (1)

(−1)

y ∈ D[ν]0 (a, b) и z ∈ D[ν] (a, b). Здесь Nλ[ν] = Lin{uν, λ , uν, λ }, и индекс дефекта оператора L[ν]0 равен (2, 2) (см. § 3.2.1, п. 2.2). (i)

(i)

(i)

(i)

2. Пусть ν ∈ (0, 1). Оператор (L(−ν) = L(ν) , L(−ν)0 = L(ν)0 ) (1)

(−1)

˙ L(−ν)0 L[ν]0 = L(−ν)0 [+]

(rank Π[ν] = 0)

— симметрический с плотной в Π[ν] областью определения (1)

(−1)

˙ D(ν)0 (a, b) , D[ν]0 (a, b) = D(ν)0 (a, b) (+)

3.3.1. Сингулярная точка в центре конечного интервала

221

при этом L∗[ν] = L[ν]0 , L∗[ν]0 = L[ν] , [L[ν]0 y, z][ν] = [y, L[ν] z][ν] для y ∈ D[ν]0 (a, b) и z ∈ D[ν] (a, b). В этом случае имеем Nλ[ν] = (1)

(1)

(−1)

(−1)

= Lin{uν, λ , u−ν, λ , uν, λ , u−ν, λ }, и индекс дефекта оператора L[ν]0 равен (4, 4) (см. § 3.2.1, п. 2.1). II. Рассмотрим теперь в пространстве Π[ν] = L2[ν] (a, b) (см. (1.3.9), § 1.3.1, п. 2) ˙ L2(ν) (a, b) , L2[ν] (a, b) = L2(−ν) (a, b) [+] (3.3.4) n o ˜ ˜ ˙ b) , где L2(σ) (a, b) = f (x) = Wσ f (x) : f (x) ∈ L2{σ} (c, порождаемый дифференциальным выражением (3.3.3) оператор (2.3.5) ˙ L(ν) L[ν] = L(−ν) [+] (3.3.5) с областью определения (2.3.6)

где

˙ D(ν) (a, b) , D[ν] (a, b) = D(−ν) (a, b) [+] (3.3.6) n o D(σ) (a, b) = y(x) = Wσ y˜(x) : y˜(x) ∈ D{σ} (c, ˙ b) .

1. Пусть ν > 1 (ν ∈ / Z). Рассмотрим по отдельности составляющие L(−ν) и L(ν) оператора L[ν] , действующие в π-ортогональных подпространствах L2(−ν) (a, b) и L2(ν) (a, b). 1.1. Сужение L(−ν)0 с неплотной в L2(−ν) (a, b) областью определения n o D(−ν)0 (a, b) = y(x) = W−ν y˜(x) : y˜(x) ∈ D{−ν}0 (c, ˙ b) является π-эрмитовым в L2(−ν) (a, b) оператором: [L(−ν)0 y, z][ν] = [y, L(−ν) z][ν] ,

y ∈ D(−ν)0 (a, b) , z ∈ D(−ν) (a, b) .

˙ ˙ Операторы L (−ν) и L(−ν)0 с областями определения соответственно n o D˙ (−ν) (a, b) = y(x) = W−ν y˜(x) : y˜(x) ∈ D˙ {−ν} (c, ˙ b) ,

222

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

n o D˙ (−ν)0 (a, b) = y(x) = W−ν y˜(x) : y˜(x) ∈ D˙ {−ν}0 (c, ˙ b) являются в L2(−ν) (a, b) взаимно π-сопряженными: ˙c ˙ ˙c ˙ ˙ ˙ L (−ν) = L(−ν)0 , L(−ν)0 = L(−ν) (L(−ν)0 ⊂ L(−ν)0 ⊂ L(−ν) ⊂ L(−ν) ) ; ˙ ˙ [L (−ν)0 y, z][ν] = [y, L(−ν) z][ν] (−ν) для y ∈ D˙ (−ν)0 (a, b) и z ∈ D˙ (−ν) (a, b). N˙ pλ(ν) = Lin{u˙ λ }, где (−ν)

u˙ λ

(−ν)

(−ν)

(x) = 2ν p0 (c) u−ν, λ (x) cos α−ν + uν, λ (x) sin α−ν , (−ν)

α−ν ∈ (−π/2, π/2) , u±ν, λ (x) = W−ν u˜±ν, λ (x), и индекс дефек˙ та π-симметрического оператора L (−ν)0 равен (1, 1) (см. теорему 3.2.20, § 3.2.1, п. 1). 1.2. Сужение L(ν)0 с плотной в L2(ν) (a, b) областью определения n o D(ν)0 (a, b) = y(x) = Wν y˜(x) : y˜(x) ∈ D{ν}0 (c, ˙ b) является симметрическим в L2(ν) (a, b) оператором: [L(ν)0 y, z][ν] = [y, L(ν) z][ν] ,

y ∈ D(ν)0 (a, b) , z ∈ D(ν) (a, b) (ν)

(ν)

(L∗(ν) = L(ν)0 , L∗(ν)0 = L(ν) ); Nλ(ν) = Lin{uν, λ }, где uν, λ = Wν u˜ν, λ , и индекс дефекта оператора L(ν)0 равен (1, 1) (см. § 3.2.1, п. 2.2). 1.3. Тогда сингулярные операторы ˙ = L ˙ ˙ L [ν] (−ν) [+] L(ν)

и

˙ ˙ ˙ L [ν]0 = L(−ν)0 [+] L(ν)0

с областями определения соответственно ˙ D(ν) (a, b) и D˙ [ν] (a, b) = D˙ (−ν) (a, b) [+] ˙ D(ν)0 (a, b) D˙ [ν]0 (a, b) = D˙ (−ν)0 (a, b) [+]

3.3.2. Сингулярная точка внутри конечного интервала

223

являются взаимно π-сопряженными в L2[ν] (a, b) ˙c = L ˙ , L [ν]0 [ν]

˙c = L ˙ L [ν] [ν]0 ,

˙ c — π-симметрический в L (a, b) оператор L [ν]0 2[ν] ˙ [ν]0 y, z][ν] = [y, L ˙ [ν] z][ν] , [L

y ∈ D˙ [ν]0 (a, b) , z ∈ D˙ [ν] (a, b) ,

(−ν) (ν) индекс дефекта которого равен (2, 2), N˙ pλ[ν] = Lin{u˙ λ , uν, λ }. 2. Пусть ν ∈ (0, 1). Cимметрический в L2[ν] (a, b) оператор

˙ L(ν)0 L[ν]0 = L(−ν)0 (+) ( L∗[ν]0 = L[ν] , L∗[ν] = L[ν]0 ) с областью определения

где

˙ D(ν)0 (a, b) , D[ν]0 (a, b) = D(−ν)0 (a, b) (+) n o D(σ)0 (a, b) = y(x) = Wσ y˜(x) : y˜(x) ∈ D{σ}0 (c, ˙ b) ,

имеет индекс дефекта (4, 4) (см. § 3.2.1, п. 2.1); дефектным под(−ν) (−ν) (ν) (ν) пространством является Nλ[ν] = Lin{u−ν, λ , uν, λ , u−ν, λ , uν, λ }.

3.3.2. Оператор с сингулярной точкой внутри конечного интервала (не совпадающей с его центром) Рассмотрим в пространстве Π[ν] = L2[ν] (l, b), ν > 0, ν ∈ /N (см. (6.2.1), (1.3.11), § 1.3.2) дифференциальный оператор L[ν] , определенный на множестве D[ν] (l, b) ((2.3.8), (2.3.9), § 2.3.2) дифференциальным выражением l(y) = l[ν] (y) (3.3.3) ¶ ³ ´ µ p (c) (ν 2 − 1/4) 0 0 0 + q0 (x) y(x) . l(y) = − p0 (x) y (x) + (x − c)2 1. Пусть ν > 1 (ν ∈ / Z).

224

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

1.1. Случай σ1 = σ−1 = −ν; rank Π[ν] = 2r−ν . Оператор L[ν]0 ⊂ L[ν] с неплотной в L2[ν] (l, b) областью определения  y(x) = y1 (x) + y−1 (x) : ξy0i = 0, ϕyi (c) = 0 ,     y (x) = Θ (x − c) y˜ (c + |x − c|) , i i i D[ν]0 (l, b) =  ˙ b) , i = ±1 ,  y˜i (x) ∈ D{−ν} (c,   0 y(l) = 0, y (l) = 0 , y(b) = 0, y 0 (b) = 0

        

π-эрмитов: для y ∈ D[ν]0 (l, b) и z ∈ D[ν] (l, b) имеем [L[ν]0 y, z][ν] = [y, L[ν] z][ν]

(см. (2.3.10)) .

˙ и L ˙ ˙ ˙ Операторы L [ν] [ν]0 (L[ν]0 ⊂ L[ν]0 ⊂ L[ν] ⊂ L[ν] ) с областями определения соответственно   y(x) = y1 (x) + y−1 (x) , i = ±1 ,         y (x) = Θ (x − c) y˜ (c + |x − c|) : i i i ˙ , D[ν] (l, b) = y˜i (x) ∈ D{−ν} (c, ˙ b) , αi ∈ (−π/2, π/2) ,         0 ξyi sin αi − 2ν p0 ϕyi (c) cos αi = 0 ( ) ˙ y(x) = y (x) + y (x) ∈ D (l, b) : 1 −1 [ν] D˙ [ν]0 (l, b) = 0 y(l) = 0, y (l) = 0, y(b) = 0, y 0 (b) = 0 взаимно π-сопряжены ˙c = L ˙ L [ν] [ν]0 ,

˙c = L ˙ ; L [ν]0 [ν]

˙ при этом оператор L [ν]0 — π-симметрический в L2[ν] (l, b) : ˙ [ν]0 y, z][ν] = [y, L ˙ [ν] z][ν] , [L

y ∈ D˙ [ν]0 (l, b) , z ∈ D˙ [ν] (l, b) .

Множество D˙ [ν] (l, b) содержит два линейно независимых решения уравнения l(y) − λ y=0 (λ 6= λ) (i)

(i)

(i)

u˙ λ (x) = −2ν p0 (c) u−ν, λ (x) cos αi − uν, λ (x) sin αi

(i = ±1) ,

3.3.2. Сингулярная точка внутри конечного интервала

где

225

(i)

uσ, λ (x) = Θi (x − c) u˜σ, λ (c + |x − c|) , σ = ±ν ,

u˜±ν, λ (x) — линейно независимые решения из D{−ν} (c, ˙ b) уравнения l(y) − λ y = 0. Следовательно, индекс дефекта оператора ˙ L [ν]0 равен (2, 2). 1.2. Случай σj = −ν, σ−j = ν, j = 1 или − 1; rank Π[ν] = = r−ν . Оператор L[ν]0 ⊂ L[ν] с неплотной в L2[ν] (l, b) областью определения   y(x) = yj (x) + y−j (x) : ξy0j = 0, ϕyj (c) = 0 ,        y = Θ (x − c) y˜ (c + |x − c|) , i = ±1 ,  i i i D[ν]0 (l, b) =  ˙ b) , {˜ y−j , z˜−j }c = 0 ∀˜ z−j ∈ D{ν} (c, ˙ b),  y˜i ∈ D{σi } (c,      0 0 y(l) = 0, y (l) = 0 , y(b) = 0, y (b) = 0 π-эрмитов: для y ∈ D[ν]0 (l, b) и z ∈ D[ν] (l, b) имеем [L[ν]0 y, z][ν] = [y, L[ν] z][ν]

(см. (2.3.10)) .

˙ и L ˙ ˙ ˙ Операторы L [ν] [ν]0 (L[ν]0 ⊂ L[ν]0 ⊂ L[ν] ⊂ L[ν] ) с областями определения соответственно   y(x) = yj (x) + y−j (x) : αj ∈ (−π/2, π/2) ,         yi (x) = Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) , i = ±1 , ˙ , D[ν] (l, b) = y˜ ∈ D (c, y−j , z˜−j }c = 0 ∀˜ z−j ∈ D{ν} (c, ˙ b),  i {σi } ˙ b) , {˜       0 ξyj sin αj − 2ν p0 ϕyj (c) cos αj = 0 ( ) ˙ (l, b) : y(x) = y (x) + y (x) ∈ D 1 −1 [ν] D˙ [ν]0 (l, b) = y(l) = 0, y 0 (l) = 0, y(b) = 0, y 0 (b) = 0 взаимно π-сопряжены ˙c = L ˙ L [ν] [ν]0 ,

˙c = L ˙ ; L [ν]0 [ν]

˙ при этом оператор L [ν]0 — π-симметрический в L2[ν] (l, b) : ˙ [ν]0 y, z][ν] = [y, L ˙ [ν] z][ν] , [L

y ∈ D˙ [ν]0 (l, b) , z ∈ D˙ [ν] (l, b) .

226

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

Множество D˙ [ν] (l, b) содержит два линейно независимых решения уравнения l(y) − λ y = 0 (λ 6= λ) : (j)

(j)

(−j)

u˙ λ

(−j)

(x) = uν, λ (x)

и

(j)

u˙ λ (x) = −2ν p0 (c) u−ν, λ (x) cos αj − uν, λ (x) sin αj , где

(i)

uσ, λ (x) = Θi (x − c) u˜σ, λ (c + |x − c|) , σ = ±ν ,

u˜σi , λ (x) — линейно независимые решения из D{σ } (c, ˙ b) уравнеi ния l(y) − λ y = 0. Следовательно, индекс дефекта оператора ˙ L [ν]0 равен (2, 2). 1.3. Случай σi = σ−i = ν; rank Π[ν] = 0. Оператор L[ν]0 ⊂ L[ν] с плотной в L2[ν] (l, b) областью определения   y(x) = y1 (x) + y−1 (x) : i = ±1 ,         y = Θ (x − c) y˜ (c + |x − c|) , y˜ ∈ D (c, ˙ b) , i i i i {ν} D[ν]0 (l, b) =   yi , z˜i }c = 0 ∀˜ zi ∈ D{ν} (c, ˙ b),   {˜     0 0 y(l) = 0, y (l) = 0 , y(b) = 0, y (b) = 0 — симметрический в L2[ν] (l, b): для y ∈ D[ν]0 (l, b) и z ∈ D[ν] (l, b) [L[ν]0 y, z][ν] = [y, L[ν] z][ν]

(L∗[ν] = L[ν]0 , L∗[ν]0 = L[ν] ) .

Множество D[ν] (l, b) содержит два линейно независимых ре(1)

(1)

шения уравнения l(y) − λ y = 0 (λ 6= λ) : u˙ λ (x) = uν, λ (x) и (−1)

(−1)

(i)

u˙ λ (x) = uν, λ (x), где uν, λ (x) = Θi (x − c) u˜ν, λ (c + |x − c|) , а u˜ν, λ (x) — линейно независимое решение из D{ν} (c, ˙ b) уравнения l(y) − λ y = 0. Следовательно, индекс дефекта оператора ˙ L [ν]0 равен (2, 2). 2. Пусть ν ∈ (0, 1); rank Π[ν] = 0. В этом случае операторы L[ν] и L[ν]0 с областями определения (D{−ν} (c, ˙ b) ≡ D{ν} (c, ˙ b))   y(x) = y (x) + y (x) :   1 −1   −1/2 D[ν] (l, b) = , yi (x) = 2 Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) ,     y˜i (x) ∈ D{−ν} (c, ˙ b) , i = ±1

3.3.3. Сингулярная точка внутри полубесконечного интервала

 y(x) = y1 (x) + y−1 (x) : ξy0i = 0, ϕyi (c) = 0 ,     y (x) = Θ (x − c) y˜ (c + |x − c|) , i i i D[ν]0 (l, b) =  y˜i (x) ∈ D{−ν} (c, ˙ b) , i = ±1 ,    0 y(l) = 0, y (l) = 0 , y(b) = 0, y 0 (b) = 0

227         

взаимно сопряжены в L2[ν] (l, b) : L∗[ν] = L[ν]0 , L∗[ν]0 = L[ν] , оператор L[ν]0 — симметрический в L2[ν] (l, b). Однородное уравнение l(y) − λ y = 0 (λ 6= λ) имеет четыре линейно независи(1) (1) (−1) (−1) мых решения u−ν (x) , uν (x) , u−ν (x) , uν (x) из D[ν] (l, b), (i)

где u±ν, λ (x) = Θi (x − c) u˜±ν, λ (c + |x − c|) , а u˜±ν, λ (x) — линейно независимые решения из D{−ν} (c, ˙ b) уравнения l(y) − λ y = 0. ˙ Следовательно, индекс дефекта оператора L [ν]0 равен (4, 4).

3.3.3. Оператор с сингулярной точкой внутри полубесконечного интервала Рассмотрим в пространстве Π[ν] = L2[ν] (a, ∞), ν > 0, ν ∈ / N (см. (1.3.13), (1.3.14), § 1.3.3) дифференциальный оператор L[ν] , определенный на множестве D[ν] (a, ∞) (см. (2.3.11), (2.3.12), § 2.3.3) дифференциальным выражением l = l(ν) (2.3.1) ¶ ³ ´ µ p (c) (ν 2 − 1/4) 0 0 0 l(y) = − p0 (x) y + + q0 (x) y . (x − c)2

L[ν]0

1. Пусть ν > 1 (ν 6= Z). 1.1. Случай σ1 = σ−1 = −ν ; rank Π[ν] = 2r−ν . Оператор ⊂ L[ν] с неплотной в L2[ν] (a, ∞) областью определения

 y(x) = y1 (x) + y−1 (x) : ξy0i = 0, ϕyi (c) = 0 ,     y (x) = Θ (x − c) y˜ (c + |x − c|) , i = ±1 , i i i D[ν]0 (a, ∞) = y ˜ (x) ∈ D ( c, ˙ ∞) , y(a) = 0, y 0 (a) = 0 ,  i {−ν}    {y, z}+∞ = 0 для всех z ∈ D[ν] (a, ∞)

        

228

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

π-эрмитов: для y ∈ D[ν]0 (a, ∞) и z ∈ D[ν] (a, ∞) имеем [L[ν]0 y, z][ν] = [y, L[ν] z][ν]

(см. (2.3.13)) .

˙ и L ˙ ˙ ˙ Операторы L [ν] [ν]0 (L[ν]0 ⊂ L[ν]0 ⊂ L[ν] ⊂ L[ν] ) с областями определения соответственно   y(x) = y1 (x) + y−1 (x) , i = ±1 ,        y (x) = Θ (x − c) y˜ (c + |x − c|) :  i i i ˙ D[ν] (a, ∞) = , y˜i (x) ∈ D{−ν} (c, ˙ ∞) , αi ∈ (−π/2, π/2) ,        0  ξyi sin αi − 2ν p0 ϕyi (c) cos αi = 0  ˙   y(x) = y1 (x) + y−1 (x) ∈ D[ν] (l, ∞) : D˙ [ν]0 (a, ∞) = y(a) = 0, y 0 (a) = 0, {y, z}+∞ = 0   для всех z ∈ D˙ (a, ∞) [ν]

    

взаимно π-сопряжены ˙c = L ˙ L [ν] [ν]0 ,

˙c = L ˙ ; L [ν]0 [ν]

˙ при этом оператор L [ν]0 — π-симметрический в L2[ν] (a, ∞) : ˙ y, z] = [y, L ˙ z] , [L [ν]0 [ν] [ν] [ν]

y ∈ D˙ [ν]0 (a, ∞) , z ∈ D˙ [ν] (a, ∞) .

˙ Индекс дефекта оператора L [ν]0 равен (m, m), где m = 1, либо 2. Действительно, ˙ = L ˙ 0 [+] ˙ L0 , L [ν] [ν] где

˙ ˙0 ˙ 0 L [ν]0 = L[ν]0 [+] L0 ,

˙0 = L ˙ |D˙ (a, l) , L0 = L ˙ |D(l, ∞) , L [ν] [ν] [ν] [ν] ˙0 = L ˙ |D˙ (a, l) , L0 = L ˙ |D (l, ∞) — L [ν]0 [ν] [ν]0 0 [ν] 0

˙ на множества D˙ (a, l) = D˙ (1) (a, l) [+] ˙ сужения оператора L [ν] [ν] (−ν) ˙ ˙ (1) ˙ D˙ (−1) ˙ ˙ (−1) [+] (−ν) (a, l) и D[ν]0 (a, l) = D (−ν)0 (a, l) [+] D (−ν)0 (a, l) (l = −a),

229

3.3.3. Сингулярная точка внутри полубесконечного интервала

определенные в § 3.3.1, п. 1 (b = l), и на множества D(l, ∞) = = {y ∈ L2 (l, ∞) : l(y) ∈ L2 (l, ∞)} и D0 (l, ∞) = {y ∈ D(l, ∞) : ˙ 0 = 2, def L0 = m (m = 1, 2) y(l) = y 0 (l) = 0}. Так как def L 0 [ν]0 0 0 ˙ ˙ [13], то def L[ν]0 = def L[ν]0 + def L0 − 2 = m. Это значит: либо некоторая линейная комбинация решений (с λ 6= λ) (i)

(i)

(i)

u˙ λ (x) = −2ν p0 (c) u−ν, λ (x) cos αi − uν, λ (x) sin αi

(i = ±1)

уравнения l(y) − λ y = 0 (m = 1), либо оба решения (m = 2), где

(i)

uσ, λ (x) = Θi (x − c) u˜σ, λ (c + |x − c|) , σ = ±ν ,

u˜±ν, λ (x) — линейно независимые решения из D{−ν} (c, ˙ b) уравнения l(y)−λ y = 0, на интервале (c, ∞), принадлежат множеству D˙ [ν] (a, b). 1.2. Случай σj = −ν, σ−j = ν, j = 1 или − 1; rank Π[ν] = = r−ν . Оператор L[ν]0 ⊂ L[ν] с неплотной в L2[ν] (a, ∞) областью определения   0 (c) = 0 , y(x) = y (x) + y (x) : ξ = 0, ϕ   j −j yj yj         y = Θ (x − c) y˜ (c + |x − c|) , i = ±1 , i i i D[ν]0 (a, ∞) = y˜i ∈ D{σ } (c, ˙ ∞), {˜ y−j , z˜−j }c = 0 ∀˜ z−j ∈ D{ν} (c, ˙ ∞),    i      y(a) = 0, y 0 (a) = 0, {y, z} = 0 ∀z ∈ D (a, ∞)  +∞

[ν]

π-эрмитов: для y ∈ D[ν]0 (a, ∞) и z ∈ D[ν] (a, ∞) имеем [L[ν]0 y, z][ν] = [y, L[ν] z][ν]

(см. (2.3.13)) .

˙ и L ˙ ˙ ˙ Операторы L [ν] [ν]0 (L[ν]0 ⊂ L[ν]0 ⊂ L[ν] ⊂ L[ν] ) с областями определения соответственно   y(x) = yj (x) + y−j (x) : αj ∈ (−π/2, π/2) ,        yi (x) = Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) , i = ±1 ,  ˙ D[ν] (a, ∞) = y˜ ∈ D (c, , y−j , z˜−j }c = 0 ∀˜ z−j ∈ D{ν} (c, ˙ ∞),  i {σi } ˙ ∞), {˜      0  ξyj sin αj − 2ν p0 ϕyj (c) cos αj = 0

230

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

( D˙ [ν]0 (a, ∞) =

y(x) = y1 (x) + y−1 (x) ∈ D˙ [ν] (a, ∞) : y(a) = 0,

)

y 0 (a) = 0, {y, z}+∞ = 0 ∀z ∈ D[ν] (a, ∞) взаимно π-сопряжены ˙ c[ν] = L ˙ [ν]0 , L

˙ c[ν]0 = L ˙ [ν] ; L

˙ при этом оператор L [ν]0 — π-симметрический в L2[ν] (a, ∞) : ˙ y, z] = [y, L ˙ z] , [L [ν]0 [ν] [ν] [ν]

y ∈ D˙ [ν]0 (a, ∞) , z ∈ D˙ [ν] (a, ∞) .

Как и в предыдущем случае, можно показать, что индекс дефекта оператора L[ν]0 равен (m, m), где m = 1, либо 2. Это значит: либо некоторая линейная комбинация решений (c λ 6= λ) (j)

(j)

(j)

u˙ λ (x) = −2ν p0 (c) u−ν, λ (x) cos αj − uν, λ (x) sin αj (−j)

(−j)

и u˙ λ (x) = uν, λ (x) (m = 1), либо оба решения (m = 2) уравнения l(y) − λ y = 0 принадлежат множеству D˙ [ν] (a, ∞). 1.3. Случай σi = σ−i = ν; rank Π[ν] = 0. Оператор L[ν]0 ⊂ L[ν] с плотной в L2[ν] (a, ∞) областью определения

D[ν]0 (l, b) =

  y(x) = y1 (x) + y−1 (x) : y(a) = 0, y 0 (a) = 0 ,         yi = Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) , y˜i ∈ D (c, {ν} ˙ ∞) , {˜ yi , z˜i }c = 0 ∀˜ zi ∈ D{ν} (c, ˙ ∞) , i = ±1 ,     {y, z}+∞ = 0 ∀z ∈ D[ν] (a, ∞)

   

— симметрический в Π[ν] : для y ∈ D[ν]0 (a, ∞) и z ∈ D[ν] (a, ∞) [L[ν]0 y, z][ν] = [y, L[ν] z][ν]

(L∗[ν] = L[ν]0 , L∗[ν]0 = L[ν] ) .

Нетрудно убедиться в том, что индекс дефекта оператора L[ν]0 (1)

(−1)

равен (m, m), 1 ≤ m ≤ 2, т. е. либо u˙ λ (x)−u˙ λ (x) (m = 1), либо (−1) (1) u˙ λ (x) и u˙ λ (x) (m = 2), принадлежат множеству D[ν] (a, b). (1)

(1)

(−1)

(−1)

Здесь u˙ λ (x) = uν, λ (x), u˙ λ (x) = uν, λ (x).

231

3.3.4. Сингулярная точка внутри бесконечного интервала

2. Пусть ν ∈ (0, 1); rank Π[ν] = 0. В этом случае операторы L[ν] и L[ν]0 с областями определения (D{−ν} (c, ˙ ∞) ≡ D{ν} (c, ˙ ∞))    y(x) = y1 (x) + y−1 (x) : D[ν] (a, ∞) = yi (x) = 2−1/2 Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) ,   y˜i (x) ∈ D{−ν} (c, ˙ ∞) , i = ±1

    

 y(x) = y1 (x) + y−1 (x) : ξy0i = 0, ϕyi (c) = 0 ,     y (x) = Θ (x − c) y˜ (c + |x − c|) , i = ±1 , i i i D[ν]0 (l, b) = y˜i (x) ∈ D{−ν} (c, ˙ ∞) , y(a) = 0, y 0 (a) = 0 ,     {y, z}+∞ = 0 ∀z ∈ D[ν] (a, ∞)

,         

взаимно сопряжены в L2[ν] (a, ∞) : L∗[ν] = L[ν]0 , L∗[ν]0 = L[ν] , оператор L[ν]0 — симметрический в L2[ν] (a, ∞). Можно показать, что индекс дефекта оператора L[ν]0 равен (m, m), 3 ≤ m ≤ 4, т. е. либо (при m = 4) все четыре линейно независимых ре(i) шения u±ν, λ (x) (i = ±1) принадлежат множеству D[ν] (a, ∞), чему отвечает тот факт, что решения u−ν, λ (x) и uν, λ (x) принадлежат множеству D{−ν} (c, ˙ ∞), либо (при m = 3) лишь три (i)

линейно независимых комбинаций четырех решений u±ν, λ (x) (i = ±1) принадлежат множеству D[ν] (a, ∞), чему отвечает тот факт, что только одна линейно независимая комбинация решений u±ν, λ (x) принадлежит множеству D{−ν} (c, ˙ ∞).

3.3.4. Оператор с сингулярной точкой внутри бесконечного интервала I. Рассмотрим в пространстве Π[ν] , ν > 0, ν ∈ / N (см. (1.3.16), § 1.3.4) (1)

(−1)

˙ L2(σ Π[ν] = L2[ν] (−∞, ∞) = L2(σ ) (−∞, ∞) [+] 1

−1 )

(−∞, ∞) , (3.3.7)

232

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

(1)

где пространства L2(σ ) (−∞, ∞) определены выражениями i

n o (i) L2(σ ) (−∞, ∞) = fi (x) = Wi f˜i (x) : f˜i (x) ∈ L2{σi } (c, ˙ ∞) , i (3.3.8) [ν] порождаемый дифференциальным выражением l(y) ≡ l (y) ¶ ³ ´ µ p (c) (ν 2 − 1/4) 0 0 0 l(y) = − p0 (x)y (x) + + q0 (x) y(x) , (3.3.9) (x − c)2 (1)

(−1) −1 )

˙ L(σ L[ν] = L(σ ) [+]

оператор

1

с областью определения (1) (−1) ˙ D(σ D[ν] (−∞, ∞) = D(σ ) (−∞, ∞) [+] ) (−∞, ∞) , 1

−1

n o (i) где D(σ ) (−∞, ∞) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D{σ } (c, ˙ ∞) . i i 1. Пусть ν > 1, ν ∈ / Z. 1.1. σ1 = σ−1 = −ν. Оператор (1)

(−1)

˙ L(−ν)0 L[ν]0 = L(−ν)0 [+]

(rank Π[ν] = 2r−ν )

— π-эрмитов с неплотной в Π[ν] областью определения (1)

D[ν]0 (∞, ∞) = D(σ

1 )0

(−1) ˙ D(σ (−∞, ∞) [+] )0 (−∞, ∞) , −1

n o (i) где D(σ )0 (−∞, ∞) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D{σ }0 (c, ˙ ∞) : i

i

для y ∈ D[ν]0 (−∞, ∞) и z ∈ D[ν] (−∞, ∞) имеем [L[ν]0 y, z][ν] = [y, L[ν] z][ν] . Операторы ˙ [ν] = L ˙ (1) [+] ˙ (−1) и L ˙ [ν]0 = L ˙ (1) [+] ˙ (−1) ˙ L ˙ L L (−ν) (−ν) (−ν)0 (−ν)0

233

3.3.4. Сингулярная точка внутри бесконечного интервала

с плотными в Π[ν] областями определения (1) ˙ D˙ (−1) D˙ [ν] (−∞, ∞) = D˙ (σ ) (−∞, ∞) [+] (σ ) (−∞, ∞) , 1

−1

(1) ˙ D˙ (−1) D˙ [ν]0 (−∞, ∞) = D˙ (σ )0 (−∞, ∞) [+] (σ−1 )0 (−∞, ∞) , 1 n o (i) ˙ ∞) , где D˙ (σ ) (−∞, ∞) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D˙ {σ }0 (c, i

i

n o (i) D˙ (σ )0 (−∞, ∞) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D˙ {σi }0 (c, ˙ ∞) , i

( D˙ {σi } (c, ˙ ∞) =

y ∈ D{σ } (c, ˙ ∞) : α ∈ (−π/2, π/2) ,

)

i

ξy0

sin αi + 2σi p0 (c) ϕy (c) cos αi = 0

,

n o D˙ {σi }0 (c, ˙ ∞) = y ∈ D˙ {σi } (c, ˙ ∞) : {y, z}+∞= 0 ∀z ∈ D˙ {σi } (c, ˙ ∞) , являются взаимно π-сопряженными: ˙c = L ˙ ˙c ˙ L [ν] [ν]0 , L[ν]0 = L[ν]

˙ ˙ (L[ν]0 ⊂ L [ν]0 ⊂ L[ν] ⊂ L[ν] ) ;

˙ [ν]0 y, z][ν] = [y, L ˙ [ν] z][ν] [L для y ∈ D˙ [ν]0 (−∞, ∞) и z ∈ D˙ [ν] (−∞, ∞). Очевидно, индекс ˙ дефекта π-симметрического оператора L [ν]0 равен (0, 0), либо ˙ (2, 2). (см. теорему 3.2.32, § 3.2.2, п. 1). В случае def L [ν]0 = 2 ˙ (квази)дефектным подпространством оператора L[ν]0 является (1) (−1) N˙ p = Lin{u˙ , u˙ }, где λ

λ[ν]

λ

(i)

(i)

(i)

u˙ λ (x) = 2ν p0 (c) u−ν, λ (x) cos αi + uν, λ (x) sin αi , αi ∈ (−π/2, π/2) ,

(i) u±ν, λ (x)

³ = Wi u˜±ν, λ (x)

u˜±ν, λ (x) — линей-

но независимые решения уравнения l(y) − λ y = 0 (λ 6= λ) из ´ D{−ν} (c, ˙ ∞) .

234

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

1.2. σi = −ν, σ−ν = ν (i = 1 или i = −1). Оператор (i)

(−i)

˙ L(ν)0 L[ν]0 = L(−ν)0 [+]

(rank Π[ν] = r−ν )

— π-эрмитов с неплотной в Π[ν] областью определения (i)

(−i)

˙ D(ν)0 (−∞, ∞) , D[ν]0 (a, b) = D(−ν)0 (−∞, ∞) [+] n o (i) где D(σ )0 (−∞, ∞) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D{σ }0 (c, ˙ ∞) i i ¢ ¡ (i) (i) D(−ν)0 (−∞, ∞) не плотно в L2(−ν) (−∞, ∞) : [L[ν]0 y, z][ν] = = [y, L[ν] z][ν] для y ∈ D[ν]0 (−∞, ∞) и z ∈ D[ν] (−∞, ∞). Операторы ˙ = L ˙ (i) [+] ˙ ˙ (i) ˙ L(−i) ˙ (−i) L и L [ν] [ν]0 = L(−ν)0 [+] L(−ν)0 (−ν) (ν) с плотными в Π[ν] областями определения (i) (−i) ˙ D(ν) D˙ [ν] (−∞, ∞) = D˙ (−ν) (−∞, ∞) [+] (−∞, ∞) , (i) (−i) ˙ D(ν)0 D˙ [ν]0 (−∞, ∞) = D˙ (−ν)0 (−∞, ∞) [+] (−∞, ∞) , n o (i) где D˙ (−ν) (−∞, ∞) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D˙ {−ν}0 (c, ˙ ∞) ,

n o (i) ˙ ˙ D(−ν)0 (−∞, ∞) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D{−ν}0 (c, ˙ ∞) , являются взаимно π-сопряженными: ˙c = L ˙ ˙c ˙ L [ν] [ν]0 , L[ν]0 = L[ν]

˙ ˙ (L[ν]0 ⊂ L [ν]0 ⊂ L[ν] ⊂ L[ν] ) ;

˙ [ν]0 y, z][ν] = [y, L ˙ [ν] z][ν] [L ˙ для y ∈ D˙ [ν]0 (−∞, ∞) и z ∈ D˙ [ν] (−∞, ∞). Очевидно, def L [ν]0 = (i) (−i) = 0, либо 2; в последнем случае имеем N˙ p = Lin{u˙ , u } λ[ν]

(см. § 3.2.2).

λ

ν, λ

235

3.3.4. Сингулярная точка внутри бесконечного интервала

1.3. σ1 = σ−1 = ν. Оператор (1)

(−1)

˙ L(ν)0 L[ν]0 = L(ν)0 [+]

(rank Π[ν] = 0)

— симметрический с плотной в Π[ν] областью определения (1)

(−i)

˙ D(ν)0 (−∞, ∞) , D[ν]0 (−∞, ∞) = D(ν)0 (−∞, ∞) (+) при этом L∗[ν] = L[ν]0 , L∗[ν]0 = L[ν] , [L[ν]0 y, z][ν] = [y, L[ν] z][ν] для ˙ y ∈ D[ν]0 (−∞, ∞) и z ∈ D[ν] (∞, ∞). Очевидно, def L [ν]0 = 0, либо (1)

(−1)

2; в последнем случае имеем Nλ[ν] = Lin{uν, λ , uν, λ } (см. § 3.2.2). (i)

(i)

(i)

(i)

2. Пусть ν ∈ (0, 1). Оператор (L(−ν) = L(ν) , L(−ν)0 = L(ν)0 ) (1)

(−1)

˙ L(−ν)0 L[ν]0 = L(−ν)0 [+]

(rank Π[ν] = 0)

— симметрический с плотной в Π[ν] областью определения (1)

(−1)

˙ D(ν)0 (−∞, ∞) , D[ν]0 (−∞, ∞) = D(ν)0 (−∞, ∞) (+) при этом L∗[ν] = L[ν]0 , L∗[ν]0 = L[ν] , [L[ν]0 y, z][ν] = [y, L[ν] z][ν] для y ∈ D[ν]0 (−∞, ∞) и z ∈ D[ν] (−∞, ∞). В этом случае def L[ν]0 = = 2, либо 4 (см. § 3.2.2); дефектным подпространством является (1) (−1) (i) (i) (i) Nλ[ν] = Lin{wν, λ , wν, λ }, где wν, λ = cν, λ uν, λ+c−ν, λ u−ν, λ (i = ±1) — некоторые фиксированные линейные комбинации, либо Nλ[ν] = (i)

(i)

= Lin{uν, λ , u−ν, λ }i=±1 соответственно. II. Рассмотрим теперь в пространстве Π[ν] = L2[ν] (−∞, ∞), ν > 0, ν ∈ / N (см. (1.3.19), § 1.3.4) ˙ L2(ν) (−∞, ∞) , (3.3.10) L2[ν] (−∞, ∞) = L2(−ν) (−∞, ∞) [+] o n где L2(σ) (−∞, ∞) = f (x) = Wσ f˜(x) : f˜(x) ∈ L2{σ} (c, ˙ ∞) , порождаемый дифференциальным выражением (3.3.9) оператор ˙ L(ν) L[ν] = L(−ν) [+] (3.3.11)

236

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

с областью определения (2.3.14) ˙ D(ν) (−∞, ∞) , D[ν] (−∞, ∞) = D(−ν) (−∞, ∞) [+] (3.3.12) n o где D(σ) (−∞, ∞) = y(x) = Wσ y˜(x) : y˜(x) ∈ D{σ} (c, ˙ ∞) . 1. Пусть ν > 1 (ν ∈ / Z). Рассмотрим по отдельности составляющие L(−ν) и L(ν) оператора L[ν] , действующие в π-ортогональных подпространствах L2(−ν) (a, b) и L2(ν) (a, b). 1.1. Сужение L(−ν)0 с неплотной в L2(−ν) (−∞, ∞) областью определения n o D(−ν)0 (−∞, ∞) = y(x) = W−ν y˜(x) : y˜(x) ∈ D{−ν}0 (c, ˙ ∞) является π-эрмитовым в L2(−ν) (−∞, ∞) оператором: [L(−ν)0 y, z][ν] = [y, L(−ν) z][ν] , для y ∈ D(−ν)0 (−∞, ∞), z ∈ D(−ν) (−∞, ∞). ˙ ˙ Операторы L (−ν) и L(−ν)0 с областями определения соответственно n o D˙ (−ν) (−∞, ∞) = y(x) = W−ν y˜(x) : y˜(x) ∈ D˙ {−ν} (c, ˙ ∞) , n o D˙ (−ν)0 (−∞, ∞) = y(x) = W−ν y˜(x) : y˜(x) ∈ D˙ {−ν}0 (c, ˙ ∞) являются в L2(−ν) (−∞, ∞) взаимно π-сопряженными: ˙c ˙ ˙c ˙ ˙ ˙ L (−ν) = L(−ν)0 , L(−ν)0 = L(−ν) (L(−ν)0 ⊂ L(−ν)0 ⊂ L(−ν) ⊂ L(−ν) ) ; ˙ ˙ [L (−ν)0 y, z][ν] = [y, L(−ν) z][ν] для y ∈ D˙ (−ν)0 (−∞, ∞) и z ∈ D˙ (−ν) (−∞, ∞). Дефектное число (−ν) ˙ }, def L = 0, либо 1; в последнем случае N˙ p = Lin{u˙ где

(−ν)0 (−ν) u˙ λ (x)

= 2ν

(−ν) p0 (c) u−ν, λ (x)

cos α−ν +

λ(ν) (−ν) uν, λ (x)

λ

sin α−ν ,

3.3.4. Сингулярная точка внутри бесконечного интервала

237

(−ν)

α−ν ∈ (−π/2, π/2) , u±ν, λ (x) = W−ν u˜±ν, λ (x), (см. § 3.2.4). 1.2. Сужение L(ν)0 с плотной в L2(ν) (−∞, ∞) областью определения n o D(ν)0 (−∞, ∞) = y(x) = Wν y˜(x) : y˜(x) ∈ D{ν}0 (c, ˙ ∞) является симметрическим в L2(ν) (−∞, ∞) оператором: [L(ν)0 y, z][ν] = [y, L(ν) z][ν] , y ∈ D(ν)0 (−∞, ∞) , z ∈ D(ν) (−∞, ∞) . дефектное число def L(ν)0 = 0, либо 1; в последнем случае имеем (ν)

(ν)

Nλ(ν) = Lin{uν, λ }, где uν, λ (x) = Wν u˜ν, λ (x), (см. § 3.2.4). 1.3. Тогда сингулярные операторы ˙ [ν] = L ˙ (−ν) [+] ˙ L(ν) L

и

˙ [ν]0 = L ˙ (−ν)0 [+] ˙ L(ν)0 L

с областями определения соответственно ˙ D(ν) (−∞, oo) и D˙ [ν] (−∞, ∞) = D˙ (−ν) (−∞, ∞) [+] ˙ D(ν)0 (−∞, ∞) D˙ [ν]0 (−∞, ∞) = D˙ (−ν)0 (−∞, ∞) [+] являются взаимно π-сопряженными в L2[ν] (−∞, ∞) ˙c = L ˙ , L [ν]0 [ν]

˙c = L ˙ L [ν] [ν]0 ,

˙ c — π-симметрический в L (−∞, ∞) ввиду оператор L [ν]0 2[ν] ˙ [ν]0 y, z][ν] = [y, L ˙ [ν] z][ν] , y ∈ D˙ [ν]0 (−∞, ∞) , z ∈ D˙ [ν] (−∞, ∞) [L ˙ y, z] = c индексом дефекта (0, 0), либо (2, 2). В случае def L [ν]0 [ν] (−ν) (ν) = 2 имеем N˙ p = Lin{u˙ , u }. λ[ν]

λ

ν, λ

2. Пусть ν ∈ (0, 1). Cимметрический в L2[ν] (−∞, ∞) оператор ˙ L(ν)0 (rank Π[µ] = 0) L[ν]0 = L(−ν)0 (+)

238

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

с областью определения ˙ D(ν)0 (−∞, ∞) , D[ν]0 (−∞, ∞) = D(−ν)0 (−∞, ∞) (+) n o где D(σ)0 (−∞, ∞) = y(x) = Wσ y˜(x) : y˜(x) ∈ D{σ}0 (c, ˙ ∞) , имеет индекс дефекта (2, 2), либо (4, 4) (см. § 3.2.2). Дефект(−ν) (ν) ным подпространством является Nλ[ν] = Lin{wν, λ , wν, λ }, ли(σ )

(σ )

бо Nλ[ν] = Lin{uν, λi , u−ν,i λ }i=±1 соответственно, где элементы (σ )

(σ )

(σ )

wν, λi = cν, λ uν, λi + c−ν, λ u−ν,i λ (i = ±1) — некоторые фиксирован(σ )

ные линейные комбинации (u±ν,i λ = Wσi u±ν, λ ).

3.3.5. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала Рассмотрим в пространстве (см. (1.3.20) и (6.5.3), § 1.3.5) ˙ (µ ∈ R \Z) порожденный дифференциальным Π[µ] = L2[µ] (a, ˙ b) + выражением (2.2.18) l(y) ≡ l[µ] (y) = (3.3.13) ¶ ³ ´ (b−a)2 µ p (b) µ2 0 0 0 = − (x − a)(b − x)p0 (x)y + + q0 (x) y , 4 (x − a)(b − x) оператор

(1)

(−1)

˙ L(κ L[µ] = L(κ ) [+]

−1 )

1

(κ−1 = ±κ1 , κ1 = ±µ)

с областью определения (2.3.15) (−1) ˙ = D(1) (a, ˙ ˙ ˙ , D[µ] (a, ˙ b) ˙ b) (κ ) ˙ b) [+] D(κ ) (a, 1

−1

(3.3.14)

n o (i) ˙ = y (x) = W y˜ (x); y˜ (x) ∈ D(i) (c, b) ˙ , D(κ ) (a, ˙ b) i i i i {κi } i n o (i) ˙ = y ∈ D (c, b) ˙ : y 0 (c) = 0 (i = 0); y(c) = 0 (i = −1) . D{κ } (c, b) {κi } i

1. Пусть µ > 1.

3.3.5. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

239

1.1. κ1 = κ−1 = −µ. Оператор (1) ˙ L(−1) L[µ]0 = L(−µ)0 [+] (−µ)0

(rank Π[µ] = 2r−µ )

π-эрмитов с неплотной в Π[µ] областью определения (−1) ˙ ˙ ˙ , ˙ = D(1) (a, ˙ b) D[µ]0 (a, ˙ b) (−µ)0 ˙ b) [+] D(−µ)0 (a,

где

(i) D(−µ)0 (a, ˙

n o ˙b) = y (x) = W y˜ (x) : y˜ (x) ∈ D(i) (c, b) ˙ , i i i i {−µ}0

n o (i) ˙ = y ∈ D(i) (c, b) ˙ : η 0 = 0 , ψ (b) = 0 : D{−µ}0 (c, b) y y {−µ} [L[µ]0 y, z][µ] = [y, L[µ] z][µ]

(L[µ]0 ⊂ L[µ] )

˙ и z ∈ D (a, ˙ ˙ ˙ для y ∈ D[µ]0 (a, ˙ b) [µ] ˙ b). Оператор L[µ]0 = L[µ] ˙ [µ]0 = L ˙ (1) [+] ˙ (−1) ˙ L L (−µ)0 (−µ)0 с плотной в Π[ν] областью определения ˙ = D˙ (1) (a, ˙ ˙ ˙ (−1) ˙ b) ˙ , D˙ [µ]0 (a, ˙ b) (−µ)0 ˙ b) [+] D (−µ)0 (a, где

n o (i) (i) ˙ ˙ ˙ ˙ D(−µ)0 (a, ˙ b) = yi (x) = Wi y˜i (x) : y˜i (x) ∈ D{−µ}0 (c, b) , (

(i) D˙ {−µ}0 (c,

˙ = b)

(i) ˙ : β ∈ (−π/2, π/2) , y ∈ D{−µ} (c, b)

ηy0 sin βi − 2µ(b − c)p0 (b) ψy (b) cos βi = 0

является π-самосопряженным: ˙c = L ˙ L [µ]0 [µ]0 ,

˙ (L[µ]0 ⊂ L [µ]0 ⊂ L[µ] ) ,

˙ , т. е. т. к. Reg{y, z}b − Reg{y, z}a = 0 для y, z ∈ D˙ [µ]0 (a, ˙ b) ˙ [µ]0 y, z][µ] = [y, L ˙ [µ]0 z][µ] . [L

) ,

240

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

˙ следует из ˙ П-самосопряженность оператора L ˙ b) [µ]0 в L2[µ] (a, ˙ ˙ (i) π-самосопряженности оператора L {−µ}0 ≡ L{−µ}0 с областью ˙ ≡ D˙ (i) (c, b) ˙ (см. § 3.2.3). определения D˙ (c, b) {−µ}0

{−µ}0

1.2. κi = −µ, κ−i = µ (i = 1) или (i = −1). Оператор (i) ˙ L(−i) L[µ]0 = L(−µ)0 [+] (µ)0

(rank Π[µ] = r−µ )

— π-эрмитов с неплотной в Π[µ] областью определения (−i) ˙ = D(i) (a, ˙ ˙ ˙ D[µ]0 (a, ˙ b) ˙ b) (−µ)0 ˙ b) [+] D(µ)0 (a,

³

´ (i) ˙ в L(i) (a, ˙ , где неплотной является область D(−µ)0 (a, ˙ b) ˙ b) 2(−µ) n o (i) ˙ = y (x) = W y˜ (x) : y˜ (x) ∈ D(i) (c, b) ˙ , D(−µ)0 (a, ˙ b) i i i i {−µ}0 n o (−i) ˙ = y (x) = W y˜ (x) : y˜ (x) ∈ D(−i) (c, b) ˙ , D(µ)0 (a, ˙ b) i −i i i {µ}0 n o (i) ˙ = y ∈ D(i) (c, b) ˙ : η 0 = 0 , ψ (b) = 0 , D{−µ}0 (c, b) y y {−µ} n o (−i) (−i) (−i) ˙ ˙ ˙ D{µ}0 (c, b) = y ∈ D{µ} (c, b) , {y, z}b = 0 ∀z ∈ D{µ} (c, b) : [L[µ]0 y, z][µ] = [y, L[µ] z][µ]

(L[µ]0 ⊂ L[µ] )

(−i) ˙ и z ∈ D (a, ˙ для y ∈ D[µ]0 (a, ˙ b) [µ] ˙ b). Заметим, что оператор L{µ} (−i) ˙ является самосопряженным с областью определения D (c, b) {µ}

˙ Таким образом, {y, z} = 0 для y, z ∈ D(−i) (a, ˙ в L2{µ} (c, b). b {µ} ˙ b), (−i)

(−i)

т. е. L{µ}0 ≡ L{µ} . Поэтому оператор ˙ = L ˙ (i) [+] ˙ L(−i) L [µ] (−µ)0 (µ) с плотной в Π[ν] областью определения (−i) ˙ = D˙ (i) (a, ˙ ˙ ˙ , D˙ [µ] (a, ˙ b) ˙ b) (−µ)0 ˙ b) [+] D(µ) (a,

241

3.3.5. Две сингулярные точки на границах конечного интервала

где

n o (i) ˙ = y (x) = W y˜ (x) : y˜ (x) ∈ D˙ (i) (c, b) ˙ , D˙ (−µ)0 (a, ˙ b) i i i i {−µ}0 (

(i) ˙ = D˙ {−µ}0 (c, b)

(i) ˙ : β ∈ (−π/2, π/2) , y ∈ D{−µ} (c, b)

) ,

ηy0 sin βi − 2µ(b − c)p0 (b) ψy (b) cos βi = 0

является π-самосопряженным в Π[µ] : ˙ , ˙c = L L [µ] [µ]

˙ ≡ L ˙ (L[µ]0 ⊂ L [µ] [µ]0 ⊂ L[µ] ) ;

˙ y, z] = [y, L ˙ z] [L [µ] [µ] [µ] [µ]

˙ для y, z ∈ D˙ [µ] (a, ˙ b).

1.3. κ1 = κ−1 = µ. Оператор (1) ˙ L(−1) L[µ] = L(µ) [+] (µ)

(rank Π[µ] = 0)

ввиду того, что (см. замечание в предыдущем пункте) опе(±1) (±1) ˙ является саратор L{µ} с областью определения D{µ} (c, b) ˙ Следовательно, {y, z} = 0 для мосопряженным в L2{µ} (c, b). b (±1) ˙ y, z ∈ D (a, ˙ b). Поэтому оператор {µ}

(1)

(−1)

˙ L(µ) L[µ] = L(µ) [+] в Π[ν] с областью определения

(−1) ˙ = D(1) (a, ˙ ˙ ˙ D[µ] (a, ˙ b) ˙ b) (µ) ˙ b) [+] D(µ) (a,

˙ является самосопряженным в Π[µ] : для y, z ∈ D[µ] (a, ˙ b) [L[µ] y, z][µ] = [y, L[µ] z][µ] , т. е. L∗[µ] = L[µ] . (i)

(i)

(i)

(i)

2. Пусть µ ∈ (0, 1). Оператор (L(µ) = L(−µ) , L(µ)0 = L(−µ)0 ) (1)

(−1)

˙ L(µ)0 L[µ]0 = L(µ)0 [+]

(rank Π[µ] = 0)

242

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

является симметрическим с плотной областью определения (−1) ˙ = D(1) (a, ˙ ˙ ˙ , D[µ]0 (a, ˙ b) ˙ b) (−µ)0 ˙ b) [+] D(−µ)0 (a,

где

n o (i) ˙ = y (x) = W y˜ (x) : y˜ (x) ∈ D(i) (c, b) ˙ , D(−µ)0 (a, ˙ b) i i i i {−µ}0 n o (i) ˙ = y ∈ D(i) (c, b) ˙ : η 0 = 0 , ψ (b) = 0 : D{−µ}0 (c, b) y y {−µ} [L[µ]0 y, z][µ] = [y, L[µ] z][µ]

(L[µ]0 ⊂ L[µ] )

(i) ˙ и z ∈ D (a, ˙ для y ∈ D[µ]0 (a, ˙ b) [µ] ˙ b). Так как оператор L{−µ}0 с (i) ˙ является симметрическим в областью определения D{−µ}0 (c, b) ˙ с индексом дефекта (1, 1), то индекс дефекта опеL (c, b) 2{−µ}

ратора L[µ]0 равен (2, 2). Дефектным подпространством опера(1)

(−1)

тора L[µ]0 является линеал Nλ[µ] = Lin{uµ, λ , uµ, λ }, где (i)

(i)

uµ, λ = Wi u˜µ, λ

(i = ±1 , λ 6= λ) ,

(1) (1) ˙ , u˜µ, λ (x) = u˜0µ, λ (c) u˜µ, λ (x) − u˜0−µ, λ (c) u˜−µ, λ (x) ∈ D{−µ} (c, b) (−1) (−1) ˙ . u˜µ, λ (x) = u˜µ, λ (c) u˜µ, λ (x) − u˜−µ, λ (c) u˜−µ, λ (x) ∈ D{−µ} (c, b)

3.3.6. Оператор с сингулярной точкой внутри и на границе конечного интервала I. Если исходить из разложений (1.3.23) § 1.3.6 простран˙ (ν, µ ∈ R \ Z) и соответственно области ства Π[ν, µ] = L2[ν, µ] (l, b) + определения (2.3.16) § 2.3.6 оператора (порождаемого дифференциальным выражением l(y) ≡ l[ν, µ] (y) (2.2.28)) (0)

L[ν, µ] = L{σ

1}

(0)

˙ L{σ [+]

−1 , κ}

,

243

3.3.6. Сингулярная точка внутри и на границе конечного интервала

(0) (0) ˙ и и L{σ , κ} действуют в пространствах L2{σ } (l, b) −1 1 (0) ˙ то исследование π-симметрических сужений этоL2{σ , κ} (l, b), −1 го оператора, очевидно, сводится к исследованию соответствующих сужений оператора L{σ } (см. § 3.2.1), действующего в 1 пространстве L2{σ } (c, ˙ l1 ) и оператора L2{σ , κ} (см. § 3.2.4), дей1 −1 ˙ ствующего в пространстве L (c, ˙ b). (0)

где L{σ

1}

2{σ−1 , κ}

II. Другие, более интересные π-симметрические сужения максимального оператора L[ν, µ] возникают в π-пространстве ˙ если исходить из представлений (1.3.24) Π[ν, µ] = L2[ν, µ] (l, b), § 1.3.6 пространства Π[ν, µ] и соответственно области определе˙ (2.3.17), т. е. (2.3.18), § 2.3.6 этого оператора: ния D[ν, µ] (l, b)  y(x) = y1 (x) + y−1 (x) :   ˙ = yi (x) = 2−1/2 Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) , D[ν, µ] (l, b)   ˙ , i = ±1 y˜ (x) ∈ D (c, ˙ b) i

    

,

{σi , κ}

(3.3.15) ˙ где множества D{σ , κ} (c, ˙ b) определены соотношением (3.2.72). i 1. Пусть ν > 1, µ > 1 (ν, µ ∈ / Z). 1.1. σ1 = σ−1 = −ν. 1.1.1. κ = −µ. Определим оператор сужения L[ν, µ]0 = ˙ на множество = L[ν, µ] |D[ν, µ]0 (l, b)   ˙ : y(x) = y (x) + y (x) ∈ D (l, b)   1 −1 [ν, µ]   0 ˙ = D[ν, µ]0 (l, b) . ξyi = 0 , ϕyi (c) = 0 (i = ±1) ,     y(l) = 0 , y 0 (l) = 0 , ηy0 = 0 , ψy (b) = 0 (3.3.16) ˙ не плотно в π-пространстве L ˙ Множество D (l, b) (l, b) [ν, µ]0

2[ν, µ]

(rank Π[ν, µ] = 2r−ν + r−µ ), и оператор L[ν, µ]0 — π-эрмитов: ˙ , z ∈D ˙ [L[ν, µ]0 y, z][ν, µ] = [y, L[ν, µ] z][ν, µ] , y ∈ D[ν, µ]0 (l, b) [ν, µ] (l, b) .

244

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

˙ ˙ ˙ ˙ Операторы сужений L [ν, µ] = L[ν, µ] |D[ν, µ] (l, b) и L[ν, µ]0 = ˙ определенные на множествах = L[ν, µ] |D˙ [ν, µ]0 (l, b),   ˙ : (i = ±1)  y(x) = y (x)+y (x) ∈ D (l, b)  1 −1 [ν, µ]   ˙ = D˙ [ν, µ] (l, b) , ξy0i sin αi − 2ν(b − c)2 p0 (c)ϕyi (c) cos αi = 0    0  ηy sin β − 2µ(b − c)p0 (b)ψy (b) cos β = 0 (3.3.17) n o ˙ : y(l) = 0 , y 0 (l) = 0 ˙ = y(x) ∈ D˙ [ν, µ] (l, b) D˙ [ν, µ]0 (l, b) (3.3.18) (здесь α±1 , β ∈ (−π/2, π/2)), являются в π-пространстве Π[ν, µ] взаимно π-сопряженными: ˙c ˙ ˙c ˙ ˙ ˙ L [ν, µ]0 = L[ν, µ] , L[ν, µ] = L[ν, µ]0 (L[ν, µ]0 ⊂ L[ν, µ]0 ⊂ L[ν, µ] ⊂ L[ν, µ] ) . ˙ плотно в Π ˙ Так как D˙ [ν, µ]0 (l, b) [ν, µ] , то оператор L[ν, µ]0 — πсимметрический в Π[ν, µ] . При этом индекс дефекта операто˙ ра L [ν, µ]0 равен (1, 1), поскольку только одно линейно независимое решение уравнения l(y) − λ y = 0 c λ 6= λ принадле˙ Действительно. Это уравнение имежит множеству D˙ [ν, µ] (l, b). (i)

ет четыре линейно независимых решения u±ν, λ (x) (i = ±1), (i)

u±ν, λ = 2−1/2 Θi (x−c) u±ν, λ (c+|x−c|), где u±ν, λ (x) — два линейно независимых решения уравнения l(y) − λ y = 0 на интервале (c, b). Две линейные комбинации (i = ±1) (i)

(i)

(i)

u˙ λ (x) = −2ν(b − c)2 p0 (c)u−ν, λ (x) cos αi − uν, λ (x) sin αi удовлетворяют первым двум условиям в (3.3.18). Тогда некото(1) (−1) рая линейная комбинация v˙ λ (x) = C1 u˙ λ (x) + C−1 u˙ λ (x) подчиняется третьему условию в (3.3.17). 1.1.2. κ = µ. Определим оператор сужения L[ν, µ]0 =

3.3.6. Сингулярная точка внутри и на границе конечного интервала

245

˙ на множество = L[ν, µ] |D[ν, µ]0 (l, b)   ˙    y(x) = y1 (x) + y−1 (x) ∈ D[ν, µ] (l, b) :  0 ˙ ξyi = 0 , ϕyi (c) = 0 (i = ±1) , D[ν, µ]0 (l, b) = .     0 ˙ y(l) = 0, y (l) = 0, {y, z}b = 0 ∀z ∈ D[ν, µ] (l, b) (3.3.19) ˙ ˙ Множество D[ν, µ]0 (l, b) не плотно в π-пространстве L2[ν, µ] (l, b) (rank Π[ν, µ] = 2r−ν ), и оператор L[ν, µ]0 — π-эрмитов: ˙ , z ∈D ˙ [L[ν, µ]0 y, z][ν, µ] = [y, L[ν, µ] z][ν, µ] , y ∈ D[ν, µ]0 (l, b) [ν, µ] (l, b) . ˙ ˙ ˙ ˙ Операторы сужений L [ν, µ] = L[ν, µ] |D[ν, µ] (l, b) и = L[ν, µ]0 = ˙ определенные на множествах L[ν, µ] |D˙ [ν, µ]0 (l, b), ( ˙ = D˙ [ν, µ] (l, b)

˙ : (i = ±1) y(x) = y1 (x)+y−1 (x) ∈ D[ν, µ] (l, b) ξy0i sin αi − 2ν(b − c)2 p0 (c)ϕyi (c) cos αi = 0

) ,

(3.3.20) ) 0 ˙ ˙ y(x) ∈ D[ν, µ] (l, b) : y(l) = 0 , y (l) = 0 ˙ = D˙ [ν, µ]0 (l, b) ˙ {y, z}b = 0 ∀z ∈ D˙ [ν, µ] (l, b) (3.3.21) (здесь α±1 ∈ (−π/2, π/2)), являются в π-пространстве Π[ν, µ] взаимно π-сопряженными: (

˙ c[ν, µ]0 = L ˙ [ν, µ] , L ˙ c[ν, µ] = L ˙ [ν, µ]0 (L[ν, µ]0 ⊂ L ˙ [ν, µ]0 ⊂ L ˙ [ν, µ] ⊂ L[ν, µ] ) . L ˙ плотно в Π ˙ Так как D˙ [ν, µ]0 (l, b) [ν, µ] , то оператор L[ν, µ]0 — π˙ симметрический в Π[ν, µ] с def L [ν, µ]0 = 1. Действительно. Два (i)

линейно независимых решения u˙ λ (x) (i = ±1) уравнения l(y)− λ y = 0 c λ 6= λ удовлетворяют условиям в (3.3.20). Тогда та(−1) кая линейная комбинация v(x) ˙ = C1 u˙ (1) (x) + C(−1) u˙ λ (x), для ˙ которой η 0 = 0, принадлежит множеству D˙ (l, b). v˙ λ

[ν, µ]

246

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

1.2. σi = −σ−i = −ν (i = 1 или −1). 1.2.1. κ = −µ. Определим оператор сужения L[ν, µ]0 = ˙ на множество = L[ν, µ] |D[ν, µ]0 (l, b)   ˙ :   y(x) = y1 (x) + y−1 (x) ∈ D[ν, µ] (l, b)        ξ 0 = 0, ϕ (c) = 0 ,  y y i i ˙ = D[ν, µ]0 (l, b) . ˙ ,   {y , z } = 0 ∀z ∈ D (l, b)   −i −i c −i [ν, µ]       y(l) = 0 , y 0 (l) = 0 , ηy0 = 0 , ψy (b) = 0 (3.3.22) ˙ ˙ Множество D[ν, µ]0 (l, b) не плотно в π-пространстве L2[ν, µ] (l, b) (rank Π[ν, µ] = r−ν + r−µ ), и оператор L[ν, µ]0 — π-эрмитов: ˙ , z ∈D ˙ [L[ν, µ]0 y, z][ν, µ] = [y, L[ν, µ] z][ν, µ] , y ∈ D[ν, µ]0 (l, b) [ν, µ] (l, b) . ˙ ˙ ˙ ˙ Операторы сужений L [ν, µ] = L[ν, µ] |D[ν, µ] (l, b) и L[ν, µ]0 = ˙ определенные на множествах = L[ν, µ] |D˙ [ν, µ]0 (l, b),   ˙     y(x) = y1 (x)+y−1 (x) ∈ D[ν, µ] (l, b) : 0 2 ˙ ˙ D[ν, µ] (l, b) = ξy sin αi − 2ν(b − c) p0 (c)ϕyi (c) cos αi = 0 ,     0i ηy sin β − 2µ(b − c)p0 (b)ψy (b) cos β = 0 (3.3.23) ( ) 0 ˙ ˙ y(x) ∈ D[ν, µ] (l, b) : y(l) = 0 , y (l) = 0 ˙ = D˙ [ν, µ]0 (l, b) ˙ {y , z } = 0 ∀z ∈ D˙ (l, b) −i

−i c

−i

[ν, µ]

(3.3.24) (здесь αi , β ∈ (−π/2, π/2)), являются в π-пространстве Π[ν, µ] взаимно π-сопряженными: ˙ c[ν, µ]0 = L ˙ [ν, µ] , L ˙ c[ν, µ] = L ˙ [ν, µ]0 (L[ν, µ]0 ⊂ L ˙ [ν, µ]0 ⊂ L ˙ [ν, µ] ⊂ L[ν, µ] ) . L ˙ плотно в Π ˙ Так как D˙ [ν, µ]0 (l, b) [ν, µ] , то оператор L[ν, µ]0 — πсимметрический в Π[ν, µ] . При этом индекс дефекта операто˙ ра L [ν, µ]0 равен (1, 1), поскольку только одно линейно неза-

247

3.3.6. Сингулярная точка внутри и на границе конечного интервала

висимое решение уравнения l(y) − λ y = 0 c λ 6= λ принад˙ Действительно. Из четырех лилежит множеству D˙ [ν, µ] (l, b). (i)

(−i)

нейно независимых решений u±ν, λ (x) и u±µ, λ (x) решений уравнения l(y) − λ y = 0 только некоторая линейная комбинация (i) (−i) ˙ а именно та, коCi u˙ λ (x) + C−i uν, λ (x) принадлежит D˙ [ν, µ] (l, b), торая удовлетворяет второму условию в (3.3.23). 1.2.2. κ = µ. Определим оператор сужения L[ν, µ]0 = ˙ на множество = L[ν, µ] |D[ν, µ]0 (l, b)   ˙ : y(x) = y (x) + y (x) ∈ D (l, b)   1 −1 [ν, µ]       0   ξy = 0 , ϕy (c) = 0 , i i ˙ . D[ν, µ]0 (l, b) = ˙ ,   {y−i , z−i }c = 0 ∀z−i ∈ D[ν, µ] (l, b)        ˙  y(l) = 0, y 0 (l) = 0, {y, z}b = 0 ∀z ∈ D[ν, µ] (l, b) (3.3.25) ˙ ˙ Множество D[ν, µ]0 (l, b) не плотно в π-пространстве L2[ν, µ] (l, b) (rank Π[ν, µ] = r−ν ), и оператор L[ν, µ]0 — π-эрмитов: ˙ , z ∈D ˙ [L[ν, µ]0 y, z][ν, µ] = [y, L[ν, µ] z][ν, µ] , y ∈ D[ν, µ]0 (l, b) [ν, µ] (l, b) . ˙ ˙ ˙ ˙ Операторы сужений L [ν, µ] = L[ν, µ] |D[ν, µ] (l, b) и L[ν, µ]0 = ˙ определенные на множествах = L[ν, µ] |D˙ [ν, µ]0 (l, b), ( ˙ = D˙ [ν, µ] (l, b)

)

˙ : y(x) = y1 (x)+y−1 (x) ∈ D[ν, µ] (l, b) ξy0i sin αi − 2ν(b − c)2 p0 (c)ϕyi (c) cos αi = 0

,

(3.3.26)   0 ˙ : y(l) = 0 , y (l) = 0   y(x) ∈ D˙ [ν, µ] (l, b)     ˙ , ˙ = {y, z}b = 0 ∀z ∈ D˙ [ν, µ] (l, b) D˙ [ν, µ]0 (l, b)     ˙  {y−i , z−i }c = 0 ∀z−i ∈ D˙ [ν, µ] (l, b)  (3.3.27)

248

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

(здесь αi ∈ (−π/2, π/2)), являются в π-пространстве Π[ν, µ] взаимно π-сопряженными: ˙ c[ν, µ]0 = L ˙ [ν, µ] , L ˙ c[ν, µ] = L ˙ [ν, µ]0 (L[ν, µ]0 ⊂ L ˙ [ν, µ]0 ⊂ L ˙ [ν, µ] ⊂ L[ν, µ] ) . L ˙ плотно в Π ˙ Так как D˙ [ν, µ]0 (l, b) [ν, µ] , то оператор L[ν, µ]0 — πсимметрический в Π[ν, µ] . При этом индекс дефекта оператора ˙ L [ν, µ]0 равен (1, 1), поскольку только одно линейно независимое (i) (−i) ˙ решение v(x) = C u˙ (x) + C u (x) принадлежит D˙ (l, b), i λ

−i ν, λ 0 ηv = 0.

[ν, µ]

а именно то, для которого 1.3. σ1 = σ−1 = ν. 1.3.1. κ = −µ. Определим оператор сужения L[ν, µ]0 = ˙ на множество = L[ν, µ] |D[ν, µ]0 (l, b)   ˙    y(x) = y1 (x) + y−1 (x) ∈ D[ν, µ] (l, b) :  ˙ ˙ D[ν, µ]0 (l, b) = {yi , zi }c = 0 ∀zi ∈ D[ν, µ] (l, b) (i = ±1) , .     y(l) = 0 , y 0 (l) = 0 , ηy0 = 0 , ψy (b) = 0 (3.3.28) ˙ ˙ Множество D[ν, µ]0 (l, b) не плотно в π-пространстве L2[ν, µ] (l, b) (rank Π[ν, µ] = r−µ ), и оператор L[ν, µ]0 — π-эрмитов: ˙ , z ∈D ˙ [L[ν, µ]0 y, z][ν, µ] = [y, L[ν, µ] z][ν, µ] , y ∈ D[ν, µ]0 (l, b) [ν, µ] (l, b) . ˙ ˙ ˙ ˙ Операторы сужений L [ν, µ] = L[ν, µ] |D[ν, µ] (l, b) и L[ν, µ]0 = ˙ определенные на множествах = L[ν, µ] |D˙ [ν, µ]0 (l, b), ( ) ˙ : y(x) = y (x)+y (x) ∈ D (l, b) 1 −1 [ν, µ] ˙ = D˙ [ν, µ] (l, b) , ηy0 sin β − 2µ(b − c)p0 (b)ψy (b) cos β = 0 (3.3.29) ( ) 0 ˙ ˙ y(x) ∈ D[ν, µ] (l, b) : y(l) = 0 , y (l) = 0 ˙ = D˙ [ν, µ]0 (l, b) ˙ (i = ±1) {y , z } = 0 ∀z ∈ D˙ (l, b) i

i c

i

[ν, µ]

(3.3.30)

3.3.6. Сингулярная точка внутри и на границе конечного интервала

249

(здесь β ∈ (−π/2, π/2)), являются в π-пространстве Π[ν, µ] взаимно π-сопряженными: ˙c ˙ ˙c ˙ ˙ ˙ L [ν, µ]0 = L[ν, µ] , L[ν, µ] = L[ν, µ]0 (L[ν, µ]0 ⊂ L[ν, µ]0 ⊂ L[ν, µ] ⊂ L[ν, µ] ) . ˙ плотно в Π ˙ Так как D˙ [ν, µ]0 (l, b) [ν, µ] , то оператор L[ν, µ]0 — πсимметрический в Π[ν, µ] . При этом индекс дефекта оператора ˙ L [ν, µ]0 равен (1, 1), поскольку только одно линейно независимое решение уравнения l(y) − λ y = 0 c λ 6= λ принадлежит мно˙ Действительно. Из четырех линейно незажеству D˙ [ν, µ] (l, b). (i)

(−i)

висимых решений u±ν, λ (x) и u±ν, λ (x) решений уравнения l(y)− (1)

(−1)

−λ y = 0 только линейная комбинация uν, λ (x)−uν, λ (x) удовле˙ творяет условию в (3.3.29), т. е. принадлежит D˙ [ν, µ] (l, b). 1.3.2. κ = µ. Определим оператор сужения L[ν, µ]0 = ˙ на множество = L[ν, µ] |D[ν, µ]0 (l, b)   ˙ :   y(x) = y1 (x) + y−1 (x) ∈ D[ν, µ] (l, b)     ˙ (i = ±1) , ˙ = {yi , zi }c = 0 ∀z ∈ D[ν, µ] (l, b) . D[ν, µ]0 (l, b)      y(l) = 0, y 0 (l) = 0, {y, z} = 0 ∀z ∈ D ˙  b [ν, µ] (l, b) (3.3.31) ˙ ˙ ≡ Здесь область D[ν, µ]0 (l, b) плотна в пространстве L2[ν, µ] (l, b) ≡ L2 (l, b) (rank Π[ν, µ] = 0), и оператор L[ν, µ]0 — симметрический: ˙ , z ∈D ˙ [L[ν, µ]0 y, z][ν, µ] = [y, L[ν, µ] z][ν, µ] , y ∈ D[ν, µ]0 (l, b) [ν, µ] (l, b) . При этом индекс дефекта оператора L[ν, µ]0 равен (1, 1) ввиду того, что имеется только одно линейно независимое решение (1) (−1) ˙ v(x) = uν, λ (x) − uν, λ (x), принадлежащее D˙ [ν, µ] (l, b). 2. Пусть ν > 1 (ν ∈ / Z), µ ∈ (0, 1). 2.1. σ1 = σ−1 = −ν. Описание этого случая повторяет пункт 1.1.1 (не теряя общности можно положить κ = −µ) с тем отличием, что здесь rank Π[ν, µ] = 2r−ν и β ∈ [−π/2, π/2).

250

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

2.2. σi = −σ−i = −ν. Описание этого случая повторяет пункт 1.2.1 (не теряя общности можно положить κ = −µ) с тем отличием, что здесь rank Π[ν, µ] = r−ν и β ∈ [−π/2, π/2). 3. Пусть ν ∈ (0, 1), µ > 1 (µ ∈ / Z). 3.1. κ = −µ. Описание этого случая повторяет пункт 1.1.1 (не теряя общности можно положить σ1 = σ−1 = −ν) с тем отличием, что здесь rank Π[ν, µ] = r−µ и α±1 ∈ [−π/2, π/2). 3.2. κ = µ. Описание этого случая повторяет пункт 1.1.2 (не теряя общности можно положить σ1 = σ−1 = −ν) с тем ˙ отличием, что здесь rank Π[ν, µ] = 0, β ∈ [−π/2, π/2), D[ν, µ]0 (l, b) ˙ ≡ L (l, b), оператор L плотно в пространстве L2[ν, µ] (l, b) 2 [ν, µ]0 — симметрический с def L[ν, µ]0 = 3. 4. Пусть ν, µ ∈ (0, 1). Описание этого случая повторяет пункт 1.1.1 (не теряя общности можно положить σ±1 = −ν, κ = −µ) с тем отличием, что здесь rank Π[ν, µ] = 0, α±1 , β ∈ ˙ плотно в пространстве L ˙ ∈ [−π/2, π/2), D[ν, µ]0 (l, b) 2[ν, µ] (l, b) ≡ ≡ L2 (l, b), оператор L[ν, µ]0 — симметрический с def L[ν, µ]0 = 4.

3.3.7. Оператор с сингулярной точкой в центре и двумя на границах конечного интервала I. Будем исходить из разложения (1.3.26) § 1.3.7 простран˙ (ν, µ ∈ R \ Z) и представления области ства Π[ν, µ] ≡ L2[ν, µ] (a, ˙ b) + определения (2.3.21) § 2.3.7   y(x) = y1 (x) + y−1 (x) :     −1/2 ˙ yi (x) = 2 Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) , D[ν, µ] (a, ˙ b) =     ˙ , i = ±1 y˜ (x) ∈ D (c, ˙ b) i

{σi , κi }

максимального оператора L[ν, µ] =

(1) L(σ , κ ) 1 1

˙ [+]

(−1) L(σ , κ ) , −1 −1 [ν, µ]

даемого дифференциальным выражением l(y) ≡ l ´ ³ l(y) = − (x − a)(b − x) p0 (x)y 0 0 +

(3.3.32) порож-

(y) (2.2.28) (3.3.33)

251

3.3.7. Сингулярная точка в центре и две на границах конечного интервала

µ ¶ ´ (b − a)2 ³ p0 (c) (ν 2 − 1/4) p0 (b) µ2 + + + q0 (x) y . 4 (x − c)2 (x − a)(b − x) ˙ замкнуОчевидно, построение в пространстве L2[ν, µ] (a, ˙ b) тых симметрических относительно метрики (1.3.27) операторов, порождаемых дифференциальным выражением (3.3.33), непосредственно связано с построением соответствующих замкнутых симметрических относительно метрики (1.2.21) опе˙ (см. § 3.2.4). раторов в L2{σ , κ } (c, ˙ b) i i 1. Пусть ν > 1, µ > 1 (ν, µ ∈ / Z). 1.1. σ1 = σ−1 = −ν. 1.1.1. κ1 = κ−1 = −µ. Область определения  y(x) = y1 (x) + y−1 (x) :   ˙ = yi (x) = 2−1/2 Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) , D[ν, µ]0 (a, ˙ b)   ˙ , i = ±1 y˜ (x) ∈ D (c, ˙ b) i

    

{σi , κi }0

(3.3.34) ˙ (где множество D{σ , κ }0 (c, ˙ b) дается соотношением (3.2.77)) i i ˙ не плотна в Π оператора L =L |D (a, ˙ b) . Оператор [ν, µ]0

[ν, µ]

[ν, µ]0

˙ ˙ (1) ˙ ˙ (−1) L [ν, µ] = L(−ν,−µ) [+] L(−ν,−µ)

[ν, µ]

˙ (L[ν, µ]0 ⊂ L [ν, µ] ⊂ L[ν, µ] )

с плотной в Π[ν, µ] (rank Π[ν, µ]= 2r−ν+2r−µ ) областью определения  y(x) = y1 (x) + y−1 (x) :   ˙ = yi (x) = 2−1/2 Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) , D˙ [ν, µ] (a, ˙ b)   ˙ , i = ±1 y˜ (x) ∈ D˙ (c, ˙ b) i

{σi , κi }

    

,

(3.3.35) ˙ ˙ где D{σ , κ } (c, ˙ b) (см. § 3.2.4, п. 1) дается соотношением (3.2.81), i i является π-самосопряженным (теорема 3.2.60): ˙ . [l(y), z][ν, µ] = [y, l(z)][ν, µ] , y, z ∈ D˙ [ν, µ] (a, ˙ b)

252

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

1.1.2. κj = −κ−j = −µ (j = 1 или −1). Плотно заданные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = 2r−ν + r−µ ) ˙ ˙ (j) ˙ ˙ (−j) L [ν, µ] = L(−ν,−µ) [+] L(−ν, µ) ,

˙ ˙ (j) ˙ ˙ (−j) L [ν, µ]0 = L(−ν,−µ) [+] L(−ν, µ)0

с областями определения соответственно (3.3.35) и  y(x) = y1 (x) + y−1 (x) :   ˙ = yi (x) = 2−1/2 Θi (x − c) y˜i (c + |x − c|) , D˙ [ν, µ]0 (a, ˙ b)   ˙ , i = ±1 y˜ (x) ∈ D˙ (c, ˙ b) i

    

,

{σi , κi }0

(3.3.36) ˙ ˙ ˙ ˙ где D{σ , κ }0 (c, ˙ b) ≡ D{σ , κ } (c, ˙ b) для i = j по-прежнему опредеi i i i ˙ и D˙ ˙ для ляется выражением (3.2.81), а D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i i = −j — соотношениями (3.2.85) и (3.2.91) ) ( ˙ : y˜i ∈ D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) i i ˙ = , D˙ {σi , κi }0 (c, ˙ b) ˙ {˜ yi , z˜i }b = 0 ∀˜ zi ∈ D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) i i (3.3.37) являются взаимно π-сопряженными в Π[ν, µ] : ˙c ˙ L [ν, µ]0 = L[ν, µ] ,

˙c = L ˙ L [ν, µ] [ν, µ]0 .

˙ Индекс дефекта π-симметрического в Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 ˙ ˙ равен (0, 0), т. к. def L{σ , κ }0 = 0 и def L{σ , κ }0 = 0. То есть j j −j −j ˙L ˙ [ν, µ]0 = L[ν, µ] — π-самосопряженный оператор (для i = −j: ˙ {˜ y , z˜ } = 0 ∀˜ y , z˜ ∈ D˙ (c, ˙ b)). i

i b

i

i

{σi , κi }

1.1.3. κ1 = κ−1 = µ. Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = 2r−ν ) ˙ ˙ (1) ˙ ˙ (−1) L [ν, µ] = L(−ν, µ) [+] L(−ν, µ) ,

˙ ˙ (1) ˙ ˙ (−1) L [ν, µ]0 = L(−ν, µ)0 [+] L(−ν, µ)0

определяются областями (3.3.35) и (3.3.36), в которых множе˙ и D˙ ˙ для i = ±1 даются выражества D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i ниями (3.2.85) и (3.3.37). Индекс дефекта π-симметрического ˙ ˙ оператора L равен (2, 2), т. к. def L = 1 (i = ±1). [ν, µ]0

{σi , κi }0

3.3.7. Сингулярная точка в центре и две на границах конечного интервала

253

1.2. σj = −σ−j = −ν (j = 1 или −1). 1.2.1. κj = κ−j = −µ. Плотно заданные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = r−ν + 2r−µ ) ˙ ˙ (j) ˙ ˙ (−j) L [ν, µ] = L(−ν,−µ) [+] L(ν,−µ) ,

˙ ˙ (j) ˙ ˙ (−j) L [ν, µ]0 = L(−ν, −µ) [+] L(ν,−µ)0 ,

˙ и D˙ ˙ даются выражедля которых области D˙ [ν, µ] (a, ˙ b) ˙ b) [ν, µ]0 (a, ˙ ≡ D˙ ˙ ниями (3.3.35) и (3.3.36), причем D˙ {σ , κ }0 (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi } (c, i i ˙ и D˙ ˙ для i = j определяется в (3.2.81), а D˙ (c, ˙ b) (c, ˙ b) {σi , κi }

{σi , κi }0

для i = −j — соотношениями (3.2.95) и (см. § 3.2.4, п. 3) ( ) ˙ : y˜i ∈ D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) i i ˙ = D˙ {σi , κi }0 (c, ˙ b) , ˙ {˜ yi , z˜i }c = 0 ∀zi ∈ D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) i i (3.3.38) являются взаимно π-сопряженными в Π[ν, µ] : ˙c ˙ L [ν, µ]0 = L[ν, µ] ,

˙c = L ˙ L [ν, µ] [ν, µ]0 .

˙ Индекс дефекта π-симметрического в Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 ˙ ˙ равен (0, 0), т. к. def L{σ , κ }0 = 0 и def L{σ , κ }0 = 0. То есть j j −j −j ˙ ˙ L = L — π-самосопряженный оператор (для i = −j: [ν, µ]0 [ν, µ] ˙ {˜ y , z˜ } = 0 ∀˜ y , z˜ ∈ D˙ (c, ˙ b)). i

i c

i

i

{σi , κi }

1.2.2. κj = −κ−j = −µ. Плотно заданные взаимно πсопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = r−ν + r−µ ) ˙ ˙ (j) ˙ (−j) L [ν, µ] = L(−ν,−µ) [+] L(ν, µ) ,

˙ ˙ (j) ˙ (−j) L [ν, µ]0 = L(−ν,−µ) [+] L(ν, µ)0

определяются областями (3.3.35) и (3.3.36), в которых, одна˙ и D˙ ˙ следует ко, для i = −j вместо D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i ˙ и D ˙ соответиметь ввиду множества D (c, ˙ b) (c, ˙ b) {σi , κi }

{σi , κi }0

ственно (см. § 3.2.4, п. 4.4). Индекс дефекта π-симметрического ˙ ˙ в Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 равен (0, 0), т. к. def L{σ , κ }0 = 0 и j

j

254

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

˙ ˙ = 0, т. е. L [ν, µ]0 = L[ν, µ] — π-самосопряженный опе˙ ратор (для i = −j: {˜ y , z˜ } = {˜ y , z˜ } = 0 ∀˜ y , z˜ ∈ D (c, ˙ b)). def L{σ

−j , κ−j }0

i

i c

i

i b

i

i

{σi , κi }

1.2.3. κj = −κ−j = µ. Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = r−ν + r−µ ) ˙ ˙ (j) ˙ ˙ (−j) L [ν, µ] = L(−ν, µ) [+] L(ν,−µ) ,

˙ ˙ (j) ˙ ˙ (−j) L [ν, µ]0 = L(−ν, µ)0 [+] L(ν,−µ)0

определяются областями (3.3.35) и (3.3.36), в которых области ˙ и D˙ ˙ определяются для i = j выражеD˙ {σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i ниями (3.2.85) и (3.3.37), а для i = −j выражениями (3.2.95) и (3.3.38). Индекс дефекта π-симметрического в Π[ν, µ] оператора ˙ ˙ ˙ L [ν, µ]0 равен (0, 0), т. к. def L{σj , κj }0 = 0 и def L{σ−j , κ−j }0 = 0. То ˙ ˙ есть L [ν, µ]0 = L[ν, µ] — π-самосопряженный оператор (для i = j : ˙ {˜ y , z˜ } = 0 ∀˜ y , z˜ ∈ D (c, ˙ b)); для i = −j: {˜ y , z˜ } = 0 i

i b

i

i

i

{σi , κi }

i c

˙ ∀˜ yi , z˜i ∈ D{σ , κ } (c, ˙ b)). i i 1.2.4. κj = κ−j = µ. Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = r−ν ) ˙ ˙ (j) ˙ (−j) L [ν, µ] = L(−ν, µ) [+] L(ν, µ) ,

˙ ˙ (j) ˙ (−j) L [ν, µ]0 = L(−ν, µ)0 [+] L(ν, µ)0

определяются областями (3.3.35) и (3.3.36), в которых множе˙ и D˙ ˙ определяются для i = j выства D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i ˙ ражениями (3.2.85) и (3.3.37), а для i = −j вместо D˙ (c, ˙ b) {σi , κi }

˙ следует иметь ввиду множства D ˙ и и D˙ {σ , κ }0 (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi } (c, i i ˙ соответственно. Индекс дефекта π-симметричесD (c, ˙ b) {σi , κi }0

˙ ˙ кого в Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 равен (0, 0), т. к. def L{σj , κj }0 = 0 и ˙ ˙ def L{σ , κ }0 = 0. То есть L [ν, µ]0 = L[ν, µ] — π-самосопряженный −j −j ˙ для оператор (для i = j: {˜ y , z˜ } = 0 ∀˜ y , z˜ ∈ D (c, ˙ b); i

i b

i

i

{σi , κi }

˙ i = −j: {˜ yi , z˜i }c = {˜ yi , z˜i }b = 0 ∀˜ yi , z˜i ∈ D{σ , κ } (c, ˙ b)). i i 1.3. σ1 = σ−1 = ν.

3.3.7. Сингулярная точка в центре и две на границах конечного интервала

255

1.3.1. κ1 = κ−1 = −µ. Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = 2r−µ ) ˙ ˙ (1) ˙ ˙ (−1) L [ν, µ] = L(ν,−µ) [+] L(ν,−µ) ,

˙ ˙ (1) ˙ ˙ (−1) L [ν, µ]0 = L(ν,−µ)0 [+] L(ν,−µ)0

определяются областями (3.3.35) и (3.3.36), в которых множе˙ и D˙ ˙ для i = ±1 даются выражества D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i ниями (3.2.95) и (3.3.38). Индекс дефекта π-симметрического ˙ ˙ оператора L [ν, µ]0 равен (0, 0), т. к. def L{σi , κi }0 = 0 (i = ±1). ˙ ˙ То есть L [ν, µ]0 = L[ν, µ] — π-самосопряженный оператор (для ˙ (i = ±1). {˜ y , z˜ } = 0 ∀˜ y , z˜ ∈ D (c, ˙ b), i

i c

i

i

{σi , κi }

1.3.2. κj = −κ−j = −µ (j = 1 или −1). Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = r−µ ) ˙ [ν, µ] = L ˙ (j) ˙ (−j) L (ν,−µ) [+] L(ν, µ) ,

˙ [ν, µ]0 = L ˙ (j) ˙ (−j) L (ν,−µ)0 [+] L(ν, µ)0

определяются областями (3.3.35) и (3.3.36), в которых множе˙ и D˙ ˙ даются для i = j выражества D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i ˙ и ниями (3.2.95) и (3.3.38), а для i = −j вместо D˙ (c, ˙ b) {σi , κi }

˙ следует иметь ввиду множества D ˙ и D˙ {σ , κ }0 (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi } (c, i i ˙ соответственно. Индекс дефекта π-симметричесD (c, ˙ b) {σi , κi }0

˙ ˙ кого в Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 равен (0, 0), т. к. def L{σj , κj }0 = 0 и ˙ ˙ def L{σ , κ }0 = 0. То есть L [ν, µ]0 = L[ν, µ] — π-самосопряженный −j −j ˙ для оператор (для i = j: {˜ y , z˜ } = 0 ∀˜ y , z˜ ∈ D (c, ˙ b); i

i c

i

i

{σi , κi }

˙ i = −j: {˜ yi , z˜i }c = {˜ yi , z˜i }b = 0 ∀˜ yi , z˜i ∈ D{σ , κ } (c, ˙ b)). i i 1.3.3. κ1 = κ−1 = µ. Плотно заданные взаимно сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = 0) (1) ˙ L(−1) L[ν, µ] = L(ν, µ) (+) (ν, µ) ,

(1) ˙ L(−1) L[ν, µ]0 = L(ν, µ)0 (+) (ν, µ)0

определяются областями (3.3.32) и (3.3.34) соответственно. Индекс дефекта симметрического в Π[ν, µ] оператора L[ν, µ]0 равен

256

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

(0, 0), т. к. def L{σ , κ }0 = 0 (i = ±1). То есть L[ν, µ]0 = L[ν, µ] — саi i мосопряженный оператор (для i = ±1: {˜ yi , z˜i }c = {˜ yi , z˜i }b = 0 ˙ ∀˜ y , z˜ ∈ D (c, ˙ b)). i

i

{σi , κi }

2. Пусть 0 < ν < 1 (σ1 = σ−1 = −ν), µ > 1 (µ 6= Z). 2.1. κ1 = κ−1 = −µ. Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = 2r−µ ) ˙ [ν, µ] = L ˙ (1) ˙ ˙ (−1) L (−ν,−µ) [+] L(−ν,−µ) ,

˙ [ν, µ]0 = L ˙ (1) ˙ ˙ (−1) L (−ν,−µ)0 [+] L(−ν,−µ)0

определяются областями (3.3.35) и (3.3.36), в которых множе˙ и D˙ ˙ для i = ±1 определяются соства D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i отношениями (3.2.95) и (см. § 3.2.4, п. 3.1) n o ˙ : ξ 0 = 0 , ϕ (c) = 0 . ˙ = y˜i ∈ D˙ ( c, ˙ b) D˙ {σ , κ }0 (c, ˙ b) y˜i y˜i {σ , κ } i

i

i

i

(3.3.39) ˙ оператора L [ν, µ]0

Индекс дефекта π-симметрического в Π[ν, µ] ˙ равен (2, 2), т. к. def L {σi , κi }0 = 1 (i = ±1). 2.2. κj = −κ−j = −µ (j = 1 или −1). Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = r−µ ) ˙ ˙ (j) ˙ (−j) L [ν, µ] = L(−ν,−µ) [+] L(−ν, µ) ,

˙ ˙ (j) ˙ (−j) L [ν, µ]0 = L(−ν,−µ)0 [+] L(−ν, µ)0

определяются областями (3.3.35) и (3.3.36), в которых множе˙ и D˙ ˙ для i = j даются соотноства D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i ˙ шениями (3.2.95) и (3.3.39), а для i = −j вместо D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) i i ˙ нужно иметь ввиду множества соответственно и D˙ (c, ˙ b) {σi , κi }0

˙ из (3.2.72) и D{σ , κ } (c, ˙ b) i

i

( ˙ = D{σi , κi }0 (c, ˙ b)

˙ : ξ 0 = 0 , ϕ (c) = 0 , y˜i ∈ D{σ , κ } (c, ˙ b) y˜i y˜i i i ˙ {˜ y , z˜ } = 0 ∀z ∈ D (c, ˙ b) i

i b

i

{σi , κi }

) .

(3.3.40)

3.3.7. Сингулярная точка в центре и две на границах конечного интервала

257

˙ Индекс дефекта π-симметрического в Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 ˙ равен (2, 2), т. к. def L{σ , κ }0 = 1 и def L{σ , κ }0 = 1. j j −j −j 2.3. κ1 = κ−1 = µ. Плотно заданные взаимно сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = 0) (1) ˙ L(−1) L[ν, µ] = L(−ν, µ) (+) (−ν, µ) ,

(1) ˙ L(−1) L[ν, µ]0 = L(−ν, µ)0 (+) (−ν, µ)0

определяются областями (3.3.32) и (3.3.34), в которых множе˙ иD ˙ для i = ±1 даются выражениства D{σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i ями (3.2.72) и (3.3.40). Индекс дефекта симметрического в Π[ν, µ] оператора L[ν, µ]0 равен (2, 2), т. к. def L{σ , κ }0 = 1 (i = ±1). i i 3. ν > 1 (ν 6= Z), 0 < µ < 1 (κ1 = κ−1 = −µ). 3.1. σ1 = σ−1 = −ν. Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = 2r−ν ) ˙ [ν, µ] = L ˙ (1) ˙ ˙ (−1) L (−ν,−µ) [+] L(−ν,−µ) ,

˙ [ν, µ]0 = L ˙ (1) ˙ ˙ (−1) L (−ν,−µ)0 [+] L(−ν,−µ)0

определяются областями (3.3.35) и (3.3.36), в которых множе˙ и D˙ ˙ для i = ±1 даются соотношества D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i ниями (3.2.85) и (см. § 3.2.4, п. 2.1) o n ˙ : η 0 = 0 , ψ (b) = 0 . ˙ = y˜i ∈ D˙ ( c, ˙ b) D˙ {σ , κ }0 (c, ˙ b) y˜i y˜i {σ , κ } i

i

i

i

(3.3.41) ˙ Индекс дефекта π-симметрического в Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 ˙ равен (2, 2), т. к. def L{σ , κ }0 = 1 (i = ±1). i i 3.2. σj = −σ−j = −ν (j = 1 или −1). Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = r−ν ) ˙ ˙ (j) ˙ (−j) L [ν, µ] = L(−ν,−µ) [+] L(ν,−µ) ,

˙ ˙ (j) ˙ (−j) L [ν, µ]0 = L(−ν,−µ)0 [+] L(ν,−µ)0

определяются областями (3.3.35) и (3.3.36), в которых для i = j ˙ и D˙ ˙ даются соотношениями множества D˙ {σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i ˙ (3.2.85) и (3.3.41), а для i = −j вместо множеств D˙ (c, ˙ b) {σi , κi }

258

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

˙ следует иметь ввиду множества соответственно и D˙ {σ , κ }0 (c, ˙ b) i i ˙ из (3.2.72) и (см. § 3.2.4, п. 4.3) D (c, ˙ b) {σi , κi }

( ˙ = D{σi , κi }0 (c, ˙ b)

˙ : η 0 = 0 , ψ (b) = 0 , y˜i ∈ D{σ , κ } (c, ˙ b) y˜i y˜i i i ˙ {˜ y , z˜ } = 0 ∀z ∈ D (c, ˙ b) i

i c

i

) .

{σi , κi }

(3.3.42) ˙ Индекс дефекта π-симметрического в Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 ˙ равен (2, 2), т. к. def L{σ , κ }0 = 1 и def L{σ , κ }0 = 1. j j −j −j 3.3. σ1 = σ−1 = ν. Плотно заданные взаимно сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = 0) (1) ˙ L(−1) L[ν, µ] = L(ν,−µ) (+) (ν,−µ) ,

(1) ˙ L(−1) L[ν, µ]0 = L(ν,−µ)0 (+) (ν,−µ)0

определяются областями (3.3.32) и (3.3.34), в которых множе˙ иD ˙ для i = ±1 даются в (3.2.72) и ства D{σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i (3.3.42). Индекс дефекта π-симметрического в Π[ν, µ] оператора ˙ L [ν, µ]0 равен (2, 2), т. к. def L{σi , κi }0 = 1 (i = ±1). 4. 0 < ν < 1, 0 < µ < 1 (σ1 = σ−1 = −ν, κ1 = κ−1 = −µ). Плотно заданные взаимно сопряженные в пространстве Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = 0) (1) ˙ L(−1) L[ν, µ] = L(−ν,−µ) (+) (−ν,−µ) ,

(1) ˙ L(−1) L[ν, µ]0 = L(−ν,−µ)0 (+) (−ν,−µ)0

определяются областями (3.3.32) и (3.3.34), в которых множе˙ иD ˙ для i = ±1 даются в (3.2.72) и ства D{σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i в (3.2.77) (с σ, κ ∈ (0, 1)). Индекс дефекта симметрического в ˙ Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 равен (4, 4), т. к. def L{σi , κi }0 = 2 (i = ±1). 0 I . Если исходить из разложения (1.3.28) пространства ˙ и соответствующего представления (2.3.23) облаL2[ν, µ] (a, ˙ b) сти определения максимального оператора L[ν, µ] , то нетрудно описать в зависимости от значений параметров σi и κi (i = = ±1) всевозможные варианты его симметрических сужений

3.3.7. Сингулярная точка в центре и две на границах конечного интервала

259

˙ по типу 1 . . . 4 предыдущего пункта I, принимая в L2[ν, µ] (a, ˙ b) во внимание симметрические сужения соответствующих мак˙ симальных операторов L{σ , κ } в пространствах L2{σ , κ } (c, ˙ b). i i i i II. Опишем симметрические сужения максимального опе˙ (2.3.25) ратора L[ν, µ] (2.3.24) с областью определения D[ν, µ] (a, ˙ b) ˙ =D ˙ [+] ˙ , ˙ D(ν, κ ) (a, D[ν, µ] (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b) (−ν, κ1 ) (a, −1

(3.3.43)

n o ˙ ˙ где D(σi , κi ) (a, ˙ b) = yσi (x) = W(σi ) y˜σi (x), y˜σi (x) ∈ D{σi , κi } (c, ˙ b) , (3.3.44) ˙ в пространстве L2[ν, µ] (a, ˙ b), введенном в § 1.2.4 выражением (1.3.30), принимая в расчет результаты § 3.2.4. 1. Пусть ν > 1, µ > 1, ν, µ ∈ / Z (σ1 = −σ−1 = −ν). 1.1. κ1 = κ−1 = −µ. Плотно заданные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = r−ν + 2r−µ ) ˙ ˙ ˙ ˙ L [ν, µ] = L(−ν,−µ) [+] L(ν,−µ) ,

˙ ˙ ˙ ˙ L [ν, µ]0 = L(−ν,−µ) [+] L(ν,−µ)0

задаются областями ˙ = D˙ ˙ [+] ˙ , ˙ D˙ (ν, κ ) (a, D˙ [ν, µ] (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b) (−ν, κ1 ) (a, −1

(3.3.45)

˙ = D˙ ˙ [+] ˙ , ˙ D˙ (ν, κ )0 (a, D˙ [ν, µ]0 (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b) (−ν, κ1 )0 (a, −1

(3.3.46)

где σ1 = −ν, σ−1 = ν, κ1 = −µ, κ−1 = −µ и o n ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ b) , D(σi , κi ) (a, ˙ b) = yσi (x) = W(σi ) y˜σi (x), y˜σi (x) ∈ D{σi , κi } (c, (3.3.47) o n ˙ , ˙ ˙ ˙ ˙ b) D(σi , κi )0 (a, ˙ b) = yσi (x) = W(σi ) y˜σi (x), y˜σi (x) ∈ D{σi , κi }0 (c, ˙ ≡ D˙ ˙ определяется в (3.2.81), причем D˙ {−ν,−µ}0 (c, ˙ b) ˙ b) {−ν,−µ} (c, ˙ и D˙ ˙ ≡ D˙ ˙ — соотношениями а D˙ {ν,−µ} (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) {ν,−µ}0 (c, {ν,−µ} (c, (3.2.95) и (3.3.38). Индекс дефекта π-симметрического в Π[ν, µ] ˙ оператора L [ν, µ]0 равен (0, 0) (см. пункт I. 1.2.1).

260

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

1.2. κ1 = −κ−1 = −µ. Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = r−ν + r−µ ) ˙ ˙ ˙ L [ν, µ] = L(−ν,−µ) [+] L(ν, µ) ,

˙ ˙ ˙ L [ν, µ]0 = L(−ν,−µ) [+] L(ν, µ)0 ,

определяются областями ˙ = D˙ ˙ [+] ˙ , ˙ D(ν, κ ) (a, D˙ [ν, µ] (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b) (−ν, κ1 ) (a, −1

(3.3.48)

˙ = D˙ ˙ [+] ˙ , ˙ D(ν, κ )0 (a, D˙ [ν, µ]0 (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b) (−ν, κ1 )0 (a, −1

(3.3.49)

˙ ≡ D˙ ˙ определягде κ1 = −µ, κ−1 = µ и D˙ (−ν,−µ) (a, ˙ b) ˙ b) (−ν,−µ)0 (a, ˙ ≡D ˙ ется в (3.3.47) и (3.2.81), а множество D(ν, µ) (a, ˙ b) ˙ b) (ν, µ)0 (a, приведено в (3.3.44), (3.2.72), (3.2.77). Индекс дефекта π-симме˙ трического оператора L [ν, µ]0 равен (0, 0) (см. пункт I. 1.2.2). 1.3. κ1 = −κ−1 = µ. Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = r−ν + r−µ ) ˙ ˙ ˙ ˙ L [ν, µ] = L(−ν, µ) [+] L(ν,−µ) ,

˙ ˙ ˙ ˙ L [ν, µ]0 = L(−ν, µ) [+] L(ν,−µ)0

определяются областями (3.3.45) и (3.3.46), в которых множе˙ ≡ D˙ ˙ определяются выражениями ства D˙ {−ν, µ} (c, ˙ b) ˙ b) {−ν, µ}0 (c, ˙ ≡ D˙ ˙ выражениями (3.2.85) и (3.3.37), а D˙ {ν,−µ} (c, ˙ b) ˙ b) {ν,−µ}0 (c, (3.2.95) и (3.3.38). Индекс дефекта π-симметрического в Π[ν, µ] ˙ оператора L [ν, µ]0 равен (0, 0) (см. пункт I. 1.2.3). 1.4. κj = κ−j = µ. Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = r−ν ) ˙ ˙ ˙ L [ν, µ] = L(−ν, µ) [+] L(ν, µ) ,

˙ ˙ ˙ L [ν, µ]0 = L(−ν, µ) [+] L(ν, µ)0

определяются областями (3.3.48) и (3.3.49), в которых множе˙ ≡ D˙ ˙ определяются выраженияства D˙ {−ν, µ} (c, ˙ b) ˙ b) {−ν, µ}0 (c, ˙ ≡ D ˙ ми (3.2.85) и (3.3.37), а множества D{ν, µ} (c, ˙ b) ˙ b) {ν, µ}0 (c,

261

3.3.7. Сингулярная точка в центре и две на границах конечного интервала

— выражениями (3.3.44), (3.2.72), (3.2.77). Индекс дефекта π˙ ˙ симметрического в Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 ≡ L[ν, µ] равен (0, 0) (см. пункт I. 1.2.4). 2. Пусть 0 < ν < 1 (σ1 = −σ−1 = −ν), µ > 1 (µ 6= Z). 2.1. κ1 = κ−1 = −µ. Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = 2r−µ ) ˙ [ν, µ] = L ˙ (−ν,−µ) [+] ˙ (ν,−µ) , ˙ L L

˙ [ν, µ]0 = L ˙ (−ν,−µ) [+] ˙ (ν,−µ)0 ˙ L L

определяются областями (3.3.45), (3.3.46) и (3.3.47), в кото˙ ≡ D˙ ˙ и D˙ ˙ ≡ рых множества D˙ {−ν,−µ} (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) {ν,−µ} (c, {−ν,−µ}0 (c, ˙ определяются соотношениями (3.2.95) и (3.3.39). ≡ D˙ {ν,−µ}0 (c, ˙ b) ˙ Индекс дефекта π-симметрического в Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 равен (2, 2) (см. пункт I. 2.1). 2.2. κ1 = −κ−1 = −µ. Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = r−µ ) ˙ ˙ ˙ L [ν, µ] = L(−ν,−µ) [+] L(ν, µ) ,

˙ ˙ ˙ L [ν, µ]0 = L(−ν,−µ)0 [+] L(ν, µ)0

определяются областями (3.3.48) и (3.3.49), в которых множе˙ ≡ D˙ ˙ и D˙ ˙ ≡ D˙ ˙ ства D˙ {−ν,−µ} (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) ˙ b) {ν,−µ} (c, {−ν,−µ}0 (c, {ν,−µ}0 (c, ˙ ≡D ˙ определяются в (3.3.47), а множества D{ν, µ} (c, ˙ b) ˙ b) {−ν, µ} (c, ˙ ≡D ˙ определяются в (3.2.72) и (3.2.77) и D{ν, µ}0 (c, ˙ b) ˙ b) {−ν, µ}0 (c, (с 0 < ν < 1 и µ > 1). Индекс дефекта π-симметрического в ˙ Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 равен (2, 2) (см. пункт I. 2.2). 2.3. κ1 = −κ−1 = µ. Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = r−µ ) ˙ ˙ ˙ L [ν, µ] = L(−ν, µ) [+] L(ν,−µ) ,

˙ ˙ ˙ L [ν, µ]0 = L(−ν, µ)0 [+] L(ν,−µ)0

определяются областями ˙ =D ˙ [+] ˙ , ˙ D˙ (ν, κ ) (a, D˙ [ν, µ] (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b) (−ν, κ1 ) (a, −1

(3.3.50)

262

3.3. Дифференциальные операторы второго класса B

˙ =D ˙ [+] ˙ , ˙ D˙ (ν, κ )0 (a, D˙ [ν, µ]0 (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b) (−ν, κ1 )0 (a, −1

(3.3.51)

˙ ≡D ˙ (3.3.44), (3.3.53), в которых области D{ν, µ} (c, ˙ b) ˙ b) {−ν, µ} (c, ˙ ≡D ˙ даются в (3.2.72) и (3.3.40) (0 < и D{ν, µ}0 (c, ˙ b) ˙ b) {−ν, µ}0 (c, ˙ ≡ D˙ ˙ = D˙ ˙ ≡ < ν < 1, µ > 1), а D˙ {ν,−µ} (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) {−ν,−µ} (c, {ν,−µ}0 (c, ˙ определяются в (3.2.81). Индекс дефекта π≡ D˙ {−ν,−µ}0 (c, ˙ b) ˙ симметрического в пространстве Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 равен (2, 2) (см. пункт I. 2.2). 2.4. κ1 = κ−1 = µ. Плотно заданные взаимно сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = 0) ˙ L(ν, µ) , L[ν, µ] = L(−ν, µ) (+)

˙ L(ν, µ)0 L[ν, µ]0 = L(ν, µ)0 (+)

определенные множествами (3.3.43) и (3.3.44) и ˙ =D ˙ (+) ˙ , ˙ D(ν, κ )0 (a, D[ν, µ]0 (a, ˙ b) ˙ b) ˙ b) (−ν, κ1 )0 (a, −1

(3.3.52)

o n ˙ , ˙ = y (x) = W y˜ (x), y˜ (x) ∈ D ( c, ˙ b) D(σi , κi )0 (a, ˙ b) {σi , κi }0 σi (σi ) σi σi (3.3.53) ˙ ˙ ˙ ˙ где D{−ν, µ} (c, ˙ b) ≡ D{ν, µ} (c, ˙ b) и D{−ν, µ}0 (c, ˙ b) ≡ D{ν, µ}0 (c, ˙ b) даются выражениями (3.2.72) и (3.3.40). Индекс дефекта симметрического оператора L[ν, µ]0 равен (2, 2) (см. пункт I. 2.3). 3. ν > 1 (ν ∈ / Z, σ1 = −σ−1 = −ν), 0 < µ < 1 (κ1 = κ−1 = −µ). Плотно заданные взаимно π-сопряженные в Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = r−ν ) ˙ [ν, µ] = L ˙ (−ν,−µ) [+] ˙ L(ν,−µ) , L

˙ [ν, µ]0 = L ˙ (−ν,−µ)0 [+] ˙ L(ν,−µ)0 L

определяются областями (3.3.48) и (3.3.49), в которых множе˙ и D˙ ˙ даются в (3.2.85) и (3.3.41), ства D˙ {−ν,−µ} (c, ˙ b) ˙ b) {−ν,−µ}0 (c, ˙ иD ˙ определены в (3.2.72) и (3.3.42). а D{ν,−µ} (c, ˙ b) ˙ b) {ν,−µ}0 (c, ˙ Индекс дефекта π-симметрического в Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 ˙ равен (2, 2), т. к. def L = 1, i = ±1 (см. пункт I. 3.2). {σ , κ }0 i

i

3.3.7. Сингулярная точка в центре и две на границах конечного интервала

263

4. 0 < ν < 1, 0 < µ < 1 (σ1 = −σ−1 = −ν, κ1 = κ−1 = −µ). Плотно заданные взаимно сопряженные в пространстве Π[ν, µ] операторы (rank Π[ν, µ] = 0) (1)

(−1)

˙ L(ν,−µ) , L[ν, µ] = L(−ν,−µ) (+)

(1)

(−1)

˙ L(ν,−µ)0 L[ν, µ]0 = L(−ν,−µ)0 (+)

определяются областями (3.3.32) и (3.3.34), в которых множе˙ иD ˙ для i = ±1 даются в (3.2.72) ства D{σ , κ } (c, ˙ b) ˙ b) {σi , κi }0 (c, i i и в (3.2.77) (с σ, κ ∈ (0, 1)). Индекс дефекта симметрического ˙ в Π[ν, µ] оператора L [ν, µ]0 равен (4, 4) (см. пункт I. 4).

Глава 4. Самосопряженные расширения операторов первого класса В этой главе исследуются π-самосопряженные расширения сингулярных π-симметрических операторов Штурма— Лиувилля (§ 3.1), действующих в π-пространствах первого класса (§ 1.1), в которых регуляризация критических точек, располагающихся только на границе интервала, осуществляется с помощью регуляризующих множителей, в общем случае не обладающих свойством симметрии.

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала Исследуем π-самосопряженные расширения π-симметри˙ ческих операторов Штурма—Лиувилля первого класса L hσi0 с одной критической точкой на границе конечного интервала, рассмотренных в § 3.1.1, порождаемых в π-пространстве

265

4.1.1. Расширение оператора

Πhσi = L2hσi (c, ˙ b) (§ 1.1.1) с π-метрикой Z [y, z]hσi = lim

α→+0

где

b c

hσi

y(x) z(x) τα (x) dx (σ ∈ R \ Z) ,

p hσi τα (x) = Rσ ( (x − c)/α ) , т. е. ³ ´ p cos (2σ + 1) arctg (x − c)/α hσi τα (x) = ¡ ¢−σ−1/2 при σ < −1 , − sin πσ 1 + α/(x − c) hσi

τα (x) = 1 при σ > −1, дифференциальным выражением (§ 2.1.1) µ ¶ ³ ´ p0 (c) σ 2 0 0 + q0 (x) y , l(y) = − (x − c)p0 (x) y + 4(x − c)

(4.1.1)

где p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [c, b]. Напомним, что сингулярная точка x = c является квазирегулярной при σ < 1, критической при σ < −1, существенно сингулярной при σ > 1.

4.1.1. Расширение оператора 1. Пусть σ < −1 (σ ∈ / Z). В этом случае rank Πhσi = rσ > 0 и ˙ индекс дефекта π-симметрического оператора L hσi0 равен (1, 1). Теорема 4.1.1. Линейное многообразие Dhσi (c, ˙ b) в Πhσi тогда и только тогда является областью определения некоторого ˙ π-самосопряженного в Πhσi расширения Λhσi оператора L hσi0 , когда Dhσi (c, ˙ b) удовлетворяет следующим условиям : (1) D˙ hσi0 (c, ˙ b) ⊂ Dhσi (c, ˙ b) ⊂ D˙ hσi (c, ˙ b) ; (2) для любых функций y, z ∈ Dhσi (c, ˙ b) имеем {y, z}b = 0; (3) всякая функция z ∈ D˙ hσi (c, ˙ b), удовлетворяющая условию {y, z}b = 0 для всех y ∈ Dhσi (c, ˙ b), принадлежит Dhσi (c, ˙ b).

266

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

Доказательство. Пусть Dhσi (c, ˙ b) — область определения π-самосопряженного в Πhσi расширения Λhσi . Необходимость условия (1) очевидна. Так как для y, z ∈ Dhσi (c, ˙ b) имеем [l(y), z]hσi = = [y, l(z)]hσi , то условие (2) также необходимо. Поскольку для z ∈ D˙ hσi (c, ˙ b) и всех y ∈ Dhσi (c, ˙ b) согласно {y, z}b = 0 имеем ˙ z] , то z ∈ D c (c, [Λhσi y, z]hσi = [y, L hσi ˙ b), т. е. условие (3) тоже hσi hσi должно выполняться. Докажем достаточность этих условий. Согласно требованию (1), множество Dhσi (c, ˙ b) плотно в Πhσi . ˙ ˙ Обозначим через Λhσi сужение оператора L ˙ b) на hσi с D hσi (c, Dhσi (c, ˙ b). Пусть y, z ∈ Dhσi (c, ˙ b). Тогда из условия (2) следует [Λhσi y, z]hσi = [y, Λhσi z]hσi , т. е. оператор Λhσi — π-симметрический в Πhσi . Пусть выполняется условие (3), означающее, что если для z ∈ D˙ hσi (c, ˙ b) и всех y ∈ Dhσi (c, ˙ b) выполняется ра˙ z] ), венство [l(y), z]hσi = [y, l(z)]hσi (т. е. [Λhσi y, z]hσi = [y, L hσi hσi c что означает z ∈ Dhσi (c, ˙ b), то z ∈ Dhσi (c, ˙ b). Отсюда следует c Dhσi (c, ˙ b) = Dhσi (c, ˙ b), т. е. Λchσi = Λhσi . ¤ В соответствии с теоремой 7.2.8, является очевидной следующая Теорема 4.1.2. Всякое π-самосопряженное расширение Λhσi ˙ оператора L hσi0 описывается следующим образом. Область определения Dhσi (c, ˙ b) оператора Λhσi есть совокупность всех функций вида y = y0 + Cψ, где y0 ∈ D˙ hσi0 (c, ˙ b), — комплексное число (|C| < ∞), а функция ψ = {u˙ λ + ξ u˙ λ (|ξ| = 1), если u˙ λ не нейтральный элемент; v˙ λ + η v˙ λ (|η| = 1), если u˙ λ — нейтральный элемент}. При этом ˙ Λhσi y = L hσi0 y0 + C Λhσi ψ , Λhσi (u˙ λ + ξ u˙ λ ) = λ u˙ λ + ξλ u˙ λ , Λhσi (v˙ λ + η v˙ λ ) = λ v˙ λ + ηλ v˙ λ . Обратно, заданная таким образом область определения Dhσi (c, ˙ b) и правило действия определяют некоторое π-самосо˙ пряженное расширение Λhσi оператора L ˙ b). hσi0 (c,

4.1.1. Расширение оператора

267

Здесь u˙ λ — решение уравнения l(y)−λ y = 0 из D˙ hσi (c, ˙ b), а v˙ λ — нейтральный элемент, удовлетворяющий условию кососвязанности с нейтральным элементом u˙ λ : [v˙ λ , u˙ λ ]hσi = 1 . Теорема 4.1.3. Область определения Dhσi (c, ˙ b) π-самосопряженного оператора Λhσi есть совокупность всех функций y ∈ ∈ D˙ hσi (c, ˙ b), удовлетворяющих условию {y, ψ}b = 0, где ψ определяется теоремой 4.1.2. Доказательство. Пусть y ∈ Dhσi (c, ˙ b). Так как согласно теореме 4.1.2 ψ ∈ Dhσi (c, ˙ b), то [Λhσi y, ψ]hσi = [y, Λhσi ψ]hσi или ˙ y, ψ] ˙ [L hσi hσi = [y, Lhσi ψ]hσi . Следовательно, {y, ψ}b = 0. Обратно, пусть z из D˙ hσi (c, ˙ b) удовлетворяет условию {z, ψ}b = 0. Так как всякий элемент y из Dhσi (c, ˙ b) может быть представлен ˙ суммой y = y0 + Cψ, где y0 ∈ Dhσi0 (c, ˙ b) (при этом {z, y0 }b = 0), то, очевидно, {z, y}b = 0. Но тогда согласно теореме 4.1.1 z ∈ ∈ Dhσi (c, ˙ b). ¤ Теорема 4.1.4. Область определения Dhσi (c, ˙ b) всякого π-са˙ мосопряженного расширения Λhσi оператора L hσi0 есть совокупность всех элементов y ∈ D˙ hσi (c, ˙ b), удовлетворяющих условию {y, w}b = 0, где w — некоторый элемент из D˙ hσi (c, ˙ b), ˙ не принадлежащий Dhσi0 (c, ˙ b), такой, что {w, w}b = 0. Обратно, совокупность всех элементов y ∈ D˙ hσi (c, ˙ b), удовлетворяющих условию {y, w}b = 0 для произвольного элемента w из D˙ hσi (c, ˙ b), не принадлежащего множеству D˙ hσi0 (c, ˙ b) и подчиненного условию {w, w}b = 0, дает область определения Dhσi (c, ˙ b) некоторого π-самосопряженного в Πhσi расширения ˙ Λhσi оператора L hσi0 . Доказательство. Из теоремы 4.1.2 следует, что размерность области Dhσi (c, ˙ b) по модулю D˙ hσi0 (c, ˙ b) равна dim Dhσi (c, ˙ b)| mod D˙ hσi0 (c, ˙ b) = 1 .

268

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

Следовательно, в Dhσi (c, ˙ b) существует один линейно независи˙ мый по модулю Dhσi0 (c, ˙ b) элемент w (например, ψ). Рассуждая так же, как в теореме 4.1.3, получаем, что Dhσi (c, ˙ b) состоит из ˙ всех элементов y ∈ Dhσi (c, ˙ b), для которых {y, w}b = 0. Поскольку w ∈ Dhσi (c, ˙ b), то имеем соотношение {w, w}b = 0. Обратно, пусть в D˙ hσi (c, ˙ b) выбран произвольный элемент w, не принадлежащий D˙ hσi0 (c, ˙ b) и удовлетворяющий условию {w, w}b = 0. Обозначим через Dhσi (c, ˙ b) совокупность всех эле˙ ментов y ∈ Dhσi (c, ˙ b), удовлетворяющих условию {y, w}b = 0. Таким образом, имеем dim D˙ hσi (c, ˙ b)| mod Dhσi (c, ˙ b) = 1. А т. к. ˙ N˙ τ hσi + ˙ N˙ hσi ) = 2, dim D˙ hσi (c, ˙ b)| mod D˙ hσi0 (c, ˙ b) = dim(N˙ τp hσi + то в результате получаем dim Dhσi (c, ˙ b)| mod D˙ hσi0 (c, ˙ b) = 1. 0 Обозначим через Dhσi (c, ˙ b) совокупность всех элементов y вида y = y0 + Cw (y0 ∈ D˙ hσi0 (c, ˙ b)). Очевидно при этом, что 0 0 Dhσi (c, ˙ b) ⊂ Dhσi (c, ˙ b). С другой стороны, имеем dim Dhσi (c, ˙ b)| mod D˙ hσi0 (c, ˙ b) = 1. Следовательно, это включение возможно 0 0 только при Dhσi (c, ˙ b) = Dhσi (c, ˙ b). Очевидно, для Dhσi (c, ˙ b) выполнено условие (1) теоремы 4.1.1. В силу условия {w, w}b = 0 0 для любых y, z ∈ Dhσi (c, ˙ b) справедливо соотношение {y, z}b = 0, т. е. выполнено условие (2) теоремы 4.1.1. Наконец, из вклю0 чения Dhσi (c, ˙ b) ⊂ Dhσi (c, ˙ b) следует, что всякий элемент z ∈ ∈ D˙ hσi (c, ˙ b), удовлетворяющий соотношению {y, z}b = 0 для 0 0 всех y ∈ Dhσi (c, ˙ b), также принадлежит Dhσi (c, ˙ b). Действительно, z удовлетворяет этому соотношению, в частности, при y = 0 = w. Поэтому z ∈ Dhσi (c, ˙ b) = Dhσi (c, ˙ b), т. е. условие (3) теоремы 4.1.1 также выполнено. Следовательно, согласно этой теореме Dhσi (c, ˙ b) есть область определения некоторого π-самосо˙ пряженного в Πhσi расширения для оператора L hσi0 . ¤ Замечание 4.1.5. В качестве w можно взять элемент u˙ λ

4.1.1. Расширение оператора

269

для произвольного вещественного λ, либо такого невещественного λ, для которого u˙ λ — нейтрален: [u˙ λ , u˙ λ ]hσi = 0. Действительно, ввиду теоремы 3.1.18, имеем u˙ λ ∈ / D˙ hσi0 (c, ˙ b), и {u˙ λ , u˙ λ }b = (λ − λ) [u˙ λ , u˙ λ ]hσi = 0, т. е. w = u˙ λ удовлетворяет условиям теоремы 4.1.4. ¤ Отсюда следует Теорема 4.1.6. Для любого вещественного собственного зна˙ , либо такого его невещественного собчения λ оператора L hσi ственного значения λ, для которого соответствующий собственный элемент u˙ λ является нейтральным, всегда суще˙ ствует π-самосопряженное расширение оператора L hσi0 , для которого λ также является собственным значением. Теорема 4.1.7. Каждому π-самосопряженному в Πhσi расши˙ рению Λhσi оператора L hσi0 отвечает краевое условие sin β · y(b) − cos β · y 0 (b) = 0

(4.1.2)

с некоторым β ∈ [−π/2, π/2). Обратно, краевое условие (4.1.2) с произвольным β ∈ [−π/2, π/2) определяет некоторое π-само˙ сопряженное в Πhσi расширение оператора L hσi0 . Доказательство. Положим α0 = w(b), α1 = p(b) w 0 (b). Тогда условие {y, w}b = 0 теоремы 4.1.4 можно переписать в виде α1 y(b)−α0 y 0 (b) = 0, а соотношение {w, w}b = 0 дает =α0 α1 = 0, причем ввиду того, что w ∈ / D˙ hσi0 (c, ˙ b), величины α0 и α1 не могут одновременно обратиться в нуль. Следовательно, α0 = = ρ eiϕ cos β, α1 = ρ eiϕ sin β, где β ∈ [−π/2, π/2), ϕ ∈ [0, 2π), ρ > 0, и условие {y, w}b = 0 окончательно принимает вид (4.1.2). Пусть теперь задано краевое условие (4.1.2) с некоторым β ∈ [−π/2, π/2). В соответствии с теоремой 3.1.14 существует элемент w ∈ D˙ hσi (c, ˙ b), удовлетворяющий условиям w(b) = α0 , 0 p(b) w (b) = α1 , (α0 = ρ eiϕ cos β, α1 = ρ eiϕ sin β, ρ > 0). Но

270

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

тогда из условий (4.1.2) и =α0 α1 = 0 следуют соответственно соотношения {y, w}b = 0 и {w, w}b = 0, выделяющие область определения некоторого π-самосопряженного расширения Λhσi ˙ оператора L hσi0 . ¤ Теорема 4.1.8. Произвольное π-самосопряженное расширение ˙ Λhσi оператора L hσi0 является вещественным. Доказательство. Поскольку ψ = ζ ψ, где |ζ| = 1, то условие {y, ψ}b = 0 теоремы 4.1.3, выделяющее из D˙ hσi (c, ˙ b) область определения Dhσi (c, ˙ b) оператора Λhσi , инвариантно относительно операции комплексного сопряжения. Тогда, учитывая, что ˙ , приходим к утверждению теоремы. ¤ Λhσi ⊂ L hσi Накладывая на решение y(x) = u˙ λ (x) (3.1.33) уравнения ˙ y − λ y = 0 условие (4.1.2), получаем уравнение для опреL hσi деления собственных чисел оператора Λhσi : ³

´ νp0 (c) u−ν, λ (b) cos α + uν λ (b) sin α sin β −

(4.1.3)

³ ´ − νp0 (c) u0−ν, λ (b) cos α + u0ν, λ (b) sin α cos β = 0 , где α ∈ (−π/2, π/2), β ∈ [−π/2, π/2), а u±ν, λ (x) — два линейно независимых решения уравнения l(y) − λ y = 0 (ν = |σ|). 2. Пусть σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1). В этом случае rank Πhσi = 0 и индекс дефекта (см. § 3.1.1, п. 2) симметрического оператора Lhσi0 равен (2, 2). Если ограничиться разделяющимися граничными условиями как в (3.1.28) ξy0 sin α − νp0 (c) ϕy (c) cos α = 0 ,

(4.1.4)

но с α ∈ [−π/2, π/2), и (4.1.2) c β ∈ [−π/2, π/2), то получим соответствующее самосопряженное расширение Λhσi ≡ Λh−σi оператора Lhσi0 . Уравнение для определения собственных значений оператора Λhσi , очевидно, имеет тот же вид (4.1.3).

271

4.1.2. Оператор Ганкеля

3. Пусть σ > 1 (σ ∈ / Z). В этом случае rank Πhσi = 0 и индекс дефекта симметрического оператора Lhσi0 равен (1, 1). Самосопряженное расширение Λhσi оператора Lhσi0 получаем после наложения на элементы из Dhσi (c, ˙ b) условия (4.1.2). Уравнение для определения собственных значений оператора Λhσi принимает вид uν, λ (b) sin β − u0ν, λ (b) cos β = 0 ,

(4.1.5)

где β ∈ [−π/2, π/2). Отметим, что уравнение (4.1.5), определяющее спектр оператора Λhνi (σ = ν > 1), возникает как предельный при α = −π/2 случай в уравнении (4.1.3), определяющем спектр оператора Λh−νi (σ = −ν < −1).

4.1.2. Оператор Ганкеля В качестве примера рассмотрим в функциональном π-про˙ 1) (c = 0, b = 1) дифференциальное странстве Πhσi = L2hσi (0, выражение l(y) ≡ lhσi (y) (4.2.1) с p0 (x) = 4, q0 (x) = 0 : ³ ´ σ2 y(x) , l(y) = −4 xy 0 (x) 0 + x

(4.1.6)

порождающее оператор, который условно назовем оператором Ганкеля. Однородное уравнение l(z) − λ z = 0 имеет два линейно независимых решения (ν = |σ|) √ z1 (x) = u−ν, λ (x) = 2−ν Γ(−ν + 1) λν/2 J−ν ( λx) , √ z2 (x) = uν, λ (x) = 2ν Γ(ν + 1) λ−ν/2 Jν ( λx) . При этом для λ = 0 в этих соотношениях следует перейти к пределу λ → 0 : z1 (x) = u−ν, 0 (x) = x−ν/2 ,

272

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

z2 (x) = uν, 0 (x) = xν/2 . Очевидно, имеем ξz01 = 1 ,

ϕz1 (0) = 0 ,

ξz02 = 0 ,

ϕz2 (0) = 1 .

Дефектное подпространство оператора Lhσi0 есть √ √ p = Lin{Jσ ( λx), J−σ ( λx)} Nλhσi

(λ 6= λ) .

1. Пусть σ = −ν < −1 (σ ∈ / Z). Из двух линейно независимых решений уравнения l(z) − λ z = 0 u˙ λ (x) = u−ν, λ (x) cos α + (4ν)−1 uν, λ (x) sin α , uλ (x) = u−ν, λ (x) sin α − (4ν)−1 uν, λ (x) cos α ввиду ξu0˙λ = cos α, ϕu˙ λ (0) = (4ν)−1 sin α только первое решение u˙ λ (x) принадлежит множеству ( ) ˙ 1) : ξy0 sin α − 4ν ϕy (0) cos α = 0 , y ∈ Dhσi (0, ˙ 1) = D˙ hσi (0, . α ∈ (−π/2, π/2) Следовательно, для дефектного подпространства N˙ pλhσi опера˙ тора L имеем hσi0

p N˙ λhσi = Lin{u˙ λ (x)} =

√ √ ¾ Γ(−ν + 1)J−ν ( λx) Γ(ν + 1)Jν ( λx) = Lin cos α + sin α . 2ν λ−ν/2 4ν 2−ν λν/2 ½

В частности, при α = 0 имеем √ p N˙ λhσi = Lin{J−ν ( λx)} .

273

4.1.2. Оператор Ганкеля

˙ 1) π-симметрическоТак как область определения Dhσi (0, ˙ го оператора L hσi0 дается соотношением n o ˙ 1) = y ∈ D˙ hσi (0, ˙ 1) : y(1) = 0 , y 0 (1) = 0 , D˙ hσi0 (0, 0 (x)Jσ (x) = sin πσ/(πx) 6= 0, в соответто ввиду J−σ (x)Jσ0 (x)−J−σ ˙ ствии с теоремой 3.1.18, Lhσi0 не имеет собственных векторов. ˙ 1) π-самосопряженного расОбласть определения Dhσi (0, ˙ ширения Λhσi оператора L hσi0 согласно теореме 4.1.7 есть

  ˙   y ∈ D ( 0, 1) :   hσi   0 ˙ Dhσi (0, 1) = ξy sin α − 4νϕy (0) cos α = 0, α ∈ (−π/2, π/2) ; .     y(1) sin β − y 0 (1) cos β = 0 , β ∈ [−π/2, π/2)   (4.1.7) Следовательно, собственные числа λ оператора Λhσi , отвечающие собственным векторам wλ (x) = u˙ λ (x), определяются из соотношения u˙ λ (1) sin β − u˙ 0λ (1) cos β = 0 , то есть из соотношения ³ ´ 4ν u0−ν, λ (1) cos α + u0ν, λ (1) sin α cos β −

(4.1.8)

³ ´ − 4ν u−ν, λ (1) cos α + uν, λ (1) sin α sin β = 0 . В частности, для α = 0 получаем условие u0−ν, λ (1) cos β − u−ν, λ (1) sin β = 0 ,

β ∈ [−π/2, π/2) , (4.1.9)

для β = 0 получаем условие 4ν u0−ν, λ (1) cos α + u0ν, λ (1) sin α = 0 ,

α ∈ (−π/2, π/2) , (4.1.10)

274

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

для β = −π/2 получаем условие 4ν u−ν, λ (1) cos α + uν, λ (1) sin α = 0 ,

α ∈ (−π/2, π/2) . (4.1.11) 2. Пусть σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1). Самосопряженное расширение Λhσi , порождаемое разделяющимися краевыми условиями (4.1.4) и (4.1.2), определяется областью (4.1.7) с α ∈ [−π/2, π/2). Уравнения (4.1.8), (4.1.10), (4.1.11), но c α ∈ [−π/2, π/2), уравнение (4.1.9), а также для α = −π/2 уравнение u0ν, λ (1) cos β − uν, λ (1) sin β = 0 ,

β ∈ [−π/2, π/2)

(4.1.12)

определяют соответствующие спектры оператора Λhσi . 3. Пусть σ = ν > 1 (ν ∈ / Z). Самосопряженное расширение Λhσi , порождаемое краевым условием (4.1.2), совпадающим с (4.1.8) в пределе при α = −π/2, дает уравнение (4.1.12), определяющее спектр Λhσi в данном случае.

4.1.3. Простые и кратные нули (α = 0, −π/2) Далее ограничимся при изучении спектральных особенностей оператора Λh−νi рассмотрением уравнения (4.1.9) (т. е. уравнения (4.1.8) для α = 0) и оператора Λhνi рассмотрением уравнения (4.1.12) (т. е. уравнения (4.1.8) для α = −π/2). Напомним, что Λh−νi ≡ Λhνi для ν ∈ (0, 1), и таким образом, собственным числам λ оператора Λhσi отвечают уравнения u0σ, λ (1) = tg β , β ∈ (−π/2, π/2) ; uσ, λ (1) = 0 , β = −π/2 . uσ, λ (1) Очевидно, при α = 0 функция √ wγ (x) ≡ uσ, λ (x) = 2σ Γ(σ + 1) λ−σ/2 Jσ ( λx)

(γ =

√

λ)

является собственной для данного расширения Λhσi , определяемого фиксированными значениями t = 2 tg β, если γ является

275

4.1.3. Простые и кратные нули (α = 0, −π/2)

нулем функции x−σ χσ (x, t), где

³ ´ χσ (x; t) = (1 + t2 )−1/2 tJσ (x) − xJσ0 (x) .

Ввиду λ = γ 2 и w−γ (x) = wγ (x) достаточно исследовать нули функции x−σ χσ (x; t) с arg γ ∈ (−π/2, π/2], причем, если γ — нуль, то γ — также нуль. В случае t = −∞ функция x−σ χσ (x; −∞) = x−σ Jσ (x) имеет бесконечно много вещественных нулей. Кроме того (теорема Гурвица) [3], [4] для σ > −1 она не имеет невещественных нулей, а при σ = −ν (ν > 1) имеет r−ν = [ν] − [ν/2] невещественных нулей γ c arg γ ∈ (0, π/2], среди которых число чисто мнимых равно i = [ν] − 2[ν/2], а число невещественных с arg γ ∈ (0, π/2) соответственно равно c = [ν/2]. Среди нулей функции x−σ χσ (x; −∞) нет кратных. Введем функцию t(x) = x Jσ0 (x)/Jσ (x)

(x ∈ C) .

Ввиду соотношения

³ ´ x−σ χσ (x; t) = (1 + t2 )−1/2 x−σ Jσ (x) t − t(x)

функции x−σ χσ (x; t) и t − t(x) имеют для t ∈ (−∞, +∞) общий набор нулей, причем на них функция t(x) принимает вещественное значение t. Так как для x ∼ 0 имеем t(x) = σ −

x2 + O(x4 ) , 2(σ + 1)

(4.1.13)

то справедлива Теорема 4.1.9. γ = 0 является нулем функции x−σ χσ (x; t) в том и только том случае, если t = σ. При этом кратность нуля γ = 0 равна двум. Теорема 4.1.10. (1) Максимально возможная кратность нуля γ функции x−σ χσ (x; t) равна двум; (2) необходимым и достаточным условием того, что кратность нуля γ равна двум, есть условие t2 + γ 2 − σ 2 = 0.

276

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

Доказательство. Кратность нуля γ 6= 0 больше единицы, если t0γ = x−1 (σ 2 − x2 − t2 (x))x=γ = 0. При этом для γ 6= 0 имеем t00γ = −2 6= 0. Следовательно, кратность нуля γ 6= 0 не превышает двух. Поэтому из t0γ = 0 вытекает соотношение t2 − γ 2 − σ 2 = 0 как необходимое и достаточное условие кратности нуля γ 6= 0. Для нуля γ = 0 утверждение теоремы очевидно (t00γ = −(σ+1)−1 6= 0). ¤ Следствие 4.1.11. Если γ — есть кратный нуль функции x−σ χσ (x; t), то γ — либо вещественно, либо чисто мнимо. Следствие 4.1.12. Функция t(γ), рассматриваемая на вещественной и мнимой осях в кратных нулях и только в них: (1) имеет общую точку с функцией τ (γ) (где τ 2 (γ) = = σ 2 − γ 2 ); (2) имеет экстремум, причем максимум, если γ > 0, либо γ = 0 и σ > −1, и минимум, если −iγ > 0, либо γ = 0 и σ < −1. Следствие 4.1.13. Точка пересечения графиков t = t(γ) и γ 2 + t2 = σ 2 (σ ∈ R− \ Z− ), отвечающая кратному нулю γ > 0, для некоторого σ = σ0 = −ν0 , ν0 ∈ (n, n + 1), n ∈ N занимает положение γ = ν0 , t = 0. Доказательство. Учет соотношения x Jσ0 (x) = σ Jσ (x)−x Jσ+1 (x) для σ = −ν, γ = ν дает t(ν) = −ν A(ν)/J−ν (ν), где A(ν) = = J−ν (ν) + J−ν+1 (ν). Так как A(n) = (−1)n (Jn (n) − Jn−1 (n)) и Jν−1 (ν) > Jν (ν) > 0 для ν > 0, то на границах интервала (n, n + 1) функция A(ν) принимает разные знаки. Следовательно, в некоторой точке ν = ν0 ∈ (n, n + 1) имеем A(ν0 ) = 0. Таким образом, для некоторого σ = σ0 = −ν0 имеем t(ν0 ) = 0. ¤ При перемещении параметра σ от левой границы интервала (−n − 1, −n), n ∈ N к правой границе точка на окружности γ 2 + t2 = σ 2 , отвечающая кратному нулю γ > 0, перемещается по расширяющейся окружности из нижнего положения с γ = +0 и t = σ + 0 в верхнее положение с γ = +0 и t = −σ − 0,

4.1.4. Функция нулей на вещественной и мнимой осях

277

проходя при некотором σ = σ0 через промежуточное положение с γ = −σ0 и t = 0. Теорема 4.1.14. Функция t(γ), рассматриваемая на мнимой оси, имеет для больших |γ| асимптотику t(γ) = |γ| −

1 σ 2 − 1/4 + + O(|γ|−2 ) . 2 2 |γ|

Доказательство. Для больших x > 0 имеем: µ ¶ ex σ 2 − 1/4 (σ 2 − 1/4)(σ 2 − 9/4) −3 Iσ (x) = √ 1− + + O(x ) , 2x 8x2 2πx ¶ µ ex σ 2 + 3/4 (σ 2 − 1/4)(σ 2 + 15/4) −3 0 + +O(x ) . Iσ (x) = √ 1− 2x 8x2 2πx Тогда для t(γ) = |γ| · Iσ0 (|γ|)/Iσ (|γ|) получаем указанную асимптотику. ¤ Следствие 4.1.15. Функция x−σ χσ (x; t) для достаточно больших t всегда имеет по крайней мере один чисто мнимый нуль γ c =γ > 0. Теорема 4.1.16. Функции x−ν χν (x; t) и xν χ−ν (x; t) не имеют общих нулей. Доказательство. Утверждение следует из соотношения γ · Wγ (Jν , J−ν ) = −

2 sin πν 6= 0 . ¤ π

4.1.4. Функция нулей на вещественной и мнимой осях Рассмотрим более детально поведение функции t(γ) на вещественной и мнимой осях.

278

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

1. Пусть σ = ν > 0 (ν ∈ / Z, α = −π/2). (a) Вещественная ось. Ввиду соотношений t(0) = ν, t0γ (0) = = 0, −1/ν < t00γ (0) < 0, однозначности функции t(γ) и следствия 4.1.12, график функции t(γ) проходит вне окружности τ (γ) и поэтому t0γ (γ) = γ −1 (σ 2 − γ 2 − t2 (γ)) < 0 для γ > 0. Следовательно, t(γ) — всюду убывающая для γ > 0 функция за исключением нулей функции x−σ Jσ (x), в которых она имеет полюса первого порядка. Таким образом, функция t(γ) может быть представлена графиком, изображенным на рис. 4.1.1. ppp qqq ppp qqq ppp qqq pppp qqqq pppp qqqq pppp qqqq q q pp qqq ppp qq pppp qqqq p ppp qqq ppp qqq p qq pppp qqqq ppppp qqqq pppp qqqq t(γ) qqq q p p q p νqpqpqspqpq pp qqq pppp qqqq ppp qq −→ pppp qqqq ppppp qqqqq ppppp qqqq pqpqp qp pqqpqpqpqpqpqpqp pqpqpqpqpqpqqpqpqpqpqpqpqppqpqpqqq. p qq p q p qq pppqqqqqq ppp qqq p ppppp qqqqq p ppppp qqqqq p ppppp qqqq ppp qqq s0 pppr qqq s1 pppr qqq s2 rppp qqqq0r p qq pp qq pp qq pp qq ppp p qqqq ppppp qqqqq ppppp qqqqq ppppp qqqq γ qqq ppp qq ppp qq ppp qqq p q p qq p qq p q p p p p p ppp p p p p p p p p p p p p p p p p p p pprpp - qqqqqq ppppp qqqqq ppppp qqqqq ppppp qqqqqq p qqq ppp qqq ppp qqq −ν τ (γ) qqqqqq ppppp qqq ppp qqq ppp qqq qqq ppp qqq ppp qqq qqq ppp p p q qqq ppp qqq qqq pp qqq ppp p qqq ppp p q p q qqq ppp qqq ppp Рис. 4.1.1

t 6

p ppp p p p p pppppppqpqpqpqqpqpqpq p p p p q p p τ (γ) p ppppp p pqpqqqqp p p p pppppqppqqpqpqpqpqqqpqp p p p p p p p p &p pppp pqpqpqqpqpq p p p p p pp qpq p p p pppppp p pqppqppqpqpqpqpqpqqp p p p pp p p p qpqqqqqpppppp p p q p q p p p q p p p qqqqqqppp p p pppqpqqqqqp p p p p p p p t(γ) p p p p p p p p p p qp qqqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqqpqpqqpqpqpνqpqpqpqpqp pqpqpqpqpqpqpqpqpqqpqpqqqp pqpqpqpqpqpqpqqqqpqp p p p p p p p p p p p p qpqpqpspqpq p pppp pppp p p p p p pppp pppp pppp pppp pppp pppp ppppppppppp p p pppp pppp p θ(γ) p p p p 0p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp prpp p p p p p p p p p p pp prpp p p p p p p γ p p p p p-p1 p p p p p p p p p p p p p p 2 p pppp τ (γ)p p p p p p p p p p p p p ppppppppppprpppppppppp p p p p p p p p p p p p p p p ppppppp p p p p p p p&p p p p p ppppp p p p p p p p p pp p p −ν Рис. 4.1.2

t 6

(б) Мнимая ось. Ввиду соотношений t(0) = ν, it0γ (0) = 0, 0 < < −t00γ (0) < 1/ν, однозначности функции t(γ) и следствия 4.1.12, график функции t(γ) проходит в области, разделяющей ветви гиперболы τ (γ), и поэтому it0γ (γ) = iγ −1 (σ 2 − γ 2 − t2 (γ)) > 0 для −iγ > 0. Следовательно, функция t(γ) — всюду возрастающая для −iγ > 0, имеющая асимптотику θ(γ) = |γ| − 1/2. На рис. 4.1.2 изображен график функции t(γ). 2. Пусть σ = −ν, ν ∈ (0, 1) (α = 0). (a) Вещественная ось. Ввиду соотношений t(0) = −ν, t0γ (0) = 0, t00γ (0) < 0 функция t(γ) проходит вне окружности τ (γ). Следовательно, t0γ (γ) < 0 для γ > 0. Поэтому t(γ) всюду убывающая для γ > 0 функция за исключением нулей функции x−σ Jσ (x), в которых t(γ) имеет полюса первого порядка.

279

4.1.4. Функция нулей на вещественной и мнимой осях

График t(γ) представлен на рис. 4.1.3. pppp t ppppp qqqqqq 6 pppp ppp qqq ppp pppp qqqq ppp pppp qqqq pppp pppp qqqq pppp ppp 1 τ (γ)p qqqqq pppp ν r ppp qqqq ppp p pp p pppprppp ↓p ppp ppp qq pppr pp 0 r ppp rppp qqq ppp ppp p q ppp pp pqqppqpqpqspqpqpqpqpppp ppppp sp qqqq pppp -νqqq r qqqq pppp 0 qqqq qqq qq←p ppp qqq pppp qqqq -1 qqqqq ppppp \ qqqq q qqq pp ppp qqq qqq ppp t(γ) qqqqq ppp qqq p qqq pp \ qqq ppp qq qqq ppp → qqq ppp qqq qqq qqq ppp pppp qqq qqq qqq ppp pq

pppp qqqq pppp qqqq ppp qqq ppp qqq pppp qqqq pppp qqqqq ppp qqq pppp qqqq ppp qqq rppppp qqqqq ppp sp qqq ppp 1 qqq ppp qqq ppp qqq ppp qqq qqq ppp qqq ppp qqq ppp qqq ppp qqq pppp qq p

pppp qqqq pppp qqqq pppp qqqqq pppp qqqq ppp qqq pppp qqqq ppp qqq pppp qqqq pppp qqqq pppp qqqq pppp qqqq ppp qqqq ppp qqq pppp qqqq pppp qqqq pppp qqqq ppp qqq pppr qqq pp q ppp p qqq pppppr pppp s qqq ppp s γ pppp 2 qqqq pppp 3 ppp qqq ppp qqq ppp pppp qqq ppp ppp qqq ppp ppp qqq ppp ppp qqq ppp ppp q p pppp p Рис. 4.1.3

pppp p p ppppppp p p p p p p p τ (γ) ppppp p p p p q pppp pppp p p p p qqqqqpqpqpqpqp p p p p &ppppppp p p p p p qqqqqpqp p p p p pppppp ppppp p p p p qqqqqqp p p p p pppp pp p p p p p p qqqqqqqpqp p p p p p p p 1r p p p p ppppppppppp p p pp p q p p p p ppppp p p p p pp p p p p qqqq p p p qqqqq p p p p p p p p p p p p p ppν p p p p p p p p p p p p p p qqqqqqqpqp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p r p p p p qqq p p p p θ(γ) p p p pqqqqqqqqq p p p p p p p p p p p qqqqqqqqp p p p pp p p p p qqqqqq p p p p p p p p p p qqq p p p p p p p p p qqqq p p p p p t(γ) p p p p qqq 0p p p p p qqq p p p p p p p pqqq p p p prp p p qqp p p p p pqpqp p p p p1 p p p p pqpqp p γ qp p pqpqp-p p p p q p qqp p2p p p p p p p p pqq p p p p p p p p p τ (γ)p p p p qqq p p prp p qqq p p p p p p pppppqpqppqpqpsqpqqppqpqppppppp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p-ν p& p pppppp p p p p p p p p p ppp p p Рис. 4.1.4 p p p pppp

t 6

(б) Мнимая ось. Ввиду соотношений t(0) = −ν, it0γ (0) = 0, > 0 функция t(γ) проходит в области, заключенной между ветвями гиперболы τ (γ). Значит it0γ (γ) > 0, для −iγ > 0. Поэтому для −iγ > 0 функция t(γ) — всюду возрастающая, имеющая асимптотику θ(γ) = |γ| − 1/2 (см. рис. 4.1.4). 3. Пусть σ = −ν, ν ∈ (2n + 1, 2n + 2), n ∈ Z+ . −t00γ (0)

t 6 τ (γ) ν p r p p p p pp p p p pp p p p p p p p p pp p ↓

pp p

0r t∗(r)

p p p p pp p

∗ pppp γ(r) p r ppp

ppp ppp pp p pqpqpqqp p p p p p rp p p p p pqqp qppqppqpqpsqqppqqq p p pqpqpqpqpqppqpqpqpqpqpqspqpqpqpqpqpqppqpqqpqp pp qqq qqq -ν qqq qqq qqq t(γ)→ qqqqq qqq qq

ppp qqq ppp qqqq ppp qqq pppp qqqq pppp qqqq pppp qqqq qq ppp qqqq pppp qqqq ppp qqq← t(γ) qqqqq ppp qqq ppp qqq ppp qqq pppp qqqq ppp qqq pp qqq p pppp qqqq ppp qqq ppp qqq ppp qqq pppp qqqq pppp qqqq ppp qqq pppp qqqq pppp qqqq ppp qqq pp qq ppp qqq pppp qqqq qqq pppr qqq rppp rppppp p p ppp s qqq p q p p ppp 0 qqq ppppp s1 qqqqq ppppp s2 γ qqq ppp ppp qqq ppp qqq ppp ppp qqq ppp qqq ppp qqq ppp pppp q p qqq ppp qqq ppp ppp qqq ppp q qqq ppp pppp qqq ppp qqq ppp ppp qqq ppp qqq ppp ppp p q ppp qqq ppp Рис. 4.1.5

p p qpp qq p t ppppp qqqqqq τ (γ)p pppp ppppqpppqppqppqppqpqpqpqp p qq ppppp 6 q p q q q p p p p p q q p t(γ) qq pp pppp qqqqq t(γ) ↓ppp ppppppqqpqp qppqpqpqp p p p ppp qqq. ppppp pqp qpqqqp p p & qqqqqq pppppp ppqpqppqpppqpqpqppqqpqp p p p p ∗ pppp qqqq p ppppp qq ppp p p p t p p q qpqpqpqqpqppqppp qq pp (i) ppp qqq pppqpqqpqpqqp p p p p p p p pp p p qpqqpppsqpqpqppppppppppp p p pppp p p p p p p p p rp p p p p p p p p ppppp p p pppppppppqp qpqppqspppqpqpqpqp pp pp p p p p p θ(γ) p p p p p p pp p p p p ppp p pp p p ppp p p p p p p ppp p p p p p pppppppprppνppppp p p p p p p ppppp ppp p p p p p pp p pppp p p p p p p p p p p p p p pp pppp p p p p p p pp p p ppp p p ppp p p p p p p p pp p p p p ppp ppp -se ppp p p p p p p0 p p p p p pp pp p p p ppppp se ppppp r 0 rppp p p p p p pp rp pp p p p p rppp 0 r ∗ ppp p p p p pp prpp p p p p p ppp γ ∗ γ -γ(i) pppp p p p p- 12 p p p p p p p pppp (i) p p p p p p -ν p p p p p pp p p p p ppqpqpqppqpqspqpqqppqpqpqpp p p p p pp p p p τ (γ) p p ppppp ppp p pppp p p p qqqq qqqqq p p ppppp p ppppppp p p p p p p p p p pp qqq ppp pppp. p p p ppp pppp qqqq qqq ppp pppppppppppp p p p p pp qq ppp ppppp ppppp ppppp p qqq ppp pp t(γ)→ qqq p Рис. 4.1.6

(a) Вещественная ось. Ввиду соотношений t(0) = −ν, t0γ (0) = 0, t00γ (0) > 1/ν функция t(γ) в окрестности нуля проходит внутри окружности τ (γ). Следовательно, в силу одно-

280

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

значности и следствия 4.1.12 функция t(γ) имеет единственное для γ > 0 пересечение с окружностью τ (γ) (при этом t0γ = 0). Таким образом, для γ > 0 функция t(γ) до пересечения возрастает (t0γ (γ) > 0) и всюду убывает (t0γ (γ) < 0) после него за исключением нулей функции x−σ Jσ (x), в которых она имеет полюса первого порядка (см. рис. 4.1.5). (б) Мнимая ось. Ввиду соотношений t(0) = −ν, t0γ (0) = 0, t00γ (0) > 1/ν функция t(γ) в окрестности нуля проходит ниже нижней ветви гиперболы τ (γ). Согласно теореме Гурвица t(γ) в некоторой точке γ имеет полюс первого порядка. Нетрудно убедиться в том, что в интервале от нуля до точки разрыва функция t(γ) не может иметь пересечений с τ (γ). Таким образом, для −iγ > 0, убывая до точки разрыва и после нее, функция t(γ) имеет в некоторой точке (с it0γ = 0) пересечение с τ (γ) и затем, всюду возрастая (не имея более возможности пересечься с τ (γ)), асимптотически приближается к функции θ(γ) = |γ| − 1/2 (см. рис. 4.1.6). 4. Пусть σ = −ν, ν ∈ (2n + 2, 2n + 3), n ∈ Z+ . p qp p ppppp qqpqpqpqp p p p p pppqqpqppqpqpqpqqpqpp pp p p p p p p p p p τ (γ) ppppppqpqpqqpqpqpqqp p p p p p p p pp qq p p p &ppp ppppqpqpqpqpqpqpqpqpqqpqp pp pp pp p p p p p p p q p p pppppp p p ppp qqqqp p p p p p p p ppppppp p p p p p p p qpqqp qp p p pp pp p p p p p p p p p p p p p p pppν p p p ppppppppprpppppppppppp p pqp p p p p qqpqp p p p p p p ppqqppqp p p p p p θ(γ) p pqpqp p p p p p q qqq p p p p p p p p p p p p p pqq qqq p p p p p p p 1 r p p p p p p pp p p p p p qqqq qqq-γ ∗ p p p p p ∗ qqq qqq (i) p p p p0p p p p p p p pp p p p γp (i) q qqq rpp p pp p p p prp p p pp p rpp qqqq qqq ppp p p p p p pp prpp p p p p p ppp qqq γ qqq p p ppp 1 p p ppp p p qqq ← t(γ) pp p p p p qqq qqqp p p p ppp - 2 p pq p ppp qqp p p p p p p p qq ppp (γ) t∗(i) pppp qq p p pτ p p p p qqqqqqqppppqpq-ν pppqpqpqpqpqpqpsqqppqqpqpqpqppp p q p p p p pp p p p p pqspqppqpqpqqp p p prp p pqqpqpqppqpqpqspqpqpqp p p p. p p p p Рис. 4.1.7

pppp pp pppp p p pp p p ppp 0 pp p p p p t− pp t = ±∞ pqpqpqpqp pqqqqqqqqqqqsqqqqqqqqqqqqqqqqqq pq qqsq 00 p p qqqqqqqqqqqqqqqqqqqpqqpqpqpqqp qp cba qqq t+ q q pp p p ppqqpqqqq ←− q % qqqqqq p p p psqcba t = ±∞ ppp t00 qqpqqpqp p p p p p p p p p p − p qqq q q pp qqqqqqpqqpqpqqpqpqpq−→ q qq p p p p p p p qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqpqqpsqqpqpqqp acbpqpqpqp p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pt0+ t = ±∞ p ppp p pp p pppp p p p p p p p p pp pppppp rqp p p x 0

y

t 6

6

qqqqqqqqqqq qqqqq qqq cbaq t = ±∞ qq q qqqqqqqqqqqqqqqqqq

←−

←− qqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqq t = ±∞ qq qcba

t = ±∞

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq cbaqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qqqcbaq −→ qq t = ±∞ Рис. 4.1.8

(a) Вещественная ось. В этом случае на вещественной оси ситуация аналогична рассмотренной в предыдущем пункте 3(a) (см. рис. 4.1.5). (б) Мнимая ось. На мнимой оси ситуация иная. Ввиду соотношений t(0) = −ν, it0γ (0) = 0, −t00γ (0) < −1/ν функция

4.1.5. Функция нулей в комплексной области

281

t(γ) в окрестности нуля проходит ниже нижней ветви гиперболы τ (γ). Так как функция t(γ) не имеет разрывов, то прежде, чем асимптотически приблизиться к функции θ(γ) = |γ| − 1/2, она должна в некоторой точке γ пересечься с функцией τ (γ) (при этом it0γ = 0). Соответствующий график изображен на рис. 4.1.7.

4.1.5. Функция нулей в комплексной области Будем называть кратный нуль γ = 0 несущественно кратным, а кратный нуль γ 6= 0 — существенно кратным. Последний обозначим через γ ∗ , а соответствующее значение t через t∗ . Для σ > −1 среди множества нулей {γ(t)}t∈R нет существенно кратных, а для σ < −1 имеется два таких нуля: один вещественный ∗ ∗ γ ∗ = γ(r) (t∗ = t∗(r) ), другой мнимый γ ∗ = γ(i) (t∗ = t∗(i) ). Напомним, что функция x−σ χσ (x; t) имеет конечное (c = [(|σ| − σ)/4]) число невещественных нулей γ с arg γ ∈ (0, π/2). Так как функция t(γ) является аналитической всюду в C, исключая точки – нули функции xσ χσ (x; −∞), и поскольку невещественные нули γ с arg γ ∈ (0, π/2) при изменении t могут появляться и исчезать лишь на вещественной или мнимой осях в кратных нулях γ ∗ , то для произвольного t ∈ R число ct невещественных нулей γ с arg γ ∈ (0, π/2) также конечно (c ≤ ct ≤ rσ ). Теорема 4.1.17. Множество невещественных нулей γ с arg γ ∈ (0, π/2) для всевозможных t ∈ R расположено в ограниченной области 0 < |γ| < N < ∞. Доказательство. При t = ±∞ нули γ с arg γ ∈ (0, π/2) удовлетворяют условию 0 < |γ| < K < ∞. Тогда для |t| > T > 0 имеем 0 < |γ| < L < ∞. Пусть |t| ≤ T. Если для некоторого t0 , |t0 | ≤ T имеем |γ(t)| → ∞ при t → t0 , то для t ∼ t0 согласно определению функции t(γ) = γ Jσ0 (γ)/Jσ (γ) имеем соотношение −γ tg(γ − πν/2 − π/4) ∼ t0 , которое означает, что для как угодно малого ε > 0 найдется такое Γ > 0, что для

282

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

всех |γ(t)| > Γ выполняется | tg(γ − πν/2 − π/4)| < ε, что однако невозможно, так как для достаточно малого ε > 0 соотношение | tg z| < ε выполняется лишь в непересекающихся δ-окрестностях точек zn = πn, n ∈ Z. ¤ Теорема 4.1.18. Траектории нулей γ(t) пересекаются в существенно кратных нулях γ ∗ под углом π/2. Доказательство. Для функции t(γ) имеем t0 (γ) = t00 (γ) = t000 (γ) = Тогда

σ 2 − γ 2 − t2 (γ) , γ

t2 (γ) − γ 2 − σ 2 − 2γt(γ)t0 (γ) , γ2

2σ 2 − 2t2 (γ) + 4γt(γ)t0 (γ) − 2γ 2 t(γ)t00 (γ) − 2γ 2 t0 2 (γ) . γ3

t0 (γ ∗ ) = 0 ,

t00 (γ ∗ ) = −2 ,

t000 (γ ∗ ) =

2(2t(γ ∗ ) + 1) . γ∗

Следовательно, в окрестности точки γ ∗ разложение t0 (γ ∗ ) t00 (γ ∗ ) 2 t000 (γ ∗ ) 3 ξ+ ξ + ξ + ... 1! 2! 3! принимает вид t(γ) = t∗ +

t(γ) = t∗ − ξ 2 + hξ 3 + O(ξ 4 ) ,

где h =

(γ = γ ∗ + ξ)

2t∗ + 1 . 3γ ∗

(4.1.14)

Вводя малый параметр α соотношением t(γ) = t∗ − α2 ,

|α| ¿ 1

(ввиду вещественности t(γ) параметр α либо вещественен, либо чисто мнимый), для сталкивающихся нулей γ+ и γ− из (4.1.14) находим разложения γ+ = γ ∗ + α +

h 2 α + O(α3 ) , 2

(4.1.15)

4.1.5. Функция нулей в комплексной области

283

h 2 α + O(α3 ) . (4.1.16) 2 ∗ (1) В случае вещественного нуля γ ∗ = γ(r) изменению па2 раметра α от +ε > 0 до +0 отвечает движение нулей в окрест∗ навстречу друг другу вдоль вещественной оси, а изности γ(r) менению параметра α2 от −0 до −ε < 0 отвечает разбегание ∗ по ветвям параболы, симметричной нулей в окрестности γ(r) относительно вещественной оси, обращенной ветвями к мнимой оси. ∗ (2) В случае мнимого нуля γ ∗ = γ(i) изменению парамет2 ра α от +ε > 0 до +0 отвечает движение нулей в окрестности ∗ γ(i) навстречу друг другу по ветвям параболы, симметричной относительно мнимой оси, обращенной ветвями к вещественной оси, а изменению параметра α2 от −0 до −ε < 0 отвечает ∗ разбегание нулей в окрестности γ(i) вдоль мнимой оси. Из пунктов (1) и (2) следует, что траектории γ(t) пересекаются в точках γ ∗ под углом π/2. ¤ γ− = γ ∗ − α +

Теорема 4.1.19. В области xy 6= 0 в точках t = ±∞ и только в них yt0 = 0, x0t = 0, yx0 = y/x (6= 0, ∞), где x = <γ, y = =γ. Доказательство. Нетрудно убедиться в том, что нули γ(t) удовлетворяют уравнению γt0 =

σ2

γ , − γ 2 − t2

из которого видно, что нули проходят точку γ ∗ с бесконечной скоростью (γt0 = ±∞, если α2 = +0, и γt0 = ±i∞, если α2 = −0). Из него также находим yx0 = x0t = −

y t2 − σ 2 − x2 − y 2 , x t 2 − σ 2 + x2 + y 2

x(t2 + x2 + y 2 − σ 2 ) , (t2 + x2 − y 2 − σ 2 )2 + 4x2 y 2

(4.1.17) (4.1.18)

284

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

yt0 = −

y(t2 − x2 − y 2 − σ 2 ) . (t2 + x2 − y 2 − σ 2 )2 + 4x2 y 2

(4.1.19)

Из этих соотношений следует утверждение теоремы. ¤ Теорема 4.1.20. Траектории нулей γ(t) в области xy 6= 0 не имеют точек пересечения. Доказательство. Точками пересечения могут быть только кратные нули, которые согласно следствию 4.1.11 не могут находиться в области xy 6= 0. ¤ ppp qqq qq pp pp qq pp t qqqqq ppppp t ppppp qq pppp qqq pppp pppp 6 pppp qqqq 6 q q q p q ppp p p p p q q q pppp qqqq ∗ pp qq ppp qqq ppp ppp qqq ppp ppp pp pp p pqqqqp p p p p prp p p p p qqqqp p ppppp p p p p p p p p p p p p pqqqqp pppppp p p ppppppp p p p p p p p p p p p p qpqqqp pppp p p p p p p pqpqsqptp(i) p qqqq pppp qqq qqqqqp p p p p ppppp p qqqq pppp pppp pppp qqqq qqq pppp q q p p p ppp qqq r qqq ppp q q q q q pp pp pp q q ppp pppp qqqq ν qqq pppp qqq pppp qqqqq qqqqq pppp qqq pppp pppp q q q q q q pppp qqq ∗ qqq ppp q pppp pppp h qq h pppp qqq ∗ qqqq pppp p ppp s1 q s0 ppp qqγ(i) qqq ppp pppp qqqqγ(r) qqqq spphrσ−2 qqqshrσ−3 pprp ppp ppr qq pprp qqq r qqq pprp prppp qqqqq r qqqq prppp qq ppp qq ppp ppp q qqq ppp z ppp qq 0qq ppp q p q p p q q p p pp p p p p p qpqpqqpqsqqp qp∗p p p p p ppp p p p qpqqp p p p p p p p p p ppppp p p pppppp p p pqqpqp p p p p p p p p p ppp p p qqqqp p p p p prp p p p pqqqqp p pppp p p p p p ppp qqq ppp q q q ppp qq ppp ppp qq t(r) pp q ppp qqq ppp ppp qqq ppp ppp qqq r ppppp qqqqq ppp qqq ppp q ppp qq ppp ppp qqq -ν ppp qq qqq ppp p p p pppp q q p p p p q q p p p p qqq ppp q q q ppp qq ppp ppp qqq ppp qqq ppp qqq ppp ppp qqq ppp ppp qq ppp qq ppp qq pp pq ppp ppp qqq ppp qqq ppp q q ppp ppp q ppp q ppp q q Рис. 4.1.9

ppp qqq qq pp pp qq pp t qqqqq ppppp t ppppp qq pppp qqq pppp pppp 6 pppp qqqq 6 q q q p q pppp p p p p q q q pppp qqqq q pp qqq ppp ppp qqq ppp pppp qqq ppppp qqqq ppppp ppppp pppp qqqq qqqq ppppp q pppp qqqqq ppppp qqqq pppp pppp pppp qqqq qqq pppp ppp q p p p ppp qqq r qqq ppp q q p p p pppp qqq pppp qqqq pppp pppp pppp qqqq ν qqq pppp q q ppp q ppp q ppp ppp pppp qqqq ∗ qqqq ppp q q ppp pppp sh qqsh pppp γ ∗ -sh ppppp pppp qqqqγ(r) qqqq spphrσ−1 qqqshrσ−2 prpp ppp pprp 1 qq 0 pprpp (i) r 0 pprpp rppp qqq r qqq rppp q ppp z ppp ppp ppp q ppp qqq 0qq ppp qq p p p p q p ppp p p p p pqqpqpqqpqsqqp qpq∗p p p p p pppp p p p qpqqp p p p p p p p p p ppppp p p pppppp p p pqqpqp p p p p p p p p p ppp p p p p p p p prp p p p p p p pppp p ppp p p p p ppp q q ppp ppp ppp qq t(r) pp q pp ppp ppp ppp ppp qqq r ppppp qqqqq ∗ ppp t pppp p p p q -ν p ppp p p p p p p p prp p p p p p p ppppp p qpqqqp p p p p p p p p p p p pppppp p p ppppppp p qqqpqp p p p p p p p p p p p pppp p p p p p qpqpqpqsqpqqpq(i) p p p p p pppp p pppp qqq qqqq pppp pppp pppp qqqq pppp qqqq pppp ppp qq qq ppp ppp ppp qq ppp qq ppp q q pppp pppp qq pppp qq pppp q q p pq pq p Рис. 4.1.10

Теорема 4.1.21. В области xy 6= 0 не существует замкнутых траекторий нулей. Доказательство. Предположим, что такая траектория существует (см., например, рис. 4.1.8). Рассмотрим область xy > 0. (±) Очевидно, должны существовать такие t1 (6= ±∞), для кото(±) (+) (−) (±) рых yt0 (t1 ) = 0, x0t (t1 ) > 0, x0t (t1 ) < 0 (yx0 (t1 ) = 0), и такие (±) (±) (+) (−) t2 (6= ±∞), для которых x0t (t2 ) = 0, yt0 (t2 ) > 0, yt0 (t2 ) < 0 (±) (yx0 (t2 ) = ∞), что невозможно, так как соотношения (4.1.18) и (4.1.19) дают: x0t = −1/(2x) < 0, если yt0 = 0, и yt0 = 1/(2y) > 0, если x0t = 0. ¤

285

4.1.6. Классификация нулей и их эволюция

Итак, для σ < −1 в ограниченной области 0 < x, y < N < ∞ лежит траектория нулей, начинающаяся в вещественном крат∗ ∗ ном нуле γ(r) и заканчивающаяся в мнимом кратном нуле γ(i) (для σ > −1 в области xy 6= 0 нет траекторий). В остальных квадрантах траектории располагаются симметрично относительно вещественной и мнимой осей. На рис. 4.1.9 изображен график функции t(γ) на траектории невещественных нулей γ в случае σ = −ν, ν ∈ (2n + 1, 2n + 2), n ∈ Z+ . В случае ν ∈ (1, 2) (n = 0) ввиду rσ = 1 у функции t(γ) отсутствуют полюса в области xy 6= 0, и она монотонно растет от t∗(r) до t∗(i) при пе∗ ∗ ремещении γ вдоль невещественной траектории от γ(r) до γ(i) ∗ (до γ(i) ). На рис. 4.1.10 приведен график функции t(γ) в случае ν ∈ (2n + 2, 2n + 3), n ∈ Z+ .

4.1.6. Классификация нулей и их эволюция Нули γ с arg γ ∈ (−π/2, 0) ∪ (0, π/2) назовем гиперболическими и обозначим через γ = γ h . Нули, удовлетворяющие условию γ −2 (t2 + γ 2 − σ 2 ) < 0, назовем эллиптическими и обозначим через γ = γ e . Нули, удовлетворяющие условию γ −2 (t2 + γ 2 − σ 2 ) ≥ 0, назовем параболическими и в случае строгого неравенства обозначим через γ = γ p . Знак равенства выполняется только для существенно кратных нулей γ ∗ , для которых оставим прежнее обозначение. Индексы r и i будут дополнительно характеризовать нуль γ как вещественный или мнимый соответственно. Заметим, что несущественно кратный нуль γ = 0 (t = σ) для σ > −1 является параболическим, а для σ < −1 — эллиптическим. Специальным обозначением γ = s (sh , se , sp ) выделим нули функции x−σ Jσ (x) (t = −∞). Проследим теперь эволюцию нулей γ функции x−σ χσ (x; t) с arg γ ∈ (−π/2, π/2] при изменении t от −∞ до +∞. 1. Пусть σ > −1. В этом случае (см. рис. 1 – 4) для p ∞ произвольного t ∈ R имеется набор нулей {γm }m=0 . При этом p p p p = +i∞. С lim γm = sm , lim γm+1 = sm (m ∈ Z+ ), lim γ0(i) t→−∞

t→+∞

t→+∞

p монотонно движутся в сторону начала коорростом t нули γm

286

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

динат, все время удовлетворяя неравенству sp0 < γ1p < sp1 < γ2p < < sp2 < . . . , а нуль γ0p удаляясь от sp0 и приблизившись к началу координат, сталкивается в момент t = σ со своим зеркальным относительно мнимой оси изображением −γ0p , в результате чего возникает несущественно кратный нуль γ0p = 0, распадающийся в следующий момент t > σ на два мнимых нуля γ0p и −γ0p = γ p0 . То есть фактически имеем в момент t = σ переход вещественного нуля γ0p на мнимую ось и дальнейшее его удаление при t → +∞ на +i∞. 2. Пусть σ < −1 (σ = −ν, ν ∈ (2n + 1, 2n + 2), n ∈ Z+ ). В этом случае (см. рис. 5, 6, 9) для t ∈ (−∞, t∗(r) ) имеется следуюh rσ −2 p ∞ h щий набор нулей: {γm }m=0 , γ e , {γm , γm }m=0 (если ν ∈ (1, 2), то h rσ −2 h множество {γm , γ m }m=0 пусто). Для t → −∞ выполняются соp h отношения lim γ e = se0 , lim γm = spm (m ∈ Z+ ), lim γm = shm t→−∞

t→−∞

t→−∞

p ∞ (m ∈ Z0, rσ −2 ). Поведение нулей {γm }m=1 аналогично предыдущему случаю. Мнимый эллиптический нуль γ0e с ростом t движется в сторону начала координат и в момент t = σ сталкивается со своим зеркальным относительно вещественной оси изображением −γ0e = γ 0e . При этом возникает несущественно кратный нуль γ0e = 0, который в следующий момент t > σ распадается на два вещественных нуля γ0e и −γ0e . Таким образом, фактически имеем переход в момент t = σ эллиптического нуля γ0e с мнимой оси на вещественную. С дальнейшим ростом t нуль γ0e удаляется от начала координат и в момент t = t∗(r) ∈ (σ, −σ) сталкивается с движущимся навстречу параболическим нулем γ0p , в результате чего возникает существен∗ но кратный параболический нуль γ(r) . Таким образом, имеем h rσ −2 p ∞ ∗ h }m=0 . В следуследующий набор нулей: {γm }m=1 , γ(r) , {γm , γm ∗ ∗ ющий момент t > t(r) существенно кратный нуль γ(r) распадается на два невещественных (гиперболических) нуля γrhσ −1 и γ rhσ −1 , располагающихся симметрично относительно вещественной оси. Тогда вплоть до момента t∗(i) > −σ имеем следующий h p ∞ h rσ −1 , γm }m=1 , {γm }m=0 . По мере возрастания t от набор нулей: {γm

287

4.1.6. Классификация нулей и их эволюция

t∗(r) до t∗(i) пара гиперболических нулей γ0h и γ 0h приближается к мнимой оси и в момент t = t∗(i) сталкивается со своим зеркальным изображением относительно мнимой оси. В результа∗ те возникает существенно кратный параболический нуль γ(i) p ∞ ∗ ∗ ∗ , = γ(i) ). Таким образом, имеем набор: {γm }m=1 , γ(i) (и −γ(i) h ∗ h rσ −1 ∗ {γm , γ m }m=1 . В следующий момент t > t(i) нуль γ(i) распадается на два мнимых нуля: параболический γ0p и эллиптический p ∞ }m=0 , γ0e , γ0e . Следовательно, имеем для t > t∗(i) набор нулей: {γm rσ −1 h {γm , γ hm }m=1 . При этом с ростом t нуль γ0e движется в сторону начала координат, а γ0p — в противоположном направлении. p В пределе при t → +∞ имеем соотношения: lim γm+1 = spm t→+∞

p h (m ∈ Z+ ), lim γ0(i) = +i∞, lim γ0e = se0 , lim γm+1 = shm t→+∞

t→+∞

t→+∞

(m ∈ Z0, rσ −2 ). 3. Пусть σ < −1 (σ = −ν, ν ∈ (2n + 2, 2n + 3), n ∈ Z+ ). В этом случае (см. рис. 6, 7, 10) для t ∈ (−∞, t∗(i) ) имеется следуюh rσ −1 p ∞ h щий набор нулей: {γm }m=0 . Для t → −∞ при этом }m=0 , {γm , γm p p h имеем lim γm = sm (m ∈ Z+ ), lim γm = shm (m ∈ Z0, rσ −1 ). t→−∞

t→−∞

p ∞ Нули {γm }m=1 ведут себя аналогично предыдущим случаям. С ростом t пара гиперболических нулей γ0h и γ h0 приближается к мнимой оси и в момент t = t∗(i) < σ сталкивается со своим зеркальным относительно нее изображением. В результате ∗ возникает существенно кратный параболический нуль γ(i) (и ∗ ∗ −γ(i) = γ (i) ). Таким образом, имеем следующий набор нулей: h rσ −1 p ∞ ∗ h {γm }m=0 , γ(i) }m=1 . В следующий момент t > t∗(i) су, {γm , γm ∗ щественно кратный нуль γ(i) распадается на два мнимых нуля: p e параболический γ0(i) и эллиптический γ0(i) , то есть вплоть до p ∗ p ∞ e t = t(r) получаем следующий набор нулей: {γm }m=0 , γ0(i) , γ0(i) , r −1

h σ h }m=1 . Отметим, что в этом наборе имеется два пара{γm , γm болических нуля с индексами p и 0, а именно, вещественный p p p ∞ нуль γ0(r) }m=0 и мнимый γ0(i) . По мере возрастания t от ∈ {γm e приближается к началу t∗(i) до σ эллиптический нуль γ0e = γ0(i)

288

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

координат и сталкивается со своим зеркальным относительно вещественной оси изображением −γ0e = γ e0(i) , в результате чего возникает несущественно кратный нуль γ0e = 0, который в следующий момент t > σ распадается на два вещественных нуля e e γ0e = γ0(r) и −γ0e = −γ0(r) . То есть фактически имеем переход e эллиптического нуля γ0 с мнимой оси на вещественную. Далее, с ростом t эллиптический нуль γ0e удаляется от начала координат и в момент t = t∗(r) ∈ (σ, −σ) сталкивается с движущимся p навстречу параболическим нулем γ0(r) . В итоге возникает суще∗ ственно кратный нуль γ(r) . Таким образом, имеем следующий h rσ −1 ∗ h p ∞ , {γm , γm }m=0 , γ(r) набор нулей: {γm }m=1 , где теперь в множеp p ∞ ство {γm }m=0 включен вместо вещественного γ0(r) мнимый нуль p ∗ γ0(i) . В следующий момент t > t(r) существенно кратный нуль ∗ γ(r) распадается на пару гиперболических нулей γ0h и γ h0 , располагающихся симметрично относительно вещественной оси, и в дальнейшем для всех t > t∗(r) имеем следующий набор нулей: h rσ −1 p ∞ h }m=0 . При этом в пределе t → +∞ имеем: {γm }m=0 , {γm , γm p p p h lim γm = sm (m ∈ Z+ ), lim γ0(i) = +i∞, lim γm+1 = shm t→+∞

(m ∈ Z0, rσ −2 ), lim

t→+∞

γ0h

=

t→+∞ h srσ −1 .

t→+∞

Отметим, что на рис. 5.1.1 изображены траектории нулей функции t(z) − t при изменении t в интервале (−∞, ∞) для некоторых значений параметра σ.

4.1.7. Собственные числа и их эволюция Каждому нулю γ функции x−σ χσ (x; t) отвечает собственное число λ = γ 2 оператора Λhσi . Будем называть собственные числа гиперболическими, эллиптическими или параболическими, если им отвечают гиперболические, эллиптические или параболические нули соответственно. Для собственных чисел при t = −∞ введем специальное обозначение µ = s2 . Проследим эволюцию собственных чисел при изменении t от −∞ до +∞. Для всех σ ∈ R \ Z параболические собственные числа

4.1.7. Собственные числа и их эволюция

289

p 2 λpm = (γm ) , m ∈ N движутся с ростом t в сторону начала координат, перемещаясь из начального положения µpm (при t = −∞) в положение µpm−1 (при t → +∞), всегда удовлетворяя соотношению µp0 < λp1 < µp1 < λp2 < µp2 < . . . . 1. При σ > −1 кроме набора {λpm }∞ m=1 имеется параболиp ческое собственное число λ0 , которое из начального положения µp0 движется в сторону начала координат и, пройдя его в момент t = σ, уходит затем при t → +∞ на −∞. 2. При σ = −ν, ν ∈ (2n + 1, 2n + 2), n ∈ Z+ кроме наp ∗ бора {λpm }∞ m=1 при t < t(r) имеются собственные числа λ0 > 0, rσ −2 λe0 < 0, {λhm , λhm }m=0 . При этом гиперболические собственные числа λhm , λhm , m ∈ Z0, rσ −2 из начального положения µhm , µhm непрерывно перемещаются соответственно в положение µhm−1 , µhm−1 при t → +∞. Собственные числа λp0 и λe0 с ростом t движутся в сторону начала координат. В момент t = σ эллиптическое собственное число λe0 проходит начало координат и в точке λ∗(r) > 0 в момент t = t∗(r) ∈ (σ, −σ) сталкивается с параболическим собственным числом λp0 , после чего они рассеиваются в комплексную область, образуя пару гиперболических собственных чисел λhrσ −1 и λhrσ −1 , которые при t → +∞ устремляются к µhrσ −2 и µrhσ −2 соответственно. По мере увеличения t пара гиперболических собственных чисел λh0 и λh0 приближается к отрицательной полуоси и в момент t = t∗(i) > −σ сталкивается в точке λ∗(i) < 0, после чего образуются собственные числа λp0 и λe0 (λp0 < λe0 < 0). Далее, параболическое собственное число λp0 устремляется при t → +∞ на −∞, а эллиптическое λe0 , двигаясь в сторону начала координат, в пределе достигает µe0 < 0. 3. При σ = −ν, ν ∈ (2n + 2, 2n + 3), n ∈ Z+ кроме набоp ∗ ра собственных чисел {λpm }∞ m=1 при t < t(i) имеются λ0(r) > 0 r −1

σ и {λhm , λhm }m=0 . При этом гиперболические собственные числа h h λm , λm , m ∈ Z0, rσ −1 из начального положения µhm , µhm непрерывно перемещаются в положение µhm−1 , µhm−1 при t → +∞. По мере роста t пара гиперболических собственных чисел λh0 и λh0

290

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

приближается к отрицательной полуоси и в момент t = t∗(r) < σ сталкивается в точке λ∗(i) < 0, после чего образуется пара собственных чисел λp0(i) и λe0 (λp0(i) < λe0 < 0). При t → +∞ параболическое собственное число λp0(i) устремляется на −∞, а эллиптическое λe0 , пройдя в момент t = σ начало координат, сталкивается в точке λ∗(r) > 0 при t = t∗(r) ∈ (σ, −σ) с движущимся навстречу параболическим собственным числом λp0(r) , после чего они уходят в комплексную область, образуя пару гиперболических собственных чисел λh0 и λh0 , в пределе при t → +∞ занимающих положение µhrσ −1 и µrhσ −1 соответственно.

4.1.8. Собственные и присоединенные функции Собственному числу λ = γ 2 , где γ (arg γ ∈ (−π/2, π/2]) — нуль функции x−σ χσ (x; t), отвечает собственная функция √ wγ (x) = 2σ γ −σ Jσ (γ x) . Для двух собственных функций wγ и wγ 0 имеем Z [wγ , wγ 0 ]hσi = lim

α→+0

1 0

(σ)

wγ (x) wγ 0 (x) τα (x) dx =

= 4(γ 2 − γ 0 2 )−1 {wγ , wγ 0 }1 = 4(γ 2 − γ 0 2 )−1 (wγ wγ0 0 − wγ0 wγ 0 )1 . (wγ wγ0 0 − wγ0 wγ 0 )1 = ³ ´ = 22σ−1 γ −σ γ 0 −σ γ 0 Jσ (γ)Jσ0 (γ 0 ) − γ Jσ0 (γ)Jσ (γ 0 ) ,

Учитывая, что

находим [wγ , wγ 0 ]hσi = 22σ+1 γ −σ γ 0 −σ

t(γ 0 ) − t(γ) Jσ (γ)Jσ (γ 0 ) . (4.1.20) γ2 − γ 0 2

Следовательно, [wγ , wγ 0 ]hσi = 0 ,

если γ 2 6= γ 0 2 (λ 6= λ0 ) .

291

4.1.8. Собственные и присоединенные функции

В частности, для невещественного γ имеем [wγ , wγ ]hσi = 0 ,

если γ 2 6= γ 2 (λ 6= λ ) .

(4.1.21)

Для γ 2 = γ 0 2 (λ = λ0 ) получаем [wγ , wγ ]hσi = 22σ γ −2σ−2 (t2 + γ 2 − σ 2 ) Jσ2 (γ) .

(4.1.22)

В частности, для вещественного или чисто мнимого нуля γ (при этом γ 2 = γ 2 , wγ (x) = wγ (x)) имеем [wγ , wγ ]hσi = 22σ γ −2σ−2 (t2 + γ 2 − σ 2 ) Jσ2 (γ) .

(4.1.23)

Для несущественно кратного нуля γ = 0 (при t = σ) имеем 1 . (σ + 1) Γ2 (σ + 1) (4.1.24) Последнее соотношение может быть получено из (4.1.23) с учетом разложения (4.1.13). Для существенно кратного нуля γ в силу теоремы 4.1.10 из (4.1.23) имеем [wγ , wγ ]hσi = 0 . (4.1.25) w0 (x) =

1 xσ/2 , Γ(σ + 1)

[w0 , w0 ]hσi =

Для вещественного или чисто мнимого нуля условие (4.1.25) является необходимым и достаточным условием для его существенной кратности. Рассмотрим функции wγ, n (x) = ²n

1 ∂ n σ −σ/2 √ 2 λ Jσ ( λx) n! ∂λn

(γ =

√

λ, n ∈ Z+ ) ,

где ² ∈ R \ {0}, для которых имеют место разложения ∞

(−1)n σ/2+n X (−1)s λs xs wγ, n (x) = ² x . 2s s! Γ(σ + n + s + 1) 22n n! 2 s=0 n

292

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

Действуя на обе части равенства l(wγ (x)) − λ wγ (x) = 0 , операцией

√ где wγ (x) = 2σ λ−σ/2 Jσ ( λx) ,

1 ∂n , получаем n! ∂λn

l(wγ, n (x)) − λ wγ, n (x) = ² wγ, n−1 (x)

(n ∈ Z+ , wγ, −1 (x) = 0) . (4.1.26) Функции wγ, n (x) (n ∈ N) назовем присоединенными функциями операции l(y), отвечающими собственному числу λ = γ 2 и собственной функции wγ (x) = wγ, 0 (x). В частности, для λ = 0 имеем ¯ ¯ w0, n (x) = wγ, n (x)¯

γ=0

=

²n (−1)n xσ/2+n 22n n! Γ(σ + n + 1)

l(w0, n (x)) = ² w0, n−1 (x)

(n ∈ Z+ ) , (4.1.27)

(n ∈ Z+ , w0, −1 (x) = 0) .

(4.1.28)

Функции wγ, n (x) (n ∈ N), удовлетворяющие граничному условию (4.1.9), будем называть присоединенными функциями оператора Λhσi . Теорема 4.1.22. Максимально возможная размерность корневого подпространства оператора Λhσi равна двум, причем корневое подпространство, отвечающее собственному числу λ = γ 2 , двумерно тогда и только тогда, когда γ — существенно кратный нуль. Доказательство. Если γ = 0 (несущественно кратный нуль), то, ˙ 1), так как она не удовлетвоочевидно, функция w0, 1 ∈ / Dhσi (0, ряет граничному условию y(1) sin β −y 0 (1) cos β = 0. Если γ 6= 0, то для ³ ´ σ−1 −σ−2 0 wγ, 1 (x) = ² 2 γ −σ Jσ (z) + z Jσ (z) , ´ ³ wγ, 2 (x) = ²2 2σ−3 γ −σ−4 (2σ 2 − z 2 + 2σ) Jσ (z) − 2(σ + 1) z Jσ0 (z) ,

293

4.1.8. Собственные и присоединенные функции

√ где z = γ x, имеем wγ, 1 (1) sin β −

0 wγ, 1 (1)

² 2σ−2 (t2 + γ 2 − σ 2 ) Jσ (γ) cos β = , γ σ+2 (1 + t2 /4)−1/2

0 и wγ, 2 (1) sin β − wγ, 2 (1) cos β =

²2 2σ−3 Jσ (γ) . γ σ+2 (1 + t2 /4)−1/2

Следовательно, ввиду Jσ (γ) 6= 0 первое выражение равно нулю тогда и только тогда, когда t2 + γ 2 − σ 2 = 0, а второе не равно нулю. Отсюда согласно теореме 4.1.10 следует утверждение теоремы. ¤ Отметим, что утверждение теоремы является ожидаемым и имеет естественную интерпретацию. Несущественно кратному нулю γ = 0 отвечает всего лишь прохождение эллиптического собственного числа через нулевое значение λ = 0. При этом размерность соответствующего собственного подпространства как до момента t = σ, так и после момента t = σ, а также, разумеется, в момент t = σ сохраняется равной единице. Существенно кратному нулю γ = γ ∗ отвечает момент перехода пары собственных чисел (эллиптического и параболического) в пару комплексно сопряженных гиперболических собственных чисел (или наоборот) в результате слияния в момент t = t∗ . При этом общая размерность собственных подпространств, отвечающих этим собственным числам, остается постоянной (равной двум) как до столкновения, так и после столкновения, а также, естественно, в момент столкновения. Поэтому размерность корневого подпространства, отвечающего параболическому собственному числу λ = λ∗ , равна двум. Из уравнений для wγ и wγ, 1 , приведенных в (4.1.26), находим: [wγ, 1 , wγ 0 ]hσi = 4(λ − λ 0 )−1 (wγ0 0 wγ , 1 − wγ0 , 1 wγ 0 )|1 − −4² (λ − λ 0 )−2 (wγ0 0 wγ − wγ0 wγ 0 )|1 ,

(4.1.29)

[wγ , 1 , wγ 0 , 1 ]hσi = 4(λ − λ 0 )−1 (wγ0 0 , 1 wγ , 1 − wγ0 , 1 wγ 0 , 1 )|1 −

294

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

−4² (λ − λ 0 )−2 (wγ0 0 , 1 wγ − wγ0 wγ 0 , 1 )|1 + +4² (λ − λ 0 )−2 (wγ0 0 wγ , 1 − wγ0 , 1 wγ 0 )|1 − −8²2 (λ − λ 0 )−3 (wγ0 0 wγ − wγ0 wγ 0 )|1 .

(4.1.30)

При этом, ввиду wγ (1) = 2σ γ −σ Jσ (γ) ,

wγ0 (1) = 2σ−1 γ −σ t(γ) Jσ (γ) ,

³ ´ wγ, 1 (1) = ² 2σ−1 γ −σ−2 t(γ) − σ Jσ (γ) , ³ ´ 2 2 σ−2 −σ−2 0 wγ, 1 (1) = ² 2 γ σ − γ − σt(γ) Jσ (γ) , имеем Nγ,−1γ 0 (wγ0 0 wγ

−

wγ0 wγ 0 )|1

=2

−1

³

´ t(γ ) − t(γ) , 0

0 Nγ,−1γ 0 (wγ0 0 wγ, 1 − wγ, 1 wγ 0 )|1 = h ³ ´ i = 2−2 ² γ −2 σ t(γ) − t(γ 0 ) + t(γ)t(γ 0 ) + γ 2 − σ 2 ,

Nγ,−1γ 0 (wγ0 0, 1 wγ − wγ0 wγ 0, 1 )|1 = h ³ ´ i −2 0 −2 0 0 02 2 = 2 ²γ σ t(γ) − t(γ ) − t(γ)t(γ ) − γ + σ , 0 Nγ,−1γ 0 (wγ0 0, 1 wγ, 1 − wγ, 1 wγ 0, 1 )|1 = ³ ´ −3 2 −2 0 −2 02 2 2 0 02 =2 ² γ γ σ(γ − γ ) + γ t(γ ) − γ t(γ) ,

где Nγ, γ 0 = 22σ γ −σ γ 0 −σ Jσ (γ)Jσ (γ 0 ) . Следовательно, если γ = γ ∗ — существенно кратный нуль, а γ 0 — нуль, не совпадающий с существенно кратным (γ 0 2 6= 6= γ ∗ 2 ), то ввиду t(γ ∗ ) = t(γ 0 ) и σ 2 − γ ∗ 2 − t2 (γ ∗ ) = 0 из (4.1.29) получаем [wγ ∗ , 1 , wγ 0 ]hσi = 0 (γ 0 2 6= γ ∗ 2 ) .

4.1.8. Собственные и присоединенные функции

295

Полагая в (4.1.29) γ 0 = γ+ и γ = γ− (см. соотношения (4.1.15) и (4.1.16)), предельным переходом [wγ ∗ , 1 , wγ ∗ ]hσi = lim [wγ− , 1 , wγ + ]hσi α→+0

ввиду t(γ− ) = t(γ+ ) = t∗ − α2 находим (с учетом того, что wγ ∗ = wγ ∗ ): [wγ ∗ , 1 , wγ ∗ ]hσi = ² 22σ−1 γ ∗ −2σ−2 Jσ2 (γ ∗ ) .

(4.1.31)

Аналогично, полагая в (4.1.30) γ 0 = γ+ и γ = γ− , предельным переходом [wγ ∗ , 1 , wγ ∗ , 1 ]hσi = lim [wγ− , 1 , wγ + , 1 ]hσi α→+0

находим (с учетом того, что wγ ∗ , 1 = wγ ∗ , 1 ): [wγ ∗ , 1 , wγ ∗ , 1 ]hσi = ²2 22σ−1 γ ∗ −2σ−4

2t − 3σ − 2 2 ∗ Jσ (γ ) . (4.1.32) 3

Далее, рассмотрим присоединенную функцию wγ ∗ ; 1 (x) = wγ ∗ , 1 (x) + ξγ ∗ wγ ∗ (x) , для которой, очевидно, выполняется соотношение [wγ ∗ ; 1 , wγ ∗ ]hσi = ² 22σ−1 γ ∗ −2σ−2 Jσ2 (γ ∗ ) .

(4.1.33)

Фиксируем параметр ξγ ∗ следующим условием: [wγ ∗ ; 1 , wγ ∗ ; 1 ]hσi = 0 ,

(4.1.34)

из которого следует ξγ ∗ = −

1 [wγ ∗ , 1 , wγ ∗ , 1 ]hσi (3σ − 2t∗ + 2) ² = , 2 [wγ ∗ , 1 , wγ ∗ ]hσi 6γ ∗ 2

³ √ √ √ ´ 2 wγ ∗ ; 1 (x) = ² 2σ−1 γ −σ−2 γ ∗ x Jσ0 (γ ∗ x) + (1 − t∗ ) Jσ (γ ∗ x) . 3 (4.1.35)

296

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

4.1.9. Корневые и инвариантные подпространства Введем следующие обозначения. Через Γh+ (Γh− ) обозначим множество всех гиперболических нулей γ = γ h с arg γ ∈ (0, π/2) (arg γ ∈ (−π/2, 0)). Тогда Γh = Γh+ ∪ Γh− . Через Γe обозначим множество эллиптических нулей γ = γ e (это множество либо пусто, либо содержит один элемент). Тогда Γe0 = Γe \ {γ e = 0} (множество {γ e = 0} пусто, если функция x−σ χσ (x; t) не имеет кратного эллиптического нуля γ e = 0). Через Γp обозначим множество всех параболических нулей, причем существенно кратный нуль, если таковой имеется, содержится в нем дважды. Тогда Γp∗ = Γp \{γ ∗ }, Γp∗∗ = Γp \{γ ∗ , γ ∗ }, Γp0 = Γp \ {γ p = 0} ({γ ∗ } = {Ø}, {γ ∗ , γ ∗ } = {Ø}, {γ p = 0} = {Ø}, если функция x−σ χσ (x; t) не имеет соответственно кратного параболического нуля γ ∗ или нуля γ p = 0). Обозначим также Γ = Γh ∪ Γe ∪ Γp , Γ∗ = Γ \ {γ ∗ }, Γ∗∗ = Γ \ {γ ∗ , γ ∗ }, Γ0 = Γ \ {γ = 0}. Гиперболическому собственному числу λh = (γ h )2 отвечает одномерное вырожденное, согласно (4.1.21), корневое под˙ N h обпространство Nγ h = Lin{wγ h }. Прямая сумма Nγ h + γ разует двумерное невырожденное, согласно (4.1.22), подпроP [+] ˙ (h) странство. Прямая π-ортогональная сумма L(+) = Nγ γ∈Γh + есть гиперболическая часть неположительного инвариантного подпространства L(+) , для которого все собственные чис(h)

ла имеют неотрицательную мнимую часть. Аналогично, L(−) = P [+] ˙ = γ∈Γh Nγ есть гиперболическая часть неположительного ин− вариантного подпространства L(−) , для которого все собственные числа имеют неположительную мнимую часть. Эллиптическому собственному числу λe = (γ e )2 отвечает одномерное отрицательное, согласно (4.1.22), подпространство Nγ e = Lin{wγ e }. Подпространство L(e) = Nγ e является эллиптической частью неположительных инвариантных подпространств L(±) .

297

4.1.10. Обращение оператора

Параболическому собственному числу λ∗ = (γ ∗ )2 отвечает двумерное невырожденное, согласно (4.1.25), (4.1.33), (4.1.34), подпространство Nγ ∗= Lin{wγ ∗ , wγ ∗,1 }.При этом одномерное вырожденное, согласно (4.1.25), подпространство L(p) = Lin{wγ ∗ } является параболической частью неположительных инвариант(h) ˙ L(e) [+] ˙ ных подпространств L(±) . Таким образом, L(±) = L(±) [+] ˙ L(p) , причем всегда dim L(e) · dim L(p) = 0. Прямая сумма [+] P +˙ (h) (h) ˙ L(h) Πhσi = L(+) + γ∈Γh Nγ есть (невырожденное) гипербо(−) = лическое инвариантное подпространство в пространстве Πhσi . Параболическому собственному числу λp = (γ p )2 , где γ p ∈ ∈ Γp∗∗ , отвечает одномерное положительное, согласно (4.1.22), корневое подпространство Nγ p = Lin{wγ p }. Прямая π-ортогоP [+] ˙ (p) нальная сумма Πhσi = γ∈Γp∗ Nγ есть бесконечномерное невырожденное инвариантное подпространство. Таким образом, (h) 0 (p) (h) (h) ˙ Π(e) ˙ ˙ (h) имеем Πhσi [+] hσi [+] Πhσi ⊂ Πhσi (здесь Πhσi = L(+) + L(−) , (e)

0 (p)

(p)

Πhσi = L(e) ). В §4.1.10 будет показано, что Πhσi = Πhσi , следовательно, в этом соотношении под знаком включения необходимо понимать знак строгого равенства. Нетрудно убедиться в том, что для рангов индефинитно(i) сти инвариантных подпространств Πhσi , i = h, e, p выполняют(h)

(e)

(p)

ся следующие соотношения: rank Πhσi +rank Πhσi +rank Πhσi = rσ , (e)

(p)

rank Πhσi · rank Πhσi = 0.

4.1.10. Обращение оператора В случае t 6= σ оператор Λhσi обратим в Πhσi и необратим при t = σ. В последнем случае, ввиду того, что одномерное корневое подпространство N0 = Lin{w0 }, отвечающее собственному числу λ = 0 (γ = 0), согласно (4.1.24), не вырождено, все пространство Πhσi может быть представлено прямой ˙ N0 и для оператора π-ортогональной суммой Πhσi = Πhσi0 [+]

298

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

Λhσi имеем

˙ Λhσi(0) , Λhσi = Λhσi0 [+]

где Λhσi0 = Λhσi |Πhσi0 , Λhσi(0) = Λhσi |N0 (при этом rank Πhσi0 = = {rσ , если 0 ∈ Γp ; rσ − 1, если 0 ∈ Γe }). Обозначим: n o Π = Πhσi , если t 6= σ; Πhσi0 , если t = σ , n o a = a2hσi ∩ Πhσi , если t 6= σ; a2hσi ∩ Πhσi0 , если t = σ , где a2hσi = {y(x) : y(x) = (Wσ ξ)(x) = (ξ, eσ (x)), ξ ∈ l2 } , и n

o

Λ = Λhσi , если t 6= σ; Λhσi0 , если t = σ , n o D = Dhσi , если t 6= σ; Dhσi0 , если t = σ , ˙ 1), D где Dhσi ≡ Dhσi (0, = D |Π . Здесь esσ (x) = xs+σ/2 P∞ hσi0n+σ/2 hσi hσi0 (s ∈ Z+ ), y(x) = n=0 ξn x , Wσ — унитарный изоморфизм пространств l2 и a2hσi . Пусть aD = D ∩ a — максимальное множество в a, для которого ΛaD ⊂ a. Тогда Λ0 = Λ|aD — сужение оператора Λ с D на aD . Очевидно, aD плотно в a в метрике a (индуцируемой метрикой в a2hσi ). Теорема 4.1.23. Оператор Λ0 имеет в a обратный Q0 , являющийся оператором Гильберта—Шмидта и определяемый соотношением : z(x) = (Q0 y)(x) ,

Q0 = Wσ T Wσ−1 ,

y(x) ∈ a ,

(4.1.36)

где T — соответствующий оператор в l = Wσ−1 a ⊂ l2 , унитарно эквивалентный оператору Q0 в a и действующий по закону k

(T ξ) =

∞ X s=0

Tbks ξ s ,

Tbks = −asσ δk, s+1 + bsσ δk, 0

(k, s ∈ Z+ ) ,

299

4.1.10. Обращение оператора

asσ = ½

1 , 4(s + 1)(s + σ + 1)

(4.1.37)

¾ asσ (σ + 1) = для t = σ . s+σ+2 P∞ s s Доказательство. Подставляя выражения y(x) = s=0 ξ eσ (x) и P s s 0 z(x) = ∞ η e (x) в Λ z = y, то есть l(z) = y, находим σ s=0 bsσ

asσ (2s + σ + 2 − t) для t 6= σ; σ−t

∞ ³ X

´ 4(s + 1)(s + σ + 1) η s+1 + ξ s esσ (x) = 0 .

s=0

Отсюда, учитывая ортогональность в a2hσi системы {enσ (x)}∞ n=0 , n+1 n n получаем η = −aσ ξ (n ∈ Z+ ). Краевое условие z 0 (1) cos β − z(1) sin β = 0 , t = 2 tg β (4.1.38) P s в случае t 6= σ дает η 0 = ∞ (σ − t)−1 (2s + σ + 2 − t)ξ s . В s=0 aσP −1 s случае t = σ из (4.1.38) следует ∞ s=0 (s + σ + 1) ξ = 0, что является тождеством ввиду того, что y ∈ a2hσi0 ([y, w0 ]hσi = 0, w0 = e0σ (x)), а условие [z, w0 ]hσi = 0 (z ∈ a2hσi0 ) приводит к P∞ −1 s 0 соотношению s=0 (s + σ + 1) η = 0, откуда находим η = P∞ −1 s s = s=0 (σ + 1)(s + σ + 2) aσ ξ , т. е. в l соотношениями (4.1.37) определен оператор P T. s 2 P∞ s 2 Далее, т. к. ∞ s=0 |aσ | < ∞, s=0 |bσ | < ∞, то оператор 0 T и, следовательно, Q — операторы Гильберта—Шмидта в l и a соответственно. ¤ В a2hσi рассмотрим последовательность функций phσi m (x)

=x

σ/2

hσ, 0i Mm (x)

=

∞ X

s phσis m eσ (x)

(m ∈ Z+ ) ,

s=0

где многочлены

hσ, 0i Mm (x)

=

m X s=0

s phσis m x

с коэффициентами

300

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

phσis m

p (−1)m−s |σ + 2m + 1| Γ(σ+m+s+1) ³ ´ = sgn Γ(σ+m+1)Γ(σ+2m+1) s!(m−s)! Γ(σ+s+1) hσ, κi

— обобщенные полиномы Якоби Mm (x) с κ = 0 [15]. Система hσi {pm (x)}∞ m=0 образует полный π-ортонормальный базис в Πhσi и порождает в Πhσi положительно дефинитную метрику, определяющую топологию пространства Πhσi соотношением (y, z)hσi = P hσi hσi = [Jhσi y, z]hσi , где Jhσi = ∞ m=0 pm [ · , pm ]hσi — соответствующий оператор инволюции, диагональный в этом базисе: ³

Jhσi phσi m

´

hσi hσi (x) = Jm pm (x) ,

hσi Jm = sgn(σ + m + 1) (m ∈ Z+ ) .

p hσi Заметим, что p0 (x) = |σ + 1| w0 (x), следовательно, имеhσi ем Πhσi0 = CLin{pm (x)}∞ m=1 . Поэтому оператор Jhσi0 = Jhσi |Πhσi0 порождает в Πhσi0 положительно дефинитную метрику, определяющую его топологию и являющуюся сужением метрики (y, z)hσi на Πhσi0 . hσis

Последовательность векторов {pm }∞ s=0 , m ∈ Z+ образует −1 f fσ — в L2hσi = Wσ Πhσi [15] π-ортонормальный базис (здесь W расширение преобразования Wσ до π-унитарного преобразования из L2hσi = l2 на Πhσi = a2hσi ). Тогда последовательность hσis

векторов {e pm }∞ s=0 , m ∈ Z+ , где hσik pem

=

hσi k Jm (G(σ) phσi m )

∞ X = sgn(m + σ + 1) (k + s + σ + 1)−1 phσis m , s=0 hσis

образует, очевидно, биортогонально сопряженную к {pm }∞ s=0 , hσi hσi m ∈ Z+ систему в l2 : (pm , pen ) = δm, n , m, n ∈ Z+ . hσik

Явный вид элементов {e pm }∞ k=0 , m ∈ Z+ дает следующая

301

4.1.10. Обращение оператора

Теорема 4.1.24. Биортонормально сопряженной к системе hσik hσik {pm }∞ pm = k=0 , m ∈ Z+ , где p ½ ¾ Γ(σ+m+1) (−1)m−k |σ + 2m + 1| Γ(σ+m+k+1) = sgn , Γ(σ+2m+1) Γ(k + 1) Γ(m − k + 1) Γ(σ + k + 1) hσik

является система {e pm }∞ k=0 , m ∈ Z+ :

где

hσik pem

hσi ) = δnm (n, m ∈ Z+ ) , (phσi em n , p p |σ + 2m + 1| Γ(k + 1) Γ(σ + k + 1) = . sgn(σ + m + 1) Γ(k − m + 1) Γ(σ + m + k + 2)

Доказательство. Из соотношений hσi

hσi (pk , pem )=0 hσik

следует

pem

Из соотношения

=0

(k ∈ Z0, m−1 ) (k ∈ Z0, m−1 ) .

hσi (phσi em )=1 m , p 1 hσim pem = hσim . pm

следует

(4.1.39)

Из соотношений hσi

hσi (pk , pem )=0 k X

следует

hσim+s

(k ∈ Zm+1, ∞ )

hσim+s pm+k pem =0

(k ∈ N) .

(4.1.40)

s=0

Отсюда следует рекуррентное соотношение для определения hσik pem (k ∈ Zm+1, ∞ ) : hσim+k pem

=

hσim+k −(pm+k )−1

k−1 X s=0

hσim+s

hσim+s pem pm+k

(k ∈ N) .

302

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

hσim+1 pem

В частности,

hσim+2 pem =−

1 hσim

pm

=−

1 hσim

pm

hσim hσim+1

pm+2 pm+1

hσim

pm+1

hσim+1

pm+1

,

(4.1.41)

hσim hσim+1

− pm+1 pm+2

.

hσim+1 hσim+2 pm+2

pm+1

(4.1.42)

Из (4.1.39), (4.1.41), (4.1.42) находим p |σ + 2m + 1| m! Γ(σ + m + 1) hσim pem = , sgn(σ + m + 1) 0! Γ(σ + 2m + 2) p |σ + 2m + 1| (m + 1)! Γ(σ + m + 2) hσim+1 pem = , sgn(σ + m + 1) 1! Γ(σ + 2m + 3) p |σ + 2m + 1| (m + 2)! Γ(σ + m + 3) hσim+2 pem = . sgn(σ + m + 1) 2! Γ(σ + 2m + 4) Далее, предположим, что уже найдены p |σ + 2m + 1| (m + s)! Γ(σ + m + s + 1) hσim+s pem = sgn(σ + m + 1) s! Γ(σ + 2m + s + 2)

(4.1.43)

для s ∈ Z0, k−1 . Тогда это соотношение справедливо и для s = k и, следовательно, для всех s ∈ Z+ . Действительно, подставhσim+s hσim+s из и выражения для pem ляя в (4.1.40) значения для pm (4.1.43), получаем тождество k X (−1)s k! Γ(σ + 2m + k + s + 1) = 0, s! (k − s)! Γ(σ + 2m + s + 2) s=0

(4.1.44)

в справедливости которого можно убедиться следующим образом. Рассмотрим многочлены (ν) Fk (x)

k X (−1)s k! Γ(ν + k + s + 1) xs = s! (k − s)! Γ(ν + s + 2) s=0

(ν = σ + 2m) ,

303

4.1.10. Обращение оператора

k X (−1)s k! s Gk (x) = (1 − x) = x s! (k − s)! s=0 k

(k ∈ N) ,

связанные между собой соотношением ´ dk−1 ³ (ν) Fk (x) = x−ν−k k−1 xν+k Gk (x) . dx Так как, очевидно, ´¯ dk−1 ³ ν+k k ¯ x (1 − x) ¯ = 0, dxk−1 x=1 (ν)

то Fk (1) = 0, т. е. тождество (4.1.44) доказано. ¤ Теорема 4.1.25. Биортонормальная система векторов hσis ∞ hσis ∞ {pm }s=0 , {e pm }s=0 , m ∈ Z+ — полна в l2 : ∞ X

hσik hσis pem pm = δks

(k, s ∈ Z+ ) .

m=0

Доказательство. Утверждение теоремы следует из полноты сиhσi стемы полиномов {pm (x)}∞ m=0 в L2hσi (0, 1). Впрочем, в этом утверждении можно убедиться непосредственно. P hσik hσis Действительно. Очевидно, ∞ em pm = 0 для k < s. m=0 p Следовательно, необходимо доказать соотношение k X

hσik hσis pem pm = δks

(k ≥ s ∈ Z+ ) .

(4.1.45)

m=s

Для k = s легко убедиться в справедливости этого соотношения. Пусть теперь n = k − s > 0. Подставляя в (4.1.45) выраhσis hσik жения для pm и pem , заключаем, что необходимо доказать соотношение k X

(−1)m n! (σ + 2m + 1) Γ(σ + m + s + 1) = 0 или (k − m)! (m − s)! Γ(σ + m + k + 2) m=s

304

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

n X (−1)m n! (ν + 2m) Γ(ν + m) =0 m! (n − m)! Γ(ν + n + m + 1) m=0

(ν = σ + 2s + 1) .

С этой целью рассмотрим многочлены Fn(ν) (x)

n X (−1)m n! (ν + 2m) Γ(ν + m) xm = , m! (n − m)! Γ(ν + n + m + 1) m=0

(ν) Gn−1 (x)

n−1 X (−1)m (n − 1)! Γ(ν + m + 1) xm = . m! (n − m − 1)! Γ(ν + n + m + 1) m=0

Нетрудно проверить, что (ν)

Fn(ν) (x) = (1 − x) Gn−1 (x) . (ν)

Отсюда следует Fn (1) = 0, т. е. утверждение теоремы. ¤ Обозначим n o (y, z)◦hσi = (y, z)hσi для t 6= σ; (y, z)hσi |Πhσi0 для t = σ , (σ)

εm = {p(σ) m для t 6= σ; pm+1 для t = σ} ,

εm (x) = (Wσ εm )(x) .

Теорема 4.1.26. Для оператора Q0 справедливо соотношение ∞ X

0r

(Q

εm , εm )◦hσi

=

∞ X

(T r τs , τs ) ,

s=0

m=0

r ∈ N , (τs )k = δks , k, s ∈ Z+ . Доказательство. Очевидно, ∞ X (Q εm )(x) = (T εm )s esσ (x) 0

(m ∈ Z+ ) .

s=0

Следовательно, ∞ X

(Q

m=0

0r

εm , εm )◦hσi

=

∞ X

hσi (T r phσi em ). m , p

m=0

305

4.1.10. Обращение оператора

При получении этого соотношения p в случае t = σ использоhσi hσi валось то, что χ = T p0 = −a0σ |σ + 1| |σ + 3|−1 |σ + 2|−1 p1 , следовательно, hσi

hσi

hσi

hσi

(T r p0 , pe0 ) = (T r−1 χ, p0 )hσi = (Q0 r χ, p0 )hσi = 0 , P s s так как, ввиду χ(x) = ∞ s=0 χ eσ (x) ∈ a2hσi ∩ Πhσi0 , имеем ψ = hσi

= Q0 r−1 χ ∈ a2hσi ∩ Πhσi0 , а потому (ψ, p0 )hσi = 0. Далее, ∞ X

hσi ) = lim em (T r phσi m , p

n→∞

m=0

=

∞ X n−1 X

lim (phσi m , n→∞ s=0 m=0

τs )(τs , T

∗r

R

= lim

n→∞

Rn(r)

hσi )= (T r phσi em m , p

m=0

hσi pem )

=

∞ X

(T r τs , τs ) − R(r) ,

s=0

где (r)

n−1 X

,

Rn(r)

=

n X ∞ X

hσi s hσis (T ∗ r pem ) pm .

s=0 m=n hσis

hσis

Учитывая, что pm = 0 для s > m и pem = 0 для s < m, P P∞ (r) ∗ r hσi s hσis em ) pm , где Aks = −asσ δk, s+1 , находим: Rn = ∞ s=0 m=n (A p Q (r) k+p следовательно, (A∗ r )ks = r−1 p=0 aσ δs, k+r . Тогда имеем Rn = P P∞ hσik hσik+r Qr−1 p+k ) p=0 aσ или = (−1)r ∞ em k=0 ( m=n pm p Rn(r)

r

= (−1)

∞ ∞ X X

hσik (pm+n k=0 m=0

hσik+r pem+n )

r−1 Y

ap+k . σ

p=0

hσik+r

Так как pem+n = 0 для k + r < m + n, то k ≥ m + n − r ≥ n − r и m ≤ k − n + r. Следовательно, Rn(r)

= (−1)

r

∞ k−n+r X X k=n−r m=0

hσik (pm+n

hσik+r pem+n )

r−1 Y p=0

= ap+k σ

306

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

∞ X k X

r−1 Y hσik+n−r hσik+n (pm+n pem+n ) aσp+k+n−r p=0 k=0 m=0

r

= (−1)

.

hσik+n−r

Так как pm+n = 0 для k + n − r > m + n, то m ≥ m0 = = max{0; k − r}. Следовательно, Rn(r)

r

= (−1)

∞ X k X

hσik+n−r hσik+n (pm+n pem+n )

k=0 m=m0

= (−1)

r

= (−1)

r

aσp+k+n−r =

p=0

r−1 Y hσik+n−r hσik+n pem+n ) aσp+k+n−r (pm+n p=0 m=0 k=m ∞ m+r X X

∞ X r X

hσik+m+n−r hσik+m+n pem+n ) (pm+n

r−1 Y

=

aσp+k+m+n−r .

p=0

m=0 k=0 (r)

Таким образом, имеем Rn = (r) Rn, m

r−1 Y

P∞ m=0

(r)

Rn, m , где

r−1 r Y X hσik+m+n−r hσik+m+n (pm+n pem+n ) aσp+k+m+n−r . = (−1) r

p=0

k=0 hσik

hσik

Подставляя явные выражения для pm и pem , получаем µ ¶ r X Γ(σ + m + n + 1) (r) sgn Rn, m = × Γ(σ + 2m + 2n + 1 k=0 p (−1)k |σ + 2m + 2n + 1| Γ(σ + 2m + 2n + k − r + 1) × × (m + n + k − r)! (r − k)! Γ(σ + m + n + k − r + 1) p |σ + 2m + 2n + 1| (m + n + k)! Γ(σ + m + n + k + 1) ³ ´ × × sgn Γ(σ + m + n + 1) k! Γ(σ + 2m + 2n + k + 2) ×

r−1 Y

(m + n + k − r + 1)−1 . . . (m + n + k)−1 = 4(σ + m + n + k − r + 1) . . . (σ + m + n + k) p=0

307

4.1.10. Обращение оператора

=

r X (−1)k (σ + 2m + 2n + 1) Γ(σ + 2m + 2n + k − r + 1)

22r k! (r − k)! Γ(σ + 2m + 2n + k + 2)

k=0

.

Далее, имеем r r X (−1)k (σ + 2m + 2n + 1) Y 1 = 2r k! (r − k)! 2 σ+2m+2n+k−s+1 s=0 k=0

(r) Rn, m =

r r Bk, s 1 X (−1)k X = 2r , 2 k=0 k! (r − k)! s=0 σ + 2m + 2n + k − s + 1

где

Bk, s =

(−1)r−s (s − k) . s! (r − s)!

Таким образом, получаем (обозначив σmn = σ + 2m + 2n + 1) r k−1 1 1 X (−1)k−r X (−1)s (s − k) = 2r + 2 k=1 k! (r − k)! s=0 s! (r − s)! σmn + k − s

(r) Rn, m

r−1 r 1 1 X (−1)k−r X (−1)s (s − k) + 2r . 2 k=0 k! (r − k)! s=k+1 s! (r − s)! σmn + k − s

Поменяв во втором слагаемом порядок суммирования, находим (r) Rn, m=

µ ¶ r k−1 X (−1)k−r X (−1)s (k−s) 1 1 − . 2r s! (r−s)! k! (r−k)! 2 σ −k+s σ +k−s mn mn s=0 k=1

Сделав замену переменной суммирования соотношением s = = k − l, получаем (r) Rn, m

=

r k X (−1)r 2−2r X k=1

=

r X l=1

k! (r−k)! µ (r) Al

l=1

(−1)l l (k−l)! (r+l−k)!

µ

1 1 − σmn−l σmn+l

1 1 − σ+2m+2n−l+1 σ+ 2m+2n+l+1

¶ ,

¶ =

308

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

где r

(r) Al

1 1 (−1)r−l l X = . 2r 2 k! (r−k)! (k−l)! (r+l−k)! k=l

Используя соотношение r X

Crk Crk−l = C2rr−l , где Crk =

k=l (r)

для коэффициентов Al (r)

Al =

r! , k! (r − k)!

получаем

(−1)r−l l C2rr 22r (r − l)! (r + l)!

(l ∈ Z1, r , r ∈ N) .

Следовательно, Rn(r)

=

∞ X r X

µ (r) Al

m=0 l=1

=

r X l=1

(r) Al

∞ µ X m=0

=

1 1 − σ+2m+2n−l+1 σ+2m+2n+l+1

1 1 − σ+2m+2n−l+1 σ+2m+2n+l+1

r X l=1

(r) Al

¶ =

¶ =

l X

1 . σ + 2m + 2n − l − 1 m=1 (r)

Отсюда следует R(r) = lim Rn = 0. ¤ n→∞

Рассмотрим оператор Q0 как оператор в Π с плотной областью определения a ⊂ Π. Теорема 4.1.27. Оператор Q0 однозначно расширяется на все Π до π-самосопряженного оператора Гильберта—Шмидта Q = Λ−1 .

309

4.1.10. Обращение оператора

Доказательство. Для оператора Q0 находим: ∞ X

kQ0 k22hσi =

|(Q0 εm , εn )hσi |2 =

m, n=0 ∞ X

=

02

=

|[Q0 εm , εn ]hσi |2 =

m, n=0

[Q εm , εm ]hσi + 2

κ−1 X ∞ X

m=0 ∞ X

∞ X

[Q0 εm , εn ]hσi [Q0 εn , εm ]hσi =

n=0 m=0

02

(Q εm , εm )hσi + 4

m=0

κ−1 X

02

[Q εm , εm ]hσi + 4

m=0

κ−1 X

|[Q0 εm , εn ]hσi |2 ,

m, n=0

где κ = rank Π. Тогда, учитывая, что ∞ X

|

(Q0 2 εm , εm )hσi | = |SpT 2 | < ∞ ,

m=0 κ−1 X

|[Q0 2 εm , εm ]hσi | ≤ κ kG(σ) k · kT k2 · max2 kphσi m k < ∞, m∈Z0, κ−1

m=0 κ−1 X

|[Q0 εm , εn ]hσi |2 ≤ κ2 kG(σ) k2 · kT k2 · max4 kphσi m k < ∞, m∈Z0, κ−1

m, n=0

для нормы оператора Q0 в Π имеем: kQ0 khσi ≤ kQ0 k2hσi < ∞. Поэтому без изменения нормы Q0 однозначно продолжается на все Π до некоторого оператора Q. Ввиду того, что kQk2hσi = (

∞ X

2 1/2

|(Qεm , εn )hσi | )

m, n=0

=(

∞ X

|(Q0 εm , εn )hσi |2 )1/2 < ∞ ,

m, n=0

оператор Q является оператором Гильберта—Шмидта. Поскольку Λ Q0 = Q0 Λ = I в a, то Λ Q = Q Λ = I в Π, т. е. Q = Λ−1 . Наконец, т. к. Λ — π-самосопряженный в Π, то Q — также πсамосопряженный в Π оператор. ¤

310

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

Из теоремы следует, что спектр оператора Q состоит из последовательности собственных чисел {µγ }γ∈Γ , сходящейся при γ → ∞ к нулю. Так как операторы Λ и Q имеют общие собственные (в случае t = t∗ и присоединенные) вектора (при этом собственные числа взаимно обратны: λγ = µ−1 γ ), то спектр оператора Λ дискретен и совпадает с исследованным в § 4.1.7 множеством собственных чисел {λγ }γ∈Γ . (h) ˙ Λ(e) ˙ (p) Пусть t 6= σ. Тогда для Λhσi = Λhσi [+] hσi [+] Λhσi имеем (h)

Λhσi =

X

λγ w γ

γ∈Γh (e)

Λhσi =

X

(p)

Λhσi =

X

λγ wγ

γ∈Γp∗∗

+ wγ; 1

[ · , wγ ]hσi [wγ , wγ ]hσi

[ · , wγ ]hσi [wγ; 1 , wγ ]hσi

+

[wγ , wγ ]hσi

,

[ · , wγ ]hσi

, [wγ , wγ ]hσi µ X [ · , wγ; 1 ]hσi λγ wγ + + [wγ , wγ; 1 ]hσi p p

λγ w γ

γ∈Γe

[ · , wγ ]hσi

γ∈Γ \Γ∗

²λ−1 γ

wγ

[ · , wγ ]hσi

¶ .

[wγ; 1 , wγ ]hσi (h)

(e)

(p)

˙ Qhσi [+] ˙ Qhσi Соответственно, для оператора Qhσi = Qhσi [+] имеем X [ · , wγ ]hσi (h) Qhσi = λ−1 , γ wγ [wγ , wγ ]hσi h γ∈Γ

(e)

Qhσi =

X

λ−1 γ wγ

γ∈Γe (p)

Qhσi =

X

λ−1 γ wγ

γ∈Γp∗∗

+ wγ; 1

[ · , wγ ]hσi [wγ , wγ ]hσi

[ · , wγ ]hσi [wγ; 1 , wγ ]hσi

−

[ · , wγ ]hσi

, [wγ , wγ ]hσi µ X [ · , wγ; 1 ]hσi −1 + λγ wγ + [wγ , wγ; 1 ]hσi p p γ∈Γ \Γ∗

²λ−1 γ

wγ

[ · , wγ ]hσi [wγ; 1 , wγ ]hσi

¶ .

311

4.1.10. Обращение оператора

(h) ˙ Λ(e) ˙ (p) Если t = σ, то для Λhσi = Λhσi [+] hσi [+] Λhσi имеем (h)

Λhσi =

X

[ · , wγ ]hσi

λγ wγ

[wγ , wγ ]hσi

γ∈Γh

(e)

Λhσi =

X

λγ wγ

γ∈Γe0 (p)

Λhσi =

X γ∈Γp0

λγ wγ

[ · , wγ ]hσi [wγ , wγ ]hσi [ · , wγ ]hσi [wγ , wγ ]hσi

,

,

.

(h) (p) ˙ Q(e) ˙ Соответственно, для оператора Qhσi0 = Qhσi0 [+] hσi0 [+] Qhσi0 имеем X [ · , wγ ]hσi (h) , Qhσi0 = λ−1 γ wγ [w , w ] γ γ hσi h γ∈Γ

(e)

Qhσi0 =

X

λ−1 γ wγ

γ∈Γe0 (p)

Qhσi0 =

X

λ−1 γ wγ

γ∈Γp0

[ · , wγ ]hσi [wγ , wγ ]hσi [ · , wγ ]hσi [wγ , wγ ]hσi

,

.

Индексы h, e, p у операторов указывают на то, что они действуют в соответствующих инвариантных подпространст˙ Π(e) [+] ˙ Π(p) ). вах Π(h) , Π(e) , Π(p) (Π = Π(h) [+] Отметим, что оператор Q реализуется как интегральный оператор Z 1 y(x) = (Qf )(x) = Reg Q(x, s) f (s) ds , 0

определяемый ядром n o Q(x, s) = Qσ (x, s) для t 6= σ; Qσ 0 (x, s) для t = σ ,

312

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

где

X

Qσ (x, s) =

λ−1 γ

γ∈Γ∗∗

+

X

λ−1 γ

γ∈Γ\Γ∗

wγ (x)wγ (s) + [wγ , wγ ]hσi

wγ (x)wγ; 1 (s) + wγ; 1 (x)wγ (s) − ²λ−1 γ wγ (x)wγ (s) , [wγ , wγ; 1 ]hσi Qσ 0 (x, s) =

X

λγ

γ∈Γ0

wγ (x)wγ (s) . [wγ , wγ ]hσi

b Π (пополненФункция Q(x, s) принадлежит пространству Π ⊗ ному тензорному произведению пространств Π). При этом, очевидно, kQk2; 2 hσ; σi = kQk2hσi , где kQk2hσi — абсолютная норма b Π. оператора Q в Π, а kQk2; 2 hσ; σi — норма элемента Q из Π ⊗

4.1.11. Полнота системы собственных и присоединенных функций Теорема 4.1.28. Произвольный элемент y из области опреде˙ 1) оператора Λ разлагается в сходящийся по ления Dhσi (0, hσi норме Πhσi ряд по собственным и присоединенным функциям оператора Λhσi . ˙ 1) имеДоказательство. Для произвольного элемента y ∈ Dhσi (0, ем: Λhσi y = f ∈ Πhσi . 1. Пусть t 6= σ. Тогда y(x) истокообразно представляется через f (x) : y = Qhσi f, то есть y(x) =

X

ηγ wγ (x) +

γ∈Γ∗∗

где

X³

´ ηγ wγ (x) + ηγ; 1 wγ; 1 (x) ,

γ∈Γ\Γ∗

ηγ = λ−1 γ

[f, wγ ]hσi [wγ , wγ ]hσi

для γ ∈ Γ∗∗ ,

313

4.1.11. Полнота системы собственных и присоединенных функций

ηγ = λ−1 γ

[f, wγ; 1 ]hσi − ²λ−1 γ [f, wγ ]hσi

для γ ∈ Γ \ Γ∗ ,

[wγ , wγ; 1 ]hσi

ηγ; 1 = λ−1 γ

[f, wγ ]hσi

для γ ∈ Γ \ Γ∗ .

[wγ; 1 , wγ ]hσi

˙ 1) 2. Пусть t = σ. Тогда произвольный элемент y ∈ Dhσi (0, [⊥]

представляется в виде y = y(0) + y0 , где y(0) ∈ N0 , а y0 ∈ N0 = = Πhσi0 и, следовательно, истокообразно представима через f : y0 = Qhσi0 f. Таким образом, X y(0) (x) = η0 w0 (x) + ηγ wγ (x) , γ∈Γ0

где

η0 =

[y, w0 ]hσi [w0 , w0 ]hσi

ηγ = λ−1 γ

[f, wγ ]hσi [wγ , wγ ]hσi

(γ = 0) , (γ 6= 0) .

˙ 1) плотна в Π , то множеТак как область определения Dhσi (0, hσi ство всех собственных и присоединенных функций оператора Λhσi является полным в Πhσi . Следовательно, имеет место Теорема 4.1.29. Произвольный элемент f из Πhσi разлагается в сходящийся по норме Πhσi ряд по собственным и присоединенным функциям оператора Λhσi : ´ X X ³ f (x) = ξγ wγ + ξγ wγ (x) + ξγ; 1 wγ; 1 (x) , (4.1.46) γ∈Γ∗∗

γ∈Γ\Γ∗

где ξγ =

[f, wγ; 1 ]hσi [wγ , wγ; 1 ]hσi

ξγ = ,

[f, wγ ]hσi [wγ , wγ ]hσi

ξγ; 1 =

для γ ∈ Γ∗∗ ,

[f, wγ ]hσi [wγ; 1 , wγ ]hσi

для γ ∈ Γ \ Γ∗ .

314

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

Замечание 4.1.30. Ввиду полноты в Πhσi множества собственных и присоединенных функций оператора Λhσi имеем 0(p)

(p)

Πhσi = Πhσi (см. § 4.1.9). В качестве примера выпишем разложения в ряд функций (см. (4.1.27)) un (x) = ²−n w0, n (x) =

(−1)n xσ/2+n 22n n! Γ(σ + n + 1)

(n ∈ Z+ ) .

Из (4.1.28) для λ 6= 0 следует рекуррентное соотношение 4 1 [un , w γ ]hσi = − (wγ0 un − u0n wγ )1 + [un−1 , w γ ]hσi , λ λ используя которое, находим [un , w γ ]hσi = −4

n X (wγ0 uk − u0k wγ )1

λn−k+1

k=0

(n ∈ Z+ )

(4.1.47)

или после подстановки λ = γ 2 и (wγ0 uk − u0k wγ )1 =

(−1)k 2σ−1 (t−σ−2k) Jσ (γ) 22k γ σ k! Γ(σ + k + 1)

получаем [un , w γ ]hσi

n 2σ+1 Jσ (γ) X (−1)k (σ − t + 2k) γ 2k = σ+2n+2 . 2k k! Γ(σ + k + 1) γ 2 k=0

(4.1.48)

В случае λ = 0 имеем [un , w0 ]hσi =

(−1)n . n! Γ(σ + 1) Γ(σ + n + 2)

1. При t 6= t∗ имеет место разложение по системе {wγ }γ∈Γ : un (x) =

X wγ (x) [un , w γ ]hσi γ∈Γ

[wγ , w γ ]hσi

(n ∈ Z+ ) .

315

4.1.11. Полнота системы собственных и присоединенных функций

Подставляя сюда (4.1.48) и (4.1.22), получаем для n ∈ Z+ и t 6= σ разложение un (x) =

X γ∈Γ

√ n X 2 Jσ (γ x) (−1)k (σ − t + 2k) γ 2k . γ 2n (t2 + γ 2 − σ 2 ) Jσ (γ) k=0 22k k! Γ(σ + k + 1)

(4.1.49) Если t = σ, то с учетом (4.1.24), это разложение принимает вид un (x) =

(−1)n (σ + 1) xσ/2 + 22n n! Γ(σ + n + 2)

n X 22 J (γ √x) X (−1)k γ 2k σ + . 2n+2 J (γ) 2k Γ(k) Γ(σ + k + 1) γ 2 σ γ∈Γ k=0 0

При t = ∞ разложение (4.1.49) имеет вид n X 2 J (γ √x) X (−1)k γ 2k σ un (x) = − . 2n+1 J 0 (γ) 2k k! Γ(σ + k + 1) γ 2 σ γ∈Γ k=0 ∗ 2. Если по системе n t = t , то имеет место разложение o функций {wγ (x)}γ∈Γ∗∗ , wγ ∗ (x), wγ ∗ ; 1 (x) :

un (x) =

X wγ (x) [un , w γ ]hσi γ∈Γ∗∗

+

[wγ , w γ ]hσi

wγ ∗ ; 1 (x) [un , wγ ∗ ]hσi [wγ ∗ ; 1 , wγ ∗ ]hσi

+

wγ ∗ (x) [un , wγ ∗ ; 1 ]hσi [wγ ∗ , wγ ∗ ; 1 ]hσi

(n ∈ Z+ ) .

+

(4.1.50)

Используя уравнения (4.1.26) и (4.1.28), получаем рекуррентное соотношение [un , wγ ∗ ; 1 ]hσi = −

4(wγ0 ∗ ; 1 un − u0n wγ ∗ ; 1 )1 − λ∗

316

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

[un , wγ ∗ ]hσi

−²

λ∗

+

[un−1 , wγ ∗ ; 1 ]hσi λ∗

,

из которого находим [un , wγ ∗ ; 1 ]hσi = −4

n X (wγ0 ∗ ; 1 uk − u0k wγ ∗ ; 1 )1

λ∗ n−k+1

k=0

−²

n X [uk , wγ ∗ ]hσi k=0

λ∗ n−k+1

,

или ввиду (4.1.47) [un , wγ ∗ ; 1 ]hσi = −4

n X (wγ0 ∗ ; 1 uk − u0k wγ ∗ ; 1 )1 k=0

λ∗ n−k+1

+

n X

(wγ0 ∗ uk − u0k wγ ∗ )1 . + 4² (n − k + 1) λ∗ n−k+2 k=0 Подставляя сюда (wγ0 ∗ ; 1 uk − u0k wγ ∗ ; 1 )1 =

² (−1)k 2σ−2k (t∗ +2)(t∗ −σ−2k) Jσ (γ ∗ ) , 3 γ ∗ σ+2 k! Γ(σ + k + 1)

(wγ0 ∗ uk − u0k wγ ∗ )1 =

(−1)k 2σ−2k−1 (t∗ −σ−2k) Jσ (γ ∗ ) , γ ∗ σ k! Γ(σ + k + 1)

получаем [un , wγ ∗ ; 1 ]hσi = n

2σ+2 Jσ (γ ∗ ) X (−1)k (σ − t∗ + 2k) (t∗ − 4 − 6n + 6k) γ 2k =² . 3 γ ∗ σ+2n+4 k=0 22k k! Γ(σ + k + 1) Тогда разложение (4.1.50) принимает вид un (x) = √ n X X (−1)k (σ − t + 2k) γ 2k 2 Jσ (γ x) = + γ 2n (t2 + γ 2 − σ 2 ) Jσ (γ) k=0 22k k! Γ(σ + k + 1) γ∈Γ ∗∗

√ √ n 2 γ ∗ x Jσ0 (γ ∗ x) X (−1)k (σ − t∗ + 2k) γ ∗ 2k + ∗ 2n+2 − γ Jσ (γ ∗ ) k=0 22k k! Γ(σ + k + 1)

4.1.11. Полнота системы собственных и присоединенных функций

317

√ n 2 Jσ (γ ∗ x) X (−1)k (σ − t∗ + 2k) (t∗ + 2 + 6n − 6k) γ ∗ 2k − ∗ 2n+2 . 3γ Jσ (γ ∗ ) k=0 22k k! Γ(σ + k + 1) (4.1.51) Разложение (4.1.51) может быть получено непосредственно из разложения (4.1.49) предельным переходом при t → t∗ (α2 → 0, t = t∗ − α2 ) после предварительного выделения в сумме (4.1.49) двух слагаемых, отвечающих сталкивающимся нулям γ+ и γ− (см. соотношения (4.1.15) и (4.1.16)): u0, n (x) = √ n X 2 Jσ (γ x) (−1)k (σ − t + 2k) γ 2k = lim∗ = 2n (t2 + γ 2 − σ 2 ) J (γ) 2k k! Γ(σ + k + 1) t→t γ 2 σ γ∈Γ k=0 √ n X X (−1)k (σ − t + 2k) γ 2k 2 Jσ (γ x) = + γ 2n (t2 + γ 2 − σ 2 ) Jσ (γ) k=0 22k k! Γ(σ + k + 1) γ∈Γ∗∗ √ µ n X (−1)k (σ − t + 2k) γ+2k 2 Jσ (γ+ x) + lim + 2n 2 2k k! Γ(σ + k + 1) 2 α2 →0 γ+ (t2 + γ+ − σ 2 ) Jσ (γ+ ) k=0 √ ¶ n X (−1)k (σ − t + 2k) γ−2k 2 Jσ (γ− x) + 2n 2 . γ− (t + γ−2 − σ 2 ) Jσ (γ− ) k=0 22k k! Γ(σ + k + 1) X

В заключение приведем спектральное представление для оператора Λhσi : ¶ µZ +∞ (h) Λ ˙ ˙ λ dEλ + N(2) , где Λhσi = Λhσi [+] −∞

N(2) =

X γ∈Γ\Γ∗

²λ−1 γ

[ · , wγ ]hσi wγ [wγ; 1 , wγ ]hσi

— нильпотентный при t = t∗ оператор: N2(2) = 0 (N(2) = 0 при t 6= t∗ ), X [ · , wγ ]hσi wγ + EλΛ = θ(λ − λγ ) [w , w ] p γ γ hσi e γ∈Γ∗∗ ∪Γ

318

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

+

X

µ θ(λ − λγ )

[ · , wγ; 1 ]hσi wγ [wγ , wγ; 1 ]hσi

γ∈Γ\Γ∗

+

[ · , wγ ]hσi wγ; 1

¶

[wγ; 1 , wγ ]hσi

.

Здесь θ(x) = {0 для x < 0; 1 для x ≥ 0}. При этом эллиптическое γ e и параболическое γ p собственные числа (если таковые имеются) являются регулярными критическими точками для EλΛ , и EλΛ N(2) = N(2) EλΛ .

4.1.12. Сумма обратных степеней нулей Теорема 4.1.31. Оператор Q является ядерным оператором. p Доказательство. Определим оператор |Q| = Q(∗) Q, где Q(∗) = = JQc J = JQJ — сопряженный в Π относительно положительно определенной метрики (f, g), порождаемой оператором инверсии ¶ X Jγ wγ [ · , wγ ]hσi Xµ wγ [ · , wγ ]hσi wγ; 1 [ · , wγ; 1 ]hσi + Jhσi = + [wγ , wγ ]hσi [wγ; 1 , wγ ]hσi [wγ , wγ; 1 ]hσi γ∈Γ γ∈Γ\Γ∗

∗∗

в Πhσi для t 6= σ или

Jhσi0 =

X Jγ wγ [ · , wγ ]hσi γ∈Γ0

[wγ , wγ ]hσi

³ ´ в Πhσi0 для t = σ Jγ = {−1 для γ ∈ Γe ; +1 для γ ∈ / Γe } . Тогда для сопряженного оператора Q(∗) имеем: µ X −1 wγ [ · , wγ ]hσi X wγ; 1 [ · , wγ ]hσi (∗) −1 Qhσi = + λγ + λγ [w , w ] [w , w ] γ; 1 γ γ γ hσi hσi γ∈Γ γ∈Γ\Γ∗

∗∗

+ или

wγ [ · , wγ; 1 ]hσi [wγ , wγ; 1 ]hσi (∗)

Qhσi0 =

−

²λ−1 γ wγ; 1 [ · , wγ; 1 ]hσi

X γ∈Γ0

[wγ , wγ; 1 ]hσi −1

λγ

wγ [ · , wγ ]hσi [wγ , wγ ]hσi

¶ (t 6= σ) (t = σ) .

319

4.1.12. Сумма обратных степеней нулей

Следовательно, для t 6= σ : X

(∗)

Qhσi Qhσi =

|λγ |−2

wγ [ · , wγ ]hσi [wγ , wγ ]hσi

γ∈Γ∗∗

+

µ

X

|λγ |

−2

(1 + ²2 λ−2 γ ) wγ; 1 [ · , wγ ]hσi [wγ; 1 , wγ ]hσi

γ∈Γ\Γ∗

−

²λ−1 γ wγ [ · , wγ ]hσi

−

[wγ; 1 , wγ ]hσi (∗)

а для t = σ :

Qhσi0 Qhσi0 =

+

+

wγ [ · , wγ; 1 ]hσi [wγ , wγ; 1 ]hσi

²λ−1 γ wγ; 1 [ · , wγ; 1 ]hσi

¶ ,

[wγ , wγ; 1 ]hσi X

wγ [ · , wγ ]hσi

|λ|−2 γ

[wγ , wγ ]hσi

γ∈Γ0

−

.

Отсюда имеем для t 6= σ : X

|Qhσi | ==

|λγ |−1

wγ [ · , wγ ]hσi

γ∈Γ∗∗

+

X

γ∈Γ\Γ∗

+

µ

p 4 + ²2 λ−2 γ

2 wγ [ · , wγ; 1 ]hσi [wγ , wγ; 1 ]hσi

а для t = σ :

|λγ |−1

−

[wγ , wγ ]hσi

(2 + ²2 λ−2 γ ) wγ; 1 [ · , wγ ]hσi [wγ; 1 , wγ ]hσi

²λ−1 γ wγ [ · , wγ ]hσi [wγ; 1 , wγ ]hσi

|Qhσi0 | =

+

X

|λγ |−1

γ∈Γ0

−

+

²λ−1 γ wγ; 1 [ · , wγ; 1 ]hσi [wγ , wγ; 1 ]hσi

wγ [ · , wγ ]hσi [wγ , wγ ]hσi

¶ ,

.

Тогда для ядерной нормы оператора Q, учитывая асимптотику p нулей γm ∼ πm при m → ∞, находим: kQhσi k1, σ =

X γ∈Γ

|γ|−2 < ∞

(t 6= σ, t 6= t∗ ) ,

320

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

X

kQhσi k1, σ =

|γ|−2 + |γ ∗ |−2

γ∈Γ∗∗

kQhσi0 k1, σ; 0 =

X

q

4 + ²2 λ−2 γ∗ < ∞

|γ|−2 < ∞

(t = t∗ ) ,

(t = σ) ,

γ∈Γ0

то есть Q — ядерный оператор. ¤ Теорема 4.1.32. Нули функции x−σ χσ (x, t) удовлетворяют соотношениям : X γ −2n = SpTσn (n ∈ N) , если t 6= σ , γ∈Γ

X

γ −2n = SpTσn0

(n ∈ N) ,

если t = σ .

γ∈Γ0

Доказательство. Так как оператор Q ядерный, то матричный след оператора Qn (n ∈ N) совпадает со спектральным следом: ∞ X

(Qn εm , εm )◦hσi =

m=0

X

γ −2n .

γ∈Γ

Согласно теореме 4.1.26 имеем ∞ X

(Q

m=0

n

εm , εm )◦hσi

=

∞ X

(Q

m=0

0n

εm , εm )ohσi

=

∞ X

(Tbn )ss .

s=0

Отсюда следует утверждение теоремы. ¤ В частности, подсчитав SpTσn (n = 1, 2), получаем для t 6= σ X σ−t+2 1 , (4.1.52) γ −2 = 4 (σ + 1) σ − t γ∈Γ µ ¶ X 1 (σ − t + 2)2 σ + 1 (σ−t+4) (σ − t) −4 γ = 1− . 16 (σ + 1)2 (σ − t)2 σ + 2 (σ − t + 2)2 γ∈Γ (4.1.53)

321

4.1.13. Оснащение пространства

Аналогично, вычислив SpTσn0 (n = 1, 2), получаем для t = σ X

γ −2 =

γ∈Γ0

1 , 4 (σ + 2)

X

γ −4 =

γ∈Γ0

1 . 16 (σ + 2)2 (σ + 3)

Последние соотношения можно получить также из (4.1.52) и (4.1.53) предельным переходом при t → σ, используя разложения γ −2 =

³ ´ 2−1 2−2 2−3 (σ − t) 2 + + +O (σ−t) , (σ+1) (σ−t) (σ+1) (σ+2) (σ+2)2 (σ+3) 2−2 2−2 + + (σ + 1)2 (σ − t)2 (σ + 1)2 (σ + 2) (σ − t) ³ ´ 2−4 + O (σ − t) , + (σ + 1)2 (σ + 2)2 (σ + 3)

γ −4 =

которые находятся из разложения функции t(γ) в окрестности точки γ = 0 : t(γ) = σ −

2−1 γ 2 2−3 γ 4 2−4 γ 6 − − +O(γ 8 ) . (σ+1) (σ+1)2 (σ+2) (σ+1)3 (σ+2) (σ+3)

Из (4.1.52) и (4.1.53) в предельном случае t = ∞ получаем X

γ −2 =

γ∈Γ

1 , 4 (σ + 1)

X γ∈Γ

γ −4 =

1 16 (σ + 1)2 (σ + 2)

(см. также [3]).

4.1.13. Оснащение пространства Построим оснащение пространства Πhσi в терминах системы собственных и присоединенных функций оператора Λhσi .

322

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

Обозначим через PΠhσif линейное пространство всех функций виξγ, iγ eγ, iγ (x) , k ∈ Z+ , то есть да fk (x) = 0≤<γ
Πhσif = Lin{eγ, iγ (x) : γ ∈ Γ, iγ ∈ Iγ , 0 ≤ <γ < k}∞ k=0 , где множество Iγ = {{0}, если γ 6= γ ∗ ; Iγ = {0, 1}, если γ = γ ∗ }, а eγ, iγ (x) — нормированные на единицу функции wγ; iγ (x) : eγ, 0 (x) = wγ (x)/

q |[wγ , wγ ]hσi | (γ 6= γ ∗ ) ;

q eγ, 0 (x) = wγ (x)/ |[wγ , wγ; 1 ]hσi | , q eγ, 1 (x) = wγ; 1 (x)/ |[wγ , wγ; 1 ]hσi | (γ = γ ∗ ) . Таким образом, √ γ −σ Jσ (γ x) p (γ 6= γ ∗ ) ; eγ, 0 (x) = −σ−1 2 2 2 |γ| |t + γ − σ | |Jσ (γ)| √ γ −σ Jσ (γ x) eγ, 0 (x) = p , 2|²| |γ|−σ−1 |Jσ (γ)| √ √ √ √ ² 2γ −σ−2 (γ x Jσ0 (γ x) + 32 (1 − t) Jσ (γ x)) p eγ, 1 (x) = (γ = γ ∗ ) . |²| |γ|−σ−1 |Jσ (γ)| Условия π-ортонормировки имеют следующий вид. Для γ 6= γ ∗ : [eγ, 0 , e γ 0 , 0 ]hσi = 0 [eγ, 0 , e γ, 0 ]hσi = ηγ, 0 , ηγ, 0 = η γ, 0 = eiϕγ, 0 ,

(γ 6= γ 0 ) , [e γ, 0 , eγ, 0 ]hσi = η γ, 0 ,

ϕγ, 0 = arg{γ −2σ−2 (t2 + γ 2 − σ 2 ) Jσ2 (γ)} ,

eJγ, 0 = ηγ, 0 e γ, 0 ,

eJγ, 0 = η γ, 0 eγ, 0 .

323

4.1.13. Оснащение пространства

Для γ = γ ∗ : [eγ, 0 , e γ, 0 ]hσi = 0 ,

[eγ, 1 , e γ, 1 ]hσi = 0 , (γ 0 6= γ) ,

[eγ, 1 , e γ 0 , 0 ]hσi = 0 [eγ, 0 , e γ, 1 ]hσi = ηγ, 1 ,

[e γ, 1 , eγ, 0 ]hσi = ηγ, 1 ,

ηγ, 1 = sgn{²} , eJγ, 1 = ηγ, 1 eγ, 0 .

eJγ, 0 = ηγ, 1 eγ, 1 ,

Здесь eJγ, iγ = Jeγ, iγ , где J ≡ Jhσi — оператор инволюции J=

X

eγ, iγ [ · , eγ, iγ ]hσi .

γ∈Γ, iγ ∈Iγ

Таким образом, [eγ, iγ , eJγ0 , i0 0 ]hσi = δγ, γ 0 δiγ , i0 0 γ

γ

(γ, γ 0 ∈ Γ , iγ , i0γ 0 ∈ Iγ ) .

Соотношение полноты имеет вид: X I= eγ, iγ [ · , eJγ, iγ ]hσi . γ∈Γ, iγ ∈Iγ

В пространстве Πhσif введем счетную систему индефинитных метрик соотношениями [y, z]k = [N k y, N k z]hσi ,

k ∈ Z+ ,

где оператор N определяется соотношением N wγ, iγ (x) = nγ wγ, iγ (x)

(nγ = γ/π + 1) ,

имеем [y, z]k =

X γ∈Γ, iγ ∈Iγ

nkγ nγk [y, eγ, iγ ]hσi [eJγ, iγ , z]hσi .

324

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

Введем также соответствующие положительно определенные скалярные произведения (y, z)k = [Jk y, z]k = [JN k y, N k z]hσi , где Jk = N −k JN k , то есть X (y, z)k = nkγ nγk [y, eγ, iγ ]hσi [eγ, iγ , z]hσi . γ∈Γ, iγ ∈Iγ

Пополняя пространство Πhσif относительно скалярного произведения (y, z)k , получаем пространство Понтрягина Πk , ранг индефинитности которого совпадает с рангом индефинитности пространства Π0 ≡ Πhσi . Для продолжений метрик [y, z]k и (y, z)k на все пространство Πk оставим прежние обозначения. Ввиду согласованности норм · · · ≥ kykk ≥ · · · ≥ kyk1 ≥ kyk0 ≥ kyk−1 ≥ · · · ≥ kyk−k ≥ . . . , последовательность подпространств {Πk }∞ k=−∞ образует возрастающую цепочку · · · ⊂ Πk ⊂ · · · ⊂ Π1 ⊂ Π0 ⊂ Π−1 ⊂ · · · ⊂ Π−k ⊂ . . . . Пространство Π−k является сопряженным к пространству Πk относительно форм [y, z]0 ≡ [y, z]hσi и соответственно (y, z)0 ≡ ≡ (y, z)hσi , то есть для y ∈ Π−k и z ∈ Πk имеем: |[y, z]hσi | ≤ kyk−k · kzkk ,

|(y, z)hσi | ≤ kyk−k · kzkk .

∞ Пространство Π = ∩∞ k=1 Πk со счетным набором {(y, z)k }k=1 скалярных произведений и с соответствующим ему набором {[y, z]k }∞ k=1 индефинитных метрик является счетно-понтрягинским пространством. При этом Πk является пополнением пространства Π относительно скалярного произведения (y, z)k . Пространство Π0 = ∪∞ k=1 Π−k является сопряженным к пространству Π. Нетрудно убедиться [15] в том, что счетно-понтрягинское пространство Π является ядерным.

325

4.1.13. Оснащение пространства

ми:

Тройка пространств Π ⊂ Π0 ⊂ Π0 , обладающая свойства-

(1) Π — ядерное счетно-понтрягинское пространство, в котором задана невырожденная метрика [y, z]0 ; (2) Π0 — пополнение пространства Π относительно положительно определенного скалярного произведения (y, z)0 = = [Jy, z]0 ; (3) Π0 — сопряженное к Π пространство; — образует оснащенное пространство Понтрягина. Билинейный функционал [y, z]hσi может быть представлен функционалом δ [y, z]0 = [δ, yz] ≡ [[δ, y]0 , z]0 , порождающим соответствующий оператор I из Π в Π0 : y(x) = Iy(x) = [δx , y]0 , где

X

δx (t) ≡ δ hσi (x; t) =

eγ, iγ (x) eJγ, iγ (t) .

γ∈Γ, iγ ∈Iγ

Таким образом, δ hσi (x; t) можно формально рассматривать как ядро интегрального оператора Z

1

y(x) = lim

α→+0

0

hσi

δ hσi (x; t) y(t) τα (t) dt .

Аналогично, функционал δxJ (t) ≡ δ hσiJ (x; t) =

X

eγ, iγ (x) e γ, iγ (t)

γ∈Γ, iγ ∈Iγ

порождает оператор J : y J (x) = Jy(x) = [δxJ , y]0 .

326

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

Функционал δ hσiJ (x; t) также можно формально рассматривать как ядро интегрального оператора Z 1 hσi J y (x) = lim δ hσiJ (x; t) y(t) τα (t) dt . α→+0

0

Очевидно, эти операторы могут быть продолжены соответственно до единичного оператора и оператора инверсии в пространстве Π0 , а также на каждое из пространств Π−n (n ∈ N) и, следовательно, на Π0 : y J (x) = [δxJ , y]−∞ ,

y(x) = [δx , y]−∞ ,

y ∈ Π0 .

В оснащенном π-пространстве Π0 можно рассмотреть πсамосопряженный оператор X умножения на независимую переменную Xy(x) = xy(x) . При этом функционалы hσi

∆λ (x) = λ−σ/2 δ hσi (λ; x) образуют полную ортогональную систему обобщенных собственных векторов: hσi

hσi

X∆λ (x) = λ ∆λ (x) .

(4.1.54)

Условие полноты и ортогональности этой системы имеют вид hσi

−σ/2 −σ/2 hσi [∆λ (x), ∆hσi µ δ (λ; µ) , µ (x)]−∞ = λ hσi

hσi

[λσ/2 ∆λ (x), λσ/2 ∆λ (t)]−∞ = δ hσi (x; t) . Обозначим Eγ, iγ (y) = y −σ/2 eγ, iγ (y) . Тогда

hσi

∆y (x) =

P γ∈Γ, iγ ∈Iγ

Eγ, iγ (y) eJγ, iγ (x) .

327

4.1.13. Оснащение пространства

Учитывая асимптотику для Eγ, iγ (y), находим, что δy (x) ∈ Π−1 , δy (x) ∈ / Π0 . Обозначая, далее, 1 m hσi 1 m (m) ∂y ∆y (x) , Eγ, iγ (y) = ∂ E (y) , m! m! y γ, iγ P hσi (m) ∆y (m) (x) = γ∈Γ, iγ ∈Iγ Eγ, iγ (y) eJγ, iγ (x) .

hσi

∆y (m) (x) = имеем Для γ 6= γ ∗ :

∞ X (−1)k γ 2k y k |γ|σ+1 Eγ, 0 (y) = p , |t2 + γ 2 − σ 2 | |Jσ (γ)| k=0 22k k! Γ(σ + k + 1)

для γ = γ ∗ : ∞ X

(−1)k γ 2k y k Eγ, 0 (y) = p , 2|²| |Jσ (γ)| k=0 22k k! Γ(σ + k + 1) p ∞ 2|²| |γ|σ−1 X (−1)k (σ + 2k + 23 (1 − t)) γ 2k y k Eγ, 1 (y) = . sgn ² |Jσ (γ)| k=0 22k k! Γ(σ + k + 1) |γ|σ+1

Действуя операцией (m!)−1 ∂λm на обе части уравнения (4.1.54), получаем hσi

hσi

hσi

X∆λ (m) (x) = λ ∆λ (m) (x) + ∆λ (m−1) (x) . Полагая здесь λ = 0, находим hσi

hσi

hσi

X∆0 (m) (x) = ∆0 (m−1) (x) (∆0 (−1) (x) = 0) , X hσi (m) (m) (m) ∆0 (m) (x) = Eγ, iγ eJγ, iγ (x) , Eγ, iγ = Eγ, iγ (0) . γ∈Γ, iγ ∈Iγ

Для γ 6= γ ∗ : (m) Eγ, 0

=p

(−1)m γ 2m , |t2 + γ 2 − σ 2 | |Jσ (γ)| 22m m! Γ(σ + m + 1) |γ|σ+1

328

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

для γ = γ ∗ : |γ|σ+1 (−1)m γ 2m (m) , Eγ, 0 = p 2|²| |Jσ (γ)| 22m m! Γ(σ + m + 1) p

(m) Eγ, 1

2|²| |γ|σ−1 (−1)m (σ + 2m + 32 (1 − t)) γ 2m = . sgn ² |Jσ (γ)| 22m m! Γ(σ + m + 1)

Учитывая асимптотику (m)

Eγ, iγ ∼ γ 2m+σ+1/2

(γ → ∞) ,

находим, что hσi

∆0 (m) (x) ∈ Πk ,

hσi

∆0 (m) (x) ∈ / Πk+1 ,

k = [(|σ| − σ)/2] − 2m − 1 .

Таким образом, оператор X имеет в Π0 набор корневых векhσi торов ∆0 (m) (x) (m ∈ Z0, rσ −1 ), отвечающих собственному числу λ = 0 и образующих жорданову цепочку hσi

hσi

X∆0 (m) (x) = ∆0 (m−1) (x)

hσi

(∆0 (−1) (x) = 0, m ∈ Z0, rσ −1 ) .

Линейная оболочка корневых векторов образует rσ -мерный нейтральный линеал в Π0 : X hσi hσi (m) (n) J [∆0 (m) , ∆0 (n) ]hσi = Eγ, iγ Eγ, iγ = 0 (m, n ∈ Z0, rσ −1 ) . γ∈Γ, iγ ∈I γ

В случае отсутствия существенно кратных нулей имеем: hσi

hσi

[∆0 (m) , ∆0 (n) ]hσi = ×

X γ∈Γ

(−1)m+n × 22m+2n m! n! Γ(σ + m + 1) Γ(σ + n + 1)

γ 2σ+2m+2n+2 (t2 + γ 2 − σ 2 ) Jσ2 (γ)

(m, n ∈ Z0, rσ −1 ) ,

329

4.1.13. Оснащение пространства

Таким образом, для t 6= t∗ должны выполняться соотношения X γ∈Γ

γ 2(σ+k+1) =0 (t2 + γ 2 − σ 2 ) Jσ2 (γ)

(k ∈ Z0, 2rσ −2 ) .

(4.1.55)

В частности, имеем при t = ∞ X γ 2(σ+k) γ∈Γ

Jσ0 2 (γ)

=0

(k ∈ Z0, 2rσ −2 ) ,

а при t = σ lim 22σ γ 2k Γ(σ + 1)Γ(σ + 2) +

γ→0

X γ 2(σ+k) =0 2 (γ) J σ γ∈Γ

(k ∈ Z0, 2rσ −2 ) ,

0

то есть для k = 0 22σ Γ(σ + 1)Γ(σ + 2) +

X γ 2σ = 0, Jσ2 (γ) γ∈Γ 0

а для k ∈ Z1, 2rσ −2

X γ 2(σ+k) = 0. 2 (γ) J σ γ∈Γ 0

В случае наличия существенно кратного нуля γ ∗ имеем: (m)

(n)

[∆0 , ∆0 ]hσi = µX × γ∈Γ∗∗

(−1)m+n × 22m+2n m! n! Γ(σ + m + 1) Γ(σ + n + 1)

2σ + 2m + 2n + 43 (1 − t∗ ) γ 2σ+2m+2n+2 + (t2 + γ 2 − σ 2 ) Jσ2 (γ) γ ∗ −2σ−2m−2n Jσ2 (γ ∗ ) (m, n ∈ Z0, rσ −1 ) .

¶

330

4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала

Таким образом, должны выполняться соотношения X γ∈Γ∗∗

2σ + 2k + 43 (1 − t∗ ) γ 2σ+2k+2 + =0 (t2 + γ 2 − σ 2 ) Jσ2 (γ) γ ∗ −2σ−2k Jσ2 (γ ∗ )

(4.1.56)

(k ∈ Z0, 2rσ −2 ) . Соотношения (4.1.56) могут быть также получены из (4.1.55) соответствующим предельным переходом при t → t∗ . Далее, имеем: hσi

[un (x), ∆0 (m) (x)]hσi =

(−1)n δ , 22n n! Γ(σ + n + 1) n, m

√ hσi [Jσ (γ x), ∆0 (m) (x)]hσi =

(−1)m γ σ+2m , 2σ+2m m! Γ(σ + m + 1)

(4.1.57) (4.1.58)

√ √ (−1)m (σ + 2m) γ σ+2m hσi [γ x Jσ0 (γ x), ∆0 (m) (x)]hσi = σ+2m . (4.1.59) 2 m! Γ(σ + m + 1) Если t 6= t∗ , то из (4.1.49), (4.1.57) и (4.1.58) следует X γ∈Γ

n 2−σ+1 γ σ+2m−2n X (−1)s (σ − t + 2s) γ 2s = δn, m (t2 + γ 2 − σ 2 ) Jσ (γ) s=0 22s s! Γ(σ + s + 1)

(4.1.60) (n ∈ Z+ , m ∈ Z0, rσ −1 ) . В частности, имеем при t = ∞ −

n X 2−σ+1 γ σ+2m−2n−1 X γ∈Γ

Jσ0 (γ)

s=0

(−1)s γ 2s = δn, m , 22s s! Γ(σ + s + 1)

а при t = σ n 2−σ+1 γ σ+2m−2n X (−1)s (σ − t + 2s) γ 2s lim + 2s s! Γ(σ + s + 1) γ→0 (t2 + γ 2 − σ 2 ) Jσ (γ) 2 s=0

331

4.1.13. Оснащение пространства

+

n X 2−σ+1 γ σ+2m−2n−2 X (−1)s 2s γ 2s = δn, m 2s s! Γ(σ + s + 1) J (γ) 2 σ s=0 γ∈Γ 0

или

(−1)n Γ(σ + 2) γ 2m + γ→0 22n n! Γ(σ + n + 2) n X 2−σ+1 γ σ+2m−2n−2 X (−1)s 2s γ 2s lim

+

Jσ (γ)

γ∈Γ0

s=0

22s s! Γ(σ + s + 1)

= δn, m

(n ∈ Z+ , m ∈ Z0, rσ −1 ) , то есть для m = 0 и n ∈ Z+ (−1)n Γ(σ + 2) + 22n n! Γ(σ + n + 2) n X 2−σ+1 γ σ−2n−2 X (−1)s 2s γ 2s + = δn, 0 , 2s s! Γ(σ + s + 1) J (γ) 2 σ s=0 γ∈Γ 0

и для m ∈ Z1, rσ −1 и n ∈ Z+ n X 2−σ+1 γ σ+2m−2n−2 X (−1)s 2s γ 2s = δn, m . Jσ (γ) 22s s! Γ(σ + s + 1) s=0 γ∈Γ 0

Если t = t∗ , то из (4.1.51), (4.1.57), (4.1.58) и (4.1.59) следует X γ∈Γ∗∗

n X (−1)s (σ − t∗ + 2s) γ 2s 2−σ+1 γ σ+2m−2n + (t∗ 2 + γ 2 − σ 2 ) Jσ (γ) s=0 22s s! Γ(σ + s + 1)

n t∗ +2 γ ∗ σ+2m−2n−2 X (−1)s (σ + 2m − 2n + 2s − 3 ) γ ∗ 2s + σ−1 = δn, m 2 Jσ (γ ∗ ) s=0 (σ − t∗ + 2s)−1 22s s! Γ(σ + s + 1)

(n ∈ Z+ , m ∈ Z0, rσ −1 ) . Последнее соотношение может быть получено также из (4.1.60) предельным переходом при t → t∗ .

332

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала Исследуем π-самосопряженные расширения π-симметрических операторов Штурма—Лиувилля первого класса с одной критической точкой на границе полубесконечного интервала ˙ L hσi0 , рассмотренных в § 3.1.2, порождаемых в π-пространстве Πhσi = L2hσi (c, ˙ ∞) (§ 1.1.2) с π-метрикой Z [y, z]hσi = lim

α→+0

где

∞ c

hσi

y(x) z(x) τα (x) dx (σ ∈ R \ Z) ,

p hσi τα (x) = Rσ ( (x − c)/α ) , т. е. ³ ´ p cos (2σ + 1) arctg (x − c)/α hσi τα (x) = ¡ ¢−σ−1/2 при σ < −1 , − sin πσ 1 + α/(x − c) hσi

τα (x) = 1 при σ > −1, дифференциальным выражением (§ 2.1.2) µ ¶ ³ ´ p0 (c) σ 2 0 0 l(y) = − (x − c)p0 (x) y + + q0 (x) y , 4(x − c)

(4.2.1)

где p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [c, ∞). При этом сингулярная точка x = c является квазирегулярной при σ < 1, критической при σ < −1, существенно сингулярной при σ > 1.

4.2.1. Расширение оператора 1. Пусть σ < −1 (σ ∈ / Z). Ранг индефинитности π-пространства rσ > 0 и согласно теореме 3.1.33 дефектное число m

333

4.2.1. Расширение оператора

˙ оператора L hσi0 может принимать значения m = 0, 1. В случае, когда m = 0, мы имеем дело с π-самосопряженным оператором ˙ ˙ Λhσi ≡ L hσi0 ≡ Lhσi . Далее, рассмотрим случай m = 1. Имеет место Теорема 4.2.1. Линейное многообразие Dhσi (c, ˙ ∞) в Πhσi тогда и только тогда является областью определения некоторо˙ го π-самосопряженного в Πhσi расширения Λhσi оператора L hσi0 , когда Dhσi (c, ˙ ∞) удовлетворяет следующим условиям : ˙ (1) Dhσi0 (c, ˙ ∞) ⊂ Dhσi (c, ˙ ∞) ⊂ D˙ hσi (c, ˙ ∞) ; (2) для любых двух функций y, z ∈ Dhσi (c, ˙ ∞) имеем {y, z}+∞ = 0; (3) всякая функция z из D˙ hσi (c, ˙ ∞), удовлетворяющая условию {y, z}+∞ = 0 для всех y ∈ Dhσi (c, ˙ ∞), принадлежит Dhσi (c, ˙ ∞). Доказательство. Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 4.1.1 с заменой b на +∞. ¤ Для m = 1 в соответствии с теоремой 7.2.8 является очевидной следующая Теорема 4.2.2. Всякое π-самосопряженное расширение Λhσi ˙ оператора L hσi0 описывается следующим образом. Область определения Dhσi (c, ˙ ∞) оператора Λhσi есть совокупность всех функций вида y = y0 + Cψ, где y0 ∈ D˙ hσi0 (c, ˙ ∞), C — комплексное число (|C| < ∞), а функция ψ = {u˙ λ + ξ u˙ λ (|ξ| = 1), если u˙ λ не нейтральный элемент; v˙ λ + η v˙ λ (|η| = 1), если u˙ λ — нейтральный элемент}. При этом ˙ hσi0 y0 + C Λhσi ψ , Λhσi y = L Λhσi (u˙ λ + ξ u˙ λ ) = λ u˙ λ + ξλ u˙ λ ,

Λhσi (v˙ λ + η v˙ λ ) = λ v˙ λ + ηλ v˙ λ .

Обратно, заданная таким образом область определения Dhσi (c, ˙ ∞) и правило действия определяют некоторое π-само˙ сопряженное расширение Λhσi оператора L hσi0 .

334

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

Здесь u˙ λ — решение однородного уравнения l(y) − λ y = 0 из D˙ hσi (c, ˙ ∞), не принадлежащее D˙ hσi0 (c, ˙ ∞), а v˙ λ — нейтральный элемент, удовлетворяющий условию кососвязанности с нейтральным элементом u˙ λ : [v˙ λ , u˙ λ ]hσi = 1 . Следующие утверждения доказываются аналогично тому, как это сделано в случае конечномерного интервала с заменой b на +∞ в § 4.1.1. Теорема 4.2.3. Область определения Dhσi (c, ˙ ∞) π-самосопряженного оператора Λhσi есть совокупность всех функций y ∈ ∈ D˙ hσi (c, ˙ ∞), удовлетворяющих условию {y, ψ}+∞ = 0, где ψ определяется теоремой 4.2.2. Теорема 4.2.4. Область определения Dhσi (c, ˙ ∞) всякого π-са˙ мосопряженного расширения Λhσi оператора L hσi0 есть совоку˙ пность всех элементов y ∈ Dhσi (c, ˙ ∞), удовлетворяющих условию {y, w}+∞ = 0, где w — некоторый элемент из D˙ hσi (c, ˙ ∞), не принадлежащий D˙ hσi0 (c, ˙ ∞), такой, что {w, w}+∞ = 0. Обратно, совокупность всех элементов y ∈ D˙ hσi (c, ˙ ∞), удовлетворяющих условию {y, w}+∞ = 0 для произвольного элемента w из D˙ hσi (c, ˙ ∞), не принадлежащего множеству ˙ Dhσi0 (c, ˙ ∞) и подчиненного условию {w, w}+∞ = 0, дает область определения Dhσi (c, ˙ ∞) некоторого π-самосопряженного ˙ в Πhσi расширения Λhσi оператора L hσi0 . Замечание 4.2.5. В качестве w можно взять не принадлежащий множеству D˙ hσi0 (c, ˙ ∞) элемент u˙ λ для произвольного вещественного λ, либо такого невещественного λ, для которого [u˙ λ , u˙ λ ]hσi = 0. Теорема 4.2.6. Для любого вещественного собственного зна˙ , либо такого его невещественного собчения λ оператора L hσi ственного значения λ, для которого соответствующий соб-

335

4.2.2. Оператор Лагерра

ственный элемент u˙ λ является нейтральным, всегда суще˙ ствует π-самосопряженное расширение оператора L hσi0 , для которого λ также является собственным значением. Теорема 4.2.7. Произвольное π-самосопряженное расширение ˙ Λhσi оператора L hσi0 является вещественным. 2. Пусть σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1). В этом случае rank Πhσi = 0 и индекс дефекта (см. § 3.1.2, п. 2.1) симметрического оператора Lhσi0 равен (m, m), m = 1 или 2. Граничное условие ξy0 sin α − νp0 (c) ϕy (c) cos α = 0

(4.2.2)

˙ с α ∈ [−π/2, π/2) расширяет оператор Lhσi0 до L hσi0 , сужая ˙ . Теперь дефектное число симметрическооператор Lhσi до L hσi ˙ ˙ го оператора L , hσi0 как и в п. 1, равно def Lhσi0 = 0 или 1. 3. Пусть σ > 1 (σ ∈ / Z). Здесь также rank Πhσi = 0, и индекс дефекта симметрического оператора Lhσi0 равен (0, 0), либо (1, 1). Ниже рассмотрим два оператора Штурма—Лиувилля с критической точкой на границе полубесконечного интервала: оператор Лагерра с дискретным спектром и оператор Ганкеля с непрерывным спектром.

4.2.2. Оператор Лагерра ˙ ∞) (c = В функциональном π-пространстве Πhσi = L2hσi (0, = 0, b = ∞, σ ∈ R \ Z) c π-метрикой ранга rσ = [ |σ|−σ ] − [ |σ|−σ ] 2 4 Z ∞ hσi [y, z]hσi = lim y(x) z(x) τα (x) dx , α→+0

0

³ где

hσi

τα (x) =

cos (2σ + 1) arctg

p

´ x/α

− sin πσ (1 + α/x)−σ−1/2

для σ < −1

336

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

hσi

и τα (x) = 1 для σ > −1, рассмотрим дифференциальное выражение l(y) (4.2.1) с p0 (x) = 4, q0 (x) = x : ³ ´ ³ σ2 ´ l(y) = −4 xy 0 (x) 0 + + x y(x) . x Однородное уравнение l(y) − λ y = 0 ³ ´ ³ σ2 ´ −4 xy 0 (x) 0 + + x y(x) = λ y(x) . x

(4.2.3)

имеет два линейно независимых решения uσ, λ (x) =

∞ X

s s ξσ, λ eσ (x) ,

u−σ, λ (x) =

s=0

∞ X

s s ξ−σ, λ e−σ (x) ,

s=0

esσ (x) = xs+σ/2 e−x/2 ,

es−σ (x) = xs−σ/2 e−x/2 ,

s где коэффициенты разложения ξ±σ, λ удовлетворяют рекуррентным соотношениям: k+1 ξ±σ, λ =

(±σ + 1)/2 − λ/4 + k k ξ , (k + 1)(k ± σ + 1) ±σ, λ

0 ξ±σ, λ = 1,

k ∈ Z+ .

Таким образом, ¡

k ξ±σ, λ

(±σ + 1)/2 − λ/4, k = k! (±σ + 1, k)

¢ (k ∈ Z+ ) ,

где (α, k) = α(α + 1) . . . (α + k − 1), (α, 0) = 1, и ¢ s ∞ ¡ X (±σ + 1)/2 − λ/4, s x u±σ, λ (x) = x±σ/2 e−x/2 . s! (±σ + 1, s) s=0 После подстановки y = x±σ/2 e−x/2 z(x) уравнение (4.2.3) принимает вид ³ λ ±σ + 1 ´ xz 00 (x) + (±σ + 1 − x)z 0 (x) + − z(x) = 0 . 4 2

337

4.2.2. Оператор Лагерра

Этому уравнению удовлетворяют линейно независимые решения — вырожденная гипергеометрическая функция первого рода ¡ ¢ z1 (x) = F (±σ + 1)/2 − λ/4, ±σ + 1; x и вырожденная гипергеометрическая функция второго рода ¡ ¢ z2 (x) = G (±σ + 1)/2 − λ/4, ±σ + 1; x , связанные между собой следующим соотношением: ¡ ¢ G (±σ + 1)/2 − λ/4, ±σ + 1; x = ¡ ¢ Γ(∓σ) ¢ F (±σ + 1)/2 − λ/4, ±σ + 1; x + = ¡ Γ (∓σ + 1)/2 − λ/4 ¡ ¢ Γ(±σ) ¢ x∓σ F (∓σ + 1)/2 − λ/4, ∓σ + 1; x . + ¡ Γ (±σ + 1)/2 − λ/4 Таким образом, линейно независимыми решениями уравнения (4.2.3) являются ¡ ¢ y1 (x) = uσ, λ (x) = xσ/2 e−x/2 F (σ + 1)/2 − λ/4, σ + 1; x , ¡ ¢ y2 (x) = u−σ, λ (x) = x−σ/2 e−x/2 F (−σ + 1)/2 − λ/4, −σ + 1; x . При этом, очевидно, имеем ξy01 = 1 ,

ϕy1 (0) = 0 ,

ξy02 = 0 ,

ϕy2 (0) = 1 .

1. Пусть σ < −1 (σ ∈ / Z). Из двух линейно независимых решений u˙ λ (x) = uσ, λ (x) cos α − (4σ)−1 u−σ, λ (x) sin α ,

(4.2.4)

uλ (x) = uσ, λ (x) sin α + (4σ)−1 u−σ, λ (x) cos α только первое решение u˙ λ (x) удовлетворяет краевому условию ξy0 sin α + 4σϕy (0) cos α = 0 , α ∈ (−π/2, π/2) .

338

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

Учитывая, что вырожденные гипергеометрические функции F (α, γ; x) и G(α, γ; x) имеют при x → +∞ асимптотики [3] ¡ ¢ F (α, γ; x) = Γ−1 (α) Γ(γ) ex xα−γ 1 + O1, α, γ (1/x) , ¡ ¢ G(α, γ; x) = x−α 1 + O2, α, γ (1/x) (α 6= −m, m ∈ Z+ ), находим асимптотическое при x → +∞ поведение функций u±σ, λ (x) : ¡ ¢ Γ(σ + 1) ¢ ex/2 x−λ/4−1/2 1 + Oσ, λ (1/x) , uσ, λ (x) = ¡ Γ (σ + 1)/2 − λ/4 ¡ ¢ Γ(−σ + 1) ¢ ex/2 x−λ/4−1/2 1 + O−σ, λ (1/x) u−σ, λ (x) = ¡ Γ (−σ + 1)/2 − λ/4 для λ 6= 2(σ − 2m + 1) и λ 6= 2(−σ − 2m + 1) (m ∈ Z+ ) соответственно. Следовательно, решение u˙ λ (x) принадлежит мно˙ ∞), если жеству D˙ hσi (0, ¡ ¢ u˙ λ (x) = C xσ/2 e−x/2 G (σ + 1)/2 − λ/4, σ + 1; x , то есть, если C Γ(−σ) ¢, cos α = ¡ Γ (−σ + 1)/2 − λ/4

4C σΓ(σ) ¢, sin α = − ¡ Γ (σ + 1)/2 − λ/4

т. к. в этом случае оно имеет асимптотику ¡ ¢ u˙ λ (x) = Cxλ/4−1/2 e−x/2 1 + Oλ (1/x) . ˙ ∞) при тех значениях λ, для Таким образом, u˙ λ (x) ∈ D˙ hσi (0, которых ¡ ¢ 4 Γ(σ + 1) Γ (−σ + 1)/2 − λ/4 ¡ ¢ = tg α . − (4.2.5) Γ(−σ) Γ (σ + 1)/2 − λ/4

339

4.2.2. Оператор Лагерра

Используя асимптотическое представление ´ √ ³ 1 + O(1/z 2 ) (z → ∞ , | arg z| < π) , Γ(z) = e−z z z−1/2 2π 1 + 12 z находим для (4.2.5) при λ → ∞, | arg (−λ)| < π : ¡ ¢ Γ(−σ) tg α = −22(σ+1) (−λ)−σ 1 + O(λ−1 ) , Γ(σ + 1) т. е.

λ−σ = 2−2σ e−iπσ t (|λ| À 1) , где t =

Γ(1 − σ) tg α . 4σ Γ(1 + σ)

Отсюда видно, что для достаточно больших |λ| (следовательно, для любых |λ|) уравнение (4.2.5) может иметь лишь конечное ˙ ∞) для число решений λk с =λk 6= 0. Поэтому u˙ λ (x) ∈ / Dhσi (0, невещественных λ, не совпадающих с решениями λk уравнения (4.2.5), т. е. дефектное число π-симметрического оператора ˙ ˙ L hσi0 равно m = 0, и следовательно, Lhσi0 — π-самосопряжен в ˙ ˙ Πhσi : L hσi0 = Lhσi = Λhσi . 2. Пусть σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1). Граничному условию (4.2.2) ξy0 sin α − 4ν ϕy (0) cos α = 0 (ν = |σ| ∈ (0, 1)) . удовлетворяет лишь одна линейно независимая комбинация u˙ λ (x) = u−ν, λ (x) cos α + (4ν)−1 uν, λ (x) sin α , α ∈ [−π/2, π/2) решений u±ν, λ (x) однородного уравнения (4.2.3). Учет асимптотик этих решений позволяет, как и в п. 1, убедиться в том, ˙ что оператор L hσi0 — самосопряженный, и получить уравнение ¡ ¢ 4 Γ(−ν + 1) Γ (ν + 1)/2 − λ/4 ¡ ¢ = tg α (4.2.6) − Γ(ν) Γ (−ν + 1)/2 − λ/4 с α ∈ [−π/2, π/2) для определения его собственных значений (среди которых, естественно, нет невещественных).

340

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

3. Пусть σ > 1 (σ ∈ / Z). Учет поведения решений u±ν, λ (x) однородного уравнения l(y) − λ y = 0 в окрестностях сингулярных точек x = 0 и x = +∞ приводит к заключению, что индекс дефекта оператора Lhσi0 равен (0, 0), и его собственными функциями являются функции uν, λn (x) (n ∈ Z+ ), отвечающие собственным значениям λn = 2(2n+ν +1) (n ∈ Z+ ), определяемым из уравнения ¡ ¢ Γ (ν + 1)/2 − λ/4 = 0 , которое, отметим, является предельным при α → −π/2 для уравнения (4.2.5).

4.2.3. Оператор Лагерра для t = 0 Рассмотрим частный случай α = 0. Не теряя общности полагаем σ < 0 (σ ∈ / Z) (для σ ∈ (0, 1) имеем Λhσi = Λh−σi ). Функция u˙ λ (x) = uσ, λ (x) ∈ D˙ hσi (c, ˙ ∞) для значений z = = (σ + 1)/2 − λ/4, совпадающих с полюсами гамма-функции Γ(z), то есть для λ = λn = 2(σ+2n+1) (n ∈ Z+ ). Следовательно, / D˙ hσi (c, ˙ ∞) и, как уже указывалось выдля λ 6= λ имеем u˙ λ (x) ∈ ˙ ˙ ше, индекс дефекта равен m = 0 и оператор L hσi0 = Lhσi = Λhσi — π-самосопряженный в Πhσi . При z = −n (n ∈ Z+ ) вырожденная гипергеометрическая функция F (z, γ; x) перерождается в hσi полином и собственные функции ln (x) = Cn u˙ λn (x) оператора: Λhσi lnhσi (x) − λn lnhσi (x) = 0 ,

λn = 2(σ + 2n + 1) ,

принимают вид lnhσi (x) = xσ/2 e−x/2 Lhσi n (x) ,

(4.2.7)

hσi

где Ln (x) — обобщенные полиномы Лагерра [15]: hσi Lhσi n (x) = Ln, n

(−1)n Γ(σ + n + 1) F (−n, σ + 1; x) , Γ(σ + 1)

(4.2.8)

341

4.2.3. Оператор Лагерра для t = 0

т. е.

hσi Lhσi n (x) = Ln, n

n X (−1)n−s n! Γ(σ + n + 1) s=0

s! (n − s)! Γ(σ + s + 1)

1

Lhσi n, n = p

n! |Γ(σ + n + 1)|

xs ,

(n ∈ Z+ ) . hσi

Соотношения ортогональности для функций ln (x) имеют вид hσi [lnhσi , lm ]hσi = Jnhσi δn, m

где

(n, m ∈ Z+ ) ,

³ ´ hσi Jn = sgn Γ(σ + n + 1)

(4.2.9)

(n ∈ Z+ ) .

hσi

Функции Лагерра ln (x) (n ∈ Z+ ) образуют полную π-ортонормированную систему в Πhσi . Соотношение полноты собственных функций π-самосопряженного оператора Λhσi имеет вид ∞ X

Jnhσi lnhσi (x) lnhσi (y) = δ hσi (x; y) ,

n=0

где δ hσi (x; y) — δ-функция из оснащения пространства Πhσi (см. § 8.2.2 и [15]), представляющая собой ядро единичного оператора в пространстве Πhσi . В качестве примера разложений функций из Πhσi по собственным функциям оператора Λhσi приведем разложения x

σ/2+m

=

∞ X

ξnm lnhσi (x)

n=0

для функций xσ/2+m (m ∈ Z0, rσ −1 для σ < −1), порождающих rσ -мерное нейтральное подпространство в Πhσi . Отметим, что из них только первые rσ − 1 функции xσ/2+m (m ∈ Z0, rσ −2 для

342

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

˙ ∞) оператоσ < −3) принадлежат области определения Dhσi (0, m ра Λhσi . Чтобы найти коэффициенты ξn разложения, воспользуемся преобразованием (4.2.26) Z ∞ hσi (n ∈ Z+ ) , lim εhσi (λx) lnhσi (x) τα (x) dx = (−1)n lnhσi (λ) α→+0

0

(4.2.10)

√ εhσi (z) = 2−1 Jσ ( z) .

где

Действуя операцией (1/m!) ∂λm (λ−σ/2 . . . )|λ=0 на обе части соотношения (4.2.10), получаем ξnm = Jnhσi [xσ/2+m , lnhσi (x)]hσi = =2

σ+m+1

m! Γ(σ + m +

1) Jnhσi

n hσi X (−1)n−s 2s Ls, n s=0

(m − s)!

,

(4.2.11)

где hσi Lhσi s, n = Ln, n

(−1)n−s n! Γ(σ + n + 1) s! (n − s)! Γ(σ + s + 1)

(m ∈ Z0, rσ −1 , n ∈ Z+ ) .

Таким образом, ξnm = Jnhσi Lhσi n, n

n X 2σ+m+s+1 m! n! Γ(σ + m + 1) Γ(σ + n + 1)

(m − s)! (n − s)! s! Γ(σ + s + 1)

s=0

,

в частности, r ξn0

=2

σ+1

|Γ(σ + n + 1)| n!

(n ∈ Z+ ) .

Так как в выражение (4.2.11) для ξnm входят коэффициенты hσi Ls, n с индексом s, не превышающим величину индекса m, то с учетом соотношения [15] ∞ X n=0

hσi

Jnhσi Lhσi s, n Lk, n = {0 для σ+k+s+1 < 0; ∞ для σ+k+s+1 > 0}

343

4.2.3. Оператор Лагерра для t = 0

получаем, как и следовало ожидать, ввиду нейтральности лиrσ −1 неала Lin{xσ/2+m }m=0 0

[xσ/2+m , xσ/2+m ]hσi = 0

(m, m0 ∈ Z0, rσ −1 ) .

Из (4.2.9) следует, что для σ = −2n−1−τ (n ∈ Z+ , τ ∈ (0, 1)) hσi

hσi

[l2k , l2k ]hσi = −1 hσi

(k ∈ Z0, n ) ,

hσi

[l2k+1 , l2k+1 ]hσi = +1 hσi

(k ∈ Z0, n−1 ) ,

hσi

[lk , lk ]hσi = +1

(k ∈ Z2n+1, ∞ ) .

hσi

Линеал Πehσi = Lin{l2k }nk=0 является n + 1-мерным (rσ = n + 1) негативным (эллиптическим) подпространством в Πhσi , а заhσi

hσi

∞ мкнутый линеал Πphσi = CLin{{l2k+1 }n−1 k=0 , {lk }k=2n+1 } является ∞-мерным позитивным (параболическим) подпространством в ˙ Πphσi . Собственные значения µe2k ≡ λ2k Πhσi , причем Πhσi = Πehσi [+] (k ∈ Z0, n ) оператора Λhσi , отвечающие собственным функци(σ)

e ям l2k ≡ l2k (k ∈ Z0, n ), будем называть эллиптическими собственными значениями, а собственные значения µp2k+1 ≡ λ2k+1 (k ∈ Z0, n−1 ) и µpk+n+1 ≡ λk+n+1 (k ∈ Zn, ∞ ), отвечающие собhσi p ственным функциям соответственно l2k+1 ≡ l2k+1 (k ∈ Z0, n−1 ) hσi p и lk+n+1 ≡ ln+k+1 (k ∈ Zn, ∞ ), будем называть параболическими собственными значениями. Для σ = −2n − 2 − τ (n ∈ Z+ , τ ∈ (0, 1)) hσi

hσi

[l2k+1 , l2k+1 ]hσi = −1 hσi

(k ∈ Z0, n ) ,

hσi

[l2k , l2k ]hσi = +1 hσi

hσi

[lk , lk ]hσi = +1

(k ∈ Z0, n ) , (k ∈ Z2n+2, ∞ ) .

hσi

Линеал Πehσi = Lin{l2k+1 }nk=0 является n + 1-мерным (rσ = n + 1) негативным (эллиптическим) подпространством в Πhσi , а заhσi

hσi

мкнутый линеал Πphσi = CLin{{l2k }nk=0 , {lk }∞ k=2n+2 } является

344

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

∞-мерным позитивным (параболическим) подпространством в ˙ Πphσi . Собственные значения µe2k+1 ≡ Πhσi , причем Πhσi = Πehσi [+] ≡ λ2k+1 (k ∈ Z0, n ) оператора Λhσi , отвечающие собственным hσi

e функциям l2k+1 ≡ l2k+1 (k ∈ Z0, n ), будем называть эллиптическими собственными значениями, а собственные значения µp2k ≡ λ2k (k ∈ Z0, n ) и µpk+n+1 ≡ λk+n+1 (k ∈ Zn+1, ∞ ), отвеhσi p чающие собственным функциям соответственно l2k+1 ≡ l2k+1 hσi p (k ∈ Z0, n ) и lk+n+1 ≡ lk+n+1 (k ∈ Zn+1, ∞ ), будем называть параболическими собственными значениями. Напомним, что в случае α = 0 оператор Λhσi не имеет невещественных (гиперболических) собственных значений. По˙ Πphσi ) не содержит гиперэтому пространство Πhσi = Πehσi ) [+] болического инвариантного подпространства (Πhhσi = Ø). Оператор Λhσi в Πhσi может быть представлен разложением

Λhσi =

∞ X

hσiJ

λk lk

¡

hσi

[ · , lk ]hσi

hσiJ

lk

¢ hσi hσi (x) = Jk lk (x) ,

k=0

Z или

Λhσi =

+∞ −∞

λ dEλΛ ,

где спектральная функция EλΛ

=

∞ X

hσiJ

θ(λ − λk ) lk

hσi

[ · , lk ]hσi

(4.2.12)

k=0

имеет только регулярные критические точки {λ2k }nk=0 при σ = = −2n − 1 − τ или {λ2k+1 }nk=0 при σ = −2n − 2 − τ (n ∈ N, τ ∈ ∈ (0, 1)), так как hσiJ

s-lim EλΛ − s-lim EλΛ = lk

λ→λk +0 hσi

λ→λk −0

hσi

[ · , lk ]hσi ,

J2k = −1 при σ = −2n − 1 − τ и

345

4.2.4. Оснащенное пространство Понтрягина

hσi

J2k+1 = −1 при σ = −2n − 2 − τ

¡

¢ k ∈ Z0, n , (τ ∈ (0, 1) .

Естественно, для σ > −1 пространство Πhσi (rank Πhσi = 0) не содержит также и эллиптического инвариантного подпространства (Πehσi = Ø), а спектральная функция (4.2.12) не имеет критических точек.

4.2.4. Оснащенное пространство Понтрягина Продолжим исследование случая α = 0. Обозначим через N оператор N = 4−1 Λhσi + 2−1 (1 − σ)I . Для него, очевидно, имеем N lnhσi (x) = (n + 1) lnhσi (x)

(n ∈ Z+ ) .

В пространстве Hf (Hf — множество всех линейных комбинаций hσi Lin{lk (x)}m k=0 , m ∈ Z+ ) введем счетную систему (индефинитных при σ < −1) метрик Z ∞ hσi n n [y, z]n = [N y, N z]hσi = lim (N n y)(x) (N n z)(x) τα (x) dx α→+0

0

(n ∈ Z). Очевидно, [y, z]n =

∞ X

hσi

hσi

hσi

Jk (k + 1)2n [y, lk ]hσi [lk , z]hσi .

k=0

Введем также соответствующие положительно определенные скалярные произведения (y, z)n = [Jn y, z]n = [JN n y, N n z]hσi (n ∈ Z) , P hσi hσi где Jn = N −n JN n = J, J ≡ Jhσi = ∞ k=0 lk [ · , lk ]hσi — оператор инволюции в Πhσi . Таким образом, ∞ X hσi hσi (y, z)n = (k + 1)2n [y, lk ]hσi [lk , z]hσi . k=0

346

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

Пополняя пространство Hf относительно скалярного произведения (y, z)n , получаем пространство Понтрягина Πn с рангом индефинитности, совпадающим с рангом индефинитности пространства Πhσi (≡ Π0 ). Оставим без изменения обозначения для продолжений метрик [y, z]n и (y, z)n с Hf на все пространство Πn . Ввиду согласованности норм · · · ≥ ||y||n ≥ · · · ≥ ||y||1 ≥ ||y||0 ≥ ||y||−1 ≥ · · · ≥ ||y||−n ≥ . . . последовательность π-пространств {Πn }∞ n=−∞ образует возрастающую цепочку · · · ⊂ Πn ⊂ · · · ⊂ Π1 ⊂ Π0 ⊂ Π−1 ⊂ · · · ⊂ Π−n ⊂ . . . . При этом пространство Π−n является сопряженным к пространству Πn относительно формы [y, z]0 ≡ [y, z]hσi и соответственно формы (y, z)0 ≡ (y, z)hσi , т. е. для y ∈ Π−n и z ∈ Πn имеем: |[y, z]0 | ≤ ||y||−n ||z||n , |(y, z)0 | ≤ ||y||−n ||z||n . T Пространство Π◦ = ∞ n=1 Πn со счетным набором скаляр∞ ных произведений {(y, z)n }∞ n=1 и набором {[y, z]n }n=1 соответствующих индефинитных метрик является счетно-понтрягинским пространством. Очевидно, Πn является пополнением пространства Π◦ относительноSскалярного произведения (y, z)n . Пространство Π0 = ∞ n=1 Π−n является сопряженным к пространству Π◦ относительно форм [y, z]0 и (y, z)0 . Таким образом, имеем Π◦ ⊂ Π0 ⊂ Π0 . Нетрудно показать [15], что счетнопонтрягинское пространство Π◦ является ядерным. Тройка Π◦ ⊂ Π0 ⊂ Π0 , обладающая свойствами: (1) Π◦ — ядерное счетно-понтрягинское пространство, в котором задана невырожденная форма [y, z]0 ≡ [y, z]hσi ; (2) Π0 — пополнение пространства Π◦ относительно положительно определенного скалярного произведения (y, z)0 ≡ ≡ (y, z)hσi = [Jy, z]hσi ; (3) Π0 — сопряженное к Π◦ пространство; — составляет оснащенное пространство Понтрягина.

347

4.2.5. Пространства основных и обобщенных функций

4.2.5. Пространства основных и обобщенных функций Можно показать [15], что ядерное пространство Π◦ представляет собой пространство основных быстро убывающих бесконечно дифференцируемых на (0, ∞) функций, каждая из которых может быть представлена разложением по обобщенным функциям Лагерра y(x) =

∞ X

hσi

aJk (y) lk (x) ,

k=0 hσi

где

ak (y) = [y, lk ]hσi ,

а множество Π0 функционалов f (ϕ) = [f, ϕ]hσi на Π◦ составляет пространство обобщенных функций (медленного роста), для которых также имеется аналогичное разложение в ряд Фурье по обобщенным функциям Лагерра f (x) =

∞ X

hσi

aJk (f ) lk (x) ,

k=0 hσi

где

hσi

ak (f ) = [f, lk ]hσi = f (lk ) .

Таким образом, для любой основной функции ϕ(x) ∈ Π◦ обобщенная функция f (x) ∈ Π0 может быть определена соотношением ∞ X f (ϕ) = aJk (f ) ak (ϕ) . k=0 hσi

Рассмотрим обобщенную функцию δλ (x) ∈ Π0 , обладающую свойством hσi

hσi

δλ (ϕ) ≡ [δλ , ϕ]hσi = ϕ(λ)

(ϕ ∈ Π◦ ) .

348

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

hσi

Найдем коэффициенты разложения δλ (x) в обобщенный ряд P hσi J hσi hσi Фурье δλ (x) = ∞ k=0 ak (δλ ) lk (x). Так как, с одной стороны, hσi hσi ввиду lk (x) ∈ Π◦ в соответствии с определением δλ -функции имеем hσi hσi hσi [δλ , lk ]hσi = lk (λ) (k ∈ Z+ ) , а с другой стороны, согласно определению функционалов на Π◦ имеем hσi hσi hσi [δλ , lk ]hσi = ak (δλ ) (k ∈ Z+ ) , hσi

то для коэффициентов ak (δλ ) находим: hσi

hσi

ak (δλ ) = lk (λ)

(k ∈ Z+ ) .

hσi

Следовательно, для δλ (x) имеет место разложение hσi δλ (x)

=

∞ X

hσiJ

lk

hσi

(λ) lk (x) .

k=0

Учитывая асимптотику обобщенных полиномов Лагерра [15] Lhσi n (x) = √

³ √ ´ (−1)n πσ π ´ ³ −1/2 cos 2 1 + O(n ) , nx − − 2 4 π n1/4 x1/4 hσi

hσi

n → ∞ , x ∈ (0, ∞), находим, что ||δλ ||−1 < ∞ и ||δλ ||0 = ∞. hσi hσi Таким образом, δλ (x) ∈ Π−1 и δλ (x) ∈ / Π0 . hσiJ Аналогично для обобщенной функции δλ (x) ∈ Π0 , определяемой соотношением hσiJ

[δλ имеем hσiJ

и ||δλ

hσiJ

δλ

hσi

(x) =

, ϕ]hσi = ϕJ (λ) ,

P∞

hσi hσi k=0 lk (λ) lk (x) ,

hσiJ

||−1 = ||δλ ||−1 , т. е. δλ

hσiJ

(x) ∈ Π−1 и δλ

(x) ∈ / Π0 .

349

4.2.6. Оператор Лагерра для t 6= 0

В соответствии с ядерностью пространства Π◦ функциоhσi hσiJ налы δλ (x) и δλ (x) порождают в Π◦ тождественное преобразование I и преобразование инволюции J соотношениями hσi

y(λ) = Iy(λ) ≡ [δλ , y]hσi ,

hσiJ

y J (λ) = Jy(λ) ≡ [δλ

, y]hσi .

Эти операторы могут быть продолжены без изменения нормы на все пространство Πhσi , а также на каждое пространство Π−n (n ∈ N), и следовательно, на все множество Π0 . hσi Обобщенные функции δ hσi (λ; x) ≡ δλ (x) и δ hσiJ (λ; x) ≡ hσiJ ≡ δλ (x) формально можно рассматривать как π-симметрические ядра квази-интегральных преобразований Z ∞ hσi δ hσi (λ; x) y(x) τα (x) dx , Iy(x) = lim α→+0

0

Z

∞

Jy(x) = lim

α→+0

0

hσi

δ hσiJ (λ; x) y(x) τα (x) dx .

4.2.6. Оператор Лагерра для t 6= 0 Вернемся к рассмотрению общего случая α ∈ (−π/2, π/2) для самосопряженного оператора Λhσi относительно индефинитной метрики (σ < −1). Уравнение (4.2.5) можно переписать в виде tσ (z) − t = 0 , где

tσ (z) = t=−

Γ(z − σ) , Γ(z)

z=

σ+1 λ − , 2 4

Γ(−σ) sin πσ 2 tg α = Γ (−σ) tg α . 4σ Γ(σ) 4π

В дальнейшем функцию tσ (z) на вещественной оси будем считать продолженной нулем по непрерывности в полюсах z = −n (n ∈ Z+ ) гамма-функции Γ(z). Таким образом, собственные

350

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

числа оператора Λhσi представляются точками z = x + iy пересечения графиков функций w = tσ (z) и w = t комплексной переменной соотношением λ = 2(σ+1−2z). Соответственно, вещественные собственные числа представляются точками x пересечения графиков функций u = tσ (x) и u = t вещественной переменной соотношением λ = 2(σ + 1 − 2x). При этом случаю t = 0 (α = 0) отвечает рассмотрение, проведенное в § 4.2.3. График функции u = tσ (x) разделен точками разрыва (полюсами) xn = σ − n (n ∈ Z+ ) на бесконечное число непрерывных ветвей Ni , которые пронумерованы по порядку справа налево индексами i = 0, 1, 2, . . . . Исследуем поведение функции w = tσ (z) на вещественной оси. Для производной t0σ (x) имеем t0σ (x) = tσ (x) ξσ (x) , где

ξσ (x) = ψ(x − σ) − ψ(x) ,

ψ(x) =

(4.2.13) Γ0 (x) . Γ(x)

Используя разложение в ряд функции ψ(x) [3] ¶ ∞ µ X 1 1 − , ψ(x) = −C + k + 1 x + k k=0 находим для функции ξσ (x) ξσ (x) =

∞ µ X k=0

1 1 − x+k x+k−σ

¶ .

Для σ = −n (n ∈ N) имеем tσ (x) = x(x + 1) . . . (x + n − 1) , ξσ (x) =

1 1 1 + + ··· + . x x+1 x+n−1

4.2.6. Оператор Лагерра для t 6= 0

351

При этом нули функции tσ (x) совпадают с полюсами функции ξσ (x), а нули функции ξσ (x) совпадают с точками экстремума функции tσ (x). p p p pp tσ (x) pp ppp pp ppp pppp σ ≈ −2.10 6 ppp N4ppppp pppp pppp pppp p p ppp p pppp p ppp pppp p ppppp p pppp rσ = 1 pp ppp pp pp ppp ppp pp ppppp ppppp ppp ppppp ppppp ppp p p p p ppp pp ppp pp pp ppppp ppp ppp ppp pp ppp ppppp pppppppp pppp pppp ppppp pppp pp p pppp pppppppppp ppppp ppppp ppppp pppp pppp pp ppp p pp pp pp ppp pppp ppp ppp ppp pppppp ppppp pppp ppppp ppppp N ppppp ppppp ppppppppp pp pp ppppp 3ppp pppp pppp ppp ppppppp pppppp ppp ppp p ppppp p p pp pppp pppp pppp pppp ppp pp pp ppp pppp pppp ppp pppp ppppp ppppp pppp ppppp pp p p pppp pppppp pppp ppp ppppp ppp ppp ppp ppp ppp p p p p p p p pppp pp ppp pppp pp ppp ppp pppp pppp ppp pppp N2 ppppp ppppp ppp p p pppp ppp pp pppp pp pp ppp pppp ppp % ppppp ppp ppp ppppp p p p p ppp ppp t ppp pp pp ppp p ppp pppp ppp −2 pppp ppp ppp pppp p p ppp pp p pppp ppppppp pppp ppp pppp ppp pppp ppp ppp pppp pp p pppp ppp p pppp pppp ppp pppp N1 pppppp pppp pppp pppp ppp p p pppp pppppp ppp pp ppp ppp ppp p p pp pppp p pppp ppp p p p pppp pp pppp ppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp dpp pappepp app p pppp pppp pppp p p p p pppp ppp ppcppp pppp p N0p ppp ppppp pppp ppp pppp ppp p p p p p ppp pp ppp ppp ppp ppp pppp p p p p pp p pp p p p p pppp pppp pppp ppp pppp ppp ppppbppappppp p ppp pe p p p p p p p p p p p pap ppppppppppppp apppppppppppppppp pap p appp pap appp ppa appp ppa a ppppapppa pppp ppp -5 ppppp ppppp -4 ppppp ppppp -3 ppppppppp -2 -1 a 0 1 x pppp ppp p pppp ppp p ppppppp p pppp p pppp ppp pppp ppp ppppppp pppp Рис. 4.2.1 p p p p

ppp p pppp ppp t (x)p p ppp ppp ppp ppp ppp σ ≈ −3.09 6σ ppppp pp p p p p p p p p p p p pp ppp p pp pp p ppp N0 rσ = 2 e p p p pp p pppp ppp pppp pppp pppppppp pp p p p p ppppappapp ppppappapp p pp p pp ppap ppppppbappppppppppapppppppppppppppp p p p pp p pp apppp ppapp a a p p ppp p p p p p p p p ppppp p p p p ap -5 ppp ppp -4 ppp pppp -3 ppp p papp p p pp e -2 -1 a 0 1x ppp ppp ppp pp pppcpp ppp ppp ppp ppp pp p pppp pppp pppp pppp p p pp ppppp d pppp ppp pppp ppp aep p ppp appp pppp pppp pppp pppp ep pp pppp pppp pppp pppp pppp p p pppppppp pppp ppp ppp p ppp pp t−3 ppppppp ppp pp pppp ppp ppp p ppp pppp pppp &ppppp ppppp ppp pppp pppp ppp pppp ppp pppp pppp pppp pppp ppp ppp pppp ppp ppp pp pppp pppp papppp pppp N1pppp ppp pppp pppfp pppp pppp ppp pppp pppp pppp pppp ppp ppp pppp ppp pppp pppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp pp ppp ppp ppp ppp pppp pppp p pp p ppppp N2 ppp pppp ppp ppp pp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppppppp p ppp pp ppp ppp ppp ppp p p ppp ppp ppp ppp N3ppp ppp pppppp ppp ppp ppp pp pppppp ppp ppp pp ppp pppppp ppp ppp ppp ppp p p p p p ppp pp pp ppppp ppp ppp ppp ppp pppppp ppp ppp ppp ppp pppppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp p ppppp p ppp ppp p ppppp p ppp ppppppp pppp ppp ppp p p ppp ppp pppp ppppp pppp pp Рис. 4.2.2 pp p p

Для σ = −n − τ (n ∈ N, τ ∈ (0, 1)) у функции tσ (x) появляются дополнительно нули в точках x0k = −k (k ∈ N) и полюса в точках x00k = 1 − k − n − τ (k ∈ N), а у функции ξσ (x) появляются дополнительно полюса в точках x0k = −k (k ∈ N) и в точках x00k = 1 − k − n − τ (k ∈ N). В этом случае графики функций tσ (x) и ξσ (x) представлены линиями соответственно на рисунках 4.2.1 и 4.2.3 для n = 2,

352

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

τ ≈ 0.10 и на рисунках 4.2.2 и 4.2.4 для n = 3, τ ≈ 0.09. Графики функций tσ (x) и ξσ (x) для целочисленных значений σ = −n (n ∈ N) представлены на рисунках 4.2.1 и 4.2.3 при n = 2 (линии t−2 и ξ−2 соответственно, почти сливающиеся в области x > −1 с линиями t−2.10 (x) и ξ−2.10 (x)) и соответственно на рисунках 4.2.2 и 4.2.4 при n = 3 (линии t−3 и ξ−3 соответственно, почти сливающиеся в области x > −2 с линиями t−3.09 (x) и ξ−3.09 (x)). ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pppU ppp ppp ppp ppp U ppp ppp ppp ppp U ppp ppp ppp ppp U ppp ppp ppp ppp I ppp 4 ppp ppp ppp ppp 3 ppp ppp ppp ppp 2 ppp ppp ppp ppp 1 ppp ppp ppp ppp 2 ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp pp p ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pppp pppp ppp pppp pppp ppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pqqpd pa apc qppp qpp papp b qppp qppp ppqppq ppp ppp -4 ppppp ppppp -3p ppp -2 pppppppppppppppppppppppppp-5 pppp ppp ppppp p p p p p ppp ppp ppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppp pppp pp p pppp pppp ↑ pppp pppp p p p p p p p p ppppp ppppp ppppp pppp pppp p p pp pp ppp ppp ξ-2 ppp ppp ppp ppp ppp pppppp ppp pp pppp pppp pp pp σ ≈ −2.10 pp pp pppp pppp p pp pppp pp ppp pp ppp p p rσ = 1 pppp pppp pppppppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppppppppp pppppppp ppppppppp ppppppppp ppppppppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pp pp pp pp pp pp pp pp

ppp ξ (x) pppp pppp pppp pppp 6ppppp σ ppp ppp ppp ppp pppp pppp ppp ppp ppp I p p p I0 ppp ppp 1 pp p p p p ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp qpppp ppappa q q ppp -1 ppp 0 1 x pppp pppp pppp pppp ppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp p p

Рис. 4.2.3

ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp U ppp ppp ppp ppp U ppp ppp ppp ppp U ppp ppp ppp ppp I ppp 3 ppp ppp ppp ppp 2 ppp ppp ppp ppp 1 ppp ppp ppp ppp 3 ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp p p p ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp p qpp ppq pfp app qpp qpp paed app ppqqpp ppac pp pp ppp ppp pp p ppp ppp ppp p p p -3p p p p -5 -4 ppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppp ppppp p pp ppppp ppppp ppppp pppp pppp ppp p p p pppp pppp p p p p pppp pppp pppp ppp ppp p p p p p ppp ppp ppp ppp ppp pp pp pp ↑ p pppppp p pppp σ ≈ −3.09 pp pp ξ p p -3 ppp ppp pp p ppp rσ = ppp ppp pp ppp ppp ppp 2 ppppp ppppp ppppppppp pppppppp ppppppppp ppppppppp pppp pppp ppppppp pppp pppp pppp pppp pp pp p pp pp pp pp

pppp pppp pppp pppp ppp ppp pppp pppp ppp ppp I ppp ppp 2 ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp qpppp pappb -2 pppp ppppp pppp pppp pppp pppp ppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pp p

pppξ (x) pppp pppp pppp pppp 6 ppppp σ ppp ppp pp pp p pppp pppp pp p p ppp ppp I pIppp0 ppp ppp 1 pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp qpppp ppappa q q ppp -1 ppp 0 1 x ppp ppp ppp ppp pppp pppp ppp ppp pppp pppp pppp pppp ppp ppp

Рис. 4.2.4

Отметим, что для достаточно малых значений τ > 0 в области x < −n конечное число ∪-образных ветвей графика функции ξσ (x) пересекает ось Ox (точки c, d на рис. 4.2.3 и точки d, e, f на рис. 4.2.4). При этом с убыванием параметра τ (> 0) ∪-образные ветви опускаются все ниже и ниже, все большее их число пересекает ось Ox, и граница множества пересекающих ось абсцисс ∪-образных ветвей смещается влево и при τ → +0 устремляется на −∞. Для каждого n = [−σ] имеется убывающая последовательность (n)

τ1

(n)

> τ2

(n)

> · · · > τk

> ··· > 0 (n)

значений параметра τ таких, что при τ = τk k-ая по счету справа налево ∪-образная ветвь Uk касается оси Ox (точка f

353

4.2.6. Оператор Лагерра для t 6= 0

(n)

на рис. 4.2.4 Таким образом, при τ ∈ (τk , 1) среди ∪-образных ветвей в области x < −n первые (справа налево) k − 1 ветви (n) дважды пересекают ось Ox, и при τ ∈ (τ1 , 1) ∪-образные ветви вовсе не имеют общих точек с осью абсцисс. Заметим, что ∩-образные ветви, расположенные в области x < −n, никогда не пересекаются с осью абсцисс (вершины ∩-образных ветвей, приведенных на рис. 4.2.3 и на рис. 4.2.4, в действительности расположены на порядок дальше от оси абсцисс, чем это показано на рисунках). В пределе при τ = +0 ∩-образные ветви исчезают, а ∪образные ветви на соответствующих участках рис. 4.2.3 сливаются с ξ−2 (x), а рис. 4.2.4 сливаются с ξ−3 (x). В пределе при τ = 1 − 0 ∪-образные ветви исчезают, а ∩-образные ветви на соответствующих участках рис. 4.2.3 сливаются с ξ−3 (x), а рис. 4.2.4 сливаются с ξ−4 (x). В то время, как n спадающих ветвей Ik функции ξσ (x), расположенных в области x > −n, имеют по одному (не кратному) пересечению с осью Ox, чему отвечает наличие экстремума (max или min) ветви N0 функции tσ (x) в соответствующей точке (точки a, b на рис. 4.2.3 и точки a, b, c на рис. 4.2.4), то двойному пересечению k-ой ∪-образной ветви Uk функции ξσ (x) с осью Ox отвечает наличие пары экстремумов (слева направо — min и max для нечетных n, например, точки c, d на рис. 4.2.1), либо max и min для четных n, например, точки d, e на рис. 4.2.2) ветви Nk функции tσ (x) в паре точек, расположенных в соответствующем интервале непрерывности функ(n) ции ξσ (x), исключая тот редкий случай (τ = τk ), когда пара нулей k-ой ∪-образной ветви Uk сливаются в двукратный нуль, чему отвечает точка перегиба соответствующей ветви Nk функции tσ (x) с касательной в ней, параллельной оси Ox (точка f на рис. 4.2.2). Отметим, что все нули и полюса функции ξσ (z) (z ∈ C) расположены на вещественной оси. Это соответствует тому, что кратные решения уравнения tσ (z) = t (t ∈ R) и предельные точки z при t → ±∞ могут располагаться только на вещественной

354

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

оси и на ∞. На рисунках 4.2.5 и 4.2.6 при σ ≈ −2.10 (n = 2) и σ ≈ −3.09 (n = 3) соответственно представлены графики функции |ξy (x)| ≡ |ξσ (x + iy)| для некоторых фиксированных значений y. p pp p pp pp pp p pp ppp ppp pp ppppp |ξσ (z)| ppppp ppppp α pppp pppp pppp pppppp ppppp pppppp ppppp pppppp pppppp ppppppp6 pp pppppppp pppppppppp pppppppp ppppppppp pppppppp pppppppp p ppppp ppp p pppppppp pppppppp p p p p p p pppppp ppp p p pp p p p p pp p pp pp pp pp pp ppppppp pppppppp ppppppp ppppp pppp ppppppp ppppppppppppp p pppp ppppppppp ppppp ppppp ppppppppppp pppp ppppp ppppppp pppp p p ppp pp pp ppp pppp pppppp ppppp pp pp pp pp p pp pp pp p pp pp pp pp ppppp ppp ppppp pppp p ppp ppppp ppppp pppp pppppppp ppppp ppppp pppppppp ppppp ppppp pppppppp ppppp pppp p p p ppp ppppp ppp ppp pppppp ppppp pppppp ppp ppp pppppp ppp ppp β pppp pppp pppp ppp pppp ppp ppppp ppp ppp pppp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppppp pp ppp ppp ppp ppp ppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp pppppp ppp ppp pppppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pppppp pp ppp pppppp pp ppp pppppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp γp p ppp p ppp ppp pppp p ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp p p ppp pp p ppp pp ppp p pppp pppp pp p ppppppppppp ppp pp pp pp ppp ppp pp pp ppp ppp pp pp ppp ppp ppppp pppppppppppppp pppδpppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppp ppp pppppp pp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppppppppppp ppppppppp ppppppppp pp pp pp ppp ppppppppppppppppppppppppqpppppqpppppppppppppppppppppqpppppppqpppppp ppppppppppppppppp pp ppppqppqpppdpp ppppppapppppppappppc qppppp qppppp ppppapppb qppppp pppppappppa q q pp pp-5 pp pp-4 pp pp-3 pp pp-2 pp -1 0 1x z = x+iy α: y= 0 β : y = ±0.1 γ : y = ±0.5 δ : y = ±1.0

σ ≈ −2.10 rσ = 1

Рис. 4.2.5

p pp p pp pp pp p p p pp pp pp p pppp |ξσ (z)| ppppp ppppppp α pppp pppppp pppp ppppppp ppppppp ppppppp pppppp pp 6 pp ppp pp pp pppppppppppppppppp pppppppppppp pppp pppppppppppppppppp pppppppppp ppppppppp pppppppppp pppppppppp pppppppppppppppppp pppp ppppp ppppppppppp pppppp pppppppp pppppp ppp ppp pppppp pppppp pppppp ppp pppp p p pp p p pp p ppppp pppppp ppppp ppp ppp ppppp ppp pp pp ppp ppp ppp ppp ppp pppppp pppp ppppp ppppp pppppppppp ppppp ppppp pppp ppppp ppppp ppppp ppppp pppp ppppp ppppppppp pppp pppp pppp ppppp ppp pppppp pppp pppp ppppppp pppp pppp pppppp pppp ppp β ppp pppp pppp ppp pppp pppp pppp pppp ppp ppppp ppp ppp ppppp ppp ppp ppp ppp pppppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp pppppp ppppp ppp ppp ppppp p p pp p p p p p p pp p ppp ppp ppp ppppppp pp ppp pppppp pppp ppppp pppppppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp pppp ppppp ppp pp ppp ppp pp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp pp ppp ppp pp ppp pppp pppp pppp pppp ppppp pppp pppp pppp ppppp pppp pppp pppp ppppp ppp γp p ppppppp pppp pppp p pppppp p pppp pppp p pppp p p pppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp p p pppp p pp ppppp p pp pp pppp p pp p ppp p pppp pppppp pppppppppp p ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppppppp pppppppppppppppppppppδppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppp ppppp pppp pp pp pp pp pp pp ppppppppppppppppppppp ppppp pp pp pp ppp pp pp pp pp ppppppppppppppppppp pppppppppppppp ppppppppfpppppppppp pppppppppepp ppppppppp ppppp pppdppp ppppp ppppppc ppppp pppppppppb ppppp ppppppppppa pp qppp pppq p pappp qppp qppp pa pa pppqqppp pa pqpp pa qppp pa q q -5 -4 z = x+iy α: y= 0 β : y = ±0.1 γ : y = ±0.5 δ : y = ±1.0

-3

-2

σ ≈ −3.09 rσ = 2

-1

0

1

x

Рис. 4.2.6

4.2.7. Кратные собственные числа и корневые подпространства −1 m Применяя операцию ²m λ (m!) ∂λ (²λ ∈ R \ {0}) к обеим частям уравнения

l(u±σ, λ (x)) − λ u±σ, λ (x) = 0 , получаем

l(u±σ, λ, m (x)) − λ u±σ, λ, m (x) = ²λ u±σ, λ, m−1 (x) ,

∂ m u±σ, λ (x) ²m λ u±σ, λ, m (x) = , m ∈ Z+ , u±σ, λ, −1 (x) = 0 . m! ∂λm Функции u±σ, λ, m (x) (m ∈ Z+ ) назовем собственной (m = 0) и присоединенными функциями операции l(y), отвечающими собственному числу λ.

355

4.2.7. Кратные собственные числа и корневые подпространства

Функции u˙ λ, m (x) (m ∈ Z+ ), где u˙ λ, m (x) =

m ²m ˙ λ (x) λ ∂ u , m! ∂λm

назовем собственной (m = 0) и присоединенными функциями операции l(y), отвечающими собственному числу λ l(u˙ λ, m (x)) − λ u˙ λ, m (x) = ²λ u˙ λ, m−1 (x) u˙ λ, −1 (x) = 0 , удовлетворяющими условию (4.2.5) tσ (z) − t = 0 ,

λ = 2(σ + 1 − 2z)

(при котором u˙ λ, 0 (x) является собственной функцией оператора Λhσi ). Эти функции ввиду асимптотики ³ ´ m m λ/4−1/2 −x/2 u˙ λ, m (x) = ²λ Cx e ln x 1 + Oλ (1/x) принадлежат пространству Πhσi . Функции u˙ λ, m (x) (m ∈ Z0, κ ) назовем собственной (m = 0) и присоединенными функциями оператора Λhσi , отвечающими ˙ ∞) (m ∈ Z0, κ ), собственному числу λ, если u˙ λ, m (x) ∈ Dhσi (0, т. е. если функции y = u˙ λ, m (x) (m ∈ Z0, κ ) удовлетворяют условию ξy0 sin α + σϕy (0) cos α = 0 (очевидно, κ ≤ 2rσ ). Как отмечалось выше, собственные числа определяются соотношением λ = 2(σ + 1 − 2z) решениями z уравнения t = tσ (z) .

(4.2.14)

Ввиду (4.2.13) кратность собственного числа λ равна единице, если

ξσ (z) 6= 0 .

Кратность собственного числа λ равна двум, если ξσ (z) = 0 ,

ξσ0 (z) 6= 0 ,

356

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

т. к. из (4.2.13) следует ³ ´ 2 0 t(2) (z) = t (z) ξ (z) + ξ (z) . σ σ σ σ Кратность собственного числа λ равна трем, если ξσ0 (z) = 0 ,

ξσ (z) = 0 , т. к. t(3) σ (z)

³ = tσ (z)

ξσ3 (z)

+

ξσ00 (z) 6= 0 ,

3ξσ (z) ξσ0 (z)

´

+

ξσ00 (z)

.

Здесь ξσ0 (z)

0

0

= ψ (z − σ) − ψ (z) =

∞ µ X k=0

ξσ00 (z)

00

00

= ψ (z − σ) − ψ (z) =

1 1 − 2 (k + z − σ) (k + z)2

∞ µ X k=0

¶

1 1 − 3 (k + z) (k + z − σ)3

, ¶ .

При этом график функции ξσ00 (x) имеет качественно такой же вид, как и для функции ξσ (x). Также с убыванием τ ∪-образные ветви функции ξσ00 (x) опускаются и в пределе при τ = +0 слива00 ются с ξ−n (x), также имеется соответствующая последователь00(n) ность чисел τ = τk (σ = −n − τ, n ∈ N, 0 < τ < 1) 00(n)

τ1

00(n)

> τ2

00(n)

> · · · > τk

> ··· > 0

(для которых существует решение системы ξσ00 (x) = ξσ000 (x) = 0); 00(n) (n) однако τk < τk (k ∈ N). Это означает, что если ξσ (x) = 0, ξσ0 (x) = 0, то ξσ00 (x) 6= 0, т. е. кратность собственного числа не превышает трех (см. § 5.2.4, лемма 5.2.1, следствие 5.2.2). Ввиду dtσ (z) 1 = − tσ (z) ξσ (z) dλ 4

4.2.7. Кратные собственные числа и корневые подпространства

357

в кратных точках λ = λ∗ имеем dtσ /dλ|λ∗ = 0, то есть кратное собственное число проходится с бесконечной скоростью: ¯ dλ ¯¯ 4 =− ∗ = ∞. ¯ dt t∗ t ξσ (z ∗ ) Полагая t = t∗ + τ, z = z ∗ + ζ (|τ |, |ζ| ¿ 1) и разлагая функцию tσ (z) в ряд Тейлора в точке λ∗ , из соотношения (4.2.14) находим (2)

τ= где

(2)

(3)

tσ (z ∗ ) ζ 2 tσ (z ∗ ) ζ 3 + + ... , 2 6

tσ (z ∗ ) = t∗ ξσ0 (z ∗ ) ,

(3)

tσ (z ∗ ) = t∗ ξσ00 (z ∗ ) .

Если λ = λ∗ — двукратное собственное число, то p ζ = ±ρ eiϕ + o( |τ |) , s¯ ¯ ¯ 2τ ¯ ¯, ¯ где ρ = ¯ (2) ¯ ∗ tσ (z ) n o π ∗ (2) ∗ ϕ = 0 , если sgn{τ t(2) (z )} > 0 ; , если sgn{τ t (z )} < 0 . σ σ 2 Таким образом, если кривая tσ (z) в точке z = z ∗ выпукла вверх, то в окрестности λ = λ∗ два собственных числа, двигаясь навстречу друг другу вдоль вещественной оси, сталкиваются в момент t = t∗ в точке λ = λ∗ и затем рассеиваются в комплексную плоскость по траекториям, симметричным относительно вещественной оси и перпендикулярным к ней в точке λ = λ∗ . Если же кривая выпукла вниз, то происходит обратное движение: в окрестности собственного числа λ = λ∗ два комплексно сопряженных собственных числа сталкиваются в момент t = t∗ в точке λ = λ∗ вещественной оси под углом π/2 к ней и рассеиваются вдоль нее, двигаясь в противоположных направлениях.

358

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

Если λ = λ∗ — трехкратное собственное число, то p p ζ = ρ eiϕ + o( 3 |τ |) , ζ = ρ eiϕ±2iπ/3 + o( 3 |τ |) , s¯ ¯ ¯ 6τ ¯ ¯, где ρ = 3 ¯¯ (3) ¯ tσ (z ∗ ) n o (3) ∗ (3) ∗ ϕ = 0 , если sgn{τ tσ (z )} > 0 ; π , если sgn{τ tσ (z )} < 0 . Таким образом, в окрестности кратного собственного числа λ∗ три собственных числа — одно вещественное и два взаимно комплексно сопряженных — движутся к точке λ∗ по трем различным траекториям, симметрично расположенным относительно вещественной оси, предельные направления (сходящихся) касательных к которым в точке столкновения λ∗ отстоят друг от друга на угол π/3. В момент t∗ происходит одновременное их столкновение, после чего они продолжают движение по траекториям, симметрично расположенным относительно вещественной оси, не меняя направления (теперь уже расходящихся) касательных к ним в точке столкновения. Теорема 4.2.8. Кратному собственному числу λ = λ∗ отвечает корневое подпространство оператора Λhσi , размерность которого равна кратности собственного числа. Доказательство. Для собственной функции u˙ λ = uσ, λ (x) cos α − (4σ)−1 u−σ, λ (x) sin α оператора Λhσi , отвечающей собственному числу λ = λ∗ , имеем u˙ λ (x) ≡ u˙ λ, 0 (x) =

C Γ(−σ) C Γ(σ) uσ, λ (x) + u (x) , Γ(z−σ) Γ(z) −σ, λ

z = (σ + 1)/2 − λ/4. Тогда для присоединенной функции u˙ λ, 1 (x) (λ = λ∗ ) операции l(y) имеем µ ¶ Γ(σ) Γ0 (z) C²λ Γ(−σ) Γ0 (z−σ) uσ, λ (x) + u−σ, λ (x) + u˙ λ, 1 (x) = − 2 2 Γ2 (z−σ) Γ2 (z)

4.2.7. Кратные собственные числа и корневые подпространства

359

µ

¶ Γ(−σ) Γ(σ) +C u (x) + u (x) Γ(z−σ) σ, λ, 1 Γ(z) −σ, λ, 1 или ³ ´ −1 u˙ λ, 1 (x) = uσ, λ, 1 (x) cos α − (4σ) u−σ, λ, 1 (x) sin α − ´ ²λ ³ −1 − 2 ψ(z − σ) uσ, λ (x) cos α − ψ(z) (4σ) u−σ, λ (x) sin α . 2 Так как u˙ λ, 1 (x) ∈ Πhσi и функции y = u±σ, λ, 1 (x) удовлетворяют условию ξy0 sin α + 4σϕy (0) cos α = 0, следовательно, необходимым и достаточным дополнительным к tσ (z) − t = 0 условием является условие ψ(z − σ) = ψ(z), т. е. ξσ (z) = 0. Далее, для присоединенной функции u˙ λ, 2 (x) (λ = λ∗ ) операции l(y) имеем u˙ λ, 2 (x) = µ µ 0 ¶0 µ 0 ¶0 ¶ C²2λ Γ (z −σ) Γ (z) = 5 Γ(−σ) 2 u (x) + Γ(σ) 2 u (x) − 2 Γ (z−σ) σ, λ Γ (z) −σ, λ µ ¶ Γ0 (z−σ) Γ0 (z) C²λ u (x) + Γ(σ) 2 u (x) + − 2 Γ(−σ) 2 2 Γ (z−σ) σ, λ, 1 Γ (z) −σ, λ, 1 µ ¶ Γ(−σ) Γ(σ) +C u (x) + u (x) , Γ(z−σ) σ, λ, 2 Γ(z) −σ, λ, 2 то есть ³ ´ −1 u˙ λ, 2 (x) = uσ, λ, 2 (x) cos α − (4σ) u−σ, λ, 2 (x) sin α − −

³ ´ ²λ −1 ψ(z) u (x) cos α − (4σ) u (x) sin α − σ, λ, 1 −σ, λ, 1 22 −

+

²2λ 2 ψ (z) u˙ λ (x)+ 25

´ ²2λ ³ 0 0 −1 ψ (z− σ) u (x) cos α − ψ (z) (4σ) u (x) sin α . σ, λ −σ, λ 25

360

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

˙ ∞), a y = u±σ, λ, 1 (x) и y = Так как u˙ λ, 2 (x) ∈ Πhσi , u˙ λ (x) ∈ Dhσi (0, = u±σ, λ, 2 (x) удовлетворяют условию ξy0 sin α+4σϕy (0) cos α = 0, то чтобы присоединенный элемент u˙ λ, 2 (x), отвечающий собственному числу λ = λ∗ , принадлежал области определения ˙ ∞) оператора Λ , необходимо и достаточно выполнеDhσi (0, hσi ние дополнительного условия ψ 0 (z − σ) = ψ 0 (z) (z = z ∗ ), т. е. условия ξσ0 (z) = 0. Аналогично, для присоединенной функции u˙ λ, 3 (x) операции l(y) имеем ³ ´ −1 u˙ λ, 3 (x) = uσ, λ, 3 (x) cos α − (4σ) u−σ, λ, 3 (x) sin α − ³ ´ ²λ −1 ψ(z) u (x) cos α − (4σ) u (x) sin α + σ, λ, 2 −σ, λ, 2 22 ´³ ´ ²2λ ³ 0 2 −1 + 5 ψ (z) − ψ (z) uσ, λ, 1 (x) cos α − (4σ) u−σ, λ, 1 (x) sin α − 2 ´ ²3 ³ − λ 7 ψ 3 (z) − 3ψ(z)ψ 0 (z) u˙ λ (x)− 3·2 ´ ²3 ³ − λ 7 ψ 00 (z − σ) uσ, λ (x) cos α − ψ 00 (z) (4σ)−1 u−σ, λ (x) sin α . 3·2 −

˙ ∞), a y = u±σ, λ, 1 (x), y = Так как u˙ λ, 3 (x) ∈ Πhσi , u˙ λ (x) ∈ Dhσi (0, = u±σ, λ, 2 (x) и y = u±σ, λ, 3 (x) удовлетворяют условию ξy0 sin α+ +4σϕy (0) cos α = 0, то чтобы присоединенный элемент u˙ λ, 3 (x), отвечающий собственному числу λ = λ∗ , принадлежал обла˙ ∞) оператора Λ , необходимо и достасти определения Dhσi (0, hσi точно выполнение дополнительного условия ψ 00 (z − σ) = ψ 00 (z) (z = z ∗ ), т. е. условия ξσ00 (z) = 0, которое, однако, не выполняется. ¤ Для собственного элемента u˙ λ, 0 (x), отвечающего двукратному собственному числу λ = λ∗ имеем ²λ [u˙ λ, 0 , u˙ λ, 0 ]hσi = = [(Λhσi − λI)u˙ λ, 1 , u˙ λ, 0 ]hσi = [u˙ λ, 1 , (Λhσi − λI)u˙ λ, 0 ]hσi = 0 .

361

4.2.7. Кратные собственные числа и корневые подпространства

При этом, очевидно,

Nλ ≡ [u˙ λ, 0 , u˙ λ, 1 ]hσi 6= 0 ,

N λ = Nλ .

Обозначим wλ, 0 (x) = u˙ λ, 0 (x) ,

wλ, 1 (x) = u˙ λ, 1 (x) + ξ u˙ λ, 0 (x) .

Подберем коэффициент ξ так, чтобы выполнялось соотношение [wλ, 1 , wλ, 1 ]hσi = 0 . Для ξ находим

ξ=−

[u˙ λ, 1 , u˙ λ, 1 ]hσi 2 [u˙ λ, 1 , u˙ λ, 0 ]hσi

.

Таким образом, условие ортогональности собственных и присоединенных элементов двумерного корневого подпространства оператора Λhσi (Λhσi − λ)wλ, 0 (x) = 0 ,

(Λhσi − λ)wλ, 1 (x) = ²λ wλ, 0 (x) ,

отвечающего собственному числу λ = λ∗ имеет вид : [wλ, i , wλ, j ]hσi = Nλ δi, 1−j

(i, j = 0, 1) .

Для собственных элементов u˙ λ, i (x) (i = 0, 1, 2), отвечающих трехкратному собственному числу λ = λ∗ имеем ²λ [u˙ λ, 0 , u˙ λ, 0 ]hσi = [(Λhσi − λI)u˙ λ, 1 , u˙ λ, 0 ]hσi = = [u˙ λ, 1 , (Λhσi − λI)u˙ λ, 0 ]hσi = 0 ,

²λ [u˙ λ, 1 , u˙ λ, 0 ]hσi =

= [(Λhσi − λI)u˙ λ, 2 , u˙ λ, 0 ]hσi = [u˙ λ, 2 , (Λhσi − λI)u˙ λ, 0 ]hσi = 0 , Nλ ≡ [u˙ λ, 1 , u˙ λ, 1 ]hσi = [u˙ λ, 2 , u˙ λ, 0 ]hσi 6= 0 ,

N λ = Nλ .

Обозначим wλ, 0 (x) = u˙ λ, 0 (x) ,

wλ, 1 (x) = u˙ λ, 1 (x) + ξ1 u˙ λ, 0 (x) ,

wλ, 2 (x) = u˙ λ, 2 (x) + ξ1 u˙ λ, 1 (x) + ξ0 u˙ λ, 0 .

362

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

Подберем коэффициенты ξ1 и ξ0 так, чтобы выполнялись соотношения [wλ, 2 , wλ, 1 ]hσi = 0 ,

[wλ, 2 , wλ, 2 ]hσi = 0 .

Для ξ1 и ξ0 находим ξ1 = −

[u˙ λ, 2 , u˙ λ, 1 ]hσi 2 [u˙ λ, 1 , u˙ λ, 1 ]hσi

µ ¶ 2 1 3 [u˙ λ, 2 , u˙ λ, 1 ]hσi [u˙ λ, 2 , u˙ λ, 2 ]hσi − , ξ0 = . 2 4 [u˙ λ, 1 , u˙ λ, 1 ]2hσi [u˙ λ, 1 , u˙ λ, 1 ]hσi

Таким образом, условие ортогональности собственных и присоединенных элементов трехмерного корневого подпространства оператора Λhσi (Λhσi − λ)wλ, 0 (x) = 0 ,

(Λhσi − λ)wλ, 1 (x) = ²λ wλ, 0 (x) ,

(Λhσi − λ)wλ, 2 (x) = ²λ wλ, 1 (x) , отвечающего собственному числу λ = λ∗ имеет вид : [wλ, i , wλ, j ]hσi = Nλ δi, 2−j

(i, j = 0, 1, 2) .

4.2.8. Классификация собственных чисел и их эволюция Невещественные собственные числа λ, а также соответствующие им нули z = (σ + 1)/2 − λ/4 функции tσ (z) − t, будем называть гиперболическими (λ = λh , z = z h ). Им отвечают нейтральные собственные вектора wλ, 0 (x) = u˙ λ (x) оператора Λhσi : [wλ, 0 , wλ, 0 ]hσi = 0 , таким образом, ввиду Nλ = [wλ, 0 , wλ, 0 ]hσi 6= 0 линейная оболочка Lin{wλ, 0 , wλ, 0 } образует двумерное невырожденное подпространство.

4.2.8. Классификация собственных чисел и их эволюция

363

Вещественные собственные числа λ и соответствующие им нули z, которым отвечают негативные собственные вектора wλ, 0 (x) = u˙ λ (x) оператора Λhσi , т. е. Nλ = [wλ, 0 , wλ, 0 ]hσi < 0 , будем называть эллиптическими (λ = λe , z = z e ). На рис. 4.2.1 и 4.2.2 участки графика, отвечающие эллиптическим нулям z e , отмечены символом e. Наконец, вещественные собственные числа λ и соответствующие им нули z, которым отвечают позитивные собственные вектора wλ, 0 (x) = u˙ λ (x) оператора Λhσi , т. е. Nλ = [wλ, 0 , wλ, 0 ]hσi > 0 , будем называть параболическими (λ = λp , z = z p ). На рис. 4.2.1 и 4.2.2 участки графика, отвечающие этим параболическим нулям z p , отмечены символом p. Кратные вещественные собственные числа λ∗ и соответствующие им кратные нули z ∗ , которым отвечают двумерные или трехмерные корневые подпространства оператора Λhσi , также будем называть параболическими (λ∗ = λp , z ∗ = z p ). Специальным обозначением µ (или более детально µh , µe , p µ ) по-прежнему будем обозначать собственные числа оператора Λhσi (полюса λ функции Γ(z) = Γ((σ + 1)/2 − λ/4)), отвечающие значению параметра t = 0, т. е. α = 0 : µk = 2(σ + 2k + 1)

(k ∈ Z+ ) .

Соответствующие нули принимают значения ak = −k (k ∈ Z+ ). Конечные предельные значения собственных чисел λ при t → ±∞, т. е. при α = ±π/2 (полюса λ функции Γ(z − σ) = = Γ((−σ + 1)/2 − λ/4) ), обозначим через νk : νk = 2(−σ + 2k + 1) (k ∈ Z+ ) . Через bk обозначим соответствующие нули bk = σ − k (k ∈ Z+ ).

364

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

Проследим эволюцию нулей функции tσ (z) − t, а следовательно, ввиду соотношения λ = 2(σ + 1 − 2z), собственных чисел оператора Λhσi при изменении параметра t в интервале (−∞, +∞), т. е. при изменении параметра α в интервале (−π/2, π/2). 1. Пусть σ = −2n − 1 − τ (n ∈ Z+ , τ ∈ (0, 1)). В момент t = 0 имеем следующий набор нулей zk = ak ≡ ≡ −k (k ∈ Z+ ), пронумерованных в порядке убывания: {ae2k }nk=0 ,

{ap2k+1 }n−1 k=0 ,

{apk }∞ k=2n+1 .

1.1. Рассмотрим изменение t в интервале [0, +∞) (соответственно α ∈ [0, π/2)). С ростом t от t = 0 эллиптический нуль z0e ≡ z0 движется из положения ae0 = a0 ≡ 0 в положительном направлении вещественной оси и в пределе при t → +∞ уходит на +∞. p Параболический нуль z2k+1 ≡ z2k+1 и эллиптический нуль e z2k+2 ≡ z2k+2 (k ∈ Z0, n−1 ) из положений соответственно ap2k+1 = = a2k+1 ≡ −2k − 1 и ae2k+2 = a2k+2 ≡ −2k − 2 движутся навстречу друг другу и в момент t∗2k+1 сталкиваются в некоторой точке ∗ ∗ z2k+1 = z2k+2 ∈ (−2k − 2, −2k − 1), в результате чего возникает ∗ ∗ двукратный параболический нуль z2k+1 = z2k+2 , который в сле∗ дующий момент t > t2k+1 распадается на два гиперболических h h нуля z2k+1 ≡ z2k+1 и z2k+2 ≡ z2k+2 = z h2k+1 (k ∈ Z0, n−1 ), располагающихся симметрично относительно вещественной оси, которые в пределе при t → +∞ уходят на ∞. p Параболический нуль zk+2n+1 ≡ zk+2n+1 (k ∈ Z+ ) из положения apk+2n+1 ≡ ak+2n+1 = −k − 2n − 1 смещается в отрицательном направлении вещественной оси и в пределе при t → +∞ достигает значения bpk = −k − 2n − 1 − τ (при этом apk+2n+1 − bpk = τ ). 1.2. Рассмотрим изменение t в интервале (−∞, 0] (соответственно α ∈ (−π/2, 0]). (n)

1.2.1. Пусть τ > τ1 .

4.2.8. Классификация собственных чисел и их эволюция

365

e С убыванием t от t = 0 эллиптический нуль z2k ≡ z2k и паp раболический нуль z2k+1 ≡ z2k+1 (k ∈ Z0, n ) из положений соответственно ae2k ≡ a2k = −2k и ap2k+1 ≡ a2k+1 = −2k − 1 движутся навстречу друг другу и в момент t∗2k сталкиваются в некоторой ∗ ∗ точке z2k = z2k+1 ∈ (−2k − 1, −2k), в результате чего возникает ∗ ∗ , который в сле= z2k+1 двукратный параболический нуль z2k ∗ дующий момент t < t2k распадается на два гиперболических h h ≡ z2k+1 = z h2k (k ∈ Z0, n ), располагаю≡ z2k и z2k+1 нуля z2k щихся симметрично относительно вещественной оси, которые в пределе при t → −∞ уходят на ∞. p Параболический нуль zk+2n+2 ≡ zk+2n+2 (k ∈ Z+ ) из поp ложения ak+2n+2 ≡ ak+2n+2 = −k − 2n − 2 смещается в положительном направлении вещественной оси и в пределе при t → −∞ достигает значения bpk = −k − 2n − 1 − τ (при этом bpk − apk+2n+2 = 1 − τ ). (n)

(n)

1.2.2. Пусть τm > τ > τm+1 (m ∈ N). p С убыванием t от t = 0 параболический нуль zk+2n+m+2 ≡ p ≡ zk+2n+m+2 (k ∈ Z+ ) из положения ak+2n+m+2 ≡ ak+2n+m+2 = = −k − 2n − m − 2 смещается в положительном направлении вещественной оси и в пределе при t → −∞ достигает значения bpk+m = −k − 2n − m − 1 − τ (при этом bpk+m − apk+2n+m+2 = 1 − τ ). e Далее, с убыванием t от t = 0 эллиптический нуль z2k ≡ p z2k и параболический нуль z2k+1 ≡ z2k+1 (k ∈ Z0, n ) из положений соответственно ae2k ≡ a2k = −2k и ap2k+1 ≡ a2k+1 = −2k − 1 движутся навстречу друг другу и в момент t∗2k сталкиваются ∗ ∗ в некоторой точке z2k = z2k+1 ∈ (−2k − 1, −2k), в результате ∗ ∗ чего возникает двукратный параболический нуль z2k = z2k+1 , ∗ который в следующий момент t < t2k распадается на два гиперh h болических нуля z2k ≡ z2k и z2k+1 ≡ z2k+1 = z h2k (k ∈ Z0, n ), располагающихся симметрично относительно вещественной оси. С h h дальнейшим убыванием t нули z2k ≡ z2k и z2k+1 ≡ z2k+1 = z h2k (k ∈ Z0, n−1 ) в пределе при t → −∞ уходят на ∞, а нули h h ≡ z2n+1 = z h2n в момент t∗2n+1 < t∗2n вновь ≡ z2n и z2n+1 z2n сталкиваются на вещественной оси, в результате чего возника-

366

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

∗ ∗ ет двукратный параболический нуль z2n = z2n+1 , который в следующий момент t < t∗2n+1 распадается на параболический p e и эллиптический z2n+1 нули, движущиеся вдоль вещественz2n p ной оси в разные стороны, причем z2n , возрастая, в пределе при t → −∞ достигает значения bp0 = −2n − 1 − τ (при этом e , убывая, в момент t∗2n+2 < t∗2n+1 bp0 − ap2n+2 = 1 − τ ), а z2n+1 сталкивается с движущимся из положения ap2n+2 = −2n − 2 при p t = 0 параболическим нулем z2n+2 , в результате чего возника∗ ∗ . В следую= z2n+2 ет двукратный параболический нуль z2n+1 ∗ щий момент t < t2n+2 он распадается на два гиперболических h h и z2n+2 = z h2n+1 , которые в момент t∗2n+3 < t∗2n+2 нуля z2n+1 сталкиваются на вещественной оси, в результате чего возника∗ ∗ , который в ет двукратный параболический нуль z2n+1 = z2n+2 ∗ следующий момент t < t2n+3 распадается на параболический p e и эллиптический z2n+2 z2n+1 нули, движущиеся вдоль вещеp , возрастая, в прественной оси в разные стороны, причем z2n+1 p деле при t → −∞ достигает значения b1 = −2n − 2 − τ (при e этом bp1 − ap2n+3 = 1 − τ ), а z2n+2 , убывая, в момент t∗2n+4 < t∗2n+3 сталкивается с движущимся из положения ap2n+3 = −2n − 3 при p t = 0 параболическим нулем z2n+3 , в результате чего возника∗ ∗ ет двукратный параболический нуль z2n+2 = z2n+3 . Этот про∗ цесс повторяется до тех пор, пока в момент t2n+2m < t∗2n+2m−1 e в результате столкновения эллиптического нуля z2n+m с параp болическим z2n+m+1 не возникнет двукратный параболический ∗ ∗ нуль z2n+m = z2n+m+1 . Возникшие при t < t∗2n+2m гиперболиh h ческие нули z2n+m и z2n+m+1 = z h2n+m в пределе при t → −∞ уходят на ∞. (n)

1.2.3. Пусть τ = τm (m ∈ N). p С убыванием t от t = 0 параболический нуль zk+2n+m+2 ≡ ≡ zk+2n+m+2 (k ∈ Z+ ) из положения apk+2n+m+2 ≡ ak+2n+m+2 = = −k − 2n − m − 2 смещается в положительном направлении вещественной оси и в пределе при t → −∞ достигает значения bpk+m = −k − 2n − m − 1 − τ (при этом bpk+m − apk+2n+m+2 = 1 − τ ). e Далее, с убыванием t от t = 0 эллиптический нуль z2k ≡ p ≡ z2k и параболический нуль z2k+1 ≡ z2k+1 (k ∈ Z0, n ) из положе-

4.2.8. Классификация собственных чисел и их эволюция

367

ний соответственно ae2k ≡ a2k = −2k и ap2k+1 ≡ a2k+1 = −2k − 1 движутся навстречу друг другу и в момент t∗2k сталкиваются ∗ ∗ в некоторой точке z2k = z2k+1 ∈ (−2k − 1, −2k), в результате ∗ ∗ чего возникает двукратный параболический нуль z2k = z2k+1 , ∗ который в следующий момент t < t2k распадается на два гиперh h ≡ z2k+1 = z h2k (k ∈ Z0, n ), рас≡ z2k и z2k+1 болических нуля z2k полагающихся симметрично относительно вещественной оси. С h h ≡ z2k+1 = z h2k ≡ z2k и z2k+1 дальнейшим убыванием t нули z2k (k ∈ Z0, n−1 ) в пределе при t → −∞ уходят на ∞, а нули h h ≡ z2n и z2n+1 ≡ z2n+1 = z h2n в момент t∗2n+1 < t2n вновь z2n сталкиваются на вещественной оси, в результате чего возникает ∗ ∗ , который в следудвукратный параболический нуль z2n = z2n+1 p ∗ ющий момент t < t2n+1 распадается на параболический z2n и элe липтический z2n+1 нули, движущиеся вдоль вещественной оси в p , возрастая, в пределе при t → −∞ разные стороны, причем z2n p достигает значения b0 = −2n−1−τ (при этом bp0 −ap2n+2 = 1−τ ), e а z2n+1 , убывая, в момент t∗2n+2 < t∗2n+1 сталкивается с движущимся из положения ap2n+2 = −2n−2 при t = 0 параболическим p , в результате чего возникает двукратный парабонулем z2n+2 ∗ ∗ лический нуль z2n+1 = z2n+2 . В следующий момент t < t∗2n+2 он h h распадается на два гиперболических нуля z2n+1 и z2n+2 = z h2n+1 , которые в момент t∗2n+3 < t∗2n+2 сталкиваются на вещественной оси, в результате чего возникает двукратный параболический ∗ ∗ нуль z2n+1 = z2n+2 , который в следующий момент t < t∗2n+3 расp e падается на параболический z2n+1 и эллиптический z2n+2 нули, движущиеся вдоль вещественной оси в разные стороны, приp чем z2n+1 , возрастая, в пределе при t → −∞ достигает значеp e ния b1 = −2n − 2 − τ (при этом bp1 − ap2n+3 = 1 − τ ), а z2n+2 , убывая, в момент t∗2n+4 < t∗2n+3 сталкивается с движущимся из положения ap2n+3 = −2n − 3 при t = 0 параболическим нуp лем z2n+3 , в результате чего возникает двукратный параболиче∗ ∗ ский нуль z2n+2 = z2n+3 . Этот процесс повторяется до тех пор, ∗ пока в момент t2n+2m = t∗2n+2m−1 в результате столкновения h h = z h2n+m−1 c парабои z2n+m гиперболических нулей z2n+m−1 p лическим z2n+m+1 не возникнет трехкратный параболический

368

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

∗ ∗ ∗ нуль z2n+m+1 = z2n+m = z2n+m−1 , который в следующий момент t < t∗2n+2m = t∗2n+2m−1 распадается на гиперболические нули h h z2n+m и z2n+m+1 = z h2n+m в пределе при t → −∞ устремляющиp еся на ∞, и параболический нуль z2n+m−1 , который, возрастая, достигает в пределе при t → −∞ значение bpm−1 = −2n − m − τ (при этом bpm−1 − ap2n+m+1 = 1 − τ ).

2. Пусть σ = −2n − 2 − τ (n ∈ Z+ , τ ∈ (0, 1)). В момент t = 0 имеем следующий набор нулей zk = ak ≡ ≡ −k (k ∈ Z+ ), пронумерованных в порядке убывания: {ap2k }n+1 k=0 ,

{ae2k+1 }nk=0 ,

{apk }∞ k=2n+3 .

2.1. Рассмотрим изменение t в интервале [0, +∞) (соответственно α ∈ (−π/2, 0]). С ростом t от t = 0 параболический нуль z0p ≡ z0 движется из положения ap0 ≡ a0 = 0 в положительном направлении вещественной оси и в пределе при t → +∞ уходит на +∞. (n)

2.1.1. Пусть τ > τ1 . e С ростом t от t = 0 эллиптический нуль z2k+1 ≡ z2k+1 и p параболический нуль z2k+2 ≡ z2k+2 (k ∈ Z0, n ) из положений соответственно ae2k+1 ≡ a2k+1 = −2k − 1 и ap2k+2 ≡ a2k+2 = −2k − 2 движутся навстречу друг другу и в момент t∗2k+1 сталкиваются ∗ ∗ в некоторой точке z2k+1 = z2k+2 ∈ (−2k − 2, −2k − 1), в резуль∗ тате чего возникает двукратный параболический нуль z2k+1 = ∗ ∗ = z2k+2 , который в следующий момент t > t2k+1 распадается на h h два гиперболических нуля z2k+1 ≡ z2k+1 и z2k+2 ≡ z2k+2 = z h2k+1 (k ∈ Z0, n ), располагающихся симметрично относительно вещественной оси, которые в пределе при t → +∞ уходят на ∞. p Параболический нуль zk+2n+3 ≡ zk+2n+3 (k ∈ Z+ ) из положения apk+2n+3 ≡ ak+2n+3 = −k − 2n − 3 смещается в положительном направлении вещественной оси и в пределе при t → +∞ достигает значения bpk = −k − 2n − 2 − τ (при этом bpk − apk+2n+3 = 1 − τ ). (n)

(n)

2.1.2. Пусть τm > τ > τm+1 (m ∈ N).

4.2.8. Классификация собственных чисел и их эволюция

369

p С ростом t от t = 0 параболический нуль zk+2n+m+3 ≡ ≡ zk+2n+m+3 (k ∈ Z+ ) из положения apk+2n+m+3 ≡ ak+2n+m+3 = = −k − 2n − m − 3 смещается в положительном направлении вещественной оси и в пределе при t → +∞ достигает значения bpk+m = −k − 2n − m − 2 − τ (при этом bpk+m − apk+2n+m+3 = 1 − τ ). e Далее, с ростом t от t = 0 эллиптический нуль z2k+1 ≡ p z2k+1 и параболический нуль z2k+2 ≡ z2k+2 (k ∈ Z0, n ) из положений соответственно ae2k+1 ≡ a2k+1 = −2k − 1 и ap2k+2 ≡ a2k+2 = = −2k − 2 движутся навстречу друг другу и в момент t∗2k+1 ∗ ∗ сталкиваются в некоторой точке z2k+1 = z2k+2 ∈ (−2k − 2, −2k− −1), в результате чего возникает двукратный параболический ∗ ∗ = z2k+2 , который в следующий момент t > t∗2k+1 раснуль z2k+1 h h ≡ ≡ z2k+1 и z2k+2 падается на два гиперболических нуля z2k+1 h ≡ z2k+2 = z 2k+1 (k ∈ Z0, n ), располагающихся симметрично относительно вещественной оси. С дальнейшим ростом t нули h h z2k+1 ≡ z2k+1 и z2k+2 ≡ z2k+2 = z h2k+1 (k ∈ Z0, n−1 ) в пределе при h h t → +∞ уходят на ∞, а нули z2n+1 ≡ z2n+1 и z2n+2 ≡ z2n+2 = h ∗ ∗ z 2n+1 в момент t2n+2 > t2n+1 вновь сталкиваются на вещественной оси, в результате чего возникает двукратный параболиче∗ ∗ ский нуль z2n+1 = z2n+2 , который в следующий момент t > t∗2n+2 p e и эллиптический z2n+2 распадается на параболический z2n+1 нули, движущиеся вдоль вещественной оси в разные стороны, p , возрастая, в пределе при t → +∞ достигает знапричем z2n+1 p e , убычения b0 = −2n−2−τ (при этом bp0 −ap2n+3 = 1−τ ), а z2n+2 ∗ ∗ вая, в момент t2n+3 > t2n+2 сталкивается с движущимся из поp , ложения ap2n+3 = −2n−3 при t = 0 параболическим нулем z2n+3 в результате чего возникает двукратный параболический нуль ∗ ∗ z2n+2 = z2n+3 . В следующий момент t > t∗2n+3 он распадается на h h два гиперболических нуля z2n+2 ≡ z2n+2 и z2n+3 ≡ z2n+3 = z h2n+2 , ∗ ∗ которые в момент t2n+4 > t2n+3 сталкиваются на вещественной оси, в результате чего возникает двукратный параболический ∗ ∗ нуль z2n+3 = z2n+2 , который в следующий момент t > t∗2n+4 расp e падается на параболический z2n+2 нули, и эллиптический z2n+3 движущиеся вдоль вещественной оси в разные стороны, приp чем z2n+2 , возрастая, в пределе при t → +∞ достигает значе-

370

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

e ния bp1 = −2n − 3 − τ (при этом bp1 − ap2n+4 = 1 − τ ), а z2n+3 , убывая, в момент t∗2n+5 > t∗2n+4 сталкивается с движущимся из положения ap2n+4 = −2n − 4 при t = 0 параболическим нулем p z2n+4 , в результате чего возникает двукратный параболический ∗ ∗ = z2n+4 . Этот процесс повторяется до тех пор, понуль z2n+3 ∗ ка в момент t2n+2m+1 > t∗2n+2m в результате столкновения элp e с параболическим z2n+m+2 не возлиптического нуля z2n+m+1 ∗ ∗ . никнет двукратный параболический нуль z2n+m+1 = z2n+m+2 h и Возникшие при t > t∗2n+2m+1 гиперболические нули z2n+m+1 h z2n+m+2 = z h2n+m+1 в пределе при t → +∞ уходят на ∞. (n)

2.1.3. Пусть τ = τm (m ∈ N). p С ростом t от t = 0 параболический нуль zk+2n+m+3 ≡ p ≡ zk+2n+m+3 (k ∈ Z+ ) из положения ak+2n+m+3 ≡ ak+2n+m+3 = = −k − 2n − m − 3 смещается в положительном направлении вещественной оси и в пределе при t → +∞ достигает значения bpk+m = −k − 2n − m − 2 − τ (при этом bpk+m − apk+2n+m+3 = 1 − τ ). e Далее, с ростом t от t = 0 эллиптический нуль z2k+1 ≡ p z2k+1 и параболический нуль z2k+2 ≡ z2k+2 (k ∈ Z0, n ) из положений соответственно ae2k+1 ≡ a2k+1 = −2k − 1 и ap2k+2 ≡ a2k+2 = = −2k − 2 движутся навстречу друг другу и в момент t∗2k+1 ∗ ∗ сталкиваются в некоторой точке z2k+1 = z2k+2 ∈ (−2k−2, −2k− −1), в результате чего возникает двукратный параболический ∗ ∗ нуль z2k+1 = z2k+2 , который в следующий момент t > t∗2k+1 расh h падается на два гиперболических нуля z2k+1 ≡ z2k+1 и z2k+2 ≡ h ≡ z2k+2 = z 2k+1 (k ∈ Z0, n ), располагающихся симметрично относительно вещественной оси. С дальнейшим ростом t нули h h z2k+1 ≡ z2k+1 и z2k+2 ≡ z2k+2 = z h2k+1 (k ∈ Z0, n−1 ) в пределе h h при t → +∞ уходят на ∞, а нули z2n+1 ≡ z2n+1 и z2n+2 ≡ h ∗ ∗ ≡ z2n+2 = z 2n+1 в момент t2n+2 > t2n+1 вновь сталкиваются на вещественной оси, в результате чего возникает двукратный па∗ ∗ раболический нуль z2n+1 = z2n+2 , который в следующий момент p ∗ t > t2n+2 распадается на параболический z2n+1 и эллиптический e нули, движущиеся вдоль вещественной оси в разные стоz2n+2 p роны, причем z2n+1 , возрастая, в пределе при t → +∞ дости-

4.2.8. Классификация собственных чисел и их эволюция

371

гает значения bp0 = −2n − 2 − τ (при этом bp0 − ap2n+3 = 1 − τ ), e а z2n+2 , убывая, в момент t∗2n+3 > t∗2n+2 сталкивается с движущимся из положения ap2n+3 = −2n−3 при t = 0 параболическим p нулем z2n+3 , в результате чего возникает двукратный парабо∗ ∗ = z2n+3 . В следующий момент t > t∗2n+3 он лический нуль z2n+2 h h = z h2n+2 , и z2n+3 распадается на два гиперболических нуля z2n+2 ∗ ∗ которые в момент t2n+4 > t2n+3 сталкиваются на вещественной оси, в результате чего возникает двукратный параболический ∗ ∗ , который в следующий момент t > t∗2n+4 рас= z2n+3 нуль z2n+2 p e нули, падается на параболический z2n+2 и эллиптический z2n+3 движущиеся вдоль вещественной оси в разные стороны, приp чем z2n+2 , возрастая, в пределе при t → +∞ достигает значеp e ния b1 = −2n − 3 − τ (при этом bp1 − ap2n+4 = 1 − τ ), а z2n+3 , ∗ ∗ убывая, в момент t2n+5 > t2n+4 сталкивается с движущимся из положения ap2n+4 = −2n − 4 при t = 0 параболическим нуp , в результате чего возникает двукратный параболилем z2n+4 ∗ ∗ ческий нуль z2n+3 = z2n+4 . Этот процесс повторяется до тех ∗ пор, пока в момент t2n+2m+1 = t∗2n+2m в результате столкновеh h ния гиперболических нулей z2n+m и z2n+m+1 = z h2n+m c парабоp лическим z2n+m+2 не возникнет трехкратный параболический ∗ ∗ ∗ нуль z2n+m = z2n+m+1 = z2n+m+2 , который в следующий мо∗ ∗ мент t > t2n+2m+1 = t2n+2m распадается на гиперболические h h нули z2n+m+1 и z2n+m+2 = z h2n+m+1 в пределе при t → +∞ p устремляющиеся на ∞, и параболический нуль z2n+m , который, возрастая, достигает в пределе при t → +∞ значение bpm−1 = −2n − m − 1 − τ (при этом bpm−1 − ap2n+m+2 = 1 − τ ). С ростом t от t = 0 эллиптический нуль z0e ≡ z0 движется из положения ae0 ≡ a0 = 0 в положительном направлении вещественной оси и в пределе при t → +∞ уходит на +∞. 2.2. Рассмотрим изменение t в интервале (−∞, 0] (соответственно α ∈ [0, π/2)). p Параболический нуль z2k ≡ z2k и эллиптический нуль e z2k+1 ≡ z2k+1 (k ∈ Z0, n ) из положений соответственно ap2k ≡ a2k = = −2k и ae2k+1 ≡ a2k+1 = −2k − 1 движутся навстречу друг дру∗ ∗ гу и в момент t∗2k сталкиваются в некоторой точке z2k = z2k+1 ∈

372

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

∈ (−2k − 1, −2k), в результате чего возникает двукратный па∗ ∗ раболический нуль z2k = z2k+1 , который в следующий момент ∗ h t < t2k распадается на два гиперболических нуля z2k ≡ z2k h h и z2k+1 ≡ z2k+1 = z 2k (k ∈ Z0, n ), располагающихся симметрично относительно вещественной оси, которые в пределе при t → −∞ уходят на ∞. p Параболический нуль zk+2n+2 ≡ zk+2n+2 (k ∈ Z+ ) из поp ложения ak+2n+2 ≡ ak+2n+2 = −k − 2n − 2 смещается в отрицательном направлении вещественной оси и в пределе при t → −∞ достигает значения bpk = −k − 2n − 2 − τ (при этом apk+2n+2 − bpk = τ ). Отметим, что на рис. 5.2.4. . . 5.2.6 представлены траектории нулей функции tσ (z) − t при изменении t в интервале (−∞, ∞) для некоторых значений параметра σ.

4.2.9. Спектральное представление оператора Обозначим через Sh множество всех гиперболических собственных значений оператора Λhσi , через Se — множество всех эллиптических собственных значений, через Sp — множество всех параболических собственных значений, включая собственные числа, которым отвечают корневые подпростран(2) ства размерности d > 1. Через S∗ обозначим собственные числа, которым отвечают корневые подпространства размерности (3) d = 2, а через S∗ — собственные числа размерности d = 3. (2) (3) Обозначим S∗ = S∗ ∪ S∗ . (i) Выпишем проекторы Phσi (i = h, e, p) на гиперболическое (h)

(e)

(p)

Πhσi , эллиптическое Πhσi и параболическое Πhσi подпространства π-пространства Πhσi : X (h) Phσi = Nλ−1 wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσi , λ∈Sh (e)

Phσi =

X

λ∈Se

Nλ−1 wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσi ,

373

4.2.9. Спектральное представление оператора

X

(p)

Phσi =

(∗)

Nλ−1 wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσi + Phσi ,

λ∈Sp \S∗ (∗)

(∗)

(∗)

˙ Phσi3 , Phσi = Phσi(2) [+]

где (∗) Phσi(2)

=

X

Nλ−1

=

wλ, i [ · , wλ, 1−i ]hσi ,

i=0

(2) λ∈S∗

(∗) Phσi(3)

1 X

X

Nλ−1

2 X

wλ, i [ · , wλ, 2−i ]hσi .

i=0

(3) λ∈S∗

Условие полноты собственных и присоединенных функций wλ, i имеет вид: (h) (e) (p) ˙ Phσi ˙ Phσi Phσi [+] [+] =I. Операторы инволюции в соответствующих подпространствах имеют вид: X (σ) |N −1 | wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσi , Jh = λ∈Sh

Je(σ) =

X

|Nλ−1 | wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσi ,

λ∈Se

Jp(σ) =

X

|Nλ−1 | wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσi + J∗(σ) ,

λ∈Sp \S∗ (σ)

где

J∗ (σ) J∗(2)

=

X

|Nλ−1 |

=

X (3) λ∈S∗

(σ)

1 X

wλ, i [ · , wλ, i ]hσi ,

i=0

(2) λ∈S∗

(σ) J∗(3)

(σ)

= J∗(2) + J∗(3) ,

|Nλ−1 |

2 X i=0

wλ, i [ · , wλ, i ]hσi .

374

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

Следовательно, (σ)

˙ Je(σ) [+] ˙ Jp(σ) J (σ) = Jh [+] — оператор инволюции в пространстве Πhσi . Таким образом, для соответствующих δ-функций δ (σ) (x; y) и δ (σ)J (x; y) имеем: X δ (σ) (x; y) = Nλ−1 wλ, 0 (x) wλ, 0 (y) + λ∈Sh

=

X λ∈Se

+

X

1 X

wλ, i (x) wλ, 1−i (y) +

i=0

(2)

+

X

X

Nλ−1

2 X

wλ, i (x) wλ, 2−i (y) ,

i=0

λ∈S∗

|Nλ−1 | wλ, 0 (x) wλ, 0 (y) +

λ∈Sh

X

|Nλ−1 | wλ, 0 (x) wλ, 0 (y) +

λ∈Se

+

X (3)

δ (σ)J (x; y) = X

Nλ−1 wλ, 0 (x) wλ, 0 (y) +

λ∈Sp \S∗

Nλ−1

λ∈S∗

X

Nλ−1 wλ, 0 (x) wλ, 0 (y) +

|Nλ−1 | wλ, 0 (x) wλ, 0 (y) +

λ∈Sp \S∗

|Nλ−1 |

1 X

wλ, i (x) wλ, i (y) +

i=0

(2)

λ∈S∗

X

|Nλ−1 |

(3)

λ∈S∗

2 X

wλ, i (x) wλ, i (y) .

i=0

Для оператора Λhσi имеем разложение Λhσi =

X

Nλ−1 λ wλ, 0 [ · wλ, 0 ]hσi +

λ∈Sh

+

X

Nλ−1 λ wλ, 0 [ · wλ, 0 ]hσi +

λ∈Se

+

X (2)

λ∈S∗

X

Nλ−1 λ wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσi +

λ∈Sp \S∗

Nλ−1

µ X ¶ 1 λ wλ, i [ · , wλ, 1−i ]hσi + ²λ wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσi + i=0

375

4.2.9. Спектральное представление оператора

X

+

Nλ−1

µ X ¶ 2 1 X λ wλ, i [ · , wλ, 2−i ]hσi + ²λ wλ, i [ · , wλ, 1−i ]hσi . i=0

(3)

λ∈S∗

i=0

Таким образом, Z Λhσi =

(h) Λhσi

(h)

Λhσi =

где

˙ [+]

+∞

λ dEλΛ + N(2) + N(3) ,

−∞

X

Nλ−1 λ wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσi

λ∈Sh

— гиперболическая часть оператора Λhσi , X EµΛ = θ(µ − λ) Nλ−1 λ wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσi + λ∈Se

+

X

θ(µ − λ) Nλ−1 λ wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσi +

λ∈Sp \S∗

X

+

θ(µ −

λ) Nλ−1 λ

+

wλ, i [ · , wλ, 1−i ]hσi +

i=0

(2) λ∈S∗

X

1 X

θ(µ −

λ) Nλ−1 λ

2 X

wλ, i [ · , wλ, 2−i ]hσi

i=0

(3) λ∈S∗

— спектральная функция оператора, имеющая только регулярные критические точки, совпадающие с его эллиптическими и кратными параболическими собственными числами (здесь θ(x) = {0 при x ≤ 0; 1 при x > 0}), X Nλ−1 ²λ wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσi N(2) = (2)

λ∈S∗

— нильпотентный оператор второго порядка: N2(2) = 0, если (2)

S∗ 6= {Ø},

376

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

N(3) =

X

1 X

Nλ−1 ²λ

wλ, i [ · , wλ, 1−i ]hσi

i=0

(3) λ∈S∗

— нильпотентный оператор третьего порядка: N3(3) = 0, если (3)

S∗ 6= {Ø}. При этом EλΛ N(i) = N(i) EλΛ (i = 1, 2). Замечание. Перенумеруем собственные числа с учетом их кратности (и соответствующие собственные и присоединенные вектора), подчинив нумерацию правилу |λk+1 | ≥ |λk |

(k ∈ Z+ ) .

Пусть λpinf — параболическое (при t > 0 и четном [−σ]) собствен(p, inf) ное число, для которого lim λpinf = −∞ и Πhσi = Lin{wλp , 0 }. t→+∞

Обозначим

(inf)

inf

(h)

Πhσi = Πhσi (inf)

(h)

(e)

(inf)

(h)

(p, inf)

˙ Πhσi Πhσi = Πhσi [+]

при t < 0 , при t > 0 и нечетном [−σ] ,

˙ Πhσi Πhσi = Πhσi [+]

при t > 0 и четном [−σ] .

(inf)

Подпространство Πhσi — невырожденное и целиком содержит (для достаточно больших |t|) негативное подпространство (−)

(inf)

Πhσi ⊂ Πhσi из канонического разложения (+)

(−)

˙ Πhσi Πhσi = Πhσi [+]

на позитивное и негативное подпространства. При этом, оче(inf)[⊥] (+) (inf) видно, Πhσi ⊂ Πhσi . Тогда с ростом |t| подпространство Πhσi постепенно вытесняется на периферию (т. е. минимальный номер собственных значений, отвечающих собственным векто(inf) рам, составляющим подпространство Πhσi , неограниченно возрастает с ростом |t|), и в пределе при t → → ±∞ выталкивается из пространства Πhσi , в результате чего подпространство

377

4.2.10. Оператор Ганкеля

(inf)[⊥]

Πhσi превращается в гильбертово пространство (т. е. с позитивной метрикой) L2 (0, ∞).

4.2.10. Оператор Ганкеля ˙ ∞) (σ ∈ В функциональном π-пространстве Πhσi = L2hσi (0, ∈ R \ Z, c = 0, b = +∞) рассмотрим дифференциальное выражение l(y) (4.2.1) с p0 (x) = 4, q0 (x) = 0 : ³ ´ ν2 0 0 l(y) = −4 xy (x) + y(x) (ν = |σ|) . x Однородное уравнение ³ ´ ν2 −4 xy 0 (x) 0 + y(x) = λ y x

(4.2.15)

имеет два линейно независимых решения √ z1 (x) = u−ν, λ (x) = 2−ν Γ(−ν + 1) λν/2 J−ν ( λx) , √ z2 (x) = uν, λ (x) = 2ν Γ(ν + 1) λ−ν/2 Jν ( λx) . В случае λ = 0 в этих соотношениях следует перейти к пределу при λ → 0 : z1 (x) = u−ν, 0 (x) = x−ν/2 , z2 (x) = uν, 0 (x) = xν/2 . Очевидно, имеем ξz01 = 1 ,

ϕz1 (0) = 0 ,

ξz02 = 0 ,

ϕz2 (0) = 1 .

1. Пусть σ < −1, σ ∈ / Z. Из двух линейно независимых решений u˙ λ (x) = uσ, λ (x) cos α − (4σ)−1 u−σ, λ (x) sin α , uλ (x) = uσ, λ (x) sin α + (4σ)−1 u−σ, λ (x) cos α

378

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

уравнения l(z) − λ z = 0 ввиду того, что ξu0˙λ = cos α, ϕu˙ λ (0) = = −(4σ)−1 sin α, только первое решение u˙ λ (x) удовлетворяет условию ξy0 sin α + 4σ ϕy (0) cos α = 0 ,

α ∈ (−π/2, π/2) .

Это решение можно представить в виде √ √ u˙ λ (x) = Cσ(1) (α, λ) Hσ(1) ( λx) + Cσ(2) (α, λ) Hσ(2) ( λx) (для λ 6= 0), где Cσ(1) (α, λ) =

Γ(1 + σ) cos α Γ(1 − σ) eiπσ sin α − , 21−σ λσ/2 4σ 21+σ λ−σ/2

Cσ(2) (α, λ) =

Γ(1 + σ) cos α Γ(1 − σ) e−iπσ sin α − ; 21−σ λσ/2 4σ 21+σ λ−σ/2

u˙ 0 (x) = xσ/2 cos α − (4σ)−1 x−σ/2 sin α (для λ = 0) . Очевидно, u˙ λ (x) = u˙ λ (x). Обозначим t=

Γ(1 − σ) sin πσ 2 tg α = Γ (−σ) tg α . 4σ Γ(1 + σ) 4π

Учитывая асимптотику функций Бесселя при z → ∞ r ´ 2 i(z−πσ/2−π/4) ³ (1) Hσ (z) = e 1 + O(1/z) (−π < arg z < π) , πz находим, что для t = 0 (α = 0) только uσ, 0 (x) = xσ/2

(λ = λ0 = 0)

˙ , ˙ ∞) оператора L принадлежит области определения D˙ hσi (0, hσi ˙ ˙ а для λ 6= 0 c =λ ≥ 0 решение u˙ λ (x) ∈ Dhσi (0, ∞), если Cσ(2) (α, λ) = 0 , т. е.

Γ(1 + σ) cos α Γ(1 − σ) e−iπσ sin α − = 0, 21−σ λσ/2 4σ 21+σ λ−σ/2

379

4.2.10. Оператор Ганкеля

то есть если λ удовлетворяет соотношениям λ−σ = 2−2σ e−iπσ t ,

arg λ ∈ [0, π] .

(4.2.16)

В этом случае u˙ λ (x) принимает вид √ u˙ λ (x) = Cσ(1) (λ) Hσ(1) ( λx) , (1)

(1)

где коэффициент Cσ (λ) ≡ Cσ (α, λ)| Cσ(1) (λ) =

iπ 2σ eiπσ λ−σ/2

p

(4.2.17)

Γ2 (−σ) + 42 t2 Γ2 (1 + σ)

(2)

Cσ (α, λ)=0

равен

√ iπ eiπσ/2 t

=p

. Γ2 (−σ) + 42 t2 Γ2 (1 + σ) (4.2.18)

Из (4.2.16) следует для t > 0 :

λ = λk = 4eiπ(1+2k/σ) t−1/σ ,

для t < 0 : λ = λk = 4eiπ(1+(2k−1)/σ (−t)−1/σ ,

k ∈ Z0, [−σ/2] , k ∈ Z1, [−(σ−1)/2] .

˙ ∞), Соответственно для λ 6= 0 с =λ ≤ 0 решение u˙ λ (x) ∈ D˙ hσi (0, (1)

если Cσ (α, λ) = 0. В этом случае u˙ λ (x) принимает вид √ u˙ λ (x) = Cσ(2) (λ) Hσ(2) ( λx) , (4.2.19) (2)

(2)

где коэффициент Cσ (λ) ≡ Cσ (α, λ)|

(1)

Cσ (α, λ)=0

√ −iπ e−iπσ/2 t

Cσ(2) (λ) = p . Γ2 (−σ) + 42 t2 Γ2 (1 + σ)

равен (4.2.20)

˙ Отметим, что все собственные значения оператора L hσi располагаются в комплексной λ-плоскости на окружности радиуса R = 4|t|−1/σ с центром в т. λ = 0. Так как для невещественных λ, не совпадающих с собственными значениями (λ 6= λk ), имеем u˙ λ (x) ∈ / Πhσi , то индекс

380

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

˙ дефекта π-симметрического оператора L hσi0 равен m = 0, т. е. ˙ ˙ ˙ оператор Lhσi0 — π-самосопряжен: Lhσi0 ≡ L hσi ≡ Λhσi . 1.1. Из рассмотренного выше следует, что в случае t = 0 оператор Λhσi имеет единственный собственный элемент u˙ 0 (x) из Πhσi , которому отвечает собственное число λ = 0. Операции l(y) отвечает собственная u˙ 0, 0 (x) ≡ u˙ 0 (x) = xσ/2 и присоединенные функции u˙ 0, k (x) = xσ/2+k (k ∈ N) : l(u˙ 0, k (x)) = αk u˙ 0, k−1 (x) , αk = −4k(σ +k) (k ∈ Z+ ; u˙ 0, −1 (x) = 0) . Так как среди этих функций только функции u˙ 0, k , k ∈ Z0, rσ −1 (rσ = [(1 − σ)/2] ≡ [−σ] − [−σ/2]) принадлежат множеству ˙ ˙ ∞) (≡ D˙ ˙ ˙ Dhσi (0, hσi0 (0, ∞) ≡ D hσi (0, ∞)), причем [u˙ 0, k , u˙ 0, s ] = 0

(k, s ∈ Z0, rσ −1 ) ,

то оператор Λhσi для t = 0 имеет rσ -мерное нейтральное корнеrσ −1 вое подпространство Lin{u˙ 0, k (x)}k=0 : Λhσi u˙ 0, k (x) = αk u˙ 0, k−1 (x) (k ∈ Z0, rσ −1 ; u˙ 0, −1 (x) = 0) . (4.2.21) 1.2. Для t > 0 вещественному собственному значению λ0 = −4t−1/σ отвечает собственная функция r ¯ sin πσ ¯ p ¯ ¯ (4.2.22) ²λ0 (x) = −λ0 ¯ ¯ Kσ ( −λ0 x ) , πσ [²λ0 , ²λ0 ]hσi = (−1)[−σ] . Гиперболическим собственным значениям {λk , λk }, k ∈ Z0, [−σ/2] отвечают собственные функции r π sin πσ iπσ/2 (1) p ²λk (x) = λk e Hσ ( λk x ) , 2 πσ r q π sin πσ −iπσ/2 (2) ²λ (x) = e Hσ ( λk x ) , λk (4.2.23) k 2 πσ

381

4.2.10. Оператор Ганкеля

[²λk , ²λ ]hσi = δkm , m

[²λk , ²λm ]hσi = 0 .

1.3. Для t < 0 вещественных собственных значений нет. Выражениями (4.2.23) определяются собственные функции, отвечающие гиперболическим собственным значениям {λk , λk }, k ∈ Z1, [−(σ−1)/2] . 2. Пусть σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1). Граничному условию (4.2.2) ξy0 sin α − 4ν ϕy (0) cos α = 0 (ν = |σ| ∈ (0, 1)) удовлетворяет лишь одна линейно независимая комбинация u˙ λ (x) = u−ν, λ (x) cos α + (4ν)−1 uν, λ (x) sin α , α ∈ [−π/2, π/2) решений u±ν, λ (x) однородного уравнения (4.2.3). Как и в п. 1, ˙ нетрудно убедиться в том, что оператор L hσi0 — самосопряженный. При этом для t ≤ 0 оператор Λhσi не имеет собственных значений (чисто непрерывный спектр), а для t > 0 имеется одно (простое параболическое) собственное значение λ0 = −4t1/ν , которому отвечает собственная функция, представленная формулой (4.2.22) c σ = −ν ∈ (0, 1). 3. Пусть σ > 1 (σ ∈ / Z). Учет поведения решений u±ν, λ (x) однородного уравнения l(y) − λ y = 0 в окрестностях сингулярных точек x = 0 и x = +∞ приводит к заключению, что индекс дефекта оператора Lhσi0 равен (0, 0), причем оператор Λhσi не имеет собственных значений, чему формально отвечает в варианте, описанном в пункте 1, предельное значение параметра t = ±∞ (α = ±π/2), когда собственные значения оператора Λh−νi устремляются на бесконечность и конечномерное подпространство, натянутое на соответствующие собственные вектора оператора Λh−νi , выталкивается из π-пространства Πh−νi , в результате чего оно превращается в гильбертово пространство Πhνi , а оператор Λhνi переходит в оператор Λhνi с чисто непрерывным спектром.

382

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

4.2.11. Обобщенное преобразование Ганкеля Используя представление для гамма-функции Γ(σ) и разложение функции Бесселя Jσ (x) по степеням x Z

∞

Γ(σ) = Reg

xσ−1 e−x dx ,

0

Jσ (x) =

∞ X (−1)k (x/2)σ+2k k=0

k! Γ(σ + k + 1)

получаем соотношение Z ∞ Reg e0σ (x) Ehσi (xy) dx = e0σ (y) ,

,

(4.2.24)

0

где

ekσ (x) = xσ/2+k e−x/2 (k ∈ Z+ ) ,

√ Ehσi (z) = 2−1 Jσ ( z) .

Действуя после замены σ ⇒ σ + n на правую и левую части соотношения (4.2.24) операцией ∂yn (y (σ+n)/2 · ), имеем Z

∞

Reg 0

³ ´ ³ ´ e0σ+n (x) ∂yn y (σ+n)/2 Ehσ+ni (xy) dx = ∂yn y σ+n e−y/2 . (4.2.25)

Используя соотношение для функции Бесселя ³ ´ (z −1 ∂z )n z σ+n Jσ+n (z) = z σ Jσ (z) , находим ³ ´ ∂zn z (σ+n)/2 Ehσ+ni (z) = 2−n z σ/2 Ehσi (z) . Это соотношение и представление обобщенных полиномов Лаhσi герра Ln (x) формулой Родрига ³ ´ n (σ) −σ x n σ+n −x Lhσi (x) = (−1) L x e ∂ x e , n n, n x p Lhσi n, n = 1/ n! |Γ(σ + n + 1)|

383

4.2.11. Обобщенное преобразование Ганкеля

преобразуют соотношение (4.2.25) в Z ∞ hσi Ln, n Reg enσ (x) Ehσi (xy) dx = (−1)n 2n e0σ (y)Lhσi n (y/2) . 0

Используя это выражение и явное выражение для обобщенных полиномов Лагерра [15] Lhσi n (x)

=

Lhσi n, n

n X (−1)n−k n! Γ(σ + n + 1) xk k=0

(n ∈ Z+ ) ,

k! (n − k)! Γ(σ + k + 1) hσi

hσi

находим для функции ln (x) = xσ/2 e−x/2 Ln (x) (4.2.7) Z ∞ Reg lnhσi (x) Ehσi (xy) dx = (−1)n e0σ (y) Qn (y) , 0

где =

Qn (y) = Lhσi n, n

n m X (−1)m 2m X (−1)s y s n! Γ(σ+n+1) . (n−m)! s=0 2s s! (m−s)! Γ(σ+s+1) m=0

Изменив в выражении для Qn (y) порядок суммирования, получаем Qn (y) =

Lhσi n, n

n X (−1)n−s n! Γ(σ + n + 1) y s

s! (n − s)! Γ(σ + s + 1)

s=0

ηns ,

где ηns =

n X (−1)n−m 2m−s (n−s)!

(n−m)! (m−s)!

m=s

n−s

= (−1)

n−s X (−1)k 2k (n−s)! k=0

k! (n−s−k)!

= 1.

hσi

Таким образом, Qn (y) = Ln (y) и Z ∞ Reg lnhσi (x) Ehσi (xy) dx = (−1)n lnhσi (y) 0

(n ∈ Z+ ) . (4.2.26)

384

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

Функционал fy (x) = Ehσi (xy) определен на ядерном пространстве Π◦ соотношением hσi

[Ehσi (· y), ln (·)]hσi = (−1)n lnhσi (y) , следовательно, Ehσi (xy) ∈ Π0 . Найдем разложение Ehσi (xy) = P hσi k hσi J = ∞ k=0 ak (Ehσi (· y)) lk (x). Так как ak (Ehσi (· y)) = (−1) lk (y), то ∞ X hσiJ hσi Ehσi (xy) = (−1)k lk (y) lk (x) . (4.2.27) k=0 hσi

Очевидно, что ||Ehσi (· y)||−1 = ||δy ||−1 < ∞, ||Ehσi (· y)||0 = ∞, т. е. Ehσi (xy) ∈ Π−1 \ Π0 ⊂ Π0 . Таким образом, в ядерном пространстве Π◦ определен оператор обобщенного преобразования Ганкеля (Hhσi y)(x) = [Ehσi (x ·), y(·)]hσi =

∞ X

hσi

(−1)n ξk lk (x) ,

k=0

y(x) =

∞ X

hσi

ξk lk (x) ,

k=0

который может быть продолжен по непрерывности на пространство Π0 ≡ Πhσi , а также на каждое пространство Π−n (n ∈ ∈ N), и следовательно, на все множество Π0 . В результате в оснащенном пространстве Π◦ ⊂ Π0 ⊂ Π0 действует квазиинтегральный оператор Hhσi по правилу Z

∞

z(x) = Reg 0

∞ X hσi Ehσi (xs) y(s) ds = (−1)n ζk lk (x) , k=0

y(x) =

∞ X k=0

hσi

ζk lk (x) ∈ Π0

385

4.2.12. Оператор Ганкеля в оснащенном пространстве (α = 0)

c Ehσi (xy) в качестве его ядра. В частности, имеем Z

∞

Reg 0

Ehσi (xs) Ehσi (ys) ds = δ hσi (x; y) , hσi

что интерпретируется как Hhσi Hhσi= I или Hhσi Ehσi(λx) = δλ (x).

4.2.12. Оператор Ганкеля в оснащенном пространстве (α = 0) Если π-самосопряженный оператор A = Ac переводит ядерное пространство Π◦ в себя, то он может быть продолжен в оснащенном пространстве Понтрягина на все пространство Π0 по формуле (∀y ∈ Π◦ , ∀z ∈ Π0 ) .

[Az, y]0 = [z, Ay]0

(4.2.28)

Из соотношения Λhσi lnhσi (x) = λn lnhσi (x) − x lnhσi (x) = (σ)

hσi

(σ)

hσi

hσi = −an, n−1 ln−1 (x) + a(σ) n, n ln (x) − an, n+1 ln+1 (x) ,

где

(σ)

an, n+1 =

(σ)

an+1, n

p

(n + 1) |σ + n + 1| , p = sgn(σ + n + 1) (n + 1) |σ + n + 1| , a(σ) n, n = σ + 2n + 1 ,

следует, что оператор Λhσi переводит ядерное пространство Π◦ в себя. Очевидно, можно полагать, что продолженный на Π0 оператор Λhσi переводит пространство Π0 в себя согласно формуле Λhσi z(x) = l(z(x)) =

∞ X k=0

hσi ζk Λhσi lk (x) ,

z(x) =

∞ X k=0

hσi

ζk lk (x) ∈ Π0 .

386

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

В частности, для функционалов √ hσi Eλ (x) = λ−σ/2 eλ/2 Ehσi (λx) = 2−1 λ−σ/2 eλ/2 Jσ ( λx) из Π0 имеем hσi

hσi

Λhσi Eλ (x) = λ Eλ (x) ,

λ ∈ (0, ∞) .

hσi

Функционалы {Eλ (x)}λ∈(0, ∞) образуют полную «ортонормированную на δ-функцию» систему обобщенных собственных векторов, отвечающих собственным значениям λ ∈ (0, ∞). Соотношения ортонормированности и полноты имеют вид соответственно hσi hσi [Eλ (x), Eµhσi (x)]hσi = ∆λ; µ , Z ∞ hσi hσi Eλ (x) Eλ (y) dσ(λ) = δ hσi (x; y) , lim α→+0

где

0

dσ(λ) = λσ e−λ dλ ,

hσi

∆λ; µ = (λµ)−σ/2 e(λ+µ)/2 δ hσi (λ; µ) ,

или в разложении по обобщенным полиномам Лагерра hσi ∆λ; µ

=µ

−σ/2 µ/2

e

hσi ∆λ (µ)

=

∞ X

J Lhσi (λ) Lhσi n n (µ) .

n=0

Действуя на обе части равенства ³ ´ hσi hσi l Eλ (x) − λ Eλ (x) = 0 операцией (m!)−1 ∂λm , получаем ³ ´ hσi hσi hσi l Eλ (m) (x) − λ Eλ (m) (x) = Eλ (m−1) (x) , hσi

hσi

hσi

1 где Eλ (m) (x) = m! ∂λm Eλ (x) . Полагая здесь λ = 0, для E0 (m) (x) (m ∈ Z+ ) находим: hσi

E0 (m) (x) = xσ/2 Rm (x) ,

387

4.2.12. Оператор Ганкеля в оснащенном пространстве (α = 0)

m hσi X (−1)k 2−σ−m−k−1 xk (−1)m Lm (x/2) Rm (x) = = , hσi k! (m−k)! Γ(σ+k+1) 2σ+m+1 m! Γ(σ+m+1)Lm, m k=0 hσi

E0 (m) (x) ∈ Πhσi hσi

/ Πhσi E0 (m) (x) ∈ hσi

(m ∈ Z0, rσ −1 ) , (m ∈ Zrσ , ∞ ) ,

hσi

hσi

Λhσi E0 (m) (x) = E0 (m−1) (x) (m ∈ Z0, rσ −1 , E0 (−1) (x) = 0) . Таким образом, имеет место Теорема 4.2.9 Оператор Λhσi обладает : (1) полной системой обобщенных собственных векторов hσi

Eλ (x) = λ−σ/2 eλ/2 Ehσi (λx) , λ ∈ (0, ∞) из Π−1 \ Π0 ⊂ Π0 , hσi

hσi

Λhσi Eλ (x) = λ Eλ (x) ,

λ ∈ (0, ∞) ,

отвечающих точкам λ непрерывного спектра Sc = [0, ∞); (2) набором корневых векторов hσi

hσi

E0 (m) (x) = (m!)−1 (∂λm Eλ (x))λ=0 (m ∈ Z0, rσ −1 ; rσ = rank Πhσi ) , отвечающих собственному числу λ = 0 и образующих жорданову цепочку hσi

hσi

hσi

Λhσi E0 (m) (x) = E0 (m−1) (x) (m ∈ Z0, rσ −1 ; E0 (−1) (x) = 0) , hσi

r −1

σ линейная оболочка Lin{E0 (m) (x)}m=0 которых составляет нейтральное инвариантное подпространство в Πhσi .

Воспользовавшись разложением (4.2.27), находим для hσi hσi элементов Eλ (x) (λ ∈ (0, ∞)) и E0 (m) (x) (m ∈ Z0, rσ −1 ) разhσi

ложение по π-ортонормированному базису {ln (x)}∞ n=0 : hσi Eλ (x)

=

∞ X n=0

ξλ, n lnhσi (x) ,

ξλ, n = (−1)n Jnhσi Lhσi n (λ) ,

388

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

hσi

E0 (m) (x) =

∞ X

³ ´ Jnhσi = sgn Γ(σ + n + 1) ,

ξnm lnhσi (x) ,

n=0 hσi

ξnm =

hσi

(−1)m n! Jn Ln, n Γ(σ+n+1) , m! (n − m)! Γ(σ + m + 1)

1

Lhσi n, n = p

n! |Γ(σ+n+1)|

.

Выбор обобщенных собственных векторов в виде √ e hσi (x) = e−λ/2 E hσi (x) = 2−1 λ−σ/2 Jσ ( λx) E (4.2.29) λ λ e hσi (x) ∼ приводит к корневым элементам (см. (4.2.21)) E 0 (m) ∼ u˙ 0, m (x) (m ∈ Z0, rσ −1 ) : e hσi (x) = E 0 (m)

(−1)m xσ/2+m , 2σ+2m+1 m! Γ(σ + m + 1) hσi

линейно связанным с элементами E0 (m) (x) (m ∈ Z0, rσ −1 ) : hσi E0 (m) (x)

=

m X

1 2m−k (m

k=0

− k)!

e hσi (x) . E 0 (k)

Ввиду полноты системы обобщенных собственных элеменhσi тов Eλ (x) произвольный элемент y(x) из Πhσi может быть представлен разложением Z ∞ hσi y(x) = Reg Yλ Eλ (x) dσ(λ) , 0

где

Z Yλ = Reg

∞

hσi

y(x) Eλ (x) dx .

0

hσi(m)

В частности, для элементов E0 Z hσi E0 (m) (x)

∞

= Reg 0

hσi

(x) (m ∈ Z0, rσ −1 ) имеем hσi

∆0; λ (m) Eλ (x) dσ(λ) ,

4.2.12. Оператор Ганкеля в оснащенном пространстве (α = 0)

где

Z hσi ∆0; λ (m)

∞

= Reg 0

hσi

389

hσi

E0 (m) (x) Eλ (x) dx .

Отметим, что в разложении по обобщенным полиномам Лагерhσi ра для ∆0; λ (m) имеем hσi

hσi

∆0; λ (m) = λ−σ/2 eλ/2 ∆0 (m) (λ) =

∞ X

hσi LhσiJ n, m Ln (λ) ,

n=0 hσi

1 m (σ) (−1)n−m Ln, n n! Γ(σ + n + 1) = ∂λ Ln (λ)|λ=0 = . m! m! (n − m)! Γ(σ + m + 1) Для оператора Λhσi имеет место представление Z ∞ λ dEλΛ (4.2.30) Λhσi = Reg

Lhσi n, m

0

через обобщенную спектральную функцию EλΛ (с сингулярной критической точкой λ = 0) Z ∞ hσi hσi Λ θ(λ − t) Et [ · , Et ]hσi dσ(t) , Eλ = Reg 0

hσi

hσi

dEλΛ = Eλ [ · , Eλ ]hσi dσ(λ) ,

(4.2.31)

удовлетворяющей условиям: (1) EτΛ EνΛ = EλΛ (λ = min{τ, ν}) , (2) s- lim EtΛ = EλΛ , t→λ−0

(3) s-lim EtΛ = ∞ , t→+0 EλΛ =

Λ (4) 0 , λ ∈ (−∞, 0] , E+∞ =I. Действие оператора Λhσi на произвольный элемент y(x) из Πhσi осуществляется по формуле Z ∞ hσi Λhσi y(x) = Reg λ Yλ Eλ (x) dσ(λ) , dσ(λ) = λσ e−λ dλ . 0

390

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

Пусть I∆ — проектор на подпространство Π∆ (⊂ Πhσi ), hσi

натянутое на обобщенные собственные элементы {Eλ (x)}λ∈∆ (∆ ⊂ [0, ∞)). Тогда Z (σ) I∆ y(x) = Reg Yλ Eλ (x) dσ(λ) . ∆

В частности, при ∆ ⊂ (0, ∞), т. е. при 0 ∈ / ∆, имеем Z hσi I∆ y(x) = Yλ Eλ (x) dσ(λ) . ∆

Таким образом, в Πhσi почти всюду существует производная по мере σ(∆) dEλΛ y(x) hσi = Yλ Eλ (x) dσ(λ)

(λ 6= 0, y ∈ Πhσi ) ,

hσi

где Yλ Eλ (x) — (п. в.) линейный непрерывный функционал на Π◦ , действующий по формуле d[EλΛ y, z]hσi dσ(λ)

= Yλ Z λ .

В частности, dEλΛ β(x) hσi = Eλ (x) (∈ Π0 ; λ 6= 0 , β(x) = xσ/2 e−x/2 ) , dσ(λ) при этом существует предел µ ¶ 1 dm dEλΛ β(x) hσi E0 (m) (x) = lim (∈ Πhσi ; m ∈ Z0, rσ −1 ) , λ→+0 m! dλm dσ(λ) и для любого z ∈ Π◦ имеем [z,

hσi E0 (m) ]hσi

¯ 1 dm Zλ ¯¯ . = m! dλm ¯λ=0

4.2.13. Собственные числа и их эволюция

391

4.2.13. Собственные числа и их эволюция Исследуем дискретный спектр оператора Ганкеля в общем случае и проследим за его эволюцией с изменением параметра t от −∞ до +∞ (α ∈ (−π/2, π/2)). Его непрерывный спектр Sc = [0, ∞) при этом остается неизменным. 1. Пусть σ < −1 (σ ∈ / Z). 1.1. Как выше было установлено, в случае t = 0 оператор Λhσi имеет rσ -мерное нейтральное корневое подпространство, отвечающее единственному собственному числу λ = 0. 1.2. В случае t > 0 имеется одно вещественное (отрицательное) собственное значение λ0 = −4t−1/σ . Кроме того для σ = −2n − 1 − τ (n ∈ Z+ , τ ∈ (0, 1)) имеется еще [−σ/2] = n пар комплексно сопряженных невещественных собственных значений {λk , λk } (k ∈ Z1, n ), а для σ = −2n − 2 − ε (n ∈ Z+ , ε ∈ (0, 1)) — [−σ/2] = n + 1 пар комплексно сопряженных невещественных собственных значений {λk , λk } (k ∈ Z1, n+1 ). Ниже убедимся в том, что собственный вектор (см. (4.2.17)) p √ p 4t Kσ (2 t−1/σ x ) (1) (1) u˙ λ0 (x) = Cσ (λ0 ) Hσ ( λ0 x ) = p Γ2 (−σ) + 42 t2 Γ2 (1 + σ) в первом случае (σ = −2n − 1 − τ ) негативен: [u˙ λ0 , u˙ λ0 ]hσi < 0, а во втором (σ = −2n − 2 − τ ) позитивен: [u˙ λ0 , u˙ λ0 ]hσi > 0. Это соответствует тому факту, что ранг индефинитности пространства Πhσi равен rσ = n + 1 и указывает на то, что оператор Λhσi не имеет присоединенных элементов. Для u˙ µ (x) и u˙ λ (x), где λ — собственное число, а µ = λ + ε (|ε| ¿ 1), имеем Z a (µ − λ) Reg u˙ µ (x) u˙ λ (x) dx = {u˙ µ (x), u˙ λ (x)}a 0

или

Z

a

Reg 0

³ ´ u˙ λ (x) u˙ λ (x) dx = 4a ∂λ u˙ λ (x) u˙ 0λ (x) − ∂λ u˙ 0λ (x) u˙ λ (x) . a

392

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

Тогда в пределе при a → +∞ находим для Nλ = [u˙ λ , u˙ λ ]hσi : Nλ = (1)

8i (1) e(2) (λ) , C (λ) C σ π σ

(1)

где Cσ (λ) ≡ Cσ (α, λ)| (2) дается формулой (4.2.20), а ³ ´ Cσ (α, λ)=0 eσ(2) (λ) ≡ ∂ Cσ(2) (α, λ) | (2) C дается выражением λ Cσ (α, λ)=0

e(2) (λ) = C σ

2σ−1 λ−σ/2−1 πσ p . sin πσ Γ2 (−σ) + 42 t2 Γ2 (1 + σ)

Таким образом, Nλ = −

4t πσ 1 . 2 sin πσ λ Γ (−σ) + 42 t2 Γ2 (1 + σ)

(4.2.32)

Операции l(y) отвечает собственная u˙ λ (x) ≡ u˙ λ, 0 (x) и присоединенные функции u˙ λ, m (x) = (1/m!) ∂λm u˙ λ (x) (m ∈ N) : l(u˙ λ, m (x)) = λ u˙ λ, m (x) + u˙ λ, m−1 (x)

(m ∈ Z+ , u˙ λ, −1 (x) = 0) .

Так как уже функция √ e(1) (λ) H (1) ( λx) + u˙ λ, 1 (x) = C σ σ √ √ √ x (2) (2) e + Cσ (λ) Hσ ( λx) + √ Cσ(1) (λ) Hσ(1) ( λx) , 2 λ ³ ´ eσ(1) (λ) ≡ ∂ Cσ(1) (α, λ) | (2) , для λ = λk (k ∈ Z0, [−σ/2] ) где C λ Cσ (α, λ)=0 не принадлежит пространству Πhσi , то оператор Λhσi действительно не имеет присоединенных элементов. Нормируя функции u˙ λ0 (x), u˙ λk (x), u˙ λ (x) (k ∈ Z1, [−σ/2] ) k соотношениями ²λ0 (x) = |Nλ0 |−1/2 u˙ λ0 (x) ,

393

4.2.13. Собственные числа и их эволюция

−1/2

²λk (x) = Nλ

k

u˙ λk (x) ,

−1/2

²λ (x) = Nλ k

k

u˙ λ (x) , k

получаем [²λ0 , ²λ0 ]hσi = (−1)[−σ] , [²λk , ²λ ]hσi = 1 , [²λk , ²λk ]hσi = 0 . k

[−σ/2]

(d)

Таким образом, линеал Πhσi = Lin{²λ0 , {²λk , ²λ }k=1 } образует k невырожденное 2[−σ/2] + 1-мерное инвариантное подпространство с рангом индефинитности rσ . 1.3. В случае t < 0 нет вещественных собственных значений и имеется [−(σ − 1)/2] = n + 1 пар комплексно сопряженных невещественных собственных значений {λk , λk } (k ∈ ∈ Z1, [−(σ−1)/2] ), которым отвечают собственные функции (4.2.17) для λ = λk и для λ = λk соответственно. После соответствующей нормировки соотношения (4.2.32) дают [²λk , ²λ ]hσi = 1 , [²λk , ²λk ]hσi = 0 , (k ∈ Z1, [−(σ−1)/2] ) . k

(d)

[−(σ−1)/2]

Таким образом, линеал Πhσi = Lin{²λk , ²λ }k=1 образует k невырожденное 2[−(σ − 1)/2]-мерное инвариантное подпространство с рангом индефинитности rσ . 1.4. Обозначим через Sd дискретный спектр:    λ0 , {λk , λk }nk=1 для σ = −2n − 1 − τ ;  t>0: Sd = ,   λ0 , {λk , λk }n+1 для σ = −2n − 2 − τ k=1   для σ = −2n − 1 − τ ;  {λk , λk }n+1  k=1 t<0: Sd = .   n+1 {λk , λk }k=1 для σ = −2n − 2 − τ Через I (d) =

X

²λ [ · , ²Jλ ]hσi ,

λ∈Sd

где

²Jλ0 (x) = J²λ0 (x) = (−1)[−σ] ²λ0 (x) ,

394

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

²Jλ (x) = J²λ (x) = ²λ (x) (λ ∈ Sh ) , Sh — гиперболический спектр оператора Λhσi , обозначим проектор в пространстве (d) ˙ Π(c) Πhσi = Πhσi [+] hσi (d)

на подпространство Πhσi . Здесь X

J (d) =

²λ [ · , ²λ ]hσi

λ∈Sd (d)

— оператор инволюции, действующий в подпространстве Πhσi . Через X (d) Λhσi = λ ²λ [ · , ²Jλ ]hσi λ∈Sd

обозначим часть оператора (d)

(c)

˙ Λhσi , Λhσi = Λhσi [+]

(4.2.33)

(d)

действующую в подпространстве Πhσi . Положительный опера(c)

(c)

(d)[⊥]

тор Λhσi действует в π-ортогональном дополнении Πhσi = Πhσi и обладает только непрерывным спектром Sc = [0, +∞). (d) (h) При t < 0 оператор Λhσi = Λhσi для σ ∈ (−2n−3, −2n−2)∪ ∪(−2n − 2, −2n − 1) (n ∈ Z+ ) действует в 2n + 2-мерном ги(d) (h) перболическом подпространстве Πhσi = Πhσi , т. е. имеет только гиперболический спектр Sh = {λk , λk }n+1 k=1 . При t > 0 для (d) (e) ˙ Λ(h) σ ∈ (−2n − 2, −2n − 1) оператор Λhσi = Λhσi [+] hσi действует (d) (e) (h) ˙ Πhσi 1-мерного элв π-ортогональной сумме Πhσi = Πhσi [+] (e)

липтического подпространства Πhσi и 2n-мерного гиперболиче(h)

ского подпространства Πhσi , т. е. имеет эллиптический спектр Se = {λ0 } и гиперболический спектр Sh = {λk , λk }nk=1 , а для

395

4.2.13. Собственные числа и их эволюция

(d) (p) ˙ Λ(h) σ ∈ (−2n − 3, −2n − 2) оператор Λhσi = Λhσi [+] hσi действует в (d) (p) (h) ˙ Πhσi 1-мерного парабоπ-ортогональной сумме Πhσi = Πhσi [+] (p)

лического подпространства Πhσi и 2n + 2-мерного гиперболиче(h)

ского подпространства Πhσi , т. е. имеет параболический спектр Se = {λ0 } и гиперболический спектр Sh = {λk , λk }n+1 k=1 . (d) Размерность kd подпространства Πhσi , отвечающего дискретному спектру Sd , можно представить соотношением kd = 2rσ + (−1)[−σ]

1 + sgn t 2

(t 6= 0) . (e)

Размерность ke эллиптического подпространства Πhσi равна ³ ´ 1 + sgn t ke = 2rσ − [−σ] 2

(t 6= 0) . (p)

Размерность kp параболического подпространства Πhσi ³ kp = 1 − 2rσ + [−σ]

´ 1 + sgn t 2

(t 6= 0) . (h)

Размерность kh гиперболического подпространства Πhσi ³ ´ 1 + sgn t kh = 2rσ − 1 − (−1)[−σ] 2

(t 6= 0) .

С ростом |t| дискретный спектр разбегается при t < 0 вдоль лучей λ = −4ei(2k−1)π/σ (−t)−1/σ (k ∈ Z1, [−σ/2] ) и им симметричным относительно вещественной оси, а при t > 0 — вдоль лучей λ = −4ei2kπ/σ t−1/σ (k ∈ Z1, [−(σ−1)/2] ) и им симметричным относительно вещественной оси, и в пределе при |t| → +∞ уходит на бесконечность. С убыванием |t| дискретный спектр по тем же лучам устремляется к нулю и в пределе при |t| → 0 сливается в n + 1-кратное собственное число λ0 = 0, которому отвечает n + 1-мерное нейтральное (параболическое) подпространство

396

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

(d)

Πhσi , размерность которого совпадает с рангом индефинитности пространства Πhσi (rσ = n + 1). В случае t = 0 (α = 0) спектральное разложение оператора Λhσi представлено формулами (4.2.30) и (4.2.31). В случае t 6= 0 α 6= 0 проектор в Πhσi на подпространство (c)

Πhσi , отвечающее непрерывному спектру оператора Λhσi , имеет вид Z ∞ hσi hσi Ic = Eˆλ [ · , Eˆλ ]hσi dλ , 0

√ hσi {σ} √ где (см. (5.2.49), § 5.2.9) Eˆλ (x) = (2 x)−1/2 Eˆλ ( x), √ √ σ −σ/2 −σ σ/2 λx)−2 tλ J ( λx) 2 λ J ( hσi σ −σ p . Eˆλ (x) = 2 (22σ λ−σ − 2t cos πσ + 2−2σ λσ t2 ) (c)

Для произвольного y = yd + yc ∈ Πhσi (где yc = Ic y ∈ Πhσi ) имеет место разложение Z ∞ hσi yc (x) = Yλ Eˆλ (x) dλ , 0

Z где

Yλ = Reg

∞ 0

hσi y(x) Eˆλ (x) dx .

(c)

Часть Λhσi оператора Λhσi в (4.2.33), отвечающая непрерывному спектру, представляется разложением Z ∞ (c) hσi hσi Λhσi = λ Eˆλ [ · , Eˆλ ]hσi dλ . 0

Если определить спектральную функцию формулой Z ∞ Λ θ(λ − µ) Eˆµhσi [ · , Eˆµhσi ]hσi dµ + θ(λ − λ0 ) θ(t) ²λ0 [ · , ²Jλ0 ]hσi , Eλ = 0

(4.2.34)

397

4.2.13. Собственные числа и их эволюция

то оператор Λhσi запишется в виде Z ∞ (h) Λhσi = λ dEλΛ + Λhσi ,

(4.2.35)

0

X

(h)

Λhσi =

где

λ ²λ [ · , ²Jλ ]hσi .

λ∈Sh

Заметим, что ввиду того, что точка λ = 0 принадлежит непрерывному спектру Sc оператора Λhσi , при t = 0 происходит поглощение непрерывным спектром части собственных значений оператора, в результате чего ожидаемая кратность (kd ) собственного числа λ0 (t = 0) уменьшается на величину kh /2, равную рангу индефинитности гиперболического подпространства (t 6= 0) : µ ¶ 1 (d) (d) (h) dim Πhσi |t=0 = dim Πhσi − dim Πhσi |t6=0 . 2 (d)

При этом подпространство Πhσi |t=0 целиком укладывается в (c)

Πhσi |t=0 ≡ Πhσi |t=0 : (d)

(c)

Πhσi |t=0 ⊂ Πhσi |t=0 . В отношении того, как при |t| → ∞ эволюционируют под(d) (c) пространства Πhσi и Πhσi , составляющие π-пространство Πhσi , можно привести замечание, аналогичное тому, которое было сделано в конце § 4.2.9. А именно, по мере возрастания |t| под(d) (−) пространство Πhσi ⊃ Πhσi , целиком содержащее негативное под(−)

пространство Πhσi канонического разложения (+) ˙ Π(−) Πhσi = Πhσi [+] hσi ,

постепенно отодвигается на периферию и в пределе при t → → ±∞ выталкивается из π-пространства Πhσi , превращая тем

398

4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала

(c)

(d)[⊥]

самым подпространство Πhσi ≡ Πhσi в гильбертово пространство Πh−σi = L2 (0, ∞). 2. В случае σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) для t ∈ (−∞, 0] оператор Λhσi (≡ Λh−σi ) (см. § 4.2.10, п. 2) не имеет собственных значений. В момент t = +0 на границе λ = 0 непрерывного спектра Sc = [0, ∞) рождается (параболическое) собственное значение λ0 < 0, которое в дальнейшем с ростом t смещается в отрицательном направлении вещественной оси по закону λ0 = −4t1/ν (ν = |σ|) и в пределе при t → +∞ уходит на −∞. При этом соответствующее одномерное собственное подпространство Lin{u˙ λ0 (x)} с ростом t вытесняется на периферию пространства L2 (0, ∞) и в пределе выпадает из него. Оператор Λhσi может быть представлен следующим образом Z ∞ Λhσi = λ dEλΛ , (4.2.36) 0

EλΛ

где спектральная функция вид (4.2.34) с σ = −ν (здесь t принимает значения в интервале (−∞, ∞), а также предельные значения t = ±∞). 3. В случае σ = ν > 1 спектр оператора Λhσi чисто непрерывный. Для Λhσi имеет место представление (4.2.36), где Z EλΛ

∞

= 0

eµhνi [ · , E eµhνi ]hνi dµ (см. (4.2.29)) . θ(λ − µ) E

Это представление формально можно рассматривать как предельное при t → ±∞ представление (4.2.35) для оператора Λh−νi .

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

399

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала Исследуем π-самосопряженные расширения π-симметрических операторов Штурма—Лиувилля первого класса с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала ˙ L hσ, κi0 , рассмотренных в § 1.1.1, порождаемых в π-пространст˙ с π-метрикой (§ 3.1.3) ве Πhσ, κi = L2hσ, κi (c, ˙ b) Z [y, z]hσ, κi = lim

α→+0

hσ, κi

где τα

b c

hσi

hσ, κi

y(x) z(x) τα

(x) dx (σ, κ ∈ R \ Z) ,

hκi

(x) = τα (x) τα (x) (— регуляризующий множитель),

p hσi т. е. τα (x) = Rσ ( (x − c)/α ) , ³ ´ p cos (2σ + 1) arctg (x − c)/α hσi τα (x) = ¡ ¢−σ−1/2 при σ < −1 , − sin πσ 1 + α/(x − c) hσi

τα (x) = 1 при σ > −1; p hκi τα (x) = Rσ ( (b − x)/α ) , т. е. ´ ³ p cos (2κ + 1) arctg (b − x)/α hκi τα (x) = ¡ ¢−κ−1/2 при κ < −1 , − sin πκ 1 + α/(b − x) hκi

τα (x) = 1 при κ > −1 , дифференциальным выражением (§ 2.1.3) ´ ³ l(y) = − (x − c)(b − x)p0 (x) y 0 0 +

(4.3.1)

400

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

µ µ ¶ ¶ b − c p0 (c) ν 2 p0 (b) µ2 + + + q0 (x) y , ν = |σ| , µ = |κ| , 4 x−c b−x где p0 (x) не имеет нулей, а q0 (x) не имеет особенностей на [c, b]. Напомним, что сингулярная точка x = c (x = b) является квазирегулярной при σ < 1 (κ < 1), критической при σ < −1 (κ < −1), существенно сингулярной при σ > 1 (κ > 1).

4.3.1. Оператор с двумя критическими точками Рассмотрим случай, когда параметры, характеризующие π-пространство Πhσ, κi , удовлетворяют соотношениям σ < −1, κ < −1, σ, κ ∈ / Z, т. е. когда обе сингулярные точки x = c и x = b являются критическими, ранг индефинитности пространства Πhσ, κi равен r = rσ + rκ , где rσ и rκ (rτ = [−τ ] − [−τ /2]) — парциальные ранги индефинитности, отвечающие критическим точкам x = c и x = b соответственно. Как было установле˙ ˙ но в § 3.1.3 (теорема 3.1.42), оператор L hσ, κi0 = Lhσ, κi ≡ Λhσ, κi является π-самосопряженным в Πhσ, κi . При этом область опре˙ определяется краевыми условиями деления Dhσ, κi (c, ˙ b) ξy0 sin α + σ (b − c) p0 (c) ϕy (c) cos α = 0 ,

(4.3.2)

ηy0 sin β + κ (b − c) p0 (b) ψy (b) cos β = 0 ,

(4.3.3)

где α ∈ (−π/2, π/2), β ∈ (−π/2, π/2). Для некоторого λ решение уравнения l(y) − λ y = 0 может быть, с одной стороны, записано в виде y(x) = σ(b − c) p0 (c) uσ, λ (x) cos α − u−σ, λ (x) sin α , а с другой стороны, в виде ³ ´ y(x) = C κ(b − c) p0 (b) vκ, λ (x) cos β − v−κ, λ (x) sin β , где u±σ, λ (x) и v±κ, λ (x) — две различные пары линейно независимых решений уравнения l(y) − λ y = 0, удовлетворяющих

401

4.3.1. Оператор с двумя критическими точками

условиям ξu0σ, λ = 1 , ξu0−σ, λ = 0 ,

ϕuσ, λ (c) = 0 , ϕu−σ, λ (c) = 1 ,

ηv0κ, λ = 1 , ηv0−κ, λ = 0 ,

ψvκ, λ (b) = 0 , ψv−κ, λ (b) = 1 .

При этом каждое решение из одной пары является линейной комбинацией решений из другой пары uσ, λ (x) = Aσ, κ (λ) vκ, λ + Aσ, −κ (λ) v−κ, λ (x) ,

(4.3.4)

u−σ, λ (x) = A−σ, κ (λ) vκ, λ + A−σ, −κ (λ) v−κ, λ (x)

(4.3.5)

с некоторыми коэффициентами Aiσ, jκ (i, j = ±1). Следовательно, имеем σ (b−c) p0 (c) Aσ, κ (λ) cos α−A−σ, κ (λ) sin α = Cκ (b−c) p0 (b) cos β , σ (b − c) p0 (c) Aσ, −κ (λ) cos α − A−σ, −κ (λ) sin α = −C sin β . Таким образом, получаем уравнение ³ ´ κ(b−c)p0 (b) σ(b−c)p0 (c) Aσ, −κ (λ) cos α−A−σ, −κ (λ) sin α cos β+ ³ ´ + σ(b−c)p0 (c) Aσ, κ (λ) cos α−A−σ, κ (λ) sin α sin β = 0 , (4.3.6) σ < −1, κ < −1, σ, κ ∈ / Z, α ∈ (−π/2, π/2), β ∈ (−π/2, π/2), накладывающее ограничение на собственные числа оператора Λhσ, κi . Отметим, что предельное значение параметра α = = ±π/2 отвечает оператору Λhσ, κi , действующему в простран˙ предельное значение параметра стве Πh−σ, κi = L2h−σ, κi (c, ˙ b), β = ±π/2 отвечает оператору Λhσ, −κi , действующему в про˙ наконец, предельный случай странстве Πhσ, −κi = L2hσ, −κi (c, ˙ b), α = ±π/2, β = ±π/2 отвечает оператору Λh−σ, −κi , действующе˙ ≡ L (c, ˙ му в пространстве Π =L (c, ˙ b) ˙ b). h−σ, −κi

2h−σ, −κi

2

402

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

Применяя к уравнению l(u±σ, λ ) − λ u±σ, λ = 0 операцию −1 m εm (m!) ∂λ (ελ ∈ R \ {0}), получаем λ l(u±σ, λ, m ) − λ u±σ λ, m = ελ u±σ, λ, m−1 , ∂ m u±σ, λ (x) εm λ где u±σ, λ, m (x) = m! ∂λm

(m ∈ Z+ , u±σ, λ, −1 (x) = 0)

— собственная (m = 0) и присоединенные (m > 0) функции операции l(y). Элементы ³ ´ u˙ σ, λ, m (x) = C σ(b − c)p0 (c) uσ, λ, m (x) cos α − uσ, λ, m (x) sin α (m ∈ Z+ ) есть собственная и присоединенные функции операции l(y), удовлетворяющие краевому условию (4.3.2). Накладывая на u˙ σ, λ (x) второе краевое условие (4.3.3), получаем собственную и присоединенные функции операции l(y), отвечающие собственному числу λ, являющемуся решением уравнения ˙ (4.3.6). В том случае, если Nλ = Lin{u˙ σ, λ, m }n−1 ˙ b), m=0 ⊂ Dhσ, κi (c, ˙ (очевидно, n ≤ rank Π u˙ σ, λ, n ∈ / Dhσ, κi (c, ˙ b) hσ, κi ), то Nλ есть корневое подпространство оператора Λhσ, κi , отвечающее собственному числу λ : Λhσ, κi u˙ σ, λ, m (x) − λI u˙ σ, λ, m (x) = ελ u˙ σ, λ, m−1 (x) (m ∈ Z0, n−1 , u˙ σ, λ, −1 (x) = 0) . При этом λ является n-кратным решением уравнения (4.3.6).

4.3.2. Оператор с одной критической точкой 1. Рассмотрим случай, когда параметры, характеризую˙ удовлетворяют соотщие π-пространство Πhσ, κi = L2hσ, κi (c, ˙ b) ношениям σ < −1, κ > −1, σ, κ ∈ / Z, т. е. когда сингулярная точка x = c является критической, а сингулярная точка x = b не является критической. При этом ранг индефинитности пространства Πhσ, κi равен r = rσ . Как было установлено в § 3.1.3,

4.3.2. Оператор с одной критической точкой

403

˙ оператора L ˙ область определения D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b) hσ, κi0 определяется краевым условием ξy0 sin α + σ (b − c) p0 (c) ϕy (c) cos α = 0 ,

(4.3.7)

˙ область опредегде α ∈ (−π/2, π/2), выделяющим в Dhσi (c, ˙ b) ˙ оператора L ˙ ления D˙ hσ, κi (c, ˙ b) hσ, κi , и условием n o ˙ = y ∈ D˙ ˙ : {y, z} = 0 ∀z ∈ D˙ ˙ , D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b) ( c, ˙ b) ( c, ˙ b) hσ, κi b hσ, κi ˙ из множества D˙ ˙ При этом выделяющим D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b) ˙ b). hσ, κi (c, ˙ для дефектного числа m оператора L hσ, κi0 имеем ограничение 0 ≤ m ≤ 1. 1.1. Пусть σ < −1, κ ∈ (−1, 1), σ, κ ∈ / Z. Как было установлено в § 3.1.3, п. 2.1, дефектное число π-симметрического ˙ ˙ оператора L hσ, −µi0 ≡ Lhσ, µi0 равно m = 1 (µ = |κ|). ˙ вΠ ˙ b) Теорема 4.3.1. Линейное многообразие Dhσ, κi (c, hσ, κi тогда и только тогда является областью определения некоторого π-самосопряженного в Πhσ, κi расширения Λhσ, κi оператора ˙ удовлетворяет следующим условиям : ˙ L ˙ b) hσ, κi0 , когда Dhσ, κi (c, ˙ ⊂D ˙ ⊂ D˙ ˙ ; (1) D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b) ˙ b) ˙ b) hσ, κi (c, hσ, κi (c, ˙ имеем (2) для любых двух функций y, z ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b) {y, z}b = 0; ˙ удовлетворяющая (3) всякая функция z из D˙ hσ, κi (c, ˙ b), ˙ принадлежит условию {y, z}b = 0 для всех y ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b), ˙ D (c, ˙ b). hσ, κi

Теорема 4.3.2. Произвольное π-самосопряженное расширение ˙ Λhσ, κi оператора L hσ, κi0 является вещественным. Доказательство. Поскольку ψ = ζ ψ, где |ζ| = 1, то условие ˙ область {y, ψ}b = 0 теоремы 4.3.1, выделяющее из D˙ hσ, κi (c, ˙ b)

404

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

˙ оператора Λ определения Dhσ, κi (c, ˙ b) hσ, κi , инвариантно относительно операции комплексного сопряжения. Тогда, учитывая, ˙ что Λhσ, κi ⊂ L hσ, κi , приходим к утверждению теоремы. ¤ Пусть u˙ λ — решение однородного уравнения l(y) − λ y = 0 ˙ причем если u˙ — нейтрален, то v˙ — нейтральиз D˙ hσ, κi (c, ˙ b), λ λ ный элемент, удовлетворяющий условию кососвязанности с элементом u˙ λ : [v˙ λ , u˙ λ ]hσ, κi = 1 . Тогда, в соответствии с теоремой 4.1.1, имеет место Теорема 4.3.3. Всякое π-самосопряженное расширение Λhσ, κi ˙ оператора L hσ, κi0 описывается следующим образом. Область ˙ оператора Λ определения Dhσ, κi (c, ˙ b) hσ, κi есть совокупность ˙ C — комвсех функций вида y = y0 + Cψ, где y0 ∈ D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b), плексное число (|C| < ∞), а функция ψ = {u˙ λ + ξ u˙ λ (|ξ| = 1), если u˙ λ не нейтральный элемент; v˙ λ + η v˙ λ (|η| = 1), если u˙ λ — нейтральный элемент}. При этом ˙ Λhσ, κi y = L hσ, κi0 y0 + C Λhσ, κi ψ , Λhσ, κi (u˙ λ + ξ u˙ λ ) = λ u˙ λ + ξλ u˙ λ ,

Λhσ, κi (v˙ λ + η v˙ λ ) = λ v˙ λ + ηλ v˙ λ .

Обратно, заданная таким образом область определения ˙ и правило действия определяют некоторое π-самоDhσ, κi (c, ˙ b) ˙ сопряженное расширение Λhσ, κi оператора L hσ, κi0 . ˙ π-самосопряТеорема 4.3.4. Область определения Dhσ, κi (c, ˙ b) женного оператора Λhσ, κi есть совокупность всех функций ˙ удовлетворяющих условию {y, ψ} = 0, где y ∈ D˙ hσ, κi (c, ˙ b), b ψ определяется теоремой 4.3.3. ˙ всякого π-саТеорема 4.3.5. Область определения Dhσ, κi (c, ˙ b) ˙ мосопряженного расширения Λhσ, κi оператора L hσ, κi0 есть со˙ удовлетворяющих вокупность всех элементов y ∈ D˙ hσ, κi (c, ˙ b),

4.3.2. Оператор с одной критической точкой

405

условию {y, w}b = 0, где w — некоторый элемент из мно˙ не принадлежащий D˙ ˙ такой, жества D˙ hσ, κi (c, ˙ b), ˙ b), hσ, κi0 (c, что {w, w}b = 0. Обратно, совокупность всех элементов y ∈ ˙ удовлетворяющих условию {y, w} = 0 для произ∈ D˙ hσ, κi (c, ˙ b), b ˙ не принадлежащего мновольного элемента w из D˙ hσ, κi (c, ˙ b), ˙ и подчиненного условию {w, w} = 0, дает жеству D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b) b ˙ некоторого π-самосопряженобласть определения Dhσ, κi (c, ˙ b) ˙ ˙ ного в Πhσ, κi расширения Λhσ, κi оператора L ˙ b). hσ, κi0 (c, Теорема 4.3.6. Для любого вещественного собственного зна˙ чения λ оператора L hσ, κi , либо такого его невещественного собственного значения λ, для которого соответствующий собственный элемент u˙ λ является нейтральным, всегда су˙ ществует π-самосопряженное расширение оператора L hσ, κi0 , для которого λ также является собственным значением. ˙ Из следующей теоремы следует, что оператор L hσ, κi0 является квазирегулярным на правой границе интервала. Теорема 4.3.7. Каждому π-самосопряженному в Πhσ, κi рас˙ ширению Λhσ, κi оператора L hσ, κi0 отвечает краевое условие ³ ´ ˙ ηy0 sin β − µ(b − c)p0 (b)ψy (b) cos β = 0 y ∈ D˙ hσ, κi (c, ˙ b) (4.3.8) с некоторым β ∈ [−π/2, π/2). Обратно, краевое условие (4.3.8) с каждым β ∈ [−π/2, π/2) определяет некоторое π-самосопря˙ женное в Πhσ, κi расширение оператора L hσ, κi0 . ˙ функцию w (x) = Доказательство. Рассмотрим в D˙ hσ, κi (c, ˙ b) β ³ ´ −µ/2 µ/2 = −µ(b − c)p0 (b) cos β (b − x) fβ (x) − sin β (b − x) gβ (x) × ³ ´ × σ(b − c)p0 (c) cos α (x − c)σ/2 fα (x) − sin α (x − c)−σ/2 gα (x)

406

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

со следующими ограничениями, наложенными на вещественные функции fα (x), gα (x), fβ (x), gβ (x) : fα (c) = 1, gα (c) fβ (b) = 1, gβ (b)

fα (b) tg α 6= , gα (b) σ(b − c)σ+1 p0 (c) fβ (c) tg β 6= , gβ (c) −µ(b − c)−µ+1 p0 (b)

β ∈ [−π/2, π/2) . Так как {wβ (x), wβ 0 (x)}b 6= 0 при β 0 6= β , ˙ В то же время то wβ (x) ∈ / D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b). {wβ (x), wβ (x)}b = 0 . Следовательно, согласно теореме 4.3.5 область определения ˙ π-самосопряженного расширения Λ Dβ ≡ Dhσ, κi (c, ˙ b) hσ, κi опе˙ ратора L hσ, κi0 , отвечающего фиксированному β ∈ [−π/2, π/2), ˙ удосоставляет множество всех элементов y(x) из D˙ (c, ˙ b), hσ, κi

влетворяющих соотношению {y(x), wβ (x)}b = 0, из которого следует условие (4.3.8). Легко видеть, что нет других π-самосопряженных расширений оператора Lhσ, κi0 , кроме выше рассмотренных Λhσ, κi ≡ ≡ Λβ с областями определения Dβ . Действительно. Пусть Λw — ˙ π-самосопряженное расширение оператора L hσ, κi0 , отвечающее ˙ w(x) ∈ ˙ , некоторому элементу w(x) ∈ D˙ hσ, κi (c, ˙ b), / D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b) ˙ : {y, w} = 0} — его {w, w}b = 0 , и Dw = {y ∈ D˙ hσ, κi (c, ˙ b) b область определения. Так как все π-самосопряженные расширения вещественны, то в качестве w(x) можно взять вещественную функцию w(x) = w(x). Тогда, очевидно, имеем ´ ³ {w, wβ }b = C ηw0 sin β − µ(b − c)p0 (b) ψw (b) cos β ,

407

4.3.2. Оператор с одной критической точкой

ηw0 , ψw (b) ∈ (−∞, +∞) , где ³ ´ C = −Cκ σp0 (c)(b − c)σ/2+1 fα (b) cos α − (b − c)−σ/2 gα (b) sin α , Cκ = −µ(b − c)p0 (b)fβ (b) . Поскольку при tg β = µ(b − c)p0 (b)ψw (b)/ηw0 имеем {w, wβ }b = = 0, то w(x) ∈ Dβ , т. е. Dw ≡ Dβ . ¤ Пусть u±σ, λ (x) и v±κ, λ (x) — решения уравнения l(y)−λ y = = 0, удовлетворяющие условиям ξu0σ, λ = 1 ,

ξu0−σ, λ = 0 ,

ηv0−µ, λ = 1 , ηv0µ, λ = 0 ,

ϕuσ, λ (c) = 0 ,

ϕu−σ, λ (c) = 1 ,

ψv−µ, λ (b) = 0 , ψvµ, λ (b) = 1 .

Тогда для некоторого λ решение y(x) уравнения Λhσ, κi y(x) − λ y(x) = 0 может быть представлено в виде ³ ´ y(x) = C0 −µ(b − c)p0 (b) v−µ, λ (x) cos β − vµ, λ (x) sin β = = σ(b − c)p0 (c) uσ, λ (x) cos α − u−σ, λ (x) sin α . Отсюда с учетом аналогичных (4.3.4) и (4.3.5) соотношений получаем систему σ(b−c)p0 (c) Aσ, −µ (λ) cos α−A−σ, −µ (λ) sin α = −C0 µ (b−c)p0 (b)× × cos β ,

σ(b−c)p0 (c) Aσ, µ (λ) cos α−A−σ, µ (λ) sin α = −C0 sin β ,

из которой следует уравнение ³ ´ −µ(b − c)p0 (b) σ(b − c)p0 (c) Aσ, µ (λ) cos α − A−σ, µ (λ) sin α × ³ ´ × cos β+ σ(b−c)p0 (c) Aσ, −µ (λ) cos α−A−σ, −µ (λ) sin α sin β = 0 , σ < −1 , µ ∈ (0, 1) , σ ∈ / Z , α ∈ (−π/2, π/2) , β ∈ [−π/2, π/2) , определяющее собственные числа λ = λ(α, β) оператора Λhσ, κi . 1.2. Пусть σ < −1, κ > 1, σ, κ ∈ / Z. Тогда имеет место

408

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

˙ ˙ Теорема 4.3.8. Оператор L hσ, κi0 = Lhσ, κi является π-самосопряженным (т. е. m = 0 и условие {y, z}b = 0 выполняется ˙ автоматически для всех y, z ∈ D˙ hσ, κi (c, ˙ b)). ˙ Доказательство. Рассмотрим сужения L hσi0 и Lhκi0 оператора ˙ L hσ, κi0 на интервалы соответственно (c, l) и (l, b) наложением дополнительного условий y(l) = 0, y 0 (l) = 0 в точке l ∈ (c, b) ˙ Так как только линейная комбина элементы y из D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b). нация σ(b−c)p0 (c) cos α uσ, λ (x)−sin α u−σ, λ (x) решений u±σ, λ (x) уравнения l(y) − λ y = 0 c λ 6= λ и асимптотиками при x → → c+0 соответственно x±σ/2 принадлежит области определения ˙ ˙c D˙ hσi (c, ˙ l) оператора L hσi = Lhσi0 , то индекс дефекта π-симмет˙ рического оператора L hσi0 равен mσ = 1. Далее, т. к. из двух линейно независимых решений v±κ, λ (x) уравнения l(y)−λ y = 0 с асимптотиками при x → b − 0 соответственно (b − x)±κ/2 только первое решение vκ; λ (x) принадлежит области определения ˙ оператора L = L∗ , то дефектное число симметриDhκi (l, b) hκi hκi0 ческого оператора Lhκi0 равно mκ = 1. Следовательно, согласно соотношению ˙ ˙ def L hσ, κi0 = def Lhσi0 + def Lhκi0 − 2 ˙ ˙ ˙ находим m = def L hσ, κi0 = 0, т. е. Lhσ, κi0 = Lhσ, κi = Λhσ, κi — π-самосопряженный оператор. Отсюда следует также соотно˙ ≡ D˙ ˙ ¤ шение {y, z}b = 0 для всех y, z ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b) ˙ b). hσ, κi (c, ˙ Таким образом, оператор L hσ, κi0 является существенно сингулярным на правой границе интервала (c, b). Пусть теперь u±σ, λ (x) и v±κ, λ (x) решения уравнения l(y)− −λ y = 0, рассматриваемые на всем интервале (c, b). Тогда, сравнивая решения ³ ´ y = C σ(b − c)p0 (c) cos α uσ, λ (x) − sin α u−σ, λ (x) и y = vκ; λ (x) ≡ Bσ, κ (λ) uσ, λ (x) + B−σ, κ (λ) u−σ, λ (x) ,

409

4.3.2. Оператор с одной критической точкой

находим условие σ(b − c)p0 (c) B−σ, κ (λ) cos α + Bσ, κ (λ) sin α = 0 , σ < −1 , κ > 1 , σ, κ ∈ / Z , α ∈ (−π/2, π/2) , накладывающее ограничение на допустимые значения λ, составляющие дискретный спектр оператора Λhσ, κi . Последнее соотношение ввиду Biσ, jκ (λ) = (−1)i+j A−iσ, −jκ (λ) ∆B ,

i, j = ±1 ,

∆A = det kAiσ, jκ k , ∆B = det kBiσ, jκ k , ∆A ∆B = 1 можно также переписать в виде σ(b − c)p0 (c) Aσ, −κ (λ) cos α − A−σ, −κ (λ) sin α = 0 .

(4.3.9)

Заметим, что предельному случаю α = ±π/2 в пунктах 1.1 и 1.2 отвечает оператор Λh−σ, κi , действующий в простран˙ стве Πh−σ, κi ≡ L2 (c, ˙ b). 2. В случае, когда параметры, характеризующие π-прост˙ удовлетворяют соотношениям σ > ранство Πhσ, κi = L2hσ, κi (c, ˙ b) > −1, κ < −1, σ, κ ∈ / Z, сингулярная точка c не является критической, а сингулярная точка b — критическая. Ранг индефинитности пространства Πhσ, κi равен r = rκ . В этом случае ˙ оператора L ˙ область определения D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b) hσ, κi0 определяется краевым условием ηy0 sin β + κ(b − c)p0 (b) ψy (b) cos β = 0 ,

(4.3.10)

˙ β ∈ (−π/2, π/2), выделяющим область определения D˙ hσ, κi (c, ˙ b) ˙ оператора L hσ, κi , и условием n o ˙ = y ∈ D˙ ˙ : {y, z} = 0 ∀z ∈ D˙ ˙ , D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b) ( c, ˙ b) ( c, ˙ b) hσ, κi c hσ, κi (4.3.11)

410

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

˙ из множества D˙ ˙ выделяющим область D˙ hσ, κi0 (c, ˙ b) ˙ b). hσ, κi (c, ˙ Для дефектного числа оператора L hσ, κi0 имеем 0 ≤ m ≤ 1. 2.1. Пусть σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), κ < −1, κ ∈ / Z. Дефектное ˙ ˙ число оператора Lh−ν, κi0 ≡ Lhν, κi0 равно m = 1 (ν = |σ|). Теорема 4.3.9. Каждому π-самосопряженному в Πhσ, κi рас˙ ширению Λhσ, κi оператора L hσ, κi0 отвечает краевое условие : ξy0

³ sin α−ν (b−c)p0 (c)ϕy (c) cos α = 0

´ ˙ ˙ y ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b) (4.3.12)

с некоторым α ∈ [−π/2, π/2). Обратно, краевое условие (4.3.12) для каждого значения α ∈ [−π/2, π/2) определяет некоторое π-самосопряженное в ˙ Πhσ, κi расширение оператора L hσ, κi0 . Для некоторого λ решение y(x) уравнения Λhσ, κi y(x) − λ y(x) = 0 может быть представлено в виде ³ ´ y(x) = C0 −ν(b − c)p0 (c)u−ν, λ (x) cos α − uν, λ (x) sin α = = κ(b − c)p0 (b) vκ, λ (x) cos β − v−κ, λ (x) sin β . Отсюда получаем уравнение ³ ´ −ν(b−c)p0 (c) κ(b−c)p0 (b) Bν, κ (λ) cos β −Bν, −κ (λ) sin β cos α+ ³ ´ + κ(b − c)p0 (b) B−ν, κ (λ) cos β − B−ν, −κ (λ) sin β sin α = 0 , ν ∈ (0, 1) , κ < −1 , κ ∈ / Z, α ∈ [−π/2, π/2) , β ∈ (−π/2, π/2) , то есть ³ ´ ν(b−c)p0 (c)A−ν, −κ (λ) cos α+Aν, −κ (λ) sin α κ(b−c)p0 (b) cos β+

411

4.3.3. Оператор без критических точек

³ ´ + ν(b − c)p0 (c)A−ν, κ (λ) cos α + Aν, κ (λ) sin α sin β = 0 , (4.3.13) определяющее собственные числа квазирегулярного на обеих границах оператора Λhσ, κi . 2.2. Пусть σ > 1, κ < −1, σ, κ ∈ / Z. Тогда имеет место ˙ ˙ Теорема 4.3.10. Оператор L hσ, κi0 = Lhσ, κi является π-самосопряженным (т. е. m = 0 и условие {y, z}c = 0 выполняется ˙ автоматически для всех y, z ∈ D˙ hσ, κi (c, ˙ b)). Сравнивая решения y(x) уравнения Λhσ, κi y(x) − λ y(x) = 0 , представленные в виде ³ ´ y(x) = C κ(b − c)p0 (b) vκ, λ (x) cos β − v−κ, λ (x) sin β , y(x) = uσ, λ (x) = Aσ, κ (λ) vκ, λ(x) + Aσ, −κ (λ) v−κ; λ (x) , получаем условие κ(b − c)p0 (b) Aσ, −κ (λ) cos β + Aσ, κ (λ) sin β = 0 ,

(4.3.14)

σ > 1 , κ < −1 , σ, κ ∈ / Z , β ∈ (−π/2, π/2) на допустимые значения λ, составляющие дискретный спектр существенно сингулярного на левой границе оператора Λhσ, κi . Заметим, что предельному случаю β = ±π/2 в пунктах 2.1 и 2.2 отвечает оператор Λhσ, −κi , действующий в простран˙ стве Πhσ, −κi ≡ L2 (c, ˙ b).

4.3.3. Оператор без критических точек Кратко рассмотрим случай, когда параметры, характери˙ удовлетворяют соотзующие пространство Πhσ, κi = L2hσ, κi (c, ˙ b) ношениям σ > −1, κ > −1 (σ, κ ∈ / Z), т. е. когда обе сингулярные точки c и b оператора не являются критическими. При

412

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

этом ранг индефинитности пространства Πhσ, κi равен r = 0. В этом случае мы имеем дело с обычным классическим сингулярным на обоих концах оператором, действующим в гильбертовом пространстве Πhσ, κi = L2 (c, b). 1. Пусть σ ∈ (−1, 0)∪(0, 1) и κ ∈ (−1, 0)∪(0, 1). Дефектное подпространство Lin{u±ν, λ (x)} = Lin{v±µ, λ (x)} (ν = |σ|, µ = |κ|, λ 6= λ) симметрического оператора Lhσ, κi0 ≡ Lh−ν, −µi0 в этом случае — двумерно, т. е. m = 2. В этом случае оператор Lhσ, κi0 является квазирегулярным на обоих концах. Ограничимся, как и всюду выше, распадающимися граничными условиями. Имеет место Теорема 4.3.11. Распадающиеся краевые условия ξy0 sin α − ν (b − c) p0 (c) ϕy (c) cos α = 0 ,

(4.3.15)

ηy0 sin β − µ (b − c) p0 (b) ψy (b) cos β = 0

(4.3.16)

при каждых α ∈ [−π/2, π/2), β ∈ [−π/2, π/2) определяют соответствующее самосопряженное в Πhσ, κi расширение Λhσ, κi оператора Lhσ, κi0 . виде

Представляя решение уравнения Λhσ, κi y(x) − λ y(x) = 0 в ³

´

y(x) = C −ν(b − c)p0 (c) u−ν, λ (x) cos α − uν, λ (x) sin α и

y(x) = −µ(b − c)p0 (b) v−µ, λ (x) cos β − vµ, λ (x) sin β ,

где решения u±ν, λ и v±µ; λ удовлетворяют соотношениям ξu0−ν, λ = 1 , ξu0ν, λ = 0 ,

ϕu−ν, λ (c) = 0 , ϕuν, λ (c) = 1 ,

ηv0−µ, λ = 1 , ηv0µ, λ = 0 ,

ψv−µ, λ (b) = 0 , ψvµ, λ (b) = 1 ,

413

4.3.3. Оператор без критических точек

и учитывая соотношения, аналогичные (4.3.4) и (4.3.5) получаем уравнение для определения собственных значений оператора Λhσ, κi : ³ ´ µ(b − c)p0 (b) ν(b − c)p0 (c) A−ν, µ (λ) cos α + Aν, µ (λ) sin α cos β − ³ ´ − ν(b − c)p0 (c) A−ν, −µ (λ) cos α + Aν, −µ (λ) sin α sin β = 0 , (4.3.17) σ, κ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) , α, β ∈ [−π/2, π/2) . 1.2. Пусть σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) и κ > 1. Оператор Lh−ν, κi0 = = Lhν, κi0 (ν = |σ|) является квазирегулярным на левой границе интервала и существенно сингулярным на правой. Дефектным подпространством является множество Lin{vκ, λ } (λ 6= λ), индекс дефекта равен m = 1. Имеет место Теорема 4.3.12. Каждому самосопряженному в Πhσ, κi расширению Λhσ, κi оператора Lhσ, κi0 отвечает краевое условие ξy0 sin α − ν (b − c) p0 (c) ϕy (c) cos α = 0

(4.3.18)

с некоторым α ∈ [−π/2, π/2). Обратно, краевое условие (4.3.18) определяет для каждого α ∈ [−π/2, π/2) некоторое самосопряженное в Πhσ,κi расширение Λhσ, κi оператора Lhσ, κi0 (при этом соотношение {y, z}b = ˙ выполняется автоматически [13]). = 0 для y, z ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b) Записав решение уравнения Λhσ, κi y(x) − λ y(x) = 0 в виде y(x) = C vκ; λ (x) = −ν(b − c)p0 (c) u−ν, λ (x) cos α − uν, λ (x) sin α , где решения u±ν, λ (x) и vκ; λ (x) удовлетворяют соотношениям ξu0−ν, λ = 1 , ξu0ν, λ = 0 ,

ϕu−ν, λ (c) = 0 , ϕuν, λ (c) = 1 ,

ηv0κ, λ = 0 , ψvκ, λ (b) = 1 ,

414

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

получаем уравнение для определения собственных значений оператора Λhσ, κi : ν(b − c)p0 (c) A−ν, −κ (λ) cos α + Aν, −κ (λ) sin α = 0 ,

(4.3.19)

σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) , κ > 1, κ ∈ / Z, α ∈ [−π/2, π/2) . 1.3. Пусть σ > 1, κ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1). Оператор Lhσ, −µi0 = = Lhσ, µi0 (µ = |κ|) является квазирегулярным на правой границе интервала и существенно сингулярным на левой. Дефектным подпространством является множество Lin{uσ, λ } (λ 6= λ), индекс дефекта равен m = 1. Имеет место Теорема 4.3.13. Каждому самосопряженному в Πhσ, κi расширению Λhσ, κi оператора Lhσ, κi0 отвечает краевое условие ηy0 sin β − µ (b − c) p0 (b) ψy (b) cos β = 0

(4.3.20)

с некоторым β ∈ [−π/2, π/2). Обратно, краевое условие (4.3.20) определяет для каждого β ∈ [−π/2, π/2) некоторое самосопряженное в Πhσ, κi расширение Λhσ, κi оператора Lhσ, κi0 (при этом соотношение {y, z}c = ˙ выполняется автоматически [13]). = 0 для y, z ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b) Записав решение уравнения Λhσ, κi y(x) − λ y(x) = 0 в виде y(x) = C uσ, λ (x) = −µ(b − c)p0 (b) v−µ, λ (x) cos β − vµ, λ (x) sin β , где решения uσ, λ (x) и v±µ, λ (x) удовлетворяют соотношениям ξu0σ, λ = 0 , ϕuσ, λ (c) = 1 , ηv0−µ, λ = 1 , ηv0µ, λ = 0 ,

ψv−µ λ (b) = 0 , ψvµ, λ (b) = 1 ,

получаем уравнение для определения собственных значений оператора Λhσ, κi : µ(b − c)p0 (b) Aσ, µ (λ) cos β − Aσ, −µ (λ) sin β = 0 ,

(4.3.21)

415

4.3.4. Оператор Якоби

σ > 1 , κ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), σ ∈ / Z, β ∈ [−π/2, π/2) . 1.4. Пусть σ > 1, κ > 1. Индекс дефекта оператора Lhσ, κi0 равен m = 0 и оператор Lhσ, κi0 ≡ Λhσ, κi — самосопряженный. Оператор Lhσ, κi0 является существенно сингулярным на обеих границах интервала. Условия {y, z}c = 0 и {y, z}b = 0 выпол˙ Представляя няются автоматически для всех y, z ∈ Dhσ, κi (c, ˙ b). решение уравнения Λhσ, κi y(x) − λ y(x) = 0 в виде y(x) = C uσ, λ (x) = vκ, λ (x) , uσ, λ (x) = Aσ, κ (λ) vκ, λ (x) + Aσ, −κ (λ) v−κ, λ (x) , получаем уравнение Aσ, −κ (λ) = 0

(σ, κ > 1 ; σ, κ ∈ / Z)

(4.3.22)

для определения собственных значений оператора Λhσ, κi .

4.3.4. Оператор Якоби Далее, в качестве примера рассмотрим оператор Lhσ, κi , порождаемый дифференциальным выражением lhν, µi (y) ≡ l(y) (4.3.1) с c = 0, b = 1, p0 (x) = 4, q0 (x) = 0 (ν = |σ|, µ = |κ|) : ¶ µ 2 ³ ´ ν µ2 0 0 + y(x) , (4.3.23) l(y) = −4 x(1 − x) y (x) + x 1−x ˙ 1) ˙ (σ, κ ∈ R\Z) действующий в пространстве Πhσ, κi = L2hσ, κi (0, с π-метрикой ранга индефинитности r = rσ + rκ Z 1 hσ, κi [y, z]hσ, κi = lim y(x) z(x) τα (x) dx , α→+0

0

hσ, κi

hσi

hκi

где для регуляризующего множителя τα (x) = τα (x) τα (x) имеем ³ ´ p cos (2σ + 1) arctg x/α hσi τα (x) = при σ < −1 , − sin πσ (1 + α/x)−σ−1/2

416

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

hσi

hκi

τα (x) =

τα (x) = 1 при σ > −1; ³ ´ p cos (2κ + 1) arctg (1 − x)/α − sin πκ (1 + α/(1 − x))−κ−1/2

при κ < −1 ,

hκi

τα (x) = 1 при κ > −1 . Однородное уравнение l(y) − λ y = 0, т. е. ¶ µ 2 ³ ´ ν µ2 0 0 y(x) = λ y(x) , −4 x(1 − x) y (x) + + x 1−x

(4.3.24)

имеет два линейно независимых решения uσ, λ (x) =

∞ X

s s ξσ, κ; λ eσ, κ (x) ,

u−σ, λ (x) =

s=0

∞ X

s s ξ−σ, κ; λ e−σ, κ (x) ,

s=0

esσ, κ (x) = xs+σ/2 (1 − x)κ/2 ,

es−σ, κ (x) = xs−σ/2 (1 − x)κ/2 ,

s где коэффициенты разложения ξ±σ, κ; λ удовлетворяют рекуррентным соотношениям: s+1 ξ±σ, κ; λ =

(±σ + κ + 2s)(±σ + κ + 2s + 2) − λ s ξ±σ, κ; λ , 4(s + 1)(±σ + s + 1) 0 ξ±σ, κ; λ = 1 ,

k ∈ Z+ .

Таким образом, Qk−1 £¡ k ξ±σ, κ; λ

=

s=0

¢¡ ¢ ¤ (±σ + κ)/2 + s (±σ + κ)/2 + s + 1 − λ/4 k! (±σ + 1, k)

0 ±σ/2 (k ∈ N, ξ±σ, (1 − x)κ/2 z(x) κ; λ = 1). После подстановки y = x уравнение (4.3.24) принимает вид ³ ´ x(1 − x)z 00 (x) + ±σ + 1 − (±σ + κ + 2) x z 0 (x) +

417

4.3.4. Оператор Якоби

³λ

(±σ + κ)(±σ + κ + 2) ´ + − z(x) = 0 . 4 4 Гипергеометрическое уравнение ³ ´ x(x − 1) z 00 (x) + (a + b + 1) x − c z 0 (x) + ab z(x) = 0 имеет два линейно независимых решения, представленные разложениями в ряды относительно особой точки x = 0 : ∞ X (a, k) (b, k) xk z1 (x) = F (a, b, c; x) = (c − 1 ∈ / Z− , |x| < 1) , k! (c, k) k=0

z2 (x) = x1−c F (a − c + 1, b − c + 1, 2 − c; x) (1 − c ∈ / Z− , |x| < 1) . Следовательно, полагая c = ±σ +1 , a+b = ±σ +κ +1 , ab =

(±σ + κ)(±σ + κ + 2) λ − , 4 4

то есть, полагая, например, c(±σ) = ±σ + 1 , (±σ, κ) aλ =

√ √ ±σ + κ + 1+ λ + 1 ±σ + κ + 1− λ + 1 (±σ, κ) , bλ = , 2 2

линейно независимые решения u±σ, λ (x) уравнения (4.3.24) можно выразить через гипергеометрическую функцию y1 (x) = uσ, λ (x) = x

σ/2

(1 − x)

κ/2

³ F

(σ, κ) aλ ,

(σ, κ) bλ ,

c

(σ)

´

;x , (4.3.25) ³ ´ (−σ, κ) (−σ, κ) y2 (x) = u−σ, λ (x) = x−σ/2 (1 − x)κ/2 F aλ , bλ , c(−σ) ; x .

418

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

4.3.5. Оператор Якоби с двумя критическими точками Пусть σ < −1, κ < −1 (σ, κ ∈ R \ Z). Краевые условия (4.3.2) и (4.3.3) принимают (σ = −ν, κ = −µ) вид ξy0 sin α + 4σ ϕy (0) cos α = 0 , α ∈ (−π/2, π/2) ,

(4.3.26)

ηy0 sin β + 4κ ψy (1) cos β = 0 , β ∈ (−π/2, π/2) .

(4.3.27)

При этом для y1 (x) и y2 (x) из (4.3.25), очевидно, ξy01 = 1 ,

ϕy1 (0) = 0 ,

ξy02 = 0 ,

ϕy2 (0) = 1 .

Кроме того, ввиду соотношения F (a, b, c; x) = A(a, b, c) F (a, b, a + b − c + 1; 1 − x) + + B(a, b, c) (1 − x)c−a−b F (c − a, c − b, c − a − b + 1; 1 − x) , где A(a, b, c) =

Γ(c) Γ(c − a − b) , Γ(c − a) Γ(c − b)

B(a, b, c) =

Γ(c) Γ(a + b − c) , Γ(a) Γ(b)

имеем (σ, κ)

ηy01 = A(aλ

(σ, κ)

, bλ

(σ, κ)

ψy1 (1) = B(aλ

(σ)

, cλ ) ,

(−σ, κ)

ηy02 = A(aλ

(−σ, κ)

, bλ

, c(−σ) ) ,

(σ, κ)

, bλ

, c(σ) ), ψy2 (1) = B(a(−σ, κ), b(−σ, κ), c(−σ) ) .

Первое условие (4.3.26) из множества решений y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)

(C1 , C2 ∈ C)

с фиксированным значением λ ∈ C выделяет множество ³ ´ y(x) = C 4σ cos α y1 (x) − sin α y2 (x) (C ∈ C) .

419

4.3.6. Оператор Якоби с одной критической точкой

Второе условие (4.3.27) накладывает ограничение на множество значений, которые может принимать λ : ³ ´ 4κ 4σ Bσ, κ (λ) cos α − B−σ, κ (λ) sin α cos β + ³ ´ + 4σ Aσ, κ (λ) cos α − A−σ, κ (λ) sin α sin β = 0 , (σ, κ)

(σ, κ)

(σ, κ)

(4.3.28) (σ, κ)

Aσ, κ (λ) = A(aλ , bλ , c(σ) ), Bσ, κ (λ) = B(aλ , bλ , c(σ) ), или, полагая λ = 4z 2 − 1, получаем уравнение, определяющее спектр оператора Λhσ, κi в зависимости от значений tα и tβ : tβ 1 tα − − + Γ(z−q0 ) Γ(−z−q0 ) Γ(z −q1 ) Γ(−z−q1 ) Γ(z−q2 ) Γ(−z −q2 ) +

tα tβ = 0, Γ(z−q3 ) Γ(−z−q3 )

где

√ z=±

tα , tβ ∈ (−∞, +∞) ,

q0 = −

σ+κ+1 , 2

q1 = −

−σ+κ+1 , 2

q2 = −

σ−κ+1 , 2

q3 = −

−σ−κ+1 , 2

(4.3.29)

λ+1 Γ(−σ+1) tg α Γ(−κ + 1) tg β , tα = , tβ = . 2 4σ Γ(σ+1) 4κ Γ(κ + 1)

4.3.6. Оператор Якоби с одной критической точкой ˙ 1), ˙ σ< 1. Рассмотрим в π-пространстве Πhσ, κi = L2hσ, κi (0, < −1, κ > −1 (σ, κ ∈ / Z) с π-метрикой (rank Πhσ, κi = rσ ) Z [f, g]hσ, κi = lim

α→+0

1 0

hσi

f (x) g(x) τα (x) dx

420

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

˙ рассмотрим оператор L hσ, κi , порождаемый дифференциальным выражением (4.3.23) и краевым условием (4.3.7) ξy0 sin α + 4σ ϕy (0) cos α = 0 , α ∈ (−π/2, π/2) .

(4.3.30)

1.1. В случае κ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) индекс дефекта операто˙ ра L hσ, κi0 равен m = 1, и π-самосопряженное расширение Λhσ, κi фиксируется дополнительным краевым условием (4.3.8) ηy0 sin β − 4µ ψy (1) cos β = 0 , β ∈ [−π/2, π/2)

(4.3.31)

(µ = |κ|). При этом, очевидно, имеем Λhσ, κi ≡ Λhσ, −κi . Накладывая условие (4.3.31), как и в § 4.3.5, на удовлетворяющее условию (4.3.30) решение уравнения (4.3.24) ³ ´ y(x) = C 4σ cos α y1 (x) − sin α y2 (x) , получаем для определения собственных чисел оператора Λhσ, κi уравнение вида (4.3.28) или соответственно (4.3.29) с σ < −1, κ = −µ ∈ (−1, 0), σ ∈ / Z. ˙ 1.2. В случае κ > 1 индекс дефекта оператора L hσ, κi0 ˙ равен m = 0, т. е. оператор L — π-самосопряженный, и hσ, κi0 уравнение (4.3.9) для определения собственных чисел операто˙ ра Λhσ, µi ≡ L hσ, κi0 принимает вид 4σ Aσ, −κ (λ) cos α − A−σ, −κ (λ) sin α = 0 , (σ, κ)

где Aσ, κ (λ) = A(aλ

(σ, κ)

, bλ

, c(σ) ), или

1 tα − = 0, Γ(z−q0 ) Γ(−z −q0 ) Γ(z−q1 ) Γ(−z −q1 ) √ z=±

(4.3.32)

(4.3.33)

Γ(−σ+1) tg α λ+1 , tα = , tα ∈ (−∞, +∞) . 2 4σ Γ(σ+1)

421

4.3.6. Оператор Якоби с одной критической точкой

˙ 1), ˙ 2. Аналогично можно рассмотреть в Πhσ, κi = L2hσ, κi (0, σ > −1, κ < −1 (σ, κ ∈ / Z) с π-метрикой (rank Πhσ, κi = rκ ) Z 1 hκi [f, g]hσ, κi = lim f (x) g(x) τα (x) dx α→+0

0

˙ оператор L hσ, κi , порождаемый дифференциальным выражением (4.3.23) и краевым условием (4.3.10) ηy0 sin β + 4κ ψy (1) cos β = 0 , β ∈ (−π/2, π/2) .

(4.3.34)

2.1. В случае σ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) индекс дефекта операто˙ ра Lhσ, κi0 равен m = 1, и π-самосопряженное расширение Λhσ, κi фиксируется дополнительным краевым условием (4.3.12) ξy0 sin α − 4ν ϕy (0) cos α = 0 , α ∈ [−π/2, π/2)

(4.3.35)

(ν = |σ|). Очевидно, Λhσ, κi ≡ Λh−σ, κi . Накладывая условие (4.3.35), как и в § 4.3.5, на удовлетворяющее условию (4.3.34) общее решение уравнения (4.3.24) получаем для определения собственных чисел оператора Λhσ, κi уравнение вида (4.3.28) или соответственно (4.3.29) с σ = −ν ∈ (−1, 0), κ < −1 κ ∈ / Z. ˙ 2.2. В случае σ > 1 индекс дефекта оператора L hσ, κi0 ра˙ вен m = 0, т. е. оператор L hσ, κi0 — π-самосопряженный, и уравнение (4.3.14) для определения собственных чисел оператора ˙ Λhσ, µi ≡ L hσ, κi0 принимает вид 4κ Bσ, κ (λ) cos β − Aσ, κ (λ) sin β = 0 , (σ, κ)

Aσ, κ (λ) = A(aλ или

(σ, κ)

, bλ

(4.3.36) (σ, κ)

, c(σ) ), Bσ, κ (λ) = B(aλ

(σ, κ)

, bλ

, c(σ) ),

tβ 1 − = 0, (4.3.37) Γ(z−q0 ) Γ(−z−q0 ) Γ(z−q2 ) Γ(−z−q2 ) √ Γ(−κ+1) tg β λ+1 , tβ = , tβ ∈ (−∞, +∞) . z=± 2 4κ Γ(κ+1)

422

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

4.3.7. Оператор Якоби без критических точек ˙ 1), ˙ 1. Кратко рассмотрим в пространстве Πhσ, κi = L2hσ, κi (0, σ > −1, κ > −1, σ, κ ∈ / Z с метрикой Z 1 [y, z]hσ, κi = y(x) z(x) dx , 0

порождаемый дифференциальным выражением (4.3.23) симметрический оператор Lhσ, κi0 . 1.1. В случае σ, κ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), не теряя общности, можно ограничиться значениями параметров σ, κ ∈ (−1, 0). Индекс дефекта оператора Lhσ, κi0 равен m = 2, и самосопряженное расширение Λhσ, κi фиксируется краевыми условиями (4.3.15) и (4.3.16) ξy0 sin α + 4σ ϕy (0) cos α = 0 , α ∈ [−π/2, π/2) ,

(4.3.38)

ηy0 sin β + 4κ ψy (1) cos β = 0 , β ∈ [−π/2, π/2) .

(4.3.39)

Соответствующее уравнение (4.3.17) для определения собственных значений λ оператора Λhσ, κi принимает вид (4.3.28) или соответственно (4.3.29) с σ, κ ∈ (−1, 0). 1.2. В случае σ ∈ (−1, 1), κ > 1, σ, κ ∈ / Z индекс дефекта оператора Lhσ, κi0 равен m = 1, и самосопряженное расширение Λhσ, κi (= Λh−σ, κi ) фиксируется краевым условием (4.3.18) ξy0 sin α − 4ν ϕy (0) cos α = 0 , α ∈ [−π/2, π/2) . Соответствующее уравнение (4.3.19) для определения собственных значений λ оператора Λhσ, κi принимает вид (4.3.32) или (4.3.33) с σ = −ν ∈ (−1, 0), κ > 1, κ ∈ / Z. 1.3. В случае σ > 1, κ ∈ (−1, 1), σ, κ ∈ / Z индекс дефекта оператора Lhσ, κi0 равен m = 1, и самосопряженное расширение Λhσ, κi фиксируется краевым условием (4.3.20) ηy0 sin β − 4µ ψy (1) cos β = 0 , β ∈ [−π/2, π/2) .

423

4.3.8. Оператор с α, β ∈ {0,−π/2} и σ + κ + 1 6∈ Z−

Соответствующее уравнение (4.3.21) для определения собственных значений λ оператора Λhσ, κi принимает вид (4.3.36) или (4.3.37) c σ > 1, κ = −µ ∈ (−1, 0), σ ∈ / Z. 1.4. В случае σ > 1, κ > 1, σ, κ ∈ / Z индекс дефекта оператора Lhσ, κi0 равен m = 0 и оператор Lhσ, κi0 ≡ Λhσ, κi — самосопряженный. Соответствующее уравнение (4.3.22) для определения собственных значений λ оператора Λhσ, κi принимает вид (σ, κ) (σ, κ) B(aλ , bλ , c(σ) ) = 0 √ 1 λ+1 или = 0, z=± . (4.3.40) Γ(z−q0 ) Γ(−z−q0 ) 2

4.3.8. Оператор с α, β ∈ {0,−π/2} и σ + κ + 1 6∈ Z− Для значений α, β ∈ {0, −π/2} и только для этих значений параметров α, β из их области изменения собственные функции оператора Λhσ, κi выражаются через обобщенные многочлены Якоби ([15]). Нетрудно убедиться в том, что при этих значениях α и β спектр оператора Λhσ, κi для всех значений параметров (σ, κ)

(σ, κ)

σ, κ ∈ R \ Z определяется уравнением B(aλ , bλ , c(σ) ) = 0, т. е. 1 = 0 , где q0 = −(σ + κ + 1)/2 . (4.3.41) Γ(z − q0 ) Γ(−z − q0 ) Из этого уравнения следует: либо z = q0 − n ,

либо z = −q0 + n (n ∈ Z+ ) .

Это требование выделяет на комплексной λ-плоскости множество вещественных точек λ = 4z 2 − 1 — собственных значений оператора Λhσi : λn = (σ+κ+2n+1)2 −1 = (σ+κ+2n)(σ+κ+2n+2)

(n ∈ Z+ ) .

Каждому значению λ отвечает собственная функция ³ ´ uσ, λn (x) = xσ/2 (1−x)κ/2 F −n, σ +κ +n+1, σ +1; x . (4.3.42)

424

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

При этом гипергеометрическая функция для λ = λn , очевидно, является полиномом (обобщенным полиномом Якоби [15]): ³ ´ F −n, σ + κ + n + 1, σ + 1; x = n

X (−1)k n! Γ(σ + κ + n + k + 1) xk Γ(σ + 1) , Γ(σ + κ + n + 1) k=0 k! (n − k)! Γ(σ + k + 1)

=

удовлетворяющим уравнению ³ ´ 00 x(1−x) y (x)+ σ+1−(σ+κ+2)x y 0 (x)+n(σ+κ+n+1) y(x) = 0 . Теорема 4.3.14. Корневые подпространства оператора Λhσ, κi одномерны. Доказательство. Корневые вектора {uσ, λn , m }∞ m=1 операции l(y) l(uσ, λn , m (x)) − λn uσ, λn , m (x) = ² uσ, λn , m−1 (x) , где

uσ, λ, m (x) =

∂ m uσ, λ (x) ²m λ , m! ∂λm

m ∈ Z+ , uσ, λ, −1 (x) = 0 ,

не принадлежат области определения оператора Λhσ, κi . Действительно, ввиду (σ, κ)

∂λ B(aλ

(σ, κ)

, bλ

, c(σ) )|λ=λn =

(−1)n−1 4−1 n! Γ(σ + 1) Γ(κ) 6= 0 (σ+κ+2n+1) Γ(σ+κ+n+1)

˙ 1). ˙ ¤ (n ∈ Z+ ) уже uσ, λn , 1 (x) ∈ / Dhσ, κi (0, Нормируя функции uσ, λn (x), получаем ([15]) полную, ∞ X

т. е.

µnhσ,κiJ (x) µhσ,κi (y) = δ hσ,κi (x; y) , n

n=0 hσ,κiJ

где µn

т. е.

hσ,κi

(x) = Jn µn

(x), π-ортонормированную,

hσ, κi ]hσ, κi = Jn δn, m [µnhσ, κi , µm

(n, m ∈ Z+ ) ,

425

4.3.8. Оператор с α, β ∈ {0,−π/2} и σ + κ + 1 6∈ Z−

систему собственных функций: κi µhσ, (x) = xσ/2 (1 − x)κ/2 Mnhσ, κi (x) , n

Mnhσ, κi (x) =

n

=

hσ, κi Mn, n

n! Γ(σ + n + 1) X (−1)n−k Γ(σ+κ+n+k+1) xk Γ(σ+κ+2n+1) k=0 k! (n − k)! Γ(σ + k + 1)

(n ∈ Z+ ), где s |σ+κ+2n+1| |Γ(σ+κ+n+1)|−1 , n! |Γ(σ + n + 1)| |Γ(κ + n + 1)|

hσ, κi = |Γ(σ + κ + 2n + 1)| Mn, n

µ Jn ≡

Jnhσ, κi

= sgn

Γ(σ + n + 1) Γ(κ + n + 1) (σ + κ + 2n + 1) Γ(σ + κ + n + 1)

¶ ,

так что для y ∈ Πhσ, κi имеем y(x) =

∞ X

ξnJ µnhσ, κi (x) ,

κi ξn = [y(·), µhσ, (·)]hσ, κi (n ∈ Z+ ) . n

n=0

Здесь δ hσ, κi (x; y) ≡ δx (y) — δ-функция из компоненты Π0 оснащенного π-пространства Π◦ ⊂ Π0 ⊂ Π0 , порождающая в нем соотношением Iz(x) = [z, δx ]hσ, κi = z(x) (4.3.43) единичный оператор I. Соответственно δ J -функция δ hσ, κi J (x; y) ≡ δxJ (y) δ hσ, κi J (x; y) =

∞ X

κi µnhσ, κi (x) µhσ, (y) n

n=0

порождает соотношением Jz(x) = [z, δxJ ]hσ, κi = z J (x) оператор инволюции J.

(4.3.44)

426

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

Обозначим через Se = {λn (n ∈ Z+ ) : Jn < 0} эллиптический спектр оператора Λhσ, κi . Нетрудно убедиться в том, r

−1

σ, κ что Se ⊂ {λn }n=0 , где rσ, κ = rσ + rκ . Здесь rσ, κ — ранг индефинитности π-пространства Πhσ, κi , rσ и rκ — парциальные ранги индефинитности, отвечающие критическим точкам соответственно c = 0 и b = 1. Через Sp = {λn (n ∈ Z+ ) : Jn > 0} обозначим параболический спектр оператора Λhσ, κi . Таким образом, спектр S = {λn }∞ n=0 оператора Λhσ, κi состоит из эллиптической и параболической частей: S = Se + Sp . Оператор Λhσ, κi может быть представлен разложением

∞ X

Λhσ, κi =

κi κiJ ]hσ, κi , [ · , µhσ, λn µhσ, n n

n=0

или

Z Λhσ, κi =

+∞ −∞

λ dEλΛ ,

где спектральная функция EλΛ =

∞ X

κi θ(λ − λn ) µnhσ, κiJ [ · , µhσ, ]hσ, κi n

n=0

имеет только регулярные критические точки λ ∈ Se . Очевидно,

где

(e) ˙ Λ(p) Λhσ, κi = Λhσ, κi [+] hσ, κi , P (e) hσ, κi hσ, κi Λhσ, κi = − [ · , µn ]hσ, κi , λn µn λn ∈Se

(p)

Λhσ, κi =

X

κi κi λn µhσ, [ · , µhσ, ]hσ, κi . n n

λn ∈Sp

Следовательно, все π-пространство Πhσ, κi может быть представлено прямой π-ортогональной суммой инвариантных подпространств (e)

(p)

˙ Πhσ, κi , Πhσ, κi = Πhσ, κi [+]

427

4.3.8. Оператор с α, β ∈ {0,−π/2} и σ + κ + 1 6∈ Z− (e)

hσ, κi

где Πhσ, κi = Lin{µn

}λn ∈Se — rσ, κ -мерное эллиптическое (нега(p)

hσ, κi

тивное) подпространство, Πhσ, κi = CLin{µn }λn ∈Sp — ∞-мерное позитивное параболическое подпространство. Обозначим через N оператор N =

∞ X

hσ, κiJ

(1 + k) µk

hσ, κi

[ · , µk

]hσ, κi .

k=0 hσ, κi

В пространстве Hf = ∪∞ }nk=0 , ввеn=0 Hn , где Hn = Lin{µk дем счетную систему индефинитных метрик и соответствующих положительно определенных скалярных произведений: [y, z]n = [N n y, N n z]hσ, κi , (y, z)n = [JN n y, N n z]hσ, κi (n ∈ Z) . Пополняя Hf относительно скалярного произведения (y, z)n , получаем понтрягинское пространство Πn с рангом индефинитности rank Πn = rank Πhσ, κi . Оставим прежние обозначения для продолжений метрик [y, z]n и (y, z)n с Hf на все Πn . Ввиду согласованности норм ||y||n+1 ≥ ||y||n (n ∈ Z), последовательность π-пространств {Πn }+∞ n=−∞ образует возрастающую цепочку Πn+1 ⊂ Πn (n ∈ Z). Пространство Π−n является сопряженным к Πn относительно форм [y, z]0 ≡ [y, z]hσ, κi и (y, z)0 ≡ ≡ (y, z)hσ, κi , т. е. для y ∈ Π−n и z ∈ Πn имеем: |[y, z]0 | ≤ ||y||−n ||z||n ,

|(y, z)0 | ≤ ||y||−n ||z||n .

Тройка пространств Π◦ ⊂ Π0 ⊂ Π0 , обладающая свойствами: (1) Π◦ = ∩∞ n=1 Πn — ядерное счетно-понтрягинское пространство, в котором задана невырожденная форма [y, z]0 ; (2) Π0 — пополнение пространства Π◦ относительно положительно определенного скалярного произведения (y, z)0 ; ◦ (3) Π0 = ∪∞ n=1 Π−n — сопряженное к Π относительно форм [y, z]0 и (y, z)0 пространство — составляет оснащенное понтрягинское пространство.

428

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

Ввиду асимптотики при n → ∞ для обобщенных полино√ hσ, κi мов Якоби Mn (x) ≡ Mn (x), cos ϕ = x, ϕ ∈ (0, π) ³ ´ √ π ´ 2 cos (2n+σ+κ+1) ϕ − 2 (κ+1/2) ³ √ Mn (x) = 1 + O(1/n) π (cos ϕ)σ+1/2 (sin ϕ)κ+1/2 имеем для δλ (x) ≡ δ hσ, κi (λ; x) и δλJ (x) ≡ δ hσ, κiJ (λ; x) из Π0 : ||δλ ||−1 = ||δλJ ||−1 < ∞, ||δλ ||0 = ||δλJ ||0 = ∞, λ ∈ (0, 1), т. е. δλ (x), δλJ (x) ∈ Π−1 \ Π0 [15]. Обобщенные функции ([15]) hσ, κi ∆0 (k) (x)

=

hσ, κi (k!)−1 ∂λk ∆λ (x)|λ=0

=

∞ X

(k)J

κi M0; n (λ) µhσ, (x) , n

n=0 hσ, κi

hσ, κi

∆1 (s) (x) = (s!)−1 ∂λs ∆λ

(x)|λ=1 =

∞ X

(s)J

κi M1; n (λ) µhσ, (x) , n

n=0 (k) M0; n = (k!)−1 ∂λk Mk (λ)|λ=0 , hσ, κi ∆λ (x)

где

=λ

−σ/2

(s) M1; n = (s!)−1 ∂λs Ms (λ)|λ=1

(1 −

hσ, κi λ)−κ/2 δλ (x)

∞ X

(k, s ∈ Z+ ),

κi MnJ (λ) µhσ, (x) , n

n=0

обладают свойствами (глава 8): ³ ´ hσ, µi hσ, κi hσ, κi hσ, κi hσ, κi lhσ, κi ∆0 (k) (x) = ρk ∆0 (k) (x) − αk ∆0 (k+1) (x) , ³ ´ hσ, µi hσ, κi hσ, κi lhσ, κi ∆1 (s) (x) = ρshσ, κi ∆1 (s) (x) + βshσ, κi ∆1 (s+1) (x) , hσ, κi

ρk

hσ, κi

= (σ + κ + 1) (σ + κ + 2k + 2) , αk

= 4(k + 1) (σ + k + 1) ,

κi ρhσ, = (σ + κ + 1) (σ + κ + 2s + 2) , βshσ, κi = 4(s + 1) (κ + s + 1) ; s

k, k 0 ∈ Z0, rσ −1 , s, s0 ∈ Z0, rκ −1

для hσ, κi

hσ, κi

∆0 (k) (x), ∆1 (s) (x) ∈ Πhσ, κi ,

hσ, κi

hσ, κi

[∆0 (k) , ∆1 (s) ]hσ, κi = 0 ,

429

4.3.8. Оператор с α, β ∈ {0,−π/2} и σ + κ + 1 6∈ Z− hσ, κi

hσ, κi

hσ, κi

[∆0 (k) , ∆0 (k0 ) ]hσ, κi = 0 ,

hσ, κi

[∆1 (s) , ∆1 (s0 ) ]hσ, κi = 0 ;

для y(x) = xσ/2 (1 − x)κ/2 Y (x) ∈ Π◦ , k ∈ Z0, rσ −1 , s ∈ Z0, rκ −1 hσ, κi

[y, ∆0 (k) ]hσ, κi = (k!)−1 ∂λk Y (λ)|λ=0 , hσ, κi

[y, ∆1 (s) ]hσ, κi = (s!)−1 ∂λs Y (λ)|λ=1 . o n hσ, κi rσ −2 hσ, κi rκ −2 ˙ 1), ˙ в то ⊂ Dhσ, κi (0, При этом Lin {∆0 (k) }k=0 , {∆1 (s) }s=0 hσ, κi hσ, κi ˙ 1), ˙ и для k, s ∈ Z0, r −2 / Dhσ, κi (0, время как ∆0 (rσ −1) , ∆1 (rκ −1) ∈ σ имеем hσ, κi

hσ, κi

Λhσ, κi ∆0 (k) (x) = ρk

hσ, κi

hσ, κi

∆0 (k) (x) − αk

hσ, κi

hσ, κi

∆0 (k+1) (x) ,

hσ, κi

hσ, κi

Λhσ, κi ∆1 (s) (x) = ρshσ, κi ∆1 (s) (x) + βshσ, κi ∆1 (s+1) (x) . hσ, κi

Отметим [15], что множество {∆λ (x)}λ∈(0, 1) образует полную ортонормированную (на δ-функцию) систему обобщенных собственных векторов оператора X умножения на независимую переменную, действующего в оснащенном пространстве Π◦ ⊂ Π0 ⊂ Π0 : hσ, κi

X∆λ

hσ, κi

(x) ≡ x ∆λ

hσ, κi

Z

[∆λ 1

lim

α→+0

0 hσ, κi ∆λ; µ

hσ, κi

∆λ

hσ, κi

(x) = λ ∆λ

(x) ,

hσ, κi

, ∆µhσ, κi ]hσ, κi = ∆λ; µ ,

hσ, κi

(x) ∆λ

hσ, κi

(y) τα

(λ) dσ(λ) = δ hσ, κi (x; y) ,

= λ−σ/2 µ−σ/2 (1−λ)−κ/2 (1−µ)−κ/2 δ hσ, κi (λ; µ) , dσ(λ) = λσ (1 − λ)κ dλ ,

hσ, κi

r −1

hσ, κi

r −1

σ κ а Lin{∆0 (k) (x)}k=0 и Lin{∆1 (s) (x)}s=0 являются нейтральными корневыми линеалами оператора X, отвечающими собственным числам соответственно λ = 0 и λ = 1 :

hσ, κi

hσ, κi

X∆0 (k) (x) = ∆0 (k−1) (x) hσ, κi

hσ, κi

(X − 1)∆1 (s) (x) = ∆1 (s−1) (x)

hσ, κi

(k ∈ Z0, rσ −1 , ∆0 (−1) (x) = 0) , hσ, κi

(k ∈ Z0, rκ −1 , ∆1 (−1) (x) = 0) .

430

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

4.3.9. Оператор с α, β ∈ {0,−π/2} и σ + κ + 1 ∈ Z− Пусть теперь для тех же значений α, β ∈ {0, −π/2}, что и в предыдущем параграфе, параметры σ и κ (∈ R \ Z) удовлетворяют дополнительному условию σ + κ + 1 = −p ∈ Z− . Условие на собственные числа оператора Λhσ, κi (4.3.41) 1 =0 Γ(z − p/2) Γ(−z − p/2)

(p ∈ N)

приводит к z = p/2 − n, либо z = n − p/2 (n ∈ Z+ ), в результате чего для собственных значений оператора Λhσ, κi имеем λn = (2n − p)2 − 1

(n ∈ Z+ ) .

Эти собственные значения обладают свойством (вырождения) λn = λp−n

(n ∈ Z0, p ) .

Ввиду F (−n, n − p, σ + 1; x) = F (n − p, −n, σ + 1; x)

(n ∈ Z0, p )

вырождению собственных значений λn отвечает вырождение (см. § 4.3 [15]) соответствующих собственных функций (4.3.42) uσ, λn (x) = uσ, λp−n (x)

(n ∈ Z0, p ) .

[(p−1)/2]

При этом линеал Lin{uσ, λn }n=0 [uσ, λn , uσ, λm ]hσ, κi = 0

становится нейтральным:

(n, m ∈ Z0, [(p−1)/2] ) .

Теорема 4.3.15. Оператор Λhσ, κi не имеет других корневых подпространств размерности больше единицы за исключением [(p + 1)/2] двумерных корневых линеалов Lλn = Lin{uσ, λn , 0 (x), uσ, λn , 1 (x)} , отвечающих собственным числам λn = λp−n , n ∈ Z0, (p−1)/2 .

431

4.3.9. Оператор с α, β ∈ {0,−π/2} и σ + κ + 1 ∈ Z−

Доказательство. Для функции uσ, λ (x) (4.3.42) элементы uσ, λn , m (x) =

∂ m uσ, λ (x) ²m λ |λ=λn m! ∂λm

(m ∈ Z+ )

— есть собственная и присоединенные функции операции l(y), отвечающие каждому λ = λn и удовлетворяющие краевому условию ϕuσ, λ, m (0) = 0 (m ∈ Z+ ) для σ < 0 (при α = 0) , ξu0σ, λ, m = 0 (m ∈ Z+ ) для σ > 0 (при α = −π/2) ,

либо

а для m = 0 краевому условию ψuσ, λ, 0 (1) = 0 для κ < 0 (при β = 0) , ηu0σ, λ, m = 0 для κ > 0 (при β = −π/2) .

либо

При этом для n ∈ Z[(p+1)/2]+1, [p/2] ∪ Zp, ∞ имеем (σ, κ)

∂λ B(aλ

(σ, κ)

, bλ

n! Γ(σ+1) Γ(−σ−p0 −1) 6= 0 , p →p (−1)n−1 4 (2n−p0 ) Γ(n−p0 )

, c(σ) )|λ=λn = lim 0

что означает, что уже для m = 1 ˙ 1) ˙ . uσ, λn , 1 (x) = ²λ ∂λ uσ, λ (x)|λ=λn ∈ / Dhσ, κi (0, Для n ∈ Z0, [(p−1)/2] ∪ Z[p/2]+1, p находим (σ, κ)

∂λ B(aλ

(σ, κ)

, bλ

, c(σ) )|λ=λn = 0 ,

˙ 1), ˙ но в то же время следовательно, uσ, λ, 1 (x) ∈ Dhσ, κi (0, (σ, κ)

∂λ2 B(aλ

(σ, κ)

, bλ

, c(σ) )|λ=λn =

(−1)p−1 Γ(σ+1) Γ(−σ−p−1) 6= 0 , 16 (n! (p−n)!)−1 (2n − p)2

432

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

и поэтому для n ∈ Z0, [(p−1)/2] ∪ Z[p/2]+1, p имеем ˙ 1) ˙ . ¤ / Dhσ, κi (0, uσ, λn , 2 (x) = (2!)−1 ²2λ ∂λ2 uσ, λ (x)|λ=λn ∈ Пусть σ 0 и κ 0 (σ 0 = σ − ε/2, κ 0 = κ − ε/2, σ 0 , κ 0 ∈ / Z) варьируются в достаточно малых окрестностях σ и κ таким образом, что p0 = −(σ 0 + κ 0 + 1) = p + ε (−p = σ + κ + 1, |ε| ¿ 1). При p0 6= p (ε 6= 0) имеем спектр собственных значений λ0n = (2n − p0 )2 − 1 (n ∈ Z+ ). При этом ввиду ε ¿ 1 собственные значения λ0n и λ0p−n (n ∈ Z0, [(p−1)/2] ) близки: λ0n = λn − 2(2n − p)ε + ε2 , λ0p−n = λp−n + 2(2n − p)ε + ε2 , ∆λ0 = λ0p−n − λ0n = 4ε(2n − p) (λp−n = λn = (2n − p)2 − 1). При p0 → p собственные значения λ0n и λ0p−n (одно из которых эллиптическое, а другое параболическое) движутся навстречу друг другу и в момент p0 = p сталкиваются в точке λn = = λp−n , в результате чего возникает двукратное собственное (параболическое) число, которому отвечает невырожденное двумерное корневое подпространство Lλn = Lin{uσ, λn , 0 , uσ, λn , 1 } (rank Lλn = 1). Для uσ, λ (x) имеем (см. также [15]) uσ, λ (x) = xσ/2 (1 − x)κ/2

где

ζk (λ) = 2

−2k

k−1 Y

∞ X (−1)k ζk (λ) xk , k! (σ, k) k=0

(λ − λk )

(k ∈ Z+ ) ;

k=0

∂λ uσ, λ (x) = xσ/2 (1 − x)κ/2

∞ X (−1)k ζ 0 (λ) xk k

k=0

k! (σ, k)

.

При этом для n ∈ Z0, [p/2] имеем: ζk (λn ) =

n (−1)k n! (p−k)! o для k ∈ Z0, n ; 0 для k ∈ Zn+1, ∞ , (n−k)! (p−n−k)!

433

4.3.9. Оператор с α, β ∈ {0,−π/2} и σ + κ + 1 ∈ Z−

и для n ∈ Z0, [(p−1)/2] имеем: ζk0 (λn ) = ηk (λn ) ζk (λn )

(k ∈ Z0, n ) ,

³ ´ 1 ηk (λn ) = − k ∈ Z1, n ; η0 (λn ) = 0 , 4 (n − k) (p − n − k) s=0 n o ζk0 (λn ) = βk (λn ) ζn (λn ) (k ∈ Zn+1, p−n ) , 0 (k ∈ Zp−n+1, ∞ ) , k−1 X

βk (λn ) =

(k − n − 1)! (p − 2n − 1)! 4 (p − n − k)!

(k ∈ Zn+1, p−n ) .

Таким образом, полагая κi µhσ, (x) n

= cn x

σ/2

κ/2

(1 − x)

Rn (x) ,

Rn (x) =

n X

Rk, n xk ,

k=0

Rk, n =

(−1)k ζk (λn ) k! (σ, k)

(n ∈ Z0, [p/2] , k ∈ Z0, n ) ,

³ ´ hσ, κi µp−n (x) = ²λn cn xσ/2 (1 − x)κ/2 Rp−n (x) + ξn Rn (x) , Rp−n (x) =

n X

Rk, p−n xk ,

k=0

Rk, p−n = имеем

(−1)k ζk0 (λn ) k! (σ, k)

(n ∈ Z0, [p/2] , k ∈ Z0, n ) ,

κi Λhσ, κi µnhσ, κi (x) − λn µhσ, (x) = 0 (n ∈ Z0, [p/2] ) , n hσ, κi

κi κi Λhσ, κi µhσ, (x) − λn µhσ, (x) = ²λn µp−n (x) n n

(n ∈ Z[p/2]+1, p ) .

При этом, очевидно, κi [µhσ, , µnhσ, κi ]hσ, κi = 0 n

Полагая

hσ, κi

[µn

hσ, κi

, µn

]hσ, κi = 0

(n ∈ Z0, [(p−1)/2] ) . (n ∈ Z[p/2]+1, p ) ,

434

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

находим ξn = −An /(2Bn ) (n ∈ Z[p/2]+1, p ), где An = [∂λ uσ, λn , ∂λ uσ, λn ]hσ, κi ,

Bn = [∂λ uσ, λn , uσ, λn ]hσ, κi .

Кроме того, полагая hσ, κi

κi , µp−n ]hσ, κi = (−1)p+1 sgn(sin πσ) (n ∈ Z0, [(p−1)/2] ) [µhσ, n

и выбирая sgn(²λn ) = sgn(Rn, n Rp−n, p−n ), находим s | sin πσ| cn = (n ∈ Z0, [(p−1)/2] ) . π²λn Rn, n Rp−n, p−n В том случае, если p — четное, имеем для n = p/2 1 κi κi [µhσ, , µhσ, ]hσ, κi = (−1)p+1 sgn(sin πσ) и cn = n n |Rn, n |

r

| sin πσ| . π

Собственным значениям λn (n ∈ Zp+1, ∞ ) отвечают π-ортонормированные собственные функции κi κi κi µhσ, (x) = xσ/2 (1 − x)κ/2 Mnhσ, κi (x) , [µhσ, , µhσ, ]hσ, κi = Jnhσ, κi , n n n ³ ´ Jnhσ, κi = sgn Γ(σ + n + 1) Γ(κ + n + 1) (n ∈ Zp+1, ∞ ) , n

n! Γ(σ+n+1) X (−1)n−s (n+s−p−1)! xs , (2n − p − 1)! s=0 s! (n − s)! Γ(σ + s + 1) s (2n − p) ((n − p − 1)!)−1 = (2n − p − 1)! . n! |Γ(σ + n + 1)| |Γ(−σ − p + n)|

hσ, κi Mnhσ, κi (x) = Mn, n

hσ, κi Mn, n

Таким образом, имеем полную систему π-ортонормироhσ, κi ванных функций {µn (x)}∞ n=0 : ∞ X n=0

κiJ µhσ, (x) µnhσ, κi (y) = δ hσ, κi (x; y) — условие полноты , n

435

4.3.9. Оператор с α, β ∈ {0,−π/2} и σ + κ + 1 ∈ Z−

κi hσ, κi [µnhσ, κi (x), µhσ, (x)]hσ, κi = Jn, m m

— условие π-ортонормальности, где κiJ µhσ, (x) n

=

∞ X

hσ, κi hσ, κi

Jn, k µk

(x) (n ∈ Z+ ) ,

k=0 hσ, κi hσ, κi Jn, · {δn, p−m для m ∈ Z0, p ; δn, m для m ∈ Zp+1, ∞ } , m = Jm ( ) p+1 (−1) sgn(sin πσ) для m ∈ Z ; 0, p ³ ´ hσ, κi Jm = . sgn Γ(σ+m+1) Γ(κ+m+1) для m ∈ Zp+1, ∞

Здесь δ hσ, κi (x; y) — δ-функция из Π0 , порождающая в оснащенном пространстве Π◦ ⊂ Π0 ⊂ Π0 соотношением (4.3.43) единичный оператор. Аналогично, δ J -функция δ hσ, κi J (x; y) =

∞ X

κi µnhσ, κi (x) µhσ, (y) n

n=0

соотношением (4.3.44) порождает оператор инволюции J. Произвольный элемент y(x) из Πhσ, µi может быть представлен разложением ∞ X κi ξnJ µhσ, (x) , y(x) = n n=0

где

ξn = [y(x),

µnhσ, κi (x)]hσ, κi

,

ξnJ

=

∞ X

hσ, κi

Jn, k ξk .

k=0

Оператор Λhσ, κi может быть представлен разложением Λhσ, κi =

∞ X

κi λn µnhσ, κiJ [ · , µhσ, ]hσ, κi + n

n=0 [(p−1)/2] X hσ, κi + Jp ² λn n=0

κi µnhσ, κi [ · , µhσ, ]hσ, κi n

436

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

Z или

Λhσ, µi =

+∞ −∞

λ dEλΛ + N(2) ,

EλΛ N(2) = N(2) EλΛ ,

где спектральная функция EλΛ =

∞ X

κiJ κi θ(λ − λn ) µhσ, [ · , µhσ, ]hσ, κi n n

n=0

имеет лишь регулярные критические точки λ ∈ Se ∪ S∗ , ( Se = hσ, κi hσ, κi = {λn : [µn , µn ]hσ, κi = −1} — эллиптический спектр опе[(p−1)/2]

ратора, а S∗ = {λn }n=0 — параболический спектр (без учета алгебраической кратности), отвечающий двумерным корневым hσ, κi hσ, κi подпространствам Lλn = Lin{µn , µp−n }, n ∈ Z0, [(p−1)/2] ) , N(2) =

[(p−1)/2] X hσ, κi Jp ²λn n=0

κi κi µhσ, [ · , µhσ, ]hσ, κi n n

(N2(2) = 0)

— нильпотентный оператор второго порядка. Обозначим через hσ, κi hσ, κi Sp∗∗= {λn : [µn , µn ]hσ, κi> 0} параболический спектр оператора Λhσ, κi без учета собственных чисел, отвечающих корневым подпространствам оператора. Обозначим через Sp∗ = Sp∗∗ ∪ S∗ параболический спектр оператора Λhσ, κi (без учета кратности), а через Sp = Sp∗∗ ∪ S∗∗ весь параболический спектр оператора (с [(p−1)/2] учетом кратности собственных чисел: S∗∗ = {λn , λp−n }n=0 ). Тогда для оператора Λhσ, κi имеем разложение (e) ˙ Λ(p) Λhσ, κi = Λhσ, κi [+] hσ, κi ,

где

(e)

Λhσ, κi =

P λn ∈Se

hσ, κiJ

λ n µn

hσ, κi

[ · , µn

]hσ, κi

— эллиптическая часть оператора, действующая в de -мерном (e) эллиптическом подпространстве Πhσ, κi (de = r − [(p − 1)/2] и,

4.3.10. Нули и полюса. Кратность нулей. Корневые подпространства

437

(e)

естественно, rank Πhσ, κi = de ), а X

(p)

Λhσ, κi =

κi λn µnhσ, κiJ [ · , µhσ, ]hσ, κi + N(2) n

λn ∈Sp

— параболическая часть оператора, действующая в ∞-мерном (p) параболическом подпространстве Πhσ, κi с рангом индефинит(p)

ности rank Πhσ, κi = [(p − 1)/2]. Таким образом, π-пространство может быть представлено прямой π-ортогональной суммой ин(e) (p) вариантных подпространств Πhσ, κi и Πhσ, κi : (e) ˙ Π(p) Πhσ, κi = Πhσ, κi [+] hσ, κi .

Оснащенное π-пространство Π◦ ⊂ Π0 ⊂ Π0 строится с помощью оператора N =

∞ X

hσ, κiJ

(1 + k) µk

hσ, κi

[ · , µk

]hσ, κi =

k=0

=

∞ X

hσ, κi

hσ, κi

κi Jk, n (1 + k) µhσ, [ · , µk n

]hσ, κi

n, k=0

аналогично тому, как это сделано в § 4.3.8. И в остальном все построения не отличаются от аналогичных построений для невырожденного случая.

4.3.10. Нули и полюса. Кратность нулей. Корневые подпространства Спектр оператора Λhσ, κi зависит как от значений параметров σ и κ, характеризующих пространство Πhσ, κi и действующий в нем оператор Λhσ, κi , так и от параметров α и β (tα и tβ ), фиксирующих π-самосопряженное расширение π-эрмитового оператора Lhσ, κi0 .

438

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

При фиксированных σ и κ имеем либо двупараметрическое семейство собственных чисел {λ(tα , tβ )}, либо однопараметрическое {λ(tα )} или {λ(tβ )}. Отметим, что в первом случае соответствующие значения z(tα , tβ ) (λ = 4z 2 − 1), расположенные в ограниченной окрестности точки z = 0, при достаточно большом n ∈ N могут быть описаны соотношением 3 X

n2qm Tm

m=0

n−1 Y³

´ z 2 − (k − qm )2 = 0

k=0

(T0 = 1 , T1 = −tα , T2 = −tβ , T3 = tα tβ ) . Технически затруднительно описать зависимость спектра в целом от всех четырех параметров. Поэтому ограничимся рассмотрением эволюции спектра оператора Λhσ, κi в зависимости от изменения параметра tα (либо tβ ) в пределах (−∞, +∞) при некоторых фиксированных значениях параметров σ, κ и tβ (либо tα , соответственно). Далее, простоты ради, рассмотрим поведение собственных чисел по отдельности при фиксированных значениях tβ = = 0, либо tα = 0. В первом случае имеем tσ (z) = tα , tα ∈ (−∞, ∞), где Γ(z − q1 ) Γ(−z − q1 ) , (4.3.45) tσ (z) = Γ(z − q0 ) Γ(−z − q0 ) во втором случае, отличающимся от первого заменой σ ↔ κ и α ↔ β, имеем tκ (z) = tβ , tβ ∈ (−∞, ∞), где tκ (z) =

Γ(z − q2 ) Γ(−z − q2 ) . Γ(z − q0 ) Γ(−z − q0 )

(4.3.46)

В силу указанной симметрии, ограничимся рассмотрением только первого случая tσ (z) = tα . Не теряя общности можно полагать, что σ < 0 (σ ∈ / Z). Функцию tσ (z) и arg tσ (z) можно представить в виде ¶−2σ ∞ µ (z − q0 )(z + q0 ) Y 1 (z + k − q0 )(z − k + q0 ) , tσ (z) = 1+ (z − q1 )(z + q1 ) k=1 k (z + k − q1 )(z − k + q1 )

439

4.3.10. Нули и полюса. Кратность нулей. Корневые подпространства

∞ X 1 ³ ´ X arg tσ (z) = (−1)i arg(z + k − qi ) + arg(z − k + qi ) . k=0 i=0

Для асимптотики функции tσ (z) при |z| À 1 в области arg z ∈ (0, π/2] имеем tσ (z) ≈ z −2σ eiπσ . Следовательно, для асимптотики невещественных нулей z функции tσ (z) − t (t ≡ tα ) при больших |t| из уравнения z −2σ eiπσ = t (arg z ∈ (0, π/2]) находим zk = t−1/(2σ) ei(π/2+πk/σ)

(k ∈ Z0, [−σ/2] , t À 1) ,

zk = (−t)−1/(2σ) ei(π/2+π/(2σ)+πk/σ)

(k ∈ Z0, [−(σ+1)/2] , t ¿ −1) .

В других четвертях комплексной плоскости нули z функции tσ (z) − t располагаются симметрично относительно вещественной и мнимой осей координат. В частности, для z = iy имеем: tσ (iy) ≈ |y|−2σ

(|y| À 1) ,

z = iy = ±it−1/(2σ)

(t À 1) .

На вещественной оси для функции tσ (z) имеем: tσ ≈ tσ ≈

sin π(x + q0 ) −2σ x sin π(x + q1 )

sin π(−x + q0 ) (−x)−2σ sin π(−x + q1 )

(x À 1 , x ∈ / {k − q1 }k∈Z+ ) , (x ¿ −1 , x ∈ / {q1 − k}k∈Z+ ) .

Отметим, что, ввиду симметрии функции tσ (z) и λ = 4z 2−1 относительно замены z ↔ −z, достаточно проследить поведение нулей функции tσ (z) − tα , расположенных только в области
440

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

(1) если q0 > 0, то tσ (z) имеет нули q0 − [q0 ] , q0 − [q0 ] + 1 , . . . , q0 − 1 , q0 ; [q0 ] − q0 + 1 , [q0 ] − q0 + 2 , . . .

(4.3.47) (4.3.48)

(при этом, совпадающие в (4.3.47) и (4.3.48) значения отвечают двукратным нулям функции tα (z)); (2) если q0 6 0, то tσ (z) имеет нули −q0 , −q0 + 1 , −q0 + 2 , . . . ;

(4.3.49)

(3) если q0 > 0, то tσ (z) имеет полюса q1 − [q1 ] , q1 − [q1 ] + 1 , . . . , q1 − 1 , q1 ; [q1 ] − q1 + 1 , [q1 ] − q1 + 2 , . . .

(4.3.50) (4.3.51)

(при этом, совпадающие в (4.3.50) и (4.3.51) значения отвечают полюсам второго порядка функции tα (z)); (4) если q0 6 0, то tσ (z) имеет полюса −q1 , −q1 + 1 , −q1 + 2 , . . . .

(4.3.52)

Для tσ (z) имеем t0σ (z) = tσ (z) ξσ (z) , где ξσ (z) = ψ(−z − q0 ) − ψ(z − q0 ) − ψ(−z − q1 ) + ψ(z − q1 ) = =

∞ µ X k=0

1 1 1 1 + − − z + k − q0 z − k + q0 z + k − q1 z − k + q1

¶ ,

¶ ∞ µ X Γ0 (z) 1 1 ψ(z) = = −C + − . Γ(z) k + 1 z + k k=0 В простых нулях функции tσ (z) функция ξσ (z) имеет простые полюса с вычетами +1, а в кратных нулях — ξσ (z) имеет

441

4.3.10. Нули и полюса. Кратность нулей. Корневые подпространства

простые полюса с вычетом +2. В простых полюсах функции tσ (z) функция ξσ (z) имеет простые полюса с вычетом −1, а в полюсах второго порядка — ξσ (z) имеет простые полюса с вычетом −2. Во всех точках, в которых ξσ (z) имеет простые нули, функция tσ (z) имеет локальные экстремумы. В нулях функции ξσ (z), ввиду µ ¶ 00 2 0 tσ (z) = tσ (z) ξσ (z) + ξσ (z) , µ

ξσ0 (z) =−

¶ = − ψ (−z − q0 ) + ψ (z − q0 ) − ψ (−z − q1 ) − ψ (z − q1 ) = 0

à ∞ X k=0

0

0

0

1 1 1 1 + − − 2 2 2 (z+k−q0 ) (z−k+q0 ) (z+k−q1 ) (z −k+q1 )2

! ,

t00σ (z) = tσ (z) ξσ0 (z) .

имеем

В нулях второго порядка функции tσ (x), кроме равенства ξσ (x) = 0 имеем ξσ0 (x) = 0, и функция tσ (x) имеет точку перегиба с горизонтальной касательной. ³ ´ 3 0 00 Ввиду t000 (z) = t (z) ξ (z) + 3ξ (z) ξ (z) + ξ (z) , где σ σ σ σ σ σ ξσ00 (z) =2

µ ¶ 00 00 00 00 = − ψ (−z −q0 )−ψ (z −q0 )−ψ (−z −q1 )+ψ (z −q1 ) =

∞ X k=0

Ã

1 1 1 1 + − − (z +k−q0 )3 (z−k+q0 )3 (z+k−q1 )3 (z −k+q1 )3

! ,

в точках, где ξσ (z) = 0 и ξσ0 (z) = 0, имеем 00 t000 σ (z) = tσ (z) ξσ (z) ,

причем, как будет ниже показано, в этом случае всегда ξσ00 (z) 6= 6= 0, т. е. функция tσ (z) − tα ни при каких tα ∈ (−∞, ∞) не может иметь нулей выше третьего порядка.

442

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

При варьировании параметров σ и κ в области их непрерывного изменения таким образом, чтобы величина σ + κ + 1 = = −p была постоянной, нули функции tσ (z) остаются на месте, в то время как полюса смещаются. Если с изменением этих параметров остается постоянной величина −σ +κ +1, то наоборот нули функции tσ (z) смещаются, а полюса остаются на месте. В общем случае смещаются и нули и полюса функции tσ (z). Выражение (4.3.45) для функции tσ (z) в ограниченной окрестности точки z = 0 с выброшенными произвольно малыми ε-окрестностями сингулярных точек с равномерной наперед заданной точностью может быть представлено, выбирая достаточно большое n, следующим образом: tσ (z) ≈ n

−2σ

n Y z 2 − (k − q0 )2 z 2 − (k − q1 )2 k=0

(n À 1) .

Этим выражением можно пользоваться для исследования поведения функции tσ (z) в ограниченной окрестности точки z = 0. Если положить σ = −n (n ∈ N), то, ввиду того, что q0 − −q1 = n, функции tσ (z) и ξσ (z) принимают вид соответственно tσ[n] (z)

= (−1)

n

n−1 X

(z − q0 + k) (z + q0 − k) ,

(4.3.53)

k=0

ξσ[n] (z)

=

n−1 µ X k=0

1 1 + z − q0 + k z + q0 − k

¶ .

(4.3.54)

По мере приближения параметра σ к −n графики функций tσ (x) и ξσ (x) на каждом отрезке, не содержащем полюсов, рав[n] [n] номерно приближаются к графикам функций tσ (x) и ξσ (x) соответственно (при этом полюса функций tσ (x) и ξσ (x), от[n] [n] сутствующие у tσ (x) и ξσ (x), попарно сближаются, в пределе компенсируя друг друга). Если для σ = −n ± τ (n ∈ N, 0 < τ < 1) графики функций [n] tσ (x) и tσ (x) в окрестности их сближения имеют тангенсы угла наклона касательных противоположных знаков, то по мере

4.3.10. Нули и полюса. Кратность нулей. Корневые подпространства

443

уменьшения τ на графике функции tσ (x) в указанной окрестности сначала появляется точка перегиба с горизонтальной касательной типа точки s на рис. 4.3.6, отвечающей нулю кратности k = 3, а затем пара экстремумов типа точек {t, u} или {v, w} на том же рисунке, отвечающие нулям кратности k = 2 (см. также, например, точки {d, f } на рис. 4.3.11). При этом соответствующие ∩- или ∪-образные ветви графика функции ξσ (x) = t0σ (x)/tσ (x) по мере сближения с графиком функции [n] ξσ (x) касаются, а затем дважды пересекают ось Ox (например, точки s, {t, u} {v, w} на рис. 4.3.7). Рис. 4.3.7(a) демонстрирует, как в случае σ ≈ −3.01 ветви графика функции ξσ (x) [3] еще плотнее прилегают к графику функции ξσ (x) в сравнении со случаем σ ≈ −3.14 . Еще большее число ∩-образных ветвей графика функции ξσ (x) пересекают вещественную ось, чему отвечает появление пар экстремумов на соответствующих Nk -ветвях графика функции tσ (x). В тех случаях, когда при[n] легающие ветви графиков функций ξσ (x) и ξσ (x) в области их достаточно плотного сближения имеют противоположные выпуклости, у графика функции ξσ (x) появляются дополнительные точки перегиба (ξσ00 (x) = 0). Так как при этом либо [n]0 [n] ξσ (x) 6= 0, либо ξσ (x) 6= 0, то одновременно соотношения ξσ (x) = 0, ξσ0 (x) = 0 и ξσ00 (x) = 0 не выполняются. Так на рис. 4.3.7(a) дополнительно появились точки (перегиба) k, l, m, в которых имеем ξσ00 (x) = 0, однако в этих точках ξσ (x) > 0. Таким образом, можно сформулировать Утверждение 4.3.16. Одновременное выполнение соотношений ξσ (x) = 0 , ξσ0 (x) = 0 , ξσ00 (x) = 0 (4.3.55) невозможно. Очевидны следующие утверждения: 1. При t = 0 функция tσ (z) − t (t ≡ tα ) имеет только вещественные нули, причем при 2q0 ∈ / Z+ нули только первого порядка, а при 2q0 ∈ Z+ кроме того имеются нули второго порядка.

444

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

2. При любом t ∈ R функция tσ (z) − t имеет только вещественные полюса, причем при 2q1 ∈ / Z+ полюса только первого порядка, а при 2q1 ∈ Z+ кроме того имеются полюса второго порядка. 3. При t 6= 0 функция tσ (z) − t может иметь вещественные нули не выше третьего порядка. Из соотношения dλ 8z = (1) dt tσ (z) следует, что в момент t = t∗ кратное собственное число λ∗ = = 4z ∗2 − 1 проходится с бесконечной скоростью. Полагая t = = t∗ + τ и z = z ∗ + ζ (|τ |, |ζ| ¿ 1), после разложения функции tσ (z) в ряд Тейлора получаем (2)

τ=

(3)

tσ (z ∗ ) 2 tσ (z ∗ ) 3 ζ + ζ + ... . 2 6

Если z = z ∗ — двукратный нуль, то q p (2) iϕ ζ = ±ρ e + o( |τ |) , где ρ = |2τ /tσ (z ∗ )| , n o (2) ∗ (2) ∗ ϕ = 0 , если sgn{τ tσ (z )} > 0 ; π/2 , если sgn{τ tσ (z )} < 0 , если z ∗ — вещественный, n o ∗ (2) ∗ ϕ = π/2 , если sgn{τ t(2) (z )} > 0 ; 0 , если sgn{τ t (z )} < 0 , σ σ если z ∗ — мнимый. Если z = z ∗ — трехкратный нуль, то p p ζ = ρ eiϕ + o( 3 |τ |) , ζ = ρ ei(ϕ±2π/3) + o( 3 |τ |) , q (3) где ρ = |6τ /tσ (z ∗ )| , o n ∗ (3) ∗ (z )} < 0 . (z )} > 0 ; π , если sgn{τ t ϕ = 0 , если sgn{τ t(3) σ σ

4.3.10. Нули и полюса. Кратность нулей. Корневые подпространства

445

Таким образом, в окрестности z = z ∗ нули z функции tσ (z) − t имеют следующее поведение. В случае вещественного двукратного нуля z ∗ : если кривая tσ (x) в его окрестности выпукла вверх, то в окрестности z ∗ пара нулей, двигаясь навстречу друг другу, сталкиваются в момент t∗ в точке z = z ∗ и рассеиваются в следующий момент под углами ±π/2 к вещественной оси в комплексную плоскость; если же кривая tσ (z) выпукла вниз, то пара комплексно сопряженных нулей из окрестности z ∗ , подходя к вещественной оси под углами ±π/2 к ней, сталкиваются в точке z = z ∗ и рассеиваются в следующий момент вдоль вещественной оси, двигаясь в противоположных направлениях. В случае мнимого двукратного нуля z ∗ (и −z ∗ ) соответствующие траектории комплексных нулей z и −z (также z и −z) аналогичным образом преломляются в траектории мнимых нулей также под углом ±π/2. В случае трехкратного (вещественного) нуля z ∗ : в точке z = z ∗ пересекаются три траектории, одна из которых лежит на вещественной оси, а две другие — в комплексной плоскости, симметрично расположенные относительно вещественной оси, причем предельные направления касательных к ним (с учетом направления движения нулей) отстоят друг от друга на угол 2π/3. −1 m Применяя операцию εm λ (m!) ∂λ (ελ ∈ R \ {0}) к обеим частям уравнения l(u±σ, λ (x)) − λ u±σ, λ (x) = 0 , получаем l(u±σ, λ, m (x)) − λ u±σ, λ, m (x) = ελ u±σ, λ, m−1 (x) (m ∈ Z+ ) , −1 m где u±σ, λ, m (x) = εm λ (m!) ∂λ u±σ, λ (x) (u±σ, λ,−1 (x) = 0) — собственная (m = 0) и присоединенные функции операции l(y), отвечающие собственному числу λ. Функции −1 m u˙ λ, m (x) = εm ˙ λ (x) (m ∈ Z+ ) , λ (m!) ∂λ u

где u˙ λ (x) = uσ, λ (x) cos α − (4σ)−1 u−σ, λ (x) sin α, назовем собственной (m = 0) и присоединенными функциями операции l(y) l(u˙ λ, m (x)) − λ u˙ λ, m (x) = ελ u˙ λ, m−1 (x) (m ∈ Z+ , u˙ λ,−1 (x) = 0) ,

446

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

удовлетворяющими условию tσ (z) − t = 0 и отвечающими собственному числу λ = λ∗ = 4z ∗2 − 1 (при котором u˙ λ, 0 (x) является собственной функцией оператора Λhσ, κi ). Далее, функции u˙ λ, m (x) (m ∈ Z0, n ) — собственная и присоединенные функции оператора Λhσ, κi , отвечающие собственному числу λ = λ∗ , если ˙ 1) ˙ (m ∈ Z0, n , где n 6 2rσ, κ ), т. е. если они u˙ λ, m (x) ∈ Dhσ, κi (0, удовлетворяют условию ξy0 sin α + 4σ ϕy (0) cos α = 0 .

(4.3.56)

Теорема 4.3.17. Кратному собственному числу λ = λ∗ отвечает корневое подпространство оператора Λhσ, κi , размерность которого равна кратности собственного числа. Доказательство. Для собственной функции u˙ λ, 0 (x) ≡ u˙ λ (x) оператора Λhσ, κi , отвечающей собственному числу λ = λ∗ , имеем: u˙ λ (x) = C(z) uσ, λ (x) − (4σ)−1 S(z) u−σ, λ (x) , C(z) =

C Γ(−σ + 1) 4σ C Γ(σ + 1) , S(z) = , Γ(z − q1 ) Γ(−z − q1 ) Γ(z − q0 ) Γ(−z − q0 )

λ = 4z 2 − 1 , q0 = −(σ + κ + 1)/2 , q1 = −(−σ + κ + 1)/2 . Ввиду ∂λ C(z) = f1 (z) C(z), ∂λ S(z) = f0 (z) S(z), где fi (z) = −

ψ(z − qi ) − ψ(−z − qi ) 23 z

(i = 0, 1) ,

для присоединенной функции u˙ λ, 1 (x) = ελ ∂λ u˙ λ (x) (λ = λ∗ ) операции l(y) имеем u˙ λ, 1 (x) = C(z) uσ, λ, 1 (x) − (4σ)−1 S(z) u−σ, λ, 1 (x) + ³ ´ −1 + ελ f1 (z) C(z) uσ, λ (x) − f0 (z) (4σ) S(z) u−σ, λ (x) . Так как u˙ λ, 1 (x) ∈ Πhσ, κi , а функции y = u±σ, λ, 1 (x) удовлетворяют условию (4.3.56), то необходимым и достаточным

4.3.10. Нули и полюса. Кратность нулей. Корневые подпространства

447

дополнительным к tσ (z) − t = 0 условием того, чтобы элемент ˙ 1) ˙ операu˙ λ, 1 (x) принадлежал области определения Dhσ, κi (0, тора Λhσ, κi , является условие f1 (z) = f0 (z), т. е. ξσ (z) = 0. Для u˙ λ, 1 (z) в этом случае имеем u˙ λ, 1 (x) = u˙ σ, λ (1) (x) + ελ f0 (z) u˙ σ, λ (0) (x) , где

u˙ σ, λ (0) (x) ≡ u˙ σ, λ, 0 (x) ≡ u˙ σ, λ (x) , u˙ σ, λ (1) (x) = uσ, λ, 1 (x) cos α − (4σ)−1 u−σ, λ, 1 (x) sin α . Ввиду ∂λ2 C(z) = g1 (z) C(z), ∂λ2 S(z) = g0 (z) S(z), где

gi (z) =

(ψ(z − qi ) − ψ(−z − qi ))2 ψ(z − qi ) − ψ(−z − qi ) + − 26 z 2 26 z 3 −

ψ 0 (z − qi ) + ψ 0 (−z − qi ) 26 z 2

(i = 0, 1) ,

для присоединенной функции u˙ λ, 2 (x) = 2−1 ε2λ ∂λ2 u˙ λ (x) (λ = λ∗ ) операции l(y) имеем u˙ λ, 2 (x) = C(z) uσ, λ, 2 (x) − (4σ)−1 S(z) u−σ, λ, 2 (x) + ³ ´ −1 + ελ f1 (z) C(z) uσ, λ, 1 (x) − f0 (z) (4σ) S(z) u−σ, λ, 1 (x) + ´ ε2λ ³ g1 (z) C(z) uσ, λ (x) − g0 (z) (4σ)−1 S(z) u−σ, λ (x) . 2 Так как u˙ λ, 2 (z) ∈ Πhσ, κi , а функции y = u±σ, λ, 2 (x) удовлетворяют условию (4.3.56), то необходимым и достаточным дополнительным условием (кроме ξσ (z) = 0) того, что u˙ λ, 2 (z) ∈ ˙ 1), ˙ является условие g1 (z) = g0 (z), т. е. ξσ0 (z) = 0. ∈ Dhσ, κi (0, Для u˙ λ, 2 (z) в этом случае имеем +

u˙ λ, 2 (x) = u˙ σ, λ (2) (x) + ελ f0 (z) u˙ σ, λ (1) (x) + 2−1ε2λ g0 (z) u˙ σ, λ (0) (x) ,

448

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

u˙ σ, λ, (2) (x) = uσ, λ, 2 (x) cos α − (4σ)−1 u−σ, λ, 2 (x) sin α .

где

Ввиду ∂λ3 C(z) = h1 (z) C(z), ∂λ3 S(z) = h0 (z) S(z), где (ψ(z−qi ) − ψ(−z−qi ))3 3(ψ(z −qi ) − ψ(−z−qi ))2 − + hi (z) = − 29 z 3 29 z 4 + −

3(ψ(z − qi ) − ψ(−z − qi ))(ψ 0 (z − qi ) + ψ 0 (−z − qi )) − 29 z 3

3(ψ(z−qi ) − ψ(−z − qi )) 3(ψ 0 (z − qi ) + ψ 0 (−z − qi )) + − 29 z 5 29 z 4 −

ψ 00 (z − qi ) − ψ 00 (−z − qi ) 29 z 3

(i = 0, 1) ,

для присоединенной функции u˙ λ, 3 (x) = 6−1 ε3λ ∂λ3 u˙ λ (x) (λ = λ∗ ) операции l(y) имеем u˙ λ, 3 (x) = C(z) uσ, λ, 3 (x) − (4σ)−1 S(z) u−σ, λ, 3 (x) + ³ ´ + ελ f1 (z) C(z) uσ, λ, 2 (x) − f0 (z) (4σ)−1 S(z) u−σ, λ, 2 (x) + ´ ε2λ ³ −1 + g (z) C(z) uσ, λ, 1 (x) − g0 (z) (4σ) S(z) u−σ, λ, 1 (x) + 2 1 ´ ε3 ³ + λ h1 (z) C(z) uσ, λ (x) − h0 (z) (4σ)−1 S(z) u−σ, λ (x) . 6 Так как u˙ λ, 3 (z) ∈ Πhσ, κi , а функции y = u±σ, λ, 3 (x) удовлетворяют условию (4.3.56), то необходимым и достаточным дополнительным условием (кроме ξσ (z) = 0 и ξσ0 (z) = 0) того, что ˙ 1), ˙ должно быть условие h1 (z) = h0 (z), т. е. u˙ λ, 3 (z) ∈ Dhσ, κi (0, 00 ξσ (z) = 0, которое, однако, не может быть выполнено. ¤ Не трудно убедиться в том, что определив в случае двукратного нуля z = z ∗ элементы wλ, 0 (x) и wλ, 1 (x) в виде wλ, 0 (x) = u˙ λ, 0 (x) ,

wλ, 1 (x) = u˙ λ, 1 (x) + ξ u˙ λ, 0 (x) ,

4.3.10. Нули и полюса. Кратность нулей. Корневые подпространства

449

1 [u˙ λ, 1 , u˙ λ, 1 ]hσ, κi , 2 [u˙ λ, 1 , u˙ λ, 0 ]hσ, κi получаем векторы двумерного корневого подпространства, отвечающего собственному значению λ = λ∗ алгебраической кратности k = 2 : где

ξ=

Λhσ, κi wλ, 0 (x) − λ wλ, 0 (x) = 0 , Λhσ, κi wλ, 1 (x) − λ wλ, 1 (x) = ελ wλ, 0 (x) с условиями ортогональности [u˙ λ, k , u˙ λ, s ]hσ, κi = Nλ δk, 1−s

(k, s = 0, 1) ,

Nλ = [u˙ λ, 1 , u˙ λ, 0 ]hσ, κi (N λ = Nλ ) . Аналогично, определив в случае трехкратного нуля z = z ∗ элементы wλ, 0 (x), wλ, 1 (x) и wλ, 2 (x) в виде wλ, 0 (x) = u˙ λ, 0 (x) ,

wλ, 1 (x) = u˙ λ, 1 (x) + ξ1 u˙ λ, 0 (x) ,

wλ, 2 (x) = u˙ λ, 2 (x) + ξ1 u˙ λ, 1 (x) + ξ0 u˙ λ, 0 (x) , где

ξ1 =

1 [u˙ λ, 2 , u˙ λ, 1 ]hσ, κi , 2 [u˙ λ, 1 , u˙ λ, 1 ]hσ, κi

! Ã 2 1 3 [u˙ λ, 2 , u˙ λ, 1 ]hσ, κi [u˙ λ, 2 , u˙ λ, 2 ]hσ, κi ξ0 = − , 2 4 [u˙ λ, 1 , u˙ λ, 1 ]2hσ, κi [u˙ λ, 1 , u˙ λ, 1 ]hσ, κi получаем векторы трехмерного корневого подпространства, отвечающего собственному значению λ = λ∗ алгебраической кратности k = 3 : Λhσ, κi wλ, 0 (x) − λ wλ, 0 (x) = 0 , Λhσ, κi wλ, 1 (x) − λ wλ, 1 (x) = ελ wλ, 0 (x) , Λhσ, κi wλ, 2 (x) − λ wλ, 2 (x) = ελ wλ, 1 (x) с условиями ортогональности [u˙ λ, k , u˙ λ, s ]hσ, κi = Nλ δk, 2−s

(k, s = 0, 1, 2) ,

Nλ = [u˙ λ, 1 , u˙ λ, 1 ]hσ, κi = [u˙ λ, 2 , u˙ λ, 0 ]hσ, κi

(N λ = Nλ ) .

450

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

4.3.11. Оператор Якоби для полуцелых σ и κ Для полуцелых значений параметров σ и κ σ = −n − 1/2 , κ = −m − 1/2 , p = −(σ + κ + 1) = n + m ³ ´ n ∈ Z+ , m ∈ Z , q0 = (n + m)/2 , q1 = (m − n − 1)/2 функция tσ (z) может быть представлена в виде ¡ ¢ ¡ ¢ tg π z + (n + m)/2 Γ z + (n + m)/2 + 1 ¡ ¢ × tσ (z) = (−1)n−1 Γ z − (n + m)/2 ¡ ¢ Γ z + (n − m)/2 + 1/2 ¢, × ¡ Γ z − (n − m)/2 + 1/2 если считать это выражение доопределенным по непрерывности в точках устранимого разрыва. В общем случае имеют место следующие возможности. 1. n > m : (a) для n + m > −1 ¡ ¢ ¢ Qn+m ¡ tg π z +(n+m)/2 s=0 z+(n+m)/2−s £Qn−m ¡ ¢¤ , tσ (z) = −1 (−1)n−1 k=1 z+(n−m)/2+1/2−k (b) для n + m < −1 ¡ ¢ Qn−m ¡ ¢ tg π z+(n+m)/2 k=1 z +(n−m)/2+ 1/2−k ¢ , tσ (z) = Q−n−m−1 ¡ (−1)n−1 z−(n+m)/2−s s=1 (c) для n + m = −1 n−m ¢ ctg πz Y ¡ tσ (z) = z + (n − m)/2 + 1/2 − k ; n (−1) k=1

2. n < m : ¡ ¢ ¢ Qn+m ¡ tg π z+(n+m)/2 s=0 z+(n+m)/2−s ¢; tσ (z) = Qm−n ¡ (−1)n−1 z+(m−n)/2+1/2−k k=1

4.3.11. Оператор Якоби для полуцелых σ и κ

451

3. n = m : 2n tg πz Y tσ (z) = (z + n − k) . (−1)n−1 k=0

В этом параграфе на конкретных примерах для наиболее интересных вариантов проследим эволюцию нулей функции tσ (z) − t с изменением параметра t в пределах (−∞, ∞). Тем самым, согласно формуле λ = 4z 2 − 1, станет ясным характер поведения соответствующих собственных значений оператора Λhσ, κi . На рисунках значками e, p и h обозначены участки графиков функции tσ (z), отвечающие эллиптическим z e , параболическим z p и гиперболическим z h , z h нулям соответственно. 1. Пусть σ = −7/2, κ = −3/2, то есть n = 3, m = 1. На рис. 4.3.1 приведены соответствующие графики функции tσ (z) на вещественной и мнимой осях tσ (x) = (x2 − 1/4)(x2 − 1)(x2 − 4) x tg πx , tσ (iy) = (y 2 + 1/4)(y 2 + 1)(y 2 + 4) y th πy . При t = 0 имеем: несущественно кратный (эллиптический) нуль z e = 0 (точка a), которому отвечает эллиптическое собственное значение λe = −1; существенно кратный (параболический) нуль z ∗ = 1 (точка c), которому отвечает параболическое собственное число λ∗ = 3 и двумерная жорданова клетка; существенно кратный (параболический) нуль z ∗ = 2 (точка d), которому отвечает параболическое собственное число λ∗ = 15 и двумерная жорданова клетка; параболические нули z p = 3+k (k ∈ Z+ ), которым отвечают параболические собственные значения λp = (6 + 2k)2 − 1. В следующий момент t > 0 несущественно кратный нуль z e = 0 распадается на два мнимых нуля z e и z e = −z e , которым отвечает эллиптическое собственное значение λe < −1. Далее, с ростом t мнимые нули удаляются от начала координат и в пределе при t → +∞ уходят на ±i∞, чему соответствует уход λe на

452

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

−∞. При этом соответствующий негативный собственный вектор оттесняется на периферию пространства Πh−7/2,−3/2i и в пределе выталкивается из него. Существенно кратный нуль z ∗ = 1 распадается на два комплексно сопряженных гиперболических нуля z h и z h , которым отвечают гиперболические собственные значения λh = 4(z h )2−1 и λh = 4(z h )2−1, уходящие при t → +∞ на бесконечность. Соответствующие нейтральные собственные qq q q qq e p qqq qq qq qq q q q qq q q q qq qq qq qq qq q q q qq q q qq qq qq qq qq q q q q qq q qq qq qq qq qq qqq qqq qq q q qq qq qq qq qq qq q q q ∞ qqq qq qq qq ⇑ qqqqq qqq qqq qqq q q h h qqqq qq qq qq qqqqdqqqq aqrq c q q qrqq Aqqr¢qqq qr qq qq qqr qqq qqqqqqq 0qqqqqqqq b qqqq1 qqqq qq 3 q A ¢ 2 4 q q q q qqqqqqq q q e qqqrqqq p qqqq h h q q q q q ¢A qqq q q ⇓ qq hh qq qq ∞ qq q q qq ⇓ q q qq ∞ qq qq qq q q qq qq qq qq qq q q q q qq q q q qq qq σ = −3.5 qqqq q q q q q κ = −1.5 qqqq qq qq qq q q qp qp e qqq q qq qq 6tσ (x)

qq qqq q qq qq qqq qqq q qq qq qqq qqq qqq qq q e q qqqq qq qqqq q q q q q q qqqqqq qqqqqqaqqqqqrqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq - qq q y qq 0 qq qqq qqq qqq qqr qqrq qqr qqr qq 7 qq 8 x qq 6 qq 5 qqq qqq qqq qqq qq qq qq qq qqq qqq qqq qqq qq qq qq qq qqq qqq qqq qqq qq qq qq qq qqq qqq qqq qqq qq qq qq qq qqq qqq qqq qqq qq p qq p qq p qq p qq qq qq qq q q qq qq 6tσ (iy)

q qq

Рис. 4.3.1. r = 3 (−∞ < t < +∞), r = 1 (t = ±∞) вектора вытесняются на периферию пространства Πh−7/2,−3/2i и в пределе выталкиваются из него. Существенно кратный нуль z ∗ = 2 распадается на эллиптический нуль z e < 2 и параболический нуль z p > 2, смещающиеся с ростом t вдоль вещественной оси в противоположных направлениях и занимающие в пределе при t → +∞ положения z e = 3/2 и z p = 5/2 соответствен-

4.3.11. Оператор Якоби для полуцелых σ и κ

453

но. Отвечающие им собственные значения λe < 15 и λp > 15, удаляясь от λ∗ = 15, занимают в пределе значения λe = 8 и λp = 24. Параболические нули z p |t=0 = 3 + k с ростом t от 0 до +∞ смещаются в положительном направлении и при t = +∞ достигают соответственно значений z p = 7/2 + k (k ∈ Z+ ). Отвечающие им собственные значения λp |t=0 = (6 + 2k)2 − 1 растут с ростом t и в пределе достигают значений соответственно λp = (7 + 2k)2 − 1 (k ∈ Z+ ). Проследим теперь поведение спектра оператора Λhσ, µi с изменением t от 0 до −∞. В следующий после t = 0 момент t < 0 несущественно кратный нуль z e = 0 распадается на два вещественных нуля z e > 0 и −z e , которым отвечает эллиптическое собственное значение λe > −1. Существенно кратный нуль z ∗ = 1 распадается на параболический нуль z p < 1 и эллиптический нуль z e > 1, которым отвечают собственные значения λp < 3 и λe > 3. Первый эллиптический нуль z e > 0 и параболический нуль z p , двигаясь навстречу друг другу, в некоторый момент t∗ < 0 сталкиваются в точке z ∗ ∈ (0, 1) (точка b), в результате чего возникает двукратный параболический нуль, которому отвечает параболическое собственное число λ∗ = 0 и двумерная жорданова клетка. В следующий момент t < t∗ двукратный параболический нуль z ∗ распадается на комплексно сопряженные гиперболические нули z h и z h , которые в пределе при t → −∞ уходят на бесконечность. Им отвечают уходящие на бесконечность гиперболические собственные значения λh и λh . Соответствующие нейтральные собственные вектора вытесняются на периферию пространства Πh−7/2,−3/2i и в пределе выталкиваются из него. Второй эллиптический нуль z e > 1 с убыванием t смещается в положительном направлении вещественной оси и в пределе при t → −∞ достигает значения z e = 3/2. Соответствующее собственное значение λe достигает значения λe = 8. Существенно кратный нуль λ∗ |t=0 = 2 в следующий после t = 0 момент t < 0 распадается на пару гиперболических нулей z h и z h , которые в пределе при t → −∞ уходят на бесконечность. Отвечающие соответствующим соб-

454

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

ственным значениям λh = 4(z h )2 − 1 и λh нейтральные собственные вектора в пределе при t → −∞ выталкиваются из пространства Πh−7/2,−3/2i . Параболические нули z p |t=0 = 3 + k с убыванием t от 0 до −∞ смещаются в отрицательном направлении и при t = −∞ достигают соответственно значений z p = 5/2 + k (k ∈ Z+ ). Отвечающие им собственные значения λp |t=0 = (6 + 2k)2 − 1 уменьшаются с убыванием t и в пределе достигают значений соответственно λp = (5 + 2k)2 − 1 (k ∈ Z+ ). Ранг индефинитности пространства Πh−7/2, −3/2i , в котором действует оператор Λh−7/2, −3/2i , для всех t ∈ (−∞, +∞) равен r = 3. В пределе при t → ±∞ это пространство превращается в пространство Πh7/2, −3/2i ранга индефинитности r = 1 в результате того, что конечномерное невырожденное подпространство ранга индефинитности r0 = 2 (трехмерное при t → → +∞ и четырехмерное при t → −∞) выталкивается из пространства. Таким образом, в пределе при t → ±∞ оператор Λh−7/2, −3/2i превращается в оператор Λh7/2, −3/2i . 2. Пусть σ = −5/2, κ = −3/2, то есть n = 2, m = 1. На рис. 4.3.2 приведены соответствующие графики функции tσ (z) на вещественной и мнимой осях tσ (x) = (x2 − 9/4)(x2 − 1/4) x ctg πx , tσ (iy) = (y 2 + 9/4)(y 2 + 1/4) y cth πy . При t = 0 имеем: существенно кратный (параболический) нуль z ∗ = 1/2 (точка b), которому отвечает параболическое собственное число λ∗ = 0 и двумерная жорданова клетка; существенно кратный (параболический) нуль z ∗ = 3/2 (точка c), которому отвечает параболическое собственное число λ∗ = 8 и двумерная жорданова клетка; параболические нули z p = 5/2 + k (k ∈ Z+ ), которым отвечают параболические собственные значения λp = (5 + 2k)2 − 1. В следующий момент t > 0 существенно кратный нуль ∗ z = 1/2 распадется на эллиптический нуль z e > 1/2 и параболический нуль z p < 1/2, смещающиеся с ростом t вдоль вещественной оси в противоположных направлениях. В некоторый

4.3.11. Оператор Якоби для полуцелых σ и κ

455

момент t0 > 0 параболический нуль z p сталкивается с движущимся навстречу зеркальным отображением −z p , в результате чего возникает несущественно кратный нуль z p = 0 (точка a). qq qq qq qq qq qq q qq qq qq qq qq qq 6tσ (x) qq qq qq q q qq q qq qq q q qq qq qq qqq q 6tσ (iy) qq qq qq qqq q qqq q qq q q qq qq qq qqqq qq qq qq e qqq qqqq qq q q q q q q qq qq qq qqqq p qq qq qq qq qqqq qq qq q q q q q qqq q qq qq qq qq qqqqqq qq qq q qqq qq qqqqqqaqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq q r q qqq ∞ qqq qq qq rq qq qq qqq qq qq q y ⇑ q 0 q q q q q q q q qqq qqq qq qq qq qq qq hh q q q q q qqq aqqqrqqqqp qqq q q q qqqqrqqqqqqq r qqqqqqbqrqqqq r cAqqqr¢qqq r qqqrq r qqqrq r qqqrq r qqqrq r qqqrq r qqqrq r q q q qqq q qqq qq q q 0 ¢A 1qq qqq 2 qq 3 qqq 4 qqqq 5 qqqqq 6 qqqqq 7 qqqqq 8 q q q q q q qq q q qq q qqq q q h h qq qqq q qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq ⇓ q qq qq qq qq qq qq qq qq q q ∞ qqq qq q qq q q q q q q q q q qq q q qq q q q q q qq q q q qq q q qq q q q qq qq qq qq qq qq qq q q qq q q qq q q qq qqq q q q q q q q qq q q qq q q q q q qq q q q qq q q qq q q q qq qq qq qq qq qq qq q q qq q q qq q q qq qqq q q q q q q q qq q q qq q σ = −2.5 q q q q q q q q qq q q qq q q q qq qq qq qq qq qq qq qq q q q κ = −1.5 q q q q q q qq qq q q qq q q qq q q q q qq q q q q q q q qqp q q q qq p p qqq p p p q qq e p qqq qq qq qq qq qq q q q q q

qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq rqq qq qq x qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq p qq q

Рис. 4.3.2. r = 2 (−∞ < t < +∞), r = 1 (t = ±∞) В следующий момент t > t0 этот нуль распадается на два мнимых нуля z p и z p = −z p , которые с ростом t удаляются от точки z = 0 в противоположных направлениях вдоль мнимой оси и в пределе при t → +∞ уходят на ±i∞. Эллиптический нуль z e с ростом t в пределах (0, +∞) смещается в положительном направлении вещественной оси и в пределе при t → +∞ достигает значения z e = 1. Описанному движению нулей отвечает распад параболического собственного значения λ∗ = 0 с алгебраической кратностью k = 2 на эллиптическое собственное значение λe > 0 и параболическое собственное значение

456

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

λp < 0, движущиеся с ростом t в противоположных направлениях вещественной оси. При этом параболическое собственное значение λp в момент t = t0 > 0 проходит точку λ = −1 и далее с ростом t продолжает движение в отрицательном направлении и в пределе при t → +∞ уходит на −∞. Соответствующий позитивный собственный вектор с ростом t вытесняется на периферию пространства Πh−5/2,−3,2i и в пределе выталкивается из него. Второй существенно кратный нуль z ∗ = 3/2 в момент t = +0 распадается на два гиперболических нуля z h и z h , которые в пределе при t → +∞ уходят на бесконечность. Этому соответствует распад параболического собственного значения λ∗ = 8 алгебраической кратности k = 2 на гиперболические собственные значения λh = 4(z h )2 − 1 и λh , уходящие при t → +∞ на бесконечность. При этом отвечающие им нейтральные собственные вектора с ростом t оттесняются на периферию Πh−5/2,−3/2i и в пределе при t → +∞ выталкиваются из него. Параболические нули z p |t=0 = 5/2 + k с ростом t от 0 до +∞ смещаются в отрицательном направлении и при t = +∞ достигают соответственно значений z p = 2 + k (k ∈ Z+ ). Отвечающие им собственные значения λp |t=0 = (5 + 2k)2 − 1 убывают с ростом t и в пределе достигают значений соответственно λp = (4 + 2k)2 − 1 (k ∈ Z+ ). Проследим поведение спектра оператора Λh−5/2,−3/2i с изменением t от 0 до −∞. В момент t = −0 существенно кратный нуль z ∗ |t=0 = 1/2 (точка b) распадается на пару гиперболических нулей z h и z h , которые в пределе при t → −∞ уходят на бесконечность. Отвечающие соответствующим собственным значениям λh = 4(z h )2 − 1 и λh нейтральные собственные вектора в пределе при t → −∞ выталкиваются из пространства Πh−5/2,−3/2i . Существенно кратный нуль z ∗ = 3/2 в момент t = −0 распадается на эллиптический нуль z e < 3/2 и параболический нуль z p > 3/2, движущиеся с убыванием t в противоположных направлениях вдоль вещественной оси и в пределе при t → −∞ достигающие соответственно значений z e = 1 и z p = 2. Соответствующие собственные значения λe и λp

4.3.11. Оператор Якоби для полуцелых σ и κ

457

после распада параболического нуля λ∗ = 8 достигают в пределе при t → −∞ значений λe = 3 и λp = 15. Параболические нули z p |t=0 = 5/2 + k с убыванием t от 0 до −∞ смещаются в положительном направлении и при t = −∞ достигают соответственно значений z p = 3+k (k ∈ Z+ ). Отвечающие им собственные значения λp |t=0 = (5 + 2k)2 − 1 возрастают с убыванием t и в пределе достигают соответственно значений λp = (6 + 2k)2 − 1 (k ∈ Z+ ). Ранг индефинитности пространства Πh−5/2, −3/2i , в котором действует оператор Πh−5/2, −3/2i , для всех t ∈ (−∞, +∞) равен r = 2. В пределе при t → ±∞ пространство Πh−5/2, −3/2i , натянутое на собственные и присоединенные вектора оператора Πh−5/2, −3/2i , превращается в пространство Πh5/2, −3/2i ранга индефинитности r = 1 в результате того, что конечномерное невырожденное подпространство ранга индефинитности r0 = 1 (трехмерное при t → +∞ и двумерное при t → −∞) выталкивается из Πh−5/2, −3/2i . Таким образом, в пределе при t → ±∞ оператор Λh−5/2, −3/2i превращается в оператор Λh5/2, −3/2i . 3. Пусть σ = −5/2, κ = −5/2, то есть n = 2, m = 2. На рис. 4.3.3 приведены соответствующие графики функции tσ (z) на вещественной и мнимой осях tσ (x) = −(x2 − 4)(x2 − 1) x tg πx , tσ (x) = (y 2 + 4)(y 2 + 1) y th πy . При t = 0 имеем: несущественно кратный (параболический) нуль z p = 0 (точка a), которому отвечает параболическое собственное значение λp = −1; существенно кратный (параболический) нуль z ∗ = 1 (точка b), которому отвечает параболическое собственное число λ∗ = 3 и двумерная жорданова клетка; существенно кратный (параболический) нуль z ∗ = 2 (точка c), которому отвечает параболическое собственное число λ∗ = 15 и двумерная жорданова клетка; параболические нули z p = 3 + k (k ∈ Z+ ), которым отвечают параболические собственные значения λp = (6 + 2k)2 − 1 (k ∈ Z+ ).

458

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

В следующий момент t > 0 несущественно кратный нуль z p = 0 распадается на два мнимых нуля z p и z p = −z p , которым отвечает параболическое собственное значение λp < −1. Далее, с ростом t мнимые нули удаляются от начала координат и в пределе при t → +∞ уходят на ±i∞, чему соответствует уход λp на −∞. При этом соответствующий собственный вектор оттесняется на периферию пространства Πh−5/2,−5/2i и в пределе выталкивается из него. q qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq q

qq qq qq 6tσ (x) qq qq qq qq q qq q qq qq p e q qq qq q qq q qq q qq qq q qq qq q qq qq q qq q qq q qq qq q qq qq q qq qq q qqq q qq q qq qqq q qq ∞ q qqq qq q q qq qqq ⇑ qqq qq qqq hh qqq qq qqq qqqbqqq aqrqq c qrqq A qr qqq qqrq¢qqqqq qq qqq qqq3 ¢A1 qq 2 qqq qq qqq0 qqq q qq qqq q q hh q qqq qqq q qq qqq qq ⇓ qq qq qq qq q qq qq ∞ q qq qq q qq qq q qq q q q qq qq q q qq qq qq qq q qq qq qq qq q q q q qq qq qq q qq qq q q q qq qq qq q qq qq qq qqq q q q q qq qq qq σ qqq = −2.5 qq qq q qq q qq qq qq qqq κ qqqq = −2.5 qqq q qq q q q q qq qq qq q p e p p q qq qq qq q q

qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qrq qq qq4 qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qqp q

qq qq

qq qq

qq qq

qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq q y qqqq qq qq qq qq qq qq qrq qrq qq qq qq 8 x qq 7 qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq p qq p qq qq q

qqqq qqqq 6tσ (iy) q q q qq qqqq pqqqqqqqq qqq qqqq q q q qqqq qqqqq q q q q q qqqqqqaqqqqqrqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq -

0

qq qq qq rqq qq qq 5 qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq p qq q

qq qq qq qrq qq qq 6 qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq p qq q

Рис. 4.3.3. r = 2 (−∞ < t < +∞), r = 1 (t = ±∞) Существенно кратный нуль z ∗ = 1 в момент t = +0 распадется на эллиптический нуль z e > 1 и параболический нуль z p < 1, смещающиеся с ростом t вдоль вещественной оси в противоположных направлениях и занимающие в пределе при t → +∞ положения z e = 1/2 и z p = 3/2 соответственно. Отве-

4.3.11. Оператор Якоби для полуцелых σ и κ

459

чающие им собственные значения λe > 3 и λp < 3, удаляясь от λ∗ = 3, принимают в пределе значения λe = 8 и λp = 0. Второй существенно кратный нуль z ∗ = 2 в момент t = +0 распадается на два гиперболических нуля z h и z h , которые в пределе при t → +∞ уходят на бесконечность. Этому соответствует распад параболического собственного значения λ∗ = 15 алгебраической кратности k = 2 на гиперболические собственные значения λh = 4(z h )2 − 1 и λh , уходящие при t → +∞ на бесконечность. При этом отвечающие им нейтральные собственные вектора с ростом t оттесняются на периферию Πh−5/2,−5/2i и в пределе при t → +∞ выталкиваются из него. Параболические нули z p |t=0 = 3 + k с ростом t от 0 до +∞ смещаются в отрицательном направлении и при t = +∞ достигают соответственно значений z p = 5/2 + k (k ∈ Z+ ). Отвечающие им собственные значения λp |t=0 = (6 + 2k)2 − 1 убывают с ростом t и в пределе достигают значений соответственно λp = (5 + 2k)2 − 1 (k ∈ Z+ ). Проследим поведение спектра оператора Λh−5/2,−5/2i с изменением t от 0 до −∞. В следующий после t = 0 момент t < 0 несущественно кратный нуль z p = 0 распадается на два нуля z p и −z p , удаляющиеся с уменьшением t друг от друга и занимающие в пределе при t → −∞ положения z p = 1/2 и −z p = −1/2. Этому отвечает прохождение в момент t = 0 параболического собственного значения λp через точку λ = −1 при убывании t и достижение им значения λp = 0 в пределе при t → −∞. Существенно кратный нуль z ∗ = 1 в момент t = −0 распадается на два гиперболических нуля z h и z h , которые в пределе при t → −∞ уходят на бесконечность. Этому соответствует распад параболического собственного значения λ∗ = 3 алгебраической кратности k = 2 на гиперболические собственные значения λh = 4(z h )2 − 1 и λh , уходящие при t → −∞ на бесконечность. При этом отвечающие им нейтральные собственные вектора с ростом t оттесняются на периферию Πh−5/2,−5/2i и в пределе при t → −∞ выталкиваются из него. Существенно кратный нуль z ∗ = 2 в момент t = −0 распадается на эллиптический нуль z e < 2 и параболический нуль z p > 2, движу-

460

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

щиеся с убыванием t в противоположных направлениях вдоль вещественной оси и в пределе при t → −∞ достигающие соответственно значений z e = 3/2 и zp = 5/2. Соответствующие собственные значения λe и λp после распада параболического нуля λ∗ = 15 достигают в пределе при t → −∞ значений λe = 5 и λp = 24. Параболические нули z p |t=0 = 3 + k (k ∈ Z+ ) с убыванием t от 0 до −∞ смещаются в положительном направлении и при t = −∞ достигают соответственно значений z p = 7/2 + k (k ∈ Z+ ). Отвечающие им собственные значения λp |t=0 = (6 + 2k)2 − 1 растут с убыванием t и в пределе при t → −∞ достигают значений соответственно λp = (7 + 2k)2 − 1 (k ∈ Z+ ). Ранг индефинитности пространства Πh−5/2, −5/2i , в котором действует оператор Λh−5/2, −5/2i , для всех t ∈ (−∞, +∞) равен r = 2. В пределе при t → ±∞ пространство Πh−5/2, −5/2i , натянутое на собственные и присоединенные вектора оператора Λh−5/2, −5/2i , превращается в пространство Πh5/2, −3/2i ранга индефинитности r = 1 в результате того, что конечномерное невырожденное подпространство ранга индефинитности r0 = 1 (трехмерное при t → +∞ и двумерное при t → −∞) выталкивается из Πh−5/2, −5/2i . Таким образом, в пределе при t → ±∞ оператор Λh−5/2, −5/2i превращается в оператор Λh5/2, −5/2i . 4. Пусть σ = −3/2, κ = −7/2, то есть n = 1, m = 3. На рис. 4.3.4 приведены соответствующие графики функции tσ (z) на вещественной и мнимой осях tσ (x) = (x2 − 1/4)−1 (x2 − 4)(x2 − 1) x tg πx , tσ (iy) = (y 2 + 1/4)−1 (y 2 + 4)(y 2 + 1) y th πy . Этот случай отличается от рассмотренного в пункте 1 заменой σ ↔ κ. При t = 0 также имеем: несущественно кратный (эллиптический) нуль z e = 0 (точка a), которому отвечает эллиптическое собственное значение λe = −1; существенно кратный (параболический) нуль z ∗ = 1 (точка b), которому отвечает

461

4.3.11. Оператор Якоби для полуцелых σ и κ

параболическое собственное число λ∗ = 3 и двумерная жорданова клетка; существенно кратный (параболический) нуль z ∗ = 2 (точка c), которому отвечает параболическое собственное число λ∗ = 15 и двумерная жорданова клетка; параболические нули z p = 3 + k (k ∈ Z+ ), которым отвечают параболические собственные значения λp = (6 + 2k)2 − 1 (k ∈ Z+ ). qq q q qq qq qq qq qq qq q q q qq qq e p qq qq qq qq q q q q q q qq q q q qq qq qq qq qq q q q q σ = −1.5 qq q q q q qq qq qq κ = −3.5 qqqq q q q qq q q q qq qq qq qq qq q q q (1/2, ∞) qq q qq qq qq ⇑ qqqqq qqq qqq qqq h h qqq qq qq qq qqq c q q q a rq 1/2 r bAqr¢qq q q q q q qqrqq qr qr qq qqq qq qqq qq 3 qq 4 ¢A 2 qqq qqqq 0 qqq qq1 q q q qq qq q qqq q qqqq h h ⇓ qqq qqq qqq qqqq qqq qqqq ∞ qq q q qq qq qqq qq qq qq qq qqq qqqq qqq q q qq q q qq q qqq q qq qq qq qqq qqq qqqq q q qq q qq q q qq qq qq qq q q q qqq qqq qqqq qq qq q q qqq qq qq qq qqq qqq qq qqq qqq qqqq qq q q qq q qq p qq p qq qqq e qq p e qqq qq qq 6tσ (x)

qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq

qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq y qq qq qqq r qq qqq 8 x qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qq p

q qq q q qqq qqq qq qqq qqq q q q qqqq qqqq e q q q qqqq qqqqq q q q q q q q qqqqqa qqqqqqrqqqqqqqqqqqqq q q qq qq 6tσ (iy)

qq qqrq qq 5 qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq q qq p

0

qq qqrq qq 6 qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq q qq p

qq qqrq qq 7 qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq q qq p

Рис. 4.3.4. r = 3 (−∞ < t < +∞), r = 2 (t = ±∞) В следующий момент t > 0 несущественно кратный нуль z e = 0 распадается на два мнимых нуля z e и z e = −z e , которым отвечает эллиптическое собственное значение λe < −1. Далее, с ростом t мнимые нули удаляются от начала координат и в пределе при t → +∞ уходят на ±i∞, чему соответствует уход λe на −∞. При этом соответствующий собственный вектор оттесняется на периферию пространства Πh−3/2,−7/2i и в пределе

462

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

выталкивается из него. Существенно кратный нуль z ∗ = 1 в момент t = +0 распадается на два комплексно сопряженных гиперболических нуля z h и z h , которым отвечают гиперболические собственные значения λh = 4(z h )2 − 1 и λh = 4(z h )2 − 1. С ростом t первоначально удалившись от вещественной оси, нули z h и z h (соответственно, собственные значения λh и λh ) затем вновь приближаются к ней и в пределе при t → +∞ сталкиваются в точке z = 1/2 (соответственно, λ = 0) вещественной оси, в результате чего возникает двукратный параболический нуль z ∗ = 1/2 (соответственно, параболическое собственное значение λ∗ = 0 с алгебраической кратностью k = 2), которому отвечает двумерная жорданова клетка. Второй существенно кратный нуль z ∗ = 2 в момент t = +0 распадается на эллиптический нуль z e < 2 и параболический нуль z p > 2, которым отвечают соответственно эллиптическое собственное значение λe < 15 и параболическое собственное значение λp > 15. С ростом t эллиптический нуль z e (вместе с ним и эллиптическое собственное значение λe ) движется в отрицательном направлении вещественной оси, а параболический нуль z p (вместе с ним и параболическое собственное значение λp ) движется в положительном направлении вещественной оси. В пределе при t → +∞ они достигают значений соответственно z e = 3/2 (λe = 8) и z p = 5/2 (λp = 24). Параболические нули z p |t=0 = 3 + k (k ∈ Z+ ) с ростом t от 0 до +∞ смещаются в положительном направлении и при t = +∞ достигают соответственно значений z p = 7/2 + k (k ∈ Z+ ). Отвечающие им собственные значения λp |t=0 = (6 + 2k)2 − 1 растут с ростом t и в пределе достигают значений соответственно λp = (7 + 2k)2 − 1 (k ∈ Z+ ). Проследим поведение спектра оператора Λh−3/2, −7/2i с изменением t от 0 до −∞. В момент t = −0 несущественно кратный нуль z e = 0 (точка a) распадается на два вещественных нуля z e > 0 и −z e , которым отвечает эллиптическое собственное значение λe > −1. Существенно кратный нуль z ∗ = 1 (точка b) распадается на параболический нуль z p < 1 и эллиптический

4.3.11. Оператор Якоби для полуцелых σ и κ

463

нуль z e > 1, которым отвечают собственные значения λp < 3 и λe > 3. Первый эллиптический нуль z e > 0 и параболический нуль z p < 1, двигаясь по мере убывания t навстречу друг другу, в пределе при t → −∞ сталкиваются в точке z ∗ = 1/2, в результате чего возникает двукратный параболический нуль, которому отвечает параболическое собственное число λ∗ = 0 и двумерная жорданова клетка. Второй эллиптический нуль z e > 1 с убыванием t смещается в положительном направлении вещественной оси и в пределе при t → −∞ достигает значения z e = 3/2. Отвечающее ему собственное значение λe по мере убывания t возрастает и в пределе принимает значение λe = 8. Второй существенно кратный нуль z ∗ = 2 (точка c) в момент t = −0 распадается на гиперболические нули z h и z h , которые в пределе при t → −∞ уходят на бесконечность. Соответствующее параболическое собственное значение λ∗ = 15 алгебраической кратности k = 2 распадается на гиперболические собственные значения λh = 4(z h )2 − 1 и λh , уходящие в пределе при t → −∞ на бесконечность, а отвечающие им нейтральные собственные вектора вытесняются на периферию пространства Πh−3/2,−7/2i и в пределе выталкиваются из него. Параболические нули z p |t=0 = 3 + k (k ∈ Z+ ) с убыванием t от 0 до −∞ смещаются в отрицательном направлении и при t = −∞ достигают соответственно значений z p = 5/2 + k (k ∈ Z+ ). Отвечающие им собственные значения λp |t=0 = (6 + 2k)2 − 1 уменьшаются с убыванием t и в пределе достигают значений соответственно λp = (5 + 2k)2 − 1 (k ∈ Z+ ). Ранг индефинитности пространства Πh−3/2, −7/2i , в котором действует оператор Λh−3/2, −7/2i , для всех t ∈ (−∞, +∞) равен r = 3. В пределе при t → ±∞ пространство Πh−3/2, −7/2i , натянутое на собственные и присоединенные вектора оператора Λh−3/2, −7/2i , превращается в пространство Πh3/2, −7/2i ранга индефинитности r = 2 в результате того, что конечномерное невырожденное подпространство ранга индефинитности r0 = 1 (одномерное при t → +∞ и двумерное при t → −∞) выталкивается из Πh−3/2, −7/2i . При этом оператор Λh−3/2, −7/2i в пределе

464

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

при t → ±∞ превращается в оператор Λh3/2, −7/2i . 5. Пусть σ = −3/2, κ = −5/2, то есть n = 1, m = 2. На рис. 4.3.5 приведены соответствующие графики функции tσ (z) на вещественной и мнимой осях tσ (x) = −x−1 (x2 − 9/4)(x2 − 1/4) ctg πx , tσ (iy) = y −1 (y 2 + 9/4)(y 2 + 1/4) cth πy . q qq qq 6tσ (x) qqqq qqq qqq qq qq qq e p qq qq qq qqq qqq qq q q q σ = −1.5 qqqq qq qq qq q q κ = −2.5 qqq q q qq qq qq qq q q q q q a, a0 a, a0 qqqqq qq qq q q q q ⇑ ⇑ qqqq qq qq q q q q hh h h qq q qq q qq 0 Aqqqq¢rqqq b r b Aqqrq¢qqq r qqqcqqrqqqq r qrq qq qqq 0 qqq qqqq 1 ¢A 2 qqq qq qqq q qqq qqqq qqq h h qq q qq qq ⇓ qqq q q qq q qq qq qq q qq qq ∞ q qq qq qqq q q qq qq qq q qq q qq q qq qq qq q qqq q q qq qq q qq qq qq q qq qq q qq q qqq q qq qq q qq qq q q qq qq qq qq q q qqq q qq q qq qq q q qq qq qq q qqq p qq qq p e qqqq qqq q q q q q

qq qq qqq qqq qq qq qqq qqq qq qq qqq qqq qq qq qqq qqq qq qq qqq qqq q q qq qq q q r qr r qr 3 qqq 4 qqq qq qq qqq qqq qq qq qqq qqq qq qq qqq qqq qq qq qqq qqq qq qq qqq p qqqp q q

qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq y qqq q q qq qq q q r qr r qr 7 qqq 8 qqq x qq qq qqq qqq qq qq qqq qqq qq qq qqq qqq qq qq qqq qqq qq qq qqq p qqq p q q

q q qq qq qq qqq qqq q q q qqq 6qqqq tσ (iy) qqq qqqqq qqqqq qqqq q q q qq qq qqqq qqq qqq p qqqqq e q q q qqqq qqqqq q qqqqqq qqq qqqqqqqq qqq qqqqqa qqrqqqqqqqqqqqqqqqq 0 r h¢ A h ⇒ b, b -

0

q qq q r qr 5 qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqqp q

q qq q r qr 6 qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq p q

Рис. 4.3.5. r = 2 (−∞ < t < +∞), r = 1 (t = ±∞) В отличие от предыдущего случая, ввиду того, что сумма n+m = 3 — нечетна, на мнимой оси при некотором t∗ > 0 функция tσ (z) − t имеет двукратный существенно кратный нуль, отвечающий минимуму функции tσ (iy). Таким образом, картина поведения нулей z (с 0) функции tσ (z) − t следующая.

4.3.11. Оператор Якоби для полуцелых σ и κ

465

С ростом t от −∞ до +∞ параболические нули z p движутся из положений z = k + 2 (k ∈ Z+ ) при t = −∞ в положительном направлении вещественной оси, при t = 0 проходят положения z = k + 5/2 (k ∈ Z+ ) и при t = +∞ достигают значений z = k + 3 (k ∈ Z+ ). Возникшие из бесконечности при t = −∞ два комплексно сопряженных гиперболических нуля, приблизившись к вещественной оси, в момент t = 0 сталкиваются в точке z ∗ = 3/2 (точка c), в результате чего возникает двукратный параболический нуль и двумерная жорданова клетка оператора Λh−3/2,−5/2i , и в следующий момент t > 0 нуль z ∗ = 3/2 распадается на эллиптический нуль z e < 3/2 и параболический нуль z p > 3/2, которые в пределе при t → +∞ достигают значений z e = 1 и z p = 2 соответственно. Далее, параболический и эллиптический нули из положений при t = −∞ соответственно z p = 0 и z e = 1 движутся навстречу друг другу и в момент t = 0 сталкиваются в точке z ∗ = 1/2 (точка b), в результате чего возникает двукратный параболический нуль и двумерная жорданова клетка оператора Λh−3/2,−5/2i , и в следующий момент t > 0 нуль z ∗ = 1/2 распадается на два комплексно сопряженных гиперболических нуля z h и z h , которые, приблизившись к мнимой оси, в некоторый момент t∗ > 0 сталкиваются со своими симметричными относительно мнимой оси партнерами −z h и −z h , в результате чего возникают двукратные параболические нули z ∗ (−iz ∗ > 0) и z ∗ = −z ∗ (точки a и a0 ), которым отвечает двумерная жорданова клетка оператора Λh−3/2,−5/2i , соответствующая собственному числу λ∗ = −4|z ∗ |2 − 1. В следующий момент t > t∗ мнимый нуль z ∗ распадается на мнимые параболический z p (−iz p < −iz ∗ ) и эллиптический z e (−iz p > −iz ∗ ) нули. Параболический нуль z p движется к началу координат и в пределе при t → +∞ сталкивается с комплексно сопряженным двойником −z p , в результате чего возникает несущественно кратный нуль z = 0 (оператора Λh3/2,−5/2i ), а эллиптический нуль z e удаляется от начала координат и в пределе при t → +∞ уходит на +i∞. В результате линеал, натянутый на собственный элемент, отвеча-

466

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

ющий собственному значению λe = −4|z e |2 − 1, в пределе при t → +∞ выталкивается из пространства Πh−3/2,−5/2i (r = 2), которое становится пространством Πh3/2,−5/2i (r = 1). Отметим, что на рис. 5.4.2 (A, B, C и D) представлены траектории нулей функции tσ (z) − t при изменении t в интервале (−∞, ∞), отвечающие рис. 4.3.1, 4.3.3, 4.3.5 и 4.3.4.

4.3.12. Эволюция нулей в случае двух критических точек В § 4.3.11 на конкретных примерах рассматривалась эволюция нулей (собственных чисел) для полуцелых значений параметров σ и κ. Теперь на аналогичных примерах рассмотрим особенности поведения нулей для других значений параметров, в частности, для значений σ, близких к целым отрицательным числам. Как будет показано ниже, в окрестности графи[n] ков функций tσ (x) отмечается характерное поведение функций tσ (x), ответственное за цепочки рождения и уничтожения пар гиперболических нулей функции tσ (z) − t при изменении [n] параметра t. Функции tσ (x) имеют при x → ∞ асимптотику x2n . Поэтому, чтобы проследить отмеченное характерное поведение функций tσ (x) на одном рисунке, приходится произвести [n] деформацию графика (после которой функции tσ (x) имеют линейную визуальную асимптотику). В результате приведенные ниже графики (как, впрочем, и ранее приведенные) имеют в некоторых отношениях лишь качественное соответствие реальному поведению отвечающих им функций. 1. На рис. 4.3.6 и 4.3.7 приведены графики функций tσ (z) на вещественной и мнимой осях и ξσ (x) для σ = −n − τ (n = 3, 0 < τ ¿ 1), κ = −3/2. Заметно, как графики соответствующих функций в целом приближаются для малых τ > 0 к графикам [3] [3] функций tσ (x) и ξσ (x) (см. (4.3.53) и (4.3.54) для σ = −3, κ = −3/2, q0 = 7/4) 2 2 2 t[3] σ (x) = −(x − 1/16)(x − 9/16)(x − 49/16) ,

467

4.3.12. Эволюция нулей в случае двух критических точек

µ

ξσ[3] (x)

1 1 1 =x 2 + 2 + 2 x − 1/16 x − 9/16 x − 49/16

¶

тем в большей мере, чем они менее удалены от оси Oy и чем меньше τ > 0. С убыванием τ > 0, все большее число ∩образных ветвей функции ξσ (x), пересекает ось Ox, и следовательно, все большее число ветвей функции tσ (x), стремясь [n] повторить линию tσ (x), приобретают пару экстремумов, аналогичных отмеченным на рис. 4.3.6 точкам t и u, и отвечающих кратным нулям функции tσ (z) − t. ∞q q q q q q q q q qq qq qq qq qq qq 6tσ (x)⇑ qqqq U0 qqq h h qqqe p qq qqq p qqq p qqq qqq p qqq qqq q q q q q q Apqpqr¢pqpppp p p pqq qq qq qq pqpq pqpqpcq qqqq p pqpqpqpqpqp 2 qqq qq qq qq q a p q p q q e q q q q pqpqp pqqpqpqqp qppqrrpppqpqpqqpqpqpq pqpq r qq pqpqpq r q r qq r qq r qq r qq r qq r qq pqpqqpqpqprqp qpqpqpq qq qpqpqpqpqpqqp qpqpq pqppqq qq q qq q q q q q p d p q q q q q p q q q 0 ¢A b 1 qqq 3q 4q 5q 6q 7q 8 qqq x pqpqpqrqq ppp q q q q q qq q q q q h h qqq ⇒ ¢wApppppd ⇐ qq qq tσ (iy) qq qq q ppp q qq 6 ⇓ q q q q qq q q q Aqqqr¢qpqpqpqpqp qq ∞ qq qqq qq qw qpqpqpqpqpq v qqq qq q q q q q q q qq pqq q qq qqq qq e pppqpqpqprqq qq qq qq qqq e q ¢Appppp q q qqq qqq qq q qq ⇒ pupppp qqqq q qq qq qqqqq vpppp ⇐ qqq q q q q q q qqq qq q q q q p q qqqqqa qqqqqqqrrqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq Aqqr¢qpqpqpqpq t qqq qq qq qq qqq y qqqueppqpqpqprqppqq qq q 0 qq qq q ¢Appppp qq qq q q q q q p ⇒ s p q q q q q q qqL pppp q q q q qqq qq p ptp p ⇐ qq qq qq qq qq qq p p p p qqq qq q q q q q q q σ ≈ −3.14 qqq qq N qqAqqqpr¢qpqpqqp qq qq qq q qq 1 p p p p [3] qq ¢Ap s q q q qq qqq κ = −1.50 qqqq q q q q q q q N2 q h h p p p p p tσ (x) qq q q qq q qq qq qq qq ⇓ p p p p. qqq p qq q q p q q q q p p p p qqq q q q ∞ qq q q qqq qq qq qq qq qqqpqpqpqpqp p p qq N3 qq q qq q q q q q qq q qp q p ppppp qq e p qqq p qqq ppp qqq p qq p q qq qq

Рис. 4.3.6 Проследим за эволюцией нулей этой функции при изменении t = tα от −∞ до +∞. В предельном случае t = −∞ нулям функции tσ (z) − t отвечают полюса функции tσ (z) : zk = k − q1 (k ∈ Z+ ), соотношением λk = 4z 2 − 1 отвечаю-

468

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

щие собственным значениям оператора Λh−σ, κi , действующего в пространстве Πh−σ, κi . При этом z0 отвечает эллиптическому собственному значению λe0 , а остальные zk (k ∈ N) отвечают параболическим собственным значениям λpk (k ∈ N). Как только t становится конечным, из бесконечности приходят две пары комплексно сопряженных нулей, отвечающих гиперболическому спектру теперь уже оператора Λhσ, κi , действующего в пространстве Πhσ, κi . С дальнейшим ростом t одна пара комплексно сопряженных гиперболических нулей {z h , z h } приближается к вещественной оси в точке, отвечающей самому правому кратному нулю z ∗ . (a) В том случае, если нуль z ∗ трехкратный (τ = τk и соответствующая ∩-образная ветвь графика функции ξσ (x) касается оси Ox), то эти нули подходят к вещественной оси под углами ±π/3 и в момент t = t∗k < 0 в точке z ∗ (точка s), отвечающей перегибу с горизонтальной касательной ветви Nk (точки s и s0 , аналогичные точкам t и u, совпадают), сталкиваются с параболическим нулем z p , занимавшим при t = −∞ положение zk = k − q1 , чему отвечает параболическое собственное число λ∗ = 4z ∗2 − 1 алгебраической кратности k = 3 и соответствующая трехмерная невырожденная жорданова клетка. В следующий момент t > t∗k параболический нуль z ∗ распадается на параболический нуль z p > z ∗ и пару комплексно сопряженных гиперболических нулей {z h , z h }, уходящих с вещественной оси под углами ±2π/3. При этом нуль z p с ростом t, смещаясь вправо, в пределе при t → +∞ достигает значения zk+1 = k − q1 + 1, а нули {z h , z h }, первоначально удалившись от вещественной (−)∗ оси, затем вновь приближаются к ней и в момент t = tk−1 > t∗k сталкиваются под углами ±π/2 к ней в точке z ∗ вещественной оси, отвечающей минимуму ближайшей слева ветви Nk−1 графика функции tσ (x) (точка t), в результате чего возникает двукратный параболический нуль, которому отвечает параболическое собственное число λ∗ = 4z ∗2 − 1 алгебраической кратности k = 2 и соответствующая невырожденная двумерная жордано-

4.3.12. Эволюция нулей в случае двух критических точек

469

ва клетка. (б) В том случае, если нуль z ∗ двукратный τk < τ < τk+1 и соответствующая ∩-образная ветвь графика функции ξσ (x) пересекает ось Ox (точки s и s0 разделены, как точки u и t), то отмеченные выше гиперболические нули подходят к веществен(−)∗ ной оси под углами ±π/2 и сталкиваются в момент t = tk < 0 в точке z ∗ , отвечающей локальному минимуму ветви Nk (точка s0 ) функции tσ (z), т. е. двукратному параболическому нулю (и невырожденной двумерной жордановой клетке). В следующий (−)∗ момент t > tk параболический нуль z ∗ распадается на параболический нуль z p , движущийся вправо вдоль вещественной оси и достигающий в пределе при t → +∞ значения zk+1 = k−q1+1, и эллиптический нуль z e , смещающийся влево вдоль веществен(+)∗ (−)∗ ной оси и в момент t = tk > tk сталкивается с движущимся навстречу из положения zk = k − q1 при t = −∞ параболическим нулем z p , в результате чего возникает двукратный параболический нуль z ∗ , отвечающий локальному максимуму ветви Nk (точка s). Нулю z ∗ соответствует параболическое собственное число λ∗ = 4z ∗2 − 1 алгебраической кратности k = 2 и соответствующая невырожденная двумерная жорданова клетка. В (+)∗ следующий момент t > tk параболический нуль z ∗ распадается на пару комплексно сопряженных гиперболических нулей {z h , z h }, уходящих с вещественной оси под углами ±π/2. Удалившись от вещественной оси, а затем вновь приблизившись к (−)∗ (+)∗ ней, в некоторый момент t = tk−1 > tk они сталкиваются под углами ±π/2 к вещественной оси в точке z ∗ , отвечающей минимуму ближайшей слева ветви Nk−1 графика функции tσ (x) (точка t), в результате чего возникает двукратный параболический нуль, которому отвечает параболическое собственное число λ∗ = 4z ∗2 − 1 алгебраической кратности k = 2 и соответствующая невырожденная двумерная жорданова клетка. Далее, как вариант (а), так и вариант (б) развиваются по (−)∗ единому сценарию. В момент t > tk−1 параболический нуль z ∗ (точка t) распадается на параболический нуль z p , движу-

470

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

щийся в положительном направлении вещественной оси и в пределе при t → +∞ занимающий положение zk = k − q1 , и эллиптический нуль z e , движущийся вдоль вещественной оси в противоположном направлении и сталкивающийся в момент (+)∗ (−)∗ t = tk−1 > tk−1 в точке z ∗ , отвечающей локальному максимуму ветви Nk−1 , с движущимся навстречу из положения zk−1 = = k −q1 −1 при t = −∞ параболическим нулем z p . В результате возникает двукратный параболический нуль z ∗ (точка u) и отвечающая ему двумерная невырожденная жорданова клетка. (+)∗ В момент t > tk−1 нуль z ∗ распадается на пару гиперболических нулей {z h , z h }, которая вначале удаляясь от вещественной оси, затем вновь приближается к ней и сталкивается в момент (−)∗ (+)∗ t = tk−2 > tk−1 на вещественной оси в некоторой точке z ∗ (точка v), отвечающей локальному минимуму ближайшей слева ветви Nk−2 графика функции tσ (x), в результате чего возникает двукратный параболический нуль, которому отвечает параболическое собственное число λ∗ = 4z ∗2 − 1 алгебраической кратности k = 2 и соответствующая невырожденная двумерная жорданова клетка. В дальнейшем происходит повторение описанного в предыдущем абзаце процесса до тех пор, пока пара гиперболических нулей {z h , z h }, образовавшихся в очередной момент t > (+)∗ > t1 в результате распада двукратного параболического нуля z ∗ , отвечающего локальному максимуму ветви N1 (точка w) (+)∗ не столкнется в момент t = t∗0 > t1 (t∗0 < 0) в точке z ∗ , отвечающей локальному минимуму ветви U0 (точка d). При этом возникает двукратный параболический нуль, которому отвечает двумерная невырожденная жорданова клетка. В следующий момент t > t∗0 параболический нуль z ∗ распадается на параболический нуль z p , с ростом t удаляющийся вдоль вещественной оси в положительном направлении, достигая в пределе при t → +∞ значения z1 = 1 − q1 , и эллиптический нуль z e , движущийся в противоположном направлении и достигающий в пределе при t → +∞ значения z0 = −q1 .

471

4.3.12. Эволюция нулей в случае двух критических точек

Вторая пара комплексно сопряженных нулей {z h , z h } с ростом t от −∞ приближается к вещественной оси и в момент (−)∗ t−1 < 0 сталкивается в точке z ∗ вещественной оси, отвечающей локальному минимуму функции ветви L (точка b), в результате чего возникает двукратный параболический нуль, которому отвечает двумерная невырожденная жорданова клетка. В сле(−)∗ дующий момент t > t−1 параболический нуль z ∗ распадается на параболический нуль z p , движущийся в положительном направлении вещественной оси, и эллиптический нуль z e , движущийся в противоположном направлении. qqq ∪2 qqq ∪4 qqq ∪6 qq pp qqq ∪5 qqq ∪3 qqq ∪7 pp qq ξσ(x)ppp qq qqqqq ∪0 ppp qq qqqqq ∪1 qqq qqqq qqqq qqqq qqqq qqqq qq ppp ppp qq 6q p pp qqq qqqq pp qqq qqqq qqqq q q q qqq q ppp qq qq ppp q q q q q q p q qq ppp q p q q q q q q q q q q qqq q p p p q q q q q q q q q q q q q qqq ppp qq qq pp qqq ppp qq qqq ppp qqq qq qqq qqq qqq qqq qq pppp q q pp qq qq pp q q q q q p q q q p qqqq q q q q q qq pp qq qq q p q p q q q q q p q q p p q q q q q q q qqq q ppp qq q pp qq qq ppp pp qq qqqppp q q q q q q q q q q q q q qqq q p q pp qq qqppp q q p q q qq pp q q q qq ppp qq qq ppp qq qq qq qq pp qq qqpp qq ppp p q q p q qq p pp qq qqppp q p qq pp p p q ppp qq ppp qq pp q qqpp qq pp p q q p qqqp pqq ξσ (x) ppq Рис.4.3.7(a) ppp qq ppp qq qqppp ppp qqq qq pp ppqq qp pq qqqpppp pppqq 6 ppp qq qqpp ppp qq qqppp ppp qq qqppp ppp qqq qqppp pppqqq qqqqpppp ppppqqqq ↑ ppppqqq ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ppp qq qqppp p q p q qqpp p ppp qq ppp qqq qqqppp ppp qqq qqpp ppqqq qqqppp pppqqq ∪0 pppqqq ∪1 ∪2 ∪3 ∪4 ∪5 ∪6 ∪7 qqppp ppp qq ppp qq qqppp p ppp qq pppqqq qp p qqpp ppp qqq σ ≈ −3.14 qqqpppp ppppqqqq qqqqppppp ppqpqpqqq ppp qqq qqqppp ppp qqq qqppp pppqqq q p q p qqpp p q q q p p p p p qqppp ppqq qqpp ppqq ppp qq pppqqq ppp qqq qqqppp ppp qqq qqppp q q p q p p q p σ ≈ −3.01 q q p ppqpq p p p ppp qq κ = −1.50 qqppp pppqqq qqqppp ppqpqq qqpp ppp qqq qqqppp ppp qqq pqpqpq qqppp p q q q p p q p p q q p p qqpqpp pppqq qqpqpp ppqpqq ppp qq ppp qq qqqppp ppp qqq qqpp q κ = −1.50 ppqpq ppp qqq qqpqpp pqpqpq qqppqp ppqqpq ppp qqq qqqppp ppp qqq qqppp pqpqpq p q p p qqpp p p q p q p q p q p q q q p p q p p p ppp qq qqpqp pqpq qqpqp qpqpq qp ppp qqq ppp qqq qqqpppp qqppp ppp qq qpqppqp pqpqpq qppqpq pqpqpqp [3] qpqpqpqpqp ppp qq qqpp ppp qq qqppp [3] q ξσ qp p q p p qqppp q q q q p ξσ (x) p p q p q p p q p q p q q q q p ppp qq qqppp pppqq ppqqq qqpp qpqpqp pqpqpq pqpqpq pqqpqpp. qqpqqpp qpqk pqprqppqpqpqprpqplqpqpqppppqppqpqpm ppp qqq qqqppp qqppp p p q p p q p p q p q p r q p p q p p p q q q p p q p q p p p qqppq pqpqrp qpqpqp rqqqqpqp r qqq rqq q rqqq qqqpqpqppqpqpqpqppqrpqpqp↓qpppqpqppqpqpqpqppqpqpqprqpqppqpppqppqpqpqpqpqppqpqpqprqppqpqpppqpqpqppqpqpqpqppqpqprqpqpqpppppqq ppqqq qqpp ppp qq qqppp pqqp pqpqpq qpqpqp 0 qppqpq 1 qqqq qpqpqp 2 qqqqq 3 qqqqq 4 qqqq 5 qqqqq 6 qqqq 7 qqqqq 8 qqqqpqpqpp q p qqppp [3] p p q q q p q [3] p ppp qq qqpp pqpqpq qpqpq pqpqp qqqqq pqpqpq qqqqq qqqqq qqqqqq qqqqq qqqqqq qqqq qqqqq x qqpp ξ (x) qq ppp ξσ (x) qqpp qqp p σ ppqqq qqqpp pqpqp pqpqpq qpqpq qqqq pqpqpq qqqqq qqq qqqq qqqq qqqqq qqqqq qqqq qqppp qq pp . qqqq p p p p p p p p p ↓p pppqq qqpp qqqpp qp p pq q ∩0q ∩1 qq ∩2 q ∩3 q ∩4 ∩5 qq ∩6 qq ∩7 qq ppp p p p q p p p ppqq qpqpq p p p p qqqppp p q p p p p p p p p p p q p p p p p p p p p p p p pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp q q q q q p q q q q q p pq q q qppqrqb rqqrc p pp qqprpq rqqrqqd qrqq qqrqq r qq pp qrqqqqqqqrqqqqr qqqqqqrqqqqqqr pqpq pqprqqpqp qqqqq r qq r q p q qqqqq q q q p q q pqpq a qqpp 0 ppqq 1 qq qpqp 2 qqq q w v qq3 q u t qq4 q s qq 5 qqqq qqqqq 6 qqqqq qqqqqq 7 qqqqqqqqqqqq 8 qqqqx q q qq qq pppqqq qq qq pqpq qq qq q q q ppqpq qqpp q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q qq q qq q ppp qq qqq q ppqqq qq q qq q qq q qq q ppqqqq qqqqpppp qq q qq q qq q ppp qq qq qq pppqq qqq qq qq qq qq qq qq qq pppqq qqpp qq q qq q qq qq qq q qq q qq q ppp qqq qq q ppp qq qq q ppp qq qqppp q q q q q qq q q q q q q q q p q q q p q q q q q q q q p q q pp q qp q q q q pq q q pq q q q q q q q q

∩0

∩1

∩2

∩3

∩4

∩5

∩6

∩7

Рис. 4.3.7 (+)∗

Параболический нуль z p в момент t = t−1 > 0 сталкивается в точке z ∗ > 0, отвечающей локальному максимуму ветви L (точка c) с движущимся навстречу эллиптическим нулем z e ,

472

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

занимавшим при t = −∞ положение z0 = −q1 . При этом возникает двукратный параболический нуль и двумерная жорданова (+)∗ клетка. В следующий момент t > t−1 параболический нуль z ∗ распадается на два комплексно сопряженных гиперболических нуля {z h , z h }, которые в пределе при t → +∞ уходят на бесконечность. (+)∗ Эллиптический нуль z e , возникший в момент t > t−1 , двигаясь с ростом t к точке z = 0, отвечающей локальному максимуму ветви L (точка a), сталкивается в некоторый момент t = t∗−1 > 0 с движущимся навстречу зеркальным отображением относительно оси Oy (нулем −z e ), в результате чего возникает несущественно кратный нуль z e = 0, распадающийся в следующий момент t > t∗−1 на пару мнимых нулей z e и z e = −z e , которые с ростом t удаляются вдоль мнимой оси от точки z = 0 и в пределе при t → +∞ уходят на ±i∞. Отметим, что переходу вещественных эллиптических нулей z e и −z e через точку z = 0 на мнимую ось отвечает прохождению вдоль вещественной оси справа налево эллиптического собственного значения оператора Λhσ, κi через значение λe = −1. Остальные параболические нули z p из положений zk+s+1 = = k + s + 1 − q1 (s ∈ Z+ ) при t = −∞ с ростом t монотонно смещаются вдоль вещественной оси в положительном направлении, в пределе при t → +∞ занимая соответственно положения zk+s+2 = k + s + 2 − q1 (s ∈ Z+ ). Отметим еще следующее. На рис. 4.3.7(a) ∩ 0 -ветвь графика функции ξσ (x) имеет двойное пересечение с осью Ox. Это означает, что у U0 -ветви графика функции tσ (x) на рис. 4.3.6 при переходе от σ ≈ −3.14 к σ ≈ −3.01 (помимо того, что увеличивается число Nk -ветвей графика с парами экстремальных точек типа {w, v}; {u, t}; . . . ), появляются два дополнительных экстремума по типу точек d и f на рис. 4.3.10. Это значит, что между точками c и d возникает переход, аналогичный переходу между точками c и d на рис. 4.3.10: {zc∗ , zc∗ } ⇔ {z h , z h } ⇔ ⇔ {zd∗ , zd∗ }. Как это уже делалось ранее, заметим, что для всех конеч-

4.3.12. Эволюция нулей в случае двух критических точек

473

ных значений параметра t мы имеем дело с оператором Λhσ, κi , действующим в пространстве Πhσ, κi ранга индефинитности r = 3, являющимся замкнутой линейной оболочкой всех собственных и присоединенных элементов оператора Λhσ, κi . q q pp q q q q qqq qqq qq qq qq qq p p p p p qqq qq q qq e q q q q q p qq qp p p qq qqq qq qq qq qq p pqp qq qqq qqq qqq qqq qqq qqq p p p p p pqqq qq q q q q q p pp q q qq σ ≈ −3.95 qq qq qq N3qqq pp p p p qqq qq qq q q q q q q qq q ppp q q q κ = −1.50 qq qq qq qq qq qq pqpp qq qq qq qqq pp pqpqpq qqq qq qqq q q q p qqq 6tσ (iy) qq qq qq N2qqq pp pp p qqq qq qq qq qqq qqq qqq qq pp pp qq qqqqq qq q q pppp q q q qqq qq qq qq qqq e qpqp p↑ qqq qq q p q q q q q q p qq p q qqqq qq N1 qqq pp ppqpqq [4] qqq qq qqqqqq qq q q q q q q qq pppp qq tσ (x) qq q qq q qqq q q qqqqqa qqqqqqrqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq q p pp q q q qq r - qqq qqqpqp pp p qqq qq qqq qqq y qq p qq U0 q 0 q pqpqqppqp qq qq qq ∞ qq q q q q q q qq q q qq q q ppqppq q q qq ⇑ q q q q q q q p q q h h qqqq qq qq qq pp pppqqqq qq qq qq qq q q q q q q q p q L q q p q q q q q q p p pp qq q q pqp qqpp q ap pqpqrppqpqpp qq qq pAqpqqq¢rqqpqpqp qq qq qq qpqpp qq qqpqp qq qq q p q q q q qq r2 p q q q q q pqqp pqpqqpqq qr qqqppqeqpqp ppqpqpq cqr qqpqpqp p q q q q -q q qr q rq q rq q qr q rq qq rq qpqpqp pqpqpq 0 qpqpqp b p pqq 1 qpqqpp qqqqrqpqpqpqpqqpqpqp qq 8 x qqqq qq 4 qq 3 qq 7 qpqpqrqpqq qpqpqp p ppppp p p p d qq 5 qq 6 qpqqp qp q q q q q q q qqqq ¢A q q q qq qq qq ¢A qq qq qqq h h qq qq qq qq q q q q q q q q q q q q q q hh qp e qqq ⇓ p p p p pq qq p qq qq qq qq qq q ⇓ 6tσ (x)

∞

∞

Рис. 4.3.8. r = 3 (−∞ < t < +∞), r = 1 (t = ±∞) Если нумеровать собственные числа λ = 4z 2 − 1 в порядке возрастания |λ|, то по мере роста |t| линеал Ht элементов, отвечающих собственным значениям с неограниченно увеличивающимися |λ|, постепенно отодвигается на периферию пространства Πhσ, κi в том смысле, что номера элементов, составляющих этот линеал, неограниченно растут. В этом смысле линеал Ht в пределе t → ±∞ выталкивается из пространства Πhσ, κi , превращая последнее в пространство Πh−σ, κi ранга индефинитности r = 1. При этом оператор Λhσ, κi превращается в оператор Λh−σ, κi .

474

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

2. На рис. 4.3.8 приведены графики функции tσ (z) навещественной и мнимой осях для σ = −n − (1 − τ ) (n = 3, 0 < τ ¿ 1), κ = −3/2. Поведение функции в целом подобно поведению функции на рис. 4.3.1. ∞ q q q q q q q q 6tσ (x) ⇑ qqqq U0 qq qq qq qq qq qq qq q q q q q q q h h qq e p q pq pq pq q qq qq q qq q q qq q q q q q q q q A ¢ r q q pp q p p q p q p q q q q q q q p q q q p pqpqpq p pq qpqp q q q q q q q qpqpqpqpqqp qppqqp qpqp qpa qpqpqpqpppppqrrqpqqp qepqpqpqpqqpbqpprqpqpqpqqpqpqpqpq cr qpqpqpqpqppqqqq 2r qqq r qq r qq r qqq r qq r qq r qqqqqqppqpq q q q q q 0 ¢A 1 qqqq pqppqpqpqppqq 3 qqq 4 qqq 5 qq 6 qqq 7 qqq 8 qqq x qq q qq pqpqpqpqq qq hh q q qq qq qq qpqqdqqrqqqq q p p q q q qq qqq ⇓ ppp t (iy) q qq σ 6 q q q q pp p qq q q q ∞ qqq pppp qq ⇒¢Apw qq qq qq qqq q qq p q q q q pd pppp ⇐ q qq qq qq qq q pppp qqqq qq q q q q q q p q qq q q q Aqqq¢rqqqpepqpqpqvqrqqq q q qq qqqqq qq qqqqqq e qq qq w ¢pppApppp q qq q q q q qq q q q q q q q h hppp q qq q qqqqqqaqqqqqrqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq r qq qq ⇓ pppppp p qq qq q q q pp p p qq y q q 0 qqq p p p p qqqqq qq qq ∞ q q qq q q q p q q q q q p q q qq p p p p p t[3] (x) qq q L qqqq qq qq qq pppp σ qq q qq qq q q q p q q q q q q pppp . q qq q q q q N1 qq σ ≈ −3.18 p p p p qq qq qq q qq qq qq qq p p p p qqqq q q q q q κ ≈ −1.18 qq q q q qqpqpqp p N2 qqq qq qq qq qq qq qqq p p p p p p qqq qq q q q q q q pppp q q q q qq pppp qq qq qq qq qq qq qq q q N p 3 p q q q q q q p q p p p p qq pqp p qq p qq p qq e qqqqq p qqq p qqq qq p qqq p p p p qq q qq q

Рис. 4.3.9. r = 3 (−∞ < t < +∞), r = 1 (t = ±∞) График функции tσ (x) заметно прилегает к графику фун[4] кции tσ (x) (см. (4.3.53) для σ = −4, κ = −3/2, q0 = 9/4) 2 2 2 2 t[4] σ (x) = (x − 1/16)(x − 9/16)(x − 25/16)(x − 81/16) ,

при этом при стремлении τ → +0 график tσ (x) все плотнее [4] [4] ложится на кривую tσ (x) и в пределе совпадает с tσ (x) (полюса функции tσ (x) исчезают, сливаясь в пределе с ближайшими нулями). Существенное отличие графика на рис. 4.3.8 от графика на рис. 4.3.1 состоит в том, что, как и в случае графика

4.3.12. Эволюция нулей в случае двух критических точек

475

на рис. 4.3.6, локальным максимумам a и c отвечают значения t = t∗ > 0, а локальному минимуму d отвечает значение t = t∗ < 0. Поскольку t0σ (x) для N -ветвей графика функции tσ (x) имеет в соответствующих областях тот же знак, что и [4]0 tσ (x), то, в отличие от случая,описанного в пункте 1, на N ветвях невозможно появление локальных экстремумов (которые отвечали бы кратным нулям функции tσ (x)). 3. На рис. 4.3.9 приведены графики функции tσ (z) для σ = −n − τ, κ = −m − τ (n = 3, m = 1, 0 < τ ¿ 1) на вещественной и мнимой осях. Асимптотическая при τ → 0 функция [3] tσ (x) (σ = −3, κ = −1, q0 = 3/2) равна 2 2 2 t[3] σ (x) = −(x − 1/4) (x − 9/4) .

Поведение функции в целом подобно поведению функции на рис. 4.3.6. 4. На рис. 4.3.10 приведены графики функций tσ (x) и tσ (iy) для σ = −n−τ, κ = −m−(1−τ ) (n = 3, m = 1, 0 < τ ¿ 1). [3] Асимптотическая при τ → 0 функция tσ (x) (σ = −3, κ = −2, q0 = 2) равна 2 2 2 t[3] σ (x) = −x (x − 1)(x − 4) .

Поведение функции tσ(x) в целом подобно поведению функции на рис. 4.3.6 с тем исключением, что при достаточно близком к нулю значении τ у U0 -ветви появляется перегиб (точки d и f совпадают) с горизонтальной касательной (отвечающий трехкратному нулю функции tσ (x) − t), а при еще более близких к нулю значениях τ возникает пара экстремумов (точки d и f ). Это приводит к дополнительному переходу (по мере роста t) между параболическими кратными нулями, отвечающими точкам c и d через посредство соответствующих сопряженных гиперболических нулей ({zc∗ , zc∗ } ⇔ {z h , z h } ⇔ {zd∗ , zd∗ }) и к распаду кратного нуля, отвечающего точке f на пару сопряженных гиперболических нулей ({zf∗ , zf∗ } ⇔ {z h , z h }), уходящих при t → +∞ на бесконечность.

476

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

q q q q q q q qqq 6tα (x) qqqq ∞ qq qq qq qq qq qq ⇑ q q q q q q q e qqq p qp qp q q qp q qqh h N qqq qq qq qq qq qq qq qq 0 q q q q q q q qq A q q q q q q q d qqrpqqpqpqfpq¢rpqpqpqpqpqqpqpqpqqppe qqq qq qq qq qq qq qq © q q q q q q qqpqpqp q q q q q q q qqpqpqp qqg p pA aqpqppqrq0pqp cAqr© qprppp qrq qrq qrq qrq qrq rqq q qqpqp pqp qpqpqpqpq qqp ppqqqq q q q q q H H ¢ q¢rpqppp 3q 4 qq 5 qq 6 qq 7 qqq 8 qqq x qpqq qpqqp p e pqpqpq pqpqp qqq1 q q q q q w qqq qqqpqpqqpqpqpqp e qqq pqpqpqqb qqp p qq ppqqqqqqpqqppq q q p pqprqpqp qqq qq qpqpqpqpq v qq pp p p qq q qq qq pqpqpqqqrqq q q q 6tα (iy) ¢A qqq ppp H qq pppp qq qq qq qq h h qqqq ¢ q q q q q qq ⇓ qqq qq ⇓pppppppp v qqq qq qqq q q qqq q p ∞ qqqq q q q e u p⇑ pppp q q qq qqq qqqq qq qqqq Hqqqq¢rqpqpqppqpqptqrqqqq q q qq qqq q q q q q u ppp qq qq qqqqq qq qq qqqqqqqqq qq qqqqqqa qq ¢Apppppp q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q r q q q qq q h h ppppp q q qq y q q p L qqq 0 ⇓ p q q p qq q ∞ ppppp qqq q qq q q q q q q q q pppqqqq qq N1 q σ ≈ −3.17 qqqq qq qq qq qqq qqqqq pppppp [3] qq q q q q qq p q q q q q qqq p pp p tα (x) q κ ≈ −1.83 qqq q q qN q pppp qqq qq qq qq qq qq qq 2 p p p. qqq qq q q q q q p p p p qq qq qq qq qq p p p pqqq qq N qq qqq q q q q q p 3 qq q q p q q q q pp qq e qqq p qqq p qqq p qqq p qqq p pp p p p p p qqq p qqq q q q p q q q q

Рис. 4.3.10. r = 3 (−∞ < t < +∞), r = 1 (t = ±∞) 5. На рис. 4.3.11 приведены графики функций tσ (x) и tσ (iy) для σ = −n − (1 − τ ), κ = −m − τ (n = 3, m = 1, [4] 0 < τ ¿ 1). Асимптотическая при τ → 0 функция tσ (x) (σ = −4, κ = −1, q0 = 2) равна 2 2 2 2 t[4] σ (x) = −x (x − 1) (x − 4) .

Поведение функции tσ(x) в целом подобно поведению функции на рис. 4.3.1 с тем исключением, что при достаточно близком к нулю значением τ у L-ветви появляется перегиб (точки d и f совпадают) с горизонтальной касательной (отвечающий трехкратному нулю функции tσ (x) − t), а при еще более близких к нулю значениях τ возникает пара экстремумов (точки d и f ), что приводит к дополнительному переходу (по мере роста t)

4.3.12. Эволюция нулей в случае двух критических точек

477

между параболическими кратными нулями, отвечающими точкам f и g через посредство соответствующих сопряженных гиперболических нулей и к предварительному столкновению двух q qq q p pp q q q q q qq qq qq qq qq qq p p p p p p qqq qq q q q q q q pq qq e p qq qq q qq N3 qpqpqp p p qq qq qq qqq qqq qq qqq qqq qqq qqq pp p qpqp q q p pp q q q q q σ ≈ −3.97 qqq qq qq qq qq qq qq pp pp p qqq qq q q q q q q κ ≈ −1.03 qq q q q p ppp qq qq qq qq qq qq qq N2qpqpqpp p q qq q q q qq p qq qq pp ppqqpq 6tσ (iy) qq qq qq qq q q q q p qq q qq qq p pp p qq qq qq qq qqq qq qq qpp pppp qqq qqq qqq qq qq q N1 qp pp q q qqq qq qqqqe qq pqp qpqpqp ↑ qqq qq q q qq q q q q q p ppq q qq qqqqq qq qq qqqqqqqqq qq pp pp qp qqt[4] q qq σ (x) q q q q q q a q q q q q q q qqqqqqqqqqqrqqqqqqqqqqqqqqqqq q q qqq U0 qq pp pp qqq qq y qpp pp qq qq qq 0 ∞ q q q qp qq qq qppqqppqp qqq ⇑ qqq qqq qqq qqq qqq qq qpqp qq pqpqp qq qq qq qq qq qq L hh qq pqpqpqq q q q q q q g a q q 0 1 q q q q Aqpqpqr¢pqpqpq qr pqprq pqppq qpqpqpqrppqpqpqp qr qr qr qr qr rpqqA 2 pqqpq qp qppqqpqpq qpqpqpqpeqpqp pqpqp qpqp c qpqpqpqpqqpqpqpqdpppqqrpqqpq© p qApqpqpq© qq 8 x qq 5 qq 6 qq 7 qq 4 qq 3 q q q pqpqpqpqpqpqqpqp qpqpqpqpqrpqpqpqp q q q q q q q q q q q qq qq ¢A f qqqq b¢A qq qq qq qq qq qq q q q q q q q q q q q h h qq hh qq qq qq qq qq qq ⇓ qqqqq qq qqq qqq qqq qqq qqq ⇓ q p qq p qq p qq p qq p qq pq ∞ qqq e ∞ q q q q q q 6tσ (x)

Рис. 4.3.11. r = 3 (−∞ < t < +∞), r = 1 (t = ±∞) пришедших из бесконечности сопряженных гиперболических нулей в точке z ∗ , отвечающей либо трехкратному нулю (при совпадении точек d и f ), либо двукратному нулю (точка d). 6. На рис. 4.3.12 и рис. 4.3.13 приведены графики функций tσ (x) и tσ (iy) соответственно для σ = −n − τ, κ = −m − τ и σ = −n − (1 − τ ), κ = −m − (1 − τ ) (n = 2, m = 2, 0 < τ ¿ 1). [3] [2] Здесь функции tσ и tσ (x) равны 2 2 t[2] σ (x) = (x − 1)(x − 4) ,

2 2 2 t[3] σ (x) = −x (x − 1)(x − 4) .

Поведение нулей легко проследить по аналогии с тем, как

478

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

это было сделано в описанных выше случаях. На рисунках, в частности, видно возникновение цепочек рождения и исчезновения пар гиперболических нулей {z h , z h } : c ⇔ b, f ⇔ g, k ⇔ l на рис. 4.3.12 и c ⇔ d, k ⇔ g, на рис. 4.3.13. qq qqq qqq qq t (x) qq qq qq pp qq qq σ qq 6 qq qqq qqq p p p p p p qq qq qq qq qqq qqq p qqqqp p qq qq qq qq p qq q q p qq qqqq p e qqq q qq p qq p p qqqq qq qq p p q q p qq qqq qq p qq q q q p q q q p qqq qq qq qq p qq p pp p p qqq σ ≈ qq −2.12 qqq p qq qqq qq pp qqq p p qq qq qq qq qpqp p ppqqpqq p q p q p qqq pp qq qq q ppqq pqqpp κ ≈ qq −2.88 qq q qq q q p q q p qqppqqqq qqqpp qq q q qq qq q qq q q p q q qqqpp p q ppqpqq q q q p q q q q ∞ p q q qqq 6qq tσ (iy) qq qqq qqpqpp qq qqq qq ⇑ p pp pp q qqq ppqq qqqpp qq p - qqqq qq q qqq qqqq p p ppqpqq q q qqpqpp qq h hpp pp [2] qq qqq qqq q q qqq pp tσ (x) qq qq qqq qqq qqqpp ppqq qq qq qqq qqq p qqqlqrqqpqApqpqpqr¢qqqq qq qqpqpp qq q ppqpqq qq qqq qqq ©ppApp m qqqq qqq qqqpp qq q qqq qqq ppqq q p q p U q q p q q qqq qq qq qq p qqqpp 1 q qq qq qq ppqpqq pqqp qq ppp p p qq q q a qqqqrqqq qqpqpp q N2 qqq N3 qqq qq N1 pppp ppqpqq q qq qq p rqq qqqpp q qq 0 qq qq pq qq qpqpqppqAqpqq© qqq qqpqpp qq qq qq qqq qq q q p q k q q p q q ppqpqq q q qqqpp q q qq q q p q q q q q p qqgqqqpqp qq qq qq qq qq qqpqpp qq qqrqpqpp qq q q q qq ppq q q q q q q q p p q q qq © q q qqprpq 1 q p a rq q b p q q q q A © q qrq r r r r r p A q q q q q q p q qq pp qq qq qq qq H qq p pp qqp qpqpqpqfqpqp qqqq 2 qq 3 q q q qqq 0 ¢ 4 5 6 qq 7 q q q q q q p p q q qq Hq¢rqqqpqd qq q q pqrpqpppqpqqpqp qqq q qqqqqq q q q qq q q q c q q qq qq qq qq q qq q ¢A U qqqq q q q q qqqqqq qq q q q q 2 q q q q q q q qq qq q q q q q q q q qq q q q qq qq q q qqqh h q U0 qqqqq qq qq qq qq qq q ⇓ q q q q q qqqqqq p qq q e p p p p p p q q q q q q q q qq q q q q∞ q q qq

qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq

qq qq qq qq qqr qq qq qq 8 qq qq qq qq qq qq p qqqq q

y -

x

Рис. 4.3.12. r = 2 (−∞ < t < +∞), r = 1 (t = ±∞) 7. На рис. 4.3.14 и рис. 4.3.15 приведены графики функций tσ (x) и tσ (iy) соответственно для σ = −n−(1−τ ), κ = −m−τ и σ = −n − (1 − τ ), κ = −m − (1 − τ ) (n = 1, m = 3, 0 < τ ¿ 1). [2] Асимптотические функции tσ равны соответственно 2 2 [2] 2 2 t[2] σ (x) = (x − 1)(x − 4) и tσ (x) = (x − 9/4)(x − 25/4) .

Второй случай отличается от первого тем, что (как и в случае § 4.3.11, п. 4, см. рис. 4.3.4), ввиду 2q1 = 1 ∈ Z+ , в точке x = 0.5 функция tσ (x) имеет полюс второго порядка (отсутству-

4.3.12. Эволюция нулей в случае двух критических точек

479

ет ветвь U1 ). Это означает, что в пределе при t → ±∞ возникает существенно кратный (двукратный параболический) нуль qq qq qq qq qq q qq qq qq qq qq qq qq qq 6tσ (x) qqqq qq q q q q q qq p U1 qqq e qq qq p qqq qq q qq q qq qq qq qq N3 qq qq ∞ qq qq q q qq qq qq ⇑ q qq q q qq qq qq qq qq qq qq q q q qq q q q q σ ≈ −2.95 qqq h h q qq qq qq qq qq qq q q q q q q q q q q qq q q q q q qq qq κ ≈ −2.05 qq p pqApqppq¢rqp qp qpqq q qq qq qq qq qq N2 qq q qq pqpqq p pqpqpqqq q g q qq qq qq qq qq qq qq p qp f pppqqrq qq qq qq q q qq q p q q q H p p q q q q aqpqqrpppqpq0p d qrpq q qqr qqr ppqr¢pqpq qrq q q q H r r r ¢ qq qq qq qq qq qq pq qpqp qpqpqpqpqp ©p pA1 2 qq pqpqppqpq q q q q q q p q q q q q 3 4 5 6 7 8 x q q pp q q q q q p p q q p p q qq qq pq qq qq qq qpqqp p qq p qq qq qqk ppqpqpqpqp qq qq qq qq pqpp p pAp pqq© r qqpqp pp p ppqpqqq q q q q q q q q q q qpqpqp q N q qqqpp p qq qqc qq qq qqqqppqq q qpqpqpp qqqq 1 qq qq qq qq b¢qrAqq qqqq q q q p t (iy) q qqq p q q q q σ 6 q qqqpppp qq qq q q q q q q q qq qq qqq pppp qqq h h qqqq qq qqq qqq qq p q qq qqq qq q ⇓ qqqq qqq U2 qqqq pppppqpqqq qq q qq qq qq ppqpqpq qqqq qq ∞ qqq qqq qq ↑ pqpqp qqqq qqq q q q q qq q q q q p q qq q qq qq qq qqqq p qq qq t[3](x)qqqpqpppppp qqqq q qq qqqqqq qq q q q q q σ q p q q q q q p q q q q q q q p q U0 qqq qq qqq ppp qq qqq qq qqqqqqa qq qq qqqqqqrqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qq qq qqq ppppp qqq qq q q qq q p q q y q p q q 0 q p qq q q p qq qq q pqpqpp qq qqq qq q q qq q q q q p q q q q q qq qq qq qq qq qq qq qqqppppp qqq qq qq qq qq qq qq qq qqq pp p p p qqq qq qq qq qq qq q q q q q p q q qq q q p qq q q q p q q q qq p q q q q qq q p q q q q p q q qq qqq p p p qq qq qqq qq qq qqq qq p q p qq p q q q p e p p p p p p qq q q p qq q q q p q q qq qqq p q q q q q q q qp

Рис. 4.3.13. r = 2 (−∞ < t < +∞), r = 1 (t = ±∞) z ∗ = 0.5 , которому отвечает двумерная невырожденная жорданова клетка оператора Λh−σ, κi . Таким образом, при t → −∞ эллиптический и параболический нули, находящиеся по обе стороны от точки x = 0.5 в ее окрестности сталкиваются в этой точке, в результате чего возникает двукратный нуль z ∗ = 0.5 . Также при t → +∞ пара гиперболических нулей {z h , z h }, возникшая в некоторый момент t∗ > 0 , отвечающий точке b , снова сближается и в точке x = 0.5 сталкивается, образуя тот же двукратный нуль z ∗ = 0.5 . 8. Рассмотрим еще три случая (сравни с § 4.3.11, п. 5, см. рис. 4.3.5).

480

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

q q q qq q q q ppp q qq qqq tσ (x) qqq qq p p p p p qqq qq qq qq qq qq qq qqq 6 q q q q q q q pp q qq q q q q q qqq e p qqq pqqp p qq p qq qq qq qq qq e pp pqpq p q q q q qq q qqq qqqq q q q q q pp q qq q q qq qq pp p p p p qqq qq qq qq qq qq q q q q qqqp p p p pp p pppp qqqqq q qqq q p pp qq q q qq q pp qq qp qq qq qq pp qq qq qq qqq qqpppp q q p q q q q p qqqppp pp qqq q qqqq q q qq qqq p ppq pp qq qqq qp qq qq qqqq 6qqqqq tσ (iy) qq pp pp pqqq qq pp qq q q qqqppp q q qqq ppqqqU1 q q q p pp q q qq qqq qqqqq qp ppqq qq qq pp p qqq qq qq t[2] qq qqq qqq σ (x) q p p ppqqq qq q qqqppp q qqq qqq q pp qq qq ppqq q qq qq qqq qqq e pp qqpp ppqq qq q p q qqqppp q q q & qqq qqq q q p q q q q pp qq q q q pp pqp q qq q qqq qqq ppqq q q q qqqppp q p qqq qq q q q q q p q ppqqq q qq q q q pppp qqq qqqrqq ppqq q q qqqppp q q a p q p U N N q q q q q ppqq q 3 q pp q 1 q q 2 qq pp q ppqqq q qqqppp q p q q 0 qq qp q p qq b qq qq qq p qppqpqp qq qqpp σ ≈− 1.95 pppqqqrH q q qq qq q pp q p q q q p qq qpqpq q qq q q qq qqgpqpqp κ ≈− 3.05 ¢ppp q q q q q q pq q q q q q p a qr Hpqr¢pqpqqc 2 p pqqprqpqpq rq rq rq qrq qrq q q q © p q q qq 0 q p q q q rq A q7 q6 1 qq pqpqpqpqqq d p pqpqqpqpAqpqq© qq 5 qq 4 qq 3 qqq qq p p qqqpqpqq qqq qq qqq q qqq qqqqqqq qqq qqq ppppr f qqqq qqq q qq ¢A q q qqqq qq qq qq qq h h qqqq qq q qqqqqqq q q q q q q q q U0 qqqq qqq ⇓U2 qqq qq qq qq qq qq qq qqqqqqq e p qqqq ∞ qqqq e qqq p qqq p qqq p qqq p qqq p

qq qqq qq qqq qq qqq

q qq qqq q qqr qqq 8 q qq qqq q qq qqq p q

y -

x

Рис. 4.3.14. r = 3 (−∞ < t < +∞), r = 2 (t = ±∞) 8.1. На рис. 4.3.16 представлены графики функций tσ (x) и tσ (iy) для σ = −n − τ, κ = −m − τ (n = 1, m = 2, 0 < τ ¿ 1). Точка u отвечает столкновению в некоторый момент tu < 0 двух комплексно сопряженных гиперболических нулей, пришедших из бесконечности (при t = −∞). Точка v отвечает столкновению в момент tv (0 > tv > tu ) эллиптического и параболического нулей с образованием двукратного параболического нуля и последующим рассеиванием в момент t > tv в комплексную плоскость с образованием гиперболических нулей z h и z h . Последние в момент tc (0 > tc > tb ) сталкиваются (точка c) с образованием двукратного параболического нуля и последующим распадом на вещественные параболический и эллиптический нули. Точке b отвечает столкновение эллиптического и параболического нулей в момент tb > 0 с образованием дву-

4.3.12. Эволюция нулей в случае двух критических точек

481

кратного параболического нуля и последующим его распадом на пару комплексно сопряженных гиперболических нулей, которые, далее, движутся в сторону мнимой оси и в момент ta (ta > tb ) сталкиваются на мнимой оси (точки a и a0 ) со своими симметричными относительно нее двойниками. q pppp p pptσ (x) qq qq qqq qq qqq qq qq pp p p 6 qqq qq qq qq qq qq qq qq q pp p pppp q q q q q q q qqq e q q q q pp p p qqq qq qq qq qq qq qq qq pp q q q q q pp p q q pp q q qq q q q q qq p pp [2] qq qq qq qq qq qq qq pp tσ (x) qq q q q q q pp p q q q qq q q qq q q p aqqqrqqq ppp qq qq qq qq qq qq q q qq q q q ppp qqq qqqq ppp. qq qq q p q qqq pp qq qq 6 tσ (iy) qqq q qqq qqq ppp qqq qqqq pppp σ ≈ qqq −1.9 qqq qqq q p qq ppp q q qqq ppp qq qq pp κ ≈ qqq −3.9 qqq ppppppp qq qq qqqq qq pp q q ppp qqq q q q q q q qq q qqqq e qq (1/2, p q qqq qq qq qq qqqqqqqqq q qq pp ∞) qqq a q q q q q q q q q q q q q q q q q q pp p qqq q q q q q q q q q q qqqrqq qq ⇑pp q q q qq q qq pp p q qq qq qq qq qqq qq qq pp qqq qqq q q qq Aqr¢qq ppp q q - q r qq U3 q N1 q N2 q N3 q qq q qq pp qq qq qq q y qq qq q qqq p 0 qq qq qq qpqqp p p qq p qq qqb qqpp q qq qqqq qqq q p q q p p q p q q q q q q qq p q q qq q U0 qq q qqpp qq q p p p p p p p p qqq q q q q q q q qq q q p q q q q q q q q q q qp p p qq q qqqpp qq qq qq qq qq qqpp qq qq qq qq qq qq p p p p qpqpqpqpqp qq qq qq q q q q q q q qq q q q p q p qq q p q p q q q q q q q q q p q qq q qqpqpp qqq qq q q q q qqqpqpqqp p p p p qqq q q q q qq qq qq qq qq qq q qq q qq q r qqqq qq r qqpqpqppp pqqqq r2 qqqp pqpqpqqp qpqqpqpqp rp q q q q q q qq p pqpqqq qqqpqqpqpqp p q qq q qq q q q r q r q r q r q r qq q 0 qqqq qqq 1 qqqqq p pqppppppqqrqqppqcp p qqq 3 qqq 4 qqq 5 qqq 6 qqq 7 qqq 8 qqq x qq qq qq q qq q U2 qq ¢A q q q q q q qq q qq qq qq qq h h qq qq qq qq qq qq qq qq qq q q q q q q q qq qq q q q q qq e ⇓ qq p e qqq qqq p p p qq q q ∞ q qqp qq p qq p qq p qq qq q

Рис. 4.3.15. r = 3 (−∞ < t < +∞), r = 2 (t = ±∞) В результате возникают мнимые двукратные нули z ∗ и z ∗ = −z ∗ , которым соответствует отрицательное двукратное параболическое собственное число λ∗ = −4|z|∗2−1. В следующий момент t > ta нуль z ∗ распадается на мнимые эллиптический и параболический нули, первый из которых при t → +∞ уходит на +i∞, а второй в пределе достигает несущественно кратного нуля z = 0. С уменьшением параметра τ > 0 график функции tα (z) на вещественной и мнимой осях стремится все плот-

482

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

[1]

нее и плотнее следовать графику функции tσ (z) = −(z 2 − 1), ветвь графика, имеющая точку перегиба с неположительным наклоном касательной к ней, отодвигается все дальше и дальше вправо, удлиняя тем самым цепочку последовательных уничтожений и рождений пар комплексно сопряженных гиперболических нулей (переходы типа c ⇔ v). q q qq q q q q q 6tσ (x) qq qq qq qq qq qq qq qq q q q q q q q qq e p qq pq pq pq qq q qq qq q qq q a0a a0a qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq ⇑p ppppppp⇑ qq q qq qq qq qq qq qq H rqpqqqHqqp © rqp qpqpqpqpq qq qq q q q qpqpqp0© q q q q p q q p q q q q q q q p q q q q q qpqpqp qq q qpqpqp qq qq qq N1 qqq N2 qqq N3 qqq pqpqp b qqqq qq b qppqpqpqpqp qqqq U2 qq qq q q q q q q qq qq q qpqpqppqqp q q q p qppqpqp qqq qqrq pp qqr qqr qqr qqr qqr qqr qqr qqqprpqpqpq qq q q q q q q q q p qq qq0 q q q q q q q q 1 qqqq pqpqpqqpqpqpq qq 2 q4 q8 x q5 q7 q6 q3 qq q q q q q q q qq q qq pqpqpqpqqq c qq q qq q qq qq qq qq qq p p pqpqqrqq qq qq qq qq q q q q p pH q q q q q qq qq U1 qqqq q pppp qqq tσ (iy) ¢⇓ q q q qq q qqq6 pppp c q qq qqq qqq qq qq qq qqq qqqqq pppp qq v q qqqq qqqq q q q q q q qq p e ⇑ p q q q p q q q q qqq q q qq H q qq qq q qqqq qqq¢rqqpqp qp pqu qqqqq pqrqqqqq qq qqq qqqqq qqq qqqqqqqq qq q q qq v ¢pAp p p p p p qq q q q q qq q q qqqq q q q q q q q pppp qq q q q a0 qqq qqqqq a qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qq qqq rqqqqq qqqqH rqqqqqqqq qq qH qq h h p p p p p p p qqq qq qqqq ©⇓ q q p p p p qqqq q ⇓ ⇓ q qq qqqq 0 q p q q q q qq qqq ∞ qqqq p p p p p b rb b q q pppp qq σ ≈ qqqqqqq −1.08 qqqq qq y pppp 0 qqq qqq q qqqq qq p q pppp q κ ≈ qqqqq −2.08 qqq q q q q q p q q p q q q q q p pqp pqqq qqqq qqq q q q q qp qqqq qq qq qq qq qq qq qqqq p p p p p p p t[1] qqqq q σ (x) qq q q q q q q qq qqq pppp q q q q qq qqqq p p p. qq qq qq qq qq qq p p p p qqq qq qqqq q q q q q q q q q q e qq p p p pq pq pq p p p pqqq p qqqq p qq qq qq q q q qp q q

Рис. 4.3.16. r = 2 (−∞ < t < +∞), r = 1 (t = ±∞) 8.2. На рис. 4.3.17 представлены графики функций tσ (x) и tσ (iy) для σ = −n − τ, κ = −m − (1 − τ ) (n = 1, m = 2, 0 < τ ¿ 1). Этот случай отличается от предыдущего тем, что мнимый двукратный нуль, отвечающий точке a рис. 4.3.14, перешел на вещественную ось (точка a). Таким образом, после столкновения в точке zb∗ ∈ (0, 1) в некоторый момент tb < 0 параболического и эллиптического нулей (точка b ветви U1 ) при

4.3.12. Эволюция нулей в случае двух критических точек

483

t > tb возникает пара гиперболических нулей {z h , z h }, которая в момент ta > 0 вновь сталкивается в точке za∗ ∈ (0, zb∗ ) вещественной оси с образованием двукратного параболического нуля. С уменьшением параметра τ > 0 график функции tσ (z) на вещественной и мнимой осях стремится следовать графику [1] функции tσ (z) = −(x2 −9/4). Точки l , . . . , c образуют последовательность, аналогичную последовательности точек u , . . . , c на предыдущем рисунке. pq q q q q qq qq qq qq qq qq qq qqqqU06 qqq qqqq tσ (x) qqq qq qq qq qq qq qq qpqpqrq qqq q q p p p q q q q qqq qqpqpqspqpqpqqprqpqpqpa q q q q q q q q pppp qqq q pppp ¢⇓pH qq qq qq qq qq qq pp p qqq e p qqq q q q q qqqp p pp q q q q q q q q q b p pqpqqpq qp qq qq qq qqq qq qq qq pqqpq q q q qpqp qp q q q q pqqp qq N qq qq N qq qq N qq qpqpq U2 qqq p pq qqq qqq 3 qqq qpqpqp qq qqq 1 qqq qqq 2 qpqqpp q q q q q q q a qpqpqpp qq qq qq qq qq qq qq q qpqpqpp qq q q q ⇑ q q qppp c r qqq r qqq r qqq r5 qqq r6 qqq r7 qqq r8 r Hqq¢r r qqprH q q qqqqqq q ¢ qq¢rpqpqpqpqpp 2 qq 0 qqqq b 1 H 3 qq 4 qq qqq q q qqqqq q q q 6tσ (iy) q q qqqqqqq qqqqqqq q qqqv qpqpqpqpqqpqpqp qqq q q q q qpqppqu qqqqqqqq e qq qqqq qqq qq qq qq pqpqpqprH qqqqqqqqq q q q q q q q q q qqqqqqq q q qqq q q q qqqqqq U1 pppp ¢⇓ q qqqqqqqsqqqqqrqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q pppp u qqqq qqqq qq qq qq p p qqq qqqqqq q p qqqqqqq q k ⇑ ppp q q q qq qq qq qq qqq Hqqq¢rqp pqpqpqpqp pqlrqqqq q qqq qqq qq qq q qqq qqqq pp qq qq qq q k ¢Ap p p p p qq qqq r qq qq qqq qqq qqq σ ≈ qqqq −1.07 qqq h h p p p p p p p qqq qqq y 0 qq qq qq pppp q ⇓ qqq qqq q q p p p pqqqqqq q q q qq κ ≈ qq −2.93 qq ∞ q qq qqq q q q q qq qqq p p q qqq qq qq qq qq qq qq qqq p p p p p p p qq qqq qqq qq q q q q q q q p % q q q q p q qq qq qq qq q [1] p p p p q q q q qqq qqq qq qqq qqqq qq qq qq tσ (x) p p p p p p p qqqqq qq q q q q q q q q q q p qq p p q qq e p p pq p qq p qq p qqq qqq qq qq q qqqpqp p p q

q qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqqx qq qqq q qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq q qq

Рис. 4.3.17. r = 2 (−∞ < t < +∞), r = 1 (t = ±∞) 8.3. На рис. 4.3.18 представлены графики функций tσ (x) и tσ (iy) для σ = −n − (1 − τ ), κ = −m − τ (n = 1, m = 2, 0 < τ ¿ 1). Здесь точка f отвечает двукратному параболическому нулю, возникшему в результате столкновения в некоторый момент tf < 0 комплексно сопряженных гиперболиче-

484

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

ских нулей, пришедших из бесконечности (t = −∞). Образовавшиеся после столкновения параболический и эллиптический нули разбегаются вдоль вещественной оси и сталкиваются соответственно в точках, отвечающих точкам c и b, с движущимися навстречу им соответственно эллиптическим и параболическим нулями. В результате образуются в моменты q q t (x) qq qq qpqp q qq qq qq qq qq p p pqpq qq qq q q q q p qq e qq 6p qqq σ p q q p q q q q q pq pq p q ppp q qq qq q q q q p qq qq qq qq p p p p p p qqq qq qq qq qq qqq qq q q q q q q q qp p p qq qq σ ≈ qq −1.95 qq q qq qq qq qq qq p p pqpqpqqp qq q qq qq qq q q q qq qq κ ≈ qq −2.05 qq q pp p p qq q qqq t (iy) 6 σ q q q q qq q N1qq pp p p qq N2 qq N3 qqq q eqqqq qq qqq q q pp ppp qq qq qq qqq q q qq q q q q qq q qp pp q qqq q q qq q q q q q p q q qq q q qq qqqq p pqp ↑ q qq qq qqqqqqqq qq U2 qqq pp ppqpqqq[2] qqq q qq q q q q q q q qqq qq q q q ppp q tσ (x) qq qq qqqqqqqsqqqqqrqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq q qq q qq qqpp pp p qqq qq U0 qq q q q r qq q q qqq qp pp q qq y qq 0 qq qpqpp qqq qq qq p q p qq qqq q q qq pqpqp q q q q q q qq sqqqrqqqe q q q q p q q q q qq qpqp qq qqqqp p pp p pqqqq q q q q qq pq qqqqqp p p p p ppqqqrqq a qq qq qq qq qq qq qq pqpq q q q pppH pp p pp q q q q q q ¢p d qqqrqpqpqq r qqq r qq r qqq r qqq r qq r qqq r qqpq r Hpqqr¢pqpqqpqb r © p q q q q qqp pqp qqqq p A 2 qq 0 q pqpqpq 1 pApqpqpqp© 3 qq 4 qq 5 qqqq 6 qqqq 7 qqq 8 qpqpqpqp qqq qq q qq qq qq ppqpqqpfqpqprqp qpqpqpqq rqqqqc qq qq q qq q qq q q e q p qqq qq q q q q q q q q q ¢A qqq q qq qq q qq qq qq q qq qq qq qq qq qq qq qq qqq h h qqqq qq q q q q q q qq q q q q qq qq U ⇓ q qq qq qqq 1∞ qqqq qq qq qq qq qq qq q q q q qq q q q q q q qq qq qq qq qq p qq p e qqqq qq p qq qqq p qq p qq p qq p qq qq q qq q

qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqqq qq qqq x q qq qqq qq qqq q qq qq p

Рис. 4.3.18. r = 2 (−∞ < t < +∞), r = 1 (t = ±∞) tc > tf и 0 = tb > tc двукратные параболические нули, которые распадаются на пары комплексно сопряженных гиперболических нулей, вновь сливающиеся, в свою очередь, в двукратные параболические нули в моменты td = 0 и ta > 0, отвечающие соответственно точкам d и a. Далее, эти нули распадаются на вещественные эллиптический и параболический нули каждый. Точка s (отвечающая несущественно кратному нулю z = 0) от-

4.3.13. Эволюция нулей в случае одной критической точки

485

вечает переходу эллиптического нуля z e с вещественной оси на мнимую. В дальнейшем этот эллиптический нуль удаляется от точки z = 0 и уходит на +i∞ (−i∞) в пределе при t → +∞. Предельная (при τ → +0) функция имеет вид ¡ 2 ¢¡ 2 ¢ t[2] σ (z) = z − 1/4 z − 9/4 .

4.3.13. Эволюция нулей в случае одной критической точки Поскольку параметры σ и κ входят в теорию симметричным образом, ограничимся исследованием на ¡ конкретных примерах поведения нулей функции tσ (z) − t tα = t ∈ (−∞, ∞); ¢ tβ = 0, ±∞ . 1. Пусть σ < −1, κ > 1 (σ, κ ∈ / Z). В качестве примера на рис. 4.3.19 приведены графики функции tσ (x) и tσ (iy) для σ = −3.5 и κ = 1.5 : ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ tσ (x) = −x x2 − 1/4 x2 − 1 x2 − 4 ctg πx , ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ tσ (iy) = y y 2 + 1/4 y 2 + 1 y 2 + 4 cth πy . Точки b и d отвечают столкновению пришедших из бесконечности (при t = −∞) двух пар комплексно сопряженных гиперболических нулей, точка c отвечает столкновению эллиптического и параболического нулей с последующим удалением образовавшейся пары гиперболических нулей {z h , z h } на бесконечность (при t = +∞). Точка a (несущественно кратный нуль z = 0) отвечает переходу при возрастании t эллиптического нуля z e (и −z e ) с вещественной оси на мнимую ось и уходу при t → +∞ вдоль мнимой оси на бесконечность (±i∞).

486

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

q q q q q q qq qq qq qq qq qq q q q q q q pq p p ⇑ qq qq qq q qq qq hh qqq qqq qqq qqq qqq qqq Aqq¢rqqq qq qq qq qq qq qq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqqqc qqqqq qqq p q qqqe L qq N1 qq N2 qq N3 qq q q qqq qaqqqqrqqqqeqq qq qqq qq qq q q q q q q q q q q q q q q qqqqqqqq r qqqqbqrqqqq r qq qq r qq r qq r qq r qq r qq r qq r 0 ¢A 1 qqqqqq d2qqqqqq 3 qqq 4 qqq 5 qqq 6 qqq 7 qqq 8 qqqqqrqqqq hh qq qq q q qq q ¢A ⇓ qq qq qq 6tσ (iy) ∞ hh qqq qqq qq q ⇓ qq e qq qq qqq ∞ q qqq qqq q qqqq q q qqqq q q q q qqq qqq q qqqqqqq q q qqqqqqa qqqqqqrqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqq qqq r q q σ = −3.5 y 0 qqq qqq κ = +1.5 qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qqq qqq qqq qqq qqq qq qq qq qq qq qqq p qqq p qqq p qqq p qqq p 6tσ (x)∞

qq qqq qq qqq qq qqq qq qqqqq x qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq p qq

Рис. 4.3.19. r = 2 (−∞ < t < +∞), r = 0 (t = ±∞) На рис. 4.3.20 приведены графики функции tσ (z) для σ = = −n−τ (n = 3, 0 < τ ¿ 1) и κ = 1.5 . Здесь заметно, как график функции tσ (x) для малых τ > 0 стремится следовать графику функции 2 2 2 t[3] σ (x) = −(x − 1/16)(x − 9/16)(x − 49/16) ,

что приводит к появлению пар локальных экстремумов (типа точек u и v на рисунке) на N -ветвях графика. То есть имеет место последовательность значений параметра τ = τk : 0 < · · · < τ k < · · · < τ2 < τ1 ¿ 1 , при которых тангенс угла наклона касательной в точке перегиба ветви Nk , убывая с уменьшением τ, проходит нулевое значение.

4.3.13. Эволюция нулей в случае одной критической точки

487

∞

q q q q q q q qq qq qq qq qq qq qq q q q q q q q pq pq pq hh q q q q qq qq qq qq qq qq qq q q q q q Aqpqqp qp¢rpqqpqpqp q q Lq N1 qq N2 qq N3 q p qq qq qq q q pqpqqpqp c qpqpqppqqpep q q q q q q q ppqq q q q q q q q qqpq qp pqpq a pqqp qq r qq r qq qq r qq r qq r qq r pqpqpq qpqpqqp qpqp qp qpppprrqqpqpqqpe qpqpqpqpqqb qqpqp qp r pqp r q q q q q q q q q q pqpqpqpqpqpq q q q p q q pq qpqpq qx q 4 q 3 q 6 q 7 q 8 q 5 0 ¢pqrAppqp 1 qpqpqp 2 qq qq qq qq qq qq qq qpqpq q q q q q q q pqppqq qq hh q q q q q q ppqpqqq d q qq qq qq qq qq qq pppqqqqrqq ⇓ q q q q q q q q q pp H ∞ qq qq qq q ¢pppppp 6tσ (iy) qqq qqq qq q ⇓pppp d qqq q q v ppppp qq e qqqqq pp⇑ qq qq pppp u qqq qq q q q q p q H qq qq qqqqq¢rqqpqppqqrqq qq qqqq q q qqq v ¢ppAppppp qqq q q qqqqq qq q h hpppp q qqqqqqqq q q q q q q q q q q qqq q a q q qqq ⇓ pppppp qqqqqqqqqqqrqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q p p p p qq q r qq p p p pqqqqq σ ≈ −3.2 q y qqq ∞ 0 qqqp qq q qqq p p p p p p q q q κ = +1.5 qqq qqq qqq qqq % p p p p p p qqq qqq p q q q qq t[3] (x) p p p p p p p qqq qq qq qq qq p p p pqqqq q q qqq σ q qqq q qp q q q qqq p p p p p qq p qqq p qqq p qqq qqq p qqq p p p p p p qqq p q q q 6tσ (x) ⇑

Рис. 4.3.20. r = 2 (−∞ < t < +∞), r = 0 (t = ±∞) 2. Пусть σ < −1 (σ ∈ / Z), κ ∈ (−1, 0)∪(0, 1). На рис. 4.3.21 приведены графики функции tσ (z) для σ = −3.5 , κ = −0.5 : tσ (x) = −x(x2 − 9/4)(x2 − 1/4)(x2 − 1) ctg πx , tσ (iy) = y(y 2 + 9/4)(y 2 + 1/4)(y 2 + 1) cth πy . Точки b и d графика функции tσ (x) отвечают столкновению в момент tb = td = 0 пришедших из бесконечности (t = = −∞) двух пар комплексно сопряженных гиперболических нулей, точка c отвечает столкновению в момент tc > 0 эллиптического и параболического нулей. Образовавшийся двукратный параболический нуль в следующий момент t > tc распадается на пару комплексно сопряженных гиперболических нулей, уходящих в пределе при t → +∞ на бесконечность. Точка a отвечает

488

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

несущественно кратному нулю z = 0 и соответствует переходу в некоторый момент ta > 0 эллиптического нуля z e (и его зеркального отображения −z e ) с вещественной оси на мнимую ось с последующим его удалением при t → +∞ на +i∞ (−i∞). q q q q q q q qq qq qq qq qq qq qq q q q q q q q p qq pq p p qq qq qq qq qq q qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qq qq qq qq qq qq qq ∞ qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq ⇑ L qq N1 qq N2 qq N3 qq N4 qq qq qq hh qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqqqq p qqAqqq¢rqqqqqqe qqq qq qq qq qq qq qq qqqq qa qqqqqqqqqq qq qqrrqqqqqeqqqqqbqrqqqqqqq cr qqqqqqdqrqqqq r qqq r qqq r qqq r qqq r qqq r qqq r 0 ¢A 1 ¢A 2 qqq 3 qqq 4 qqq 5 qqq 6 qqq 7 qqq 8 q q q q q hh hh qq qq qq qq qqq qq ⇓ ⇓ qq qq qq qq ∞ ∞ 6tσ (iy) qqq qqq qqq qq q eqqqq qq qq qq qq qqq qqq qqq qqq q q qq qq q qq qqqq q qqqqqq qq qq q q q q σ = −3.5 qq q q q q q q qqq q qqqqqqa qqqqqrqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qq κ = −0.5 qq r qqq qq qqq y 0 qqq qqq qqq q qqq qqq qq qq qq qqq qq p qq p qq p qqp qq p qq p qq qq qq qq qq qq 6tσ (x)

qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqqqq x qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq qqq qq p qq

Рис. 4.3.21. r = 2 (−∞ < t < +∞), r = 0 (t = ±∞) 3. Пусть σ ∈ (−1, 0)∪(0, 1), κ < −1 (κ 6∈ Z). На рис. 4.3.22 приведены графики функции tσ (z) для σ = −0.5 , κ = −3.5 : tσ (x) = −

(x2 − 9/4)(x2 − 1/4) ctg πx , x (x2 − 1)

(y 2 + 9/4)(y 2 + 1/4) cth πy . y (y 2 + 1) Здесь точки b и c отвечают двукратным параболическим нулям z ∗ = 3/2 и z ∗ = 1/2 при t = 0. В следующий момент tσ (iy) =

489

4.3.13. Эволюция нулей в случае одной критической точки

t < 0 эти нули распадаются на эллиптический и параболический нули каждый, движущиеся в противоположных направлениях. Параболический нуль z p > 3/2, смещаясь вправо, достигает в пределе при t → −∞ значения z = 2. Эллиптический и параболический нули, удовлетворяющие соотношению 1/2 < z p < 1 < z e < 3/2, с убыванием t движутся навстречу друг другу и в пределе при t → −∞ сталкиваются в точке z ∗ = 1, которой отвечает двукратное параболическое собственное число оператора Λh−1/2, −7/2i . Эллиптический нуль z e (0 < z e < 1/2) с убыванием t смещается влево и в пределе при t → −∞ достигает значения z e = 0 (несущественно кратный нуль). qq qq qq qq qq p qq p qq qq qq qq qq qq qq qq σ = −0.5 qq qq qq qq κ = −3.5 qq qq q qq q 0 q qq N2 N q a, a (1, ∞) qq 1 qq q qq qqq ⇑ ⇑ qq q qq q hh hh qqq qq q q r Aqq¢rqqq r Aqqq¢rqqq r qqq r qqq r q q q q q 0 qq b qqq 1 qq c qqq 2 qqq 3 qqqqq 4 q q qq qq qqq qq qqq qq qq qqq qq qq qqq qqqq qqq qqqq qq q qq q qq qq qq q qqq qq qqq qqqq q q q qq qq qq U1 qqq qq U2 qqq qq q qq qq q qq qq qq qq q q qqq qq q q q q q qq qq qq q q qq q qq q q q q qq qq q qq qq qq qq q q qqq qq q q q q q qq qq qq q q qq q qq q q q q qq qq q qq qq qq qq qq q qqq qq q q q q qq qq qq q q qq q qq q q q q qq qq q qq qq qq qq qq q qqq qq q q q q qq qq qq e p qqq qq e p qqq qq q p p qq qq qq qq qq qq 6tσ (x)

a, a0

⇑

hh Aqq¢rqqq q qq qqqb0 qqqq qq qqqq qqq qqqq q qq qqq qqq qqqq qq qq qq qq qqq qq qq qqq qq qq qq qq qq qqq qq qq qq qq qq qqq qq qq qq qq q

qq qq qq p qq qq qq qq qq qq qq qq qq N3 qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq p qqqq q

qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qqqq qq x qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq q y qqqq qq qq qq q p qqqq q

qq qq qq qq qq qq qq qq p q q qq qq q qq qq qq qq qq qq q qq qq q q qq qq q qq qq qq qq qq qq q qq qq q q qq N4 qq q qq qq qq qq qq qq q qq qq q q qq qq q qq qq qq qq qq q q r qq r qq r qqq r qq qq 5 qqq 6 qqq 7 qqqqq 8 qq qq qq q q q qqq qqqq qq tσ (iy) qq 6 qqq qqq qqq pqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqq e q q qqqqqqq qqq qqq qqqqqqqqqq arqqqq0qq qqqqqqqaqrqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq A ¢⇓A ⇓ b, b0 r b, b0 -

0

qq qq qq p qqqq q

qq qq qq p qqqq q

qq qq qq p qqqq

Рис. 4.3.22. r = 2 (−∞ < t < +∞), r = 2 (t = ±∞) В следующий после t = 0 момент t > 0 оба двукратных

490

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

нуля z ∗ = 3/2 и z ∗ = 1/2 распадаются на две пары комплексно сопряженных нулей. При этом первая пара, удалившись от вещественной оси, затем вновь приближается к ней и в пределе при t → +∞ сталкивается в точке z ∗ = 1, которой отвечает двукратное собственное число оператора Λh−1/2, −7/2i . Каждый нуль из второй пары гиперболических нулей, приблизившись к мнимой оси, в некоторый момент ta > 0 сталкивается со своим симметричным относительно мнимой оси двойником в точках z ∗ (−iz ∗ > 0) и z ∗ = −z ∗ (мнимые двукратные параболические нули функции tσ (z) − t; точки a и a0 графика), которым отвечает двукратное параболическое число оператора Λh−1/2, −7/2i . В следующий момент t > ta нуль z ∗ распадается на параболический z p (−izp > −iz ∗ ) и эллиптический z e (−iz e < −iz ∗ ) нули. Далее, параболический нуль, удаляясь от точки z = z ∗ , в пределе при t → +∞ уходит на +i∞, а эллиптический нуль, приближаясь к точке z = 0, достигает несущественно кратного нуля z = 0 в пределе при t = +∞. Интерпретация других ветвей графика не вызывает затруднений. Варьирование параметров σ и κ в фиксированных интервалах (n, n+1) и (m, m+1), n, m ∈ Z приводит к деформациям графика, подобным рассмотренным неоднократно ранее.

4.3.14. Эволюция нулей в отсутствие критических точек В случае отсутствия критических точек (σ > −1, κ > −1) мы имеем дело с классическим сингулярным на обоих концах оператором, действующим в обычном гильбертовом пространстве (с позитивной метрикой). В этом случае алгебраическая кратность собственных чисел оператора Λhσ, κi равна единице. Ниже в качестве примера приведем несколько графиков функции tσ (z), описывающих эволюцию нулей при изменении параметра t в пределах t ∈ (−∞, ∞). При варьировании параметров σ и κ в пределах фиксированных интервалов соответственно (n − 1, n) и (m − 1, m) (n, m ∈ Z+ ) все нули вещественные,

4.3.14. Эволюция нулей в отсутствие критических точек

491

кроме, быть может, одного мнимого. 1. На рис 4.3.23 приведены графики функций tσ(x) и tσ(iy) для σ = −0.5 , κ = −0.5 : tσ (x) = −x tg πx ,

tσ (iy) = y th πy .

Точка a (z = 0) отвечает переходу нуля z0 в момент t = 0 при возрастании t с вещественной оси на мнимую. Предельные положения этого нуля: z0 = 1/2 при t = −∞ и z0 = i∞ при t = +∞. Остальные нули с ростом t смещаются из положений zk = 1/2+k при t = −∞ в положение zk = −1/2+k при t = +∞ (k ∈ N). qq qqq qq qqq qq qqq qq qq q q

6tσ (x) qq qq qq qq qq qq qq qq qqq qqqN1 qqq qqq qqq qqrq1 aqqqrqq0q qqq q qq qq q qqqq qqq qqq qq qqq qq qqq qq qq qqq qq qq qq qq qq qqq qq q qq qq U1 qqq qq qq qq qq qqq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qqq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qqq qq qq qq qq qq qq qq q qq qq qqq qq q q qq p qqq p qqqq qq q q

qq qq qq qq qq p qq p qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qqq qq qq qqq qq qqqN2 qq N3 qq qqq qq qqq qq qq qqq qq qqq2 qq3 rqq rqq qq qqq qq qq qq qq qq qqq qq qq qqq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq σ =qq −0.5 qqqq q κ =qq −0.5 qqqq qq q p qqqq p qqqq q

qq qq qq p qq qq qq qq qq qq qq qq qq N4 qq qq qq qq qq qq4 rqq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq p qqqq q

qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq q qq qq q qq p qq qq q qq qq q q q q q qq q q q qq qq q qq q qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq q qq q qq qq q qq q qq qq qq qq qq qq q qqN5 q qq qq qq q q qq qq qq q q qq qq qq qq qq qq qq q q qq qq qq q q qq 6 qq 8 qq5 qq7 qrq qrq qrq qrq qq qq qq qq qq qq qq qq x qq qq qq qq qqq qq qqq qqq qq qq qq 6tσ (iy) qq qq qqqqq qq pqqqqqqqqqqqqqqqq qq q qq q q q qq qqqqqqqq qq qqqqqqqq q q q qq q q q q qqq qq qqqqqqqq qq qq qqqqqqqa qqqqqqqqqqqqqqq qq qqqqqqrqqqqqq qq qq y 0 qq qq qq qqq qqq qq q qq qq qq qq q q q p qqqq p qqqq p qqqq p qqqq q q q q

Рис. 4.3.23. r = 0 (−∞ < t < +∞), r = 0 (t = ±∞) 2. На рис 4.3.24 приведены графики функций tσ (z) для σ = −1 − τ и κ = −τ (0 < τ ¿ 1). Ввиду того, что, как и в

492

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

предыдущем случае, q0 = 0, нули функции tσ (z) остались на месте, а полюса сместились. В остальном, поведение функций [0] аналогично приведенному на рис. 4.3.23. На графике tσ (x) = 1. qq qq qq qq qq qq qq qq qqqq tσ (x) qqqq qq qq qq qq qq qq qq qq q q qq qq q qqq q qq qqq 6 q q q qqq qq qqq qqq qq qq qq q qqq qq p qq p q qq p q qq qqq p q q q q p p q q qqq qqq qqq qqq qqq qq q qqq qqq qqq qqq q qqq qqqq q q qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq qqq q qq qqq q q q q q q q q q q q qqq q q qqq qqqq qqqq q qqqq qqqq qqq qqqq q qqq q q q q qqq q qqqqq q q q q q q q q q q q q q q q q q q qqq qqq qqqq qqq qqqqqqqq qqq qqq qqq qqq qqqq q q q q q q q q q q q q qqq ↑ qq qqq q qqq qqq qqqq q qqq qqq q qqq qqq q qqq qq qqq qq q qqq t[0] qq q σ (x) qq q qqq q qq q q qq qq qq qq qq qq qq qqr qqr qqr qqr a qrq qqr qqr qqr qrq qq qq qq qq qq qq q q q qq qqq 0 q q q q q q qq q q q q q q q q 1 2 3 4 5 6 7 8 x q q q qq q q q q q q q qq qqqq qq qq qq qq qq qq qq qq qq q q q q q q qq qq qqq q qq qq qq q qq qq q qq qq qq qq qq q qq qq qq qq qq qq qq t (iy) 6 qqq qqqq q qq qq σ qq qq qq q q q q qqq q N2 qqqq N3 qqqq N4 qqqq N5 qqqqq qqq qqq U1 N1 qqqq qq qq qq qq qq q qqq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qqq qqqq qq qq qq p qqqq qq qq q q qq qqq q qq qq q q q q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q qq qq q q qq qqq q q q qq qq q qq qq qq qq qq qq qq σ ≈ qqqq −0.1 qqqq a qqqqrqqq qq q q qqq qqqq q q q q qq qq qq y qq q κ ≈ qqqq −0.9 qqqq qq 0 qq qq qqq qqq q q q q q qq qq qq qq qq qq qq qq qq qqq q q q q q q q q qq qq qq qq qq qq qq qq q q q qq qqqq q q q q p qqqq p qqqq p qqqq p qqqq p qqqq p qqqq p qqqq p qqqq qqq qqq p q q q q

Рис. 4.3.24. r = 0 (−∞ < t < +∞), r = 0 (t = ±∞) 3. На рис 4.3.25 приведены графики функцию tσ (z) для σ = −0.5 , κ = 3.5 : tσ (x) = − tσ (iy) =

(x2 − 1/4)(x2 − 9/4) tg πx , x(x2 − 1) (y 2 + 1/4)(y 2 + 9/4) th πy . y(y 2 + 1)

В целом поведение нулей функции tσ (z) − t с изменением t от −∞ до +∞ подобно поведению на рис. 4.3.23. Отличие состоит

493

4.3.14. Эволюция нулей в отсутствие критических точек

в том, что нуль z0 переходит с ростом t с вещественной оси на мнимую в момент t > 0, а нули и полюса функции tσ (z) смещаются в соответствии с (4.3.49) и (4.3.52) на две единицы. 6tσ (x)

a qqqqqqqqqqqqqqqqq qrqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqp qqqqqqqq qqqqqq qqqqq qqqq 0 1 qqrq2 r r qqq qqq qqq qqq qq qq q U1 qqqqq qq qq qq qq σ = −0.5 qq qq κ = +3.5 qq qq qq qq qq qq qq qq q p qqqq q

qq qq qq p qq qq qq qq qq qq qq qqq qqqN1 qqq qqq qqq qqrq3 qqq qqq qqq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq p qqqq q

qq qq qq p qq qq qq qq qq qq qq qq qqqN2 qq qqq qqq qqq4 qrqq qqq qqq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq p qqqq

qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq q qq q q q qq qq qq p qq qq qq qq qq q qq qq qq qq qq qq q q q qq q qq q q qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq q q q qq q qq q q q q q qq q q q qq qq qq qq N3 qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq 8 qq7 qqq6 qq5 qqr q qrqq qrq rqq qq q q qq q q qq q q x qq q q q qq qq qq qq qqq qqq qqq qq qq qq qq 6tσ (iy) qq qq p qqqqqqqqqqqqq qq qq qqqqqqqqqqqq q q q q q q q q q qq q q qqqqqqqqqqqqq qq qqqqqqa qq qqqqqqrqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qq qq qq qq r qq qq y 0 qq qq qq qq qq qq qq q qq qq qq qq q q p qqqqq p qqqq p qqqq p qqqq q q q

Рис. 4.3.25. r = 0 (−∞ < t < +∞), r = 0 (t = ±∞) 4. Начиная с § 4.3.10 рассматривался вариант β = 0 (tβ = = 0). Аналогично, в случае α = 0 (tα = 0) можно рассмотреть поведение функции tκ (z) (4.3.46). В ограниченной окрестности нуля с выброшенными произвольно малыми ε-окрестностями сингулярных точек это соотношение с равномерной наперед заданной точностью можно переписать, выбирая достаточно большое n, в удобном для исследования виде −2κ

tκ (z) ≈ n

n Y z 2 − (k − q0 )2 z 2 − (k − q0 )2 k=0

(n À 1) .

494

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

Как уже отмечалось ранее, поведение нулей функции tκ (z) − tβ с изменением (tβ = t ∈ (−∞, ∞) идентично поведению нулей функции tσ (z) − tα после замены σ ⇔ κ. Таким образом, эволюция спектра оператора Λhσ0 , κ0 i (σ 0 = σ, κ 0 = κ) с изменением t = tβ (при tα = 0) такова же, как эволюция спектра оператора Λhσ0 , κ0 i (σ 0 = κ, κ 0 = σ) с изменением t = tα (при tβ = 0).

4.3.15. Спектральное разложение оператора Обозначим через S0 спектр оператора Λhσ, κi без учета алгебраической кратности собственных значений, через S∗ — кратный спектр также без учета алгебраической кратности, а через wλ, i (x) обозначим собственные (i = 0) и присоединенные (i ∈ Z1, kλ −1 ), kλ — алгебраическая кратность собственного значения λ) элементы оператора Λhσ, κi (см. § 4.3.10): Λhσ, κi wλ, i (x) = λ wλ, i (x) + ελ wλ, i−1 (x) (i ∈ Z0, kλ −1 , wλ, −1 (x) = 0). Напомним, что только при tα = = 0, ±π/2 и tβ = 0, ±π/2 функция x−σ/2 (1 − x)−κ/2 wλ, i (x) являются полиномами (обобщенные полиномы Якоби [15]). Условия ортонормированности и полноты имеют вид соответственно (wλ, i (x) ≡ wλ, i (x)): [wλ, i , wλ0 , j ]hσ, κi = Nλ δλ, λ0 δi, kλ −j−1 , P −1 Pkλ −1 Nλ i=0 wλ, i [ · , wλ, k −i−1 ]hσ, κi = I ,

X λ∈S0

т. е.

λ

λ∈S0

kλ −1

Nλ−1

X

wλ, i (x) wλ, kλ −i−1 (y) = δ hσ, κi (x, y) .

(4.3.57)

i=0

Здесь δx (y) ≡ δ hσ, κi (x; y) — δ-функция из Π0 , порождающая в оснащенном пространстве Π◦ ⊂ Π0 ⊂ Π0 единичный оператор: Z 1 hσ, κi y(x) = [y, δx ]hσ, κi ≡ lim δ hσ, κi (x; t) y(t) τα (t) dt . α→+0

0

495

4.3.15. Спектральное разложение оператора

Произвольный элемент y(x) из Πhσ, κi разлагается в ряд по собственным и присоединенным функциям оператора Λhσ, κi : y(x) =

λ −1 X kX

ζλ, i wλ, i (x) , для ζλ, i = Nλ−1 [y, wλ, k

λ −i−1

λ∈S0 i=0

]hσ, κi .

Оператор Λhσ, κi может быть представлен разложением Λhσ, κi =

X

kλ −1

λNλ−1

X

P

+

λ∈S∗

ελ Nλ−1

Pkλ −2 i=0

Z Λhσ, κi =

где Λhhσ, κi =

P

λ∈Sh

wλ, i [ · , wλ, k

λ −i−1

i=0

λ∈S0

Λhhσ, κi

]hσ, κi +

wλ, i [ · , wλ, kλ −i−2 ]hσ, κi +∞

+ −∞

или

λ dEλΛ + N(2) + N(3) ,

EλΛ N(i) = N(i) EλΛ (i = 2, 3) , λNλ−1 wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσ, κi — гиперболическая часть

оператора (Sh — гиперболический спектр), EλΛ

=

kλ −1

X

θ(t −

λ∈S0 \Sh

λ) Nλ−1

X

wλ, i [ · , wkλ −i−1 ]hσ, κi

i=0

— спектральная функция, имеющая лишь регулярные критические точки λ ∈ Se ∪ S∗ (Se — эллиптический спектр оператора), N(k) =

X λ∈S∗k

ελ Nλ−1

k−2 X

wλ, i [ · , wλ, k−i−2 ]hσ, κi

(k = 2, 3 ; Nk(k) = 0)

i=0

— нильпотентный оператор k-го порядка (S∗k — параболический спектр алгебраической кратности k).

496

4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала

Оснащенное π-пространство Π◦ ⊂ Π0 ⊂ Π0 (Π0 ≡ Πhσ, κi ) строится стандартным приемом (как это делалось в § 4.3.8) с помощью оператора ∞ X N = (1 + n) Pn , n=0

где последовательность проекторов {Pn }∞ n=0 получена следующим образом. Рассмотрим проекторы на невырожденные подпространства: (a) одномерные, отвечающие эллиптическим собственным числам λ = λe Pλ = Nλ−1 wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσ, κi ; (б) одномерные, отвечающие параболическим собственным числам λ = λp Pλ = Nλ−1 wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσ, κi ; (в) двух и трехмерные, отвечающие кратным параболическим собственным числам λ = λ∗ kλ −1

Pλ =

Nλ−1

X

wλ, 0 [ · , wλ, kλ −i−1 ]hσ, κi ;

i=0

(г) двумерные, отвечающие гиперболическим собственным числам λ = λh и λh Pλ = Nλ−1 wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσ, κi + Nλ−1 wλ, 0 [ · , wλ, 0 ]hσ, κi . Пронумеруем эти проекторы в порядке возрастания абсолютных значений соответствующих собственных чисел, а при одинаковых модулях — в порядке возрастания аргумента собственных чисел с =λ > 0. В результате получаем упомянутую выше последовательность проекторов {Pn }∞ n=0 .

497

Оглавление

Выражение (4.3.57) порождает соответствующие разложения обобщенных собственных векторов κi ∆hσ, (x) q

=

X

kλ −1

Nλ−1

λ∈S0

X

Wλ, i (q) wλ, kλ −i−1 (x) ∈ Π0 ,

i=0

Wλ, i (x) = x−σ/2 (1 − x)−κ/2 wλ, i (x) ³ ´ оператора X в Πhσ, κi Xy(x) = x y(x) умножения на независимую переменную κi X∆qhσ, κi (x) = q ∆hσ, (x) , q

отвечающего непрерывному спектру q ∈ [0, 1], и корневых векторов hσ, κi ∆0 (m) (x) ∈ Πhσ, κi (m ∈ Z0, rσ −1 ) , hσ, κi

∆1 (m) (x) ∈ Πhσ, κi

(m ∈ Z0, rκ −1 ) ,

отвечающих собственным числам q = 0 и q = 1 hσ, κi

hσ, κi

hσ, κi

X∆0 (m) (x) = ∆0 (m−1) (x) (m ∈ Z0, rσ −1 , ∆0 (−1) (x) = 0) , hσ, κi

hσ, κi

hσ, κi

(X − 1)∆1 (m) (x) = ∆1 (m−1) (x) (m ∈ Z0, rκ −1 , ∆1 (−1) (x) = 0) .

Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Функциональные пространства 1.1. Пространства первого класса . . . . . . . . . 1.1.1. Пространство с критической точкой на границе конечного интервала . . . . . . . 1.1.2. Пространство с критической точкой на границе полубесконечного интервала . . . 1.1.3. Пространство с двумя критическими точками на границах конечного интервала . 1.2. Пространства второго класса A . . . . . . . . 1.2.1. Пространство с критической точкой на левой границе конечного интервала . . . . 1.2.2. Пространство с критической точкой на границе полубесконечного интервала . . . 1.2.3. Пространство с критической точкой на правой границе конечного интервала . . . 1.2.4. Пространство с двумя критическими точками на границах конечного интервала . 1.3. Пространства второго класса B . . . . . . . . 1.3.1. Пространство с критической точкой в центре конечного интервала . . . . . . . .

3 9 10 10 21 24 29 30 34 37 42 49 49

Оглавление

1.3.2. Пространство с критической точкой внутри конечного интервала (не совпадающей с его центром) . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Пространство с критической точкой внутри полубесконечного интервала . . . . . 1.3.4. Пространство с критической точкой внутри бесконечного интервала . . . . . . . . 1.3.5. Пространство с двумя критическими точками на границах конечного интервала . 1.3.6. Пространство с критическими точками внутри и на границе конечного интервала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7. Пространство с критической точкой в центре и двумя на границах конечного интервала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Линейные дифференциальные выражения 2.1. Дифференциальные выражения первого класса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Выражение с сингулярной точкой на границе конечного интервала . . . . . . . . . 2.1.2. Выражение с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала . . . . . 2.1.3. Выражение с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала . . . 2.2. Дифференциальные выражения второго класса A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Выражение с сингулярной точкой на левой на границе конечного интервала . . . 2.2.2. Выражение с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала . . . . .

499

53 54 55 58

58

60

64 67 68 74 77 83 84 89

500

Оглавление

2.2.3. Выражение с сингулярной точкой на правой границе конечного интервала . . . . . 2.2.4. Выражение с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала . . . 2.3. Дифференциальные выражения второго класса B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Выражение с сингулярной точкой в центре конечного интервала . . . . . . . . . . 2.3.2. Выражение с сингулярной точкой внутри конечного интервала (не совпадающей с его центром) . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Выражения с сингулярной точкой внутри полубесконечного интервала . . . . . . . . 2.3.4. Выражение с сингулярной точкой внутри бесконечного интервала . . . . . . . . . . . 2.3.5. Выражение с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала . . . 2.3.6. Выражение с сингулярной точкой внутри и на границе конечного интервала . . . . 2.3.7. Выражение с сингулярной точкой в центре и двумя на границах интервала . . .

3. Симметрические дифференциальные операторы

92 98 105 105

108 109 110 111 112 115 118

3.1. Дифференциальные операторы первого класса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.1.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала . . . . . . . . . . . 118 3.1.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала . . . . . . 143

Оглавление

3.1.3. Оператор с двумя критическими точками на границах конечного интервала . . . 3.2. Дифференциальные операторы второго класса A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Оператор с сингулярной точкой на левой границе конечного интервала . . . . . . . 3.2.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала . . . . . . 3.2.3. Оператор с сингулярной точкой на правой границе конечного интервала . . . . . . . 3.2.4. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала . . . . . 3.3. Дифференциальные операторы второго класса B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Оператор с сингулярной точкой в центре конечного интервала . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Оператор с сингулярной точкой внутри конечного интервала (не совпадающей с его центром) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Оператор с сингулярной точкой внутри полубесконечного интервала . . . . . . . . 3.3.4. Оператор с сингулярной точкой внутри бесконечного интервала . . . . . . . . . . . 3.3.5. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала . . . . . 3.3.6. Оператор с сингулярной точкой внутри и на границе конечного интервала . . . . . . 3.3.7. Оператор с сингулярной точкой в центре и двумя на границах конечного интервала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

501

151 168 168 180 184 201 217 217

223 227 231 238 242

250

502

Оглавление

4. Самосопряженные расширения операторов первого класса 4.1. Оператор с сингулярной точкой на границе конечного интервала . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Расширение оператора . . . . . . . . . . . 4.1.2. Оператор Ганкеля . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Простые и кратные нули (α = 0, −π/2) . . 4.1.4. Функция нулей на вещественной и мнимой осях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5. Функция нулей в комплексной области . . 4.1.6. Классификация нулей и их эволюция . . . 4.1.7. Собственные числа и их эволюция . . . . 4.1.8. Собственные и присоединенные функции . 4.1.9. Корневые и инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.10. Обращение оператора . . . . . . . . . . . 4.1.11. Полнота системы собственных и присоединенных функций . . . . . . . . . . . . . 4.1.12. Сумма обратных степеней нулей . . . . 4.1.13. Оснащение пространства . . . . . . . . . 4.2. Оператор с сингулярной точкой на границе полубесконечного интервала . . . . . . . . . . 4.2.1. Расширение оператора . . . . . . . . . . . 4.2.2. Оператор Лагерра . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Оператор Лагерра для t = 0 . . . . . . . . 4.2.4. Оснащенное пространство Понтрягина . 4.2.5. Пространства основных и обобщенных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6. Оператор Лагерра для t 6= 0 . . . . . . . . 4.2.7. Кратные собственные числа и корневые подпространства . . . . . . . . . . . . . .

264 264 265 271 274 277 281 285 288 290 296 297 312 318 321 332 332 335 340 345 347 349 354

Оглавление

4.2.8. Классификация собственных чисел и их эволюция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.9. Спектральное представление оператора . 4.2.10. Оператор Ганкеля . . . . . . . . . . . . . 4.2.11. Обобщенное преобразование Ганкеля . . . 4.2.12. Оператор Ганкеля в оснащенном пространстве (α = 0) . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.13. Собственные числа и их эволюция . . . . 4.3. Оператор с двумя сингулярными точками на границах конечного интервала . . . . . . 4.3.1. Оператор с двумя критическими точками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Оператор с одной критической точкой . . 4.3.3. Оператор без критических точек . . . . . 4.3.4. Оператор Якоби . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5. Оператор Якоби с двумя критическими точками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.6. Оператор Якоби с одной критической точкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.7. Оператор Якоби без критических точек . 4.3.8. Оператор с α, β ∈ {0,−π/2}и σ+κ+1 6∈ Z− 4.3.9. Оператор с α, β ∈ {0,−π/2}и σ+κ+1 ∈ Z− 4.3.10. Нули и полюса. Кратность нулей. Корневые подпространства . . . . . . . . . . . 4.3.11. Оператор Якоби для полуцелых σ и κ . . 4.3.12. Эволюция нулей в случае двух критических точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.13. Эволюция нулей в случае одной критической точки . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.14. Эволюция нулей в отсутствие критических точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.15. Спектральное разложение оператора . .

503

362 372 377 382 385 391 399 400 402 411 415 418 419 422 423 430 437 450 466 485 490 494

Научное издание

Старинец Владимир Васильевич

Сингулярные операторы Штурма—Лиувилля в пространствах с индефинитной метрикой Часть 1 Монография

Компьютерный набор и верстка автора

Подписано в печать 09.06.10. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Times». Печать на ризографе. Усл. печ. л. 29,30. Тираж 100 экз. Заказ №156/126. Московский государственный университет печати. 127550, Москва, ул. Прянишникова, 2а. Отпечатано в РИО МГУП.