Методические указания по линейной алгебре

Министерство образования Российской Федерации Восточно-Сибирский государственный технологический университет

Методические указания по линейной алгебре для студентов специальности 073000 – «Прикладная математика»

Составители: Гармаев В.Д. Гармаева С.С.

г. Улан-Удэ, 2002г.

Комплексные числа

сел. Ведь даже простейшее квадратное уравнение х2 + 1 = 0

Во многих разделах математики и ее приложений не-

не имеет в этой системе корней. В то время как среди ком-

возможно ограничиться рассмотрением действительных чи-

плексных чисел содержатся не только корни любого квад-

сел. Потребности этих разделов приводят к необходимости

ратного уравнения, но и все корни любого алгебраического

ввести в рассмотрение множество комплексных чисел, мно-

уравнения с действительными или комплексными коэффици-

жество более "обширное" по сравнению с множеством дейст-

ентами.

вительных чисел.

Для того, чтобы квадратное уравнение х2 + 1 = 0 име-

При изучении математики идея о расширении множе-

ло решение, нужно ввести новое число, которое будет счи-

ства рассматриваемых чисел возникла неоднократно. Пред-

таться его решением. Обозначается это число символом i.

ставление о числе изменялось по мере расширения круга ре-

Таким образом, i2 + 1 = 0 или i2 = -1. Дополним множество

шаемых задач. Для подсчета отдельных предметов достаточ-

действительных чисел числами вида bi, которые называются

но натуральных чисел, но при решении уравнений первой

мнимыми и являются произведениями действительных чисел

степени с натуральными числами, этих чисел уже недоста-

b на число i. И наконец, сумму действительного числа а и

точно - нужны рациональные числа. В свою очередь, пред-

мнимого числа bi назовем комплексным числом а + bi. При

ставление о числе как только о рациональном оказывается

этом числа а и b называются соответственно действительной

неудовлетворительным, например, при измерении длин от-

и мнимой частями числа z = a + bi: a = Re z, b = Im z. Число i

резков. Чтобы любому отрезку можно было приписать длину

называется мнимой единицей: i =

−1.

необходимо добавить иррациональные числа. Система, со-

Два числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i считаются рав-

стоящая из всех рациональных и всех иррациональных чисел

ными, если a1 = b1 и a2 = b2. Действия над числами выпол-

называется системой действительных (вещественных) чисел.

няются по следующим правилам:

Теория алгебраических уравнений является одним из разде-

(a1 + b1i) ± (a2 + b2i) = (a1 ± a2) + (b1 ± b2)i;

лов математики, в котором комплексные числа играют важ-

(a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1 a2 - b1 b2) + (а1b2 - b1а2)i;

ную роль. Здесь особенно наглядно проявилась целесообраз-

a1 + b1i a1a2 + b1b2 b1a2 − a1b2 = + i. a2 + b2i a2 2 + b22 a2 2 + b22

ность дальнейшего расширения системы действительных чи-

Примеры:

Пусть комплексное число z= а+вi изображается векто-

1) (2 + 5i) + (-1 + 7i) = 1 + 12i;

ром ОМ =(а;в). Модулем комплексного числа называется

2) (2 + 5i) - (-1 + 7i) = 3 - 2i

длина вектора, соответствующего этому числу. Для модуля

3) (2 + 5i) + (-1 + 7i) = -37 + 9i

числа z используется обозначение z . Также модуль обозна-

4)

2 + 5i 33 19 = − i − 1 + 7i 50 50

Подобно тому как действительные числа можно изо-

чается буквой r. y

бражать точками числовой прямой, комплексные числа можно изображать точками плоскости. Возможность такого изо-

b

бражения основана на отождествлении множества комплекс-

M r

ных чисел a + bi и множества пар действительных чисел (a,

ϕ a

x

b), которые в прямоугольной системе координат ХОY можно трактовать как координаты точек плоскости. Координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс

По теореме Пифагора следует формула:

называется действительной, ось ординат называется мнимой

r = a 2 + b2

осью.

Аргументом комплексного числа z называется угол, Не менее удобной является интерпретация комплекс-

образуемый вектором ОМ с положительным направлением

ного числа а+вi как вектора ОМ , выходящего из начала ко-

действительной оси, причем угол считается положительным,

ординат О(0;0) и идущего в точку М(а;в). Соответствие меж-

если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицатель-

ду множеством комплексных чисел с одной стороны и мно-

ным, если отсчет производится по часовой стрелке. Для обо-

жествами точек или векторов плоскости, с другой, позволяет

значения аргумента числа z используется символ arqz. Если

комплексные числа называть точками или векторами. При

известны модуль и аргумент, то комплексное число опреде-

этом операции сложения и вычитания чисел выполняются

ляется однозначно.

соответственно операциям сложения и вычитания векторов.

b Из рисунка видно, что sin ϕ = , r

cos ϕ =

a r

Следовательно, число z = a + bi можно записать в виде: z = (cosϕ + i sin ϕ ) Данное выражение называется тригонометрической

cosϕ3 = −

1 1 . и sin ϕ3 = 2 2

Поэтому

z=

формой записи комплексного числа, которая удобна при умножении и делении комплексных чисел. Пусть даны числа

z1z2 = r1r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )),

3

− i sin

π 3

(

3 +i

6

−

3π 11π =− . 4 12

но заметить, что z + z = 2a = 2 Re z , z ⋅ z = a 2 + b 2 = r 2 ≥ 0. Остановимся на геометрическом смысле модуля раз-

)

ности двух комплексных чисел. Разность двух чисел есть

.

число, которому соответствует вектор, являющийся разно-

запишем

в

виде

z2 = 3 + i имеет модуль r2 = 3 + 1 = 2 и аргумент ϕ2 =

Длина вектора z1-z2 равна расстоянию между точками

π 6

М1 и М2. Таким образом, модуль разности двух комплексных

,

3 1 т.к. cosϕ2 = и sin ϕ2 = ; число z3 = i − 1 имеет модуль 2 2 3π , т.к. 4

стью векторов, соответствующих этим векторам. Пусть

z1 = a1 + b1 , z2 = a2 + b2

π ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ z1 = cos⎜ − ⎟ + i sin⎜ − ⎟ , т.е. r1 = 1; ϕ1 = − ; число ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 3

r3 = 1 + 1 = 2 и аргумент ϕ3 =

π

знаком при мнимой части, называются сопряженными. Мож-

Пример. Записать в тригонометрической форме ком-

π

3

+

Числа z = a + bi и z = a − bi , отличающиеся только

z1 r1 = (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) z2 r2

z1 = cos

π

r ⋅r 1⋅ 2 = 1 2 = = 2, аргумент r3 2

⎛ ⎛ 11π ⎞ ⎛ 11π ⎞ ⎞ Следовательно z = 2 ⎜ cos⎜ − ⎟ + i sin⎜ − ⎟⎟. ⎝ 12 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 12 ⎠

Тогда

Число

z3

ϕ = ϕ1 + ϕ2 − ϕ3 = −

z1 = r1 (cosϕ1 + i sin ϕ1 ) и z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )

π π⎞ ⎛ ⎜ cos − i sin ⎟ ⎝ 3 3⎠ плексное число z = i −1

z1 ⋅ z2

чисел есть расстояние между точками, соответствующими этим числам.

а) Условию удовлетворяют точки равноудаленные от точек z1=1+i и z2=-1-i. z2

b2

б) Условию z + i = 1 удовлетворяют точки, удален-

M2

ные от точки z1=-i на расстояние, равное единице. Эти точки

M1

b1

лежат на единичной окружности с центром в точке z1=i.

z1 a2

a1 y

z1-z2

0 x -1

Пример. Какое множество точек комплексной плоско-

z1

сти задается условием: а) z − 1 − i = z + 1 + i , б) z + i = 1, в) 1 ≤ z + 2 ≤ 2 ?

в) Условию 1 ≤ z + 2 ≤ 2 удовлетворяют точки, рас-

y

положенные внутри и на границе кольца, образованного z1

1

двумя окружностями с центром в точке z1=-2 и радиусами, равными 1 и 2.

1

-1

x z2

-1

Число z называется корнем степени n из числа ω y

(обозначение n ω ), если z n = ω . Пусть

z = ρ (cosψ + sin ψ ), ω = r (cosϕ + i sin ϕ ), то0 -2

-1

x

гда ρ n (cos nψ + sin nψ ) = r (cosϕ + i sin ϕ ). Следовательно,

ρ n = r , nψ = ϕ + 2π k или ρ = n r ,ψ = Из формулы для умножения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме можно получить формулу возведения в степень комплексного числа. Пусть z = r (cosϕ + i sin ϕ )

, тогда

n

n

z = r (cos nϕ + i sin ϕ ) ,

которая справедлива не только при положительных n, но и при любых целых, т.е. n ∈ z . Пример. Возвести в девятую степень число z = 3 − i . Имеем r = 3 + 1 = 2; cosϕ =

3 1 π ; sin ϕ = − ; ϕ = − . Следовательно 2 2 6

⎛ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎞ z = 2⎜ cos⎜ − ⎟ + i sin⎜ − ⎟ ⎟ , и получаем: ⎝ 6 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 6⎠ ⎛ ⎛ ⎛ π ⎞⎞ ⎛ ⎛ π ⎞⎞⎞ z 9 = 2 9 ⎜⎜ cos⎜⎜ 9 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎟⎟ + i sin ⎜⎜ 9 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎝ ⎝ 6 ⎠⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 6 ⎠⎠ ⎛ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π = 512⎜⎜ cos⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎝ 2 ⎝ ⎝ 2 ⎠

⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ = −512i. ⎠⎠

Получаем

все

ϕ + 2π k

решения

n

, k ∈ z.

уравнения

ϕ + 2π k ϕ + 2π k ⎞ ⎛ zk = n r ⎜ cos + i sin ⎟ , k = 0, n − 1 ⎝ n n ⎠ Пример: Найти все значения 4 − 16 .

ω = −16 = 16(cos π + i sin π ), следовательно π + 2π k π + 2π k ⎞ ⎛ zk = 2⎜ cos + i sin ⎟ , k = 0,3. ⎝ 4 4 ⎠ Или, подробнее

π π⎞ ⎛ z0 = 2⎜ cos + i sin ⎟ = 2 + 2i , ⎝ 4 4⎠ 3π 3π ⎞ ⎛ z1 = 2⎜ cos + i sin ⎟ = − 2 + 2i , ⎝ 4 4⎠ 5π 5π ⎞ ⎛ z2 = 2⎜ cos + i sin ⎟ = − 2 − 2i , ⎝ 4 4⎠ 7π 7π ⎞ ⎛ z3 = 2⎜ cos + i sin ⎟ = 2 − 2i. ⎝ 4 4⎠

zn = ω :

Многочлены и их корни

Многочленом (полиномом) n-й степени от неизвест-

ществуют многочлены q(x) и r(x) такие, что f(x) = q(x ) q(x) + r(x), причем степень r(x) меньше степени q(x) или r(x)=0.

ного х называется выражение

Многочлен q(x) называется частным от деления, а r(x)

a0 x n + a1x n −1 +...+ an −1x + an, где n - целое число, называемое степенью многочлена. Коэффициенты a0 , a1 ,..., an −1 , an являются действительными или комплексными числами, неизвестное х может также принимать действительные или комплексные значения. f ( x ) = a0 + a1x +...+ an −1x n −1 + an x n , an ≠ 0 q ( x ) = b0 + b1x +...+bm −1x

нулю, то многочлен q(x) называется делителем многочлена f(x). Пусть даны произвольные многочлены f(x) и q(x ). Многочлен ϕ(х) называется их общим делителем, если он служит делителем для каждого из этих многочленов. Наи-

Пусть даны многочлены

m −1

- остатком от этого деления. Если остаток от деления равен

m

+ bm x , bm ≠ 0

Их суммой является многочлен, коэффициенты кото-

большим общим делителем (НОД) называется такой их общий делитель, который сам делится на любой другой общий делитель. Обозначается НОД многочленов f(x) и q(x ) символом (f(x),q(x )). Для нахождения НОД используется алго-

рого равны сумме коэффициентов при соответствующих сте-

ритм последовательного деления или алгоритм Евклида.

пенях многочленов f(x) и q(x), причем степень суммы не пре-

Продемонстрируем его на примере. Пусть

восходит наибольшей из степеней f(x) и q(x). Произведением многочленов f(x) и q(x ) называется многочлен d ( x ) = d 0 + d1x +...+ d n + m x

n+m

, коэффициенты ко-

торого определяются следующим образом di =

∑ ak bl ,

i = 0, m + n

k + l =i

В множестве многочленов существует операция деле-

f ( x ) = x 4 + 3x 3 − x 2 − 4 x − 3 и q ( x ) = 3x 3 + 10 x 2 + 2 x − 3. Де-

лим f(x) на q(x ). Чтобы избежать дробных коэффициентов, умножим f(x) на 3. f ( x ) = 3x 4 + 9 x 3 − 3x 2 − 12 x − 9

3x3 + 10 x 2 + 2 x − 3

3x 4 + 10 x 3 + 2 x 2 − 3x

x +1

− x 3 − 5x 2 − 9 x − 9 (умножим на -3)

ния с остатком: для любых двух многочленов f(x) и q(x ) суполучим

Наибольший общий делитель двух многочленов опре3x 3 + 15x 2 + 27 x + 27

деляется с точностью до множителя нулевой степени, поэто-

3x 3 + 10 x 2 + 2 x − 3

му в процессе его нахождения, чтобы избежать дробных коэффициентов, можно умножать делимое или сократить дели-

5x 2 + 25x + 30

Остаток 5x 2 + 25x + 30 сократим на 5: 2

2

r1 ( x ) = x + 5x + 6 . Делим q(x ) на x + 5x + 6 .

3x 3 + 10 x 2 + 2 x − 3

x2 + 5x + 6

3x 3 + 15x 2 + 18 x

3x − 5

тель на любое не равное нулю число, причем не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе этого деления. По иному дело обстоит в следующей ситуации: если d(x) есть НОД многочленов f(x) и q(x ), то можно найти такие многочлены U(x) и V(x), что

− 5x 2 − 16 x − 3

При этом, если степени f(x) и q(x ) больше нуля, то

− 5x 2 − 25x − 30

степень U(x) меньше степени q(x ), а степень V(x) меньше

9 x + 27 Остаток 9 x + 27 сократим на 9: r2 ( x ) = x + 3 . Делим 2

r1 ( x ) = x + x + 6 на r2 ( x ) = x + 3

степени f(x). Для нахождения U(x) и V(x) используется алгоритм Евклида, но при этом уже нельзя допускать искажения частных и остатков.

x 2 + 5x + 6

x+3

x 2 + 3x

x+2

Пример: Найти многочлены U(x) и V(x), удовлетворяющие равенству

2x + 6

f ( x ) ⋅ U ( x ) + q ( x ) ⋅V ( x ) = d ( x ) , если

2x + 6

f ( x ) = x 3 − x 2 + 3x − 10, q ( x ) = x 3 + 6 x 2 − 9 x − 14.

0 Последний остаток, на который разделился предыдущий остаток r2 ( x ) = x + 3 , поэтому (f(x),q(x ))=х +3.

Применим алгоритм Евклида: f ( x ) = q ( x ) + ( −7 x 2 + 12 x + 4),

54 ⎞ 235 ⎛ 1 q ( x ) = ( −7 x 2 + 12 x + 4)⎜ − x − ⎟ + ( x − 2) ; ⎝ 7 49 ⎠ 49 −7 x 2 + 12 x + 4 = ( x − 2)( −7 x − 2)

Получаем, что d(x)=x-2. d ( x) =

Следовательно, число с является корнем многочлена

49 49 54 ⎞ ⎛ 1 q( x) − ( −7 x 2 + 12 x + 4)⎜ − x − ⎟ ; ⎝ 7 235 235 49 ⎠

−7 x 2 + 12 x + 4 = f ( x ) − q ( x ) ⇒

член х-с. Таким образом, разыскание корней многочлена связано с нахождением его линейных делителей.

d ( x) =

49 49 ⎛ 54 ⎞ ⎞ ⎛ 1 q( x) − ⎜ f ( x ) − q ( x )⎜ − x − ⎟ ⎟ ; ⎝ 7 235 235 ⎝ 49 ⎠ ⎠

d ( x) =

49 49 54 ⎞ 49 54 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 q( x) − f ( x )⎜ − x − ⎟ + q ( x )⎜ − x − ⎟ ; ⎝ 7 ⎝ 7 235 235 49 ⎠ 235 49 ⎠

d ( x) = f ( x)

f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится нацело на много-

49 ⎛ 1 54 ⎞ 49 ⎛ 1 54 ⎞ ⎜ x + ⎟ + q( x) ⎜1 − x − ⎟ ; 235 ⎝ 7 49 ⎠ 235 ⎝ 7 49 ⎠

54 ⎞ 5 ⎞ ⎛ 7 ⎛ 7 d ( x ) = f ( x )⎜ x+ x− ⎟ + q ( x )⎜ − ⎟; ⎝ 235 ⎝ 235 235⎠ 235⎠ Следовательно:

Пусть дан многочлен f ( x ) = a0 x n + a1x n −1 +...+ an и с - некоторое число. Тогда f (c) = a0c + a1c

ный многочлен х-с, называмый методом Гарнера. Пусть f ( x ) = a0 x n + a1x n −1 + a2 x n − 2 +...+ an

и пусть f(x)=(x-c)q(x)+r, где q ( x ) = b0 x n −1 + b1x n − 2 + b2 x n − 3 +...+bn −1.

Сравнивая коэффициенты при равных степенях, получаем: a0 = b0 , a1 = b1 − cb0 , a 2 = b2 − cb1 ,..., a n −1 = bn −1 − cbn−2 , a n = r − cbn −1 . Отсюда следует, что

7 54 7 5 U ( x) = x+ , V ( x) = − x− . 235 235 235 235

n

Рассмотрим метод деления многочлена f(x) на линей-

n −1

b0 = a 0 , b1 = cb0 + a1 , b2 = cb1 + a 2 ,..., bn − 1 = cbn − 2 + a n − 1 , и наконец,

+...+ an называ-

ется выражением многочлена f(x) при х=с. Если f(c)=0, то

r = cbn −1 + an . Таким образом, производятся однотипные вычисления, которые располагаются в схему.

число с называется корнем многочлена f(x) или уравнения f(x)=0. Теорема Безу. Остаток от деления многочлена f(x) на многочлен х-с равен значению многочлена f(x) при х=с, т.е. r=f(c).

Пример. Разделить f ( x) = 2 x 5 − x 4 − 3 x 3 + x − 3 на х-3. Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициенты многочлена f(x), под чертой – коэффициенты частного q(x) и остаток – r, а слева сбоку – значение с из двучлена х-с:

-1

-3

0

3⋅2-1=5

3⋅5-3=12

1

2 3 2

3⋅12+0=

3⋅36+1=

=36

=109

f ( x) = a0 ( x − α1 )( x − α 2 )...( x − α n ) , где α1 ,α 2 ,....α n -

-3 3⋅109-3=324

Таким образом, частное q ( x) = 2 x 4 + 5 x 3 + 12 x 2 + 36 x + 109 и остаток r=f(3)=324.

Из примера следует, что метод Горнера может использоваться для быстрого вычисления значения многочлена f(x) при х=с. Пусть х=с является корнем многочлена f(x), тогда f(x)

корни

f(x).

Если

среди

корней

есть

кратные,

f ( x) = a0 ( x − α1 ) k1 ( x − α 2 ) k2 ...( x − α m ) km , где

k1 + k 2 + ... + k m = n . Формулы

Виета.

Пусть

дан

f ( x) = x n + a1 x n−1 + a 2 x n−2 + ... + a n−1 x + a n

многочлен и

пусть

α1 , α 2 ,....α n - его корни, тогда существует следующая связь между коэффициентами и корнями многочлена

делится на х-с, но может оказаться, что f(x) делится на более

a1 = −(α1 + α 2 + ... + α n ),

высокие степени ( x − c) k , но не делится на ( x − c) k +1 , т.е.

a 2 = α1α 2 + α1α 3 + ... + α1α n + α 2α 3 + ... + α n−1α n ,

f ( x) = ( x − c) k q ( x) , где q(x) на х-с не делится.

Число k называется кратностью корня. Основная теорема алгебры: Всякий многочлен с лю-

a3 = −(α1α 2α 3 + α1α 2α 4 + ... + α n−2α n−1α n ), -

-

-

-

-

a n = (−1) n α1α 2 ...α n .

меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае

Пример.

f ( x) = a0 x + a1 x

-

-

-

-

-

-

Найти

многочлен,

имеющий

корни

α1 = 5,α 2 = −2,α 3 = α 4 = 3.

Как следствие получаем, что любой многочлен n

-

a n−1 = (−1) n−1 (α1α 2 ...α n−1 + ... + α 2α 3 ...α n ),

быми числовыми коэффициентами степень которого не комплексный. n −1

+ +... + a n−1 x + a n с любыми числовыми

коэффициентами представим в виде

то

a1 = −(5 − 2 + 3 + 3) = −9, a 2 = 5(−2) + 5 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 + (−2) ⋅ 3 + (−2) ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 = 17, a3 = −[5 ⋅ (−2) ⋅ 3 + 5 ⋅ (−2) ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 ⋅ 3 + (−2) ⋅ 3 ⋅ 3] = 33, a 4 = 5 ⋅ (−2) ⋅ 3 ⋅ 3 = −90 f ( x) = x 4 − 9 x 3 + 17 x 2 + 33 x − 90